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O. I' r
1 MOi i'l
Uebersicht
des Xnhaltes der Sitzungsberichte Bd. XXV Jahrgang 1895.
1>M mit * bexeichDet«n Abhuidlangan lind in den 8itxaiigaberiebt«n nlobt abgedrnckt.
Oefferäliehe SUeung der kgl. Äkad&mie der Wissenschaften stur Feier des 136. Stiftungstages am 28. März 1895. ^^^
T. Pettenkofer: Nekrologe 156
T. Voit: Nekrologre 161
(öffentliche SUeung zu Ehren Seiner Majestät des Königs und Seiner K&nigl. Hoheit des Prinzregenten am 15. November 1895.
▼. Pettenkofer: ErOfinangsrede 366
Wahlen 370
Sitzung vom 5. Januar 1895.
'Walter Dyck: lieber die Bestimmung der Anzahl dereinem System von n-Uleicfaungen mit n-Variabeln gemeinsamen Wnrzeln and über die Berechnang der Snmme der Werthe» welche eine weitere Fnnktion dieser Variabein in diesen Nollatellen annimmt 1
Job. KHoke: Zur Anthropologie der Halswirbelsäule ; Beitrag
zur Eatwickelongsmechanik der menschlichen KOrperform 3
L. Boltzmann: Nochmals das Maxweirache Vprtheilongsgesetz
der Geschwindigkeiten 26
ioh. Rflckert; Zar Kenntnias de<4 Befrachtungarorgangea . . 27
•H. Seeliger: Vorzeigang astronomischer Photographien des
Herrn Professor Wolf in Heidelberg 2
Alfred Pringsheim: Ueber den Cauchy'schen IntegraUatz 39
IV
Sitxung vom 9. Fehruar 1895.
Seite
*K. Oflbel: Ueber directe Anpasauag 73
Alfred PringHheim: Ueber die Entwickelang eindeutiger
analytischer Fanctionen in Potenzreiben 76
H- Nötber: Die 7-Sy8teme von Kegelscbnitten, welche durch
die BerQbrungsponkte der Doppeltangenten einer ebenen
Gurre 4. Ordnung gehen 93
Ed. V.Weber: Ueber Bimultane partielle Differentialgleichungen
II. 0. mit drei Variabein . 101
F. V. Sandberger: Ueber Blei- und Fahlerzgänge in der Gegend
von WeitmDnster und Kankel in Nassau 115
N. Radinger: Ueber Leucocjtenwanderung in den Schleim-
hftuien des Darmkanals 125
Sitzung vom 2. Mtlrs 1895.
*C. V. Kupffer: Ueber die Eotwicklang der Kiemenknorpel
bei Petromyzon Planeri l'J7
•Ad. V. Baeyer: üeber das Caron l'J7
Sitzung vom 4. Mai 1895.
U. Ilartig: Ueber den Drehwuchs der Kiefer \\i\i
F. Lindemann: Die Abbildung der Malbebene auf ein Pulygou,
das von Bogen confocaler Kegelftchnitte begrenzt wird . 219 J. Bauschinger: Ueber eine neue Bestimmung der Ilefrac-
tionsconstitnte auf astronomi'^cbem Wege 239
W. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. I. Ueber die Dar-
stellong der Kronecker'tchen Charakteristiken eines Fanc-
tionensystems durch bestimmte Integrale 261
Sitzung vom 15. Juni 1895.
lt. Ilartig: lieber den Nadelschüttf'pilz der Lurche, Sphaerella
laricina n. ip 279
A. Pringaheim: Zum Cauchy'xchen Integralsatx 295
*F. Lindemann: Ueber die conforme Abbildung eines FlOchen- stttcke», da.^ durch Parabeln mit gemeinsamer Axo be- grenit wird 278
V
Sa»«
*F. LiDdemann: Vorlaf^o eines au« Vonler-Asien BfAmmcndeD aotiken Modellcs (Bronze - Uuaa] eiaes ArcfatmcdiEchen Körpern (ß bomben -Triukon tarier) . 278
•A. T. Baeyer: Üeber du KttaimelOl 878
SUeung vom S. Jiäi 2895.
*A, Scomidt: Hittheilangeu aber eine neue Bercchnunff de.i
erdma^etiecben Potentiala 806
*W. Dyck: Beitril{<e zur Potential tbeori& 11. Die Oansi'sche Formel für die gegenseitige l-macblingong sweier Raum- curren und ihre Ausdehnung auf höhere Mannigfikltig* keiten. Dar&tellung ali Kronecker'schc Charakteristik eineii FanktioneoBysteuid ...... SOS
Siteung v&m 2. Jfovmtber 7S$5.
*L. Radlkofer: MonographioderStipindaoeeB-OftUungPaultinia 329 K. Qoebel: Uebet die Abhängigkeit der Blattfoim von Cam-
panula rotundifolia von der LicbiintcnsiULt 381
Alfr. Pringtheim: Ueber Potenzreihen auf dem Convergenz-
kreJM und FoorierVhe Reihen 887
Sihuntf vom 7. DcjctuHr lÜOö.
R. Lehmann-Filhea: l'eber die S&culamtÖrung der l..änge de« Monde« untor der Annahme einer («ich nicht momentan
fortpttanzendea Schwerkraft 371
£d. V. Weber: Ueber ge«i««e Systeme Pfafl''scher Gtcicbongen 433 C. T. Veit: l'eber den Biweiunrnsatz bei Zufuhr von Antipeptoo 443
yachtraff gur SiUnny iH)m C. JtUi 18U5. W. Dyck: Beitrfige nir Polen tialthwrie. TI U7
GineenduQgen von Druckscbrirten
307, DOI
Sitzuns^beriohte
■«r
i'zLz- ■-•AT'^r. Akademie der WissenschaAen.
Miäihemactäch-phrsikalisohe Claä«^.
: H-rrr Walter Dtck trägt Tor: .l'^ber die Be- r::- =:--z äer Anzahl der eineni Svstem von w-iilei- •^-rzr-i: mit M-Variabeln g^iueiDsamen Wurzeln und ' ■ -irr ii-r Berechnung der Summe der Wert he. welche •r:i.r w^-.tere Funktion dieser \ari:ibelu in diesen N::!.i-:eiiei: annimmt.*
Er b-Äpncht die r^tellunc der hierauf WzÜglii'hen Ar- ■^-.'rrz. von Kronecker zu den iinsohliessenden von IMi-ard. '. -: j:bt die Weiternihmnj; die:?er UntersueliuHüjen iiu Sinne >r ur^priinjjlichen Cauohv 'sehen Tlieoreme.
Die Resultate jsind in einem SehreiluMi an Pieiird (ver- ■"fF*-athcht in den Comptes rendiis de l'At'ud, fruneuiso vuin ■ •!. Pe/.fUiber 1891 und 7. Junusir 18i^rO nieder>;t'le^t und u-rd*-!! später in ausj^etuhrter Form verüffentlii.'ht.
•2. Herr Johannes Hankk macht eine MitMieilun^: ,/ur A nt hrojiolngie der II als wirbt- Isüule; Beit ru^ zur Kut- wickelungsmechanik der mf nschlielien Körperforni,"
IPA^. lUUi.-phys.CI. I. 1
3. Herr E. T. Louhel legt eine Notiz des auswärtigen Mitgliedes der Glasse, Herrn Ludwig Boltzniann in Wien, vor: .Nochmals das MaxweH'sche Vertheilungsgesetz der Geschwindigkeiten."
4. Herr Johannes RüCKKRT bespricht seine Unter- suchungen: „Zur Kenntniss des Befruchtungsror- ganges." Ein Auszug daraus folgt in den Sitzuiigsberiehteu.
5. Herr Huoo Sbeliger zeigt eine Anzahl astronomischer Photographien von Herrn Prof. Wolf in Heidelberg vor. Genaue Zeichnungen von 5 dieser Photographien erseheinen mit dem erläuternden Text in den Denkschriften.
G. Herr ALFRED pRlNGSHEm spricht: ,Ueber den Cauchy'schen Integralsatz. **
Zur Anthropologie der Halswirbelsäule. Bfitm^r zur KoUickfluDKMitpfliaDik der iiiM&cJitictirD kürperronn.
Von JohAunes Rauke.
(Wwftlafi/n S. JannarJ
Bei der Fortsetzung der Studien zur Entwickelnngs- raechanik der menschlichen Körperform wurde ich ron der (Tntersnr-hiHig der anthropolngischen BaHvnrliiiltnisse der Scliäilelhiws') 7.U jenen der Hali^wiritelsäiile jdjeflihrt.
Hier fesselt zunächst die Bildung des Ätlusgelenkes die Äufmcrksanikeit. So ähnlicb der Bau die^e.*« Gelenkes bei dem Menschen und den menechenäbnlicben Affen aucIi irt, 80 zeigt sich doch ein mechanisch wichtiger Untcr- (»nbied in der .Stellung der im Gelenk vereinigten Knochen- flächen. Die beiden ÖeletikhÖcker des Hinterhiniiitbeins, die Condvien, welche sich mit dem Atlas in einem zweifachen Gelenke vereinigen, sind bei dein Menschen bei normaler anfreohter Kopfhaltung direkt nach unten gerichtet, während ihre Kichtnng bei den nienächenäbniichon Atfen, wie bei allen Wirbetthieren. mehr oder weniger nach hinten geht.
Bei dem Menäcben «ttebt daher der HauplkrHrnmungs- radins der UelenkÖäche der Condylen auf dem Scheitel ihrer
*) Qber wr-lche Herr Profewor Dr. von Kujiffer in der Sitznnfr der \, b. Akudemie d. W. vom 6. Juli 1693 berichtete unter Vorläge neines Baches: Ueber einige ^eHct^mäaeifie Bexiebangcn zwischen SchSdilgrDDd, Gehirn und rieiiichtaflf;haai>l. •«*>. 132 S. Mit 30 1'ii.reln. ÜDDchcD 1892. t'r. Baasenuann.
imita-i-'
4 Sitzung der math.-phys. Cltuse com 5. Jumiar 1895.
Convexität senkrecht, sodi\Sii der nach vorn und der nach hinten gewendete Abschnitt des von der Gelen kfiäche gebildeten Bogens gleich gross ist. Bei dein Gorilla bildet der Krüm- mungsradius der GelenkflUche unter denselben Verhältnissen einen Winkel von ca. 45** mit der Horizontalen und */5 des Bogens sind nach hinten gewendet. Da))ei sind die Gelenk- flächen der Condylen bei dem Gorilla viel starker gekrümmt, bei dem Menschen entsprechend flacher. Bei beiden hat der von der Gelenkfläche gebildete Bogen eine Länge von circa 28 — 30 mm. Der Krümmungsradius^) beträgt aber bei dem Gorilla nnr 10, bei dem Menschen dagegen 18 mm. also fast dits Doppelte. Ganz entsprechend verhalten sich die Gelenk- gruben des Atlafi, sie sind bei dem Gorilla entsprechend tiefer und umgreifen die Condylen in weiterer Ausdehnung als bei dem Menschen, das Gelenk ist bei dem Gorilla daher fester und weniger frei.
Der eben beschriebenen Stellung der Gelenkflächen df'r Omdyleii entfipricht die Stellung der für ihre Aufnahme im Schädelatla'igelenke bestimmten Gelenkgruben des Atlas. Der Vorder- und Hinterrand dieser (ielenkgruben ist bei dem Menschen bei horizontaler Stellung des Wirbels etwa gleich hoch. Bei dem Atlas des Gorilla erbebt sich der Hinterrand wie die Lehne eines Stuhles, während der Vorderrand niedrig ist. Durch diese Lehnenbildnng wird für die nach hinten gewendeten Gelenkfortsätze des Schädels ein Widerlager ge- schaflen.
Auch iVic .seitlichen Gelenke zwischen .Atlas und zweitem Halswirbel sind bei dem Gorilla weniger fivi ttl.s hei dem Menschen. Bei letzterem gleiten fast ebene Flächen an einander hin, während die betreft'endcn Gelenkfliichen bei dem (iorilla ausgesprochen gewülbt sind mit einem Kudius von etwa t».") mm.
*) hiwh Attnahme dir KrQoiinungfD mittelst MK'chriralit k**- meMen.
f. R**»tke- Zur Amthrofioliigü der HalmrirMnUuir. 5
Der gniixi^ Bau Her UnUwirMsHulp fiherhaupt ist t>ei 4ra rovnschtiiäünlicben A^un weit mehr auf Festi^kiMt um) StabititiU Roricfatet ah bei dorn Mtjiisohen. Äiif FW.itf- Wtt nett itchoo die tiefe /uipfenn^rtiii^e cfirr gcleDltkopfarti^i' EimrakuDK dnr rtnxKlnen KtVpvr iler HaUwirbel in eiiiundiT hei dem Üorilla w'\e bei allen Affen. Uei der menücli liehen Hr' -■ ■-' 1>uiule iMt r'ine Holfli»« Kinxenkun^ der einzelnen U ipiT in «iniinder Ti>*l norin^'er, worHuf z. Th. die
hrthi' Bevreglichkeit de« Mensehenhukeä im Gauxen beruht. Die naU*r«* cnnvi'-x«! Handrurvi> deH mpn-^rblicheri 2. HIll^'• virl*el» liat in der Mitt-e rinea KrÜiuniuni^rudiim von circa 11 mm und flocht «ich nach beiden Seiten xu noch weiter «timii ab; die KrQinmiingBciirve bildet im Ganzen, ein<io]iliei«- lieh jener s«*itlicht'n Abflaehnntj;, ziemlich penaii einen Halb- em»') mit dem Radinn Ton 11 mm. Bei dem mnnnlichen • i>rill* miwt. der Krtlnimunf^radiiM nur ca. t> mm, die KrHm- ni V.' JkI fine sehr f^erftreckte Ellip-se*): der Biijff^n
'• t'hr ftU einen Halbkreis, sodtis» dyr ubere \Virl>fl-
I xapfenartig in den unteren eio^epenkt ist. Of-r ffpi*toigert.en K<*<tii;keit der HalMnrbeUüide fotsprichl «och dü3 im Ganzen beträchtlichen- Vulumeti der cinzehiea HaU- vnri*«l Itei den ^rtv«o>en uien^ohenühnliohen A0eit (GorillBl, «Äh- raod bvi dem Memiclien gerade die HaUwirbel besonders weni^ ToIarainÖfl sind. Dieser* h'^here Voluini-n der fionllahaUwirbid i|»nclikKich für die äu.t-«iTf Betruohtun^ vor Allem in d'Mi fjttn^u kauf» ond aLarki*[itwickelten Doralbrbiätz«» aus, welche an- tSittmd «enkrei^ht nuf die Lün^iiehse d<!S Haine»« ijjerichtet Äd. Ganz entsprechend »ind die Verhällnics«^ bei lUlcn Anthro- pwlMi. Wähn'od bei dem Mnn<icben die Halswirbel und na- ■cntHcb ihre Doniforthätse (mit Ausnahme des 7-) besonders «liVB' ' '' T- , <- ' ■■[ ,, ^aJM'lfiirniig anagcacbnitten äind-, Ätil (1; liiUwtrbel bei den grossen Anlhro-
i:. Wahilh^l ein» Pombt-l
*T Siizumj der m<Uh.-phißs. Clattse wm ö. Januar l<s!Hi.
püiden besonders stark. Der 4. Halswirbel des Menschen hat oft einen besonders schwachen j^ewöhnlich ^abelig «ns- geschnittenen nach abwärts gebogenen Dornfort^atz, der sieh nur etwa 10 mm oder wenig mehr über die Hinterfläche des Wirbels in senkrechter Projection erhebt; bei dem Gorilla ragt er datjegen ca. 80 -90 nim hoch über den Bogen hervor. Der erste Halswirbel bat, soviel ich sehe, bei keinem menschenähnlichen Affen einen längeren Dornfortsatz; beim Gorillaniünnchen ist auch der zweite relativ kurz, da die Hinterfläche des Schädels bei vorwärts gewendetem Gesichte direkt auf dessen Spitze aufruht, sodass er sich Rchon aus diesem Grunde nicht höher entwickehi kann. Bei allen, welche ich untersuchen konnte, ist der Dornfortsatz des 4. Halswirbels am grösst^n und endigt, wie das beim Gorilla alle Halsdornfortsätze zeigen, in eine Art von Knopf. Huxley^) liebt als eine menschenähnliche Bildung des Schimpanse (Trogl(idytes) den gabeligen Ausschnitt seines 2. Halswirbel- dorn fortsatzcs hervor, indem er sagt: ,Aber dieser menschliche Charakter fehlt den übrigen Anthropoiden." Die Sache verhält sich doch etwas anders. Bei dem von mir untersuchten Schim- panse umgreift die gabelig ausgeschnittene S]>itze des Dorn- fortsatzes des zweiten Halswirbels zangenartig die Spitze des dritten, sodass beide zusammen eine einheitliche breite und hohe Stützfläche filr Band- und Muskelansatz bihlen. Aehnlich zeigt .vit'h eine Einrichtung bei dem zu den Halbaft'en, Lemuren, gezählten gros>köptigen und namentlich extiera grossäugigen .plumpen oder faulen Lori". Sti'uops (III.) oIit Xycticebu-; tardigradu« (Geoffr.). Bei diesem umgreift clcr ebenfalls gabel- tormig oder besser gesagt zangenartig au.si;eschnittene Dorn- fortsatz des zweiten Halswirbels .sogar die Spitzen der Dorn- fortsätze des dritten und vierten Halswirbels, offenbar um die Festigkeit und Tragfähigkeit der Halswirbelsäule zu
') Handlnirh der Anatuiiüc dt-r Wiibelthiere. L'ebttrxelzt von F. Hatzel. .S. 399.
J Hank«: Zur AntMnijtnloifie 4tr ffuftHrk-bftMulr. 7
Bgero. AufjK bffi iiiedwun Säa^retbitren koranien ähnliche inid awolianlsch fihnhch nirkeiide BiMunji^n nn dfsr HuU- alft vor. So hildnii diV Dornfort-vntzM des 2, — .%. Hüls* bei pini^vQ i^ewchickt kk-tternUen mittel- und «üd- imerikaiiischen B^^ntflnittnit (ßidelphiacuncnvom und Azjirae) ae in V i .Sinne jtemetiuschaPtlicfae ßilduD^. iudpin
HsL-Mi. ...,-.iLw Tom 2. HaiRwirhel an eine rektive htdie
aod dit'ktf. (.•4inText;«w'riIlite. iiiimifaernd geschlossene, gef^en Kopf iiod Brtutt xu abfüllende hfin%e bilden.
DlCMf b*- ' ' '' '■ ' ■ it ^M?darf die Halhn■it■l>el^iiule tier fprofliiui ui i /.um IVa^^u und Halten ihre»
«biriTon Kopfe» und kwmf in ihrer der meoschlicben auf- rechten KürperhaltunK angenäherten, wie mau gewöhnlich «Igt, halbr«M'hten Stellung.
Oie iDoiicroe Z^wlogie erkennt nis ein den Men^hen
vou den menschenühnlichen, sowie den niederen AfFuu unter-
•^ Heiidm syhtoniatifn ! "T "linat den aiiirecbton (.iang*) itn.
tM war« ein Mi ülniMa, wenn uitin annehmen
i*'>llt#, nnr der Mcnwh »ei »i dem .iiiifrecbten Uan«* be-
fikiiCt. Auch die luilhru^oiden Affen hüben dit'.si« Päbigkeit
in ftiDi|{Ci>pP*chener Wfiae uml )>euQt-£eii si«> gelegentlich, am
h««UBn verstehen diese Kunst die, eine MitteUtellung /.wischen
rttn uuil uiedereu catan'bineü Affen (den Anthrofmideu
' ^r - ' Ti ) L'innehraenilen liibbonurtnn, die Longann-
b au* Bedfirfnins oder durch Dressur da/u
gntwuugeii, «eben wir rjeJe iler Siiuguthiere den aufrechten
l'i: .^'.^..lien SkeleteiunchtoQ^enf welche äoebeii von den
gmm^n aiitbmpoiden AtlVii geschildert wonlen tind, bexiehen
wie die nähere ünterHUchuiig ergibt, speciell auf das
ivHirfnw, d«n grnjmen und schweren, an der WirbeUiule
<• R Ktrivk«' t^rhuch drr /'>olo({i<!. II. Aufi. S. M6 t. 3) WiP liiu auf den bcidun UinUirfllsuni, die VtTilerfQne in ilur l<alt. t««4b<iikif «ssfannobreitcBdeB EIophi%nt«n U«fft*a'''eck'f a. a.
^ HiUttmg tUr witiA.'pAjfi. {Iwm mm A, Jmmttr UM.
witHeh bcfr«tif<tm Koppf in der nifhr oder w«nif|t4*r «uf rechten KörperstellnnK xn hiiltvn.
Ittii (ii?n wirklich ^i- ' . ifeliKuilfA Thi'ri-n -in.» ii»r HilU'oiiiriohtuii^cti fdr d'ti -1 «in Sketid »utitif »N liei
den nienfichenfthnl)cb«n Aflen. U«n betreffenden niedmii Süujr«'tliiertMj fehloii tlic utfic1iti|{ enfwickplleu D"i
d«r HaUwiHtcl der Anthruptriden, i'lHmw wii» dem A ....*.
Uaffegen raßen bei den eigentlichen ,VierfßKsl«n»* die IHirn- fortütr^ der entten HruKtwirbel, welche bei dem MeoMben wie hei den mi'iiNrhenähnlichen Aflen diu'hzif^l^Ui'r^nil( tinuh ■bwlris ffenuigt sind, mächtif^ in die Höhe, tim den »Urkvn fliiMl.iiEcben und ninsknldwn Haltor^ranen de* Kopfe«, dimi N»ckeobiuid und der Nacken tna^kuluttir nU fmlf Anirriffn- 'ind SlÜUpunkt*' '/.u dienen. Von die^n Nackendornen «tu »piuiut »ich doM «■liLstii'che Ntickenbiuid xur HinieHlüch«* dm (2. HaU- wirbebi nnd) Köpfen. Der letxtere wird dadtirt'h. wie der QiierbulkHn «'inen Onl^nw oder eine* Krahn» -. "'! ' in dwr Spit/e der. vom Nfirken vielfnch unnühornd »euki< n jmf*
riohtenden llaUwirbflttiinle (gehalten, .le ftcbwerer der Kopf i*i. dctdo mikhli^er ?iind auch die Niutkenditmcn; bei d*ai Skeld eine«! erwAchwnen ßiwn *} fand ich die UonilbrtHät»* der ernten Brustwirbel, der Nackeuwirliel, länger hIm irgend eioen der langen t^xtreniitäU'nknovhert, «pexicJI d*tr iKimfortaaU des 4. KriMtwirbeU hat eine iJinge von 470 ntni.
DiL-s diesi! aiiffn)l*-i)de Bildung der Nacken dtirnen wirklich mit dem Tragen einen achweren Kopfes rormpnndirt, iTgilit »ich bekanntlich daracH. daj« t)ei den tieweih- oder llAmer-trvgni- d»;n Säuget hiercn ihre Höhe und Stttrke im AI';- '
deut<'ndnr er«icbeint, und daw irie einer-i-itj» hv\ Weit^cheu der Schafe, dirr llir*cbe u.a. schwach UeilMo, wäh- rend iindt>rer>)eit« dio gohf^rntrn Männch»'h, drr wi-it whwrn'rn Last des SchädeU eutuprecbeud. batODden hoch und <1ark
I) Mflnchener looloftwch» S*mmluBg.
J. Tinuita: Zur Aiiihnifwtngie iltr HidHuirbetMäHle. '*
uiiHgebililtftf Niickfiidonien autweistjn. Die DnniitirtNutxe der Üalswirt)cl sind (l>tgegen bei all den oigeiitlicli riorfilä-^ifTf^pfaün- den Siiiiu»?tliier<'n *) aiiffiilliend klein und in die^m Sinne oien- sclLLMiubnlich, nur der zweite Halswirbel hat entwiclcelu-n» An- 8»tzflucben für die elaMliach-muäkutöäeu Haltapparnte des KopfH.
Schon ohne nähere Unterwticbun^ erweckt die Hetrttvh- tung der mächtigen Hal^dornen des (inrilta und lier undern gmssen nienscht-nähnlichen Affen, Oran^utan und 55chim- pauae, den Eiudrnck, da^ man m hier mit einem den eben ge^bilderten Nackendornen entsprechenden Halleappnrat f(lr den schweren. ebenfalU seiUicb an der Spitze der Wirbel- säule, betWigten Kopf zu thun habe. Entsprechend der halbrecbten Stellung dieser Affen konnte ja der Ualteapparat von dem Nacken auf die Halswirbvbäule verlegt sein: das ist die Frage.
Wie gesagt sind die Domfort«4itze der Rückenwirbel bei den Anthropoiden relativ schwach und menschenähnlich, duge;{L>ti bietfii die Durnforlmtze der Halswirbel die iiOtbigen AngriffätlÄchen för Ansatz oder Ursprung der müchtigen Band- und Mu^kelmassen, welche nothwendig sind, um den gewaltigen Kopf, trotz seines, wie wir sahen, seitlichen An- satzes an der Spitze der Wirbelsäule bei der hallirechten oder aufrechten Kürperhaltuug des Thieres beim Gehen und Klettern mit parallel zur Bodeiifläcbe gerichteten Augen- achsen geradeaus vor sieb hinsehen zu lassen, ganz äbolicb wie letzteres l)eini Menschen der Fall ist.
Dm die eben ge«tellte Frage nach der mechaniKchen Bedeutung des Ualsdornenappamtes der Anthropoiden zu bJsen , t^ibt cfl eine einracbe Betrachtung. b»t die besondijre lirÖssenautbildan^ der HaUdornen bei den menHchenähnlichen Affen wirklich eine mechaniitche Bedingung fQr die halh- rechie oder mehr weniger aufrechte Kürperhaltung, ao muss
>) Atunahmen s. oben S. 7 aad onten S. U, Amnerkaog.
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Siümi^ ifar mmtk-fitf* iXum» am S. Jmmmr /«U
flie Hich bei alten Tbtrr«D tin<tini. <lif Mh <lftHa ilaa moMrbprj* ähnliebrn \Wvn fthntich TcrhAlirik, dufcpgvn ()#iim f^tili'n. weJcben die mehr weniKer anfrwhl«' Ki^rfH^rhatr'in»; firhll.
Dm Obar*kt(tn*tiM*bt> rlrr U«M(tru«nbil>lunK <it?r Antbrti- {widpD befii«bt darin, da« im Qpt(on*utx t^t^f^rti «Im b«i dtmi Meufichen, wie bt»i der ßb«rgm«im Mohrubl aller ^ tbivrc, beMU'hcndr Vf>rbLltniM>, daM di«* r>t(mfiirUib»> ht HiiUwirhtfl kflrrpf ftind at» dif> Domfortalt»* der Hra«t«rirbelf bei den Anthropoiden dugegeu die HnulwirbelilumforleMM klirz-ff nnd aU dir* Hal*wirl>rldr»mforUfttxe.
Bei den n»latiT l(leinknplif(t.'n Oibbon* im'l df-r Mehr- mhl dir tiirdt*n.'n Afftr» di?r alten nnd neurn Welt lNe«t*»ht invotem eine Annäherung an di» HaUdornpnbildong der Aa- thnipoiden, ab die l><in.r der HaU- und der Bru«t-
wirbfi wviiig an (JrÖme i. .i-den «ind, vielfach iind •»-
gar die Halsdomeu etwa« liin^er. Gs stimmt da» in dem fragtiehen Sinni* mit der ticlien^^i-wohtiheit der ni«<leraD Affen gut abf>nnn.
Unter den Urnitiren'l (filrt v» aWr ein ThiT. «i-lchiia vielleicht in noch hObprcm Grade als irgend via mrruwhea- &buliclii>r Afftr w üi-bt, einr j^nnx odr-r bilb anfn^rbtr llumpf- haltuiig anzunr^btaen. fis ist da» drr LicbMiiutti» Imlri lir^ilT., der Mada^awische .lagdafle, weither t^em and vnt aufrecht ^eht and, namentlich in Hinhlivk aiifdi" 1 der ßeiue nnd Arme, eine auffallende M xeigt, nur dnr kl«in>* Knpf mit d»rr tti n. n. a. paaat nicbt sn di«Mi<m ICindnicIv KtJpf «ebt da» wunderliche Tbior uniiy. wic Puppe in l'elzkleidi'rn üuh. Obwohl nun der Kvj, : )io
KOrpergrAve verhältniMmäsKiR klein und wenig roluminfl« ü)t« sind Iwi ilimi Indri doch die HaUJonieo Iftiiger und breiter ab die Naokendnmen, tmil entaprwheti In dar Knrm
-il -«•hen vom
*) Uebor deti faalra tx)ri i^ «ben 8. 0.
J, Hmxkf. Zur Anthmtyd(Mjif tUr UaUwirhtlnäHh.
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wcitffchend den IJoniforteStzen der Lendenwirbel. Vom HriUen Halsn-irlicl &n iiiniint die H5he und snKiHnle Rrfitn winer HH)mlttrn>-n hiü zum .siebenten HHlHwir1>el tu, von da, vom erstt^n N«(>kpnwirbel an, wieder ab. sodftKs der erste Nftckenwirbeldornfrtrtsatz in Grötö* und Form etwa dem vierten, der zweit« nud dritte dem dritten Halswirbel ent- sprechen; Tom vierteil Nackenwirbel un bejjinnt die typiwhe dachÄiejfelfnrmiijf A Kw-rirtHnpitjun;; der BritstwirlM'ldornfortr- aätze.i)
Cnter dt;n ViigKln ^ibt e» eine ADxabI mitrecbt sitz^Mider und gehender Formen: die Pin);(uine(Apteüod_vtes). Eistiuicher- (Oülyinbuii) und SteiNjfnüts- (Podiceps) Arten, auch bei diesen findet sieb eine entsprechende Bildung an den Hnlswirbeln. Namentlich die Pinjjuine b<A«itM'n im Ge^ensnt/ gej^en die mit horizontaler UumpTbaltung gehenden und »it/enden Vtigel wie z. B. die Uuhner und (Jäuse u. v. a. an den oberen IlaU- wirbeln aUrke DornfnrUttt/e neben noch anderen zeitlichen knfK^hemen Halteinriohtungen, welcbe der weit (iberwiegenden Mehr/abl der Vögtd fehlen. Eine Andeutung davon /.eigt äicb sonst nur noch bei sulehen Arten, bei welchen der HaU einen ganx besondent schweren und gro:^eti Kopf auch an- nähernd aufrecht 7.u tragen hat, wie Bueerns. Alcedo. groüüo Vultnr- Arten.
Au.<i dieser Umiichau ergibt es sieh, das» die üben ge* stellte Frage im bejahenden Sinne beantwortet werden ilarf: die mäuhtig entwickelten HalKdomen der grossen Anthropoiden sind ein den Nackendornen der eigentlich vierfü-^ig gehendpn Säugeihiere rnt.?prechpnder Haltrapparui filr den schweren Kopf« wftk-lier im mechrmisiheu Zuäanimenbung mit der
*) BdetkwUrdi^crwt^>ie-- timlet -ich ADoh bei deu oielrij^tflu SAugetbiercQ. üeui SohuiilfL-lUiicr aail dou AmeiscniKel, daa VerhlUt- oid«, dusH die Halfdornfortsltze iKnger aiud ula die ÜrD^tdoroforta&lw, ßffentiar auch, wie bei cinigeD der oben erwAhoteu Vügpl: Bnceroi eir , lar Holinng and BewL^KOOK ibne relativ Kfaweren Kopfes.
sie sich bei allen Tbiereo finden, die sich ditrin dnu tuensdieu- tthnlichcn Atfcn ühnlicli wrhiittj*ti, dnt^cgrn dnann fohlen, wttlchrn di« mehr weniger aufrechte» K^rperhaltiinff f«hlt.
Das Churakterit lischt* dt,*i Halsdomenliildunti dor Anthn»- poidon bmti'lit dann, f\iv*n im Qe^ennntz i^e^^n doH bei dv*ni Menwlien. wie bei der nber^owen Mt*hr/.ahl aller SSn^e- ihiure, bestohfndt« Vprhftlliiifis, daw* die Dtirnfitrtitütxo der liaUwirbfl Kiir/er sin'l hIh dip DornforUat/e der Brii-<twirbel, bei den Anthropoiden dagegen die Brust tri rbid dorn forbsKt&e ■ ktirKer niiid als die HaUwirbe]d<tmfort6itt/.e.
Bei den relativ kleinköptif^en OibJmn»* und d«r Mehr- mh\ der niederen Att'<*n der alten und neuen Welt beettebi iosofem eine Annühurting an die Hnisdornenbildunf? der An- thropoiden, alfi die DoniforUätxe der IlaU- und der H' ' wirbel wenig an l9rfiM>e iinlenH'himlen sind, vielfiLcb »u\>\ gar die Halwtomen etwa<( länger. Ks )ttimmt da« in dem fraglichen Sinne mit der Lebeusgewohnheit der niederen Affen gut nberein.
Unter den Lemuren*) gibt e« aber ein Thier, wHcbe* vielleicht in noch höherem Orade alu irgend ein menschen- übnlicher Affe es lipht, eine gttn/. odiT halb aufrechte Kunipf- haltung unziinehinen. E» ift da«> der Licbanutus In^ri (ÜKiff.) der MadagaiwiAche .lagdaftn, welcher gern nnd gut safreebt gehl und. nanienttich in Hinblick auf di«* I.ring'tiprn|KJrtiüDeB der Heine und Anne, eine auffallende Mentichenähnlichkeit xeigt, nnr der klein»* Ki)pf mit der thien.Hcheu ScUnaiw^ a. n. a. paast nicht m dieeem ßindmuk. Abgesehen vom Kopf «ieht da« wnnderliebf Thi^r «an« mt> eine um ' ' 'n* l*uppe in Peltkleidern au?i, UbwMhi ut«n der K<i| iw
Korpergrüsse verbat tniMmil^Aig klein and wenig votumm&i ist, sind bei dem Indri dorh di« Halfldonien Ifinger und br«it«r aU dit» Naokendornen. nnd mit»preehen in dar Ponn
>1 Uaber den faaleo Lori «. ob«n S. 9.
./. Rnnke: Xur AnthmpiAntfie lift Hnlmvirtuhrmlf.
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«»it^Mhond dwn Oornf«iii«ätzpn dpr L»»ndcnwirbfll. Vom 4nttea HAUwirhol An nitnini di« Höh« und äaifittale Brfit" •1 biß zum mohentoD HaiHwirlitr) zu. vnn du.
t^j- - -tnwirbel an, wMer ab. sodüss der erst*
lf*ckenwtrb(<Hornrortä«bc in Oriissu und Form atwti Hera tMstvn, d«r zw^il*' und dritte dem dritten Mal«wirbel fnt-
^r--*' : " *■) vierten Njick(*nwirl>(>t un iH'ginut die typiscbt-
<i.« n^f-* Ahwiirt«n«i};iinvr der BnistwirbcddomfoH.-
t ' \ ögrln e^ibt Pü eint' An/jihl tiurrethf 8it/:<'ndpr
uiJ c Kürnifn: die Pin^ninn (Aptt;nod>'teä), ICi » tauche r-
iibtit) und 8t«i&MfusB- ^Podicep«) Arten, auch bei dietien
t>. ^ &Uw «?nt^rechende Bildung nn den HkUwirl}«!».
N h die Pinguine !»psitz**n im Gei^etisit/ geg^n die
hl Mittler Knmpflialtun)^ gehenden und ritzenden Vögel
wu i. B. die Hilhner und (lünw; u. v. n. iin den obttren HuU-
' •* Dornfiirt.-iiiiy.e neben nocli anderen seitlichen
iilteioriihtnugen, welche der weit überwiegenden
Mrhr/Jibl der Vtlget fehlen. Eine Andeutung davon xeigt itich
nnr nüch hei j<ulchen Art«n, bei welchen der Halfl
-4...-.J jTBOX besonders bchweren und gro!>»on Kopf autih un-
Dihernd aufrecht zu tragMU hat, wie BiK^rot«, Atcedo, grutme
ToJtur- Arten.
Ao» dieKer l'ui-^hau ergibt es nich, d&^ die obfii ge-
<itellt4? Fnige im iH'jiihetidfn Sinne beantwortet werden dart':
di« oiEchti^; entwickelten HaUdomen der gr<>*«en Anthropoiden
len Nackendomei) der eigentlich vierfftsüig gehenden
c^ti^'. re enUprecbeöder Halietipparat Mir den sdiwer»'n
Knpf» weU'her im mechtinisrhrn /uMimmenhang mit der
'; Uflrinrftrdigwrweiff tinitct «-ich aacb Wt don niedrif^f^Uia äia^ÜiicrvB. dirni öchntkbelthier uod dem AtneiirnJKel, due Vrrhilt- ftML, da*» die nuUdoniforteftUH l&nf{vr (tiiid •«.1« die UniMtdornfurtBiLlie, iiBmtiai anob. wi« bei einigen der nbna erwilhnlcii VA^el : ttucero« fU.' , lor Baltaair aaU ncwvgunK ihm rolativ achwren KopfeH
12 Sitittnfj 'Irr math.-jthttn. (Jiajut- tiom fl. Jitimnr ISS/i.
mehr n^er weniger aufrechten Kuinpfhaltuiig der böchifteu Afien iiuf «Jie HnUwirbylsUule r(»rlegt wt BU-r findet tävh i'inc L-nLKprcchendp ^^ktiltj^ti^iiirichtniii? bei nllfn xivU HiifnKiht haltenden SVirboIlhierpit. Die Rrtiftsen HuUwirbfldoruen er- t^luxen sonach die /.«»^rst i^wchildHrten knrtchi*nien Kinnrh- tun^en xnr Kopfhalhinir am HaU ih^r Anthropoiden, wofür Hin Schädel goUwtt dif mächii); eiitwi('lc»<lu*n Aii<iHt7.flächt'n um liiuterhatipt mit dem Hinterhauptkamni »n der olmren Grenze d(v Hinterhuupt^ctiuppe u. a. zählen.
Aus dem Ge^^a^ten Reht hervor. daB9 die mehr nder wenij^er aufrtichte Kurpt^rhnthjn^ drr AntlirojHHdeii, in wel- cher nmn in älterer Zeit nianchnml eine Art von üeber-i gang zu derivpiHch iiieiiHchlicIieii Kurperlialtung linden wollte luechaniFch auf principiell TLtrwrhiodenen Ursachen wie letztere beruht.
Dor schwere snitlich an der WirbeUaiileuitpilKe l>efe!ftiirl** Kopf der Anthropoiden wird dnrch elutiKche und M(i»ke!- kräfte iu seiner bei der halbi-echten Korperstellung horizon- talen Lag!» gehalten, die aufrecht« Knrperlnilinng wird hei ihnen mechaniMth erniüglicht durch eine nanientlieh zwischen Hinterkopf und den DornfortiütziTn der Hal-fwirbel itpeoifisoh entwickelte Haltevorriebtiing ftir den Schä'iel. ft'ir wclcbe|j abgcseheu von den eUsti.'*di-muskul''wwu Apparaten, speciell«* 8keletetnnchtungen (ain Schad»! nod dnr tluUwirht'tsrmle} vor* banden sind. Die unfrechte Körperhaltung der finlliropoiden Aifen bernbt sonach /um gru«^en Theil auf Muskelarbeit.
Bekiinntlich i.-t da» ruKchuniM'.he Wrh%ltniHfl dur Kopf- haltung bei dem Menschen ein andere«.
Oie Verbindung^tetlr des Kopfes mit der Wirbei'iäule i»! Irekanntlich an allen Schädeln dort, wo du» Itnckenmnrk an« der Scbiidelhnhle dnrch das grosse Hinterbanpt8loch, Foramen magoum, aus- und in die ROckgratHh'ihle eintritt. Zu beiden Seiten der Vorderhälfti* dos üintorhanpbtluchra befinden sich
J^ Rattket Zitr Anthmjtftitu/tr. thr Italmcir^ieU^Utlr .
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li« Itridasn oVieo IwHproohenen coovexmi 1iet«nkhi»cker. die GoodyleOt tMX VerbindiiaK dw Sclmdels mit dem t>rHton HhIb- »irtjcl, dvni \UiM. Hvi dtjiu MeiiHchen »hen ntin, wie fcenfft (S. ;i), die (.lel^nktlächf^D dnr Onuiylen liei normalfM*. biJTtfonUüfr. K»tifhitllun^' direkt nueli nnt«n, während ^w, vW wir n>>im sahen, uuefa ttf>i df-in fforill», dem tnensohen- 3inlich»tea ^^Seu, wie h«*i allen anderen Wirl't-Ithieren bei iet nomiHlfM, d. h, fOr die Äiithr"{Kiideti mich horiÄonUiIen C'ipfb&lLnng iiftüh hinten ((ewendet wind. Ist der Menschen- ^bifcdid an dieser Stelle iifiteri^intzt, so genügt imiiliwei^Iirh ein
M •■' ^t TOM Kraftnut'wiuid, um ihn in «einer für den lehcndeji
V> inirraalrii litihesk'lIunL; au »erhalten, während ein
Gnnllascbädel dabfi nach vorne herabsinkt. Der uiechuniRche '■ ' ' "' int hekunntlicli der, diws das Korfirnrn iniii;nuni iii .jrlen U-i lieh) Mens<:heii -«ehr uiinähernd in die
MiUif der Hoterfliürhe deo Suhädelü gerdckt iftt, soda»» bei ' cblfr rnterstfltzunif der Condyleii der i^cliadel mif diesen, -.- om Waf^lmlkcn auf i^einein Hypomonhleon, im Gl'>ich- Ifewielit xii nihen vera)n!jr. Lu" Minimum von Muskel- utid eUaÜMcbiT Spannan(( ^enü^t, um dieftc Gleirh^wichU^U^lIung ta erhalte '' 't kann die Hulfüwtrhelsitule de« MenMchen tn<iv drs 1 :,;< ti Ko|tt'e^, den lie zu traf^en und /.u li.-ilten
Ht, 90 fichwacb ann« da» diem^x YerbaltnitK aU ein henon- der» --<■ für den Men^clien schun den alten Anatumen«
1 R .. i.M»), auffallen uitisate.
l'*u menncheuäbnlichen Aßen, wie bei allen anderen
(.hiervn ixt dHgi*}{cn, wie ich wiederhole^ der Knjif an der
' ''. ' ' iiile nicht halnncirt. *oudern an ihr zeitlich
allt'iniyur honkrechter l.'t)terstüt/,unj» iler
Heil d«±r ('ondyleD fiUlt daher der Kopf, bei horizon-
tj :• r noriOKlen Kürperluiltunj; der AuLhro-
,. i .. ,..,,. ut'H KurpenrtellunK enUpnrht, niii:li vuriif
wenn vt nicht durch eine KrulY ((ehalten wird, welche 4ir^li««irre da« Kopfes, eiDj<chli«HHlich der h«i («olcher Stellung
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Sitiunff titr mathrpkyt. IUomm ivmh S^ Jtimnir Ih90.
Bei der FonoHnMKiistiiUunff des Schiüiula der Vertebraten sind wes«ntUcb die Kwei Or^ansy«teme betbeilifct. welche Überbiiupt die ^ettanitnt« Köriwranggestultiing beherrscben: düA Kervyninistem und das Uarin»yi«t«iii . von »^rsterem au- uäcbjtt , und für den Metu^cheu immer flberwiegend , du* Gehira, vuti dAoi »weiten die Kaiiwerkxeuf;^. In gegon- äeiii>{er BeeinfltibsuDg ^estaltoti (.'iDerdeitt* da» Gebirn mit !>innesorgiHH.Mi und andcrprsoits (ii.' Kun Werkzeuge die spoci- tische Scbäilelforui.
B«i der ersten Anlsjaff* d(>r doHnitiven äcbüdelfurui iitfc bei nllon SüugiTD, witi t*i;{ciitlii-li liei »Iten Verlehntten, d«:* furni- giwtalteode Prinzip da» (icbirn. während der Eintliis^ der Or- i g»nf* deä Darni8yt4t«ms am Kopfe, der KaiiwerkKeage, sebr zurGckiritt. Bei der ersten «nibryonulRn AiiKi;i*:4t;jiliuni; des Kupfe», HO lange die.'ielbe nuch nicht •^tHrkor durch die Kau- werkzeuge beeinfluBtt wird, dind bei allen Sriugetbieren diel Bildun^verliültnisBC des Kopfe« und seineH Schjiik'lgrundes in M) hoht^ui (irade uienM^henühnlich. das« man fUr manobH. Fülle itogar üutt von Idenlitüt retlun konnte. Üoi eilen J Säu^feihieren gebt die nähere Ausge^itiiilfcunK der KnpfYonnI von einem Stadium itiis, wehrhe^i man uU antbropioe Kopf-I fnrm liexi'ichnen iJarf. .lene nd. frHhe antbropint* iVriode int] dadurch charakteriflirt, da« unter der stärkeren B««ein-| fluittuni; dtir VVucb.Hthuuutenergie der Subädelbusis durch dw* libertniichtii; wnchnrndu Ciehinii dftr dimn noch weich l)eweg-' liehe Scb&delgrund in der Oe»ioht«kopf beuge eine Mcbaife Abknicknng unguflhr in der Mitte der KclufleJbaci» eriabr Die KniekungsdeÜe eulKpricbt im All>£emeineu jener Knorpet-j fuge (äyuiphyu« ••pheno-banlaris), darch welehi; der Baatiar-J tbeil de« Hinterhaupt^bemea (par:< ba^iUris oa. ooc.) ratt d« Ktii'per d«*t KeillwiiiH, wie l(. Virchow »ehfui vor mehr nix i'in«>m Mt!nM'hrnalt4>r bewit>xi'n hat, itncfa noch bei Neu-, gebnrnen und jugendlichen Individuen bis /u einem geniJMfi Grade Iwweglir.h rerbundon ixt. An diisipr Kugru«((«lte ist
iF. Sitinkt: Zur Anihmpoloffi^ Arr HahttrirhptMmÜp.
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(w ^OTi Sftngpthii'renibrvünen wie Iwi dem anfteburent^ii U«n9ch*>n Her Baatlarthml d«K Hinf^^rhauptelwin« gegv>n den Kurpcr dw KmlU-in« winkelij^ abf^eknickt, ein Verh<iii«i, «'i'leh?»' bpkannüicb Virchnw aU Satt«lwirikcl messpntl ver- ! h\^.
ti«i dem Menseben bleibt nun dieRen embryonale Ver-
jhäJtniM Kftfartfnd der KA»zeii Kntwickliinur!<rt^rii)dr ^ich w*>Di^
inmiindenid vor der <ichurt bestehen und erhält :<i(;b aur.b
DftebrnibryoDiilen Leben nicht nnr, sondern steigert ^icb
döffl «tttigenden Wacbstliuni des Oebims ufich weiter,
lie Knioknniir der Scliiidf^lbodis bei dt-m Erwachsenen
Üch «Uirker iflt hIs bei dem Neiigeburneii und wie<ier
^ priniüren embryonalen VerhÄltnime erreicht. Bei der
I Kopfhilduiiic de« Men-^ebna bleibt jitjch in den »:pilteren
(iHidiea der einbryonuirn Entwicklung, in welchen ^ich iiuclt
]bttiluD dcrnrngestaltende EinÜnss der Kauwerkzeuge (d. h. der
Otymicruppe deti DarrnNy-'^ttmis) iu (^e.'tteigertem Miiusse (geltend
RMcht di« primär fOhrende Rolle dem Gehirn gewahrt, die
ScbUelbania bleibt geknickt. Bei der Kopfbildung der
iThiffv wrhen wir dingen bald die fnbrende Rolle von dem
\m aeänetn Wach^ithnm relativ -/urürkl)leibendcn Oehim auf
|4ir Organe des DarmsTsteuu, die Kuuwerkzeuge, abei-geb4?>n.
IOmpm letztere Verbalten, vrelchB» sich schon im embryo-
Leben (geltend macht, tritt immer gniller hervor Lin
' • -■' -nftlen Leben bis xur Vollendung d*» Schädel-
Difl Knickang der SchitdelbaaiB int Wirkung dea (Ibermäch- ihimwB« I auf diMi Srhüdelgrund; tritt dieser ge-
: Eiofluv [_ Ulms mehr und mehr znrdck, indem die I Niitir» GrOa»edee (jchira» (raup, der HirnBcbadelkapael) immer I Tcitcf gegen die fortgi**ct«t gesteigert waclisf^nden Kanwerk* ■ ^■* *(rhäd*d) zurflckblcibt, bü vermindert «ich die liitdtiUiti^iH niffhr und mehr, ht»d»*r Verlauf ihri»r [ «i(ptt«]eu Mitt4iilinieKub'txteib vollkommen gerader, gestrAekter
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SUauH^ dvr math.-jAi/a..CtaMt miii A. Jamtar lifitß.
wird. Bei den niedere» Säugelhieren ( Pferden , Rindern tt. r. ft.) biegt sicli »OKar in der HinterlmupUkein>tfiofiigfr] der hintere Ab*ichnitt der Schiidellmsin. im umgekehrten ^^inne wie der Sattel winke!, nach tiufwärb^, einen auch oben ofleTien Winkel bildend.
Das meobanische Verhältniss dieser Abknickung ist imi Sinne der bekjknnti*n Hii»'Hohmi Tbeurie ••infiich %u verat^ben- Wir wissen z. B. hii>' dt'n l*ntcrr;uc.hiiof?4>n KOdin^en« über die Kntetehuu^ der Bo^'e^g&I)^ iin Labvtinth und ai» Büdeieu Ueobiichtungeii nndir mttkr<Mjkn|ii»clißr Art r,. B. JUmt die Aitöbildun}; der einlirvonalen SchwiinzkrlliumunK« dai««, wenn von zwei mit einander verbundimen nlastiHch l»ewoglieben Scbio.bten die eine stärker wiiciiitt, das im All^iiitiimoen zu einer convexen Aufwärt-f^wtilbuni^ difwr »türker wuchtiendcn nnd zu einer concaven hjjnkidnintiin^' der im Wuchsthuni y.urQck- bleibenden iSi;hichto Hlhrt. Ut die im Wmdistbitui xurack"] Ideibende Schiebte, wie in dem vnrlief^enflen l*'nlle relfl.tiv | ätArr, nicht im (-tun/i'u e)iuri.iM;h krtluimbMr, Hi)ndern nur] an einer Stelle gleiehntim wie iii einem .Scharniere beweglich. M) erfolgt, wie eine einfache Deberlegung lehrt, keine im . Allgemeinen eoncave KrUmniiinfZ, Mimdeni eine nmh der schwikher waclieenden Schicht); hin utTcnr winkelige Ab- kuickong. Umgekehrt, wenn da» Wuchdtbuui der ftnf&ng- lieh rttiirknr Wfieht*enden Schir.hii? tueltr und nttdir vnu dor itnfänglicb M-hwächer wachsenden Schichte eingeholt und ichliesitüch UbertrofTen wird, mj gleicht «ich diw« Kotckung wieder aun, die den Vrrl»af r**prä»eatirende MittelUnie der I anfänglich A:bwächer wachM>nden und duht-r i^iiitjeknickten | Scbicbte Atreckt «ich endlich ^e^Iwie imd wrna da« Vi^rhält*! nias der Wacli^ithumifenerfoe in den l)etdeii bt^rnffenden | Schichten sieb tuukulirt, ao tritt eine Knickung in der eot-l gegengttHetste» Richtung ein.
An« meinen ecbon eitirten Unienuehungen Qber denl ScbSdfllgnind bat ^cb mun icahlreiuhen Mownngpit ergehe» J
J. Hnt»km: Xir Anlhntfu>U>ffir Uer UnlmrirbrUätiU.
19
itet* j« grJW««r ini Vt'rhiltniHt 7.11 dem tlbri^en Schäflel die tlimk«p*«>U r*«p. »lax (üese prifillende tiehirn, ist. dass um m mf*tiflc-hetiäbniiülit<r die Kniehang der St-büdeLbafliti ist. Mit ' iiftlime dct* <^^birijs xuin ■ie.^AniinUebÜ'iel knickt h, wit- bei dem Mti^ascben nticb dtT Geburt [leicbt fwrhwetslich ist., die Scbädelbusiß in der miit«rba>ipU- Ikpr" ■- liiindnwis spheTudia^silari.«. lun m Ktürker
lab. . .„i.uu Abaabnie dus Ot>hirah im Verbältnis^
SDiii 6raaiuaitju:bädel . wie dait in immer !«t«i(;endeiii Miuissf-
\-wh btii Anlhrupoideit iini] alten anderen Säugetbierea auä'
hil^-' :*' i'bt «cb üiwserlicb die Knickim|Z inebr und mehr
I au- 11t »tdilictnlicb in die witj^^t^engeselyti' Knickung Über.
8ri xeigvn auch dit* Snbfidel des Oorilla. des Orangutan. den
' 8e^ ic.h,s*ni'n /tisbind. wenn *irh die bei ibnen
UK .. ...„, üiieren priiiiilr tj^piscb inenwhliebe Scbiidel-
[fino TolIkorpnieQ io dif Tbi(*rfiirm lunifebildei bat, äust>er-
[lifch einen borixuatalen fläobenhafteti Verlauf der Scbädel-
' httaii. K» gibt «icb du» beHOudfM deiillich im der St^illunf?
d« |)«Nilttrtbeilf> dw UintitrhHU|it.b«ii)«, pars ba>iilH^i•io■'^«iHf>cciJt.«
m vrlcennen, welcbee «icb vorne dnrcb die erwäbnte Knorpel-
V. wji? ({rwiigt in der 'In^piid benfgÜeb, mit dnni Körpt*r dos
verbiodi't nnd nacL biitU^n den Vorderrand deei
Uint^haupUocheü bildet.
Üd dtrr Sachen f^estreckten Lage de.« BiLsilurtheil« de»
Rintirh ---" •-i-* rückt »onacb das Hinlorbaiiptbicb — wie ein
nii«k s liematiM-he ZeirbuiiuK 8. 20. Pi^.2 u. la (ebrt
— wa die i{flck.«t«tte des St^bädclK; mit einer nach oben offenen
Kr ' L^Ibasi^ gelanjft das Hinterbaiiptif'cb ffan/.
•R' - - > Kioterhaupti^. Mit d*-m üburuiüchiig ^icb
l«ni ><n Gehirn. web:befl die Scbädulbn'iä'i in einem nach
liinten offcueu Winkel abknickt, gelangt da& Porameu mugnum
lovikf auf diit l_*nt<TMvit«* des fijcblUlels und rückt Kiidlicb bei
MvuA'brn in der /«it. in welcber er iHiif'en lernt, in
• typiKli ctfiitnü" Sl**Uung in der dobildeibuHis ein, Fig. |.
2*
20
SÜTMnf 4fr math-pHp». Clmam wtm S. Snwmmt IflM.
Man kuin von 4i«Mnii mrchAninchen Vor>^|{ Mebt «ine »cbenmtiwJie Vorvipllmifr R«vinD«rn, 0«h*»n wir TM eiiiflr mro- -' 'lE^liflkainel, Kiif. 1, u ' ^' hUdal*
buii wir ' tiamior in ()pr HinUrrt :iiir» f
h<>w«glich ((Hmiwrht b«ber) ond nehnndon t|U9r ein kcnliT^r 8tflck hermiw (die Schnf^id«* dinm K«iU «n d^r iStilifnob%*>i)«r-
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fvige, dt-n tireiUn ojitvex Ton dem lM*trp(f<pnd?ci AunchniU «t« tkliiidelilucheit lwgrfin/.tfin Theil noch obenl, k> k&i)D*ti) wir in dem Scharnier der SpheiiabiJiilftrfuf^ d«ii Mch di«Mni Acw- ftclinitt nbrig bleibenden Torderen und hinteren Theil «fi StrhttdeU an einander le^en. Ich hnhe di(^ firAwe des «u f(cschnitt«neTt Keil« k> gewählt, dan d«r Qbrig bleiljeud« Uir rntini der Schüdelkapttel dem einefl «nruliwnen münnliehan'
J. Hanke: Zur Anthmpolwjie der Haltimirh^säule.
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{jurüJa entspricht. Die direkte Beubacbtung ergibt nun, dtu» diircli die eben bt^cbiieheiie Aneiuanderlagerung der beiden KojttMUcki? der verkleinerten Schädel kupüel die Schädelbasis tluch ii^elegt wird. Der basilurtheil des Hinterliuuptbcins legt sich flach und da^ Hiiiterhauptluch rückt au die Hiutenüeite de» Schüdolä. Wir haben damit darch entsprechende Verkleinerung I Himraumes, enUprechend einer Verkleineruit^ des Gehiroa ,bät, den MeiischeiiächÜdel in ße/.iehung uuf die f5teltung des Uinterhaiiptlochs in die typij»cbe Form des Anthropoiden- »chädelä (Gorillatichädel») uing&iUltet (Fif(. U). Die Schädel- basis ist bei den nienäclieuäbulicben Affeu (Guritla) nicht kleiner und kürzer, sondern im Allgemeinen sogar etn'as grösser und länger als bei dem Menttchen. Setzen wir in uosereuj Schädel modell den auHgeächnitteueii Keil wieder ein, no rückt durch die damit erzeugte Vergrössernng des Gehirnraumü det; Seh&dela, resp. durch die relative Vergrösseroag des liehira« im Verbältniss zn dem Ge^ichtsschädel resp. den Kauwerkzeugen, das üinterbauptloch wieder iu die für den Menschen typische centrale Lage in der Schädelbun^ ein- schneidet man in ähnliclier Weise, wie wir das bei dem Menschenschüdel gethau haben, eine Schädelkapsel eines menachenäbnlichen Affen (Gorilla} iu der Mitte von rechts nach links i^uer bis znr SphenubasiUrfuge durch, die wir wieder iu einem Scharnier beweglich machen (wie Fig. 2 demoDätrirt), und setzen nun den aus dem Meoschenschädel aua^eachnitteuen Keil, um den Gehirnraum des Ajß'euscbädeU dem des Menschen gleich zu machen, in den AfTeiischädel ein, so wird dt^r Hinterhauptstheit im Ganzen nach abwärts gedruckt, der ßusilartheil d^ Hinierhauptebeimi knickt sich in der Fuge gegen daa Keilbein ab und das Hinterhauptäloch rik'kt damit in die ftlr den Men»icben typische centrale I^age _ au der ächädelbasis (Fig. 2a); Wir haben aus dem Affen- I Schädel, in Beziehung auf die Steihmg des Hinterhauptaloches, H einen Menschenschädel gemacht.
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Sütitnif 'ier math.'jih}f$. CttJUme vu» 5. /aniMr ISOS.
I>nx,i iler GoriUaMthadt*! darluruh im Ganzen nie luünschenäbnlicher auswicht, beruht Hnrauf, th\s>i «eine coIt entwickelten Fre!?swerkz«iii*e Ihierisch voratehen. Bei d«! mondchlicheii Schädelforni komml ^bt?n nt'b«n der über* ntüchtif^on Gebirncntwicklungf Makrocncvphalie, noch «twi Andt're« in Frape: eint> typisch*^ Minditrentwicklung der Fre* werkxeiige. ome ^xkretiiu Mikrogiiatbi>', welche »ich ?.. darauM erklärt, da« bo) deiu Menschen ocbon in einfr rvUÜ sehr frUhen Periode der embryonalen E^ntwickluiiK die Nähte Äwischcn Ober- und Zwischen kiefer vprwBcbsen, auf deren Olffn- bleibeti auch im nacheiubryoualcn Leben bei dpii SÜuijetbiMr.it etwa eben») die Möglichkeit eines ((esteigertcn Wacliftthuii der knijclicrnen Fn-Äswerk/^jutfo beruht, wie da* riachembrv nnte VVuchsthum de'^ Qebimsc.hridelN mit dem <iebirn bei de Menschen durch das Offenbleiben der Himschädelnfthte ni lieh wird, in cioer Leben« periode. in welcher bei den Thicrei aach den antbro^miden Aö'en, meist liin|^ schon die Verwac .-<ung der HiruMcbädelnühte') erfüllt ittl.
So seheuiati^ch die eben gegebenen Danttejjuugen Qbi di»* ursächLicben Momente fllr die Ste1iiing!<ver}iebiedenhei de» I)interhHHptl<H;h^■ bei dem Men^bi'n und den nienMcbui ähnlicben Affen (sowie allen anderen W'irbelthitrron) aud erscheinen mü^eu, bo (^enOgeu sie im Zusammeahall mit d frnheren Kr^j^rbniiwen der ünU>rt(iichutig n1i«r den ' grund, um den Hüwci?; zu liofeni, dos« die centrale " . :-^. dm Hinterhauptinchs hoi dem Muucheu mechanisch beiÜn; i^t durch die den Meniicben cfaamkterimrende tiohirnun wiokeluug.
Auf der centralen Lage d&i Hinterhanptlochi* nn di Schädelbuttiü, d. h. der beiden seitticb von thm «lebend Gelen khikker de« ScfaideU. der Condylrn, welche mit d Wirbeltiiiule im Atlosaclenke »ich verbinden, htrubt a
<; J. Rufiko, i. c. ä. 46- ff.
/. Ranke: Zur AttthrupoJw/ie der Haiswirbelsäule. 23
mechanisch die Mi^Iichkeit der mühelosen Balancirung deu Schädelü bei der aufrechten Körperhaltung und damit der trpi^hen aufrechten Ruhestellung dc^ menschlichen Körpers im Ganzen, durch welche dann weiter seine speciEsche äussere and innere Körper- und Organgestaltung bedingt ist.
Die für den Men.scheu typische aufrechte Ruhestellung d(f» Körpers, der aufrechte Gang, ist sonach mechanisch bedingt durch die Qbermächtige Entwickelung seines Gehirns.
Damit erscheint aber auch die gesammte typi^-ch-mensch- licbe Körperentwickelnng von dem Gehirn mechanisch be- herrscht und geleitet. Dazu kommt noch, dass das Gehirn uicht nur die typische Körperform sondern auch die psychische Stellung des Menschen in der animalen Welt begründet.
Wir können dieses Gesammtverhältniss wohl nicht schärfer ftU mit dem schon von Richard Owen gefundenen Wurte: Aruliencephalie,^) Hirnherrschafl, bezeichnen.
1) Owen, The anatomy of Terfcebrates. Vol. U, S. 274, 1866: ^beacepbala, aQxa, I overrule; iyxiipalog, brain.
Nochmals das Maxwell'sche Vertheilungsgesetz der Geschwindigkeiteu.
Von Ludwig BolUinann in Wien.
iMmftnffm 6. Jimmm,)
Vonn ich in metner knrüt'n Notiz (iber don Uewei*- des »eU'schen i.ie5chwiuiiigkeiUvertheiluug:s>^t!set7^s') vooeiner UngciiAuigkeit in d«r Darstellung in Kirchfaoff'H Vorleäungen iW WArmetheririe sprach, so meint« ich damit nicht di« Etedaktioii dty>t5lb<*M durch Herni IMaiick, soDdern den lu- Uit d» Buches «etb«t, welches ja wie alle Vorleeunj^en vor- itvfamlich den Zweck hat, Ton andern gefundene Sätze in Bfioer '" ' irEusteliMn.
l'i , _■ HKeiner NotiK war Qlwrbanpt nicht gegen «M Pewon, w>Qdem lediglich gegen einen Beweis gerichtet. dm ifh nicht fQr Wweinend halt«. Herr Planck gab deni- ■tlWn nun eine vielTersprecbfjnde Abänderung.*)
Sei jedert vnn den folgenden BeatimniungsätrickeD Grikse M Iticbtung der Gesell windigkeit jedes der atosscnden ■oHöIc vordem SU^i*(e, Richtung der CcntriHnie im Momente St«!««!«* zwischen gewi-csen nneiidlirh imlien Grenzen &(rewhlM!>sen (was wir die Bedingungen A nennen wollen). Werden die^ell>en BeätinimnngsstUcke nach dem Stosee nfim« xwi»chen gewiaseu unendlich nahen Grenzen liegen wir die Bedingungen H erföUen). Wenn da« Max- ^t*N:lt« Vprtbeilnng«giw*>t7. der Grarhwindigkeiten herrscht, irt bekanntlich die Wahrscheinlichkeit eines Za^ammen-
M Di«M SitnaKtberiohlo Bd. 34, Heft 3. Wied. Ann. Bd. 58. 1 DiMfl SitMasnUcricbW Bd. %i, Ueft \, Noreub«- 1894
2B
SiUuHg <ttf uMtK-phtf». Ofosw mm S. Januar IfiOB.
»toame, fBr dtti dio ßeiiiii|urim}(eD A erfDllt Kiml, gleich dtfr] «11)66 ZuHuiDmunütoteet, fQr den soD&t f^nau die Uedin^ngea Hl ^<f]iea, nur rla-ts die RichloDf; »Icr Ontriüni«' tiit)fi;i*kohrt, äIwI die Orte der beiden st.j--*-ij<]».'M Molfkdlr im Mmnenl (!*-■<( StcisMe vcrUoicht sind.
Wenn man aber nicht eine oeuc Aiiuljrm sii Hillfi?| uiiumt, kann man nicht boweiMu. dass es nicht noch andere Vertheitiiiif^gfäetxe j^bt« fßr welche zwar oinge.'« nicht gilt, aber dcx^ die Wahrscheinlichkeit, da«» inn MoIrkUll eint* gevriase, hcstifamt ^ericbt^'te Geschwinili>rk»'it darch irgend welche äonst wie immer twscbaflene /uKütunieiu^tÖntej verliert, noch immer gleich der Wabmcheinlichkeit i«t, du fiti Moteknl eine gleiche, gleicbeerichtete Qe»chwindigkeiti durch irgend welche 2n8ammenäUl<!se erhält.') l'nter dienunj Veriheilungsge9cti»!>n konnteTi beliebig viele «ein. U\t wolchol jede Genchwindigkeit gleich wuhraclteinlich. wie di« gleicbcJ ontjfi'tfpnirtwet/.f gerichtete wäre Jwl« durch die letxi«rn Veriheiliing>^gesetze dargestellte ZuKtandsvertheiJong wtSrde durch «ino plötzliche l'mkehnmg aller Itotichwtndigknit nioht verändert. An» einer derartigt^n rmkehrimg auf du dynamiüche (jleicbgewicht gezogene Svbltuue haben oft viel] Uedenkiiches.') Im vorliegenden Falle ftl>cr m>hQiiit die Um- kehruDg in der Tbat all« miiglicben Phasen der Ziutanda- vertheiinng wieder in alle Phasen ßberzufQhren und daher die Veränderiins der \V'uhn»chein lieh keil irgend eitieit Zu- '^ammenntosse« durch die UmkchrunK unmöglich.
') Ar welche also tu der Ponnel 161 meioer .weitem Stodienl Qberdw Wftrtncfr]' ■ lit tinter <la*ti- "ff»*"
boriehte Bd. 66. I -73, <iM doppv .J«t.i
ohne doM die GrOuu unt«r tlem iiit4*jfr&lxeiuhiui tttr all« Wcrlbe Jpr Viiriabt^iii ideotiNch tll^'i^'b Ngll »t.
') Vcrfrl' BoltzmuiD. Bitnirrkuo^rn Aber eiaiK« Prohlflow dar oMchaniK^eu VC II, Wivner ^ t« Bud 7ftJ
J&aa«r I8r?; Kiti . 1H9&: Calrvrv^ Urran, Nat
oct-dac: I8M.
27
Zur Kenntniss des Befruchtungsvorganges.
Von J. R6ßk«rt.
(»Imtäamßm 6. Jmum.)
Bei einer Untersuchung der äücb furcb«ndei) Kier von Cjrt'lops Htrennus truf loh auf ein ci^rmlhiiniliches Verhaltf^n Kernt*» dus iu naher Beziehung; zum Bcfruchiuiif^vur* ^ng dtebt und von mir im Folgenden geschildert werden eull. An die grandiegende Entdeckung 0. Heriwig's, daäs der wettenilicbe Vorgang bei der Befruchtung in einer Ver- einigung der Kerne der beiden Geschlechtszellen benihU knQpffc sich iiaturgemiUs die weitere Frage uucb der Art und Wei^ dieser Verbindung. Üetutebt dieselbe in einer völligen Verschmelzung, in einer Vermischung der Substanzen beider <JeächIechtskerne oder nur in einer Aneinanderiagerung der^lben, derart, du-ta die von den beiden Rrxeugeru ge- lieferten KernheHtandtheile sich innerhalb der Kerne des neuen Organismus selbständig erhalten? Wenn wir von dem sogenannten , ersten Furchungskem' absehen, so spricht der äussere Aoechein sehr gegen die letztere Ansicht, denn die Furchungskeme, obenso wie die Kerne der späteren Em- bryonalv^Uen und der fertigen Oeweljäzellea, erweisen «ich, soweit mau dieselben biw jetzt kennt, als völlig einheitliche Gebilde, welche vun einer /u^iAnimensetxung aus 2 Hälften nichts bemerken Ia5^s(;*n. So nuhmtm denn auch 0. u. R. Hert- wig eine innige Veruchuiel/unt; der beiden UepchhwhtsktTne an und betrachteten dieselbe iwgar als einen wesentlichen und I nothwendigen Akt bei der Befruchtung, In einer von beiden
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28
SiUuntf der math.-phijH. Citust com A. Januar 1895.
Koracbern goiueinwim herausgegebäaen SchrifL^) hoii«t es:] ,Xur danu. wenn die SubütnnKen von Gi- iiud Spermtikeru| tiioh ganz (lurchdriuj^eii. unUtehen Kerne, welche mit nlleti { ftlr die weitere ü^ntwickluuf; nöthigen Leben-seixeuwbaftvii uui^erEbitet Hind.* An dieHer AuffaMinng hält 0. Rertwigl aueb noch tu einer tipätereti Arbeit*) fe»t, nur verlegt er hier mit ROcksicht auf vau Beneden'*^ Befunde bei Äecuri« ; die Verschnielznnfir nicht mehr auf den Moment, in welchem ■ die blÄAchenföruiigeo Vurkeme ziMamnientrefieQ, sondern auf] den Zeitraum nach Ablauf der »rrsten Furchimu'^ithciliiDg.
van Heueden .telhst i&t hierin anderer Meinung. AuhI seiner wichtigen Kntdeckung.^) Atun bei .•Vttcariv megatncephalal (bivalens) die Vorkeroo, ohne mit einander 7,u vi*r.«chmelxeit.J sich in je zwei CfaromuHonien umwandehi, vou denen bei der] ersten Furcbnng^theilnng in jeden Tfwht^rkern eine Spalt- - bälfte gelangt, zog er neben anderen bedeutsamen SchluAi* folgerungen auch diejenige, da» in den zwei ersten FuTchungM-l kernen die xwei välerhchen und zwei mQtterlicben Chromo-' somen in getrennten <inippen neben «tnander sieb befinden. Und er verninthete weiter, dam wie die erste, so eich alle! fulgendcMi Korngenerationeu verhalten mischten, d. h, dassaucUJ in ihnen die vom Vater und der Mutt«r abfltammenden Keni- ! Substanzen sich von einander gesondert erhaM«n. Er stQtxte dieae Annahme auf die weitere Bet>bai:htung,*) di»'« der Mutter-
') 0. u- K. Hnrtwig: Leber den Befi-ucbtmig«- iinii Theiloag»- vorgang dei ^ieriMheo Eie* uutr-r (1>>iti rinflur«« nTiiHrrcr Ai/cnti^n Jena 1887.
*) O. Hertwif:; Verjtl.'iLn ili?r Ki- opd oanjfniin.innj^ uvi Nematodni. Kinr UrumiluKv Hlr celtutUra ätreitfraffen. Arch. 1- m. A., Bd. 36, 1690.
*) E. VAU Benvdaa: llDebw«b8n nu U maturation de Toeuf, . U\ fi^ndaCioD et I* diTi«ion oelloJain. Ardi. de Biol. T. (V. 1688. j
*) B. van Beaedea et A. Nevl: Koovellei« Raeharohw «or m ftfooadaUea et U dtmiea uitoaiqoe cho« l'Aiviu-id« H4i|»lD0*plHls,| Ball, de TAcait roy- '^^ Beliriqao. IdST.
/. Rüektrt: Xtir KtnHtniiu tU» Bef'ntehtMntffvorpttn^ea. 2P
knänel in den Parchnn^i^lcernen vou äscatis me^. biviileas nicht einen continuirlichen Faden bildet, iM>ndem Ktinucli>*t zwei FAdenstücke, deren jedes nl<^anii durch Qnertheiliing zwei ChroinoKomen liefert. Möf^licberweiäe, so meint van ßeneden, entspricht jedes diener beiden Fadenstücke den zwei Chrotno- flonien eine« Vorkeraa. Den Beweis« dafßr konnte er freilich im diesem Ohject nicht erbringen, und i» hat daher die andere Möglichkeit, dwsa jedes Faden^tOck ein väterliche>- und ein iniltterlicbpit Ohromoeoma enthält, Torlüulig ebensoviel Wahr- scheinlichkeit für sich. rebrigeoB bestreitet BoveriV) die letztere Üeubacbtung van BenedenV und "SeyV^ entschie- den und gibt an, dann die vorßhei^ehende Verbindung je zweier Chrotnoeonien 7.n einem eioxigen, in sich geschh>Kspnen, Fadeu nur eine scheinbare ist. hervorgerufen durch dichte Äneiuauderlagerung dersel)>en. Man kann daher i«uä van Be- neden'd Unten uchmigetk nur folgern, daas die väterlichen und niQtterlicben Ohromotiüuien getrennt in das Ituhegerflst der r.wei ersten Furch ung»kerne eingehen, ob i^ie aber aus diesem al« gesonderte Orupiwn bei der nächsten Theihnig wieder hervortreten, das ist nicht gezeigt. Gerade hierauf aber kommt es an, denn in dem /.wischen die Kwei Theilungeii eiDgeechobenen feinfadigen UuhegerÜHt kann eine Venui^chung des väterlichen und mütterlichen Chromatin» stattiinden.
Ea scheint somit, daas bei Avcaris unsere Frage über- haupt nicht zu lüden ist, denn würden hier zwei den Vor- kernen euUprechende Äbtheilungen in den Furcbuugitkernen unterscheid bar sein*) so wäre dies kaum de«i vortrefflichen Beobachtern entgangen, die sich K^rade mit diesem Objekt
1) Bovert: ZellenstadieiL Heft 2. Jena 1868.
3} Nur tun die.«« rein empiriiich feHtxust4^tlpni1t> Fra^fe handelt et sich fOr mich. Dicht aber om die tod vnn Heneden damit verknüpfte Krsatztheorie od«! Lehr«- rom HerrnftphroditiHiniM der Zell- kerne. Aach die »on f< a b 1 , namentlich aber Ton B o v e r i »er- trutene Anmcht von der Individnalitftt der Chrooinsomen , der ich
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SiUhuij Her mttth.'phifH. Clatun rrrim ."i. Jnmtnr /NMA.
befüHt^t haben. lUnj^e^eti därfte der von mir unterancht Cyclops Atr»iiiin6 in dieser Hin»ii!ht gümiti^ere (InfcerHuchanfi Terhiiltnis<>e bieten, wie aUi) dem K'^l^enden hervnrf^eht.
Icti fand in der er«it^n [«'ijrchnrigKSpindel die Copepodeii in dt*rjenij(eii Phuse, in wöleher die Touliterplattei auseinandcrKUweicIien beii^ianen, die den Vorkemen entNpr chendeu Chrittiiiitin}Mjrtiniien durch f'men di'iiHichen Spalt gctrennl. Leider treten die SpindHlfu^rD an meinen nii Sablimat fixirten Objekten nicht so scharf hervor, Avi<i ma entscheiden könnte, ob niir.h ilir Spindel Mi nw zwei Holche Hälflen /.u»auimeni«et7t. H Acker*) hat hei Cjrlop?; üttrennn eint! jüngere TheilungttphaMt^ deü ersten KurchQn(!;»kernfi, nftr lieh «den Ueber^ciut^ au« dem UlnMohen- in dtM AttterstAdium^ beoljai'fatvt uud ^ibt na. du-» hier ^dii? Aul»}<f!ii ruu zvii ge!*ondertfn KiTnnpiiideln tnit vier ('entroHoinen xn bMt^hed scheinen.' Er bildet auch (1. e. Fig. 27n) Rvrei Spindehi mh, die nur im Bereich des Aequutur xuHaniinenhän^ou, gege die Pole zu iiber weit nngeinander liegen. V^ wäre tq grnwem Intereaae vu erfahren, ob hier wirklich, wie m dn Anschein hat, jeder Vorkern »eine eigene Spindel bildet. Auf (inind meiniM jety.igen MutcriiiU kann ich y.u dituHfr Krage keine benliinrnt« Stellung einnehmen, denn wenn die ron mir heohaohteteii älteren Spindeln nberhanpt au« zwei scharf genonderton üälflen bestehen, ilonn «ind die tH^rt«?
laieb «elb»t mit aDg«Mbto«»«Jt babg, berOhrt rieh xmr mit dvr liegeodeD fr<Lfic. deckt rieh ubor mit ihr kninf^wagt. Dann m wäre aineneiti möglioit, diM« die Vorkume sich «ulbHULadiK erhalten, Chroino>iom&n innerhalb dertelben aber niobt, «ine Anscbantuiff. Tan Benc'ltfti vurtrilt. A^mjt uuah diu IJmKfclii'hrU* wäT'- dt brauchen rieb liic Cbrouioiumuu nicht uufzulAxun, aXnit >■■ ■ich doch derartitf unUrrinandttr Terliig4<m und vormna^oQ da)>a d«n yorkomen itnUpr^htsoil«» Oru(i)>^D alftboJd verlurvn (ffthttu.
') ÜAckRr: Uis Kibildunu Iwi Cvülopi and (i!antbu<'aini>tui. Jahrb. A. f. A o. ü.. Bd. V.
J. Uücktrt: Zur Kcnntitü» de» BtfrncUluHijavitrtfnngt». 31
sieber uiit ihren Polen viel dichter aneiauoder gerückt in Hieker'tf Figur. Die Attniktiousäpbürea ullerdingH erscheinen hier, sowie auch in den folgenden Furchimgs- tbeiluugcD von auffallender Breite . so dass der Qedan ke aafkommen küuote, sie mochten aus je zwei nebeneinander gelegenen Sphären hervorgegaugeu »ein. Änderemeits darf aber nicht unerwähnt bleiben, dii8.s ich in dem IWfrvichtung«- stüdiiun, in web:heni die noch blÜJi<:liHntV>rniigen Vurkeme sich berubren, im tjaur^u Kitet;* nur zwei Sphären fand, für jeden Theilung^pnl eine einrJge, und da.-<d ich diese geneü^h mit den Sjwrnjakern zurück verfolgen konnte.
Nachdem die Tochterpiatten der er>^t«u Furchungsspindel gegen die Pole der Tbeüungsfigur gerückt 8ind, finde ich in ihnen die vät'erliebcn und nintUTlinhAn rhromns<;niengrtippen noch weiter von einander getrennt als vorher. Da die Ver- binduiigänideu »ich unr zwischen den correspondirenden Hälften der Tochterplatten ausspannen, sa erscheint bei Seitonun:4icht auch dieiier mittlere .\bschnifct der Theilung.s- &gur durch einen breiten Spalt in Kwei Hälften zerlegt. Bei Polansicht) tusen sich in jeder Hälfte einer Tochterplatte 1) o<ler 12 Chromosomen /ühlen, nicht l, wie Hacker fOr die Äeqnatorial platte der ersten Theilnng von Cyclop« strenuu» angibt und abbildet. Im Ganzen enthält also jede Tochter- platte des ersten Purchung»kemes die Nomialzahl von 22 oder 24 Chromosomen, wtw mit den von mir*) bei der Kireifung 1 gefundenen Zahlenverhältniasen Qbereinstimiiit. K Wenn dann weiterhin das Cbromiitin der Tochterplatten
^■ttll in ein Hnhegernst umwandelt, tritt eine Anzahl blüschen- iWnniger Unt4»rabtheilungen auf, die anfanglich offenbar den I einzelnen ChronMJKmnen des Dyaater» entsprechen, wie dies
■ schon für die Furchungskerne bei auderen Objekten wieder- I holt bescbriehen wnnle. Die Bläschen beginnen schon frOh-
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') Rnckerl: Zar BireifuDg bei Coi^epodeo. Änat. Hefte 1894.
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SitKuttfl der matK-iAys. Cta»se voat 6. Januar t99tt
x«idg KU conÜiiiren und /.war inDcrbftib ein und dewelb«!) Kerns in iinKl^it^hein Temiio. Hu ntOohto ich ra wenigsten^j urklüren, Haas iiiau neben kleineren. motHt peripher t^elcfifenenj Ittüächen In der Hege\ unch einige grö&f;ere antrifft, welche] häufig durch vulUiäudige oder nnvolUtilndige Scheidewand««' wieder in Unterabtheiliingen zerlegt erscheinen. Indem sohlie^lich all»- Ahtheihmgen /.iisamniciiflitKÄHn und die nn-j regelmä»igen Vurbucblungeii und ZerklüRungen der Kern-j Oberfläche verschwinden, tritt eine einheitliche Kemblaae auf.j Bei diesem Vorgang, der nicht nur nüch Abtauf der erKtenJ »ond(>rn nuch der npüteren Furrhunt^theilungen y.u beubacht«nj ist, macht sich die ZuHanmienüetzuiig des Koros aus jLweiJ HfUften bemerkljar. Zwar rücken die den Vorkernen enl sprecheuden Ahlheilungeii jetzt dicht 7;i)s»uinirn. aber ujsul kann sie hei eitiigcrmii&Hen günstiger Lagening des Kernal doch noch recht deutlich unUr^heiden. namentlich bei An« Wendung schwächerer Vergrüaserung, bei welcher man eineii| beaieren Deherblick Über den gesanimkn Kern erhält aU mit Hilfe der Immersion. Wenn die erwähnten Unt^rnbihi'iJungfiii des Kerns nchon confluirt Hind, und ein einheitliche« Ituhegerfltt anfgeireten ii^t, lil«t >ieh die Grenzt* der beiden rirüprttnglichc Keruhiilften in tjetitAlt einer iScheidewanH noch erkennen, welche »enkrecbt zum grüRüten Durchmeeeer des längliche Kerns 8tehL l)i«»en ZuMtimd der beiden crMten Furchungskem« bat Hacker (1. c.) uchou bei CyclopH i^nuicomts gesehen und dabin gedeutet, daas die zwei Abtheilungen de« Keraa selbst&ndig gebliebene Abkömmlinge der Gwchlechtiikemfl seien. Solange die vorausgegangenen Theilm ri nicht
bekannt waren, könnt« man dir Berechtig •_ i -t Auf- tawung anzweifeln, nachdem sich aber jeUtt bei Cyclopa iU^ die lieiden KeniliälfUm an eii>*T tnckenloown Kntwicklung»-] lUüie von der cr»ten Furuhungvipindel bi» Kur Uuhephju« du Twliterkerup hnbifu verfolgen tiuHen, ersclimut diet* oicbt mehr mOglich.
J. UQckeri: Zur Kenntiwa de» BefrwJUungtvorgangtg. oS
Aus der Rnfaephaae der zwei ersUn Furch uiigskerne Itoiinte ieh nur weni^'e Eier uutersucheu, die deiuj^elben Thier angehören und .sich daher auch in ^ennu dem gleichen Eut-
ricklnngszu^tand befinden . Ich kann daher nicht sagen, ^b im weiteren Verlauf der Ruhephase die Trennung der
eidcn Kernhülften aufgelinben wird. Sicher aber ist, dass
eini Uebei^ang zum Knäuel der zweiten Theilung von einer Scheidewand innerhalb des Kemrauines an meinen Prüparaien ' nichts mehr •/.» sehen ist. Xur an der Kemmembran fand ich bei einem Theil der Objekte an der betrefieuden Stelle nucb eine Einkerbung. Der Chroniutinknäuel selbst erscheint bei einigen Kernen einheitlich, bei anderen in zwei Hälften zer- legt. Das Gleiche gilt für die Aequatorialplatte der zweiten Furchungsspindül. Im Dyaster hingegen liess sich wieder die Zusammen Setzung der länglichen Tochterplatte aiu zwei Utilflen in der Mehrzahl der Kerne mit aller Deutlichkeit erkennen. Es ist olleubur in dieser Tlieilungsphase ein Ans- einanderweichen der Kemhalften leichter möglich , aU in der Aequatorial platt«, wa^ sich aus der Mechanik des Thei- luDgsvorganges erklüren lässt. Auch im Dyaster der zweiten Furchunffstheilnng war ich im Stande, bei Pülansicht das oben mitgetheilte ZahlenTerhältniss der Chromosomen fdr beide H&lften der Tochterplatte festzustellen, so dass die Ab- leitung der letzteren von den Vorkernen nicht bezweifelt werden kann. Es wird hierdurch die eingangs aufgestellte Frage, ob au» den Ituhekernen der ernten Theilung die väterlichen nnd mfitterlichen Chromosomen wieder in ge- trennten Gruppen hervorgehen können, in bejahendem Sinne entschieden.
Von der dritten Theilung habe ich den Dyaster nicht zu Gesiebt bekommen, doch konnte ich im Mutterknäuel und in der Aequatorial platte für einen Theil der Kerne noch ebenso eine Zusammensetzung aus zwei Hälften nachweisen
rie bei der zweiten Theilung. In den folgenden Furchtmgs-
]il\t&. Malli-pbyB. Ci. I. 9
34
Siltttn^ dtr mn
y». ClMse vom 6. Januar
Stadien wird diee« Erscheinung während der eigentliche^ Theihingsphasen immer seltener, nnd nur noch beim lieber gnng zur ßaliepho.'^e treten die KiTiihälften in der oben scbriebenen Weise hervor. Ofl äic,ht man ausser der Subeidä WHod «ueh an der Oberfläche der läTiglich^ii Kerne ein EinschnDning. wodurch daß ganze Gebilde Hi>>quit- Bobuenform erhält. Die^ Einkerbung bleibt, michdrm dl Scheidewnnd geivchn'unden, ofb noch als einziges Morknti der ursprßnglic-heD Trennung erhall;«». ICuweileü erftcheifl auch die eine Kernhulfle inteniiiver gefiirbt alis die andor offenbar weil ihr Chroinatdn sich noch im Zastande stärke Concentration Wfindet. Da die<ift Doppelkerne sich im Wenenl liehen noch ebenso verhalten, wie diejenigen, welche Uftc] Ablauf der ersten und zweiten Tbeilung auftruten, ao lufl sie auch in dem gleicheu Sinne wie jene gedeutet werdftH Der Uniätand, dass während der mittleren Kurchungsstadic die DnpHcitÄt di^ Kerne blntm bei Eintritt der Keniruhfl in den eigentlichen Tbeilungsphaseii dagegeu nur mehr ati nahmsweise sichtbar i»t. beweist nichts gegen die vorg' tragenc Anffassung, Es läant sich vielmehr diese ErficheinuD| in ungezwungener Weise damit erklären, das« di« Cbromo 9omen inoerhalb der karyokinetii^chen Figuren xu di«or Z« schon dichter gelagert sind, als wahrend der ervten Thei^ langen, ein Verbalten, das offenbar auf diif Kunehmend Verkleinerung de» Zellenleibes und die dadurch bedingta] Rnumbeengung zurlU-kxunibren ist
In späten Furchung^atadien und während der Keir blätterbildung weist ein immer kleiner werdender Bruchthei der im Ei vorluuideuen Kerne eine Zu^mmeo^etzung ao zwei Hälften auf. Doch konnte ich vpreinzelte mlehe Kern« soweit rerfol^en, aU ich meine tjnt^rsiichung'jn Ob«r baopt Bn«gcdehnt habe, nämlich bin zu dem Stodinm dresgliedrigen Larvenaolage. Ka muas daher dir xagl^l>«n werden, doäs schon während der T . ...^
J. Itücktrl: Zur KeinttHW dea Bcfruehtunffavorgamje». 3o
!e Verschmelxung und Vermiäcbuug der beiden ursprUng*
:hen KemliKlften eintritt, wenigstens bei einem Tbeil der
eme. währeud bei den Obri^en dieser Vorgang erst später
snsetzen würde. Mindestens ebenso berecbtigt erscheint aber
gegentheilige Auffassung. Nur während der ersten Fur-
ungBKeit tboilen sich sämintliche Korne de» Eies gleich-
itig, später dagegen nur luebr ein Tbeil derselben und
loser Brochtheil wird immer geringer, jo weiter die Ent-
icklung fortschreitet. Man darf daher gar nicht voraua-
ty-en, in vorgerfickteren Kntwickhing.s.stadien eine grössere
nzabl von Kernen in dem für un.sere Untersuchung ge-
[gneten Zustand anzutreffen. Dafür muss man aber er-
arten, finige wenige derselben in einem jeden derartigen
li vorzuHnden. Man begegnet aber auch hier bei genauerem
!usehen wohl ütet« einigen Kernen, welche die Spuren einer
Zu^tamniensetzuDg aus zwei Stücken erkennen lassen.
Es sind mehrere Forsclier darauf ausgegangen, der /eile einen bilateral syni metrischen Bau zu vindiciren, indessen haben derartige Versuche sich bisher als nicht durchfQhrbsr erwiesen. Die l>ei Cyclops vorhandenen Doppelkerne /.eigen nun eine bilaterale Symmetrie. Und wenn die Zusammen- setzung des Kerns aus xwei Hälften während der Mitose sichtbar ist« was 17)r die ersten Kurchungstbeitangen von Cyclops gilt, dann liegt eine bilaterale Symmetrie der ge- samwteu Zelle vor, von dem Augenblicke an, in welchem I die Kiastellung der Cbromoeomen in den Ae^iuator der Spindel vollendet ist. Die Synimetrieebenc schneidet die Accjuatorial- platte rosp. die Tochteqilatten in einem \Vinkel von 90** und theilt f<ie in xwei Hälften, deren eine vom m&nnlichen, deren andere vom weiblirhen Vorkeru abstammt.
Die mitgetheilten Beobachtungen beziehen sich nur auf embryonale Zellen. Es wäre von Interesse ru wissen, ob sie auch für die Gewebszellen des fertigen Thieres Geltung besitzen. Eine Untersuchung in dieser ßichtung verspricht
3'
de
Süsuttg der malh.-phtf». Clasae vom 5. Janttor i$^.
indeas roa vornherein went^ Hrfol^ wegen dar geriogao GrTwse der betreffenden Kcnie: ist doch schon die ßcnr- theilung der älteren EmbryonatHtadieu hüh diesem Orunde sehr erHcbwert. Im ani^gebildeten Tfai^r existirt nur aar einzige Art von Zelten, in welchen das Chromatin innerhalb eines TerhUltniRginäesiß sehr grossen Kernnuini^^« tiegi; m sind das die reifenden Kizetlen. Wonn ^icb die räterlicben und mOtterlichen Chromasoniengruppen bis in die^e ZcU- generatinn «elbfitündig erhalten würden, dann IcÖnnten m hier, wo sie einer räuinlirlien ßeen^inf^ nicht mehr antrr- worfen sind, anch gesondert zum Vorschein konimon und zwar von dem Zeitpunkt ab, in welchem die knrseQ und conipiictrn Chromasomen der ersten HJrhtiinn.'wpinflel «t» dem feinfudigen Kcimbtü^icheTigerUst hervorj^^cgnngon sind. In der Thnt leigen nun bei Oyclnp-« iliese Chromosoiuen, wenn «ie aus der Peripherie des Keimblasuhen» gegen den Aeqnabif der KukQnfttgen RichtungBspindel vorrÖcken. eine Grtippirung, die sehr auffallend hi und sehen tom HUcker und s^U*r mir selbst erwähnt nnd abgebildet wurde, ohne da«« jedoch einer von nns sie zu der vorliegenden Frage in irgend welche Be7.iehung gebracht hätte. In mehreren seiner ArbuiUa stellt Hacker') KeiiabliUchen dar, in deren Peripherie, an xm g^enUberliegenden Punkten, sich euie Anhäufung von tht chromatischen Doppelstäben beüiidet. L)a<t9 diene Oriippimag der Chromosomen in Häcker's IVSparaten ein« »ehr regulÄre gewesen Min mun, gebt nicht nur ana seinen AMnldungi«n sondern auch aus der Deutung hervor, welche er der Er- scheinung gab. £r betrachtet« die 2 Gruppen nh die Tochtvr- ptatt^n der eben vollzogenen Hiehtang^theitung, diae holt- I faaaung, die, wie ich od anderer Stell« (l. c.) gezeigt habe.
)) l. c Vig, 32. DerMibe: Da» KeimbliLMjboD, ufinp E]eiDMte tifld Lagevet&ndenuf.'en. I. Arob. (. m. A Bd. 41: Fi«. IL Dvn •elbe: Die KeruthrDuntfMTori^&nKc bei dur Heaodcrm- und Eäitodi^ra- bildan« von Cyolops. Ibidem Bd. 89. ('ig. Sl.
J. Jtüekert: Zur Kenntnitt dti Befruchiunggvargangeii. 37
chün desshatb nichfc richtig iät, woil.die erste^Kichtnngs- beilung in <\pm fraglichen Staditim ^ch ersfc vorbereitet. leb Ibst') habe mir diese Gruppenbilduiig der Doppeistäbe, fie übrigens un meinen Objekten zuhlreicben indiriduolien Schwankungen unterliegt « früher nicht erklären küiinen. Nachdem eich aber jetzt hemuitgestellt hat, dass sich in den Cemen der befruchteten CycJopseier ^wei den Vorkemen itsprechende Abtheihingen Qbftr eine Anzahl von Furchung^- beiluugen hinans gesondert erhalten können, liegt es nahe, |ie rätbaelhaflen Chronjoetüraengriippen dea reifenden Eiee auf diese Abtheilungen zu beziehen. Das Xiisammentrefien 3er beiden Erscheinungen i»t jedenfalls ein so anft^lliges, das^ Dan es nicht nn berücksichtigt lassen darf. Auf der andern eite musä aber ausdrücklich betout werden, daan die Oruppen- bildung individuell variirt. Dass eine Gruppe wieder in Unter- pabtheiluugen aufgelGst sein kann« «scheint mir weniger von Belang, weon dies Verhalten auch zu Begiun des betreffenden Reifungs.'itadinms die Oricntirung oft erschwert und zuweilen iiuniögticb macht. Mehr in Betracht kommt da^ Zahienver- bältnisä zwischen beiden Hauptgruppen. Zu Anfang des ^jtadium8 iät die Zählung der Doppebtübe schwierig, nnd kann ich daher nicht angeben, ob die GesammtKaht derselben im Keimblik^chen 11 oder 12 beträgt. Wenn die Einstellung in den Aetpiator der Spindel fast volleudet ist, finde ich steta 11. Kur bei einem Theil dieser Eier stehen die beiden Grippen in dem Verhältnis; von 5:6, bei anderen fand ich 4 : 7 und sogar 3 : 8. Man mOsste also, wenn man die Gruppen auf die orspr du glichen Kernbälflen bezieht, jeden- falls die Möglichkeit zala$.sen, dass in individuell wechselnder Weise einzelne Chrom(»tomen aus der einen Gruppe sich los- lösen und sich der anderen anschliessen. Ohne auf die Con- aeqnenzen einzugeben, welche sich hieraus fUr den Reductions-
1) I.e.. Fig. 12 und 15.
38 ^Uung der matk.-phys. Clause vom 5. Januar 1895.
Vorgang ergeben würden , möchte ich doch zu erwähnen nicht unterlassen, dass gerade die berührten individuellen Differenzen sich mit einer Vererbungsthntsache (Ungleich- heit der successiven Kinder eines Elternpaares) in Einklang setzen liessen, welche von mehreren Forschern (WeisraanUf Boveri) mit der Chromosomenreduction in Verbindung ge- bracht wird. Durch welche Einrichtungen in der Kem- struktur die Gruppenbildung hervorgerufen oder erhalten wirdf ob durch achromatisch e, nicht sichtbare Verbindungs- fäden zwischen den zusammengehörigen Chromosomen oder durch ein Eingreifen entsprechend angeordneter Spindelfasem, ist vorläufig nicht zu ermitteln.
39
Ueber den Cauchy'schen Integralsatz.
Ton Alfred Prlngshein,
Der Satz, doäs ein über eine complexe Werthen reihe sgedehntea Integral toq der Form J /*(«) • dt unter ge-
bissen Bedingungen von der Wahl der zwischen *(, and jb elegenen Zwiachenwerthe, dem , Integrationswege*, un- 'abhängig ist, oder» was im Wesentlichen daäselbe besagt, das» unter analogen Bedingungen das Integral J /'(;)■</«, erstreckt Über einen geschlossenen Integrationsweg, Ter- schwindet, wird wohl ziemlich allgemein schlechtbin als der Cauchy'sche Integrals atz bezeichnet und zwar wohl nicht lediglich darum, weil er ron Cauchy zuerst ausge- sprochen und bewiesen wurde') (denn so Teretanden gibt es eine ganze Anzahl Cauchy 'scher lutegralsatze), sondern weil er aU die eigentliche Grundlage der modernen
t -' ') Soviel mir bekanot ist, in diecor Form tarn enteo Male in rl836 al« betondereB Heft herawigegebcnen .Memoire aor lea Igrale» d^finies prisei eotre das limite« ima^ioairea'. gS. — In Laarent's Tr&ilä d' Analyse (T. lU, p. 357) nnd Kron- eeker'fl Vorleranfpen Ober Integrale (p. n2) wird du Jahr 1814 aIh pQblicationajafar angegebea. Obschoo dieser Bemerkong «ine nähere Qaelleuangab« nicht beigeltigt i«t^ io Ibit Mch doch mit xiemlicber Sii-herheit aonebmeo, dass dieselbe auf das im Jahre 1614 der Pariser Akademie Toi^eleKten «Uämoire iur Ist int^fpraUi d^finici' (Oeavre!) compl^tes. T. l, p. S99— 5081 znrackzufQhreD sein dürfte. Sollte die« ab«r wirklieb der Fall icia. so man jene Angabe al«
iO
Sitcung der math.'phj/s. CfaM$e tx>m 5. Januar JS96.
Functionentheorie im Caiicfay-Riem&DD'schoo Sinne ohne jeden Vorbehalt eine der bewunderungswürdigsten und frncht-
Dnrichtig oder rieltnclir all nur theilweüe richtig b»eiclinet werden. In der eben «rw&linten Äbhandlont; finden licb nämlkh in Bixag auf ilen Araf^Itchen Oejcenstand nur die Tolgenden Gleichnn^n (mit unerheblicfaen, zum Zwecke U'ichteren Vnst&oiinisnea hinr Torgt»* oommenen Aenderungon der dort angHwandten Besetchnun^):
wo S,ü Funktionen von t-v bexcicfanen. welche der Ditferential-
dS 30 gleicbun«; 3^ ~ 3^ genilK«n (a. a. 0. p. 334, OL 4). tmd ferner:
0 I) 0 0
(p. 810, Faunote, Gl. B). Diese Gte!chanf^n i>ntliall«n ollerdtngi den betreHendcD Satz, aber nur für den tpeciellen Fall eine« Rechtecks ati Inteffrationtwe^, [>i« we«eQtttcbe Bedeaton^ det Caacby'Bchco Sotxes Rlr die KancLionentbeorie tie^ aiier giMade in Keinor Anwendbarkeit aul pi u«n be I i c b i i; e n lDtf>tn^ition«wif . Und wenn ca auch keine betondere Schwierigkeit hat, au» der QQltig- keit de« Salzes f^r ein Kecbteck durch einen geeigneten Orvnsübnr- g»ng .jene allgemeinere Form abzuleiten (wie diea z. B. auch in de hier weiter aclen abtuleitenden Beweise geschieht: cf. S 41, m> doch von einer derartigen Veratlgemeinening Oberhaupt «nt lians die Rede sein, wenn der Hegriff einea InLegraU von der Kons j{S-äx-\-U'djf) oder /*/*(«) 'dr, genommen aber einen beliebigen Integrationiveg. virklieh definirt [tt Eine solche PeflnitioB ^det lieh aber wohl sum eriten Male in der genannten Abhand- lang Ton 183^ (§ 2 und g 9), wenif^rtena ixt in dem .Ki'^um^ da* le^nt aur le caleol infinit^imnl* rom Jahre ISSft hiervon noch keine Bede, nnd Caochy bemerkt auch in der Kinteitung an jener Ab- haadlong gann anadrOeklich. dasa keine eintige aller bUher er- schienenen Arbeiten .den Grad Ton Allgemeiahett g#m(tireod fixirt bahn, de— en ein eolchea Integral Ckhig ist*. Durch - huog
des Briefweehseta awtJtchen üaois and Üessei :_ m^rk-
wfirdige Thataaehe bekannt gewordaa, UaM Gaosn den fraglicbaa Batx in seiner aUgentelnen pMenng sdioa im Jahre 1611 (Brief an BeatrI rom 16. DMambar 1611.) Er ist indeeaea
A, Pring^im: Uther den CnuchyacHcn JntegraljtfUt. il
sten Kutdeckungeo des grosMa Mathematikers genannt
Verden darf.
Canchy bewies den fraglichen Satz mit HQlfe ron )ntinuität>t))etr>ichtungen: er zeigte, d&ss bei einnr unendlich
Jeinen Verschiebung der Intogrationscurve mit Festhaltung ler Endpunkte das obige Istegral nur um eine unendlich kleine
^rAsse zweiter Ordnung geändert wird, oder anders au-sge- bprochen/) dass die Variation des Integral« den Werth
7ull hat. Die Beweise, die sich in der Mehrzahl frauztj-
iseher Lehrbücher ffir jenen Satz finden, sind im Weäent- Schen einfache Reprodoctionen oder Mnditicationen diesej;
^aucby'schen Beweise-«. Meiner Ansicht nach haftet allen ptfsen Beweisen, nach dem Maassstabe moderner analytiäcber
tiiMchatinngen gemessen, ein mehr oder weniger erhebliches 'Maiieo von ßberzeugender Strenge an. Entweder sie wenden die I'rincipieu der Variutionarechnung, deren strenge Be- gründung zu den schwierigsten Problemen der Infinitesimal- refhnung gehört, mit einer Unbedenklichkeit an, die durch das Maass der gemachten Voraussetzungen kaum gerecht- fertigt ist.*) Oder sie suchen mit ITmgehung der Variations-
wieder darauf snrflclcgekommeii. und e« »cheint, dus riofa aach in seinem Nachla-tse keinerlei Aufzeichnungen hicrQber TorgvfaadeD haben. Man wird diiher wohl Kronecker nur Hecht geben kOnnen, wenn er hieran ankoflpfend a. a. 0. folgende! bemerkt: ,Va üt doch ein groflser Unterschied, ob Jemand eine mathematiiicbe Wahrheit mit vollem Beweise and der Darlegung ihrer ganzen Tragweite ver* ötTenilicbt oder ob ein Anderer aie nur üo nel>enber uineui Freunde unter Dttcretioa mittbeilt. Destthalb kOnnen wir den Sats mit Kecht als das Caachj'fche Theorem beteicfanen.*
') a. a. 0. p. 6; «Ainai la di-mouitration du principe ci-dessos Kfoonce repose Bnr cette «eule obflervation, qne la Variation de l'int^ gnle ett Bolle."
^) Man «ehe x. B, Briot et Boaquet, Foncfeioos doublement p^iodiqnei (18C9) p. 20. — Bertrand, Calcul integral (1870) p. 296. — Laarent, Fonctions elUptiqaea (1880) p. G; deagL Traitä d'Analyse (1886) T. UI, p. 310. — Picard, Traite d'Analjae (1891/93J T. [, ,77; T. II, p. 4.
*
42
Sittung drr math.-phya. Cttuse vom S. Januar 189S.
recliDuiig deren Princip durch eine directe lnfinite«imn betTHchhiufjf zu ersetxeD, imputiren aber dabei der Fuiictio^ /'(#) eine für alle diese Beweise unentbehrliche Bigeuäcbafi ziemlich coinplicirter Nivlnr, welche entweder ganz direct i^ die Vorati»(etzung anfgenomnien oder zuvor auf KigoD:«.ubuf einfacherer Art xurHckgefQbrt werden mOaste. £ä iit dies die
Auiiuhiue, da^ der Dißereiizenquotieut
/'<|r-hÄ)-/-|>)
für
alle in Betracht kommenden Werthe von jf glcicbmäasi^H noch f' (/) conrergirt, d, h. dass nach Vorgnbe einer be- liebig kleinen pontiven Oröase e sich eine pontire OrAan ^ angeben lässt, sodass:
^<- + *j-^t'>-rwi<
« wenn nur:
<e
ntr all« in Uetrucbt kommenden Werthe von «.*) Nimmt man dieM EigenKhafl ohne weiteres in di<> VoranKt^etzuD des Satzes niil, so verliert derselbe vollhiündig Heiiien ein fnchcu und elemeutar«a Charakter. Man niOfistü also vo
*) Ohn« dtera Annafauio fiUlt l B. der Oberhaupt wenijE atrvnx (ebaltuop Uow«iii bn Camille JordaQ, Coun d'Analjr^e. T. II (1888) p. 870; aber tocb d«r wrgrfiütiger darcbgefDhrtc Beweis ron firiol Dt Boui)Q0l, Thiiorto de» fonctiosa elliptiqites (18761, p. 128—139, o&d «in mit d«Bi «bell geaiinnt«n n&bc verwaudtcr von Miitn)f- LeffUr: a«tttii|r«r NaobrichUri IHT5. p. 66— 73. iKiii in dem IcUt- IffftiannttiD Aafiat»« «nirefQbrtvr, Mifreblicb vollkoinrucQ itrengtr Be- wou von MAlmKtrn war mir Ittidfir biiher niohl iugaa(tL'<ih , da er nur In «•.■tiwnJlaehor S|)ni>'b« rnchienen i«t (186AI).
D«r ifloicb« Vorwurf Criflt auch den utfcheinvod ««br eiD&«fai Dmraii, ilm B«rr Üoumut im 4. Hundt; ült Autu mutbematia IIR84) ««rOffrnttichl hat Utbriffcn^ wird die Hcbcinbarc Karte nnw^lniM aoiih Borb dudiin>h ciemlich illa»oriitch, dim die von vor lirn-tn «l* mwImmio itii|{un-tZDmADe QOltigkdit dM CaacbyVb HaisM tnt J*d«. J»äi in Wabrbrit eine OrünztetraohttiBff erionU. ilt - ^ - Mirh i>lnfiicber ftuafUlt, iJ» di« in 9 S diMw Auf« kl tiKvfnbrte.
A. PrinffiAeim: DWwr den Cauc^scAen Intfffratsatz. 43
Uleiii versuchen, dieselbe etwa ans der vorauszusetzenden Uetißkeit^) von f'i^r) ab/.nleiten, ein Unternehmen, das, renn überhaupt durchführbar, zvreifelUis auf ziemlich schwie- $ge und uuiätüudliche Betnichtunf^en fuhrt, da es sich bei lern obigen üiÖ'ereuzeniiuoiieDten in Wahrheit um eine Function von 4 Veränderlichen (nämlich: * = a; -f yi, i=f -1- i/t) handelt.
Eine vOllig andere Methode schlug hekanntlii^h Uie-
lann beim Beweise des in Kede stehenden Satzes* ein, in- lern er denselben auf einen Specialfall des Green*scben
atzea gründete, nämlich auf die Reduction eines Ober ein
ewisses EbenenstUck zu erstreckenden Doppelin tegnüs von
^r Form I 1 1~^ — ^1 dx • dij auf ein einfaches Integral
J{P'dx-\- Q'dy) eretreckt über die Begrenzung.*) Dieser Beweis ist ziemlich unverändert in fast alle einschlugigea deutschon Lehrbücher,*) aber auch in viele ausländische*) öbergegangeD und wird ganz allgemein ausdrücklich ala der ^Riemann'sche' Beweis des Caucbj'scheu Satzes bezeichnet: wie mir scheint, mit einigem Unrecht. Oenn wenn auch
M Bei der groflsen Mehrzahl der anf^efdhrteu Bewei» wird so- gar nur die Endlichkeit, nicht die Stetigkeit von f (s) roraug- ge»etxt, wodorch deren Grandlagen noch problem alischer werden.
') Ornndlagen för eine allgemeine Theorie der Functionen otc. (InBugnraldis»ertatioD, 1661).
') Man ¥gl. I. B. die T.ebrbiirhiT über Functionen theorie oder ellipttBcbe beaw. Abersche Functionen von Dur^ge, Thomae, Königaberger, NenmaDn, iowio die Compendien der Analjaia Toa ScfaK^milch, Lipschit«. Harnack.
*) Man sehe s. B. Ho uf'l, Tb<^rie elf^meutAiro dei quantit^i com- pleiea; deagl. Calcul ioQnit^imal, T. III. — Herinil(>, Cours d'Anal.vte (rdd. par Andoyer). — Caiorati, Teorica dplle fnnzione. — Auch mehrere der schon oben genannten CompendieD (Bertrand, Laurent), welche den Beweis neben dem Caachj'Khen atudrOcklich als den Riemano'schen anfllhrea.
44
lAtxmiff tltf math.-jihtft. Clasac tiom 6. Januar 1895.
derselbe erat durch Uiemonn's DaratellunK aUgemeino Ver-, breitiinf( gefunden hat, so läast sich doch mit unbefltreittMirer] Sicherheit nachweisen, daes Catichy bereits fUnf Jahre vor] dem Hlrscheioen der Rtemanu'schen Disit^rtation ihn nicht nur gekannt, «onderu in der HnupUache auch publicirt| bat. Da ich nach dem (jt*stigtea wohl annehmen darf, da» diese That^ichc bisher völlig unbemerkt geblieberi t4, so mächte ich au dieser Stelle folgendes darüber mittheilea:
Im 23. Bande der Compted Reodas findet »ich aof S. 251 eine Note tou Cauchy mit deiu Titel: .Sur lei integrales qai s'^tendent u toiis leK points d'iine' courbe ferm^e." In dieser Kote wird znnächst daR IntegraL (^S)'^Jk'ds erstreckt Ober die Begrenzung einer Flüche bei beliebiger Anuibl von Variablen bezw. Dimcn^onen defioirt, alsdann aber heisst es wörtlich folgenderma (S. 254):
.Lorsqne, la aurface S etant plane, x,^ 8a r<-| dniseot & deux coordonneea rectilignes, on polairea,! ou de toute autre nature, propre h d^terminer ta Position d'un point dans le plan de ta äurfucc 5,, «lors, en designant par Jl« Y deux fonctioos contini def variables x^y et »upposant
on a
(S) = ±SS{l>,X - D, T) dx äf,
rinlegrale double fi*^tendaiit a toits les pointx de la flurface Ä*
Nun folgt eiuo Bemerkung über die boiitimmung dos zweifelhaflen VonEeichena, worauf Caachy folgendi fortfährt:
• Dans le ca« particulier oä la ifommQ
Xdx-\'Tdj,
Ä, Phngsheim: üthtr den CaucA/adien IrtteifratsaU. 45
'est UDC diffdrentielle exacte, on a
et la formule qai d^termine la valeur de {S) ae re- [dnil ä Tequation dejä trouree
Das isk aber in der That ganx genau der fragliche .Uiemann'schc" Beweis mit dem einzigen CJnterBchiede, dass die lieclinung, welche zur Rediiciioa dtiä duppelten Integratä auf das einfache dient, au dieaer Stelle nicht niit- getheilt wird,') Ciiuchy setzt ehen dieflc Rednctionsformel einfach als bekannt voraus, und das war «ie ja auch da- maU Echon seit längerer Zeit.*) Wirklich neu ist nur ihre äusserst sinnreiche Äuwenduiig auf den vurliegenden Fall, deren Priorität mau bisher fälschlich Kieuauu zugeschrieben hat. Kieniann selbst hat wohl niemals jenen ßeweis aU sein äpecielles Eigenthum in Anapruch genommeo, und es erHchnint auch relativ bedeutungslos, darflber Vermuthungen anstellen zu wollen, ob er die citirte Kote gekanut haben mSge oder nicht. Hlngegeu halte ich es für nicht unwichtig, an dieaer Stelle einmal die Frage aufzuwerfen, ob denn
1} Im EingBOga der betreffenden Note theilt Cauchy der Akademie mit, d&ä« er sich an dieser Stelle auf eioen kurzen Aui4zufr beschrdoke, da er die eigentliche Alihandlact; demnilcbst in leiaen GierciceB d'Anab'se et de Pbytiqae mutbeniatiqae publi- ciren wolle. Dies ist indessen bds mir unbekannten Grflnden unter- blieben, und, soviel ich reat^tellen konnte, ist die angekOndigte Ab* bandlung auch an keiner anderen Stelle gedruckt worden. Hicrflber be7.n. ob sich dieselbe rielleicbt in Canchj's Nachlawe vorgefunden bat, Verden vielleicht die noch im Ersefaeinen be^^riffenen Oeuvres complbtefl Aafkl&ning bringen.
*) Die Abbanülang von ^reen: .An essaj ontheapplication of matberoüticHl analrfi« to the IheorieB of electricity and magneiitm'. auf welche man ja bekanntlich die ^^licbe Formel inrfickza fuhren pflegt, i«t schon int Jahre 1828 erschienen.
in
Sittunff dtty math.-jihif«. Cla»S« vom 5. Januar JSÜS.
Kwischeo den Arbeiten Cauchy'n und Kiemanir^ herQhmi Dissertation nberhnupt kein undi wcisbarpr /ufiammen- hang besteht? Es mu.is doch sicherlich sehr merkwOrdi^ entcheinen, das» der Name Cauchy'a in jener Subrift mit keiner Silbe erwähnt wird, wenn man bedenkt« dass zu jen« Zeit nicht nur Canchy nuch&tnanss wohl unbestritten all der lii'dentendnte nnter den lebenden Mathematikern giilti sondern dass uiich gerade er von seinem ersten Änflretefl an einen f^rossen Tbeil seiner gesammt^n literarischen Pro duction ganz «peciell der consequenton Einfflhntng d« coniplezen Qrömen in die Analysis gewidmet und an diesem Gebiete damals eine ganze Heihe von Resultat bereit* publicirt hatte, die ftlr die Entwitkelnng der Kiinc^ tiotu^ntheiirie in der von Uiomann verfolgten Kichtimg all fundamental anzusehen sind; ich nenne ausser dem hiü in Rede stehenden Satze nur die Hiurohning de» RrgrifTa der mnriogenen d. b. mit einem von der Düftfrentiations richtungunabhüngigfn DifTerontialquntienten versebenen Kiinc tion,*) ihre Kntwickelbarkeit in Pot^nzreihcn,*) die Definitio^ der Periodicitütjiraoduln («iudice« de periodiciU*) eine Integrals und die hieraus resultirende iVriodicitui. der Vt kebrungafunctiünen.') Ob^bon die Priorität Caacby'a ii diesen und einer FU-ibo daran anknöpfender Fragen wnhT Dieuiak ejnt»iUcti bestritten wurden ütt, so erscbien hm mix
1) Nouv. KxcK. T. IV |f. »46 (IS17). Hi(tr ßnd«t «iob wnlil ufl «nten llalo der Auadnick .moDogen* Dod deuen DeSoiliOD doro dia BediBRUDRr
^ ZtM>rat in einem 1632 tn Törin b^raunijefrebenon Itibd phirten Mämoirt* («ricder ul>(!edrDt;kt IB-tl im i. Hnnd« der Nouvd Ks«re. p. DO). In anderer Form: Nmir. Kier«. T. I p. 2H9 (1S40).
S) C. R.. T. 23 p. 669 (18461 [)t«M Abkaodhiag eothilt Uia •Kobiieb di« volUt&ndig« ürnndlaiK« na dit notlerne Thtorie d« •lliptiaebM und Ab«l*aclteB FancÜnnea,
cntli
^5—, " in die Voraiwsetzuiiq aiifnimuil), so i^cheint mir
A. Pritufxhrim: üeber dm Cituthy $dteH InteffraUtUe. 4:7
h Angemessen, bei dieser Gelef^enheii uinnial uub- cklich liierauf hinzuweisen, da sich neiierdin^ eine ^e- Tendenz bemerkbar gemacht bat. die mit Recht ausser- ich hohe ächälzting der Veniienste Rieuiann*» tiiu die Kutwickelung der Kunctionentheorie bis zar üeber- schätxuug auf Kosten nicht minder verdieostToller Mathe- matiker auszudehnen.
Läs-st sieb nun anch gegen die Stiefahnltigkeit des 7.11- letzt besprochenen Beweises keine l*Iinwendung machen (falle man noch die Stetigkeit oder wenigjtten.s Integrabitität von 31' 3X
derselbe in Bezug auf Einfachheit und Natürlichkeit der Methode noch keineswegs denjenigen Anfonierungen zu ge- DÜgenf welche man an den Beweis eini"« so grundlegenden, gleichsam im Anfange einer aui^gedehnten Disciplin stehen- den Sttt/*» fU'llun niüchte. Die Herbeixiehung de« Doppel- integrnlä wird, rein methodisch betrachtet, immer als ein nicht hinlänglich £u motivireuder Umweg erscheinen und wirkt erfahrungsgemäß bei der Einführung in das Studium der Functiunentheorie fUr den Anfänger äusserst erschwerend.*) Ich habe daher vorÄUcht. einen neuen uud, wie ich glaube, sowohl hinlänglich einfachen, als strengen Beweis abznleitrn,') dessen Mittheilting den Hauptzweck des vor- liegenden Aufsatzes bildet. Ich ben(il/c diese Gelegenheit,
*t Die Schwierigkeit, welche die Ableitung der Green^scben Keductionsformcl dem AnnUigcT lu bereiten pflegt, hat Kronecker (ff. Berliner Sitiunfjsbericlite von 168S p.786 und Vorleaongen Ober Integrale p. 37— 41) dadurch jti Tennindern gesacht, da.M er die fragliche Formel innftchst fttr ein Dreieck oder ein Rechteck beweist und aodann das allgemeine Resultat mit Hnlfa eine« Grenx* Qbergangei daraas znBamniensctzt.
'*) Der»elt>e berührt aich in tnancber Beziehung mit den Be- tmchkungen, welche Herr Thomae Über die Integration swei- filiedriger DJRerfntialiea angestellt hat (1. ISinleibnng in die
Sitrung der math.-ph^s. Clane vom 5. Janwar 1896.
lim etwas geoaaer auf die Definition eines Integrals der Form jP'dx H" Q'dif^ erstreckt über eine Cune. einzugehen »ml dubei gewiRHe Punkte zur iSpraehe zu bringen, die vi«llüirht vielfach bekannt, aber meines Wissen« noch niemals scharf pr&cisirt worden sind.
Schliesslich will ich nur n<x;h bemerken, daas die im Folgenden benützten Methoden auch eine VeraUf;emeinenu>g für die Betrachtung ein- und mehrfacher Integrale mit mehr als zwoi Variablen gestatten. w(jrauf ich vielleicht bei späterer tjelegeabeit zurück'/ukomnien gedenke.
S 1. Definition und allgemeine Eigeoflcbaftea eines Curven-Integrala.
£■ Bei:
(I) y}^9{^
ftir da6 Intervall 7q<^<j; eine eindeutige und fttetige Function von f und zwar insbeüoudere:
ferner P {$, »}) eine gleichfalls eindeutige und «tetige Function von {i, t}) für alle Werthe .f dea genannten tnter- valles und die durch Ol. (I) zugwirdneten Werthe von ly. Atädann hat da» bestiinuite Integral:
einen festen endlichen Wertfa und soll beKeJchnet werden aU das Integral von P(^, r/)><ff, genommen Ober den Inlegrationsweg G in der Rieh lang x^ . . . z, in ifCeicben:
Theorie der beititnmtcti lotei^rale p. B6 IT.). Doch wiri aalbft von oiaer ÜefinitioD dci vDbeitinimlnn iDtetrnJ* {P'ix-\- Q'djf) aiufrtgaDg«D. wodurch die fruixc Beweiifübraa); wirr wweaülch aa Binikcbheit and Durcbtichtijjkeit *erli«rt.
A. Pritiffitheim : Uehtr «leti CtMuh^wehen IntegriÜHatt. 49
(+0) «•
nn C diejenige Punk treibe bedeutet, welche der Gleichung
- *f. {$) bezogen auf irgend ein Coordinutensystem — etvu,
wir der Einfachheit halber unnebmen wollen, ein ge-
5hnliches rechtwinkelige» — entspricht, während die Be-
cbniing (-f- C) andeuten soll, dass diese Panktreihe bei
Integration in der Richtung der wachsenden X durch-
Xen werden soll. Wir pflegen diese Punktreihe scblecht-
bN Integrationä-Curve und da^ betreffende Integral als
Curven-Integriil 7.u bezeichnen, obscbon hierl>ei keines-
fegs stets an eine «eigentliche* Curve d. h. eine im allge-
einen mit einer bestiuimten Tangente ver!>eht!ne stetige
sie zn denken ist: denn that$ächlich genügt fOr die Exiäben«
obigen Integral« die blosse Stetigkeit von fp($), ohne
muu genüthigt wäre, über da» Vorhandensein eine» im
i^enieinen bestimmten, endlichen Ditferentialquotienten
{endwelche Vorauaiietzung zu machen.')
Bezeichnet man mit ( — C) die nämliche Curve, falls Integration in der entgegengesetiGten Hicbtuug vorge-
*) Gerade au* diewm Orunde gpbo ich drtni hier eiii(feechlitÄenen
^t den VorEug vor dvu fa^it a)]ffemo)n QbltcbeQ, wobei dat Tnte-
ht zunächst al5 Grenzvcrth einer Samme detinirt and sodaan
«ea Kxi&tens mit UUlFe einer ParamtiterdaralelluoK von der Form:
f=9'(0
>)=V(»)
naehg«wteaen wird. Bei dimem Verfahren tii die VoraiuMtxang einei ictegrablen Differentialqnotientea *//' (0 nod ebenio ßr da« so* gleich noch eiozufQbreiule Integral J^ V <• 'J ' ' '^ 'i' '^'^ analoge Vorau»-
setrang bezOglich v'' i^) nnerl&nUcb , was mir aoi dem Gnmde wenig wOnscbenswerth erflcbeiot. weil hierdurch die Vorstellung von dem Zuitandekommi^n einea solchen Integrals nicht nur «ine xu i»ng begrenzte, sondern lo gewissem Sinne g(<radexu eine principiell nn- richtige wird, wie tpftter n(>ch de« n&heron erOrtert werden soll.
IA«!i. M«tb.-pli]rK. Ol. 1. i
'»(' Sitzung drr math.-jthjtf!. Clasne rom 5, Janmar 189S.
nonomen wird, so folpt ohne Weiteres aas der obigen Definition, da^^:
(3t fP(£,^,)'d=- fP {$. r,) d i
und ferner, wenn man die Curve C in eine beliebige Anzahl, in dem gleichen Siune wie C zn durchlaufender Theücurren f,. (y = 1, 2. • - ■ ?(i zerleg denkt:
(4) fF (~. ,,) - rf r = y^vfP ü% M ■ rf i.
'<'» 1 (Cr)
Schliesslich erkennt man auch, dass das Int^ral (2) einer ganz analogen Mittelwertbrelation genGgt, wie die ge- wöhnlichen liestimmten Integrale einer Veränderlichen, niimlicb :
(5) fP a. tji-(lc= P($'. */| - {x ~ xj
wo (^'. t/) ein passendes Werthepaar aus dem Gebiete:
also einen gewissen Punkt der Curve C bedeutet. Diese He/.iehung lehrt insbesandere, dass der Integralwerth gleich- zeitig mit {x — Xq) gegen Null convergirt (d. h. zunächst immer unter der A'^oraussetzung. dass v=V (^) **"* *'"" deutige Function).
Hut die Olt'ichiing t/ = ff (c) die specielle Form i; =yo' W(. //(, eine Constiinte bedeutet, d. h. reducirt sich die Curve C auf eine zur X-Axe panitleh' (ierade. m> folgt ohne Weiteres \\\\> der Pftinition. dass:
■r
( 'i } fP ( c. ,,)->li= J ^P ( £. y^) • d i
wird. Dagegen i>t der Fall. dii>s 6' sich auf eine Parallele zur l'-Axe reducirt, in der oben gegebenen Definition nicht iMith:ilten. Denkt niiin ^ich jfduili iils liitegrationüciirve C
4' Prtn^^lwiM: rtl*€r iUn Cai4chi/'iehe» tnt«ffraJtttU. ^l
eine beliebifue andere Gemde x^x, so lehrt der [MitlHw«rth«atK (5), cUm dfir betreffemle Integralwertb b^ ibebig kUin wird, iubald die Keimung der Oontden gf^en IHi* y-Axfr d« NiilJ «üÄtrubt, und man wird daher der bis- Lber gc){pbnDeti Deflniliun iiüch die (jlcicbMn^:
(Vi
ron«*t|urnU» KrweiUrunbt hinv;u/.iifüi,'pn haben , fdr den L^aU. dui die Curre C in die fragliche Verticale (Ibcrgeht.
Di« Ol. (4) kAnn jKxtann daxu dienen, um deu vor-
\nU*^n\\>ei^\ti auf «oläbe Kälte aunzudehnen, in
P'ieseti i; = 7 (c) eine mehrdeiitig*< Ht«?lijj;e Function von
darjitvlll. bulern dieselbe nar der Beacbrüitkung unUerwurfen
wild, dam «ich das Intervall (x^x) in eine endliche Anzahl
ltb«il%rej«« od«r gänzlich sich Qberdeckeuder Intervalle (j:^x,)-<*
|l«2-t'j'* * • (''w-i JJ»)*) umformen Vastsi^ für welche dann die
litt. tf^s^,(^) ersetzt werden kann durch ein <*leicliunf;s-
|v;nt«ni foo der Fonn:
,=M^ir,i^ für: 4r„<f<a;,
'/ = n u>
'/-»-.U)
|«o jeUt ^|<^) diircbwet; eindeutige Fiinctioneu bedeuten. et bt »och xuUluig, dun f(lr eine endliche Anzahl von ■- ^ die Varinbie i/ in der Weise unendlich viel- , j, dadh »ie bei constautem *=J"« eiiu^ oontinuir- lie W«Ttbenr«be y^, ■ ■ yj, durcbtäuft (geometrisch Re- l*|inxb«o. daM «inxelDe SlQcke der Integrationscurve C aus
Ufclwi kikiiD alao iiitbemniUr« x^ _ , beliebitt od mit -to- d««gL
4"
5'>
SiUuruf tlcr math.'j)hi/». Ctasse vom G. Jannar /tiJ>2.
aus verticalen Geraden bestehen), ^todass uUo 7.u d«ji Glei- chungen (8a) noch eine endliche Anxahl von Beziebungfii der Fomi:
(8 b)
!/fi<*l<V'f, ftjr; i^x^^
hinzutreten würde.
Kine Function ij ^ 7 (t), welche den ebengenannU*n Bedingungen genOgt, soll in Zukunft nach bifkannttni Analogien als abthcilungsweise eindeutig bezeichnet worden.
Bedeutet dann wiederum 0 diejenige Curve, weh;he der Gleichung ij = v {£) zugehört, Cr diejenigen Theilcurren, welche den Beziehungen (Kh) und (8h) entsprechen, 50 soU die Det'initionsgleichong gelten:
(9)
fP (5. ,/) . rf f - ^rfP (f 1/) ■ d f
10
1 (<?!.}
sofern alü Integrationsrichtung fUr die einzelnen Curven Cr diejenige feflLgehulti'n wird, welche sich bei stetiger Durch- laufang der Gf^ianimtiMirve C in dem einmal vorgeschriebenen Sinne ergibt.
Die Gl. (9) kann ferner auch sur Delinition des frag- lichen Integrals dienen, falb die bisher auf (C) ab dun*h- weg Atetig nugenommene Function P(f, t;| in X^,x^,''-Xu endliche UnHtetigkeiten besitzt, und es hat keine Schwierig- keit diese Definition, nach genau denselben Principien, wi«
«
fOr Integrale der Form J/'(f)*f2f, auf den Kall auszudehnen.
da» ji*nc Stellen jp,, x,, • ■ • gewisse unendliche (M>g. unaus- gedehnte) Puuktmengen bilden: hierauf «^oll indea^n nicht nSher eingi^gaiigen wenien, du eine 'lenirtig** Bot.rachiaog mir keinerl*»! Iiesonderea Intero>-se zu bieten -wlieinl.'l
'/ Auch ül^erdcJif» ich hier <icn Fall, dft'-s /'i.e.'/) a-.i o
Stidlea uui'ndlich jfro« «inJ, und renreii** in dltMier IJ< .f
die allgemein Qblicbe ßeliaadlung« weise.
A. PriHg^eim: Ueher den Cnuchy'schen InteffraUatt.
53
bedeute nan ferner $ '^^(tf) eiue für daa Inlerrult o^v/^y stetige und schlechthin oder abtheilungs- rci*e eindeutige Function von ;;, Q{^,t}) dne fftr die eben genannten VVerthe (f » »;) eindeutige nnd schlecht- •bin oder abtheilungsweise stetige Function von (f. i;), ist aus dem ^nvor gesagten vollständig klar, was iintei* invm Int4?gral von der Form:
sa verstehen iat, falls C die der 61. f = v(i;) zugehörige Curve bedeutet, nnd mau erkennt ohne Weiteres, dass dieses lutegrat ganz analogen besetzen gehorclit, wie das unmittel- bar zuvor betrachtete. Insbeeondere wird:
(10)
bezw. fQ{lv)-d'i = 0,
falls sich die Integrationscnrve C auf die zur Jf-Axe parallele Gerade $ = Xq, bexw. auf irgend eine Parallele zur JC-Aie reducirt.
Man habe nun schliesslich gleichzeitig:
(H)
f '?=V (t) für: Xa<S<X
(swlasH also i/' die inverse Function von q> — vice versa), wo 7 (f), 1^' {t}) in dem bezeichneten Umfange durchweg stetige und schlechthin oder abtbeilnngsiveise ein- dentige Functionen ihrer Argument« bedeuten. Ferner seien P {3. r/), Q (;, //) zwei ffir sämmtliche durch die Be- dingungen (11) definirten VVerthepaare (^, rj) eindeutige und schlechthin oder abtheilungsweise stetige Func- tionen von (f. */). Alsdann definiren wir:
M , jBftWMg dtr math.'tAffit, Ctnsst mm 5. Januar t89S.
(12)
falls C die durch jede der beiden GleicliungeD (11) stellte, jedesmal in demselben Kicbtangtt>inne xu nehmende Cürye bedeutet. Dabei liUst »Ich die auf die Sleiigkfl^ und KindHuh'gkeit der beiden Kuucticmen 7 (f) und y^B l>«zQglicbe VDran»setxong leicht so uniformen, dn^ Kchlie^«- lieh nur von irgend einer dieser beiden Fiinctionrn da^l die Rede ist. Damit uümlich die im Interrnlle x,,_, <f <r1^ eindeutige uudHt*»tige (Timction 1; =» /^^ (f ) eine im Intet- valle y^_i = 9^ (*r-i) **'* ^» = VM«,) eindentige stetige Uiukehrung $='/'»(*) besitw, ist offenbar not wendig und hinreichend, das^ r/ = ^^(;) mit wachs den Werthen ron ^ monoton zu- oder abnehme — ▼! versa. Hiernach lässt sich aber die obt^n nusge^procbl l^iDgnug eiufucber folgondernniäsen formuliren: V^ mi eine der beiden Functionen 9'(c)< </'('?) stetig, endlich- Tieldeutig und abtheiliingsweiB© monoton sein — wo- bei nach dem frfllier ßesagten rj oder t t'flr eine fndli« Anxahl endlicher Intervalle auch constant sein durf.
Wenn in Zukunft von einem .beliebigen' Integration Wege die Uede ii^, so soll immer ein solcher daruntrr titanden werden, welcher die eben näher bexeichni.'ten Eig< Schäften be$)ttzt. Dabei »ei aber auch hier ino<ler ganx drflcklich hervorgehoben, daas die obigen Bedingungen wie um noch keinerlei Voransset/niig be/Ji^lieh der Existent «/(f) bcÄW. V' {•?) involvircn. Denn es gibt Lhaütfichlj atetige und beständig monoton zu- oder abnufamei Functionen (altia auch ohne sog. ItivArinbilitHt^ninge), nicht/Mlwlowrnigur für unendlich viel» Sttdien jede» Int Tallee {z. B. alle rationalen) entweder unendlich gr oder Oberhaupt keine beatimmteo Üiff«retitial[|uoti«nt«i)
A. l'riiHjgheim: üeh^T den CnHchy'gd%tn lHte<jr<tiniits. 55
j^^hceil.') Mir scheiot üiea iusoferu von Intere^e, aU von
^^et Existenz eines zum Mindesten intef^rablen DiSereiiLial-
einotienü-n 7' (f), oder genauer gesagt von der [titegrul>iUiät
des Ausdruckes r 1 -j- '/■'* ii) • ä c. die Existenz einer Ijb- [i'stinmitpn Bogenlänge der Cnrve in dem gewöhnlich accep- 'tirten Sinne*) uhhangt. tind «ich hiemach die, wie ich glaube, ziemlich vielfach verbreitete, auf der dblioheu Paranieter- irstellnng der InU-grationficurve beruhende Annahme aU ig erweist, da« die Existenz eines bestimmten Werthes ein Ciirveninte)?ral wesentlich mit derjenigen einer tioioiten Bogenlünee ( Rer titicirbarkeit) der Integratiom*- rve zusammenhänge. Wie die hier angestellt« Betrachtung •igt, ist die Existenz einer bestimmten Bogenlänge f(ir das Dtegml völlig belangtos. Weiterhin wird sich aber auch ergeben, da-ss in Kutten, wo eine solche Bogenlänge
stirt, ihr Werth auf denjenigen des Integrals JP'rf^-|- Q^dti
(ff) überhaupt keinen merklichen Kiofluss ausübt, genauer ge-
^t, da^ Curveii mit angebbarer, endlicher LängedifTerenz
rale liefern können, deren Werthu einander beliebig
Balie kommen (NB. ohne dass Aber P(f, »;), Q{$,i)) irgend-
velcbe weitere Voniassetzung gemacht wird).
') s. s. B. Cantor, CondenBation der Singuluritftten. M:ith- Bd. 19, p. 591. Feroer: Dini. Theorie der Functionen etc., B. Ton Lilroth-Schepp, § I12*. Ein anderer Typofl »on der- ürtiK^D Fnnctifmen; ebend&aelb^t § 1S2.
2) cf. Du Boifl- Heymond, Eriauterunfien zu den AnfanKt- TOnden der Viu-.-Itecfaouufr. Math. Ann. Bd. 15. p. 28&. Bekannt- lich hat Scheeffer (^cta math. Bd. 5, p. 60) fUr den Fall der Nichts ■ dstens Ton fY'^ f + '' 7* eine erweiterte Detinition der Bojien-
JLnge gegeben. Doch lasHen lich dagegen Einwendiinften erbeben [(cf Du Boi»-RejmODd, Acta roatb. Bd. 6, p. 167), welche biiber nicht viderl^gt worden iind.
bü
SiUtm^ der malh.-pftya. Cta/i»^ eom 0. •/nwnnr lti9X
^ 2. Angenäherte Darstellung eines beliebigen Curven* Integrals durch ein sogenanntes TreppeniniegraL
Eine gebrocheno', beiiebi»^ auf- ond '•---' f ■ -tc. deren SKlcke den Cfrordinatemis«» weci -1
laufen, soll im Kol^nden Bchlecbthin aU rine Treppe odd. fuIU der Endpunkt mit deiu Aufiin^puiikte 2usaaiiiii*niiitlt, tk\s eine geschlossene Tre|i{ie oder uIa ein Treppen- polygon bezeichnet werden. Kin Inlegrtil. de^KKin Integration»* weg eine solche Treppe iat« soll dann kur^ ein Treppen- integral hpis^en.
Ks sei nun S diejenige Trepjw, weiche durch di<r Kck- punVt«:
bestiainit wird, ho bat man mit BrniGtzung der Gleichungen (<)), (7). (10) offenbar:
(13)
Es soll nun gezeigt werden, das« «ich jede« CurveD- integral mit beliebig vurzuächreibeuder Annüheruog durch ein ««olcbett Treppen iutegral erttetieen titist, Kobald sich die Stetigkeit voD i'(f, i/), Q{$tfi) noch auf eine gewisae Naclibarschaft der Inti^gration^f^urve eratreckl
Ich nehme ah IntegrüHonHcurvc V /utiiichst t-ine von «0 b>> J^ monoton verlaufende, etwa^ um die Annchaumig ^M flxireu , beständig aufsteigende Curve. Ferner M P{:,ti} eine eindeutige nnd «totig« Function von (S, ij) nicht nur auf der Cnrre C, rondem noch fOr ein gewiaw» benachbarten Gebiet kuiu Miitdentrn auf «iner 8«it« d«r
A. Pfinifdiem : lieber den Caut^^Khm InleffralwUt. 57
arve -/. B. der rechten: dieses Gebiet mftg bei x^ bezw. x
ch ein gerades LinienstOck parallel zur X- bezw. F-Axe,
Uebrigen D«itlich durch eine beliebif^ Carre beyfrenzt
ein, lind zwar sollen diese Grenzen mit zum Stetiffkeit«-
ereicbe von P (c. y) gehören. Alädanu ist nach einem be-
nnten Satze P{£, r/) für das definirte Gebiet gleicfamässig
etig, d. b. nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven
irüsse o lässt sich eine positive Grösse 6 an bestimmen, dass:
lu) \P(^.fi)-P{S.v)\<<
fär:
■ _ £|
\
<d.
ofem (i, r/), {$'. tf) dem fraglichen Gebiete einschliesslich
einer Grenzen angehören.
Man theile nun das Intervall (Xf^x) dnrch Kinschaltuog 3cr Theilpunkte 3^^\ ^*^^ • • • a;<"*'" in irgendwelche Theil-
stervalle, deren Länge durchweg < d sein soll. Es seien
eruer y*. i/^K-- y*"-'' die zugehörigen, auf der F-Axe verzeichneten Curvenordinaten. Sind dann unter den luter-
ftUen (y ~ yi ) solche vorhanden, deren Länge y — y (), so kann man durch weitere Theilung erzielen, daae schliesslich nur Intervalle < d vorhanden sind. Die auf diese Weise zum Vorschein kommenden y-Werthe (d. h. die früheren y^' und die etwa noch eing«»chaUeteu) mögen, der tirösse nach geordnet, bezeichnet werden mit:
yi. yi-
yn-u
und die zugehörigen Ourvenabscissen (unter denen also die ursprünglichen x(^> mit enthalten sind) seien:
«1. ^t
Xm-U
Alädanu denke man »ich diejenige Treppe Gonatruirt, Fwelcbe durch die Punkte:
(«otyo)i (^ryo)i (*ryi)»--* (*«-i,y»-!)» (^.y.-i)t (*.sr)
58 Siteutu/ der math.-phys. Clasne vom 3. Januar ia95.
bestimmt wird, und bezeichne die TheilcurTen, in welche ü durch die Punkte (a;»-, yr) (v = 1» 2, • • • (n — 1)) zerlegt wird, alle in der Richtung der wachsenden f gerechnet, mit
Cji Cj, • * ■ Cm*
Man hat nun:
M
1 (NB. x, = x)
^v_i < ^f- < a;r y^_] <r}y< tfy.
Andererseits ergibt sich:
wo:
I
(NB. x.,=^x)
wo:
j,.-i <t<'"'<a:,..
Hieraus folgt zunächst:
H
1
lind da offenbar:
^f — i '^ < a;.- — j;,-_i < «^ //*■ ' i/y-i <yv — yr~\ <'^
PO findet man schliesslich mit Berücksichtigung von Uiigl. (14): (15) f P-ili — fP-iJ^ <n.(.r — aTfl).
A. Prifigdteim: Uther den CaMckj/'nchtn Integnüaal!. Sw
[•Ganz analog ergibt sich:
\ fQ ' ti fj -fQ - d ,,\ <a{}, - fj^)
ad AUS der Ztidauimenfas^mig beider Kesnltafee:
L i/(^-<?^ + ^ ■ ^ '/) -f(^ • ''-= -1- ^* • f'v) I
<o[(x— x„) + (y— vo)].
Da aber jeder beliebige Inlegrationsweg in eine eadliche Lnzahl solcher Curven C zerlegt werden kann, so folgt chlie-sslich ganr. allgemein die liie-htigkeit deä ubeu ausge- prochenen Satzes.')
Da» vorstehende Kesnlbit wurde »war hier wesentlich
(eäshalb abgeleitet, weil dasselbe geätatiefc. den eigentlichen
beweis des Cauchy 'sehen Satzes auf ein Rechteck zu be-
chränken. Dasielbe kann indessen auch dazu dienen, um
iie !i(n Schltidse des vorigen Paragraphen gemachte Be-
I) Der nnatytiiche Betriff des .Treppenintegrals* und die eben liewipsene UezieliunR zwischen bpliplnpcn Curvenintetjralen und 8oK'h<?n TreppeoiDteKralcD ist natürlich vGllig uuabbängig tod der hier leditf' lieh der ftrOueren Anifchaalichkeii halber und nanientlirb mit RQck- «icht auf die übliche Oaretellung ein?r cumplexen Variablen se- wählten Auffas^oDg too f und p) als rechtwinkligen Coordinat^n ^bnnee Punkte«. Ein Treppen integral ist lediglich eine Summp von
H'Quadralaren der Korm Ji*{S,!f)dS, J Q (r, t?) </ >/. wobei im ersten
Integral tf = jf^—i bezw. = y^, im zweiten x^x, besw. =X|,_i tu setsen ist Cnd der obige Sats, von jeder geometrischen Vorätellung
Jp;
loigelttat, beeagt, dass ein Utegral der Form J P*df + ^'d';,
zwischen ; und t; eine Beziehung von den näher delinirten Eigen- Ruhaflen besteht, stets mit beliebiger AnnAhemng durch eine endliche Anzahl solcher Cjoadraturen ersetzt werden kann.
(»O
Sittttng def malh-f^y». Clawe vom 6. Janitar 1695.
inerkniif? in sehr einfacber und Anschaulicher Wei^ »u er-^
Nimmt Dian nanilicb als Tntngratiou<teiirve C »ine die Punkte Xq und x- verbindende (ji*rade, deren Lün^e aisu den
Werth y {x — x^,)* -j- (y — ^/ol* besitzt, so kann man nach dem eben Gesagten das betreffende Integral mit beliebiger Annüherunjf dtirr.h ein solche« Ober eine Treppp ersetzen, welche utlcnbar die unveränderliche Lunge [Jt — x^ -{- tf — y„| besitzt, wie klein man auch die Abstände ihrer Eckpunkt« wählen mag. Mit anderen Worten: Bei unbegrenzter Verkieinemnjf der Treppenstufen convergirt der VVertb de* 'IVeppenintegrftls genau gegen denjenigen des gerud- linigen Integrab, ob«choa die beiden Integrationswege die unrerÜD der liehe LüngendifFerenx \ x — ^o I "1" V — Vo \ K (X — x^)* -h (y — tft,)* besitzen.
§ 8. AnÜsteUting einer noibwondigen Bedingung für
die Unabhängigkeit des Integrals J ( P ■ r/ 5 + V rf r/
vom Integrationswege.
B p B ü , E!js seien Pfjj. y), 0(x, y), ;j— , ^ innerhalb ein» ge-
tf y 3 X
wijtMju (ein- iider mehrfach) y.iu<amnienhringouden Gebieten T
eindeutige und im Allgemeinen stetige Functionen too
(x, y). Abdaon gilt der Sat/.:
■Soll dab Integral /p-rff + Q-Hif) er^lreckl Ober
eine beliebige innerhalb T verlaufende Carte «inen lediglich ron den Grenzen, aber nicht vom Inte- gra tionitwege abhängigen, bestimtziteu Wertb be- sitzen, «0 musB fUr jede Stelle (x',y') in deren l^m- gebuug die oben genannten Functinnen utetig sind, die Besiehaug beftteben:
A. PfingAMmi Ueber den Caudt^gdUH TnUtfratsatM,
61
Beweis. Soll das fragUctie Integral vom Integrations- ^ege anabhängig sein, so niuss offenbar jedes fil>^r eine ein- Kch gescliloi-sene, innerhalb T vurlttufcnde Linie erstreckte Inti'gral J{P • rf s + Q • <i u) verschwinden.
8ei nun {x\ y') ein beliebiger Punkt innerhalb T von
Be^chafTenbeit, dass die vier genannten Functionen ftir
gewisse Umgebung derselben stetig mnd. Ali^ann denke
sich parallel za den Courdinatenaxen ein Rechteck R
anstruirtf welches einschliesslich »einer Begrenzung ( J2) noch
In die betreffende Umgebung des Punktes {x\y') hineinfallt
md diesen selbst im Innern enthält- Bezeichnet mau so-
lann irgend einen Eckpunkt (etwa den linken unteren) von
mit (Xq, ^g), dagegen mit (x, t/) jeden btiUebigeM Punkt
^m Innern (einschliesslicb des Punktes (x', y')) und mit r jedes
Jurch die Punkte (j^q, i/q) t^« v) bestimmte, zu den Coordinaten-
leu parallele Rechteck, so muss offenbar die Beziehung
itattfinden :
(r)
h. man hat für alle Werthe {x^ yi) des genannten (tebieteä:
fP (^ yo) * rf ■? + 'CQ (^1 v) •'/'/+ fP (f. y) • rf f
[oder anders geschrieben:
(18) W,{x,;d^W,{x.y)
wenn gesetzt wird:
(20) yf,{x,y) = iQ{x,,*j)-df}-{-SP{^,!,),d^.
62 Sitzung der maih.-phys. Clasne «wm 5. Janunr 1895.
Aus Gl. (19) folgt sodann durch Differentiation nach y:
(21)
•v
= <?(^,y)
und aus Gl. (20) mit Berücksichtigung von Gl. (18) durch Differentiation nach x:
(22)
3a: ^x —^^^^^>
und hieraus durch weitere Differentiation:
(23)
dx
dx\dy)
Da aber die Gleichungen (21) — (23) lehren, dass mit
°(.,.),V(.,.),VVa' "-"?!■• ?'a^(S-
dl/ d X d X d y d y ^ d X /
— i / stetig .sind, so gilt die Beziehung:
d
\dx / dx\ dy /
und man Hndet somit nach Gl. (23):
dP _SQ
d y d X
(24)
fttr alle Werthe (x, //) im Innern des Rechteckes Ä» ins- besondere also für x = x\ y^y — womit der oben aus- gesprochene Satz bewiesen ist.
A. I'rinffhhtitti: flrber dfn Caueh^'Mhen SntfijraUatx. f>3
g 4. Der Cauchy'sche Satz.
2 P d Q HRU])t9at7.. Sind l'(j;,i/), ^(x,y), — , --- inner-
Dalb eines gewitiflen (ein- oder mehrt'acli) xiisatnuien- längenden Gebietes T durchweg eindeutige, end- llichp lind stetige Functionen von (4f, .v},*) welche der [Bedingung genügen:
(24)
BO verschwindet das Integral S{P-d£ -j- Q-dtj) er- rfltreckl über die vollständige Begrenzung jedes in- loerhiilh T liegenden zusninmeubängenden Ftäehen-
[sttickes. I'nd es ist }{P'di -\- Q- dt)] fflr alle inner-
'a.jr*
balb eines einfach zusüninienbüugenden Gebiets- tbeiies von T verlaufenden Integralionawege eine I eindeutige und stetige Function IK(x, y) mit den partiellen Uifferentialquotieuten:
^U,y).
Beweis, Zunüchät 1ä.s&tsich zeigen, dassJ(P-c/f 4- Q-*''?) erstreckt über die Begrenzung eines vollständig innerhalb T liegenden UecbteckB R den Werth Null hat.
Ks seien {Xj.yJ, (x,. j/^,), {x^,u^). (oTo- --/i) «^i« Kckpnnkte von iJ, (x, y) irgend einer und jeder beliebige Punkt im Innern oder auf der Begrenzung vun R. Alsdann definire ich fOr diese« Gebiet R zwei Functionen W^ (x, y),
>) Es lind somit die geoiianten Kanctiooen gl e i c b in Ti ssi v Btetif; im luDcrn und auf der Bepren/nng jedes innerhalb T liegen- den Geliietet /", wobei man ille Hegrcnz-ung tob T derjenigen von 7* beliebit^ nahe brinKeo kann.
64 Sitzung der math.-phys. CIcuse vom 5. Januar 1895.
^i {^1 y) ^ diejenigen besonderen Werthe des Int^rab
V
i{F-di-{-Q-dtj), welche sich ergeben, wenn man ein-
mal auf den Schenkeln des rechten Winkels Ober (x, y^), das andere Mal Über (x^, j/) bis {x,y) integrirt, also:
i2rj)
(a)
(b)
Es sind hiernach W^ (a:, y), W", {x, //) fßr das betreffende Gebiet eindeutig deBnirte, lediglich von (x, y) abhängende Functionen, und zwar hat man offenbar insbesondere:
(26) Tr,K,yoJ=Ti;(a:o,yo) = 0.
Mau erkennt ferner leicht, dass W",(x,y), W^{x^y) stetige Functionen der beiden Variablen (x, y) sind. Bezeichnet man mit A, k zwei beliebige (positive oder negative) Incremente von X, y (wobei die Stelle (x -j- A, x -{- k) auch eventnell ausserhalb von R fallen kann, in welchem Falle h^t von vornherein so klein anzunehmen sind, dass das durch die vier Eckpunkte: (x^, y^), (x + Ä, y^), (x-f A, y + Ä), (x^. y-fft) definirte Hechteck noch innerhalb T liegt), so wird:
>V;(x4-A, y'\-k) = iPU^,!,,)-d^^SQi^-\-f^>V)-d*i und daher:
M\ (X + A. y + /c) - ir, (x, y) - X P (.^ y„) ■ d S »+* * '
-hJC(x + //,//)-rfv + J'{V(x + A,v)-e(x, Vl}-rf'/
U Ho
= A . P (x + /> A. y„) -\-k-Qlx-\-h,tj-{- ^'.Jt)
+ '■{',' (X + A, yo + .'/'.. I) - <;? (X. y« + /9"..J)}
Ä. Pring»heim : Uebtr den Cattchy' sehen ItitegräUaU. 65
>: J = y — y^ und ^, ^', <?" ia den Grenzen 0 - * I liegeu. iDa die Stellen:
(x + Ö.A, y„). (x -h Ä. y H- Ö'-A), (j; + A, y, + fl".. I), (x,y,+ r.J)
iniilich dem Qebiete T augehören, so kännea die beiden ersten Glieder der rechten Seite wegen der Endlichkeit von P{$,ti'), Q{i,t))-, das dritte wogun der Stetigkeit von Q{i,*j) durch Wahl einer oberen Grenze für h nnd k be- liebig klein gemacht werden, womit die Stetigkeit von TT, (x,y) dem beliaupteten Umfauge »rwieäeii ist. Ganz untilog er- innt man aber auch die Stetigkeit von \\\ {x, y).
Ferner ergibt eich durch DiSerentiation von Gl. (25 a) nach y nnd Gl. (25 b) nach x unmittelbar:
(27)
Vy' = ^<->^>' S = ^(^'V)
und sodann ans (25 a) durch Differentiation nach jp zunächst:
y^* = /'(:r,y„)-i--^J(^(x,v)-d»/- ax tf * t/t
In Folge der gleich määsigea Stetigkeit von Q (x, rj) ah Function der beiden Veränderlichen (oi, ij) darf man im letzten Gliede die Ueibenfolge der Differentiation und Inte- gration vertauschen und erhält daher mit ßerUck-sichtigung der nach Voraussetzung bestehenden Beziehung (24):
-=/'(x,y)-P(x,y.J
IM^. Hatli.-pbTB. OL 1. E>
66 SiUwtff der m<KA.-p^8. (^a*M vom &. Januar IS&S.
und somit: (28a)
^^-(-*)-
Analog erf^bt sich: (28 b)
f = .(..,).
Die Gleichungen (27), (28) lehren nlso, dass für all (3t<,y)j welche dem Innern oder der Begrenzung von R un- gehören, die Be/.iehungen bestehen:
9x 3^ 3^ dif
(29)
und est können daher die für da.*^ nämliche Werthegebiet als stetig erkannten Functionen H", (z, v). ^^'i (x, y) nach einem bekannten Satze hüchstena um eine additive Coiutlante ver- schieden sein, welche aber oS'enliar den Werth Kall haben muea, da nach Gl. (2G) I^, (aro.Vo) = 'l't (^o^Vo) ^^^ J***" findet somit echlicaslich insbesondere:
(30)
w^i(*,ty,)-W',(«py.)
«fj»!
d, h. das Integral }iP'd$-\-Q'dti) er»treckt H bor je ob
Paar anatoasender iUcbteckseiten hat den gleichen Worth. oder andere ausgesprochen : Das Integral, continuirlicb er- streckt Über die Begrenzung den Rechtecks, hat den Wcrlb Null.
Angenümmeu nun, uiau habe ein innerbulb T liegendei. Ton einem oder mehreren Treppen poIygonen roUtsändig be- grenztes zutianitneuhlLngendes KlacbenHtflck 5, ao lU^t sich ein «olohe» nieia mit Htilfc einer endlichen Anzahl ron Parallelen zu den Coordinatenaxcn in eine endliche Aniah] von Rechtecken r»(v = 1,2,- • • ») zcrlegwi, deren Hegren- £ung theili ron den einxelnen Stocken der onprOnglic
A. Frins*f^mt.- CTrUtf lMb*lfaWty*acftf w Inte^alMtt,
fi7
Trtppenbegrenxaog, theiU von Stllcken jener Hal&Iinien
gcbüd«t wird, und zwar gehört jedes IStQck der ursprüug-
I liehen Bagreniun^ nur einem eiazigen (r^), dagegen jedes
I Stfiek einer HQlfJUinie statu zwei beitac.hliartun (ff.) gleich-
«itig &u. Mau hat nun zimüchst:
(31)
I ia jedes eütxelne dieser Recht^cksinU^grale verschwindet rBhrt man hierlwi title lutegraLioneii in demselben Sinue ans, ftwa dem sog. positiven, wo also die KUche jedett einzelnen r^ bei der Integration Über den Uinfiuig znr Linken bleibt, n wird offenbar fil>er jedes Stfick odoer UOt&Hnie genau iweimal nnd zwar in ent)<e^en gesetzter Hiohtung iiite- Ijnrt: cn htfbmi ätch aku die belreflenden Ititegralbe^laud- theile mlUtändig heraus, während nur die auf die Stücke der amprdng lieben Begrenzung (S) bezüglichen Integrale mit einer benttmniten, eindeutig vorgeschriebenen Integrationtt- hcbtang zurückbleiben. Durch Addition dieser Theilintcgrale d*nn 61. (31) in die folgende Ober:
(32) iiP'di-^-Qäfjy^^O
wobd offenbar die Integration in dem Falle, dass (8) aus
■n Treppenpolvi^onen besteht, über das äussere
"1 der bc.hlfcbthin aU positiv geltenden (d. h. in
|drf lg der wa<:hflenden Winkel furtechreiteiiden), Ober
Fjadfli innere l'olygon iu der enU;egengeeetzten Kichtiiog
anoEafllhren ist
Hat man schlienlich ein dem Gebiete T angehürigea, ■üwr oder mehroren Randcurven vollständig lM*grenztes, ICD«. ndes FlÄcht'ii.«Hiok T\ so kann niaii diesen
'Rar ' •■ h-^t nach § - eine enteprechende Anzahl
toc lim mit der ne^ammtbegrenxuDg {S) su-
l'Afdara, def^^tntait da» die Differenz:
68 SitMimff d«r math.'}ihi/g. Clu9$t wni H. Januar 180S.
beliebig klein wird. Vu^ r]it das xvreite Integral d<*n Wertb Null bat, da» ersU aber einen bestimmten VVerth haben muss, so folgt, dass auch:
(33) J(P.rffH-«.dv)-0
sein muss.
Bedeutet sodann U irgend ein einfach xn«amtncn- hän^endes in T liet^endes FlUcheiistnck , und sind (Xq, ^q). (j-,, 1//) zwpi beliebige Punkte in U, wo werden irj^end zwei innerhalb ü zwischen {x^tjfoi und Uni/i) verlaufende Curven 0 nnd C\ die sich weder selbst noch gegen»i?itig sehneiden, einen Plächentheil von U volUtändig begrenzen, Bodass aUo das betretfeude Integral tlbcr diej^e Begrenzung verschwindet. Man erhält somit, wenn man als Integrationsrichtung auf C und C die von {x^iJq) nach (x, y) festhält:
(34) SiP'äS + <i'd^) = S(^d^ + V-d*?)-
Diese» liesultat wird aber offenbar durch das Auftreten etwaiger Doppelpunkte bei C nnd C in keiner Weiae alterirt, da die Integrale über die auf di«v<n Weine entstehen- den Schleifeu uach (il. (83) jedesniul verschwinden.
Wenn endlich die Curren C und C' täch auch gegen- seitig achneidea. sodass sie alM mofarer« nur in diij^n ^'hnittpunkten zusammenstossende Klächi'nihfilc rolhttändig begrenzen, ho werden xunäulut die Iiitegrulu über die be- treffenden Kinr.elbegrenzuugen vertchwtnden mfiaseo. W^ählt man daher die einzelnen Integrationtirichtungeu in der Weise, daäü aber die Theile der Curve C jedesmal in der Ricbtoog (^o< Vo) ' ' * ^-^t y), Ober diejenigen tou C in entget^engesebctw Kichtung int«griri wird, ao ergibt sich durch Addition der betretfcudeu Tbeilintcgrale and schtie«licfae Umkehrung der
Pringtktim: Ui^ttt den Vamhtf'tchen Inttifrohati. M
ricbtung ftlr alle auf StOcke von C zu erstrecken- [^ea Integrale wiederufn die Richtigkeit der Beziehung (34).
Hieraus folgt aber, daas dna Integral }(PdS+(^dtj)
ktb des Qebiet« ü einen vom Integrationswege un- ftbdäiigigen, eindeutig bestiniixit<*n Werth besitzt, sodass also ' in diesem Gebiete:
(35) W{x.y) = JfP'äi -f Q-ä»i)
bei Tariablecu (a y) und constantem {Xf, j/f^) eine eindeutige Fnoetioa von (x. y) darstellt. Bildet man sodann unter der VoratMi«txang, diats die Stolle x -\- hy y -{• k) gleieh&ills dem Qebiete ü AOgehürt:
to kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Integra tionsweg dieses Integrals Ober (x, y) führen und erhält slso dorch Subtraction :
oail da man Mi)eb diesem Integrale ohne ßescbränkung der
AUgenieinbelt einen speciellen Integrationsweg zutheilen
nioüich die Unriz<intale von (x, y) bis (x-f-A. y), dann
1 Verticale von ix -^ h. y) bis (a: -f A. y -f- 1) (wobei nur h, k
roo Tonberein -lo klein anzunehmen sind* dass dieser Weg
I »och dem Gebiete U angeburt), sn folgt:
Wix-i-h,f, + k)—W[x,y) (nr-) =T/*(£.y)-rfa:+T<?(^-i-A,7;)i?,
d. tt TTCc, jf) ist eine stetige Function von (x. y).
70
SÜMtng dvr math-phija. CIomc vom 5. Januar 1806,
Aus der letzten Gleichung ergibt sich dami speciell für 4 = 0, bezw. A: = 0:
nnd hieraus durch Uebergang zur Grenze A^O, bezw. Är=f (37)
;-s=i.(.,..
Vj-«i-.)-
Hiemit ist aber der ausgeaprocbeoe Satz in alteu Theilea bewiesen. ^1
Zusätze. 1) Der Satz erleidet keine ÄendBrnng, wen^' die urfiprünglicli ul» uuäuahinslus vorausgesetzte Stetigkeit
d P 2 Q Ton P, V» a^i X— gowiaae Dnterbrechungen erleidet
9 P ? O die Relation = — ^ -- nicht durchgängig erfölit ist.
«eigt dies in der bekannten Weise, indem man die Ausnahme^'
3 J* «teilen, die fflr P, Q nur tn einzelnen Punkten, fllr ,
^ — (d. b. sowohl hinfiichtlich der Stetigkeit dieser beiden
d P 3 i FuDCtioDen, als auch in Bezug auf die Itelation; ^— ^ ^
auch in einzelnen Linien bestehen dQrfeii , zuächst dar beliebig nahe anzuschmiegende, zur Geäammlbegrenzung T* hinzuzufügende Curren ausschlieest und sodann weist, da» die Integrale Bber jede dieser OurTen htüi^h klein geniucht werden können, also das Gesammtrefinlt nicht alteriren.*)
■) Der auf der Redoctioa da tloppelintegrala berahsadff l>«wei« icestattot Tniiileh la Besag aaf y , ^ lom^
2) Erstreckt rieh die gleich mSasige Stetigkeit von P, Q eTentnellem Ausschluss einzelner Punkte auch noch auf Begrenzung Ton T ^ m verschwindet daa Integral {Pdc-\-<^dTi)^«k}xCih wenn man es über die Begrenzun|^(7') treckt. Man erkenut dies, indem man zunächst ein Treppen- lygon (S) comftmirt denkt, dessen Ecken abwechselnd auf 3er Begrenzung und im Innern von T liegen, und sodann nrch Verbindung der freien Eckpunkte ein gewDbnIiche» ffeubar ganz innerhalb T liegendes Polygon (P) her- Itellt. Bei hinlänglicher Verkleinerung der Treppenstufen iterecheidet sich dann das Treppenintegral über {S) beUebig «renig von den beiden Integralen ftber {T) und (P), aUo ninn auch die Differenz der beiden letzteren Integrale be- iebig klein gemacht werden. Und da das Integral flber (P) verschwindet, dasjenige Über (T) jedenfalls einen bestimmten Werth haben muas, so folgt, dass dieser Werth gleichfalls Null sein moss.
herein eine etw»« allgemeinere FaMimg der betreffeaden ß«dingangen, iniofern fttr die GQliigkeifc des Satsea nicht di« Stetigkeit, Bondern
aar die Integrabilität too .~;> . • genau ge«agt die eindeotiffe
£xiit«nK von I I .- ilxd% \ I 3^ <'^''y in Frage kotamt. Die
g«Daaere Pestat^llitng der biefOr noch Kolänigen Unsteltgkeiten von
»P 3P
*3 u" ^Kf ^^^^^ indeB«en »of Betrachtnngen. mit deren HtLlfo man
ebeniognt auch den hier gegebenen Uoweis in analoger Weise ver- Iftllgemeinern kOnnle. In der That braucbt ja die Bedingung
keineswegs fär ein gewissee Oebiet ß abauinahmflloi erftlllt vorant- ; gesetxt werden, am daraoB die üebereio Stimmung der beiden ateiigen Functionen M\{j; y), W^ix.y) (bit anfeine additive Constant«) «u erschließen. Ich gehe indessen auf derartige VenUlgemeineningen hier nicht ein. da mir dieselben fOr die Theorie der Functionen complexer Variablen keine sonderliche Bedeatong zubesitxen scheinen.
72 Süeung der maih.-pfMf8. Glosse vom 6. Januar 1895.
3) Kennt man eine innerhalb irgend eines einfach zu- sammenhängenden Flächenstückes ü von T eindeatige und stetige Function F (j?, y) mit den partiellen Differential- qaotienten:
SO mu8s offenbar fOr jeden innerhalb ü verlaufenden Inte- grationsweg die Beziehung bestehen:
da das rechtsstehende Integral mit F{Xiy) innerhalb ü die Stetigkeit und die partiellen Differentialquotienten P{Xjy)^ Q {x,y) gemein hat. Da aber das Integral für x = Xg, y = y^ verschwindet, so folgt:
also schliesslich:
7{Pd^
}^-\-Qdr))^F{x.y)-F{x^,y^).
78
Sittuni; vom 9. Februar 1896.
1. Herr Kahl GObel hült
Vortrag : , U e b e r
einen npassung.* Wird an einem anderen Orte ver- öffentlicht.
2. Herr Nikolaus KOdinoer spricht: ^üober Leuco- cytenwanderung in den Schleimhäuten des Darm- kanales.'
3. Herr älfbeu Prinqsoeiu macht eine MittheilunK: «Ueber die Entwickelnng eindeutiger analytischer Functionen in Potenzreiben.'
4. Herr Walter DrcK legt zwei Abbandlungen vor: Eine von dem correspondirenden Mitgliede Anr Classe Herrn Mai Nöther in Erlangen: ,Die 7-Syäterae von Kegel- schnitten, welche durch die ßerQhrnngspunkte der Doppeltangenten einer ebenen Curre vierter Ord- nung gehen' ;
und eine weitere von Herrn Eduard v. Weber in München: , lieber simultane partielle Differential- gleichungen II. 0. mit drei Variabein.'
5. Herr W. t. GOttfilL fiberreicht eine Abhandlung des auswärtigen Mitgliedes der Classe F. r. Sandberger io Wttrzburg: »lieber Blei- und Pahlerzgänge in der Gegend von Weilmünster und Hunkel in Nassau.*
75
leber die Entwickelmig eindeutiger analytischer Functionen in Potenzreihen.
Von iißred PrioirskelB.
tantgtlmt^ 9. IWraor.)
Beprründet man die Theorie der Functionen einer cora- plexen Veränderlichen uuf die Caucli7'.'>cbc Definition der monogenen Fanctionen nnd ihrer Integrale, so ergibt sich die Kntwickelbarkeit einer für 0^\z, <.Ii bezw. für Äo<!^!<-R eindeutigen nnd monogenen Functionen nach poflitiren ganzen Potenzen von x (der ,Caucby*scbe* Satz), bezw. nacb positiven und negativen ganzen Po- tenzen von z (der ,Laurent'scbe' Satz) nowie der wahre Convergenz- und Geltungsbereich der Vjetreffenden Ent- wicketnngen ganz unmittelbar ans den bekannten Canchj- schen IntegraLsätzen. Wesentlich anders liegt die Sache, wenn man die Eigenschaften der im Sinne de« Herrn Weierstrass analytischen und monogenen, d. h. durch ein ,Func-
OB
tjonenelement" von der Form y^»o^'(x— JTa)" und dessen
analytische Fortsetzangen detinirten Functionen auf elemen- tarem Wege, also insbesondere ohne Anwendung der com- plexen Integration ableiten will. Gestaltet sich hier schon die Feätätellung des wahren Convergenzbezirkes fQr die
<r
EntwickcluDg ^>. a^ix — Xf^Y einer innerhalb eines einfach
9
76 Siläung irr math.'phya, CtaaM ran 9. Februar ISHS.
zusanimenhänKcndeii, die Stelle x„ entbutt,4>tiHen Oebieten eindeutigen und analytiwben Function ziemlich uiustäudlicb,*) ao bietet die Erkenntni^s der blossen Mß^lichkeit, eine in einem Ringgebiete um die Stelle Xf, eindcnti^e und analytische Function nach positiren und negativen Po- tenzen von (x — Xq) zu entwickeln, bei dem jety.igtm Btande der Theorie ganz uDverhäUniaäiuässige Schwierigkeiten: man erscblieäst dieselbe entweder nach dem Vorgänge des Herrn Mittag-LefUor') aus einem von Rerru Weiersfcras» geleiteten Ilflifssatze von ziemlich verwickelter Beschaffel heit,*) oder etwa^ kürzer mit BOlfe einer von Scheefffl berrdhrenden , im Grunde genommen zwar auf denaelba Principieii beruhenden, aber directeren Beweismethode.*) In- dessen selbst dieser auf den ersten Blick relativ einfach er- scheinende Scbeeffer'sche Beweis setzt doch eine Reibe von VorkenntniÄjen, namentlich Aber die Eigenschaflen mehrdeutiger Functionen voraus, welche es unmöglich machen, den betreuenden Satz, aa der für einen natfli liehen und conKequent«n Aufbau der elementaren Function« theorie erforderlicben Stelle erscheinen zu laäsen.
Hiernach dürfte es nicht ohne Interes.'ie enicheineu, we ich im Folgenden einen neuen Beweis fßr die fragliche Kni wickelungsform einer analytischen Function luittheile. Di» Grundlagen der hierbei von mir angewendeten Methode tinden tiich zwar schon im Wesentlichen in einer Cauch] «eben Abhandlung: «Constderationtt uouvellea anr theorie dea suiiea et ear les lois de leur oonver* gence'*): allein ahgemfaen davon, dass die dort gegel>ene
M Ct. Stolz, Vorl<?>iUtt^ti Oti«r «11|{. Arithmetik, Bd. II« p. 140. Bitrmann, Theorie der &nal7t. Fnnctiooea, p. 166. >) AcU mutbematica, Bd. IT. p. 80. ') Abhandl. mw» der Fanrtionenlehre, p. 28. *) AcU natbamiLUeu, Bd. IV. p. 876. *) EzereioQt d'AiulyM ei de Pbyiiiiae mathdtuattqu«, T. 1« ]
' A. Pringshtim: Sntteicketuntf eindeut itnalfft. FHuclioMH. 77
EirsteUuüg sich nur auf die £atfvickelung eiuer Function ch positiven Poi«Dzeu bezieht, so eothäU dieselbe auch chiedeiie LQckeu principieller Natur, und hierin mag robl dur Grund davon zu suchen sein, dann man, soviel ich veiäs, auf jene Met}iode nicht wieder zurückgekommen ist,*) Üeren Kern in der Anwendung gewisser Mittelwertbe an eUe der sonst bei der CoefficientendarsteUuiig üblichen Integrale liegt. Derartige Mittelwertbe — nümlich Greuz-
erthe von der Form lim i --^.pfix^r} i, wo die ä„,. för «=« I " 0 )
jedes ti !md r arithmetisch wohl definirie Zahlen von Jder Beschaffenheit bedeuten, da*« |z„^,^i — a;„^| mit wach- endem n beliebig klein wird — kann man natürlich stets PÄucb als specielle Pnlte von bestimmten Integralen auffassen. [Immerhin haben dieselben mit dem Infinitesimalbegriff [in W'iihrheit absolut nichts 7.a tbun. da es sich bei ihrer |Bildung keineswegs um eine Summe schliesslich .unendlich
') leb bin nachträglich durch Herrn D^rok damuf aarmerksam [gemacht worden, da» aich in: Serrul. Coam de catcul difft^ren- [tiel et intägral, T. I, p. &70 (in der deutschen Aosgabe von Har- Lnack, T. T, p. 627) gleichfalls die Ableitnng der Mac Laurin'icben ) Reihe mit Bfllfe ron Mittelwcrthen findet. Die dort gegebene Diir- ^ «telluag ist im Wettentlicben eine Heprodnction der im Texte ciürten , Oauchy'scben, bei welcher die erwAfanten Lücken vennieden «ind; , alCein der fragliche Beweist hat hierbei vollständig seinen elemen* [taren Charakter Terloren Die dabei bennlztei) .Hittelwerthe* sind in Wahrheit nur nuiBt&ndUcher geschriebene bestimmte Integrale mit I Teründerlichen Grenzen, die auBnerdeai nuoh ron einoui ver- Anderliohen Parameter abh&sgen. Nach beiden GrAities wird . differenairt, wol>ei der Satx von der Differentiation eine« be- stimmten IntegraU nach der oberen Orcase, aodann auch ' därjenige von der VerLauscbbarkeit der Differentiattoni- reihßnfolge in Ännendang kommt; kurzum dieser Keweis gehört voUitAndig der lofiniteaimalrechnong an und erscheint in der That weit einfacher und durchhiebt iger, wenn nian otatt der benQtzten Mittelwertbe di« fiblichen Integralbeseichoongea anwendet.
82
Siteung der math.-phys. Clastt vom 9. Februar 1895.
für alle x des betreffenden Gebietes und binlängUcb kleine Werthe von h eine gleicfamässig stetige Function von h ist, d. h. man kann jeder beliebig kleinen positiven Grösse e eine positive Grösse d so zuordnen, dass für alle x des Ge* bietes: -Bq^I*!^^ ^*® Beziehung besteht:
q)(x-{'h) — rp{x) y(j+fr) — y(a:)
(10)
falls {jj!)
<€.
<d.
Angenommen nun, man habe r >• 0 beliebig klein fizirt, so bestimme man zunächst eine positive ganze Zahl m sOf dass die positive Grösse:
r — r m
= 6
klein genug wird^ um die Gültigkeit der Ungleichung (10) för \h\ !s ^1 1^1 ^ (^ 2U sichern. Wählt man hierauf die positive ganze Zahl n bezw. ^^2" gross genug, dass:
r- ; 1 — a« I <id (also a fortiori r-\ 1 — a« | < d).
so hat man:
./+1
al{a — \)-r
<e
oder nach Multiplication mit 6 und Berücksichtigung von
,/+>
T
K-(r+e5)) - H«;.r) - ^■^^"''^;1~^;^°-"^
<d'S
Setzt man der Reihe nach r = 0, 1, . . . (^—1) und addirt die resultirenden Ungleichungen, so heben sich offenbar alte von dem dritten Gliede der linken Seite herrUhreoden Be-
A. Pringsheim: Eniwicicdung eindeut. anaJyt. yttnctmien. 83
üUndtheile YoUständig heraus (NB. es ist ja insbesondere «.•r = a»-r), und es ergibt sieb:
I 0 0 I
oder nach Division mit N:
! m.A'f(r-{'dj) - S^ (y.(r)) I < de.
and daher, wenn man r ins Unendliche wachsen läs-^t:
Schreibt man in dieser Ungleichung r-]- {/t — \) Ö statt r (wo: r + (/< — l)-d<Cr' für /*^1, 2, . . . m — also auch: (r-|-(/i — l)d).|l— a«! <d), so wird:
lind wenn man die fGr /< = !, 2, . . . »t hieraus resultirenden Tuglfichungen addirt und beachtet, dass: m-d = r' — r, schliesslich:
I ÖJlc (v (r')) - Ö)lt.(v' CO) ! < (r'-r)...
Da aber e von vornherein beliebig klein angenommen werden kann, und andererseits 9TL(7'(r')), 91L (7 (r')) ein- «lentig bestimmte Wertlie besitzen, so muss genidezu:
.■»ein. uoujit die ausgesprochene Behauptung bewiesen ist.
Ijewei-s des llülfssatzcs. Für jede Stelle x des Bü- ri'iflies i?o*^ x < R gilt eine Eutwickelung von der Furm:
'''-+'o = i;.'',r'."
84 Sitzung der math.-phys. Clasae vom 9. Februar 1896.
deren wahrer Convergenzradius bekanntlich eine mit x stetig veränderliche, positive Grosse ist und demnach ein bestimmtes von Null verschiedenes Minimum q besitzen muss. Fizirt man nun eine positive Grösse:
d<Q
so ist für alle x und k des Bereiches: •ßo^l^!^-^ "°*^ |A|<d die Keihenentwickelung (12) gültig und absolut con- vergent. und daher auch in dem gleichen Umfange:
^> (x + A) =2j»' "w -**•
Da aber für den angegebenen Werthebereich q}'{x-\-K} eine stetig veränderliche Function ihres Argumentes ist, so besitzt daselbst \<f'" {x-\-}i)\ ein bestimmtes endliches Maxi- mum ^, und es ist daher nach einem bekannten Satze:
(13) |^__^.U.A^1<^ mr:[ ^'^^^^ Set/.t man nun Gl. (12) in die Form:
so hat man für h< d mit Benützung von Ungl. (13):
d. h. < (j-\h\ und daher, wenn auch k <i6 angenommen wird:
j V (x + /0 - 9 {x) _ 'r{x-\-k) — if (x)
(14) i A ife
<i;{|AH-!*} <2i;.^
A, Pringi^teim: EtUwiekelung eindeut. antdyt. F'unctionen. 85
sodass also die fragliche Diiferenz unter e herabsinkt, wenn
Ton TomliereiD d^^r— angenommen wird. ^9
§2.
Lehrsatz. Ist f{x) eine eindeutige und ana- lytische Function fQr alle Stellen x des Gebietes ^«^:*l5^-ßi ^o 8*'*- för dieses Gebiet die Ent- wickelung:
f(x) = '^a^.:^
wo:
ö^ = S)|^(r-M./-(r))
and reinen beliebigen Werth deslnterrallesi^o^^^--^ bedeutet. Ist insbesondere ^ = 0, so reducirt sich die ohige Entwickelung auf die folgende:
»
0
Beweis. Bezeichnet mau mit x^ irgend eine willkür- lich gewählte Stelle im Innern des fraglichen Bereiches, sodass also R^^ <i \Xq\ <i R und setzt man:
X — Xf,
■o ist 9 (x) fßr alle x des Bereiches Rq<x< R gleichfalls eiodeutig und analytisch. Man erkennt dies ohne Weiteres für jede von x^ verschiedene Stelle x; in der Umgebung der Stelle x^ hat man aber:
8G Sitzung der math.-phys. Classe vom 0. J-Vtruar 1^5.
also:
1 A*-
(1. h. 9^ (x) ist dort gleichfalls analytisch. In Folge dessen ist nach dem Satze des vorigen Paragraphen:
\ II fj Xq / V Ji Xff /
oder mit Berücksichtigung von Gl. (9) und (10) des § 1:
\H — Xq/ KKq — x^/
Nun ist:
und daher:
_ ■£. 911 1«- AB')«:' + -:-» (-/tJ5»,)'
Da nun:
U
"" -■•*G,-;i-5'):
<
wenn i-'iR) das Maximum der altsoluten Beträge von f(x) für X = i? bezeichnet, so folgt, dass dieser letztere Aus-
jL PrinffAeim ; Kutfrickrluttf/ eindrut. anahjt. FuHCtiongn, 87
<lnH.*k mit unbofH'enKt «Achsmifton VVerthen von m gejEC«n NdII conTergirt, «nd zwar, wenn r < Ä angenommen winJ, rnb«r gleichiuäsai^ fDr alle Zq, w&lchc der Bedingtin^ lOfCvn: ia-„!<r. hüttsi man also in Gl. (.17) m ins Uii- iliche wachs«ii, ao wird:
(19) 9n:(J^(j!) = |:„9Tt(Ä-''-AK)-:.i'
wobei diese Reibe mafichai nnbedingt und gleicliinäs»ifj Br«rgirt för \Xf,\<r<i7l. Es lilsst sich indessen leicht
dius diufl auch noch fttr Iv.
ß der Fall sein muss.
l)a nämlich /'(x) noch VorausHotzung noch für |d;| ^= R inaijrtucb »ein toUt«, so gebcirt zu jeder Stelle x' dea Kreises mit dem Itmlina R eine anKebbare Umgebung, für wekbe /"(x) nach Potenzen von {x — x') entwickelbar ist. Dmm Umgebung mau d&an ein gewisses, von Null vor- idoBdrue» Minimum o be8it»>n. Nimmt man alsdann eine poMlive Gros» d<.Q an, so fulgt, das&f{x) auch noch für \^]^ ^~\~^ analylii^h ist. Alsdann besteht aber eine Be- nefaunff von der Form (19), sofern mau da.**elb;»t 72 durch ff 4" ^ (Tretet, und diew n]u>fi noch dem Gesagten unbedingt und ((letchmibwigconvcrgircu för Ijf^I <r < B-j-''. "^Is^ J^sbe- soodere fHr J^gj *** R, Da aber nach dem Satze des vorigen Paragraphen :
Snt HAH- «)-''/'(« -f-5)) = ö)]t(Ä-''.AÄ)),
n iii dl« znli'tzt genannte Entwickelung von der in OL (19) aiclii renchieden. aodu» al<to diese letztere in der Tbat nocfa Itlr 'XqI *» R unbedingt und gleichmiuaig coorei^rt. Aiuüog prgibt »ich ans Gl. (17):
(20) V^'o— *o''
88
Sileung der maih -phy». Claiuf. iviin 0. ^fbraar S996.
Da aber:
(21)
'911
fßr-A^^
1
Ai
1*0
^o)
'l-;?1'
(wenn wiederum F{lio) das Maximiira ron f(x)\ für \z\^*li^ bcxeicknet), und da dieser Ausdruck wegen {x^j ^ Üg mit unendlich wachsendem m gegen Null convergirt, so hat man :
(22) 6nc(^jl-t^>) = -y;.9Ti(j?r/-(i?)).a:-^.
Diese Reihe convergirt dann zunächst wieder anbedingt und gleichmässig fQr |xq|>Üq: es folgt aber genau wie oben, dass dies auch noch fflr I^qI ~ -^o ^^^ ''*" ^^" raoss, soffirn man vorläufig B^ >■ 0 annimmt. (0er Fall /Eq = f) wird weiter unten besprochen werden).
Da die in den Entwickelungen (19) und (22) alft Coeni- cionteii iioftretendeu Mitlelwerthe naoli dem Satxe de^ rnri^cn Paragraphen (in dem durch die analytiBche Be^cIiatTenheit
von f{x) bexw, x-^-f{x) gegebenen umfange) von R beiw. 7?Q unabhängig Kind, m kann man die GleicKnogaD (Ifl)
und (22) auch durch die folgenden ersetzen:
9n (^^) = - E» 91t(/. Ar))x;
(23)
wo r einen ganr, beliebigen Wcrth des Intervalle« Ag^r< J2 bedeatet. Ersetzt man jotzt in (23) f(x) durch die Üanheit, so folgt insbeitoDdere:
(24)
^(A) -=2" '3^ <'-'''>■ *c (wo: w<:/o
A. Pringakeim: Bntwielceluwf eindevt. analyt. Functionen. 89
Nun ist aber Är /i ^ 1 — falls n von vornherein so gewählt wird, dass ^=2''>//:
-" 0 ■" 1— a?'^
also aach:
Dagegen für /< ^ 0, offenbar :
fJlt,. (rO) = 1, also auch: €)tl (r») = 1, sodass die Gleichungen (24) sich auf die folgenden reduciren:
(25)
Mit Benützung der in Gl. (23) und (25) enthaltenen Resultate geht dann Gl. (15) — wenn man statt Xq jetzt x rchreibt — in die folgende über:
,-/*
t(x) = ^ @TL(r-^/•Cr)).x^ + ;^„ m.{f^-nr))-x
0 1
(26) +x
wobei also diese Entwickelung unbedingt und gleichmässig coiivergirt fÖr /?o<!j: </?, und die in den Coefticienten auflret«nde Grosse r einen beliebig zu wühlenden Werth des Intervalles Äq < r < Ä bedeutet.
lat jetzt speciell Rq ^ 0, so kann man zunächst in den Cc^ftictenten von der Form ^f(l(rf'-f{r)) für /z > 1 r = 0 stelzen. Alsdann wird aber:
90
SitMung der mtUh.-phtf». Cla
P. ?'(*r(iar SB96.
@TL„ (*^* • f (r)).=o = 0 also aticb : ff(l{f^^ f{r)) sodass GL (26) sich auf die folgende redncirt:
(27) /"(x) = V;M©!c(^-^f(r))V
= 0
Dabei würde nach dem oben Gesaj^ftcn diese Entwiclc*?- lung ztniucbjtt giiltijj sein fQrO<C|x|^Ä. Mau erkennt aber unmittelbar, duäs sie auch noch fDr a; = 0 be^iteht. Im Fall** ^^0 geht nämlich die recht« Seite Ober in:
und da man hier wiederum r = 0 setzen darf, tto folgt: 9K.(/-(r)) « lira m.. (/(i')V=o = /•(<>)
HS«
d. h. Gl. (27) gilt in der That auch fnr x = 0.
DMniib ist aber der oben ausgesprochene Sutx bewiesen.
Zusatz I. Ist fix) mir fflr dos Gebiet i?;<|*|<Ä eindeutig und analytii>ch, so gilt die Kntwickelung (26) xa< nächst für jedes Gubiet H^ < \x < H\ sufern nur iJ^, JC der Uediiigung genflgen: /?^ < ßj < 7J' < Ä: sie gilt «omit schliesslich für alle x de» t^üluetps /i!^ < [ jr' < 7?. Sind 8l«o x\ = U bezw. |jr ;=/?ß die wahren Convergenzgrenzen der betreffenden Kntwickelung, so mus» f{x) für |x| ^= H beaw. I^i «^ Aq mindestens eine singalftre Stelle besitzen.
Bleibt fix) beim üeborgange von Worthcn mit dwn absoluten Betrage Ijc! < ^ bezw. j;{ > T^o zu »ulcfaen mit dem absoluten Brtmge lx{ » /t bezw. jji » /{, noch im allgemeinen gleich massig stetig, und ixt f{x} fOr \x\ = H bpTw. |x| = Jtg durchweg endlich, so kann man offenbar die in den Coeflii;ient«n auftretende Gr5juer erentuell
A. Prinff^rim: Rittciekdung eindeut. analyt. Functionen. 91
auch durch R bezw. R^ ersetzen, da in diesem Falle die Differenzen :
bezw. m.{R':-tw - m.(R'j'-f{iü)
Wllebig klein gemacht: werden können.
Zusatz IL Man erkennt leicht, duss der bewiesene Satz auch umkehrbar ist, d. h. wenn die Reihe:
— 30
zum Mindesten fQr alle x mit dem absoluten Betrage \x\ =r gleichraässig convergirt, so hat man:
a^ = §n:(r-''./-(r)).
Hieraus ergibt sich dann die Eindeutigkeit einer der- artigen Entwickelung zunächst in dem Umfange, dass aus dem Bestehen der Gleichung:
— «I — *
zum Mindesten für alle x mit einem gewissen absoluten Betrage j' = r, ffir welche jene Reihen gleichmässig oonvergiren, deren Identität folgt. Auch hat e.s keine besondere Schwierigkeit, diesen Identitätsbeweis auf den Fall auszudehnen, diiss die Gleichheit der beiden Reihensummen nur für irgend eine unendliche Punktmenge feststeht.
Fehlen in der betrachteten Ueihe die negativen Potenzen, rodaäs al.su:
92 Sitzung der math.-phj/a. Clasie vom 9. F^ruar 1895.
SO hat man offenbar:
Jene Mittelwerthe stellen also in gewissem Sinne eine Yerallgemeinening der Ableitungen von f{x) für x=0 dar.
93
'We 7-Systeme von Kegelschnitten, welche durch
die Berührungspunkte der Doppeltangenten einer
ebenen Curve 4, Ordnung gehen.
Voo ■. N5Ui«r in Erlugen.
^tm^^tla^f^» 9. #VbnMr.)
die 315 Kef^elftchnitt«, welche eine Curve 4, Ord- Bong in dfii ßerniiruiigspuukten von vier ihrer Düppel- tangnitcn treffen, bat 0. Hease zuentt angegeben (Crelle'ä Juuro., Bd. -lÜ), duifl man uns ihnen T-SyäU-me bildfti kann, die jip durch die Berrihningt^punkte aller 2fi Duppeltangenlrn liiodarcbgi'hen. Auf die von ihm (Cr. J. -19) gestellte Krage it«rh allen derartigen "'Systemen bin ich in Ud. 15 der UatbeiD. Annalen') s>> weit eingegangen, da»« ich einmal 135 irreductihle i-^Systeme mit «Tripeleigenächaff nuchivies, Mt^Mnn H15.24 aoeigentliehe Systeme construirte, in welohcn je «Der der KegrUchnitte auKgezeicbnet war. Aus Anlass der Ton der k. b. Akad. d. WUb. demnächst erfolgenden flwMMgiU» der gesammelten Abhandlungen Hesse's möchte ieb die Vth^ hier TotUtÄndig beantworten.
]. Brxeichnungen und Heziehnngen. Ich bediene BÜsfa der H«uichnung {ifi}, wo i,fi von 1,2, ...8 geben, iHt ftir die Doppeltangenten (.Dtgn/) und der in dem ge-
I) .Leber die GlflichongtfD achten Gndei und ihr Auftreten m der TlwarM der Corven vierter Ordoong.*
94 Sitzung der math.-phys. Clasae vom 9. Februar 1S95.
nannten Aufsatz, oder auch in Äbhandl. d. bayer. Äkad. d. Wiss., Bd. 17,*) auseinandergesetzten Rechenregeln. Von diesen Übrigens nur der folgenden: In einer Oombination zu /<, tj /c, t, Ar, ... t ^ui ist die Anordnung der Zahlen gleieligQltig und zwei gleiche Zahlen heben sich gegenseitig auf. Ist fi gerade, so gelangt man, indem man [12 ... 8] ~' 0 setzt, zu den 63 gleichberechtigten Steiner^schen Gruppen (,St. Gr.") [ifc], [iklm]; für ungerades /i zu den 28 (ik) und zu 36 unter einander gleichberechtigten {iklm) und (12 . . . 8). Jede St. Gr. [a] lässt sich auf 6 Arten in Paare der Art ij k^. t, Ä, zerlegen, und jede der zwölf entsprecben- den Dtgn. (ik) heisst: ,in [a] enthalten. • Zwei St. Gr. [«], [b] heissen »syzygetisch" (Ausdruck von Frobenius), wenn [b] sich gegen die beiden Dtgn. eines Paares von [a] gleich- miissig verhält, d. h. beide enthält oder beide nicht enthält* Drei syzygetische St. Gr. [a], [t], [afc] von der Oombination [jabah'] — 0, mögen ein „Steiner'sches Tripel* heissen; sie enthalten vier Dtgn. gemeinsam, deren Berührungspunkte auf einem Kegelschnitt ^ liegen; die 315 Kegelschnitte
Ä = i\Ä, - i,fc, • tjftj • i^k^, wo [/,Ä:, i^k^ i^k^ üK^ — ^^
und die 315 Steiner'schen Tripel
IhK UKl Ui^i ^y, [i,A-, i^k^\ — [ifk^i^k^]
entsprechen sich so eindeutig; zu jedem Ä .gehören* drei St. Gr. eines Tripels.
Die Beziehungen zwischen zwei Kegelschnitten St sind von mir Math. Ann, 15 gegeben worden, ausführlicher von Pascal,*) der auch die Beziehungen zwischen dreien der Ä abgeleitet hat. Ich benutze davon Folgendes:
'} ,Zar Theorie der Berührunf^cuiTen der ebenen Cnrre vierter Ordnung.'
^) Hendiconti d. R. Accad. dei Lincei, 1892 Nr. 11. 12; 1893 Nr. 1.
JT, Nmhtrt Hit T-Stfatguie foh Kfiidurhniltfn etr.
OS
Zw«i Kefielsciiintt« ft nnd St\ irelolie keine Doppel- Unf(ente gemeinsam haben, stehen in «Beziehung erster [Art* lÄÄ')i odtr ,xweit«r Art* (ßff'),. j«i niichiii-'m die r Witlen zo ft und j?' geliürigcn St. Veiten Tripel eine ät. (ir. gnneiDMiin haben oder nicht. Zu einem X gibt ea 18 ft', är wrflch« (ft»'), gilt, 144 ft', filr welche (Äff'), i»l. Ans iam ^^rlegungsschenia' eines ft, nämlich ans
K - 12-34.56.70
(1 284] =. 1» • 24. 14 • 33, 57 - 68, 58 - 67
[ 1 256] -^ 15 . 2«, lei . 25, 37 • 48, 38 • 47
fl 278] ^ 17 ■ 28, 18 • 27, 35 • 46, 30 45,
tt man die K\ für welche {KK')^^ indem man zwei Pnare Horsicontjilrcihe zuiaranieofuKst, wie etwa 18-24-14-23; die A" , für welche {KK'\, indem nun uus zwei der jrei Heihen je zwei ik v> berausnimrot, dass die Gesammt- co n " II 0 erjjiht, wie 13-14'37-47. Hie 18 ersteren K . . :_.. .1 dem zu (irundp gelegten K KeffenUber in 9 Puare, isdnn «in solches Paar A", £*, eine Horixontulreihe von K bf^pfl; «olche drui Ki*u*fl6chnitte K^ Ä",, K^ bilden ein erster An" (A' A", /T,),, dessen (lliedor K'^i^li^i'tiK und alle dersellten St. Gr. [»] y.ugeorduet sind, Täbread umgekehrt eine St. Gr. [a] auf 15 Tersehiedene I Tripel der Art ( ÄTA', Ä',>, führt. Vipn let/ten^n eiistiren 63-15. Auch die \\\ K" zerlegen fiich A' gei^enüber in 72 Paare, I 4ef Art (£*,' ^;),, indem K^ jene 4 Dtgn. enthält, welche £« 4 Dtfcn. von K^ in den beiden ausgezeichneten St, Qr. AT »u IViiri-n ergfinsten. Kinem Paar 2. Art iKK"\^ 'tio Ke)(el*chniU JC .conjnglrt", für welchen (A^Ä!"),, [(Jf*jC)i ist; d<*fM>ltie kann dadurch erhalten werden, dasa «1» den Iteiden, gegen rinundfr ttyijrgeti.^chen, St. Gr. f JT and K*\ von welchen die erstere keine Dtg, ron A", iweitf* keiuc Dtg. van K eutliilli. die vier gerneiubamen faermunnimmt.
96 Sitzung dtr mnth.-j4iy». Clattt v&m 9, Pehrimr 1696,
Im obigen Beispiel bilden JT, ifj = 13 . 24 . 14 • 23, K^ = 57 • (58 -58 • 07
ein Tripel erBter Art;
K; = 13. U- 37 -47,
K; =* 24-23-48-38
sind zweiter Art gegen K und gegen K gepiiart; durch K und K' Kind die St. <ir. [1278], [34] auHgezeicbnot, welche zu dera, zu {KK^\ conjugirtea K* = 35 • 36 • 45 • 40 fdhrtn.
2. SiebentripeUysteme. Ein solche« Sjst«m entsteht aus K, indem mnn aas jeder der drei St. Gr. von K diesen Kegelschnitt zu einem Tripel eri^r Art r?rgiln/.t; aber so. dufls nur Beziehuugeu erster Art eutstuheu. Durch doa urüte Tripel ist das Qoadrupel der vier übrigen Kegelschnitte «hon Iw
stimmt. So gibt es — ~ = 135 solcher Systame, ja 7
Tripel enthaltend.
Einem solchen Sy&tem entspricht ein TripeUystem von 7 Steiner'schen Gruppen und zwar je den Klementen de^ einen Sy^^tems dit; Tripel dt^ anderen (v-ergt. dtu Sy>U*m S, Math. Ann. 15, pag. Oü). Man erhält dafti«elbe cinfAch am drei sTzygeÜ5chen St. Gr. [a], [ij, [r], für welche [abc] nicht ^^^ 0 ist, in
[a], [6], W. \ab\. [acj, [*c], [abc].
3. Eigentliche Siebensysteme zweiter Art. Es gibt hl 30-$ t!)geriiliche (irre<Iuctihte) Sy^tfuno Tvtniif^r Ait von je 7 KegeUclinittun Q, deren Glieder alle iu Ue^iehtmi^ zweiter Art zu einander stehen. Jedes solches System führt auf eine Galoia'sche {aha algeUrai^oh lAsbara) Gleichant; 7. Üradent. Dieselben sind« je zu 120, den 3G-8 Aroobold- schen 7-Systemen von Ut^. zugeordnet.
Jif. Säiktr: Die T-Syätme ton KggaUdmittm etc.
97
Bin DoU^« T-ft-System »i z. B.
JTo = 12.S4.56-78
pr,«=U.27'a5.M, Ä, = 15-36-47-28, /r,= 10.24 -57-38,
ijr^=13-25-Ci7.48, Äj« 20-37 -45 -18, ^, = 17-23. 46-68.
rm ilie Eigenschaft desäelben xu erkennen, dass auH
irgcod xwci der 7 KegclschnitUr die iUirigen Bich eintlcutif{
trgelwn, bcacbU* lOAn, duss, Xp gegouübcr, ^ich die Qbrigea ß
) ia 3 Pitaro iTj K^, K^ JT,, ^^ f'^ ordnen, derart, dtu» der
ni PwiTü (A'j A'j)j ,(;oiiJii>5irtt' Kt^geUchnitt ft,^ mit Ä*^
nur mit K^) »wei Ouppcltjmgontwn gpiuoin hat; ebenso
Itet. (/r,A'^)| nad bez. ( A'^A'J,, Dieselben sechst ordnen tnch,
Kf, '»er, aucb iu zwei Cykleu 2. Ordnung, K^K^K^
onu --. i^ K^\ iiwofcrn mmi vyn (Ä"^ AT,), auf A*^, von
' {K^ K^^ auf A",, TOD [£^ A,)^ auf if^ und ebenso tod
|(A"^ A'gl, »iif Aj, von (Ao Ä,), »üf K^, von (A'o A'^)^ auf A^
fcnTT*"* -nau so wi*» vorher von (A', A'j)^ auf K^. l'nd
tsu •. weao mau, itutt von A'^, voa einem der übrigen
leclis S Bungebt
Die UleJchong 7. Gradea, welche dum 7-Systcmc cnt- (pricbl, hat ab» für die [ndiced i der 7 KegoUchnitte die netacjklUche SuUttitullnuHgruppe
0' /»* + «).
a = 0, 1,. . . 6 ^ = 1.2....{»
mod. 7.
Ferner iwl für da^ i>bij^e Sj-steni in K^ die Dtg, (7S) vor "'^'rigen dreiirn inKofem anege/eicbnet, aU in den 3 Kegel- ' fl Äir ^41- Äfj« welche je den obigen drei Paareu \&^ Ä',»,, (ÄT^ JS^),, (A, Aj), cunjugirt sind, jedesmal die Dti' ■'"' ' ilwr nur je eine der drei Hbri^on Dtgn. von Ä'^ Tor- kwn : I auch dadurch, daäs, wenn man die ti Kegelschnitte
A^ . . . A', auf audere Wei«« ^oarweiäf zu^animennitaiDfc und iRicsiiMi d«fi coDJugirtvD 9 aufstaut, (78) niemals, dk> übrigen
SHiunff der nnith.-pi»y». Clntte t<m U. Februar 19$B,
drei Dtgn. von K^ aber jo zweimal rorkommen. Auf die Weise ist in dem obigen System das h er vorgab oben e Aron- hold'scbe 7'Syiit«m von Ütgn. ausgezeichnet, das, cocubiuirt, (12345678) liefert.
Zugleich folgt, doss mittelst des SiebenkcgebcbnitisjstomK die 28 Dtgn. alle eindeutig bestimmt ftind. Und da die Gleichung fQr diese Dtgu. eine Gruppe von S! 36 Substi- tutionen besitzt, das 7-ft-System aber eine solche von 7*6 Substitutionen, so existiren 5! 3G'8 der genannton iSyntemt. Man erhalt dieselben samnitlich ans dem obigen speciellen, indem man etwa ei^t auf die Doppeltangeutenindicca 1, 2, ... 5 alle 120 Vcrtauflchungen ausübt, was das zugehörige Aron- hoIdVcbc 7-Sjstem nicht ändert, und iiidi'm man dann noch diejenigen Subsiitutioneu vornimmt, welche letztvreit Syut^m in die 36*8 ÄronholdVhen 7-Systeme Qberzufnhren erUubvn.
4. Oneigentlicbe Siebonsysteroe.
ft) Man ergänzt, wie in Kr. 2, K aus jeder der drei iSi, Or. ▼on K zu einem Tripel erster Art; abtjr so. da^s die drei Paare X, vl„ B^ If,, C^ C^ gegenseitig in BeziehoDg zweiter Art st«ben; z. B.
£"=* 12.34.56.78, ^, =« 13-24.57.68, ^-= 14.23-58.67, Bj = 15. 26-16.25, B, = 37.4838.47, C,= 17-28.36.45, C,— 18.27.35-46.
In diesem Bjalem ist A" ausgezeichnet. Es gibt 3]5>6 der- artige Systeme.
1>) Man verfiibrt wie in a), nur dsa zw«i der jlnl Paare gegen einander in Beziehung entt«r Art, g«g*eo Ätf dritte in Beziehung zweiter Art Bt«hen. So erhält man aus dem System a) ein Syst«ro b), wenn man nur if, JH^ entkti durch
Bj « 16. 26. 37.48, JJ, =. 16.25.38.47.
Jir. JtfMbcr: I*U 7-Sytinu von K*f9bekmU«n etc.
99
Auch IQ di^etn System ist K ausgezeichnet, und es gibt |iM5-18 derartige Syät4>m0.
In n) und l>t znäaromon hat man die in Math. Ann. 15 «ngrgi'brncn 015*24 uiieigenLlichen Syätemo.
e) Zu iT nimmt man drei Paare erster Art, die aber tue prgonflber K in Bociefaung xweiter Art stehen. Dieselben •tehen dann auch gegenseitig iu Uezit'liiiDg zweiter Art; »o daia K wiederam ausgeKeicboet auilritt; z. B.
IjT— l2.3-i.56.78, ^, = 13.57.2648, ^, = 15.37. 24*68, JJ, = 10-38.27.45, B, = 18.3ß. 25-47, C, = 14.07-28.35, C; = I7.40-23.58.
Aussj(?T Art giht es 315-192 Systeme; und za ihnen ifft aoch das vud flesäc, Cr. J. 49, angeführte.
d) Za K nimmt man ein Paar A^ A^, dos mit K ein T^pel erster Art bildet; ferner B^ B^^ die K gegeufiber in
nng zweiter Art und gepaart stehen, nnd welche zu- :b mit -4, A^ in Beziehimg 2. Art sind; endlich iHe C, C^, wtlch« noch in Beziehung erster Art (nicht gepaart) zu K «teheo ; «. B.
K« 12-34-56.78, ^1, = 13.24. 57-ti8, i4, = 14.23.58.67, 2?,= 1Ö-1Ü-35-3Ü, B, = 25.2ü'45-4G, C, =37. 38-47. 48, C^ = 17-18.27.28.
Aach hierbei iat JiT aufgezeichnet; und es gibt 315« 144 der- uti^ Synteme.
e) Zu einen) Tripel erster Art [KA^A^^ niinnil man COM« der am Anfange von Nr. 2 erwähnten Quadrupel (A, £, C^C*,)p das aber sieht, wie dort, z^{KA^Ä^^ gehört, mdeni dctrctiau« mit dionm in Beziehung zweiter Art stehe;
»twn:
= 12-.T1 :.*»-7S, A, = 13 24-5768, A^ = 14-23-58.67, /?, = lS-38.27-46, JB, = 183526 47, r, = 16 37.28-45, 0,^=17-30 25.48.
Mima Tripel Miftordwt, d« in drin äjstMn «in Tripel irihii Art m gibt M 63-1&-8 dcrmrtigv Sjuitiiiiiu
Di« btsrichneteii Svilcne «iKbApfea iblU 8i«beolM9«bdiDtttayil«n«, «w ouri. vna «le«. fon ir «oigalMiid, Uichi U'vttutt.
101
ler simultane partielle Differentialgleichungen n. 0. mit 3 Variabein.
Von EduArd t. tVeber.
(Ongdm^ 9. Mmar.)
^ Die Frage nach den gemeiosamco Intet^rnlen zweier prtieller Uiffercntialgleichimj^en 2. 0. in 3 Variabeln ist DD den Herren Val)i') und Bianchi^) untersucht worden. [acb einer neuen, sehr einfachen Methode, welche nanient* ch mehrere der ßianchi'schen Kallnnterscheidungen qd- ßfehig macht, leiten wir im Folgenden die Hauptergebnisse er genannten Untersuchungen noch einmal ab, und wenden ti8 dann zum Stadinm eines besonderen Falles,^) der in br allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen Aherer Ordnung eine bekannte*) wichtige Rolle Kpielt.
■ Wir
1.
vWiT bezeichnen wie Gblich mit pq^ rsU uvuim bez. le ersten, zweiten, dritten Ableitungen von s nach x und ij. ledes gemeinsame Integral der beiden Gleichungen:
») Creile'a J., Bd. 95. p. 99 f.
3) Atli d. R. Acc. dei Linoei, Rendiconti (4) U, Nota 1 p. 21B. , H p. 387, K. 111 p. 807. ») Bianchi 1. c. NoU H. *J Vgl. Dwboni, Ann. de rUc. Norm. 7. 1870.
-^äc
102 Siizung der ntath.-phyg. Glosse vom 9. Februar 1895.
(3) (4)
F{xyepqrst) = C (H
F' (xyzpqrst) = C (2)
wo Cj C' willkürliche Gonatante bezeichnen^ befriedigt dann auch ein System Pfaff'scher Gleichungen von der Form:
d* =: p da; + g dy^ dp ^rdx-\- s dy^
dq = sdx -\- tdy dr ^= udx-^ V dy^ da ^=vdx-\' vo dy^
dt = wdx -\- wdy
worin unter uvwö) gewisse Functionen von x . . . i zu ver- stehen sind, die den Gleichungen
3f + J2« + fi'p H- Tw =0 (5)
N + Bp -h 5w + Tä = 0 (6)
Ä'+ B'u H- 8'v-\- T'w = 0 (7)
ir -i-R'v-\- Sw + röi = 0 (8)
genügen; dabei ist M = X-\-pZ-^rP-\-8Q; N =^ Y -^ qZ -{- sP -j- tQ
jtf'=r+..., j^=r+..., X==||..., 3^'=^.
Sind die Gleichungen (5).. (8) linear unabhängig, hat man aber identisch:
|
R |
S |
T 0 |
|
0 |
R |
S T |
|
R' |
S' |
r 0 |
|
0 |
R' |
s' r |
= 0,
(9)
so existirt augenscheinlich kein gemeinsames holomorphes Integral von (1), (2). Besteht (9) nicht identisch, so sind u...öi vermöge (ü) .. (8) als Functionen vo\\x...i beetimmt, und die Bedingungen dafQr, dass das System (3), (4) un- beschränkt integrabel sei, lauten
DJ,v)-DM = D^w)-D,(r) = D^Ä)-/)» = 0 (10)
0, r. %fther: Simtiitane part. Differtnittügiftehnngen tl. O. 103
3y*^'3j"^ dp'^ dq
m&n aber (5) mii D^^ (6) mit />« dUferentiirt I «ad itibtruhirt, erliiti ninn zufolge einfacher Rechnung:
H- r(/),(w)-/),(äi) ^ 0. (U)
■ (7) uod (8):
-i- r'(z>,(«o-/).(Ä)) - 0 (12)
JDffen (10) nur mit einer einzigen äquiralent
Bedingung, welche die 2. Ableitungen von
I f imd J*" nach x...i linear enthält, ist iiothwendig und
binrvicbeiid daRlr, dasa jede der 00^ Gleichungen (1) mit
der 00' Gleichungen (2) ein Integral mit \ Conatanfcen
icfii habe; diMes Integrnl ergibt sich durch Integration
(3X H) no^OT Derticksichtigung der and (t), (2) folgen-
I An AofiMgabedinguBgen. Die willkdrliehe Annahme Ton 6^'
btfiert «fsaa fftr jede der Gleichungen (1), die Ton Ü für jede
tifaadiaQK (2) ein volhitindigen Litegrul.
Venfchwinden dagegen alle 4-gliedrigen Determinanten ^4«r Matrix voo (5) . . (8) ideotisc}!, was wir durch
104 SUsung der math.-phyg. Glaste vom 9. Februar 1895. M R S T Q
M' R' s' r 0 - " ^^^^
N' 0 R' S' T' ,
ausdrücken, ohne dass jedoch alle 3-gliedrigen Unterdeter- tninanten von (9) zu Null werden^ so können wir aus (5) . . (8) drei der Grössen u.. ä> durch eine unter ihnen, etwa c5, aus- drücken. Die eine, in (10) enthaltene Bedingung stellt dann eine partielle Differentialgleichung I. 0. mit der unbe- kannten Function ä> und den unabhängigen Variabeln x..t dar; ist deren allgemeines Integral gefunden, so bleibt noch (3), (4) zu integriren; also:
„Das identische Besteben der Relationen (13) hat zur Folge, dass die Gleichungen (1), (2) ein ge- meinsames Integral besitzen, das von einer will- kürlichen Function abhängt und durch Integra- tiongewöhnlicher Differentialgleichungen gefunden werden kann/
II.
Ehe wir in die genauere Untersuchung des Falles (13) eintreten, schicken wir einige Hilfsbetrachtungen voraus.
Zwei Flächenelemente II. 0.*) E(x.. t) und E' (x + dx,. t-\-ht) heiBsen nach Lie vereinigt liegend, wenn sie die Relationen
^e=sp6x-\-q^y^ ^p = r^x-\-s&y, dq^ sdx-{-tdy (14)
befriedigen; eine Serie von oo* Elementen ILO., deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt, heisst ein Streifen II. 0. Eine infinitesimale Transformation X{f) der Elemente
') Vffl. meine Arbeit: Theorie der Fl&chenelemente des Raamei TOD 3 DimenRionen, Math. Ann., Bd. 44, p. 468 ff.
JC. V. Weber: Simultane pari. Differentialgleichungen II. 0. 105
x,.t des Raumes heisse eine infinitesimale Streifen- transformation, wenn sie jedes Element in ein benach- bartes mit ihm vereinigt liegendes UberfQhrt. Definiren wir fortan das Symbol d durch die Identität
df-^X{f)6X, (15)
90 hat man identisch:
ds^= pdx-\~qät;; dp = rdx-{-sdy; dq^sdx-\-tdy (16) and X{f) hat die Form
X{f)- S^sif) + v^,(n + e.i + ^5^„ + t/, (17)
Br
ds
9t
wo ^fjoax Functionen von x..t bedeuten. Die 00*^ Streifen, velche sich durch Intefi^ration der Gleichungen:
dx : dy : djB : dp : dq : dr : ds : dt
(18)
ergeben, sollen die Bahnstreifen von X(f) heissen.
Zwei vereinigte Elemente x.,t und x -^ dx . .t -{- dt werden durch X(f) in benachbarte Elemente x-\-dx.. und x-f Ax-^d{x-\-dx) . . . Obergeführt, welche wieder vereinigt liegen, wenn man hat:
ddg = dpÖx -[- dqöy -f- pddx -\- qdÖy ddp = dröx -{■ dsSy -\- rddx -f sdÖy döq = ds6x -\- dtdy -f sdÖx + tdöy
(19)
Subtrabirt man von diesen Gleichungen bez. die folgen- den drei:
ddjt = dpdx -\- dqdy -f pdSx f- qddif (iAp = drdx + dsdy -f- rddx + sddy ddq ^ dsdx + dtdy -\- sddx -j- tddy
(20)
10<^ SUJUU9 der maih^-ph^s. GImm flOP #. fMnMr 1995.
welche BOBdrOoken, doas die Rleaiente x-\' dx., t -\- At und x-\-dx-\- d(x-\-Ax)... t-^6t-\' dit-^-dt) vereiuigt liegen, 80 folgen die Beziehnngen:
dpAx — 6pdx "H dq^y — ^qdij *s 0 dr^x — Ardx -\- dnfiy — dsdy ^ 0 dsdx — Asdx '\' didy — dtdy = 0
von denen die erste wegen (14), (lü) ron selbst erfüllt üt Die andern beiden schreiben wir ablcdrzend:
(rfd), = 0. {dA\ = 0.
(21)
Da umgekehrt aus (21) wegen (20) die Relationen (19) folgen, so hab(>n wir den Satz:
«Damit die inöiiitetiimale Streifeutmu&forroation X{f) 2 benachbarte vereinigt liegende Elemente wieder in solche überführe, ist notbwendig und hinreichend, dass jene Ele- mente den Bedingungen (21) geniigen, wo d durch (15) definirt tttt.'
Es erhebt eich nun die Frage: Wie ninss X{f) he- schaffen sein, dHtnit irgotid 2 benachbarte Elemente, die (M), (21) befriedigen, in benachbarte vereinigte Klemunt« Übergeführt werden, die wiederum den Kelatiouen (21) genügen? Daxu ibt iiothwendig und hinreichend, da«» man identiich habe:
d{dA\ X,{dd),-\-X^{dS), d{dA),~^,{dd\-^Mäd),
(23)
unt^r X^,,f^^ unbestimmte Pactoren der Oii^stsenordnung Al Tvr«tandLm. Führt man die DifffTentialionni linI<H mit Rück- ficht auf (N), (Ui) au», nnd vergleicht die Coefticienlen von Ax, Ay^ Ar, 4«, Ai auf beiden Seilen, ao folgt, wenn partielle Differentialquotiunten durch unter« Indioe« angedeutet werden:
(23)
£ c %yd>eT: Simuttrine pnH. IhfferenttatglriehaoffCH II. O. 107
Xr + «1 J,(f) - f^Vo) + rd,(ti) - »?4(r)
— Z5 -h o5, - fn, + tr/, — r/r, = — /«,;; — /(^ — X^-f- o|,— fo,-|-Ti7, — i;t| = — Z^»?
D» es sich augenscheinlich tim eine Eij^nschaft der Bafaostreifen bandelt, so kann man unbeächadet der AU- getneiDbeit f •= 1 setzen, wodurch sich ubige Forraeln etwas Vfreinfachcn.
<! 'li*» f, »/, p, «, T identisch den RWntionen, welche
4«rch ;.- ! *Uoii von Äj^j/'i/'i aus (23) (24) folfjfen, »o hat das BabiutreifeBsysteni (IS) otTonbar folgende Kif(en»chaft:
gHat naao einen beliebigen Streifen S, der den DifferentiaJ^leichuii^en (21) genOgt, ao bilden die m^ Slreifon des Systi-nis (18), welche bez. von den 9^ Elementen ron S auslaufen, eine Fl&che, da ja je 2 nfifeinaudürfolgeude diesor Streiftio nach ihror laoien AuHdfbnung vereinigt liegen/
Wir nennen ein solches System von 00'' Streifen »ein »obvücbränki intfigrablea Strcifensystem.*
108 Sitzung der fHotk.-jahys. Ciasse vom 9. Februar 1895,
in.
Wir setzen in (17) 1=1, t} = Ä^ und legen der im Uebrigen beliebigen Streifen transformation X {ß nur die Bedingung auf, dass die 2 totalen Differentialgleich angen (21) eine integrable Combination liefern sollen, d. h. eine Relation der Form:
äF- Q,{ä6),-^e,idd\ (25)
erfüllt sei, worin F eine Funktion von x..t bedeutet, und unter Gebrauch der Abkürzungen pag. 102:
dF -^ Mdx + Ndy -f Rdr + Sds -f Tdt
gesetzt ist; q^ q^ sind unbestimmte Faktoren der Grössen- ordnung ItÖX.
Indem man in (25) die Goefficienten der willkürlichen Differentiale auf beiden Seiten gleichsetzt und ^p q^ eliminirt, folgen die Bedingungen
Hä^ — SA-^- r = 0, (26)
iJ ~ + iS~RÄ) P^M = 0 dx ^ dx
Rp^(^S^RA)p-i-N = 0 dx ^ ' dx '
Dies sind aber zusammen mit
(28)
nichts anderes als die Cbarakteristikengleicbungen der par- tiellen Differentialgleichung (1). Da aus (26), (27), (28) umgekehrt (25) folgt, so gilt der Satz:
J£. w. WtOtTi Sinältane part. Differentiaigletchun^tn U. 0. 109
.Di« BedinguDf(, dass die Gleichungen (21) eine iniegrable Combination öF zulaä§en, ist nquiTalenb mit drr andern, iIqks die Bnhnütrcifen von Xf/*) den Charakteristikeiigtüicliungen von F=^ C geiiQgen."
Ditr Gleichungen (38) nnd völlig äquivalent mit den fiilf^ndeo :
v-\-wA,
dt dx
-= w-\-&A (29)
unter u.,oj die allgemeinüteu Funktionen von x..t ver- standen, die (5), (ü) befriedigen; berechnet man nutnlich ui'ur aua (29) und suhstituirt in (5), (6), so kommen gerade wieder die Oleicfaangen (28); umgekehrt, sind die letzteren befriedigt, so gtn(l(f»'n alte Wertbsysteme uvukTj, die (29) erlUtloa, auch den ICclationen (ö), (6).
Des weiteren verlangen wir jetst, dass die Qleichungon (21) oocb eto« zweite, von (25) unabhängige integrable Com- htnaHfin ralaasen, d. b. dasa man aaner (25) nuch habe:
dr - Q[{dd\-^g'^{ä6\
der Bedingung
Gl ei — Qte\ + 0
fii folgt Eunachfli, dasä die Gleichung RA* - S'A -I- T' = Ö
(30)
(31)
(32)
BfH (2tl) eine Wurzel gemein hat, die wir gerade mit A l>!vicJbaen wollen; m besttjtht altso (U) identiäch. Ferner milsiten all« Sjvicrar von Funktionen v..t7t, die (29), mithin nach ofailger Bemerkung auch (5), (6) erfüllen, nun auch den Kela- 47). (8) gCBÜgen; du die OUMchungen (5>. . (8) unniit eine UrOasen ii..d> ganz willkürlich Ussen, müssen Uberbuupl •Jt« 4*gli*^dn'gen Dei«ruiinauten (13) ver^hwinden. Umge- kehrt ist letxtena der Fall, ohne djis» alle 3-gliedrigen
110 SUtumg d4r math,t^$. ClatBt vom 9. Ffhruar IM6.
OctcrminantieD ron (9) null werden, m kann man aus dreien der Gleichungen (5).. (8), efcwu aus (&)« (G), (7) die uvte in der Form berechnen:
M = i( - ^i»ö>. II = /f, -I- .l>w, IC = /f, — ^Iw (A3)
wo A die wegen (0) vorhandene gemeinsame Wurzel ron (2G), (32) bedeutet; man erkeuul die-i leicht durch Anwendung von S^lrMter's diiit^-tincher Eliminationsmuthode auf (20), (32). Setzt man jetzt
e = Ä:, + ^Ä^ a^kt-\-Aky T = jt, (S4)
80 genQgt da» Streifenayatem, das durch dio Olcichungim
rf« ^.4 ^r d$ dt ^^^^
dx dx ^ dx äx
definirt ist, wegen (34), (33) den Relationen (20), worin jetzt II.. m Funktionen von x..t l*edeuten, die sowohl (•^), (0), als auch (7), (8) bcfriedigun. Wir haben somit den Satz:
.Das identische Bestehen der Kelationen (13) ist die uuthwendige und hinreichende Bedingung dafOr, dasg dio beiden Oifferontialprieichungen (1). (2) ein Syiftem von oc'' Cliarakterisliken miteinander gemeiD haben: dieses System ist durch (35), (34). (33) ein- deutig festgcUgt.*
A'ta muii in (27). (27a), (20) für -I dv - ' ■ WurxeP) il, v«)n (26), 8o erholt lua» die Üdinitit'> mgen d«
xweiten Üharakteri$tiken^^tems ron f*. Nennen wir einen Streifm der die Diffrrentialgletchang 4 F'^ 0 bsfriedigl, kurz aiaeii Streifen von F^* «> gilt der Sats:
^ Dasi lÜt 01oiebODir«n (30). (831 koia« vn«cliwi&d«>de& i>is> fciiiillwaill baÜhtn, int, wi« Don leicht «iehu etae B0th«eiidi|4 Vomaawttasit Ar «ii« OftltigkaH oWfsr Batwiekelttag«».
£. 9. W^ftr: Smtdtam pari. Differentiatglrichuttgen II. 0. IH
,Die Relationen (13) sind die notbwendigen und hi o reiche od VD Bcdiogaagen dafür, dasäalle ebiirakte- ristiscben Streifen deü 2. Systems von F Streifen von y, flowi« bIU chftrakt. Streifen des 2. Syittenis von F' btrtif*n von F B«ien.* Wegen des völligen HeciprocitäU- fcrfaähatSKs KwieKben F und F' genügt es, den ersten Theil ^ Behaijptang zu erweiHeii.
Wir haben £u zeigen, dass jede der Gleichungen (5}t {6) und:
«io« Folge der beiden andern ist. Kandert man aber die Matrix dieser 3 Gleichungen mit der Horizontalreihe N"^ 0, ß\ S\ 7**, and der Vertic^ilreihe 0, 0, 0. 1, so folgen nach lekfater Umformung die Bedingungen:
Jf Ä S 7* 0 0
N 0 n S T 0
w R' s' r 0 -A, jr 0 Ä' s' 2" 1
= 0
velche, wie leicht ersichtlich, mit (13) v(>llig äquivalent ainä^ w. %. b. w.
Wir Ueh»upten nun;
,DaR gern ein Hämo Chnrakterintikensystem ^35) TOB (1), (2) Ut ein anbe&chrankt integr&bles Streilen- ■y>tem.'
& genligt eanächst den beiden Identitäten (25), (30); tnetst man darin die dx., durch die äx.,^ m> folgt:
dF - 0, dF'-= 0 (3ö)
Diflerentiirl man jel^t (25), (SO) mit dem Symbol d beachtet die für jedes f geltende, leicht xu veriticireade
iiat
rf ifif) — ^ idf)
^^^,,)._Hir,M.
112 SiUunff der math.-phyg. Claue com 9. Fehruar 1895. SO folgt wegen (36):
e;rf(rf^), + e;rf(rfj),H (rfe;-^)(rfA).+(rfe;-C')(rfd), - o
woraus aiüli wegen (31) xwei Identitäten der Form (212) er- geben, w. K. b. w. Die gemeinsamen Integrulfliioh<m von (1), (2) werden demnach ilarch folgenden Frocess erhalten;
.Man bcütimme einen Streifen II. 0. 5, der den Uifferentiaigleichangon (U). (21) genügt, worin die ä durch (35) definirt sind, oder auch (watt wegen (25), (30), (31), auf dasselbe berauBkonimt) irgend einen gemeinsameD Streifen von F und ^; Bodnon durch Integration von (35) die oo' Streifen, welche bez. von den einzelnen Elementen ron S ttui^laiifen und durch sie hex. eiodeatig festgelegt sind. Diese oo' Streifen ordnen sich dann su eiuer geioeiniauien Integrolfläche von (I), (2) xusaramtro/
Wir ktluueu lür den Au^ngastreifen S y und 4 «Ia willkürliche Funktionen von x annehmen, ferner in einem beliebigen Punkte der ao de&iirien lUunicufTe ein Werth- «ystem p, q, das die Kelafcioii dg = pdx -\- qäy befriedigt, was oc^ Möglichkeiten bietet; endlich können wir noch &iT $ i beliebige Änfangswerlhe fest^t7.eu, wodurch dann auch der Anfongswerth von r b<.-«tinimt und vermöge (U), (21) der Rauiucurve entlang ein Streifen festgelegt ist. Al«o:
• Bestehen die Relationen (13), do gehen darcb jede Kanmcurve co* Integralflächon von (1), (2) hin- durch.*
Soll eine IntegralUSohe von (1) auch (3) befriedigen, so mOnen die auf ihr verlHufenden oo* Streifen des 1. Chft- rakteriatiken^stoina von (1) der Gleichung
rff = 0 (37)
geuQgen; d« aber da« System der Holatiünen (27), (27 a),
E. V. Weber: Simiätane part. Differentialgleichungen II. 0. 113
(28), (37) aogenscheinlich anf (35) zurückfahrt, so schliesst man leicht, dass durch unsere Methode alle gemeinsamen Integrale Ton (1), (2) geliefert werden.
Das Bemerkenswerthe dieser Methode besteht darin, dass de ein ToUkommenes Analogon zn der von Lagrange, Char- pit, Monge begrflndeten, von Lie geometrisch präcisirten Integvationsmethode der partiellen Differentialgleichungen 1. 0. darstellt. In der That lässt sich auch ein grosser Theil der an die genannte Methode sich anschliessenden geometrischen Sätze auf unsem Fall Übertragen, was indes hier nicht weiter au^ef&hrt werden soll. Worauf es uns hier vor Allem an- kam, war, den B^priff des unbeschränkt integrabeln Streifen- s^^ms aufzustellen und an einem besonders einfachen Falle ZQ erläutern.
I>«.V lUttL-playB. OL 1.
115
üeber Blei- und Fahlerz-Gän^ in der Gtegend von WeilmÜQster and Runkel in Nassau.')
Ton P. r. Sudberger*
Die fragliche Gegend gehört zu der dera nordwesrtlicho-n Abhänge des Tatintiagebirgee vorgelftgerten Hlii^eUtLndschaft, ««lebe vielfftcbe OeäteirLswächüel bemerken JääüL Dachfichiefer der oberen Abtbeilaag des Unterdevons (Orthooeruä-St.'hit!rur) snd au rieleo Orten entwickelt und werden bei Langhecke ist Jahrfaanderten abgebaut. Kur zuweilen, z. B. bei Lfltsien- dorf Dächiil WeilmfiDster, Eufingen und Niederaelters ent- halten «ic Leitrersteinerungeu {Orthocerofi trianguläre und nmmutatum, Goniatttes compresstts u. a.)< <lie freilich auch uf grosMso Strecken fehlen. GraugrQne gaiiK iu Schalstein angewandelt« Diaba^uffe sind ebenfalls »ehr banBg und fbfoao vie «ruptivv dichto Diabase fUr das Vorkouiinen der Etm von hervorragender Bedeutung.
Eine gtosse AotahJ von anfgelassenen Gruben, sowie ,ooch im Uange befindliche sind in dieflen Gesteinen aathurnticbeii Verbültnisseti betrieben, wie Verfasser t. Th. Aoeh seihst gät»ehen hat. Dieselben liegen fast sämmt- liek in uioem von NO nach äW von Weilmllnittar bü Woycr
' KootfnphiicbPD I Iricntirung etupliühlt lich die der Bwgrtvior* Woilburg von Fr Wenckcnbacb, Un9, WlfeAl^ Uohenic htakarte.
8»
IIÖ mmmf Jtr mmlKfii^ CUtm mm »,
TtrUwfanrtwi Zaga. An b«tai
honuMO ffOB Waj« b« RioiImI,') wbIAwi ttnffrrF
d«B OB dvo rf— itrii» (Wr^liiui koehTvrdicfiftr
ntb Kr. (Mt»rnbeiin«r RvUtUt nnd «rii 1 wurde. Die Scbichtsn «UviclMn ki«r b. 4 — ^, u><7 u «bM* b. 7—0, jrawiti b. 0 b5rt« ili« KnAliniair "»^ Htm mMn groaUiUUritiper Bteigluu mit genngvoi ud cn mit bfthcTHB 8ab«rKihAha. Ak OaAtMtau UvIm ]i]Nith iluH Qimn aaf, an leUtetea wnnm die Rn» gt BlvigUnn f»n(l (fieb haoptäkblkb, wo der ThoaaclM <]iobt«ii DUbfti MkflticN, Pahlf^r (bf^sgwi, wo «r mit i
lockerten) Schftbteine wc«baeUe, a^oer ka > ^
gsowngt vor. Id dsr Teof« legten flch dii ;t4e
Bach und der Diabas wurde immer miebtiger und Ü wtbrend die OangvpaUe gaas waumsof • kt
ab Bceteg eraehien. Ri vnterlSegi w<' jem Z<
daM der in hOberer Tenf» rorgaftmdene Diabas l&nfer einet SloekflN in der Teafe darvtrllt«. v« keine Au^laagnng er&hren hflite und daht-r aoiU j.niir liefern kannte. Ww ich in der letxten /rii des Bi (1840) telbrt auf der ßnibe Mehtbw-h geaeben habei, i giinx mit OfK-rnlipitner*« BertrJit tlW Wejrer nberrin, hier erschien der daraabi betriebene Krtgang in di Diabaie, deasen KIflIle znweilfn mit VerwaohjiticmH bUtMTO AabaiA und Kalktpath anHgefUllt waren, drflckt und nur als Üaiteg. Eh onlerliegt ale« ' n^m da« bvidemale die AnfreiMung der Qaagnpali i
ana adUien Dtabaie ans mechanischen Orflnden war und ael>viivi!retÄndlit'h arich r^'wr- Injn-titm der der Rrai^go von unten im i^inne der damuU aoeb angenommenen ICrKgant^-Tbeorie fiknz u&/.iilärwig
I) Odtrnheimer in i. Z«iUrhr Da« Bttf vnd Hat im Uentoffihum Naawui. L 8. 90 C
F. V. Satuibtrg«r: Ueber Blei- und FaMeri-aängv. 117
chntis analog vorhalten «ich die Fahlere itlhreudeu der Gruben Kdnard und Altper Mann bei Langhecke, nie l>ei Weiubacfa, vielleicht auch der Qrube Laubus laintcheu.
|Dic Grube Alter Mann resp. die zu ihr gehüreude RothenIcUppel bietet das einzige mir bekannte Beispiel D höflichem« d. h. mit Er7,en imprägnirtem Nebengestein, »r ScbaUtein im Hangendeu dc^ Bleiglanzgan ge« enthfilt IBilich eingesprengte und angeflogene Kupfererze, besonders
rerlasur^) in Menge; doch kommen auch kleiue Partien welche gao'/ den Uabitna von aus Fahierz eutätandenem rJerz besitzen, wie ich s. Z. selbdt gesehen habe. Die Mineralien der Gänge zeigen keine bestimmte Ueihen- [ge, besonders der Braunspath, welcher in der Regel unter, ier wie auch audtrwSrtä stellenweise auch Über dem Quarze
Ibeint. Im Ganzen kommen folgende vor: 1. Braunapaifa in schwachgekrümmten Uhomboedern [2,94 spec. Gew. oder derben Massen, im frischen Zu- dc von rein weisser Farbe. Auf den Halden geht die urbe sehr bald in das Gelbliche und schliesslich Tiefbraun >cr» weil Eisen- und Manganoxydul in höliere Oxjdations- afen umgewandelt werden. Noch dem spec. Gew. wUrde k Braunspath Breithaupt's Tautoklin zunächst stehen.
■ 2. Ealkspath findet sich sparsam in kleinen wasser- sllen Kristallen It'. U über dem Braunspath. Ich bin sehr toeigt, ihn für ein Zersetzungsprodukt des letzteren anzu- hen, welches bei der Oxydation der Übrigen Bestandtheilfl geschieden worden ist.
B 3. Qnarz. Ist einer der wichtigsten Bestaadtheile der Snge und findet sich entweder derb und von grauweisser
I
') Wenokenbauh, Jahrb. d. na«8. Teroins fUr Nftturirande. UU V. XXXII. ä 100.
I tB flüUMV *» MUL-fAyc"
Karb* oiWr ia f*rii wclebc oiefat mHmi
''•iiMfi Kr
4. Fahlen tiiuB^ kryiUtlbnrt io ilra >
wosu Mitm Do«b —
SOI
Aüiuabi^ful, aimr 4trb.
i»enl TOI) 't,N2 •ptw. U«wielil irt »tahltcriMa mit r-in »li Skrkii. Kh ffiU vor d»m (/Hbruhrt* «nbr 4«-> ftiif Ankimoo, An«n und achwaelu» in lUtBKllMo kiekt <mfcKiUi»i> •iw)«^<^>» oui ZiDk obA wecliariDde Qwu/timta nn 8ill»r. «. bb u l pmc. itni^. K> Handell «irh dabvr na ein Amn-P«klcn, ««lefaM d«o VotkomiucB ^pw* Siegen noil Bnxle|;rg snnlehfl ilriim dQrfle, ttügi M Aueb xiiwmlfn «in«n dOnn*a (7**tH«mi«c vn kies, aber dcMen Bedeutung ich mk'ii « Nfirocben b«be.') Von dtm l'rodiicten der Ox^iuLum taten win) »pKi#fr dii? lirdr Mrin.
5. AntimonsilberbleDde (duukl«» lUiibi^alLij^nsj •Ultc diflM» lieti Ober Fkhlerz Auflnipti<)"(i Krxi^ i •elt«ii, doch fnnd idi deutliche SluleittU b«t] - TOD (jnibe Mi^hlbftoh, »ber die Eudeo muvxi m. gebildet. Derbes Kothi^oUigen ist in frQbefva Jahrh oflVnbftf ftuf tuübrereii Orubeo getroffeo wor ' WeDckenbacb*) nach den Acteo Aber ' schwere MaMe« welche um lÖOO aof der Grube bei I*iingherke eing^^brocben irt. Von Woyer Rothgflltigi^rz prwiihnt.
(). Bleigl&nz. Dom Mineral btt auf ftlleii Qäoa xwar in grjtablätirigen Aggrc>gaten vorgekommno, gn'Mwrer Menge nur zu Weyer am ContAcle von Tbnoi
>| Uatrriachimgea ttber Xrtglair«>. H. 8 989 f ^ Jahrb. a. aana. Tmfau t Katurkuad« XX
F. V. 89ntBteriier: Uebtr Btei' und P'oMert-Gänft«. HO
^flichtpin Diabas, sowie in faustfn'ossen Knollen in Mrami- Niith eii)gewachs(>n auf der Onibe Goldkante bei Woinbach l^weit Wuilbiir^; auf der Grube Mehlbach hat er nur eine rgeordneto (tolle gespielt. Kryätalle sind mir nicht zu bicht gekoinmei]. Der öilbergehati ist gering, nur 1 Lotfa f'Centner.
7. Kupferkies. In geringer Menge derb und zuweilen enerrien quadratischen Sphenoideii krystaltiäirt auf Quärz, ne sehr selten als dünner Ueberzug auf Fahlerzkryatallen j/af Grube Mehlbacfa. Eine bergmänniacbe Wichtigkeit hat r nicht besessen.
^V ZersetzimgS'Producte.
^V a) TOD Fahlerz.
^B 8. Gelbeisenerz. Wie an vielen anderen Orten b^iunt loch an den Fahlerzen der hier besprochenen Erzgange die Serwtzung mit der Bildung einer Menge vun KlUftehen, in velchen schwoft^lsaureä Eiäenoxydul und Kupferoxydul ent- ialt«n ist und durch destillirtea Wasser ausgezogen werden cann. D&a Erz geht dann in eine matte schnnttziggrilue liaese und schliesslich in eine ockergelb geerbte erdige Substanz Ober, welche weder Kupferoxyd^ noch Arsen oder Antimon enthält, wohl aber Kiaenoxyd und viel Wasser, lalier al:< Gelbeisenerz bezeichnet werden moss. 1^ ij^t der «tzte [lest des Erzes, aas welchem auch Arsen und Antimon torch alkalische GewäGser ausgelaugt worden sein müssen: Biegelerz kommt nicht vor.
0. Eupferschauni in blätterigen Partien bedeckt zu- teilen die eben erwähnte graugrOne Schicht des Fahterzas, ist aber bisher nur aof der Grube Mehlbach als Seltenh^t Q[efanden worden.
10. ThromboUth. Aus dem Gemenge mit araenaaurem Kupferoxyd scheidet sich stellenweise ein mattgrQnes, halb*
120 SiUung der math.-ptiifs. CUuM W)« .•>. Fd/ruar J89S.
ordijg» MiueruJ au«, welches aus Kapferoxyd, AutimonHiare und Wuswr mit wenig Kiseuoxyd beatebt und gaa» mit dein ThrttniboÜtb voti liezbanja Übereinstimmt.
11. Knpferlasor. Ueberdeckt die gellte Zersetziinf^ schlicht in kugeligen und traubigen Aggregaten, die zuweilen
in douiliche Krystalle ooPoo«OP P-coP auslaufen. Be-
sonderi) 8ch5n von Qrube Eduard bei Langbecke.
12. MftlftChit in kleinlraubigeu Aggregaten findet sich in genDgerer Menge zwittclion und Aber dt^r Kupfer!n«ur und xnu.«i als jtlnger wie diese g«lten. Die kohlenaaaren Knpfeiv oxyde sind daber Ht*br fipüt, vermuthlich durch Zenctarang de« VitrioU durch kohlensauren Kalk deä BranospaÜia m geföltt worden.
13. Knpfermanganerz von achwarzcr Farbe und brau- ' Mfui Sirich tritt t^bent'iülä in klein traubtij;*!r Form hU jüni^stes Kupfererz Qbur den btflher erwähnten MinomUen uuf, gc&M 80 wio bei Saalfeld, Kaoudorf nnd Freudenstadt.
b) TOD BleiglanK.
U. WeiBablaien» Ist auf Grabe Meblbach m kw. bündclartig susammMigtbftQfien Aggregal«D \n gieringar ] g«ftiBdeB wMtdm.
15. Orünbleien. In dOnnen grOneo rebetxflg«« Qnan gleichfalls auf Grube Msblhach.
16. MMiaig» io dentlieben PwDdoaiorphcwni nach Wc Ueieni, wekJie in s«rfroi»encni Quane eingewadiseD waren. I Ich habe diwa nerkwflrdi^ ocd aelien« IVodoiDorpboae «oboQ It^i**»') btlouaiit gcoMdit, mich aber eintr Er d«nelb«B eniballaii. AocH jatit bin ich noeb nscbt an «Icbea gvkangt, da vcb Bieh disa ron Blnm*) gegen ctM]
1 L NaAlnf ■■ 4m
S.«ä.
F. V. SMuBterj/fr: Ueber B/*e- unä FafUerz-Gdnge.
121
ItotiK derwlbeu durch ßinwirkun^ vun Hitzo roi^e-
^ien Bedenken Dicht rerschliessen kann. Dafls in ur* alter ^it einmal Betrieb durch KeueiseUeo ststtgefuadeD tMib«» konnte, ist ju nicht zu Icutpien, aber eine so schöne Erhaltung der Form nur deukl>ar, wenn diu Warme all* nihtich auf das von Quarz umschlossene Weiaableierz ein- gewirkt bitte> Leider besitze ich das Bele}(stGck nicht mehr, che TOD anderen Fundorten, die ich untersucht habe, keine Elnicheinangen, welche auf Einwirkung lioher Temperatur deuten.
Wenn nmn Bich die Art der Auäfallun^ der Gänj^e klar ni machen sucht, so ist ea vor Allem nöthig, die ßeatand- Ihtittt der Nebengesteine in Betracht zu ziehen.
In erster Linie sind die Schalsteine näher zu charakteri- siren. Von dienen liejrt zwar eine Anzahl von Analysen ton Neubauer und DoUfus*) Tor, wobei aber nur die \m g<evQhn liehen quantitativen Analysen übliche Menge von I— l'^g untersucht wurde; Schwennetalle. Antimon und ArwD sind in die-sen |;;ewohnltrh nicht berücksichtigt. Allein das cORfftante Anftreten von Bescblägen Becundärer Kupfer- erz* in den Schulsteinen und das (iebundenscin der Kupfer- kittigünge an Kic hatte mich 5cbon lS-'i2^) veranlasst, den Kupfnvehalt des Kebengeitteina als Quelle dieser uietalLi- ■che«) Auaschoidungen zu be/^iclinen. Dieser ist nun durch Analym-'n mit 10 — 12 g Substanz unzweifelhaft nachgewiesen worden, aber daneben auch in einigen ein i^lcher von Atttupon^ Arsen und Zink, d. h. sämmtlicho BeefAndtheite
lupferkicses und d« Fablerzee. Vm auf Silber zu hätte noch eine weit ipüasere Menge Schalsiein in Arbeit goiionira<ni werden rnfbuen, da es auch in den Fahl- tnaa nar in geringer Menge auftritt. Trobjlem ist aber
VI Jahrb 4. na«. Ver«ias r. Nfttarkoade. X. 3.49 ff. if Jahrb. d. nui. Vendni t Hatorknade. VUL S. 6.
132 SiltUMff der mnth.'ifhjfs. Oiatwe vom 9, Febrwtr ttt95.
Hfiin Vuikomiiion nicht /.wt'ittilliuft und mmo locale Concfn- tratinn zu Rothg(tItif;ferx augenfötlifif. Duts das Fiihler» in den Ciüngen an ächaUlein al» Nebengestein gebunden war, ergibt sich aiu« oliigun Bemerkungen ab nütbwendig. Da zur Umwandlung der Oxyde in Schwefelmetulle nüthi^ sebwefelsaui^ Natron fehlt in keinem SchaUteio nnd organi- Rcbe Substanz ist ja in allen vorhanden, welche einiger- mancn sereetzt erscheinen.
Anders verhält sieb d«r ßleiglanz, welcher vorxugKweiäe da eiubrach, wo Thonacbiefer das Xobengestein bildete. Es erscheint auffallend, da&» die Scbabt«ine kein lilci enthalten, während üasäclbe doch in KalkapathklQflvheo jQog<?rer DiabfLHa z. B. in der Gegend von Weil bürg und Dieas h&uHg genug aU Bleiglun/. in Begleitung vun Ziukblendi* und Kupferkien beobachtet wird, aber die That^ache bleibt desshalb doch bestehen. Dagegen ist Blei in den OrtboceraAschiefem und auch älteren (BliipidapbyIlon*)Scbiefern der Lahngegend sehr verbreitet, während Kupfer in diesen nur untergeordnet auf- tiitt. Itlei wird da.s wohl der (>rund sein, warum Bleigtaiiz vorzugsweise in den Gangklflften zwischen Thonschiefer nnd dichtem Diabase auftrat und nur ausnahmsweise mit Fahl«» msammoD vorkam.
lietraciitet man femer die Gangarten, so lässt sich im Allgemeinen behaupten, dass Hraunspath schon in ciuer frühen Periode der Auslaugiing den Nebengestetni reichlich Kebildet wurde, da er schon als solcher in dem Scbalstein vurbaudcu war, während Quarz erst bei sehr sUrkom Angriffe das Kfibengesteius aus dessen Silicaten abgeschieden werden könnt«, wobei auch die ach wer metallischen Be^taiidthcilc dcsi!t«lb«it in Freiheit gesetzt nnd auf bokannto Weise in Scbwefd- inetnlle umgectetzt wurden. Oaas dieselben in der Begel erst mit dem Quur/e auf der Gangspalte erscheinen, ist also iwhr erklärlich.
Yergietcht man ander« OingOr so enob^t dM
F. V. Sandberger: ücfcer Blei- und Fatderegänge. 123
geschilderte Vorkommen gewissermassen als eine Miniatur- au^^be der an Diabas mit silberhaltigem Äugit (0,001 Silber) gebundenen weltberühmten Gänge von Ändreasberg am Harze; auch mit Pfibram bestehen gewisse Analogien. Entfernter sind schon diejenigen mit dem Wolfacher Wenzelgange, da zwar die Art der Ausfüllung, nicht aber auch die Lagerungs- verhältnisse mit den nassauischen Uebereinstimmung bemerken lassen.
Die Ausbeute war im vorigen Jahrhundert nicht unbe- trächtlich und vermuthlich durch häufige EinbrQche von RothgOltigerz bedingt, die aktenmässig festgestellt sind; von der Grube Mehlbach gibt es auch eine hübsche Ausbeute- mfinze mit dem Bilde des damaligen Regenten, Fürsten Carl August von Nassau -Weilburg. Gegenwärtig würde eine Wiederaufnahme des Bergbaues angesichts des ungünstigen Verhaltens der Gtänge in der Teufe und des tiefgesunkenen Preises des Silbers keine Aussicht auf Erfolg haben.
125
üeber Leucocytenwanderung in den Schleimhäuten des Darmkanales.
(Hit 17 Floren auf Taf. I u. IL) Von N. BBdlBf«r.
I. UmwaBdluDg der Lieberkühn'BchQn Drüsen dorcli Leucocyten beim Hunde.
In lueiDeni Aufsab. nber Jie ümbilduDg der Lieberkühn- ichim Drüsen beim Menschen ^) babe ich zu zeigen versucht, dus Qberull dort in der Dariüschleimhaut, wo Leucocyten-
I Ibllikel vorhanden sind, die Lieberkühn'schen Drfbwn voll- cUodig f«bltiD. Ich sachte zu zeigen, dass die Fullikt«! der DumicbUnaihaut, indem dieselben ans der Tunica propriu maooMC, sich vergri3t»emd, vorrücken, die LieberkUhn'schen Dfiben derart umvrandelu, dass aas den Cylinderepi- thelien der DrQsen Uundzelleu werden, die »ich von dtt Leucocyten nur äusserst schwer unterscheiden lassen. Diesem Vorgang, der sich in dem Dünn- und Dickdami
[da* Menüchen, iusbesunderc in de)=«en Wurmfortsatz unaus- gMetft Toüxieht, konnte ent dann eine Bedeutung zuge- iprochen werden, wenn ein ähnliches Verhalten zwischen
') 8Ui«iigd>tricfat« der math.'pbyi. Cluw der K. b. Ak&demie im WIM. IMl, Od. XXt
130 Sitnnff der math.-phffM. nomr vom ». Frl/rrnnr tfißü.
Die X^ucocyteDdurohwandeniri^ tindet an allen ron der Uollanblaa« ^[ewontienen Pr&parftten Biatt. Dm lymphitM^ti Zellen bewegen sich, eingebettet in den scbniaten Fnit'eti zwüclien den Epithelien, in jener spärlichen Hinde^iib- stimz, wifiche diese EpitbelUgen mii «innnder T^reinigt. Diu» man nn den Kalten der Gallenblasenscbleimhatit. nirhi von einer Scbleinihaat im Sinne der Darnracbleimbniit ttprci;h'*n durC, wird «ofort nn jedem Sebnitt erkannt, tkbwer lä*wt aioh festatellon, ob das Cyltnd er epithel auf einer BanUmerabrftn anf^epflanzt ist, ähnlich wie im Oamirohr. Eine Be$?rpny.ini;; d<.*s Epithels durch eine Basalmembran ist wahr»cbeinlicb vorbanden; allein mit Bestimmtheit kannte ich dieselben nicht conetAÜreit. Mun »ieht an einzelnen Stellen faie und da Orenzlinion an der Aonsenseite der Kpithnl&ellen. jedoch von einer Hchnrf begrenxtj^n Btutalmenibrnn konnte irh mich nicht Qborzeagen. Die etwas kunische, kleiner werdende tieiehaflfetiheit der Cylinderzellen an der An^-tenseite, wo der gegenneitige Oontjurt der Kpith*^lKi;lleri fohlt, i«t wohl der woRentliche Gntnd, daä§ man (liier ilie Bn?ialmeniHran nicht leicht An&chlnsK gewinnen kann.
Die Leucocytou im Epithel.
Üehor die Art der Dnrchwandrnmff der I*miw»< bedarf ca nur wenif<er Angaben. Man ändi^t die Leucccyten f^iit vereinzelt, ofi %n £wei*'n hinter einander oder xwei Zellen, welche nur durch eine oder /.wri '' m ! " i, vun einnndt'r getrennt werden, durchwandernd. -■ he-
l(efni<!t man ganzen Grnppen nnd ich konnte in einem Fnll** <> und in einem andern annähernd 25 WHiidentcllen zülr GrVtoieri» l^'rxt^lrun^en der Oy linder^pitheNchichtfl koniut. ., nicht Äiir Bf*ol>iM:hbunf(, MuKtenwei.-«(>i Diircbtrel^n der lamro- eyten, wie etwa im Darmmbr. kommt in der Oallenbl*«' nicht vor und wie difsielhan in dem f{>^*^"*^i Sehlt'imhant-
AT. UOAinger: Utbn I^Hcnri/tfHK>andfrtin!f.
131
' K^biat isolirt wandern, nn treten sie auch meist vereinzelt ■vbchiMi deu Cylinderepitlielien durch.
Die Art iinrJ Wpise des Dnrclitritte-s f^eschtebt in Form
j TOQ stifUrtigeD Gebilden, dii^ sich langgestreckt Kuspit/en
und ui ihrem der BlasetihShlo xugf^kehrten Ende eine Ver-
lKiif^«mng zci]|(:en, nett^he ak feinkörnige Masse die Epithelien
■HieiBnn dcrdrän gt.
Unxweifetbafl tttellt dieser langgestreckte Kortsate des
nindlicb laufen Kerns, der sich durch seine dunkle Pirbung
bnet, die ZelWnmpmbran nnd das Protoplasma de*(
isn dar, dio Hrm Ivem ebenfalls in Stiflfnrni voran"»-
«len Dod die Epicheleelten auseinander drilngeu.
bt ein Leucocyt .twischen die CylinderMllen ringedrimgen* \m benfltzt ein zweiter oder mehrere den jetzt priiformirten ISpAltraam nnd rDcken nach, so dass mau auch zwei und nebrer» hintereinander gelagert beobnchten kann.
■ Sind die Lencocyten an den inneren Euden dur Kpithel- ^Uttttt ang»?koramen, so drängt sich ihre Zellmembran mit ^HpD Prutopituma al« blfischouföruiigee Ge)>ilde nach dem HBI&Mnniam Tor nnd man kann beide gut tibersohen. Der \ Kern ist in diesem Falle noch nicht ganz dorchgetreUtn,
tnwie d«nelbe ober seinen engen Kanal zwisfclien den Cylinder- teUeti terUasf^n hat, Dimmt er »nforfc die ursprüngliche runde Form an nnd man wird in dieser Hinsicht an die Kern- vcrändemngen irinnert, welche die Btulkör|>erchen in engen pMBag«n erfahren, indem diese ebenfalls, nach dem Dnrch-
■ 9Uig durch engt^ Kanüle, ihre normale plattrunde Form Hwi«d0r annehmen. Wt>nu iuich der Kern eiiie^s Leucocyten H|(RM>| du Prolopliumu gering ist und die ZelU'nmembran Hmircilw nnr tjnen geringen Abstand vom Kern Keigt, so ^ an» man doch ihre Fähigkeit, die Form xa ändern, be- wundern.
iiiOwn df#r WanditrxiiJIen ihren Durchgang zwischen den I OvUadvrreMtfn rollbracht, ■> trifft man diiwelbon in ttinem
132 Sitning der Wdf^.-pAy«. Clam« mmh 9. Fthruar f89S.
Secret von gleichinässigi^r gelber Färbung, iu dem mch nar die Leucocyten aU geformte fcllementv vorfinden. In f*russero(| Entfernung von der Scblcimhnut begegnet nmu den Wonder*^ Kellen nicht mehr und ich habe rielfuche (Jrflnde, anxunobnien, daäs dieselben »ich volUtäiidig auflOsen, so düsa man zuweilen noch zerfnltenen Bmchsttlcken der Kerne bege-gnet. Sclilie««*» j lieh äiebt man im äecret der GHllonblase eine gleich miuaii^l homogene Mnsäe, in der gar keine geformten Elemente mehr vorhanden sind.
Nuchdem man eine massenhafle Einwanderung der beu- cocyten in die Gallenblase beobachtet hat, in der Nähe de Schleimhaut dieselbe vorÜndet, dann aber in dem amorphen Secrot keinen Zellen mehr begegnet, so ist man wohl b«- 1 rechtigi, hüh diesen Tbatsachen den Scbtuss za ziehen, d« alle in die Gallenblase eingewanderten Leaoocjtea sich voll- ständig auflösen und von hier an nur durch die ihnen eigentliQuiIichen chemischen Stoffe zur Wirkung gebuigfo.
Zieht man die Qriiäse der Oberfläche der Gallenblu und die zahllosen Mengen der Leucocyten in Betracht, welche einwandern, so muse die 8ecretmeng(% wenn ich mich tto auM- drückun darf, welclie durch sie enbrtolit. uU eine sehr bt*- denteude beseicbnet werden. Rann man die Leucocyteuein- wand<?rung in die Gullenhlaäe aU einen constanten normalen Vorgang aiiütibea. ^ darf die öallenbla^e nicht mehr uU ein einfacheH Ueservoir fUr dii* Galle, sondern als ein bedeDtungs« Toller secretoriscber Appankt, der die Leucocyten xor Galle durchtreten lii^, angesehen werden.
L'eber den Werth der Leucocytensubstanzen in den ÖccfeUjn dl» Dannkaitale^ liÄwt tdch MlMnrdend anf Grund der bis jetzt bekannten Thatüacben kaum eine A' '
üaiu in der GallenbUffe hOchst wabr.-^i . nllen Qbrigvn DrOs«», eine puriodijiehe Sti^igvrung and Ver- ringerung der Leacocjten ood ibrar Durch wan<lerung ror- bandfii «ein mag, darf u priori angenommen werden.
Ä fiUtUHO^i ütber 2^u(octjtentntnil^ning
1^3
III. Hasaenem wände rting der Leucocyten aus den SoIit&rfoUikeln in den Darmkanal.
Im letzten Ueeenntum bat Herr College 8tühr iu Bi^rsrcD TüncOgUdieii Aufsät/^n den siclieren Nachweis er- kMebt« pdsfis aas der sdenoideD Sabatanz nnmittel- bar unter dem K|itthel (der Si!lileimhüute) uine iioruial« AuiWHiidrrtiiig der Leucooyton statt hat, Turwie^i^nd darcb jenen Epithel, welrbes die Kappen der Lymph- kn&teben deckt, und «odie Lencooyteu in die Darni- bObl« wandern*.
Oiesifr Vorgang in der Darmschlettnhaat ist n»ch dem, WM his jetst voa veracbiedenen Autoren Ober denselben bekannt gewortlen int. uIb nnzweifelhaftp Thatsache an/u- «ebrfi. Im Vorausgehenden wurde schon erwUhnt, da«« in dw Gallenbluso und Hm itallenwegen Leucocyten durch Wande- rung stattfindet, und ich will nur noch hiuxufßgen, däKs das Gltache aneh i»i der Tuba Ktisbu-hü /n beiibachten i"*t.
In den fotg«*ndon /eilen will ich die Boohacfatungen miUheileu, weicht» ich an den itolitüren Follikeln des Darro- kanalm unil d«» Hmcefwis yermiformiä des Menschen gemacht habe.
(Jeber daa Verhalten der Dannfotlikel liegen zwei 9pe- cielle ÄTbritrn too t. OuTidoff und Ph. Stöhr vor. [)ie Angabe ron Hia, dass in der SchlfHiuhuat des Ddnn* und Diekdam«« an jenen Stellen, welche Ki>llikel einscbliessen, die LieberkObnVhen Orfltüen felilon, wurde oben schon erw&hnt,
1' ■ "^PTi sich nicht einfach zwischen die
Lieb*', ^ ,,- .. . . ix^n hinein und verdrängen dieselbeu,
mmAt^m üin genannten Drdsen gehen zu Grunde und indem ihre Oy]tnd<*rxe)ten ^ch zu Kundzellen umbilden und sich mit den LeiK-" v li''n, ent^itpht ftlr den jetit anage-
biMtts» PidtiK' IUmh), foilfi'^'« ders«.'lbe aU cunvexer
UOgel gegen da« Üarmlumeu Tor»pringt. Beim Kaninchen
nnd die Futlikel in Buchten der ächlciinlinut eingescbloAscn, sodass der die LieberkübnVben DrGaea führende Theil der Schteimhnut nl>er die Zotten bervürraj;^!:. Wenn di<* S<:hleini- faaut etwa» oebcn der Kuppe des Follikels ßetrofleu wird, 90 macht derselbe den Gindruck, oIa sei er rallatändtg von einer ticbleimhuutkapäBl umhüllt. Jeder Kollikel, gleich- viel ob tir einfach ab((eriindei iat, oder zwei bis drei secnn* däre fiCgel besitzt, ragt iu duä liiiraen de^ Diirnirohreä in der erwähnten Weise hinein. Di« Fullikel, welohe die freie Schlßinihautfläche erreicht haben, stellen beim Kaninchen , ääuiuitlicb kleine rtitide Erbdbiingen dar. Von hier ui» itn die ganze Mucosa bis xur Muscnlarib projtria des Wurnifort- sutxes erfüllt von Follikeln.
Beim Mensehun it<t das Verhulten der Follikel we.^MiUic verbchieden von jenem im Wtirmfortäntx deä KaniDubona.
Dort drUngt sieb der Leucücylenbuufen gegen die Oberfläche der Schleiiiihuiit und biblet an der^elbvn ein cou-^1 vexes Knötchen. Die Kntwickelung gebt von der iiua«r«D> Schi oini bau tzone au» und wenn der Follikel eine gewinM OrCwee erlangt bat, *o rUckl demelbe bi« in diu Submuoosu hinein und berllbrt aelbät die Mu«ciitaria propria ded Duruieav Dur gcwi'diiilu:be Vorgang iirt jedoch der. da»^ der Follikel'' bald gegen die Lieberkttbn'nchRa DrUwu vorrUdct, diew in der atige^L'bunon VVviae umwandelt nnil das Kpitbel der äcbleiiiiliautobtirtliicbe et reicht.
Der Druck, welcher wo Seite dua Follikel» auf das Epithel aufigeQbt wird, Terdannt dasselbe derart, da deine Cylinderzellen immer niedriger werden. Während all] den Koitlichvn Flächeu dv:* HOgeU die Cylindencellcn ihre onmiale Form betbehalten und direkt in jene der Li«b«qr- kaho'Mchen DrU^ieo &ich furtstituu, Nclircit'.'t dir Vei> der ZelUin auf der Kuppe de» llOgelt* (s. Fig. 1; .:.„:..; weiter fort und Mcbltfwiich iHt aus dttr C>liiidarx«llt eine ganx platte, aber imint^r noch vienoitige Zelle geworden.
«V. HitUinjfrr. tfeltef LvHCncyirnmnntirrHtuf.
185
welche iiich endlich loslöst. Dor Kt^likui üt imi:h dum [)Krtnlaf»en hin geuffnet und ilif* Leut^rx'ytt'n drin^^Mi ma)t»)«>n- wciao wu dnoMvIbun iq den Darm «ia (a. Fif?. 2 und U). die f ■* : ' ■II stiiadig vor sieb ^eht, kann man «n- kwer bf*. Ich bexit/^f l'rä|>ur*t(; Ton einem Enl-
KanfiieiMi t welcher im Darrokauat keinerlei pathologiiichH Vcfftodwun^eu zei;|te. h^ ist nnxuuuhmtiii, dius dies» Kr- Affiiiuig der Molitüreti Fulliknl eine periodische ist und wohl atiliMi^g «ein mag von den Verdaiiungsvorgäugen im Durm. Waa ifoU dttM Verrücken der Follikel nach der freien ObtrÜKcbr dvr r>ari ' -; haut, die alJmäblicbe Verdflnnunjjf des hoben C^Iindei > und die emlliehK Zerstörung d*^-
Mjbcn Meuten, wenn alle diese Vorgänge nicht die Kret- Ling der Leucocytenbanfen nntl die »'ndlicbe KinwaTidenmi? WanderMlb'n mi-. ihm in dttn l):tvin)ciinul da3 Knd/.ifl Jvr- mlhtea wäre?
Ich b«ntze Prüpnraie. welche gmr keinen Zweifel aiit- liemmtn laaseu, dam iliese VorgÜn^c un alUn Follikeln iu der ha[)irucbpoen Weise sich uhäpielnu. Wir sehen, da.ss ilie KinwandeniDg der Ijeucocyten ins Darinrohr durch dioaen cn Kintritt der Lencocyten in dasselbe noch ge- wird und so uint^ tjuuutttät von Material in die Ver- dMwanfpnrty^n gelangt, welclieü dort nn/.weifelhaft eine Kolh; tfielU deren Bedeutung noch erst ermittelt werden rnnw».
Da« beeret der Tonsille und der Follikel, die Einwandu- nuig der L«acocyten in der Form, welche untt Stühr )uicr»>t kennen gelehrt bat, sowie die Durch Wanderung der Leuco- cytea in der Oallenblaäe und den GUIlenwegen k;uin un- tsflgUch zwecklos für die physiologischen Vorir»ni;*> im Oarni- mbr aUtfcfiDd«).
0js cheraiKbea Hmdukte der I^ucocyieii luttsseu im eutong haben, eine Annahme, die uinsomehr fkal, wenn man nacliwei«en kann, dase die rnrnffmKodmim ZeUan ach aUo ounübcn, indem dicaelben
2i, Hüdimfer: Vcber Leitcoctftcnwantterunß.
137
^rO»«a der XtmuiawtximA fteliefeH haben ^ bO nims nmn cb mit K5Uiker einverstanden «ein. wenn er im Jahre IB&2 «ng^ibt, 6mm aocfa ron keinem Autor die i3alg(tr[b«en «B der ZoDgenwunwl der Natur entsprecbend ^etichildert i seien. KoUiker gab damaU schon an, dass es beim
eben in ««hr vielen K&Ileu (?anK onmöglich sei, b^p*eiizte Fniliktfl in den Wänden der TunfHIIen aufzufinden« eine ÄUi^be, welche der Autor damals auf die »«br häutigen Erkrankungen. den«n die Tonsiilon unterworfen Beien, zurück* rährtr. .Bt ftcheineo*, sagt K5ltiker, ,b«i den fintzOn- dm^^ des Offfanes und ihren Folgen dio^f Follikel anxu- 4«llwetlco, io ihrem Inhalte sich za ündeni und dann zu btnian* und «o. meinte die««r Forscher, werde in den Wändet' der Mandeln der normale Uau nicht mehr erkannt
Ui« Knif!« um^h der normalen nnd patholoffischen Be- vhafleobeit dea TonNtlleugewebiv dürfte' unzweifelhafb »m mnfaeheten tn beantworten ^in, wenn man die thierischen Maadelo ntudirt, bei denen die krankhafVn yeriindemn^en gmüa viel seltener yorkommen, als bei dem Menschen, ob- «hob ftuch hier fast ((aiiy. contttant Eißrenihfimliclikeiten ^icb
if die wrgun der Constanz ihres Vorkommens nicht al» '^'''HKche gedeutet werden können. Schon 18rj2 ^bt Uikor an, daai das, wub beim Menschen schwer sich Ifewinxken lasse, bei Thieren mit Leichtigkeit zu erlangen sei.
Wa« die Zahl und die QrösNt» der Follikel in den Ton- lleo Anlangt, m wi^um wir heute, ditss die tvinphoiden ZcUen in den Schleimhäuten innerhalb physiologischer Grenzen •ebr wech-wlnd sind. Man kann bei dem einen Individnnm ma» facdauUtide Anmmmlnng ron 1>encocyten und lyniphoiden ZflOniffruipen beobachiein, bei einem anderen treten dieselben Kbr sp&rlicb «al. Die (juerachnitte des Wurmfortsatzee hMMtn bei dem einen Mcn^oheo doppelt bo viele Follikel sUi^ra, ata bei «inem anderen, ohne doss nennenswerihe OrgüiierkTaiikungui im Kfirjwr nachgewiesen werden könnten.
It58 Siteung der mitth,-fAt/K. Clainm rom 9. FAntar JtOM.
Ein verliuugorter Affe vei^te itii DUnudnriu, Dickdurm uud Wurnifortsate äusserst. weni|<e ^(-hleimhatitfnllikel, eine ThttUftobu, welche von iiietintren Konchern sobon b«>b»chti*t wurde und die zweifellos fOr di(? Annnbme fipricht, daa« der Keichtbum der Ivniphoidon Zellen im Wirbalthier weMnÜich abhängig ist von der KniAhning deswlben.
Weiiii KüllilctT R'Iion im Jiihro 1852 iniitbeileu kunnte. doatt in der Tonsille de» Oolisen die Follikel minder dcuUicb, oft gar nicht auftreten, so HtituDit diese Angal>e ppiox und gur überein mit den zahlreichen späteren Boobacbttingeo, nach denen der Kolliket Überhaupt nicht immer aU ein »cbarf bij^enztes (lebilde, sondern micb nb ein di(fusi*3 liiKltrat ron Ij'mphoiden Zellen in der Schleimhaut auftreten kann. Wenn auch in den mehr tider weniger dicht^tidräiigten Zellengrupi>oD eigenartig« •Keimceutra* anflreten und um diese buruni die lymphoiden Zdlen in concentrischen Keiben sich gruppiron, so ist doch sur Zeit festgestellt, diu« nuclt die einzelnen Fullikel niemaU acharf von einander abgegrenzt Mud , sondem an ihrer Peripherie in einander Qbergehen. Die lyuiphoiden Zellen treten nur aU ein Inßltrat in der reticolären Bindeütibütanr. der Schhrimhiiut, der .eonghibirten DrOsen^ubstuni'.* Uenle*» aaf. Neben dem Keimcentrum mid der dichiffetlHUigten Kandxone der Leucocyten befindet «ioh in jedem Follikel ein periphern« Zellen^tratum. dn# ohne nach* wcidbaru<!renze in ähnliche Zelleostrata anderer Follikel Aber- geht und, wiu KiWIiker sich aundrnokL, , formlos« Max.ien*, die Heule*flcfaa «couglubirtc Drüsenaubstanx^ danrt«ilt. Uaa kann gt/genwürtig ab« fet;Utehend annebmeo, daas in rer- echiedenen Abschnitten des Verdau tuigstnotas diffura Infiltnts von lyonphotileti Zollen ohne Follikeli)ildaog vorkonunen. Svlbst in der TonsiUe sind nicht immer an4gttl>ildeie Folliket nachweisbar, während an der Ztmgenwun»!. im Dickdarm und im Wurmfortfiit?: die LeuciteytenintiUraüooen meist in Form von Follikeln auElretcu. Auch in divitff Hinseht will
S. UMingfr: Uetier hmcac^temtcaH^ivrung.
139
KülUkur £Wci QnippeD, cousUute und Tariftbtc, nnUnicheideii. Die con»taT)teD seien in den Mandeln, dem Phaiynx. in df'Q ZottfreubHl^drllRCß, der Milz, den Peyer'scheu Haufen nud in dem Dickdarm vorhanden; wfibrcnd die weniger constanli^n iu dem Magen nnd dem Dünndarm sich vor&iideu (s. Di;»- cuwkio nach dem Vortrag von StiVbr in der phyaikalicch- ni- Ibchaft in WürzburK 1883). Aber auch
die .....i^.; ^oi.-L;inten lymphoideu Follikel hüll Kötliker ftir DarmaJe Gebilde.
Von den f*alhoIoj?«n sind i^chon «?it längerer Zeit Angaben irnr* - ' r. nach welchen sowohl darch Cylinderepithel, ala atM . PUtU'impithel die Durchwanderiuig der lyiuphoiJen
ZeDen beobnchiet wurde nnd selbst in GeschwüWten hat nian die Lcaeocyten in j^osser Zuhl lieohaehtet. In einer unter (kt Leitung von (*rof. Üertel bearbeiteten Di-isertation von Pr. Lanffft wird ancli duranf hingewiesen, dass in einem {«piU&reu Hpitbeliom dos Kpithel von sahllosen Leucocyten doirbaetzt gewesen aei, und zwiir inabesondere in den obersten Lagen.
Die Zahl der Befjbachtungen über den Dorcbgaug der Ivf '''-'\ Zellen durch da? Epithel der Tonsillen in dem Isli.. — ..iLirJum ist sehr gn>ss, so oft aber diese Thatänvhe xar BcD^wchtung kam, wurde dieselbe meist als eine pntbo- logiaehe Krsebeinung zurückgedrängt. Man suchte den Ge- duikeD. dn»i mngljcherweise doch ein normaler Vorgang fOB bfiber Bedeutung vorliege, stets zw bekämpfen.
"Di« ForMbnogsergebnissc StOhr'ä über die Durch- Wr. / der Loucdcyten durch die Schleimhünte wnrcn
^far geeignet, die viel umstrittene Frage Über die der /jiblbtien lyniphoiden Zellen in den Hchleim- de§ Tracfcus intestinalis ihrer LTisnng näher icu f'^ ' i ! Men Zellen wandern durch das ver- • der Schleimh ante durch und gesollen Sb, wo ein Inhalt neb befindet, diesem bei, oder dieselben
140 SUittNff der math.-f^ifn. CloMt vom i*. Fettrunr IH9li.
niMchen sich mit dfltn Secxvt der DrfL*en in den ttonpimtiunzi- wp^on und werden »lu dem Körper, nU Auiwurfsprodukt«, t'uLfernt.
Zuerst Imite Sttihr lyiuphoide Zelkm Kwischen den CyliiiHeropitlielien der Magenschleimhaut beobachtet. t)bschoa bvil&ufi^' gemachtf.' Beobacbtuni^ün bekannt waren, aber keine'^ Doutimg erfuhren, verfolgte Stöhr die am Maj^en gemacht« BoobAt'htun^ nuu;h an anderen .Si;)ileimlmnten und jiteltlp fesit, daa« an den Tonsillen, den BiilgdrGifCu, an den aoli- t&ren nnd conglohirten DrDsen des Darmes, in der Br»nchial«)cbleinihnut normalerweise eine masHen- hafte DurchwaudoruDg lympboider Zellen zwischen dem Kpithel (niicb dem Innern dus Ijumenn) Ktalt- findct. Ich will noch weiter hinzufügen, dasa die tjmphoiden Zellen nicht nur zwischen den Epith*)!- aellen durchwandern, «ondcrn in die Platlenepi- thetion an der Tonsille eindringen, diese lockftrn und ierftt5ren und LUcken in der Epithcllage hcr- Turrufen, durch welche eine massenhafte Kinwuude- rung der LvucocytfU aus der Schtoimhuut in das < pArmrohr erfolgt.
Waa meine eigeDon Beobachtungen an der Tüu«iUa des j^ - \. ,. .....* #0 wurden dieselben mit Itncksicht auf
dl' . da» die Mtindcl beim MeiLtchtm hsufiK
IwihidiigiMb wiüadert t^u »ich auf die Thiore auagpdeboU t^-^ liU jvitt prwhen konnte, sind in den weneutUchen
1*1...,..,. .^t *uffftllwide reburcindtinunungcn in den Krgeb- IIVWV4I, w^cH^ an der Toii&ilte den Menifcben und der Süuge- tbiar« KVWihoueD wurden, vorbanden, so daaa man Mgeoj kftM«t di« l{««iilUlv an der Mnndel i\«a* MenttclitM) wurden mil «UtflM K«w>*Mn Vorurtheil entgegengenouimcn.
IuiImu wb meine Beobachtungen in Ki>Igondero mü- iMW» yi^W wh Wieb auf jeue Figuren besipbon, weJche
n.
rt O^ter Lewoot^enmattdtfun^.
U\
ttieil» TOTV taen«chlichvti, tiii^ils ?on fcliierlscheQ PräitarateD gewnnueu siud.
DiM der Uoicbthum an lymphoidcn bellen id der MuDdel individo«!! wt;clueln<l <:rsc)tfiut, wurde ron verschiedpnen Autoren Bchun conatatirt und vou mir oben achua hervorge- hoben; dUein in der Toneille sind itowoht die Follikel, als ftiioh £« tjptnpboidt^ Inftltmtion viel constantt>r, als in den Qbri^en Scbleimbäuten. Die Zahl und Grijsse der lyruphoidea Zellen veehaela im Dnau- uod Dickdarm viel mehr, uIr in den IfaiidfliD. Es sind nucb in ganz kleinen, atrophischen Mündeln ianwr oocb riele Leueocj^ten vorhanden. Im Daruikanal dügegen kunn man Objekten begegnen, in welchen die lympboiden Z«Uen Überraschend gering an Zahl sind.
PrOit man due H«3ilitj von Schiiitien, ho tiiidet man an einMlovn ^^tellen die Plattenepithellafi^e ^nn» unversehrt. EKe tiefete ZelUnlaf^ iat ganz regelmäsäig gebildet. Die holtvo mehr ejliuderfiirxnigHn Zi'IKmi stehen aU tiefste Lage m geordnet nebeneinander (s. Kig. 5), daBs xelbst ihre Kerne keinerlei Abweichungen von einander erkennen lassen. Jeden- CaU» nu«a es auffollenf doss man üolehen regelniüs»igeri Au* Ordnungen der tiefsten Zelleulagen im Verbälluitis zu den «Bleich dicken und irregulären Itildiingen nur vereinzelt begeßiiet. Di« abwechi^elnde Dicke des Epithels, und diu U Iswgkeit aller Zellenächicbten de» Plutt«nepitheU
\hi -,.. ..i\ Tunsillen ungewöhnlich häutig zu bmibachteit, an« Er?ch**inungf die einer l)e»onderen Aufmerksamkeit werth cncbeint, wenn man dienelbe vergleicht mit Präparaten der Ittmcm Haut, der i^peiseriihre »»der des Darmkanales. Die DuiDftchloimhaat, welche keine LL>uc'Ocyten einschlietet. Keigt xm Allgemeinen in der Anordnung des Oyliuderepithels, der tt»r&eUen ii. dgl. eine nur ganz geringe formelle Ver- :ii»dMohpil. Wtthrcud Hunderte von SchniHen, die von der Dann- fMier Dickdarwaehleitnbaut gewonnen werden, einander ••hr ähiilieh (ind, «eigen die Ti»n»ilh*iipriipamtc von ver-
142 Siirung Aar malh.'j^*, 0!a$a€ vom &. Frhnmr fäM.
«chiudcnen und Ton einem Utui d«Dt!telh«D Objekte aaflalti ün torschiede. Die verscbiedone Dicke des Kplthelx, die ra^li AnorfinniiK ihrer ein7.pln*'n Kpithelscbicbten wird dontfa Verhalten der L<Micocyt*ii in der ToiiMille hervor HoUnge die Follikel in der Toii^lle nicht grrws nnd, sie TUM der liefuten /ellen^^clitcbfce des P^piibet^ eiuen geiinii Abstund. In dem Verliultiiifis nber, nls nob ein Foltiki vergrOssert, rückt er df>r Kpttbellage immer näher and Mftini;r AnnUhoning int der eiwte Vorgang der. da«« die Z«llc dox Kote Mnlpighii in ünordnong gr^rnthen; ibrc Verfall düng wird gelockert (h. Fig. ti), w^ sofort an der verände Stellung der Kerne erkannt winl. Sehr bald bemerkt da« die Verschiehnntj der Zelten dnrch das Vordringen zelner L(*ueocyien xwi^hen dit-'i^elhen bedingt wird. IaI einii di« tiofttte /ellunluge in Unordnung, dnnn scheint doA m« hafte Vordringen der lympboiden Zellen ganz ra-wh vor w4 zu gehen. Wilhroml des Vordringens vereinzelter /x'llen^ da» nmn viflfmdi beobacbt4>n kimn, findet keine Veriindening d«r Kpithelien iftnit. Die Leucocytfl^n di^ngen licb in die Falle, indem nie eine langgestrt'ckte Form annehmen, XMriscl den IMaltenepitbelien bin zur freien Obertl&che durch na4 hier *ieht man »tti vereinKtdt od<'r ancb in kleinen dnippen,^ entweder frei in einer ToneiJlenspaUe, oder sie kleben noch An der Oberflüche der glatten Rpithelien, die k«bi« «««enfci-J lioben Verändenm^en /.eigen, fe«t.
War der Angriff von Seite eines groaMO FollikeU ein intfuwivfir, so gehen die tiefeten Kpitlielrellen, welche mefc rande Formen nnnehmen. vw (jrunde und in den weitereiP Zvllonbigen kimn man beobiichten, da^ der Leucocyt in dJe £pitbelzelltt aindringt nnd, wie ich Vttrtnuth», tnnürb^t dm PniUipIiwnm der Zelle nnd dann iliene M>llwt zerstturt. Ütey Kpithelzelle wird bald bell, der Unnni, w«» die Zelte lag. wir4' gmoer und «ehliiNMUcb findet ninn licht«, grosse Lflcken mit Zallcit und midirercn rnndeu, kleinen Kernen erfnilL,
Nl HAdififler- ffetier I^üeoeylenvan4rrun0.
143
wftltbe inroh mitotische VernielinmK der Lencocvten (Fleni- intng) bei dorn ZorftUI der Kpithcixollen onUtandtia sind.
Dks eine tli i' U^Iirunjj und auch eine Zerslorung
d«r Cpitbcl7.eU(;n it, unterliegt kcitieni Zweifel. Man
iB»i Tide derartige Priparnte stadirt habfin, um die Ueher- U'Uto'ng y.u c;ewinQeii, das« das Flnttenepithnl in der ge- «crliitdqrU'u Wei»iü eine Zen»l<"jriinj^ und Veroichtunfj erfiLtut. in den TtiniÜIenspaltön findet man auch Kpitlielien als einzelne Zeilen oder iibgeriä»ene Congloaierate mehrerer Epithel wellen von I>eui;oe,yt*?n umringt (<». Fig. 10).
An gelungenen l'räparuten, welche den Durchbruch der Hjntlittlluge nicht ganx vollständig seigen, kann man die Art der T^niiirnn^ def* Plattenepithels sehr gut fibersehen. •lene tiefere Zone der Epithelluge, welche zuerst der Ängriffs- pankt ftlr die U>urocyten wur, zeigt nur vereinxelt eine Plaltouepitfaelzelle, während in dem Itandgebiet des Epithel«: difl Zellen noch mhlreieh vorhanden sind, aber nicht mehr groninet eraoheinen. In die einznlneu EpilheUelleu aind die L#iiooc5t«Q eingedrungen, und man erkennt die Zerstörung dann «rst, wenn die Fnitopla^ma/one der Epithel zelte heller, der Kern derK^lhen zackig, unregelmgAt^ig und kleiner geworden iii. Wann auch der Kern ganz vernichtet i5t, treten kleine, runde Lencocyten in Gruppen miteinaiuler verbunden auf. lieso Kr ' ' ' '^ irtt w) eoiistani, duss e« nirbt gvwugt er- bfint, - .- i^ftTig w) ^\^ dentcu. daas di»* Kpithelzellen dnrob dit» Leucocylen xer?U3rt werden und zwar zunächst ias in denselben noch vorhandene Protopla.->nia, dann uueh dtr Kern uud !tchli€S9licb eine Theilung. ein« Vermehrung der WaGderajIlc iia Innern di^r Epithelz«lle erfolgt. Bei i^m «eiteren Warhifthum der Theil^itflcke entstehen gniize LeococTtimtiAter nn jener Stelle, wo die Epitfaelzello «ich iHEbnd.'
Hat fliü i4dUt&nd)ge Durch wiindernng atattg^finideo, dann t«tgt dich an einzelnen Schnitten die TonnillonKpnIte
144 Sittnng der math.-pkffn. Ctatmt rom 9. Ftbruar t89S.
IpuiK «rfoUt von Kpithelien, LeiKocybcti und auch nntor- mincfat mit HieeenzelleD.
Da am der FulUkelxone iloa Zeltcuinftterial tinmer niicli- rflckt, so mn8.<9 dasielbe, wie «ii^ dem AoHtulirungs^ug einer Orfls«, an der ('Oberfläche der Maodel zimi Vor»cheiD kommeo. Diu« die T0n-«il)enK]tatU'n mne gt'wlsM^ Hegel mästigkeit iteigvc orgeben die Plorizontalächnitte durc)i Jene. An rta«r u« derselben Spalte findet der Durobbrnoh in bestimmteo Ab- aläiiden sUtt, welcher, wie mir itcht.-iiii, ron der Jeweilt)(vD Iteife. resp. der Grü8se des FollikoU abhängig i^t.
VVeuii in den Spalten der TonMiUe viele vereinzelt« oder anch zu9sinnienhäDgeDde (tnjppen der l'Uttene^iithvlirn vor- handen sind, dann Hcheint der Durcbbruch raach ^ riden /.ii halK'u, wobei Epithel grupj>cn r.asa(üiMi>i ■■ ^ i mit Leuoocjteo losgerissen wunleo; in jenem Falle dagegen, in welchem der Durchbrach, wie anzunehmen i^t, taiigaani erfolgt, beobachtet mau sehr wenige KpiUielxellcn und zahl- reiche Gruppen Ton Ijeucocjrten mit kleinen runden Kerium.
Je tiefer man in alle dies« Vorgänge eiuxudringen aiioht» un)M>mehr zeigt sicli di«* S-hwieri^tkeit auf alh« die auflaucbeD- dftt Fragen eine tjefncdigendc Antwort mi gcbeu.
Von besonderem luteresse erscheint die LDcke, «eich« iu dem Epithel an der Stelle des Durchbruclu entstanden ist. Wollte man für die einzelnen Stellen die eutj(tand«n>F Ocffuuag nachbilden, so Ix^ktknie man fiuen Trichter, deaaeu engj^tes Gebiet der freien Oberthichu dett EpitheU, daa weiteste dorthin, wo der Follikel war, };öncbti>t int. l)ie Ttwddtti der Kpitbellage nimmt nach iltjr Tiefe xu und die Umrandung stellt eine z«rklQflete Wand dar. In dem Lehr- buch der Histologie de» MeuM-Jieu vmu Böhm und Daridoff WHndet öich auf 8. Kiö die AbbUduni{ Fig. UTi, an dem »•rklQfleten unterniinirien einen Uand der O'-lftiung »uf dem DurchMchniti nebr klar Kur Dunrtrlluog kam (i. auch in mciaer t^g. 8).
s.
Othtr LtucwifteHWMtdtnmff.
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N«ch andere Wege der EinTanderudg der Letico- eyUn in der Epithellafci; kann mttn beubacbten. Man begegnot an den TuD^llen^ichnitton Haufen von l^eiicocvUn, Wttlchis zapfenfurmig oder initeliirLi^ im KpitM NtfH-ken. Die- Mlben rerhalt«! sich Titini IMiittonepithel geradeso, wie die betctiriebeiien Follikel. Das Endresultat dieser Zapfen ist nefa das Vorrücken gn^en die froie tJberdüche nud die Aus- nderoog ihrer lynipiioiden Zellen in die MAntieh])altcQ.
Xach eingehendem Studium muaste man die Heberzeugun^ lepwtnaeii. dum die Zapfen an den ütellenwetse Hpärlicli vor- kandenen Papillen in dem Kpithel entstehen, indem die LeucoCTten von der Uitsis der Pupillen aiui, nach der Spitze Üb Torrltcken nnd die Epithelzellen ebenso Kerotören, me du popUletifrvie K|iithel. da» \'ut\ mehr Widerstniid ent+fepen- «tzt, als die mehr oder wenij^er nusgehildeten Papillen an der Mandel. Die inaelartig anftretenden Lencocytengrappen atig«n ück an äcbie&chnitten. an welchem der Zusammenhang der iDsdgnippe an einem Schnitt unterbrochen worden iflt.
Bafc mau lUtikenlase !:;chniltruiben tmt Verfügung, .so lüs^t Mab der Zutsammenhnng des Leucocyten häufen» mit jenen Haler dem £piüiel belindlichen Gruppen stets leicht nach-
Bd* bcK)nd«re Aufmerksamkeit i<ehenkte ich den Per* ibratjittuzonen und der Art ihrer Ver±)fhliea9ung. Man kniin klar ttor au« dem wech»einden Verhalten der Epithelin^o 00 den Tervchiedenen Stellen einen SchUi&a ziehen auf die Kegnvirration den HpitheU. Faa»t man dieee Stellen an der TonnUenoberflllche oder in den Spalten ins Auge, wo unti>r •kr E{iiili*Ilage keine oder nur weuigu Leucoc^ten vurliaiidi'u •o xeigi ^ch die Kpithellnge normal« gleichmäsRig dick it Papillen, wenn auch nicht gleich utä(>aig, durchsetzt. iid(K4i, w(i Ijmpboide Zellengrup|>*5n lui das Kpithel ^^^ a^gmiaen. treten die variahlon Verändcrungnn der Deck- ^m ndbicbi« auf. Wa% iti«n aiie einem Vergleich der Präpamte
■ ■ •lerEiMil
146 SttiUiifi der math.-phtft.
rUrur JdSH.
eutaefatoen kann, ist^ daas eine Vermebruug der EpilheUeo 30 der Peripherie der FerforütionaöffnuDg als wiUmcbeialich anzunebineD ist UiiKweifelhafl werden hier f^nz ähnbcfacj Vorgänge »tattfindeu, wie tu'i jt»ler \VuDdtieiluiig, die am PUtteo epithel der Handböblc üder der iiuiseren Hmit ein- tret«u. Von den vorhandeoen nuriualen Epithekellen der Umgebung einer LGcke scbitiben tnch die Zellen mr und bilden anfaugiicb eine dflnne KpitbelUge, die weder den ChüTukUT der I'luttenepithelien, noch jenen der Zelten de« Kete Mnlpigliii tragen. Solange die Lencocjteo oder die zu Follikel umgewandelten Gruppen fehlen, behält die Kpithel- loge ihre uommle, gleichinüasig dicJie BescbanenbAÜ beL Treten stärkere ÄnRammhingen in der Tunica propri» de« Epithel« uuf, mi beginnt auch sofort die besvbriebene Kio- Wirkung auf die EpithelÄchichte. Bei diesem unaosgeaciltt wechselnden Vorgang au dem Kpithfl , welcher abhftngig i«t von der Neubildung der Leucocjrten, beobachtet man auch, normale Epitbellagen, welche nnt senitürt«n abwechseln au alten Stellen der Mandel« gleichviel ob diemlbe an der freien Ausscn^eite oder in den Spalten nnt^^rsucbt wird.
Je bedeutender der Defect am Plattenepithet ist, am DO reicher hat sich dm Material in den MandeUpalten nngVKaniuieU. Da» der Inhalt der Spalten (s. Ktg, 10), welcher an Präparaten von Tbieren und dem Menschen prflft wurde, nicht entfernt an [>ath(dogi.'4che ItiJdiiiigeii, an Mrfallene Mausen erinnert, ist leicht tu coniUtiren.
SchlasabemerkuQg.
Wir aehen, da» an der Mandel Kweierlci Vorj^ngr «nttJibvpieV'n. Der eine Vorgang bevtebt in der Xfi "'•■r Itiluriebenen Durch wandermig von ein/etnun L«- 1 /.wjjwhea den KpithelxeU<*n ohne Zemtilrnng iler Epithel* HcbiohU^. Waron auch dnrch Arn«tpia, Rdinger, Franken-
y. Badtm^iT. lieber heuaociftfnwnndtfUHg.
147
Kftti«er, RAubvr, Bonnet und Toldt die Durch wftnderunfi:en d«r LtfQcocyten schon bekaout, so muas man doch Htöhr das V<m]i«nM ')(!□, diesen Vori^D^ aU einpn constantcn,
BOnniUtit] z... . .'.^tgesteiU £u haben.
Der zweite Vorg&ng ist; der der £pifch«l£ergtörung ao der Mandel durch die Lenoocyten ond massen- hafter Einwanderung derselben nach dem IsthniiLs fuuciuoi. lhi*i"d luiLMonh.ifLe Kinwaiiderung in den Schluck- ap[«r«t hfti eine EDÜeerung der Leococ^'ten aua dem ätratum profiriuin und uibi tivm B|>ithel zur Ftilge und uncliherigc Kegi^ncmüon der ganzen ^chJeimhani. Das^ die Mandeln toit ihren Spalten, w«nn dieselben von Leucocylen erfüllt ond, Ixtim Sohlackalci unter dem Einfliiss einer gimz kräftigen Moakelooiitimction stehen, unterliegt gar keiuem Zweifel. Die ConpnMäoiItwirkutig de^» Muse, gloasopftlatinus und pbarytigu- palaünns, nelnhe eben keine isolirten Maskelzilge, sondern nur vompringende Piiriien der verticalen Längszdge des Pharynx dusteUen^iet eine von verschiedenen Autoren längst festgestellte Thatwache. Die ganze Musknlni.sehe in Verbindung mit dem GanmciuAgvl mofti bei jedem Scfaluokiikt eine Compreesion der
del hervorbringen und dieselbe muas, wenn Oeffnungen im Likdelepithel vurhunden .sind, die Lenoocyten mit au^pre^sen.
W«ruiD sind die Mandeln an der freien Ctberfltiche der »baut am Uthmus faucium zwischen den beiden Mivskel- eingubettotV Hätten dieselben keine besonderen Beziehungen zam Vcrdaatingsapparat, sondern nur zu den Lymphgefittasn^ ao könnten sie ähnlich den LymphdrÜAen I TancbiedeosteD Körper^teÜeu angebracht »ein. MUsstea
WMBiäwzBihBn in deu Mandeln nur die Wege nach den t^noplibAhnen autinichen, so wäre ihre topographische Lage darcfadiuv niciil an dr;r freien Oberfläche der Sehleim- haat des Scblaokapparates erforderlich.
Die Lage der Mandeln, ihre Einbettung in Muskel- ■adm nnd die Eröffnungen ihrer Follikel nach der freien
146 Sitsui^ Atr mutK-ptnf». CÜmw roM 0. Fthrmar It05.
Fläcbe und deu MaoileUpalten c»der Uachten doMJben ligeo denn doch die b^mge nahe, ob hior niolit drßaige Organe Torliegen, die ihren Inbult an den Bissen abgeben und di«j Annabute geütatteu, da^a die Miltiardcu vüq Leucocytes in denen man scbon «Nueleinsfinre* contsUtirt bat, pbynioloipscbc Verwendung im Darnikntial finden.
Fattt man alle Tbatiachen : den Uurcbbruch der Leuoc>«1 eyten an den Mandeln, die Krüffhnng der SolJitarfutlikel im Daruikanal, die Darcbwandemng zablloser Leucocrten an der ^efiittetvii grossen Oberßäche der Gallenblaüensohleiinhant u. A«,j ifiUfianinien, ao muBe man fiicli «agen, dass alle die^e erwähnt Vorgänge nur sehr schwer die Anoabmo begrOnden Usaen, doM ein HO reiches Mat^riul, welrbe^^ der Nahrting im Darm beigegeben wird, nur uIk uiu Auüwtirjsprodukt gedeutet worden kann. Da kein Beweis hieflQr erbracht ist, eo ist gcwias die VermuthuDg berechtigt, duM die growen MaiMu der Leaoo- cjten, welche vom ^jchlondkopf nnd dem Isitbnins fancinm nn bttt hinab xiim Mu^tdiirui in den Daruikanal eintreten, in diesem eine pbjüiologiscYie Rolle tu (»pielen bestininit ^nd, inier wie Kölliker schon meinte, daw diese Zellen na ihrem Austritt au« der Schleimhaut möglicherweise na Verwendung finden.
Jedenfalls ist die Frage Über die Eüinwandernnf; der LeuooCTtflD in den Darm eine Frage von huhrr Hrdeataii{f,j gleichriel ob dieselbe durch weitere Forschungen in de einen oder anderen äinne «ttflcluedeQ werdeo mag.
UnterhMsen will ich ex nicht, noch auf eine andere Seit d«r forli^eaden Betrachtung hiDKuweiaeu, die ftlr p«th logiaebe Votgftoge besondere Beachtung verdient leb iHtt in Folge d« Durcbbrucbes d«r Loucocyten, insbesood wenn dereelbe inamenhafl erfolgt, entstandenen Schleim^ hautdefuct'^, wie »ie «uwohl un der Tonsille, als aucbl an den aulitären and Peyar'soheD Drflflcn im Darm Torkonunen.
jV. ft^i»H^er: Vther Ixucacyientcanderumti.
MI»
Hier werden Schleimhnntdefecte erzuugt, welche wie bei einer Uuut- '»der Schlriinliiiutwnnde eine gewisse Zeit eur iegeauratioD urfurdero. Sollen diene Sdile)mliatit£erstÖruDßen bt ' " ne Pforten anzusehen »ein. (iurch welche patbt»- ■*- -n von Mii99eu her eindringen können V Ich meine,
»i lierecbtigt zo fragen, warnni die Diphtherie gerne an M und dem Vhurynx, bei dem Abdominal-Typhiis
\C-: , _,i<chpu VerUmlenmgen an den solitüreu und den
E'«y«r*Achen DrüAeo vorwiogend auftreten? Hier wie dort Bnd idcts kleine, luihlrHehe ?>ohIeiinhuiitdefeete vorhanden, Bit «iner, wenn auch nur TorlibergehenHcn Zerstörung der Bpitlielialen Schichte und der ßaäalu)embru.ti. Wenn nun [idthtjgm« Ursachen mit den tschleinihaubibellen, welche "1 keine epitheliale Deckschichte besitzen, in
1 _- u Cuittttut kommen, «o eriH;h**int doch die An-
trahme plauKibul, daw Einwirkungen ebentc) zu Stande kommen, wie an jeder Wunde, wie auch beispi eis weise an einem I ' — r rler in Kulge einer Geburt un seiner Scbleinihitut .'iC ist. Auch hier ist die Zerstörung der Utenw- ccblcimhaut and deren Neubildung ein physiologischer Vor- »ng, eben^u , wie die VeriUiiIerungen am Graafschen ^üUikel dl» KieratfX^ke^ und der Schleimhaut de» Uteruä bei Menstruation.
4M aiwuj 4fr iMrfVf*»^ <^Vmm mm ». >^6r«v CW
V. BMcbreibuDg dar Figurea (•af Tftfrl I B. U>.
dtn Proceciai wriniforini» dv« ll«n*«brik.
1. LUb«rkiUi«Vbo DtAm« wckiir an (Ur SciinittflArW 4mIi •■ %tiim 8«it«» numbnco leb br' ' ' "»«»aij«» h«n«, di tiiwmi Drten «lobt Tcrdrtogt :]. aomlflr« irt
rUjiiwibMiwiii nr OWfU«b« 4«r ötkUtmkamt »*«« v^ «lakaliff»4taUM« abwahiMa. 8. Paodai 4m Umh^rhahn'm^ml mit bokcB CjFUsd»epitb«U«n. 8. Aa dtr frei«A ouarenea hd Follilifla, w»trht>r atArk an drx f)b4rtlAcbe d«r j>cb)«iiuln«t wq iit do C.flin<Ur.'jwih»l tnu" im VwliAlta'm d#r V#^ FotKk«!* B«i Mcb »ebr "ib^
£Wt« de« ! »vpiib«! »UUlm »1ltB&:
PlatUa, dM«a QminliircbaaMcr d«B »hMNÜi^fan Bfl) doi C/Unden whr b*d«nl«ftd tiwrwMtfL i. giaMJD« DrtMB. &. H«II«m Keiac«n«na dm Koltik«!«. «. H« ZoH dM rolI)k«Li.
Fig. Jl. Ein Follilral »di dam Wvrmfortsftts. cb«m d«* Epitb«! iturchtirochaD lit
1. Ziemlich bob»«, oortnalM C>liiitlfUi>pi'b«) mm Folltkela. 3. Nicdriir™ Rpithol tn dpm »n nciitim ninf eOBVMteii AUebniU 6m Kol|ik«li, «otchM btJ 8. it*nm tiM.H6i| I den Follikel rr«ic«l«f(t bat Di« ätgrmMoagmiuiiübrwn 4m iit Dütb •U'llcMffliM «rbulteD. tUeii ioob di«M ftbl rvrionKJ Zahl drr Leaeocylen bat ua der ufenen RaipoD d« deatend abuenommen. i. Lieber kabn'icbt Drta«B, w> der Follik«! mcht, rolM&ndifr f<nbl«B. 6 OatiftU b^ FolianU.
Fig.ITJ. Solilirfoltlkel vom Wnmforlt«! icb«B mit den aDtfCwaadarteo L«ocoe]rt«a.
1. Maadiiaeio dar LMbcrkflhn'Kban Drflwii. V. EpiiiM nach dam Daminihr promiainndan AbtchsiU da t-'»]UkaU^ « bei 8. (lurcbbrocben imU 4. FundoK «inar LivbsrkuUn'ach«« 6. Follikel obne LiaberkOhntdui Drtiw 9. C>ie in daa WunnfortaatsM aiagawaadartan Laococjica, valcbc ibr« ajiMtf Eigeoicbaftefi noeb niobl geAndart habaa.
N. Rüdinfffr: Weber L^ucoei/UMeamUritttff.
151
I. TV. Follikel aoit der Tonsille vom HnnJe. '1. Plaltene]iithe)firl)iL-hte, durchsetzt von Leuroeylon. 3. Zer- tiiid IrisfreltHiitr! PUttCQcptt hellen. 3. fli?<5Hneter FoUtkel mit izelt rrbaltenen tCpithelzellea 4. Follikel nach der freien Scblcim- ifi&che iirotninireod. b. Die auige «änderten Leucocften hüngen ih Kiuppenweiee znaammen ; dieselben haben eich jedoch gchoD toa Follikel entfernt.
Fig. V. Vollständig normale« Epithel an einer Stelle *r Tonsillfi. wie man es sowohl an deren Oberfläche. aU cfa in den Tonnülenfipalten stellenweise antrifft. An StD fcezeichneten Ahflchsitt waren nur zwei lymphoide Zellen zwischen Epithelien nachweiHbar. 1. Obertlfichlichiie Epitheliale mit ganien Plattenxellen tin der iberfl&che. 2. Die tiefere Schichte mit poljf^onalen l^ellen. 3. Da« te Stratum mit den cj'liDdh^chen baoalen Zellen Krentt iU>t .tum MalpiKhii gegen dan Stratam lubepithuliule ab. 4. Die an bMalen Zellen angrenxenden Leucooyten. 5. Vereinzelte Lenco- rten Bwischea den polygonalen Epithehellen.
Ftfj. VI. Kpithellage der TosBille mit ein- und darchgewanderten eococyten. (Die Figuren 6, 7 und 8 BoUen in der Aufeiitanderfolge e Art der Durobwandernng oud der V'erAnderongen dei KpitheU Binonttriren.)
I, Obertlfichlicbete Schicht« dea Epithels, welches zwischen den Bllen ond an der Oberfl&cbe vereinzelte Loacocjten and Lcuoocjrten- rnppen »igt. 2- Die mittlere Epithelschiohte erscheint mehr von gucocyteo durchsetzt, als die Ue&te Zelleulage mit den Basalzellen. rird die Fig. 6 verglichen mit der Fig. 6, bo RÜlt sofort die Un- l^elmits^igkeit der basalen Zellen aaf, welche in Fnige dpr Darch< Aademng der Leucocyteo ihre geordnete normale Anordunng ver- ren haben (3), 4. Die im Stratum subepitheliale befindlichen Leaco- rtengrtippen.
Fig. VII. Ein Abschnitt des Epithels, in welchem die Lenco- :«B in das Epithel eingedrungen sind und als Grappen von kleinen iden Kernen, an dem schwer eine Zellenmembran su unterscheiden aofircton.
I. Oberlinchlichflte Plattenopilhfllage. 3. Di(> Epithelzellon zeigen
dieser Schichte stellenwdiic einen grQsseren Abstand von einander.
Die basalen Zellen zeigen bei 4 ein irregnUres Verhalten gerade
rt, wo die grGs«ereu Hasüco der Leucocjten im Eindringen begriffen
;dL 6. Leacooyten, welche mehr und mehr in das Epithel eintreten.
152 Sittung der mUkrfk^. Claut vom tt. Ftbnar iSK.
Fig. VUl. An dieiem Objekt und die Lcdoooylen miuaiihmft in Hub Epithel ciagewandcrt. Die lirhten Stt^lIe1l werden ron den Wandentcilen eiDgenotDiueB. «fthreDcl die Kpitheluillen au den liclit/:a Stellen immer mehr abf^nommeo haben.
1. Obertlächlichd Plattenepithelieo. welche ihr» tViM ••t't.-ur '<i» flicb« vürlorirn bft)>en. 2. Leucoc^Ftt^n^ruppeu imd Epttbulffriiiitwa umäbernd in (;U-ich&iii Verhültnii^ <taftrelend. '-^ b&nf(e9<l^ Kl»itbt'l(frTtppe. 4. /•□"junmenbAngt^ndä i ' B. LeococyteomMsen noterhalb der areprOnffUch vorhnndenen B*m1* teilen, welch« tXi solche nichl mehr xa erkennec sind. ß. Leacocyten, welche an der freien Oberülkbe ungekommen *ind luid die Darcfa- «andening Tollbntcbt buben,
Fig. IX. Qucrocbniit einei fFtomtm VrtlimaMtnhmigigukgmi an Schlundkopt. Audi lui dem Au9flUirunK«^t>1C driDK«& <^* Lenoo*-^ cyten in f^roaeer Zähl »vijcben d»m C/linderepitbel binditirb nad gwiellw «eh tchliPMliob to dem 8eeret im AasruhrungtganKe.
1. W«ites Lumen dei OanK«. 3, Cylinderepitbel deMelben. 3. Lencocytcn an der Aawntteite de« Ganfte*. 4. Leoooc^t in eiiMrJ etwoa tingixtea SecretmiuM. h. Ii«ql-04 ytee. welche in daa Lonin * eiodrinxen-
Fig. X. Die in einer ToofilleBapalte befindliehe Secr et- ma^ae.
1. Epith«I«e1len ron b«<dettletider Ornise. 2. Fi)ithHirllrn mit mehreren Kentw. 3. Etnfwbe Epitbehelle. 4. und &. Tier Rpitbal- «eilen oud zwei Leacoc^rteD. dann eine Epithelwllo tmd eine Wa»dtf> xellc. 6. V'ereinxelt naf^tende Leococften. 7. Lmicorytrn mit mehr» Cic'bi'r Kerntheilunf;, wcKb [eUt«re auch rereinaelt uoflrwUn.
Fig. XL ToDiillsDepttbel rom Hunde mit taprenfOrmiff voriprinfrenden LeucocjtenhaafeB. Ja dem Epithel «elbet •ind nur wrmt; vinf^edraofreoe LeDcocjten «iebtbar.
1. Epithel an der OberflILche 3. Ka^t roIUtAndi^ dar:hbrochca«£ Kpithella^e. 9. Leacocjtenniojncn unter dem Epithel. 4. Kleiaar ahfrernndflter Porbata, 5. Orösiprer Portwitt, wehihe beide den P»- pilleii entlang licb entwickelt baben und vor ' n '
•eibvü auri in TurichledcnerBicbtttntf in üuj Epi
Fig. XJI. AbHohnilt einei Wormfortiatiei fomQuado.
1. Koroialea V*;r -l« nn d«r Ob«r11&che d«t,
Schleimhaat 2. Ti. i. cwm äcbleinhaotlaUaa.
S, Liobnrkttlin'Mclia Urdasn. 4., b^ 0. ud 7. ftellon IdebtfkOhn'Kkc
X. hüihtvfpr; üthfr LeHcnefffetitriiHtttruntf.
tfiS
I>r4Ms dar, wvtcfai^ dqrch die Einwirkitug^ der Leorocylea in der TtrAndiCniQK ko^id'f>n An <Jer ^ineii Wantl t>lti<>r Onlxe ^ntid die O.rltsulamlltm ichon xu BuodxeUüB umgewundclt, wUbreud lie a» 4m aadsrn vach in ngr^lm&Mngcr iMnnDj^ ffetteltt find. 8 and E). f'lti tm 1>ftrmrohr Vflndliche Leaeocrtcn, «elcbe lich allm&hlieh •flflnwti und «ndlich kJh f^loichmft««iff» Mums» Atiftroi«n.
-^^f. XIIl, Drei l«ieberktlha*soh« Driisen »om Warm- 'im Hnndee, «elrhf» in der rharakt«riBtiKcheii Veränderung <i «iikuDg der tjniphoidrn ZrI1<'& boifrilTen sind.
•i »od ^ ücifjon sich dio V<>r.loilprun>;cn ganz cbon«o, •i» )[' ' " ri um niiTiS'.liHolieti Priu-pstuä Terinifünni« l>eacbrieboD
ImIw. I twd 'i «ind die Cjliiiilercpitbelien nocb in rei^lm&e«i^r An- "r*T'<»%^. Bvi It tat Inam mehr eine charakteristiflobe Cjh'oder<eHe
^^r Dia Mehrrabl denelben sind Kondietleo geworden und aar «cbver vor u'ocften zu miterscheiden. -1. Die Tanica ]iropria
4m DrOa« < TSeit«, wo die Leaeooyl«n den Angrttf vollKOgen
fakfaen, lenti^rt ß. IftfQCdcjrteapupiie an der Stelle, wo die Lieber- fctttn'tclK l>rüj<! gewesen iit. 6 und 7 stellen LeucocyUin^uppen TQ« v«nrhuKlener Diehtiffkcit der Zelten dar.
F%g. XIV. Qaerdurcbwcbnitl derWand der OallenbUse J** Vensebea.
1 UincaUri* dprGallenblaae, daran Sobicbtung eine abwech«elndo ;^: J »r'-it-rv Zweifle der Art. cjrvtiua. 8. Die Sabmucoaa der Oallen- blkj" it*. •"''■: «'.'bwAch. kaum nennBOftwcrtb iui-'jfebiklet, ond vielfach raicbt di» .Ntu - li rir« direkt An die Schleiinbaut an. 4, 6. 6 and 7 itftgt tüp ini'ih'.lit ti, nicbt Tentlroirbbaren Falten der Schleimbaot, «•kb* da» b«kanDt« ziemlich reK^lmlaiig angeordnete Faltuuieit ^nlrttlen. Man crkfont die Falten ala tsolirte, &n4ftmmenbftngendö «stl naUaxtig Terbatt<i«ne B^bebuncen (&J, «relcbu uiue «ehr b«deat«nde O^irikAcbr SU Stand« brioifen.
Fif. \r. SchlRimhnatfnlt^ der flallenblaie dnrcb- •chnilleo.
L Kis Al«>icbnftt der Kalt«), an welchem die Cylindenellen mit iki^ Kanal «ü» groMe HegelmlU^igkuit Eeigen. Jede einselne Zelle titU *a dftr freien OWrU'icb«* etwu KC*Mbt hervor. Die nach der Tiafc |f«ridit«i«D Endra «telien b&oGK- konisch zuluufend, etwas Ton «■Bsckir ah. 2. Dvt Zwi«cb«<-nraum zwiicbcn den IDpithelreiben ist tMoral gvriag- In der Bindciub^tnox Wlinden «ich fixe Bindegeweb«- IflkpntlMft ond t^racocvtim. ZwiKhea den R)nthel7.ellea erkennt man ac Smam Prlpftnt kein* darcfawandernden Leacoc/iea.
154 Sitzung der math.-phys. Clas»e vom 9. Februar 1895.
Fig. XVI. Querschnitt einer Scbleimhautfklte mit durch- wuidemden Leucocjten.
1. Vollständig normale Epithelzellen. 2. Ein LencocTt mit langgestrecktem Kern, der zwiichen zwei Cylinderzellen eingetreten ist. 8. Ein Leucocjt, der in der Mitte der Cjlinderzellen steckt, und an dem die Zellenmembran an der freien Epitfaelaeite sichtbar wird. 4. Leacocyt, welcher im Austreten begriffen ist. 6. Bei allen Jenen Zellen, welche im Austritt begriffen sind, wird die sich ab- randende Zellenmembran leicht sichtbar. 6. Lencocjten nach dem Durchtritt, welche stets die ursprilnglich runde Form annehmen.
Fig. XVIJ. Schleimhaut des Ductus cysticus rem Menschen.
1. Stratum subepitheliale mit Leucocyten. 2. C^lindersellen de» AusfQhrungsganges. S, 4 und 5 zeigen die Durcfawanderung der Leucocyten in rerschiedenen Stadien, vom Eintritt zwischen die Gylinderepithelien an bis zum Anstritt derselben.
Sitzungsberichte
der
kOaigl. bajer. Akademie der Wissensciiaften.
Oeffentlicho Sitzung
xur Feier des 136. Stiftungsfcages
ua 28. Utax 1895.
Der Präsident der Akademie, Herr M. v. Pettenkofer, Öffnet die Sitzung tuit folgenden Worten KQm Gedächtniäs zwn'cr bhreniuitglieder der Akademie:
Der 2ä. März heute ist der Stiftungstag der k. bayer. Akadeuie der Wissenschaften, welcher jährlich darcb eine ASnitliche Festnitzung gefeiert wird. Diese Stifluugsfeier dient berkDoimlicb dazu, jener unsrer Mitglieder zu gedenken, w<<h'it(^ wilbretid des abgelaufeneu Jahres verstorben sind.
Ich babi* zweier Terstorbener £hrenmitglioder zu ge- denken.
Adolf Friedrich Graf von Schack.
Am 1 4. April 1 804 fdarb zu Rom Seine ßxceltetiz Adolf Friedrich Graf von Schack, geboren am 2. Au- ^Bit läl.'i KU Schwerin, am 15. Juli 1850 von der Gesammt- Akademie zum Khrruuütgliedo gewählt. Der VorHchlag, von UBarem ventorbenen Mitgliede Murkaa Müller ausgehend, ImM wörtlich:
156
Ot/ftntUcSf SÜMung fOM 36. JltUn IH35.
,AU Edulioanu, Diplomat und Freund d«r li5cbNtou Person des Staaten nimmt Adolf Friedrich Graf Ton Sjchiuik eine ausgezeichnete sociale Stellung ein, und als Gelehrter und Dichter steht er auf gleicher Sttife mit den er^t^'U Grus>veu uusurwi Vaterlamles.
Seine Geschichte der drainati«chen Literatur und Kunst Sjianiens (3 Bände 1845) ist ein Meisterwerk literarisch- historiäcber Forschung und zeugt el>eusü von tiefen 8tudi^n wie von einer seltenen Schärfe und Besonnenheit der I)r- tbcile und einer gediegenen Vollendung des Geechmackes. Daran reiht sicrh win «(imnischeif Theater (2 Bftnde I84ö), iu welchem er mehrere der «panüchen Dramas von Kuiz Alarcon, Ceriranted, Lope de Vega und Calderon in deut^hem Gewände dem Puhlikum gi^chunkt hat, mit einor Gewandt- heit der Sprache und Schönheit und Adel des Ausdrucks, die ihn neben die eri^ten Meister der Tebersetzung^kunst stellt. Dasitelbe gilt von «einer Uebersetzung der epischen OMichte des Firdusi, in welcher er ebenso durch grtlndlicho Kenntnisa des )>ersiflclien Idiome, wie durch den feineu ]>oeti- ^en Sinn and Trefflichkoit der Uebertrngung glUnzt,*
Die Akademie trat einstimmig diesem Vorschlage bei.
Adolf Friedrich von Sihack hat sein Leben lang der Wissenschaft und der Kunst getreulich gedient. Ka liegt nun ein Leben ge»cb1o6Ben vor uns da, welches allen mat«rin- ttstüchen VerUvrkungen widerstrebend stet^t idealen Zielen geweiht war. ^H'in I^bemtgang ist merkwUrdig. Keben seinen juristischen Stadien au den Universitäten Bonn« Heide]- b«rg und Berlin (1^31 bis 1838) betrieb er eifrig das Studium der euroi^filscben Literaturen und der oric»tAli»<hen Sprachen, machte in den Ferien Keinen fQr wiaaenschaflliche /weck«, trat dann in die Dienst« d« Groiwher/ogs von Mecklen- hiiri? und begleitete denselben als Kamroerhcrr «.; ' ' .tinnj»- rnth auf Keinen fteis«n nach Italien nnd h 'opel.
Dann wurde er nach Frankfurt am Main xum Hand<intage,
% rHltnkofiir: Ntkrolo^f auf Adolf FrUtiridt Oraf v. Sdiack. 157
sein Vater mecklenburffncher Oesandter wftr, Tcnetet, uim) 1849 kam er aU BetvollDiächtigter ^eiuett Souveräns, duin &ls GeMihäfUtrü^er nach Borlin. Von Huuä aiu reich lüLert utid miUun in einem Alter von 34 Jatireu zu eijier lirenvoiJea dipkiniaLiHcheD St«ilunff gelangt, lag Herrn Tna Schock ein weiterer glänzender, genusfiroicher Lebon«- )&uf vor, d«!n wobi die ntei^ten Meaactieu ^erm) w ' •• «antlrlt wären. Aber der junge Adulf Friednci] V" U
vcruchlete 1852 auf seine amtliche Stellung und tC'Dg »l^ PriTainiann naoli Spanien^ um dort ülntr die (jesehiobte und CaJtur dcu Lande« und der HfiaiiiMjliL'n Arjilutr weiter /.n (onchm. Kr hatte &ich dafür durch eiugebendeu Studium der orienlaliichen Sprachen, naiueulltcb des Sanäkrit, AraU- ! Frr*i*^en vorbereitet, lui Jahre 1850 folgteer : ladung iini«re.s damaligen i*roti.<kt<>rH König Mtuci- milian lt., nach Mdiicben (Ibenutfiedeln, wii er »ich in der BrientKTKLrawse ein Wufauhaus kaufte, welchij» später nach den Hünen de» Architekten und BildhauerN Lorenz Gedou uaigebaut wurde, in welchem Anwesen er auch die von ihm gcffrfindete, berühmte Bildergalerie unterbrachte. Die» Galrrici truthült Mtri-stcr werke von damals lebenden, aber riet- fiKb noch verkannten KUustlern (tieuelli, Feuerbacb, HOck- lia «tc.) and daxu auch Copien von hervorragenden Werken ■ntrkannter altrr Mei«ter (Tirian, Velasquex, Murillo etc.). Dmh Scback- Galerie ist zur Zeit eine violbc»uchte Sehenfl- wOnHgkml MQnchenH. Ihr Urtlnder vermachte ^ie lotstwillig 8*izirr Mnji^Mtät dcra Deutschen Kaiser, welcher nie aber in hoUvtdhtter Weise nicht nach Berlin verpHauzte. »onderu in HRoelien Iwlie«. Die (irllndung dieä«.>r liulerie und die WHKnwohafUicben und poetischen l^eistnngen ihres Urlindera vennUbHt^a Seine MujeatHt, IK>rrii vuu Schack iu den Grafen- ÜBlid zu erheben, und veranlagen auch den Magistrat JlOaclieo. üin xum KbrenbUrger im ernennen.
Celxr ü^cbacka Bedeutung ab) (Jel^hrter hat sich Markuji
158 Oeffentlieke Siiaung vom 38. Man IfiOS,
Muller in dem eben Yerleeenen Antrage beKoichueud aus- gesprochen, und habe ich dem nicIiU beiKufß^n; Über seine BedeutoDg als Dichter theilt mir ein ^chTerst&odigeii MiUj glied unserer Akademie folgeiideii mit:
,Wie unn Behack in seinen meiaterhaflen Ueberaeizungoi die fremde Welt der Inder, Perser und Araber näher ffe- brncht hitt, so liebt er es auch in deinen zahlreichen eigenen Dichtangen, nns in die verschiedensten Welttheile, die rer* aohiedeuäten Zeiten za verseUen und weitacbaii enden Blicka die geiblige Entwicklung der Menschheit l>is zur lebendigen Gegenwart zu verfulgeu mit prophetischem Hinweis auf rint; konmiendo Verbrüderung alter Völker. Er ist der Cultur- dichter im vollen Rinne des Wortes mit all seinen Licht- j und äcbattemeiten, kein unmittelbar wirkender Lvrikur, ubef 1 ein tief und vielseitig gebildeter Geist, der erhabene Gedanken und edles Streben in klangvoller Sprache xum Ausdruck bringt und die mannigfaltigiften Kanstformen mit sicherer Meisterschaft beherrscht.*
Unsere Akademie wird des Verblichenen stets ehrend gedenken.
Ismail Paacha.
Ein anderes Ehrenmitglied, Ismail Pascha, frßher Chedir von Aeg:>'pten, geboren am 31. Dexember 1830 xu Kairo, liarb jQogHi am 2. Marx 1895 in Konstautmopel and vard« am 12. Marx in Kairu feierlich bi'ntuttet. Kr war der rr»te Mubamedaner, dor unsorpr Akademie angehörte, am IH. Juni 1874 gewählt. Der Vorschlag 7.u «einer Wahl ging fiio nnm*rem veryt<.)r)>«nen Mitgliod<.* Kranx von KoboU nu^ und lautet wörtlich: «Der Unterzeichnete erlaubt sich aum Ehren- mitglied der Akademie Seine Unheit dim Vicek&nig fim Aegypt4«n Umail Paacha vonoschlagen. DieMr Herr hat sieb durch die liberale UnterstOtatung der geographischen
», Pettrnkofer: Nekrolog auf lamaU Patcha.
150
Aitlnn Toa Baker uud Schwcinfiirt und durch die glän- zende AnsrtlAtunf; dur Knhlffi^hen Gxp(>dition zur Hrforiicbnng der lihrächt.'U Wlisto wesentliche Verilieusle um die WiBsen- rdcbaA erworben. An letxierer Expedition hat auch nnser lit^lied Professur Zittel Thcil genommen UDd die paläouto- ch« Sammlung deä Staates ist von ihm durch interessant« rbQOgea hrreichert worden. Der Viceköni^f hat sehr f^estftttct, dafi^ die auf der Reise gemnchten natur- hi*itorischen Samnilnnf^en Überhaupt den betreffenden Samm- iiDgen in B«rlin und Mnnchen (einverleibt werden. )£& dürfte ber vollkommen gerechtfertigt sein, dasH dem hohen Herrn Seite unserer Akademie ein Zeichen der Anerkennung tbot«n wrnU'."
Die Akademie trat diesem Vorschlage einstimmig bei. Uniail l'ucha mn<Hte bekanntlich vnn der Etegierung xorQcktrHen. DarOber weiss ich nicbbi Besseres und Knt- lyres zu sagen, als was der herQhmte Aogyptologe 11 r Dr. (ieorg Kbers, welcher länger in Aogypten
nd mit l»mail Pascha por&önlich verkehrte. un8 mit- icet^betlt hat. ,Die vergeh wen den i^che RQcksiclitslosigkeit, Bit der der jnit^fwt verstorbene Chediv Ismail flber die n?ichen (itt«l »eines Landes verfügte, musste er in der Verbannung bOaaca. Die Bevorzugung, die den Europäern so deotUch «nd lange durch ibn zu Theil ward, Imtte die national ge- ntcn llntertbanen gegen ihn aufgebracht, und es mag cUL bliiib«*n, in wie weit ihn die IIoffauDg auf Termebruog seiner KinkQnfte und der Wunwb sich in ÜmrofHk Ber&okncbtigung und Lob zn erwerben, antrieben, ifali alt Fernerer der Cnltur xu bewähren. Jedenfalls besan er Bgemtchafteo and bethütigte er seinen Geist nnd seine Thatkraft dorcb Handlungen und Werke, die es einer wissen- chafUichen KOrpervchafl, deren Bestrebungen er gelegentlich ktbiaaviill und freigebig unterstntzt hatte, nahe legen ihrer Anurkennong auch üiusertich Ausdruck m geben.
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tttff^tUehe SUnng oon 49. Märt J8»6.
Von seinem Grossvater Mohftiuincd Alit dem H)rn«.'uon*r Ae^yp- tnns, hftfcto er don lobhat'ten, der europüiachen Ctiltiir ^e* iifiKtcn Qeist, von seinem Vater Ibmhiui, dem Sichrer von Ninbi, wo unser Mollk«? gPK»'n ihn focht, den nnt*rnehnien- den Sinn geerbt. Öeirie» fr«nzösi«i^ben Erzieberii v<?rd»iiktc er eine Bildnng, die, obwobl sie nicbt lief ging, ihm doch gestatteto, die Bedeutung and Würde der Wia»eoscb«ft eu erkennen. Neue Gedanken und Entwflrfe, die Dian ihm raittheilte und vorlegt«, begriff er und vtirstiind e» ibnvn 7.U folgen und ihnen das für seine Zwecke Brauchbaie zu ent- nrhinen. Dariini wurde es auch fit'rrn von iMiaeftn letcht, den Cbcdiv tuniiiil für die nnter seinem Vorgänger begonnene Durchstechung der Landengo von Suez zn gewinnen, so viele Millionen sie auch wieder und wieder in Antipruch nahm. Kbenttn glückte es dem franzönidchen Alt«rliiitm:4furächer AngTixte Mariette, den Chediv für die Denknullcx aus der Pbaraonenseit tu iDtere6»iren und von ihm die MitLel zu AuNgrabungen in grossem 8t.il, KUr Herausgab« von nüixlicbvD l'iiblicnLiunKwcrken und endlicli für die Anlage jenes Antiqoi- tüteuuiii&eum» in Kairo su erlangen, das schon bei IsmaiU V'erjaguug eeine^gleiehen nicht balle. Als Lierbiinl l{(rhlfs und Karl Zitlel die Krforschuug der Ubyschen WOsle unter- nahmen. M-Iienkte er dieser ergehui&treiclien Expedition, so- wie der frflberen von ßaker und Schwrinfurt nicht nur DiQterielle Unterstützung, sondern auch verüUtuduistfVoIte Tlit'ilimbraf. Audi vielen andereu Fonichern gewährte er tbiitkräfligu TiitiMMfltzung. So dem Astronomen Mahmud Bü* (sputer Paichal boi seinen d<T Topographie de^ alten Alr- xandrien gewidmeten Arbeiten, und Knibt Haeokel, indem er ihm ftlr seine 20ologi«chen Unten-ucbungeo im llulhen Meere einen Dampfer xur Verfügung stellt«. Die BibIiotbi>k im Palast Oerb-e)-QamAm1/ itu Kairo dankt ' ' ICut- slohung und ihn? tnohtige Verwaltung dur«:h <■ Ge-
lehrt« (Dr. Stern und Dr. SpitU). Jetzt steht ihr Dr. Volle»
B. VoHi NttroUg auf Carl JifiLCimtTiUN «. Bttaernfeind, lt>i
vur. Herr Dor, ein tüchtiger ächwei74ir Pädogog, ricbteU* «etoo Aufmerksamkeit auf iloa Erzieh nngswesen de« I>andea. Mit fscboner Duldsamkeit untf'rstüty.te der Cbediv die Errich- tung auch chri3itlicht;r Schulen und Kirclteii. Die Keu- j[<«tAltung dm ttgjptischoQ Medicioal- und Gerieb tsweseii^ ■g f^leicbfalU vou ihm aus. Was er für die Uewäöätiruii^ ttvichcB, ffir den Verkehr durch Anlnge von Kieen- , und Tele^rapboD, fllr die Wolilfahrt der Unterthaneu iartii die PHaiizung Schatte» gpeudeiider Bäamc in groeuv- •rügvr Minige that, verdient m gewiss der Erwähnung, wie
Idass er die Zwan^riarbeit aufhüb und den äklaveiibundel bMobriakte.* Abo Segen auch »hinein Angedenken! Der Claavensecretiir, 0. v. Vuit, getankt der »eit dem letzten Stit"* ' * ro gestorbenen Mitglieder der Glosse. Di« : -liüch - phy-sikuliüche Claoäe bat im ver-
flcMAC&en Jahre xwci ordentliche Mitglieder: Ciirl Maximilian r. Bauerufeind und Carl v. Huu&hofer, ferner vier au»- »iiiigr Milgbeder: Die Pbpiker Äugtist Kuudt und Her- mann T. Uelmboltz in Berlin, den Botaniker Natbanael l*ringäbeim iu Hurliu nnd den Anatüuien Jüiiief KjrtJ in Wien durch den Tud verloren.
Carl Mazimilian von Baaernfeind. Am 'S. Augu»t vorigen .Wahres endete das Lel>en eine« aoe«, der in rasÜfMurr fruchtbarer Thätigkeit nur durch ne Kraft und Tilchtigkeit t^ich zu angesehenäter Stellung emporgearbeitet« die Geodäsie und ingeoie Urkunde luächttg gifiiniart und durch die gttickliche Orgauiaatiou de» techni- t'oU^rrichl^i* M-incm ViittTlanil« Jie grüö»U'n DtuiL^te g»|ci«iet hat.
Carl Maximilian Bauernfeind wurde am 28. No-
162
OfIfentUche Sittttnff tarn Jft, M8n 1808.
vember 1818 in dem Städtchen Arzherg im Ficlit<*lgehir};e aU Sohn eines iSchmiedmeMters geboren. Die an Kindern reichen, an Mitteln armen Eltern waren nicht in der hnj^e den Knahen, dessen besondere Begiihung sich frQh zeigte, einen regelmässigen Studiengang durchmachen eq htasen. Er wurde in die Lateinschnle nach dem bmiai-h harten Wun- fdedel gc^hickt, dann in die Qewerbesuhule und die poly- technische Schule nach Nflrnberg, woselbst er drei Jahre (fon 1836 bis 1838) verblieb. Aber gerade die ealgegen stellenden Schwierigkeiten stählten seinen Willen und trieb ihn zu ernster Arbeit.
Er hatte das grosso Glück, dam an der polytechniNchen Schule zu Xiirnl^erg damaU als Profesanr der Mstheuiatik und Physik Oeorg Simon Ohm, gleich bedeutend als Furscher wie als Lehrer, wirkte. Bauemfeind schildert ihn in einer um 28. Juli 1882 gehaltenen Gedlichtnissrede al:« unvor- gWichlichen Lehrer, an welchem die .Tugend einen bt-gpistern- dea Fahrer nicht bloss im Bereiche der Mathematik und Physik, sondern des Wis&ens ül)erhaupt fand, run dessen Geißle Jeder eine innerliche Wirkung TerspQrtc. Ohm war sich klar darüber, das« die gewöhnliche Lebrweise durch Vorträge in den Naturwi6itieü.<tchat'ten nicht ausreichend sei; er suchte die SchQler in ununterbrochenem lebendigem Ver- kehr durch Fragen und Uebungen an der Tafel zu selb- nUlndigeni Denken anzuregen, BauiTnleitid ntaud uiii seinem geliebten Lehrer noch langer in Briefwechsel und verkehrte Rp&ter nach dessen Uemfuu^ nach München viel mit ihm.
Auf dieM Weise vurlr»'niich vorbereitet, ijezog Baaern- frind (1888) die Universität München, wo damals noch die technischen DeHmten, die Architekten, Ingenieure etc. ihre Ausbildung cmpHngpn; er war dawlbct während zweier Jahre als Studireuder der Industrie in-«eribirt und hrirt« mathe- matischei naturwim«n»ohaflliohe und staalswirthichafÜiche Vorlesungen.
f. VoJi: Heitnitttj auf Gart MaximiJüin v. Banemfeinä. I'53
liier wunit! für sein Leben die Begegnung mit einem hcrrorrttKeiiden, fifanz eigentirtigen Manne der Technik, mit ■lonf r. UtzMihnpider, entsoheidencl. Dte<<er «edeUie Vater- Und»fr«and ' , wie ihn die Orabschrift nennt, hatte sich um die Sunt«- und Volkawirthiwhafl in Bayern in höchstem Orade verdient gemacht: ihm verdankt man die Keform der FiniiWTfrwuUnnt^, des Steuerkataster» and der Staatsschulden- ülgangf tempr die DurehfGliruug einer filr die damalige Zait in i»t«r haften Landes vermeüsung, die Anbahnung einer lioaellen Forwt- und Lundwirthsciiiift, die ersten Versuche
dem RunkelrObenbftu während der Oontinentalsperre, die CultiTining atisge<lehnter Mnosflächen, die Verbesserung des ä&lxberghaae« nnd dee Sudwesens; er machte ferner mit öeorg R#irhfiiilio<!h und .I)>äef Fraunhofer München durch Oründung der raathnmalisch -mechauiAchen und optischen Institnie znr Pßnn7.<3t«tte fElr Feinmechanik; und ward nach MiDefn Rncktritte Tum Stoat^ienste als Bflrgermeister Mtln- cheni in nneigennQtzigster Weise der Begründer einer In- dnslrie der Stadt durch bedeutende rnternchmungen: durch Anlage einer Lederfabrik, einer Tuchfabrik, einer Spiritus- fabrik. eroer Ola^liütte, einer ersten grossen Brauerei etc. An diesen merkwdrdigen MHiin hatten BHiierDfi;ind seine NOmberger Lehrer empfohlen, der den Werth und dae Streben des jungen Mannes alsbiild erkannte, ihm die zur Portaetrang seiner Studien nöUiigen Mittel gewährte, ihm Wohnung in Mtneni Hause in Obergietiing, dem jetzigen Warthofe, gab und ihn bia zu seinem im Jahre 1^40 er- Mgtra Tode ein wahrer vaterlicher Freund und Ralhgeber bfieb.
Ctncbneider hatte ein beeouderes Geschick die rechten Leute tu find«! und »ie auf rien ihren Talenten passenden riat?; TU «tfllltMi. So bt>stimnite er seinen ^>cbQt7,ling, «ich dem Ingeuieurfach zu widmen. Uamalä (1940) wurde eben 4«r Ti«rt« JahrttikuPf der hiesigen p^lytechniKchen Schule
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Oeffentiiche SiUttng wm SB. Märg tß»ß.
ia einen, vuu dem trefäichen Friedrich ÄugQst Pauli« demj «l^tereo Oberbalidirektor, geleiteten lugenieurcurs verwandelt,! iu welchen Bauornfeind eintrat. Scbon ein Jahr darauf bestand er die Staatsprüfung für das In^enienrfach mit Aus- zeichnung und kam alsbald aU Hauiiraktikiint zu derÜIisen-J biibnbadCommi89ion nach KOmberg und dann bu der Eisen-I Imlinbausektion nach Hof, woselbst er mit den Projectirung^- ] (irt>eiimi und der BaiileiLung ftlr dif* ikirtiLffn st Invii'rigen , Babnbaut'jn beschäffcif(t war.
Diese fUr .seine fernere Laufbahn üufäentt nutzbringcndoJ praktische Thäti^keit wurde (1841) unterbrochen durch di« Kinberufung als Uilf^lehrer dee lugenieurcurses nach MCluchen, an welchem er drei Jahre vorher noch ScbQler war. Neben- bei erhielt er (1840) die St4>lle eine« functionirenden In-] Xenieurs der Direction der Eisenbahnen. Im Jabre IS49 erfolgt« eeine Anstellung aU zweiter ProfesAor der Ingenieur- wisseDschaflen an der polytechnischen Schule, I8SI die alsi oniter Profesäor, womit er die Stellung aU Baaiugenieur| wieder aufgab.
Damit begann fflr Buuornfeind eine durch fa»t r»0 JaUni| fortgesetzte fmchtbare Lebrthatigkf^it in der gefismnil^en In- genienrkimde: im Straasen-f Brücken- und Ki»enbuhnbaUt äowitt in der U«odlne; er war ein ganx ron&flglichert klarer! und gewiaaenhafter Lehrer, dem alle bayerischen Ingenieure] ihre Ausbildung verdanken, nicht nur die tbeureti»ohp, non- dern auch die praktii«:he durch den L'nterricht iu der prakti* «chen Geometrie und im Gebrauche der MoMinätrumentc. Zu d>eM;r Zeit, wo seine Stellung fest begnlnd«^! war, begano er auch sieh mit wia»en»chuftlicben Problemen zu befAMeii.j In Folge davon hat ihm (1853) die Grlanger Univeniitftt.1 besondecs für seine Arbeit Ober die Pianinjet«r, den Titall einert Doktom der PbiloAophie verliehen. Doch wurde erl (1^8) nrtcb einmal in den pnikti<chi*n Dieiutt gerufen dnrchj die Ernennung £um Bauratb bot der obentton ßaubehiJr
■Mli
9. Voii: Jffkmtoif auf Vati Mtuamüian v, Bnucmfeinä.
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WO er während zehn Jabrea das Ket'erat über Btfleobahn- imA BrOckim bauten ImtU*.
Mittlerweile war ein wichtiger Abschnitt in dem Laben Baoerafeiiid'i heran gekommen. iSeit läugerer Zeit (1857) )wfiu«i« mnn Dtoh in Biiyern mit dem IMaiie einer Neti- i]rguit5atioD der technischen Lehranstalten, aber man konnte "' ' Priucipien nicht einiiif werden. Keine Gwringeren ' L? lieichrnbiicb und Ji>Muf Fraunhofer hatten äubon
im Jahre 1823 eine Denkschriit dem Ministerium vorgeleffi, worin Aie fQr alle ttriiniächen Stiuiit>n eine auf wistHensohaft« licbor Qrundlagfir aufgebimte tiochschnle verblümten. £r^t licr MiniHtcr t. Schl&r ^x\S diesen Gedanken wieder auf imd fand in Bauemfeind einen fOr die Aufgabe begeisterten, ebeuso »ocbkundigen ^ie energischen Hatbgeber. Nicht eine Ansialt zur emjiinftchen Ahrichtung und zur Erlernung ge- witt)«r Kegeln doHle euttteheu, sondern eine Stätte der Wissen- cbaft^ in welcher die Schüler befaliigt werden zu denken Bnd in den einzelnen Patten selbsit zu eutecheiden, was das Iiichtigo ist. Va stand bei ihm fest, dasB die Mathematik
die Natur wiasenschaften wie Physik, Mechanik, Chemie, li?; "' ' :it* etc. ebenfalls /.u einer uUgemeinen
Bddx II sie die Belaliigung geben« iu fremde
0*bi«te mit klarem Blicke zu schauen und deren Beziehungen wa dem eiifeneu Berufe eu erfassen. Ihm wurde nach DohftD Ktimpfi^n die ganze Organisation der neueu Hoch- tiole anveriraui, er wählte mit grossem Geschick die ersten drnelben iiufl, und er wurde zum Professor der
»Wfirwiwi*nfic haften und der Geodäsie, sowie zum Director
end der icchs enten Jahre ernannt. AU im Jahre Ißtif^ die üochscbnle in dem prächtigen Neubau erülTnet wnnW, da konnte man sagen, dass ein geJun;i;eue9 Werk TörlMge nml dose Uauernfeind sich um dasselbe das grösste • :4Mt «rwo<rbeD habe. Im Jahre 1874 erhielt er den iit«J und Bang eines Dircetors der technischen Hoch-
lae
0«ffmüi€kt Sksung wm 98. Märt 1995.
ccbnle, nnd von 1880 bis 1889 fiQbrie er aberxnol« das Amt etne^ Directon derselben. Solange die techoücbe Ilo«b- Hchiile beitehen bleibt, wird mnn ^ch duikbar de^ Mannes erinnern, der das Meiste zu ihrer GrOadung und zu ihrem Gedeilien geilian hat.
Noch an einer andern bcdentiinginrollen Aufgabe könnt« sieb der Geodät Bauemfeind betheiligen, an der euro|Ai«chcn Gradmeseong. DieaM grossartige wi&senKcliaftlicIin lint«r-| uehnien hatte im Jahre 1801 der k. preoas. GenerttlUeutenaDtj J. .T. Bneyer, dor Schüler Heftsers, in« fjehen gerufen; fast alle Staaten Europas betheiligt^n i^ich an demselben, so das« 6B später XU einer intemationalen Erdoiessung erweitert wurde. Zur Dnrchfnbruog der fflr die Zwecke der earo* pjÜscben Gradmeösung in Bayern Torzunebmenden Arbeiten I wurde (180K) eine tmyeriiohe Comtnis^ion , bestehend aasj Mitgliedern der niath.-pbys. Claase der Akademie, gebildeLJ Bauemfeind wurde stündiger Secretur uad Stellvertreter des Vorstande» diei^r Comini^sirm. Dieselbe Hollte darüber waeben, j dasa alle auf Bayern treffenden Gradmessongsarboiten nachj den Beschlossen der allgemeinen Conferenien und der per- manenten CoramiKsioD der europäischen Oraduiesisung yoII- zogen werden. Sie hatte zunäoliHt die r.ur Ourchftlhrunjij der Gradmessnng in Bayern nf>thigm Arbeiten «inzuleitea;! Bauemfeind fitilcn die geometri.schen Nivellement« erster j Ordnung xu, wo/.u er die Instrumente wählt« und die Me-j thoden der Nivelbruiig, sowie die Berechnung der Ki'snltato] angab, eine Arlreit, die ihn bis an Mine letzten liebenstagaj beschäftigte. Im .lahre 1871 trat er in die aus den be- deutend.-iU:Q Pachm&unern zu rammen ge»etzt4* permanente Ccm-^ mt&ion ein, in welcher er an der Seite Baerer*« zum Vice Präsidenten gewählt wurde.
Indem wir umi nach diesem UeWblieke über deu Lebfn^-j gang Bauernfeind*« zn seiner wwen«c:hufllichen Thütigkeit| wsnden, mu« eur Cbamkteriiirung denelben bemerkt wf^rden«
maä
9m VcÜi Nrkraloff auf Cari Mttrimäian v. Bauernfeind. 1^7
elbe sich stets als Bedür^i^ für seiae praktiscliea Arlieit£n aU Qeodüt und Ingenieur ergab; er verfolgte damit den Zweck, die letzteren zn fördern und (genauer zu gestalten. Eine seiner ersten VerüÖentlichungen (1840) war der B«itng zar Theorie der BrOckengewölbe. Pauli hatte bei NÜien Vorträgen im Ingenieurcurs eine wahrscheinlich aus — *gl«****" IJuelten ge.s<:hü|)t1« höchst einfache graphische Briüodhing di-r in einem Gewölbe tbätigen Kräfte mitge- theitt; an Stelle dieses graphischen Verfahrens setzte nun Baaanifcind das analytiiiche und erweiterte »o die llewölbi^ Uworie. Die vrete von Pauli constrairte Fachwerkbrücke Ober die Gflnz entsprach nicht gant den Anfurderungen, was Bauern- fnnd(l856) veraulasste ein anderes Trügersy^item zu herecb- oen, wornaeh die von Gerber ausgeführte Con»trucUon bei der OrosHbeMelober Brücke zur erstmatigeu Auwenduug kaui. Dm von ihm (18S1) angegebene Prismen kreuz, ein Moea ifflSBinstraiüent zum Abmessen von Winkeln für In- ire und tieometer, bot eine weite Verbreitung gefunden ; am er statt der Spiegel Glasprismen ak reäectirende Flicben anwendete, gelang e« ihm in Folge der Ünreh- btigkeit der letzteren die Bilder zweier Gegenstände in roBwrar Ausdehnung zur Deckung xu bringen, als es bei den Spiegeln oiugUch ist, und so eine genauere Messung zu erzielen. Seine Besprechung der drei dauiaU (1853) existireuden, noch wenig bekannten Planinieter von Ernst, VVelli od Uansen hat zur Anwendung dieser Insirumeute in der PnuU TJel beigetragen.
BauernfeindV T' :t4^ der Vemiessuug^ikunde, ein Lehr- neh der prakkisi tmotrie in zwei Bauden (1850 in
1890 in s«bent«r AuÜage erschienen) sind wohl sein ieohmgs Tollstes Werk, weichet zu seiner Zeit nnr von ihnt tttarbnilet werden konnte. Dieses ungemein klar und ver* cttuUicb geacbriftbene^ von wisseuschaftlichem Geiste erfüllte lisfcrhDrh bat doroh die ■ystomatische Zusammenfassung der
16S
OiifhUikk$ atnMf vm im. tOn JO».
KeontnÜM die Erlernung der Meüuxfeti der Vi mi—iiiffltoiide imgniMia erleichtsrt.
Auch die von Ba«erofeind henMisgcgebeiiea Vorlage- UiUer vir BrQckenlNUikailde, zur ^radsea- ond Efwnhahtt- butkonde and zur W—iiiiiiikande hüben Ar die Ansbildciai^' des Ingadenn gramen Noten gebnelit
IKe seit AnfiMg det J»lirhaodtrtt in B«5<nt rocgMow meoe Landaw tii ■iiiing hnUe xoBtefaat ein« nadi w acbnftHcbeo Prinäpteo aoaseftlhrte Trinagul*l>an antgefH! vrakbe fllr jfKom Zeit nb niBiterhaft Anerkannt war: Sehiegj kalte sJcb an der Aasführang bctheiligi, Soldner di« Metbodan Aer Beraebaimg gaÜefeit nnd Utadacidcff die KSnnobUmgBB gannf tit : die beatwi, aas den Werkstfttt«f) tou Rekch«nbach ond Grtel aad f«o PmaabnÜBr faerrorgegnug^Mten geodafacheo ■od artimwiahan Inatraamifee waren rar Verwandaag ge- langt. In dem von der k. b, SteoeriartnrtrwnniwiMioin and dam k. b. lopogr8|»hwcb(*n Bunrao (1873) b«naagagebenen ginaiMii Werke; Di« barerucbe Landen vmieBiang in ibmr wwwea u'hafllichen QmndUge prüfte Bancrnfcsnd« ob dia«e Triangolirvng aoeb den böberen Anfiorderungim einer Orad- UMiainng genfige, wobei sieh aeigte, daa» cUevilbe, nach Er- f^mang daa HaupldreiecknvInBa darch eioe Ansaht naoar WinkelmesBangen und nach UmrMbnong der Resuttate einea Thmäm im HaitpUiatiaa aebr wokl der europiMobaa Orad- UMMiiung «iagefQgt weid«n darfte.
In V«rbindang mit der earopincben Uradmfwnng wnrdrn ferner in Bayern ausgedehnte Prlmona-Nivriletneotii unter Bauemfetnd*« Obnrieitung durch die Assistenten der bnjrariacben QfndmaaiimgwwHimiMim anagcftlhrt. LHeec Ni- T«ll«n>fiit» Iftog« dar Eiasnbnhnan nnd Luditramni, dorvb welche die Meenmpie^ an den KOslen Eoropna verbunden und in allen liindtn «in« grame Ansaht gvnau nivellirttf Markvn ab Qrandlagen Ar weitere HAheBnamongen l4itthai«ch«n oud wi— wurhaftlichea Zweeken gwcbalTen werden
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r. Tcit: Ntkrotog auf Carl JUttrimiiinn v. Bauern feimt 169
B, gehören za dem Besten, was die neuere Zeit anf ilieaem Gebiete geleistet hat.
Kör >r^>dnti«che Ht>henl>e8timnianReti benutzt niun be- kanoÜich da» Üttroin«ter und die trigononietri&che Messang; di« l»Ut«re '\st genauer, die erstere aber bequemer. Die bttrornftrificben Btistirnmungen erwiese« sieb durch noch tin- bek&nnte KinflQsse als unflicber. Dies fQhrte Baticrnfeind ducu. titiifn)«ende Untersuchungen über die Genauigkeit der baromvlrischeD Uöbenmessungeu anzustellen. Kr liess xn dem Zwecke (1^57) den grossen Mieeing genau g^ometriseli tiivfltir-n und dann an ffiuf in Höhenalwtiiudeo von 270 m > •» Punkten Ton 10 Schdleni gleichzeitig Beobach-
Inngen Lkber die Aendernngen des Druckes, der Temperatur tiAd dt» Wjii^serjiKhiiU«* der Luft mit der Höhe ntar.h(^n.
Daran m:'))Io<«oii «ich deine beiden Uutemuchtingtm über die atinosphariäcbe Strahlenbrechung (1864 und 1800) an. In di»r cfwltTen öl>er die a«trfinonn«che Strahlenbrechung stellte er die Bet^<;erschen mittleren Uefractiouen biä 7.u 1K>* Zenitlidiittanx fent; in der »weiten über die terreAtrüehe 8tmhl<mbrechung ermittelte er auf thcoretisch<*m Wege die Afan^me der Coefficienten derselben mit der Hi>he als eine nuihwmdige Folge der früher aus seinen baroinetriscben HcMongen anfgestellten LuftdichtigkeittifQrme). Später (1877) wallen auf Wranlasating der Commi*iion der ourop&ihchen Gffttdmenmng noch weitere Beobachtungen der terrestrischen lUfraction im Kichtclgebirge und dann zwischen dem Schlier-
ond dem Chiemsee unter meiner Leitung gemacht.
Ans alles diesen Beiibachtungen erkannte er in der Wjtmwtimhlnng des Krdbodens die Untache, warum bei den bmmwtrischen Mee^ngen tägliche Perioden auftreten, indem UilEag^ ifrOflaere, Uürgeu.s uud Abenda kleinere HDhen al? 4it wirklichfii erhaltvn werden. Er entwickelte ferner QleiflhBiigflii fllr die die rerechieden dichten ächichten der Alwnapbir* darohi]nngi'nd«n UcbUtrahten nnd wie« auch
m. Man 2fiE9ff.
HStMBflMMmg dDAD Eiafli» . 4eB ajfcoiil in t5|^lieii Perioden
«■efaiBchca Hieben bcatinuBBe^s,
Ittr £b Miiwiihgii waren diete Aitötw
i« n>Q BttUag; er kal sie Ar aetoe bedeutad^
1» irt, «M ttui «rmK fticfci ^ reine MttbwMlilr ■ fi» f*bfiik, wcfeke ft»aenfaii>d durch netttf Erkao&t- I bankberte; tr hak netoMhr durch die Anvendom ftlr die TrinwuiWftlifke Aoihildnni^ der Oflodiiit ^id liigenitrairkiiBde Beda«teaes gelwetgt and ist dadmch. «Mrie dnrch die mit GeRkiek org»ni-irteo und gri«itcfeM: IfHMiainhnlUiGben MMnagen enner Schaler xu täsm ^ Miywehwirti^n Vailutor in aeiiiem Fache geworden. M boW Aii-wheu nnd di<^ Aektaa^, vekhe er «ch alUeitig «f^ mkgeo hak. m*I^ a*^ beioniieni bei der Feier mam 70. Gebartstaice« am 28. Koreubcr iSäS. den er noch i« voller KOslägkeii im Amt« Wf^in^.
So ni der aas dem Volk« kerrorgegangene Sohn da ffcbmmdui dnreb «ig<me Kraft mmi GlOckes Schmied g*^ -naedoi. Der mSchtifa Kopf mit den anedracksTalleQ acbaileN ZA|tn li«m abchald den bed^olendca M&nn ron fr^Uün Cha- laktar «kennen, w^lchi^r penau wiiwin, was er wollte. eW mü ommchtiger Klugbnt durdiMtiie, was er anitieite^ ESm forachme Encheinang von gemeasenem Wostn ttt* kngte er Bettchtuag aeittar s^UUuag und »ngto, dam er ii| imtath« gewohnt war.
Sia Jahr nach wuiem 70. Qeinrti^^ legte er di* <«e« «Aifte ciBea Dtraciors dvr t»chni»chen Hochachnle nieder« da «dl %mptoaie de« Nachtuams der Kräfte bemerkfiel WE^itam; 1890 trat er auch ^ -- > -bramte nrOi^ & #eBltt «ch die Anflüigv uinee . Leidru* ein. diMfl
Qonlaai ar mit tleUoDmuUi vrtnig. Klaren Geistea nahm «i AkaaUad veai «ner KamtUtv uitd «i*in«n Freunden n Haaim^Miiii mn Leben jjut «ngvweudei au haben.
^nmlim^h-phy^ikaliäciie Clnsse bokla;^ iten allzn- eiiiKi vtinlitfiiteti , reich vetanta;^t«ii und hückat itligpii ('•(jH«gvii. welcher wissetischuftlichf; und kOnsU KcfAhiKiiii^ in ^ieicheiD Liradt* iu sich vereinigte. ) Uatt«li ' " ' ! ■ um 28. April 18311 zu Mflnchen dtn I' ' iklers Max Huuäliofer tlriM Licht
Lvtxterer ^ehrirte %a dei^jenigea hiesigen Afalera, IftinAU hf^uiiniMi im lmven.Hchen (iuViirge Stmlien Natur x\i machon; es war eine idyllische Zeit voll und freudi|;en Schaffami. Iu der Sorge um seine Teriiecs er 1841 mit «chwvrKin H^r/en diu Heimakh, t Kaf nln l'rufessor an die Kun.-ftakudeuiie 211 IVag iwii, wi»MdIwt der Sohn die .lugetidjahre verlinichte. Kterer hatlu von dem Vntur das Venständnisä fUr tibeit der Natur ncd dan Talent für die klhistlermchf mg geerbt. tViÜr/üiiig fing er au zu zeichnen und I, nnd xwar Alles, was ihm vorkam« LnndMühaftlichea Cirlicb«. I>it>*er anf» Feioste ausgebildete Karben- und da.« Tident t\m Zeichnens kam ihm ID wisHenHchaftlichen Arbeiten, bei den von orfenca geolugti»rhen Wandtafeln und bei den Vor- iehr zu Statten. Die Liebe xnr Naturschünheit •flegt und entwickelt dnrch den Aufenthalt an dem I, wo die klltern Hun^hoferH, im beständigem Uitim- h der bayerischen licimntli leidend^ alljährlich zwei ' i 'iteu. Die Bilder jener LaiidiM^hafl: I iiirge .Henkten Hioh tief in die Seele ib«n and noch in späteren Jahren suchte er dorten, i T4tr odnem Tode, Krholung nach den MOhen der
frag bamchte er das dent^ehe Gymna^inm auf der L* (1S49 — 18&6), an welchem «inxichU volle Lehrer
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Offfentlidif Sttmn^ rom 28. Afnrt 1fl95.
wirkten. Auob die NaiorwiaitenschaiUm wurden daaell eifrig fi^epflt^i: Physik, Botanik, ZooIo^h und Mineralof^e Hiircn obligate Lehrge^tMwtnntle. Dnr junge Hnu^hofcr nnhi] das grÖAst« Interestte daran mid U^chüfti)^ sich aucb Uuuae diit pbyäikatiacben und cheniiectxfn KxpitritiK'iitn^ Besondere Neigung brachte er der Mineralogie entgegei der Vuter bexasu eine nicht unbedeutende Minerulietnaiimi) lung, welche dem Sohn zur Anregung dipnU', «i dnm schon als Gymnasiut jedes ihm vorkommende Mineral ht sUiuiueu lenii«.
Nur ungern hatte sich der Vater vnn »einen Iteid« äDbnen (1850) getrennt, um dienelben in lUyern da» Ciyt uftsiiim fths^ilvirmi ■/.» ItL^tsea, du er wün^hte, diue »ie in d< alten Ueinmtli ihren ktlnfligen Le^icn^vrcg »neben noUtc nicht in Böhmen, wn sclmn danuilh die NationaliULtenfr das Dasßin immer unerquicklicher geittAltet«. So absolvir der junge IlauAhofor (ISfi?) da« MaximiHuntt-Gvnmiutiuni kiT Müni^beu und t.rut dann nn die bi^tige riiivenilu). HlN^r. ^^
Es war faid wllwtYcniiändh'cb, dam di« Lieb« Kur Natd^| und die schon erlangten Eeniitniese ihn l«Ntimn)ten, nch den Nuturwissensfhnftcn, ioMbc-ütindtTi* der Minorab>gic nnd üpognowie zuz-uwenden. Xacbdem er noch ein Sempj^ter i| Frag zugebracht hatte, ging er (1äri9) nn die ftTichNiiiet] Bergakudemin zu Frclberg. Der Bergbauptmann v. Beul war damalf) der Leiter dieser in hr>ch<4tem Ani+ehon stehend« Anittult, an wcdeber Sttidirond<* mi» nllen Weltthnlen ttio Knutamnienfanden; nnter der Fnhrung deq nU«n Wei5ihau|l wurden Irerg- und hüttenmllniiincbit St-udien neben (!hf»mlj und MineriJogie betrieben.
Nach Vullendang der Freilierger Studien muMite nieb »«ntisidutideu, üb er der 'rbe«>rie oJpr dem p' Borgwpspn sieb anwenden «)llte. Nanii'ntbrh auf ■. i^
regimg auß den KreiMen von Pragejr (irosnndtutnelhai hl und nnch in d«rr HnfTnung tnild«r xu «nnn wHtitJiiMlii
c. Voit: Nthvittg auf Karl r. Hatuhofer.
17S
Sil getmn^pn . «mtschloss er sich daxu, sicli dem BümbtltteDwcMm Kn widrnfln. Er trat (1861) in eioee dnr ftTo»*i*n li- II Eisenhnrtt'nwerk»», in die HemmiinBhntte
(wi Siah tu. M-i 1 ilspn, oin, »m mit dem einfuchtiU^n Arbeitor 4ie harte Arbeit 1>et der Gluth des Puddolofentt zu t)ioil«D. Obwohl er bald zum Walzmeinter uod ßetrieHnassistenfc ror- war rr* drtii wifwflii.''il«rst,i^«Mi, fpinflih)*?»Hen jungen oicbl DRijflich eine solche ÖL'schüfligunf^ und din Anf- aiftht 8b«r 400 Arb*il<»r writ*r zn ftlhren. Todmnde, mit KühK^nniaab bedeckt und bäuH^ mit Brandwnndt^n au den H&ndtf'n von der Arbeit nnvh Hanse kommend, vermochte er nicht mvhr ein Bnch /.u le.«<en und »ich weiter zu bilden.
D<r Vat^r war w»hr beutilrzt, als er bei einem Beftnche dtr flotte oin^ pHwi»»? VerwnhrIosnng dr« Sobnes beniorkte; er dranff iu tbn, die aufreibende prukti.-^he Laufbahn tmd ifi« sehiin rrtangto f^nte Stidlunf( tn rerlnetfien und tn der WÜMUscbafl rtirnckziikebren. Die in di'r HOtU» erworbenen KMahmftgeii waren jedoch ffir ihn nicht verloren; er knnnt* «•" fÖr wio»! »pHtcntn Vorb^^un^en un der trchnisclipn Hitrb- «diale t;ut rerwertben,
Kr kam wi)«d»»r an die UniverwiUit Mniichen, hurte Vor- leffimgffl bei Liehif; und JoMy, und nrbeilete namentlich bei KoImII, w«)cber ihn als AsAiHenten aufnahm nnd den ihm \p JiMiwM» Wt^wn hvinpiithi.H<;ben und in vieh'ii Stöcken
ul- nton jungen Forscher Meli ^wann; er bbeb ihm
«He wnhlwnllender Oönunr nnd Freund.
Im Jahr*« 1864 löste Ifaunhofer eine von der pbilwopbi- «cbfni KacnItAt ((^"^"^^ Preisfrnge physikalischen InbaU?*: «Unti9T»nchnn^en Ober die bei Auflöämi^ von Salzen in Wftftter eintr?t<MTdm Temiwrntiir-Erniedrigunjifen*. Die Anf- gali« «rar fnn Jully (;re^Ut und in seinem Lnbciratorinin • - — '- - Snn jiromnvirte Ilnushoft^r, babilitirte ivat4loK«>nt an der UniTemität für das Poch der Miti«n!o|^ie, und wurde, als die tecbniache Hochschule
l
i\i'.h''^ «liihuf ««yrlid'i'-t viurd*;. lVof»?!s>f>r für Mineralo>ri< iiM'l hi.ciiliPilliMiliiJii'lt; an di'.ThH\\j*:\i. Als wlcber hatte ei ili( iiiiii(iuIitKi><-)ji' lififi linitf^ninüriiiUcbc Sammlung iiiui da: itiiiMiiiln{jrii>( In- l«uli(init<iriMiii «•iu/jjrichteri. Er war ein top /fildtilHi, |t(!i'li(K*''»"<''"*'' ^'**'"'**'"' *>'i^ähigt durch ausgebreitet* IIm-iiiiIini he iiiul |inikl.iMriii: Kenntnisse in »einem Fache.
lluirli ilii'.tf »'in<> Ki^ensclmften und durch sein ein- iiii|iitit<nili-^ Wfht'ii crwarli er sich bald diw Vertrauen steinet CnlIi'Ki'ii, 'ln' ilin wiciliTliolt 7-uni Vorstände der chenn^tcb- li<< liniM'lii'n Al)lln'iluiijx rrwüblten. Und aiä im Jahre ]'*>? iliM liidi liddt \. Ilaui-nitViiid dits Directüriura di-r teohm!*chrr II. H li-.i liult' luiHlt'i lf>;li\ kam llanshnier an .st-ine Stelle, wek'iit i>i Im-, dt MMurni l.ebt'ii.M'nde beliielt. Kr hnt die in ih:. Z'.- Mtvti'M r.i«;ulinii;t'n i'itVilh : als ein i;erecliter. friedliel»e:i3rr. utn-i.'lMi»?iM Voi-(;ui.i hat er M'in sihwierii:t»> Amt Ttr«ti>-7.. . ui .li»" \\ «dil .'.er An^^ll; ltiTi;i'kMihtii:fn'i.
I Vi' ".•.'.i"l:i -oi'.i' . :i!.ir:-:. ht'!; w';><i-:.>i L.if'.i.iit'r; Ar:*--::**! li >. '■l..;.' ^ •.(■■.. ::;':".' >.";■. .'..'.rt; '-'.v.v Iv*. >i.^i..7.i uii^.-
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«. Vtmtt Nftfutotj Muf Kart p. Hmu^tofer.
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ilNwIbm Oun^itiUitidUHformäln aufxu^tellen, weloh« den getieti« «iien tieziehuzi{L;cn iletwlbou Rechnung tragen. Da dien
ren die Pinzijj^e thntsächlicbe {4rimdlunp («iner .solchen
rlliing bilden , ho können die ao erhiiltenon Kornielri ■iebt dnöoniK*"!! I^ni<] von WahrBcboinlichkeit bositxen, welche Aea Korcuelii von or^auiitcheii Verbimlun^en zukoiumt, die tatWMlrr durrh Syntberie aiw cotifiiittitionell bekannten Kör- pern |<ewnnnön oder durch allmtihlicben Abbau in einfachere Verbindungen icerlegi w«!rden ki^nnen. Da/u kumnil, dusa
dainiilige Kenntnis dar enipirischen /iisnniiMonzJi't/.nnf;
natürlichen Silikate noch vielfach eine ungenügende war tuul in uhlreiehen Filllen noch heata nicht zu einem Ver- «Dcb«, anf die Constitution derselben zn schJiessenf berechtigt. Immerhin ändea aich iu Hauuhufer'« ZuHauimeuateltungen, «olche CT «elbttt nur aU einen .Veruach*' bezeichnet, manche Aufijaasnogeo, die auch jetet noch ahi richtig anerkannt werden mOaiten.
Auf dem Ofbi-^t« der Krystallographie Teröffentlichte Haosbofer sine lluibe kleinerer Mittheil ungeu, meist Unter- cocbangen Aber die Krystallfurmen organischer äiihstanifen, UuJl« in der ZuiUchrift für Kry«lullographie, tbeil)^ in den Arbeiien der Chemiker, welche jene Körper dargestellt hatten« 9täi d«m Jahre 1877 biA zu seiner letzten Krkrankung.
Daneben gingen her Venrache Ober dat> Verhalten des Dotomita g^fn Sänrf*n , bettoiider^ aber seit 1880 Stndien Ober liia mikrotfkopisohen Kry»talIformen in Niederschlägen. Der liedanke, die Gegenwart gewisser Klemenle dwrcb mikm- «Itnpixcbc Beobachtung der Kry^tallforni van Verbindungen IS erkenn«), war zMvrtt von einigen Petrograpbeu zn uiikro- duipiicben Reactionen auf Be»«taudtbeile der Mineralien in ICSI benotet worden. Hanshofer wiuidte denselben nnn
Bl&mittet der qualitativen chemischen Analyse auf eine Bethe ron Stoffen an, fUr welche es ad empfindlichen Rc- teümma fehlt, und zeigte, wie man auf dieaem Wege in
17rt
fh/fmtliche Sittmty coa* »i. MArs ia$S.
vielen Fällt-n, ivdbst bei ttrhr geriiureo Mengen verfügbar Subetauz nocb den einten oder anderen darin eDiliiilteuiMi Bir* trfjindtliC'il .lieber nachwei^n k5nne. Namentlich bei den ho- geuaridtftti xelLeneu l<!rden ist durch ibn dio mikronkopi^cbt' Methode ein wicbti^e» Hflirsraütet bei der cfaeniitwhen Ana- lyse geworden. Eine syst« tu »tische Zn^uniiuer&teliung der niikroi>kupi9chcn lleActioncn, ul8 AtiUiitunj^ zur Erkmiimit^ verschiedener Elemente and Verbindungen unt4*r dein Mikro- skope und als ein Supplement kq den Methoden der quali* tativcQ Analyse, gab er im Jabre 1885 heraod; auch fVibrte er zahlreiche jung« Chemikt^r durch «in tou ihm abgehal- tene«! Practicnni in dieM Uethode ein.
Seine re^e Tbeilnabnie an dorn denfcMcbcn nod ögf«r* reicbi(*»ihen Alpenverein, zuerst al-i Uedact<?ur der Vt-r KeiL<>ehriri, dann &la PriUideiit der Section Münfhoii, hui der Wissenschaft Xntxen gebracht, denn er war fltebs hemObt, dem Verein wisse nschanJi che« Interoase zu verleihen, die Ver- oU'eiitliehnngen in der Zeitäclirift f;fedieK<)n zu gcKtuIten und die bildliche Ausstattung^ dei^^lben zu vere^ieln: »eine Qebirfpi- landwhaften zeichnen sich durch die scharfe Charakteriftik dvr Bpr^fprufile und *eine Qocbgvbtrg^karten durch ein besonder laiidKciiufiliche« Veratündnin tkoa. Kr wird auch in der 0 schichte der Enichtieainng der Ust&lpen gtmannt alK ein der enten. welche die Zill^trtlialer Eispässe h<%nu^en, zu eine Zeit, wo das FUhrerwesen und der Wegbau uoch in dti Anfangen waren.
Sovrie in der Natur suchte er ancb im Leben da.« Rechte und Schöne. Er war ein ideal denkender Men«ch, der höhere Zille l!^i^^'bte und «»einen fiedanken und (leftlblen aiKb poetinchiT Form Aufdruck zu (^ebeti wu*tl*.
Der im Jahre 1890 erfolj^te Tod seiner ffehebten wirkte auf den vorher ao kräflixeo Mann itnchQttemd twei .fahre darnach hatte er einoa heftigen AnCill von lö^
V. Poil: If*krvt<t*i auf Augutd KuHitt.
177
v«*a wcIcbcDi «r sich nii:ht mehr urliolen kuniite. Br starb luujli [angcm Leiden am 8. Janiiikr 1895, betruticri von Ailttu, wislehc »eititt e*\lea Kigeiuchaften gükauut )ial)u[i.
Augnat Kundt.
Dio Physik hat in tlen letzten Juhren dureh Um Abkben iktKT bervurn^ftoudäteii Vertretei* iu DeiitMchliuiil die äclim»r£- licW«a WrluwU* trrliU^Mi; mich dem viel betrauerten Heinrich Hvrtx ist Äui^nt Ktindt und nach diesem Hermann U«lm- holt£ im /eitrftum von 9 Monaten gef^ilgt.
AttffUfit Kundt ist am *J1. Mni 18ü4 in ToUem Schuffeu, erst 54 Jaltre alt. gebtorbeu. Ein Schüler von Muf^us iut CT liurcb seiu Tult^nt in kurzer Zeit einer der er»tea Ph^fidkcr Ipwoitloa; »D den Boebscbtilon von Zürich, VV'Qr^burg, StrasK- tiarx mid Berlin hat er aUi unübertrefflicher Lehrer, der ein« filienitiä gros»; Zahl wixsensi'hiifllich tbnti({(.'r Sch'Uer in »einem Laboratorium vereinigte, und als he rvür ragender Kor- »her gewirkt.
V ■ «rr Krisulie des Gei5te^ und onverwilrttlicher
Arbeiift---i:- ,,ar er ein von Wenigen erreichter Mei><ter iin Experiment, der mit ungewtihnücbem tie^tchick und iScharf- siuo die Mittel fand, die t*cbwierigsten Aufgaben dtirch den Vcnucb zu lüsen, wodurch e» ihm gelang, auf den ver- «cbioitHist«!! itcbitrteu die Pb.vsik mit vielen wichtigen That- «icIms hdi] Erkenntniraon ku bereichem. Kr gehörte nicht m den eigen tlictiten miithematiticheu Thysikeru, aber er j^ing \m »eiuMi ÄrU'it'Mi Kuuieiit mit feinem Verständni&s für die Torlicgcluieji Kragen von theoretischen BetrucUttingen aiis.
Bei «einen «ntou, auf dem (jebiete der Akustik äich |Ww«|teod«n *-' »"0, gelang en ihm, eine neue höchst cbe der FortptlauKuugHgttichnindi>fkeit dea
BahalUa sa Anden, deren Anwendung ihn «u bedeutungsvollen AifwhlllMen ftthrl«. An »rinc üntiTsuchungen Über die
»78
thffentlidt* SüeuHft t<tm SH. MxXrt 1896.
I>opt>elbrM>hunK tlef> Lichtes in t5neni]eii ^Ubeii hattv flieh cfin Versuch ölwr die llebertrnifuiig der Bewegung limjptu- ilinal «4*hwinHfnd*»r Rfihren anf hiiieingestpckte Kori"^'', sowi« iiuf die Luft in d^nsflljeii iiiigeitchUcüKfd; hs xtM|^U* Mch dabei' die auffaltende Encbeinung. dani an der InncnfliVbi* der ßliumbre vertheilter feiner Staub äich in bestimiuteu Fif^ureii, den Kiiot4?iipunktf*n stehender S>;hwingungen der einf^cMohln»- senen Luft, anordnet, wenn man die an beiden Enden ver- schlossene Röhre durch Reiben in longitudinale Schwiu^uDg<m rersetst. Daraus war er nun im Stamme in finfad) t
fifenauester Weise die FortpiUnzung8j?e»chwiudi^keit dt ■ wetten in den in der RiJfaro befiudlicbon Oa«en and D&mpfen, sowie auch in festen Körpern r.u bt^tininmn. [ndrtn er rliii Methode immer mehr vervolllcuuiinnete und Tf*rscbiedeno lon^H tudinal »chwingende Köri>er unter ntannitrfalti^'en ßediugungea anwandte, er^lien sich ihm Resultate von oll^emeiuer lie- deutiing, die anch zu dem chemischen Verfmlton der StoHog iu lWiehun>{ zu bringen waren. Hierher >;rliüreii auoll ■eine Venncbe Über die KlangliKuren in Orgelpfeifen, dh die Schwingungfiffirm tönender Platten, die KrKeni»unjr von Tonen durch Kltunluen, die Schwingungen vou rechteckigeu Luftplaitcn,
Kach dieeen akustischen Studien ging er su optischen fragen Gber. Er war auf den Itedanken gfik> da
Metalle und metallisch gltlnzendo Körpwr Unregi i i in der Brechung den Liehim zeigen n)Q«t«B. Durch einen genialen Kunxtgrifi' besifgl*« i»r die der Befi' ■ faj*t im-
durehsicbhger fesitcr Körper und LOeungeu ti ^^ ^-ii -tehendcn« Schwierigkeiten And that dar, dass in der Tbat eine Arne von Lüftungen von Stoffen, welch« im feAteu Zujttand« Ober- flächenfar)>en beäitzen, ' T' .''n.
In einer fUr die kr : -t. folgereichim
mit Minem Schttler K. Wvburg au«goft1hrten UntervaehuR bartiminte er die Reibung und W&ruieleitung der irase
#1 Volt: NekruUt'j auf Auifant Kitndt.
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lÜ« ipK:i&u:he Wfirme di^ Qnöckailberilampfes. Eh war iiäm- lidi ilie Fntg« «u mifcheitlen, ob im Queckflilbcrrliunpf wie ' ' I .-n aiehrere Atome xn einem MolfkfU vor-
f.-.-^- -i.j : :.. ; oti es, wrie unser CoUtige r. Baeyer ver- tnuÜiHte, ein nnatonii^N Qns am. In letzterem Fülle imi^be timmter Quotient der Wrirmeoapacität bei constanter air und f ' r'prri Dnick sich er^ebeo. der aus der ngBgp.-' /keit sieb l)estimnien Hess. Dieser
tienl warde nun auch wirkHcb durch den Versuch ge-
Mit Hilfe de« tiicht«nbergVhen Pulvers untersuchte er die i-lektrischcn Ewoheinunjfen an Kryst«llen, die Thermo-, ^ctiiM>- und I*ir*M>-EI<?ktrizit5t derselben. K& folgte der VoeJlweui der elektri>- in ajjweti sehen Dreliunj» der I'olnrisations- »w d»i Licbti* IM tlasoii, z. B. im Scbivefelkoiilt?nstoff- datnpf, in der Lafl, dein Sauerstoff, dem Koblenoxydgas und K ' 1-; ond diinn ani'h im EiJ^en. Nickel und Kobalt, •: dtrn Ourch^iing de» polarisirten Lichtes durch dünne larclurichtige S4:hicht«n dieser Metalte, welch« er starken eben Strömen ansetzte, beobachtete. Perner die Knt- 1 ' P rpelbrwihnng de« Lichtes in bewü|B;t4;n reiben- ■'u und die rntentiicbung über die Doppel- bret'hung elektriarter Fltlssigkeiten.
I>ii' Knnsl drr Darstellung (In.^erst dOnner dnrchaichti^er iD«berzQgo mn Mehnllen auf ( Üa-^platten benüt/ie er in seiner eil kerrorra^t^nden Arbeit zur ersten directen ßtft^innnung dvr Brvctnuigwxponenten der Metnlle.
Kundt'» Name wird ^ch »tuta an die von ihm durch Eiperioieuürkuiitfi er«cliIo>>ACDeu Gubiete der Physik ufeu.
180
OfIffHttichi Sitsmtvj vom Xt, Hin OBS,
.1,1..
Kathanael Pringsheim.
Der un r>. OkWber I8'J4 iw Berliu im 71. Lebeiuja gestorbene BoUuiker Nathanael PringBh(^im war einer det_ ättetden Vertreter der durch Alexander Braun, Schleiden Nägeli n. A, begründetet] pfluiseenphysiülogiscben Bicbtuo}; dem die Botanik vielfache Auf^cbltiüse aber den Bau und di Leben der Ptlan/enziUlen verdankt; ror Allem siod «s seiiM n]ei«t«rbnf)«n Untersuchungen der mikroskopuoben Algen womit er üeinen Ruhm begründet hat
Pringsheim widmete Bicb, anger^ durch AlcxAodc Braun, frflhe der Botanik eu, habilitirte sich aii der B«fUn« Dnivervitftt, wurde bald in Folge »einer Algenstiidien an Ehrenberg'B Antrag in die dortige Akademie der \Vi«Mn^ »chafleu aufgenommen« folgte aber einem ßafe njicb Jea »Is Nachfulger Schleiden*». In Jena gründet« er das gut eingerichtete pfi an zen physiologische Institut, in xuhlreiche ScbQler unl«r »einer Kuhruui; wiiwan.^ thätig waren. Er gab jedoch nach einigen Jahren du»» Profesdur wieder auf und äied)*Ue nach Berliu Über, um ab unabhängiger Mauu und Privutgelehrter ungestört ganx WisMnachaft leben xu können. Hit den reichen ihm Gebote stehenden Mitteln errichtete er daselbst abermals ein Laboratorium, worin er freigebig «eine Sehale aafnahm.
Er begann die lebenden l'danzenxeUen ihrem Bau uiiA^ ihrer Entwicklung nach unter dem Mikrutkope genau beobachten, wobei nich nene Auffa-tsungen Ober da» Pr plaema der Zellen und BCine Beziehungen xur Membran, di^ man frQher als das WetentÜchn der Zelle angesehen hatt ergaben. Er wurde dadurch Kum Studium der miVrcMkopi' ■ehen Algen gL*fnbrt, deren gründliche Durchforschung woli affin«) gr6«ste l^ixtung i«i. Kr war der ente, der intemaante Gruppe von nieder<*n PfianEen, weJcfas die »iefa tigiten AnfiM:hlflw(e nber allgemeine Kragen der Morphitkigi«
V. FOil: tfekroiog nuf Nutkanaet PHntiaheiiu.
181
und S^siemtitik fi;^cb6n hut, aus dem übaoa vendiueli«r und uiiTenmtteltdr BeubocbtaDgen zu erlösen angdkogen bat. indirm vr mit imverf^leichlictier AusdauBr die witusigeti Pfiunziru mit dem Mikro.'ikop vßrftilgte, bU er ihn Oe«chiobte erforscbt hatte. Er ist ea ^we^eo, der an ihoiso (an der j^rCnun Stisswa-sseraljfc Vancheria terrestris awl au Oedogoninra) im Jahre ]8o5 zuerst deu BefnicLtuugs- wt bei PÜauxen, als gesc bliebt liehe Furtpfianzung und Zeu- gung« wirklich beobachtete, indem vor seinen Augen die liehen Sperniatuzoeu »ich mit dem frei gelegten In- der weiblicbcn Kizclle vereinigU'U uiiil somit beide TWsili» «oh an der Bildung des befruchteten Embryo be- theit^eo. während muu früher die Befruchtung ab eine CootActtt'irkung oder iiU Diffusiun vou g»-Io^ten Su1>stanKen ansah; ein Jahr vorher war beim Ttiier (Krosch und Kanin- dMm) von de Bary da:. Gindringen der Spurmntozoen in dos K: ' wiwsou worden. Pririgsheim zeigte femer dabei, »■ (ien Algen geschlechüiche und ungescblecbtlicbe
Kurififlanxung rL-gclmisäig mit einander abwechseln und wie die Spcci«M von der Aexuell gebildeten Spore aus durch eine Keilie von Wachsthumt^procetuMU und getichlecbt^loHen Ver- mrhningen in gesetxmtUsigem Turnus xu dem nämlichen Ansfpuig^pnDltte zurflckkehrt. Indem er so von einzelnen di«5*er IMIl^ : ""IhrÜche von Zelle zu Zelle forl-
f&brrndr \' lobte und Rntwicklung gal), wurde
er tMt Bildung natdrlicher sjrstrinatiwher Abtheilungen in dem Gewirre räthselhafler Formen geführt, zur Äuf^iiellung bertiionittT Alten in diesen Gruppen, welche man bis dabin neirt nar nur nach der Urööse der Zellen nnten-chieden hatte. Nur die in diem^r Weiw beobHcbteten mikroskopischen Algvfi können jetxt aU wi<ut*n*tc hu fluch erkannt gelten; sie «bvbeii »cb vrie liiaeln uus dem Meere der übrigeu tiuch nbtkamiten Formco.
£r macht« ferner zuent die auffallende Wahrncbmong,
r, Voit: Nekrolog auf Snlhaiiofl I*riruj)ihtim-
183
Von Wichtigkeit 5in<1 ferner die umfangreiclien ünter- nngen nber dttii Oliloropbvll, in welchen er das spektro- iAoplM:Uc Vyrhultc-n dossellwn, sowie die Einwirkung de« di- D SunnenlichU auf diis^lhe pHiflo. Kr sah in diesem ea FarbsUtff ei» Athemurgaii und ein Schutzorj^nn des Proloptoiftnivt Ke|<fn die Wtrknng de? Lichtes.
Von f7ro0»en) lnterei>se war der Nachweis, d&ss die Zellen d«r M<HKika|K»eIn, sowie die ihresi Stieles unmittelliar zu den fadeiifVrniixen Vorkeimen und 7.a den beblätterten Moos- ptUnxen atL■(wal:l|^!t^n k^nufn, wobei also die generative Sporen- liilduni; ^l»or^p^llI»t^en wir<l. Er bat dnrnn spater wicbti^e aH^aieine Betrachtungen Ober den Öenerationswechsel der Th»tlophyt«n und deinen Anflchliise nn den fienerationswechsel der Moose |^•kn^pft.
Endlich hat rr Aber die Ab^on<b'riinK vnn Kalk an ge- WiMwn l'fUnzen, z. B. den Cbaruarten bericbtel; du aus wiMrigen li&sungen von kohleuMiurem Kalk diese Aosschei- dofi^ nicbt KtattHndet, so niu^ste sie durch die Lebensthätig* keit j**ueT Gewächse bedingt sein.
Ein groswa Venlienst erwarb sich Pring«beini durch die 1858 erfolgte UrÜndnog der Jahrbücher fär wiääemichaft- \ackm Botanik, welche er bis itn Heineui Todi* leitete; flKniMj darch die Ürnndung der deutschen botaniMchen OeKcllschaft, itttn ständiger Präsident er war.
i'riagshuiui hat we^^eutüch dar.u beigetragen, der Botanik lim bo^utig^ (iestakung zu geben. Immer sind es Kragen um allgeuicini'r Bedrutung, welche er durch scharfe Heob- ndttnng und kritiiiche Betrachtung zu losen unternahm; •sne ArbeiUHi itind dauernde Fuuilameote für die Wissen- «itft gimmnUn.
184
OtftMtHcJt« SUtunfl com ^, Märt t895.
Josef Hyrtl.
Mit Josef Hyrtl. welcher am 17. Juli 1804 im 83. Lobens- jabre auf seinem Liiud^uU' zu Herchtrtldsdorf Im»! Wien ge- storben ist, iat ilcr letzte Vertrobvr der bernhmlnn Wiener mediclniichen Sclnile dahingegangen. Er war einer der er- fahrensten AimUtnion Äi-iiier Zeil, und ein uhdbertmffeuer, seine Schüler begeiMtemiler Lehrer. Schon wülireml win<» Studiums nn der Wiener Univenit^ hatte er eine Voriiehe ffir die Formen der thierischen OrganiRatinn; er mehnete nich durch eine seltene (.itwchicklichkoit in der Prüpnnition der Tbuile uua, aodam sein Lehrer, der bekannte Aniitom Berre^t, ihn xa ueinein Protektor machte. Huld naeh «einer Prniuotion wurde der 2C>jutirii{e Gelehrte ul« PrttfeaBot der Anjitiimie an die Prager rniverwitÜt gerufen und erhielt dann nach dem Tode ¥on Berrex desnwn Stelle in Wien, wo er bi» ä« seiner Knieritirung thätig war und in hütchsteu Khreu stand.
Hyrtl bestuis eine nrnfofiaende allgemeine Bildung^ er war ein gei.<«tvoller origineller Mann, schrieb ein klaäsi«chi« Latein und sprach gewandt viele neuere Sprachen; in der Literatur und Uescbichte der Medicin war i-r wie Wenige bewandert.
AU feinainniger Beobachter bat er die fast abgefiohlos&en erscheinende Anat-oraJe de» Mctiscbeii tini eine grosi*e Arixahl neuer Thatflarlien bereichert, besonders »her die vergleichende Anattiniie, welche ^r mit heg runden half und in der «eine zahlreichen Beiträge sich in ihrer Bedeutung nur mit denen von .tohanncs Mftller rerglpichen laanen.
Von ganz betfonderer Wirkung f&r die Auffhroitiiag ttuatomiächcr Kenntniiee sind seine klaatuRchen Lehrbflcher geworden: do» Lehrbuch der Anatomie de* MeTi»<:hen, wtd- chen St) Auflagen erlebte tiod i^ein I^rlirbuch der t4^pogra)(hi- Achen Anatfimie. R« war in denselben nirbU mehr von der gewöhnlichen trockenen Aufzithlung der Theile 7m bemerken.
f. Vhit; Netnittij nuf Hermann Hflmhttlfg.
185
▼iclmehr dftrin die Formen in klarster plastischer
Udhk XU einem lebendif^eti Ganzen verbnnden, das
die Vcrwebnnf? mit hiitoriiwbeii Daten, sotrir dnrch
die Uerrorhebang der ph^tüiüloffiaclien ßedmitung das Ichhafte
Intrmwc dei Liesen «rweckt.
Er war ein Meint^r in der anatomiAcben Technik und noc-h jebtt werden sciiu- Pruparntp, nuinentlirli -«»ine Injeclinnon 1 der frinsUfti (HutjyefiUs**, aU knstbnr« Objecto in di»n ana- B tnmUchen Samnilinigen antlwwuhrt. Hyrti wird stete zu den H gmchick testen Anntonien gezählt wurden.
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Hermaan von Helmholtz.
Mit Herniatin Helmholtz wt der berühmtes*^ und Im*- tendstr Nalnrfnrschur nnaerer Zeit, welcher auf vieh-n Gebieten, in der Mathematik, l'bysik, l'hvüiolofpe. Philo- «ttpkie lind drr AeAthetik, giui/ neue Ruhnon ^«'phnet Imt, ^iHtrivden, üpbersehon wir jetzt das vor uns abgefichlosAen liogtode Leben und Wirken dieses niüciitif^tiii Oej-^ti», ho gewahren wir, wie ton frfihewti'r Jn^ond an in ihm da» er- kenulnart wo» »irh später nv ^lanxend entfaltete, wie er mit eiMr wund«rbar«*n Klarheit die schwierigst*?n l'robleme er- fbHte and dun'bdachte nnd mit unerreichtem Gesehick dem Esperimeiii xugiiniirlicli machte, bis er dip Liisung K^efniiden katbit, «o weit «U m ülHirliaufit möglich war. Mit Khrliircht UDd Dankbarkeit f^edenken wir seiner, der trotz alier äiisser- ÜcLen Aurrkennung und Bewundernng stets ein schlichter \tachindm\et Oclphrtrr und edrlge^innter Mensch blieb, und nnr nach der Krkenntnii« der Urnni-hen der Dinge und nach der Wahrheit strebte.
Vrr Leben&g&n^ von Flelmliult/, ist in der letzten Zeit mt oh noil iu so nirxU^lichfr Weime |j;e.scbildert worden, das8 ieh bitf nar eiiMn Ueberblick Über »eine hnupt^ilchliehnten ltfi4anf|en nur <Wm Gthirtn der Physnologi«> f^bnn will, um
186
OegttäÜAt Süßimt nm JR. M*n JSM.
ow die Bedtnbuig des For^btra ond D«tik«ni nocbowlc Tvg«g«nwirtiKea uml ihm aaek tob Seite aaaarttr Akademie deo KhaldigQO Tribut der Vcrtfanmg dafXQbrmgw.
Für AIl»f Vftfr ach begreifim and logiafih eatwiekoln ti«4, zeigt« er «chno ab Knabe ein« Turliebe und ein aiw- gqirigtw Tatt!at. für die Säfae der Geoioetrie and dann ftlr die Lehren der Pbj-aik. Rn ist fdr dif» WuMetuchaÜ ci^_ GlQck zu nennen, dass iKro «eine Mittel nicht (*rLaubien $ic^| akbald der Physik xntuwenden, sondern da»« er Torent Mediziner wenifii mitfstt«: netr und com Tbeil die «richtigitm ■einer Arbeiten würeu sonst kaum en(«iand<!n. So «urdu ff_ KunSchat xu derjeai^n medicinischco Wiesenwbaft gcHlhr welche vor AUeni sich mit der KrkUirung der Krttcbeinutiije befn»it , zu der Physiolot^ie, und run da ent «päter den rein pbynkiilischen Vor^rtf^n. Den weiten Ueberldic Aber andere Wi!«ens);cebiete, sowie die Neigtuif; in pbil<
; 1 ! -her Betmrbtnnif vcriunkt er dor '"'
,. > Beyjebiiugei) tn d^r l'l)ilcili>git>. \ and Pnycbotogie. Aber ancb fQr die PhvMolf^ie war es ei» Glück, diws ein m> grostes Talent ffir Miitheiuntik und Physik sich ihr widmete und zwar zu einer Zeit, wo eint« Mefi^^_ tifiT wichtigsten |)h}-Hikalii^hen IVibteme der LSsiin); harrte^H
Gfli war aul' seine Entwicklung sicherlich von bestiminen- dem KibHu^, daaa er aU Lehrer in der Anttumit^ und Phyiidogie Johannes iMüUvr fiinil, welcher, obwohl er noeb längere Zeit in der Lehre von der Lebentkraft befangen war, doch die Lcbt^n^cvorgTinge durch H«*<>liiirhtuJig und dar den Versnob tu erfunichün trachtete iiud dadurch die neu Physiologie anbahnte; er stellto z. B. den kün-itlichen Kf>b| köpf Kur Krlftuteru4ig deit Zii:ttanilf*kouineii.f der ^Uuume und wagte es xuerei Ton einur Physik dt^r Norren xn ftprceiiB Es ist gewii» kein Zufall, daas sich um diesen ätusrni regend wirkenden Mjmn ao riele tolimtvotb* ond .Iflngvr sammMten, wie Henle, Schwann, du Boiäi-Kryinond.'
V. Fort:
' mnf n^rmumt IlflmhaÜt.
ist
Virchow, HelniboltK, lauter spätere Koryphäeo der Wwwtuclmft, wttlohcn mui vorzugsweise den Aufiban der KbTiiolnf^e in physik&Uscher Kichtuntr verdankt. Die Melir- I nU der Freunde fand sich auch im LaUirntoriiiiii des B l'hyvkers OusUv Magnus« des Meisttirtj im Exponuii^nt, sowie H in dpf phyj^ikati fachen Gesellschaft /usainmea. ^^_ Nach kaum vtillendetor Lurnzeit an der llniversitilt be- ^IP&o Ht*liuboltz in beni«rktiUiiw»rLber Weise wissenHchaflHch «ich zu beschUfiiKen; stets waren es Frai;en von principiellor Bedeotoogf denen er Bieh zuwandte.
Er arbeitete- mit einem aus meinen läniparunKea ange- ■chftSten Milcroikop eeine Dissertation aiu, in welcher er den fQr di** rlattiuligfin Hilfsmittel nicht leicht 7.u beobachten- den Zusaumenhau^ der vorher von Ehreuherf^ entdLH-*kt4>u OangUenrMlen mit den Nervenfasern bei wirbelloHen Thiercn «cb«r nachwie»; es hatte xwar schon vorher Etemak diesen SSuMiiLmeahang beschrieben, aber koinon tilauben gefunden. Mit ditter Erkeantnis^ war zueilt ein Au&chiosa Über die Bedeutung diener Zeilen als nervOse Centralorgane gegeben. Später hat sich Helmhoitz nochmals mit anatomischen Auf- gaben hefiunt: mit der l^chreibuug der Kip|>i>nnm8keln für die Atbtmbewegungen und dt^r üuääen>t äorgfiiltigen Beobach- der Fonn der Gehürkuöchelcben uud ihrer Gelenke. Gn folgt« die Abhandlung ilbtT das Wesen der FauLuiss ttnd Gfthning. Schwann halte durch ingenieuse Versuche gvxeiflt, dsM keine Gährung eintritt, wenn man gi'glühte Laft 7. /.nlrelen VAtutt, und dass die Hefe-
«elUia ^.v ^. ,>-.»-.; iv. -...irung «iud; Uchnholtz that Liebig llilieRÜbcr dar, daai der Sauerstoff keinen KiuKuffi aui die F&uIciiM bai; er drang aber nicht xu der Krkenntniss vor, din auch t' ' ' **' -uisnieu die alleiniKo UrHache sind. In dn> iie' im encyklopiülisijfien Wörter-
hneh d«r »»dicintachen WiMenschafton vennucht« er ans den ^m*" rvriMifvnideu wenig genauen Daten dber die Koblen-
188
Off^tiiA* SüMvmf M« JS. Marx t906.
Jnrnanfhridnng mn] die Sanentoftuifbahob? li den in ibni im Ta^ verbrmnnt«ii KuhtensUiff nnd W'mmKntnf m htfnAntn uad danuu die im Körper rntvi^cte Wimi^ menge tn cntneliiDcn; w kam dabm aber docb m nü Wertli (3J Mill. W. E.), der «lir wohl mü d«« jHsft kannten geoAuen ZAht^n flb^reinittiiDtiiL
Zu der Studi(a»it ron Uetoiholbi triir«o iMfcwiat dift meifUn PhjsinJogen OMitNcfaUmd*, in Folg« der oitaetig omtarphitcaopbifchen Richtiioff, Anhinger der ht-kn b«aoadcmi aii«rfi)nchbar«o Leb?D»kr»lt. weleke di« Lvbwi^ fta^fin^ bedügeo and ditr physikaliMbeii noA KräA« der anorgMUteiwfi N'atar befaemcb«« mlUe. K. B. \\ b«r w einer d«r Wenigem der bevooden dttimuf dnag, KrklintBg dar Leb«iif>eraGb«nai^s«n saf Qnrtid dvr Beok long and de* Vertachs wie die der phrabüiaeh«« Pnnüt tM fioden und die unfruchtbaren nfttn i bbowea ta TerlMwn. Rin Geiirt wie }i - it
Bofth den t'nacben »ochte, konnte ni-; > Ai
noges ancfa nicht nifrieden geben. Er eHunnte bdd, das die Leheaikraft in Widrntprmli »t^^hr mit d«n Gneti nn der ErhAlfemg der Kraft. Di« Erkenntnis dieiei 6 tnttm iu nicht, wie man «o binfig naeint, eine Rmagiraaehsft unaecw Jahrhunderts, sie ist virlmrhr M^hr alt, man wM/tt §mk «agvo, m all ab ein« erklän^ ' ^' "Tirviasaaschaft cm- atirt: Leibmta hat daa Oejefa gek^ > es int
durch Daniel Bentonilli fUr die (knab bekanafcen Kr mit aller Sicherheit bewiesen wnrden. Was in ai»«vr hintugekommea iat, da» tut nicht die Erkenntnis -U «elUit, eonder« die AoidtfaDung destetben auf ö ^»&iigv, «eich« man durch die Fortochritie dtf Wi neu hftt keoneo lernen; dadnrch erfuhr da» Mdkon b^amto Q^tfU Mne Verallgemeinerung, namentlieh aoeh aaf die l^beaeTurgttng«. K» iil gewi«» vnu Bedeutiitig, da«» m vor» KOgli«h Kwei Mediriner, JaHn» (Inbert Maj«r und Hermana
». V*k: KthnlOff auf Utmnnn Heimhole
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IlrlmKoltat, wnr#n, welche zn gleicher Zeit, im tirfühk rler AWurditüt d«r ÄDiiabme einer wi«r t*iii pflrpßtuam mobile wirkt^nrien lifbenifikrart nnd in dem Be8trebt*ii ntich liif LrbeuHenclietuuugeii auf die bekäuiileu Krätle der leUoeen Nfttnr xurttck7.nfQbr(!n, lar bestiinniU^n Formulining dra »11»' VoTfcftagi* umfassenden Naturgesetzes gelangtfn. Ervterer hat btitionderB die UeKi«thun>f«'ii der mechaniflcben njid iiucb der c}iemi«chcn Knorgie rur Wärmebewegung erörtert und dos m«chantäche Aequivaleat der Wärme gemessen . letzterer hat nocb din «tAtlirhi* Kl^kirtKitiit, dte magnetischen, gul- Tttoiechen and tlicrmoeUktrischen Bevregungen in das ÜPisetz •ufgvoommMi. Ueliuholtz bat in der dunkwtlrdigen TiHoh- rede l^i der Keicr setue« Jubiläum«, die man immer wieder mit gleichem GeonsBe Ueafc, in einzig d&'^tebeudür Bescbeiden- faeit gf^ctiildert, wie er die von ihm aufgestellten SiUze rii^ttich ftlr schon Inkanot gehalten babe. Unzweifelhaft »i m aber, dass bald die Wirkung derselben eine mächtige w mid TOD da an die Aufmerksamkeit Aller auf jenen ZcMUDinenbang der Kr&fle gerichtet war; uuf die Fh>'siulogie bat die Anwendung des Uci^et/.ea umgestaltend gewirkt^ denn Tue Am liU b^gimnen mit vuller Zuventichb di« An.stn^n^imgrn
^d» LettennTiirgange durch diui bixperinient zu erforschen. Heimholt! sncbte in seinen nächsten Arbeiten Beweise |lr diQ üittigkeit de» Oeaetzes von der blrhaltung der Knergie ■r die Lelwnwrwbeinnngen zu bringen. IVeoQ die Mu-nkelkrAft wirklich von dem Stolfwechtiel o4«r Toa der Zenietzung complicirter chemischer Verbin- dmgen iu einfachere berrfibrt, und nicht von einer sich «tete au* Kich HtUmt erzeugenden Lebenskraft, dünn inii8Sti* ■HU im iiHmtenden Mu«kel einen Verbrauch gawiäHsr Stofiv and d> '4 von Zer»et2nngäprudiikten finden, hu'
ToiBer ....;- -:...■ .^icbun erwiecien, dass der arbeitende Menucb mtkr Sbmmtoff rerbraiicht wie der ruhende, aber ftlr den ■olirtau lluakel wiu* din« niebi dnrgethan ; HetmhultK erhielt
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fteffenüieh* SÜMmäf wem M, Märt t89S.
vm dem tetanisirten Muskel ein« VemiehruDK <iea in Alkok lOfttich«n Tbeila der FleiBchbrQbe und eine Vernitnderun^ d« io Woser lö»lichen Tbeils. Welcbe 3tofff> ditbtM M Betrftebt kommen, vertuocfate er nidit zu eatächeiden; enPI luiig« Zeit darnftcb erkannte niao, dsss bei dftr Miukeltbitig- keit der Zerfall des stickstotfbaltigen Ei weisse« gewöhn lid cur in geringem Grade erhöht ist, dass dagegvo von ätickätolffreieii StüSbu. P^tt und Kohlehydrat, sehr b<*triihch lieh mehr zersetzt wird.
Der gröa»erfli) StofTzerHfteung im thatigen Miukel mc eine grossere Entwicklung kineHHcher Energie eoU<j>recti und dies bewies nun auch Helmholtz dnrt;b den ther el'^ktri»cheti Nac.hwetä einer höheren Temperatur des mta^ fichnitteneu {«tanittirtcu, nach antuen bin keine A-^' * l^'jtie den MoskeU; im thütigeit Nerven dagegen war . r
zu bemerken. Er wandte hier zum ersten Male für die Unt auobong physiologischer VorgUnse feine ph\<iikali^he App rate an^ iu deren Ertiudung er, wie »ein Kreund du Keymond, eine lo grone Meistencbaft zeigt«.
Iji folgt« die Uotersuoinmg des Verlaufe« der mechal !)cben Veräuderuiigrn dw Muskek wabnmd einer Zuckufl mittvUt dfM Myugraphionä. Nachdem Carl Ludwig diir die Aufzeichnung der Schwankungen des BlutdruckcM durch da« Kynio^ruphitin die graphische Methode in die Pi' ' ri^d
eingeführt hatte, iie^is Uelmholtz den znckenden M liff
Contnu'tiou auGtehreiben. Die Zuckung de« Mu«keU geht (w Rcboell vorQber, daaa man nicht im Stande ist ihre Bin?! heiten mit dem Auge ku verfolgen; indimt er nun den Muxli mit einem Hebel in Verbindung iietzte. der die [tewegul auf einem raach rotirenden bem#itim Glat»cylinder anfzek nete, gelang n« die M rvR mit atlf^n ihren VmtaiU
erhalten. Da« M» l-i .. i-t einrr der Muitreicfasten
Aui^h einer der wi i Apparate der ut^wienden Pb)
bigin. Späirr kam Hi'lmhott/ nochraalr auf die Vorgia
r. ypii • Nfkratoff anf Utrmann UHmJufh:.
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Miktkrt -/.urOck \m der L'nteräiichung deä Tuns wclcbeo man im eontrahirteu Muskul waltr^cnomnien hatt«; er that du-, Amm die dieitom Ton /ukomiuende Anzahl von Schwing- angvo der R«izz»hl iintspricht, d. fa. diLss daM Gehini, weim m dareh den Willeu einen Muskel zur Ztunmiuenzichun^ bmgt, dem Irbitcren ll>Va R<^iz6 In der Secunde durch den Nerten suBoodet.
Oftnui schlow ticb eine der denkwtlrdigittön und geist- mohcten Arbeit«» an, die Me£»in(^ der FortpHiinKiingsge- !•■ '.eit der Erreming im Nerve«. Man dachte acb,
dat^ M..^.-o (^flAchwindi^keil eine ungemein groaie sei, so ^^ros» «i« et«r» die des liicbtes oder de« elektrischen Strutnetü, du man {^Uabte im Moment« der Berührung der Huut auch die ttoBpfinduDg zu Lalwn oder im Momente der WtUensaotiou aneh ecfaon die Maskelcnntmction wahrzunehnieii. Selbst .lo- hanor» Mollrr, der doch den Ausdruck , Nervenphysik* xu- iir«t j^bmuehf: hatte, hielt eine solche Messung weisen der K3rce des Nerven ffir unmöglich, und lo Jahre diirauf war di4««Hbe auf xw«i gnnx Ter^chiodeuo Weisen durch HelnihuUz mit aller Sicherheit durch|ceflhrt Zu der ersten benutzte er die galranci '" Method»^ der Messung k!ein.ster Zeit-
fchaiidMin ron < : xu dt^r zweiten die Verechiedonhoit
dai Bdrinnea der Moaketcurve» am Myo^raphton bei Reiz <* :t m'igbVhst weit weg und nahe am Muskel; beide
V "^'Ven tu den feiu!»t ausj^edacbteu und genauesten
ü' '■• Da »ich diihei dir Kortpflanz»ng>4|eschwindig-
k«t im Nexren nur zu etwa t-tO Meter in der Secunde or- gab, wwtMitiieh geringer wie die vieler anderer Bewe>^mgen, •« kan man zu der Vorstellung, da-» im Nerven verhftlt- wmmikmg gnmf Wider&t&ude entgegi^nstehen. In gleicher W«tee wurdi? von Heimholt» die Geschwindigkeit liei einer Brfribewf t"'* " '»meRsen d, i. die Zeit hei der Leitung der &n|fimg om iteiuibeln Nerven durch ein nervige«
OealnktiVAii auf einen nifitori^chen Nerven und den Muskel,
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tHff*mtliHie SiUun^ WM JV.
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welche Doch weMmtHcb länger iit, «U die der Leituuit ii^ NtirTf.'o; die Vor^ilniSc in den Ct!nir»lor|{«oeD nehmen noch mehr Zeit in Am^mch.
Uie Krfiiidnug. «reiche Hetmbultx mti einem Scfal tu der ganxeo Welt lierüliiut i;ctimc))t hat, ist ilie den Ao|tel gpief^l«. Wir f«ben ftlr frewuhnlich nichto tod der jui Inuern d« Auf^eN, weiwihalb die Piipiliu schwarz 1:1 m-u^ihL,* ubttohl LicbtüLrahlen von deiu Aiigenhinteri^runde reflectirt_ werden. OumniiDg und UrUcke hatten eher duci uietischlic Aoge unter jrewiüMen I'iuot&oden lenchtea M'Ixmi; lielmboU wollte dies wiuen /uhöruru mit Hilfe eiocr t-infacben Vc ricbtoiig erlAotern und ni&obte sich dubei nlihnld durch deii Gang der LichUtrafilen kliir. warum mau fßr gewöhntie^H
Tora *, ■- -v^' ■ ,ie QichU wahroimtnf., and dAinii w«^*
die >] - fit, durch den Aa>^D«pief(el die NeU-_
baut ein« Aug«» uicbt »ur leuchten xu «ehen, ftonderu aiu alle £fnzelb(>itcu auf ihr zu (?rkennen. Es war ^w^ Inntruiueni i^escbaffen, welchem die AuKeiiheilkunde pfefurdurt und der leidenden Henaohbeit die grOaotteii Diennte f^fleiiftct bat. irerade der Uanttoiid, da« mehrere wmgß^ /.uichneUt ForM-her der Ltleung der Frage »cboo gafis iiabe rfiandoo, Heimholt» aber «ic in wenigen Tagen geftiodeu batte. zeigt seioe Geisteseigeiuchafteii iu hellsten Lichte.
l>ie«e Ktr ' gab offenbar fllr ihn den Ai
sicfa mit diT ' j^ie de» Aiig« niber xa be^cli
Kr |.rflAe znent geuan die heim MiecheD too Farben ei B(eh«ttdeo Fänpfindnugen, indem er nicht, wie ee bi&her ge- •ehehen war, Pigmeote mii»chU.s sondern die reifl«D Spectr fiirhen , welcho vi durch eine boKmdere Kinricbtamg Si>ectralappar&teK erhielt Er legte ao eine neue fcMte Unmd- läge fGr dii« Lrhro ron deu Forbeomiachttugen und klirte dtinn ilie erhaltenen Tbatacbaa durch die leboB TbomM Youug auegeeprochene Theurie, womach drei Or farlt»n evintiren« ai» deren Mieehoog dUnmtlicb« Farfc
im
id
9t Voit: Xtkroioff tittf fhruftnit JhlmMU.
193
«mpliiiJutiKvii bervor^elit^u, und wuniacb fenier jede« Netz- bftuU>lcmoiil mm droi Fiu4«ru boiftelit, von dtttun jode nur daruh eiue Untimiut« Grundfarbe erri^l wird. Auf lirund diäter Tlieune wiir an ihm uiüglicli vielu uiidurt; £i*ächei- nougon »m Aagv, £. H. die farbii^on Nnclibilder, di« 0>ulriifit* fiubea uud die Farlieiibliiidheit zu crklürt^D.
Kr ivutidW «ii'h dttun der Unteräucjiung nucb den Vor- gMigen im Liuiom de» Auges beim Sebeu in die Pernu uud in die NAhu, dttr HOf^eiiaunUin Accommudutiun , zu. Max und dtr Uotlüudor CrKtiiei' li.itUu äcUon die ijü-Saiuioti'.'^cheu Uvtii-xbildcli«-Mi a>u Aiige hiezu bwObd und damiu goschlufeen. doss dio vordere Linitentiüche Ujim Sehen in die Nübt* gewölbter wird. Hulnibull/. erfand ca (liewtu Zwecke diu Opbthultnouieter, ein Wtrumeut, um IrifU der Bewegungen des Auges die Durchmua^er jeuer ilcJiexbildchuii und die Lüidien der gekrQiuiuteii Flücbeu der dnrcli^ ■ '*' lieu den Auge»< geimu /,u beHfiuimcii. womit
di* V' ,. i iin Auge l>t*i der AccotnmodtkiidU äiehur
gisiullt wurden. Turner mui» in dieser Uichtung noch ec>- wähnt werden die Itebtimmung der Lage der GesichUliiiio, di« Krihittjuiig der Vor/errung der üilder iu Folg« der Ab- wtocKung der breciienden Klücbea, die Uarateiluug den Sehens mit Jtwd Augen, di« XurückfUbrung der Augenbt;wi;guugen nf das Prinoip der leicblo8ten Oriüntinmg im Kuum, die SielithuiuacbaDg der llbernoletten hiuhUtrublt^n ohne fluores- dnnde Mittal durch Verstärkung deräelben mittelät Prismen vnd Linsen von Quar/„
AUe «eine eigenen reichen Erfahrungen auf diesem 6«bMtB, sowiit die früherer Zeiteu »ummvlte Heimholte in Minen gruesen Werke der pby^o logisch eu Optik, lad ist Ott Hoiivrwu'k. Allen hat «r urtcbntalä nachgeprüft und ■it lüf^ntmr Q«w inten haftig keit uud Gerechtigkeit ver- •r. i^ wäre nur xa wttusdMO, daas wir in allen
^k^dta der Physiologie gleichwerthige Darstellungen benäsien.
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Mohi Prft* '^"'It wiTidoni duiH dein hl^h(lrl« Oltorffrin l)ii^tf»ii«cltt Niad, i-rlrhr 4 tHxIliiHKn. Indmi rr itii Cnrtj'whni Orgaa 4^ (Itnr^itiir urtitickU^ von wftlr.hfir jede Sah« ca iH-ilKiMMtmi Tnii ili SrhwinKtinj? Tcwetil witi «ftSrft «r ^ 'jit 1 -■' ■■■■- ' Mim luiimiiiur Siimmg roo T^— ^^rf^w».- ,, Ulli und iliit Iteiultirende xq t^mtm^^ v
dttiii «ir MthmiMtH»"'ln vun vewcliie-lwier ToaböW. ^ai GtW-
Um »i"l *»'iifbi*fd«nM In-tliuP! Otiertöoe, irtrii huigii,. -.m,,
HiBw, ftrliinll nr diu Vt)C4tl« dnr muiucfaUchcii SiwIiHliHiiiiift bU dahin nur g»nz iiiitoIIs«^ WftT. iJln An»rlmmmK diew» gra»m dektnseh "^rirTiiaa SliiNi» ' iimiM int ilim durch difr MaMfeak, da dii. \A , iil'l lit'K.'lKlerU'n K&nipi lUxniiäti^B lt
Bayurii i*rniiVl"!^i^ wordon.
Kr «liidir»« wxirtiin 'li»' l'r«iu'htt d« CoiMo»»ia DU^nun/ dfir TOii«' Mu» w&r bi« dalim d«r Eiiitlrurl« diir ('oitMitiKriK (»ubttche. wenn di« Sek«q_ xaIiIl'h diir ^IdiidixiMtltfiMi Tl^De in einein ***-*irhcB Vi ZI ' ii^liKti; ul>t*r dnmlt irar uar «an«
Tn : litriiiiK ^i'fiindm. Helmhotks
Unacik« dt^t DiwtiiiiiiiiG inturniiUiranda Ton, ##klip durch HtflittAliiingan «wvier
r, FWt: tfekfulotj auf iierm*inn Uetmhoite.
195
DifiN Studien lenkten «eine Aufnicrkäihniktfit auf die Öetciiiclite und die Theorie der Siluaik; indem er die innen Ooiirtzniiieiigkdt der Ton)eit«>m nnd die Ite^eln der Mnxik ■lu Müineu Krfiihruu^eu ulileltele, hat er tüiiieu heätimmeiideu KnfliiM ttuf die Muitikwis^enschatt uui^^i^dht. Mit seinem anfergänghchen Werke der Lehre von den Tonemptindungen
19T den Höhepunkt seiner pbysiologi»clien Leistungen wenigHtoiiÄ '/.c'igie er darin, dass er auf den ver- aeläedewteD Gebieten, der Physik, der Phyatulogie, der Muaik und der Phi1u»uphie ein Meistor war.
Später hat er sich in seiner letzten physiolof^iecheo Arbeit noch einmal mit dem Gehl>n>rfpia : den Gehör- knöcfatdchen nnd dem Troraraelfell hefiwst, worin er die Bedeataitg dieser Gebilde für die Scballbildnßg aufs Qeuaue»to ■aninuidvnMiott«.
Bei der inteniÄveD Bescbäftigang mit der Bedentung der i^'- ^ne und der nervösen Centmlorj^ane för dos
Zu«Uu. . i'-n der SinnesemptindunKon und Voretollungen
wnnle er anoU auf da^ Grenzgebiet der physichen und pttycbi* ■dien VtirKringe geführt, zu der Krkenntniästheone. Es bietet
hier eine der Kingaug^p forte» für den ExperimentaLor, cb welche er zu dem l'syohi.'*ehen y.u dringen vermag; es wai Anderen »c-hon gelungen, das Verfaültniss der Erregungen de» Xerven zu den nachfolgenden EinpHnduiigen feetzuätellen. Ohne die Kenntnii«* der uiaterieltcn Vorgänge winl man auch auf diuwm Gebiete uiemulä zur sicheren Krkenntniäs der Wahrheit kommen, denn dos htoese Nachdenken führt hoch- I&glichkeiteii. &< wird aHerdin^s vielleicht .lahr- ircu, bis man in die8en eumplicirtcäten rri>ceii*t«n dv EHitfontaufitfaeorie naeh und nach ku einigen der näeh^tea Dn^ien gelangt« Uelinhultz ist einer der Forscher, welcher 11 diewB dunkl-^ n->'<</^ot)i^ mit leuchtender Fackel eintrat Bad «w den 1. mD der ßeobaehtiing weitere SchlÜAse
lug und dadurch der Philoeophic neue Vorstellungen brachte.
196 OejFf^hHkv S^jmmf nm A-. Mir: ItCk-.
Ib dieHT Wewt «ird wohl &tf immer ^er StSBriarschs. Tcldfeer nme TKitBifhm erkauit hat. vxki Äer besto Ixt«- pRt dcflvdbca sem and am gcägnetacfi «ein. pjuksüf^iiÄe Betfacfaimigca dartber anzsiteflen.
Ich «Dchte «HB den phväologiscbfs Aihötes t<v. H«b£- hcoltz damniiaiL. dam er äch immer hiäici« AcCemMD su^h« and äch allmählich zn einen d«r ndeeitäpiteB Fomcb«? ari Geiehrten estvickcJte: er war ein £Mner Beobachter, ein findiger Experimentativ. ein klarer tiefer Denker, 6a säue Gedanken auch in klacMcher Fonn darz^zst^k« TSäste. Sein Attwhen «ird in der Zaknnft äch nicht min-ief^ aocidem es wird noch wachsec. E» ist noch nicht d>e Zkl XU «ntficfaeideo. ob er der herromgeodste Xatnrfor^cher onüere^ Jahrhimd«Tts war; sicherlich aber ist er der nrnfiaäsecdste gewesen.
197
Sitzunf! vom 2. März 1895.
1. Herr C. v. Kl'PFFEB macht eine Mittheilung: »Heber <lie Entwickhinj^ der Kiemenknorpel bei Petromyzon EManeri,* Wird anderweit verotfentlicht.
2. Herr ÄD. t. Baeteh berichtet die Resultate seiner fortgesetzten UntersncbunKen: ,l'eber das Garon." Soll an einem anderen Orte publicirt werden.
198
Sitzung vom 4. 3dai 1895.
1. Herr RoBEBT HaRTIG hält einen Vortrag: nUeber den Drehwuchs der Kiefer."
2. Herr F. Lindemann macht eine Mittheilung: .Die Abbildung der Halbebene auf ein Polygon, das von Bögen confocaler Kegelschnitte begrenzt wird."
3. Herr H. Seemger legt eine Abhandlung des Herrn Dr. Julius Bauschinger, Observator an der k. Sternwarte: ,Ueber eine neue Bestimmung der Refractions- conataiite auf astronomischem Wege' vor.
4. Herr W. DycK spricht: „Ueber die Darstellung der Kronecker'schen Charakteristiken eines Func- tionensystems durch bestimmte Integrale."
199
Ueber den Drehwuchs der Kiefer.
Yua Bobert Uartlg.
^Va keiner deutseben Holzart tret«n die Erscheinungen Jm , Drehwuchses* tn so auffUltijzer und ho verschiedenartiger Porm »uf, äU bt;i der gf meinen Kiefer (Pinus silvestris). A. Brman') ernähnt die ältere Literatur und weist iluranf bin, dju« schon G5the in deui Anfäalxe «Uhor die Spiral- teDd«lu der Vegetation* sich darüber fulgeiidernia.vien aiw- ♦pn^bt : , Herr 01>ertandjägernkeister von Frit«ch äiiüiiierte Kni«' Augtu-t in Ilmenan, dasa unter den Kiefi>rn Fälle vor- kiioen, wo der Stamm von unbeu his oben ein« gedrehte, gvwandune Wirkung anullhme: man habe geglaubt, da man dergleichen Bäume an der ßrahne gefunden, eine äussere Wirkung durch heftige Stürme sei die Verantaasung; man 6Dilf itlicr derglcichfn auch in den dtchte^t^'n Forsten und es wiederbale sich der Fall nach einer gewissen Proportion, so d«B BMa 1 bis 1 V» Procent im Ijancen das Vorkommen Rchnen k&nnte. Solehe Stämme wOrden in mehr als einer Hittäcbt beftcbtet, indem das Hol?, derselben nicht widil zu 9ebeiten ««rwhnittmi , in Klaftern tjelcci wenlen krmnte.
.-V.tT ileij 11 hl' \-:\ \ '-i 1,1 .f
(>r nnd din dadurch
laAa^ ['rt'hGrij; -i-r Hüiiin«-* iir. S.t/-uiL,'--ri i- hte der Kgi Fr. Ak»-
\
198
A
'' ..:*■!/. nicht. Iiraiichliar sfi,
|| ,Aut-niJ durch ein heimliches
{\ I...I .ms ihren Fugen zu rücken
ij .. -iU'i Fälle von Drehwuchs Itei
M .-iiu llul/arten tift beschrielmn uii'l
, :,t.'i'ih'n Orte den Nachweis j^elieiert. . t-ii. über die sich seine Untersuchun^jen Wien der sehiefe Verlauf der Hol/fit'ier y ...1. AUenlings wird dadurch in den meisten
T . -ciiwiuhe Drehung herbeigeftihrt, die einer
•t ' •ineuduii}^ des Holzeä nicht himierlich ist.
...ulliische Erklärung, welclie A, Braun für diese
^cit ijab. triflft das Wesen der Sache richtig, wie
ieii nach folgenden Darstellungen erkennen werden,
. .(.11 im Einzelnen die Dinge anders gelagert sind, al-
^ieh dieselben dachte und nach dem damaligen Stand**
. i;iaromi»chen Kenntniss vorstellen konnte. Auf eine :ina- . .i.L^che l'Dteniuchung drehwuch?iger Bäume im Vergleieh . ^eradwüchsigen Individuen scheint >icli Braun nicht >'iii- .^ela.v«en i\\ haben. Mir i-l nicht bekannt. d:Ls.s in/wi-diei: ^«'11 anderer Seite der Drehwuch-ü eine anatriniist.he Bearl-i-i- i'.iUi; gefunden hat, und da ich in dt.'n letzten .laliren in den Be>ii/. einer Reihe von sehr interessanten dreiiwÜch-iiT^'n Kiefern geliUigte . so lag darin eine direote Auffijrlt.-ninL:. dieselben eingehender zu unter^uihen.
Den Ergebnix^en sehiike ich eine kurze liar^Eellung 'ir- UnteniUchung-materiaL- viTan.
Stamm I.
Im Fi»n>tamt Fri-i-ii.g iu-i MMiii-h'-n lii-" icii im .Jal.r- ISS'.t o:ne llTjüiiriiTe K:e!Vr V":: :>1,4 :ii llüiit- ":,d •'>:'■ < m . Bru»rh;''iu';.i-,;i\ir.i.i.'>-er 'ohü-- liii-d--' f;i!l-.-:.. WfU-ii- ]>[. /■;::.
"i l;»0«.ii'i: .lithre in; gt-M hUs.-fi'.e:. B- -!;»ijii(.- eiw.tci.-en 'i: i iaiut
» Hl l\»li;e einer Nnvlerh^'-niT <:er ir,ii->-n Büuine d;;roh ••{'. tii
B. Ilartig: t7theT den l}rehieuehM ttfr Riefrr.
201
Sturm vSllig freigijsUUt wnr. Der GinÜiue der LicbUtellaof? Hof Zuwachfii^rtese und Hulzbesch äffen hei t wurde von mir »rli " "i-r veröffeutlicbt.') Dieser Stamm zeigte sich sehr gtr. i 1;^ und üur in der «Iiigund drt.'hte derselbe, wie rielt«ichi jede Kiefer, etwu nach tinks,^) Die in 1,3 ni Höhe ttDtu4Muroeni* Queracheibe zeigte noch I<^7 Juhresrin^e und TOß ihr stammen die Unter^uchungtiresutUte Tab. I (S. 203).
Stamm 11. Etwa 20 Schritt von obigefo Stamme entfernt stAnd eine 30,5 m hnhe Kiefer von 60,0 cm BruäthöhendurchmesBer. Dieaer Baoni, dessen Beschreibung ich in dorselticn Abhand- lung') gegeben habe, liees eine ausserordentUche Manaig- hltigkeit im Verlaufe der Hol^raäcrn erkennen. In den ersten Jahrzehnten drehte derMlbe stark nach Hnka bis za 9*^ Ab- weichung rou dem Loth. Im 40&tea Hinge von innen waren die Fa*rni Inthrecht; dann bef^imn eine Abweichung nach rechts bis zn 5^ Im 70sten Ringe verliefen die Fasern wieder tolhrecht. Dann trat starke Drohung nach rechts ein bü zti 19*' Abweichung vom Loth. Vom lOOsteu Kinge ao nimmt die Neigung wieder etwas ab und zeigt in den letxttru .lahrzrhnten nur 10". Bemerkenawerth ist daltei, das» in dervetben WuchsperitHle der Drehungswinkel keineswegs in allen Theilen des Umfange» derselbe, duudi'rn an einem l^inkte oft erheblich grösser ist, als an anderen Theilen. WtoD man au» einem Bolzabsclmitt einen Keil abspaltet, so idgt die Spaltfl&che einen nnregelmüwig welligen Verlauf. Du Hotz derselben Wachsthumszone zeigt ferner in einem Baumtheile eine Rit:htung von 10*^, in einem etwa 20 cm dmrflbcr gelegenen Theile von 15 ^
I) AU^^ Wonl- a. Ja^xeitoDff 1889. ,Üeber den Lichtataadi- araacfai der Kietor.*
*) ,l4nki* im irobjectiren SiDno, d. h. fOr den Befcbaaer rei- Uafr» Ji« FaMra vca recht« unten atu-h Hnkii nnfwOrt«.
202
SUnng ibtr math.-pkft. Ctmtt vom 4. JM fMI.
Stamm Ili.
Eine 223 Jahrring zählende Kief«ni«Gfa«ibe «o» der PfiUXf die ich der Sammlanf^ des boUnücliai (lutitab dankdf zeigt in der .lugeod Link-sdrebuiig bij» tarn lOOi Jahr. Von da au tritt Kechtwlrrhiiiig ein. die im Mattra De- cenninra 11*^ erreicht. Abnabtue und Zunahme der Drehani erfolgen demlich regelm innig.
Stamm IV.
Im Jahr« 1894 fand ich an einer Sfigemfihle bei Kirch- ieeoD (Oberbajem) einen circa 5 m langen Kiefemblnch. ivelcher unten 76 cm , oben 54 cro Durohmesser besaw nnd auHseDrdenilicfa stark links drehte.
Am unteren Ülnde (IV), welche;« 190 Ringe zithlief be- gann die Linksdrehung rem Jugend auf schnell qnd völlig trU>ichmäA.<nkr /nnebniend bis xu 55* Abweichung der lothrecbton Richtung.
Stamm V.
Am obereu Ende deaselbeu Bloches xeigte das Hob
^fang an eine Mhr stark« Drehnng (15^) nach link«.
Dieselbe stieg nur laagnm und errdchte im letxUa Jahr-
xehnt 430.
Stamm VI.
Herr Profesisor Tnrsky au8 Moskau nandt« mir ror xirei Jahren ein KiefcmstamnifitQck, von dem der innen^ Theil, der wahr»cbcinlich trtwa 70 llinge nnifiu»! haben mochte, durcl Poljrpüniti vapumrins tvntüri worden war. Der nuch ge sunde Theil, der 1^0 Kingn ^hlte. lies in den innersten 10 RingMi völlig)' G«*nuIfiMorigki*it erkennen. Von da an begann anfange langwim, dann schnell muehmf^de tterht«^j drehuDgt die im let?.teu Jahrzehnt einen tjrad erreicbte, di die Fosom in wclligfni Vorlaufe, ali«o im Üun!hj*chniti toä 90* rings um den Stamm benuu liefen.
R. Bartüf: Othtr /fm Drehte urhA dtr Kitfrr.
203
Stamm VII. Ein 280 Jahresringe Keigeadoi, 8 cm starkem Lärcbeu- ita '. , Hm, utm den Österreich ii»c he n Alpen aiiinini^md,
^mi£ ..-. lielegcnbeit einer Forstauastollunj? zur Verfllgnng l^tetlt wurde, war 80 intortwsaut, diu« ich danuelbe in die Uutf^rHuchung tüinbfxng. Bis Kam fiOsten ßingn von looen tor '' ■' i-.eniTlaiif eiü vöUiß gerader. Vuu da an b^ann »1 : mg, die zuIKkI 70'^ errHctitt?. b^eil 200 Jahr«n
iKt der Zuwachs do aussemrd entlich geringer, to das» jeder Jahrring neist nur aii.« itwei Truclieiden Ijestüht. Rine vnr- Qbergehend« Zuwarhssteigcning im 110 — löO. LHhen.'^alkT I iit aber »ehr interoasant wt'^eu der spater in erwUhnenden H Reeinfloffiung der OrganlÜtige. Votti \hi). Jahrringe an trennt ^^Mh drr IlMUkuqjcr in älinliclier Weiso wie bei der Borken- ^^^■dung. Ya ent^ütphen liiüne, und die neu ^ich bildenden Holzringe Terlaiifcn nur no<;h wie eis Biiod spimlig um den Stamm hunim.
Stamm I.
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207
Uebcrblicken wir die an dun Stämuien I —VI an fl retenden DrehuoRsnvbtuuiceu, so erkeniiea wir xuoäclisl, daas alle KJe- fcre in der erftieii Jagend links drehen. Wiihr^choinlioli gilt dft* «Qch für SUnini VI, detvwta innerer HoUUidl verl'ault vrar. Vou 20. hl» 30. Rin^e au tritt entweder Otiradfaserig- ktil ein (I), oder die Liukddrelinng setxt steh iu t^eatelgertem Ür»d« iii der Ki»Igt' fort (IV und Vj, oder der Drebungs- wiokel nimmt ab uud gebt au« der Link^idrehnng in die Rerhtadrehung aber. Diese AeaderunK kaitu ttc\wn frtlbzeitig (U) Uiler erat nach t\vm I00sl:en Jalirring (IU) eintreten, Di^ \i,.^v,i,,. .. ,xier Zunahme der äcbrügstellung erfolgt enfc- «I _ '■-*^g uder i)ent>di!^:h sicli üudernd^ »n du^^ti auf
starke Ureibongen schwache and umgekehrt folgen (U). Der Dnbungxirtnkel iät am ganzen Stamme in derselben Zeit mcht derwlhe, kann vielmeiir nacli üben ubnebmen (tV, V). Auf iUd rerwbiedenen Seiten des Uiiumes ist der Winkel der Drvhung ein verÄibiedenvr.
r>a ßrauti den I>rohwiich?i in Bezicbnng zu dem Utngen- wAiJuthnm der Cambiolzelleu gebracht bat, üo Hchien e.H mir «ttnicM wnnschenäwrrtb ?.\i »ein, einen klaren Kinbück in die LängeiiTerhältniase der Tracbeideu bei gerudfaserigen und drehw(lch«iigen BSumen zu erhatten. Sunio*) kam dtin-h sdn* Hnteriticltiingen un einem llOjiibrigen Kiefern«tunim CO Jetu Ergebniwe, das» die mittlere Länge der Traclieiden im ttrvton d. h. im innersten Hinge am kUne^ten uud zwar snUr I mm lang »n, das? t\i*;>e Lunge in dett nächsten Jahr- ritif^trfl •ehnell Konehme and im SOfiion Jahre 2,60 mm erreicht. Kach dem DOateu Jalire blieb nich die Länge entweder gleich, oiUr »igte nur eine sehr geringe Zunatime.
Idi habe «chon für di« Itothbnche') und Kichte*) nach-
•» Priagilieim't Jahrb. VITI p. -iOl IL ^ Dtti Bols Jer Itotfabocbe. 186^ p. 26. berlin. *) Di« Vonnbinlanhoiiti'n in dar Qtialit&t uQ<i im tknatomitohttn Am im TiAUnhoiwn. la Fontl. nuturw. ZeiUelir. ISlii p. 'iSS.
206
Sitsung der iMath.'pht/f, (la*»e rem 4. Mai Iffftf^
gfimeeeOt doss die Orpanlänjje von einem gewissen Alter i vrii^iler libotnimt, nnd zwar bei B&nmea. welche im Bontnntte Iw^rani^ sind, frdher nln hei den dunitHircnd^n Rilnnion. Ni'uerdin^'s hat fUneis*) |»ffunden, dii^ in cin'mi ic«nii(r- wfich-Mgi.Mi llOjilhri^n Kipfernbratande liel Briistbohu die TrftcIicidenlaDfp* schon im TiOgiten Jahre ihr Maximum reichte und darn»ch «schnell ahniihm. Auch Bisrtog') itUititft die Abnahme der Or^Hnliin^e vtwB vom BOstun ^m au (tlr Fichte nnd Tanne.
t)uA ßrgebuifls meiner Messungen an dem rorixnu.'ichntib Untomnchungsmutenale ist ein in mehrfacher Bezichnfl iutereetiantefi.
In den boigefflgten Tabellen I — VII habe ich nio allein die Mitteilung^» iiu» etw» j«? 60 Einy.idmc»*im({nn, »in- dem auch die ^rÜ6Mte und jt^cringste Län;;e }.,■■_•''■-' f- ji'drni llol/ibirile Itctinth-n iich Tnu-hridfh tlt>r s Län^e, und w Iwdurflc einer ffromen Xahl von MenuDgen, um eint! brauchbare Mitteluihl zu erhiüteu.
Khe vir die Verhältniine besprechen kennen . m»1-1— auf di«' [>ftng« der Orgmue einen VItnQu«» anHÜbt^n, «r-i ea nothweadi|4. die ZelltheUuDfiisTuriyEänKe in der luJtiaLwhicUl des« Cutribiurarmuireli inH Auge in faxten, durch wcKli ' Initiai/elUtii n'Ib^t üiich vi*rmehren, Da d*'r tangtiutiahT Ii meflser der Ijiitialxvllen eine bcs^cbränkto UrfWw! bfwitxt, riiiiiu( iitil drr Umfatii^tzunuhme dea Axentheileä eine V< uiL'hning drrMflbcu riiilrrlen. Diw»r Vcrinehning bor auf einer l^noriheitung der CunbiaJsu'tlen. Allnrdinpt itftj nuMwrordeuUich wliwierig. diese Quertheilung in der Initii; »cbicht i^elbüt zu liwiltachten. iJa aber ' "'■- -kung ■US diT Inilialy.r'llc bervi»njfi;tinif«tH'n <n'v, < ^jci
KiflCsnitiMtiuKlM- . April-
^ Wach« and UdIi drr WtJMtonav und KichU. Rl>«nd 18M. tt»l
I?. Uarikf: ürfttr ihn Drthtrurihii dn Kiffer.
2(m
Kiefer aar eine ^eriof^e istf so dnrf man uu» dem Oentaltimg»- rtrhältnüw der Tracbüiden selbst eioen SchliuB auf dia CirOiwravffrhftttiiiser t\vT [niliiil/^lleu ziehen. Diu Qiit'rtheilun)^ crrotgt Ewar in der Melirfinlil der Fülle uDiiäbenid m der Mitte der Orffaoe, nicht selten wird aber toq einer laogeu luilialzvtle cur ein ganz kurzem S(;Üi;k abgeschnitten. So kommen Fülle vur. in denen eine Zelle von 5^5 mm Länge Jo swet Tochterzellen zerlegt wird, vim denen die eine 4,8 luni, die anderv 0.7 mm lang i^t.
\V ' ' inlich erfolj^t die Theilnng an dem Funkte der Ici: . wo durch die peripheriMühe Ausdehnung uuf
die Entiriebung neuer Initialzellen der gri)&7te Keix auHgeübt wird. Die beiden Tochterzelleu strecken flieh nun in der durtb die >^tellung der ijuerwand vorgeseicbueten Richtung an einander vorbeigleitend. (Fig. Uc.) Das obere Ende dar onterco Zelle wäcbet nach oben. Das untere Ende der uber«n 2A\f streckt ^ich naoh unten, und die^s Strecken ntruüocet nicht allein eine von .hihr zu Jahr /.unchuKMide t&og* der Organe r sondern auch eine immer steilere Rich- tung drr <^iierwfiudi'- In »»iner gi^gelM*ni'n (Jui'rHüchK vermehrt Äcb ahn die Ziihl der tuitialzollcn dadurch, das-s die Enden 4«r »nt Querthetlung hervorgegangenen neuen Zellen von obeo ood roa unten her zwi!*cheu die vorhandenen Initiol- wV ' rhieben. Kaat?;,') der dii^en Theilnng5]irozess
Hl . und gedeutet bat, ist durQber in /wi*ilV'I, uh
nicbt Ton Anfang ou die QuervrUude rechtwinklig 7.nr Längs- a«r der C . üen rtehen und erst nnehtrüglirh eine
icliräge ätc^-...^ i;< K"l'j» >j<« Lüngenurnchsthumä einnehmen. Ans meinifn Uiit . l i . -n habe ich die Ansicht ge- iroofieo, daM die Querwände von Anfang au entweder nach I r«cbti o4ar nach link« aut'wärtssteigend sind, fcis beruht
1 Ih« HtabtnliJaBKra im ii*ciuiiIar(iD HnUkCtr|ier der B&ume und 4t» latbaJÜMorie. Jo l^'Bff«hi>iiD'i J*hrfa. 1892 p. 631.
210 Sittung ticr mnthrphtf». CioMnc com 4. Mai IS05.
darauf, wie wir sebeu wor<]en. die KrHciiciniing des Dreh- wnclne» der Bäonie.
Üi*r Umstund, ila8s wir jedttr^ett di« ver<r.hiedeii^t«t Or- giiiiläu>;t*ri nt?bt*UHiiiaiulcr vortindeu, urklürt sich a,Uu durutit«, (tusB dieselben aii& juDj^en und alt«n Initialzellen eotät4tad«n aind, d. h. au* solchuii, die «bt^ii frat t'iut^ QiivrtbciluDK er- fahren haben, und »olehon. dir -«f-bon pino Itcihe von Jafarao Hieb zu strecken Zeit batteu.
E* ui uuu k'icbt vtirtttändlich, wcüalmlb ixi diro iononfteii Jahresringen die Or}^ant< noch klein sind. Sie sind an» jun^fou InitialAelten entaUmdeu. In den beigegebcnon Ta- bellen hübe ich auch die Orgunläiigcn d«K zweiton oder dritten I{in^;uH anf^e^ebeu., und wird man daraim emeben^ diiB» diy groe«ten Lungen nur etwa den dritten Theil der»^ jenigen Fn»ertünge erreieben, die in höherem Aller auflreteii.
Im weiteren Kntwit-klnngvgBn^e des Baumes oder Baum- theil«^ wird nun die ()rganltln^t> biKÜngt dni*ch die KmäbruDg deü Baume», insofern eint; iim;hhattige Steigerung indem WachstbnmEtgnngo do-! Baumes auch auf das Längonwachs- tbutri dt!r Initialzellen gOntitig, ein andauerndri« ^^io- kun dcH Bituntxuwacb.«eK uiigOnfitig einwirkt, wliiirend (rf^hnell voKI hergehende Stnigonmgrn oder Störungen de« Zu" WVohsea ohne Einfluas nnd. Im entgegen geiMtzten Sinne wirli nstfiritcb die mit dem /nwiich-^e verbundene UnifongHznnahmr' detf Baumtht'ilea. .Te whneller sich die Peripberie und der Cambiumniantel vergrösAert. nm so lebhufter erfolgt die 7»\\- vermebrung duruh <iutii' ' drr luit " '" ' -
nehnittwlter und die uiiti iv^eJerlr
berabgedrOekt.
Berechnet man den ZuwaebK^angunQuoräücbe t«ti*b? in den Tabellen die Spalte Über Jahresziiwaclw) und ver- gleicht ihn mit der Ulngf der Triuhfidm. tto tut einr Ito- zidbung zwischen beiden gar nicbt za rerkenueu. £iu t51- liger Paralleltamu« bestehl freilidi nicbt, aber dtiiu St^igm
M. Bartig; UAtr den Jtrehwuch* der IGcfer.
211
uuii Sinken d« Zuwachses fol^ nach eini};fer Zeit ein Zu- aebmeii oder Abnuhiueu der Organlänge in enichtlicbem Graiie. Ks wini uuiinjohr nucb veretäodlicb, woher es kommt, im unL«rn Tbeile einu» Hauuit» die Organe iuim^r er- faehlich kleiner siud, als höher im Stamme aufwärtä bis zum Krcicifnanwlx. Wir wiiseii, daäs die Zuwacb^prösse im domi- nircudeu, d. h. noch niclit untt't'drHckten Kiefemätamnie von oU^n nach unten zuutmnit und duas intibesondere der untere Staxntutbvil einen riel lebhüfteren QuerfliLcb erneu wuchs btwitzt» i« die oberen Schafltbeile. Schon ein Vergleich zwischen tn Siftintu^ttlckcn IV und V, die h ni von ein»itdrr entfirrnt ligen, xeigt den groaaeu Unterschied im Zuwaclise gleicher WnchüiKTitKibu. Am unteffii Ende des Stammes nimmt der |L'nif»ni: jährlich mit oiuem höheren IVuceaUatze zu al» in em o)>tTfti Schafttbi^ile, und die Zellvermehrnnf; durch Quer- tbciluQg mttw demKemäfl» »chneller Yur sich geben, als oben. InitiaifaBom •: ' .4oniit unten ein p^eringores Alter, iiu ubereu Stin )>■, Mud desuhiilb kürzer »U dort.
IvDterstioht luaa diti Or^anlängc an einem excentriitch ätammtheiie auf der breitringigen und auf der SeiUt »o ßberrnscht ferner die Tluiboiche, da^g «nf Mzivrvr die OrRane im Durcb^chnitt Itingur sind, als anf der en^teren. Am SUmmtitGck V hatten die Tracheiden •cbnuüeu Seit« die auf äoite 212 xitäunimengt'.^ti'llten iogvQ, «rtdchtf mit dennn der breiten Seite (Miube auch Seite 206 Tab. V) m vergleichen mnd.
1 it mir /H'WrellijM zu »ein, ila^ die lau^fäiunere
l_AufiLlc......»^ lies CambiuuiringeA und dem entspretibeiid die
eh settener wiederholende Quertheilüitg der Initialfa^ern die Cnach« der grüMcren Lunge der Tnu.beideu auf der schmalen äaiti? ' '^ .lUMM ist. Sio werden auf diener Seite älter, als aaf >' "ti Seite.
Irgend welche BeziehuDgen xwiachen der Organlängc Bdder Drehwficbsigkeit der Bäume läast uich aber nicht kennen.
212 Siliunri \ler mnth.-jihys. Cltuir mm 4, Mai I89S.
Sobo»!* Mte BraU* Bttt*
|
Alter |
Loltonica- |
Fuftr- |
Hltl«I»ii«* |
Niltullfci |
|
tneliMd«!) |
UschcM«!! |
ftlltr Tn^lMtd«« |
||
|
166 |
8,61 |
3.63 |
3.73 |
3.71 |
|
145 |
— |
— |
— |
3.74 |
|
135 |
ft.67 |
S.5» |
8.63 |
9,18 |
|
125 |
3.26 |
2.8B |
8.06 |
a.67 |
|
115 |
S.CO |
3,63 |
3.71 |
»,oa |
|
105 |
8.64 |
837 |
8,76 |
3,19 |
|
95 |
8.79 |
9.68 |
3.81 |
8,30 |
|
B6 |
».50 |
8.78 |
3.63 |
S.GS |
|
76 |
4,11 |
3.6f> |
8.90 |
8.39 |
|
65 |
4,00 |
8.96 |
5.97 |
8.75 |
|
55 |
8.84 |
4.01 |
3.98 |
3.49 |
|
45 |
S.U |
8.48 |
3,8 t |
8.30 |
|
96 |
«,4I |
8.70 |
8,66 |
3,38 |
|
25 |
3,18 |
8,64 |
3.41 |
3,38 |
|
16 |
2.87 |
8,85 |
8.n |
.!.96 |
|
a |
1,84 |
1.41 |
l,B7 |
M7 |
Die Gcrftdspaltigkeit und der aehräf^e Verlauf der HolzfaAem häoi^t vielmehr, wie dii> weiteren TnltfrHQeh' uiigeii «Theben bulten, vun ih'Ui VrrhUItntHM; ah, in wel- chem die beiden Qaortheitunf(en der Initialfa«iern zu einander stehen. Untersucht miiii uuf T{ui^;ential'M:bnitteii. wie viele der j[lngen>n. d. h. der micli riiuht »ehr ^teii aiifiteigendirn QuerwÜiide von rochto nach tinlm, wie viele von links luch recht« aufsteigen, so ergibt sich xunaobst, da« stcto beide Arten von (^uertheiliingen Torkonim<>n, dam abardaa VerhttlLniwt derttulben keiue'^wegs immer da» annähernd glelcJie tat. In den Tabellen I — VU habe ich in den letr.U'n beidmi spulten ttiitjegebrn, wie viele li^chts- und wie viele Linke Lbeilungen ich in dem betrutt'eudeu Alter vorfiind.
Vergegenwärtigen wir uo< dt« Wirkung, welche das Iritngenwacbtfthum der aas der Querilieiltm^ einer Inittal- fitöer herTorgogangenen beiden Toclit^TzeMeii auf die Uichtung der Kii5orri aa«jt1ben niu«, s» i«t ersichtlich, da« hri einer Qiiertfaeilung nach rechts das obere Ende der unterem ZeJle, indem e«, dem nnteren finde der t^bwetterulte auaweiobend.
R Jlarttft ü^r tien Drehww^ Her Kiefer,
2ia
rechts vorbeiwächot, eine Ablenkang nftch rechts
erhält, wo^ef^en das uotere Ende der obereo 8chn'cstcr/^lle
lui seiner Wrlilngfrung nach unten eine A blenknnpr niich
link« orfähri. Ein Biiara, dessen [nitial/i'llen öich von
_ ;ad auf ifflinor nnr in vorgedachter Weist' thoileo wArden,
bald eino Sohr^BWllung aller Fasern ron links nach
In den ertöten .lahr/ehnteo drohen alle Kiefern mehr oder weniger linkä, und dies komiuL daher, daaa die Zahl vr Quertheilongen nach links in den ersten Jahrzehnten amer aherwiegt, so %. B. bei Stamm [ mit 2-i zu 10 im i. liiug«, mit 21 zu 17 im 10. Kinge. Bei den im späteren kliot- geradfawrig wach^euden Kiefern schwankt nun die iil der Kechtd- und Linkxtheilun^fn je nach dem Baum- brtle und «rahrriiige, ohne ein Vorherrschen der einen oder andern Theitun^richtnnf; erkennen zu laflsnn. (Siehe Figur II.) \l gleicht s-ich aber die Wirkung beider ThcIIungsarten
-^ auf den Fasf rverlauf im GttnMU aus. Sehr iustriictiT nini U. Bis xora 20. Etinge xt^igt dernelbe starke Liuks- ihaxtg (0") wnd 20 Linkslheihmgen i^pgendber ITi Hecbts- heiJunge». Dann »fi'llfjri sich die Fasern mit dem 40. Ringe HenkrtH-ht» und zwar in Folge davon, da-w die Keclitiit heil inigen die U^berhand gi*winnen.
Im 6'>, Jahre ist die Schrügetollung nach recht*? 5" unrl «war in Folge der grossen Ueberzahl der ItechtitbeilunK'en ^21 r. Tcn 1H 1.). to d^n nnchsieii 40 Jahren (Iberwi^en rieder diu fJnkotheihmgen mit 20 ku 1({, in Folge denten Koiem die lothrecbt*» Richtuntr einnehmen. Von du an fibenricgen wiedi-r die UechUtlirilimgnn, äo das» die RechU- drefannff whr i4ark wird. In den letzten Jahrzehnten ver- ■•ich die Schr2igstelhmg wieder, weil die Linka- I n wieder überwiegen (23 gegen \'M.
S-iimm Hl erreicht die Linksdrehung der Jagend flut 6** ihr Mnsininni in Folge flberwiegender LiokHtheihingi'n.
2U
Sitjmttif der Mtütu-iJiyu. (!la*Me ruw 4. Mai SS86.
Vom 43. Jahro an Überwiegt ftlr alle Kulf;u:eeit die KocbU- Uteilung. In Kol^ij dessen ^eht schon von du au die Link»- ilrtThunt^ nus h^ in 4" Über, mindert «ich ininit-r ni«hr, wr- reicbt mit lü3 Jubreu die Seiikrerlit*' iiud <*i*ht nun in die UechtMlrubiiiit! ill>«r.
Stamm IV xeif^ von Jugend auf ein Ücbor«negen der LinkstbeiJnn^un und dem cnUprtxTbeiid tMue immer ^Ulrker werdende Linksdrehung bis xu 55**. Nur tm )>0. Jobre lindel einmal eine Al>«i<:bwüchun); dea Drehun^winkcU von 18" auf 15* «tjat und der lH'tn;öende Uolztheil lie*i in derTbat ein Üeberwiegen d«r Kechtfitheilungen erkennen,
KOr Stumui-stück V gilt do^elbn, nur mit dum t'nter- bchicde, da«s die Faltern gleich in den ersten Jahren s«hr «Lark tiukji (IT)*) drehen und dann in der Folge der Drvban^- winkel nur liuigxam grüff:c«tr wird.
Der Moskauer SUmm VI, desiteii innerer Kern dusxh Uol/.pantiiten AnrntOrt wurde, xoigt im 70. Jabrt <hon ein Ueberwiogen der lEecbtAtbeilnngv^n. da offenbar in den Torber- gebeiiden Jahn«hnten der Stemm a»ch ' Ir«>ht haU«,
und er-t durch länffcr aohallvnd« UeU-' der lkei:hta*
llteÄlungen in die seokruchte Fasen^luut; geUngca muwte. In der Kolgr Hlirrwugrn die KccbUlbciluugen su «i*hr, daas | nach dem «00. Jabre der Faserrerlauf nahiou ein boriscm- tel«r wvrd«.
Der LärclMtHtemm VII teistt bü com (H). Jahr« Gen^ faMngliccit it iu den ' -^baihnKMi.
Von da an ii'.>vi*«ii^i ^itt Kwcht ^»m-i i v< i»|^ . ?■• »«^ otr Dpm* oDginriDk«! aahKfKffh 70* aanneht. DäaMr Steoun irt' noch dadorcb iotmwnt, 4tm in den beteten JakrtiiiiiJ«t die Kmäfawg im Bmnmm mam <o gaan^ «nr, du» di« , Slivclraog dar liiilialfa—n nad daarit £a VBiBaliiiif 4m «•Ibaa in Qaawehmtt aickt gvaOgt«. dm Anftn—u 4m HoUeipOTi u TvritindMn. Der jU^tn UobhSirpM- laldate ,
A. IJoflitf: Vther thn fhrhieudu der Kiffer. 215
iclilitf9»lit:b nur noch Pin schmales SpirAlbandf welches den all«n HoLxtheil umschlingt
In den beigofagten Kignren ist der geradfaserige, und tinlcMlrebtiude Wuchs d«r Ki«fer zur Darstellung gebracht. Wt^nn DAch dem Vorxtc)imiden iiuch venitändlich gewurden i*ein dörfl?, wumuf die Abwoichungen des Faser verlaufe von drr »enkrecbtcu Kicbtuog zurückzufilbren sind, so bleibt es anderentheiU T5llig ouerklärlich, wenshalb die eine Kiefer bei ihren /elltheilungen in drr Initialscbicht vorwiegend nach df*r einen, die andere verwiegend nach der anderen Uiehtiifig hin die ticbrägen Quertheiluiigen au8ftihrt. Aeusaere KinflOft« scheinen dabei völlig ausgeschloeaen zu sein und isi höchflt wahrscheinlich, dass es ?ich dabei Irdiglich Bi iuncn*, iudiriduelbt und wahrscheinlich innerlialb ge- wiaier Grenzen auch vererbliche Eigenschaften handeU.
Xam Schlüsse mag noch auf eine ßigenthUmlichkeit uuatj>nii>*chrn B»tu der sUrk drehwüchsigcn StHmnitheile bingpwiptM^n worden. Bei fJeni geradfasorige« Hol«» tFig. II) «trttml uaturgisniäKK da» Wanner iu der Längs rieh tut ig der Tra- cheidi-n aufwiirta und der üebergaug aus einer Tracbeide zu der iiärhAt hffher «tt^rhenden erfolgt durch die mehr i>der we- nig*r K'hrüg stehenden Qu er winde. Diese »ind durch dicht neben einandertiiehondf Hoffcipfel auAgezeichnet, die aU Durch- L' r iU-it dienen. Die liängiwtindc sind ndaliv tipfelarm,
V. \.-U itnmerbiii die Tipfelzahi genügt, um eine neit-
Ikhe* Iic!W«gi>ng de4 Wa^ftere in radialer Richtung zu ermög- ticheo.
Der uuai^'mi^clif M:iti der stark droliwnr.h.sigi-u Kiefern irt Ulla dadureb uu^ge/eiehuet, daiN die Seiten wände mit fl&fLipfffln ebenso dicht bedeckt sind, als die Quer- *ind*». Diiratis ist wohl mit Sicherheit xo flchliewten. dam
J?. Hartig: lieber den Drehvuchs der Kiefer. 217
Figur II.
■ k
*i*n4ümti§m KieflMufcolB. 4 L«itansstnuli«td« ta rmdiftler, h in UDgcDtfatlftr ADtlcht.
Twgr. SO : 1. c TugntUualebt «iiiM kSrperlfeb dargestollten HolutOckM. Vlw
QBMwia4« »Mh nchK ▼i*r ■"!■ link* ufitelgcnd. Vargr. 2üO: I,
U Die Abbildung der Halbebene auf ein Polygon, das ■ von Bogen confocaler Regelschnitte begrenzt wird.
^^^^^^ Von P- UudemMin.
Pteeo
(K^lMn«/«M '- '!'•<•.)
£■ sind laKlrfiche Beispiele gonnu durchgeführt, bei ee fiicb um die confornie Abbildung einer contptexen Whttop mnf eine andere handelt, und bei denen man die Abbildongsfunction nU gegeben betrnchtet , um die dtirrh oe dargestellU' He/iebnu^ geonit^trisch 7.11 verfolgen. Vemucht man mon mjlchtfii Heispieleu undere fQr die IlHupUnfgabe der Abbildongstheorie (nßmiicb eindeutige conforme Abbildung eint* ^.-.'■.i".-.»n Fliichenätückes auf den Kiiiheitalcreia oder dir Hi; ' nb7.aleiten, ao iät die Auäb(.Mite eine Hehr
geringe; d«an die verlaugt« Eindentigkeit wird durch die Vr.rxirmgtiiigBpunkt« der »tndirten Function in der lieget geradR <la geai&ri, wo t>^ idr.b uro ein wesentlich neues Pniblein battdeln wQnk'. In manchen KäUen kann nuin inde»4en diei« SiSnuigea heben: und (\'\& an einem freispiele vollkommen 4ur«bxafnhreo, «rwhieu mir uk eine lehrreiche Anfgabe, der die folgenden Ausführungen dienen mögen.
L S«tet man « = z -f- »y, », =?5P — iy «nd schreibt die Oteiciiuug einer in rechtwinkligen Goordinaten gegebenen
A'»'.) = '^
l^
220 Sittung der math.-phys. Cifuse vom 4. Mai J895.
80 besteht die Relation
dt dr,
(2) 17 ~ ~ dl ' 3 «1 3 2
and aus letzterer lässt sich nach meiner frHheren Darsielinng in manchen Fällen die eonforme Abbildung eines von der Curve f = 0 umschlossenen Ovals auf die Halbehene (F^- 0) ableiten; es bembt dies darauf, dass in Folge Ton (2) die Function
dt] .de I
(3) dZ'^'*dZ'W
auf dem Rande des Ovals reell ist, wenn Z ^= X -}- iY einen Punkt der Bildebene bezeichnet.*)
Die Curve (l) gehöre einem Systeme cnnfocaler BIlipsen und Hyperbeln an, das durch die Gleichung
deHnirt sei; dann geht die Gleichung (l) Ober in
^ ' - i{a^ -X){b^—X) = 0;
und es wird
/ dt} i iJ*
(5) '' ~~ dZ~~ 4//«— > y(a*'~x{(h*'^)'äZ'
wenn e* = a* — ä*,
eine Function, die längs der Curve (4) reell iai; dasselbe gilt von ihrem logarithmischen Differenfcialquotieuten
') Verffl. Sitzunf^bericht der phya.-Okon. Gesellschaft zu KSnJgt- berg i. Pr. vom 7. Juni 1894.
F. lAmdmamH: DU AhbÜlkmo der JlalhebeHK tte
221
(6)
d tog 9' Hio^g
dJS
dZ
^_._.^, wo^=--^.
Kt^rer utt von X iinaMilinvoK: c*" »«^ irleinh . ^ . wen«
(7) t. =J-^-^^ = |og(,-i-K*«-r*) = |U|
«C
gweUt wird. Ej i*t voTthcilhaft v oder C als nouft Variuble etDfTefTihrt tm denken. Vermöge der Substitution
(«)
i(f + D' ^■ = ' + '^"-'
wini Iw'ltnnhtlirhM d« System conffnalcr EIIi|i.^(*n (mit den Brennpunkten -^ e) in der ^- Ebene filwr^efflKrt in iMn Svilrai f*nicentrinrher Kreise in der C-Eb^ne (mit dimi MitlW- pooktr C^'O); die zugehörigen cnrifocalen Hyperixiln gehen in die Kiwlienvt'ctoren der Kreise Ober; der Verliindun^-ilinio ditr Br«nn|iurikt« (doppelt ge/älilt) eotepriclit in <ler ;-Rhcne drr Einbeit«kreii;. Jedem von confociUen Ellipsen und Hyper- beln befp^Dzten Polygone, da» keinen Brennpunkt im Innern 0<lrr auf dfoi Etande entliält, t>ot((pric]tt ein von KJ»giMi cun- centrifchrr Kruise und d^ren liiidien Iiegn-nitef* l'ülyi^oih
KrBirecht oicb keine Seit« einen solchen Ke^eUcliiiitt- potygotu in« Unendliche, so sind ulle Winkel lui den Kckeu
Kleicb ^ oder gleich -^ . Bildet man die C-Ebeot- vennoge
der m«ichting (7) auf eine v-Ebene ab, m wird dus Polygon ir - v**rn-andelt, deiwen Abbildung auf ilie
. ...^ .„t- . ' nrist'jfi'el sofort.
B
aubge
Liegt k«in Brcnnpnnkt im Innern oder auf dem Raade dtrd abzubildenden Polygons, so hüben wir al»a
) Vcri|i. i> 13. Hultmfiltcr. Einführung in die Theorie i]«r watiiilm VerwudluhaftM. I^ipviK l8äS, p. ISÜ «. uad Taf IX.
222 Säzwmf der math.-fk^. Ciaaae tom 4. Mm SS06.
Hiebei bedeaten B^, B^. . . B^ diejen^^en SfeeQea. ,j« Axe Y ^=^r denen je eine Ecke mit dem Wimkel '— im gegebenen Polygon entspricht, wihrend den Punkten A, A^.. Am Ecken mit dem Winkel '^ zugeordnet iänd^ & m immer (9a; m = n-p4.
m> da» der Ponkt Z= sc keine singniire SteUe ^ d^ Abbildung liefert (wenn uicbt zn^Üg eine der Gräwen A^ Bf nnendliefa gn» wird).
2, Ist d»s gegebene Poljgon im Endltohea x*- schloä^en. wie im vorigen Falle, liegt aber ein Brenc- pankt auf dem Bande (efcwa £^=e), so betrachten wir
wieiier die durch (6t gegebene Fnnction —-,-7-. Da j.?er:
die Relation
(lOi w = « -r -'•
erffiUt t«t. Hl L^t die Function
~d Z 1— X-Ht 2 -^ Z- J. j z->; •
wo "ier re»irlle Pijnkt £" «lern Brennpnnkte ^ zrüi^forinet <»»!. flh^^rall 'aiK-h flr Z= x) holomorph. aUo eteich •»in**r r«'n.-tiinr.*n. Di- Verhalten im Brennpnnkte bedarf mr noch »»in^T Besprechunir. E.- be>teht für z ■= e .»ine Ent- wi.2kl-ini: «ler K>>rni
(in / — ' = f^iZ-F\ -h^. i/f A*»» -r
F. Limdtmann; i)U AbbtUUt*^ <Ur JfalbefKne ete.
223
und e» üi licniauch
ds I
^^t^ttZ
-f
.)
I I
2-Z-A
-\-f{^-m
wenD ^ (^ — /?) eiue «ncii |Mmitivmi I'uteu'/.eii geordnete Keiliv lii-tliMitet; iliv butmcbttfif Fiiiiciioti Verhält üioli aUu Mii der Stellt- Z= A' in der Tlmt nicht Mingulikr. Die Ä>>- biidung wird .Hooach dun:b einu Koriuel der fulgeiideo (iestiilt vrnnitlrlt:
(lOrt) i.^.(^^v^i:^)
V//(2— Äi) dir
K//(i?-i4.)V'2— ^
+ t;'.
t.i<*>;cn lii}tij(> Hrennpiinkt«' anf dem Hände de» l'olygoiti und cnbsphcht d?r Wcrth Z = E' dem Werthe «E= — r, M> Giideu vir iit gleicher W&as:
(18) m = «-f-2,
8. (Cs kann auch rorkuiuDien, duäs der Brennpunkt oiebt Dur auf drm Kunde des Puljrguns liegt, s<m- »m auch eine Ecke desselben bildet; das Polygon cbeiiii daiiD lüngi« eint« Stücken der reelleu Axe, daä vom b«tr. Bn^nnpiinkte ftUügcht, auTgiKchlitzt. Die Entwicklung (II) ist SU ersetMoi durch
s-f = i,(jif-ß'j» + A,(^- /?)» + ....
Wir findea in gleicher Weiset «J* die Function —^-^ an der Stelle Z ^=^ E nicht unendlich wird:
(«3)
m
n+4.
orui l..ir(^+TV— «»>
dz -v C.
224 ^tUung der matk.-pltyt. Clai*e row 4. JÜm ]ia*5.
Sicid beide Brei!D]iuDkte Kcken de» PoJti!uxis<. vo wird:
(I4> w = « + 4.
j y Jnz—A,'
Liegt ein BrenDpunkt auf dem Rande, wihivnd der andere aU Ecke auftritt, ao ist
(15) m ^ K + y.
.1- ^ I , 1 t u ..fv/Zf^-i^i» dZ
loa) Io*rU-rlr* (•) = (. I -;r-- — .-_= -' .
' ^ j VnyZ-A,i} Z-E
4. Liegt ein Brennpunkt im Innern des abzu- hildenden I'olTgonü. so gilt wieder eine Entwicklung der Form (llj: es bedeutet nun jetzt K einen Punkt im Inneni der Halbaxe Y >• r. Damit die Function (ti) auj dem Kande reell »ei, muss dann der conjugirte Punkt f, in gleicher \Vei:ie al^ .singulare Stelle vorkummen: es wird also:
(10) m = i( + 2,
(lOaj I.)g (*- + r>-^e*)
JViiiz-X)ViZ-K\{Z~-F^) ""
Liegen beide Brennpunkte im Innern. m> i.st: i\7i m = H.
■ ,- - - - -rC. IfiZ- A,)VZ-E)\Z-Ex\\Z-l-fMZ-fyx)
Für w = ?i = u pfjfibt sich hienins insbejondere die Schwarz- sehe Foriiii'l für das Innere einer Ellip-^e.
(181 m = i — 1
Liegt x = * :» lii^erx imt j« x^ — : *_!-£;
(19) • = .-i.
Z— J, ) Z—£ Z—E..
5. £• Uobc »ccä «er Ffcl sx i>!^n^2»3. Di» -•: : :-r unendlich ferse Pcskt «er ^-ij/att jb jifin ws r -7^ o Ifefindet. d. h. da» ec tich «sd:» A»s-:lcii.r t•^r Hk. -~ ebene auf d«^ AcDft«ere eixe« PiItx;^» t:i f*r ::?-
her betrachteten Ge*t»!i kazieli- !•>* Ar£r»:^ rr- ledigt *ich in derselben W*i»*. w^ si* *i-K?»Krr-:j:-r A :- gäbe bei geradlinigeo PoiTgvjcec d:ircz. L* r;*:: :f-r]- Lr- ledigQDg fand. Es sei J -7- »B /!«■ Pirru -irTl.i-rr iriL l'uDkte z = x rageordoet wird, lo ötaE rt:;^ E:.i»::£;»r;: der Form
20; ' = ;-,(Z— .4-iß(-i-;,.Z— .1-iff » - ...
besteht. Ist dann n die Zahl der Ecken mit deu Winkeln ., . IM diejenige mit den Winkeln -. so künnen wir alle möglichen Fälle in den GleichaDgen
■f Aanali di Matematic», Serie 2. Bd. 4. \f*7Ci.
mn&nUmmi s«r AbUtng dar UstaftM (üb man <ite Fooction (6) «n den «uiuklnvo a^dl sra catwiekelD. Di« eisaeliiHi Fälle ttuteraclM«4i
in (oi((«advr Wim:
1) Kein Rreonpunkt Iiet(t im Tn '■ rj,
PoIrgv^B« (wrlchniUo diiro']! <ra Pim
B 0. o =. 0, a, — 0, /f =p O» /^^
2) ICiu Brvonpunkt «uf tlcn tUnd«:
t) IMdtt BnmnpunkU bmC dfm B«»<j«;
4) Kin Rrvunpunkt al« Kcke: r-O, u^U, «,=-'», /(«.o,
5) Btfiile BreiiDpuuktt* «la Kcken:
ü) Ik'id« llrtriiiifiunkt« üuf dvui fUiidi* aadj
ihnen aU Eck«: 1
7) Kia Bn^nntttiiikt tm Inneni :
r = J, « = -, a,
'.^. i» = 0.
F\ Liitäfmamn: Die AbOüttung der HaUifbtng etc.
22i
-8) B^Ule Itrtfuupuakt« iai Innern:
r'i
**'
0) Eiu Uretuipuiikt auf iltiin [iiindt% der ändert* viu lunerii:
I
r = 3. ft^-
1
I
/f,-0.
10) Kin UrKaii|ittnki im Innurii, der aiidrrs ftU Kckv: •' = 2. .. = -, '«, = .,. /.' = *K /^, ==0.
^rr KnU I ) li«l'crt för h = i» = 0 itishcsuiiflerfi die Schwarz Vho Purm«'! für dli* Abbildung dm AeiiMtiru einer Ellijine. I^er K«ll Ö) föbrt für m^=n=iO zu der bükanuten (:t. B. f&r di« Kugelfunctiuneu wichtiguu) Abbildung:
Z—A-^iH
= «(^ + 1/**-'*) -\-ß-
8. I>i*^l d*r unendlich ferne Puukl der j-Kbene «af dem Kunde dca l'oly^^on«, ohne eine Ecke des- «clben XU bilden, ao «ud die Fürmeln (21) und (21 u) zu •nvtseu durcb:
(22) iw-H-f^
(22.) i«,*,+i/,w)^c;r[:;;'^75^
fud wo der reelle Punkt Z ^= A A^m Punkt r = od ent- «prsdil. Kflr div eben unUrvchiedenen 10 Külle hüben wir j«tit b«i.:
r=-2, 1. 0, 2, 2» l, 0, -1,-1,0
w üte«. wlilntid die Kugch<'>rifj;en Werthe von n, a^/J, /?, blaÜMn.
7. Ein neiMT Xiüatz. wird DÖÜiic. veu der ODCiwIlkh fcnw Puukt der x-EUsie als JBcke d» abcDUUendesi Polr- jpjok «icfiKh oder mefar&eb T<n-komnii. d. h. vorn töcfa d»^ geje^-beoe Fläehenstück lucfa einer Bichtosg oder aacfa mdire- ren Kicfatoiig«n (zwiäcben je zva Hj^ierbelxTeigeii) ins Co- eodlicfa« CTEtreckt. Vermöge der AbbiUoz^ (S) eotj^irK-ht j«cxt dem gegebenen Flicheastäeke da» Inno« eines Kr«$- bügeflpoljgoos, de^aen Begicnzon^ dnrck eonomtniebe Krnse aod deren EUdien gebildet wird and bei dem Aae gemonsame Ceotrara mehr&ch als Ecke Torkommt. Zvei im Centnm zaaaoimentreffeDde Kadien bilden den Wickel ix, venn in der r-Ebeoe die Asymptoten der entepreehenden Hrpoitet- iste denselben Winkel einschliessen. Statt des Panktes C = 0 kann auch der Pankt ^ = x als Ecke des Krnsbogeoptrfrgons Torkommen; es können auch beide Punkte gleichseitig als Ecken in Betracht zu ziehen »ein. Cn^r Problem i^t hier- durch. falU die Brennpunkte nicht im Innern oder auf dem Hände li«^en auf das ScbwarzVhe Problem redocirt; es wird gelöst durch eine Differential cleichnng der Form
(23) {:,Z} = RiZ\.
wenn in bekannter Weise
gewt/t wird, und wenu R(Z) eine rationale Function be- zeichnet. Ei seien wieder Ar (r= 1, 2. . . . «) die reellen Punkte der Z- Ebene, welche aus den Ecken mit dem
\Vink»'l '^ bt^rvorjjehen, B, (s=1.2. .. m) diejenigen Punkte,
denen E<;ken mit den Winkeln ~ entsprvchen. Ct die Punkte
der Axe }' = o. denen der Punkt ^ = 0 aU Ecke des Poly- gons (»ntwprirht und Ä(.-t der zugehörige Winkel, endlich
F. LindrmMMT Hie AhbÜduni/ Jer ffnttSKMh-
229
Dm «tiejeuigen FiuikUs die auä einer ECcke ^ ^=^cß mit dorn Winkel /<i, ht^rvurgvbeti. Miin findet:
>ic DilTerciitialgleicbung des Problems iat daher von ■i'-r Korm:
j v»| iz:^4. J:i_l4.v»r L::£'l_4. ^ 1.
rhen deu Constant«n der recbtcn Seite beeteben die
— i
»
Die lokey^tion der Gleichung (24) ist rennöge (23) in beilanntdr Wrift auf die Int^^rßt.ion einer linearen homo- fCcnen Differential^leichuDg xurUckgefnhrt. Die rechte Seit« TOD (24) ist hierbei j|irleich R{Z), d. h. gleich der rechten 8«ite TOD (23), tu «etoeu.
8. Lmmo wir za, diu« ein Brennpunkt im Innern oder ■Ulf detD Rande (los abzubildenden Fläi'hen>tQcke«^liege, ao find an d«r rechten Seit« von (24) ^trisde Modifiratiuncn
290
JftCiwv ^ matk.-fluft. Cbmae ■«■ 4. Mm tS»i.
■Bxubringi'n. Hnnd«!! es sieh «in des Breaojtunki -^ c M besteht «in^ KctwickluD)? tod der Porni \\\\. Kotwirkitlt. man Amd& die lioke Seil« vou (24) luch f'uteux«n vun / - E\ und l*e«.*bt«i, dam. wran ^ im loDern d«r Hsibebvae y>-0 ürgt, der conjngirte Punkt £*, ta eiiL9pr«cheoiier Wc «jogiilär sein maA, ao wird ds« ^mtrleni im sllgem«iii FaUe durch eiutf Glrk-huui^ d«r folgenden Furm ^eUM:
= Ä(X) +
:}f p
+
!?l
l't
(/*ei)'I
Z~t\
Ui«r bedettt«t /2(Z) die rechte Seite tod (24); k, »t » », Ni KU »' ooojogiri; i>. &■*&'. ^> «•»i.ff'iol «od gleich 0 oder I je ntu^h X^^e der Brranpttnktc; und swiitchsn den (ViiiNtMntt'ii dur ri^chteo Seite besteheti dit* Relalitfoeu:
ö + X -f K, + X* + «J =- 0,
UO
wn mit ^, ZT. IT die linken Seiten der entjtprechende Gleich unj^ (25) hvxeicbuet sind.
Die Tenchit^denen niOgticIien Külle unUTieheiden wir in derMlbeo Weise durch &h]en. wi« dit« in Vf '• ^raclmh. Daoii haben wir fol^nde Kefiaitate:
1) Alle QrflMen o.o sind NuU; die OlHchunfT (20) ist mit (24) identisch.
2) pso« 1, Üi = e**»ei ^Oi «=n' = Ol — U. ^) ff ■= ff* = " = "* = 1 • ^ " ei ** "i ** «t » 0,
F. LirndtmcHM: Die AhhitdHH§ tUr HaßtAtm «<e.
231
5) ^3s ^, ^ Ü*s=^; K Ol = Ol = 0, 0 3» o' ^ I. 0) |) = O ;^ o" ^ 1 , jj, = y' ^ gj t= 0| ^ ol = 0.
7) y '^ pi = o ^ Ol = 1, o' =* ßi ^ o'äs Ol = 0.
8) g S« 0| :m» p' ^ (»1 = G =« CT| = ö' =3 Ol =«: 1.
9) tf = e* = gl = o = o* = oj = l, ^ii = Ol = 0. 10) Q =x Qi = o = Ol = tj' = 1, e" ^ t»i =^ oi ^0.
Ut «N = n =: 0, 80 tiodek man aus (1) inäbt^onder« die Abbitdaiif^ de« Ton don beiden Zweigen einer Hrperbel ein- ((cKblütsnenen Ebeneustficke«; sie geachiobk durch die Formel
(28)
C = , + l/?^«a(|^y+/i,
wü A.-f deu von dni A.-4yiii[)tuU;ii einges4:hIiKäetieii Winkel t)«zcichuot. Die Korrnel (28) folgt direct aus der bokiinnt4*u GlMobnng für die Abbildung eines Kreisbo^en-Zweiecks.
9» Aiu (7) leiten wir die Abbildung des ron eioem Hrpttrbul/weige ein^^e^^chtutHenen Klächenätnoke« ab. Hat l 4)es»elbe Bedeulnnf< wie in (28), ao ist der vun den As-ym-
ea oing(iM:bii>j&eiie Winkel hier gleich (1— (I).-t, Sei /i^ 1— jI, i'=t, f, = — i. 80 ergibt sich die DiÖerential-
ehottg:
^. «. _ 1 -_£ _i _ , a 1 3 1 r_
und die nieiobuugen (25) werden: r + « + «, = ". yC+xA'4-x,A', + ^^ i ^~'"' -0,
232 aUzung der maih.'fhyB. Clane wm 4. Mm 1895,
Wir wählen C = ao und finden dann:
die Differentialgleichnng wird:
ihre Int^ration geschieht durch die lineare Gleicbang: .^, ..^^ ,^^ "\.
Die particulären Integrale der letzteren sind:
Das allgemeine Integral von (29) ist eine Hnearp Function Ton TT*, also
(30) ":+-* == & = (2+r^-ri>«.
Durch diese Formel wird die Abbildung der Halbebene auf den ron einem Hrperbelaste be- grenzten Theil der Ebene Tprmittelt: nnd zwar liegt letzterer auf der couoaven Seite der Hyperbel, wenn u < 1 \sit, auf der conrexen Seite im andern Falle; u .t i:^t der von den Asymptoten einge^chloäsene Winkel.
Dasselbe Resultat erhält man nach einer früher von mir angegebenen Methode. Es sei die Gleichung einer Cassini- 9cfaen Curre in der Form
(31» ^i._a)(i-, — «)l* + n)(/,-ra) = r*
gegeben, so dass die reellen Punkte a und — »i als gemein-^me Br»*nnpiinkte der Tom l*iirauieter r abbänirigen CurveuM-haar auftreten. ÄussenJeni hat die Ourvo zwei andere Brennpunkte:
F. TAniHKnnn: fti* AMHldun^ der UnltH-hene ete.
23S
niftn fin<fv6 »i«, in<1«m innn din vom uDenHIich fVtrtien Krßix- pimkte f ^ 0 anstehenden THii}?eiiien mitt«l»t der Relation 3/
«'.
^ 0 betttimrufc; nun ist
«rtr haben alm die vier Brennpunkte
Ä =• +a nnd * = H — ya* — c*.
'>!;'', «.» lwst«lit liiu (!iirve ans zwei Ovaleu; von dpin einao wird djo |»osiHve Axe in d«n Ptinkteu V'i* — r und ya}-^e i^etrofTon; zwiaohen beiden liegen die HrcMtii|iunkte a
- Vo*— »** We AhbiMuDK eines solchen OtaIs, dAA
cwei Drejinpiinktc unischtiesüt, auf die Halbebene TX) f^H-hiuht nach jener Methode durch die Cileichitng
(32)
dM
»)l«»H-aM^-«')!
B) [Z - H,)
rr. + '^.
wenn die Honkte .-l. B den beiden inneren Brennpunkten enUprechen nnd wenn Ai^ B^ beit. xu ^4, £ conjugirt sind. Wifd jetatt r = a\ so erhält die Curve (31) einen ' ukt im Aufaiiifspunktc, in den auch der von c oli- t [Brennpunkt hinoinrtlekt: auch B fallt mit 7?, %\\~
«aminm und wird rei.d; und die Bunuel (32) geht über in:
(33)
aj #}#'-"• yz~li)V{Z~
A){Z~Ä,)
Hirrdoroh itt die Ahbildnnfi; de.i Innern einer Schleife riavr Lrmnipoate anf die Flnlbebene Termittelt.
Schlieeeen die TangenteD dee Doppelpunktes den Winkd fi X ein, so miUB för x == 0 eine Eotwicklong da* Fonn
, = (Z— BfiPCZ— B) bestdien; es wird also
ds az . f ,„
In (33 1 mÜKte daher a*C=t>(.4 — B) ^resetzt werdra.
Für eioe eigentliche Lemniscate muss allerdings u = - ffe-
nommen werden . denn sie wird ans einer f^lekfaseitigen Hyperbel durch die Transformation t =^ t~^ gewonnen. Dnrch letztere Transformatioa werden aber aus beliebigen Hyperbeln Carren erhalten, die den Lemniacaten ganz analog fand, und bei den«i u beliebig bleibt (TgL unten Xr. 9> Sie haben gleichfalls nur zwei Brennpunkte, und fiir sie gilt also auch die Formel (33i. Laäsen wir B= x. A =^ i. A^ ■=: — I. «I = t "■ werden. » folgt:
] f*-.' }\ ^^\
woraus wiederum die GleiefauDi; ioO( gewttnnen wird; es i>t nur nachträglich / mit / zu Tertauschen.
Denkt man sich den Punkt i der Z-Ebene durch einen l»eliebii:en Punkt B der Halbel>ene Y ";> *'* ersetzt. eJ»en»> — i durch den conjugirten Punkt B^ und U&it ^>dann e ^ *' werden, .-ai nähern sich auch B und B^ demselben reellen Wertlie B^ und die '^leichunc (-^Oi gil't
K* ''nt<teht aliki in der That die bekannte Formel für die Abbilduntf der Ualbel>ene auf den Ton zwei Geraden
K tAmkmmmnt Di* AbbiUung der UtübeiMm Hc.
335
^ Oder dm Asymptoten der Hyperbel, in welche leUtert; fUr sbO lerfklltj eingcflchkHsenen Winkelriium.
10. Die hier befolgt« Methode wird ihad auch in anderen ^F&lWu Anwfodeu können, in denen diu Abbildung eines FK^^^Q^n Oorvensystems der r-Kbene auf ein Hjatem von Kreisen der C-Kbene bekannt ist, sobald nur {C, a] eine rationale Function von w ist. SelhafcTerständlich gelingt dies bei dem Systeme coufi>caler Parabeln, da dasselbe aus dem Swlcme confitcttler KIlipsen und Uyperbeln durch Urenz- Qbevipang gewonnen werden kann.
Feroer kommt das .System von Curveo in Betracht, das I ans den ooofocaltm Ellipsen und Hyperbeln durch di<< Trans- romotänn /=sr'' herrorgeht. Sei < = o*|-ir, wo sind dir** I di« Oarren;
(84)
— 4a»o» — 46»T» = fl.
1^ haben s&mmtlich im Anfangspunkte einen Dop[telpunkt. FOr X<.b*{a*>h*) iat derselbe idolirt, für X>h^ hat die Uetitalt dt*r Ciirrp A^linlichkeit rnit dtTJonigen eini*r gewt'din* I lieben Lemnistciit«*; innt* wdche findet man für ÜA = «*-|-6*, «ntMprivht der gleicbfieiiigen Hyperbel
n*-^' = ^ («*-*»).
Ist 1,^«— if, und wird die linke Seite von (34) för den Augen- \ bUek niiK ?< bnu^ichnei, eu fand die Brennpunkte durcli die
iGlfliobung ^ bestimmt. Wir hnb^n 9' ('„/») = t^ttfi'^'ih
i«it SMk -»ai« a &
16
Ifvn war <d Nr. t :
ftbo vermOfi« f> « 0:
JkI« Ctinrv d«« Sv«t«iui <HI) hia (allmi K">^'^n^**o^*i) Hrmn|tuBkt» / ^ metrurh n»ch H«rTbeoni* «l^CremoiiA'achM ndlmlvcffvtbidlieli iit
Kin and«*n« ftnKjnni gibt die TrmtHfj
Dvn l'anillpirn za dm Azon der t'Kbrn« m (>rthof(nnalirhuirvn ron g^)''i'-li*ttt)t;i<n llrp Abltittlim^ finiv von |p|jrlerf>fi t;i*Hi Met«^ fVit< abo« imlfni man dii* KuiiL*tiDn
^;^^«^)
aU rHtinniil^ Ftinrtinn vrin XI
KiTwlci) liini*' "ler iT-K^M-ni» i i-i-j i .■,,,!<
Hype>rbrl niii df>m Mitti'IinitikU' #««0: »Qe)| üentn Br^renKunK durch lielittbigH couL-MutrinCj Hyptrbetn f(cigttb«n wird, Mt »lan dir >* '
Bin«tu betieb»g«n Krcifv der . Cmiiiai'itcb« Ourv« der ^-tUbni»«, direit
'J VkI. lluiuiiUUfr a. L O p. lOft (T.
*) Ea i«t die» ifltno fon Uanio magrgt^rm Q AtfitMprtto vam Kr«4iba|fB)|wljn|aB> KAiuiHli^r^ar UtiDn I06ft.
239
leher eine neue ßestimmung der Refractions- constante auf astronomischem Wege.
Tod J. Bwuchlnger.
ÜUj BMtinimiin^ der liefrficiir*iiäCoti»ttiinti*, A\m phyui- kali«cb i^pruclien Hw BrechungsexponeuU.'» der Luft gehUrt lo d^n •ichwicngst«!! und wicfatig;<ton AiifgHben der prakti-
I *tH«u A^trommit«. Die f^chwierigUi-iten liegen t^inenseiU in
liwer zu Sexitininienden InAtniineiitalfi'lileni , inNb<*Aniidore
BiegiiugHverbültniäHen dt*s I^Vrunihrs, aiulerenteit» In der
I Oomplicirthett dar ntinoflpiiäriflchHn Kactoren. welche auf die KMfnu-tivn von Kinfliis^ sind und deren Wirkungen nur mit Mnbc! TuD einander su trennen und /.n beMtiiuuiuii. :<tnd, tho Wichtigkeit einer rariglichHi genauen Krfnr^rbung aller «af die HefracÜon einvrirkenden Umstände liegt darin, dass •las ^iu]7f r)('clinaitonMHV8teni der (leKtirnu, al»<u die Hälfle d«r Ononlinal<*rib«*Mtininiungen der messenden Aslrtmamie, auf der Annabme Ober die Refractionäcontttante beruht, und dam
j «iB wirklicher Kort^cbritt in Her Vert'eiiiHning der ahHotnten
I Uttffiunf^n ervt dann ct^nsiutiri werden kann, wenn er Hand in Hand geht mit einer genaueren Hinsicht in die Kofractions- vvrbUbiia«.
Der KbÖno RepaoldVhe MeridiAnkn*in, welchen die MODcbtaar Stern waite im Jahre 1R91 erhielt, zeigte* bei den
Icnten Prafiailg«D ao hervorragende EigenachaftAn . daas der
242
Sitsung der ■laM.-^Ay«. ('taMae nrn i. Stni 1895.
tut weni^ unterscheidet, dass eine ir^f)lKiwiti betleniende C<>rr«ction denselben aiiAgescblossen er»chieu. Die trobs dimer Aliwicht bogoiiopiie Unti'rsucbiinjf hftt. aber ivacU einer arnlenni Htcbtuii^ y.ii ('iiiem zitMiilich »icherüii R«»ultuti* gi-führt, tla» nicht ohne Bedeutunfif xu sein scheint. Du fin^e>ichlaKcnc Verfahren war folgendes: bk wurden nur beif^exo^ea di« 8t^nie zwischen tiO" und Sr»** nürdb'oher ZonitbdiMtiinx, in- dem jene mit geringerer Z.D. nar einen tninimah'n I5i>i* triig Kur Loiiung der Aufgaben liefeni können, jene mit grtisserpr alter anderweitigen Störungen in eim-ni Mai»«*»' unterliegen, da^^s sie die KiuHüdse einer geringen Aendcning dm Temperaturooefficienteii verwi^-hen nitUten. Von jedem Sterne wurden die l^ei den vier tiöt^'hjcicn und die bei den vier niodrigitten Teni|>eraturen erhaltenen Z<>nilhdii»taiuen in je ein Mittel vereinigt und die Uifferen» #, — s^ der beiden Gnippeu gennmnieu, zugleich mit d^r Difftiri^nx der MiUol der Tem|ieraturen ^, — /„; dieses Verfahren bewirkt, diiai die erlangt^'ii Ditfereiir^n unabhängig werden ron der Kefractiiitui- corislanle ttelbat and von der noeh ungel5Mtifu Knigv Obsr ilen Kinfluiis der Saalrefraction. Die Unterschiede der Tem- peraluren («teigeti bis xu ^1^ und liftw«u ein »ichAre« HesulUt
erwurteii. Ist (l+ .„-vi der Kactor, mit dem der Au*-
dehuuugMuoefticieui (K0Ü8663 mnlbipUciri werden mutn, um den den Benbachtungeu entsprechenden xu vrhaltm, und ist R die Kefractinn für die Tonji>oratur Ü° 0 und den mittleren Barumet4*nitaud 71H mm, dauu werden diu BediugungMglvi- cbuDgun, wenn die gan/ belanglodcn Oliedur atweilt-r Urdnutii; veruacbläasigt werden, ruo der Funii:
«.-g0.0036ß3jj^ ,• = -;.-*,.
Wider Erwart^^n fand «ich an« ib Holcben Bodingtmgxgt< chungeii ein ungewöhnlich grooer Worth von i, nftmlich »^3.19 + 0.91, wnmtt d*r AaadehnnngnoocflKient wini
J. BuMMchinytr: BegUmmnH0 tUr RefrtictionMunstante. 243
0.(K>a6(»3 (l-f- 0.0810) = U.O0378O + t>.Uü0033.
E« t»l kL*iu Zweifel, Anan dioüe Krhüliung dee Attödebnungs- eovRicitinbeD um 3 Procent ganx ua/.iiläHsig iat und xu tin- tOftbaren Widersprnrhvn mit den pliyiikiili»ch«a Bi-stim- moDj^n fnhren würde. lüs li»t xwiir Uyldeii aas der Di.scUMäion »tin SomjuerbHibaclituugeu üiiieii nlmliclien Werth, nämlich 0.003 7<>D gffuhden und Mii.-<cart hat diiirh physikalische icn wjpir noch einen ^nuscm VVt'rtli, nünilich 0.00S82
»ittit, aileiiL ditwü ßiüttimmuiigeti »lohen vereiuzclt uud dnrfUfit nicht dnivundfm sein« rreterer schon dcsshalb, weil «r oiftn nur fflr die SomuierbeuhachtiingtMi gilt, während die Wintvrhuobucbttitigeii eiuto viel kleineren Werth cr- gobtni; der Mwtoart'öchc Werth aher ifit dnrch nenere Ver- Micli« TOD Benoit widfrU'gt worden (niche Kayser und Itunge, Di« Dispersion der Luft, Ahh. der BerK Akad. 1893).»)
Kh könnte die TtHache deü gruHseu L'nter^chiedvs /wichen deoi oben gefundenen Werth nnd di*n früheren aHtranonnjwhen Bcrtänimungen darin gesncht werden, da«» hei erstercm der Dam|)(druck io ltcchnunt( genommen wurde^ während diet» bei den anderen tiiehl get«chuh, »lleiu eine oinfiich» Lleber- acblag^rechnuog Keigt, dasa bei Nichtberücksichtigung des Daniplilnickea die rnter«chiede *,— *ö noch stärker positiv werden, ahtu t noch gnuMir. Hierin üe^ ein Buweuf für die NoUi wendigkeit, bei der Berechnung der Itefraction den Dampfdruck beixtiyiehen , zugleich aber auch ein Hinweis auf ein«^ undero mögliche Erklärung der durch die Be- obachtungen gebotenen DiftVrenzeu g^ — t^. Ich snche deren Kttfarftfhnng iu der nicht gtuix zutreüiiudeu Inrechnungnahme
* \tL l.'.r <.ii, 1) finiie ich DDch. da«f Nyn'o aun den Putkownet T«tik»:k:.irt... ..* htun^r^-n 1883-1891 den Wt-rth 0.003770 für l^C aligelwtot h«t, «lad 9iD«o tuit dMtn von mir gvfujitii^nffn tut iifca- Biffcen; er kml e« «her ebcnfklt« nicht genngt^ dejuielhen hei der ■•AttctMa der BeoWchtuogea xn benutzen.
Bittmng rfcr waUk-^Apn. a$tum ■««
Am ihuaptirwtkm b« J«ti fUdanW
xur UvTwbnitJiK lirr Mi|{«>iuuiiit«a Her Lud v>>rK«ack]ag«n Hmi Auadroi'^
('-J;'«)" -"»
10
z l«di)^Hcii
?
KU biDatavn, worin der Ksaktr
Bu» dm Kxpvniii' Fixoau iimi i
ftptiKctiirr uDft phj«{kBliM:)ifrr I ' 9^h<>n, wKhivnd n riH i .t, die r
LhH i»rn[K>rti(in»! der p! v^n r>i( r^
wplcbü hi'kaiititliith |iriij>i>i
( I — 0,»78 ~j) If <*acr u^uv ^ 1
siizunetiiii«! iit. Um di« Krag«, wt>]cha t>iclk|J UvfrHciioii niiuii»t;i*lM>n'l iit, ot.jfH'tjr xti 1
ufftnbitr der ^iclii*nt« ^V«t{, dvu l'.>'i.tr ,|
tCochnnntt xu wtxiin iMt, aus den I |
leitea; dieser We^ ftlhrt aber uhniitt«lhM' ma dt #1 — #0. da dit* Kitrvniv der Tcnpvnkur i» Btil don KKireuieii dn l>«fDjiMni^ai stt«uBMi
4
- dttr EH bwtinirui'nd«* Taclnr, aa mrritrn dur Kurui
worin m dii? At^derunK der Itefnti-Uun ftlr | flilUinlrurk (»edeuttit Die Auf billig d<>nwlb«sa
Die BeQbftcbtuii>;en enUcheidfO aiäo für d{« Av phyinknliiKbcn Oicbtigkvit. Die dauu Obrig h\mk
^ BaHmchiHger; BaHmmttiut tler HcfruetionMoMttiHtc.
[ftnavii vvudur Jii ili<r AiiordDung uach der Zenilh- , ncx'b in joiier imch Her R4*ct«Kcen8ion ein iy«ten»ati- VerhtiltiMt erkennen, wouiifc y.u^l**ich der Kacliweift t«i}- itt, duDH nacli Kinffilining des neuen Factors ditj Beobaclitungen eine Äoaderuiifr dvö an- Ddten AiiKdehauni^scocfficientsn der Luft nicht eben.
ie Ermittelnn}^ der UufructionBCOnstuiite ^escliah Verglficluiu^f der in der oberen und untt^ren Cul- 0» erhaltenen DeclinaMonen. Ist
) die Decliiiatiun aus den uberen Uulniinutionen, , ^ unteren ,
r die Ket'raction fllr die niwre Culmiuatinn, , . . , untere «
die Currei-tiuii der an^ewundten Pol höhe,
) dur Factur, mit dum die hunutzie iCefractiun, wolcbo liier auf den liadiiuWhen Tafeln, al^o der Kesäei'Hchen RvfracLiunacoustante (Tuli. Ke^.) btinilit, zu multipU- ciien Ui^ um die dun Ueobuehtungun cnUprecheudo zu erhalten,
lUHii die Ueziehung
^j , (obere Culm. nördl. v. Zenith
lon — 2^93 == a?, — lUO n =s y geäel/.b wird:
iesigeu Beobaclituugen geiitatt«t«u die Aufstellung von eher Gleichungen: die Zenithdistanzcn in unterer Cnl- iüu geben von V,\°i't' bis 8S'*I9', die Factoreu -^r~\-r 00" bifi 1420". Die AuftÖsang ergab
94«
aUtmmf im mtA.'^»9^
jf ^ 1
4» ndk in üwmfm WtrLh von p aniniibt m « «dmi dnreh di» DbauMon mxtdrar tmktm K«ftui4en wuHeo, wmm abw 4odi ol pi •ioht uilgiHMiniaMa w«ri<B. W«iui mmm nteM JiuyugiigWioliionyn in vw«i <«nipp«i ihm «Sil bk 76* Z4). rvicbt, die «u4en Um HorüumliK, ao n|pbi im Aaflänui|f der
and die dar iwaHan
Du di» ll««iilut« diMcr Mden AnflltaQBgMi zu vemni^" hfttU* nuin %m «djUMwm.
grTt— WB / :tAnx«*n wicli ■■!■>■
iindf abi die biahvr In l^lnMht fpMOKetn nAehat den (inind der MMHtiinnian^ in Jit BicM ti«ff«nd«n Ujr|N)ib«M nber di« T**nippr - / n^ AfaRMMpfaIra Muih«i, von der Biaei-liliMBli von 7(i<» Z.D. »b b^infliMd wtrdM, wUtvad die Refniction«n bin 76" Z.D. TM Ja^ar Anaabi CoiwtiliiliuD tier Atni'Mpbürv völlig onmM Kadeiracben Tsfidn liet^ die IvoryWUe 1' mit dem Faclur f -=3 0.2; nimmt m»n »i«i
a + 4
ll .1 tiif tir
von / KU
tu
an, ao wird die durch
AendLTiiiiK der Refniclion f^Wich — ^*, wo d< d«r UailtttrHcben TaW V t'utnoninifn werden Bedio^uui^ni^leicbungvii rrbalLim ft>lgtiudtf Kc
100
A— y = x-j-;/
+ a»:^
Werden «te ueti aufgclüHt, w ptiöbt «ich « ^ —0*828, y — i- 0.527, # ^
J. BmutAingtr; BadimtitUMj der JUfmtAktnao^n^Antt. 24Ä)
r, litMaen weder in der Aihmlnutig iiiich der IConiih' litaianx, ii'ycb tu jciirr mich tlur Rectasc^iision ein 5yi«ieiuati' |hiw Verhalten erkennen, womit /.ut^li'ieh di^^r Kiu'iiwi'in «^e- ^ben ist, daitit nach Kinfnhrnn^ (Ioa npuen Kactnrfi ruii :i diu BeobacbtuDgtiii eine Aenderuiif? des aii- gewaudteo Aundehaungscoefficieiiten der Loft nicht ertieiftchun.
Die Ermittelung der Utifrnclioueycunittante gOMhoh dnrvh Ver^lfichuu^ d«r in iKt ohttren und untf^rvn Ctil- inination erhult^incn Declinstionon. Ist
4 die DiTÜnaLitm ans dt*n ubiTon Culininatiutieii, , . , . unteren ,
die Kefniclign fTir die o)(i*r(-* Ciiluiinutiont
. untere «
Jiv Curre<:tiun der an^jewandten I'olhöh«», M -f«) diT FiK'tor, «lii dem diu heiintzU KvtVuction, welche bior auf di*n ltMdau*«ühen Tafeln, alno der ßmsorwhen [l*>fractiuii9coii»Utnle (TuU Ke)^.) beruht, zu miiltipli- cirfU iit, niu die (I<mi Dcubiiclitini^tMi mit!4|irecliendu XU erhalten,
HO bat man die Heziebunj; 4I -ft SK — lii*f -^rn —ru
f obere Culm. o5rdl. v. Zenitb \ obere Oulm. sQdJ. t. Zenitb
man — 2Jtp — x, — HlÜ« ^ y gesetzt wird:
Ä — (V = j." -f y
±ri-r
iie»iguu Bti>lHud)tunt{uii ^'u^tuttetvn die AufMHlliinx vu« 7G bolcber lileichun^en; die Zenitlidintjuizen in unterer Cnl- OBUialtuti Kebeu Ton 4;W bis 88®-m', die Kactureö +r-f !• Too 200" bin H30". 0(0 Auflösung erji^h
X = — f*"797. V ^ +0.510.
0)
246
Sätwnf dtr malh -jihifM. VloMe rom 4. Mal Ifliff.
itollutig Ru der Oreuxe zwischen Itfitti nnd tivlb prfol}^ Ka wQrde dies im Kiuklan^ ätchen mit der Wahmebmung| 4ftM dip Sterndpectm, wenn nie deutlich ^cbttur wnr imnier nur rothe und f^t'lbe Strahlen »eigten; in den weit mw nahlreicbtten Fällen^ w<^ diu Sternbild sich »U Ter wiiMhf^ner Fleck darstellt«, würde almi di^ Kiiift^llunt; nicb aaf Gelb, wie beabsichtigt war, Hindern auf eine StelU £wij(ohen Roth und Oelb erfolgt sein. V>«t Ucterachie Kwischon deu AuflÖAiinKen (*J) und (M) lieaae nch d«ifict| t^klären, zugleich abiT wäre damit, der Xachveii« erbr«vht da^wt lter<!r culmimrcade Sterne, äobald ibr S|>ectrum eit gewM^e Auadt^hnuDf; erreicht« ßberlMopl nicbt mehr iu)| KnnittelunK der U4•f^actioll^wXlnsia^U' b«rbei|;aao^eti dQrfeii. wenn man nicht etwa Mittel besitit. gani beatin Stellen des S|ieotrumB eiuKustelteu , wa» Ttellächt do lUendgÜMT TOD ßvnau br»timcot4ia Öpectml färben zu reichen wire. Läs^ man die»>e RrkUninc aU i»ti'''> '' gelten, so hängt die Eriuitt«lang der bei aAtrou^ - BeohaclitungeD za gebrauchenden KefracUonMunstante jetxtl vun ilrr Ht^iimuiung der ^rOesten Zenithdistanz ab, die muk nocb beiuchen darf, ubne Ober die nafaekaiinle CofMtitsilm der A bnoapbXre eine H Tpnthftse macken eu mOmco iihiw dnrch die Anttdehnung des SpeetnuM in Dnaktberfc flbrr den eingegtoltt<Mi l'unkt sn spn«llien. Itan leitet ikb. dnm dtr.-<f Orfoxe bei etwa %^ZM. Üe^; liebt »IwT rlinw>r tVlNTJeffnng fnlgeiw) nur die Sterne lii> 80^ tA riir H )i; der Ke&actioiMCCHHtente heran, so erhält
•i>i>i> I ^. : A ofUntOgpQBltCBl
« — ^ftrnk, , =. +Ö.W2 (5
du m Mähe mit (1) QberHn^mnit, dftw da« Bedenken, dn wir iilwni gegen {\) lo^wrleo, nRnilirh das« genide die n«HHi4«« Hn>lNirlilnngen bii 7<!* Z.I). WMMrtlich boaer dorrbl dti) nmgdlAtfMrto Heivri^RcJie Keft »ut iiwwuwtiiile' Aiw^jiM«
J. BnuwcMngm B«»timmuiuj Hur Brfractinntenttättinte. 249
w«rd«n aU durch eine kleinere. fortl>«8t«ht oti'i durch die eben Tenrachte H^rklftruni^ mIm nicht bcfwitigi gditim kAtiii-
Wenn wir fortifeset/t die Ursacho dip*iCT Miss^timmimg in der KetVaction suchen, so bleibt, m weit ich neiw, jetzt nnr mehr die ilnfraotion durch den BeobftchttiDgs- rrnnm, berrdbrcnd ron der Verschiedenheit der inneren und luaseren Temperatur fibriif, duren KinHuKs diu widiTspreoheii- den Rütfultat« bri^ritigen könnte. Die.'^elt^e t^ill jetxt unter- BDcbt werdeu. Beachtet man. dam in dem Ausdruck der Refrvctinn
- aiii <ff*
ji = RrmhunKKindex, r = AbsUnd der Schicht vom Erdn)ittel}iuiikt
Quotient m nahe gleich 1 iüt, daas man ihn huhufti
Bnn?tt*'lunj{ eine« ersten NÄheningswerlliea von R dainil idcnUfitnren darf, «o ergibt sich ah aolcher
/*« Hi) . if/gj * ^* = tgt Inff. nut. f*^
RH tti endchilich, dat« in der llHupbiarhe die Itefniction
IflJTf^lich Tim fi^, li. h. von dem Zii^Unde «h-r Atnm-|thiiri' in der untersten Schicht abliÄagig ifct. Die-» weist darnut bin, dam gerade die Brunhun^ in der letzten Schicht, wenn der Lichtstrahl in da^ Kernnthr eintritt. i)ie massgebende i^t, lt. h. also die Schicitt int Bcobachtunj^rauni. Die Fol^^e bievon wün?« dii» man der Bcrt-clmung der Refracticm die inucfe Temperatar xu Qniiide legen mn»t nnd nicht die N^alOrlich kunn die« mVhl dadurch tje-cch«>hen, duas die innere Htutt der iiu'^'teren Ti'inperiitur selxt, weil dnrcfa die Be^enxunk; de« ßer>Uichtun}(srnunies der IWull<*lit(- der Si'Mrhten ({(•«UVrt wird. Ich glaube, daaa durch
Obv
Bekrag tn mhmm Mk. Ilit— ät dit KasBCnv 4«r Qrttific^ DoAhwcaüg: JieMlbe wird mtk Bahr oder
dtf Hey MUMig 4m ITunlMi llna^i— 4a ■■■ aoihebiMB mom. 4an iorcK fie AoHtralünaf; ds Wlade dM iaocfc Tenpentv befingl iit Jadwifalh kann ZOT DofchAkraiig «röer ef«te& NÜMnof üv andere Ad- nahaie gar aicbt aachea, da die n Saal ■■■thaiüiiii ö Tfaemo- mHcr ioBerhalb aekr eogcr Graue« fliiinäiliMiiitmi. Lagi mao abo Smt Hypotfaeaa n Gnmde, «o iit n «alanclwid««, ob da- 9ftnlil aaf di* obere BfCwnrai^gMliMia oder aof SeiteocbcBe Ollt Die obere kaaa ak paraSel der ml meiBao Sebichtniig aageDomiieii «erden aad ^ Brechi «ird «cb Ucr abo nach iiBWilbia Genb ToU»eb«ii, «rte aa den aaderea Sdücbtca. Siad #' uad #, die ZeaiÜidiaUnieB am inüarea and d» |niaiBBiiiiuu StraUai^ / aod /■. BrachongsaDdicei der iniiniii md der aneren Loft, (»' e, daran Diditigkaüea, w ist Dack dam SnaUiw'aelMn 6i
am J^
sin j^
-^
1 + ^ce'
oder
■njj — ms'*
= ^•^0 »
vna mit o' die ReftaetMaamHlaale ^^ — . •«d. Setel man finer
ltp«><ir|jni<
J. tlauMhingrr: tirMimmung 4«r Kffraetionneonstttntr. 251
lund
1 — ^ ^ —7-^ — — J /o = '""«re Ttiruperatur, ^ "*(/' = iinjiKcre Temperatiir,
^ ftf ^ Auadehuan^^dijßicient d. Luft, Ttiruperatur, Temperatiir,
[an wird mit VemarhläHeiguiig der /.weiUm Potenzen von R,
ilii« Bixte Klammer der Temitemttircoefflcient ißt, so ist ehtücb, dobH uan du; Bruchting im ßeubachtniigsmiini [öniMlt dadurch htirfick^chtif^en kann, das« man statt der i.Ati- ■■■ ' I -'mlur die innere nimmt. Anders ^e^Ullet sich der , ,! >:k für ein*> i^eitenwand; hier findet die Bre- chung »eukrecht zur binherignn Kichttmg Mtatt und der An- wird
Cob/ fif
COM M fl *
«ich elK>nM) wie üben der Aufdruck
Ä = -(4"i,/.»^.)co/...:uo-''>
lie Brech1l^^ bat nber hier ihr Maximum oben den Hnri/.onl t.n wird »ie verBcliwJDilend. Ut
X die wahre Zenithdistanx, also jen^ (!riVs.>«>, die in letzter Linie gotucbt wini,
# dl« echeinbare Z.D., mit der der Striihl an der Begren-
imngwbene de» Spalte;« ankommt, R die Itefraction >ier»Tbiiet nüt Her fiiiHsemn Tempcrtitnr, J'f die gemeauint» Zenithdi*^tanz, \Rt die durch die eben »b^eleiiet«n Formeln ^et^ebeue [tefra42- Itun int Benbacbtnni^rauni,
• IM MMk.'^f^ CI. 3. 17
252 Sitsuruf drr mtUh.*j>hyM. Ctanne tvm 4. Mai tS95.
SO bat man
nnd daher
/ = #„ + Ä -^ Ä.
0^-^ R flind die wahren Zenithdiätanzen, atw denen wir hin jetzt die Oecliiiation«n abg«l>Mtut Imbeti; von iliimji iiiaMu also, um s'w von dem Kini^ua» der sjoalrefractiun 7.11 befreinnj noch die R, Rubtnibirl werden. Gemibicbt dies fttr nn^re Beohac'bttingi^n, äo erhält nuin nette ^ — A' und diimit nene BedinguDKsgleichungeii, deren Aufl&iung jetzt «rj^bt:
a: = — irOI8, y = 4- 0.553, * = + 0.033, (0) während, wenn nur die Sterne bei 76^ Z.D. behandelt werden,
X « — 0:912. y = T 0.4*6 (7)
erfolgt
Man erkennt. d»8^ jet£t ein Widersprach zwischen den Kesultaten &\u den kleineren and den ^rßweren Zenilh- diütanKen nicht mehr besticht. Ein zwingender Bewein dnfllr, dofis unsere Behandlung der Saalrefractinn die sacb ist, ist /.war duniit nicht erbracht« iüleiti da eiofc Ander Möglichkeit, den f^entuinteli Widerspruch zn beseitigen, nicht mehr erKichtlicb mi nnd eine andere BehundliinK^ dtr Sanl- refnu-'tiou mit den vorliet^enden Mitteln nicht durcbfithrhar ist, M.I denke ich, dat« man fiich mit dem erhaltenen ItemittAt beruhigen kann.
Zur end^itigen Krmittehin^ der KefrActiimMMin-cianl*' ixt nun an die Beobachtungen D<Kh die Correction anzubringen. die wir oben aU nothwundig erkannten, nämlich wir ItaiHt-n statt mit det optii>clitfn mit der phvitikaliitchcn DirhLigkfit der Lnfl /u reducirrn. (leeichieht dit«, m ergiebt die AufUbning aller Gleichungen zusammen '
a; = - rorw.
•f u.;Miu
(81
J. BoMMchiftgtr: Btttimmmmp der Htfract
258
j«uer bis 7B<> Zenitfadiatanz
ae =-= — nr952. ]/=-{- 0.491 (9)
Wir betrmchte» di» Anflöeung (8) als die detinitive and ' xicken AUS ihr nunmehr die KesulUte. Ftlr 718 mm (bei U^^C) Qo«lrailberdrück, -\- 5" 0 Temi«*rtttur und tl mm Danipf- dniek irird die den KudAu'ncbea Taföln zu \iruiide liegende U«iKerjichtt lUfracünniHMMistunte: 5<>'07f); diese Z»lil erheischt di« Correction — hH'.ülü X 0.00563 = — Ü.'aiÄ und es wir' ■" ' r AUft ihr öö.'Tfil; das (ipbt für 760 mm Queok-
r«i;i . 4Ui 0" C guecktiilbertemperatur), 0*^ C Luft-
rand (i mm Dampfdrnck:
fiO'104.
L>eD mittleren Fehler dieser Orösee hübe ich xu Jh 0!02!i er- mittelt. Ihr entipricfat der Brechimgstindi^x fUr denselben Lnftiuutaod :
l.tKm29152 + 0.00000012
Du Correction der PoUiGhe, die natürlich fiist aii<uchlipK(;Iich TOD d*r Correction der HefractiunHconstante nbbiingig ist, wird
Jr = H-0:518 ±0-056
' ao<] d« wir aU miUleren Wertli der Polböhe -\- 48" 8' 45'05 der Rechnung zu Grunde legten, »o wird der d4'tinitive Werth
fc-i-48ö8' 45:07. & üt Tenmcht worden, dip an(;pAte11u>n Hpfractiomi- krhtantrt>n in «lebr K(^rini{eu Hieben noch naoh einer «n KichtunK hin ni)i7.l>ar y.u mucbi-n. Mnn Imh Ifcifpivt uömlich nicht f>eltoii der Meinnng, \\ws man durch MliuuumiuLhii UefmationHbwobacbtunpvn Au&chlun Ober die ToMpcntarrertheilnng in den ubromtm Snhicht.en di>r Atmo-
17*
3S4
SUtwng der math.-pkj/», Clattt tom 4. Mai ]891i.
Sphäre erliiilten USuni*. ¥j< ist dioa nur aehr bewliriLnkt Kall Denn iler Kinflnss dw Gesetzes der Tem|wrÄtnrv« theilunf^ auf die Uefraction wird weit (Ibcrwogeu dur andere pBctoreii, deren {.^eciaunote Renntniw vonttK-^gch« mflsHte, ehe man mch mit einiger Sicherheit tiber Jen QenebK aussprechen könnt«: sotclie Factoren t*ind die I{«fn douscoDdtante reibet und ihre Äbhiin^^keit rom eing**>tHllt Punkt des Stemspectnima, der Ansdehnunj^teoefticisnt Lnft, die Luftfeuchtigkeit und vor Allem die Ttmiperut der nntcrBten LufUcUichten. Aber uuch, wenn es ^elun^ ist, die Einflüsse dieser Kactoren z« trennen und zu bef<tii] inen , bleibt der Spielranm , den die Refractionsheob« tunken jeuein Gesetz ßestiitten, noch ein weiter. Die Tiell Uei-hnungen, die Herr Kaduu hierüber niitf(elhcilt hii »ctzen dies ausser allen Zweifel; icK habe trotzdem anfa ge^flanbt, durch recht zahlreiche und scfiarfe Beobnchtnnjä in niederen Hohen, einigen Aufechluss im erlangen; <» die8 aber nicht in ErftlUung gegangen. Man kann mit sehr verschiedenen Gesetzen die Beobachtungen noch darntelle wenn man entsprechende Aendeningen an der RefriM coiiKtante vornimmt. Von den vielen Versuchen mit nr tivem Rffiiultat ist in der Abhandlung jener auüfübrlic dargrtitellt, der eine Knt.s<:beidung bringen eollte, nb Ivorj'sclie oder die Gylden'sche Ansicht Über die Oonatitu der Aiinnttphare den Wahrnehmungen liesäcr ent<;proche. war abffr nicht möglieb, urich zu Gunsten einer deneili nuBZUfiprechen. obwohl die Veräcbiedenheit zwiBchen beid nicht im beträchtlich ist; ettellt man beide GenetK« in d^ •«fllien Korm dar. *o ist nach der tvnry'«chcn Hrpiitli«
f.
t
l.h«w ifl — /
5?(>9A - 0019 A' nnd nach der GyId.;nV'heo Hj .VIOA — tfU2r>A\ w« A die Hi.he in m«t»m nlwr dem Boden, ^f^ und t die Teui|Htratnrvn in Hi'ihi'n 0 nnd A bezeichnen. Betreff de» GesetxeJi der (wraturabnahuir wird uinn aUn immer auf uielnimhig
^, Bau*tAtHi/er: B4i»tmmunff Jer Jief'riiclwn^coHMiaHtt, 255
zwur huupUilchlich «uf i^ge Thüti^keit der
B«olMu:h tunken i lu Lufliuillon. Die I Vulirt-V«rfine ver*]iri(*ht hier för die ZuknTift ^atc
l^ .....-, bU jetst allenlingv hat mir die auttt^rordenilLuhti Viränderlichkeit de« .tit'setzes" cutistAtirt werden k5nDen, narnentlji'h ffir die äcbichU;n bin etwa 2 km Höhe. Einige NachliikhrteD dvr Ht^rron Profeäsoren i^ohnckc und Finster- wslder biilK.*ti l'ili- Höhen zwi*>chfu ^^00 lu und 2000 m eiue Mlirtbi4tiM:bL- Tein|>orHtnnihimhine, aLsu eine sulche vtm 10" fUr 1 km rn heiteron Sommcrn5>'hten eonsiatirt. DicM^n ruMÜten Tem|)erutiirubuiihmen uluberi jedoch vielfach, für dir NH(*htxeiUrn fust immer TeinperuturumkehriinKen, d. h. Zutiuhmcn, naniontlicb in den BodeniKihicbten bis tu 300 m. r&tfpe4(vn. Soweit sich aus dt"n weiiijfen bis jetzt vorlit-j^en- d»ni Nystt'mikliM^hrii Boarbeitun^fii ScblOäde ziehen Wten, >3ch«iat jedoch im f^rosseo Mittel die Ivory*iiche HyiM>the«e tti*> zu 10 km das Riohti^o zu treffen. r)arQl>er hinuuri dmtirn die nciiiMten Huchfuhrteu das deutdcheii Veri'iiies fflr LuAMbiflTmhrt. die namentlich mit dem fU^iatrirballon in I '•' HfShen gefGhrt haben, starke Abweichungen vom
J- n QeMtLy. an, wii^egen d&a Uylden'itche Ixesetz iii
xj ' Ueborcinidimuiun(( bleibt. Trotzdem bleibt für
die berecluiuug der Uefraction die Ivory'scbe Hy7>oihet>e fiMUg ausreichend, weil der KinHtinä der obersten Lufl* •rfaicbien bw za ^nithdiijtanzen von S8* ein nahexu ver- sdiiriiideoder ist; für ne aind lediglieh die unteren Schichten nuMf^bend und in di(«eii genO^t die (vory'äche borinel.
Wir *obon «.>lK<n erwähnt, ist fflr hetUTe Nilcbte, also gcT»dp ßlr jeo*> Zeiten, in denen die meiät^n ostninomischon Bcubwcbtnugen angestellt werden, ein« Temperaturuiukehr d> b. 9in Maximum der TeiM[ieratur in mii»ii^er Ili'ibi* ul.« ragdlmiaisg bestehend coastatirt worden, f^nwohl zahU oh<e nicktJicfae Ballonfahrten, ahi aneh nanienUicb die am EiffeUhurni tn l'uria haben dieees Maxi-
25(> Sü»un§ der imOi.-phy». CVomc iwm 4, Mat tSffS.
muoi auf riiad 2"0 in 200 m Hö\w ftstpgelegt. bi« wt fQr die Bestimmung der Keiractiunäconstaate von grüsster Wichtig- keit, deu KinHiibM eineb solchen Maxioium» auf die Uefractioci kennen /.u leriifii. Otirch eine Art nseühHiiitucbcr i^uadralur b»be ich die Dificrenxon berechnet, um wolohe dss Vur- Itaudf^uHeiu der Teiuperaturutnhebr die liefractiuneu ftegea- tih«r den nurmal gerecbiieU-n vorgrüMert, und gefunden:
|
5 |
A |
|
|
74° 2' |
+ |
o:o6 |
|
79 4 |
-l- |
0.23 |
|
H2 1G |
-f |
0.63 |
|
84 7 |
+ |
1.32 |
|
S6 22 |
+ |
5.08 |
87 56 + U\M
OieK Tubelle lehrt: 1) daas bü utwu 80* Z.D. d«r Kinfluas der gtiwübnlirh bcuhacliloten Temi>erut.urinversion«n auf die ICefraclioD ein ver»cbwindeudt^r int, M»diu« maa m der jutru- noiatNcben I'raxiH, wu man Kcbtin aiM andurun Qrüuduti HO*' 'A.D. nur im Nnthfalle Ubefhc breiten wird, darauf tceine KUcktiiuhi KU nebmim braucht; 2) da» unaere frUbrr auf- ge»lelltrn Differ^nxen A — A\ ans denen wir die Correctiuii der Kefractiottaconifteiitc abgeleitet haben, noch grösser wtlr* den. üLho eine nocli stäHcere Verklctinernng dur ßeaicl'ficheo Hi5fraction»c»nstHnti>! vrfaeiMbeti wtlrd«n, wenn iiian die rvgel- mlMage Kinwirkung einer Tonipormturinvemion suf div B^ obachtuugen anniinnii.
Diese letztere Tbabiache HetrX udh meines Krachten^ &b«r daa letzte [iedenkeu hinweg, daa g#gen vine V«<r- kteinermiK der Be^wel'scbiin Kefractionsctitutante noch tut* gpbrai-bt werden könnte. Kh crhcbeint mir jetzt enrieaen^ diMt kfine mit den met«on>t()giM-beu ti«*<ihai'btungBn im Kin- khuig liebende Conrtitotion d«r A4mo«|ihüre aageiiuainMa werden kann, wviche die Dtfiereuzvn d — 4' u «riclännt im
J. ßamM'Mtt^er; Bettimmuntj der HefractionMounstante. ^ST
flhtittdg w'Atv. ihutu aber liU-ibt uicbu übrig aJ» dte BetHet- »fmctiMnvcoavUnte lu» d«a obeu gefundeavu ButraK
m verringorn. Man wird »ich um m leiciiter tliw.ii ciit- j^ «chlieaMii, diu MuUuue gebruucbtti Coiutuitt« zu rcrlttssen, ^P aU Hue tpiiixe Keib« aua^ezeichueler Beobachluiigt^n au
awleren 8teruwarteu tu einem ähnticheD Hasultate fßhrte.
Lieb stvllfi iu dor fol{;)*ti(b*n Tiibt<IIu die wicbtig^teD BeBtim- niODj^vD 3ni8uuiDi*ii. liieltei ist die liefmctionttcoDtiUint« de ßnirt durch
U =:
1-|-2crt'
f* die Dichlij^kfül der Luft und r: tiine (Jonstiuite iat, die mit di'ni Hn-trhuM^nimlex /< der Lufl in der Beziehung
^» = 1 -f 2^0
KT ^ind idlo Znhlru redui-irl liul ».•un'tt LufUn^tHnd, II i^ueck-iilbiTdruck von "(iO tum luji 0** C Ijneck- nltw>rtwiii|wrnlnr und dur Schwere tintvr 45** Bniite und 8««bC)he. einer Lufttemperatur von 0® C und einer mittleren Laftfvuchti^kfiit von 0 niw Dampfdruck miUpriuhL
|
1. Ba««I. Kund. Afltr. < |
I>.00()21)244 |
60.-320 |
1.00020257 |
|
-i. Bm»I, Tab. Urg. |
29302 |
44U |
29:U5 |
|
X Tab. l'ulkoT. |
29210 |
208 |
29232 |
|
4. Fu». |
20148 |
122 |
291 lil |
|
9. Omsnwicb 18:)7— 1Bn5 |
20147 |
120 |
29inü |
|
n. Hulk. Ifar,ri |
2010(1 |
200 |
29203 |
|
7. tjrwfflwich 1877—1880 |
20182 |
102 |
29195 |
|
8- Plilkowa 1885 |
29117 |
058 |
29t80 |
|
9. Mnnchai |
29139 |
104 |
29152 |
Gtomm Intenme bietet ili« Wn^U'iidiuuff dee auf aHtrcmonii- «cImd W«ge g»faiid«nra BruclinngHeipooeuieo der Luft mit
258
^äjumtf der mMiK-phy», Cla»a rom 4. Jfta i£95
dem durch phy^kalpwhe Methoden orinitteltpn. Die neuest«? und wohl zurerlätidiKHte BeatimmDDg, die auch betreff ihrvr K«äuUate £tetultch iu «ier Mitte Wrgl zwischen den frilhrrt-n bi»t«u ßestimtiiuiiKvn von Kotteler, Lorenz uud MascArt. M^t die bchoii oben citirte von den Herren Kaj!«n' und Ituuji^. Die«« linden durch elue phulo^püp bische Bfetbode für /i den Äusdrtick
10^0^— U = 2878.7 -f-l3.l6i-s+ 0^161-',
wenn k die Wellenlänge in Tausendsteln des mm bNlcutt-t. Diu Mittel Ba-4 den obijjfeu iMtrono mischen Bei^bachtuiij^en mit Aii«ichlii8» der beiden Be^tierschen Werthe gibt:
a = O.OrM)29hi3, a- = (KrJ53. /i =. l.(Mȟ21)l7*i
Üiewr uätrononiifiche Wcrth würde hiemach dpr Wellen- länge X =~ Ü.ltOl entsprechen. Uru^fekehrt tindet man aus der Formel für die Wellenlängen der FniUdhurcr'schen Linien folgende Werthe von in
l M
|
A |
0.760 |
1.0U02902 |
|
IS |
0.6H7 |
2Ü08 |
|
0 |
0.656 |
20]] |
|
D |
0.589 |
2dld |
|
E |
0.520 |
2d»0 |
|
F |
0.486 |
2940 |
|
M Ani m al intensi ULt |
0.575 |
2921 |
Hieruiuf wHnle folgen, das» bei Hstronomi!<chrn Iieubachtnn>;en luclit auf die Stelle der Maximalintrnäitat de» Spectrumb ciDgetitellt wirdf »imdero auf eine mehr gegen ruth xq ge- legene Stelle, nftmtich etwa auf die Mitte zwiitchm d«n Linien C und /), die an der CireUM von Oellj und Roth liegt.. Oh die Urttache hievun in der mlectiTen Kxtiuetirui d« Lichtos in der Atmo«phftre teu «uobon uA« wonach hesmiderM Ini utarken Wttwvrdampfgvhalt d«r LttR die
J. BauMthtn0er: B^Ummuni; der Refrnetiontcofutnnte. 259
Mmoefl Tbvile des 8peciriims stärker absorbiri werden als die rotbeti, muda bei dem Mangel au exacteii Meäsiiii>(en hnnrOWr liahingeKUOIt bloibeti. Die hiesigen VVubrnt'hpiunj^eu wQnleii dafOr jsprccbuu, tltrnn dii^ Kpcctniiii der bterue zeigte Ckst aiunahmsloa nnr Gelb iioil Kutb.
Mit der gefundenen RefractionscuUBtaDtä und der davon Abhängigen PolbOhe wt dus Decltnationsayälein der g«- miijwen*?!! Sterne aufgestellt worden. We KinenthnniHeh- keit^ti der l&«duct.ifiii (less'-lbt'M, nämlicb die Anweiiduii}^ der »uf einer nenen Annly.'tQ hemheiiden Hadmi'srheii Tafeln, (be B«rücksicbi)^uu^ der LuftfeutdiH^'keit und der Temperatur dm Beubachtuniftriiuiue^ und iiitil>esondere der liebruuch einer Deu«n, Hownbl ge^en die BeaHtP^cbe »U ge^en die Gylden- «che «tark Termijidcrtan Uefractionücunstante Iubboh ron t - ' rin §tarke «y^niutiacbo Uoterbobiede desselben gegen 'i iU liükiuinWn erwarten. Dieselljeii verschwinden,
wie lekbt zn toigen war. Tolletändig, wenn mit den alten Mitteln reducirt wird; eine Ausnalime bievon besteht nur Rlr dii* auf der südlichen Ilalbkugel der Hrde beobachteten Stemkataloge; die Differenzen mit diesen &ind sysieniatiscb, gleichviel üb mit der Bessel*äcben oder einer verringerton iUfra«tion!iCi>Dataute n*ducirt wird; falls sieh die^eä Resultat bestätigt, wird man auch aus der Vergleicbung von Be- obachtungen, die auf der nördlichen und südlichea Ualb-
agttl »n^wt^llt wurden, kein Kriterium fftr die Wahl der tiligeu lUifractionaCoastunti.' zielten könuen. Von den durchgerührten Verglfichungen der beiden Mflncbvoer Sr«terue M und M', von denen dttö erstere auf d«o MadAu'achen Tafeln, daa letztere auf der neuen tCefrac- tioiMCOCiaiiiote beruht, kuII hier nur jene mit dem Auwer^- •eboD PundamenLnlkatalog {F. C) au-NZiigaweiae nngeflibrl
»rdi^, weil -ie auch die eborakteristischen Merkmale der wiodvfgibt.
360
SUaur^ der mtUh^-jih^ti. Cla9$e eom 4. Mai lS9S.
Ctrenien der Uec).
+ 880 48'.. -h 78 7 . . . 1- G9 B9 . . . + U2 7 . . . -t-&B 38 -h6l 17 . - + 49 68... + 48 i ...
+
-14 63
+ 8l»4ff H-70 69 1- 62 37
-\- r>s 61
t-65 26 -1-50 8
+ 48 aa
+ 46 6 + 41 34 + 1Ü 16
^ a 41
16 34
30 25
Miltl. Deel.
M-y.a.iM'~i:c.
T
86» u
+ 74 88
+ 86 4U
+ flO Sl
+ 67 4
+&a 10
+ 48 10
+ 46 37
+ 48 18
+ 14 42
+ ö 42
- 8 9
-38 31
An«, d.
Wie maa äiuht, würden die OiHeruniwn M ~ F.C, diu jetzt alä gesichert belrachivte Vvrbutlen dea F.C., wonach jKine «ndlichi-n t*oHiti<ineu vticu Aeipintor nl>, um O.TiO — ü'02 iV KU Güdlicli wären, nicht beätätiKoa, wogegen die Di&ereniC£U M' — F,C, dne Venwbiebuiig diu Synteimi uacli Norden in üoch erli5hteni MiuuLse verUngon wfinlon. E« i^t hirraiis deutlich ersichtlich, in wie hohem <trade ein Decliuatiuua- sysieni von der tltifrucliiiaiM.'xiitMtj(nte tililrnnj^g iHt und daM i» einen Keriiigen Fort^jchritl bedeutet, eimm Wechsel dw DechimtiouMysU-uiH eintreten tu lanK'U^ wenn er nichi auf J Gnnid ge»ichttrt«^r AntmbmeD Uhir iVw. lCi-fruct)onMVrrhultiii»«| gettcheben kiinn.
Mllnohen, April 1894.
261
Beiträge zur Potentialtheorie.
Von W&llher Ü>ck.
I.
üeber die Darstallung der Kronecker'schen Charak- teristik eines FuDctioaensysteniB durch bestimmte Integrale.
Bill genaueit Studium der KroneokerVben Arbeiten Bbvr , Systeme ron Fnnctionen mebr^r VAriHheln* und dif* Bewilttflit^unK mit den iimniii^fftclien, scltuii von Rroiietrker l»-*«""»-l»)l)eneM Be-zifttuni^en dcrMrUHfii r.u den hierbor- ;- - ') fuudaiuuiitalen UntfirtnicliuntfCD von Cauchy timt
Uias«, mn Sturm und Ton Jacnb», bowie wi neueren Ar- betteii jsur Arialysis situ» iiml zur Gluicluinf^lieori« hat mich ZD eintT nülteron Au'ieinuriilt'i'Hftxiuijj; jener iifegenaeitigoii Be- »«faiingen, zur Aindohnnng' (gewisser Funnulinin^n, aowie xur Vemllgvmeinorung vin/elner Fraffentel langet i gefdlirl, dt^rvn ßtwtiltHtc ich in einer [{<>)hc kürzerer Berichte der huhen mathematitich- phyMikalischfti KIa-vm* der Akudumie tintuUgen mir erlauben nuiohte.
Id d«ui f^e^jen wärtigeii Aufsatze handelt es sich am die D»nft«llung der Kronecker'flchen ('hurAktcriätik innef- Sy.stem» mm •+! reellen FtinnÜoneii von ri reellen Veränderlichen nat Hilf« ron hevtinmiten intcf^aleii : diu von Kronnckitr (;.<-_'.' U.n.. Inte^alformel istt ab s^jeciellrr Fall, die beiden i r'achen duaim«nt'i>rmelu xur Bestimmung der Cha-
raktcnttik «ind ahi Gronzfallt^ in jener Duntellung ciiÜialUn.
262
SitMung{
U'ph^M. CVowtf 9tm i Mm ihSö.
DafHlellung der ChnriiktHriNtik ein**» Fnuctionen- Systeniä durch uiii ii-fuchesi Integral.
Ovü BetrHcliluiigeii liogt zu (irunile Hun SjHtem vnn («+0 eindttutigen, reollen FliDctioaoD:
der» reelli^n uiiWcliriinkt. verundrrlißlit'n (injiwen r,, £-,...<„;
dalitii seUtiii wir Vuraus, das« die«c Kunt^tioneii «ine n-lAclt
iineiidliohe AnrAhl mwohl poaiÜTer aU negativer VVerthe
auuebiiieii, dw» siü im Allgetiitfinifii Htelig und iiiuh deu
iMu/tflui'n Vuriabeln difTeriiitürlmr wind, dass k<*iiii< dt^^ ii -f I
auH je u runctioiieu ui*)tildet«ii Fiinctionaldetflriniiiiintt'ii xii-
Miuumeu luit den butrefTeiideti Kunutiont'u für uuendlich riele
Wi'rl.h(iy>*t#nie der i vifpfiihwimlel.
Wir itihrtr» jeUt «+ 1 ucwc, rocUo, uubwJcUriiukt ver-
audi^rliclitt Gröswn x^x^^,.. x^, die wir, urn uiu nur Äb-
kOrzung gtsiiuetriHcbiir Spri-n^bwuittv btfdbnen 7,u kÖiiDeri.
fkU .riM^htwiuklige Puiikt-CuordinuU^n '*ineM linuariMi n -f- 1
diiuHnsioiialüii Kauiutw />m+i* be-/.t<ii-lm«*n uud deuten wollen,
und »utKeti:
*, = >„(/,.*,. .. .»«).
i, = ^'*, (',.«V '-»' 2)
X. = F. {j,.^,.
A»
Ktt dvHnirt'n dann diese ßteicliimip'n in nuHerom f^^t töne n-dimenNiunale, t(eMofal(MatEB« Mauoigiiitliffkfit Mm* dervn Punkte darch die Gojsninmth**it aller re>*Uoii W*trth»tytit der Panuneter /< ei'enso, wie darck die /.ugfbOrigeu Hunkb-^ (xiondinatAn f« Ix^xficbnul ixitid.
Unter ZugnindcIcipinH dioMr Uanntgfnitigkoit Mm im lUuiue der Xk deÜiiire ich:
W. Ihfck: Beüräffe Mur PoUntialtheorie. l.
263
1. Dil« CbHrakteriHtik K des SysteniB der Func- tiünen F^.F^t-.-Fi, int diejenige Zabl, welche an- gibt, wie oft die Matmigrnltigkeit Jlf« dun Ooordi- natenanfanKspnnkt Xf, = x^ = ...=> Xf, = 0 nmgibt.
In § 2 irird Sewieseui dikss die so definirte Zahl K identisch ist mit der Kronecker'scbeu Charak- teri«tik.
Aus der Definition folgt sofort eine Daratellung der Zahl K mit Hflife eines n-fachen Integrales, d^sfen Kleroent eine directe Verallgemeinerung för las Klfiraent des «rännitichen Winkels* in der be- Uonten Ganss^schen Formel ist.')
Bildet man nämlich die ilf. durch Centralpmjectiitn ^teiianfangspunkt aus auf die .n-diinensionale K..^- ...:„.. :l.wbe* foui Kadiuä l
nb, so vi K die Anzahl der so erhaltenen Kugelbedcckungen. DiK Rechnung gt^staltei mich foIgendermass*>n; Wir legen ein ,parallelepipedisehes' Klemeut dQ» der lannigfaltigkeit J(f« durch einen Punkt
Dwl II Nacfabarpunkte
x^ -f- rfj^. jf, + rfj;,, ... a!„ + rfx«
Kach den Formeln der N*dimensionalen Analytik hat Soan dann X\\r den Inhalt diests« ßlementes die Fomiel
^) OaVK«, Werke bd. V, .Allf;enirtnt> I^bn&lxe is ReKiehung <U* tiP T»rliiihr1rn VerhUloi««« il«» Qunrlrmt« der KotrernniiK |r««4U« KriLDc* tiod ,Allgf>nirine l'bcone cle> KrUm&jiiietit^iutu*. Maa irh dii* von Schering v<T.ioliLsstfl Disflrrtation von
0, 0' • r, , Crir«<it«tTtinjp Akt Oaiioii'itt'beD Theorie der Ver*
•tJkliliK*'Nt"*'> ***' dtv nucb «fiAtttr Ueiutf ui nrhiiiRn lein wird.
266
fljUMWf <tor jMft. fiifi. OtaHt «mn 4. Mni laoc.
M) '/i^H
/
. . . f ne^ rf#, ... nj«
and ebenso lußsen sich !**>fort die Formeln fllrc(w(i£A) uiid r in den Si schreiben.
Bezeichnet tohn noch durch &m (ü« Oberfliche der Kuf^l . vom Radius 1
j; + i» + j:; + ...+x2 = i
SO ergibt sich:
II. Die Charakteristik K deit Syi^toinii der Kuni:- tionen F^, F^^ , . . F„^ dnr^estf^llt »Is WiiidunKHxahl der MannigfaHi^^keit M», um den Nallpunkt, iil ge- geben durch das n-fsche Integral
12) K ^ ^- frfüi« =
-if
Fo Fol Fm • • ■ ^(N Fl Fu Fi9 ... F\i Ft Fi] JPj» . , . Ff,
Fm Fmi Fm ' ' * Fmt
K/-;+Ff+f;-i-...+ i^:;
^^rf*, tie. . fis^
Da» Integral iat dabei erstreckt Aber da« ge* sammle VVertheaystem der reellen Ver&nderlichcB 'i«'i....'*. denn dieses Werthenysiem ist im Allge- meinen den Punkten Xj,, Zj, . . • x^ unserer Mannt iE' faliigkeil JV« umkehrbar eindtMitig xageordnet.
Die Kormei mocbt nrimitt<«lb«r die Oloii-bbt^rrcbt^ng der Kuuctionen F^^F^^ .. F^ ensicbUicb.
^
W. /JycJfe: Beiträge sur PoUMüüth^wif I.
267
DftR Vorzeichen ilt*r Charakteristik K ist *o eine be- «timinte Fteihenfolg? der Kimctionen geknöpft and wechnelt bei Vertuuscbting von je zweien deiselbeti.
Die Kronecker'gcbe Summenformel.
Man entnimmt der vorfitebenden Formel (12) wifort:
Die Elemente des Integral» werden nach dem Vorieicbeu der Zühlerdetermiiiante snminirt. Dieses Vtirwichpn aber unterscheidet die beiden Seiten der Munnig- faltigkeit Jlf« gesehen vom Co<)rdinat«nanfan|;^putikte aun, iiiM>ferne die (gleich NuU ^e^t/i-e Determinante die Bedingung; ffir den «beröhrenden Kegel* vom Coordinatenanfangapunkt nach der JU. durntellt. ')
Ein beliebiger, vom Coordinatennnfiu)gi<ipnnkt auslaufen- der Slrabl durchwtzt die Mannigfaltigkeit M^ in einer An-
fon Punkten, die wir nach dem Vonieicben der Deter-
Dte unterscheiden.
ZlUilt man nnn diese Schnittpunkte dem Vorr^icben chenH je mit -|- l be/. — 1 gerechnet ab, m erhält
kiue 7m\iU die uuubliängi^ i^t von der apecielleii lUcIi- tnng des gewählten Strahles mid aUo giltig für die Gesanimt- heit aller Strahlen, welche die Kiemente der M^ anf die
eitakngel projiuiren.
Die Zahl gibt somit eben die Anxahl der Be- decknngen der Kinheitftknget an und ist demnach identiML'h mit der in I. del'inirten Charakteristik K.
Bildet man aber andfTerwita speciell ffir einen der Axmvtrahlen, z. B. fDr die poeitire Axe X.
Xq~Q, xi~Q,. .. x»-i = 0, j^, > 0
*l Dan im AUg«mmDFn stet« vorhandene Auftreten vrm äelbit-
M„ (lüDff* Miinnif{fttHi|{kHten von n - 1
Ije UetlitnitiiuiK <Wr .KIiUheii)k-4U* «lurcfa jenes
-t 18
W, D^ek: BeÜrAffe für Potent inltfworte. 1. 2<K)
111. Jeder Jineftre .Schoüt*
Xo = 0, Zi = 0, . . . *fc =- 0
dor Mannif^fatUgkeit M^^ der also eine Maunig- faltiKkoit Jfu-k-i von n — i; — 1 Dioiensionen im line- aren fCaume Ln^k der x^i, x*^,... Xm definirt, ist eben- iiio oft wie JI/n selbst um den Nullpunkt gewunden.
Eb ergibt nich aus diesem Salze die Dnr»tel]nn(r Too K durob ein (n — l)-faehes, (« — 2)-faohea, . . . ((• — h — r)-f»chei*, . . . 2-facbe8, 1-facbe« Integral und sehliessHch flieäst aas ihr als Ureozfall die Oar- aiellang mit Hilfe einer Sumnienformel. Die letztere tat diu rou Krouücker für die Charakteristik auf- ({eatellte Sumuieuformel, und ebenso iai das (n — 1)- Tach« Integral eben das von Kronecker hergeleitete.')
Ffir di(« nprstelliing des durch den Satz 111 bezeich- neten lotegralnuädrucke;} fflr die Charakteristik sind wusent- Kch diesellien Ueberlegungen maAsgeltend wie bei den in § 1 gegebenen Kt)miulirungeti. In der durch
^) Krooecker benfltxt lor AbleitunK dieses (» — l)-rachen Inte- gnlet ater AuMichnaDg der Function F^ die Abbildung dei
,HaB1<e der *|, Xf ■ - 'n* ^^^ ^^" FUiua der x^, j, r^ durcii
Jfi » F\ . ^%~ l'\, ■ ■ - x^ — F^',
die reellen Pankle r, dei Ranmei der : nnd dabei «iDdeutifc auf rvetle Punkt« j\ ab^bitdft, aber umgekehrt (•□t«|) rechen den Punktt<u i^tm AUjrrtD'invn Tvrvcbiedenr Punkte '^ Die Fanutioo -''o('it'i<*--'iJ geht bei d«r Abbtldang Über in tf^(Xj.r,, ... xj. und dRbei iit die Haanig<tffkeit F^,^ Q ihreneiti nmkebrbar eindeatig anr tf^^O beuv*^ ^^ Anzabl der Windunsen von 0q — 0 (ftUo in 4er «bigea Beteichnunff de« Schnitte« iltr ^f^ mit j^^O) nm den Hollpunkt i«t dann die K^ticbte Charakteristik.
badorcb. duMi in der oben gewählten Korm der Definition und Baleilaag der Cbarukteriatik jede Autiteichnung einer der Fonrtinnen Ja* ByUoK vermledeD tsi, werden die ForniuliruDgen alltremeiDer und Obewicbilichgr. Der SatB ron der CaTcrfiLnderHohkeit der Chariiktcriitik ba VtttMi«chnn|r der Fnnctiooen d« 87iit«aM ist dirort geKobfn.
W
270
SitMung der wuah.-ph^a. Cla$$e vom 4. Mai 1895.
15)
X, = F, (0p £,,... Zn) = 0,
ic* — i^* (f^p *„ . . . *») == 0;
x« ^ f « U,, «,,... #«>
gegebenen JtfM-jk-i bestimmen wir ein (n — h — l)-dimen-
sionales Element dQn~k-\ durch einen Punkt x^\. . . Xn und
M — k — 1 Nachbarpunkte
(0 (0 (0
Xk+l + dXk^u Xk^t -j- dXk-{i, ... Xn-\- dXn
Der Inhalt des Elementes dQn-k-A if)t somit analog wie oben gegeben durch:
10) dQ.-u-x =
-]/
|
/ ii dxh^\ rfxt+j . . dxk+i dx^2 - • |
0) ' . dXn ? m j |
|
li |
rfXfc+i dXk+2 ■ ' ■ dXn
und für die Central projection di&^es Elementes auf die Ein- heitskugel
^+, + ^+. + --- +^: = 1
ergibt .«lich
Xi+i a;*+2 ■ ■ - a:», (1) (1) (I)
(M-A~l) [«-* 1)
lH-4-I)
M— *
W. i)ydt: Beiträge mut Potentiältheorie. I. 271
FQbi«D wir jetzt in der Mannigfaltigkeit Mn-k-i die Parameter #i, J>|, . . . «»_jk-i als unabhängige, die abrigen als doitsh die Gleicbangen -Pi = 0, J\ = 0, . . . Fi = 0 von ihnen abhängige Parameter ein, so kann man setzen:
o = 0, 1,...Ä; t = 1,2, ...n— A— 1
o = Ä+1, .. . n; « = 1,2, . . . » — k — 1 Aus den Gleicbangen (16) folgt
wo D die aus den letzten j^+l Verticalreihen der Matrix
^01 Ffti ... ^0 H-t— 1 ^0 n-k ■ . • Fon Fn -Fig . . . Fim-k-l -fiB-fc . . . F\n
21) if ==
-Ffci Fta . . . /*»_fc_i Fkn-k • . . -'^J
Am
(0
gebildete Determinante ist, und D diejenige, welche aua D durch Ersetzen der Verticalreihe mit dem Index ft (/t = n—k — v) durch die Verticalreihe mit dem Index % (i^ 1,2,... n—k—X) entsteht.
Es kann nunmehr jede Determinante der Matrix der äx (Formel 16) dargestellt werden als symbolisches Product zweier Matrices.
So ist:
L-fAp«. CUmt mm 4. Mm SrÜn
- T _ -l
- '-- = *1
T +
* H
' +
4
-^1
71
-(- —
tr. Djfck: Utilrägt zur llotrMmtthcurte. /,
278
l>ie «weit« diewr Mtitriur^ int corresp*)iidirende Matrix ta der in Formel (21) gegetwoen. Dur Factor, uro welchea fach je die '•iite<pre«'hendt»n Determiimntcn nnterscheidp» ifit, t^~*~*. Das Matnxpruduct kaiin demnach in der Forni gcKh rieben werden:
/?-»-«.
KQr dt» Oberflächen «lernen t 17) auf der Kiiiheitskiigel er- gibt BBcb bienius durch eine einfache ZiiAamtiD'nziehDng die Pornwl
24)
i-i'
'•2
•dW| def.-.ds^-^i
H-i
Fahrt man nnn au Stelle von su 's« . - . ^-t-i andere Panuneter ä, also «^, #i^. . . . #i^^.| ei«* so erhält luan für datm~*~i ein* analoge in den Differentialen
briebene Furnie!, in welcher die obige Determintinte 7) der Mainx (31; ersetzt iet dnrch die Detorminuutu Di, «akb« durch Streichen der VerÜcalreihen mit den Indice» ti,it, .-.i«-^i entwehr.
274 SUsung der mtUh.-phya. Clcuae vom 4. Mai 1896.
Jetzt fasse man die AusdrQcke
25)
I -Fol -P'w • • • '^0* '
t
' \t
f'ki Fk2 ■ • ■ f tai I
n,
dziydäi^... ds^^^_^
als Elemente für die Integration in den e auf/) so kann man den Integralausdruck für die Charakteristik in folgender allgemeiner Formel zusammenziehen:
0 Fi\ F]i . . . Fi^
20)
Ä-- .- —
">n-k-l
0 Fn Fm . . . Fkn
i^fc+i Fi^ii Fk+ii - . . -Ffc+i«
Ft, Fni F^2 . . . Fnt,
I A;i*oi ^02-. Fo^*
^" +-^-* 1/
(/Oh-*-
') Deaten wir diese Formel, wovon später noch tn handeln sein wird, im linearen Räume rechiwinkÜKt^r Coordinaten ^i. 2,,... z^, so stellt d 'f^-k^i ein .OberBäcbeDelemeut* der MnnDigfaltijfkeit f'o = 0, J-'i = 0, . . . i'\ -^ 0 dieses Ruumen dar , dessen Projection auf die CoordinatenmannifffAltigkeit der z., r,^, ... x,- durch
<''■.• ^'^f-t'V ^ ireireben ist, während '^ als .Counos des Neigunffswinkels jener Elemente ^egea einander" ca beseiohnen iat.
W. iMfck; Beiträge cur Potcntuttihtortt. I.
275
Hiolwi bey^icfanvt u^-jk-i die Oberfläche der Kugel
^+i + ^H» + • + ^" = '■
Die Integration ist za erstreckea Über die Getnunmlheit »llüT rvelien Werthesysteme der e, f^lr welche
ist. Lfldt man di« Zählerdpfemiinante dieses Ansdntckes nach den Determinunteu Vi der Matrix J/ (Gl. 19) auf luid fahrt für jedes einzelne d^r so eiitetehendeo Theiliiite^rale die nach Furmel (23) enUprechenden dg,^*.. dsg^^^^ als nnabhüni^ige Difiereutitik ein, so erkennt man:
IV. Die Cbarakteristik K Iftsst sich darstellen durch eine Summe ron (.,_j^_j) (n — A— l)-fachen
lotograleu, deren Grenzen ausschliesslich ron einem orstea Tbefl unserer Functionen, den gleich Null gesetzten Functionen:
BQ, während die anter dem Integralzeichen leo Differentiale nur vun den übrigen Func- tionen
kfahftngeo. Die Abnahme der Ordnung der eiuzelnen Integrale vom H-fitchen bis zum 0-fachen findet dabei in der Zunahme der Anzahl der Bedingungs- gleichungen fQr die Grenzen von 0 bis n gewisser- mavStiD ihren Ausgleich.
FOr /oO ergibt sich das von Kronecker ge- liehene (w—l)- fache Integral, FOr ifc*«« — 1 folgt die in g 2 (Ol. 19) ubgeleitcte Summenformel.
Zunächät folgt nümÜcb:
A' = ^_,)..-,L5j ^•'^-
üi, ab8(f'«)abrt(J.)
|-. • *'
and damit tfr>(ibl sich direct die Kronecker'tiohe Formel
^ ^ (-i)%-i;«t?n<^- *-»•
Vürall^eincinpriiiij^ün. X)if Wr\t^y»u\ren des g 2, welchen /ufnlxp dii* /»hl A" sich durch die dem Vorxeichen der Det^rrniaanU«
I Ffj Foi Fot • ' • Füm I
I Fl Fit F\t . . . F\^
Fm Fml Fni . • • Fmt
entsprechend erfolgende SuniniuHon der Schnitt] i unkte der Mm mit Hnpni l)ehphißen Axenstrabl bwtimmt, ji^estatten die folgende iMr manche Fraf^en nicht unweMDiliche Verall- gemeinerung unserer Integraldarstellaiigen.
V. Kb ist keioeswegs nothwendig, die in d*in vorstehenden Formeln gegebenen Integrale Aber da« ganite Qebiet einer Mannigt'uUiglteii Mn-~h~i z<i t.T- streckeu, man kann sich vielmehr auch beschränken auf diejenigen TheÜH dernelhen, welche dnrcb einvn vum Coordinatenaut'aagspunkt anslaufenden, sonst ganz beliebigen Kegel begrenzt sind, wenn man nur den Divisor rö,»>».i ersetst durch den Inhalt des
278
Siimng fom 16. Joni 169&.
1. Herr Bobrt Habtiq hält einen Vortrag: «Ueber den Nadelsehattepilz der Lftrche, Sphaerella lari- oina n. sp.*
2. Herr älfbid PBlNasHUll brinf(t einen Nachtrag; zu dem in der Jannarsitznng eingereichten AufsatEe: .Zum Caochy'achen Integralsatz."
3. Herr FiroiKAND LindsmaNK macht eine Mittheilung: ,Üeber die conforme Abbildung eines Flächenstückes, das durch Parabeln mit gemeinsamer Axe begrenzt wird.«
Derselbe legt femer ein ans Vorder-Asien stamniendeä antikes Modell (Bronze-Goss) eines Archimedischen Körpers (Rhomben-TriakontaSder) vor.
Die Berichte über die beiden Mittheilungen erfolgen im nächsten Hefte.
4. Herr Adolv t. Baitir berichtet Über seine weiteren Untersuchungen: .Ueber das KUmmelöl." Die Keäultat^ werden an einem anderen Orte veröffentlicht.
279
Der Nadelschüttepilz der Lärche, Sphaerella laricina n. sp.
Von Robert llartl;.
Die enro|>aische Lärche \st aus ihrem natflrlicheu Ver- breitnn^gebiete, den Alpen und Karpathen er^t zu Anfang unseres Jahrhundertä in die Vorberge nnd in das Flachland Mittel- und Nord-Kuropas hinahgesHejfen. Sie wnrde zuerst versuchsweise in kleinen Beständen, dann in immer grt'wserer Ausdehnung an}<ebaut und /war riiib dem besten Erfolge. Sie zeigte ein schnelles Wacfasthum, völlige Uesundheit und AnHpnichsloMgkeit an den Standort. Da das [^ärchenholK von hoher tli'ite ist und geeignet yrscheint, in vieler He- ziehung daa Eichenholz zu ersetzen , so bildeten um die Mitte unseres Jahrhunderts die ausgedehnten LSrchenbestände einen wichtigen ßestandtheil der Bewaldung Oeutschlands and der Nachbarstaaten. Im Norden Schottland!! war die VViederaufforstung fast ausschliesslich mit der Lärche durch- geführt.
Etwa vor nunmehr 50 Jahren traten zum ersten Male Erkrankungen an der bisher gutwQchsigen Lärche auf und dietie nahmen no schnell zu und waren so verderblicher Art, dasa heute nur noch Ueste jener Lärcheubestände übrig sind und vielfach der Anbau dieser werthvollen Holzart ganz aufgegeben worden ist.
280
SiUmMf drr ■utfc.-pfcy». fUut !«■ IS. Jtmi I80S.
Die Krank beitAencheiDDn({eo wmreo der mannigfacli Natur. InMctenbeschidignageii xam«l durch die Mix der L&rch« (Coleophora laricella Hbn.) und die Lftrchen-"^ bUttUoB (Cbermes Laricis Daiüfj:) wurden leicht aU «ilche «^canntr waren aber doch nur in seltenen Fällen vcns der BedentuDg, dass ein Absterben der Beftinde darch sie herb geführt wurde. Man glaubte desahalb xoerst, da» wärmere Küma der ueneo Ueimath der Pfianze ungüni aei. Dagegen sprach aber der Umstand, das die in den tfsten Decennien begründeten ße?<tiinde sieb deat be&ten Wohl-, seinit erfreuten, wogegen die f^päter ereogeaen Larcben of schon im Saat- oder l^flanzbeete erkrankten. Die Grkrankang äoserte sich entweder durch das Absterben krebaNirtig i werdender RindensteUen oder durch ein frühaeitigas Abafcerb und Abrallen der BenadeloDg. Im Jahre 1880 gab ich ein« aW&hrliche Bearbeitung des Lärchenkrebms') in «etefa ith auf Grund geglückter Inf ectiuns versuche nachwiee, ein parasitärer Rindenpil?. (Peziiu Willkommü ro.), der in den Alpen seine Heimath hat, die Krankheit Terormcht. In den Rochalpen vertruckDen die FrOchte vor der Sporen- reifü, dn bei klarem Himmel im Sommer die I^uft auaaer- ordeoUich trucken ist. Nor in der Nähe der Seen and in engen Thälem kann dort der l^anuit neb erbalten. In den Vorbei^^en und im Fluohlande fanden nob weit gnuMtig"!^ Verhältnisw* fQr die Entwicklang dieses Pilzes, in Yvl^:- doMen der Lärebenkrebs sich Bchnell toq S6den nach Nordra Tsriwttiteu kocDte, soltiüd einmal kleinere und gnWtwm Lirehco* bcrtiad« Qberail vorhanden waren. Vor 10 Jahren wiet ich dann auch,') dass im Frühjahre ein Erkninkrn der Liän:htfnnadeln
n Dl« Lirrfapnknknl(hf>it«n, imhi'- I. irL-li^ntr'-t-iolt,
Petiaa Willkommü It. Uviiiir, In Lii ^-.'ii »u>- rl«^iii furmt-
bouaucbeo Institut in UBscbsn 1 1^80. tferiin. äpnairtr
^) AUgRiDftiDa Kunt und Ja^disilasR 16ä&, Seite dÜA.
Ü. ifftrtig: ZVr NntUittrhattepilt der Lärdte.
2S1
nwei)»n in atisgwielinterem Maasse durch einen Pilz, Ciipomn tAriciK m. h«nroTf;erul«ii werde, der seine Entwicklntig vräh- rrnd der nbriffon Jahresxeit imf den Ulältern der Zitter- pappel aW Melunipsorii Tremiilae durchlauft, also immer an ilitf KacIibHcwliafl dieser Holzart gebunden irt. Desslmlb kann aber diesem Parasiten keine sehr ffross* BeileiitutiK beig«me»ien werden. Da« nltgenieine Krkrsnken der Be- nailftang, das nch oft echon im Juli einstellt und in pWK Deutdcbland als die wichtififste Ursache der allmiihlich mnebnir'nden Schwäibnup der Wuchnkraft der Lärche ku Nchnen ist, wurde bisher als Kolge niigeeig^iieten Stand- n, inibn^-onden* allKUgrOGsen Fe ucbtigkeitfigeh altes der Lnft bctrachtot. Man war der Ansicht, ilasa die Lärche in feuchter, dumpfer Luft nicht (genügend zu tnui.'tpiriren vemiöge, AlJer- din^ itprach Hcbon im Jubr 1883 eiu ^fchurfiiichtiger Be- obachter, Forstmeister Beling iu Seesen') die Vermutbun« «tiai, daiM diese nbiltf^rkrankuug einen par&sitären Charakter habe aDd mn einem kleine^i Nadelpilz veronUksst werde, doch wurtle die Krankheit, ihr Eut^t^hen und ihre Uraache nicht H niher untennicht. Ich selb«t habe die Krankheit bisher nicht ^L^ Arbeit nehmen kOnnen, weil mich andere l'Dtenfuchungen ^^^■ti «iner lielhe von Jiibren vollauf in Anaprucb nahmen. ^^H liD Torigen naä^knlten Jahre trat nun at>er die Braun- H^fleckJgkeit der LiLrchenuadeln in so außerordentlichem Mmisse H in den Waldungen Oberbajcrn? ein, dass schon Anfang B Augost der f;K>$»ere Th^^il der Lärchen nadeln abgeworfen nud im September manche Bäume faüt völlig entlaubt waren. Bei einer l{pi)»e Gber Salzburg in« Salzkammergut fand ich die Rrkrankuog anch dort allgemein verbreitet. Am 20. Sep- tenber konnte ich anf der SchraittenhiShe (193& ta) bei Zell am f^ rtfAtitcllfn, '1'»» mit der zimehmenden Berghohe «Ü« Krknuikung abnahm und bei 1^00 ni etwa verschwand.
*) Allgem^inq Font- and Ja^dwitang, Jahr^. IJ^ldS.
^2 Sttaung df math.-phyit. CJoanf pdm IS, Juni 169S.
In dieser Hochla^e wareu nur wenige Nadeln noch mit ein- zelnen braunen Hecken besetzt. Weiber aufwärts waren die Lärchen völlig gesund.
Die Krankheit guasert sich darin, daas die Nadeln der Lärche an einer oder au mehreren Stellen kleinere oder grüesere bratine Flecke bekommen. Die erkrankten Nadeln bleiben ineiöt noch lungere Zeit am Zweige mtxen und auf den Flecken treten äehr kleine schwiLrze Conidien- polffter von 0.1 — 0.3 mm Grösse gnippenweiiw ZD»ararafn- stehend auf (Fig. I ). Schon im Juli beginnt aber ein
Abfallen der kranken
n$. I.
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/
und todten Nadeln, diu «ich besonders im unte- ren Tbeile der Uaum- krone tn T&lliger Knb- nadelung steigern kann, wenn anbalteiid nwMeM Wetter herrscht
Untermicht man die eben erkrankte Nadol OD der vorfiirbten Stelle, so findet man reichli- ebas, farblowa Mycel, theils in den Intercellu-
■> UwdwdtiMatbri. aa dMi mwa. «b Huiu (arrilumeii , tbeiU dvo
4«r ntdeln IImJI» «ibi, UmIU »uIlMiwtiM «kniikl M. K&L Üt.
Parenchymxelleu eng an- liegend. Uie My. r ' i, dnd reich ferftstelt und zwar biegen aiob die SeiLi^i , ; metMt nach rflck- oder vorwftria, um die Parenohymscelleo lu um^ichlingen und dieaen die Nahrung 7.u entziehe» (Fig. 2). Ua^ ProtttploHmn zieht f4ch von di'r /ellwand r.urOck. ist aber noch freudig grfin gefurbl. Üa^ CbUmipbyll wird auch an den getiidtetcn nnd gebräunten Nadeln noch lange, ja tbeilweim bt» aum ufl<:h«l«n Frlilijahre in d«a inneren
284 8ilsu9tg d€r inath,'ptiyn. Clatae vom 16. Juni J895.
dicken und ilie Epidermw sprengen. Im Innern dieaer Polfiter enbttehen Uöfalun^reu, dt-re-n Wände mit flehr Karten Bni^ndieo besetzt sind. Letzlere bilden an der Spitxe auKaerordentlich klt'ine Mikrocouidicn. Dietie Zellen sind ntir 0.00<1 mm lang nnd O.OOl mm breit (Fig. 4b). Ihre Keimnng konnte sach in NührluBungen nicht benbaditHt werden. Sie dörfl-en fllr KiB. i. d>^ VerbreitiiD)^ des I'Üxee bedcutungslog
■ein. Es ist wahrscheiulicb, da« di»e Ptlz- forni dieselbe ist, die aU Leptofttromii lari- cinum beschrieben und alsSpeimogoDientorm zu Lopboderniium lariciuum geKogen wnrden ist. Da ich letzteren Parasiten aber nur in wenigen Exemplareu und zwar auf der Scbmittenhöbe bei Zell am See im vrjrigea Jahre fand, der Torliegeade Parasit dagegen flberall rerbreitel und seine Zugohörig- keit zu einer Sphaerella von mir »uiaier Zweifel ge»tellt ist, eo int entweder dan Lepto- stroma taricinum nicht identisch mit untrer Pitzfurm oder die Zuziehung denelbco xu Lophodermium laricinum vt eioo irrige. Auf der Änssenaeite dieser schwarzen Poltiter entwickeb sich nun zahllnee «ttabffVmige Conidien von 0.03 mm Tt^iTgjB Sie jtteben auf kurzen, an der Spitze fr**-'^' '-"«^ ..P«^."«*^!?- 1 f&rmigen Biisidien (Fig. 4a) und sind ai if.
Hei der Keife zeigen sie eine nnd »]>ilt«r drei * SU das» nie demnach vierzetlig sind. Sie falleu au- x : lieh leicht ab nod werden durch den Wind f r'j fll Hexundeni aber werden nie inil dem K^Ktwi nV/ gelnngeii dadurch auf die tiefer stehen der I<ärcbe, wo fiie schon nftch Wf und die Nadeln inKcirtm. Su arkUr' diM die Nadolorkrankung an jeii unten au Inteu^itat xunimoit.
in
t. SUbffimIg« OobI-
dUi) tut and Mudi 4«n
Ahfftll'D TOD dun
MlMk. b. MlkiMonl- dlMi uu dsn luRBrii d. I*nM«r. V«rgr. 410: 1.
B. ffartif. Der SaätlicKmepiU 4er I4rc*c
jibrlich wiederholt, so führt die voReitige
leÖMr zwar Langsamen, aber Im Laufe der Jahre «kr tdktf-
^Hofa «rtrdendpn Eutkriiflnne der BKnme. Die antstn Ziw^pe
Lcterben zuend ab und bedeckeu sich mit Flechten. Dm mA
[allj&Krlich belaubende (lipfel wird immer kleimr, 4«'HA^H'
hH Mhwtu-her und wenn solche Bänme von Fidiiai «1«^
Waldbäumvn uuigt'ben sind, so werdeo oa *«■ AsHk
flbvrwachsen nnd gehnn völlig xu <jrundu. An jangmUpvfti^
(Ka ich Änfung September vorigen Jahrea mit Coübn ■*>-
ittabta nnd dann unter eine 0!a.s^lockeKieltle, traten «tea BMit
drvi Wochen reichliche Conidienfiolster herror, dcves Oku^
fliehe mit xahllosen Oonidien besetzt war (Fig. 2 ualA^ im
Bolchen Xadeln. die ich aug dem Walde mr Catcnaafaa^f
b«nihr»chti% waren die Conidicnpoläter grooaealki^ ^kat
Onüdien, fMJor m waren nur noch wenige uaf ikam mt0§t^
geblieben (Fig. 2 olien).
h^ i«t leicht erklärlich, wä<»halb in naaMB Mmr ^ Erkrankanif viel ^schneller sich verbreitet, aW ia fcM» ■ ' Jahren, denn bei feuchter Witterung entvidub m [CunidlenpnUtt^r «ohnellfir und die Conidien krwa «a^Me- :bei trockener V\ '*'r--j;. Ebenso ver«Uudi«A •» « r trockene and Int . ijorte fOr die Krmnchr" n n j
ifu) iid, alf dumpfe I«agen, daas lifir^
f '1l<t?i .j> I 'it<!tr,4i|iu(i,]n Bfrrtand euip<irra);ii>u*i«( j^fe^
286
Sitfiiiig dsr math.'phy». Olant vom 75. Jmui iB^Ö.
dienbildung eine gewaltige AoabreitoDg and Vi'miohniuff er- rcicliim, wie wir dju bettondoni im Jahr 1894 boobochtet haben. Vjs WBf voratwsusebeD, dan «ieh nuf oder in d«n vr» krankten, nm Bod«n liageoden Kad«*!» wiitin^nd de« Wiataf« und nöch'iUn FrQhjahnM eine Den« Krachtform de« PanuiiUai ausbilden vrtlrde, daran Siwren die Krankheit im nilohston Jahre wieder herrorrafen würden. Am 3Ü. April d. J. sam- melt« ich unter den im Vorjalire stark erkrankten Lärchen dos Kreiinaf(er Forst« bei Miinch<Mi Kadelii. in deren Qewebe sdcfa Kwar noch unreife aber docb R-hon deullich als Heri- fchecion xu erkennende kugligc dankelbraunc PiLzfrtt cht« fanden. Zum Thcil halten sie die Blattrfpidtinnis schon durchbrochen. Da« Pil/.uiycel im luueni der Nadeln war ein sehr derbas, dicknunilige:« und hollbraim geerbtes, hatte mithin eino wesentliche Veränderung gegen das Vorjahr erfahren. Uie XU Anfang Jniii ausgereiften I'erithecien Bind den Cnnidien- polxfcem an Färbung ähnlich, alter etwas kleiner viU dies«, d. h. /.wiftohen 0.1 \m (i.l'> nun gros«. Sie stehen theiU vereinzelt, iheiU xa mehreren verwachsen meist in der Hlntl- tiuU<tanz versenkt, theiU mehr auf der BInttoberfläche (Kig. 5).
rig. h.
^U^iikZ'
IJnv»«rhnlM <fiirrh «inn ««rjXbHs« Uri'li«niiK4«l. «Jte l>i« Anfani Juni am llndM Cplpfon balU. riM K/pftl M wlir ilifL, diekmoilt« aa4 haJIlina» («wvrAwi. Elnial«« Bnil uaUmilnandm- vvrwMlMvn« raiiibM>ian oalkallMi Im IntiAni fMlihM ScklkwilM mll I« *> aporM. lUfkto ob» Aulot dab iMboa Ami FarlUiMliim a|m* V^tniU mit kUlAM llagHam HikrvMMldlM. Tirgr. 100 1.
I
rifa
K liariüj: Dtr NadOBtmttpiU der Läniu.
287
ni.6.
^Di«Oeffiiuog im Scheitelpunkte der Peritlieuton ist in keiner Weise nuurkirt und erkeimt man sie nur aus dem Hervor- Idriogvii der SchliLnche oder Aacosporen. Aehnliclio aber lefcwu kleinere Ir'ycüideu stehen vereiuKell oder sind mit den |{'«ntliecieii verwttciiHon und enthatteu ausiierord entlich kleine^ [doo Milcroconidien in den ConidienpoUtern üholiche Organe, fdie al» ßaUertartige äf^aae aus den Pycniden auägestoeseo ^werdeo (Fi^. h üben rechts).
Von den am 30. April f^esamuielten Nadeln lagerte ich [einen Theil im Feuchtraume des Laboratoriums auf nassen und hier entwickelten tfiuh schon bl» /.um 15. Mai in ' Aosahl der Peritheuien reife Asoosporen (Fig. 6 b). Die [k«ulmfünnigen Ascen sind U.05— 0.06 mm Jang^ enthalten ,ß unfänglich einzellige, später Kwei- i{e SjKireii von 0.Ü16— 0.017mm Länge, [die fitfhlos und an beiden verjQngten Gudeu nbgerundet sind (Fig. Ob).
äio «t^ion dicht zusammengedrängt und
wcvd«o gmneinsnm au» der «ich tricliter-
I formig öffnenden Spitze des Schlauches
[ wisgotaMeD , wobei die Coutraction des
tEVotoplMunaKhlaucberiuiilzuwirken Äcbeiut.
Am II. Mai sammelte ich wiederum
bei Preii»ing unter den im Vor-
ericTwikten Lärchen und constatirte,
die tneistea Peritiiecien auch jetzt a-tTarsifiiSQUiiDriMafaB«
BooJi nicht r«if waren. Am I. Juni waren b^'^to'äIhir.ht'''ao
Penihecieo im Walde groseeutbeils i9amac»t9tn»d^Bputm
f. , , . I Bin dam ■■Affhotea 8<h»\-
, ja enuclne derselben waren «hon ^^ ^^ «ui—n iul
lentleert, niicbdi>im R»h«7.u U Tage hin- i. Jw>u vtrut 4iuii.
"" r gt'herrsdit huti*'.
11- IJattung Sphaerella und mag, da
i>«u ist, ab Sph. laricina bezeichnet
öii«i imw die Ascoeporeo in reinem Waaser ant
»
M. AwociKirun, lin Wumt »uaRnlialiut. 'H Ülvodm rmIi det AumMI. Vergr llAil, b. In KllinfstaUo« «DlwkkvIU AMMi^nu B«clt 8 T»ttati. Twcr. S»a. •. I1U- nMu wu «law AM««|»r« in T( lhrv*UUii« lucb & T»f«it. Vtryr. 10»lI. 4. mIim Bj^« 4«r rUicttltur. 3 WfcbMi a«cli d«r Atnaut uilt «UlrfAnal««« OMiMiaM. Yt-ntt. I4&:l. «. 8t*kf5rii)ii« Conid)«», Uiaitoiuf k«n*n6ijt4otolMv lb«fl* «nt ktio|^ ttnalg vvdlsklMi Tri««» «ntstMidttB. V«rgr- 4)0:1. l CooUlMi. is W« ■Mit, Bub 10 Sbittd««. Tn-gr. 4)0:1
dii* jungen PflänKchoii narli weiteren 24 äliuMim, atMi 2 Ti^(e nauh der Aiiäimai die Kig. 7 b ^«»zpicIineW Hntwickluri^;. Miui sieht, dfus nanoiebr nicht nur die Sporen an den beiden hSchtiitelpunkten, wandern nnch »pitlirh nni»)(«kBimt wind. FOnf Taf^ nach der Keimung und tlntwickUiti){ in Nährli'iwuiiK erhält man dai Fig. 7 c durgefitellte ßitd. Die ättattun Theil« der l'äanze sind grOciMr geworden, d. h. d«r Durchtneitter
«
R. tiarUg: Der NadeUchütUpÜi der Lärche,
289
hiit sich vervielüicbt. Die Hyphen sind M-ptirt und reich vurü«t<*lt. Dabei tritt eiue Ei^eiilhUtnlichkitit faMTVor iit dvr WAcl)!«tliuin»riolitun)^' der Längsliypht'ii uud ibrer Seit«nxwpi>;p, diu darin bcütebt, bogenförmig hin und her zu wachsen. Die ätüteohypheu hubeu tust äteU die Kei^ing, bogen fi^niiig noch rückwärts z\x wachüeii. Ks viuoit dabei der l.iedauke, daas ea sich bei dieser Wacba- bnmaßigeiitbiliuiichkeit um eine erblich gewordene Eigen- jtclittft handelt, die durch das schon oben beschriebene Wachs- ihum iui Utuiipartincitytuguweb« erworben wurden ist. Dio tSeitenhrphen itii Blaltgewebe biegen sich alsbatd um die benacUburltjn Blattxeileu, der Aussenseite sich eng anlegend, benitxen diese Eigenschaft aacb dann, wenn sie in kdnst- ber Nährlöäung cultivirt werden. R» erinnert da» an die Portneicun^ der wiudendeu Wachdthunisbewegung der Sditing- jifianzen, s, ß. Bohnen, nachdem der Gegenstand, an dem ■ich in Folge von Contactreiz der Stengel herunigclegt, toii itr Hlanze Oberwuchtjeu wurden i^l. Kiue weitere Ent- wicklung der Pit^kiiltur erfolgt nur dann, wenn dieselbe nicht so sehr von NKhrgelatine bedeckt ist, sondern eine Entwicklung in feuchter Luft an.sserbalb des Nährsnbstrates Bf&lgt. Bis zum 2ü. Tage nach der Äu^aat hatte sich ein gnugrflner lUsen von etwa 4 mm Darchmeeser entwickelt, deoMn in die Luft ragende feine Hyphen genau dieselben etabf&rmigen vier/elügeo Conidien auf kleinen äeitüchen Aus- wUeWn entwiekelu, die auf den Conidienpolatem der Lärchen- nadeln entatefaen (Fig. 7d,e). Damit ist der Zosunmeuhang badei " !' '' roien zweifelloa be^vieseu.
t Auaiaat in Wasser keimten auch diese Conidien mhr bald nnd hatten schon nach 20 Stunden die in Fig. 7f dargestellte Entwicklungsstufe erreicht. In der Folge machten «■• dieicll)« Entwicklung durch, die für die Ascosporen «UiigeiteUt ist. Es wird somit, sowohl ftlr die Ascospjren aU ftoclli för die Conidien in günstigen EniäbrungaTcrhält-
200
SiUtmg der iiiaA.'pHtfß. Cltuuf mm IS. Juni iflSff',
niss«n ein Zeitraom von 3 Wocheo verlaofeo, bis nacb Her lufeotioD wintler seue Cuniilienpolater mit reifen Couidien zur Aui^bilrliiDg t^elanj^cu. Die VerKrÖBeruii;? der Pilxculhtr uacb dem Begiaue der Cutiidienbildun^ war eine »ehr Ung- WDie aber dadurch &uägeKeicbnete, da» &m tUnde des Pil»- nwens die Nühri^elatine eine fuchsrothe Färbung erhielt. Eü iht die} der^tbe Parbentoo. den die outer der fipidarmis gelegfoeu Zellen der kranken Lürcbennadeln einige Wochen nacb der Infection erhalten.
Ana den vorstehend mitgetheilten Ünten»ncbiingsorKol»- nlfisen ISast sich nun eine Ittnhe von bishi^r nnerkl&rl>ami Krunkheitserächeinunf^n leicht Tervteben.
In reinen Lärchenl^eständon hindert nicbU das Auf- flteigeu der reifen Aseosporen durch den Liiflzutt zn den Nadeln der Baumkronen und die nahe xusunimcu«tehenden Bäume inticiren »ch gegenseiÜte dtiroh die Conidieo. Be- sonders schädlich ist aber die Unt-rrmischiinfiE' der Lnrchtr mit der Fichte, weil die abfallenden kranken Nadeln auf den Fiohtenzweigen in grosser Menge liegen bleiben, hior ebenso Peritbecien entwickeln, wie anf den Streu- tind Moo4 decken dos Erdbodens und die reifen Ascoapuren mit j Leichtigkeit seitlicli auf die Nudeln der benachbarten Läroha verbreiten.
In der Tlmt hat .-iicb die Mwchunp diosi'r l>eiden HoU-' urieu iil< vcn!eri»enbringend für dio Ijärfh« »Twicsien. Nur dann blieb sie gesund und kräftig, wann ne auf ihr beHin- dem Bttsagendem Hoden von Ju^nd auf weit dber dt-ii Fichlcnbefitaiid biuau.Hwuch.4, so da^s die Kronen der liHrchi-n unlMibindert und dem Liiftxug« ansgesetxt Hber die Ficbtfn- kronea hinauäragivu.
I* kenne 'u-' ' ilil von LürebenlMaCiindeD
die n.i Micb<*n'^ nd, wie t. B. den Idircli
wald oberhalb Tegemsee, die sich der trefflichit«n OmmA heit und des herrlichsten Wach«« «Hreues. Im FoisUafe^
H. Unritß: i>w* NfutehrJiüttepÜM der IMdu.
291
L'uing bennilHt, sicfi <^in cu. 80 jähriger LärchoiiljeätaDil« der tor -iO Jahren sehr krank war, sf» duxs t*r slark Hnrchhaiieii niid mit Ruthltnchen unterbaut wurde, weil man ^lunbte, dam der Kchteolit^ Wiicli:^ Polf^e der BodenrcrscbUchte- rnng üei. Die^r Ue^taiid ui oeibdom vülli}^ f^asund ge- wordwi und »otn treffliohsten Wuchne. Er war noch Ende Oktnber vorigen .lafares voll honadfU und keine Spur der Bifttt- kmnkhpit wur in ihm zu finden. An den Lürchennadeln entwickelte sich erst am Boden ein saprophytisoher Pilx mit iwanten, kagetforniif^en, glatten P^cntden. der bisher un- kannt war und von Uorrn Allewher beschrieben und neu _^flBannt worden ist')
DicM gflnfllige Wirkung der Buche auf die Oesundbeit 3«T Kürehi* i-rklärt. xieh diiruu«, das» die kranken, vom August bis Oktober abfallenden Ltirchennadehi Ende Oktober Tnn d^ni ftbfultcndNt Bnchentaiibe gr5ästentheilä zuge- dffckt werden, wodurch dm Entweichen der Ascosporen nach oben rerliindisri wird. Insoweit aber doch einzelne SjMireti in die Luft gelangen, findet eine förmliche Filtration dv'TwIbvn in dem dichten Laubiluche des Bncheubettaude-s ■tott, das KU Anfang Juni schon TolUtündig entwickelt ist.
') Ben Andr. AllMcher alellt für diete neao Art die naobsbähftndv Oiagaow anf: iian^om Hartigianom, Parithecua tparsts,
eniiapeoti »upi-i globow-deprcftMn, sicco subcapuliformibiu,
mriitbranu^i« alroolirftcois, pnmani clnusi», dein latc apertia, margine orU loliato, ca. 100— IM) ^i iliani.; ipoml» namerogi^, filiform ilios, rvcli«. atriBqDeobtuoiaaculta, minute nioltigutlulatis, hyaUai«, ca. 40 -60 lanrftb BoPi*. Hab. in ncubas putrancentibiu [«ariciB eoropaeae*.
DaM n «iefa bei liiMom Pilze lediglich um einen Saprophjtan hMd>ll» gebt «obon dikno» bervor, du« die Sporonfrüchie im tlerbitc aaf den tOTpUinVcn Niwleln reiften und die fudoDfArmigeo Coaidiem •ofort nadi di't Auüaat keimten, wogegen im Krilbj&hrc auf «len im Vorjahne abgcfalleoen Nad^lo nnch Anfang Juni nur unreife Conidien- frAdttn tu ftndeii waren. loffctionaveivocbi*, die ich im September ffonipia Jabraa auf grUaen Lärcheanadelii auflfQbiie, miMlangcB.
S92 Sitgum§ der math.'pltjf». Ctane ron /5. Juni IS95.
Aucb die Thatsache, dius die Lärcb« im Hochgebirge ge- simd bleibt, erklärt sich nun in einracher Weise.
Wir habeu gesehen, dtiss die AsctwporenfrÜcht«' sich im KrQjfthrc auf den am Boden liegendun Lärcbennsdcln ent* Mrickelo und bei uns erst Anfang Juni zur &|>urmtr«)fu gv- laogeii. Vor Juli treten bienirts nene ConidienfwUtur auf den LärubcDmidelu nicht auf. Dem r'anuntvn «tehen nlru vier Monate xur altgemeinen Verbreitung durch Conidieo Äur Verfügung.
Je weiter wir bergauf titeigen, um so später verscbwindüt der äcbnee, um so »pättir kann mithin die Ausbildung der Paritbecien beginnen, um so später werden die Ascospon>n reif, um so kOraer wird die Zeit, in welcher der Paraidt sich durch OonidienbÜdung zu vermehren vermag, zumal der Winter ja eutdprechend früher eintritt. In einer Htn-h- lage von 1500 m beginnt die Vegetation etwa 2Vt Monat« ■fjtäter als im Flmdilande, d. h. etwa Anfang; Juni, die Reife der Ascospurcn wird demnach auch um 2^» Monat« hinau»- geachoben, beginnt alw erst Mitte August. In der That fand ich in dieser Uoehlage am 26. September an den L&rchea- nsdelii nur wenige Flecken und auf diesen kaum die enlm Sporen der ConidienpoUter. Am 28. September lagea dieee liärchenparthien »chon im Schnee.
Daran« ist zu ergehen, dass von einer gewissen Höhen- lage aul'wurtä /.war die Lärche bei einer Vegetationsdauer von 3*^ — 4 Monaten noch gedeihen kann, dass aber die Hpbaerelta nicht mehr die za ihrem Gedeihen erfordi^riiohe Vegetationszeit vorfindet, wemhalb die Lärche völlig gesund bleibt, wenn ihr auch der Standort wegen der Künte der Vegetationsperiode nicht mehr so jmMgt, wie die tieferen Lagen. Aebnlichas gilt offenbar auch zur Erklärung des Vorkommens der Lärche in Sibirien. Sie wüchit dort w» im H(.*chgebirge evhr langMun, im flachlamle «lebr «chnelK Dort können ihr die Paruitoa nicht mehr beikommen, hier
Ä. Hartuf: Uer Nfuielschüiteiüig tler Lärche.
293
werden sie von derselben itnerbittHcb bekäiDpf^. Man gebe denshalh den Anbau dieser Holxart in den Vorbergen und im Kluchlandt;, wuäelbbl ihr diu Klimu viel beuser be- hagt, als in der urspriWi glichen Hochgebirge läge, dem sogenannten ^natfirlichen Siundorte* nicht auf, sondern man t9eh(ity,e sie gegen ihre Feinde, indem man sie nur in rnlernujjchiiug mit der Rotbbuclie anbaut und lobetLirer die Aufgabe zuweist, den Nadflpilz der Lärche zu vernichten. Da in reinen Beständen der Lärcheukrebspilz leicht ver- derbliche Ausbreitung findet, .so behandle man die Lärehe nur als einen Baum der Mischwälder, in welchen er unter den Nadelhulzarten die erste Stelle einzuuehmeu hat.
Vom Anbau der Lärche darf man aber von vorneherein da Abstund nehmen, wo i^tändige Luftfeuchtigkeit die Kut- wicklnng ihrer Pilzpara-siten in hohem Grade begünstigt. So gedeiht x. B. die Lärche im Bayerischen Walde nicht wegen der Nebel, die dort oft lange Zeit hindurch nicht weichen. Die Pilzeutwickbmg wird dadurch in einem so hohen Grade begüu-stigt, dms man von vorneherein vcr7.iohten aollte, diesen Waldbaum /.u erziehen.
295
Zum Cauchy sehen Integralsatze.
(NacbLnig za ilcm Aufaatu auf S. St)— 72 dieses Busdes.) VoD Altrti PriagshelB.
lo der Einleitung imuner Mitiheilnnfif über den Canchj'- len tnte^riilsatz habe ich darauf uufiucrks^tiu gemacht, gewisse auf Continuitäts-Betrachiungen gegründete Be- ^eiae jenes Satzes iusoforu iDckeiihall erscheinen, als sie auf d« stilUchweigend gemachten Annahme beruhen, da^ der
DifTerenren-Qaotient — , — ' - fdr alle in Betracht
n
kommenden Werthe Ton s stet« gleichmäasig g^en den Werlh f'{£) convergirt, d. h. da« nacli Voi^abe einer be- lisbig kleinen positiven Grösse e sich stets eine positive GrteHt Q 80 tixiren laase, dai« fllr alle in Betracht kommen- den WerUie von s stets:
l/>iÄ)-A')
— /"Ü) <«, fHlls: \fn<Q.
Ich fflgte htnzn, man mOue also, um jene Bewciäe 'j m:iehen, entweder die fragÜrhe Bodingiing aU n , ■llf, dt'r lAmctiou / (r) H priori zukomDiende Eigeu- ^-hafl »umIrOcklieh in die Voraussetzung aufnehmen,*) oder
■ tt d«in teiUiftf «rvchiettPneD ersten B&ade von Weieritraii* i^cxkf-a liDdfft DOQ rinrii llewei^ ditt Lao rcQt*«chra Sattes, bei «vldieni la (Jcr Tbat die frnfrlii'hs IteUitijurung beiw. oiae ibr im wflM«ltiriH-ii lu^ijaivatnote aU •[leoiftlUi Vomiimeiianft eracheiot.
2M
SUtiing dtr maik.-fhya, Clmtt rom 15. Jwm S895
VMnuchen, dieiwUH; uls untnittelbare Folge ein^hcrvr Kif^en- acbaftcD, tstwa der Stetigkeit von f'{x) darzustellen:*) in wieweit dies möglich wäre, liaw ich dahingestellt and »prach nur die Vürtuuthiing aoa, das» der Buw«i«, ireaa flberlianpt durchführbar, auf ziemlicb Achwierige und am- atSndliche üetrdchtungen führen dUrAe. Nachdem ich in- deMen iißuerdingM erkannt, dass der fnigliche Beweiü niclil onr möglich ist. aondern auch mit verhältnisHmSs^g einfachen Mitteln gefflhrt werden kann, m5chte ich denselben — xn- mal der Sat/. an mtih mir nicht ganz nnwiohtig erscheint — an diefler Stelle mittheilen.*)
Ks »ei ^C') im Innern und auf der Begrenzung eii gewissen Bereiches T eine endliche, eindeutige und litetige Function der comptexen Variablen _-. Liefert aodann die SnUtitutiun r = *-f y die Be/.iehung:
(1)
/(/) = 7-(«<.v)-f »-vC^.y).
wo g"(T.y), y'(z,}f) reelle Functionen der reellen VerSnd* lichffu x,tf Iwdijutvji, tut folgt bekanntlich au« der voraiu- gentKten Stetigkeit von f(s), dwe auch tpiz^p), V'C'*^) nniliiiht> und Kt4>ti^e Functionen vnn x.r/ und zwar fftr den Bcrvtch T gleich ma»Hig stetig aind.
ß» sei ferner f'(g) gleichfalU in T (d. h. immer in Innern und »uf der Grenze von T) endlich, eindeutig und stetig* M> hat man apeciell;
*) In ttietnem Aubttic: „Deber die Entwicklunfc eindpnti^r analytUchrtr FunctkiDen in Potnatreihen** {S. S9 ff. ditam Baade»), bHt>«> icli u. li.. Koxcifft, diiM fOr „atiAlytiicIifl", d, b. dareh POteas»^ reihflo definirt« Funclioaeo die betretfeode Bediof^aj; iteU erfailt iii t«. a. 0. 8. tiS. »41.
*) Cebri^a« wlii Ben-Oeunai» wie leb ent aachlrfiifltoh b«- inorki habe, bei MJndtu Uvwi^ii« dt!» Ctttrhy'iclieB SaUu (Ad. matlk T, IV. )t, 1901 dsB ftmtfliclipn Hilfnutn luiMirUckUch ala bekaant votmaa^i •odaaa alM fawr di« TOD mir «rbobeoe Kinwoadnar biaCUlIir enieMaL
A. Prinffidteim: Zum CttH^hjf*sdien InteffraUaU. 20/
^ *'' ~ 3:c ~ 3{Fy) '
wobei M im Innern Ton T frei&tebt, diese i)artiellpii Diflerential- QooUenien aU ror- oder rQckwarU genommen r.ii vereUhen: i\Sfir w«nn:
Uipmuji folgt umüchsl. daas diu partiellen Differential- Dti.«nt«*n v'i (x,y). v*» (a:»y)t V'i (^^!f)^ Vi (a^..v) in T gleich- fslU endliche, eindeutig bestimuit« WerLbe besitzen, welche den Bedingungen geniigen:
(»)
nnd dasa bit^ — in Folge der Sfaetigkeit ron /'(*) — in T gleich mÜNfig sU.'t)gt> Kiinctioneu vun ^r,^ sind, il. h. jeder brliehiK klein TorgeHchriebönen poHitiveti Gri'tss« A \äsät sich eine {xx-^jÜTc Urüss« (> 90 zuordnen, dam ffir alle x,y des BcrvicbiM T;
H f7(*-}-».tf-f*)-2(Ay)l <•* far:A»+^<e\
pro ;5 jede beliebige di*r Functionen 7,. 91,, Vp yp^ bedeiiti't).
Die« roraoAgescbickt gilt nun der i^ai?.:
Sind fia), fis) eindeutig, cndlicb niid stetig im Inpern unH auf der Orenxc des Bereiches T, so con** r*rgirt der Ansdruek:
b.-f*yfL OcMc mm U. Jmm 18K.
/
J--
- ru^\
mit Jz in T gleiebm&ssig gegen Xoll, d. it. jedi beliebig klein vorgelegten positirea Gr&s4e < las«
aicb eine positive GrG9»e f» so xoordnen, dft«e:
i/-(f + Jx)-/'(ir)
J#
— /</> <«, bU.: J* <« >>
Beweift. Setit man Ai ^ h-^ki^ ao wird tanirlMt*
■''• k Ih + ki
+ ,— I — + • g l
\n Folg« der onch dem o)ieD Gesagtes »t» der Vo ■ebning folgenden StetigkeitseigenttcbftfteD der Knnctb^ni^tT 9'('*y)* V't'^y) ^^ *^^^ pnrtMtllen Oifferential-QuoticnUu ist ea geetnttrt naf die dimmllicbra hier suftret^ndec Diffi^rvazen* QiioÜHiten de« ltoI!e*schen Mitlrl«erth-;^tz ftnztiirendwi.
Bcxeichne( imm m\m mit 0. ''' : ' re»?II<» Grösse: ■ ' V*j dem InterraUe von 0 bis 1 {au liuu ii«r Grrt
gebdren, lo louin man tetKao:
') Dftb«i kommen oatOrlich. Ctlli < suf <!«r Qr«RM tob T oivr tD dann Habt lieirt« nur lolcbe Ji (■ Betraebt, lir ««kbe #-^Jj noch dsn Benicfa« T ui^BbQrt
Der analoge S&lx Ar Funetksc* «iner wsBwi TerftMhrliä (lodri «dt bffi Taonerjr. IfitnrdaetiOB k U Ut^ri« da IbaeKoü, y1 4t«KLb«8toU.OmdKicedert>iir<enatiAi-iLlaU8»lradwanv* p.M~
m
A. Prmjfäkeim: Zwn Camchyfuthin JtttegraUati. is
209
h~\-ki
A + ii*
ist ftber andererseits nacb Gl. (2):
A') = 7i(-P.y)-f»'V'i(*.y)
==« {»>i(*..v)4-«-y',(ir.)y)}-
9«r mü Benutzung der Bexiehnngcn (3):
A + Ai
(«)
-f {9f(a-.y) + iv»(*.y)}'
A + fti'
'-r(.)
ftulitraliirt man jetxt Hiesw Gleichung ron Gl. (5), so «rT^«bt aicb:
Am
= (t, («4- '>*.;/ -h*) — Ti(-r.|f)) -^jTjj^^
-h ( V« (Jf. .V + »?'fr) — V*, (X, « )} • ^-^.
Knn kann man nncb dem oben Gesagten (s. üngl. (4)) e ao foimi, iUm für A*+ A* < (>», alwt | A+ti | < o, der
BOO Sitivny der math.-pf^yii. Olaant wm IS. Juni tSM. absolute Betrag jeder Klamuiergriisse anter i*ine belieli klcini! positive Qrftsse, die mit - bezeichnet werden möge,
hpral>siiikt. Da nuKüerJem bei beliebigen, nicht gU^ichxeil vprsrliwiniii'nden rfolleit Werthen von h und l .*le(«:
*o folgt .«chlieaslich:
<l
<&+i:»
<».
fiLt^-f<')-rU)\^, fnr:
niermii ist der oben ansgesproohenc Satz, d. h. der- jcnigt* Satz, welctier fUr den eiacten Bewets des Caaehy^H sehen liitegml-ThiHiroiiw t-rfiirderlich war, bewiesen. ^
An dieses Kesiiltnt tftsst sich nun noch die folgende fflc di« Ki->h&rfere Begrflndang der gt'^^nimtpn C*tich;'i»eli Kunrtioitfn -Theorie nicht unwichtigo Betrachtung kunpfi^ Schreibt man ia Ungt (7) / Matt r, a^ »inlr
f(,'+jä)-n/)
-/'(/)<* (Or: |.U|<e
nnt«*r d«r Viir»iMcUtii)g, daas aocb r and /+J' dem Btfreicfa« T Lii^'h&ren. Setit ouia d«Bn in (T): Jx^sC. in (8): Jr^m^^ wo di« C« £' svei beliebig« camplext GnWMvn h«de<rtMi, d4*i^a abmitttcr B«li^ uaWriialb o ti«gt, u folgt dureli SobtrocHoo der rngUicliMgait (7) and (8): ^^
^U'+C^-f*>^ rr,+.^_r,M
-i/'uvrwi <er.
In Fblg« der $tv6glceit rom fif) bnin msn }<Aii, |Kia(t fta # wthleu, da» '/'('') 4
«nd; i— iKiwidiiT I vtrd. w««u in«n t '
A. /VMpttheiw: ?Mtn €auchi^Mdim fntfffraiiiatt.
301
'/'(')l*^«i') aodasä üugl. (9) die folgeoden nacb
«iah ti«bt:
/■r/+0-«') f(^i'^)~M
(10)
<'J
für:
(wenn man Kur A-bkürzung 6 statt ' e schreibt). Man kann
aomit an Stelle des oben bewieäcneo Satzes Jetzt auch den folgendra setzen:
Sind f(M)t fUs) eindeutig, endlich and stetig im Inoern und aufderOrcnzc eineB gewissen Bereiches 7*, to iit der Uifferenzon-Qiiotieut:
■«. -
•ine i^leicbaiäHHig stetige Function der beiden Vari- ablen s und C fUr alle £ des Bereiches T liud ulU C. deren absoluter Betrag nnter einer gewissen Grenze q liegt, d. h. jeder beliebig klein vorgelegten poBiliven Grösse 6 läset sich eine positive Qrösse q M> xnordnen, dass die Ungleichungen (IG) stattfinden.
') Scfact miui nUulich:
•■— r « Ä-i-i-i,
I A h. i^nf ürund «I«T oben Ketroffraeo Beatiminung:
fi^\^n*n<'» rar: IÄ-Ht»l<
ts
ao*
mtmmf 4er malk-rlt!f$, Omm mm IS. Jmm If^S
Der Sitx in dieMT Form besitzt oan di« wichtige Bg Mrhaft, tMieh umkehrbar XQ «eju, <1. b. utto kann aus dem DtfUhen der Unglekbnngea (10) — welrhr offenbar dt« nMilichkeit and Etndeutigkeit toii ({t\ ab srlbfttrenitäodlJcbe VoTauswtrung enthalten — die Stetigkeit tod ^(«), »wie die GndUehkeii, Eindcutif^keit und Stetigkeit «oa^(r) folgf*m:
Setzt man nämlich In (10) j'^f, ao wird:
Ol)
;^:^Ä(£),^<-^0-/<^)|<,i.,:{ig)<„
und hieraus folgt zanficbst, daa der UiflGBremeo-QuciÜeiit
' iL — L — l für ]im i'^O einen eindentäg bestimnib^n,
endlichen Grenzwerth besitzt, aodaas man «ebsen kann:
(12) umO£±ariAf) ^ ^(,j,
d. k. /*(«) btsitzt in T durchweg einen endUeben« eindi^utig bostinimten ßUIerential -Quotienten, itit aUo ro i;^"^ — '- eine Htetige Function ron s. Tru auch noch die ."^ _ : vun f{t\ zu erkennen, bemerke rann, dius aoi (11) und {\*i) ful^:
(13) Yf')-
/•('-fO-/^')
<A för; ICKe
und analiig für jeden anderao 4e« Hergebe T aBg»fa5ris Wertb /:
Hieraas folgt durch Subtnctiün:
Qod wenn man jetzt #' der fWdiBguag unterwirft: |/— «i<p, m findet man wblieiBlich mit ßtmOtzung von tfngl. (10):
(IC) !/-,/)_ ;-(,)!< 3«,
A. Primiftbifm; Zum CawAj/'adten iHtiffrahais. 808
womit die fragliche Umkehrun^ des obigen ^Uee^) in uUcn Theileo bewiesen iat. Nunmehr kann man aber jenen Sute mit d«r cbrn tK'wit^enen Umkehning in die folgende präg- nantere Fort» zusammenfasäen:
Die mothwendiffe und hinreichende Bedingung ilafQr, dm» die im Bereiche T endliche ond ein- deutige Function f{i} daselbst stetig ist and einen ead liehen, eindeutigen und stetigen Differential- Quotienten f'{M) besitxt, besteht darin, dass der
Differenzen-Quotient ^^*'*"'^^^~^^*^ fflralle Werthe*
de* BereicUes T und alle J#, deren absoluter Be- trag auter einer gewissen Grenze liegt, eine gleich' iD&B*ig stetige Function der beiijea Variablen # und Jm »ein uiuss.
Die gleicbmässige Stetigkeit des Differenzeu- Qaotienten in dem näher definirten Sinne bildet uUo die nothwendige und hinreichende Bedingung dufUr, d;i&i die endUt:hft und eindeutige Function /*(j) im Sinne Onuchj^ synoktiäcb iüt.
Ich luöclite schh'eääliüh diese Qelegmiheit Ijentitxen, um d«o in meinem früheren Aufsätze mitgetheilten historischen Nottxcn einige Krgänzungeu hin7.uxuftigeii.
leb habe dort u. n. bcnrorgehüben, dass der uuf die Intrgralformul:
X«grQodete Meweiä des Cauchj'schen Sat7.es bereits von Canchy «olb«t gekannt und auch in der Hauptsache publi- eirt worden sei« und glaubte aus dem Unustande, dass jener Bov«» — im Gegensätze zu dem ursprOnglich von Cauchj ^qpebeoen und de§Ben Uoditicationen — ganz allgemein
*) Da* Aoalogon ßr FoDetionen einer raoUcn Vkrioblcn findet b«i Harnack. Elemente der Diff.- und InUgr.-Kechntm);, p. 37,
304
SUsut^ der wnUh.-pkffa. Ciaae vom SS. Juni I89ä.
ultt der Ri«manu*acbe bezeichnet wiril, deu •Schluoi xiehvii KU dUrfun, dtt^s jene TbaUoche titilier . völlig unbemerkt* geblieWn »ei. *) Ich bäUc kUII tleswn etwa sagen KolIt:ii : .nahezu uubeiiierkt'. Demi ich habe iniwischeu die Wabr- Utihiuuug geuiftcbt, daaa Casoratt in der histarifloheü Kin* leituDg seiner .Tcurica dellc funztoni di variabili colli]! leiisü" jeuer CauciiyV'hen Nute auüdrncklich ICr- wübnuDg ibuL Das Uleiche ihI auch in dem jüDgHt er- •cbiunent'ii Referate der Uerren Brill and Nüther Aber .Die Elitwicklung der Theorie der algebraischen Functionen* geschehen.^) Immerhin kann wohl kaum behtritteu wurdoii, daM das mathematiiiohe Publikum mit Auünnhaie einer sicher' lieh »ehr kleinen Minderheit den fra^lieltcn Ueweu bisher ganz ansschliesslieb auf Uiemann*» Conto getietzt hat.
Ferner habe ich inzwi<«chen bemerkt, dass auch Herr Kalk im Jahre 1883 einen Betruift des Catichjr 'sehen Intpgrul- satzes veröffentlicht hat.*) Doä Original der betreffenden Arbeit ist mir leider bisher nicht zu^iiuglirh gewezteu. In- dessen lätet sich aus einem Auszüge, den der Verfa^Aer wllnt in einem Briefe an Herrn Hcrniite mitgetheilt hat,*) immer- hin so viel ersehen, daae joner Beweis in seiner ganzen Au- läge »ehr einfach, wenn auch vielleicht eivrns weniger nutQr^ licli erscheint, aU dor ron mir gegebene, und daa» er ins- besondere wieder atif gewissen VoraniiBetzniigea Ober die Beschaffenheit der Ititegratians-Onrven bembt, derun princi- pielle UeberflOasigkeit ich gerade nachzuwaücii versucht habe.
1} a. a. 0. p. U.
^ a. a. 0. p. 70. Sp&terhin (p. S70) wud fVttilich der frmelicli« Bewpiii wi«dmitii lediglich auf ilie K t e m a n n 'ache DisvBrtntioa inrfidi* gefOhrt.
'J JahrMberiebi der d«nUchon HatheiuatiVür-YereinigUDfr, Bd. lU, p. 17S.
*) D^monairation du th^or)>ra« de Cancby tor rintf- grale iPutte roncKoa complesv iNova Acta Iteipa« 8oc. Up«a> hsaiift. 8er. ITI, T. XH).
>) DarbottS, BaUeUa, 2. idrie. T. TU, p. 187.
305
Sitstmg vom 6. Juli 1896.
1. Herr H. Seeligbr legt eine Abhandlung des Herrn Gymnasiallehrers Dr. Adolf Schmidt in Gotha: , Mitthei- lungen Ober eine neue Berechnung des erdmagneti- schen Potentials* vor« welche in die Denkschriften auf- genommen werden soll.
2. Herr W. Dtgk macht eine Mittheilung: .Beiträge zur Potentialtheorie. H. Die Gauss'sche Formel für die gegenseitige Umschlingung zweier RaumcurTcn und ihre Ausdehnung auf höhere Mannigfaltigkeiten. Darstellung als Kronecker'sche Charakteristik eines Funktionensystems.* Der Bericht hierüber folgt im nächsten Hefte.
307
YenceichnUs der «Ingvlaut'oavu Urucktfclirit'len Joauttr bla Jnni 1896.
Dto nnlatktmi GomUmImRiii md fnMJtule, mit HrarrWa uMtn AJudMula In raUli^ w«r4*D fflM«^ ia«tetalMnd«i V«nokliDü«citfUohals KwiAiici-
Tod folgandOD QoseUsohafteD und Institaten:
Gnehiehitcerei» in AachtHs 7«itMiirlft. 16. Biuid. 1B9I. 6^
Hiatoriedie Oentllachaß in Anrau: Bftnd XXV. 1894. 8«.
Univtraittf of tfie State uf Nctc-iutk in Alhany: Librar; ßull«im. U-gUlatioo Ko. 6. 1895. 8<>.
und AtterthumMforKcheniie 0€»cü»cht\ft de» 0»terlondca in AUcnUurg: Mittbc ilunKee. lUnd X. Hefl 4. 18U&. 8^.
Natur foncheiiiie Oeafllschafl tUs Ogtertnnttfs in AUmbufff: Mittbeilank'eo üb dem Oslerlunde. N. F. Band 6. 1804. S*^.
Ifiittorincher Verein in Äu^sbury: ZoitJkhrift. Üond XXI. IdM. 8^
Jdhnv Ifnitküw ünieersitff *'« BaUi»»ore: [il»r*. Vol. XIV, No. 116—118. I8tt5. 4".
HistoriMcher Verein in BamUerij: M. u. M. Benofat i: d. ioAkn 1893 u. 1890. 1803/04. 8^
HatHrftrradunde GtseilKhaft in Bwteii f«rfauidliair«i. Band X, Na 2. 9. 1804/96. 8^.
// w»i(/ fintiiiuarvfdte Ofgeilifchaft i» BofH:
If. Jfthtv' ir*4r diM Jobr 1808/94. 18IM R".
MtUWilii&g«a. N. P. IV. 1894. foL
Verifichnis* dtr eingetoMfenm l}ruduArift<m.
OenooUchap van kuMten en leetensdutpjtet* in ßaititia:
Tijd«chrift Dcel 37, al 4-6. Deel Sö. I— S- 1894. 8«.
Notalcn. Ueel 83. No. 1-S. 1694. 8*.
TcrbuKlvlintfen. Dcel 47. 3. «tak. 1894. 4*.
Cfttalogaa der etbnoloffiaohe Terutmeling. 4. druk. Stipiilemeofc
1604 6^ NiMlcrlucdicb-liiditcb PUkuatboek 1603—1811. Deel XII. 1894. B*. Ditlfh-llrgiitär f^bouden int Ca^ttfct Ba-UvU Asdo 1G66. 1894. 8^.
Obuercaiory in Batactai Ob«orr»tioni Vol 16, 18H8. 18'.il. fol. B'grnwuraii'MuinKeD* XV. Jahrg. 161*3. 1604. fi^. K. SerbiMche Akmlemie in Rthjrnd: SqMki etnoffraftki i)>ornik. KtiIkh 1. 1804. Sfi. Ohw. XX, No. 46-47. löW/itö. 8*»,
H).ntnr-uik. No. 26. Ib9&. 4^
JftMTMm m JienjeH {NonPtfftni- Uo l.ht> ilevolupiiieni oud xUucturu uf tiie «h&lit. Tiitt 1. 1^/ tiutit.
TtuldUTg und Kndfjot' Numieo. 1894. fol. Aarl>OK Otr 1808. 1894. ßO.
l/niverntif nf Ctüifomia *n Bvrkdty: liullctin of Ib« t)eportm«nt of tieolofj-. Vol. I. 1993—1805. 80. Ilpffiiilcr iif Ih»! l.ftiiremity gf Cttliroroiii 1893—1891. 8". Hmniiial K<>|iort of Lbn rreaiJent of tbe Univi'rtiitjr 1893. 8M)nun«ii
Annual U(>i>ort of tbe Sccretar> of Uie ßoard of Heg(oU of Lbv Hai'
vcnit^ of CuliforDia für th« yt^it uudiii(c Juon SO. 1894. Sacni-
mcnto 1891. 8^>.
A bn«f aci:oaDt of Uio Liok Obfl«rvatorjr by Edw. S. Holden.
niouto 18%, 8". Itrport of work of tbe ftffrjcultuml exiierintent sUtioaR for 1893/98.
Samtiiicnlo 1894. 8**. He|»ort of viticuttural work darinff tho i«uoBi 1887 — 80 by \t, Pa-
parelli. Sacruinanto 1892. 8*. I.tit of lonordod I-Jirtb(iuukef in <.^aliforDia, \>j Edw. S. Holdon. inpnto 1887. 8«.
K. preuJiMttcht! Akiul&mir der WiMenacknfttn in Beriin: 8itsilliff»)>(>rirhU<. 1894. No. 39-63. 189^, No. 1-35. irr. 8>. iBMripliouc» treibe** innalnrum rnnris Acgaei. KajH^, I. 1896. fol.
A'. geolog. LainhtanjitaU umd Verijfikailemie in Bt^irn Jabrbocb fOr da« Jahr 1898. Band XIV. 1894. 4«.
DeulMk« dumiMu OtuttUdtaft ih Brrtin- D«riclitv. 37. Jahnr-. No. 1»-2I. 38. Jftbrit., No. l-ll. ]89i/06. 6^.,
Medieinüeh* OtttÜM^haß in BtHin: VarbMdlaax». üasd XXV. 169A. S«.
/>#t((«eAc pwIoffiaAtf GtutüteKufl im BeHm: KaitMkria Bd. 4«, lUa 3. 16M. 8*.
Y*rgMdMi*$ ikr eintfvifUiftneN Druchtchrifttn.
309
Pkj/fäknlüfdte Oe»eli»chaft in Berlin : le l^ort«ebritle ilpr Phvsik im J^aire 1888. AbL. I— UI. Bmuntcfaweiir 180(. HP.
Pht^sii>Jo'iitichr fifscUtvhnfi in Bfrlin :
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t
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S&eietA Toncana di sciense nainrah in Pisa:
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Deutsche Gesellschaß für Natur- und Völkerkunde Ostasient tn Tokio:
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Imperial Universiiy in Tokv>: Calendar 1893/94. 8« The Journal of the College of Science. Vol. VII, 2—4. 1894/95. 4».
Medicinische Facultät der Universität Tokio: Mittheilungen. Band U, No. 2. Bd. IIl, No. 1. 1894. 4°.
Muirn ciiico di sfona naturale in Triest: Atti. Vol. IX. 18<t5. 8«.
li. Accndemia delle ttcienze in Turin: Atti. Vol. XXX, disp. 1— 11. 189(/95. 8". Osservazioni moteornlogiche dell' anno 1894. 1895. 8*.
llitma}iistika Vctetikaposamfund in Upsala: Skrifter. Band II. 1892—94. 8".
Uiiirersitfit Upsala: Bulletin mensiiel de I'nbservatoire mt^teorologique. Vol. 26, Ann^e 1894. 1894/95. fol.
Ilintorisch Genootschap in Utrecht:
Bijdragen en Mfdedeelingen. XV. Deel. s'Ciravenhage 1894. 8". Werken. ?er. Ill, Deel 5. »'Gravenhage 1891. 8".
Pmviiicial Utreclitsch Genoatfchap in Utrecht: Aantfekenin^en 1894. 8**. Ver-Inj.'. 1394. 60.
Ateveo Veneio in Venedig: L'Ateneo Venpfo. Ser. XVI, Vol. 1. 2. XVII, Vol. 1. 3. 1892/93- 8».
Vtruichrtin lUr eiiifjelaufiittfn I>rucl»chrift€n.
325
lititttio Vfnfto di KifMt. ttttere e ttrti in Ventditj: Atti. Tom. 50. di«p. 1—10. n. 2 Apptfmlioe*. Tom. 51, Nr. 1— 10.
Tom. 52, No. 1-S. 1891— W. b". TetDt tli invmto dal 19, Matritio 1695. S".
Anonal lUport of the Coain _ _ -lon for 1891/93. 2 Voll.
1894. 9f*.
Burenu nf American ^hutitoffv in WoMhington:
XI AnaoAl Itrport for 1809/90. XII. .\anuil U«t>ort for 1890/91.
J894, 4». CoDtnbntion« to North American Ktboologv. Vol. IS. 1893. 4°. Ab aociifnt C|turrjr ta IndiaD Terrilory. by W. H. Holme». 1894. 8". LUt of the Pablimiions of tlie Bur^äU of Ethnolof^y. 1894. 8«.
i.V. Ä Dr}h%ritmrHt of AfiricuUurr in WnntUnfftini :
IS«rth Amcricun F-voua. Nö. 8. IS96. H". B SmithMnittfi Ingiitulinn in It't^ifi^oii :
K*^ — -^ Rrjmrt. tj S. Nutionftl-Mmearo 1891. 1802. ie9aAt8. S". Kl rf. .Futy H93. 1894. 80.
Pd. .. .Ui-.-.I-i-,... CoII<^tion#. No. a'i4. 9G9. 970, 1894. 8*.
iHftrr of « Jourt> Ji Mot.ifolin and Ti^iet in IBOl und 1693
ly W.ll,»ro ^\ ■ Uockhill. 1894. 8".
y. S. «Vorn/ Übxrrmtory in Wadiinifton : Ot- - raiidp dnnntf (»i^ ycar 1889. 1893. 4*.
Th '- of üip füur inii.^r iil.iiu'U ftwd the fundamentAl cooi^taott
üi ARironomy by Simon Newromb. 1696. bfi.
r. S. VtNUt and (irndftie Sicrr^y m ICnaAinf/Zon :
Annnnl Rvioit for 1892. Pure IT. 1894. f^°. Balldlin. No. 31 -S3. 1B94/96. 6^.
Vttited Stairs Geotf>yicai Stirtcif in WaMnt/ton: XII. annok) H^port in 3 pArl«. NHL in 3 put«. 18»1fU2. 4**. Mcmotfrapbi,. No XIX. XXI. XXII IbO». 4^ Min«i«i H«^•ouI\M. 181>2. lt>dä. 1894. 6^'. RalUtin. No. *7-U7. 1693/94. 8»,
ilarzrrrcin für Gcgchichte in JÜ'trttigerotlr : ZeiUt-lirin. Jahrg 28, HeA 1. 1895. tfi.
KaitfrUche Alndcßiie dtr WifUfntchofteu in Fl'iVn:
SiCaoaff«Wr>- bl« Fbito-« -biwl. CIukö. Band ISO. 1694. tfi.
M.ith, , . , ./,, wi-^enpch. ClaBM. lSy3/94. Bf. AI. II. i i"::i. No. 8-10. 1894. No, 1—8. II. I8lt3, No. 8-lü. 1894. No, 1-6.
> DiBhackrirUn. Aiehir flir A*4e
IIb. IH?18. No. 8-10. 1894, No. 1-8. III. 1H»3. No. 8-10. 1694, No. 1-4.
rbtlo<i.bi>t rifts^f». Band 43.
L'lAue. Hnod 60. 1894. 4^ chtc ElaodäO.a. Band 81.1. 1894. 60.
326 Verzeidittigs der eingelaufenen Druekndtriften.
K. K. geotogüche ReichsaMstalt in Wien: Verhandlnn^n. 1894. N'o. 10-18. 1895, 1-7. 4*. Jahrbach. Jahrg. 1891. Band 44, Heft 2-4. 4<>.
K. K. GradmessHugs-Bureau in Wien: Astronom i-^che Arbeiten. VI. Band. Längenbeatimmnngen. 1894. 4°.
K. K. Gesellsehafi der Aertte in Wien: Wiener klinische Wochenschritt. VIII. Jahrg. 1896, No. 1—26. 1895. 4". Ernat Ludwig. Schwefelbad llidze bei Sarnjero in Bo-inien. 1895. 8*^.
Anthropologische Geseihehaft in Wien:
Mittheilungen. Band 24, Heft G. Band 25, Hea 1. 1894/95. 4".
Geographische Gesellsdiaft in Wien:
Mittheilangen. Band 37. 1894. 6^.
Zooiogiseh-botanifche Gesellschafi, in Wien:
Verhandlungen. Bnnd 44. Jahrg. 1891, III. u. IV. Quartal. Band 45, Jahrg. 1895, Heft 1—5. 1895. 8".
K. K. ReidiS'Kriegs-Mimsterium „Marine-SecHon" in Wien:
Relative Schwerbeatimmungen durch Pesdelbeobachtungen. 1896. 8<*.
K. K. naturhistorisches Hofmuseum in Wien:
Annalen. Band IX, Xo. 3. 4. Band X, No. 1. 1894/95. 4".
Phij'tikaliitcli'medieinische Gesellschaft in Wartburg:
Verhandlungen. X. F. Band XXVIII, Xo. 2—7. Band XXIS, No. I.
1894/95. 8". Sitzung^^l.eriLhte. 1891. No. 5-10. 1895, No. 1. 2. 1894/95. S**.
Historischer Verein von U nterfran'ken iii Würzhurg:
Archiv. Band 36 und Ergiinzungsheft. 1693/94. 8*.
Jahreaberlchl für lö92 ii 1893. 1393 u. 1894. 8^
Dr. Th. Henner, Der historisfclie Verein von Unterfranken in seinem
tWfjährigen Wirken. 1893. 8^ An-icht pon Wiirzburg im Jahre 1648 au-» Merian's Topographift
FranC'^niae 1650.
Schtreizerische Metenrohujische Centralanstalt in Zürich: Anmileo l.-(92. Jahrg. 29. 1891. 4".
Schireizeri^che geoiojische Commission in Zürich: Beitrage zur geologiäihen Karte der Schweiz. Lief. 33. 84. 1898/94. 4"*.
Antiquarische GesrUschnft in Zürich: Minheilun;?en. Band XXIII, 7. XXIV. 1. 1895. 40. Xnt II r forschende Gesellnchaft in Zürich: Viertel.iahr.->cliri[t. -lahrg. 39, Heft 3. 1. Jahrg. 40, Heft 1. 1894/95. 8".
Urticersitiit Zürich: Schrift..-n der Univeraitit vom 1. Mai 1891 bis 1 Mai 1895. 4" n. S".
Verg>eitkm49 (ler <iH9<JaufetuH DrweiwMftm.
327
Ton folffendan Privatp«rBODen:
Le l^nct Albert /" «fr Monaco: 9nr le« premitr« campagne^ •cientiGqu«« de ,Prinoe8W Alice*. Fuis
ie%. 4«. $ar la demtit«^ er l'alcalinit^ den eaux de I'AtlantiqDe par M, J.-T. Bucbonan. P.iriii lti95. 4^
J. P. AliUert in Fans: Note« Fttr BC deconTert«fl ei ses IrATAm. 18%. 4**.
/V(t«cr«r>» Bn'otchi in Hom: Relnia müU vil« e «ulle o|>t>re <)i Arturo Cftyley. 1695. 4".
y. fiutbOU in Kopenlifigen: T««fttr-Verarae. 169». 9"
M. F. roucart m Athen: HccfaerchfiM *ur rorigine et 1& natare des mjaterpj d'^Ietiai«. Paris
18M. 8<>. Arifltot«. routiliitioD d'Athines, aote« tur la lecoade parti«. Pari« 18^. 8«.
C. Htmitpu» Fffurniun in Wie.tbadfii ; Asleitnoy xar <)iiAli(atirirn cbt?niifit heo AuAlv'4e. 16. Auf). 1895. 6^.
Itr. Ocrli«<i in F.lanthnru {Hdstein'^: (Itii Aiuflug nach den o»tboUt«uiMcbea äeen. Halle 1693. S*.
hmü Htunfr in Ltindfiu (PftiisJ: KntalDg dei ilildtisrhen Museums in Landau i. d. Pfalx. 1896. B*>.
Fnalnch Htrih in Tsehutvi'Kmy fi'htnitl: l>ie Lüttder de» I^ilüin nach chinei-ii^L-beQ Quellen. 1. Luiden lü&t. &". Ue'^er ilen Svbrlttearerkehr vod Km»ur t» Murco Polo'i i^>it. l*<fiden
Da« Rrich MaUbar Dsch Chao-Ju-Kua. Leiden 1696. 8°.
}Vilh<lt» Htf in Ltiyzig: Di« aiuiLoiiuacb« Nooieaclitur. Sep -Abdruck. 1895. 8°.
Charle» Jauft in Benncni»: 6tndH rar Ica focrnii. Nota IV, V et VI (mit i weiteren geologi- ' tchn Abhandlungen). Paris 1604. 4° □. 8°.
Atf'f^ JAnjfMrn in Kojtrnhiufrn : Drr UnpniDir d«r Weinbefen. .feoa 1895. 8*>.
Albert wn Köitdcr im SVürsiiur^: KnÜk der llypothcsun über aniOUiidc Bcweguogcu der Neorodendran.
IB85. af.
yicitltiot Kritpi in Athen i fUm StMffia irüv A^xa^^M^:^p aj*t9ftStr. 1895. ä*>.
Otto Kunttt t» Frtftgnttu '"■• r*-"-'"-: OwHiliiitiirhii Btfitrftge. Li'ipiig ld&&. Bf^
Amffunt Kun tn Aut/sbur'j Utt BuuiMihiliiagr lAu4icbi>)tt). imu. 6^.
32S Ttneiekmitf iler tinp^awfemm Dnutfdknftfn.
Htmy OlUrier Le« im nSmMjiwi:
FliDoKipUcsl Su. 1896. B*.
Gabritl Mimoi im Pmrit:
R«T«f bifioriqne. XX. AnBee.- Tom« 57. Nc«. 1. 3. Toaae 56. Xo. 1. PuM ]89& 8*.
EmU Piäioppi i« Pomtraima:
Kikwi d«lf itiomfl n>a«i»t*cfak. Faac IT. 169&. 8*.
JUiektJe £^m i» MaäMui:
S-aW «aranioae divnft dellft dccliauMB« ma^Beüca « Mibao 18K. 8^.
Diftrieit Bfimfr. ftvfr. VfHaaiitamJImmfi im Bnlim:
Zeinduifi ffir «frikuiiKb« nnd c>c«uü*cfae S-pnAem. Jalafr- L BcA 1 — 9l
.iflwt SttreS im Parit: "Sotiet nr 11. Futtel de &-«lug«s pv M. Albert Soni. lOS. 4* Diaccv» poBT U rw«ftMn df M. Albert Sorel. 18ML 4^
Artmro Sfiria y Mata im Ma4nd: C*ngca poliedxico de ^ «cpfedet. IdM. 8*.
Cualofpe of tbe Sanskrit BU]niMrif<u in tbe I^ibnir of ihe MtiV'y* of JuEtED uid KAshmir. BdmbkT 18M. 4**.
Xodöe elnitoloeicbe. ld9S. d**. 1 dMOoin: dei reitiM. l?i*^. ?•.
li goM-re Ar rt IwiöimiD l>ct.:ni IÄ»S. S*".
r^Sw pt^xBäert Beryt-'T'ftki.le. lf^s^. 4'. tr. T-fjH-a in .VrMi'ii'fl:
5-torii äe: Lartti. li^«. ?^.
Gauihtfr Vülarf rt ^f im Parif
BepfTtooY 'r-::>':iop;%7>t5<^Df de» »cinM^ loAtbeniMäqveft. 1 Söie. F.rbts & :Ciö. 13S4 ?••.
'■b Ib«' Vr.ltpJc- IVc<ii''rc>cixi^ of tbf- At^oe;: Wei^t» of EltJuitataiT ScbstMirfH :x w-Utic-ii u ibf cn:: of Hvirftpfai. lä». J**,
• »t ibe F.vji«ipe fcff»-.räpä >t B,-»5f > Law o: i 7»rrmuteBt OnttiactM of ibe RAäi: V^ t ««. rf tb* rUartm-x Ort.i». 1896. 9".
Sitzungsberichte
der
kOnigl. bayer. Akademie der WisBenachaften.
Mathematiscb-physikaliBche Glasse.
Siteang vom 3. Norember 1896.
1. Herr L. Radleopkr legt eine Monographie der Sapin- daceen - Gattung Paollinia vor. Dieselbe ist fQr die Denk- achriften bestimmt
2. Herr K. Goebsl macht eine Blittheilang: .Ueber die Abhängigkeit der Blattformen von Campanula rotundifolia Ton der Lichtintensität/
3. Herr Al7. ParoasBKix spricht: «Ueber Potenz- reiben auf dem Convergenzkreise und Fourier'sche Reihen.*
Ifllk MUk.-plir& GL a. 22
331
öeber die Abhängigkeit der Blattfonn von Cam- p&nula rotundifolia von der Lichtintensität,
VoD K. (kiebel.
fMvrftiVta 7. yoNMawr-l
In ni(*inen .Pflanzpnbiologwchen Schilderangen' (II. Theil, H. 2d4, 1Hd;i) tmite irli darauf hingewiesen, da«s die bekannte H«terophyIli« von Sa^ittarta safriltifoHa insofern« von der LtchtintonHität heeinHn<wt wt^rdp, als hei 5chwacheni Lichte nur dt« bundluniii^eu Uliitti^r auflreten, währmid xiir Hilthin^ 'der pfcilförmiffflo, flb«»i' den Waasenspiegel «ich erhebenden, bnbert? Licbtinten.sität erforderh'ch idt. Weitere Vertuche (mitgotbvill in Science progress, Vol. I, Nr. 2, und Flora, ÄO. Bd. (1895) p. 9tl ff. befitÄti(TtPn diwe AntTawuriff.
la der letxtgcnu unten Zeitschnfb bube ich auch die i-r erfolfften Vernffentlirburt^fen von Klebs und Vrichtinj^ d«n EinilasB der Lichiintunsität auf die Organbilduug einigor Kakt«en besprochen. Aus den dort gleichfalls er- nten Untersiiohunfren , die einer meiner Schfiler in nein Laboratoriam ausführte . ergab f^icb ferner , daN§ ■nch h*» dmii Keim(ingitprotie«8e einiger Lebermoose die Oe- dUltung der Keitupflanxe dnrob die Liehtintensitfit Iwdingt ifl. " 'Veittia cnrnmutata /.. B. entsteht bei schwacher Bei- ,4 nur "in fu(i»*nfiprmig4?r Kcim?cblaucb, der l>ei
[MUrIcer Lichtin fcensität sich mr Zellfläche rerbreitert; diem? Itann bei schwacher Lichtintennität wieder Yeranlasst werden, CaiBi«ebUucb weiter y.n wochwo.
332 Sütung der math.-ph^a. L7oum vom
Da die Untersuchung der Althänj^gkeit der Orj^übH- dang von äusseren Faktoren von ^rosäer Bedeutunfi; für tuu kausales Verständniss der so verwickelten vegetabiliiK^hpn Op- staltungsprocesse ist. so bube ich bei den höheren PflaD^en nach weiteren Fallen gebucht , in denen eine eolcbp Ab- böngigketi t^ich DHchwf*i<jen Usst.
Viele Phaneroganieii 7^igen die Erscheinung der Heb phyllie, d. h. sie bringen ira Veriftufe ihrer Entwickel verschieden gestaltete ßluiter hervor. Dokü dieAe Het phyllie uicbt eine erblich lixirte, sondern eint; durch innere oder äueaere KintiOäse bedingte ist, konnte ich, auch abge- sehen Ton dem oben angefnhrten Falle von Stgittaria, frflher in einigen anderen B4;l^pieIeIl nachweisen.
Die KeinipflauM von Vicia Faba z. B. bringt xunftoti »ebr einfach gestaltete, sogeniumte Primärblütter he M.'hufipen artige Gebilde, die sich von den später aufti^b LaubbltttLern beträchtlich unbencheiden. Es zeigte sich, dieselben Henimungübllilungeu von LaubhlütLern sind, i XU Stande kommen durch CorrelatiooiieiBcluünijngen.M kann demgemä»! die Hildung dieser tctinppentormigen niärblätter unterdrücken und die Fflance n5tbigta, «t«tt Lftubblitter, oder ^wiäcbenbildungen Kwincben dieeen und Primirblftttem hervontubriiigen.
Ein anderes Ikispi^d liofert eine ueiiseeländiach« ' Art (V. cupreäsuides). L>iesetbf gleicht, wie der bttogt, dnrch ihre üchupponfurmii^on, der Sproisofc anliegenden Hliitt«r einer Ctiprexäinve. Diu Verringerung Blattgrösse ist hier eine Anpassung an trockenes Klim». Keimpännxen dagegen besitzen rAinich«t Hache, deneu anderer Veronica- Arten gleicht^ude Blatter, fck ; die Ptlanzen durch Kultur in feucbtvni Knuiue zur A«nd« ibrvr Blaitform eu bringen (Pil.-bioL Schilderungtm I, S.{
>) Tffl. CTebcr ili« JagOMbafltad* der E'Oaat«». Plar» IS<.1
K. Oeebd: Dir AbhOnffifikeit tler Waltform etc.
393
'begflBRtigt jeder Änwwre Faktor, welihcr mn r|en [ LlitwDsbe^linirutigen der Pflnn/« aliw&icht, die Klick- fktthr mr Jngendblattfnnn. Eine solche Rückkehr, also einen Rnck>ch!aj» äu enr.ielen, Rflnng Buch hfi Heteranthera reni- fonnie. Ks ist dies eine monokotyle Sumpfpflanze, welche mit laiiggestielten, nierenfönnigen Blättern versehea ist. Die KrinipHanzen «her bringen, wie die vmi Sagitturia, Kunöchfit OpL ■ t:^. handfiimiigö BlHt+«r hervor.
i'ilan'Afn, weicht? «chon nierHnfÖrmige Blätter her- TOTyebnicht hatten, wnrden in Sand bei schwacher Beleuch- tung kultirirt. Bei einigen derselben, die schwach wuchsen, f^cUng e?, nie zur Hfickkehr zur Bildung der bandfijrniigen Priniärblätter au nfithigen. Dies kommt in der Natur, so- w»it bis jetxt Beobachtungen vorliegen, nie Tor. Wohl aber habe ieh Ivei einer anderen Pontederiacee, bei Eichhomia 'i acnrea, einen derartigen, an Seitensprossen auftretenden B K6ck»chlag frQher constatiren können (Schilderungen II, H S. 2t*8>. Ob die verminderte Lirhtint<»nsitat bei Heteran- ^U^ni reniformis die lTn>iiche de^ UUckitchlags war, mus ich ^BPHngestetlt nein lassen, da da» Material ein ym dürftiges war, tind wie oben erwähnt, ulle die Vegetation nngQnstig bceioflinBendeD Faktorpn Aas Anftretetn Ton Rflckscblaga-
IbUdBttg«» begOmitigen. Ganz klar nnd unzweideutig aber waren die Ergeboiase bet «iner dikotyten Pflanze, der Campantila rotundifulia. Kamen wir einen 1itQliendf>n Spross der8elb«*n in divt Aog»» » «eigt denwll)r di« Kracheinnng der Het^ropbyllie daHn, daw er beginnt mit der BUdang gestielter Blätter I nnit nii " ' f" " -ite, die vom Stiele deutlich abgesetzt
tüL L' '<'^n an der Basis, sie gehen oft so
svitig KU Grnnde, daM si« snr Zeit der Blßthenentfaltung nieht mehr nacliwi'isbar sind. Nach oben hin folgen auf diea« Bl&tt#r triebe ron ganz anderer Gestalt , sie sind iaowktliefa, ohne Differenz von Stiel und Spreite. Meist
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■■ Tir nihAnii fort, «tickt sa mcfct «or Bafaag 4er Ua^bmmr, . ■Mfciii «ord^ft. ^kaam «ir <6a» frftiMr b« S^pUftm «ic» ■ «bik «m4m kmte. «f 4m <*! il 4v Ji^iwiyiH ira (im 4pr Prw^fhtttor) mrilftiphilfrf Wories 4er- flrtäfft PAmomi 4tnkt aa 4a* FanMtr girtiUi. ao «atvicifitaa öa aacfa aoM« Moaaft laLagUitter ra« fpsz ■a4mg Pona aa4 BUUbca.
2. Hab«a 4w faai nwwn4wftoia Lkhtartritt Pftamea aa ifarcm fiade «choa cioc WfllWnkawpe ■njjilinl. ao M 6maäi 4aa VlaA/Aum ^ Ml«iäa4ea SpraaH BAtflr- ikh abgatchlnawa. Abar ab tMttaavjpnaae aatvicJcln ^k datto riflibeh Trieb«, «eleba RuadhCUiat tf^ao.
3. äproan, w«4ek<> xwv «r^oo LugfaläUar, abar bäae UlUlienkaAsiiao aagelcKt bab'j). kteoeB bei geaundartar Iiichtüitanirtil tfunUaii ««rdeo. a« ilar ^tsa wi«4«r Kaad- bttttar «1 UMaa. DaaiU iA die normala Btatftfolg« darvb die KokurbediagaigM voUfttodig na^pokclut.
Die AhbSnftigkaU 6m AaftrataM dar baideo, ao aefar ▼anrhiadeDea BUufonuen mo der Liditinl«ti«iUl äi damit hinmebeod bewi«MD : <He Boadbttttar fanten bai achwaidier»
K. QoeiKi: DU Abhänjfiykeü der Blatt form eU.
335
A\e Langblfitt«r bei stärkerer Beleucbtang auf. Erstere tjind auch für tStandorte von geminderter Lichtinteiisität, wie sie dit) Keimpflanze 2. B. an einem von andern Pflanzen be- aebBtteten Standort voHindet, be^unders geei>;uet, denn sie besitaen in ihrem, seine Wacbsthumstabigkeit lange betbe- haltenden Blattstiele ein Organ, das geeignet ist, die Blatt- spreite in die gfinst-ige Lichtlage 7,a bringen. Bei den ohne- hin dnrch die Verlängerung der Sprossreste über die Ura- f^bung emporgehobenen Langblättem ist eine solche Ein- richtung übörflQseig, während die Schmalheit der Blatt- spenite sie gegen schädigende KinflQsse von Wind, Hegen etc. widerstandsfähiger macht.
Die Frage, ob die Bildung der Rundblätter bei einer Keimpflanze unterdrückt w(;rden kötme (wobei dieselbe also sofort Langblätter hervorbringen wtlrde), wenn die Keim- pflanze von Anfang an starker Beleuchtung ausgesetzt wird, wurde in verneinendem Sinne entEH;hieden. Trotz Anwendung einer sehr starken Licht^juolie (zweier Bogenlampen zu je 2000 Normftlkerzeu Lichtatärke) bildeten die Keimpflanzen zunächst auch Rundblätter. Dabei ist hervorzaheben, dass es sich nicht etwa nur \\m Entfaltung von im Samen schon vorhandenen Anlagen von Kundblättern handelte. Dieselben wurden vielmehr, wie die entwicklungsgeschichtliche Unter- snohong lehrte, thateächlicb bei der Keimung neu gebildet. Dieses erste Auftreten ist also erblich fixirt.
Ueber die FurtsetKuug dieser Untersuchungen hoffe ich später berichten zu können.
587
üeber Potenzreihen auf dem Co&vergexizki*ei8e und Fourier'sche Reihen.
Ton Alfred rrtogflielm.
En wi 2^ A^ X*' eine Potenxrcibe mit dem Cunvergenzr r«dzua jx ^=1. Seiet iubii alsclium /.uiiacht^t für ixKl;
m
Z-A,2f ^ fix).
«o ma^ fix) fl)T die Stellen x =i c** diw CimTer^eiiwkrt'isM im all^emWDeu durch niimitttilbare analytische Fortst^tzuog und för etwuige singulare Stellen e^' uU lim /"(«**) definirt
»ein, Ikzw. da, wo dieser GreDXwerth nicht exiatirt, aU un- definirt gclton.
CoQVflrgirt nuD die Iteihe ^A^s^ fQr jc=:e^ noch durchweg oder wenigstens im allgenieinen (das soll hier und im folgenden xLetü bedeuten: iiiit eventuellem Ausschluss eia«r endlichen Anzahl von Stellen), so ist fflr alle Con- vergniMtelleo aacH eineTo bekannten AbeTachen Satze:
n)
f(^ = S'A.f'^^
Zj*" Ar \CUö y i^ -j- l • Hin V (* (. 0
338 Silsung der maXh.-phys. Clasie oom 3. Nooember 1895.
Andererseits ist f{e^^ in Folf^e der gemachten Voraus- setzungen mit Ausschluss einer endlichen Anzahl Ton Stellen 1?' eine nicht nur stetige, sondern unheschrankt differenzir- bare Function der reellen Veränderlichen &. Unter Hin- zufOgung der weiteren Annahme, dass jene singnlären
Stellen &' die Integrabilität von /"(c**) nicht atteriren sollen, muss sich daher /(c*') in eine Fourier'sche Reihe entwickeln lassen :
(3) /■(«*') = ^^"!f/'(^Orf^
Alsdann folgt aber aus einem bekannten Satze, dass die Coefficienten dieser Entwickelang keine anderen sein kOnnen, als die oben mit A^ bezeichneten. Mit anderen Worten: Allemal wenn die Potenereihe ^Ä^x' = f(x) för X = e** im allgemeinen convergirt und /"(c**) als »n- tegrahle Function von & definirt, so ist sie iden- tisch mit der Fourier' sehen Reihe für f{e^*).
Von den drei Voraussetzungen, unter welchen dieses Resultat hier ausgesprochen wurde, nämlich :
1) der endlichen Anzahl der singnlären Stellen von
2) der durchgängigen Integrabilität von /"(c ),
3) der Convergenz von Zj a^ c ', —
lässt sich die erste ohne weiteres beseitigen, wie die Unter- suchungen von Du Üois Reyraond über die DarstelJbarkeit einer beliebigen trigonometrischen Reihe als Fourier'sche Reihe lehren,^) sofern nur die Voraussetzungen 2) und 3)
') pBeweiK, daii die Coefficienten der trigonometri- ■ chen Reihe etc." Abb. der Bayer. Akademie, ßd. XII (1676). Vgl. inabeaondere p. 48.
A. i*rift0sh«im: Uelfar rtttcntrgihen iiit/* dem dnuergejukrtise. 380
1
bleib«u. Da indessen die betiouderen Bigenibfim-
1 :i, von welchen hier gebpnxjlien werden soll, M:hon
bei t'uncti<t;ien mit einer eniUichen Anzahl von Singolnri-
it«o zum Viinfchein kommen, ao null im folgenden immer
ur vuii «ülcheu die Hede sein.
Auch die zweite VomuAseUung kann man bis xu einem wi<!Ten Grade fallen la^en. Wie nämlich itiemann ge- i^t htit/) Kchlie»(t duri AuFtreLen gewisser rnendÜchkeits- lltrn, nt'lchedie Integrubilitikt von f{e^^) aufheben, den- noch die Darstellbarkeit durch eine trigonometrische ihe nicht aus. Es sind das solche Stellen &', fHr welche (e*0 ohne Maxima und Minima von niederer Ordnung aU dw erRten unendlich wird (NB. wenn nw\i nicht von hin- iSnglich niedrigerer Ordnung, um die Integrahilität von /■(*•*•) ÄU »ii;hern) und för welch.» /-(^f'*"^*'') -f /"(c**'"*^) in- tegrahfl ist. Freilich werden in diesem Falle die Integrale, olcho die Coeflicienton in der Fourier'scheu Form darzu- stellen liättt^n, in dem gemeinhin tibllchen Sinne divergent. 3w» brhnltett jedoch ihre richtige Bedeutung, wenn man ihre Hanptwerthe im CauchyWhon Sinne nimmt, d. h. wetLD man setxt:
}r(''>>
rlO =
P
Und mit Hinrjifügting die.ser MtMJification bleibt, wie '■ !: Miui gezeigt hat»*) die Eindeutigkeit der
L : I timmiing. abw die Identität Kwi^^chen tri-
fifOooiDotrtsohvr beviehungs weifte Potenz- Reibe einereeitii nud Fourier*6cher Keihe andererseits bestehen. Ich möchte .1, — .,*.... I^^then aU uueigentliche Fourier'scbe Keilien
*} «Uetter die Üaritülltittrkeit finor Kanclioa durch Bio« trigunotncUitvhe lUihfl*. Art 13. (Om. Werke, p. 244, a4&J >) a. a. O. Are M, p. ST C
340 tiiUnnt; der math.-phjfs. Ctavtt «oM 9, Jfontmber ltf9t.
bezeichnen und benatse diese Gelegenheit, um ein einfAcheü liei»<piol einer solchen Kcihe mitzutheilen (s. g 5 dicRp« Aaf- satzes), bei welcher die ConverKenz durch giinx elementare Rechnung direel erwiesen werden kann, wRhrend die Diver- genz der Oocfticienten iti der Fourier'schen Integnilform ohne weiterem aus der Form der zu entwickelnden Pnnctioo hervorgeht.
lui nhrigen bleibt hier noch die Frage ofiPen, nb die dnrch die conTergente Reihe i-i Ayt^ darg^tellte Func- tion f{«r*) nicht auch solche Singulariläton besitKen küntite. wfdche, ohne zu der eben betracliteten Kategorie zu gehSrcn, die Integrabilitüt von f{e^*) aufheben und damit die Oar- »Mlbarkeit der Rfiheii-Coefficienten in der Fourier''*chea ' Knrm unmöglich machen würden? Ob dieser Fall in Wirk-' lichkeit eintreten kann, niusä vorläufig dahingestellt bleiben: das Gegentheil ittt wenigsteiu, so viel ich weiss, bisher nicht bevrioaen worden. —
Wan nnn endlich jene dritte — die Convergenz vodj
£ ^r e*^ verlangende — Voraussetzung betrifft, m dQr mau vielfach der Ansiebt ttegegnun, doss muu divswibe ohne weiter») fallen lassen könne, sobald nur die Entwickel barkeit von f{e^) in eine convergente Fourier'whe Reihe fes^i steht, und dai» man geradezu aus der Existenz dieser lebir-^
tcren auf die Convergenz von ^Ä^e^ (und damit «o ipfin auf die tdentit&t der hetrefTenden beiden TIeihen):J echlieMten dOrjV. Ho «tagt z. B. Herr Darboux in N<riQ«mJ «If^mnire nur rapproximution des fonctiontt de tr«8- granda Dombres etc." ganz ausdrücklich'): »Nou« royona qne^ ti f{*), conaid^r^e commc foncbion de Targo* ment w de a sar le cerclr* de convergence, eutt d<-
^J Jounal ü« MntbAm. 8<^»- S4m, T. IV, p. IS.
A. Primgiheim: Vihtr I'nUnireihiH auf' df.m Crmrer^ouifcpfte. 341
reloppftble en serie tri^onometriquef^) la aerie qui l^reloppe f{x) suirant les pui»»ance:4 de « ijemeurera iBCure cuDVergente »ur lecurcle liiuite.* Dieeer Au-s- s|iru<^h Ktummt zwar «clton aus dem Jabre 1878, d. b. in- deoiea imiu«rUin aus einer Zeit, iu welcher die iu deu Äi^ beit«n dor Herren Christuff«!*). Pr^ui") um) Schwarx*) (IH71/72J zu Tage tretende «^.Imrfere Prüfurifc der (irund- Iak^ii den a4)g. Dirichlel'achen Priiicipef) bereits ge- fp-Onilete ßeiJenkeii K^geti <lie StichhaltiKl^eit der ohiKcii Be- bauptung bervorrufun komite. Im nbri^eii t^lutibe ich, daus uQcb beut« nocb Tiele Mathematiker jene Darbtiux'ache Aicfat theileo und die Frage nach der Oonvert^enr. einer
i>t«nisrcihe auf dem Cotiver^enzkreine »cbtechtbiD mit der- jenif^rn nach der Entwickelbarkeit der betretleiiden Uaud" function iu eliie Fouri«r'»ofae (leihe ideiitiHcireu. ßin<^ (reogere Behandlung die^^er Krage iH mir nur in den Ar-
Uteo des Herrn Thutue Über Uiiearu DitferentittlgUicbunKeii^^ und einer daran ankuHpfenden Abhandlung •lieber Con- vergenit und DivcrgeuK etuer PotenKreibe auf dem Cc/nTergenzkreiHe**) begegueL Hier wird vor allem be- wieoen, dass unter den nber die Natur der »tingulÜron Stellen
M tÜpmnter iit immer, wie aua dum giiawn /aiammeahange tiBiweid«utSft bvTTorg<>ht. eine FonrierVche Keih« lu rentehea.
*) Uebttrütelnteitrutton Tonxwei {iftrtiellen Differen> tialgleichungen. Unit Nachr. IH71, p. 4S&.
*) Zur Integratioa der Differential-Oleiahung -^
+ ?* ^ « 0. — Jonm. f. Math. Bd. 78. p. 860.
*) Zar Integration der parliellea Differentialglel-
«bttn« |v "^ |~i = **■ - Jo"»«- '■ M*"^- ^*^ ''*' P-2^®-
*l Znr Thijorie der linearen l'ifferentialgleichongen
— Joam. t Math. Bd. t)l, p. itU-i ff. i. be«ondeni Art. 4. 9. 10. — .
D«tfl. Bd. 95, p. U ff. «. Art. 8.
'» Joum. r. Math &). 10<), p. 1«7.
342 Silivng der malh-ithipi. CltUM pom 3. TiftottmUtr tf&6.
gemaoht«n Voraus«elzuii)i(en die OoefHoienten der Poten«- reilie wirklich identisch Rind uiit den Foiirier'sclien Knt- wickelunga-roeffirienten der Kntiiifimotion, und sodann tirri anä der ConvergetiK dieser Fourier'ticbBn (leihe auf die- jenige der (ntif dt^m Ootivergenzkreise mit ihr identiticheo) Putonzrcihe geschlossen. Ohschon nun aus dieser Art d<r BttweisRlhrnng die M>?inung des Verfassers deolh'ch hrrTor- gebt, daas es Fälle gehen konnte, in Jenen die fra^lictie f^chlufflweise nicht zutrifR', so ist ea doch weder hier, niKh aocb, 80 riel ich weiss, in anderen Arbeiten, deren Gegt^n- stand dies nahe gelegt hätte,*) direct ansgesproclien worden, daas ea derartige Fälle — und :cwar tfolche vtin verhaltni»- m&ssig einfacher Natur — wirklich Huch giebi. K'h will nnn in diesem Anfsntze zeigen:
Ka giebt tbatsächlioh Potpnzreiben, welche anf ihrem Convergenzkreise divergiren, obvchon die lu- gehörige Randfanction in eine convergenfce i^f^vnVr*- sobe Ueihe entwickelt werden kann.
In den folgenden l>eiden Fara^phen theite ich znnilchfl die allgemeinen üeherlegungen mit, welche mich mr Coa Rtmetion derartiger Fttnctionen gefQbrt haben nnd die m>- dann tu H \ /nr Bildung befttimmter Beittpiele bendtzt Wfl den sollen.
§2. & seien die beiden Reihen:
(I)
y;(Ö) = ZJ*" {ür iic» r 0 -\- K wn r 0) V(#) ■= &(- t^ CO» r Ä -t- a, «n r #)
' <J z.U. Bar&a«k, Abwendon« der Fnarisr*«eb«a BtUe aaf die Tb«ori« der Fonctioncn einer uompUxev VerA«- derltchen- — Math. Abo. Bi). 31, p. 800.
A, PfinfjAfim: lTfh*r Valentreiheri anf 4em CtmverffeHtkreine. ^^43
fQt 0^^^2.i durchweg oder weui^iiins im allgemeinen conTerß*>nt: ()nl»ei Mullcn diß CovfHcionten a^^ b reelle Gröasen von der Be^cbalfenbeit äein. dütüH für f ^ co dex (irenz- w«rtb bc2w. die obere Uiibe»tHumtbeUägreiiir.e von
niindefftinui einer der beiden OrftsBcn | fl, | *", \K\^ ^®" Wertl» I hat, wÄhr*»nd der enbtprechende Wcrth für die andere ■li»ter QröiMeii «uch < 1 sein darf. Seb.fc man sodann :
(2)
£'•(«.-*-*,»)•«-*' = /i(*)i
■o conrerKirt dieae Reihe für \x' >t. sie diverfrirt för JB <t, während sie fOr |di;|^l Qhergelit in:
(3) /; {r*'> = £;»- la, + h^i){co» r^ — i-mn v V>)
0
.twi in Fntge der gemachten VoransBetznng anf dem Con- Tsr^07.krei»e niK'h dunihwef^ od«r im allgemeinen oon- Tergirt,
Anf:;eDomroea nun. f^ {x) lasse sich Ober das gesammte Innere des Kinbeite- Kreises als eindeutige analytunhe Funclinü ohne aingulüre Stellen fnrtjietzen, ho niusa eine flir / «I < 1 conrergirende Potenzreihe existiren, deren Suinm^ /", (*) iirt, aUo ■
Ef iitt nun leicht zu enehen, daaa diese PoteDzreihe auf dem Kioheit«lcrei«e nicht convergiren kann. Denn wäre die» der Kall, m hKtte man :
(r*l
/j(r«0 = £*">*^(co5»'i9-|-i-»in vtf)
uud die Verglrictmng mit (8) wDrde ergebon, dass gle.ichÄeitig:
344 SUxung der mathrphtfa. Cliusc vom 3, AToMmf'Cr 199S.
A^ = Oy + by i und J, = — (a^ + K *)
sein mOBste. whb uiiniflgiich Ut.
Mail hätl« also auf diese Weise in der That eine PoteUK- reihe f (x) ^ '^ A^. x" gewüiineii, welche die oIwd verlangte EigeTwchafl: hat , auf dem BinbtMtKlc reifte £u d i r e rg i reu , obschon da^^olbät eine conTergcnte trigonomotriache Reihe für /| (c*') vorbanden bt.
Diese letztere besitzt hier in gewn«er Bexiebnnf^ noch einen ganr speciellen Charakter: ne bildet nämlich die Grenze der Entwickdung von /",(») nach negativen Po- ienxen von X. Man erkennt indesBtiii, dusi diese Kigetiächnfl durchaus unwesentlich und tu Wahrbeil auch leicht sui beseitigen ist. Bezeichnet man nilmlit-h mit f^x-=^ B^ 3^ eine l'otenzreihe , deren Convergenzrudius f^l ist« und die im Falle ^ ^ 1 auf dem Elnbeitskreiae noch durchweg oder im allgemeinen conrergirt, fo wird offenbar die Keihe:
(6) f(x) = f\ix)-i-f,{x) « h{A,.±B,)-iif
n
för x = tf*' gerade »o divergiren, wie die Reihe /",(*), während
(7) / (r*') - t^ { (o.. + h, i) . ff-* + B, . e^* }
0
wirdf und dieae convergirende trigonometrische Reihe jetxt nicht mehr die (irenxe di-r Kntwickelung von f{x) nach negativen, und im Fülle ^^1 auch nicht diejenige der £ntwickelung von f(x) nach positiven und negativen Potenzen von x bildet. Man erzielt die» z. R am einfarhsten, wenn man speciell «etxt:
(8) f,(x) = t^{ay~f>^i)-x*- also:
(9) /, te*') = £»• (fl^ — 6, 1) (cos K ö + i . Min v 0)
0
J. fVinffttm» t Utber PiaeMreth«H anf dem C&ntergtHMkreiM. 345
in welchem F»!!»* dann fix)*^ f\{x)± f^{x) auf dem Ein- rheitakrei« durch die trijfonometriische Reihe 2<p{&) btww. [2t-v'l^) darguliellt wird.
Durch die Tontcbende Betrachtung iid die Möglick- |.k«ii, Reiheo d«r gedachten Art xu construiren, «nnewn« [sohald es geling, Keihen nach lu'^ativen Potenzen von sp, wie die oben mit f^ {x) bezeichnete, boreuHtellen, welche uaf dem Einheitdkreise convergiren und iu das Innere aU eindeutige, dnrchweg regni&re Functionen von x fori- |f{6eetxt werden können. Um dies zu erreichen, wird [oan ^natQrlich niinÄchat nicht wie oben von irgend einer bestimmten 1 AnDabme beKÜglicb der C o e f f i c i e n t e n a^ , 6, ausgehen kOnnen, aonderu viehnehr ?or einer Fegtätellung der Singu- laritäten, welche für /",(«) auf dem Kiuheit^kreise erfor- derlich und zulassig erscheinen. Man erkennt über ohne weiteres, daas hierbei auseerwesenilicb singulare Stel- len, Mifiie algebraische und lo^arithmiitche Verzweigungs- punkte jedenfalU Ti>n vornherein auiczUbchUe^t^eu sind, da die ersteren die Divergenz von S (f,, -f- Ä^ i) • tf'"'*' nach I «ich r-iehen, die letzteren die eindeutige Forbet^barkeit vüu /*! (x) verhindern würden. AU mi »gl ich erweise zuläftsig bleiben daher nur weRentlich singulare Stellen, welche nm:h die besondere Kigeiiäcbuft beait»:en intlsaen, daas /, (2), tulln di« Variable x von aussen her oder längs der Peri- pherie deü Kinheiidkreisea .-«icb einer itolchen Stelle nähert, unter einer endlichen Grenze oder Kuni inindeäten integrabel bleibt
I Der EinHusB, den eine derartige, auf dem CoDTergenz-
kreise einer Potenzreihp angenommene singnl&re Stelle auf deren Convergenz utid Divergenz uuüQbt, soll nun zunächst genauer untenmcht werden.
wa. lUik-rbr« ct. a.
38
346 SUxtmg der wiatk,-fkp$, CUu$e ran 2. November 1895,
§3.
Es sei f(x) eindenttg and regulär för x ^R, wo i2>l, mit Aasnahme einer einsigeD Stelle auf dem Eio- heitskreise x^=a = e^. BezfigUch der Beschaffenheit dieser aingalären Stelle x = a antersehdden wir die folgenden zwei Fälle:
I. £0 sei f{x) fOr x=:a noch absolut integrabel, sobald der IntegratJonsw^ dem Innern oder der Peri- pherie des Einfaeitskreises angehört , d. h. das Int^ral • J f{x) -dx werde in diesem Falle mit iX^ — a\ bdiebig
klein — eine Bedingung, welche z. B. stets erfäilt ist, wenn f{x) iui Innern und auf der Peripherie des Einheitskreises in jeder beliebigen Nähe der Stelle a stets unter einer festen Grenze bleibt.
Alsdann lässt sich zeigen, dass die zunächst ffir } x ; < 1
geltende Potenzreihe für f{x) = ^r A, x^ noch för x : ^ 1
0 mit eventuellem Ausschlüsse der Stelle x = a convergirt
und mit der Fourier'schen Reihe für / (e ') identisch ist. Um dies nachzuweisen, denke man sich den Ginheits- kreis (£) constniirt und die Stelle a mit einem Kreise {K) von beliebig klein anzunehmendem Radius q umgeben. Be- zeichnet man sodann mit (C) diejenige Curve, welche aus dem Einheitskreise (£") entsteht, wenn man das kleine durch den Kreis \K) ausgeschnittene Biigenstfick (f) durch das entsprechende, innerhalb (77) verlaufende Bogenstuck (Jt) von (jK^) ersetzt, so hat mau für alle Stellen x im Innern von (C). also sicher für x < 1 — o:
(woU-'i 'la> IMu-izeichen vor C die positive Inte^rationsrich-
A. Pringaheim: Ueber Fotemreihen auf dem Convergenekreise, 347
tang andeaten soIJ. Da aber in Folge der gemachten Voraus- setzung der von dem BogenetKcke (Je) herrührende Bestand- theil dieses Integrals, gerade so wie ein Über (e) zu er- streckendes mit (k) und (e) — also schliesslich mit q — ■ beliebig klein wird« und da andererseits f{x) einen ein- deutig bestimmten, von q unabhängigen Werth hat, so kann man ohne weiteres das Integral Über {k) durch das ent- sprechende über (e) ersetzen und erhält somit an Stelle der Beziehung (1) jetzt für | x | < 1 die folgende:
und hieraus in der Üblichen Weise: (3) fix) = t-Ä,a^
0
wo:
(4)
(+*) 0
in
(+1) 0
Dabei lassen sich diese Coefficienten Ä^ noch in fol- gender Weise umformen. Bezeichnet man wieder mit ((7) den oben definirten Integrationsweg, so bat man offenbar :
2i,J^^'*''*'"'"^' = 0 {i.= 1.2,3,...)
oder, da man hier wieder genau wie oben den Integrations- weg (C) durch den Weg (£) ersetzen kann:
^''^2!rJ^^'^*''^''"''^ /^-J/(«'")-c'''"'*?'; 0 (. .1,2.3,...)
38»
348 Sittung der math.-phys. Glosse vom 2. November 1895.
Darch Addition und Subtraction dieser letzten Gleichung lässt »ich daher A^ in die doppelte Form setzen:
(6) Ar ==
- I /"(O • cosyi; • dt]
0
— . I /"(e^O ' sin»'»? • f^V
TM«/
(v= 1,2,3,...)
und man erhält daher, wenn man x = r-e^* setzt und r <r 1 annimmt, aus Gi. (3) die Entwickelung :
vt
an
£i7i*J n , ^
0 » 0
Andererseits muss sich f{e^*) in Folge der gemachten Voraussetzungen in eine mit eventuellem Ausschluss der ein- zigen Stelle i9^a convergirende Fourier'sche Reihe ent- wickeln lassen, nämlich :
2.-I
2.T
(8)
"^ (1 -"^ 1 0
und da die Reihe (7) für r =: 1 in diese letztere übergeht, so folgt, dass in dem hitr betriichteten Falle die Potenzreihe / (x) = 2j Ay X*' noch für x c^* (mit eventuellem AuE^schluss der Stelle x ^ a, /' = «) couvergirt und mit der Fourier'- schen Keihe für /'(e'-*') identisch ist. —
II. Es sei jetzt f{x) für x = a noch absolut inte- ^rabel. vnmn der Integrationswi^g dem Aeusseren oder lit-r PtTipherie drs Kiiiheitskri;i.-e.- an^ehJ>rt.
Kür das (.n-bict 1 <I , a: < iJ existirt alsdann nach dem Ijunn-nt 'M:lH'n Sal/,e «'ine Kntwickelung von der Form:
A Prim/fäheim' üfhtr Poi9nirfihtH auf Atm CotntrgtnMknitf. 849
OD II I
wobei di« R«ihe iler positiven Potenzen (welche «ch auf ' di« Cottütuit« A^ redncirt, wenn f{x) ttburhanpi keine wei- tere «toguUre Stelle ausser x^a besitzt) für \x\<ZR, aUo iiub«BODdere nocli fGr ;x| ^ 1 abaolut corivergirt. ^Setzt mau aUo (il. (9) in die Form:
(10^
t'A_,X"- = /(x)-i;r^^
1
- aus dem Ergeb-
•o folgt mit Hälfe der Substitutioii x ■
ntaae de« Falle« 1 ohne weiteres, dass ^A_,x~^ noch auf dem Einheitskreise — mit eventuellem Ausschluss der Stelle x^n - convtirgiren luuäs. Das Gleiche gilt somit von der Gesammtreihe (9), wurüUä dano aucb wiederum die
+ 00
Identität von £»-4,*^"^ mit Her PourierVheu Reibe für — « I f{^*) sieb ergiebt.
Daraus kann man aber mit Hilfe der in § 2 angestellten Betrachtung weiter fwhliesaeü, dass die im Innern des Ein- heiUkreiMa geltende Kutwickeliing von f{x) nach positiven Potcoxen vuo x auf dem Einlieitakreiae divergiren muas.
Um die Beechatfeuheii dieser letzteren Ueibe und ihre Beiziehung zu der Fourier'üchen Entwickelung von /"(«**) ' genauer festzustellen , bat man aucb hier wiederum fOr j;^< l — o zunähst:
1(10
"■>-^,Jß
fit)
dt
t+oi
in I aui^egebene Bedeutuug haben). Be- niit {k*) das ausaerhalb des Kinheits- [ krewea verlaufende BogenatQck des kleinen Kreisea um a, so
350 Sitgung der math.-phya. Clagae vom 3. November 1895.
kann hier offenbar das Über den aus (e) und (/:') zusammeu-
gesetzten, geschlossenen Weg erstreckte Integral: I ■ <l t
%i i — 3f
durch Verkleinerung von q beliebig klein gemacht werden. muss also, da es einen von q unabhängigen, bestimmten Werth besitzt« gleich Null sein. Addirt man dieses Inte- gral zu dem in Gl. (11), so ergiebt sich:
ftlr |a!| < 1 — ß, bezw. für [a;| < 1, wenn man schliesslich q unendlich klein werden lässt.
um zunächst das zweite Integral auszuwerthen, hat man :
1 ^ 1_ J ^ ^^v^?^«'*""'
t—x *— «!_ [^z3. 1 {x~ «r
und daher:
-ay~^-dt
(13)
1
Die rechte Seite lässt sich in eine für \x\K\a\ d. li. fßr I a; j < 1 convergirende Keihe nach positiven Potenzen von X entwickeln, so dass sich ei^ebt:
wo :
(15) B,^ fj-i-lY' (« + »'-1),.- C_,a-<«+.). 1
Ferner bat man für x < 1 :
A, Pringtheim: Ueber PotenäreAen auf dem Convergemknist. 351
wo:
(17)
'i-iJ?-' kJf^-'^-^^
+' 0
flieraach liefert Gl. (12) för 1*1 < 1 die folgende Ent- Wickelung :
(18) fix) = f,y B; X- H- S- O-r (a: — a)-'
0 1
= f;''(J5;H-B,)-x^,
0
deren zweiter Theil, wie die Form der Goefficienten C.y (s. Gl. (13)) lehrt, die Gesammtheit derjenigen Bestand- theile enthalt, welche die Stelle a zu einer (wesentlich) Sin- gular e n macheu : es sind nämlich die Coef^cienten C- y genau diejenigen, welche man als Coefficienten der negativen Potenzen von x — a erhalten würde, wenn man f{x) in der Umgebung der Stelle x^ a nach dem Laurent'schen Satze entwickelt. Hieraus folgt aber, dass die Reihe:
f;»- B'^x'' ^ f (x) - f^y 0-y (x — a)-»"
0 1
noch fOr x = a, also schliesslich auf dem ganzen Einbeits- kreise sich regulär verhält. Sie besitzt somit einen Gon- vergenzradius, der grösser als 1 sein muss (nämlich den Oonvergenzradius H ')), so dass sie insbesondere für | o: | ^ 1
1) Dab«i ist i?^ oo, wenn f{x) keine weiteren siof^Iären Stel- len im Endlichen betitit; und falls auch die Stelle x^ao keine sinf ul&re ist, ao redocirt sich jene Reihe auf das constante Anfangif^lied :
I
352 Sittung der math.-phy8. Classe vom 2. November 1895.
noch absolut convergirt. Da aber die Gesanimt-Entwicke- Inng von f(x) nach positiven Potenzen von x, wie oben be- merkt, für 1x1 = 1 dirergirt, so erkennt man, dass diese Divergenz aasschliesslich von jenem zweiten Bestandtbeile
f^yß^igr herrührt.
0
Es läset sich aber auch genau angeben, welche con- vergente Entwickelung für x = e^' an die Stelle jenes divergenten Bestandtheils tritt, dergestalt dass für fie^') schliesslich eine convergente trigonometrische — nämlich die Fourier'sche — Reihe zu Stande kommt.
Hierzu bemerke man, dasn die Coefücienten Bl zwar in (17) zunächst genau in derselben Integralform erscheinen, wie die Ä,, im Falle I (s. Gl. (4)): aber es ist a priori klar, dass sie nicht, wie jene, mit den Fourier'achen Ent- vrickelungs-Coefficienteu von /"(e*') identisch sein können. Um den Zusammenhang mit diesen letzteren aufzuklären, hat man die Beziehung:
J ,U{i)'t''-'-dt = 0 (r= 1,2,3,...)
(+0 wofür man wiederum, analog wie oben, schreiben kann :
0
0 :
wo : I)
1
- ., .i,^.\{y—\)>.-ra"'*-{f-ar-'-r{t)'dt
{Kl
A. Pringsheim: Ueber Potettereihen auf dem Couvergetukreite. 35S
(20) D, - t-{v-\)^_,C_^-a''---
Durch Addition bezw. Subtraction Ton Gl. (17) und (19) folgt alsdann :
(21)
i?; = .
\fit^*) • CÜ8 VT]drj — Dv
0
so dass die Entwickelung (18) för sc^r-e^* und r<l »ich folgendermuassen schreiben lässt:
(22) /(rc^O i^ jAc'")-d>? + ii;»'r'- J/\e'").cos,.(,?-Ö).rf,?
0 ' 0
1 u
Da andererseits :
(23) / tc*') ^:^U{e'i')'dl)-{']Xi''{t{e'i'^ • cua v(»; - »>) • dri
0 0
und in Gl. (22) für r = 1 alles mit Ausnahme des letzten Bestandtheils conver^ent bleibt, so folgt:
(24) lim [^yB^r'e^^A = ^y D e-'^
womit die gesuchte Grenz- Entwickelung von "^B 3^ für J = c^ gefunden Ist.
854 Sütung der math.-phys. Classe com 2. Noeember 1895.
§4. [. Setzt man jetzt:
(1) f,ix) - A = e.A'\
80 erföllt offenbar die einzige singulare Stelle x=^\ dieser Function die im Art. 1 des vorigen Paragraphen eingefiihrten Bedingungen. Man hat nämlich , um das Verhalten Ton f^ {x) in der Nähe der Stelle x = 1 zo erkennen :
(2) /, (1 + f + >?<) = e ^^' also: t
(3) |/'i(H-f + '?») = e ^v\
Gehört nun die Stelle x = 1 4" f 4" *?* "o^^ *^ß"* ^^~ nern des Einheitskreises an, so ist ^ wesentlich negativ und daher — was auch rj bedeuten möge — stets : f^ix)\<e.
Gehört hingegen x der Perijiherie des Einheitükreises an, «o möge gesetzt werden x- = e^', also :
X — 1 = « \e — c / = -»c • sin ^
und:
X 1 ,1 ar + 1 1 1 . , />
:.-] = 2 + ü-x-l = 2-2^-'^"^2 folglicli :
,. i - J . - cot ?
(4) /, (e^M =. e '
= e- y cos ( ^ cot 2) — ' ■ «'" (2 *^*^^ 2)1'
') Der Factor r iwt nur hinzugefügt, um einen möglichst ein- fiu-hen AufiJruck für die Kntwicklunge-CoefBcienten za erhalten (^. (.iL 19>).
Ä. Pringshtitn: üeber Potenereihen auf dem Convergenelcreise. 355
80 dass also in diesem Falle \f^(x)\ = e wird — auch in beliebiger Nähe der Stelle i^ = 0 d. h. x= 1.
Es muss daher nach Art. I des vorigen Paragraphen die zunächst ftlr { a; | ^ 1 geltende Entwickelung :
(5) /;(*) = t-A,x-
0
noch für |:i;| = 1 — mit eTentuelleoi Ausschlüsse der Stelle a;= 1 — convergiren, d. h. es gilt die Entwickelung:
(6) /;(c*) = c*'^'"^*« = i;v^^(co8v*-|-».sinrd)
0
für 0<^<2;i:, und dieselbe ist mit der Fourier'schen Reihe fflr f^ (c*0 identisch.
Daraus folgt dann noch insbesondere, dass die Reihe ffir ^ = 0 divergirt.
Was die Coefficienten Ay betrifft, so findet man atis:
1 e-e'~' = e- £« (- 1)^ -. (1 - x)""
= e (i + £« (-ir- -^,2- (« + " - \)x')
unmittelbar für v > 1 :
(7) Ay = c.£>c(_l)^\.(«4-v- 1),
= c • £- (-!)"• ^,{>c + y - 1)^_, (r = 1, 2, 3 )
und speciell: J^ = c • ij« ( — 1) • , = 1- Man kann aber 0 ^•
auch die hier in Form unendlicher Reihen erscheinenden
Grössen Ay mit Htilfe der Mac Laurtn*schen Entwickelung
in geschlossener Form darstellen.
356 SUtung der math.-pkjfs. Clasne vom 2. November 1895. Man findet auf diese Weise:
und ffir V > 1 :
Nun ist allgemein:
= t ir-7.i''+*-i*^-7^ir^!-*^~''?'''*(y)
r;
(x-1).'
(8) = (- ly. ix V ('• - 1 ' ,•1'"^" • 9-'"*(y)
und daher:
alüo sehlieäslich :
II. I>ie Function :
lim
/j (XI = t" =(.*-(
weiche zu der c1h*ii l»etracht«'t*Mi in <ler /.wiefachen Be- ziehunc ^t*'ht:
(11-
^(J) =
/
■C)
1 •
A. Pnnijiihcim ; üfber Foteiureihem auf dem CoHwrgcnzkrdee. 357
genügt, wie leicht zu sehen, den b Art. 11 des vorigen Paragraphen statuirten Bedingungen. Da nämlich:
(13) 1^,(1 +f + ,,i)i = e ^*^'
^«o wächßt dieser absolute Betrag über alle Grenzen, falls |i}|<Xc<!fI {k eine endliche positive Zahl) nnd { negativ, nnmerisch sehr klein genommen mrd, also wenn a: auf irgend einer geraden Linie au» dem Innern des Kinheitskreises sich der Stelle 1 nähert. Da im übrigen \fj{,x)\, wie die erete der Beziehungen (11) lehrt, för Steilen ausserhalb oder auf der Peripherie des Kiulieit^kreises auch in beliebiger Nähe der Stelle x => \ stets unter einer endlichen Grenze bleibt. 80 folgt aui« Art. II des vorigen Paragraphen, daas die ftlr !«{ < 1 geltende Potenz-Entwickelung von /j(x) ffir \x\ == 1 divergiren muBs, während andererseit« /if«**) durch eine convergente trigonunietrii-che Ueihe mit gan?. neuen Coefficienten darstellbar ist. Um diese letztere zu finden, kann raan ohne weiteres die Formel (24) des vorigen Para- graphen anwenden. Man hat — unter Beibelialttiug iler dort angewendeten Bezeichnungen :
f,{x) = r' ' = 1 +1.(-1)»'- -^(«-1^-
also :
CL. =- (- ir
und daher (noch §3, Gl. (20)):
358 SUsw%g der math.-phys. Glosse vom 2. November 1895. so dftss jene Gl. (24) hier lauten würde:
(14) lim |l»'Ä^r»'c'^'j = ^^A^e-"^'.
Beachtet man jetzt noch, dass die in § 3 mit B\, be- zeichneten Grössen für v > 1 sämmtlich Null sind (da f\ (x) keine singulare Stelle ausser x = \ besitzt) und dass (g 3, Fussnote) :
1 "■'
80 kann man Gl. (14) mit Hinzufügung dee Gliedes B'^ fol- gendermaassen schreiben:
(15) /tCc^O = lv^(cosv^ — i-sinr^),
0
ein Resultat, dessen Richtigkeit man mit Hülfe der Glei- chungen (11) und (6) sofort verificiren kann.
Es scheint mir auch nicht ohne Interesse, die aus den allgemeinen Ergebnissen des vorigen Paragraphen hergeleitete Divergenz der Potenz-Entwickelung von f^{x) für ,x = l nachträglich noch durch die Kechnuug direet zu bestätigen.
Es werde gesetzt für \x <^\: 1 (It)) f^ix) = e'~'^ ^B^x'-
0
(w(>l>ei also jetzt das im altgemeinen Falle und oben mit B'q-\- B^ bezeichnete conütante Glied der Einfachheit halber mit Bq bezeichnet ist).
Alsdann hat nnin Bf,^= f^i*)) ^ e und für i'>l /n-
näch.4 :
1
''' r!\ fix' /, = ,> r.'V,/("y;„^_,-
A. Pring^im: lieber Potmzreihen auf dem Convergenxkreise. 359 also mit Benützang von Gl. (8) :
schliesslich :
(17) B, - c.iwi(»'-l)^_,.
Da hiernach:
so wird mit r ^ oo auch lim ^^ = 00^ was dann nothwen- dig die DiTergenz von SSB^x* fQr |fi;| ^ 1 zur Folge hat.
III. Die soeben betrachtete trigonometrische Reihe für ff{e^) convergirte mit Ausschluss der einen Stelle ^ = 0. Man kann indessen aus den Ausdrucken /*, (x)^ f^ (x) leicht neue bilden, deren trigonometrische Entwickelung auf dem Einheitskreise ausnahmslos convergirt, während die be- treffende Potenzreihe dort divergirt.
Setzt man zunächst:
= 2 I ■ c sm _- . I
^2t X — 1/
so wird die für xj < 1 geltende Potenzreibe:
(19) U{x) - S^^Ä.-IK)-^"
0
wiederum für x = c*' divergiren. Dagegen wird die Reihe:
(20) /;(e^0 = — 2i-e"«sin(^ cot'^) = 2\%'A,,'%\mv^
360 SitMung der math.-phys. Classe tom 2. November 1895.
jetzt aach noch für ^ = 0. also ausnahmslos conver- giren. Sie convergirt freilich in der Nähe der Stelle i>= 0 nngleichmässig — wegen der unendlich vielen Maxiiua und Minima, welche /g(«^0 daselbst besitzt.
Indessen auch diese Eigenschaft lässt sich noch besei- tigen. Ich setze :
(21) F,{x) = (x-l)./;(a:) so hat man für |xi< 1 nach Gl. (5):
(22) F^{x) = {x—\)-3>'Äy x''
0
A^-\-^{A,-A,.,)x*+'
0
und nach §3, Art. 1 für 0<i?<2.t:
(23) J^,(.^.) = 2.-.sin|.J-^'(*-'"^^
- -^0 + Jv(4^_^ ).c
^.(>'+i)*^
Diese lieihe convergirt aber auch noch für /> = 0 — nämlich ifegen den Werth Null (da in Fol^e der bewiesenen Convergenz von ^A e''*' offenbar lim yl = 0 sein mus>).
Sie convergirt .somit aiisnuhmslns und, da sie mit der
Fourier 'sehen lieihe für die stetige Functitm f\ (/'''•) identisch ist. auch durchweg gleichmüssig.
Betrachtet man nun ferner die Function: (24) i;(x) ^ (x 1) l.ix)
6u winl für x < 1 :
{2r») F^ix) .X \)^Ii,r' - li^-^^-di,, 5..^,).x*'+'
A. PringAeim: Ueher ^tetureihen auf dem Convergentkreüe. 3C1
und diese Reihe muss wiederum nach § 3, Art. II für a; = e*' divergiren (da ja der Charakter der singulüren Stelle a; = 1 durch den Factor (x — 1) keine wesentliche Ver- änderung erleidet).
Andererseits hat man aher für {fr|>l nach Gl. (11) und (5):
= (x- l)-2yA^x-''
0
(20) == A^:e-3^(A,-A^_^,)'X-*
0
und da nach § 3^ Art. I diese Ueihe noch f(lr x = e^*' im allgemeinen convergiren muss :
(27) F, (c*0 = ^0 e*' -^U,- A,.^,) • e-^',
0
Die Vergleichnng mit der Reihe (23) zeigt dann aber ohne weiteres, dass auch diese Reihe ausnahmslos und durchw^ gleichmässig convergiren muss.
Hieraus erkennt man also, dass selbst in dem Falle, wo dif Handfunction in eine ausnahmslos gleichmässig convergirende trigonometrische Reihe entwickelt werden kann, man noch keineswegs ohne weiteres auf die Convergenz der im Innern geltenden Potenzreihe für die Stellen des Oon- vergenzkreises schliessen darf.
§5. Während das Charakteristische der in Art. II und III des vorigen Paragraphen betrachteten Beispiele darin bestand, dass die betreffenden Potenzreihen auf dem Convergenz- kreise divergiren, obschon die zugehörige Randfunction durch eine convergente Fonrier'sche Reihe darstellbar
1895. Mfttti.-pfaja. Ol. ». 24
3C2 BUsung der maiK-phys. Classe vom 2. November 1895.
iatf will ich jetzt, wie in § 1 angekündif^t wurde, ein Bei- spiel einer Potenzreihe geben, welche nachweislich auf dem Convergenzkreise (mit Ausschluss einer einzigen Stelle) noch convergirt, wohingegen die Existenz einer »eigentlichen" Fourier'sche Reihe, d. h. einer solchen mit schlechthin convergenten Integral-Coefficienten (vgl. § 1) nach der Natur der dargestellten Function definitiv ausgeschlossen erscheint. Ich setze:
also für \x\<\:
OD
(2) /(x) = -|-^--2^«,.^»'
und daher:
(3) lv(_fo- + ^ + ... + "^+';y = Jv.'
so dass sich zur Bestimmung der Coefficienten a^ die Re- cursionsformel ergiebt :
(4) ^"^ .vfzr == ' (i' = 0,1,2,...)
und hiorauH speciell :
(5) «0 = 1-
Ich zeige mm, das?; die Coefficienten a^ sämmtlich po- sitiv sind, mit wachsendem Inik'X T he.stJLndig abnehmen und für r = -x gegen Null convergiren.
Sclireibt mun in Gl. (2) (r — 1) statt »■. also: '■-I a^
u •' ^
und setzt '11. (1) in die Korm :
A. Pringdteim: XJeher Potenxreihen auf dem Convergemkreigt. 3C3
(7)
f »-H-l-x
+ «v
1,
so folgt durch Subtraction: (8)
V-l
- (»._x)(r-f 1-x)
Hieraus ergiebt sich, dass a^ > 0 ist, wenn das gleiche von Og, Oj, . . . a,,__, gilt. Da aber a^ = 1, so folgt in der That allgemein : a,. > 0.
Schreibt man ferner die Gleichungen (4) und (6) fol- gen dermaassen :
(i>)
1_ . 4^ <^x _ -
y
2^
-x-i
7 »-4-1-«
= 1,
so folgt wiederum durch Subtraction und Multiplication mit y -|- 1 :
(10, (.,+ ,)^^^^_.^ _.« = ,.
Setzt man hier v — 1 für i-, also : (11) v^ -^ -i' r= 1
und subtrahirt diese (xleichung von der vorigen, so kommt:
I— 1 f ,, _|_ 1 y \
I
7 \r-\-\—x r-xJ o<ier anders geschrieben:
(12)
v-l
-X .--
d. h. a,._j — üy ist sicher positiv, fiiUs alh? vorangehenden r>ifferen/.on es sind. Dii aber aus Gl. (10) für v = \ :
21*
S^i SkrMm0 der malJt-fityt. OoMte wm 2. Sor€^>er 1^5.
a^ — Oy ^ ;t sich ergiebt. £0 folgt wiedernm. das? allccmeic:
a,_. — fly>0 sein moas.
Da bieroAcb die posidTen Grössen a, mit wachsendem r bestäodig abnehmen, so besitzen sie für r = x einen be- stimmten Grenzwerth. Dieser muss aber Null sein, da ac- dernlalls die linke Seite der Recamonsfonnel (4 t wegen der DiTeigenz der harmonischen Reibe mit r in"s Unendliche wachen wurde.
Aas den eben nachgewiesene q Eigenschaften der O^efti- cienten a^ fulgt aber Iwkanntlich die gleichraässige C^n- vergenz der Kelhen 2^a^<i:\tsr{t. ^a^»mr&. mit even- tuellem Ausschlüsse der -Sterile & = M. also schliesslich die gleichmääsige Convergeuz von J^a, x' für x^«*^*'. mit erentoellem Ausschlüsse der Stelle x = 1. Hier divergirt in d^r That die betrachtete Keihe. wie ^ich daraus ergiebt, dass lim f{x) = — x wird, wenn x auf dem Radios der
stelle 1 zustrebt.
Andererseits erkeimt man ohne weitere-, das? f\x\ aU KuEcti'>n von x in 'ier Xäli-,- 'ler St»-lle x = 1 nicht inte-^raWl ist. da si** f'Jr x = 1 >■' 'ineadlich wird, wie
h- mri>-i 'iiinn at.'^r üUi-n / r i als tunclinn
1.1 X
vun »> an der Stellf <> ^ n lüe Intriirabilitäi verlieren, da ('.''' — 1 ( ^ li I ■ €" ' • sin für (^ ^ •' iierade so von der
•■r>t*'n OrHn!m!;r ver^chwinfi^rt. wie tx — 1 1 für x = 1. Hier- a'i- fiplgt dann aV^r. -laN- din Ii.t<-irraI-l.'i:'eftioienten der Fouri'- rächen Reihe nii .o!:i'*iit liehen" -Sinne divergent w.-ri-n mi.i-,--n : liie l".-irrliV-n<if Rfili«^ i-t aUo eine ,un- fiLT'-nT Ül' i;«:?"' F-';r i-r —li- Il'-ilie in -icin t>hr\\ (Jj 1) näher 'i'-ri'iir*'-:' S:i;i>.
ac5
Ooffentlichö Sitzung
VII Ehren Seiu«r Majest&t des Küni^js und Jseiner Königlichen Huheit des Prinz-UegeDken
um 16. MoTeinber 180&.
Der PriUident der Akadezniß, Hürr M. v. Petteukoferf
crölfnei die SiUunjf mit folgender Ansprache:
Die beatige Festsitzung za Kfaren anseres hohen Pro- unt, dw Priir/. - Rt'Et^nten I,uiti>olH vm Buv*'rn, zu dem
t'hrfurch*«iToll Jiufbliclu'u, mahnt uns xnglficli, seiner Vorgänger ans dem Haiue Witteisbach zu gedenken, welche sich um uuj^re Akftdemie iu hervorragendem Muasäe verdient genui'ht haben.
Vier von ihnen, welche wir theÜH als Stifter, theilä al» Keorg«nt!«atoren der Akadeniic verehren, bat unsere Akademie der Hentelliitig tmd Krrichtung dieses Kestsaales dadnn-h 0D4erft XU ehren (jegliiul)t, dii&s äie inmitten der Symbole aod Wiihlsprdcfae unserer Akademie ihre Portrait^ an der Uecke des Saalt» anbruohte.
/aoürhfit ixt n der eigentliche SÜfler unserer Akademie, KarfQnit Maximilian 111.. welcher nach den Worten meinea Vorgängers an dieser Stelle in ihr «einen Herd für Qeüte»- Hldang and ernst« Studien für Bayern geschaffen* und
einem bialong Im^tt^ron Gebäude die erste Fackel aiige* xfliidet hut*.
36Ü Sitzung der math.-phys. Clause com 15. Sorember lbi*5.
Ihm zur Seite ist das Bild des EorfGreten Karl Theodor, des Stifters der karpfölzischen Akademie der WisäenschafU^n, welche zugleich mit der alten kurbajerischen in der jetzigen königlichen Akademie fortbesteht. Karl Theodor bat »ich unter uns dadurch ein bleil>endes dankbares Angedenken ge-ichert. dags ein Ton ihm herstammender Fonds von etwa 180,000 Mark . der sogenannte Mannheimer Fonds . eines der wenigen Stiftungscapitalien ist, Ober deren Rente unsere Akademie in freier Weise für wissenschaftliche Zwecke ver- fügen kann.
Der dritte, als Stifter von uns verehrte Fürst ans dem Hause Wittelsbach ist König Max Joseph I., welcher im Jahre 1807 der Akademie eine den Fortschritten der Wis>en- schaft, sowie der grösseren Äusdehnuug des bayerischen Staates angepasste Organisation gegeben hat.
Damals wurden unserer Akademie eine grössere Reihe von wissenschaftHchen Sammlungen und Instituten ange- gliedert und untei^eoi^net. von welchen ich die damalige Hofbibliothek, jetzige Hof- und Staatsbibliothek, das Xa- tumliencabinet. das chemische Lab>ratorium. das Mfin/cabinet. das Antiquariuin . das astronomische Ubservat^triura als die wichtigsten nenne.
Eine Aenderuni; in dit^er (>rcrani»atinn veranlasste die Verlegung der Ludwiif-Maximilibins-lniver^ität von Landshut nach München, welche im -hihre 1>^2'1 unter der Regierung Kiinig Ludwisr-- 1. trfolirte. Manche der genannten und andere wissen>cha!'iliche Institut*- und Sammlungen mnsaten nun in nähere ViTbiiniuiii: mit der Hochschule gebracht und desshalb ans ihrer bisheri<;en Al>häniriirk<_'it von der Akaileuiie theilweise befreit werden. Es erscliien als zweck mris>ig, in der Form einer Personalunion ihre Verhindunir mit der Aka- demie tiirt/usetzen. indem liit* Akaileniikcr. wt-iche Conserva- toreu \\>u Sammlungen waren, aucii zu l'uiver>itätsprofes- soren, udt-r unigekt-hri riiiver?iiat?prul"t.**5ureu zu Couserva-
r. P€$te»kofrr: ErtJffmimjsTtdt.
S67
Uiren ertumofc wurden. Die bis dahin der Akiuleinie nn- g«glivütfrt«n ivitsen^cliuflliciioa loitituto oud äauimUmgen bildeten eine eigene unter dorn üeneratconi^ervatorium (geeinte K i"^ ' ift, wälirend die Akiidemie den Charakter eines fi< < inä vun Gelehrten erhielt, dea^o Aufgabe e» sein
aoUic, die WisKeuM^haft zu pflegen und sn erweitern, sowie durch \erejnte tCrufl Werke hervorzubringen « welche die Kraft« des Einu'lnuu übtir&teigeu.
ZogUich bekam die Akademie die Aufgabe, die wisisen- MbafUioliv Vi^rbindiing mit gelehrteu Körperschaflea des Xn- iind Aiulandt^ ku pflegen.
Oi» Piiixinaltiiiioii mit jenen im OeneralconjtervatoriüiD
iten wiaBeni>cliaftlicben Sammlungen wurde dmlnrch her- geNtellt, da-ift der atifangs gewühlte, tlanu vom Künig ernannte VuntAXkd der Akmlemie zugleich zum GenoralcuiiHervator bestimmt wurde, »owio dadurch, daiä in der Kegel nur Mit- gliedar der Akademie zu Conservatoren der wisse nscbaftÜchen Sammlungen und Institnio ernannt wurden.
[Jurdi die.«u* Neunrgauitiiitiun, wclube heute noch du» Gnindgesetz beider KiJrperschafteu büdel, hat König Ludwig I, den Anftprueh erworben, den Orfindern unserer Akademie beigesälilt im werden.
Unsere Akatlemie ial in ilen seitdem verstrichenen sieben Jahrxelmteu der ihr gestellteu Doppelaufgabe treu geblieben: in einer langen Keih*) von Händen hat »e durch vereinte Kraft wuftieüpchbftliche VVörke von bleibendem Werthe ver- 5fl»»lli<3bt; in ület« äteigendem Ma^iäe bat nie mit gelehrten Körper^- haften dtw in~ und Auslände» wi-uenw-hiiftlichen Verkehr geptiogen und auf dem Wege dea Schriftentaiusche* die inxwiKbeii »rt1'?<iänd)g gewordene Uof- und Stiukt^bibüothok mit einem Schatz werthroUer Bücher bereichert.
Aber eine neue groMC Aufgube ist Mither an unsere Akademie wie an die anden^n verwandten Oelehrteu-QeselU «obaftcu der alten und neuen Welt herauge treten« die Auf-
9G8 SittUHff der mtUh.-iihtfif. Claiae mm tS, ^ortmler IfiSö.
gilbe Dninlich, nicht nur die wiaätinscliaftliclien Untcrsuchutij^en ibrer Mitglieder durch den Druck en reröffentlichea, sondom in Freierer Wei>ie nuch gelehrt« Forschungen Andcri^r «uf allen VVissenagebielon aiiznregen und zu unterstützen. Dieser Aufgabe können t>ich die Akudemion in ihrvr freien, nicht durch die Zwecke des Unterrichts gehundenen VerfiuKtin^ weit besser unterziehen, »U die rniverbitäten, uder als eine etwa unmittelbar von der Staatsregierinig abhiingige Beh5rtlt*.
König Maximilian II., mit seinem erleachtet«n und warmen Interesse für die Wisyenschuft, hatte diese neue Auf- gabe der Akademie klar erkuont: er begründetu darum bei der historisclien Cliisse uii.terer Akademie eine eigene hi'^t-i- riäche Comminsion und «teilte ihr die Kente einen CapitMls von 6.')0,0ü0 Murk zur Verfünrmg mit der Aufgabe, QnellfU» nuiterial für die deutsche Oenchu'hte in ihrem ganxen Dm- fang aiifzutinden und herauszugeben, vtssencchafUicIie Ar- beiten auf diesem iiebiete hervurxurufen und ihre Pohlicatiou zu enuüglicheu.
Auch fQr die NaturwisseoiKhaflen batt« K5nig Max Aehnlichea im Sinne. Leider hut sein frOher Tod die Aos* fnhrung rereitelt, ^\ das» nunmehr die l>eiden linderen ClasaeO un«erer Akademie, diu phüijNupbisch- philologische und d\i mathemati:ich-phj^ikalische, mit einem gewinen Neid auf ihre reichere SchweNter blicker.
l^nd doch dari' ich, ohne den Vorwurf einer unbilUgvn UevorzQgUD« duA WlsHenägebietea, dem ich penunlich meine Dienste gewidmet halw^ befOrchlun zu mEfMien, hier di« \^^ hnuptnng auf^it^llen. daas heutzutage <t V ' . '' '■■ m
tiebiet der NaturwiaMtuehalleu wi •:-
ttuchungen Anzuregen und zu untendCftzen, aUgeturin aU dat allerdringetid»tf? empfunden wird.
rosere Uofiuung, dui auf dem Wege der StaatAhlUf« dieses iSedUrfnim eine auAgiebi^o Befrit^igung flndra werde, ist — ' üflai geetanden — nur eine geringe. £!■ wfir« auch
p. Vtltenicofer: Üröffnungareäi .
m
n ' " - von der Mehrheit der «ii» der Mause de« Volkt» u 1 Vertreter 7M erwarten, dhss nie alle ein klares
VffrKtiindni-« dafür liiilMm, daa« miUelhar die der reinen iV iiaft, dienL'nden üntennichunKen tmd Korsclrnngen
^-..1 eine die Woblfahrt und den Wohlntand de» kränzen Mkw r'>rderDdo Kot^e haben, wofUr ich Beispiele in meiner Antrittsrede als Präsident der Akademie mit^etheili halw. Ferner aind die Anfr>rderiin>;en, welche Heer, Schule, Ver- kehr II. ft. w. an die Steiierkrufl des Landen »teilen, so gross, dass jede Lnndtat^verhandliing fHst iuinier wie ein Markten Kwittcheii Regierung tin<l Volksvertretung über diw Mehr «der Minder der für diew nuthwendigsten BedürfniH-so fiforder- liehen Geldmittel erscheint.
Eher dürfen wir erwarten, duss einzehie einwchtigo und zugleich wohlhabende Männer, namentlich Industrielle, welche mit einem durch eigene wiaieDachafUiche Vorbildung gc- ■kchürflen Urtheil erkannt haben, welche Vortheile der Ton hnen betriebene Industriezweig mittelbar streng wisseu- diaftlichen Forschungen und Untersncbungen verdankt, sich ibrcrKeit« der Wissciwchaft. gleichtun wieder dankbar erweisen n-'T'Ii-n, indem sie unserer Akademie die iiothigen Mittel zur Verfllgnug stellen, uaturwiasenächafttiche Forschungen und Untt'rMunhuugen anzuregen und 7u unteretützen. Solche Männer werden nicht so engherzig oder knrriiichtig sein, xn erwarten. da.i-* derartige riiti^rsnohuiigt-n gleich von vorn- herein Mtfort einen in Geldwcrth umzurechnenden Nutxcn versprechen, üondem sich von den Wuhleiprachen, welche iiiiaerB Akademie hei Au-vichmHckung dieses Saales sich au- greignH hat, den vor Augen halten, welcher sagt; Serimus mrboret poateritati profutunüt! LusAt un» Baume pflauxen der Nachwelt lum Nutvtent
370 Sitzung der mathrphyg. Glosse vom 15. November 1895.
Wahlen.
Der Classensekretär, Herr C. v. Voit, giebt eodanii die vüD der Akademie Torgenonimenen und von Seiner König- Hchen Hoheit dem Prinz -Regenten bestätigten Wahlen be- kannt. Es wurden in der mathematisch-physikalischen Classe gewählt :
zum ordentlichen Mitgliede: Dr, Ferdinand Lindemann , ordentlicher Professor der Mathematik an der hiesigen Universität, bisher ausser- ordentliches Mitglied;
zum ausserordentlichen Mitgliede: Dr. Wilhelm von Miller, ordentlicher Professor der Chemie ,
au der hiesigen technischen Hochschule; J
zu correspondireiiden Mitgliedern: i
1. Francesco Brioschi, Präsident der Accadeniia dei Lincei
und Prüfe:*sor der Mathematik am K. Istittito tecnico
superiore in Mailand; '2. Dr. Karl Neuniann, Professor der matheniatirschen Physik
an der Universität zu Leipzig; ;J. Dr. Hendrik Antoon Lorentz, Professor der Physik an
der Universität zu Leiilen; ■1. Dr. Alexander Kowalewski. Professor der Zoologie und
Akademiker zu St. lV't<.'rsburg; ."(. Albert Uaudry, Prolosor der Paläontologie am Jardin j
de.> Plantes zu Paris, Menibre de Tlnstitut; j
<■". Sir Archibftl'l *ieikie. tienunildirektor der Geologieal
r>urvev viin Gr^^^^lJ^itilnIlit'n in London ; 7. Ni'vil Story Maskelyiio. Professor der Mineralogie an
der UTiiver>ität zu t>xi'urd.
371
flitsimg vom 7. Dwemlifr IgWfi,
1. HoiT H. SKKMaKR In^t- nnf^r H«M-itrc(;lning Jes Inliulin t*Inc AbUundlung des Herrn Vroi^^on Dr. K. Leqmamn- KiTBEsin Berlin: .üeber die SUcuUrAt<irutig tler Länge des MnntieR tintcr d«r Annfthtne oiner sich nicht mo-
U'ntun fortpfl»KZt»iiden Schwerkr»ft' vor.
2. Herr W. Dyck bringt eine Abhandlung des Herrn IVivmtdnxenten Dr. Eduard von Wkber: .Ueber gewi««© S^nteme Pfttff'acher Oleichüngon* in Vorlage, welche
^ «ch an die in der Kebraar-Sitzung d. J. mitgetheilte Unter- ^■^sQcbnng anäclilieäsL
j^^H 3. Herr C. v. Vqit tbeilt die Hauptresultate einer in ^^^win«>m Ijabonitorium von Hrnrn Dr. AtKXANDBK Ku.iNGEk ^HKa^Ueführtcn Untu^!^uchullg: «lUber dun Nührwerth deü I^^^AuiijiGptons* mit.
m üeber die Säcularstörung der Länge des Mondes unter der Annahme einer sich nicht momentan fortpflanzenden Schwerkraft.
rWivifaitfbi 7. DNtmkn.l
Seitdum Laplnc« im VII. Capitel den X. Buches der
nique Celeste eine Untersucbuug tllwr die Wirkung einer
-ion «Qccefaive de In pt^antenr" miti^otheiU hat,
^1 !;3cbe Diftcnsnonen des Newlon^chen Oravitatitinä-
g< v-t/< -^ for lange Zeit von der Tage.inrdnung rerst-liwundfU. Krot in nrueror Zeit hat ainn derartige Kragen, Ober deren ^V- ■ V V^it wohl kein Streit «ein kunn, wieder mehr in*s A .i.-1-it, indem nmn einerseir.'S die Fr»lgi«n i-iner t'iwnigein
rndliche» KortpflanKtingsgeAch windigkeit dtT Qraritatiun für
372 SUfunff Ar malhrj^y». (JlmM vom 7. Dteember tSM.
die planeUriscben Bewegungen auf Grund Ternchiedener Uj- potheian erörtert, andererseits in Krwägiing gezogen hat, ob die Inteosilüt der Krufl nicht in niiier linderen Fomi a!« Function des Abotandes der sich anziehenden Massen t hei Ichiii ^e^ebei) trerden nitiHS, aU gm durch Nowtxiu gtäcbehen iat.
Beeocdera die letztere Frage hat vor etwa einem Jahre »tine sehr bedeut^iime K5rderuns^ erfahren durch SeeUf^r'a AiifttHtz .flebt^r dius NewtrMr»che OraviUiionsgoMtK* (Attr, Nnchrichten Nr. 327<i). Eine weitere sehr amfassende Biv rcicherung di<r diesen Uogensturul betrefTendt-n Literatur ist erfolgt durch die soeben erschienene Schrift, ton Cur) Neu- munn, « Allgemeine Untersuchungen Über das Newton 'sciie Princip der FernwirkuDKen/ Ueber den Inhalt dieaes bi>chst wichtigen Werkes gab schon eine ohne Zweifel vnn C. Keiimann selbst Terfasate Anxeige in lien »Mtiteihmgen der Verlagsbuchhandlung B. (S. Teubner in Leipzig*, 28, Jahr- gang, Nr 5 eine vorlänfige Orientirung.
TJebcr die xiierst genannte Fmgo, die nach drr awrit- Ucben Fortpilan/uug der Gravitatiun, liegt gleichfalls eine anwhuliclie Literatur vor. Li di&tes Gebiet gehören auch iVw. 1'nten4iichungpn (tber den KinRuss, welcln^n z. B. die relatire Gescbwiudigkeit der sich anziehenden Punkte auf Grund des Weber'scheii oder Riemann'schen Gesetzes auf die planctJiriK'hon I^jwegungen ttii:snbt. Eine »ehr schätzhare /Cusjimmenntelhing der wichtigfiton oinKchlägigen Arheit«*n i»i erat kUr/.lich in dem Auf>Ht/.e von S. OppeiihMint .Zur Krag« nach der Fortpflunzungvgeichwindigkeit der GravitAbon*, Jahresbericht llber das k. k. Akadenii»che Gymnasium in Wjtn für dai Schuljahr 1894—95, gegeben wonlon.
Die vorhandenen Untersuchungen begeben sich alte in erster Linie auf die Itewegnng eine» Planeten um die Sonne« und *'inc Anwendung diT für die»e gefundenen Formeln aaf die B«wi.*guiig des Munde«, wie sie S. Oppenheim auf S< IH »eiiivr SohrifL bei Baiprecbung der von v. Hepporger ifi dau
t^hmanit'hVhfA: HücutarMtärunp rfw lainqi da Mondn nie. 373
8itÄung»iherichten der kais. Akademie der Wit^sfaschaft«!] in Wien, 1888 voröffentlich ten Arbeit „Ueber die Fürtpflaniitmgs- ffescb^^ Ii der VJravitAÜon' von dessen Ausdruf^k für
die Su : L tiiiig der Läny:e eines PUnofcen geruaobt düt,
ftthrt xn keinem richti^n HesalUt.
Der Verfasser der vorliegenden UnterHuehiin^ h«t bereits im .Iiihre 1884 in Nr. 2<>.^0 der Astr. Nachrichten eine Untv^miichving Ober die Bewegung eines Planeten unter der Annahme einer gieh nicht tnomentun fortpHan7.euden Schwer- kraft Teröffcntlicht. Die dor Kcchntinp zu Grande jjelegte, später auch VOM ?. Hepjier^^er in Anwendnng gebrachte HjrpotfaeM ist die, da» die Gravitation ähnlich wie da^ Licht »on dem Kraftc^ntrnm aui^trahlt. nnd dasfi die tlravitations- fttrahten j<ich wie die Licht-^trahlen mit constanter tiesohwin- digkoit gradlinif7 im lianmc verbreiten. Bei der Begegnnng mit einem Miuäenpunkte ut also deit demAn^ganj^e dea be- ti«ff«nden Imritlaes eine, wenn auch Uücb m kurze Zeit ver- gangen, in welcher der anziehemde l'itnkt im Allgemeinen Moeti Ort gettnderi hat Hierdurch entstehen dann Be- wejriinifKstrvrnngHn gegenüber dem Fall einer siich momentan Buabreit'-'uden Kraft, welche eine gewisse Analogie zu den Ab*'rriitif>DM*rschein(ingen be8it7,en.
Diese Ilypotbone ist aU eine rein inathemati^cbe aufzn- £uAen. indem ir^iend eine VorstoIlunR Öbor die physikalische Nator der (Inivitatioii, wie wir sie z. U. Itei LupUcu linden, daiin nicht aimtgcüiprochen ist.
Die DnrchfOhrnng der erörterten Hyyiotbe^e i*t nnn jedenfaib «ino unvolUtondige, so lange sie nicht auf den- jenigen HimmelNkörper, dessen Bewegung un» wegen seiner gToci(«n Nfihe ihre Kigenthntniichkeiten am deutlichsten er- kennen lä^t, angewendet ist. Auch nnter Zngrundelegang ftoderer l]ypMtbe«en, /. B. des Weber'schen Oe^etKeA, ist die Moniib«wegiing bisher noch nicht genauer untersnuhi worden, ofTenbar deihalb, weil, wie v. liepperger am Schlujb« meiner
37 4 Sitzung der wxth-phjf*. Cla*$€ rom 7. Dfsmbtr 1S£*5.
Abhandlang ganz richtig bemerkt, die Entwickelaogen ,in Folge fler krommlinigeo Bewegung der Erde ood der durch die Sonne bewirkten Stürongen mit großen Schwierigkeiten TM-bnodea' sind.
Wenn hier in dieser Richtung ein erster Schritt, der boffientlich Nachfolge finden wird, gemacht wird, so ist von Tomherein zu beachten. A-ass das Verfahren bei der unge- meinen Comptication der Aufgabe nur ein approximatiTes sein kann. Auch ist das Thema insofern eingeschränkt worden, als vorzugsweise die SäcuUrstörung der Lunge zum Gegenstande der Untersuchung gemacht wurde, wozu der Umstand, dass ein Theil der säcolaren Beschleunigung des Mondes durch die Theorie noch nicht erklärt ist, aafzu- fordern schien. Dass hierbei der Kadinsvector und die Länge auch in altgemeiner Weise untersucht werden mussten, liegt in der Xatur der Sache.
Das Resultat i^t ein negatives, da nicht eine Beschleu- nigung, sondern eine Vtrrzögerung der Mondbewegung ge- funden wird, deren Betrag noobdazu zu Annahmen über die Fortpflanzunjr>gesthw'ii:<iigkeit der Gravitation nötbigte. welche wenig plausibel erj^heinen.
Derartige Reobminirsertrebnisse dürfen nach An>iebt des Verfa-saer? nicht iluhiii t'ühreu. die Behandlung der betreffen- den Fragen überhaupt aufzugeber.. Vielmehr ^ollte man die Unter.-«uchungen auf ver»ihiedenen Grundlagen weiterführen, .nicht etwa". wi>' C. Xeumann in iler erwähnten Anzeige seine* Buche> ?agt. .in d^r Hoffnuiig. d*-:^ eine soK-he Theorie sofort zu phvsikiili^th wichtigen Auf^cblü^^st-n fübien werde, vjndern nur in dem Be>ireben. den j^anzen Kreis der hier- b»-r ;iebörig»^n \ '>r>ielluijgfn zu ordnen, zu erweitern und vii.-lleicht t'iir kunfliLien 'lelirauili nutzljar zu machen.
Lehmann-Pühia : SaetüarstÖrung der Länge des Mondes etc. 375
L Aufstellung der Differentialgleichungen.
Wir nehmen ein im Räume festes Coordinatensystem an, in Bezug auf welches der Schwerpunkt der Erde zur Zeit t die Coordinaten ^ot i^oi ^o ^a^* ^i^ Element dm^ der Erd- masse habe in Bezug auf den Schwerpunkt die Coordinaten fo* 9of io ""^ ^^" Abstand ^^ von demselben, so dass
Ql = 3^0 + 924-3? 1)
Das Massenelement der Erde wirkt anziehend auf das Massenelement dm des Mondes, dessen ganze Masse m heisse. In Bezug auf das feste Coordinatensystem habe dm die Coordinaten ^'. i/, t\ in Bezug auf den Schwerpunkt der Erde x\ }j\ e'. Der Abstand zwischen dm und dw^ heisse <$, zwischen dm und dem Schwerpunkt der Erde dagegen r', sodass
d» = {X' - y„)» + {y' - ijj» + {z' - ,,o)^ ,
l-(/-»)o)*+Ü'-W' 1
'-'/o-»»o)*H-(C'--:„-io)M
Wenn die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Gra- vitation fortpflanzt, durch — bezeichnet wird, so ist die Zeit,
zu welcher der auf dm wirkende Impuls von dm^ ausging, gleich / — öd, und zu dieser Zeit waren die Coordinaten von rfmp
^o-^fo ^"' at "■" 1-2* dC^ 1-2-3' rii» ^"■"
^o-^9o "»• ^i" '^Y-i'^ di-i 1.2-3* ,^3" "T---
^i-io •'°*' V( " "T" i.'2 ' rfr^ 1.2.3' "d(3 -r--
Da nun aber jedenfalls 66, d. h. die Zeit, während welcher die Gravitation die Strecke ö durcheilt, eine sehr kleine Grösse ist, so genügt es, nur die erste Potenz der-
376 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Deeember 1895,
selben zu berücksichtigen, d. h. für die CToordinaten von dm^ folgende Werthe anzunehmen :
fo + ä«-«''-^t-'^
Der Abstand zwischen dm und dem durch vorstehende Coordinaten bestimmten Orte von dtn^ ist hiernach
La(fo+Jo)* dt ^a(»;o+M' <i' "^atCo+jo) dt J oder mit Hülfe von 2)
und hiernach wird die der ^-Ächse parallele Componentc der von dm^ auf dm geäusserten Beschleunigung:
t. to — fo + *'*'— ~ ^7
(<)+»[(--i,-,„)"''^'«V':'-^„-y*;^''s'+(c'-;„-i„)'"^'"'jj=
oder, wenn auch hier wieder Ö*, Ö^, . . . vernachlässigt werden und ^' — £q = x\ t/ — »;o = y', C' — C© = Jb' gesetzt wird :
-3e.^'^V"[(-'-fo)'''':it"'+<y-w''''T,t*''+(''-^^''''^T'ij
Wir werden nun zunächst in diesen Auj^druck die von
.i.'r li..t.uti..n ihn- Knie li.'rrfihronden Werthn von '','". ''^. ''f"
'// ((/ ff'
Lehmann-Fühis: Säcülarstörung der Länge des Mondes etc. 377
einsetzen. Bezeichnen wir die Winkelgeschwindigkeiten um die drei Coordinatenaxen mit q>Q, Xq^ V'o' ^ ^^^
~^*' = ZoJo — V'o^o
Indem wir beachten, dass
«0 d( ^ 9o dt -I- 3o rff — "
ist, erbalten wir für obige Beschleunigungscomponente fol- genden Werth :
- *'<'<». j^ + h ''ji + l, (Xoio - <PM 3)
- ZB^-^J." [(;.■ _ f„) 'Jf + W - ,„) «^/^ + (.' - ^,) '^]
Um die Einwirkung der ganzen Erde zu erhalten, haben wir den Ausdruck 3) über die ganze Erdmasse »ig zu in- tcgriren. Aus 1) und 2) folgt:
d» = r'» - 2 {x' fo + ilX + ^' Jo) + fo'.
woraus, wenn wir nur noch die Glieder zweiter Ordnung in Bezug auf die Mondparallaxe mitnehmen:
^ ^ flu.,. ^'?!>±y'*'-'-'-!^<' "_eo »(»+_2) (■^-'yo+?/t)o+g'to)-1..
Wir nehmen nun an, dass die Erde eine aus homogenen cüncentrischen Schalen zusammengesetzte Kugel ist, so dass der Schwerpunkt im Mittelpunkt liegt und alle Durchmesser
18M. Ibtli.-|di7«. CL 8. 26
378 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1895.
Hauptträgheitsaxen sind. Wir haben dann nach bekannten Sätzen :
JyS dnh = S^l ''»«o = Si ^»h == "a } 5)
XeS dntt, = 2-^0
X{^' fo + y' ^0 + ^' 3o)* '^»'o = ^' ^0-
wenn mit Aq das Trägheitsmoment der Erde in Bezug auf eine durch den Mittelpunkt gehende Äxe bezeichnet wird.
Mit Hülfe von 4) erhalten wir hieraus folgende Re- lationen, in denen nicht über Glieder zweiter Ordnung hin- sichtlich der Mondparallaxe hinausgegangen ist:
f'-'-t,, , .•■■ L 4- «("-3J.-<ül
J ,T''"'o =-,.„['""+ 4 r=J
J fiH "»'0 r-« ["'0 i- 4 r'sj ^ 2r'N
+.^
6)
Lekmann-FUbes: Säcularstörung der Länge des Monäes etc. 379
J ~~di '^'"0 - v^ [»»0 + —r- ?aj
fU'-to)(x'-So) , _ *V r , n(n-5) ^ol J s» «»"o — r'„ [»'o -r "4 r-aj
n^' - Jo) (y- tto) ^^ _ ^'v' L _i_ « (" - 5) ^ol
J sn ^*^o- 7^ [«0 + — ^— iiiaj
ff^' - rol lo j„, _ «- a ." ^0 Ao
Mit Hülfe dieser Relationen erhält man als Integral von 3):
Wir haben hieraus die Coniponente der bewegenden Kraft zu berechnen, welche die Erde auf den ganzen Mond ausübt. Zu diesem Zweck ist der vorstehende Ausdruck 7) mit dem Massenelenient des Mondes zn niultipliciren und über die ganze Mondniasse zn integriren. Wir nennen die geocentrischen Coordinaten des Mondschwerpunktes j;, ;/, z-, die auf diesen Schwerpunkt bezogenen Coordinaten dos Massenelementes f, ^, j; den Abstand des letzteren vom Schwerpunkte q. Dann ist in 7) einzusetzen
a:' = X T- f, y' =y-\-\), z' = z -{' l,
r'» = ( X -i f )» +0/4- X))^ + (^ + \Y = *■» 4- 2txy + ^1) -f ^5) -1- q\
wo
r» = a:» + i,^ + .-»,
Q^=f^ 1,'^ + j^
25»
380 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1895. Hieraus folgt nach Analogie von 4)
r'"'"r''[ r« 2r^'^ 2 r* ]'
wobei Glieder von der dritten Ordnung in Bezug auf den scheinbaren Moudradius vernachlässigt sind.
Man kann hieraus eine Anzahl von Reductionsgleichungen herleiten, die, vom Vorzeichen der Coordinaten y, 9, 3 ab- gesehen, den Formeln 5) und 6) analog sind, wobei der Mond, wie vorher die Erde, als eine aus concen Irischen homo- genen Schalen zusammengesetzte Kugel angesehen wird, deren Gesammtmasse i» und deren Trägheitsmoment in Be- zug auf eine durch den Mittelpunkt gehende Äze Ä heissen möge.
Durch Integration erhält man demnach aus 7):
- P {"^ X + («.„.„ - '^-^ -t^) ^l^ 8)
wobei die Producte der Trägheitsmomente vernachlässigt sind.
Died ist die t-Componente der bewegenden Kraft, welche die Erde auf den Schwerpunkt des Mondes ausübt. Für den Einfluss der Sonne kommt natürlicli ein äiinliches Glied hinzu, in welcliem wir folgende Bezeichnungen an- wenden wollen:
Es sei m, die Masse, A^ das auf eine durch den Mittel- punkt gehende Axe bezogene Träglieitsinoment der Sonne, welclie wir wie Erde und Mond als eine aus homogenen concentrischen Schalen zusammengi'setzte Kugel ansehen. Die Coordinaten des Schwerpunktes (Mittelpunktes) in Bezug auf das im Kaunie feste Coordinateiisystem seien sj, i,j, Lp die geocentrisehen CunnJinaten desselben I'unktes x^, i/j, £■, ; der Abstand der Mittelpunkte von Erde und Sonne heisse r,.
Lehmann- Fähes: Säciäarstörung der Länge des Mondes etc. 381
Die heliocen irischen Coordinaten des Moudmittelptinktes werden demnach x-— x^^ y — y,, e — e^. Der Abstand des letzteren vom Sonnen mittelpunkte heisse J. Endlich seien (^j, Xii V'i ^'^ Winkelgeschwindigkeiten der Sonnenrotation \ini die drei Coordinatenaxen.
Hiernach wird die Componente der von Erde und Sonne auf den Mond ausgeQbten bewegenden Kraft, wenn wir für den Augenblick die auf das feste Coordinatensystera bezogenen Coordinaten des Mondmittelpunktes li >?> C nennen :
'» rf,3 * ( r» ^^ r**"*> ra ) r» dt
Q ^«.«, mAo^mQA\fix ( d$Q , dtjo , „'ifo^
-"/'^(Xo^-V'a!/)j - ft« (-;* (X - .,) 4- (mm, - ^^i^^A) l^ ^.
Da wir nun die geometrische Bewegung des Mondes zu untersuchen haben, so muss auch -~^^ gebildet und von v.j
abgezogen werden, wodurch ,' erhalten wird.
Man findet, wenn (y, x. •/' die Coniponenten der Winkel- geschwindigkeit der Mondrotation bedeuten:
382 Sitzung der math.-pHtjs. Claase com 7. Dezember 1895. * l~"rt8 ^1 + (^'»oOTi r^2 ]r^%dt
~ 3 (^.«0»!, ^ j ^.^, (^Xj ^j -h yi d( -h ^1 d( j
Bildet Dian dud aus 9) und 10) die Differenz
d»f _d^ = ^ d/2 d(» dt* '
so erhält man eine Gleichung von der Form
rf(a + * H ^ 3x ^^' 11)
wo
o = ft>m, (l_'3+_y?/t±üi)
12)
In dem Ausdrucke für X, der alle mit H raultiplicirten Glieder umfasst, wollen wir für die Componenten der abso- luten Geschwindigkeiten der Sonne constante Werthe an- nehmen, indem wir setzen
dt ' d
_ „ "■11 ^ Q " «1 _ .,
Dies ist allerdings nicht völhg streng; denn wenn die Geschwindigkeitscoraponenten des Schwerpunktes des ganzeu Systems die Constanten Werthe a, /?, y haben, so ist
dt ~ V "^«ii ^ ' } »M (/(
wo jeder Planet zu berncksiehtigen ist. Setzen wir in X
einfach " = a , so vernuchliUsigen wir damit entweder
Glieder von der Ordnung der Producte der Planetenmassen oder von der Ordnung des (Quotienten einer Planetenmasse dividirt durch r,*. Heide Vernachlässigungen bedürfen keiner Kechtfertigung.
I^ehmann-Fühis: Säcularsiöning der Länge des Mondes etc. 383 Ferner beachten wir« dass
fo = ^1 — ^i> ^0 ^ '?! - yn ^ == Ci — if, ;
Hiernach findet sich X ~h^ (m,-m) f 1- ^»±?o^) 4a-JtX ( > - -^*^.^-) ^, a
+ ft»„. (1 _ !?:oA±a£o\i
, Ttf \ /1 inj4o4-mn4\ fl'i'', , ,. /, mAtA-mnAX 6 dx
+ 3 i-' (»„ - m) (1 - •" tf^^) '^ («^ + (»2/ + y^)
V mwor* / T^ dt
Durch cyklisclie Vertauscliung innerhalb der drei Buch- .staben^ruppen a;, y, -?; «, /^, ;': */>, z, 1/' erhält man aus X auch die Componenten Y und Z der von der nicht momen- tanen Fortpflanzung der Gravitation herrührenden störenden Kraft.
Die Differentialj^leichungun di-r geocontrischen Hewej^ung de:« Mondes tauten also :
13)
384 Sitzung der mtUK-phys. Classe vom 7. Dexember 1895.
U)
Wir werden dieselben jedoch für unsere Zwecke trans- forroiren. Zunächst erhalten wir leicht
(lx^-\-dy^-^dz^ — 2 jfc» '""^"'Q 4- Ä» - "t*^- 15)
wo /c* ° die Integrationsconstante iat und die Integrale
als untere Grenze die Osculationsepoche haben. Ferner geben die Gleichungen 14)
Weil nun aber r* = x* -f~ 2/* + '^'» *^so
SO erhält man durch Addition von 15) und 10)
1 <i'^ (r^) 7.2 "' -\- "'0 I 7.» m + n/,)
2 ~dt^ ~'' r~ + '^ ri~'
+ 2 J(X<?^ + Ydy + ;frf^) + (xX 4- y V + ^Z)
Hetrachten wir allein die durch die endliche Fortpflun- zungs^eschwiiidigkeit dertiravitation hervorgebrachte Störung, so erliulten wir, wenn d jene Störung andeutet:
Lehmann-FVhee: Säcidariitörunff der Länge des Mondes etc. 385 ^^'M^k^^^±a^{rdr) 17)
H- 2 X(Xdz 4- Ydy + 2d«) + (xX -f yY-\-£Z)
Mit Rficksichfc auf die Bedeutung von Sl lässt sich in- dessen diese Gleichung noch auf eine andere Form bringen.
Da biä zu den Gliedern von der Ordnung — , incl.
J-r.L'"^ r,» 2r,^'T"2 r,i J'
so ist
p _ ^l"! Fl _ ' '■^ 4- 3 (a'.ri + yyi + ggi)»'! r. [* 2ri«"^2 r.* "J'
oder , da das Glied ' weder zu <J ( ** 3" li noch zu
2 d I (=-; dx ■•\- y; dij -\- ' dzj einen Beitrag liefert:
r, [2 r\* 2 r«]*
Hieraus ergieht sich
und analog ^ und v . Ferner :
dx ' -^ 9y 9j 9r
Mit Rücksicht auf das Spätere sollen hier an Stelle der geocentrischen Coordinaten x,, y^, ^,, r^ der Sonn« die auf den Schwerpunkt des Systems Krde-Moud bezogenen Sonnen-
386 Siteung der math.-phys. Claa$e vom 7. Desember 1895.
coordiuaten Xq, y^, jPq^ r^ eingeführt werden. Man findet sofort :
X.^Xo-\ j X
tu
-^1 — *o + zrx".z- • -P- fli-|-mo
«n 1
Bezeichnen wir den Factor — . , der etwa ~ betrü";t,
durch e und vernachlässigen e*, e' . ., so finden wir
p _ ft2m, rS (^.ro-hyj/o+^fol» _ 1 l!] ro La V 2 ro^J
, fc2|M, l'O j-xo + yyo + 'f'o ^a 16 fxjo4- yyo + g^o)^1 -
aß _ khHi I" j:go + yyo + zzp „ _ 5_]
I *='_*"i 1 3 ü!:!« I 6 -gJViH-yyo + g^o _ l5(.r3v, + yyn + g*o)^L "^ "ro l ro« "^ ro* ro» J '
Analog 3^- und /^.
AVie man sieht sind die mit e behafteten Glieder von einer höheren Ordnung als die letzten, welche wir bei der Kntwickelung noch berücksichtigen wollten, weshalb wir innerhalb der festgesetzten GenauigkeiUgrenze haben :
f> ^ ^^"'1 13 (j!j!a±UÜL±1/o}^ _ 1 »■! I ro [z ro* 2 ro^J
Iliernsich darf man also in der StÖrungsftinction und ihren Ableitungen die goocentrischen Coordinaten der Sonne durch die auf den Schwerpunkt des Systems Krde-Mond be- zogenen (harycentrischcn) Sonnenooordiniiten ersetzen.
L^mann-FähH: Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 387 Wir fÜbren nun ein
x^rcoaßcosX Xq^Vq cos ß^ cos X^
y = r cos /J sin A y© = ''o cos /Sq ßin Aq
jf = r sin /J ^0 = »"o »in /*o
wo X und ^ die geooentrische Länge und Breite des Mondes, Aq und ßfj die barycen irische Länge und Breite der Sonne sind. Es ergiebt sich
ß= -'^^^^[3cos»/? - 2 4- 3 cos V cos (2;!. — 2 Ao)
+ 3 sin 2 /? sin 2 i?o cos (A — Ao)],
wo bereits die zweite Potenz der Sonnenbreite /?o vernach- lässigt ist. Da jedoch die Störungsfunction schon einen starken Verklein er ungsfactor hat, so werden wir hier auch das Quadrat der Mondbreite sowie das Product der Breiten . von Sonne und Mond vernachlässigen, so dass einfach
ß-*-^,^,[l-|-3cos(2i-2Ao)]. 19)
Da
und
so nimmt Gleichung 17) folgende Gestalt an:
+ 2 X(Xdx -h rdy 4- ^rfiT) 4- (:r X + y r+ £r;f) oder, da
390 SÜMumg der matk.-pky$. Claate zom 7. Dezember 18Si5.
xX+yr+^i^=2*»(«•o-m^(l-?^^^j*;ax-^;?y-r>■.'.
dt
\ mwt^T* J T dt
,< [" x — X, + ;< j( — y, -/■? — ■?,]
+ t", (yzi — xy,^l
-^ In w'or- ' r- ^
'^ Tnii:„r- ' f- 'It
. , m .■1,1 -i- n:« .4 f ■ ff/ — V /..•
— VMI 1 '—, I . ■ ■
n; B\,r- r- if '
., ,, , , y.A. — V...\ , »F [
— .. A*l«, I I - ^ ; . - I j. Xy, - yj-, (« X - X,
.... , , ««A.-t.+»t.-4o , ■• j . \
Lehmann-Fähia : Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 391
+3ft'(m„-«) ( 1 - "Ad^f ) |dK«=t+/Jy+y*) X[a(x-x,)+ti{y-yd + r(^-^J\
+ 'f (^-"^^^° + ^^r') {xdy-ydx)
302 SitMung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1895.
n. Bie Störungen der Planetenbewegnng.
In den Differentialgleichungen 20) und 21) treten d Störungen ÖTf^ und öXf, auf, d. h. die von der endlichen For Pflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation herrührenden Sti rungen des Abstandes der Sonne von dem Schwerpunkte d Systems Erde -Mond und der auf diesen Punkt bezogen< Sonnenlänge. Diese Störungen sind natürlich identisch n denen der heliocentrisclien Coordinaten jenes Schwerpunkte Zur Berechnung dieser lassen sich die bereits entwickelt* Differentialgleichungen nach einer entsprechenden Vereii fachung benutzen. Setzen wir nämlich in 9) und 10) f»j = 30 erhalten wir die Bewegung der Masse m in Bezug a die Centralniasse Mq. Ist diese Masse ein System von Massei punkten, so sind diese im Schwerpunkt vereinigt zu denke
Für dies»» setzen wir '^^ = o, ^^f = ß, ^f = /, wo a, /?,
constaiit sind. Hierbei sind offenbar Glieder von der On nung der Masse m vernachlässigt, welche wir als ausse ()riiontli(li klt'in im Verliiiltniss zu »(<, betrachten. W worden deshalii üherimupt Glieder mit dem Factor ni we| lasst'ii.
llit>niui.'h wird
t
■ (-;■
iU ' ~ .11 l'iiter Mitiiuhnk' der Uauptijlieder erhalten wir somi
Lehmann-FUkis: Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 393 Die Subtraction ergiebt
;^ + iM»»o + »») ^ = - Ä»ö Wo "a
Unter dem Central körper wollen wir jetzt die Sonne verstehen, so dass »«^ = 1 gesetzt werden kann. Setzen wir
26)
so werden die Differentialgleichungen der heliocentrischen Bewegung :
+ i-Mi + »Oä=A'
27)
Aus diesen Gleichungen folgt in bekannter Weiset wenn eine Integrationsconstante bedeutet,
WO von der Osculationsepoche an zu integriren ist. Ferner folgt aus 27)
niitliiii, weil
I8W. lf«Ui.-pby>. CK S. 26
894 SUtung der math.-jahy». Cltuae vom 7. Dttember 1895. ergeben die obigen Gleichungen durch Addition
Bexeichnet Sr die von der endlichen Fortpftanzungs- geecb windigkeit der Qravitation herrührende Störung des RadiasTOctora, so ergiebt vorstehende Gleichung:
W + Ä»(l + m) ^^J^ = 2j{Xdx + Ydy 4- ^rf^)
+ (a:XH-ry + f^). 28)
Wir Sachen zweitens eine Gleichung, welche die Störung der in der :cy- Ebene gezahlten wahren Länge X giebt. Man hat aus 27)
aUot wenn man von der Osculationsepoche an integrirt und fOr diese Parameter und Neigung der Bahn gegen die xy- Ebene mit p und i bezeichnet,
^.^PjryA^ - fc /p (1 + »I) cos t ^^{xY- yX) fU.
Setzt man zur ÄbkQrzung die Projection von r auf Hii) a;y-Ebene gleich ^, so hat man also
P» f ■ ^ Je Vi(l -f^fii) • cos t -i- J{x Y — yX) dt.
Für die Störung dX hat man demntich die Differential- gleichung
Da nun dp von der Ordnung der Grösse 0 ist, so kann dk dt
man statt -rr den ungestörten Werth
— \ • cos t
Lehvumn-Fühis: Säaäarstörung der Länge de$ Mondet etc. 395 einsetzen, so dass
-jf= ^i cos» (gJr) + -^{xY—yX) dt. 29)
Da
so ist
QÖQ = rSr — ede.
Man wird demnach auch de zu berechnen haben. Ans der dritten Gleichung 27) ergiebt sich sofort
^ + A' (1 + «') '; = 3 *• (1 + «) .t^'^ + Z. 30)
Wir wenden uns zunächst zu der Storungsgleichung für dr. Man findet
Xdx + Ydy J^ Zdz = ~^ {adx + ßdy + ydß)
-\. tü{edx-xäz)-\-^>^{xdy~ydx)]
Nun ist, wenn Q, die Knotenlänge, t die Neigung der Bahn gegen die x^- Ebene, p den Parameter bedeutet,
ydg — edij = ]cVp[\ -\- m) sin ism^dt sdx~ xdz = — kVpiX -\- m) sin «cos ß dt
xdy — ydx = k Yp ( 1 -f '») cos i dt, so dass X^/a:4- Ydy-^Zdz^^ - ~ {adx ~\- ßdy + yde)
+ ;JÄ«ö(ax4-/?y + y^)$
-j- (/'j cos ij d t. 26*
396 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1895.
Bezeichnen wir die Rotationsgeschwindigkeit der Soane mit ß;0, die Neigung und Enotenlänge des Sonnenäquators in Bezug auf die a;^- Ebene mit J^ und Kq^ so ist
yo = ^0 8in Jo si« ^o Xo = — Wo sin Ja cos Kq
ipQ = ioq cos Jo ,
wodurch die letzte Klammergrösse wird
Wq [sin Jq sin i cos {Kf, — ß) + cos Jq cos »] = Wq cos Aq ,
wenn Nq die Neigung des Sonnen äquators gegen die Planeten- bahn bezeichnet. Hierdurch wird
Xdx + Tay -\-Zd2=- — ~ {adx + ßdy -f ydg)
+ 3A»Ö (ax ^ßy^- yz) % + ^ft'MoC^o V'^cos iVo~
Nun ist
mithin
t t
J( AV/x + Y<ly + Zrf^ ) - A'^ f* '^f '^'" -h/^'ö J(aa:+ ,^i^ + ;'^) ~
U 0 (
0
+ ^ ö ^^,
wo die Integrale als untere Grenze die Osculationsepoche ^ = 0 haben, und Xg, y^. Zq, ^o f^'"" die:se Zeit j^eiten.
Ist M das Art^ument der Breite, su findet man leicht
ux -{- fiy -^ yz ^= r (a' ccs ?/ -f~ i^' -"^i" ")i
wo wie in A. X. 2)130
u' = u cos O) -\- ß sin i^
,V' = — « sin ^r^ cos ( -j- ;">' iv»> ''~', fus / -|" / '^in '•
Lehmann-Filhis: SäcuJarstÖrung der Länge des Momles etc. 397
Da ferner « = u + '"i wenn v die wahre Anomalie, w den Bogenabstand des Perihels vom Knoten bedeutet, so ist auch
ax -{- ßy -\- yg = r (et" cos i; -j- /If" sin r), wo
a" = a* cos ta -\- ß' sin w
ß" ^ — «' sin io + /?' cos w. Demnach ist
J(ax -^ß!/-\- YJf) ^' = a" Jcos f 'i^ + ß"j.m v '^,. Diese Integrationen sind leicht auszuführen.
Da nämlich rfr = Ä- 1/ --"^ • csin rd^, wo e die Ex- centricität bedeutet, so ist
Mithin
f(ax+i^i/4-j'Ä)'|i- -;^^(a" 00821-+;^" sin2t—2/^"i) + Const.
Endlich ist
= rrW^ fd +^-'~f- 2c cos r + ;%o. 2 r) rff = i/ 1 (' -^ ^'l'' -i ^*^"i» '■ + T«i" 2i] -f- Const.
398 Sitzung der math.-j^hys. Glosse vom 7. Dezember 1895. Hiernach wird
+ — 2>» lA' + äj"-
4- 2 csin r-r , sin 2t
4
-]
k'^Be
+ '^>-cos2i'o+/S"8iD 2to+2/f "to^
4p
&'d^OO>oCOI
^[(^ + ^)^o
2p* + 2c8inio + -8in2vo •
In 28) tritt auch die Grosse xX-\-yY -\- zZ auf. Wir finden leicht
a;X+//r+irZ=2Jt»ö^-t^/--t-^-^'
r Setzt man nun 31) und 32) in 28) ein, so ergiebt sich
—^ — |-Ä:»(l+»«)-^ = - 2^-(« cos2t+/^'sin2i;-2^"r)
+ " K' "lA* + 2J^'
+ "Je sin i' + , sin 2i-
wo
I^htnann-Vähni: Sücvlarvtärung der Länge des Munde» etc. 399 ^tzen wir ferner
J? =
aA'fliiowoCOs J^o
F= — iiß'* — —
fttpCOB J
so nimmt die DifiTereniialgleicIiung für dr fulgeiide GeäUlt an
33)
^"^'^^k^H^mf-^j;
dit
= C-f- Ö*J 4- -ß^ain t -j- Feaia 2ü 4" Geco8 2i;.
Der Umstand, dass diese Dißerentialf^leichuDg aaf der rechten Seite nur die Variable v enthiilt, tat ein Kingerzeig, doM man diese vortheilhaft als unabhängige Variable ge- braachen Icann.
Mit Zngnindelegung der fQr die ungestörte Bewegung geltenden Oleichtingen
dv _ t K p II + p*) rfr dt "" r« 'dt'
ky -^ - e Rin L-,
il(t fZ ' *" I + ecOTt'
\i man, wenn man 1 -|- m ^ 1 . . . setzt,
rfi»
'':.'m^'T'^)-'^'{^^'^-H
Setzt mau dies in 33) ein, so ergiebt sich
esii -\- Fe sin 2v -{- Gecos2v)->^ W,
%' •¥ ^r = -^-^(C^ Dv-\- Ecmv 34)
398 Siteung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1895. Hiernach wird
I k^eAQtoQCOBNo r / - , e^\ -f-2esin t-p , 511121)
31) -1- i»Ö °' CO« «^0 + ß' "'° *'o
4p
(9 1
+ 2c sin i'o 4- - sin 2 Uq .
In 28) tritt auch die Grösse xX + yY -\-zZ auf. Wir finden leicht
j;X + }iY^ zZ = lU-v> °'^ + AyJr.j'^
r Setzt man nun 31) und 32) in 28) ein, so erj^iebt sich
(■^ 1
+ •Jt'sin '"-f , sin 2f
wo
- '-"-'^'^r"^'! ( > + ^)-o + 2«^«" .„ -r ■;.in 2.„|
Lehmann-Fühis: SäcuJarstörutig der Länge des Mondes etc. 399 Setzen wir ferner
E _ 2A-^fl.^oa)oC03 JTq
jP _ ^^((^u -^owoCoa-Wo e\
ff = — -— a", SU nimmt die Differentialgleichung für dr folgende Gestalt an
= C + 7)v + JS:c8ini-|-Fcsin2tJ + 6rccos2t*.
Der Umstand, dass diese Differentialgleichung auf der rechten Seite nur die Variable f enthält, ist ein Fingerzeig, dass man diese vortheilhaft als unabhängige Variable ge- brauchen kann.
Mit Zugrundelegung der fUr die ungestörte Bewegung geltenden Gleichungen
at r'2 • di~^y ~
_ + tM .
— — c sin f,
,/(2 j-a ' ' '' l-(-eco8i'
orhült man, wenn man 1 -|~ "t = 1 . . . setzt,
dt^^ dt^'^*^~^'^di-dT~^'^ dt^'
kh^coat- . 2k'^e»mvd,)r (h^pd'^fir 2A'-=f ainiwM/-\
r* \ rf f* p / j^ \d v^ p }
Setzt nmn dies in 33) ein, so ergiebt sich
'!"/'/ + ^'- = A-C ^'' + ^'' + ^' '"• *' ^^^^
+ Fesin 2f + ffc cos 2i) = TK
402 SitMung der mtUK-^ys. Cleute vom 7. December 1895.
In einif^en dieser Integrale tritt t; ausserhalb des Sinus und Cosinus auf; diese Glieder sind in dem zweiten und siebenten Integrale allerdings nicht vollständig angegeben, jedoch sind sie deshalb nicht von Bedeutung, weil sie mit höheren Potenzen von e multiplicirb sind und ausserdem periodische Factoren haben; v tritt in diesen nur in der ersten Potenz auf. Dagegen tritt v* nur in dem zweiten Integrale auf, und zwar ohne periodischen Factor. Die Vernach- lässigung von e\ e* . . . ist daher berechtigt, da die wich- tigsten der säcularen Glieder mitberücksichtigt sind.
Nun ist
<Jr — c, sin V + Cj cos i' +rj- {sini J*r'costr7u — costj r'sin vdi)
4- . j - {sin r J r^L' cos vdv - cos i' J r'tsin irft}
H-T^^lsin rir^sin vcosvdv
— cos i'Jr'siu'irfi/
+ ,., {sin r (r'-'sin 2v cos vdv
— cos fjr^sin 2v smvdvf
-|- , {sin r j r^ cos 2 v cos v d v
— cos i- }r^ cos2v s\n idvf
d. h. mit Vernachlässigung von c', e' . . . .
Or = c, sin V -\- Tj cos r -\- -f- - 1 ,lh)
3 Ca^ . /3 7J«« . l 7s'(i*\ 8 ;>*(-' ., .
-g -^^cs.n2r-g ^., .cos2..-
Die Con^tiinten c^ uniJ Cj hat nitin geinibw ^\^^T Bedingung zu bestimmen, dass für ilie Os<ulationsepoclie, d. li. für / ^ ü,
sowohl cir als auch —r- verschwinden müssen. Wenn wir
nt
Lchittann-fUhiM: SAcutargt&ruuy der JAnife dta Monde» Hc. '103
die mit 0 multiplicirten Glieder bei «lieaer BestimmuDg, wulche durchaus wM die äiissfrakti Sebärfe beansprucht, Ternach- läsnif^en, so haben wir mit Rflclnicht auf die Kelntion
folgende Beding^nngsgteichuugen:
c, sin ij -f- f, cos Vq -h ^, (C -H PVf,) — l)
n»
c, cos V, — c, MU t'o -f jj Z*
0.
<•, = - ^, [fC + Dv^) Bin r« -I- D cos 1,] ^= - %[(C -i- ^O cos Vfl — D sin tj.
Es ist zweckinäj>8ig, an dieser Stelle eine knrse Er- wägung Ober die CoefficiHiten C, i), £, F, G unKuatellen. In dieoen tritt neben den Grössen a** und /?" ancli der Co-
efficteot -i^"* Auf, in welchem Aq das Trägheitsmoment der
Sonne , (Oq die Rotationsgefichwindigkeit derselben , p den
Faraniet«-r der Hlanctenhahn bedeutet. Obgleich nun das
Trägbuitfiniüaieut des SonnenkOrpers unbekannt ist, so können
3 wir doch annehnien, dass es kleiner als 72^ ist, wenn JR^
d«o Radii» der Sonne bedeutet, deren Masse wir, wie bereitg firOher gesagt gleich 1 ge&etzt haben. Hieraus ergiebt sich
nun, das» ^ - ein ausserordentlich kleiner ßruchtheil der p
Ge^hwindigkeit eines Planeten, z. B. der Krde, sein miiss, wiUirend et" und ß"* entweder von derselben Ordnung wie di«se Geachwindigkeit, oder doch wenigstens merkliche Bmch- thuUe derselben sind. Wir werden deshalb mit vollem Uecbte
alle Glieder mit dem Kuctor -'^ vernachlässigen, wodurch
404 Sitzung der math.-pht/s. Claase vom 7. Dezember 1895.
unsere Coostanten werden, wenn nur die erste Potenz von e mitberücksichtigt wird:
C = -^ (o" cos 1;^ H- /S"sin v^) + g-* (a" cos 2 v^, F *«r
2a
Es wird übrigens erlaubt sein, in G das zweite Glied gegen das erste zu vernachlässigen, so dass
C == —^ (a" cos v^ -\- ß" sin v^). 38)
Hiemach erhält man für die soeben bestimmten Inte- grationsconstanten :
c, = — 2aß {a" cos v^ -\- ß" sin (•(,) sin v^
= - aö {a" sin 2 i-ß - ß" cos 2 f,, -f /1?")
^2 = — 2af9 (a" cos l'^ -f- /?" sin i'o") cos Tq
-= - aö (a" cos 2 i'o -I- ß" sin t« + a")
Setzt man diese Werthe in den Ausdruck 3G) für dr ein, so erhält man
dr 2aö(ft"eosf„+,'?"sinrJ-aö(ff".sin2io-,*/"cos2io+//")sinr
-rtfl(a"cos2ro+;?"sin2i:„+a'')cosr
+ 1 aeß"cAm 2i+ l «öa*'ccos2r 40) +aeß"ev
- 3aÖ(a"c(ts *'o+/^" sin rj t'fsin t- --oöit;''e*i cos r
4
4
39)
X^ehmann-FOhSa : 8äcul<ars0rung der Länge des Mondes ete. 405
Dieser Ausdruck ist formell vollständig ausreichend, wenn auch in den Coefficienten kleine Glieder den Hauptgliedem gegenüber vernachlässigt sind.
Wir wenden uns jetzt zu der Gleichung 29), welche die Störung der Länge in der 2// -Ebene giebt. Wir setzen fest, dass für die Osculationsepoche die Bahnebene mit der xy - Ebene zusammenföllt , also « = 0^ « = 0, $ = r ist. Allmählich werden i und e von 0 verschiedene Werfche annehmen, deren zweite Potenzen und Producte mit Stömngs- grössen wir jedoch vernachlässigen wollen. Wir werden des- halb durchweg p = »*, (Jg = dr, cosi=l setzen, und Glei- chung 29) wird, wenn man die Planetenmasse der Sonnen- m&sse gegenüber vernachlässigt:
Da aber
ddX ^ dSl kVp dt ~ dv ' r» *
so geht diese Gleichung über in
Wir haben nach 26)
xY-,jX = ^' («y - ßx) + '-^J'.
Nun ist
X = r (cos M cos ^ — sin « sin Q, cos i) y = r (cos u sin ß + sin m cos ß cos i), mithin, wenn man
cos i= 1, « = i; -j- to.
406 SiUmng der math.-pktfs. Ciatae vom 7. Daember 1895. 4- it»ö (a cos /7 4- ^ sin fl) '-i^" + !
r ' 2r» ■ Zar ÄbkfirzQDg wollen wir schreiben
a 003 /7 -f 5 sin /7 = a'" ]
— c sin /J + /S cos /I = ß'" J '
Vernachlässigen wir wie bei der Berechnung von dr das völlig bedeatungslose mit A^ multiplicirte Glied, so i$t
Das Integral J{x Y — ^X) dt lässt sich zwar mit Leich- tigkeit streng berechnen, da
J-'?-rf/==eioj5natr
J r ek \ cos V '
wo {p den Excentricitäbswinkel bedeutet.
Wir ziehen jedoch auch an dieser Stelle eine Ent- wickelung nach den Potenzen von c vor, von denen wir übrigens, mit Vernachlässigun*? unwesentlicher Glieder, nur die erste beibehalten.
Wir finden
i'ixY—ijXjdf — — /.-l a H(it- co^ v + ,i"*sin v)
+ kVa e -- («'" cos 2r -\- f sin 'Ji )
4
— If.
wo
-//= — /."l « *y I«'" ci» (q i ;:/*" !sin t^) + /;|'^r. Ö ^ (a'" ,:os 2.0 + ß'- sin 2.,) + /.-f ^' » ^ .^ " 'o-
Lehwumn-tHlhia: Säcidarstörung der Länge lUs Mondes etc. 407
Üls wird aach hier genügen, nur das Hauptglied zu be- rticksichtigen, d. h. zu setzen:
H^ — Jc Väe (o"' cos i'o + ß'" «" t'o)- 43)
Ferner findet man mit analogen Vernachlässigungen aus 40) :
- Ö(a" cos2to+/?" sin 210+0") cosv
-^(a"cos2io + iS"8in2fo 2 + _-a") ecos2v
- 2 (a" sin 2 1 „ - /?" cos 2 1,,
+ ^ß")eBm2v + eß"ev
- 3ö(a" cos t'o + (l^" sin ig) ev sin u
- - ß (a " cos I'o + /:?*' sin Vq) c* v sin 2 r -V <?,:#" eH'»sinr.
4
Hiernach ergiebfc sich dann nach 41)
-f Cj» [2a" sin 2in - 2,i" cos 2(o + 2,1/*' — ß'"] i^in r
-f- ö [2a" cos 2i„ -f- 2,r sin 2*0 + 2a" - a'"] cosf + #|a"coa2ie+,rsin2i-o-i- 3«"+ J«"'|ccos2r
4- öl«"sin2io-^"cos2to + -l^" + ] ,i"'\es\n2v + Qd[a" cos ffl + (i" sin 1*0] et- sin i-
408 Sitzung der matK-phys. Clasae vom 7. Dezember 1695.
+ 3 Ö [a" cos uo -f- ß" sin Vq] e» v sin 2 v
Die Integration dieser Gleichung giebt: dX = Ä" — ö[(4a'' — a'") cos t'o + {Aß" — ß'") sin t'o] f
-h d [2 (o" cos 2 i'o + /»"sin 2 t^o) -f 2 a" — a'"] sin f
— ö [2 (a«sin 2 Vq + /»"cos 2t;o) + 2ß"—ß"'] cos f H- I [a- cos 2 t^o + /»" sin 2 r^ + | a" + | a"'] e sin 2 f
-|[o"sin2to-/'''cos2fo-|-|rH-^/S'"]ecos2f
44) ^^ßß^e'vsmv
— 60 [a"co3 Vq -j- /^"sin V(,l ev cos f
Q
— - Ö [a"co8 i'o -f- /S"sin t'o] c*^ c*>s 2 1-
— ^dß^e^v^cosv
— I (9 (4(*"— /!?"') e**-
Für £^ findet man das Uauptglied : K=e[{A a" — a"') cos r« + (4/;?" — (!?'") sin v^] r„
- d[2(a"cDs 2ro + /?".sin 2l'o) + 2a" — a'"] «in r^ + ö [2 (a^'sin 2ro - /^"cos 2io) + 2ß" — ß'"] cos r« oder rediicirt Ä" e\{\a" - a"'-ß"') cos ro + (4/;;" + a'" -^^^"0 sin ij 4->)
Wenn es sich um eine genaue numerische ßerechiiunj; von dr und dX handelte, so würde der l'mstand, dass in den Oleicliungen 40), 44), 45) von allen Coefficienten nur die lliiupttheile burücksichtigt »ind , in*.s Gewicht fallen. Rs
Lthmamt-FüMs: SäouUirstOrung der Län^e des MomteM elc. 400
yrtire in diesem Falle z. B. vOllig illusorisch, rein periodi)*chc Oliffler mit 8in2u nnd co8 2v noch miteiiDehinen , da diese mit € ninltipliciri sind, während in den Coefficienten von »in V und cos t-, »»wie in den constanten Gliedern c vemach- Iftssigt iät. Efi ist aber wobt zu bt.'Achten, dtiaä es sich hier gor nicht um eine zaliteniuäätnge Suaimation der Stürungs- glieder, windeni nur um die FesisteHutig ihrer Form und eine an^ofUhre Be?itiiumung der Einzelbetriigi; handelt, wes- halb die hier vorgenommenen Vemuchlüssigtingen als durch- ans xweckmöang anzusehen sind.
WOnscht man aus irgend welchem <Vunde eine weitere Entwickeluiig der Coefticieiiteu, bo ist dieselbe nach der vor- getragenen Methode mit Leichtigkeit zu erlangen.
Der Vollständigkeit wegpn wollen wir noch die StÄirong senkrecht zur Bahnebene erörtern, obgleich dieselbe im Fol- genden keine BerQckHichtigung ßnden wird. Die Stoningn- grTisw ist hier «, al»», wenn wir Glieder von der Ordnung ff^ ■owie auch A^ veniachläasigen, nach 2Ö) und 27)
^'+t*(i + «)4 — ^»4.
Diese Gleichung soll in ähnlicher Weise wie die Dif- ffrt*uiiiUgU'ichung 33) umgeformt werden. Es ki nämlich
tlt* ^ r» V Jh« "^ r p r/' mithin wird die Gleichung, wenn man «cur ÄhkCrzung
xekxt.
Ütu aUgmneino Integral dieser Gleichung lautet: a c'sinü + c'' coav — ^aint* lrcoafrfi»-f - co8t' |rsint(2v.
IW^ MMIu-pk^B. d. a.
27
410 SiUmtg der «uitt^y«. CIomu vom 7, Deiemher 1895. Nun ist
\rcoBvdv = ^ (v ^1
J e \ coup/
I r sm vdv e= £ log nat r, mithin » — c'8inv + c"co8v-— sintlv |+— coewlognatr. 48)
Entwickelt man nach Potenzen von «, so hmien die An&ngsglieder
Ä = c' sin V 4- c" cos ü — Äy + ■-■evmav.
Da ftlr die Osculattoosapoche ^ ^ 0
« = 0 und ^ =0,
80 ergiebt sich genähert
c' = $y sin f^, c" = 0y cos r^,
also mit dem mehrfach erörterten beschränkten Genauigkeits- grade der Coefficienten :
s = ßy cos {v — I'-) — By -\- -'- ev sin r. 40)
Ist der Planet, dessen Störungen hier berechnet sind, von einem Trabanten begleitet, so gelten die Stürungswerthe für den Schwerpunkt des Systems.
Die hier berechneten Störungsgr Östren dr and 6k werden in den folgenden Entwickelnngen, in denen allerdings nur die Hauptglieder Berücksichtigung finden, unter der Be/cicli- nung Sr^ und öX^ auftreten.
Lehmann-Filhfs: SäcidarstäntMff der Länge des Monde» etc. 411
m. Die Bewegung des Mondes.
Wir haben die Gleichungen 20) und 21) zuerst in der Weise zu integriren, dass wir die Glieder von der Ordnung der Exceutricitaten , Neigungen und der Sonnenstörungen des Mondes vernachlässigen. Die Differentialgleichung 20) wird alsdann
wo 0} die halbe grosse Äze der von der Sonne beschriebenen Klipse istf und a die mittlere Entfernung des Mondes toiu Erdmittelpunkt bedeutet.
Gleichung 21) wird alsdann
^A^^ 2a^-^<Jr+J(xr-.,X)d/,
oder, wenn man für ^ die mittlore Winkelbewegung n des Mondes setzt,
rj» ''^*^' = — tan^r -^Ux Y - ijX) dt. 51)
Für die auftretenden Kraftcompouenten sind dann natür- lich unter demselben Gessichtspunkte nur die Hauptglieder auszuwählen.
Man findet, wenn l und /| die mittleren Längen von Mond und Sonne, t^^ die mittlere Bewegung der Sonne be- deutet,
xX-{^ifY-\-sZ ß<i^l2H'^iacf>sl-\~,i^ml) ^^u\{acoalj-\-ßsml^)
-^Hj[«cn.s-2/-/,) + /^sin(2/-/,)]-|-2«>«,a,8in(i.-i)|
27*
412 Säimmf der matk.fkyt. a«ue vom 7. DextmSfr läft».
+ 1 »»^o sin -2/- /,*-;* cos (2/ — /,)] 4- n*»,«,'«-^*!-*'
zF — yX= da' jii*(asin/ — ;:?cosn — -«'<<* sin /^ — ßccäl^* -f-|nl[osm(2? — /^i — ;*c<Ki2/ — ?,ij -f n'iijO, «&)/, — U
22/i«- f^'^^^-'-^*-^-^-^^<-^-'i'i^ ir--"'^''"'"'^')
wo
.. _I_ _tj ( -^V-^_4»l. _-<:■-., i
-r —"■ '^-i^ r -: j ::::
• ♦.. — I. » J •
wenn l un-i T^*'' für die < t-tulativn-'^f'oc'i.e / = '.• i:ell<e-.
Einige der hier auftrete:: i*i: Gütri-r. die fkh "cr^irrel- bar aus den Formeic für ö:e Kra!ioon:p r-riter. er^-*r-rc. köriiten übrigen* ihrer Kleinheit w^ir^:. -ier ::'rt^rlA.*>er. werden.
Setzen wir noch
..- — J.f = .-. ^Ä
•fi erhali-tru wir au* Ö'> •
Lehmann-Fähes : Säcularstöntng der Länge des Monde$ etc. 413
H- ^"^-^^fl, sin (/-/,)} +Ä<-f-C.
Cm diese Gleichung zu integrireiif beachten wir, dass die Differentialgleichung
in welcher die o«, &^, a,-, /!?^, x^, Xi sowie A und 0 gegebene Constanten bedeuten, das allgemeine Integral bat
y = rj cos >■ X + (', sin r a; + 2 ;f=~l cos (x^ x -\- o.)
wo c^ und r, die Integrationsconstanten sind.
Dies auf die Differentialgleichung fQr dr angewandt giebt
(Jr = c,cos»'/ + r, sin vi -|- 3Öan, ^-^ ,- (acos ?j -j- /Ssin /, ) - ^ Ö a ,^ "'/4- To'"' - vii r« cos(2 ? /,) +i?8in(2 1 - O]
+ 2 » «". („r:7^p3(;7:;T„)q «■»(«-',) + ^s + ,, 54) Um die Constanten c^ und c, zu bestimmen bedenke
man, da&s für die Osculationsepoche t = 0 auch ör und -.-
verschwinden. Hieraus erhält man
r, = — 3 ö « «, ".j"^- "' (a cos if + .tf sin Zf)
414 SUtwig der wa(*.-jAyf. Clont am 7. Dexember 1895.
- 2 ö«.. .-t^r^^jTj cos im- W - ^
Den gefundenen Werth 54) von Ör haben wir non in die Gleichung 51) einzusetzen. Bei der hier inn^ehaltenen Genauigkeit ergab sich
so dasü ,, - - — <*, ct»s r / r, sin r / — m Ö (a cos / + .i sin /)
•*, M Sm, — 2't ' * I 2m »r — 2«: i 2mh* — 2«!'"
1*10 Intojrraion ergiebt
ii »■ ' «1 r '
3 * ''■ ll«*-"3'':— t»i'., ^ , , , . -».1-1
Ä S»i'i-2»: ,j (■ S»-- — 2'.:
"art * a»n».^— 2'.: " ' ~ 1 2'. s^— 2'.| ■ '~^'*»- ^^)
l>it' noue Intoijrations^': -lAnte «-j :.-; s-:- /.: t»estimmen. tirtvi für *iio (VoiilalionsqHKli- ' = " ;iUi.h i5i = ',t wird.
LdtmMtt^^lMt: Söcularätdrung der lAnge de» MondM tte. 415
Die Uleicbinigen 54) und 55) ({eben eine ungefähre Vopitclhing von den durch die endliche Geschwindigkeit der <iravitntion liedirijjieii SWnmgen {\\*r MnndbewcKiinK. Will iu«n die AnnÜhenin); w(;iter ireibtMi, so fnif^t e-t sich, wtig fttr 8tdrung>j?lieder ein derartige« Interewe heon^pmchen, diNt ihr« »chärfere Kntxvicknlang dtT Mflho lohnt Offenbar tut n nur die Silcularätüruug der Länge, die, falls Oberhaupt vorhanden, mit der i^eil merklich wcnleu künnte; wir wer- den uns deshalb auch nur angelegen aein lassen, diese ge- nauer kennen xu lernen.
Die fUr 9r und 6X gefundenen Werthe ■>4) und .'»5) htiben wir nun leur Borechnung der indirecten Glieder iu dun Vüllätändigcn Differentialgleichungen 20) und 2!) zu TBr«end«n.
Wir haben uns schon öberzeugt, das» der Unterschied der geocentrischen und bHrycentrischen Sonnencoordinuten fttr uns bedenlungälos ist, weshalb wir, um nicht jetzt die Uexeichnungen zu ändern, statt des in 20) und 21) auf- tretenden Index 0 überall den Index 1 schreiben.
Setzen wir fClr den RaditusTector des Mondes den Werth
m wild
r» «» a»y r*)
S6)
Di&i haben wir io die rechte Seite ron 20) einzusetzen;
nir —f- genflgt es aber n\ zu setzen, da Glieder mit diesem
kleinen Factor, welche auwterdcm mit der Excentrioität der ßrdbaim nmltipliiürt sind, y5llig unl»edeutend sind.
416 Sitzung der m(Uh.~phj/s. Glosse vom 7. Dezember 1895. Gleichung 20) nimmt hiernach folgende Gestalt an
~Iw^ + (n»-2n!)(r(Jr) = 2^{Xdx+Ydy+Zdß)+(xX-i-yY'i-0Z) -{■[Sn*'EfiCos{Xit+bi)+ßn\cos{2l-2lJ]adr
57) — 6w!o«8in(2i-2;,)(JA-3tt!a»[l+3cos(2Z-2i,)]^j|*
+ 6nJa»8in(2i-2/,)dA,
-h lnW([l-\-3cosi2l-2l^)]^^'' ~^n\d^jsm{2l-2l^)ddl^ + 3n^a r[l+3cos(2i-2y]^Mr — 9«;a» r8in(2i-2y^(J>.
— Gn;a»r[l+3co8(2I-2y]^*^* -i-9vwUri{2l~2l,)^^dX,
— (> ttj o fßin (2 ; - 2/j) dl, dr -6n]a* (cos{2l-2l^)dl^dl
+ 9«Ia' fsin (2Z— 2/,) dX,~-' -\-Gn\a*Ccosi2l-2J^)dX,dl^
Wie man sieht, sind in dieser Gleichung die Producte der Coeffieienten /, der Mondungleichheiten , sowie deren Producte mit der Erdbabnexentricität sowie Quadrat etc. der letzteren zum Theil bereits vernachläsaigt. In den mit «' niultiplicirten Gliedern sollen auch die ersten Potenzen dieser Grössen vernachlässigt werden, soweit dies noch nicht geschehen ist.
Auf der rechten Seite von Gl. 21) setzen wir
Ä = l -\- ^ (ji cos {li t + h,) , also
'^^ ^ = H -f 5J (Ji li cos {li t -\- hi'. ,
wodurch, wenn man noch mit
multiplicirt :
Lehmann-Fith^»: SSndanlöniNg der L$itff« dea Monde» itc. 417
+ r» j (^.T^ ''•^ + all ^^ + Wr, ^^ + Wai. ^^^n
fwicr, ind^m man in den tod Ü abbängigen Gliedern die Excentrk'itStcn elc. Türnaohlässigt
— 3Hi r8in(2f — 2J,ly — 3«? j'oo8(2i— 2^ dJL ^^^ H-|«tj8iD(2/-2y^ + 3HtJcos(2f-2/,)dA,
Wir betrachten »nerst die Gleichang 58). Cm die Säe u birg tiedtir in ÖX lu erbuUen , haben wir in - .- die nicht periutlisc'hcn der Zeit t i)rtt[>ortiona]eQ Glieder atifxu- rachea. Bin solches Glied tritt znnäcbst in — -^ {r^r) anf, weebalb die Keutxstimmung dieser Grösse aus 57) noth- wendig ist. In den anderen Gliedern von 5S), in denen die (iröäsen (5r, «JA, (Jr|, dX^ durchweg mit Verkleiaeruugs- factoren behaftet aind, kann mau die schon bekannten An- aifaerungen verwenden.
Um das betreffende Glied aus
TM erhalten, hat man in dr nur die Glieder von der Form / (-OS {Xi t -f Const.) oiler i sin (A< t -\- Conaf..) /u berücksichtigen. Da derartige Glieder aber in 54) nicht vorhanden sind, so ist flir unsprn Zweck
- '^ T U^?'^ - -"/"^^ «* ^^^ + M = 0 qWtien.
In dem Glied«
418 Sitzung der matK-phys. Glosse com 7. Dezember 1895.
mQssen zuerst die in xY — yX auftretenden constanten Glieder bestimmt werden. Bezeichnet man durch TI und U^ die Längen des Mond- und Sonnenperigäums, so sind die hier in Betracht kommenden Werfche von ^t -\-bi, d. h. die Azurnen te der bedeutendsten Ungleichheiten der Mond- bewegung, die folgenden :
22 — 2// I (^^^***lP""^*^gl6^*^*^""g)
l _2Z, -f // (Evection)
2l — 2l^ (Variation)
/, — //, (jährliche Gleichung).
Wird der der jährlichen Gleichung entsprechende Werth von fi mit /*& bezeichnet, so erhält man nach weitläufigen Rechnungen als constantes Glied in x7 — yX den Werth
^ [**"'» - 2 ^' "* (2 + ^0 ^« ''" ''1 - '^ "^«^ "^^
in welclieru freilieh diis mittelste Glied, da es von der Ord- nung n] Ci resp. «J /", i:*t, aus<:je lassen wird.
Glieder von der Form t sin (A,- 1 -j Const.) oder
^cos (A,^ -|- Cuiist.), welche gleiehfalk in -.A(xY—yX)dt
der Zeit t proportionale unperiodi.sche Glieder erzeugen könnteu, sind in xY — • i/X niclit vorhanden, t^o dass für unsere Zwecke
{Ay -\- ."io'/ü ^Uvi]
oder geiiiiifend genau
r
Lidniiann-Fiäti$: SäeutarttOrwnß Her Linge dt» Mondu tte. 410
Die vier letzUn i» 58) aiißret^nden Ulieder ergehen l>ei «ler hier f<!«tge%*Uten Ctennulj^keiiägrenz« kein säcuUrv» Glied.
Die Diffcrciitiiilffleichung Fdr Cl lautet (iernnach
dt
=-»--Mr)+«|*^+';(<i^^-"S'-^;-.)j/ sc.)
u.> für (rdr) nur das der Zeit proportionale ünperiodiHch« 'i;i"fi «iiuiisetuMi hi.
Wir wenden uns nunmehr xn der Gleichung 57), um da» Mieben genannte Qlied zu liestininieu. Dasselbe wird ofFcnbnr hervorgebniolit durch ein analog gestaltetes Glied auf der rechten Seite von 57).
Zunächst ist das coniitante Glied in 2' ^--57^^^
xa untersuchen. Die niUhsame and langwierige Entwicke- luug, welch»? hi«r nicht TorgefOhrt wenlen wdl, ei^ab aU eonstanten Theil
*a v"' " I "> ^A - ä'») - " (2/, -\-e,)\\a sin IT, -fi cos //.]
wo tu, Wg, W| die llotationsgeschwiudigkeiten von Mond, Erde und Sonne, </, «/g, t/, die mittleren Neigungswinkel dtir be- tr«ir<^ndvn At^|tii4toren gegen die Ebene der Mondbahn be- leuten. Aus bereits nrörterten GrQnden kann doä erste ilied fortgel«Me& werden.
Mit jtiu»cblie88licher Kücfcsicht auf das entwickelte Glied haben wir aWo
420 SUxung der math.-pttya. Glosse vom 7. Dezember 1895.
Indess lässt sich dieser Ausdruck mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit der Lage der Mondbahn noch vereinfachen. Es ist nämlich leicht zu erkennen, dass die mittleren Nei- gungen der Äequatoren gegen die Mondbahn wenig von den Neigungen der Äequatoren gegen die Ekliptik abweichen; die Cosinusse werden von den Cosinussen der zuletzt genannten Neigungen nur um Grössen von der Ordnung des Quadrates der Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik verschieden sein. Hiernach ist zu setzen :
CO cos /== »/', Wq cos Jq ^ »/'(,, Wj cos Jj = (/', . woraus
Hinsichtlich eines der Zeit proportionalen Gliedes ist ferner xX+ijY-\-eZ=0.
Desgleichen mit Hülfe der gefundenen angenäherten
Htörun^swerthe
[:> /(^ U /, cos i?.it -f- b.) -f <;«■; cos {21 -J/j)] aör = 0
0»;a'sin(2/ — 2/j)<JA = 0 Hn\a' 1 -f3cos(2/ — 2y
In 57) folgen nun zehn Int^^grale, von denen wir sofort diejenigen vit-r, welche dt\ <'nthalteii, fortlassen dürfen, da sie nur (.Uieder von der Ordnung «J^i ergeben. Hs irst dem- nach zu untersuchen, ob die übrig bleibenden sechs Integrale unt«r dem Inte^nd/.eicheu (.)onstant*'n entlialten , weiche innerhiilb unserer Geniiuigkeilsgrenze liegen. Du-* ist, wie man leiclit erkennt, nicht der Kall, wesiialh diese InU'grale siimnitlich = 0 zu sft/.en sind.
Die Gl«iohaog 57) lautet deuinacb:
also mit »(unchlieaBlicbor Rttckaiobt auf das üucolare Glied:
S«t2t miMi dies in 59) ein, bo «rhält man
dt «• — 2«* L «* •" a \ «* «t* /J
mitbin
^''^ = - i(«--a^» * i «• + 2 1 — ;ii «7 / r • *^^^
Die« i»t also dio Säcular»börttng der MondUinge, deren Wcrth sich» wie der Vergleicb mit 52u) uud r>r>) 7^igt, durcb riu« efüite Berücksichtigung der indirecten Glieder auf den recbtfn Seiten der Differentifllgleichungen niclit geändert bat. Wie das Vorzeiubon von dl zeigt, hat man es nicbt mit einer Bebchleuüiguug, Bonderu mit »iiier Verzögerung der iBvircgiiug Am Mundes m tbuu, und diosce Ucsultat wtlrde auch Bestand bebalten, wenn man durch weiter getriebene Ajiproxiniationen, die auf Grund den Vorbergohcnden prin* cipielt einfacb, in der Ausführung aber äiusi^rüt compÜcirt sein werden, den Wertb tod <U noch schärfer bestimmen wollU.
Die genaue nnmerische Berechnung ron dl ist auch abfJeMhen von Avm imheknunten Knct^r 0 wegen der Ünbe- kanntschafc mit den TrUgheitamomenton A^ A^^ A^ nicbt möglich.
Nennim wir die lladien von Mond« Erde und SoDoe C« 9o* 9v '^ Ifönnen wir Mtson
422 Sitzung der math.-phys. Clasae vom 7, Deaember 1895,
A 2 ,
■^ — g ß» Wo £o
A 2 ,
wo die Factoren e, e^, e^ verrnntblich ächte Brüche sind, da die betreffenden Körper höchst wahrscheinlich nach dem Mittelpunkte zu an Dichtigkeit zunehmen.
Man kann hiemach dX unter folgender Form darstellen:
^"' 61)
, iwo /eoVv'o. J.fBo+"> «I /""iV /"e^^* ^!»*1 />
Nehmen wir an, dasa die Geschwindigkeit der Gravi- tation das G- fache der Lichtgeschwindigkeit ist, welche für die Zeiteinheit des mittleren Sonnentages in planeirischer
Längeneinheit ausgedrückt .„-^7, V'eträgf, so ergiebt riich für
/ tropische Jahrliundcrte
(j; = — -"'^"ll + 0.000004 £-fn. 11 18 £o- 0.0008 ^J/^
oder, wenn man die ganz unmerklichen Glieder vernach- läs-Mgt,
J/ = - - 2""-^^' 32" 1 1 _^ 0. 11 1 S £„1 <^
Um die Säculur.storung der Liingf des Mondes auf ein erträgliches Maass herabziidrücken, müsste man daher der Geschwindigkeit der Gravitation einen iiuniensen Werth bei- legen, violleielit das Millionfaclie der Lichtgeschwindigkeit.
423
üeber gewisse Systeme Pfaffscher Gleichungen,
Von E. T. Weber.
Die Theorie der besonderen Systeme Pfaffscher Glei- chungen, welche in der vorliegenden Mitteilung untersucht werden^ umfasst diejenige der partiellen Differentialgleichungen in drei Veränderlichen als einen speciellen Fall, und bildet gleichzeitig die Grundlage einer allgemeinen Integrations- theorie der letzteren ; es gelingt nämlich auf Grund der nach- folgenden Entwicklungen, die Darbe ux^sche Integrations- Iheorie der Gleichungen 2. 0.*) nicht nur zu vervollständigen und nach Lie'pchen Principien geometrisch zu interpretieren, sondern auch auf Gleichungen und Gleichungssysteme be- liebiger Ordnung zu übertragen.*)
Im ersten Abschnitt entwickeln wirdie notwendigen und hin- reichenden Bedingungen dafür, dass die genannten Pfaffschen Systeme Integralflächen der grösstmöglichen Mannigfaltigkeit besitzen und charakterisieren hierdurch eine Klasse von Inte-
1) Ann. de l'Ec. Norm. Vil, 1870; vgl. :iuch König, Math. Ann. 2i.
2) Ansätze indieser RichtuDR ßadonaichbereitain den Bäcklund'- Hchen Abbandlungen Math. .\iin. 11 und 13; der zuletzt genannte Aufsatz enthalt auch schon z. T. die Resultate, welche ich in einer früheren Mitteilung (Sitzungsber. der k. bayer. Ak., 1895, Bd. XXV, Heft II unter III gegeben habe.
424 SiUung der math.-phj/s. Glasst vom 7. Dezember 1S95.
grationsproblemen, welche die partiellen Differential gl eich im gen beliebiger Ordnung in 3 Variabein und die Systeme solclier Gleichungen umfasst; im zweiten Abschnitt werden hinreichende (aber im allgemeinen nicht notwendige) Bedingungen dafiir angegeben, dass sich die im I. Teil studierten Integrations- probleme auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurück- fahren lassen.
I. Abschnitt.
1. Sind X, y nnabbangige, m eine abhängige Variable, so sei:
Verstehen wir unter f eine Funktion von Xy y, £, aj\ , . . o^\ unter daf, dx^ . . rfaj,"* beliebige Incremente, so setzen wir:
" 1=0 r=ü «'"r
df = Pi"-" OT dx + D^"-" (f)»,j + j^ /f,„ doi",
df - j)|--" (f)dx + i)<"-" (/) ,hj + s /f., da':\
also z. B. :
(1) (j = 0,l,... ft; Ä = 0,1,.. n—U.
Ist femer stets:
so folgt aus (1)
V. Weber: Pfaff*sche Systeme. 425
rf<Ja;** = drfa;** (ft = 0,l,..H — 2), nbrend wir die Ausdrücke
Betsen wollen. Notieren wir nocli die Identität:
(2) d(if)-didn-:-.'^--U-TA'i^t
1 = 1 '''*i-i 2. Betrachten wir nun die k Pfaffschen Ausdrücke :
(3) (<J),-JI/,d:t + A;jy + 2'l,.,'J''r
(»=l,2,...ft; &>1 und <«)
worin die M^, Ni, A,,i Funktionen von a:, ?/, ^, aj,'\.. «J,"' bedeaten. Wir nehmen an, dass aus dem Qleiehungi^sy.steiu:
(4) (d), = 0(i=],2,..&)
keine Relation /.wischen dx, 6y allein folgt, .so divss nicht alle ib-gliedrigeu Determinanten der Matrix
^0.2, .... j:
(5)
lo,*
Ä„,k
identisch verschwinden, dass dagegen alle ft + 2-glietlrigeii Determinanten der aus 2 k Zeilen und « -f- 3 Oolonneu be- stehenden Matrix
(6)
Ni, 0, An,i, .... Ä»,i
') Vgl. den § 4 meiner Arbeit: „Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichungen*, Uuth. Ann. 47. 18». Hfttb.-ph7i. Ol. 3. 28
426 Sitzung der math.-phy$. Glosse vom 7. Desembtr 1S95.
identisch Null sind, ohne dass dies bei allen &-f-l-gltedrif;en Determinanten der Fall ist.
Aus dem Verschwinden aller ft -f- 2 -gliedrigen Determi- nanten der Matrix, die aus (6) durch Streichung der ersten Colonne hervorgeht, und aus dem Umstände, dass nicht alle Xr-gliedrigen Determinanten (5) Null sind, lässt sich beweisen, dass die k Gleichungen mit der Unbekannten f* :
(7) 'A (/')^ S -^'■•/'''"' = 0 (i = 1, 2, . . K)
8 = 0
genau n — /.-f 1 Wurzeln gemein haben. Seien dieselben durch die Gleichung
n-k+t
definiert, so kann man also setzen:
k-I
fc-l-r
Die Ar,, Qi sind rational durch die As.j au?idrückbar; umgekehrt hat n»an ;
'1. Aus unseren Voraussetzungen ülier die Ausdrücke (;{) folgt ferner, dass sich die 2 k Gleichungen
anf ^i'iism /r-f-' i'i don a|"+'* iin;iIiliiu!Ki<(e (jleichnngen reduiien-n. Diese können nun uiit' folgende Form gcbraciit H"eril**n :
f. Wtbtr: PfaifiKAe Sfttfmt.
427
»-M-I
S?."!^" + ". = "('■ = "•''••*>■
.=«
lu der Tbat kanu man die PuDktioneo x^ eindeutig so (i(ätinimen, duj» für jeden Wert der o^^""^*' die Beziehungen gelU*n :
tSSM «SU
denn die Cwefficienten der ä:J"+^* sind wegen (8) auf beiden Seiten gleich, und die Vergleicbung der von a['**^*' freien Olioder liefert fQr die Unbekannten x^ die 2^ Bedingungen:
k-l
k I
a<i
'+I
laaa aber alle A:-{- ^-gHedrigen Ueterminanttrti der /.u diesen l«k'ichungen gehörigen Matrix veri>chwinHeD, ohne das.s dies ile A:^' 1-gHedrigen thun, folgt au^ den Voraussetzungen *fler N. 2, wenn mau fOr die A,f ihro Werte (8) in (li) «ub- tttituirl und heaclit«t, dass Qf^ »U nicht identisch verschwin- dend angenommen werden kann.
Da man ans denselben Grönden die K, Term5ge (II) linriire homogene Funktionen der üt<, Vi ausdrücken ann, to »ind die Systeme (9) und (10) völlig äquivalent.
i. AI» «Charakteristik n. 0.* des Pfaff'schen Systeme (4) beiUMchnfii wir jeden Streifen o. 0., der einem der jh — Ä-J* l folgenden Gleichungssye>teme genHgt:
(13) rfa;"=(o;^+" -f--^,«;;+^^)(ii:(.=0,..r; r = 0,..n-l) (U) rfa^-' = W-^" -f-^, allf) rfx(.- = 0, l...ti). unter ^^, -^^^^^'/fm-h^i die Wurxetn der Gleichung
38*
428 Sitzung der math.-pkys. Clasae vom T. December 1805.
unt«r den 0^*+'* Funktionen von x . . a^**' verstanden^ die (10) befriedigen. Die Elimination der ajr+" aus (10) (14) führt wegen (15) auf die folgenden Gleichungen, die (14) ersetzen können :
(1*5) S ^..v ^<'. + ^ rf^ = 0 (i = 0, 1, . . i),
■=o
r=iJ
Aus unserer Definition folgt, dasta alle 00* Flächen- elemente fi -f 1. 0., die sich an eine Charakteristik anschliessen, den Gleichungen (10) genügen.
5. Ein mit dem PfafiTschen System (12) (13) (IG) äquivalentes System erhält man auch, wenn man in jeder der Identitäten
(17) (<}),= ZI f.. ('''');'" ('=1- 2,.. i)
1=1
die Coefficienten der öx, c).v, daj."^ auf heiden Seiten gleich- setzt, und hierauf die p», eliminiert. Zur Verification dieser That«ache bemerken wir, dass au.s der einzehien Identität (17) durch die geschilderte Operation ausser den Relationen (12) (15) zwei Gleichungen für die r/a|"' hervorgelien, die andererseits auch erhalten werden, wenn man ans dem ent- .sprechenden Gteichnn^sjianr (9) und ans (14) die a|"+'' eh'- niiniert. l'nsere Behauptung f<di;t dann ans der Ae([uivalen/ vrm (9) und (!')).
• 1. Ist nun fi ein .gemeinsamer Streifen n. 0. der Pfaffschen Gleichunj^en (4)", d. h. «^enii^t s den Gleichun- gen (4). ^o tulgt ans (171. dass die » Gleichnnf^en
p. Wtber: Pfaff'ueht liyifteme.
439
kieii ttuf geimii m — k ntmbhänf^ige reducieren, wenn die äs, (jy. äfuj"' dtiii Kelationen (12) (1(5) gGnüf;;en; es können nämlich nicht alle ^'-gliedrigtin Determinanten der Matrix
i: e., II
identisch verschTrindcn, dagich wtosi entgegen unserer Vomns- elztin;^ nber die Ätisdrflcke (3) filr dirselben eine lineare IdetiLität ergftbe. Wenn nun keine der Relatiunen
(19)
dy = ^». dx (» = 1, 2. . . « — i 4- 1)
erftlltt ii«f., tio knnn miin ati^ (12) (Iß) (18) die Grössen dx, dy, rfaj"* eindeutig bf^^ttimmen, wie aus der Korm dieser Gleicbungtm leicht bervorgeht. Bezeichnen wir mit ärX^dyy, d^a*^^ dieseti liStsungttTstem , mit e, «', e" succe^sive Kle- mente n. 0. von 5, so gibt es n — k+i zu e benachbarte, mit ihm Tercinigt liegende Elemente fy (x -^ d^ x, . . . «j^*" ■j-dfC^*^); ans der geonietriscben bedeutang der Uleichun- (18) folgt dann'), dass diese Elemente mit c, r' zu- niif dennelhen Ktement ii-j-1.0. E gelegen sind, da» nach der Schlnsdbemerkuiig der vorigen K. die fWla- tioncn (10) btsfricdigt. Desgleichen gibt es « — fr+1 zu c* benacbbiirte Kleniente e^ {x-\- d^x + dx-\- dyäx, . , . .)s die mit e' e" xuMiinmen ein den Relationen (10) gendgendes Element n-\- 1. ü.£' bestimmen; die Increaiente rf^dx-rf^dcj;'' I ' (•ich au» (12) (16) (IB), nachdem man darin unter
1^ liliguög der N. 1 die X-«;,"' durch X •\- dz et«,
ersetzt bat. Durch s geht mithin ein und nur ein Streifen « + 1.0.5, döwen Kiemente E^E'., den Gjeichnngen (10) geoflgen*), und die Kiemente e^, ej, . . erfüllen für r = l,..
1) V|tl. meine pag. 426 ciittrte Arbeit l 4. >) Ua«*r1b« folg-t küner üaraiM, daM die Elimination der af^^^ • ui flOl QDfl:
. «i*^»» ö*+ a}5.t » 6if I« - 0, 1, . . a)
430 SU4un0 dtr math.-jthjfs. CUiSM vnm 7. Dtiember J89S.
H — ft+l einen und denselben, auf 8 gelegenen, zw 8 naclibarteu und niit ihm vereinigt liegenden Streifen «|.
7. Verlangen wir nun, dass «, wieder ein Streifen des Pfafrschen SysteniH (4) Hei, so mflssen TermQgoJ aoserer Annahmen fiber s die Beziehungen gellen :
rf^(d), = o, (i«u..t)
wie uuch e auf s gewählt lein mag. Da nun nui (I7X iu- dem man darin d und d durch d^ ersetzt, die B«y.iehungeD
fülgon, so hat man auch d(^,)^ = 0, da doch e' und «' ebenso wie e und e^ Elemente einer Chttrakteri»tik sind.
Mitbin setzt :iich unsere Forderung iu die andere uu). da« die (von den zweiten Difl't^reatiuleu freieu) ÄusdrGcke
(20) rf,(*)<-rf(rfA
identisch verschwinden, wenn die </yX, d^t), d a^"' den Re- lationen (12) (Iti), die 6x . . den Gleichungen (18) genfigen. Nun sind aWr die d,.x etc. auch durch (12) und (14) de- finiert, unter den aj^+'t Grössen ver«t«üden. die (10) bo- friedigen, und das tillgemeiuste Increm eoteDHj:item doJ"\ diu (18) erfüllt, itd. demzufolge durch
(21) «;-+»*, + a;;+'My
gegeben, worin die a*^*+'' dieselbe Bedeutung bnben, wie in (14), während die dz, d^ ganx willkOrlich bleibfu.M
Fuhrt mau jetxt die Üifferentiatiuuan iu (2U) uuch K. I aus und ersetzt hinterher die lucremtrnte durch ihre Werte (14) (21), so erhiUt man nach kurzer Rechnung aU nol-
aaf dit Bedin^unffen (4) fOhrt, und d*M. wenn dtcAf trfntlt ■ind. ■ui den Rennanten ÜlrichuBfreo dir al***^ " -mdenttir Nerrckncn
Iwma, wmn kein« der Hv-Utioofo (VJ) < <
1) Vffl 4u Cital aar pmff. la'J.
V, IVtter: Pfafftehe SyMemt,
431
wwi<ii>50 und hinreichend« BtHÜn^UDgen daftlr, daas s^ wieder ein Streifeu deä Pfttff'äcben Systems (4) Bei, die folgeudeD: Man niuäs vermöge der Gteichnngen (9) oder (10) idcutisoh haben:
(22) ßf;\V^) - Z);\tr^ (i =1,2.,. k),
udar» «rt« wegen (H) d&Melhe inf:
(23) ir\h\^,) = D';\A\) is = V, 1. - - A- - I).
8. Dia somit, wenn diese Bedin^urigeii erfüllt sind, auf #j ala einen gerapJn^nmen Streifen der Pfnff 'sehen Glei-
Pchun^cu (4) wieder ilieselhcn ScLIühsh ungeweiidet werden höiinen, wie unf *. bo Icomnit mnn durch unhegrenxte Wicdor- btdurig dieier Schlud^weLie zu titiiu iJe^iulUt, dann durch s
Feine lind nur eine Klüehe v hindurchgeht, die deu (jJei- cbuDgen (4) tw>wohI als auch den k-{- i partiellen Differential- gleichungen n 4" 1-0. (10) identisch geuDj^t. Bemerken wir nämlich, dnsa die Fläche r. sofern sie üherbnupt existiert, BcboQ durch die Forderung, 5 (und S) zu ontbalten und irgend einer der Gleichungen (10) xu genügen, völlig be- stimmt s>i*m mu**, ^o folirt. dif» Existenz dieser Fläche nu» deu bekunnion Fundamentallheorenien'), wenn wir gt^wiiise C(>otioQit%tähedin^uu(;eD &lä erfQUt nn^ieheo; olbo:
n Bestehen die Kelntionen (23), so geht durch jeden ge- ' n Streifen n, 0, vnii (4), der k*äne der Gleichungen U -jicdigt, eine und nur eine , IntegralflUche* de« Pfoff*-
sehen Systems (4), welche ans je oo^ Cbarakteri»tikeu eiuea jeden der n — i + 1 verschiedenen iSysteuie aufgebaut ist.*
Dos so erhalt*?ne fntegral (4) bStigl offenbar ab von ,11 - ff -\- I nrKltrün^n Funktionen je eines Arguments.*)
1) Ctenügl n ausser den Relationen (4) nacli einer der Olei- chQBjpiD (Ift), obne indei eine Charakteriitik in Käu, so ffebl durch ihn »ific Inl^(raJäad>e von (4), die ihm entl&ng einf Bnckkehr-
432 SiUung der nath.'phgt. daut wm 7. Dttember 1896.
D. Sind die Vonu^seUungeD der NN. 2 und 8 in ßetretT der AnsdrUcko (3) erfnllt, ao nennen wir die Gesamtheit der w — Jt + I ChKrakteriätikensysteme der Gleichnnjfen (-1) ein «unbeschränkt integraliles Streifensystem* und be- zeicben es mit dem Symbol Sf^^l,,' -'e OBchdem nun die Auädrflt^ke (3) keine, oder 1, 2. . . k unabhan^gj lineare Comliinationen der Form ^* gestatten (iint«r den 0^ Funk- tionen von X . . o***' rerstanden). ergicbt sich eine wiebtitre Einteilung der Systeme S'l^}_^ in Ä+l Arten, die wir mit dem Symbol
24) ^:U,{l^O,\,.Jt)
l>eKeichneu wollen.*) Besonderes Interesse bietet der Kall /^A; man kann dann die {6)4 durcb die dtP« ersetzen und demzufolge den Aoadr^cken Jf«, Nt^ At.i <ivr N. 2 beic. die Bedeutungen
beilegen. Die Bedingungen (23) sind JKtxt eine Folg« der- jenigen der N. 2; man erkennt dies entweder nncb N, 7 aus (2), indem man /durch die (/>, er»ptr.t, ^ler direkt daraos, daMt die Helationen (22) nunmehr identisch, nicht nur vvr-
3*.
kante n. 0. bttiUt (vgl. m<Mne pfttf. 42S eiti^rte .Arbeit, $7]; dareb •ine Charakieriitik geht «iae Schaar von latfgralfUebeD , die noch von einer arbitrftren Punktion einei ArgurnrtnU a^hAnffl. Die JntegmlllucheD des Ttite« lind, al« Scbaaren Ton 's:' Klicbenplemralen aarfcefaact, die Al1;;r>m<>in-len .Intef^ralftfiairnlent«' (Jm PfitfTaffarn SjsUmf, daa i»uf ■t*r rnlen Orupiie der <iWichungen (t) um! nua (4.t gebildet würd.
1) Die in tneiaer frllbcren SqU aad in mnin« Arbeit Math. Ann. 47 betnu-bteteo SyMcme «ind dennarh mit iSJ^jff -0, 1,-.«), dos CbarahtervitikenejBiem einer (ilnichnag n. 0. mit ä*^*!!.!,! *" '"^ wichnra; den Fall Aj^'^ botruibtet gelegmiltrh Herr Bftrklaod (Math. Ann. IS): Baiipiele für Jtu Fälle .Sj,'^ and ^i\ fio'inu «ich in loeiBar oban cUiorien Arbeit.
V- H'e6er; l^ulf'adte Ütfvtemr^
433
iiiCigi' (1>), erfntlt »iiid. Die k in !{n7.n>r auf die aj*** nnab-
hangigim Citeichungcn 11. 0.:
(25) a>,= CHi= 1,2... Ar),
ia denen die Ü, willkürliche Gonätanti^ bedeuiea und die wir als ein In voluiinii^^-tvstem bezeichnen, hp-sitxRU dunn ein gpnu'insnm«« lot^^gral mit « — A*-f* 1 arbiträren Funktionen, in dem Sinne, daän durch jeden ihrer gemein)»amea Streifen n. 0. im ungemeinen eine und nur eine gemcinstime Intograißilche biudurcbgebt.
10. Die vomtehcndeu Bemerkungen gelten auch, wenn einige der d, etwa die f;i ersten CO<m^A:), durch Null
rCr^tzt werden; die I^dingnngen der N. 2 mtlasen jetzt vor- Ui ü g e der Gleichungen
<^i = 0, . . </>« = 0
f'beftehen, und auf eben diese Kelntiooen ist auch bei der AVahl de» AungungKstreifens jr (N. I>) Rflcksicht zu nehmen.
11. Die Uedingnngeu (28) drücken an»^ dikai die (Mei- chungc» «4" ^.0. (10) im Sinne der vtirigen N. ein lu- volutinn^eyetem bilden. Ist umgekehrt ein System von £ -|~ ^ iQTolatoriscbon, in Bezug auf die fi^^''+'> Jineiirea und unnb- höogigen Gleichungen 11 -f- !• 0. vorgelegt, so kann man ckuaelbe, wie leicht zu äehen, auf die Form (10) bringen, worauf durch (3) und (17) ein System äJI'^j , definiert ist, wenn mau setzt:
*-i *-i *
M,^^^lr»*wi Nf^^lrt^^x; A^4^^^^~r,U
r=« r=o .=ü
unter den i,t irgend weiche A* Funktionen von x . . üjl** mit nicht ideutincb TerMshwiudender Deteruiinunle verbtunden. Der Charakter t des Systems ^l^i^t hestimrot sich dann durch algebrriifM^he Operationen, die / intcgriibeln Combina- liont'U d0i der Ausdrucke (d), tlurvh Int^fgnttiun gewöhn- licher DiCTereutialgleichnughsyi^temM.
434 Sitgung der mathrphys. Clasae vom 7, Dezember 1895.
IT. Abschnitt.
1. Wir betrachten ein Pfaff'sches System
(1) (tJ>-=0 (t = 1.2..Ä)
von der in I, NN. 2 und 7 geschilderten Beschaffenheit und das dazu gehörige System von k -\- \ linearen partiellen Differentialgleichungen n + I. 0, (vgl. I, (10)):
(2) K. = Q> (i=0, 1,...Ä).
Aus den Beziehungen I (23) folgt dann leicht: Üiffe- rentiirt man die Relationen (2) ^'-mal partiell nach x und y^ wobei die Grössen a[.*> als Funktionen von x und y be- trachtet werden , so reducieren sich die resultierenden Gleichungen vermöge aller vorhergehenden auf k-\-j-\-\ der Form :
(3) ürf=5i?A''l"+'r^" + "i" = o (.- = 0,1,.. i+j),
worin zur Abküri^ung m = »( — k ge.setzt ist*).
2. Tnter einer „Charakteristik Ji-j-r.O." des Pfaff'schen Systems (1) vcr.-tehen wir einen Streifen H-j-r.O., der die folgenden Ditferentialgleichnngen befriedigt:
(-4) dy=^.'f,,dx',
(5) <ia\'' = {a\"+'^ + .i^, u\'+'']iixU = 0,\.,h A = Ü,1,..
..« + r— 1):
((>) da. = («, ^ ^ -f -^,, ß,^.i ^ J (/x (i = l), 1 . . » -f r),
unter -^/^ eine der w-|- 1 Wurzeln -^^, . . v/„,+i der Gleichung (7) z(--^)-0
c. Weher: Pfaff^ache Systeme. 135
(vgl. 1(15)), untttr deu Gröswen f^^^^^ • " ^^i^"^ irgendwelclie PunktionoD tou xyiu^K.a*^^ verstanden, die den Gleichun^on
(8) ir;*' «= 0 (i = 0, 1 . . . * -f- A: A = 0, 1, .. r— 1)
(9) jr;''=0(t = 0,l...* + r)
idnifcisch genflgen; die Systeme 1,8) (9) sollen auch von den liitegrationscoaatanU'n X. . oJ^|j;^\ mithin von allen FJäcbeti- eletnenten des Streifens erfüllt weTtJen. Eine solche Chsrak- teristik bexeichaen wir generell rait C'''+'^. Die m + 1 Chiir»l(tvrir4tikensy:<tenie ti-f-r.O. bilden ziiHaruroeu ein un- beechniukt in tofi^r Ablest Streifen^ystem iS"*+*'*).
Oie Elimination der o<"-M-n am (6) und (.9) filhrt nuf die i-f-r-f-l totalen DifferentialglLMchungen
die wir mit (4) (5) Kusnmmen als die Dfünitionsgleichungeu der C'""^* beliehnen wollen. Ist ^ft keine mehrfach zäh- lende Wumel von (7)*)) **> »»'D^ längs jt'defl Streifens Cj7*oo* (^'(n+i) I>estimmt. deren einzelner durch Angahe eines seiner Häemcnt« »-f l-O. festgelegt ist; ebenso goheu durch jede CJ,»+i)oo»CM--' etc.
3. Wir verstehen unter F eine Funktion der Grössen ' ' "i+T^ setzen
4 - 9^'
') Vgl. I, N. 9; doch dorcheielit dieie« System oirhl den iraiiz«n Haoin X, .oj,*^', madtn nur die doreb |B) definierie UanDiKfaltif;keit. ') Vgl. S 1 meiner Arbeit in <len M»t.h Ann R'l. 47.
436 SiUung der maOt.']>Stfn. Ülatte vom 7. Iksember 1895. ferner, wie in I, K. 1 ;
und nehmen an, dnss dF eine integrabte Cumbination der I)etiuitioit!tgleichun}(en der Oj^"^"* sei^ d. b. duss man fllr alle Werte der Incremente dx^ dy^ rfojH^^ vermag« (8) ideutisch habe:
(U) a {dy - ^^. rfx) + j] o, [d^^ dF,
unter a, tr, nicht näher bestimmte Funktionen vun x^'-a^^^ verstanden. Solche integrable Coiii))inutiouen sind z. U. die Ausdrücke rf/^'*^"'*; doch setzen wir voraus, das.s nus den Gleichungen
(12) dF = 0, djsr;*^" = 0 (t = 0, 1 . . . /( + r — 1)
vermöge (8) keine Helation zwischen dx^ dy allein folgt*), inflbeeondere also auch, duas zwischen den linken Seiten dieser ItelatioDeD keine lineare Identität besteht; dF sei dann eine eigentliche iutegrable Coinbini*tio(i der Cj*+^' genannt. Für F erhält man aus (11), indem mau duria die Coefficienten der dx . . . auf beiden Seiten gleichsetzt und die a^ Ot eliminiert, ein System homogener linearer partieller DiiTerentialgleichungen 1, 0., worin die Viiriabeln x..aj^*;+'* den Kelationen (H) au geuQgeu haben, und bich die Zahl der unabhaugigen Variabein denigemüi» reduciert. Alle etwa vorhundencu integrubeln Comhinationen der CJ^**^* werden also durch Integration gewöhnlicher Differential- gleichun^tysteme gefunden.
1} Im Falle r=0 toll dunelbe fllr die OleicfauuRen d/''=0, (ti)^-iO(i»1.9. ...*) gelten.
4. Unsere Aunabme in Bezu^ nnf F lai mit der aiiclern ttciuivnlont^ daa<i der Aur^lrack
Tcrmöge (8) (9) rerschwinde, t\. li. iloss vermöge (8) eine Identität der Form
^KK'^t (»i"^" (J^ + ^^ ^;"^' i^)
bestehe, unter p, Xt Funktionen von x . . o'"J^* verstanden, Aläsn verschwinden vermöge (8) alle Ä -f ** -h 3-gHederigen Determinanten der Matrix
|
«o' 1 e«. ?i. • |
0 |
, 0 |
|
^r . 0. e,. . |
0 |
, 0 |
|
KJär , 0, 0, . |
Qm |
« tm+l |
|
D':+"'\F), A,, A,, . |
A„^, |
, 0 |
|
/>r+'"^n 0. ^, . |
. /i»+r- |
It J^M+r |
was für F wieder ein -System partieller Dilferentialyleichunffen I. 0. (lart(te)lt, dessen ffemeinsanie Integrale aber nanniehr die etwaigen integrabi^lu Conibiuatioueu aller m -f- 1 C(M+r)- systenie liefern.
Ks möge unigelcehrt F obigen Bedingungen genügen, aber nicht alle k -{- r -\- 2- gltedrigen Determinanten der Matrix (14)r inübcsundere aber iineh niubt alle ans den letzten n -+•'*+ 2 Colonnen gebildeten,') zum Verschwinden bringen; dann Uwitzen die Gleichungen (7) und:
J) Sonst wrirde ntts (12) eine Relation für dx, dy rolgen.
■■
'438 Sitzung der maih.-phys, Ctasse vom 7. Dezember 1895.
wie leicht ereichtlicb , genau m gemeinsame Wurzeln , die mit -^1 . . . y/r-\ -^r+! - . -^«+1 bezeichnet und durch die Gleichung :
(15) ^ej-^r'-^o
gegeben seien. Man verificiert nunmehr leicht, dass eine Identität der Form (13j besteht, sowie dass die k-\-r-{-2 in den aj"+''* unabhängigen Relationen, auf die sich demnach die Gleichungen (9) und:
i)^"+''' (F) = 0 , Dj,""^* (F) = 0 redaeieren, die folgende Form erhalten können:
(16) Lf = 2 «; «i"+t'"' + f = 0 (i = 0, 1, . i + r + 1).
*=ü
Durch J-malige Differentiation dieser Gleichungen, die vermöge (8) ein InvolutionssyHtem bilden (l, N. N. 10, 11), erhält man veruiöj^e (8) und der vorhor^ehendpn Diffen-n- tiationsgleichun^en Je -]- r -\- J -\- 2 Gleichunf^fen
(17) L^/' = () (i = 0,l..Mr+.M-l).
Die , Charakteristikeil C^|'+*"+''''' des Involntionssystems (16) sind definiert durch die Gleichungi?n :
./*/ ^,.dx\(hif («|'^'V^,a;'^+")(/x [h U.l...A-+r-l-r')
worin ^.. eine Wurzel von (1')) bedeutet nur] die a'"+'* die Kelationen (8) (17) (18) identisch erfiillen. und bilden ein unbeschränkt inte^'rables Streifensysti'ni 'S"|,"j",'"''''^'); die Glei- chung
(18) F^C
1) V^l- tlit' Anm. pag. 485.
p. Web0r: Pfafr»cl*< Sy»t*mr.
490
bat oläo mit (1) ein Inte^al gemein, daa ron m willkQr- Uchen Futiktioncn jo eines Argnraeats aUiuni^t., indem durch jcdeo gatncinRnniPD Streifen n -|- r. 0, ton (1)') und (18) eine uod uur eine Fläche liindurcbjfelit . die den Gleichungen (l) (18) geaügt.
5. Mnn entnimmt dem Vorhergehenden leicht den fol- genden nllgemmnen Sntv::
-Ist r' > r, J^ eine Funktion von x . . a'*'^'^ und be- iäiic«n die Delinitiousgleichuugeu der Cj7+''* von (1) die inte- grabolc Conibination dF", so ist auch df eine solche, unter /' irgend eine Funktion von F und F' verstanden.'
6. S«i die ganze Zahl 5 > r, ferner r^fi. <P eine Funk- tion Ton *'.oJJI^'. d^ eine eigentliche integrahle Combi- nation der Deänitionsgleicbungen der C]^^ Ton (1), so ist rfff> offenbar auch ein« eigentliche integrahle Corabinution
der C'i.''+'' des Involutinu?wye(temH (Itl); iilsu reduzieren sich die k -^ » -^ 4 GlHiohungen;
t^-»«,0. i>i"+^*(©) = 0, ßj;"+"(üt) = 0
auf A* -f" * + J^ in den aJ*+H-i) unabhängige, die Termögo der forbergehenden Gleichungen (17) und vermöge (8) ein Involutioiivijstom bilden, und die Gleichungen (1) (18) nnd *p =s f ' liaben somit ein Integral mit m — 1 willkürlichen Punktionen gemein ; durch Wiederholung dieser Schlussweise *trh&U man scblieftiilich folgendes Theorem :
»Iift die gnn/.e Zahl /<m, sind die partiellen Dif- ferentialgleicbungeo
ns^ ,.._,.. /.', = t',... /•', = r;,
ll KtD streifen n-^r.O. ron (1) Ut ein eolclier, deieon Ele- turnte n. 0. den dleichunnpn U^. dcs-cn KIcniente n -f 1.0. den Ee- UtJoa»n (3) «tc. K<>t>Q|;en.
44'f Sitrung der wuUh^phy*, CJaK*-r w*» 7, iHirmher Jf-f'S.
berw. TOD d«r Ordnao;? b -f-r,. -- n — r. und ist ft-^-r die (rr^ifftct« dieser ZafalfD. >>tt;itzeii ferufr die Definitions^leicb- UDgeo d**r CharÄkterislik^-n C!*"^' . .. C-""^/' des Pfiifi~«cfaec Systems M) bez. die eigentlichen inte;;riit>eln Com'riiniiioscn dF^. . . äFy. 80 definieren da*- STstein (1 1 nnd die GJficb- angen (19^ durch ihre gemeiuBamen Cbarakteri--'titeD n-^r.*\ «in unbescbriükt integrables Streifensysteoi >',;^' und be- sitzen daher ein getneinsameä Integral mit w — Ä-J-l arbi- trären KunktioneD, indem durch jeden ihrer semeinsamen Streifen n-|-r, 0.. df-r keine Charakteristik des Erstem* 5",^^ ist, eine und nur eine gemeinsame Integralfläcbe hindurch- geht."
7. Wir nehmen endlich an, dass die Funktionen F^. . . Fm-, F\ . . F\ bez, die Ordnung n 4" '"i • • « -f »'■i - w-f-rj. ... H-f- ri, befiitzen, dass man hal>e r,!>r, (i = 1.2....»*j. und dai* r die gröbste der Zahlen r, sei. Es sei femer für i=i\^2^.. m dFi eine eigentliche integrahle Combinarion der C"-*^.'. <J F', eine sr.lobe der r'-'+'i' de«; PfafTsL-hen System- (1;: iui Falle r, = r', -etzeu wir iil>:-pli*r- Tora;-, fla.-»« zwi-(:ii(,'ii <i(;ri Aii-'lriii;'K»Mi
( 2MJ ^/ /•; . >i i'\ ■ 'i Ky • . /( = 0.1 . . /.- - r_ 1)
bt'Z. im Kuli«; r, = '', zwi.M.lj.-ii .l.-n A:i-lri'..k'-ii
(21) ä}\, .//■';. U\.. {]= l.-^.../;)"i
k'-ifiM Ihican; l'ltrititiit Kt-t-li'-.
I-t j''tzt s* fiii ^cnicin-üiiifr Stp-it'-ii n. (*. 'icr Gleidt- uri'^eii M . 'l'T kcituT *it'r »j + 1 Wt-iiitiorit^n 4 iieiifii^t. -n i-^l ilitii '-ntliiii^ ein iiiiti nur i-in Stn-iffn .<."+' iitMinmit. il<'*-f'ii lOli-rinMjt*' u -{- r. II. (Iji- llflütiuii»-!! '^ Ipt'frjt'ilic«-!)
'i \'jS. dl.' Aniii'-rkun^f. paj,'. 4;iri,
p. Wtber: Pfaff'äche Sytttme.
441
(I, N. 8). Drucken wir die aa «<"+'» gehörigen Gröiwen j0,..«J^* als FuuktioDeo eines Paraiueterti aos uud «ubsti- tiiieren diese Wert« in die m Punktinnitpanre Pi^ Ft^ so knnn uinn die m Fanktionon tf, auf eine und wosentÜnh ntir eiut! W<ei^e 6o beätiiimiea, daoa uiau f(ir jeden Wert dtti Puruinelerd i(]entitM:h UaI:
9',(F,,^1 = 0 (i — l,2...m).
DieM Bestimmung wäre unr dann unauafHiirbar, wenn sieb die beiden Funktionen eines Paars vermöge uoserpr Substitution iiuf Confitanti' ri-dacii'rLeu^ dünn aber würe, wie leicht zu sphen» ,<"" eino Clianiktcriatik von (l), was aus- guficblofisun wurde. Ist »u die Form der Functionen ^ ge- funden, Kl ist «t"+'^> ein geuieinwinier Streifen der Gleich- ungen (1) und:
%{K^K^--^ (.--1,2,...«.),
»Iche nach K. 5 und 6 tuit (1) zusammen ein unbeschränkt ötegrables Streifensystem St""*"''' bestimmen. Dan Letztere wäre nur dann nicht der Fall« wenn einer der Äusilräcko dff'i keine eigentliche integrable Combiuation des xuge- hörigen C ]■*+*' '-Systems wäre; dann aber hätte man not- wendig r« =s r«! und «^"l genügte einer der Relationen (4) oder e« bestände zwiücheu den Ausdrucken (20) bezw. (21) eine lineam IJeutitAt, was uu:$eren Annahmen gleichfalls wider«pricbl. Da nun die Intügralflächen eines Svsleoi* ^^^) sich durch Integration eine« System»* gewöhnlicher DtflVrfnUalgteic bangen bestimmen liiAitea , da auicsenieni auch die Funktioneupaure Fi^ F^ als Integrale solcher Glei- chungen erhalten werden (N. 3), ^ können wir schliesälieh den 8ttti autiniircjchen :
«Unter den zu Anfang dieser N. gemachten Voraus- «et^ungen kann die Aufsuchung der alt gemeinsten Integral-
, K«Uu-phT*. ci. I.
a»
442 SüMung der math.'fhya. Classe vom 7, Deeember 1895.
fläche Ton (1) durch lategration gewöhnlicher Differential- gleichangsaysteme geleistet werdeu.'^)
Existirt nicht fflr m, sondern nur ffir X der m+l Gharakteristikensysteme von (1) je ein Funktionenpaar ^/, ^,- der geschilderten Beschaffenheit, so vereinfacht sich die Integration von (1) insoferne, als sie auf die Aufsuchung der Integralflächen gewisser Systeme SJ^lj' zurückkommt.
^) Ersetzt man im Vorstehenden das System (1) durch die einsige Gleichonfjf
(I, N. 1), so erhält man die Integrationstbeorie der part. Differential- gleichungen n. 0. in 8 Variabeln, im Falle n=2 eine Erweiterung der Darbonx'ächen Theorie, indem die der^elbeo anhaftende lie- schränkoDg auf Funktionen paare gleicher Ordnung aufgehoben erscheint.
443
Ueber den Eiweissumsatz bei Zufnlir von Antipepton.
Voo Carl VolL
(Mütfibi^ it, Jmnumr IBM.)
Hurr Dr. Alexander EUinger bat in meiocui Labora- torium Vursiicbe fiber den EiiveissuiiisaU bei Zufubr von Auiijwpton am Huniio uii^ftäUllt.
Zn oiaer Zeit aU man glaubt«, die Aufuahaie der Stijff'e uus tlem Verdauiingtiachluucbe in die Säfte erful>(e eiiifuch durch Oamoäe, nabiu mau au, das Eiweids intUäo, bevur ea in die SüfU Qbergehcn kunne, durch die Verdauung unter Eintritt ron Wasser in leicht onmirende Stoffe, in , Peptone* rerwandelL werden, da man bei oäniüt-iHchea Verbuchen da» l^wöbuliche Eiweisa uicfat oder nur in minimaler Menge durch «ine Membran hindurch gehen sab.
Wenn aber da» gewöhnliche Eiweias nur aU , Pepton* resorbirt werden kann, dann rnuat aian annebmen, dass daa reMjfbirte l^ept^u irgcndwD im Körper wieder in gewöhn- lich«« Ei weiss unter Abftpattung von Wasser r.urGckrer- wju)()elt wird.
Iit dies Alles so, so muss das Pepton vollständig und iD allen Stncken die Rolle des Eiweisseä Qbemehraen, und man mu«» im Stande sein mit Pepton unter Zuäatx von aticküloffi'reien KahrungMtf>ffen nicht nur den Organismus auf Mrineui Beistände an Eiwei;« zu erhalten, «undera anch einen Anuitz von Eiwei» zu bewirken. Em könnte aber
SB*
444 SiUung der mathrph!f$. Cla»$e votn 7. De£embfr tliOS.
auch sein, dofis das Pepton nur alü ein sohr guter Eiwoia schntser wirkfc, ähnlich niler vielleiclit noch hvssvr uU der Leim; in diesem FaÜe würde der KOrper stets, trobs reich* lieber Pepton ftitterunp, noch etwas Kiweiss von sich ver- lieren, nui) eä dürfbe kein StickstoHgleichgewicbt der Kiu- nahmen und Aaigaben auwie kein Aniiatz von Ei weil eintreten.
iüs ist selbstverständlich, da&i mau xur Uwuug di««er Frage zu dem Pepton kein anderes eiwei>4ihaltigci Nahruug»- miliul geben durf; denn in diesem l''ulle könnte* der Ännalz von Eiweiß aus deui Eiweisä dirse:« Xalirungatuittelä erfolj^ sein; nur wenn der Ansatz von Kiwtiba ^rGaser i^t uh di-r Giwei«»gebalt jene« Nahrungsmittela, könnte ein sicherer Schlusü gezogen werden.
Nach den ersten Ernährung^vcnmohou mit , Pepton* verschob sich bekanntlich, n&uiuntlich durch die Unter- suchungen von KOhne, der Begriff dieses Stoffes. Man be- zeichnete mit diesem Namen unfaD^;§ dafi Produkt der Ver- dauung deH KiweisM-s durch vi^rdljuntr Suj/jutur«: und IVjuln. Man lernte aber spfiter Zwischenprodukte Kwi«ohen dem Säureeiweiss und dem Itflxten Produkt der Magenvenhitutng. dem eigentlichen Pepton (Am|ihopeptoii) kennen , nUiulich die ()c>genanDt«n Albumoeen: ebenw Zwischenprodukte »wi- schen dem (ilobuUn und dnn h^t/ten VerduuungKproduktrn der PaukrooMverdauung, dem Aniijwpton und dfui Hemi- pepton, welches let/t«re bei der weiteren Venluuung wr- aetxt wird.
Ee war ali^o iiothig rait allen diesen Produkten Krnäh- rangs versuche Hnxustellen.
Adnmkiewicz hat mit dem iBogenannt^n WilteWhcn Pepton, einem Gemenge vun viel Albumoieu und wenig Amphnpepton, Kcarheitft nnrl Iwi /ngabvi Vnn Ki^t einrtn geringen iStick^totfunKatx bei>bacht4}t. L«ider enttreckt Mch Min Venuob oar auf einen einzigen Tag.
VoU: ü«b«r dm JStirWMuw*aU 6a Zufvht wm Anlipeptan. 445
Dann hat Pollitzer Ventiiche mit ADi))hap«]>tnn tin<] mit üwei Albiitiii>i<en , der Prutfllbutmwe und der Hetoro- ftlhumoRe. aii^e«t^tlt wiid mit allen drei Stoffen einen KiweiM- niisatx L'rlmlU'o; allerdingK ist dabei der Harn nicht in ein- VAndfreier Weise auf^ejammeU worden.
GaHlich hat V. Gerlach mit den Albuniosen in dem \Vitte*schcti Prüpamt und tuit dem durch Pankrenjirerdauung herff(wt«d!t*n Antifj^pton Versuche gemacht: hei ersterem Keigte »ich ein Ansatz von ßiweisa; bei letxterera erhielt er kein Kesnltat, Hn der Hund nuch Ginnabnie den Aniipeptons erkrankte. Auch hier wurde der Harn nicht direkt auff];t'fan};en.
AUe nbrigan BeohHcbter g*t>en die verschiedenen Pepton- pHipanite des HundeU mit anderen stickstoffhaUipen Nahrongs- uiiltehi 3^ B. mit Rms etc , gri'iHNtentheiU bei Vernnchen am Menschen. Sie entschieden daher nur, ob der Ki^rper bei Zufuhr Tun Eiwet» in anderen Nahrungsmitteln und Zusatz von Pepton sich auf seineiu Eiweiftsj^Ieicbgewicht zu erhalten vermu^ und vVnsaU von Kiweiss .stattfindet. Diese Versuche Kind von hohem Werthe für die Ernühning Kranker« aber sie enb^cheiden nicht, oh die Peptone volI»tiiiidi{L; für da« Eiweisa eintreten oder nur ak ansgexeichnete EiwuittsschUtzer gewirkt haben.
Kacli den angegebuneii VcrAUcheu erscheint e» im ehrten Oradt* walirM^ht-inlich. diuü die Albuniosen einen ron Kiweiss bewirken, auch wohl das Amphopepton; er wie das Autipepton wirkt, das iat noch nicht entschieden.
Diese Frage hat Herr IV. Kllinger zu beantworten ge- «uchL, da uns von Seiten der Farbwerke von Meister, Lucius und UrGning in H5chät in dunkenswerthester Weise das kostbare Material (ctogenaonte« Eh-flsenpeptoo) zur VerfQguog geMt«llt wonlen war.
Vjs wurde in den entscheidenden Versuchen bei dem gleichen Hunde das DrQHenpepton in Keiner Wirkung mit dem KiweiflsrOckKtaiid des mittelst Wasser ausgelaugten
446 Sitzung der mafA.-jAy«. Oatae vom 7. Dezember 1895.
Fleisches, mit der Soroatose (Älbumoee), die wir von der Fabrik Bayer und Comp, in ElberfeM bereitwilligst erhalten hatten, und mit Witte'schen Albumosen TergUchen.
Es ergab sich bei einem Oeberscbuss des Eiweisses des Fleisch palTers und den Witte'schen Albumosen ein Ansatz Ton Eiweiß am Körper. Von der Somatose wurde viel mit dem Kotfa entleert, so dass eine dritte Vergleichung nicht möglich war; jedoch wurde so viel gesehen, dass sie eben- falls das Eiweiss ersetzt. Bei dem Drfisenpepton (Anti- pepton) trat kein Ansatz von Kiweiss, sondern ein beträcht- licher Verlust von Eiweiss vom Körper ein, so dass das Anti- pepton nur etweissschOtzend wirkt und fQr das Eiweiss nicht vollständig eintritt.
Das Antipepton ist also wohl schon weiter zersetzt, so dass es im Organismus nicht mehr in Eiweiss zurQckver- wandelt werden kann. Dieses Resultat steht auch in üeber- einstimmung mit der Angabe von Siegfried über die Fleisch- ■•«änre, welche wahrscheinlich identisch ist mit dem Antipepton, M>wie auch mit den Molekulargewichtsbestimmungen von C. Paals, nach denen das Molekulargewicht des Antipfpton's nicht grösser ist als das des Traubenzuckers, während die Albumosen und das Eieralbumin ein viel höheres Molekular- fjjewicht erj^aben. Dr. Ellinger hat für das von ihm ange- wendete Drüsenpepton ebenfalls ein sehr niederes Molekular- gewicht erhalten.
447
Beiträge zur Potentialtheorie.*)
Von Walther Djck.
^S^•v^^/^ Mi. »ntwAm I89S.)
u.
Die GauHB'scbe Formel fQr die gegenseitige Umwiadung zweier Ranmcurven and ihre Ausdehnung auf hObero Mannigfaltigkeiten. Darstellung der Windongszahl zweier Mannigfaltigkeiten durch Kronecker'sche Cha- rakteristiken gevisBer Funotionensysteme.
(>er vorliegende zweite Theil der .Beiträge xur Potential- theorte' ttehanileli riiimchst aosfUhrlich die Theorie der L'nifchlirigDng /.wt'ier geBohlosseiier, sich nicht schneidender Liuittu im liaum'^ , foebi sodanu die Üelimtion der Um- sclilingung für Mannigfultigkeiten höherer Dimensionen in (Murni n-dimen2iif>naleii Gebiete und i^nt^vickelt die zugehiirigen naulytiücbon Furmulirungen in Erweiterung der für zwei Ctirren im Räume gewunnenen nnrslelltuigeu.
Im ersten Abschnitte handelt es sich am die genaue Darlegung der Beziehungen des Gnu»8Vc[ien lutegruls far die Anzahl der l'mschlingungcn zweier Kanm- curren zu den im ersten Theile dieser Beiträge (dioüo
1} Vorf{clnig«n in der Sitr-ong vom 6. JoU 1896.
452 Nachtrag e. SiUung der matkrphjf». Cttust »>« S. Juli 1896.
Gs sei hier erwähnt, daaa wir alle iu der Kol^e aaf- trcteiiden QuadralwunwlaiisdrQcke positiv »nnehnien; es ist dies gestattet, weil dieselbün untrer dem Wurzelzeichen stets eine Summe von Qiiudruten i^nthalleii, weichte im Allgenieineii nicht sämiutlich gleichzeitig in den betrachteten Gebieten verschwinden, so das« olöo die Wiirxel inuerhalb des Ge- bietes ihr Vorzeichen nicht wechselt.
Rechnen wir nun in nnsrroni Cnordinateruiystenl die Richtnng der Axe #, nach Osten, die von f, nach Norden, die Ton ^, nach dem Zenith, ho ^ibt da^ Vorzeichen der InhaltAdeterminantc die foli(cnde Interscheidimg für die gegenseitige Richtung der Ktemente do\ und äol:
Stellt man sich in die positive Richtung dea Klementa do'i der ersten Curve und blickt auf dus Klement do\ der zweiten Curve, so dreht dieses im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers am d&i^ wenn die Determinante
3)
#1— *i — rf*i dß'i #8 — ^i —dsi däk
positiv ittt (vergl, Fig. l), im Sinne des Uhrzeigers, wenn diese Detenninante negativ ist (Fig. 2). Dieselben Be-
TiÄ. 1. Pig.a.
-^^^
<^ü
W. Djfck: Beiträge mr PDfenttolAeorw. IJ. 458
oehaDgen ergeben aicb dabei, wenn wir Ton do\ nacb dof bücken ^).
§2.
Formeln für die Windnngszahl unter der Voraas-
setzung, dasB die beiden Eaumcurren in Parameter-
darsteliung gegeben sind.
a) Das OaoM'Mhe Doppelintagral.
Der Gauä8*8che Ausdruck für die Windungszahl V läset sich direct ausfahren, wenn man die beiden Linien in Para- meterdarstelluag gegeben annimmi Es eeien dnrcb
4' ) £i = qpg (Ai) und 4-) Jsi==ipt W
die Coordinaten der Punkte unserer beiden UaumcurTen dargestellt , abhängig von den Parametern X^ bez. X^. Wir setzen dabei, der präcisen Äusdr ucksweise wegen, die Ftmctionen q>i und ipi als eindeutige, reelle Functionen der reellen unbeschränkt veränderlichen Grössen >l, bez. X^ voraus;
1) Et schien für die vorliegenden Unteraacfaangen sweckm&isig, durch die eben * gegebene Auizeicbnang des einen der beiden la einander symmetrischen Coordinatensysteme die Vorzeichen 4~ und — der Determinante in die beatimmte Beziehung su den Figuren 1 Dod 2 EU bringen. Dabei babe ich, um für die in der Regel all «posiiiT* bezeichnete Drehung Fig. 1 auch eine positive Windangt- zah] za erhalten, die GaosB^acbe Determinante noch mit einem Hinos* zeichen venehen, welches fibrigena bei der Ableitung der zweiten und dritten Colonne der Zftblerüeterminante durch Differentiation der ersten Colonne naturgemä« in die Formel eintritt
454 NadUrag i, SiUung der wtatk.-phya, Chu$e vom 6. Jmli 1S9S,
die q>t und t^« seien ferner stetig nnd OberaU endlich,^) and nach den Parametern >l,, bedehongs weise Ä,, differentürbar. Die Kaumcniren sollen keinen Punkt mit einander gemein haben, d. h. i/', — y,. \p^ — y,, ip^ — y, niemals zugleich für dieselben Werthe der X verschwinden. Femer sollen nie- mals gleichzeitig die drei Ableitungen ^n, f^n, ipti der Functionen ^i(Ä,) nach Ä, rerschwinden und gleiches fSr die Ableitungen iPit, t^, i^^ der Functionen ^t (i«) nach Xi gelten.
Es ergiebt sich dann unmittelbar fQr die Windangszahl V das Doppel integral :
|
^•:~yi |
-yn |
«-"» |
|
|
5) |
•-"j-yt |
-y« |
*-"« |
|
V )M |
«^•s-Ts |
-y« |
«-'•« |
bei weiLlieiii den ubigen Vitraussetzunfjen /ufulfje die Inte- i^ratiun über die /. an eine Grenzbelingung nicht mehr ge- buutien i:::t.
rin die Kicbtung für die Integration auf beiden Linien nach den in § 1 jrei;el>enen Be^tiinmuniren festzulecen. wählen wir an einer bestimmten (al>er ubri^eni willkürlichen) ?*tell»' jrtU'r der beiden Curven diejenige Riobttini» für die Zählung;: der Hoiienlängen . für welche die dem Linienelemente d o\ 0>ez. do\^ an dieser Stelle entsprechende Aei.derung <//, (bez. /,,» |X)siiiv ij-t. Da nun für die Elemente der beiden t'iirven
r ^o »ia*^ wir hier, was iniie*!« die Allffem-inheit der Beirach- tuDgeD Dii-lit wes«-Dtlii.h be-^rhränkt. nur T>?n ifanz im KndlicbeD geU'peneii Curvt-n reden.
W, Djfclc Beiträge xur Pi4t»UicUh«or%i. IL
4fi5
rf')l = V^7»:.4y';.+vi.-rf^
bfldebuDgaweise 6')
rfoI-l/iA^+ri^^+'/i'di,
Ut« M fblf^, da vrir die Quadratwurzeln positiv annehmen, dam wir fOr di« Integration im gunxeu Gebiete die Ele- mente rfi, bez. f/x, positiv zu nehmen haben, aUo, kurz atwgedrQckt, das» wir itn Sinne der wacheenden Wertbe /^ and i, Qi>er die Curveu ku int«griren haben.*)
Alis Formel (5) für V ist nun die Bedeutung der Win- dungszahl aU Kronecker'scher Charakteristik direct zu er- fohh'etisen. Die Entwicklungen der §g 1 and 2 der «Bei- trag« 1* (Formel (12) auf Seite 26<{) ergeben nändich dd- mittelbar den Saty. :
Stellt mau das Gauss'ache Integral für die Cm- schlingung zweier Uaniocurvea mit Hülfe einer Parameterdurtttetluiig (4) der Cnrven dar. so ist die WindnngAzahl V gleich der Kronecker'schen Cha- raktoristik des Systems der drei Functionen:
der Kwei Variabetn ^1,, X^.
Deuten wir nach Korniul (3) der «Beitrüge I* die drei FuoctioneD im Itaume der Coordinatea #,, /,, #j»*)
1) Die I>Kn(ellang iit in dtefter weitl&ofigcD Form mit Rflckaichi aar di« >m Kolgcmlen entli<eouo Auv^iliranftea gegeben.
2) K» iftt fttwiofatlicti mit Üackeiofat aur dlo folgciatlen i'or- mtln die Beuiclinang der Coordinatoa üurcb z, beibelmlit-n: dieie
>t«a hi«r an die Stelle Ut^r x^ der Korinul (2) io den .tluitrigen 1*, nd du in jener Formel nil «^ btüeicliaeten T'animeter hi«r durch di« i, «nivtit tiad.
450 Naditroff '. SitMtmff der math.-jihjfB. CituM vom ß. Jtäi H0i.
*
so folgt der Satz:
Die Zahl der gegenseitigen Umwindaogen der in (4) (iargesielltdi Raumctirren ist gleich der Znhl der Windungen der Fläche (8) um den Nallpuukt.
Die KlTwibe (8) ist dubei auf die eiufucliiiio Weise geu- meirifich aua den beiden Curven abzuleiten. Legt man näm- lich durch den Kullpuiikt des CnurdiuBtensysteius Strahlen purullel zu deu zweifacb unendlich violen zwiachen beidi-n Itaumcurren zu ziehenden Sehnen und schneidet auf diesen Strahlen je die Längen dieser Sehneu (genieftsen in der lljcfa- tnng VOM der ernten zur zweiten <^urvft ab, so bilden die Endpunkt« dieser 8trn)ileu eben die Fläche (@).')
Die Formeln (8) ergeben weiter, dasa die ßostalt der Flüche Ton einer gcgt^o^eitigen durch ParallelverMrhit'- bang der beiden Curven hervorgerufenen Lagcnv. riimbTiiug
1) Man kann licb iiucb eiit* aoaebauHcbe VonuüJuni; TOn iiDoereD Kl.'ichtfn dmlunli vcncbalTeti , Ja«i nuui «i« uU »Trani- lalioniflftcbiiu* auffasst, di« «ich aur gIdq lur ^l'- ^.^^'A^%) conffforat«' Qod auf oino xwrite aui der M* darch .äjiiogclonfr am NuUpuakt* eotftandene Curve '^^^ — f^fX,) &I- Leiicurven beliehen. Ilorr Piniterwaldvr hat inehrcr« Modelle »olchcr Flftchen coa- itniirt, die? im Drill'^cben Verlage er»chi?n«n sind- EKne« der*e]beB h«' tiebl nch «{lecielt mir ewci in i^Hhöfr'mAlt^n Kheaen fftegeaea Kreiw aU Urillinien. Tviiianlicbt r nntonr HetnicblaDirfO
*U'ineotnn*tcn Fall der g*:: ■ ..huguog iwplcr Krci««.
Auch Tiio» der din ThooHe der TmnfllalioiuQllcbpn va Verbinilang mit den pnUpn^cbfnden [wiietlen UiffereatialjiflctcbiinR-en zwr3t«r Ord- iiUDg na^gvbaut bat fVvrgl. neben Altorcn UDtcr«urhuni;r#n die eb* «un)menfu«9en<lt-n l>ante)luoKen ia den l -
Mlltcban d W. Hd. ih), veranlaviite ioi IniUtQl dt« QtntttUnag von Uodallon gewiitar 'l'nuivlAUoiiifl&obra.
W. Dtfck: Beitrag« mr l\tleftttai0Mjri«. II.
457
unabh&ngig ist and daboi nur die L&K*' ^^^ Kläcbu j^e^cn den C(>ordinat«n- Anfangspunkt geändert wird; die WindungH- /.ahlen, welche die Klüche mit Bezug auf die verschiedenen Punkte des iCaumes aufweist^ geben also zugleich die Wiii- dung93MfaIen der beiden Ourven fQr ulle möglichen durch Parallelverschiebung entstehende l^gen.
Die Entwicklungen in den «Beiträgen I* zeigen nun- mehr, da«i wir sofort noch zwei weitere Darstellungen fQr die Winduugsuilil V bilden können, nämlich mit Hülfe eines einfachen Integrals und durch eine Sumiuen- formel. Wir betrot^hten noch kurz diese Darstellungen und ihre geometrische Bedeutung.
b) Darattlloog ron V durch ein einfaches Ist^raL
Die Wiudungsxahl lässt ütcli (nach Formel (2G) der ,ßei- 1*, fSr ft = 0) darstellen durch das einfache Integral :
I « -Tu *P'.
IS
fl)
%'Tf Tti «/'«
1 r »/'.-T, -Tai »/'m
"'s" * 1 7=^^ — ''^»'
it aber
^j— V>, = 0,
wclchofl die Windnngnuibl der -Schnittcurve der Fläche (8) mit der Ebene
'. = V'i — Ti = 0 'tim den Nullpunkt darstellt und in welchem <lo, ein stetB |M»itiv zu uehniLMideä Ktement bedeutet . welches den beiden Gleichungen ;
.10')
(/o, =
T<i
rfA,
IM» Umtk't^jm. a. I.
80
458 Nachtrag g. Sitmng der math.-phys. Classe vom 6. Juli 1895. beziehungsweise
10")
do, =
V^ii
• dX,
entsprechend für die Ausführung der Integration zu ver- wenden ist.^) Es ergiebt sich dann (indem man die Determi- nante nach der ersten Horizontalreihe auSöat und die oben genannten Formen für dOi benützt) folgende Form des ein- fachen Integrals:
0
H)
^ = 27.
J
-dX^ dX^
%i H'i
M
{{%-<Pt)^-\-{^,-<P,)')
Führen wir hier die Coordinaten ^I, ^^, £3 beziebunjjs- weise eu ^'z-, ^3 ^^r beiden Raumcurven (4) ein, so können wir auch schreiben:
12)
K =
1
I
0
f-i - £■ I
-1
1
dz'i
z'i — z'^ f/rä fh^t das Intei^ral erstreckt über s] — e[^=0.
1) Deutet man die Parameter J.,, /n als rechtwinklige Coordi- naten einer F^benc , so iat lioi nichts andere^i aln da^ Linicnelement der Curve
dargestellt durcli seine l'rqjectioQen d^-i, di-^ 'ii^' die Axen. — lieber diese Deutung der /, die ich hier nicht weiter verlolge, vergleiche man die Schlu^abemerkungen des ^ !*.
W. Üjfck: Beiträgt »ur ihtttutiaUhmrif. II.
450
In dieser Funn In^ uich die geometri^ctie BedeutUQg dieseb cinfacben IntogruU am leichtesten Olrars^hen:
M.1I) (lenke sich oäuilich eine Qernde, stets pa- ralUI zur Kljcne r, *, bleibend, an den beiden CurTon entlang gleiten, so iniAst die Antthl der vollen Um- drebangen, die diese Oernde im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigern bei dieser Bewegung beschreibt, die Anzahl der gegenseitigen Umwindangeu beider Curren.
Man Oberzengt sich von dor Uichtigkeil dieses Satzes sofort durch Aufstellung des die Uindrehungszabl darstelkn- deo Integrals. Für die nnnclmuuogäuiiUifige Verfolgung der ß^wegtmg der Getadeti ist diibei noch folgendes zu beachten: Denkt man sieb durch die gleitende Gerade eine Ebene parallel /.ur Kbune t^tg gelegt, so erfährt die (Gerade in dieser Eben« die xu messende, drehende Bewegung und gleichzeitig wird die Ebene selbst in Itichtung der Axe m^ |>amllel vernchobeu. Besondere Stelleu iJur Bewegung sind nun: ErateuB diejenigen, in welchen der Sinn jener Drehung umkfhrt; diese sind durch djis Verschwinden der Zäbler- ^rterminante nnseres Int«gniW gekennzeichnet (Vergl. die eiden durch x « bezeichneten Stellen in nebenstehender Figur 4.) Zweitens diejenigen, in welchen die Kichtung der ParalleKerschiubung der Kbeue uutkehrt. Die leizt*?roM Stellen Sind durch da^ Verschwinden von >/',, bexiehung» weise v<>n ^p^^ gegeben, d. b. darch diejenigen Lagen der sieb rerschieben* den Kltenu, in welchen sie eine der t>eiden Curveu berfliirt. Berührt dab*.'i die EbfMie die zweite Curve (ist also '/',|=^0), m> gleitet die bewfglicbe Gerade auf dieaer im Sinne ihrer aagenbl ick lieben Bewegung fort, wahrend die Bewegung auf der erateu Curve direct unikelirt (vergl. die beiden durch o« betetobneteu Stellen in den nebeii^teheuden Figuren 3 und 4j. Dem unt»|>ncht Huulytitfch, daas aud der Formel (10*) fttr da» poaifcir su nehmende Element (^o, :
80»
4I>0 tfacJitrag t. SiUmiff dtr moJA.-jAyr. Claae vom 6, Jiäi lAML
■f., — - — di,
fülgt, dass mit i/',, gleichzeitig dÄ^ »ein Zeichen wechselt. Kin Gleiches ergiebt sich bezüglich des gleichzeitigeD Zeicben- wechaeli von ^,j und dl^. Die beiden Curven werden aUo im gegenwärtigen Fülle nicht (wie im Kulle dea Duppel- integrals (5)) im Sinne der wachsenden Parameter X^ ond 2, durchlaufen, sondern im Sinne des positiven Ktementes <io^, Die n(:l>eitatchendrn Figuren dienen n<icb 7.ur Ver»inn- lichung des Umalundes , doss nach dem Gesa^^ten bei der Bewegung der gleitenden Geraden im Allgemeinen ein- zelne Theile der beiden Curven mehrfach in verschiedeuer Richtung, andere gar nicht von der Geraden QberstricheQ werden können.
Fig. 3.
Fig. 4.
Weiter aber zeigen sie, dnsa der Verlauf dieser Bewegung eich auch aus mehreren getrennten Cylclen za^unimensetten kann, uhne da-ss darum die fraglichen Ourren aus mehrerto Zügen zu bcwlohen brauchen. Der Sinn, in welchem in diesem Falle die einzelnen Thcilbewegungen zu addireo «iad, wird fwtgetogt durch den an einer AnfangBftelle der Be-
W. Dtfck: Beiträge gut Potentialtheorie. IL
461
wegung auf beiden Raumcurven (gemäsa § 2, pag. 454) ein- getragenen Richtungssinn, durch welchen auch die Rich- tung beim Beginne jeder in sich geschlossenen Theilhewegung der Geraden festgelegt wird.
e) Darstellang von F dnrcb eine (Kronecker'sobe) BmnmenformeL
Aus Formel (13) und (14) der »Beiträge I* ergeben sich fQr V sofort die beiden Summenformeln:
13 a)
und 13b)
r = ]C sign. .
- tp
l - ff).. ih.. i
<ru "/'ii
V=^ -Dsign. jCVs-Ts)'
wobei die erste Summe sich erstreckt auf alle Punkte, für welche
V^ — ^1 = 0, t/'a-y« = Ot %~<fi>0
ist, die letztere auf alle Punkte
(/',-y, = 0, i/'a-f/, = 0.
Schreiben wir auch diese Formeln direct in den Co- ordinaten ß'i und *,' der beiden Raumcurven, so lauten sie, wenn man rechts noch mit dX^'dX^ raultipHcirt:
— de'i de]
14a)
und
14b)
r= Lsign
./:
F^ _ • 2J 8ignJ(r; £,)•.
de't ds\
— dz\ dz]
\.
- -dz\ de'i .'
462 Nadttrag m. SäMwng der malh.-pkyt. Cla*$e vom 6. Jtdi 1895.
die Sammen aosgedehnt Aber
#;— #;»=o, #;— #;=o, #;— #;>o,
benehnngBireise Aber:
dabei ist za beachten, dass hier däi nnd dg'i diejenigen Aenderangen der GoordinateD bezeichnen, welche positiven dX^ nnd dX^ entsprechen.
Die geometrische Bedeutung dieser Formeln ist un- mittelbar ersichtlich:
Es wird die Windnngszahl V bestimmt durch die Pnnktcharakteristiken der scheinbaren Doppel- punkte, welche das System der beiden Raumcurven vom Zenith ans gesehen (vergl. Saite 452) darbietet
Dabei ei^ebt sich folgende anschauliche Deutung fttr das Vorzeichen der beiden in der zweiten Snmmenformel enthaltenen Factoren:
Der erste Factor js", — sf'i entscheidet durch sein Vor- zeichen, ob im scheinbaren Doppelpunkt die erste der Curven unterhalb oder oberhalb der zweiten Curve verläuft
Das Vorzeichen des zweiten Factors, der Determinante:
15)
trennt die scheinbaren Doppelpunkte in zwei zu einander symmetrische Gattungen in folgender Weise: Man projicire die beiden Curven in der Dichtung vom Zenith aus auf die Ebene #, jt, und trage in der Projection die auf der Curve festgesetzte Fortschrei tun gsrich tu ng ein. Unterächeidet man dann die beiden Curven wie in den obigen beiden De- terminanten als erste und zweite, so entäprechen einem posi-
|
?*» |
V» |
dXi ' di, = |
- tia, |
d^l |
|
9I. |
Ifß^ |
- de\ |
de\ |
W. Dyck: Beiträge tut Potenttaitheorie. II.
4Ö3
tiven, beziehungsweise einem negatiTen Werthe der Determi- nanten in den scheinbaren Doppelpunkten die durch Fig. 5 und 6
Fig. 6. Fig. 6.
>f^
Z
^
X
gekennzeichneten beiden Falle. Die Determinante giebt n&m- lich den mit dem bekannten Möbius'schen Vorzeichen ver- sehenen doppelten Inhalb des Dreiecks, welches durch die beiden vom scheinbaren Doppelpunkt (im positiven Richtungs- sinue) auslaufenden Bogenelemente bestimmt ist.
Die Formeln (14a, 14b) zählen also die Windungssahl V ab gemäss der durch die folgende Figur 7 gegebenen Unter- scheidung der scheinbaren Doppelpunkte, die wir in ihrer .Ansicht in Richtung vom Zenith aus darstellen und wobei die stark gezeichnete Curve dem Beschauer näher liegen soll:
Fig. 7. (le[ de\ I
~d9[ djsl : - de't del
<0
£i — Zi>0 -*-
^
^.
T
464 NttdOroff j. Sitaiui§ dtr maOi^pk^. CUm* «om 6. JmU 1695.
Die Formel (14b) entreckt sich nnr über die Pankte, fitr welche #1 — «•>0 ist Dabei lüat sich diese Formel unmittelbar in die andere (14b) überf&hren, wenn wir be- achten, daas
16)
ist, £eü1s wir die Sammation Ober alle scheinbaren Doppel- punkte (die Unterschiede im Sinne der Figuren 5 and 6 ge- nommen) erstrecken. Es entspricht diese hier anmittelbar geometrisch einleaefatende Beziehong der allgemeinen Formel, welche Kronecker fOr die Vorzeioheasamme aller Panki- charakteristiken eines Fnnctionensjstems angestellt hat (Tgl. .Beitrige I', pag. 268).
9 3.
Formeln fflr die Windnngsxahl nnter der Voraus- setzung, dass die beiden Raaracurven als Schnitt- linien je zweier Flächen gegeben sind.
Nimmt man die beiden Kaumcurven Ml und Mi je durch zwei Gleichungen zwischen den Variabein £^^ s^, ar^ gegeben an und zwar die M'x durch :
■P'o('i.'f.'e'») = 0,
if', (f,, *„£,) = 0,
die M'x analog durch:
■F,('n'„*») = 0,
17")
17')
so lässt sich das Gauss'sche Doppelintegral für die Win- dungszahl nicht allgemein aufstellen. Dagegen treten hier direct die Formeln fflr die Kronecker'sche Charak-
W. Djfck: Btiträge nr PotentiaUheorie. II
■tos
(«rifltik KAes Systemi der vier Functionen (mit drei
Variftbelu)
18) F^, F^, ^„ f, ein.
Ms lässt sich uns den geometrischen Kntwicklangen, die Kronecker insbesondere in den Abschnitten II und V seiner Abhandlung Ober Functionensystenie vom März 18ß9 gegeben b*t uod in welchen die ChHrnkteristik als Windunf;^jLabl einer gewissen ebenen Curve um den Nullpunkt erscheint (vgl. hiezu .Beiträge (", § 3), die Hedentung der Kronecker'- scfaen Charnkteriiitik aU Zahl der gegenseitigen Windungen zweier Kaumcurren (im Falle von drei Variabein) herleiten. Wir gehen inde&s auf diese Furiu der Herleitung nicht näher ein, beweisen vielmehr in den folgenden 8§ 4 und 6 die Ueber- oinsttmmung der in den §§ 1 und 2 gegebenen Gauss'itchen Zahl V mit der im gegenwärtigen § definirten Kronecker'- ]«chen Charakteristik Ä* durch eine directe Vergleichung der fBr V abgeleiteten Summenformel (13ft) und der ent- sprechenden, sogleich zu erwähnenden Summenformel fflr K (Formel (26b)).
Aus den in den .Beiträgen I" entwickelten Formeln (12), (2r>) und (IH), (U) ergiebt sich die Dar^telJung der Zahl K durch ein dreifaches, durch ein zweifaches und durch ein einfuche--i Integral, sowie durch den Kronecker'schen Snmmenansdnick, Formeln» die wir der Vollständigkeit halber in Ktirze hierher setzen.
a) Das dreifache Integral fQr K Lautet:
F F,, F» F„ F, F„ F» F„ F, F« F„ Fn
K^^S ^' ^" ^- ^" ..0,:
466 Nachtrag e. Siteung der tiMth.-phya. Glosse vom 6. Juli 1895.
hier ist
20) rfoj = äjBj • dss^ ■ de^
das positiv zu nehmende Element der Integration und die Int^^tion Qher die Gesammtheit der reellen Werthe z^., e^^ e^ zu erstrecken.
b) um die Darstellung durch ein zweifaches Integral zn erhalten, zeichnen wir eine der Functionen F, z. B. F^ aus und es folgt dann
0 J^oi -'^oi -f« I
F, F„ i^„ J-,. I
i\ Fu F„ F,, F, F„ F„ F,, ,
21)
..J
Vf]-^FI-\- Fl- VfI + Fl -h Fl
■ dOt,
wo dOi das stets positiv zu nehmende Element der Fläche J^'ü^O, über welche die Integration zu erstrecken ist, be- zeichnet. Für die Integration ist es zweckniiissig, dot in den drei verschiedenen Formen
22)
doi^
/, ft, / = 1, 2, 3
ds^ ■ d£,
anzunehmen.
c) Das einfache Integral erstreckt sich über eine der in Betracht kommenden Ctirven, ?.. IJ. übt-r /*', 0, 7*', 0. in web;hem Falle wir erhalten :
28)
jr=
W. Dyck: Seiträge zur PotentitUtheorie, IL 0 F^ F« F„
0 F„ -F.. F„
jF. f., f„ j*» F, Fai F„ Fgi
467
1
w.
J
l/F»a_ p>* l/ ■ ^<" -^w -^^
•rföi,
wobei do, das stets positiv zn nehmende Linienelement der Curve Fo^O, Fi = 0 bezeichnet, welches für die Integration (beim Auflösen der Ziihlerdeterminante nach den Uuter- deterrainanten der Matrix der ersten beiden Reihen) zweck- mässig in den Formen
|
24) |
doi |
Ol -^01 ■''os i n Fit Fu ; |
|
|
Fak Fol i F.* Fu' |
dz,
i,A-,i=l,2,3
anzunehmen ist
Die Factoren w,, w^, la, der drei IntegralausdrUcke sind beziehungsweise :
25) w, = 2/1*, (Ol ^= irr, w, = 2.T.
d) Als Summenformel zur Darstellung von K end- lich ergeben sich, wenn wir die Functionen Foi F', , Ft vor der letzten F^ auszeichnen, die Formeln:
/l Ft.1 F(n F„
2r>;0
K = — ij sign.
Fu Fu F, , F^j Fn Fa
4<«S Saditrag s. SiUung der math..phy8. Claaae vom 6. Juii 1895.
26b) iC= -'i^sign.
0 i^o. F„ 0 Fn F,, 0 F„ F„
Fl Fn F„ F„ \ die erstere Summe erstreckt fiber die Punkte, für welche
f;«0. i^i = 0, F,^0, F,>0 ist, die letitere ao^edelmt Ober die Punkte
F. = 0, F, = 0, F,^0. Man hat dabei die Relation
ÜT)
Lsign.
/j -^»i -T« *■«
F.. r., F.,
= 0.
/;. J'« ^'t.
fiUb die Summe Ober alle Punkte
F.==0. K, = 0. F = 0 ens^Twkt winl.
B^fi^Hoh dor g!^nnetrisvht'n Hedeutunp der vorstehenden Int^^ifralf^rnietn sei «uf die Kntwiokluniren der »IViträge !• verwiesen. Auf dit» PiA-ussion vlor Sumuier.tormela haben wir Ä^jjK'ioh oinim^'hen.
AbltMiunjy einer neue« Formel für die Bestimmung der Oharakteristik K. K< haiidell sieh nunwehr ir. e.eii fv''irtr.-:e" ^5 4 und 5
d{U',uu. .lie IVlvivinstsumr.'.'.'.»; der /-Ah; *'
und 2')
u»t der wux ^\\\ g :r Wiraehteion /ihi -V :,: tTWv.^n.
W, Ifyck: Beiträge eur PotentiaUheorie. II, 466
Zunächst stehen, wie schon die geometrische Bedeutung der Terschiedeuen Ausdrucke erkennen lässt, die für beide gewonnenen Formeln in keiner directen Beziehung zu ein- fttider. Vm sie mit einander in Verbindung zu bringen und ihre gegenseitige Stellung zu kennzeichnen, verfahren wir folgend er niftssen :
Wir knüpfen an die beiden Summenfonneln (13a) und (26a) ffir V und K an und zeigen, dass die in diesen For- meln dargastellten Zahlen an denselben Stellen und in glei- chem Sinne sich ändern, wenn wir die gegenseitige Lage der Curven M[ und M'^ durch Bewegung derselben abändern. Nunmehr bringen wir beide Ciirven, ohne sie zu deformiren, in eine aolche Lage, dass sie keinerlei gegenseitige Ver- schHngung mehr besitzen (was unter Voraussetzung von ganz im Endlichen gelegenen Curveu stets möglich ist); fQr die8e Lage ist V sowohl wie K gleich Null. Bewegen wir von dieser Ausgangslage der Zählung aus die Curven in ihre ursprflngliche Lage zurück, so ändern sich die beiden Zahlen in gleicher Weise und damit folgt schliesälich f(lr die End- ► Uge:
28) r=ir.
Gleichzeitig aber gewinnen wir in dieser Ab- zahlung der Aenderungen der Zahlen F, beziehungs- weise K im Laufe der Bewegung der Curven Ml und •^1 K^K^n einander eine neue Methode zur Bestim- mung unserer Windungszahl.*)
1} Die hier an g« wendete Methode der Ahz&hlang eiser Charak* tcn«tik hat Krooecker gani allftemein fonnulirt mitteUt der EiDnihmng willkOrlicher Pumineter in die Fonctionen de« SjfifteiaB; er hat bei dieaer Gelegenheit auf die durch die KinfübrunK eines Puninieteri gegebene Möglichkeit einer Abz&hlung der Charakteri<(tik mit HiVIf« des Stunn'acbes Ver&hreDS hingewiesen. Vergl. Berliner Monat«- bsrichte vom 31. Febr. 1878, pog. 147, 146.
470 NadUrag s. SiUung der math.-fhjfs. Gaste vom 6. Juli 1695.
Zar rechnerischeD Darlegung wählen wir speciell fQr die Veränderung der gegenseitigen Lage der beiden Gurren eine Yerschiebiing der Garve M'i in Ricfainog der Axe ^„ bei festgehaltener Gurve M'i.
Wir betrachten zanäcfast die Sammenforme! (13 a)
13 a) r=i;sign. |,
die Summe au^edehnt Über:
i/*, — y, = 0, t/'i — yj=0, t/', — 'y,>0.
Die Curve MI sei um die Strecke C in Richtung der negativen Axe r, verschoben, so dass also fßr die ver- schobene Curve
29) r, = i/v
ist. Wühlen wir nun C so gross, gleich 6',,, dass für alle ^clieinlmren Doppelpunkte f;', — ff, = 0, t/'a — qr»= 0 der beiden Curven stets
ist, so wird di'_' einer solchen La^e der beiden Curven ent- sprechende Zahl Fr =0 sein, weil alle scheinbaren Doppel- punkte ans dem Bereich der Abzahlung i^erückt rsind. Von hier ab also als Ausganyshige h;iben wir die Zählung zu beginnen und nunmehr C vun C'o bis U ubiiehuien zu bissen. Pasfliren wir nun , die Curve M'i in der positiven lüch- tunj4 der Axe r, an die fe>te Curv».* M[ her.mschiebend, mit einem Zweij^e der MI die 3/|. .-o tritt an einer solchen Stelle C = C. für welche also
W. Dydt: BtUrägt sur }'otenti<tith4torie. tl. 471
*. — 'ri = ^' VS-Tt^*"« fl/', — Ö) — 7>, = 0
ict, der betreffendo ächeiubarc Doppeüpiuikt ia dcu Bereich anderer Abzühlung ein, weil bier die Ftiuction {\pt — C) — q*, von viui.->Di negativeu zu einem {XHiüren /aliUvertb ilbergeht. Der Werth von V wird aliw an einer solchen Stelle :
um 1 vermehrt, | — 7",, «/'n > 0
wenn ftir diesen Punkt . um 1 vermindert, | — y« ifi„ < 0
ütt. Die im Laufe der Bewegung von C^^C-n mit abnehmen- dem C bis C^O an den Durch^aijf^puukten der beweg- lichen Cunre durch die feät« Ctirre eingetreLenett Aenderungeu ergeben aUo ftir die Kndlage der beiden Curven die iCuhl K auHgedrQckt genau durch die ubige Summenformül (13a).
Zu einer neuen Summenformel werden wir dagegen Ihrt, wenn wir dieselbe Betrachtung unter der Voraus- stzung der De&nitiou unserer Curveu durch die Gleichungen ^^sbO durchfabrcD.
Ks handelt sich hier um die Summenformel (26 a)
26a)
iC *= — £ sign.
-F« K F„
h\i Fu Fu F,x F„ F„
die Summe aa«gedebob aber
F.=-0, f,==0. F. = 0. F»^0.
Die Verschiebung der Curve Ml in Iticbtung der nega- tiven Axe M, um den Betrag C giebt fßr die VHrachobene Ciirre die G!eiehnng<*n:
^.('i.»*».+ Cj — 0.
S()|
472 NmktMg IT. aasmmg da- MtiLfAyt. CUum tarn ß, JmU 18M.
Wihtt man abo, alle Fliehen Fi=0 ak ganz im Kid- Heben liegend TOiaMgeeuUi, nur C gran gmng, ^öch C«, ao werden a&mmtliehe Punkte der Terachobenen Cnrre Mi Ueinere Ordinalen bentzen, ak die Punkte der festen Fliehe f«^0 nnd damit auch kleinere, ab die Punkte der auf ihr liegenden festen Cnrre M^. Dann ergiebt sich für einen aolchen WerÜi C. von C die Zahl iQ^==0, wdl die Glei- chongan
keine reellen gemeinsamen LSeangen mehr besitien.
Von dieser Lage 0=« C« als An&ngalage ans Temhieben wir nun wieder die Cnrre Ml in der Richtung der positiTen Aze Sgi es handelt sieb dann darum, zu bestimmoi, an welchen Stellen Ü die doreh die folgende Formel g^bene Zahl Kc sich ändert
31) IF.,(r.,*„*H-C) F„(*iAA+C) F^J-iA ä-.+C)
Jrr=-ljsign.
Fn{£iyZt^,+0 F„(#,^,^,+C) J',^X,J',J',+Oj
F„(r,^,^,) F„{st,g,^,) Ft,(jft^jje,) die Summe au^edehnt über alle Werthe
-F. (*., ^» '. -r (^) = ". F, (#„ r„ #, + C) = 0, F, (^„ r„ £.) = 0, i; #,. A, £,) > 0.
Zunächst treten tou C = C^ an je paarweise gemein- same Lösnngen der Gleichungen
auf an den BerQhrungästellen der sich verschiebenden Curve M'i mit der festen Fläche f\ = Ü, bezieh nngs weise ver- schwinden je zwei solche Punkte, die im Laufe der Bewegung der Curre J/7 entstanden sind, wieder. An dieseu Stellen Ui die Determinante in der obigen Formel (31) fOr Kc gleich
H^. Dyck: Beitr&ife sur FnUstttütlthettrir . U,
473
NdII, während sie fdr die beiden im Berühruagspunkt« ku- wwnivnrUckenden Schnittpnakte der Corve mit der Fläche Fm= 0 (wenn wir von .singul&ren Vorknmmutssen, wie dies hier steta geschieht. aUncben) je verschiedenei Vurzeichen aufweist. Dien Stollen (ibon al»o keinen Kinflus» auf die Zahl Ko au9. Wenn dagegen ein Zweig der Ciirvc JtfT die feste Curve M\ pasairt, d. b. an den Stellen, tur welche die Gleichungen
32)
j;(#„*,.*, + c) = o
einsame LCiaangen besitzen, tritt eine Aeoderang in der Abzahlung ein, insofeme ein Pnnkt, fflr welchen die drei ersten Gleichungen erfüllt «ind, entweder aus einem Gehitrt*, in welchen JF\<0 ist, in das Gebiet i^i > 0 eintritt und da- durch bt)i der AbEählung gemltes Formel (30 neu hinzu- kommt, oder umgekehrt aus f\ > 0 iQ das Gebiet JP, < 0 eintritt und dadurch für die Abzahlung in Wegfall kommt. Kine solche Stelle ist alüo im ersten Falle mit ^ 1 für die Bildung der Zahl K in Rechnung zu setzen je nachdem die Determinante in der Formel für Kc an dieser Stelle ^ 0 ist, im zweiten Falle dagegen mit +*!.
Nun seien *,» *,, i, die Coordinuten, C der Parameter in einem solchen Durcbgang»punld der beweglichen Ctirve M' durch die fetite Curve Juli; ror dieser Lage kommt der be- weglichen Curve der l^arameter C -f- rfC-, nach deraelben der Parameter C — dC ^u, wo nach unserer Aniiahniu Ober die Iticbtong der Verschiebung (von C^=C^ bix CssÜ), dC vinc pa^iitive Aeudertiug be'/eichnet. Die Coordinateu, bez. der Parameter fOr den gemeinschaftlichen ticiinittpunkt ilt^r drei FUchen JV— 0, ^'i==0, J;— 0 vor und nach dem Durch- gang durch die singulare Stelle sind
474 Ktditrm§ i. Sänmff der matk.-fltft, CIock nwi 6. Juli 1895.
i,±dzt, Ä + rf^j, F.±d£^. ܱdC wob«, wie sich dinct ergiebt:
F F F F
33) ds,:d£,:dz^:dC= F^ t.i F^^ F» .
Fn F^ F„ 0
Der Unterschied, ob beim Durchgang durch die singo- läre Stelle der Scbnittponkt der drei Flächen f*, = 0, i^,:=0. f , = 0 aas einem Gebiet J^, < 0 in ein Gebiet F^ > 0 rückt oder ob das umgekehrte stattbat, wird dnrcb das positire oder negative Vorzeichen des Wertbes von
34) - iF„ dz, + F^ dz, -i- F,, ds^.
(die C — dzf) als die Aenderungen der a nach dem Durch- gang durch die singulare Stelle gerechnetl. entschieden, aL<o mit BerGcksichtigung der obigen Wertlie ßir die dz, durch das Vorzeichen des Determinantenquotienten :
F F, " 7",
/ /■•; F,
/":. /. " F,, :i-t — : /': /':: F. :
F., F. F "
F.. /.: F,.
F:, /« /■ <•
Nun Ljt aber nach Seite 47o für »li»* Abzähluriir tVr Durchsanir^itunkte -j- 1 in li'-ehiuinir zu -et/en. je iiaohdein (it?r A'L«Jriick Clöj und die LMerminante in \'M \ d. i. die N'-'nnerleterniinante von (35l. gleiL-hes oder unirleiches Vor- /eicL^rn haben. Die an eint^r snlchtrn St-^Ue erfoIirt*nJe Aen- fl»-r'in;r drfr Zahl K,_ erüiebt sich »!?<■ zu — 1, j»' nachdem die Zälilirr'ivl'Tininante einen j'-i-itiven n-lrr nejrativen \V.»rth l<.-iTzr.
ir. Oifci: Beiträgt tur Potenlwtthtorie. II.
475
Danach erf^iebt sichaleo fdr die Abzahlung der Zuhl A*^ durch die Sumniatiuu sätnrotlicher Aende- rutigeti, welche die Zahl Kn von C ^ Co bis C^O erleidet, die folgende neue Formel:
36) iTs^Ssign.
Fi, F,,
F,. F^
F., F^ F,, 0
die Summe eriitrecki fiher alle Punkte, l'fir welche F, (i., ^,. s, + C) ^ n. F, (f.. r„ r, + (7) = 0,
F, (#,. r,. e,) = 0, F. (ff., #„ #,) = 0
und
C>0 ist
Man erkennt dabei sofort, doss K sich durch diene Korniel dümtellt als Kronecker'sche Charakteriäiik des Sy- steme der tünf Kuni^tionuD
371
r, (#„ #„ M, + CT), F. (ff ., #„ -r, + C),
>; (»„ *„ #,). J'i ('m #ti '.). c?
mit den vier Variabein ^-j, ir„ x„ C, und kann sieb, davnn aiugehviid, auch direct ?oa der Uebereinstimnmng der in den Formeln (20 b) nnd (30) (gewonnenen Zahlen nlicnH-Mij^en.
Man hat zu dem Ende nur die Krouei^kcr'sfuhe äummen- formel za bilden für die Functionen :
F.. = 0. F, = 0, F. = 0, C = 0, F, > 0,
nra unmittelbar Formet (20n) zn erhalten. Dabei ist frir die BeMUmmnnfi^ des Vorzeichen:« die Vertauschnng der Reihnn- fulge der Functiotieu F, und G xu borUcksichtif^en.
47$ jr«dtfray x. SJfiM^ 4ct wrfi.fiji. Omm ttm C/iA «äW
§ >-
Beweis der CebereinstimmoBg^ der Zahlea V und £1
Sfit Hfilfe der neoen Fcvmd för die Beakimmnng der Zaiil £^ iit nmt der Udiergaiig Toa dieaer zn der mxb dem System der FoDctioaen i^i — tfi. fi — y,. ^^l — f^ abgeleiteten 2^ ^ S^S*^**"- ^'^ ToTzeicheii der DeCenninante
r 38) I
|
^n |
P« |
0 |
Fu |
|
^„ |
Pn |
Fn |
0 |
|
F„ |
F« |
^» |
t> |
QDterscheidet nämlich die scheinbaren Doppelponkte der bei- den Corren Jf,' and M\ O^enommen in der Richtnnf; der Aie z^) in demäelben Sinne, wie das Voraeichen der De- terminante
-Tl. '-"it 39)
- 'hl •'*« von «Je=.-ien Bedeutung wir in § 2 (^pag- ■tf)2) gehandelt haben. Die letztere Determinante trennt nänilich die scheinbaren Doppelpunkte nach dem Vorzeichen de^ kleinen Flächen- elementd, welches bei Projection der auf den beiden Curven im scheinbaren Doppelpunkt angenouimeuen Liuieuelemente do\ und do\ auf die Ebene r, z^ enb-teht. Dabei sind beide Curven im Sinne der wachsenden Parameter durchlaufen au- fgenommen. Sind nun die beiden Kaumcurven durch die Gleichungen F, ^ 0 gegeben, so hat man für die r/;,, d:'., ih der ersten Curve
-'' 31 f' ^'i + -^33 ^' ^'^ -r ^' 33 *' - '^ =" " ■
W. Dyck: Seiträge eur Potentiaitheorie. II. und für die zweite Gurre analog:
F,,dz:-^F,,dK-{-F,,de:=^0,
477
40*)
Ffihrt man diese Beziehungen ein, so folgt nach kurzer Umrechnung för den Inhalt jenes kleinen Elementes :
41)
— dz\ de'i
— de'i dz^ 0
\ F F
F^^ -F., 0 F„
\f f f
F F F
0 0
— ^n ^»
— f$i ^n,
\ F F \
. dX^ dX^
dzl
i-p^i -f;«i
F F !
Tl. ^1,1
Nun gilt aber für die positiv zu nehmenden Linien- elemente beider Curven :
F F F
-^ Sl -*^ 82 ■* SS , , . dg
\ F F '
42")
rf(,; = 1/ (/-:, + ,/.j, -I- ,/.;,. d?.^ =
V
F F -^51 ■'^it
F F F *
F F F
'^ II ^18 -'13
-'Ol -*^ OS
F F
-^ 11 -* IS
- • dz',.
Xehmen wir also (wie stets) die Quadratwurzeln aus den Q u ad rat«; u mm eil {lusitiv, so sind für die äumniation
478 NadUrag z. Sütung der Math.-phjfs. CUu»e vom 6. Juli 1895.
zugleich mit (/A,, beziehungsweise dX^ auch die beiden Auti- drücke :
dz.
— und
de't
43)
F F
F F
Ol
«
,^.. ^"i
positiv znnehmeo*)^ d. h. für alle Elemente der Suni- mation ist:
— Tu M',, I
44) sign. {; |[ = sign.{j
dz, dz]
Tr
üf.
tt
= sign.
F F
•'Ol 'ob
0 /•'
F F Ü F
F F F
0
/•;. /•« ■?•« 0
Es kommen somit für die Abzahlung der Zahlen V und K durch die Formeln (13a) und (36) dieäetben Punkt f.
1) Man bemerkt unmittelbar, da«ä diese Vorz eichen bestimmuni; genau Obereinstimmt mit der durch das Kronecker'sche ,Fort'^nga- princip* (Errichte der Berliner Akademie vom M&rz 1869, pag. IGOi gegebenen. Nach der Kronecker' sehen Regel ist die Fortgangs- richtang anf den beiden Carven so za wrihleo, da-sa die Ausdrücke
*h *h *3 /-Ol >».. V-m
i-'ji Ffi F-a • 'l *^ Itziehungsweise /'n i-',2 F\y ■ <l 'I'
F« F^, i-;,
•/', ^s
■tets poaitiT sind; ersetzt man für die lieiden Auadröcke die will- körliche Function *{^i, r^, r,} darch :,< ^f ergeben »ich die obigen BedingUDgen.
W. Dychi Heiträijc aur Fotentitütheorie. II.
•479
iiüciiiich die bei der ßewegung vou M] gegon 3/i Auftreten- den wirklichen Doppelpunkt«, genommen beiderHeitu mit denselben Vorzeichen tu Rechnung. Damit ist aber die Identität der nach den Formeln (13a), (2Ga) nnd (36) ge- wonnenen Zahlen V und K bewiesen.
Wir fassen das ResiiUat der vorliegenden Unten^ucbung 'scusaminen in dem Satze:
Die Zahl der gegenseitigen Umscliliugungen zweier Raumcurven im Ganss'schen Sinne ist ideu- tiäch mit der Kroneck er 'sehen charakteristischen Zahl des Functioneusystems:
7) i^,(A,)-9>i(A,). V'.(y-y,(^i)> V'3(i.)-5P«Wt beziehungsweise des Functionensystems:
18) Ji('i,^..'3). '''iC'p-t.'i). -FfC^n^t»*!). •^•(■'ii^r^jX wenn
4)
beziehungsweise
und
17)
und
^^-'/^(^), -«=-v\(^f)i -% = '/'.(^().
i'\('p-*-..-'.) = 0, ^a('ii'.i^s) = 0
die zur analytischen DarsteMung der beiden Curven dienenden Gleichungen sind.
480 NaOOng m. 8iUtm§ der Motik-iAy«. Oasae vom 6. Jtdi 1895.
Zweiter AbBohttitt.
Tkeorie der gegeHseitigOB UmwtBdoiig ib-dlMenelonAler
uadn — ft — l-dlaeBsloniUer HanalgfftlttgkeltoB Im Ubo-
areB (Gebiete tob n DimeBsloBeB.
§6.
Verallgemeinerang des GansB^schen Integrals für Gebiete von n Dimensionen.
Die Gau8s*8che Formel fflr die Zahl der gegenseitigen Umwindnngen zweier Baumcurven und ihre Darstellung als Krön eck er'sche Charakteristik eines zugehörigen Functionen- Systems lässt nun die nachfolgende Erweiterung fQr höhere Mannigfaltigkeiten naturgemäss erscheinen:
Es seien im Gebiete von n reellen Variabein e^, z^, ,,. t^ die wir (zu kurzer Sprechweise) als rechtwinklige Coordi- naten des linearen Raumes L^ von n Dimensionen bezeichnen und deuten wollen, je zwei geschlossene Mannigfaltigkeiten M'k und M'ft^k-\ von Ä, beziehungsweise von n — k — 1 Di- mensionen gegeben; so definiren wir als gegenseitige Windungszahl Kder beiden Mannigfaltigkeiten den Werth des Integrals:
W. Üifek: BvUrägt «r l\4eMuüthenrit. //
481
45)
, , Ol, («), («>, V^]) \>H) («-»J
*,— #, — d«| -rfr, ... -(fr, </f, fui ... fZff,
(i> m (»» tH^) f»+«^ «»-ii
*,-#; -ätj -rw; ... -rf*; tf«; fh\ ... dz,
i\> (« W (»+»> <*4^ *■-»
u»
»)
(*) (H-H (H-S) <•-»
Die Intof^tioo erstreckt sich dabei ftir die Varisbeln ^.,,tl Clbw die Mnnnigfalkigkeit Mi. flSr die VArial>elu ^1..^« fiber die Mauni^fiilti^keit Jlf;-i_t. (tJn.i bexeicbnet die « — l-diun'n*iouale Obertläche der .Kuxel' vom Riidius 1
»? + •,•+. .. + <-=!•
H!h« wir r^gen, da« durch dieses Integratf ausgedehnt ober xwei geschJossene Mannigfalligkeiten, eine ganze Zahl iditrm^telll wihi. bitnichten wir die Bedeutnng des unter dem llnU'grulzeicbeD «t«hendi'Ti Auädrtickcs.
Anagehend rom Punkte
*;, *;, «; ... *:
Ser ^i sind »uf dieser Mannigfiütigkeit in bestimmter Reihen-
Dlge k Nacbbiirpunkte:
trt (fl (0 tfi
BfHKMntDeii. Kbutuo, vom Punkt«
'i » '« • 'ii * • " '«
der M^^it^\ ausgehend, auf dieser n — k — 1 Nachbarpunkte
'! + «, #, + d», #,-|-rf*, ... < + </*« j = ft + l,...w-I.
482 NaOOrag «. SUnmg dar maA.-tlif§. CkuM vom 6. Jtdi tf&5.
Diese n-\-\ Punkte bilden die Eckpunkte eines dem Tetraeder im dreidimensionalen Baume analogen Körpers im i%, welchen wir analog wie das Tetraeder cum Parallel- epiped m einem parallelepipedischen Element do, dessen Eckpunkte sieh aus den oben gegebenen durch Addition der Coordinaten ergeben, ergftnEen kSnnen. Der Inhalt dieses Körpers ist durch die Zählerdeterminante des anter dem Integialseichen stehenden Ausdruckes dargestellt. Die in der Mh liegende Gruppe von lt-\-\ Punkten bestimmt dabei ein parallelepipedisches Element der JG, (loii und ebenso die in der Mm-h~i liegende Gruppe Ton n—fh Punkten ein solches Element do;.^-\ dieser Mannigfaltigkeit Im Nenner des Ausdruckes steht die (absolut zu nehmende) «** Potenz der EntfemuDg r der beiden Kiemente doi und doC-t-i von ein- ander, die wir auch als den Inhalt des .fi dimensionalen Wflrfels* von der Kantenlänge r deuten können.
Fflr die Integration Aber die beiden Mannigfaltigkeiten setzen wir in Analogie mit der fUr das Gauss^sche Integral zu beachtenden Bestimmung fest, dass die Elemente
|
/ ' dz[ |
0) dz\ |
(1) dz\ . |
(i) » |
||
|
46') |
rfo» = |
1 m 1 ": |
(91 dz\ |
(2) dz\ . |
(2) .. dz'^ |
|
(*) dz. |
dz'^ . |
(») .. dz; |
|||
|
und |
|||||
|
^ dz\ |
dz, |
(*+n dz\ .. |
.. dz; |
||
|
46") |
rfoi^-i — |
(H-2> |
iiz\ |
{H-2) dzl . |
(*+2) ; . dz; |
|
(••-1) ,dz\ |
dz\ |
(N-ll dz\ . |
(n-n .. dz'. |
W, Ittjck: Btilfuje zur PolfHtiaUhau-ie. II.
läa
der Mi b«nsw. Mü-k-i in unserem ganzen Gebiete nicniaU rerscbwinden sollen, dass also niemals gleichzeitig die sünimt- lichen UnUfrdetorminanten einer der Matrices Null sein wUen.*) (Vprgl. die Beinerkunj( auf pti^'. 452)*
Dan Vorzeichen der Determinante im Zähler unseres Integrals unterscheidet dann in analoger Weine wie im Ge- biete TOD drei Dimensionen zwei wesentlich verschiedene Lagen der Elemente *ioi und (io^-k-i gegen einander, die wir in Analogie mit der dort gegebenen geometrischen Vor- Bt«Ilung als ,itn entge^^engeselxten Sinne windend' bezeichnen wollen. Wesentlich ist dabei der durch die Reibeufnige der
k bexw. «-»ft — 1 Fortschreitung!*nchtiingen (die durch die (0, (;)
dl bezw. dß' definirt sind) in die Elemente doi und don-t-i
gelegte Sinn. Dieser Uichtiing:^nn ergiebt sich ftlr die
ganze Mannigfaltigkeit J/i bezw. ßfi^k-i >n eindeutig be-
Htimmter Weise, wenn er filr ein iM^^^ttniintes, aber tibrigens
beliebiges Klement von MX bezw. M^-k-i fc^^tgelegt ist. Man
vergleiche för diese Festlegung die Formeln (49) und (64).
Durch unsere Annahmen Ober die Möglichkeit der ein- deutigen Festlegung des Kichtungssinnes t^hlieasen wir die ■ogenannten , Doppel man nig faltigkeiten*, bei welchen man in dem hier entwickelten Sinne von einer Windnngs- ziiht nicht sprechen kann, von der gegenwärtigen Betrach- tung aus.
Es Ut noch folgender Umstand bemerkenswerth: Wir konnten dem positiven und negativen Vorzeichen der Deter- minante in Fonnel (45) im Falle zweier Raumcurven eine ganz bestimmte Lagenbeziehnng der beiden gerichteten Ele- mente do{ und do' der Raumcurven an die Seite stellen
l) Ea genflift übrif^Da schon, anzuaebineD, dan die Unter- rtntnatiteo j« einer iler beiden Matrice« m (16') und (46*) nicht ntUi-h xugleich fUr Uebiete von 1 — 1 )>exw. von n — fc-SDimen- 8«a a«f Mg be&w, itf«_A„| verschwinden.
484 2fachtrag i. SiUnntj der malh.-pHj^». (^aagt com ft. Juli ItXtS.
(Fif;. 1 und 2, pa^. 452)^ welche gegenseitig uiiikebr- bar war.
Im Falle zweier Mannigfaltigkeiten von % be>£w. n — k— 1 Dimensionen ist die.te Bezielning nicht mehr in allen Fällen eine gegenseitig umkehrbare.
Vertanschen wir nämlich in der Formel (45) die beiden Mannigfaltigkeiten Äfi, und JI/;-|.i miteinander, »o erhält^ wenn wir die Reihenfolge der Ltnienelemente auf beiden festhalten, die Determinante dos Vorzeichen
(-1)"-*. die Determinante behält also bei der Vertauschung das Vor- zeichen, wenn
n gerade, h gerade oder angerade
fi ungerade, h ungerade
idt; d. h. in diesen Fällen ist die Windung des Elementes doit gegen das Element do'n-k-i dieselbe, wie die Windung des Elementes do'^^k-i gegen do'i. Dagegen wechselt für
n ungerade, ifc gerade
die Determinante ihr Vorzeichen, d. h. die Windung des Elemente« do'^ gegen dOm-n^i ist entgegengesetzt gleich der Windung des Etcnientpcs rfoi_*_i ge^eu rfoi. Die Win- dungszahl der geacblo83enen Manuigfaltigkeiten seibat wechselt aUo für ungerades n und gerades k bei der Yertanschung derselben ihr Vorzeichen.
Formeln für die Windungszahl unter Voraussetzung einer Parameterdarstelhing fflr die beiden Mannig- faltigkeiten.
Wir legen analog wie für die beiden Raumcurvca jetzt für unsere Mannigfaltigkeiten M'^ und Jlf^_|_, eine Para- meterdarsteUung zu Grunde durch die Öleichungssj-steme:
471
W. Dyek: Beiträt/a tur Putenliallheorie. IS.
485
beziehungsweise:
47-)
in welchen die Functionen (p bez. y/ wieder als eindeutige reelle Functionen der reellen, von einander unabhängigen Verilnd er lieben A,, ^, ... X^: /.^^,. k,^^, ... X^_^ vorausge- gesetzt sind.
Wühlen wir jetzt znm Ponkte i' auf Hf. gerade die
(0
ft Nachbarpiinkte e -j-dz' , welche entstehen, wenn wir nur je einen der Parameter l um den positiven Betrag dX äadern und" verfahren in gleicher Weise im Punkte r^ auf ^n-k~v ^ ^^^^'^ ^'*^^^ unser obiges Integral (45) direct um in die Form :
*/Wa -T,i--T*4 V'a*+r" "V.-l
r^^ . j — r--^r-"tt,."</A,_
in welcher die den y> bez. i// angefügten zweiten Ludices die nach dem cntsprecheudeu Parameter l genommenen Dif-
486 NadUrag g. SiUung der math.-phjfg. Clas$e vom 6. Jtdi 1895.
ferentialquotienten bezeichuen. Die Integration erstreckt sich dabei über die ^mmtlichen absolut zu nehmenden Elemente der beiden Mann^faltigkeiten Jf]^ und -Sf^.^.,, för welche die Formeln gelten:
|
49*) rfo;= / |
1 <Pii ^ti |
äX,, |
|
|
9*1* ^2» |
• y«» |
||
|
beziehungsweise |
|||
|
49-) , / |
«^u+i 'Vi • |
M — 1 1 |
wir verfügen dabei über die Richtung der Elemente Ittr die Integration so, dass wir im Sinne der wachsenden / intt*- griren ; die dX sind also stets positiv. Die lutegr.itioii ist an Gren/.bedinguDgen nicht geknüpft.
Formel (48) kennzeichnet äoniit, nach den im I. Theil der Beiträge gegebenen Entwicklungen (Formel (12) auf pag. 2ij(i) die Zahl V als Kron- ecker'sche Charakteristik des Systems der h Func- tionen:
50) '".-r.. '-''.-Ti. ••■ '■",.- y.,
der n — t Variabein /.,. ... /,. /. , , ... /. ,. T" ist da- her auch .-;tets eine gan/.e Zahl, ilie wir eben als Windungs/ahl bezeichnen.
Fiihrt'n wir nun in Analogie mit imsm-n friihen'n For- MU'In (S) ilit' durch die Gl«»ichung<*n
51)
W. J>yck: Beiträgt ntr PottntialthmrU. IT. '$ = V« (^H-i' • • • ^— 1^ ~ ''t (*t^ ' ■ ■ K)^
487
dcfiniri« II — l duu«uäiouaIe Mannigfaltigkeit ein/) ao folgt aach hier der SaIz:
Die Znht der gegenseitigen ümwindtingen der in (47) dargestellten Man nigfaltigkeiten M^ nnd ^-»_i ist gleich der Zahl der Windungen derMau- uiKfaltigkeit (51) um den Nullpunkt.
Die Zahl V lüsst sich nunmehr als Charakteristik des fanetionen^teni? (50) im Am^chluss an die in den .ßei- Igen I' entwickelten Formcla weiter darstellen durch ein i( — 2-fache8, n — It-fachea, . . . einfachem Integral und durch eine Suutuienformel, und est ergeben sich hieraus neue Mi*- fhoden für die Herjeitung der Windungszahl in Analogie mit den in § 2 fOr zwei Raunicurven gegebenen. Es ist nicht uuinten^^int, deren Bedeutung im EinKeloen naher ku verfolgen*); wir greifen aber im QegeDwärtigen von dieser
IJ Die Hsanigfalttjfkeit 3f„.i 151) kann dabei analog wie die l^l&cb« (8) in übersicbtlii-her Weise entstanden gedacht werden (Li- durch, da«! mau durch den Nultpunkl dos Coordiniiteiiayftl^nu Strahlen parallo] zq den (n — 1)-fach unendlich rielen zwischen den beiden Man- oijffaltigiieiten ta ziehenden Sehnen zieht und nnf diesen je die L&ngen die*er Sehnen, geuiessen in der Kichtun^ von der ersten zur zweiten Mannigfaltigkeit, abacbneidet. A&deremeit« ktuin, analog wie dort, jV^_, kucli entstanden gedarbt werden ati «TranslationiuianDig* (altiffkeit', die lich auf eine znr Jf^_t_|:i^ — yfUj^.| f< i^_|) I '•' aad auf eine sweit« aiu der Mj^ dorcb «Spiegeliug au ' * entttandeoe Manaigfoltigkeit 'i = — Vti^i • • > ^k) »1» l'Cil-
gebildtt bexiehU
3) Man vergleithe fOr eim? weitere Deutung der liierbcr gehöri- gen Formeln anch die SchliiMhemerkungen de« 3 9.
488 Nachtrag b. SUxung der math.-phy8. Clasee vom 6. Jtdi 1895.
ganzen Reihe der DarstellnDgen von V nur diu letzte Glied, die Summen formelf heraus, auf welche wir in der Folge noch einzugehen haben.
Die Suramenformel, in ihrer doppelten Qestalt, lautet:
52a) F=(-ir'2;8ign.
oder 52 b)
r={-iriLsign.
-9'ii -9=12 ■■■-'Pik V,*+i -V,».,
(v.-vj-
die erste Stimme ausgedehnt über alle Punkte, für welche ist, die /.weite ausgedehnt über alle Punkte
Vi
■'/, = *-*i '/'o— '/..= 0.
'/'„ , — v„M = '*-
Wir können diese Punkte in geometrischer Sprechweise l»e7.eichnen als die scheinbaren Doppelpunkte . welche dio Ansiclit der beiden im linearen Itauine L der z. . . . z i'c- lej^euen Mannigfaltigkeiten 3/i und il/;!,_*_i gesehen in der Kichtnng der Axe z darbietet. l)ii> Vdrzeiclien des pac-
W. Dyck: Beiträge zur PotetUi€dtheorie. II.
489
tors {yf^ — 97^) an jeder dieser Stellen besagt uns, welche der beiden Mannigfaltigkeiten dort dem Beschauer, den wir wieder im Punkte r^ = + 00, z^^=z^ . . . ^^^ = 0 aufgestellt denken, näher liegt. Das Vorzeichen des zweiten Factors trennt die scheinbaren Doppelpunkte nach dem Sinne der n — 1 Fort- schreitungsrichtungen auf Mi, bez. Mn-k~i- Dabei gilt f[ir die Gesammtheit aller scheinbaren Doppelpunkte die Kron- ecker'scbe Formel:
53)
Ijsign.
-*Pii
ni
-<p
11
W
i*+i
■'/ik
1'i
2k+l
Vi— I
'i'in-l
-0,
die Summe ausgedehnt über alle scheinbaren Doppelpunkte
eine Formel, welche die Uel>erf(ihrung der Formeln (52ft) und (52b) in einander vermittelt.
Formeln für die Windnnj^szahl dor Mannigfaltij;- keiten unter Voraussetzung ihrer Darstellung durch G 1 e i c h u n g s s y s t e m e z w i s c li e u den C 0 0 r d i n a t e n . Bewein der Uebereinstimmung der in § 7 und 8 ge- wonnenen Zahlen.
Gehen wir nuniueiir von dor Dar^^tellung der beiden M.innigfaltigkeiten .Ufc 'i"d il/,',_t-i dnrcli GlcichungssysK'nie in den CtHjrdinaten c, aus. Ks sei die J/,', c 1 gcj^eben cinrcii die (A+ 1) Gleichungen:
1895. Matb.-pliyB. C1. 3. 32
490 NmOdMi m. aUma^ der ma.-jkfs. Omw mm 6. JmU 1896.
^iC'n 't» --• 'ii) = 0, M-)
** ('r 'r ■ - • *■) = 0, und analog die Mk dareh die (m — k) Gldchungen
54')
-F. (*,. ^., ...0 = 0-
£s laut sich dann aach hier, wie im Falle zweier Raum- corren das in Formel (45) gegebene Int^ral f&r die Win- dangmahl nicht allgemein aufstellen. Man erhält aber analog wie dort den Satz:
Die gegenseitige Windnngssahl der beiden dorch die Gleichungen (54') und (54') definirten Mannig- faltigkeiten ist gleich der Kronecker'schen Charak- teristik JT der in dem Gleichungsäjstem euthaltenen (n-|-l) Functionen
55) F^ Fp F,, . . . r.
der n Variabeln j,, r,, ... r^.
Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich genau den Dar- legungen des § 4 entsprechend, wenn wir anknüpfen an die Darstellung der Zahl K durch die Summenformel :
Ol
Of
Fl,
56) Jr=( -l)"-i;sign.
Fn-ii Fm-ii
Fn-U
W. Vyck: Beiträge eur Potenlialtheorie. IL
491
die Summe erstreckt Über alle Punkte, für welche
ist, und diese mit der in Formel (52 a) gegebenen Darstellung der Zahl V vergleichen.
Verschieben wir, etwa in Richtung der Äxe jt«, die Mannigfaltigkeit Mn-k-i^ so ändern sich die Zahlen Fund K »prungweise an den Stelleu, in welchen die bewegte Mn^k-i die feste J/i durchsetzt. Wir beginnen nunmehr die Ab- zahlung dieser Aenderungen von einer Lage der Jlfi_»_i an, in welcher diese völlig getrennt von der Jlfi erscheint. Es lässt sich eine solche Lage, wenn wir voraussetzen, dass beide Mannigfaltigkeiten ganz im Endlichen liegen , stets durch eine endliche Verschiebung der M^-k-i (lUe wir hier in Richtung der negativen Axe e^ vornehmen) erreichen. In dieser Änfangshige ist V sowohl wie K gleich Null. Die Aenderungen der Zahl V zwischen der Anfangs- und End- lage führen unmittelbar zu den Formeln (52) für V.
Aus den Aenderungen der Zahl-fiT aber ergiebt sich (ganz entsprechend den Entwicklungen auf («g. 472-475) die folgende neue Formel:
■foi -fo2 ■■• Fon-l 0 Fon
57)
Fu Fy,
K (-l)"+'-lJsign.
F, .._,
-Fl-
h\i F,2 ... i';„_i 0 F,„
i'«.
F,, ... K.«.;
492 Nadttrag s, Sittung der wtath.-fltgt. Omtae wom €. Jtäi 1895. die Samme erstreckt über alle Paukte, ffir welche
and OO ist, eine Formel, weichet als Eron- ecker*8che Charakteristik des Systems der Func- tionen
58)
j;(r„ir,,...r.+ 0, ... F»(z„r,,...r.+ 0,
mit den Variabein f^n^^. -.--f«, 0 darstellt.
Naomehr aber lassen sich die Formeln (52) nnd (57) fOr die Zahlen V und K direct mit einander Tergleichen; sie beziehen dch beide auf die «scheinbaren Doppelpunkte", welche die Mannigfaltigkeiten M't and Jü^t-k-i gesehen in lÜcbtung der Aze f« darbieten und unterscheiden dieselben in derselben Weise nach dem Vorzeichen der Inhaltsdeter- minante:
(I) ■ -rf*i
(2)
59) Jn~l =
0) (2)
— f/^2 —ff ^-2
-dz'.
dz\
rfr:.
(--I)
. . . rf^r
(-«-1)
(I) (2)
■de'n^x —dz'^-\ ...
— dz'„ - 1 dz'lt _ I . . . dz'u _ ]
der linearen n — 1 - dimensionalen Configuration, welche sich ans der Projection der k bez. n — k — 1 Linienelemeiite der
M't bez.3/;_i_i in dieCoordinatenmannigfaUigkeit~-j,:j r„_;
(durch Orthogonftlprojection in Uichtung der Äxe z^) ergiehl.
W. Dyck: Beiträge sur Potentialtheorie. IL
493
FOr die obige Inhaltsdeterminante erhält man nämlich zunächst in den 9>, ifj geschrieben die Formel:
dl,dX,...dXt,dXt^-i...dK.i-
-fn-ll -7*11-12 ". -«JPh-U »/'m-IH-1 — •/'«-! n-1
Für die Umsetzung in eine in den Functionen F ge- schriebene Formel beachte man, dass die Matrix
(1) CD (0 (!) :
— dgi — dg'i . . . — rf^M-i — deU '
61')
— de[ — (h'i ■ . . — f?J«-i — dsfn
correspondirende Matrix ist zu (32)
2-:
F..
■<»1 ' »2
und ebenso die Matrix
/''
H II — 1
F_
494 NadUrag z. Sitzung der mcUh.-phy». Glasse vom 6. Juli 1805.
Ol")
(1-1) (»-M de] dzl
corr^pondirende Matrix zu
de-
dsl
de.
n-\
de:
F.
62')
Ol
»1
02
-ft2
F.
o»-i
F
F.
0»
- fc M
Fahrt man dann in der Mannigfaltigkeit M'k etwa die Coordinaten Zi^, Zi^, . . . Zi^, in der Mannigfaltigkeit 3/^_^_j die Coordinaten Zj^, Zj^, . . . zj^^^^^^ als unabhängige Variable ein, wählt die &, bez. n — k — 1 Fortschreitungsrichtungen auf diesen Mannigfaltigkeiten so, dass jeweils nur eine der obigen unabhängigen Coordinaten sich ändert, während dimii die abhängigen Coordinaten den Gleichungen
d.~-u
-* Ol 1 ^ ^ o/t ^.' "'
ö = /c-f 1, . . . «, t = V ^2'
beziehungsweise
'i..
''=A.-k
■Sz-
r = 0, 1, . . . i-, i = j,, i., . . . i,._t_p
entsprechend sich ändern, bezeichnet endlich D,- bez. Dj die üeterminjinte der i^, welche durch Streichung der Vertical-
W. Ihfck: Beiträffü zur Potentialtheorie. IL
495
reihen tp /'., ... i^ in der Matrix (02'), beziehungsweise der lieifaen j^, /, . . . J„.t_j in der Matrix (62') entsteht, so folgt fiir die n — 1 gliedrige Determinante (59) der äjs in den F geschrieben die Formel:
63)
X-. = (-ir+'
F
F F
12
F 0
In-I
F
ll»
F F
F.
kH-l
^A+|i.-l ^ik+li.
0
F F F F 0
A
-0>
Nun hat man aber fUr die positiv zu nehmenden Ele- mente der beiden Mannigfaltigkeiten die Formeln:
T„ y« ■ . • y«, '
ITi* *f-..
T.
••fc
FF F
*+l«
FF F
• dX^ rfAj . . . lU^ =
^2; rfz; ... ds'i.
1 1 *
Di
und
64'
406 üTodUnv m. aUmmg i«r a«Ck-jlkyi. doM» vom 6. Jidi 18SfS.
'U,-|/
^1-1 V„_, ••• «P.n-i
■^01 ^M
P F F
Der Vergleich dieser Ausdrücke ergiebfc, dasB einer Sammation , in welcher die ElenMute dX^ . . . dXi bezw. äh^i . . . dXn~i rtets positiT genommen sind, eine Summation enteprichtf f&r welche die AusdrAcke
^'^ä'k-^^^^'i, beriehnngsweise ^^''''^- •^^—
A
A
stets positir gerechnet werden.*) Hieraus aber folgt durch Vergleich der Formeln (63) und (CO), dass fOr alle Elemente der Summation das Vorzeichen der Determinante (59) in den dß Übereinstimmt mit dem der Determinante (60) in den % tp und mit dem der Determinante (63) in den F.
Daraus aber folgt die Identität der durch die Formeln (52) und (57) gewonnenen Zahlen V und K und damit der zu Eingang des Paragraphen aufge- stellte Satz.
1) Du aui dieaen Formuln fiir die Mannigfaltifckeiten abxa- leitende .Fortganffiprincip'' erweist lieh all VerallgemeineruDg des TOD Eronecker in der Abb. Tom März 1869 (vergl. auch dieie Abb. S. 473, Anm.) gegebenen, worauf ich in einer folgenden Note noch nfther einingehen gedenke-
IV. Dtfck: Seiträife eur PiMeHttaitHeorit. It.
8 9-
il»7
Folgerungen. Scblnssbemerkuogen.
Der hiermit gewonnene Sütz Ober die 6«ieutung dür KroD«cker*8chen Charakteristik der Functionen
F,. F„ ... j*;
rWindiin>;8zahl zweier MftDni^faltigkeiten Mi und Af;.)-], Ke durch Nu]Lsetzen von n — k bez. von Ä-j- 1 der obigen Functionen gewonnen werden, lässt nun die Bedeutung der i\ K für dieees Funclionensysti'in in ganz allgeineiner i^eiäe Übersehen:
Wie wir auch das System der i»+l Fnnctjonen von II Variabein # in zwei Theile «erlegen, stets (lofiniren die gleich Null gehetzten Functionen der beiden Theile zwei sich ergänzende Mannigfaltig- keiion von k bez. von n — Ar — 1 Ditnenäionen, deren WindungBzahl stclB dieselbe, und gleich der Kron- eckor'scheu Charakteristik £^des Functionensystema ist. Fflr k^O erhalten wir ein System von Punkten in Verbindung mit einer Mannigfaltigkeit von n— 1 Dimensionen^), ftlr k ^^ l eine lineare Mannigfaltig- keit und «ine ti — 2-dimen8ionale n. s. w.
Im zweidimensionalen Räume handelt es sich um die Windung von Linien um Punkte, im dreidimensio- nalen Usume um die Windung von Fl&chen um Paukte, von Linien um Linien, im vierdimeusionalen Kaume um die Windung von dreidimensionalen Räumen um I^inkl^,
Fl&cben um Linien, im fünfdimensionalen Räume die Windung von vierdimensioDiUen Räumen uiu Punkte,
dreidimensionalen Räumen ura Linien, von Flächen um 'Flächen u. s. w.
1} Es cncheint in diMeiu Zuaftiuiiienhaugc atnii(^miLM, auch ^VAB eioer Windaognahl einer (n — 1) - dimeniionftlen Hanrngfalti^ ktit ara bin Pimkli^ttem <u «prechen.
4&8 Saektrag i. StUiutg der wuttkr/hg*. Qm
I 0. Juli 1109.
Ditbci liefern die verKchiedeotfO Müglicbkeiten, die H-f-t Functionen des Sy^ms zu je 1 und n, lui 2 und ii — l n. s. w. abxuthi'ilen im Ganzen » H~ ^ verächiedeoe Punktj5Ttiteai«,J
7^ Linien, altgemein (- . *) /e-diin«n«ünale Mannig*
faltii^keÜPii in Verbindung mit ihren crjniplementaren Marnii^»- fftltigkeiten Ton n — k — 1 Dimensionen, denen äiinimtlich ein nnd dieselbe Windungszahl zukomraL
Diesen rerschiedenen MögHchk«iten, dieZahlJC als Windnngszabi zweier doreh Zerleguogdes Fano-
tionensjrstemä
F,, y,, ... Fi l| /Vfi, ... Fm
hergestellten Mannigfaltigkeiken aufftafaisea, ent- sprechen nun paarMTcisc die Torscbiedvnen Art«0 der Darstellung ron TT durch bestimmte lategrali Qter (Snuimenformel) bis (n -j- 1)1«' Ordnaug, roal denen wir im ersten Tbeile dieser Beitrüge gu- bandett haben.
Speciell bezieht sich die dort in (14) ' e Krön-
ocker'scbe Summenfurmel, und ebenso an<i- : _ diu voq^
Kronecker abgeleitete (ir— l)-facfae Qber /"^^ 0 ausgedehnt Integral auf die Deutung der Charakberlttik uU Windung»- xahl der (n — I)-dimensiQnalen MHonigfaltigkeit /^,^0 nm das I\uikfcäyst«m i*^, ==> 0, ... Fm ^» 0. Allgemein giebt das in Fwmel (26) der Beiträgi' I gegeben« (n — i — I)-fach« Integral nnd ein correepondireodea k'fachiet die Aufiiurong di<r Zahl K aU Winduognrjihl d«r Maonigfaltigkaiban
und
Ks verdient dabei in diesem Zui^ammenbange noehmala der dort schon erwähnte Urnftand herTorgeboben sn werden
W. Dt/tk: Beiträge 9W Voientuüüuorie. IJ,
400
datt^ das ^\xt Berechnunt; der Wiadungäzahl dienende (n — Ar— l>-fttche InfctfjLfrtil aicb aber die M'^-k-\ »U GronM erstreckt, wührend der unter dem Tntejjralzeichen .stehende Aufdruck lediglich von den zur Detioitiou der Mi dienenden FuncÜoneu ablmngt Mit Hülfe der in den dortigen Kril- wicklungen kq Grunde gelegten Deutung der Functionen 7'' ü\a Cuordiuaten eines (n -f ]]'diinen8iünalen Räume« Xq^x^^...x^ erhält dubei der unter dein Integrnl^eichen sU^hi'nde Aus- druck die gerade ftir die Auffassung de^ Integrals ab Win- dung^zahl weäentliche Bt^deutuug als DUI'erential eines (n-£-l)- dimensionalen „ränmljcbea WinkeU'.
Das n-fache, in Formel {\2) der .Beiträge l* gegebene Integral fiir K hat fflr die liier erörterte Theilung des Futictioncnsystems der F keine unmittelbare Bedeutung. Ein Intejj^ral diei^er letzteren Art hat dsLgegen in den auf die I'iinunetenlar»tt;llung der beiden Mnniiigfattigkeiten M^ und iVrt-J-i he/.tiglichen Formeln (§ 7) den Tebergang der an die Kroneiker'sche Chamkteristik anknüpfenden Integrale /u der Oanss'^hen Darstellung der Windangszahl rermittelt.
Umgekehrt kann man nun auch die Deutung der X»hl K als Windungs/.fthl zweier »usammongeordneter Mannigfaltig- keiten wieder anwenden auf das huh der Parameberdarstellung (Fumiel 47' und 47*) gewuunene Functionensyatem
50)
'^ — Vn Vi — "yt' - */'- — y«
Betrachtet; man nimlich die n — 1 Parameter Xi als Courdinaten eines (» — l)-diniensionalen RaumeSf so ergeben jBch auch hier durch Nntlsetzen je zweier sich ergiinzender trappen »on Functionen »/'^ — tfi einander zugeordnete Paare von MoonigfuUigkeitea , deren gegenseitige WindungsKabI et>en wieder unsere Zahl K ist. Ich gebe indess hier nicht nibor auf diese Botstehu Hg« weise der Zahl K ein.
500 Na^troff «. 8Unmg der ma^.-ph^. Clane vom S. Jidi 1895.
Berichtigungen
zum I. Tbeile der Beitrfige zur Potentialtheorie.
Auf Seita S64 Fonnel (6) und im Nenner die Matrizttriohe so erglnien. « , 371 Zmle 9 TOn oben tat m letw Oleiohnng (16) itett (16).
. . S76 . 7 (91) , (19).
. . S76 . 9 (96) . (28).
. .376 . 8 . unten ... . (H) . (19).
m
YerzflietiniRf4 der einj^elanrenen Druckfirlirirten
Juli bU December 1895.
DU ranbrncban Go— llarluttoa «ul luUtat«, mit wolehen ititMn Ak«4amU in hMebf ■tl«hr lUhl, wartn giktXm, aulwtalMadM VmtMiaiaf MgMdi »li EhpAuki- 'aucvnn «■ MrMkba«.
Tob folgenden 0«MlUahAft«n and Infitltatra:
Sivüii iVIitHulattOH in AbbetiUc: Tome 18. 19. 1893/94. 8». Nlütin. Annt^ 1893 No 2— 4, 1893 Ko. 1— 4, 1B91 No. 1. 3. 8«. fCiu4]aeDUoftire de M. Erneet PnironJ. 1891. 8".
Hfij/al Society i'f Stmlh-Australia in Adctaüle: TnuwftcUon«. Vo) 19, part 1. 1896. B^.
SütUtariMhe Aktulemic der WitsenscHafttn in Agram: Lji>topi> T.a ^diou. 1694. 189.>. B^ LBiuI. Vol. 117-122. 181*495. 8*. |opumcoU Bpectaatia btstortam StavoriuB merid. Tot. XXVI. 169t. 8".
BViuentu liiftorico-iuridicB Slar. mend. Vol. T. 1891. B° _jla. Vol. XIV. 1. ■ 1895. 4". Tode SmiL'ikliu. Ztvol i djcht D» Kranje Ra^koga. 1895. 8*. 'Uiluo B«jtetar, Zailar<ki i Riifiinia Ijekctonsr. 1894. 8^. Ncte-York StuU Library in Alhany. Kev.Tork Sute Mai^um. 47t>' ancDal Report for 1893. 1694. S«. New- York State Library. 76t>> annual Report for 1692/93. 1691. 80.
Vnit:€rtit\t of the State of Nttc-York m Alhantf: Sut« Ubnm Bolletin, a) Biblio^rapfay No. 1, b) Additions Nr>. 2. 1894/96.' 80.
SociH^ tU» Antiquaim d« PiatrtKe in Amient: "Bodetin. Aonö'3 1893 No. 1-4. 1694 No. 1. 189S/94. 8«. A'. AkwUmif der Wins^tttschaftrn in AmtttrHam: TwbindcliDgeD. Afd. Nntanrkamle 1 S<-otip. Deelll. 7. DeelMI, 1-4.
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502
VeneirJinU« der cingtUinftntn limekMtAriflw^
Zitting^Terolag«!). Afd. KntuarkuD<le. Juar 1S94/95. ISUß. 4". Ver«liig6D en Mededeeliogen. Afd. Lotttfrkunde 3* K««k«, DmI II.
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Joh»s Hopkins Vnivfnity in B'tHimore? Circolant. Vol. XIV, No. Uft, 120. 131. 18%. 4«». American Jüarnal of Ualtiematic«. Vol. XVI. 4. XVII, 1-8.
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I804/»o. 8«. .loliD« Hopkini Untvcrcttv Stndief. Ser. Xlf. No. 8—13, Sor. XUI, No. l-e. 1894/95. 60.
Naturfornchende GejieUxchaft in Basdi Verluiudlaogen. üund XI, 1. 1^96. SP.
Ui«tori*ch'(iittiquari$(Jte Oetelhchaft i» B(uel: Uavlcr Chronik. Luipxtg 1895. 8'^.
UnieerntätubilAialtuk in Ba»el: 8cbriflen der Uaivenit&t »uo dem Jithre 1804/90. 4" und 8". Batneiamch GfiiwAachap tun KuuBter* tu W'elenJtcfinpften in Balaria: TijdscbnfL Derl 38, nÜ. 4. 6. 1695. 8«. Noiuteu. Deel 3J. aO. 4; O&^l 33. utl. I. 2. 1895. &>. Verhaailetipgen. Ued 4b. ituk 3; I^eel Öü. 1. 1894/95. 8*. NL-dcrland«ch-lQd:8cb-riak;iall>iiek. Hw\ Xtll. 1605. 9fi. Kiji. tiatuiirkunfUge Vcrreniijinij in NtäetlaHttacJt Inttic tu Bnlartn: Natunrkuiiaig TijÜMibrirL Dfwl 51. 1895. 8.
Bot^kwarkea tur tafel gebracht in de Tergadaringea 1883. 19B4. 1894/05. 8».
Hütorvfchrr Verein in Bai/rcHth: Archiv nir Gtfiehiohte u. Alterthosiikunde is iJatfrankaa. Band XIX, IL 1894. 8».
JC Akadtinie der Wkaem^flm in Belgrad: QU«. No 4a 1896. Sfi. äpomenik. Mo. 36. 27. 39- 1896. 4P.
A'. pMU»i*ch* Akadrmte dtr Wmevuchaften in Bertin: AbbaadlD Offen au« di'ra Jahre 1694. 4^. SJfetting«lK-mbt«. 18U&. No. SG - 36. 4°
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hrutvhe dtemitek» Gt»eil*dmft in Bertin: Bericbtfw 38^ Jaluv-, No. 13-18. IBM. S**.
Vtraridinimi der ringrhxufenen DrueJuchriflett,
503
»
DcuiM^hr. getiUjffitKJie Gtidlichafi in Bertin:
:. BftoJ Iß. Heft 4; 47. Keft 1. 8. J894y9ö. 8^.
Ph<f»iki%iifchr. GcKctUchaß in Berlin:
Di« Fortidiritt« *ler Physik im Jahre 18d3. 49. Uhtfi., Abtb. I— Ilt
L>o. i. J. 188VI; 46, Julirg. 3 Voll. Br*uoBo.liwei>; 1695. 8". Verhaadliuij;«!!. 12. Jubr^. No. I. 13. Jnbrg. No. 1-4, 14. Jabrg. Nö. 1 u. 2. I.pipiiir 180», 8».
/ 'h< (ifUfUscJtaft IM Berlin:
CeDtmlllott für 1 :._. , ^.c. It(95. No. 8-14. 16-19. 6^
Kiiiterlich detU»ckf4 urehatilnijiitcheg Institut in hfflim: Jabrefb«Hobt Qbcr d. Jahr 1891/95. 16^5. 4". Jahrbuch. Bwad £. Helt 2 u. 5. 18»5. 4°
Oeoäiitinche* luAitttt in Berlin: Sentthdistuitun bot BeiUmmaii)f der H^ibeolage der Nordtteo-InMlii
Uelg<'Und etc. 1895. 4<>. A. Wulphal, UDtertUL'hungcn Ober den BelbittregUtrirenden DnÜrenal- p(i(ei XU SwiDetuilDde. I89ß. 4**.
A'. preass. wetfvroliyji^chf« Iitttitut i« Berlin: Bdrit'ht Aber d. Jahr IB04. IStfS, 8«. Krgt'hniwe der metcorol. Ueobacbtuii>;t-n in PoUdam im Jaliro 1894.
1895. 4*. Ergebnis»' der Oewitterlteobat'bttintfea im Jahre 1891. 1696, 4*. " ebntne der Nleder<chla}^l*üobachtanK<'ii im J- 189S. 1806. 4*.
Jaftrhuch ulicr die Furttchritte iler M'tthfimnlik in licrlin. Jahrbuch. IW. XXIV. U^ll a. 3. ie95. 8".
Vernn für Gtuchtchte der ^ff^rk Bratute nhuri/ in Berlin: t'or»chupi;*-n »ar brunleobargiachen und ProuMitcheii Gc«ohichM. Bund Vill, I. Uipfiu 1895. 3^.
NatuneisjientKkafUtche Wochenschrifi in Berlin: Wocbnischrin. Hand S, Uta 6-U. 1B9&. (oL
Zeitachnß für Instrumentcnkumte in Berlin: ZnUehriti. 16. Jahrg. Icfä6. No. 7-12. Ja)i-Dexemb«r. 4".
Natur foriichrnäe Qeiellfdxafi in Bern: V. IUI d. Jahre 1891. 1895. 80.
,f eiätri«^ Gttellachaß für die getammten NatuncisMn'
ßchafien in Bern: Stw DcnkochriAvn. Btod B4. 189&. 4°.
VerhandluDKtm. 77. JahrwTereammlanff'. Schat1'han'>en 1691. 6*. Nt*b«t einer fraiiaOiiMibRD Uebwotmang. (Jenevu 1894. 8^. Hisloriteker Verein in Bern: Archif. Band XIV. 3. 1895. 8".
SnciHe fl' f^mttlation du Ifoubt in Bc^an^n: Uimoim«. VI. Süne. Vol. 7. 8- 1893/91. 6«.
Ä. Itepniaxioeu di «forin ;Mlriü per U Pnmneie tU Bomnifmi in Boloffnat Sari« 111. VoL Uli. fMO. 1-8. ISflA. 40.
-VM Vmeiekmm 4tr fM»rfii^-»'n /»■Awlryfam.
S«kriflea av dca Jahn IBM^ m 4* a. ^.
Fcrem rm .:4ltgytt«Mii<ii i ■■ Ji ■ w «wirfai^fc n Am>: n»s imkrUcher. Heft «^-M. ISSSl 4*.
3'i^v*MConjdbcr fVrm der ^mHJÜdbn ffeüf^hie m
Saäiti ie» tdemees gkftifmft <f m&tmftBtM im Biirietmr: Mtmoixt^ rV< Serie, loa« OL 1 IT. L 3. Ptoi» ec BwAouix
Sadite Ijmmeemme n Biriemmr:
Aetea. VoL 4&. 46. laSS. 6*.
CatelofK de b h*btiotk«q«e. «mc 1. läM. flF.
5a<ieC< d« fio^apkie commeniaie » fljrjfj-
BoUecia. 1«6. Xo. 13—30- 8*.
Ardm der St^Ü Brmmiutkmfi^:
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Kain. iteutMchff nrchA'tlA/p$chf» Institut (rönt. Abth.i in Rom; UiUbeitungcn. Vol. X. No. |. 2. 1895. 8^.
R. Miniatero drtia IstruHonf pwhbliea in Rom; Indid e cataioffhi. 43 Uffi«. 1686/95. 8**.
^fiWhri/l J.Ufrifntt in Rom: L'OrieBte- Uif'wia. *r . Anno 11. No. I. Ä. 1896. S*.
Kijl, ' '■'' Rr'jiemng in Rom'
Oper« di Oalilfil Vol. V. Firrn7.<;"l896. 4».
R. Sodtlä Rumana di eioria patria in Rom: Aifhirio. Vol. XVni. 1. «. 1896. 8^.
Unirergitiil Rontoek: Schriften &09 dem Jahr 1891/96 in 4" u. 8^.
Aniilrmi« tU» taitnet» in Routn: Pr^ta fta&ljtiqae d«« InmuL Ano^» IB91/93 ei ie»'.4/B3. 1895/94. &**•
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Der K )> in Itnnrharh und der St. Oaller KricR 1489/1
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Ohtertaiorii} tutronumco mettonl^fim m Sam S^rmler: Auln. 1B95. fol.
CaiiforttM Acadfmf of Seiemtt* im .S^" f'-^^A««»,-
Proceeding«. VoL IV. pari 2 1896. 8». MuDoin. VoL II. No. 4. 189&. 4«.
OewUsrittiß für Salthtngtr LantleskHMäf im Sal^ury: Mitthcilon^n. 36 Vereinsjahr. I89S. S^.
K. K. Siaalwg^mwMtimm in 8atabttr§: Prognnm Rlr Jm Jahr 18di9G. 1896. 8".
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K, Vtttrrhettij Utütarif och Anti^uitrtjfAkmiemit im Stocy^alm: AnÜqaarnk Tidtkrifl ftr aMri««. Del V, So. 4; Di-l XIV, N.» 'i; h*i SVl, l-B. 1896. 8».
Oeotogiskn Förtning in StoeltMm- FflrhaDdliDgar. Bd. 17, Heft 1-6. 1896. 6*.
Oe»eU»ehaft tut ForJerumg drr WittemtdM^fUm im SSrasrhurfi MooaUbericht. Heft 6 u. U«ft 1896. 9>.
Univerwität lhraM$bMrg: Schriften um dem Jahra 1894/M. 4^ a. »\
K. MtatistiM^es LandetAwit im StmUgarl: Se^ehraibong de« Obmsb i'aauUdU 1696. 8*.
Oeotofieat Smrep of Nr^'Snutk'WmlM m Sgän^p:
BeeonU Vo). IV. 4. 1686. 4*.
M^moin PaUeonUilOKr. No. 8. 1686, 4*.
Miyu/ Socieif of JftwSomih^WaJtM in SfUtpr Joanukl uul ProcMtUafa. Vol. 38. 1884. 8*. /»OMirfwiU of Mimn and Afrt^tmrt tf Jlf,-Somih- Wmie* im Syrfiwy: Jkmaml iUport fer tt« jcw 1691. 1886. bL
Vertriehnun rfw eingHaufenm Unteks^riftrH.
52 L
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Jforske Vulrtvikaint üelukab i» ThrondhJ^^ (Vronthetm): Skririer 1698. \&9i. Sfi.
rh;/KikiiiiseJi€9 Obticnatorium m TifUs: B. ' ■ ! _on im Jftlir 1898. 1896. foJ. li< -'<'ii ilor TL'inp^rulur du« Erdbodtfos ia den Jahreu 18S8/W*
VfutarA* Ütitrlltrhaft für Nntw «inrf V^ikttkun^e OttiuieiM in Thkjfo: "^tü)«tlunfrn Ht^n 56 ti Stippl -H^n 3 xu Bd. VI. 1S95. A^.
Unkeriitfit Tokyo (Jupan): Tho .fnnrnal of tbe Collrife of Scienc«. Vol. 7. part 6. 1895- 4*. TliK Imperial Ljöiverwt)- Calcndar. 1894/96. 8".
Bihliateea e Muten comunaif in Trttnt: Arohfvio Trentinn. Anno XII, fMc. t, ld9ö. 6^.
11, Accademia delU ndttize in /Witt.' Atta. Vol. SO, di«p. 12-16. 1895. 8".
B. Museo gtiAoaico jh 2^nN: Emu «ur roroxvnüi de U Lerre p.ur Fud. Sacco. 1895. l/*.
UmocrtUät Tütfingcn : SchrifUn awt dem Jahre 1694/95. 4(* □. 8<*.
A'. 0(9rÜ9chaft der Wit^ctwckaften in {jp$ala: Xov» Ada. Str. IM. Vol. XV, 2. 18»5. 4". ümttrsiiCii in Ufoala: ScbrifUit iki i ».vrrMtlt am d. J. l8»4/fi& ia 4^ a. &*.
Slittoriiich Gcfumiiichap in Utrecht: tiiidn^tm OD Mededo^liniffQ, Dcri XVI 'BGravenbikfre 1*)^ Ö*. Venlaii Vkin d« alRcmepne vetgaderiotf der luden, 16. April IdÖB.
UUmvcnhnKe 1895. b^. Werltea. lU. :)eri<>. No. 6- »'Urarviiha^ 1894. 8».
PftynoJojVWcA T^abomrortHm rJ«r llooijetchnol in ütrtdU: ODdenoGkit)f{i>B. IV. R«ek^ UI, 2. 1896. B». .Af^nw Vtwto In Venedig: L'Atcneo Vencto. Serie XVItl. Vol. 1. 3. 1894. 6» li. IiOituto Veneiö tli ticiente in Venedig: Toiuo »8. di«p. 4-0. Tomo 68. diap. 1-8. 1898—96. 8». Dorie. Vol. 2fi, No. 1 -3. 1894. \^.
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522 Verzeiehniss der eingelaufenen Drueksdiriflen.
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V. S. CooJit and Oeodetic Surcey in Wcuhington : BoUetin. No. 34. 1895. S«.
United States Oeological Surcey in Washington: Bulletin. No. 118-122. 1894. 8». MonoRrapha. No. XXIII. XXIV. 1894. 4". 14tl> annual Report 1892/93. Part I. II. 1893/94. 4°
Kaiserliche Akademie der Wissenschaßen in Wien: Denkschriften. Mathem.-naturvisaeoschafd. Classe. Bd. 61. 1894. 4**. Sitzungsberichte. Philon.-histor. Classe. Band 131 and Register %a
Band 121-130. 1894. 8*>. SitzuDgs berichte. Mathem.-physikal. Clasae. Band 103, Abth. 1, No. 9-10, Abtb. 2«. No. 6-10, Abth. 11»», No. 4—10, Abth. III, No. 5-10. 1891. 8°.
Archiv für österreichische Geschichte. Band 81, HälOe II. 1895. 8». Fontes rerum Aaatriacarum. Abth. II. Bd. 47. Hälfte 2. 1894. &*>. Honumenta conciliornm f^eneralium. Tom. IIT, pars 3. 1895. fol. Almanacb. 44. Jahrg. 1894. 8°.
K. K. geologische Reichsanstalt in Wien: Jahrbuch. Jabrg. 1895. Band 45, Heft 1. 1895. 40. Verhandlungen. 1895. No. 8-lB. 4«.
K. K. Central ansialt für Meteorologie in Wien: Jahrbücher. Jalirf?. 1892. Band 37. 1894. '4".
Oesti'rrcichische (rraiimensungs-Commifision in Wien: A8trononii''i'he Arbeiten. 1895. 4*^.
Ä". Ä". Gesellschaft der Aente in Wien : Wi.'oer klinische Wochen^ihritt. 1895. No. 27-42. 44—52. 4».
,1 iithropi^loffische (re.''-ellschnf't r'n Wie» : Mitthcihingfn. Band XXV. 2. 3. 161)5. 4".
/^<'Hitri<iisch-hntniii>'ihe Goielhchnfl iti Wien: VerlKin«llunf,'On. 15. Band. Heft 6-9. 1Ö95. ^\
K. K. Haturhiylorische-' Hofmuseitm in Wien: Annalen. Üan.l X. 2. 1895. 4».
Vir*:n ;ny \'rrlirt'i!u)ir; n(ilnnri^-i'nsthiifllir}i''r K'iuitnisrte in Wien: S>. hiifi.Mi. 35. Hand. Vcrein-jahr 1694 95. 189.J. 8".
Verein für N'isi^nii'sche Alttrthinnskiinilc in Wiesbaden: -Annalen. 27. Han.l. lbÜ5. «r. b''.
Xit.y.'iituischer Vticin fttr Katitrhumh in Wiesbaden: J.ilirbil. h'T. Jahrfj. 18. 1895. tt".
l'lii/sikiili'irh-Hifiiiinische Ot •'lU.-ih-ift in M'iir::biirg: V.Tiiaodlungen. N. F. Bd. 29, No. 2—5. 1805. 8°.
TUitffJcAmu der einffttaufvfufi Drucktchrißem. 533
Obscrco/oriuin der fmäeri. diarine in WUhetautuiven :
Bmlioobtnogen der motcorolog. SUHon. Th. I. Bf>r1in 1695. i".
Oriental Cntceretli/ Institute in Wnkxmj:
Vidmody», thd SanBCrit critic»! Jotirnnl. Vo),34, No.4— ft. 189ß. 8*.
ITersoßUrhe BiMtnthfi in WnJ/'enbatt ff :
Otto V. Heineinunn, Die URadsL-hriftea der benof^Iichtiti Bibliothek la Wolfeuböttel. Band V. 1895. 8».
Natur funchend« OetfUifdi<tfl in Zürich;
Vi«rt«ljahrMchrift. 40. Jahrg. Heft 2. 189ß. tf».
Ph^xikaJiaühe Gesellschaft in Ziirich:
7. Jnhrenbericht. 1893 n. 1894. 1806. e".
ZeitHtirif\: Agronomisch« MittholHngtn in ZOrieh:
AtirODOm. Miilhetlungea. Jahrg. XII, No. 65 a. 86. 1895. 8^
Tob folgenden FrivatpersoDon:
Le Primc Albtri l" de Monaco: Il/«i)lt«(ji des cunpngne* Keicntifiquc». Fnac. VITI et IX, 1895. foJ.
luiUtard UodrmntiM in H'innovff' DitfLeElmix-naDÜRclinflei] derlciMleott. Hihliotlirk in Hannover. 1899. 6^*
lUnvcxitd BrandßttUtr in Luxem: Mjiluo-i'oljrne^iache Forschnngen. No. IV. 1896. i°.
Ludwig Frif'Uiindfr in StroMburgt JuveoKÜ» Mtumruni Ubri V. 3 Voll. Leipzig 1896. 8°.
IL FritfChf in St. PetrriAwrg: Uaber den Üammmftnhang Kwitchen der i^rdmni^rtiärheti Horisoutnl- iBtnuitM Dad der Inrtinntion. 1896. 8^
Knut llnrekfl in Jena:
Syttomatiiche Pbylog^nie der Wirbelthiere. Bd. III. Berlin 1896. 8^.
C. A. Hering in Dresden: Ihu EntwivklangMgvietx der Knie and der ErzUgerftfttten. 1B96. 8".
GuAtartiM Detlff Ifinricks in Saint-Lamt: The ElemanU ol Atom-Mechiuiics. Vol. 1. ISfti. SP.
Charit» Janei in Ptiria:
6 xoologiKba AbhaBillungt^Ti in Si-pantnbdrdcken a. d. Jahre 1896. 6".
•/am» K. KtfUr in Chicago. ( JjrwiUm ?] :
1. Condition« affectint; t he Form of Linoi in 'jm of Satani.
2. A SpoctroAcopic I'roof of the Meteoric i u of Siilam'f
Ringi. 1896. ä".
524 Veneidmin der eingdaufenen Druekgdiriften,
JJbert mn KSttiker in Würthurg: Zorn feineren Bau des Zirischenbinu. (Sep.-Abdr.) 1896. 8^.
Otto Kunte in Friedenau-Berlin: GeognoBtisehe Beiträge. Leipng 1895. 8".
Le comte de Landberg in Tulzing: Arabica. No. lU. Leide 1895. 8».
£mÜ€ Lemoine im Paris: 3 nuthematiflcbe Abfaandlan^n. (Sep.-Abdr.) 1894/95. 8P.
Emgt Lfyst in Mo$kati: 6 Abbandlangen am dem Gebiete der Meteorologie nnd des Erd- magnetinnos ans den Bftaden X— XVTII des Repertorinm für Meteorologie. St. Peterabarg. 4". Katalog der meteorologiscben Beobachtnogen in Knssland and Finn- land. St. Petersburg 1887. 4". Observation? faites ^ TObserratoire m^teorologiqne de ITniversite Imperiale de Moscou- 1693. 1894/95. (Janrier— Mars). 4". Gabriel Motiod in VersaUles: Rerne hiftoriqae. Tome 58, No. IL Tome 59, No. I. II. Pari^ 1895. 8^.
Julius r. Olirier in MüncMtn: Ww iat Ranm. Zeit. Bewegung, Masse? 1896. 8".
Joseph lieber in Aschaffe nburtj: Comenins' Werke. Band I. Giessen 1806. 8". Carl Meiner in Ee^<:n.4>Hrj- Taciti opera. Vol. 2, fasc 7 ed Car. Meiner. Berolini 1S95. 8°.
<>;/.> li.Kh^ch in L--l}i:i:i: Verifi:-: op^ni rec- 0U-> Kibb-?ck. Vo!. ll-p.". If*^. ^'>.
M'vhuvi >'L'-.%'»iii'(V'* n 11' .■'ir'i'.'T ■ ; I'ie F''rt|'danzuD::>s-.sc-hw:nd-.:ie.t '.i?- ^^■!: iK.s l'rii: 16'.'j. ö'^.
Sind ucäer-.' l'ersononndinen '.ber-et /' r.r r 159'». :;^.
I.'lw'f i l'f.ih'.ii' •:. V'' •.r-fr-C ■h-!' ii //..l»;.',--('f .
L\li>. lir-f voo K^-inhaLi^en. Bidth'!' ?ron Hü leil^ei::.. I;.i7'.* — 1114 I^U.t ?'^'.
AllT,cht M\Wr i. B-rU-: \\-d.-...h-* BeitriUv. 1S9'>. 4'^
7'Vit TnWi !■■•' Il:-'.'i '■ h: - i' •'■ t'od.-i ■iifi'.vmaticL- Sai'^L^-.t.i::-:-. Tj--; \\\. l-^'-iTv S '.
J/' M-.:'.,r .. S-;j' ■■! ; Kinieiiun^' r:r G^* ■!! ■ to -Kr W:-s n- !: ifVii l" '5. S".
if ■. i .' M *r. :- r .. (■;.■.-. .-:■-
Toi-o^r.ii'Sr.*' Att Buk 'W-ra- 1>'.''' ^' .
/,.rfTr./ ;■■. .4- U"n;.-"-- v. A" ;■'';-;■•'., : L>*? [•an-k'' iIun':Tr-r:'l'"---Ma- rk.-r. :"•.■'. L--" Memmen*- runi'|':>*s d-» ".XÜ'-mi.-n--*. I~ 'i >* .
525
Xamen-Reüister.
V. Baeyer Adolf 197, 278.
T. Uanernfeind Carl Haximilian (Nekrolog) 161.
Bauachinger Julius 239.
Boltzmann Ludwig 25.
BrioBchi Francesco (Wahl) 370.
Dyck Walter 1. 261, 805, 447.
Gaudry Albert (Wabl) 370. Geikie Archibald (Wahl) 870. Göbel Karl 73, 331.
Hiirtig Robert 199, 279.
V. Hausbofer Karl (Nekrolog) 171.
V. Helmholtz Honnann (Xekrolog) 185.
Hyrtl Josef (Nekrolog) 181.
I-'mail Pa-icba (Nekrolog) 158.
Kowalcwski Alexander (Wald) 370. Kundt August (Nekrolog) 177. V. KuptYer Karl 197.
Lehniann-Filhi's K. 371.
Linderimnn Ferdinand 219. 278, (WahlJ 370.
Lorentz Hendrik Antoon (Wahl) 870.
Maskelyne Ne?il t^tory (Wahl) 370. V. Miller Wilhelm (Wahl) 370.
/
/
Sitzungsberichte
der
mathematisch-physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu Müinchen.
Band XXVI. Jahrgang 1890.
München.
Verlag der K. Akuileniie. 1897.
In Gomuiasloti dw G. l'niu'KboD Verlas« (J> B«tk).
Akadamiacli« Buebdnickcrai roa F. 8tnab in MfinehAii.
Uebersicht
den Inhaltes der Sitznngsberichte Bd. XXVI Jahrgang 1896.
Die mit * boiciobiwteit AbbuidlungaD sind in d«n SitiungaberiolitMi nicht Kbgvdniokt.
Oeffentliehe SUzung der kgl. Akademie der Wissenschaften eur Feier des 137. Stiftungstaffes am 14. März ld9fi.
V. Pettenkofer; Ansiiniche 309
V. Voit; Nekrologe 314
(kffentlicfte Sitzung zu Ehren Seiner Majcstüt des Königs und Seiner Königl. Hoheit des Prins-Reyentcn am 14. November 1896.
M. V. Pettenkofer: Eröffnungurede 43U
Wühlen 440
Sitzung vom 4. Januar lii96.
*K. Ilivrti^': Di«' Kinwirkiing iler si-liwoHiffen Siiure auf ilie NiuU'ln
uml di« (Jf.'snndheit ii«r Fii-htc ... 1
A. V(i*a: ütiber ilit; ros^TciIienti- Tnin-iforiimtiüii der liilint*aren
Formen in sich mrUM 1
Sitzung vom 1. FrWnnr Itiüfi.
'\\, Hurtig: LFi'hrr ih-ii Kiiiflu?<s ih's Ilriukcs auf di«' .Viishihluiif;
dtN H()ly.jji!W(;be-i Ihm dt'n Nsulelliül/.tTii . in'^Iii.-sondtT«; der
Fichte 24
'11. SfüliRwr: UeltiT <iif srluünbiiro Vrr^riigserunjf des KnUehattena
lit'i MondBfin-tt'niis.si'ii 24
.Vlfr. Ijfiwy: llt'rnerkuiiiri'n zur Tln'nrii' der knnjiijfirteii Tmns-
loniiiition i'int'r hiliiu'an'ii Fnriii in sirli srlhnt 25
F. Lindeiniinn: IJcImt tiii- lineai-i-n '['ninsforiniitiimpn einur qiiiulra-
ti-<rhi'n Miinnij;ialti^'k''it in sich 31
IV
SiUuntj vom 7. Mär:;: IS'JU. Mt«
*W. V. Miller: Zur Lsamurie der StickBtoffvt'rhinilun'jtMi ... 67
'Zistl: BtirechnunK der Miucbfarben im ßeugungtibilde eines engcu
Spaltes 67
J. Ranke: Ver(fleichende BentimmunRen der Schädel- und Bück-
gratahöhle 67
G. C. Price: Zur Ontogenie eine» Myxinoiden (Bdellostoma Stouti,
Leckington) 69
L. Sohncke: Ueber polarisirte Fluoredcenz, ein Beitrag zur kine- tischen Theorie der festen Körijer 75
W. Godt: Ueber den Fenerbach'tichen Kreis und eine Steiner'ache
Curve vierter Ordnung und dritter Clasae 119
Alfr. Pringsheim: Zur Th»)rie der i^ynektiaohen Funktionen 167
E. Lienenkluus: Die Oiitracuden aus dem Mio^-aen von Ortenburg
in Niederbayem (Collektion Eggers) 163
Siteung vom 2. Mai 1896.
A. Voss: a) Ueber die Anzahl der cogredienten und adjungirten
Transformationen einer büinearen Form in sich selbst . . 211
b) Symmetrische u. ulternirende Lösungen der Gleichung SX = XS' 273
'Gg. Fri'*iUander: Ufln-r die K'-;<jri»tiün gi'bj.-ttT Eiweissstoffe
im Dünndurm 209
Sitzung vom fi. Juni ISWi.
* K. Hiirti;:: l-i-ln-i- di'ii Eiiiliii~- drs Rauclif' unf die Gi-frundheit diT Ni)iii-lbi>l/er. mul : L'eber i-in*- iiL'ue T;inn<*nniininnotte fArsryn'^ibia fiindrlhu 282
'.Ifjli. liiiikrit: UebtT die Ehtwirkluii;: di's S]iinildarrii- tn.-i
S.-la<lii<'rii . 282
\.. F'Miini: I»i<- Wrllrnliiii^'e -Ivr h''tiit;:».'ii-Mntlil'ij . 283
Sifzutiff vmn 4. Juli ISUG.
' W. llartiL': L'-lx-r dii> .\l»>tiTlirii vmi Hauiiijrnijtjten duirh IJlitz-
-hla- 287
('. C'liarüi-r: L ntiTHUchuiig iibt-r die Methudfn /.um 'J'alnilireii
d^T Stiiruiii;«'!! dt-r klt'iii>-ri Flatit'ti'ii 287
Sitzung vom 7. November 1896. ^^
H. Seeliger: Ueber daa Newton sehe Gravitationsgesetz . . . 373 F. Lindemann: Die analytische Fortsetzung dei^enigen Functionen, welche das Innere eines Kegelschnittes conform auf die Halb- ebene abbilden 401
E. V. Weber: Ueber partielle Differentialgleichungen II. Ordnung, die sich durch gewöhnliche Differentialgleichungen integrieren lassen 426
Sitzung vom 5. Dezember lö96.
*L. Sohncke: Ueber die drei ersten Fahrten mit dem Ballon
Akademie' 446
K. Croebel: Ueber Jugendformen von Pflanzen und deren künst- liche Wiederhervorrufung 447
E. V. Fedorow: Einige Betrachtungen über die Grundfragen der
KrjBtallographie 499
S. Kantor: Ueber n. Momente von Äi - Complexen im Br . . . 631 C. W. T. Gümbel: Ueber die Griinerde von Monte Baldo . . . 645 A. Pringsheim: Ueber die eogenannte Grenze und die Grenz- gebiete zwischen Convergenz und Divergenz 606
F. Lindemann: Zur Geschichte der Polyeder und der Zahlzeichen
(mit 9 Tafeln) 626
Ein&endunjr>^ii von Dnirksth ritten 349, 759
Sitzungsberichte
der
kOnigl bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikaliBche Glasse.
Sitzung Tom 4. Januar 1896.
1. Herr Robert Härtiq bespricht: »Die Einwirkung der schwefligen Säure auf die Nadeln und die Gesund- heit der Fichte.' Die Abhandlung soll an einem anderen Ort Terü£feutlieht werden.
2. Herr Ferd. Lindeuann legt eine Mittbeilang des aus- wärtigen Mitgliedes der Classe, des Herrn Professors AurelYoss in Würzburg: ,Ueber die cogredieute Transformation der bilinearen Formen in sich selbst* vor.
Ueber die cogredlente Transformation der bilinearen Formen in sich selbst
Von A. Voss in Würzburg.
(SiMgriauftn 4. JoMMcer.)
Den von Herrn Lindemann^) in seiner Bearbeitung der Cleb.sch'.schen Vorlesungen über Kauui^eouietrie für drei und vier homogene Variable bezeichneten Weg, alle linearen Trans- formationen einer quadratischen Form in sich zu bestimmen, hat Herr A. Loewy neuerdings in i>eiuer Inauguraldii^sertation
•) Vgl. Vorlesungen übur GeoraetriL' vuii UlebBoh-Lindemann, 11, 1, a. 356—308; Ueber die TraiLstbriiKition einer qaadratiacheu Form in sich seibat, von A. Loewy, Nova Acta der Lcop. Carol. Academic, m. LXV. ISM. Mftth.-ph7i. Cl. 1. 1
2 Sitzung der math.-phys. Classe rom 4. Januar 1890.
für Formen von n Variabein durchzuführen gesucht. Aber die so gewonnenen Formeln lassen weder die Anzahl der willkür- lichen Parameter, noch die Analogie mit den Cayley*9chen Formeln erkennen. Es ist daher vielleickt nicht ganz, über- flüssig, im Folgenden eine etwas einfachere Behandlung des Problems auszuführen, welche einerseits den Vortheil bietet, als eine unmittelbare Erweiterung der Cayley'seheu Darstellung zu erscheinen, andererseits aber auch die Ausdehnung auf das all- gemeinere Problem, eine bilineare Form von nicht verschwin- dender Determinante cogredient in sich zu trausformireu, gestattet.
§ 1.
Die cogrediente Transformation der bilincaren Formen in sich selbst.
Soll eine bilineare Form von n Variabein
a:, x, . . . x„
1) Vi 1/i • • ■ ?/..
S = ^(1 . r V,
durcli die uogrt'flii-nte Tran;?tnrrnati<>n
in jsic-h üi»f.'rgt.'t'iihrt wenU'n. ^o sind diu */- iituidnitisL-hen (ilfi- L-hiin^rn
veniiHiT'^' der Stilp>titutiMii^-('oeflioi»'iit('ii y.n crfrilliMi. An*; ilnu-n (.j-j^ii-lit -if!! . füll'; di'' I>i-tt'rmiimiit'' / der i-'unu >' riirlit ver- M'liwitidft, f'\\\f \'Mi;iii>sct/uii;^", '!if im Knlifiidcn lt».*-tiiinliLf
i'f>t'.^,.l|jjt,.|i wcrdt'n M)ll — . dii->
f:' = 1
i>t . iiiitt-r C di.* l>t-t.TniiiiiiriT'' ■lt*r Siili-titulinn "J i vt*r.-;tiindeu. I>i<- li-i/.t<-it' lici"i lirk;uiiitlii.ii '-intMit l n ii ("h-r Liiifi.L,'t-*ntiiLh ,
A. Vo88: Ueber die cogrediente Transformation etc. 3
je BAohdem C gleich 4* ^ (^^er — 1 ist. Sind alflo die ^^ über- haupt lineare Functionen der x^ und genügen die Coefficienten den Bedingungen 8)^ so sind auch umgekehrt die x^ als lineare Functionen der f^ darstellbar.
Setzt man, was immer zulässig ist,
wo i, T, T, T, A, X vorläufig ganz willkürliche Variable be- deuten, so ist die nothwendige und hinreichende Be- dingung für das Bestehen der Gleichung
gegeben durch
wie man sofort durch Eintragen der Ausdrücke 4) in die vor- stehende Gleichung ersieht. Die Gleichung 5) ersetzt daher vollständig die sämmtlichen Transformationsbedingungen für die Coefficienten c.^ und es ist nicht erforderlich, nachzuweisen, dass die letzteren jene Bedingungen erfüllen.
Nun ergeben sich aus 4) und 2) die Gleichungen :
t(7',-^r.r,) = ;.(T, + 2-c,,T.) Hieraus folgt : Verschwindet die Determinante
unter dem Symbol iS^^ das Kroneckcr'sche Zeichen verstanden. welcheü durch die Uluicliungen
definirt ist, oder anders ausgedrückt, verschwindet die Cha- rakter ist i.s che Function der Substitution nicht für
1*
4 Sittung der math.-phys. Classe vom 4. Januar 1896,
^=1, 80 sind die r^ lineare Functionen der t^ and die T^ sind zugleich die nämlichen linearen Functionen der T^.^) Und mutatis mutandis gilt dasselbe, wenn die cha- rakteristische Function wenigstens nicht die Wurzel p ^ — 1 hat. Setzt man, etwa unter der ersteren Voraussetzung,
^=^/»,.'.
SO wird die Bestimmung aller Transformationen, hei denen ^ = 1 nicht Wurzel der charakteristischen Function ist, da nunmehr zwischen den t^ keine linearen Gleichungen mehr auftreten dürfen, zurückgeführt auf die Lösung der n' linearen Gleichungen
s; i= 1, 2 . . . n
zwischen den »* Unbekannten ß. Dies ist bis auf einen ganz unwesentlichen Unterschied das merkwürdige System linearer Gleichungen, das ich in einer früheren Arbeit*) genauer unter- sacht habe.
Verschwindet aber die charakteristisclie Function für q — 1 und zwar so, dass auch noch ihre // — l'*" Uutertleterniinanten sämmtlich mitverschwinden, die »/'^" rntiinieterminanten (Sub- determinanteii n — ."'*"■ Ordnung) dagegen nicht melir älimmt- lich Null sind, so git?bt es eine /(fache Maniiigialtigkeit von Lösungen des Systemes von linearen Gleichungen
welche durch die Werthe
(i=\,2 . . .11
^1 l'ntcr iK'r (.liarukteristisLhcn Function einer Substitution f soll hit;r 'He l)>tpruiiniiutc der Koriu
r-i-,,/;
Vl'-t llnl'Tl Wi'lr!,.n
') l't'byr ilif lü^'re'liL'nt«.' 'I'ian-f'i'rniatioii iler hilinearen Formen. Abh. il. Iv. ba\r. Acuiltiiiiii- d. Wi^-ö. ISihj.
A. Voss: Ueber die cogrediente T^raruformation ete. 5
bezeichnet werden möge. Die fi linearen Formen
sind alsdann von einander unabhängige d. h. es findet keine Relation von der Form
statt.
Nun folgt aus 6) durch Multiplication mit den y^ und Summation nach i
das heisst: Verschwinden noch alle ^—1*" ünterdeter- roinanten der charakteristischen Function
für e == — 1 (^ =s -|- 1), so bestehen zwischen den % (t) fi von einander unabhängige lineare Oleichungen.
Dieser Satz lässt sich in der folgenden Weise umkehren: Giebt es bei einer Transformation, welche die Form cogredient in sich verwandelt, ein System von H von einander unabhängigen linearen Oleichungen, denen die T {t) genügen, so muss die charakteristische Function für q = — 1 (^ = +1) mit allen ^— l**" üuter- determinanten verschwinden, während die /***° Unter- determinanten nicht mehr eämmtlich Null sind. Unter der Voraussetzung der Gleichung
folgt nämlich aus G) die Gleichung
^{Jct, + Xr,) Jf -^(fit, + ^O c,, ?? = 0,
aber eine solche Gleichung kann nicht bestehen, da sonst zwischen den x^ allein .schon eine Uelation vorhanden sein würde. Eis müssen also notlnvendig alle Coefficienten in der- selben gleich Null sein, d. h. es ist
womit der angegebene Satz bewiesen ist.
6 SitMung der math.-phys. Classe com 4. Januar 1896.
Dieses einfache Tbeorem ist die Grundlage der folgenden Untersuchung. Aus demselben geht hervor, dass sich alle Transformationen der Form in sich selbst durch An- nahme von linearen Relationen zwischen den t oder t ergeben müssen.
Diese Transformationen zerfallen nun, sogar noch auf zwei- fache Weise, je nachdem man die Wurzel ^ := -j- 1 oder ß = — 1 bevorzugt, dem Verhalten der Unterdeterminanten der charak- teristischen Function entsprechend, in bestimmte Classen. Und die Aufgabe, die Transformationen jeder Classe durch die ilir entsprechende Zahl von rationalen Parametern zu bewerkstelligen, wird im Folgenden ihre Losung finden. Dabei ist es natürlich nicht ausgeschlossen, dass die einzelnen Classen aus einander durch andere Processe, insbesondere Grenz Übergänge, abgeleitet werden können.
Unter der Voraussetzung nun, dass genau n — /i = ff von einander unabhängige Relationen fUr die t und damit auch für die T bestehen, kann man setzen, unter V, to willkürliche Grössen verstanden,
t =^a r
I IJi N
8) T, = 2:"rt, H-
S= 1, 2 ... u; i = 1, 2 ... 11
wo die f^,._nit unlickiiniit*.' CinrfticitMiten sind, zwisc'lufn denen keine linean? Lli'ntität vmi der Furm
1=^ \,-2 ...u
Iii'-tclit. Alsiliinn siuil vuii d^n ji- // <iK'irliiiM;r)'ii i'>) für die ', T iri'iiaii /' iil»'rilii>-i;^, uu'l tii»- iibriijfn n n er^n-ln-ii diese (irri-.,M'ii uK dii'^i'l lii'ii liiii'iirt'ii Kunetion.-ii 'I'T /. b'-zii-lmiitrs- w.-:-.' 7". wciMi man i( dt-r (!n".,— i-ii /. T willkürlich Himiinnit. K- :-t ilaluT /.!! ^■■izt'M
A. Voss: Ueber die cogrediente TVanaformation etc. 7
wo die A, X wieder willkürliche Parameter sind und die h^^^p^^ ebenfalls unbekannte Coefficienten bedeuten. Trägt man die Ausdrücke der t, r, T, T aus 8) und 9) in die Gleichung 5) ein, so ergiebt sich in Folge der WillkUrlichkeit der Parameter
f„ Wr' K^ S r ^ 1 ... ft S = 1 ... tt
das folgende System von Gleichungen
10) ^av*«,> />*« = <>
welches für alle Werthe
r,<,?=l,2...ju
erfüllt sein muss, während die Indices i, k unter dem Zeichen 2 sich von 1 bis n erstrecken.
Von der näheren Untersuchung dieses Systems von Gleich- ungen hängt es ab, ob die gegebene Form überhaupt congre- diente Transformationen von dem angegebenen Charakter zulässt. Die hierauf bezüglichen Untersuchungen hoffe ich bei einer anderen Gelegenheit darzulegen ; der Zweck der vorliegenden Mittheilung ist es, die angegebenen Gleichungen auf die beiden ein besonderes Interesse in Anspruch nehmenden Falle der Transformation der symmetrischen und alternirenden Formen anzuwenden. Dabei würde es müglicb sein, die Dar- stellung in eine einzige zu verschmelzen. Ich ziehe es jedoch vor, die l>eiden rällc »gesondert zu behandeln, theils, um eine grössere Uehf?rsii'litliclikeit zu erreichen, theils der besonderen Äuftnerksanikeit wegen, die man von jeher dem ersten Falle zugewendet hat.
i? 2.
Die Transformation der sy nimetrisclien Formen,
Ist die bilineare Form syniinetrisch, so ist es bequemer, an Stelle derselben die quadratische Form
*? Sitzung der math.-phff8. Clas9e com 4. Januar 1696.
«.% = «*,
zu betrachten, und die Hnearea Transfer matioDen derselben in sich zu bestimmen. Ohne wesentliche Beächrankang könnte man natürlich S auch gleich als eine Summe von Quadraten der Variabeln voraussetzen.
Setzt man nun 1) -0**^="*
oder J t^^^u^A^^
wo die A^^ die adjiiiii;irti^n Elemente der Elemente a.^ bedeuten, so reducirt :^ich die Bedingung ö) des § 1 auf die Gleichung
Bestehen nun zwischen den in — u lineare Relationen, d. h. ist p = -p 1 eine Wurzel dpr charakteristi-Jchen Function, für die noch die « — .« — P*° Vnterdeterminanten etc. verschwinden, so bestehen ebensoviel linear unabhüngiire *Tleicbungen zwischen den \t^^ nämlich die folgenden
() = 1.2 ... n — it
Dif><:* >in'l in Akt Tha: vnn .•■nitn.iMr u:!;itiii;u;L:!i:. 'lenn dio An- nal;m<* mIiilt liev.titiLt
::.- /-A =-'
w'ip-lrr, da 'lie lV-trri!;i::u:rLH J i.ici.t v..r~ei:u-iii.ict. ».•rftirdern.
/■= 1 .■_».. . u :..v ■:.'.:. ^:j-: [' ir.i:. v:vL- •■ :■..:•■:.. -> oxi-tireii keine
Ä, Voss : Ueber die oogreeUente TtaMefOrmtOion ete. 9
dagegen gibt es n — fi = v Systeme von Grossen
welche die Gleichnugen
*) Ja„af = 0, ... :So,^af = 0
befriedigen, und diese v Systeme sind untereinander linear un- abhängig. Um nun die Gleichung 2) zn erfüllen, setze man
WO die X^ ... Xy wieder willkGrliche Parameter sein mögen, während die erste Summe von p ^ 1 bis e ^ x geht. Dabei folgt zugleich, dass x = ju sein muss. Denn wegen der Un- abhängigkeit der V würde, falls in dem Ausdruck ftlr r^^ auch Vf^. vorkäme, die Gleichung 2) nur so erfüllt werden können, dass
wäre. Aber diese Gleichungen charakterisiren jene ß^u+q ^ lineare Functionen der af^^ deren Auftreten in x^ bereits durch die Form von 5) berücksichtigt ist; Überdiess ist in § 1 die allgemeine Darstellung der t bereits gegeben. Die Gleichung 2) reducirt sich nun auf
a, s = 1 , 2 . . . /u,
welche fiir die unabhängigen v zu befriedigen ist. Dies liefert die Gleichungen
in der die p^^ willkürliche Pjlemente einer schiefen Determinante /i**' Ordnung sind. In der That kann man
10 SÜMung der mtdh.-phy». Clas$e com 7. Januar 1896.
wegen der fiber die a gemachten Vorauaseizung immer aus den Gleichungen
da eine der ii reihigen Determinanten der a sicher von Xull verschieden ist» die Grössen ß^^ bestimmen. Dabei scheint es noch möglich zu sein, sogar (n— «)/i Werthe der ß ganz will- kürlich anzunehmen. Indessen gelingt es, die Trans- formationsformeln von den ß Oberhaupt gänzlich zu befreien.
unter den angegebenen Voraussetzungen hat man nämlich wenn zur Abkürzung
|
-j^A,,a^^^B,^ |
|||
|
Ä=l,2...« |
|||
|
r=1.2...» |
|||
|
H — it = i |
|||
|
•gesetzt winl, |
|||
|
7) |
■ K< |
Setzt man j<*tzt (iic nefund»*non Aiis'lriicki' in din l'urint'In -l) ilw S 1 ein, -f) C'rt^t'l)t.'ii sich 'liircli Klinniuition tlfr v, /. die fik'ichun^rcn, wt-Lln' fiii; ; «inrili illt.- x aii'-ilrüi-ken.
l in iVu: Urclinniif^ ni"'>L'Iicli>t lii*ijiu-ni iui~/.ul'iiliren, innlri- |>lirirt.' man 'lii; )MilfM<:Imii;jen
X ^ I:f -\- ;./
r II
mit tit_'n (c^^ nnil '•nnimirf üln;r /'. Infitli;«- ilt-r Gli-i(.lnin*;('n 4) vv<;i(lt'ii liit'lunli ilit* /.,... /j, eliminirt uh'I m:in i'rltiilt
-) i"« X = i\hJi •- ;. -; )» r .
' I \ t ■ ( I ' ' l 1 . s I'
A. Voss: Üeber die coffrediente Trcuuformation ete.-
11
wobei
^«„<'..=i^^^., «,."..
die Elemente b^^ einer symmetrischen Determinante und die
nach 6) die völlig willkürlichen Elemente einer schie- fen Determinante ^*" Ordnung sind.
Setzt man endlich die Determinante der /* + 1 Gleichungen
x, + §, = 2k2B,^v^ gleich Null, so ergiebt sich
0 =
^. + h
-%i^i
Aus dieser Formel gewinnt man die Darstellung der §^ durch die x., sobald noch vorausgesetzt wird, dass die in völ- liger Analof^ie mit den Cayley 'sehen Formeln auf- tretende schief symmetrische Determinante
9) ^'--^Ko^nKo\
«, ö= 1, 2 . . . .», {)<n <n
nicht identi:?ch verscliwindet. Für den Fall // = h ergeben sicli die Cuyley'schen Formeln selbst.
Zur Uestimmuiig der Anzahl der willkürlichen Para- meter, von dent'ii die Cneflicieiiteu der Tnuhsforniation ab- hängen, genügt tnlgende einfache Uetruclitung.
Die ('(iL'flicionten a , deren Zaiil u ti ist, sind zwar will- kürlich, aber nicht alle wesentlich. Denn man kann durch eine lineare Transfornmtion
C = ^;' /r
12 Sünmg der math.'jihys. Claue vom 4. Jantutr 1896.
vermöge der die Gleichungen 3) übergehen in
bewirken, dass fj} der Grössen d^^ willkürlich, aber fest gegebene Werthe annehmen. Setzt man nämlich
80 kann man für die Indices X; stets solche ^ Werthe
ff] ff| . . . A„
atiRWählen, dass die Determinante der Gleichungen 10) Ton Null verschieden ist Demgem&ss sind von den nfi Grössen d^^ oder Oj^^ nnr (n — fi)ft als wirklich wesentlich anzusehen. Die Wahl dieeer willkürlich bleibenden Parameter kann noch auf mannig- fache Weise geschehen, insbesondere kann man z. B. die a^^^ dem folgenden Schema entsprechend ansetzen:
|
^.. |
0 |
• |
. 0 |
|
^. |
i.. |
• |
. 0 |
|
Xyj |
K- |
12 |
. |
|
0 |
K, |
■ |
• |
|
0 |
0 |
• |
• |
0 0
"v/i
welches n horizontale und n verticale^Heihen enthält.
Hiermit ergiebt sich als Gesanimtzahl der in der Transformation auftretenden Parameter
(« -f*)f*-i-
2
. "iü^i) _ ("— /OJ" — A^ — 1)
"9. o
A. Voss: üeber die cograUenU Transformation ete. 13
welche Zahl für ^ = n, fi^n — l ihren grössten Wexth, näm- lich — ^^ — ^, annimmt.')
§3. Die charakteristische Function der Substitution. Die charakteristische Function
erhält man ohne weiteres aus den aufgestellten Gleichungen für die x und ^. Hat man nämlich
wo «;,... w^ irgend welche Variable sind, vermöge deren sich die ^ als Functionen der x ausdrücken lassen, und setzt man zugleich
so ist oder
^<=^^c,,x.
^<^i.P,k = U
-('^..H-eOP.* = ?/* + eP,
ik
Hieraus folgt, dass die charakteristische Function durch die Gleichung
-f^(e)|p.-t| = |«.-*-i-ep.-*|
gegeben ist. Da nun nach den Gleichungen 7) des § 2
l==k:sn^v^-i^ß^^v^-x,x\^...-x^x:
1) Für /t = 1 erhält man z. B. die bekannte, bei f^radem n un- eigentliclio Transformation
wo
zu setzen isit, mit ?i — 1 willkürlicben Parametern.
3CL Bo vizd die chankterisäicbe FvDctäon ä:;7vb ci« Determiziaxite
**'„''-^«>-*.^un-«)...i-a^ii-T^;-ii.,(i-*-.xt.e-ii..jj".e-i.»
aQig«iiir>kt. Cm sie in eine eisfadiere Form za bringen, molupiidrt m^o dieöelbe mit der nicht Terschvindendeo Deter- ininuit^
«, . - - o. -
er. . . a
' yi ■ yl
in der die y völliii willkürliche *.Tr~»s-?en t.-e'ieuten. Man erhält
dann, f-iü.^
^x'i t/{ = ig Ol: 0.0 = 1. J . . . )
zur AbkQrzune gesetzt wird, unter BerÜLk*ii;ht:i.'iinp der Kor- n.»-l!; 1 '■*^ ö - -'ji'vrt die (T;.,'i^:.-:r.ff
WO iwiter Cj ■- die Deierminant«^
illi . Ml i
■i 1 ( ■> j t
ur.T'-r // (:- dag"-_'..-n dj-- Ii<'tt-riijii;.i;.r'.-
/'-..'l -(/'— '-y;:*! — (" ■■ /■''■„' 1 -ifl "-';'-,,* l—o'
^■''u: 1--',' — ^K: 1-e ■- /.''„., i-rt^ -'^■^.,.*i e)
^öHf: (fekfr die eottrftittttte Trnn»fm'matmn etc.
tn vei-iituhep ist, wobei die letztere nun lien ira g 2 ein j^c führten Klviuvnti^n 6^. mtiw sjuitüetrl^hen ^ sonio den witlktirlichon Klementen p,, eines schiefen Systems besteht.
Aus d«r angegebenen Formel folgt tHr q^w
also endlich durch Division
W-
mithin för ^ = 0 wegen £/(0):=ii,
WOrdis man Übrigens die Yarinbeln t anstatt der / in der gauz«u Dar4ullun^r bevor^u^t hnheii, h<> erhült mau eine cha- rakterttfUiiche Function F' \o) von der folgenden Korra
iiit. m das« «ach
i.-o — (— ly
wird.
Hieraus folgt: Die charakteristische Kuaction Fiq) der Transforinatiun hat die v — ;i fache Warzel ^=»1, für die noch die n~/i~l^° Unterdetermirianten sämmt' lieh verschwinden. Versrbwindet aho die Det^raunaote B der /vi nicht, waa 7on der Wahl der l'arameter a abhängt, so ist diew Wurxcl auch nicht iu höherer Multjplicität vorhanden, |, h. die 7;u ihr gehörigen Elcrnentartheiier ^^iod alle ^einfach. Wenn diigegen Jena Determinante verschwindet, oder Oberhaupt der VVurselfactor l — g in höherer I'otenx auflrilt, wird die Vertheilnng der Klementartheiler eine andere» so lange |ber Überhaupt die a den ^ ;- 'üiißn VorauKnetzangen genifiu pwähtt wcrdt-n, Icjinn diw \ .nden der Unierdt-tiTuiiniinten-
■ysteme sich nicht auf einen höheren als dfln angegebenen Grad crntrecken.
16 SiUnng der math.-phifs, CUuse vom 4. Januar 1896.
Die Determinante der Transformation ist ( — 1)*"'*; man erhält also uneigentliche Transformationen, so oft « — n eine ungerade Zahl ist, also insbesondere (ür fi=^n — 1 die
von — - Parametern abhängigen imeigentlichen Trans-
fonnationen.
£8 beweist zugleich die angegebene Darstellung nnter Be- rQcksichtignng der eben gemachten Bemerkungen die folgen- den Sätze:
Verschwinden bei eigentlicher (uneigentlicher) Transformation die n — fi**° ünterdeterminanten für die Wurzel e= 1 nicht mehr, während alle n — fi — 1*" noch Null sind, so ist n — fi eine gerade (ungerade Zahl), und analog:
Verschwinden bei eigentlicher (un eigentlicher) Transformation die n — ^*^ Unterdeterminanten nicht mehr für die Wurzel ß = — 1, so ist ft eine gerade (un- gerade) Zahl.^)
^} Ein anderer Beweis dieser Sätze, welcher lich der von Herrn Frobenius ermittelten Eigenschaften der Elementartbeiler der Trani^- formation bedient, ist folgender.
Bezeichnet man die ru p = l und p= -1 gehörenden Elementar- theiler durch
Xi Xj ... x^
k\ K2 ... frj 90 ist bei eigentlicher Transformation (bei uncigentlicher gelten ganz ähnliche Betrachtungen)
«1 H"^2 ~h ■ • ■ ''r ^i°® gerade Zahl und «, + ^2 + ■ ■ ■ «r + ^'1 "H ^'2 "T ■ ■ ■ ^\ + 2 ni — n
wo m die Zahl der reciproken Wurzelpaare brdeutet. Sind nun die Elementartheiler mit ungeraden Exponenten
"1 M • • • ^'0
so \st die .Anzahl der übrigen Klementartheiler y, Je Jedentaltn eine gerade. Daher int auch o eine gerade Zahl, folglich die Anzahl « di-r Elementartheiler von der Form ij — 1 aeUiHt eine gerade. Daraus folgt dann aber, dass auch die .\nzab] der Elementar- theiler fc ebenfalla gerade sein uiuss.
Ä. Voss: Ueber dit cogrediente Transformation ete. 17
Einige Bemerkungen über die im vorigen auftretenden Determinanten mögen hier noch ihren Platz finden.
Die Determinante ir.y ist immer ron Null verschieden. Denn wenn sie verschwände , so würde bei völlig beliebigen Werthen der y der Ausdruck
für Werthe der y^ Null sein müssen, die von den y unabhängig sind; dies ist aber nur möglich wenn
^^7^ = 0
ist, was durch den Charakter der xf ausgeschlossen ist. Ver- steht man unter to« die aus tOg entspringende Determinante, welche entsteht, wenn man die v Reihen der y durch die x^^ ( = 1 ....»■ ersetzt, so ist
4) w^w^=Qw^^
wenn unter Q die ft reihige Determinante der Grössen
2 a, a, ^ q
verstanden wird. Und bezeichnet man mit P die aus lo^ ent- springende Determinante, welche entsteht, wenn man die // durch die Grössen
ersetzt, so erhält man leicht die Formel
WO nun B die symmetrische Determinante der hr, bedeutet.
Endlich ist auch noch 6) P*J^'^^BX
wobei X die v reihige Determinante der Grössen
JSxe^'fl.,
IHM. Hath.-|iliya. Gl. 1.
18 ataif Ar ■■m jlji Omm m C A
DoRh DhiMB TOB 5) od 6) feigfc abo
HiamiH tqplit >>cl>« da» die Deierminftnfce «b nur
■it Qt und daas die eymaetrisclie Dctermimuifce B nur ■it X Terscb windet.
Die im Tongen enfcwiekdln Fonndn HefSam nUe Pu»- ■äMiTeiihillmu^iii der TramAimaftioK in sich aallMt ohne Gteni- fibagtnge. Dabei ist die VariaUe I (t) beronagi, und dieeem UniUode entopriclit es. dass die Wavad f «* 1 ninichst in hSkenr YidfiMhlieit auftritt Es iit indoKu leicht, die be- Midiien Bedingungsn anngeben, unter denen F{f) aneb die Wand «» — 1 erhilt
Nach den Deuieikuugen in § l kann dies nur dann der Fall sein, wenn aoeb die r einem Syelem lineanr Gleichungen genOgen. Sind also genau x von einander nnabhingige Rdi^ ftmgn
Torbanden, so mnss nach § 2, 7) wegen der Willkariichkeit der Vr und i.
sein. Damit ei^ebt sich aber
''. = ^<'.,*, r=l,2...,. wobei die Grössen h^ nun den Uleichungen
oder
genügen mOsseu. Giebt es nun x von einander unabhängige STsieme der A^, d. h. verschwinden noch die x — !*•■ Unter- detenninant^n der schiefen Determinante der p so ist
A. Vau: Üelter die eoyrtäittite Transformation etc.
10
oder
mt\m dii) w, willkflrlicho Groosen bed«uton.
l nd dli«Mer Ausdruck reiträäentirt genitit x nnabhängigf» Systeme von (Irössen rf^.
Beataade nämlich eine Relation
nnch S 2, (unter 8)
d. h. die A^ wären Regen die Voraussetzung nicht von einander unabhängig. Es wird aUo die charakteristische Func- tion F{q) för e ■= — 1 noch mit sämmtlichen x — 1*** UnterdeternuTiunten vernohwinden, wobei e-^ von Intereexe acheJDt, daas dieser Charakter derselben lediglich durch die Wahl der ßlemeute jv, aufgeprägt werden kann.
Die Foriueln dieses % ergeben aWj eine nach der Anzahl der Elementartheiler, welche zu p=-f 1(^ = — 1) ge- hören, ausgeführte Classification der cogredienten Tranaforma- tiooen, and twar so, duaa innerhalb jeder Closse genau die nothwendigc Anzahl willktlrlicher rationaler Parameter vor- banden ist. Keine dieser Cla&seu kann aus der anderen direct abgeleitet werden : dagegen ist dies durch tireuzfibergänge immer mtVglich. Denn die eigentlichen Transformationen bilden ein irredncibeieB System, d. h. jede noch m specielle Trang- formafcion dieser Art kann durch einen derartigen Proce:« aus der allgemeinsten der Gattung hergeleitet werden. Setxt man andererseits irt^end eine bestimmte ntieigentliche Transformation mit einer anderen dieser Art zuf^aninien, so erhält man immer eigentliche Trnimfurmationen, und hierawi folgt« dui« auch alle uneig«*utlichen Transforroationen aus der allgemeinsten ihrer Art durch Grenzübergang gefunden werden können.
20 Mwfy ibr wflfc. jfcyt. Ohttt vom 9, Jamumr 189$.
9*-
Die eogrediente Tranaformation der alternirenden
bilinearen Formen von nicht vertehwindender Deier-
minante in eich selbst.
Die IVansformation der alternirenden Formen von nicht ▼eraehwindender Detenninante Hast sioh nun in ToUstftndiger Analogie mit den Beohnnngen der g 2 nnd S in wenigen Worten ansfUhien.
Setrt man in den Bedingongagleiehnngen 10) des § 1 Toraus, dssB
ist, and seist man ferner
80 rednciren sich die beiden letiten Gleiehnngen 10) auf die eiBsige Gleichung
welcher man in derselben Weise wie in § 2 durch die Annahme
2) «"^^i
< =1,2. . .ff
genfigt, wobei die Coefficienten a^^ in derselben Weise wie dort eingefQhrt werden. Die noch fibrig bleibende Gleichnng 10) § 1
sagt femer aas, dass die Grössen
ZU einer ajmmetrischea Form gehören, die völlig will- kürlich angenommen werden kann.
Unter den angegebenen Voraussetzungen wird nach § 1, 9)
A. Vau: Uebgr die eoffredienle TVaiuformation ete.
21
Nun ergiebt sich aus den Gleichungen 3) zunächst durch Multiplicatiun mit a^^ und äammfttion über i
[oder, wenn man zur AbkQrzung
*=I,2 . . . w
t setzt:
2z,a„~S(kS,, + XlJv, + 2i,p„a„.
MulfcipHcirt man jetzt mit den a^^ und suuimirt Über /<:, so [ergiübt sich, wenn man an Stelle von
-^B..".,^
■ 2 a.^a.a,
'ik »■ " kr
[die Elemente einer alternirenden Form h^^ setzt, wäbreud die
durch die Elemente s^^ einer völlig willkörlichen syra- metriächen Form ron /4 Variabein vertreten werden, zu- folge der Gleichungen , denen die p^^ genügen mOssen , das olgende System von /' + 1 Gleichungen
Paus dem man durch Elimination der v^ die Gleichung
*/*
2ka,
'AI
•*^
22 Sittung der wuUk.-phif$. Cla$»e vom 4. Janmar 1896.
ableitet, welche die Darstellang der % durch die x gestattet so- bald die Determinante
nicht identisch Terschwindet.
Die Zahl der willkQrlichen Parameter ei^ht sich auf demselben Wege wie in § 2 gleich
M-hi) + („_,)„
2 2
und diese Zahl erreicht ihren grCssten Werth ftir fi^n. dem «allgemeinen* Ton Herrn Frobenius behandelten Fallet*
Auch die charakteristische Function erhält man in der nämlichen Weise. Unter Anwendung der nämlichen Bcieich- nungen bat man
F^e^jw^p^^ = (-i)-'-''(i -e)-^HCe)ic,,
wo
wieder eine h reihisre schief-symmetrische Det^rminanie ist. Hieraus t'oliit fiir p = x
mithin
;tl>o Üir o = <•. weiren
r= F =■— 1."
Oie n«'ti'rniin:inte der Tr;i:;>l'.irmation i^t daher :iii!HT c'tMi li -J-l. ti. b. iie Trar.>f'.'rn:ation eine eii;eut-
K : . ■ 1 *i;.i; n;»r. .. H. :;o ^ jT-iirn'.e Tracsiormation
' - 'i l i \ y
iiitt .1. :. r.i;a^;-.i!i'Mi .i
A. VoKt: üehcr Ae cögrtäienlt TrannforntUitm He. 23
liehe. In der Thai lü.tst ja aueh eine alternireiide Form von nicht verschwindender Determinante überhaupt keine uneigent- lichen Transformationen in eich zu.
Man erhält auf demselben Wege, wenn man die Variable % bevorzugt, die churakterietische Function
WO
^'(e)=(i+€)-'*^^'
//'(e) = l*5,.(i+?)-6„(i-e)|.
Ueberhaupt kann man hier fast alle die zu Ende des § 3 gemachten Bemerkungen wiederholen. Ist z. B. ju eine gerade Zahl und verschwindet die schiefe Deteruiinante der h^^ nicht, so hat die Function F{q) die m — ^t fache Wurzel ß— 1, zu welcher nur einfache KLeuieutartheiler gehören. I&t dagegen ft ungerade, so verschwindet jene Determinante; die Eleraentar- fcheiler können daher nicht mehr sammtHch einfach sein. Es giebt aber die Transformation der altemirendcn Farmen noch zu mehreren anderen Bemerkungen Veranlassung, auf die ich bei einer anderen Gelegenheit einzugeben beabsichtige.
24
Sittong vom 1. Februar 1896.
1. Herr RoBEBT Habtig hält einen Vortrag: .lieber den Einfluss des Druckes auf die Ausbildung des Holzge- webes bei den Nadelhölzern^ insbesondere der Fichte.' Die Untersuchung wird anderweit zur VeröfiFentlichung gelangen.
2. Herr Hooo Seeliqeb legt mit erläuternden Worten eine Abhandlung: «Ueber die scheinbare Yergrösserung des Erdschattens bei Mondsfinsternissen* Tor. Dieselbe soll io die Denkschriften aufgenommen werden.
3. Herr Febdinand Lindemann überreicht eine Mittheilung des Herrn Alfred Löwy in Göttingen: .Bemerkung zur Theorie der konjugirten Transformation einer biline- aren Form in sieb selbst." Herr Lindemann knüpft daran einige Bemerkungen: ,Ueber die uneipentlichen linearen Transforniatiuneu einer quadratischen Form in sich.*
25
Bemerkung zur Theorie der konjugirten Transfor- mation einer büinearen Form in sich selbst
Von kifrtd tUwj in GOttiogen. Bformirt man die bilineare Form :
ISSN k=n
deren Deberoiinante. wie im Folgenden stets angenommen wird, nicht vorMhwinddu soll, durch die zwei Substitutionen:
;>!
y.^EPi, '/,»• = 1.2. .«
eine andere bilineare Form, 8o hetsst eine derartige Tnuu- fomiation nach Jakobi konjiigirt. Mit der kunjtigirten Trana- formation einer bilinearen Form in nch selbst bat sich Herr Voss in einer in den Sit/ungs berichten der Milnchener Akademie (Sitzung vom I.Juni 188U) erschienenen Abhandlung*) auf doa Eingehendste beschäftigt. Diese Note ist im Anachluäs an die erwähnte Arbeit jenes Qetebrben abgefaast worden. Ordnet man der linearen Substitution
'I Teber die konjOK^He TraoiformatioQ einer btlineoren Fom in Hlbtt: Sitmagvbericbte der math.-pfa^s. Klasse, Bd. 19, p. ITA ff.
m
26
Sitiung Her mtUh.-phyi. Clocte vom i. Februar 1896.
die bilineare Form P = ^p^iX^y, zu und bedient eich der tod UcrrD Frobenius in die Theorie der bilineflren Foriuen einge- ftthrten Symbolik*), so wird die von Herrn Voss a. a. 0. be- handelte Aufgabe symbolisch durch die Gleichung:
PAP = A
dargestellt. Wie Herr Voss nachweist, lässt eine jede bilinearc Form Ä TOD nicht verschwindender Determinante, vurausgeaelz Aasü dieselbe nicht etwa in ßer.ng auf koatragredienie Trans formationen irreducibel ist, von der identischen Substitution ver- schiedene konjugirte SubätitntioDen in «ich zu.
Die Transformationsdeterminaate bat bei der zu betrachten- den Substitution aieU den Wert -f 1 oder — 1, nnd dement- sprechend unterBcbetdet Herr Voss auch hier swischen dgent- lichen und nneigentlicbeu TransformBiianen. Bezeichnet man, wie es Qblich ist, die Deteriuinaote der bilinearen Form :
wo (i einen variablen Parameter bedeutet und
ist, als charakteristische Funktion der Form P, so erhält man sofort folgende Ergebniaee :
Das Produkt aller Wurzeln der cbarakteri&tidcheD Oleicfanng \P~ g E\^0 besitzt den Wert + 1 oder — !, je nachdem die TransformatioD eigentlich oder uneigenttich ist. Da die charakteristische Gleichung nur reciprnke Wurzeln ausser den Wurzeln +1 besit/t, §o tnuss bei uneigetitlicher Transfonnatiuo die charakteristische Funktion stets die Wurzel — 1 eine un- gerade Anzal mal besitzen.
Nach diesen Vorbereitungen stellen wir die Frage, welche uns hier beflchftfligen sott.
*) l'rofaenini, Uaber lineare Sabrtittition«!) omi bilioeare FiHrmsii. Jcrnm. f d. r. o. rnng. Hntli. Ud. 8t. p. l C
9h-*/: Thcarie dar konjuffirten lyanafonantion ele. 27
Man soll, irenn eine bilineara Form A von nicht ver»chw)ndeiider Determinante gegeben int, autt ibrum Charakter entscheiden, ob »iu nur eigentliche oder so- wohl eigentliche wie nneigentliche konjugirte Trans- formationen in sich xalässt^)
Das Resultat, zn dem wir gelangen, zeigt wieder, wie gldcklich und vorteilbuil gewählt die von Caucb}* Btamniende .charakteristische Funktion" und die von Weieratrass einge- ftlhrten ^Glementart^iler" sind. Wir finden folgendes Ergebnis:
Damit eine bilineare Form A von nicht verschwin- dender Determinante sowohl durch eigentliche wie un- eigentliche Traiisfurmationeu konjugirt in sich fiber- gehen soll, ist notwendig and hinreichend, dass die charakteristische Funktion \A -^E^ von yl wenigstens einen £lonientarteiler mit ungeradem Exponenten be- sitzt. Die AnsBugen, das» die cUarnk teristiche Funk- tion einer bilinearen Form nur Blementarteiler mit geraden Exponenten besitzt oder dass die bilineare Form nur durch eigentliche Transformationen in sich Obergeht, sind daher identisch.')
Zum Beweise bedenken wir, dass ähnliche Formen stets durch ahnliche Substitutionen konjugirt in sich übergeführt werden und dass älinliche Transformationen ^iets Det«rminanten jFon gleichem Werte ha^en. Hieraus folgt, dass ähnliche Formen in gleicher Weise entweder nur durch eigentliche oder durch beide Gattungen von Transformationen konjugirt in sich Qbergehen. Hat die charakteristische Funktion | A — 9E\ einer Fonm A die Klfmi-nhirtoiler :
') Vgl. Frobeniai, Usber d!« scbiefA tiiTariante einer bilineareo
'od»r qaftdrstiachoD Form. Juurti. f. d. r. n. ang. Uath. Bd, 86, p. \A.
'*) Bine bilineare Konn A, welche eine unKerade Antahl von Vari-
abtcopoaren beiitit, bat itets «iDeo Klementuteiler mit oogeradeni Ex*
DoenlcQ, dft die Snmiiie aller Klenientarteiler gleicb der Ansahl h von
rariAbleapaaren \A. Eine dcrarLif^ Form geht aniebtUch darch die
Traut formatioD — f; »on der Detenninaate — 1 in iich Ober.
wo fi di« Antthl ron Variablenpiareo der Korm A Mt nad einselo« a und a aach oot«r einander gleich «erde» kfinneBtj •0 Ml ji der Foto:
°i (*i Vi + *.yi + • - *.. V,.) + (*, y, + *,Ä 4- . -*«._, »J + ,
ihnÜdi; die Ictxtere Form wtrJ anii dorcb die SufasÜtotioDen : *i ■■ »1 J *i ^ ?i ' • ' *a. '^ >«, • *a4+I **
konjnfprt in sich Obergeffibrt. FDr ungerades a^ ist diese Tnins- formatioii iinei|;entlich. Jede bilineare Form, deren efa&rak- terinttscbe Funktion einen Ktenientarteiler mit ungeradem Kx- ponenten hat, läast also nneigentliche konjngirt« Transforma- tionen in «ich xn.
Wir wollen nun annehmen, dam eine bilineare Form A Vau nicht ver^hu-indeniler Detenninant« durch uneigentlicho Subsiiiii Honen konjugirt in sich flbergebe; m set al»o PAF^^A, Da P eine nneigentlichc Transformation ist, so hat die cha- rakteristiHche Funktion i!'(g) ^ IP —q E\ den Faktor (ß -|- 1) eine ungerade Anzahl etwa p mal. Es sei (/'(9) zerlegt in i/r(^) ^ ixi, (f) i//,(^), wo 1p^{(f) da« Produkt oller derjenigen Klemontarteiter ist, die fllr p^ — 1 venfchwinden; t^,(c) hin- gegen vemchwindet nicht für p = — 1. Wir konstruiren uns liann eine bilineare Form P,, welche nur die p Variablen- PftM« JP|y,t s^Jft .. z if bat und dieselben Elementarteiler wie V'i(c) bawtat; ebenso möge die aus den Variablcnp«aren
^l. jAhcjf: Thturir der lMi\juffirte» Traruformation ete.
20
t^, y^j - . -z^ y„ koDstniirte bilineare Foriu P, dieaelben Kleineu- Urteiler wie i/',(p) aafweisen. T*q = Pj + /*, ist dann der Korn» F ähnlich , da beide Pormen die nämlichen Elomentnrteiler haben. Aehnliche Subäiitutionen führen äfauliehe Formen kon- jngirt in sich Über; daher giebt es eine zu Ä ähnliche Form ^«, da»
*A"ft * « — ^n
Srd. SeUt man
äO ist
Da
^=-i:a^.y, = A^, + ^..
E,A,E, = E,P,A^P,E, = P,E,A^E^P,
wird , BO folf^, don £| ^ £| identisch verschwindet ; denn diese Form wird durch zwei Substitutionen i', und P,. deren charakteriäli&che Gleichungen keine recipruken Wurzeln haben, in sich fibergeführt') Ebenso zeigt man das identische Ver- schwinden von E^A^E^, Hierauj» ergieht sich, diu» A^ in der- selben Weise wie Pp zerlegbar ist, also A^^^ A^-\- A^,
Die Form A^ hat mithin auch eine ungerade Anzahl Ton Variablen paaren, und daher hat die charakteristische Funktion roa Af nämlich | ^4, — qE\ wenigstens einen Klementarteiler mit un^eradt^m Ex|>anfnten. Folglich bntitzt aiirh die charak- terijiiiächf! Funktion tou ^q näutlich A^^^qE] wenigstens einen Elementarteiler mit ungeradem Exponenten; denn die Elemeutarteiier von ^ A^ — e^\ s\n6 da^ Produkt derjenigen fon \ Aj — e E\ nnd A^ — P ^ '■ Da die chnraktcristiscben Funktionen von A^, und Ä dieselben Kiemen tarttiiler haben, so ist unser Satz bewieeeu.
*) Frobcnins, Joarn f. d. r. ti aoff. Halb. Bd. 84, p. S3.
81
üeber die linearen Transformationen einer quadra- tischen Mannigfaltigkeit in sich.
VoD F. LlodeniuiD. {XtHftla^iti 7. Min.)
Trotzdem von Cayley allgemeine Formeln für die Tratw- fornitttion einer Summe ron Quadraten in sich aufgestellt waren, und trotv-tiem Herr Frobenins*) diese Formeln von der Lage des Coordi^atenäy!^tems unabhängig gemacht bade, war die Auf- gabe, all« linearen Trunsformationen einer quadratischen Form in äich durch Parameter darzustellen, doch noch nicht erledigt^ da sich die uneigentlichen TraDäformatiooeu jenen Formeln entzogen. In den von mir hearheilet^n ^ Vorlenungen Über Geometrie* habe ich diese Lücke fUr den Fall von vier homo- genen Viiriabehi ausgefüllt, und Herr Lowy hat entsprechende TJeberleguugea für beliebig viele Variable angestellt.') Neuer- dings hat Herr A. Vos»^) dieselbe Aufgabe in anderem Sinne geirxtt; Zweck der folgenden £nt«icklungen i«fc es, die L&wy'- Bchcn Formeln so umzugestalten, dus ans ihnen die von Herrn Voss aufgt^tellteu Endresultate hervorgehen. EU bietet sich dabei Gelegenheit, jenen früheren Untersuchungen manche er- ganzendü! Bemerkung hinzuzufügen. In Betreff der Litteratur sei auf jene Arbeit des Herrn LÖwy verwiesen.
') Crene's Joanwl, Bd. 84.
') L'eber die TraciforniKtioaen einer r(iiadratitchen Form in lich «elbat, Nor» Acta ticr Knis. I.eop.-Carol. DeotscheD Akademie di^r Natur^ foncber, Üd. LXV, HaMf 1891) (loaugurftl- Dinertation der Univerftitftt M(Uich«n}.
') Siebe SittungibericbLe vom A. Januar 189G.
w^ ^^"Miiiy fl^r MflB«>*]M)Ws
PI, 1, }iwk der Tön mir P^ Gt^ley'äciiea Formeln ftr £0 efoer P^he rweiter Ordonag in tkk m iar «l%MMiMB Fro- betiias*deh«n Fonn^ weuB mmi nni PukI» I md « bilaaUil^ i^die kanuNuaehe PoU m Boig anf fis giyhaw IMAb
I sind, und deren VerbinduDfiKaiii fif tUA» jtt ^WifbaklMe i ^ aod £ trifft, welche aus einmkif :4mk:9^
formadon herTCirg«hea. Die ÜBMra BeHnkUff wM
b
benp3Bt«Ut. das mas I abPdt MBer Bnba « m BMlig aaf ^
Hiebe (1> b«tracbt«t. r aber ab dn dieMr
wiilfcBilkli— loMmn Con^oie ngeofdnateB Pokfc, m ^am
Ä ».- «n % + «rtS + «rtS + «««4«
«• J^^ fie VateMnuMDtai der c,^ bedeolan. «ÜbcmI vt i^te~a^ wSSkSA^ PnuMfar boBBÜhnefc wiiiiiM. Die ftiffiAi «igwiUinlie Tnnsfonintioii ist dann dordi die Qlö- diaagea
(4) x,= x<,+ Ir , l,= x<, - ir
daigmldlt, aos wdeben man die Grflawn m^ za dimiainB hat. Zq dem Zwecke bildet man ans (4) darch Addition:
(5) *. + f. = 2 X (4,, «, + ^,, «, + J., «, + ^,, «,).
Hieraos and ans den enlai rier Oleichnngen (4) ergibt flieh durch KKmination der «.:
|
«I |
I>ll |
Pa |
P» |
Pu |
|
*. |
Ptl |
Pn |
Pt» |
Pu |
|
*» |
Pn |
Pn |
Pn |
Pu |
|
•»i |
Pu |
Pu |
P** |
Pu |
|
+f. |
2k^ |
2xA |
2xA„ |
2xA |
(6) ' *» P« Pn Pn Pu =0.
F. lAndemann: lieber die linearen Transformationen etc.
33
Für t = 1, 2, 3, 4 sind hierdurch die £. mitteUt der x^ aus- gedröckt; es ist P^» = ^t-^,* + ^«^^ gesetzt. Die aufgelöste Transforination erhält man durch Ersetzen von 7i A.^~\- Xa.^ durch X A^j^ — A «^j.
2. Während die Punkte t bisher beliebig waren, müssen sie durch lineare Bedingungen beschränkt werden, um die uneigent- lichen Transformationen zu liefern. Durch diese Ueberlegung geleitet, habe ich die letzteren a. a. 0. in folgender Form auf- gestellt, in denen zunächst die Punkte t auf eine Ebene v, die Punkte T auf eine conjugirte Ebene w beschränkt werden:
(7)
1 d^
Hier ist tj der Pol der Ebene v; f = 0 ist die Gleichung der Schnittcurve dieser Ebene mit der Fläche (1) in Ebenen- coordinaten t/, so dass
«. Vi
M, r.
(8)
ip =
■•sa
=*43
|
"3 |
'i |
|
"4 |
«4 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
Die Punkte t erfüllen eine zu v conjugirte Ebene w^ die folglich der Bedingung
(0) iJi:^,^«. «;, = ()
genügt; und (vtvn)^ ist der Factor von w^. in der Determinante ^ -H Wj t'g R'5 u^. Miin künnte zuiiäclist versuchen, die Punkte t ganz unbeschränkt variiren zu lassen, also zu setzen:
^, = ."' (»■' »t'' "), -f- ."" (f w" ")y + V T]..
ItiM. Mith.-phj8. Cl. 1. 3
(
»ne dea ßflscbels ft* tc' -|- /i" ir"^ welche tlurcb A*ge1it Die Punkte t «ind 11I40 in der Tfaat an I be gebanden.
I lühgen {7) sind dien Olptchunj^en (5) darin ^;pnau
n ie Xf und |^ durch HuiriKvariabie u mit pinander
I iung gesetzt werden. Herr Voss eJistr**bt r. m. 0.
t Äufütellung einer zn (G) anHloffen OIpichiiti^T' l^ioö
re ergibt sich in der Thftt durch Eliminatitm der u^ mw
acn Gl«)chiiogen (7). leb butte a. a. O. diese Elirniiitilion mit
HUlf« derjenigen beiden Ebenen bewerltiilelligi^ welcbo dem
durch die Hibenea r und w be^limmton Büschel aiifitebGren und
diij Flucht} (1) b«rlllbr@xii mnfacber füiirt. der folgende Weg
zum Ziele.
Setzen wir m bäkannfer Weise
80 ergibt sieb aus (7):
(10) «'.= »'^.
denn es ist offenbar
Sei ferner
so erscheinen die ersten vier Gleichungen (7) in der Form
(12) x^ v^ - j;^ t>, — r^ S (x W^^ + A y^ J h^, und an Stelle Ton (5) haben wir:
(13) ;t, + S, = 2x (f„ «, 4- * s «j + fn «3 + "^a ".)■
, i^. LimdetHnnm Ü^tr dis HHeartn Tfanvfbrmaliontn He.
35
(14)
fe^tn der Hchoo bei Ableitung von (1 2) benutzten Relationen
ist von (Jen vii*r GIeichunR<"n (12) pine die Folge der nbrißen; aus diesen Ülcicbun^en (12) und oiner Gleicbutig (13) ki'Mtneu die w, nicht unniittelbur durch Di^lermiiiaiittmbildiing eliminirt werden. Wegen der ReUitione« (14) ündern sich weder die jeichun^cn (12), noch (13), wwnn man «^ durch M^-f-/"'» ^r- Itzt; ilnrch pa^^eiide Walij von /' kann luati ^ ^rrt^ichpn, dasfl dicM Kbeoe u -{- fiv durth den Pol */ von v gebt. Wir klinuKn daher annehmen, dass die in (12) und (13) Torkommenden Khi:nen u alle durch r; hindiirehgeheii, d. h. nur eine zweifach nnrndlicbe Mannigfaltigkeit bilden: und dann bat die Bliminution keine Schwif'rigkeiten. Fügen wir nämlich die Bedingung
(16)
E «, 'V. = ^
hinxu, so ergibt sieb aus 3 Gleichungen (12) und einer Glei- ch uiig (13)
(16)
|
'l^■ |
-';i''. |
x¥'„ |
• |
xV^^ + iVu |
|
|
V,- |
-Vt^. |
'«'^..+^9.1 |
xV„ |
- |
<%i + ^9n |
|
*.«•,- |
-%", |
*'^,i-^^9u |
^%. |
«^^M+^9»* |
|
|
»,1«- |
+^.) |
2x'P |
2KV |
2xV„ |
2x»f,, |
|
( |
) |
'^i |
*?! |
'<'s |
'/« |
0,
Ifldem man aus den vier Gleichungen (12), einer Glei- chung (13) und nur* (15) di« GrfHeen r^, v^ ond u^ eliminirt. erhält man diia-elhc Ri.'^nltat in der mehr svmiut'tmcheii (iet^talt:
ri7i
|
'il |
■^. |
i^ii |
/»it |
Pu |
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|
'/■ |
a^. |
P« |
/'n |
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|
*i» |
*. |
Ptx |
/'w |
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fM |
|
*u |
X, |
/\l |
/"u |
i»«» |
fu |
|
0 |
^i-^^i |
2xV„ |
2x^,. |
2x^,. |
2x |
|
0 |
0 |
11 |
«:. |
'/• |
% |
*\
'0.
8'
36
JS'ifrMf^ der ma^.-ph3fg, Clem« vom S- Fdtruar 1690.
wo
f**
f..+H
V**
'0.
«,
^1'
■ffl
Ci
'V,W,
(■"*
■ w. t'i
;^*'
Die Gleichung (IG) oder (17) tntt »n Stelle von (4); sie hat mit letzterer Gleichung die Eigenschaft gemein» dasa in den Eleoienten p^^ die Facloreö toü x fiir eich eifle Bymraetrische, die Factoren roQ l fUr sich eine windBchiefe Determinante bilden.
3. Aof letetere Eigenschaft legt Herr Voss a. a. 0. be- sonderes Oewii^ht. Um aber doä gefundene Resultat in die Vöss'ffcheFonn yja briDgen,^ sind noch einige UniformungeQ nötfaig.
Die in (12) und (13) vor komm enden Ebenen ti bilden einen Btlndet, da sie an die Bedingung (15) gebunden wurden ; die Courdinaten i*^ können daher durch diejenigen Ton drei festen Kbenen w\ uj^', w"* und durch drei Parameter f^^, ^j, ft^ (ter- när« Cüordinaten im Bündel) ausgedrückt werden, &o dasa
(18) tt^ = ^j w) + ^j »;' + fij w]".
Führt m»n dieae Wertbe in (12) ein, raultiplicirt b«zw* roil w), w^, ^i' and addirt» so ergeben eich die drei Gleichungen:
(19) w'^ = ^i^ JT^ 4- ^, ?rta -t- ^8 ™«*
wo zur Abkürzung
(20) «„ = xP,, + iC,., P,. = SSf„«KO«^') = P,^,
«,» = £ L ?„ <" w<»' = - e,.., «,, = 0
gesetzt ist. Die Elimination der Grossen ju,, fi^^ fi^ aus (19) und (13) ergibt endlich:
(21)
»_
w_
tc.
TT,
ff,.
?r.
^11 '^M ^«^W TT., «:„ TT,
Sl ''81 "88
==0;
nn.' Uebtr äi« Untartn
v^üÄmnM «Ml
37
hierin ist: /7^^^2x
f^^io<''\ Diese Utzte Gleiohoag ist
mifc der tod Herrn Voss fQr diesen Fall aufgestellten identisch. Die Elemente /r^^ setzen sich wieder aus Kle- menten P^^ = P^^ uiid Klementi^n Q^^ = — 9», ansamnien: von letzteren kommen nur drei {Q^^^ Q^^, Q^^) Tor, die keiner wei- teren Bedin^ag genügen, während in (17) Rechs Elemente q^^ auflretenf die noch an die xwiscben Llnieiicuordi nuten geltende Identität gebunden sind.
Die Gleichnng (21) hängt nur scheinbar von den Grössen w^, wj', 9o'y ab; man kann diese durch irgend welche lineare Cora- bioatiOD >*] *f ^ 4~ ''i *"]' H~ ^s *<^^ ' eraetzen, ohne das Resultat zu Andern.
Die xur Elimination angewandte Methode wird iltusorisch, wenn ^ in der Ebene v liegt, d. h. wenn letztere Ebene die Fläche f'^0 berflhrt. Dann folgt aus (7) »-^Qo; es ergibt sich also die Transformation a;^ = — f^, welche jede Kläclie »weiter Ordnung in sich überführt.
Will man kanonische Formen fUr die einzelnen Fälle her- stellen, ao muHS besonders beracksichtigt werden, ob die Fläche f^O von der Schnittlinie der Ebenen v und iv berührt wird oder nicht (vgl, «Vorlesungen* a. a. 0. p. 3Ü9 f.).
4. Die Punkte t mi.'igen wieder eine Ebene v erfflllen, die Huukte t dagegen auf eine bestimmte Gerade beschränkt wer- den. Der Ansatz würde wieder durch (7) gegeben sein, wenn man die Annahme hinzufügt, dass zwLichen l und v eine lineare Relation besteht. Da aber r durch (10) bestimmt iE»t, so kann eine solche Relation nicht bestehen ; es bleibt nur der Fall r^O, wo alle Punkte r mit dem Pole ij zusammenfallen (Tgl. die Gleichungen (23) a. a. 0. p. 3G9).
6. Die Punkte i mögen auf eine gerade Linie be- schränkt werden, also gleichzeitig in zwei Ebenen (tf and w) liegen; es seien
(22)
9ik
r,w,-w,p.
80 dua die OleJclinnK ^^^0 in Eb^nencoonKnatea y die G chimg d€«j(>nigen PunktopaarM darsUillt. in weJcboui die Ft| / s«= 0 von der *jer«den q jfetroffen wird. Es «ei / dpr Pol Bbene m in Bi/.ii(^ auf die-'«» Punkti'fjuir, also:
(24)
1 d0
2 9fi;
Bfzeirhnen wir mit ?; d«n Pol di*r KWne w, mit .V Pol der Eben« iC, mit (m r »*•) di-n Srhuiltpinil.» -4«i- 1*1-. w, V und «r, so kttanen wir
(25)
',= «?l'0+ P»**.-^- ei(M*''"\
!4etzen. Die Polarebcue de^ Punktes t n&mlich in Brxnf^ die Fläche ^=0 gebt durch die Pole ij und *> der Kbeoi und w, in deren Schnittlinie i nach (24) liegt, uixl durch \ierteD harmonischeD Puukt von t in Beztig uuf iliu Poa paar <D = 0. d. h. durch den Punkt (« f (*■); die Gl (25) stellen al«i in der That uiueu belii'big^n Pui^«. -. i Poinrobeae dar. Letztere dreht sich uoi die Oeradv g, « u variirt; der Punkt r nirnntt also in d«r Thai all« möglic Lagen im liaunie an. Aus (24) und (25) erhalten wir naoh die Trjm.'it'nrniJkti"nsf<iruieln :
F. Lmdemann: Uebtr die Intearen TremsformationeH etc. 39
(26) ^^^
Durch ÄddiUon ergibt sich
(27) X, + I, = .c ^ 2x (ü.., «, + a>,, „^ + ffl, «, + ©., «,),
ferner durch MultipHcatiün mit v^ bez. w^ und Addition
*', = »'", + '■' '■d- w^^ = »- tP, + »■' w,?, demnach durch AufiÖsung:
wo:
Dieser Ausdruck ist nur gleich Null, wenn q zur Erzeu- genden der Fläche wird. In dem Falle würden alle Punkte t auf der Fläche liegen, also mit x und | zusammenfallen; der Fall ist also auszusch Hessen. Durch Einsetzen der für v und v' gefundenen Werthe gehen die Gleichungen (26), wenn noch zur Abkürzung
(28) F. = Wx, - .„ {r^ w,, - «-^ .,,) + ,'>,. (t;^ tr,^ - w^ r,^)
^. 'h ^ ;
= '> '■.; '0 '
"•. «V; «7> : gesetzt wird, über in
Dil die lleliitifuion U r^r = n, 2J U'^. r = 0 identisch er- füllt sind, sind zwei der (ilcichnngm (25) eine Folge der beiden übrigtfn. Dii' Kliniiiiiitiun <lcr u. wird (hulurch möglich, dass
40
Siteur^ der maih.-phy8. Clasae vom 1. Febnuir 1896.
sich die Gleichuogea (29) nicht ändern, wenn man u^ durch «*, "h M V; + A*' w^ ersetzt; man kann in Folge dessen die ur- sprünglich willkürliche Ebene u der Bedingung unterwerfen, nur beliebige Punkte zu geben, z. B. durch die Punkte ij und &. Zu den Gleichungen (27) und (29) können wir somit die Glei- chungen
(30)
«,= 0.
«ö = 0
hinzufügen, und die Elimination der u führt zu den Trans- formatiousformeln:
(30)
|
V, xa>„ |
. ^^i,-\-^Qii |
|
|
n ^a>«4-^ |
Qn • |
• ^^u-\-^9u |
|
W{x, -{-§;) 2x0)^, |
. 2x0*,, |
|
|
0 1?, |
• Vi |
|
|
0 »^ |
. ** |
'0.
Dasselbe Resultat erhält man aus (26), (27) und (30) durch Elimination der Grössen u^, v, v' in der symmetrischen Form
(31)
|
^1 |
'n |
X, |
xü>„ |
■ ^tÖ'u-f-^?,* |
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^ |
'a |
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>'-^u + |
^741 ■ |
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0 |
0 |
X 1 |
+^. |
2 . <lr^ |
• ^-«'a |
|
|
0 |
0 |
0 |
'n |
■ '.1 |
||
|
0 |
ü |
0 |
^, |
. '^^ |
= 0.
Tni flie Voss'sclie Form dieser Bedin^nn^ zu erhulten, bf'/eiclinen wir mit w' uri'] tt" irf^end zwei Kbeiien, welche den liedinf^un^'en (:iü) j^rfuiinen (d. h. dunii die conjngirte Polare der Linie q liiiidurchgehen). Diiini ist
", ^ ."i "i + /'2'<'- und di-' <i]cicliini^''tMi (2ti) eri^eben :
.32)
"1 =."l'.M +."3'
K liind^manH: 0$lw du linearen TrnmsformathneH etc. "wo wieder
41
wenn ^j^ die Coordinftten der oonjagirten Polare von q b«deat«n. Machen wir noch
und;
(33)
iL
2 X S <P,» <. //,j = 2 X L 0»,, »;,
so ergibt sich durch Elimination der Grössen /i, t ff aus (82) und (27) dofi Resultat (31) in der Gestalt:
(34)
y>.
3t,
It
womit die toq Voss angegebene Form hergestellt ist.
/!.. n.
0.
6. Da die Punkte i durch eine gerade Anzahl linearer Bedingungen (r, ^ 0, w^ ^b Q) bcAchränkt werden, so stellen die GUicfaungeu (26), be;^. (30), (31) oder (34) nach den allgemeinen Sätzen dt» Herrn Löwt (a. a. 0. p. 23) eine eigentliche Trana- fonuatiou dar. In der That, sei
/■«2JK,X, + 2X,X„
und die Ebene v möge durch X,=aO, 10 durch X, = U darge- stifllt werden. Es ist Ü* = 2 //, V^\ der Punkt \ hat die Co- ordioateo 0, 0, 1, 0, i^ hat die Coordiuaten 0« 1, 0, 0. Man Badet abo aus (25) :
X, = (« + ;•)'/..
S, = (x-^)ü,,
^4 = (« + ^)£^„
4S
Sittung der malk.-phi/a, ('tfuxe vom /. fV6r«Mr
und durch AufirWung: (85) X,
fr — /
Die DetermiDftntc dor Gloichonfren ist gleich -f" li *^« ^ ihr all^nieinen eigenilicben Trftn^»rinution. Den hier behui- deiten Fall hnttp ich M nirint'r AnfzAhlunt; der ei^entlichea SttbitibitioTten uichfc explicite angegeben; Herr L^wy hat /Br ihn (t. ft. 0. p. 27) die Portnoln (35) »ufgi^tMIt, E> ist di» einer der von Herrn Proben iu)» nnf{iP*trllU'n GremcflU«; in der That ergeben sich die Foraieln lltü) atu drr ksM*- nischeo Pnrin der AtlKetueineii eigeutÜcben Sub«titation (a. &. Ul p.d64):
wonn man i, unendlich gros« werden Iftsat.
7. Sollen die Honicl« t ein« einfach n in'n«ihc(.f ManDigfalti(<)ceit erfüllen, wühreod die Punkte i wieder auf die Gerade 9 beiK-lirünkt werden, «o nitUften die Punklef die conju^irte Polure der Gernden q bilden, danir Verbindungslinie iweirr Punkt** t und r die Flathtiü (1) in SQ diesen Punkten harnioniitchen Pnukt<-n triÜu 1^ int in vorstehenden Formeln (2ä) ?j = 0, öder in (26) i s O eo »im. Die dann aus (35) bervorgeliende kanouifiche Form
X, ^ j:, , A, 5= — ^, . X, = — j:,, X^ ^ ^^
habe ich a. a. O, bereit» besonders (als eine cingenUieho formatiuni emähni.
8. betrachten wir jotzl eine quadratiacho Forio n homogenen Variabetn z,,J^....x^ und doren Tf formatiun in »icb. Die OleicbunK
deren Detertninant«' nicht v^r^ichwinden mflge, stellt «in« ii g^ebeueu Jf,_| (Maunigfolligkeit Ton v 1 DiaMi2si(*nM|
tmannt
iydnafÖrmatiort«7t eh. ^-^
fäfjfene -Ä/J,", dar ('i. h. Manrn'jf;ill.ictkeit von « — 2 Dinu'nvionen, diH durch irine Üleicliung 2^^ OrdmiiiE; be^^timmt wird). Die allgetncinstc Transfonnation der JJf'^lj in sich wird dann nach Cayley und Frobenins dnrch di« Gleichnnj^en
(36) x,^^t,-\-X I .. §^ ^ %t^ - A»,.
dargestellt, wenn :
WO A^^ die ITnterdeterminanten d«r a,
dar^teMpn nnd wo
V»
Dt^^= — Oj^; dpr Bi^wei* kiuiu in dors^lben Weise jjeometr!.«ch gefQbrt werden, wie ich es n. n. 0. fdr n =** i tbat. Ist« eine gerade Zahl, so stellen die zweiten Oleichungen (2) ein Nult- sydteni dnr; die Punkte r sind d»on kein«D Bedingungen iin tern-tirfen. Ist n eine tingi-nule Zaiil, 5o verschwindet: die Determinante drr Coeffipieiiti-n «^^ identi-ii'h; die l'imkte r iii(lasi»n •!«o auf «ino lineare 3/JJ^j, beschränkt werden, damit die Glei- chungen auflösbar werden.*)
FOr jede Zahl » hat man verschiedene Fülle im iint«r- ecbctdpD. ja nach Lh^c de? doroh die Oteichung
(3B) ^««(*,y.-*,-=»)=-f>
darge^bellten tSebildee xu der Wfl^ /"=0, und Je nachdem die Uetenninant« oder die ersten udcr auch hühere Uuterdeteruri- nanten der Grosso a^^ ver;«t:li>viiideu.
l)ni atlp niiVgliehen Fälle zn luiifnaten, sind die Gleichungen (87) dnrch andere za enetten, dentn Determinanten verschwinden. Das er»te (j|eichui)g.s.-«\'stinn \i^ni\ dabeä im Uebrigen wUlkQr- licb gewählt werden ; das zweite Ödstem mu«» der Bedingung £i»^*^ = 0 identi<<ch gt-nlii^on, wenn u^ die Coordinatcn der Polar -il/*,'|.2 von t nind. Diu Funkt« t werden dadurch auf 1« lineiire oder auf mehrere lineare Miuintgfultigkeiten he- Unkt; für die PunklA< r Mnd alte dann noch bleibenden M5g]ichkeiteo inV Auge »u fawu'n.
'I V|fl. «. B. RaUier, Theorie der PetorminuDica 5 8 fp- M der drilt«B Auflag«,).
44
ÜiUmmg drr wkoth.-jih^. ClmM w&m t
sm6.
9. Um Punkte t iu allgemeinster Weise auf m Une Muuiig<igkeiteii
(39) Lri'»<. = 0, St'«>«, = 0 x;«i-»i, = 0,
d. i. ftof die diesen Jüf^-i g^i^^insame Jl^i^,:-,** n iMecfaAnken. werden wir
|
(40) |
'.= |
1 dO 2 9u, |
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wteeDf wo: |
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'1 |
Der Punkt t ist dann der Pol der dorcb die Oleicliangeo (39) zusammen mit der Gleicbun^ "« ^^ ^ bestiromten M^-m-i in Bezog auf diejenige qaadmüeche -A^'^r^^ welche auf der
Fläche f 0 durch die linearen MannigfalÜgketten (39) ftiMigt- schnitten wird.
Unter t sollte irgend ein Punkt der Polarebene von I in Bezog auf die Fläche f=0 verstanden werden. Da t auf den m linearen M^_^ (39) liegt, so liegen die Pole i^***, ^». . . tf^^
dieser Mannigfaltigkeiten auf der Polarel>ene Ton f. Sind C"'i b**' . . . . fi"-*->i irgend welche andere Punkte dieaer Polar- ebene, so kann man daher aetxen
-ei-!5"+ «.'.?' + .... +<'.'r +»-+. ^" + •••• + ?►.£"*"•
Der Punkt t tnun linear von den io (40) Torkommenden Hilfi - Voriabeln u, abb&ngea. BCan wird diose AbblDgigfccfl am ainfiichaten dadurch zum Aosdmcke briag«o, 6tm man ^
y, Lüdemann: l/eber die Uncar^n TrangformattoHeH etc, 1*>
Punkte ^ auf deu m Munnigfaltigkeiten (30) wählt« gleich- zeitig aber in der Mannigfaltigkeit w. Die Punkte ^'^ liegen I dann von selbst in der ['<]|ar-i/J,'^j des l'ucktes i, da die Mannig- faltigkeiten ('39) TOD ihm und Ton der Kbene u in derselben linearen ^^_„^_j geschnitten werden. Die Funkte C*'^ müssen aUo den m -\- \ Bedingungen
1(42) JJ«,t;"-=o. Et;</'S;^«o, St;»)Cjn— o,...Et^,-»D,')«o
genflgen. Man befriedigt dieselben in allgemeinstAr Weise, in- ld«m man
m)
setzt, wenn die rechte Seite den Coefficienten von w^ in der I n-reihigen Determinante
AU)
Ü=s{t!ju i;**' . . . !/"•> »t^* , . . ivt"-"-«!)
bedeutet, und wenn die t^' wieder die (Koordinaten der Mannig- fftltigkeiten (39) bezeichnen, die tcf^ dagegen Symbole be- zeichnen, die für sich genommen keine Bedeutung haben, während erst einer (n-m-2)-reihigeu aus den tvj*' gebil- deten Unterdeterniinante eine wirkliche Bedeutung zukommt Durch Einführung dieser Symbole w bedienen wir uns derselben Schreibweise, die Clebäch für die Theorie der Complexe im Räume von drei Dimensionen eiugefQhrt bat.
I Ist insbesondere m = n — 3, so kommt nur eine Reihe von Gr5esen u> in Betracht; diese haben dann wirkliche Bedeutung und sind die Coordinaten einer linearen ^^^If Letztere ent- hält alle « — 3 Punkte r;t/l und die beiden Punkte t*'\ ^'', die hier allein zu berfick^ichtigcn sind. Die Punkte % liegen daher fflr m = h — 3 in einer festen linearen M^^}_^tCf welche zu den n — 3 Mannigfaltigkeiten (39) coujugirt
{M in Bezug auf die Flftche A^O, sonst aber willkltr- lioh gewählt werden kann (ahK> noch von 2 Paiametem ab-
f hangt).
46 Sitzung äer math.-phjfä. Cltuse tom 1. Februar 1&9€.
Setzt man die gefundenen Wertfae /, und r- in die Glei- choogen (36) ein, so ergibt sich
X,— ^ — +/i'Mü">....rf""ic'>'....if"—--'V+i-, »*'>-;.....+ >■.» '.■»!.
Diese Gleichungen stellen in ungemeinster Weise alle diejenigen linearen Tranäforiuationen der Mannig- faltigkeit / in sich dar. welche iu den Gleichungen (M'}) und (;J7) nicht enthalten sind Die 'frausformations- fonneln ergeben sieh durch Eliniination dfr Grössen r, und m,.
Für « = 4, »i = 1 erhalten wir aus (45) die Formeln (T). insbesondere für ^.^0 die in Xr. 4 besprochenen Gleichungen: für H = 4 und m = 2 erf^eben sich die Gleichungen (2t>).
Die abgeleiteten Ilesultate stimmen mit denen de^ Herrn Löwy (a. a. p. 17) im WesentÜclien überein. Wir benutzten zur Bestimmung eines Punktes r einen Punkt, welcher in der von den Mannij^faltigkeiten ff>> \md h gemeinsam bestimmten Mn-m-i lipgt, .-^ich aUii durch ** — vi — 1 .-jn'<.it.-lle .-ulche Punkte 5"' ausdrücken lär.'st. wie es hi 1 4:i) i;e>cliali. Diese Punkte -"' geniigen den Gleiehungeti \\2). Herr L'">\vy lienul/.t .-talt d''s>eii nur n—m^'l ?-]'eeieile Punkte -''. 'iie dfiv-eU'eii (ilfRliun<;iii und einer willküriieli ;inLreM.iniiii>-nt'n 'iirirlmnt^
Lli'nüj/fii. Ditj (i'.-.-;iii:iiitz;i!ii i]i.-r l.i-.'!iiii/.:eii I'iii'iiinelt'i" wird il;i- (lup'b l"-eintl'i v-t, >o IiniuT'' lujin 'li-- tr a!- < '''ii-Li:,;»' ht-iraclitr; . H'-rr L"f wy >ellt<t -i-iii rl;.--i.- * Ir'"»-<-n ;ib'r n;nlin;i_'licli al~ l"imrti<Mi''n der (/ an iiiid -h-Ilf il,i']ur>'h 'iu' ii'''tlii^'e Allijenii'iu- li.-it wieler her (;i. n. < ». y. -J'I u. l!»).
1". K' li;ii;iit'!r -irli j-'/t diii riiii. <\\ ■ »n i--- >-n K an> ili-ii fi!'M<-hiijj:r'-ti I lö) /.u ..■iiiniiiir'-n. Liii 'ii" .M-v_'hL lilw-il il. r Kli- nunatiuM /u /ei^'en, iiuiiul/.i Herr L'*>\\ \ a. u. '.>. tine Hülf^- ^!'-ic!iiin;^ h<",h'rf:i Gra'Ie-« in liet i:leii,h'-n \\r;-", wie ich Ijei
F. lÄndemann: Deber die Uneartn Trttnsfonnationen etc. 47
n — 4 eine quadratische Gleichung benutzt hatte. Die Wurzeln jener Gleichung kommen im Resultate der Elimination nur symmetrisch vor, so dass das Resultat nur die Coefficienten der Hülfsgieichung enthält und auch fQr den Fall, wo Wurzeln zusammenfalten , in Anspruch genommen werden darf. Man kann die Elimination aber allgemein in gleicher Weise aus- führen, wie dies oben in Nr. 2, 3 und 5 für n = 4 geschah. Wir setzen :
(40) F.=
'i" ".: ^..
',!"'
1 IM
= Wx. + w, tff) + . . . + ^« h';'\
wo zur Abkürzung
«„ = L y*^'' t/!'\
während mit ^V. die ersten llntordeterniinanten bezeichnet sind; insbesondere ist
(47)
W =
2«
Durch Multiplication der ersten n Gleichungen (45) mit v^^ und Addition erhält man für y= 1, 2, . . . »h ein System von m Gleichungen zur Bereclinung der Grössen »,, •••■*'„; es wird
v(j'> = i\v , 4- y,v , A- . . . -\- r v :
X 1 _; I ' 1 jl ' I Ml J ril
und hieraus:
^^'ix — )■, r'.'' - »■,/'-' — I' *;'">) = V..
^1 1 'I -' <l IM 'l «
Die ersten n Glt'ichiiiiyen (lö) werden daher / 1 3 (/J dil\
vii.
tag der malh,-phjfs^ Cluue vmn 1. FAruar IftMf.-
I di« DeterminanU (44) bezeichnet wird. Kien^« AUS (45) folgeade Identität
ToQ deaGleicfaaogflQ (48) dnd m föne Folge der abrigeu «-«; n wird di« EUmination der u^ möglich; d«nn die QIm- peo ftndarn rieh niebt, wenn oulq «^ durch
Wir kfinncn daher ßr dis tfanoigfaltigkeit u Dotih 1 M ^Miure Bedingangen hiuKufiigen , ohoe dofi Resultat sn b«- iinfloiMii, z. B. fardern, da«» die m Pole ^'^ der Manotg- Mligfcliliiii v(^* in der Mannigfaltigkeit u liegen, d. h., dasa di«
W E«,^J/>-.o rat y= i, 2, . ..m
tff&Ut seien. Die EliminatioD der Grossen v and u aus den Gleichungen (45), (49) und (50) ergibt dann das Resaltat:
(51)
'/?*
0 0
0
0 0
0
|
*l |
Pll |
•• Pi« |
|
^n |
Pnl |
••^H- |
|
x,+ i. |
2x0),, . |
. . 2x0». IN |
|
0 |
v;> . |
• ■ '/L" |
|
0 |
vr' |
• ■ '/!"' |
= 0;
hierin ist i'(fc = x*P(4 + ^g'^fc, wo ©^^ dieselbe Bedeutung bat, wie in (49) und
_ _ _ d^Q _ _ B*Q _
t\ jÄndemann: Uther die linearen Trtiiufbrmationen ete.
49
Dieselbe Gleichung lässt sich auch in der Form schreiben:
(52)
w— « ' M-m. ]
0
'/."
0
t
Im)
2x0.
= 0.
r,(«)
für
Die in (51) tind (52) auftretenden Deterniinanteu kann man wieder auf Determinanten mit weniger Reihen reduciren, %venn man die durch (50) beschränkte Mannigfaltigkeit m mit- telst gewisser fester Mannigfaltigkeiten to^^ und willkürlicher Parameter /* ausdrückt. Bezeichnen wir also mit wj'\ w'-\ . . . wj."-"") die Coordinaten von n—m linearen, von einander unabhängigen Mannigfaltigkeiten, welche sämmtlich durch die m Pule )/'' hin- durchgehen, d. h. den Gleichungen
i=l,2,...H-»i: y= l,2,...m
genügen (also zu jeder Mannigfaltigkeit r^j* in Bezug auf f=0 conjugirt sind), so haben wir
An Stollf der Uloicimngen (19) bo/.w. (^2) erhalten wir ji'tzt Itehitionen dei* Form
für
/ =^ 1, 2, :'►, . . . n — m;
und hierin ist und weiter
1S9C. Matli.-i>Iiyit. Cl. 1. 4
50 SitZHWj der math.-jJi^s. CUuse vom 1. Febrmir 1890.
(^■') <?.. = X1S;
3^i2
* 3 w 3 »
■ ■ r •
Setzen wir endlich noch
BO ei^iht sieb durch Ktimination der Parameter /<, ans Gleichungen (53) und {49^ die «gesuchte Trnnaformation Mannigfaltigkeit -WJf^j *° *^*'^ Gestalt
(r,0)
|
X |
''ii |
''l2 ■ |
|
•'ji |
■'^> - • |
|
|
''vi |
'^2 • • |
|
|
^.+^^ |
"n |
n. |
IV
;r
ar
//
= 0
fOr »= 1,2, 3» . . . «; dabei ist i- = « — w. Diese Gleichni hat die von Voss betonte (lestiilt:, indem in ihr eine Det<^rn] nante mit den Elementen ;r^^ auftritt, die nach (54) und |ö sich axM Elementen 1\^ = 1\. und Q.^ — — Q^^^ linear zusir mensctzen. Ks ist indessen hiTvor/.uliebcu, dass auch schi'i. der Gleichung (51) eine iinaloi;»' Detemiiniinte benutzt wuri Die Gleichunj^en (öiii stellen die ^^. als lineare Kuncti'i.'. der X. dar; die Auflö.suni^en die-er Kormeln erij;eben sicli. V'y- (iiiin in (öO) ubenill x mit i: und ^,4 "'it Q^^ vertauscht: i: neben (5;') bestehi.'ii unch die lib'ichnngen:
AVÜ
^■'.',v
11. In I'V)In;e un>en*- ^i-ntin-trisflien Ansatzes sind ""- sicher, diiss die Gli'ichun^' / = '* diii'L-h die aufgestellten Trir.- foniüitioiien in sii-li iilieri^efiilii-t wird; es geht daher die Kt-ra
/''. l^fuiemann! Utttef tUa Htuttren Traiuformationen elc. M
S^fl,4^,^A in iV X: £ w-fc ^^ £^ Über, wo M einen zn bestim- menden Factor bezeichnet. Diese Beätimmung, die ich a. a. 0. [fflr n = 4, m = 0 and die Herr Lüwy für w^O und belie- ibige&n durchgBfUbrt halte, kann in folgender Weise geschehen. Multipliciren wir die beiden Systeme der Gleichungen (45) mit ü. und addiren, so ergibt aich
(57)
^ = "»»t t'ii -f- f, f« . . . + f„ t;,„ „ = - V
yd0
da ^ — f.'^ 3^ 0 ist. Multipliciren wir mit a^^ und addiren, so
folgt:
(58) ' ' ' * i i j
Nun erhält man sofort ans (41)
' /
^Sa,?.«a-=-S'^+'i''^.-^'i'*'''i+ -••+<- ^)''''^"''^«
wenn
'f =
|
«11 • |
- «1., |
vj'> |
. . «1"> |
|
"«1 ■ |
. . a |
||
|
t;[') . |
0 |
. . ü |
|
|
tfi"'» . |
0 |
. u |
■^d
1
Aus (58) erhalten wir daher
-cf V, + ... + (- I)-tf>*^^
52 SUtung der math.-phtft. Cltuae mm 1. Februar ltf9€.
und ebenso:
also mit Benutzung von (57):
(00) L L a,, x^ ^, - L £ a,, f ■ .', = - 2 ^ («, - «,).
Multipliciren wir die Gleichungen (45) mit u. und sum- miren, so folgt wegen (50):
Die rechte Seite von (60) ist also gleich Null; d. h. der Factor M ist gleich 1; die Form f=^^a^^x^x^ bleibt bei unseren Transformationen absolut iiugeändert.
Da die Determinante von f sich bei linearer Transforma- tion um das Quadrat der Substitutions- Determinante ändert, so ist dieses Quadrat immer gleich 1, die Suhstitutions-Determinante selbst gleich +1. Welcher Werth zu wählen ist, hängt von der Zahl m ab. Rs ergibt sich das einfach, wenn wir zuvor diejenigen linearen 3/^'J^., be»tinimen. die in sich überj^eführt werden.
12. Ist zunächst »i = 0, so Hndet man die fest bleibenden Punkte aus den <Tleiehungen (^30) und (37). indem man die Bedingungen
(01) X, — üi. = M Itinzugefügt; dies gibt die Uleichun^eu
^- i / ( \-o) j^,. -^ ;. (1 -yu) « j H^ ^ 1». ; = 1. 2. . . . u.
k
üif fra^lielten n Punkte werden ihiliiT diircli ilic Gleichung; H**'" l_inulf.> in u
■"''In -r "u ■ • • ."'•^. + ";., tt A , -|- (( ... .(( .-1 -1- ii
F, lAndtmnnn: üeher ilie Hnenrcn Trannffirmntiowen rtc
r.'l
ftliiiiini. Weisen der Bediugun^en a.^ Wurzel /i eine andere — fi. Da nun
— ffjj. entspricht jeder
ffwetxt wurde, eo erliult man — ;i auA /*, indem «)an q mit -
e
Tertaoscbt. Die Wurzeln sind so paarweine einander zu- i^eordnet; int n eine ungerade Zahl, ito muis fol^Hch eine Wurxel pcÄ + J sein. In der That ist in die-sem Falle die Deteriiiitiunfce der a^^, d. h. da« eonntanto Qtieil in lileichung (02), gleich Null, Hl<iO eine Würzet ft gleich Null. FCr ein nngerades n h»! daher die charakteris^tiäche Fnnda- nien tnlgleicbriTi^ unserer Tran-sformation stet« die Wumel p = -f 1.
Ver*(ch windet ftlr ein Rerides n die Determinante der a^ *tt vorseliwindeu auch alle ersten Unterdeterminanten. Tritt olao fflr B = 2 !■ eine Wnr/el g s* -f" 1 »^f» ^o ist dies eine Doppel- wurMl, n. s, f. Die Wurzel p — — 1 dagegen kann (wenn m ^ 0) nie anftreten, wenn die Determinante der a,^ von Null verschieden ist; denn p —1 würde eine Wnr/el /i = OD bedingen. Kbenso kann ftJr » = 2» 4-1 *li« Wurzel 0 = + 1 mehrfach anftreten; verschwinden aber dann alle ersten UnterdeterminantCTi der a^.^, so verschwinden auch alle zweiten Unterdeterminanten; kommt also die Wurzel e^ + l doppelt vor, so kommt sie auch dreifach ror, u.a. f. Bei geradem n kann die Wurzel g = -^ 1 in der charakteristischen Knudamentalgleichnng in gerader Vielfach heil, bei öngeradem « nur in ungerader Viclfachheit auftreten.*) Kine analoge üeberlegnnc zeitft. dass die Elementartheiler der Qlcichnng ebenso wie die Wurzeln einander paarweiee zuge- ordnet, und zwar paarweise einander gleich sind.
Für die »ich seihst entsprechenden Punkte gilt der Satz,
sie auf der M'^]_^ ('^=0 liegen, mit Äuxuahme des bei un-
kdom n der Wurzel ^^-J-1 enUprechendeu Punkten, und
') Tgl. Frobenini, o. a. O.
54
aUftmg dtr math.'phi/t, (Jlane vom t. »Ivwar i0Mj
dass ihre TaD|^ctitial-3/||'^j in sich flbergefOhrt werden.*) ungerndt'ui n enL-Dpricbi der Wuricel ^ e= -f- l ein fc«l«? iiuesprhalb der -Aflfli f=^0 Itegeuder Punkt, desver PoUr-Jtf[JJ., in sich abergcfObrt wird,
IS. Ist m vofl Null verAobieden, ho liefern die Gleäcb (57) sofort m linnnn? ^V^llg» welche je hl iioh abor>rch*m lujui erkennt sofort, das» zu jeder ^/^.'Ij f^^ eine \V ^ss — 1 der oharnkterisliüchen Fundamentalgleic gehören mn*8. Die zugehörigen m Pole i5<'> bte: natQrlich auch fest; sie geallgen den Oleichaogen (Ol)
Die abrigen n — m sieb selbi^t xu^eordaeUll Punkte eigcbts «ich ans den Gleichangen (4>>), bez. {4S) oder (53).
Iq der durch die Uleichuug f^^O und die GIeicbaoge<n (39) beätimmten ^If'..!;«' denken wir un« eine lioeare Tr*naformatii<i der 11 — IN Paranieterf welche einen I^inkt Linear batrimm-^. derart nn.<tgef(lhrt, dasx dio« (piudraHdcbe M»-^^^ in «ich Aber- gefabrt wird. Statt der Punkte der quadrstisclien J/«-«.g köuneo wir ihre Polar-Ebenen in Bezug auf die Gleichung f betrachten: wir erhalten dann eine lineare Transformation, nt- m5ge deren die {n — m) (irOftsen bi<^'' linear darch u*'* dmrtif ansgedrflckt werden, dass di« Gc«amnitbeit der lineuim welche durch die m Pole r/'' gehen und die M^^ f^ rChrett, in üich Qbergefnbrt wird.
Diese Transformation ist uns durch die Qletehangeo dargeattiUt, wenn wir noch hinzufQgen:
(63) <" = A',(-P„-^e-.) + - • + ''— (''^^.— — *«„
Die Gleicbung^o (53) und (63) Kt^llen zasammeo eine ' formation der Art dar, wie wir sie in Nr. 12 bptrvcbtvl bafasj ea ist nur i« durch n — M enfelzt worden. Wir kADDen lblg«iideD 8ats sDasprechea:
Bd. 13 Qod hOvj
I. Crelle's Jvamal Bd. 80; To««, a. 0.
V. Lindemann: lieber die linearen Transformationen etc. 55
Ausser den m linearen MannigfaUigkeiten v^^^ wer- den in sich Übergeführt:
a) wenn n — m gerade ist, « — m lineare Tangen- tial-Mannigfaltigkeiten von f^=0^ die einander paar- weise dadurch zugeordnet Bind, dass die ihnen ent- sprechenden Wurzeln der Fundamentalgleichung zu einander reciproke Werthe besitzen.
b) wenn n — m ungerade ist, eine lineare Mannig- faltigkeit, die im Allgemeinen nicht Tangential- Mannigfaltigkeit ist, und ausserdem n — w— 1 Tangen- tial-Mannigfaltigkeiten von f=Oy die einander in gleicher Weise zugeordnet sind.
Die Gleichung vom Grade n —m^ durch welche die zuletzt erwähnten festen ^/J^'lg bestimmt werden, d. h. welche die in den Gleichungen
tüji — Q(t) tvf = 0
auftretenden Grossen ^^^ bestimmt, wird aus ((>3) und (5;{) in der Form
''vi ''v2 • ■• "yy
gefunden, wo v = n — m und -tI-j^ = 5<(1— ?) /^.^ + ^-(1 + ?) (^,4) während P.^^ und Q.^^ wieder durch (54) und (55) definirt sind. Dieselbe Gleicliung wird aus (45) in der Form
'n ■ ■ ■ '-1
,.ii
/.'
Pu -Vln
* M 1 " * ' ' II «
0 //') . . . /<"
'1 'h
= 0
gewonnen , wo p'.^ = x (1 — g) Qi^^ H- ^ ( 1 + (?) (/,^. Diese Glei- i.Iiung kann nie eine Wurzel q^ — 1 haben, während die
50
Siltutnj tUr math.-phtfg. Ctwue vvm I. FeLniar fftitß.
Wur?.«! e«=-f 1 eine pprade oder ungernde AnÄfthl vnn Malen aiiftrcU'n kann, je nuchdem » — m gerade oder ungerade iftt Eine Wunel — 1 könnte iu der Tbal nur auftreten, wenn die für X-^0 eiittt^Liende Gleichung erfüllt wäre: dtmn über tuQwite die den (-ileichnngen (39) gemeinsame lineare M^^^-i eine Tungential - Mimnigfaltigkeit von f'^aQ sein; alle l'uukte I würden in den Knotenpunlct derselbe]] (d. i. den Bftrnhruni^- punkt) zusaiuQienfalleD, und im könnte überhaupt keine Raum- Transformation entstehen.
Idt n — m ungerade, so ht die Determinante der Q^,^ iden- tisch Kuli; alle Punkte £ liegen in einer von » unabhängigen linearen ^f'jl,^. Dem entspreohend kann man eine Iteihe der in S} lind in (45) auftretenden Symbole w at» Coordinaten die«er festen ^fj^ig auffassen. Da die OrÖaien v^ durch w^ -f o^ vj'^ -\- . . . -\- a^ cj*"* ersetzt werden, also die Bedingungen
tiiur.ugefngt werden können, ohne die Gleichungen (45) tu ändern, ao folgt in der Thal
Ein tritt jedesmal nne Wursel ^^ -(~ 1 ^^r Kundaraetital- gteichung auf. wenn eine Symbolreihe w durch wirkliche 6rö««en «rsetzt wird. Thut man dies mit einer [leihe von Symbolen, HO spielt von selbttt, falls n — M gerade ist, eine zweite Hciha die Rolle von wirkUchen tiröasen u. s. f. Ist n — m ungenule, NO gilt dies fdr eine dritte Reihe von Symbolen, sobald es Hlr eine zweite Reibe gilt, u. s. f. Jede lineare MaooigfaltigkeÜ v, weicht! »4> einer Doppelwnrzel ^a» 4* 1 zugeb5rt, bleibt in »ich feilt, kann aber durch eino andere Mannigfaltigkeit d« linearen Systems der ic^^ ersetzt werden, insbesondere aUo auch durch gewiitte Tangential -Mannigfalligkeitea von /'»O; auf sotcbo wOrde man diroct geführt werden , wenn man die Üoppel- wiirxfll ( :s -|- 1 ans einem Paare einander gleich werdender rvciproker Wurzeln enUdehen \ai»i.
ncW9H0*
B^die lintareH
rmatitmem ete.
Herr L'öwy jnbt a. a. O. fßr jeden Kuli eine lineare Maooi^faltif;keit w an, die bei der Transfornuktioa fe»t bleibt. d. h. der Hediiigiing (64) j^enUgt; er berichtigt diese Angnbe ab«r ifpftttfr selbst, indem er io Kewiasen Füllen die Urnssen w wieder von den m^ abhftngif^ denkt.
14. Wir sind jetzt in der Lage, die Determinuiite der nuf- tellten Transformationen, deren Quadrat gleich -f- ^ gefunden wurde, xu berechnen. Die Transformation ist durgu»tellt durch m Gleichungen von der Form
durch ft Gleichungen von der Form
, m
«/;' = wf
fnr /=1,2,.../^
endlich durch ^(n — m — /i) l'aare von (ileichungeo der Form
w^»> = o (/*'»>, u^+i)
1,2,...
n — m — fi
Führt man neue Variable X^ ein, welche gleich den links afcahenden Ton einander unabhängigen linearen Fnnctiuneu sind, und entsprechend neue Variable S^, so ist di« l^ubstitutious- Deterroinante gleich ( — 1)"*. Dieser Werth bat demnach all- gemeine Gnltigkcit. Die Determinante ist gleich (— IV", wenn m Itneure Mannigraltigkciien v^-'* in ausgezeich- neter Weise benutzt wurden.
Je nach dem Werthe der Determinante, d. i. je nachdem m gerade oder ungerade ist, bexeichaet man bekanntlich die Tranüfnrmntion als eigentliche oder un eigentliche. Itit jHsaO, so bat uian die allgemeine eigentliche Tnuisformation ; ist m gnude, m bat man nrich Herrn Löwy diejenigen Fälle, welche Herr Frobenins als Grenzfftlle behandelt hatte* wäh- rend für ein ungerade*« m früher keine allgemeinen Formeln Bufge«t*>Ilt war<?n.
Bekanntlich kajin luku fQr ein gerudeä n die eigentlichen und uneigcntticben Transformationen auch geometrisch leicht
38
SUiUfUf der auÜL-^Ay«. GasMt com 1. /efrrMor
Tuu vtnttEider tmt«rt!tc)ieii]en. Bttx n 4 '£. 11. (d.h. iro Räume) Imi eruieren jedes System von Erzeugenden einer Af^' »Is orhallen, wührend durch letzter« die beiden Systeme mit «b- ander Tert«M»cht werden. (Jhne Rechnung «rkeiint nion dj» auf folgende Weise. Bei der uneij^entticfacn TraaaformaiiDS (ri s 4, tn an 1, ß^t \) bleibt eine Hbene «* iinil deren Vo\ r fest, femer zwei Tangen tenebenen, die tuo fj anAgoheo, «W> dir Flilche in je einem Pnnkl«^ der Ebene r berQhren. Die mn ihnen auägeäcbuitteiien Paure von Krzeugenden hleibtfrn elwfi- ialls fest; sie bilden ein windKchiefes Vierteil, dessen eine Dia- gonale die Herührnngspnnlcte verbindet ; anf der anderen Di»^ gonale liegt der Pul i;. Auf dittier bleiben daber da« i*aar dtf beiden Ecken fest und der Pol r/ ; es bleibt also critvreder jeder Punkt dieser Diagonale uugefindert, oder nur der Punkt 19 md ihr Schnittpunkt mit der Kfiene t;, wfthrend jene boidtm Eckn und also die betr. Kr/engenden der Fliehe Mich mit eioanitr vertaaschcQ. In ersterem Falle liegt eine einfache ei^ttnUtcbc Tranäfürmabiun (mit der Determinante -|- 1) vor; es bleibt aW nur der andere Füll für die Üeterniiuante — l.
Äeholiche Ueberlegungen gelten fOr gr&asere gvrült Zahlen n. Die (Orzengenden zerfallen hier aber nicht in foll" ständig getrennte Sjsteme, die bei uncigentlichen Tnusafomi' tionen Tertauscht werden; jsondern eü wird nur von den auf zwei Weisen möglichen Arten der Anordnimg dieser Kneogente in gewisse lineare Munnigfaltigkoiten die eine Art mit der andtfo Art vertauöcht.O
Bei angeradem n ist von nolcher doppelten Anordnun«; nicht die Rede; dem eatcprechend kiiunen aach die eigentlicbn Transformationen ron den uneigi'ntlichon geometri>)cb oidhit unterschieden werden; in der That kann jede Trannfgi mit der Determinante -f 1 durch die Substatutian jb^ welche die goometrische Bedeutung der bomof;enen Coordi: nicht ändert, in eine solche mit der Determinante — 1
1) lian ab«nii>fat dut am «inracbtUn, indem man die Htenofrnr Abbildung der lU^^L^ anf eine M^^Lf durchnihrl, »rI. Klein Ann.. Dd. 6. p. 364.
F. JAndemann: lieber die linearen Trtüuformationen etc. 5d
>reführt werden. Es ist aber nützlich, sich von dieser evidenten Thatsache an unseren Formeln direct Rechenschaft zu geben. Wir führen die Kechnung bei h = 3 (d. h. am Kegelschnitte) durch.
Kür «1 = 3, m = 0 haben wir nach (51) die Transformation
! ^1 Pn P» Piz
,,.-. j ^i P%\ Pn Pn
■ ^3 Pii Pii Pas
: ^.+ '. 2x0),^ 2'A(I).^ 2xÖ>^3
= 0.
Setzt man unter Anwendung der symbolischen Bezeich- nung^ weise
so ist hier ®^^ == --1.^ und:
Pn = *^in Pia = * ^i» + -4^3, p,^ = x^„ - Xw^
i'si = *« ^si -i- ^ «'^^ 2?^^ = X ^„ — ÄH?,, ;j53 = X ^„.
Für H = 3, »1 = 1 erhalten wir nach derselben Formel
! '^i ^1 Pn P'n P\z I
I '/2 -^"2 P21 P'ii Piz ;
(06) ' '.3 *^3 Pii ;^;. i'33 =0,
,0 a;, + i, 2x^f^, 2x'K, 2.^F^^\
i*^ *> '/i ^. 'z. ,
und hierin ist v; ^. 7^,^ ;,^ »^ — (^ ,( ^^»^ also 'K^ = {a v). {a t')^, ferner
P'n = ■'^ "'*')'l' P'n = '■('^'Oi ("t')..-f ''•''3. ^ia== '«(«Ol {<^v\ -'^'^r
\\. s. f. Ks lpczeic)inet /; den Pol der Linie t% also ist r = r r^, ^ ft 7; ; und es ist Imkanntlich:
(a u h) (a « c) c,j h,j = - o« ^(6 cuf- 'f^f^,, \l[[[' ]'.-
wo A=^fS{nhcf. Deü tirf^süeü p„v l^ii* P'U «tüd ilw Iwi
gleich
y(6f*;.a5-*.4i??. ^(Äc),(ftc),^-|^i?,ir, + i^«,,
2 (frc),('/0ai-2'^'»''«~^*'*^'
^^ In ^ntaprechender Weise sind die demente Pi^tuid p^^un^ i ;(ufüriueu. Multipliciren wir die Elemente der cmUn Veritioalr
L reihe ton (6ö) bez. mit ji»;,, ä-^'Tfli ö'^'7t ^^^ »ÄÄrä« <fi«
KBodueto 10 den drä leteten Vertiaüimfaen, eo werden di* Kb- mente der eisten H<nriH>ntelr«ibe (il,j^««((e)<(^«\)*
..i>t
%i »I. *Ai» *-^4-^*'»» *-^i» — i^ti
iVj^;2|:««x(^. Die Gleiefanng (66) gebt so Aber in:
(67)
|
^I |
*1 |
Pil |
1».. |
Pis |
|
% |
x^ |
P« |
i»« |
Pi |
|
% |
^8 |
p5i |
P32 |
i^M |
:0,
0 x,+ f, 2x£,^ 2xjy,, 2xJS^3
0 0 1?, »?2 »^3
WO nun Bj.jj = - A^^ u^ — Ä rj. t]^ und die Elemente pj^ aus den
Elementen p^. der Gleichung (65) hervorgehen, indem man x durch Ä, w durch v ersetzt. Die zweite Verticalreihe in (67) stimmt mit der ersten in (65), die vorletzte Horizontalreihe mit der letzten in (65) Qberein. Wir multipliciren weiter die erste Verticalreihe mit A^ die dritte, vierte und fünfte bez. mit Vj,
M Vgl. c. B. Clebich: Vorleinnffen Ober Geometrie, Bd. 1, p. S86.
P^ lÄndematm: (7d*er Jk Itncorm IVtamfilwmatiimm etc.
Gl
^, i'i und ffubtrtihiren »ie Ton der erslen. Die Elemente der leUtercn werdeu sodann
Endlich multipliciren wir die letzte Horizoctulreihe, d. h. die Eleiueute
— *',,» 0, i;,, ^,, ij,
mit x^r^^ nnd sddireo sie xtir vorletzten; dann werden die dlleuieute der letzteren
f. X.-I-5,, 2kA,, 2A-J,.„ 2Ä^.,:
and nach Absf*ndpnin(5 des Factors r^ redncirt sich die filnf- reihige Deteriuiuuuto auf eine vierreibige. Die Qloicbang (67) entsteht so in derThat au8(G6), wenn man x durch kf f dtircb V ersetxt
In gleicher Wei?e werden sich diese Determinanten- I'ui- formun^en bei gnisseren Wertberi von n und tu durchführen buMQ. Werden in den Transformationen (51) m Mannigfaltig- keiten f und pt lineare Mannigfaltigkeiten so benutzt, ist alao
(wenn mit 0„ der Ansdrack (41) bezeichnet wird und mit SXm.fi der Ausdruck (44), in welchem ft Reihen w wirkliche Gi^isMn, nicht sjnibolische Zeichen innd), so sind diese Trans- formationen in obigem Sinne aequivalent mit denjenigen, fflr welche fi Mimnigrulii^keiten v and m Mannigfiiltigkeitt^n w zur Uildung DÖtbig waren ; vgl. noch die Zusammenstellung in Nr. 15.
Bei geraden Werthen ron tf ist eine analoge Umfommng der Detenuiuauten nicht möglich ; denn a. B. fOr m <= 4, m = 0. f4 = 2 hal>en wir in (öl):
^■
AltiM»j; der mutlK'jih»fs. Clamf i-^m I. Fet/rmir ifiötf. ."A Dngügäii bei «^4, ta '= 2^ /i^O: 4.1*. ujv, 1 ^m .* ..*
BeÄdfl Trandormatioiieii sind eig'euiliche; naA die letitore ■ ' all iD der Trausfonuatign m = 0 , /4 = 0 eathtfton;
15. Fflr die niedrigiten ZaUen » mSge hier eme Zo-
awtonmig «koijanigflii F&lb gegeben werden, wdefae in
^ittf' dSe'lldlM^^ der ^oitonnMMden Won^ der
nentilgtoMnaig mQg]ioh and. Die OAli» MtfiÜBt
lU die AiURi^>4er '^o^^eln^ welche £^cb,,--l wndt ^
II die Anseilt der Wimeln, welche gleich + i sieb ogeboi.
Äi^heriiWr ._■ ■■^;-'--' ''•_; "/';,,,:'^'' "':^
^'fL^m^O, ju»lj. .'ä(e ^ufep Pjankte der Torge^^tän Innren qoedrsfaechen Form f bleiben jeder BUr aöcli fest .,n. Mwl, ff.«"!., Ba bleiben zwei änaader in Benig fc^,;,^' mä'fmm'd oonjngirU Punkte fesi; der eine nntriit die Hnp^iiiftigkeu «, dar andere die MannigfalngKeii w; die beiden Orandpunkte der Form f werden mit ein- ander rertaascbt.
Zweitens: n^^Z.
I. m=»0, /J = I. Eine feste Linie w; in ihren Schnitt-
punkten mit /*s=0 zwei feste Tangenten, denen zwei Wurzeln a und a~* der Fundamentalgleichung ent- sprechen (vgl. .Vorlesungen" 11,1, p, 384). Beide Tan- genten fallen zusammen für a a~'= 1 (vgl. ib. p. 385).
II. ffl:=l, /i = 0. Eine feste Linie v, an welcher die Ebene in gewissem Sinne gespiegelt wird. Die For- meln (45) lauten
X 9 (Z>
i
P\ JAfnifvtanH : Veber dit Unearen lyaMformatioHtn elc.
Ö3
Macht man / = 2x, jBj, + Ji^. F= 2m,«, -f- «J, p, = 0, Fg = 0. P, = 1, w ist 0^2u^u^, »/, =n,
% = '^» 'yft^ *• "''^•
x + i
"p
xj-J
"a,
-*.•
treten in iler That zwei zu einan<ter reciproke Wurzeln auf; djefivlbeu können inabesondere ^^ l wenlen; duiin hat man eine perppeclivische Transforraation. Nnr letzteren Fall habe ich ft. a. 0. p. 385 erwähnt ; doshalb wieilerhole ich hier die all- gemeineren Formeln; die euUit^hende Transformation ist atler- dinffft nach Kr. 14 mit I vreeentticb identisch.
Drittens: ti ^ 4. I. )^ ttj ^ Ol /i <= 0. Zwei Paare reciproker Wurzeln (flfp öj, ö,"', •'^M- Linearer Ojmplex in allge- meiner Lage zu f^O; vier feste Erzeugende. Zwei von letzteren fallen zusammen, wenn ir, = a,; dann können ferner alle Erzeuf^enden einer Art je in sich transforuiirt werden (». a. 0. p. 3ril H*. Nr. 1. 2, r.) 2) w = U, /* = 2. Ein Paar reciproker Wurzeln (ff, ff~*). Der lineare Complex ist ein specieller in allgemeiner Lage zur Flüche. Die Axe de?«- selben berührt die Fläche, wenn a o-' 1. Die Axe kann dann auch zur Erzeugenden werden (a. a. 0. Nr. 3, 4, 0). IL vt) fM ^ 1 1 fi'^ \. Ein paar reciproker Wurzoln ((T, ff-^). Eine feste Ebene v und eine feste con- jugirto Ebene w (a. a. 0. Nr. 7). 4) m= I, /i = 3. a. a. 0. Nr. 8 und Ö.
II L 5) m ^ 2, fi'^0. Kin Paar reciproker Wurzeln. Di«9er Fall wurde oben in Nr. 0 behandelt; vgl.
mum^dftr
L-|*ftt. OtMie «M /. f'dwwr 1806.
0»t DctenamuiU cnUtllt a+fli + l— j ReÜMA. «IIwmA <P «bcMO. wie in (51^. doreh ili« («i-f ■» + !) reJlnge Daltr- wtnairtf (41) definiit vL
16. Die Anxftbt der ia aa«eren Tranirfornfttiooen entlialteo«o pAratnet«r int leiebt zn hestimmeD. Im P«lle M^O ist die Aotahl d«r CoefficieDtea a^ in (:$7) ^Mch
-ii(tt— 1); du ReralUt der KHmiiution et im Z&hler and
Nenner honogeo io dicNo a^^ und in dem Veriiiltma x : X.
Di« Anzfthl der Pan»n»ft<r iwt ab» gleicb i» (» — l).
WeoD m > 0 »t, so hängt das Bendtat von den uaien derjenigen linearen M^_^^^ ab, die ron den (ileichunf^ (39) bcstimini wird. Die Anzahl diawr Coordinaien üA »(h l) — m{m — 1) ■»»!(« — «). In dieser M^_^_^ haben wir «ne
Veriratidt»eKafl, die ron ^ (n — «)(il— «— 1) ConstAntim ah-
hingt, denn e» ist jetzt n darch ii — M so enetxen. Die Qe- saannitheit der TerfQgbaren Constaoten ist daher
2 (ii— «) («— »I— 1) + w (n — w) = - (»— ai) (a+ai — 1).
Dinelbe Zahl wird von Herrn Voss in seiner letzten Mit- theilang abgeleitet; unsere Zahl ti— m ist dort mit /< bezeichnet.
17. Die Ton uns befolgte Methode wird dorcfa das V« üchwinden der Determinante ron f=0 nicht w--»"»''-*i fitdrt, wie ich a. a. O. for den Fall n = i {"Tntu: u
ÄM^inuren KngelkroiBeR oder einea Panktepaares in neb) bereit« ansgefOhrt habe, Dadarch wird et mflglich, «oeh die Tr farmationen einer bilinearen Form in sich allgenifliii aa£ stellen, insbesondere diejenigen einer altemirendeo Form. Waren im Vonteheoden die a^, gegeben «nd die o^C^^ ~ "i«) aU FaraiMter aafzafaasen. so sind Ym der nllpmirenden Form afflgakehrt die u^^ gegeben nnd die a^^ sind da- raraoirler. w«»- bei aber die FSlle, wo Determinanten nnd (Jnterdeterminanten Ton f^O Tenechwifideo . mit in Betracht gescogen w«*rden mBaiim} auch diMe« habe ioli fflr ii = 4 a. a. 0. daigel^t.
Sitzung TOm 7. M&rs 1896.
1. Herr W. V. MiLLKB halt einen Vortrag : ,Zur Isonierie der Stickstoffverbindungen/ Derselbe wird an einem an- deren Orte veröfifentlicht.
2. Herr LeonhardSohncke macht eine Mittheilung: ^lieber polarisirte Flurescenz^ ein Beitrag zur kinetischen Theorie der festen Körper.*
3. Herr E. v. Lommel legt eine Abhandhing des Herrn Gymnasiallehrers Dr. Zistl: , Berechnung der Mischfarben im Beugungsbilde eines engen Spaltes' vor. Die Ab- handlung soll in den Denkschriften erscheinen.
4. Herr Johannes Ranke theilt: , Vergleichende Be- stimmungen der Scliiidel- und RHckgratshÖhle* mit. Die Abhandlung wird an einem anderen Ort veröffentlicht werden.
r». Herr FEBDl.«iAND LiNDEMANN überreicht eine Abhandlung des Herrn \V. (iodt in Lübeck: .Üober den Keuerbach'- schen Kreis und eine Steiner'sche Curve vierter Ord- nung und dritter Classe."
r>. Herr Alfred Pringsheim macht eine Mittheilung: »Zur Tiii'orie der synektist-hen Funktionen."
7. Herr Carl v. Kupffer legt der Classe eine aus dem liicsigeii liistoloj^ischen Lnboriitorium hervorgegangene Abhand-
6*
■^- -J^lr»^
r
tintg d«s fien-n G, C. Price Am Gbläanäai: ,Zvr Ontogeni« «ine» Hyiiooiden (Bdellostoinft? «pect)* vor.
8. Herr C. A, v. Zittel lägt am Ablwndlnng des Hflnn Jea«nblaoa in Chnahrfjck.* «Die OttrAcoden aim dem
ben 700 Orten tjurf? iit Niederbajern (Oollektion
>ffa>' TOT,
;rtJ
m
Zur Ontogenie eines Myxinoiden (Bdellostoma Stouti, Lockington).
Vtm G. C. Price ntu CalifomieD.
(Ans dem bistologtHcben Laborntonam so MAnchen.)
(ffüpfa^lta a. Min.)
Das in der Arbeifc 7.u bäsprecheiide Materiul wurde ron nem chinesischen Fificher m PaoiHc Grove, OAlifornten« an *nneiii Angelhaken hängend im Augui^t heraufbetunl^rt.
Dass diese Eier Bdellostomaeier Hnd , unterliegt keinem /weife], denn ich habe mit jenen identische £ier im Mutter- tiere selbst spjiter beobitchtet. Die erwachsenen Exemplare des JTierc«, die ich in Hunden habe, zeigen dnrchweg 12 Paar liLisere Spiracula, jedoch Keigt das hinterste Spiraculum der linken Seite, welches mit dem ductuü oesophago-cuttineuH yerbunden ist, nicht eine kleine runde Oeffnung. wie die flhrigen, sondern ■inen longitudinal gestellten 7 — 8 mm langen Schlitz.
Ich rermute, dass anaser im Auguat auch zu anderen Zeiten Kiählage ütattHndet. denn ich habe gelegentlich sowohl im späten Winter, aU im Beginn des Frilbjiihr«s reif aussehende, jedoch keine Embryonen entbaltende Eier au^ Ufer augeächweuimt ge- funden.
Diese Kier innd iHn^licb cylindriäch, etwa 22 mm lang und haben 8 mm iti der ktlreeren Axe. Die Eischale ist bruuu und homartig; sie iit an beiden Polen mit Ffiden besetzt, die Ende je einen Haken -Apparat tragen, wie die Eier ?on fyxino; mitteU dieser Haken heften »ich die Eier aneinander. Ah einem Ende iät an der Schale durch eine circul&re, dunklere Linie eine Art ron Deckel begrenzt; diaa ist daa rordere Pol- ende des Eiee, weil hier dim Kopfende des Embryos steh findet.
■■■ ^ iT^
Bb Begm mir dra IBBlajuwiriiiBJHiii diens Timm vor, fift riii ^ Jl «nd O miieneliiedeii werden nflgea. Vba j1 od C ■ft «iae SEBidma^ des EodMTO auf dem DottoDMtfce
oaSliidfaiBBkidff Biclit AneAUada«s magAmAm Ailiafc nr Wwdatgabe hnawi
]h Bkiiini ii iit der Mmhry kttnv ab der tifiidiwliii
i 21 HB hage Dottanaek. Der Kopf Obarx^ da vorierai M des Dottenacke» aar wenig and iefc iftaik venfaalwicfa ga- k; derRmapfdeeEmbiTo fiigi geitaeeki auf de« Dotter
Baft UnteK, iag«i|ätrt aoe; das TliiitiiineMiie araefat des Fbl des Dottenaekee nicht, sondern alakt a«^ ob 6 aai davon ab. Im AUgemeinett le^ dteeei Stadiam eher dl» HaliefaM «lam Teleoetienies, ab dea eiaei Fehoa^aoaka, «bar dm iadert aieb Ui «am SfadimB C betricMiiA. Ym fiemm 8Udiam lag aar em Kiiiiiler vor, dm bie aaf «iaa yriiy BeeohidignBg am hiaferea T^ der liakaa RooffbilAe gat ertattwi war. Hier irt ein anaihend ^indriedMr Kopf- W fiai Aber den Dotter in lang« Anedehnang voigewaebaen, M «idi veBtralwfate gebogen and liegt eingebettet in eine tiefe Farche an der ventralen Seite des Dottersackes. Dieeer ist noch Ung elliptisch, miast aber nur 13 mm in der Langs- ame. Ein korxer dorso-ventnl abgeplatteter Schwanz krfimmk sich um das caadale Ende des Dottecsackes ventralwärts, gleich- &U5 in «ne Forche eingelagert. Der das Hirn enthaltende Teil des Kopfendes erscheint knopfförmig verdickt.
Ich gehe non ra einer genaueren Charakterisierung der drd Stadien Qber. Das AoffaUigste ist, dass dem Embryo im Stadium Ä jede äussere Oeffnung fehlt. Es findet sich ein Nasen-Hjpophjsenkanal, der aber sowohl an seinem vorderen, ventmlwärts gerichteten Ende, wie hinten blind geschlossen ist. Dieses hintere Ende entspricht der Hjrpophrsis. In den Gang Offiien sich paarige Riechsäcke, die vom anter dem Hirn blind heginnen.
Der Darm ist in diesem Stadium A innerhalb des grösseren Teiles der Kopfregion vom Endobla$t des Dottersackes abge- schnOrt. Dieser geschloesme Vorderdarm erstreckt sich candal*
O. G. iVice: Zur (Jtttwjtnie rincM MyxiituuUti.
71
nicht ^iin^c bb Kur Hölie Jt» ersten 8|uu)Ltuiin|jftion. Im liiuUjrcu Teile ist sein Lutiiun uunälierad quodratitKib im Quor- «chnitt, mehr nach vom wird das Lumen breiter Aber sehr eng in dono-ventraler Richtung, dann knickt e» sich im Winkel veniratwurtä. Kine Mundoffnunff if^t, wie erwähnt, nicht vor- hiknücii, auch vermir^t man eine Tentrals mediane i^inalUlpiiii^. Uade blind endet der Darm vom aber nicht, er setxt sich viel- mehr nach vorn in einen engen Kanal fort, welcher in den Nmwn-Hypophysenkanal einmündet.
Dreizehn Paar Kien>enta»chen sind in diesem Staditiin vor- banden: 5 in der Region des vom Dotter abgeschnürten Darmes, 8 im Bereich der offenen Darmrinne. Keine der Kiera entaschen öffnet sich nach atiäien. Die drei vordersten kommen nicht einmal in B4.'H)hrung mit dem Kpiblast, die folgenden zwei be- rflbren sich gewiss mit dem GpibliLtt, die letxten acht wahr- scheinlich, aber eine Verschmelzung findet nicht statt.
Die Beziehungen des N- facialis zu dem vordersten die>«i 13 Tascbenpaare ergeben, d&äs diese Kiementiiäcbe der hyu- mandibularen Tasche entttitricht. —
Im Stadium ß ist der Hypopbydeukanal kürzer als im Stadium A und endet uuu vor deui hiutereu £ude des Trichters in beträchtlicher Entfernung vom Darme. — Die Nase ist schon sehr oompUciert; sie erscheint in Form paariger AuietUlpungen Xasen-Uypuphysenkanalä, aber jede Hälfte ist durch secuii* Au«fitQ]pungen in 3—4 Unterabteilungen gegliedert worden; ich fa^e die»e Septieruug aU Anlage der Nasenfalten auf und sehe in der paarigen Anordnung nicht den Beweia einer ur- aprQnglich paarigen Anlage des Kicchorganä.
Die beim ^jtudium A erwähnte Verbindung j^wi»cheu dem vordoroten veutralen Kude des Darmes und dein Nasen-Uypo- phy^enkanal existiert hier, im Stadium £f, nicht mehr. Letzterer KAOal hat eina kleine äa-were Oetfnung erhalten. £ine Muud- Qfihwig des Darmes iat auch hier nicht Torhondeo. Aber beider- »eitit ventral greuxt die Damilicbtung an eine whr verdünnte Stell« dl» Kpiblatite, et> macht den Kindruck, aU wenn sich au
72
aUtumg der m0th,*ph^». Cluvr vom 7. Märt ISO«.
(üpi^eii Stellen OeÖhua^en bilden wollten und £var uucb »be eine flolcbe mediiui aufgetreten i^L
Man trifH in diesem Stndium B 12 Paar KicnienlBcebMi un, aber mindesieni) 3 Haar vordere sind reduciart wordeO:, waa man aas den 'zuf^hSriKen Aortenbogen ericblieieen kaoD. —
DaA V'ordereude des Kopfta vom Stadium C zeigt bereit« die rier der Art« wie den bisber bekannten Myxinoiden Qb«r- hanpt 7.nkommenrlen Tentakel paare. Zwei Paare nmstefaeo den Kingang in den Nasen rachengang, zwei nahe KUHammengerQckte Tentaketpaare stehen am Seitonraude einer Platte, in dinrn Mitte »ch die MundSflüiung bilden wird, die hier aber nocb fehlt. Der Notienracheugaug. resp. Nasenhypopliydciikanal der frnher«n Stadien, bat aber bereit« eine engt- äussere Ouffuun;; und vereinigt nich hinten klaffend mit dem Darme. Der Uarm. wie der Naaenracheogang &etxen sieb nach Tom und veotnü- wärtä in »wei gleichgestaltete, parallel hinter einander gelegene Köhren fort. Die Mundröbre endet blind gegun eine dick« Epiblastplatte, davor li^ die enge äossere OeSiiuDg de» Naaeo- rncbenganges. Dieser rQhrenfSrroige AnfaogHteil dex Qangw hteigt von der ftnaseren Mündung fast vertikal gegen die Nase auf, knickt sich dann und verläuft unter dem Hirne nach hinten zur inneren MQudung in den Dann. An der Knickiingsutelle öffnet sich das auch hier paarige Riechorgan in dietieu Gang.
In diesem ältesten der vorliegenden Stadien iiind 11 Paar Kiemen vorhanden, welche in Bezug anf Lage aod Bau mü denen der erwnch.^nen Tiere Qbereinstimmen. Sie liegen in don Segmenten, welche dem 10 — 20 Spinalganglion entffprochen.
Ich kann nicht bestimmen, wie vi^le Kienientascben nb«r- haupt sich bilden. Im Stadium A sind mindeit^ns G aotcher vor dem ersten Spinalgangtion vorbanden. W&ren s&minUiche KiementaMhen vor dem 19 SpinalgangUon erhalten geblieben, •o wäre die Oesammtxahl derselben auf 3b zn ncfaiitzen.
Ohne viel Gewicht auf die absolute HichÜgkeit dieser Zftht legen ko wollen, kann man doch bebaupt«o, das die blsibciMUD KiementAochen oiueres Timm «ich nicht mit denjenig«ii von PetTomyi:ondeokeii,iondemvol]itjlndig dahinter zu hegen kommen.
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Das Kxoretionrssystem anlnn^end, so eretreeH es sich im Stadium Ä dorcli 60 Sef^iiic-nt«. Im vordersten die^r Sej^mente, welchem der Lage nach dem 11. ^pinalKanglion enbs'pricht, Hndel man eine einfache Verdicknnt; der Soniat/ipleure. Im zweiten S<^ment bcwrkt einp Ipirhte AnsatOlpunff dio AnUpt* eines Vomierenkfinälchen!« «nr! dieses ist durch eine verdickte Platte der Sotnatopleure mit einem gleichen Kanälchen de« dritten Segmenten verbunden, l^udalwärts tnnd die Kanälchen in der Entwicklunit weiter vorRe»chritt«n. Die sie verbindende Verdickung wandelt »ich xunnchfit in einen WnUt und dann in «inen nnn vi^lliff von der ^^<mlHtopleure ah^el('l!tt,en Strang um. Dieser Strang i^t der 8e|j;u)ental|^'an|j^. Die Mflnduuf^en der Se^entiilkftuülchen schieben »ich eine kurze Strecke weit in den Sej; mentalgang vor, ahne jedoch die gleiche Mündung im NuchbAreegment 7.n erreichen. Im lot/.ten Segment ist kein Kanülchen vorhanden. In einigen der am weitesten caudal ge- legenen Segmenten haben dit; Knniilrhen ihre Verbindung mit dem Coelom eingebüsst. Der Segnientnlgung erstreckt «ich in diesem Stadium eben sd weit, wie beim erwuch^eneu Tiere, kommt aber nicht mit dem Uypoblafit in Bernhruug.
Die angefnhrten Thatsachen berechtigen uns, dos ganze System als Pronephros xu deuten.
Im Stadium Ji hnben sUnitlichc KanÜlcfaen, mit Ausnahme niger vorderer, ihre Verbindung mit dem Coelomepithel ein- gebnsst. In den letzten 19 Segmenten sind die Segmental- kanSlchen spurlos verschwunden. Dasselbe .soll beim erwachsenen Tiere in grosser Ausdelmung der Fall sein. — Di^r grösste Teil des Segnen tat gnngefl hat eine Lichtung erhalten. Das hintere noch maanve Ende dewelben ist mit dem Hypoblust in Be- rQhruog gekommen.
Im Stiulium G sind alle Spuren des excretorischen System» in den 20 vordersten jener 09 Segmente verschwunden. In den xiinurtist dtmiuf folgenden, d. h. den unmittelbar hinter den Kiemen gelegenen Segmenten, hnben sich die Segntental- kanittfhvn in die Kanälclien der heim erwachsenen Tiere Roge- nannten Kopfniere (Weldon ISS-i) umgewandelt. In vor-
74 SiUtmg der matk.fhga. Clane vom 7. Man 1896.
liegendem Stodhim sind jedoch die Yerhilfenine noch riel ein- &cher, ab beim erwachsenen Tieie. Die flbrigen Kanälchen, wdefae dem Meaonephros nach Weldon entsprechen, haben Glomernli erhalten. Der Segmentalgang Gffnet sich io die Kloake.
Diese Tfaaisachen zeigen, dass das exccetorische System in firOhen Embryonalstadien durch die gania spatere Kiemenregion des erwachsenen Tiera sich enbeckt, ja noch eine Strecke weiter eraoialwärtB imcht. Diese Verhältnisse gewinnen noch mehr an Interesse, wenn man die von Boreri bei Amphioxos nach- gewieaBnen Exerefeionsorgane in BerOcksichtigang sieht.
Ich kann mit Bestimmtheit die Behauptung aufstellen, dass die Ton Weldon 1884 als Pronephros und als Meaonephros nnterschiedenen Abschnitte beim erwachsenen Tiere sich ans einer in jeder Beriehang gleichartigen und einheitlichen Em- bryonalanlage differenzieren und dass der Segmentalgang im giSssten Teile sdnes definitiren Verlaufs im Anschluss und in Verbindung mit den Anlagen der Segmentalkanölchen entsteht.
Üeber das Hirn, das periphere Nervensystem and das Kopf- skalett dieser Embryonen sind meine UnteTSuchungen noch nicht zum AbschlubS gelangt.
Gin Larvenstadium besteht bei Bdellostoma offenbar nicht; die Entwicklung an diesem meroblastischen Gie verläufl direkt.
»
Polarisirte Fluoreacenz;
ein Beitrag zur kinetischen Theorie der festen EOrpmr.
Von L. Sohncke.
l&wpt^Amfm 18. ir<ir*.)
Inhalt £ ^ I. Kinli'ituiiir. S 2. Vergleich nag mit d«n Ersdieiaunffim trQloM' Mrnlion. «1 rinsw'pkpilon. V»! Kinfiwh l<rfchen'3e ff*t<* Kflrpvr. I. Alisfhiiilt : Fluurt>«piMiK aiitJM-h piauxigtir KrjratiilU'. K S. Khanbu6driM:lie« Sy«tem. KiükipAtb. % 4. JJesaeoDalo« - ' . \i ■! §5. Kort-ffziiri)?. Bwyll. JJ 6. iJu.i<lniliHi:b{w iiin. g 7. Forlflfl/iinn. Hurnblni. II. Al'hiclinilt : Kliit>rr«rpni optiurli r.wiMaxiprr Krvi«tiill<*. 8 8. HJuimhidfhr:* Sv-tcHi. Topas. B 0. Foftsou-iiHR. -iViraRoiiit. RIO. Knrtnetziing. H<;<<>l*lGHTrz. §11. Moiiubliiifti 87ft«in. RobmiclEcr. j} 13, Tri* kluK's äjal«m. Cfiiuit. ft 13. Boifiütatf.'.
)$ 1. Einleitung.
Die kinetische Theorie, ureprQuglich für den Gaszustuud aufgcstlellt, über von Olauitiu:«^) «ogleich auf den Hn!4«if{en Z\i- dtnnd uu!:f^dt.'hnL, hat fUr letzteren, wie Herr Chr. Wiener*) .tchon ror langer Zeit entwickelt hat, oinen beinahe aui^en- ttclii^iulichen Beweis in den Brovrn'schoD Motekularbewegungan Kuftiadt'ii. Man kann nun tinniöglich nur den gasigflo und Üfläftigen Zustand kinetisch auSiusen, »oadera muM, wie es »cbon Claueiii« tbat, auch in den festen Körpern die Theilcben für
1) CUuüiM. U«b«r die Art d^r Hewi^iinK- dl« wir Wtrroe aeniieii. l'oKirx-nJnrtb Annalm. 100, 353. 1867.
^, t hr. Wtcuer. Krk). •!. niomirtiacfaen Woaena des tropfbu'-flajuig. Mrpanuii!tjuidfw luid U««UUiguiif; dowelbeti duruh die Mgea. Uoleknlnr- '"nrepinjren. Voan- Ann. 118. :<. 7^', ISfiS,
.SjUWN^
rftBi ~ .WiSr; ts;iti
bewerft erklären. XatHrlich kfinnen hier im Allgemeinen nicht Iwiiebig fortschreitende Bewegungen auftreten, sondi^m die Tbeilcben werden — bei konätuuter Temperatur — nur in Schwin^iDgen oder irgendwie gearteten TTmlaofebewegiiTigim um feste Mittellagen begriffen sein. Ich war nun Kchon vet längerer Zeit bemOht. Thatsachen aiifKiititiden, welche geeigne erscheinen, unsere Vorstellungen Über die Bewegung^ Vorgang der Theilchen der festen KOrper zu klären und bestimmter n gestalten.
Weil die Molekularbewegfungen nothwendiger Weise im engsten Zusammeohange mit den Wärme-KrscheinungeD stehen, wi kann niiin hüffeo, auf Grund der letzteren eintm tieCer Blick in die molekularen Bewegungsvorgäuge zu tfaun. Wäbmd ich diesen Gedanken bei anderer Gelegenheit weiter zu rer^ folgen gedenke, schlage ich in vorliegender Abhiuidlung einen ganz anderen Weg zur Erreichung des vorgH^ckten Zieles ein.
Sobald man dm molekulare Verhalte» fester Ki')rpor nnter« «acht, moss man beachten, das» man es — abgesehen vielleicht TOD den fßiten Körpern der orguiii<cb*.'n Xatur { von Hulx. Knochen u. ». f.), sowie von den Colluideu — immer und Qberall nur mit krystallisirtem Stoff zu thun bat: denn auch die al» amorph bezeichneten Gläaer sind wohl nar uU in besondem hohem Orade kleinkrystalliniscli aufsufaaseo. *) Somit ist die Frage nach der Art der Molekularbewegungen in featen KOrpem im Wesentlichen zu ersetzen durch die Frage naf?h diesen Vor- ^bgen in Krvstallen.
Dass die Molekularbewegungen im Innern eines KrjrvtaUs nicht ganz regellose sein können, sondern durch die Art, io der die Bausteine den Krjstalls angeordnet sind, d. h. durch seine Struktur, bedingt sein mOasen, iTHcheint »elhfttTe»täDd|jelLij Wenn man nun irgend welche Theilchen eines Krjitalli Flnoreaciren bringt, d. b. wenn man sie veranUnt, Schwing-
') W. Voigt. ThBorct. StatlMHi ab. d. EluticttaUvvh. d. Krritall«.
AU|^ 4. k. Om .1 Wim 1. a«ttiii««B. M. iWT. 8. Aa — r»-
^i^im, tviach. d. baid. KUirtäeitAteliotittnn1«n isotn-iiW Kflvprr ouatw Aniiaiea 88. 1980. H. »74,
i* üiihneiit: Potarmrte nuortteenj.
EtmudflB, ao isk dies nur dadurch mö^rlich. dass dt« Ttieilchejt /.iiror selbttr in Sehwingungen veräet/.t süien; und die Untersuchung des ausgesendeten Fluorescenzlichtes wird gewisse KfickächlQsse nuf die Soliwingunp^vorgange der flaorescirenden Theilchen selber gestntten. Allf>rtlingä bleibt es hierbei ganz, unentschieden , welche Gebilde es »nd . die da fluorescirend schwingen: oh Atome, beitiebnngsweise Atomkomplexe, oder nur etwa an den AU)nien haftend« elektrische Ladungen.
Auf welche Art immer ein Ort im Krystall za einer Licht* quelle gemacht sein mag, jedenfalls muss die von dort aus fitafci- findendo Licbtausbreituug — da sie durch daa krystalliairte Medium hindurt:b vor sich geht — die gewÖhüHcben Gesetze der Lichtbenogung in Krystallen befolgen; also rouss in allen Krystallen, die nicht dem regntiiren System angehören, DoppeU bri^ohtin^ eintref^en, so daas nach jeder Richtung zwei seukreoht luieinandor pülarisirte Strahlen vom Erregung^-entrum ausgehen. Ist oon der Kry-ttall nicht genide ein dichroitiächer, d. h. ein »olcher, welcher die beiden Strahlen merklich verschieden ab- ßorbirt, so werden beide nach senkrechtem Austritt au» einer KryäUllÜilcbe noch dfiöselbe Intem^itäUverhältnisä haben, welches ihnen von vornherein innewohnte. Wenn sich daher jetzt ain Strahl dem anderen an Intensität überlegen zeigt, •o scfaliesat man mit Nothwundigkeit auf eine anfäng- liche Veracbiedenheit der Intensität beider senkrecht zu einander schwingenden Strahlen und somit auf ganz bestimmte Seh wingungsbewegungen der fluoresciren- den Theilchen.
Man darf vennuthen, dass im Krystull, zumal wenn er irgend wie von Licht getroffen wird, ähnliche Bewegungen dauernd vor sich gehen, im Altgemeinen freilich nicht mit hinreichender Stärke, um sich dem Auge durch Fluorescenz xu verrathen, ati-iser eben hei geeigneter BeLstruhlung. Aber selbst wenn diese Vermuthung nicht zuträfe, so werden auf dem an- gegebenen Wege doch jedenfalls diejenigen llichtungeo im Kryi^tatl aufgefunden, nach welchen hin jene Licht-ao&iendenden Schwingungen vorzagnweise sich vollziehen können.
78
SiUitrifj tief math-ithj/ä. CluH»e rom 7. JtfJrr SüHtJ.
Derartige Beobachtungen bilden den Inlinlt des Folf^nden: Ü'w hier behoDdctt« Krßcheinnng ist in Tereinz<?U<m Kiillwi schon frnher beobachtet; ihr Entdecker Graitieb^). der sie an fünf verschiedenen PlaiincyaiidoppcliiaUen gesehen bat nnd al» ,Doppelfluorescenz' hexeichnet, entwickelt sehr klare Vorst«!- Inngen Über dieselbe. ^Merkwürdig ist die Tbat»uche, dass ein Dichroismas des PluorcBcenztichtes beobachtet wird , der mit dem Dichroismns des Kn-stallkrirpers bezßgh'ch duii ' ' i
Lichts in keiner Beziehung zu stehen scbeint. N i _ ^ -i Dichroismus hier nicht der recht« Ausdruck, da es sich mehr um Unterschiede in der Intensität, als in der FArb4« t]tt^ lächts handelt Das Licht der Kluorescenz dee Calciuiu-i platincyanflrs Tihrirt xenkrecbt eur L&ngtMiiute de« herrscfarade I'rijmia intensirer, obschon OaKinniplatincyooflr mnaragdgrüafi Licht dnr*blil.-st, & mag |I oiler X zur Läng*?naxe vibrireu.* . . . ' ,ln allen diesen Füllen zeigen die eigentlichen Körperfarben«^ die man im durch gelassenen Lichte beolwchtet, durchaus keil Aiialogun, Die krystAlIi»che Äh^orptiüii t:«t in keinem heAÜnin^ baren ZusBrnnienhange mit der kry>»t«llischen Fluoretfcenx.*. . . . .Die Elaülicitat innerhalb des Moleküls mnsa eine uidere üein als ausserhalb desselben im KrrsUiltgansen. FCr die fluore cirendeo Molektlle verhält sich der nhrige Krjaftalt nnr uli durchsichtiges Medium. Die Dnp|HdtluoreGC«nx iat Moleknlar-1 dichroisranSf Molekularabaorption. im Gegensatz cum gewöhn- lichen Dichroiämus der Kry&talle.*
KOr Magnesiumplatineyannr beschrieb v. . Lommel die) dichroitiache FlaorescenE xaer^t.*) Im gl4?ich4?n Jflhre fa Ma»kelyne') PolariiMition de» durch KathudenMrAhlen er* regten FlnorescenKtichtea Ton Smaragd. Sapphir. Zinnat^in UjFacinth, und zog aus »einen Beobacbtangen. frtriltrh mit ailiiu
't Omilirfa, Kf7ataIlc^mpliL'<ipl>«^t TTnti'macbinii^n. Wlva. 18S8.
S. C4 u. ST.
*i T. LMannel. WMnnaiiiij Annalm & I8T0. fi, üSi
*} \nimaf[ n mntr Abhiudlttag v<m OrcwJtm. iVoe. B^f. Sor.
Utabw. 96. 187V S. «77.
L. Sohneke: Potnräitie J'luoresceiu.
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Vorbelialt, den Schtu»«, d»s& imEnpr jene Stmhlen nr/f^ni^ werden, doren Vibrniionsriclitung der Kichtun^ innximaler optischer Kla- iiticiUt im Krv?*tAlle entspreche. — Dies üit, AOTiel mir bekannt, das bisher vüHiegendi? ReolmclituriKsinalerial. Es Ist sehr npärlich, trotzdem da^a die ICrscbeinung uugeiiieiii verbreitet sein rausa. Niinlich ich halte, nuf Ornnd der obigen Erwägungen, dii» polarisirte Flnorescenz fflr eine Eigenschaft, die allen mit FiiKtresocny. begabten tlopp(>)brechci)den Kry stallen Kiikonimt, so das» ihr Fehlen ^ine Auönahnie wäre, die enrt eine eigene Erklärung t'i-rorderu würde.') Um diese meine Auffassung zu lieweisen, erscheint es Tor Allem notbwendig, die pulariairle Kliiorescenz womöglich an gänzticb wasserhellen und duher von Diohroismns freien Krjtttallen nachzuweisen ; Di&mlich .starken Fleochroismu.s können nur stark absorbirende, d. i. lebhafl gefärbte Krystalle zeigen'.*)
Die sehr einfache Versucliäjin Ordnung bestand darin, paral- leles Licht (der Sonne oder der elektrischen Lampe) durch eine Linse von 27 cm Brennweite and 5 cm Durchmesser (ea war eint! Hcri^tcryi^tulltinHt«) in ein tichwach konischen Strahlenhündel umzugestnltrn »nd so in den Krystall eintreten zu lassen. Immer, ausser bei der tlatersuchung des Kalkspaths, war ein violettes Ota<! vor die Linse geschaltet. Dasselbe Ifiast das ganze Blan
*} Eine gaux andere Aii^asuiui); bnt F.. Wiederoann entwickelt lAunalen 9. 1860. S. I&B). Die dichroitiecho Pluoreacenx. welche die l'laiincrundnpprjRtilx4« iintir d«*r Wirknng der KRihndi*ntttTuhl«n u*igen, führt K. WirHtrumnn djiraiif zuräcJc. dou die oborÜlithliLhc Hchifllit ein«? ' r, il»*!« dio ticft'r liegeticIcTi, unootwiüiK'! ' ■•'ii'-n
.'i : ■ ' in'il, und Ahm» lnl/.tvri*N Lirht. die(>b»*;i tiirht
chdriagvud. tn 2 ■enla-f^oht polarisirl« CoinponPiiton xnrli^rrt word«, vprtchieilttnt» AbaoriJtifui nrlpiili'ü. Wahrond diene Dnitnnfr anf die i viMi Mojtkrlvnp stiidjrttni Snb»tnin[fn ulfenbar kflinc diroktö Änweiidimg tlndet. wÜ! nu<-h mit der vnn Gmiltcb hM-vorgt>hul>4.*nen gitiix-
liehen Vw^ i ^i-H zwisi^hm .UopjioIHluirnK'fnx' und Ihrhroinmus
dm Knr^ialU für dnrcbgelaa^cne» Licht ni^ht r<fcht in Einklang bringm Inweu.
•) Dtotb, Ph.T»ikaH«Thi» Krf«(aIto(rraphl*'. Dritte Anflagp. T.eipxig. leoft 8. IRB.
80
i/A.-jAy«. am
tSO€,
nod Violett, von etwa >i ^^ O^.S'^S // an, d. h. von £* H hinau.'i, — mit nnr eini*m xchcualeu AbturptioDautiretfon joa- ieiU S — hindiircli, ferner nucfa den kifliuffo Tbeil des Rotb. der die Linien A ond B enthält (0,780 IjIh (i.OSO ;<), ond ebw« schmalen streifen im Anfnu); de« GelbKrQu« von 0^h76 bis 0,551 /*. Der im Krystall durch Flaoreicenx ncli al>Keichti«fidi> Struhleuwef; wurde vuii der Seite her durch ein Niix>r«:bc* Prifma, nnthi^«" Falls mit Lupe, beobachtet. In rielen Wr- äucheii war duü Licht dicht Tor steinern Eintritt ia den Kryst«!! )»preitji dorch ein Nicorwbes Hrisuia hindurcbgeschickt.
In derTbat lieferten alle Oberhaupt fluoreecirpti- den doppelbrechenden Krystalle Fiuore8cen:&Ucbt, welches sei es theilweisef sei es rollständig polari- Htrt war, wie im Folgeaden näher dargelegt wird. & schniiit übrigen», — wie hier beiläuÜg bemerkt «i, — aU wenn eine fluorescirende krystallisirte SnUtaDz die Eigeoschafb der Kluorescenz nicht uothwendig vermöge ihrer charakberistiscbBii chemischen Zusammensetzung besitzt. Aondem oft nur verinj^ minimaler fremder tieimengungen. Nur »u .•scheint es mir rer- ständlich, daas z. B. mehrere von mir untersuchte völlig wawer- lielle Rhomboeder Isländischen DoppeUpathe starke Fluurc zeigten, während eine eben»> helle Kftlks|>ath5äQie an» Egremon in Cuuiberland nicht Hie geringste ^pur davon erkennen lin«; ferner dass ein sehr klarer schwach gelblicher Hibiriücher TufMb gar nicht tlaoresicirie, während zwei andere mitidest<?n« e^• klare Topase von der Urutga bei NerUchinsk lebliaft Üuu;.^ cirten, jedoch der eine stärker als der andere, und zwar ao gewissen Stellen des Innern besonders st^rk. Auch die nachher zu erwähnende merkwürdige Verschiedenheit der FIik r - zweier Aquamarine findet wohl in der vnrschiedenen (Jua ^ die FluoreiKenz bedingenden Beimengungen ihre Erklärung,
Keine Spur von Fluorettcenz bei der ßeäiruhhnig mit dcfD durch das violette Glas gegangenen Licht der elektrischen Lampe zeigten die von mir untersuchten Krystall« folgender Substanzen : Alaun , Sylvin , Chlorsaures Natrium , Dolomit, Natronsalpeti^r, Supphir, Phennkit, Qyp», Kupfersulfai. lu-
L, Sohwke : RrfarwiXf lluoreseenz.
81
dessen ist es mir doch gelungen , für jedes Krystalkystem einen oder einige deutlich Üuoreücirende Repräsentanten zu finden; freilieb sind einige davon nicht so frei von Dichro- i»mu8, lUs wün^clienswerth gewesen wäre. Sie werden in zwei Abschnitten yorgefilhrt; im ersten die optisch einaxigen Krystalle Kalkspath, Apatit, Beryll, V^esuvian, Homblei; im zweiten die optisch zweiaxigeii Topas, Arragonit, Woissbleiera, Zucker, Cyanit. Bei der BeschaiTung des zum Tbeil sehr kost- baren UntersHchnngsmaterials, sowie bei der Zurichtung des- selben, »tand mir Herr Professor Dr. Groth stets su& liebeus- wtirdigste mit Hatb und That bei; ohne seine nnermndliche und stets bereite Unterstützung würde mir die Ausführung der vorliegenden Untersuchung überhaupt nicht möglich gewesen seiu.
I I
§ 3. Yorgleichang mit den Erscheinangen trOber Medien.
Der Durchgang eines Strahls durch einen Huorescirendeu Krystall bietet eine gewisse Aehnlichkeit mit dem Durchgänge durch ein tröbea Medium; es ist daher wichtig, beide Erschei- nungen bestimmt zu unterscheiden.
a) Flfissigtceiten.
Wenn ein durch eine SammelHnae coucentrirbes weisses Slralilenböndel (vou Sonnen- oder elektrischeui Licht) durch Wasser hindurchgeht, das z. B. durch Vermischung mit einer kleinen Menge alkoholischer Mastixlüsung wenig getrübt ist, so erscheint der Strahlenweg in diesem Wasser bekanntlich bldnlich -weiss oder, bei sehr geringer Trübung, rein blau, und jeder vou diesem Strahleuweg senkrecht ausgesandte Strahl ist polariairt, so daas seine Polarisatiousebene den Strahlenweg in sich enthält.*) Bei Anwendung vio- letten Lichts sind die vom Straliienweg senkrecht ausgebenden Strahlen ebenso poUrisirt wie bei Anwendung weissen Lichts.
<l A. I^lfmund, Comptei rendus. 18C9. t. 69. p. 189. 283, 917. Tyndnlt, Phü. Mag. U). m>% 87, 383; 38. 150. Stniit (Lord JUyleiRfa). Phil. Mi»ß. (J). 1871. 4t p. 107, 274, 147. 1898. Matli.-|>ti7». GL I. 0
82
8iUwt0 <ler mttih.-pht/a. CIm»* mm T. Märt Ite**!.
Enetvt man aber Aas trObe Medium durch nnp flnorescirendc»
'Flüssigkeit (z. B. b'IuorwtceVnlÖsuDK '»tler iVtrolHiim), wi »endet
der flaorescirende Strohlentreg fast voUkomnien unpulari-
Birt«8 Licht aas.
Bei Drehtin^j eine« NicoPsdien Prismas vor dem Anj erscheint der Strnhlenweg höchsten» eine Spur WKisslicher« so- bald die Polarisationsebene rie» Kicol den StrnliltMiwog in neb enthält, während bei dazn senkrechter Stellung d^ Nicol nnr die gnoR reine Fluorescenzfarbe zum Vorschein kommt. Di«' geringe Beimengung mehr weisslichon Lichts im eruieren Fall litt offenbar die Folge einer geringfögigen Trübung des Medium«. Bei violetter Bestrahlung sendet aber der fluorestirende Rlmhlrn- we<^ vollkomuten unpularisirtes Liebt aus; Drehung des Nico! Tor dem Auge bewirkt nicht die geringste Intensitats- oder FarbenSn dem ng.
Za demsetlien Ergebniss fßhrt die Anwendung polnri- sirt eintretenden Lichts. Der jetzt iu einem trQban Medium sieb abzeichnende Stmhlenweg — blünücb-woiB oder Tiolett, je nach Anwendung weissen oder violetten Lichte — schickt hauptüüchlich nur in der PolariaatLOusnbeno dw ein- tretenden StraIileDbündel!j Liebt utu, und zwar in dieser Ebene polarinrtes; nenkrecht dazu aber ftuft nicbtn. Wird der polari- ^sirte Strahl hingegen in eine fl norescirende Fln^nigk^nf geschickt, so zeigt «ich der Strabienweg, wenn w^iaseä Licht angewandt war, in der Potariiiatinnsehene nur eine Spur weis»- [Kcher nU senkrecht zur PolarbutionMebcne, in welch* letzterer [Richtung die reine Fluoreecenzfarbe gesehen wird. — Bei ^polaris! rter violetter Beut rah lang Hendt*l aber der rtnoreflcirende Strahlenweg rollkomnien unpolarisirtet larht auf), und r.war in gleicher St&rke nach all»n au ihm Hcnkrechteu Kicbtungen.
Zw Sf^Hckt: fidaritirtt Fltiorttevtu.
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b) Kinfacb brechende feste Kdrper.^)
Ich untersuchte zwei OloHwUrfel; ein unpolarisirt eintreten- der weiia<.*r Stnihl zfichnett; seinen We(f in dem einen grün, in dem anderen blau fluorescirend ab. Dem Fhiorescenzticbt ist in beiden Filllfn ziemlieh viel welsslicbes Liebt beigemengte und daa roni Strahlen weg senkrecht auf^esaodte Liebt ist ziemlich stark polarisirt jn der den Strablenw^ enthaltenden Ebene. Stellt man die Polurisationsebene des tor das Auge gehaltenen Nicols senkrecht zum Strahlenweg. so erlischt der polariAirte weiAsliche Antbeil, und nur dai> reine FluorescenzUcht bleibt flhrig. Der pfjlarisdrte Antheil int offenbar dadurch be- dingt, dAH dm Gins zugleich aU ein wenig trflbes Medium wirkt. Bei rioieltor Bestrahlung sendet der flnorescirende Strahlanweg voUkommen unpolarisirtea Licht aus; es leigt die reine Fluoresoenzfarbe. Schickt man pulari»irtea veissee Licht in die Qlä^er, so sendet der Btrahlenweg am meisten Licht in der PotariNationaobene de« eintretenden BündeU aus, und y.war ziemlich stark in ihr polarisirtes. Bei polarisirter violetter Bestrahlung sendet der Strahlen weg gänzlich un- polarisirtes Licht aus, und zwar vou gleicher Starke nach allen zu ihm senkrechten Kichtungen.
Ein ^hr groaaes «aaserhelles SpaltongastUck des regulär krystallisireiulen Flussspaths, tum der k. b. Staatssummlnng entliehen, erschien bei gewöhnlicher Besichtigung merklich homogen. Aber beim Hineinsenden eines StrablenbDndels zeigte es «ich au9 zwei verschiedenen Schicht<_*ii beätehend« deren eine dos Verhalten eines stark trüben Mediums darbot, während sich die andere ganz frei von Trtlbung erwies. Denn derselbe Strahl Kcichnete sich in crsterer mehr bl&u lieh • weiss, in letzterer rein blau ab. Die tröbere Partie zeigte in jeder Beziehung das- selbe Verhalten wie die beidun Ulaswflrfel; die gilnzlich unge- trübte das Verhalten einer reinen flnoroacirenden Flüssigkeit.
Dan Gesammt-Ergebniss ist folgendes: Bei den der FlnoreaoflDX f&higeu flQssigen und festen einfach
^i Yrrgl. auch LallMnaDd &. a. 0- & OIT.
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SiUvm$ der wtiüh.-phijM. Oaut ron 7. Man MW.
brechenden Stoffen, mögen letzter« regal&r IcrystaUi-. sirt oder »morpb sein, senden Alle Tbeilohen eine« lediglich flaoroscirenden, nicht zugUich IrQbvnJ StrablenwegeB. wie er im Allgemeinen durch Vor-l schttltuiig eines viuletlen Otases erlinUen wird, vuUigj nupolurisirtes Licht aus. Die bei Anwendung wetaa«« Lichts Auftretende theilwei.He Polarisation des vom SirahlHiiwege^ ausge^andteu Lichte»\ dessen Polarisationsebeue den Strabl^aweg: in aiuh enthält, sowie seine weitsslicbere Färbung ist eine Folget der ^Trübheit* de.s McdinmSf also einer ganz anderen, tod der Fluorescenz gänzlich unabhängigen Krscheinung,
Im Folgenden wird daher, am die Bracheinungen nicht durch die aus f.'twa vorhandener geringer TrObbeit dos Mediums entspringende Polarisation zu compliciren, faat aoaschUecBHch violette ßetstruhluug angewendet. Denn diese ruft, nach dem Vorigen, bei wenig trüben, aber flaoreficenxfäbigen Medien nur Fluorescenz herror, ohne die fQr trflbe Medien charakteristische Polarisation.
1. Fluorescenz optiftoh einaxfger Kr^stnlle. § S. RhomboAdrisches System. Kalkspath.
Da&s der Kalksputb fluorescirt, und xwar mit ziegelrothem Lichte, wenn ein Bündel concentrirler Hunnenütrnhlen bindurch- geschickt wird, hat zuentt Herr v. Lommel beobachtet.') Mit etektriächem Lichte ist die Erscheinung viel weniger deutlich, daher untersnchto ich sie stets mit Sonnenlicht im Dunkeltimmer unter Weglassung des violetten Glasen. Dabei ist ti& zur Ab- biendung der vielen hellen Reflexe sehr förderlich, sowohl muti- schwarxes Papier als Hintergrund zu wählen, als auch den Kryatall mit solchem Papier xu bedecken, welche« nur durch eiu mehrere Milliinuter weites Loch die Beobachtung des rothea Strablenwegeä gestattet.
M Wiedouiiiuiu Aumilun 2L 1S«4. S. i2U.
Sohnatus: Poiarifiirte Fluoraeent.
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t
Nachdem ich an zwei dem physikalischen Institut der tech- niBchen Hochschule gehörigen grossen wasserhellen Khomboiidem von Isländischem Doppelapatb die polariäirte FlnoreBcenz ganz zweifelloR festgeätellt hatte, — die übrigens Herr t. Lommel ausdrücklich in Abrede stellt,*) — anchtc ich sie unter den einfachsten Bedingungen zu beobachten. Dazu sullte der Strahl iinabgelenkt eintreten und im Rrvätall senkrecht zur optischen Axe verlaufen. Also bedurfte ich eines Krystalls mit einer zur Axe parallelen Flüche (Süulenfläche). Als ich aber zu dem Zweck eine der k. b. Staatssammlung gehörige ganz klare sechsseitige Kalkspathsäule Ton l!^reniont in Cumberland anter- suchte, zeigte sie überhaupt keine Spur von Fluore^cenz. &- folgreich erwies sich dagegen die Anwendung eines mir von Herrn v. Lommel aus dem physikalischen Institut der hiesigen Universität gQtigät zur Verfügung gestellten ganz klaren Khom- boedei^ von Isländischem Doppehpatb, an welches sowohl ein Paar paralleler Flächen von der Stellung der ersten Säule (also 2 Itandecken des Rhomboeders abstumpfend) angeschliffen war, als auch ein anderes Fiächenpiuir von der Lage der geraden Endääclie, abo senkrecht zur optischen Axe. Dos erat« Flächen- paar fasst eine Kalkapathächicht von 43 mm Dicke, das zweite eine solche tod 28 mm zwischen sich.
1. EinirUi in die Säulenfhkhe. Das RhomboSder wird so gestellt, dass seine optische Axe vertikal ist, und dass das hori- zontale SonnenstrahlenbUndel senkrecht in die aogeechliffene Säulenfläche eintritt.
n) Man blickt zunächst senkrecht durch die hinten oben gelegene Rhombo^derf lache, deren Ftächenuormale zu- sammen mit dem innen verlaufenden rothen strahlen weg eine Vertikalebene bestimmt. Dreht man jetzt ein Nicol'sches Prisma vor dem Auge, so erscheint der rothe Strahlenweg bei Weitem am schwächsten, wenn die Polarisationsebene des Nicols vertikal ist und somit den Strahleuweg und die optische Axe enthält, d. b. wenn sie mit dem Uauptschnitt des ins Auge gelangenden
t; V. Lommul a. a. 0. S. 423.
r mutllL-fltfa. Ctmm ••» 7. Märt BML
■t Pagiyn iil 4&r nttc StnUmreg am" MM», — tiriiädrt 4BMlMMlM^ipuaiebcr] — wem 4it PoUriMÜn— fca— te Hkob n •chatt Mrtitlil iii. Bbi0 Aciwlgiuag de» FaHMakm mC nit aM* liitiiwlflifilii ng nidrt verinlpft. B« 7im«iifc%iit 4m- Jittehin hUkUhmm» m VnmdM Pa«Mg w«f4e ■■■ •bo ■mnin. dMB £• voe dco flooreacircoden Ttfflrhw in ofaigiar Bichfamg »BD Aog* gomdte StraUoBK «as ScbwinpaoffeB bwteht, 4ie Jich TorzKfpweiie im HanpUcbiiitt voiUj niheo. DiorIIm Folgnug ädit man bei Za|) 4cr ilililiiiMag.iiriH«h<n liefattteorie fiir die elektriach«b aAwtt^oiyn.») W«gv fienr UebrnntnoniBg «dl im Fo gaadaa natar , :jch wiagumgir itthlnwy* immut di» Bidttuay iiiltibliiiii Scliwici|psii(^ oder die Fr«soel'«elM Scti« ncbfeag vaiteadaa werden. Auf Orattd der firwiigmf|«B 9 l nhl'wd IB«B weiter, da*« die flnorescireoden Tk^-'--^"-f ■eiber ebenfalls rorxogvweise in jenem Uaupt ij
ffchwingen.
b) Btickt nan jetzt dnirb eine aodero der 3 oberen briMerfilcben auf denselben Stiabtenwig, w enebeiot er nndnjtlicbvten, weno die PolaräntioasebetM des Nieob vrrtil ■tehi, abo die optiaebe Axe (nber nicht den ^timhleowef^) in ■eh «aUUlk; daf^egeo am beUttan bai biem «Akmcbi«!- Kiool' ■laOimF. Im letBteren Falle ist die PodarimlioMtbcaa mm Haoptacbnifet dm ins Ang« gelaofcndoa äti^hla; ■ebiiemt man wieder, da» »eine Schwiagmigcn im BanpftaefaDiti erfulgen. AIm ecbwingen die fiuoreaeiivade TbaÜebn aacb vomifpweiie in di«Mn Uauptscbnitt. W«ni ioast die flooreacireodcn Tbeiltben sowohl rorragyweiie im •ntaran, ab in diesem leUleieu UaapU*baitt «ehwiogeo ■o ■!■ ihre HanpUehwiagongsrichtang in der läai* liegan, welche beiden Hanptachaitien gwneiamm bi, d. b, in der optiRcben Ax&
M J. C. Ifuwril. A Tnatbr nn Qoetricity tioil Mai^nntirau tftTB VoL U. Cb»pt, XX. «rtidc TUT.
^ Ütttuiek«: I'ntttrwiHe JlwofMewt*.
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fe
lebet schickt mui da8 SonnenstrahlenbÜndel vor aeioAtn Eintritt in den KryätatI ziienib dun^h ein polarisiremle-s Nicol'- «ch«« l'nunm und b^^ibschtet den Strabipnweg wieder nach- ^nander durch dieselben beiden Ubomboederäächeu. Mug nun die PolAri>tAfion«ebt*iie des eiutrett^ndeti LicbU X uder )| nur optischen Axe dm Krystalh sein: die Stellunften des Analysator- nicols zum Eintritt der deutlichsten oder undeutUdisteii t^ichtbar- keit deti roth fluurescirenden Strohlen^^-oge» sind dieselben wie bei iinpolarisirter Beätrahlun^. — Femer erkennt mau mit onbewaifuetem Aiige , beäondera bei der Besichtiguugsurt b), da^ der Strufalenweg bei Drehung des polarisirendeu NicuU Beine Intensität ändert: er i^ bei Woituoi um hellsten, wenn die Potahsatiuiiäcbene des eintretenden Lichtü senkrecht xur Axe ist, d. h. wenn die Schwingungen des FInorescenz erweckenden Strahls parallel zur opLisehen Axe ge.nchehen. Somit ist erkannt: Mag dai» erregende Liebt || oder j_ zur uptiscbcn Axe .scliwingen, die erregten FluoreÄCcuz- iwingungen Tollzioben i^ich immer hauptsächlich parallel der optischen Axe« jedoch am ätürkHleu, wenn schon die err^enden Schwingungen dieselbe Iticbtung haben.
c) Blickt man bei unpolarisirter Bestrahlung darob die gerade Endfläche, also || der uptjtichen Axe, anf den rothen Strahlenwcg, so bemerkt man bei Drehung dm Nicola vor dem Auge keinerlei Intenaitätsäiiderungen. Hieratu folgt, dass bei den Schwingungen der äuore^cirendeu Theilchen keine der zur opttMheo Axe nenkrechton Hichtungen vor der anderen bevor- zugt iitt, — Betrachtet man, bei i>oIuri»irter Bestrahlung, den Strablonweg ron derselben Richtung her, ko ist er, wie es sohei&t, ein wenig heller, wenn die Erregerschwingungen ||, aU wenn sie i rnr optischen Axe erfolgen. Alto scheinen auch die senkrecht zur Axe gerichteten Cfnnponenten der FluoreHConz- schwingungen am fltürksten geweckt zu werden durch Erreger- ■chwingungcn, welche der Axe || sind.
B 2. Eintritt in ditf gerade Endftä^ie, Während das Rhom-
itatf
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8ä$ung der mtUh.-phifs, CioMt com 7. Mars iS9C.
hurixotiUt lief^, tritt Her hon£ont«le Sonnenstrahl Beokracfat in dio gerade Endfläche,
a) Btickt [imn senkrecht auf eine angeschliffene S&nleo- fliehe, so erscheint der ^trahlenweg un hellsten, trenn die PoUriiuitiuniiebene dee AnaljBatoniiools 1 zur opti»cheu Axe: dftgegva vioUeii'ht nur V» *3 hell, wenn sie 1| der A\ '^ -.i. daffielbe lei^ sich, wenn dm St>nnenticbt bereits p(4& tritt , maff »eine PolarisationBehflne horiaontal oder rertäal liegen. Ab» ancli dorch einen znr optiachen Axe pttrmUelefi ^GtnihU d. h. durch Schwingungen 1 zar Axe werden FlnnriB- ooancbwingungeo erregt, deren weitaus gritaste Cbmponente war cfümhmk Axe || ist
h) Blickt man aeokrecht durch eine der var ESntritififliche beoachb«ii«o RhoinboMerffitchen, so crb2ft man genau diwnlbe &g»hnisK. Dieft ««gk« »cfa beioadcn adi&o aa einea der tec^ itMnn Hoehsehale gehi5r%eo BkonahoSder mit ^em aoge- bülIhMB Gttdftk^eapaar. vekbca eue Kaftryaththkht raa 10 am awüthau »cb OmL As diaaem Eiattpbr wwidte ich aock eine andere Reohadttaa^tamHlMde an. KämÜch lUtt darch «in Nicol ru ««Imb, legte nk dk iMuvAofmhe Lope Sdkk jin jeoe R^omboMarfidK, «o iam te Haiiftorhiutt 4er Lapt («le» I 4cr Axe) 1^, die fcäiw QwUi'ito tho bon- Rtal Bfl«ca «iamaa« h^ea. BeMe Qoaiak» ecscMacn ia dem IgwnrtflKv rWwBlea« aker is ga&i
t\^aiiiiatiwunfc— I iwtftal, •iat, i wmr M^mikim As»
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Kin^iittiaift {91
h. SdÄwdtf r PdoriwrtA Ftuoretcens
Hhohibo^erfläoho, so »ieht man die beiden dnrcli Doppel brechang Bttictandenen Strablea ihren We\i, im Innern roth abzeichnen. od xwar beide gleich hell. Verschiebt man jetxt den KrysUll jmrallel mit sich zur Seite (AufstcliuQ};; II), tm dasä das Licht- bflztdo] nicht so nahe an dar Kante eintritt, und duss fotf^Iich das von den Huoreäcirendeu Theilchen in» Äuge gesandte Licht längtire We^e durch den Kalkspatb zu durchlaufen hat, so er- blickt man 4 rotho Strahlenwego (odra aach bei anderer Ver- chiebiiii^ dfw Krystalls nur 3, indem die zwei iim-h.st benw.h- »rti»n mittleren äu etuem TerschraelMn). Die Slmhleu mogeu Yon olwn nach unten als erster, «weiter, . . gewählt werden. Bei Drehung des Nicola vor dem Äuge verschwindet einmal der erst« und dritte, sodann der zweite und vierte, während die entteren wieder aufgetaucht sind. Die beiden flhrig bleilienden Strahlen siud jedesmal unter einander gleich hell; aber während das Strahtenpaar 2 und 4, wenn es allein sichtbar ist, sehr hell cmcheiut, ist das allein übrig bleibende Paar 1 und 3 wesentlich matter, jedoch von gleicher Färbung. Macht man diu entsprechende Beobachtung bei der Aufstellung I, so bleiben 7,war immer beide Strahlen w^e sichtbar; aber bei einer ge- wissen Nicolsteljung sind sie am he1Ut«n und zugleich am schmälsten; bei der um 90^ gedrehten XicoUtellung sind sie am mattesten und wieder um schmaUt^u, und zugleich fast um ihre eigene Dicke gehoben. Offenbar liat mau es bei dieser Aufstellung I. ebenfalls mit 4 Strahlenbilderu xu than, ron denen aber je 2 so dicht beisammen liegen, dasa sie zu einem einzigen Terschmolzen encheineu.
Wenn die ätrahlen aro undeutlichsten sind, schätze ich die l'oUrisfttion.'iebeno den Aualysatomicols zur optischen Äxe pa- rallel. Um dieöe und die darauf senkrechte Lage der Polari- sationsebene genauer zu be«itin)nien, legte ich ein schmale« Papiernt reifchen an jene Fläche des KrystalU dicht an, welche derjenigen || iat, durch welche hindurch die Erscheinung be- sehen wurde. Dann Terschwiodct beim Drehen deä NicoU bald dw oino, bald das ondi^re der beiden Bilder dieses Streifehens, and zwar gleichzeitig mit dem Vor»chwindMn des eineu und
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Süfiunff dar math.'
TOM 7. Man XSUO.
aodereD Stntltlenpaares. So ilbentenfirt ruan sich, dsas di« fliio- reecirenden Kalk&patbtiieilchen auch bei dieser Versuchsanordnu Licht Aussenden, welches znm gr^flsten TlioU senkrecht am Hanptschnitt polaristrt ist — Die Beaiehtiguog der Bild de« Papierstretfens Terhilft xti^Ieich zur Widorlet^ing eines gt»- wissen Bedenkeuä. Weim uüiiilich das Kicol'äche Prisma auf möglichste Aiistöexbung der rüthen Strahlenwege eingesteUl u^ Bo bemerkt mau viele gläaicende Pünktchen im KrjstaU, re inuthlich kleine Hohlräume; dieselben verschwinden bei der^ anderen NicohtlcIluDg, welche die roiben Strahlen am deut- lichsten -Mtigi. ^ wäre nnn nicht undenkbar, da&s vielleicht in Folge des Fehlens dieser hellen Pieflexe die rothen Stnh jetzt soviel intensiver gesehen werden. Inde&sen wenn biena^ die wahre Ursache des grossen UelligkeitBunterscIüedes der Flno- reeenizentchciniing bei beiden NicolAielluiigeo Uge, «o mt das Bill] des duK'h den Krystull hindurch geseheoen Papier-^ streifeai entsprechende HelligkeitAuntemchiede aufwdsen. Hier- von Hess sich aber keine Spur bemerken ] Dies beweist^ daas jeiifl Reflexe, wcnTi sie auch die Beobuchtungen erschweren, doch in' keiner Weise al» Ursache des Verblassens der rothea Lrschei- onng bei der einen NiooUtellung herangezogen werden künnetiJ
Gesammt-Krgebnijn«: Darob Strahlen von welcher Richtung auch inxmer der Kaikspath zum Fluorescireo gebracht sein mag: Die Schwingungen der flaores- oirenden Tboilchen sind immer solche, dasi ihre grUsste Componente parallel ist zur optischen Axe. Von allen dazu senkrechten Richtungen erscheint keine aunge-^ zeichnet. Am stftrksten wird die Fluoresceni errpgl dnrch ScbwinguDgen, die der optischen Axe parallel sind. (Vgl. Ib und c)
§ 4. HezBgonalea STstem. Apatit.
Das mn mir imtervachto, der k. bavar. Staalssunmlunff gabärige Exemplar vom KloitmthaJ TTiml) hat als Begreanog Ewai «{«rad« Biidfiftchea, welche eine Talsl mu L5 mm
Sohnekt: iVarimrie FlttoreMetxr
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xwisoheu aicli lassen« femer zwei nebeneiDandcr liegende Flächen der aacfasseitigen Bälde und unregeltnü&siiteBnicIjflächcti, endlich einige schnuilfl Di bexaeder flächen. Der Apatitkrystall ist merklich farblos und Eßigi keine Spar von Bichmistniis im durchgehenden Licht.
1. Eintritt in die gerade. Endfläche^ Beobachtung durch eine Säitlmftächc. Der gulbticli^rUii fluorescirJe Strahlenweg sendet Licht auä^ das sich, durch ein Nicol besichtigt, fast vüllkciniiucn im Hauptschnitt poUrit«irl erweist. Dies ist tiuch der FaII, wenn dsfl Licht vor seinem Eintritt in den Krystoll in ir>;end einem Azimuth poluriifirt ist Ein || der Axe verlaufender Strahl erregt aho Fluoredcenz- Schwingungen senkrecht zur Axe.
2. Eintritt in eina Säulctißäche. Nur l>ei Besichti|?ung durch die gerade Endfläche ist der f^elblichgrUne 4StnihlGn- we^ Oberhaupt wahrAunehmen, während man bei Beobachtung dtircb andere Flilcheii kaum etwas anderem al» das violette £r- regerlicht bemerkt. Das von den finorescirenden Theilchen || der Axe ausgesaudte Licht erweist sich als vOUig unpolarisirt; al«o roÜsKen die Schwingungen jener Theilchen nach allen Richtungen senkrecht zur Axe merklich ginch stark erfolgen. — Schickt man polarisirtes Liebt in deu Krystall, so ist das durch die gerade Endfläche austretende Flnorescen/licht wieder un- polarisirt, jedoch ist es am intensivsten, wenn die Polarisations- ebene des eintretenden Lichts die optische Axe in sich enthält.
Gesaiuml-Ergebnitts: Im Apatit schwingen die fluo- raicirenden Theilchoo murklich nur senkrecht xor optischen Axe, aber in die&er Ebene gleich »tark nach allen Richtungen. Die stärkste Fluorescenz wird er- regt, wenn die Erregerschwingungen schon seihst 1 cur Axe erfolgen.
% 5, Hazago&alec System. Fortsetcung. Beryll.
Mir standen vier der k. h. Staatasainmlnng gehörige Exem- plar« nur VerfiLgnng: xwei meergrCInn (Aquamarin), ein hell- «roingetbea tmd ein prächtiger .'Smaragd. Der eine meergrUue
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SUzHtil}
7. Mär: tSDO.
durc-hgehendeu Lichte über diohroitiKh; denn b«!tm Aiifseixpii der dJcbroskupi»clien Lupe auf eine Säulenflnolie ist jenes qua- dratische Bild, Hitssen Polnrisation8«bene die optieche Axe des B^rrU« enÜiiilt, iM?hwacIi nieergrüalich gefärht, das andere blau. — Da» Verhtilten diö*w Kryiiitalls weicht von dem der U-mImj Torigen rnerknrfirdig nb; um doHüelbe xu echildem, man man nämlich in der vorigen, übrigens unveränderten Uarateltaug Oberall die Worte blau und rotbviolett miteinander ver* taonchen! Hier geschehen aUo die Hlaaachwingungen der fluorescirenden Theilchen bnuptii&chlich || der Axe, nicht 1 zur Axe wie dort; die rothrioletttrn da-j gegen 1 zur Axe, und zwar merklich gleich stark nsc] allen Kichtungeo in dieser Ebene. Eine kleine Ab- weichung zeigt nur die He«ichtignng durch die gerade Knd- Siu^he, bei welcher der ganxe Krystall xiemlich gleichmiueiig durchleuchtet erscheint^ und /.war mehr blau al« violett.
III. Der tief amarugdgrdne Erystnll von S. F^ de Bogoti hat die Gestalt einer 1,3 cm langen, sechMeitigen SSule von 1,r> bis 2 cm Diclie, begrenzt durch zwei SpaltnngsÖächen ron der Idge der geraden Etultlllche. £r ist riastg und trüb« und im durchgehenden Lichte mü»hig dichroitiMb: das im Haupt- echnitt fiohirisirte Bild ist ziemlich rein grOn, das rindere nifhr blaugrün; docii ist der Farhcnunterächied nicht gross. Uer Kryatall zeigt nach der Beairahinng merkliches Nao]iteucht«n.
Die dich roi tische Kluonüicenx diettes Krystjtlls ist wiedcrai eine andere. Man muKS xu ihrer Beachr«ibaug in der übri| gänxlicb unTeraiidertvi) Schihlerung des Verhalten« de« AquamAfins überall eUtt Blau Ziegelroth aetsen, und äUtt Uothviolett Ülauviolett.
GeoiMOSBui ibi allen vier Beryllen, dass sie dichroUiael fluoresciren: die xur optl-icben Axe HenkrechUn Schwinguag aind gleich stark nach altrn Kichtungen in dieser Ebene, ond &n Farbe entweder blau oder rotbviolett oder roth; die optischen Axe parallelen Stdiwingungeu f^ind entweder roth^ Tiolett oder blau oder bUuTiolett. Die enteren scheinen •twn etlrker in »tin.
L. Sohncke: fVjIrtn'x.Wc Fliinrfiecem,
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§ 6. Quadrstischos System. Vesuvian.
Mir standen xwei KrystftUe von Ala in Pieinont. aus der b. Staatasamniliin^ 7.iir VerfSgtiog. Der tirute ist eine qua- (Jrafcwche Säule mit zugehöriger Pyramide and kleiner Gerad- flndflüchet IS mm lang, 5 und 7 mm dick; die Süulenkant«Q ftind durch die zweite Säule wenig abgestumpft. Das zweite nur weni^ kleinere Kxeni|)iar gleicht dem ersten Übrigens voll- kommen, jedoch ist es weniger rissig, und daher wurde es zu den meisten ßeobacbtungea verwendet. Beide Krystalle sind dun^h.Hichtig grQn und im durchgclienden Licht deuth'cb di- chroitisch: das im Hauptschnttt polarimrte Bild i^t gelb, das andere grdn. Die durch violette ße-strahhing erweckte Fluores- ccnz ist fttets ein lenchtendefl Roth, dcKUja Be4)hachtuDg das Auge sehr schnell crmüdeL
1. ünpoiarisirtes Licht tritt senkrecht in eine Sättlenfläche,
a) Besichtigung durch eine Nacbbarflache der- selben Sfiule. Wenn die Polarisation »ebene des Analysatom die optische Ajce euthült, ist die Fluoresceuz etwa» helU-r. als wenn sie zu ihr senkrecht steht^ aber die Farbe ist beide Male nicht merklich verschieden; denn die im letzteren Falle bei- gemeiigteti Spuren vun Violuit beruhen augenscheinlich nur auf Iteflcxion des einfallenden Lichte. Die zur Axe senk- rechten Schwingungäkomponenten der ftuurescirenden Theilclien sind ntnu etwas grösser als die parallele. Die durch polarisirt einfallendes Licht erweckte Fluorescenz ist dAOn «im stärksten, wenn es im Hauptscfanitt p<^ilarisirt idt; doch ist der Unterocbied bei Avimuthändemngen ^pt einfallenden Po- Inrisniionsebene nicht fitrOÄS. Das vom flnorcficirenden Strahlen- weg durch die gerade Endfläche, also || der Axe, hinausgesandte Licht zeigt diesen Unterschied etwas stärker. Man schliesstf dass die zur Axe senkrechten Schwingungen einfallen- den Lichts Rtürkere Fluorescenz erregen als die znr Äx« ptirnltelen.
Wenn das einfallende Licht senkrecht znm Haaptaohnitt polarisirt ixt, so ittt daii geweckte FluoreBcanxlicht ebenfalls fast
Ofi
SitniHti >ler MatK-ithi/n. Ciatae iwn 7. Mars Jtm.
voUkomcuen cit>Dkrechi zum UHUptäcbnitt pularisirt. und wunn (Iftä eiufalleude Licht im UaupUctiuitt polmiäirt ist, ist auch dftM Fluorescenzlicht wierler fast vollkommen pnbri^irtt jetzt aber
daas seine PulHrisatjonsebene die Axe enthält. Hieniii<i
ehliesst man: Schwingungen parallel zur Axe erregen
ganz aberwiegend FlaureBcenzschwingangen parAllel
zur Äxe; ebenso Schwingungen senkrecht zur Axe
überwiegend solche 1 %ur Axe.
b) Hiermit stimmt Überein, dass die Flnorewenz bei Be- sichtigung durch die gerade Endfläche im ersteren Kalte nur sehr schwach en>cheint, im leixtereu Falle viel »tärker, und zwar dann am Ktark.Hten, wenn die I'olariäationäebene des Analy- sators den Strablenweg enthält.
2. Eintritt in die gerade Etidßäche. Besichiigimg durch eine ääuleufläche. Bei unpularisirt eintretendem Lichte lehrt die Beobachtung mit dem Analyäator, das^ die Scbwingnngeiis der fluoreRcirenden Theilchen eine etwa» grossere Com-n ponente senkrecht zur Axe besitzen aU || zur Aza, ganz wio bei der vorigen Erregnngsart. Tritt aber poUriairtee Licht (*iu, dessen Polaruationsebene jj einer Säuleuääche ist, m> lehrt die Beobachtung in dieser Ebene, dasci die Fluoresceaz am hellsten erscheint, wenn die Pülarisationaebene des Analysator in derselben Ebene liegt, wiitireud bei ßetmcbtiing durch die anstossende SäuteuHäcbe, also aus eiiier Uiclitung 1 zur Polari- sationsebene des einfallenden Lichts, ein ICinfluss der Aualysabor- stetlung nicht fewti^uättilluii ist. Die hierbei erweckten Schwing^J nngen der Buoroscireuden Theilchen haben ali>o die Componente || den 7s:hwingungen des Krregerh'clii« (1 xur Axe)«^ während die beiden anderen kleinereu ComiwneDt« (|i und 1 zur Axe) nicht merklich verschieden sind.
Geiammt-Ergebniss: Im Vesuvian haben iJiß Flun- reacenKBch wiugungen «twad grCäscrr Comiioaenlrn 1 als II aor Axe; auch werden sio am stärkstoo durch Schwingungen ersterer Richtung urregt. Schwingungen des Erregeriichtx, di« ||. beziehungsweise J. zur Axe
//. Sohncke: Pbiarwirtt J'ViiJiWiHiii.
OT
«rfolgen, rufen auch nberwie|?end Fltiorescenxschwinff- ungen || , be£i«buugswet6fi 1 7.ur Axe hervor
^ 7. Qnadratiscliefl System: Fortsetxnng. Hornblei (Pbosgenii).
Von Herrn l'rofessor Qüld-Hchuiiüt in Heidelberg wurden mir in liebenswürdigster Weise zwei durch ihre Grösse und Klarheit besonders geeignete konthare Kristalle von Monte Poni auf Sardinien xur Verfügung geitt^ljfc. Der grbssere von beideOf durch Spalttingsflächen parallel der Säule und der geraden End- fl&chc begrenzt, hat durch claa Vorwalten der Kndiluche die Gestalt einer flachen Tafel von etwas Aber 1,5 cui Dicke, wÄb- reud die Querdimensioiieu 2 und 3,5 cm betragen. Der /weile, wesentlich kleinere Krystall ist begrenzt von einer grossen UeradendH&cbe und drei Flächen einer Säule nebst einigen an- deren Flächen der Säulenzone. Beide sind im durchgehenden Lichte schwach dichroitisch : dos im Haupt^chnitt ]>olansirte Bild ist leiobt ritthlich, das andere leicht grünlich, aber die Ffirbungen sind ünsserst gering. Beide Erystalle zeigen flber- einstimmende Fluoreacenzerscheinungen; weil al>er beim zweiten
C'ne nuTkwördige IJngleichmäaeigkeit ^tr Verbreitung der fliio- ecirendon Theilchen dtirch seine Masse hin die Beobachtungen ersobwert, mj bezieben sich die folgenden Angaben wesentlich auf den ersten Kryatall.
1. Eintriit in eine Säulenßäche.
a) Berichtigung durch eine andere Fläche der- selben 8Ruie, Der tluorescirende Strahlenweg erscheint am hellsten und zwar gelblichgrün, vrenn die Polariantionsebene des AnalvKatont die optische Axe in sich aufnimmt; minder hell ond mehr bläulichgrQn , wenn jene Ebene senkrecht zur Axe. Kb ist nicht unwahrscheinlich, dass die mehr ins Bläuliche jHelende FSrbung im letzteren Fall auf der Reflexion des auf- nllenden Blanviolett bembt Die Schwingungen der fluo- mscirenden Theilchen (gelblichgrOn) erfolgen hier- nach hauptBÜcblicb senkrecht zur Axo. Bei polarisirter Bcflimbluug wird weiUius helUte Fluoresoent dann geweckt, um. ibUL>faqr& ol i. 7
vB SiUutiff der math.-pliyn. Clatxe vom 7, Man lliSti.
wenn d« ejnfalleßde Licht senkrecht zur Axn poUrisirt ist Dies gilt auch bei UesichtigunK durch die Endflüche. Hiermit stehen wir »or der Thntsuche, dasa die Fluorescent- »ch wingnn^en, welche selber huaptsÄchlich senkrecht 7.ur Axe 8ii:h vollziehen, am sLürkstea geweckt werden dnrch Strahlen, deren Schwingungen zur Axe pArallel ^ind. Hiermit stimmt Oberein, dass die Mtiorescenzerscheinnngeo bei poluri^jirter Bo'itrabliing ^enau dieselben sind wie bei un- polahiiirter, fiUls dait einfallende Licht ^senkrecht xum Haupt- schnitt polariairt ist, also || der Axe schwingt. Ist d^^en das einfallüude Licht im nauptscbnitt polarisirt (schwingt w ^.also 1 zur Axe), so zeigt fich im Analysator nur ganx schwache
^luortJÄcenr,, falls seine Polarisationsebeni' die Axe enthiltf stürfcere dagegen l>ei dasm senkrechter Lage. Alao erweckt
jicbt, dessen Schwingungen .HenkrBchl «ur Axe erji rolgen, fast nur Schwingungen purutlel der Axe.
b) Besichtigung durch die gerade Endfläche x«igt« dass dos parallel zur Axe hinausgeaandte FluoreAcenslicht ub- polarisirt ixt, gleichgilttg ob das orregende Licht polarit^irt ivt oder nicht. Folglich schwingen die fluorescirenden l'heilcben nach allen Richtungen senkrecht xur Axe merklich gleich stark.
2. Ewtritt in die gerade Endfläche. Beobachtung durch eine Säaleii Hache. Der Huorescirende Strahlen weg sendet un- p<jlarb<irtei( Licht aus, mag i\u» i-infallcudu Lieht unjicdartsirt oder in irgend eioom Assimuth polaiiiirt sein. Die Inteontät der Fluoreircenz iät unabhängig vuni Azimuth der Pobiriüations- ebene den einfüllenden Lichts. In diesem Falle sind uisu die ^■hwingmigen der fluorescirenden Theilchen || und 1 %\ix Axe nerklich gleich stark. Folglich erwecken hier Schwingun^e d(>> einfallenden Licbbt, welche «en krocht xor Axe erfolgen :«LMrku FtuureM.-en7Jichwingungeu parallel der Axe, tlbc-reiii stimmend mit einer Achon vorher ge/ogeut^i Folgerung-
Oevaiumt-Ergebniss: Im Phoagenit erfolgen Fluo- reicenisrhwingnugen au ittärkAten «eakreeht xar Ax«;
L. Stihrtoke: Potannrte Fhioretwtu.
nd
nach Allen Richtunfj^en innerhalb dieser Ebene aber gleich stark. Diese Schivingungen werden am stärksten errei^t durch Lichfc, dessen Schwingungen || £ur Axe erTolgen; wahrend Licht, dessen Schwingangen 1 zur Axe geschehen, hauptsächlich Pluoresceuzschwing* ungen || zur Axe erregen.
11. Fluore.Hcenr. optisch-zweiaxijicor lürfsUlte.
g 8. Rhombisches System. Topas. (Fig. 1.)
Mir standen aus der k. b. StaatssaoimLang rier schbne Krjr>talle, zum Theil von ansserordentlicher Grösse, zur Ver- f^K'^^K* ^*®) derselben zeigten kaum bemerkbare 8|>uren von FluoreHceu'/.. uümhcb ein dunkelgoldgelber roUc>r Sprtinge ans linisilien, und ein ganz hell weingelber aus Sibirien. Die beiden anderen von der Uruiga bei Nertschinsk in Ostsibirien zeigten dagegen «in sehr tlbereinstimmende» Verhalten; ich be^breibe Dnäcbst die von dem grösseren von beiden dargebotenen Er- Cheiuungen. Der vültig durchsichtige und fiist farblose Krystall iät hauptsächlich begrenzt von den vier Flächen einer rhom- bischen !:^Uule (der sogenannten zweiten Säule, deren Wiukel etwu 92" beträgt), und von dt^r geraden Kndüikhe; untergeordnet treten noch die Flächen der ersten Säule und einige Domen auf. Die Länge der Säule beträgt 6 cm, ihre Querdimensionen etwa 4 und 4,5 cm. Der Blick auf die Endfläche bietet etwa nebenstehendes Aussehen. Die Ebene der optischen Axen ist II den kry-^allugruphischeu Axen a und c (Figur), die erste Mittellinie der opti- schen Axen liegt in der Snulenaxe c Im durchgehüiiden Lichte ist sehr schwacher Vi$- 1- Dichroismus bemerkbar, indem dae im
ILitiptächnitt pokriairte Bild ein wenig lichtschwächer ist ale dftü andere, ohne daes dabei eine Farben Verschiedenheit anf- tritt.
7'
102
SittufUf tief mtüh.'j^ifs. CIuMe vom T.'
Hiiuy; durch eiue Säuleuflache erscheiDt die CoinpoDente e halb Überwiegend, weil von der Componente a nar die 1 xor ausgebenden Strahl geiiotnincne Compooente wirksani wird. Geschehen die Erregerscbwingunt^en II a, so wird die stäi Kluor^scenz geweckt, dagefren so gut wie keine durch Schwiof^* ungeri, die 1 zur Ebene der optischen Axen erfolgen.
Der Kweit« Eryatall flaoreiscirt eia wenig schwächer. Auch bei ihm eind die Fluoreecenzschwingangen auf die Ebene der optischen Äzen beschränkt; aber noch mehr: Man kann nber- hnupt nur '! der Mittellinie c vor sich gehende Schwingungen wafamehnien; eine Componente II a ist hier nicht nacbwei^liar.
Gesammt-Ergebniss: Von welcher Kichtong her der erregende Strahl auch in einen Topaskryatall ein- treten mag: die Fluorescenzflchwingungen erfolgen immer in der optischen Axenebene. Im Attgemeinen Oberwiegt die Componente c (oder sie ist aogar allein rorhanden). Nur wenn der erregende Strahl T c ver- läuft, ist die Compooente a etwa von gleicher Grfias« wie c. (Beim zweiten Krystall ist sie jedoch nicht merklich.)
§ 9. Rhombischee System. Fortsetzung. Arragonit. (Fig. 2.)
Znr Verftlguiig stand mir ein der k. b. Staalissauimlung
gehöriger Krystall, in Gestalt einer rhombi^hen Säule mit stark auägedelinten AbetumpfungiififiGhen der scharfen Siiuleukanb (1 zur Kryetall&xe 6), welche eiue Tafel Ton 0,8 cm Dicli zwischen aich lassen, während die Dimensionen längs derKryalAll- aien a uttd c hi>7.(if^lich 1,S und 6 cm Am Ende wurde eine Fläche 1 c angeschtiflen, vni eine andere, etwa 1 qcm grosse 1 a. Den Quer- schnitt des Krystalls 1 c xeigt Fig. 2. Die o[»ti»c)i Axenebene enthält die Kryatallaxen h und £; letztere M* die erste Mittellinie der optischen Axen. Der Kmtall ist hell weingelb und zeigt im durch gehenden Liebte keinen Dicbroismaa. Nach der Bestrahlang
nn
/a Sohndc«: Jf^iiaruirte Fluurt8ceH$.
103
er 8 bw 10 Seknmlen lan^ deiitlicli nach. Der Stmhl wird tiaoheinAndor I den drei aufeinandur senkrechten Kichtiui^en 0. h^ c in den Rrystali geschickt und die erweckt« Klunreecenz jedesniBl von den beiden anderen Richtungen her untersucht. So gewinnt man Anhaltspunkte znr Beurtheilung der Grösse der zu jenen drei Dichtungen paraUi'len Cooiponenten der SchwingQDgen der fluorescirenden Thrilchen. Diese Com- ponenteu süUeu selber durch die Buchstaben a, b^ c bezeichnet werden.
1. Eintritt in Richtutiff e in die kiift^tliche Endfläche, a) Besichtigung längs a dnrch die andere ange- schliffene Fläche. Der apfelgrftu fluoresctrende Sirahlunwog bebftit bei Drehung des ADalysators seine Farbe, ändert alwr fteine Intensitüt; er erscheint vie\ beller, wenn die Polarisations- cbene [I ae, al& wenn sie t| ab. Bei polarisirter Bestrahlung i^t die IntenintÄt etwas griSsser, wenn die Polarisationsubene Aea Polarisator» |i a c, als wenn sie I f/c Hält man des Analysators Polariäation'^bcne I' ac, so erscheint der Stnihlenwog bei dvr ersteren Polarisatortitelluug wesentlich, bei der zweiten etwas heller, al» wenn der Analysator II ab.
h) BeHichtigung längs H durch die Ahstumpfungs- flÄcbe. Die Fluorescenz erscheint in ungeänderter Farbe, aher viel heller, wenn die Polarisat ionsebene de.t Analysjitors I der opttKchen A][eael>ene 6c, al» wenn sie I ab. Bei poUrisirter Be- »trahlung ist die Intcrrhitat weäeiitlicb grtWser, wenn die Poiari- aationsebene des Polarisators II (c, aU wenn ^e II ac, amge- kehrt wie unier a). Hält man des .Analysators Polarisations* ebene !l der optiitcben Axenebene bcy no erscheint die Flnoresceuz Iiei der ersteren Polarisiitorstellnng viel, bei der zweiten etwas heller, als wenn der Analysator II ab.
Aus den unter 1 a) nnd 1 b) zuerst angeführten Thatsaehen folgt, dasi die Theilchen, welche durch den II der Mit- tellinie c vurluuft-ndon Strahl zum Fluoresciren ge- bracht sind, aber wiegend in der xu c senkrechten Bbone BchwingQo. Erfolgen die erregenden Schwing-
104
SHtunff äet 0idlA.-jfAy«. Ckmt vom 7. Mars itßfG
nngeu '. b (Polarisator 11 oc), so ist b viel >C (cf. In).' and a etwas > c (cf. 1 b). Folglich ist b > a^ c. Lir- folgen aber die erregenden Schwinguugen IIa (Polari- ttator II bc)t 90 ist h etwas >c (cf. la), otid a viel >e (ef. 1 b). Polglich ist jetzt a>b> e,
2. Eintritt in Richitmg b in die Abstumpfmtgsflrirhc u) Besichtigung längs c durch die angeBchliffone KInoh«. Der fluorescirende Struhlenweg erecheint apfelgrilö, wenn die Pol&rii^atiunäebeDe des Analysatora I ac. dagegen ein wenig«« bläulicher und wohl auch heller, wenn ttio I 6c iüV Bei poUrisirter Bestrahlung ist die Intensität wesentlich grösaerj wenn die Polarisaiionselwne in die optische AxMuebene hc fitllt, als wenn sie a b ist. Im ersteron Falle ist die Erscheinung heller und zugleich bläulicher, wenn die PoIaiisatioQ^bene dta Analysatora ebeufalU in die optiäche Äxeuebenc füllt, uls wenn de in ae fallt. Im zweiten Falle hat die Stellung des Analj- itors keinen merklichen KinfliisH.
b) Beniclitigung längs a durcb die angeschliffen^ Fläche zeigt doä Fluor exen Klicht unpolariflirt. Bei polariaii Bestraliluug wird apfelgrHnes Fluoresceozlicbt erregt, wenn di Polarii^ationsebene in die optische Axenebeue bc fällt, da mehr bläuliches, wenn sie 1 ab. Mit dieser goringoo PVrbcn- änderung ist keine merkliche (ntenaitätAänderung TcrknQpfl. Füllt die PoUriflationsehenc den Erregerlicht« in he^ 90 iat die £r«obeiDUOg etwas heller, wenn die Polarisation sebene des Aua- lysators II ac, als wenn sie W ab ist. Liegt aber die Polnri- aationsebene des Erregerlichts I a6, so i«t die Fluoreecenz rieU leicht ernc Spur heller und etwa« blaulicher, wenn die PoUri- sationsebene des Analysatorü I oA, als wenn sie il ac ist. Mun erkennt ab«) folgende» : Erfolgen die erregenden Schwing- ungen II (1 (Polari'^ationsebene de« Polariiatori bc)^ •0 iat a merklich > b (cf. 2a), und h etwas >e (ef. 2 b); aUo a>&>r. Krfolgen aber die erregenden 8«hw)ng- ungen I' e (Polarisator ll ah), «o ist die erregte Flnc rescenz riel sebwächer. und et iat a^^b (of. 2a), und e eioe Spor > 6(?); aUo a ^ 6 ein wenig <e«
ncte: fotnrwrt« Fltmrtaevna.
tOö
Eintritt in lUchtxmg a in die anffeschliffme Fläche.
a) Besiclitif^tini;^ läng« b dnrch die Ab<4tnnipfunf^s- fläehe. AnalyjiatordrehuTig ist ohne merklichen KiiiHti^. Bei pu)»ritnHer Bestmiilung ist die Fluorescenz irohl ein wenig stärker, vrenn die Polarisatiousebene 1 ab als wenn sie II ac. Im ersteren Fall ist sie muhr liliiulich und vietleiclit i»ine Spur heller, wenn die Polarisatiousebene des AnatynatorH ab, als wenn sie II Ae, wobei die Farbe mehr apfelfj^Un. Im zweiten Fall ist die Helligkeit woht etwas gröasert wenn die Polarisations- ebene des Analysators II bc^ als wenn sie II ah.
h) Besichtigung längs c durch die angeHcbliffene Flftohe 7.eigt die Kluorescenz eine Spur heller^ wenn die Polari- sationsebene des Analysators |l ac, als wenn sie II he. Bei polarl«iirter Betitrablung ist die Fluoreücenz deutlich stärker, , wenn die Polariuat ionsebene II ac, als wenn sie ah. Im letz- lieren Falle ist kein deutlicher Einfiuss der Stellung de» Anuly- [.Batani zu bemerken; im er^teren Falle ist die Erscheinung trielleicht eine Spur heller , wenn die Polarisatioosebene des JjaatorB II ac, als wenn sie 1' he. Hieraus folgt: Ge- schehen die Erregerscbwinguugen II c, so ist c eine Spur >a (cf. 3a), und (i = fi(?) (cf. 3b). Geschehen sie 'ftber II h^ so iut a eine Spur > c (cf. 3a), und b eine Spur >a (cf. 3b). .Also ist im ersten Falle a a6<c, im [letzteren Falle J!i>a>c, aber alle drei nur wenig rer- 'ichieden.
Im Vorstehenden finden sich zweimal Beobaclitungen f^x den Fall, dass das erregende LichtbUndel seine Schwingungen II a ausfnhrt, nämlirb einmal, wenn der errt-geiide Strahl II e, dftnn wenn er II h verläuft, und enUprechend für die anders F|[wicbteten Erregerschwingnngen. Wenn die Ergebnisse unter beiden umstünden auch nicht identisch sind, do widersprechen pjöe einander doch auch nie. Diese Resultate mögen hier noch* mala xuäammenge^iteltt werden.
106 SUitttttf dtr wnüh.-phj/ii. ClaMsg oom 7. Mär: i/^TH.
Erregerscliwtngangen l| a,
Krregeriitrahl längs c:a>6^c a he'i WeiU^m am graulen. « , b: a>b>e a sehr merklieb am grOsaten.
ErregerscliwinguDgen tl (.
Itlrregeixtrabl längs c: h>a^ c b hei Weitom am grflssiun. , . a: b> a>c alle drei wenig verschieden.
Erregerschwingungen 1 c
Errogerstrah! lUngs 6: a=b eine Spnr < c (?) , , a: a =^b eine Spur < c (?)
Man erkennt, dass im Arragonit immer jene Schwingungscoupouente der fliioresciremlen TlieiU chen um grQssten ist. welche zur Krregersch wingung 1 iai; indeaaen wenn leUfcere I c iat, ao Qberwiegt dio SchwingungAcooipononte c kaum merklich die beiden anderen etwa gleichen. Ueberhaupt geacbehcn die Schwingungen am schwierigsten [| der MittetHnie c der optischen Axen, vielmehr sind die zu c senk- rechten Cnniponenten im Allgemeinen am gr^ssten; beide werden fast mit gleicher Leichtigkeit errogti jedoch die sur optischen Axenebene senkrechte Com- ponente a noch etwa^ leichter als b. Ferner senden die fluorescirenden Theiicben, durch polari^irtefl Licht erregt, im Allgemeinen nach jener Richtung, wohin die ßrregeräch wi ngungen geschehen, nur schwaches liioht aus.
§ 10. Rhombisches Sfatem. Fortsetzung. Weissbleierz (Gerossit).
An dem der k. b. Staatsaammlung geltörigen, nur von aohlochtan Flüchen begrenzten Krjetall von 5 cm Länge undj 1,5 und 2 cm Dicke wurden drei aufeinander tenkrechU FUchaal II den Symmetritsebenen angeschliffen : die schmale, die breite und die JSndflAoba bexQglioh 1 zu den Kr^rat&UaxeD e, b und a.
mcJU: ito/arürtrfe /1uor«M«Mr,
107
Die ICbCne der optischen Axen i^t || a und r, sie fallt also mit der .breiten* Flache xiiMinuiien. Oie erslp MtitelHiiitt ixt r, die xweite, a, fllllt tiiit der Lüngi^xe des KrTstnlLs KiManimen. Det* matt grGnlicb^elbe und nicht valikomiuen klare Krjstall hi «chwaoh dicliroilisch ; denn in der dicliro-Wopischen Lujie ist das in der optischen Axenebene polarisirte Bild mehr gelblich, dos andere mehr blüulichgrua. Dies zeigt sicli bei Hetrachtiuig Kiowohl läng» c al» lüngs a, vKbrend || b (1 zur optischen Axen- ebene) kein Dichroiamufi bemerkbar isL
1. Eintritt \\ der ersten Mittellinie c.
a) Besichtigung längs der '/.weiten Mittellinie a. Der gclbgrQn fluorcicirende ätrnhtenweg erscheint etwas deutr 2icht>r, wenn detü AnalyKatunt Polnrisationäebene 1, als wenn sie
zu ihm steht; im letzteren Füll lagert sich noch etwas Violett (in Folge der Trübheit dei Mediums, cf. g 2) Qber da^ Grün. Bei polarisirt4?r Bestrahlung liege die Polar isationäebene xu- ^näohctt tl Ac; dann hat Drehung des AnalysAtor» keine merk- i Siehe Aeiiderung der Farbe odt-r Intensität zur Folge, Liegt jene PularisatiouBebene aber H ac, so enfcheiut die Fluureaceuz am helUten, wenn die Polarisation sebene des Analysators | ab.
b) Besichtigung längs h. Der Strahlenweg erscheint fiolett nnd bei Weitem am hellsten, wenn die Analysator- •bene ihm || ist, so daas wohl aar die Erscbeinang der trfiben
letlion vorliegt. Mit dieser Auffassung stinwuen die Beob- 'tchtungea bei polarisirter Bestrahlung Qberein. Wenn n&mlicb
die Poluri&ationsebena |] &c, so i:iit der riolette Strahlenweg sehr
bell, falb die Anulysatorebene ihn aufnimmt; bei dazu senk* Lrechter Stellung deä Analysators aber sehr dnnkel. Wenn jedoch r«r«tere PolarinatioQaebene || tic, eo encbeint der viülette Weg
bflUer, wenn der Analysator || a&, dagegen dunkler nnd mehr
blau, wenn er tl frc.
Aus 1 u) Hchtief«t man, das» bei Lichleiniritt tl c gelbgrfme FtuorewenZHcbwiDgungen nur in der Ebene bc nachweisbar &ind aod hier ihre gröeste Componente | e, eine etwan kleinere || 6 haben. Ut die Krregerschwingung || a, so »t 6 ^^ o, während
110
SitJiitHg ätr math.-j>hif9, Cloese vom 7. Mnrt 1H90.
firregersübwingun^eu || c. ErregortftraUl längs 6: &!>e Ijeidu sehr klein.
, , a: a~^h>e alle drei nor klein.
Die 2ur errcßcnden Schwingung parallele Schwing- ungscompononte der fluorcscirenden Tbeilcbeu ist nie am grüsston, wahrscheinlich sogar stets am kleinsten (analt^ wie es bei Hürablvi gefunden wurde; siebe oben). Die grQfste Componente ist im Allgemeinen |1 der ersten Mille Minie c, ausser wenn die erregenden Schwing- ungen (lie^iclbe Kichtung haben.
§ 11. MonoklinoB System. Rohrzucker. (Fig. 3.)
Mehrere von Herrn Dr. L. Wulff (Schwerin) gcxOcbtele und mir gcAcbfhkweiae fiberlaa»ene gross« ond TßUig helle Kry.stalle diraien znr Uotemicbnng. Sii; sind nach dfV ' Spsltnni^üfläcbe a Ufelformig; der grfiaafce hat die Dinienäioni>n l'^it 2*/a, 37i oni. Die Eben» der optischen Axea enth&H xwei Kni*«tal)Axen. nämlich die verticale c und die Klinoaxe a, wäh- rend «lie Krystallaxe h auf ihr senkrecht steht. Ich schliff zwei Fl&chen an: die eine senkrecht cur Axe ft, die andere srnkrccht
xnr ersten Mittellinie der upfci!<cben Axen. I>iese Mittellinie M Hegt in j stumpfen Winkel der Krjstallaien 41 and r, mit letzterer 67*/f* bildend. Kine dritte KUoho hätlc scokr ZOT xweiten MikielUnie ■If' stehen^ iu>Uen ; statt ihrer benutzte ick die natOrliche Krystallflacbe r, deren Stellang nar 3^/«* roa d«r gv- wotlteo abweicht Die Krj&talja sind g&nxlich frei ron Dicbroismn
1. Eimtriti | Her entm MUletiime M im eme arnfttektiü Ftdeke,
a) Besichtigung lings der sweitea Üf durch die Fläche r. Der grOoliob fluonMctivodo Strahleowcg ist atn Hellikivfi, iiif PolariaatioRwbene dw Anal^iaton in
1/
A
"■-«.
/., Sithnckf: J'uUtrixirie FlwtreKeu:
tu
flwhen Axenebone liegt. Wenn das einfallende Liebt in dieser Kbene polari^irt ist, gilt noch dasselbe; wenn es aber senkrecht tu jener Ebene [Mlarisirt ist (!i Mb)^ so ist die Pluorewens etwas weniger bell und durcb die Aoalysatorstellonf^ aiclit merk- lich beeinäii&ät.
b) Besichtigung längs h durch die andere angeBchliffene Fliehe z«igt die grünliche Fluorescen?. am hellst«*», wenn die Analysatorcbene || Mb. Wenn dw einfüllende Licht in der Ebene der opti84:ben Axeu polariairt ist, ao ist die Ererheinung undeutlich; sie iät noch am lieUsten, wenn die Analy^atorebene II Mb ; dagegen fast 0, wenn sie || M* b. Ut das eiofalleade Licht aber |] Jlf6 poUriidrt, m ist die Fliiurescenz am hetlstea, vronn die Ännlysatorebene gleich&lls || Mb mU
Hiernach sind die Schwingungen der fluoreäcirenden Theit- eben ganz überwiegend »enkrecht £ur Kbene der optischen Axen gelichtet. \n\, die Erregerschwingung i| 6, so ist & > 3f (vgl. 1 a) und If' > W, jedoch beide nur klein (cf. 1 b). AUo6>Jf'>3f. liier überwiegt h bedeutend, während M fast = 0 ist. Wenn iiber die Erregerschwingung || M' ist, m ist b^=^M uud von 7.iemliobcr OrOsse (cf. 1 a), und Jtf' > M (l b). Als« ist Jf ' > (Jf ^ /»), alle drei ziemlich stark.
2. Eintritt [| der »weiten Mittellinie M' in die Fläch« r.
s) Besichtigung längs der ersten M durch die an- "geschl iffene Flüche. Der Strahlcnweg flaorescirt jetat bläu- lichgrüii, aber schwach; er ist noch am besten sichtbar, wenn die Polarisationsebene des Analysators in die optische Axenebene rätit. Ist das einfallende Licht in irgend einem Aziniuth pola- risirt, MO gilt noch dasselbe.
b) Besichtigung längs b durch die andere ange- schliffene FtScbe. Der bläulicfagrnn flunrescirende Stmhlea- wrg i»t sehr aehwucb sichtbar; die Anal^satorstelluug hat keinen EinfltHB. ht dm einfallende Liebt in der Kbene der optischen Axen polariairt, so ist der lluorostnrende Strahlenwcg nach dieser Richtung hin überhaupt nicht zu sehen; ist e» aber \iM' b ]ioilii- ri<iirt. so iat er itchwach siclitbnr, dooh scheinbar völlig unpularisirt.
112
SitSHtiff (l«r math.-jiJtyii. Clantc eom 7. JUärt J89ß.
Alsu wird durch den zu lit parallGlen Strahl nur schwache bläuÜcbgrüni? Fluorescenz geweckt, deren Schwingungen ausschliesslich |^ b erfolgen. Erregerschwingungen [| V erwecken vrosentlicb nur gleichgerichtete Schwingnogen dor 6nonNioir«nden Theilchni; denn nach 2«) int h viel > M' und Jlf=sJlf' merk- lich «s 0. Sind diu Erregerscbwiugungen |: M, so ist wiederum b viel > Bt und M^M' eebr klein.
3. Eintritt l! Ä durch die angeschliffene Fläche.
a) Besichtigung längs üf' durch die Fläche r. Der btäuhchgrdn fluorcscirendc Strabienweg erscheint am helUten, wenn die Analysatorehene ||3f'6, [st das eintretende Licht in der Ebene Mh potarisirt« so ist die Fluorescenz schwach und nicht merklich polari^irt. ht es aber || M'h p^ilarisirt, ito iati die grüne Kluorescenz »ehr hell, wenn die Analysattirehent^ gleichfalls || M* h ist; dagegen fast 0. wenn letztere Kheoe in die optische Äsenebene HM' lallt.
b) Berichtigung Ungs M durch die angeschliffene^ Fläche. Die Flooreacenz ist am hellsten, wenn die £l>ene de Analysators I| Mh. Ist dan einfallende Licht in dieiier Ebene poUrisirt, so i.st die Aualysatonstellung von zwur nicht g^<)»>e^^J aber di>ch unverkennbarem Riufluäc. Orüiwie Helligkeit iceigtj sich, wenn beide Polarisationsebenen ir.u.sammenfaUen. Ist eintretende Licht \\ M' b polohtdrt, so giebt dic«elbe Analytuitor- sfcellang wie vorher gröast« Helligkeit, die aber die kleiiksia^ Dicht viel übertriffl. Sumit folgt:
Wenn die Krregerschwingungen {| Jf ' sind, toui M^^h uod sehr klein (3a) und Jf ' > b^ jedi>ch nicht sehr verschieden (3 b);J also Ht >\h=i if), alle drei nicht gross. l«t aber die Erreger*' Schwingung || Jlf, so ist if viel > b (letzteres fast 0) (3 a), und it nicht viel > b\ also M viel >Jlf' >&, letztere beide wenig verschieden.
Geaammt-Ergebnias:
ErregerschwtngQogeo || fr. Bmgerstrahl Iftogs Mxh>M'>M, hier Ut 6i«ehr groM, JTfMt 0. . • if: b ist merklich allein vorhanden.
fVWitt,
in
Errefi^erschwinguii^mi i M. trnlil länfi* 3f': /* fiel > (At •= M), letztere sehr klein. , /' : Jlf viel > M' '> h, letztere beide wenijf
verschieden.
iürro^m'scbwin^qnfceii ' M'. Grret^enttrahl litiigH M: M*'>{M^xb), alle drei r.ierolicli ffrom. • • ''• 3/' > (3f != //), Bl|pdr<>i klein und wnniK
verschieden.
Im Rohrzncker ist also fast immer jene Sebwing- nngscoraponente der fluoreseirenden Theilchcn iim ^rfisstrn« welche der ßrrefr*^''^''')^)n(f"'if? II >'^i '^i" >iuf- fSlIigNton ist die.s fflr die /.tir optischen Axeuebene senkrechten Krre^erscb winjfunKen, welche fast nur ffleichgerichtete erwecken Nur wenn die Errejjer- sth wintfunf^en | 3f, während der Strahl länizs M' ver- Terlänft, Überwiest die A-Sch winKunR^componente der finoreacirenden Theilclien die heideo anderen Compo- nenten sehr erheblich. So zeif^t sich, dass nberhanpt die zar Rhene der optischen Axen aenkrer-hten Flun- re^cenzMch wingnn^cn nm leichtesten z» Stande kommen.
K 12. Triklines System. Cyanit-
Zur VerfHffimg stand mir ein der Ir. b. Staat*iammlung Küh'iriger snulonfTirmlger Krystall von Hwa fn-ni Länge. 1.."» t'rn Breite, 0,8 cm Dieke, hegren/t im Weöentlicben tun -^ Flüchen der Säuleozuiie. wahrend die Koden unregehuäbsig abgebrochen tünd. Die er»te Mittellinie M der optischen Axen steht nahe senkrecht wir UauptMpaltnngNtliichf*, dnrrh welche der Krystall brtiit«4kulenfürmig idt. Die zweite Mittellinie M' liegt also fiut in dieser Kliiche und macht etwa ."tO" mit der Säulenkante (d. h. der lUchlung der Krystalliixe r), und /war im spitzen Winkel der Kry^tallaxen 6 und r. Die /.nv ojitiKchen Axen- ebeoK senkrechte Richtung sei s genannt. Der Krystall Ut stark pleoi'hroiti)»oh; denn vwirt. man mit der diehroakopiachen IMS. M*iiL-iair*. VL I. 8
\u
Siiitntg d^ mtUh.-]jhya. CtOMMt wm 7. Man 1895.
Lnpe ll der Hauptspaltungdfliiche durch die schmtile S£uleit.<t«it so ist das II e polarisirtc Bild gelb, dos andere tief blau; ristr Dion durch die HuupUjialluiigAfliiche, so 'ui das || c ^mlariflirt« etwas weniger tiefblau als das 1 c polnrisirte. Der KrrMtall flnoreMHrt dunkel purpiirroth; doch >änd die Beobacbtong schwierig und Jäher nicht ^hr genau, weil diese Farbe di Auge »cbnell «rniQdeL. und weil sie mit dern erregeodco Vicilett eine gewisse Verwand tächafl besitzt. Zudem sind die Beoh »chtuntfen uitTollständig, weil es weder gciaog, den erregend Strahl nahe 1, der Säuleuaxe in den Krysfaall eintreten xu launn noch ancb in dieser Kithtuug zu visiren.
1. Eintritt || der ersten MiitcUinie M dureM die Ilatipt- gpaltHhffsfläehe,
Uesirhtignng längs der tut optischen Axenebrar senkrechten Richtung s durch eine Sänlenkante. Die •luri;h nnpoUrisirte Etestrahlnng erregte rothe KtoorBacanz ist : i)el|!$ten y.u sehen, w«in die Polarisationsebeoe des Analj II M*». Die ntioreacenx iat bei Weitem am »lärkaten. wenn dn;* Brregerlicht in der Ebane der optiaebeD Axeo pobi' Dann zeigt obige AnalysatoratelhiDg etwas grAsBer« li.rMi^B-.t aU die dazu seokreobte.
Alao weitAQB am st&rksten erregen ScbwingiLBgeci || «, d. h. senkrecht juir optiscben AxeDeb«ne; dann iat M i4«-a' > JT^j
2. Eintritt senkreekt gur opttseMeu Astmehemc , s dttrek eime^ Sätdenkafiie.
Besichtigung längs M durch die Hauptspaltungs- flfiirhe. Uellüte Ploorescens eracheiiiti wenn die Polarisatkut»^ ebene des Analjnton mit der Khooe der optischen Ai leuiiamntenliUlt. Rri poUrvirter Besfcntfalang tritt die Flunmcenz weitaus am dcatbchrteii nnf. wenn die Pol&r ebene di» folarttatoVB ] JV'jr, nnd dann i»t sie am hrlUten di^r eben genanntefi AnaljrsatorctelluDg. Ist aber daa einfaltend Livlit I] Jf « polarüirt« so zeigt sich nur hlanfioMlcs Erregt^rficht
Also vir' ' >nngunorn ' iT nhcrhaapC nicht (»«rklic
flaiircac«Bcarv> sun sülrk»t^u hingegen Scfawinguntren 1t .
AUdann ist < > JT.
L. SoKnekf. Potarinrtt Flwaretteenz. 1 1^
Gesauami- Krgebaiss :
Krreguntchwin^tini^en i| s. BrwffBr«frfthl läng« M: M etwiu > ilf' (nf. 1).
ErreRorschwingungen !l M.
Brregfimtruhl längs «: » > M' (cf. 2.1.
Erri'gerschwinKnn^^en , Af .
Km-L'^Tsirahl IRnars A/: iVriolIeicht >A/\beicieaehr kIoinV(cf.l). , «: af = 3f' = 0(?)
Im Ganzen scheint imioer 3f > ä > M'. Pproer «eigt Hich, daHM Soh winf^uittitcn || Af* ülierKaiipt kautD mcrk-
lii'hc KI ticirpscptr/ i-rrc^^en.
§ 13. Resultate.
Im VorhcrgehenfJen i^t gezeigt, daf» alle Unterpachten Krystalle, welche doppeihrechend nnd mit Plii<»re5)cen7, begabt sind, nach v»?rschiod«MU'n Riclitungen hin mehr oder weniger vollkuumien pohirinirt^ Licht aussenden. Schun frtiher '^ind, wie BingangR erwähnt, eine Reihe anderer krystallisirter Sub- stanzen aU mit polari^irter Phior^cenz be<!;aht erkannt worden. Da nun bisher keine Ausnahme gefunden wurde, RO scheint folgender Satz, der Öbrigens w\n allgemeinen krysta II physika- lischen Krwägungen eine gewisse innere Wahrscheinlichkeit b»- »(itxt, auch experimentell hinreichend festgestellt zu sein:
Die polarifiirte t'lnorescene ist eine allgemeine Kigenxchaft aller dop pel brechenden fluorescenz- fähigon Krystalle.
Ana dv-r [Vdnri.^ation de» FUiorescen/.lichled scblies^t man i' jene Uicbtungen, nach welchen die Huorexcirenden Theil- ehen mehr oder weniger leicht in (liehtauweudend«) Schwing* tingen v«rs«txt werden können ({$ 1 und ^ 3, In), oder nach welchen bin ne vielleicht immer bchon in Schwingungen be- griffen trind. Im aus der «•n(cblo«»eneii GrSnenfolge der ächwingiing!4enmponentcn die Schwingnngsbabnen vtlbur abxu*
8»
16
BUm^ rfer m^.fAft. Oaae
7.
laten, wttnico entes* BtiMUDgea de» Orilaav ConpoDcvtco . — alw pbatocDiAnKfa« Miwiiiiy ■ — «■ fmilN« lieb «an, tvatena &li«r dw Brmfttohing ikrtr PhMmulcr- •diwdc, za irelcfa«r je4ocb end «tu We|C gvfofM3«a ««rdm m&vte.
Die dicbroitificbe Flooracmz mancher Sobetanxen (Hnöatk Bach Msdcd^o«, Beryll a. A.) ber^t dArmaf^ «lufe 4ie SghwiuiK mg OBOi flooraKtnndeo Tbeikfaew ba AUgvmaiieD hm Rv- inilUale Toe mefaxereD, in vencbiedAiMCi Ebenen itattfiadctticn 8cfairisgQnK«n iit. wdebe — / ' l^t Anordnaof? der KrT^fed)-
bamteiae — renchiedeo nnd ..^ :. .eriod« nnd Amplitude, »!■> nach Farbe nnd IniensiÜt. Darcb Anwendong dei Kk«l gdasgi unter Umtftndea ein» einzelne dianr TheiUchvingtingen alletn oder doch rorwiegend zur Wnhm^hmnng.
IiD ISfvnideren lieferten die 10 ootersocbten äohHtaoiMt frilf^^nde HaupteigebniaK :
0)>ti«eh einaxige Krystatle.
Im KalkMpatb tiaben die Schwingungen der fluoreacirew
den Theilchen ihre grTiwt« Componenie p»nü)pl der opti»ch«n
Axe. Aach wird die Fluorewenz durch Schwin^ngen nw
I dieoer Kichiong am Bt£rkateu erri^^ Von allen n\ Ihr •^^nk-.
rechten Kichtnngvn vA keine atugezaebnet.
Im Apatit itchwingen die fiuoreocirenden Theilr.hen nerir- lich nur senkrecht zur ''pÜMThcn Axu ; auch wird die KlunreKcens am Htärkfiten durch Scfawingtmgen Kilchor Uichtangeo erweckt.
Bfrjll ätKiraHciri didiroi tisch. Die xqr »pli^^hrn Axe senkrechten Schwint^unt^en sind blau, die parallelen rothrinletl;. Bei dnem anderen Kitoniplar ißt es gerade umgekehrt. Beim ^!nm^llgd ^ixl diese Kurbln roth und blautiülett,
im Venu vi an haben die Fluorescenaaehwingungen etwu grtMM Componenten «eiikrecbt ul« parallel zur Ale: aoob
werden «i* nni .ftürkst^'n durch enUre erregt. Sclnv r
den Krregvrliclit»^ die parallel. beKiehiingsweiae hudIci >r
Axe nind, rufen Überwiegend glmchgerichUite Kitii/r 'i. n/- ncbwingnnf(en lierfor.
L. Snhnekg: Pt^arigirte Fltufregcttu,
117
Tai Hurnblei 8inrlHicPlaorcscei)s»chwingiinffmiuuiijtSrlcHtf>n wakrecht zur Axe. Krrof;eriM;hwini;ui)^oti parallel der Axe rufen »m stiirkjBtan Fluort!ticäuz»chwingURgen seukrecht zur Axe her- vor, und umgekehrt.
OpÜKcb itweiaxtge Krysialle.
Im Tiipas nrfnlgen die Fluorescenjöchwingimgen nur in der Kbeue der optucheu Axen; die Hauptcooiponente 'ml parallel der eräten MitU;llime.
Im Arragonit ist immer Jene Schwingangdcompouetite der fluorescirenden Theilchen am grossten, die parallel zur Er- rcgerschwinjfnriK ist; doch geschehen die Schwingnngen parallel der ersteti Mitt^lliuie am sdiu^ierigtiteri, die beiden lU/.u senk- rechten fast gleich leicht, am leichiesten indoäseu die Kur optischen Axenehene »enkr^hte.
Im Weiesbleierz i«t die zur Erregerschwingnng panilielc fsohwingungscomponente der äuure^cirenden Theilchen uie am grOwten, wührscheinlich sogar tsieis um klointiten (vgl. Homhlei),
Im Rohrzucker ißt fast immer jene Schwinguagscom- ponent« am grti«8ttiu, die zur Knegerschwingung purallel ist; jedoch erfolgen die Sobwingungen bei weitem am leichtesten senkrecht xur Ebene der ui>tiiichei) Axen.
Im Cjanit ist die kleinste Compunente der KluoreDoenz- Hchwiiigtiiigeii initiier j>arutlel diir /weiten Mittellinit' dur optischen .Axen. Erregerschwingungen von ditwer Itichtun« i-rwecken ilher- hanpt kaum merkliche Elaoreacenz.
i-th i'
M ■
lieber den Feuerbach'schen Kreis und eine Steiner'sohe Curve vierter Ordnung und dritter Klasse.
Von W. tiodt in UtMck. (»1 lih U»! 7. JUn.)
Der Feuerbach'fldie Satz von den BerUhruiigvkruised der ' Sritun eiiiüä Dreieckt« ist vielfach verifJKiert, seltener wesentlich bereichert worden. Hezftglich der umfangreichen Litteratur kamt iiuf t\\v gründliche Arlteil von Prof. Dr. Julius Lange: Geschichte dos Fenerb ach 'sehen Krei.^ea. Berlin 1894. Beil&ge Eum Jahres- Iwricht der Kriedricha-WerderVhen Oberrealschule r« Berlin verwiesen wenleii. Im Folgenden ist auf selbständige und wie Verf. glaubt neue Weise dafi Problem behandelt nnd aus seiner bisherigen Vereinzelung in einen grösseren /uTtammenhang ge- rückt. TMx Htrenger Beschräukung auf solche Kiemente, die in vielfacher Beziehung merkwürdig sind, wird die Figur ziem- lich verwickelt. Freunde de« Gegenstandes kiWinen vom Verf. eine Iteihe hinreichend genau ansgeführter Blätter zur Ansicht «rhalten.
Hervorgehoben sei noch, dass sich im Lanfo der Darstellung von selbst die Beweiae zu einer I{eihe von Sätzen ergeben, welebo Steiner lu Betreff .einer besonderen (Jurve dritter Klasse (nnd vi«rt<*n Linide«)* ohne Hewei« mitgetheilt bat (lB5<i, tie- «mmelte Werke, Bd. 2, p. 0-il ß'.). Ein Theil diew>r Sätze, soweit sich dieselben nämlich au» den nll genieinen Hüfana über CurvQu dritter Ordnung nder dritter Klagte ableiten Imbmil, tut vchon von Cremuna in diesem Sinne behandelt (Sur t'bypo- cycloide tt trois rfbrousseraents. OrelleS Juumal, Bd. 64). Der Zu.Hamnienhung dtm Feuerbucli'.'ichen IvreJM« mit den Steinnr'- «ch«o Sätzen scheint bisher nicht erkannt ku «ein.
ISO
Sitjung der math,'phya. Clane am 7, Miln tftO0.
I. Ueber die Geometrie auf einem Ereise.
1. Behufs der Geometrie auf einem Kreise vom Radiu» I kaiin man in folgender Weit»« verfahren : Man wählu in der IVripherie «•iiien tjcliebi^^tin feuiün Punkt 0 und einu but^tiiomte Umluuf^richtung, etwa die, wubei man die innere Kreiflflüche zur Linken liai, ab [Kwitive und lege einem Punkte X den halben Bo^en (}X aU Parameter bei. Dann gehört jedem be- liebigen positiven oder ncpatiTen Parameter nur ein einziger bestimmter Punkt der Peripherie xu, einem beliebigen Punkte aber gehören unendlich viele Parameter zu, die sich um ganze Vielfache von n von einander unterscheiden.
2. Sind a und ß die ParameLer vou zwei ENinkien, «o ist ihr Abstand gleich dem aljsoiuten Werte von »in (o — ß). Sind aß yd die Parameter von vier Punkten, ho spriclit die Identität :
läü (a ~ ^ stn {ß - y) + 91X1 iß- 6) inn{y-a)'i-iän{y~Ö) »in {a~ß)'~^0
den isogen. Lehi^tz deä Ptoiemtiuä au» und Kvrar ia allgeuieiu gültiger Form fUr beliebige Lugen der Punkte.
3. Sind aßyS die Parameter von vier Punkten, so i^t das Doppelverhältnis de» Paiire« aß getrennt durch yd
sin (a — y) ^ airi (a — 6) sinj/f — <5) sin (y — a)
ainCy — /?) ' sin (d — /T) "^ ~ ain {ä~— ^5"«" iß " T^
Die oeclis verächiedeoeu Doppel verh<nisse, die man durch ver- schiedene Anordnung der Pnnkte desselben Quadrupels erhält, sind bezttglich den negativen Werten der üeohn Quotienten gleiob, die HUI» den drei Gliedern der Identität in 2. sich bilden lausen.
4. Seien aß yd zwischen 0 und /r« der GrÖA^e nach g6- ordnet, Parameter von vier Punkten und P der Schnittpunkt der tveraden a ß und / d, so ii^t ersichtlich das Teilnngsverhältni»
aP Act yd (iin {y — «) sin (d — a)
T~ß 'dßjd ™ ~ «in (y — pl) «in ( J — ß)
und dieae Gleichung bleibt bestehen, wenn sich die ParameUr
W. Ooäi: lieber lUn J'cucjiiuch'seAcn Kftü.
121
U*liobi|? verüiidern. lis wird aUo ullgemeia die Strecke a(i von der Geraden j'd jyeteilt nach dem Vtrhältnii^o
«in (« — y) ain (a — -_d) ~ain(/( — >')8i^(^ — df)
Tj. StiJeu a, und ß^^ a, und /f|, a^ und ^g die P&rami<ter
dreittr Paare von Punkten, uo ist os leicbt, die Bedingung «n-
, zii^^ebtja. diUfi) die drei durch nie besiiuimien Geraden einen t^e-
ktneinaanien Schnittpunkt haben. Nnch i, ist dazu nnrnUrh tni
|a)lgemoinen erforderlich und nn^reichend, dAS8
sin {a^ — a^) «in (ß^ — «o >in («j — a^) ain (o^ -•- or.)
sin (o, — fi]) «in (Ä — ^,) ~ «in (o, — /*,) sin (^, — /»,)
(»lur in Uaterniinantenfnriu ( «iD(«, — a,)ffln(/^, — a,)
ain (flg — a,) sin i(i^ — o,) sin (öj — pf,) .sin (/Jg — {i^}
0
fi. Diese Relation mass ihrem Sinne nnch gegen Ver-
tauBchungen der Indize» 1,2.3 invariant »ein. Qni dies auch
lin der Pnrm zum An»druok x« bringen, kann man die link«
^stvhende Determinante, sie heisse für den Augenblick D, um-
getftalteu. Mit Aufli\>iing der Sinusprudukte erhiUt man zunächut
4i>.
co«(cf^ + /^,-2o,) C0H(a5 + /^,-2«,) l ca»(a, + />,-2i?J cm{c^ + ß,-tß,) 1
lokiplixiert man nun kolonnenweise mit
f co«2/f,
-cm:
|
sin 2^, |
{) |
|
^sin 2a^ |
0 |
|
0 |
1 |
= — sin(2o^ — 2y*,)
wird
Sümmf der matk^fk^. Ommr
— ■iD-«in(2a, — ^fl^)
(•der
*» K + /*«) *»° (<S -f Z'i) «« 2/f, — «9 2«,
4i> = ^coi(a, + ^,) cm{a^ + ßj - sin 2^*, + an Co,
|c«K-^.) «*{'^— /'s) aiii(2«,-2i»J I
oder t*n<lbdi, wenn mAO die letite KoIooim iiiiiftiiilillit, den Faktor 2 nio (a^ — ß^) ftbaondert md vckcd d« Pdl^eiidett die
AnoidouDg iodert
Die [letcroiinaBte recht» «orde sor AbkAimtg udi mit ^(o,, /*,; o,, /f,; o,, ß^i oder mit -:/ hwiwchtnl
7. Wie iD 5. bemerkt« ist i) => Q aar in alljKemeuiai <i>e Bedin^Dg daftr. daas die drei (jermdeo darcb flinoa Ihmkt geheo. denn die Ableitung setzt vorftne, da« die INoametar dtj nud /}| venchtedeDen Punktesi uigehOr«a and nielit Hv» demMiben, SoMtr di«! n&mlirh einmal der PaU «etn, cn ItOniite von eÖMin bertuumten TeilangarcrbältDia der Strecke a, ß^ ibcbt (geredet «ctdeo, dw «tne» bevüicailea Punkt cKftfaktehotrt«, D^O wOn&e daan Ober die zmite and dritte Gerade Ober- banpt nicht» ■miMgin Die g«oaoe Bedisgung, dam drei Ge- rade darcb einen Pankt geben, irt vielmebr itet» da« V«iw echvinden vun J, wenn nan nur uatar der Ueradan 0, a oder a,mit -{-a die KrtifUageDt« in dem Punkte mit dem l^wrm- meter a rerstdit 80 mB es im folgenden geKbebeo.
8. SoD etne Gerade nicht nur ihmr Lage, «mdeni auch ibrer ltiebtaa|r nach in Betracht i;ezo(cea «erden, ao dum de all in antm bcattnunten Sinne au durchJanfen vorgcalellk wird
W. G^: Veber Htm i'>N«r6acft'HAtfn KreU.
123
ditd die Ebene in ein linkes nnd ein ruohtefi oder ein positive» und fiii ntjfxatirois Gebiet zi'rlegt, so ntHg «ie ein Lagfstrahl btfi«4en. Zwei t'arameter a und ^ legen Kwei Punkte unil dHUiil eine Gerade und in noch bestimmterem äinne einen Liiufstrabl foht. Bei HUrtif^er Attnderung ron ß dreht .sieb uündicb die tie- nd« o (i um den Punkt a und wir künnon fe^tüetzeu« cliue üe aU Ijau&trahl o/tf in demjeni^e» Sinne zu versieben 8«i, bei dum, wenn ß mit « gleich geworden ist, ihr Hnkes Ufer im BerilhrungRpnnkte mit dem linken Ufer dw Kreisen xu.sammeii- fallt. So vervtanden kann man a und ß als Koordinaten eines LoufxtmhlH aiifT&%sen und etwa Kreiskoordinaten dessen>en nennen. Aendert sich eine Kreiskoordinate eines Laufstrahls um /r, so flLllt t^r in die entKe}?enf(e.-^etzt« Kicbtunj^ durgelbon Oeradmi. Die Kreiskoortlinaten a •\- ft uod ß -{- n legen also denselben l»Luf!tlnLht f»9it wie a und ßy \\\v Kreiskoordinuten a -f- tt und ß ltder a und ß '\- j* aber den entgegenge»et7.ten.
9. Durch den Mittelpunkt Heu Kreises le^eu wir ein recht- winklif^ AchüenkreuK und xwar wählen wir fOr die Rirhttmf^ der X-Acb^e den Laufstrahl mit den Krel'skrxirdinaten 0 tmd
— -n-> W' die Richtung iler T- Achse den Laufetrabl mit den
Kreiskoordinaten . und — j. Sind dann a und ß die Para- 4 4
Dieter zweier Punkte, w* lautet die Gleichung der hindurch- getefften (if^radtfn in rfrhtwinkligen Koordinaten und in der Normalform
XCQ»{a'\-ß)-\-^ sin (o -f /fj — ooa (a — /?) = 0
und dabei gieht der Auadruck coc* (a — ß\ nicht nur durch seinen aljsoiuten Wert die Lange de» vom Mittelpunkt auf die Ge- rade aß getiLlllen Lotes an, (sondern durch sein Vorzeichen auch, auf welcher Seile da« LaufstruhU a ß^ dur po&ttivea oder nega- tiven, linken oder rechten, der Mittelpunkt liegt.
Schneidet oder berührt ein Laufstrabi den Kreiü, an sind ■pino Kreiskoordinaten nwll. trifft «r d«n Kreis nicht, iat ab<»r nwU, «0 itind dicawiben konju^ert komplex.
124
gtUitng (i«r malK-pIt^. CUM« 9m 7. MUn U09.
Actf; der Gleichung Her Geraden in rechtwinkligen KoonH- DAttfu ergiebt ^icb die Be<tin(7ung, d»ä8 drei Gcmdc durub eine» Punkt gehen, in Kreit^koordinaUn aii^edrQckt ohne weitorce in der Form ^7^=0 von 7.
10. Die Gprude 5, habe die Kreiskoordinaten a und ß^^ ao hat ihr Pol P^, wie leicht iw -»ehTi. die rtfhtwinkli^jiru Kourdinaten
X, = ^- -- ,^ und y^ = — 7 ,i^
Hierau^i ersieht äicb. daäs die au» den Krei^koordiualea dreier Geraden gebildete Determinante J in naher Beziehung za dem Inhalt Jf. des Dreiecks steht, dessen Ecken die Pole der Ge- raden üind. Es ist nämlich
J^=2Jj,'C<»{a^~ ßj) cos (o, — /*^ CO« (a, — ^f,)
Bezeichnet man den Inhalt des von den drei Geraden selber" getiildeten Dreiecks mit J^^ äeiue drei iluheu mit 4,, \, A^, die Koordinaten seiner Eckpunkte mit ^ '/j, ^ ^t« ^» *?>• s<* 'Er- hält man, da
s. ■?. - 1 I
^ "?. -1 durch Multiplikation dieser Gleichung mit der vorigen Ä, A, A, = 4 J,, .rf, - C0& K — pf,) cos (a, — /:»,) ooa (<^ — ,!(,)
11, Obwohl es mit dem eigentlichen Thema dieses Auf- satxee nicht näher xiiäammenhängt, niag noch Folgendes be- merkt werden. Sollen ewei Gerade konjugiert sein, dan hetast, soll die eine durch den Pol der anderen gehen, fio ist nach 9. und 10. die Bedingung
W. ftnät: Xf^ier dm ^VtferftrtcVjMÄe« /Creijr.
oder
0** K + /J'i — «I — /*i) = CO* ("s — ^i) «^o^ («1 — ft)
wnraii« mnn dfuMioh die Gef^en<;>eitigkeit dieser B«r,ie)uing t^nneht. Ebpuiio symmetriBch drückt sich die Bodin^uug, das; drei ^Gerade ein Polardreit^ck de« KrciHeü liildti», durch die drei Glei- uhiifif^t'n AUS :
«• («I -t- i»t — «, - ^i) = CO« (<»i — ^j) c« ("» — W «» («I + /*! — «s — ß%) ■* COS (a, — /?,) cos (o, — /?,) CO» (0| + ft — ö, — /^i) = C08 («i ~ /*») CO» (a, — ß^)
12. Die Bediu^uii^, diu» drei Gerade durch einen Punkt gehen, in KreiHkuordiniiten kaun man noch in einer anderen Form erholten, die später nützlich und an sich intereitsant ist. Die I'unkte, deren Tarameter a^, er, and a, sind, fasse man aU Ki'keu eines Üreieck« auf, »o $ind die Teilverhftttniaäe von
n •. , . « . sin (c, — a,) sin (a, — ßA S«te a,a^ durch Gerade a,rf, = ^-^ '' . ; ' ^
* » *'• sin K — o,) sin (fir, — /y,)
Seite «, er, dnrrh fi<mulp n, ,^, = r-j-' \ . , x\
I * ' ' ' «in(a, — a,)»in(cr, — i!?j)
Q -i . 1 r, j ^ sin (o- — o,) nn («, — //,) Seite a.o, durch Gerade a,rf, =* :— i-J ' . ,^ f{
* ' ^ ■ sin (o, - «,) ain (a, — ,*,)
Die drei Geraden gehen onn darch einen Ponkt, wenn da« Produkt der drei Teilverhältnüse gleich 1 ist, also, wenn
sin (o^ — /?») ■ Kin (a, — /?,) «in (a, — ßt)^-^ sin (o, — ß^) . «in (o, — ß^) dn (a, — ß^)
oder wenn
«in(o,-/*,)«in(o,-ii(,)»iD(ü,-/*,)-sin<a,-/äfg)8in(a,-//,):-m(a,-^,)=0
und in der Thiit kann man »ich durch Eittwickiung und Ver- gleichung leicht flberxeugen, dat» identisch
idn (ff, — ß^) «0 (tf, — /*,) »dn (o, — ß^)
— xin (n, — ß^) «in <a, — ß^) «in (o, — /Ü,) = - J
125
SUtumff der wiath.-phj/M. CltiMie tvtm 7. Mnrs t896.
Vielleicht ist die linke StriU? nnrh nbersIchUicher in der Korni:
«in (a,-^,)siD (0,-/^^810 ((ir,-/S,)+sin (;^,-o,)siD {ftf-a^)mi{ß^-iÄ^t
Ableitnng und letxte fileichnng lehren dst>ei, rlai^t dip«tfr AuHdriick seinen Wert nicht ändert, wenn man i^^Hrl(l eiu o tnit dem entsprechenden fi Tertatischt. Zngleich ergieht j^ieh der einfache geumctrische Siitz: Wenn bei eim-iu Sechseck iin Kreide die drei Verbindungäliiiien rnn je /.wei gegenüberliegen- den Ecken (Hauptdiagoualen) <lurcb einen Punkt gehen, bo »itid die beiden Pmdnkte aus je drei nicht aneinander hnnj^endr^n Seiten gleich.
13. Wir stellen die unter 12. und 0. gefundenen IdiMiLi- tftten noch einmal zur l^qnemlichkeit /.uranmien. ht
cofi («I + ^i) «n («I •+- ßi) cos (a, - ^,)
c^ («I + W s»a (*S + f^t^ *=«» l"« /*f) COR («s -1- /fg) siu (a, -f /^g) cos (n, — fi^) '
Sil hat man identisch
-J^üia {a^ — ß,) »in («, - ^,) hin (a, — /*,)
4- sin (/*, — or,) sin (//, — o,) ain (/^g — o,)
imd
sin (a, — a^) Pin (i^, — ß,) sin (a. — o,) ^in (/*, - ft,) Bin <a, — (i^) sin (^, — ß,) sin (o, - /¥,) nn {{i^ — jtf,)
14. Äebnlich wie wir jeder Geraden ein Paar Paranietfir nh Kreiskoordinaten l>eigelegt haben, können wir die.^ auch ly>t jetlem Punkte atitiflihren. Wir .setzen fc^t, das!^ als Kreiskoordi- naten eines PunkteH diejenigen «einer Polare t^enomnien werden. Sind dann ab /w^i Ktilchi; Kreiutkuurdinaten uineü PnnkU^, so
sind «eine CArl-eriischen Koordinatan -
coa(n + 6) ^ , 8in(o-f ft)
cof» (a — h)
nnd
ca*
Ü^^^
1^
n«r
Kreis.
127
Setzt man t1ie«e Werte Pär x und y in die linke Seite der auf
Null gebrachten Gleichung eines Laufstrahles aß ein, so erhält
, . , , cos (a -|- 6 — a — ß) , ,. , ,
man den Ausdruck ^^ ;r — ■ cosia — tf), d. h,
cos(o — 6) ^ ^'
wenn unter K^a die Knifernung des Pniikt«» ah von dem Lauf- strabl aß verstanden wird und zwar positiv oder negativ ge- rechnet, je nachdem der Punkt auf dor positiven oder DCgatiTen S«ite d(w Strahls liegt, so ist
co8(a— ft) ^
'«/'
Griten a und ß als Variahle angesehen, so i-^t diese Gleichung als Gleichung den Düi^cheU der Tangenten eine« Kreises auf- %ufa»»'n auRgedrlickt in Kreiäkoordinuten der Strahlen. Hierbei ist bpBcht«nt)Worb, da."« dabei die Tangenten in bestinimteni Sinne als Laufstrableu genoiuiuen aind oder mit andereu Worten: •Sind i\ and h die KreiKkoordinaten eine^ Punktei«, or und ß die Kreiskoordinaten einen LaufstrahU nnd ist r eine absolute Zahl, so sagt die Gleichung
cos (a + ft — g — ß)
— cos (o — ^) = — r (resp. = -|- r)
cos (a — ft)
'ans, dass der Laufstrabi aß den um a6 mit r genchla- geneu Kreiü berUbrl und zu üeintsr linken (rtii^p. recliteu) Seite tä»8t.
15. Die obigen Bemerkungen lassen sich nach verschiedenen Seiten weiterfOhren und verallg^nieinern, es Ist mir nicht un- wahrncheinlich, dass Steiner mehrfach ähnliche Wege betreten bat.
n. Üeber den Feuerbach'schen Kreis.
16. Wir betrachten ein vollatändigos Viifreck i/^ if^ J, «/„ tlessen Gegenseiten t\\ einander senkrecht stehen. Die Seiten «/g '/j und «/| */a itcbnf'ideii 8iob in Ä^ ^0*^% ""d c/^«/, iu /f, Jjf/, and t/| «/, in C. Die Mitten der s^ecbs Seiten des Viereck» heiibi^n M^^, M^ n. h. w. Sieht mau irgend drei unter den
I2S
SiituS^n^^
9f>.
rier Piinkleii J hU Ecken eines Dreieck» an, so hat dmwgib» allemal ilen vierten Punkt J sum llOheuschnittpunkt und A B und C KU Hßbenfu«)f)piiDkten. IHo drei Ptinkio A B C und die sechs Pnnkt« M liegen in der Periphme eine» Kreises <P. diener int Feucrbach*4cher Kreis ffir jedos der vier auä dco Punkten J zu bildenden Dreiecke und üpielt in den folf^enden Ueberlugungeo eine fundamentale Kollp* Wir wählen auf 0 einen Anfan^punkt 0 und eine l'mlauf richluug, m hat nach 1. jeder Punkt von </> »einen bin auf Vielfache von n bestimmten Parameter; die Parameter vun J/y,. 5/,j und Jtfii seien a, ß und y. Wir nelunim ferner an. d»tr Punkt 0 wi?rde eo gewählt, d»?8 die Summe a-^ß+yj einem Vielfachen von 7r gleich wird. Es giebt drei Holch«* Punkte und sie bilden die ECoken eines gleictweitigen Dreieck«, l'nter a, fi und •/ können wir dann der Rinfuchhrit wegen ffl>- gar itolcbe Werte verstehen, deren Summe uleich Null ist. Da die Sehne AM^^ parallel mit der Scihne J/„ Äl^^ i^t. hat A «um Parameter den Wert — a-|-/i-f*?'^ — -*" "ßd ebeoR fliud — 2fi und — 2 y Parameter vou B und C- Zu Para- nietom der Punkte i*f„, M„ M^ ferner kann nitin nnrh Im-
kannti-n Beziehungen «i-« /'i.,, yi.T nehmen.
£ £ '2
17. Wo kein MiwverstÄndni« /.n bi-sorgen ist. kirnnfün wir, wie schon frflhi'r, einem Punkte von 0 und »mninn l'aramiH«^ die gleiche Bezeichnung geben.
Durch die Gleichung
sin 0>« — «) + «™ (P» — ^) + «n f p, — y) ^ 0
wird ein Parameter p« bis auf Vielfache von n, der Punkt p, aliio vi)llii{ he^timntt Nun tat idmtiMh
sin f /*, — a) «in (^ — y) + «iu (jj^ — /?) «n f V — o^t
H-*in(;s — y)Mnfa — f«)Ä4i
alMj füllet, diLw
W. Oodt: Utber den Feuerhack' »dten Krcü. 129
— fa aiu {pa — tt) = sin {a^ß) — sin (y — et)
— e« sin (p(, — pf) = ain (/? — y) — ain (a — ^)
— Po sin (Po — r) = «n (y — o) — sin (ß — r) worin (^ ein noch n&hcr in bcätimmender Faktor.
Kerner folgt — ^, (sin 0>o - «) + «n (Po - W *" »»" Ci* — y) — »in (y — a) oder
_ . / a-\-ß\ ß-a
oder wegen a -f- /S' + y = 0
„ ^ ^-o . |»-2y + a
— = 2 C08 ^ sin '^ ^^
eo«n(Po + 2)
Jnndnert nmn diese Gleichung und fßbrfc Kosinnsse ein, flo knmnit
rf(l -009(2 Po + y))= 1 - coeSy
ergiebt sich nncb
^C09(2p5H-a) — 008 3« = ^- 1 f;cos(2p,-f^)-co63^«^-l
tHese drei Oleichangen lassen nan auf tiruod Ton 14) eine bemerkenswerte geometrbche Deninng zu. Sie /«igen nämlich, dai« die Tier Liui&trablen mit den Kreiskoordinateti a und —2a, P und — 2/f, y und — 2^, p^ und /i^ einen nnd denselben Kreis berühren und zwar ihn alle auf der gleichen ^eiie haben, d«»eo ßudiu» dem a)iM>iiiten Werte von ^—1 gleich üt. Die Csrteeüchen Koordinaten seinem Mittelpunktes sind ^* cos 2/j^ und ßj ein Sp^, er berührt aUo 0 im Punkte p^. Hiermit haben wir den von Peuerbitch und äteiner, der ihn digne de remarquo nennt, gefundenen Satz: UM. lf*lk.-»lif«. ci. i. %
Die irier B«rtkrasgslrr«iM mmtM VinA—ht b^rftfcrva
fmmpmnkUt gckt
18. Aoi der DeABÜMMskickiiY ftr ji^
■"fe— «) + "»(P#-W+"n(A— *>••• Mg|,iramawidie8liH»Mfltt nd cioM Fbktor f öAInt:
/■•«n (A + *)«-= «in (« + *) + «n(/^ + *) + «n(r+J^
ftr jeden W«it von «. Sebfc mu — a filr « «in, ao logt «in V«i^kieh mit 17., dam /'— «^ id. Ba irt abo ftr jsd« Wert Ton. d!
1^ «n (p, H- *) =» «n (o + x) + «n OJ + x) + «n (y + ») insbeaondere wird %. B. ftr x s= - — p^
ffo = cos (po — o) + cos f Po — /f) + cos (Po - y) Um 9o durch o, ß, y ausgedrückt zu erhalten, bilde man: ^ = ^8in«p^+^co82po
= 3 + 2 cos (a — )9) + 2 cos (/i - y) 4- 2 cos (y — a) Nun ist aUgemein, wie leicht zu prüfen,
coe a 4- cos ^ 4" coä c + cos (o 4- i + c)
. a-\-h h-\- c c4fl = 4 cos — ^— cos — ^r— cos — ~ —
a Z a
also wird:
ßj = 1 + 8 COS ^j cos — ^— cos '
Das Vorzeichen von (g wflrde erst bestimmt werden, wenn wir verfugten, welcher der möglichen Werte fQr p zu nehmen sei.
W. OotU: Uciter flen »uerAacVacftm Kreü.
lai
19. Um uuch die den drei Übrigen Der tlUrungitk reisen de» Dreiecks ^/,«/j<A, zugehörigen Weriu zu erhalten, hnt ninn mir jedwniiil je zwei von den Panuneberit der I^iinkte Af„ J/ß, Sf^^ KU Terändero, einen uro + ^''^ einen um — /r, und zwar setzen vir
e, ilu (p, + ^) — sin (« -f J!) — (tf + Jf) - sin (y + x) e, sin (/;, -I- «) -I — aiu {a ■]- x) -^ ( ß -\' x) - sin (y + a:) *» sin (/j, + jr) = — sin (a 4- i) - (/< + X) H- sin (y -f x)
wo also alle drei Gleichungen fUr jeden Wert von x gelten. Die Punkte p mögen Feuerbach'scLe Punkte des Dreieoks e/, J^ /, faeissen, die Tangenten von <Z) in dieseu Punkten Keuerbach'sche Linieo.
20. Au*) dan so gewonnenen Qlcicbungen lassen sich manche, wie es scheint noch nicht bemerkte, Folgerungen ziehen. Setzt mau cur Abkürzung
sin {/? — y) ^ Äj sin (y — «) =■
folgt aus 18. und 19.
BinO;,-«)--s,+Äa ei3in(j>,-/J) »j+s, e,8iuQ»,-y)--ffi-»,
Die Strecke J/,^ Ü/j^ wird aldo nach 4. von der üeradeu p^p^ geteilt nficli dem Verbültuis
»Sn (y — p,) sip (y — P,) "* sj — *| und von der Geraden pQp^ nach dem Verbältniä ^ aiu (^ — p^ ^ojß^Pi) _ sj— ^
»n (y - Po^ «n (y — P|) ~ *| — 4 (1. b. der Sdiuittpunkt der Qeraden p^p^ und |i, p, liegt auf
4 — ^1
JWj, 3/*,, und teilt die Strecke nach dem Verhältnis „ — ^.
. *, sin (o — /9) = Äj
*5-»i eo*i"(Po->')= *»-*•
!■ «ttflUirtielierer BcMsebnong httl bimi Rlr lU« VcrWtn»
Ffir die Teilong der Siredce -V» -Vu dorch die Gvnule J3C
hat man noch 4.
_ rtn(^ + 2^)gB(^4-2y) _ «n (y - fl)sip3;?
alao wied«r datoselbe Verbfiltnu, d. b. die rier Gendeo
^3»^» ^^ i^Pi PiA
Kehen darch einen Puakt, etwa X,,. Kbexuo ergiebi ^ch M^^M^ CA p^pt p^p^ gehen durch Ponfct X^ it^M„ AB p^p, PiPm * • • JC.
Die Schnitipookte der Gegensei irn des Feoerbach^- schen Vierecks fOr ein Dreieck sind die Punkte, in deneo die Seiken de* Dreiecks der Seitenmitten tob den entitprecbendeo Seiten des Dreiecks der Hobett' fusapunkte getroffen werden.
21. Die Seite p^p^ gebt durch Kwei funkte, in denen die XU Po und p^ gehurenden UerflhruDgHkreise von einem Kreise, näuilicb (P, berOhrt werden, ahm durcb einen ihrer Aebnlicb- keitapunkte^ der als Funponkt einer Winkelbalhierenden d««J DreitfCks tfjtT, «/, leicht y.u btätiiiimen iitt. Daher kann vuM- die Feuerbach*tchen Punkte auf fnigende einfache Weise koa- struiren: Man verbinde die Punkte X^^X„X^ beie. mit den KutttfpuQkteii der Winkelhalbierenden auf der ent- sprechenden Seite von (/,«/|«/,. su schneiden siob die drei 80 erhulteneu Paare von Geruden eu je dreien in vier Punkten und diese sind die Fouorbach'schen Punkte des DreieckA J^J^J^.
Auf ühnlich einfachr Weis«? kann man auch die Fener- bach'sch'tn Tangenten finden. Die Feuerbach*acben Tangenten i in p^ nnd p^ schneiden Hieb im Pol von Xoi, nbo auf derj
W. Godt: Vthtr dtn FeuerbacA'nchen Krei»,
183
ÖeniiUn Xn,X„. »io ^icbnciden sich aber auch, weil die be- treffendfii Unrü)irung»kreiäe ia p^ «nd p^ von uiiieiu Kreise, nänilich 0^ berührt werden, auf der Potenzlinie dieser l>eiden Kreise, die, wie man leicht erkennt, Winkelhalbierende des Mittendreiecks ist. Die genauere Znweisunf^ der Elemente nia^ der Kürze halber fibergangen werden, es findet sich: Die drei Paar Winkelhalbierenden des Dreiecks 3/,j3/,j^/,, tref- fen die korrespondir(*nden Seiten des Dreiecks X^iX^Xg^ in drei Punktepauren und diese »ind die drei Paar Gegenecken des Tollataodigen Vierseits der Feuer- ch*schen Tangenten von Dreieck JxJ^Jy
22. AI« Diagonaldrcieck eines in Q> einbeschriebeuen Vier- eck» ist daa Dreieck Ä'^, ^m^C^ ein Polardreieck von fl). Es giebk daher eine einfach unendliche Reihe ton Vierecken in <P, die alle dieselben Punkte r.um Dragouatdreieck haben und unter dienen /.eJchnen sich die beiden ans, die Iwz. Jf„ J/,, Üf,, und ABC enthaltou, ihre vierten Kcken mögen Q^ und i^^ heissen, oder mit andern Worten: Die drei Geraden X^jitf^,, Xo,3fj, und X^ AT,, gehen durch einen Punkt (ÜgaufCP: die drei Geraden X^^A, X^g^B^ X^^C gehen durch einen Pnnkt R^ auf 0.
Efl ist nun von Interesse, die Lage der Punkte Q^ und i?„ gegen ABC näher zu betrachten. Da B C von AB^ und JKf,| 3f|2 in dmu8ell>en Funkte X^^ getruSen wird, tK> hat ma.n nach 4.
siu(-2?'-f-2a)sin(-2y-Äj) flm(-2)'-/*)siB(-2y-j')
oder wegen a 4* /^ + y = 0
HmiH^-^-^ß) Bin 3 ;? sin (a — ß) sin (2 y — 2 a) rin (Ä, + 2y) "" «n Sysin (y — a)«n (2 a — 2^)
— gäp^/ZcogCy g) _ wn(2j? -2a) + 8in(2^ -2y) ~ «in 3y cos {a—ß) "" sin (2y - 2;?) -f «in(2y — 2a)
Setzen wir »ur Abkürzung
«m(2^ — 2y) = ff, sin(2y — 2«) -=0, sin (2a — 2^) = ff.
134 SiUunff der math,-phtft. Cl««a mm 7. Man IBM.
90 haben wir
Ebenso wird
ain (i?o -I- 2 •/) ^ g, — q, sin (Bf, -h 2 a) o, — ff,
daher kann mit einem Faktor r^ geschrieben werden: i'osin(7?(j+2o)=ff,-ffj rosin(Ä„+2/0=ff,-O4 rjsin{B(,+2y; = o,-a*
Die hieraus folgende Gleichung
sin (Äo + 2a) + sin (Ä„ + 2/?) + sin (ff« + 2y) « 0
Iftsst eine einfache geometrische Deutung zu. Nach 17. folgt nämlich :
^0 ist ein Feuerbach'scher Funkt fflr dasjenige Dreieck, welches seine Seitenmitten in ABC hat» es beisse ABF.
23. Da ßC von M^Q^ und M^^M^^ in demselben Punkt« Xg, getroffen wird, so hat rnun nach 4.
ain(-2^-o)8in(— 2/f-gp) 8in(-2j?-/f)sin(— S/f-y)
8in(— 27-«)8in(— 2^-^^** Bin(-2y-/ilj8in(— 2y-^)
oder wegen o + /^ -f- 7 = 0
Kin( g^-f 2 ^) _ sin 8/? sin (a — fi) «n (Vo H- 2 y) ~ «in 3 y «in (y — a)
Ebenso wird
Bin(^„ + 2y)^sin3>'8in(/J - y) sj*! {Qq + 2 o) sin 3 o «in (a — /?)
Daher kann mit einem Faktor g, geschrieben werden: ,.«,(«. + 2.) = -^"^^
W. Oodt: Uelter Jen Fcuerbach'Achen ifrvw.
IS5
So brauchbar auch diese Ausdrücke schon uiudt xiehon wir w doch vor, 8\e urazugestalten durch £rw6il«r(ing der Quo- tientßn. \?k iai
— nn 3 a — 2 sin 3 a cos (/) — y) a, — o^
B(n(^ -y) 2 sin iß — y)co8{ß -y)~ ff,
uUo haben wir auch
flo»in(<?o + 2a)=.*'»— -H«
<?,sin((?,4-2/()
V,sin(efl + 2>*)
Ga mag hier bemerkt werden, da« die Grössen s und a nicht nur eingefnhrt sind der AbkQrxung wegen, sondern weil «ie eine einfach« geomptriache Dpntonf^ 7utas$«n. Sie sind näm- lich de» Seiten der Preiecke itf^ 3/,, J/,, «nd ABC ubge-sehen Tora Vorzeichen pri>i>orliünil. Gerade durch diesen Umstand empfehlen »ie sich aber, denn bei den mannigfachen und ziem- lich verwickelten Beziehungen, die noch belrachtet werden «ollen, würde der Versuch, die absoluten Wert« der Seiten ntit expli- citen Vorzeichen in der gewöhnlichen Weise xu benutzen, ala- bald auf eine «nübersehbare Menge von verschiedenen Fällen ffihren, während mau auf unaerem Wege aller mühsamen Unter- ifcheidungeu ßberhoben bleibt.
24. In 20. ergab steh
also ist
Ä=» — Ä=*
^a^oa
** — fi*
^^,. 4-'
^h\ ^01
.1/^ M,,
^ Ji^. J^u a:
«
Kit»
und wenn man anf den Seiten des Dreiecks J/^,3/j, 3/,2 die unendlich fernen Ponkto fOr den Atigenbtick mit oo, oo^ oo^ bezeichnet, m sind din Punktgnippen
13G SiUuntf der math.-pfufs. Glosse vom 7. Mars 1896.
3fs, Xo, Jlf„ 00, ^n ^Ai ^ ^>
Xo3 3/,! A/„ 00,
projekti Tisch uud mithin sind z. B.
3f„ A« ^1« «»1 on«' ^si ^os ^s ^M zu einander perspektivisch f^elegen und zwar von J, ans. So findet sich :
Die Seiten des Dreiecks X^^X„X^ gehen dnrch die entsprechenden £cken des Dreiecks J^J^J^.
Uierans lassen sich Folgerungen ziehen, die zweckmässig durch eine allgemeinere Betrachtung vorbereitet werden.
25. Die in dieser Kummer zu benutzenden Bezeichnungen galten nur hier. In der Ebene eines Dreiecks Ä^ Ä^ A^ mit den Seiten a^ a, o, li^^n vereinigt Punkt 0 und Gerade o. Von 0 nach A^^A^A^ gehen die Geraden 3^3,9,. o schneidet «1 öj «j in ^1 Ö, i^s- Wir bestimmen Strahl f, harmonisch tXL 3, bezdgtich rt, und a,. ebenso f, und e^: femer Punkt E^^ harmoniÄ*h /u D, bezilt;lioh A^ und -4, und ebenso ÜT, und E^. Dann irelior.
-'i '-. -j ^i-'t^"'* «"^i^ P'.nk: /',
^5^: . . . . /;
.. .. ! ' . . ^ ...
■ • ''^ ■ " ■ i ' * ' ;\ •;::*.•,•:; A ':' ■ :-.i A^ ':\ ■.- ■ .1, j-", .rf tr i :n:h einer
W, Godt: Ueber den Feui!rttad%'iichen Krcu,
137
Die Schnitipunkte a, e, und a^e^ und a, e, liegen iu einer Geraden ß, Taiigento von k'^K
Diy Schnittpunkte ff,/'j = ?7, nnd e^f^ ss ü", und e^f^ ^ f/, liegen in einer Geraden e, der Tangente von f*^* in X, die Geraden E^ F^ ^= u^ und K^ F, = u, »iid F, Fj = «^ (?Rh<»n durch einen Punkt A", den Berührungspunkt von a mit /ir<^'.
ö, G,0, 0 sind Pole Ton 9,3,9, a her. iP«'.
;7, tfi fft 0 sind Polaren von /), 2), D, X bei. A**^
Je zwei mit gleichen Buchstaben, gri)« und klein, be- zeichnete Kiemente sind pokr ber.. eines dritten Kegelschnitts, di-r also insbesondere f^f^f^ und o in F^F^F^ und 0 Iterührt, A^ Ä^Ä^ /.lim Polardreieck hat ti. s, w.
20. Die Bexifliungen vnn 2U. Knden »ich in unserer Hanpt- ligitr zweimal verwirklicht, an die Stelle von
A,A,A,F,F,F,E,E^F,Ä treten einmal
M^ Af„ ^^n Jx ^^ ''* ^01 ^n -^01 ft andere Hai
ABCJ,J,J,X„X„X„R,
Aas der Menge von Sätzen, die sich hieraus ergeben« heben wir nur einige hervor.
Der KegeUchnitt, der die Seiten des Dreiecks /, tTi iTi in den Mitten berQhrt (Steiner'sche Ellipse von '^i <^s «/g). schneidet <& in Q^,
Der Kegel schnitt, der die Seiten den Dreiocks /,-/,•/, in den Uühenfnuflpunkten berührt, schneidet 0 in n^.
Die drei Punkte, in denen sich entsprechende Sei- feen der Dreiecke J, J^ J^ und X^i X^ X^^ begegnen, liegen in einer Cjeraden, dieselbe geht durch Q^ und
1S8
Siliwmg thr maÜL-ftty», Clmmt mm 7.
R^ and berfihrt dacelbst die eben g«n»Diiteo Keg«l- «cbnitte.
Die drei Ponkte, io denen sieb enUprechende Sei- ten der Dreiecke M^^JJ^Mj, und X^^X^gX^ begegocn, liegen in einer Geraden, dieselbe gebt durch den Sebwcr^ pnnkt des Dreiecks J^J^J^,
Die drei Punkte, in denen sich enUprecbeod« Sei- ten der Dreiecke ABC ond X^^X^X^ begegnen, lie- gen in einer Geraden, dieselbe geht dnrch den Höhen* Schnittpunkt des Dreiecks J^^^J^-
Die Seiten des Dreiecks M^ Jl/,, JIA„ werdao in den Ponkteo X«, X«| X^ Ton einem KegeUchniU berfihrt and xwar roo «ia Parabel. CHe Geraden J^ JC,^ ond /. X^ nnd J, X^ sind es»- •ader parallel oad geben die '***^*— *g der Acb«e der Fuftb«! an. Die Parabel hat ihren finduipaaU in R^
Die Ifiite Bencriraag beititigt «eh an einfiMhatro.. wm» ■wn di« ihnlicben Ponktreibcn auf den Tuigenlcfl Über J^ nach 9 pnyiiiert, dean dnaa eriEcant nna« das din i d« dtnUbaicM kn^yiMBt nd.
27. Wiranckfl dM in ABC
r, wie CS dank die I ■ DkiMeli^BC odOTdMDniMk^ar,]
Die Cebericgvngen, die aa das Drö-
eck J^ J, /, aagekaftpft wiudeu, laai
dv liat«M BaMi^e aa «ffkaltaa, bat wd < dia
aacb
diaDn»-
hm /, Jf, JE, «
dM
«■ f
W. Otßdt! Utber (Um Ftutrbuch'Kchtn Kreia.
i:iu
durch a
/•-h
7t
n
womns sich das Nötige fttr die s und a ergiebfc.
28. Die Punkte li^U^Ii^R^ bilden das Peuerbach'- Hche Viersck fOr Dreiuck ^-iBf^ es gilt fDr sie:
r, sin (flfl 4- 2o) = c7, — «, r^ ain {R^ -f 2 /^) = ff, — a^
ro sin (7?o -f 2 ^) = a, - a,
r, sin (B, -1- 2a) = - o, + tf, r, sin (fi, + 2/;) = ff, + «7, r, 8in(ß, -|-2y)=-ff, -0,
i-j MD (Ä, -f- 2 o) — — ffg — Oj r, sin (B,4-2y9)=a — ©^-f ,1^ r,sin(/J, 4-2}')«o, -ho,
^r, sin (i?8 -f 2 «) = ffj + ff, r, sin (Ä, -|- 2/*) = — a, - a, Tj sin (Äj + 2 y) — — ff, -f ff,
woraus alle eDbiprcchendcn Folgerungen vu ziehen sind, wie aud den Gleichungen in 20.
Die Punkte ^o ^i ^t ^s bilden ein dem FeuerbiLch'- scben b)?igeordnetes ausgezeichneteä Viereck für Drei- eck v^BT, C8 gilt für sie:
'tfo«"UVo + 2 «) = "*-"*
ffo«n(goH-2y).
"n («. -I- 2 a) = —^"^ '-*''' 7. sin (V. + ^ /O = -^;- -^ g,«nW.+2y) = !^iJ^
142
SiUwtg dar wtifA.-fAy*. Clasae wm ?. Man tSOe.
n^ Vs uud /?„ V, tr«[feu B C \n d«inseibea Punkie O^
lind ttiiien es nach dem Verhältniä
c\-o]
Das Panktepaar G^^ G^ isi also harmoniscb zum Paar B C
Kbtio^ findet man: Die Sclinittpuuku; (7?, <?,, /?, 9«)= ffog und (Ä, Q^. Ä, Q,) = Gj, lieRon auf CA und bilden ein har- luonisches Paar zu CA; die Schnittpunkte (F^ <^,, 7?, <?,)=* tf« und (Ä, Vf. ^f Vi) = ^if liege» auf 4 B und bÜden ein har-' moDitfcbes Paar zu A B.
33. Stellen wir die Teil ungB Verhältnisse auf den Seiten von ABC durch die Punkte Q Ql>er3ichtlich xutjamtnen. m kommt:
BGm «1-0? «i-«1
BG,
|
Ö«,C |
°i |
»» |
G„C |
|||
|
CG« |
"?- |
"5, |
.^ |
»7 |
"?= |
ce„ |
|
0«.'» |
". |
ö,.x |
||||
|
>*o« |
"': |
«1 |
— |
"■ = |
-4Ö,. |
|
|
ö«,ä" |
"s |
e„A |
Drei Punkte, bei denen das Produkt der TeiUerb< gleich — 1 ist, liegen aber in einer Geraden und es ist G^^=^ G^^^ also finden vir, die Punkte
G..G»Ö„
G« e„ 0„
liefen je in einer Geraden uder: Die drei Panktepaari G^^ nud G„, G^ und &„, 0^^ und (f,, sind die Otrg«n- eck<?n paart* eioea Tvll»landigpn Vi«rieiU, die SeiUn BoUen heioMn ^, g, y, p,.
H'. Goät: Vfhtr den FeHerba^*»dieu Krei».
143
34. Die Schnittpunkte von BC mit J^J^ u./,«^, heiasen //„, m. Ff^^ » • • Cil , JffJj , t/./j , ür„ „ //,,
Wir finden dann folgende Werte ron Doppelverhältniseen : {CA, G^HJ = (CA. "„««) = -3^-J
S 8
(A B, G^ //„) = {A II, G,, nj = - °1^;
3^ wie bieraus folgt:
(B C, Ü,, W^) = (C//,,, ^ G^O = (4 G^, //», B) ^ {B a G„ B^,) = {C H^. A ö,.) = {A G\,, Zr^ B)
Ahm den zahlreichen geometrischen Be/iehvingen, die hierin 'alecVen, greifen wir nur eine heraiiB. Die Pnuktreihen BCG^^H^ nnd B Hj^Gq^ä «iud projektivi'jch und weil sie das Element B ontBpreehend gemein haben, perspektivisch und xwar Ober •T,, also geht die Gerade Og^ G„ durch ./,. Fflgon wir die ent- sprechenden Schlösse hinitu, bo ergiebt sich:
Die Seiten go'JtOt^fi ^^^ Vierseits in 33. geben be- zOglicb durch ^a'^t'^t'^t-
Dabei ordnen «ich die Strahlen ff so ein, dasa mit leicht verstand lieber Bezeichnung die Strahlb tisch el
/„ {A B Cg,) 7\JAAB Gg,) ?\J,{AB Cg,) 7\^^{AB Cg,)
projektirisch sind.
35. Unter Benutzung von 4. kann man die Lage von 72' gegen ABC ausdrucken durch die Proportion :
riaM-Ä'):»in(B-Ä'):«in(C Ä')
aj-oj öj^oj al-ol
144 Sitsunfj der maÜt.-phj/M. Ciaw vom 7. Siärz 99911,
Ziehen wir uiin hier uocb die Gleiobung«n in 33. hintu, 80 Bndeil wir leicbt die geonieirüche BeziebuDg:
Die drei Krei«e, die Aber den Strecken Gp, G^ nnd Gf^^G^^ und G^O^^ als Durchmessern errichtet werden und daher zu O orthogonal sind, herflbren sieb gegen- seitig in einem Funkte und £war in R*.
Bekanntlich bilden die Gber den Diagonalen eines Vteneit als Durcbmeeser geschlagenen Kreise im aUgeroeinen ein BÜMibel
mit getrennten Onindpunkten, aUo haben wir hier eine charak*J teriätische £igent>cbaft, durch die das Vierseit der g sich au^' zeichnet.
in. üeber das Sieiner'sche Büschel dritter Klasse.
30. Der Funkt 72^ ist nur ein ganz bestiniintcr tod deBI vier Fenerbacb^schen Funkten , die dem Dreieck -4^ B* F* zo- gehören. Wie dieser aus dem Dreieck ^BT abgeleitet ebenso würden wir die drei anderen ans den Dreiecken BFJ^^ r J A, J AB erbalten, wenn J der Huheo^hnittpunkt tüu A Bf vA. in der That haben wir das analoge Verfahren acboH bei Dreieck A BF eingeechlageu and seine Tier Feaerbach'a Funkte aus den Wer in J^J^J^J^ enthalteoeo Dreücken springen lassen. Gleiche t'eberleguogen künnea wir aber aock] auf die Dreiecke A* ß* F* and sofort and rflckwirts auf der Dreiecke /,*',/|. ^»♦'»•'«, A'^ö'^ii ^t^i^t ^^ ** fort ao-"] wenden ond werden so veranlaait, eine Keihr Ton rollfliadigea' Vierecken ins Äuge zu haseo, die im allgemeinen rorw&rts and rQckwixts ins Unendliche rerlängert werden katto, bei jede Schritte Torworti «ndeutig, rUckwärts vierdentig Dir Dis eelmi aller dieser Vierecke liegen auf 0 und die Mitten ds je aedis Seiten ebeoColla. Sind UV H'drei Funkte Ton 0», deren Parameter die sänmme Null bab«a, so sind die drei Paar Winkelhalbierenden des Dreieck« VVW die drei Paar Gegenseitao einet solchen TollstAadigei Vierecks,
W. (Ml: Udfer tkn Fm
145
37. Jede Seite ^inw der roUatändigen Vierecke m-hiieidet <D in £w«}i PuiiUtcn. der eine int die Mitte der Seite, der andere ihr Schiiittpuskt mit der Qegentieite und zwar stehen b^ide Seiten senkrecht •/« einunder. Sind die Purameter der Punkte hw, N und y, so ist jedesmul 2 m -j- v ^=0 falls Ranze Vielfache Ton flf wie es hier erlaubt ist, vomnchläasigt werden. Ga ge- hören daher die SoitfHi aller der vollständigen Vicr- ucke «inein und deniselben liestimniten Strahlbatichel ^ an« al» detiäen Gleichung in Kreiskuurdinuteu man die Gleichung 2u-f v*-0 auffassen kann.
Niit'h 9. winl das Büschel ^' durchlaufen von der Geraden
X cos u — ysintt = co8 3«
wenn man u sich ändern lät»t. Da» BMschel ist, wie die^e (iteicbung lehrt, von der dritten Klasse oud nicht« andere« aU die von St«iner behandelte besondere Kurve dritter Klas«« und vierter Ordnung, vgl. Steiner'« ge*. Werke Bd. 11, pag. »541. Die a, a. O. mitgeteilten Eigenschaften des B(i»cheU ergeben «ich hier grossenteibt von selbst und sollen so weit nicht wieder- holt werden. Die Pole der ^^trahl«n von £ beKÜglieh <D bilden ein« Kurve dritter Ordnung mit isoliertem Dop- pelpunkt im Mittelpunkt vnn tf*. deren reelle Wende- punkte auf der unendlich fernen Geraden liegen.
38 Sollen drei Strahlen des Bo^icheU, deren Mitten di« Parameter m, w, m, haben, durch einen Punkt gehen, ^o iiit dio Bedingung dafllr:
CO0M, 00««,
am u, sin u.
008 3 u.
0O8U,
sin Wft coB 3 ai.
= 0
Tie liukh sU'hende Determinante geht durch S[teuuli»ierung der Duterminant« ^ in 13. Kanäclist Über in den Aoädnjck:
— 2 { an (•*, -I- 2 «,) sin («, -h 2 «,) «n («, -h 2 «,)
-f Bin (— 2 •*, — »,) ein (— 2 •«, — «,) sin (~ 2 «, — «, )} IM. MiOL-pkT«. Ol. I. 10
148
Siteun</ tirr math.-pKj/ß.
Man itm.
Ü&t/.: li^t diu Summe iler Parameier von drei Htrafalen in 2' ein Vielfaches von n, ho gehen die drei in ihren Berührungspunkten errichteten NurmnUn durch «iiitiii Punkt
41. Der Strahl a de.<< Büi»chels ^^ deieen Mitte und Scheitel in, und f^ also die Parameter a und — 2a haben, wt-rd»- »..m Strahl u iu p, geschnitten; so ist nach 4.
nit p^ _ _ Mnjtt — «Jain {a 4" 2 m)
p^^^ ~ &b{ ~2b — w) dn (— 2« -j- 2«)
Bin (a -{- 2 «) nin (a + 2 u)
2 ein ( — 2 o — ii) cos (o — u) — »in (a + 2 u) — «n :( a
mithin :
ra,j), ^ wn{o + 2ii)
sin 3tt
Rechnen wir nun Ab&tüiide auf dem Strahl a positiv, wenn für in deui Sinn xu nehmen ^ind, der ihm nach R. uht Lmif- ütrahl zukommt, so wird m, f , = — 2 -«in 3 u mid dnhtr TOjp, s« 2 «in (o 4- 2 m). Lassen wir n = o werden. «) rückt p, in dt?n BerUhrun^punkt t, de^ Stralile^ a, dabei wird m, t, ^2HiD 3a: Scheitelpunkt und Bernhrunßspunkt eine? Strahle? liegen gleich weit ron neiner Mjtt<>. Der mit Strahl u ein FWr bildende Strahl gehOrt zum Piirn-
met«r u :£; n^- Jedes Paar Hchneidei also auch Jedru
.Strahl von Z in xwei Punkten, die gleich weit von
»einer Mitte abstehen. Insbesondere ftind auch die Schnilt-
Lpunkte deä Strahles a mit dt*r Kwrre ^ von der f^hichen Art,
sie werden auKgenchnitten ron dem Paare mit den Para-
auAem — a -\- r und — = — -r oder mit anderen Wurten: Die_ «4 ^4
Kurve 2* schneidet aus jeder ihrer Tangenten ein Sttt< von der gleichen L&nge 2 heraus, der Halhierungs- punkt rleK»4^lh*in liegt auf (P und ist der iiU Mittv des Strahle bczfichuete Punkt, die Tangenten in den
U^wr ätn
bMM.i&tfct,
i4d
Schnittpunkten bilden ein Paar. Allt^emeiner eri^iAht sicti : Stohen zwei Punkte eines Strrthles a von ^ >(leich weit Tun M*iQer Mitte Ab, ao gehen durch jeden noch zwei weitere Strahlen de» ßfiiicheU, die zwei Paare bilden, sie beatinimen aiiswr ihren Schnitzln noch zwei weitere Schnittpunkte tind die Gerade durch die^e beiden ist aticb ein Stniht von 2* und bildet mit dem Strahl a ein Paar. Oder: Durch jeden Punkt flehen drei Strahlen von £, nimmt man die drei mit
inen Paare bildenden binxu, so hat man die Seiten
IneH rullständigen Vierecks.
Die drei Paar Winkelhalbierenden jedes Dreiecks A.^B'C* in 29. bilden je ein solches Viereck.
■12. Die (ileicbun);; m, p, =* 2 sin (a -f- 2 u) der vüriReu Xiimnier tässt bei variablem tt den Punkt p, naffiuMen »\a Pro- jektion eines anderen, der einen Kreis mit dem Itadias 2 durch- läuft. Dies fnhrl zu folgender Üeberlegunj?.
Kfl seien a ß y drei Parameter und zwar a -\- ß -\- y = 0, so legen sie auf 0 drei Punkte m, m, m, fest, Z., L^ Lg seien die f^trahlen des ßascheli« 2 in dem Sinne alti Laufstruhten ge- nommen, wie er durch die Kreiskoordinaten a, — 2 a bezw. ß^ —2ß und y, — 2y vorgeschrieben wird, ihre Schnitt- punkte i, i, iy. Dann sind m, m, m, die Seitenmitten fQr Drei- eck lii,t|, denn nach voriger Nnmmer ist m, t, =2sin(a-|-2/) und m^ i, = 2sin (a -|- 2^), also m^ i, |- m, i, = 0. Legen wir durch t| i| ig deii Kreiu £1, so hat er den EUdiiw 2 und wir können vermOge des gemeinsamen Schwerpunkt» der Dreiecke Uljin, m^ und i| i, ig al» Aehnlicfakeitspunkt Über die Punkte von JQ eine Parumetervt?rteiluug vornehuien, bei der i^ (« i« >i>e Parameter aßy erhalten. Verschieben wir nun einen Lauf- tttrahl parallel mit sich von L^ aus, bi.i er 0 mit Uebereiu- «timmung im Sinn berührt, so bat der BerOhrungapunkt in <2>
den Parameter — ^, ver^chiebra wir ihn aber, bis er fl ein- stimmend berührt, so hat der BerührungApunkt iu ü den Para- meter — A "h Q* Nehmen wir also in Q irgend einen Punkt P
mit d«iD Parameter m4'ö'« ^ '^^ ^*' Bogen vom BerOhniii),^ paaktii bis F gleieb a-^'Zn und für p^ als FtuBpookl dos Um /* »af X| gsAUtea Lot« m.p, ^2iiii (a +2m), aucli ^dtm Simn dttch. Da «a sieh bei den voa i* aaf L, and X^ Jkeo Lokefl inii den Puaspunkien p, mul p, entsprechend ferb< und also p, p, p^ '^^^^ ^1* ^^ äcbaittpnnkte von L^ t^ L^ out dam Strahle n von £ sind, ao haben wir liiennit die Sieifier'aehe ErxeoguuK von 2 gefanden. In Anl&hBufifc an §t«iner*ä Wort« können wir erweiternd aa»fpre<chen :
Pitti man aus jedem Punkte i* in der einem Drei- eck nmbescbrtebenen Kreislinie aof die Seiten Per- pendikel, «o liegen die Je drei Futspankte allemal in irffend einer Geraden G und dieae Geraden G bilden ein Ba»chel £ dritter Klasse and vierter Ordnung- Daftselbe kann auf die gleiche Art ans od* vemchi«- daoen Dreiecken abgeleitet werden. Die Seiten mitten der Dreiecke bilden eingeschriebene Dreiecke in 9. Aas einem erzeugenden Dreieck kann man die Gesamt- heit aller ableiten, indem man bei seinem Seiten- uittendreieck, w&hrend die Ecken desselben anf 0 bleiben, je eine Seite lur Zeit mit «ich selbst parallel beliebig verschiebt.
4ä. Wir decken ans ein Ihnlicfa verinderlicht-f ebeue» ^yviem SU bewvgt, das xwet seiBer Paukte bca. mit der Mitte ud dem Scheitel eines Strahls von S ausammenfsnea, wihmid disaer das BOscbel darchlftaft. Üeber die drei kritwehoa Lagwn,
in dnea Mitta oad t^dwifeil iimw— nfclliii , hwlia wir.
dM dM S^ndam giefahw—fig ihaBdi {SndJty otaanr) bUtbcii soll. Die Kormelo wardea £ea von aaBbai naeh sich neben.
Der Stnhl a von JT hat die GWtchaag
IChrtesachen Koocdinalepaeiiier Mitte ■aadcaaaimMidan 2 a seino t^chiritel» • , oas4i»,-«in4«
W Qodt: Üthnr den Faur^Mth'Mchsn Krtü.
Eine Gerade des zum Strahl m ^ßhclrigpa Systems ist be- -itirnrnt durch den Winkel 6 gemesHon xom Strahl xur Geraden und dafl Verhfiltnid, io dem sie die Strecke vun m nach % tuilt,
«ei gleich und dabei sei m -f- « = 1 , dann «ind die Car-
tomchen Koordinaten des Teilpnnktä
m 00« 2 » -^ n cos 4 II bez. m sin 2 « — n sin \u
Eine Uerade falle xiinächst auf den Strahl m. Wir drehen Rte iini den Punkt m um den Winkel d, »n werden ihre Kreia- kiMjrdinaten u und — 2 m + d, ihre Gleichung also
^^^ X cos( — M -j- d) -|- ysin( — « -|- d) = cos (3 u — d)
^^B Nun verschieben wir sie parallel bitt zum Teilpunkt, m
■ fällt «ie in die Syatemgerade und deren Gleichung wird
I 2CCKi(*tt-f d)-f ysin(-M+d) 3E= (mcoa2u+Ncos 4«)coa(-u+d)
H + (m sin 2 M - n sin 4 u) sin (- « + d)
H oder einfacher :
I xctw(- M + d^ + ysin (- w + d) =■ mcos(3« - d) + fi co» (;3 tt + 6)
■ ^ coB 3 M c« d + (w - n) bin 3 M sin d
H Oieoe Gleichung lädät eine einfache geometriiiche Dciitung
y XU. Wir können eine positiTe Zahl f und einen Winkel 9 üu bestimmen, daM
00a d = /"coe 9> (m — n) sin d = /"sin y
dann wird ade
xco8(— « -f-^ H-yMnC— »* -f <0==/'coa(3« - y)
Wir denken uns nun wieder pine Gerade, die zuuäehst mit dum Stnüi 1 u ziujini menfal 1 1 . D reheu wir dieselbe n m da» Centrum von 0 um den Winkel 9^ ao werden ihre Krda- koordinaten
«H-^-^ nnd -2«4-i*,
tbrii Gteichang
« ooa (- u + ^) -|- y sin ( — u -f ^) = ooB 3 M
152
StfXKHjT der math.-pkjf». OtoMt «■ 7. Mttn tf9tt.
TransformireD wir «e nun durch f-hxhe VergriiMienaiii? vom Centram atu, iio wird ihre duul> Qleicbung
X coi (—•* -f Ä) + y am (—«-(- ^) = /■•«• 3 «»
und führen wir hier einen neaen Parameter w ^ w — £
m kwnint
Die hierdurch dargestellte Gerade erwugt bei nDrenitidvr- liebem u daäselbe HtrahlgebiJde, wie die SyetemKerade bei tui' ▼eränderlicbein u. wenn nur 3|s™ — ip und ^-|-*=sd ge- macht wird. Daa heiMt:
Bewegt sieh ein nhTilieh Teränderliche» ebenei System in der angegebenen Weise, so dorchliafi Jede ninzelne Gerade des«elbeii f^in Büäcbet, dan mib^ ähn- lich i.-<i, alle so erzengien ßQschel haben dax Centrum TOD 0 zum gämoiuHumeu Duppelpnnkt. Die Vor-
grösserung ist /", die Drehung d — ^9.
In dieaem !Sat»e t^ind frQber aufgefundene Beziehungen aU
beeoud(u-e Fälle enthalten. För d =■ — und 8=1» wi = f * er^
gieht sich : Die f.u den Strahlen des KOschel« X je im Scheitel errichteten Normalen gebOren ebenfnlU dem BOschel an, vgl. 39.
Fdr ^^.y und w = 2, «=sl ergiebtsich: Die sn den Strahlfo
de« BtlnchelB 2" je in ihrem BernbrungHpunkie errichleten Nor- malen, d. L die Nurmalen der Kurve £^ bilden ein ähnliche BdAchel, da» gegen £ dreifach vergrTimeri und um 180" geilret
iat, vgl. 40. Fttr d^^, m^O ood n^ 1 ergiebt sich: Die
EU den Slralilen dm BOschels S je in der Mitte erricbleten Normalen bilden ein kongruentes Btbchel, das gegen £ am 180* gedreht ist. Mau beachte (tbrtgcas du»* wegen der Gi— •talt dee BUscheb die Drehangen hier alle um gaose Vii?lfachf>
Ton -, gcAndert werden können.
oer den Feuefbatfh'ßt^n Xrei*,
IfiS
14. Kk lit^t nulle zu l'raf^en, welche Kiibtipii Ihm tk-r i*bHU betrachtete!] Beiref^uiig die ein^eluen Punkte des ähnlich ver- äaderliohtrD ST8t«niB durvhlaufen.
Wir kennen di» Laffe eines Systunipunkte^ Htirch die beiden Winkel d und « anheben, um die man eine Gerade von der ^11)^ doa 8tnihlu u von S aus um tn oder 0 drehen uiu&s, bis durch den Punkt geht. Fflr die Koordinaten doa Punktet) flnden wir dann
X «in (^ — £) =3 «in d co» (2 « + «) — äii « cos (4 « — 3) ff «in (d — «) ^ siü d sin (2 « + «) + sin e «in (4 « — d)
Wir denken iinR nun um den Anfun^^nnkl de» Koordi- naten*>y-<t«niä einen Kreiä mit dem Hadiu^ r, rollen auf meiner Innenseite einen Kreis ab vom Ilatlius ^ und verfolgen die Hahn oinw mit diesem Kreise fest verbundenen Punktes. Derselbe «oll im rollenden Kreise die Polarkoordinaten ü, a hnben. Seine Koordinaten iverdon dann bei pa:sscnder Anfangslage
■■{r — q) cos (p -\- (icosla — — " ^ j : (r — e) üiu y -i- 0 «in [ o (p\
y
Uiewa Uleicbungun f;ehen iu die vorigen ülwr, wenn umii tiirbet
2 sin (ä — ä)"
o ^
am t
?r 4- d -f 2 1
[)a ba nicht« aufmacht fOr den Systempiinkt, wenn d oder « um n vergHVfwMfrt werden, m kann man auch immer r und a positiv macheo.
Bewegt sich ein libniich veränderliches ebenes äjstrm in der angegebenen Weise, so durchläuft jeder einzelne Punkt de^isulben eine, im allgemeinen ver- längertt> oder verkürzte, tlypo/.ykloide. Bei allen ist der Kadias des rollenden Kreises ein Drittel vom Ka- liuB des Cirundkrci»eü, div ürundkreise sind kon-
VA
fülgHttg lUr
«r tvm 7. Uäre 18
xentrjsch mit 0. Alle so erhaltenen Hyjjoxvklifiden ge-lu^ti durch dieselben drei Pnnkte, die Scheitel der Kurve Jf. wtiU'be ein gleich-zeitiges Dreieck mif (P bilden.
IiisbeäODdere ist die Bahn ein«9 Sy>t«nipDukti» der Kurve ^* ähnlich« wenn Hin d=: 2 sine. d. h. wenn er einem gpvriwHii Kreise angehört, dem Ort der Punkte, deren Abstände vun m und 9 sich verhalten wie 1 : 2. unter diesen Punkten xeicbneu sich die aus, die auf dem Strahl u selber liegen. Der eine ist der Berlibruugspunkt und durchlauft £ itelber. Der and*tre teilt m 9 nach dem Verbültnü l : 2 ionen, wir erhalten »^eio« Bahn, indem wir d^n — 2e und c unendlich klein «etxen; nie ist gegen die Kurre S dreimal verkleinert und nm 180* gedreht.
45. Wir betrachten zwei ähnliebe Systeme bestimmt durch die Mitten und Scheitel der Strahlen u und v ron £, die m, ^^ und m, 0, beisscn m5gen. Zwei enUprechende Geraden der .Systeme haben nach 43. die Gleichungen
xcraC- u-f d)+yBin (-u + dt »9 0o«3i«oosd-|-(fN-ii)eüi 3M«ind
beziehungsweise
X CO« (- p+ d) + y sin (- n + iJ) ^ cos 3 e CO» <5 + (« - n) »in 3 c sin d
Werden die Sjstemgenulen entsprechend parallel Tcrnchoben, ao durchläuft ihr Schnittpunkt eine gewiftte gerade Linie. Die Gleichung derwiben entspringt dnrch Klimination von (m — »>. Formt man sie passend um nud führt eine Gröase w eiu durcfa.j die Gleichung
■0 kann man ne «chreiben:
* (coe (2 »» -f d) 4- «» (2 r -|- J) + 00» (2 w -h *)) -t- y (nn (2 « -f ^ + nn (2 e 4- ^ -f nn (2 «r -f d»
AD C« — 9}
Aeodert sieh d, ao ättdeit neh aoch dieae Gerade, an4 xwar dreht Nie sieb d»b« um aiiiao fortan Punkt, den Doppelpunkt
viMrrnafl
xrtu.
1S5
der Keidon ähnlichen Systeme. Der Doppotpunkt Ut tiltto Her Schnittpunlit /.weier besomlereu Holuheii Gonuleii, tlcrcn Ulci- cbnnK<-D ■'■ind: der einen
sin3(«-f)
sin (m - w)
0
a;(co6 2M+cos2t;+co82 «;)+»/( sin 3M+3in2p+sin 2»)
der anderen X (sin 2 H -I- zgn 2 0 + sin 2 v) - j/ (coh 2 w + coe 2 0 -f- cor 2 it)
Beide stehen seDkrecbt »u einander und die zweite ij^bl urch den Mittelpunkt von CP,
Die Symmetrie, mit der die Grössen H, v, w in die Glei- chun|;en eingeben, veranlaflst die gleroh/^ifcige Betrachtung dreier ähnlichen Systeme, die durch die drei Strahlen u, v, w von S bf^f^tinitni sind, wo u -f- r -f- tc ^ 0. Mitt«' und Scheitet des dritten Strahles mägen nt| 0| »^in. Bilden die Strahlen das Dreieck 1, i, I,, ^ sind nach Frflberent die m und 6 die Seiten- mitten und HöhenfuAspunkte desselben.
Wir fragen zunächst, wann drei enUprechende Syatein- gerwlen durch einen Punkt geben. Bet^timmen wir dieselben wie in 43. durch m, n, d, w ergiebt ^icb die Bedingung
C0B(-M+d) 8in(-u+d) co83ucoed+(ifi-«)sin3«öind ( co»(— p + d) jrin(-«? + J) cos ;:t r» cos d + {m-n) sin 3» sin <J \*^\} OQi(-w+d) iftQ(-w+<J) cos3wcüsd+(m-«)8in3i<?HiniJ I
Mit Hälfe der Identität in 38. lääet sich die Detemiinnntv links anders schreiben. Man erhält für sie
Dfttemiinaiit«; = i sin (« — v) jnn (v — tc) sin (ti? — «)
{cos (« -|- p -|- ») CO» d + (m — n) Äin (m -h t> -|- w) sin 6]
Wir woUen nun hier nur den besouderen Fall im Äug« ehattiM), wo u + p + iomO ist Da ergiebt sich al.10 owd^O nnd flir die Ko<jrdinaten de* betreffoiden Schnittpunktes ergeben flieh die Wert«
(M — n) (coe 2ii4~cos2v-f-cüe2i0) und (w — h) (sin 2 M -|- sin 2 i? -f sin 2 w)
S^rmit <<pr mMtk.-fhf9. ülant mm 7. Man /8W.
Kr rlurrliläufl die Gemlc, die als ECater^scbe Ger»d« d«e Drei- eckü 1,1,(3 bezeichnet worden ist.
Wir kommeu Hp&ter auf die Pignr curikk und fumttt iiätfhulv f^metriscbe Reenitat in den Säte xnounmen:
Bedtimmt man drei irleiehwetidig ähnliehe ^i^ynteoi« ffo, da»<i die Seitenmitten and HöhenfuMpnakte einr«'^ Dreieck» homologe Punkte sind, »o gehen je drei homologe Geraden, die so den Seiten senkrerbt «teheo. diirfrb einen Funkt. Dieser Punkt durchlanft dii Eiilfr'Kche Gerade des Dreieck»- Auf dentelben liegei auch die drei Doppelpunkte je xweier System« und sind rlie Puaapunkte der ron den Ecken des Dreiecks auf sie gefällten Lote.
4ii. & iteien m < I Mitte Scheitel oiid BerflhninKifpunkt
oinet StrahU von £, so ist nach 41. nit=s^-ft. Geht der
Strahl in eine benachbarte Lage Ober, so ist also das von m t l>estrichetie Dreieck ein Viertel deti ron 9 1 benttricheneo oder ilat von 8 I bestrichene Feld ein Drittel des von m • be»trichrt]r«. Hicraiu folgt allgemeiner: Wenn ein Strahl das Bfiscbel ^* durchliiuft, so int das von mt bestrichene StCick eine« Zipfel« ein Drittel ron dem durch m$ besirichenen Stück der Kreisfläche O, ein ganxer Zipfel gleich einem Drittel dnr gunxen KreiKfläche.
Auch die Rektifikation der Kurve 2! kann man leicht an- schaulich ausführen. Zwei Strahlen mögen denselben Böge run eineui Scheitel der Kurvu bis zu einer SpiUe grnrchnc berühren in ( nnd t,, sich Mchninden in p, so ist mp-pl 'm,p*p6,. Hetxen wir für den Augenblick mt^$^ m^9^=4^, tp = j>, ptj = 9. alle Längen absfjlut genommen, no erhalten vir
(* + pM2* + p)«(*,— 9)(2«, -9) •»der ^pt-^•^qe^ -fp" — v' — 2*«-2**
aUo, wenn die Sirahlem benachbart nnd, p nml 7 iin<*ndlich klein werde».
H^. Oodt: Ueber den Fenerludi^MAen Krei». 157
»-f-9 ist ftb«r dati Hoffen element der Kurve, also beträgt ein logen (lor Kiirvit von einem Scheit«! aus gerecbnet -
der Schnti, die 0 von der Tangente im Endpunkttt »h-
schneidet, ein Bogen von einem Scheitel bis xn einer Bpitze a
=■ lUdieu von 0.
Man folgert hieraus leicht geometrisch direH oder unter Hrnntznng von 44. Ende und (i bereinst immend mit 43.: Wickelt man die Kurve 2^ ab bei eineuj Sebeitel beginnend, so istdicEvdIvente eine ähnliche Kurve, die ihre^pitxen in den Scheiteln der ersteren hat.
TV. Ueber Steiner's Punktquadrupel und Hyperbelnetz.
47. Jeder Punkt von 0 ist Mitte fiir einen und Scheitel ftlr zwei Strahlen van ^', Scheitel eines Paareä nach 39. Kommt dem ^^cheitel einess Paaret« ein Parameter — 2oe eu, »o sind die Oleichuiigen meiner Stnihlcn , denen wir die Kreisle ounlinaten
ü, — 2 a und « -H .t, — 2« beilegen dürfen,
xcoso — ysina — coa3ci = 0 und * sin o -|- y cos o -J- «in 3 o ^ 0
Diu Produkt diu»er beideu Oleichuugen int die Gleichung dcK Paares und Väsat tnch schreiben :
(ar' — y» 4- 2 i) «in 2 « -f (2 x y — 2 y) eo« 2 a — sin *» a — 0
In dieser Form gi'ben die Piutre von £ »Ich in erkennen
aU die zerfallenden Kegelschnitte eines Net7.cs
A (** - / + 2 «) + /i (2 4f y - 2 y) - v . 1 = <l
Durch rmfonnungQn, wie aieschon wiederholt vorgenommen irden, kann man dieser Gleichung die (iestalt geben
{£* — y* -P 2 x) «in 2 (/) 4- <2 djy — 2 y) CO« 2 <p
^ «in {4 o -f- 2 9>) + üin (4 /i + 2 (f) + sin (4 y + 2 <;p)
worin o -|- /S + y ^ 0 wiii soll.
158
Siunttg da- matK-pt^. dornt ram 7, Man ItfiC,
Von allfremmoretn StAndponkt« Ma myritiii , berabeo di« Eigentüiiilichlteiten dieses Netzes tat twtätrUä llnsliadeB. Enit«iM besitEt es die projektiTisch inrariaiite Kigemuchsflf eine Doppet^erade 211 enthalten, daber 7yerßllt ^ine Jakobuche Karr? in eine (ierade uod einen KegeUchnitt; xweiteo» bat e» die meiriBche BeMinderheit, dawt die Ooppelgemde die noradGcb ferne Gerade der Ebene ist und daas die Doppelpunkte der In- volatioQt die tod allen Bflscheln des Net7^ i^leiciifirtrei»« anf ihr ftosfrescboitten wird, in die iroaginären Kreispfiokte fallen. die Kreijipunkte mnd kooju^rt fBr alle KegeiAcbnitt« de^ Notuw« Hie Jakohi-xclie Korre besteht nug dem Kreise (& und d«r un- endlirh fernen 4iera*len. Der Körze wegen bleiben wir iml»'^ bei der gewöhnlichen metrischen Auffas^^nngB' und Aimdmok^v
48. Ein Blick anf die tileichung dea Netzes lehrt aurnrt, da» alle Kegelaobnitte dea Xetzea gleichaeitige FIt- perbeln nind. Suchen wir den Mittelpunkt einer der Hyperbdn soff so finden wir für aeine Kvjrdinaten die Werte ons 4 9* aad — nnig>. Der Mittelpunkt irgend einer Hyperbel dea Netzen lie^t allemal auf <D nnd hat daselbst dvn Pnrameter — 2^. Alle Hyperbeln, die dentielbDO Mit- telpunkt haben, haben auch dasselbe Asymptotenpaar» seine Gleichung wird
(j^ — y» + 2 x) «in 2 y + (2 xy — 2 y) CO« 2 qp — «n 6 V« 0
d. b. die Asymptotenpaare der Hyperbeln sind die Paitre von 2V)
Bildet man die Gleichung der Tolaren eines T*unkte6 ron 0, ■o ergiebt mcb:
Die Polaren eines Punktes von 0 bexriglicb &ller Hyperbeln des Netxes sind parallel mit dem Strahl Ton £, der in dem Punkte «eine Mitte bat.
Diejenigen Hyperbeln , die durch den Punkt geh«m« b^ rQhreu ak» ebenda den Strahl itsid «ich gv-^ndtdiig.
') lUn kann aluo «agoa: £ üt di* Oajler'tclio Karre d« Ntteca, Tgl. Cramoaa a. a. O.
Hjrp«H>«|.
W. Godt : Heiter tUn Feuei^iach'Achrn üfri-w.
159
49. Denken wir uns in (ier Gleichunf? einer der Hyperbeln o, ß^ f feät jj^ewiihlt nnd <f veründerlich , so Jnrchi&nft :4ie ein Bfischel mit Wer festen i_irundpiinkt«n. Diese sind leicbfc näher isu bf^immen. Wird nämlich z. B, 7» = o, so wird die Olm- chuu}( vermü^^e a + /?-+- jf ^ 0 xu
(** — y» + 2 ü) sin 2 a -f- (2 JJ y — 2 ^) cos 2 a =* sin G a
nnd diiüs ist nai?h 47. die Gleichung eines Paares von 2*. i>i>' driri 7.errallendi*n Kef^elachnitte des BüBchelii bestehen also ans den drei Haaren von Z, deren Scheitel die Parameter — 2 er, — 2 /? und — 2 ;» haben. Die drei Scheitel bilden da» Polar- dreieck der KegeUchnitte de« Hfl^chels die vier tirundpuokt« ein Quadrupel nach Steiner. Irgend zwei Hyperbeln des Netze« achneiden sich allemal in einem Quadrupel; irgi^nd xwei Quadrupel liegen allemal in einer Hy- perbel des Netzes.
Die Koordinaten der Funkte eines Quadrupels sind :
X, ^ - coi»2a -t-co9 2y*4-co»2j' x^ = cos 2ö — 0082^+0082}» i/j t= - iiin2a-f sin2/j-('sin2>' Vf = «iti2o — 8in2^ -|-sin2)'
«, ^coe2a-|-cos2/J — coa2y x^, = coaSo— cos2^— ooft2y y, ^sin 2a-f^'n2^ — sin 2j' y« ^^ »iu 2a -an 2)5 ßin2y
Kflr roelle Werte von a, /J, y sind auch alle vier Punkte dos Quadrupels reell und verteilen «ich auf die vier Felder, in die das von der Kurve 2* eingeschlosnene Gebiet durch <P «er- legt wird. Aendert sich ein Punkt eines QuadrupelSf so ändern «ich die andern utit. Die genauere Verfolgung der tiabei ein- tretenden Verhältnisse wHrde in ein vom näheren Ziel die«jr Studie ubJit.*gendeH (.iekiet hinelnfohren, doch mag Folgende« bemerkt werden. Aendert steh ein Quadrupelpunkt stetig inner- halb eines der vier Felder, ohne seine (JrenKen r.u berühren, so ändert ^cli aneh jeder andere stetig innerhalb seines Peldi^s, ohne die (»reuzen zu berühren. DaVtei kann jeder Punkt dos gftmu) Innere fteinea Felde« durchlaufen, »o dan die vier Felder in dip»er IWclirilnkiing eindeutig aufeinander «bgi;bild«t «nnd.
160
ff». <na
MArt $it»C,
Läiin- ein Punkt anf einer Hjperbol (la NeteeSf so laufen A\t /.tigtihnrigen auf dnrveJben. t*äuft iDsbecuDdere ttiu I'iinkt »uf einem Stnhl von 2^ ro läuft der zweite Muf dcoütelbeii, di« beiden übrigen laufen auf dem zugehnriKcn H^rftbl de* Puire.«.
50. Erwillmeaswert ist nr»ch eine metriHfbe Hrlatidn. K^ UHiUiife ein l^i]»ilrujietpiinkl Innerhalb seines Felden eine durch Strahlen von S gebildete DreieokaÜäche. Die Rcken teien
V V W. Param(?t4?r der fiegeusetten iil» Strahlen von 2' jwien uei«. Kacb 41. ist dann
V V - 2«n<w + 2tj) + 2mn(M;+2tt) ■tcu*(u + t'+w?)sin(«-üT UW -2sin(ti + 2w) + 2ain(p+2u) -^ iüQti{u+v+U})iin{M -tct
Die Drehung vom L&ufatrahl to y.nm Lnufütrabl v betraf te — V, daher wird Dreieck
Ü y If^— 8 coa* (« -f » -f w) sin (u — v) sin (v — w) «u (w — m)
dabei die Fläche toit ^inn genommen, i^oRitiv wtmn sie b«i der_ UmUnfung ü VW xur Linken liegt.
Die von den anderen Punkten de» (juwlrupebi umlaufenen Dreiecke werden bez. ;
— 8 coe' {h -{• V -{- w) cos {u — v) sin (w — u-} c'»s \^w — «; lind — H c«8* (u + I? -f w) cos (« — v) CO« (v — tc) «-in {w — y) und — 8 coti* (m + v -f w) ain l« — r) cos (r — w) cos {w — w)
Die Summe aller Dreieckafliicfaen ixt daher gleich Null. AJlgemeiner folgt hierau«: Umltiaft ein Qu(tdru|iel[)iinkt inner- halb Meines F^ldrat einen Flacbenteil , «o findet gleiche» bei den ftiiden-'U Punkten dea Quadrupeln at4kU, die .Summe der uiuUufonni Fläch enciHcke, mit Sinn genommen, int immer Null. Odvr mit anderen Worten: Die in i9. erwähnte Abbildung der Felder aufeinander ist mo beiicbuffen, dasa irgend ein Uebiei irinerlialli *ß iuhal tngleich ist der Summe der entüprechenden Qebiete in den drei Zipfeln. Inübeiiondtir*
Lergit-bl «ich also wie«ier, wie in 40., da« die Flache rnn 0 gleicb
rdur :>umme der drei Zipfel.
W. Ovdt: (Jebtr dtn FetMrbaoh'echtH Kr«U.
161
V. Relationen in der Hauptfigur.
51. Wir kehren ikxJi einmal zur Figur des zweiten Ab- scbniti« zurück, um uini^e Beziehungen hinzuzuHigeu.
Die Punkte t/^, J^ J, »/, in IG. u. fl*. bilden eins unserer ijuwlrupel, die Werte ihrer reclitwinkligen Kourdinateu ^iud die in -10. angeschrieben en. Der Kreis, der nach 22. (2> io itg und die .SfiUii von Dreieck ABC berührt, habe den Mitteljninkt K^^, .so sind nach Analugie Ton 17. lieiue rechtwinkligen Knurdiii:iieii
Dabei ist entsprechend 18.
Fj cos Ä5 = cüa2a-f et« 2^4- oo^Zy — r^ sin J^a = «in 2 n -f sin 2 /J + ttin 2 y sind die Koordinaten von J^
« (*/o) — — ^0 CO« J<o 1/ ( Jfl) =* »"o «n ^
Mit Benutzung der koiuplexeu Einheit könnte niun die Bu- Kii.'hung Kwischen J^^ nnd K^ deiunach schreiben
\^ W -¥ * y («/o)!' = x (ig - » y (K,)
wodurch in der komplexen Zahlenebene J^ und der komplex konjugiert« Funkt von K^ »ehr cinftich einander zugeordnet »nd. Wir können uns aber uuch geumetriHcher ausdrQckcu. Es sei Jf der Mittelpunkt von Ö», so i^t MlKo= M Jl. Die Gerade M J^ i«t die Euler'sche Gerade des Dreiecks J, J, J^, aie ichneidot tfi in swei Tankten, deren Parameter, wie die
n \ 1
Koordinaten von J, zeigen, - — 5- B, und — - Ä^ Mnd. Wir
finden also: Die Schnittpunkte der Euler'schen Geraden den Dreiecks J^J^J^ sind die Mitten zweier Strahlen von ^\ die ein Paar hilden, und ihr gemuinrtamer Scb«il*l ist der Punkt R^. Boim Entwürfe einer Figur ist dies angenehm, da auf U> der Bogen tou li^ bi» 0 doppelt »u lang sein niuj», uIh dt;r von 0 \>\^ an die Kuler^sche Gerade, itw« ■iiUi.^Hir». ci. i 11
W, Oodt: Ütber den Feutrbaeh'g^tH Kreis.
U\t\
Nnn folfi^ aus 51., ähnlich wie in 18., dius fOr jeden Wert von JB
I r^ «in (a: — Äfl) = win (2 a -f «) -j- sin (2 ^ -h x) -f sin {2 y -^ x)
m\t\ i\ikä3 insbesondere ^^^^B Tfl sin (a — Wft ) = ain 3 o
HIV ^0 °n (^ - ^o) = sin 3 ^
H aWi ist
I 0
JtZ = Jtf„i)„«=JI^,i>„ = Jtf„7i,=- .in3^
Die Punkte D^^ D^^ ^o ^^ liefen iu t^iuem Kreise, dessen Centrum if,, iRt.
Hierau.H erfpebt aich nun leicht, dus I>„ und R^ eym- metrisch zur Geraden Jtf,, 2Si^^ Ue^eu und damit unser Ziel bei dieser tJeberlegnng:
Die Enler'scbe Gerade des Dreiecks «^i •/,*'» i^^ die Direotrix der Parabel, die die Seiten seines Seiten- mittend reiecks M^^[^^ iVj, in X^^ X^ X^ berührt und in H^ ihren Brennpunkt hat. V^l. 20.
ICntspreohendes gilt natürlich auch für Dreieck J^ J^ J^ u. s. w., wie nicht immer wieder bemerkt tiu werden braucht.
53. Aus 20. und 24. wissen wir, dat« X^^ X^ X^ Polar- dreieck Ton 0 ist und das» deine Seiten bez. durch •/, •/, •/, gehen. Da Entsprechendes gilt von den Dreiecken X^ X„ X,o, -Yj,X,(,A'„ und -^^'m^jjX^, so folgt:
Es liegen je auf einer Geraden:
J^ Zy, X^^ aaf X| der Polaren von J^ bez. O Afl, i,g A,, , ^t * • • ''i
•^ '^n -^ » •''i • . ■ ^'i
Das volUtändige Vierseit x^x^x^x^ hat tu Dia- ^nalseiten die Tangenten von 0 iu A, B und Ü. Dir
164
flttfiMff der math.-iJtitM. Ctoit* ram 7. MAn JS9*f.
Diagonalecken , niso Pole der Seiteo von A^ B^ C, nennea mr t/^, {/^, O^. Jedes I^aar Gegeneoken spannt hei M einen rechten Winkel.
54. Deutlicher aU b«i den TnrherxehendeD Betnichttinffcn flchimmert der projektiviacbe Hintergrund beim Folgenilen durch.
Die Puuktreihe
Äfl Ä. Ä, Ä, / B O g> i4» ß» C» J?^ int perspekti Tisch über S^ mit
R^Ii^R^S^Q'CBA Ä> C^ i2' ^» diefte i-st pentpekUvijich Qber B^ mit
Ä, Ä, Ä, Bfl 5ii C> C^' A^ B» C>
diese Qber B^ wieder mit der ersten. Die l'unktreihea sind AJ») alle drei projektiviach nnd paarweise pernpektivisch.
Die erat« Ueibe ist perspektivisch Qber A mit
x.,x,.x..i„r*ci<.« . . .
nber B mit über 0 mit
wenn T^ der Schnittpunkt von BC mit di'r Tangi*nt«* vtin 0» in ^, x^ der mit der nnendlich fernen Geraden i^t; entsprechend sind ^t ^j "»j CO, ÄU verstehen. DieMC drei Keihen äind nläO projektirisch und da »ie putirweide einen Punkt entsprechend gemein haben, paarweise perspektivisch nünilich bez. Ober f^^^^^^-
55. Wir können auch sugen, die Gruppe von 12 l'unkten auf 0 in t}i. Bei in dreifacher Anordnung mit »ich sollet proJL'ktivisch, Wir projizieren nun die drei Anordnungen \n'i von B, V und A auf die Seiten von ABC und crlmiLuu
riHfa
W. OwU: U^er dtn Feu«Hmdt*nt^tn Krei*.
^165
ftuf CA die iMinkfcreihe X„, X„ X,« X^^AT^CH^ , »^
^t^,»^^o'\x^'^',KO »
d. h. die vier Geraden x^x^z^x^ (siehe 53.) sind Thd- ^enten einer Parahel, die zugleich die Seiten von AßC in n^n.n und die Merade T 1\ T berührt.
Nnn siiid feruer x^ ic^ x, r, uud die unendlich ferne Ge- rede die polaren bezüglich O von J^ J, J, «/, und Jf, also ist die Piirabel Polar kegeUch n i tt bez. 0 von der ffleiehseitifi^en Hyperbel, die durch das Quadrupel Tß J, J, J, und durch 3f hindurchgeht. Nach 49. ent- hält diese Hyperbel auch die Übrigen Punkte des Quadrupels, deni Jf angehört und als Polarfigur der Parabel die Punkte U If, V und den Pol der Gpraden 7' T^T .
Auf der anderen Seite bernhrt die Parabel als Polarfigur der Hyperbel auch die Polaren der drei flbrigen Punkte des if - Quadrupel«.
Der eben erwähnte Pol der Geraden 'i\ T. T ist Qrebosoher
a 9 t
Punkt von A B C genannt wonlew.
Aus 51. and 52. folgt noch: Die Hyperbel hat ihren Mittelpunkt in Jl^ tind das Paar von ^ mit dem Schei- tel R^ bildet sein Asymptotenpaar. Die Parabel hat ihren Brennpunkt in /^, der dritte, ausser dem Paar« durch R^ gehende Strahl von 2* ist ihre Achse. Ihre Directrix geht durch M und verbindet die Mitten des genmnuten Paares von 2,
56. Denkt man sich A B C und was davon abhängf, «ttetig veränderlich mit der Bi'dinguug u -\- fi -^ y •= 0, so durchliiuft das Tripel ABC eine doppelt unendliche Sohaar, das Büschel £ und das Ket« gleichseitiger Hyperbeln mo wie die Quadrupel- ■chaar bleiben unverändert. Die Hyper)>el aus 55. durchläufl ein BfUschel mit vier festen Grimdpunkten« die Parabel eine Schaar mit drei fo9t<^n Tangenten, ee sind also Je unendlich
■^^^r ^P^P^^^^M^P ^^Wf ^^^^^^V^^^^^^^^v *^P^^^^^P ^^^^^P • ^^^^^W ^H^^^^*
Iwwlui^bM und je imaDdlieh viele Dröeeke Ü^ V^ IT dondboi BypnM «inbeiehriebm o. b. w.
. Wir iind Iteant in iinwfw UittenDchaiig xa amam Ptmfcle flltBgtt wo (Ue BerorEOgong der imagniireii Krenpunkte nad in otwndUdi Ünroen Gendea ferner niebt erypriewKeh.go sehi iebilDt. Wir brechen daher ab, in der HoAmng, die aBge- aeinere ProUem in entipreebender Weise bebaodelfc gdegent- Wi den Idebbabem der Qeometrie Torkgen an kflnaeB.
167
Zur Theorie der synektischen Functionen.
VuQ Alfreil Prln^helm.
1.
Id einer frflheren Mittheitung'): .lieber die Bntwicke- lung eindeutiger analytifloher Functionen in Poten^- reihen* habe ich ger-eifj^t, wie man den Laurent'schen, bezw. dun aU speciellen FaU darin entbalteneu Ta^rlor'schen (Mac Laurio'schen) Satz ftlr , analytische* (d. h. in der rDi- gebong jeder nicht singul&reo Stelle durch eine gewöhnliche Potenzreihe deftnirtc) Functionen mit Hölfe einer gewi»>en Mittelwertb-Betrachtung vüUig streng und zugleich elementar b^rflnden kann.
Hieran anknüpfend habe ich in einem späteren Aufsätze mit dem Titel*): .lieber Vereinfachungen in der elemen* taren Theorie der analytischen Functionen* hervorge- hoben, diise die Gdltigkeii derjenigen Beziehungen, welche die eigentliche (Grundlage der fr^tichen Kntwicklungen bilden, keineswegs den .analytischen" Charakter der betreffenden Functionen, sondern lediglich die gleir.hmUssige Stetigkeit ihres Differanzen-Qaoiienteu vorau.«8etzt.')
Nai^hdem ich nun an einer anderen Stelle nachgewienen, dufie dieefie letztere Eigenschaft allen in irgend einem Bereiche »synektischen', d. b. eindeutigen und mit einem atettgan
t) 8iU.-Ber. 18V6, p. 7& ff.
>) Math. Ann.. Bd. 47, p. Ul IT.
h A. h. Ü. p. U7. Znani*.
flttwiiV Ar watt. fHy. CSmm «dm 7. Jf*« 20M.
Differentiftl -Quotienten begabten Fnnetio&en Enkommt,') iie^ f^ nahe^ die in Rede !^t«hcnde Methode aacb fflr dtti Be- weis der Entwkkeibarkeit einer nur als .synektisch' Tonas- p;esetzten Function zu verwerthen. Und da man aaf diesem Wege in der That da/u gelangen kanti, die Fnnotionen-Theorie auch bei Zuf^rundelegung des aUgemeiaen Caoelij-Riemann*- scheu Functions- B«|^iffe3, in völlig einwandMer and dabd w(*?i!ntlicli PLufacherer W^isne aiifzubaufu, aia dies bisber der Kall wftr, so möchte icb, einer Äureguiiji^ des Herrn G. Viranti folgend, die Uebertragbarkeit jener Matbode anf Bjnektische Ftiuclionen etwa« naher begründen und ränige weitere Be- merkungen hieran kntlpfen.
Icb rtelle tn diesem Befanfe ranicbat die Haupt -Eigen- ■dwften des charakter^flchen Hittelwertbes SIC (fir)) in
X'igen Form fibersicbtUeh zusammen, wie sie fttr den ab- nden Beweis zweckmässig eracbeint.
2.
Es bedeute a^=: ß^-\- y^i die am nächsten zu der Stelle 1 gelegene Wurzel der Gleichung a^** ^ l mit positivem y^,*) f (x) eine zunächst ftlr alle x mit einem gewissen absoluten Betn^e \x\=r eindeutig definirte Function. Setzt man sodann:
r;S»'/K'r)-fJ!lj/-(r)), 80 gelten die folgenden Sätze:
*) Zorn Cauchy*Bchen Intepralsatze. Sitz.-Ber. 1805, p. 303. *) Älao, wenn man von der tranasoendenten Form der Einheit^- Wurzeln Gebrauch machen will :
o- = c
= cos ^—, 4- i sin ' ,, 2»-i ' 2**"
A. PringAeim: Zur Theorie 4er ffyn«JklwcA«fi FuMeHonen,
^^H I. IhL f(x) äteÜK l&nj^ des Krdnes x|^r (wobei alao ^^fl^isscbliesslich Werthe von x mit Absolutfni lietnig« r in
Botrucht zu riehen sind, ho beflitzt 011'^ (/"(r)) dir « /) einon
betitiniutten Greoxwerlh*):
(1)
lim -Snt (Ar)) = Sni r^(r)).
Dies ÜDflft niicli diiriii niKih sUtt, wenn /"(jc) nnr diirrb- v,'v)f endlich bleibt, dagegen die l!^i^enM;hafL der Stetigkeit nur «im »llgumeinen* besitzt, d. h. fUr eine endliche Aneahl vf.iQ Stt^llen endlicb-uostotii^ win) uder innerhalb endlicher Grenzen osciltirt.*)
II. \ht / (x) durchweg eindeutig detinirt und endlich, nus^er- dem im allgemeinen stetig fßr alle Stellen x de^ Ititi)^* t^ebiet« Ä,<|x <Ä, so ist ?ffL(fir)) filr alle x jene« Ge- bietes eine eindeutige und an!mahin.*>li>s stetige Function der reellen Verinderliohen r.
Denn man hat:
I -t
Ver«.lehl man hierbei unter r einen l>eliphig gewählten festen und unter r einen Teränderlichen, dem fraglichen Inter- valle Angehörigen Wcrth, so hat man, fallt« ({x) ab uu:^- nahmsloa stetig und e>0 beliebig klein angenooimen wird:
I ((x) — fix) \ < « etwa fttr : | «'— j | < d.
i| Ma«^. Ami. •. a. O. |,. 132.
1 A. a. O. p. \M. Mit Ut-niltzuDt; bekanntnr Mclbtnieii kiu ilcr Thn^irir ihf ht^üninten Intpgmlp (•. k. 11. Dini-Lttroth. (iriindJagrn ftlt die ThiTirio dir Fuiirtinnm rtc, 9 187) lonon rieh di<? rullUiiigtiii AtHnAhiiM'-ittt'nim aw^h auf (Kirint^ nnendlifhi* PunkhuitniEen «»inlphn«i. ' 'durch rii 'if für dnn hier
, kfiiu*' " I , rtn «•!»• irii
davon «b.
170 Atnpiy der mwlh. j*yr aim< nm 7. Xmn XBK.
and daher:
^/-(V) — 9'IL.A'-) <« ffir: r—r < <J, abo acfaJieaBlich aaeli:
9!Lr/(r))-9!L(/(r)) S« fär: / — r <d.
Besitzt f{x) eine endliche Anzahl ron rmtetigkeita-Stcllen, •o werden, wie groae man auch ii annehmen mag, in dem lecbts fltdieiiden Anadnicke der Gl. (2) höchstens eine mdliehe *»**lil («twm ="!■■) Ton Summand«! T<n%onunen, f&r wdche zwar:
ftx)-nx) >€.
aber immerhin:
f(:^')-f(x) < fix) -r fix) <9. wo g eine endliche positiTe Zahl bedeutet. Aisdann ergibt öch :
und daher fßr n ^ x :
?nL(/(r')) — fTLl/^rn <^.
so daai» aW' die Stetigkeit von 'VxLif r \ erhalWu bleibt.
HI. Lst i \x) nicht nur stetig'. j-Midern ?ynektisch für lias Kin^iijebiet R'^<i x < i?'. ^j das* alv:- /(xi nach dem in Art. 1 citirt^-n SatZf einen gleichniäÄsitr ^tt-tigen Differenzen- Quotienten l>e^U/.tM. ^i i-t !£)TL'/ r) ttir Fy.<ir<.R' t<_in- .-taiii*!. 'i. h. man iiJii :
{■n ^11 (/ R- ) = 2)lc 1/ -y^ = f^lc (; ^'1.
• h-: ■:-.' Bil'iur.^- i-r- l'iff-rr'^tiV.- : -.-zw. rt-.tft-nr-iizei: - guf>tieDtt-ii f\ir i:\r.'- ■■.-! Beer rr. 2*;rii: uniT'-h'.'rii:'.- cr^Hc . kommen auch immer
nur äol'.Ltr Wtrtbf -■ ii; B^n-B'^ht. die d«m Gebiet« ^*^ j , S Ä ao- flreh<^r»^n.
- A. a. 'J, p. 140, Haupuaiz.
ngsheim: Zur TTteorie der «yn«Jt4wehra J^ndvmtn.
IV. I»t f{x) «jaektisch fdr alle x im Innern des Rinf;- galnetes R^<x<li, so ^It znnäcbsfc die Besiebtmi^ (3) für alle r, welche der Bedingung genügen:
B;^<r<R\ sofern nur ü^ > Äo' ^'<R-
Ist dann ferner f{x) noch eindentig detinirt nnd endlich für alle x mit dem abiuluten Beiragt! /2q hezw. H und iLtinser- dem im atlgemeineii stetig fdr solche z, welche der ße- reniEUDg. bezw. dem Inuero des Ringgebietes R^<.x<~ R an- Vhören, so haben zunächst ©!L(/"Cüy), €JTt(/(Ä)) nach I. eindentig bestimmte endhche Werthe. Da aber andererseits nach II. die Differenzen:
|91l{/(Äi)) — 9K./iA,))l bezw. |€)tL(/-(/n) — ^TL(/"(/J))]
gleichzeitig mit
Äi — Äo bezw. n-R'
beliebig klein werden, ao folgt, daas geradezu:
(4) m. if{R^) = m. {f{R^) = m. inji-)) = ©ri (nio}
sein muBs.^)
y. Mit BeoDtzung des letzten Resultates ergiebt sich jetzt leicht, da« die Consbauz von ^!f(C(f{r)) auch dann urhalten bleibt, wenn ftir die im Gbrigen sy Hektische Function im Innern eines gewissen Itinggebiebes Punkte vorhanden sind, in denen über den »ynekiiMchen Charakter von f (x) nur «JTiel MtBgaMgt werden kann, daas f{x) daselbst eindeutig nnd end- lich bleibt, während über die Existenz und Stetigkeit dett Differential -Quotienten, ju Hber die Stetigkeit von f{x) seihet keinerlei VoriiUää(>tzung besteht.
Denn angenommen, es sei im Innern des Ringgebietes (/i^, H) eine solche Stelle x^ vorhanden, w&hrend f{x) im flbrigen fllr Bp<|«|<Ä aU synek tisch, fOr |z -/J^ |»I-Ä
h Zu U. und IV. vgL äits -Bor. p. 90. ZiuaU l
172
aUmmf ibr Mtffc,<fAy«. CTow mm 7 M»n f{««.
suro mindpsten aU endlich and im allgemeioen sictig Toratisgesetxt wird, so tfanle man das Rinfncebtpt (R^ R) de EinscbaUiiii^ einm Kreiaea mit dem Raditn r^^x' x^\ in xvei Rinf^gebiete (/7^ r^) und (fg, iO. Äl^daiu folgt aber nach Sttte rV., dus:
(5) 9n f/-(Ä,)) = @n (/^cr^) = m. ifim
d. h. durch das eventuelle Änflreten einer »olcben Aiumafamr* Stell« Xf, wird die fiidsteuz der Fuudamentatgleichang (2) in keiner Weiw htwinträcbtigt.
Ja raan erkennt sof^ar an« der Art des Bewoaes. 4aM d« betreffende Resultat aucli dann bestehen bleibt. falU Ober die BesehaiFenheit von f {x) längs des ganren Kreises | x j ^ | a^ | gET keine Voran^setzung besteht, fjofem die eindeutige Kunrtion /'(jr) dowlbst nur durchweg endlich und im allgemeioen stetig bleibt. Tnd dus gleiche gilt offenbar, wenn an die Strilr eined itolcheu Ausuahniekreises eine beliebige endliche Anzahl solcher Kreise tritt.
3.
L Sei nun f{x) sTnektisch im rtiuio?ebiet< Bp<.x<rÄ. Bw.eiehnet dann x^ irgend eine willktirlich gewählt» Stelle im Innern des betreffenden Gebiete», so bilde man:
(«)
<P(t)
^^YW-/^W
X — *«
Albdann ist <f{x) sicher synektisch fOr jede tod x, ver- schiedene stelle 2, welche dem fraglichen Gebiet« aogehuK. Für X = Xo int tfi (x) /.uniichst Oberhaupt nicht dufinirL
Xun ist aber:
(7)
(8)
Hm »/•(«)
•rf*«v
Drfinirt man aUo '/ i-j^a^ iiurtb *\\< tileiehUDte: *f (*,) = lim y (x).
A. I^inf/üheün: Hur Thtorie iler Bynektudten Functunien. 173
M> ist jtftxi tf{z) eine im Kingi^ebiete }{^^\ x \<i H auH- nahuitflos eiucleutijje uud sbeti}Ce, uusdärüem uit eveiituelltim Ausachluiue der Steile x^^x^ gersdexu sjnektische Function. In Folge demeu hat mau aber:
und daher:
=«(«t'«;)-«(|-ü5),
m dann dtircfi ^eiiau dieaetbeu Entwickttlungeii , wie an den entiprecbendeii iätclleu der übe« citJrteu Aufsätte *), der Lacireat'dcbe bezw. im Falle Rj,:=0^ der Mac Lanrin'tiohe Sote EÖch ergiebt
U. Ueberträgt man diese iCei^nltate von einem Hing^biete mit dem Mittelpunkte 4; = 0 auf ein »olche^ mit beliebigem Mittelpunkte j:^, so erkennt man xunächst, da&j eine für eine gewisHt Llnigebung \z^x^\^q einschliesslich der Stelle 2^
synektische Function, durch eine für
\x —
x^\<^Q conver-
gireeide Ueihe nueh po.sitiven Puten/.en dargestellt werden kann. Üiea bndet aber flQr jede von x^^ verschiedene Stelle x jeuer Umgebung selbst dann tiuch statt, wenn die Beächalfenheit Ton fix) für die Stelle x^ selbst fraglich iat, und nur .so viel festateht, dass f{x)\ in beliebiger Nahe der Stelle x^ unter einer endlichen Grenze bleibt: denn in diesem Falle kann die Kunäch&t nach dem Laurent'bchen Satze &ich ergebende Kntwickelung für / [x) in Wahrheit keine negativen Fotoniien Tun {x — Xq) enthalten. Schliesst man sodann mit Itiemaan ein fOr allemal den Fall ans^), das» / (x) beb bare Unstetig* keiteu besitzt, su folgt ohne weiteres, dasü die betreflünde Eut- wickeluug auch ui>ch fllr diu Stelle 2, gilt, und dass ^omit f{x) auch fOr x^x^ s^nektisch iett,
*} 8tt*.-Bcr. p. M. Maih. Ann. p. 148. *) ü(w. Wirki', p. 21.
174 SBfiMf 4fr ■rffc.jfcj«. CImw wom 7. MOn 1S96.
HionMch ät abo «me m «nem gawiawu Beroiche ein- denftig« mtd endHebe Fnaetioa /(s), weldie dasalM .im all- geneinen**) sjnektitch ■(, i& jenem Beniebe aniBahmB- los ijnektiscli, ond es aebt aomit die «im allgemeinen* vonoigBKfste Stetigkeit Ton /*(«) die ananahmslose Stetigkeit nach sich. Man erkennt abo auf diesem TflUig eleoMDtaren Wege einen fimdamentalen üntenehied iwiaehen den diSeieniirbaren Functionen einer complexen nnd den- jcnigai einer reellen Veiinderiiehen. Bei letzteren kann, wenn aoeh r (^) vorwärts nnd rfickwärts genommen filr jede Stelle s irgend eines reellen Interralles einen eindeutig be- stimmten, im allgemeinen mit x stetig Teränderlichen Werth bentirt, noch keineswegs auf die ausnahmslose Stetigkeit von fix) geschlossen werden. Man betrachte
s. B. die Function /'(x)»x*-sin — , wobei f^teciell /'(0)»0
definirt werden mag. Man hat hier:
r(0)~limA-mix — 0
und für jedes 0 verschiedene x:
f (x) = 2 « sin Wö — ,
so d&äs /' (x), obscbon durchweg eimleutig detinirt und au5(ser für x = 0 auch stetig, an der Stelle x =r i> unstetig »•■'t.
4.
I. Nachdem nun durch die t^rgebnisse des vorigen Artikels festgestellt worden ist, dass jede in einem Bereiche T synek- tische Function (ein Begriff, der bei Kinfühning geeigneter (irenzen aucii die einzelnen Zweige der niebnlentigen, differenzir* baren Functionen unifawt) in der l ingebnnif jeder im Inneni von T gele^t^nen Stelle Xq nach gun/.^ii positiviMi Potenzen von
'^ Vgl. Art. % I, Fiiaäiiote.
jL Pnng8ht%m: Zuf Theorit der »}fnekt%Kkei% Functiofitn, 17>*i
(2 ~ s^ entwickelt werden kann, löaet sich anch Hie Lehre von den Intof^rAleti »olcber Functionen in tiberaua einfacher Wei^e befanden: daa CnuchyVhe Kundamemfatl -Theorem erscheint hierbei als eine Folge der e lernen tjirsten Sätr^ aus der f^ewöhn- liohen Integnil- Rechnung. Da mir die fragUcbe Bewei«niethode bisher nirgends beg€ignet iBt, so mag es gestattet sein, mr näheren Erläuterung des Gesagten Folgendes 7:0 bemerken.*)
Ist ^ (u) eine stetige, reolle iK^er oomplexe Function der reellen Veränderlichen u mit einem integrnblen Differential- Ijuotienten^ ao hat man:
"f'i?-^-w..)-'M-.)'[.wr.
Da nnn, falls c eine beliebige retle oder coniplexe Con- fftante bedeutet :
rU
(« -h c)*+' = (n H- 1) . (u 4- c)-
fDr jede« po8itive oder negative ganzxahlige n mit Auflschlui« vi>n n = — 1 (aber mit Einschluss Ton « ^ 0). so wird :
(n4-l)J(« + c-r . rf M -= |(u + c)''+']*' -. "•
(nH.l)|(«i4-rr.V/u==(fi-f-l).r^'.J(«— ciT'rfw
(9)
Während der DnicUegong dieser Note ist der iwoite Theü van O. Stult' UninflxOf^ der DiflFerontial- luid Intef^lreriinniig er- ttchiei)en. Hiiir winl (AbarJuiitt XV, Nr. 3) das Oanchy'icbe Integral- Theorem tta ,holouiorplie" Funrtiuneu (d. h. solche , die in der Dm- Ifobung jf*dcr 8t-^Ue ^0 dnrcli eine ^ (.r — x^ dant«llbar iiodj in ganii ähnlicher WoitM? hd^rdodet und nU Quelle fOr die«e Beweit- Methode auf die W ei er dir asB 'sehen VurlwuD)(«D verwieasa.
Wand
176
jilii ftr »^f -4- 1JI
/(*)-ipfe«;>H-i.tf.(£,r;)
«De trächcn d«D P—Hw j^ ^ ^ -f^ ;^, ■ und ^, = ^| ^ ' der Curre C (£f)"«0 eiodeatif^ definirte. endliche and im Allgeoi^ineu ilrtigi fuacbüo vud j« 90 definire taaii -tft« ab«r den Integniiioaswgy {€) *uo j:^ bis x, entrevkte In- üignd duralt die Gli^ckmg:
•1 '•;•»'
Dasidbe hat akdano einen bestimmien, ledi|^idi tod den WertheB, wdebe f{x) liztge dw Corre C uunint, aiehi aber tob der bflaondocB Form des dabd m Gnnide gdegteo srithnetiseben Aosdrnekes BbbftngigMi Worth. Bd Cm- fahiBBg der latagntioBs - Richtung gebt dieser Werth in den Aber.
Nun betrachte man zunächst das Integral C^'dx er- streckt Ober die Begrenzung (B) eines Rechteckes mit den Eck- punkten: a-\-bi^ a'-{-bi, a'-\-b'i^ «-p&'i, wubei etwa a-^bi den linken unteren Eckpunkt bezeichnen möge, iK) dass also die Folge jener Punkte der gewöhnlich aU positiv bezeichneten Integrations- Richtung entspricht, $0 erv^iebt sich zunächst auf Grund der Definitions-Gleichung (10):
«' b'
(ff) (I b
m b
-f- J(i: + b- if . d ; + Jla + ', 0" • '■ d i,.
also mit Benutzung von Gl. (9):
A, Vrintfahtitn: Zur ThmrU det «^«ifc^wcAa« fliHCtinncn. 177
\j*'dz
V-+I
B+1
(I + &'•)"■*•' + («•4-,,.)'
,"+!
A"+l
+ (.^ + fo'trM+ (a + .?t7
•<+M
das hebst (U)
f X" • d jf = 0
und Äwar für «>0 und n< — 2, mit der ein/.igim tlitischrnnkting, dttss im Falle oiiica oegutiven n diu Stolle x = 0 nicht ge- rade auf der Begrenzung (wohl aber im Innern) Ton JR liegen darf.
Grsetxt mati iu (1 1) X duruh j; — x^ (was wegen der WiU- kürliclikeil der in Ol. (9) mit c beKeichueten CunHaiilo ohne weiteres Kuläsäig iitt), so folgt, da&a nuch:
(12)
i'
(x — Xo)"-rf«*=0 (fi>0, n<: — 2),
^tafefern nur für h < 0 die Stelle x^ nicht auf der Rtsgrenzung
V^ li liegt.
■ Dieses Heaiiltat tilsfit sich nffenbar ohne weiteres auf den
I FaO Oljerirngea, daas an die äUtle des Tiechteck» {R) ein »Treppen -Polygon* (d.h. eine gebrochene, aus [*arallclen XU den Coordinaienoxen bedtehende« Hieb selUt nicht Hchueidende, gcaoblooene Linie) tritt, da ein solches durch Kioächaltung
I passender Hnlfslinien stets in eine endliche Anzuhl vun lte«cht- £'cken zerlegt werden kiuin, und die von diesen Hfllfhlinien h«-'r- rührendt*n Integrul-Bestandibeile sich schlieäslicb wieder berans- heben. Und da man einer beliebigen, einfach geschlossenen Curve (5) sU^ta ei» »olehes Trepi>eii - H'dygon (P) so anordnen IcAna, dau die Differenz der Ober {S) und (P) erstreckten In- tegrale beliebig klein wird^), so Hndet uiao^ dasa auch:
') Vgl. «Ueber den Caueby'sehen Itilf«graUatx*, Sük.IUt.
ib%, p. 6c tr. mi tt.
ISW. Halb-pti/«, Ol. I. la
SüMf io" mcOL-fitfa, CXmw m» *. Jura JBK
14
(immer mit der EinedirftnkQog, dwe z^ im K«Ue m < 0 Aaf der Carre (^ liegen darf).
Wcaa jetst die Bcshen:
0 s
für iri^end wdche Bemcbe cooTcrgiren, so enn^bi flieh vcmiy» der glttichmä^sigen ConmgeuA eolder lteik«i, daia:
(15) j(f>a-,-(x-x.)-'yrf^==2'a_r J(x aJ-'.rfx-O,
blk die getckbrnnoe Gurre {8) den CSbOTeqfeos-Bereicbc der bobeffeodca Reibe engehörL
IL NoQ 8C3 f(x) sjsektiflch xom minde^r» ftlr afle ^Hellen im loueni eines gewuaen Bereicbes 7\ aod es bedeute T' ein Ton einer oder mehrerrn R«odcQrren begrenztes, inner- kalb T liegeodes FÜchenstfick. Alsdann ensUrt für jede Stelle x^ im Innern nnd auf der Begrenxnng ron T* eine gewime Umgebung |X — x^ <?, imicrhalb deren eine Kiitwidcelang
ao
tf»D drt- Form f{x)=^^^/ Orix — r,)* beaCeht. Die poMtire
o /üb! ^ bcntxt nun nicb bekannten f^teen ein gewimet von
KuU TenckiedeoeftlCinimam d. Zerlegt man jetxt den Bereick 1* dnrcb Parallflen im den Coordinateo- Axen im Afastnnde -=r
in Tfaeilberncbe, «o taft die grAute Kntfrraung «weter PunM«, foB denen etaer im Innern, der andere auf der Qrensc eine» «rylcbeo Theilbcreicbes / tiegi, kleiner ab die Diagonale
)ringshcitn :
orte der »i/HfktiM'heu FttnctUmeft. 170
eines Qundrftics mit der Seite -^ d. b. < ij. Ninimi man also
eine SU'lle jr^ gnnr. beliebig im Innern von i an, so liegt deasco gesammte Begrenzung noch innerhalb dos GüU-igkeitM-
Bereiclies der Entwickelung /"(x) = ^' n^ (a; — x^)*^. AMann
ergiebt biuIi aber nach Gl. (15):
(IC)
i
und aua der Addition der von allen einzelnen Thuilbereichen herrührenden Intcgralti (wobei sieb wegtun der Kindeuligkeit von f{x) wiederum alle auf die Ufllfslinieu erstreckten Inte- gmli' horniisht'ben) :
(17J
jf{x)'dx =
= 0.
womit dits Canchy*scho Fundamental - Theorem Ix'wiesen Ist,
Üdbei kann schliessHch fDr die Integrations-Cnrre [T') auch die BegrenKuiig (7*) — ganz oder tlieilweise — uubslitiiirt werden, nnwifit f {x) duäelbst noch durchweg endHch nnd im allgctneincn stetig ist.
IIT. Ist a eine .singrilüre Stelle von /"(.J), so wird dip Luureut'si'be Eiilwickriuiig:
f{x)^^-a,{x-af
— OB
negative Totenzon von (j: -ft) in begrenzter oder imb«'grt'n7.t«r Zahl enthalten. Bedeutet dann wieder (S) eine ge^cliltxHiene, im ConTei^tin7^IIereiche dieser l^ntwicketiing verlaufende Curve, «0 folgt mit Bentltzung der Gleichungen (14) und (15), da«8:
(18)
f/-(x).rfjr«a-,f(4f-a)-'.rfx
*tii VI)
u*
tm
-pftyiL CUk «- 7.
Ick
kk wk»r ak htegaüammt^ 4m Ifrfirf
— 1 — I. 1 — 1% 1 + 1, — 1 + 1.
f^ =.T-^ -t^'-?- ^tAL ^ f _i^5_
<• — t — - — - -T*
■ ' _■■■ *
lii'.
—I
t* rf?
^K
=-r.^\=-±' -
_ T l.
I. ' =-
* j
,'.-,
-' •.-».--. :i i:t ^*^• Be-
dtr «jfnttHitdUH FHneÜonen. 1BI
(20)
wo x' Jude beliebige innorbalb (T) geiu;(ODe Stelle bedeuten kuiin.
iV. Uuai)U«Ib»r aus der Oetmitiun eines InlegmU von der
Forin ]f<x)'^x folgt, da» der absolute Werth eines solchen
Integrals zugleich mit der Länge des Integrationsweges beliebig klein wird, falls 'f{x)\ auf demselben durchweg unter einer endlichen Grenze bleibt.
Sind jetzt m, n zwei ganze püsitive Zahlen ohne gemein- aen Tbeiler, tf>{x) eine iunerbalb eines gewissen Bereiches 7* Tyncktische Function, a irgend eine iiu Innern von {T) gelegene Ötelle, »0 lääät bich noch zeigen, dass ftir m<N da.s Integral:
ff ix)
h
-Ä *^*
uftcb Festäetxung eines bestimmten Anfangs-Werthea fQr
{x — o)", einen bestimmten endlichen Werth besitr.t, falls es Über eine innerhalb (T) verlaufende, den Punkt n zunächst nicht umkreisende Curve bis nach a hin erstreckt wird ; und da^ djisselbe Integral, genommen über eine einfneh geschlossene Carvc am den Punkt a berura, zugleich mit dem Integrations- wege beliebig klein wird.
Beides erkennt man mit Hülfe der Substitution: I {x — o)" = *, oIsü; jp = j" -f- a,
Termine deren:
f-5^^« dx^ fjF— •-» ■ .r(j- -h o) • da
Dabei ist m — m — I > 0, da n > m vorausgeset^ wurde, "Sd xugleich y (*■ + o) för die dem Werthe j:« o enUfirechende
132
Sütung dir fwitA.-jihy«. ÜtiAnnt vom 7. 31tiri 181W.
Stellt? s ^ 0 eine synektische Kunctioii von jf, 00 <iii."*s die FÜLibtiglfeit der beiden aiisgea|>rofilie«eü ßeliaupluiij^eü oliüu weiteres aus dem HauptsAtze II. und der am Eingänge Tt>n IV, gemachteü Bemerkung hervorgeht.
Die TOrstehendeQ Sätze reichen im wesentlichen votlfttündig ntj«, um die Lehre tou den Integralen rationaler Func- tionen, de» eyclouietrischeni elliptischen und bj^ier- «Uiptischfsn Integralen mit einem verhrtilnissmässig geringen j^ufwand von fuoctjunentheoretiechen Hülftmiiteln «u entwickeln.
188
Die Ostrakoden aus dem Miocaen von Ortenburg in Nieder-Baiern.
Collektion Egger.
Revi<)i<-rt V.MI K. Llonenklaiu in Oiinahrnr^k.
(JHtefita^fta 7. Mir*.)
Diu rüicUe äiuuiiiluiig der Ostrakoden uns dem Mtocuen von Ortenbui^, dir wir dem uncnnudliclien Fleisäo Elgger's vor- danken, entliält iiU Arten; Egger znhlt in seiner Bearbeitimg derselben 5ri Arten aof. In Deutm.-1iland hat also Ortenburg nächst Bünde die grusste Zahl von Ostrakoden-Arten geliefert. Leider iH jedoch die Arbeit Egger'ü der Wissenschaft biä jetzt wenii( zugut« gekommen ; verhültuismässig selten ist in der Litteratur auf Egger Bezug genommen, und wo dies geschehen ist, sind Egger> Arten vielfach unrichtig aofgefasst und miss- deutet worden. Dies bat in erster Linie seinen Gruud in der mangelhaften Beschaffenheit «leiner Abbildimj^en ; die Figuren sind fast durchweg zu grob, manchmal auch ganz, unrichtig. Ein weiterer Onind liegt sodann darin, dasa zn der Zeit, aU Egger seine Arbeit Teröffentliclit© — 1858 — , verschiedene Gattungen, welche die Wissenschaft jetzt unterscheidet, noch nicht anfgetitellt waren; man begnUgte sich damals, soweit das Tertiär in Betracht kam, im allgemeinen mit den Qattungea fihpre, Cytheridca, Bairdiii und Cytberella. Hätte Egger 9n damals die Gattungen Loxoconcha, Xestoleheris, Cythe- rurftf Cytheropleron, Cjtherideiji n. %, unterscheiden können, so wfirden diene (tattungmamen an sich »:hoa erhebliches Liebt auf monehu seiner Arten geworfen haben. Wer aber die reiche
184
SitSHnif der matS.'pht/B. Cltuue vom 7. Mars lKn>
Sammlung Kgger'a atis eigener ÄiiJjcliauung keutitrn lernte, luii&^te auf das lebhafteste bedanern, dass sie der Witfäunäcbafl 80 wenig xngllnglich war. Ata mir daher Herr Gebeinirat l'rr>* fffifsor Ton Zittel in seiner groesen Liebenswürdigkeit die SAmm- Umg zur Benutzung flbertandte, hat}e ich diesellie itiner Kerision unterworfen, deren Uesultate ich nachfolgend mitteile.
Das zunuehst folgende Verzmchnis fUhK die ror)iandaieit Arten in der Ileihenfolge auf, in der Egger sie giebt, mit der neuen Benennung dahinter; in dem zweiten Yerzeichnisi«e da- gegen äiud die Arten systematisch geordnet.
|
Egger. |
Neo. |
|||
|
I. |
Cylhtirelln <;omi>rf*»« Mutr. |
= |
C.rtbej'elbi wunpri-mi. |
|
|
8. |
• |
infU'xa Kfijff. |
— |
■ * |
|
S. |
* |
Jnnriiuiin Bii«]. |
^ |
, jinti'^iiUiitii I.klN. |
|
4. |
lliUrüitt lubloltoiiltta UFir. |
M |
Ilair«Iin lubilrtltniili-fl. * |
|
|
6. |
areoftti. Mitr. |
= |
, animtii , |
|
|
6. |
nr.'. f--.. |
=s |
Cyth. ~ |
|
|
7. |
ti:L .a. |
= |
Ponl.. |
|
|
8. |
luvtilu- iUi>«. |
s |
Xe»'ti>lt'Lit.Tii luiiüiiV |
|
|
0. |
glnta*» Kftg. |
= |
, ir)iifiit>ii l-^ <1i-firi'««t Sra \ |
|
|
la |
pufilln Eg)?. |
= |
V |
|
|
11. |
erwtaipLlii Kkk* |
■- |
•* |
|
|
12. |
«xili« Ku. |
^ |
I*anulnTOBU>inn earvftliiiu LkU.? |
|
|
13. |
Fiibtamida K({g. |
= |
<' ' tb'bfli" .loa.? |
|
|
U. |
gynit4k Kkk, |
- |
' . : jtyniU. |
|
|
15. |
• • |
«: |
nrrobicttlata l.kl«. |
|
|
16. |
mbrom Rjnr. |
= |
, rnbriwu |
|
|
17. |
fubGribrana E|j>p, |
= |
CjrÜic'ri<.lon Bubrrihrt«», |
|
|
16. |
an ■ -';?. |
= |
Krilh«* hm ' '..n. |
|
|
IV». |
Cjlbi'ridcii . H Effg. |
-s |
Cjtiiwridp» ' ' Miic Sp. |
|
|
•iO. |
revnm Hg);. |
= |
t roierva. |
|
|
31. |
tnnriila lUs. |
s |
y ■--!-''■" •■ - .': |
|
|
32. |
rhnmbu» Rinr. |
SÄ |
1 |
|
|
sa. |
IfiM. |
s: |
• MuUcii M«ti-. |
|
|
34. |
= |
• B |
||
|
3&. |
i-lrpoua Kgg. |
= |
1.4)Xi)rnnchit »Xl* |
|
|
:iG. |
•ubofsta .Malr. |
-« |
C/l1i»*n'pt*n.'»ti Kj£)^'rij[iiini n. «(, |
|
|
»7. |
Cythtwe Jttrinei M«tr. |
M |
Cythrre Jurini^i. |
|
|
m |
. |
ditarimta R«]7. |
= |
• • |
|
■ |
^^^ff" J.»«i#«Wotf«: /ii« |
thtrakoden Pon Ortenhurfi. l^ö ^^H |
||
|
99. |
Gylbeit; Av |
= Oyth(^n: .liiriiici. ^^| |
||
|
80. |
. piv |
^ pli«»tA. ^^1 |
||
|
81. |
«t.'rubi(.*ulH.lii Mntl'. |
r= |
Mcrol'inilaln? Mifr. vur. ^^H |
|
|
82. |
fltrtntopunctiita Koi-m |
.«= |
4ti-iii.topiinr>tAU ? ^^1 |
|
|
8S. |
4i*nbm Matr. |
= |
araltrn, ^^| |
|
|
84. |
i*ilbiirrnt»irulji*a E^jf. |
:3 |
«iilMcniliiriilitlu. ^^H |
|
|
36. |
fkimnlittti Mj>lr. |
CS |
pUDrtllta? ^^1 |
|
|
36. |
cipfttrinosa Km, |
£= |
ciaitrimtoi. ^^| |
|
|
S7. |
Kmt^lpniii fUa. |
= Loxocouulla EgKpriaitii n. h*. ^^H |
||
|
8& |
, MuUuiirulivta Rgff. |
=s NuhiitigtiUla. ^^1 |
||
|
90. |
titthmifsttttila Kg};. |
° ^ ■ |
||
|
«. |
vitriolnlu l^g;;. |
■ |
||
|
41. |
htMlntu Kjm. |
a> LoiDfonchti vtiriulithi Itnuly. ^^H |
||
|
42. |
canalicnlnta !{*>><, |
= Cytbcrc (^niilir.alutu. ^^M |
||
|
43. |
tmncatn H»». |
SS bamricn n. s\t. ^^M |
||
|
44. |
rorruipita R*^. |
= iiiiirrnt»om Ho«q. ^^H |
||
|
4r). |
Neptiini K^f^;. |
<= Ni'ptiiii) Egg. ^^H |
||
|
40. |
plitmliila Ums. |
= plii^tula. ^^H |
||
|
47. |
hüpbtcfi Kiijg. |
^ Cyt-herani hopliteid. ^^H |
||
|
46. |
BCuticMta Kgg. |
^: Cytbcrt! tnuicata Rw. ^^H |
||
|
4!). |
mAnnhritim Kgf?. |
SS Cjrthf^-nira nmtmlirinm. ^^^ |
||
|
50. |
lyrifiinni» Kgg. |
= Cytiiörr> lyriformi». ^^H |
||
|
fil. |
IMlpilin Kag. |
^ Cytlieroptcrun («pilio ICgg. ^^M |
||
|
52. |
v(wniortilio R»w. |
=^ TC9y)ortilio Km. ^^M |
||
|
63. |
draoo £gg. |
=s Iriqaetnun Bw. ^^M |
||
|
54. |
cornuta Ras. |
= Cythere ainiuta. ^^H |
||
|
&&. |
i'ornnuta K'iL'ni. |
^ ÜmhriAta M.ttr. ^^H |
||
|
W |
'enn wir also von den |
iinbentimnihAren KnihrTonalfurinrn ^^M |
||
|
Bairdia |
piisilla, Bairdia cri.sU-galIi , Cvtherc subsa^tlula und ^^| |
|||
|
Cyther |
} viiriolabi abHehen, |
so sind mit Etnschliis» einiger in ^^M |
||
|
Bggor'ti Saminlung mit andereD ziisAmmen geworfeneu Arten ^^| |
||||
|
folgern |
e Arten vürhiiii<ip|i. |
■ |
||
|
1. |
Pon |
*i*^ypri"i il.V'tvlii- i-'.'^^. s|> |
1). Cythert' ptin<tatn M>4r.V ^H |
|
|
•X |
lliür |
<liii t<u)M]>.>Uui(lt*iL M-Ir. ff) |
10. ninnlit-uliila liiB. ^^H |
|
|
B. |
• |
arcimtti Mrftr. «p. |
11. urabm Matr. ^^| |
|
|
4. Cjtl |
i.Ti- .Im-inei Hair. |
12. |iU(Hto Hotr. ^H |
||
|
ft. |
•iiiiJaUi? Mutr. viu |
. 13. plicatuU R«B. ^H |
||
|
(1. |
' Ktini). |
* U, NVpliiiii Rgg. ^H |
||
|
7 |
■ Fffff. |
15. tnin'^tA Rm. ^^| |
||
|
a |
1 k |
i-u<AlritxwH Kw. |
IC. hararicA n. «p. ^^| |
186
Sttmnff der math-phifH. Clwttt wm 7. Mari 1896.
|
17. |
(jjr) iii'n.' lynfunuU Kfr^. |
»•1. |
Xcfil'iloUcrH lui-Jüu lim. «it.'i A |
|
18. |
a inniToporn lUtmi. |
35. |
CyLhrrum Siu-iü Urntly. | |
|
V.l. |
. cnriiQlii RüA. |
86. |
, t)ot{li^>-U U». |
|
ai). |
fiinUriAtA Hittr. |
37. |
« lUHIlutlriQUI K}E)f. *|k, |
|
'ii. |
CyUifriik'a Müllen M«tr. vp. |
88. |
, hopllioi Egfr. «p. 1 |
|
22. |
, Jebüia Jon.? |
SO. |
Cythuroptt'rOQ li4(Kcni*i""i *)■ ^i' |
|
23. |
, falittoformtH Hp. |
•10. |
, rcf^iiliirt* n, k]i. |
|
ii. |
, rcverfa Kuk- |
41. |
, t'i!«p''riiliu K«. j |
|
36. |
, rhomliiiR Kf^fc. |
43. |
, tri<jiictruin It*«. «f|fc |
|
ao. |
, tfubcribroKU Kgjf. |
48. |
r papilio Kgff. «|i.f |
|
27. |
Kritiic bartonijnnw Jon. Mp, |
U. |
Cytiieridoi« litliwlomi>ir!ij» Un«i.sp. |
|
28. |
Loxocxmeha NulxiviitA MHr. "i*. |
46. |
, «t;t\>)iii-titflU l.kl». |
|
30. |
. variülrtta Hra/]y. |
46. |
K^ ■ ■ -!'■ 1 |
|
80. |
, Kf^guriutm u. «^. |
47. |
, Crj- _'_'. --i'. |
|
31. |
. fulmnjfiitHtiiKffg. f]K |
4B. |
rnrmlnxuatonm rarvatum l.kl«.? |
|
S2. |
Xualolrlivrid tumiilu K^«. b)i. |
40. |
CrthcniUii cnmprtsswi Metr. «]>. |
|
33. |
, glaUea EjJK. »p. |
&0. |
, piii(9iulcaU LikU. |
Fiiniilio Cypridne.
OeoQS Pontocypris 0. 0. Sara.
Pontocypris dactytu» Egger Rp.
Buirdia dactjrlua Egg. Orienburg, Neues Jahrb. f. Min. isns, p. 7, t. 1, f. 7.
I'ontocypria dactylus Lkls. Zeitschr. d. deutsch, geol. 1894, p. 172.
Hontocypritt mjtiloido^ Brady Trans. Lidd. Soc., tiDiidun XXVI 2, p. 385, L 25, f. 20— :10.
PontocyprU uiytilüidea Brady Crossk, et Kub. I*ulaeunt. Soc., Undoii 1874, p. 130, t. 15. f. 7,8.
Pontocypri« mykiloides Brody Norm. Tran*. U. Dubl, Soc. IV, p. 107.'
1 Exetuplar von Hatt»bncli, 1 voti Mairhuf.
Die von Bgger ubgebildcte Form punctatii vnti Hhiu iftt nicht vorbandL*n, sUtt deswn aber eine ^laitc Form. Kggel bat b«i diewr Art, ivie aus «uiner Zeichnung zu ervehen i»L, Vurdrr- und Uittterende verwechKlt; hiernach ist seioe
JS. iMMniilitun; Ikc Uaititkodcn ruir tfrtcninmj. 187
ütfi »'''<» linlcf Kta]tp<i wt '^ie iSrössere*. zu U'i-icIiti^PD. In »eitler Sainmlung hat or diese Art. (IbrijLfcns aU iJuiidiii uti- guiculus bozeicbuet.
Familie BairdiMue.
Oenus Bairdia M'Coy.
1. Bairdia äubdeltuidea v. Münster sp.
B. subdeltoidea Egg. Ortenburg, p. 5« L 1, f. 1. B. Bubdeltnidea auct.
8 Kxpniplure von Hausbuch , 9 von Mairhdf. Diefiolben amen voUkomraeu mit denen von anderen Fundorten Qbereiu.
2. Bairdia arcnata t. Mflnster sp. B. arcuttta Egg. Ort., p. 5, t 1, f. 2.
B. arcnata auct.
Kt«ra 10 Exerajiinre von Ilau^ibaub, 5 von Mairbof. Auch diese atinimen mit der typischen iiorddeutAcben Furni Ilberein. Die 6 Exemplare von Bnchleiten, welche Kgger ol)enfaIls hier- her gerechnet hat, gehören dagegen znr Gattung Cythcrideiä tiud xwar teils zu C. lithodomoides, teils zu C. cribru^ta.
Familie Cytliürida(\
Oenas Cytbere MflUer. 1. Cythere .Turinei t. Mflnster.
C. Jurinei Ilgg. Ort., p. 20, t, 3, f. 5 u. 7. C. divaricatn Egi;. Ort., p. 22, t. 3, f. 8. C. accedens Egg. Ort., p, 2X t. :i, f, II. C. Jarioei auct.
Etwa 6fl Bxemplare von Hnnsbacb, 8 von Mairhuf, 2 von Buchleitcn.
Die Orteiibiirger Kxenijdare stimmen beswr mit der fnui- nsüben als mit der typi-scbeo norddeutschen Form fiberein* sind freilich mehr oder weniger iiturk angewittert. Sie nind in lUgel etwas gedrungener, besonders am Uint«rende etwas
188
Sittung der math.-ph*f». GlatH vom 7. Mars 1896.
ahiiiipfer, als ausgewachsene norddeiitÄche Stflok«. Die Ober- Üüche ist, »üweit der ErlmltuD^^/.ustund die» noch prkonurii iSsai, entweder glatt oder mit QrGl>chen tragenden Knrch«n Tersohen. Die von Kgger uufgeetelltc Form ovnta dnrfUi kuuui als Varietät gelten können , ebenso wenig wie die Vun'ctut »enüurnata, welche nur die Läugafurcheu mit ihren Grtibchen bei besserem Krhaltungszustande deutlicher »eigt alä die Übrigen StUcke. Es sind für die erste V^arietät 4, für die zweite 3 Bxem- plare auägeschieden.
C. divaricuta, von welcher Kgger sagt, dass sie ia der Gestalt ganz mit der Varietät ovata fibereinstimme, in der üc- schafFenheit der Oberfläche aber von ihr verschieden sei, liegt in 2 Exemplaren von Hausimeh vor, welche je<l(«ih unter sich wieder verschieden sind, indem das eine mit grösseren, reihig geordneten Gruben, das» andere mit feinen, in der Mitte mit etwas grösseren Grübchen bedeckt ist. Die erstere Korni findet sieb vereinzelt auch in Norddeutschland, die andere schlic«! dich wohl an französische Formen an. C. dlvaricata ist daher nicht von C. Jurinei zu trennen.
C. accedeuä, die in 2 Exemplaren von Uaushach und 4 von Mairhof vorliegt, ist nach Gestalt die typische C. Jurinei. Die Scheidewände zwischen den liüngsfurt'hon sind jedoeh Ht>ft*aUeDd stark rippenfürmig entwickelt. Bei der Veränderlichkeit der Beschaffenheit der Oberfläche der C. Jartnei dQrflß das jedoch kein genügender Grund zur Bildung einer l>e9»onderen Art sein. C. Jurinei, 0. divarieata und C. accedens sind daher aU eine Art festtxii halten. Dabei ist jedoch zu bemerken, dass C Jurinei &[slr. in der Ornamentik stark abändert: Bald Ist die Ober* fläche ganz gtatt (Ortenhurg, Jeiirre), bald Oberall dicht uod fein punctiert (Ortenburg) , bjild tiriden sich zwü^lien diemn feinen [linkten auch noch zarte, glatte LängArippen (Dclsbcrg bei Bern, Frankreich), bald sind die (Iruben nach den ftündmi hin klein, auf der Schalenmitto dagegen gntsii und in grbogenen Lftng8rt*ihen oderLiiug-^fiirchen geordnet (Nordd^utHcblaud, Orten- barg^, bald «jnd nur diese gröaieren Orubon auf der Mitt« fo€~ bMidvD (fMt Qberoll, typnehe Purni), bald finden «icb di«
K. Liencnklau*: Die 09tr»ik
«0« OrtcnOitrg.
189
Qruheii auf der ganzen Oberfläche (Nor'ldetit'^chlanrl ^T C. Woodtana Jon«» in Kuglnnd), bald endlich traten die äcfaeidewünde z^vi^chen den Län^^lHirchcn mehr üder weiii|<er ■tark rippig' hervor (Orteubur^). Die Unterschiede in der Oe- ftUU — sofaiankere und gedrungenere Kürm — durften ^.mU jlters-f teils (jieechleclitsuiiterBcfaiede sein.
2. Cytbere scrobtculata v. Mfinster rar.
C. scrobiculuia £gg. Ort, p. 25, t. 4, f. 7. Ü. Bcrobiculata auct.
4 Exemplare von HauMbach^ 10 von Mairbof, 8 von Bucb- leiten.
Die Ortenburger Form weicht erheblich von der typischen Dorddeutsuben ab, melir noch aU die Form von Jeurre. Der Bauebrand ist weniger concav; das Hinfcerende ist nicht oder Icamn hippeafürmig zusammengedrückt. Die KinschnUrung, welche sieb von der Mitte aus die Bauchseite entlang noch hinten idebtf sich vor dem Hinterende nach oben wendet und die charakteriätiscbe Wölbung der typischen Form bedingt, fehlt hier wie bei vitilen Kxeiuptareu von Jeurru ganz; auch isf die Schale, von oben gesehen, weniger eiförmig und wesentlich ächroator. Abgesehen von dem letzten Punkt« stimmt daher die Ortenburger Form mit derjt;Digen von Jeun*e einigermaästm nberein, nnr dass sie viel grosser int i^le kann daher vielleicht als Varietät festgehalten werden. Cebrigens zeigen sich auch bei dwn Ortfinlnirger StUckiMi Verschiedenheiten. Leider Hind alle mehr oder weniger stark angewittort.
3. Cythere striatopuoctata Koemur?
C. slriatopunctJita Egg. Ort., p. 20, t, 4, f. 8 u. 0.
Jo 1 Exemplar von Hausbach und Miiirbof, 3 von Buch' leiten nnd 2 aU Varietüt bezeichnete von Mairhof.
Von oben gesehen ist der Abfall nach hinten ^hr steil, »omiich rechtwinklig, so das^ die i^chale von dieeeui Abfall eine deutliche Ecke bildei wi« 1>ei C, lyratu IIas., deutlicher uU ''''SK'^'' gexelchnef hat. Ah«r auch nach vom npit/fc sich die
190 Schale
SifMuty der mtah.-iity». CUum tm 7, M*n IS96.
h zn, erheblich sUrker ab bei C. If rata am! xugt gerader ak bei C strifttopQOcUU nadi Botiquet. Das» tt wirk- lich die C. «triatopoDetaia Roecaer ist, wie Hosqaet dieaelbe RbbiHet, ist mir «ehr zweifelhaft. Leider i«t mir bisbiog weder das Material tod Bosquet, oocfa dasjenige ron Roemer Über» hanpt xog&Dglieh gewesen, so dan ich die Frage nicht ent^ Itcheiden kann and die Kt^xtiminnDg ron Egger rorl&tifig be- stehen lanen nims. Bosquet sagt nan aber, dasa Roeneri C. ■triatoptuieUtA, die er unterjocht habe, eine Jugendform sei. Um 90 mehr erscheint es mir wüniKhen^wert, daas das gesaiatf Material der verwandten Arten C. itcrobicutata Sfair., atrUto- paoetata Rnem., Ijrata Ras., bixpida «Sp., Bomemanni Sp., obli- qaaU K«., Berobicaloplicata Jonen, laqneata Jones, Njßtiaai Botq^ Joneaiana Bosq. und anguintopora Rn. einer sorgfältigidi Revision unterworfen werde.
Die ab Varietät bezeichneten 2 ExempUre stimmen nicht mit Egger'ä Zeichnung; das «ne ist rieluiehr den Sbrigm Stficken ganz gleich, das andere — eine einxelne Klappe — weicht beionden durch seine 6r3i«e ron dens<-IU>n ab.
E^S*' bat abrigeoü die echte, typisohe C. scrobicnlut« M»tr. Ton Kassel in seiner Sammlang ab C «triatopunctata bezeithnct, ob«;1e>cb dieselbe viel grösser iit, Gbt^rhaopt nicht mit wioer Ortenborger C, Ktnutopunctata 11befein«timmt.
4. Cjthere snbscrobiculata Eggar.
C. 8\ibscrubi(?ulata Egg. Ort., p, 27, t. 3, f. 6.
10 Exemplare von Mairhof, 6 von Huchleiten.
Diese Art hat den Habitus der CyLheridea- Arten, ist jedoeli nach dem Scbloss eine Cjthero. Egger'a Zeichnung ixt vnm etwa.-» zu liocb geraten, indem das Vorderende zu stark nach ant«n aiisgexogen ist.
&. Oytbere cicatricosa Ueuss.
C eteatrictisa Egg. Ort, p. 29, t 4, f. 0. Cypridina cicatricosa R^. Wien, p. 07, t. 9, f. 21. Örthar» cieatrimM Bo«i. Krance e4 Itolg., p. 70, t 3, f. \X
f: DU Otttrai-oden mn nrUnburg. UM
(Tfthere cicatricoea Brady Antwerpen, p. 387, t. 64, f . X Cythore eicntrifota LtcLs. Jeurr«, p KU. PGypririina punctata Kss, Wion, p. Ü8, t. 9, f. 24.
C/tbere mn ab rügen» U Lklü. XordvreäUlt-'uUchlauiI, p. 191.
L 13, f n.
12 Kxemplare von HansWl), 2 von Mairbof, 4 vod Bach- teit«n, Dieselben stimmen mit der typischen Form von lleusa iina dem Wiener Becken f^ut Dbereio.
0. Cythere punctata t. Münster.? C. punctata Egg. Ort., p. 28, t. 4, f. 5.
1 Kxeniplar von Hnu>«bach. Rer.Ugliob dieser Art verwei&e icb auf dnä in meiner Arbeit Über die OstrakoJen von Jeurre') Gesagte. Die in der Litteratur als C. puucttit-a Mstr. utifge- mbrien Ostrakodeo bedrirfen noch der llevision.
7. Cjrtbere canaliculata Rqosb.
0. canaliculata Egg. Ort., p. 33, t. 5, f. 10. Cypridina canaliculata Res. Wien, p. 7(1, t, 9, f. 12. Cythere canalieuluta Lkls. .lenrre, p. 130, t. 3, f. 1,
2 Exemplare von Haufibacb, 2 von Mairbof, 3 von Bucbiciten.
Es iftt die echte 0. canaliculata Ras., wovon icb mich dnrcb Verglbicbong mit den Wiener Originalen überzeugt habe.
Vur. daednioa Egg. 2 Exemplare Ton Hausbacb. Diese Korrn kommt aoch bei .lenrre') und wie icb neuerdings ge- fuuilt'ii habe, im Ober-Oligocaen von GuLtentrupp im KOrHten- tnni Lippe vor.
V;ir. cryptoploca Egg. 1 Exemplar von Hauabiicb. UdSKullic* uittei%cliüidet sich wenig von der Form ilaedalea.
8. Cythere acabra v. MUnster.
C. «al« Egg. Ort,, p. 2(i, t. 4, f. 10. C. acabra auct.
*) 10. Jiibn.iib(Tncbt U. Nutunr. Vercinn *u 0>iiinbrflck, \>. 135.
S) Irt. .I»hm»bf*i- il. Niilnrw. Vomin« xu f^nnabrUrk. \>. \ 40, t. 8, f. 1 itmli'.
192 Süsttrtff der math.'phjf*. Clane vom 7. Man 1800.
4 Kxt'mplart* von Hiiusbucli. Dji; Knifleu felilfii zum ^rmst^n Teile« ütuitt derselbeo bemerkt man Grübchen. Äebnlicheä findet man fibrigeaa auch häutig an älteren ExerupiareD von anderen Fundorten.
9. Gjthere plicata v. MQnster.
C. plicata Egg. Ort., p. 24, t 5, f. 9. G. plicata auct.
1 Exemplar von Hausbach. Es ist die typiBcbe C. plicata Mfl
10. Cythere pticatula Benas.
C. plicatuk Egg. Ort., p. 38, t. 5. f. 6. Cypridina pticatula Rss. Wien, p. d4, t. 10, f. 2."^'. Cythere pticatula Bosq. Krance et Belg., p. 92, t. 'l, t. 13.
10 Exemplare von üau^bach, 1 von Mairhof, 2 too Bnch- leiten, 1 von HabdfaL
Die Schale ist nicht, wie Eggor's Zeichnung, vom höher als hinten, sondern Überall gleich hoch. Der RQck<mrand %vigt vorn nicht die starke Ausbuchtung der Figur bei Egger. Das llinterende ist stumpfer und eeigt ausser dem groesen Zahne mehrere kleine Zähne. Die Zähne des Vorderrandes sind deut- licher HUägebildet aU in Egger^H Zeichnung. Der untere und drr mittlere Hauptkiel VL>reinigen sich hinten nicht ; der mittlere Kiel iät ebenfalls scharf. Es ist eine gedrungene und eine ■chlankere Form da (9 und 5?)i erskertt sUiunit mehr mit Kgyer'.-* Zeichnung Uberein. Die ZiigehDrigkeii de« Kxeuipluni von Aluirhuf xu dieser Art int zweifelhaft: daaselbu i:it jetloch angewittert. Auch daä Exemplar von Habühl \»i unklar. Dus einzige Exeniplur der Var. minor Egg. von Haushihch \A wohl eine Jugcndform.
Die SüitenunMichi dieser Art bei HeuKs i«t woMoUich rich- tiger aU diejenige bei Egger; am richtigsten idt die Zeich- nung bei Bosquet.
9 Exemplare voi
Eine gute Art. Die drei LSngskiele der Ober6&che sind tlit kräftig, aber in ihren Seitearändern rielfuch unregel milbig schwielig. Der mittlere und der obere Kiel endigen im Schlieos- muskclbücker. C. Neptuni Egg. und C. variaos Born, sind zwei durchaus verschieflene Arten und nicht, wie Egger vermutet, ?.n vereinigen- An Egger's Xeicbnnng Fig. a wt das Vorder- ondo zu hoch, da die Schale vorn wenig höher ist als hinten. Kig. c und d sind uacb vorn bin %u gerade zngespit'/t; der Schlii>säniuskelht}cker ist in Fig. d zu kräftig und liegt zu weit vom.
12. Cjthere trnncata Renss.
C, acuticosta Egg. Ort., p. 40, t. 6, f. 7. Cjrpridiua truncata Rä». Wien, p. 79, t. 10, f. 15. Gythere acnticosta Brady Antwerpen, p. 391, t. OG, f. 5. Cythere acuticosta Lkis. Nordwestdeutschl., p. 213.
1 Exemplar von Mairhof.
Ich habe 4 lijcempLire der C. traocala Ras. aus der Reuss^- Gehen Sammlung von Roätel in Mähren und Eggerd Original der C. acuticoäta neben einander unter dem Mikroskop gehabt. Die Wiener Kxerapliir«« sind etwas gr<")Säer. Davon abgpdehen ist aber die IJebert'inäliinnuing der beiden eine rollkümnu'ne; ifilbit in den kleinsten Teilen der Skulptur zeigt sich nicht der geringste ITnterscbied, was urn so sicherer festzustellen war, als der Erhaltvingszustand bei beiden ein guter ist.
Die norddeutsche und Antwerpener Form zeigt jedoch nicht unerhebliche Abweichungen. Auf die wichtigsten habe ich be- reits in der 'Zeitschrifl der deutschen geohtgidchen Gesellschaft, Jahrg. 1894, p. 214 hingewiesen. Hinzu kommt noch, dnss an der Wiener und Ortenburger Form sich die Verdickung dea Rückcnranden in der Gogond de« hinteren Schlosszahnee drei- eckig erweitert wie bei C macropom Bn^q. und verwandten
ISN. HftUk.-»Jija. ül. 1. 13
104
SiUung der maihrfihya. Claaie rvM 7. MSrä IS&V.
Formen. Die norddeutsche und belgische Form ISnt inch jiAiA\
wenigstens als Yarifltiit festhalten.
13. Cytbere bararica oov. ap. C. tmncata (non Kenss) Egg. Ort., p. 34, t. .'■, f. 4.
2 Exemplare von Mausbach, 4 von Mairhof, 2 von
leit«n.
Oiese Art stimmt nicht mit Reuss* C. trunciiia fl Die Schale ist erheblich ^blanker, vom und hinten fast gleicher Höhe, nicht, wie Kgger gezeichnet hat, vurn erhi lieh höher. Die Längsrippen und die Qrübchan Kviriacfaeo wlben sind in Egger*8 Zeichnung zir regelmftasig, let«t«re a' XU deutlich. Die hohen, geU<^gtMien L9ngaripp«n äiiul alter die Art charakteristisch. Iro Dbrigen ist kein wc-Hcntlirbt^r Un schied Kwischeo dieser Art und der C. macropora Uom|. banden.
14. Cythcre macropora Bosqnet.
C. corrugata Egg. Ort., p, 35, t, 5, f. 3,
C. macropora Bostj. Krancc et Belg., p. 97, t 5, f. 2
C. macropora Brady Äntw., p. 392, t G7, f. 1; t. CG, C Ü.
C. macropora Lklä. Kordirestdeutscht., p. 20Cf t 11, f. 0—0.
C. macropora Lkls. Jeuire, p. 142.
C. eonfluem Speyer Kawel, p. 31, t. 4, f. 3.
5 Exemplare von Hausbach.
Die Orieuburger Exemplare stimmen mit der C. mocn^pi aus dem norddeutschen Tertiär und von Jeurre voIUtAndi^ liberein und zwar mit der Form, auf deren OberÜiicUo die Längskiele deutlich entwickelt sind. Leider sind sie etwas sUuk angewittert. Kgger'ü Zeichnung i^t vorn zu hoch. Die breite, Mcharfkautige Verdickung des RDckenrandes, die sich in i!>'i Qegend dee hinteren 8chlos8£ahne.s sogar dreieckig erweilei ist in Egger's Fig. d gar nicht zu sehen.
//. lAenenktaita: Die Ostrakodcn von (irtoAurg.
195
16. Cjrthore lyriformia KggerV
C. lyriformis Egg. Ortenburg, p. 41, t. 6, f. 6. 2 Exemplare von Miiirbof.
Bei flüchtigem Besehen roHchen beide den Kindruck einer kl«in(?n , abgeriebenen C. mocropora. Die Oberfläche «oheint jodoch unverletzt zu ^ein, und Kwar ist sie glalt und mit Karten, weiäutiu Knuicben spärlich besetzt. Uie UauchHücho zeigt einige sehr xarte Längärippen, Die Zoichnung bei Egger ist wenig reffend; beispielsweise sind die Kiele hinten nicht «pitK, sondern 5n gerundet, so da*» dus Banchfeld sehr schön herzförmig ^erscheint. Die Rnekenun^cht lässt die Hinterenden der Kiele deutlich sehen etc. Ich halte es übrigens nicht für ausgeschlossen, duss hier nur eine .Ingendfurm vuii C. macrupora Bosq. rorliegt.
16. Cythere coruata Reuss.
(J. curnuu E^g. Ort., p. 44, t. 0, f. 11.
C. cornuta auct.
l Exemplar roii Mairbof. Dasselbe stimmt mit anacrer ' norddeut^clicn Furm liberein. C. cornuta i.st übrigens wohl nur 1 eine der vielen i'ormen der C* fimbriata Mstr.
17. Cythere fimbrtata v. Münster.
C. coronaU Egg. Ort., p. 4-5, t. 6, f. 12.
Litterutnr und Synonyme s. LkU. Nordwestdentscbl., p. 216.
1 Exemplar von Hausbach , 1 von Mairbof. Dieselben
^stimmen mit unseren norddeuLschon Furmen vültständig Oberein
und zwar ist auch die Scbalunfläche mit Zahnen be<;etzt, wie
hei den meisten unserer miocaenen und Dnter-üligoi.'ueiieu Formen.
lDie-s(?Bcznhnnng ist freilich in Fig. 12a nicht genau wiedergegeben.
Genus Cythoridea Bosquot.
1. Gytheridea Mfilteri r. Münster sp.
C. MnUeri E«g. Ort., p. 18» t. 2, f. 7. 0. heterostigma Egg. Ort., p. 18, t. 2, f. 8. Cythere vel Cytheridm Mulleri «t fa«t«ru«tignw snct
18»
1 9<i Sitsung der atalK-phyg. Ctaste vom 7. MÜtm 189€.
1 Exemplar von Laingart, Ü vou Bacbleiten.
Die ätQcke vou Bucbleiteii hat E^^ger als G. iiotärosligiDa bezeichnet; jedoch hat schon Speyer mit Kecht C. faeterosiif^mn Jhs», mit C. Müllcri vereinigt. Ein 7. Exemplar von ßachleiten stimmt in Gestalt mehr mit C. papulosa ßosq. übercin, ikt freilich ätark augewittert.
2. Cytfaeridea debilis Juiiee?
Bairdia subtumida Egg. Ort., p. 10, t. 1, f. 8. Cytheridea debilis Jones Tert. Entom. England. Pal. Soc. 1856, p. 43, t. 6, f. 13.
Cylheridea debilis Lkls. NordwestdenUchl, \\ 221, t 15, f. 2. Cylhurideu debilis Lkb. Jeurre, p. 144,
l Exemplar von Hauabach. DaKselbe ist leider wenig rean, scheint jedoch mit C. debilis Oberein/.ustinimen, und zwar ent- spricht es der von mir 1. c. taf. 15» f> ^^ abgebildeten Korm.
3. Cytheridea fabaeformis Speyer.
C. heteropora Egg. Ort., p. 15, t. 2, f. 9.
C. fabaelorrais Sp. Kassel, p. 52, t. 2, f, 1.
C. fnbaeformis Lklä. NordwestdeatschU p. 226.
8 Exemplare vou Mairhof, 3 von Buchleiten, G von HawWh.
Es ist dies die von Speyer in seiner Arbeit über die Kas- seler Tertiär -Ostrakoden als C. fubaeformis beschrifbon** Art. In der Eggur'ächen Sammlung finden sich auch 3 Exemplar» dieser Art aus dem Ober-Oligocaen von Kassel, welche Egger ebenfalU als C. heteropora bezeichuet hat. Hiernach wünl« Kgger's Name als der ältere festzuhalten sein, wenn nicht ^ISS^^^* Zeichnung to unvollkommen w&re, daan die Art niclit wiedererkannt ist* Egge r 's Zeichnung i«t vorn erheblich XU hoch.
4. Cytheridea reversa Egger. a reveraa Egg. Ort., p. 10, t 3, t 10. & Exemplare von Mairhof, 3 von Uuchleilen.
R VettmVmt: Dte Oatrtäboden wom Ortembmrg. 197
Diese Aji »ohliesat sich an die Torig« an, ist aber durch ihre wifEülende Wölbung chanikU!ri»iert. Vou obt^n geseben bot sie nämlich gro«Be Aehnlicfakeit mit Cythere Jurinei forma amplipunctaU Sp^ «o da» man sie hiernach kaum für eine Cytberidea hält. Das »tarke Maximuui der Wölhun^^ liegt gaoK iialie vor dem Biuterende, von wo die Profilliuie sich fast rtwhl- «inklig, eine deutliche Ecke bildend zum Hiuterraude wendeL Von der Seite geaehen hat dagegen diese Art grosse Aehnlich- keit mit C. fabaeformis Sp.
5. Cytheridea subcribrosa Egger?
Bairdia subcribrosa Kgg. Ort., p. 13. L 3, f. 1.
3 kleine Exemplare, wie es scheint .lugendfortnon, ron Haiicibacb. Diescl):)6Q gchüren nicht zur Gattung Bnirdia, wnhr- scbeinlicb zu Cytlierideai. Der Vorderrand scheint fein gezäbnelt gpwt*seii zu win. Von oben gesehen zeigt nur 1 Exemplar die seitliche KinschnGrung , die jedoch wesentlich enger ist , aU Kgger 8ie abbildet. Ijie Orilhchen sind undeutlich. Die 3elb- stUndigkeit der Art ist jedenfalls zweifelhaft.
6. Cylheridea rhombus Egger.
C. rhombus Egg. Ort., p. 17, t. 3. f. 9.
't Kxeuiplare von Hausbach.
Dieee Art v-eichnei »ich durch ihre rhombische Gt^tall be- sonders des HinWreudes nus. Egger hut freilich in der Zeich- nung Übertrieben ; die Schale ist schlanker und hinten weniger stark Bosgebuchtet. Das Schlosa zeigt die der Gattung eigen- tümliche Bezahnung.
QenuB Erithe Brady.
Kritbe bartouensis Jones sp.
Bairtli» angulosa Kgg. Ort., p. 13, t. 2, f. 10. Cytberideis bartonensis Jones, Englaud, p. 50, t. A. f. 2 u. 3. Krithe hartonensia Brady, Oronkey et Uobertson, l*oet- Tert. Entoni., p. 184, t 2, f . 22— 2fl.
It8
SiUurtj/ dw math.'phy9. VtiWM 9im
18X.
Krittle liurtouensiß LkU. Nord west^lputuchK, p. 252, t. 1 7, f. 9.
Krilhe bHrtononsis Lkis. Jeurre p. Uti.
Oytberina gracilis Rss. Wien, p. 52, t. 11, f. 3.
Ehrn 50 Exemplare vou Hauübach, 1 von Mairhof.
Dieae Art ist nach Gestalt, Narben und Sctilow atm; Krithr, und Kwur stimtnt sie mit Kritbe burtononsifl übcroin, nur er- »cbeint da« Hinterende etwas weniger stark übgentutKl, uU ba HiMor Art Regel ist; jedocli dflrfte das eine Trennung wobl nicht rechtfertigen.
Oenos Loxocondui 0. 0. Sons. I. Loxoconcha subovata t. Mdnster sp.
Cytheridea clypeus Egg. Ort., p. 19, t. 11, f. 5.
Cytbere subovata Mstr. N. Jahrb. f. Min. 1830, |i, 6»,
Cytherina »nbovata Mstr. ibid. 1d35, p. 446.
Cytherina subovata [{5ra. ibid. 1838, p. 515, t 6, f. 4.
LoxocoDcha subovata LkU. Nord westdeutscbl,, p. 234. 1. 16, C 4.
2 Exemplare von Hantibach.
Es ist dies die echt« L. .snboTatu Mstr., sia stimmt mit der norddeutsch eu Form völlig Überein. Die Zeichnung bei Egger lÄs.'it die Art nicht erkennen; auch in der Beschreibung ist der charakteristische Kiel nicht erivähnt.
2. Loxoconcha variolata Brady.
Cytbere hostata Egg. Ort., p. 32, t. 2, f. 6.
Cytbere clathrata Egg. Ortenburger CoIL
Loxoconcha variolata Bnidy Antwerpen, p. 400, l. 68, f, 4.
2 Exemplare von Mairhof, 2 von Banhieiten.
Dies ist, wie bereit« Brady 1. o. vennutüt, I.. variolata. Die von Egger gezeichnete Bc/ahnung des Schloftsmnd«« ni nicht vorbanden. Soweit man nach der Zeichnung bei Reu»i urteilen kann, mtimnit sie Qbri^eu» nicht mit C. hastaU R«, libt^roin, daher ist die Ireilich jüngere Benennung tun Bradj beiicnhehalten. G. eUthrata Egg-, weli^he Mch tu einem ExeoK pUr von Mairhof in Egger'» Swnmlung findet, aber nic)it vna
'K!'ZienifnhJ{tH9: T>tr Ottrako^en wm Ortenburg.
rr>ira be8clirie)»t»n ist, ist walirschfinlich die schltnkerö, uiüiin- I Wehe Kurni von U. vuriolaU.
3. Loxoconcha Kggertana dot. &p. Cytliore Kostelcnsis Egjf. Ort., p. 29, t. 4, f. 4. 1 Exüniplar von IlauHl'ach. DuRselhe stimmt mit Cytliero I Kostcltnsis 11sj>. jedenfalls nicht Ub<?rfin, ist fJbi'rhnnpt keine ICythero, Bouderu eine echte LoxocoQchn mit Heb r fein und dicht |)iinktiert/>r Oberflache. E'p^gcr'ä Zeichnung itd. vom %u hoch und durchweg ku eckig. Bauch- und Uintcrraud vereinigen sich in dem für die (jattiuig charakteristischen thicben Boj^eu. Die Enden sind bei Kgger's Itückenansiubt xu schart atu-
4. Loxoconcha subangiitata Kßger flp. Cythere subanguhita Egg. Ort., p. 30, t. 4, f. 1. 4 Exemplare von Mairbuf.
Es iirt ebenfalls eine echte Loxoconcha, vrie Egger*« Zeicb- [nung rerainten Hess. Sie nähert sich der vorigen Axt, int jedoch erheblirh kleiner niul vorn nicht oder kaum schief ge- rundet. In Egger'M Zeichnung ist das Vorderende erheblich !»i scbri^;, in Kig. d und e itit auch die kanrn oder gar nicht [ bemerkbare CoiicavitAt t» stark. Das Hinterende ist etwas ntürker aiMgezogen, als Egger gcTicichnet bat.
Qenns Xestoleberis G. 0. Sara.
1. Xestoleberis tumida Kcuss sp.
theridea tnmidn Egg. Ort., p. 17, t. 2, f. 11. Cytheriua tumida Ha». Wien, p. 57, t. 8, f. 29. Xestoleberis tumida Lkls. Nordwe.st>ieut<K:hl., p. 237, 1. 16, f. 7. Xestoleberis ttimida Lkls. Jeurro, p. 148. Cjtherina ovuhim Hvs. Wien, p. Tjö, t. 8, f. lU.
10 Exemplare von Hausbacb, 3 von Mairhof, l von Btichleiten. Dm von Egger gezeichneten ScbloMiATibne, die ja der Gat- ItuQg durchnuD widemprechen, sind nicht vorbanden. Die Seiten-
200
SUfung der mtttk.'phjft. Clane vom t. Mtn J99fi.
ansieht ist von Ekk^*'' ^" eckig gM«icbnet Zwar entspricht das £xeix)pUr von liuchleittfii iu dieser Ber.iohuuf( dor Zeicb* nnng figger's; dasselbo i«t jedoch verdrückt und besitzt iafol]^'« doMen gerade iu der gerundelea Ecke de« UQckenmttda) eiot« Quersprung.
2. XeHtoleberis lacida KeuA« «p.?
Bairdia Incidti K^. Ort., p. 7, t. 1, f. 5.
Cjtherina lucida lUs. Wien, p. 50, t. 8, f. 4.
I Exemplar vou Hauäbacb. Dasselbe steht der X. tumsd« uahe, iät jedoch schlanker, Ton der Seite gesehen liinfceu etwa] regelmäßiger gerundet nnd von oben gäechen hinten ftw«i| weniger breit. Alte diese Unterschiede kOnnen abrr Altern! bexw. GeschlechtAuntonchiede aein, ao daM mir die Artbereck- tigiing der X. lucida zweifelhaft ist. lob kann aber auf Orutid ; des einzigen vorliegenden Exemplars nichts entscheiden. Di« Iteufs'scbe Art von Wieliczka hat mir nicht Torgelcgen.
3. Xestoleberis gintaea Kgger sp.
ßoirdia glutaea Egg. Ort., p. 8, t. 1, f. 6.
Xa»toleberi.<t depressa Sars Over^igt af Xoi^e» Ostr., {lu 68.
Seitoleburiii deprefuft Urody Antwerpen, p. 400, t. 6i>, f. 8.
XestoleberiädepressaßrodyChallengerExp., p. 124, t. 31, f. ll
Xestoleberis depressa Lkls. Jeurre, p. 148.
1 auegewochseneä Exemplar und 2 Jugaadforiuen von Moirhof.
Das ausgewachsene Exemplar stimmt völlig mit X. depressa G. O. Sars, wie Brady diese 1. c. abbildet und wie sie bc*i Jeurre vorkommt, sowie mit meinem reccnleu Material« dieser Art ans der Nordsee nnd dem Adriatiachcn Meere Obcreiu. Der Name X. depressa ist daher durch den &It«reu Namen X. glutae« Egg. zu ersetzen. Von den beiden unausgewachüenen Stücken ist dott gr(>98ere in der Hückenausicht etwas ecki^. stimnit aber im nbrigen mit der Art ziemlich nberein.
I
hlaMi Die O$irahoien to» Ortftibtuf.
SOI
Qenaa Gjiberara O. 0. Sara. 1. Cytfaeruni Sarsii Bra(]T.
C Snrtii Drody Rccent British Oatnooda. Trans. Lianran •Soc. 20, p. 4-12, t. 32, f. 39-42.
1 Exemplar ran Mairhof. Dasselbe stimmt volUtüiidig mit G. äarsii Qberein, wie Brudj dieselbe abbildet und beachroibfc, nnr dass der ICrlialtutigszustand die vollsUlndig ^lalU* Oberllüclit! und natflrlich aucb die spärlichen Härchen derBclbon, die m' li an den recenten Stücken tinden^ nicht klar erkennen läs»t.
2. Cytherura neglecta (Renss?). Bairdia neglecta I^g. Ort, p* 6, t. 3, f. 2.
3 Kxemplaro von Mairhof. Diese stimmen in der FiQcken- ansieht nicht mit der Figur bei Reass Überein, aber nach Bgger's Zeichnung trifft nicht zu. Es ist eine Cytherura, und %war schüesst sie sich an C. SarsÜ an. Sie ist jedi>ch etwas schlanker. Der Rflckenrand ist erheblich stftrker und zwar re^elmaang gewOlbt, Das Hinterende ist mehr zugespitzt, und zwar liegt die Spitze i'aft unten. Von oben gesehen ist das Vorderende etwas stumpfer gerundet, jedoch so, da« der Yorder- rand seihst aU deutliche Spitze vortritt. Die Spitr^ des Hinter- endes tritt etwas weniger vor. Falls Cytherina neglecta Rss. a\is dem Wiener Becken nicht Übereinstimmen sollte, was nach der Zeichnung bei ReusK kaum der Fall sein dtirfle, und doch die Wiener Art eine Cytherura ist, wäre der Name xu ändern.
3. Cytherura manubrium Egger sp. Cylhüre manubrium Egg. Ort., p. 41, t 6, f. 3.
4 Exemplare von Mairhof, 1 von ßuchleiten. Kn ist ebenfalls eine Cytherura und zwar eine wlliständige
Art. Die Schale ist schlanker als nach Kgger*s Zeichnung. Der Vordrrnind ist oben wesentlich flacher. Die Oeaamtgestalt ist die einer typischen tvvihi'niru; hinten unten zeigt die Schale jedoch jederseits einen antrallciideii Höcker, ähnlich dem, den Egger bei l^rdia neglecta var. gibboea, 1. 1), f. 4, geaoichnet
202 SitMuttff tf«r matK-phya. CImu vom 7. Mibn t899.
bat. Daä 6acbe Bauchfeld ist durch eine deullicbe Kaut« ran Avr SeiteuSäcbe getrennt; diese* Kiiiiie läuft hinten in dem Uüekrr «tu.
4. Cytberura hopliteä Egger ap.
Cythere boplites E^'g. Ort., p. 3it, t. 6, f. 5.
i KxempUre von Ilausbach, 4 von Mairbof, 2 von Uachletleu.^
()iese Art steht der C. alaia LkU. «ehr nahe, uiitt'RU'brid« sich hauptüttchlich nar dnrcb die ße^cbnffrnheit der Olierfläch«. Di« S<^hule iüt tiämlicb b«i ^ut«m £r)ialtuti^iptzu>(taude t lieh zablreichen, bobun, unreffelmÜÄMj; verlaureuJ»u Luii;;: -, , u bedeckt, welctie durch /^irtere QuerlciHten mit einander verbnndnn sind. Ist die Schale aber abgerieben, »o ist sie j»chwer von drr C. niata zu untorscheiden. Bei C. hopliios ist die IjuerdeprtMnoKj häufig etwas gri>ä»er, die Spit/e de« Flügel» gerade nach hintea giTichtet; uft reicht auch der Finget rieltcicbt nicht m weil nach hinten wie bei C. alata.
Au der Vuhetät rugulosa Egg., die in 2 Exemplaren toh fUusbach vorliegt, ist der FlUgel wenig entwickdt
Oenus OTtheropteron O. 0. Sara, l. Cytberopteron Eggerianam nor. ap.
10 Exemplare von Uausbocb, 3 von Matrbuf, 1 vou Buob-^ leiten, 4 von HabQbl.
Diefie Art hat mit Loxoconcbu subovat« M4r. nicht« gemein, «tirbl dagegen, wie sich aus Egger'it Zeichnung auch ergiel Cvtheropteron ßos^iueti Sp. nahe, nur i»t sie, vou oben geseheOil etwa.'* weniger eifilrmig, auch wohl etwas weniger als EggerV Kijfur. Die Oberfläche zeigt ferner nicht die grossen, tiefen Ürubun der C. Boequeti, Boudern auf der BuuchMate und uutefl auf der SeitenHäcbe zarte, gebogene Längäkiele; im Gbrigvn uk tfie mit »trten Knötchen ziemlicli spärlich bcsetxt.
2. Cytburupteron reguläre nor. ap.
4 Exemplare von Mairbof; ditttelbtm fandim sich twiscbea Cytheniptenin Eggerianum von Mairfaof.
IJtnmklaun : Dia 0»
ien vott fMcnburg,
Die Schale i^ ziemlich grcK», etwa iVi uial so I»u^ laU huchf vim der Seite betrachtet vorn rcgelm&Hsi^; und voll ge- ruiiilel, hitiLen in eine auütäig laug«, die Mitt« den FTinterendes «innchmende Spitze aiisgezojretn, in welcbo der nhrigens gerade Rdckenrand im concnven, der Übrigens schivach concave ßunch- rand int flach coovexeii Bogen übergeht. Von oben gesebeu ist die Schale elliptisch mit der grösslen Breite in der Mitte, schwach verflachten Seiten und in kurzen SpiUen nusgezogcneo Enden, und zwar tritt das Mintereode etwas stärker ror aU da« VorJeronde. Der achwaclie FlOgel ist bei der Röcken- ansieht als scb wuchs, stumpfe Kcke sichtbar. Der Querschnitt der Schale isL dreieckig luit ziemlich scharfen llasiswiftkeln nnd etwas convexen Seitcngchiütten. Die Oberflache ist mit etwas entfernten warten Knötchen besetzt; die Uauchfläche zeigt deut- licha Längsfiircfaen. — Die Art hat gewisse Aehnlichkeit mit C. latiM^siuium ; das Vorderende tat jedoch regelmässig, nicht »chief gerundet; die Spitze des Hinterendes tritt Schürfer her- vor, besonders auch bei der Rückenansicht, und die Verztening der Oberfläche weicht gänzlich ab.
3. Cytheropteron vespertilio Keuss sp. Cythere resi^rtilio Egg. Ort., p. 43, t. 0, f. 8.
I
Cypridinn vespertilio Kss. Wien. p. 81, t. 11, f. 13.
Cytheropteron alutiuu Sars Overaigt, p. 81.
Cylheropteron aUtum Brady Marine and Freshwater Ostr.- Trans. Rnval Dublin Sac. IV, p. 214, t. 20, f. 8-10.
4 Exemplare von Mairhof.
Sie nntf^rscheiden sich nicht unwesentlich von dem einzigen Onginalc von Uoubs aus dem Tegel von Grinzing. Der Flügel ist weniger lang, am Vorderrunde »tÄrkpr gerundet nnd am HilittTrimde unge/Übnt* es ist hier nur ein kleiner Hucker vor- handen, alles jedoch Unterschiede, welche Jugendformen von 0. alatiim /.ukommen (s. Rrudy 1. c). Daee C. veapertiliu Uc-u.-ns au!« dem Wiincr Hecken ident sei mit C. alatiim Sars, vermuL«l b«r<tits Brady 1. cit, p. 213. Nach genauer Unteraochuug und Vergleichung des ReuMs*schen OriginaU mit der Beschreibung
20 1 Sittunff der maOt,-}^. Class« wm 7. JfJrv JAM.
und Abbildunf^ der C. ftlatiim bei Brady 1. c. mnn ich die bestätigen, ich finde keinen UnterBcfaiod.
4. O^theropteron triquetrani Renas sp.
Cythcre drwo Egg. Ort., p. 44, t. 6, f. 10. Cy|>ridina tririuotra Has. Wien, p. 82, t 10. f. 19. Cythere gradaU Bostj. France et Belg., p. 127, t. ß, f. II. Oythere bilacnnoaa Sp. Kaäsel, p. S4, t. 4, f. (5. Cythcropteron gradatnra Ürady Anlweqxjn, p. 403. t. 69, f. 4. Cytlieropteron tri<]neirQui Lkls. Nordwestdeiitschl. , p. 248. 4 Gxeiui^lare Ton Mairliof. 1 vun nucbleilen. Ks ist diea die typiscbe Farm von C. tri(|uetruixj.
5. Cytheroptheron pnpilio Egg. sp.
Cytbere papilio Eßg. Ort., p. 42, t. 6, f. 9.
3 Exemplare von Muirbof.
Diese Art »tebt der C. triquetrum sebr nabe, iat aber utwas grosser und gedrungener, indem der FlUgel stärker, die Spibu* des Ilinterende» dagegen weniger stark entwickelt ist; auch fehlen auf derOberfliiche die unregelmäaBigen Palten und HSckcr. ßrody bat in Antwerpen p. 403 C. papilio, nicht aber C. draco mit C. tri(|uetrum vereinigt. Auf Grund der t'rwiibnten Unter- schiede zwischen Exemplaren vüu demselben Fundorte kann jedoch C. papilio vielleicht als besondere Art bestehen bleiben.
Gtonaa Cytherideis R. Jones. 1. Cytherideis litkodomoides Bosquet dp.
Bairdia lithodomoides Bosq. France et Belg., p. 36, t, 2, f. 3.
Cytherideirt lithodomoides Qrady Antw. p. 405, t. 03, f. 3,
Cytherideis lithodomoides Lkls. Nordwestdeufschl.. p. 2M, Textfig. 4.
2 Exemplare Ton Hausbach , 0 von Mairkof und 5 als BiLirdia urcuaüi bcKcichnct« von Bucbleiten.
.41le stimmen in der Gestalt mit 0. lithodomoide» überein. zeigen jedoch auf der OberüÜcbe nicht die bogenrürmige Streifung.
R Zienttiktatts; Die Ostrakoden oon Orierdturg. 205
die freilich auch häufig Stocken von anderen Fundorten fehlte. Uebrigans unterscheiden sich lebende Cytherideis- Arten in der Schale ofl so wenig, daes man sie ohne das Tier nicht sicher beälimmen kann. Daher können die fossilen Arten nur einen relativen Wert beanspruchen.
2. Cytherideis scrobiculata Lienenklaus.
Bairdia gyrata pars Egg. Ortcnb,, p. 11.
Cytherideis acrobiculatn Lkls. Nordwestdeutschi., p. 358, t. 18, f. 2.
Cytherideis gyrata Lkls. Jeurre, p. 155.
5 Exemplare von Hausbach, 2 von Mairhof, 1 von Bnchleiten.
Diese Art ist, von der Seite gesehen, gerade, vom mehr oder weniger deutlich und zwar schräg zugespitzt. Der Bauch- rand ist gerade, der Hückenrand dacht sich nach vom in sehr flachen Üogen allmählich ab. Das üinterende ist, von oben betrachtet, stumpf gerundet, etwas stumpfer als bei der folgenden ArL Die Grübchen auf der Oberfläche sind von mittlerer Orlisse, mehr oder weniger mnd und dicht gedrängt.
Bemerkung. Diese von mir aus dem norddeut^heu Ter- tiär in der Zeitschritt der deutschen geologischen Gesellschaft 1894 beschriebene Art habe ich in der Bearbeitung der Osfira- koden von Jeurrc (X. Jahresber. d. Naturw. Ver. zu Osnabrück, p. 155) mit C gyrata Kgg. vereinigt. Bei genauer Unter- l^chung des gesamten Materials in Kgger's Sauitnlung ^'tellt: ^ch nun aber herau:t, das» Egger unter dem Namen B. g}'rata xwei verschiedene Arten zusammengeworfen hat, von welchen die meisten Kxemplare zu C. scrobiculata Lkls. und nur -1 zu der von Egger beschriebenen und abgebildeten C, gyrata ge- boren. C. scrobiculntu Lkls. ist also als Art festzuhalten.
3. Cytherideis gyrata Egger 8p.
bairdia gyraU Egg. Ort, p. 11, t. 1, f. 10. 4 Exemplare von Mairhof.
206
SiUvng der matK^pht/f. Cltute com 7. Mars JSOG.
Die Schale iät, tod d«r Seite gwehen, fast tod dcv Gettalt der vorigen Art, vom vielleicht ein wenig stSrker itigespHzi. Der Vorderrand ht mit pinigen grossen, gemndet«n ZÄbnen besetzt; bei C. scrobiculata sind dieee Zähne erheblich klein>>f lind zahlreicher. Die Oberfläche erscheint «ehr »tark rtnulig und zwar nm^vbliekseu die wullurtigeii Krhi)hiinf^)*n sehr growe, Hache, eckige Gruben, welche jeducb zum Teil iu uoregelmAatig verhtitfende (juerfurchen zusauunenflieHBen.
(
4. Cytberidois cribrosa Kgger sp.
Bairdia cribrosa Egg. Ort., p. 12, t 1» f. II.
ö Exemplare von Hausbacb, 7 von Matrhof, 4 von Buch- leiten.
Diese Art int Ul>erall gleich hoch, vom also nicht zuge- spitzt. Der Bauebrand ist «ieuilich stark coucav, der Uürki^n- rnnd entfiprecbeiid convex. Das Hinterende bildet, wenn man die Sehale von oben betrachtet, mit den Seiten mehr oder weniger deutliche Ecken. Die GrUbchen auf der Oberdäche sind Mtdir grosi) und gewöhnlidi tief, aber nicht dicht gedrängt.
Funilie FaradoxostomutidAe.
Oenos Paradoxofitoma Fischer.
l'aradoxostoma cnrvatum Lienenklaua?
Bairdift exilis Kgg. Ort, p. 10, t. 1, f, 9.
Paradoxosttnna curvatuiu Lkls. Nurdwc'^tdentächl., p. 254, t 17, f. 11.
1 Exemplar von Hausbach, 2 (?) von Mairbof.
Das Exemplar von Hausbach, welchen Egger ab;^ebtldet hat, zeigt diu grösste Aehulichkeit mit der uordiJt:ut(>cheii P. curvnttiin ; leider liUst «ich die Gattung nicht mit Sicherheit beatiniMien. Die beiden Exemplare von Muirhof scbeineu da- gegen Jugend/ormen einer Cytherideia xu sein, jedoch lii*vi si.h auch hierüber ein sicheres Urteil nicht abgeben.
E. Lienenki^us: DU Oslrakoilen von Oritnburg. 207
Familie Cytherellidae.
Qenus Cytherella Bosquet.
1. Cjthereila compressa v. Münuter sp.
C. compressa Egg. Ort, p. 4, t 2, f. 2.
Cythere vel Cytlierella coniprcäsa auct.
1 ICxeniplar von Hausbach, 1 von Habübl.
Dftä Exemplar von HabUUl, welches Egger als C. ioflexa beschrieben hat, ist stark rerdröckt und volter Sprünge, woraus »ich die abweicliende, ungewöhnliche Form erMSrt. Es rortritt keine besondere Art, sondern gehOrt offenbar zu 0. coiu]>ru%qi.
2. Cytherella praesulcata Lienenklaas.
C. Jone:«innft Egg. Ort., p. 5, t. 2, f, 1.
C. praesulcnta Lkls. NordwentdeutecbiM p- 2r>5, t. 18, f. 9,
1 Exemplar von Üauubach, 1 von Mairliof.
Beide wohl erhaltenen zweiklappigen Kxeniplare haben dio churaktoristifiche Furche am Vorderrande der linken KkpiMi wie die norddeutsche Form, während dieselbe der rechten Klapjie ganz, fehlt. Nach Egger'd Zeichnung Fig. b musste sie an beiden Klappen schwach auttgebildet sein^ was jedoch nicht der Fall.
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung vom 2. Mai 1896.
1. Herr Ferdinand LiNDEUAMM legt zwei Abhandlungen des auswärtigen Mitgliedes, Herrn Aurel Voss in Würzburg, vor:
a) ,Ueber die Anzahl der cogredienten und ad- jungirten Transformationen, welche eine bili- neare Form in sich transformiren' ;
b) «Symmetrische und alternirende Lösungen der Gleichung SX^XS'.^
2. Herr Carl v. Yoit tbeilt die hauptsächlichsten Resultate einer in seinem Laboratorium von Herrn Dr. Georg Fried- länder ausgeführten Untersuchung: ,Ueber die Resorption gelöster Eiweissstoffe im Dünndarm" mit. Dieselbe wird in der Zeitschrift für Biologie veröffentlicht werden.
180«. ]|tth.-|iliTa. ci. 2. U
I
211
Heber die Anzahl der cogredienten und adjungirten Transfonnationen einer bilinearen Form in sich selbst.
Von A. Vowi in WQrtburg.
B Transf
■ tn meiner Arbeit Über die cogredieuteu Trans form niioncn
einer biiiriearen Torrn in sich selbstV) habe icli den Satz, be-
I wiegen, dasä jede nicht singulare (eigentliche) Trans forniati an dieser Art, welche eine Form S von nicht verschwindender Determinante^) in sich überftibrt, mit Hdife den Syätems linearer Gleichungen
I) 5r+5'r=o
I bestimmt werden kann, nnd dass die Anzahl der willkarlichen Parameter, welche in den Üoefficicnten der Transformation auf- treten, gleich der der linear unabhängigen Losungen dieses ISystemä ist. Setzt man in 1) so folgt daraus and das System I'j ist dem System I) völlig äquivalent.
') Uobor die cogredienteD Trunsformationen einer bilinearen Forni tn rieh selbst, Abb. d. k. b&yer. Ak. a. Wisa. II. CI.. Bd. XXV[[, desf^l. äitxgab. J. k. bayer. Ak., Gl. II, Bd. XXVI, Heft 1. 1896.
^) tlnifT .S' aoU im Folf^enileii immer eine Konn von ilii'XM.r Rigen- flqbaft reratiunilcii worden. FQr deii blosD-^n /n-crk <ler TraiiHfurmiLtion ist allerdings, wie ich schon a. a. 0. S. 78 bemerkt hrtbe, diMe Vomns- vetstmg nicht erforderlich, wohl aber fUr die hier vorliegenden Dnirr uiohaugen.
212 SitMung der iiia<A.-jAys. Claaae mm 2. Mai 1896.
Den coKrodienten Transformationen {7, d.h. denjenigen, welche bewirken, dass die symbolische Gleichung
irsu=s
erfQlIt ist, kann man eine andere Klasse von Transformationen :eti(>riln«ii, wtitchij ich adjangirtß nennen will. Unter einer adjun^irten Trunufurmalii^n verstehe ich denjenigen Suj^fititutiupspruceiitf, waluher durch die Gleiehang
außgßd rückt ist. Die atijaugirten Transformationen sind da- her di<! Li-i^ungen des Syateitiic Linearer Gleichungen
11') SU-Ü'S= 0
oder^ wenn U^ YS gesetzt wird,
II) Ä'r^5r = o,
d«0«n nah« H<t%itrUiing zu I) unverkennbar ist. Dass es in der That Substitutionen» welche die Gleichung ll*) bt?fri(i(liy(jn, giwbt, d. b. Formen CT, deren Determinante nicht TCTBchwinilet» ist leicht einzusehen. Hat nämlich die Glei- chung II) im Oftnaen q linear iinabhiinjpge Losungen
y, r. . , . . r,,
(unter diraen befindet sich die evidente Liisung
Y, = S-\
so dass q mindestens gleich 1 ist), so hat .sie auch ebenso viel von einander unabhängige Li'isungen, deren De- terminante nicht verschwindet. Denn .^etzt mim
so kann man immer dem Parameter q. einen solchen Werth geben, dass die Determinante
nicht verschwindet. Und zwischen den /f kann keine lineare Relation
A. Voits: Zahl der Transformationen einer Bilinearfonn in sidt. 213
T
J'^.a. — O bestehen, du sonst
verschwinden mflsste, was wegen der voransgesetzteii Unab- hünf^igUeit der y nur möglich wäre, wenn alle a vorschwin- den, da man Q^ immer aU von I verschieden annehmen kann.
Eine symmetrische (alternirende) Form S wird z. B. durch alle Formen U^MS^ wo M eine fijtumetrische (alternirende) willkürliche Form i^t, adjnn^irt in sich transformirt, und es existiron auch ausser den angegebenen Formen U kuine andern. Denn setzt man U^MS^ so folgt unter der Voraussetzung
cS,
±1
aus der Oleiohung II')
SMS^aSM'S, oder M = a JlT,
also ist M entweder symmetriacb oder alterairend.
Die Anzahl der Parameter in den Ooefficienten der Trans- formationen, welche die Form S adjiiiijjlrfc in nich IrmiKfuiiiiren, ist gleich der der linear unabbüiigigen Lösungen der Glei- chungen II) oder ir). Die beiden Gleichungen I) und II) sind von der Art, dass sie n* Gleichungen ffir jene «' Ooefficienten liefern, also dnrch bosondore Kigenechaften ihrer Unterdetenni- nantemiyäteme auszeichnet. —
Im Folgenden soll nun die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen des Gleichnngssyatems I (I') beständig mit P, die ent- sprechende Zahl für die Gleichungen II (11') mit Q l}Ozeichnet werden. Die Aufgabe, die.<?e beiden Zahlen in allen Fällen zu bestimmen, ächeiut ohne apedelle Untersuchungen Ober den Charakter der Form 5, wie z. H. Heduktion der zu S gehörigen Formenechaar (S' -1- ß Ä^ auf ein System elementarer Formen etc. nicht niQglich zu sein; eine directe Untersuchung der Unter-
~ I I dUnmg der mathr^yt. C7<inc vom 'J. Mtt
deU'miinunicnsystcme von 1) und II) iitt mir wontgstena Iroti vielfältiger Versuche iiiolit gelungen.
Aber es giebt einen ausger.eichnet«n Fall , in dem die Wertbe tod P und Q nnniiKelbar un|;egeben wcrd(*a künncn Wenn nfinilich die zu den Wurzeln ? = il der ch»r»k-
terisliflchen Function*}
\S-\-fiS'
gcliurigen Klententartheiler snmmtHcb einfach 8ind,i wührend Ober die Bei4chaf!onheit der Ubrigeu Wnrzviu nie vorausgesetzt zu werden braucht, i«t
P'-Q=r-fi,
wo n{y) die Anzahl der Wurzeln — 1 (4- 1) der charakterisrhe Kiinction, iV die ^Mih! der mit der antisymmetrischen For (S')"'S vertausch baren Formen bezeichnet.
Auf diesen Fall, in dem es also gelingt, die Untersucbnni der Determinante von n* Reihen auf die der charakteristiscbe Fimctinn /urndfÄufliliren, wozu nur rationale Operationen nütliij sind, beziehen sich die folgetiden Unteräucliungen ; nur im letzter Paragraph Bnden sich einige weitergebende Betrachtung Ohanikteriätisch ist aber für den (iang der Untersuchanfi die Art und Weise, wie die vorliegende Frage in Za-^ sammonbang mit der Aufgabe gebracht wird, die An- zahl der symraetrisoben und alternirenden Formen zu^ finden, welche einer gewissen aus 1) abgoleitAteu Gleichung genOgen, die in dem obigen Falle liier zugleich ihre Erledigung findet.
'i l'io Dot'.'iiiiiiiftmo emw Form C*"™ ia^iX^y^ «oU ilui-oh
odrr I U I
' a
ihi
herWohnet werden ; nntiT demselben Symbol hwtn man dann auch jodd Partialdetenninantc /<^ Onlaong versieben, wenn den Indioei hitft vitti| oinaniler ««reclüedene Werthv «rkbelll waideo.
A. Vba»: JTaV ttfT TrnmtformrttütneH einer Bitinearfbrut tu tfuJi. 215
Ein ttligcinciner Satz über die cogreilionteii und ud- jungirtcn TrAiisforuifttiouen einer Form in sich selbst
Unter VorauKsetxiing der Gleichung
1) 5XH-X'S=0
folgt duroll LTebeigang zu den conjugirten Formen: X'5'-f fi-'X — O oder X'« — 5'X(&'')-^
Setzt man diesen Werth in l) ein, so ergiebt Hich
2) {S')~^ SX — X(S')-' 5=1) oder
2a) S-'S'X— XS-'.S'' = 0.
Jede Form X, die der Gleichung 1) genügt, ist also mit der Antisymmetrischon Form
{Sy^S oder .?-'«' rertnuschbar.
Aus der Gleichung 2 a) folgt noch
8) X' S(S')-' - S(SY^ X' = 0.
daas jedes X' die Gleichung ä) befriedigen mnsa. Aber aus der Uleichung 2a), die man auch iu die Gestiilt
5-' 8' S'' {SXS-^) - XÄ-» S' S-' = 0 »der
(5XS->) S(S')-' - S(S')-' (SXS-^) = 0
bringen kann, folgt ferner:
Ifit X eine Lßgung der Gleichung 2), so ist SXS~^ eine Lönung der Gleichung 3).
Ich bezeichne nun mit N die Anrjihl der linear uniilr- iitingigen Formen, welche der Gleichung 2) genügen. Sind femer
X,, X| . . . Xjf
(lieztti Furmen seit»!, so ist
dii' iil)f^*mt*in4tir itiPMcr (itvichunff ^nQg«nde Kunti, iitlU mit n nillkarltche l'arnmetor hozcichnti. Em bandelL sich da jetzt um die Bestimmung derjenigen Werthe der er, dcirclj xngleioh diu Glrichtin^ 1) h«*frii'digt wird. Trii^t mau ku Zwecke den Werth von X in 1) ein, m «rgiebt sich
4) -Tü^-VX^S-» + Sa^X^ = i)
Nun sind alicr Äufoljfe der Unabhänpigkr-it der X^^ einander uuch die X^ onter einnnder imalibängig. |>en vA nach dam vorhin angeführten Satze
4a) SX,S'' = Eß,,X\
90 dass ans 4) folgt:
5) Xa^ß^,^-tt,=^0,
Die Cnefficienten /f^, «her lassen sich naher definrwBT gehören einer Form
vun A bitiuearen Variabcln an, deren Qtmdrat gleit der Form
iat In der Tbat folgt aus 4 a) durch üebergoug tu den jugirten Formen
{s'r^x:s'^£fi,,x.
A, Vc»»: ZnM iJtf Tfamfnrmationtn eintr Büinenrforot in «cft. 2l7
Hi<>rauB aber crKiebt sich wcßen der Uiiubhiingi^keil der formen X das Svsiem von Identitäten
6)
^yui'^t. = ^.
fAllii unter «9,^ diu KroneckerVhe Zeichen d,.= l, /-*
vorstanden wird. Die Coefficienten ß^^ bilden aIso ein Synteni, deasen eharakteristiscbe Function
nur die einfachen Klementarthailer ^ = J^ 1 hat.*) Ist nun p 1= -f- 1 eine P fache Wur?*! der Gleirbong
fto fi^ebt es auch genau P linear nnabhängigo Grössenreiben
a} oj, . . . af,
Z=l, . . . iV,
nnd ob^nsn groAs ist daher die An7,abl t\^T linear von einander unabhängigen Formen
X^ = 2XX,, e=\ . . . P,
welche die Üleicbung 1) befriedigen.
Eine ganz analoge Untersuchung liiuäi sieb über in Bexug auf die <iIfi.hnnLr 1') SX — X'S^O
fnhreii. Denn intch diese ergiebt zur Uestiminnng von X yunüchst wieder die notbwendtge Gleichung 2). Und »etzt nisn ans den Löeiingen X^^ jet/.t die UJ<iung ron l')
xiisaninien, m fulgl /tir Btistirnmung der Coefficienten y das Syatem
^) Dinnr Satx ftnilnt «ich beroiU in uieiner froheren ArtuHt k. a. 0. 8. 101. aber unter VomtiaMtittiiff «ioor onnMlugeD Botchrankiin^*.
M8
fltowy Ur mwOk, |ifi.
mh'Mm 4eiB «—JT— P-fftehen Wanelfaetor (r+9 ^r eharftkteriitisehen Fonetion entopreebead eia 8j»l«w ▼on H liaear nnabhSngigen Formen, veleli« der Glai- elrnng 7) genttgen.
Nim Inan man ftttlicli die dbamtUdun FwÜ , mit {«iner ge|^ebcne}i Form Tatrawhbw fliad, wie idi ia in rjii«n«t) Sitxun^herifihten endneneneii Note') geaeigt verhältniMmiMif^ einfach bertimmen. Aber die ftmiUahag dv (^efticient^n ß^^ und damit der Zehlen P, Q eebeint aof Sdwi»- rifrkmtii» /.u fuhren. Aui dem V orBtehenden eigicbtadi daher fonielMfc nur der Sefa:
Die Summe der Ansahlen der Parametar, dorafc die eine Form von niebt Tersohwindender Daiaraii- nante 8 eogredient und adjungirt in sieb tranaformirt werden kann, iit gleieb der Zahl 'S derjenigen For- men, welehe mii der antisjmmetrxseben Form 8^^^ Tertanechbar sind.
Han kann diesem Seise uch die folgende Form geben: Die aämnitlichen N linear nnahbSngigen Formen X, welche der Gleichung 2) genfigen, lassen sich in zwei Klassen von P und Q Formen theilen, von denen die eine die Lösungen der Gleichung 1), die andere die der Gleichung 1') darstellt.
Die Determinante
I> =
ri
y's
') Uelier die mit einer liilinearen Form vertauschbaren Formen, Sitzgaber. d. k. bayer. Ak. d. Wisa., 1889. Vgl. auch die folgende Note Ober symmetriKhe und altemirende Lösungen derCUeichung^X— XS"— (t
A. Voss: Zahl der TVamtformaHonen einer BUinearform m fich. 210
kftiiu iiUiiilich niclit verschwinden. WKr« <liw der Küli, so ^Übu .« P Znhlen A? und Q Zahlen Jt", für die
£ A^ oj + L Ä* yj = 0
e==l . . . /\ ff^l, . . ^
'Ist, für ttll«.' Wertho von k vnu 1 bis A^ Dann i^t übur auch xtifolge der Gloichnngen ^) wnd 7)
mithin, wenn man die vorstehenden Oloicliungun niii den A^, k" lunltiptiotrt und addirt,
vAeof-2"fr*'y;' = ü, WH» mit; der vorhin aufgeütelUen Gleichung unverträglich ist, dn nlsdnnn die aj schnn unter pich von einander linear ab- hängig wUren. Mithin sind jene P -j- Q Können von einander unabhängig.
8 n.
Qtfber alternirende und symmetrisclie Formen.
Die Qleichung 2} des § T ist von einer ganz eigenthtitu- lichcn Gestalt. Es iät daher zu verrauthen, das» auch ihre Lösungen durch besondere Eigenschaften ausgezeichnet sind.
Setzt man
so sind, da die DetAritiiuante von S nicht Null ist, die Formen Z^ ebenso top einander unabhiingig, wie die Formen X^, sie gonflgen aber der durch ihre ausgezeichnete Form be- merkenswertbeu Gleichung*):
') Sie hat die für diu b'olgentle weauniHohr Gifjentjchnft, (Jiiss ont- «precbend dor Oleicbnng
xpsvv^z(V)'^ CS' V'^ trs^w'^zivr^ vsü.
_bei jeder oogrodicntött Tran^fortuntioii von 8 nurh diu LA* liungen Z cugredieDt trautforuiirt wurden, was bei UleichanK 3) 1 nicht der Full ül.
220
der math.'jiftffti, (^OAfC
9. XM ieo€.
Und da atu 1) zagleich fol«!
•0 hui man iU*n I^aIs:
Die Gleichung 1) wird dnrcb alternir^ndp ai<l ayrametriBofae Formen Z befriediget, nftmlich durch die
Kormeti
:s,±zi. fr-i - - - . iv,
welche den Formen X^ zugeordnet sind.
Die symnietrischen Foriutfu jC^ 4~ ^« tollon im t*ol|i mit dem Symbol 6*^, die atternireuden Fornieu JS^ — ^^ mit bezeichnet werden. Die jS^ sind im all^'enieineii nicht run ander unubbnngig. Best«hun ubor /> lineiir unabb&ttgigi* ^l tioneo zwiKcheu den S^^ ist also
so ist
P.
Es sind also Ton den ^ Kormen S^ N — p TOa einander linear unabhängig. Und zugleich existiren dann genau p alter- nireude Formen
welche von einander utiubhängig »itid. Denn eine lineare Ke- lalion kannte 9;wischen den A^ nur dann stattfinden, wenn die Coefficienten a^^ wenigt»r iil» p unabhängige Systt-nie darstellten, — gegen die VoratiBsetznng. Man hat also den folgenden Satx, welchef die Krgän/.iing 'lu dem um Kode doü § I aUAge&prochänon Theorem bildet:
Die Gesamnitzahl der unabhängigen alternirendcn und symmetrischen Formen, welche die Gleichung 1) befriedigen, ist gleich A\ oder auch:
Es existirt immer ein vollständiges LÖKUngssysfeem der Gleichung 1), welches aus Unter altern irendea und dymmetrischen Formen zusamniengeieizt isL
A. V(m: Zaid der Tfünjsfonnatvmen einer Häiimarform in »ich, 221
In der Thnt, bezeichnet tniui die ü^yuimetriikoben von ein- Ander uiiabhäuf^gen Kormen durch
SiSf . . . Sji^^, die alteruirenden mit
kuuu mich zwischen dieaon keine linenre Itelation beatehen. Vfnre nüruUch
m wäre durch den üebergauii; 7.u den coujugirten Fomieii auch
d. h. es wären schon die S^iA,^ unter siob nicht linear un- ftbhSnf^ig.
Die Aufgabe, diese alternirenden und symmetri- «ehen Formen direcfc kg hestiinmen, führt nno auf eine Haur. ähnliche Untersuchung, wie die des §1.
Bezeichnet man wie oben die üiitninLlicheu von einander iiniibhüngigen Li'eungen Ton 1) durcli ^^, £ = 1, . . . iV, so iat
die altgeiueinate Luhnng. Süll Z b-ymnieiriM.-h oder alt-emirend ^n, so miiss
«Her
sein. Nun genilgt aber, wie leicht zu :»eheu, die Form
denelben Gleichung 3) § 1, wie X\ es ist aUo
and sotnit folgt xur Bcrttiminutig der CoeCficienten a dos System der Gleichungen
oder
Und da ferner ' !
ist, ao «rgiebt sich
so dass die Coefficienten y^^ wieder ein Syst^Ut'liSld'As, dessen charakteristische Fanction nur einfache Ble- ttentartheiler top der Form 9±1 besitak
Ich f&hre noch einige SStze an, die einra weiterisa Z«- sammenhang zwischen den Coeffici«iten ß^^^ y^^ begritodea. ' '■ Ans der Gleiohnng
sx.(s')-'=.jry.,x;
fidgt noch § I, 4a)
(S')-SX. = ^y„/S,.X..
Setzt man nun fQr einen Äugenblick
so dass die griechischen Indices die Werthe von 1 bis n, die lateinischen die Werthe von 1 bis N durchlaufen, so liefert die letzte Gleichung durch Coefficienten - Vergleichung die n N Relationen
Die charakteristische Function
habe nnn eine Wurzel ^ = q^. Dann gibt es mindestens ein System von Grössen j?, welches die Gleichung
Ä. Vott: Z*M der TVttntformaiionen einer Büinearfomn in sich, 223 eiftUlt, mithin wird
^ ^Hfi ^i ft = — ?i -^' A, 5ii oder, wenn man
^ßM.
•?:
-^xM*^= -Pi'ii-
Das heiäst: Jede Wurzel der charakteristischen FunttioB .y^" Grades
ist auch eine Wurxel der charakteriätischcn Function n**" Grades
|S4-e&"|.
Der i^ittz gilt aher auch umgekehrt. Denn bexeichnet iimn mit o^ eine Wurzel der letzteren, bo ist
oder
wie zu zeigen war. Die beiden charakteristischen Fooc- tionen haben daher nur durch die Grade der Vielfach- beit verschiedene Wurzeln.
In dem besuDderen Falle, wo die Wurzeln der charakte- ristischen Function ' S -^ q S' \ sämnittich von einander ver- schieden sind, ist JV^ti und man hat den Satz:
Sind die Wurzetu der charakteristischen Function |i9-|-(5'| alle von einander ver^ichieden« so ist die charakteristisch« Function i^», + ?}'|, I 'on derselben nur um eineu Constanten Factor verschieden.
224 BÜamtff der math.-fh9$. Otofn vom 8. M» 1896.
Dieser specielle Satz Iftsst sich ttbrigens leicht direct hef^ leiten. Wenn nämlich | iST + '^ 9 1 lauter einfache Wurzeln hat, nnd etvro
|isr-»s + ^l = i-j.fl^ß+ . . . on^ifT-'-hr
gesebtt wird, so sind die n ersten Potenzen
der Form Ü^(8'y^S von einander unabhängig; sie bilden das vollständige LOsangssystem der Gleichung StXf^XQ, und ingleicb ist^)
Sr-a^iir-'-\- . . . -|-(_l)-»a,ß + (-l)*fl"-0.
Die mit a^^ bezeichneten Grössen, welche den Gleichungen
i/ = 2'Oj,i2'-\ fc=.l, 2 . . . 11 «=1, 2 . . . « genügen mOssen, erhalten wegen der Unabhängigkeit der For- men Si sofort die folgenden Werthe :
ff„ = o„ = o„= . . . «,_],.= 1.
. . . <'„„_i =(— 1)^ «„_2, a„„=«„-i;
alle übrigen a^^ sind gleich Null. Und man erliitlt hieraus die Gleichung
womit die Ueberein Stimmung der beiden Functionen n^" Grades direct dargethan ist.
Während diu vorhergehenden Betraclittingen die Bestim- mung der Ton einander unabhängigen Lüsungen der Gleichung
2) SX + aX' S^O, « = ±1
von der Ermittelung des Systems der Coet'ficicnten ß^^^ abhängig
machen, kann man auf einem anderen Wege sämmtliclie
*) Vgl. Frolx'iiiii K, Ut;ber hiivuru äubi^titutioiifii und bilinean> Koniion. .I»iiniiit fdr MiithL'iniitik, \M. BL ri. 12.
A. Vom: XaM der Tranitflirmationen eiyur BÜintarfbriH in nick. 225
Lösuufj^eD explicite darsielleu. Isfc X eine Losung Kon 2} und aei?.i man nach g I)
A' = ra.X^. k^\ . . . . N
oder nach § I, h)
= il V a, Xj — ( l — Ä) -i' (S' )- ' a^ X; S' 80 wird fttr X^ = if^5' nach 1)
Man kann uUo jede LOsung von 2) in die Form
8vl»!n. Umgekehrt aber ist jeder Ausdruck von der Form 3) eine Lösung der Oleichung 2), sobald 2 eine Lösung von 1) ist, und die Gleicbung 3} stellt alle Lösungen von 2) vor, wenn an Stelle von.? ein System von unabbÄngigen Lösungen von l) gesetzt wird, so- bald man
p -^ aq = 0, q-\- ap = 0
setzt, welche beiden Gleichuiigeu wegen m^-^1 miteinander verträglich sind.
Wählt man insbesondere hierzu das aus den symmetrischen und alternirenden Formen
best«bende Sy«tero und setKt man x. B. a ss -[- l
erholt man als Lösungen der Gleichung S X -\- X'8^0
4) X,«S.(5-^}
X,^A,{S-\-S').
Diese iST Formen sind aber nicht von einander unabhängig und M ist auch nicht schwer, die xwiscben ihnen bestehenden
metriachea Lösungen der GleichuDg l), ao isl und zugleich, wenn , S -|- 5* | :t^0, lägegea, wenn jS' — 5|:t:0,
§ia
HOlfssKtse.
'jr riv'i*5*i -■ * -«'^
, '*^. -.«
"■j -
Enthalten die Coeffidenten einer Form T m FusaMtar' i| . . . JUi >o heiasen dieselben wesentlich, warn wwi>4nt^ Wahl der X m von diesen Goefficienten willkflrlich Torge- schriebene Wertbe eribeilen kann, d. b. wenn es m Coefi- cienten giebt, die binsicbtlicb dieser Parameter von einander unabhängige Functionen sind.
Wird eine Form einer von diesen Parametern unabhängigen linearen Transformation unterworfen, so bleibt die Zahl m
1} Es sei Doch der hierher gehörige Satz erwähnt: Int S eine aym- metrische Lösung der Gleichung
und verschwindet i S' -J- S | nicht, 80 ist
eine altemirende Lösung derselben Gleichung; und ebenso inius, wenn
eine symmetrische Lösung sein, wenn // eine alternc ist. Wenn also beide Determinanten nicht Null sind, gehört zu jeder Lösung der änea Art eine der anderen, d. h. es ist p = q.
A, Vdiwr Znht rfer Tranjßfhrmntfmen einer Jiüineiirform in »dt, 229
UDReftnderfc. Bildet man aus mehreren Fortnen T^ , , . T^ darch Addition und MuUiplitation iinW uinandür oder riiil anderen Knrnien neue Forineu, so lüaat sich im allgeuieiucu nur be- haupten, dass die Zahl der wesentlichen Ptirameter in der Ke- äultante nicht grösser ist, aL^ die (jesantnitTabt der in den Componenten vorkommenden.
Sind insbesondere die Cuefticieuten lineare (allgemeiner rationale) Functionen der I'aranieter, so kann man sie ohne lieschränknng aU homogene Functionen derselben voraus- setxen. lüine Form T mit m wesentlichen linearen Purametem iüt also von der Gestalt
und die linearen Formen T, sind alsdann von einander unab- häni;!};, d. b. en besteht keine lineare Relation mit Constanten Cuefficienteu
xwist:hen denselben ; umgekehrt enthält ein ttoU'he>t Af^gregat T von m linear unubbänj^igen Foroien T^ auch m wesentliche Parameter.
Addirt man zn einer Form T» (1) mit m wesentlichen Para- metern eine zweite £/, welche neben den Parametern l noch n Parameter fi enthält,
wobei die U^ keiner Voraussetzung unterworfen Rind, bo ent- hält die Form U -\- T genau m -}- u wcseutliche Parameter, Hobuld die Formen
ü,-\-T^ «nd F, i >=« 1 , 2 . . . m ; ft = 1 , 2 . . «
von einander unabhängig sind. Denn liesHo sich {/-(- 7 in ein Aggregat i, o», -f~ • - ■ ^,*'\ verwandeln, in dem die v^ , . . v^ linear vun einander uimbhHngige Functionen der JL, /i sind, und wäre m-f-fi>«, so könnte man CT-j-T dadm'ch zum Ver- schwinden bringen, daaa man s der Qruäeteu 1,^4 durch die
330 SUsnnff der mMh^pht/n. ÜJiwre vom 2. M^ii iS9C.
übrigen m -{- n — 8 ausdruckt, Jies ist aber niclit mligUcli, rla ja alle l^ft verechwinden nitiiwen, wenn U -\- T Terwckiwindt*.
Dicker sehr eelhstversülnd liehe Satz konimt im Fütgetideb in der besonderen Karm mr AnweoiJung:
Ist A eine aUerniTende (sjmraetrifiche) Form, deren CoefficienteD m wesentlJiilie Parameter A^ eaLbulteü,
und «beQ«o S eina eymtuetriBchfl (alternirend?) Farm, derftn Coefficienten neben jenen Parametern t nocb n andere Parameter t* entJialtep,
wülfci die S^ von einander unabbaD^ig« aymraetriscbo (aUernin^nde) Foruten sintl, ho enthalt die Form
X^pA-hqS
g«nuu »I + n wesentliche Parameter.
Df^nn die Voraussptzungen äea obigen Satzes tdnd hier er- fnltt. Wären nämlich {es möge nur der Ffill b^tnicbtet werden^ wo die A altern, die .6' syanaetnäch aiud)
A,-hS^. Sl
Ton einander abhängig, also
2:a^(A, + S,)-\-^ß,Sl = 0
so hätte man auch durch TJebergang zu den conjugirten Formen
hieraus folgt aber durch Subtraction, dass alle a verscbwinden müssten, und demnach auch das Verschwinden aller ß^.
Man kann dabei noch folgendes bemerken, fis sei
wobei die ot^ . . . ta^ linear unabhängige Functionen der iL, /i sind. Die Formen {7 bestehen aus^ symmetrischen, CTj , . , ü" , 2 — p
r««i7
der Tran
IS^iHfr Baiwarform in eich 231
altemirenden Ut^i . . . f/,, eniJlich v — l Kormen, die von keiner hoiJ^n Arten eind. Dann ist
Ä = l . . . ;) ; ü* = ;» -f 1 . . . /; s' «= J -f ^ • • • *"•
Nun foIy:t aus w^, = fl, w^, ^ 0 Has Verschwinden von il, «Iso »Her X. Es ist daher v — f) = fN, oder da v^sm-^n^ H = j>. Die Zahl der in X auftretenden symmelriachen Formen ist also unrurilndürlich, auf welche Art auuh X in dio angegebene Form f^ebracht werden muf^.
Ich Bchliesse hieran einige Satze über die Tranüfurnmtion altt'rnirender nnd symmetri.scJier Formen.
Fl* ^ei IVeine Form, in der der höchste Grad nicht sämmt- Lieh verschwindender UnterJctorminanten gleich » — fi sei, oder in der die 0, !,,,/< — 1**" Unterdeterminanten noch üänmit- lich verschwinden, während miudeätena eine ft^ ünterdetermi- nant« nicht Null Ui. IWeichnet mau nun mit E^ und £", die Formen
so können bekanntlich stets rwoi Formen U, V nicht ver- schwindender Determinante angegeben werden, so dosa
l*it. Allgemein m<^ge vorausgesetzt werden, dam
*) Bftxeichnct mao di« Coeffioionten von W durch a^^, mit o* * : e, o — 1, . . . »* — /* ein Sjitcm dicHer Coefficiynten detarn Detvrminante nicht Null iat. so UsBt sich immer bo- wirken, davi
wird. Einu lulehe Tninifbrmutiön Hndel mui auf fnlgendem Wef|«w Man kaon die ttloicbuuj^n
1) r,..,/,-o.
2) ^^»:»=o
5ttnnv
"n 9i Mfnf MM^
Üi, wo die Determinante roo E^P E^ geUtIdei in Ken; lij
ilie wirklich vorkoiitmt^ndeD n — /i VariiibeliipiMfcre nicht Null it-j
Aas dicaor Gleichuni^ folgt nun
vwv^B^PE^r-' ir.
Iit W ein« nitemirende oder £yni metrische Form, iokj die rechte Seite — sie »ei durch Q hezeicbnefc — Ton «icnuel^ j GhMrukter. Aus den Gleichungen
folgt aber
oder
UWÜ'^E^QE^.
Und die Determinante \onE^SlE^ kann nicht veracbwindeJ Denn die Form
bat eine nicht verschwindoiido Deterroinante; aDderer^tiita ist aber
\M\^\r'^\\ü'\\E,nE,\.
Auf demselben Wege erhält man Rlr
ru-'E^PE^ = a,
rwr^E^n^E^,
auch
(fotlurch befriedigen . du» inftn die e den Gleirbiin^fen I) fllr X:^}-
n = 1, . . . » — fi umi die C den Qleidiuiifieii 2.1 ftlr '" — •«■ e •* 1 . . . m «
nnterwirfl. Dieeo Gleichungen liefern dum die r^ , ftiugetlrdckt ilt die willkürtich bleiticnden übrigen f, and olieniio div Ct-t aQ*^<Irücli durcb die willkürlich bleibenden Übrigen C> äetirt man uun
80 wird
uml man kHnn hIho, indem miin diejunigen f, *} glcieli Null »cUt. ilurt'nJ Indii'cft bMÜglii'b nicht drn Reihen i| . , . »i,.^; Jki . . . it'^_;i nnffchfin«, j erreiehen, dati
wint.
A. Vota: Za
MT
Afanatitimnen einer BUinenrfortii in nich. SHH
HaD hat also zwei cogreilienfce Transformationen, welche die symmelrir^cliü oder altornirende Form H^ia (*ine symmütrisohe oder nltcrnireude Form von nicht verschwindender Determinante ßberfUhrcn, snbuld UWV=E^PE^ ist. Diaae beiden Transformationen fallen nur dann ztummmenf wenn V^^ ü' ist, d. li. wenn schon die Toranaf(esetzte Trauaformation eine cogredionte iät.
Dieser Satz kann in folgender Weise umgekehrt werden. 'Sind Ut V zwei Transforniatiouen, welclie die Form W cogre- dieol in Formen transforuiiren , welche nur die in E^ vor- kommenden Variabeln enthalten, also
V WV^E.n^E^
so ist
also pyiebt es auch xwei Substltutiunen f7, F", welche die Form W in den analog gebauten Ausdruck E^PE^ verwandeln.
Bine allgemeine Form W kann nur unter ganz besonderen Bedingungen cogredient in die Form E^ P E^ transformirt werden. Aus der Gleichung
Ü*WÜ^E^PF^
folgt numlich
aläo auch
ir(W-\-^W')Ü^F^{P-^llP')E^.
Damit abK> W cogredient in eine nur die Variabein von E^ enthaltende Form trau^iformiri werden könne, mwts die Deteraitnante
iir-f e W|
mit allen fi — 1*^ l^ntcrdetonniniintcn filr jedes q verschwinden. Und ist umgekehrt durch zwei von ^ unabhängige Sub- fcitutionen Ü", F" die Seh aar W -^-^YT ^ in eine Seh aar
234 Sitzung der matK-phys. Classe vom 2. Mai 1896.
P •\- Q Q transformirbar, welche nur die Variabeln der 1^'orm £*! enthält, also
80 folgt
also auch
uwu' = E^PE^ r-» ü'
UWü' = E^QE^V-' ü'
VWU'^U{V')-^E^Q: E^,
d. h. es ist U und ebenso V eine cogrediente Trans- formation, welche die Form W in eine nur die Varia- bein der Form E^ enthaltende Form transformirt.
Im Folgenden wird es sich häufig um die alternirenden oder symmetrischen Lösungen X einer Gleichung von der Form
^ X = 0
handeln. In dieser Beziehung sei also W eine Form, für die
U'WU^E^FE^ sei. Die Losungen der Gleichung
irA' = o
sind zugleich die von
Die Form U~^ \{l' )~^ nni.s.s ulso der einzigen Bedingung genügen, dass
i-; r-' A'(r'j-^ = 0
ist, da K^ V K^ j al.s von Null verschifdcii voraiis^gesetzt wird. Süll nun A aUern odi-r MtiiiTK'trisch sein, so fril;^t aus die-<t'r Bedingung, da-;?- auch
r-' A'(r'V' /■; = <»
i^t, also
eine alterne oder symnietrisclie Form ist, \vel(;he nur die in E^ vdrkoniniendi'n Variabeln LMithult. Man liat also den folgenden Satz:
A, Vont: Zitfä der 7)ratuformntionm einer BÜinearfornt m Weh. 235
Ist W oino aUcrniren<]o (oder -«yramotrische) Porin, deren ^i — I"* UnLerdelermiuuuten uoch HUmiuilicb ver- schwinden, so giebt es nur
/'(/" + !)
ff^U' --iy]
von oinander linear unabhängigo synimctrische (alicr- utrcude) Formen A', welche der Gleichung
IVA' = 0
Ren (igen. Aus diewn läs»t sich dann natOrtich jede andere Lösung dieser Gleichung zusammensetzen.
5 IV.
liestimniung der Zahlen p, q; P, Q. Erster Kall.
Im Folgenden soll eine synimotrische rorni beständig durch Jf, eine aliernirende durch A bezeichnet werden. Die Gleichung I des § I
Ifiasb sieh, wenn I" -|- y^l\ )"— 1*— ^4 gesetzt wird, in der Gestalt
1) (S' + 5)2--l-C5' — 5)^ = 0
schreiben. Es sei nun zunächst liV' + '^l nicht gleich Null, während etwa noch die ft -!••■ Ünterdetcrniinanten von 15'-S| KÜninitllrh vifrsohwiudeu. Alsdann gehi»rt zu jeder Losung dtr au8 1) folgenden Gleichung (vgl. g 11, S. 227)
2) {S' ~S)Ä (S' + S) — {S' -\-S)A(S'-S)^0
eine volUtüudig bestimmte Form ^ vermiVge der Gleichung I); den p Formen
entsprechen also zunächst aucli ebenso viele Formen 2*. Dies« Irt y.( »■reu •.iinl iiltpr n j.-li l vnn einander unabhängig.
2-S6 SUiung äiv ptntK-phrfM. ClasgA Dom 2. Mni J^SMJ.
Denn unter den Formen Ä befinden sich (vgl. § lU, S. 2:W) g«uau
von einander iinabhiiiigi(;5e, welche die Gleichung
Ijtffriedigen, während Ais (Ibrigen linear unabhängigen A^ tWeset Uldchting nicht geuiigen.
Die der ersten Klasse ton Portnen Ä zuj^eliörigen -2* trind »ämintlich identisch Null zufolge der Oleichung 1), wührcnd zwischen den i"^* welche zu den Qbrigeu A^ gehören» «nmös'licli eine lineare Uelation stattfinden kann. Denn wegen der Idenlitül
würden uUditnn auch die A nioKt von einander oder von den bcrcitä ausi^eschiedenen A mmbbütigig sein. Die Anzahl der «ymnietrinchen Formeu, welche der Cileichnng 2) ge- nfigon, i«t tlüher mindestens gleich der dL*r Foruieo A^, also
3)
q = p
+ X
wo X eine positive ganze Zahl oder Null ist.
Man kann nun eine ganz analoge Untersuchung in Bezug auf die Gleichung
SY-S' Y'c^Ö oder
4) {S + S') ^ + (5' - S) 2"= 0
anstellen. Man erhält dann zu jedem 2", welches der Gleichung
{S + S') 2 iS' — S)- (S' — S) 2"(S' + Ä^) = 0 genfigt, ein bestimmtes A, und hieraus folgt ganz wie vorhin
5) ^ = j_, ("_+!)+ K
WO Y ebenfalls eine positive ganze Zahl oder Null ist.
A. V<m: ZtAi ä^r 'Drantfortuatüinen eintr Bäinearform m «M. »37 Aas den Gleichangeu 3) and 5) und nach § II, B. 228 folgt:
25
(ai + I)
■>r-^^ii^ + x = 2^
2p«=iV^ — /i
-I- y^2P
lat nun n eine gerade Zabl, so kann /(^O sein. In dipsem Falle hat man alm,
Ut dagt!gen n ungerade, und verschwindest nur die De- terminante I S' — S| selbst, so ist X+ 1'= 1. Hieraus ergiebt »ich, da N jetzt nothwendig eine ungenid« Zahl ist,
^ 2 '
0 = ^+^
Kine gan?. ähnliche Untersuchung lässt sich nun in dem Falle anstellen, wo S' — S als von Null ver*cliieden ruraus- gesetzt wird. Verschwinden aUdann noch die r — l*^ üntei^ determinauteu von ,^-f~^'lt ^ tindet man
p = q~-
9=P —
2
x, + r. = .»,
and anniit nacli der zm Fud« des g II gemacht<'n Bemerkung
'(»'4-1)
2 /? « A' - 2? = y-
2
K'-l)
--' + -V.-2^,
-^ + r, = 2 p.')
1) Ich huLo ilü< hier entwickpitfn FanuaUi. iKh an ctefa ottr mne «dtf oiigtüuaur U^-tue ergeben. uichL unlenJrfli'kt, um xu uikcd, wi<* lAJcht der .lUlgffmninn KiUI* «ich bebiiadulB IftHt.
238 SUsunif ilrr math.-phys. Clfisse mm 3. Mni 1890.
Ist also bei geniJem n v gleicL 0 oder 1, so tat JL*t]ü«iil»l
Dorch die vor Ausgehenden FormeEn ist die Zahl der cof^re- dientc0 uud adjungii'teu Transformationen einer Furm in sich selbst in allen den Fällen bestiDimtf wo die beiden Determi- nanten |SH-5'| und [S' + S| nicht gleichzeitig, und keine derselben noch mit nllen ersten UnterdeterminätitBii verschwindet.
FQr den Fall, wo die charakteristische Function |S-|-^iS' nur einfache Wurzelu hat, also N - n ist, haben Chrlstoffel uud Kronecker^) die Zahl P und zuji^leich die esplicite Dar- ütelhing der P Transformationen vermöge der Wurceln jener Fonctiüti gegeben. In meiner oben erwähnten Arbeit habe ich dieae Methode auf den Fall aus^gedehnt, wo Jene Function nur
einfache Klementartheiler besitzt. Da aber hierbej nur 1 - ] Trans-
formatianen ermittelt ßind» bleibt die Aufgabe noch ku er- It^digen, in dem hier besprochenen Falle, und obeüso un 1 1' r Aex) iv e i E e r Ii i n b l- h a n d e 1 1 imi ü 11 g e in lm n e r e n V u' r - aassetzungen alle Transformationen in sich — etwa anter der Voraussetzung, d^s jene Wurzeln bekannt sind — zu bestimmen, auf die ich hier nur hinweisen kann,
§ V.
Fortsetzung.
Die im vorigen § erhaltenen Resultate lassen steh noch erheblich weiter führen, wie jetzt geschehen soll. Hierzn ist ein genaueres Eingehen auf die Gleichungen 1) und 5) des § IV erforderlich.
Ist zunächst wieder \S-^S'~:^0, so kann man, falls S — jS I noch mit allen ft — l**" Unterdeterminanten ver-
') Borchardt'a Journal, Bd. C8, S. 253 und S. 273.
A. VoBa: Zahl der Tmntformationen einer SUinearform in eich. 239
'ficliwindet, durch eine c<»gredienU> Transformation V nach g 111 bewirken, doss dio Gleichung 1) des § IV die Form
1) *-5' + oA = 0
annimmt, in vreichor
wieder eine symmelrläcbe,
ü*{S' — S)U = a
eine aliernirende Form »st, welthe Iptxtere nur von den in der Form E^ vorkommenden n — /< Variabelnpaaren X, 1" abhängt,
und es iht
^. = x, r.-h . .. A;,};
i'\
' A'^l+1 ^^+1+ • ■ - \ ^n
Dabei 'uX bekanntlich n — /4 äne gerade Zalil, denn die Deterruinant-B
wird als von Null rerschieden Toransgesetzt Durch die näm- liche Transfurraation aber tritt an Stelle der Oleichung X) jetzt
2) sA^nS^Q.
Die Symbole A und 2* bedeuteu dabei wieder (sielie die Anmerkung auf ä. 210) alternirende und symmetri&che Formen, welche durch die cogrediente Trunsformation
I den im § IV durch eben dieselben Buchstaben bezeichneten Carmen hervorgehen.
Nun mUBS jedes ^^ welcbei der tileicfaang 1) genOgt, auch Idie Gleichung
i befriedigen, nnd diese iat keine andere als die darch die I nämlichen cogredicntcn Tranüformutioneu tranafor- [mirte Gleichung t) oder la) des § II.
240 Sitzung der matK-phys. Classe vom 2. Mai 1896,
Aas 3) folgt aber
4) I!^s2:E^{E^aE^)^0
5) {E^aE;)E^ZsE^ = 0
6) E^s 2^ E^{E^a E;) — {E^a E^) Et2 s E,=^ 0.
Von diesen Gleichungen sind 4) nnd 5) nnter einander identisch, denn die eine ist die conjugirte der anderen. Aas ihnen folgt, da die Determinante der eingeklammerten Form, wie oben bemerkt, nicht Nall ist, dass in der Form
alle Coefficienten p^^ verschwinden, deren erster Index der Reihe 1 .... ^, deren zweiter der Reihe ft -\~ l ... ■ n angehört
Nan enthalten die Coefficienten von ^ nach Voraussetzung q wilikQrliche Parameter. Damit aber die Gleichung 1) befriedigt sei, müssen die weiteren Bedingungen
7) E.sZE^^O
8) E^aAE^ -\-E^sl^Ei = 0
erfüllt sein. Aus 8) und 9) folgt
}■:, AJ\ = - {K, a E,)-^ {E, s ^ // )
j-:., A ]■:, = - {!■:, a e^)-' (/:, s 2'/;,)
und durch (lio.>e (Uoichungen sind die Cuefficienten der gebuchten alternireiiden Korm A völlig bestimmt, bis auf — ~ — -, in
;■, .1 j:,
iiuflreteiidc, die vollkommen willkürlith bleiben. Dafür aber .-ini.i lue C»H-flicienten von -1' den weiteren Bedingungen 7) zu iiiiler\v.*rten. l>a liiernaeh alle Coefficienten p.^ von s 2", deren lii'liie> der Iteihe 1.2 ... /* entnommen sind, gleich Null sein niü->eii. scheint die An/.ahl der hieraus entspringenden Be- tlingungeu gleich ft* zu sein. Eine genauere Ueberleguug zeigt
Vorn X(M der Tyntuformatioiten einer Hitintarfarm in nick- 2-il
er, dam itiebe Zahl vifl zu )j;rus8 litt. In ^er Tbitt i'r^k'bt «ich nach iler uum 5) fulgeii(ien Uk'icltiing
Ks^K
0
die Kc'Iatiua
/!.', j 2' s ^, = /v', s ^ K^ (il\ Ä £,)
und tlulier fulgt büreiis aus d«m Vench winden der sym^ nu! t ri seit t! II Knrni
tliti Olt^ichitfi)? 7), sobald nur die Deteriiiinaiite vou
E,sE,
nicht vergeh windet. Unter dieser VorausseiKini^ iiiD^jea al die* Ouctticienten der symntetrisclien Korni ^ nur noch
180"
weiteren Bedingungen unterwarfen werden und die Anzahl der in 2' willkQrlicIi bleibenden l^arameter tdt ionach unndestenft ■gleich
Nach dem zu Anfuug de^ g Hl ttufgestellten ll(ilf:«atze ist daher die Anzahl der wetJcnUichen Puruoietor in der Lösung der Gleichung I) des § I
in^
p^q-^
+
+ A%
wii A eiui' iH>.-<itivi: fjaii/.e Zahl o<Ier Null Ut. Geht IUP xweitcn« von der Glcicliung 2) atu, »u erhält man auf genau deiuäellwii Wege die Qleichung
H)
oder wegen der uu*f 10) und II) durch Addition folgenden ' IJleichuiig
nur durch X ^ 0, >'= n hefridligt werden kann,
'UM. M«Ui.pli;a.C). 1 IG
4^ m^k.fk9B. Omam «m Z Mm MC
kä la bertekneUigai Mfc, das • — ^ eis« ireraJc Z«U wini« ii* die Detennmazite der «JtenurendeD Form • vdMl
■gegvB die D«tcrtnio»nie wn S' — S ineki ver-
er die ron S' -f- 6' noeb mit allen r— !*• Uftltr»
1 KoU ist, so kann man die Gleioiiang 1) de* § 1
" VOfWBMixao, in welcher a nur nodi ?o« d«a
Yariahrin al»hiaft nad die Deti iiiifiiMli
all bL Brial imd jcfatk, ton der Glcichii^ 1)
rafi^l
^^rap altemiread« Fnmien A^ welche den Bedin
genOgen. Diese Formen liefern vermöge der Gleichongen
E^XE^ 4- (E^sE^)-^ E^aÄE, = 0 E^2: E^ -^ {E^s E;)-' E^a AEj^O
eine bis anf — ^-^ — - willkörliche, in E^XE^ aoftretende, Pan-
meter bestimmte symmetrische Form Z^ falls die Parameter in A den weiteren Bedingungen
1*) E,aAE,=^0
unterworfen werden. Da aber nach 4)
E^aAaE^ = E^ a A E, (E^ a E^)
ist, so repräsentirt die Gleichung 7') nur
^(^-1) 2
A. VoMs. y.tihi dfT TranAforoMtionen nnet Bitinearform in «öfc. 243
weitor« H**«linj{uiij;en für d'w X, so lauge die Detfirmi- uaute von
nicht verscliwindefc. Man erhrilt dulier
uud elwnsir mit lUiltia Ton 2)
e = ? 2 + 2 '^^■
9, ^ = 7» (vgl. am
t)
iMler X,= K, = 0, und emlliclii W(?geii P- Kodc von § II)
Hiebe! ist iiatQrlich n eine gerade Zahl, da sonst |5'-i^| Null wäre. Aber auch v innss eine gerade Zahl sein, da die Voraussetzung | A', o A', ; t Ö sonst nicht zutrifft.
IJtiiUer die beiden für die Kortii^ln I und 1' beziehungsweise Tiothwendigon Yorautiäet^ungcn
|K,sK, 4:0, \j:^aE^\:rO
möge hier noch folgende Bemerkung hinzugefOgt werden, die «ich auf die invariante Natur dieser Bedingungen bezieht.
Geht eine form F durch die Substitutionen ü", V in eine Form K, P /?, (Iber, wetcbe nur die in E^ vorkom- menden V^ariabeln enthält, und deren Determinante in Bezug auf diese letzteren nicht Terschwindotf und geht gleichzeitig eine Form G> durch dieselbe Substitution in eine Form 31 Über, so ist die Form E^ME^ eine Invariante in dem Sinne, dass die Eigenschaft von 7^, 3fJ?, , mit allen Unterdetermiuiiriteii bix xu denen der k~^ l*^ Ordnung inclusive ZU verschwinden, bei allen Transformationen V^ V der nogegebenen Art erhalten bleibt
Der Beweis dieses Satzes kann auf folgende Art geführt werden.
I6*
244 SitMtmg «kr ■Mlk.'jAy«. CSotH vom 9, Mm XB9e.
Ist nSmlich
12) ÜFY=^E^PE^
13) U0V=^M .
14) U^FV^^E^P^E,
15) t7i<PF, = ifi, •0 folgt aas 12) nnd 14)
EtPiEt=U^ Ü-'E^PE, K-» r,. Hieraus geht hervor, dass die Formen E^U.U'^E^PE^ E^PE^V-'V.E^
Terschwinden, so dass also zufolge der Voraossetcung
die Formen
16) E, ü, U-^ E^
beide verschwinden müäsen. Setzt man nun
u^ mv, = u, u-^ M K-' \\ = i\ r-' E, ME, r-> k,
4- l\ U-^ E, ME^ V'^ V, + l\ r-> E^ ME, K-> V,
so folgt ans der unter 10) gemachten Bemerkung
E, l\ (I> V, E, = E, .V, E, = H, l\ r-> /■;. ( H, MI'\) I\ K-» K, E,
oder, wenn zur Abkürzung
"1 ^'i *■ 1 ^■' -''1 1 --J — '•! ' '^ I ^'l
gesetzt wird, 171 7' M E =i* /■' ME 1*
Ks ist aber nuch l(>) ebenfalU
r, r- = i>, + K, r, v-' /■;, + £, er, u-' e^ y- ■ r, = «.', + A'. K-" K. £; + ^ r-' r. e^
fTriAäur: Xaht iler Transformationen einer Bitimarform in »ich. 245
Da niiD die Deteruiiuantcn linkorband sicher von Null ver-
iiieden sind, sind eä auch die beiden Detcrminauten £i^ und Ü^.
)er nur von den in £^ enthaltenen Variabein abhängige Theil
dtT Korm jV, hat daher, wie 17) zeigt, die Eigenschaft dtirch
die Subfiiitution /i,. 'i, au^ E^ME^ herTorzugchen, wie ku
zeigen »Tar.
Die Formeln 1 (T) beantworten daher die im Kiu- Kango dieser Arbeit gestellte Frage vollständig, so- bald die Determinanten |&"-|-*''|» (I äi' — S\) nicht ver- schwinden, nnd auRserdem eine gewisse In Variante') der Form 8' — 5, (Ä+iSj von Null verschieden ist.
Die obiffen Abiühlung'»n können durch eine directe Rech- nung besüiligt werden. In der&elben sollen die Indices j^j,/' * . * die Werthe /< + 1 . . . . «, di« Indices i, i*, t*, . . . die Werthe 1 , . - /i, endlich die Indices /, m . - die Werthe l . . k dnrch- lanfen^ und jedem ^ Zeichen dasjenige Pj«ili>ra der Indices, in Bexug auf weluhes siimmirt wird, beigefügt werden. Beu^ichnet man forDcr die Coefficienten der Formen
5, a, ^', A
in derwlben Ileihenfolge durch
ff* PI* Ff' r»*
wobei
ist, so treten an Stelle der Oleichnngen 4) nnd n) die folgenden
6») ^ (',/ V ^V/ " °jr "r« V ^ **•
*] Vgl. die Beiiinrkatijr am T.nAv tnn $ VII.
^n ßtltwm$ der mdU-fAy*. Oame tom 3. Mai 1896,
Die Ahxaütt der OMcfaungetL 4a) birirn^ ;i(it — ft), dio Glciobungen ü») vrfalUn tu tt — /< Glcdclitingvii
1
'cntapracfaend dum FulJe j=j and ^(r-'/'X« — >*— 1) wettere
OIw<jlumgen, wenn j ^j. Zd diesen kommen endljcli noch di« Bcdiogungen
7») S%'-r^">-
AUdäiüD geVSrt^ wie o^en bemeirkt, »n jedem System der ff, welches diese Gleichungen befriedigt, ein System von Grossen a ,
in dem -^ ^ (l>f — I) CoefllicieDten ganz willkürlich aogetkoti^men
trctden küunen^ Nun enthalteD die Gleichiiugeti 4ft), Ou) Dur di<yenit^en o, in denen wenigenstens einer der Indices aas der
rt«ihe der j entnommen ist, sie lassen daher die ." — ^ - GrQsara/^ *«' I?*"* wiUkflrUch, m besitKeii also die Gleicliuiigen •!»}, 6a) genau
^ 2
von einander unabhängige Lösungen a.
Die Gleichungen 7 a) bestimmen aber die Grossen a^^, ver- möge der Grössen a. und zwar so, dass erstere von selbst ein System symmetrischer Grössen bilden, so dass keine neuen Bedingungen für die a.^ hinzutreten, sobald voraus- gesetzt wird, dass die aus den s^^. gebildete ^t reihige Determinante, welche oben durch K^sE^\ bezeichnet wurde, nicht verschwindet. Um dies zu zeigen, bringe man die Gleichungen 7 a) in die Form
7 a) x:.,,.a.., + s;s,^a =0,
multiplicire dieselben mit den Unterdeterminanten S^^,., der Determinante
A. Voss: Zahl der Transformationen einer Büinearform in sich. 247 und summire über t. Dann entsteht 18) ÄV,. + Ss,,V^-.- = 0-
Entfernt man hierin die aus der Gleichung 4 a) oder
TT J>' *'i ' y Jf }i
folgenden Werthe der o .^ nämlich
so wird aus 18)
^V = -,^V^i-.^M'
• » . rT ^'3 J3 jt t i ti"
und hieraus fulgt durch einfache Vertauschungen gleichwerthiger Indices, dass
a = ff..,.,.
ist, wie 7,u zeigen war. Damit ist zugleich die Formel 10) hergeleitet, in welcher X = 0 zu setzen ist.
Eine ganz ähnliche Betrachtung lässt sich nun auch an den Gleichungen 4), 6), 7) vornehmen, mit der einzigen Modi- fication, dass die Indices / jetzt von v -\- l . . . n, die Indices ( von 1 . . . v gehen.
Man erhält nünilich an Stelle der Gleichungen 4'), 0') jetzt 4'a) i;a,,a,.==0
O'a) U i't ., ct. .,. s., ., — s. .. a.. , ff, ..) =: 0
und diese Gleicliungen ti'a) repräüentiron nur
Gh'ichuni^cn, da sie inr J =^ j von selbst erfüllt sind. Die Bt'diii^'ungen l'a), O'ii) lassen
r{v — \)
248 Sittunft äff malti.-f^t/i. Clastf «om U, Mni fSüC.
wesentlirhe ParKniet«r für die or lu. Atist den Itedingnngni
7') oder
7a) i;a,^ö,.^ + S«,^.fl^^ = 0
findet man unter der Voraussetzung, daas die mit
beMohnck Determiunnte, dtsren UntcrdetermiDanten A^ seien, Hiebt versciiwindet,
18') A a^^., + L«^^ aj.^ A^.,^ = 0,
während aus den Gleichungen i'&). oder
durch MnHipHcntion mit Ä^^^ und Siiramation nach t' folgt
A a^j, -f.£ fy^- a^^.^,,.,. = 0. SoUt mnn Hio.sen WertL in 18) ein, so folgt
und liierauis durch VurUusehutif? der Indicea, dass die so be- stimmlen GWJssen a ein alternirendew System bilden. Dadurch i«t Kuglc^ioh Af.r iiitWr 1 1 ) ungegebene Werth von Q bestätigt. Kntllich wird man Htch ohne Miihe davon überzeugen, dass bei der Untersuchung der zu den Gleichungen 4), 6), 7) ana- logen aus der Betrachtung von 2) entsteh eiulcn Delationen ganz entsprechende Verhältnisse stattfinden, deren besondere Darlegung hier unterbleiben mag.
§ VI.
Bestimmung der Ziililcii P, Q', p. q.
Zweiter Füll.
Üie vorhergehenden Betrachtun<(en beruhten auf dem
Umstände, dass von vorneherein drei Ilelationen
zwischen den gesuchten Zahlen 7', Q^ p, q vor-
Tba: Zahl der lyamforwalianen ritier Bäinearform {h idch. 219
hnnden ivaren. Ga soll jetxi Angenommen werden, dass für die Form
noch die ft — 1^", fdr
noch die r — !'•■ Volerdetermiiianlen TerschwMid(.'ii. ÄMann lässt sich S -|- S' durch cogrediente Transfornmtion verwandeln in Hie nur von de» « — f* in i?, vorkommenden VarJHbeln jib- han^^e Form s und bei dieser Tran^formittion gebt S — S über in a. Kbi;nso gehl auch 5* — 5 bei einer anderen GOgredienten Transfurmution in die aliomirende. nur von den n — y in Ju^ vorkommenden Variabein abhängende Form a\ gleichÄeitig aber S'+S in s aber. Dabei int S £(-f£',-J?,'-*-i^. Kndlich soll noch vorausgesetzt werden, da«s die beiden Deter- minanten
/?,fli?,
b;*,j5?;I
von Null vertichfeden sind, und gleiches gilt selb-ttveratündlicb von
Ii'h bütraclile nun zuerH die der Gk'ichung 1 dos § i üciuiralente ßleicbung
1) 82--l-ffi4 = 0. Die Gleichung
2) aAs — sAa^t)
hat p Losungen, und /.ii /i, von ihnen geliQrt jedesmal nach der in g V geführten Hechnting eine ganz he«timuit«! Form J^ rer- mi>go der tileichuugeii
7?, s E, K,-r;?, -\-J^aAI':^ = 0
7v, a w< i^ =- 0, falls noch die Bedingung 1} JS:,o^J5:, =0
250
Sittitmf der math.-jihtj«. Cttust vom 9. Mm JttM.
hiii/.u^erügi wird, — bis auf A\t* in h\ S K^ iinflrotenden - T willkürlich bleibenden Coeffieieoton. wobei
Pi^P —
2
ist. Di« Formen A^ welche dk fileicbiing 2) erfnllen, xer ouu in drei Klassen. Die urHte Kloäse besteht uuh (leiljetti| Formen A^ fUr die
Aa^O
ist, d. h. für Können A^ welche — ^-^ — - willkflrlicho Parame
eniimlten. Aber %n diesen Formen A gehören, den Gle chungen 3) xufolgi?, nur Formen ^, dernn Coefiiciont«n, sowe sie ans diesen Gleichungmi bestimmt werden, siänimtlich ver schwinden.
Die zweite Klasse besteht aus den Formen A, fHr di« 5) J /l = 0
ist. Die Bfxlingun^ 2) iM. dann erfilllt; aber dies« A liefer nur dann Formen ^\ wenn imoh H) und 4)
0) a; n il = 0
ist. Nun folgt auH 5) über
A, .4 = 0 und aus /.', n >4 = l\ a L\ A -\- i'\ a l\ A^^ K^a l'\ A zufof der eben gefundenen (^leichung
y?, y4 « 0.
Mithill ist A selbst identisch Kult; die Formen dieaisj Kla.sse sind nnter den Pj (Überhaupt nicht mit eln^ begriffen.
Die Formen X, deren aus den Gleichungen 3) foltcende* Coefficienten aus den A herstammende Parameter enthaltm, gehören daher ausRchliesslich r.u den Formen A der dritten Klasse, fQr die weder
A a noch A s Tersch windet.
.'l. Voss: Zahl der Transformatutnen einer BUinearforni m sich. 251
Jeder in diesen ^ vorkommende Parameter muss nun aber auch in ^ auftreten. Aber es genOgfc nicht, nur dies nachzuweisen; vielmehr muss gezeigt werden, dass jeder in den Ä vorkommende wesentliche Parameter auch ein wesent- licher Parameter für die ^ wird. Zu diesem Zwecke be- zeichne man die unabhängigen Formen der dritten Klasse durch
>l,^, . . . ^p,
dann ergeben sich vermöge der Gleichungen 3) ebenso viele Können
V V V
Gesetzt nun, es wäre
al.-o diese Formen nicht von einander unabhängig, so wäre auch nacli den Gleichungen 3) und 4)
d. h. unter den Werthen der A wären Formen erster Klasse mitgezählt — im Widerspruch mit der Voraussetzung.
Demnach eutlialton die Formen -i", soweit sie der Gleichung 1; genügen, sicher
_ r^(»' — 1_) _ !^(^'^\ ) /' (./' + 1 )
woseiitliche Parameter. Nun gt'nügt aber jede dieser Formen
zugleich diT (ileichuiig
ö) a Jt'i- — sl'a = 0.
Unter den q liösnngeu derselben befinden sich die bereits Im:! dt.T soelji'ii ausgeführten Analyse bemerkten
•>
Furmon, für dii' 1) deshalb erfüllt ist, weil Aa und ^s gleich- zeitig verschwiinli'u. Diigegen gehören zu den Lösungen von 5) auch nocli diejeiii«;en, für die
■i- LiMt ficb aas xet^ea, 4Mm keiac iieacr
»i^+n
•• hat aas
Wf 3"-^ j— J— + ^ +^
vo X etae |^bsc fo^tUfc Zahl «i«r Kall ^^«aWC Vm dio ■aiMuBiBM, «die mm nefc csmI la 4cr Giä- AaBic li «ar^ Daiak 4te qyaiS^ea Ti
Selwa 4>e Gliichangra 1) aal 5) Stbv ia
DÜK Glocbaa« irf alleHiBp erfllUt« «na J^a'«n Aber n dioea WtrtWs foa ^ köoMa aie Wertbr fw ^
fftUWra. *(» hmm JT" tob Xall TMwbi^d«! Wt Dma tw- Böj^e 1 ) ist
El «' J" = 0 oder /;, 2r = 0.
Wäre Don auch a ^ = 0. so ist wegen
^
aacb
£,y=*\
mithin ^ selbst gleich Null. Dann aber ist nach l') a A' = 0, and da
r'aA r''' = a A'.
ttr> ui aacb aA^O. Demnach gehören die Werthe der A xa der ersieo Klaase, die bereite au^eschieden war, and hiermit iafc der Beweis fQr die Gleichung 0) erbracht. Unter der Voraoa- aetzoDg, dasB die beiden Determinanten
A. Vom: Zahl Her TVant/ormntNmrn eintr BUinearform in «VA. 2*^3
ron Null ventchiwlen siud, kunn ab» die Gleichung
nicht durch Foriueu A befriedi^jt werden, ftlr die vIä^O ist, und übenso wenig durch Können — fUr die i'ü«=Ü i**t. Und cbenäo lässt sich zeigen, dass die. Gleichung
7) a2'-f-»,4 — 0,
d. h. die <jleichunf7 11) des § I nicht durch Fürnicn Ä be" friedigt wird, für die ^a^Ü, oder durch Purmen 2\ für die -S»=-0 ist.
Eine ^anz nnuloge, an der Gleichung 1) ausgerohrte Be- trachtung, hei diir man xuorfft die Formen — aus der Be- dingung 5) und duun die zugeliörigeu Funiicn A ermittelt, liefert die Gleichung
8) p-
/-(^H-l)
+ y-
1)
2 ~'' 2
Da nun aus <>) und 8) folgt
Sü ergieht sich
Diese Formeln bestimmen die Anzahl der alter- nirendeu und Kyuimetrischeu Formen, welche der Glei- chung 1) des 3 II genuinen. In ihnen bedeutet aber n — fi^ sowie V stets eine gerade Zahl, da nur in dickem Falle die geoiachtea Vorausäetzungeu zutreffen.
Kacb dem ÜGllssatze des § III Hudet man ferner aus der Gleichung l), ausgehend von der Gleichung 2), Hlr die Zahl B den Werth
nnd ebenso« wenn man von 5) ausgeht,
2M Süimmg 6tr math.'fkg*. CUum mm 3. Mai tms.
aod hieraus dorcli Addiüoa
wo f = Xj T- A'j wieder eine positire ^Tänz« Zahl <Mier
ist. Verfährt man ganz ebenso mtt der Gleicliani^ 7), «o «r-
Ifcbn sidi die GletehdDg^s .
/!(« + !) /i(;i~l)
fr.
+ n.
9) 2^ = ?r+^_,4.,
find endlich durch Additioti toq 8) aod 9)
,= = 0. ^^0, x,-x,-r, = r, = o,
2 g = JV -i- ;' " r
ond zDgl^ich ergeben fuch aufs Neue aach die Werthe von p^ q^ so dass diese letzteren Zahlen auf zwei von einander unab- hängigen Wegen bestimmt sind.
Sei, um diese Theorie auf eiu Beispiel anzuwenden, die Form 8 von vorne herein zerlegbar
wo * nur n — y = /( Variabele aus E^ , a nur die Obrigen »Äfi — fi aus Ej enthält, und s eine symmetrische, a eine altemirende Form ist. In diesem Falle sind die Gbrigen Vorans- Setzungen ebenfalls erfQllfc, da
also keiner der Facioren rechterband verschwinden kann. Da nun (vgl. den folgenden §)
A. !'(»«: Zahl ikr TfatuformaHiönm einer BüiHearfnrm iu w>A. 2r>5 ist, so ergiebt sich nncli II)
Die Ricbtiffkeit dieser Ziihl Ittsst sieb durch eine directe Untersiicbang voo S leicht l)efitütigen. Denn die Gleichnn^
wird hi«r nnr diidurcli befriedigt werden können, dass J^tOA =0 uud EiS^^O
sind, woraoB fflr A und 2" sich nach § III — -- — und J^
willkdrlicbe Paninicter ergeben, vras mit dem Oir P gefundenen Werthe Qbereinätiuimt. Und die Gleichung
liefert hier nur
/;,aK,2-/;,«j?, = 0,
wonach also £ selbst eine symmetrische, ebenso wie i zerl^ bare Fortn sein muas, welche
2
q=.
+
willkürliche Coefficienten besitzt, wie auch «ui I) hervorgeht
§ VII. Bestimmung der Zahl N.
Nach Uerm Trobenias ist die Zahl der mit einer Form U rerUusch baren Formen
A=.ii4-2-S«j; Är = l, 2
wo «^ der Grud des gröasten gemeinsamen Factors aller Hntenleter- minantei] ri-i**" Grades der ehanikteristiichen Function von /7 ist*)
M Vfhtr hWint^ro FomMU, Journal fOr Math. Bd. S4, 8. 3ti.
2.V) SUtmmy der ■«tib.-jiftyf. CTone nm 9. Mm 1899.
In dem Torliegenden Fftlle handelt « sich daher om die Unter- «ocbang der Function
od«-r
welche man durch cogrediente Traosformation auf Gestalt
bringen kann, wo 8, a, /. a s-vmmetrische und altemireode Formen bedeuten und », r^ zur Abkürzung für I -f- p* p — 1 gesetzt ist. Die Determinante Ton s -{• a oder « -p a bleibt dabei immer von Null Ter^chieden.
Wenn S" — S mit allen u — !*•■ Unterdeterminanten noch ver«!ch windet, so kann man Tomnssetzen. dass alle a^.^, so- weit äie den Variabein in E^ zugehOren, gleich Xult sind.
Setzt man zur Abkürzung
sr> j^ebt
■>) f, = ;'" /" " J^J^-i- . . .
du.-! G\\fA in d-^r Entwieklunir von tj, weluhes die niedrigst«.' Potenz v'-n £ enthält. Üi-; Wurz-.-l Q = — 1 ist also .» füch vorhanden, wenn J^ nicht ver-cliuiniet. l'nJ zuirleicb erhält niHn. t';ilU ni;in <■> mit eini.Mii K'i.- Je /( willkürlichen (ir"K,-;..Mi- reihen n. v ifbild-^-tvii Uanie v.-r:?it'iit, fiir dies-' Oeterminunt»' ai-r V'-n a 'inii','iiai:gi^'-.s Aiif;in^>^liv'l
wo U. V zwei ;i'!- d'-n h. v iillein /UTatntneni;e>et/.te « reiliiiie Determinanten sind. Di»' ir"'^ 1' n terdet'.Tminanten von (' verschwinden dalter niemal- mehr für |=0. während die--, wie h-icht zu .-ehen. nocli bei allen [ii — A)'"* der Fall i?l. Ganz ähnliche BetrachtiiniTen gelten, wenn !i -\- S noch mit alh-M r—l*-" rnttTdeterniiiianteii X'ill i-t. und Ix'i der ent- ^pfrlii-ndeii c'tgredienteM 'rran.~rt'niiati"n
wtus: Znht der DraMformationm nner Bäüuarfbrm in nch. 2h7
gOBetxt wird.
Wenn nun die beiden Determinanten ^.
und <:/j
nicht verschwinden, gehören xu den Wurzeln ^ = tt ' nar einfache Elenientartheiler. Aber es gilt auch um^ kehrt der Satz: Damit die zu (9 = — 1(^=4*1) gehörigen Elemeotartbeiler alle einfuch sind, niflasen die Deter- minanten ^, (^J) von Null verschieden sein. Bs ergiebt sich dies unmittelbar ans der Bemerkung, dtiM da.i Verschwinden der UnterdottTminunten sich nieniiil» weiter als uuf die /i — l** (r — l**"} erstrecken kann, während die Vielfachbeit des Wurzel- factors 1(17) in der Determinante ttt selbst jedenfalls um eine Einheit höher ist als ^ (y).
In diesem Falle lässt sich also auch ohne weitere Unter- suchung der CoefScienten von S' -{- S und S' — S die Zahl A bestimmen. Aber sobald eine der beiden Betenninanteu ver- schwindet, ist dies allgemein — wenigstens auf diesem Wege — nicht mehr möglich, und dies ist auch der Grund, wesbalh die Ermittelung der Zahlen /*, C p, q (ohne besondere Voraos- setsmngen) Ober diesen Fall hinaus weitläufiger wird. Nur einige hierher gehörige Bemerkungen, die im folgenden § zur An- wendung kommen, mögen hier Platx finden.
Wenn die mit J^ bezeichnete Determinante verschwindet, so kann man annehmen, dass alle die Ck>efßcienten s^^^ deren einer Index aus der Reihe
entnommen ist, während der andere der Reihe der 1 2 ... /j angehört, identisch Null sind, und dass jU] 4- IS = M ^*^'
Ist zunächst /'t ^ l, verschwindet also J^ ohne seine ersten Uaterdeterminauteu, eo hat cj, wie aus einer bekannten Gügeo- acbaft schiefer Determinanten folgt, mindestens die /j-f 2fache Wurxel ^ E3 0. Dagegen liefert die Entwicklung der mit be- ll»«. Midk-pb/B. a 2. 17
wo 6 die /< — 1 rahige. tob XqII leiicliieJcae DefarroinwU derjeaigeii Form »i, Aof wcjcli« die Picini] ^«K, redociit «rmrde. Unter keiDeo Umrtindta kSntien aliO dir enien Uoier- detenuinMiteii der charaktcrätMclwii FaiKtioa den Factor ^ äs b"berera nh ft — 1^* Graile enthalten. Der erile EletneoUr- tbeiler iid also mindestens Sfach, die MgieDdea ■ hid simrat' lieh einfach.
Weoa dagegen ^,^2 til, hat i» mindestvos den F«elar i^'^^ Vnä die ersten ünteTdctemiinazkten beginom mindtsitidii mit dem Factor f^, während die zweiten rnUrdeienrnnaiit« niemal* einen höher^i Factor aU |^'' urhtJtcn kCmaen.
3o ibrtfiümod erkennt man die Richtigkeit des folpmdcn
8»faM.
Ufitcr der VormometzaBg, dan die Detemibant« von ßj^B^ mit allen f,— 1** PpterdeterminaBten rencfa windet, ahur «mlava besondere KalttioBWi Kwiechen den OoeCSeieatan von 4 ond a nicht stattBoden, welche eine Erh&hoag von Wuraelikeftorca harrorbringan kteseo, int bei i^radem pi^=:2k der Worxsl- factor ( in den 0. I, 2 . . . 2A** Unterdenunaaten /< -f SA« M + 2A — 2, /i + 2* — 4....;i — 2*fiich »grbaadeti, d. h. ei sind zu pe» — I geb^riff 2 A: KleaieuUrtbeiter fH«ich 2 imd die Dbrigen sind gleich 1.
Hw ungeradem /*, ^ 2 A: + 1 ist der Wut ■ «
in den 0, 1, 2 .... 2 A - 1*~ l'nttrMc.ci....Mank'n H n- ~- rA fi-{-2k-\, ^ + 2 Ä - 3, ... /i - (2 & - 1) fach vorhanden, d. h. ein Kleiuentartheiler ist gleich 3, die 2 Jt ri>lgendüU gleiefa 2 nnd die (Ibrigea gleich 1.
Ganz ähnlifihe UeeuHate ergebtfi nchf weuu die Delermi»
mit den r,— l*" Unterd^terminanten Vftitcb windet, nnd »'•»,4*'f (wobf'i r, eine gcruiie Zuhl) int, fnll^ mun nirht w*iti»rf» Vorauifc' ntaimgen über die (>H-ft{ri<miui) von a und s Uinftnfmct.
A. Vfi»K: Zahl der TYanitformatifinen einer Sümaatiia
259
I
I
Ist zunächet: r, ^^ 1, also y uiiffenule, ao biit to niindeateOH den Kiictor »/*"+'; die ersten rnfcerdetenninaDlen aber babMi niemals einen höheren Wur/elfaetor aU r/''-*, denn die Ent- wicklung der oinfacii mit u, v gerÜnderien Determinante be- fpnnt mit dem Gliede
wo a die von Null rerBchiedene t)etermin«uto derjenigen alter- nirendou Fnrni ist, uuf die ^1 a' l^t redncirt werden könnt«; (tin Eleni entartheil er ist >;lm'li 2x die Übrigen, in gerader An- zahl Torhiindencn sind gleich 1. Ist i*, ^ 2, also i* f^orade, so hat ta den Factor tf"^; die ersten Unterdeterminanten haben mindeNtemt den Factor »/ und die /.weiten kciiiHn höheren Factor als »;"**- ^ fortfahrend zeigt sich, das^ für r ^ = Ä; k Ele- mentartheiler gleich 2, die (Ibrigen v — J( in gerader Zahl vor- handenen gleich 1 sind.
BekannÜtch ist die charaktenstiiiche Fnncb'on \Ä^-^ßtj\ aweier Formen A^ B bei allen simultanen Transformationen TOD A und B eine Invariante: d. h. alle Coefficienten der nach Potenzen von 5. ^ entwickelten Function sind Minnltane Invarianten von A und li. Verschwindet nnn die Determinante von B noch mit allen ft — l*«" Unterdeterminanten und int l^f+/?,| = C£/' ,/.-/'+ . . .^
C^^O, so gehören zu ^ '^ lauter einfache Klenientartbeiler. beidejj Invuriautco, welche am Schlüsse de^ § V. ti. 24A, erwähnt «nd, «ind daher die Coefficienten von ^'' y '*, l""* ij** in der Entwicklung von
|{S-h5'jf+(S'-S)vl.
8 vm.
Erweiturun}; der vorhergebenden Uoterduchungen. Kh mi'igü jetxt angenommen werden, daas in der üleichuag
ftlls S — S durch cogredieute TriiiiHfonnation auf eine ntter- nirende Form « v/m niclit vienifh winden der l^eterminante redu-
17-
260 SitMung der wtathrphys. Clane vom 3. Mai 1896.
cirt ist, welche nur von den in E^ Torkommenden Variabeln abhängt, die Determinante
nicht mehr von Kall verschieden ist. In diesem Falle kann darch cogrediente Transformation bewirkt werden, da«s wenn man die zu £, gehörenden Indices
i = l, 2 ... ,1 in zwei Gruppen
/= 1, 2 . . . /i^ H=,i,-hl . . . /*
theilt, wobei fx^-^ fi^ = ft sein möge, alle Coefficienten von s verschwinden, deren einer Index aus der Reihe der t, der andere aus der Reihe der H entnommen ist, während die Determinante
nicht mehr verschwindet; ihre Unterdeterminanten seien Sjj.. Unter dieser Voraussetzung nehmen die Gleichungen 4a) 7a) des § VI oder
|
1) |
m |
a. s = j Kl m 1 |
= 0 |
||||
|
2) |
1 m m 1 " |
^ 0 |
|||||
|
folge |
nde Form |
an. Die li |
leieluini; |
1) zerl |
e<^t sich |
in |
|
|
la) |
^^;.'-V. |
y '■ |
r'y-' = |
: 1) |
|||
|
Ih) |
l^%'yn = |
- <i. |
|||||
|
Gleit |
■hun<^ |
2) in |
|||||
|
2 a) |
l^o.j.s^. |
^r'j-'-^ |
0. |
||||
|
2 b) |
> |
1} j 11 |
= 0 |
||||
|
und |
diese |
letzt.' |
ren wieder |
in |
|||
|
2aa) |
- Vj-*>j |
r + -^'V |
j' >^ |
0. |
PWs: Zahl der Tratufonniitiontti einer Säinearfonu in »ich. 2fi\
2ab)
-^'<'iij>«j.j + -^'<'if«**j = *>'
in jmler diesfir Oleichung&n wi« aut^h in den ft^lgciidon tat. in
fBezng auf diejenigen Indices zw eumrairüii, die unter dem ^'Zeichen doppelt vorkommen. Aus den Qleicbungen 2aa) folgt nun und ebenso aus 1b) mit
mithin
3* <ij.j„. — 20^^ 8^j. Sj^j. s^j 8j...j,
aus welcher Oleichung sich ergiebt, daas die auf dienern Wege bestimmten <fj.j... von »elbst 7.» einem «ymmetrischon Syntem geboren. Aus den Gleichungen 2ab) folgen die Wertbe der <f^j,.
Setzt man ferner den aus 3) folgenden Werth ron O.j in 2ba) ein, so entsteht:
diese Bedingung i»t aber vennöge der Gleich uugen Ib erflÜlt. Das Oleicbungsvystem 2bb) ist also allein noch den Gleichungen
i)
^ (*ji V "rr ~ V 'rt 'if
hinzufügen. Wie man siebt, bleiben dabei die
Giteeo o^^, ganz willktlrlicb. Die y\ Bedingungen 2bb) sind TOD einander unabhiingig, da die Determinante Tun z\ a nicht verwhwinden darf; e« ist dadurch aber nicht ausge-
auder unabhuDfpg sind.') Hau bat ab«»
5) P.
9 2^2 2 ^»
— i]
Hinv ganz fthtiHche tJniorKUchiiOg taaii jmcIi aii«U>Uvil der ViiraiLsset-zniiff, da** S'-\-S durch co^rtnliont« Traiwfi]) auf die Form n (gebracht IH, wi-lclie nur noch m — r konimonde Vuriabclii onthAlt, dcrpii neterniinnnti' schwindet. Hei lücMer O|)«mtioo i^ehu nun iS' — S] I» möge ab«!- die Detenninantc
I E\ a' £1 1
so verachwinduu, duiv< diu Koriu ^i u' £| dm Trtiitäforniution in eini* Korai von y^ VarialM^ln Tervri kanut deren Determinaute nicht Null ist; auch «ei Kpwtrt, wobui »1 t'in«t ((»l'nd« Z'iht ihU AJadanii Ueobnuiig. üiti bivr nicht aiii^eführt werdtfu imjU, früher«» ganx aiiiilt>g einxuricbteu iHt, daas au den geiit«lll(>u Belli tigiingeu uucb weitere
*| Man nuhmt: x. H. un. iUhk n von dur Form -ik int, ' airvDilt; Form .? — S aioh auf äJt =* »^-/j Variiibh- riHliicirt-ji KisK, iJouti»*ch Null i«t. AlK(liiiin ül-Iküi die IJlcitliiiupvn 4a> lUe Indicus /4^-l . . . h ilurcli ^' bc^teichnel wcnlcn«
nnd «in ivfordem. iIm« alla a«i^ a,> venohwinitiiB. Dkinit
A. TttM: Zätd der TraiutfonnatiafieH einer Bätnearfiarm in yich. ^03 hinzu/Aifil^üU bind, man findet also
^ ^ 2 '^ — 2 2 ^^'
wul)L'i X, und X^ wieder positive gnnze Zahlen oder die Null bedeuten. Üurcli Addition von 5), 0) fol^t aUo
Auf ^anz analogem Wef^e findet man die Gleichungen
7) Q^Pi- '^- ') - '-""f^ - ^^ii^y + r,.
und hieraus durch Addition von 5)» G); 7)« 8)
wobei
2»>l
SSitm^
«owie
II)
2p = y-p-»-i;,,0',-l)-ir,(r,-n4i,-r,
fulgi. Aber die^e Gleichangen reichen nur in den «io&cbäe Fällen zur Bestimmung der Zalilen P, p . . . hin, und mI« weim P und Q ermittelt sind, sind p und g Docb oiclit «OfifJ
bestimmt.
Istt. B. /<,««1, y,»0, 80 iit £+?=l- D«mberiibi v eine gerade Zahl sein muss, folgt aus der ersten Gleicht] dasa I -s 0, rj = l ist; die Zahlen JP und Q bleiben dieAein Falle unge&ndert. Wenn dagegen ^, ssQ, v^^l,: mnn v ungerade »ein und daraus folgt wieder ^«sO, fj- Aber in dem Falle fi, = ►, = l laasen »ich die Werthe der X, nicht mehr durch Congruenzen (modulo 2) bestiirtmen. diesem Falle kann Rinn steh indessen der auch annet verwe baren Bemerkung bedienen, dass die Zahlen f, Q dnrcl eine weitere tSpeciali«iirung der Coefficienteu von niemals abnehmen können. Lä«at man nun den Fnj] /«^ >= y, = l nii8 dem Fall /<, = <). »"i ^ l herrorgehen, so hat man fllr den letvieren, wie gezeigt:
2(7^) = .V4-»' — M~ l
und nach I)
2^.
iiV+v-,i-l +
2 g = A" -h /i - »■ — I 4- '/
$+,;-2.
Nnn erfahrt, wie in g VII gezeigt wurde, der ron de Wurzeln f^'il herrührende Theil von iV keine Veränderung wenn /i,, i', die F>inheit nicht ÜberHehreiten. Sotirt man roraus, dii» durch die eingefQhrte Speciuliaining der Cuefficieat nicht etwa in dem Ton den fibrigun Wurzeln herrfihrendenJ Tbeile ron N eine Zunahme stattfindet, und würde man fj^sQ
b)
A. Vom: Z^ der TranaformtUtoHtH einer BUiHearforn in nkh. 2ti5
aniiühmen, eo wQrde Q wo 2 Einheiten kleiner sein auf (Q)* Also ist ry = 2, 5 = 0.
Man kommt daher sta folgenden Resultaten. Unter der Vorftosiietxang, dasa die Zahlen //,, r, die Einheit nicht Qhcr- 1 steigen, hat man
Erstens, wenn/i, ^l, r, ssO (r gerade)
2P— ^'-f »— M X, « r, = X, = 1), y,«i,
Zweiten»!, wenn //jS=0, i*, ^ l C»* ungerade) 2P = A'4-i' — ^£— 1
2g-Ar+./i-*4-i x, = x,- r, = o,
2j,«^_;i — y-f 1 >;^ I.
Dritten«, (dt ti^^v^v=\ (»ungerade), «im allgemeinen' dioeelboD WertLe, wie im zweiten Falle.
Eb ist wohl nicht Uberflßnig, durch einige Beispiele die allgeineiueiL Unterauchnngen der vorigen §§ eu h&it«ti|L;en. Du weitläufigere Rechnungen notbig werden, aobald die Glei- chungen Ca) oder 6'a) dee g in gn^sserer Zahl vorhanden sind, so wähle ich dazu die Fälle, in denen sich dieselben so wdt wie mi)glich reduciren.
1) Die Form S bestehe aus einer allgemeinen alfeernirenden Form und dem Oliode x^y^. A.tsdaon hat man den Fall einet« geraden oder ungeraden n zu unterscheiden.
Es sei n zunäciist ungerade. Nun reduciren sich die Gleichungen 4'a), 6'a), 7'a) auf
**•) ^»„«.. = 0. . . , , , ,
die «chiflfe Düt^rminanto J[^\a^^\ darf hier niclit rer- schwindeut da sooRt die Determinante von S i*olb«t Nnll wäre.
SmUkdk wird die Utacho^ G^^a). £Uik n'crtke äueizt:
Dft aha- der Torfais mit _/ boackiMte Aasdmck too
XbU Taradii«deii »a moss^ so kasn cbe oodi zd bc&iedigefide ^» - «
■ar dttrek die Wexilie a
•-^ »— T •— I • - 1 a — » ■ « ■ — 1
__, = c^^_j = y erfolh werden.
Man fiBdet ako f = ^*~^^i'~"' ^ai efacs» a» der Fw- Bd b) § Vra farr = a— 2. ., = 1. « = 1
2 P = ■ + (, « — 2 » I a — :> ^ -r ■ - 2 — 1 — 1 , vm> iawt ia Kafcbng ste^t
A. Von: Xühl der TfanßformntioneH einrr BSinearfbrm m gieh. 269
3) Die alteroireDiie Farai S' — S nw^e durch cogredienfce TranfiforiiiBtion auf die Form
gebracht venlcn kennen, S' -j* ^ dagegen sei dann gleich t = -^s^^x^if^. Atsdann besitzen die unter 4n), 6a), 7u) be- nutzten Indices j nur die Werthe », » — I und man erhält
4tta) ^'o^^«,, = 0
4ab) -^«.-..*r- = 0
7a) ^^iV = 0
^o_,s,
mt*ln-l
= 0
2ci_
.«.. =0
12)
t, i'^^l, 2 ... « — 2; Z= I, ... n.
Bei der Discnsaioo dieses Systems sind zwei Fälle zu unter- beiden.
Erster Fall. Die Determinau te .i/o= |ä^^| ver- Bohwindet nicht.
Aus den tileicbungen 4aa), Ooa) und ebenso aus 4ab), Gab) bält man
venu mit S^^ die engten UnterdeferminAnten von ^^ bexeirhnet den. Aus (^a) folgt dann
niso A = /i. Und aus den Gleichungen 7 a) kann man, sobald die Determinante
ttiebt rerKcbwindßl, all«* <r^,, /- 1, 2 . . . m~2 berechnen.
270
'fmtK-phj,B.
iS. Mai ta»«.
Ktt bleiben daher mir X und die Coefticienlen einer ali<^r- nirendc» Fürni vun n — 2 Varialdeii willkUrlicb, d. b. e» i«t
P = i{H-2)(n-3) + I
lind daaselbi* ergit:bt sieb ftiia der Formel H) g VI, in der fi = u — 2 zü netzen ist, für iV = n + (» — 2 (n — 3).
(jnnz imdeni verläuft die tierticliiiuiig der o . wenn die Determinante J^ verleb windet, obne dnas dir t-nAi^ riitpfdetprniinanten sünirotlich Nnll sind. Da nnn ^, = 1, « kiinn man vnraa^tt^txen, doss
*Ii.-2' *»»-J
%-2n-2
sUmintHch gleich Null sind. Zanäcbst hleiheti die unt«r 12) ant^egfbcnen Werthe bestehen, ebenso die Uleicbuntc X^^ft. Nun Riebt aber die Qleichtinf^ 7») für »' = » — 2
aiwi fOr i = « — 2 nach 12)
Da nnn der Factor von X liißr gloinb der Det^nninant^ J^ i«t, *» lässt sich diwte Gleichung nur durch X = 0 bvfriudigM. Damit verschwinden nisfi alle Grürwen o^ bifi auf o^_,^,^, weleheä voUkoiumen willkürlich bleibt, womit tiich diesellK Zahl fllr jP, wie vorhin, ergiebt.
Zweiter Fall. Die Determinante J^ ist g1«>icb Nnll. At^dann darf die mit ^,' be/.oichnote Determinante nicht mehr verschwinden, da sonst die Determinante der Form l*4~' nicht mehr von Null verBchiedeu wäre, wie tun» der GUichuag
hervorgeht. Man hat hier die weiteren Unterteile zu nnn-r' scheiden.
Wenn erätuiiti weder alle S^j, noch alle S,^,p
i= I. . . . K verschwinden, bleiljen ilic voripon Itwnibib*
, uhptf Einacbrilnkung güllitj. Nur die MiV-^licJikeit, duioi Ä,„„_, Ü
, Taw; ZidU Her Tratufitrmntionen fiarr ßiJineurfvrm mi ittch. 271
wäre, nclieint tiiri<t AuMiulimt^ biJdfu r.u können. Ha iils<lattn l^ft iu Wegfall Icoiuur'u würde. Ist über S^^_^ = U, m folgt aus der bekannten Identität
für r = n, / = «— )
und hierHUjt erjypebfc Mich, dn^ »lle iS]^^ veiwjfawinden tnO^sen, fiibttld mir ein einzifjc« S^_,„ nicht Kuli ist — im Wider- spruch mit der eingefQhrtou Vomuiisetzun^. Es inu»» alun der Kftll /J=»fi— 2, * = y,«sl (b) § Vlll) vorliegen, und man wrbalt denselben Wcrth von /' wie im ersten Falle. W«nn Kweiteu» die ans der Matrix
"II
■ii
"13
•t«
'1«
"Sm
%-«»
«,.1
"»-82
••,2
%-2ii
'deten ?^ — I retbigen Dfitcrniiimnten, also alle S^. ^ VL*r- fcb\viiid<Mi, di» S^j nlk-T niclii alto Null iiind, so bnt tiuui
nir
Ar = l, 2 . . . H
1= I, 2 . . . « -2
und dio n»it beliebigen GrÖfwen ti, . . , H^, »J, ■ . . v^ einfuch gcrändfrtc Ortemiinuntc der s^^ wird
-[■.-^a,H.]K-^«,r,]Ä„
I da.«t, fulls nicht ftlle ersten l/*nterdet«'ruiinant«n von ^f^^ ver* »chwindpn , auch S^^'^O ist. Beßtimnit man nun aus den (tltMt'lniniji'ii 4 üb), fialt) ilii* (7 _. ., an Hndi^t iniui
J\ ^a ,,8 , , = 5
H «— l M-1"
SUammff der math.-pHifg. Cla/ur von 2. Mfai /SM.
also, da naeb liu) dio Summo linker Hand verscbirind«u
ond rniui «rhält jetxt ans den Gteichung«n 4ab) sftmmt&l ff^_i^, 2^1,2 . . 11 — 2, aoBgedrQükt durch <'^._,, wÄhreni ' ff^, = /i5^,, /= 1, 2 . . . w i^t. Wie man rieht, bleibt Mck hier nur ft willkürlich und die i^ubl V bleibt dieselbe wie frfiber.
Wenn endlich drittens alle 8^_^f und S^g versohvia- den, 90 verschwinden Oberhaupt alle ersten DnterdeterttiinABteB Vfin Jq. Man kann dann in den (jleicbunf^en 4aa)t 4uIj) dir Werthc der ff.^_,, o,., "«-i«-! »»•>» wiHkOrlich an- nulmien; die Gleichungen Oaa), (iab) sind nun von selWt er- fallt, und Gleidies gilt, wie sich zeigt, anch von der Glei- chung Oa). Die Zahl P wird hiemach
(ii-2)(M-a) , ^
2 "^"^
und KU denselben Resultate gelangt man auch durch Formel IT) §V1 fOr /i=n — 2, y^2.
Hiermit sind die säuimtlichen gesuchten Trans form ationco der Form
in sich seilet hedtimmt. Bei weiteren Untersuchungen nhnlichtn' Art wird man aich mit Vortlieil der Kronecker'schen Kormal- fortn*) der alternirenden tuid bilinearen Formen bedienen können; eine weitere Äusftihrung derartiger Rechnungen roass hier ia- deasen unterbleiben.
1) Barliucr Uonat«boricbte, 1874, S. 893.
273
Symmetrische und alternirende Lösungen der Gleichung SX=XS\
Von A. Voss in WOrzburK.
In der TorherK^b enden Arbeit Ober die Zahl der cogre- dit>nieu etc. Tratibfurintttioiien einer bilitieuren Form S in sich hat es sich als nntxlich erwiesen, die Anzahl der sjminetriscbeo und alternirenden Kormen zu bestinitnen, welche der Bedinj^ung 8' XS i^ SXS' geaügen. Ich mikkte hier auf ein verwandtes, sllerding!« viel einfacheres Problem hinweiät^n, uamtich auf die Be- stimmung der Anzahl der Hymmelriächen und alternen FormoD, welche die Gleichung
1) SX^XS'
»friedigen.
Bekanntlich giebt es immer Transformationen X, welche eine Form S contragredieni in die ihr ähnliche S' ver- wandeln, d. b. welche die Gleichung
hefrie<1igen, wobei \X\ nicht KntI inL llnt.er die«er Vorans- Setzung kann jede andere Lifsiing 2 von 1) in der Form
aogenomnien werden. Man erhält durch Hintragen von Z in 1)
I SYX^rXS'^YSX
■ oder
■ SY^TS,
H I8H. MMlL-rhx«. Cl. i 18
274 9utm»9 itr m^k jkf». (%mm «v iL Mm JMl
Die Aoxabl der linear nnabbln^igeD Loioagett 4er
Gleichung t) ist daher ebeoBo grojs, wie div d«r nxH 8 rerUQ^cbbareo Formeo, aJio glttcb JT. Da WM t) folgt
■o MiHa mit X tof^leieh aa«b di« f^netriKkc (•liiiiiiiiiiAi) Fono X + Jt^JT-X) cUr Ulckbua« l) tfwflc«. Di* JT linear QOftbbMDgigeD Lös«ngea too 1) £«rfaUtD aUo i& /i 5j[nn)«tr(scbe ntid q alteroe. and dabei iii
Mao kaondieae formea auf folgendem Wege hratimmf SSni A,, Aj . . . Xjf die anabhängigpii lÄMangen tob 1). ao iif
die angVmeinite, Qod zQr Erniitteliiog der JTmmetträcbai oder attemen Formen X hat man die Oleicbung i
Eff,x, = iEcr,x;. k^u2..y.
Üa can X^', wie soeben hüinerkt wuzde^ gleichhtUa linear durch die X, ■ . X^ darstellbar ist, so folgt
ond bieraoB
X^ = -2-a^,X;
oder
X^ = Xo^,a^^X^,
woraus wegen der Unabhängigkeit der X^
und d^^ = 0 für Ä:4^m, d^^ = 1 für ä, m = 1 . . . A zu nehmen ist.
') Vgl. die vorherf^ehende Arbeit Ueber die Anzahl der cof^redioDten ond adjungirten Transformationen etc. 8. 220.
A. To9*: Lö»ungen ätr OUichuno SX^ X8'.
275
Die Coefficieotea a^, bilden alao niu Syslem« dessen charakteristische b'iinctiou jV^" Qradea p ein- fache Klementartfaeiler ^ — 1 und q einfache Eleiuen- tartbeiler 9+ 1 hat.
Bei beiden Zahlen p und q lassen sich leicht mit Hülfe der tjlemeatartheiler der charakteristischen Function von S be- stimmen. Geht man von der öleiobung 1) £u der äquivalenten Gleichtinf^
über, 80 xeigt sich, dass man durch cnntrugrediente Trans- formation S in jede äquivalente Form tranftformiron kADOt ohne dasä die beiden Zahlen p und q sich Andern, da hierbei X nur eine cogredienlo Transformation erfährt
Aus den Sätzen, welche Herr Frohen ins in seiner Arbeit Ober biliucare Formen') entwickelt hat, und die ich bereits in einer in diesen Berichten verößentliohteo Note') zu einer ähn- lichen Betrachtung Iwnutzt habe, crgiebt sich:
Ist die Form ^zerlegbar in Formen, deren chnrak* te ristische Functionen keinen T hei 1er gemeinänm haben, so ist jede LUsung X in derselben Weise ser- legbar.
Anf Grund dieser Bemerkung be/^ichne man in der dnrch contragrediente Transformation bewirkten \V eierst rass'schen Normal form von S mit a^ eiue n, fache Wurzel der charak- terirtischen Function von S, deren zugehörige Klein entart heiler der Grösse nach geordnet,
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■cn. Dann besitzt die Kormalform von S den Destandtheil
)) Jdunuü mr Mathematik, Bd. 84, S. 37 u. f. *) Uobcr die itiit uDor biUmau-vn Fürm rbrtaiuchliarun bnEneiiren D, 8it<g*ber, d. k. baycr. AJtad. d. W»«. 189», S. 2Uä.
die MuUiplication jedesmal so vollisieht, dass die Horizontai- reihen i des ersten Factors mit den Horizontalreihen k des zweiten Factors combinirt und die so entstehenden Ele- mente (iJe) in beiden Resultaten einander gleich ge- setzt werden. Bringt man diese liegel auf die Gleichung 3) zur Anwendung, so ergiebt sich folgendes Verfahren.
Sind die zu a^ gehörigen Elenientartheiler der Grösse nach geordnet
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A. Vosn: Lösungen der Gieichung 8X = XS'. 277
so dass k Elenientariheiler grosser als 1 and 8* gleich 1 sind und «, = ei+ . . . ei + y
die Multipliciiät der Wurzel a. ist, so haben die zugehörigen Ooefficienten x*^^ ; /, m = 1 . . . n^ die aus dem folgenden Schema zu entnehmenden Werthe:
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Dabei vertritt jedes Feld, z. B. e'e* im ganzen Xft Coeffi- cienten x' ,j. Die Werthe, welche denselben zu geben sind, ersieht man um einfaclibten aus einem beätimmten Beispiele, etwa .s' = n, cj= 4 , c^ = 4 , cj = ;t , ej = 2 ; jeder Coefficient Xj^^^ soll dab*M einfach durch (i, m) bezeichnet werden, so dass plelclie Symbole (/,»/) je ein und denselben völlig will- kürlichen Piiranieter repräsentiren (in der Tabelle S. 278 ist der Kinfachheit halher die Kliininier () weggelassen).
278
SUxttng der nialhri/hyii. Clmte tom 2. Mai 1896,
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Vom: tbnuufgn der Gleichung S X r:= X S'.
379
Wie man sieht, erfnlpt die Angnhe der Coefficienten dnrch ein tuechaniscbeH Vurfahrüu, indem dicjenif^en ICIeDiüiitf; JlsIcs Feldw C. ej, — tind annlopj dam die der Felder s* ei — , welche von Null verschieden gewählt werden kOnneo, ein gleichseitig rechtwinkliges Dreieck von der Höhe fi (/* < X) ausnmehen und alle in derselben Diagonale .stehenden Klenieniu den nämlichen wiUkürlicheu Werth erhalten.
Damit nun die Coefficienten einem symmetrischen System BHffehören, hat man fesUtisetxen , dass jedes Symbol (Im) in der Tabelle denselben Parumeter wie (m l) bedeute; zur Ent- efcebung altemirender Formen aber hat man ((wi) = — (w /), insbesondere also alle Elemente in den zu (u^ cj), (tjfj) . . («^cj) gehörigen Feldern gleich Null zu setzeu. Nach diesen Be- stimmungen kann man die Anzahl der Formen einlach an dem Schema I) abühlen. Daäaelbe iot, da es sich nur am aym- metri«.che und altern« Furnieu Imiideln suU, durch die Haupt- diagonale*) in ein rechte von derselben liegendes Urtieck mit Feldern xerlegt, welche von der Form
s*s' g*t^, t*e*, c^. e' /*eil Miul. Nun kommen, wie leiclit zu sehen, anf das Feld a'V : yCs'-f-l) Parameter einer symmetrischen Form
m ^ t S t^, t Sr m . m m
und es ergeben sich im ganzen
viUUg willkQrliche Parameter einer symmciriachen FuDOtion.
■) Dtesetb« Ut im Druck durch ^ liervorgehobu.
^280 SiUmmg 4tr mtuK-fkjft, ChtMU «om 2 Mai tt&ß.
^1 Di|;cgea tod«t man ebenso fiOr
^^^Hm Feld y J* : -^Cc* — 1) Parameter eioer altnum Form
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B^^iclinet BJAn jetit die MultipHcital 4« Factors ^ — o^ in den ersten^ zweiten, . . o*** L'nterdetenninaiiten der chamk- tenttt*efa«fl Fuuctioo tob 5 mit n^, ff ^ 1, 2 . . , A- + j* — 1,
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also wird
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wobei n^ den grössten gemeinsamen Theiler der x**" Unterdeterminanten der charakteristischen Func- tion von jS^ bedeutet. Dabei ist
wie zu erwarten war.
Man kann die hiemit beantwortete Frage auch so stellen : Man soll alle symmetrischen (alternen) Formen finden, welche mit einer Form S durch Multiplication zusammengesetzt eine symmetrische (alteme) Form liefern.
A. Vom: LÖKUHtjfn der Otdchunfj S X^ XS".
2RI
Die symmetrischen Formen kann man stets -so rftbinn, da SS fllr keine derselben die Determinante verschwindet, wie der blosse Anblick des Schemas auf S. 278 xeigt. Die altemen Farmen dagegen mtlttsen bei unf^eradem n immer eine verschwindende Determinante haben. Soll aber t>et geradem n eine alterne Form X von nicht ven$ch winden der Determinante vorhanden sein, so ist
8X=Ä
xvieder eine alterne Form, also ■^ S^AX-K
d. h, die charakteristische Function von S
Ut das Quadrat einer ratimialeu Function von e "ti<1 verscbwindft für jede ihrer Wur/eln sicher mit den eisten Unterdeterminanten.
Die ÄOKahl der Formen X betrügt aUo hier miodestens ^ " *
Ebenso kann jede Form 5 anf p^ Arten durch da« Pro- dukt von zwei »ymmetrinibon Formen dargestellt werden, von denen mindestens eine eine nicht veräcfawindendt.'r Determinante isL Dagegen kann eine analoge Darstellung durch zwei alier- nirende Formen nur unter gewissen Bedingungen erfolgen, welche im vorigen für den Fall, daas die Determinante von S nichfc Null ist, angegeben sind.
Berichtigang.
In der Arltcit ,Ucl»i!r ilia coKredienl« Triinvfommlioii i!er liilint^nn-n nen in sich BvlbKt' fdiew äiUgnb. Janaur 18i)6) mvs» die Formul 8.22, Z. Ö V. o. beiMcn:
w(*i-H) (a-;*)(a-;i-H) 2 a
1. Herr Koskrt Habtiq spricht: ,Üeber d^n Einflns« des Kaaehes auf die Gesondheit der N&delh&lzer* nnd ,Uüber eine neue Tannenminirmotte (Argyre^tliiit futi- d«lla)'. Die beiden AbK«Hdluiit;eu werdeü atiderw^U ver- &fl«DiIicfat.
2. Herr Jodakkks Riicxert halt «inen Yortraf;: .Ueb«r die Entwicklung des Spiraldarms bei Seljicbiera.* Uie Rmiltate ÄoUeo äo «inem ftuderen Ort<& sur PuhltkAtioD ge*
^ Herr ElFQRK v. Lovubl legt eine Mitibeilüti^ des Hprm l>f. L. FotütD, Affiiatent«n an dem hie^igeti phv^ikali^cheti 1d- «tittlt der CniTerritSt: .Die Wellenlänge der Köntgen- Sbrablen* top.
Die Wellenlänge der Röntgen -Strahlen.
Von Dr. I.. Fomm.
Proft54sor Or. Rrmt^^en spricht am Rchlnsse seiner ersten Verufft'iitlicIiiMiK: »L'eber eine neue Art von Strahlen*, die Ver- matnng aus, da« zwischen den von ihm entdeckten Strahlen und den liichUtruhlen tine Art von VerwandUchaft r.u bestehen Mclieiue und »teilt die Prut^Cf ob niiui eä etwa wegen des aasser- ^wühnlichen Verhalten« dieser Strahlen mit Inn^itudioalen Atithersofawingungen zu thiin habe. Von anderer Seite wnrde die Piiluj'scho Hypothese iiher dws Wesi'n der Kathodenstrahlcn aucli auf die Kout^eti-Strahten angewandt.
um die Frage nach der Natur dieser Strahlen im Sinne der Wellentheorie zu CDtscheiden, war es notwendig;, nachzu- weiaea, dass die^e Strahlen iutcrferen/iahig sind. Da sie keine nennenswerte ZurtickwerfunK und Brechung aufweisen , blieb nur noch der Weg der Beugung Ober.
Za den Versuchen in dieser Richtung diente eine von Geiaaler in Honn bezogene HittorfHche Köhre, welche von einem Kunkeniuduktor von 15 cm Muximnlsch lag weite bedient wurde. Die birnfrirmige, 30 cm hinge Köhre /.eigte bei einer Entladung»- apannuDg tou ungefähr 30 mm au der der Kathode gegenüber- liegenden li laswand einen thalergrossen, inteoaiT grün leuchten- den FluorescenzUeck. Die hier austretenden Königen -Strahlen vermochten noch in einer Entfernung von 3 m Bariumplatin- cyanUr ku deutlicher Fhiurescenr. zu erregen. Aus den Stellen lebhaftester Fluorescenx wurde nun mit Hülfe eines Mefläog- ^talkea eine Lichtlinie von 0,5 nun Breite abgcgreazi Die
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^divergrabw Strahlen tnfien auf etn« bocheoipABdlicfae pl apbüche Platte^ n&cbdem si« riaen iveiteo 8p«lt, dm f^ng!»p«lt, durcliAeiKt hatten.
Spultbreite ond Schimtfthctaad wurdtti in der niu)ifrfn'-b«t< Webe geändert und bei jeder VenocbiaBordDaax «ur^CiuLroli ein ßengungsbild mit blAuem Licht« eneogt. Di« Breit« d« beug<*nd(5n Oeffhung wbwaokte zwiMcben 2 bis 0,1 mm. Schirmabstand zwiftcben 10 ond 50 cm. Bei OJ Wim Sp&libMil war bereits eine £xpwitM»iazeit von 50 Minuleo aStig.
Die erhalteneu Aofnabmen zeigen alle etoeo Tjpan. Dos Spaltbild i-t meiner Qrü«« nach das geome bedingte Abbild der Strahlenquelle , d. h. ea Ifts^ keiD« V« breiterung nach weiften. Za 8eit«n dietea üildee sind kein« Intcr^ ferenntreifen, d. h. Maxima nnd Minima, wahrziinehaiea; gef{eu zeigt sich dw Innere de« SfwUbildeii Ton ht*Ilea dunklen Strvifvn durch/^en, eine ErscbeiDung, wie m* bei wöhnliclieni Lichte aufiriit, wenn man dm Beuguup«p«li gfii .^vähtt. Dien« Aufnabinen, welche ich bereita im MooAt« erhielt, «telltrn zwiir die Wellennatur der Röatgen-^itrahlen gndatteten aber Irider keine Berechnung der Wellenlnngv, da ihnen die genOgende Schürfe fehlte, um Abstand und Zahl der Streifen einer genauen Mauung zu untor werfen. Immerbin zeigte der Charakter der Beugnngsbilder, verglichen mit ähn- lichen Erscheinungen bei gewöhnlichem Lichte, da» inAia mit vehr kleinen Wellen zu thun bnbe.
Qelegentlicli weit«rer Veronche hatte ich giflcklich die Ab-^ ■tAnde der Lichtquelle von l^ngungnpali und ph(itogTa|ifaia Platte und die Hreitr der beugenden Otffnting so g^'wflhlt, in der Mitte des Spiiltbilde>4 ein erste« Minimum auftrat. Ilier«^ mit war nun die Mögliclikeit gebot^^n, in einfacher Weise die Wclk*nlünge zu beruchnen.
La&*it man die Strahlen einer icbmalen, )<' liiiie durch einen genügend engen Hpalt auf ein- •o entutehcn bekanntlich zu beiden Suiten doa dirdcten Bpalt- bstdes belle und dunkle Streifen (Maxima und Minima). Kr- weitert man nun bei «m-it coufttauter Aufstellung die beuget
X. yamta: Dit WtUenlänge der Sßntgen-Strahhn,
285
OofTuuiiß itiimer uiehr und riielir, so zielien sich dieee Intcr- ferentstmfeii enger und enger gegen das Mitt^lliiid hiit zu- snmiuen und plötzlich erscltetnt in leUterem in der Mitt« ein dunkler Streifen, dae erste Minimiini.
Fährt man mit der Vergröaserung der beugenden Oeffnung fori, »0 luaciii dieses Minimum einem Maximum PJat^f wodurch zwei Minimii entstehen und so fort. Mit ilülfe der Formeln und Tabellen, welche F'rofesaor Dr. v. Lomniel in seiner Ab- liiindlung ,Oie Beugungser^cheinnogen geradlinig begrenzter Schirme"*) berechnet biit, lilsät tiich nnu aus dem Auftreten dieser Maxima un.d Miniraa, beziehangüweise ihrer Abstünde und den Kon^^tanten der Versucbsanordnung, leicht die Wellen- länge dea angewandten Lichtes berechnen. Diese experimentell cinfftcbe Methode ist namentlich da sehr empfehlenswert, wo man wegen geringer Helligkeit der Lichtquelle gezwungen ist, verhältniflsmäsAig weit« Beugungsspalte anzuwenden.
Prof. Dr. V. Lomtnel gibt auf Seite 78 (600) seiner Ab- handlung folgende Be;&iehung:
liier Wdeutet A die gesuchte Wellenlänge, o den Alistwnd von laicht nnd beugender Oeffnung, b den Abstand der letzteren vom Auffangschimi und r die halbe Spaltbreite. ^ ist eine aus Fig. 1 (am Schln:sflo obiger Abhandlung) xu entnehmende, al^ sniute Zahl und ist in untrerem Falle^ d. h. beim Auftreten des «rsleo Minimuuiij, gleich U.
I>ie Kornttantcn des Versuchet« waren
a = 200 mro 6 = 200 . r«0,05 .
■) r. Louunel, Ali band Ian>rcii rter k. tNi^-cr, Akademie der Wiw., .a, XV. Bd.. ULAMlL, 1880.
28G
Sücung der math.-j'hyß: Gtagse vom ß, Juni tB$tJ.
Denjnach
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. 0,05» = 0,000014 mm.
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DiB Wßtlenliltigie ist demuuch ungefähr 1 5 mal Ideiner aU die bitrlier untersuchte hleinste Wellenlänge im Ultraviolett Da der Abstand der ersten Minima bei so kleiner WellenliLnui* mhx gering ist, so lässi sich au« den erhaltenen AufDubmen nicht mit Sicherheit constatieren, ob man es noch mit d^m eret^n Minimum zu thun hat. Ich uüchte deäshalb obige Znbl mir als obere Grenze der von der bei den Versuchen verwendeten Hiltorfftchen Rühre üusgehenden Röotgen- Strahlen bezeichnen.
InKwiöchmi haben die Herreu G. Sagnac'), L^ Calmette iiad G. T. Lhuillief') Versuche in derselben Richtung veröffentlicht. 0. Sugnac; wendift ein Drahtgitier an und. berechnet aus eint^r kaum it»e&sbaren Verbreiterung des Spältbildeä eine obere Grenze von 0,00004 nim als Wellenlänge. Cahnette nnd Lbnillier haben Beogtingsversuchö mit zwei Spalten augeäteilt, erhnitt'n ebeofallä helle und dunkle Streifen, ohne sich jedoch Über die Grösse der Wellenlänge lu äussern.
ij G. Siignae, Comptee Rcndu«. Tome CXXll, No. 13. ^ L. Cftlmette nnd G. T. Lhtdllipr, Compteii Bcnduu, Tome CXXIl, So. 1€.
287
Sitzung vom 4. .Tiili IS^Mi.
1. Herr Rourbt Hartk) hält eioen Yorir&f; : .Ueber das Ab«lQrl>nn von Bftuuigruppen darch UlitKschUg.* Die Arbeit soll anderweit veröffentlicht werden.
2. Herr H. Sekmqek legt eine Abhandlung des Herrn Dr. C. Charlier, OWrvator an der Sternwarte der rniversität Upsala: «Untersnchung Über die Methoden zum Tabu- liren der Störangen der kleineu Planeten" vor.
Untersuchung über die Methoden zum Tabuliren der Störungen der kleinen Planeten.
Von Dr. C. GkorUer,
{UtHftlMi/tm 4. JkU.)
lu der ersten Heibe unter den Aufgaben der reebnenden Astronotnie der Oegonwart steht ohne Zweifel die Berechnung der Störungen der kleinen Planeten zwiecheu Jupiter und Mara. r>a es sich hierbei um eine Frage handelt, deren LJteung jeden- falls Hehr viel Arbeit und Talent in Aniipruch nehmen musA, und da ausaerdeu] die gewünschte Losung der Aufgabe so be- Mbaffen sein ddrfle, da^ die ganze Rechnung nicht noch kurzer Zeit neu gemacht werden muss, so wird es von Interesse Bein, die Mothfxi^>n, die den Astronomen hierbei r.ur Verfügung !)tehen, von no vielt^n Seiten wie mOglieh zu mustern, damit man unter den vielen Amwegea, die xu (Jebot stehen, den möglichst zweckmiuägsten aoswiblen kann. IOü ist übrigens nicht ku er-
288
SiUrnnff dtr mndjÄf». CUum «pa» 4. JyJt 099,
wart«n, da.« eine einzige Methode ftlr at(e Fälle, die im üystvnie vcirkotnmpn, nuHmoben wird; vielmehr wird m mk wahrscheinlich heraiisst«lt«n, dai« die verschiedenen Wertb* A( Iiite^ationskonstanten ver^hiedeD« Bobondlua^metliodea th hoischeD werden. Su kaun man dich k. B. folgende» Arböti- schenm als ptau^ibt!! vorateUen: Die PUnt^ien, deren oiiUlat Uowogiitig iiuhi* unmQiBiitiurab(>l mit derjenigen vom Jupitet Ml, werden bei*ondenf gerechnet; unter den Obrig'eii tcomiticn Üt riaiitfltjU mit kU'iner Kxceiitrit-iUt und ^V'i^uu|; zuaauuinea ■ einer Khit»e; und zmiächüt koiumeii die Uhrige'n PJantitea, Utttff denen vielleicht diejenigen, di« Jupiter aid nSch^^tea Ue^ eine he^undere lt<5handhing«methode erfordern werden.
Man kann sich anch andere Qesichtaiiunkte bei der Bt- linndlung des Pruhloniü denken: u B. ob man abs<i|ute Bahnen nach Gylden's Betrachtungsweise rechnen soll, oder ob loat sich mit allgHuit^inen Stririiii^en begnQgen darf n. 19. w. ; aber auch dann wird man Bchhossltch Hoch nicht von dt^n venclüe- denen AVerthen der Integrationskonatanten abeehen können, ic«* dern man wird wieder auf die obige Eintheilung zurQckj/efnbrt
Im t^utgendeti werden zwei VorBchläge zum Tubuliren dvt Störungen der kleinen Planeten auiteinandergelegt und so weit gefOhrt, dasB man eine Uebertiicht Über die fOr das Tabulirvii t.w fordernde Arbeit bekommen kann. Dieaelbea dflrf«n mit Vortheil beniit7,t werden können bei Planeten, deren Kxcentri- cität und Neigung kleiner als ^^ (12") betragen, ond es ver- dient bemerkt -/.n weriien, dasit die Zahl solcher Planeimi Ober 70^/0 der gesammten Planeten ausmachen.
I.
Setzen wir zur Abkürzung
p ms ain i cos ^ q 3C3 sin i sin ^,
wo e, i, TT und Sl die ExcentricitUt, die Inklination, die Perihf-f- länge und die KnotenlikOge des gestörten Planeten bedetit^'u, und sind ff\ h\ p und q die entsprechenden Gr5sBen fßr d4
^ s= e C06 7r ;
Ää csin n ;
Choriieri TahuHren der Störungen der kleinen Ftantien, 280
atorenden Planeten, ao lassen sicli bekanntlich die Störnng^- fuoktion und ihre partiellen Ableitungen aln Potenzreiben nach den positiven Potenzen von y, /t etc. daratelltm. Die Koefficienten in diesen Reihen sind dann abhängig nur von dem VerhäUniss a zwischen den halben grossen Achsen a und a und von der als unabhängige Veränderliche benut7.ten Winkelgröüse. Behalten wir die Kun»tanten g^ A, p und q unbestimmt, geben aber u einen bestimmten Werth, so kann man die Integration numerisch ausführen und erhalten nach derselben die Koordinaten ald Polenzreiheu nach diesen selben Grössen p, h etc. dargestellt Um die Begriffe zu fixiren, nehmen wir an. das« irgend eine Koordinate X nach der Integration durch die folgende Iteihe gegeben wird :
X^YiX{a,u)yhpqg' h' p q\ wo wir, wenn die Indices bei X angezeigt werden sollen, setzen
*■ Cni'm'
X(o, «)= X (a, tt).
ktMM
Die Koefticienten X sind nun, indem wir vorläufig von den sekularen GUedem wegsehen, ia Fourier'äcbe Reihen nach den Vielfachen von u entwickelt, und die Koefficienten in diesen Ausdrücken sind allein von der Grösse a abhängig'); es wird unteräucht werden, wie sich das Tabulireu dieser Koefficienten bequem ausfUbreD lässt.
Zunächst ist ersichtlich, dass eine derartige Tafel für die Berechnung der Störungen der kleinen Planeten von dem gröbsten Nutzen sein wQrde. In Besitz einer Tafel von den Funktionen X hatte man in den Ausdrücken für die Koordinate nur die be- sonderen Wcrthe von gt h^ p^ q einzu^ietzen , um sogleich durch einfache Addition die allgemeinen Stomngsau.sdrflckc eines be- liebigen Planeten zu erhallen. Die ganze Arbeit um die voll- ständigen Sbörungsausd rücke eines Planeten zu erhalten, würde kaum viele Stunden in Anspruch nehmen. Weiter ist es zu bemerken, da.>i8 wenn nach einigen Jahrzehnten die oskulirenden Elemente des Planeten sich so viel geändert haben, dnss man
') Und von der EpocbelUnge, von der wir atior hier abveheo kOjuieii. la». auLb.-|kUyi. ci. 1. 1'^
SM
Sättmff der mafh,-jihjf0, CtoMW tarn 4. JaÜ /SM.
eine Uns;ena"iglcpit der Sfirunjc^nsdrCcke x« Ix-fOrcbten nnd somit; neae St&ningen berechnen will, to kann man lUbei wt«der dieselbe Tafel benutzen und die neuen StnrungitvriiMirtidE« ebenso leicht erbfilten')
Um benrtheilen zn können, in welchem Orafiing eine colclie Tafel berechnet werden soll, habe ich in der beigefOtifieii Ta- belle die 311 ersten kleinen Planeten nebst deren Ksentncitfil und Neiffun^ zusammengestellt.
Man sieht aus dieser Tafel unter Anderem, dias zwiscben log a^O.41 and log a « 0.50 Ober 200 tob allen Planetmi enthalten sind. Diese Planeten sind diejenigent deren mitilete ßeveganK zwischen der zweifachen mittleren Bewegunir roa Jupiter und der dreifachen derselben liegt. Ffir dieses Gebiet von a (entsprechend a-Wertbe zwischen 9.094 und 9.784) wird also die besprocbene Tafel besonders günstige Ke.sulUte liefern.
Wir werden nun das betreffende Problem etwas uäber nntenrachen. Han kann in vielerlei Weise das genannte Pro- gramm durchführen je nach der Wahl der unabhängigen Ver- finderlichen u und der Wahl der Koordinaten. Alle diew Methoden haben eine Eigenschaf) gem«n, auf die ich zuenl aufmerksam macheu will.
Betrachten wir die Stornngsfunktion ^i orler irgend eine Ableitung derselben, so kann man dieselbe auf die oben ge* nannte Form fDr die Koordinaten bringen. Setzen wir nan
ß = L ß («t «) ff Ä f g ff' A' p ?'.
so haben di« Q (o, u) folgende Eigenschaft. Man kann setxen
ß(ff.«) =il^(o,^J + iil(a,^) coäu -1- . . . + i>;(a.^)8inü-f..., wo
^ = 1 + o* — 2o cos (i •* -f JJ)
and Jl eine gegebene Funktion von a tsL
') In der Tbat braacfat man aar die aus den neiim ff,K f*^ lM>^' TflihnBdva KöTTektloasgUaiUr blntufDgen.
Churiier: Tabuliren Her Störungen der tieinen PianeUn. 291
Die ubige Keihe ftlr 12 (a, u) entliiilt immer eine endliche Zahl Ton Glieduro und Kwar ist diese Zahl nicht grösser aU
it + I -h w 4- » + A' + ^-f »•' + H -h 1 :
piter sind die Koefficienten immer von folgender Form:
WO wieder die Zahl der Glieder endlich i^t und die k Funktionen von a alU'in sind. In Besitz einer Tafel fllr die Kntwickelung von A' erhalten wir somit leicht die Entwickelung der Funk- tionen Ür- Wir werden einige ro« diesen Funktionen im Fol- genden bilden.
Die einzige Ausnahme TOn der obigen Form ist, du^ä in einigen Ausdrücken ein Faktor a\ü{Au-\-B) hinzukommt.
Wir werden jetzt zur Bildung der Funktionen fi über- llien. Als Koonlinnten werde ich Polarkoordiuaten , bezogen auf ein durch die Sonne als Origo gelegtes, festes Koordinaten- system, wählen ; als unabhängige V^eränderlicke wird die wahre Anomalie de» gestörten Planeten gewählt. In den Lagruuge'schen H Differentialgleichungen
I
r* coa' £• T7i T- 2 r cos' o - -7- — 2 r' cos o sin ft tt t^ ^ V dt' dt a t dt dt ^
^d*b.^ dräU ^^ . , ,(dt\^ „
fahren wir also statt i als unabhängige Veründoriiche v ein durch die Gleichung
r^dv^Ycdi
und wenn wir gleichaeitig - »tatt r anwenden, bekommen wir
nach «inigen Transformationen, die ich hier übergehen kann, das folgende System von Diäerentiatgleichuugen :
Indem wir ueu auf die 3t5rtmgvo entcr Ordnaoff be- [ik«0, küiiD^a wir diese DüTerentÜLtgleicliangea fblgeoder- ■n int^nrei);.
(B)
?-^.
«=«<, + »
l 6 = J, + *, wo r,, /, and fr, darch die folgenden Gleicbangen bestimmt sind:
(C)
P %
d?„
rf»6.
^-^> = cos.(l+tg»fto) ^ + co8»itg6„(l + tgn,) = 0. f!ur B«Etiinman|f von 9, ^ und £ bekommt man dann das
Chäriter: Tabultren der Slörtingen der Meinen PlitHcten. 29>'t
(X>)
ds
dv
= C08t(tg»ft-tg«6o) +
l + t«'i
■J^
r»rft
. H- cmS' [ 1 + 4 tgn„ + .-^ tg* y . ^ = c.
Wir bemerken, dafls r^, Ig und A^ nicbt ganz mit den an- törteo Koordinaten znsammenfallfln, da dieselben von v and ~nicfat Ton der uu^estürten wahren Anomalie abhängen. Weiter will ich bemerken, dasB man ohne viele Abänderungen in dem Folgenden statt den Gleichungen (A) bi» (D) die Laplace'&chen Gleichungen mit / als unabhängige Veränderliche anwenden kann. Ich habe die obige Foim bevorzugt, nar weil die Ent- wickelung der St(}rung»fuuktion sich etwas einfacher ge^^taltet, wenn v eh unabhängige Veränderliche benutzt wird.
Die Integration von (0) giebt
(1)
— = 1 -f- ^ C06 w + A sin V
sin &g «= |) ain V — q coa r
. r cwidv
•»"Jr-sinM'sinMp-
1 „ . 1
{V-S2)
Indem wir setzen (2) K = /.(i;-c) + c'
bekommt man fOr v den Ausdruck: (rt)p'=K-2/i(*/8in« -Aco8r) + 2(/;'sin T- A'cos F)
+|/i[(^«-Ä»)sin2p 2^Acoe2t']f^(i^'*-A'»)sin2r-|jVco82r-
-2^Sffl'[sin(tf-Fj+«in(v+nj+2;iA^'[co6(i;-K)+co8(i;+F)] -2//</A'[co8(v-r)-co8(r+K)]+2//AA'[-siu(i;-r)+«DKn]
Aer TCB mir in itiae» Asfiatx: ,filiwKrr ölrer t' IL') liiimilM IttAodt. im kk
Ia^vb vir wtzjra
|
(4) . - . |
|
|
mu |
|
|
1 |
i-^-'-'^f |
|
1 |
« 36 |
«o // dim Wink«! iniscben dem Badins Vehlar des gestGrtoi vaä des stdreodec E5rpen bexekhoet, who
H = CO« fr CO« / cos 6' cos /* + cos 6 sin / coe 6' sio T + hu 6 sio V.
Die Entwickelaog Ton -^, geschieht nnn in folgender Wei«e: *"
Ee ist
r"» = f*-f r'» — 2rr Ä
and also, wenn wir setzen
J^ = Q* -\- a* — 2 a a' cos w.
wo ond
so ist
JF" = r* + r'» - 2 r r // - a» — a'> -}- 2 a a' cos w. ») Bihang tili. K. Svenska Vet. Akaderaine Skrifter. Bd. 19.
1
Ciiarlier: Tofrultrtfn der Störungen der üeinen Planeten. 295
Führen wir jetzt die Bezeichnnogen
r = a(l-|-ß); r' = a'(l -|-e); fl'=cosw + M
ein nnd beobachten, dass man statt w Qberall ^q einführen kann durch die Relation
2 a a cos m; — a* + a" — ^
und die daraus abgeleitete
4 a' a'" ain« «; = 4 o* o'* — (o' + a'* — ^)*,
so bekommen wir
(5) F= (n» - a« + -=^5 e - (a» - a* - ^J) p' - 2 a a m
-f a" ß^ ^ a'« e« - (a« -f a» - ^) ^ e' - 2 a a « (e + «') -
— 2aa ug q\ und da
1 -^ \ 'A F Ifi F*
oder nach Einsetzung des obigen Ausdruckes (5) für f
r"* z^„ 2^ ^ ^^j;^^2l ^J ^V^
und wenn wir setzen
erhalten wir aoniit, indem wir gleichzeitig
a
a = ,
a
(ti) J^ = 1 + a2 - 2 a cos w = ,°
Ol
einführen, folgende Ausdrücke filr die Koefficienten 2):
J>m,-
2 d' '2 /I*
2^6^ -'^lar
Jetzt ^Uen wir
(7)
1
m
;''-'-^ = 2^'^.,-e'?'«-
und die Koefficienten P,,i^ erhalten dann folgende Werthe:
P = — P
_3a»(I-a«) la'
«" ~ 2 " ^J» 2 ^i»
I
CharUer: Tahutiren der Störungen der JUemen Planeten. 207
P — 15 g(l— Q*)* _ ß (21-6a*-15a*) ^ ^_^ j_ «" lü zl' 16 A^ "^16 ^» "^
P ^15«n -«V 9al + 2c«-3a* 3a 1 + 3 a» «*""16 ^^ 16 J" 16' A*
_ 1 5 a»(l +«*) _ 3 ^ "» ~ 4 J' 4 J»
_ _ 15 a(l-a»)» 1 a(15 + 6a«-21 a*) la(l-5a»)
+ -8^ + 2«(lH-a»)-2ozC
_15a'(l-a')> 3aMl+a') 1 «' g . "»~ 4 ^' 2 ^» 4^»
P Ä — P
■* 011 ■* 101'
Die Entwickelung von Q und i2 ist von eben derselben Form. Wir begnügen uns aber mit den obigen Angaben der Koefficienten P^ da es hier hauptsHchlich auf die Beurtheilung der bei dem Tabuliren notbwendigeu Arbeit herauskommt.
Nachdem jetzt die Entwickelung in der Form (7) erhalten ist, hat man die Ausdrücke fQr q^ q und u einzusetzen. Diese Ausdrücke sind bis zum zweiten Grude in ^, h etc. die folgenden:
Q= g cos v-h sin v~ ;^ (*'y' + A*)+ 5"(!?*~ A*) C08 2tJ-|-^9/*sin2t;
e' = — tj cos (y — w) — h' sin [v — w) +
+ /'.w' I e()st(?-f"*-'"^(2 V IC)] -j- fth;/[ sin w + sin(2t; — w)]
4" ., .'/ // [1 — cos 2 (ü — ici] — (/ h' sin 2 (y — w) +
+ ," i/ ä' [si'i 1*^ + sin (2 r — ip) ] ^w h h' [cos w 4- cos(2 v mj)]
-i-^Ä'A'[l+cos2(t.— tt-)].
298 Sitzafig dtr *»rt(A.-juA^s. i^atsf rom i, Jtdi iS96,
-i- cosht[- ^* (r» -^ h*) + ^i*(ff» — A*) coa2tt -|- 2/#»j|A atna» -C?'' + A'') f(>'*-A'»)cf»s2(p-ir) + 2yA'sin(2F-iF)]
[3
4- 1 0?'* - Ä'») siü 2 (d - w) - I ir'A' cos 2 (t^ ^ «•)!
+ 2^i^j'[co82tp— co92(p— ir)]— 2w<yA'[8in2K'+siti2(«j-«?)] + 2^A/[fiin2w— sin2(r— w)] + 2.uAA'[cos2^ir + co«2(t'*w)]
Diese Wertbe von p, p* etc. in (7) eingesetzt geben nna Diin die gewQttöchte Form für F. Wir scbreiben
(B) ^r*i* = jl{0) + ji(<;^l)cosü + j4(c-S)cofi2r-H. .
4- a (ä ■ 1) ain r + j4 (ä . 2) »in 2 r -h . , .,
ttud die KoefiicieQten j1 werden daon nach Poten5?rn Ton ^, <;' etc.
eatwickelt; eine Eatwickelung, die wir schreiben:
(9)
L- I- _i _■ ff t Wir n k' r m' M'
Die pr:*(:en Koei'fiKienten in <Iieser Entwickelung — bis zam zweiten Grade — werden wir jetzt anführen :
Entwickelung von A{0) (enthält nur Glieder geraden Grades in ^ A etc.).
0000
Ä (0) = Pooo
0000
2000 * "
002
') Wenn bei einer Funktion die Indicea oben oder unten nicht ange- zeigt sind, 80 8oU das bedeuten, dass dieselben sämtlich gleich Null gind.
ChartUr: TabuHren der Störungen der kleinen beuteten. 299
^C0) = ^(0)
OSOO 2000
2000 1 1
^ (0) = 2 Poio - CO« w ^001 + 2 ^020 + 2 8in» IT Poc2
0200 2000
^{0) = ^(0)
1000
^(0) = — P /ico8W-f2/iCOs2wP^| — 4^co8wP^ain*w+
1000
+ ^ cos w P.,Q -H sin w P^Q. sin » + /* sin io P^j, sin uf
0100 1000
^(0) = X(0)
0100 1000
1000
^ (0) = - Po,oM8intt7 + 2^sin 2 «7P^, -4/<9intt;P^^sin»w-i- oloo
-j- ~ sin w P,jQ — cos «7 PjQ^ sin tt> — /£ cos MJ Pq|, sin m;
0100 1000
^(0) = -^(0)
1000 OIUO
Die Glieder, die Ton der Bahnneigung abbäogeDf schreibe ich besonders aus. Dieselben lauten :
— ., (;>9' — i>'9)sin w 7'ooi " "^ [(p — ;>')*+ f?- 2)*] cos wP„,.
Entwickelung von ^ (c • 1) (enthält nur Glieder ungeraden Grades in g^ h etc.). A{c-\) = — P
1000 100
^(c. l) = 2/isinTüP
0100 001
1000
A_{c- \) = — Pcosw — 2Pain* w
010 001
0100
Ä{C' \) = P sin w — 2 P sin to cos w.
(110 (Ol
Die übrigen Koefficienten sind Null.
Wie fHlher bemerkt^ sind also — and das gilt aJlgcmön — die FunktioDen A entweder tod der Form F{J) oder i^(J) sin ir. D»s Dameriscbe Taboliren derbelben geschiebt äoaserst bequem, wenn man früher in Besitz einer Tafel für die Kotwickelongs- koefficienteii ron J* iet- Gesetzt
(10),— -, i V \ ^^ + 2jSncosif-r2.i^''cos2ir-f-...,
^) ft, iIm VerhiiltniB« zvüchen den mittJrrt-o Bewe^ngen. hängt
■r-T -f — -*.— "^uaen ab. AsB&herDtl i»t « = a
1
ChaHitr: TiUfulinn der Störungen dir klrtnfn Planeleh.
303
iid liekanuilicli die Kw^fticienlen f:/*'* Hir n*iwisj*e Werthe von. 8 taliulJrt in ilcni Hiiii klc^iicheii Tafdwerk^), jedoch für den jeUt voriii'HendeD Zweck in nngenOgender llmfaasuii)^. Duge^en sind vou Musal w.'hr ausfüIiHiche Tafelu vurfaimdim ßber die Eiitwickelunga-Koefficiwiteu in der Eiitwickeluug von der Funktion
[1 — o*aiD' m]*',
reichen die Wwrthe von /^J" nh|i?elt'itet werden können.*) )er Befjuemlichkeit halber eiuptiehlt es sich, auch Tufchi fDi' liit» Funktionen
zil b«rer.hnf!n. Sie sind indessen aas den Tafeln itlr J' sehr leicht 2U erhalten, da man hat
(II)
am 10
l "ji
NaobdeiD in dieser Weise die P, Q und R Ubiilirt worden sind, werden die Difl'erentinlijrleichungen (/)) für jedes a integrirt. Die Integrale werden zweckmässig auf die Fnrm
{ = Ä (0) -f fi (c • I) cos r -f- JJ (c - 2) C08 2 I» -t- . . -h fi (« • J ) sin f + iJ (« • 2) sin 2 r -I- . .
efat, wo die Kneflicienten R, nach Potenzen Ton ^, A etc. entwickelt, somit für jedes a tnbulirt sind.
n.
Die zweite Methode zum Tabuliren der Störungen der kleinen Ptnnettm werde ich nur kurz aki/^iren.
Dieselbe bernhi wesentlich auf die KinfQbrung des Gj'Iden'- scheu di&kontiiiuirlicheu Arguuienteä, und zwar vor der Inte- gration der Diflerentiiitgleichungeu.
M flniithflonian crnntrihution» to kmiwU^ilge Vul. IX. ^ ö)ph<> Hiilletin j^*troiioiiii(|iiP Jhd. XH'.iC, wuiierZunummfüiluuiK kwüchen iliowrii Kocfticießlen von Kadau anMiaaiMlergeKUt worden iiL
aUtum^ der math.-pkjf$. 0tu9B mom #. ;l)lCr 19K.
LCrinnt^rn wir kun an die EigenAchaften dm Too GfliMJ eingefQhrten Ärj^umetitea.')
Die SUJrung)ifunktiun und ihre pArticIlra Abt«£tm^H ■■ urvprnnglich von den Koordinaten de« ^estörU'n Körpen wvdll vio von denen des störenden Körpen abhunf^'fp. Vm d» b*- gration aiiir/.nfllhrcn, drtlckt omD umi die K * .t<>n \»ikr.
Körper durcb eine einzijfe Veräoderliclie aus, u _^f j;ewOtir-
lieh indem mtiu die Aiiadnlcke in trigonometrische Reihm mv wickelt. DieHB Iteihen 8chreiti*n nber nicht nnch d«ti Vielfach eine« eiii/jgen WinkeU turt, sondern outhfiLt«n, wi« taan auMlrückt, xwei .Argumente*. Nennen wir das eiae ArgamtntJ ao wird das andere fi f, wo /j gleich dem VerhiUtiitss xwiacbea ileii mittleren BewogQDgen der beiden Körper iat Dit erbaliNKB iteüien sind also Ton der Form
Könnte man jetzt cos /i v und sin f« v nach deo Vielfftcbeii voD V entwickein, würde mau die formell riel einfacbwe Bat- Wickelung
*^ • 8jn
Solche Reihen von . /< v sind auch möglich xu er-
erhulten.
halten« konvergtren aber ao langsam, dass dieeelben pruktiiicb unbrauchbar werden, ti^ld^n bat nun gezeigt, wi« man durch einen Kunstgriff Ueibeu der gewünschten Art erhalten kann, die gut konvergent sind, welche aber fUr jeden halben Uiulnuf neue Koefficienten bekommen. Man erhalt nämliofa
V-if**
l'— In,««
I (Jptf
1) 8i«lie (jjrlddn: .Grunddiufl^ of an method för bcrUViLiiLf^ af absoluta HtOriiigiu-*, Dib. tili. K. Vut. .\luL<lt'miii3 lluijdl innrer, ikl, 3, und Cbarlier: .Ueber die atlgumuini'n .lii|)it4!rftt>riin^fD <1m Plünelea Thetii* K. V. Akudeuiiui Handlinger Bd. 22.
Chariier: TabuXiren der StÖnmgen der kleinen Planeten. 305 v6 m eine ganze Zahl ist« so gewählt, dass
0^ bestimmte Zahlen bezeichnet.
Die KoefGcienten in der Summe rechter Seite sind nuu^) ^r alle geraden Werthe Ton in gleich und ebenso fUr alle un- geraden, und folglich hat man praktisch nur zwei verschiedene
Entwickeluniren von u v. Biese enthalten ausserdem den
•^ sin'
Winkel mf*/t^ der för jede« halben UnilHur den Wertli ändert. nnd dieser Winkel ist das Gylden'sche diskontinuirliche Argu- ment. Wir neuDen es X^'), «o dass
Führt man dieses hinein, so wird nun unsere Reihe die Form
(13) £B,^"'tr
^ ' Bin
bekommen, wo aber jetzt Bt von dem Argument X« abhängt
und somit filr jeden halben Umlauf den Wertb ändert. Man
erbält
(14) . . B,^b^-\-h,co$X^~\-h^cos2X^+ . . .
-1- c^ sin X« -f- c, sin 2 X« -1- . . .,
wo die h und c zwei Werthe haben, den einen fllr gerade »M, den anderen fUr ungerade.
Nun kann man das Argument Xn entweder vor oder nach der Integration einführen. In der citirten Abhandlung habe ich bei der Berechnung der Thetia- Störungen X« nach der Integration eingeführt, und es ist offenbar, da&s man auch so Verschiedenes gewinnt. Indessen dflrfte es zweifelsohne in den meisteti Fällen vortheilhafter sein, schon vor der Integration
') Wie iimii 11119 dem Fultlor (-- 1/*" aieht.
') Uei aiiiar tbaUächtichcii Ueciiutin^; euiptiehlt es Bicb, einen etwOH venchicdenen Werth von X^ «v, bonutxeD, uäintich
X^ = /« (m ii — c) -f- c'.
IBM». Maili.-ph]rai OL S. 30
1 ■
309
OefFentliche Sitzung
xur Feier des 137. StiftuDg^ta^ea
am li. Mlirz 1896.
Der PräHiüent der Akademie, Herr M. v. Petteokofer, leröfiiiet die Sitzung nnt folgender Ansprache:
Die öffentliche Festsitzung im Monat Mära jeden Jahres dient xur EriuueruDg an die Grdndnng der biiyeni^chen Aka- deniie der Wissenschaften, welche vor 137 Jahren durch eineu der Vorfahren Seiner Könglichen Hoheit des Prinz- Regeuten Luitpold von Bayern, tiosres derzeitigen Protectord, erfolgte, durch Kurfürst Maximilian Joseph 111. Alle Regenten Bayerns standen dieser Stiftung ganz im Sinne ihres Stifters gegenüber, weicher wörtlich aussprach, dnsa er dereu Protectur nicht nur lieissen. sondern aach sein wolle. Hervorragende Verdienste seiner Nachfolger hervorzu hohen, hatte ich in der letzten Öffent- lichen Sitzung im November vorigen Jahres Gelegenheit.
Die ho<:hverehrten An weifenden erinnern sich , daas ich Bohon wiederholt betont habe, dass Geldmittel für wissenschaft- liche Zwecke unsere Akademie bisher hauptsächlich nur von I gekrönten Häuptern aus dem Hause Witteisbach und vom Staate [«mpfangen hat, aber nicht, wie andere Akademien der Wi&sen- (schaften in so hohem Masse, auch von Privaten. Wie bekannt, bei uns nur zwei Privat^itiflungen, die Liohig-Stiftung, im Jahre 1870 Landwirthe und Freunde der Land- [wirthschafl, einer Anregung Uebiga folgend, 15200 Oulden schenkten, und eine Stiftung für Studium und Erforschung der griechischen Sprache und Literatur, wofür der Bankier Christ-akis
r gespendet bat- Die Rvntra dieser beiden Siiftnngen dienen ihren ganz scharf begrenzten Zwecken und die Liebig-SHflung wird ron einem eigenen Curi- torium, die Zograpbos-Stiflting von der philosophisch- philologi* sehen Classe unsrer Akademie Tervraltet.
Die historische Clause unsrer Akademie ist durch ein gnWM» Q«id»enk Seiner Majestät weitand König Max^ II. h» Grüadnif der historischen Commission hedatht worden.
Die mathemalisch- physikalische Cluse nt die &mKt«; m «rfordern heutzutage aber gerad« die NaturvisBefftschaiten, welche in ihr Tertreien sind, zu ihrem erfolgrnchea Betriebe lid grOnere Uitiel, ab ihr rom Staate gewihrt Verden. Di« SUab* regienmg beschränkt ihre Ziucbltaae wesentlicb anf Zwedu im Unterrichts und anf Erhaltung der winemehafUicken Sttoa- ivttgea des Staates.
Benie bin ich nun in der glftckticben Lege, tob ei nenen Stiftung n gumieu 4er k. ba,rer. Akadeoiie der W; icballc» zn spiechen, deren Renten aocb FoncfanB^Kwecka der »>thrwti9cb*pbrsikalixhett Oeiiwi la gute kommen kOonn. Is luflutuiui« Jahre nahm ich Gelegenheit, mit Hens Oosk Mmji'ttrath Lodwig Weinmamt dakier sa fprachen, vie «rte- wJbetiaw«th c« -m, dvi ebwiso wie in Bertia nnd W» maA m HSnehea PriftaÜftmgcn f&r die Akadenne der Vfvatit- M^aAeB gefuechi wftrdea.
Ben WeiBnaaa drUckle ^r gleich sät Wärae aeiBe a«f
IwdieW «i<l gmmm M«. «««■ ^ BOB ihr bt n«r fir ««iMe Bvso« fir üw Zwmk
r, Petttnkofer: An/ipracht.
8U
Ulla fufcm noch mehrere ZeichniiDgen in HElde m Aussicht stünden- Kr übergab mir folgendes ÖcbreibcD :
«Hochgeehrter Herr Geheimrath!
In l'olge der mir jf^ebenen Aiifforderun};; hübe ich bin heute 50 500 Mark )«ut underseitig^r Aufstellung an Zeich- nongen r.a f^nsteo der kgl. Akademie der Wiasenacbaflen er- hAÜen; weitere, ich bofle, nicht anbedeutende Zeichnungen stehen noch iiuä und denke iuh in Bälde darflljer Vortrag er- statten £11 können.
Auch habe ich bereits Anordnung getroffen, dass die Eid- sahlnngim der bisherigen Zeichnungen bei dem hiesigen Bank- Kuse Merck. Kinck k Co. zur Verfügung der k. Akademie der Wissenac haften erfolgen werden.
Die .sHiiiLlicben Geber richte» uu Sic. geehrter Herr Geheim- rath, die Bitte, diese Seienden zu einer Stiftung als Zeichen der grossen Verehrung ond des Dankes, welchen Ihnen die MUncbener für Ihr erspriemtiches Wirken damit aussprechen wollen, in der Art 3CU verwenden, dass die Bcjitimmungen fiber die Verfügung vun Ihnen, oder mit Ihrer Zustimmung festgesetzt werden, und daw die Stiftung den Namen:
Müuchener Bllrgerstiftung
bei der kgl. Akademie der Wissenschaften
•m Kbren des Herrn Gebeimratheä Dr. Max v. Pettcnkofer
tnigen möge.
Mit der Versicherung vorzaglicbster Hochachtung zeichne
ich aU
Ihr ergebenster Weinmann.'
In der Liste der hochherzigen Spender stehen folgende
Firnia tinbriel äedlinayr, Bierbrauerei zum äpaten.
, Georg i'achorr. Bierbrauerei. Herr Frufesnor Dr. Linde. Firma Kathretuers MalzkHtfeefabriken.
312
Oe/fentlkhe Sittung vom t4. Märe JS9S.
Herr Rentner MathisH Pschorr. . Keichsrath Huj^o v. Maffei.
Firma Merck, Finck & Co.
Herr Commerr.i^nrath Max Kiut<*rmann. , logenienr Heilmnnn. , GommercieDrath Bulliiiger.
Firma KunstmQhle Tivoli.
, München - Dnchaner Actien^«icll.schaft för IC«^ Acfainenpapierfabncntion.
Firma Hack er- Brauerei.
Herr Oominercienrath Weinmann. TJeberrascht und tief ergriffen sprach ich im Namen der Akademie der Wiaseosebaften Herrn Commercienrath Weinninnn den Dank aus und bat ihn, auch den flbrigen Spendern innigsten Dank zu sagen. Die Annahme der hochherzigen Stiftung ist Tnn der allerdings nicht za bezweifelnden Genehmigung der kgl. Staatsref^erung abhängig, welche zu erlangen ich niofat aäuraeii werde. — Dann ist ein Statut nuMzuarUjiten, welches die Verwaltung und Verwendung der Stiftung regelt and welch« die Wan&che der Geber thunlichat her Uo knie htigt. Der Titel iMOnebener BQrgerstidang* ist mir sehr sympathisch. Wir Aka- demiker mßssen stolz darauf ^ein, dsss die l>«yeriscbe Akadenu* die erste und ein/Jge ist, weiche eine BUrgerntiftung bwitat: aber gegen den fQr mich allerdings sehr f»^hmeichcll1aflen Bei- satz: «zu Ehren des Oebeimrathea Pettenkofer* habe ich schwer- wiegende Bedenken und werde bei Au:«iirl)eituDg da» iStatat« dessen Streichung beantragen, weil er der Stiftung nichts nOtzen wOrde. aber schaden könnte. Menschen und Namen (tind Ter- j^nglioh. nur die MQnchener Bürger und die bajenHchu Aka- demie der Wissenschaften werden fortl>est«hen. Stifltmgen mit Kamen zu bezeichnen, halte ich nur dann fUr zweckmäwig, wenn ett sieb um etwas hundett , was damit zum AbscUiiM kommt, oder wenn es der Name den Stifters ist, welcher da- durch verewigt wird. Zu der MUncbener BOrgerstiflung habe ich keinen Pfennig beigetmgen, und wpnn mein Name damÜ verbunden wird, kann es ihr gehen, wie der Liebig-Stidang,
V. Pttttnkofer: ^nipmcAe.
318
Hebe seit J*i» Hinacheiden des unvergleichlich grossen Forsche» keinen eiu%igi;u Zuvvachä mehr erbalten hat. Die MUncfaener BDff^er ehren die Wiasenschafb und ich wAnsche and hoffe, dasa auch KukUnflige Bürger die Wiasetuchaft unterstützen und fOr sie noch BedUrfniss beisteuern.
Diu Reuten der Müncheuer Bttrf^erstiflung werden fßr Dnrcbftlhrung Wissenschaft lieb er Arbeiten verwendet werden. Die Stifter erwarten nicht, dass die momentanen Ergebnisse solcher ForBchungen auch sofurt eine prakti&che Verwerthting ßnden niQssten, da ja alle wütsen, dass es fast ein Jahrhundert gedauert hat, bis die wisisenschuillichen Unter^uchangen rou GaWani und Vnlta fibor die Contact-Klektricitat zur elektrischen Beleuchtung und zur elektrischen Trambahn geführt haben.
So wissen jetst alle Bierbrauer, wieviel die wissenächafl- llchen Siudieu Über Hefe genützt haben, während das bayerische bierregulwtiv vom Jahre 1811, welches gesetzlich vorschreibt, was zur Biirrfabrication verwendet werden soll, dass dazu nur Malz, Hopfen und Wasser genommen werden darf, die Hefe noch mit keinem Worte erwähnt.
Die Ki^maschinen, denen Professor Linde zu einer ao groasen Anwendung und Bedeutung verholten hat, hätten nicht erfunden werden können, wenn nicht zahllose mUhselige und ko^t^■pie!i^fe Experimente über Verflüstiigung der üsise und Über Würme- bindung bei Verdunstung solcher FlOssigkeiten vorausgegangen wiren. Professor Linde hat sich als echter Mann der Wissen- schaft auch dadurch bewährt, dass er für die MQnchener Bdrger- stiftuug einen namhaften Betrag gezeichnet hat.
Den erstaunlich starken, felsenfesten nnd wasserdichten Mauern, die man jetzt mit sogenanntem Beton herstellt, ninssten die Untersuchungen Ober Silikatbildung vorangehen, zu welchen ein hochverdientes Mitglied onsfer Akademie, Johann Ncpomuk T. Fuch-s, whoM im Jahre 1629, hIso vor 08 Jahren, in seinen Abhandlungen OWr Kalk und MOrtel und über die hydraulischen Kalke den wi»<en»cbiiftlii:heQ Qrund gelegt hat.
Die Wisaenschafi entwickelt «ich nie sprungweise, sondern langsam organisch wachsend. £rst wenn eine besondere BlQthe
314
OeffentUeht SiUung odM U.
oder Frucht an den zahlmchfn , schon lunge. veffetirfndftaj ZweigpD am Baume dor KrkeiintniKs sich voll entwickelt »eigt^ err^t t» die allgemeine Aufmerksitnikeit. Die RiSntf^en^sehea Strahlen, welche xur Zeit so prosnes Interesse erregen, ^ind ein sclilagpndefl Ueispiel davon. Rönt^^en selb^ft heht hervor, das? er ohne die voraasf^egangenen UnteMUchiirig^n und Kntdi^'kimgen von Hertz, ohne die HittorPfchen nnd GeiKsler^schen R&hretii welche nur Fachleuten bekannt wurden, nicht zu aeineo so merkwürdigen Strahlen gekouimen würe.
Solche Uei^picle liessen sich noch viele namhaft machen, aber diese wenigen dürften schon genügen, um mit voner Zuverwicht hoffen und ftUAspri'chen tu kennen, dft« u ' Arlwiten , welche mit Hilfe der Mflnohener Hnr^cr durchgeführt werden und fibcr welche jUhrlich Bericht erslatt werden roII, allmählich glünzende Blflthen und FrDclite traget werden, wenn nur wissenschaftlich gearheit^^t wird. tTn^" dafür hat die Akademie der Wissenschaften zu mrgen.
Darauf theilte der Classeosekretär, Herr C. v. Vuit, toil das» die Olasse im vergangenen Jahre zwar kein einheimische Mitglied durch den Tod verloren habe, aber den Hingang von ttecUs auHWärtigen Mitgliedern zu beklagea habe, niluilich der beiden Zoologen Ludwig Ratimeyer in Basel und Sven Lovraj iu Stockliuhu, des Biologen Thomas Henry Uuxley iu London«'^ des Physiologen Carl Ludwig in Leipzig, de» Thytikerv Frnnx Ernst Neumann in Ktinigijberg und des Oculugea Jaine» t)wight Dana in New-Uavon.
Ludwig Rutimeyer.
Am 25. November I8M5 ist dt^r herv« B«wl«
Zoologe and Oeologe Lndwig ROlimeyer im . . L. t -^n-:»!*» gestorben. Er gehörte ru dm eigenartijjen kraftvollen .■" Naturforschern, welche durch die Gni*tartigkeit und Schönheit dur Natur ihre« Vateriande« xnr Beobaelibang und «ur Erk«an|
C Voitr Ntknlofj auf Tai3v^ Jt»Hmaytr,
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niw derselben (?etriel)en wurden. Er war ein echtw Natur- fursclicr: voll tic^eistening fllr steine Wisi^tiBchaft-, ein iinermnd- licher Arlraiter von iinifas«enHcm Wiwen und foiner Beobachtungs- gabe und ein geistvoller Interpret der gefundenen Thttt^aohen,
In einem kindcrreiclien Pfarrhaiise in Bif^len im Eiuraenthal um 2(>. Februar 1825 geburen. erhielt er Jen ersten Unterricht Ton seiiieni Vater. Dann kam er oacfa Bern na das Gynanasiom and an die UniversitÄt, um Theologie f.\i «tndiren. Aber die Naturwiüsenftchaften hotten ihn dchon im Uynina-iium so sehr gvfMselt, dii9s er auf Aitreguni; »eines geliebten Lehrers Bern- hard Stnder, der das ungewöhnliche Talent und den Eifer des jungen Studenten erkannt hatte, bald zur Medizin Oberging, rtut welclier aus »cliun mi Viele den Weg xur Naturfifr^tdiung gefunden haben..
Kr beftchrankte sich jedoch nicht auf medizinictche Vor- lefiuugen, sondern horte auch die alle seine ächülvr fUr dus Studium der Natur begeititernden geologii^chen Vorlesungen von Studer, und maoht<> geuloglscbe bixkunuonen. eo das» er noch ala Mediziner auf der Nnturforscber-Vcräuninilung in Sohtthurn Ober seine UiiterHUcItungen dr-r Bt-HvhHnfnht'it de» Lander« zwischen Thunersee und £ninie xur aUtertiären ^it berichten konnte.
Nach Beftt«ben dee medizinischen StaaUexanieii» und nach der Promotion zum Duktor der Medi/in^ uuOlr er eine werth- Tolle geotdgiHche DiKsertal ion flbur dos «chireizerische Numrau- litenterraiü geschrieben hatte, begab er sich ta seiner Ausbildung und itur Krweiterung xeines UesichNkreise«. wie es in der ?>chwttX rielfauh löbliche Sitte ist, mit warmen Km(ifyhlungen Studer's versehen, auf Reisen; dieselben fahrten ihn nach Paris, über die Al[>en nach Turin und Niy^ui an da.^ Meer, wo er nich mit der marinen Fauna, hesondens den Kirchen, bekannt machte, dann nach London und al« ür/tlicher Begleiter Dach Neapel und Palermo. Dabei lernt« er die berühmten daumligen Geologen und Zoologen die«er Orte perröulich kennen.
Da wurde der junge, viel versprecbende Gulebrte aU ausaer- ordentlicher Professor der vergleichenden Anatomie an der Uui- rcnität KU Born angestellt, wa» ihm ta «einer gro«i<en KreoiU
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0«lfentSv!^ SUruny mm 14. Märt iS9ti.
Lerm5glir.hte, Hie Median 7,n verlassen und sich ganz der Natrtr Wissenschaft zu widmen. Bald darauf erhielt or durch Pet* Merian'? Vermittlung die Benifung anf den neu f;(egrandet«n Lehrstuhl der Zoologe und vergleichenden Anatomie an d«r Baseler Universität, woselbst er trot« melirerer Rnfe »ein ganz*^ weiterps Leben, 40 Jahre hindurch, nU Zierde dieser Hrwh- schule, hoch geachtet und geliebt von seinen CoUegen und Schfliern, sowie von seinen Mitbürgern, verblieb. Hier hatt« er die ffir seine Thätigkeit richtige Stellnng erlangt, welche ihn anch mit einer Anzahl gleichgeinnntert trefflicher Gelehrten xn- sammen führte.
K"! Iä88t flieh denken, dass em Mann wie Kfititnpycr, lU von frOh an bestrebt war, sich HU'^gebreitete Keniitniw** 7U er- werben und das Talent fOr die Beobachtung der Natnr in hohem Gnule besftss. VorzOgliches für die Wiissensr^haft leif<ten nm«rt»T. Er bat ßich zu einem ungew5hulich vielseitigen Naturforscher eutwickelt, denn er war bewandert in der Zoologie der Siiuge- thiere, der Paläontologie der Wirheltbiere, der Geologie und Geophvsik, der Thiergeogniphie, der Anthropologie und Kthno- gmphie.
Bei Beginn seiner Laufbahn bettchiftigt« er sich nnter dem BinflosBe Studer's mit rein geologischen Arbeiten, aber bald lenllte sich steine Anfnierksamkeit den in den Gesteinen vor- kommenden Organismen zu. Man kann wohl sagen, dass er seit dem Tode von Hermann v. Heyer die erste Autorität im Ge- biete der fossilen VVirbelthiere geworden iRt,
Aus meinen geologischen Beobachtungen sachte er zu ent- ftehraen, wie die Veränderungen in der Vertheilung von Land und Meer, sowie die VerSnderungen der Gletscher auf die Knt- Wicklung der Sftugethiere einwirken. Zu diesem Zwecke rousst« er sich mit diewn geologischen Veränderungen auf der Krd- oberflärhe im Laufe der Zeiten eingehend beschäftigen und die Vorgänge der Vei^angenheit niis di*n noch vorhandenen Zeichen er^chli'uewn. Kr thiit dies mit selt^nur Be«onneiibeit und ohne der Pbantmcte zo viel fCanm tu geben. Die Resaltat« dieser seiner Studien und die darauf sich gründeodM geattvolten Vor-
C. Voit: Nekrohtj auf XMdvig liütimeyer.
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&(elluui;en bat er in der Peter Merian Kugeeigneien Schrift: ^Ucber Thal- und Seebilduni^^ uiedergelegt. Niebt minder chiih dies in seiner grossen geoIogt«chen Arbeit: «Heber Ptiocaco- und {:^i»f)eriod(>ii auf beiden Suiten der Alpen*, worin er natnentjicb die Sparen der Gletscher \ert<}\gie.
Die in den Pfuhlbuuten der Schweizer Seen von Ferdinand Keller in so grosser Anzahl Torgefundeaen Tbierraste gaben ibiu die willkomuiene Veranlassung, eine Geschichte der Wirbel- thiere der priUit.storischtni Zeit zu schreiheu. In seinen , Unter- suchungen der Thierreste aus den Pfahlbauten der Schweix* lieferte er eine uwböpfend« vergleichend -anatomische Beschrei- bung der wilden und sabuien Tbiere jener Zeitepoche; er legte die Uezitiliungen der Uau^tbiere den Menschen 7.u ihren noch wild lebenden Verwandten dar und beschrieb die Veränderungen, welclie die jetzt noch l)>bendcn Tbiere seit dies^er Zeit erfahren haben. Später hat er in ähnlicher Weise die am Salere bei Genf, sowie bei Thayngeu im Kunton SchafTbausen mit Spuren de6 Meoscben gefundenen* jetzt erloschenen Arten angehörenden Thieräberreste bearbeitet.
Herrurr, II heben »ind auch »eine Unier»uchun(;;en Über die fossilen Schildkröten der Steinbrüche im Jurakalk bei Solotburn.
Von grösater Bedeutung waren jedoch seine Arbeiten über die Geschichte und die rüumliche Verbreitung der fossilen und lobenden Säugethiere^, bei denen er aas den Formen des Scbädela und Skelett«« besonders aus dem Bau und der Entwicklung der Z&hne, die Abstammung der Säugethierurdnnngen ku erkennen snobte. Hierher ^ehurt zunächst die Arbeit über die fossilen Pferde der Diluriakeit mit einer vergleichenden Odonto^raphie der Hufthiere, wobei er durch die glückliche Benützung dea MilchgebiiueH eine uUgeiueine Sy:«ten)aiik der Hufthiere i^cbuf; femer sein Versuch einer natürlichen Geschichte des Rindes, worin er die Herkunft der mannigfaltigen Kaceu desselben tou der Tertiftr/eit bis xur Gegenwart verfolgte; endlich seine natür- liche Geächichte der Hirsche.
In iveiner letzten Arbeit, der eoclLoen Säugetbierfouna in den Büfanerxen von Engerkingen, gelang ihm der merkwürdige
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Oeffentlid^e Sittumff tom t4. Märt ISdt.
Nftchweis, da.4S zu der langen Festland/.eit der ScliweiK, d«r alttertiiiren Zeit, zu welcher der Jura und die Alpen noch ttichl bestanden, viele Säugetbiere, z. B. manche Halbaffen und ans- gestorbene ürup{>en von Hofthioren, cxi^itirten, wie sie in gleich- atieri^on Schiebten ron Neti-Nfexiko rorkoniuien.
Der heutigen Audbildun)^ der Zoologie, der feinen mili skopifchen Unter^iucbun^ der 'l'hoile der Thierc und dem Studiam der Entwicklungsgeschichte vermochte er nicht mehr au folgvn. Dagegen war er Überzeugt, das§ es in dfn OrgBni?>iuen eine zeitliche Entwicklunar. eine alltnühliche Umwandlnng der Kor- Dien und eine Verilnderlichkeit der Spesie« gäbe; hat er doch selbst durch Peine Unterätichungen viele Thatsaohcn zam Beweis für fliege Ani^;hHUung beigebracht. Aber d**r DnrwinWhea £r- klärang diefier Entwicklung durch die natürliche Antlesa t«i>-
^mochte er sich bei aller Bewunderung der Werke des genialen ^ngliinders nicht anxiit4chiiet«cn und noch weniger den gan« nnsicheren Versuchen, schon jetxt die 8chöpfqnKRge>ebicbt« und den Stammbaum de» Menschen festxuütellen.
Ei» sei D(>ch bemerkt, dass Rütimeyer ein gans TorcQgliebe^ Beine Schüler für die Wimenscbaft begeistcmder Lehrer war. Jeder fOhlle e«. dass ein Mann voll idealer Pflichterfüllung T€ir ihm stand, dem die Wiasemtchaft etwa« ernstes und beiligoi war; dazu gesellte eich noch der fesselnde, an Gedanken Vortrag und die glänzende Darstellungsweise. So kaut es, alle Btrebeamen, eine allgemeine Bildung suchenden Studireud der UuiTcrsiiät Basel die Vorlesung Hber Zoologie bei Kill nieyer hurten und einen geistigen Gewinn fflr das ganz« Leb davon trugen. Daas dies ge-*icbab, ehrt in gleicher Wtöte dna
-Lehrer wie den Schüler; gewöhnlich ftucht man hentantage leider uicht den Ucl^t zu bilden und zu erbeben, sondern w ■Mf Unsahl von EinzelnvorlvBiongoo das im Kxamen geforderte für einige Munal« auswendig zu lernen.
iiütimeyer hat für die WiMeiidcburt unendlich viel Gt gestiftet, was ihui nnvergenMin bleibtiti wird.
C. YMi: VAntog auf 8vtn Ludwig Lovin,
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Sven Ludwig Lov^n.
Das anawärtige Mitglied un^ierer Akademie Sven Ludwig; LoT^n, (Professor der Zoologie und Vorstund der soologischen AblheiUing fUr EverU'braten des nattir historischen Reich'miufi"nins iu Stocbhottu, ist am :t. St^ptttttiber 18^^ in dem hohen Alier von 86 Jabreu gestorben. Er war sain langes Leben hindnrcb unenridrlHch fHr die Wissenschaft thätig, ein ungemein sorg- föttiger uud grUndh'cber Arbeiter und der angesehenste Zoologo Sohwedena.
Am ß. Januar 18Ü9 in Stockholm geboren, studirfce er an den Landt'^utiiversitüten ('{täala und Lnnd. Nachdem er sieh w&brmiil £wei .iHltreu iu Berlin bei b)hrenberg in der Zoologie weiter anagebildet ood bei Carl Kitter mit der Erdkunde ver- traut gemncht batu*, wurde er als Dozent für Zoologie an die Diiirersität Lund L>erufen. Hier begann er Keine auägedchnten Unleniuchuugeu über die Meeresfauna an der weltlichen KOate Schwedens ; ^fniier führten ihn seine wissenschaftlich en Henen nac:li Norwegen, nach [''ionnmrken und nach Spitzbergen. Von Lund kam er in die Stellung nach Stockholm , welche er bis KU seiuem Tode iune hatte.
Seine Huu}itthuiigkeit galt der Erforschung der Morpho- logie uud der Entwicklung der wirbellosen Thture, sowie der gflographliclieu Verbreitung der Thierwelt in den nordlichen Gebieten. Die rfesnUate seiner r^tudien «ind in einer grossen Anzahl von Schriften niudorgelegt. Lov^n war ein moderner Zoologe, der mit ilen llitf^mitteln der neueren Zeit vertraut war.
Unter fleincn ersten Arbeiten xeichnet sich sein Beitrag xnr Kenntnim Ton Oampanularin und Syncoryne ans, worin er den IUm dieser Cototiienlbieru uud ihre Entwicklung darstellte. Forner die Abhandlung Ober Erndne Nordmunni, in der er die ()rgani»Mtion dieses kleinen, bis dahin anbekannten Krebaea, nein (iefjUs- und >' i * ni, seine Öinne^organe etc. etc. auf
das Genaueste bv-^' i' ht minder bedeutend waren seine
Arbeitim UU*r die Entwicklung der MoUnsken, über den Bau von MjnuMioma cirriferum, «ioca auf der Haut von Comatula
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Oetfentlidit Sittung vom 14. Marx J89€.
scbmarotzend lebeinJea Wurmes» ober die MeUmorphoM eines Gliedernurmes, über nordiächc Meereäniolluaken, Aber scfair»- diäche Trilobiten, die ältesten fossUen UeberreHe Ibierischer Organisation.
Einer Hervorhebung verdienen noch: die malaco logiseben MitthöilungeD, die Beschreibung von vier neuen Arten von SUninuser-Crasiaceen aus Sfidafrikn, dann die der Zungeo- bewafTnung bei Molhisken und besonders sein Index Mollitscurum litora Sc-andinaviae occideutalis habitantiuoi. Von grosser Wich- tigkeit sind seine Beiträge znr Kenntnis« der Entivicktung der marinen Masche Ithiere.
Seine beiden Abhandlungen Über einige im Wettw- nnd Wenersee gefundenen Crustaceen und Übr*r die O^itsee brachtt^n merkwQrdige Aufschlüsse Qber die geographische Verbreitung der Thierfornien in den arktischen Meeren und Hinnenseen nnd deren Ursprang. Als eine höchst bedeutungsvolle I/eistnng sind seine Untentnchungen Qber die arktischen Meer-Orustaceeo und See6dche xa bezeichnen, durch welche er nachweisen konnte, dass ein Theil derselben seit der Ei^/.eit in der ÜMtaee und den BinnenwäRs«rn Schwedens zurfickgebüeheti ist; seitdem Lavvo auf diese von ihm mit dem Namen , Relikten' in die Wissen- schaft eingefQhrten Thiere aufmerksam gemacht hat, wird da« paradoxe Vorkommen von Meeresformen innerhalb einer SQa»- wasserfauna nicht mehr als eine unerklärliche Erscheinung be- trachtet.
Kndh'ch mdseen genannt werden seine Stadien fiber die Echinodermeu, besonders über die Echinuiden, welche er bis in die letzte Zeit seines Lebens forigesetxt hat; er begrflodete da- durch die Morphologie der EohtnoidenM'hulen und bra- «I
Menge von lieobachtangen zur Organiiiation dieser ei^:.: u-J
liehen Thiere, r.ur Krkenntniaa der Veränderungen ihres Skel< während des Wachsthnnis und xu ihrer Entwicklung während der verschiedenen Perioden der ErdgcftcbichU*.
Aach für die Piilüontologie hat J^ov^n versehiedefle iobalts- Mliwere Beiträge gratet, ron denen vor AU«m dte Abhaod- laog flber Uyponeme Sarai von Cap York xo oeantB
C, VoUt K4knilo0 aMf TKom<u Utnry Hwelf^.
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Icber gegöuwarti^ oücb lebende HiuiMtcru in die Gruppe der Bttdeea oder Seeiipfel gebQrt, Diithin eiuer Claase fossiler
lilchiiiodermen zazuzäblen ist, welcbe bis dubiu als wäbrend der
palÄozoischen Zeit au^geätorben galt.
IjOTen hat sieb endlicb aiicb durch die Gründung dor
■chwedischuu zoologischen Station Knstioeberg verdient gemacht.
Thomas Henry Huxley.
Am 2d. Juni 1895 starb im 71. Lebensjahre in London der berübnite Uiologe Thomas Henry üaxlej* der »ich durch sein entschiedenem Eintreten fflr die fntwicklungslvhre Darwin's und für das H^cbt der Forschung, unbeeinfiusst von anderen Rücbfichten, die Naturerscheinungen m nntersucheo und ihre Un^chen zu erkennen, einen allbekannten Namen in England gemacht hat.
Hnxlpy wurde am 4. Mai 1825 zu Ealing in der Graf- schaft Middlefiex ah <ier ^Hihn einea wenig bemittelten Lehrers geboren. Sein Schwager, welcher Ar7.t war, (Iberredete ihn, Mediän zu «tudiren und verscbaÖ^e ihm die Zulaäsung in die mit dem Charing-Oroas-Hospital verbundene mediainiacbe Schale. Allerdings wäre er seiner Neigung nach lieber Maschtuen- Ingenieur geworden; die Heilkunat hat ihn auch nie besonders gefesaelt, es interessirte ihn nur die Physiologie, welcbe er die Baukunde der lebenden Maäcbineu nannte, und auch von dieser weniger die an der Organisation ubUufenden physikaliwhen und cbemiäcben Vorgänge, als vielmehr die wunderbaren formen und der mannigfaltige Bau der Malchin entheile.
Nach abgelegtem Kxauieu bekam er eine Stelle aU AssiätenK- arxt in dem Marinebospital in Hiular, von wo er auf diu brit- tiscbe Kriegsschiff .Kattle snake* versetzt wurde, wodurch ihm die erwünschte Gelegenheit geboten wurde, wührend 4 Jahren Fahrten in der Südsee, be^nderü längs der üättiuhen und nörd- lichen Kiute Australiens zu machen. Kr lernte dabei die merk- würdige und anziehende Meeresfauna näher kennen und 1^^ dadurch, wie seine Vor^^nger Darwin und Dana, den Urund
MM. MALL-pfej«. CL Z 21
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ÖrftenÜidu Sitzung vom t4, Biän 1896.
za seinen zoolo^schen und vergleichend -anatomiscben K^-nnfc- nissen, auf welchen er später seine theoretischen Anachauaogen aufbaute.
Nach der RQclckehr in die Beimatb wurde er Frofeseor der Naturgeschichte und Falänntolo^e an der kgl. Bergscfanle in London und dann nuch dtizu l'rofessor der Physiologie an der Royal Institution; später erhielt er aucli die Profeanir der vergleichenden Auatf>niie au dein Uuyal College of Surgeona. In Folge des grossen Ansehens, welches er sich durch Beine Arbeiten im In- und Aui«lande erworben hatte, fielen ihm rahU reiche Ehrenstcüeu und Ehreuerweisnngen zu : er war President der englischen geologischen und ethnologischen Oe^ieiUcbafl, Lord Rektor der Universität Aberdeen, Sekretär und Präsident der Royal Society in London und MitglieiJ des geheimen Hntbt>A.
Hniley war einer der th&tigsten Zoologen und vergleichen- den Anatomen, dcs^eu Arbeiten Hich durch ZuverläMsigkeit der Beobachtung und Schärfe der Änslegnng aufnu^ichneo. Er hat durch dieselben unsere Kenntniä^e von dem Leben der niederen Thiere, namentlich der BntwicklungHgesohicht« der wirbellosen Thiere, sehr erweitert. Ferner hat er durfih mikroskopsMb« Untersuchungen die feinere Stmktur der thieriHcfaen Organiamen erhellt und dadurch auch wichtige Au^chlQs»« aber die Organi- sation urweltUoher Thiere gebnujht.
Anfangs beschäftigte er sich, veranlasst durch das bei seiner vorher erwähnten Seereise gesammelt« reichhaltig« Material, mit den niederen Meeresthiereu. In seinem ernten gni!*erec Werke »Uistory of the Ozeanic Hydruzoa" brachrieb er in niustergiltiger Weiie die hOchat inierawonten Konuen der ■cbwimmenden R5hreni]uallen , welche in ao aiisgaaiprochener Wei«e den Kinäu&4 der Arbeitstheihiog auf die DiffemnxiraDg der zum Thierstock vereinten Individuen erkennen lanen.
In der Untersuchung Über den Flosskrebs, welche zugltrich eine vortrvfFliche Einleitung in das Studitim der Zoologie giebt, trat er jnierst für die Evnlutionfilehre ein.
Später befawte er sich dugehend mit deu anatomiacbeu Verhätlnitaen der Wirbeltbiere. Kr wiurde dadarch immer mehr
C. Voii: Kekrolog auf Thcmaa Henry Jluainf.
32.^
von der Rioliligkeit der von seinem Landsmann DArwin ver- treienec Anschauung einer allmählichen Entnicklang dor Thiere bestärkt.
In seioera groesM An&ehen erregenden Buche Ober die Stellung den Menschen in der Natur hat er die Oonsequenzeu der Lehret! Darwins fUr das Krscheinen des Menschen anf der Erde gebogen, indem er denselben, kflhn Qher Darwin hinauf- gehend, in den Kreis der tJlinähliohen Hutwicklung der Thiere aufnahm.
Seine Hchriffcen über die physikalische Grundlage derLebeus- crscheiuungen und Über das Leben und den Ban des Proto- plafliuas haben 7u der jetzigen Autfuaanng Über das Ziistaude- konimen der Lebenserscheiuungeu beigetragen. Er war fcrotx seiner Detail kenutniss duch kein Spezialist, er liebte es, all- gemeine Schlüsse zu j-.iehen und die gegenseitigen Beziehungen der einzelneu Naturwifisen$chaften zu erkennen.
Aber in der Auffindung neuer Tbutsachen anf dem Gebiete der Biologie lag nicht der Schwerpunkt seines Wirkena; das gröwte Verdienst hat er eich durch seine ganz eigenartige Thütißkeit als Lehrer, als populärer Schriftsteller nnd als Redner erworben.
Als Lehrer hat sich Hnxlfy von dem Gewohnten ab- weichende Anschauungen flber die Erziehung des Geisten ge- bildet. Er führte nicht, wie ee zuaiei.st geschieht^ jährlich alle ThatMoben seiner Wtüsenäirhuft den Schfliem vor, welche sie dann raccbnnisch ihrem Ge^ltlchtnisa einprägen, sondern er suchte dieselben zur eigenen Beobachtung anzuleiten und sie dadurch zn selbständigem Nachdenken nnd zum wahren Verständniss der Vorgänge zu bringen. Die Schüler fiollen nach ihm in den NaturwisHeoschatiten nichts in blindem Gluubeu an die Worte des Lehrers und an die üeberlieferang annehmen, vielmehr wo möglich Alles durch praktisches Studium mit eigenen Sinnen erkennen; danim brachte er in den Vorlesungen nur wenige zam Verstttndniss wichtige Thatsnchen nnd erläuterte ihre Be- ziehungen /.u dün allgemeinen Qesebseu. Hat der Jünger in solcher Weise einmal wissenscfaaflliches Denken gelernt, dann
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824
Oeffentiiehe Siltung vom U. Märt X86e.
wird es ihm leicht, in diesen festen Rahmen Hie vielerlei That- sachen einzuordnen und sich in den speziellen Füllen zurecht zu finden. Er bat wohl auch erfahren, wie suhlimm e^ zumeist mit dem jeUigeo Universitätsstudium bestellt iat, wo die Mehr- zahl der Studirenden im Absitzen der Vorlegungen ihre Schul- digkeit getban zu haben glauben and von einem selbständigen Studium kaum mehr die Rede ist.
Auä diesem ßesireben entstanden auch seine berühmten biologischen Lehrbücher, welche durch die ungemeine Klarheit nnd Schönheit der Darstellung, H)wie durch die gltlcklicbe Trennung des zu dem Zwecke Wesentlichen ron dem Unwoecn^ liehen als Muster von Schriften der Art anKuseben sind. Hier- her gehören: Das Handbuch der Anatomie der Wirbeltbiere, das Handbuch der Anatomie der wirbellosen Tbiere, die Ein- fabrung in die Classifikation der Thiere, die Vorlesungen Qb«r vergleichende Anatomie und die praktische Biologie zu deo Bootomischen Uebungen im Laboratorium.
In der festen Ueberzeugung der hohen Bedeutung der Naturwissenschaften für nützliche praktische Verwerthnng und für die Entwicklung dm (jvitii&n uud der Kultur schrieb er |x»- puläre Bücher und hielt uffeutLicbe Vortmge, wie sie bei streng wiasendchaftlicber AuSasnung wirksamer und venitäadlicher nicht g^eben werden küiinejj. li^r errang sich damit den beoeiden*- werthen Namen eines Lehrers des Volke«. Ks seion nur ge- nannt: die von It^osentbal ins Deutsche übersetzten^ ursprOng- lich für Lehrer nnd Schüler in Knaben- und Mädohen.<«cbuleu bestimmten Grnndzüge der Pbysiologief die Vortrige Qbsr das VerhSltnisB des Menschen zu den Thieren, über unsere Kenot- mme von den Ursachen der Erscheinungen in der orgauiJ^rbeo Natur» über die Entwicklungslehre« Über den Darwinismus, Über Wisaenscbafl und cbristlicbe Tradiliun, über WiwenKbaft und Kultur, über Kvotution und Elbik. Er suchte ferner mit all«r Kraft durch Gründung von Volkmcbulen die Bildung de* Volkes zu heben, denn in der B<ikumpfuug der UnwiawDhett erblickte er den Fortschritt des Moaschungescblecbtes.
C Voä: tfikroloff auf Thomas lltnry Uuxlty.
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Die Lehre Damin*« bat ihn von Anfanf? an ^ewalii^ an- geregt und er yertheidigie sie in Wort and Schrift mit dem grÖ68teu Aufwand von Qeisfc und Beredsamkeit gegen die mächtigen Gegner. E)s wird wohl kaum einen Naturfontcher mehr geben, der nicht die schon vor Darwin angenommene £nbitehnng der Arten durch allmähliche Entwicklung au3 den einfachateD bia zu den hdchnten Formen annimmt, wenn auch die Darwiii'&che Erklilrung dieärr Evolution dnrch die natflrlichc ZuclitwabI viele und bedeutende Gegner gefunden bat. Man vermag sich beut' zu Tage keine andere MSgUchkeit der Ent- stehung der Organismen auf der Erde zu denken und sie wird durch die Lehren der Entwicklungsge^cfaicbte, der vergleichenden Aniitümie und der Paläontologie immer wahrscheinlicher.
Durch vergleichend anatomische und entwicklungsgeachicbt* liehe Untersuchungen suchte er die Stellung des Meatcben zu den Thieren zu ergründen. Er sieht zwischen dem Menschen und den Thieren keinen grosseren anatomischen Unterschied als zwischen den uns nächststehenden Thieren; auch die Psyche trennt nach ihm den Menachen nicht prinzipiell von den Thieren, da bei diesen selbst in ihren niederen Kornien Spuren eines Sen- soriuuis zu beobachten sind. Trotzdem hielt er den Abstand zwischen den ziviIiÄirt<*n Menschen und allen Thieren fflr einen ungeheuren und betrachtete den Menschen nicht ata ein Tbier, wenn er auch vom Thier abstammt.
Er zeigt sich auch in höheren Fragen als ein streng ob- jektiver Naturforscher, der offen und ehrlieh »agt, was er nicht weiHs und nicht erkennen kann. Den sogenannten Materialisten, welche im Weltall nichts weiter kennen ale Stoff nnd Kraft und nothwendige Gesetze, vermag er nicht zu folgen; er weiss nicht» oh es ao ist, und kann auch nicht sagen, daas ee kein fQr den menschlichen Geist Unbekanntes und kein Unerklärliches ^be. In dieser Hinsicht nennt er sich im Gegensatz zu den Atheisten einen Agnotitiker.
E> ist natOrlich, dass solche Anschauungen grosse Erregung und heftigen Widerepruch hervorriefen, besonders in denjenigen Kroaeo, w«tcbe atnog an der Ueberlieferong nnd am Buch-
326
Of^nUUdte 3it9untt vom 14. Mötm t»9e.
$taben festhalten und dem forhHchreitendpn WiF^sen dos Metnc keinen Einfluas darauf gestalten. Die einmal entstandeDe Be- wegung läast sieb nicht mehr aufhallen, atich nicht durch Ver- folgung und Verdammung. Die VViiM«n$ch:if>. wird fortAfbeiUa und rauss versuchen, alle Krscheinnngen nach mechanischen Prinzipien zu erklären. Schliesslich wird sich beratusteUen, «ras die Wahrheit ist. Aber auch wenn die Entwicklungstheorie al» richtig erkannt werden sollte, wird sich an den weit Aber Bolcbcu Dingen ntehenden Grundwahrheiten des Christenthanu nichts ändern, so wenig wie durch die sichere Erkenntnias, das sich die Sonne nicht um die Erde, sondern die Erde um die Sonne bewegt. Man wird sich in jene Anschauungen ebenso gut finden und die Zeit nicht verstehen, in der man iu der Annahme einer fiolohen Lebre eine üottetUsternng nnd eine tiefe Bcbädigong der Religion erblickte.
Carl Ludwig.
Von der Generation der hervorragenden deutschen Phyno- logen nach Johannes MQller nnd Bmot Heinrich Weber ist am 24. April 1B95 einer der letzten Vertreter, Carl Ludwig in Leiptig, aus dem Leben geschieden.
Die meuten meiner (jenossen : Schwann, Brücke, Helmholtx, Du Bois-Reyroond, entstammen der Schule von Johannes MflUrr: nur Ludwig hat ron Anfang an seine eigenen Wege eing^ echUgen und sich ohne diesen roicbtigeu Einfluss entwickttlt; er fühlte sich aber denaelben im Geiste zugebürig nnd tst bald in freundschaftliche Beziehungen xn ihnen getreten, namentiicb für den genialen Helnihottz hatte er die hSohste Verehrung. 8ein im .luhre 1858 emcbieuene« Lehrbuch der Phjaiologie ist den Freunden Brücke, Du Bois-Reymond und Helmholtz ge- widmet
Die Richtung seiner Forschung war jedooh zumeist eine andere als die seiner Freunde. Wülirend diiMt, wie Du Bou* Reymond schon hervorhob, Aufgaben suchten, bei welchen dia Erecfaeinungen, insbwondtre die pfayaikalia^en , wie i. B. an
a V&U: Iftknlog auf Carl lMdwi§.
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ieoUrt*n Muskeln nnd Nerreii, möglichst einfadi lagen, betrnt Ludwig kühn Gebiete des leViemlen Or^ani-imus, io denen die Terwickeltaten Vorf{änge zugleich mit einander ablaufen, welche er mit grösstein Scharfblick und unerreicht«r Runiit des Ex- pehmentirens zu entwirren euctite.
Demjenigen, welcher die Entwicklung der Physiologie seit dem Anfang der vierziger Jahre aufmerksam verfolgt, tritt die Wirkung Ludwig's überall ent^effen. R^r hat die Physiologie mit einer ungemein grossen Anzahl grundlegender Tliatäachen bereichert und sie mit vielen neuen HUfämitt«ln der Forschung beschenkt Durch ihn vor Allem erhielt die Physiologie die jelüge liicbtung und Gestaltung; er war ihr gröttster Färderer und der auerkunnt« Führer seiner Zeit.
Das Leben Ludwig's verlief einfach iu rastloser stiller Arbeit als das eines echten Gelehrten.
Er ward am 29. De/.ember 181l> zu Wit^enhausen in Kiir- besBen geboren; sein Vater war während der uapoleonischen Kriege OfBaier und hatte darnach eine Stelle als Iteutmeiater erhalten. Nach Abäolvirung des Gymnasiums in Hanau trat er an die Universität Marburg zum Studium der Medinn Über, musste aber dieselbe wegen Konflikten mit den Behörden ver- lassen und auf ein Jahr an der Chirurgenschule zu Bamberg ZuHucht suchen. Nach Marburg zurückgekehrt, erhielt er nach Beiner Promotion die Stelle aU Protektor an der unter der Leitung des ihm freundlich gesinnten Ludwig Fick stehenden anatümiächen Ao^tJiU und dann eine ausserordentliche Prufetiaiir für vergleichende Aiiatoniie. Darnach folgte die Berufung als urdentUcher Prufefi^or der Anatomie und Physiologie nach Zürich und G Jatire darauf die au die damalige medizinische Militär- akademie, iliis Jo»ephinuni, nach Wien. Nachdem er daselbst 10 Jahre hing gewirkt hatte, gelang es (1dt>4) dem scharf- blickenden »ächsbiclien Cultusmiuister v. Falkenatein, deu be- rnhuiieti Ph^'ttiulugen für die Universitüt Leipzig an die Stelle von Ernst Ueinrich Weber zu gewinnen. Ein glücklicherer Griff könnt« für die Universität und für die Wiaseoschaft nicht ge- macht werden. Es wunle ihm gestattet, nach seinen Erfahrungen
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Lodwig hatte noch dt« Zeit erlebi. wo in Deoteehlaad di» fttr die EatvieUang der KeteiwiMeueiheft oad heMadwffi dv PfajaioSogiesovBbalTolie |{iclitqBgderW«larphThiniliielwiiK,h>«. TOD der Dor wenii^e nDchterne Foncber «cb gacx frei xa faeltes Termochten. SUttdie KncfaeinuDgea za beobeclitea, Er&hnn^ea vad TbaUaebea xd ■amfot^to uod ihre ünachen dordi Veno^ zu erkeanen, hat man mit Oleichniiien ood WociqiMlen die VorgftDge verbaut ood darch leere Speknlaäoaea, welcbe ni- letzt in ein diu völlig uoTerrtiadlicbeBi GeacfairUx aoaartetco, zu ergründen geroeiot, zu was and wodorth ein Ding 4a aei. Namentlich aaf dem Gebiete der Lebeflaendieiaungea hatte d» Wurt ,Lel>en«krafl*, die mit den Organen tbat. «raa ve will, and sich nicht nach den Gesetxen de» GeKhebeni in der flbiifgm Kalur richtet, jede wirkliche Foncbung im Keime erkkU. Viel Mfihe bat es gekoetet, aus dieser on|(lsabltcben Venrrong wieder auf den richtigen Weg der Natnrforsehung ni komaea; es ist eines der grösaten V^erdienste Ludwig*t, dam inii fpttnr Kraft beigetragen zu haben, nicht durch aiiaiUelmfteo, aoodom durch daa Beispiel seiner For»cbuDgtiwei«e. Fast bat e* daa Anschein, aU ob wir in manchen Stücken wieder io die FehUr der Überwundenen Naturpbiloeophie surOekfallen wollten; deaa es werden nicht selten beut' zu Tage wieder blose HjpoUMHB, welch« höchstens Mdglichkeiten sind, die auf ihre Wafarbait erst geprüft werden mOsiien, als glAnxendi' EmingenachafUa der Wii«enachaft geprieeen. Hoffentlich wird ona Ludwige Vorbild Tor einem atiennsligmi .Sieg solober SiteknlatiooeB Ober den roUhKaraeo fc^rwerb der Thatsachen bewahren.
Uan «uchie damal« die Lebeu«eraoheinunf;en sunftebtt «af b^anntere phjsikaiische Vorginge xurfioktufDhmi nnd spite* Mtt auf chemische, sowie die Physik firOber sich entwickelt bat
C VoU: Nekroloff auf Cnrl Ludwig.
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als die Chemie^ welche letztere erst seit Liebif;'^ energischem Eingreifeu fUr die Pbysiolugie mehr au Bedeutung gewann. Waren doch die bahnbrechenden ßntdeekungen und Ideen des Chemikeni LaToiaier lange an den Pfay«ologen fast »purid« und ohne Verständnis^ Torflber gegnnf^n; denn Jubannet« MuLler äusHerte sich noch 1885, Lavoisier habe die Bildung von Wasser aus WasserslufF im Tbierkörper durch Oxydation nar zum Vor- theil seiner Verbrenn ungstheorie erfunden. Dieses spatere Ein- treten der Chemie in die Physiologie hat zu einer mehr pbyäi- kalüichen Aiuhildnng Ticler Physiologen gefOhrt und in Folge davon zu der unseligen Abtrennung einer einseitigen physio- logischen Chemie, während doch die meisten Lebeuserscheinungen auf gleichzeitige physikalische und chemische Vorgänge unter den Bedingungen der Organisation curückgeführt werden mQaaen. Obwohl schon längst vor Ludwig und seinen Zeitgenossen manche Lebeneer^heinuiigeo auf den Gesetzen der Physik be- ruhend erkannt werden konnten, so kam doch erst damals die ^,jkrenge physikalische Denkweise und Mtithodik in der physio- logiscben Forschung zur Anwendung; Keiner war sich hierin klarer wie Ludwig. In der Kinleitung zu seinem Lehrbuch der Pbysiolugie spriclit er sich Ober das Ziel der Wissenschaft vom Leben in einer fQr seine Anffassiing charakteristischen Weise folgender Massen aus: .Dieser Erfahrung ent<tprechend xieht man den Schloss, daas alle vom thierischen Körper aos- gehendeo Leistungen eine Folge der einfachen .\nnehungen und Abetoasungeu sein mikhten, welche bei einem Zusammentreffen jener elementaren Wesen beobachtet werden. Diese Folgerung wird unumstt'isslich, wenn es gelingt, mit mathematischer Schärfe nachzuweisen, es seien die erwähnten elementaren Bedin^nngen nach Richtungf Zeit ond Maasa im thierischen Körper derartig geordnet, das« aus ihren Gegenwirkungen mit Nothwendigkeit alle Leistungen des lebenden und todteu Organismus herfliesaen.* Kr (^Lelltu autjdrflcklich die.<«e Autfiissuug als physikalische der hergebrachten Titalistischen gegunüber ; von Anfang an ging sein Beetreben dahin, die Vorgänge im Thicrleib in mög- lichst einfacher Weise auf mechanische Grundsätze zurück-
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Or/fentlidu SÜtunff wm 14. Hart tSM.
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Euftibren nnd eine sinnlich deutliche Voralelinnf; Toa dMinhc
sti bekoDimen. Allerdings rouaste er npät^^r bekrnnvn. 4m man sich die Snche nikcb den entten f^luckliofaim Anliofaia manchen Stücken einfacher rorfifeBtellt bitb«, mia •• tieh erwies, wo man immer mehr dms Einjfreifen der «o iiiipiMi Terwickelt«n Bedingungen der Or^anitiation erkannt«. Ladw bat diesen m&aesfj^ebenden Kinfiuss d(*r Or^anisBlion nie ttf- kannt; er war einer der enden Phjüiijlagen, der stetn di« fäsan Straktar der Thcile bei der Darätelltinf^ der Lebonsror^^iuF! berfi(!ksichtigte. Es war fUr ihn von fp-oeoer Bc<leutunK. dM er ein ^encbulter AnaUnn war und die roikroükopiach« Techeik iu uD^ewi5hnlicher Weisü beherrschte; dem Fbjsiolo^n erwwn daraus der WtinHch, nicht wie m gewöhnlich geschah, die todfa Tbeile mikroskopisch zu untentucben, sondern sie während da Lebens zu belauH4:hcn.
Seiner anatomischen Kenntoif» entsprang wohl aocb d« Tollendete und schunende Technik als Experimentator am lebe» den Thier, in der nur Matrendie oder Claude BerDard mit ilia XQ Tei^leicben waren, wodurch er wohl am meisten dazu bc» trug, die Physiologie in dieser Richtung zu einer experimenUlteil Wissenschaft auszubilden.
Ludwig war als Lehrer gleich auBgezeicboet wie alä Forscher ja 68 waren bei ihm die beiden Aufgaben untrennbar ▼ereinigl Von Anfang an^ schon in Zürich, arbeitete er ron KrGh fai Spät gemeinsam mit seinen Hchnlern, unter deren Namen g« wfibnlich die Ergebnisse rerufTentlicht wurden. Er gab die JedM passende Aufgabe, stellte den Gang und die Methndeu der Ver suche feät, erdachte die zur Durcbfnlirung nötbigeu Apparat« fQbrte die Experimente am Tbiere r.umeist sellK<t aus« ja be schrieb häutig die Resultate. Er übte durch teine Schule eina grossen Kinfluss auf die Ausbildung der jüngeren Physiologen die fast alle und aus allen Ländern sein Laboratorium aa£ suchten.
Um dem Leser eine Vorstellung von Lndwig^s Wirksam' keit zu geben, will ich nur die wiclitig<it«n seiner Ärbettea erwähnen.
C. Voil : Ntkrolog auf Cart Ijtttlwiif.
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£ine seiner ersten Unlereuchun^en , welche er ah Habili- Utionsschriffc ejngereicbt hatte, beächäfti^ sich mit lieii Ur- eacheo der Absonderung des Harns durch die Nieren, welcher er den charakteristischen Titel: .Beiträge zur Cehre Ton dem Mechuuiifmus der Harnsekretion" gtkb. Er lieferte durin in der That die er»ie phväikalische Theorie des Alisonderungsvorganj^ea in einer Drüse; er leitete die Uarnsekretion aus der Struktur der Niere und den darin waltenden physikalischen Kräften ab, indem er sieh vor^tellte^ dattg die im Uhite rorgebüdeten Haru* bestandtheile aus den Blutgefässen der Mal pighi 'sehen Bläschen durch den Blutdruck^ d. i. durch Filtration, mit einem Ueber- schuss ron Wasser ausgeüchieijen werden, und das letztere in den üarnkanfilchen wieder durch Oamose in das Blut zurück- trete. Seine Theorie ist zwar nicht gebliebeu« aber die durch Versucbn gefundenen ThatMchen, nach denen die Harnnhton- derung vom Blutdruck, von der Geschwindigkeit des strömen- den Blutee, den Widerstünden in den Üamwegen und dem Ge- halt des Blutes an barnfähigea Sboffen abhängig ist, haben sich erhalten.
Diese Arbeit Ober die äekretion führte ihn zu den wichtigen Voriuchen über die Osmase, den Austausch zweier L5saugen durch eine Membran hindurch« welcher im Thierkörper viel- fach Torkümub.
Eine seiner glänzendsten nnd vielleicht die folgenreichste .teiner Entfleckungen war die Erkennung des Einflossee der Nerven auf die Sekretion der Drüsen, inslM'srmderG der Speichel - drdwn. Man hatte bis dahin nur die VVirkuug des gereizten Nerven auf den peripheren Muskel gekannt, welche in einer Konnveränderung des letzteren leicht »icbtbiir ist; nun erfuhr man aber durch Ludwig, dass der gleiche Nervenreiz auch in emcr DrUse eine Aeoderung nach sich lieht, welche zu einer Sekretion führt. Man erkannte dadurch Iwsondere, durch den NerveneinäuHS Dusgelö«fce Thatigkeiten der Zellen dos DrUseu- pareochyms; die Eigeosoboileu dieser Zellen mushteti die Sekre- tion bedingen, und nicht etwa der Blutdruck, denn der Speichel zeigt sich wärmer als das der DrQ^ mgeführte Blut, ferner ist
OigfndfceAi ßitam\f
14. JUt» sem.
im Aimintouayili mk im AosAbmikgigtni^ im Orfbie giTWiwf •li dar BhrtdnKlc. ja « danert die Sekretion adbst aach Untei^ biadtug der Blulf^efässn noch fort Sowie der Hothc) bei der CoDtraktioD cbemiaebe Veriodenuigfa und der kleinsten TbeÜdieD er&hit, so iak die« «och an deo Dr ceUto der Fall, an welebeo dareh die widitiffea nil Beobachtoofcen Heidenbain^s aorh FonnTcrlodeningvn bei dv Sekretion dargethaa worden änd. Aber welche Erfahnngiea nnd welche Geaehkklichkeit gehörten daxn, nini enlen Mal» die feinen Nemo der SpeicfaeldiBam am lebenden Thier aaf- tu6adeu und dem Venoch zuffänjzlieh zu machen. SpÄter ist in »einem Labaratoriom ancb noch die Wirkong dar Nerraa auf die Sekretion der Galle nnd des BaoohspcMhelB RieprOft worden.
Dnmnf folgte die ingeniOm Erfindung einet Inctrament dei WeUensch reibers oder Kymographionü. mit welchem er raaehen Schwankangen des dorch Halee and PoiseuHle bekanotvn Blttidruckes aafteichnen lieaa, indem er auf die Qaecksilber dea Manometers einen Stab, den Schwimmer, au&etxte, der Bewegungen des Qnecksilbeni getreu mitmacht ood durch etnc Pineel auf eine durch ein (Thrwerk bewegte Trommel auf- xeictinet. Auf diese Weise erkttnnt« er Hie Aenderungen de« Blutdruckes in den Arterien durch die AthembewegungSBi eine Abnahme deaselben bei der Einatlimung und eine Zunahm« bei der Attsatbranng. Be war dadurch die sell>»irefnxtrirendt* gra- phiwhe Methode in die phjiiologiKhe FonKbiing einßefQhrt worden, welche Ton da tib Überall zur Anwendung kam, wo « galt, Bewegungen genau aufxuxeiohnen, wie %. B. die Muakol* contraktion durch das Mjof^phion oder die Pabbewegnog durch den Sphygmographen.
Von fri^n« beaondarer Bedeutung waren femer eeine Unter* •ochungen aber die ßlutgase und nber die IJrasche dea Uebnr- gang* de« Sauontoffee der Luft aus den Lungen in daa Blut und Ton da in die Gewebe, eowie der Abgabe der Koblenaftmit aus den Gewebes iu daa Blut und in di« Lungenluft, Lvtlur Majrar hatte zuent die bta zu einem hoben Grade vervoU«
0. VoU: Nekrolog auf Carl Ludwig.
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snimnetc Methode der Gasanaiyse von Bimsen auf die l'nUr- 9Uchung der ßlutgase übertragen, welche er durch Aoskocheo des Bhit«3 gewann. Ludwig wandte das Vakuum eu diesem Zwecke an und con&truirte die Biutguspumpe. Während Lothar Mejer die Kohlensüure nur zum kluiiien Theil ohne Weitares BUS dem Blute austreiben konute uml die Hauptnienge erst nach ZoaaU einer Säure erhielt, gelang es Ludwig, ins Vakuum die Kohlensäure fiist vollständig r.a bekommen: es ergab sich dabei, dass aus dem Blutserum der gröaste Theil d^r KuhlensÜura nicht in das Vakuum Übergeht, sondern erst nach Zusatz einer Säure oder nach ZufQgung von Blut; es haben also die Blut- körperchen die Kigenhchaft, die Kohlensäure auszutreiben. Auch führte er die ersten Bestimmungen der Spannung der Gase im Blute, in dem Blutserum und in der Ljmphe ans, woraus her- vor>;ing, dasi das Athmen auf einem Ausgleich der Spannungen der betreffenden Gase in der Lungenluft und im Ulute beruht.
Ks sind bei ihm auch Untersuchungen des Gesammtgas- wechseU au Thieren gemacht worden und zwar mit Hilfe eines Ton ihm erdachten sinnreichen Bespiratiunsapparates , welcher den Gaäwechsel während kurieer Zeit, einigen Minuten, ermitteln lasst. Ulla wurde damit der Kiufluss der Temperatur der üusseren Luft auf die SanerstofTaufnahme und die Kohlensäureabgabe, sowie der Gasaustauscb bei Eiiisprit£ung vou Nabruugsstoffeu und anderen Stoffen in dos Blut geprüft.
Lauge Zeit beschäftigten ihn die Vorf^nge am Her/en und an den Blutgefiiäseii. Kr untersuchte den cumplicirten Verlauf der Muskelfaireni des Herzens, dann diu Foruiveränderungen des- selben bei der Tbätigkeit, woraus sich die Ursache das Herz- atoases ergab, und die Entstehung des ersten Herztons. Dar- nach folgten die ungemein zahlreichen Arbeiten Qber die Innervation der Blutgefässuiuskeln und ihre grosse Bedeutung; es wurde gexi^igt, dass an einer bestimmten Stelle des ver- längerten Markes die Oeßaamuskelnerven entspringen und dass durch die Reizung difstes Centrums die Blutgefaase sich zu- SKOUDenzieheu bis fast zum Verschwinden ihres Lumens, und ao je DAch dem KrtegongBcastand dieses eogeoannten vaao-
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OfffenitUkt SitntMff mm H. IBärr iSStf.
motorischen Centrums di« WeiU der BltikgeAoae um! m die VertheiluDg des Bltit«8 im KOrp^r und der Blatdrack lirt wird. Durch Krnat Heinrich und ü^uard Weber wur deckt worden, dosit die Reizung des Nernis wf^u» di« cuhl des HerKens bis eom Stilbtand in Erschlaffung berftbtrtat; Ladwi); fand nun durch ganz Ausserordentlich fein» Erpcrinitti im Gehirn entsprin^nde be^chleunif^ende UersDerreo . w«kte b<>i ihrer Reisong zAhlrcichere Uerzschläge bewirkoo. £• ww den bestimmte Hezi'^huni^en der beiden Herxnerren, dar hc» menden und der boächleuni((enden, nachgetrie«ien. Bin bonodif» merkwtlrdi},;ßr Nerv ist der den Blutdruck regulirende Nermsi^ presflor; derselbe entspringt im Herv-en nad 6t«ht mit dem Gcfite* cenirum in Verbindung; seine KrrepuDg durch einen tu jgroMi Blutdruck bewirkt. Herahset/ung derTimüi^kritdesUeAaaoenCni^ Ausdehnung der Blutgefässe und Verminderung de« Blutdnxl&
Daran sch!ie*«eu siüli die vielen Untersuchung«*!! Ober S$ Blntfltrömung an. Die KrÜiiduiig der Strümuhr zur Be^tiramong der Ge^hwindigkeit und der Menge dm in einem Blutfcefwn während längerer Zeit strömenden Blutes, wobei sich ceigte, daaa diis PforiaderAyütem durch seine wechselnde Fnllung dw Druck iu den Äesteu der Ä.urta regultrt Kerner die bei hudvi^ begonnenen und von Hoaao fortgcoetoten pleth^ramographischMi Versuche; der ISHchweia von der Abhängigkeit des Blutdruckes von der Herxarbeit, der Weite der Blutgefässe und der Blut- meuge; die mit vollendeter Injektionstecbnik ausgeführte» Unter- suchungen der Anordnung der Blutgefässe in vielen Ordnen r.. B. in der Leber, den Muskeln, den Lymphdrüsen, im Dami, im Kehlkopf, im Auge, iui Trommelfell, im Ohrl&byrinth.
Die gröbsten Auf&chlGssti aber die Vorgänge im Tbier- körper haben Lndwig's Arbeiten ilber die Ent»teh«ng der Lymp und die Truachen ihrer Bewegung in den LyniphgefKaseu jgi bnkcbt Dieselbe stammt nach ihm aus dem Blut, dessen Plaai durch die dünnen Ocfaaswandungen durch den Blutdruck filtrirt wiril und dann alu Kruähruiig»flrii»igkeit die Organe durch- tränkt. Da er mm grusse Schwankungen in der Strömungs- geschwindigkeit und dem Dmck der Lymphe in den Lymp!
ier- !
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0. Voii : Nekrohg auf Carl Lmlwiff.
33S
gefltten wabmohni, ro schlos» or, diiss iler aber die Blutgefua^ wand hinaus wirkende Blutdruck dijr hauptsüchliclute Motor fttr die Lyniphbewegung aei. Dies ist aber nnr dann toö^licb, weiin die Lympligefa<)^e offen in den Gewebsmaschen enden, welche Voriiuss^tzunf;^ f^icb nun auch bei genauer mikroskopischer Prfifan^ aU richtig hemusstellte. In solcher Weise hat er in vielen Organen die Bahnen der Lymphe ermittelt. Ad Stellen, au denen der Lyaipbsirümung grOstiere Hindemiase entgegen stehen, wie in den gro&sen KiVperhöhlen, bat er besondere Pumpwerke Aufgefunden; in der Bnuchhöble sind es die Athem- bewegungen des Zwtirchfelles, welche die Lymphe in die Oeff- nungen der LymphgefiL&te in dem äehni^en Theil des Zwercb- felles hineintreibt und in der Brusthöhle ebenfalls die Athem- bewegtmgen, welche die Aufnahme in die Oeflfnungen an dem Bmstfell der ItCwiftcbenrippenräume rertirsachen.
Von gr&ster Tragweite sind seine Untersuchungen des Stotfweehselit einzehter Organe, was man bis dahin nicht ftlr nifiglich gehatten hatte. Zu diesem Zwecke schaltete er durch Abbindnng der BliitgeOUw gewisse Organe i. B. die Muskeln oder den Darm aiu* und beHtimmte die dadurch hervorgebrachte Aenderung dm Gesammtgaswechsels des Thieros; so fand er, dass nach Unterbindung der Darmarierien der respiratorische Qaiwechset um 30 Proc. abnimmt. 0(jer er schnitt bebtimmte Orgttoe ans dem Körper gnn£ ans und erhielt sie, indem er einen kOustlichen Kreislauf mittelst detibrinirten Blutes und anderen KlQaaigkeiten herstellte, längere Zeit am Leben. E^ sind dies die Versuche Ober den SUitfwecbael uud die Thätig- keit isolirter, Dbcrlebender Organe. t5o vermocht« er das Frosch* herz Tage lang am Ijeben und in normaler Thatjgkeit zu er- halten uud die Wirkungen von uUerlt't StufTün uud anderen EinäHssen, t. B. Terschiedencr Tempemturgrade, auf seine LciistuDg'jfahigkeit zu gtudiren. In derselben Weise stellte er Veninche an der isolirten Leber, an der Niere, am Dann und am Muskel un. An dem let:Rteren 7«igte ea sich, daas wnhreud der Contruktion mehr Blut Uindurcbäiusat und der Gaaaustansch erbaht ist, aber verliiUtDiwmättig mehr Kohlensäure produzirt
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fcOdRt, L & BD d«r Krtintnit d«r
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OMfctt fther ^ BiUttBg des Harn- ■ d«r Leber ob des Vontafen dvr-
bd iJuB fiber in So mrmi» s. B. oacb- TOO dtr Rai>-
U«b«r £e FuM« Sm ROefcvBawfai bc^BB sftbireiebc md pwflifpfle CalflnoctaigHi vor, wobsi «r die KoHi des Sx- pmBiBtiniK ud lefaeadcn Tbaera oad di» der Erfiadong sur Diiil— jliuiiidiiin htiftianBlv kkMt BfcInBBBriEMbidMille gfr- fiigiawr iMtn— BB*B in Tofluadüw flwiiB ^ml^ & oemittelie diduii.h den V^Hanf der TtriHngrVifc^fft ia den weina Süfagwi d« Backea— rfce». fcwwtliMii dir Lekre too d« Befcnw. «tedtrte die BiibiimIihii Bad die Aaebreitang der £r- TCgaageB oad mterhiwJ die Frage nach der Rtöbarkcst dee^ Blkhf laaiiu durch direkte Keizong.
El winn Doeh viete hwieahanie Arbeitaa sehr Inhaka aa&aiiUeB: Bber die Beriuiug dei PanntoOi im Blat, tber die EDUtefamg ^ Gelfaeadrt, den UaterMUed ia dtr Z^et" witiiiiig des ia da Magen nnd des direkt in daa Btot eiage- kfaebtea SwekneB, und die Ober die Wege der ReeorptiOB dce Hhreiaee, des Zocken and hwwdeni dee Fcttei aos dem Darm- kaaal aitd ibren Ueb«rguig lo die Blnt- oder CbjtoagiAbM.
KnHKch diiib noch eviflce Lehrbncbe der Phjniokigie g^ daeki werdea, «aldiee id ervter Aodaga im Jahre I86S «od ia iirnler Aoflag» ia dea Jahreo 185B— 62 eraebioB. Ei ist «in merkwBrdiges B«ch and nach dem Handbuch der Phjäo- kgie dea Uemeheo von Johanoei MOller da* origioeUaU and anregandiite Lehrbncb dar PbjMologie, vobl weniger flir den «nUn Unterrichi da Btodirandcn all fOr nifere Leaar. £a ■atetielMidet «eh ron den Lehrbttebern der frOheraD 2mk ganx
ff Ntitroiog auf CivrJ Ludwijf.
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lieh durch die schon erwähnte strenge Anwendung der scnschnft lieben Methoden zur Erfassung und Krkläning der Erscheinungen im Thierkörf>er. Durch die EinfUhmng neuer griffe und Ansdruck.swcifien mhien es daiuab schwer ver- liidlich, jetzt liest man e^ mit stets steigendem Intereesei seine Arbeiten haben zur Krreichung des darin gesteckten Ztelee viel beigetragen.
AuB dem Torstehenden üeberblick über seine Arbeiten geht wobt hervor, dftss Ludwig der vielseitigste Physiologe .seiner Zeit wnr, denn er hat die Physiologie auf fa^t allen ihren Ge- bieten mit einer Ffltle der wichtigsten Thatsachen beschenkt.
Kfi war vor Allem sein Bestreben, neue Thatsachen anf- Kotinden, aus denen er nur die nächsten Sc hlussfol gerungen zog; nie Terstieg er moh zu weittragenden Theorien ^ welche durch die nnchifte neue ThaUacbe wieder umgestossen werden können. Bei der streng naturwitsaeuschaftlicben Hichtung seines Geistes waren ihm alle in das Al>ätriikte führenden Auseinandersetzungen zuwider. Kr vermied anch den Streit, namentlich wenn tr, wie es leider jet/.t nicht selten geschieht, in unlauterer Weis« geführt wird, und er zog es vor, Material zur Entscheidung der strittigen Fragen beizutragen.
ALi Forscher und Iiehrer zeichnete er sich aus durch rast- loee Thätigkeit, seltene Pflichttreue, eine erstaunliche geistige Frische und jugendliclie Freude an Furderung neuer Thatsachen bis in die letzten Ti^c seines Lebens, und durch die Auf- opferung ftlr seine Schtller, die ihn wahrhaft liebten. Aber nicht nur fUr die Physiologie hatte er das lebhafteste Interesse, sondern fflr Hie Entwicklung aller Naturwissenschaften, ja aller Wissen sc haften. Für die Schunheit der Natur, fQr die bildende Kunst und die Musik, fdr Alles, was einen Fortschritt der Men^clilicit und ihrer sitLlichen Aufgaben brachtef war er voll Begeisterung.
Von hohem idealen f^inne liebU^ er die Wissenschaft und die Wahrheit um ihrer selbst willen, seine Person trat dabei völlig zurück. Frei von Ehrgeiz und Eitelkeit blieb er bei allem Bowusstsein seine? Wertiiee schlichtf freundlich und ffQtig;
ISM lUlk-^kyt^ O. L 33
dflft
nr mnr futttibw toA iliBte «all AacriEcnnnag der Vonüffori« Amknr.
J«il«r, ilv 4faMni Mmm ytn «dalrtm Cbanüttor twbtr H»to»ftwi^ nit nupftig von ifam «Icn Eiadnick einer ungewShik* hahtm «^Martapn pMiBaBeUtett, ainet raicheo Gebtei, ^ Mm alibaU lllr «di fnaabm. Seioe Rede war stete tod Be- teteaff, de naf{te fo« adtwUniÜgeni Urtfaeil und «e war fgf mtrtt dorefa vortrelTbchen Witz. Wahrlich, es i*t ein wnoder- faanr Maon, der aur xam Bcj^n dur Wisseiuseiuli und der gaiebfc kat, mit ihm dahingegaogoi.
Froax Ernst KeamanD.
Am 28. Hai 1B9& irt der ehrwQnlige Vatenn der kriege, soirie der Veteran detr l*hrsiker im AJkR- 97 Jaiireii ans dem Lebeo geeobiedeo, in den «r dwck und Lehre Ittr die Pkraifc Ofoat geedhaflea kafc. Br Begrtuder der tfaaoretiscben Physik in Zeit hindurch ihr BerTomgMditar
Kr «arde am 11. äefiemhar 1796 a rckenni&rk gebono» «oaelbct etSD Vai« mm «ansr [Aadmann war. Nach Ahaohnaf B«lia teai der 1 g; dbikaain g fteMfiger Jifler ia dM Kda«9» I
Tt Nekrotog tutf 7'VafUi EnH Nettmattn.
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ChristiAD Samuel Weiss erkannte seinen Wertfa ond forderte ihn in seinen Bestrebungen; jedoch war es vor Allem Aas eigene Studinm, durch welches er sein Wissen und Können in der Mathematik und Physik verToUkoinmnete.
Seine ersten Ärlieiten, darunl:«r seine Doktordissertation, mit der er zu Berlin promovirte, galten der l*]rforschung der Kr^^tallformen, welche die Aufmerksamkeit weiterer Kreise auf den junf^en Gelehrten lenkten. In Folf^e davon wnrdo er ah Priratdozent mit einer kleinen Remuneration des l'nterricht»' minidtcrium» iin die Univen^itAt Künigälierg berufen, an welcher er sein ganees Leben getreu verblieb nnd eines der berUhni- testeo Glieder werden tif>lUe. Kr hatl« da.'« Gidck, daselbst mit Bossel und Jacobi zusammen zu wirken, wodnrch die Univcr* sitfit Königsberg längere Zeit der Mittelpunkt der ostronomificlien und phy^ikali.'ichen Konchung wurde. Auf Bessela dringende Empfehlung wurde er bald zum ausserordentUchen und dann zum ordentlichen Profts«or der Physik und Mineralogie bc- ftirdert.
In klarer Krkenntniss der Bedeutung für die Ausbildung des jungen MaUieiuatikers und Physikers gründete er alsbald im Verein mit Jacobi ein matbonmtisch-pliyaikaliHchcs •Seminar, in dem «ich ttne ganz ausserordentliche, für die Wissonschaft fruchtbringende Thatigkeit entwickelLp. Vergeliens suchte er vom Staute ein physikalisches Laboratorium zu erhalten^ er mutete seineu Unterricht iu einigen Zimmern seiner Privat- wohnung halten, wo so manche wichtige Probleme nicht in Angriff genommen worden konnten; and doch braclite er ans dun ärmlichen Uauiuen der Wissenschaft die glänzendsten Gaben Aus dieser berühmten Kuaigsbergor Schule der matbe- matiscbeo Physik sind die ausgezeichnetsten Mathematiker ond Physiker hervorgegangen, welche durch ihren Lehrer ungeregfe worden waren und die von ihm geweckten Ideen weiter ver- folgten. Man braucht nur die Namen : Auwers, Paul du Boi»- ß«ymond, BorchonU, Urin, GleiHfch, Gordau. Ilease, Kirchhoff, Lipachitz, Luther, O^kar Emil Meyer, Lothar Meyer, Carl Keu- uno, Quincke, Uinwnhai», ScUrfider, Senff, W.Voigt, P. Volk-
OtffenÜH
rotii U. Märi l8De.
mit denen er vielfache KcNjfaaefalMtl
Idtendftr ftafler K<)r|ier, anatuHte.
Von )j;m86«'m Wcrihe sind auch »eine üntersochnngaii ^1 KlasticitäUverli&UnisäB <l(*r Krptalle, aus welchen «rdie(Wtil lind Fornielo, noch donen di« WinkelSndernngen der Kx7i«iä| bei einseitigem und alUeJtif^era Druck vor sich gehen« aUi
£r bescbilftigte uch dann mit der Theorie der C«piUin9b| wobei er kq dem Satze kam, dai» die Winkel, anter deonäl /uittandt! Af& Qtäich^uwicUbi drei Flflssigkeiteu l&n(cs Kante ztisauimenätosscn, ilire Bestimmung vull^äodig ihre Caput Rritiit5*Constaot«n finden. Auch )^b er eine Ableitung des PoitieniUo'scbon Satxea der FlOaaigkeital in Rubren aiu der Theorie der Reibung.
Bei Gelegenheit seiner Untenucbiinge»« inabewiMUn fa «lektro-dyoamiscbcnt erfand er eine Anzahl herhat sinnreicbe nnd brauchbarer Apparate und Me.-isinalniiuente, wie z. Ü. «» DitTurentialgalranomettir, den sur Bestimmung der nia^etiaeliB Inklination dienenden Differential- Erdinduktur^ das Kheoaifltar zur MessDug starker Ströme in absolutem Maass, die Terboscrte TangentenbiiBsole.
Auf rein mathematischem Gebiete bofhoste er sich nur mä der Theorie der Kugelfunktionen.
Aber nicht nur in seineu eigenen Veröffentlichungen findet sich das, womit er die Wissenschaft so sehr bereichert hai; Vieles hat er nur in den Vorlesungen seinen ScIiQiem gegeben; Einige derselben haben später das Gehörte ausammengcutelb und das ku&tbare Gut weiteren Kreisen zugänglich geouicht So manche Gedanken sind in dieser Weise ron ihm auerst aus- gesprochen worden und späteren For&chem zu Gute gekoiumen; ao entwickelte er in seinen Vorlesimgen die mechanische Wärme- theorie, auch gebrauchte er schon frGh den Ausdruck , Arbeit vorrath* und wandte seine Yorstellungeu darQber auf die W&r nnd die Elektrizität an.
Neuniann bewahrte sieb stete eine ideale LebenBanffassuT 80 wie er in der -lugend sich in Begeisterung ftlr das Vnt liind opferte^ gab er sich später der Wissenschall hin und BucbU
C. Voit: NtlanUog auf Jama Dwifftu l>ana.
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mit aller Krnft des Odiätes die Wahrheit durch die Erforschung der Ge8et/.e, nach deuen sich die Naturerächüiuungeu richten. Er suchte die wahre Befriedigtiag nar in der tieferen Erkennt- oifia der Dinge, jeder äussere Huhm und Vortheil war ihm gteichgiltig. Daher blieh der gutsse Gelehrte doch von schlich- tester Kiufachheit und Bescheidenheit. Bis in die letzte Zeit fleinee langen Lehens war er wissenschaftlich thütig und hewahrte luine geistige Krische und sein reges Interesse für alles Wissen. Durch sein tiefes Nachdenken und seinen reinen Sinu hotte er sich einen heiteren Frieden und ein inneres Gleichgewicht errungen . das diesen Ptitrinrchon der Wissenschaft xu einem der hebten und auch glücklichsten Menschen machte.
James Dwight Dana.
Der am 14. Aprit 1895 in New Haren im Alter von 82 Jahren rerstorbene Geologe und Mineraluge James Dwight Dana war wohl der angesehensto Naturforscher Nordamerikas und einer der eisten Kenner unseres Erdballes.
In Utica im Staate New -York am 12. Februar 1813 ge- Oren, kam er zu seiner Ausbildung nach New-Haven, woselbst er im 20. Lebensjahre in das berühmte Yale- College eintrat. Es war besonders der ältere Silliniani der Chemiker uud Mine- niogOj TOD dem er dorten Anregung zu naturwissenschaftlichen Stadien empfing.
Er hatte das Glück, auf ausgedehnten Reisen Länder und ere durch eigene Anschauung kennen zu lernen ond ^^n Sinn für die Beobiu;htimg der Natur zu scharfen. Zuerst machte er als Lehrer der Magnetik nnd Nantik au der Staafes- Navigationa - Schule auf einem KriegsschifTo von 1833 — 1835 eine Reise int Atlantischen Ozean und im Mittelmeer, wobei er die Küsten Frankreichs, Italiens, Griechenlands und der Tflrkei besuchte. Von grösstem Einfluss anf seine Entwicklung war die Anstellung als Mineraloge and Geologe bei der von den Vereinigten Staaten ansgerOsteten und vom Kapit&n Wilke ge- führten wissensohafilichen Expedition zur Erforschung d«i gnwsan
Oeffenltithe')
t4.
Oso^iis, welche vier Jahre (1838—1841) !n Aiisproeh tf sah dabei die bt!ideii KGsten von Sodamerika, ein« von Inseln das Stilleu Ozeans, dann Australien, Kea-I den Gilbi-rt- Archipel, die Karolinen- Inseln, die Saodwich-l und die Küste von Oregon. Nachdem er hier 8chiffbnRli litten und seine Ilabe, suwie einen Theil der SaimnltiDgfB loreu hatte, reiste er zu Land iiacli San Franciaoo and bibl von da Über die Sandwicb-Inseln, Singapor, das Cap der i^its Hoffnung nnd St. Helena in die Heimatb Kiirtlok.
Als er diese grosse Reise antrat, wuren viele ron den la^ de« Stillen Ozeans noch fast unbckaiiol und von der Ciritiattia unberührt« so daas sich ihm die reichste Geiegenbeit su Bf ubachtungen bot.
In den folgenden Jahren war er damit beschäftigt, £> reichen Sammlungen, welche er von dieaer Retse mitfpebracbt hatte, zu bearbeiten; in der grossen Beschreibung der Et' jiedition lieferte er den Bericht über die Zoophyton and iäk Krusfcenthiere des Stillen OKeans, sowie den über die geologischea Beobachtungen, beaondem über die Koral leninsei q und die vul- kanischen Erscheinungen in der Sädsee.
Dana hatte sich durch diese Leistungen rühmlich bekanol gemaoht, so dass er im Jahre 1850 zum Professor der Natur- geecbicbte und spater (18G4) zum Professor der Geologie tud Mineralogie am Y'ale-College gewählt wurde. Er blieb daaelhfit als hervorragender Forseber and als beliebter Lehrer tbatig bis zum Jahre 1894, wo er emeritirt wurde. Nach dem l{ncktritt vom Amte widmete er seine gauxe Kraft der Umarbeitang seines berühmten Werkes: des Manual of Geolog;. Zwei Mo- nate nach Vollendung desselben legte er sich zur Grabesruhe.
Die geologiäcbc Wissenschaft befand sich daniaU in hef- tigster üäbrung; die Neptunisten, Plutonisten und Vulkanisten waren noch in vollem Kampfe begriffen. Dana wandte aieh Turziigsweiße den Kragen der dynamischen Geologie zu und be- schäftigte sich dabei mit den grossen Problemen der Grdge* schichte: der Bildung der Gebirge, dem Kntatehen der Con- tinento, der Eiszeit, dem Ursprung der Vulkane, dem Auftreten
C. VqU: Nekroiog auf Jame* Ihcight Vau».
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der merk wörfl igen Korallcnrifle. Seine Anncliautiii^en ÜW die Gebirjursbildung, welche der von Klie de Beaamont, Alexander V. Humbuldt und Leopnld v. Bnch anfgestellten Theorie ent- >;egen traten, sind heut* za Ta^e die herrschenden f^cwordcu. Die jetzige Oeätaltung der Erdoberfläche leitete er Ton der Oontraktion der äusseren Schichten in Folge ihrer Abkühlung ftb. Die Untersuchungen der Geologie von New-IIaveD, Berk- shire, MassachosetLs, Wci<tuiinster etc. etc. sind Muster für Forschungen der Art. Sein Werk über den Bua und die Ent- stehung der Korallenritfe steht dem gleichzeitigen Werke Darwins ebenbürtig znr Seite. Auch die Abhandlang Aber die Ur- sachen und die Charakteristik der Vulkane auf den Hawai- Inaeln verdient besonders hervorgehoben zu werden.
Einen grossen Impuls erhielt die geologische Wisäenschaft durch das schon erwähnte Manual of tieolngv, ein umfang- reiches Lehrbuch, welches zum ersten Male die amerikanischen Verhültniä^e zum Ausgangspunkte der Betrachtungen nahm und sich »chon dadurch von allen bisherigen, meist nur auf Kuropa zugeschnittenen Lehrbüchern wesentlich unterscheidet, aber auch in der ganzen Anordnung des Stoffes und in der Behandlung der dynamischen Geologie so viel Neues brachte, dass es bald als das bis dahin unerreichte Muster eines Lehr- bucheä der Geologie angesehen wurde. Fast alle neueren in Europa verfossteu Lehr- und Handbücher der Geologie haben sich den durch Dana angegebenen Verbesserungen angeschlossen und sein berfihmtes Werk al» Vorbild benrttzt.
Nicht minder hervorragend iät Dana'» ThUtigkeit als mine- ralogischer Schriftsteller. Er ist als einer der Ersten, unter denen auch unser einheimisches Mitglied J. N. Fuch8 zu nennen ist, von den blos physiächen oder den naturhistortächen Kenn- zeichen EU dem System der cbemisohen Kennzeichen überge- gangen. Eh sind namentlich die chemischen Beziehungen der Mineralien zu einander und diejenigen der Kr}'stallform zur Zusamnicntwtzung derselben, welche ihn beschäftigt haben und auf Grund deren er für eine Reihe von Mineralgruppen eine ftuf chemiächeu Prinzipien beruhende Systematik au&tellte.
OrffetUfieH« <mny vom 14. Jlfärs IS9e.
welcli« einen wesentlichen FortAchritt nnf diesem G«bk<« biUik So iai er /,. B. der Grstr Kewe»Rii, welcher in die lerooe wi chemisch m verwickelte Famih'e di*r G] immer iniii«ErA]icB Di^ heii gebracht hat, und die lirundzll^e der von ihm an^goataAü Einiheilung denfelben sind auch nach den neoeaten Ponebm^ die maass^ebenden gebliebmi. Die Reaaltote dieMr Stadial wvte von Dana ftm volUtändigsten vervrerthet in eeiliem amCu^^reiclA Buche: .System of Mineraloge, ISHB*, das noch boale du hrii f'xistireude Handbuch dieser WiBaenftcbaft ist. Niobt goringm Anerkennung, als dieses Werk sich in den Kreisen der Fitt niünuer erwarb, ist in neiU^ren Kreisen auch seinem kürtes hehrbuche der Mineralogie und IVtrographie za Theil gewordsB. Petrographiucho llntersuclttingen über amerikanische GeifaiM bildeten namentlich iu den letzten Jahreu seines Lebens fo Gegenstand mehrerer seiner Publikationen.
Die ansscrordcntlicho Vicl.«oitigkeit Dana*a xeigt »ich aoch darin, daas er auch auf dem iiebiete der aysiematiscliea Zoologie eine Än/.ah] hervorragender Werke, besonders über das Ve^ kommen, die Lebensweise und die Organisation der Kitf kornlks in der SüdKee und über die Crustaceen geschaffen hat.
Er war auch Mith*?raiuigeber des in der Literatur hohen Rang einnehmenden American Journal of Science Arts vom Jahre 184(3 an bis zu seinem Tode, zu dem er viele Jleiträge geliefert hat; dieses Journal ist die bauptsich- > lichste Htätte fOr die naturwissenschaftliche Forschung in Theorie und Praxis iu Nordamerika. Dana hat mehr wie irgend Jemand dazu beigetragen, die Naturwii^enschaften in Amerika auf hobeu Stand zu beben, auf dem sie sich jetzt belinden.
Er bewahrte sich bis zuletzt das Feuer der Jugend und verstand es, während seines langen Lebens Schritt 7u halten mit den FuriHcbritten der Wiäuenschaft und deu führenden Gedanken derselben.
Er war darum stets bereit, frühere Anschauimgen den neuereu Erfahrungen der Wissenschaft zu opfern. Während er in den enten Auflagen stHnes Lehrbiirbs noch eine besundprv SchiJpfung der rielen sich in den geologischen Zeitabsohuittea
>ralkii
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C. VoU: NeknAog auf James Dwight Dana. 347
folgenden Arten der Pflanzen und Tbiere festgehalten hatte, vertrat er in der letzten Auflage die Lehre von der allmählichen Entwicklung dieser Organisationen.
Er war ausserdem ein ganz vorzOglicher Lehrer, welches Talent er besonders bei den Exkursionen in die Umgegend von New-Haven mit den vorgerfickteren Schülern nutzbringend ent- faltete.
Viele Ehren sind dem ausgezeichneten Gelehrten zu Theil geworden. Er war Mitglied unserer Akademie seit dem Jahre 1854 ; die hiesige Universität hat ihn bei der Festfeier ihres 400jährigen Bestehens im Jahre 1872 zum Ehrendoktor der Philosophie ernannt
romelchnlfM der eingeliinrenen Dmckf)rhHrt«ii
Juitiar bin Juni 1800.
Dl» vttrvhrllflhMi B«MllMliftfl«i and lD«titnt«, mJI wkichsn uttMr« Akadotul« 1» TsawliTffrkobr vt^ht, mntUn Babartan, iucluit«b«mlen VarxflIeliBia« luglKich ila KoipfluiicM- b<«UU(anK «■ balrscbtan.
Ton Foleend«!! OdseTUdltAfUfi uiI InaUtnton :
OestehidtineTtm tu Aacheui 7,*\Uc\r\t\^. 17. Band nnd R8gi<4t«r «um 8.— 16. Bd. 1896. 0O.
I/iHonAche Oeaellschcfl ih Aafau: ArffOTia. Rand XXVI. 189S. 8».
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idijjn lujjiHi.'r j;.iiif)udt'fi int CaxU-el BfUavia Aqdü 1060—67. lOWk 8*.
ddo
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SM
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ej Seidoai di mediriDB e chiruigiu. 7 Ilttflr. 1 40,
VerseichHits dtr tingtXauftntn Drucktekrifltn.
865
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Verein für GeschidUe in Frankfurt afM.t Archiv. Ul. Fol^'e. Bud &. 1696. 4^
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lUatui et lacane. da Ua»-d'aail.
Sitzungsberichte
der
köQigl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Glasse.
Sitzung vom 7. November 189G.
1. Herr H. Seeliqer legt eine Abhandlung: „lieber das Newton'sche Qravitationsgeaetz* vor.
2. Herr F. Lindehann macht eine Mittheilung: „lieber die analytische Fortsetzung derjenigen Funktionen, welche das Innere eines Kegelschnittes conform auf die Halbebene abbilden*.
3. Herr W. Dtck legt eine Abhandlung des Herrn E.V. Weber: , lieber partielle Differentialgleichungen, U. Ordnung, die sich durch gewöhnliche Differential- gleichungen integriren lassen".
1896. Hutb.-phya. Cl. 3. 36
373
Ueber das Newton'sche Gravitationsgesetz.
Von H* äcellKiT.
iMiftfin^ 7. Mntmhir.)
Vor etwa zwei Jähren ^) habe ich auf Schwierigkeiten aufmerksam RSDiacht. welche aoftretea, wenn man die Gültig- keit des NewtoD^sobon rtravitatioii^i^esetze« auf uiioruesshch groaBe f{äi>me ausdehnt. Die angestellten Ueberlegungeu ergaben die Nüthweudigkeit, Kwüchcn den beiden ÄnuabmeD eine Wahl lu treffen: 1) die Oesammtmaase de» Weltalls int unt^ndlich grosa, dann kann da« Newtnn'äche Oeset?, nicht als ni athematisch genauer Ausdruck für die herrächendeii AnzieiiungskrätV gelteu. 2) das Newton 'sehe Gesetx ist absolut genau, dann können nicht unen'Uich grosse Hüume det> Weltalts mit Masse von endlicher Dichtigkeit erfüllt Aeio. Da ich für dia xweite Annahme irgend weiche in*a Uewicht fallende QrOude nicht finden kann« habe ich mich a. a. 0. fGr die erste Annahme eut»chiedea. ^^eitdem ist mir bekannt geworden, dass Carl Neumann*) Achon früher auf Schwierigkeiten ähnlicher Art anfmerksam gemacht hat, die «ich ale speciello FäJJc der von mir vorgebrachten Argameote darstellen dürften. Die Zustimmung eines so hervor- ragenden Forticbers und auch der Umstand, daas sich die von mir angestellten Ueberlegungen zwar auch in anderer Form aussprechen laitseu. da^s hierdurch aber ihr wesentlicher Inhalt nicht sich ändert, k(>nnte es tlberflüattig ervchesnon lassen, auf diesen Uegenataud zurückzukommen. Andererseits aoheint mir
*) Ueber da» Ki»«ton'eche Gravi tatiomgeaet». AiUvn.Nuchr. No.S373~ ^ Vergl. Cturl Neumaun , AUgemeiot: Uulenruubiingeii Ober d»^ Nnwioti'<ehe Prinnp etr. [^ip»^ \WB, Ö. 1.
afi»
374 Sütung der math.-ph^$, Cltutt com 7. Jiovtmber J896.
aber die ganze Frage Ton einiger Tragweite fHr die gelammt» theoretische Astronomie zu sein ond deshalb eine eingebende Beleuchtuug zu verdieaen. Auch kann ich leider nicht be- zweifeln, das meine früheren Bemerkangen ofieobaren ftiim- Teratändnissen ansgeaetzfc gewesen fdnd, wie ich a. A. aus dem Ztuammenfaang schliessen muss, iu dem mein Au&ala csfcirt worden üt Aus diesen Gründen «cheint es mir nicht onnOti zn sön, die angeregten Fragen noch einmal zu besprechen. Es soll dies im erstten Tbeil vorliegender Abhandlung geschabeu. Das vorliegende Problem hat mit einem nndem aebr br- kannlen eine gewisse Aehulicbkeit. Cheaeaux und spater Olben (•teilten sich die Fruge^ wie es komme, dass die mittlere Flicban- faeiligkeit des Himmels eine sehr geringe ist, während sie der Sonnenhelligkeit rergleicfabar sein sollte, wenn man die Anxabl der lenchtenden Weltkörper anbegrenzt gross annimmt. Es schien mir nnn um itti wünRchenswertber, auch dieseit F'mblem eingehender, aUi es früher geschehen i§t, zu besprechen, al« man hierdurch zu der Einsicht gelangt, dass die Schlossfolge* mniren von Olbers keineswegs einwurfafrei sind. 011)f ' '~rt
das anscheinende Pamdoxon bekanntlich durch die r :•□
des Lichtes im Wettranme. Die Zaiässigkeit dieser Annahme kann natürlich nicht bestritten werden; ihre Nnthwendigkeft aber folgt keineswegs aus einer TornrtbeiUfreien Hetnicbtaag der Frage.
Für die Berechnung der Anziehung, welche die im Uot- versum vorhanileuen Massen auf irgend einen Punkt ausQben. wird man mit Vortbeil diese Maflaen durch eine continnirliehe HafisenTertheilung ernetzen, welche beliebig grosse xtiMmnien- bängende Raumtheile ausfüllt. Dies kann in der einfachsten Weise geschehen, wenn man die einzelnen Weltkßrper als Kugrin ansieht, deren Üichtigkeil in conoeotri^chon Schichten ange> ordnet ist. Die Anziehung einer solchen Kugel auf einen aosserbalb gelegenen Punkt wird nicht getUtdert, wena dmo ihre Man« in eonoentriseb wigoordnete KugeUcbicbWn ruu b*-
K SetU0tr: Uehw doi Newton'whe QTavüationMQewU. 375
Itebij; grossetn Durcbmesäer ansein and erzieht, soUni^e iinr der angezogene Punkt ausserhalb aller dieser Schichten bleibt. Mit den einzelnen Theiten dieser Schichten kann man aber ühu- Ueb rerfahren und so orgiebt sich, dass man auf unendlich liele Arten eine continuirtiche Massenvertheilung erhalt, die linen nusf^edehnten Raum ausfüllt und die jjleicbo Anztehitnf^ auf den betrachteten Punkt ausübt, irie der ursprüngliche Welt- knrper. Hat der Raum eine endliche Ausdehnung, an hat auch die erhaltene Massen dich tigk ei t Qberall einen endlichen Werth; man kann aber, ivic leicht zu sehen, stets die Substitution ao Ausfllbren, dass die Dichtigkeit eine abtheilungswoise stetige Funclinn der Raumcoc^rdinaieu Ut. Integrationen Gher Noiche Mu-NSt-overtheilungori bieten aber weder Schwierigkeiten noch Bedenken dar.
That«i&chlich sind freilich die Himmelskörper nicht con- centriM'h gejtcliicbtete Kugeln; sie fiind es aber sehr nahe, ao dftKf die erwähnte Substitution die vorhandenen Anziehungs- kräfte bia auf einen sehr kleinen Procent^atz genau 7um Aus- druck bringen wird und dies genügt vollkommen, weil es sich im Folgenden nur darum handeln wird, das Unendlich werden oder die Unbestimmtheit der AuadrGoke fOr die Anziehungs- krüt^ zu besprechen. Im Uuhrigen tätat sich auch ganz streng die KinfQhrung der continuirlichen Massenvertheilong recht- fertigen.
Die Anziehnng also, welche irgend ein Punkt A thatsach- lich erfahrt, wird dieselbe sein, wie die, welche ein Oberall mit einer Masse von der Dichtigkeit d belegter Raum auf ihn ausObt. Der Raum P wird im Inneren einen von Masse freien Hohlraum enthalten, in welchem Kich A befindet und seine Russere liegrenzimg wird alle vorhandenen Weltkörper nmschlieasen. Innerhalb P, der durch die beiden Radienvectoren It^ und Ä, timmt '\At, kann A als abtheilungsweise stetig verlaufend und überall endlich und von Null vorsclnedeu nngenomuien werden. Im Vebrigen kann auch in endlichen Tbeilen von P, d Null «ein, ohne die weiteren Schlüsse ungültig zu raacbco, doch ist M wohl kanm nCtbig hierauf Rfickaicht zu nehmen.
370 S4ttiui0 der matk.-pK/B. Ctass* oo« 7. JfortmAm SOL
In der NKhe von A und zwar in der Entfemf ^ mo^ der AtifanK eine« rechtwinkligen CoordiaatenmlaBl Eb »eien q und r die Entfeniungea eines MaMMMitH von A lip/.w. O, )• der Winkel dm OA, tp der Winkel dor Ebene Jm OJ und fiaer durch a gahenden fobs I Itit diuin diiä PolenttaJ der An/.iähuu>^kräfiQ swiacbttB ^ allgeniein durch
/•(e)
gegeben, so wird das Gosamnilpoteotial der huF .-I »hh Annehung :
!■•» n II.
u u fc,,
3a
oiid Z-
Hieran» ergeben sich leicht die ßröesen X
t'flr a = 0. Fahrt mitn xur BequeiuUuhk«Jt die I^nl« geTidre*»c'hen Functionen :
P* (coa y) —» CO» y t
ein, ao ist:
^ = |co--r-^
K
«I
U 0 iE,.
X wi die Bedchleuuigung, welche der Huiilit 0 iu der Kicbtil erfahrt. Die Grösse Z habe ich a. a. 0. die Zerrung gen denn Z'-da ist die ßeschleuuigung, itiit welcher sieb zw der sehr kleinen gegenseitigen Entfemiing Sa befindlicbea Pi von einander zu entfernen streben. ICs ßoU gletcii der spe Kall, in welchem
ist, angemerkt werden. Fflr diesen ist:
H. Sediger: Oeber das Netcton*»chf Graeii(tiu>Htgeseir.
5j. -t fit
* 1^9 1 finydy lA-r^'^-är
377
K
Äi
dr
ft
X, = (1 ^- „) Jd^ f Pl . sin y rfy f*5
0 0 Ho
0 0 /^
Für das Newton 'sehe GeaeU ist n = 0, also:
dr
(1)
/^= idip I um y dy iA*r*
dr
?»
dr
X, = f rf?' f /'* - sin y dy (a • ^, = 2 Jrfy. fP» . sin Y äyj d
(2)
Kl
r
fi«
Diese Aiudrflcke sollen zunächst näher befcrachtefc werden. J2o idt eine gewisse endtiobe GrSsse, 12, daf^egen wird immer grösser und grossem, je mehr wir von dem Univeräun] zu um- fassen suchen. Es wibchst also Über alle Grenzen und wird «chliesRlich schlechtweg unendlich. Dann aber können die in ßezng anf r genommenen Integrale in (2) sinnlo« werden, in- dem sie vollkommen unbestimmte Uuendlichkeiten darstellen. Ed intt dies ein, wenn d innerhalb unendlich grosser Strecken endliche und von Nnll verschiedene Werthe bat. In diesem Falle sind aber im Aligemeinen auch V. die den Punkt A alßcirenden Kräfte der Materie in ihm, welche durch die Zerrung mitbestimmt wird, sind durch sinnlose, völlig unbestimmte Ausdrücke gegeben. Sie ttind al«o für UD.i ebenso unerkennbar, wie die Grenzen des unendlich ausgedehnten Universums uns unfassbar sind. Etwas
,, X, und 2j sinnlos, und die Beac h äffen heit
m^km «Mite M» 4n Btrhhp. mn hb J; Mfcriilwmr W«lw ? mi 7 aa4 ^f >lihUgii Hut, «wa W«g »iMtoK •»« BM iBttfc Ibrtvftfacaies Tu •Ml i«^ V(/nil«llang «iMi ■nwirflwbw Humb afhai knn. Km (k^ .Unn «MIM Rmm mit biithiiiilur ni^iiiiiiiiBg dadnrdi in*« h» witrliMD, diM qum dicM Hmiwi Hilft nach gttoi \jmi\mm\»n ümHiu^ lieb onAnfbfirUch ftowiakaen UiBsi. Man kann X. H, f'm*- * ' uaoebmen und ütreo lUdioa waebae« Immii o<t«(r (Mn > 1 /.u Orand« l«g<m und xu den itnnwr
l|r/)Mwr wttrilfitdm cymfocslon Kllipmideo nlvergebeu. Welche KltUOiH wir iM Orundr Ir^co und nach welchem Oneb« wir nc WHiliKMi InaMin, it>i iiffembar unserer WillkOr uiheiinRef^ebco, il, hl ^1 i«l f*l'>H ^iLnx beliohigfl Kunotiou von y und v*« ^ (<ut ivHi'liwtiMhim r auf hn|ii<lii^r*m WVf^i' unendliob f^rowi* WoHhr Hdiilniint. Wrnii dtum «^ (turch Mannt«.* Functionen dorge- nU'III !■(, Iiiihii Miiiii U^ iinmvr w) wiUil'^n, daAS nach Beliehen A| Unit ü^ «Imin btwtiuiniton Siun bithält und bestimmte Wertb« Hiihiiiihit uditr niohl. Mim kann dos erstere x. B. leicht ef i«lohot), wohn diti InU^rolu
und
J'
rfr
UAch Ku|t«l^ni^f^n^n f>ntinckclbAr «nd und wenn die Kogel- HftlMtfiitvit trvi«r Onlttung iai «nbn Uilcgnl» vnd da» Kogvl- ftMMAtonvM »wvttvr Dr^nnir im t««it«a Inligimla eodüebe Cbaf- <»t>iilw> h«btftt. AU eialkelnl« Biri^iiil kana 4m Arinahwi *Mli{»hu»l »»i<twi; 4 •» OHMt. «ad H^ «« lUdrat cner iaaav «ilMr aMlwi^ia K^taL Dum Md 2. mod J^ atela «^ÖA WMi\ w^p a^NH awa »i» b a^^w*a K^«i4» Ukwuk in Di» AaaU aalfko- Ai «IMibaf MW4KA kWk
iw: WfM « afe
H. Steliger: Veber dtu Nmettm'ädu (iramtatkmafftMt*. 379
and uraf<ekehrt bei jedem vorgeschriebenen Ä, kann inati ^ «o wählen, das« die ^teuanutcn Grössen wiederum Iieliebige Werthe erlftof^en, also z. Q. unendlich werden.
Wir hatten soeben beispielsweise d ^ Const. angenommen. Ist dann Ii^ der Kadiiis einer nm A als Centnim gedachten Kugel. MO ist, wie btrrriU t-rwähnt, A', = ^j = 0 und diMe Grössen bleiben jedeufalts eudliob, wenn /^ irgend eine be- liebige Flüche definirt, da diese jedenfallji im h)udtiehen verlanfl. Nimmt man aber das Oenlrnin der unendlich grossen Kugel in der Kntfemung c von A, bo wird der Punkt nach dem Centrum mit der Kraft \nd'C ange-zx^en, während die Zerrung in der- selben Kicbtung gleich einer ficia endlichen Constanten muUi- plicirt mit i) iHt. Ist nun e beliebig gni^s, scbliessliib unend- lich gross, eo wini also auch die Bescbleunigang grosser al» jede noch «o gr)t^se Zahl und ihre Kichtung ist ganz willkHr- lioh unbestimmt, du mau das Centrum der Kugel in ganz be> liebiger Richtung gegen A legen kann. Dieses Beispiel ist dasjenige, welches Carl Neumann anführt. £r bezeichnet dann mit Rocht die dargelegt« ConHei|nenz des Newton *scben Ueset/es als alu»urd und schiiesst daraus, dass das Anziehungsge^etz bei hamugener Massenvertheilung auf Widersprüche führt. £» sei gestattet fflr constante d noch ein zweites Beispiel Tor/ufQhren. Es ist nach (2)
X^ = d prjP^ (cos y) dn Y lR| - Rfi) rfj'
«1
Z, =1. 2i Jr/7 ^/••(co.y) sin y I..g (^) ity 0 0
Nimmt man nun ftir das ürösser werden von J2 an, dass m (dne gleicbmässig in« Unendliche gehende Grösse sei und a eine
Zahl, die grösser als -^ ist, und sotxi man
log ^ = 0 m 4- M i" (cos y)
380 Sitsmf dtr «aill.-jA«w. ClaiM wmi 7. Jfwmhm tSO«.
«0
ao wird:
JT
II
d. b. also ee bleibt stete X, => 0 und die Zermng ttabegrenzt gross.
Ebenso leicbt liessen sieh lindere Beispiele wfthtAo , m deaeu A eine andere Function dee OrUs ttrt. Ka ont^rtiegt aber Iteiiiem Zweifel, daas die aufgedecicten Widersprncba fQr jede xnugliche und denkbare Massenrertheilang be- , uteben bleiben, wenn nur 6 die stets hervorgfholM^tie Kigen- ^schafl hat, da«» eä in unendlich grossen lUinnlheilen endlübr ▼on Null verscliiedene Werthe besitzt.
DieBe unlöebaren Widersprüche lassen sich natOrlicIi u«ch verscbiedenen Heiben bin beleuchten und in anden^r Form dar- stellen. Ich will die» hier nicht thuu , vielniefar nur ninv Folgerung ziehen, die sich auf die Gruudsfttze der Potential- theorie statzt.
Das Newton'ache Potential V erfüllt im ganxeii KenMC die Bedingung:
3»K
(3)
Wir denkitn uns. entsprechend der gewöhnlichen VonAaUmy im Weltall lauter isolirte keioflswegs homogene Weltkörper m^. m, ... mn mit den Dichtigkeiten <J, ,<*,.,. . Ini aollen die d gewiHae BediugunfiteD der Stetigkeit erfDll^a oi auch die Oberflächen der WeltkOrper dHrfen bestimmte Singti- larit&t«n nicht beeitr^n, da (3) und auch der Green 'sehe Sati zur Anwendung kommen aoll. Es ist also «'IF ks — 4 3t 4, innerhalb m^ etc. und BMwerhalb aller Maaseo int AV ^ 0. Kennt man dx^, di,... die Volumelemunte, «f«]« d«, . . , dj« UberSftchenelemente, »i . n, . . . die nach innen geriehtatea Hoc-
IT. Seetigtr: Ütbtr Au NtwUM'adu üramtnhfmtgtatte. 381
mulrn ilcr OhBrflKchi'n der Weltkörper w,, m, . . . , w giebt der Grwu'sohe >*iiU
^3K
Nebmnn wir eine geBchtosscne, muH willkfirliche Fläche 7**, welche die Massen m, , m^, . . . tHu umschliesst, so ist
•3K . . . r^y
dsu
^»/''+ ■■+J3V,
Wondet man denselben GroenV-hrn Siitz riuf den Kmmi üD, der durch F imd die Oberflächen der Miäaeu m^ . . . Mm begrenxt ist, innerhalb dessen also JK«: 0 jai, so kann man die Itttzte Qleicfaung auch tfchr«iben :
^- <i« = 4a (m, -i- . . . + m«)
Nennt man Jlf f ) den arithmetischen Miitrlwerth aller \3nJ
längs der Oberfläche 8 Ton F, wo aUo I d« ^ i5 iit^ dann
9n
erhalt man :
''(ID-"'--±s-
Denkt man "vich aäiumtliche Massen innerhalb de» Haiiuira li, welchen /' uiiiH:hlies»t, und deaseo Volumen Ji »ei. ^'leichuiujttfiij vertheilt, so erhalt man die gleich förmige Dichtigkeit dg, wo
R *^ = m, + . . . + m«
Man kann dann die zuletzt gefundene Gleichung sclureibeu:
n
4.tA„
S
382
Sil »mtf dtr «tolk-iifty«. dmam mm 7. iViMoifrer iSSV.
Die rechta Seite Itum nun durch Vfrytriiwjiung va beliebig fp'tiss ^nicbt Verden. Es mOssan abo anter den eis*
Minen — nnbegr^Bit gnae vwkoauneD. Nach der Poteotial*
theuri« Diflseen detnxnlbi^ im üntversnm nnbegrenEt ^an-^ endticb) groase Be^chleaniguo^eu rorkoaunea und ; bflt jeder denkbaren MutwütreriheUnnc^ Dai sind alao B«- w^^n^en, die mit eodlicber GcBchwiiidigkeit beginnend in •odlicber Zeifc xu aneodlich gimaaii QeKhwiiidigkeiUn fObren, was an öch arboo «ne absolute ünaaliMJj^l »it enthält, vrcüin Mftn nicht die f^anie Mechanik in Frage itellen will.
Sokbe Zw«if»l aa der ■baolulm Richtigkeit des Kowtoq*achen OaielaMB, wie die TOf^abnchtea« werden noch inioier. «cbeiat f«, mit Mkpatranen aofgenoaunen, obwohl m kaum mü^ch nia dOrfte, etwa« StiehhalKigw 8*0» «» wjwubfiBgen. Der Onrad hitrfttr wag darin tieK»ii, da« awa snm Theil inibig» der no- gaheoMiiu Krfolge der NewtooVhen Formet in der Airtronomit •ich nicht immer irBnOgend kbr mncht» dam dieae Formel niehlh attdarm iit «ad sein kann , ab ein rein caphdche« Geaeti. Dma m bei limw «ehr halben Grad der Aoniherang den that- ■khlielMtt Y«rhiltniwen ■wtafrieh^ daran wird fcewi« Niemand tu iwviMn wt^—, Mahr k^mi aber die Erfcfarnng nicht aa»- «mtm und M* hai b«* jetil aoeh dnn keinerwe^ mit der Sicher^ hail getban. wia «ieibah ceglMbt wird.
IH» im V<abiig>hindm tax Sfenthe gebnebten Ün$^ rviuilheit- ohwindea dnrch beliebig kleine aber
»udliirb« ' iioaea am Kewton*«ch*n Oesetc. die
«Mi in ttUe««i» giuama toaaen merkbar an werden brancben, uitd Mann» lb%l «cbmk dam dl» FmdMMg die- tioneft
bvtumwent dwek die IhfcbiMii^w iHnerbalk eo i K&ume.
wW dai |*kiiile>iji<im eomimail» bgüanirl m wmdat braaetit Am m»k iuaNiafeb rnhr viel y?iiium M^ae dm NewtonVbe Um^« da« ifciiAkit jgmmmn/tm Ibiliathiaifiii gcnOgen koaat«. lUbw dM IHiMlM^irinB I^mi nmben «bmrha«pt die Br- r«Uiu»mvM nbAl ntmw Mi «alM mbfc lohe Abwmchnngeo n« i*m gv»A»»H« iUm^i akil Sinbm^ail tmttttitm an kHaoen.
//. StiUffer: Üehtr äa$ Ntttton'Khe OracitaUofUfMiU. 383
Es ist, wenn anch wohl wahrscheinlich, donh keineewegs IbsUemtändlich, doss die AniiehuDgMln-äftij an alten Orten den Weltults denselben Gfesetzea folgen. Man kann ulso nur mit einiger Berechtigung^ vermutfaen, da»« t. B. die Beweguni^ der DoppeUterne, ebenso wie die der Planeten durch das New- ton'fiche Gi»et^. geregelt wird. Die Crenuui^keit aber, mit welcher die bekannten DoppeUternbahnen diese Vermnthnng bestätigt baben^ ist eine ziemlich ^^ringa. Wir kÖnuen, wie ich /.u wieder^ holten Malen naclidrOcklich ausgeeproohen hübe, nur sagen, da» sieb in den genannten Systemen die Newton'scbe Formel im Qrowen and (jnnzen bewährt hut; Über etwaige kleine Correc- tioiuglieder , die indewten doch innerhalb nnaereü Planeten- systomes zu den unleidlichsten MisAstimtnungen zwiüchen Theorie und Beobachtung Veranlagung geben werden, können die rer- hältni&sniä^sig wenig genauen DoppeUtenmieasuugen keine Aus- iiage machen. Wie ea »ich nun gar mit der Geltung des Newton*8ehen Ciesetzes, als genauer Formel, durch die wetten Kixüteruräume hindurch verhüli, darüber liegt bis jetxt auch nicht die gehngiite Erfahning vor.
Man kann aUu aus der Krfahrung nicht» ableiten, was die Unznliaaigkeit einer Oorrection des Newtorrtfchen Gesetze« dar- thlUe, wenn diese innerhalb imserex IManetensystem» nur eine gewüse Grösse nicht Übersteigt. Fast hat e« aber den Anschein, als ob man von mancher Seite dem Qravitationsgesetz die lOigen- ächaft eines aprioriätischen Erkenntnissreäultates zuschreiben möchte. Auch ist die Newton'scbe Formel aU mit unaerer ßauni- anachauung /.usnmnienbäugend, ja aus ihr folgen<), bezeichnet worden. Solche Auffaesungcn »nd bei vorurtheilsfreier He- trai'hiung einfach nn verstand lieh. That:jächlirh bat die Fnrm einet) Kraftgeeetzee gar keine audere Bedingung kh erfilllen, alu eine genOgsnd genaue, abn in letzter Instanz »ugenäherte, Dar- üleltung der beot>acbtet«n Bewegungen /.u sein. Diese Zusamuien- iumng der Thatnuchen in eine Formel erleidet nur die »telbst- TnatAndliche Einsuhr&nkung, das» sich au« ihr keine Ungereimt- heiten ergeben dUrfen.
Da also das Newton*t*ch« UeAetz nichts mehr tat, als eine
384 SiUuHf der noift.-jihy«. OZoh« vom 7. Nowmbtr $896.
rein empirisch abgeleitete Formel, die tDnerbftIb eogbegranxttr Räumt; einen hoben Grad von Annäherung an die Beobachtungen giebt, kann jede andere Formel, die dasselbe leisitet, an aetae Stelle gesetzt werden, iDsoferti sich dicker Ersatz dmrh andere wiiüieiiiichaflliche Röcksicbteu empäehlL
Die obigen Auseinandersetzungen haben ergeben, diM eine Correction des Newton 'sehen Gesetzes in jedem Falle schon des- halb wOnschen-iwerth ist, weil man hierdurch misshchen meta- ph^iioben Uetrachtiingeu über die Kndliclikeit oder Unendlich- keit der Materie entrückt ist, dass diese Correction aber aboofail uotbweudig erscheint, wenn man die Annahme nwcbt, die da« UniTersom ertüllende Masse sei unbegrenzt gross. Uieee letiteTV Meinung aber ist für Viele Kelbsivurvtündlich, für Andere freilich nicht, äie lässt sich aber meines Kmchtens gegm- wärtlg ebenso wenig wie in Zukunft durch Üeobachtui^ca /.ur Knl6cheidiuig bringen , wie uuiucbiiml versucht wonUo ist Schon die an sich durchaus plausible A nnabme einer Absorption des Lichtes im Weltraum Teriücbtet die Aus- sicht iiber gewisse t>egrenzte Entfeniuugeu Iiinaus leuchtend«- Wellkörper wahruebmeu zu kOnneni, und falls die Fixstem- räume anch von vielen nicht lenchteuden Körpern erfüllt lind, werdea die perspectiriscbe Verdeckungen, ferner aber aoch die Afaforptioueu iu den ausgedehnten Ncbelgebilden, die, mw neuere Ueobachtuitgen zeigen, uns allenthalben zu uiDgeb«& Hcheiuen, den Kaum, der unseren optischen Ufil&mitteln erreichlMr ist, Überaus beschränken. Von einem Hineiuäehen in dtax «un- uudlichen liaum' kann aus allen diesen CJrUnden keine Hede nin. Zudem handelt es aicb in den obigen Darlegungen gar nichl allein um jene Massen, die xuf&lUg sich in dem Zustande be- iluden, welcher die Aussenduug von ätrahJen innerhalb eiig be* greuzter Wellenlängen xulässt. Das Leuchten ist nicht Attribut der kosmischen Mu.*vH.*n, wie eigentlich selbitventiLndlieh, abw auch durch die Krfabrung nachgewiesen ist, wohl al^er mOven wir die ÜraviULtion aU ein solchem ansehen, wenn wir nicht von voraheirein ihr« uniTcnwllo Gültigkeit leugnen wollen. Aut dieMD Punkt soll im xweiten Abschnitte näher ein^^egangeo werden.
H. SteUfftr; Üeber tias Neteton'tchc GracitaHowtgtaett, 385
Die Ungereimtheiten, zw welcfa«D das Newton'ache Gesetz fCihrte, Ter»cb winden f(ir ein PoteotialgeMtz, fSr dw die in 1. vorkom tuenden Integrale einen Sinn bebalten, auch wenn A nberall im Räume endüclie Werthe hat. Solche Gosetee gtebt selbstTerständticfi anendlich viele nnd man kann demnaoh den an^ü^tellien üt^berlegungeu nicht dvn gerin^ten Schlusti auf die Correotionen, welche das Newton'ecbe Gesetz zu et^ hulteu hat, ziehea. Carl Keuiuaun hat aaf Grund der Feni- wirkung»lhei>rie die Sachhige iu Be^ug uuf die e1eclro>itati>«chen Kräfte untersncht und wenn auch die gewonnenen Resultat« nicht ohne Weiterem auf Gravitation«ei«cbeinnngen anwendbar aod, so wird doch die tKinetiige Analogie /wiKcben beiderlei Krftften die fundamentale Untersuchung von Neuuiaun auch för du vorliegende Thema Ton hüchster Bedeutung erscheinen luBen.
Carl Neumunu stellt sich a. a. 0. das schwierige Problem, jene Kraftg^äotsu xu finden, welche einen Gleichgewichtszustand der auf beliebii^en Condocturen ausgebreiteten electriächeu Haaee überhaupt xulasst-'n. Kr findet, dass eolche und zwar eindeutige Gleichgewichtuiufitäiidc, deren Existenz als durch die Erfahrung erwiesen angeeefaen wird, stattfinden, wenn das Potential der wirkenden Anziehung»- und Abstusmngskriifte durch die Fnrmel gegeben ist :
nr)=^+^+... (4)
und hierin die Grossen X iwmtiv, die A^ B^ C etc. von einerlei Voriwichen sind.
Wie mau sofort aiebt, hebt diesem PotentialgeseLz die oben erwühnten Schwierigkeiteu auf, »ubald die l endliche, wenn auch noch so kleine Grössen sind, denn die Ausdrücke I stellen jetzt endliche und hestimnite GrijS!«en dar. Als Grenzfall, näm- lich vrenn durch Annahme unendlich vieler Glieder die rechte Seite von (4| ein gewisws» be&timnites Integral wird, stellt sich daa Puten Ualguöetz dar:
A
fir)
(5)
386 SiUttnfj der math.-phy», Clasie com 7. November 1996.
Dieses Geseb. üt bereits von Green einf^ehend ontersocht und auf electrostatische Anff^aben angewendet: worden. Oa/t- selb« kann flir die Astronomie nur in Frage kommen« wenn i ein Überaus kleiner echter Bruch ist. Nach Formel (1) besei- tigt aber diese» Gesetz uicbt die erwähnten Schwierigkeiten, denn V^ und X, werden im Allgemeinen bei endlichen A durch sinnlose Ausdrücke bestimmt, während allerdings Z^ einen end- Uclien Werth erhält. Aus diesem Grunde muss dieses GeseU als keinen Vortheil vor dem Newton'schen gewährend abgewiesen werden.
Schon DHch den UnientuchuD^on Newton*» ist bekannt. dftss die Formel (5) säculare Bewegungen der Perihele der Planetenbahnen hervorbringt und es ist deshalb natQrlicb, dasf) durch eine pantende Wahl von X die bekannte Anomalie in der Perihelbewegung des Mercur erklärt werden kann. Dm- halb hat neuerdings A. HulP) dieses Gesetz in Vorechlag ge- bracht (.1 — 0.00000016) nnd Newcomb*! hat die<ien Vorschlag als plausibel erklärt. Nach dem Gesagten kann ich mich dieier Meinung nicht anschliessen.
Ich selbst habe') als Bei<tpie1 für ein FemwirkungügeKfa^ welches die besprochenen Ginwände bebt, die Formet fQr die An^iehuDg zwischen zwei Massen m und m* angefUhrt
m m' • e~^' .-. ifi)
Es sollte daniitf wie ausdrücklich erörtert, kein Vor9cb1af{ ftir eine wirklich an das Newton'sche Geiietz anzubringende Cor- rection gemacht werden. Ka war nur ein Beispiel beRbsichtigt« das der Analogie /.wjschon der Ausbreitung dos Lichte« und der Gravitation angepatst ist. Diese Formel ist Übrigens befreit« von Lapbkce*) erwähnt worden, der sie ebenfalls im Anachlua» an die Theorie der Ausbreitung des Lichtes in etPem abeor*
'} Antroooujic. Jotinml Nu. 327.
*) llifl Elutienia of Lhn foiir luniM- I'Uinetn. Wii^bibfrtoo IfQfi.
*} A>tr. Nachr. No. 3278.
«) Mtomiiiii« ctfiMto T. V. Um XVT. Ch.ip. fV.
if. &«K^rr.- Veher Hm Nevton^cht Gramlationiiitjc$cU. 387
birendeu Medium safgcetcllt hat. Das fDr diese Formel die Integrale in I einen Sinn buben, itit leicht kh sehen uud bedarf keines näheren NachweiseH.
Ob eine der Formeln (4) und (6) geeignet ist, das Newton Vhe Gesets zu ersetzen, darüber kann in dieser Allgenicioheit gegen- wäriig eine Entscheidung nicht getrofiTen werden. Im Sonnen- system hat bisher, bis auf sehr vereinzelte AusnahmeDf das Xewton'sche Gesetz ausgereicht, die Bewegungen bis ins kleinste Detail darziuitellen. Zu dioflen Ausnahmen gehört die lier^ts erwähnte Anomalie in der Bewegnng des Mercurperihels. Die Formeln (4), (5) und (0) geben sämmtlich eine solche Bewegung, deren Uetxag sich leicht berechnen läuat Die Coustauten i. in diesen Formeln !^ind von vomberein als sehr klein anzunehmen. Setxt man noch zur Abkürzung ('(1 -j-m)^/«, worin k die Gftuaa'sche Constante, m die Planetenmasse und 1 die Sonnen- mafiHi bedeutet^ so hat mau in Formel (4) (NeumanD)
/* -= ^ -h B 4- . . : /iÄ« — il a; -H ß/J 4- ■ . .
anzunehmen nnd erhält dann für die im Radiusvector r wirkende Coraponente der stürenden Kraft genügend genau
Die Formel (5) (Green) giebt Rlr K
Ä =
Al-r-^)
bliesslich (6) (Laplace)
Die Varitttionen der elliptischen Bahnelemente: e Excen- tricitlt, a grasite Hulbaxe, / Lunge des PuriheK si"d, wenn die wahre Anomalie r an Stelle der Zeit t als unabhängige Variable eingeführt wird:
de Ar'aintt 1 dv fi ^ a
IMNI. ■lUi.'pli)!. d. X
2ellr*mnv
dv
388 SitsuMff der matk.-pKtft. Cla$M vom ?. Noptmbff ftt94.
SScalare Glieder treten nur in x au^- ^^io® höehct «n&cb« llecbntiDg ergiebt, wenn man nur die erste l'üteny. von < miL- nimmt, sctiliesslich auch dv = n* AI setzt, ffir die Arr %eii jii entsprechende ääcnlare Aenderung Ay:
Neumann:
k'arn .. l* fi
-iz=*r,-j' = *-ä^f"- "
Green:
Laplnce:
= -^.w
Ai
Die säcularen Aendeningen des Perihelü sind ulsn fOr einzelnen Planeten nach
Neumann's Formel proportional mit y^ Green'«
Laploce^s . , . . -
Va
Setzt man Ax fdr Mcrcur 2U iO* im Jalirhuadert aa, welches der unerklUrte Tbeil der Perihellwwegung dieae« Plaii«l«ii ist, so wird für
Nennuinn lilre«n ijinlmr Ncwwimh
Veniw 5.V Kr 29' _8- + 37'
Rrde ((4 10 25 H H- 8
Mars 70 5 20 fi + 4
Es »ind in dieser Zusamnienstelluxig unter «Newoomb* di«- jenigeo Wcrtho fOr die Peribelbewegungen nebit na. FchUni angefahrt, welche Newcomb, al« durch die Theoritt nicht erkliit. empirisch aus den Beobachtungen abgeleitet hat. Diese empi- rifichen Correctionen sind durch NeumAnn^ti Formel gewi« nicht, dnrch die LaplaceVhe nur scbwerf durch die Oreen'ache sb«r aiifTnltend gut zu orkUren. Trotzdem nird man et a1« einm Zufall betrachten niilMseii, daH» (ir"4<n''< Koriiwl -«ii'h »m n«li*- A^-yx
ii. Seeiiger: tftt/er da» Ntwton't^e Qrtmtatioitegtteis. 389
BeobachtuQgen anschliesst Die Bedenken gegen diese Formel scheinen mir von grOssctrem Gewicht zu sein, aU die Ueber- einstimniung der angeffllirten Zahlen. Die HnomiJe Perihel- bewegung des Mars, welche liaiiptsHchltch den Ausscblag giebt^ erscheiDt nicht sicherer coiiätatirtf als andere von Newcomb gefundene eropinsche Glieder u. A. in dem Knoten der Veniu- bahn, welche durch eine Modification de« AnziehungsgesetzM Oberhaupt nicht dargestellt werden können. Es iät deshalb nicht unwahrscheinlich, dass die Bewegung des Perihels des Mercur, des Mars etc. in gan-i& andern und näher liegenden Ursachen eine Erklärang finden wird. In diesem Falle würden also vor- läufig überhaupt iiu Plaueteuäyatem keine Andeutungen vorbanden sein, welche filr die Nothwendigkeit einer Correctur des Newton- schen Gesetzes sprächen. Da diese Nothwendigkeit für eine unbegrenxte Anwendung des UrBTitationsgesetzee aber durch das Vorhergehende nachgewiesen ist, würde dies nur bedeuten, dai» das Planetensystem eine riel zu geringe Ausdehnung besitzt, um in dun vorliegenden Frag«i eine Entscheidung berbeifQbreu tu können.
11.
Ich gehe nun, wie oben angekündigt worden ist, auf die Fmge näher ein, ob die Anzahl leuchtender Massen im Univer- sum ebenfalls als unbegrenzt gross anzunehmen sei und welche Folgerungen hiermit für dit' Uelligkeit des UimmeUgrundea ver- knQpft seien. Im Weeentlicheu liaben wir es also mit einem Gegenstande zu thun, den f)lbers in einer bekannten und viel citirten Abhandlung^) besprochen bat
Olbera sagt a. a. 0.: «Sind wirklich im ganzen unend- lichen Räume Sonnen vorbanden, sie mögen nun in ungeföhr gleichen Abständen von einander oder in MilchstrosseDsystemen vertheilt sein, so wird ihre Menge uucndhoh und da müsste der ganze Himmel ebenso hell sein, wie die Sonne. Denn jede Linie, die ich mir von unserem Auge gezogen denken kann,
^) Ueber die Durcliucbti^ksit de« Wulttuunu. AtitrDii. J^hrbudi mr 1830. Olben' Werkt* I, Ü. 138—144.
S90 Sitgwtg der mathrphjfs. Cltutt mm 7. Novemlier 1896.
wird nothwetidii^ auf einen FixsUrn treffen und da mÜssUt jeder Ponkt am Himmel Fixsternlicht, Hko tSonnenlicht, xu- aenden." Aehnliche Betrachtungen hat flbrigen.«, wie W. Struve*) bemerkt hat, schon viel früher der Lausanner Astronom L. d« Cbeseaox ausgeführt. Der Gedanken^i^ang von Olbers ist, wenn die gemachte Voraussetznng unendlich vieler lenchtender Wel^- körper 2uge^beu n^rd, ebensowenig zu beanstanden, wie die weitere Folgerung, dass die Annahme einer Schwächung de* Lichtes beim Dnrchdringen des Itauraes, aläo einer Äb«>rption, abulich wie sie nicht gan?. durchsichtige Medien ausQben, alle Schwierigkeiten beseitigt. Dagegen iüt die gemachte Vonw»- Setzung nicht als eine nothwendige, vielleicht nicht eincniü all eine plausible xuzulaaseß. Wie Bohon oben erwähnt wordeu ÜL, darf nicht ohneweitereic die im Universum enthaltene Mocie, welche Gravitationskräfte aoäUbt, mit dem selb^tleuchteoden Theil derselben ideutificirt werden und wenn wir geneigt nnd die erste als unendlich gross anzusehen, so folgt hieraus noeb keineswegs, dass Gleiches fQr einen Theil derselben gilt.
Zuerst £oll der Ausdruck für die mittlere FlächeuheUigkett des Fixsternhimmels abgeleitet werden. Derselbe ergiebt sich ohne MObe aus den Betrachtungen, die ich in einem verwickej- teren Falle*) ausgeführt habe. Ein irgendwo im Welträume gelegenes leuchtendes Flächeneleuient de roüge dem Beobachter die Lichtmenge dq' zusenden , wenn es ^ei läge. Nun kann es aber durch davor liegende Weltkörper , welche hier der Einfachheit wegen als Kugeln angenommen werden sollen, verdeckt werden, in welchem Falle es die Lichtmeage Knll zusendet. Im Uittel wird de also eine andere Lichtmenge dq dem Beobachter zusenden und ee wird sein
, dq = dq' • fo
wo w die Wahrscheinlichkeit daftlr ist, dass das Elemi^t ilr von keiner davorstehenden Kugel verdeckt erscheint. Man kann
*) l^nde« d'AxtroDomie ■lelliiire pi^. 84.
^ Theorie der UeteuuhtutiK ütatilifönnietir kuiani)i(JiFr Mumh>ii. Ab- Itan'Iliinffitn tW H(im\vstu>T AkaUt^mie der W. Itiinü XViCl, ISUS,
9e3i^T Ueb«r das NewUm'Mhe GratitaHonigtteti. ^01
tv auch st\8 einen echten Bnicli bezoichnen, der den ftu&u- suchenden Mittelworth cbarakterisirt. Es mögen nun im f^nzen Weltraum, den wir nnä zunächst als einen irgendwie begrenziou endlichen Ratmi P Torstellen, N^ Kugeln mit dem Radius Q^^ K^ Kugeln mit dem Radius o^ etc., ^m Kugeln mit dem Radius q^ vorkommen. Uei&eichnet dann allgemein w«, die Wahrscheinlichkeit dafOr, das» keine Vordeckung durch eine Kugel mit dem Radius g^ eintritt, w ist:
wr :== w, ur«
lOn
Die Oberflüche jefler leuchtenden Kugel kann man »ich aus liehen Elementen de zusammengesetzt denken. Ist also q^ die BprQngliche, ungewhwächte Licht4^uantität einer leuchtenden Kagel vom Radius ^m* so wird eine solche im Mittel die Lichimenge
q = qm'W (1)
zusenden, falls nur die Om genügend klein gedacht werden. Bezeichnet tT« die mittlere Leuchtkraft (Lichtmenge, welche bei •enkrechter Emanation ein OberflSchenelement l einem Beob- achter in der Entfernung I zusendet) einer Kugel Kp, vom Kadtu.4 (>,„. r ihre Entfernung vom Beobachter, ao ist:
qm = /« -T
(2)
Jm kann nuttirlich auch gleich Null sein, was fQr einen dunklen Körper zutrifft, ic» ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt von Km irgendwo im Kaume P liegt , nur nicht innerhalb eines geraden Kreiscy linders Cm niit dem Ra- dius (p«,, dessen Axe vom Beobachter bis zum Weltkörper reicht. Man darf nun annehmen, dass die Weltkürper :;ehr sparsam im Ranme vertbeüt sind. Dann wird sich tCm leicht und genau genug angeben lassen. Bezeichnet dx ein Volumelement und <pm eine Function der Itaumcoordinaten , welche die relative Häufigkeit des Vorkommens der Kugeln Km in den einzelnen Raumtheilen angiebt, ao wird:
ir, = (l-X.)''"' (3)
302 SUaung dar matK-jihya. Cltuue oom 7. November JS06.
Hierbei ist: Y,
Xw = ^ : Ym = j^-^^^' Zm = jrm
rfr
Das tntflgral Y„ ist auf den Cylinderraum f„, ^« «d den ganzen Kaum JP aiiiizndehneii. ßo^eirbuet cfw die Oeffimng eines Kegel§, dessen Spitze im Beobachter liegt, «o wird dr=^r*dotdr. lu diesem Elemente befinden sich
Kugeln Tum Radios q„, die dem Beobachter zuf^esandte Lichte menge wird also sein
■ 9:«r"rfey rfr
^N^y-'q^tcr'do^dr
ü
lutegrirt man in Bezug auf r tod r == 0 bi« r ^ i2, wo B der Grenze des Raumes P entspricht^ und dividirt durch dw, so erhält man die mittlere Flöchenhelligkeit in der Ritj^tunf;« deren Richtungswinkel in der Funktion tfm vorkommeo. Di« mittlere Helligkeit des f^anzeu Himmels ergiebt «ich, wenn man (4) ausser nach r auch noch in Bezug auf dw integrirt und zwar Aber die ganze Fl&che S der Eiabeitakugel und durch i n dividirt. Es üit also:
» 0 1 ^"
Man wird nun, uro Hir die Ausrechnung geeignetere Au»- drOcke, die jedenfalls genau genug sind, zu erbalten, an berflck- «ichtigen haben, dasd X. Überaus klein ist. Dann i«t
und wenn dies eingeführt wird:
•-*«.Jf-
JB
' Ä 0
^ȣNm
nn
Diese Formet soll xuorst auf den einfBchfften Fall ange- wiii)d«t werden, in welchem eine gleich in asnitEe V^ertheilung der Kugeln im Uauuie !itatt6ndet. Mau hut dann 7« = 1 zu äetz«n. Kerner wird
I'w -= yi * .t - r
Den Kaum /' kann man in beliebiger Weise begrenzt an- nehmen und diese Hegren/.ung ins rnendliche waehiwn lassen. Es werde fKr P eine Kugel mit dem Radius R angenommen, also:
Die Kormol (11) wird hierdurch:
0 ' X
Die mittlere Flächenholligkeit J der Kugeln wird man de* finiren können :
rfo» ■
wird als«):
S«tzt man demuucli ; tfchlieaslich :
r
Fuhrt man einen gewü-Acn mittleren Radiiii« {i, ein:
2' iC tC
Gö =
-i'A-üi
(5)
Z04
SiUunff rftr maih.-ri
tarnte wtn 7. November t89S.
so liegt ^Q zwischen deiu grossten und kleinäten Qm- E» üÜ dos Gesammtvoluinea aller im Raom P enthaltenen Kugeln K. also :
- = i. V V o» = t^ V71J
w kttDn man (ib ersichtlicher schrcibea:
R
-!(?)
r^
R
i \P
Weun demnach, wie im ersten Abschnitte dieser Abhand- lung ftogenomnien worden isl, die Masse im Welträume mit endlicher, wenn auch noch so kleiner Dichtigkeit rertbeilt ist,
ao wird ^ endlich &ein und man wird /' dtirch VergrS»-
i^erung von R beliebig gross machen küniien. F tat aUo füi Hjis gaiixe üoiversuTU go zu setzen. Wäre nun / unabhiin^i^ ton At so wäre h = J und hierin {»t itn Wesentlichen du Resultat von Olbers enthalten. Im allgemeinen Falle kann mm eine ähnliche Reduction ausführen. Bezeichnet J^^ den Mittel- werth der einzelnen Jm in der Richtung 03,
J.. -
2" JV„ ^4, Jm »T»
Z^
It.
SO wird nach (II)
-= i Jrfa> Jdr J«, . U N„ 0^ <r,n ^-) ■ e--^^-^
a 0
Man wird mit derselben Genauigkeit, mit der die Gleichung (1) giltf setzen können:
r
7. Se<U^er: Ucber das NtvUtni Setei man niso:
305
■u wird
(HI)
5 0
Hier ist es vielleicht (i^i^rsichtUcher, die mittlere Flächen- heiligkeit hu, in einer beniiniiuten Kiclituu^ anzugeben:
r
Ä« = (V„, '€'*dx (IHu)
-JV,,,-.-'
fU ist dies ^onau die Formel (5). Auch lu diesem atlgp- meiuen Fall lasst sich zeigen, dass /' mit R inn Unendliche wächst, wonn die in der gewählten Richtung gleichmassig ver- theilte Matwe eine endliche Dichtigkeit hat.
Die Anzahl t'„ der Kugeln iC« in der Volumeinheit ist
^onnt man n die Anzahl aller Kugeln in der Volum- einheit, also
n — n + • • + »'-
so wird, wenn n^ ein gewisser Mittetwerth aller q^ bedeutet, gesetzt wei-den können :
Hiermit hat man
tt r = .7 I « oft t/r
SBü Sittung der MutA.-^y«. Ctojue com 7.
BSp latfr
Bezeichnet mau mit M (n gl) den ariÜimeÜHchea Miuel- werth, 80 kt
r — i TT K jif (« ri)
Aas dieser Formel er^^ebt sicli der ausgeaprocheue vun selbftl.
Es iafc unmöglicb, h bis auf uueudtich kleine GrOssen geumi durch die Beobachtungen festzustelieti. Da weiter Jta nur eod- liche Werthe annehmen kann, wird man die beobachteten A» durch endliche Werthe von P beliebig genau darstellen künnpn. Was hier von der Helligkeit des Himmelsgrundes gesagt worden ist, gilt auch allgemeiner. Infolge der perspectiTischen Vrr- deckuug der Weltkörper durch die darorsteheuden wird nur ein endlicher Raum unseren Wahrnehmungen Kug&nglich svin tmd seine Dimensionen werden tbatäüchlich wesentlich b** schränkt werden u. A. durch die Nebelmassen, die uns allent- halben zu umgeben scheinen und die Aussicht hemmen.
lieber die Vertbeilung der Kixsteme im Räume wissen wir noch HO wenig, daas wir untt, um durch eiu Beuqiiel eio«a Ucberblick über miigliuhc Zahlen werthe zu erhalten, an die Formel (5) halten können, die ausserdem dieselbe Gestalt hat wie (lUa).
Zuerst soll noch auf die — Olbers^sche — Absorption Lichtes im Wettraum RHckdcbt genommen werden. Dits achiekt, wie man sofort übersieht, wenn man in der Fonoel 3t*tt J^:
Wtati. wo X den hypothetischen AbsorpHonscoefficienten bedeuLeC IX« Formel (5) wird iludurch
(6)
Nimmt man beüpielsweiie J unabhftngig von r nn, «o wird fiir i2 ^ ao
UeOer Jaa Jfctotontche OrttnUUioH$get^. 307
h^J'
(7)
Zablontuässigo Aii8r«cbnuugeii Ton (7) können, bei der ftbtioluten UnkenntTiiss ober die mittleren Wertbe der Leucht- kraft, Massen, Grössen und Kntfernungen, selbst der ans Dachsten Musen des Unirersonis, nur {fanz beilüuti^' und auf mehr oder weniger willkaHicheii Annahmen bertibeiid ausgeHibrt werden. Es kann sich eigentlich nur darum bandeln, die GrOssen- Ordnungen der verschiedenen Grössen festzustellen. Als Einheit der Entfernung werde die eines Sternes mit der Parallaxe 0r2 angenommen und kurz Siriu^weite genaunt Die mittlere Parallaxe der Sterne i\. Gröaae soll, unter bekannten Voraus- Btzungen, zu 0r03 angenommen werden. Bis zu dieser Ent- *fernung R sollen 6000 Sterne in nahezu gleichmSesiger Ver- fcbeilung Torkomnien. Qg «otl das Doppelte des Sonnendurch- messers sein. Es ist dann bis zu dieser Entfernung
f ~ = 8.10-»
Diu Abiorptiun de« Lichtes im Welträume möge in der Siriu«weite 0A%, betragoo. Es ist also X = 10~*; ferner Ofl — O.Ox 10-«; iQf, = 0.9x 1Ü-". Wenn nun dieeelbe gleich- mftssige Dichtigkeit in der Vertheilnng der Himmelakürper im izen unendlichen Räume augenommeu wird, so ist nach (7)
h ^ J. 3.3 X 10-"
Die FlächenhelUgkeit des Mondes ist etwa 1:600000 der- jenigen der Sonne. Die Helligkeit des UinimeUgrundes bei Vollmond [«oU nach Olbera^) ungefähr = 1 : 100000 der des VoUmondeit lin — eine Angabe, die ich nicht zu controliren vermag. Be- zeichnet Ja diese Helligkeit und setzt man J" ^= Y'^on ^^ *^o die SonDenboUigkeit ist, so wird
-r«
(«)
>) a. a. 0. Werke 8. 189.
898 SiUnnif dtr vtath.-phj/a. Claasc «wi 7. Novtmiher f9M.
Jedenfnlts dürfte dieses Beispiel ^teigra, daas in der Thftt die Absoqitinn ausreicht, uro die geringe mittlere Helli^'keii des FixitlernhimmeU zu erklären und zwar auch dann, wenn die Anzahl der leuchtenden Massen mit der Itaumansdehnung iu'ti Unendliche wächst. Es ergiebt &ich aber uuch, dass Aim nur ätatitiiiüoi. wenn der Absorptionscoefficient eine gewiüu Gröst» Qberschrcitet, so wird nach Formel (7) h nur dann
3 S
gegen J sehr klein, wenn Xq^ sehr gross gegen j p ist. Femer
ist klar, dass dte Annahme der Absorption keine noth wendige Annahme ist, denn dasselbe Resultat wird erreicht, wenn «in gKwisäer MiLtelwerlh von J einen bestimuiten kleinen Werth nicht übe^i^chreitet. Betrachten wir i. B. die Formel (5)
= p.e--
dz
ao kann man h durch rielerlei Annahmen Ober J aehr klvin machen. Der einfachste dieser Fälle ist der, dass J im Mittel Ql}erall sehr klein t»>t. K^ würde dies aussagen, doas dberali im Kaume noch sehr viele dunkle oder »ehr wenig leuchtende Weltkörper vorkommen, wobei man indessen sehr weite Strecken in unserer Umgebung oder aucb In andern Theilen des Uni- Tersums ausnehmen kann. Mit den obigen Zahlen orgiebt fich z. B. für die Helligkeit des HimraeU, wenn hierzu alle Welt- k&rper in der angenommenen Verilieilungüdicfatägkeit bis sn einer Entfernung von r Siriusweiten beitragen :
h = [j. e" dx; z, «= 3.3 x 10"" • r
u
Bei constantem J und wenn r nicht allzu gross int, wird aUo;
/, = 3.3 X 10-'« -r-J
Wenn demnach r ^ 1000 gesetzt wird, frhtilt man ent dieselbe Zahl wiii in (8). Auh solchen l'ebtirlegungen folgt, dsM man nur anzunehmen brancht, die Leuchtkraft der Wel^ körper »ei erat in ganz enormen Entfernungen im Mittvl kleiD.
W. Seeliiftr: üthtr d*u Ntiotun'teht ChavitntionstgtstU. 3^0
DisM letztere Annahm« gonUgt ferner fQr endlicbo Strecken, denn wie sich die tuitlUie Leuchtkrafl in sehr ^roitneu r ent- «prechendeu KDifemun^en gesUilt^t, ist wiederum, wegen des Factora e* g9^m gleicli;;üUi}^. n(?rgteicken Annnhmen scheinen mir aber uichl nur durchaus /uliUiig zu Mein, iiondurn »ogar den Vorzug vor audern zu besitzen.
Die Zeit, während der ein Fixstern -^ich in einem Zustand befindet, iu welchem er optisch oder phul^graphiseb wirksame Strahlen aussendet, haben wir jedenfalU aU nberaua kurx an- zusehen gegenQber der Zeit, während der er aich in diesem Zustande nicht befindet. Wären die in den verschiedensten Stadien der Entwicklung betindlichen Weltkürper nach dem Zufall im Weltraum Tertheilt, ao mOsBie demnach ihre mittlere Helligkeit in jedem Ilaumtheile eine sehr geringe sein. Diese zufällige Vertheüung anzunehmen , wird man indessen mit Hecht bedenklich finden, obgleich nidht zu übersehen ist, dass Leuchtkraft zn einer bestimmten Zeit wesentlich, auch bei Innahmo eines gleichzeitigen Beginnes der hlutv,*icklung, von der Grösse, Wärmeleitungäfahigkeit und anderen physikalischen Bigenscbaften der einzelnen Körper abhängig sein muaa, wie denn z. B. kleinere Körper im Allgemeinen rascher erkalten als griSseere. Ks »precben aber mannigfache Erfahrungen dafür, daa sehr venuhieden groes« Massen in unserer Xähe als Fix- Sterne leuchten. Eine Schwierigkeit, selbet fQr die uns nächsten Tbeile des Kaumes an/unehnien , dass hier die Anzahl der dunklen Sterne die der ienchtenden bei weitem überwiegt, kann deshalb wohl kaum bestehen. Indessen ist dies gar nicht nötbig. Der Entwickln ngszustand des WeItkÖr[>ers wird als eine Function des Ortes und der Zeit zu betrachten sein. Die rerscfaiedenen Kaumtheile werden sich demnach zu einer be- stimmten Zeit in sehr verschiedenen Zuständen befinden und nach dem früheren werden wir annehmen mOssen, dass die Qbcrwiegende Anzahl dieser Zustände dem Leuchten nicht gQiuiig ist. Hierzu kommt noch die BerQcksichtigung der Licht- seit, d. h. der Zeit, die das Licht braucht um von den Himmels- k3r|M'rn tu uns r.u gelangten. Fflr {*ehr entfernte Uegionen
400 Sitsiiiig der math.-phys. ('lasse vom 7. Novrmher tSViJ.
kommen dann Zeiten in Betracht, die auch in der Ühitwicklnnga- gescbichte der Weltkörper nicht ku vernachlasaigen sind. In- dessen ist leicht einzusehen^ dass das Resultat der angestellten Betmchtung^ii hierdurch im Wesentlichen ungeändert bleibt. Wie maa auch diese Ueberlegungen im Einzelnen weiter ausföhren oder auch umgestalten mag, jedenfalls dfirfte an* ihnen hervorgeben^ dasa dieThataacbe des wenig bellen Bimmels- gr»nde£ keineswegs mit Nothwendigkeit auf eine Absorp- tion des Lichtes im Welträume, im Sinne von Olbers, hinweiid.
j I
L
401
Die analytische Fortsetzung derjenigen Functionen,
welche das Innere eines Kegelschnittes confonn auf
die Halbebene abbilden.
Von F. Lindenanu.
Für Ellipse und Parabel sind toq Scbwarz zaentt die- jenigen Formeln mitgetheilt, welclie den innerhalb') oder ausser- halb*) einer solchen Curve gelegenen Theil der Ebenu confonn ftof den Kinhejtskreis abbilden. Für die Hyperbel habe ich die entsprechenden Gleichungen hinzugefügt.*) Im Folgenden M}11 es unsere Aufgabe sein, die hierdurch detinirten Abbildungen in ihrer Bedeutung für die ganze Ebene sowohl der einen als der anderen Variabeln zu verfolgen. Dabei leit-e ich die Schwarz'schen Formeln von neuem ab auf iitund eine» allge- meinen Ansatzes, den ich früher Ü\r eine gewisse Klasse der- artiger Probleme*) gegeben habe.
*) Uüber «niifu AbbildiintTMiifirnbeii. 196*J. CreUc''!! .Toonml. Bd. 70. und Annuli tli inatb«miiticu, Scr. 3, iVL .1. lic.<nnim«:lt«' AhlntnJIungen, Bd 2, 8. 77 und 103.
*) Uobw einnii Hn'nKnlmrjpiTig dorcfa alt^niirrnde« Verfwhivii, 1870, Vierteljahntchrifl der naturfor«>.bt'nd0n l^meUitfhaft tu XOricb, lld, Ib, Uei. AMiandltingcn. IM. 3. 8. Ul.
') Sitziint^borielit« d«r IikI- l'ityer. Akadomi«. malb.-phji. KIiuk(>. 1805. Bd. 3& (and Mrhon frtthor in mniien TorlMungen).
') I'hjiiiktU.-akuiiouiiscli«! iiVMuUwhafl Kii Ktiniipiibvrii i. Pr. äilzunic'- böficUl«» vom 7. .Iinii IHM.
402
Süevng 4eT mnih^-jA^s. (ßasae vom 7. Nnpeinber 1896.
I. Kltipse.
1. Wir seken g =^ x -\- i tj, s^ = x^ itf^ Z ^= X -\- i T. Ut. Jami f{£, ej)'^Q die Gleichung fier Ellipse in der r-Ebeup, so wirtl nach meinem früheren Ansatz die Abbildung des Innern derBelben aul die obere Halbebene (F> 0) der ^-Ebene durth die Forme!
(1)
4Z
V{X-Ä) {Z- B) (Z^A,) (2- B,)
^H-c-
TermittelL Hier bedeuten C und (f Constante; Ä and B umd diejenif^en Punkte der oberen Halbebene, welche den Brenn- ^ punkten der EHipae zugeordnet sind; A^ und B^ sind die con- fl jitgirten Puukte. Liegen die Brenopunkte der Ellipse in den Punkten ^ 1, und setzen wir Ä = i^ B ^^ a -^ i^, wo /? > 0, i»^ geht die Öleicbang (l) flber in:
(2) ^^JL==c(-^ ^^ +C\
n\-\-z^)[{Z'-
Durch die Substitution
a-\-iß-\' i Z—i
<» =
Ä» =
«)* + /^]
a* + (^-l)*
I
a^iß — i Z-\-i' a* + (/*+!)*
wird das Integral der rechten Seite von (2) gleich
2 r dl
Die Gleichung (1) erscheint daher in der Form
/o\ Z—i a-\-iß~i ,
(3) ^-p . = ^_^-^^. Bin« am {y arcsm r -f- y ),
worin die Constanten y und / noch näher zu bestimmen sind. Nun soll für ^ := 1 1 also arcf^in £ = ^ \ Z^=i und för ^ = — 1
[also arcflin e = — ^^ \ Z ^ a '\- iß werden; folglich:
/■'. lAmkmoHn: Die Analj/ii$che FhriaeHmftf «fc
403
zr
y^ + y'^o.
+ / = + ^.
wenn K djia ganze elliptiäche Inte^rnl erster (ratlnng bezeichnet W&hlen wir das untere Zeichen, so ist schliesslich die ver- langte Ahbildung dnrch die Formel
Z — i _ a-{-iß-i
Bin' am l
arcsin a-
dargestellt. >)
Dem Brennpunkte « = 1 haben wir den Punkt Z=i will- kQrlich zugeordnet; die Ahbildung wird dahur völlig bestimmt, wenn wir noch einem Punkte des ßande» der Ellipse einen Punkt der reellen Axe zuordnen. Sei a die halbe grosse Äxe der KUiptte und s = a der Scheitel, so m&ge diesem der Punkt X=^ Ä^ y « 0 entfiprechen ; dann sind die Cousianteu a und ß aus der Gleichung
(5)
«H-J/'-f •
sin' am
arcsiD
ina-f)
zu ermitteln.
Um die Symmetrie der Ellipse gegen ihre beiden Axen nuch im Bilde herrortreten zu lassen, empfiehlt es sich, dem Punkte J. eine speciellc Lage zu geben. Wir wählen Ä^Oi dann ist nach (5) auch a = 0, und wir erhalten
i "= (f^) = *'"* ""' (^ "'^'^ " - f) •
Ferner gibt die Formel sin am 1 — ö~ ) = ( ^~ ) **** Itesultat:
iK' . fiK'ft\
~, „^cos,n(^-2-^-j.
(6)
(7) ~
K K
arcsin a =-
n 2
0:
(8)
Aas (4) erhalten wir sonach für o
- — r = + V am* am 1 arcsm t ^ I •
-f- j -»- \ ,.f 2 /
^ +
1) Vgl. Schwan a. a. 0. iraa. lliaii.-|ii«H. LI. 3
37
401 Siliitntj eUr math.-i/h^s. Cit%iat cum T. Ntteember J8Üß.
Wir wjiblr^n für fJas Fulgenil« ihia untere A'iohen.
lat die KUi\iäe ^egebfn, so wird mittelst (7) dl
Pertaden-Ver!
tni«s
iK'
AUS der halben grossen \i
b«>recbiiet; dann ist h* bekanntf und auä(6) fiuijetniac den Piiakfc/ii, welcher dem Brennpunkte —1 eutsp rieht
3. Ist j reelle so muas nach (8) Z rein imaginär iiein. d. Ii. der grossen Hauptaxe der Ellipse entspricht die 1*-Axe.
Vertauschen wir i mit — i, so ergibt sich aus (8):
Z + i
Ä'
Lung» der kleinen Hauptaie der KlJi|iae iat s -^ £^ ^0. «iu* am
1 — sin* ÄTn ( — arcsin * — i
.'i ^ '1 J \n 2 ,
1 — //' sin* am ( arcain j^ — -, 1
(9)
Set/.t man dies in (8a) ein, so ergibt sieb:
1 — k
^•^'- 1+Ä'
also die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt im Anfangs- punkte liegt. In bekannter Weise vorgenommene , Spiege- lungen* an diesem Kreise und nn der Axe X = 0 ent- sprechen in der Halbebene T'>0 den Symnietrie-Be- xiehungen der Ellipse gegen ihre Hauptaxen.
3. E)s handelt sich jetzt darum, dasjenige Qebiet der £-Ebene zu bestimmen, welches der unteren Halbebene (y<0) der Z-Ebene entspricht. Ueber der ^-Ebene denken wir nn> diejenige zweiblättrige iliemann'sche Flüche construirt, welche die Wertbe von ^, darstellt, wenn z und r, mit einander durch die fileidiung der Ellipse verbunden sind. Die Fläche bat Twei Ver/weignng'^punkte, und zwar in den Brennpunkten der
rlnuAiiR*
mmttfhAcMe ForUtlzu***! 4i1e
Ktlfpse. Längs der letzti^ren ist einer der Hpjden lu s gehi'in)?ffn Werthe von r, gleich a; — ry, wenn j = jr -}- iy ^eNeUt wirJ. Dns Bliitt Hnr FliU'h«;, in dorn dies Kiitrifft, und in dem %vir uns den reellen Zug der Ellipse gelegen denken ^ bezeichnen wir aU das untere Blatt. Nur in diesem unteren BUtt« nnd l&ogä des reellen Zuges der Ellipse ist daher s^ xu s conjugirt» soüfit bezeichnet js^ andare cnmplex«* ZahUn definirt durch die Gleichung der KilipRe:
(10)
,.('-t',y_.f-^)L...
wobei «' — A* = I sein ning.
Im Innern der Ktlipi^e ist die Beziehung Kwinchen i und Z eindeutig. Denjenigen Theilen der beiden Blatter uniM.<rer Fläche, welche im Innern der Ellifwe liegen, entsprechen daher über der Halbfbene }'>0 zwei einander congrnente nnd tlber ftinander liegende Blätter einer neuen HiemannVben Fläche, welche mit einander durch die beiden (den Brennpunkten ent- xprfchenden) Verrweigungspunktti i und a-j-i^ verbunden sind, und welche durch die roelle Ase begrenzt werden. Oern reellen Zuge der Ellipse (im unteren Blatte der ersten Flüche) möge die Axe V=fl enbprc'.heii, insofern sie im unteren Blatte der neuen Flache gedacht wird: dor im oberen Blatte der ersten Fläch« genau Ober der gegebenen Kllip-e liegenden RUipse ent- spricht dann die reelle Axe Y = 0, in»>rem sie das obere Blatt der neuen ßiemann'ächen Fläche begrenzt.
L'eberschreitet nun Ji im unteren Blatte die reelle Axe, so überschreitet # die gegebono Ellipse. Ueher der Halbebeno ]'< 0 breiten wir eine ans xwei Blättern bestehende Riemnnn'sche Fliü'hr uns, welche längs der Axe l'^^O im uutert*n Blatte ■tetig mit der 9(K>ben besprochenen Fläche Kn$umnienhängt, nnd deren Blätter durch die Ver/.weigungüpunkte — i und a — ifi mit filiander verbunden sind. Das obere BUlt dernolben wird wieder durch die reelle Axe >' = U hegren«t, hängt hier aber in keiner Weise mit dem oberen Blatte der Aber der llalbeliene )"> 0 »oelieD cnnstruirlen Fluchi* iiwiinun^'n. Was enlitprieht
37»
■iOCt Sitiwtff dtr mtith.-phffti. CIums i.>oiii T. Navemhifr /89(7,
nnu di«ser über der Halbebmie 1' < 0 construirleii' Kweiblättrigeti Fläche in der Ebene der Variabelb j oder besser: in der Über dieser Ebene vermögü di*r Gleichang (10) zu constrairenden Fläche?
4. Wir »eUeti (1 1) u -\- ip =^ arcsin (x -j- iij)
z ^ am tt
f/ := cosin « ~ ,
so dikss ein Syi^tem coDfocaler Ellipsen und Hytierbeln mit <!rn Hrennpuukten ^ I durch die Gleichangea
(Iß)
(c^ e-y
(13)
cos' H
= 1
= k'
in bekannter Weise dargestellt wird. FUr reolle Wiertfae too Z ist andereraeiU nach (6) and (7):
—(St)'
= «' sm' am I — [v, -\- %v) -y sin' am ( {« — i v) — I •
am'* am I — « V ) ^ ^'° ^™ ( — *" ) I
1 — k* sin * am ( — - u — 1 sin ' am ( - — v \ I
Damit diese Relation erfüllt sei, muss
gesetzt werden, unter h eine ganze Zuhl verstanden; denn es ist in der That
sin am - ^ = . . ^ / \k
F. lAtiitrvxiittn: Ihf iinnhftinthe yurUtitung «ie. 407
Vermftpe dt*r Gleichunj? (7) wtrHen also der r<>ellen Axo Y =» 0 unendlich viele, einaiid(*r confnculu Hülipütiii des System» (12) zugeordnet, deri'n Parnmeter v durch (14) gegeben sind.
Im Iiineru der gegebenen GI1i()de(10) kiinn keine ändert? liegen, deren Pammeter v durch (11) gegeben wird. Mit wHrhsendeni v wächst auch die groNfie Axe der betreffenden Ellipse (12). Der tn (10) gehörige Parunieterwerth ff, wird also aus (U) für m=0 gefunden:
.--- iCn . in
(55) Po— ^j^ =i-arcsina — — ,
denn es genügt, pKwitive Werthe Ton v in Betracht zu ziehen.
Tritt nnn X ans der oberen Halbebone Über die X-Axe in die untere Halbebenc ein, so überschreitet m die gegebene EUii>se; und der zwei blättrigen Fläche, welche Aber der unteren Halbebone cunstruirt wunle, entspriclit der ringförmige Fläeben- raum zwischen der gegebenen Ellipse mit dem Parameter fn und der Ellipse mit dem Parameter
rZvrei Pankte dieses Ringes sind dadurch ausgezeit-hnet, da« sie den Verzweigungspunkten — i und — ßi jener Fläche ent- sprechen; es sind die Punkte e, und f,, wobei nach (8):
K . ^ BT
st
also:
tu» fol^ hieraus:
K K
ixJer:
(10 ^^,,u\-^^-j.~]
Die FunkU-
lifgen auf der
nietriach zum Mittelpunkt der Ellipse.
Uebersclireitflt nun m don KiusBreii Rand Ilioges, lo tritt ^ wiptier in die obere H&lbehene Ketzbere ist luit zwei Blütt^m vun Neuem Oberd di« mit einander in den Punkten ( nnd ßi werxwtA den zneret betrachteten Bl&ttem aber nicht zassn Diesen beiden BUttern entspricht in der ^-Rbene oniptischer Hing, begrenzt durch die KIlipsen
und t^,«^.
2/C • fn diesem Ringe liegen die beiden Punkt«
:, — coainl— ^^ — 1, e^ = — cosmf — i^
welche den Funkten i und ßi zugeordnet aind, orgeben sich Über der Halhebene r>0 iia<t wechaelad aweiblättriite Riemann'itoliaJi'i
/■'. JÄndeoiuHn: IHe analytutche l'urtset£Utuj elc.
m
m Flüche unendUch viele weitere Dop|iol-HalbeWonen, scliselnd i'iir y>0 und F<0 an»cbli essen.
■ 5. Die Abbildung des Aensseren einer Ellipse auf Halbene wird ebenfalls diircb eine (.JleichtmR der Form (1) üittelt; es ist nur die rechte Seite zuTor so abzuändern, dass
,,1r ei«pu bestimmten Punkt A-\-Bi der Halbebene T>0 ndlich gross erster Ordnung wird; ferner sind die Brenn-
tkte nicht besonders zu bcrncksichtigeu. da sich ausserhalb BIlipse Ifein Brennpunkt befindet, die Punkte A^ B, j4,, B,
d daher nicht einzufOhren. An Stelle vcmi (1) entsteht sn
! Gleichung:
o i2 = A -\- i B^ Sij^ A — iB gesetzt ist, und durch Aus- ihrting der Integration
- — f Z — O \"
NO a und ß Coustante bedeuten. Damit s uncudlicli gruse fjrster (»rdnung wird für iT^ß, mnss ä=1 aein; und wenn fdcr Punkte ^a (Scheitel der Ellipse) dem Punkte j?=sco ent- sprechen soll, so folgt
äetzt man noch
so ergibt sich die bekannte und vielfach behandelte Abbildung^)
1
welche das Aeossere der Klli[)se in das Innere eines Kreise» cimform ObcrfQhrt. EU ist nicht nöthig, auf dieselbe näher einzugehen.
-K"+?V).
') Vi-rjri, 2. B. IIoUiutllli.'r , Einleitung in dif ITieorie der iwv gunaltio Vcrwiiniltwliaftnn. Leipnig. l4dU. Ü. NU IF.
SiUtmg dtr matk-flif». CToM« com 7. 3f»
II. Hyperbel.
6. Üait von einem Hyperb«laste un dwwp omi beßreoKte Gebit;t der Ebene iat als ein aolcb« n dessen Rand im unendlichen eine Ecke besitzt; und iv> die Iwideu an difi^r Ecke zusammen »to^tendeD Tingalil lUndes einen VVinkcI gleich demjenigen, deo dit der nyperbet einschliesüen (^ a).
Die Brennpunkte der Hyperbel mögen an deo liegen, und zwar der Brennpunkt -J- 1 im Innern bildenden KlächeastQckes. Demselben niö^e der Punkt JS- in der Halbebenc y>0 entsprechen; dann ergibt nc^' Analogie zu (1) und (2) die Gleichung
und durch Inte^ation
worin die Constanten ß und y and die zusammen gebOcigcn zeichen der beiden Quadratwurzeln noch zu beetünmon
Um / 7U finden, entwickeln wir ir~^ nach Poteue Z~^ mittelst der Gleichung
Für das obere Zeichen ergibt sich eine Qleicbong dei (21) r' - Z-'(c,^e,Z-*-}-c,Z-* -(-...),
und für das untere Zeichen (21 a) *-' = Z^ (c; + c\ Z'' 4- c; Z-* 4- . . .),
Im ersten Falle wäre also y = — , im zweitea
denn an der Stelle ^~' *= 0 bilden die Tangenten dea unseres Flachensidcked mit einander den Wiiikiil a, die Abbildung in den Winkel » gestreckt werden
F. Lindtmattn: Die ttnat^tuche l'WtsetsuHff etc. 411
Estante fi bestimmt sich dadurch, dass dem BrenTipuiikte
B= 1 der Punkt iT^t^tf* zugeordnet wurde; wir erhalten i ersten Falle
Y^i ai
2) I =iie~^~ =^ße* =/!f(o-i-i]''T^«").
td im andern Falle
at
2a) l«/9-e
i
= ße « =.ii(a — iyT^i
Die Entwicklungen (21) nnd (21a) beruhen auf den Potenz- ihen für 1/ 1 r und 1/ 1 + -„- . Kratere gilt flir a: > 1,
tztere für F> 1 bei reellen Werthen von et denen rein taginäre Werthe Ton Z entsprechen, da im Bilde dieselbe rmmetrie bestehen moss, wie in dem gegebenen Plächenstflcke. acht nun g im positiven Sinne einen halben Umgang um = 1, 80 beschreibt zugleich Z einen halben Umgang um = i. Für a; > 1 lautet daher die Gleichung (20):
so för a!< 1:
x±iVi-'j^=^ße « (r+'Ti-y).
Lassen wir nun x = a, also F = 0 werden, so kommt
■ Das obere Zeichen gilt fOr den Fall (22), das untere r(SSft). In beiden Fällen itil dipHA Gleichung eine Identität. '^ir Baben alao schliesslich die Äbbildungsformel
a±iVl—a'^e~ « =ße'
j-jii
s^Vf'-y
a-^yv^^
P=:(;ffr^ + iK
■112 Sittuny der utnth.-iAf/s. i'ianK mm T. November lüiHl.
vfohm die Vorzeieheii der i^uadcatwurüeln diircli 1.23) für x > t* deliuirl ;siiiil. Aendert man <Jie beiden Vorzeieheu üuf «itr titikvn Sfiite, so muäs recbts das Vorzeichen des Exponenten g'cändert werden. Bei unaerer Vorzeichen -Definition enttpricht dem Quadranten X< 0, !"> 0 dur Thei! des Hyperbe]-KlÄchea«tüükw, in dem x>0, y^^i ist. Die Aufl&aung von (Ü*l) ergibt:
Dieeti letztere QldcluiiiK^ lässi deutlicli erkennim^ dnas rein inmgintiren Wertlien Ton Z reelle Werthe von s &nlH|arecbrn.
7, Um den Verlauf der durch (24) dargest^^Uten Function til>er daü ur^prdiii gliche Gebiet hinaus zu verfolgen; denken wir im« CibtT der ^-Ehcn« wieder diejenige zweibläittrige RiemniiD^iH^be Fläche canstruirt, welche «, als Function von £ f^etuä«! der Gleichung
(25)
(^SrO'+ (^r-
1
d»rstedlt, wo «*-J-ft" = l. Diese Flüche hat twm »icli anf- hebende Verzweigungspunkte für * = 0 und zwei einfache Ver- zweigungen in den Brennpunkten 4- 1, Den Brennpunkt -j- 1 verbinden wir längs der reellen Äxe (y = 0) mit dem unend- lich fernen Punkte durch eine TJebergangslinie. Im unteren Blatte liegt die gegebene Hyperbel, im oberen unmittelbar darüber eine congruente Hyperbel (vergl. oben Nr. 3). Diese beiden Blätter, begrenzt bez. durch die genannten beiden Hyperbeln, sind durch (24) iiuf zwei Ober der Halbebene }'> 0 liegende Blätter einer anderen Rie- niann*achen Fläche couform abgebildet; und die beiden Blätter der letzteren hängen mit einander längs einer Ueber- gangslinie zusammen, die vom Punkte Z=i längs der Axe X = 0 nach dem Punkte Z = cd verläuft.
Uebersch reitet £ die Hyj'erbel (25), so tritt Z aus der oberen Halbebene in die untere { )' < <>) ein nnd über dieser enUteht t-iiit- i^veiblätterige Fläche, die der für 1' > 0 con-
m
^
Btmurttfn völlijx syiuiuflrbwb int, mit derselben aber uur im iiDterun, nicht niieh im oberen Blatte liing» <Ier Axe y s 0 y.n- «animenhilngt. Deni Rando des oberen Blattes lärgs dieser Ax« enUpricht in der «-Ebene eine näher xu bestimmende Ciir*p C; ilas »on dit«er Cune und der j^ej^ebenen Hypurhi?! eingesohloHscne Klächen<<iüc-k ist der uräprlinKlich innerbnlb de« Uyperbelastef) conati-uirten zweiblättrigeii Fläche xngeordnet: letztere bat sich bei diener 2iUordnun<^ in eine einblättript! ver- wandelt, txnd die Cnrve C geht uns derjenigen Hyperbel hervor, welche das obere Blatt der urdprUnglicIten Fläche begrenzt (unmittelbar Über der gegebenen Hyperbel liegend); die Curre 0 wird durch folgende L'eberleguog bestioiint. Wir »etxen /.iir AbkOry-nug
(36)
P-(jC+KX'+iy. ,^«^2«-i)«.
wu P eine reelle potntive Zahl bedeutet, und bezeichnen mit J^ den ungemeinsten Werth, den die Functioa (24 a) unter fic- rOoksichtijXuug ihrer Mehrdeutigkeit annehmen kuuu; dann wird
*« = i (^ + P'') cosin r„ + i- (P - P-') Bin r^ .
Itit ahMi ^^^ BS X ~f 'y^* ^ besteht längs der reellen Axu (Y = 0) die Identität
(27) -f-. - ^ » I , cos" «^ Hin' «^
d. h. die Gleichung einer itn (20) cunfuculen Hyiterbol, die fOr H = 0 mit (25) «jJbst identisch ist. Der Scheitel der Hyperbel nähert ^ich mit wachsenden n dem Anfangbptuiktef überfichreitct deoäelben und wandert nach links« bis
(28) «, < rr < ..^, ,
um dann wieder auf die rechte Seite Uberzuspriogen, u. t. f. Untiere Curve C ist riSenbar durch dt<n Werth ft =s 1 gegeben; den beiden II her der unteren Halbebene (}' d 0) bezw. inner-
41 4 Sittunff der matA.-jAy«, OlatM vom 7. Nitvanber W96.
Iialb der Hyperbel (25) ausf^ebreiteien Bläilern. enl spricht dtiher der Flücbeufitreifeu Kwincbeii dem be- trachteten HyperbelaBte(25) und dem analogen Aste der fOr ft^ 1 durch (27) dargestellten confocuten Hyperbel.
Geht Z im oberen Rlntte wieder in das Gi>hipt y > 0, *u entstehen hier zwei neue, den froheren congraente Blütt«r, die vermöge (24) auf einen zweiten Flächen streifen der «-Eben« abgeleitet sind, der von den beiden fflr « *= 1 und « ^ 2 dnrvb (27) dargestellten Hyperbeln begrenzt wird, u. e. f.
Besonders zu beachten ist, wie sich hierbei die von i nscb ioo, bez. Ton — i nach — i oo verlaufenden g«nidlinif^>n Uebergan^i^linien dieser Doppel-Halb-Ehenen transformiren. Die UebergangsUnie der ersten zweiblättrigen Fläche (y >- 0) ging über in die reelle Axe der «-Kbene filr 1 <C x < oo. AUgemetn linden wir aus (21a) alt) Coordinaten |^, % eines Punktes d«r Uebergaugslinie :
1
(29) A h- = 1
dabei ist
810' 0_
co6»n' 0|^
Den fraglichen Üebergangslinien entprechen da- her Hyperbeln, welche ebenfalls xn (25) confocal xind und bez. innerhalb der erwähnten KISchenatreifea liegen. Den Punkten jh i der Z-Ebene ist die Boihe Ton Punkten
s*. = cosin a
= 0
(30)
zugeordnet.
8. Eine besondere Beachtung benn^mcht der Flldutt* streifen, dessen begronzende Hyjwrbelu durch die OIeichuo|( (27) mit dem Index n und die entsprechende mit dem Index fl 4- 1
F. Limiemann: Vit antttjfti»rJtr J''or(ul^tHi{r cl€, 415
r1ar^^i<t«1It wcrtloii, fnlls n ()urcli <Ii« nD^leichuiig (2R) bestimmt wird, Danu iiiimllch ÜL't^t die Uyperlx-'l mit dem Index n -f~ 1 rechts von der Uyperbel mit dem Index ti; der fragliche FliicliP-nntreifen alM>r si^htiesst »ich links an die entere H}'i>«rb«l nn, ist an einer noch zu bestimmenden Stelle ver- xwei^, bedeckt also das Innere den Hyperbetastes mit dem Index n ganz oder tbeilweise doppelt and dehnt sich in dem zweiten Blatt© bis an die Hyperbel mit dem Indei n + 1 au«. Die beidon Hlättcr gehen längs der reellen Axe in einander Ober, zwischen dem Pankte — cn und dem zn bestimmenden Ver£weif»iingspnukte. Dieser Linie entspricht in der if-Ebene ein« Carve, welche durch folgende Hechnnng f^efimden wird. Die Auflüsuug der Gleichung (24) ergibt:
{s + v^^Y' + (' + vp^Y J .
Ist £ reell and > l, so ist ^ imaginär und ab? ^> 1, wie es noch Kr. 7 aein uiuss.
Sei * = X und jc < — 1, x = — |, aLw ^ > I , eo wird, wenn m eine ganze Zahl bedeutet
oder, wenn Ä » > + V?— I gesetxt wird:
2 X = (Ä — 72"') sin (2 »j -f 1) ''
(31)
2r«(Ä+Ä*')oosin(2iii4-l)- ,
und hieraus:
^®^^ (cosiniam+I)^) " (^.in(2«i-f D'^j ~
■tUi HilJtanf} ihr math^jjhtix, lUax^i foih 7, S^n-mUfef l»:m.
Den Punkten v^^*- -^^ " ^ ^^^^ iRellfiU Axe enl- JKpriuhfc dfther in der Z-Vliteoe eine Hy|n'rltcl, »irre« BreuDpiinkti? an ilcn Stellon +i Hegen. r3*»m Brena-
ininkte — 1 det Kef^ebetien Hyperlii-4 pnta|iricht iii»b«*ondü-e ilrr Sr.hritel (l<?r Hyi-orlwil i'A2) i ,
A' = ') ,
t* = cmin (2 w + I)'
Für tti = 0 ist hierdurch die »unJLchst geakllte Fl l'icantwortet: Der gesuchte Yerxweii^utiKf [Kinkt de« durcli die If ni^loirhnng (2R) hßsLimmfceri z weiblüttriK^'n Fli- chcoatreifpii» ist mit dt-m Br(Min|iunkt« — l der ge- gelmnen Hyperbel identisch. Die für m ^ l durcli (32) durgi'wUtlllt^' llypfrbei wilnln fri atialoger \Vi*t3e für ^ineii FJ&cbvn- streifen der «-Ebeno tM bunutÄeti »ciö, für den di« Indic«"» der In^KriiriMrideii HypurU^lii durch dit* rngleicbun^
^<»«< Vi
nharakt«risirt. «ind« ii. tt. f.
Kiti eiiUsprechende^ Verhalten tritt ein^ wenn dj* Un- gleichung
« < 2 »I 7r < €
«+i
erfüllt ist. Der fragliche Flächenstreifen wird KweiblHtirig: seine Uebergangslinie erstreckt sich längs der reellen Axe von x=l in's Unendliche, und ihr entspricht in der Z-Ebene die Hyperbel
(33)
\cosin (Sw^l/ V'n (-'«t)''
= 1.
9. Sowohl über der /-Ebene iils über der z-Ebene werden sich in der geschilderten Weise unendlich viele Blätter aus- breiten. Nur wenn a ein rationnles Vielfaches von n ist, wird die Anzahl der Blätter beiderseitig eine endliche, in dem die ^libildond*' i''niirt,ion eine algelirai^clic wird.
/•■ l.imlemiinHt I)ir nni^t/tUrhe Jf^ttUeUnHij elf.
111
BeMind«.'T8 niiagtiecichnofc i*t der Kiill a^ ,r. Als gegeben
eraclieinb eine gloicluaeitigo liyperbel (25), D«ui Innern Jes recliU liu^enften Astes cnUpricht conforni die obere Halb- Kbene V^O; und /.wnr ii^t sowohl jeiie^i Innere uU dit; Hulli- ebene xweililüUrig zu denken. 0*^ Doppclhrtlbobeno r<0» deren unteres Ulatt ^ch an da& utit«re BUtl der Doppellmlb- ebene ]'>() anik:)ilieti:^t, tfnt«|mcht dor iiJtreifen zwischen der
gegebenen Hyperbel nnd der Hyperbel (27), wenn «„ *= "t
QUOniinen wird; dann fUllt aber ditiüe Hyperbel mit d»m linkä geuden A^te der gegebenen gleichseitigen Hyperbel zusammen. Dem zweibläitrig za denkendeu luuern dieses linken Aütea eut- äpricbt also wieder ein Htätterpiiar der Üatbebene V ^ 0, welches dem ersten ßlütterpaare vollkommen oongrueni üt; man kiinn diihcr das obere Blnlt des Paar»« )' C 0 liingä der reellen Axe direct mit dem oberen Blatte dea enitea Paares in Sugamnienbang gebracht denken. Jedem Punkte der Halb* Itbenc* )">0 entsprechen daher ?.wai Punkte der *-Kbene, einer im Innern des recht« liegenden Zweiges der gleichseitigen Hy- purbel, der andere an »ym metrisch er Stelle im lunem des linkt« liegenden Aste.4. Kbcnso enUprechen jedem Punkte der Halb- ebene )■ < 0 zwei Punkte der «-Ebene, der eine rechts, der andere links von der Äxe x = 0^ welch' letztere jetzt an Stelle der Hyperlwl (21)) tritt. .ledeni Punkte j aber entspricht nur ein Punkt /f. Ks ist jetzt nicht mehr nöthig, die beimchteten Klüchciiid&cke zweiblüttrig zu denken; und «a muBs Z eine ganze mtinnale Function Kweit«n Orndea ron £ werden. Jn der That erhält man aus (24 a) die vielfach studirto Abbildungti- formel *)
(34)
2y
10. Durch einen HypHrbeluät wird die j-fclbene in xwei Theile t^etheilt; der eine Theil liegt an der umcitven, der andere
») Vjfl. X. », H»lxmnlli«r n. .i (' S liW (K
418 Sitsung der matk.-jihjfi. Ciaae com 7. NocewI/er itüH.
an der convoxon Seite der Hyperbel. Die cunfbrne Abbildung des erätertiu (des «iDnem'') warde in Vorstehend eni bebandclt; es fragt sich jetzt, wie der letetere (das «Aeusaere* des Hyperbelastcs) conform auf die Halheben© abge- bildet wird. Da in dem fraglichen Gebiete ein BremipDnkt (nünilicb — 1) eathallen ist, er^bt unser allgemeiner Ansialx wieder eine Gleichung von der Form (10), wenn man festsetit, dass dem Brennpunkte —1 der Punkt + i der Halbebeue }''>0 zugeordnet sein soll. Die Bestimmung der Constanieu ß und / in (20) ist aber jet^t eine andere. Da die Asymptoten des be* grenzenden Hvperbetastes jetut den Winkel 2 m — o einschlieaaen, so erkennt man »ofort, dass in den frOhern Formeln aar a dnrch 2fr — a zn ersetzen ist; nnd somit ergibt toA aus (24):
ni Sä — «
(35) z-^V7^\ = -«• (2-f V^M^i)
und aua (24 a):
c^(Z+l/^M^)^+ e'"' (-^H- YZ^)"^] .
(35a) #--
In der That ist dann * -= -1
fOr ^ ^
— oosm
Z
Unsere obigen Krörterungen Ober das gegenseitige Ent- sprechen der Ober beiden b^beuen auszubreitenden Hiemanu*seh| Flächen wiederholen sich jetzt genau in der gleichen Weil Wir haben Doppel-Halbebenen über der ^-Ebene und tlXeluB- streifen in der ^- Ebene. lctar.tere wieder begrenzt durch die Hyperbeln (27). Ein äulcher Streifen dehnt sich jetzt ron der erateu Hyperbel, deren linker Ast als Grenze in Betracht kam, aber den Unken A^t der niohsten Hyperbel hinwog bu sun rechten A«te der letzteren aus und \&i somit als zweiblfttki^ zu denken, so das« sofort beim ersten ätreifeo, wie bei alln
h\ tiudfmitHn.' />i> /iiuilj||Wldbf FnrtMetrunff etc.
ni>
folKeiifien die Uebprlesuiigen von Nr. 8 Anwendung linden. Ani'li die Hyperbeln (29) behalten ihr« Bedeatuni^.
ht a ein rationales Vieifnchefl von n. so ist die Func- tion (H'l) al^efaraiMoh. Der einfuchitte FhII tat di^rjenifce der
(gleichseitigen Hyperbel i «=—] . E» wird
(35) 2*' = .^(4^-|-3).
Ueber der «-Ebene haben wir eine dreiblättrige Flüche, die in 4 Tbeile zu Kerlegen ist, Über der ^-Gbene eine Kwei- blättrige Flücb«. Der erste Theil ist das gegebene Flüchen- attlck und entspricht der oberen Halbebene F > 0. Der «weite Tbeil uiufasst das Innere des begrenzenden (linken) A<tte<i der gleichseitigen Hyperbel, nod zwar in doppelter Belegung, und dehnt sioh im zweiten Blatte riber die.ien Ast nach reehta bis 7.ur Axe x=0 aui) (denn ei ist hier «, = 0 in (29), also Ij =0); er lAt auf die Hatbebene YK.0 abgebildet. Der dritte Theil i^t »«ymnietrifich zum zweiten gegen diese Axe und der Haibebene T'> 0 zngeordnet. I>er vierte Theil ist Kymmetrisch 7.um ersten; er braleht aus dem Innern dei zweiten (rechts liegenden) Astes der Hy[>erbel und ist wieder auf die Halb- ebene 3'<0 bezogen.
U. Ks erübrigt noch dasjenige FlächenstUck in Betracht zu ziehen, welches Ton den beiden Aesten der Hyperbel ein- gescbloflsen wird. Im Inneni desselben beHndet «ich kein Brenn- punkt, BO da» an Stelle von (19) die Gleichung
zu henutzvn ist, oder
wo /i und Y "^"^ Conntante Unleaten. Unser fiebiet dehnt sich nach zwm verschiedenen Seiten in's Unendliche aus; e» ist zu behiindelnf als wenn der begrenzende Itand im Punkt f = gd zwei H>ken bildete, von denfu jede den Winkol n — tt ein-
420 Siteung 4er imUh.'tihjfis. Wuaüw timt T, Stttfmher I^C.
»cliliesÄt, wenn a dieselbe Bedeutung hat, wie oben in (24). Bei dftii Ansätze (30) entsprechen diesen beiden Kcki^ii du* Punkte Z^O und Z^oo, welche mit Hülfe linearer Traiis- forturition dtirch zvrei beliebige amJere Punkte der Axe Y^O ersetzt werdet] können. Es ibly^L hieraus, da-y*
y =
n — a
ST
gesH'*t werden -niiisa.
Wie rtii« den Symmetrie -Verhältnissen hervorgeht *
spricht die Axe X =^ 0 der Äxe jf ^ 0, während die Aie y t= 0
dwrcli eiuen Halbkreis »bgebiUet wird, dessen Mittelpunkt in
Z ^ ^ liegt. Dor Radius desselben ist noch willkftrlich. wir
wäUleo ihn gleich der Einheit, »o doss der Mittelpunkt iler
Uyperbel (* ^ 0) in den Punkt Z-=i übergeht; dem eat-
aprechend muss
ai
gea«t?:t werden. Wir erhalten somit:
(37)
und aufgelöst:
(37a)
-f V,^ -i^c"' z
1 1^,--
+ e' ~"- Z
-I
12. Die Fortsetzung der Äbbildun«; über das ursprOngliche Gebiet hinaus ist wieder durch die Mehrdeutigkeit der Func- tion (37a) gegeben; wir haben allgemein
und für reelle Werthe von Z, wenn V = X ^ ■<
^="2(^"'"^)'''"(""" 9"*
P. lAndemnnn: tiie analytUch« FotiMettiimj rtr
toi
Dudiirch »ind wieder Kcwixsc FTyperbeln des ziJ*roh6ritfeii confücnten Sj»icms aU BpgrenzunjLCJ^Iinieii der auf die Hiüljobeiie y>0 und r<0 abj^ebildetcri FlnoticnstQcke i;eu;ehiru, und es wiederho)i:*n Bich im We»entiiclien die Uet)vrleßtini;en tud Nr. 7. .Zu beachten int, dasn jetxt die Halbebenen der >f-Ebene immer f i u bliibiri|;( zu denken sind. Insbesondere kann ein solches FlÄchenstüok einen Brennpunkt entbnlten und den bf^treffenden Bereich der «-Ebene theilweise doppelt Oberdecken. Dabei tritt der ausserhalb der Brennpunkte gelegene Theit der x-Axe als Uebergangalinie ein. Um die ihr entsprechende Curve der >?- Ebene zu finden, sei * > 1 und
reell uud positiv, dann folgt uu:$ (37) durch Aufii>sung:
X-t-»l=^>Uin ^ looBon — ^ — y
2m ßi
wenn ^ «= und m eine ganze Zahl bedeutet, also
(SB)
\ = Qcn82mß, Y=Qtntt2mß.
Hierdurch ist eine gerade Linie dargestellt, welche mit der A'-Axe den Winkel 2 m/? bildet. Der aiu»erhaJb des Kreidet) X^ -^ Y* ^^ [ gelegene Theil derselben (^> 1) entspricht dem p<>sitiTen Zeichen von Vx* — 1, der innerhalb gelegene Theil (^< 1) dem negatiren Vonteichen von 1 j' — 1. Dem Schnittpunkte des Kreises mit der Linie {'AB) entspricht ein Brennpunkt der gegebenen Hyperl>el.
Die Abbildung ist wieder algebruisch, wenn a ein ratiunaler Brucfatheil ron n i«t. Für die gleichseitige Hyperbel I rr «= - i findtm wir insbeHonder*» atts (37):
#• =
38'
422 SitauHfi iitr malk'phffi. Cliust mmi 7. Noitmbtr ttt^Hi.
fieide KIwnen sind doppult Obei'däi'ki 7u danken. D«r •rsten oberen Hailmbene }''>0 eubpricht die Klüch« zwüftcbeti den beiden Aesten der Hyperbel, ;;edacbt im unteren Blatt«;. Die daran sich an<irhlieAsendt^ uiit^rQ Halbebeiic ist auf dus doppelt zu denkende Inner« des einen HyperMfLsttn* abf^ebildeL, Das Äweite Blatt der Z- Ebene ist in aymnietriicher W^jise auf die andere Hälfte der Ober der ^-Ebene ausxu breitenden Flfiche belogen.
nr. Parabel.
13. Bei der Purul>el bedarf das Verbalten der Ab- bildiiDg^füiiction im Unendlichen einer f^eaautreii Kr5rtürttnf{. Durch Transformation mit reciprokeu Radien wiri] aus dem Innern einer Parabel das Innere eioee mit Spitze Ten»eheD«ni OvaU. nnd diese Spitw geht aiLi dem unendlich fernen Punkte der Parabel hervor. .Sei nämlich die Gleichung der PiLrutii*! in der Form
so geht dtftsellw dorch die SnhMtitution
t
(iber iu:
oder
1
.,y■i^^vt^,(X^;,)-^f^7^^i>
der SteUe $= |^.
Die ^Äxe ist Tangeute des im Anfangspunkt lie^nden [{(Ickkehrpunktes; daii Oval schneidet ausserdem die |-Axe an
In der Spitze stowen zwei Zweite de«
Handefl unter dem Winket Xnll zu<4animen. Die^^r Winkel «oU in einen solchen von der Grüsw n gestreckt werden; bei der Abbildung von Kreiabogenpolygoneu geschieht dos bekanntlich dadurch, daäs #~* xu lug Z proportional ixt, wenn ; = 0 ein* untche Kcke mit dem Winkel Null darHbellt, und ihr der Punkt ^s= (» 7.ugpordnet winl. In iinHermii Kiille haben wir «a mit «ioftr
^Hdmrtiin.' JMe nmüytitvM FvrtfcUttnij etc. 123
Aber der #-EHene ftusge breiteten zweiblattri^en Fläche y.u thun;
in ihr ist nicht T, sondern 1 l in der Nilhe der Stelle ^^ 0 eine nuunillich kleine OrÖsse erster Ordnung. Kh niiii« uUq
C * oder Vä in der Nabe dieser Stelle sieb verhaltea wl'^
log Z ftit Z'-mO.
Wir setzen nun fest, daas dem Brennpunkte * = /) der Punkt ^=i dbf Bildebene und dem Punkte j»«oo der Punkt i^sscc zugeordnet sei. Dann ergibt un^er allgemeiner Ansatz
*^ \ t — p «
Kl-l-2'
r^-p« i'- iok(z+ /[ + if') -I- Y-
Die }'-Axe muas eine äyumetrie-Liuie der Abbildung nein; ea rausB daher der dcheitel * =w ^ dem Punkte X = 0 enlAprechen,
Mosserdeni dem Punkte « := ^ der Punkt Zssi. D.idtirch sind C ond C* bestimmt, und wir finden
, ,0) v/ -■ /. = ^/ log (2 + yr+z') - '• )/ ^
Mnchen wir in (39) die Snbstitution
90 ergibt sich
1 rd; _ iF2j> r ^
0 II
und wenn noch p ^ 2 gesetzt wird
iTM im Weeentlichen die ton Schwarz gegebene Koruiel iKt.
Die weitere Di>cu<isiüu geschieht jetzt ebenso« wie bei der
WUpw. Fnhre« wir Polarcoordineten ^. u ein, indem wir setzen
421 SilsuTtfj der mtith.-phys. CVawc wm 7. Nortniter Jl^ft.
90 zerfallt für reolle Werthe von Z, fiills die Mehrdeutigkeit Am Logurithniuä berücksichtigt wird, die Gleichung (40) in di.« hi't«!i'n
V,.
coa
w
n
Aus der xweit«n Gleichung folgt durch ijiiadriren
e =
1 — coain w '
wo n eine gan%e Zahl bedeutet. Der Axe J'^O ist daher eine unendliche Reihe confncaler Parabeln augeordneL Bei Fortsetr-ung der Abbüdungsfunction Ober das ursprüngliche (icbiet hinaus erscheint die obere bezw. untere Doppeihalbebea« abgebildet auf einen von zwei confocalen Parabeln liegrvnztvn FlächeDfitreifen. Mit geringen Modificationen wiederboltm sich ijomit die in Kr. 4 gemachten Erörterungen.
14. Soll da§ Aeussere der Parabel aui'die HalbebeneK^O abgebildet werden, so ist zu beachten, das« aich im Innern d«a- eelbcn kein Verzweigungsptinkt unserer Riemann'^cben Fläch« befindet, und dass im Unendlichen eine Ecke mit dem Winkel *j n sich befindet, unser Ansatz fuliri daher zu folgender Gteichun{^:
J''^ = ^P- + ^-
Sollen die Punkte » Z =^ i und X ^ 0 entspTechen« so finden wir
0 und / = ~- bezw. den Paukten
V7^P^Vpz + i\/^.
Kk ii«t al»o £ eine ganze quadratiache FumHioo von Z, wir kommen auf ein« bereibi vielfach behandelte Aufgabr, deren wiederholte Besprechung nicht oothwendig ist
J23
Ueber partielle Differentialgleichungen IL Ordnung.
die sich durch gewöhnliche Differentialgleichungen
integrieren lassen.
Vou E. T. Wfbftr.
itImftItttftHt 7. .VMMHhfr I
In einer Note aus dem Jahre 1870*) hat Herr Darboux hinreichende Criterien dafür auge;;eben, dass eine partielle Dif- ferential;^leichung 2. Ordnung in 3 Variabela sich mit Hfilfe von Systemen gewöhnlicher Oifl'erentialgleichuugeu aUgemeiu iuti^grieren lasse. Späterhin hiit Herr Kßnig*) diese Theorie des Näheren dargelegt, und zugleich auf Qnind einiger von Herrn M- L^vy*) imgegebenen Sätze die Behauptung aufge- fttellt, dass alle Classen partieller Differentialgleichungen 2. Ord- nung, deren Integration auf diejenige gewöhnlicher Differential- gleichungen hinauskommt, durch die DarhouxVhen Criterien erschöpft werden; doch ßt'heint weder für jene L^Syy'schen Sätze, nr>ch für das diinin anknüpfende Knnig^Mche Theorem ein Beweis bisher veröfft-ntliclit y.u sein. In der vorliegenden Mitteilung soll deshalb Tersncht werden, das letztgenannt« Thoorem durch geometrische hezw. begriffliche Ueberlegnngen XU begrdndcn, indem Kunachst die Forderung, dass eine gegebene
') Aim. de r<5colft norm. t.Vll. 1870: in meiner Arbeit: ^Uelier gc* wino 8ytt«me P&fTMher üleicbimKea* iSitndn^fibca-. il. k. bnyer. Ak. d. Wia^ Bd. XXV, 1896. Hpfl UU. Ualw ich dir«? Aiu&Uir lu nner allKe- meiiitfD liitogrationstbeorie ücr part. Differential pnildome iu 3 Vtuiabeln «snritttert,
*i Math. Auii. 31.
■) Cciiupt«) Rendu» 7S p. 1004 (1672).
426 SiUun^ ii«r math.-jihjfi. Cttu»« vom 7. ^Vocrwbcr ttl9e.
Oleichung 2. Ordnung sich durch gewi^hnlicbe DifferentUl- gifichungen integrieren lasse, auf rino wichtige, von d»Mi Ch»- rukteristiken der Gleichung zu erfüllende Bediugun^ zarflck- peführt. und sodann der Nachweis geliefert wird, doBs dieM Bedingung im WesentUclien mit den Darboux'schen Criterieii &({uivalent int. Wir gewinnen solcherweise nicht nur eio«i Beweis des Künig'^cbeu Satzes, sondern auch einen ti6fer«n Einblick in die Eigenart des geometrischen Gebildes, das durch eine partielle Differentialgleichung dargestellt wird : daneboD Üudeu wir üel^enheit, die Tragweite der von der Geometrie der Flächenelemente') an die Hand gegebenen Methoden in einer interessanten Anwendung zu prüfen.
1. 'Ea sei gegeben eine partielle Difierential gleich ung 2. Ordnung:
(1) f («, v^ '. p. ?i r 9i 0 = f*.
worin £ die abhängige, x, y die unabhängigen Variaheln be- deuten, während unter p, q die ereten, unter r, », / die ^weifa Ableitungen von g nach x und y verstanden werden. Gleichung (1) integrieren beiMt, alle zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten von Werlsystemen x^ y * , t, 6. i. too KlA- chenelementeu 2. Ordnung angeben, welche die Helationeu (l). üuwie die totalen Ditferentialgleichungen:
(2) rf* = prlx -f jrfy, dp = rdx-\- *dy, dg =: si/x -f* ^^$
identisch erfüllen. Ist nun die Gleichung (t) «mit Hülfe g»> wohnlicher Diäerentialgleichungen* allgemein intf^rierbsr, «o läast sich diem* Eigenschaft geometrtach offenbar m aunprecheo: • Mau erhält die allgeuieiuate zweifach ausgedehnt« Integralmannigfaltigkeit der Gleichung (1) durch pak- sende Aneinanderreihung von je m^ ihrer einfach aoa*
*) Für die Theorill! der Klichriudvini-iit« bohanir Onlnuug *el. an^wr
den aaUreithen Arii«ten von Liv und Hilckltind nooli dnn Itarh nm
Oflarsat ,Le^y>n« aur l'inl^'grBtioii det i^fjuatiMti« aus d*>rtvv«.i partMlIa
da 2. ordrr' PaKii X^l. ttiwi)* meine AufRatxi* in d«n lAmth. Ann. «i.
. Mi und 47.
r. Wehrr: PariitUe IHffm »iiiittfjfgtdbiiiyiii //. UnUuwj. 427
^«debuteu lutegralumnni^falUf^keiteii, also von Strei- feil 2. Ordnung, die ihrerseits ala Integrale einem ge- wissen »?ystein}i gewölinlicher Differentialgleichangen
(S) .,(x.,,..,f|,..Jl,f^.,.0O
1.2,...)
definirt sind, und dlei»«» System uiutiä selber lediglich mit Hnlfe gewöhnlicher Differentialgleichungen er- mittelt werden können.*
2. Ueber die Gleichungen (S) ki>nnen wir nun Aofitrt fol- gi'iide nähere An>;nben machen. Da die Integrale von (3) Streifen darstellen, deren Klemento die Gleichung (1) befriedigen. mOssen die Reltttionen (2) sowie die folgende:
unter den Gleichungen (3) enthalten sein. Die linken Seiten der (Ihrigen Kelatinnen (3) aber werden von gewissen arbiträren Funktionen und Parametern abhängen ; wird Ufaer diese will- kürlichen Elemente in einer bestimmten Weise verfügt, .so möge das Spätem (3) in da^ folgende übergehen:
(3a)
V,(*»y, . -) = Ü 0'= 1,2,...)
.le 00* Integrabftreifen dieses Syjtt«ms mUssen sich zu einer Integnilmannigfaltigkeit von (1^ zusammen ordnen und die Glei- chungen (3) mQsäen allgemein genug sein, um alle (nicht äingu- lären) Integriile von (1) in difti^er Weise xu liefern. Damit aber dnrch KinfUbrnn^' des SyHtems (3) in die Rechnung eine wirkliche Vereinfacliiing üvh [ntegrutiousgesQhftfta enielt werde, d. b. damit die Ermittelung deA System« (3) nicht cid Prublem ron eiientto hoher Ordnung sei b\^ die Herstellung des [n» ' 'bärec
Funktionen eintr« Argumentn abhängeud*'n) » von (1), werden wir Yrrltingc^n, daiei in d (3) auwer einer endlichen Zahl von V Cf>efficient«n huclistem« ei Der
. 428 SitXHni) <ier miUh,-pliyf. Ctasse vom 7. NoMmhtr lüSG,
nientfl eintfehen. Aua der cndlicIiF^lindrii^ea') SobttT Inte^alätreifeii des einsetneu Systems (3a) mwM äich SOnit ein« uneadlichgliedrige Scbaar zwei&ch ausj^edelinter Intcf^U niannigfaltigkeiteu von (1) aiifbiini?n Ia.ssen, da sonHt die Ge- Knmtlieii der Syntenib (3u) nicht hinreichen wllrHe, um das all- gemeine liitejiaal von (1) in dieser Weise enUfc«ben -im lawen.
3. Ein einzelner Streifen 2. 0., der einem bostimmten Systeme (3 a) genflgt, muss nach dem Vongen nnbegrenzt vielen Iiitegrftiflächen von (1) ünjfebören ; bekanntlich aber kommt nur den .ChuraktiTistikcn 2. 0.* der Gleichung (1) diese Kigeo^iohaH zu. Sind die Wurzeln yS^, -/i^ der Gleichung
JB^-S^-f-r
0
(« -- 3-^ etc.),
wie wir von jetzt ab aiiiiäliuien, uicbi vt^rm5^r (1) iilnitiMrh, 80 gibt es zwei versrbiedeue Systeme von OhurakteriHtikcn 2. O., die bez. durch die beiden (iruppen von Gleichungen:
(5)
dij = ^i^d X. f/ j =5 (p -f ^^ q) rf jc,
Rdr + (5— Ä^^) ds + Mdx = 0 Rds + {S-Eytyjt -f Ndx = 0
[i^ 1,2)
dffiniert HJud,*) und deren Individuen kuntw^ mit C^ bexetchnM werden sollen. Eines der beiden Systeme (5), etwa dm erst«, mufti somit unter den Kelutioneu (3) euthuUen &ein,') d. h-£ »Die Integrale eines jeden der Systeme (3*) beitlvben ans Charakteristiken CiV
4. Zur Ableitung einer weiteren wichtigen Kits^enj^chaft des OteichungenHyst^nu (3) wollen wir i'inige Ulllf!>rfiHtze au» Theorie der Charakteristiken einschalten.
M <). h. vuii iiiner L'ndUt-heu PiinuQetcrtakl ahhUngootlidi. *) Die Be-Istlon H\ ivt (tise TcA^ Ton mi.
^f ^J^ ^^^f ^Jf^ V- '^X.'^-L-^^-l-i*^
c. H'tft»cr: Viirttelte DiffereHtiaJyidd^ttt^H It. Ordnumj. 429
Durch 1- — l-uiali^^e partiolle DifffirenÜaliiih von (i) nach X und y erhalt« mitri die v GJeichuugeu :
wona
o<»>
('=-1.2).
l^eaetict ist, während unter den M^^ gewisse leicht zu bildende Funktionen der Variabein x, </< '• Pi ■ • ^^^ vnrstAnden wfrdim. VjS \i^hi nun für jode» v^Z zwei verHchiedene Systeme von Oharakieristikeu i*. 0./) d. h. von Streifen t: 0., welche hex, definiert sind durch die beiden Qleiohuugssysteme :
(7) RHai;}_^-\- (S — R ^;iii a<^> -j- M^^dx = 0,
und f^i'h'pt'ntlich als .Streifen C'l*'* be/^ichnet werden sollen. Die oc* Fl&uhenelemenie i*. 0. x, i/* «, p . . a^> eines solchen
Streifens befriedigen flberdice) die jämtlichen ^ v {v~ 1) ReUtioneu
(8) / = 0, Af = 0, {x==l ..l; 1 = 2.3.,. t-\)
5. Wir führen noch hisioriäch die fulgendeu Sütxo') an: a) Jede (nicht singulare) Integrulfiäcbe von (1) ist von od^ cha- nik terifitischen Streifen i: 0. eines jeden der beiden S^'steme Über- deckt; h) durch jede CharakteriätiU Cf sind oc^ «ie enthiilteudfl Charakteristiken C« bestimmt, und xwar ist die einzelne unter diesen Ci**"*"*' durch Angabe eines ihrer Flächenelemente »'-|- 1. 0, eindeutig festgelegt; umgekehrt ist aufjedeinStreifeuC!''''^' ein ganx
1} Vgl. meine Arbiul: .iJlu CbomkUmtiketi ilur |jiurtiellim l)if-J . Miith. Ann. Etil. 47, tüwie diu yi^. 4S0 cHior • iiajp. IV.
i| Ea win) 4er ÜlXtw kalber (4!"'=''t «i^^'^l'« " *) UannHt, 1. r. Uhap. IV: MniU, Amt 47, l«(l
434 Silsuitg 'Itr tnath.-phf/s. CluMMt com t. November tiÜtG.
bftiien Klemente der Streifan C'/. C," . . C',. Uidem die Oh*- mkterwtik C, in die neue Loge C^ Qbei-gelit, nimnit f^leicbteitig da» Rlemf^nicnponr r« e, die neue Lage «, e^ an, nnd zwar ist diirob Angabe dea Kleiueuts e das xugehorige Nachbar-
• lument r, oindutitig mitbestimini, daJnderVor> n^ nacb innerlialh der Scliaar von Lagen C\^ welcbf , -xh Mnnodromie annimmt, jede» Individuum durch ein £l«mcBl N. 0. festgviagt ist. Jedem Element n. O. «, in welcb« • duruh Verschiebung täng« chArukt-emtiscber Streifen des 2. Sy- ittonut nlwrgeht'n kanti, ist .«omuh ein ganx be^mmtcs Nachbar^ element c-, xugewieäeu.
F.!) gibt nun aber ein und nur oin Element n-f- t* O. der Maauigraltigkeit ^-ft« dos die EUmeale «, c,, sowie das an e benachbarte Klement des Streifens C^ enthält ; durch diem BUmeot >■ + l. 0. int nacb Satx b) l&ngs C, ein cfaaraktcö^ tisoher Streifen a -f~ l- 0' festgel^t, dem nb^n mit e bezeklh> neti'n Klouient abo ein Element n -\- 1.0., mitbin auch eit gani bestimmteB Kachbarelemeni e,' zugevrieven n, a. w. Dnith Wiedttholung dieses ächlusses ergibt sich aofurt, daas die vor- hin geschilderte Zuordnung der Elemente e« r, aclioa durch Angabe der beiden NaehbareUuente r, r^ toII- kommen defioirt ist,
13. Jb werde nun aagenocmea, daat die von iftem
* «iMgalMote Cfatrafcwnitapeo «. 0. 4m cw«il«a SjaU— auwwU AUnaigfidtigkMt iC HbwMiwtih— (N. II): itKM miBk dam Vorigen jedem ffeiaaot « voo lU «ia guu he> I 4imBtM Nachhvekvaot «, mgeordnei; alrilt Jener die C^- \ rakteriatik C^ eine <kr l^igen dar, ia welche C, dvrck dromip gehncbt «eiAeii kann, und iit c irgeod mnm KUencafee a. 0., ao catkält sie aocii daa ra e ^etifirige e,, «beno 4m 4mb Kl— ent c, iiigurieeuuu Kacbl tt. 4> v^ 4* k. ae wtn Mcn flen ScUeMVifebBa ocr vw- doinh die Wahl dar keidea Kadkhttefaftf e, ^ saa «aet a«r EleHeale c wihnii öadBoft^ fiH^^ricgt, auf
, r. Weher: PartidU Differential^eixihutuftn II, Ordnung. 435
beltehig«) Chni-akUriÄtik C, ». 0. durch Monodromie Qbergeheu kann, wäre achuii durch Augabe zweier succeäuiver Kleiuente n. 0. e, *' von C, yollkommen deüniert, und es g&be nur ein- fiich UDündlich viele derartif^e Scba&reu von Lagen, da ja nor 00^ Elemente e existieren, die zu einem fi^^benen Element «. (>. r benachbart und mit ihm auf einer Charakteriatik C, gelegen sind. Dies ütt ahur absurd ; denu es würde in diewm Falle die Olfiuhung (1) Glierhaupt nur eine endlicbgliedrige Schaar von Charakteristiken C'i" besitzen. Also kennen die von irgend einem Kteuient e auslaufenden Charakteristiken Cf>"' nicht die ganze MaQuigfuttij^keit J{^ (auch kein iu R^ enthaltenes Continutini gleicher Dimension) Überürtreichen, und wir haben daa
Theorem III. . Besitzt eine partielle Differential- «gleichuQg 2. Ordnung diu Eigenschaft, dass jede ein- «Keine Charakteristik 2. 0. des einen Systems durch «MoDodromte nur eine eudlichgliedrige Schaar von .Lagen annimmt, innerhalb deren jedes Individuum «durch Angabe von u-\ successiven Flachenelementeu ,2. 0. festgelegt iftt, so existirt in der Reihe der Zahlen «2, 3 ... n weuigKteiiH eine Zaiil r von der Beschaffen- ,heit, dass die Definitiunsgleichungen der Charak- .teri&tiken f. 0. des zweiten Systems eine iutegrabU gCumbinatioa zulassen.*
14, Wir behalten die Bezeichnungen der N. 12 bei, und nehmen an, daas die Definitioujigleichungen der Charakttiristiken Cp, C^ . , Ci irgend welche integruble Comhinatiuncn be- Hibeen. Dann wird das Hllement e darcfa Verschiebung längs chnrakteriätiseher Streifen ». 0. des 2. .Systems eine Schaar von Logen e annehmen können, welche innerhalb der Mannigfaltig- keit i£n durch ein System von Gleichungen der Form
fio) Fm^Fy 0^m . . .
definiert ist, und mit if» hezeichnet werde. Durch Angabe des Klenii-nte r, , das in e benachbart und mit ihm auf Woer Cj*' gelegen ist, wird nach N. 12 jedem Klument e von K^ «iu be-
ISM. IUlk.-|>b7«. ci. a 39
4$6 Sit$u*'fj Wer mntb.'phfiK. (TJanitf roni 7. ?iovrmbfr tH^.
stinimt«!^ Nachbareleineut p, zugewiei*n, so zwar, diias <lie Qe- sanitbeit der Elcmeuienpaare e, tf, idcnÜsch ist mit der Gesamt- heit der Lugen, die dos Elemeiitenpaar e, «' durch VerschiebniiK längs cbnraktcrlsliitcbL'r Streifen C/ anzunehmen tmatande iat. Eu sei jetzt £ irgend ein Element n-f- 1. 0. der durch die UeUtiou«n
(U) /•=0, ^;,^' = 0 ()t = I,2,.Ai A«3, 3..«)
deHiiierten Mannigfaltigkeit i2„+i, »n >iud auf K zwei und nur zwei )4ucceäMrc FJächenelemente ». O. gelu^en« die zusammeD einer Charakteristik n. 0. C] angehi^ren kDnnen. Bezeicbnen wir diese Elemente gerade wieder mit e, r,, ferner die Mauiuk- fiiltigkeit vnn Lagen, in die das Element E durch VerschiAbung längs charakteristischer Streifen Cj'"'" * tibergehen kunn , mh Üh+i« dann besieht Rn+i aue einer Schaar von Elementen ti 4* !• ^'1 ^i*^ ^^^ erhält, indem man dem einzelnen Element c von Rh entweder die Gesamtheit, oder auch immer nur gidm der einfach unendlichen vielun Element« » -j" !■ O. «iinfcrt, welche e selbst und das ihm zugeordnete Kachharelcment ^ enthalten. Andererseits gibt ea zneifarh unendlich vieJe B^ mente rt -)- 1. Ü., welche ein gegchLMies Klement n. 0. e enthattm und den Relationen (11) ßenfige leisten. Mittn'n ist di« Mannig- faltigkeit Tfn-i-i definiert durch die UMationrn (10) (11) and wenigstens eine weitere Gleichung der Form:
die sich rermogc (1 1) nicht auf eine Ton den höchsten Ableit aj*+'* . . c[|'+" freie Form bringen Hast. Hieraus fulgt das
Theorem IV. .unter den VoraussetEungen i)et Theo- «rems Itl besitzen auch die Oefinitionsgleichungan de* , Charakteristiken »-f 1.0. des zweiten Syitemfi w«nig* «sten» eine iatograble Combinatton.*
15. Ana den Ergebnissen meiner frQberen MittA^lang: .lieber gewiaae Syateffi« PfaiTscher Gleichungen*') erhält taan dnrcb f^eeignot« S(>ecialiinrung unmittelbar den Satx:
>) Vgl. die ant« Ania. p 43S.
Vtberi ParticUi lUfi
II. Ordnung. 437
,Gibt CS zwei verschiedene Ziihlen r, r von der BeschaiFen- «heit, das» die Düßuitionaffleichungpii der Charakteristiken C^' «und Ci^ je eine iiitef^mble Comliiiiation zulassen, eo kann man «die gef^bene Gleichung (1) dnrch gewohnliche Differcntinl- f^leicbungen allgemein integrieren/ Alis den citierten Ent- wickäliini^t^n »t-liHe-Mt man atirh ohne weiteres, dass unter der gemachten Aimiihnie jede Ghurakteritftik Ci der gegebenen Gleichung durch Monodroniie nur eine endlichgliedrige Schaar von Lagen unnimuit.*)
Indem wir diese Resultate mit den Theoremen I, III, !V vergleichen, gewinnen wir schliestiUch das
Tfaeoretu V. .Die notwendige und hinreichende Be- . dingung dafUr, dass sich eine partielle Differential- «gleichung 2. Ordnung, deren beide Charakteristiken- «syutenie nicht Kusanimcnfallen, tnit Hülfe gewöhn- , lieber Oifferentiatgleicliungen ullgemeiu integrieren ,la<;!>e, ist die Existenr. zweier verschiedener Zahlen ,r, r Ton der Eigenschaft, daaa die Definitionsglei- «cbungen der Charakteristiken sowohl der r. als auch .der r. Ordnung eines der beiden S^rstenie je eine inte- »grable Combination besitzen.**)
*) Dann gehört njlmliüL, nach der 1. c^ gehra-ucbten Tn-mioolofne. JMie ühiimktvniilik tj \ faJU r> r". einem und nur einem .unkettrhrankt inU*gru>ilen tiltviransyrtcim A^''* an.
*i Wir ti&l)cu im Texte d«i Kall, da*« die gejfebene Olcichuiig {1) io r, ». l, r(— «• linear irt, der KUrxe wejfen beiseite geltL-Mt'ii; unter die«(*r Vuniutt(>i-litin^ nxistierfo twei viynchiedeiip Systemi? vun choruk- teruliidieo Streifen erster Ordnung, uud die vor b ergeh L>udeu Kuaultjtto und nur diihin tu niodifideren. dius in Theon^ni UI die Zahl r, in Theormi V die Znhlpn r f auch den Wert ein« uinubtam knunnn.
is«
439
Jeffentliche Sitzung
zo Ehren Seiner Majestät des Königs and Seiner Ktiniglichen Hoheit des Prinz-Regenten
Uli 14. Novambcr 1896.
»
▼Der IVfL^idenl Her Akademie, Herr M. t. Pettenkofer, efOftiet die Sitzung mit folf^euder An.cprache:
Ute heutig FesLäitzung der kgl. bayer. Akademie der WissenschaFteii gilt ilirem hohen Proteclor, Sr. k. Hoheit dem Prin«-Itegpnten Liiilpold, des Königreichs Bauern Verweser. Mit Khrfurcht und Dankbarkeit blicken wir zu Allerh5chst- detuselben auf, noch eine lange, gesegnete Refperung ihm wflnschend.
Mit diesem jährlichen Festtage ist stets auch die Verkün- dang der neuen Wahlen verknöpft , welche die Akademie vor- genommen und deren Prntectnr bestätigt hat.
Ala Ebrenmi^lied wurde vom PräsidentBn und den drei CtasseDseoretären vorgeschlagen Se. k. Huheit Prinz Ludwig von Bayern, von der Gesammtakadomie am 23. Juli da. Ja. per acclumationem gewählt und am 10. November 1806 vom Protector bestätigt. Wir hegrQssen in ihm nicht nur ein Glied unseres vprohrtcn Künigithause«, sondern auch ein Ehrenmitglied, welches bei verschiedenen Anlässen ein umfassendes Wissen ge- zeigt und der W^issenwhaft und ihrer praktii^chen Anwendung namentlich auf Landwirthschaft und Verkehr behOlflich war.
Ich entuehe nun die Herren CloAsenaecreture, die übrigen vorgenommenen und licstätigten Wahlen von außerordentlichen und correspondirenden Mitgliedern kundzugeben.
440
fh/fcHlli^e Sittunff vom 14. Novumher JS$0.
Hierauf verküadeben die ClassensecreUre die weiteren WahUn und zvar der Sfcretar der Tl. ClasHe, Herr C ▼. Voit,H folirende Wahlen ftlr die mathematisch -physikalische Cln»e:
bU ausserordentliche Mitglieder:
1. Dr. Wilhelm Königs, auaserord. Professor an derIJoir«niiUt|
Mtlnchen ;
2. Dr. Karl Linde, Honorarprofeasor an der tecUniiichen Huch-
schule iu MQucben;
3. Dr. Kmil Selenka, Honorarprofessor an der Cnirersätit
Mflnchen, TormHli o. ö. Prol'ejijior der Zoologie und rer- gleichenden Anatomie an der UniverintÜt Erlangen;
als correspondirende Mitglieder;
1. Ku^rapli von Fedorow, Professor dur Mineralogie and taeo-
logie au der Isndwirthschaftlichen Schule zu Moskftu;
2. Dr. Waltber Flemming, ord. Professor der Anatumie au
der Universität Kiel;
3. Dr. F. Robert Helmert, ord. Professor so der lrnrer.n:Ut
Berlin und Direktor des kgl. preuisischen oreodätJM'hrTi tn* stituts daselbst;
4. Dr. Wilhelm Uittorf, Geh. Ilath, ord. Professor der Pbyukj
au der Akademie Münster;
5. Dr. Wilhelm Konrad Köntgen, ord. Profe»ür der PhnikJ
an der Universität WOniburg;
6. Dr. Ani^üst T&pler, Geh. Ratli, ord. Professor der Ph;«!:]
an der technischen Hochschule to Dn^den :
7. Ur. Wilhelm Waldtyer. ord. Professor der Analittuie on^
der UoiTersität Berlin.
V. Feltcnhtffr. EröffmtnffKrtdi,
441
T^reuTfulir Qfhcimrath v. Tettenkofer fort:
Ü(.'Vor Herr College Walter D)c.k die nogekilndigte Kest- rede hält, sei mir gestattet, noch einige gescfaäfllicbe Mit- (huilnngen zu mucheti.
Üer Präftidtnt der Akademie der Wissenschaften, mit welcher Kunt'tion biüber nuch die des Generalcnnservators der wissen- !)chaniich(>n äammlungon des Staates verhunden ist, wird stets auf drei Jrthre vorn Pniteolor ernannt. 1890 und 1893 fiel die Ailerliüchäte Ernennung auf meine P«n>(>n, Huhe» ÄlU:r und Kränklichkeit Hessen mich wünschen, nicht «um drittenmal er- annt zu werden. Se. k. Hoheit der Prinx-Kegent sprach Bir jedoch den Wunsch au^, der auch vun den CluHsensecreiuren geÜieilt wurde, daas ich eä doch kudi dritUmmale reräuchon solle. Der Wunsch unsere» Protectora war mir Befehl. Ich wüneche mir, dass e^ mir gelingiMi möchte, dem in mich gesetzten Ver- truui-n doch noch einit^ornuisäen uucli thatäilchlich zu entsprechen.
In der letzten ÖffenlUcben Fe^Lsiitzung im März dieses Jahres war ich in der gldckUcheu Lage, die Gründung der Münchener UürgerstiftuDg verkünden zu können, welche Stiftung un« luifTun lilsHt-, do^ anch uii.serer Akudumie allnmhticb vun Pri- vaten so reiche Mittel zaflieseeo werden, wie sie die Akademien der Wisseuschaften In Berlin uud Wien besitEcn, welche ftlr wiaseDMchaft liehe Arbeiten und wissenschafUiche Quecke fiber die Kenten aus PrJTat«tiftungen verfQgen, deren Capitnl Millionen vüu Mark und Gulden Iieträgt. Die MUncheuer BOrgerstiftung betrug bei ihrer Gründung 5Ü,500 M. und bat ^icb bis heute auf 70,900 M. erholit.
Die Genehmigung der kgl. Staatsregterung erhielt die Mün- cbener Bdrgerstiftung am 8. Juni 189l}, nai:lidem ein Statut ausgearbeitet wonleu war, welcbea die VerwuiLung und Ver- wendung der Stiftung regelt uud welcliea die WOnscbe der Spender thunlichst berUck^-ielitigi. Das ÄUerhöcltft genehmigte .Statut lautet:
g 1. Aus Spenden MOncbener Bürger uud Kirnien wird eine Stiftung errichtet unter dem tarnen »Miluchoner BQrgerstiftuug bei der kgl. bayeh^icbeu Akademie der Wtäsenacbaften'.
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OfffrnÜiehi SUtump rom 14. iV««Mi*6r USt,
§ 2. Zw^clc d<n- SHftnnff Ut, aas den Znua kj^l. Akademie zur Verfnfntnff geateMten OipiUk f «uf drni Geliiet derj^tuÄen WimenfH^haflen txx zu untCTritntzen, welche in der inafchematisch'phyxtl Vertretung? finden.
§ 3. Das Stiilunfr^Terniü^en wird (gebildet: dudi reite einpe^ahlfcen Oeldhetni^e, ferner durch kQotti|t. gleichen Zwecke gewidmete Speuden. endlich dar^ wdn f^ebrauchte, 7,tim Cnpitul f<eechlafrene Zirtsen. — SoOti tinTorher^CHohen« Ereii^isse eine Vennindenmi^ d« Q eiutretfii, 80 muss dAsselbe ans den Jährlichen Keaicft auf »eine roriffe HBhe gebracht werden.
§ 4. Anlnf^e und VermiltunK des Stift4ing»v«rBi9a folgt dnreh die Casfienverwaltnnß der legi. Akadetnip d«r ' M'liuften nach den für die Ohrigen ak4&demi»cheu Sti geltenden Vortichriften.
§ 5. lieber die VerwonrJung der jährlichen 2iM Stiftongsverntögens zu dem in § J bo^eichneteii Zweck cot eine Commission« welche ans dem Prl-fidenten der k. Ak dem SecretKr der miitbemaÜAch-phyinkHlischen Clane v weiteren, auf ja drei .Tiibre gL'wiihltcn Mitgliedern dicM beerteht.
§ 6. Die Namen der Bürger ond Finnen, welche Münchener Btlrgorstiftnng einen Beiimg vnn mindestens (eintauBend Mark) gesf>endet buhen, werden xum ebr«D( däclitniss auf einer tn den Räumen der k. A kademi* bringenden Tafel verzeichnet.
g 7. Aendeningen dieftes Statute sind nur auf Anb mathemati^ch-phyitikali^hen Clause durch einmtlthL^eii Bi de« Pffwidenten der k. Akademie und dftr drei ClasseujN und mit Allerhöchaler Geuebmigung zuläs-sig.
Die iiu tj 6 des Statuts urwabnte Q^donktal'el Iim Itauamtniann Adelung durch die geübte Hund des Aral Kreutpr, des HchreinermeiHtera Küllmayr und des Hta meisters Kehin ausfithrcn lu^sen. äiu i»t in dem no di aaal anstossenden Ver-^ammhingsranm angebracht.
p^^Pftttnkofer: EHiff)»tmgtre4e.
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)er hexitipe Festtap verschafft mir Gelegenheit, auch noch reitere, «ehr ansehnliche PriTatstiftunß; zu verkünden. Seine
lenz Herr StnatsminiRter [)r. v. Landmann erhielt von Heim
|or Fr])rn. v. Cramer-KleU, erblichen üeichsrafch der Krone ans HohenaHchau einen Brief vom 21. Ocfc. 1896, wel-
[Se. Excellenz der Akademie im Original mitxuthetlen die
lliAUe. Das Schreiben lautet:
Hochwohlgeborener Herr Hochzuverefarendeter Herr Staatsminister !
i ist mein reges Bestreben, dem Vorbilde meines verewigen ers, soweit m mir eben vergönnt ist, nachzueifern. Derselbe vi dem Gewprbemnseum in Ndrnberg und der k. Technischen ocfaschule in München nicht unbedeutende Stiftungen gewidmet, ^enn ich auch die Höbe dieser Stiflungssummen lange nicht reichen kann, so möchte ich doch mit dem Capitalbetrag von ),000M. eine .Cramer-KIett-Stiftung" bei der k. b. Akn- imie der Wissenschaften zu MOnchen begründen dürfen. Neben im »teteu Rückblick auf das Vorgehen meines gut^n Vaters n auch ich von dem Wunsche beseelt, dem derzeitigen Pra- lentcn der Akademie der Wissenschaften, Herrn Geheimen Kath r. Max V. Pettenkufer, ein Zeichen meiner Verehrung kund- igolien und wfinsche ferner, dass auch auf die »Cramer-KIett- äftung" im allgemeinen jenes Statut Anwendung finde, welches Beziehung auf die ^Miliichener RHrgentüftung bei der k. b, kademie der Wiäseuschaften" von eben dieser Akademie am S. April lfd. Ja. beschlossen worden ist. .ledoch bäte ich ganz 'gebenst, es möge in dieses Statut unter Aenderung der §§ I id 3 und mit Binweglassung von § G für meine Stiftung die estimmung aufgenummen werden , da&s der Zinsertrag der i-amer'Klett-Sliftung zu neun Zehnteln auf den Stiflungszwcck ilbst, KU einem Zehntheil aber alljährlich r.ur Grhöhtmg de» Eiftungscapitals verwendet werden soll. Khe ich, vom 1, No- jmber lfd. .h. an als Attache au die k. b. Gesandtschaft am , italienischen Hofe AUergnädigst einberufen, in den nächsten ageu meine Reise nach Rom antrete, gestatte ich mir, an Kner
444 OeffenUicke SiUuiuf eom 14. Nootnü>er 1896.
VjXceWem die ganz er^^ebenste Bitte zu ricliten, die Allerhfichxte lundci^herrticbe Bestätigung der ,Cruiuer-K[ätt-Stiftiiu^* huch- geneigteät befürworteu zu wollen und meine Verm5g«DS-Admim* atralion in Mönchen (Ottostrasse 0) p;efä]ligst verständigen m lo^en, wohin sie das Stiflunj|;f8c;ipitftl von ßO,OOll M. tii ' l<m
habe, welche l^iiizahlnng dann sofnrt bew«rkst«liigt vn-. . .\.
Mit dem Ausdruck der ausgeKeichnetsben Uocbachtunnf h»be ich die Ehre zu sein
Euer Excellenx
gHOZ ergebenster
Th. Frhr. r. Cramer-Klclt, erblicher Heichsrath der Krone B*,veni.
Die Akadeiuiecftsse bat die 00,000 M. bereits in EmpfftOfE genommen und in WertlipapierL-n angelegt.
Das Statut haben Prä-^idcnt und CI&.ssensecretflre nach dem Wunsche des Spenders entworfen und werden es oiich Gegm- zcicbnuug desselben dem k. Stoatäminibterium zur Gcnehaiiguog unterbreiten.
Der jugendliche Reicbsrath der Krone Uajrem hat ftlr dl* bajeriflche Krone wirklich etwa^ Ciroüees geleistet, indem vr dvm verliältnis-sniil^Hig armen Staab^in^titut der k. b. Ak«deuiie der Wiwenschaften die Konten einer »o namhaften Summe zur Ver* t'Uguug stallt, was die kgL Staaloregierung gewiss auch eol- iiprechend anerkennen wird.
Ich rufe daher im Namen der Akademie dem hochhorxig«n Stifter tief gerUbrt den inuightun Dank nach Rom ultra moiite» binfiber.
Hierauf hielt Aha ordentliche Mitglied der Akadumtu IVjf. Walter D^ck die Festrede «Teber die wechtieUeitigen Ituuehungvii zwischen der reinen und der angewandten MatbcniaLik*^. Mit dem Vortrag war die Sitzung geschlossen.
445
Sitzung vom 5. Dezember 1896.
1. Herr Ferd. Lindemann hält einen Vortrag; ,Zur Ge- schichte der Polyeder und der Zahlzeichen/
2. Herr Ferd. Lindemann legt eine Note des Herrn Pro- fessor S. Kantor in Kopenhagen vor: „Ueber n. Momente von iJ^-CompIexen im Rr.'
3. Herr Leonbard Sohncke macht eine Mittheilung: .lieber die drei ersten Fahrten mit dem Ballon , Akademie*.* Die Veröffentlichung der Beobachtungen erfolgt an einem an- deren Orte.
4. Herr PaüL Groth legt eine von dem correspondiren- den Mitgliede Herrn E. v. Fedorow eingesandte Abhandlung : »Einige Betrachtungen über die Grundfragen der Kry stall ographie" vor.
5. Herr K. GoEBEL reiclit eine Abhandlung ein: .Ueber Ju- gendformen von Pflanzen und deren künstliche Wieder- hervorrufung."
t>. Herr W. v. GCmbel spricht: „Ueber die Grünerde vom Monte Baldo."
7. Herr Alf. Prinosheim macht eine Mittheilung: .lieber die sogenannte Grenze zwischen Divergenz und Gon- vergenz."
447
Ueber Jugendformen von Pflanzen und deren künst- liche Wiederliervorrufung.
Von K. GMbel.
Im Wesen der Entwicklung lie^t e» bci^rUniJet, Aass die ersten Sturen derselben vuu den füllenden nbweiciien. Dies tritt, wie ich frDlier fUeber die Jugendztutäsde der Pflan/eu, Flora 1S89, p. l If.) nachzuweiäeD versucht hübe, besonders dann
I auft'alleiid hervor, wenn die ernten Entwicklungsstadien anderen Luääeren Verhültniäeuii an^epassb sind, al.s die t'olf^enden. Su tinden wir bei einer Anzahl xerophiler P6anzen die späterhin eine Keduktioa der DluttflUche zei^eu, die Jugend Türmen, die im Schutze anderer Pdanzen aufwachsen, mit wohtentwickelten
rBlättem versehen; die frUher angeführten Beispiele zeigen aber, welche Schwankungen in dieser Beziehung vorkommen. Es Keifen z. B. die Keimpflanzen von Cosuarina und Ruäcuä acul- eatus keine Abweichung von der Ge»tüttun>; der »erwachsenen* Pflaoz«, während diejenigen ron Kosods androgynoa (Seniele andrngyna) wohl entwickelte Lanbblätter Witzen, obwohl auch hier später die Blätter verkQmmeru und dit< Anüiniilution den blattii balichen Phyllokliidien übertragen winl.
Aber auch da, wo die LebenAVertültiiiiise der Keimpfianseo nicht in erheblichem Maaasc von denen des späteren Altera ab- weichen, 6ind die Ge&tAltungMverhältni^ue oft rerttchieden. Diene Erscheinung gewjihrt xunftchst ein morphologisches Intereme. FaMen wir nur div Ix'blättertt'n PHan/en zrinächiit in das AujTf, und bezeichnen wir die in der Jugend auftretenden Blätter als
4-^8 Sitiutiif der math.-jJty», iVoMae roin S. Detember tu
Primärhiätter*), so fragt es sich: folgnn Hiefip von <Ipn »pi- teroQ, ileu Kuigeblätteru, oft »o weit abwcichendi'H Gebilde dtiOiädbcMi, nur in gewisser Beziehung abgeünüertea Kniwick- lungs^nge wie jene oder nicht?
In einer An^hl von iinierKiicbten Füllen halte ich nach- gewiesen, das« dfts erstere der Fall ist, dass der Entwickhing)*- gang bei allen Blaitgebilden einer Pflanze arsprUnglich Dber- einsticuMii und Abweichungen dadurch /.ü Stande k-üiuwen, dan die Priniarblütter auf einem gewiddon Entwicklungsstudium stehen bleiben, und nun eine V ergrösser uiig oder sonstige V'^erUndönmg einzelner Theile erfahren. Sie eracheiuen »o, wie ich nachwies, ah IK'mmungHhildun^pn gegenüber den ttpäter anftreti-ndeo Hlattiiilägen, abgesehen naUirlich von den Fallen, in denen letztere selbst der Reduktion anheimfallen, wie bei den austrs- liäcben Akaxien, Clematis afoliata u. a.
Derartige Krscfaeinungen haben xunächst in phy1ogeneti«ch«r Beziehung Am Interettse auf sich gezc^en, weil die 'Ingendformen hier Obere! nstiminen mit drn Oe.^tultiingHverhältuittäeu die bei anderen PHnn/eii die auch später hemchvuden darstellen. Durmuf möi-hle ieh hier nicht n&her eingehen, sondern nur hervorheben, dass der Nachweis, doss eine Jngendforn) andern VerbültuiaMn nngepiis«t ist als die folgenden Stadien, noch nichts gegen eine etwaige phylogenetische Bedeutung der Jugend.tladien Ijewetafc. Darüber kann nur der Vergleich mit anderen Formen oa^ scheiden. Auch da, wo Ober die pbylogimetische Bedentung der Jngendatudien wohl kaut» eine MeinungBrenohiedeniMBt besteht, wie bei den auBtr<iti:>chen Akii7.ien, »ind di«it«tben offm» bar anderen Verhältnissen angepasst als die epitem und haben deashalb eich erhalten.
In neuerer !^it i;it aber gegenüber der formal moq>bo- logiMsfaen Betrachtnng eine andere Frage in den Vtirdergnind getreten, die nach der Abhängigkeit der einzehien Kntwiek*
*) Der «Utl da«»en tob «inigvu Autoraa angewandte AiMdmck PritnunÜMlbliUlt'r i»i zu verwerfen. PrbuünliiLlh1;itt int. wie der N*aie> •äfft. <*ine ai» Jrün Blatt iirimonlium hi*rvorgegtuigöD« tJlattiuila^e. iw haium Gicliler iind ioh ilnn Amtlruck aaub gubnuuiht.
A*. fiüthfl: Vfhcr J Hgrntlfnrmeii von Pftancrn ttc.
-M9
äNtiidicn von äii^^eren Kaktoren, Auf die Kräfte, ob diu Auftreten der Jugendformeu au auderc ünsseTe Ueiliugun^t^u, cpeciell ati andere Starke der Uohtint^nsitUt peknllpf*. a«, als dus der folgL*nden Entwicklnngwtufen, wurde schon in meiner oben erwiifanU'n Arbrit lnn^L•v^ieseu. Ist die» der FnII, po tnuw eä nmäcbst mö^licli »ein, die Dauer der Ju^endform künstlich %n Terlan^erD, sie zu einer theoretiech unbegrenzten zu machen. Die Natur fflhrt dies Experiment gelegenMich bei einigen Wiwserpflrtnzen aus, und so wurde denn auch xunüchsfc bei einer solchen l'fianxe, Sagittarin sagittiiefulia ton mir nachj^ewieseo*), dass dio .Tugendform — die nch durch ihre abweichende, ein- fachere niattforni auszeichnet, dauernd crbulten blfibt, wenn man nie bei schwacher |jichtint».'D^ität kultivirt, und doäselbe wurde spater f(lr eine dikotyle LandpftaD/e, Campanula rotundi- fiilia gezeigt.
Iod(»>s kämmen hei der Erbaltuug der Jugendfurmen keines- wegs nnr Süssere Kiinvirknii^en in Betracht. Dien %ei;;t unä schon das Verhalten der , fixirten ' Juf;endfonnen mancher Coniferen, z. U. der Üiota und Chamaecypari8-(Uetini.spnra)- Artrn. Man kann hier die durch abstehcndi: Xaileln atttge- zeichnctc Ju^endforra, wie früher niitgetheilt, dadurch erhallen, diiM nuin an Keimpflanzen die ganze obere Partie entfernt, nnd nur die an der Baais stehenden die Jugendblattfunn /eigßuden Sprosse stehen Übst. Diese erüahren jetxt eine kräftige Knt- wicklung, wahrend sie sonat durch die anders beblätterten Sproftie bald unterdrOckt werden. Ks kommen atiKi auch Cor- relationsTerhältnisse in Betracht.
An die Frage: wodurch man eine Pflunze zum Beharren
auf dem Jugendiittadinm veranlassen könne, firl)liesst .-«ich natur-
.gemö^die weitere, üb und wodurch es möglich ui, die Pflanze
ItUckkebr zur Jugendform zu bringen.
Nachdem nun eine Anzahl derartiger Fälle bekannt ge- worden ifti, wird es von Intereüse sein, sie in Verbindung mit einigen neuen hier zusammeafasnend zu besprechen. Dass es
M PQMiiMibiolog. Schilderungen lU p. 'Jm&. Flom 189A, p. 110.
4&0 SUsunff der math.-iiki/a. Claxite vom 5. Itestmber J896,
sich auf diesem Gebiete nur um eineu Anfuog bändelt, ItTMcbt kaum hervoi^ehoben 711 xverden, immerhin ergeben sieb docb ftir Pflanzen aus ventcbiedenen Gruppvii einige gemeinauEM (jedcbtepunkte, wenn auch Manches noch Kweifdbaft bleibt und ausgedehnter Prüfung bedarf. Die meisten der im Fol- genden beitprochonen UnU*r6Uchungei) wurden th*-ihi von mir, tbeiU auf meine Vcrunlussung iu dem hiesigen pÜuni&enpbjMio- logistibeu lüätitute ausgefahrt, andere Beispiele wurden der literatur entnommen.
1. Lebermoose.
Untersucht wnrde das Verhalten /.ureier Marchantieen. der Keimung der Sporen enlalebt zniiacbAt ein KeimachUoch, zur Bildung der an diesem entstehenden Keiaiecbeib« ist, wie schon Leitgeb fand^ höhere Lichtintensität noth wendig. Bei .starlcem Lichte bleibt der Keimsehlanch kurz (cfr. Fig. I, I) und geht M)fort an seiner Spitze zur Bildung der aua rier Zellen l>estelienden, rechtwinklig zar Kichtnng der Lichtstrahlen orientirtea Keimscheibe Ober, deren eine Zelle zur Si ' II<
der KeimpHonxe wird. E!a bildet sich so eine mit zv.'.TviM.t'i-
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FS?- T PreiBBia oommuUt« fhaIb«f}icmTtti*fh>. 1. Opki-imti« 8pnr*. oliea n L943h«ib« bben^iiesid. 2. Juti ' . J ds«
••■itwRiide. in linm obcrii '. . j'ttig«
l'll, r ["ift. H- Eiu*^ Kcimucbi'ilir, lu .]<:t iu il %ty
fiiu l'1l«n/'' ntiv'l'V'' w»ir»le (i- St'ljritelzt*ll> ■>»-
•rhi'ibi: !C. i ■■ml im npti[i'*h<'n I
, jmif;« 1*1'-! !■* in iV'ltfe vrniiiii-
iri»'»tfr 'inii h' iiiH^liI 111' !i .i;;-i;'"A;ti li.itül t»t. l 'TiCrj
JC GocM: ffeher Juffen^onnen von Pftanien .eie.
451
»
diger Sühmtelzetl« wouhsunde Zellflüeke. Brinp;i miui*) diuse in i^eniindertes Licht, sü wuchst die Scbeitelzelle wieder %am Klinisch I»ucho aus (I, 5) der nun wieder — höhere Liüht- intensität vorausgwetzt — zur Bildung einer ICeinischeibfl schreiten kann. Dieser Versuch lilsst Mich durch Withael der Lieh iintensi tut beliebif; oft wiederholen, die Möglichkeit dazu hört aber auf, subald der Si-heitel des Vorkeinis die Struktur angenorainen hat, welche nan die l)leibeiide wird. Auch andere Zellen des Vorkeims kQnnea zu Schläuchen aoswachsen, und zwar geschieht dies nach Verletzung der ScbeiteUelle regel- inäsaig. Es war nun nicht unwahrscheinlich, dass man durch Aussaat der Sporen bei hobf^r Lichtiutensität die Bildung des Keimschtaacbes ganz unterdrücken ond sofort KeirascheibeQ- bililnng herbeiflibren könne. Kin bei sehr starker elektrischer Beleuchtung uui^gefilhrter Versuch luit Plagiochaftiua Aitouiana ergab aber ein negatires Resultat, K ei nisch tauche traten trotz der starkeu Beleuchtung auf» ihre Bildung kann, soweit die Erfahrung bis jetzt reicht, nicht Gl)ersprungeu, resp, unterdrückt werden.
Wenn an dem Vorkcim eines foliosen Lebermooses die Bildung einer i^prossanltt^e erfolgt ist, so Iwginnt die Blatt- bildung zunächst mit der Kntfstehung einfach gestalteter Priniär- blfttter. Es fragt sich, ob man die Bildung derselben auch auf spateren Stadien wieder berrorrufen kann.
Jungermannia bicnspidata besitzt bekanntlich BIfitter, die auf einer Zellfläche oben zwei gleichfalls au^ Zelldüchen be- stehende Lappen tragen. I'äunzen dieser Art wurden längere Zeit bei schwacher Beleuchtung gezogen. Ks entwickelten sich vielfach Sprotne, l>ei denen das Blatt nur noch ans zwei an- reihen bcätAnd. Kin solcher Fall — nicht der extremste, der zur Beobachtung kam — ist iu Fig. 11 abgebildet Da» Blatt war das 17. eines Seiten Sprosses, «res desehatb bemerkt werden musgi , weil die untersten Blütter von Seiteosproesen ohnedies einfacher gestaltet zu sein pÜegen, als die oberen. Es ist hier
4^4 SiUung der math.-jfhifs, GVcwe vom H. Destmhvr J500.
Grabou am Stollenniuudloch der Uachschiefcrz«che Lebniten bei Ludwigstftdl in Oberfraiikcn gewachsen und besaasen hm ni 5 cm Dicke bei niuer Ausdehnung von oft Ober 15 col. Die' konipaktcD Polster zeigen beim Durchschneiden deutlicli eine^ äcbichtun}^. die oberste Zone {etwa bis 2 niui) seigt ein« uAch I unten abnehmende intenniv grOne Kärbung. Merr r. QQmbel i war xTreifelhaft, ob dies Gebilde eine Fadenalge darstelle oder
Fig. 111. Pro toll eraapuliter Ivun Biram ppfoilo-tnijaotnna?! tn natllr- Uäher GrOeii«. Daswlbe oUt oimud Stack Uoli ««f,
ein sehr eigeniirtigee Moo^protonema. Das zuorst Toa mir untersuchte Maierliü lieas den Zellinbalt nicbt mehr dent- Lieh erkennen. Koch der Gestalt der verzweigten K&den, Mm denen die Polater Eusanimengesetzt itind, glaubte ich, eioe ChW- M rotyliiim-Art vor mir haben. Frisches Material, welche» Herr " T. GUmbel kommen zu laseen die Freundlichkeit hati«, zvigU^ dasä offenbar ein Moosprotonema vorliegt, fTcilich in einer Aaa- bilduog, die es zu einem höchst fremdartig auseehenden OebtU« , macht. Die i'oUter bestehen, wie erw&hnt, aus venwoigteo, durch Querwände in cylindrischc Zellen gegliederteti Fäden. Di« CblorophyllkOrpcr haben ganx die Gestalt wie bei den Moqrb., und in den Zellen ii»t nur ein einziger, verhüJttiiMmätt»ig grwiir Zellkern vorbandtru, vras ohne VVeiterea zeigt« da£s man es mit einer Cladophoreo nicht zu thnn haben kann. Irgendwelche 1 Furtpflanzungwrgane wuren nirht viirhati'lfn und der — tti Worten schwer wiedarzuj^ebendfl — GwauuuthabLlua d«r FidenJ
wrJufftndformmrmT^mmn
45Ö
mtiast« jemand, der wie ich sich viel nut Moo^protonemeu be- fasst hat, die Uobenseugung anfdrangen, dafus ein Mooeprotonema rorliegt.
Die Zelltheitung erfnlgi vorzugsweise in den Spitzt>n7^IIen der Fäden. IndesH kummen auch interkalnre Theiltin^en vnr, durch die nicht Be\ien kleine scbeibeuförraige Zellen abge- schnitten 'ffrerdeo, eine Erscheinung, die auch bei anderen Moos- protonemen aich findet, namentlich wenn »Gcniroenbildnng' ein- tritt (vpl. mitten). Die Wände ^«telien meist ipier, oft aber auch geneigt cur Faden - Längsachse , in einem Fullc traf ich auch eine Längswand an. Noch nnten hin verliert sich in den Fäden die grtlne Farbe der Chlorwphyllkörper, sie werden erst gelblieh- braun und geben dann ganz zu Grunde.
Die Verzweigung der Ffiden ist in den Figuren IV und V dargestellt. DieSeiteu-
' aind dünner als die Hanpt-
üe und entspringen meist nur auf einer Seite dereolben, ix dosa, wie Fig. IV zeigt, auch interkalare Astbildung vor- kommen kann — eine sonst bei Müusprotouenieu nicht be- kannt<>, bei manchim Clado- phora-Arton sich findende Er- scheinung — steht offenbar mit dem Vorkcinmien intor- kalarer Zelltbeilung in Ue- xiehnog.
Fig. IT and V. Rinzelnt? VüiXcn
KW dem in Fi}?. III »IiK"tnMi>tpn
Prntaneiim|tolst«r.
«Hhixoiden" fehlen TotUtändig. Sie wQrden auch bei den kompakt wachsenden Fäden ebensowenig funktionelle Bedeutung haben, als etwa bei den Staninichen von Sphaguuni.
Do» die VoUter ein nicht unbetritchtlichea Alter besitzen, ist ihren Gröe^enverhaltnissen nach wahrscheinlich, wenngleich dfiA \Vaeh»thnm in ströuiendeu Wasser ein beMnderd üppigea
456 Silsunff i«r math,-phy». Claa»« Mm 6. Dftembtr 189S.
ZU sein pfle^^. FrOber hat man die Verlan gerunfi^, welch« manche Pfianzen in fliessendem Wasser zeigen, auf die mecha- nische Wirkung des Wassers ziirDcky-ufülireii verbucht. Ich habe bei anderer Gelegenheit^) darauf hingewiesen, dass dies nieht genüge, dass vielmehr auch die Verhälfcni&*e der Beteuchtuo^ der NäbrstolF^uftihr uud der Durchlüftung in Belracht kommen. Demeu sprechend kamen F. Darwin und D. Peru*) neuerdings auch zu dem Heßnltnte, daaa die Assimilation in bewegtem Wasser eine stärkere ist, als in ruhendem.
In Luft kultivirt, wuchsen dif* Protonemcn weiter, die Fiden wurden aber schmäler, and die hei den Polstern so auffallende Bevorzugung di;r Spitienzellen mit Be/ng auf Cblorophjll|;efaalt war bei weitem weniger vorhanden. Die in der Luft ent- wickelten Fäden verfallen ausaerordenÜich leicht in «iniLelne. eine oder mehrere Zellen umfusende StQcke. Inden tat der Vorgang hier ein anderer, als bei der .Gemmen^bildung, die an Funariaprntonomen nicht selten auftreten, uud auf die ychoB früher hingewiesen wurde.*) Hier 6nden wir nümlicb leen Zellen, deren Membran mit Kongoroth sich sehr raech (ftrbt nnd später in ihrem unteren Theile vorquillt, zwischen plaicma- reiciie eingeschaltet*), die späterhin dann zu neuen Protonoma- iaden auswachsen können. Die Figur V mag eine VorsivUung von diesem , an die Uemmenbildung von Miicor erinnernden Vorgang geben. Wie dort, wird auch hei Fuuaria die Giunnien- bildung eintreten, anter Umständen, die fllr da« vegeUtivt Wacbsthum uugGn&tig sind.
Zur Bildung von Mooesknottpen haben e« die ab Luid- pflaozen kuUivirlen PoUterproton erneu bia jetzt noch niebt gebndit.
0 PflantenbioloR. SohUderunjren U, p. 882.
*) Od the effert of wnter etirrtmtjt on tbe minniiliitSoa of «apiatie plaata. bj Francü Panwiii and P. F. &I. VovU (Procpvdmie* of tha Ca«> briclgi' phi]o«uphicai itwieLj Vo\. IX, P. Xl/.
*) );«wj»<?|. lüf Mii*><-mnmi< Srh"nV't HünHttnch Tl, p. lÄ**.
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und d«9s Kock bä nuden: Pfianzai da? Aixftreiai der Sexual-
OT^Tfts« TielfbCii ui eis* Han^-^:^ der T«e*saxiTe£ £nt«ickhc:g «li* iTiT rei^ rTT*:cJi.e;i»:br, i»?r i;«r£ griiggrataflaein plaoäblc
körr^er. ä* bi-:iir:*r>c 5'Ä^ •"i^'i^az. ikfere=: &1» vener «ct- iHftfhr TrirsT ist >ei:ifc;;:rrfc:it küf^üiu *di/* Scafe, über die Ä* ^K 5:3^fczni* kZiiz. —■::.: "r '-.fsag-'.fc- gri„ Ist die» Ai-
*-« zx 5*r G"-sriI-*:J:-»;c-r»r"r- zr^lz'^ isE.
F*sC*:"SÄ<Ch ii5 rT.TÄ- ::j:: z.z:r, cicc dii? Ia:ia xar Bü-Jsiur öÄT iC.^-istr'.tCiec: r-rf^iTfCiüc is.- izit rrir Läcc': tob böiicTfT
i/ir*i:i:- Ti z^fs^r "TmiCfcii t.ji 'irLirtrsi. B^riiSmchfiem nieäl Sf!r^.iÄ»:*r^ w-ci-ü sr. ^: t'^ui-fiL i-rsi Asck'tME siebt mit Sü-^tc-:«r r=r £iT>-^~ : zz^ i~- ?rij?t iienLrifffaocwn verde!:. •wm:! trä^r* TiiiicLr'St : .«.^ t.:: zrt r»l iiir ä^ lloa£kiio?p«n
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•ISO
Wbs zunächst die AD^tiUen iu der LitemUir iinbclnngi, faud ich nur folgende.
Schimper') säte Sporen von Funaria hy^roinotrica iiuf sterili- sirten Sand und andere in destillirtes Wa-iser, dem er einige Trjpfen Salpetersäure zusetxte. Die let7U?ren keimten xucml« gingen dann aber zu Grunde. Die andere Knltur zeigte 2fr Tage') nach der Au.s9aHt die ersten Moosknospen; t» würde darauH herTorgelien, dass die in der Spore vorhandenen Stoff« unter /uhilfenahm«^ der dnrch die Aüstmitation j;eMldeteu genQgten, um die Bildung von Moosknospen /.u ermöglichen, doch darf wohl angenommen werden, daas das Sabatrat die Aufnahme von A5cheb<-5tandlhdleQ nicht ansgewhkvtsen hatte. MQlter- Thurgnu faud, da?is zwei Kulturen, die eine auf mit Brunnen- waHser befeuchteten Kiessand, die andere auf atutgekoohtem mit NiUirli'wung getränkten) Spbagnumtorf — eich verschieden ver- hielten. Die letxtcre h&OM das kräftigere Aussehen, die erster« entwickelte früher eine groaae Anzahl Moosknospen.
Gelegentlieh meiner üntensuc hangen nbcr die Abhängig- keit der ßlattforni rnn Oampannia rotundifolia halie ich eodann gezeigt, des8 durch starke Lichtintansifcät die lllutwicklung dee ProtnnenmV Mcb nicht unterdrücken länt, wfthrcnd man hätte veroQulheu kftnnen, daae hierdurch die Mooaknospeubildung auf Ko-tten der F'rot'ineniBbildung so erheblich beschleunigt werde, da>« die letztere sehr /urückirete. Freilich ist ein Ein- blick in die ganze Frage damit noch nicht gewonnen, wahr- scheinlich ist es ja fDr die Knospcnbildung ein Optimum der Licbtinteusitüt vorhanden, daa bei meinen Versuchen vielleicht nberachnt(«n \var.
Die Kulturen der Funariaaporen wurden mit der Absicht untemomnieu, Material xur Elntächeidutig folgender Fragen xu gewinnen.
*) W, V. Si'hiniiwr, Rtn-farrchM annUtmiquu* et muntholoKiquc« Mir te« mouMC«. p. 4.
') In i|«r t »rigiuaUrboit iit — offenbar in FoIk" ainM Drurkfvblan (IvT 30. Fobniar angegeben, am i. war die Autiaat erfolgt.
T
Fjp. VII. Protonruia von Fiinari» Iiy^'ionu'tric-u, I>iinkplkultur mit Zucker. 12 Tiif!»* alt. Dan Protonema ist trotz licd LichtnianKelH ganz normal au8gcbiUIet und hat auch oln ..Khi/.oiil" mit n'iht winkeligen ijuenränden gebil(lt?t. E« sind zahlreiche L'hloropbyllki)r])er vorhanden, dun „Rhizoid" dapcjs'i'n f-rscht-int hell. In den ChlorniihvIlkiTpern viole kleine Stärke- kiinirhen. In dtTnelben (übrigens mit ^ichiniiiifliiilzen inficirten Kultnr) waren noch grossen* Trotonenien vorhanden.
fjnthfi: Urhtr Jugtmtfhrmen von Pflanten ete.
Die Schiefstellung der Wände in den unterirdischen Proto- 'nematheilen ist vielfach — verinuUiun^weise auch von mir — ah direkt durch den Tiichtniangel heditigt aiifgefoffifc worden*). Um Protonemen bei LichtabschUiss längere Zeit IcultiTiren zu ktmnen. wurden dem Substrat organische Substanzen zugesetzt. Ks zeigte sieb, dass Funurin-Protoneineo bei vollständiger sapro- phjtischer Krnührung zu beirüchtücber Grösse heranwachsen können. Die Ausmaten erfolgten auf Agar-Agar in Petri- schalen, welche eine dauernde Prüfung der Kulturen ohne Oeff- nnng bei srhwaclier VergrÖssoruug gestatteten. Diis Nährsub- fitrat enthielt theils die gewöhnliche Nührflti>frirx<!ung, theila einen Zusatz von Qlykoae oder Popbm. Letzten.-» erwiw sich aU wenig geeignet, de^eholb wurden die Kulturen meitt mit l — 2*/o Glykose gefüttert. Ks wuchsen die Sporen im Dunkeln auf das Vielfache ihres ursprünglichen Voinmens bernn (vgl. Fig. VII) nnd bildeten zahlreiche, meifft in schwach gHin schim- memde Chloroplaäten eini^eachlos^ene Stürkeherde ; sind die Starkekörner kleiner, so treten die Chlorophyllkörper deutlicher hervor. Die Differenzirung iu dUnnere, den Uhizoiden ent- sprechende und dickere Fäden erfolgte auch im Dunkeln, iu beiden traten aber nicht die «schiefen* Wände auf, so daas dieselben nicht durch den Lichtraangel bedingt sein können, selbe könnte bei dem gewöhntirhen Verhalten höchstena biner der mitwirkendi*n Knkt«ren, über uiclit der allein ans- äe hUggel>en de sein. Die Anlage von Uooskoospen worde an den Dunkelkulturen nicht beobachtet, dieselben zeigten zwar ein Oppiges Wachsthuin, morsten aber nach einiger Zeit wegen des Auftretens von Bakterien und ächinimelpilzeu aufgegeben
') Dotroff« d« Anndtio» der •(•hi<»frn Wftn»!" vs(\. ,1. ijf Wililcmant h^tucli?# «ir TiitiArbe de* fluiHnnii rrlliiln oouronne« et M^.
»I« «avant« i'tmnjf»«T» publi*'« pur l'Aci ^^. , n* 1898). — Ich habe
(tbriiifnu »cbon 1681 als Vurmathttng auage^prorhen , „doM nach lüft ••rtiirft' ätelluiig tlrx Qavnrlld<iä in dm Rhix/jitlin dudurch xu Stunde kttniiiM, du»! niiii> unijirOiiitItch rri'htwinkitli^ jur Kiidrnarhsn orirntirtp y f«hiof(» ^L'Hnnff Tfipiclirtlicii winV" (>h-*4' WriimthunK
|i_ liiiUi. d<-iii mr<int< Aoira^'C untH'kuiiit gi'hliolM'ii tu «xiin
•cheint, barUligt
402 Sitmng dtr mnth.-jJtyt. Clame tom 5. Dexemher 1890.
werden. Jedenfalls aUo kann nmn die Fiin«rm-Prribr>nom«n kfiufitlich ftlü Saj)ropb,vten ziehen, während ohne Zusatz roa
Zncker sie im Uunketn iinturlich nar eine geringe OrOne er- reichen Icöunen , wofür Fij^. VIll Ä ein deiitlicht*>* Btwpit'l Rbfpbt
Aus den Lichtkultureu tra- ten un den mit Zucker gt^fSb- terten die Moof^knospen io einigen frnher und reichlicher auf, ahi an den ungefütterten. Wenn da« nicht immer der Kall war, 80 ist zu bedenken , daas dt« einxeluen Protonemen naier (tieb an Kröfligkeit u, s. w. verschie- den «ind.
Kf) erinnert das eb«n ange- führte Vcrbalton an die bokunut« Thatsache, daaB an abgeschnit- tenen Mootblattem daa Protouena ficbon nach unbeträcbtlicbar Entwicklung — (vergtichen mit der bei der SporeukeimuDg) — zur Knospenbildung »ohrattefc (t^. die Äbbt]*lniigi*o vou Berg- gren, J akttage Iser öfver tnot- somas kÖnlim fortpUntning ge- noni groddknoiipar och m6<2 d«B
anuUtgii Bildningar, L > *^-*fi,
Tab. 111, Fig. ii-9^ . ,1.
spricht auch eine Heotmchtong
ron Klebfl (n, a. 0. p. 548),
womach da« aus abgtMchnittcncD Blättern von Kunaria «nt-
wickelte Protoneiua viel frflher MmMkuottpen eotwickeile, ak daa
'Sporen protonema^ da orsUra bekommt vom BUtic acbon ätotfr
^.
KiK. VIII. A. IVot*.- I*aiik«*lkiiltiirinit nt^r:!!!
Nahntoffeii. H. <<
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K, Qodteh ü*btr Jugtadformin ton /'/fitnxm tte.
463
mit« die vom Sporonprotonenm erat erxeuf^t werden mQitsen. Damit) häii^ es auch cusammeD, daas das HtaitprDtouemii voru LicUto betrffFs der Kiiospvaauleguug unabtiüiitcigor ist Es wird ttlier sehr anf den Zu^tauii ankommen, in welchem du Blatt sich Tür dein AWhnoiden hefunili'n hui. Ea wirü niüglich sein, vin Kunariablatt t^o zu bchoudula, diisä da« utia ihm hervor* gebende Protonenia sich von dem Sporen protonema nicht wesent- licli imterstfheidct, Sii, w*rnn man die Ki)iiuriiipQau7.e vorher unter ungUnntigen Bedingungen, ^chwacbem Licht etc. kulUvirt oder wenn man Blätter einer fruktifidrendea Pfiamce nimmt.') \Vpiu^f3ten8 sprechen ftlr diese Annahme die bei der Regen«i*aliou von Prultania freniacht«n Beobftchtunt.;en : im Winter entstehen auf den Blüttern sehr leicht Advi-i)tiv8prL>s<ie, im Sommer, wenn die PUftUTie fruktificirt, nur selten. Eh wäre zu unteMuohen, ob im tet/.tfren Falle dunh Znfulir or^jHtii-H-her St*jffe die Kegeneratiomt- filhigkeit gesteigert weiden kann.
Schon der schöne Versuch von Sachs*) mit Begonla zeigt, daan es bei der Kegeneration anf den Znstand ankommt, in welchem das Blatt sich befindet, und duw die.-er nicht in allen EntwicklungAperioden derselbe ist; im Frühjahr enttstanden an den abgeschnittenen Blättern von Begonia Uex Adventivsprosse, welche zunächst eine gTös«ere Aninhl von Lftubblättern hervor- hrachten, und erbt nach 5 Monaten zur BlUtenbildunj; schritten, während Blätter, die hlühreileji Pflaiuon entjiommen waren, schon in der ersten Blattachael des AdveutiTFprosses eine In- florescenz bildeten.
Die Fra^e, ob ee mü^'lich »ei, die Anlagen zu Mooeknoepen wieilor zur Bückkehr zur Protonemiibilduug xu veranlanen, tat bejiLhend zu beantworten. Das» dies der Fall «ein wHrde, war mir wahracbeiuHch durch eine vor Jahren an einem eigenthfim-
1) In der Thnt hatten Rlatt^r, die ich nner mit viueni Jansen tipon^oa rfr«ü)«aen PHunr.a entnubm und Anf N&hrlilauni; braiihtn, nach 10 T(iiri*n ftwnr reichlich Prittonainm alt4«r kmito Kn<MfM.-n lU» ilnniM'lbon oiitwirki>ii.
*) iSaclis, l'fay«jologi«cho Noliko» I, Flom Itfirl, p. 1.
» liehen, leider anvoIlitiDdiiit bekannt«n jaTaniwfcm L gemachte Beobachtung. Dieoe upiphytisch mcbndl TorlEiiifig eU EpbemeropSN bexeiciinH wu/d«. läjll Fällen, da« die angelegte KniMpe an ihrer Spitxe in i toneniafiubn »uswucfaii, in einem Falle vor, izD üd^v Bildung der Blätter.
Uei Fanaria wurde diea in einer viel ftiBwemt. Fällen b<*obachtet. Diu Kulturen, in deueu ftcboe i Moot^knnspen aufgetreten waren, wurden einige Zi Diinkelmtim gebnitht, dann wieder an das Licht |^ Durchmusterung ergnb zuniichst. da«« au den MfaoB' gescbriLLeuen Moo»kno8pen die Kiiixoiden sonkreeht gewachsen waren, ihr Kindrintren in den Boden wiH normalen Verhältnisficn offenbar bedingt durch negat tropinmiM, ob aie überhaupt geutropi-sch sind, ac\x&\ lieh, ich hübe inde^ä diesen Funkt nicht näher tut jungen Moosknospeti waren alle au ihrem Scheltd äch leimschiebt bedeckt, welche ihre Kntatehung kea Schleimhaaren verdfinkt, die frühzeitig auftreten, wird unter Sprengung der liwisr-r^len Menibraii.^b)c Solche Scbleinipapillcn sind bekanntlich L>ei Let>ermi thaltcieu aU foHoheu, ein regtiluiäfiAigos Vorkonim Sclileiui hat hier meiner Anglicht nach dieselbe Bed bei den Was-serpflutizen, bei denen ich auf die weite ) der Schleimbildung hingewiesen habe. Bei den L hat man auf die Funktion der Hiiurbildungen, sowetl kann, bis jetzt gar nicht geiichtet, etwa mit An« .Paraphyflou", deren Aufgabe aber noch noch der J l>edarf. Jedenfalls ddrfteu Schleinipapillen Wbitor verl AuHser bei Funariu kenne ich Schloimhaare noch stciuni^l; hier bestehen Hie aus Zellreihen. Die > durch Sprengung der üueHerüten Membraa^ebiL:...
M V([l. Ooebel. Morpbologi»ibc and biulugUcbe 8i« Jni-diii bobuuquc dl? lluit««izorg VII, p. 89.
') Sit' kouiitii'ii hir>i' nicht nur, wiu S^inmjior aii^ttrt Homluru ;Luch tui den Tcgontlireti Tlieilen »I^t Pflanxq
A*. Ooebrl: Ueber Juffenilformen von Pflatura ele.
405
Den hat Schimper') abgebildet, Uber die Entstehung der-
III aber keine weiteren Mittbeilimgen gemticht.
t Von den Ktut^pcuanlai^cn blieben die einen stellen, andere
*^ ar^n die llückkebr ztir Protoneniabildiing. Bekanntlich wird
¥tt Knospcttbildiin^ eingeleitet dadnrcb, dass in der Endzeile
« Proton cm austca eine zur Liingaachse schief geneigte Wand
^"lUritt, Hün der dadurch abgetrennten uheren Zelle wird nach
^igen weiteren Theilungen die dreiseitig- pyramidale Scheitel-
^ der Moosknospe hervor.
• mi
Tig. IX. Foniiria bygromclricii. Anlajfi-'ii von MüiwktiuBpfti. die auf vor- chiwleni'iiSUulitnihri'rKntwickliinK auFn.tf^tiii,'iiiii(iiilfiiMii5j,'t>wa*'hi«en8ind,
Die Figuren IX, X und XI zeigen nun, wie auf ver- [schiedeneu Stadien der Kauspenbildung die Rückkehr zur Proto- ueniaform eingetreten ist: die Zellen wachsen, ntatt sich am Aufbau des Kno^i)en7.e11k5rpers zu betheiligen, zu Täden aua. In den Fällen, die uns Fig. IX zeigt, war die dreisoilig-pyrami- dale Scheitelzelle noch nicht zu Staude gekommen. Wohl aber ißt dies bei Fig. X der Fall. Hier ist nicht die Scheitekelle r selbst, soodern das jüngste Segment zu einem I^rotonemofodeu
1) a. a. 0. y. 53 Tab, VI, Fig. 4S— 40. Scfaimpcr glaubt, ee bilde flieh in einer pnm&n'n Faniphjite eine «ßkiaidär« luii) g^tl^genÜicfa anoii ' nini' (-prtiört'. In Wirklirhkt'it hnndplt es lich, wie üben Hiigeg><1irn, om oiui' 8i'ltli'iiiiUilili>iit(.
aiwgoVBcWn. In andern Fällen schien mir «acK JbS Bell« aosgewachMii, inUeBS iat «• bei dem Otwin ra
das auj) den /(.'llkorpern h^nrorf^efat, sehr «chwerdaal hoit zu beobacht^ru. Die ersten ßiitvricklantfsrnnel^ lagen ron solcfaeu Uebildcn nicht ror. Jffdpnfiilli bßrt - meine Hoobttchtunf^en reichen — die M' it der I auf« fsobald die Hlattbildunf; deutlich ht't >'.-iiiitt. Di« dein in Fig. X aln,^bildeteii Fülle auf den ernten Stäim gcbliebfn. Kiinwpen, bei denen sie weiter gebt kSan aus ihrer SproiM)oberflii.che noch xahlreii ' " nnJQ
»eugeii (.Kig. -VI}» nicht aber aus ihrer -: -yn.
¥ig. X. Aeltert» KiH>Bp(>, ein &t«trtiit!iit iat lu emam noch k iuni'niiifiklen uuii^ewaebs<!n. Liiucs iin cp^--'^- ■■■ OntnbjwJuu (etwun K'-'dri'Lt) in Aud'i<;iiiiii»<it:h(. ■*» St-*li /> I*rotoi
(etwun K'-'dri'Lt) ___
der aicb au» Jeiit jlliigsteu SikgiL^.
-roUrt «wickelt )nl;
(ndees schien mir wahi-Hcheinlich, dasa atich in Fähigkeit zTir ProtnnunmbiMnng ttiteiit vurhnndeti sei durcli andere, uuteu zu besprechende Cni&tando, nicht
K. Goebel: üthtt Juqtndfarmiin wm Pfltwi^n ele.
467
Wenn es geläDjice, die Wach^thamseneripe der Scheitel- *n bedeutend abzuschwächen, so würde sie in ihren Kigen- i«len sich den ßbrigen Stellen de^ McM>skorpers näliern und vdiese dann auch die Fähigkeit Protonema zu bilden, Keiften, jU^Ührt die Nntnr selbst dieses ,Äb3chwäcbun)^*-Bxponment Bid zwar dann, wenn Sprotse be^^ren^ten Wachsthuius auf- pn. Solche finden sich hei Schistostega osniundacea. Die latativun unverzweiglen Sprosse dieaea merkwttrdigen Moodes len, nachdem »ie eine Anzahl Blätter hervorge bracht haben, Wachsthum ein. Man findet dann am Vegetatiouäpunkt ge Bhittanlagen rerschiedener Entwicklung, die stehen blei- sauiuit der ScheitelKeUe ulliuiihlicb zu Grunde gehen.
."^
XI. AetirreH Fiinanapflänzrhen, welclim Rclwn Blätter entwickelt t. An Rpiner Basis haben alch zahlreiche Protoneinanidrn gebildet.
neidet man nun, ehe der Scheitel ganz abgestorben ist, die
re ab und bringt ^e auf eine feuchte Unterlage, z. B. ein Torf, 50 wächst die Scheitelzelle xu einem Protoneraa- an aus, an dena bald neue Päanzen entstehen, man sieht n zwischen den jungen Blattanlagen (die stehen geblieben
«. Mfttta-phji. Ul. X Sl
mt. Mfttta-phji. Ul
468 Süfun^n^^M
»ysT
Voase roM
sind ) den SprosRscboitel xii einem Fad<*n verlängert , tCfi dem tu fflr unsere Kriif^estellnnf^ fjcteifht^Qlti}^ i»t. ob ef aU .Rhizoid* oder nU f^rDner Proloneinafuden uuf^ritt , da htido gleieUwertbig sind.
Wir sehen al^o, dass die Sc1ieitc1%cUe ihre Pähi^kcil >i weiter zu entwickeln hier zunächst noch nicht rcrloren hat, aber dass sie qualitativ verändert ist.*) Sie hat etwas veriorcii, was aie sonst besass, sie ht den Dbrif^en Stammzelitn ßletcli geworden, 1>ezeichnen wir das Verhalten dieser mit a, ao üt die Scheitelxelle im normalen Ztistnude = a -f j;. bn«4 «t« das X ein, so verhätt aie sich wie die Qbrigen Zellen. Wodoicli sie es verliert, ist unbekimnt, die Thatsuche sclljet ab«r i«i, wie mir scheint, von gro&sein Interesse. Analoges wird bei dm Karnprothallien zu erwähnen sein.
Auch ans anderen Zellen des Schiatostegaai&Duncbens eat* wickeln sich unter den angeführten Umständen Prot^inema- fiLden^ an den einschichtigen Blättern habe icb sie nicht auf- treten sehen, vielleicht geschieht died, wenn aie vom Stamm ^h* getrennt unter günstigen L'uistauden sich be6nd«n. Aach Ui Sphagnum sah ich bis jetzt Protoneniabilduiig (in der fflr diese Gattung charakteri6ti»cheii Qe«ta!t) nur an abgeschnittei Sproasnchsen, nicht an Rlätterii.
Was die Blattbildung der Moospflauze anbelangt, so irt bei der Einfachheit derselljeu die Verschiedenheit der PriinärbliUv von den Folgeblütiern meist nicht ao groi^s, wie bei den hAheren Pflanzen. Immerhin tritt aie in nicht wenigen PftUen dvuUick hervor. So finden wir am jungen Stämuicheu von SchtatosUgi osmundacea statt der Zellilächen die BlüttiiT aU Zelli suernt auftreten, bei Sphagnum und bei Bryum Hrgun fehlen den PrimarbUtt«rn die leeren, abgeslurbeuen Zellen, Im Polytrichum die Lamellen, hei Fissidons dt-r chnrakterutiicii« FlUgeL Kanu man die Pfliiuze auf der Prinmrl>Iuttfurni lu
') Vor' ■ ■ I *!. iluM miiu
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lel: Vetttr JufftndfiirwMn mm PfianMnt «fc.
46»
nullen und tnAsen sich diese PnmitrbltlUer auch an älteren Pflaazen nieUer hervorrufen? Für einit^o Sphn^numforaieo und Bryum argenteuiu ist (üeee tVage theilweiii4> beantwortet. FOr erstere ist es bckunnt, doas die Bl&it«r untergetauchter Sprosse (ftber nicht Iiei allen Arten) lÜe einfnchüre Oentaltung der PrimärbläLter aunehtueu künuon. Für Br^'tim argeDtouiu habe ich gezeifTt,^) daiw hei Kultur in feuchtem schattigen Räume diejenige Ausbildung der HlÜtter unterbleibt, von der die PBanxe ihreu Namen hat, und die PiiiuäibbttUtruIctur auftritt Indeas gilt die«s nicht fttr alle Mouse. Nach den Angaben von Ba«tit*) soll es allerdings möglich («ein, bei Polytrichum die Lamellen* bildung bei Kultur in Wobaor zu unterdrücken. Di*ra wider- sprechen aber meine tirfahrungen. Wenn man die Lufliprf>?«e von Pol^trichuru juniperinum in Wasser bringt, ao sterben die allen, an der Luft entwickelten ßiäller ab und werden xcbwnrx. Aua der Spitze dieser Sprosse entwickeln sich neue Triebe^ die dem Wassertebon angepas»!« Blatter hervorbringen. Aber selbst wenn man sie Monate lang unter Wasser wacbi»en laut, «ind die Lamellen nicht volLluDdig verschwunden, sie sind nur sehr reducirt, und dasselbe tritt ein, wenn die PHanzen nicht unter- getaucht« suodeni in ständig feacht gehaltener Luft wachsen. Die Lnmina i»t dabei »ehr chlorophyllreich und mehr entwickelt uU boi den gewt>hnlicheu Blattern, e^ findet eine Annäherung BD den Bau der Prim&rbl&tter statt, aber keine vollntändige. Weiter geht di&ielbe unter den gleichen &usaereu Umiitiiodea bei Cntharinoa uudulata. bei der ju die Lnmellenbildung ohnedic« eine geringere ist, aU hei Pot^tnchuni. Bei Kx^mplaren, die ich in feuchter Luft und bei abgevchwäohtem Lichte kaltivirt«, waren die Blätter zwar tief grün, die Lamellen aber bis auf gatu kleine Spuren ver^cbwnndeo.
Uie unten fdr andere Pflanxen anzufllhrendeu Thatsachen macbea es wahracheinlich, das» eine geeignete Knl tu rangelt nng ttoeh bei Polytrichum äcfalieaalidi die Primärblattform hervor-
1} riont IB9(1, iiag. tO.
*) liaAtit, U^e^crchiM aaatomiqoM «t ph;^W)logi(iu«^ cur la tige nt 1b fuaill« «Im muiiwHi«. Ken« de botani>|U« XU, p. 870.
rufen kanu, Twlleickt auch bei solchen MI L«;ucol)r7Um bia jeixt pioz renitent geseilt habetL Was Fissiilons aubetrifil, so konnte ich snr anftretendon i'rimärb]iUt«r rei^roascm. nicht abd bindern, Kn der büheren Btattfonu fortxTrecbreiteo man den QipfeltbeU cintu Sprosaai von Finden« a4 80 entwickelt sieb nabti dtr SclmittÜficIie ein 8«it«nq beginnt bei Pflan/en, die bei (j:t!wübDlicber Beieodtl werden, mit einem oder zwei Tri mär blättern» 6. b. wie die der KeinipflauKe. die Form gewöhnlicbet babpn, also den fllr dt» Fbuidenabläiter cbamklerifili nicbt besitzen (vgl. die in meinen vMascineen*, Sc buch, 11. Bd.* p. 360 wt«der|;eg«bene Abbililaug), Blatt zeifft schon eine Andeutung des Fidgeb, d nicbt bis zur BUttbosi» reicbt, bei den folgenden I er dann rollHtündig atisgebildeL B« Pflanzen, die bei &ebr uchwacber Beleuchtung entwickeln m' Zahl der Priinärblätter eine grössere (in eiuein mir liegenden Falle f'lnf), ebenso die der Uebergang« die späteren bildeten einen volUtändigen FlClgel auch kleiner bbeb, als bei den LicblpÜnnzen. Da Triebe handelte, wetclie die Keäervestoffe des Stftq nützen konnten, so sollen die Versuche mit aus Pn standenen Pflanzen fortgesetzt werden . Immerbii] die oben mitgetboilte Thatsache fQr FiBsidens ein halten, wie das anderer, hier besprochener Pflanz«
Furue.
Die ersten Entwicklnngastadien d^r Gescblec tion sind bekanntlich nicbt bei allen Äbtbeiluuffei ttbereinstiromend. Die Polypodiaceen, mit denen wii nächst 7.U thun haV>en, bilden bei der Sporenkeim einen aus einer kürzeren oder lilngeren Zellreibe Faden.*) £s ist seit lange bekannt, daas die Fj
*) Es Lddarf luium de.<i ilinwciicii daiauf. diun dii
K. (rttthti: Üthtr Jttyendfi>fm4m rou Pflantm r/r. 471
tige äussere Verbültut.««, namenHich Ijii^htniunt;«^], lütig^r werden kann, als dits unter normalen Wachstbuma- lingiiDgen der Fall Ott, nnter denen bald Bildnn^ einer Zell- fiäche erfolgt. Es können so verzweigte, mit Antheridien ver- sehene Zellfiiden i.'nUtehen.
Aber ancli ZMÜflüchea kOunen wieder in Zellfaden über- gehen.
Schon Hofmeister (vgl. Untersucbangen Taf. XVU, Fig. 35) hat einen Fall abgebildet, in welchem eine kleine Protfaalliuin- fläche in einen Faden, dieser wieder in eine Zcllfläche (tber- gegangen war. Spfitere .\ukoren haben t)ei anderen Farnen Aebnliche« gefunden, m> Pedersen') (vgl. Taf. VIII, Fig. 35) bei Aspidiiim fitix mas u. a. ; in jeder dichtgesaten Protbatlien* knltar von Polypodiaceen lowt rieh Aehntiches finden. Von Interejwe ii=t, dn«« auch bei O^rnitindacern, die bei der Keimung sofort w»r Bildung einer Zt-Ilflilche dl>ergehen, die Fähigkeit zor Piidetibildung latent vorhanden ist und bei Dicbtaaat«n auf- tritt.') Aber keiner dieser Autoren hat meines Wissens die Frage erörtert, sind die Prothfillien anf allen Kntwicklangs- stvdien und in allen ihren Theilcn gleich fähig v.u dieser Rfick- kehr xur Jogendform? (Tnd kann diea auch durch eine andere Ursache ala abgeschwächte Beleuchtung erzielt werden ?
Die SchtÜKse, zu denen ich weniger durch direkt auf diese Frage gerichteto l^ntortuchungen, aU durch vielfache Beschäf- tigung mit Famprotbaltien gelangt bin, sind folgende:
Die Rdckkehr zur Jugendfurm erfolgt bei jugendlichen Prothallien durch Aufwachsen der apikak-u Zellen, die hierxu ofl*enbar durch ihre bemere Ernährung befähigt sind, wie denn
tiagu iDfloipme vnrtbcilbni't. lat, all «ic diultircb in ^artige LichtverhAlt* iiiMe gelaairm kflnn«m.
*) Pnlerwon, üeHmfi zur Entwicklmigti^Moliiehie dr« Vorkäme« der PolT^todiartwn m fsf-htink uii«l Lar«eu. Mittht«ilutiir^ii ii. •}. f*t«iammt> Kebietit der Botaiuk II. p. 130 0*.
*> LOnirn, Xut Kninttui{iiMteacbicbt-e der UMimiiinu'cni, ibiil. I, p 4AD. Cvbrigvw kninit Hnmuiiüa Ulnjtoninna nach Cnmpbi'U mviit in Form ein« kuTMn ZrIlfiulf>nH (vgl, Campball, tanura «od fw, p. 890).
472 SütuHff der math.-phifs. Cla»»$ vom 5. Det«tth«r 1^8,
die polare Differenxirung der Prothallii*n anob sonst horrnririLL. In dem Maasse aber, in welchem ^as charakteristisch«^ M^nntpfD sich ausbildet (uud das.^ diese ÄusbildQD}^ eine all tu Sh liehe ist, zeigen uns schon die bekannten uinrpholo^viscbcn Th»tcNiu:ben — so der bei vielen rormen erfolgende Uebergang von der Sc heilet /.eile zur 8c he! teile ante), Tcrliert Hie Si-beitelregion di^ Fähigkeit der Rückkehr. Die^e tritt auch au normal wacb«ra- den Prothaltien vielfach auf, beschränkt »ich dann aber aof die hintere, dem Scheitel ferne liegende Region, sie f7ttt um n mehr auf, Je mehr diu Mehst<:m gesohwilclit wird. [)to IVo- thallien reagiren also verschieileo je nach ihrem Zustund. Wenn ich ein junges Prothallium in schwaches Liebt bringe, sprnHl es zu Füden aus, an einem älteren kann das ebenso d«r Fall sein, aber nnr, wenn man es ameriutisch gemacht hat oder an den Tom Meristem entfernten Theilen. Je mehr da« Menslem geschwächt ist, desto leichter treten AdventiTspn»» auf,') ob diese sofort eine Zellflache oder einen Zetlfaden darMellea, b&ngt ab Ton äusseren Bedingungen eiuernuit«, von dem Zustand d« Protballiums andererseits. Es ist klar, dasa unter besonde» gQiititigen äusseren Bedingungen eine Prothiillium/eUe, die «oint zum Fadeo ausgewaehseu wäre, :^ofurt eine Zulifliu'hn liefi kann.
Die Kicbtigkeit der über die Möglichkeit einer UQckk«br zur fadenförmigen Jngendform oben geärifuerten Anachauiuig glaube ich auch durch von Dodel-Port^) früher gemacht« Be> obachtungen, die er freilich ganz anders deutet, aU icb, bc2e>gMi
*) Am deoilicbsten neigt dir« die Th&tMcke. daM nach AiiMrlttM^d^ I des Mwiiit«!!!« sich die Prothalli^-n mit AdvHnlifJtprtxtsim l (vgl. die mit Hpfm Hnm aiiügf- führten „l'iiltTJmhunf'i'ii tib-,: . prothnllien", Flora 1896). Wa« die dort uifr«ftüiricn Angi^Nai GOntfacr Beck Über S(«lniH<ndriam betrifft, «o «ind dit* .3wrteiikMB*^J die dieser Autor bm .s«-idofiHitüriuni hrtnlituihtnt linbrn will . vi^i nicht» AndorcA u! Ubiderten« ifft dii~ Vorimiae gleichen. bM dcplopendriooi Au»Mfr9t njiwnknchfr:
*) Das amphibiftcbe Verhalten der l'rathal^*Mi vun r<)iji>o>u von Dr. Amolü l>odel l'ori, ».Konnoi", April 1880.
K OoH*ei: üeber Ju^ndfitrmtn vom Pfiantt^t tic.
473
m können. DoHrl-Port (^l&ubfc Pnlf^ndofl nncliwe»en ku können: pDtu Furnpruiliallium tre^itzt ilemnnch antphiliisclie Cit*wohn- heiteu; es oteUt in seinem Togetativen nnd reproduktiven Ver- halten in (1i*r MiUt> xwisi.-ht'n AM-^Mcliticäitlicheni Wusurbewobner uinerseits und dem aiigschliessIicbeQ Lnndbowohuer andererseits.* Das FadeDAtadium soll die «priniitive Entwicklungsiture der kuntVrveniirtigen watwrbi'Wtihiiendt'n V^orfiihren der Iii»faerm(xwe reprä.<iüntir(!nf aus denen dte Farne herTor^n^en etc. Dodel- Port schloä« die^ daran«« dass an einem alten FarnprothalHuni, das Iftüf^ere Zeit outer einem Deckglas itn VYiuser gelegen war, eine grosse Anzahl fudonRinniger AdventirsproBse hervor- gingen. l-)as betreuende Pruthaliium von Ai^pidium riotaceam liafcte eine Kutinpfian»; hen'qrgebracht, die aber abgestorben war, es war femer nach der J^icbnnng in Fig. 1 a. a. 0. nnierifttiscb geworden , und befimd sicli sicher in einem ge- »chwiü'htou Znstandf wie sieb schon dadurch zeigt, da» einzelne Stellen des l'rothaLliuuis abge:itorben waren. Einerseits fiel die j^ahrungtieotnuhmt; durch die Keiuipflanze, underervL'its die durch Meristem de« PruthiiltiuniH .seihst weg. Jet7.t konnte jede Zelle, begOnitigt durch die Wasserzufuhr auswachnon, und da dieselben in einem al^esch wachten Zustand sich befanden, so bildeten sie nicht Zellfiüchen, sondern ZellfUden, die erat unter günstigen Betiingungen (spedell bei genOgendero Lichtr.uthtt) in Zellflächeu Qborgeheo. Daas es sich um ein schlecht behan- deltes Prothalliuni handelte, zeigt auch die Thai-toche, da^ an den fadrnloriiiigen Adventivspn^'ien nicht selten sehr bald Aotheridien auftraten, wie dies in Dicbtsaateu bei den mehr oder weniger unlerdrflckten Prothallien der Fall ist. Dodel- Port hat l>«i zahlreichen andern Farn prothallien dieselben Er- Bcheinungcn beobachtet, er erwiihnt, du»s alle rebergangnatofen xwischpn liidigen und breiten, zungi>n- oder läppen form igen AdventiTeiproeaon atiflreten. Diese letzteren bildeten sich nament- lich an untergetauchten jungen Prothallien, die noch keine be- fruchteten Arcbegonion besasson, aUo noch keinen beblKLttirten Kmbryo xu ernähren hatten, während die alten, laugst befruch- teten Prothallien vorwiegend — aber keineswegs aiiüamthlieäctlich
474 SUnmg der math.-jphyv. 07(tMte vom S. Daeinbtr 1899.
f ä d i g e Adventivsprosse bildeten.*) Dtrae VenH:hiedenheit ixt zwar nicht Ton Dodel-Ports phylugenetischer B^tracbtoDK^weiite ans, wohl aber Toa der meiniii^u leicht verstand lieh, nnd ßndrt ihr voUständiges Analogon in dem Verhalten mancher Mono- kotylen beim Wechsel des Mediums. Dies wird anteu ausftlbi^ lieber za besprechen sein, hier sei nar erwähnt, daas diese auf eine Veränderung des Wachsthumsmediuma, überhaupt auf j«de ungOnetige äassere Beeinflussung zum «ßQckscblog* auf die Jugendform gebracht werden können. Ganz ähnlich ittt m bei dtm Furuprothallien. Ein kräftiges Prolhaltium reagirt aber auf das Untergetaucht werden andere, uU ein geschwächtes. E» findet zwar eine Beeintrüchtigung des Wachsthums auch hier statt, und darauf erfolgt Bildung von AdTentinprossen. Aber BM dem noch relativ kräftigen Prothallium werden sie Hofort fluchen förmig, mehrere Zellen können sich bei ihrer Bildung betheiligenf bei den geechwücbteti verlüuft die GnKiheinang so. wie sie oben beechrieben wurde. Da in der »SchwächuDg* alle Abstufungen auftreten können, »o verhalten t^ich die einxeliun Prothnllien nicht gleich, es ist nicht zu vt-rwundern, dass aucli an befruchteten und dann unter Wattser kultivirteo ProthallieD gelegentlich flächenförmige Adventivspro««« auftreten. Nicht ein «amphibisches Verhalten" der Prothallien liegt hier alao vor — es werden sich genau dieselben Er^cheinungai auch \m Kultur auf festem Substrate hervorrufen*} la&sen, sondern eine
M Dodel-Port gibt nicht an, unter welchen B<>letti;btiinfn*veriUW niwen »eine ProthAllien sich befanden. Es ist aher wohl anxijiwtmtv«. dan dieeelhen bei allen aaitühemd gleich waren, und da- '■'••r-
tichiedenbeit im Verhalttio Jer Prothitllit-n nit'bt auf «lie \>t -it
der äiUMren BediuKungeu ziirll('ki.ufülireD int
*) Daftlr spricht auch eine Dcobachtuiig von Klebj (BioL CeaLtal- blütt 1893, p. 64fl), womacfa bei jangen, io «rbwucbv» lacht gt\mctdm» Prothallien von Polypodiaceea bdenfftrmiKe Adrcniivi>i> ~
Leider llUdt sich au« der kürten Noti» lücht c<r*du<n, , widdungs/u stand nich die^i^ Frothatlif^n li^fanileii, •■pccii^U wir »cit 4a» SUrvrtem vcrhit'lt. Da» eine Einwirkung dr« UiTiatfra«. das al« An Mebtingicentrutn nir Baustofl'e wirkt, auf die Qbrigcn FroUialliaiiuK)S«a vorhawian ial, ist mir unzwrifelbaft. Sie wird nm «o icliwftchar, je
K. Ooebel: Ueber Jmj^ndformen von
+75
ckkehr zur JuRendform. vemnliwst durch die Schwirhung Prothalliums. Die Bedeutung de» apikalen MeristeuKi tritt offenbar auch hier hervor, nur iflt es leioht«r zu unterdrücken, ala an einer Mowkiiospe. Dies hiingt damit zusamnaen, dum-i das Meriätem der uieisten Koruprotbatlien (Iwi leptosporangiateu Farnen) meiner Ansicht nach nhirhaupt keine unbegrenzt« ße- generntioDitfähi^keit b(?sitzt, dnss vielmehr hier aus inneren QrOnden ein Ält«ru eintritt.
Gerade für die Frage, die frQher riel erörtert wurde, ob bei Päanzen ein Altern au« Innern oder aas äussern GrQnden Jünde, geben, wie mir scheint, die Farnprothallien ein lehr- ^Üfiehes Objekt ab, und ich mßchte desshalb die Frage hier kur« erörtern. Es kann sich dabei nur um unbefruchtet ge- bliebene handeln, denn dem Weiterleben der befruchteten ist durch den Embryo, der alle SUitfe an sich /ieht^ ein Ziel gesetzt. Die uül)efr lichtet geblieben wachsen y.u bedeutenderer Grösse haran, aber es ist mir bei Poljpodiaceen nicht gelungen, ne dauernd am I^ben zu erbalten, stets traten Adventivsproffie auf, die 8cblie!V4lich \\b^ alt« Prothalliuni überwucherten.
Hofmeister*) hat dem Verhalten ,abort.ireader' Prothallien einen kurzen Abschnitt gewidmet, in welchem er darauf hin- weiül, dass an denselben häufig Sprossungen auftreten. Na- menttich aber scheint es mir von Bedeutung, das« er an solchen alternden Prutliallien hei Aaplenitim leptentrianale abnorm ge- baute Archegonieo auffand, die denen von Anthooeros gleichend ganz dem Prothallium eingesenkt waren. Eine solche abnurrae Ausbildung von OesolilechtBorganen kommt an alternden Pro- thallien <yft«r vor. Ich verweise betreffs Doodya caudmta auf die von Heim n. a. 0. gegebene Darstellang, und müchto hier noch eiuen weiteren merkwfirdigen Fall kurz mittheileu.
Er bezieht sich auf Uemionitis palinata. IJnl>efrncht«te
itnr die Zrllrn toi» ' 'Temt Bind und jit mftir iUmiJIm* ab-
rhwilvht' wird. 1><-' i -: mAn Auch «in »rmat uamulun t'ro-
tliaUiea adTontiro Bf^oMOngeu mfint an der fiiMi». I) Vta|{leicbetid« Untsnocbungen. p. 8S u. 8i.
476 Sitnn{! der mnth.-phjf». CSanne vom S. Duemhrr /Ä»(f.
Archegonien st;erhon normal nb. Bpi HefoinDitiii f^scbieht ^its Blieb in den jOngeren Gnlwicklungsstndien. B«i illtereii Pro- tballien nbcr tritt eine eigenthQmlicbe, bisher meines Wissen« von keinem andern Farn bekannte vegetative EntwickluD^ de^ UaUtbeilod ein.') Die der Mündung des Arcliegoniunis nahe- liegenden i&eUen gelten ancb hier zu Gmnde, die unteren aber ergrdnen (alle oder nur ein/^lne^ namentlich aaf der convexen Seite des Halaes) und enlwickftln Adrt'ntivspnw»«, die häufig sofort zur Bildung ron Antheridien fibergcben. Es gewährt einen eigen thi)m liehen Anblick, wenn nian ein solche» Prothalliiim von der rnU-rspite betrachtest and süitt der Arcbe- gonien Böschel von AdveutiT^irosscn t^iv-ki^ iu deren Mitte sich der gebräunte Anebegonienkanal befindet. Dabei haben diow Arcbegonien nicht etwa ihre Befrucbtungafäbigkeit verloren.
r
K
Fig. XII. Uuiuiuniti« ualmaU. VcrgrUiite Archcgoiü«a. A Im LOag» ftübnitt {K Halükanal. A Antheridinni) B im QuenetanHk
Vielmehr findet man »wi^tchen den vegetativ anfisproMendi.'o einzelne, die Embryonen enthalten. Km erinnert dieser Fall an den von mir froher für ein Moos, dna im Wumct lebende Cunomilrinni Juliannra, beschriebenen, bei dem die Calyptrm der Sporogonien regeUtiv aoanproflst. Das VegetativwenJea der
*) Ka iit ?idltucht nicht t)bcrn(bu.if. en bBmrjken, daM t» wh uichl iini i'inig« wenig«, tondtru am kahlrvirlio Prothntli'« InuiiMU.
/r. GoebH: üefßtr Jttgtndformtn ton PflnnSfm etc.
477
ftlj^Ketlfn b<*i Hemioniti.H Mmchte ich iils eine Aiter«<?T!*i.'liei- nun^. bedingt dnrcb nine Ab»chwiichung Ach Meristamn.
Atthnlich TerhieIt«Q sieb alt« Prothaltien fon LygmJium japontcum, nur da« hier Hie Sprossiing nicbt wio Iwi Kemiimilis $n fust jedem Archegoniam atiftrat. und sich auf die Bildung; n ein oder zwei Adv«ntiT!iprfMw«i aun »»iner der Bani* de<i Arche^^oniumbaUe« nahelief^endun Zetle boschränkt. ImmurbiTt war auch aii dit^en IVothiUlien oft eine grössere Aozabl aolcber ans Arcbrgonien entstandenen AdveiitiTsprusse vorbnnden.
IHose Beispiele, denen sich gewiss noch andere anreihen latiten werden, /eigen nUr), drui« nn alten I'rothallien auch die Hollen der GettehlprhtKorffaoü vegeUlir werden krmnen, es ist eine .Vergrtinung* derselben» analog der von Samenanlagen höherer Fflunr^n. hei denen diese Erscheinung auch nur an den liOlten, den Integnmenten iiuftritt;.
Soweit die vorliegenden Thabwichen ein Urtheil gestatten, verhalten Kich dbri^en» die Farnprülhallien bexGglioh des Alterns Tenschieden. Bei Odmunda sind Alterserscheinanf^en bis jetet
nicht nachgewiesen — nij^gl ich erweise treten sie hier erst nach Jahre» ein. Bei Pol^podiaceen aber treten sie 7 ■ Z' üflenbar aus .inneren* iSrßuden auf,
\ 1^^ und dss Verhaltrii diejser Hrotballien
i 'M '. bildet so einen Uebergnng zu dem der
heterosporen Farne (und LycoiKMÜneu), bei denen daj« Wach^rthum ein noch begrenzteres ist. Wenigstenä gilt dies für den F'aII, dass die ProthaUieu in der Ln^e sind, fortdnnemdi^eTURlfirgAno, na- mentlich Arehegonien herver/ubringen. Ks ist denkbar, daas sie imti^r Beding- ungen kultivirt, unter denen xwar das Meriiiteni, nicht aber die iSiixnalorgantt vorhanden sind , unbegrenzt weiti>r len können, und dass die Ursache d« Alterns schliewlich eben rch die fvrtdsuemde Hervorbringung von Arohegooien gegeben
Fijt. XIM. »fhiiitiiKlwn'Ralii. Zw.l !.!i. f'M.rlüilIipn iii im- t . Du« linkn
I A'iijt. iitu
f " Bitaü
fffehMvi.
'w8 SUsunp der math.-fifttfs. Cituft vom 5. Desemhisr IS9C
Ist. Wir sind fiber die LebenybedinijunGjen dieser s» oft tinter^ suchten Gebilde immer noch z« wenig (»rientirt, um diese Krage jetzt schon entscheiden zu können. Jedenfalls aber sceigm iras die Farnprotballien. wie ich vor .labreu an dem Buisjncl von Osmunda hervorhob, dass Eijfenscbatlen unter bc<*timniten um- stünden latent bleiben können. Die Protluillien mn Cimunda regalJB sind im Stande Embryonen horTorzabringm, lange ehe
6.
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Fi}f. XrV KeintpBnnx«* von Doodya ctuidata, welcbL* zur Hürkk<^r mr
Prinitirbliitlbildiinir vemnliwet wurde, h' der „Kiiiw" *\*'r Keimiidanao".
' W Wurvln. \>W KUttor itiiiü ihrt-r Kt!ilieiifol^'<- imih li>^r.iirerl. & bat
] B''lion im Wcs»>iitlitlieti <lic Fonn der ('pilttreii in,vtlpr erreicht. \Ma\\ tl
uU xtatl mehr Fiedfm al« 5 xn büilcn, stehen g'-Midini utxI f i
i'wieUcr ^uz ungc-gliedi-rt geworden, es stiiiiint ftnit/ mit 'i fii' ir
ist e» grOoer.
sie die Pellia- ähnliche Qestalt erreicht baban, die (abfreAebeii Tun anderen C>f*miindaceen) kein anderes liekanutes Fai ■ !-
liam zeigt. Die der Cyntheaceen werden durch Kmbr. „g
in ihrem Wachsthum oft ftLitirt, ehe sie die Borsieuhaan* bur* Turgebrucht hab«n, weictw ffir die Oescblecbtji^^emtiun dieser Familie cbarakteriatiiich rand.
K (?o«M: lieber Jugtndfarmea wn Pftanien tic.
479
Ungdschlticlitliclte Geoemtion. Die Verscbie<leiiheit dar primär* und der Folgebi&tter ist bei den meisten pHrnen eine ar auffalltuide. Si« spricht sieb hiiufi}} namentlich darin aU9, imaa die Fri muri) lütt er (^bclig« Vencwei^ang^ der Bluttfiüoho oder doch der Nerven seigea, waa später vielfach nicht mehr hervortritt.') Kann eine FurnkeimpflunaM genotliigt werden, y.ur Bitdung der einfacheren Blattform zurQckzukebreo, nachdem sie die höhere wliou t'iTeiuht hat? Dies isi, wie mir zunächst eine Beubacbtunff an l'teris serrulata gezeigt hat, in der Tfaat der Fall. Aber wichtiger aU diese blosse Feststelltuig ist oatttr- lich die deiä Anlaseiea zu der Aenderung. Es Ist mir nicht xweifelhal't, dass auch hier eine Schwächung der KeiuipÜanze die Urwicbe war. Vun meinen Versuchen« die ich oocb fort- zuführen gedenke, möchte ich hier nur einen anführen, der den experimeutellen Bewei» dafür liefert, daiüt 1) die Printirblätter Heninmug^büdungen sind, 2) dieselben auch dann wieder ent- Rteben können, wenn schon eine höhere ßlattfonn erreicht war. Die Bl&tter von Doodyii caudata sind gefiedert, die Prirnär- blätter wie bei vielen Farnen einfach. E^i wurden nun Keim- I»tbin7.en, welcbe schon gefiederte Blätter (mit einem oder zwei Fiederpoeren) angclef^t hatten in ungünstige Wuchsbedingongen gebracht, unter denen sie scIiliesNJich auch ihr Wuchfttbuui ein- fctelUen. Zuvor aber brachton sie einfacher gefurmte Butter hervor, die mit den Primürblättern voMatändig übereiustiniraten (Fig. XIV).
Da^ bei älteren t^fian/^n die Wiederbcrvomifung der Priniärbtätter schwieriger, in vielen Fällen, namentlich bei Famen mit stark entwickelten Sprossaehsen, ganz unm&güch sein wird, ist 7.u erwarten. Eine ältere Pfianzv hat iu ihrem Stamm eine gKiasere Menge von Keservestutfeu , iüt nUo Schwächungen gegenül>er ohnedies widerstandsfähiger. Am V^egetationspuukt ii^t ferner eine griSäsere An/alil von ßlatt- aotageiir die, in ihrer Gestuttung schon bestimmt. Kunächst
M Dio EotwickluuK der Prim&r- »nil dnr Fol(fublllttcr atiinmt atier \aeh hier dar Bamptiacbe noch Qhcroin.
480 Sittutt^ dtr math.-ph*/9, Clm*e vom S. Vetiwher JSOS,
sich entfalten niüäseu uud dabei die lleservestoffe beiuispraol] Die KntwickUiutl wird dann Je noch dem Qrado der ÖoblU digaiig entweder stillstehon, oder es hat sieb die Pflsox« iinterdfMsen erholt und wächst nun mit der gowuUnlichen BUti- torni weiter, wobei nnr eine GrÖsseuverringerunsf dur ßlütter «in- treten wird. Indess sind vohl auch hier verschiedene Art«n Terscfaieden plfiätisch, wie die unten tu besprechenden Sagitiaria- Arten.
Ob es sich bei den von Mossnrt (La recapitulution et rin* noration en embryologie vegetale, p. 29 d. S.-A.) beobacht^lrw Fällen, in denen bei iilWeri fHiinzt-n von Adiantum ein« Re* duktion eintrat, um eine wirkliche ifllckkehr zur Primärblatt- bihlung bündelt«, vermag ich aus den selir kurzen Angaben niclit eu entnehmen.
Dikotylen.
Bei Dikotylen sind bis jetzt folgende Fülle bekaont, n denen künstliob eine Jugendrorui der Blnitbildnn^ wieder her- vorgerufen werden konnte.
1) Bt-i einigen dem australisch -neuseeländischen Floren* gebiet angehdrigen Veronica-Artou feind die Priniärblatter ge^ stielt und den ßtitttern anderer Vt-ronica-Arten iihnlicb, di« späteren aU dem SUinime dicht anliegende Schuppen ausge* bildet. Statt dieser letzteren kann die Ptianxe wieder zur Bil- dung der Primürhiätter gebriicht wordon*) z. B. durch Kultur in feuchtem Kaume, aber offenbar durch alle Umstände, wekke auf die Vegetation des SproHses ungCn.'ttig ein^virkeu.
2) Gant ähnlich verhält sieh, wie os scheint, ein« Mola- )iaBS-Art Anstralien«, die Melaleuca mieromera. Die*=' ' ^t
A flll'olgebliitter'* sehr kleine anliegende , schupfL... u^
Gebilde und bietet so wewntlioh denselbeD Habitus wie die CDpreseoiden Veronic»iartcu , die soeben erwähnt warden. Magona*) hat vor jüngerer Zeit Ober dieee l^tlanze eine knru
') Vgl. Uoebid, l'HiuiKcnbiolog. 8cbiIdiTrunK«n 1, p. 19.
*) MagniM, Uobnr •li» UcUropbytU« poik Ueliümca miimwaT
A*. Qotbel: Urbfr Jwtfndfhrmen t*»« Pfianstn tie.
481
|||itlieilnng gi^iiiacht, wornach Mötikeuiever liftobaclitet hatt«, Melaleuca microniera, auä dem Kalthaus in ein wurmerm Zimmer versetzt, scttnell die Zweifle aQ^spriessen lii?sa nnd statt der BcbuppentörmiKon Blätter solche mit abstehender Blattvpreite anlegte. Es ist nun zwar die Koinninc dieser Pflanze unbekannt, aber es nnterlii^f;t fiir mich keinem Zweifel, dnvs die Hück- scblaif^blätter mit den Primär blättern (Ibureinfitimm^n , sumal ich auch an der Bu.siti von Sprossen, die sich aus Stecklingen entwickelten, die ,KtkkscliIi»j{*blätt(.'r'' auftreten sah. Ich habe die Pflanz« seit Jahren beobachtet nnd ein spontanes Auf- treten der UUckächlagtibtätter nie beobachtet. Dans diettelbeu, wie Ma^niu hervorhebt, eine ausgiebige Transpiration ermöglichen, ala die Scbuppeublülter , von denen sie nicht nur in ihrer Porin, t^ondern auch in ihrem anatomischen Bau abweichen, ist zweifellos. Die Bedingungen, unter denen &ie auftreten, sind aber noch näher fejitzustellen, meinen Erfahrungen r.u- folgo sind i^ic weniger leicht hervorzurufen, sU die von Veronica cupresäoided.
3) Cantpunulu rotundifoLia. Bei dieser Pflanz« lassen sich, wie ich gezeigt habe,*) die Frimärblätter bei Kultur in schwacher Beleui-hluug wieder herTurrofeu, voruu&gesetxt, da« die betref- fenden Spro.1^' ihr Wach^thuni nicht durch BlQtbcinbildung ab- gedchloshen haben.
Spontan auftretende RQckschlAgser^cheinungen bei einigen andern Dikotylen habe ich frOher erwähnt (Päanxenbiolog. fjchilderangen I). Ueber die Bedingungen des AunrotfnH ist at>cr bli jetzt nicht» bekannt. D.is» di&>>e nicht immer ganz einfach sind, iteigten mir einige Versuche mit Aeacia verticillata.
tCs ifit dies eine der australischen Arten, bei denen die BlattbiMnng durch Phyllodien enetzt ist, d. h. die Blattapreite
SchaDor. äiUtingsbtir. der Qm. naturfoncbeiitlur Pn^uiitio lu Berlin 1607 p. 17—19. Vgl. Botan. Johreaber. lSö7 II. p. 85.
*) Cebur Oii* Abhrut^ixkcdt dor filattronn \aa Ctuuiuutula rutundi- fbtift von der UcbLiiilvtMtAl, Sil%^u^«bc^. 1$9&. p. 881 it ornl Flora 1886, V- 1 ff-
482
fUttwmif dar md/ft-;tAy«. Cfsaaut^ nxn 5. Tt\ uw^ tf
Terknniniort, und il^^r Blntistieit faEDw«leil Miefi fil TerwaudüU aich in ein Teftikal gesteUtes Ich möchte Werth danuf legen, dm» di< allen nntersuchten Fällen eine wirIcKcb«, d. fa, f(eMhtcbtlich T«rfolgbiire ist. Dan heisst 9ori«J, ^ Apreite (resp. die Anlage derMlb«n), obwohl in f^ täreni Zustande immer noch nacbn-cislnar ist, tmd^ dem }?ew<"ibnlichen blutvicklunt^sfn^nge folgt. woIm stittl darcb iiitorkalares Wadiathum ku aeiaer Form heranwächnt. Darauf, datw die BlattAprvtU lütf wie gewöhnlich angenommen wird, n
ecbuu früher hiugewiesvn,*) nnd «ine „.^m,- <
ausgeführt« Untersuch nofi^ von A. Maun') hat dii« bestiUigt
Die Blattbildnng von Aeacia Vfrttcillata ist too Eoh (Allg. Mür|jh., p. 525) mit der der Stvllaten atnanma^ worden. Wie bei dieeen, (glaubte fIormt*ü«ler aii<:h he nelien den eigentlichen Laubbliltt(.-m stehende Mehmli' Nebenbl&tteni annehmea zu müäseu. Diaie Aunahme »tt enUtauden, dftse nur wenige der scbeinh«r wirti*liiF angeor Hliltter AchselsproBse haben. Inüess zeigt die eeoauet« achtung, das» die mit Achseisp rosBen versehenen f Nebenblüiter au ihrer Hosiä haben, ab»o Bcfaon da-«>; . 4> angeführte Deutung unmögUcb ist. Vielojehr Uvizi h. merkwürdige Fall einer veräcbiedenen Aushilduxig von Phi vor, bei den eirieu unterbleibt die Auäbilduag ron Ac und von Neben blattfrn, bei den andern ist beides vorl Uebrigens haben auch die «slerilea* Phyllodien zuweilttn blätler. Itiehtig ist dagogeu Hofmeisters entwicklung« liehe Angabe, dasa die .fertilen* (wie sie kurz bea mögen) Phyllodieu auch in ihrer Kntvrickluug dea Torauseileu.
*) Ooebcl, yrrgleicheudi* Entvirklim^gcaehicht«, p. 241 '^) Vpl. A. Mfuui, Was bfdoQt«^ Motnmnriihose \u der 0 iimugiimldtHB, Manchen, IBOl.
K, Ooebel: üeber Jugendformen ton Pfianren eU. 488
r Bildang achter LaubbUttor tritt bei dieser Art nur Ktiimpflanzo auf. Die gauze untere Region der Keini- behült auch diute Fühigktiit zur Laubblatfcbildung, wenn iselsprüäso auftreten, beginnen sie mit der Bildung eines eier Luubblätter. um dann zur Phyllodiunbildung Aber- \ während diese bei den weiter oben stehenden Acbsel- r sofort eintritt.
\ Frage war nun, ob man die Pflanzen nötbigon könne, ibliiltbilduiig zurückzukehren? Kultur in abgejächwäch- ibte erwies sich als eintlusslos. Die PSauzen hatten Zeit im Hintergründe eines trockenen Zimmers gestanden lei einen Theii ihrer uadelförmigon Pbyllodiun verloren, Bst war eine bedeutende Störung des Wachsfchuma ein- \ die darin sich aussprach, dass der Hauptspross der f sich nicht weiter verlängerte.
p (zu sechs in einem Topf stehenden) Pflanzen wurden Idas Kulturhaus nntt^r eine Glasglocke, also in feuchte
racbt, und nun zeigte sich nach einiger Zeit Folgendes. ^PHanzü. Hat in der Höbe von 15 cm (vom Boden) ätensproBs, der nach etwa 10 dünnen kurzen Phyllodien elt gefiederte Laubblätter hervorgebracht hat und
ieder zur Phyllodienbildung II bergegangen i.st. Weiter ,nden sich noch drei Seitensprosse, welche nach einigen je ein Laubblatt producirt haben, dann wieder
n. Hat nahe der Basis zwei Settensproese, einer derselben
vier Phyllodien vier Laubblätter entwickelt, ein anderer ler Achsel seines vierten Phyllodiums einen Seitensprosa Ordnung gebildet, der mit zwoi Laubblättem beginnt. Ein in der Phyllodienregion stehender Seitenspross be-
E't zwei Lanbblättern und bringt daun Phyllodien hervor, ere Settensproa^e haben Luubblätter entwickelt (einer ilnf) und gehen dann zur Phyllodienbildung Über. |Hat einen Seitenspross, der nach einigen Phyllodien ein •t hervorbrachte, dann zur Phyllodienbildung xurtlrk- >in hoher stehender Seitenspross hat drei Laubblätter.
Ui.-|>1*7i. ci. 3. 32
-=1
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X
484 Sitnng Her math.'phyB. CIomm com f. Daadtw JS^.
5) Ein P f roM beginnt mit einem I n.
Ü) XhIic der Band:«, aber
Ober der LtiubbUttrc^on rmrl
Suit:t?U!4pr(»<se, die mit einiffea
PliyUodien beginnen , dana
-^^ Laubblätter bilden, 4 cm koch ■
um SUimnu^ben ein Seitensproa^ ^ der nach acht Pbyllodieo drei Laubblätter bildet, darauf einige P)ivl[i>dien , diinn uieJnr ein Laubblatt, dann l'hjU'>di«n; 8 cm bock am StAmmcbea eia Seitenspro^, dernQobeiiraM'bn ■ l*bylIodien fünf Laubblitter. " dann wieder Pbj^tlodieii biUlift
Es 7^igtß sich alfo, dun die süuimtlicbon aecbn Püonzen da- za geuüttiigt werden kotiiiti^c, Htatt der PbvUodien doppell K*~ Gederte Laubblätier tn bilden. Allerdings wnr die tlflckkebr zur LaiibbliiUbtldung niu eiiie dauernde, e^i folgte auf dieselbe wieder IMiyHodionbildung, wie di(^ ja ancii normal lui Ver- laufe der Kutwiokelung g/^ iitfbieht. Die Frage aber, ob die Äcacia verbicill.i* : b-
deiu sie einmal in o^ int
der HhylMien-ßildnng einge- treten iat, wied(*r seur Laub- blattbildung veranloi^ vicf^eo kannt ist ku bejahen . und t» fragt sieb nnr, wi>lcbca* Faktor e» iht, der die« bewirke
j
K. (htUi: Utbtr Jngen^fm
flafueH 9tC*
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fatllrlii'.h wird man jiuimolist an die £innrirkuo|f aar LoA- feuchtigkeit. denken, aber a*» einfiich lie^ die Saclie nicht, daM lediglich durch Kultur in feuchter Atmospli&re LHribbUttliildung hervorgerufen werden kann. I>enu , aU andere l*äAn7.tin der- selben Art nnter denselben Bedingungen kultivirt wunien, unter- blieb trotz lebhaften Wachäthun» die Latibbluttbitdung. Ferner liewe aich verrauthen, dn^ die bei a)len oben erwähnten Vei^ stichspQanaen eingetretene lleiiiiuung der Entwickriung diM Hauptsproesea mit der beo buchteten Krscheinung iut Zu^fiinimen- hang stehe. Dies ist aus zwei Gründen nicht anzunahnien. Znniiuhät Dämlich kann man durch kfinsth'cbe Eintfernting Hvn HaupttiproAses keine Lauhbtattbildung an den neu entstehenden Seitenspruimen bervurrufvn. SeitHn'^praJUM, diu ein Laubblatt besibten, entwickeln sich nur an der Ba-^is der Ptlanze, in der «Laubbloitregion*, wo auch ohne Verletxung die S ^ -»se eich so verhalten. Beuierkt sei dabei, diw» in xwri [ i ao diesen Seitensproesen dem [^kubblatt ein PbjUodium TnrauHging. Der xweite Grund i»t der, das» die Hervorrufung Tun Luub- blattbildung auch gelingt an l^flanxen, den>n Hauptäpn)«.s aeiu Wavhsthuni nicht eingestellt hat.
£ti wurden zwei weitere ICxemplare» die erst ItUigere Zeit trocken gestanden hilten, in den ftfiicliten Uuiiin gebracht. An einem derwlben, welcbeH t^uinun Huuptgiptel behalten hatte, waren an twei Zweigen je xwei LaubbUtter (mit nnr zwei Fiederpanren ) aufgetreten, und twur weit ub^'n, etwa noch dem 10. Scheinwirtel des autitreibenden Seitens prni;,sna. Das ander« Kxeraplar hatte Minen tiipfel ächon früher verh>rcn, es steigt« ao einem SeitenspruM nach Voraurtgeben zahlreichor Phyllodien ein Lauhblatt. dem dann wieder zahlreiche PhylJodieu folgten.
Die Zahl der vorhandenen l'Hauxen war damit erschöpft. £• wäre wUnschenswertb gewesen, noch mehr PtlaDKen (aU aar ÄWei), die vorher nicht trocken gr-^tanden hatirn. auf ihr Vcr- haittin im feuchten Haunie zu prflfen. Immerliin ocbeint mir auch bei den im Ganz<.'U verwendeten zebu l'Uanzeu der Au^- •chlag deutlich genug. K» zrigt« xich, das:* zur Hervorrufung der Kflck»cfalftgsbildung hier zweieriei nothwendig ist
486 Siitung der maih.-phys. Cleute vom 5. Destmber 1096.
1) Eine .Ahschwächung" der Pflanze, hervorgerufen durch ungünstige Kulttirbedinguugen (im trockeoeu Zimmer bei b lieber Wasserzufuhr).
2) Kultur im feuchten Kaum. Anf 2) aber reagirt Pflanze, soweit die Erfahrung bis jetzt reicht, nur, wenn l) her- Torgegangen ist. Desshalb kann es auch nicht Wunder nehmen, dass hei einer Anzahl von Keimpflanzen von Acac. longifolta die Pbyllodienhitduug durch Kultur im Feuchtraume nicht unter- drückt werden konnte. Uebrigens stimmen diese angefQbrteu Thatsachen ganz flberein mit dem von mir früher geftlfarten Nachweise, ^) dass Rückschläge zur Primärblattfortn na- mentlich dann auftreten, wenn die Vegetation durch irgend welche äussere Faktoren geschwächt ist.
Von den beiden oben angeführten Faktoren ist also dtr unter 1) genannte der aiisschlag^gebende. Die Knltiir in feuchtem Räume wird nur begünstigend für eine ntscbe Ent- wicklung eingewirkt haben. Thatsächlich erhielt ich ganz wu- loge Kückdchlagserschciuungen auch bei einer Pflanze von Ac. cyanophylla, die nicht in den feuchten Itaum gebracht wurde, sondern im Kulturhans stehen blieb, nachdem sie vorher vei^ nachläsaigt worden war.
Nachdem die vorliegende Mittheilung längst uiedrrg? schrieben war, fand ich neuerdings im Kalthans eine einjäbri^e Keimpßanxc von Acacia verticillata, welche spontan nticb <iea Pbjllodien das Auftreten von Laubhlüttem — mit allen Zwi- schenstufen zur Phyllodienbildung — zeigte, und zwar ao, da« auf 'Scheinwirtel mit 1 — 8 Luubblatiern (und Phyllodien) aotcb* folgten , die nur Phyllodien hatten , oder unter ihnen Aoeh GebergÜnge zur Laubblattbildung. Es standen in diesen Scheia- wirteln gelegentlich 3 Lüubbliitter (resp. Mittelbildungeu) neben einander, waa wieder reigt, dass die Uofm eiste r'scbe Auffiuaang nicht haltbar ist, auch war keineswegs immer da« Phyllodinm, das einen Achselsproa hatte, zur Lauhblattbildung übergt>g»ngen. Diese Beobachtung iteigt, dass bei Acacia verticillatn ein ^cbw«^
*) Pthnuteobiol. Scltildf^ningcn It. S. 2»C n. SOO^ M-tm ih<«o. sJI
Ootbet: Uebff Jug^dformen ton Pftanten etc. 487
ben zwischen Laobblatt- nnd PhyllaJienbildun^f statttindon kann, diis jn bei andern pbyUodienbildenden Acacien auch in späterem Alter noch ftiiftritt.
Hildebrandä^) Mittheilung Über Acacia MeUnoxjIon lÄast «ich fOr unsere Zwecke nicht verwerthen. Denn wenn an dem basalen Tfaeile eines abgesägten Stammes an einigen Seiten- sproBsen Sprosae mit Fiederblättern auftraten, so ist dit» nur ein Beispiel der hänßg zu beobachtenden Tbntsache, auf die ich schon früher hingewiesen habe , dass R0ck.^eblag8spro«c gerade aui untern Tbeile älterer Pflanzen gerne auftreten, und r.udem ist gerade Ac. Melanoxjlon eine derjenigen Arten, bei denen auch im oberen Tfaeile das erwähnte Schwanken der Bluttbildung eintritt.
Diu bei Acacia verticülata gemachte Erfahrung gab Ver- anlaasong, auch das Verhalten einiger
Monokotylen,
mit dem ich mich schon «riederholt beaohftl^igt hatte, einer weiteren Prüfung zu witeniehein.
£e handelt sich dabei um solche, welche bandförmige Pri- märblätter besitzen, eine BUttform, die namentlich bei einigen Waaaer- resp. Sumpfpflanzen deutlich hervortritt. Dieselbe ist als «eine Anpassung an da» Medium*') uufgefosst worden. Dagegen habe ich darauf hingewiesen, dass solche bandförmigen Blätter in den normalen Kntwicklungsgang einer grosseren An- *M Ton Monokotylen gehören, und duss wir keinen (inind su der Annahme haben, sie seien das Keeultat einer direkten An- sang au das WaHserleben, zumal disielbe Btattform vielen I<uudptlunxen angehrirendeu Monokotylen eigen ist. Dass PännKen, welche schon eine .höhere* Blattform entwickelt haben,
') Janiga neolinchtumren aii Kaimlintrcn and St^rklingim (Bot, teiiuag, 18lia).
' ae U koeiete rojake 4e a ' :ulX1I1 uhmi p. uai>.
4S8 Silsunft ütr math.'jihtf». Clnnse mm -S. Tie»tm3ber X896.
xur Primärbluttfortu zurückkehreo kOunen, wurde an vier Bei- spielen nachgewiesen.
1) An alten lüxemplnren von Cichhoraia Bzurea, welche den Winter über uls Limilpäunzen kalUvirt wurden, traten RüekKcliliigssprosse rait Priniärbliittern auf*) (Pflanxenbiolog. Schilderungen II, p. 287). Vgl. auch die Angaben Bucbenan's über Alisma, a. a. 0. p. 20G.
2) Die mit gestielten Bl&ttem versehene linnilfirm rtm PotAmo^ton nat^ins wurde durch Versenken in Wasaer voraa- lAäst, bandförmige Pt-imSi'blätt«r zu bilden (a. a. 0., p. 299).
3) Potamogetou gramincos entwickelte (im Herbst) nach den gestielten SchwimmblSttern aus deren Achseln Sproese mit Primärblätfcern (vgl. a. a. 0. p. 290).
4) Keimpflanzen von Heteruuthera renifurmis, dio wbon die nierenförmigen .Folgehliitter" gehildpt hatt«n, konnten durch ungünstige Kultlirbedingungen zur Rückkehr zur PrimärbUtt- form veranlusst werden (Flora 1896, p. 9). Vgl. Fig. XVL
Diesen Fällen Ueas«n ddi ■"■■'"'■"^ noch andere anreihf^n. Die» b*o4-
fT»rniig(M»PriniÄrbl»tler(l»«r»ch8o* blühenden Butomee Hydroclni Humboldti waren mir nor ani der Literatur bekannt, in dicften Krtihjabr aber tratnt, wie \th gelegentlich fand, solch« aof an einigen Trifb^n, welche an ihr«f Basis »bgefaull und dadiirrh nutOrlich in ungflnisiigc Wads^ vf-rhültniss» - t^n wAnm.
Bei kräftig vtj^ : i. i.n PHanzAO habe ich die*elb?n niemat» W obachtet, um so auffaltender war da« Auftretca derselben an d«u Pflanzen, welche den Winter Über auter ungOn^tigen &im-
'I An krAftiit «ti Souiin» vcgiHin'indfn Exeaii ' - r ' ' ; ' niv bt^oltachtnt- K^ knaii aLin kiinem /.wrififl uin SAnifigfti yi>g<>tnkionKl>fiUn)^m9im dit» l'n«rbn w>u»>u.. Iii« AtauUiiMU
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Fiff. XVI. f
iiiii. .Iiing'j I IT
bIftItHni xur I ,■
xurttckktfhri. 8 iuaI ^ eij^i üHUii.
K. frödfcl: J'eiter JHgtnäfitrwtn von Pfiniufn rir.
^89
eil lte(lingiin(2;en ihr L4?lKn g^frJAtet hatten. Besonders tehr- ch aber waren die Versnclie mit äagifctaria nfttADS. Diu Vor- halten der yorschiedenen Sftjfittarift-Art«n betreffiu ihrer Blatt- iun^ ist ein sehr Terschiectenea, es bilnKt mit ihren Lebens- ^^tierhältnissen auf Am Innjii^t« xusammen. Wir haben hier in vvnvr Giittuiig vereinigt Arten, von denen die einen f&vt ganx submers leben, die andern dagegen huobsteua ihre ersten BUtler nnt^r>{etant;ht habiMi, ^ehr baM aUfr die fidgendeii in dir finft erheben. Die letzteren »nd Benohner fenchter Standorte, die nicht QberBchweinnit zu sein brauchen. Zniachen den beiden Extremen Önden sich flbrigens eine Ueihe von AbstufungeD. Die snbniersen Knmien behalten die iViniarblätter viel länger bei. atü die eruersen, Qbrigens lassen .Hieb bi^i geeigneten Knltnr- bedingungen auch die ersteren leicht als LandpHunzen ziehen. 3- L'ordifulia gebürt 7.u den Formen, Aw eig^ntlirb Landf^flanwn mnd, !»ie wuctist, wt-nn man sie in Wiiener ver>fenkt, nicht, son- dom geht zu Gmnde. S. natans aber i«t eine fast cubmers lebende Art, die aiisM«r den xiihlreichen bandförmigen uuler- getauchten BlJitlrrn nur einige Scbwimniblütter besitzt, die der BiQtenbiidnng vorausgehen, aber auch fehlen kennen. Bl&tter, die mit gestielter, pt'filfftrtniger Spreite verttehen, nicb tlber dm ^maen^piegel erheben, kumen bei dt-n hier kiiltivirt.i*n Kxeni- ftren nicht xor Beobachtung. Die PflanE« vermehrt »ich in aafigi«big;st«r Weise durch Ausläufer, die stets mit der Priniär- blntiromi beginnen, nibgen sie nun al« Wasser- oder hIk Lnnd- ptianzen kultivirt frerden, um dann xor Bildung von Blftttem mit gestielter Blattupreite dbermgehen, rorauagasetet, dau die ätwseri'n Bedingungen dnxu gQmitig Mnd, aUo namentlich auch die hinreichende LichüntenHitfit vorbanden ist. Di« Versuche Clber die AbUungigkeit der Uluttfgrm von äuwereu Faktoren »ind von Herrn Wüchter auf meine VeranlaaMung aosgeAlhri
h«t KiL'b in «Irr 7'h(U ii*^iuiiixt. Untermirhiing nltrrtniif, .**!' vnnii kiiUWirt « ■■ i ■ tyriinton, «» da»« -
•-. iTflnnji H'^mi WÄfhlirr, Ji'm ich die dii' in rciiK'ni l^uanc
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üiliuHg der maA.'}Aif$. C7i
wordea, ich ftihre daraos — iodeni ich betreu der E ftuf die demnäcbst erscheinende VerößeDtlicbung dai TerweUe — Folgendes au.
Wenn eine LandpflanK« von S. natans, die scko Folgeblätter gebildet hat, in Waater gebrftoht wini, (an derselben Sprossacliae) wieder PrinssrbUtter, a wie daa oben für l'oUmog. natuns angefahrt «rnrit wenn die Pflanze sich dem neuen Mediuna anf^pHst dann wieder Folgelduibir nuf. Dan nun in dem An Phmärl>lätter nicht etwa eine direkte Anpassung an di leben H^« sondern daas dasselbe bedingt ist darch eio wie sie die Veränderung dea Mediums mit sich brni sieb daraus, dass man dieselbe Wirkunjar atich enk ohne die Pflan7.e in das Wasser zu bringc-n. Ktd Pflanzen, die vorher im Waaser waren, an der Luft der Wechsel des Mediums als Btüning. Diejeniget welche schon gestielte Blätter hatten, briofi^en statt de bandförmige Frim&rblätter hervor, denen Ueber^rang^ti hergehen, first nach einer Anzahl Primärbl&tter ti wieder, nachdem die Pflanze sich dem neuen MedJ passt bat, gestielte Blätter auf. Waren solche xi Medium Wechsels noch nicht vorhanden . so fehlt natürlich die Möglichkeit., durch Aeiideriing der Bl die Störung zu reagiren. Diese Störung iaast sich w hervorrufen. Schneidet man einer mit gestielten Bf; sehenen Pflanze die Wurzeln ab^ so ist damit bei der EigenthGmJichkeit der Wurzelbildung monokotyler wenn man die Sagittaria gegen Vertrocknung bcUQ dauernde Beschädigung der Pflanze, sondern nur ein gehende Störung der»telhen gegeben. Auf diese reotfirl Hervorbringung von Priniürblättem, denen epüer höhere Blatbform folgt. Derselbe Krfolg kann erzie wenn man die WurzelUf statt aio abzuschneiden, in Wasser tauchen lässt; ihnen also die Zufuhr ano Näfarstoffe entzieht. Nicht alle Exemplare reagiren t Si5rurigen gleich. Es ist mit RGcksicht auf die oben
(: Utbir Juyendformen eon Pflaiuen tte.
491
TerticillaU angeführten Thatsachen von Interesse, dws kriiftige Exemitlare vou Sa^ttaria natans die RöckschlagserschemuDfsen oft nicht zeigen, sie aber auftreten lassen, sobald eine Schwäch- ung der PHanze durch unzureichendes Licht, schlechte Ernährung nnd höchst wahrscheinlich auch noch auf andere Weise eintritt, z. B. durch Kultur bei niedriger Temperatur. Wenigstens deutet darauf das Verhalten anderer Wasserpflanzen hin.
Nuphar luteum besitzt als Keimpflanze bekanntlich — ab- gesehen von den einfachen eretpn Primarblfttt.eru — zunächst tratargetancht bleibende, kurzge^ftieUe, hellgrüne W asser blätter, die sich durch ihren anatomischen Bau von d«n später anf- tretenden Schwimmbl&ttem unterscheiden. Wie ich an andprem Orte gezeigt habe, kann die Pflanze an bestimmten Standorten *nf diesem Entwicklungsstndtum sehr lange zurQckgeh alten werden« trotzdem aber sogar zur BiQthe gelangen, und an- zweifelhaft kann diea auch gewheheu, wenn die PHanze schon Sohwimtuhlätter hervorgebracht hatte. Sinkt doch alljährlich im Herbste die Blattbildung auch bei Pflanzen mit Schwimm' blättern wieder auf diese Stufe herab. Experimentelle I'nter- snchuugen daröber liegen nicht vor, indets i^^t kaum daran zu zweifeln , daits alle die Vegetation nngAnntig beeinflufsenden Faktoren innerhalb gewiver Grenzen die Schwimm hl attbtidung nnterdrDcken, die Wiisnerblattbildmig hervorrufen werden, da» dabei auch die Lieh tinteuui tat eine Rolle spielt, wie ich frOber hervorhob, ist mir auf Urund anderweitiger Erfahrungen sehr wahtFcheinlich, indes» stimme ich mit Brand*) darin überetn, dass auch andere ungUnstige StandortsTerhälLuisae denselben Effekt haben können. Ein Nuphar-Rbizom> welchem die Wur- zeln abgeschnitten sind, wird vermnthlich Wasserblätter hervor- bringen, selbstverständlich erst noch den Blattanlagen, die schon die Eigenschaften der Luflblätter angenommen haben.
Analoge Verhältnisse werden bei den Stecklingen mancher PflAnsen anzutreflien sein, fallä Oberhaupt noch die Möglichkeit
*) Bnuid, Ueber die drei Ülnllarton unwr» Nymplmonrcen. Rotan. C<>DtimlbUU, b'. Bd^ p. 108 E
492 SiUiiS^«^^nth.-phy$. Ctasge tom S.
zum Wiederan (treten der Jujfendform gegeben ist. b'rcilicr liegen die Verhältnisse hier nicht immer einfach. Ein Steckling erfnhrt durch seine ÄUtrennung vna der Mutterpflanze nicht nur eine Störung seiner Gesammtentwickliing» die erst später wieder überwunden werden kanu, er ist auch den CorrelatioQS- verhültuissen üea ßproas!«Tst^n)s, in dem er sicli befand, entxoj^pu und wird in der gärtnerischen Praxis ror der BewurzclunK
uieijit uuter andern, als seinen normalen Lebenshi -mi
kultjvirt. Alle diese baktoren künnen bei dt-r Hur« ^ , ,.,.,üg der Jugendfora) betheiligt sein. Üiw Verhalten bedarf also ge- nauer Unteräuchung. Doss über derartige Fälle Vürkommeo, zeigt H&a früher') kur£ ernähntc Verhalten Tun Mdhlenbrckia platjcladoü. Erwühnt sei auch diUfjeiiige einiger Ph^rllanthi»- ÄTten, flpeciell vün PhjU&nthns luthjroides. Der ArtnaiMR rtibrt daher, daBS die PHanze 8cbeint>ar gefiederte Blätter, ahn* lieh denen von Lathyrna-Arten bwritzt lu Wirklichkeit ainid diese bhittiihulichen Gebilde Sprosse begrenzten Wachnthutns, die zweizeilig beblättert sind, und später abgeworfea werden wie Blätter, An der radiären Hauptachse (und den ' ' 'ir gleich verlialtenden, stärkeren Seiteiitriuben) eteheu nur ■"■■., '- blätter, in deren Achsel dann die bj>äimilirenden, mit Laubbltuer versehenen Sprosse stehen.')
Ich nQnachte duu /.u erfahren, oh diese zweizeilig be- blätterten iSpro&se, als Stecklinge behandelt, Hihig »eien radSr zu werden, und ob ne dabei sieb verhalten wie die KeimpfUn'xcil« an deren Ilauptacbitvn zunächst Laubblätter auftreten
Zunächst sei erwfihnt. daaa diese zweizeiligen, dor^i>'-*eiu.utf-a Sprosse in der That genjSthigL werden können, sich uU radiäre Ächwn anszubilden, wenn man Über einer jungen Anlag« eines solchen Seiteniprosses den Hanptspro« entfernt und aiurb
1) Ploni 1896. p. ».
<) l>i> Mürphiilnijif 4]«r rhylldittbusuriun int br«iirocb<An in Dlnftlnr, Die Fl»iii5proaN' der PI 1. H>*rt. Miliubt'O IW6. I«awjh«t
Wüil p, I8>^ IE, du K< iiti' von •■itil>{rn l'liytliinfhn««f1rti
uiitgi-tlirilt.
K. Ooeheh
Ttigtndfbimtn ton PfU^^n
493
Ktitif^ung anderer Sprotaanlagen sor^t, «reiche die Fort- d«fl HnnpUiproaee:^ Olierneluui?» könrit«ii.
Auf die-so Woiee wurde z. B. ein Seitensproas, der schon 3 Blätter in zweüeiliger SlelJun{( angelegt liatte, veranlasst, aU radiäre FortseiÄung seines H^upl^prosiae« weittT /.u wachsen. Kr brachte dann, wie die Hauptachse der Keimptianzen, xuntichst Laubbläiter hervor, in deren Achseln aich dornventrale Aasi- milationssproffse bildeten. An älteren, schon hnrizoutiil ati^go- breiteten Sprossen ivt mir die l'mbildung büt jetzt nicht gelungen, 68 entwickeln sieb „AchseUprosse* der blattühulichen Zweige sehr leicht zu radiären Trieben, jenen selbst aber wird mit fortschreitendem Alter die Umwandlung 7.u radiären Sprossen offenbar schwieriger, aU ioi Jugendzutttaud.
Dm Verbalten der Stecklinge eotepricht dieser Annahme. Kein einziger derscrlben wandelte sich nSmlich r.a einem radiären Triebe um. Vieiraehr wuchsen die Sprosse al« »weizeilig be- blätterte Tripbn weit4'r, f-xv. t<rreichten dabt^i jetzt m:hon (nach einem halben Jahre) eineLange, diedasi — 5 fache ihrer normalen beträgt, sie sind in ihrer Entwicklung nffcnhar unbi^grenzl, und fahren auch fort, Blöthen hervor/.ubringen. Ihr Verhalten ent- spricht offenbar dem manclier Conifiercn, s. U. der Araucarien, aus deren dorsi ventralen Seitenzweigon man auch keine radiären Sprosse erziehen kann. Wohl aber entstehen Holche gelegentlich aus dem .Calln»* an der Basiü der Stecklinge und diet i*<t auch bei Phyllantho« sehr häutig der Fall. Diese zeigen dann Ge- stoltungsverhältniäse, die mit denen der Keimp6anxen überein- stimmen, sie haben die Jugcodform angenommen, und der Steckling, uu dem ein aolcher radiärer Calluä-Spross entstand, xeigt dann nur begrenzte« \Vacl)»thiim, er verhält sich also »u, als ob er ein Seit^nspross des radiären Triebi-s wäre.
Das Verhalten von Phyllanthus scheint mir in mehrfacher Hioüicht Tou Interesse. Wir ttahen, daas dem zweiKeilig be- blättvrten SprosM zunächst noch die l'^ahigkeit zukommt, in die radiftre Jugendform der ganitou Pflanz« ülurzugeben, Abss er sie aber späterhin, auch w«uo tf ab '" '. weiter wächst,
verliert, obwohl ans dem embryonalen tÄUu»({eweb« deawlben
494
SÜ$unff der mtäh.-jihys. Cltust vom 6. Dueviher SSM.
Stecklings nuti&re Sprosse hervorgehen können. Der Vegetatiotis- punkt des dorsi ventralen Sprosses wird immer weniger nm- wandtungsfiihig. Nennen wir den Antrieb« der die Anlage eines zweizeitig beblätterten Sprosses nach Entfernung der Haupt- achse dazu veranlasst, deren Eigenschaften anzunehmen, der Kfirze wegen den «Safldruck*, so wird da» Verhalten sich in verschiedener Weise anffassen lassen. Entweder nämlich beruht das Verhalten älterer zweizeiliger Sprosse darauf , da«s dem VegetatioDäpunkt immer mehr die nntbildungsfahigkeit verloren geht, oder darauf, dass der ^Safldroak* weniger leicht auf tfaa einwirken kann. Ich glaube, dass letzteres hauptsächlich in Betracht kommt. Ein Tannenzweig kaun am SUnime nach Verlust de.s Qipfels lange die Fähigkeit behalten, radiär zu werden, ala Steckling bringt er es meist nicht dazu. Die mangelhaftere Bewurzelung des Stecklings kann k<*ioen solchen , Saftdruck " erzeugen, wie er im Stamme vorhanden ist J* grosser ferner der Weg ist, den der ,Safldmck* zuTOckialegMi hat, desto weniger wird er wirksam sein. Damit kOnnen wir uns fOr das Verhalten von Phyllanthus wenigsten» eine ^ ' Stellung machen, iu andern Fällen werden natOrlicfa ai Faktoren in Betracht kommen, die .IndnVtion*, welch« den Vegetationspunkten ihre Eigenschaften aufprägt und die d«r Jugendform ganz verdrängt, wird auf verschiedene Weüe »i Stande kommen können.
Kehren wir nach dieser Abschweifung zu den Monokotylen zurflok, so sei hier noch ein Fall von einer Landpflan/e ange- fahrt. Monntera deliciosa zeichnet sich hekanntiich durch ihre_ eigenthnralich durchlöcherten Blätter aus, während die Prü blätter diese Lochbilduug nicht aufweisen. Solche einfaebc^ gefunnten Blätter treteu aber bei erkrankten oder sehr schlcdit behandelten l^anzen auch im späteren Alter auf; wenn die Pflanze wieder erstarkt ist, kehrt sie zn ihrer normalen 6l«t^ bildung zurtick.
Wir sahen an den geschilderteu Beispielen, 1) dass die Mi^g- lichkeit der Ausbildung der Pnmärblftttvr bej manchen Pfianxcn auch im späteren Lebensalter noch besteht, 2) dast diooer Vor-
K. OotM: Vtbtr Jugemiformen von PfiiuueH Ue.
495
I I
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Qg ftn andere Bedingnngen geltnUpfl ist, aU der der Bildung der Folgeblitter« 3) daas eine Scbwücbung der Vegetation»- Iwdiugungen der letzteren die nerrorrufung der ersteren ver- anU»t reap. erleichtert. Teleologi^cli betrachtet, muss dies Verbalten in den meiKten Fällen aU ein zweckiuässiffes betrachtet werden. Zwar ist nicht einzusehen, welchen Vortheil es einer Wasserpflanze von S&gittaria uatans bieten könnte, daas «ie durch den Mediumwechsel oder nach Abschneiden der Wurzeln auf die Primär bUttforiD zurUckHinkt. wohl aber ist dies der Fall, wenn x. B. eine LandpÖanze Überschwemuit wird, denn die Priinärblritter sind die für die submerse Lebensweise geeigneteren, sie können sich raacher dem Waseerleben anpassen, weil sie weniger difivrenzirt sind und durch ihre Arbeit erstarkt die Pflanze nach einiger Zeit soweit» dass sie wieder Schwimm- blätter bilden kann. Für die morphologische Betruchtung aber kommt hier ror Allem in Betracht, wie wir uuh das Verhältnias der beiden Blattformen Torzastellen haben. Wie bei Campannia rotundifnlia komme ich, indem ich mich zunächst lediglieh an die experimentelle Erfahrung halte und phylogenetische Er- wägungen ganz auäser Acht lasse, auch in den andern vor- liegend l)esprocheueu Fällen zu dem Hesultate, daas nur die Primarblattfurm anf die Nachkommen vererbt wird, und da» ent im Verliiufe der Entwicklung diejenigen stotTlichen Ver- ändertmgen »ich ergeben, welche zum Auftreten einer andern Blattform fuhren. Nehmen wir an, daas die Gestultungsver- bältni^e der Blätter bedingt werden dorefa specifiache Stoffe, so würden aUo nur die der Primärblätter den Samen überliefert werden. Wo es nicht möglich ict, die Primärblätter dnrcb Veränderung der äusseren Bedingungen wieder hervorzurufen, sind meiner Ansicht nach die b^^tretfenden Stoff» trotzdem latent, wenngleich nur in geringer Menge vorbanden, da sie den Enthryoneu im Samen überliefert werden. Ihr späteres, acheinbares Ventchwinden kann damit zusammenhängen, dasa sie bei der Bildung anderer organbildender Stoffe verbraucht oder gebunden werdtin. Dm *änd indes» zunächst Gleichnüne, die nur den Zweck haben darnnf hinzuweisen, da» ich mi<
40n Sitrung drr «iitth.-fAy«. Ctasmc vom 5.
den neueren «Tolutionistiscben VererbongwÜiei nicbL ftna<:hli«aaen kann, Theorien, die meiner das We*en der Kiitwicktnn^ nicht v«ntfta4UR Doia der Verlauf derulbeu vor^eitoichaet ist duTtb^ BswchnfTfitheit de« Keimon, i«t -/weifelina, »ber cftf ä der Entwicklung enUtehcn diejeriif^en AendernafA einer h<lheren Anabildung ftibrea, ebenso ctw« wk h einr>r (iulle die embryonalen Zvllen einv* BUtt« ^v- inrkun|{ ileäQuIlenthieres zu einer Ausbildung Trra^ die ihnen uhne diese ICinwirkung nicht xtigekommeo Art der abweichenden Ausbildung aber iat auch hitf BeBcbaHV'nheit der reBfanrendni Zellen b<^in^, ianft aoweii wir niaseu — in den Oalleti keine aadera Gn vorkommen, als die betreffende PflnnKe sie «uob m andern Arten und in andrer Verthc*ilung- herrorbrii die von Moaien oben beachrielwnen VerhSUni^ae s betconder« lehrreich. Die £nUtehun^ der Mocskas buuden an bestimmte ärnsere Verb»ltiiissef und daa /e)f(t, dusrt sie atluiählicb ror sieb K«*ht Deon wurde , kann , nticb wenn schon ein Xellkilrner einer Mooäknoäpe entstanden ist, der^^elbe bis xu eine Stadium wieder xur RQckkehr «ur ProtoDemnbildnng werden.
Aber die Scheitelzelle maoht von der MiS^^lichkei derannahme der Protonemaform, sobald sie einmal diflercnzirt ist, eine Ansnahme, wenif^tens an eitn Mooeslüuinichen kann man zwar an aligeächnittenei Stamm theileu etc. leicbt Protonenmbildung herroi Scbfituixelle hat, so lange sie funktitmirt, noch nii artige Euln-icklung gezeigt. Und doch haben wir bei S gesehen, da^ die Fähigkeit 7,ur Protonemnbildutie auch vorbanden iät. Stollen wir uns vor, das Mooagtiiumchei aU Gatienbildiing am Protooema, und dieso Qallenb infolge der Einwirkung eines enzymurtigeu, von ein dem Protonema beigebrachton Körper« eutetunden, so Scheitelzelle den Theil darstellen, in welchen] di«
K. Goebel: üeber Jugendformen von Pflanzen etc. 497
danemd vorhanden ist,*) und sich vermehrt. So lange dies der Fall ist, kann auch keine Probonemahildunfi; stattfinden. Die Zellen, welche zu Gebilden beschränkten Wachsthums werden, speciell die Blätter haben dieses Knzym zu produciren, das aber unter normalen Verhältnissen dem Sprossscbeitel zufliesst, sie können in Folge des durch die Abtrednung von der Pflanze ausgeübten Reizes zu Protonemaräden auswachsen. Das , Enzym" aber entsteht bei der Sporenkeimung erst durch die Thätigkeit des Protonemas selbst, so lange es noch in geringer Menge vor- handen ist, können selbst Zellkörper, die eigentlich Moosknospen werden sollten, wieder zu Fäden auswachsen. Auch das ist natürlich nur ein Bild. Aber auf Bilder oder Vergleiche werden wir zunächst angewiesen sein, wenn wir versuchen, von der Entwicklung uns eine Vorstellung zu machen.
Nach der oben kurz entwickelten Vorstellung hat da« Me- ristem einer Keimpflanze andere Eigenschaften, als das der älteren Pflanze und noch mehr sind die Keimzellen von den Meristem Zellen verschieden. Dies scheint mir für den, der die Epigenesis als den einfachsten Ausdruck der Thatsachen be- trachtet, zunächst eine unabweisbare Folgerung zu sein.
') Vj?]. Heiyerinck'a .Wiub.ieiizyiue"', Hot. Zeit., 1888, p. 26 und Ö;iclis' bekiimito AMiainlIniij^en über ..Htutf uml Form".
499
Einige Betrachtungen über die Grundfragen der Krystallographie.
Vou Kagrapliui« tod Fedoroff.
b^iDem Arbeiter nuf dem Felde der Wissenschaft ist es ganz unentbehrlicb, von Zelt zu Zeit sein mehr oder weniger schmule.:^ AckentCick zu verlassen und einen allgemeineren Blick auf das flbergroase Feld der Wissenschaft tu werfen, um ku prkennenf auf welche Wet.<M2 seine eigenen Kräfte productiver angewandt werden krtnnen.
Schon dieser Rück- und VorwürÜ4bUck kann der Annähe- rung an die Wahrheit in seiner VVeltanschituung förderlich sein. Je mehr sich mit der Zeit das Feld der Wi:^enschaft ausbreitet, di^lo mehr entsteht Einigkeit und Hurmonie in der gesaminten Thitigkeit der einzelnen Arbeiter.
Aher selbst dies^eä bewährteste Mittel iüt noch nicht ge- uQgend, um xur Wahrheit ohne jede Abweichung nach einet Seit« KU kommen. Die verschiedenen Arbeiter rerbleiben doch bei verschiedener Weltanschauung;, und dementsprechend irren die Kinen »ich in der rcborschätrung der einen und Unterschätzung anderer Dinge, die Anderen weichen in anderer Uiuäicht von der reinen Walirheit ab. Je mehr aber ein Arbeiter aich der Wahrheit genuhert hat, desto productiver, bei seinen gegebenen geintigen Kräften, muw seine Arbeit »ein. Üettswegen Mcheiot mir die Darlegung der Grundanäicbfeu von nicht geringerem pruktincbem \Verthe, uU die unmittelbare tlrmittelung experi- menteller Thabiacheu vou uubekunutein Wurtlie.
1«1W. Vab.-t>kyA. GL 3. ftS
500 Sitzung der mcUh.-phyg. Claaae vom 5. Dezember 1896.
In dieser Notiz wage ich in kurzen Worten meine Grund- anschauungen in dem Gebiete der Wissenschaft, und ganz be- sonders in dem der Krystallographie darzulegen, nachdem eine intensive Arbeit von einem Yierteljahrhundert vorüber ist.
Ich ersah während meiner nicht sehr kurzen Thatigkeit, und stets mit Bedauern, dass es zu viele Arbeiter giebt, welche den empirischen Tliatsachen einen zu grossen Werth beilegen; manchmal stehen sogar ihre Betrachtungen der Frage, wozu eigentlich die constatirten Thatsachen dienen mögen, ^uizlich ferne.
Nicht selten vernahm ich sogar die extreme Meinung, die alleinige Aufgabe der Wissenschaft sei die Beobachtung und Gonstatirung der rohen empirischen Thatsachen. Manche ver- werfen gänzlich oder fast gänzlich die Anwendung der Mathe- matik auf die naturbisfcorischen Wissenschaften. Alle diese Meinungen scheinen mir sehr irrthGmIich zu sein.
Was speciell die letzterwähnten betrifft, so scheint mir dieselbe zu besprechen keiner Mühe werth, da die Autoren solcher Aensserungen, so viel ich solche kenne, eben mit dem wiclitigoit lIilf^nlittel des menschlichen Intellects, welches sie mit leichtem Herz ah etwas Untaugliche^) und HebertlüsHiiges er- klären, ganz unbekannt sind. Es i^renügt aUu, Kenntnisse dieser Art zu erwerben, um dicde inthüniliche Meinung zu verla.-^sen.'|
Die reinen E[uiiiriker, ^velche mir bei der jetzigen Latre tler Wissen^^cl]at't besonders zahlreicii vertreten scheinen, ver- werfen nichts, was ihnen unbekannt ist, sie t^treben möglichst umfangreiche Kenntnisse von Thatsachen zu erwerben; aber sie ignoriren die pliilosonhisclien und Überhaupt die tlieoretischeu Schritte in der Wissen-chaft, sie verlangen immer wirkliche Thatsachen und niclit theoretische Speculationen.
'j Amler(;rH(.'it- kt^mii^ irli iiKiiirln.' i.'iiKi iMtj^ar horvcirracfiiiU Mitthfinntikor, welch.: »■tirn^.j ilm Nutzi-n i|i-i- Aiiwi-mliiuj; ilert-cU'en a ;: »lie NiUurwis-enschuft \.T\vi.'rfrii iin<l lÜi^si^lli- .il- lilnsst' ' Jynina.'^tik i\-- (ici>teH betriu bti'ii. Nm- :ili-'i- .'ri- Imi.-h ~i. )i ^'.-nul.' ilifsc MilniitrT liuiili
E. r. Ffdörott: Oruntt fragen tter Kryntallagraphie.
501
Mit Jen Anhänf^em Jiftwr Schul« wfir« viel zu slroitpn, wären siu uicbt tou vurnherüiii so glBicbgflltig und kalt fOr alle theoretischen Aiiseinander^^etKun^en.
VoD gewLwcin Staiidpunltte haben sie unbesta-cikbar Hecht.
en wir die Moi^hchkeit gehabt, alle ThaUachen zu kennen.
rilre dieä iXi^A ße-nttt, und diK Wissen-schaft solUst wHre «in
[ganz ÜbprAüKsii^eä und mQwigei Ding. Da aber nun einmal von
dieser Atlkenntnis« keine Rede sein kann, so halt die Logik
I und der gesunde Sinn e« für das Uecte, eine tuügtichst grosse
Anzahl ron Thatsachen zu kennen, wenigstens in einigen Ge-
Ifbieten. Nun aber lehrt uns die gesammte Ueschichte der Wis-
[Aensclmft, diiss ein einziges gut festgestelltes Gtt*etx in sich so
viele TbiiUiBchon enthält, dase es auf enlpi^itw^ll(•lu We^e ganz
unmöglich wäre, alle dioie Thatsuichen an der Hand der directen
[Erfahrung zu prflfim ; day:u wäre die iiiten^iTute Arbeit bei längster Lebensdauer eiueä Forschers viel zu kura.
Der allgcineiu erkannte WertU der Gesetze der Wissen- schaft besteht gerade darin, dass ein solcher dber den Rahmen der directen ß4K)t)arhti)ng hinaiiftreirhb, und das» utle neuen Hü- obachttuigun, n-i-rlche dem Entdecker des Gt-setze^ durch directe Beobachtung unbekannt waren, dasselbe nur beet&tigen und .bekräftigen.
Ans derselben Geschichte entnehmen wir ferner die Er- fahrung, dau seihst dann, wenn nach längerer Kenntnis eines gut abgeleiteten Qeset7.es eine Beobachtung zum Vorschein kommt, welche demselben scheinbar widerspricht, auch dies nur einen weiteren Schritt in der Wissenschaft liedingt, und bald klar wird, dass nicht dos Gesetr. unrichtig sich erweist, sondern [^dic Formulining de-wdlien noch nicht gan/ streng und allge- j mein war, so dans iui Allgemeinen nach einer solchen wichtigen iKntdwkung da^i früher constatirte Gesetz nicht fallt, nicht xu I Grunde geht, sondern nur eine Variation in der Kormuliruug erleidet, re«ipec-tive durch Kritdc<i:kung neuer, allgemeinerer Ge- l^etzp in hohem Grade an Hedeutung gewinnt.
Darin liegt meiner Ansicht nach der Grundunterschied in 'den Standpunkten «inos Mannes der Wiasenschnft und eines
35*
502 Sittung dvr mtUh.'phifa. Cta$$t twn 5. ßtseviber 1896,
Arbeiters auf empirischem Gebiete. Der Letztere 6nd«i V« Interesse in der Kenntaisa von Gesetzen , welche ihm nicht J direct zum Wegweiser in seiner Tfaätigkeit dienen, und di«i»| hat oft mit den complicirteäteo Combioatiouen zu rechnen. FOrj ihn sind solche enjpiri^cUe« vielleicht ganz sufällige, ReUtiooeni von höchstem Werthe, welche auch in der Mehrheit der FiUfl in den Umständen, in welchen er arbeitet* frich ahi richtig er- weisen. Für ihn hat sehr wenig Werth der Umstand, da unter sehr zahlreichen Füllen, welche ror ihm vorbeigehen» ' eine nnbedenteade Anzahl in directem und p-ellem Widenpncfas mit seinen empirischen Schlüsjien teilen. Kr nimrai sie ab einfache Ausnahmefälle an, and ist von Anfang nn kq dtr Ueherzeugung gelaugt, da» es unmöglich bei, daas keine Am* uabnieialle vorkämen.
FOr einen Mann der Wissenschaft ist gerade das Ocgu- theil der Fall. Kin einziger Ausnahmefiill ist i^enQgend, ua seine früheren Schlfisse zu verlassen und aU imrichtig eu e^■ klfiren. NntQrlich muss der Ansnahraefall ganz uch«r vaA zweifellos constatirt sein.
Ist ein Mal ein Ausnahmefall von einer Seite angekOodigt worden, so kauu eine Bulche .\ngabe nicht direct und von run- hereiu nngenouimen werden, sondern sie unterliegt einer wXür seitigen kritischen Besprechung. Es kann vorkommen, dass der Widerspruch ein scheinbarer ist und von der Ungeoanigkcit der neuen BiH»bachtiiiig herrührt, oder die von derselben ge];eli«QPD Zahlen vielleicht sehr nahe an der Grence der BeohoLchtunff^ fehler stehen, oder endlich ist es möglich, dass das früli«r an- gekQudigte Gesetz richtig ist, aber nur ein Gronzgesetx t^d d. k. in dem Rahmen der hierzu geh^Sreuden Erscheinungen nicht allein gültig ist, sondern zugleich ein auderes res]»ectiTe ander» Gesetze in densellwn ihren Theit nehmen, aber die Otlt^kfU] derselben nur ausserhalb gewisser C*reuzea erktmobar ist. Nvnl ist anch der Fall möglich, daas das Oeaeta bei der frOhrren Formulirung sich wirklich als ein ungfnau'»$ erweiitt, qnd xwv j in Folge einer UDgeuauen Auffuasung und Defmitiun einiger
JSl r Pednrov: OrunHfragtn ittr KryattdloffrapHie.
503
ihm zu Omnde liegender Bet^riffe; mit der enUpreobenden Ro- rtchti^uiig erhält das Gesetz seine volle Kraft.
Ea wftrc Behr leicht, f)tr alle diese Fälle so riele Boiapielc Anzugehen, wie man will, aher gerade dessiregen glaabe ich keine heihnngen zu mflssen.
So weit sii^h Qjeine Erfahrung enttreckt, glaube ich einen Schritt weiter zu gehen und auüsprechen zu k5nnen, das« viel- leicht kein einzigt^s Mal in der Ge:ichichtti der Wit^aenschaft ein Oesetz von altgemeinerer Bedeutung uls ein zurdlligi» Rt>siiltat der enipirbfcbeu Beobocbttmg hervortrat. In den Qheruus meuten Fällen entstund es im Kopfe seines £nt<]eckers aU Resultat seiner speeulativeu ThStigkcit, und nachdem es als ein fester ^blusfi abgeleitet war, wandte sich der Entdecker selbst oder ein anderer Gelehrter der experioientellen Prüfung der dedactiren Folgerung zu. Beachte man nur, daas bei der experinneutelleu Prßfung so viele nebensächliche umstünde vorkonmien, welche seihst da« heAto und geuauc^to uller Geselze maskirt htltten, dans e» wirklich nur dann mOglich erscheint, da.4selbe an der Hand der Krfiihrung unbestreitbar fettt/ustellen, wenn der For- scher, Ton deni Liclite der deductiven Theorie als einem be- währten VVt»{weider gefnbrt, allen dietten ätöreodeu Umstünden Rechnung trägt und dieselben in dem Gange seiner Uoterauchung Qberwiudet und znr Seite stellt.
Oieoe Behauptung zu verthcidi^en wäre eine -«^pecietln Anf- i, gäbe in der (Jeschichtc dt-r WisseiiMrliaft. Ich gehe jetzt nicht ^M 80 weit; aber ich kann nicht umhin, gegen den Qbertriebenen H Werth der empirischen Thataachen ein Wort zu schreiben. ^^ Ka giebt Thatsachen iiud Thatsachoo.
^^^ Eh int eine unhestritlen feststehende empirisebe Tbatsachef ^^^ dia Sonne sich um die Erde dreht. Diese That'tache wurdo in allen Zeiten und von allen Menschen wahrgenommen. Ist efl aber eine Wahrheit? Oder nieht gerade diis Gegentheil, d.h. dass die Erde sich um die Sonne dreht? Ebenso unbe- stritten feilt strht die empirische That»uche, dura ein grosser und inäohtiger Staat da« Recht hat, Ober einen kleinen und
504 Sitsung der mitth.'jthy». Cittue wm 5. Detemhtr JS$9.
schwachen Staab ku domiDirenV Ob aber nicUt wieder Wahrheit gerade das Gegentbeil wäre?
Um aber auf da« Gebi«t der Kristallographie zu kommen, J betrachten wir einige ßeispidlc aus diefieni :
Steht nicht fust jede ein/.eln ^enummcne Beobocbtang, eine jede MessuDg, in directem Widenaprucli mit dum, was gewohn- lich alä Grundgeäetz der Kry^taltographie bezeichnet vrirdf] Stellen wir die Keihen der Messungen zweier BeobachlCT eioerj und denielben krystalliniäcben Subitanz zanammcn, ßnden wir! dann nicht, dass die directen Beobacl)tuiigEr/.ableD für venchie- dene Flüchen verschiedenartig aiueliiandergeben, waa ganz un- möglich wäre, wenn das Gesetz in allen Fällen und fOr all» Flächen seine volle Gitligkeit besässe? Noch merkwürdiger ist es aber, dass gerade die Empiriker es trotz dieses Widerspruche» als eine unbestreitbare Tbat^ache erkennen, und sich Ton ecilcheui Schlössen reep. Gesetzen abkehren, welche keine derartigen I experimentellen Widerspruche xeigen reap. sogar ihrem Wrvco nach keine solche Widerapröche zu zeigen im Stande aind» wicj z. B. duä Gesetz der Symmetrie (32 Svoimetriearten), da« G«eti| der krystallinifichen Homogenität, in welchem der Verf. J« wirkliche Wesen, das echte Grundgeäetz der Kryätallograpbie erkennt (es ist zugleich da.^ Gesetz der parallelen Lagerung der Krystalltheilcben) und manche andere.
Auch in BetrefT der sogenannten optisch -anomalen Krystallp ist es nicht die am besten constatirte (rmpirischG Thaiancbe, das» Terschiedene Theile demelben , eclbst solcher KrystaDa, welche in Hinsicht ihrer äusseren Formen der kubischen Sy»- j gonie angphnren , sich aU doppet brechend oder Mgar aweiang I erweisen. Manchmal gelingt es luu beaten xu <! ' ' Terschiedene Theilchen eines und demelben 1' mAcbte sogen einet und desselben Indinduums) sich in o|>iiMob«rJ Hinsicht aUt lea verschiedeneu Syngonieartcn gehürig erwetsonJ wiu dieä z. B. in neueater Zeit von Hrn. C. Klein ganz kl dargelegt worden ist. Ob aber die Wahrheit ist, daKS wirkticb] venchiedene Theilchen einer und d«r«(dl>«Q SnbvUni xa terachiedenen MineraUrten gehnren?
JB. V. FetiortHc: Grundfragtn d«r Kr^tfMo^apkit.
&05
iieiwitfi sehe ich nicht den geringsten Grund /u zweiftrlu, Wahrheit nicht in dem empirischen Standpunkte h'e^ nod dass die einzige, mflglicherweifle wahre Anschannng in deoi hoch theoretischen Standpunkte vnn Hrn. Klein liegen kann; Bf>Iclie Tbatsachet) (wwei^wn ant*s Klarste, dn^s die rohen opti- I fichen Beobachtungen Doch nicht genfigeud sind, um von vorn- herein die Syagonieart der KryaUlIsiibhianz £u coustaiiren, nnd ?ielmohr andere UrnsUinde wie Druck , iaomorphe Bei- chungen auch ihren EiDÖu<ts üht'n.')
Sind noch andere BciRpiele dazn notbig, zn leigen, dasa nicht der empirische Standpunkt der nia.s»gebende fDr die WiäHen- eohaft «ein nia-«, daas gerade diirin der Unterwhied iwiiichen den Arbeitern in der Wissenschaft nnd denen anf empirischem Gebiete besteht, dass fDr die letztere» die einzelnen empimoben TliAbtachen der letzte Zweck, für die ersten aber sie nur in- sofern von Interesse sind, aU sie zur Erkenntnis» der Gesetze dienlich sind?
Sind noch solche Beispiele ans dem Oebiete der Krystallo-
I graphie tind Mineralogie herbeizuziehen, so nehme ich zuerst
als ein solches da.s des Lpucits. War es nicht eine der best
! conf^tatirten empiriAchen Thatsachen, dass derselbe der kubischen
I 8yngonie angehört; und doch haben die Arbeiten eines G. vom
lath und einer Keihe anderer hfrTorragender Spfci allsten diese
Keinbar fe-itgestellU' ThaUache umgeworfen und sogar ftlr die
reinen Kmpiriker klar gemacht, dass derselbe nicht kubisch ist.
Dieses Beispiel ist dem der l'mdrehung der Sonne in dem ISinne analog, daxs trotz der allgemein erkannten Wahrheit der
') SchiiQ lAngH hube ich Beknnntacliufl mit einer Reibe ton Dflnn- [•rfa1}fl(*n do» nnomiüen (irnnKtJi ati-i t\rn Tntjintk'iicheti OmVim (fiftn»fht, [ wrti*i)« ntii-h lu nRlu>reo fM-blOMtm ahi>r ilie Umiu'hen <\nt AuamttUf ge< jt ' 11, diti
: b'n.Miile
reruh tob au« der letxt«>n Arbeil- von Hni. C. Kinn. Hum ilrraclbo Auf [ünind der Beobachtungen m nmnohmi HchlOotm ifrkommtm ut, xn velcfaen ;m«h meine novh nicht i*n'>ffi»ntlirl»t.>n bmhK^^htuug«« gnfllhrt f hatten. Meine HrohftchlniiffnncÜi'.KJo wiu- uticr »ina gMoi andere.
500
Sitsung rfer mn<fi.-jAy«. Ciiu»c vom 5. Drtfmhrr IS^S.
Leucit iii gew5briHchem Verkehr doch als eine« der bellen Het'' apiole einer achüu aiiskrystaUisirtfiii kubigchen StibstaDz ^ultea kann, fQr welche die einfache Form (211)^ sehr charakte- ristisch ist.
Etwas Analoges gilt auch für den Perowskit. Änf Onmd seiner genauesten (wenn auch einseitiger) Messungen, hat Hr. V. Kokpcharow die The«; anfgestcllt : *)
,Üie Gesaiiiintheit aller krystallagraphischen Dntersach- ungen Ifisst keinen anderen Schluss zu , als den, da» der Perowskit in keinem anderen Systeme krystallisireu kattb, als i ira regulären' (also kuhischen).
Doch erwies sich aU eine Wahrheit — and diese Wahr- heit Qiusdte Derselbe bald anerkennen — ^ daas der Perowskit nicht kubisch ist.
In den beiden letzten Beispielen war die Widerlegung der rohen Thatsachen mit dem Entstehen neuerer Begriffe und neuerer Gesetze verbunden, ond zwar mit dem Begriff dtt peeudosynimetriscben Krystalls und dem Gesetz der P«evdo- Symmetrie und Mimesie.
Ist es nicht eine merkwürdige Thatsache, datt die beatoi Arbeiten von Chr. Hesael über ein hallies Jahrhundert fwt von keiner Seite beachtet wurden, und doch 8t«?ht diu Wahr- heit fest, dass die von demselben angekündigte ConcepLion tudi seine theoretisch deductiven Folgerungen die allein richtägvoj waren. Der kuruceitige Kuhm wurde anderen Gelehrten u Theil, die Wahrheit, welche nbtir xehr spät begriffen Dod an- erkannt wurde , bleibt mit dem Namen dieses bedcQtead«a Mannes der Wissenschaft sowie mit dem Namen von A. Oadoltnj verbunden, welcher zum zweiten Male dieselbe Wahrheit und verkOndete.
Ut der vom Verfasser betretene Weg der richtige, <n^ muss man sich in der wi^ifcn seh aflti eben Tbütigkeit \n enkee Linie bestreben , möglichst allgemeine ßegrilTo attasn*rbeitcB
(mss.)
^) Verband] uniren k. Mineral, fle«. nt Pf^onburg, 1874, B. 9. S. :
R V. /Vtfafw: Onmdfhtfen dtr Kryataltogr^fhie.
507
imd mSgtichsi wcül&afige dednctire Folgemrigen za ziebua und dieselbea an der Hand der Erfnhning zu prüfen.
8teb«fi «rrr einmal nnf dem rein mnpirwhen Standpnnkt«, sind »olclie Dinge, wie eine rationelle Noinenclatar, allge- ^Tinbole and Kezeichnnngen fast OberAOmge Ding«. Sdc «mpiritche Bfi^hrffibmiie kann ebenaogoi miltotsi BeBeicb- irani^n eines Hanj. eines L^vj oder einet Kannjann ao»- geAlhrt werden. Von \Vider>pr{lch*<n mit di-n (teaaten kann d«aj) nidll di« Red« sein, wenn man dem Wesen Dach deo* aribn imr aejir venig Wertb beilegt nod aaf den enten PUtt rohe Beofaftcbtnng «teilt
Stellt mea sich eher auf dnea aiid«!«) SUodpirokt, uad Ewmr mai deHJesiges« fbr welchen die AmuikMtutf 4er eUgfr- maiiMo «od genmoto BrgnSe nnd GeMtee Ae «khtt^it» kt^ gäbe der Wwenaehaft K so verbilt sieb die Saehe pmt uHleif. Jede Beeteeht«ng mam tu Besehoog n filitiitiiidtiM oder oodi sieht dcfiaitir aii<iy<«IHi,ii PMetsen gebnefat weidea; fon ihr awgcheod i«t es oothwendig. ze pHJfeo, «t» nicht «iae deiMfainng la nimreii aÜgMoeinen BegriSsn Dalb«eadfig «in^ wtKK MS BBt aeai ^nvteai voecrer 9dwBHMgvraB|^EB eieH la Widcieprach gierafth«L Keaa die beol^ehteCe Tbeftneehe dan dkft* heitiafiu, m vt derwfbea bot en ratatiT geriaffir Wevth hUiiiuwewn Om aber voa einer Thatecbt afihiai, m aB- ^iiaieia<B Piiatipieu tlMiiagnWiu. mwm dimrlb* ta atlgn— iasi oad »inheitMKr Bexcirhming ena|;adrflekt «»dea.
Wa» vif« Me dn die Wmmmmkäk ^htmkwwmmmkm nm gvariavrtiMMa
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dbw« d«reh die rohea ZaUea der I aroMr Xetdtnea ^ 8ted ewmr Wi
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KrTiuU»-
608 Sittung der wafA.-fAy«. CHaue vom a. Thxtmhrr tfiBG.
Vielen fast gleichgÜlHg, als ob dies eine Thatäache dea Be^ liebens wäre.
Wäre dM Oesete der Rationalität allein in Betracht zu ziehen, so würde die.<;er Standpurilrk fast der ricbtige sein. Aber es f^ebt Symbole, welche keineswegs diesem Gesetze aliein Rechnung tragen.
Wir wissen aehr gut, dasa ea roUkommen möglich ist, durch genan dieselben Symbole die analogen Flächeu re«p. Kanten sammtlirher Krystalle ausr.udrflcken, welcher Syngonie- resp. Symmetrieort dieselben angehören mCgen. Es giebt abo etwas, was säniiutliche Krystalle aU Kinheitlichee rorbindeL Dieses Verbandgesetz mnss ein mathemaiischeii Qesetz sein, da wir es hier mit rein niathemntisohen Verhättniseen zu thuo haben. Was ist da^ für ein Ge<ietr.? Von wem wurde es ent- deckt resp. formuUrt?
Das Gesetz ist das der Projectivitiit sämmtlioher Kryatall- Hächencomplexe. Dass dies wirklich ein allgemeines and dabd ein niathcinatisches Gesetz ist, beweist unwiderleglich die That- Sache, das^ z. B. auf demselben fuseend, der VerrnsHer ein Denen System der krystallographischen Berechnungen zu Stande bringen konnte, und diejenigen, welche demselben eine Beaebiiitig ge- schenkt haben, wissen sehr gut, in wie ansehnlichem Verhftltnifli sich dadurch die Berechnungen vereinfachen lieascu.
Somit haben wir darin alle Merkmale eines realen nnd dabei sehr wichtigen Dinge«. Dass dieses Gesetz schon llxigvl den hervorragenden Specialisten bekannt und »titluchwcigrad aacrkaniit wurde, unterliegt für mich keinem Zweifrl. AleiDer Ansicht noch wurde diese« Gesetst ganz klar von Miller, vob Qu. Sella, von V. v. Lang begriffen und benatzt, wirnn ich auch leider bei diesen bedeutenden Männern keine ausdracklicb« Kormulirung desselben finde. Ich gUube dasselbe schon in dem jetzt gut bekannten Werke von Ht;s9el klar ausgedruckt ge* fanden zu haben, und zwar in dem von dt^mselben so c- — r-'i.in Gerengeseise (die Benennung »elbsl ist mir jedoch di •.),
Der Verfasser bedieule sich dieses 0«seU(»a ahi eine« der wichtigsten Wegweiser von dem Beginn niner setbaiftadigaa
/.*. r, Fetlormt: Grumlfragcn dtr KryM^iIiogrupkü. oOO
Arbeiten in dem Gebiete der Kryi>taUo|{raphie an, ifid«ni in dtn «Klomenten der QoitAlteDlehre' gunr. eiagehend (mit l^nntmng der Methoden der syathetUcheH Geometrie) die projectiren Ver- Itultnisiie säramtlicher Kry^tallBüchencomplexe studirt wnrdeii. In den .Analjtisch-krystaÜojfraphischen Stadien* wurde diean Gesetz von Anfun^ aii uU firiiiidlujL^e an^i^nommen und d*hti die rein analytincbe Methode Angewandt. Die I. und III. Studio «ind gauzlich der Entwicklung dieses (je^etzes gewidmet; die IV. Studie ist nicht« weiter als die j)rukti8che Anwendung dieses G^esetzes auf kry^-tnltographische Berechnangen.
FOr einen reinen Empiriker int die ExüteuK dieses, ehen»o wie mancher anderer (die Logik hätte die üebertragung der- selben auf alle Gesetze überhaupt gefordert) Gesetze ganz gleich- gültig. Die Existenz desselben fDgi nicht die kleinste Tbat- tiache zu dem aasserordenilichen Schal/* derselbt-n hinun. Wer nher die Thataachen «elbat nur als ein Material fflr wissen- sehaft-liche Zwecke ansieht, fOr den ist die*i gar nicht so gleich- gOltig.
Damit ein Geectz leichter ersichtlich wird, mflssen die Thatsaehen so angeordnet und ausgedruckt werden, daas das- selbe nicht durch die Bezeichnung selbst verdunkelt oder sogar Tordeckt wird.
Nun unterliegt et keinem Zweifel, daas eine Reihe Ton Gesetzen existirt, welche dorch analoge und einheitliche Be- teirhuungen in den Krrstallen aller oder nur einiuttr Hyngonie- arten ihren Aufdruck linden. Hierr.n gehört auch das Getet« der RationalitiU der i'arumeter, daji GeHetv. der Symmetrie (in- sofern die analogen Symnietrieel erneute durch analoge Combina- tir»nen der Symbole aiwßfdrtlckt werden). Hieran mütmen auch dirlieaetze^ZwilUiigäbildung, der Spntlbarküit, der Utrtfu.ii. w. gehören, ho bald einmal diene Oenetz« wirklich und streng auf einheitlicher Grundtage deÖnirt wcrdm. Aus drr H^-ihc hierzu geli9rendi;r Gcüetze erlaube ich mir eiu auh der 1*henrie der KrjxtalUtnicliir ahgelrtteti!« und durrh rin» Hmhn directvr Be- obachtungen schon im Jahre I884) feMtgast«llt«s Gesetz dee WachaihuaiH der Krf«talle bervorcuhvben.
GIO SiUung der maih.'phy». CImm mm A. Detrmhtr S89*J.
Dasselbe lautet:*)
Die WaclisthumsricUtungen der Krystalle sind durrli die- selben Symbole bestimmt, wie (Ite Flächen der fQr die Stmctnr charakteristiscfaen Parftlteloeder.
KatUrlicb sind bei der Formulirunf^ dieaes Gesetzes nie beliebige Systeme der äymlwle anwendbar, sundern nar dt| allein zulä^igen allgemeinen sog, Müler'sclien Symbole. Nti habe ich schon mehrere Male die Frage aufgestellt, ob die für die Feststellung der Structur eines Kry-stalU gmü'" Gesetz anders als mittelst eines eiuzigeu einheitlichen _.;: vun Symbolen ausgedrückt werden kann? Dasselbe wird anch für alle angedeufcetea Gesetze gelten, m> bald einmal dieselben eine allgemeinere und genauere Formulirung erhalten babcn.j
Diejenigen, welche den Satz, daas die MiUer'&cheo Syn hole die allein zulässigen eind, bekümpfUnf haben aber die Anfrage unbeantwortet gelaa^en, äie wollen den Beweii er- bringen, das» üie ausser denjenigen Sym))olen, welche im Vvr* kehr sind resp. waren, noch andere aufstellen können, ohne mit dem Grundgesetze der geouietriächeu Krystallographie in WiUvr- apruch zu gelangen. Das ist ja aber ohne spec-iellen B«i klar. Die Frage kann nur darin bestehen, ob ein auderM «104 heitlich«« System der Symbole möglich ist, welches nie nnr dem Gesetze des rationalen Parameter Becbnung tcäi sondern Oberhaupt mit dem jetwgeu, jedenfalls bim- ' ' ' ■ t Staude unserer fundamentalkry»lallogra[)hiächcn K< Einklang steht. Die unbedingte Forderung ist aber die Einheit- lichkeit, und girade die^e wird von Manchen veruachla«ii( Kä scheint, dats» bis jetzt nur im Yaterlnnde von <Ju. Sttlli diese Forderung zu allgemeinerem HewuastAein gekomiuen tat.*
.Sitituijnbfncht'-D '! i lormuiirt. Ji. aii-
0 Zu- t
burg im J XXI. S. b6i,
^ Aui^b in der ulletk'txUiu Zeit lebo loh *'. ■"., honromMTnidmi ^»olchrt^n tlloani IaihImi. 11. C Viola, Ji ^mmr mnnor ArmcIiI. (VrI. Zeitorhrifl f. Kry^UlloKMipWe, X\ VI, c^ li:* ff.1 "
X, V, /VdonMC: GrwiHfragtn der Kryttaßogrüjihie.
511
Eh äcd mir erlaubt^ noch ein paar Worte dem Gesutce der Sp<barkeit zu widmen. Wenn das Ciesetz »elb.->t mmU noch bei ff^tem ntcbt so klar and Rll^enietD furmulirt worden ist, so wird CS doch schon langst dahin : ichen, dans die
Spaltebonen miltoist Symbolen mit cii... u indices aikige-
drOckt werden können. Diese Formulirung »teht aach mit den deductiven Folgeningen der Theorie der KryiftaUdtructur im Einklunge.
Das Gesetz selbst hat aiigenscbcinlich die Bedeotung, dass, wenn die Krydtalltlächencomplexc richtig aufgestellt wQrden, die Spaltebenen einen analogen Ausdruck für yerschiedene Syn- gonieurten gefunden hiltten. Und was wäre dann atw einttni aUgemeiuen Gesetze geworden, wenn man fOr vorscliiedene Srngoniearten verschiedene Principien zur Anwendung gebracht
bitte y
Dnaeelbe gilt, wie crwUhnt, für eine Reibe anderer Geoetze.
Weiter Ober die Aiifälellung der Kry stall flächencumplexe. Wie Tiele Ge«etxmä3Kigkeit«u sind dadurcii verlort^u ii^egan^en, dam man diese Äufatellung mehr iider weniger als eine Sache des Beliebens andiefat Ich wiederhole mx^b einmal, daita dieser Standpnokfc sehr nntllrlich ist fllr einen ßnipirikcr; aber iitt es nicht klar, dase wir gerade demselben das Verborgen bleiben vieler schätzbarer Resultate verdanken?
Die Theorie der Kry»talLstructnr giebt una ein festes Princiji Br Aufstellung der KryatAUflächencomplexe. Für einen Theo- ker dient schon dic»er Umstand dazu, dieser Theorie sein besondere» Äageomerk zuzuwenden. FQr Empiriker und diea fflfittig« Fragen.
Jedem Specialut^n dt*r Krystullographie ist gut liekannt« dn«a die Complexe der Flüchen mid der Kanten in nebr engem ZuMunnenhange stehen, einander zugeordnet sind. Das gegen- seitige Verhältniaa ist das des Dualismus d. h. eine der ein- fiMrhjlen Arten der Frojrctivitlt.
Bei verschiedenen AufHbelluogen der Ordnung eine venH'biedemr. Von dem PHncjpü v L nicht gleicbgClltig ist, w«]che Art der Ciirra
512 SiUun^ der muth-iiht/s. Claau vom .">. Dtttmbtr t89C.
deuseltrao anzuuelmicn sei, kominou wir wiederum zu dem" 8chlDsse, daas nur eine Aufstellunj^^nrt die richtige sein k«na. Diese mit gauz strenger Begründung aiifzuHnden, ist eine der wiclitigsleu und iulereäsaut«»ten Aufgaben der Hrvsttillographic. Kur dann künnen wir erwarten, dass die wirklich exbfti runden Verbältnisse zwisclien vei-sctiiedenen kr^rätalliuischon SabdUnxen zum Ausdruck kommen und die vorbandenen GedeUmäwigkeiUn nicht verloren gehen.
^un sind aber von allen bisher tm Verkehr stehenden Systemen von Symbolen die Miller*9cben die einzigen, wokfaa allen Anforderungen der jetzigen Krystallographie genfigiea. FOr rierglicdrige Kymbule erscheint ee sogar nnmögtich, ein« Correlation zwischen Fläohen - und Kuoiencoinplexe eindeutig aufzustellen.
Ich glaube hier nicht nöthig zu haben, ntidere bntoiHier« und meiiu-r Ansicht nach ganx unersetzbare Vnrtbeile der Miller** sehen Symbole zu hespreclien. Glüeklicherweiie ist diei cohon aus dem Grunde uimöthig, dasa %ur Zeit diese Symbole nicht nur sirh der vorherrschenden Verbreitung erfreuen , sondeni immer mehr und mehr alle anderen beseitigen.
Unbegreißicherweise bleibt aber ejo Äusnuhrnuiiill — der der hexagonalen Syngnnio — , ffir welchen selbiit keilifr ^IflBdww zum Vorschein kommt, flir diese .Symbole die bemelMldi Siii^ zu erobern. Dadurch wird aber die Einhoitlichkeit des gegen- wärtigen krybtallographischen Systema auf ein Mal durchbrochen und tritt auTs klarste der vorherrschende empiriscbfr Standpunkt zu Tilge.
Welcher wichtige Unutand bedingt, daa mau fQr du« einzige Sjmgonie die schon fast eingetretene Ki ' likeit
bricht und sozusagen zwei venjchiedene Krystallogru, :. -Atrix
einander stellt?*)
^) JodenIhUi liegen dabei keine pttdogogieehM (leticliUpuakie tar; ilio letzteren fordern gerade da« Kiittteg»>iii;e«ctzt<. £■ veratulit ntik rwn •rllttft, iIoM e« dou Aiif&Dgem iwoinml 90 leicht ixt, eine KT;«tiiiIo|crkfthH XU ttudirAO. al» xattluich zwei venrhit^drtiL'. Dioif l'tuüt'and war tteea»- Htm fQr mich guvi ^ugcnachrinUch , ilo er> mir vngifiUI^u i^t, euiMi
E. V. Ffihrmr: Orundfragen der ICryttallo^apSie.
r,n
Ich inufn gestehen, dans ftlr mich iiersGnlich diea \m\uvi als ein Käthsel erschien, und ich snchte vergebene nach einer gendgendot) Erklärung dieser Anonuilie (uder vielleicht Ana- chrnnisni(is).
Der einzige Grnnd, den man von verschiedener Seite rcr- nimmt, ist gAnz belanglos. Man sagt nämlich, dtias die Mitler*- »cben Symbole für mHiichu Symmetrieart* n dieser Syngonie für eine einxi^re einlache Figur rerschioJen ztiMUtumt^ngeHoLxt wUrden. Wovon kommt aber die Forderung, da:« die Symbole für ver- schiedene Flächen nicht verschieden zusammengeseiKt sein DDtlseeD? Ob die Symbole für andere Syngnniearten gleich Kn- aammengesetzt aiud? K<^ iütt einleuchtend, dass gleich zu&ammcn- gesetzt nur die analogen Flächen (verschiedener Syngoniearteo) »ein kfmnen, und gerade die^e gleiche ZtiMiniiuensetzung gicbt nns die Möglichkeit, hei sehr verschiedenen SyugonieverhältnisM>a anf die Analogie in der Icryätaltographischen Bedeutung ditL-^e Flächen xu Bcb Hessen.
Ij»t die Syrametriegröf*sc eines KryätalLt gleich ^, so ist im Ailguiiieirten eine einfache Figur von S Flüchen bt'grenzt, und jeder Fläche derselben, einsein genomnieD, entspricht eine be* sondere Zusamniensetzung des Syml)oU.
Nun wendet man ein, dass in den anderen Syngonioarton der Unterschied in der Zusammensetzung einzelner Symbole nur in dem algebraischen Vorzeichen und in der Anordnung der Zahlen besteht; din Zuhlun sellxt bleiben aber dieselben. Ganx richtig. Wer hat aber bewieäen, dass dieser unterschied in der Zosammenselzung wichtiger und tiefgreifender ist als der in der Aenderung der Anordnung der Zahlen oder in der Aondcning der Vürzeiclieu.
Vom algebraischen Standpunkte ans sind inne pD^titive und eine negative Zahl mit demselben absoluten i SVerth«*
•benao verecbiedcne Zahlen, wie ir^' B« etaer Aenderong der Anorduuii;.
Cunus iJer Ki ' " will*.- (Iar<ii< 1!ch«n Ditif^,
314
«Mi «. Ikig^ur OM.
Uatandiied noeli jchirfer in di« AagBB; wann wir 2. B. du 9jabofe (a6r) and (6«a) reigUicbeü, m finden wir, da« «o der Stelle der Zahl a jeU 6 otebt, UMtett fr steht e und ■&- «tatt c steht a; «ünintlich« lodioes des S/mbok and »2m WMssi- lieh mdere geirorden, Dicbt weniger vecichiedea, nk wena statt («ic) d« Sjmbol (d«/) aUnde, d. h. in böden FiUaa mmi die enetienden Zahlen durch keine GceetiiaiKigkeit mit der enelateo Zahl sdbel Terbtnideii.
Ich erwaiie aoeh d«a Eiawand, das bei der A4 des Vonekhens rcsp. der Anordanng der Indiccsahka die nnfli«riiehea Werlhe zvar Tenchieden «ad, aber die Zahl nnterrinandm' in einfachi*m ntnneriKhea Yerhältniaae steh« Iit dies aberaacfa nioht Ab- die Miner'acbca SjEubule der Fallt Wenn rielleieht das Verbdltaiss nkbt ao inmitttelbar hasdipvif- licb iei, denn für solche kommt ein Kall vor. dass da» Hjnibol iaht) darch (— d + 2fr + 2e, 2a — fr + 2c, 2a+2&-c) enetzt werden mos, so iai gans wnlwirhtmid, das aelfait fBr Aeeea Fall der Untetaehied ia dem Oesetve der ZnMmmca- aeteoag tod i^aox absusehcBder Tragweite ist. Uod aua hat e» den Amchein. als ob wegen einee ao giax aebenaicklichai Unufcandei man ein ganx beMwdcrea Sjrvtom der KrjMAf>- graphie anfgeatellt hat
Ich gehe aber weiter and wiH leigm, dua darin nickt eia Naehtheil, aoodeni ein bflcfaft wichtiger Vortheil d«r Millcr'- aebea Symb<de begt.
In der Lehre von der SymoMtrie weiden die VeritiHnina sinKhcn den Indioea iweier Fileben oder Kanten gegehau welche durch die Kriiitwii emea SyamMtrieefemeatea hediagl worden nnd. Dort ist der Beweis «rbracht, dam diena Vo^ hlUnim von der Art dar AnfaitHnng dca KryataHfBehnBCon»- pkxei abhängig int nad bei etohmtliofatr AulittcUong nach um der räomltcben Lage das betreSDadeo S3rmmetrieeleiDent4!a. hk %. B. one xweixihlige SymmutrisaTW gegabeo, nnd fallt dieaeibs mit einvr kryntallngrmphi'ebea Axe zuaammeD (in welchem Falk die beiden anderen krjtitatlographiachen Axen onteramandar uaJ aar etilen senkrvcht liod). «o hahao die Indiee» bcid«' gleichen
Wv. fkdorow: Onndfraffen
Rie.
Gebilde gleichen absoluten numoriachen Wertt , und Rlr diwe Axe Helh^i hohaltfii hw itügAr ila'^eltie Vorr^ich^n; fQr beide andere Axnn ändert sich nhf>r dru) Vorzeichen. Nimmt die f^yiumetrieaxä eine andere Loge in dem Compli-xe an, «o ändert aich hiermit nnch da« Oesetx der ZiuammenseLzun^ der Sym- bole beider abgeleiteten Gebilde. Kin solche» Gesetz erbalten wir ftJr denjenigen Kall, in welchem z. B. diese Ase die Lage einer DiaKonale einer VVfirrelHüohe einnimmt; ein noch andere» GeoetK ^ilt fUr denjenigen Kall, in welchem dieselbe Axe die Lage einer Würful- (reäp. Hhombcieder-) Diai^male annimmt. Ilaben wir einmal dieee Gesetxe erkannt, ho scblietisen wir direct nu4 der Ztutammenael/.nng der Symbole auf das Vorhandensein bestiiiimtA.T und bestimmt orieniirter Symmctricelementc, und auch umf^ekehrt. »ind die Symmetrieolemeute bekannt^ ao schreiben wir direct die Symbole der ans einer gegebenen Kläche (reep. Kant«) durch das gegebene Synimelrieelement bedin^tfu anderen Klikhcn trt^p. Kanten). Ind gerade der oben erwähnte Kall der hexagonaten Syngonie ist derjenige, fOr welchen eine ivrei- zählige .Synimi'lrieaxe die letxtgeuaiwite Lage annimmt (da alH^r fflr die hexagonale Syngonie dieselbe Cierade nothwendigerwei» auch dreizählige Symmetrittaxe igt, t« bezieht sich also der ge- nannt« Kall auT die secbszähli^e Symmetrieaxe und ausMoblieäe- lich fttr diesen Kall). iJivdurch haben wir also den sehr wich- tigen Vortheil der directen Kenntnis von d»?r Existenz der sechäziihligen Symmetrieaxe gewonnen, und diespn Vortheil liefert un8 wieder nur die Anwendung des einheitlichen Miller'iichen SystemB der 8ymbi>le.
Non stehe ich wieder vor der Frage, wie es ge«ichehen konnte, da») titatt desjenigen Vortbeiles, welchen nn» auch in diesem Falle das Millcr'inchu .Sy.-)t«m in die Hand giebt, man da> ganze System umgeworfen und Alle«, was mittelst des^ellien ganx klar xu Tage getreten war, in einen chaotischen Haufen suaom man geworfen hatte. Oem Wesen nach t-*t diese« Verfahren ein System alittichtlirher Verdnukelung aller klar jjewordcnfn kry^lJillographiwhpn lU»ullAte. Sollte ich darin irren, «o hätte ich groHM Befriedigung gefnhti, wenn es mir bewiesen würde. |3>«d. i|aiti.-H«y*. Ol. a. U
, SIC SiUanff der math.'^iffB. Ctoaxt com Ü. tJtMtmAer lsb6.
Die nälien* Bekannbichafl mit dieser fliigrsnt«n AnooiBlilJ 10 dem jetzigen Stande der Krystallograpbte bnt oiir Minchli klar gemacht, vtm wn-i ganz nni^laublioh «rBchcioen «rOnW. Wenn bo viele Jahrzehnte zu gering erscheinen, am moithß elementare Dinge 7.um allgeroeioen Bewunbein zu bringen, m> ist M noch begreiflicher, daas diu gimx neue und urigincUe Sjsi«m Tun H. Hessel ganz amser Acht gehuuen warde, denn sich desfWD xu beniäcbtig^fn, erfordert nninHich tiüI ü: ' - V' he. Auch werden mir vielfl andere Aeussernngen v«r^. .r-r,
welche sonst sehr selLqam erscheinen wardeii. So lese ich x. lt. eine Acu'^t^rnng eioe« sehr hoch geschätzten und vf^rdivolea Oollegen *) üb^r die neue kry-^tallographische NomenoUiur: ,.. . termini bechnici, deren Zahl allerdings geringer ist. als die der bisherigen, durch die aber doch die Ge«unintK»hl der AnsdrQctce um ein i»t;hr erhebliches vermehrt wird, deac ei kann doch nicht erwartet werden, dasD die alten, eingfbargert«n AnsdrQcke nun auf einmal durch die neuen verdrängt werden sollen . . .' Da«*« ein jede« neue Wnrt, würde dasselbe auch in der neueren Nomenclatur xebn nlie rr* setzen, doch die Oflsammtfaeit aller Worti% alter und neuer, um eins rergrossert, kann aU üelbslverstäDdlich gelten, und üt anders nicht denkbar! Die Frage kann nur darin Hesteben. ob wirklich die gesammte An/^hl neuer Worte geringer bl, als die der alten, und diese beantwortet der geehrte Oelebrte allerdings bejahend. Nun wie kommt ea, das wölbst noch eäoer so befriedigenden Antwort, unerwnrtet die Belimiptuug aofg** stellt wird, daas die Verdrängung der alten Worte doch nicht erwartet werden hoII. Ich glaube, mein* hochgeohrler Cullrgt hat sich xa sehr an Auoninlien in dem Ot'biHe der Krysiallo- graphie gewöhnt. Derselbe sucht seine strenge [Wbaupiaag noch zu mildern, indem er sagt, dass die neuen Worte «rete M:hnn und kfins, noch xweckniiU-^ig und beseichnend ♦" ' -n-
Da uljer der Verfiuner einigernia«en an der A . : ...ng der ueumi Xomenclatur gearbeitet hui, ho kommt et ibm natflr-
*) Branni In dam K*>fi*rai Ober f^rotb* I*bjr«lkjU. Rr^rtoltv- atOiW. N. Jfthrb. f Hin. «ic, \f9>2. IT. 4(W.
K. r. yedormt : Orumdfragen der Kryttaltographü,
517
lieh nncli zu, sein Wort aanztisprecbcn. Vnn der Zweckmisaif^- koit kann ntitürlich keine Kede sein, da uiein CulJege suILhI in obigen WorUjn die Krage für dwi Verfasser iinf sehr be- friedißeade U'fi*;e beaniwortot hat. Es «od also die Fragen über die »Schönlieit, Kitr/e und die Etgenschafl .bezeichnend* XU behHitdcln. Leider inii«s ich auch auf die Besprechung der ersten KigenschAft verzichten, da ich kein Ae<4theiiker bin, und Qherhnnpt diese Forderung für ein Sy^t«m der Termini technici fllr mich gnnv. neu ist. Nehmen wir als Beispiel die so hoch ausgebildete Nomenclatur der ortpiniächen Chemie und werfen die Pmge auf, ob die Termini, etw» Isovatemibutiorsäiircdibru- niid') oder son^itige, Mch durch besondere Schönheit »utt^eicbncn; nder, wenn die Aesthotikfr eine «blehnendK Antwort auf dies« Fragen geben wOnlen, mü^teu die Speeialisten der organischen Chemie ihre Nomenclatur Über Bord werfen, trotzdem diuc« diesp fQr eie die beste und erwünschteaie iift.
Fnr meine Besprechung geoHgen natfirlich die ron meinem CoUcften wlbflt sorgfältig ausgewählten Beispiele. Kr meint, dan «Zirkon gehurt jetr.t leur diteiruguiiiil-hipvraniifUIrn Cla:Q$u dee tetragonalen KrystalUystems , Kalkepath Kur ditrigonal- äkalenoedriRchen Olasse desselben SjsteuML Natriumchlorat ge- hört Äur tetra«"driach-pentogondodekaodrischen ClftMst, Schweffl- kies zur dyaki-xlodekaodrischen Clame des knbiaohen Krrstalt- sjstems.'
Obgleich hier nicht wenig Mnhe aufgrWHudet wurde, um die besonders bezeichnenden (im Sinne des Herrn Collegen) Be- nennungen auHZUwählen, muiüte er dt>ch von «ich wdbet viele Oherflrissige Wörter b<?ifngcn, um es möglich zu machen, beim Gebrauch der Worte der neuen Nomenclatur so unbequeme Kamen i^uttauimenzuaetxen. Dies wiüe nicht geschehen, hättv er den Principien der neuen Nomenclatur eine Spur Beachtung geschenkt. Diwcn Principien geuiäw werden direct die Sym- metriearten bejteichnet (Hr. iiroth will dieses Cilied der Clasni-
H Icfa nrfainr noKlrlicb diMU BcUpiel auf» (IfraibinireU. £■ wJUn idit, die Beticntiimfren in tlozuff au( ihr« ,8ch0aliuit utul KOrw* noch mrulpr* huniimuwtlhlpn.
518 Sittun^ dar matK-fhy*. CUmt vom £. pgtnwtrr iftM.
fication durch das Wort .Claase* beseichnen; meiner Ae nach ist mgar dieses Wort ganz GbeHlOssig, da mit dem«elb«a nichts Neaes gegeben wird, was nicht schon in der Charakte- ristik der Symmetrieari inliegriffcn ist), und die ZtigehÖrigksit zu einem Krjätalbystem wird dann von selbst Tcntündlicfa ood, jedes diesbexQgliche Wort ganz Oberfl&sBig. Germde bei der jetzt herrschenden empirischen Terininologiu ist die Anipibe dK»| Erj%talli<yateuia noth wendig, nicht aber bea der neuen Xomeo-i cUtur; es wäre ganz unverständlich, wenn man gesagt hi(le.l Zirkon gehOrt zur holoedrischen Abtheilung; es Ist anbedtugtl nothwendig bei?.iifngen : des tetragonalen Systems. Woxn ahrri von dem System zu sprechen, wenn durch das Wort »ditrtra- gonai-liipyraniidal* Alles gesagt worden ist und dubei eine bild- liche V' orstellung dieser Symmetrieart direet ans der Bexcichnun^r selbst herrttrgebt, allerdings nnr für denjenigen, welcher weis, was ditetragouate Bipyrauiide üit. Hätte mein geehrter HffT College gewQnKcht, noch zuRammen gesetztere BefBeichouDge& aof- xustellen. ^o wfirde er durin Tolles Hecht und onbegranstA Uflg- lichkeit haben*), alter da« wäre dann seine Nomeocfaifcar, mJ der Verfiweer wfirde genüthigt sein, eine solehe «U aogeUkfa seine eigene abzuleugnen. Der Verfasser ist ja eben kein An- hänger von fiberfiOäaigen Worten. Als Beleg dazu kann itk auf meine eigene goniometrische Uiiterauchaag des Zirkooa Ua- weisen (Zeitschrift f. Krybtallogr. XXI, S. 597), wodieSymmetriait einfach ditetragonal'bipyramidal bezeichnet «ein würde, wtan nicht der Umijtand im Wege gestanden wire (ebenda S. <^(], dasa an dem gemessenen Krystall riellelcht acheinbar die x^fBr
*) Ob x. B. das richtig Wort ,Biprniisido' weniger «ckOa uail lieateichuend ut als .Pvratiiide* (welrhoi xim An Zeit ctiise« rjtbagoiv in ganx uiderettt Siann gebraucht wurde, aU die* tod den jKsi](n Mineralogen geichieht) und dergleif]i<^n Fragen Line ich dahin f^wiilfi- Aber irgendwie mnas loan die echte, richtige Pyimmidn b«a«ck»«, ebeiuio wie sehr riele andere Begriffe, welche bi« Kor Uiit«a Xeit ia te ' TlaDiIbilehera keinm Plalz fanden. Daran fch»-int der geehrte BotCaU^ nicht geJai'bt tu lubcn. Bfttt« ur «rlbii dnfQr Tormiai tMltmd >w- Mthlotfen kAnnrn. «n hUt«n vir jedrnralU «!»<> am« Htnnfmclatar wi] an« gebabi.
3C. ff, Fettorvu : Grundfragen lUr Kr^ntaUnQrajihie.
519
calen Symmetrieebenen f^tfclilt hätten. El^enso ftirKHlkHfi&th h&tic er statt «Ditrigonal-skalenoüdrücbeClaase destrigonaten Krjstall- sysieaia* einfacb die Bezeichnung ,h<;xagonn!-skaIeni>e()ri:<i:h', für Dioptas — »rhoniboedrisch*, för Natriumchlorat — ,t«tai- toedrisch* und fflr Schwefelkies — »dodekaeflrisch* gefandeo. Fnr diese Bezeichnnnj^en hin ich gern verantwortlich ; die ron dem geehrten Herrn Collegen angegebenen ßezeichnnngen ge- h5reD aber ihm »elbst, und er selbst mius fdr dieselben verant- wortlich sein.
Meiner Annicht nach hat Herr Brauns sich gerade fQr die ueui! Nomencluttir verdient gtmmcbt, indem er nach den Principicn der jetzt herrschenden Noniundatar (wenn flbcrhaupt von solchen die Rede sein kann) neue Bezeichnungen bildete und dann erkliirte. da^ dieselben «weder schön und kun, noch zweckmässig und bezeichnend* sind.
Das Bezeichnendiite bleibt aber dabei, daas von den Prio- cipien kein Wort gesagt wird, während gerade iu diesen der einzige enttwheidende Punkt fQr die gewünschte Einigkeit und Einheitlichkeit liegt.
Bis jetzt habe ich nur gegen den reinen Empirismus ge- RprtKhen. Nun kommt manchmal die ganz entgegengesetzt« Richtung zum Vorst^hein, und zwar die Neigung zu willkdrlich theoretiacben Auffanuugec und Hypothesen, welche in den er- kannten Oe^ietzen keine Wurzel haben und zumal zu keinen IUI der Erfuhrung zu VfriHLirt*nden Schlüssen führen. Die lange Qescbichte der WLisenschafl hat den Kreis der su gesinnten Männer »ehr beschränkt ; jetzt finden diese keine Vertreter in den leitenden wissenscbaflliclien Kreisen. Natflrlicfa ist dieso dem rohen Empirismus entgegengesetzte Richtung eine onfrucbt- bare, aber sie scheint mir hei weitem nicht ao schädlich ftlr den Forbsehritt der Wi^AonKoliaft nts der rohe Empiristoos selbst. Üie unbegrOndeten und fruchthjsen Hypothesen haben sehr ge- ringen Werth, aber sie fordern auch sehr wenige MQhe, and bei der jetzigen Entwicklung der Wissen;<fhu(l erfreuen sie sich geringer Beachtung. Der empirtttche Standpunkt fordert von deasea Vertretern »ebr viele Milbe und Kruflaiifwand, ohne
520
SiteiM^dSrmath.-iifti/ii. Cliume vom 5. Desember It/UG.
vielleicht gleiehwcrthigc Kesultate zu liefc-rn; dioseUwn iüchtigtn Männer hätteu niö|*licherweiäe bot anderer Aiiüchauung ond bui ilemselbmi Kruftuurwand etwas Wertbvüllered schall'un köaaeo. tierade in diesem fnokte scheint mir der gröbste Scbuilen Ata Empirismus zn liegen. Die Arbeit atif dem wissensehaflliclien Gebiete besonders yeht viel productiver vor sdcb, wenn nicbt nur die Hände und Äugen, sondern auch der Verntund m5g- licbftt intensiv an derselben Tbeil nimmt. Die kUn^tlicbe Fes- selung desselben ist rielleicht dos Scbädlickste, was der «oge- iinnnte Po^tirismus in äas Feld der Wi^enAchuft mitgebracbt hat-
Aiidererseits, wie es sehr oft vorkommt, berQbren sich die Oegeuäütze; iob meine den robeu Gmpiriämuä und die Nciguoi; tu unbegründeten Hypothesen. Eh ist praktiiicb ooDiOglicli, nicht Ton Ideen geleitet zu werden, und derjenige, welcher uu Ehrfurcht vor dem PositivümuA mit Gewalt alle, oder wenijt»teca tiefergreifende, theoretif?che Anschauungen aus seinem lntell«vt biuauszu werfen sucht, wird zu einem Sciaveu zufälliger und ganx onbegrfindeter Anächaunngen.
Diese Betrachtungen allgemeiner Art haben mich i\t der Ueber/^igung gefnhrt, dt^ä in dem rollen KmpinBmus nicht nur keine Wahrheit verborgen int, aondern diese Richtung w der WisseuHchaft die schEdlichste ist, und in dervclben die grÖ6&ten Hinderniaae fQr die sehr erwGnächte Einigkeit euthaltec bind. Die Interessen der kryätallograpbi^chen Wisseovchaft fordern möglichst grosse Einigkeit in allen formellen Attributm der Wid^enächafl, und diese Einigkeit, welclie uur auf der Ge^ samuitheit unserer Kenntni^e begrßndet werden kann, kann nur dann zu Stande kommen, wenn nicht nur die Wichtigkat der leitenden Principien allgemein anerkannt wird, Mindern ia den Priucipien selbst mehr i>dcr weniger allgemeine Uebereio- Stimmung vorhanden ist.
Es muss Einigkeit in der rationellen und einfiftolulaa Nomenclatur, Einigkeit in den Principien der Atif^tvllung, der Bexeichnnng, der Abbildung und in der Symboli^tik miek Werden. Ich wiederhole nixhmalit, dass diese Eiaigkett aWj nnr auf dem feeten Onindi; solider Kenntnimc aufgeatellt w«ff4aj
»; Ofumi/Vaj^^e^K^
f.o
21
kntin. Kehmeji wir auf» lieradewohl ein liei^piel. Müu nennt _«fcß. eine der Syngoniearten ,'lfis reguläre Krystttllj^ypt^tu". Ist n]ö]^lich, damit i^invezstandcn m sein, für den, welcher aus den AnfunK^^rDiitleu der Symnietrielehre weiss, da»8 es xwei aläre Systeme p^ielit: eines, welchem u. A. die Formen der [^ulären Körper Tetraeder, Hexaeder und Oktaeder aagelir>ren, und dua Kweite, welchem Dndekai^er und Ikoueder angeboren. Wenn man einwenden will, dass dna Kweita System in natdr- licben Kryatallen nicht vertreten ist, so mute in Betracht ge- sogen WLTden, i\nsn die WiüäenHcbnfl »ich nicht in ab);(>rionderte Zelieo tbeilcn IKsst, und dass die Principieu der Gestaltenlehre von einer mehr ubstrActen Natur ttind, so dass sie sich nicht dwrcb einen specirllon Kall ihrer Anwendung einengen und einer Tbeilwiasonücbafl unterordnen busen; sonst büttco wir wieder nicht eine einzelne Geälaltontebre vor uua^ sondern ao viele Ge- i^taltenlebrun , als Anwendungen derselben in ver^cbiedeneu Zweigen der Wituieni»cbafl genmcht werden können. Auch über da» Wort SysU'ni habe ich schon Gelegenheit gehabt ein Wort £11 GipTechen und darauf biiuuweiiien, daas es eigentlich giuiz unliestimmt bleibt, vnm eigentlich ein KryiifcalUyfttem ist. In der Ocstaltenlehre ist aber denäelbe Begriff ganz, deutlich definirt worden, und dieser He^riH* kann kcinoiiwegs mit dem der meisten Kry'itallographen in Einklang gebracht werden; £. ß. hat diese Lehre ganz unwiderleglich ald ein einziges System die Oesamrot- beit derjenigen sogenannten Syäteme der Krytitallographeu ku- sammengefftsst, welche aU rhombiscbe^'f monoklines und triJclinee besonders bexeicbnet werden. Dan wurde schon 1S29 von Gh. He.<»sel, welcher dieses System aU ein digonales bcxeicbnete, ganz klar begriffen und aufgestellt.
Ueberhaupt btSsst derjenige, welcher sieb der Kiemente der Gft'dattenlehre bemlchtigt hat , fa'st auf jedem Schritte auf Widersprüche der Principion die«er Lehre mit den bis jetzt herrschenden AufTassungen. Folglich kann die Einigkeit nar lM*grUndet werden auf n&liere Ki'nntnisHe derjenigen . auMor- ordentlicb einfachen* Zweige der syntheiiächeu Geometrie, welcher schon ron Ch. (le^sel aU tie^^idlfnlelire brteicbnet wurde.
522 Sääang der maUtrphya. Clasw eom i. i>MCii&er itfifo.
In dieser Hinsicht ist auatjerunlenlliclt verdieiutlicb die u< AufUgc der Pbj'si kaiischen KrjsUillograpbie tud Prüf. V. Orukbr welche einen colossaleu Fortächriti iu der Hrzielaug der ge- wUcficbten Einigkeit bedeot-et.
Mit der Einigkeit Hand in Hand pcebt aoch ^ KinfAcb- beit, und Arbeiten, wie ■/.. ß. in der allerlebcten Z«it die Tun C. Viola, begrüsHe ich aU sehr willkoutmene, um endliefa mit müglichät geringem Zeit.iiifwand alle Krystallograpbeti «nf genauefttein und einfachstem geroeinsamen Grande %u vcreimgen.
Ob diese Kenntnisse fQr Einige mit Hülfe der Meiboden der «ynfchefciächen Oeometrie« analrtiscben tieometrie, KioacBAlik oder Qua tern innen lehre am leiebteäten erworben worden köanm, iüt eine Nebensache. Die Priucipien bleiben für alle dieaelbin.
Zum Scbluas erlaube ich mir in wenigen Worten A» kri- ti?>chen Bemerkungen zu beantworteOf mit welchen mehrov, Tou mir hochgescbät/te Collegen einige meiner Schiusafolgeningeii und Äeus»eningen beehrt haben. Mit grosser Freude ers&h ich. daas ich anstatt gegnerischer Angriffe, zuletzt in der Petw» mancher dieser Collegen meine Bundesgen* •■(.«? n he^rHJ^:»en k»Dii.
Zuerst hegräsäe ich als »olcheu Hi^rrn Burlow ; roit manchen Schtossfolgenmgen desselben konnte ich mich mcht einverstanden erklären. Nachdem derselbe aber den Niu:btrag zu seiner früheren Arbeit der Oeffentlichkeit tibergeben hatte, ist jetzt «wischen uua vullstundigeUebereinbtimmung vürbaud«o.'|
Etwas analogem kann ich mit Befriedigung constatiren be- treffend den ^chluÄ^ der langjährigen gegen!«eitigen Auseiniiuder- ttetzung mit Hrn. Hecht Über den vnn mir uiifge«trlttea Satt Ton der dreizabtigen ^^ymmetriease. Mit Deinen Worten:*) dw «der Satz von der Rationalität der dreizUhligen Symmetriesxt natQrlicb richtig ist*, ist die weitere Besprechung beachlnvoi: ganz nebensächlich bleibt noch meine NiclitUbereio«timmang mit seineu binzagefUgten VVorten «wenn man die ph^nikaliacKro
*) ZeiÜKbnfl f. Kryriallugt«phu\ Ekl. XXV. 8. BO ff.
*i Neon Jahrbuch fttr Minomlogic etc., 18l)&, VI. B^ S. S^.
£ V, JVitorwp; OrtutdfragtH lUr Krygtaltoffrnphit.
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VerbÜltniase berOckiiichtigt". Einerseits stitumeD die^^e Worte ffenule mit (l«TJt;nij5cii Beliiiuptting von mir, iluss ich ilcn Fliiupt- beweis diesf» Satzes in dem echten Grundgesetze der Kryst«llo- graphie (in welchem also die physikaliächen Yerbältni»3e, und xwftr die pbTsiknlisohen Ki!i;enschaflen im weitesten Sinne be* rflcksicbii^ worden .sind): andererseits aber scheint mir die«« Uinsufüguug Überflüssig, da selbäfc auä der Tbcüfurin des tirund- l^eaetsea, und zwar aus dem Grundgesetze der geouietrificbeo KTyrtallo^aphie, dieser Satw ebeaio klar herrorgebt.
Vielleicht ist es nicht ganz unz weck massig, dieser, weun auch ganz nebensächlichen Frage ein paar Worte za widmen. Der Satz Wtebt durin, da§8 eine dreizählige Sjnimetrieaxe notliwendigerweise eine mögliche Krystallkante ift. Der Sftts musB .somit gänzlich auf dem BegriH'c und der Definition der Symmetrieaie fossen, nicht etwa einer Schraubenaxe oder dergleichen, wenn auch ganz natfirlich möglich ist, den Satz zu erweitern uud zu behaupten, da.>u jede Deckaxe noth- wendig eine mögliche Krystallkonte ist, anter Deckaxe eine Symmotrieaxe oder eine Schraubenaxe verstanden.
Nun wendet Hr. Hecht dem gegenfllwr ein, dass «n einem einfachen Beispiele die Unrichtigkeit dieses Sätzen von rein geometrischem Standpunkte aus darzulegen sei, und zwar aan der Betrachtung des folgenden Punktsystems: .Auf einer von drei geraden Linien, die sich in einem Punkte schneiden und die mit einander gleiche Wiukel bilden, nehme ich, vom Schnitt- punkt auRgehend, Tunkte an, die immer um r von einander entfernt sind. Auf der zweiten betrage die Entfernung zweier
Punkte ry2 und auf der dritten ry-i. Von diesen Punkten ausgebend, habe man ein Rauragittor couHtrpirt. Dann sind Wkanntlich uur «olche Ebenen ala Krystallfiächeu milglich, welche drei Punkte in weh enthalten (Gesetz der rationalen Axenschnitte). Die Flächen dieses Raumgilters bildra einen Complex. der eine dreizählige Symmetrieaxc besitzt'.
NiitQrlich bat dabei Hr. Hecht den Complex in dem Sinne aufgefaadt, wie es gewöhnlich der Fall i^t, d. h. die Uesammt-
Sittttn^ der vtatk.'phtjs. (Hasse tom 5. iMteitJttr /«W.
heil Her dui-ch einen Punkt hindurchgehenden Flächen, wie diraer Cooiplex zum Zwecke der Berechnung und der j|p-aphMche& Ahhildiing der riitirnlicheii Lnge der Vlärhi'ii '/tir Anwendang kommt. Dabei sind sümmiliche parallele FliLchen durch tan» einzige repra«entirt. Wenn wir aber nicht mir die iinpulßre Stellung einzelner Flüchen in Betracht xieben, sondern <lt<9 gftometriächen Kigenschaften überhaupt, so scheint mir dies«» Verfahren unerlaubt.
RrUfcen wir diRS f^cthnn, «o wünle jf'do Untorfi^heiHiiii xwischen Synimetrieaxen und t. B. Schraubenoxen auft^4.<hdr haben, und gerade hier bandelt es sich um S_vmnietrieiiv<«i. Nnn ipt nichts leichter »la zu beweiaen, dass, wenn wir keil solche (sonst za speciellen Zwecken anj^ewendete) Traosfnrmatic des Complexeg ausführen, und denselben genau so una ronttellttn, wie Hr, Hecht selbst es nns Tor^chlägt, die Symmetrieaxen verloren gehen, und als Deckaxe fQr analoge Fläciien eine Schrautjcnaxe mit Deckschiebuugeu reiulÜrt, welebe eine geo- metriäcbe Proji^redsion bilden (und nicht eine arithmetische, wi« dies fflr eigentlich »ogeuannte Schraubeiaxen der Complexe genommen wird). Nnn sind aber solche Deckaxen uiiraüglicftlj da nach dem Elementen der Symmetrielebre als niöglicht; Deck- axen sieb nur SymmeLrieaxen und Schraubenaxen in engem 8inne (Deckscbiebungen mit arithmeli^cber Progression) ableiten lat^en ; nur solche Decksymmetrieeleinente der Complexe zulässig, alle anderen sind unmöglich.
.ledenfullä .scheint die Frage endgültig abgeschloeisen.
Was mich aber besonders erfreut hiilte, ist die Ceber- zeugung, mit welcher Herr Hecht (Iber die Uicbtigkeit de» Satzes spricht, eine Ueberr^ugung, welche er auch frUhvr ge* hegt hatte*), und trotzdem verbleibt er bei dt*r Meinung, dieser Satz keineswegs au$ dem gewöhnlich angenouti: Grundgeeetae der geometrischen Kr^ätallograpbie herrorKebL Wenn nun aber eine Üeber2eugiing über eine Thnt«iache ent- steht, welche nicht unmittelbar aus der Beobachtung eMtnoninien
>| t4ftidur liabe ich keine ErwAfanuxig tluvon in winiut frOhansi Ar- beiten finden könne».
R &, f^donne: Orumlfragcn der Kri^slalUttfraiihie.
werden kann, so ist stillsch weisend ein vollkoinmeu fest^tfliendüs QfxeU nngenonimeti, and dieses Gesetz ist filr denselben also nicht das eben ernähnte. Diese Ueberzougung stimnit »Iao enau mit den meiuigeu, nach welcher da« gewöhnlich onge- nomiuciio nicht da« wirkliche Grundgesetz der KrystAllogniphie ist; in dein wirklieben «ind n&mlich sänimtliehe .physikalische Verhältnisse* der Krystalle herOcksir.htigt. In der Motiviriinjn dieser Ileherzeugung bestand der Inhnlt meiner Arbeit llber das Grandgesetz der Kry^tallogruphie. ßs «tcheint, dnäi in dieser sehr wichtigen Frage ich die Freude habe, in der I'er.-io« de» Uerm Hecht einen BundpcgenoMen zn begrOseea.*)
Jetzt liegt mir noch ob, einige Aiwföhrungen von Herrn V. Souza de Brandiko zn beiintwortoQ. Dieser meint. dasH die von mir befürworteten MillerVlien Symbole nicht kry- stallographisch (?) seien, (und diew Forderung will er vor alten anderen in erste Linie stellen). Kr sagt wörtlich; ,Dera Symmetriegesetze aber entsprechen die Miller'»chen htxu<{onaieQ Symbole nicht, indem daa objective Sultätnit dieses Gesetzis — die einfache Form — durch sie kein einfaches und flbersicht- Hche» Zeichen erhält.*') Aus diesen Worten ersehe ich mit voller Augensciiointichkeit , diiss Herrn ßrandüo nubekunni geblieben ist, dass gerade dieee Frage (und xtvar in allgemeinster Weise — für alle ^ymmelriearten hei alleiniiien] Gebrancli der MiUer*scheu Symbole) der Gegenstand einer speciellen Arbeit des Yeifusers war, in welcher überhaupt die Relationen zwischen Syranieirieelementeu (ihre Luge inbegriOttn) und dem Gesetze der Substitutionen der FlüchenindiceA der einfachen Figuren mit bagoaderer L'mständlichkeit stndirt wurden'), nnd deren Resultat war, daa» die Gesetze dieser Subatitutioneu (welche alao zugleich
*) DiMclbe Aaffiummg iwhe iuh tod Um. C. ViuU atu|ptHlrückt (Zoi1«ohrift ftlr Krystallogniphie XXVII. 8.3). Holl irh frwaltiiKn, tliuit im Ov^enintK diuii ili««r*lb)* AuffiiMuntf von einrin Paläontologien ■!■ eine hn»tbeti8che bi'wichn.'t wurdi- (Bibl. g^\. d<- 1« Buwic 10. 1806. p.8l; Ott. i. Neuen JaUrbuib Mr Miii.rAloffio 1896. U. ü, Ü.in
S) Zeiüiebrirt f. Kry»UkUogr. XXIV, S. 6U6.
*) Diu- Venuch durch «a kiirse« Zeichoa die Symbole allor Kloicben Ricfatungvn nnazmtrilcken.
K. p. ;
Orundfiragen der Krj/nlallograf^e,
ri27
Symbole sind*, bo bat er natQrlich Recht, aber er «elbett fOf^l; biDzu, dass diese f^ymboto f(lr hexagonale Kryatalle lunnoklinnr Nfttur wären. Lst dies ein no wichtiger Vurtlieit der BraTaia*- scben Symbole , dts dafür eine Ausnahme noihwendi^ zu madien ist, und die Miller'schen Symbole durch die Uravais*- sehen ku ersetzen sind ? Wäre aber auch dieser Kaohthoil gerade der letzteren Symbole nicht dagewesen, !>o wOrde ich doch dieselben nur dann aU tau^lioh bes^iMohnen kOnnen, wenn dieselben nicht nur für hexagoiiult*, «ondcrn fOr fUnttntlirbe Krystalle überhaupt gleich t«ugUcb wären. Dabei ziehe man noch in Betriu^hfc, diL-u das gatixe Gebiet der jetzigen iheore- titfchen KryüUlIograiibie auf der Anwendung der MillerV'hen Symbole beruht, und jeder Studirende, der Hich der einfachen Principien di*«er Anwendung bemächtigt hat, i.st jede rech- nerische und graphische Aufgabe sofort aufzuluven im Stunde. Für die Braraiif'Achen Synil>ole »teht noch bevor, eine ueno Krysinllographie auszuarbeiten, und wir, die Lehrer der Jugend, stehen selUt vor der Fru^e, welcher Index in dem Bravai»'- schen Symbole f(lr eine graphische oder rechnnri^ch^ AufgalM fortzulaffitm würe, welche Kante unter einem beliebigen Symbol [r, r, r,] zn verstehen sei, kurz, wir stehen Tor einer noch zu lösenden Krage bd jeder Aufgabe einfachster Art, welche uns vorkommt.
Die Bravaifl'»chen Symbole sind fflr mich ebenito wie die Symbole Haiiy'!>i und viele andere in Vorkehr gewesene Symlxde, nur beschreibende, also nur von einem nehr einseitigen Stand* punkte ztiiasaig.')
Darch dius eben Gesagte scheint es mir QberflQssig gemacht, andere ßin Wendungen von Hrn. Brandäo zu besprechen. Wenn ich X. U. mich nicitt einverstanden rrklfiren kann, diiu in meiner Besprechung der Symbole dos Hm. Brandiko ich wlhai etwa
I) Wäre ein KryAtuUflUriiencomijlei. mit irmlionaler dreiriUiligcr Dt'ck»xe d^nkbiu*. wie v» trUhvr von liH. (iadoliit und Hrnht angi!- iiommeD wurdp, *n fivle tloj ßrav&te'«rhti Axnn«jBUioi von »clhai ul« ein tiiuDÖglirlcto. luiü da« MillerVhi* Kjstrm als da« «ll^rcmeinc bÜclM* Aik'h f3r djeweu Fall alh'in anwendbar.
ftodere Symbole im Aoge gehabt (dorftbcr xn richUD Dbvrtaa» ich den Lesern), «o bleifai die Soebe dadorrb «agduMlert, da Hr. Braodiko aelbät gmnx aosdrOckliob beiont, daas aeiD« Sjm- bole nnr f&r «oen tyurifllpn FaU anveodbw And. Itib b«tpcMlK aber Bnr die aUgeneiD anweadbaicn Symbole.
Nachträgliche Bemerkonf;. In den .Fort* Physik' fDr IRdi in dem Referate etnn- NuUa ron H.... ...^».
wricbcti mit F. P. antencbrieben ist (3. 225) fitide ich nae Ih'nmrknig Ober einige, mMsrerstiAdlicb« B'^hauptQOg«ll meiacr sailL Das «t4cfae vm Hm. Hesi wirklich angebiicb gafoiidMi, «eiBS ich recht gut. A» der Noib Mlbot wird, mir aber tiicU klar, ob dieee Menm^ nur dirfraige dei Hm- Heia iat, «ider oh dioetltii aodi nm dem Hesra Beüeicntea «efheT i wird.
Nor VOD der Utikeo Vom iwm< ■ gng anagehend, er...^».. .cb mir. dca gtehrtea Hern Refereaten ca fragen, wetcbe Bebaoptno^ die miamcfitftiwHichen sein rnJOfml Herr Hv*« bat bekanntU^ iwei Punkte meiner Arbeitaa aagegiiffm: 1. dam di« Belunp- ian^ Ton Um. Hect mSatk, das alle laoeder tjpi«ebe sind, verctäiKlIicb ist, ood daaa in den Elementes der OcKtallcnlclure dea Verf.'« ein gaaam EafM mit dieeer Bebanpiong WideRpraehe vteht. mid 3. dam «loe too B. v. 8taadt cm- ^föhrt^ FuBctioo von diesem bedestenden <tfomifter ungenaa aht «in Sinus beaekhnet wurde. Bei beiden Hioweimuj(<g Mand ick atnng aof dam 8taiid|nakte der maen Mnthematiher. weicher in iihewntarin LehrbO^ara gaaa muweideutifr a^^^i Km|truchm ist. ^^H
Damit meine ente Behanfitimg nariehtif; wäre, m^ onn di* glairlw imp. symmeknacben Mygoae, fatla dieedben die GimufidM* cänm Pbtyatoa bOdeo, mJkfL ali aolcbe rmidabm, welche deekhnr na^ efBmetrmch gkich «ind, M>adecQ niah Miw ein« Kagel nmgwchrtebeti werden aoUen. B«i dirwr Dt- flnifexMi hätlea die oBkypMrheB I«oadcr, daren **•- P -^ ~ ia iiwtiH>r Arlvnt R&gviwigt worden ist, a. Bw das Hb«' i/r,
itU'ht ^Ivivhe Flächen gehabt. ohgWh temmtlinhe Flncben d»> willigt lUckbar «fUioh simL
I
Xt. P. FedofWt Oruuitffag<n der Kr^üaVoijmithie.
Damit: die »weite ßehanpiang uariulitig wäre, raus« man unter «StDUs* nicht einu t'unotiim einer vcrilnilfrlit'heii GrOwe vei>l«]ifn, welche als eine Winkelgrüsäe auff;efii!ti>l. durch das Verhältoiss zwischen einer Kathete und nyfK>thenu»e eineä recht- winkligen Droieck.» (welches den gfgehcnon Winkel enthfil^ nnd hU Kathet«! mnss die ge^nübur liegende genommen werden) ausgedruckt werden kann« sondern eine ganz andere ruuction.
Sobald ich von Seiten der Herren reinen Mathemati ker Ton der Notli wendigkeit einer solchen Äenderung dieser (jrund- dcfinitiünen erfahre, werde ich gerne meine beiden Behaup- tungen zurllckiiehmen. Bis dahin bleibt es mir unklar, wie von einer Missver^tündlichketi solcher Behauptungen die Rede nein kann.
Die vorstehenden Zeilen wurden vor mehr als einem halben Jahre geschrieben. Zur Zeit der Correctur bin ich veranlaaat, noch eine niicli beireffende Aensserung y.ii bi^sprechen.
Rs ist die« nämlich die von Hrn. K. Uerrmann gemachte Einwendung gegeu die Einfibellung de« Oktaeders zweit«?n Oradts (nicht aber xweitt-r Ordnung, da in der Moqiholugie der Polyeder unter diesem Worte ein ganz anderer Begriff verstanden wird) in die Ueibe der regulären (Zeitschrift fUr Kristallographie, XXVII. S. 1^88).
Bei dieser EiiuteUung lie«i ich wich von der von H. Canchj (tlourn. de TKc. p<dytechn. C. 16, p. (>5) gegelwnen Definition der regulären Polyeder leiten, welche in der jetxt allgemein angenommenen Aoädrucks weise der Symmetrielchre lautet: Unter einem regulären Polyeder versteht man ein solches, durch dessen Centrum ebenso wie durch daasen Schei- tel punkti' Symmetrieaxen von nicht geringerer als 3-ZäbIigkeit hinduruhgebeu. Von der Kegelmässigkeit der Flächen ond der Qonoeder kuun AUtand genommen werden.
Aus dieser Detinitioii leitet mau direct ab, dass die Anzahl der Flftrhi'n und der Scbeitelpunkti* nur der Anzahl gleicher SymmetrieAxen einer Symmctrirart gleich oder xweinial -to gmss sein kunn.
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und K^heiMpiakiv «Uefa dar AnxmL ,%■
(Im kuHookUvdftekaa Br^tam,
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illl|»p«lt MO grClM, Wad 4W ikaÜÜ diu r^u-iH-ipuunr £9
Anulil der J'dÜJiyi PjiiiiiiiiiMaiL md Or dai'Wftifct-^-i lAii*o|iiiii «ich diaat AtmMtm natar iiiiiMiiui v.
Nun swlit man mtar ^^ kWr, dia» fi'ir cu- tj tt, llriKlrn di« vnfeifMwdMBdaB Sdila dnnMit
m (Im 'MrKAder 1. Grvde».
Mr. Kf*rrii)tni] hat sIbo löoäa &ie^ i^tit «mMnniiiilhi'it roD b Hcueton «u9 ti>iliiiii|, vrWcltM unter denen toc mir 1S^ly«il«<rn nicht iingi:geb«n worden ättd.
toclor iüt (IftiiHHlben das Qrigi— t Hfh^llii'lt {()«« ()nf{initl üd in raaMeber <^f*i*^ \\\\^ (titrw^llte Imt nur den in d«r ZeifcKinft : \XI, R flfl4 fnthiiUentm «<br knuea 4i V t" T nm>»(Hii<llirti ^entig die
au nitlrlimt dir AiiuiüiiDe ^m Kll||i*m«litftti lUiKnitinn gef&hri faüte,
n (inul'*« I11>erlwa|it oidit «oa .u<<itiiHutM)^t>«etxt werden dflHoa. 1tittMtjt«ni «lud »Ur ^onkde in dieKr Arbeit afi* IVM* * M"! lumpt als BUS d«oM d« ento» 6rad«
1 t<iv4 und abgeteilet mnatiM < i< ni{ wt)nl«n abo Qberhanpt
I'»I»1<|(W»» l«M*H rl»« Origiimi (> 'J7T): ,in «iriri ilhn itu.iilri>. .1 1 MMt li<\h«run GradeB ist da» Vor iii iiirlit XU ltrnt(n<^n*.
501
Deber «. Momente von Ä.-Complexen im li,.
Voü 8. KanUr.
Die Reyo'ache Moineiit«utbeorio ist wenn nicht der fruchl* ' barste uad am leichtesten zu verfolgende, sicher aber der ^rfliid- Itclistti uad unschuultebste Fürmalisinu« zur Verallgemeinerung der i'ühireatbeorie. In der Debertragnng dieäer Ueye'äclieii Theorie auf den R^ tiegi^net man keinen weit«ren Schwierig- keit«D al.^ jenen, welche überhaupt die Theorie der lügebraisclieii Functionen von melireren Variabein Terschliesseo.
Nicht 60, wenn, w&s biiiher in keiner Weise gesofaehea, die Methode auf den Itauin übertrugen wird, der üU Element den linearen H^ hat, sie aUo in die (ieonietrie der Ä^- Mannigfaltig- keiten fliugefflhrt wird, welche mit Fug iJ^-Complexe heLsiten sollen. Ohne mich in Einzelheiten einzulassen, will ich in Kiirxe die weHenUiüh»ten Principien TorfQhreu, von denen nniizagehen sein würde. Insbesondere niuss depÄeit noch unerürtort bleiben. wie dem Momente eine« iS^-ComplexeH in Bezug auf emen iJ^ f ^-Complex eine wirkliche metrische Bedeutung gegeben werden könnte.
1. Im 7?, aei die Formel, welche das Product der Di^tan/.en ixweier R^^ li^. anftdrtlckt,*) als Moment oder xAn I. Moment der [j!., Rf. iKxeichnet, nachdem efi noch mit zwei Proportionalitäta- ' factoreu m, m' (Masseo) niultiplicirt isL
*) D'Ovidin bat fUr dit!Mpf Produkt dint AiiMtruek bererhart {Aili r>ldr Acr. dei r.incvt, Kotim 1877):
UM ■«tk-ylijrft OL X
Sft
ä32 SiUiMg iter MoM.-jtAya. CToo« wm 5.
Diede FestseUaDg ist hitr^ wie scbon iia'lR^, eine irillkflr- liehe. Ttational Ijckannt sind die Co«fiticienU>n einer Gleiohanif, Heren Wurzeln die Distanzen von Ä^, Ä^. sind, im 72,, r. B. die beiden Distanzen zweier Geraden. Alle synimetriscLen Fuac- lionen dieser Distanzen sind al>!0 rational in den Coenicientra des , absolute* and den Coordinaten von R^, R^. bekannt. Man könnte mitbin ala 1. Moment eineb It^ in Beza;; auf R^ irgtuid eine synimetrisobe Function der k Distanzen definirvn nnd vun hier aus die der Reve'acben Theorie analoge Theorie weiter- filbren.
Indem ich die obige Fesifet/.ung beibehalte, bezeichne icb nlff n. Moment von R^ nach i?^. die n. Potenz des 1. Momente» oder da» Product der h. Potenzen der DistAnxen, inultiplidrt mit »I m\ Als das n, Moment eines R^ in Beznf? aaf /r ge- gebene R^. bezeichne icb die Summe der n. Momt'nUr ton R in Bezuft uiif die einzelnen 72..
2, Die Formel für da^ Product der Di^t^inzen wird im R^ nicht linear in den Coeilicienteu von 72!, R^^ wenn i« i" all- gemein sind; aber wenn » -|- j' =r — 1, dann wird
wo <ü
I)
und die Factoren in diesen NenoM
Mom. (Ä, Ä')=±t^iua(^+z,...y^...) 1
die tuit den x, y geränderten Dolerminanten des aWInt« sind, a die Determinante der Form A selbst iat. Die Ueterminant* - Jfp . . . i/j . . . ist erstreckt illwr die den R^ bentininrenden Punkt» £ und die den R^. be^ttinimend^n Punkte y.
Theorem I. Das 1. Moment eines R^ in Bexug aaf einen 7{,.,_j i^t eine bilineiire Form in den CoordEnAteii tnn H^ und in den Coordinaten von 71, ,^, and xwar
m 1»
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0 Dia Gunul« und ditr R^ crschoineii hier al» Ti4(rer «viiim lAt«^
der ßcTUiJirii «der de« H^ rrstraUifH. UhU^ i
«rh utarj nicht wif in iUt K<'nril)tilirlii'ti A-
piinktfui ^iiHHui-tnMiiii'tKt.
TttntorT Ifef^er n. Mfmente i»« Ttff^j^exen im
S93
Wird die eine VBriabeliiruihc ftätf^ehnllen und dies«« Mo- einer liomogoaen linenren Uedin^^uiig unterworfen, so eiit- eine homogene lintMiro (rieicbung in dun Viirinbeln diT /w<Mt«n Reibe. Also:
Theorem JI. Besteht unter den n ersten Momenten eines rnrinblon R^ in Bexug auf eine Anzfthl /r gf • jfebene Ä^_^_, eine homogen».^ lineare Gleichung, 8o br- nchreibt der R^ einen linearen A^oCompUx.
litt ;i = 1, M> kunn der lineare ('oiuplex kein Anderer Fein, alf* der dnreli den festen Ä^_,_, tJs Axe iK-sitimmte singulare Complex; also:
Theorem III. Verschwindet das I. Moment eines Ä, und eines ß,_,_|, so schneiden »ich dieselben nnd schneiden sie sich, so verschwindet da« Moment.
Das letztere folgt sofort ans 2), indem in der Detomiinante der Coordinaten der Punkte x and der Pnnkte r/ zwei Colonnen einander gleich werden.
Corollar. Die Coonlinaten eine» H^ Inasen sich altw aU die CoefHcienten eines lineuren Ä^_^_, - Complexe» auffaMten. Oder:
Theorem IV. Damit ein linearer Ä,,,_,-CompIex «in Tollsländig singulärer sei, ist ooth wendig und bin- rMicbend, da«s «nter den Coefficienten dei Comptexeit diejenigen Relationen bestehen, wi^iche fflr dieCoordi- nnten eines R^ gelten.
Ist alm
die Gleichung des linearen A,_^,-Complexm. so mflasen unter d«n a. die bekannten drmgHederigen ^uadntisehen Ue-
lationen beHt«ben, aber nicht jene des fl!^. ^ ^« sondern Jen« d«i R^.
t)ie CoefHcienten O; ; sollen nun ah die Coordinuten
de« linearen OmiplexeK bexeifbo«t wrrdeo ; gendgen *ie den er- wähnten Uelationen, m werden sie identi^h mit den C>>ord)nat«n q M»nvr Axf»
W
Jteung tier mitttt.'jAys. CUia»e vom b. Desewb»r It/S^i.
Werden in Problemen, wu J{, gefraf^ wenlen, die «nräfanUn ({dationeu weicrgelas^eu . sn erhält man lineare Complexe be- atimmi dtirch ilire Coordinat«n oder Relationeu unter den«elb«n: erat wenn die llelatioticn hinzukommen, b&id.immen »ich dir R^^ Also :
Theorem V. Jedes Problem, das aaf Anffindang ?on Rf abcielt, kann als ein Prublem der Auffindung jener linearen ^^_^_, -Complexe in einem Comiilex- Systeme, welche vollfttändig Singular sind, anRttseben werden.')
Inäbcfiondere lässt man in 3) die cAnoninchen Relatioocn, deren Oesammtb^it ß ^ 0 hetsse, unbeachtet, .so hat inao rune durch iinearc Tninsfomiationen des R^ unxenstijrbare IteJatioB eines linearen B^-Complexee und eines linearen R^ ^_, -Oj«t- plexes. Also :
Theorem VI. Die in den Coordinatt^n »»infj« linearen Ä^- und eines /i^_^._j-C<impl»'se^ pr«luldft/! Form
ist eine simnltane Invariante der beiden Compl«x».
Verschwindet diese luvariaute, so hciiöt der ^^-GompUx zum Ä^^_,-Complex conjii^irt oder apular.
Coroltar. Im R^^i Vhwn uiti if -Oomplex lo «ieh selbst npolar sein. Es tritt ein, wenn seine Invariant«
■%-• it+i%+^- ^+' ^^
verschwindet.
Da die Relation 5) sich aus den Gruäsmami-ClelNich-'d ( *(i<lii>- «cben Kolationen additiv zuaamnieiia«t«eu Iftnnt, «o folgt : JjxjfT lineare ÜE^-Cumplex mit singnlärem R^ ist im ^^^j sa lich äelbfit apular.
In der Welae des Thooreme^i II kann jeder linpsire R - Comptex dargestellt werden ; nur fragt es tiicb um dii* nicdrigiftr
' I Ml b»M*irhne alt vnlUtAndtif nn^itOr mxmn i>
»ler einen Kiit^TiilAnm il, 1*rMitxi. i|. h. «Im allt« «üinK *,., |
>i-,.1-s.
Kivttm-: Vwher m. MomMHh mm Hj-CamphMMU im Jt^
r.sri
ilit .'i . welche man «rreichen kann» vhno dsn der Ci>iiipl»x singutBr wird. Für i := 1 habe ich dieies Miniuiuiu , n-eun r^'Zq-\-l,nUi(/-\-\ gefunden.*)
3. Theorem Vll. Soll das n. Moment eines R^ in Bezug auf « feste J2^.,., verachwindpn. «o beschreiht A^ einen Complei. h. ürdnnii^, di>n k. Nullcuniplüx, der ta den rr Ä,_f_, gehört.
Die Gleichnnj/ £im^M{R^R^J!_^,j)^ 0 "^ii*d von derw.Ord* nung in den Coefficieiiten 7t^.
Tbenrem VIII. Jeder Üt^-Gomplex n. Ordnung kann als «. NuUcouiplex von ?f ä A^ + l -ß,.,-! ausgo-
drückt werden. ^'^"^^
Hier ist JV,^ die An/abl der Bedingungen, welche eine Form n. Ordnung in k bomogeueii Varifthplu bcxtiniTimn. Ocr Beweis liegt in der factiächon Bestimmung der Ma^en, wälirend die Iif_f_i noch wiUkfirlicIi anzunehmen sind.
Zu beachten ist hier, dass die Gleichung dee ('omplexi« in der allgemeinsten Weise, d. h. mit Beachtung der KeUtiiman ii geschrieben werden musi, aläo
worin Jf, willkftrlicbe Functionen (ä — 3h,). Ordnung, dir P^ aber willkürliche in den Relatidneu ii ger<rhrirW<ni) Prdvnome if,. Ordnung sind.
tn der tno^lirhsten Verringerung der /jultl /r b«vttr)ii i\w berfihmte i'robUm der caaoniichen Formen, welch*« für i =: 0 und r = 3. fi=3 von Sylvester, Ctebach und Reye geltet, IQr I = 0 und r = 3, m = 4 Ton lUrft angebahnt wurde.
Auch hier können die li vorerBt tatont gulassen werden, M das« «in Srideni h, (Ordnung ron linearen ff^_^_,-C«rap!«xeii 'IKitateht und gilt:
Theorem IX. Jeder 7J,*Complex n. Ordnung kann auf un«ttdlioh riwlc Vr*-?. vi- -l.r Orr dr-r «inguUreD
') Cr. 3. lew.
580 SiUunif der mue/i.j^iy«. GlasM vom ö. Datmher ItüKi.
li VOM liiieartin /?_._, -(Joinpifxen angeflcfaoii werden, welche in einem Systeme ir.Ürduuug vcm linL-urf^n ß'— '-'- Complexen enthalten sind.
Deswegen auf unendlich fiele Arten, weil eben die ratii>- iialea Kiinetionen der iJ in den CoefHcienten von 7' mit fin- geschtossen »iiid.
4. Auch die symbolische Normalform von Clebsch (Mstli. Ann. Bd. H p. 1 «Heber die Plöcker'schon Complex«*) för die Ä, - Camplexe in Ji^ lässfc eich ent«prechend im H^ hendellrn, indem mau
F-\-^AiP<
/i*| a, h, c. . . . n. . , ( \ ii Xi AI *iiA,\
71
unttetxt und hierauf die den llektionen ^ entsprechviidon Prt»- cesBe J anwendet.
5. Es seien nun m K^ ge^jehen und ein Ii^_^_^, b«hiUli4 mit Massen (oder IVojHirtionalitätEifaotoren). Ich multipHcin die 1. Monientti der m R^ nach dem I^^_^_^ und nenne d« Product das Moment de« m-tupel» von B^ nach dem Ä,_,,|i
Kenier bilde ich fllr m 7i, und n Ä,.,_, diese ProduoU te- zQglich Jedes ^,.,^_| und addire diese Producte
9)
und nenne die Summe das Moment t\es «i-tu^ieU von J{ in Bezug anf die gegebenen /?^_^_,.
Seien femer m andere R^ gegeben, welche ich mit S^ be- zeichne und dieselben n-ß^.,.,, dann bilde ich die eben lie- schriebene Summe auch fflr die^e:
.W' = i* (JI Mom.(SJ*>, Ä*'' .)
lU)
Ich fa
R
■#-i-i
-Conipl
ferner jeden R^ als einen volUtündig »ingiilätvo ex auf und dns Product dieser linearen Coroplexe
Kantitr: Üditr n. Momtute w« Tt^Camjilcxeu im W,- -Vi?
ttls einen 7^^_|_ j-CoiiipIitx m. OrdnuiiK', welcher Jit m lincnns Kurfallen '}si. Dann »ind die OueffirieDteu der Qleichung diese« Complexea m- linear zoiiamniengefletxt ans den Coordinaten der liru'Areu Oomplexe, aUo aus den ^uordinitten der A,.
Bilde ich dann nus den 7) und 8) die lineare Conibination k* M -{- fi M\ bezeichne die Prodncte der Gleichungen der ^'r-tf_i -Komplexe mit /■*,, /^,', ihre Combination XF^-^- ^F^ mit F, 80 erweist ncfa i dass X M -\- ^t M' proportional \»i 7.u
Hierbei bedeutet /'"* die Gleichung dee 7f_._^_,-CompleiOB M. Ordnung in Ä^_^_,- Coordinaten und F"(/ti'i,_,) bedeutet, diu» man diese variubeln Coordinaten durch die Coordinaten eines der ;r gegebenen i?^_^_, ersetzt hat.*)
Ich bezeichne 11) als das Moment der nA,.^| in Be- zug auf den /?,_(_, -Complex n. Ordnung F.*)
Wenn in 9) die säramtlichen m 72, einand'^r gleich wrrdon, nimt daa Moment mit dem ti. Mumeut« diesem H^ nach den nS^_._^ al>ereiD. Aus 11) folgt, dau «la öumme solcher Ifnniente das Mutnent jedes Coniplexe« u. Ordnung dargestellt werden kauu uud daher ist auf andere Art der iCe^e'sche Satx bewiesen :
Theorem X. Ist ein Massenajstero indifferent in Bezug auf seinen n. Nullcomplex, so ist sein Moment Null in BeKUg auf Jeden /<^_^_,-Complex «. Ordnung.
6. Wie bei Beye wird nun definirt aU Folarcompiex eines /t^-Complexes k- Ordnung nach einem iv,.^_, -Complexe, der
*) Jen«- Ableitniig. wcU-ho Herr Ktry<'. in Cr. J. tlU. 78 fUr die«« Mutnent gef(«}hen hat, nbcrtrlLgt «ich »atOrlicli nicht hierher.
>) Für n = I, ,T = I (•nUt«ht da» Mumeui einw /',_,_i iu H»"«uif anf »imm lineiuvn K,_(_,-CompIt'i tiad für • «= r — S Wwei»* tnAit It'itht den Satx, daaa dioM« Moment pmportionat ixt üem MoiuodI« d<n &,_0,\ in Berug auf den PoUr-7t^ ilea»<>lbi*-n bexOtJÜi-b des Uueanü Cumplexo», wii' Horr Kloiii fdr r — 5 birmoikt luit \^rr Salx gilt »Wr nicht inrhr i^r — X
5Ä8
tiiUuno der uiath.-phffii. CltUM rmn 5. lictnithcr IA96'.
ti. Nttllcouiplex oineä MaäaenBydteme« ist, als Ort dor S^ ^ ^, wotche (fi — /i')-tWcIi gezftlilt, mit dem Complexc &. Urdnuug mut* lipHcirt einen Gomplex u. Ordnung gebe», in Besng aaf deo dua Mumont des Masaensjrftteraes Null ist. Älao:
1=1., :t
12)
ist die Gleichung des Polar-Ä^-Oomplex'"' vr.n T^* iH^g_^} iü Bezug uuf den /f^-Complex n. Ordnung
^w, Mom.(Ä,/fJ'L,_,)" = 0
13)
lu 12) euthftllen nKiDitch die bilinearen Kurmen ale dii eine Reihe von Variabeln die Coordinaten des i?J'i,._j, welchör
in Mattsensystonie (nij, . . . m^ entbalteu ist, und als 2. Reili«
von Variabeln die Coefficienten ii,_^ii das sind Ä^-Coordinateti
Theorem XL Durch 12) sind eigentlich unendlich viele l'olarconipleie bestimcat.
Denn in den Coefticienten von 13] »tiid nucb dein zu VHI Gesagten eigentlich noch unbestimmte tirüi^äcn (die Coefficienteo der Functionen M) implicirt und diese Übergehen dorcb die Operationen für 12) auch in die dortigen CoefScienUiL Während aber in 13) dlefie t'nbratimmten verschwindon, wem dio i} = 0 gesetzt werden, wird difii in 12), da diu unbtvIimmtM Coefficienten jet^t in anderen l'otcnKen und N'orbindungcn cia- treten (wegen der Vemiindernng der Exponenten tou h ui n — h\ nicht mehr sein, die XJnbeatinimten bleiben nnch mit Ü « 0.
lfiBl>esoudere kuuu nun auch von den Polar-T^-rv.mi^li'Ton eines linearen i2^_^_j-Complexe8 in Bezug auf einen ]• fX
N. Ordnung gesprochen werden und speciell, wenn der i2^_,_i- Complex vollständig aingulär ist, von den Polarcomplexon evMi 71^ in Bezug auf einen /{A*um}dex ». Ordnung.
Kitntnr: L'ebtr h. Sivmcnle tun U^'CmmAexen im U,
^0
7. Verschwindet 12) identiiacli , so ist /"' apolur kuiii H. Nulkomplex des 7^^_^_j-Maa»iiiy«temet nnd e^ wird (witi bei Rej^e) bewiesen:
Theorem XII. Da» Moment des Ä^_^_j-MassL*n- systemeR i^t Null be'/.dgHch nller Complexe u, Ord- nung, welche aus einem zum n. Nullconiploxe apolareo •^.r.)'^<^^P^Q^^ ^' Ordnung und einem ganz willkUr" lieben iJ^_^_j-Coniplexe (tt — h). Ordnung bestehen. •
8et».t man in 12) *■■», ao folgt auch noch:
Theorem XIIl. Die Bedingung, damit ein J?^_^_|- Complex ». Ordnung apolar (conjugirt) sei xum ». Null* »mplexe eiues Massen syst emes von rr gegebenen
U)
Nun sind m a\
a' ... die Coefficienten des«. Null-
ctimplexes des Massen-^jälenis wie Theorem VIU aussagt, sonach erseheint 14) sofort in der Form:
Theorem XIV. Die Bedingung, damit ein jR^'Com- pUx «.Ordnung ^anPXx...m.iPl{...i^\- "P}!C\..)Sii ""<* •»o ■B,.^-rC'»"»P>** «.Ordnung ^Ox/ii/+i...ir+i|>UM ..i^i PiS+V..;% conjugirt seien, ist
2a,o, = u 15)
^0 ^N« ^N Coefficienten complementftrer Glcichuogi»- gHedcr sind.
Idi habe hierin die Formen absichtlich »i-linear ge'H^hrieben. Da.-* Theorem, sowie M:hon X, XH, XUI und 11) gellen mit ihreu Herleitungeu auch ftir nicht symmetrische n-lineare For- men, deren Variablen reihen R. reap. JJ^,_j-Coordinaten äind.
Coroltar I, Ein i?^-Coniplex «. Ordnung V ist apolar zu einem Ä^_^_,-Cunjplcxc n. Ordnung, der ein n-facli gezAiiltor
&iO Sitzung lUr math.-}tiiyif. ClatMe vom S. Dettmlter IHSS.
volULändi^ sin^ilärer Complex üft , wenn sein sinf^ulärer J^ irgend ein 7i^ von F ist.
Corollur U- Eine n-lineare Form /' in Jf^-Coordinatrti ist apolar zu Jeder volUtändig sinf^uläreii »-linear<>n Form i& Ä,_^ _j - Coordinaten , deren v singulare Ü^ ein Nail - n tujwi von r sind.
Es folgt nun auch leicbt: Die Polarconiplexe eines linearen %8tenies vun 7^^_^_j-Coniplexen in Bexug auf einen gegeben« i{,- Complex bilden ein lineares System. Die Polarcoinplexe eine« fetiten i2^_^._j-CompIexe8 in Br/.ug auf ein üne>ire« Syiileni TOD i2^-Complexen bilden ein lineares Systenu In jedem Falle bilden alle rorhandenen, zu einem gegebenen B^ - Coniplexc apolnren Complexe ein lineares Sysfcam,*) — Die Dimeanoo da
1) Auf ilieacn hier al« Folgemn^n gebmchtBn Ötttxun beruht ciiicid- lich ITemi Heyp'o roliir<*nthoijne.
K« n'At feroor dsm Tbrorera: Itt eine Schaar von Formn« gleichen Grade» h in /I,-Cuordi iiaten ^ogeben und > '
man din ^CKammte 8ohaar ru der jenen npolaren }< " n
Jf,^„]-Cftordi oaten, «n haben beide Srbaaron dia«nlb«i) Coiubinaiiten unü xwar sowohl in Äy-, als Jf- . !■*,_,
CoDrdiuutt^n.
Sind die pvfi^Wntai Fomn*n Wj,-Fonm'n, »o iat diM 1 kanuL Abor sowohl ilieneii «pi'i'iellc ul« diu fben awigMiiruiti- n
tiiprkwUrdigrr Woi*« aurfa dann, wenn dßr Gnul der PomiPO di<f cwaten ::ii-l)!iar nicht gleich n, «ondem wiUkttrlich hoeh v(imu«fte*et«l wird
Die Uauen»(e VaniIlg«mtduLTuuK dürfte jeUl fulj<endi: icin:
Idt irgend cino Anxafal Formen in Ag, Jti, ■ . . Iff^fCtt' ordinalen, alio der Art
t^^t^liXi ''-ti ..,U+i
Ml
gegeben und luau beatimiut die gevaminLe Soliaar der PmriiifiB, velchu sn jenen upolar titnd, no hat diu lotatt^ru änfaaar ttiit ■ L'lbfn Conib!nanli>nfuruipn (Kowoht in Üq, iilf in A|» . . . Jt CoordinatuB oder in ullfn »imultan), Bin diu der «rsttrl FormRn.
Hierin braucht «uwuhl für die Ordnung di*r l*orm»n dar iraUn Scbaar al» der aweiten Schaar eine BaNQliraakaaf Ueltt einpcfithrt ku werden.
Knutor: Üdter ». Mvntcwtt nvu St^ComfAej^tu im U, ^-11
3y^lemefi der Polarcoiuplexe ist jedoch jetzt nicht gleich der Dimeticon dea Syatemä uu.i y?^-C*>mplexea oder yf^_^_,-C(>m- plexen wie fUr i ss 0 (Heye), sondern überschreitet diese in Fol^ der RelfttioDi*n ß. —
Hievun und von den letzten Comllurcu kann eine Anwen- dung gemacht werden.
Theorem XV. Zwei lineare« rcciprok besugeno «''-Systeme von Ä^-Coraplexen T,, r,, reap. der Ord- nungen w,, ni, Hrxi*ugen einen /? -Oninplex T der Ord- nung Mj -r»*! und dieser ist tipular zu einem gegebenen R^_^_,-Complex G der Ordnung m^-\~m^^ dann und nur dHnn, wenn die verniögo der Conjunction t\x G unter f',, l\ hervorgerufene Keciprocität H apoiar ist zur gegebenen erzeugenden Reciprocität K})
n ist dftdarch deflnirtt d*«s je xwei T,, T,, deren Product ein zu O apolarer Cnmplcx ist, ein Nullpaar von // sind.
Alle Reciprwi täten K unter beiden SysU;nimi ^ , ^^ hildirn ein lineares Sybicui und die erzeugten V bildL'ti ebenfatiä ein lineares ooW+"'~' System, aus welchem durch die ApolaritÄt za G ein lineares (»<'•+'>'"*- System ausgeschieden wird, doni wieder ein linearen System aoV*+*>"-* von K zu Grundr liegL>n mnas. FOr dieses letztere System ktVnnen als CüUHtitucnten t+ I)* — I vollständig singulare [teciprooi täten betruclitot Verden. Kdr jede eolcbe ist der erzengte Complex das Product zweier /*,, /|; und int diesett apolar zu (?, so gebiert es nach der Definition von H als Paar der Keciprwitit // an. Dann ist aber nach Corollar 1 zu XIV die »iuguläre K a|H>lar zu //. Für »ie gilt uUo dos Theorem und somit fdr das totale linf^ure SysUm ootf'+i''-» von K.
8. Eä erscheint jetzt als ttpecieller Fall von 11), wenn die Form -1) mit einem proportionalen Factor aU das Moment d«s /{| - tjoiuplexes uud des /it^_^_, -Complexea bezeichnet ^-ird.
') üttr aju»ciidl«tt! Kall (■■0. ;< = 1. r^X int von SrhlrainKer , A. XXII MMljrtiw-i; beinc»*m.
542 Sitzung der Math.-jiltjfs, Cttuse vom 6. iMiember Stt96.
Wird danu der eine Complex feetgelaaseo, werden an Siollo doi anderen rr verschiedene gesetzt und die so eiitüWlienden n. Mo« inente addirt, so sei diese Summe das n. Moment des R^'Com- plexcs in Bezug auf die n Complexe.
Theorem XVI. VeracUwindet das h. Moment t'inri linearen J2-ComplexeH r in Bezug auf ä gegcbrnv Ji^_^_j-Coraplexe, so beschreibt T^ ein System n. Ord- nung (im Räume der linearen Complexe).
Wenn die den fr festen B,_^_, -Oouiplexen xugeteilti Massen variiren, so besehreibt dieees n. Nnlls^st^m selbst ein lineares System.
Tbeurem XVII. Aus VI) 13) folgen (wenn ohne die Relationen ^) die ÄusdrQcke für das zu einem Com- ptexsysteme k: Ordnung (von Ä^_^._j-Coniploxen) io Bezug auf ein System il Ordnung (von i?^-Complexeo| polare System von i^^-Complexon.
Aoer in Slid-Tirol, April 18ÖC.
An das Vorige schliefst sich passend die Mitteilong eiiMr neuen, fundaineutilen AuffiuHungsweitw. Ich sage xun&cb«t;
Theorem XVIII. Sind J^, J^, . .J^. . . .J, die Weier- strass'schen Invarianten eines Paares von -flfj^,. so be- deutet dus Verschwinden von t^, das9 der Tangenten- 7t^_, -Complex der 1. M*_^ und der Tangenten- ß^_^- Complex der 2. ÄfJ_, apolar sind im Sinne von Theorem XIV hier oben.
Der rechnerische Ausdruck von J^ erweist sich aU Summe 2 a'a\ wo o und a coroplemcntürc Unterdetenoinanteo der Determinanten J^ und J^ von il/J_, , ^X-\ **°^- ^^ ™l aber auch die CoefHcienten der Complexgleichungeo tüq -lf7_|> Jl/^^/) so dam ^a-a' der obige Aiisdmck 4) ist.
1} Mnn ürliäll (lioMt* duftJi Kutwiekeluug der 4^ in Uuivoait't AV bandlunie Liuuv. Jooni. 1874. (T. bMouden aber Salmoa'« ßmmirtfy «T
Kantor: Ueber h. Momente von Sf-Complexen im H^ ö43
Ich sage, daas beim Verschwinden ron J^ (<7^ = 0) die beiden ^^^ .apolar im k, Range* sind.
Es entsteht die Frage, ob nicht auch bei Punktmannigfaltig- keiten ^^j* ^^i ^ verschiedene Apolaritäten definirt werden können. Dies ist conseqaent möglich and ich definire:
Zwei Panktrarietäten M'^^, ^^i sind ,im X:. Range apolar*, wenn der Complex der Tangenten-i9^_, von M^^ und der Complex der Tangenten-Ä^_j von Jtf^i .apolar im 1. Range* sind nach der Definition aus Theorem XIV.
Was die Complexgleichungen betrifil, sind sie die Diskrinn- nanten (nach den X) der Formen
f-t) (xO) + Aj xj«> + . . . + X,_, x<»)) = 0 IC)
fiM,) (3j(i) _^i^^2)^_^^i^ ^ x;^-*+i) = 0 17)
so dass diese Diskriminanten nach Division durch die Diskri- minante der Form ganze, rationale Functionen der it-glied erigen resp. (r — & + 1)- gliederigen Determinanten aus den ft, resp. r — &+1 Reihen von Coordinat«n
«<»' x<*) und x;.'), .... xJ'-'+i) (i = 1, . . . . r + 1)
werden.
Die Consequenz der Verallgemeinerungen I bis XVII ver- langt, dass auch dieser Begriff auf zwei Coinplexe aus H^ (also JR^-Mannigfaltigkeiten) ausgedehnt werde, die als Ausgangspunkt genommen werden, ohne Tangentencomplexe einer iZg-Mannig- faltigkeit zu sein. Ich nenne Doppelgerade eines jBj-Com- plexes einen iJ, , der in jedem Ä, durch ihn Doppeltangente der in den R. entfallenden Strahlencurve des Coniplexes ist und Doppel-J?^. eines B^.-Complexes einen i?^,, der in jedem Ä^,j durch ihn Doppel -fi^ der in den R.,^ entfallenden R^- Enveloppe des Coniplexes ist.
three lUmensions iiinl vt'rscliii'dciio ,\rlp«'itiMi Klciii's. (!, Si'jjrw hat in M. .\. XXTIT lu'i HfliaiKUim;,' 'I-'i" •'* 'ü*' "l'i^'e HtMli^ntuiifr iiiilit Iwiru-rkt.
544
Sitsutiß tUr mathriifiifi. Clus^e vom .1. IksfutUer ISitC.
Ffir
gegebenen /V^-Coniplex V neu Di
ßinen gegebenen J'V^-üoniplex / ueuDe loh KPirrvo Taiigential-Ä,_j_,-Coiaples jeoen, dtr die R^^ enthält, in denen der auf den 2£_ eütfällonde 72^-<!(jmplex aufi F einen Doppel-ii^ betüity.t. Hiemit definire idi non :
Zwei JJ^-Coniplete JTj, F^ im R^ sind apolar im li. Uaiige, wenn der Tttagential-i? . ^_j-Coiuplex von/', und der Tangential-J2^_|.^_j^-Complex von T^ apular im 1. Uänge äiud.
S^in Taiiigential-ß^.-ConipIes ist hierbei F^ si^lbfit. E^ieihK» für /^.-ComplcÄ Tj und /II.,-Coraplex T,-
Kuppnliftgftii, den IS. Octolier 189(i.
HC
üelffir Ott &iiikfirä£ Tom Smäe Btldo.
Ihe unter ö«l SnueL ^^rtit^-rce rrn. M ['Llt B&ido^ oder yVUD T^rwu* mh^mt^i Mscamncr MLnHünku^sumz. vf*iriH- ak fiuiifnAeriiii zur B*sineiimir öer Mtur creüuiüizzieL M&ier- &rbcu d» MC Vtr'i'rhtr (^rlL»-, djem-. üuäe: «ci ul Msi-
SüdäruL dit:in ai. ü»r lUii^nit*':!»«. '-r--«!»!. ii. «. leintciiiiiciior Meuee. da» dMKli^ «»'Jb'ii ^ui Ai>?r' i>?r ir xuuLtjiiiL»i: NjeuceL ID Groben |Wf»oin<*5t t uro*- uiic auvi .«ftz: nf^dB cecTiä»eL mrc. Db üafe. wat üiuiMr Ut^r di*^ ii^wjimfiei.u^a; niic hsn- '^ (■rkciicnieL dww3' An 'jrti^TC*^ r»*ri:iii]u: ff*-»'.'-a*fj iä. dwl mkii.'bf F>r- j^kia^mv*iL »iiii#'-'ü*;iir«*?r«i. *;rf»'ji**'ii»*a iiiaa. «• cm^-rui^ icl. ps für iij'jin utiBiigTA^ii"" il ^ mv^^Wj^^tl iii*'iiit B^fthartnmitrpr iirif^
BemertuiiCfi t*»;*.!*«!' Lit!;:> !■ ; :: II.'.V-'-.:"! un n. . : ( rit.i - Sribt L*-L . t* *. ■. i' . • ' r • 1 vTi'.. : • • LI • I - n ; ! T hl .-; >r j i i. V"rtiähTiitti' 'C: *•* ''".'•r:
Siteung der wa(A.-ji^yff. Ctane 90m S. S)etcmbrr 1H96.
1. Mineralogische VerhftltnisBe.
Schon im Ältcrlhuiue kannte man als Malerfarbe neben der hellgrUueu Cbryaocolla /) welche der Hauptsache auch aal Malachit bezogen werden darf, eine dunkelgrQne Farbe, welche von Vitruv aU Creda viridis oder Praaeua,') von Pliuios ab Viride Appianum^) bezeichnet wird. Diese «wei grtlnen Keiipt- farben lassen sicli noch in den Wandmalereien der aus*.' o
Gebäude von Pompeji bestimmt nachweiaeo, die hellffTÜUL. .,-., .. r- haltige und die dunkelj^rtlne, welche dem Viride Appianum ctit- spricht und jetzt noch durch die unrernnderie Frischa dei Farbcntona sich besonders auszeichnet. In dem blossgetegtn liauBä eines Karbenhändlera dasellfst fanden sich narh lluff- mann (Liandb. der Min. U, Ö. 200) sogar noch wofalerhaltMe Stficke dieser Grdnerde in Vorrath.*)
Ob das V^iride Appianum dee PUninit mit dem V^orkommen der Orfinerde am Monte Baldo in Bexiehung stehe, war bisher zweifelhaft. Ueber diese Bezeichnung; herrscht uümlich bei <ifln Interpretatoren de« Ptinins vollständige Unciicherbeit. ob dieae Benennung etwa von Appitis, dein Namen des Umit^xan 4er Fundstätte, an welcher die Krde zuerat gegraben wurde, oder von Apiiim, dem Naraeu für Sellerie (Apium t^), wegen
der Farbenähnlichkeit herzuleiten sei, wit> li...^..:.uo und nit ihm die meisten Späteren annehmen, (liardninus, Plinü wo. histor. natnr. Ed. II, T. II, p. 688, 1741.)
Keiner dieser beiden HorlüitunErsvenmche ncheint jedoob da» Richtige zu iretTeu. Ich Hnde nUmliuh. do^s der Wildbaeh, der vom Monte Baldo heral>stQrzend sieb in die Btech uiyiiMil and an deesen Thnt^ebÜngf^n hoch oben die GrDnerfh^gribemiea Uegra, &b Torreuto uviana') bezeirbnot wird und daae da»
-iehimlockit KcbrlMchljrb
') öeneiiwftjtiK »Bl *Uc"' *i Vilruviiii* ,Df Ar . i ' li *
>) PUnii Mn>. hi*t. lutur.. Üb. XXXV. cap. 3!). ') Chnpta) in .^nnolrs d. cfaimie. 1609. Arrü. *> Auf den KRrti>n IiajihI iIaii Tbal Val Avjanu od«r mit W*tttM«nif d«« nach«iAbfl>ni» A "Vtl Viaua.
f?. W, K, iHtnheL Utber die
pom Monte Ualdu M7
nrf, in dessen N&he dieser Bach in die Ktsch mündet, jetzt nocb Avju heiani. Set^t uiuii »tutt v — pp, was bei dar Laut- ttfanitclikoit docb wobl zulüiwig ist, so «rhalten wir die \ie- zeiclmungs weise des Plimus und ich hege keinen Zweifel, dass Lbleitunp: die riclitii(e ist und daas du Viride Appiannm linius HUI' dus Vurkniiitiien und die Gewinnung der lirdii' crde Mui Monte Baldo «ich bezieht. Wir dürfen mithin an- nehmen, doits die Grünerde aU Muteriul lür Malerfarbe ««'hon im Alterthum hier gewonnen wurde.
Die berichte der späteren Schriftsteller über die grüne Maleifiurbe gehen nicht Über das hinaufi, was Pliniua angegeben hat, lind »ell»t bei den Miru'ralof^en der neueren Zeit, wenn wir fliege mit Agricola beginnen la^un, ist es meist, »ehr xweifel- Itaft, welche MiiieraUubstoiiz — abgesehen von dem ächten Chlorit — sie aU Grtlnerde bezeichnet haben, w bei Agri- cola selbet die oreta viridi^V) (l-^e natura fufMtlium lil>. 11, p. 19>) und 100, Ed. tiaaileae 15r)8), bei Linue boluü viridis (Sytem. nator. Kd. XU, T. lü, p. 1205), bei timeliu argUa viridis (Linn^. System, natiir. Ed. XUi, t. X, p. 140), bei Wallerins argila mineralis viridis *^ (Sjrstem. minenil. t. I, p. 51', 1772), bei CroDstedt, bolus viridis (Fursöktil Miuerolugie S. 8ü, p. 102, ]7riH), bei Haiiy, Tale cblorite zographitiiie (Trait. min. t. III. 183, 1804) und im vielen anderen Mineralogen. Werner be- xeichneta in seinem Verzeichnisse de« MineralienkahineU de^ etc. T. Ohain (Bd. I, S. 2Ö4, 1791) das seladimgrttne Mineral von Monte ßaldo bei Rrcntonico in Tirol als Grünorde in erster Linie und erhob dadurch das Mineral diese» Kundortas xmn Typnf« der Substiinz, welche man aU Urünerde au betrachten hat. Anch in seinem MineraUjrtifom vom Jahre 17^9 bediente •^r ^!rb f(ir die Bexeichnuiig dieser Minenilgruppe de.« Namens
*) Creta viridis pltinbui» loma ntudlur, aed optimii Sminuu* — lou^ qnoad colorcra i't \irvi {nriinrti itifm i-hrysuu>Llam inadi FUniui).
*) E« wirj fta*drttcklir>h bdrvorgrhob«u . dSM «ie von SKuren nicht ai!-' "" ' ' . ' kiü II Kupfer i!n(ha1tv. von dem Onipliluiu
rii xn. ')&>« fs mit Silnron hraosl, timl durfte
WKacii w>ilU imf ilvii ufi mit Kalk vertt»ob«en<>n Qlniikiipjt m dcut«» min.
548 SÜtutuj der ntath-phy». Clag$a vom S. Dtttmbtr t896.
OrGnerde, welche ebenso in dem I8I6 bekannt gegvbe Verzeichnisse unter der Sippschaft dta Steinmark» eiugemiht wurde. Bei den nnchfol>renden Mineralogen blieb diese Bezeich- nung lauge Zeit hindurch für verschiedene erdige, grün gefUrbte Mineralien in Gebrauch, bis Keferstein (Deut8chl.geugr.geot dargestellt 1828. V. 3, S. 510) für die im sog, GrtfnMnd ab färbende Beimengung vorkommende Minerals ubstonz den Kameo Glaukonit einffihrte und Olocker (Genera et S|»oti«» mine- ratium 1847, S. 193) sich der Bezeichnung Seladonite« pic- tornm für die als Malerfarbe beuGtxt« Grdnerde bediente, wobei er ea als noch zweifelhaft hingestellt .sein lievs, ob der Glaukonit dazu zu rechnen sei oder nicht. In neuester Zeit hat mau ziemlich allgemein eine ^heidung in Glaukonit und ^U- donit in der Weise angenommen, dass man anter entertr Be» zeichnungswei»ie die UrÜnerde, welche iu SedimentgeEfieineu meist iu runden Kügelchen l>eigemengt Torkommt, unter Sei a- donit dagegen die in vulkanischen MandeUteinen and Taffn, auch in Pseudomorpho^en iiich vorfindende Minc'ralxub^iaDic verstanden wi.«en will (Ffintze, Handb. d. Min. 841' u. f.). Dana nennt dieses Mineral Celadonite (The System of Minera- logy G, Ed. 1892, 683), ebenso Des (Jtoiiteaux (Manuel de Mine- ralogie I, p. H5). Zu letzterem ist auch die GrUnerde vob Monte Baldn zu rechnen.
Speziell genannt wird dieser Fundpunkt von M ereati 1574 . welcher eine Mineraliensammlung im Vatikan aalfffie
nnd hierüber einen Katalog verfasst«, Metulloth ^' -Mcana,
welcher freilich erst 1717 durch Lancisi mir V> ; buug
gelangte. Auch der schon erw&hnte PUniusinterpretator II ar- duinus fllhrt 1741 (1. c.) «n »In agro Veronenfti t»*r! "<*
effoditur, pictoribus enpeditiL*, und der Schwede Br'___ _r- wahnt gleichfalls (Bergarter, 17:10) eine GrQnerde von Verona. Es geht daraus hervor, dam um dio«« Z)>it da« V< i am
Mt. ßaldo Iwi den Mineralogen schon allgemein i». n.ii,>.v
Rome d'Ule spricht «ich (Crystallogrupbie 11, K^l. 11, p. -- 178.1) dabin aus, da« aL'argüle üo terre verte de VeronA* au eiuer Zersetzung der von ihm als Fierree argUeostt angefUhrttn
4
fTt^ OAmbel :
ne Grünenle rom Monte Battlo. 540
Miaeralion abstamme. Estner (Yersnob e. Mineralofipe II. Bd., 8. 7r»5, 1797) bexeichnet die StibHtaiix uh i\ verde di Urentonico und ii^bfc nu, diws sie in ziemlich ^ruasen Stflcken am Mi. Raldo einbreche. H. B. de Sanssare erwähnt gelef^enttieh einer Ilei^e in der Umgegend von Nizr.a ein grOne-i Mineral, dai w fflr Worner'B GrUnerde uder die ,t«rre verde du monte Batdo* hiLH, die er desshalb ohne Weiieros »Baldogee' benennt (Voyage dans les Alpes, t V, § 1432; 1797). Später will Delametberie (Le^-ona «lern. d. Miner. 1811-1812, 1. 11, p. 78) dusMellie Mineral vom Mt. Biililo »U ,Veronit' bezeichnet wisiieO:. Änsftlhrlichcr bat dann noch Giov. de Brignoli de Bruna- hoff über die Ürünerde dieses Fundortes (Joum. d. Pbysic, d. Chimte e. ij. hiat. nat. , t. 1>0, 1820, p. 855), alwr was die luiueralogiscben Angabeu betrilH, in ganz ungenügender Weise Bericht erstattet
Von den zahlreichen späteren Mineralogen, welche den Mt. Baldo »Is Fuudurt der GrUnerdu unfUhrt-n, mag noch Hiiff- mann (I^hrh. d, Min. 11, 195} und ganz in-sbesonderc Liebener, der ortskundige Tiroler Mineralüge (Die Miner. TiroU 1852, S. 120 wegen der uueführlicheii Angabe angefahrt werdon. Neuesten;« erwähnen Nicolis und Kegri (Atti del Ist. Vcneto Ser. VII. la 1880/00 p. 470) da» Vürkotumeri der t«rru verd« aui Mt. Trelt<>, daa i^t (>in Vurljerg am Mt. Kaldo.
Kin Uüuor Abschnitt in der Kunntuiss der GrUnerde be- ginnt emt mit den ohemiscbeo Analysen der (irCnerde vom Mt. Balilo durch Vam^uelin (Ann. du Musen m d'hi^toire natu- relle, Vul. IX, IftOT, p. Hl) und Klaproth (Beitrag z. ehem. Kenntn. d. Mineralk-irper. Bd. IV. 1807, S. 241), denen danu 8prit«r di« von Deleaao (Annal. d. minee 1848, 14, p. 74, i. N. Jahrb. 1848, S. .'i45) nachfolgten. Aach Grtlnerden von anderen Fundort«» und Glaukonite wurden in der Fi»lg(^ viel- fach chemisch unterKUcht (Hintxe, Flandb. d. Mineral. S. 851)i v»orauü hervorgeht, dass trotx tier nicht geringen Verschiedeu- beit in den einzelnen Analysen dieeer Gruppe von Mineral- stibstanKen etwas Gemeinsames und Cbarakterifitiflcbee zu Oninde liegt, welches nie von anderen Mincralgruppcn trennt und unt*'r-
550 SUttatff der mafA.-jiAyjt. Clng»e rom ■> I)--zrnihfr if^iG.
scheiden lässt- Die cibweichende Zusiiniintiii!«;lzunf{, Wf^h^he dtf cbemUeben Analysen im Allgemeinen «r^ebon hab^n, ist loii Äaenaboie der Oxydati onsstttfe des Eisen bestaudtheilea doch wobj auf verunreinigende, mit dem Mineral innigst rerwAchieii*, Terschiedenftrt.i^e Beimen^nf^en und auf die Terwhi^Klene Art der Vornahme; der Anüly* /.urückr.ul'ühren, wie «ich in fT»Uirrr Beziehung auch lu DiiunäohlitTen u. d. M. deutlich WAhr* nehmen lasst.
Die Nichtfiboreinstiuimung in den Anj^aben öbor dip tirfin- erdc des uu^weifelbafi gleichen Fundorte<] am Mt. ßatiju \oi\ Klaprotb und Delesse und die Beobachtung t. Kobelli, iAa» diese OrOiterde in Üeberelnstinnnunf; mit der Au^^be von Ülaproth durch Säure nicht /ersot/.t werde, während Dele««r angicbt, da-^is die Substanz gepulvert und t^twu 12 Stunden Ung mit kochender Salzsäure behandelt, vülUtändig zersetzt «erd«, fQhrben den so erfahrenen Miincherier Mineralogen zu dpr An* nähme (Geschichte d. Mineral. S. 6(33) , dass die von Beiden analysirie Grftnerde von Verona nicht derselben Art gewefen «ein könne. Dieiser Umstand allein «chun wäre gunngi^ndcr Grund ztir erneuerten Untersuchung dieser SuWtanz, vtm der ich hei einem Besuche des Mt. ßaldo in diesem KrQhjahr uo« den geförderten Vorr&tben inid von dem in dem Stollen vnr Ort anstehenden Mineral ein reiches Material gesammelt habe.
Ueberbtickt man die Heihe der biäher bekannt gegeben«« Analysen der Mineralien dieser Gruppe, »o liUst sich teicbi Gemeinsame und CfaRrakteristiscbe darin erkeanoa, dan sog. GrCinerden wasserhaltige Silikate sind, welche bei «inen beben Gühalt an Kieselwure und Kisenoxyden und einem rtUtir eebr geringen an Tlion-, Kalk- und Bittererdc dagegen flioe namhafte Menge von Alkalien im>besüudere an Kalium beaitxMi, wie kein Mineral der Chlorit-, Talk- und S ' -Qrupp«»
mit welchen häufig dieses Mineral nuammeng' ird, Dat-
selbe ist ab eine selbstftndige sog. Art auf/.ufusseo. Welche Beziehungen zu der IvÜnimergnippe sich herawKtvllen, darauf wird spiltfr zurilckzukommeu sein.
C. W, v. Oümhet: Utber dt* (Srünanle n>m Montt Baldü. 551
Um aber die nbweichenden Angaben VaiH|iieIins, KIb|i- l^ülhtt und vuM Dule»<.so iu Bexug auf die Oxydatiuniistufe de»c SiMnbe«lnndtl))!ils Änlialtfipunkid xu ^i^winnen, schien es wün- Bcbenswerth, eine neue Analyse zu veranla&fien.
l)ie cheruische Anuly-^e wiinle ron Hprrii A(uist«>nien Ad. 8chwBf;or im Labomtoriiim des kg). Ober her gamtc« mit aller Ht^ltichlimlinie auf die B^tinirouni^ von Giitenoxyd und -oxydul vn Material, irelche^ ich seibat am Ort de« Vorkommens ge- sammelt habe, vor(,'enomuten. Die Ergebnid^e siud im Folgenden sogleich mit d^n Angaben tu» V^amiuelin, Klaproth und Üelesse sasammeng(>.-.-tellt:
Bt^staiidUieüc*
irMeUfturr Itanoxjtl
Knlkunlc ßittrrrnli- Kali . . Natron . E'hoiipbüDuluif Waaser - Organinrb«*» . . Siunniß
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4^7 8,77 |
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W KO.tW 100,3». 1(W,47 -.HV»!
Während dis Angaben der verschiedenen Änalyuen in T?reug unf die Menge der RieseUiure, Tbnnenle, Kalk- und Bitt»M('i(!H, der Alkalien und de» Waasers kanm grö-sere I nter-
'1 Mit Too M. raiiJAA tm Ort und Stell'' ge*nmue]t«iii Matoriml. *) Mit dipjitcn, Iwimopeucn. u[i<4Ci>|p<si^n roinen Htflrken. 'l Mit Ton den nün«t4<n StQi^k'ii ul»tirhl>'nunliiinnii Matmul. *) Mit CJrtüidJKlu «OD «t'TngUrJi tuirit^pr Bfarhufli-nbcil;,
I
mfM (20.73*y«> aai htm FlMUTr^ n. «m n^ <1 Baaef W av GriMrdc woo Kud» od Sartoriei «. Walttrt* ksna«« bd jiMT n» Usad, ««kke Amm teh kaÖH ««BitfiGfc
■ickt aogVitcUten Anftljm Scbvagcr*i
1I«B98 TQo KUcnox^d ^Amdco ward* io Vn
mit dm AnalyNO Leoaberg'*') (ürftlH «m Bafrar«') ua4
HtdiW»*) (GrOoerd« «^od Seoit Stolir raid GmoU CkMewmj).
Zu deo AnAljaen I, U ü&iI HI Heiorrkt Schwager: «da« dat MrttTwI XU I von daer Anohl derber hk tmmä^pmm flftflek« g*!iicmitD«a wurde, von wckbw ia bis 1 ms groM BUkki-li«! x«ncblag«suMi Tbcil» di« ww-lwiirnid niiiriiiii m^ geAcam wurden.
Zur Asmlpe 11 dwnleB «Be darvh kocbudas Wmmt ras ijen mnict^rn (frTiwwrrn Stricken aMrwharen f>^iast«n Thctlp, «rÄJi- rend fQr Analyse III StOckcben von angesprochen stängtich- fvierigem GefDge und deutlicher Homogenität verwendet wordeo.
.Diese Proben zeigten ein feinerdiges GefQge, und an den vielfach auftretenden, oft wellig gefurchten Rutsch- nnd Gleit- flächen lebhaften Fettglanz, wie solcher durch kfinstb'che Glit- tang hervorgebracht werden kann.
Die Härte schwankt zwischen 1 — 3,5, erstere bei den ab- Hchlemmbaren Theilen, die mittlere gilt för die StQcke der Analyse II, und die Härte des Materialä zur Analyse ITI halt sich zwischen der von Kalk- und Flussspath.
Die Farbe des Minerals ist eine dunkelblangrOnef wech- selnd etwas dunkler oder heller; das zerriebene Pulver ist lichter gefärbt.
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>) '/.mUchr. »1. '1. ffeol. GeHell«rh. II<1. 29. S. 49B. ») TmtiHact. Roy. Soc. Edingb. 1879. XXIX. 8. 102.
C. W, r. Oimhti: üebtr die ÖrAnerde tom ifeiiM BtOdo, 553
Der Strich ist raiitt, hellg:Hln, nicht jjinnzrnd. Dat liioend fUblt sich etwas fottig au und klebt schwach an der Zunge.
Daa spec. Gowicbt der Substanz Analyse 1 und II betrügt 2,850—2,020, dfis der Analyse Hl 2,fi60.
Der Bruch ist tiach muschelig, uneben wellig.
Der Schmelzpunkt fflr Probe I und II wunle annähernd Ea 5 (Orthoklas), fnr ill dagegen xn 4, jenem des ÄmphiboU ge- nähert, bestimmt. Die Schniel/^^erle ist in der Oxydation.'^ilanime eneeugt Hcbwnrz, in der ReduktiunisHaninie lichter gefUrbt.
Im Külbcheu giebt daa Uineral unter beginnender Roth-
ghitb erhitz-t VVaüser ab.' Die in leiiiste.i PuUer verwandelte
Substanz wird durch 25 "/q Sul^-Häure oder 50''/i) Schwefelsäure
in der Kochhitze während ungefähr 10 Stunden volUtändig zer-
lütcU Die Kie-selMtiure bleibt ala pulverige Maftm im Rdcluttunde.
Behufs der [Cisenoxydulh<^«timn)ung wurde jede Probe aut zwei verschiedene Wt^sen behandelt und auä deu nur wenig ub- wm'hendeii Einzelbeätimmimgen An» Mittel genommen, welcbca die Zahlen der Analyse I, 11 und 111 geliefert hat.
Die Methoden bei diesen Ei^noxydulbestimmungen waren folgende;
1) Die Zersetxuog geschah direkt durch 50"/a Schwefel- säure unter £inlritung eine« coolinuirlicbeu Kohlenftäurentroma, der bereit« vor Eintragung dea fcinstgeriebenen Material» und vor der Hrhit'/ung dun:h die Stthwefelsäure g«^ffihrt wunle. Diese t^iuleitung von Kohlensäure in das zur Zersetzung dienende Gefwäs vor und nach der Krhitieung geschah in allen angefflhrten Füllen auf (gleiche Weise.
2) Die Prnbon wurden In dnem mit Kohlemiäure gefQllten und dann zugwchinolzenen tJlajirohr mit 25'*/o oder SO^/o Schwefel- älure auf 120- 13ü*'C. erhiUt, wobei der Aufschluss mit 25'»|oiger
jre ra»cher erfolgte, aU mit .'tO'^/uiger. !)) Der Au&ciiluM wurde mit einer zur raseben Zontetaung bm gelinder Krwärmung zureichenden Menge von FluMsSure und Schwefelsfiuru untrr Kiuleitnng von KohlonMÜiri* bewirkt.
«2.
nTT*rn>qi''Trry init Jkans snn 'W'iikar-ilttil» Xj soB lirmsi Ulli mztc^ÜHi. £!-üi i^Scio^ IHbeicnasL
äfOE famg lecrufrwntai Kicer-OL 3ni; am Siions i ?i£v¥F KW4K. üfüi KuritHssei in. STl£iIl^ jQfilax Tüia n crimate Htsaa^ m. Qm lamisn «n.. jo. Ö« 'TT-Iniiirb; TUT S;fiiut«hSf!iz *^fr-T:»:a»ai 3a. ^^^SBC «ünaai: loixa ctt £lts?&&ajn>cimi. ^^uue :ii Firm. ^m. ^^^adtsAa.
foui^Hi "rjn ?Vji:3rTTUimu&-. t uinBiu nmic» ^taÜoL -föne
C, W, V, Oümbet: Vtbtr
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^tdUti. 5ÄÖ
Nikols die SiiHstnnz nts doppelt brt^chend und zei^^t Aggrej^t- furWn, wft-s ihre ZusanimeiUtitzung aus kleinen kryätalliui* schon Theilfhen twweUt.
Behandelt man die losgel5»t«n. gut^ereiuigleu DUiiiischliffe mit 25*fo Salzsäure, so verfichwinden die oben erwähnten rost- getbun ricckf» tind es bleiben an ihrer Si*iIIij helle, kr^'iitalliniäirhe l*artien erhalten; mithin scheint die g«Ibe Kürbuug u«r von einem sersetzten Etifenminerat herTiirQhren. Mit Kalilauge be- handelt zerfallen die Dfiun»ichliin}lätt^hen in unregelmässige, meist spies^eckige Stückchen, wa^ auf eine zerwtzende £inwir' kuDg auf die Orünerde hinweist. V^ t>e»«iiUigt dies unch die Thatsache, dass l>et der Behandlung dts feinen Pulver» mit Kalilauge bis d*^/o KieaeUäure ausgezogen werden.
Fast genau ebenso rerbült e^ »ch mit der zweiten Gruppe der GrQnerdeflibstanKen, dtfni Glaukonit. Auch fflr dieäifn gaben viele, namentlich die alleren Analysen^) h» auf Sterrj Hunt, C. V. HauHhufer u. A. den KitieribesiandthtMl als Oxrdul an, während 0. v. Hanshofer in 10 den rer^chiedentiten Sedi- nientlLrge»teinen eutnoiumunen Proben durchweg weit überwiegend EisenoTjd fand, in Uebereinstimmung mit den Angaben n» Sterrj Hunt, Dewa1(|ue, r. Rani berger, Meddle und den meintgeTi. DieK«? Ergebnis^ kann kein zufalligee oder auf einer Verschiedenheit dea untersuchten Materiatn henihendee sein.
Da auch in den .tadatpinen Terti&rabUgerungen x. Th. Hehr reichliche Beimengtingen von (ilnakooit, namimtlich in gröntter Menge in einem kalkigen (trtlnsand am Zollbaua dea Mt. Brione bei Riva am Onrdnjtee gefunden wird, uoterwtg Ad. Schwager ch diesen Qlaukouit einer Analytte und nbergab mir fol- ode hierüber von ihm gemachte Beobaehtiingen:
,Au« dem Grfinsaud der unteren Schio*Sehicliten ZollhuuK Mt Brione, Gardaaee.
^( ti 11 ni Hfl , Uvb. <1. Natitr a. lliMrin|{iiwci#o ilr« rÜAnkonit« (Sitx.- Ber. d. b«y«>r. Aoul. d. Wim., niath.-fihiii. U. 148^, ^.AM). C. Birtti». Hofidb. d. HiannU. 18!». S. ft4f).
556 8it*UMff dft wui3lk.-fiL»fi^ Ctatu vom i.
Der GrQns&ad Tom Ul Brioiie.
Dvr Ten(it.'ineTupg«reicH« GrQn- oder GlsakoDitssnJ der Datentichung>4 probe erw^t ach im Mittal (mü As* acbltcM der &»ui;^hyiien«ctijUe») suttunmetigeBptxt ma
Qlaakonil ia Körnern . . ^ 43,97 */• QiWRBBBd und TboD mü wenig
Kellen OLimm&rschOppchen . 24,51 «
Scbiref«llda 3,S»6 ,
Eiwsoearboiuili 7,38 ,
Kdkcwbonak 1*3.00 .
Bitlererdecarbonat 3^ ,
Oype . ■ , l.OT .
StmiiDe 100,UÜ
L'at«:r iliesea Gemen^h^tten bilden GlBuknnit, Quin □ndf mit seltenen Aufnahmen, nurh der Seh Wi^f«lkie* dit gruberen BetiUndtheUe (00,fT''/o)T welche im MAximam rtw« Ü/i mto EurDgrÖtiie erlaDgea.
Dfe Carbanate mit 27,767<> bilden das Terowit ftr die übrigen Bestandtheile , während der letztangefthrte Gyps als das sekundäre Produkt der Einwirkung der Atmosphärilien auf den Schwefelkies nnd weiters der solchergestalt gebildeten Schwefelsäure auf den benach* harten Kalk anzusehen ist.
Aus diesem Glaukonitsand wurden zuerst (bei Zim- mertemperatur) die Carbonate mit verdünnten Säuren m^- lichst entfernt, dann der lockere RGckstand durch Sieben von den feineren Theilen befreit, um schliesslich in wieder- holter Scheidung mit Mcthylenjodid den Glaukonit in möglichster Reinheit, getrennt von den fibrigen Gemeng- theilen zu erhalten.
Glaukonit vom Mt. Brione. Im Korn erscheint derselbe dunkelgrün bis grQn- lich schwarz, in mei.-^t gerundeten, oft nierenfOrmig
\
a IT. P. Qdmbtl: Veber die Gr
nU BaliUi. ^^^7
ffetheilten Formen mit mattom, eben wahniehmbanni KettglariK aa der Oberfliiclie.
Die Härte, in den kleinen Aggregaten schwer be- atiinmbtir, tnt^ um 3 herum schwanken.
ÄLs foinos Pulver zeigt dieser Glaukonit dnrch organische äu1)«ian£ verursachte sühmat7.igb]BQgrflne Farbe, welche nach laug anhaltendem Trocknen auf 100— UO«C. merklich lichter wird.
Das epex, (lewicht der xiir Aiialy.sH verwandten Substanz wurde iu zwei Kälten be-stjtunit uud «rgitb diu Zahlen 2,055 und 2,952.
AIb urspriin^flichea Korn ist der Glaukonit xicnilich ficbwer schinel/.biir, und neltinl: ab tti'invs Pulver ninki seine Schnioly.hiirkeit kaum unter den Werth 5 (Ortbo- klos) der Kobuirschou Schmelzskala.
Im KÖlbchon (frhitxt , Hcheidet dt^rsellm «olbst boi m&ssiger Ilitice leicht Was^ier ab, da^ ucb nach längerer Einwirkung von beigemengter organischer Substanz leicht gefärbt zeigt.
Vor der Analyse wurde das Mitterial sorgfaltig bei 105*" C. getrockuet. Der Aufuchlusa ^in orspriiuglichtT Kurncrfonn) mit ö^/oiger Salzsäure am Waaserbad war selbst nach IGstUndigem Krbitcen nicht ganz beendet, wShrend ^^^/oige Sulzsuur«? in wenigen Stundf'u die KoMung bis auf die von organischer Substanz bräun- lieh gefärbte KieseUäure bewirkte.
HenierkeiLswc^th i^^t, dafts h«i Behandlung der nicht zerkleinerten Glaukunilkörner mit Süuron , nach vollendeleni Aufschlusa die KieseUünre in der Form dei ursprQnglichen Korne» aU hallidurchücheinende opalartige compacte Masse znrflckbleibt.
Zur Kiitenoxydulbesitimmung wurde der (»laukonil mit 25''/Diger SchwefeUäure unter Kinleituug von Kohlen- ■äure zur JUisung gebracht und das Eiaenoxydul mit Chamäteonlöflung titrirt.
Summ« 100,84
Tq d eil tli eben Spuren wiinl^^ri in 1 f^ SiiU4anz weiter nachgewiesen : Cu, Ni und t'beü noch nachweisbar So.
Die grosse Uebereinetimmcing^ welche sich in der Z«- sammensetzung des Glaukonits und jener der GrQnerde (trotz sonstig mannigfach hervortretender Verschiedenheit*) ergiebtf auf welche schon vor langer Zeit hingewiesen wurde, ebenso die Frage nach der Einheitlichkeit ihrer Zusammensetzung liess es gerathen erscheinen, diese Sub- stanzen einer Theillösung zu unterwerfen und diese in Vergleich zu setzen.
So ergab die achtstündige Einwirkung von 2''/oiger Salzsäure (100 ccm Säure auf 0,5 g Substanz) am
') Die organißche Substanz . nur in geringer Menge vorhanden. reicht aber hin. um den Kieselsäure- Rückstand beim S&ure-Anfachluss deutlich /.n fiirbeii.
') Diese Verschiedenheit ao!l weiter unten durch tabellarische Ge^en- überKteltnng der namhafteHten Untersuchungsergebnisae an diesen Stoffen übersichtlicher dargestellt werden.
f.', W. r. tJiltuM; Ccber titc Grüncnie nm .Vonle BnJih 559
Wasserbad auf die feiugeriebeaen SabsUnzen folgende procenÜEwfae Zusammensetzung der L^nogen.')
2''/oigc äabjtUure lOst in 8 Stunden anf 100<* er- bitzt aus :
Glaukonit von Mt. Brione. Gesammt: 58.08 «/o
Grßnorde Ton Verona.*)
ntihonan iii Klnmnirj- di»; BnuHchaniüyfld'n lier hRtrcffi>n<lmi Stolfi'K
50,36 7,38 23.08») 0,91 4,08 0,62 1,58 U,0 = Ü,32 HnnimelOO;W
ft0,21
18,9a i,4:i
6,04
0,31
0,93
10,07
99,9:.
Thonerdeetc.
Eiaenoxyd
Kalki^nlt'
Biltvrerde
KaU
Natron
Glahverlusl
|
- 5ü,y9 |
54,80 |
|
4,28 |
7,88 |
|
-23,30 |
20,21») |
|
0,4 ■! |
0,20 |
|
Ü,:^l |
3,18 |
|
= 7,81 |
8,48 |
|
- 0,91 |
0,02 |
|
- 6,50 |
4.99 |
H,0
Summe 99,»7 100,80
Witt oRiichÜtch, ist die leichtere ZerAetzbarkcit dos Glaukonits durch Säuren in den ver/eichneton Helativ zahlen für die Losung in 2*'foij{er HCl deutlich au«- gfclrtickt. Wülirend von der GrUnerde kanm ein Viertel gelöjüt wurde, verfiel bei gleich gcHtjiUeter Einwirkung Ton dem Gluukonit mehr als die Hälfte der Lüsung.
rngettcbtet dies^-r Verschiedenheit in den Mengrn dis Gelitten reigt dessen prucentidche i^usamnienäetxung den- noch in beiden Fallen grodse (Tebereinstinimung.
*) Bin Thetl der durrli die KLutd autt ilirftr Verbioilunt; frei g»- wordiuien Klesfitflare ging hi die filthrte Saba&iireldRiutg dbrr. der R#«t flwrwlben wtirrle mit 5'/i»igür K&Ulatifi;e dureh m^famtflndigc« Er- hitxi'M nm Wawterbiul vun ik'ni iuumei/-tcn HtlclntAnil i^vlrrnnt. Datir '/.. : ilicMTf uncli iu KOH UVliciu'tt didf wunlfi ilir (ii^kaiuntt'
I i^ngo tiOHwhnpt I>(*i' Aitthpil iler in *V\f 'J"/oi||i- Saluänre
abej-gcfn^iigciioa SiOt tut der ßekafnintlO'uug MHigt beim QlaukouJt 123Q- M litT ilrOnenle n.M<Vo.
'1 MnU'rial der AnaljTM* l iler Orüjienlan.
') Kiflcn-OxTd nnd Chiydul «ind aU Za\i\*tn»nmmo angetotxt.
560 Sitwng der math.-phyti. OZaMC oow 5. Ikttmbm 74^.
Die Gpgenfiboratellang der beiüefOgtca BausehaailjrMO liast weiter erkeauen, daas die Theill&sangeD mit der Zo' aammeosetzuDg des Gltukouita die g^rAvi» AehnlicUiui, — ja in ihrem Häiiptbestandtheil. '1er KieaeliiuFe, fMt absointe Gleichheit aufweisen. ÄuffÄlÜge VentcJiiedexLlust (abgesehen von dem iM:bwankenden Ei^ogebalt) neigt ach im Wasserantheil.') Die Theüloetungen enscheinra lui Wasser reicher, als die Substanzen im (ianieen and xwar t>t«llt jene des leichter aufscfaliessbaren Qlunkoaits flchein* bor dua höhere Uydrat dar. Pemer zeigen die PartiAl- lösungen aocb höheren Bittererde- und geringeren TboD gehalt.
Die grfiert« Differenz /.wischen Theill&Attng und . analyse wevtt aber die QrÜnerde im Kieselftüaregvbalt lutf. Dia TheiUösuug fiUirt 5Ü.3P. die BiLuacbaoalyae rer- xeichnet '>4,S*^ und reciiuehach tinden mh im RAHutaiid, nach der Behandlong mit 2o/oigcr SaUtiäure, 56,17'/* KieseUüure.
Dieser höhere Kieaelaäuregehalt im Rückstaod deatd mOgb'cher Weise auf eine Beimengung Ton ungebundeiwr Kieselsäure. Der Äufschlusa einer GrOnt^t mit
Schwefelsäure und die uacbfolgende Ik-ii«;. i.-...g der resUrendon Kiesetsfiare mit Kalilange, welche vGlIige lA- sung bewirkte, schliessen die Gegenwart von Qmurx ao*.
Eine weitere Paraltelunter^UL'hnng vnn Glaukonit und GrUnerde bestand in der IMiandlnng der feiosk- zerriebenen Substanzen mit Kalilauge.
5°/uige Kalilauge hatte in 12 Stnnden bei Kocbhits» vom Glaukonit von Mt. Briune 14,2Ö^/ii zereetxt.
»» Die aogo«fil3rt*n (SlOhTerioatu füilTerenx iler ftIttliT»r'^" • OnniMii irad dv Bcatf) piib«n nicht Am Tollen WiUMTvrlüL beim (JhrtiiMi miUnrlinuiiit^. irimn »ni-Ii ^vi Sahainnz crbflht ilcn iilUhvMrluit nbrr dm I'> WatieTB, wUhrcbil ilie Kl'^^'hiteitigr Oirdining von t^rt Miftlnl XU Oxyd Juii OIüIiv^tIuiI (^t'ring<*r endieJnen L.-'.. --^--Li....- •tellen «ich hinr die lilUhveHiiiitc am Wvnigf» iiitHlnger aU der mtmU lirfae W&«*orfrebalt.
a W.r. GfmiKi: IJelftr die OrÜHtrilc com Munit ÜtUäv 5'>!
in ['roceulen der zfirsetzteii Menge waryii 5*J,00''/o Kieselsäure vnu ilör Lauge in Lüsutig (^enuinmen uixl an» tiein durch Filtrntion von der Ijd^unj; ^ptronnten Klick- sUndo mit kalter verdQnnter Sul/^ure weitere 2<),00''/i) Kisenox^J etc. iMts/.iehbar.
Von der Grünerde von Verona waren mit lO*"/© Kalilaage in xwei Stunden bei KocbhiUj? iri,28*'/D nuf}^e* :icliIo«wn mit •>4,0ö°/(i KiesoU'mre und 24,00 "/« I'*i«cn- oxyd etc.
20°/oige Kulitnu^e lintten in 30 Stunden Itei Koch- bitw 25,0 "/g wriot/t. Uievon waren 55,40 "/o Kie.^elHiiure von der tätige direkt gelfi^t und in dem dnrrh Filtration gewonui-neii TlClcki^Und dann durch kattt*, verdfinnt« Sal/.* säure 22,22 ''/o Elsonoxyd etc. löslich geworden.
Die eht'.n angffQhrti'n rntersiichung'*er^*'biii'*it**ne^lallen folgende SchlHsse (deren i.iiUigkfit si'lljstriMl.*nd vurlüiiKg nur auf dn>f hier tmt«rsuclite Material beschrankt gedacht wird) :
In Krwägiing, dnss TheilliJ>suiigen eine? Minerals, welches wiederum raeiöt durch Verunreinigung, fremde EinächUlft^f, mirhge folgte Zer- oder lUnset/.nngen kein einheitliche» (ianzt* diirMtellt, in den seltensten KÄlIfn mit diesem fielhut genau gleiche pnx:entische Zusauimensetzung der chenii&chen HeatAndtheile aufweisen wcnlen, dau Theillrwtung und (le- »annntbeTitAnd des Glaukonits von Ml. Itrione in ihren cheniiMhen Coiistitnenten im Wt^enilichen nahezu flhcrein- «tiumien, ixt letzterer nicht aU ein Gemenge, sondern als oinfncher Miucralkörper anzoMhen.
Anderseits spricht di** oben hervorgehobene, sich den- noch ergebende Vei'schiodenbeii dafür, ilw^t kein einfachem, BUB der procentidchen Zusamtnensetznng des QlaukonitH kurzer Hand abzuleitendem chrmiscbes Molekül vorliegt.
FOr die Itrllnerde ergaben mc\\ ächun in der Zuminmea- twti'.nng von Theil- und Oesammtltwung erheblichere Tnler- Hcbiede. und us vX fraglich« ob diew durch Annabnie einer complictrt>fri^n chemiHchen Contititntion genttgend lH*gHindet
1«M M*Ui. ftk;» et 4. 97
ri62 Siieung ^^Salh.-pkifs. daue vom 5. Desembtr lt&€.
crscheiuen würden, oder ob wir die Grtlnerile nicht den- noch uU ein Gemenge von, wenn auch sehr ähnlich ru- sammengei-etzten Mineralcomplexen zu betraetiten haben.
Um kurz einschaltend dos KrKebniss der Ein Wirkung von Kalilauge auf Cilaukonit und Grüuerde tu IterGhreri, so beweisen diese Versuche, ilass iu genannten Körpf^ro die Gegenwart irgend erheblicherer Mengen hydrull'h:bor KieselsÜtire ausgeschlossen erscheint, au» deren Anwewn* heit allenfalU x. B. die wechselnde Härte der angefahrten tirünerdeproben erklärt werden könnte.
Die angefügte Ueberaicht des Yerbaltena von Glau- konit und Qrünerde in physikalischer und chcmiKfaer Hinsicht spricht deutlich für ihre nahe Verwundläohnfl. die Hieb unter andurin in der grusson L'ebereiuhtimniuug ihriT Tfaeill5sungen ausapnebt, und setbat in den angefügt«« NebenbesUndtb eilen auftüUigu Ueberointttimmung aiifneÄt. Aber el>eii50 bestimmt spricht diet^e Znsauih; " i;
gegen ihre Identität. Der eine Schluazi au.s .. i .-r üebereinätimmung wird nicht abxuweisen sein, dKss ihre genetischen Beziehungen .-sehr nahe sind.
Vergleichende Ueberaicht des Verhaltens des Glaukonits van
Mi. Hrionc und der GrGnerde vun Verona in phyaikalifidi«'
»nd cliemischer Hinairht.
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Glaukonit |
lirOnard« |
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Alt r...u.', |
'^■-' ■ "^"vtlrCT ILfatilich gl'- iriMT Villi liiinkt'I- _. ..!.. . i.i iv-itivarwr Farbe, ot' : mat- tem i ::^..^.i.. |
breclii'n"!". ■ ftt ^' tl llfllbmilui 1 1 1—8 |
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strich |
•climutcig bellblangrftn |
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H&rtA |
tuiko $ |
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Si>ec. flttiiricht |
3.9^3 |
2,380— 2.»30 |
fhf
H^^S^Mtmutialdo. 503
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<i luukoii 1 1. (J rO uoril •- 1 |
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ScbmeUbarkeit LAtilicbkeit In S Suren |
& {OrthokU») 1 4-ß rAuiphiU)1-< MhoklM) |
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■25 '/»ig« Stilx- «xler !S<'hwe- 'it( bot .--■iiStdii- .iii (Vio romjMiVl L'ihomJc Kie«el- pAiiro. 2^/aHC1 IM itiSSltindtm |
2&*y» Stüx- mler Seliwff'^l- •Anre lö^^n dii» Ornnordo nur »U feinOM Pulvor oft .■1 .t nii>1. .'4>liit- iin<) raphr- Erliiiu'n mim u ' 8it'dpii , iinU'r TheiU ili?r KipjicUaun- uli 1o<ti4^rui> FuJvwr. i^M HCl UM. in B »tunOuii bei 100» c. a»^"/* |
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rinwirkniii,' wn KitliltuiL''' niT-'M- nt'n S |
:>'7flK01l h;ilt^in läStim- rt : Im In Lfl- ■*Hnn H<4i-«:ii ü2,U''Jo Kio«e)- wHiin^ iihil weit« iit vfr- ddrintci'. kiilt'T ?>alKWtui'0 2ß,(IO Kixi'llUXJ'il l'tC. ilUfl* xiohhnr. |
inVKOH MhIo»x in zwyi Stunili^n U'i Ru*libit/f im (iüiuen 1&.'28*V» auf. Hi'^- von wivren 54,tif;Of, Ki^^pI- minrt? ilinV' i--, (•'nlOiinti ti- ft)lg«iu) Miji.li 2I.I/7-J Ki-tcn- ox>'d ijIc. 2(rV«> KOH 80 Stunilnn «iif Ko<'lihitir.r ßulimi'btr Auf- «chlu^H : aS.*»"/». Hifvon 65.4i;''A) Kii'SpUriur« direkt fft*lthit — ■ ^ ' ' -. - ' in kulter, Vtfi 1 re |
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11 . I wuTvn |
I^..l 1 l. -.-rti» noch im^hweiAbiU' Zinn. |
SpeVtroiiViM ■ *- ' n «irkt- 'ar: [iilh'< KM|tr<:r , Uli" ...- ■%■ . 1 |
Aber auch mit den neueren Analysen der Grflnerden (SeUdonit) von uieiiriTfU Kundnrten stimmt die de» OUukonits HO nahe nherein, doss uo einer niiiierulo^irichen VerM.*hie<li>nheit beider MinoralauUstAniten nicht m>hl TcAt gehalten werden kann.
Üieä wird auch durch daa ithysiknhiwhe Verhalten des Gbinkonits be^äti^^,*) welchen, wie DOnnschliiTe n. J. M. lehren,
<) Oamüel. a. a. 0. S. isa
87*
küdi 4m OlMlnnto ■* nein im n
i|«r OHhKnle vom Xt ftü4o sad d«r noileB GlulBOal» 4« farfiwwigirtihi. 4m icK Mck «om £e
fe'm:h*'- Vormt^l h^r^chnen la>««D. fCr eine <^lbstfftändige erachte, im Min*rral-TÄteni anbelanj^t. v^ hernschen aacb hierüber sehr v»fnK:hi«rd»fn*r An((at>*rn, Werner führt diese Grünerde untfr fteinem Thonge»chIecht zwischen Bim«.Ttein and Cblorit aaf: Naumann-Zirkel »etzt -ne in die Gmppe Talk-SerpentiD io die Nähe von Stilpnomelan, KammeUberg erwähnt die Sab- «Unz )m OeleKenheit der B«*chreibimg. von Angit. Bauer aowie Ticherruak r*Hht hie der Glimmergnippe. Oroth der Kaolin* Pyrophyllit*Griipf)e, Hintze den Kaolinmineralien an. Deles^e l>ezeir:hnet nU U'.rre »erte die Substanz, welche Haay ab talc 7/M)graphir)iie heHclirieben hat. Sonnt iid bei den französischen Mineralogen die Hezeichniinj^ talc dilorite verbreitet und in neueren B^-chreibtingen der in den basaltigen Gebilden des VirentiiuHchen *) vorkommenden Grünerde - Substanzen werden
'; Miiiiifr. Ktmle 'in f ithoni-jin! etc. «In Vic^ntin.
I
die (hiiitrfäv vom HIomU ItnitUt. 5G5
iWvstt^ kU IVoilnits clilnritvux und serpentineiix iinrl Optc^ito nn^e- ftihrt, obwohl uuch <li<"«e Au.-scht*»lungen im VicunünUcheii, wiu ich mich ttber/,eugt hnbo, nichU iin<ien!s sind, ul« Cirünenie wie jene in dfit Mand^litteiDeii am Mt. Baldo und mit Ghlortt uder Serpentin in keiner U«ciehtm^ stehen.
All] imtiirgemäMieHteu Mchfiot. lys mir nuch der cheaiisohea ZtisauiuicnM'tKung uml di*r physikulisrhcn Kigi'iuu'liulVn S(*lii- donit Ulli Glaukonit der Gümmorgniiipe anzureihen, nicht nb^r der Thnn-, noch weniger der Chhiritgruppu y.iixu- wt'iiün.
iiesonders bc merket uiwerih sind die KnM:h*^inunget), welche mau an DDnuschlilTiin u. d. M. wubrnimmi, wenn in luLzteren mit der ^irtlnenle vprwnchsono Tbeile des Neliengeoteins aiige- ^bniiteii Mud. Die iiiQnerdo greift mit t:ineni, meist dunkel- grün gefurbt*ri, scharf abgegrenzten .Sinim in welligen Schlingen in den ben&chbiirten Maudelstein ein und dringt auch in ino- lirt^n «nregttlniSsHJg niiigren/teii l'uriit»M in dt^iiselbiMi vor. Der MandeUtein zeigt sich in dieser (irenv-region ?ifark zersetzt; die I1niiptnia<ise bildet eine woRserhelle amorphe Mawe, in welcher einzelne noch ziemlich frisch erhaltene, bei gekreuzten Nikol» farbotv*treifige Plagioklavulidetclieu und sehr zahlreiche, undurob- »ichlige, äcbwurxe, tui Miign^tei^onpulver reiche, unregelmiasig unigrenvte Flecke einge^chlussen bind. Von Augit- und Olivin- beiniengungen ist nichts mehr zu sehen. Es »»cheint mithin, das» di&ce letzteren fieini'ngtbeite und die ({bkMife /wisehrninasst* der Zersetoung anheinigefallen sind.
In StUckcben, in welcbeu diu GrQnurde mit Chaiceduu ver- wachsen i.st, zeigt ^ich keine schürfe Abgrenzung zwischen beiden Subetanzen und der (Ihulcedou wird durch in iiuiner Masse feiu verthctlte OrÜnerde grünlich gn^irbi, während der gelblich gefärbte Ohalcedoa durch eine auf etnx«lne körnige nUufchen vereinigte, in der Haaae Mr»treul ein- gebettete rostgeihe Substanz »einen b^arbentcm erbfiU. Solche gelblich« Cbnicedoue bestehen mich eioirr Aoaly»e von Ad. Schwager aus:
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,Ts«e. _ i*^>. .'Auu: ii^'jü ^tari zei^etzT. aus doch noch deTHÜ;!
Ä-Luv-a^T!- '»-nicuiitatiie!!. ::iimäch JU3 >^br reichlich tct- »LiiTUfiu. la'-icii'Triiiip'in -VaiTvÄiii:;. A i'X"!. Ma^eieisen. OÜvii
iu u^i ,iitsu:'.iii»ru. -rari ier*tzten Zwi^jcenmasse. Per ii».:-. T»,i^t .tr'iiiiL-:*c "Tvairbarseic uc-i die braune FärV-n; n =■- i. '•...-r-'*, ^-^xt •iTf'-'iZ .'ri'ist -jiir Sä'irei: bthan J-:t ni':':.
. . -. - .1.1 -d.-.'. ffT^L,'- A*J--' :, •
-r ir: -i.-r N\;.- i
-:: fr:-.h iiii'l 1».-::
C. W. V. aumbel: L'eier dt* ürüHtrde lvm Monte Baldo. 5U7
eigen /.a »oin pfl<>gt. Die Oünnächlifle hibiieii n. d. M. aU iienien^liüil*' PlaiziokUs, Au^it, Mn^;neU*i>en, TiUnoiücn, Olivin, Anipliibol, liliumier, Apatit« Glas^wiacheniuaaeif* und eine grilne Substanz erkennen. Per IMuirioklti»« niachl dii? Hiiu)it.niiui$e uns und ist in Kurui suhuiHler leiüteiiförun'ffi'r, wa!Mii?rheller Nädclcben in gluictifüruiiger QriW><> durch die guuzi; Mnssv vertlieiit. Der Augit ist hüllbrftua geÜlrbt, durchsichtig mit kaum wtifamvbm- tukreni Pieochroi^inua und von Ktemlich wechselnder Glosse. Kr nimmt keinen grossen Antheil an dvr ^usauuntfnjetxung daä Oe»teiiiB und lasst zuweilen eine tbeilweise Umwandlung in eine grilne^ AggrcfifutpoltiriAation zdigende Substanz erkennen. Der nicht .sclk'ue Olivin ist iimi fKrldos, iin den tfÜndern und an den durchziehenden Riaseu niei-st »fcark zer^ietset und uiuschlleäät klein» Mftgneteiä«nkryäiällchen neben Picotit üellgrQner Aniphibol und dunkle GlinimeraclillpiH^beu dind sehr selten beigemengt. Ein hervorragender Gemengtheil ittt Titaneitien in der charak- teristii«chen letstenförmigen Anähildung. Dieser Basalt i^t daher ein typiMtber Dolerit, wie er auch an noch mehreren anderen Stellen im Mt. Baldo-GardHSiw-Oöbiet, %. U. zwischen Tierno und Bi«Agni» unfern Mori, und bei Nugo angetroffen wurde.
Der Dolerii Ton S. Valentine besteht ans: im Ganzen (I), der PliL^ioklas in deni»el))en (11) und der dichte Baaalt von FontMihel liei Brent^jnico (Itl):
I IP) IIP)
Kieselsiiuro 50,00 63.93 42,58
Titanoxvd 1,25 — 2,24
Thnnerde 10,50 27.50 13,:i6
Eisenoxyd u. -Oxydul . 2(5,00 4,68 18,16
Miuiganoxydnl . . . Spuren — 0.24
Kulkrrde 4.30 5,33 12.72
Bittererde 0,50 0,88 4,76
Kali . . 1.93 2,00 2.04
Natron . . , 3,20 5.58 2.48
Pho&pborailure Spuren — Spuren
GlQhverlnst . . 1,75 0,10 2,16_
Summe 99.43 1 00.00 100.74
'l AitiUjTBt' 11 uml tu vun A. fk-bwag^r.
AUe ODlenMdile ÜMÜfte am ttt BaUo>) uad gebdm des F<U>pAtbbft«alfc«n, wie aocfa fiMt jaa« da beoAehbarten Vemomer naj ncgutüii»glw8a Terülf^ gebiet«,*) an oad UnBco »ch in dw Kwei Gruppen d«r deutlich l^ry•tallim•M^b-k^nttf^ Dolertte ond der (Br da» uobeir«ffii«te ^ ArJK^ »cbeinbar dichten Feidftpmthbasalte, w^he di*^ ir^tWle Anuhl der VM-kooiattHM aawBMachen ariwinei].
Mit diesen Dolerit von S. Valentino xooicfet kl der Baialt io der grabenurtigen Vertiefnag swueben i : it ond Kago, welcher xwincben dem Hanptoumma Uten kalk und dem oberen mitieleocinea KuraintiliteDkalk d«e Bttr|;ber^ nm "Satio lifgt. In Heuiüelhen machen die Irtitenf&rmigen Ptagiokla»- tü(l«'tch<?tt ((e^eii '/« der (^nzen O^vtdiWfflttMe ans. Nach dar Aoalj«e (II), in welcher die KieseJ«iaro durch DiOereos bv- fiLiiiiriit wurd>-^ gehört dieMelln* einem kutkarmen Labradorit aa {.\. Schwager^. Daneben i^t Hehr reichlich leisten fTmiiips Titaneiiten rorhatiden, ebeni» eine bmungelbUeh geßLrbte. ua- r<ri(cluin««ig hegrenitU', polarisircnJe Substanx, welche die Stelle der Meeostanä vertritt. GrOner Augit and «dark Kenvtxter (Hivin iitt npärlicher, .tehr vereinzelt Apatit vorbanden. Vo* einzrJt vorkommende Blai^cnräume ifiud mit Kalkspaih an»- gefaltt
Faxt genau von derselben Beechaffenheit ist der Doleril, welcher untcrhulb Uesagno bei Viana nnfera Hori tu Tag aUflgeht; bei demselben tritt die braungelti« Zwiächenma«^ iiiebr xnrOck und Ohvin ijit häufiger vorhuiiden. AiiKter ApaliloJülel' cbvn xingt sich spurweise eine vioit^ttblAue Beimengung^ wekibe ala Ilaujn zu deuten i«t, welcher reichlich in dem Anatuegit- nrtigfn Kuxtilt von Sacco bei Rov^rnlo viirkornmt. Dieser BiLsalt vdtt Uoveredo zeichnet äich Überhaupt durch ^nl»« Kigentfarimtiobkeiten au». Kr geh&ri in die Gruppe der : Mp>ithba»alte; der nadelfönnige Plagioklas ist besooders reichlich
*) E. Niooll« r Ntfi^ri in Aui d. U. M. Venelo m. IMO. 40 *) Knnfer Ch., Thfaiei per ßtwlr <Iü tJUinmqiM. • • ,
t#rituire lin Viitmtin 1691 : Arlini, Appnnti [H-tnjijr Korre th-l Vriivto in Atti d. R Ut VrditId etc., k Uli. |^ -Jbä.
r. W. r fHtHbfl: Uthtr Se OrünertU com Monte liüi'Ui. o6t)
vornftiuien. an.v-K-nlfin .\u^;it in klfint-n Kryställchen iit il«r rliaiiptiiiiitöc* iinü in ^rüssoren Kryätullfit riiij^oistriMil, *^Urk /.rr- F-ter Oli?in ist in nmdliohen Ansseheiiiiin^en bei^mftn^, die Zwi»K.*hi»ntims*ie bildet ein holle*', ?.. Th. Imiunlicli jjHfärhten (»liw. AU besondere KiffentliOinlichkett ii»t die rnichtichH Kvirncn^iMiij; Ti>ii violrttlilmiem Hatiyn, <ter ioAi iu j^leioher Meti^^u, wiu diu Glad an der ZiieAnimpnqet/.un^ »ich betheilif(t. Nfl)t!>n «pnrlich vurkfiimiiHiidi'm Apalit und ntK-h ■seltener kleinen, stark |>leo- cliroitixclien bnvtmen liliainierschn|t]icheii finden sich j;|Mtnidij?cli eingi>iitn>iit grlVssere Au4*Rcheidnn>;en, die dem Knstatit an^eht^iren. In den /Aliln*icbeu Kliist^iirünnien sind tVldjtpath und /«olitht* unmi finden.
Von der T^woiten Gnippeder FuIiLipiitUbiLiulton von dicliler Struktur wurden die Vorkominniiae von Fünb-cbel \w\ Ilren- lonicti, Besiignn unterlmlb Bn^nlonicu und der Kulbinsel (.>igitrini bei Maicesine um (jardunei' nntersncbt.
Der Basalt von Fontnohel (Analyse U) ist s*rbr diciit. besiebt {\^t im gleichen Tiitiileii uum leii»tenföriuigem l'lagtnkbui und luuiHt gut au.sgebiblrtrn, riHblicIien AngilkrystiUlolieUf dann auä kleinen 7..'rh.au»kryatallitiirtonMagneteiäenki5rncben niid wenig glasiger, steltenWL'iütt gelblieberMeMo^itjLsw. Ülivin i&tbauptaiiclilieb eingesprengt, an den Hiindern und Kisaen zu einer grQnlicbeu Macue /.er.wtzt. In kleinen Bbiäeuräumen xeigen »icb Neuan- siedelnngen vuo Kalbtpath und Zeolithen.
0er Basalt von Besagno in der Nftbe dea oben he- «ehriebfnen Uolerits und demselben /ng basaltiger Qcstcine an- gebörig verbftlt sieb ganz, ähnlicb wie der ron Pooteebel. Die Ht.t>tai)dMH'ile, namentlich dir Augite sind etwas gri'iftiter, letztere auch etwaig häufiger; der Olivin erticbeint in Kiitaprenglingen und in der Grundiuatae vertbeilt in r» Th. gut auskrTatalliäirten Kltmem; Magnet«?i«cn findet sieb in nici«l aiwkry»tulli»irten Körnchen und iu staulmrtigen Mikrolithen. Benierkenäwerih Bind äiUMentt feine, lange Niidclcbfn, die hanptA^blich nt-ben dem Plftgiokltt auftreten. Sie gebi^n bei gekrcn7,t«n Nikols keine Farbenreoktioo und scheinen dem Apatit anzugebr^ren.
U«r AuamwiUartit?» fe i n k ry ti t« 1 : ou»»ehende) Basiilt »tm der S. K<.»c>in^k' von Nagü ii(t etn Fc]d»patbl>»Mnlt mit --i:ri..>i kliuiDädtilchon, uubentimuii umgreuxtiMn Auföin
tener mit b»aalti»clier IIoi .li.... . ...vinbota««
ZerMtxungMuhfttaiis, ApüUl und Kürnctiffii *«« M leiKl«nförniiges TiUnciscn.
Ein uahe/.u di^iliter, hociMt fcinKryöiaii BaMilt bt'i der S. Thunimaso-Kapelle mm Ai uach Punuone enthuJt. ida Hnuptmaatio ein dcncH (leiriPHf^e von IMii^ioklaa und Aoeit reichlich einKe&treulen, gut umfifreiizteii riii'*"'^^- und AiigitkryatallAn. Dan mchlich t>ii. urKcbeint in krj^UlIimHon K5rncheti, wie bti Hchritibenen Basalt; Olivin bildet theils rundltdM linietclie Einsprengungen.
Baanlt von dtir woit in den Gardasee LandKUDge von Cn^a Gigerini S. von Ma dicht, tief schwarz gefilrbt. Er bt^telit a<t- ^ rüthtich-braiiner Glasiuaj^H«*, in welch<»r lo< i
von Pbi({iokIn!«, kur/.e Kr3')(tällrhen von Aiunl k^ruchcn von Magucteisen eingebettet »itid. C llieild gut auskr^rstjillr&irt dor Me^OAtaHi« beiaes kleinen imregelniäasigeu ButKen, in beiden Fi vom Rande her und an Itisi'ei) fortechreitcDde Apatit ifit selten. EigenlhQnilich siud ku^oli^e ( kreisförmige) Ausscheidungen von Kalks]>atJi einer in Säuren unlöälicheu llinde, ala AusfUllati- räumen.
Der Fcldüpntbbaaalt nm Bargberg^ von ausgoxeichnel durch die reicliliche Beimeni^unir mit eingeatreuteiu MagncUiHenpulver, oft HyuJoi färbt. Die Plagioklasnädelchen sind verbüjfr- ■ Magncteiaenbeimengungen reichlich iu kr. eingestreut.
'W. r, Gümhei: üebcr die Qruncrde wm Monte Baith. Jj71
Uaü&lle erscheinen mit ihren Begleitern den Mandel- ~ **ind TnlFen in deckenrormiger Atisbreiiung; nnr st>IWn ■es, «Mnfu ^fiinumlij^en Duruhbruch wahrzunehmen, wie Olivenhain oberhalb Arco, Es ist ?on sich selbslver- , düss diese Tertiürbaäulte duü uuterliet^ende ältere Ge- lutgartig durcbsetzcu uiUssen, wie man dies so schön an 'e&saltKÜngeD. welche die ScAglia durchbrechen, au der von Valdagno mich Mt. Novale und am Wog nach Casa 4(ara alt» bei Valdagno beobacbleu kann.
ie Mandeliteiue besitzen durcbwcf( die petro^niphi^che
4iueD8etKung der liasalte, mit denen Bie verbunden sind.
^ic Hiiufigkeii der Blasenränine, die in diesen angesiedelten
^Mcben Zersetz ungsprodukte und eine fortgesclirittene Uni-
f^f^ mancher Hesiandtheile /.eicbueu sie vur den dicht^^n
^tten aus. Selten sind darin die Plagiokias verändert und
^^xt\ auch die Augite und Magueteisengeniengtbeile zeigen
n «ine erlitteni! rmbildnng; dagegen erweist sich di^r Olivin
r üder weniger zersot/.t und ebenso die Zwiscbcnniasso viel-
I in QrOnerde umgewandelt. Die Mineralansiedelungen lU
Blasenrünmen sind meist ItindenfiberzUge über die Blasen*
(idungeu, selten volle AuäftUUiugen. Am häutigsten kommen
. inerde, Chalcedon, eine Bolus-artige Substanz, Zeolithe vor,
»falleud weniger häutig Kalkriputh. Bezüglich der bolartigen
bstanz ist /u bemerken, dass sie nicht selten grungeilirbt
jh zeigt, dabei aus zahlreichen radial fanerigen Kügelchen be-
iht, die in p. L. l>ei gekreuzten Nikols das schwarze Kreuz
abmehmen laAsen.
Sehr wechselnd ist die Beschaffenheit der Tu f fc. Ihre
iehr oder weniger deutliche Schichtung, der Eiuschluss von
organischen Ueberrestcn, der Mangel an Blnj^cnränmeu und ein
nei&t Hehr beträchtlicher Kalkgelmit lassen sie von dem stark
verwitterten erdigen Basalt und Mandelstein unterscheiden. IC«
^sfc jedoch die Trennung dieser Gesteine nicht immer eine leichte,
enn nur oberflächliche und auf kleinen Raum beschränkte
uttichlOsse geboten sind. Ein lebhaftes Aufbrausen beim Be-
tupfeu dos TuSk mit einer Saure ddi'fte ziemlich «eher seine
Ö72 Siisyng der math.-jAyg. Claue vom S. Dcitmitfr 1099^
Katiir verrathen. Die BeschafTeubeit iiml Zu>faumiea^i'tzuutf : wnhlnrtlirh ViTscIiieden. h^ihderOrtliienliflä^er^tiill« Ujiiacbi Torsteincrungsreicher Tuff von Sorne mag aU Heispiel dienen. Ab detAen Zu&iiiimenHeUuug sind, wie die achwierig berxiMteHeo^ DilniiseblifTf u. d. M. erkennen laitsen, Ausser den mpcrt sni dttti urgat)i»chen t(«icli aUiuiuendea Kalkeinäcblassen als Rerfe 4er imprflnglichen ßusalt^^umengtlicile m erkeunen, ma^ rStfalJcIt- hrainie, durchspheini'nd umorphe Mjuee, A^t Glflsmesostami enl- itprechcnd, scbr selten ilbnlich (gefärbte lebhaft poUnsirende AiigiUbeilchen und Ma^netetäcnkörnchen. linxi'rsetzt gebti«b«ii« Plagiokladtindelchen koDoten nicht bestimmt erkmnot wen)». Als Neubildungen, welche aiis Zerset/.iingen herv sind, tret^^n in grosüer Menge durch eingestreute« feinstes dunll farbige» Pnlrer getrtibte amorphe Plecken, dann in randliek« Partien ausgeschiedene typische Grflnerde, ein« fosrig grün* gefärbte Substanz, welche am der Zersetzung ron Olirin und Augit hervorgegangen m nein ftcheint und tiot x«(dftbi»clir lioiniengtiug auf, welch' letztere deutlich dadurch erkennbar ist» da« da« feine Pnlver mit 10'*foiger SaI■A^änre beband- '' '*- iinirt. Ob diese Zeoüthneubildung l>ei allen di'«*«« T r-
knmmtt wäre weiter zu unterRucbon. AU durch BeJJKhw^ur ninng eingefnbrt »ind (juarzkömebtM) tn be«ichnrn. wl'IcIi^ !i|HirIich sich vorfinden. Weder Cblorit, noch Pennin, nodi Dideiuiit, welche Munier*) in den sog. BrecciolcA des Vicmti- ichen al« Öcmengtheile angiebt, konnten hier nacbguwie««n wardan.
II. Qeologische Verhältnisse.
l'ebw die geologischen Verhältni*«e d«« Vorkommeni der »irflnerdc um Ml. Baldn ist in «nff '' ' - Wm^e kaum nielir bekanntgeworden, als dass t.\< ifral in ein
(iil'llgi'ii <liwt«in in Be({leitnng von Basalt angetroffi*n wird. Der
Kimdurt iTit zwar auf der fltr ihre Zeit vortreffl" .-
-ti... l,.''i Kiiil'* >h"i •nnniantKtiM^hon VereinK fTlr 7i
'I Muiikur iiua.0. a IM u. IT.
0, KT, «f QAmtid: Veher die (rrAru-n/« cvm Monte }tiJth. Ti7S
arlbe^ angegeben, über mir bei den uu^ewicfanGteu Kenni;rii der Miaenlidn Tirols Liebeiier iiud Vurliauäer Hmirn wir die näher«, aber kurxe Angabe, dass das Mineral auf Gängen von einigen /oll Mächtigkeit', im HoitalLtuff in »Mor Kf^Ieiluug von Itrüuntich gelbi^ni HurnsWin. welcher mit der tirOnerdp ver- wuchüün iät, niid vuu Druden mit Quarz, CliuhtHJon und iitir^i;' krysU&Jl vorkommt.
Ks frtt;(t isicli nun, in welclier geulo^iäi-lieu lie/.iehuitg diese basiilii lachen ixe^teine ^u den im Mi. Uutdfigebirge ent- wickelten nilduuKeii, innheäimdere zu den ihnen xunuch'it be- nuehbartj-'u Alil»geriingeD nteheu. Uiu diu»» VerliultnisHv vm erlüiiWrii, crweiAt t>8 äich tkU nothweitdig, einen wenn mich nnr «anz flüchtigen Blick auf den geuloglichen Aufhitu dieoe» groctft- artigen liebirg-sstock» zu werfen, wie dereelbe durch die neueren rntcrsuchungen und Schilderungen von Oppel, Benvcke. liittner, Vucok, Niculiä. Taramelli, Viuu<sHa de Uri^nv u. A. Itekaiint geworden ist.
Die Betraubtung der liui«eren Form des hohen ßt.'l>irga- Iheils zwischen (.lardaseo und Ktsehtbal, zwischon dem tioid- iUlieni-scheu KJiu:hlnud und der Einbuchtung, die von Uim nach Mari verlauft, läitet deutlich erkennen, dass der Stock de» Mt. Batdu vun Uichtungslinien beherr-cht wird, welche von SSW. nach NXO. ziehend in der «og. Judicnrii!ii!t|mlU' auf die deut- lichste Weis« ausgeprägt i»i. Bcze^ichnet man diese Richtung, in welcher da^ Mt. Buldogebirge kammartig WL>ithiu uujtge- streckt i;>t, ali« die der Länge, so Uasi sirii die fast ref:ht«'inketig XU ihr verlaufende Kichtung^^Huie. welche im Süden und Xurden den Oebirgwtock abgrenzt, aU die der Quere bezeicbuen. Wir können also sagen, das Mt. Baldogebirf^e wird <>;einer äuaaereti l*'urnj nach von zwei nahezu puralleleti Lüug^furcliun. Garduiee — Et«cfalhnl« und von zwei Vjuerabbrachen am Seid- und Nord- abfull vun den benachbarten debiett^n uU »ell)«tbtändii;e.s Glied der äüdalpou liMtgelJJ^t. L>ie»er Ausgestaltung entapricbt auch die innere gnolugiscbe Struktur diu Gebirg».
Verhaltnidsmäesig schmal, nur gegen 10 km breit, dagegen ülinr 40 km lang erhebt »ich der Mt. Baldostock, auk fast
SiUutuj d<r math.-iihys. C7rt«f com S. hesemh^r iSBO.
aiifläi?IiliK«licb einsf^iti)^ nnch NW. )^(^neigii!in Scbiclil^e«t«in Auf- gebaut, karani- oder riffiirtig 2150 m über die Wasserfläche dae Oiirdnsee's und der i>Odwiirts angeschlossenen Ebene.
l<ls liissk sich die HeiTifrlinfi dipser Ivän^Rrichtnngen als fav din^t durch das V'iprhaDtlmiHeiii eincä alterif uim kr\':4tikllttitAclian Felsma:i.''en heiitelieudeii Gebir^äratideä analog dem Ton der Don Ttiparia KW. rou Turin iJber Ivrea nach Arona abj^e^ n
IVgebirge anffiLssen, an welchem die jüngeren HfilJmem- doin Westraude der Poebeoe entlang;; in die Tiefe ilor le spnrlris sich ab^e«enkt haben. Die Schichtenbildungen im Herr- selinftsbereich des Judicarienlandes haben ^ich erlmlten bin nr nordiialienischen Ek'iie, wurden aber glciclilnufend mit der LüngäHchtnnf; durch die geotektoniflchen Bewegungen inneibald der alten Gebirgsmasscn durch S«*it<*n druck /.u<Jimni''n«jepres»t, gefaltet, heben- und itbereinander geschoben, zugleich auch diifch QtKtrbruche zerstOckelt nnd stcllenweiiie verscludifMu
Als Folge hiervon traten Senkungen und li^iufiorpre^uniTen einwlner zerstfickeiter Gebirgstheile an den pnt«tandetien Rnlcttcn nnd llisson ein, durch welche an dem anningli^h einfarhen Bau, naujentlich wenn, wie Torau»KUsetxen ist, Gebirg^ntilrungen noch* träglich sich wiederholten, in vielfacher \Vei«e weitere Aeod«^ rnngen bewirkt wui-den. Nach dieser AuHiia,--nng l&wt e» akh verstehen, dasif die BauptbrOcbe und VerrUckung^apatten in der Längeurichtung sich erstrecken und deiuentsprei:hrud« da» die Gebirgw.Üge /.ouenweise von SSVV. nach NNO. verlaufen, ■owio dasä verhältnis>4niÜ4.sig weniger bedeutende .SUtrungc^ti mit dre QuerbrQchen verkntlpft inch zeigen.
Solchen Lüngspressungen in Verbindung mit in glvieher Richtung erfolgten zonenweloen Absenkungen verdankt auch der <iebirg3ätock des Mt. Ualdo seine Uauptform. die dann dun-li nachträgliche verschiedenartige geulogische Eingriffe noch man* nigfache Ahilndernngen erlitten hat. Kine HauptlioL-' i \'
/.one und ein growartiges Absenkungttfeld wt durch Uefung des Qardasee'a gekennzeicboei. Ihr ungeßthr paraUnl verlaufend begrenzt rwtlich vom Kt«chthal den Uebirgvtr>ck eine Bnichlinie, welche dnrch weitere .Ausnagungen dem Ki»chUu]
0. M'. r. ffuntM VrhPT dir OrtburtU com Monte Bahio. 375
winff Richtung jjab. /wischen dem Hauptgebirj^Hkaiuin, von dem die Schichten ziemlich ({leichmiis-si^ zum OrtHiwee einfallen, und dem Steilabbruch am Westrand do« Ktachthales zeigt eich eine weitere mittlere Abbruch.H- und Senkungsxoue, die ron Cftprinn bis Mori un'l niKh weiter nordwärts sich fortsetzt. In ihr sind reichlich jüngere, tertiäre Abl^erungen mit XummU' lUen und vulkanische Bildungen von gleicher Art wie im be- nachbarten vicentinischen und Veroneser Gebiet (wie sich anch Ht4)lleuwei»e Telurreäte am RuiiJu des Qardiuee-Niederbriielis erliiitten haben) Obrig geblieben. Auf diese Weise glie- dert sich das Baldogebirge der Breite nach in den hmg ge- stTt-ckten Uauptkamm mit den höchsten Cnpfelpimkteii, einem vertlacht /um Gardasin* geneigten Abhang und steilen Abbruch- rand gegen die mittlere Hrnch- nnd Senknng8y/ine, welche als eine verhaltnissmrissqg mehr ndcr weniger unebene, schmale TerriLHHeuflüciie, »wischen dem Kauptkauim und einem mit letzterem pamllH /.iehenden, wieder höher aufragenden und steil Kum Etächthal abfallenden Gebirgsrücken (Etschthalrand- gebirge) eingeklemmt, sich der Lunge nach erstnK'kt.
In diesem von tortiUren Knmniulitenschichten Ober- deckten Zwischeufelde acheint die Ablagerung ursprünglich eine mnldenfiirniige in Mitten des Hnuptkamuieä und des BUchthnl- raudgebirges gewesen zu sein. lu der jetzigen Lagerung der Schichten ist dieMlbe fast rlMlig verwischt und nur atelleuwei^e wie «irischen dem Mt Cerbiol und Acque negre noch xa er- kennen. Denn dieses Tertiärfeld ist nicht einfach abgebrochen und gesenkt-, sondern vi**l|'ach von Liuigaspulten iiurcli7.<'>gen, im welchen ltipf>en und Schollen der alteren, den Untergrund bitdiMiden Geät^insi^chichten mitton zwischen den Nnmmnlit- ablflgerungen bi^j zu Tag aufragen.
Am Sndende de*4 Oehii^jrfMtoeke« wendet iiich diesea Brnch- ffld Ewischen Caprino and Ganla fast rechtwinkelig, wie aach die älteren Schichten hier ihre Streichrichtuug in eine «ist- wefttlicbe uumei'^en. Daiiiit winl eine unfiingliche Verhiudnng mit den NuramuliteuKhicbten des Garda$«egebietcs vermittelt. An diesem SQdfuuie dei» Gebirges (Mt. ßetpo) «ind die Tertiär-
57l» Sititttuf der nu/A.-jjhyit. CloMC t-om S. tictember i£t96.
Ncliicliten uAbwärb vuii Caprinn bui ItuliiaQu, Pesinn und Ga'^tioDf »liirk ver»t{)r7.i und »ogar überkippt gelagert.
Diesem äusseren Bau des Uebirg.s.'^tocke» cnUpricbt aaci Hie Zusamniensetaiing aus ver:*<:hiedent»n Schicbt<-iiti}'s' -nl
(Jwtotnsmaaöen. Den tlauptantheil göwiiitit jene >..„ ujc
EiitH'ickluDgsform de» LiaBsystems, welche aus den Itcrgeo i^atwürU von Kovercdo al» pBuiizenrcstereiche Uotxu- aiid marim* Versteinerungen beherbergende Noriglio-Sehiclurn kb Vorbindung ruit bellfiu-bigen /,. Tb. gelblichen und oolitbi^cbea Kalken bekannt wurden. Ks «ind vorhernichend dunketgraue. niergrbge, tbeils dflnu-, Uieils dickbankige Kalke. ' n
mit /.unebuiender * mehr kr>»U)lliDi»cber iic^cli uf
lichtere, ins Weissliche Übergehende Färbung anneliiiH!D, «nr 810 liiuiptiiu'blicb den Oipfelkunnn krönen. Die Pflanzea* einscblliuäe sind auch nui ML lialdo, wcuigtiteu« im KO. TltdJ de.s UebieU, z. M. am ^^ornethalgehunge, »>hr häufig, so du» sie hier äogar un der Uitdung von frOher abgubaulco l*i-(b- kobtenftOtychen weitentlicb Theil nehmen.
Va i«t autt'allend, dass Über dieses merkwdrdige Kohlea- vorkonimeu in neuerer Zeit nichts Näheres weiter Iwlaaal wurde, obwohl da&ielbe in einer alteren Schrift .Dtfi cvoiIa- stibili fuääili cmstenli nella prorincia Yeroue!>e del conU Ifpi. Uevilaciiua Laxise iSliJ' be<k:hriebeii wird und die Lafirr* Bt&tte auch in der niontaniätisch-geognostiscbcn Karte eiotic- «eii'bnrl tfiob findet. E« mögen desahalb einige Bem*rkun|f(-Jt in dieser ik^nehung hier eine Stelle 6nde».
Wenn man von Corno bei Brentortioo den Weg nacb Chixziila im Ktscbthnl veH(dgi,80sJehtman nahe vordem Aiüc^ritt thaU aus dem Gebirge oberhalb CUixzuU auf beid " -*■
ThaU eine Aouüil alter naldeo von Stollen, welche nong der Kohh» getrieben wurden. Auf dicwn HaUra liegen da oder dort noch Stttcke der Kohle, v*' ' •' den al' ^ >•
kohlen fthnlicbe B4*Mch4HVabeit beaitzt. _, i. •riot^r f'> l ^
asipsbÖrt iiud wie steh leicht ermiUeln tätest, anf FlOt/eu der liaM»chi«a llntiiHH-hicblm rinbricht. Di« an (*fi.r ''^*8**
[igen Kalkplalleo, awirchcn welche» u«- uuui' iHi^vit, uMf^fi mit
C, ^. V. (iämhel: Uehcr iht Oriihenle cum Mimte HaitUt.
-8* nach NW. ein und .schliessen uns 20 — 25 cm. inüchtigf! Kohlen fl<)tKchuu diu. Auf Jer SüdÄeiU* de* Thale« waren drei HLolli'ii, Hilf der Nordeeite eiii StoKon nn^clej;^. liCiner derselben ist noch auf 7 m. Lauge offen und lässt dus Anstehende de» KliU/.eH erkennen. Diiß=ellM* ist hier sehr unrein. ß<;hwefelliie«- hnltig und uni^eilingt unlmun-Hrdi^. Lieber diifsmn nuiipfllnt/chcn flieht man noch inohrurc schwarte Streifeben zwiccben den Kallc- biiukfit lim GebiinjLje gegen die St. Aiitonia-KujH'lle uu»(treiciien, die gleicbfalU kolibgen Kiulagemngen enUprecben. Nach der Angabc von Bevilacqua wllen diese Kohlengruben mit 0 Mann belogt gewesen Hein und die gewonnene Kuhle theiU r.uni Zicgel- brenncn viTWendcl, ttieiln vci^iicIiNWotsi* bei der niiliUlnnebeii KiKL'tigj»««»rt?i benüt/.t worden sein.
Von ihieri»uheti Henien i^fc die oft giui» Schichten r.n- »ilHMuensetzende ansterartiije iMhiotis aU leicht wahrnehmtiare^ Ki;nuxeichen iiebt-n Mrgaloäon pamÜHJi und TerrftraO-tn (T. HotMOann, T. Rrnivri u. A.) besonder» hervorzuhelwn. Diejwr Sehichtencomplex bildet das Kekeuritf des Gebirgskamms« deäaen LilngKorstrecknng die Sehichteu in» Sireichen folgen und von dem weg sie in fast gleicher Neigung mit dem <iehiinge nach NW. bi« xum Ganlaseeufer sich niederziehen. In Folge dieser Lngerungs weise finden stellenwei.su grosse Abrutscbungen über die nur etwa 30° geneigten SchicfatenflSchen statt, äo dass am Odtufcr des See» mehrfach kolomale Blöcke zu Febenmeeren, wie in den Lnvini di Man:u bei Mori« aufgelmufl üind.
Auch im Kt^chthalrandkanuu tauchen dieselben Schichten Ober einer als HHii;it.di)liiinii uiigeüprocheneu Unterhige wied<'r auf und lassen das gleiche Streichen und die gleiclie Fall- richtung nach NW. erkennen, wie im Houptkaram.
[>if.' Seltenheit Mdcher organi-schor EinschlCUsti (numentlicb Ammonilcn), welche auch in uuiti>emlj)incn oder in anderen alpinen Lia^bieten Torkonimen und eine weitere Gliederung dicMM .Synternft erleichtern, macht as biä jntxt nnthnntich, diese grauen Kalke in be^itimmte Stufen abzutheilen urtd mit «ilredern anderer Verbreitungsgebiete in geiuiue Parallele xu etellen. Wir n]fl<ssan daher dir«e grauen Kalke im llanXfU aU einen Fncion-
l;<ac. HaUi. ptijr«. CL I. 30
578 SltMMng der matk.-phjf». CltU9€ mm 5. itrirml-^r ISK.
siaWvt^rtreieT des Gesaaioatliassyateius, ähutich wie die AU- gäUHcbicht«D in den Nordalpen^ anffusen.
Dabei matn auch naf die luerkwQrdigc Tbateaehe an&Mrk* sani gemacht werden, daas westwärts vom Garda^ee «ofort dav Yüllig abweichende Liasausbildnng Platz greift. '=V VVestufer des See'ü bei Qargaano am We^ nach 1 weiter in diesem Gebirge, z. B. atu Pizzooolo, im Sarootivü fad Volano, im Ledrothal bei BezKecco and selbst an der Ptimh^ Strasse nahe bei Itiru besitzeu die LiaKschichtea auf IcAnm 3 km Entfernung vom Gebirgästock« deit Mt. Baldo eine voUfGbidi|E abweichende Beschail'enheit. E» sind hier Torberrschend graae, bornHteinreiche Kleckonmergel mit ziemlich xahlrmcbm Ff^ st«irii*rnn}^eti, namentlich von AtHmuutten (Mt. Pimocolo), in Allgemeinen vom Typus der Oesteino des Br«acianer Odiieb, weicht" uns der beste Kenner dieser Gegend, Hnggnxoni, wi «ir- tr«^il'iicli l>e^brieben und iu ihren venM:biedenen AbtcLafuogBt kannen gelehrt bat. Wir werden sehen, wie diene Vvracfaiodc«- heit in der Scbichtenaasbildaug o«t- und westwärte vnm Crarla- nee in illteren und jüngeren Ablagerungen aich wiedvrhnU, m V<*rhulten, welche» unzweideutig auf heteropische Kntwicklai gebiete hinweist.
Die Liasschicbten des Mt. Baldogebirg» haLim am fuw des llauptkanmis, wie am Ebtchthalrand« auf eine ffnmm Streck« ein System liellfarbiger, oh ins Röthlicbe apieliHU«. kleinklQftiger doloniitisclier Gesteine, welche nuin dirni llsofit* •Inluniit KloichjEustellen vflegt, xu ihrer UnUrlngc. Die Um»- ■rhicbien g<*geu den auflagernden Lias, in welchen man dm Charakter der rhätischen AbUgerungen stt finden erwartca «iditu, fi'hlen hier in ihrer typischen Kntwickinng. werden riA- ttfirht durch lichter gefärbte Kulkpiatt^n mit UracJtiofioJtm- Kinw lilflittM^u Terlrett-n, ähnlich wie ea i^tlicfa von Riivf*re<^> tiei diiM K«l klugen mit GerviUia Bucht ^ dt. Colombono >«r,
diir l*'iill «u »ein scheint. Im Gegens-it« xu diesen Vi JiudciM wir, wjbald wir die Gebirge im Wroton dw • . tHw(ihr#ilon. nber dem lI»uptdrdomit die rh&iixohen Mer^fel imMHI vi>n xalilrt^ichen charaktarifitisclifm VemtiHneningen ib
C. W. V. Gümtßtl: L'dicr äic Cirüncnie pww M<mte Ütiltto. r>7!l
j?«tix ty|iischer Entwicklung, bedeckt von einem dichlen, weissen dem oberen Dachstciiikalk entsprechenden ^>chichtencoalplex (Cornea), der daim die typischeu Liaswchiobten Über »ich trügt Ako auch in Üey:uK auf die rhälische Trins hernH:bt zwischen Ofit- and VVe&^ardaaeegebiet eine ent>ichiedene Ueteropie.
Teber die Abgrenzung der Liaslagen gegen oben besteht im tUldogebirge eine rnsicherheit, ob die oberen hellen z. Th. oolithiüchen Knlkbinke noch dem Ltas oder sthon dem I^ggfi* Kuzurei-hnen sind. Erst mit dem versteiuemngsreicben Garda- kalk am (!np St. Vigilio beginnt unxweideutig eine neue Stufe, welche durch da« Vorkommen allgemein verbreiteter Ammoniien wie A, oitalittuSj A. Murrkhonae die tiefsten Abtbeilungen deH aiis-seralpineu Doggera vertreten. Kino Reihe rolher, grauer, gelber oder weisser, z. Th. krystallinischer Kalke führt uns über dem (lardakalk v.u einer weiteren, rersteinerungsreichen Oogger- stufe, welche durrh den Einschltisa von Posidoiiomi/a al/iina^ Atnmotiitcfi tripartitus u. A. aU den Klau»schichten der Ost- »I|>en gleichalterige Ititdnng sich r.u erkennen giebt.
Am Nordüstmude des Mt. Ualdo-Stockes bei Mori halte Oppcl an einem wahrscheinlich von der Höhe im Brentonico abgestürzten Gebirgsutück zuerst dies« Schichten entdeckt mid damit für die Altersbestimnmng der hier am Aufbau des Öebirg» betheiligten Ablugemngen den Grund gelegt Auch diese durch ihre Ver>»teinerungen so sehr in die Augen fallenden Kalke sind wnitlich von Gardasee weitliin liidher nicht aufgefunden worden.
Nicht anders verbält eä aich bezüglich der verschieden- artigen Scbicbteoentwicklung o^- und westwärts vom Ganlasee bei den Bildungen des oberen Jiimsyi^t^'m!«. Im Baldogebirge tret'n abgesehen von der bia jet7.t nur an einer Stelle erkannten älteste» iu)g. Transversariuffkalkbaiik,*) im Mt Baldo- Oebirge die rotben. knolligen, in m&uig dicken Bänken wuhl- geschichteten Ammoniten - reichen sog. Acanthicu»- Kalke (Ammoniticii rumu) genau in dentelbiMi BescImfriMiheit auf, wie
1) Uhti^. U Vurh. J. k. k. ireol. lU-ich-AH-t. 1»80. 'tit,.
^T^ÄwW; Ueber ttie GrOiiertle vtm Mtmte- Bntdu. &8I
Wir iTkennen deutlich ÄW«i Haupt/it^e dtf-t*<r Tertiiir- niiluKi'riitif^fn im tJebiole dfr^ Mt, Btvldo^obirgs. Ditr t-iin' wciiUicb von lot/tcr^m taucht am We«tufpr den Gardu'ieti*'« nun der grossnrtigen cjimriarfn l'ebprdcckung Kwisch«*« l)es«iK»no und Sftlo in di>r Iiolmn Fclsknppn Mt. Mnnerbn uiif und setzt im See fortatreichond eine U**ihe kleiner Inw-Icben und die grossere Insel Gurdn zuMininiiui. Die went«re FortMt>t7Hnt; dieMs Scliiohteneoniplexes nueh Norden bin iüt gröiiisteiitheils in den Sw ver.H'nkt: nur kleine Schollen auf beiden Seewitcn bei Mfll- ceainv und NovaKZo-Ariaso unfern iJargnano haben *it;h orhalhrn und etat abwischen Rim und Turbole in der FeLskuppe des Mt. Hri'ine beben ticb wieder niücbüf^e Scbicbtenmaasni «mpor, um weiter zwisclien Aren und Torbole eine ge-^chbiasene Schiebten* reihe bu bilden.
Der zwei*© nalii>zii piirallel Terlnuienrle Zuff Östlich vom Haupiknmni den Mi. Baldo Rillt da;* lanjlttestr eckte ürucb- tind SeukuriK-^feld zwischen diesem und dem KUwbthalrandgehir^;« Ton Mori Über Brentonico, Kerrara di Mt. B. bis Caprino an der SOdi>*it<'cke de.« (iebirgs sius, von wo an. wie «ihon erwähnt wurde, Hie Schichten umbiegend sich weÄtwTirtJi gegen (lurda wenden. Heate dieses Zweiga sind die durch mächtige ernitii>«he UcberlagtTungen getrennten weiter im Süden aufragenden KeU- kuppen dos ^hbt^sbergs von Gnrda und des Mt M<wciili Iwi Afli.
Beide Zflge der theils der eocKnen, t hei U der oligocünen und miocünen Gruppe ungrhnrigen Tertiärsehichten werden Ton Basalt^ dessen MandeLnteiue und Tuffe begleitet, welche, decken- und lagerf»rniig zwidcben die kalkigen und «andig mergeligen TertiftrflOtze eingescbuliet, dadurch 7,n der uns be- chtlftigendeu Frage in engste Beziehung treten, da&s ftie^ an 'Vielen Stellen Orfinerde fObrend, auch das Muttnrgestpin der rmc'hen QrflnerdevorkunimnisAen am Mt. Baldo bei Bren- tonico ausmachen. Wir werden nna daher etwas nüher mit dicMin Tertii(rliildungcn und ihren Tulkantnchen Begleitern xu befiuKen haben.
Diene TertÜrnblAgernngen im Mt. Kuldogebiet erweisen «eh aI» ein« wc3^tliche Abzweigung der groflMftigen Entwick-
563 Skeung der vatJii./Aji*. CSUicm «mi S.
Iunf< uih] Au'^lireiLiiD^ der ganz gleich gearteten SelilchteBi in don Vurber^en von Verona und Vicenza, mit (ivnen irie die llefi^leilim^ der basaltischen Zmschenlagerungen ffemeto- HohHillich hnhen.
Sclion län(;)«t durch ihren Rcichthum an juriifc erhaltenea ttrijiiiumlii'ii Uubtirt-eatcn bekannt uud berühmt wurden diert iHirditalienischiTn TerLiiir^itbildo hHUiilsäcblieh durch die klasuscbe B«icbrcib(iM}f derselben von K. Öuess (Ueber die itlimlt-rung doH vicriitiniNchfn Tertiilrgebirges, Sitz. d. k, Acail. d. Wim. I. Ahth. in Wien. 1868) genau und im Grossen nnd Oauxen iMidt^ltlii^ ^o^liodert. /ahlreiche neuere Untencuchunj^vu hnben dtiwt) ^rundle^Mide Arbeit im Einzelnen weiter ^«fOhrfc vcrvülUUindigl. Kftr den Zug der Tertiära bla^rungen im dm Mi. ßuhl()-Huu])tkaRtin8 sind es die vorireflflichen Mto}^ aobtiMiKm und Schildt-rungtn K. v. Nicoli», v ' ' mf 4>e SuesA*üehe Arboit gestiltit, uns mit den hier heri i it Ver-
hältniiwen des italicDischeu Gebiet^tantheiU bekannt gcvnaoH haben, lu dem su Tirol j^hörigen <jebi«tc des Zuf^ea tiaheo Biitner und Vacek ^Verh. d. k. k. geol. Keichs. 1878. '.i(9lr) wichtig« BfoWhtungea angvsMtl und di« ErgebDiiC!« denelboi mflAnUicbU
K»rh OtiervinsUmniradcn L niersochm^pef^bniiMeii. nehoKB iSk Terliarablageranieen am SOtende 4« Alpen, ■■■iiuBim kiu Vice«tini««Ken« aHt «iD<r «idik aichtigia, aber aelir ciwnk- kfiiÜKhw, tbeik tafl«»« Ikeib UIU^^rtRnengiea ScIucMa' hiüm ikrm AwStmft^ wtkik» ^ XJwtimmhuUn dm bimC mm 8e«i|Mft l»ltl»><wi rrtigtiUw MWle»d w»! ra gbi^ l'i»W^tMg ihr Sm iilMu^iiitkui Schiekiteaaci Kl aM «K «• 4m€k 4m UMg^f V^irkoan« m^mtrp^ ^kmmaäkkm^tm e(% Spile«eo- •«littliteii. Vmm Ütart» tte4 4m mia^umhin Tcxtiir- wliirii>Mi fMe< «ick äa «hb flndbv Wci» tmk im GarAmtt- ffvk«« «Iwr 4er .^MgiMa «imdUB Tm^aih md Ki^o n 4m Kttk* 4«r WiuiiiiiHe^t «« fciil—i «4 «hiM» da «an X^o <» nmwn ttm—i ^imfcimlm. ftm C^v 4m Hc Bd4« Uta
lUlteM «»4 T«e«4 <V«lk 4. r«<L
l$7& S. 307) Ml
C. W, r, GuuttuI: VtUcr 4ie (fTÜnerdt niM MuhU Haidii. 583
StejV uuf doli Mt. Altiäsiiiio dieäe tiufi'odinu Ablagunm^ uiif- j^oftinilen, Üie sU-Ucliwoiäe tufß^u Beöchftrtuuiit'it t)it:s«r Schichteii- abibeilung bewetöt die mit dieser Bildung gleichzeitig eiuge- ir4;tenc Begleiti*rsciioiiiung vulkAni«clier Rrupiion«n.
In finum zweiten ziemlich miichiigen Schicht^ncotuplex vereinigt Suess die darfiber liegL'nde, »tu Kulkbänkeii, Biuittlt- det'keo und Tiifflagen xiuam tuen gesetzte Reihe der aU vortrcS- liebes Uautuaterial benf'iUten sog. Menibro, veri»cbiedeiie h5ber- liegende ä(is.tW)i.sser- und Ntitniiiulit'*iik;ilke luit dikzwiM.'heii eingeleiteten üraunkohtenflOtzen und viilkiiniscben Gesteinen nebit dütti durch seine zahlreiclieii Versteinerungen berühmten TulV von liunca. In neuerer Zeit hat man vielfach für diese 8tufe die Be/eichunng .Mitteleocün' ') in Anwendung ge> bracht, weil sie wenigäiens theilweise dem Grobkalk des Pariser Iteckt-n« im Aller entsp^l^cheu.
Den gleichen Ablagerungen l>^^gnen wir auch in den Tertiärgebilden im Mt. Baldngebiete .wwuhl xwiächen Torbole und Ni^o, wie in dem östlichen Senkungsfetdr bei Breutonico- Criisana, bei Sorne, Kerrani und Caprino-Co^tione in einer nur wenig abweichenden Kutwickluugsfurm, wie die« apAter näher iiaehgR\vie»en werden wird.
Int Viceuliniflchen ibl nach Suesü der nun fulgeode höhere Schichtencomplox, die Gruppe von PrijibunÄ, Ober der dar- notei* entwickelten grossartigen Ausbreitung vulkanischer Bil- dungeit — dem M>g. KitldiKstroui — durch kalkigen Murgel vertreten. & sind dies die Unuptlagun, in denen sich neben uthlrcicheii Conchylienresten iu groaser Uäuligkeit Scrpula sj»ini/«ra, Opcrattina ammouca, Orbitoidm und an Ifummuiileti : N. FicMcli, N. intrrnicfiiujt, N. vascus u. A. einstellen. Kng twhiieaät uch dieser Begiun eine Stufe grauer, aandig-mergeliger Schichten uii, di« sich durch den Heichthum an Bryüiorn ganz bcäonden- au$7^ichnen: doch gehen die oben genannten NtimmU' UUu auch auf diuie &biohten Über in Begleitung von Vtcten
') In (tiiMmn 8inno irt «H#«(» Kfx<^)c)intinfr Im Nftrhfnlin*udrn *>»n* ^liiiit«!) wonlnn.
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Sitiutio f^f miUh,-phy». Ctaue com 5. Uettmbrr tH06^
KiscbzTil Indien (Latnna liolctnsis) u. A. UatalÜMtber Tuff wurde hier nicht bcobachlel. Dasselbe Gebilde wi«derbolt «ich in einem kleinen Steinbruch S(). Tun Nago nnd unter der atcUen FeUwand NW. vom Bahnhof dieses ürls,
Obne lücbarfe Abgrenzung geht die unter&te luesi rnthlich gefärbte Eocänbank in einen dichten, unnMn wc Kalk aber, der mit 25 — 30 m hohen ubgebrocbenea Schichtru sich KU einem fortlaufenden FeUriCf erhebt. Dieser Kalk an* 8cb)ie»4t in groeser Anzjihl Nummulitcn : N. eompianatua^ N. perforatu^y iteltener N, Tschihaischfffy^ Alvccli$ieu, lÄtAoikammat, Orbitoidcn u. A. Eä Ui dies die Stufe der unteren mittel* eiicHMcn Ntinimotitenkalke, welche dem Meuibro im Vicea* tininchen entsprechen. Dieses Kalkriff läast sich über Naieo b« hoch hinauf zu dem Ke)jwn Perlone verfolgen.
Ein« starke Vertiefung trennt diese uU Kels^rlickt-n ioti- laufende Kalkbänke von einem damit purallel ritrt-'irheinJi'n. gleichfalls uhi Felsriff steil sich erhebenden ßer^ncken *m Ubniicben Iiellen NumniuliienkAlk<'ohichton. Die du/WMclMn liegende Kinbuchtuug rührt von der Auswitterung weicher, start %eräetzter buaaltidcher Gesteine — Baaalt, M»ndcUtein toA Tuff -- her, welche gleichfurmig dem unteren Xanunulitenkalk auf-, dem oberen unterlagcrnd, mit beiden FeUrippen foristreidM» AVir sehen die^e 5 — 10 m mächtige basaltische Zwisrheolaga an dem acbon erwähnten Fus^teig von Torbole nach Nago, in diesem Dorfe selb-it unter der Steilwand, auf deren liöhe dtfl Burgruine Cast. Pencdoi .^teht und eben^ am Fussc der Fel^ wand NW. über dem Hahnhof Nago. Organische KÜMcblOiH wurden nicht gefunden. Dagegen liegen zahlreiche ausgewit rundliche Brocken einen später näher zu beschreilfenden Pe spathba^altcH reiclilicli Tiber die Oberfläche zenitreut.
Die darüber liegende zweite Heihe von Numuiulit^nkalkai Ixeigt in den unteren I>agt^n «Mne hrrniklichc I' ' ~ ' t und
erhält reichlich Akw»i«/i<cw; N. pcrforfitHS> -\. ^ ;*j, .V.
£routjniarti (in BlJtekcn gefunden), KrJtiiiiäen., OriMvü^i-Htide und nach Dun^hKchiiitten auch Oonchylim, dir atv* dem bartcn. spröden Kalk in bestimmbaren KxempUren «ich nicht bcni
0. W. r. Gämttel: Vthtr %tit nrunrrüc tntm Mtmtr Hattto. 587
M:hliig(*ii lai«eu. Die obersU^u Uöiike lientt^liLii aua oiiieni wetfBeil tlicIiUfii Katk, der Numumlitcs Tschihutschcffi in griW«r«r IIüuHgkvit enthält.
tnd^in niun nher diu mit dum Ikr^ubliang glciclifunnif; abfallenden Kalkschic htm von dvr Burgruine b«i Nagu hinah- sLeigt, gfttuigt iiiuu in eine zweite |MiralleI lauft-nde Einbuchtung, in welcher aofnrt zu 7*Hg ausstreichende, leicht rerwittemde graue dflnngeschic biete ^undigu Mergel uutitehen; sie geben sich durch dos nia»seuhafle Auftreten vnn ^'ummulites I'^ichicli, N. intvrmcdius, von (hbitoidcn und OpfraUincn sich als zugehörig XU der Reibe der Priabouaschicbten zu erkenoeu. Gleich ihre wnteraten f.ugen fulgeii ohne Unterbreclumg der Scliichton- fulge in gleichfünuiger Lagerung auf die Nuiunuilitenkalklmuke dea Uiirgbergs ((oberes Mitteleocüu).
Diese Schicht4'n setzen ulnie wesenttii^he Aendorung den Höhenzug an dcu neuen Fe^tungHwcrkon von Ni^;o zUHJUumeu und ziehen einerseits fast gleichlaufend mit der Kahrvtrasso ron Nujfo nach Titrholo mit einem unter 35 — 40" nordweÄtlicliem Kinfikllen \m zu den oberen Häusern dieses Dorfs, andererseitH fine Strecke weit neben der Stniss« und [Ciäenhabn Tun KtLgij nacli Aroo hin, wo ziemlich nahe der Wegkreuzung in ionat der Geateinsbeschaffouheit nach Hehr ähnlichen Lagen mch reich- lich BfyoMoin neben ungemein zahlreiciicti Orbitoiden (0. iiaptjra- ctruty 0,$tellit U.A.) Operculinerty NttmtnulUes Fichtelit N. vascu$t N. inliirmedius (seltener) einstellen. Diese Schichten dürften den Yiccntint8chen Bryozoi'nniergeln gleich zu ätellen sein.
In den auflagernden Schichten, in denen sich nach und nuch eine Schichten Wendung mit ciuem Kinfallea in St. A'/i mit 50*" imrh \V. bemerkbar mncht, wurden von Dr. KeiB neben NummutiUs vtiscus, grossen Austernt Peclen und LUhO' thamtncH Korailen vom Typus jener der Custel Gombcrto- Schichten bcMibai-bLct und e^ ist ^'hr wahrscheinh'ch, dass man diesen und den nun folgenden in grosser Mächtigkeit ent- hckelten Liihoihamuien-Kalkeu die Stellvertretung dieser tnitteloligocitnon Stufe anzunehmen bat. Die Strww« wendet ■ch ron da an nbwärta bei etwa lüU ni Meereftbühe wieder m»
568 ÜiUung dr,r mntb.'filtjft. Cta
Liegende nnd entblnssl Lagen graoer, Mergel, dienen wir am Mt. Brione «rieder beg^uea die fOr die Orientiriing ron Wichtigkeit sind. Dann frhtifÜti die Stnttse in dichte weLssIiche Lilhothamntrnkalke ein. wrlcbe durch grosMuiige Gletscherschliffe polirt sind. Das fcjnfalU« ä^ hier mit 35*^ in St. G nach W. gerichtet. In «inaoi Säte- gruben oberhalb Bologoanu nnd wi^iter NO. ^'gvn St. Giaom taocbeo darunter wieder in betrfichtlicher Mibclitigkeit die Brro- aoEn-Mergel in St. 11 mit S^"» noch NW. einfaUend mC b weilrrem Verfdlgen der tiefere» Schichten im Bergkewel W Mga. Crcano and Ca^ll hat Dr. Reif ^emin die Keih« Pria- bonaachichteu, obere» uitteUocutien Xummulitenkalk, Basaltische Zwischenlagerung, HauptmimmuliteDkalk« Scaglia beobachtet, wie solche bei Torbole beschrieben wurd«, wftttrend in den Gräben znnachj*t mtlich von Bolognano Üe gmneo Fonuninifemi-Mervfel mit PcHtacrwttJt difiact^Utt, vit am Ml Kriuue ausätrvichen. An einer W. — O. Vw wetfuayB" klnfl brechen hier die Tertiürbildungen ah tinr] wenden «irli nan Qber das Sarco-Tbal westwärtx llberArco nach VungBawti wo Ae in einem Seiteothälcbcn »ehr aehOo eutblfiaat auntreicbea. L'eber diesen a^r inlereannten Zug soll ou einer uidereu StcU» berichtet werden.
Vrrn Arco weiter thalabwärts trennt da« breite SareoikJ die Nnmmulitenschkhten des Straanazages Nagn-Arco foa de« weitlieh aus der Thalrerebnung und dem Oardaaoe wie nni* Febeoinae] .tOO m. hoch aber die Seefliche atlfrageadeu Ut Brione, in dessen festen Kalkbinken die Strasse Ktra-To eingesprengt ist Seine Schichten bilden anzweifelhaft die Kort* sotxunf? der Gestetiksrcahe längs der Straase Arcu-Ns^' ' ' <?
in FoI)jfe des Dnrchfaffikefaa des Sarcofinans getbeilt w e
FeUtiünke, welche die Strtise von Torbole gegen Kira raent Muchnfidet, bestihfln aoa demaelben Lithothamnienkulk. drr *n der SirasM Aroo-Nagn ent)>lS»t iat. Er crhuht dich in •enkrroht«r foriUttfender Wand auf der 0«lKeite den Bergea hu in daawn htVhntpr Kuppe. Grbängeiehntt venlrfkt hier A'tf> ztinnclMt tmi«riimvnhli*n iffwIciMiDbichtai bis nn der ättawnien Korikut
L'. W. V. ambtl: Uebtr Uu OnUteMt ram Monte Htdtlu. 5ä9
«cle, wo fm Hanj^enden zuerfit uuk <it*tn TrOninirrlinufwerV fin KelsonrilV von j^niuem, ^i'iblich verwittoriidem Kulk mit A'mhi- Mulitc3 Buüefutis luiil Lithothamuicfi äicbtbur wird. Eine weniger steile UiÜitchnn}; tn'iint ilii'se 10 — l.'i m miiclitif^e Bnnk von drni buber laj^umdeu linupUitbotbaiunieukutk, des'ien ScbidiUrn in 8i. 0 mit 25** nach W. einfüllen. An einer Studio ira lluiiM*nit«n NO. dns Berges ntr^icbt nua noch die tiefere Schichtonloge, nUnilicb jener »chou im Voran-sgebonden tin dor ArcmtruKM^ urul twi ItoiiigtiAnu erwiibnie, ^raue Furiiniinifuren nihrendi' Mergfl mit Peniacrimis düiactplus, kleinen Carditen^ Pectm und der fflr d*'n Ofener Mergel und die HRringer Srhicliten elinniMm* ittiscben Clavulina Seaboi (C. haerintintsis (Ibl.), nebon einer An/jibl von Herrn Überniedicinutratb Dr. Egger iHitiLiinintün Koramitiiferen denurlbttn Stufo in Ungarn und in Nurdlin>l in einem Hohlwege xu Tage aus. Ka sind namentlich:
Verzf^ichnii« der am XO. Fu» de» Mt. Ilriono im Mergel ge- fundenen Kiiruminiferen- Art^n nach Buntimninngen d<« Herrn Oberniedicinnlratbm Dr. Kgger:
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Mohnrr Toici*l im VViMier IWv-kfrn. |
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Si'ptaiii-iitlin« Villi HiTni»- «Jürf. |
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I*ii1v!lnul{im 1liiJtiiirfi> Uitiitk. |
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Kuttiljiiu rli^umitM «rOrU. iruKnii. I\ll1-<'lul |
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M\t<*'i l'»iC^-tt.*. «*■* •'.•j' c^«dt;c*ti i Irrte, i't* i,iit*tvttiUt«Tactirtt AfT AW
Wir gewinnen diulnrch ein zuverläaiäf^es Milt«! d»t un- miUelbaren Vergleich'- mit den unteroligocänen Ablagerungen anderer Gebiete und einen Anhaltüpuukt für die Zuweisung der darnl>er liegenden Li thotbam nien- Kalke xun) Mittel- oligocAu.
Verfolgt man das klur nufgesctilossene Scfaichtenprofil an der Seestrasse oder länge) den Höhenkanfcen des Mt Britme weiter ins Hangende, w) stORäen wir an einem einzeln stehenden (Sebäude, dem «Jg. S^lltiaus, auf der Seeseit« unmittelbar Dber den bis dabin reichenden, in den hängendsten Lügen glaukutti- tiiu:ben Litbothamnienkulken , auf die schon frflher er- wähnte glnuknnitreiclie (irüDsandsteinbank voll von Ver- steinerungen, namentlich von Prctm dektus {P. Pasini). K« bezeichnet die^ den Ueginn der niiocünen Scbiofichichteii dts» vicentini^chen Gebiets, welche dann weiter in einer Mächtig- keit von mindestens 300 m als hart«, etwas sandige, tief graue ^latikunitisehe Mergulkalke die ganze Westseit« des Beides /.»- kniiuen»ct7«u. In einem kleinen Steinbruch an der FeHtnng H. Nicolo fallen die an Pectcti d ff r/m reichen, harten Oestein-s- bilnke in ät. C mit 30" nach W. ein. Verfolgt man diese Schieb Len am Weatfnfis de^ Berges an den groasartigen Stein- brDchen in der katktuffartigen quartUren Pietra niorte bei der Osteria del Mt. ßrione vorbei nach S. Ale»sandro, ^o bej^bachi^^t man hier eine starke Schichtenumbiegang an einer V^erwerfuug mit einem KinfoUen auf St. 0 mit 50^ in SO. Kt* ziehen sich dann die Litbuthumnienkalke wieder bis zum Qebirgsfitss nieder und an den Häusern von Qrotta schneidet eine Gntblüasung graue, weiche sandige Mergel unter dem Kalk an, welche r.war auch HryOMorn enthalten . al)er nicht den typischen Öryonoon- schichten enbtprcchen, sondern höheren Lagen angeboren.
Den Brione-Schichten an Alter gleichstehende Ablagerungen sind im Oardasoegebiet nur am Südende deü S«e*d im Burgberg von Garda und im Mt. Muitcali erhalten. Was daxwittchen an Tertiärgebilden nicht in die Seetiefe versunken int, beschränkt ttii-li uiif v*-ihiUliiii«w&Mig g<*ringe Keate von Lithntharnuieukalk,
592 Sitzuiiff der math.-jtkjfH. CUume vom 5. Ue:tmt>tr 1896.
Prialwna- und BryoKoi5n-Schicht«n d«r Inst-I Gan}» unJ drr Felsen aiu Wesiseeufer l>ei Riva-Manerba. Von älteren Tertur- biltliiiigen ist am O^trande des See*« nur eine gi^^Ber« äeb<»Ue in lind bei Maluesine von Her Zerftü^ning verschont gebliebeo* K« finden sich hier der Hauptsaclie iiaoli luergelijse Priabtuia- achicbten und basaltige Einlagerungen und £wmr Eetjctcra in VM-rgenelWliaftung mit einer nebr eigenthQiulicbea, ^nmieo% gloiuerntartigen TrQmnierbildung, mit welcher der Bargb«r von Malce^iiae in steil austeigendeii Felswäaden aus dem See nnfäteigt Die Unterlage bildet von den Wellen bespaltc Scsglia. Diirnuf bunt sich ein ^iy^teni von ßafinlltuft', Mandolffteio nnd Mergeliagen, die so zahlreiche lirocken von Basalt» beannden von Bpilccco-, Brongmarli- und TscUihaiscUcfß-lxtAVtTi einge- bettet entballt-u, djiss das Ganze ein CunglomcrU-äbnlii^he» Sx sehen gewinnt. Diese Einiicblüiae beweüeu, du»a in der Nu von der Entstehung dieser TrUmnierbildung auch die älteiUt! Nuniniuliten^chichten Torhauduo gewesen aein mlbeeo, da» AiiKgeheudes jcL/.t nicht mehr zu beobachten ist. Ätn obe Hingang zum SchlQs*ihof legen aicli über die Hurgliergfe mergelige Priabouaschichten mit Strpula spindaea, vielen Orbf toiäen u. Ä. unter 30» in St. 10 öach NW. einfallend an. Die gleiclien Schichten stehen auch an der Strasse 8. von der S. Sebai^tiano-Kapelle an und worden von bjualtigen TaSeo untcr- lagert. Noch etwas weiter sUdlidi bei Casu Gigerini äiphngl ein schmalem, au.-' doleritischem Baaalt beateUendc« Fi'^nff wi'i in den See vur. Gehängescbutt nud erratiaches Gen>I) verbio- deru hier den Zu^mmenhang der Seckweüio aufge«chto«iet Tertiärschichten näher zu erkennen.
In der Abzweigung der Tertiarbildungen von Nago in KO Richtung führt der Weg uach Pannone Über gros«4artige TrQmnic halden von Scaglia, Biancoue, Jura und Lia^kalken in d«r UObe xti einer »ehr mächtigen von Adern dichten Basaltfi durcbu>g«ae Basalttuff- und Mandeisteinlagerung, in welcher maii»enhaf Kinscbluss von GrQncrde dem Gefileiu Bireifenweise «ine grflue Farbe ertheilt; in anderen Streifen treten rothe und gram Farlientune hervor. Der an der Uncca-Kapelle au^l^beode
C. W. V, OAmbä: U«bfr dU OrüntrUt mm Mantr. BtdJo. 593
soheiul damit in Verbindaiig zu Ht«hcn. Von da gegen i'aunone hin ragen [*'olsrip|H;a vuu Litliothamnienkalk auf, unter dem au der Scheide der Wege nach Pannone uad nach Varaao-Chienis in einer Griihe weiclie, verslein er ungsr eiche PriabomischieliteD mit Numnnditts Fichtdi, zahlreicbeu Orbitoiticu, Sponäj^lw cisalpimts, Peciai araiatus und zahlreichen Schinidcn in St. 6 mit 80" nach 0. geneigt, enlbloic«! sind. R i 1 1 n o r crwähot (Verh. d. k. k. Reol Reichs. 1S78, 398) dieses Vorkommen. Nuhen der noch Varanü aufnürtsftlbrendeii Straaae gehen dann wieder einzelne Schichtenköpfe Ton Lithothamuienkulke, von groasartigeni erratischen Schutt mit vteien UolUtUcken von Ad&mellogesteiu, Porphyr, Diorit, Serpentin u. ä. w. Uherdeckt XU Tag, in Chienia selbst aber lagern darüber kalkige GrHn- sandsteiue mit Pectcn deletus (auct.), die aucli über dem Thal Ofctffärts forbseUen und in einem Hohlweg I'unnone gegenüber in St. 9 mit 50" nacli X\V. einfallen, wrihreml die l'Vlsen an der Creeta aud Lithottiamnieukalkeu l>t»tehen.
In dem ganzen Zug der Tertiärgebitde im Garda-Seegebiet weltlich vom Mt. Baldu scheinen, snweit die bifiherigen L*nt<»r- suchungen reichen, mit -/.ureiehender Sicherheit basaltige Zwiachenlogeruugen nur in zwei Reginnen vorzukommen, näm* lieh zwischen den unteren und oberen niitteleocänen Nuniinu- litenkalkeu und an der Btt^iä der Priabonaachichten.
Ktwu:« anderen Verhaltnissen begegnen wir innerhalb des Tertiär/ugs am Oafcfn^s des Mt. Raldn-IUnplkammü, (iber dewien geologischen Bau im Folgenden kurz berieht^^t werden »oll.
Die Tertiärbild nngen dieees langgestreckten , aber schmalen Zug« &ind zucn^t bildlich von Mori oberhalb Tierno an der StnuMC nach ßrentünico unter mächtigem Schutt der Beobachtung zugän^Iich. Es sind tuflige BtiiwltmandeUt4!ine mit Natrulitb-Ausächeidungeu^) und Tnfle, in welchen unter den
^P ') Liebouer and VorhaaNor getM'ti dienei Minomlinnvnr-
kimiiiiiiti (l>ie Miui'i-ulifii Tirol« 1803, S. 1^3) init<*r ürr l)i>»ricb- uuDK Ut!«ulyp in lto){lciluuK vuii IV'kluUUi, Aixtphji'llit und Kalk- INM. yaii fbyw. O. 4. Qy
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Fhm iar Bcfghfibe 630 m O. voa fViMMii ^^ S«*k1ü ■«.
aof «rvtciM ckba« Spil«eeo-Eoiwid(lB0g iiiimfUilt«! 4m Mite«l-
cocin wjflifgt DttMllMc htf^nnk mit «ömt tocfcgw Tr
logc Ton J/oM^tfiat-faiifvailcn Roihtariw. fTi^gfa nimiiii
■ieUeowoM «Mdi0m ZviKbeitiidtUi (? ob SfaDverteciv
8|iil«ceobQ4iiD|p, gebt naeb oben ia KaU« nÜ
Nnmanditti Diarritsauis, N. PraUi wie im Vk
Ober uad McbU*i«i mit Kallcatcialageo T4*tl "/«antitöks
complanciuM and ^. ptrfomhu im Quncn 2L _ m nicbcig
und nach WNW. eiufUlleiid. ta eifi«r tUrBuT ftA^g&miam Ew-
gutt aa. Ha»« AbbJjm^ de* {«atraüiiB «sipit al« «>l|Bra4» ZabI«»:
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C. W. r. Gümltei Vttttr dir. (hünerde lom Monte Baitio, 595
liefutij? stelieu tuftif^e [^a^en uu, welche durch eine beir&chtliclic Hllj^elrippu mich nheii begrenzt wird, LeU.k're setzt bich zu- iiächi^t ans f^leich massig plaltigen KalkHtoiiien und einem schmalen in dfir Mitte oino Kulkentwicktung eiii^chliessendeii Basaltzug Kusnnmien. Hier wie in den Co mplanaten- Kalken zeigen sich KiisielauAscIieiilnngen (25 m niüchtjg). Von r.wei weiteren int Haiigemlen folgenden Kalkrippen, durch KintiefungeD mit weichen deutlich tuffigen Lagen getrennt, untHchlie&sen die t)beru Bänke organifiche Kiiischlas.so nünilicli /.aiilreiciie PecUn- nnd Erhinidett' und riesige Cyc/o/iVM-Arten. Die Kalke sind eben* plattig, blaugrau, in Folge von Auswitterung gel blich- weiss (Mächtigkeit gegen 25 ni). Wührend in den liegenderen Tiiff- scbicliten, besonders in der unterHen, der Charakior einer Sedi- mcntbildung vorwiegt, folgt nun nach Oben eine schätxweifle 80 m nuirhti;^p tuffige MiindeUhMiiniosso in ä. Th. intensiv rother Färbung. Uulerlagerl wird dieselbe von einem Hebten I'ria- bunakatk, welcher am Kusse de« Aufitiiegs murh Brcnt4>nieo xnhiroiche cbarakteristiscbe Ven^teinerungen umscbliesst. Er bildet die Kortüetzung des oben erwiihuteu Kalkd am Wn^erfall l»ei Uis«agno und wini wie dieser im Hangenden T(mi Hryo/.»H'*n- uiergel begleitet. Dieses Hchöne Profil ütOast in Brentonico an eine N-S. verUufende Verwerfung, lüng« welcher .Turakulk sich ^ervurbeht, ab. HrenloDici titeht •/,. Tb. auf basaltigem Gestein, t\c)ifiA mit Unterbrechungen Aber S. Oiacomo bis /.ur Scalette ft>rt«treicht und z. B. bei Fontechel, wie an der Kapelle ft. Valentino BusgowitU?rto Ba^nltbKicke aufweist.'
Kill zweiter, mit dem eben be^briebeneu Profil nahezu pumlleler Schicbtendurcbscbnitt von O. nach W. ItLsst sich am Abbang riea SornethaU verfolgen. Der Steig von ßrentonicn niH'T C'u/./j»no zur OornebrQcke bei (Jörne fßhrt an nach W. einfallenden Bänken von Scaglia, Diphyen-, hnrnüteinroichun Acantbicuskalkeu und Lina vorüber zu einer Kalkbreccie (in 8t. 9 mit ÜO" nach NW. einfallend), filwr welche der Steig hinauf nach Corno führt. Hier bemerkt man das Aingebende der Scaglio. ,Die auftitgemden mitlelcooftueu Numnitiliteu- katke Miml hier nach Dr. Keis ywnr nicht ho gnt aufge-
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Anstehend findet sieb in dor Näho der PritiboriAkiilk erst jenm.'itH d. h. westwilrts dt» dorcli die Verwerfunff y inpcac hoben en älU'ren üesteinsriflB* am Weg von Brenltitiico nach Brftdj nU aiäcbti|>$e KalkscboUe, in deren tiefen unregeluiussif^en Scbichtüu groKsc Urocken des unniÜlelhnr iinterlagiTndcn Basal tu landel- «t«in8 eingeschlossen sind, während erst nuch oben wobige- •chichtete Hilnke voll von Echiniden und mit mehr vereinzelten UrifOecfn und Korallen entwickelt äind.
,Am Sanniwege von Brentonico nach S. (jiaconio begleitet uns nach Uel8 in die Tertiürablngerintgen eingeschobene Sc»gUa nnd darüber unmittelbar anstehend tiefet« MilteleocUn (Mniibro), irelchea ohn(< äon.siige Zniächentagen »ogleich in Cüin plannt wi- PcrforatiiB-Kulkc mit NW.-EinfuUen übergebt. Weiterhin biegt aich die Scaglia mit SW.-Einfalleo um nnd es folgt Gber ibr ein Kalk, der für Memhro 7.11 hatten ist und darObir TiilT nnd luftiger Kalk tnit Echiniden und NwnmnUtes Bromjniurti, der auch in bmen BU>cken bei Brentonico sich findet, dünii folgen wieder Tuffkchicbien und basaltiger MnndeUtein nnter einem der I*rial>oniiewtiife 2iigehQrigen Kalkklutz. Könnte hier die Scbichton- folge fnr niigcdtört Angeooniinen werden, so taiideu die Bruugni- iirli-Kttlkc ihre Stelle Aber den Mombrokalk. Doch idt dieue LagernngHweißü unsicher, weil weiter gegen S. Oiucoiuo hin TuH'e uuinitlelbar auf Si'agliu sich einstellen, welche iMitwcder in Folge von Störungen diew StoUe einnehmen oder d(.'n ältesten Tnifen entsprechen, wie aolcbe im Vicentiniüchen an ^er Biuis des Korün» iinftr<'ten mid anch in diesem Zuge bei FeiTnm di Mt. Butdo vorkommen. Hei S. Giucomo legt «ich ganz zweifei- Ich Mif die Cunijilaniitiii^-Kalke mächtiger, geschichteter Tntf an, der hier eingeachwcmmto Brocken von K»lk mit Nummulites eümplanatus iin).4chlieüst. Auf der Höhe we^tlicli von S, Valentine Midhl ntiiTi deiilliiih, wie dieser Tutf mit den tnfHgen MundeUieinon und Bnrallen unter die Kalkwände der l'ritilKum-Stufe der Corona del ISet* niitt^rtiuicht. DicM«* Kalke dienen dann mächtigen Brjo/.oi'nniergeln zur Unterlage, diu huher hinauf g(^en die Bergkuppe von 1738 m Meerenbnhe fortsetven und in Litho- thamnienkalk« Terlaufeii.
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<;. W. c. OAmb^: Ueber 4i9 Orüncnie tvm MonU fioMo. 509
warfM fulirbur. Auf dun tluMeii liuf^en Iiiur zutilreiche StOcke TOD fettterun BaüültniaiuIeUteiuen umi vurfalloncr llusutUiifr, <lii- iit^heit vurkietfltv ((rGiii'nlcbrocken, ^''^^^ "nrl f^*lbe Chalcedon* kuolivn, WL>lcbu im Iiiuerri uß krystullisirte (juarzuuwicbeidujijjcen erkennet) lassen. Die KuthltisAungüii über Tu^ »irid hier zu g;e- riug, um mit Sicherheit übiT die Art des Vurkomnieit^ der Griln- erde entscbeiden 7.11 kfioDen. Die anatebeiideo basaltigen Oe- steiusmassen sind stellenwei.se BaäultninndeUU-ine, Kti^lb'nwrjse Ba- nalttuffe, au wolcbeu durch die »treifig wecbüflnde Färbnng eine Art Scbichtiing ucb verrüth. Ancb fehlt es niclit utt Blocken uiaNsi(;;en Basalte«, die uusgewiltert an der Oberflilche, t. B. auf dem Sattel pegen die S. Valentino-Kafn'llo Kerstreut liegen. Basalt, Buriiiltiiiandi'UUiiiie und TulVc bildni hier ein Oiui/i», welche» i)U Glied /.wischen den f?chichten der Nummolitenkalke und -Merjjel eiiige-^chaltet find, erster* in deckenfVmiger Aus- breitung, letztere in ^biebtenartiger Ablagerung.
Auf der Südseite des Thale» steigen die St^ltenhaldfrti in analoger Weiiie, wie auf der Xurdseite au dem Gttbänge fuat parallel mit dem Saumpfad empur. Auf dicsi'm Sndflßgf*! i-ind /.. TIi. noch mehrere Stollen in Betrieb, deren aneinander ge- reihte An»atKäieI]en dorn schichtenartigen Kortsotxen der Iiager- sUitt« der (»rUnerde nach SOden hin fntflpricht. Einer der hncb«t gelegeiiea, £ur Alpe Treto gehikiger Stullen konnte befahren werden. Kin Arheil^T war hier mit seiner Knmilie mit der Ge- winnung der Grflnerde beschäftigt. Vor Ort dea mflb«<^^lig zQ befabrenden StutteuH könnt* ich mich nnn von der Art desi Vor- ttonimonK der QrUnerdo (lbcr/.eugen. Die letztere ist aU «'kun- düres ErKeugniss aus der Zeritetzung der Bestandtbeüe der baMiiltigiMi Gesteine hervorgegangen und hat ftifh iiuf vorhan- denen Ilohlriiuuien. Klüften und KiMcn, liunptsÄchlicb /wischen Mandelstein und Tutf oder in enrterem in gn'xweren Mameo an- gCMimuielt. Sie liudet »ich daher in gnicäeren Btit/eii uud un- regelmäßig amgrenr.tt'n Linsen oder Adern, die der Gv»t«in8- lagerung nach nicb fortr.iehen. Ueberall i^t die GrQoerde von Chalcedonanmnheidungni begleitet und büufig m innig mit dietra verwachsen oder vermengt * da« «ic dem Chalecdon die grOon
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UinenüvergCMnaehaftimg. irie »olch« äeJi ia 4n
d«r HAndebieiii« w rider MaaengnIcnM voHwAtt soi
bei den flMiltininflf kleinen de« (pmuB Gefaielie» 4«r Xon-
niililemebi«btea voa Yice&L)iiiacb«a bie »id Mk. BaUa sarf
Gardttne wiederbolft.
Da» dtmer AoaecheidangvproceM scboa firühinüg tut der litgenin^nifining der Tertiärgcbilde etaUgefitodea hat, gebt daratw barror, da« die Grflnerdcm— i.d tob edrr «ahlrficbwi, walUg g«rtreifl«n, »piegelnden KoUcKläcben darehsogao wd. Oft int die OrOoerde wie mit dem Cbaloedon aaeb niit den NebooAtein eo mnig verwjichi»en, daoB man beide nicht ecbarf trennen kann. Solche Maaten werden daher in den Ombea mitf^ftwonnen und erat Ober TafC tn Uv^mmn nnd minder gute äorten ge»cltieden. AiifTaltend i^ das Fehlen oder die grove Seltenheit von Kalkspath-ÄitnobetdunKen, die «onrt das Ta konuui?n von GrHnerde zu begleiten pflegt.
Fragen wir nach der KnUtehung^wciM der Grflnerde, » ixt CK im hiVhffteii Grade wahntcbtiinUch, daiui sie der yriiMi1iaiij| den angitiischen l.i<*mengtheils des nie beherbergenden \m^ Ugeii <>eMt<*ini ihren Ompning verdankt; aber «chwi^rig n «^ kUren i«t ihr griMuer Gebalt an Kalium. Daa war« veotto*!' lieh, wenn dicftu Kwalt« /ti dt^r (irupj>e der l^eucitiNMalke ge- hüreii würden, in wolcheiii Fnllu dvr clw» £er»cUte Lencit dai Kalium liuferii hütte können. Gi iat diene Mineral jedoch b« jetKt in keinem der Hiuuillf di<9tt<r (jrgeiidüii. Mt^bstt iitchl ab i&ucuworiiicher GeDieii^hvil wulirgi^nouimen vri^rdeo. Ka mu» vor* Ifiitlig unenUchieden bleiben, woher dieses Alkali und ob viii- leicht aiM Z'.^rsctziing eine» feld«{Milhigtin ücmengthcib oder der Gladniiuwe »tumnit.
(7. W. V. (rUmM: Uvber di« OrUwnU vom Monte HaUlu 001
m. Technischo Verhältnisse.
Diu GewitiDuii^^art dur OrnnerJe iiiii Mt. HaMo bi*»H/,t iiiitofern eiD bmtoriscbes lotert.'Säc, als wir in deiselben einen Mineraliibbau vor mm haben, der von der Ri'mierzeit An — vielleicht mit zeitwoise länj^eren llnterbrecbungen — liis in die Geg«nwart hereinreichL Solches zeitweise Rrliej^en des Berg- baubetriebs selieint daraus gefolgert werde« zu dürfen, dass der ibalieDiauhe Naturfuncber Cesalpini in seiner Schrift «de nietallicis* 1610 dieses Vorkommen der CJrOnerde am Mt. Ltaldo dicht erwähnt.
Die <iewinnuii^ der Grilnerde auf Tiroler (iebiet war mich älterem österreichisch ein Bergrecht dnreh eine kniserlicho Belelinung bedingt, da die SubHtauz '/u den Kegalien gehörte. Solche Verleihungen bestunden früher in grösserer Anzahl am Mt. Brtldo bei Brentonico, z. B. an der Scatette<Pianetti, bei Ciistiune und Mori. Die Be-iitzer der hiiu{iltiichliclieü Beleb- nungen alla Vina, Gemeinde BrenUmico, waren der («raf Kccfaeli and Aut. Zunoni, derOrnbe Andrinli daselbit mehrere Kinwohner von Brentonico, der Ornben ,alla Scalette' dio Familie Pietro dai Canipi und noch vier andere Geworke daselbst. Auch im unmittelbar angrenzenden italieniscbeu Ge- biete mllen einige Gruben betrieben worden »ein.
Nach den neueren bergrL-cbtlichMn BeNtinimiingen in Oe.st*-T- rcich findet seit It^.M eine Belchniing auf GrOnnrdo nieJii mehr statt und die Gewinnung ist dem Grundheititzer freigegeben. Kine bergbehÖrdli<-hr Beiinfnichiigting der Betnebe beutehi nicht mehr. Zur Zeit meinet^ Besuchs der Gegend war nur eine xur Malga Treto gehiSrige Gmbe durch nur einen Arbeiter belegt. Ks sollen sonst gegen 10 bii 15 Bergleute bei der Grtlnenle- gcwinnung in dieser Gegend beachäfligt sein, sobald die Feld- arbeit beendigt ist. An der ob«n erwähnten Grub« hatte ein Arl>eiter mit seiner Familie in einer sehr dürftigen Udtte Auf- enthalt genommen, daneben bestand noch ein Bretterver«icblng
""^''.r, ", ;'"*''f«''d, oft „J'.'""'- I^ :'"^"'' den Sto/L"™ V'^""»'»« >r .
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U^er tlie OniHtMf vom MorUe Battlo. ^03
Die Sorte l dürfte aiw reiner Grünerrle hergestellt, sein, die zweite Surto brati&t tuit Siiiireri belinmielt lebhaft unj »elieiiit eine Verruen^ung vuii Grüncnic mit Krcitlu zu ^eiu. Uio dritte Sorte i»t stark verunreinigt.
Es sei hier bemerkt, diii« in SOdtirot noeh eine andere j^flno Erdfurbe unter der Bezeichnung .Kliiiisener GrCtnerde* in den Handel kunimt, für welche wahrBcheinlicIi diis Kutmiivteriul im Faasatbal gewonnen wird und WL'Icher die bekannte Omwnnd* lang vooa An^t in Urfinerde ent-spricbt.
Die Mundlöcher der xiihlreichen Stollen im Viil. Aviunii sind m n^he übereinander angesetzt, dass ea scheint, uU üb in den streichend awf der La^enttritte einer Aber dem anderen ge- trit^hencn Stollen die üewinnun^ der lirHnerde, »twoit dcrrn Aneteln-ndf» vom Stollrn an» sich erreichen laust, $tattHndet. Die jährliche Gewinnung des IlohätofFu betrü<^t angeblich ITiOOG bis 20000 Klgr.
Kinige Stollen an der Scaletto sollen soweit in das <icbirj;p getrieben sein, daun Me bei der Nähe der Lnndcsgrenxe bis in lins benachbarte italienische GL<biot hineinreichen, was hei ein«r Länge der Stollen von 250 — 300 m nicht unwahrscheinlich ist.
Dass die (irTlnerde vom Mt. Baldo als Material für ller^iteltnng der unt^-r der Bezeichnung Veroneser oder Sela- don-GrUn bekannten Enlfarbf Verwendung findet und da»» die Farbe jetzt noch nnd Ächon von den Römern*) ffir Fresko- malcrei l)cnntzt wurde, Ist bereits erwähnt worden. Sie wird bei dieser Anwendung besonders wegen ihrer IJnreründerlichkeit unter dt-r Einwirkung der Atmoftpbiirilirn »nd wegen ihrer Ver- wendbiirlieit unmittelbar auf Mörtel und Kalkanstrich hochge- si'htii/.t. Wenigi-r geeignet ist die Farbe für l*ft-t.ell- nnd \VaÄi=er- malerei. Als Oelfarbe ist sie so gut wie nnbranchbar. Die geringnten Morien liefern eine wohlfeile TOncherfurhe.
In Verona, wo huupt.'^lU-hlicb die Erdfarbe aus dem Rub- tnateriftl vom Mt. Baldo hergestellt wird, reinigt man letzteres
*) K. WlMguiitnii. Die Knlrrm d^r Altrn, l^tHH,
004
BlUwtß der mtUh.fii*!/». CIohm <wh Ji. haemher JS$>G.
htihtifi^ <^tit EntFeniiioR; von Eiaenoxjdea mit ^alKsatin? und stallt dann durch SchliiTiuiitin de:* feiniHemahlenen Stoffes vet^schieden« Fnrl>Mort«n her. Auch gehrannt wird die Substanz zur Her- stijthing L'iritir bniutirotbüti Farbe verarbeitet. ?hlit Kreide vrr* inon^t konmit dio Ftirhe unt«r dem Nameo .SteiugrUn* al» Tüncherfarbe in den Handel.^)
1) RoTHrh. Hii- l-'fllirimtrion ilrr KnirarWn, Tl. Aufl. 1888, iU o. 10&; Mit!i'stn»ki, l)i(^ KnI-, Minitml- niiil Lockfiubeu, IBtiä, ISL
Deber die sogenannte Grenze und die Grenzgebiete zwischen Convergenz und Divergenz.
Von Alfred Prlnir<helro.
g l. Uebur die Dn Bois-Reymond^sche Pnnciion t(u) ala Gr«nzc zwischen GonTerf^enx and Divergenz.
In seinen »UntorÄVichuni^en über die Oonvorgcn?. and DivergeuÄ der Püurier 'sehen Dar» tellun^.s forme In") bat Dil Hoiä-Heyraoiid eiiit* Fuiictimi r(a) eiiigefQbrt,') v^cldie für a SS 0 nhnp Maxima und Minima verschwindet und .die Grenze der Convergenz tind Divergenz deM tntegrnk:
;
da
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bildrt*. Piixii büinerkt er zunücbat in einer erläuternden Foae- note: »Die Einfühning dieser Function t (a) kann als Wideraprucb mit dem ScbluH.s an^eMeben werden, da»» es keine Kunction gibt, welche die Or<»nxe zwisfben Convergenz und Divergenz bildet. Ein Widerspruch ist indeaaen hier nicht vorhanden. Die genauere Kr- ürteruug dieiier etwu:^ subtilen Frage werde ieh dera- nilcbst an anderem Orte geben.') Hier dar in Kflrxe die Andeutung, daaa die Function t zu den fon dur
1) ALh. il. tiA^er. AkwI. <1. \\\ Cl. II, tld. XU (l&Tt;).
«) A. n. 0, Kiiil-Mtung. p. XV.
') DU'» inl. u) vit'l irli M'<<li*«. Icith'r nii'bt f^endifltim.
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SUsunf 4er miäh. j4jw. OUtm aom JL DtuwA^ JBML
Seite der DirergeBfi wie ton der Seite der ConTrrgetts ber atch ihr aäbernd^n Fanctiooen in Äbnlicber Be- tiefaang steht, wie der Kreii za den ihm an*cltri«bcveo und eingeschtriebeDen Linieo > . . .*
Di« nug «af den enteil Blick gui pkntibel enebeaMB. auch weuA aus dftvoD ftb^itbt, daai dsi zur Erliutcnii^ bcimii- gwogeoe Beiquel det Kreices ab Orea<e der nasckriebsei und eiagadirieb«iMai Poljgone durchaoi nofia— 1 papttblL^ tfi. Dean der Kreis k«nti anebfaängjg too jenem Gnat^V IV>ceMe rviogeoioetnBcb oder aHAljtiscb foltsiÄ&dig defisirt werdet) : denelbe erdcbeiot abo bei dem firrngfidicB Grma- ProceM ahs elö a priori Jcbon Torbandene« Object, wekbs lediglieb xu einer noeodlicbea Fo%e roa ■«■eknebeoaa uder ejngcscbn'cbrnpn PolTgooen in eine gewiae BtaHbtni; gvnbli wird, genau ao, wie z. B. die rationale Grame eiaee nahe* gr«nxten periodivebeD Decimalbrocbea xa der >'«*t"^*« den Folge foa «ndlicbm D«cim»]brtlcbt9i.
Im dbrigen ftkrt gerade dieM letct« B«inerlcmg vnnaci- bar ao£ «10 vßllig «ityrfBwHife Aealogoo, uioilicb £e BmlUuttj^ i^er ffratinnatzablen aof Grand der Cantor^ecben Defini- tions-Methode.*; Hier wird einer passend gewählten nnb^renzten Folge von ratiocalen Zahlen {z. B. einem nicht -periudischeo unbegrenzt fortset7.baren Deci mal brache) ein neues Zahlzeicheo und damit eine neue Zahl zugeordnet und alä Grenze jener Folge von Rationalzahlen bezeichnet. Dieser neuen Zahl können dann bestimmte Eigenschaften nur in der Weise beigelegt werden, dass dieselben durch entsprechende Eigen-
*» Du Boi -- KeTinonJ verwirft freilich in seiner .AllgemetneD Function eil- Theorit;' (Tübingen 1882; jene ,rein formale* Aoffbvunfni. wü'me (lea Zahlbegriffee la. a. O. p. 55i, ohne aber etwa» besserem oder überbaui/t nur bniucbbares an deren -SWUe zu .-etien. Weder der Du Boi--Rejmond':"ch'' ,Id</:ili?t'. nrxh -ein , Empirist' gelangen xu finf-r arithmt-ti-ch-^trenffi-n Definition de- all^'f meinen ZaUbegriffes. W'ajt im übriijen bei dieser uiigeldifh ,]>hilo90|>hi=cben*. schwerlich :iber .niiitbemati-chfn' li^'trachtungswt-i-^e herauakommt . davon liefert die gt-niiu<*r(* rnter-*iubiin>: dt-r in Re.!.- -lebt'ndcn Function t{ai «fin l»-- r<*dte- B<-i-iii*-l.
L
A. t'riwjahäiH: Ortiue tvnticheH Oamciyenx Hnd Vieergenz. 6^7
Schäften der iivtli^iligttjii rntionulen Zuhlen definirt worden. So gilt '/.. B. jene neue ^ahl (Irmtionalzablj als positiv, wenn alte Termc der definirenden Zahlenfolge von irgend eincni bustiniuiten ah (Ibcr einer genriäsen pusitlren Zahl liegen ; niie heisst grösser als irgend oine raUunale Zahl a, weuu alk' Tenue von irgeml einem bestimmten üb >a-^« sind (wu « > 0), u. 8. f.
In analoger Weise kann man einer passend gcwillitten an- begrenzten Functionen-Folge ein neue» FunctiünfcZeicheu KUordhen und gelangt daiuit zur KiiifQhruug einer nencn, etwa als Orenz-Fonclion jener Fnigu zu W^eichnenden Function, sobald BS gelingt^ fnr jt-ne« neue Functionj^-Zeichen l>e- stimnite Kigenschaften. GrÖBSf-n- Reziehnngcn, Recli- nungB-Operatioueu durch diejenigen ku definirrn, welche den tfinxclnen Individuen der betrefleuden Functionen-Fülge kq- koiumen. In die«<em Sinne kann man z. U. e* ab lirensi- Kiniktton der Folge:
(, + .-)■. (, , ;)•. . . („ £):
oder lg j; als Qreuz'Function dt>r Folge:
I.(]^J-l).2.(V'x-l) [9i-~ll...
einftlhren.
Von einvni Versuclie, die fragliche Function f (a) in solcher Weifie wirklich xn definiron, ist nun fVeilich bei Du Boia- Keymond mit keinem Worte die Hede. Kr sagt darQber ledig- lich Folgcitdot»:^)
»Wenn mau die (Irenze XM'ischen Convergenz und Divergenz. auL*h nicht wirklieh dart teilen kann, ro hindert diea nicht* in den Caicul eine ideale Function t {a) einKufGhren, von .s<ilehr>r IlenchatTnnhiMt, dnit» daii lattigrat
*> A. a. O. |i. Ab.
tt08 mtmutff 4er maih.-ph^. CUme
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conTorgirt. daa« mber JcdeA Inttfgral
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divergirt, in welchem fp(ct) z> r {a) gciiaei
leb muss bekennen, daas ich von euer Function keino rechte Vorstellung habt*, inc liemu sich in dvin oben bn^eicliuet^n S'inne niren, m kann man nach eiiiur bekannten Uc\ Functionen r, (ü)>i(a) (imd aot^tkr: r, (u) ;>( fllr welche dos Intcignü:
J
ia.
*,(«)
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fhonfnIU noch convorgirt: aUdann stellt aber r |tra4?U'ndirte Oren/e zwii^chen Coorfr^ense und Dil
Hiürnarh enMTheint die Kinfrtbnin^ einer xk t(o) iinv.uliÜMig, nicht deshall», weil nie durch U tioiicn nicht dar^ostollt werden ktinn, aondern Anntihme ihrer Kxiätenz auf einen logitci Hpriit^^h führt.
Man könnte nnn etwa zur Rettung dieaer iiuf dir* ICiemaun'schen FtiLrhen hinweisen, der aeitig durchsetzende Hlütter Kwar nicht mit fj^eeetzen, aber, genau genommen, mit an««r«in^) Vorstellung»- Vermu>?eii im Widoraprnohe stell lerirt aber diesen Widerspruch Indi^üch wem tischen Nutzens, welchen die fragliche Fictton d Theorie thatHÜchlich ;^«til^et hat Kio tfolch« doch Biu der Kinführuug der Function r (a)
') ViuUuit-lil audi uui- »lit iUmii miüiij^vu?
Q
^%ringaheim: Grcnee ncitchen Cowpergens und Vhvrgtni. 609
.^) udJ steht aucb kaum zu erhoffen: in Folge desaeu ■ I keinerlei (iruiul vor, diu »o wunderlmr vollkommene
Ue Sprache der Änalysis dui*ch dergleichen .ideale' t zu verunzieren.
Jtteber tirenzgebiete k wischen Cau vergen/ und < Divergenz.
jhrend sich die Annahme einer Grenxe zwischen der und Divergenz des Integrale
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tuUUsig erwiesen hat, kann man in gewissem Sinne von .gebieten zwischen der Convergenz und Divergenz eines 1 Integrales reden. Der Sinn und die Tragweite dieses 'ea soll jetzt einer genaueren Uutersuciuing unterworfen L and zwar will ich dieselbe, um sie möglichst elementar talten, zunächst nicht för ein bestiuinites Integral, tn ffir eine unendliche Reihe ffihren. Dabei kann es slb»tver»tändlicb lediglich um Keihcn mit lauter gleich- chneten (etwa positiven) und monoton gegen Null nendeii Gliedern handeln, da für andere Reihen (geradeso r bestimmte Integrale von Functionen mit unendlich vielen lU und Minimis) die Möglichkeit derartiger Betrachtungen >ri aasgeschlossen erscheint.
is seien niiu c„ rf, (r = 0, 1,2,.. .) zwei monoton gegen bnehuiende Folgen positiver Zahlen von der Beächaffen- dass — c^ couvergirt, — rf^ dlvergirt und das» rf, > c,
l>u Bui>*-Rey luoml »ftjiri hierüber — aiu Scbliiase der oben Fuusnot« — »tfibtt FolgouJes: ,Pr»kti«ch braucht man Obri-
Inter r nicht dieCJrr?n£e der Cünvergenz und Üivergens sieh vorznstellen, «nndern ea genützt, darunler eine
iJQD sich XU tlenki*n, die der (jronxe näher liegt, als alle in ileu ^erai)<> fiirjcelogten Calcnl eingi^bundeu.*
MKtti.|ili7i. ci. 4
40
*• 4iTer|fsrt, ««■■ fer '^v:
mhon onOr f A ) tmd ^B) *rf«*ijj?t«i PSIU: a, ^ f^ bnw. #, ^ /.
fßr > > n, w*r(rfallen;, m» kann die Reihe -a, noch coiiTergir^n oder direrj^iren. Wir wollen al^nn sagen, ^e gebore dem- j*Tiig»m Orenzjjebiete zwwchen Conrergeni and Divergeiu u. whkUt^ durch die Schranken (<*.), (rf,) defioirt wird.
Ntjn darf man aber ja nicht glaub^i — und dieser Irr- thtirn ij«t tbaUachlich von Dn Boiä Rejmond nnd utderen lieihen -Theoretikern begangen worden — daas bei irgend einer Wahl dieser Schranken alle Oberhaupt möglichen Keihen mit pohitiren, monoton abnehmenden Gliedern in drei wohlgeHonderte ClasBen vom Charakter (Ä), (B). (C) zerlegt werden könnten. Vielmehr gilt der folgende Sfttz:
Wie man auch die monotonen Zahlenfolgen (c), ((/,! annehmen mag, ko giebt e.s stets unendlich viele mo-
'j H. z. II, inf\ut- .A I li(*!mc'in f Theorip «ler Diverftent nod C-iiitvf.rt^i-nx t-t',*. Math. Ann.. IJ<1. 35.
k
A. Prirtfjtittm: Grenzt noüdUn Cotw*Tstns und IMvergtru. *>H
notone Zahlenfolgen (oC), welche keiner der drei Clas- sen (A), (B), (Cl an^ehOren; iiiimlich solche, welche eine der beiden Schranken (Cr)» (rfr) oder auch beide unend- lich oft dnrcbsetKen, nlso durch eins der folgenden drei Ungleichungs-Ptiare charakteristrt werden:
(A') üi < Cl
(B') a^ > dl
(C)
Ok< Cx
(Dabei bedeuten die l nnd /j von einander verschiedene Zahlen, von denen beide Katef^orien in unbegrenzter Anzahl vorkommen und die in den Ktillcn (A'\ (B) die Reihe der ganxen Zahlen i', zum mindestens fOr f^n^ volUläudig er- schöpfen).
Beweis. Es bedeute pr (>* = 0, 1, 2, . . .J eine ganz will- kürlich anzunehmende Folge beliebiger positiver Zahlen, ffio eine positive ganze Zahl oder auch die Kuli. Man be- stimme sodann eine ganr.e Zahl m^'>mQ und weiter eine an- begrenzte Folge wachsender ganxer Zahlen w,, im,, .... in der Weise, diu« :
l'i"'-,<i'o*V ^t'*''^<Pi'^m^' P3-''-.8<Ps'V "■*■**•' was offenbar stetig (auf unendlich viele Arten) nmglich ist, da «owohl die c, als die d, mit wachsenden Wertben von r mo- noton gegen Null abnehmen. Man erbiilL durch diesea Ver- fahren eine unbegrennle monoton abnehmende Folge von der Form:
(I)
Setzt man jetzt:
Pik^}-^
"«*+»
und beiitimmt im (Ihrigen a', ftir alln ganz/abtigen Werihe von r, die zwischen »i^ und m^_j,, (A = '\l,2, . . .) liegen, in der Weise, dara a; fUr vs=ifHi^ m^^ ^ |^ . . . oi^^i monoton von abnimmt, mi bilden die a'. für v = 0, 1,2.-. eine
"~A
■i+i
40'
GU
SiUtUfU) der math.fihgs. CUum wm 6. Dezember iSOS
niibegrenzte manofcon abn'ehmende Folge« welche nnea^lidi viele Terme vou der Foriii (1) enthält.
Durch passende Wahl der Idsher noch wiÜkörlicb g^»**«« Zahlen p^ kaou di&q schliesslich crmcheUf duas die ZmhJbMfi (ai) einer der drei Classön (Ä'), (B'), (C*) ungeliM.
ao dtt5s also die Folge (o;) der Classe ^C') angehört. Berücksichtigt man ferner, d&ss (aum tiimd«st«fi bestimmten Stelle v = ri tib) <?, > p • c, sein mtai j» beliebig > 1 angenommen wird, so folgt fOr < I
Pu+i
>
1
"t» »9*
"ipii+i—^n+r *'«*»+,
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1 >'--.+.■
d. h. dti* Folgo (a;) ^fa&rt in diesem Falle der Cham (A*) ^
Annlog wird für p^^
P,
t+i
> I:
%.= P.
..'.J^'-«
+r
so dasä die Folge {(i'.\ zur Clasäe (E) gehört- —
Ans dem eben bevriääeaeQ SaUe ergiebt ach ttoa ositt^ bar das folgende Resultate
Wie man auch die taoQotonen Zahletifol|eea (f.), W arahlen mag. so Ki''bt e» :^tet$ unendlich «i«l« m*B«tM
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Ortfut Mwit€k€H Ctmeerffeui
Jwergen:.
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annehmende Keihen ^a;, welche nicht tlfni von <len Schranke» ((%), (f/,) eingeschlossenen Grenzgebiete an- gehören, and (leren Convergenx oder Divert;eiu den* noch nicht durch Vergleichnng toq o^ mit c'^ oder dv entschieden werden kann.
Versteht man insbesondere unter {al) eine monotone Zahlen- folge, welche beide Schranken (<?,), [d,) nnendlich oft darch- setKt (d. h. den Ungleichungen (C') genügt) nnd setist man :
r» ^ p-, rf, ^ — -, so hnt man Hlr unendlich Tide VVerthe
theiU : a,. <.
thetU : (i; >
/)*
iheiU: D
d. h. schliesslich:') lim inf D
theihi: C'ar_>
a
D'
a[ = 0, lim 8«i» C^ . o^ ^ OD I wegen : hm -^ =^ hm - ^ oo j,
in Worten: Oiis mit Hülfe der C A herstetlbsre Kriterien- ?aor ßr CouvergenK nnd Divergenz versagt in diesem Falle.
Das gleiche gilt dann ofTenhar auch von jedem durch weitere Verschärfung*) aus C'„ I)^ ahzuleitt^ndeu Kriterien- Paare. Denn nimmt man C; -< (7„ i); > i)», wo wiederum:
*) Ich bezdohnp al« nnioren tierw. ohoreo Limei (Uro. inf. bozw. Um. su|>.) du nftmlirhc, wim Cauchy ttU ,ta {ilu^ |>«tite bcsw, !■ I^BDilt* Je* ltiiiitt*t>* XU hezeirimeii pUttgt. Ule uooh 'lern Vor- 'von Uli Itni«-Rpjinon(l nenordings fiut allgcmvin ül>ltch ge- wordene, nicht gmido fchr b*Hincmo Bwrichnuitg; «Unter« lieiw. ob<ri? ünbnotimnUheiti^ronxe' üt letliglich ein ni>ner Nftm« ftlr jenen M'bon Cancby voUtttiUidig geUafigen UegnJT.
*) 3. meiflu oben otUrt« CoDV«TgenK-TbfHtrii!, a- a. O. p. 303.
fiU iyiUung der muak,-pky9. CUate mm 5, VtttmAtr £0«.
C' Hm ~ = 00, «0 besteben die Ungleich angeu (2) m forliorl.
auch wenn nuui C. D^ darch C^ D', entitL, umi folglkli lul
man immer wieder:
lim inf J)',-a',^ 0, lim «op C'^'O^^ co .
g 3. Die wahre Schranke fOr die ConvergeDS eiser unendlichen Reihe.
Ans den Betrachtungen de» Torigen l*aragr«pheo geht bo^ TOT, dan es in keinem Falle gleichieitig eine «llgemet gQltige Schranke ffir die Convttrgenz und eine «dcbe die Divergenz in dem Sinne geben kann, da» die Ten» aller convergenten Reihen frait monotonen GKedcm) rr« irgend einem be&timmten Stellenz^'i^ «h darcbweg onter- halb der einen (oberen) Schranke« die aller diTergenten Reihen oberhalb der anderen (unteren) Schranke Ütgc«. Dagegen lässt sich zeigen, daas eine solche Schranke f&r dii Convergenz allein existirt, dass dieselbe aber merklich hi^fa< liegt, als Ton früheren Keihen-Tfaeoretikem aageeoauDen mirde-^ El gilt niünUch der folgende Satz:
*) HienKtf habn ich bereit* in der dtirten AbbatMllang kiagw (a, a. 0. p, 347 ff.), woeelbft auch der hin- folgetida Bata bcraitB itellt und bewieaea wird. Ich reprodadre denaelbtn ki«r nockaali, wrgen «einet unmittelbaren i^uaammenbaoge« mit d«n und noch folgenden BeirMchtungen, thrili auch, weil der hi«r Bcweb leines wescntlichcrrn (zweiten) Theüe« Mir Tollkomütal eracheiDt, aU der a. a. O. und Math. Ann., Hd. d7. f>. e<'il miln Waa Qbrigens den (tehr leidil m bcweiMuideat erit^n TVnl Sutzei bt'trifft. mo bat man dewen Kicfatif^eit woU Mst tanf« a>* ■ elbfl verslftndlich angeneben. Bewi«Ri«o wwd« aber iauai dau £ a^ ilivergirt, wenn lim r • «^ ^ 0, und tlaraa» folgt av
da» im Falle der Couvergeni von X a^ tleU lia v*i^^O adai
fallt dieier Oren«wertb Oberhaupt axltÜrt. Goade dt«Mn Eiiftens-Bewtii liefert aber dar ente Thaxl da» fta^BdiOT
A. Pringsheim: Grenze »wischen Convergenz und Divergenz. 615
Bei einer convergenten Reihe mit niemals zu- nehmenden Gliedern hat man allemal:
Qy ^ — d. h. lim y • Oy = 0.
Bedeutet dagegen (m^) eine mit v beliebig langsam in*s Unendliche wachsende monotone Zahlenfolge, so l^iebt es stets convergente Reihen ^a^ mit monotonen Gliedern^ für welche:
lim sup v ■ fWy • Or == CO ,
d. h. die Reihe ^Oy enthält unendlich viele Terme, welche infinitftr grösser sind, als die entsprechenden
der divergenten Reihe ^
Oder anders ausgesprochen:
Für Reihen mit monotonen Termen a, bildet zwar die Beziehung:
lim V • Qy = 0
eine nothwendige Gonvergenz-Bedingung, nicht aber irgend eine Beziehung von der Form:
lim V 'Vir ■ Oy = 0,
csae
wie langsam auch nty mit v in^s Unendliche wachsen möge.
Beweis. In Folge der vorausgesetzten Convergenz von SOy lässt sich nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Zahl € eine ganze Zahl m so fixiren, dass für fi>m und jede noch so grosse ganze Zahl q:
Setzt man hier speciell einmal e = /*, das andere Mal ^ = fi-\- 1, und beachtet, dass allgemein a, < a^^,, so folgt:
610 SUatmit dif uialh.-tihtjs. Clause vom 5, Ihirmbrr l*idW.
£ 0* > »i
aiiil daher :
(2/i + 1) ' V+i *""'•" ^f- ^> •"*. + '*'" *
I' - a^ < 2 e fv > 2 m) d. h.:
lim p ■ 0» ^= 0.
Uui den £Wt)iteD TUeil des ausgesprocht^^e" Satzes £u be^
weiaen, wähle man eine för jeden Werth ?on *, der eine ge-
tlrisse Zalil j^ ilbersteäi^ti stetige im<5 prjsifcive^ toii x oio-
rnioiQri in^» Uiieudliclic wociiseiiUv FiiDclkin f{z) Ton «kr
He^chiitTeitlieitf du«u
(1) /C;c4-I)-/'W< 1^ ^^^
(2) /"(r) < f»,. -^-^^^ Vermöge der ersten Festsetzungen besitzt die Gleichung :
(3) y^fix) {x>x^^ eine Auflösung von der Form:
(4) X = f/) iy) (also : q (fix)) = x = ^(<r (x))).
wo (f{y) eine für y > i/o = f {jCq) eindeutig definirte, posi- tive und mit y monoton in's Unendliche wachsende Function bedeutet.
Alsdann folgt aus Ungl. (!) und Ql. (3):
/•(x+l)<i^4-l und daher :
'f(/(^ + i)) = x+ 1 <T{//+n,
also mit Benützung von Gl. (4):
(5) 'r{y+\)-<f{y)>\-
^
A. Pring^im: Grenze zwischen Convergenz und Divergenz. 617
Bedeutet jetzt 2— eine beliebig anzunehmende conver- gente Reihe, dereu Glieder durchweg der Bedingung gentigen:
C,~C,_, >I (A=l,2,3, ...), so hat man nach Ungl. (5) auch:
(i') y(C,)~7'(C,_,)>l,
so dass also zwischen <p(G^_^) und (p{Cj) stets mindestens eine ganze Zahl liegen muss.
Nun nehme man noch eine Folge positiver, mit wachsen- dem V monoton abnehmender Zahlen kr so an, dass lim kr ^ k von Null verschieden ausfällt (z. B. k^ = k -\ — , li _. ^ . g^ etc.) und setze :
für alle ganzzahligen Werthe >*, welche durch die Bedingung definirt sind :
(8) '/(C,_i)<"<y(C,).
Die so definirten Ternie a^ nehmen dann offenbar mit wachsendem v monoton ab.
Ausserdem lässt sich zeigen, dass lim sup v 'tn^ • iiy ^ oo und die Reihe — «, convergent ist. '"*
Bezeichnet man nämlich mit p^ die grÖHste ganze Zahl, die kleiner als (f{C^ ist, also diejenige ganze Zahl, welche durch die Bedingung definirt wird :
(9) ^{c,)-\<v,<^r{t\;),
so kann man zunächst die Ungleichungen (8) durch die fol- genden ersetzen :
und man hat sodann :
Pi.~p>.~)
< J'^--^^^^ (wegen: p. < y (CJ)
woraus die Convergenz der fraglichen Reihe unmittelbar her- vorgeht.
Damit ist aber der oben ausgesprochene Satz vollständig bewiesen.
Will man wirklich Reiben Sur von der eben charakteri- sirten Beschaffenheit herstellen, so kann man etwa Ober Cx so verfügen, dass man setzt:
C'i = X'\ wo: ß > 1,
■\
Ä. Pringsheim: Orense swischen Convergen» und Divergenz. 019 also nach Gl. (7): (13) a. =
för alle v, welche durch die Bedingung (8) deiinirt sind, d. h. für:
(u) 9'((A-in<^<g'(n
Mit Hßlfe dieser Ungleichungen lässt sich sodann X auch explicite durch v ausdrücken. In Folge der Beziehung: /^(t(^)) = * ergiebt sich nämlich aus (14):
(A— If </■(>')< r
und hieraus folgt weiter:
(15) X-1=[V/>)|
(wenn man durch das Symbol \x\ die grösste in x enthaltene ganze Zahl bezeichnet).
Somit geht der Ausdruck (18) in den folgenden Ober:
cß) ^y ^ r, — T, — /n"".r" >v \ym\ -ylli -\-Vf{v)\}
Da aber offenbar:
V7(.')|'^l//-(»') und daher: Wfiv)] '^ f{v),
so kann man, ohne den Charakter der Reihe ^Oy zu verändern, den Term (16) auch durch den folgenden etwas einfacheren ersetzen:
(>v) n. = jT^-'n-
Ist dann z. B. m» = lg >' vorgelegt, so wähle man etwa:
tj f{x) = {\^x)" =y (wo a> I), also: x = r =qp(y); alsdann
wird, wenn man noch pa = r setzt:
(18) ür = -„ 7— Tzrr. (^*>= ^>o>\).
V^^
V • e
Li + y]gy]
Sie
^ *• ^' »rieht kein
'"';'■""■■■• ''•"^"•- /
'*''' «ic/jor J,v '^" oft j
ihem: Grenu :U!i»Jien Convergem und Divtrgeya, 621
stets divergente Reihen -a^t unter deren >itehiuen<leii) Gliedern unbegrenzt viele in- ler sind, als die entspreche nden der Reihe
lan hat:
lim in! C^'i$r — 0.
aber aacb geradezu ein einfaches Verfuhren bei beliebig vorgeschriebenem G, solche diver- ^Or wirklich herzustellen. 91 (x) wiederum eine positive, mit wachsenden 'erfchen von {x) monoton zunehmende Function, ledingunf; genü^:
{v) >- Cyt also a fortiori: rp{x) >■ a?,
gesetzt:
(*). Tj, (jc) = 9 (9',(aJ)X.-.9'iCj) = <3f'(yjt_i («»'••-
met dann h eine beliebige positive Zahl > 1 , so
lunächst in Folge der Beziehung (1) eine i>oäitiv6
Ixireu, dass
li y, (jc) > 6 • X fflr : X > a.
t wird aber — immer für x>a:
l IT, (x) = y, (y, («)) >lfTi W
'® Vi W* y*s (•^)i • - • Va Wi ■ • • bilden ulao eine mit X monoton in'ö Unendliche wachsende, positive Und zwar hat nmn fHr x > a und i = 2, :i, •!,... 4) und (3):
passender Wahl von -b and a (/.. B. fQr ^ > 2, oifaUs:
t>22 SitBuftg der math.-jA^s, (UaM$e vorn 5. lUitmint i*t9€.
(C) f j (a) - gp,_, (a) > 1 {X^2, 3, 4, . . .),
äo daää zwischen 9*t_,(^) und 9^;(a) steU mindesteag eise ganze Zatil liegt.
Nimmt mau jetzt niederum nocH eine Polge beliebiger pafi]ti?er, monoton abitehmender Zahlen ^(^ ^^ 0, 1.2«, . .) mit dem von Null versehif;d<;neD Greuzwerthe lim Ir^ = li ttTi» 80 Süll gesetzt werden: '^
kr
(7)
«,=
fa(ff)
ftlr HÜe g»iiz2üMig6n f, welche durch die BedioguDg defiairtsind:
(8) <r,-i {a)-\<y< q>,(a) - 1 (Ä = 2, 3, 4, . . .)•
Alsdann iiBbuien offenbar die Or mit waehseodem » monoton ab, und e^ läast sich andercrgeits zeigen, dsM lim inf CV ' «r = 0 und die Reihe Sa, divergent ist
Uezetchiiei man nämlich (analog wie in § Hl) mit /i. die .grSaste ganxe Kaiil, die kleiner aU ^^^{(l) ixt, »(»dassaUo:
(9) y,(a)-l<iJ,<?>,(o),
so lässt sich zunächst die Bedingung (8) durch die folgende ersetzen :
In Folge dessen ergiebt sich :
A-p,
i„
"PI.
9"^+, (") '/'('/';.(«))
'h;.
also:
d.h. (H)
lim y (/);)- «p.</.- lim inf y {»') • «,. < A:
(wegen: p^<gy^{a))
A. Pringaheim: Grenze zwischen Convergenz und Divergenz. 623 und achliesslich mit Berücksichtigung von Ungl. (1): (12) lim inf C-a,. = 0.
Ferner hat man:
£*■ Oy = 5j^ ^. , wenn gesetzt wird: A^ = 10t' a,.
Da sodann:
80 ergiebt sich sofort die Divergenz der fraglichen Reibe, da
Px — Px-i
— - das allgemeine Glied einer divergenten Ueihe bildet
Px
Pi und lim — ~ = 1 ist (s. üngl. (9)). >i=«y, («)
Beispiel. Ks sei: Cr^=>^, wo ^ > 1. Man kann also setzen:
(f (o;) = x" y wo: a > q.
Alsdann wird:
_ x) = (x ) = a; , y^ (x) = x .
Nimmt man der Einfachheit halber die oben mit a be- zeichnete Zahl auch =" a (was z. B. sicher gestattet ist, wenn o > 2, da alsdann:
TA°) — 'Pi.-i(*^)=^° -^ >2 — 2 > 1), so wird nach (7) und (8):
(i:i) rt^ ^ _l^ solange: o" — 1 < >< < o — 1 .
ff"
Um auch hier wiederum l oxplicite durch v auszudrücken, hat man :
Sitmmg Jcr Wort ffty«. Umw mm ä.
tm$.
r.eieben sagebcMtfat, die *w***->t^ iml
bdunatas
nie
fat abereisnistiniiiea acbesucn.
Die Vtabang dieoer ZeidMn, die (TaUmcbang dtffiber, wie ne an dem Oiiente nmch Obef-Itolien abeitnigca »ludcu, bean^rnclik den yrihwwn Theil der folgeaden Dnrle^uu^: deoB äe nSili^te mich, eincnnle «af die Gqtrhirhte dar Zahl- zachen hei Babjlonieni, Aegyptem imd Phönikeni rinirigiihrii andaefseiti möglichst ToUclaadig xttaMnBte&sasteUea, wa» ftbcr die älteste Geschichte der Bewohoer Ober-tUUeo» mo» hitto- riachen L'eberliefeningen oder »tu den R«Mxltat«D der A»- gr»bai^^ beiuuint i^t. Ich hitte Iwam gewmgt, eine «Ich» UntersachaDg su outeniehiDeo. wenn ich Dicht in Kfioig»- berg i/Pr. dorch Zosammettlebea mit O. Tiichler, imd taek deaen Tode durch mefaTJährige Theilmhoie an der VerwaltoDi; des dortigen Proriiuül-Miifleains der phywWtixh-dkocwiiehep GeseUachaft mit den Ei i uugeuaehaften der prihntoriacbeD Für schnztg wenigsieafi fSr die locmlen Verbältoiaae ia Oat^Pnimiii bdcBsat gewordea wäre, dadurch aber natBrUcbei. lebhaft* Intereme Air derartige Üntersochtutgeo Obefhanpt gewoaaia hätte. SelhitTctständUch wird in dieaer BezirhQDg m«äne (Hr- atellaxig Ißckenhaft geblieben sein; ich darf nnr boScn. 4tf ofithige Material cor Beurtfaaüni^ dar auflmacheadca Fn^a geearnnKh nsd die vecsehiedeoen mSgtichen Antmirtni auf dimt Fragen beaeicfatwt zn haben. Dabei haben mich die Berroi Collegeo Pnrtwäagler, Hommel utd J. Ranke hier unJ r. Wieser in Innsbruck durch Rathschläge und Littcrmtm- nachweiee riel^h onterstfitzt, worfOr ich ihnen meinen Uaak hier aas^neboD mtehte. Auch Herrn caad. matb. J. OöttUr. der die naÜiweiMÜgen ZetchaoBgen fOr die anUegeadia Taftla ■utausfeu bat. bin ich m Dank Terpfiichtei.
§ L Sa antikaB Bhomben-TriftkootAddsr.
Im Sommer \9&6 sah ich im Atelier dea Herrn P' l ^aor
den Bvf Taf. I. Fig. I (fai oatfirBeber Gtdme nach • :u-
gnfbie) abgehadatea, ammiT an» Broasa gegomenan mathaam-
timba KSrrper, der aalfirlicb eolmt mnn re^sb« lolceeme «r-
h\ Linärmann: JCnr Oett^Mt der JWyn/rr etr. («2^
%e. Herr Dr. Niiue famtte deshalb die Preuiidlit-hkeit, ihn mir zu abertass«ii.
H)r selbst hntte ihn für den Knauf irgend eine« Geräthee oder einer Waffe ^elialten, b«i dem Maiigul irgendwelcher analoger Funde aber vorläufig hei Seite gelegt. Krworhen bat Herr Dr. Xaue den Korper aiu Beirut in KleittaHien und /war xusamtuen mit verschiedenen Brüur.e- Hingen, die kein ent- scheidendes Merkmal /.ur /fiibestimmiing an sich tragen. In- dessen wenn die:» auch andere wäre, künut« e« doch wenig in Beb^cht kommen, da nicht sicher '\f>i„ ob diese Kinge mit dem mathemüttächen Körper gleichseitig gefunden cänd.
Der K<\rper pelbft ist ein Ithomben-Triakonta^der, d. h. er gehiVt zur Klasse der halhreguUren Kürjter, und 7.war xn^A- bttondere zw den gleichfUchigen. Er wird begrenzt durch •SO Hhomben,*) ilie einer nnd derselben Kngel uniBchriehen tinnd; diese Rhomben «iud alle einander congrueut. Von den- selben stossen 12raaL fflnf nnd 20 mal drei in einer der 32 Kcken susanimen ; jede dieser Ecken i-^t natOrltch regulär.
In den beiden spitzen Winkeln jedeA Uhombua am vorliegen- den Exemplare ßttdet sich je eine kleine runde Vertiefung, wo da» an den 12 fünfflächigen Ecken jedesmal 5 solche vertiefte Punkte Kusamnienstoitseu. Eine dieser Vertiefungen i-st die nach aussen gehende Oetfnnng eine:« kleinen inneren Ilofalrnumes; letzterer ist augenscheinlich durch einen Gusafehier entstanden. Jeder Rhombus ist aufwerdeni durch 8 der längeren Diagonale parallel laufende, vertiefte Striche verziert, wie dies au Fig. 1, Taf. 1 gesehen wird.
Die halbregulären, gleicheckigen Körper sind bekanntlich von ArchimedeH zuerst behandelt; die KeuntnisH davon ver- danken wir Pappus,*) der auch die betr. KI Polyeder aufzählt.
'^ hl Fiif. 2, Tftf. I »irlit man nur S4 «mlchrr Uhnmbrn. weil die diidereu bot der gew&hllpn Projoction «ich auf ^ft-odo Linif^ii n»«liictrpn; die Kigur iit gexeirbui'i iiacb Catalan, Utooini «ar 1a tht>orie de» pdljrMpn. J^unml dr VwnXv |>oljrt«chulMUe. t. 24 (cal. Ült, VaxU ld6&.
*) Pa|>|ii Alexantlrini »tillwtinni' »iiiAt; »npciirtint , lhI. Hiilt*rh iJerlio 1876. rui. 1, lib. V, |>ni|MU. IX. p. 851 ff.
«•
ti2it SiUmug der MaeA.-fAy«. OuM CMl i
Die polar zuf^eordneten gleich flldtigiB, siod erst ia dief^m Jahrbimdert hiagagcftgL' ^höri aber anMtr TnakooUedcT. Da mm KUina^ien seit Be^nn dee UtU«lalter« kaoa aodi lieh betrieben vonieo fiein kaao. d» aber 4a> ' plar aua fflntniiinn rtaonDl and ein« FKUchag
•0 ist anzoDehtneo, d«B diwrtba miitfrtffm ia des «ala* Jafcr handerteD n. Chr. «Bgefattigt wnrie Papp«» lefcAe aa Si^ des 3. Jahrhanderts*); da er die gliirhfliiliifiM Kvp«^ aoch nicht cnrihot, dürfen wir ■nnnfcMfn si« aätm. am Miacr Zofc noch nicht bekannt geweaeo. Dwnale Uffafa £a nnche Schule bejocwlcw in VoidgiMiea. Am fjiiiB Jamhiichas (AnCuig des A. JthA-X im UtiA Mathematiker unter den Alexandrinern; raa dcrt athenitcha Sehnte nen belebt.') Uaaiaffciaa (an &10) leUe zeitweM an BaSt 6t» P< Buui hält ihn filr den Verfwo- des XV. Bocks de» E«^ Ein Mathematiker dieser Periode hat «Bhrxbeialick die gleichflächigen Kürpereatdeckt; aadsaaaetaeB Grabe mag daa vna hwwhlfliyd^i Modell einae Triaikn*afi4et» «■!
g a Die keltiachea Dodakatdor.
Im Somoker 1803 fiel oör im Antiqaanam ia äct»e«ia ^. der Gjpe-AbgoM «oes brocxaata Dodekaedcn aaf, da* andh Angabe da« CamerTaton Herrn Dr. Betti ia den Kiederlaada lUgUgiaben aeia »Ute; wcgeo afthener Aiwkgaftf ««rvia* rnkk
Bcrm Oeheiuuath Coi
te u
Bcrfia. nad
^ Kach Hellcer iQenoile da- Cwt LiRin« 187» lOB J. H. T. llalUr: f«L ec "^ F. U«>rrai.»«ft, Zataehrift Ar CzntaUAgiaifuL Hri«. Eoüeitvaf ia dw Lehr» tca 6ft Kaf^is^«^«^^ . ' fft^
=* T^ CaaUr. ».».a ^ ITC
^ T^ Caatvr. a. a. O. p. 19«. «S2. ti«
raoclitc mkh ^ntit^t auf seine Äbliantlliing*) «Qber ein Bronze- rÜtb in Üodekai'derform* aufuierkaani, iu welcher er das tor- adnue MaUTial k^^^i^^^^ b^^* 'Ea handelt sich am ans Bronze gegossene Pentagon- Dode- kai'der von iitilssi^cr Or6«e («o dass man ein solches in der Hund fassen kann). Das Innere ist bohl. In jeder der 12 Seiten- Huchen betiudct »ich eine kreisrunde glatte Oeflnung; dieselben und an je einem Exemplare imraer (wenn auch nicht alle) von ver«ihipdener Grösse. Der um die Oeffnung auf jeder Seiten- fläche bleibende Kaum i»t meifit (»u neit der vorhandene Haum erluubt) mit concentritichen Kreisen verinert, die theil« die OefT- nungen umgeben, tbeibi die EÄ:ken ausfQlIen. Die 20 Kckeu des Körpers ^ind mit kleinen runden, nach aussen vürstofaenden Knöpfen besetzt. Besser als die«e Beschreibung wird die bei- gefügte (das unter Nr. 5 genannte Polyeder darsttdlende) Ab- bildung^} eine Vorstellnng von den fraglichen Dodekaedern geben (vgl. Tiif. I, Kig. 3 u. 4).
Wir stellen zan&clut das von CoDze gegebene Material ztisamuien.
Nr. 1. Ucfanden in Basel^Äugst. Verschollen. Abgfbildel bei Brncknor, Versuch einer Beschreibung ^iütor. und nntflrl. .Merkwürdigkeiten der Landschafl Basel; Basel 1703, p.29M, Tflf. VUI.
Nr. 2. liefundeu 1872 bei Charmey. Im Museum von Ävonches (Aventicum). Vgl. Anzeiger Rlr «chweizerischc Ällor- thumsknnde, Bd. 4, p. 827, und Bulletin de raüsociatioD pro Aventicn, n. 3. LaiMiaane 1890. p. 21.
Nr. 3. Gefunden in Oonsingcn, Kanton Bolothum. Samm- lung Amiet. Vgl. Anzeiger etc. Bd. 1, 1870, Taf. XVHI, p. 197.
'J 'Wevtdeottclie ZrilMhrifl fllr U«acbicbi'* ' K.«.«-* Ti»ii.-r»iuitf XI,
Tcier 18113. y. 301
*} Man änJut o. a. O. uu<h Altbiljunp-a ^iu>It:i- 1 K.v>:'iiii>liii)>, mirtc getiuuo Aniniben Qlior tli<^ (rrAMtic Arr finzi^lncn Oi'tfnrm^eti: an <>ini)^ti Kiciiipliuvti liitt i'int* iliowr Oolfiiiingfn noili «■im! ai*il1i< br t-'orlAi'Ixiinfi (in BJchtuniE des KA«ltit»V ••• ilaM die gnu'» Oi>ffnitii(r «lio Cminlt .>tnA». KchlaHellDob«* eriiAlt.
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ihm von üerrn Keinach f^eniacht«n Mittheil unfrtui kann ich ol>if;eni Mntorinte noch folgende Funde hinsufO^en :
Nr. 17. Gefunden zu Membroy, Nanuir, Helgleu. Vgl. de Lütour, Hnint« romuines di» Membiry, Anjyers 1847, Taf. VIII, p. 28. In einem Gebäude, da« bIh Bad erkl&ri wird, wurden mit dem Üodekiieder römische Sachen gefunden, so ein Vasou* fiii» mit der Inschrift ßrns«<ns, und M(ln/,en desCiabrius und IVtricu*.
Nr. 18. Vgl. Liennrd, ArcbiHilogiH de In Meu^e, t. IT, f»L 34, »i. (Mir hier nicht zn^ünglii-h.)
I7r. 19. Jm Museum /u Lyon, crwätint iu Muteritiux i>uur rhifltoire clo., Bd. 17, p. 310 (2. Serie, l. 13, 1862—^3).
Nr. 20. Im Museum desChateau de tlaye, erwähnt übendu.
Nr. 21 . < iesehen ron Prof. 11 e I h i ^ in |{oni bei dem KuusthÜtidlcr Martini-tt), der es in (.ienf crworbfn hatte, (lohl- farbige Bronze mit rundlichen Kintiefungeu, die mit rothem nnd blauem Kmail ausgefntU sind. Fundort Schweiz.*)
In »einer (icficbichte der Mathematik*) urwübnt ('antor ein von tinif I>. Hugn veröUVntliclites Dtxlekut^icr. Letzterer biapricht mehrere, die theilwois« mit den schon erw&hnten iden* Usch !«in wenlen, auK^nlem folgende:
Nr. 22 und 28. Zwei l)üdekat'*der im Museum des Lotivrt*. und /war in der Outlection Durand, n". (270 und n". 4271. *J
Nr. 24. Zwei Dodekaeder im Museum xii Lyon, wovon eines mit Nr. 19 idenlUch -Hein wird (a. a. O. t. 77. y. -133).
Nr, 26. Hin Dodekaiklcr im Muiteum zu Chalon-sur-Siwne (ib. p. 47a).
Nr. &6. Kin Dodekarder im Museum wi Wien (ib.).
Diu üogteich in g ^ unter Nr. 2 bee]>rochene Dodckiü=<lcr gehört wahrscheinlich auch tu dieser Klai»« ton Körpern ; wir tllbren ei «utroniit auf. da «i massiv gegomen itt. I'eUjr die
"») Vtfl 1 Aufl.. I.fiiiu|« 1980, p, 149,
') t'tunpl»''' DMidii" tl*!" «t^ftnr»'!) d«» IWmli^iitti* 'It-n iwifrHi^, t. 78, p, 430, 1878. Vgl. ft*n)(T; HuIIpüii «!«> U !^(M-ir(i> inulh. df Pninri*. t. t. Pari* 1873, p. Sa.
632
SUntng dtr wtatk.-fhyB. CUtaat am d. I>tsrmher ISS»6.
^iBodfriittmg^ der KJirper «nd die Ti^rwrhiedenrf«! VermuUiungco 'aufg4»toUL Wir kommen darauf in § 18 xurQck. U(*nrorg»faobeo •f^ hier Dur, dan die Fundorte, soweit »le bekannt sind, in der Schweiz oder im alten Gallien, bKw. in dtfrKftbe ron dessen Grenzen sich befioden. Deshalb bezekJinB «cK diese Dodekaeder aU keltisch.
§ 3. Einige andere Polyeder.
Am Schlusie den erwähnten Aufiiatzes weiJt Conze auf rinif^ andere Dudekaiüler hin, die aus dem Alterthume stunmeo lind fiU Würfel angesehou werden. EU sind die fulgcndeo :
Nr. 1. Gefnndeji Iwi Gerona in Spanien. VerüfTenÜicht von llnbner.*) Die von ihm gegebene Beschreibong hiutet folgend ermatten :
,Emjioni)t; talo« ex lapide ioepide, serraine olim apnd Cavleslinuni Ptijol y Camps, nunc Barcinone in museu Martorelli; in lateribus incisi sunt cironli 0, nnus ad duodeciro
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DfMcripiri. Caelestinus Pnjol j Camps misit eremplum.*
ICinen dieser Beschreibung ungefähr entsprechenden K<%rp«r mit faH identischer Inschrift besitzt Herr Gabriel Max hier in §ejner Sammlung. Bs scheint «ich darnach gor nicht nm ein Dodi'km"der zu handeln. Die Gestalt defl I** ' ^ut^n Korpcn ent-ntehi vielmehr auK einem Hexardcr 1/^ indem
alle 8 linken durch die Heitentläcbon eines regulären Oli abstumpft und ebenso die 12 Seiten duich die Flikhen dreie^ «ich recht winkelig Hcliiieidender vierseitiger iVramiden. Ea «nt-
I) Corpus invcriplümuni latiBimuii, II, Bu]>|J. a. )'<li4S, 6.
K LintlemaHMt Zw
63»
3t SO ©in Körper^ der begren/t wird: durch 6 Quadrate (KeMo der ursprClnglichen Sfjiton dus Hexarder), 8 gleicbseiti^e Drei- ecke (enUUnden duruli Abstumpfen der Ecken), 12 Rechtecke, deren kürzere Seiten gleichseitig die Dreiecke bej^Dsen, wnh- rend die längeren Seiten den Quadraten anliegen. In diesen Rechtecken nun sind die Zahlen von I bis 12 genau in der üben beschriebenen Weise dorch kleine KreiJie (mit Punkt in der Mitte) dargestellt. Die Dreiecke tragen keine In<ichrift oder '/iiiilzeichen. In den (juadrat*;n stehen folgende Paare von Hiichstahen, und zwar die dnrch einen Strich verbundenen Paare in einander gegenüber liegenden Quadrtiten:
LS-ND TA-ZS NH-NG.
Div Zeichen siininien mit denjenigen auf dem Barcelooaer Würfel aberein, nur steht hier LS statt dort TG. An der (ileich- urtigkeit beider Exemplare dürfte hiernach kaum zu zweifeln aein.
Die Herren Collegen v. Christ und Kuhn bemerkten mir, da.<^ die Buchätahen auf dem Exemplare de« Herrn (lahritit Mdx eine entschieden modernere Furm zeigten. Hiemit ist die Angabe in UcboreinstimmuDg, daas der fn^^liche Würfel^) aus (^hili stamme. Es dürfte daher auch der bei Geron« gefundi*ne Würfel nicht aus dem Altertbume stammen ; und deshalb scheidou wir ihn von den im Kolgeiideu zu betnichteuden Kör- \tem au9.
Nr. 2, Ebenfalls von Oonze a. a. 0. erwähnt wird ein maüsiv gegoltenes Bronze-DodekaiMler aii^Boun; auf den Seite» desselben stehen Zahlen , und deshalb wird dies Dodeka^er ebenfalls als Spiel-Würfel angesehen. Besprochen ist es durch van VIenti-n im Jahrbuch des Vervines von Alterthomsfrennden im Uheinlande, Bd. 'w, p. 19:5, Bonn 189(i. Daniuch ist da<t Dodekaeder stark verwittert und die Zahlen sind nicht dentlich.
Herr Dr. Sonnenburg, Oberlehrer am Gynuuuiuni in
') Uor Vermach, diesen KOqnr ala SpielwQrfol sn beiiuUni, »n(ftc,
'tlau zwar rn4M<4l*>n>* einr»* tirr Qnotlrat^* (tnii nbiRcn Huofaitj|l>i>D) ,ff(--
«iirftti* wini, «Itt.«» al«»r hin und wlwlnr drr Wüi-fc! muh »n /ur Ruht-
kommt, diuM untM dvr Reilitcfke Ulfi obere (borliontalo) FUdbiK bildet.
HiUmng d*t\
CUat» um S. jMxvmttßT I4PC.
XHiDD, h«tt« di« Gate, mir ficJgeDde getwuera Beacfareibc tu ienden:
. r>a« fnfcKlicbe StGck ui ein mamrc» PenUgoo-Dodekaftler %»•* Hronze, deaien KftatenUnf^e w^ten Abnntxnng oder vir!- iricbt ttoch unprauglichor Abrundnng itiobt genfto »ozogeben uL Si« bHrägt etw» 1*/« cm. Alle FlÄchen sind mit PunktM bfrzeichnet, von denen die deotlich erkennbaren ans einer Ver* tifffuDg ond einem dieselbe uint;<>bendvii Htn^e tieBtehen. 6e- mim der beigegebenon Skiz/^e (Taf. I, Kig. 5) kommen for: y.weimal 1, dreimal 2, zweimal 3, je einmal 4 und 5, dreimal 6. I>ie ['unkfj? nl^lien »fi, wie anf der Ski/zr ang^eben, theila im Mittelpunkte (bei I und 6). tbeils in den Wickeln (bei 2, 3. 1, 5, G), LlieiU an der MitUi der Seiten (bei 2, 3. 4). FOr die Genauigkeit der /^ahlen g1aul>c ich trotz der stnrken Oxydir bürgen zu können.*
DirtM Dodekaetlcr dOrfV aarii Kngste mit den orwmbnt keltiscben Dodekaödem verwandt sein nnd eine analoge Be- deutung baben.
Nr. 8. Kin von De Stefan i in Ober-Italien auagcgrab«ncs steinerntH Pudcka^dcr, auf das auch Conxo aufmerkitam oucbt Ka int frtr uns nicht nur wegen seiner (lestalt, aondera vor iJlem wegen der auf meinen Flächen eingegrabenen eigentbGm- licheii Zahlzeichen beitierkenswertb mul we^en iler unerwartet frflben Zeit, aus welcher dasselbe wahrscheinlich stammt Otei« Kxfmpbir wtrtl daher im Folgenden besonders eingehend be- biiiHk-It (vgl. g 4 und § 7).
Nr. 4. Kin Ikosai^der aus Turin (rgt. unten §5).
Nr. 6. Eine achtseitige Doppel -Pyramide au« Hedo in Sndtirol (vgl. iint*n g 8).
Schon d)jr /.uk-txt erwftbnte KBrper ist nicht reguÜLr. Andere in gewissem Maoase regulmäasige, aber nicht regulär» I'olytidcr kommen ah QewichlntOcke bei dt.>n Rabylonie^n mr. Diosolben entatehen aus einem reKularen Würfel (!f •' i -' '\, indem miui die Ecken durch ein regultires Okunittsr :> X\
und diu enUU'hendeii Dreiecke so gro»<« werden laot, d«K m der Mitte jeder Seitenfläche de« uMtpr^nglicben Hexarden awei
Rh»;
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6S&
Krkeii sMtlcher I)rvieckc ziisBcnnietistoMieD. Der Körper ist dem- jiftch begrenzt iJurch O Quadrate und 8 pleichrioitigo Dreiecke, gehört zu den A rchimedinclton KiSrpern ( vgl. Taf. I, Fig. 6). Mir Bind drei solche Körper bekannt,') nämlich:
Nr. 6. Kin im Besitxe des Herrn Collegen v. Wieser in Innsltruck bcHudliches Cubo-OkUi'der aus Hronxc. Sehr gut urbalteii. Auf Jedem der 0 Quadrate befindet sich io hebräischer C^tadrHtifchrift die Inschrift 2rtT ^ '/ahab «: Qold. Damit ist das Stück als Goldgewicht charakterinirt. In jedem der 8 Drei- ecke sind xwei concentrischo KrHse iingehrucht. Dii- Höhe (d. h. Diagonale eines jeden (Jundrates) betrügt 7 mm. Herr Dr. Fouim hatte die QlUe, don Stück im phy.-«ika1ischeu TuMtttnle der rnireraität genau /.u wiegen. Das Gewicht beträgt *J,>*HJ.''i gr., aläo ziemlich genau '/« Schekel der babylonischen Goldwährung schweren GewichU.') Nich tlrtheil des Herrn Goltegen Hom- me]') kann mnn aus der (lestalt der erwähnten hebräischen Buchütuhon »i!bHe.<<äeu, diuts ditrs Gewicht üü^ der /tut um Chrit^ti Geburt stAuimt. Ht>rr v. Wioser hat dasselbe aus Kleinasien erhalten.
Nr. 7. Ein zweites etwiw griWseres Polyeder derselben Art, im Besitze des Herrn Gabriel Max hier. K^ ii>t weniger sorg- fältig gearb<'itet; die Kanton .'•tjirk abgenutzt; diu Metall ist w stark rr)thlieh, dass man es für Kupfer halten möchte. Anf einer der i|uadrutischen Seiten ist ein Sonnenbild angebracht (OTat, von dem eine gTÖsäere Anzahl Strahlen ausgeben). Nach Angabe des Händlers, von dem es erworben wurde, soll dajü Stock au« Hogam sUmmen. Dm Gewicht beträgt ca. 30 gr. ;
1} Auch Lnhinauo iirwiihut ilii> Kxijfi«-nx luLl>yloni4cbi'r Gewicht« in IVtIye*hT-Form im H«rlin«T Aiitii]auriiim {ZfitAchnfl für Bth&ologHi'. EM. 33, IflOl. )i. 620).
*) Vffl. Hultirb. Uttffchiacfatt und rnmiM-lif« M^trologi^ Berlin 1683. p. 406.
*) UerHtllw bat der «ntliro|>olofri'<cheii Gem-llKliAft in HQni-bru in der 8ilxanf7 vom SU. Mat 189« nhvv iVtf»*** llewirht eine MiHh>'iliiiig gp- ii)a4-bt: ¥^1, l'<)rTi*H|Hjn>l<'UiliLktl «Iit iliMiuihi-n ii<-»-INi ImH f<u Anllii-o puloKi^i Elliuolo)rie und L'rt^esnhichlr-, 27. Jährte,, p. 48.
TückUr'« Periole D (4, ^ » k JAibwiitifl Mcfc C^) X, B, «ehr bMIff od yiiiini ftr fie P^Mc 1,^ kflOMM» ahtr aödb loaiA titUick «IT
IjfdAtum im G«l»Meh.
Die <lM\ifi -QlkXai^tx gehören za den Archimedischen half>re((alären (gleieheckigen) Körpern. Die gesanntot Gewi/:bie nod theilweüe gehr ongenaa gearbeitet; die Perien iiind ofl oicbt aus dem regolären Hexaedtf, sondern aos eioem andren rechtwinkligen Parallelepipedon durch Abstompfimg der Kcken erzeugt.
', 'i'-wi' htirt'i'k': von 10 ."■h'-k-l L'aJ. e^ in -I^r That : rin 'oUht- f\''/(f<l au* iJa^alt; b*tin'l';t -i'h z. li. im I'rili»''h'-n Museum (vgl, Lrh iiiririn a, a. O. ji. 518f.
'j -Auf »'(I^hf I'<Ti<-n l»'-/i<-hfn i-lfh offt-nbar liie Bemerkunf^CD -le- 'iriif-fi HuK": '.'»mpttH r<fn<lu-, t. 76. j». 473, 54'J. 632; t. 77. p. 562: I. HI, |,, 743.
'f VVI. Ti i'.h l»;r, Ortfi>rfu--i.-*rh« ttnilft-rffltler. S-hrifti'ü -Lt l-li.V-ikaliti'h-<ikon(;mi-' h'-ri ' !<-"'Ihchiift iw König^luTg. .lahi^. 19, 187^. I-. 239 tr.
t\ JJtnIcutnuti - Xiir iieti'hiihlf ilfr VnU/fdtf ClC
(137
% 4. Das Dodekaeder vom Honte Loffa.
In den Atti de« Isfeitoto Veneto vom Jahre 1885/86') be- liiiii'Iolt Sieplinno de' Stepbani pim aus Stein gi?«cltQitteneä. üubäxu re^lUrcd D«>dokat"der, das atuclieincnd von ^uhr hohem Alter ist und deühalb j^unz besonders die Anfnierkwunkeit de« Mathe matikerB verdient. K» sei wir ge«ULtet, die a. a. 0. k^ Uielwno B<!<n;lireibung des Körpers und den zugehörigen Fund- bericlit bier wörtlich zu reproduciren ; Stephani schreibt:
.11 pBso di qaesto aolido, intero com* ^. e beninnnio con- aerratü , con chatte bilance d* aasaggio , fu determinaUt in gr. 200,840, nientre il tiuo peso npecifico all» tempemtiira die 23» Cent. riauIUi «= 2,002.')
»Uo argomenti per cred«re, ohe il mineralt», da cui fa tratto que^ta specie di dado, Appart«^npi nd nna delle tante varietii tli steatite, e «pociBounienle u i(iielta dut tnlco opaco di ciilor bruno di graoa molto fina e compotta. I caratteri fisici dell' oggetto. prima che venisae imraerso uelln gelatina per cavarne la forma in ^eaäo, avvalomvano qtiesta niia opinione. condivi^a aiiclu' da poraoiie conipetenti all' uopo consultale. Oggi ü cü- lore §uperficiale del rainerato ti divonuto pifi oupo, ed al tatto non e pin cosi dolce c (|iiiLKi ^rasso corae prima della sna ripe- tuU immeraiuiie iielta getatina ed in altre poltiglie. I/analiiti chimicn poteva risolvere il dubbio coi deterniinanie la comp<i- ■fidone in qualitä e quantitä; ma io non ebbi il coniggio di ran^biare anche in pitcola parte «juwto nnico piü che ram oggetto per soii gnaHtarlo.'
Nachdem der Verfasser die Meinnng ausgesprochen, das*
*) Intomo tm do<]orft«^rn qiiiuri regolnrc ili piolr» a fiuct' peiita^- noli acolintif ron *^fr* -doitnin ntWt* &nti(|ni«sitD<* Mpanar >Ii pirliu il«'l MoDte boff». Alt» lU'l Real'- Islilwto Vfiirto ilei »nimm-, InUre "M »rti. Serie VI. I. 4'. p. l-MT. \>ne/.in 1886|Ö6.
•) Wir (ftflM*D auf Tüf. 111 eiiif AttUilüinig ile* DwlpkaMcr» (in na- tOrliclivr (JrOiwH') und auf Tuf. U da» xu^fnbAri«;« NeU *un FOufut'ken mit d«n /ahluiclinn, fpf^niiti nnrh i\rr mw UuStepliatit ffHjnaibti'U Vi'rfiff«»ntlii'lmni».
Ü38 SUsanff ^€t wath.-i^t*f8. Ctagu tom 5. iHtemhrr is'h
das DcKlekoL-der wahn^cheiiilich mitteiät einer uruu/.on^n ^»ge (wie sie in den Pfahlbauten der Schweiz und des (lArdu-äee^s gefunden werden) aus dem betr. Steine geschnittea sei, and nachdem er das Vorkommen desselben oder ähnlichen Maternb in den vorrömiscUeu Gräbern von Bovolone und S. Hrizzio di Lavagno hervorgeh olieu hat, fuhrt dtrrselhe fort:
,11 luogo poi del rinreDimento deL nostro dado appcrtiene a Sant' Anna del Kaeilo o d'AIfaedo, frazione del Comiine dl Breonio, ^Ixenia parte dei monti Lessini occidpntali, chiamoU dagii antichi storici regione dei Reti e degU Euganci, i quali sarehbero staÜ poscia rotti e diepcrüi dui Galli.*
t^ wird dann erwähnt, daas die npätere Anwewnheit der Gallier durch Funde niassiliotischen Silbers und charakt4*mtüebar La-Tene-Fibeln bestätigt ist, nad dass die Funde vom Monte Loffa iu L'ugeni Zusauuienhaoge stehen mit den Kunden von Paraiso^) und &ich von der neolithischea Periode ab durch dir etruskische bezw. euganeische Bronze-Zeit hindurch bis in die gallisch-italische Zeit erstrecken. Wegen näherer Au^fQhrungen wird auf eine andere Abhandlung') verwiegen und dann toit der fDr ans wiclittgen Beschreibung dee ei^euttichen Knndurta feiner prähistorischen Wohnstätte) in folgender Weise fort- gefahren :
,Si tratta di una piattaforma denominata Loffa (iu hikii Leapha), a pocchi paasi ditlla piiuzu di Sant' Anna nelU dir»- zione Nord K«t Iu <]iiale, H««eDdu di forma uUittic«, «bcImo U declive pin o meno rapido, misura in lun^hfjxsa ni. 170 da ^^»'l a Nord, ed h larga in media m. 44 da Ei^t ad Orost. 1 |r delle lutre di pietra capitozzate, che atiGoravaiio in senao vertt- cale dal terreno, ed in qualche punto avanzt di antichi muhcci u i-ixco^ ac'cennavaiio ad un riceato di difeaa. nell' int^rno dri. t)aal<? altri profili verticali, in forme rettangolart, eorrtx|>ondeT
>) Atti de* Istititto Vonoto. S^ri« V, rat 7, 1681; »otm iiv4ti •_ •Ittrerwi og^et^i dt altR antirbitA «copffTtj n HrMiüi oel «irriiORw.
(I«1«* tAVul«.
'I Att) dt«ir Accademiit d* ugriroltum. arü t^ (imiiuareiu tli Vornaji.
vol. I.Xil. S,)rit! in. Wmna 1886.
K tAniicmnHti: Xur t^tehtchtr thr ISUjfetUr tU,
1)39
air area dellc capauuf, couipuste (]i due amhieuti o ceUe eo- nninicanti V una eotl' altra. Av^vano ima f«ola aperturft rivolta all* eäteruo del reciuto, la quäle doveva serTire di porta« e dar aria e luce ad all' um^U dal funio. Delle veutiaetie capanne fino ad ora da nie e^plorate, una miIh i>]tiflta dcsignata nette Tuv. in, diilla citata Memuria, t* che porta il numeru 1), uveva una scala di sette roy.xi f^radini di lastre a a«ooo che conducera al fondo della capanua piti basso dal solo esfcerno lu. l.riO. Hresciudeudo datl« irrugolaritä originaJi e dallo scoiivolgiiuento opcrato nell' abl>atimenbo, si aarebbe calcolato che l'altezza delle cetle foBse poco piu di ui. 2, e 1* auipiezza di ome su per gtü di tn. q. 7,80. II tettu delle capanne, iiti po* inclinato rerso r estrenio, doveva emorgere almcno dal suolo cent. 60, ed era, del pari que le pareti, forniutn di Ustroni caJcari del luogo, sosteDnii da iroiicbi di alberi, i quati, distmtti dalP iucendio, vi ai Irovaiio in parte ancora iottoposti allo atato carbonioito. L*interrimento piii o ineao completo detU piirte bassa delle capaDoe, oltreoht' in parte all' openi dell' uomo, devesi ai ftuc* ce»äivi frananienti ed al trunporto delle aqiie.*
Dieae Schilderung gibt ud8 eine deutliche Vorstellung vun der Oertlichkeit des Fundes: verschiedene Rest« von Hütten und Wol)ii<ttäLl4>n im Innern einer zur Vertheidigung dienenden Um- walluug; darunter eine genauer beschrieben, in der dieh die merkwürdigen Steiogewicbte fanden, von denen wir weiter unten berichten mttfisen.
«Tomando ora al dodocaedro, e^w venno trovnto sullo scorciu des genuaiu p. p. »cavanda negli anibienti della capauna nnm. 23 e alla profonditä di m*. 1 circa.
„ho Strato arcbeulogico eru formato di terr» carbonioM, n)t»la a detriti di roccia, con prevaleuza di cocci per la uiM^gior parte di grossolano tinpaäto e seniui ornamentuxione ; ni» non biaogna dimenticare anche atcune ptetre grunitiche a conca da nmctna, i fondi di focotare, i oiottoli .ipianali ad u^^) marielti, atcune arenarie di fina pastn da affilnre, e parecchio fuäaiiiüli' di pietra e di terra cutta di gnmdezui e di forma diveraot ta- luna con i|uulche nttto grafßto di ornanientAKione primitiva.
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■w fiMÖB. Fn i mttmiJi tmtmtti wnAe mD» iftnan |nb»- ■orte fitid» £ Bnono, ftr h mgpor p^rte Uvucvlc 4» aüribs fwe«. «|Wife «Ici, 4ett* fianihn, mo ntko nolta rwn, • « ■iiiiiMIgiMi I » %meam &qgBale mU* opers dd R p. 0. t A. d«* Mortilleti. Miafi ffrkr^nriqat , pl X, fig. 60 t pL XXXU. flg. 243.
.... T(Mfe» eke iD «blt « bbm rwiigwatim doteaadro, iMKiiBi« IM ft peasn, k omd ffitwii omr an oggilio da giauL», eioi nna fp«eie di dad», bnvanme del qiule d* bJniu n fii
dotiie iaiiinlr a tnni* pi««^ di \maa9 o di Iristo mgnrio* — IboHtb qoei gr»fliti. iac» adle dodki fiioce, eraao tsn Uütn o cifrc? Afavaao «Mi lu umm o rapporto qaalaiMi coQe aiglt o Dote nDmenK dci p« dril« capaniiv (nloilich ans Rapaaat Nr. 4; Tf^ xaniai §6)« o eoi graffiti dal dbeo di Uovolooe ft dalla ckitoU di DeiDorta')?*
Oeäkephani hatte renchiedaM Odehrte um ihre Mdai) nber da« Dodekaeder gefragt Pniamot 0. Capellini atatirt dia Aehnlicbkeit mit der ChHetalform d«a Piritoeder, hJllt «fl aber fUr eio» Worfel Kun OlOdcaip»«]. Graf Oos-xa- tlini wird dnrcb die Höhlaogen aaf eiuigeo Fliehen dm Xhf dekaeJen» an die un Xorden oad io Frankreich TorkommendM •pümi h deocUee* aaa der Bromc-Zeit^) erinnert Proüaanr
*) rebn-di«»« beiden OegewUodtf witd ni Anfang d« ■-••-»— ik. haadtunfr gatprocben« «Ki uocfa dlBMlbeii AlÜ, 8«ri« T« 1- 'U
p. 769. — Dir »cheiiiUar rftUuwIt Volon» mtfi, wi<! irb bei uidei*
lU'rm nla die nri<-h«Utbcii eitier voilkcoaiut^ lp«birrii land «iH^i ra vber- Milxuudeii) «•Inivkikchcn Orub-IiwcLriA.
*) Vgl. .lortthiY c B. Driar, Matfriwu tw^Hr llilrtrttrv d» ll^iMni*.
P. tAmtcmaum: Zwr Gachichtt der Ihilj/tiltr tic.
(MI
U. A. Milaui »a^« 'lann iliai •-'in« Deutung uiimü^licb sei, glaubt intleäsen, dai» & sicti um Zalilfu uad nicht um Buch- dtat>«n handelt. Der Ktruscologe Pauli endlich Huasert «ich sehr aiMführtich ; und wir mfisaen seine Darlegungen unten reprodncircn.
g 5. Das Ikosa^der von Törin.
Graf Cnrlo CipoUa hatte sich in denteJheD Angelegenheit an Prof. A. Fabretti gewandt; die Aeusst'Tung duäselben i&t beuierkenäwtsrth, weil dabei auf die BxisteuK eiaeti wabrBchein- lieh auch präliistorisclien Ikoi>aederb Hingewiesen wird, ttber
L welches leider eingehendere Nachrichten fehlen. Qraf Ci|)oUn »chreibt : ,Parlai col prof. Fabretti, circa il auo oggetto. Egli le l^verii, mi dice: frattaato egli mi incarica di dirle che, a suo ftTTisOf trattasi di un uggetto lusorio, una apecie ili dado. Quei »egni sarebbero segni conrenzionali, una specie di segoi name- rali forse. II Kabretti mi raoströ iin icosaedro che egli tiene nel suo Muieo, e che ha delle nttineuze col stio dodecaedro. QuesLu icosaedru ^, pare, di uua pabtu terruäü, t^iualtata. Dello timalto restano moUe parti ; es-vt v di an beltisaimo eolore cilestro- p&lipra ciaacuna faccia &i legge inipressa una chiara lettera greca. Becoado il Kabretti ({uestu icosaedro uvrcbbe appunLo servito |)er giuoco, e tule giudicandolo, egli lo mostro nl prof. Bruzza, che 81 occupö di quegti argonieuti, e che auKi Mipra gli antichi oggetti lusorii pubblico una munognifiu nel Bull, della Socielii comnnale Kaiuana, 1877, com' Ella puö vedere.
I,Ohieäi al prof. Fabretti s'egU avease uotiue aulta pro- Tenien/A del 8U0 icosaedro. Egli mi rispose che apparUnevu iu addietru al Muoicipio di Torino, u che provenne al Mu<«o dt nnlichit&, in oocaiione di un canibio fatto. Kon dubita che al Municipio sia .stato dato dal cetebre prof. B, Oa^taldi; qiiindi ^ piii che probabile ehe detto oggetto ida atato rinvenuto nel !*ie- nionte. N»n h'i pnü tuttavlii lutserir altni di preciito/
,L*icoBaedro« diceami il prof. Fabretti, e tuttora iuedito. IVtMidend'j in niano qaeir oggetto, ootai ch* caao e, relatira- ivm. M*iii.'|iL]r^ni. i Ai
»;i2
Sitirnny Str wwlA^fAya. Q^mt «Mi S.
OKOt«,
Icf^f{CfO< lü
per ^«Hoto imiiM
dingao di Li«i, tnmatma al |irof. Fftbretti. Ary* >—■■ linigfi- •al« ft qfuelU <Sel aoo dodenudro-*
K« in sehr kd bedaoem, doa die «ogcbUcb »of den ScÜMi d« UuNfteder« bcfliidiicli«e griechiKlien BochtUbeo bidit wU ({«tfaeilt and. So mfinKU wir am mit dieaer Wiedefigibe der tWchmbirag begnSgen, ohne da/t fragiseb« IkoMfidfr M te folipiidcn OboMiaft »catfitlirii so bvflekacKtigvo.
^ 6. Die Steingewichte vom Monte Loffa.
Von besonderer Wichtigkeit zur ErkULrang der naf an«erem Dodekorder )>eßndIiohen Zeichen «ind eine AnfjOil ^^ngevirliU, flie innerhalb derselben l'mwnllang, aber in einer aD^lereo Wftlm- Ntätte atugegraben «rnnlen nnd die elienfnUa gewiic« Zahlxächn aiifwetseu.
Xachdom berrorgehoben ist. d&»^ Prnf. L. P / ni «v Uom die KtiiiilHtell«! bi^ui-Iit und sieh von der \l.' t nlW
Qber die»uU>e genuchten Angilben Qberxeqgt hatte, fihrt Ste- phani in seiner Beschreibung (a. a. 0.) in folgender Weise fofk
«Ora nellft capanna del LoRn, da n)e contrabXgnaU od n" 9, che it I^ignrini non aveva ancnra completamente fat&o «eavare, qualche giornu dopo U »na partenta (3. »ept. 1985) iilla profondiU di eent. A*\ e i^otti^ le liutre di pietm ' V,
Ap\ croperto crollat'), venivanu in Ince diect i«u di {•. . o-
noria, cori detta pietra morta, foggiato a cono piatto e tronoi, uvenfci cia-scuno presto il »urtice un foro, e che portaTaoo ineite o Hulhi fiu:cia o ^iii Uli aicune direrae ligle o nüle nununli per me inrlecifrabili, e che potete vcdore riprodotte in mczfii gmndexxa nelle ßgiire S, 4, r>, n, 7, 8, 9, 10, dell' aiiooia tarola.
*)
»1*
1) Die Ootull <li int
iMntJrnvn (««'Wichten p '.irro ran '■
H«« in Lstiitm gvthintim) «in>l ; man hat iliraf* nü'bt kI» 1 ■ •dnJeni uIh r.i3xn WctlN^n gflTancbto yn*^vi\%<^n fivivütvt. • Wp Itnlikrr cTit Po-KI>mii«, Ij*»ii»m« lK7.t j. ß» uml Tm/ II.
*i Vtfl. Allhnirnriilo Tnf, III.
rfdNrtttPi: Xur Getichi<^t
•Fr.
043
,Mft ciii c)r em curioso i' il fiitU}, che ijucsti petti eraiio disposti a modo di raggi di ruota sopra una !a.^ra dj pietm, di luaniera ehe la punfcn troneu dei coni convergess«? mI oentro delta niota st«flsa, il cui mo7^/>t nello spaKio ceniralef era rep' presentato da unu tnzza o biochtero di terra urdinnria foggiato A «ampana, il ipmln era ripiciio dl ^enii ili fnimcntu vnr- Iwnixzato.
«Sonoiiehe qnel pimin era alqoanto iiictinato e cavemoso, p pBcqna di piout^ta, che vi peiietrava dit secoli, ureva resi mnlli oome pmta aicuni groati rarai di conm di cervi che tri ginre- Tano; od atcuni di qaesti pe«i erano di nna compagine coci incoereiite e Bfolgiosa e cuKt tn'/uppati di adfun^ che alcunu andn perduto: altri, ad onta di tiitt« le eure, in qiialr.lto parto &i »fasciarono piu o raeoo. in modo da non poU^roe calcolare il vero pcao originale che per approa^ioia/Jonc, oonie fd dirä in segiiito.*
Es wird ferner berichtet^ doss in der Wohnstatto Nr. 10 ein ähnliches (aber gröft^eres) Gefäss gefunden ward, wie soeben bei drn Gewichten tTwiihnt wurde, ferner ca. 2 Ilectolit^r ver- kohltes Getreide; ebenso in Nr. lÖ eine Menge verkohlte Kriraer.
Die in Aussicht ge»~telUe aanführliche l*ub1ication nber dto genaniniten Funde Ut von dem inxwiMben verstorbenen Verfattwr nicliL mehr vollendet.
% 7. Die Zahlen auf dem Dodekaftder.
Wir reproducircn zunächst die eingehenden Darlegungen') Panti*s nber die auf drn Flächen des Dodekat^ers und auf den Gewichten angebrachten Zeichen :
«Le d<> düi]6caödre trouvv dan« les fouilles du niont LotTa me parait i>tre un de n jouer. Notis avons eu grand nombre de d^ ü jouer de l'anüquite et ce soat pn^ciKÜment \o^ foiiille*) de Bologne fjui nou» eii ont fourni ce qui etahlit lenr extAt'enc*« ä une t^poque tres reculee. II est VFfti qae la forme en etit
*) r>{n(*lHi*n <ntu\ i>iiifn» llrirfi* rattli*« %n UcäinTanl ««Inüinmoti irnJ *tiu l«>t)ct«r«m a. a. 0. ptitHuiri-
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cor 1« presiefB.
.Ha» qand o« eift es preHMe fv 4e fl &■& toai a^ted »'■tteairc s c« qoc Im 4cHnB qa^ porie ifiWf'MrtiMl Am cUfiv, et bar cuocmJanca, «vae Im 4iHiBB Ja p^^ ü»m4» «omi an moBt Loffi, BOOt puiBcft 4e MippOMriioe ea toat biea daacbflniL Ka dfek ä iec aiaei 4mbm m UuuimiI mt ob de «k anr 4» poidtf« Qa De pcaTeai gncrc ra|ai><aU.r aotn cbcac <|a« te cfaiffna. 11 fiuit ajooter «ococo ^oa laa «ÜBMaka dmt aa oaa- pcMsii caa iKmmh aost Haatii^wwBaal las aiaMa qae oem ifor nooa raneantniDa dan lea cUfiaa ^■"■'" ■■—■»■
.Ob til^Bunt» aoot lea auraBto*):
. aar le d^ (sorfaca 4, 5, 6. 7« 8. 9, 10);
t «DT le 46 («orfree :y. 4. 7. 10. n <?> ei rar lea po^ (figare 3. 4 et 5);
V (oa A) *or le dr (atirüace 3, 9) et rar 1« pojdj (A^mr 3, 4. 5, 7, 0):
-^ et X aar le di (soHaee 1) et aar lea poida (fiKnre 6, 8 «t 10) ;
T (ou X) «J«" I« <*^ (surfac« 2 et IIX
Outxe cea deeamaf il y en a eocore d'aatrea aar las corfae» 8 et 12 dn d^; mats, poar le momeot, je lea n^Hge aoad que lei petita traita Uteraui de plnsieon deeaibi da d« et U<a poid».
.Cea cimplea eleaeofca aoat donc ^idemaeot 1«» miam que ceux qui iorment le ayolftiiie nom^ique ^rusca-roiBaia; 1 = 1; A=5; X = 10: t«50 (ayaleme etruaqoe); I -= I: V = 5; X = 10; 1. Xi L = 50 («jM^e roiuain). Oo «k qoe les pointB ou globali 8*7 troaveDt oassi pour mn- ■-'- !f^ douxe partiei de l*a&. Mai«, aubutt tpie j« sacbe, de >-
M Auf Tafel 11 «ml • ' Hobor Wcui* mit ZaUtni t«-. ..im i, ZeJrli«ii tu t-nnOglichen.
F. Lindemann: %vr fietdiichte der Poliir^er etc.
tUo
funuiti; de^ desRiDS. on ne saurait en coiicltir« dVirn* maiiiurc abaolue qu'iU repondeut aussi en rolcur et en significatiüu nux dewtoa ^trusco-romain.«. Pour pouroir le faire, il f«nt encore se Urrer auparavant ä ud «xumen particulier. Qiiani ä U d^ t«rmination de )a valeur de nos d&ä»iu8. nons ne sommes pas bnit ä fait »ans jtoints d'apjtni,
«Remarquons totit d'abord que plosieare de cea deanm jiont rep«tti9 Ics nus ä cök* dtu aiiires , et que d^autre.1 ne le »ont pas. Les poiuts ou globuli »e Irouveni redouble«; en [mr-
ItiouHer, il y en a deux eiir la »urface 7, trois sur la surface 6, et quatre sur la surface 4; le fcrait I se troure redoubli^ sur deux poidfi (fig. 4 et tig. 5); le sif^e A i^e trouve egalement sur deux i>oids (tig. 3 et fig. 9), sur le preniier en double et Jtn le dernier en Iriple. Quant aux signes 4* (X) et T (X) il' 'ttl^fOOt pas rclmiblt^. De ceä faits, Ü nie seuible qu'on en potim conclure d'aburd qae le point ou glübulus düsigne 1, et que pour le chiffre 5 apparajssait nn nouvean aigne, absolument comme dans le sjst^ine Arusco-roinun. On peat aossi conclure qnel ext ce signe. 11 ttuffira ponr cela d'admrttre que nelui de
Itous les signeä que nuus venons dMndiquer qni est le plus bou- vent pr^ des poinb« ou globuli d^gnant Tunit^ est oeliii qoi repr^ente le chiffre r>, Or ce <t)gne est le trait I (siiiface 4, 7 et 10). 11 upparalt eueore sur la äurface 3 reuni au sign« Ai qni represent alor^ probablenient le nombre 10, d'autant plua qu'il est anssi r^uni une foia au chiffre 1 sur la snrface 9. Ces ^m deux exemples s oppoeent h c« qae ce signe repi^sente nn nombre ^M plus äev<^. Pour les chiflVes erup^rieurs il y anrait alors les agnes -^ et X- Quant a la detennination de leur valeur, les signes marqu^ sur les poidf! ont de rimportanoe. I ylls Bont consider^ comme des poid.>4 de metier ä ti^ser;
[ maiä comme les deasins tracäs dessas sont, ä prenii^re Tue, de ^H la mfmie esp^^e que cetn du de, et gelon toute apparenee de ^M VTiÜM chiffreü, on pourrait alors se demander vi ces poid» nVtaicnt ^F ptt r^llement de^titK^ ä «enrir ä pescr. Cette dernicre stip- I Position serait jnste s'il arnrait c|ue les cbiffres d^gnaient lee poids de cha^iue pi^e, pr^cantion qui serAit tnutile ponr Ic8
Stooif Jvi
«^ 5. i>effftrr /4M.
poidb 4» attsr 2 lim. Povr enwiti«r ce puini. J'sran prir M' 4e Sie&ii!, Ab mladm^vft U pcsateur 4« cb^futf piuii» «m |NuttcaU«r, et ttiti le Ufclwii dCB duürea qu« j'm r»^ oi
1) AIA
-2) VM
:5) All
*> +
i) A
'i* X
7> AAA
8) X
KT. 830
. 2340
, l*.»20
, 1850
, UWt
. U!«i
, 1500
. 2030
^4aoUu*
«r. aso
, löö
, HO
. 150
. .^40
, 4»M) , 15UÜ
, 100
43fV3k
gr. K
212
.Gomine le poids «ipffldaeDUire de» |i«4c«» paiÜculi^ne» D*ail 40« rappow, il Dom aen bi«a pembii dy fiüre i|fM;lqoc* («gem niwliticatioo», poor peQ i|D« d'ftatm misi>CM oo«ia j A^ cident. SoppoeoDS qo« le poids geoeral dw piöot» smt le euivmiit:
1) = 1376 gr., 2) «= 2500 pr,, 3) = 2000 gr^ 4) •= 20U0 «r.. .';) = 2000 . 6) = 1875 , 7) = 3000 , ft) = 2135 .
«Las poids m cofflportent ainsi k r^g»rd I« uns de« anins:
11:20: 16:l():iri:lS:S4:17.
«Mail il o'est pw Trai««niblaUe qne cm Donibn» porUounelfl aoient exprim« par Ic« dfloiiw des poids, cmr U <iiin»p + M).) deTrsit siifui6er lÜ. «l le aigne A <7>-> AAA == 24). d«Tnut «gnifier 8, «i pour ces dtox ooii..,^. on ne verm jnmsis npparaitre de simples eignes. Oonuuc le nrimbre t est ex|)niue par le poiat . et I« uombre 5 pw I, 00 ne ne trompern psa, n\ Ton suppose i|i]p le «igne A qoa noui avoiu dS}h exsniin<'- pltu haut fttmr d'aatm rmmmB^ 10 et qne le sign« ^ repr^aente 20.
.Si notre Aupposilion eet jmte, a</ti5 - .^tM «so~
tifBT qucl^tiijs concltwions. Tout dabord - ., ^.^- par
I'\ iJutUmann: Zur Owcttidüe äer J\it^dtr cte.
647
dornitsr noinbre quo lo 8,vstoiuu nuui(*ric|iie t'Uil viiij^^t&timul^ c^eit ä dire <|u« cl)a4[iie foi» qu'on coni|>Uil 20 il y avait u(i chiflW parliculier. Gnsuite dous ubteuoris des deux nuinlirfls PuniU nuiueralc de poida qui n'eit autre qoe 100 gramiuett.
, Muis comroe les chiifres des poid.« indiqnes plu^ haut ii'üfcttiit esüniäs que relatirement au poids i|ui manque, il ue notu apprend que des valeura approximatives. La veritable unite niirat'^rnle pent donc avoir vt& nn peii ploH petito ou nn in'u pluä f^udc que 100 gr. De cette unitv de poidit il ruäulto quo \m rapports indiqu«^ plus haut entre II : 20 : 16 : 16 : 16 : 15 : 24 : 17 dolvent 6tre expriroäR äpretfeiit, conforniümenl aax mpitorta de H : 10 par las uniieä suivantee: 13'/4, 25, 20, 20, 20, 18'/«. aO, 21V«.
,0r ces uniteä de poids »'expriment par les sigiics :^itivunleB!
|
13»/« |
= AIA |
20 = A |
|
25 |
= Vll |
18»/. = X |
|
20 |
- ^11 |
30 = AAA |
|
20 |
- + |
2l«/4 - X |
,l)e Texanien de cos chiS'rus^ il eu re:iulte de iiouvellcü cutuoquences, D'abord iiouä irouvonH pour Jüsif^cr 20, noii seuleiiient le signe + (Kr. 1) qui, ainsi (|n'on ra le voir, ei indiqu^ k X (Nr. G) et ä X (Nr. 8), mais encore ä A (Kr. 5) et k All (Nr. 3).
,Le Premier de cea signeä et<t parfaitenient clair: c'est le aigDe A = 10, qui truverse par un iriiit exprime le double. Quant an second aigne, il ne (»eut 6tre traite que plus loin. Le AIA (Nr. 1, Kg. 3) .-ngniHerait 2.'i, mai» le |xiidA de la a*est que de IH'/«.
,11 s^en auit que ptiur ce f)uids le norabre de l'unite n^eat que la moifciu de c^Ini dvn Nrs. 1, A, <>, 7 H H, jioit donc Ä pea prös TtO gTaiumtw. Maia cette demiere piece nou9 4f?mble oflFHr auwi la poMibilite de d^terminar plui« exaciement l'unitc numörale. Kou« avons indiquo plus haut qne »on poids etait de l'M^i gniiuiui'«, It^qiifl divl«' par 2'» doone >>h gr. eoratne
Siitumf der i
OB^ Mrä d's(rä Böckk (MiinlogvKlM üs
p. 165) U ttire
flik ae 321,4U ffr..
qn«
MflnmKB (Geschichte im ttaiMcheo Mtoiwwi, f^ 2SS) b ÜTTB JtnBqoe teik la 4e8z twn ^ k tim iwiiii. Us fotfi de livre ebniiqo« mtbü dooe i poH pfte 4e ^^72 «vec ^mk coooofde d'ooe maniire ngafiav« ronite de po«^ par 50 gTmmw»,,
,L*Qnite de poidi des piteet 4 ä 8, wiam qn'oa Ts tv hsot, ert le double, iermü mlon d'ii peu pr^ 1 10 ei a OB KfDu etroiqiie. Mam je d^eUn exprtaetnent qa* je ae tirc de ee fint Boame eoanqBoaee; je bk oanteote tost ^Bipfa BMBt de le floo^Bter.
»Sor pfaisietin de» mgom uumhkfim m tnKiiBDfc de pattta trarto latersox. Us appcnäaent duB lei «e «liful«: rar W d^ /. (rarf. 10), 3>J («rt 7) A - («rt 9) «or k poidt HA {6g. 6), 4MI (fig. 7): ä feaort dooc »vec certitade de eai eigDe» qne 1^5 et A ^ 10. Peat'<tre £ftai-il mbö üoBpnndre dt eette HUttiike k ogae ^ds d£ (sorf U) de aork qoa bm* tiouweooua eneof« ces fcnsto eor le signe X = ^-
«Je n*ai pBs eoeore r^OHi joiqo'i pr^ieaii ä fcrooTer b rigaxSeilioQ de ee« petttF tnjtF bt^rwn qoi dotrent eeriuae- BMOt BToir on ans; seokaKfik ü penlt qu'il y e qoelqoe iBisoa de soppooer qoe eee petik traik dä^fBeat peut-Hn onc dfli dcoi opMatioQs nnm^riques negatires de b wostractioa oo dt Is diräftoa. On recaarqoe eo edlet qoe tiA expnnw 35. et AH •eakocnt 20 uaÜB de poidi, de «ort qne trois kiaik bi^nn serveot k fonner os cfaiAv in^erieor h celni qm evk erprini^ psr den timitr. Mais eette eoppoätioa eit trop pea ^Uji^ poor qne je poiaee eo tirer d'eatne eoDckeioB»-
»Ob poomüt se croire BOkrii^ e m*o\qetSa qae b tbImt da signes oancKnqnes qae j*« trearfe, «Mt . = U I ^ &. V (OQ A) = 10. + (ou X) = 20, X (o« T) =- 50, eaoooi««^ MdenuDeot »Tee k» sigBei oBSiääqaai temqmi I «= 1, A ^& X s^ 10, ^ (c(Q 4) :s 50, et eur«ient per eankqacfit k mAa« rmleor qoe cm 4fm\*r*. LSdentite dei Mgiwe m1 «m» doole
«hidattk «t je ae k tue p«s;
U o*ea nünlk pae nna
>V Ltwlcmiinn: Zur (JeMofiichit 4er i*i4yttUr etc.
r,4a
i|U*iU doivent avoir U mdtne raleur et qne les deux systeni&s itumeratix doireni 6trd identiques.
,11 est tres posnble qti« dnns le coure du temps nn «7- at^roe orig'inairemenfc vingtesimal ainsi qae je I'adopte pour oos objeU du mont Lofln, se soit Ininsform^ en un systÄme pure- nieufc deciraal ei qu'alors il a'operät une modification dans la valeur dessignes: on mit chacuu des »ignes lAX dan» un ordre inferietir, od rptranrha dp la colonne dm iinitt; le si^ne . un peu mconimode, tat on ne le conserva plu.^ que Cümnie noinbre fraotionnaire pour le« douste purtief) de Tas, ainsi que nons le trouvons Bur tes pi^es de roonnaie. Mais il ne peut ab^olument pas avoir eu cetie »ignification Ih sur notre d^. En effet, d'nn c6U* il u'y aiirsit aucune raison jwur expli([ner pourqiioi on nr Toit jamais apparaitre plus de quftfcro pointa ou globoli. et d'un Hntro cöto, de» nonibrc* comme P/u (snrf. 4) ou */i3 (surf. 6) Mut absolumont invraifiombliibles sur des des. Je crois doiic, qaVn doit s*en tenir ü Tintorpretation snivant laquelle: . «» 1^ I = 5, A = 10, + = 20. X = 50.
«DanK cette »upposition et saus tenir conipie de» petita traits lateraux. il en re^ulterait pour lea surface« i>artit:ulii<r«Mi de notre de les nombree ätiivantB:
Surf. 1 =
|
1 = 20 |
Surf. T = (7) |
|
2 = 50 |
. 8 = ? |
|
3 = 15 |
, 9 = (11) |
|
4=9 |
, 10 = (G) |
|
5 = ? |
, n = ? |
|
6=3 |
, 12 = V |
,Lei nombres entro parenthtlaes sont ceux oü nons avons des traits lateraiix. Le« points d'interro^tion d^gnent celies «urfoce^. iiui renferment des signes ne n'pondant pas anx rignefl mimeriqiieA 1ixe§ et doni la valeur est oncore enveloppüe d*nn voile. .MHi.s comme «ur If» narface» 5 et 8, il ^ a un point ou f^Iobulus a cßitf des traits, on peut en conclurc que ce Hont aiiKti des donn^ num^ri(|U«H. Sur la surface 12 quelques-
u
, »»• i.r^ ■*'«•*. ■ •'"1 1
y, ItimtemunM : Xur (icxcktt-hU- >U-v l\tiyt-itrr rtc
näi
circa Uli iiiillimetni o rüiiiio ^ra/josu cornicu «i ijUutlritnUri iiei ({uali lionü prul'un demente incuvati dei nuumri di camUiirc rnmaiiu übe Hüir unita ci portano al Kislici, cuine risullu dalP tsuniB dolla tigura l** la quäle rappretienU in piauu tatto 1' uggello AVott«! nei üeilict ({itadrilateri.
,1 ntiineri hoiiu cbiaridsimi, le fumie conosciute, eccettuato il iiiiniero cinque e le sue cotnbinazioni nel sei, nel »ette, otto, iiovi*, (|tiiiidici c s«dici, ore e rappre.sentHtü da un astn diagonal)*, che vieuo a corrüpuudore appunto alla aiL-tü del dieei. E lu priiuu votta übe inconlriaaio m tal guis^a etiTinciato il iiumen) ciuque rucutre comunemente sj esplica con due aste uoite ad angolo V. Qücsta nota carattcriatica ei lasciava spcrarc moIUi prui^ima lo .hmIuziuuo satia sua ctÄ, um abbinmo cercuto inuiil* raente t snoi paralleli nelle bicrizioDi arcaicbc romane, o uolle imiieriali, abbiaiiio consultato lu scritta delle monete*) n-piibli- caiie e delle burbariehe, diu 11 nuiuero ciuque ricorre twoipre ti poi aempre sofcto la forma di un V, e noo mai enunciato da un a.sta diagonale, per cui le nostre ricerclie non portano lace suU' (.•tu di ({uesto o^getto.'
Was deu Zweck und (jebraucb des FniidbtQcked angebt, üO neigt sich Campi der Ansicht xu, daes daaselbe zu irgend weicbem »j^iuboÜHcb- religiösen Zwecke godiont babe, und er- innert dabei aiicb an das Dodekaeder vi>m Monte Lofl'a. aller- dingei anscbeiiioiid obne zu bemerken, daa» nacb Pauli'ti An- sieht auch auf let'/tercm die Zahl 5 durch einen Strich darge- stellt ist. Diesüf .Stricli brauchte freilich auf dem Dodekaeder nicht von der Einheit durch »eine diagonale Lage tinterüchieden KU werden» da hier die Einheit dnrch einen Punkt dargestellt wurde (vgl. oben § 7).
Die 7jiblreicben audereu, gleichzeitig gemachten Funde er- strecken sich, wie die Fibeln beweisen, stetig durch eino Ueihe von Cultnrcpochen: die umbrische und euganeische, die etnu-
M Kine i'lnukilitihn MUmu*. unf «lin wir ^at«r {)} 10) tunlckk(ininM-n, Tiiinttrt iKH'b fui die Alton' lUnlKUtiin^ tU-B /.ni'ht'iii A, indi-ni diiiMw hI^ 10 (~ 3.6) XU liw*u iit, wii* du Gcwiiibt dw Goldmäiiiw tiAWoiit.
652
SUzitn^ tief mnth.-piij/s, (HnKtt cow />. Detember l8!Hf.
Icische, gnIHsche und römische bis Kur Zeit «1er Volkerwftn-'**" Das Felilen von Waffen deutet auf einen Ort, der f i . r|
Thötigkeit vorbehalten, vielleicht einer Gottheit goweibt wnr, so dass die FundstUcke zum Theil aU Weih^eschenke (qe P^ramiiie^) rielleicht auch nU Amulet) zu betrachten diiid.
^ 9. Das Alter des Dodeka&der.
Äehnlich wie mit den Funden von Mccio ist es mit den- jenigen von» Monte Loffa, auch sie erstrecken »ich durch «n« langen Zeitraum. AUer während (« nich bei jener Doppel- pyramide nur um die Zeit von etwa ßOO ?. Chr. bis ct. 400 n. Chr. handeln kann, kommt fttr das Dodekaeder r.unächEt die ganze Zeit von den Anfängen der Kultur bis zum Kndc detj römischen Republik in Betracht.
Die Funde vom Monte Loffa sind von De Stepbani in der citirteu (in Veronu erschienenen) Note vorläufig dargej>t«IIUj Es handelt sich dabei nicht um Ciräber, sondern um Wohn^ statten, von denen eine ohen beschrieben wurde. Es komme zunächst Funde vor, die der neolithischen Steinzeit anzug<.*hör scheinen, darunter Stflcke von ganz eigen thünilicfaer Form, wi« sie sonst im westlichen Europa nach Figorini*s') Ansicht nirgends gefunden werden^ sondern nur in Russland und Amerika beobachtet sind, deren Alter aber gerade deshalb nicht sichecj zu bestimmen ist. Aus Bronze finden i^ich Reste von LaitKeu« spitzen und Fibeln vom Certosa-Typus, Von den oiwmen Qege ständen ist eine charakteristische lia-T^ne-Fibel ItemerkenAWW die auf die Gallier verweist; aucli wurden drei masnliutis Münzen ausgegraben. Die Römerzeit endlich ist durch MQni aus dem leisten Jahrhundert vertreten.
*1 In Baad 12 der ZeiUirbrift für Ethnologie, p. 200 )<«*cbreibl «ui BcbDlenburg eiiipii .Si-hrftcksUin'. der nftoh der AltbiMii ' '^ :i eint'T mebraeitigen Doi>iM«!|ijnimidt; hal. tiffprtiifl tJt «Ifi |i«>ntin, diu eine Spitze ist durchbohrt. Solrh»- SliHnc wtirden nock »w «rutiigi-n Uet'eanien im Spreewaldo all Aniii]i*tt<* KVtnHrna.
>} Vffl. Rendiconti d. R. Aoodemia dei Llncei. *ot L ämfe 4». 18. Jan. 1885.
^' /.inr/rmiinN.'
MCftl«
6!^8
Letztere »ind von IJe Stephani uicht erwähnt und mir untt durcli eine göti^e Mittheiitiiig I'igoriiii's IwkiiDnt ^e- worden. K« erschien näiulicb wUnschenHwerth, uähere^f Hber
Älter der gefundenen inaäsiiio tischen Mün;&en zu erfuhrea. Herr College Ktirtwän^ler hatto die Güte, deflhalb in Rom, wo das Dudekaeder im Museo preisturico autbewahrt wird, wi- xnfragen. Die von Piguriui prtheilt« Auskunft enthält so manches Bemerkenawerthe, d«s8 es mir erlaubt aei, die^e Mit- theiliin^ hier wörtlich lu rcproduciren:
„In quel luogo anxi ho nssiHtitu ad alcuni mati che U mio eompianto umico (d. i. De Stophani) vi eeegui, ollo scopn dt studiare glt avaazi di antiche abitazioni iri eHistite, ehe ^li chiamo capaane di pietra dai materiali coi quali erano owtnitte (vrI. die oben citirte in Verona enwhieoene Arbeit De Htefani*!«). A parte taluni oggetti di selc« piroauOi, strani per le forme, rozzvwimi, che s' iocontrauu in notevnle quantitä Nul LotTa, comc attrove uel commune di Breoniu e in qnello Hraitrofo di Prun, nel piano che sn distende nellu cima del detto inonte e uelia parte piu elevata delle sue falde stanno »epolbe antichitu di dtip jj^^riodi ben disHnti cioi*: 1) m\ci lavo- rate c ^viglie in franimenti, dell* eiä del l>rDnr^, tipiche le nne e le altre della äuppellettile che si Miava nelle palafitt«, poen lontane, del Garda, — 2) oggetti di bronxo e di ferro h cüi-ci di stoviglie di fattura gallica ed etrusca, i piu antichi dei qmUi noQ vaono certamente oltre il VI s«c. av. Gr., mentre non di trova^i associati a moneie imitanti le dramme dei Massi- lioU e {>erfino u denari coi nomi delle legioni dell* Antonio.*) A cio äi a^sociann le selci Lirorate roz7.e e di forme assai i^traDC. Die qu««to rario materiale parla il De Stephaui e talora porge anche qimlche figura nellu citat« pubbticasionfl Sopra gli scavi etc.
.Per quel tantu che ho potuto oanerTara anoatiendo agli scavi, devo dirle che il materiale archeologico dei due direnti
*>) Vft B. B. Bultfliib a. a. 0. p. aO&. Monitnipoii, üt^ichirfattf Arm rOtnwhMi Mfiuxwiweik«, p. "Ad t
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eine weeenlliche Krgän/.unj; erfftUrcii. Die Hütten s«Ibst, dif De Stefaiii uufn^edeckt hatte uutl die er 8cbtiiul>ar für Alter hielt, sUiiuiueii I'nllieitlen5 tum der Milte des «rsten Jahrtaitsecdf« V. Chr., also aus der Zeit« der auch die Certosa-Kibe) angehört (vgl. 0Ü2 II. G72). Die IVUherea Perioden der ersten Ki»en7«it, die in der Nachbar<«chat't vertreten sind, feliien in der Station vom Mont« Loffa. Vertreten ist aber die Bronze-Zeit. Hierau>t tit herror, das^i
entweder die fraglichen Wohnplatze schon in der Bronze- Zeit benutzt wurden, dann lange verlassen waren, und das-^ bei sptitercm Baue der steinernen IlQtten der Boden niiff^e- wühlt wurde und in Folge dessen natllrlicfa die Reste at» der Bronzü-Zeit jetzt innerhalb der Hfitten gefunden werden,
oder dass oberhalb der rraglichen Wohnplüt/^ eine Altere AnMedlung aus der Bronze-Zeit lag, deren Iteste im Lauft« der Jahrhunderte herabgeschwemmt wurden und so in das Innere der Hütt«n oder in deren rmgehung gelangten.
Sollten die in § 0 und g 10 besprochenen liewicht« etwa iler Bnm/e-Zeit euUtnnmien, so wüi-de letztere Annahme hin- fällig sein, da die Gewichte nach dem oben mitffetheilteu Fund- benchtt> sich offenbar (in regelmiufdgcr Anordnung) noch an ilirer urti^prUn glichen Stelle befanden. Das Dodekaeder wurde nicht in^ »ondern in der Nähe einer HOite gefunden (vgl. oben p. 6H9). Wurden die Hütten durch Keuer zerstDrt, eo sollte man annehmen t daas das Dodekaeder iu einer UUtte hätte ausge- graben werden mOssen. Hiernach ist es wahrscheinlich, dan das DodekaiJder aus einer Zeit stammt, wo die UQtten noch nicht existirten. Die Gewichte, auf denen üich tbeil- weiw dicitelben Zeichen betiuden, luthäten dann derselben Zeit- periodc angehören, und die Uütt^n mQssteu an demselben Platu* gebaut sein, wo die frQberen älteren Anaiedelongen gestanden hatten.
Hieraufl folgt nun aber noch nicht, daw das Dodekai^ler hU in die Bronzezeit zurück ku datiren iat De Stefan! hebt niimlicfa mit Uecht horvur, dw^ Waffen oder Kwte von WofliMt
656 SUtutig iff NiatA.-fAy«. CUm$ mm 5. iMxmAer f^*^
iu aufGilli^ ^uriiiger /iibl bei den AwgnhvBgen n M Loäa gefunden vriirden. Die wenigen BroncBttolMm i% «r- n fi^nftu deniäelbiiu Typuä wie diejeDigeu. welche eine halbe Meile (uiigliu) entfernt auf dv^ta Felde von Pftru«o in grOaeerwr SIcBtt« gKfunden wurden. Dies veranlasst Da Stefan i zn der An* nähme, dass beim V^erlaxbeo der Wohnplätie am Monte Luffa alles nur irgend verwertbbare Metall nach Paratso QbergeiTShrt wurde, luler dieser Vorausäeizang wQrde dich aoch das Fehlen von Rttten au« den Anfangen der Eisenaeit (d. h. au» den emten JHhrhunderten de« eisten JahrtauüciLda v. Chr.) erkUmi- Hiernach haben wir drei Möglichkeiten zu uotersucben: 1) das Dodt'kai'der stammt &uü der Bronzezeit. 2) es enUtnmmt den AnHingen der Eisenzeit, 3) e« t^t uus der durch die Certo«- Fibel (vgl. unten § 12) cbarakteri»irten Epoche zu datmo. Sine weveutlich jringere Datirujig wird wegen der auf drto OodekaSder betindlicbea Zeichen kaum in betrucbt kommm können.
Das Dodekaeder selbst ist aus einem Materiale (nftmli^ Sceatit, Speckütein) geHchnitten, dan in der BroniEozeit nnd der vorrömiscbeii Euenzeit hüufig beniitxt wurde, insbesondere ia den Grftbern des benachbarten Bovolone vorkommt. Diev letzteren Grüber nun werden in die ersten Änfiinge der EiMit- zeit genetzt; Pigorini schätzt ^ie^) als gleichaltrig mit den »Itesten in Oberitalien bekannten Gräbern der Eiwnuit fdeMS von BismantovH und Keggiano). hält nie vielleicht für mmk älter, du üie andererseits verwandt $^ieu mit den Torrumam von Caniualbo. Damit kämen wir in die Zeit von 100(» oder 900 T. Chr., wenn nicht in eine noch ältere Periode; und auf diese Zeit ungefähr wUrde die Annahme 2) hinweieen.
Wie ist aber diese Anschauung vertriglioh mit «I r *' ' t- lieferung, du» Pythagoras zuerst die regulären K>: : <«
auch das Pentagon -Dodekaeder) entdeckt und construirt habef
<) BnUvüpü <ü jjttleluulvgia italiuia, Auno 3, 18711; Ati'''-- crelo «li Bovolnur nvl Vcrouoflc. — VRrvruadt «ind sueh dh DitiAotiift btti Miuituu, vgl. Cbierui, Dull. Uit |nilt>t. 1477. y. W.
ulemtiHH: xtS^fSiehirhte iter i^ilyciirr fic.
t)57
Iftfl ist Hie fOrdpTi Matliemiitiker interesflantfiste Krage unHeror gt!(^enwiirti^roM Uutorsuchun((.
PythuKoran lebte um das Jiihr 5Ü0 v, Chr. Zeitlich i«t I es (Über aicbk aiisf^eachloetsen, daw in den l.'iO Jahren von 500 birt 350 r, Chr. die Pvlhngoräischen Lehren von Silditalien nach der r*o-Ehene vorgpdruiigeD waren; aber mit diwen behreii mOMten auch gleichx(*it)g andere ^riechüche Cultureleniont« in Oberitalif^n Einj^n^j; gefunden haben. Das lai in dor That der Fall, aber doch nur in l>€tu:hräriktem Maasse. Afiui hat etnis- kiwbe Nachbildungen gricchisi^her Vusen gefunden, man hat auch griechische Originalvasen in Oberitalien aufgedeckt, und uuch die Ciüten der llnllNtatt-Zeit erinnern an griechische Vor- bilder.*) Aber »onät bluhle in Otieritalien die durchaus selbsi- ständige etruskische Cultur, und xwor nach Norden bis in die Scliwei/. und tief bi*t in das heutige Tyrol. Die Etruäker hatten ilax griechische Alphabet angenoiumen'), aber »ie bedienten sich Relbstständiger Zahl/eichen, die mit denen des Dodekuüdei* ver- wandt, dooh von ihnen ver5cliieden üind. Wenn mau dulier die Zeichen aaf unserem l)(tdeka'~der als Zifl'erti in Am^prucb nimmt, so mOasen dieselben aus einer vor-etruskiscben oder protO' etruakischen , nls*i auch vorpythagoräisehen Periode sttttumon. Die f-iriechen dagegen gebrauchten in jener Zeit die hero- dianischen /ahlzeichen*), mit denen nn.sere Ziffern auf d(?ni Uddekurder nichts gemein haben.
Es bleibt die M5glichkeit zu untersuchen, ob nicht aus geuiciiiRauier orientalischer Quelle sowohl die Bewohner der Po-Kbene als Pythagnras und seine Schfller geschöpft haben. Kndlich kOnnte die Construution den Ü^Hlekaeders und Ikosaedem als selbständiger Ansfluss alti tausch er CuUnr zu betrachten sein.
Hiermit haben wir die Fragen gekennTeichuet, welche wir
h £4 win) aitob t^ntithli , i1:)mi ^iii Schiller de« Pyitni^iinii« duirlt t einen etru»kiacbeii Kuiifniaiiii von dru Ptmtt*u los^kaiift wiinlrjt tel und diu« Numa eis SchQler Jui ('ythug<.>m« gewiaieit »et; vgl. 0. MnlUr. j Die Ktnifiker. Rrf^au 16S8. Bd. 2, p. S4fi.
h VkI' mit^n 8 12.
*\ V^l, A. a Canter. (iMdiicht^^ dor M»th., IM. t, p. I(«) 11. AiilL).
658
SiUma^ •>»- iMrt, j*f. CUum «D»
aofwerfeo und dereo Be^ntworttti^ wir zu v iil^n.^
Da dM Rolgeade in erster Linie für Mal u ^ci iicl
■chrieben iat, mtus maiidies UBfUhrlieber dargelegt w«rd«ti, toMt ndthig wäre, am so mehr, ab mir keiu Werk belciuiri ist, IQ d«ta die in Frage komaeiMfen VerbältoisBe etnigermMaen^ nbefsicbtlich nater denjenig«!! GwichUpankten dargestellt winu,] die Air die gc^enw&rtige Untermchting auaflsgebend siod.
^ 10. Die Zeichen auf den Stoiogewichien vonij
Xonte Loffa.
Daas die Zeichen auf den oben bcbcbriebenen Steinge wicht«« (§ C) zur Erklärung der Zeichen auf den Seiten dt« I>i)dekaeders| heranzuziehen sind, und amgekehrt, hat schnn I'auli '--~^' erkannt; und wir stimmen seinen Schluähfolgi^rungeii vol. bei, setzen aber
, ^ 1, I = 5. A = 10. X = + = A = 20. AAA =
Die oben in § 7 unter 1), 2) ood 3) anigef&hrteii Oewichtvl bedQrfen noch der Erklärung. Der Utuitatid, daas au» A = Uij durch Bvif^guiig einei« Qiier»tncheti 2U wird, l&nt Terniutfaefi, | daos die kleinen seitlichen Striche nn den Zeichen auf deci Ge- Wichten 3) und 3) «ch auf ein multiplicatives V'erßUirea U* /.iehen. Nun itill das Zeichen auf dem <it?wichte 3) wieder aU 20 geleaen werden; das tat in der Tbat der Kall, wenn wir «etvn:]
All =^ 310 — 2.ö'=20, •
indem wir den rechts stehenden beiden vortical«*n Strichen vmm subtnKtiven Sinn beilege; wir eänd damit in Uebereim^jinznaag mit dem ««pätoren etruskischrn Gebrauche, wotwrh AI «^ I. XI aU 9, XmXX "1» 27, tili al« 47») gelesen wird.
Wv Zuichen auf dem Gewichte 2), nach denuelbeo Piiii* j cipe behandelt, gibt
IIA = 2 . 10 4- 2 • ?i = 30.
») VkJ. Coritftn, üeb« die 9: I«. 40. )m int zu lM!»ofat«n. da« ili# • iveht« niu^li liiil» lauft.
y. Ltuäfmatiu- Xur tittchiclUc dir I'oljfcäcr etc.
(ir.fl
während mich dur obigen TuWlIe die Znhl 25 zu erwarten ge- wesen Ware. Wir mUi^en uns liier mit der Annahme begangen, da^s in diesem Falle die ScbäUung des febleuden Theiles oicbt 7.nverIä^j<ig aui^gefallen Ist, indem mehr fehlt, ah angenomniea wurde. Vielleicht i^t auch die Lesuug den Zeicbeiiä uuvullKtündig. Besser stimmt Jus Ciewicht 1); hier erhalten wir naüh demselben Principe
AIA = 10 — 5+ 10 = i:.
anstatt 13,8* l^ik mehr wie ein Drittel den QewichtäNtUokes ftdilt, ist hier eine Abweichung nicht nufTällig.
Das Gewicht 6) trägt die Bezeichnung X mit einem oocent' iUinlichfii Striche oben, ßelruchteii wir «Uesen uU Brntttz fllr einen Punkt auf dem Dudekiu-dL'i-, m bedeutet er die Binheit, nnd geben wir ihm eine anbtractive Bedeutung, tto kommen wir zu der Qtcichung
X = 20— 1 = U),
wiu« wieder genau mit der gemachten Angnltc ^«limmL
Db8 (-lewicht S) nl>er8teigt sch«>n den angegelioneu Werth (X ^ 20) um 0,:iO Kinheiten, wetm mau auch von df'r Schätzung gans absieht. Wir werden daher ab wahreich ein lieben Werth des»ell>en 2100 gr. anfietzen, indem wir vüraussetzen, dass ein die Einheit (=IOOgr.) bleich uender, an additiver Stelle bi- findlioher Punkt entweder flbenicben worden oder durch die Verletzung des Gewichtes in Wegfall gekommen ist
Von den acht Gewichten stimmen sonach hieben hinreichend genau mit di*r Anniihme ßberein, dasaeine Kinheit (.) von 100 grammos ku Grunde liege und das» I :=: 500 gr., A = 1^00 gr. icu setxeu sei. Nur bei dem Ge- wicht« 2) Aeigtu nich eine erheblichere Abweichung, die ulier (da olle Gewtobte vertet7.t nind) nicht als fttürend orAcheint.
Was den I^URamineuhang der gefundenen Gewicbtt-Kinhi^it mit anderen Systemen betrifft, m erinnert Pauli (vgl. oben p. üi8) daran, dam dnx ctruitki^trhe Pfund «ftät^irer ZiMt nngi*-
43*
660 SitsuHff iUr math.-i>hjf9. (ß^um nm 5. tHsrmbtr tbStfi.
Wir 218 gr. wog^); so d^SA nniiere Kinbeit toii 100 gr. ednem halben etruskiscbeu Pfunde gleichkotnrat Noch be wird die Ucbereinstimniung unserer Zahlen, wenn man da* alt-| babylonische Ocwichb IxirÜcküichtigL
Die leichte küniglicbe babylonische Mine betroyl 504 gr.') und wurde in Sechzigste! getheilt; obig« Einheit von 100 gr. würde also ziemlich genau gleich '/■ = "/«• onw Icichttfin königlichen Mine sein, wälirend der rerticaJe Strich I gerudi^ eine s4jlche Miue, dagegen duä Zeichen A zwei mAtht Minen, d. h. eine schwere königliche Mine darstellL
Sfinjmtlicbe*) Gewichtssysteme der alten Welt sind aus dem babylonischen hervorgegHngen, nnd zwar wahrscheinlich durdi Vermittlung der PhÖniker. Dass aber schon in sehr frQher Zeit diese Gewichte hia nach Italien Verbreitung fanden, wird darth folgende Kunde bestätigt.
Die kleineren l>abylonischen tiewichte wurden häufig n Form von Vögeln (Knten) gegossen. Eine M)Icbe, 1695 b«i Termini in Sicilien ausgegrabene Brouz«-Ente i^t im Besitae des Flerrn Dr. .). Naoe hier; diese Ente wiegt S5,502 gr., alaoj etwas mehr als ^'^/«o einer leichten ktiniglicheo Mine.*) PonMrl verüCfentlichte Pauli bei »einen Untersuchungen Ober die Ift* Schriften der Veoeter^} ein in Oderzo unegegrabenes Gewkit
^ Haltsch (Griechiuche and r6miscbe Mrtrolotri«*, 2. Aafl., Btrlia 1883) qritt koiu besondern ftrUNldacbe» Qaodciigovicbt au, tfiadum nv | Mdriy-guwichte.
*] Vgl. HuUncb ». a. 0. p. 3U5 ff.
^) Diose Aiucbaauag iit nnt bo mehr Ixiri^cbtigt, «eiMMit I-chl»«! oachguMrit^iifti bal. daaH in Babjlonieo neben der kunigtidicm Mixi<< ttur^ «■ine andi^rv Mint> im Hundt*! 4,'i>t)ru.ncht wnrdo (nnd nrur «rbon in ulb^lav Zfit), utu der (drh da« ili;y}itiiic)ie l'Aind rnn r.i. 'M)'.) ^i .iii3<~bw«r alilcitci ; wOhrniid eine AhteitunK 8U8 der d^h
Minr nnr gezwungen mi^glirh war. Vgl. /»..i-....i -i^,
Hd. 28, 1801, vgl. ferner ib. Verhuuiilungfn vom U. Jai >n
18dl und 19. Juli IdDG.
*) Von diratt^r llcmerkang de* Ba«jtjEiira nuch» ich tum nül fffiiigT RrUabiiiw dfaiidlbrn (Johrauch.
"^I Altiuaiauhu Fonuhunsi'ii. IUI. J, Leipzig 1891, |t. M iL au&
VcfffuVin?
ivtiler ete.
and Thoii') mit dar viermal vriederbotten Inschrift (von rechts nach linliä 7.u lesen):
IXAXilll = 3 »tati.
Da.H Stfick wiegt 1140 gr.. wonach 1 stato8(?| gleich 380 gr. sein mflsHte. Da es aber in der Mitte durchbohrt ist. also wahr- scheinlich noch mit einem tirifTe veruehen war, jedenfalls auch durch Abnutzung gelitten hat, kOanen wir den »tatos etwas hoher ansetzen. Nun sind babylonische Gewichte im Werthe von "/«o einer leichten königlichen Mine erhalten,') denen ein eifectives Gewicht v<in 81,98 gr. zukommt. Ein Venofcpr Statos würde »ob daher ungefähr gleich ^/»o einer leichten babyloni- )«hen Mine ergeben, so daas */• dieses Stutos glach der Rlr die Gewichte vom Monte LofTa zn Grunde gelegten Einheit sein würde.')
Die vorstehenden Darlegungen weisen darauf hin, da« unsere Gewichte von einem Volke benutzt wurden, das den Etruskem verwandt war oder wenig!<tens von Einflnss auf die ftpätere etruskieche Oultnr wurde, denn wir finden Hclmn in den Zeichen dieser Gewichte die später bei den EtruHkem und Römern so beliebte subtractive Bedeutung der Zifl'ern hei ge- wissen Zusammensetzungen. Die Anwendung der scheinbar unnQtz complicirteu Zeichen auf den Gewichten 1), 2) und 3) wird liier übrigens dadurch erklärlich, dass schon durch die Be- zeichnung /.. ß. an die Muj^lit'bkeit erinnert werden sollt«, das Gewicht AA auch zu erzeugen durch 3 GewichtastUcke mit dem Zeichen A und 2 Stücke mit dem Zeichen I.
Bei AufHndang der Gewichte I) bin 7) stand in der Mitte der kreisförmig angeordneten Stücke ein hölr.emer, mit lietreido geffUltar Becher (vgl. olxin p. ß-13). Auch dies wird uns durch
1) Zwni Tprnffi-nthVht von Uhirmnlini, Not. •!. Srnt-i 1683. p. IM.
■) Vgl. HuUvüh u. n. (».
') pHuli •«(%! ilen 8tAl04 i^leirh ^ dm |Huincinüch-r<tani»chea
PfumiM diu.-, ulmr uiu Bchr vi»-! »iiil^r-T "/♦■it ' ■ ' i"!, T(rl. H «i 1 1 "t-b
K. o, Ü. p. 078) rklrj^ (flrirh *U il"'' l'fumli** vt-ri iliu nur nl^ Man»-
K«wjfht und »wb »nt in rijiAtt^rRr Zeit vorkomuit
fies
mmtk m 4er
dM fc^bylTJ f4i S^iricv «rfcBrfidb. Fir iidi wwdM EBov ab Ifaw (« bsobL Dm Uci>ite «Ml 10 hmm i= WadÜMUtfbw-Kon) n« ■ •durerea kOngÜdie« Jßae.*) Ei Bigl oike. iB acr ätMtcn Zeit mtkht KBracr Mlbt n Mcoge« bnrafarf iraHn; «d irt «■ iHition Tora MonU Loffs geidirbta.
Umcn Uotcnochrag lehrt Eenicr. 4m» dw G«nJ»»r *»< Moete Loffft n <leB (t||etidid>ea Gallien kaom w «tcbto; dcaa mm SOA-Fnokreieh Mt em »ItgalfMcher Satt ff«a Rlrtgevicbten «rfaaheo, denen eine FSab«ii von 1130 ^. n Onniile liegt, die dalKr niclit ao» den tabyiciiwit— H^riefe^ IfewiehU, fmideni a» den babylofriacbeo Htnagwickta (MiB» Toa 560 gr.) abzuleiten itt Das Aofkreteo iliiair Gewiebta v«d durch dt« Venailtlttog der phohiwcticu PSaanliidt Mearilia «^ kliiiicb.*) as Tuägi aber zuglncb, da« ia cpiterer Zaat b Blld-Fraiikreich und wohl auch in der Po-Ebena die «nl t^ÜMcbe Cultxir anter rtarkem ffrieelnaeiMa Rfanflana stand, «it 1
') Vir) Hnllt^k «. A.O. Kl »c mftrkw«nli|r. ^i**^ aocft IhvIb »
«rirtirr f'fLuiwti uir HotinuuauK «dir kl«i&^ ür». .'H^a and 4to !
«a r|«>tn iftlt-AKj|»tiKfem i^/rtrtn« («lau r*i-1i TjcliinaaB «oHk «a 4«» I» li^iitiii»'b>fnt iu U*n'.i<'kuii(r SO «Mb«! •ckebit; vgL Kotlmd. Ta«taa4> luDiE<^u (itfr ll«rUoer atiUirupvla({iMrhen llnydliekftll *. >S. J*c !?9ft.
*) Vul. Hpltarh B. a. 0. p. 6t>3: Monmaxn. Herrn» p. 20d. - Ip cim-iu lwjrt7i*chen HOKoIgnib« bat Naa«« OewicM« (VI TOft je t)5 ta. ß,tf»odtn, dir naeli t. Cbri
IctiHntbix' ' ■'• i'i '■■ ■ II - -'■■ , , ■ " . * • ■ ■ ,1^1
jftnitrr - '
Herrn CVtLr^en Uiinktt ul die liic<*it{»^ |irfthnt< r .uimlanit tU»
Ntoal«* a*Qenrni|i« in d«n B«dtit von AltfTtbftmcm gdiuigt - ilii 1609 Voll Hrmi Kniii ' '•-''!'■ ,^
(Ui)tli>l(rrflli(f in !
lMf*h). thiniDt'^ l>F|inä(>1 «ith rin ■
im ifiiwirfaii' iiim &,i2 gt, (»lu linüi l:,. :_
vfiD esni*in 9»rlixi«piM iWr tTvlUinten \Hihj\tmi0*iien Mtntt •
7'\ Limianunn:^
^uchtf ttcr i'itiiiriUr tfv
003
3ks ttucii sonst lK*kiinnt ist tind wie es fOr rÜe SUtinn vom Mont« Luffa durch die AufHnduii^ musuiliuügchtir MUn^eu (vgl. oben p. 602 f.) besUfcigt wird.
Aoeb diese Umstünde bekriiftij^en unsere Annahme, dass du zu iintereiicbonde DodokuJ^der au» einer Zeit vnr dem Ein- falle der GaUier Mt«mnit'); und die vorliergehendcfi Knitvick- lun^fcn neiacn auf eine Zeit vor der eiKeuitichen Rttlthe der fttruskixchiMi Cnltur, jedenfnlU vor der alI(?cinoineu Verbreitunj? utrunjkischer Sthrift in Ober-Italien.
§ 11. Die Ziffern auf dem Dodeka&der vergUchea mit den ä^ptischen Zahlzeichen
Durch Vergleich mit den Gewichten haben wir eini}j;en der 1;; /ubl/.eiclitMi mif den ??eiten des Dodeka<"ders in üeberein- slimmnat; mit Pauli eine Bedeutung beigelegt: wir le^n dem- nach (vgl. g 7);
^ die /.ahl auf Flüche Nr. 4 als ü ^ ü + 1< ^^^^ 3 . 15 = 10 -f :i,
^^^
^m Das Zeichen auf Nr. 12 »iicht Pauli mit dem Mtniskiscben
^m i* = 5I> in Verbindung xu bringen; dafflr werden wir indessen
eine andere Deutung vorschlagen. H Ausserdem haben wir den atif den (iewichten 1), 2), 3)
H vorkonmicnden Zeichen eine äinngemä^e Bedeutung beilegen H können , indem wir die kleinen seitlichen Striche als multipU- H cative Zeichen anfi'ii^len. Das bierin liegende Princip nun, höhere Ziiblen dunrh »olche multiplicative Zeicbfu aua niederen /u bilden, ist im alten Aegypteu vielfach angewandt, und zwar aowohl in der bierati^hen mU in der demotischen Schrift. ftf. V — VII! wud die entdprechenden Zahlzeichen »uikni- ellt. Pnd -/.war enthält Cotamn« a nach de Rouge*)
*) Ihr /uhUr'it'liPii vnn 1 \tu '.> »»f j- '■■■" •""wichtcn *ini\
Antvh ninfArbr. ncWu ciimniUT K'fl^'lHr i irhe iturf{r«i|.«11i.
*) Chnsetoinathi« «•tp-|)t.itfniii% tvv. 11. I'nnit XtSß». p. lU ff.
6IU
SUtHng dtf matK'phy». Ott»H 9om 5, Duemker JS9$,
die Ziffern aus dem »c^Danoten alten Reiche (alao ha MÜte des dritten Jahrtausenda v. Cbr.): Columne b >(ibi di« catipr«- cfaenden ZiSeni aus dem matbemati&chea Papyros Rhiod, ge- schrieben ca. 1700 r. Chr.*); Colnmne c gibt nach de Rnuge die Ziffern aus der Zeit de« Künif^« Seti !. (IX. Djrnat<tie. ca. 13.i0 V. Chr.); in Columne d änd Ziffern jüngeren Datum» ter- einigt. Daneben eteben endlich die Ziffern der denuHt^hen Schrift, welche seit dem Jahre 1000 v. Chr. aUm&hÜoh an Sielle der hieratischen Schrift (aU eine Entartung deo'selbeti) traL Die hieroglyphische Schrift kommt Für unsere jetzigen Zwecke nicht in Betracht.
Um nun das multipücatire Princip bei den agjpii§cbeo Ziffern zu erweisen, sei zunächst die Zahl 10 hervorgdKiben, aus der durch einen beigesetxten oberen kleinen Strich die Zahl 20, durch zwei beigesetzte Striche die Zahl 30 enterbt, Kbea-^o wird au» dem Zeichen für 100 dai^jeni^e för 20Ü durch einen heigesetzten kleinen Strich, dasjenige fllr 300 durch iwoi, dasjenige fdr 400 durch drei, fQr 500 durch vier solche Siricfae gebildet; entiiprechende» wiederholt f«ioh bei den Zeicfaea fDr 1000»), 2000, 3000, 4000. Besondere charakU-ristisch irt dai Zeichen fDr 9000 in Colnmne c und d; hier sind dem («cboc nach diesem Principe gebildeten) Zeichen für 3000 einfach «w« weitere Striche zugcfdgt, um die Zahl 3 X 3000 zu Bclirviben. wahrend in Columne b dan Zeichen för 1000 dreimal wiedcrboh und dann die^eä 3000 durch drei heigesetzte Striche in 90üO verwandelt wird; ähnlich ist ee bei dem Zeichen fOr rtOOO in Columne c und d. Analoge Verhä!tni«»e werden wir weiter unten bei anderen Zeichen oachveisen.
AUerdingH »cheint auf den ernten Blick die Art d<« malti-
^) Vffl. Ki««n1ohr, Kin inathen\atiiictb«ti Elaitilbtu-h du- tttlei Acßypt*»r (?ftpvni»i Bhinil ib> l- ' i <
/HliU*?ifliHn »ii>4 ümliTPii Fapyriii- ' ü. a. O, nud Rodut, KuHetio dn lu 8ociMit muthi'matiqun d« Fraacr. l. VI. p. 131».
*) Anf dip Bnltttilntiff dr<» '/,inch«nf ftlr lOiX) kninini»< wir Iti f IS «iirAok.
hinUemnHn: Zur Otn^irJtte iltr Pali/ctlfr r(r.
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plicaiivi'n Verfahreaa bei deu Aegjptern eine andere gewesen KU sein, ah bei unseren (7ewicht«n. Denn %»& der hieratiäclion llt wird durch Beisetzen eines Striches (linkii oben) eine 20, durch Beisetzeu eines zweiten Strichen eiue 30; ebenso aus lÜO wird durch Beifügung eines Striches die /ulil 200, u. ». f., während wir Auf dem Gewichte 2) die 10 (AK versehen mit ewei Strichen als 20« auf dem tiewichle 3) die 10, versehen mit drei Strichen als 80 lasen. Letzteres Verfahren wird jedoch vou den Aegyptom bei den Tausenden ebenfalls ungewandt (vgl. Taf. Vlll), und auch hei deu Hunderteu iät es entschieden das ursprQngliehe. Die Zahl 100 nämlich wird durch einen fikit horixontulen Strich bezeichnet, deesen recht.es (oberes) Ende eine Hehr nierktichu Verdickung /eigt; diese Verdickung ist eben dadurch entstanden, dass der erste seitliche kleinere Strich (der hier nach oben gerichtet ist) mit dem horizontalen Striche bei schnellem Schreiben iu ein Zeichen vereinigt ist. Keobt deut- lich lehrt dies ein Blick auf die deiuolischen ZifTem. LctzterA dürfen wir hier unbedenklich heranziehen, obgleich die denio* tJBclie Schrift im All^remeinen nis eine spätere Entartung der hieratischen aufgefasst wird,
Schon in alter Zeit nämlich wurden neben den hieratij><:hf>u Ziftem zur Bezeichnung der 30 Tage des Monates tboilweise ganz vemchiedeue Zeichen gebraucht, die offenbar iut Volke schon frßh verbreitet waren, und mit denen die ä{mteren demo- tischen Zahlen (zumal fOr 2, 4, 8, 9 und 10) eine unverkenn- bare VerwandtÄchaft haben (vgl. Taf. IV). Oi« Typen der dcmotischeu Ziffern nind daher nicht uothwendig jünger als diejenigen der hieratischen , sondern sie können gleichaltrig ifcin ; jedenfalN dürfen wir annehmen , dass un» in den deuio- tiscbeu Zitieru alte volksthUiiiliche Zeichen für die Zahleu er- halten sind.
Aehnlich verhält es sich nun auch mit dem ägyptischen
^oicben fOr 10. DieNa Zeichen ist nr^prnnglicb in der Bezeich-
lang der Monat^tage «in sohrig stehender Stricli gewesen: man
vemb ilin mit einem seitlichen Striche, um anzuzeigen, dass
«ich um einnuki zehn handelt; nnd da?j war uotliig, um deu
5H Sttsuns der niaih.-iihys. Clawe vom *'>. Iksember tHiXi.
bchräf^ !tt«benden Ötricli von dem gerade stehenden fflr die Ein heil «sicher 7,11 unterscheiden. So gewinnen wir dos demoUa^l /eiclien fUr 10 (vgl. Taf. V); ans ünn geht du hieratixchQ Zeichen hervor, wenn niiiii den .seitlichen Strich verlänjr^ ^ I
ihn nicht mehr an der Mitte sondern um Ende des u; , liehen Zeichens Tir 10 anbringt: in der That ist di««er Strich bei alk>u bierntisctien Zeichen fiir 10 schwächer ausgeführt» ab der lindere ursprünglich allein benutzte.
Durch Hinzufügen eine» zweiten Striches wird nnn ao dieser 10 diu hieniti^iche Zeichen fOr 20, durch HinzufDgen eines dritten Striches dasjenige fiir 30 iu Culumue b. Die«! Arl des Gebrauches multiplicativer Zeichen konnte in Epütorer Zeit in Vergessenheit gerathen, so dass man aus dem /«üchon fDr 3000 durch HinzQfQgen eine» Seitenütriches dasjenige fUr OOOO, durch zwei Seiten.ftriche das Zeichen för 9000 ableitet*? (vgl. Taf. VIII C.lumne c).
Wenn so das Sjätem der Bezeichnung bei den Zahlen vom Mmite i^offa mit dem Systeme der alten Aegypter in mnncfaer Be/iehung Ubereinstimnitt ro wird es naheliegen, auch die Zeichen selbst zu vergleichen.
Die Ziffer 10 (A) auf den Gewichten und auf der Flfiche 3 des Uodekat^ders (v^I. Taf. fl) sUuimt in der That genau mit dem hicrutiscben Zeichen für 10 fiberein.
Ein wesentlichor Unterschied scheint darin xu bertaben, daas auf dem Dodekaeder die Kinheit durch einen l'uukt, bei den Aeg^'pteni dagegen durch einen vertikalen Strich dargoMtcUt wird. Aber diese IStriche werden mitunter so kurz geflucht^ dass sie von Pnnkt.en kaum zu unterscheiden sind, nnd 1>e«>nden wenn sie in der eben besprochenen miiltiplirativen Hedeiitur vorkonnuen'), sind Rie niei-^t geradezu dnreh Punkte Ceberdies dient der Punkt zur Be7eichnnng der Kinheit l>ei d«a Rechmingeu des mathematischen Papvrns, die sich auf Getnäii Messen begehen, liier beziTichnen Punkte die Kinheit«n
M Vgl. dtt* J^rhcn (tlr Q au* dmn ra]>rrii« Kber« bri Ki«i>iil«fe W .1. O. Vgl. fArnvr ». R ih. Taf 11 21, 35. 11, T*f 111, 39. 81. BS Aal
anfir
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if5T^#wp35fi'lc.
607
i^oüchiimwissos, ein verlicnler Strich die nächst hßlißre Kiiiheit de*» Zflin-BcscbatnaoäseSf ein i^hrä^or Strich (verbunden mit dem Zeichen für IVächa) endlich die Einheit des lOO-BeächBrnajisscs^). Aai«erdem wurden auch die Viertel de« (.■etmdt^uimLssif^ Är- tiihe durch Punkte bezi'ichnft.*) Im prnVi)w:hpn Leben war daher nucli bei den Acgyptern die Heniit7.uni{ des Punktes xur Bezeichnung der Kitiheit von Altena her gebräuchlich. Oiw Auf- treten desselben auf dem l^odekaeder spricht a!so nicht gegen den üf(yi>tisc)ien Ursprung der fraglichen Znhl/eichen.
Kine Abweichung finden wir allerdiitg'j in der Anweudung eines einfachen Striches zur Bezeichnung der 5; du indessen für die Kinbeit ein anderes Zeichen im Gebrauche war, äo mag eti nahe gelegen haben, da^ hieratti^ehe Zeichen für o durcli Weghi>dung des oberen l^uerstricheM, l>ezw. der beiden oWren Punkte (vgl. Taf. V) zu vervinfachen, um üo mehr, als auch im dcthütischen Zeiehcn ftir 5 dieser Strich sich auf einen kleinen Ihikcn reducirt und ein dem lei/.teren ähnlichem Zeichen (und 9:war auch bei 6etrei<leiueäsungeti) schon im mathematischen Papynts vorkommt.') Ausserdem mag daran erinnert werden, dass im babyloniächen Systeme immer 2 Gewichtseinheiten neben einander gehraueht werden, das leichte und da« schwere Ge- wicht, von denen da« letalere das doppelte des ersteren darstellt. Der sehnige Strich, welcher im Demotischen für 10 benutzt wurde, konnte al-o aul" einem und demfl;elbeu Gewicbts>-tUcke angebracht als 5 oder als 10 gelesen werden, je nachdem man schweres oder leichtes (»ewicht angeben wollte.
Die ZifTem ;i auf Fläche Nr. (J, 'j auf Kliiche Nr. 1 und 20 ^^ 4.5 auf Fl. Nr. I bedQrfen jet/.t keiner Besprechung mehr.
M Vi^l. Kiai'nlubr o. n. O. p. 173 ff. Ui<r lir<lmiiMti -U-* l'iinkte« fllr iti«* Kinhfit 6n<lel »ieh uui'h auf einer Ui'(-fanun>; Ober gebefi-iics (»etcnide; vgl. Krmuii, Acgyptcn, Tnbmgfn IgSTi, p. 449 und Cnntor a. a. O, |K i5.
') VftL ÜQ Kuu^e a. ft. O. p. 1X8; Brug»cli, Pie Aegyptoiogiu. l^eipdg 1801. p. »79.
■I VkI. «. ü. Aufbnilie Nr. 47, Tuf. XVI. Nr, 76 und 77 »uf Taf XXI in KJMitnlohr't Antgvl««.*.
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TAtuiemann: Ztir Oofchtthtf der Puiyeder etc.
569
Im iiiathtiniatisclien Papjru!^ iufc dies (Ic-t am wei- rechtä äteheade, indem er die hori7X)ntale Linie
ihrem nach rechts liegenden Bndpunkte berührt,
en betreffenden Zeichen in der Colurane b, Taf. VI, Colunine c ullc drei Verticaktriche gleichwerthig
, und in Columne d nur der mittlere Strich die Linie nicht Iwrnhrt, während der horizontale Strich •n Seiten über die verticalen hinüben-agt. Auf dem
dagegen ragt gerade der tan weitesten nach linke rticalstrich nach unten über den horizonbilen hin- in mau indt-csen bedenkt, dass die Zeichen auf dem
nicht geschrieben, sondern iu den Stein einge-
warden, so wird man auf diese Unterschiede nicht rieht legen dürfen. Ueberdics zeigt die Ziffer 00 in am rechten Ende des horizontalen Striches eine Ver-
ach unten, die bei flüchtiger Schreibweise sich mit »iaten nach rechts ätehendon Verticatstricbe zu einer calliuie verbinden kann, woraus dann die Ziffer iiuf fteder enUteht, wenn man nur rechts und Unk» ver- be iiolche Vertauschung aber erscheint gestattet, da ttiache Schrift Ton rechts noch links läuft, die spätere
dagegen in wechtwlnder Kichtuug geschrieben zu
kaben hiernach folgende Resultate gewonnen: die t dem Dodekaeder sind zu lesen:
f Fläche 1 : 20, 2: 10, 3: 15, 4r 9, 5: 16(?), 6: 3,
anf Fläche 7 : 12,
. 8:24, . 9:21, . 10: 6, , 11:60. , 12: aOO(V).
tifli <l)i8 liier in Coliimiie h aiigegebeno Zeichr^n im ma. Papynis meist ao^'ewondt wird, uin 60 za boz«i(-hnPti, floth im Papyrus die vcrächk'Upußt<?n Abweit'hun^ou, so dnaa I. wie in Colunuie a anil l-, tiinl nnrh muni-bt' andere Ah- ^TorkouuDeD; »gl. indem Werke von Kisenluhr: Taf.ll, 17; I Tur. IV. 43; Tiif. V. 53: Tuf. XIV, 40; Tiif. XV, 41 u. 8. w.
R7U 'SiUmmg äv mmtk.-fl»9M.
I S. f» IM will /«M
Anffällig kOnate Uerfad dto ZeidMn fftr 20 uni FUcb«> 1 •ncbeinen, d« diMelbe voa dam eab{incb«ttd«ii bienttiMciiefi flateefawden abwekfat Wir wwen »ber »ehim «ot dem Stodnm d<T Gewicht« {% 7 a. 10), daaa aeben diaiem Zeichen (aof Gewicht Nr. 4 und ti) ein audera gleicliwfhiga im Gebraocli mar (aaf Gewicht Nr. 5). da^ mit dem hierafciaehen Zeichen fixr Sfi fiut TölBg identitcli isL')
So weisen onsefe Zahlzeichen aaf AegTpten, onaere Gewicht« d^egen anf Babrlooien hin. Darin acheini ein Wideiipmth xn liegen. Derselbe Ifiat Ack indemea durch die KrwJEgnog, dam anch die ägirptiscben Gewicfab-GinheiUo «ch auf dn tar bylonifiches Urgeiricht reduciren ]aa»fn,*) aod dan auch £e ägyptiacheo ZiHem uiH den babjloaisebeB Terwandt «nd, wie wir vreiter unten aahen weiden. Aiuaerdem ist ra bedaokca, datfü wir Qber das AtuBeban der bab5l<nitachca CairenUchrift nicht unterrichtet sind, das abo wahracbeialich dM achtin is der Keilschrift ersichtliche Verwandlechafl dfr Zahtzeicli (vgl. unten § 15) in einer eiwaigeo Cnirentachhlt noch hervortreten würde.*)
§ 13. Die Volker der Po -Ebene in prähistorischer Z«it.
Wie wir ans auch die gegenaeätige Bceiniluftung xwi»ck«n ögjptlscher und babylonischer (bea. aanrmeber) Cultur denken m^en, jedenfalls deutet aaser Dodeka^er aaf den Orient; wir mOasen uns deshalb nach sonat bekannten Beziehungen der Be- wohner der Po-Ebene zu den orientalischen OUtor- Völkern om-
') Der hnnjjtntali* (muttiplicatin*) dtrirti »tehi aar rtwaa licdiET, ab 'im A<*gjpti«'fapii , WA tr m^ift linki ol»erkalb dw '"^ racM wial
fand cwu- im mathematiKlieii PsfiTraa oft ein dau' «rijoatahw
Strirl), tiicbt immer tdn KvItrQmmtrr titriiii. wir in C-oiumn«' b. Taf V; Tgl. z. a Taf. III. 91 bri Ei«.-nl«br a. l OJ. Die /^i'bHti ^ ml X ltab*<n aarb im ffpAtcrmi rtnuki»rfaf« Alph^)ct#> |cl«'Kh«rrrihk(R> lledrv luntf (Üarhiitah«' t. Tgl. Pnoli, ii1t)tali«di> " 1. |i. liO u. ML
h Vgl. di^ oIm'ii citirlpn AH«*-»!*^ «"o-i
*\ Kinf ■ttlrhi* VerutuUiiaig I ^i/aril ans: vgl. Cl
Maüi }U■itr:nP,^ «um Collurlebea il- . ..... i-, llaU" 1903. |l 9lt.
F. LnuUiHttnm Xuf Oe^chüJttc dtr l\/litodtr eic.
071
soheii, und zu (Imih Xweckn ilulIi i]io Frag« nih^ii dor Nntionii- lität dieser BewnUiier selbst in UetrHcbt xiebon.
Die erat«n Zeichen uieuschlioher Cultur in Oher-IU&lien aUmmfin rus den Pfiililhniiten (Iw/. TiTnimsinni) nm der Kinilin und der l'o-Kbene. Xacli lIeU)i]bj;M Imbou wir die Unibrer aU Vertreter dieser bi» iu die Steinxeit r.urilckreicbenden CuJlur- Kpocbe anzusebeD. »Sie wurden tiuterwnrfen durcb die Etrusker. welche (w»hrscbeinlich in der Bron£e2eii) von Norden ber in die itHli}>cben [jAnditchnften einbrachen und den Änstoss zn der eigenartigen und hüben Oultnrentwicklun|r der folgenden Jahr- hunderte gaben. Gleichzeitig oder efcwaä später mügcu auch auf (U'D) .Seewege, wie es die btstnriscbe L'eberüeferung will, «tyrrbenische* Gin Wanderungen aus Kleinasien staitgefunrien haben.
Wir stehen damit am Beginn der •ingenannten llall.stati- Periwle, in der /.uersfc das Hisen neben der Bronxe bei den Schmuck- und Qebraucba-OegcnMänden und ilen Waffen benutzt wird. Die Auagmbnngen ron Viltanora bei Bologna, von Mar/obotto und <Jerto»a geben utm ein deutliche!* und Ober- niHchendes Bild dieser Zeit.*) Innerlialb jeder dieser Fundstätten kann man von einander getrennte Ki>ochen, s»i pd nach der Art der Ueätattung (denn es huudelt sich um Ürabfunde), »ei es nach der ßeschatTenbeit der Beigaben, unter8<:heiden. Den Be- gitiu dieser Cultur-Periode ptlegt mau iu den Anfang dea ersten .Tubrtausendx v.Chr. /.u netzen; das Ende wird durch die Aus- breitung der Lu-Tene-Cultur bezeichnet, in der do-s Eisen zu auttscbliesilicber llerrscbafl gt*laugt ist, und iÜm deren flaupt- triiger man die keltischen Volkswtüninie, insbesondere diu eigent- lichen Gallier Iwtruchtet. Vergleichende Cntersuchungen buhen gestattet, diiH Alter der Funde nach dem Vorkonuneu gewiwter Loitfunde abKUächlltzen , und unt«r diesen sind die Gcwand- nadeln (oder Fibeln) von besonderer Wichtigkeit.') Das mu»
*| l>ic italik<*r ili-r Po-KV^n'*, ti.^Bnn<li'M p. 00 ff. *) V^l. i. B. *lie kur'.»« nfln-rxiilii (|1i«t (lict.,' l'nHur \u^\ Rniike. Der Men«h. Ihl. II. Brbliu».
'') V);). t. W. Kuiikf, a. :i t' iiiiti h^-utiiil^T* II ilili'liruriil . Itnlni^
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CUmc «■■I i^
Iner crwähoi «esdcB. vol aocb ia WohmfiHfn rom Sloalf Loffft wi^emaai^ Ciwtw Wbeta gafudeo wurden und «vil rr duMM mHiw^ii, ^mm j^ Wakntitten in der iofreaaiuil«a
''Certovs-Pcöode, d. k im 6. aad S. Jahrlrnnd«!! t. Chr. adiw hawiii niudu, «ikrod dai Awfifadm der L«-Tt?ae-Fibel md d«r inwihoti«fcett MWiiffti, »wie der LegiuMaJenre dr» Auhnsin (vgL eben p. 69S) anf feracrv BiMitfiiiag hn in die Zeit dv
[Xfaifblle« dtf GalFier md der Baigeiluiege achli—en ttüi.
Dm Votk ToiB Hnab» LoAk wmr in yamr Zeit wofanwli«!!-
' lieh em ■ndwi sk du Votk vob Ctrtoa: w^read man d« lilitiii «wn ttmhrwphpii Hlawwit icduMn kman. wobnltn d«ma)i ■öidlidi des Po die Eugaoeer, Iwioden in der Gegend mn Padoa und Verona, in den nock keate nadi ihnen genauniefi eognneiacfaeo Bergen. Der HObefMnü^t der Caliar dieser Gt^cend wird durch die Pnade roa Este boMebaet. Nach Pro«docini hat nian hier in aber einander Uegeodeo Schichten 5 Periode« EO antetBcbeideo : sie aöal filr irai roa InfcerwMe. weil PnadjUelle der rom Monte LolEft am ng^ff«**« liegt; sie daher kort erwähnt werden ond gleichseitig dazu dienen, dir Art der in B«^ra«ht kommenden AltertbloMf ra keanxeicfanen nad ÖB Beitpiel fOr die wueaMiia Folge dtr Sckirhttfn xu goben.
1. Periode. Beelattong der Leiebeo; Steinxeit
2. Periode. OhneVenmtUnng cüieracHgedebnten Bmaxe^ xeit, gteben wir aoglcicb am Beginne der EiaenxeiL Ziinftrkii allenlings wird Ei^n oar in onförmlichea Stocken gef Broazetibeln mit einfachem, theilweiae balraAtaioig erweit Bogen. Auf einem Thongeftase erscheint Hereild du Hakeokr Leictienbraoil. Asche in gebrannten Urnen.
:i. Periode. Urnen reicher vemert; aihlreich*^ k gefasee. Spinnwirtel mit Uakenkreuz ond Schrift. Fibeln wi« vorhin, auch mit Knochen- und Remet^in-S
tili «pannHi hitloria, Antiquaridt ndikrifl Rk armf;«. v*\ i. Mm 1673—80: Monteliu«. Sp&iumt fnn bnwiUdani: ih. Bi. O. Tiarhier, /^turhrift flLr AathrDiinloK^ und UrirMriachtr Ak^rri^ IM. 4. 18B1.
^
4im/mn'
VW^
I*ulycäer Hi:
07:1
Perlenhalshäuder von 'Was, Bernstein. Knochen oder Korall(*n. Kaamadeln, Watten 8«lten. tlütiolbleche.
4. Periode. Urnen reicher omamentirt, aucb mit Schrift- zeichen versehen ond IwmalK Es treten echt griechische GeHuse auf, sowie einheintische Nai'hahmnnf^n. Roh in Thon modellirte Thier- und Menschen-F^iguren. Die berflhnit.en Cisten aus Bronreblech mit Danttel hingen uns dem menschlichen Lehen, /ahlreiche Pibetn, sogenunnte Bogen*, Kahn- nnd Scblangen- ttheln^ aUo die älteaien Ty[>en der Udrdita liehen <!ew&iidmideln. Hausgeräth tind WufiTen in geringer /»hl.
5. Periode. Galliscb-römische Zeit.') Bronze-Cisti'n von aiger Korgf^Uiger Arbeit. Thongefu'we auf der Dreh^rheihe rbeitet. Kigun-n, Tüfflchen, Nägol i^Uriffel?) an« Bronxe mit
ächriftxeicben und luEtcbriAeu. Galb'scbe Münxen aua Maasilia und römische von Augustud und Vettpa-tian. Lange Schwerter der bekannten' La-Tene-Korm. La-'lVue-Fibelu atk( Uruniu», Silber iiud Risen. Letztere« Metall M*hr gewöbnlich. Neben der Verbrennung auch Bestattung der Leichen.
In dieser letxten PericKio stehen wir auf historiwrheni Boden; wir werden den Beginn dernetben an d^-; Ende dw •!. Jahr- hundert« vor Chr. netzen ma«en. Du« Auftreten griechischer Vawn und aus Griechenland Htammender Schriftzeichon erlaubt auch fQr die vierte uiul dritte iVriude eine aniiUberutle Datirung. Die ln.Hthriflen von t^t« sind durch Pauli eingehend Wlian- deU*)> Nach ihm ist das Alphal>et von Est« identisch mit dem im Venetcriunde, bi-* nach Steiermark hinein (bw-mders in tiurina) anftretenden nnd verwhirden von dem nordet niski-schcn (in ßitien gebrauchten) und dem im eigentlichen Etrurien an- gewandten: er schiit^^t darau.^, dass wir es in Este mit den Grftbem von Venct-em, die /,u den lUjriern gehören, ku thun haben, und dnm die In<)chriften (iu Uebereinstimmung mit
') Bcrtrnnd am] Roinitrh (!<«•• Citlten dmn*, leii vall^ du l'ü .1 da thinnlHV Pari^ 181*4, p. 162) trennen noch di*< ^tinrhe ron der rOml- «cbtfn Periode.
•) Pauli, AltttiitUrhr P«r*rhuiiKi*n, Itl. IB. T'i*' Vt-nel^'r und ihrti &Jirin.li*iiknia]itr, L<m|>M}( 16^1, \>. 4Bri tL
ISM. Hau pfeya. Cl. 1. 44
67-i Sit£UHri der mttth.ißh*/n. Oiüssc ppin ^, JJeitmtm' IS9C*
anderen SchlaÄsfMl^eruiiKcu 'Jhirardini's) in*« vterle fünfte Jahrhundert äu setzen sind.*) Die viert« der ubigr» Perioden wird man daher in'» lUufle und se<:bs(e, die dritte etwa in's sechste und Riebenta Jahrhundert netzen können; ein weiterer Gnmd für diese Dutiriiug liegt in der tbeilorsisia] Uebereinütimmung des Invenb\rs der Gräber von Este mit dem- jenigen der Nekropole von Certosa bei Bologna.
Das Anftreten der Certiisa-Fibel am Mnnte Loffa reranUnt uns endlich auch für unser Dodekaeder in erster Linie an dw Rcchstc Jahrhundert V. Chr. ku denken. Zeichen, die mit Sicher' heit als Zahlen xu deuten wären, konimen auf den ältesten In- schriften Tun Hst^ leider nicht ror^), ^ dass ein Vcrglrtoh mit den Ziffern auf dem Dodekai'der nicht angeatetlt werdfii kann.
ITeberdiea ist es zweifelhaft., ob wir die Funde vut» MonU* Ijoßa el>enM wie die des benachbarten Kst^' dein Vollrc der Veueter zuweisen dürfen. Uerade in der biegend von Verr'na Htiwuen die Grenzen verschiedener Vßlkor seit der KltAili-n Ztit zusammen, wenn diese Grenzen auch im Einzelnen moncbiT Veränderung und Verschiebung unterlagen. Ea kommen ffir nn* aujrser den Veuetcrn die Uiiibrer, Hüter und Ktigiuii'iT in Ite- tracht. Nach den mir vorliegenden Darstollungen*) dflrfle man etwa zu folgenden Annahmen berechtigt sein.
Als älteste Bewohner Nord-Ttalicns erj(r.hoinen dii» Cmbr^'r, welche ein mächtiges Heicb gegründet hatten; wir lassen daibifl- gestellt, ob sie znm Stamme der Italiker oder xn de» Ketl«n*) gehorten. Im Westen wohnten vielleicht ligurische Stämme bi»
') Pie« ist »ach in Debertflnstiminiifui mit iler (liin^h A. II. Il#]r#i fQr iljp InMchriltcn von («iirinu freiffhi-tifii Dntin. ■ ■••^^tii-
Lhul. iVrcsih-u ledfil. wdrittr Tiiuli frnhpr . ingm.
Bd.I. IBSü, tlie InscbrifU^n nnrtlctruflki«chrii Atjiba^'td) ani^evweil'rrlt luüii*-
») VkI. P*oli a. ft. 0., m. U\, I». 264.
*1 Vfil. Pauli nml Ut*rtraiii) et Bt^inaeb a. a. U„ at*wia %n ng tim NiMi'n. ItAlixihM lAiii)«^kttn(lt^. Bd. I, Btrh« ISSS. jl !• i
') I.rt/tore« uchmcu Hrrtrand inul R^innch an. »nl eho«, Coirrapunileiutbloli Jer dputM'hptt Ue<irlli«clt«R rerAii> EthnnloiHr* uitil Tivf'whichti', läSß. |., I31I ff.
h\ lÄmloHnnn: Xur (h^hiekU 4ar SMt^eder etc.
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len t*o.*) Von Norden wanderten die Etrii?ker ein nniJ Htärjochten die Ur-Kinwolmer; HJe KatijitniRww Her b^lrudkor x(>g Kpäier nber den Apennin in Aah eigentliche Ktnirieii; aber die DorditalLschen Litndschan4}0 blieben ihnen unterlhnn oder wurden von ihnen 7urfli'icernb<Tt. Hie olriijtkiHcbe Cnltnr nßrdlich des Apennin unterscheidet sieb von derjenigen in Ktrurim, du dort das nrsprüngliche nmbriscbe Volk von Wf«pntlirbeni Kin- Auwe blieb. Hesonders chnrnktprifiHsnh »ind die reichen Grab- funde ron Villanova, welche biü in'» 0. Jahrhnndert znrndc* fCehen. Noch ca. K&O vor Chr. erwähnt Skjlax die Ktrnsker aU Uowobner der Of;tktli«te von Italien« im Norden der l^mbrer. Ein Theil der lOtrusker ki indt'nwen in den Thalern Afr Alpen xurnt<kgi>bliel>t>n, basondrr*» in der rwilicben Schweiz und dem tödlichen Tirol. Von Westen schieben sieb allmUhlicb keltische Völker in die P/>-Ebene vor; ihre Civilinitiou kann ann dm Grabfunden von (iolasecca und verwandten Nckro|«>len, die sich bii« an den (jomer See ausdehnen, und die man den In- Hiibrern r.iuchreibt*). beurtheilt werden; ftie sind (nach den flfefiindonen Fibeln tu nrtheilnn) etwa gleichaltrig mit der 4. h*»Y.w. 'A. Periodn der (trabt-r von Kste. hu Nnrdrt**l*»n der l*i>- KU'ne NiLxen die Knganeer, die sellisi al« su den HStern, und somit 2U den Etrnskern gehörig bezeirhn'^t w^-rden. Von dm illyriitchen Venetern (die nach flerudot und Skylax schon im 5. Jahrhnnderi ihre ^«f^ileren Sitze innehatten) wenlen sie all- mählich nach Westen binfibergedrän^ mid wohnen /u Plinias* Zeit in der Uegend von Verona. Vielleicht gehrirt die erste neolitbiMr.he Periode von Kste den Kuganecrn «n; die späteren Perioden werden in Rücknicbt auf die ScbriftKeicben und auf den dnrchaas »teiigen ITt^bergang von einer Periode zur andern den Veuetem zugettcbrieben. Die Grenze zwistrhi-n beiden VJilkern muM al80 in der zweiten Hälfte de« ereten Jahrtaiuendj« r. Chr. innerhalb der euganeiscben Herge zu suchen sein. Den Kundort
^) Virl. H«lbi^ ^ 11. 0. p. 31. in norJi iUlrnv Kmt «ntlnn Ijif^m'r und äiciilpf «IUI« Italii'u innrifflinlit lulivn.
9) Vgl. Hnrtrani) u. Uutnueb m, n. 0. ]>. M ff.
076 3Um$m9 der MoHk-fA««. Oosh m» i. UtumiUr XBOG.
des Dodeka^er, Monte LofTa, werdon wir ftus «pUer xa eröriärn- den Gründen noch den Eugaiieorn, bexvr. Btroakem xnweiMn. Za Anfang des 4. Jahrhanderta kam dann der groaw fii»- faU der etgenUichen Gallier; durch sie mirdan die VoHavOnuiM der nördlichen und sUdlichcD Etrusker eodgiltig von eiaaiuler getrennt und gehen in ihrer Cultureniwtcklung getrennte Wege. Das kommt in»l>esondere in den gebrauchten ikbrifttcidieo xnm Anknicke. Diu« eigentlich etruakiscbe ÄJphabct «rird ans dem chalkidtschen abgeleitet; auch Campanien stand ca. 500 t. Chr. unter etrtiskischer Herrschaft; dort kanieo die Ktmaker mit den griechischen Coloniutcu (inebdrandere in Kunie) id en^e Verbin- dnng; von dort verbreitete sioh wahrscheinlich daa elni«ki»die Alphabet nach Norden.') Die etruMkiachen KUer, weMlieh fom Garda-See (besonders Ton Sondno) dagegen bedienen sieb einv anderen Aljthubut«!!, dau nach Pauli') mit dem auf di*n Inseln Metüä und Tbera gebrauchten am meisten verwandt iitt und jedoi- falU auf ganz anderem Wege nach Nord-Italien rerpfl&nxi wu^ Das AlphabiH der Itäter i'wtlich vom Oarda-3ee (Sad-Timl) und derjenigen von Lugaau ist dagegen wieder mit dem eii^enÜiehca etrnskischen verwandt. Die Veneter endlich bedienen «ch «ne» dritten Alphabetes, das zu demjenigen von Klia die mebfcen Be- ziehungen haben soll, nnd von dort sei ea auf dem Land- nder auf dem See-Wege nach Ober-ltalieu Übertragen wurde. HiienHU kann man (mit Pauli) scUlieaBen, das« die Xord-Etnisker in d«f Gegend von Sondrio bchon vor Einführung der Schrift vih» d«n SQd-Etru8kem (vielteiebt durch kelti»che Stämme) getrennt wann, daai dagegen die Kord-Etni^ker vuii Trient. Boneii und Logsao erst spftter, etwa durch den Einbruch der Gallier, den 7nwnnB0 hang mit Ktrurien verloren. In den Küteni der ächwieis kfioMB wir die zurückgebliebenen iCeste der von Norden komioeiMlM Ktrusker erblicken, in den Kfitem von Tirol dngtgen ret^ sprengte Theile des dnrch lange Zeit in der Po-EDMoe Iwtrr- Behenden mw:hUgen Volkes. In der Gegend von Verona ^i
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') Nack Helhiff fit. a. O. p. 100) ward ilat Alphabet «n Rtr<m*iii nicht vor dinti 8. Jmhrh. Hinfjc^hrt.
!) Vjrl u. «. O. IM MI. I*. 316 tr. nii.1 EU. 1, |i. i4>
F. ]jMemantt: Xm QtMhuMt Uer I'oiytdtr vlv
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ne Zweige mit einaiidt-r um) mit den Gu^aneern, dlt aber belbät zu den lEiitern gezählt werden, rttsaniineu.
Von den wet^ttlicbemn it&t«rn verbreitete sieb die Schrift und damit die Culiur Überhaupt zu den benachbarten keltischen Stämnii'n der Tauriskerf Lepontier und Sala&<49r. Im Lanfe der Zeit ergubeii nich so enge Oultur-Beziehungen zwittchon diesen Kelten und Hätcm, ilaäs man remuckt dein kann, letztere aelhnt aU Kelten in Anspruch zu nehmen.*) FQr uns kommt e» nicht darauf an, die^e Frage zu entscheiden; es genügt, auf die enge Verbindung hingewiesen zu haben.
Zu Ende des 3. Jahrhunderts ist die Po-Eheuu vou den Rinncrn unterworfen, und &■« beginnt die allmähliche Itomnni- sirung der geuaiuiteu Völker, die aber noch tauge an ihren Oebräucheu und ihrer Sprache festhalten.
Was nun die Zahl/eichen anlangt, so kommen Kotche in dou Inacbriflcu und auf den MQnxen der uetitLichen NnrdeiruHkor (Uiiter) nicht Tor, wenn man nicht die Zeichen auf einigen am Comer-Scc gefundenen Tonscherbon als Ziffern auffaäften will.') Letztere seti»^n sich aus den Zeichen |, Ai X zusammen; der Wr.rth drnM'lhen kann nlier nicht ungv^eben werden. lo den luf^rhriflen dei> Bozener Alphabetes tiudcn nch dieselben Ziffern, wie sie im eigentlichen Etrurien vorkommen. B*"i der itlngeren DatiruDg dieser laiwbriflen dnden wir keine Verbindung nüt den Zeichen unseres Dodekaeders.
Um 80 aoiräiliger ist das Vorkommen anderer Zahlzeichen auf der Doppel- Pyramide vun Mccln (vgl. oben § B), die man nach l'rtheil des Uerm Cullegeu Furtwiingler (insoweit ein solcher 8ch1uss uu» dem allgemeiuen Charakter deü Gegenstandes möglich ist) in diu 2. oder 1. Jahrhundert t. Chr. setzen muss. Immerhin wird dos Au{lretuu ilUerer Zeichen Ixm Itegensi&ndeo von religiöser Bedeutung erklärlich.
In ähnlicher Weise tinden sich auch in (jrieehenland ganz verviuzelfc Zahlzeichen auf Inscfarifleo, die sonst nirgends vor-
*) So thun rm RcrlrAii«) u. Hetiiai')) a. a. 0> p. (ittfr.; r^l aorb Haoli, a.a.O. Hd. I, p. 90 ff.
I) Vgl. Pauli a.a.O. Nr. an
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Ate«i# ier mmk,'fitjß$. flat 9»m ^
konuam umI nor dsrcb Fonoen erklärt werden kfianoa. Fflr ieruM« üt hier biiw argirwcbe Inachrift^), wIcW d>r T'.Tickiednwr GemcinAon m eÜMm «nt in Kartao der I— .JMift uiclit erkennbues (vieBöcbi aoek raÜgMMn) Zveck» •■fiJkll In ibr i«l di* b^iobeit dnrcb einen Punkt bes«ickact (es bonuDen äo bu zu ti rimkte Teraxnigl vorX <bc 10 4br& «iu 0. tl. fa. durch ettieii Krct» mit l^kl dnrni. die Znbl Sit durch rr Co. Die Inscbrill lUiomt sta d«r Zcsi Ali ■■■in oder einer weuig »j^ierbu 2eii. Trotzden tindoB wir S^ üt Zakl 10 CIO Zeiciten, dw aoost nur ia aebr alten hmhfiammhi^ InacbrifLpn ^ow^ Mittbfihiiig des Hemi ColUe« Hvaanlt in gleicber Bedeutung vorkommt Annnrifaiu kt die KJnknii in dervelben •IterihOnüiehco Wceie bemickaet,, die m» bsnöl» aus der Bezeichnung igTptüd»er GetnUaninaHi (t]^ obec p. ütki f.) bekaoiil ütt, und di« wir anf nmenn Dodeknidcr a»- wi« Ulf einem der Gewichte Tom Monte Lob In ähnlicher Weite wird neb in einer (an 5. JabrhuuderU datirteo> InMviihß run Halikimaw der i alberth am lieber Zekbeo erklftrea, dem Dedantnin aocb aä^ Djit >Si<.lieiheit ft±)tal«he.*) Die beiden Zeickan AA in ier ff«r- letzteu Zeile haben rielleicbt die Bedwilna^^ n» 20, iaAvB auch hier dameib« ig3rpti8cke ZeicJim A rorkotamt, wm anf uiuereu Gewichten nnd auf dem DodckaSder nm Moote Zaieheo, da« fibrigcnt ancb bei den Pbdnikeni m git Dg gebraucht wurde irg\. unten p. 693).
iIiT Itiinrhrifl flnilrt iBUi Imü Will« ib. tl« ilnu-* LInML- M, KM 188B.
- 1 n •. L O. ftiu Bf'hlotfif 'im AliheniJlaftc. A Ut «1 lk*Kuiu «lur IvUU-b /«iUr ein Zeidien. itmdAaai nm cwn Jthvr niuuidfr •U'hetulmi Umatm, ibr '— '■ ■-(—<■ " r*!. «i.... ^' buDÜra minii (Vr'oicin holt r« Air •! ort*-); .J^i rlirin »ff
drr Kii«UBiD«<D mit . wani««, iiitd »wv *». l-K'-'- -■-....,: -..
ameT»Iitia
F. Linäemaun : Zur (i^rtvhithlc der /WyrWfr etc.
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§ 19- Atilto8to Beziehungen Oberitaliens zum Oriente.
Wenn wir in § 7 7.11 dum S<;hluMso kamen, da.«« dU- XitFeni uu r dem Dodekaedi^r Tom Monte Luffa mit den äj||;ypliscben X:tlit(>n vurwiindt seien, fso bleibt uns nun, narbdciii die Oi*- adi'whiv der liewnhner der Po-Kboijc soeben kurz, »klzzirt wurde, ilif» Frage n^n bebiuidela : Welche Verbindungen dieHer Völker mit dem Oriente sind nachweisbar?
lUhens Volker treten zuerst auf &gypttscbei\ Denkmälern in die Oe^ohichte ein. Der König Merenpthah (MernepbUb), wuhnicheinlich 1281 — 1202 v.Chr.»), hatte da.s wiwtlidie Nil- Delta i^e^en die Einfillle ,der Xordlüuder aas allen Gegenden und vun den Ländern dt.'s Meeres* am vertheidigen. E^ scbeint, doss es sieb bierbei nicht nur um gelegentliche Seeräubereieu, sondern um eine grosse VfSlkcr-Bewegung im ganzen Becken des Mittel »ie«rei( geliaudelt hat. Unter den Feinden der Aegypter wenlen auf alten Deukmäleni (Wundgemfilden) die Tur^cb, Scbarkrusch (oder Schaklasch) und Scbarden genannt. Schon lange hat man dtei^e Nümumi auf die Ktrusker (Tyrrhener oder Tyrscner), Sionlcr (die angeblichen IVeinwohner Italiens) und Sardinier belogen*) Die Schardaner waren schon frOher wogen ihrer guten Bewaffnung und nngeätilnien Tapferkeit ge- filrcbtetti }*Lraten und treten andererseits schon unter Rumses D. (1348 — 12fll) als Sfllduer de« ägypttHchen Pharao auf, und im Heere Ramsei«' II L (1240 — 1208) nehmen sie einen KhrenplaU unter den fremden Si'ddneru ein.
Kine wesentliche Stttt/e erhalt diese f-unächst ttbernuchende UyiKjtbeso dadurch, das« auf SariUnien eine Menge Alterthllmer
*) B«{ Aut,nilir Arr KAiii^itiinirit iiiu] dvi Julueceatilt^ti halte iiL mirli wt diV OtK<r»it'litli<li*' tNirstdlutiff ili»^'*r V^Thaltnia^f bei nammrl , flpwhii'hti* Ji»« iilt*-n Mr.i 1 I ■ i 18'.»«.
*) Vül. aie l«-!i-. [.1 ,.«.». O. p. IIÖ. w
wit> l'rrrot rt Cbipi*<x, Mi>tmn« »!•> lart dann i iLnti<|uJlv, low* IV, l'arii 18^. p. tft. Ib^Nomliii-ii fiu^Hlir-iitl lit*tmtiil(Ot lit <Hrw> Hrpothnf VW W, Max MnM^r. AntMi uuJ Knrnjia imrl) altAK5ptü*'l)<*n IViik- iiialt'ni, Tjfi|wi)t WJ3, |i. 871 ff.
080 SiUunff der math.-j>hf/)i. Cliusc com A. lh*eihb<r /tftf.
voi'komnien, welche eine uralte Cultur beweisen. Die tM- reichen eigenthamlicben Bauten erinnern in ihrer Anlage äa das Scliatxhaus von Mj-kene, also an eine mit jeritiTi ig3rpfciMdA iienmldeu gleich alte E^mcbe. Beeonders aber sivA verscbieal^u kleine Bronzestatiietten in Sardinien gefunden, welche Krieger mit FTelm dar»t<*llen; und diese IleJme sind in gleicher Wcüe mit zwei nach voru stcheudtm flOrncrn Tervelion, wie die Heise der ächurdaner auf den ägyptittchen Wandgemälden.') >^rdtnirD ist von der Po-Ebene alterdiugä zu weit eutferut, um für oiuvre Zwecke in Betracht zu kommen; aber nach W. M. Mnller*) sind die fragticlien Uelnie tltwrliuupt für diM ülU^te tLahen
i charakteridti^bf und die Sarden wfireu nur aU Keprüentanfceo altitalischer Slämmu aufzufa^en. Auch auf dem Bruch^Qc^
r einer Bron^-Situla, die bei Matrei in Tirol (D5rdlich rt«i Brenner) gefunden wurde, ist ein »ulcber Helm mit HSmern
I dargestellt.') Diese Sitnia gebort der aogeoanntea Fi^IUtaa- Periode an, in welcher zuerst das Eisten aU Werkxuetall orWa
> der Bronze in Betracht kam und die Hlr Ofteritalien eiwa die
\ er^ Uälfle des ersten Jahrtausends r. Chr. aosfUlIfc. Der Uetni bflbst ist offenbar aU Siege^prei« für den dargest^ten Biny- kampf zu denken; aus seinem Erscheinen in 00 nördlicber Ge- gend kann aber nicht geschlosäen werden, daa daa Vutk, weichet. «ulche Helme trug, in dieser Gegend wühnta. Wir ■■■imii*) Tielniehr aus anderen Grabfunden and ans den Darstetli auf anderen Situlen, dass die Buwuhuer dieier Gebirgigeftei (die Teneter?) ganz andersartige Helme benotsUci; jen« [W-
I Stellung kann ^ch aliu nur auf einen importiri«n Hebn, der vielleicht als Siegestrophä« auf einem Kri«f«ug« vhvatet wv,
'beuefaen; und daa feindliche Volk h&ttni vir wiiilei «04tich
>) V .:.^t gnaast« Weck»
Krieg« u ^ "nr-hrtlifki ^ms \ma
«OB Ifjkrne, Tgi, a. a. u. ood äcaUr-tuaoD. M.-kfnii . '-ttHj UTK
!•'. LnuUjHami: JSwr Oeeck^Ue der i\iljfeder efc.
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odor westlich la Kuchcu. Uebordic« üt der hier dnrgestcllt« Uuliii um mehrere Jubrhimddrte jünger uls jene bildlichen Oar- stelluugeii Atjgypt«iiA; und auch von doii iu Sardinien ge- fundenen Bronze'Stulueiten mit anAloKeni Üulme tut c6 zweifel- liafl, üb mau sie iu so alte Zeit &et7^n kann, denn die anderen in Sardinien vorkouimeaden ägjptiäohea Altorthttmer enUtanuneo einer wesentlich jüngeren Kpocho, eie ttoUen friUiaiteiuH auä dvr Zint dt*r 20. ügypiiiH^ben Dyniutie herrühren (d. i. ca. 660 bü> 030). Immerhin nm^ sieb die^lbe Hehufunn durch eine lange Zeit hindurch mit geringen Modilicatiuneu erhalten haben, so daaa iHr die Mi.*niilüt der Surden und i^hardaner cm b'iher Grad Tun Wahrucbeinlicbkeit trotz mancher ICinwürfo bcäti'rht, und diuiiit auch für diese ältesten Beziehungen Aegy piens aur Westlichen Uälfte de» Mittelmeerbeckens.
Ganz übnlich Hegen die Verb<uisse in Betreff der Turiioo, auf jenen ägypLütchen tiemälden vorkommen und die unter Rantses III. als Si^räuber die Küoten Ägypten« und äyriens plünderten, dann aber aU Söldner im ägyptischen Heere auf- treten. Allerdings scheint die Identiticirting beider Völker ans* ichliefiDÜob auf der Aebnlicfakeit der Nsmeu tu l^eruhcn. Alier ich glaube, daeü auch hier ähnliche Analogien wie bei Jen Sbtirdanem gefunden werden können. Nat^h den ron W. M. Müller iu. a. 0.) gegobennrn Darstellungen und Bc^schreibungen besteht die Kopfbedeckung der Turseu aus einer spitx zulaufen- den Atütxe oder einem üo gestalteten lleltne; dersellM; i»t in- de»an meistens durch einen Teder-Aufsat/. verdeckt; und letz- terer wird durch ein diademartigeK Stirnband feKt^ehalten. Derartige Diademe kommen ja nuch in der jüngeren etnudd- &chen Kunst vielfach vor; doch darauf wUl ich kein Gewicht li^n. Anflaliiger iat mir doa Auftreten ähuLicber Feder- bekninungi-n der Kopfliedeckung (und zwar auch letztere ganx verdeckend) in einigen Damtelluugen auf den mehrfnch erwähnten tiitulen. Wenigstens scheinen mir die Kopfbedeckungen von drei Wagenlenkem auf der in La Certosa bei Bologna gefun-
B82 Sitntrtff (frr tMth -jihifif, Ctaiue vom S. Vrxvmbwt MM.
denen Situta von Arnoaldi kaum andere aofirufiUMn m «ni; und elwag ähnliches ßnden wir aacli auf der SünJa von WatMb t)ci den darge-tellten Wagenlenkern. l>efionders bei einein Am^ »elliim.*) Aosserdem tsfc bei den Egvptl'Krhen Dürvtrltungvn ^r Tursen die Gestalt des Schurzes aan^lli^^. Mit aii^enscbeiD* lieber Äbsichtlichkeit ist immer der nntere Kani] des Sclran» HO at>gebildf>t, a1:!> oh er vorn länger wftre als an den SalcB, nnd in der Mitte nach unten in eine Spitze sttslaofe*), wihrend die Scfaarw der Aeg7i>ter und Sitrden unten doreh eine bovi- Kutitale Linie begrenzt werden. Dieser seiht* spitz ■UAlnafendv Schurz findet »ich nun auch auf der SitnU Denrenuti »ti« Kvte lici einer Pervon der oberston Abtheilung, welche mit Vojfel- jagd betcbäfligt zu nein pcbeint; überdies ist dieser Scbor« durch horizontale Streifen, die parallel dem -t f^ande fef-
laufen und also auch eine nach unten gen- -intee aof-
weisen, verziert, ganz wie ee auf den Kgy]jti»cfaen BiMern rar kommt.
Endlich möchteich noch auf die beiden timi ' sprocitenen (Jlrab^telen aus Pesaro hinweisen, anf »t t;^
kämpfe dargestellt werden, und Aber doreu hoben Alter dl Zweifel nicht zu bestehen scheint. Undsct Hebt in ihnen «nei fieweis dafür, dang »choii in der mykeuificben Culturepocbo gm- tüäsche Seefnbrer an Italiens Oitkttäte landt^teji und auf dea Orabsteleu uns Scenen aiu ihren Kämpfen hintcrliesaen. Näher scheint mir die Anuahme zu liegen, da.« Qm;^ek«brt die Be- wohner Italiens jener Zeit ficbnn mit dem Meere rertrvut wann und jene Scenen ans ihren eigenen fCrlebnuaen xur Dant«lhing
') T((f- •^•: betreff«- ndeii Ablnldnnccn i. H. Un Bertrand «1 tt« q^ack a. a. O^ wo auch ilt« iHslreflWiuleD aiivftllirlic^tnvii PnMü iuuK>(^tM!D fljnd (p. 961.
^) V|jl. die AM'iMunCfii )m^ Mulir^r «- a. (I, md iVrt«! «4 Chtptex, t)M*oiu)(-rk die liant"l]0Ti|i ilfr &i*>*^i'hl»ii)t i. B. lin Krmab». Aef{7]it4^ tuid Alfjptiflchi** l.rUni Uu Alti-rthoiu, \k H2. l>t ^^ ' i^ Urr iWik'ii Mit ilfu oWu crwlUthU!!) rt;fur»fu (p, 680) tut anrl .J
Utlfl-
i,Ll.fin far KllH...l...-i. Rl IT,, \^:i (.SM
F. LhHlenninft: Xur (iamiHcMif t/er I\)iy<d€f ttc. ^83
BmcnUtii, allentin^K dabei lieuIiiHiiHtit ilurcli myliMinM-liL- udvr urientftlk'clii; Vorbilder. Und in der Tbiil »timuit die O-sUlt der abgebildeten Schiffe Qbereiu mit derjeui^^en der äcbiße juuer Sardeu und Tur^ioii, mit denen die Konij^e Aegypteuä ^u häniitfen biiiten. Charakteristiscii ist der luihc Vordersteven ; dprst-lU* besteht auH einem dickun Balken, d«;r nacli auswärts unuierk- licli ^e^enkt ist und oben auf dem ä^yptiticlien Geuiäide in einen Yogeikopfarlivftiu Vorsprunir i-ndei. wiihrend auf den Stelen von PoMro dieser koptartige N'orRprung noch mit Hürnem verheben isL^) Auf letzteren ist ein Sttiiiermder am Hintertheile der [lifft! deutlich zu bemerken; ein solche» fehlt noch uuf den ypÜKL-heti Uildeni; hier wird rielniehr (ebenso wie auf den vurn niedriger gebauten Schiffen der Aegypter) die Steuerung duKrh ein beäondeni grosses, seitlich angebrachtes Knder bewirkt und d«r Ilint^rsteven ist nabexu ebenso Im>cIi aU der Vorder- äteveu.*) In der Zeit zwiiichen Itam^eH 111. und der Au5rtellung der Stelen von Pesaro hat nlsu der ScbitIVbau einen sehr weseot^ liehen Fortschritt gemacht. Und wenn wir nicht aimehra«» wollen, die Aogypter hätten bei den bildlichen Darstellungen ihre weniger vollkommene Art der .Steuerung irrthOmlieher Weise anf'die fa'inden Schiß'e [ibertmgen, nitl^scn wir scblieasen, datis die StelfU von Pesaro einer jQngeren Zeit angehören.
Die^r S<-hlu.<^li wird üadiircli untenftQL/.t« das tticb auf den
^) i>wu lüiulith ist ilcr Vui*Ü4tr>t«vcii ui iniinr liranzrucn Vnlir- Iforkv ;iiu Sanliitk*!) [vgl. i'vrrut it Chipiv«, u. a. O. t. 4, p.84l; auch hier ttndni «ivh die Uorarr suf dem Kopfr df^ Tordirttevrnri (aitrh der MMlkorli i-riniirrt an «IiV \>vlr. ÜjfjrpdM-h*-!! l>iir»tenun(fiin). wodarrh Jlii« Hypotht<««* nl"'!' die ShanlAniT »•iii'« tn'iie Stfll/i- timU-t.
*) UtiJtft erwILlmt, iIimm twrctb) CoT)eiitatiil(< diu Hr^hilfMliu-iilel- Inngitn von iN^mro mit üpnifn der Di|>ylaii-ViuM« irnr|;1Echi*n am] nnf ilie lüUnpfi« nntcr Uwnim^ 11. hiiig^wiemii, «iv aber uicht auNfUlirlittHT br- «pr(V'li«:ii Irali«-. Ph AW-i: Artteil uicht iitüier bt-^ühn«-! txl. Iioiuilt' ii.'h m* ni"*lit imili''r''lit"ii, — Mellii;.' Iwtnvi'lif»*! ili-n Typim der ln*»iintnlirneii S4-hiff(< uuf (ItMi lijfypliwi'li»*!! AKhildan^rcn al» rhBmktnrintixrh fQr iitlt< A«t- lir'bi'ii )ltltt<lnietir\t:ilkw jcniT 7.eH; in lIidtfrcinMtfmmun); mit dfii äcliil- il*Tdnt(t!ii Hutan-'n (Diu hnnit>n*rh(t l>^i« an« ilmi |i«>nlcnifllrni m-lAiit«^ 1. Antl. Utpxitc 1A84, p. 111 ff.|.
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ath.-jihtfg. ClagM vom 5. thMmhwr t806.
in Pesuro ilargeäU'llieD ScbifTeo ein deutlicher Ansatz xu ahwai anter Wasser beHiidlichen Stachel erkeimen Iftnt, indem Vurderbug nntcrbal b des oben beschriebenen voisp Balkens mit leicht oonctivcr KrQmmujiK Kum Waaserspienpel ab- fallt. Solche Scbifle aber flnden sich aaf den ViMen aiw dtr Gräbergruppe vom Dipyloo iu Athen mehrfach dar^gestellt und kommen sonst zuerst im 8. Juhrlitindert v.Chr. vor. ') In ^ S. Jahrhundert wird man deshalb aucb die StelcD vhd Phbr aefaeen rnüasen, TioUeicht iu eine etwas frfihere Zeit, da die ersten biMHcheti Dars>telhiageu tüu StacbelürhifTen (Kelicf aoi einem l'ala^ste deä Sauberib) nicht uothwendig mit der Einführung des StochcU zusammenfällt, nnd da die B0I tung des hohen vorapringendcn VordersterenB, der die Wirktutg des Stachels nur hindert, andeutet, dast zur Zeit der Stelen tuq Poearo der Stächet iKioh nicht lange in Gebranch war.
Zu dieeer Zeit herrschte in Ober-Italien die reich ent- wickelte CuUur der sogenannten llalUHatt-Penode, wie aie durch zahlreiche Grülierfrlder bekannt iiit. Nicht leieht irt es, die Annahtue der Identität zwischen Turven und Etrasifem mit der tittr Italien gobränclilichen prähi!'t<irL5cben Chronologie to Sn- klang XU bringen. Wie oben erwShnt, setzt man den Uq^ins der Hallstatt- Periode in Ober-Italien tu den Anfiuig dea enfan Jahrtausends v. Chr.; für die vorhergehende eigecitJiche Brom^ Zeit hat man nur verhältnissm&ssig wenige Funde; Branar* Geräthe und -Waffen treten zneict am ScbloBK ^r Periatt der Terramaren attf (vgl. oben p. G7!), aber nicht in erh«4K liehen Mengen, ^wiacben dem Ende dieser Periode nnd dem ßegiuu der durch da;» t^rA»; (weun auch noch sfiärUclie) Auf- treten de« ICL-ieiM charakteri<irten Halktatt^Zelt «cfaeint ein» LOcke za basteheo'); es fehlt der oontinniHtcfao febergmag. Xach :. }; wanm jene fremden VjUker dei
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Leder- oder Kapfer-Ströflen *) gebildet wmrd; der Scbore ebenfalb doreb broDr.ene odrr ktipfeme BescKUgo wider- sluidsfihiger gcoiftcbt., der 8cbiid mit brooxenen Xi^eln beactxt. Die Itaüer waren so ioi 14. bexw. 12. JahrhundeK beaaer and xwesfasiastger bewaffaet bU di« Aegypier*); and dmrvof benifal« ibr Werth ab S5tdDer. Uierans folgt aber, da» sebon in «o frfiber Z«it in Italien eine aoa^büdete Metall-Technik vor- banden war, von der wir uns ans den Orabfuadeo kein« Vor- stellung bilden können. AJlerdin^ iat die ErälcDX einer a«f die Steinjteit folgenden, and der BroBseaeh rorbergefaendaD Kupferperiode aoeb fttr Italien kaum zweifelhaft'): aber rm Aoidafanai^ und dem Fmfanffe dieser Periode geben vmt priUliatortBeben ITonde keine Kande; sie köonea ee aodi kanni, da die Kupfergerfttba, als die Bronxe aofkam, vobi sicbor allmählich dem Soiimdidigel Qbergeben worden.
Möglich bicdbt ee immer, da» tnkt nancber Analogien ood trotz der AehnUcbkeit der Namen jene Feinde der Ig^rp- tisehea Herrv'-her nicht aus liAÜen stamntea. Wenn man aber der Ujri>otfaese Ober die ifcalisrb« Abstaounmifr dieser Seeräober end ädldiier misUmmt, so mnn man anch die Anfinge der Bitnneiini bis in das 13. Jahrhundert t. Chr. xurOelnrerlegeo. Die Doraiellnngen auf den 8teleo von Pesaro und auf den Ter- schiedencn Siliibn, die wir heraaiogeD, stammen deshalb nicht aus gleich alter Zeit^ sind uns rielmehr fgleicbwie die ftlteeten AlfeertblhMr ron 8«irdinien> einerwib Zeugen fftr ein ttagerc« Kortbostehen gleicher Tnirht und Kopfhed^Tkang, geben uns luidereraeitii einen Deriebt Aber inawisbea stattgcfundene Aende- nmgcD and VorroUkommnungea.
'i : mm Bcbntir Arj Ilru^t flndcn meh Qtiri^HA
iti *««.»; ■ - -t SoWsten dct »rttN^n IC^t'.K/.» (r« Hiort i-i-
IMO f. Chr.): titU griaaoB a. a.0. p,MI.
«) VjH- W. M. Maliern. ».O. p. SSS.
^ Vtfl u i;.. Uuch ntul Virrbow in IVl. U (mm Potun,
I lUL 14) der ' ii«r uithnifN»ki)eiiKlifv iraM-Uidttfl in Wirn
ß86
MOfA.-jAyir. f^iutM rü»
SS 14. Fortsetzung.
Die Phöniker.
Uns kaoi es Jaruuf iiit, die Möglichkeit und W^faradiesii- lichkeit der Verbindung Ober^ItAÜenfl mit Aef^Yfxfcfn tn aAr frnher Zeit nachxnwewen. Ks hrancht eine *nkhe Verliindrmg nicht direct gewesen, konnte vielmehr durch andere VÄJker vermittelt worden sein.
Zuerst kommt hier der m^kenieche ColiorlErevi in Bi*- tracht Schlieiuann's Ausgrabungen in Mykenae haben ihm »einen Namen gegeben; er amfa^st gonr. (^t-liriochenlAod on^ die benachbarten Inseln de.«: ägüi«chen Meere«. ^) In der xwritep Hälfte des /.weiten Jahrtausends t. Clir. hatte sich hier, wahr- scheinlich hervorgornfeu durch zahlreiche HandelimiedcrlsantDgoi der LMiöniker, eiue reiche, unter orientuligclitMn Kinflnsse sieheirfe Onltnr entwickelt, unter der sich diu ütiasere Leben reicher und glänzender gestaltete uh in der nachfolffendeu hoOMfittliia Epoche. Ein Zasanimenhaug mit Aegypten aDt«r Katnaai IL und llamses III. ii?t nicht zu bezweifeln; und in derXhat werd«i auch die Dnnaer unt«r den beeiegton Feinden d«r AcgjrpUr genannt. Wenn aUo eine Uebertragnng mykeot^cber Cnitai^ elenieate nach Oberitalien nachgewitten werden könot«^ »o «firdr auch auf diesem Wege da^ Auftreten igyptücher Zahl-Bflaweb* nungen in Oberitalien erklärlich werden.
Schon in den Terramaren der Kmilia tindr^ «ch 6e|[a- stkode, die mit mjkenüjchen Farmen verwandt*) «ind (Thai-
1) Vgl. Scbliemann, Mjrki*n»r. Lfipcig ISTd, •nvirdü' xcu«aii! btt^ndi' iHin'ti'llang bei Perrot rt Ohipiet, t, VI.
') Vfi\. nolbiff, DieltAlikAT d« Poob«»\ p. «» ar • atif Mjkfnai' vprwieMpn wtnl. Einp Wrliindung w vi- ti'in Lnndwt'tji' »rtrhmi ■ ■* flrfä»"-
•iiiil in B(Miüei) gufui. • Zi'st'i'^
Ud. 23. p. 3861: von dort haUia «ie «et
trctfii aoch in flnV -t-
' (in i)**n (}nUi(«ni i
ilalivtlu
(188
SUeutu/ der math.-jJiyit. OfiUM rom S. Detrmtfer tSB6.
einer Vuae) aus Mykonii. auf ileru die BeUgeratiif eiaer 9ktm zur AnsL-haunng «ebraeht wird, ihr Analogon gefunden.')
Das3 dio norditaliwhe Cultur von der sogenunnten vayVt- ni9cli*?n Cultur beeinflnsst wurde, unterliec^ biemftch tanir einem Zweifel. Soliwierig bleibt ee nur, cJin>m)logiä»cli den Zn- sammenhan^ her/uäiellen. Jene älteeie griechische Bpocht* (Hitt durch die ätOmie der doridchen WandemDg, die JohndsBte hindurch andauerten, eine pt^tzh'che Unterbrechung; und mu nimmt au« dass diese Wunderung um das Jalir 1000 t, Chr ihren Abschlusä fand. Die BlQthe der Epoche von ViiUnoffl und Certosa setzt man dagegen in das 11. hesvr. 7 ' ' 'iiodArt V. Cbr. Die ältesten Einwohner Urierhenlandä wm h dm
Doriom thcÜH unterworfen, theÜK flüchteten ne an die fffiittn Klpitia-<i«*ii^, uud gul>ea &o zur UrÜnduiig der durtigmi Oolfmira und zu den Kämpfen Veranlassunjir, von denen Üoiuer « Geaäage unij erzählen. Die Cultur dieser Auswanderer entsptuch fer- muthlich mehr oder weniger der durch die mvltvniiRbcn F'andr bekannten, erlitt aber imter den neuen VerfaäJtaiweii tniuiclMriä Abwandlungen.^) S<jUt« sich da nicht das Anftnk«n ton Nadi- hildungeu mykeuischer Kunst an der WesikQii« de« adnaliiliMi Meeres auf die gleiche Ursiche KurÜckfahren Isaseni' Oft ist in der Geschichte die Zerstörung eioeä uiEcbtigen Reich» von der gröesten Bedeutung für die geistige Entwicklung der Nachbar* iruider gewesen, indem die Auswanderung gerade der fortge- scfarifcteneren Elemente des alten Landoi hffraohtccid aod for- dernd auf die zurfickj^eblicbeneren Nachbarn einwirVt«. So inag auch der ZuKamnienbruch der .mykeuittcben* Iteiche ant«T Amm Aiütturm der Dorier die Veranlassung dazu gi'Wttten soia« daat keimfähige Samenkörner mykcnischer Cultur theiU iiach Oolcn (Kleinasien), theils nach Westen (Italien, riellticbk auch r^antf- nien) auHgesLreut worden; und iß des Fanden Ob«ritaUefM aa> dem Anfange des er*ten Jabrlaoamds t. Chr. erkfaineii wir du
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ci> pBfiiMBMBiB vsfiB. Nocii vMi^v feBattiB vir mk m 4er mykmimhan MftAt ■■■■^■i. Wir An rn-*^ im 0«yeft» 'Selknft «eteaackl Oiiwi^^hw, räüiM^ vM «kr Syftwtiim !»«} Qn«a «der aw 4ca Hi»Dglfpbcfi v4 fWiif Tw'th— HaUvt« bwimg^^aaitaa var, dena li ii I i f«« 4« li KRte «ad adhfa^ha Sairiwv «Icber Art arf bii li
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üachlalM pnAo-aftrviivcliai TiIiImiIwi mme whiirMiHi V«aw waaiilM tufl tcagea (vgL nvtwi S 16).
Dia lUiilii Nackihcbteo Qbcr £t Vfiftar < Qri^rhMha^ lirfiifi »M 4ie i friedbehe HwrfAbrgiafcgag« . mm4ttn mmt kik^uäiW Dvr- Mdkaa^m mad nm bilAiek IberMsL Ahar 4otk iA te ^e aieU obne 4aa Mfedaa «Mklw: viaUaMM v«r4M «e VSlhv dM WMtlMlMB MittebMara» aa Ovaa fiirfUm in Aw^^^tm wmi
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fJittung dar wnth.-jihifM. CiiUMe muh 5. ttetctmbcr tSOK.
SyrieQ eben durch die Bebannbchaft mit den ron doti tirten Waaren veranlasst; Tielleicbt gab unigekelirt die Bewaftriung der vestlichen Seeräuber ond Söldoor den ht- wobnern Aegyptens bezw. Syriens Verantaasang , mit an m grösserem Eiter dJe Handebtbßr.iehangeu zu den we«Uicbec Ländern zu päegen oder anzuknOpfen, am die dort aiüf^ebildetr Metall-Technik, bezw. das im Westen su vennatheade Hob- material den eigenen Zwecken dienstbar zu machen. VielldcM waren beide Motive gleichzeitig wirkäara. Aber mihi d» Aegypter kommen hier ala TermittelndeB HaodelsvaUr in Ap- tracbt, sondern die Hhöniker. die von frühester Zeit an dam Nillande in eng»t«r Beziehung standen.
^^chon im 3. Jahrtausend *) und wieder im Iti. .lahrboDdcrt standen die Bewohner des Landes Paotf da« an dem Dfem dv rothen Meeres oder noch südlicher zu ftncheu ist, mit Aeig3rtirteB iu Verbindung, und die Münner von Piint euUen dem 8|aaMBe der l'h5niker oder einem verwandten semittsoben Stamm» aa- gehort haben.') Mehrere Jahrhunderte hindurch (ca. 1900 bi» 1600 V. Chr.) »tand ganx Uulerägypten unter der H«rncbaft der sogenannten Uyksog, d. h. semitischer Nomaden-Vülker, d» aus Asien herüber gekommen waren. 8ie Uffvtört«o «war dir ägyptischrn Denkmäler und Tempel, aber «de Dahmen d<jch all- mäiilicli iigyptiäctie CivilLsntion an, wie sie nn^ok^rt frinlfniil naf die iigyptischc Cuttur einwirkten.') Dann kam die Zeit der Befreiung Äegyptena von diesen Fremden aod em«ute BIOIW
I) Vgl. Brufr»eh. Die Aofiyptologie, pw74: Kr»na ». a. 0.|k.CM.|
. ^ VkI. Urug-oh a.iL.t>. p. B»; Paal Sckiadcr, pir |Aflnfiiwl> [ fflirankr ili^lv idC*.>, p. 4 ff.
>) Vgl. Uoiumr] IL ik 0. p. 00 t« [Irtj^kch it
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Norden mb; Aäm h« aa ^o Bapfant aal ^n S^rin «vA voo DcbatBHMe L Batet« acfen; s Mj^ea fie obc* (p. G79) f«- rafartea Biahrftebe der Volker d« Walas (GriechoL. Itaükv, KlriaaMtam», d» Aaihmtea^ 4er Batikter-Hamdhaft n KaaMB aod S7rie&, dana wirfer 4m üiiwiakgiii im<ia-h<ii TTiiilnii Mit ihM» IL <ca. 1300) cni4 wiefaMto fiafiafe 4ir «Völker OM WBMEBs^a V08 vcIcMB aia fwahnosahd Phitiifter aek Umni ia Kaaaaa iiliilulia w ') «oMehea Udaara wlfciliBÜga Bckfae ia SrnM mtd PalUiaa. oad vam 9. Jakrfcnaiefl ua bqpaaeB diaa £e Kzieigarffpe 4er Aar*«- aaek Waitea. £e aü TAaig«r CJafttrvirlaag 4cr fik^ BikMcka Geknto e^j^ea. AWr «b» «vber, iai 19. Jafa^ iMadart, Jariüin ^ «aotndica Vdlkv m Sytim md ¥ iii darch Jahifcaadirti oalar hakrUaichf FiH i Wir «r-
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ia4 aa 4(9 K«i«a 4c Sariiaäen, Sfaaäs oad Xovdafirika. Wie ««| ä» «c&ia aa frA ikre Paiirte« aack W«iea aaAhntrii, bü k^ k^vw ke- ■tiiim *er ailem 4ia Mitili liri i <t]^ Aea p.€39£.>£^
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Sitsung ätr inath,fi^^. Clatte row &. iHw^wt^tr /AM».
Seite, durch die Aegjpter andererseits bedrftngt wni^den, mehr dehnten sie ihre coloniaJen Dntemehmaogeii aus.
So ist die älteute fi^riechische (mykeDi<K;be) Coltur-^tafe im wßsenUichen als ein AurAu!« Hgypto-phOnikiseh^r Beziehacgca zu betmchten, wenn auch die eelbstständige Entwirkluof? vnoj KnnKt und Handwerk bei den Griecheu so nAchhultiff auf dii Heniitiächen Vermittler zurück nirkte, dass man heute kaam sagffl kann, ob schliesslich griechischer uder pbÖDikischar BinfloM tfa" die mächtigere Triebfeder zu bctracliteti ist.*)
Von Süden nach Norden and von Osten noch Westen hnkU sich fast aber ganz Europa in der Hallstuttporiode eine sie»- litih gleich määeif^e Cultur verbKiti't, und die Phrintkcr wmrm die friedlichen TriLger und Vermittler derselben. Dorcb dir dorische Wanderung in Griechenland (rielleichi glt^iehr«itig mfi einer ahotichen Bewegung in ItaJien) trat eine plötzliche Stf- rung ein; gegen Rnde des 2. JahrtansendlB t. Chr. wurden St Phöniker allnir4blich aas der griechischen Inxelwelt rerdriuigt; mit um 90 grösserer Knorgie konnten sie denn im wcsÜkImo Mittelmeere ihre Ziele verfolgen. Das wichtigste Geecbcnk ab«r. das sie (etwa um das Jnfar lÜOO ror Chr.) den frriechücha Stämmen gebracht hatten, blieb letzteren erhalten tind wunk weiterentwickelt: die Schrift nnd ein geordnetes Mak««- ead Gewichtssyatem.
Die phönikischen Schriflzeichen seihet sind vielletehttliri- wcir^ aus den ägyptisclien hieroglypbtachco oder hieratMcbcB Zeichen herrorgegangen und verdanken ao den vielseitiges EW- rOhrungen beider Vülker ihrti Enb»t«Uu&g.') Wie JiKer war
^J Vgl ni>lhi({ n. a. 0. p. Ifi ff. Herr Cotleg« notim.«! hat^U mich dotvuf »nfiiirrkonm, üom man H>g»r vmviiit «rin k.. iIm
VeriiällniM xwischim <in*n-h(»n im«) ft-— k— ■■ ■? -- :M g«k(>hrt iH di»nkeii, *o tittt» hftwtert
.1.'
• *:ll .U
iL.«
tolcUi! lHibnwdrt«rr im Urirrhiii(Jifn h«ufi){nr wwfilm.
'' '■■ ■' ^ '■-- ■ U7*r,: Larffld a- v
aui p, CS. r«rrot
694 Sittung der m(i(A,-/jAyM. Ctau* vom 5. Dutmlter tB96.
laiclit in das S. J&hrhniidert xurtickreicbt'), wirfl atlrtttfnej« die Zahl 50 durch 20 + 20 + lü wiedergegeben.
Auch über das Gewichtasystein der PhOiiik«r felill m Fflr die ältere Zeib an direct^n Nachrichten. Wh* irineii, ^am die Ucbräer sich der babj'looischen Gewichte bedienten; d«rau» kann man schliessen, das aacli bei den PhÖnikem das^eß« System Kiiifirang gefunden habe*); and in der Tbat lassen sich die späteren griechi^cheu Gewichte ans dem babylonixben fwr- leiten, wenn man eine mit der Zeit geringer werdende Kornd* mng der Gewichte (wie sie Oberall im Aiterifaum beobacbtrt wird) voraussetzt. —
Was hier über die coloniäirende ThiUigkeit der PbOnilcer im Allgemetoen gesagt wurde, gilt tnsbemodero auch Hlr Ita- lien. An der gauzen Westktiste Italiens waren sie die Vor- läufer der Griechen; aber nur die ausgegrabenen Allerthßü»«* oder die Ortsnamen geben uns tod ihrer Anwesenheit und Thtttigkeit Kunde. So bezeugt die erwähnte Opfert»fel, i»» in Massilia schon eine phöuikiache Niederlassung Torbanden war. ehe die Phok&er um (300 t. Chr. sieb dort ntederKemen. Di« I'büniker waren das etdte Volk, durch weichet ObenceMeha Einflüsse iu das eigentliche Etrnrien gelangten, und zwar in der ensten Hälfle des letzten Jahrtausends v. Chr.; in «piterer Zeit (etwa im 6. Jabrh.) nahmen besonders die Kartiiager an diewa Handelsbeziehungen lebhaften Antheil. Vennischnng ng7pt>* sehen und a.ssyri»chen Styles ist auch hifr für die Phuniker charakteristisch. Seit dem Knde des 6. Jahrhunderts wurden öe allmählich von den Griechen aui ihren Stellungen verdrängt'). Spärlicher sind unsere Konntniasc nber die VerbÄltniaM aa
ij VrI. Schröder a. »- 0. p- 2S7 «.
«^ Vgl. Mrltcvr. GwriichW der Kjirthttj<er, \VL 1, 10T9i |L 13-
Hiiltüfli «.S.O. I». <'-^' ■■ ''•*' ' ' '' no tL».0. lAfCi ss^ "1»
hier crw&linU* »«riBAi^ "'»• t'« •U«r* tu \inaAtk
für M'.Mt*- !
y. LiiHkmtmm %w fjf^ettl« der I^tltfetter tte.
ÖD5
der OatkOste Italien». Für die 2. Hälfle dtt 5. Jahrbonderb t. Chr. kann am Ifordeade des Adriatiscbeo Meeres das Bestehen von Beziebangen su Griecheolaiid cacligewiesen werden.') Ea üt wahracheinUch f dasa auch hier die Pfaflniker von den Hellenen venlrftngi wnrden; denn nach den 1/nti^nfucbungen Ton OIk- hansen^l war diu Mfltidungagebiet des Po ron Alters her ein Haupt-Lagerplatz flir den Bernsteinbandel, indem der B«mat«in von den Kilaten der Nordsee an der Klbe aufwärts sich hia nach Böhmen verbreitete, ron wo dann ein Weg afidwestlich die Po-Mfindung, ein anderer (der sich rieUeicfat vereinigte mit einem Handelswoge au^ O^t-Pretunen) BfldOstücb zur Kalkau- Halbinsel fiihrte. Letzterer war der ältere, denn schon im lö. Jahrhundert findet sich Bernstein in den Gräbern von My- kcnae; in Ober-Italien tritt er in der Zeit der Terramarea zuerst auf und in grösseren Mengen in den Kunden') der Villa- nova*Feriode (rgl. auch oben p. 675 n. 688). Es i»t kaum r.n be- zweifeln, dasR die» kostbare Materi;«! auch die unternehmenden Phüiiiker früh anlockte; «e werden im nordijptlii-hen Ober- Itilion ebenso auf die Cultur eingewirkt haben, wie im tüd- licheii KLrurien, d. h. auch hier xnr C«|)ertragiing orientaliächeo Stylea in Kunst und Handwerk, sei es aa.i dem Mykeuittchen Gulturkreise, sei es acta Ägypten oder Kleinasien und Syrien, beiirftrftg.Mi habend)
UüA Auftreten babylonischer Gewichte io so frfiher Zeit (vgl. oben p. Of»0) i^t uns eine BestÄtignng dieser An.tchaunng; dM Auftreten ägyptischer Zahlen anf diesen Gewichten
>) V,fl. S. liol MowolJocchi IHTti
p. XII, Psuli, 1 - iiunletniHkiKhcii .\ . 'i'üg
18A&. ]>. 67r, Uelbtg. Die Italiker, p. läOf. 0. Malier ».tuU. p. Hl ff.
^ Vffl. ONbftUKPn, Zott»c)irifl fQr £tbnologiv und Crgi^scfaichtr, Bd. »1, 1890 wnI 1U. -23, 1891.
* : die U«?«wbime<aii d«r Uniiuo«'aU um
JttaKor«r ohoritaliM'hrT llulUUtK-3^1 «uia Ori<>Dti> ; auch die Aai>n]- BVni^ der Fiifurtni anf «Jc-u Situleti utiü diu Ikartirlltmg pbanUMÜM-hcr g«ll4^Rlu>r ThiTv iftt «iHmtuluKh Vffl. tt«rtrand et Rrinsrh B.a.0, K IMq. IM ff. onJ LTDÜtrt. Zweitschrift Ar Ktfanoloin«*. Bd.a»,p.»rff.
69S
SUiUMii der •latA.-jAyt. Ctaste vom A. Oes*mhfr tt/OC.
leicht fibersehen wird. Wie viele Einheiten man dnrch wi neues Zeichen znsammenfasst, ist bei ventchiedea«n Vfifkern , sehr Tcrscbieden.
Bie uähere Betrachtung der ägyptischen /ahtzeich^ Bcheint zu ergeben, dass man in ältester Z«ii den Punkt (rgl. oben p. 666 f.), später den yerticalcn Strich zar Bejcetchsauff der Einheit iriblte. Der Punkt findet sich aber in mnitipü- cativer Bedentnng noch bei höheren Zahlen.
Die Zahl 2 wurde durch zwei Punkte oder durch ntm Striche dargeätellL
Die Zahl 3 wird ebenso durch 3 verticale Striche «i«dcr- gegeben, in früherer Zeit wahrscheinlich durch li Pankte. wi» e.t uueh später geschah , wenn die •{ ab mulÜplioLtivrr Indei Torkommt. Danebea scheint aber auch für 3 ein beaandeni Zeichen, der ücliräge gestellte Strich \, in Gebranch gvwcaoi zu eeiu; daFOr haben wir zwar keine directen Belege; durcli diese Annahme werden uas indessen einige der folgenden Zeiehea n-rständlicb. Dieses Zeichen fQr 3 dßrfle auch im DeHioti«:bea (Tuf. V) erhalten sein; en iüt hier der Strich nur mit eioccB ScbuOrkel versehen, um ihn von der Giiiheit be^n^r m utUar- ^beiden.
Auf Taf. IV, wo die zur Bezeictinung der Monatstage g^ brauchten Zifl'ern zusaxnmengi^teUt aind (vgl. ob«n p. <$65}i bflr dürfen die Zeichen fOr 1, 2 and 3 keiner Erklärung,
Die Zahl 4 irtin Taf* V, Culumne a, c, d durdi 4 Strkbe 4MK^^llt ; schreibt man statt deasen i Punkte, ao werden d» •elbeu sich leicht bei schnelleui Schreiben xn einem korisontabi Striche vereinigen ; in dieser Form enicheint die 4 im matfa^ mati<!clien Papyrus.*) In Columne d tritt ein zwcNtes Zeicb« auf, dos sich auch auf Taf. IV findet Es ist die V. - - r aj eines schrägen Striches / mit einc-oi geraden ^IT' i
'j Vidi.
F. lAndamann : Xttr (renchicht« der J^diftdtr 9U,
609
Dbntflleui Schreiben in einen Zug zusammen ^fezo^en, also 3 -f~ ^ • kucli in dem ersten biemtischen i^oichen auf Taf. IV haben mx diese Zerlegung der Zahl 4, nämlich \ und I, indem der schräge l:^trich nur anders gegen den v**rticalen gestellt iat. £beaso auf Taf. IV in der demoÜKchon Schnübweise» \ und 3, wobei der letztere Üakeo, wie bei den darüber stehenden Zeichen für 2 and 3 als Zeichen fOr eine noch hinzutretende Einheit gebraucht ist, wohl entstanden aus einem Punkte oder »ehr kurzem Striche, der bei ecboellem Schreiben mit dem nachfolgenden Zeicbeu zusammengezogen wurde. In der That wird in hieroglyphischer Schrift die 3 durch drei vt;riicale oder horizontale Striche bezeichnet; aus drei horizouUten Strichen euiätoht aber durch Zusammenziehen die demotische 8 auf Taf. IV. Bas erste demotiscbe Zeichen fQr \ auf Taf. V kann ala 3 4~ 1 gete.ien werden, indem der erste Ycrticale Strich die R^iiibtrit dHrslelll-, der andere Theil des Zeichens dagegen die hieratische 3 ans Colamne d; ee »ind nur die ersten beiden Striche verkürzt, der letzte verlängert und schräge gestellt. Das zweite deinoti^rche Zeichen auf Taf. V äctzt eich wieder aus I und / zusammen, ist ahto auch 3 -f l*
Die Zahl 5 ist auf Taf. IV zerlegt in 2 und 3, ebenso »uf Taf. V: in Columne a und b stellen die beiden Punkte zwei Einheiten, der verticale Strich die 3 dar; hieraus iächeiut her- vorzugehen, dasa nrqirOngtich der Punkt die Einheit, der vor- ticale Strich die 3 bedeutete; letzterer mnsKte .schräge ge^^tellt werden, als man dazu flberging, die Einheit durch einen ver- ticnlen Strich zu bezeichnen. Bei schnellem SchreiHen werden die beiden Punkte zu einem horizontalen Striche msammen- ge-/ogen und eni'steht dfw dritte Zeichen der Columne a, üwa sich in Columne c und d wiederholt und im Ueuiutiiichen wenig Terundert ist (rgl. ol>en p. 6r»7). Da der horizontale Strich «ne 4 liedentet, kann das letztere Zeichen auch als 4 -f 1 gedeutet werden.*)
I) Letzt«» Uratunß findet auui bei Uruftfch (Nain«it)nim ii|>nt| Ae(i7ptwi dinnutifiorum doctrina, Borltti 1849, p. 3HI, der in anu
700 Sitsung der math.'jJtjf». Cltute vom S, Dttwmiber Hüft.
Diu Zahl 6 wird auf Taf. IV durch zweimalige» des Zeichens flir 3 gebtlJet; ebenso uuf Taf. V in Colnmn« b an eniler and in Coiumne o an zweiter Stelle. Doa zweite Zeichen in Culimme b wird veretäntllich als gebildet aus rwei eiuuiider pHraüelea (uemlich kurzea) tichräf;en Strichen \, die durch eioeu weniger starken Querstrich verbunden siiid. Die anderen Ziffern für ü werden am deutliclisten durch dos erste Zeichen in CoJumne u und d; hier haben wir den Jtohrige atehendeu Strich \, oben nach rechts luit eijieni rein ornnmtm- talen feineren Seitenstriche versehen (wie er auch hei der 10 vorkommt, wenn man das hieratische oder deiuotische Zt^icheu aus dem auf Taf. IV ang^ebeneu ableiti:t, vgl. i>bäti p. 655);, linkN o)>eu an diesem Seitenstriche stehen zwei woikero Sirich« denen wir nmltiplicative Bedeutung beilegen, ko daaa 6 als 2X3 dargestellt i«t. Die Zeichen in Cvluinne a entebehe wenn (bei «chnellem Schrcibau) der Strich \ durch ^ tvird, ebensu das dritte Zeichen in Coiumne b. Mao koonl allerdings bei dietneu drei letzleren Ziffern unni/hnien, dass d« liori»nntale Strich {^^ 4) mit einem feineren Striche noch oben' versehen sei, um eine Verbindung mit den beides darDbcr- stehenden Einheiten herzmtellen ; dann kätteii wir hier 4 -f* 2 =£ C. Die demotiscben Zeichen entäteben durch ÄbkUrKung der liiera- tidcheu.
Die Zahl 7 wird auf Taf. IV aus 4 und Ü additiv ge- bildet. Recht deutlich iät die «ntvprechcDde Bildung bei de erätcü Zeichen in (Jolumne a, Taf. V; die 4 ist ein horizontaler' Strich, die 3 ist dargestellt durch drei Punkte, von dMion der dritte in einen Stricb sich verlängert und ao die \'et mit dem honz<^>ntalen Striche herstellt. Noch deutlicher i-.; ui>-^j Bildung der 7 bei einer im Papyrus Kbeni bcnutzteu Ziffer^ ein hon)M>ntaIer Strich und darunter drei Punkt«'). Das swaiU Zeichen von Oolumne a stellt die 3 wieder durch ejnm aobrtgeaJ
luKiT WoiAC eine Dfotuiif; der 7A-ivhvn, bei tierien für una ili wowentlieh wur, l^leiLuii btü Uiiu ttnirkUrt. ') Vffl. Riseiilolir «. IL. 0.
F, iAndemann: X%tr Gimckidxte ilcr Paljftdcr ttc.
7Ul
Strich / dar, an dessen oberem Ktide ein feiner au^t^^ezogeuer Seitoiistricb sicli befindet (wie soeben bei der Zulil G), an dies« drei ist der lioriKontnU i^tricli fflr 4 direct angeftlgt. Im l'a- pyrus Harris ist umgekehrt üben der horizontale Strich fQr 4 aoagexügen und daran unten der in ent^e^^entft^icetzter Kichtun^ jbchrüg goätelltc (und kOnere) Strich \ für «) anKeftigt. Die brigeq Zeichen für 7 auf Taf. V eaUteheii durch leicht«* Ab- Hitdernng des zweiten Zeichens in Cotunine a.
Dus Zeichen fflr 8 ist in allen Fallen eine doppelte 4,
Die Schreibart der Zahl 9 wird uns klar dorch daa erüte Zeichen in Columne a, Taf. V. Wir haben den scbrü^n Strir.li \ flir 3 und daran oben links drei knr/* J?triche /ut Andeutung vun 8 multiplicativ aufzufassenden Kinheiton (nie »ie beim Zeichen fCr (> in der An/aht 2 auftraten); die Zahl 9 ist also «Is 3 X 3 dargestellt. Die übrigen Zeichen in Cohimue a, b, 0, »lier auch das hieratische und deniotische Zeichen auf Taf. IV und das demotJHche auf Tiif. V sind tliirrh flüchtige AuBfUhrung des zuerst besprochenen ZeichcnA entbiandcn. Die Ziffer 9 in Columne c kann indessen auch als 7 -|- 2 gedeutet werden.')
Ueber die Zahl 10 haben wir beroita oben gesprochen p. 065).
Die folgenden Zahlen werden aus 10 und den betreffenden Kinoru 7.itsammtinge.sotzt, wie in jedem dekadischen S^»teme.
Das Zeichen für 20 wurde auch schon behandelt. Auf- fällig ist das demotischo Zeichen auf Taf. VI; Brugäch glaubt darin den Anfangäbuchstabeu des betreficndeu Zahlwortes (t*aut) KU erkennen (im Hierogljph Ischen eine Schlange); wir kommen darauf scurtlck.
Das Zeichen fOr 30 erklärt nich nach dem mnltiplica- tiven Principe. Das zweite Zeichen in Colutune d und die demo- tücbeo Zeichen auf Taf. VI worden vervtÄndliih, wenn man
^) DiM letster« Zaicheu (T^-'Jf komml ia noch Jeiitlichf^ror Am- flUining IUI Papyni« Ebfir« nur Anwrndaug.
702
hervor. "'''""-> Snt.t.lZ^'«^
t) ^ **®* 2«^
F. lAntiemithti: Xttr ÜekcH4eiHe tief iSMifcäcr tle.
703
Vua fiiieiii, zwei, drei oder vier Punkten die Zeichen fUr 200, 300, 400, 5000 entstehen.
Das Zeichen ffir 200 entwickelt sich tu nener wlbftt- ständiger Bedeutung, indem die 2 Punkte zw einem einzigen dickeren verschmelzen. Aus ihm entstehen film dorch IteifUgntitc von drei \wr.vk\ rier ['unkten die Zuhlcn *i(M> «nd 800. Die Zahlen 700, 000, nnd im Demoti«chen auch 600 werden da- gegen mi« 100 pfebildet durch Beiftlping der Zeichen fflr 7,
9 1>07,W. ti.
für die Zahl 1000 (Taf. VIII) begegnen vir wieder einem oeuen Zeichen: ein horixontAler Strich mit nach unten gerichteter Vertnngornng um rechtoii Ende; darflher ein vi*rti- I caler Strich Kur llervorhelung vim einmal lOOO. Die Ziihhm
^3000, 3000, 4000 entstehen daraus durch mulliplicative Striche. Ks ist 5000 als ;2000 -|- 3000 dargestellt, wie 5 aU 2 + !)* VN'ie für 200, so ist aucli fHr 2000 ein neue« Zeichen ein- Ipefllhrt, indem entweder da» Zeichen ftlr 1000 (ohne den oberen vertioalen Strich) »weinial wiederholt, oder diese Wiederholung nur durch einen multiplioativen Strich angedeutet i>4t (Columne c und d); durch Beifügung vnn drei bezw. vier verticalcii Strichen entstehen so die Zeichten 0000 und 8000,
Das Zeichen fUr 7000 in Columne d tst als 7 X 1000 veretündlich. Dan enite Zeichen in Coltimne h ist gleich 1000 X (5 -f 2) = 1000 X 7; der untere Strich am zweiten Zeichen in Columne b ist mir nicht erktiirlicb.
Charakteristisch ist wieder das Zeichen fQr 9000. In Onlamno h ist vh ofTcnlmr 3. (3.1000) zu lesen; in Columne c und d dagegen denten zwei untere Striche eine Multiplica- tion mit 3 an (vgl, oben p. ('>0G). Die demoUschen Ziffern anf Tuf. VIII stellen dieselben Zerlegungen des Vielfachen von 1000 dar, ohne von den AbkQrznngen der hieratischen Schrift (ir- hrauch zu muolieD.
M Auf iler tnViw crwlihtiten Utvhintiifr |p, 0H7. Ainu,) «-{nl da« Y^V'ht'ji H)0 [(cliildt't. intlmn ilf<ni /rf>ii')ifii fi)r 100 •laoji'nrKv fQr 5 nx^p*- (Ujit wini, wie wnvt hri 700.
794
Wi« •■ WcäB winl rar 10,000
rngMiab
Yfmmthchtm dwMlbe. —
Bei lien hunüathm ZödMH te «>, f*0 nnd 90 w«^ aw fDo » bfipigle ikrUfanBanttvia. & wirf «rh MRifc».
■Use bortberfnaBiaea irardflo, aimlkh Aem habytuahi.hf £• loll daher un«ere nicfast« Aofgab« •ein, 4i« Z«hl" xeieben der KeiUchrift xn erUuUrn. Wir kdeMa mm djibcä nnichii uf Cantor'c QMfcidM« 4m MrthiwaHV he- rMhim Man b«t hier iwiM.iw «md ■ i—i ii liaMklwu »rx»- güftiraAlen*) and mdir folfatitiiikb« decimalea Sjr xa oDiiTvclundcii.
Die Ziflem d«e l«ttfceni «nd m Pi]^. 2 aal Taf. IX dai^ fnldli; dMnelben bedOrfco keiner Erklänug weiter; mm hat nur ta beacfaten, daM die Kailaehrift voa linki iMch r«c]iki iti lesen iit Beaoadcre Zeiebea nnd vorhandpn: Ar die Eiofaeit ein Terlicaler Keil, ßlr tO der Winkelhaken, d. h. tvei eeMg Kegen ein«oder g»ftt^i]u^ Keile » für 100 ein borinntoler Keit nüt einem vertioalen davor; die anderen ÜUUan werden n*di den IVincipe der Addition and Maltiplicatiaa gebildet. Sa «rini K. B. 200 durch da« Zeichen für 100 mit zma Einheiten linki davor dargcetellt
Kehrt man die Hichtnog der Schrift am, denkt iich alen dsA Zeichen fßr lOO Ton recbu nacli Unlu gntcbrieUm, en be- ■teht ea aas einem horizontalen, nach rechts verdickten, nach linl« ZQgespit/.ten Striche und einem r '" ; '' iaran lehnen* dvii verticalon Striche; uvht uiitu . w*« n hm
■chnellem Schreiben auf Papjnu natOrlich iai, «wunnMO,
') Am yffllitlladijigtf dor^gdbhri auf iler Thoatafol raa ätn- kenk, auf dwr die guadni- nad CubOnahl«« i]arf«4«4ll «ail. Vgl. Caator a. a. U. p. 7i ff.
h\ /^iMfeMORn; Zw Otsshichte der i\Ai
f^J^
70Ä
ÜsL dies genau dos faieratiacbe bezw. demottsche Zeichen für lOD l(TAf. VII). Abgesehen von der Tcrächiedeiieii Elichtung der iBcbrift und dem durch di« Verschiedenheit des Materials b«* Idingten Charakter der >ScbriflzUge ist daher da» äg^pti»cho IZeicheii fUr lOÜ identisch mit dem babyloniüchen.
In der KuitäcLrifi gibt es kein bt»<)uderes Zeichen Hlr 1000; l^iette Zahl wird vielmehr als 10 X 100 geschrieben. Dasiielbe [ist auch im Aegyptischen der Kall. Die Zeichen ft\r 2000, [300U U.S. f, in Cnlumne b, c and d auf Taf. VIII zeigen nüni- |lich, dik» die am Zeichen für 1000 nach recht8 unten verlaufende Verlängerung eigentlich die F'orm eines Winkelhakens, d. h. genau die Korm der babylnniüchen 10 haben »lotite. Auch im AegyptiMcheii wird dalier 1000 uU 10 X 100 geschrieben, und [das dabei benutzte Zeichen für 10 ist mit dem babylonischen l Zeichen ideatiäoh. Wenn wir oben die KrkUrung der ägyp- tiitchen Zeichen für 50 und 70 dadurch ^twnnnen, daas wir diesellteu 5 X 10 und 7 X 10 lafien und do-s Zeichen fQr 10 Ulli 00^ gedreht dachten, m erkennen wir jetzt, da« die»e ge- drehte 10 eben keine andere als die bnhylonisclie 10 war. Tnd Im wird wahrscheinlich^ daas auch das hieratische Zeichen fUr 10 nur durch eine Umstellung des l>ahy Ionischen eiiLstanden sei. Kndlich wird uns jet^t auch dtu hieratische Zeichten für 40 hesrttrr verstÄndlich. iJer in Cüluinnc a über dem hori- Kontalen Striche angebnu'hte Haken ist nämlich nichts andere» nlä eine babylonische 10, bei welcher die Spitze nach rechts, ^«toU noch linkä gerichtet iat^ ao daaä doi Zeichen &U 4*10 zu ist. Bei den jQngeren Zeichen in Columne b, c und d I ist bieraiifl ein Punkt oder ein einfacher kurzer Strich gc* worden.
Damals allerdings (p. G65) fastttun wir dm auf Taf. IV gegebene Zeichen, den schrägen Strich /, aU das ur^prOnglich für 10 angewandte auf. .-M>er auch dies finden wir im Baby- loni»:hen. Auf den Thontufeln von Tello nämlich (Tempel- rechnungeu aun der Zeit der xweiteo Dynastie von Ur, d. b. etwa nu» dem 3. Jnhrtaiuteiid r. Chr.) hat der schrilgo Keil V. bei der Angalie von Flöchenmoasaen die l^duutung von
IlM. Matli. FliTK- <) * '10
yiMfciiHii M« 4m aCH TWü» Ab nfehetUMSses Gaii. De»- ^ HMStak «V« ■M«£i^ oar in Zünssnrr- 1 4* iSlfiimkM^ roa 3 ttusrlireiben < , 4» IndbM llr 5. 6. 7. 9 aui erkuns. Km «Milfe M 6w t9«l Ste^ «4 l Sar «uümlt 60 G«: W «M «» «I» ^imk Y99Jim «■ m Vm Gan ist gfock 9M» liiük BhH^lM Miib» X «^ V vürde also di« B^ ;5«[ikwaHHak «VBB mm «n krfotbeti»che i!linii«t iNa |4M^ kj^ ib «■ ««iIMh nB&MMMM» aaorhmüxi irolh»;
tik öcfc Dvdaal- am! Sen- ▼mIümIi durah-
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y. LiitHemtiHn: %ur tUtdUdUr ihr Voi^etUr rtc.
707
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Kndlich der rertioale Keil J Kodeitlet tmoh U e i .s s n «tr '/m = '/aoo Öan; wir hatten also wieder den Verticalutrich*) zur Bozeichnimg Ton 5, wie auf ansEirem Dodt'kfinler und auf den Steingewi dl ten vom Monte Loffa. K» kann nAtOrlicb eine direkte Uebertraf^tif; ans d<^n KitestiHi /eit«n Habylonienn nadi Oberitalien kaum in Froj^e kuiumen. Es bU*ibt über inimcrliin die Möglichkeit indirekter Uebertrognug durch die PhSniker. Denn von letzteren 1*^1 kaum niiKunehraen. daas sie sich des durch ihre Inächrifteu uns Überlieferten, äassenvt nnprakti^clien Zahlensytctenia bei ihren Handelsbeziehungen bedienten, ü^s ist vielmehr tu vermutheo, Aam sie anch die Zahlzeiclicn« wie Bo vieles andere von den Aegyptern nnd Biiby- loniern entlehnten; nnd wir haben dufdr ISeiäpiele au» aller- dings späterer Zeit oben erwähnt (p. fl93).
In di<r Thftl scheint ttich auch umgekt'hrt ein KinHiiss der Pliüniker anf die ägyptistlien Ziffern nachweisen txi lassen. Bei den Phonikern hatte die Zahl 20 eine bevorzugte Hedentnng, die Bezeichnung der Zabieii gt*i«'hali auf den erhaltenen In- schriften nach dem Vif^eitimalsy^tenie. In Kfk'kincbt hierauf nnd auf die aeit der Hyksos-Zeil vielfach constalirten KinHa<«e dr^r Semiten Vorder-Äsiens auf Aegypten i»l es nicht wunderbar, wenn gerade das phönikische Zf>ich»'n fflr 20 von den A(*gyptem •ogenommeu wurde. Das demotiache Zeichen ftlr 20 (Taf. VI), welefaos wir bisher unerklärt liessenr ist wirklich mit einem der fUr 20 gebräuchlichen pliOni- kiitchen Zeichen (Taf. IX) identisch. Dieoe» lct7.tere Zeichen winler ist «iw /.wi^i nberfinander gestellten babylonist^hf^n fli- ehen für 10 gebildet, nur zeigen die Spitzen der Winkelhaken nach rechts, entsprechend dem rm?jt»nde, dass die pliünikidche Schrift von rechte nach link», die Keilschrift von liuk^ nach its Ulaft.
(Tnerklirt bleiben noch die hieratischen Zeichen fttr (>0.
') Boi MoitNn<tr wirii oia horiwutalfr, nn beiden Enden vorHirktor Keil aU ü g)>lo«eii, itiiil »war tK-ini Fcldnuuu»^ (a. u. 0. p, I30f: 6 Kau in Nr. T4. 2ttUe 7. Nr. 77. Keile 1; tioi Heisvner wird a. ». O. daM«Il>o
bftD anil^n inUfrpn>tirt. Vgl. ulii'tt p. 096. Atmi.
W
708
SUsan^ tUr muM.-fAy«. Cteun eom 5. ti€S4mther ta9€
80 uod <J0. Herr College Hotnmel macbbe mich, ol» ich ihn voratehundti xVusfUhrangen oiittheitt«, daruuf aufiDerkfiaai, ds« das Zeiclien für 60 (Tgl. oben p. t)68 f.) mit dem habjrtoiuscfaen Zeichen ftlr '/a eine aulFallende Aehnlichkeit Imbe. In Fijf. 3«, Taf, IX aiud die Rltbabylonisclien Brucliz^-icheu för '/a = */•• >/j = »jlg, »/a — *|b« */» mitgetbeilt. Die UebereinstiimuuQfC iit ü der That ^las, indeaseu et^ibt sieb daraus keine E^Irklärunfr der »gyptiBcbcn deichen für 80 und UO.') UingeKen scfaeitil man auf folgendem Wege zu einer KrklnrUDg auch dieser leiztemi Zeichen gelangen zu können.
Von Meissner und Lehmann int*) ist ein altbabjloflanlur Tlioncjlinder des Berliner Kuseunis publicirt, der eine roUittn' digc stufenweise Aufzählnng der für die lloblmanäse') gebrftnch' lieben Ue/^ichnungcn gibt. Die Liste beginnt mit '.< Kft und sciireitet dann in Sechsteln des Ka fort, so daas xaent die ebrn erwähnten Brflcho vorkummen. Dann folgen gAnte Ka; und aU neue Einheit 10 Ka, bezeichnet durch dos in Fig. 4 Tftf^ LX gegel)ene Zeichen (zwei sich rechtwinklig kreuzend« Knila). Dieses Zeichen 10 ist offenbar identisch mit dem oben be- sprochenen (Fig. 3), aber auch identisch mit dem ftffTP* tiacbcn. Hieraus entsteht die Zahl 20 durch llin/AlftiL ^
weitereu horizontalen iStriche:^ (Keiles)i 30 durch eitii u ^...lan solchen Keil*) n. s. f., bis dann 60 Ka aU neue Einheit d«t sexagesimalen Systems wieder durch einen verlicalen Keil ge* geben werden. Ks erMcheint dünn 70 aU ttü +10, 84) «)■ 00 + 20, 00 aU 00 + 30; d. h. 00 idt dargenU-UL durch «nen rerii'ailen Strich und daa Zeichen fQr 30 (ein rerticolu-, toci
*1 Brugsch gibt a. a. 0. der boricoutAlen Liato in den Zeidura 4a. no> 80 dl'' tlMeotnng von 20, wodordi da* ' -^^ ab i>c90
onrhcint: »tif 40 uiift 90 pawt iadMMRr •)' Jit
^J Vgl. beouudffv •.Ue ToTel un 8^'btiiMi! de» ciUrtuu W^rkna.
*) FOr lien Hoadel^vitHtubr dar ftUwlon XtiH «unm iXlP Mirhlni— ■ iiOimlrtir TOD vuil irrOaserar Bctirutiing nU <)in <iowirhU>: in iftath. IV |)>riiM tiadru «ich lu B. vide AiifKvl>vn üb>>r HnhlmiiMii. aber kidiM Utvt ifcwirhl««. — Vjiel. audi Kiiiutilulir a. a. u. }i. 156.
*\ Alm geiiAU itArli ilitu (Qr ddt hicmtiarhivi 'tHrhtea «nMUasHMMiNI Principe,
4
%
F. lÄntJrmanm !
'■enehiehlt iUr l^ttj/etUr
700
d»w ti'tnKontnlen Keiton i^ptroffener Keil). Drehon wir nun dieses /eiche» um QO^^ so entsteht genau das hiera- tische Zeichen für flie Zahl OO in Cnltinme n, 1», c, d auf Taf. VH): es ist dabei die Drehung um 00° ebenso anzuwenden« wie bei dem Zeichen fflr 10.
Do&selhc Verfuhren, angewandt auf dart soeben t>csprochene bub)-t(>ni.si.'he Zeirhnn ftlr :^0 liefert nicht die HgvptiscIiD 'tO, Rondem die Ägyptische 60. Diese« wird dadurcli erklÜrltcb, dafts im hahyloniachen MnassüyHt^ni immer zwei ver»chie*lene Ein- lieiten, von denen eine die doppelte der anderen ii<t, nelwn eiminder hergeben. So nnterocheidct man leichte.'* und scliwere« Gewicitt und b«i den LängennuL'weM die Klle und die Doppel- clle*); wahrscheinlich galt entsprechendes för die Holilniasse, womuf es Übrigens bei Beiirlbeilung der Ziffern allein nicht »nkummt. So ist alüo aus der babylnniHcIten 30 die ägyptische TiO geworden, und ebenso aus der babylo- uischen 40 die agyptisclie 80.')
Eigentlich hitbeu wir nicht eine Ucbertragung, sondern nur eine enge Verwandtächafb Kwischen den ägyptischen und baby- lonischen ZilTurti nachecwiesen. Wenn man indewen bedenkt, da« die Zeiciien fllr 60 und 90 in Babylonien au-^ einem con- üccptont durchgeführt«!! Systeme lien-orgehiuit in Aegypten aber kaum Tor^ndlich eröcbeiueu, so kann kein Zweifel d)irQl>er «ein, das8 die Uebertragung Ton Osten nach Westen und nicht in umgekehrter Richtung stattfand.
Dieses Resultat ntimmt mit der historischen (dureb Jiwepbui erhaltenen) nebfrtieferung. oadt der Abrsham die Recben-
M LhM tleiDoli«diL> Zeichen fTlr 00 tut ohfift Sfhwiortjtkoil nU 1)^( H>
'I V'kL LebmuDD a.a.O.. Verbundlaoften eta. vom 18. Juli I806u •l Die deinotiwhf CO tint»tcbt mi» tlft ttierali^chtiii durch flitohligi're» Sehreiben ; die demotinche 80 iit kti Vrnlopp^'liing der dnniotii»cbcn 40 aufiaihMSU. Zu beuchten ist. da^« Hn «pOteiTK hioroglypIuMcbn« Zeichen filr 00 > i . u a. (l jt. ZM; i!»> H..ii(jt', a. a. 0,
p. imt ilnn-h r^% '-n fdiu eini* OWr ilcni atidirn) de*
kioratiacbKn Zrichfti« cnUtirbr, tu* nb Irtzt^rt» lU« SO «uff^^fuil v&re.
710 8Ü8uruj der mti(A.-/Viy«. Clatst vom 3. DtMoAer ffiMT.
kaust von den Ohuldäern zu den Aegyptoru gebracht iiAbe. Da Äbrahuiii uiu 1900 v. CUr. lebtö*), so kanu liirrb«! tfrhi Name allerdingti nicht in Betracht kuuimen; wir sehen in diowr UeberlieleruDg nur eine BeatAtigung der Thatsache, ^' N
zeichen (und Rechenkunst) durch Vermittlung i»en
Völker von Babjrlonien nach Aegypten übertrugen wurden, auch schon lange vor Abraham.
Das Auftreteu der |ihöuikificheu 20 unter den deuui'.i^thfi^ Zeichen ist ein fernerer Beweis für den semiti^lien Kinllu»'. lin späterer Zeit. Dass dieselben Semiten die gleicheo (nämlich bubyloniäch-ägyptischen) Zeichen aoch coeh weiter nach Westen, z. B. nach Oher-ltalien vorbrol* teten, wird hiernach nicht als aufT&lhg erscheinen.
Das ägyptische Zeichen f^r GO wurde vielleicht aneh de»- bulb gern beibehalten^ weil dosbelbe mit dem pli' u
Buchstaben IT, der in sehr mannigfacher Form <-'- ' , iw-t identisch ist« und si-imit KUgleieh den Anfangsb a d«i
betreflfenden Zahlwortes (DITI?) darstellt.*) —
Die kunc erwähnten und in Fig. 3 Taf, 1\ dargnsteUten Bruühzeichen laicHin sich Qbrigens vielleicht in folgroder Weit» erklären. Der eine horizonUile Keil bildet das allen GeioeiB'' aame. £r wird durch einen verticateo Keil halbirt, m est- steht naturgemäss das Zeichen für Vi* Zwei verticale Kiila ihoileu den horizontalen in drei Theilo; das gibt diM 'Ita^hm für Vs> Bei dem Zeichen für '/i ist einer dieser drei Thotl* darch einen beeonderea kleineren Keil markirt*)« um aozii- deuten, das dieses Drittel (gemäss den) wiederholt •rOrtnrkMi nmltiplicativen Principe) doppelt zu nehmen sei. Zu ifioNOl */3 = Vo hätte man noch Va hinzuzufügen, um % xu erhalten; es wäre eigentlicli eines der drei Drittel de^ horizontalen K«il« noch wieder durch einen weit^r'.^n verücalen Keil xu balbirea;
'J Vgl. Humuiul tt. a I'. i>. oi f.
») Vgl. Schröü»T. PböniriM-hi- Spnwhi«. p. IM imd Tat B.
*) Die UmfOiniDte «iovi äthchcn tat Turdupixtu&ir i*l mu obca schon bei agjrpiwvhca Zdcbeti bcgvignet, tgl. |>. 664 u. TOB
>'. Lintteiutitut: Zur U<m:hti:hlc tUr i^4yc<f*^ tlc, 7'^
U (les.sen lint iimii tiiuttu (lur äclion vurliuniluiieii K«?ilt) m
ItiinnUr Wewe vt*rtii>jiiH:lL Auffällig ist es, dasa für '/t und 10 iu dea vurliegenden altbAbyluoi-scheit TlmnUfelii rlatHrlbt; Zeichen vorknmrnt. Aiiclt eines der pbüuiki%hen Zoicben für lU C^) bat auf ctniskt- sciittn MUuzen die Bedtmtuu^ von */i uiitl zwar itowubl zur Bo7.oicbnting der Hüifto de^ Didracliro« (also üquivulont mit X). alu Hucli unabbiui^ig duvuii,') Sollt« iiicbt das pbruiiki^ho VigositiiulKj'^t«!!!, iu dem 20 aU iiuuc Kitilieit bidmiidrU wird, m Yorgescliichtlichüt ^it eine weitere Verbreitung in Asiun gebubt liaben, tini dünn durcb diu äcxagcssiiuaUyiitetu verdrängt zu werden? Die KnUtfbiing eineä iotdion VigediinaUtystfmtM könnto man 6icb düdurcli erklaren, duss äcbou in tiobr Trüber Zeit vertictiiedeue Moattaeinbeiten (scLweres und leicbtea Gewicbt, Kllu und Uoppelelle, v^I. oben p. t>t»0) nelicn einander gebraucbt wurden. V^ würde dann auch ver»tändticb , we^ltalb bei den Phiiuikero fUr 20 dtistieibe Zeichen (ein Kr«ts, vgl. Taf IX, '**iK' n gebraucht ward, das bei den Babvloniern aU Zeichen fOr 10 vorkommt, und dorn wir in dieser liodeutung bei H«*- üprecbuug einer urgivLicben loticbrtfl bt^^^neten (p. U7ä).
16. Die etniskiacben und römischen Zahlzeichen.
Suboii Pauli hat darauf anfnierkMtm gemaobt (oben p. 640), dam aufl den Zeichen A. X auf dein Oodekaöder (d. i. 10 nnd 20) die späteren etruskiscben Zeichen fUr ö und 10 durch Aendening in der Normirung d*T Einheit (z. B. hei Gewichten und Maiiwten) entstanden f:eieD. während das früher fOr 5 benutzle Zeichen 1 noninebr die Kinheit darstellt«. .\uf <«nind solcher dop[K>ltor Normirting der Einheit konnten wir auch da* phönikische Zfi- chen fUr 20 mit dem altbabyloniichen fOr 10 (vgl. § 10), dM ägyptische fßr (iO mit drnn iLltbn))yloui»chen fUr 80 in Ver- bindung bringen. Kür die b^trmtker tindeu wir eine directe l)e- «tätigung in dea 8in»ki«oben Silber-Mfinzen. Deren gibt es
1) Vtfl. Mnmmivn, 0(w«]iichli> da« rttmiiK'b«» MaturwMin», p. S17 und aoi.
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Ae KödMB A «04 X allodia^ iwtUM, ■!« tecfc 4mi (ilibiwh bä 4a ■irua lÜmM «ai OevidilsB ipitar cm« m criiicifaa. Auf 4cr Pvrmylt fca ll*cltt (*^a ima mm ZMirnkmiämiUirnj « i^ Aa Mkmhwt rfaVorteOt» «e 19 bocili darch X. «e 3 dbs- W«tta diMe Vof^lprtuBade aocli a» mMfi Zeit ilunMa mag, Itat öch die Abvc
IwInelM BedrabBDg dcndbai «rfclina (vgl. ofan {i. €77 1).
Dm ftof dam Ooddcaider forfcuaiBH^r raiili Ih- «* fiii4ai «ich io «pUana aü-uakiacbea laaeknftaa oicht faalijloDiadbc ■oxagenmale Tholiug war ia V« falben, und damit »oeii die Badwlnng dicatr ZakL
Üa» Zeicbeo Ar &0 ist t oder if. DMelbe stete _
a deoi agj)|diwibiiii hMratitfchaa Zaidiea m lUiiihuiig (Taf. TF). Maefat man ia laUteiaai die drei in enas PonkU laaÜMdta Btrieha gkieb Usg, ao wird iaMaHii' 4^; ml
■H dm Zeirfan. X («Utt XX »^ 90) am A*m fkrli«« M«
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/•'. JJndtmamn : Xur fieMkidüe der I ' >/ "
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irniTi dii< H<<iden äuffierßn Striche wtedor kf)rz(«r, nU den iiiittlt'reii, 80 bat tiian die etruskische Ziäur TiÜ «> 1^.
Fnr 100 wird ein Kreis mit £wei xu eintinder rechtwink- ligon Durch messHm (vgl. Taf. IX, Kig. 6, Nr. 35) pfebraucbt Die Kntjdehung des '/eichen» ist uiikUrt TJelleichi hangt e» mit einem althnhy Ionischen 7«eichen fßr 10 xuMimmen (vgl. olwii p. G78). Aach für tOÜO wird ein besondere« Zeichen ftagegeban, dttH fiber anscheiuend nicht sicher beglaubtfft iU; es sidl auf einem f^tschnittenen Karneol vorkommen, auf dem ein Mann mit einem Abacufi dargenteUt ist.')
(/harakLi^ristiäch fitr die etmskiwhe /•ahlheieichDiing ittt die tftibtrautirr Mi'thodi*, die wir auch M'hon mif dmi Gewichtan und dem Dodvka^der rum Monte LolVa vorfanden. Sie baaiinid also Mit Hlteoter Zeit und wurde später sehr aintgehildet (z.B. l'Xll^yß). Auch für dieae Methode finden wir Analoga unter den &Ut>flton bubrloniücheii XaliUeichvu. Auf den Tafidn von Tello werden nämlich die Zahlen 9, 8, 7, 19, 18, 17 u. s. w. ab 10—1, 10 — 2, 10—3, 20—1 u. s. w. geschrieljen*), wie ex in Fig. 5, Taf. IX d«r|f«8tellt ist; daii /«iciten T*" ist dabei als lal = weniger m leeen. Da diew Tafeln aus dem Ende de» dritten Jahrtausend r. Chr. ütammen, 80 liegen /wischfln dem Aofireten dieser «ubtracliven Schreib- weise in Amen und dem Erscheinen derselben Sohreibweij«« auf umierom DodekoSdar mindestens 1200 Jahre; ea fehlen jegliclie verhindLinde Zwii«chongIieder, Eine Uebertragimg von einem Orte zum anderen kann dnher nicht ohne weiteres behauptet werden. Insbesondere i»t eine ähnliche Bezeiobnnng bei den AegTptem nicht (tblich geweäun ; vif) leicht allerdingü kann das auf Taf. V an erster Stelle gegebene demotische Zeichen für 4 , das wir alit M 4- I antfassten , aacK als 5 — - 1 geteeen wurden, indem der linkM utehende verticalo Strich dit* Einheit^
>) Vffl. f», MalliT. Dil? Ktnukcr, II. p. 316. Miwie Corttten n u. O. Bd. i, p. 40 (wo die Xtfii^liPii für Od uml 100 riffr>nbiir durch mnen 8nl« fehler »er ' find). Nach JtfUtbeihillg dwi Homi Ctdleftt-n Kur».
wILng^ler ! o*ini|{ Art lAJrhmn aaf dem 8t«inp lohr nn«ii«l)nr.
*) Vgl. Hei«n«r a.a. 0. (dImui |>. 7001-
714 SiUunjf tler math.'pJt^a. Ctiifte roui S. ttaembttr Ji/00.
(1er schmg übende Strich mit dtso beidou Puukttai (unob Ou- lumne a und b) die 5 darstellt. Jedenfalls musst« sich das Oe* dürfniss äor Anwendung dieser Schreibweise b«w>Dden da g«Ueod machen, wo zwischen 1 und 10 kein fselbststindige« Zahluseha im Gebrauche war, denn eine 8 oder 9 durch ebttiMO viele ciBtfitB« striche wiederzuf^eben, war ein lästiges Verfahren. Die Ktnukrr hatten nun ein Zeichen für 5 (uämlich I und später A); es vA daher wahrscheinlich, dass »ie das subtractiTe Verfohnm fOB einem anderen Volke annahmen, das ein besonderes Zeichen Ar 5 nicht anwendete. Bin solches Volk aber waren wieder dir PhÖniker; und Ober die von letzterem im HandeUrerkebTe su den ältetit<.-n Zeiten gebraucbten Zeichen sind wir nicht ttntor- richet (vgl. p. 693). Ks entcheint daher eine Ueberlroguug tdo rAsien nach Oberitalien nicht unmöglich, ist aber nicht uocb- weiäbar. —
Nach dem Vorgunge von Momm.sen nimmt Biaa in 4et Ue^el an, daau von den Rümern die Aspiraten de« ciwlkiJiMilw Alphabets \{x). O (/>), tr)(v) als Ziff'ern für 50. 100 »«d lOoO verwendet wurden ^J, wobei dann V und X unerkUit bleiben. Schon Kriedleiu^) hat die Grfinde geltend iceiuacfat, die gegen diese Auffassung augefithrt werden können. Der Zu- sammenhang zwischen den etruskisoben und rümischeu ZiRorv ist allgemein anerkannt. Da wir nun die erbteren aas dem ägyptischen Systeme erklärten, su sind damit auch 4ie letzteren, wenigstens die Zeichen fQr 5. 10 aod 60 er> ledigt, nämlich V. X und ,^ ^ (_. Die Zetebeu biixI hier auf den Kopf gestellt, wa« daher rtihreo mag, das:? die alt- otruskischen Infcbriften häufig so gescfariebeo sind, doss die erste Zeile von recht« nach links läuft, die xweit« (?f"- -■•« linlu nach rechts, und dos* in der zweiten Zrilc gl> die Buchstaben verkehrt stehen. Uie Ucbertragung etruidcisi-lt r Cultur nach Rom bedarf kaam einer Erklärung, denn in d
M V'itl. Hrihiit-r. Rmin v. Malier'« HatadtfoeH
^Wiw AU'it|juiiii*ti¥W«cm ■ . .: 1 , p. 661.
iiji*l da« WeiueuUire Hnr-imeci dar UrirebVB bmA ü«n AUmdlttttiJtei. Rrlaaipin IHOIK p. tE^
K TÄmlemann: Zur OttckitAtt 'ter iSiiyedcr etc.
715
fioiTelcr KöDigo stand IIoiii wiederholt unter elruskiscber llerr- Mhnft ; SerTin« TulliiiH, die Tarqu inier und PorneoUD wureu etnuküch« Fünften, die Koiu unterjocht hatten.^)
Das Zeichen filr 100 soll in ältest«r Zeit ebenfalls mit dem elruskischen Zeichen 0 ül>erein;je*timnrt hal>en*); gewohnlich wird dafUr der Anftuigsbuchätabe von centum gebraucht, ebva«(> i'ür 1000 derjenige von niille. Die Taiwende werden hezei<:hnct durch Kinfaftnen der betreffeudeu Zjihl zwischen verticale, halb- kreiäfüruiige Striche, so dass das Zeichen für 1000 einem 1^ rihiilieh nicht; nochmalige Einfassung gab dann 10,000; drei- malige Einfassung 100,000. Die» Verfuhren erinnert uuwill- kOrlich an das Sv^tera der phünikischen Ziffern, in denen dun Zeichen fUr 100 entsteht, indem dasjenige fOr 10 «wischen zwei verticale Striche geeetxt wird (vgl.Taf. IX, Fig. I). Nach Kriedtein ist auch da« soeben erwähnte etruskischc Zei- chen für 100 durch Einfassung des Zeichens X fOr 10 ent- Ktanden ; nur haben »ich die beiden halbkrei^f Jrniigen Slrichn hier ea einem vollen Kreise vereinigt. Auf diese Weise Hesse sich also da<) etruskische Zeichen ftlr 100 anx dem Systeme der PhKnikcr erklären.
Kin hüri:£ontaler Stricli Qber einer Zahl verwandelt dieselbe in eine entsprechende Anzahl von Tuuseudeu« so dass z. B. X = 10,000 ist. Set/,t man diese Zahl zwischen iwei verticale Linien, so bedeutet da? (nach dem phüuikiachen Systeme) eine Multiplication mit 10; es iat also |X|=^ 100.000; endlich winJ [xj= 1,000,000.
Für 500 theih HUbner (a.a.O.) ein vereinzelt vurkom- menden Zeichen mit, daa aus dem Kgyiitischen deni(>ti>H:hen Zeichen (vgl. Taf. VII) entsteht, wenn mau die rechts betind- liche Schleife etwas vergrL»imert und dann tinkä und recbta (ent- sprechend der vffründerten Kicfatung der Schrift) vertauscht.
1) Vtfl. X. lt. Üor'tiuii A. ti. O. Bü. 1, )i. 41«; O. Maller a. «. U. Bd. 1. p. 190; Uelbtff, Itiüiker il«r Po-KUtinc. |k 103.
*) YhI. O. MaUrr u. n. •). Bd. 2, p. 310. Vgl OoKegen Uflbner Ai ft. 0.
71 () Sittut'iJ der math-}>htf$. tltuet com S. Dettm^r tB99,
Au8 tleii iiltt^fiten etru:>kiscben ZaliUn, und somit' au» den ägyptiMchon nur) phdnikii^cheii /iffcrn l«Mrn sich die Zahixeichon der Romer daber angezwani^eB ableiten.
g 17. Ueber gewisse symbolisch© Zeichen aiia prÄ* j,
historischer, bezw. frUhhistorischer Zeit. ^^H
Wir huboD die uuf dem DudekiiÖder und auf d«n SUuit- i gtiwicbttin vom Monte LoiTa vorkommenden Zeichen ohne UUck- |
> eicht auf etwaige äoustige gleiche oder iibuliclie Zeichen br- liaudelt; denn es kam darauf an, aus diesen Zeichen allein, deren Bodeiitting als Ziffern durch dus Vürkotinnen auf Gc wiebten gCäicbert war, alle mir mi>glicheu Scblüs»e /uneben. In der Tbat äiud auch solche Zeichen, die sicher aU Ziffera zu deuten wären, anacheiuend sonst nicht bekannt. Wir kennen aber eine gros^ Anzahl ähnlicher Zeichen tasr- ' — 4eUeii, vun denen es »icher ist, da&^ .nie aas einer Zeit ■■ - ■■ i-, aw
I der wir auch das Dodekaeder datirten (Anfang, jedenfalls ent» Ilülfte des ersten Jahrtausends v. Chr.). und die daher uiuertr chrono logischen Annahme zur StOtze dienen.
In erster Linie kommen hier die Zeichen auf einaeloeii Stücken des grossen Bronze- Schatxea von S. Francesco ia Detraelit, der 1877 in Bologna tod Zannoni auägcgrabeti wui^ und von ihm aosfUhrlich beschrieben ist.') In einer machtigfn
I Urne wurde eine grosse Anzahl von I'aalstäben (Kelten), iMutb- spitzen, Fibeln, Messern etc. gefunden, im Qanr^n 1418 Kilogr. Die Fundstücke entstammen moi.<«tonB der Bronzexest, dehiMon sich aber bis in den Anfang der Kiäeuzeit aus, da aach einig» Stücke Eisen naclt gewiesen wurden.') Die Zeichen sind thoU eingeritzt, theils beim tiuss in Retief hergestellt, lii Kr. 1—22. 33, 38, 47 auf Taf. IX (Fig. 6) »ind einige dieser Zeschen r»- producirt. Die Zeichen Nr, 1 — 6 stellen offenbar Zahlen dart
4 4
n La F..i.<1«<riA m RülMtrti. 3 H1.^ \rtMA tmd ISivaM. Hnl/iitaa ISM
*) V i Kl |triniiUm nn Itaüi». fi. ft4X.
•owir ' ■ n.
Ji\ Lutd^mann: ICnr <h»diieht4 der i^ywttfr tffc.
717
in ^fr. 8 fa»ben wir die utxuikirtcliu otl (wenn nicht dmi Buih- Mtaben x) ^^^ ^^^* ^" ^^- *' t^rkonnen wir das»etbe Zeichen, das una auf einem Gewichte vom Monte LufTa be^ef^nete, und dos wir «U 15 lasen; Nr. 10 ist die Zahl 20; Nr. II tat wabr- scbpinlicb ancb eine Ziffer (20?). da dieselbe auf einem Paalßtabe xwt-'iinalf auf einem undereu ftlnfmiil wiederholt iät. Ju Nr. 12 und i'i erkennen wir dies ^yptische /eicbea filr ÜO, das wir auf dem Dodekaeder nachÄUweiaen versuchten (p. OOS f.). Miiu künnt« hier allerdings auch an den Bu(.-Ii»tal>eii K denken (zu- mal bei dem Zeichen Kr. 12): das Zeichen Nr. 14 ist aber sicher kein Buchstabe, sondern die hierntt5ch*ägyptische 80 (vgl. Taf. VI); und dadurch wird es wahrschcinlieh, dnas auch Nr. 13 eine Zahl (nämlich 00) darstellt; Ttelluicbt haUm wir nach in Nr. 4 nur eine tlikhtige Schreibweise für dieao* Zeichen» Nr. 15 ist t^ine Kurni des f^xiechiscben Buchstuben i*. Kr. Iti und 17 kannte mun aU 30 lesen, und f.wur biitt«n vnr in Kr. 17 eine babylonische 30 (vgl. Taf. IX, Fig. 2), Endlich Nr. 35 und 38 liefern uns bezw. die etruskiäcbeu Zeichen fQr lOO und .'»0. Das Zeichen Nr. 18 erinnert an diti Zahl auf Kläcbe Nr. 5 de^ Uodekarder, die ua^ Kweifolhaft blieb. Auiu>cr- dero kommt das übcrnll in prähistorischer Zeit verbreitete Ilakcn- .kreux (Svaslica) auch bi«r vor. Einige dichter Zeichen tindnn kich auch auf anderen oberitalischeu Funden aiu Orübom oder Wubu&tätten, die Zeichen Nr. 7, 22, 50 i. B. in den Gr&bem von Bunacci. Zannoni (a.a.O. p. 114 ff.) versucht ein «um- brichos' Alphabet aas ihnen zu construiren. Kinif(e derselben dQrflen indessen durch un^re Untersuiihungtiu nU ZaltlzeicLcn nachgewiesen sein ; xumnl das Auftreten der ägyptischen 80 spricht f(tr diese Interpretation.
Auü drn etwa» jüngeren Orllbem von Certosa scheinen
;Bhnliche Zeichen nicht bekannt xa sein.^) Nur auf einem Thon-
scherben finde ich das Zeichen Nr. 50 und zwar abgebildet bei
*) In dnn ^*rfll>«irn von liolsMtrxn (vgl. ohon p. 070) fladeii sieh die •tnnki«i-hon Kiffeni, Nr. b, Nr. ü und Nr. 8, tUMt'^Jcni «iai ^cbvn S7 tvgl, ittitt*B), Jsn Aueh idt Uiu'h*'li>K'' im ctniskiatken AlphalieU* vor- kumtut.
718 SiUung Aer math.-fhn». Ctwse vom 5. Dtxcmber JH96.
Zsnnoni^) aaf Taf. 13G au» einem Grabe seiner dritten Pcricxir, iu dem aucli eine sogenannte Scblangenliebel gefuuden wordi!, das demnach etwa in das 0. oder 7. Jahrhundert ?, Chr. xo setxen ist (vgl. oben p. fi73 f.). In den Gnibem ron K ' '' *t*t sich wiederholt das Zeichen Nr. 44 auf kleineu orim -[i
Thon-Pyramiden*); daa8eU>e Zeichen gilt bei den Babrloniem
{ als Symbol der Oottbeit, ein ähnliches als Zciclien Air den lirad
iT»ei der Kreistheilung.*)
Daä Vorkommen Ton Kr. SO auf einem Thontscherben Iöb^ vermuthen, dass solche Ziltern •'>fler auf Vasen angebracht wurden. In der Tliat findet <4ich dajHell»e Zeichen auf twei
'etniakiscben Vasen aus Caere im Berliner Antiqnuriuin*); el»?«-^ die Zeichen Nr. 17 auf einer Vase ans Volci (ib. Nr. 1^ - Nr. 6 verbunden mit B8 auf einer anderen et.ru«ki!*cfaeu Va*4 (ib. Nr. 1840); Nr. 38 zusammen mit Nr. 5 (aUu zu leaeo all 55 oder als 60) auf einer Vase aus Vnici (ib. 1879). Diese Beispiele lassen sieb beliebig vermehren ; es ittt mir indetMcn no- möglicfa, auf die sich darbietenden Fragen jetzt näher etnzv- gehen. Dase wir es hier mit etruskischen Vaaen xo thmi baben, gibt eine neue Bestätigung dafOr, dafts anch di« Gewichte und das Dodekaeder vom Monte Loffa deo Ktruskern (bez. [tätern) zugeschrieben werden mntsoD.
Ziffern wurden auch auf griechischen Vasen häufig an Roden derselben angebracht (eingekratzt), ß. Sehfine hat sich mit der Bedeutung derselben be.'^chäfkigt *) ; darnach geben die Zahlen an, wie viele OefSsse einer Serie fOr einen bestimmtea Preis zu verkaufen waren, z. B. xpanjofc: Fl! ^'^V- fhhh. 0 Kratere, Preis 4 Dnirbmen. Kino ähnliche Bedeutung uuig auch den Zahlen auf den etruskischen Vasen zukommen, ebenso
M Eicau della Ccrtoaa dl Bologna. 1^6.
<) yg\. pAttli, Altitali«rbf Ponchnn9«ii, Bd. 3. : "'
*} VrI. Cantor a. «. 0. p.SBt
*) Nr. 1718 und 1714 in dem voo IfurtwäaglM lu-r«u»
in hoBcran 1Vr4nH ^JumiwuMi.
^*. XÄndemann: Xw GtMhichle der ISA^eder gtc.^ 710
ion '/eichen auf den Hronxen des Scbütees von S. tVitn- ie-sco. Let/.torc Heiiierkung hat vrenigstens theilirei<)e Giliif{- keit; andere Zeichen sind vielleicht nur Fabrikmarken \), vie]- luicht auch EigenthuniHmarken (zumal wu BuchHtahen cinge- riL/i siud).
Hervorzuheben i:«t eine besondere Klosae von Gralt-Umonf die sof^enanuten Hau^urpen; sie sind ebenfalls «iruskisch und stammen aue den Anfangen der Eisenzeit, wie durch die in ihnen gefundenen Fibeln bewietsen wird. An einer Oefhinng im Dache') findet sich wiederholt das Zeichen Nr. 31 und 32, daH an Nr. 12 her.w. 13 (ägypti&oh 60) erinnerte. Auch tla^ ent- sprechende Zeichen mit 4 Strichen kommt vor (ägyptisch 80). Möglich iat c», dosa diese Striche keine Zalilun darstellen, son- dern einen Theil der Dachconätrnctioii wiedergelien. .ledenfolU ist es nicht autfullig, wenn die ^bl GO in «ymbolischer Be- deutung vorkommt; int sie doch die Grundzahl des babylonischeu Zaiilensystenis, wurden doch £. B. 60 babyh>Qische Hniiptgntt* holten vcri'hrt, denen die Zahlen xu^eordiict waren.") Uebrigen.i nicht nur diese Zeichen erinnern an Aegypten, sondern auch die LIausunie zU solciie; denn schon im »Iten und mittleren Keiche wurde oft den Sarcojihagen die QestaU von Hftusern gegeben/}
0 A«r (frirchicrhen Vft^tn «itnl Fn' ' '^h nnrh-
g4tWM«en; vjjl. J'. Ilcolf i*r, Jahn-Klcrkriiieii l'ilolopie,
4^ R. nnd 10. Kiippl.-it«!., Urnndiuann. ib,. 17, äiitipt-Bd.
*) Vf;\. »lif Atitiildiiiig JwciiT itolcfaer Urneti bei Virchow: Zeii- •chrill filr I^UtDologii'. £t<l. XV. p. S'il ff. uii<J die tü&gnbend« B«v{inM:hting in lim Munutaltmeht«!) der Berliner Akademie, 1893.
*) Vgl. Tantnr a. a. O. p. 86.
*) Vjjl. Krrann ». a. 0. p. 244. Pcrrot et Chipie« o. a. 0. 1 1. p. IDd f. Auch 1d DeutMirfaUnd trtnd Hattitumen Kefimden. »elbet in Bom- biihu nnd vtaUeicht am-b in (^v^tpriniMen (vgl. Hoyd^k. SitiungabcncMc •1< ' '«io, ili'fi 19, Tur X). Sie hohen Mch iU«n
ri' ;.t (vjrl. i)lM>n p. »i86 f. Arinul von Af-p^pteii
Obtir ' ■ niwh Nunltiii vorltr*'it<'t, TioIIi-irht »nf di-nuvUien Wojir».
lion au-,. ^^'— tpreuwMi tu uihlreirbun, anch bU OMtpreuHon *<«•-
hrrileteii t neu <bt<i den«m nur dii> M)(teli{lii<d«r a»> I>oiilacb-
Uwd ft^blfi) tttiU f)ir ilkf vielleicht «nn xweiter \W^ flbt'r Ui<«arlili fObrte^
/•' UnJemann: Xur Oftchiekte der i'aliftitrr etc.
721
am den Quadern der Servianidchen Mauer z. B. vor: di« Zeiaieii Nr. 6 |= 10 oder 20). Nr. 42 (=* phönik. 20), Nr. 47 (= jihönik. 10}, Nr. 7, Nr. 8 nud Nr. 13 (= (50, rielleicbt Buchstabe £ oder phöoikisch 11^). Femer auf den Mauern vtui Pompeji: Nr. 26, Nr, 8 mit einem Queräiriciie am oberen Knde, Nr. 41, Nr. 9 (dem wir auf etniskiscben Vnwn und dem einen Gewichte rom Monte Loffa begegneten), Nr. 32 (vgl. die Haiisumen), Nr. 44 (vgl, die soeben erwähnlpn Thrm-I'yramiden von £Ute), Nr. 45, Nr. 5, Nr. 43 (dii& weiter unten zu be- äprochonde Pentagramm, vgl. § 20), Nr. 14 (der phönikiscbe BucksUkbe ^|, Nr. 36 (woraaf vrir sogleicb xur Uck kommen), Nr. 38 (etruskisch ÜO), Kinige dieser Zcichon Hrideii j«i(h auch in Perugia und in anderen italienisclien Orten. Manche mögen die Bedeutung von Zahlen wirklich gehabt haben, indem sie die Anzahl der von demselben Lieferanten beschaßlen Quader angaben. Ändere haben nur die Bedeutung von labrikmarken der betr. Lieferanten, m besonder^ die Buchstaben.
Die von uns erwahuteu Zeichen deuten LheÜs nach Ober- Italien, theils auf die Phuniker; bei letzteren waren solche Stein metKxeichen lücher in Gebrauch, denn phüniki&che Boch. »tabeu finden sich sowohl auf den karthagischen (?) Mauern vom Krrx in Siciti<*n*), aU auf denen vun Taraco in Spanien 'J; auf letzteren insbesondoro wrieder die Zeichen Nr. 34 (=^), Nr. 13, l Nr. 15, Nr. &; auiaerdeiu auch Nr. 20, dos wir «chon auf den Mauern von Pompeji Mähen und das andereneit» auf einer Va»e mit phOnikiflcher Iu»chrift auü Panormu:»') augebracht iit
Die Ansichten über die Datirung der frugtichen Bauwerke sehciDen noch weit auseinander zu gehen; die Mauern nnd wabncfaeinlich jünger aU die Broneen von S. Francesco, ge-
i) Tgl. Ferrut elCbipiec. t.Ul. t>.V6a.S34ff. und Richter a.a.O. ^ Vi-l. Hühner. Hmnwi, Bd. l. 186«. p. 76
1 Vi;l. Srb rftdor a. a. U. p. 21. DmMclbn Zeicbim findet üdi x. B.
Buvhsiatwt E aof VuHtn vun Sikyon (tkI. Krotichmer, Die grütchi-
■ ' 'i.li lft!M, p, Ml iil- " ' ' '." • In noni*
ituti. Altiuli'clw -ua II, p. 6U,
iii 111. |>. htl;.
F. JAüUmnnn: SSur OvdtidiU der Pottfeäer etc.
723
raU; Nr. 13 in 11 und III, aUAsertlem auf dem DudekatMer, dtiti BroD7i?n von S. Fninre>icu, den Mautsrn von Kum ; Nr. 23 in II, Nr. 24 in tll und aaf eineoi Gewichte vom Monte Lfoflfa (=20); Nr. 25 in I, II und III (vgl. oben); Nr. 20 desgl., ferner auf den Mauern Ton Pumpeji und Tamco; Nr. 27 nnd 28 in I. II, 111; Nr. 21) in 11 und lli, verwandt mit Nr. 13, 30 und 32; Nr. 36 in II, 111 und in Pompeji, damit verwandt Nr. 37 in H und III ; Nr. 39 in III; Nr. 4fi in II, III und als Stcinmetz'Zeicbcn.
Wir seilen ao. daäs jede Gruppe von Zeichen einige auf- weist, die ihr eigenthQuilieh zu sein scheinen, während andere auch in einer chronologisch späteren Gruppe ebenfalls auftreten. Dieser umstand bestärkt uns in der Annahme, dass eine Ueber- iragung von ainer (iruppe zur anderen fitattgefnnden habe und dass es sich nicht um Kufullige I'ebereinKtimnmngcn handle^ dass demnach die Entwicklung und Verbreitung dieser Zeichen von Osten nach Westen eine ganz analoge ge- wesen sei, wie die der Ziffern.
Wenn sich die Steinmetz- Zeichen bis ins Mittelalter fort- geerbt haben, so haben »ich die k^igenthumamarken (und als solche sind die eingeritzten Zeichen auf den Gerathen, Urnen und Bruuxeu vielfach aufzufassen) bis in die Gegenwart er- halten. äIh Iiau8- und Hof-Marken werden derartig» Zeichen noch heute in Oktfrifätabd, in Mecklenburg, Schleawig-Hul»t«in, in den kasBubiKchcn Fischerdörfern der Insel Heia und in vielen Dörfern von O&tpreuasen gebraucht.*) Neben Buchstaben kom- men aus unserer Tabelle in Fig. C, Taf. IX» z. B. vor: Nr. 6, 19, 20. 20. 27. 28, 36, 37. 38, 39, 40, 41, 43, 44, 46.
Ob freilich auch hier noch von einer directeu Debertragnng
1^ Rede »ein kann, ist mehr nU y.wi>ifelhaft. Mau wird in
f dieser Beziehung um so weniger an einen Zusammenhang denken
können, wenn man schliesslich analoge Zeichen als Rigeuthuiiu«-
marken «inenwits bei den Negeni in Lunda (endlich vom Oongo
't Vgl, ll»xi*ftb«rg«r, Ktsaii|n>bcrichte d. AlterthnuugiuellarJuLfT iPraHW, IMI 10, KAni|P>tii>rv 160ft, niul O. Conrad, iti. Iliifl ^0.
721 »»■1 nwnr N,.' "" "^'*'* O,
«'■eiiit ,u he,,? """n de. <r ^•
"" ihr bL. "'^^'■'•omii«.^» J ^^Pfei-«,
^mlemttn»: Zur Geschichte rier Poii/eder etc.
72r»
H und Giirob in Aegypten, 7) auf verächiedeiien ^pem, 8) auf Thonscherben, Skarabäen, ans Speck- ^^enen Stempeln etc. mm der mykenischen Epoche.
Bedeutung der etruskischen und keltischen Polyeder.
en von ganz elementareD Formen, wie sie durch eben Gewichte in Gestalt des Cubookfcaeder reprä- u, haben sich bis jetzt im Oriente keine Modelle >r verwandter Körper gefunden. Wir uiössea daher ng des Dodekaeders vom Monte Loffa in Ober-
Ku erklären suchen, fen hier nicht an wtssenschafllicbe Theorien denken, tu uialhematischeu Papyrua der Äegypter 6udeu wir Aber regnlüre Kurper, sondern mir an eine praktisch enntniss vuu der Existenz eines von Fönfecken be- liezu regulären Korpers. Ein solcher Körper kommt 'hat als Kryätallfomi des Pyrit (Schwefelkies), eines vor. Dieses Mineral krjritalliüirt in ausserordentlich liedenen Formen des tessernlen Systems*); unter 'ken wir einen von 20 Dreiecken begrenzten Körper, regulär und einem regulären Ikosaeder äusserst ebenso ein von 12 symmetrischen (nicht genau regn- cken begrenztes Pentagon-Dodekaüder. Obgleich iwefelkies eines der um aUgemein.sten verbreiteten
Mineralien i.st, kommen die den regulären
und Pentagon -Dodekaedern gleichenden
stalle ausschliesslich auf Klba und in den
nach Piemont ans mHnd enden Thülern der
onders Traversella und Brnsso) vor; und Herr
th bestätigt mir. Hoss auch bis heute kein an-
ort derartig(<r Krystalle bekannt sei.
I, n, Nnnmitnn. Kti'iiifnU' t|i>r Miiierulo^i«» . 8. AuJtaKc, p. 30 u. 669. tionun KgatiLro Ikoaafifter und ntxIoVnvdn' mtlicli al« Krystalle nicht vorkomme«.
h
720
Siltum^ der matk.-yhf». Clmme nm 0. i>M«ailRfr J996.
Schon in »ehr frflher Zeit wurde auf Elb« und in den AI|M EiBon gewonnen.^) Wenn die Kennlnias vom DodekmSdor ilureb di« Erfahrung xuerst erworben wurde, bo konnte diuM Kea&t- niss nirgends anders aU gerade iu Oberiialien »erst auflaudien. Wenn nun andererveiU thutsucfalich ein Dodek•Edr^ Modell ans den Anfängen dar Eisenzeit in Oberitalien gefunden wurde, ao ist dessen Bedeutung erident: Das Kieen hatte jtde&* fall» in der ersten Zeit seinem Bekanntwerdens eineu nebr hokcu Wertb; nicht« natQrlicher, aU dais man dem eo aelL- sam regclmiiäBig geformten Minerale, das dieaes faucl geschätzte Metall enthielt^ eine Art besonderer Ver- ehrung zollte, oder ihm eine besondere ajiuboliaekv Bedeutung beilegte. Wenn die Fblcben diese» Dodekaedvn mit Ziffern bedeckt sind, so wird diesen rielleicbt eine üinliebe Bedeutung zukommen (vgl. § 20).
Dieue Axt der Verehrung des Utidekat'ders mun von de« piomonteaiBchen Alpenthälem oder vun Elb« aadg<^gan^n ««ü und mag sich von dort einerseit» nach O^tm (Monte Uulfm) sa den Etru^ikern, anderereeitü nach Norden zu den rfiti«chen feb«ti- hXU etnirikischen) und keltischen Völkern der Schweix und (weiter westlich und nördlich) Galliens verbreitet habrn. Da- durch fände dann auch das Auftreten der in g 2 be- sprochenen Dodekaj-der iu Qallieu seine Erkl&rnng. Andererseit« wissen wir, das« die Technik der lte«rbeitang de» Eisens zuerst von den Kelten /u gro3»er VoUkümmenheit ge- bracht wurde; ging doch von ihnen die aogenannte l^-Teae Cultur au«. E^ ist daher erklärlich, wenn dem Dodekaii*>di*r m Gallien und der Schweiz seine Kymbuliaohv Bsdeutang Ungvrl erhalten blieb, aU iu Ober- Italien, wo in der Kmen - Tcehaik I bis zum Einbruch der Gallier geringere Forburhritte gemacktj waren.
Das IkoeaSder vou Tnrin (g 5) mag etwa gleiehaltrig «eia,! nnd ihm mag eine ähnliche Bedeutung xukoroinea.
Einzelne Dodekaeder wurden allerdings atMKrhalti Ijalti«
l) Vgl. Ni»>-n ■ »O. t>-8ß7r
F. LtnäemattH; Xur UcschtdUe der i'utytder tle.
727
gefunden. Solche Verschlepp unj^en einzelner Stücke kommeu auch sonst vor, und /.war geradu in der riimi^cben E)KK:he durch Venetxung von Legionen, die eich am dem Wtreffendcn liete reknitirfcen. So erklärt sich k. B. dns Auffinden einer
i&nntcn Fl(lgel*Fibel (ein proTinüal-rOmiscbcä Kr/eufniias aus dem 2. Jahrli. n. Chr.). deren eigentliche fleimiUl) in Nori- ciini KU suchen ist und der ein sehr henchriinkte*; Verbreitungs- gebiet zukommt, in Kuglund nachweislich durch Verlegung einer rümtächen Legion aus Noricum nuch Britannien.*)
Das auf Taf. 1 abgfbildete Dodekaeder wurde in Windiach (WeAt*^hweiz) gefunden; aus demselben Orte atamroen die beiden Schulen, welche iti Fig. 7 und 8 auf Taf. I dargestellt sind.*^) Sie »eigen dieselbe Technik, wie da« Dodekaeder; die Schalen bestehen ans einem bronzeueu Qitterwerke, das mit Kni*>pfen besetzt ist. Die Zwiechenräuuic waren wahr»cheinlicb mit Huiail aufigefdUt (vgl. das oben unt«r Nr. 21 angeftibrie DiKlekaedor). Dieae Gerathc haben offenbar irgend einem Prunk- Zwecke oder einer »y>ubc)li»chen (religiü^n ?) Handlung gedient; daher ihre Aebniicbkeit mit dem Dodekaeder in der Technik. Da« erhaltene Brt«ue-Oitterwerk, sowie die ellipsoidiöche (ge- nauer sphäroidiscbe) Gestalt der Schalen erinnern merkwürdig uu ein aus den Pfahlbauten ron Bnurget (Savoie) stammendes Qerääd.') Dasselbe iüt ans Tbon, hat spb&roidische Geetalt tind ist Tondert durch Parallelkreise und Meridiane, m dass ein jenen Schalen von Windbtch ähnliches Oitterwerk euteteht. Das Ge- fw-is U-«itzt firei OeflTnuQgen, eine oben und zwei un den Seiten. JcNieufalLs diente ee also zu einem ganz besonderen Zwecke; und •»liegt die Vermuthung nahe, dass es zu ähnlichen Handlungen
>) Titl. Ilililobrand, Anti<|mu-tiik Ti'Ukrtft. f^r äv^^h^i-. IM. 4. ]>. IWi f.: Ti*rb)«r in dem auf p, |I74 citirteu Werk» Mo>«r'» Qbw Guriua.
*} NauIi den von Keller lu a. 0. (ob«» p. 690) g^btMÖ iib- bllduiMr**Jt-
') Vi(l. E. Cttutrp, Ktnilt« ]inUH>«>lhni>lii^ii]iii*a rlan« Ir Ifttin du HbAni*, 3 vnl., Pafü 1876 — 77. mir nur Itukaaiil iliirfh ilen Auiuig in den MhUtwiiz puur ItuvUiiru iirimitiTf* dt* rhamiuo, Ritn4o 14, vol. 18, 8. iS^rie, t, 9. Touliiiuo ltt78.
bm; am sack
kafaeB, wofacb Ans nck «• i^i— Mii n« Kccfe (§ S) ihre KirUrnff ftadc Da doi Haksdovoi fShanlX «ior rvl^iflte Bidanlrag luigili^- ««4». nad Ak aoauBMio Biift knos Hil kattHeka Braanklaekcn ■■ ■viirai ä PamUtfagnin ■ i n boitelMBdc» Oi— ral Tcti iTiait '), ao iat w sieker, da« die Kelten ao gmiatüwuli lagwImiMga« Kgarea •m booBteta flrfcllffi kaftan md iiiili,biB Vigsran «m i^v- boÜKke HMfutung keUegfe».
Biftker vardra die DodekaEder IkeOi Ar WarM f wmn «e aber wegen der EnOpfe an den Eckeo nickt branckbar üi) gekaken^X Üwib ftr Le«cn. d. h. Apparate xam Ifnam nn RBfcfen*Porekiueuau I n (w^nn der rersebiedeBeB GrSai* d«rOafr nnngen, die siek nicht aaeh eiaen beittifflfnt^e Sjmlaaae akoK f.tnfpn acheiDen), tfaeiU fQr Leuchter (weil m»a im Innern rä» Exemplarea Reste ron Wachs gefunden katte). Kor Graf Hag« tipricht berpitn Aw Vensatboofr an«, daaa m »eh nrn Gertikc haDdle, die m einem Caltos-Xwecke fr&braackt wurden.
Wou die LOefaer dienten, rermag ich nicht ansugektv; vidleicht waren sie mit Etnail amgefHllt, wie nock den ohtB (p. 681) onter Nr. 21 suff(efllhrteD Exemplare m iqinutkq istf vielleicht mit einer anderen Marne, aof der Zahlen (wie aof dem Exemplare vnm Mont« Loffa) eingegraben waran. Soldbe 'Zahlen 6nden nch in der That anf dem DodekaMer ron Bnac (rgt oben p. 633. Kr. 2) ; a ist mir rndeB»en nicht gclangcsi. für die Anordnung der letzteren Zahlen einen Gnuid ra Coden.
Die whlGJwelloch- ähnliche Porm der ein«« Oefinang M manchen Exemplaren (z. B. anch an dem auf Taf. 1« Fig. 4 al>gebildeten} mag den Zweck gehabt habenf da« DodeknSdar nof einem Stabe ao zu boCsiitigen, da» e« (ich nicht draken konnte.
\
■) Tfcl. Hprlranil. Lm CbIIm h le« Oaalub. p.tl, Fiir. O. *f V^l. die DAhorm Aa|rabcn bei Ounie ii.a.1).
F. Linthmottt': /.ur fir-<rhifhic der I\)tptd«r flv.
729
Heber du» Altrr Her pinzelnen in § 2 Aufufexfthtten Stdoko iUk «ich kaum etwaij bestimmtefi saffen. Der allgemeine Cha- rakter und die Technik deuten auf die Lu Tene-Perimle, was mit deu vorliegenden, meist sehr mangelbnflen Knndberiobten f(ut Obereinstininit. Die Dodekar^der wurden bifi iu die Itönier- leeit hinein tu Gallien gebnhuobt, vfx\. oben § 2, Nr. 17.
§ 19. Pythagoras.
Was war nun die dem Dodekaeder beigelegte symbolisclio Bedeutung? Doh knnnen wir den Lebren der Pjthagorüer ent- nehmen. Wir keliren hiermit /.u der in § 9 aufgeworfenen Krage zurQck.
Ka iät bekannt, dass die Pjthaguräer jedem regulären Kür|>er eine Hyaiboliäche Bedeutung beilegteu; dem Uexaeder (Würfel) war die Erde /.uge^rdnct, dem Tetraeder dos Feuer, dem Octu- «•der die Luft« dem Ikosaeder das Wa«>aer; dos Dodekaeder repräüentirtc das alles umfassende Weltall (oder auch Jod Atom des alles umsch Hessen deu Aethers). Cantor bat mit Uecht hervorgehoben ^), da« hier das Dodekaeder im Uegensatze äu den anileren Körpern eine besondere Rolle spiele; es macht den Kindruck, nU wären die vier zuerst bekannten Kör^rer auf die vier Elemente bezogen : als man dann nachträglich das Dn- dekai^ier kennen lernte, wurde ftlr ihn eine kosmische Bedeu- tung erst gesacht.
Damit stimmt die EntlLhluug aber den P^rthagoräer Hip- pasu«. Derselbe soll zuerst das PentAgondodekaeder der Kugel eingeschriebeo und verOffeutlicht haben; wegen dieser GotUosig^ keit (die dann l>e8tand, dtiss er die Lehren Mioea Meisters ver- besaero vrollt«) sei er im Meere umgekommen. Diese Erzählung lehrt nns deutlich, dorn Pythagoras das Dodekaeder zwar gekannt hat, das» ihm aber eine mathematische Con- struction (Etnbescfareibung in die Kugel) fehlte.*)
'> V«!. a.a. ti. p. 14». m ') Noch fllr i'Uto hatte (vgl. Kellnr, (IcvrhirJiUf der 4thiM*hu(t-b<'ti Philofl'^diiw, Hd. U |iult77) lUtf Ctotutnu-tton dm DodekaAden frevisM' t^ehvi«^
730 Siteuni) der wath.-)>hiff. tUttsM vom 5. Jieztmhtr tt06.
Cantor m&cht allerdings dicacD Schlus nicht; er beraft Mcb vielmehr darauf, d&u das Peutagramm (Stern fUnfeck, Tgl. Tuf. IX, Fig. 0, Kr. 43) von den Pvtba^oräera als Erkun* nongszeiclien Iwiiulxt wurde; er sclilies&t darau«, da^a dax rvgel- luäasige ebene Fünfeck und der goldene Schnitt dem Pjrtba- goras bekannt und wahrscheinlich tod ihm entdeckt wand, und gewinnt dadurch eine Stütze fQr die Annahme, da« }*ytba* goras auch das Dodekaeder zu construiren wututte. Aber dian Betrachtung ist nicht eotächeidend, denn da« Fentagratuiu war wahrscheinlich Rchon früher bekannt und wurde schon frOh«r alt s,vmbo1i:jchcs Zeichen gebraucht. Wenn wir dasselbe auf den Mauern Pompeji'ä uls Steinmetz^eichen fanden (p. 7'Jl). «o i*t das kein sicherer Beweiü fürdasAU«r; das Pentugrainm kommt aber aiuserdem auf eiuer annähernd xu dtitirenden Vase Caere vor, bekannt unter dem Namen der Ari«tpuophos-Vi ^vetche die älteste uns erhaltene Tt^pfer-Signutar trügt {Aguno- vorpoi ejtotoer). Auf der einen Seit« i^t die Blendung des Po- lyphem dargeeteUt, auf der anderen der Kampf zwii^chen ewri t^cbiffen. Die Art der Darsielhmg erinnert an die luykeniscbe Periode*); der Gegeuslaud der Darvtellung an die Oralnielm vun Peearo, die auch unter mykeniscbem Einfluwe entstuiden
n>?k6it«ti. Auch in der NVuseit Kheint deshalb dn* DttdekaMer aU 8r»- liol hOfaorer matlieoiatücher ÜiBcipHnen angewandt /> encbcist
et fzututmmcn mit anderen RstrotiumtncbeD und f^jrni) \ppiinilm)
im 'I'jt>(4ktipfpr dfs Werkes ron Bougaer (wonnif mir: ruth CüDKe aufmerksam machte): La ßgure d« la I'-tt«. -i . . \oii obcervationii de» Meuioun Boutpiu- et de Li Copdamüw, Pari» 174 AufßlIU{{ ist. dau hier das Dodeku&ti'r Modell huU und njl rmdea 1 ntmgen in des FlAchen dargestellt ist. wie hei cini kitlbwbm fidorn. Auch nuf d«m Wkuiiiten rnrtrait »Im Jobaiin- (NOmhiTg 1661: v^l. Nr. 64!» d« Katulo^ta der kgl. Olltfr- __ 1893) hiÜt der DärKeatellt*', welcher «einem Sühn« UafMiidit «vthtUt. ein PfxlckaJVler-Modelt in der Linken
I) Koch Furlwantrli-r, Abhumlhminm ibu- BurUiii^r Alctdamf«» 1*79 yji\. IUI üebriiren diu nHheren }•'■--
I». tt, O. p. 10 f. Abgrbildft iat dci _a._
KtilLurK«4(>hiclile fl. Bd., i. AnS.. p. ftü, ilje Tm« fUffrvi uuil vti]l»tAa*U iibguhitdpt in t\vn Muuumenti dell* Isliluto IX. I.
K Lindtmann: Xur 0**cftichtr ilrr /^ulptStr etc.
731
sind (vjjl. oben p. t)ft2): die Schiffe sind ebenfalls mit einem SUcbcl vorsehen. Zwischen den huiden Hchitfeu, olKrbulb und unterhalt) derselbfn beHndet sich jo ein Pentatp*anim; und Kwar ist dasselbe nicht späUfr eingeritzt, andern uncprGnglieh von dem Verfertiger der Vuae beigeffl^t. Der Künstler ist sicher fin Grieche und zwar ein Joninr; die Zeit der Anfertigung fiillt frQheateaa in du 7., apUastona in du 6. Jahrhundert. Pytha- goru ist zwischen 540 und 510 nach Italien gekommen; da aber das siebente Jahrhundert als das w ah rbc hei n liebere an- gt!gebim wird, sn müssen wir annehmen, doss schitn vorher das Pentagramm in Unteritalien als symbolisches Zei- chen gobruurhi wurde, daas also Pythugorn» e» vorfand und wahrscheinlich auch die Bedeatang desselben (nach Cnntor war es das Symbol der Gesundheit) beibcdüelt.
Mun könnte allerdings denken, dasK Pythiigoras das Penta- gramm aus Kleinasien mitbrachte und dass auch die Vase ron dort niiclt ("jiere im|>ürtirt sei. Aber das wäre nur angängig, wenn jenes Zeichen auf anderen griechischen und in Qnetrhen*- land gefundenen Vaaen ans dem 7. Jabrhnnrlert nachgewiesen wKre : das int aber meines Wissens bisher nicht der Kall. Wir kennen dtis Pentagramm dagegen von den Mauern Pompeji's, wir kennen das FOnfeck bei den b^truskern durch das Dodeka- vdvr vom Monte Lnira. wir wiNsen, dass Campanien vor den Grircbcii dun:b die tltniüker coloniairt wurde; wir werden daher schliessen, daas das Pentagramm eine den Ktruskern vertraate, besonders iilWnling»! in ihren sQditalischen Kiedorliut-iuhgen ver- breitete Pignr wiir. und dos« die Aristonopha-cVase in Cani- panien (von einem Griechen) angefertigt wurde.')
Cantor hobt besonders hervor, dass er das PQnfeck, allg<^> meiner die Kttnftfaeilimg de» Kreises, auf ägyptischen und chal- diti!«chen Abbildungen nirgrudu gefunden habe. Auch ich hal>e vergeblich darnach gesucht; nur bei den Ornamenten der agyp*
') hu uuLD iioiist tk' < iiilt iuftt. iliv tit.-iiiiuLh it'T Vaw* KU lio-
«tifniui'n. liUnI lirh ou < de» Herrn Collogvii Fu r t wtin kIit
gegen ditwo Anuabin» M<hUclt nicht« «ütwoMlcn.
732 SiUung der muth.-yiiys. Ütaste vom 5. JJtxemhe
tUchen Brolfürmen des mittleren Reiches') finde ich *■- '" if- (rtuch eine Sieben-) Tbeilung des Kreises, d. h. ein aas ■• —u
gebildetes (nicht f^uz reguläres) FUnfeck. Hiiifiger ist dieae Figur schon in den Funden von My kenne, und zvrar kommt in Betracht: 1) ein goldener Knopf |,SchliemanD, M/kenae, p. 304, Fig. 41 S), wo das Fünfeck aber sehr onregelmSMig m»* gefallen ist, 2) zwei Ornamente auf einem goldenen Diademe, ib. p. 215, Fig. 218, 3) eine Zehntheilung des Kreises (aUn^ dinga anch sehr unregelmässig) anf einem Ornament« an cdaem Goldbande, ib. p. 346, Fig. 459, 4) de^l. auf einem goldenco Diademe, ib. p. 2G4, Fig. 337. 5) desgl. auf einer Topfsohcrbe, ib. Taf. XXI, Fig. 201. .ledenfaliä war hiernach das FOnfeck schon in der mykenischen Epoche') dem Handwerker eine g«* laufige Figur, wenn er es auch nicht nach mathemabscheo Regeln zu zeichnen wii.<«te; dui Vorkommen des Pentagramm» (des Systenies der Diagonalen im Fünfecke) in sehr frfibat wäre daher nicht besonders auffällig.
Auch in Oberitalien kommt das FQnfeck in ähnlicher Web» vor. Die Räder der Streitwagen') haben auf ägyptincheo oad babylonischen Darstellniigen in der Regel 6 oder S flpoeheo, nuf den ältesten griechischen Daniellungen (OrafasMen toq Mykenae nnd DipyIon-Va«en) in der Regel 4 oder 8 Speichen.*)
>) Vgl. Ermaii a. a. 0. p. 269.
*) Nicht in Uetrarht k.imint hi^i ' -flmifihailr
ftliifKackige GeritLh (Hvlbig, Uomi^ni-i : ; dab^ haa^
delt 68 sich uiu Hn Sorfaaeck. ui di.ww>u HVcbfllor Ecke ilvr SÜ*1 iloi («•- rAlhM befentigt i«t.
>) Vffl. dio AlihilitiinKrn bei Hi'lhig u. o. 0. p. 03 ff.
•) Dem vi*>rFpi»i.hiK«'n Rmlf fTaflX. Fig.«. ?tr. 5&> iiuub bi dv HaINtatl-Pcrimlf «rtne gun« b^^cndenf ßedcutUDfr bviirvlvi^ vonlaa mim-.
deun kleine Metallr&der lind wiiMlcrhoU in Arabern tan Ufk .iUlion gcfiimlen (vgl. Sihtiouiftnn ■». nu ü. i |Jtitliker eU., )i. 133; fiiidprrrMjiU c B, die «tra«^
bil'lut Ix'i V. HpUwoIiI a.a.O. p. 18&) Aiirfa Haf Mniiiki«rbt*ii \^ 'flmlistflun fni'liKiDt dai Rad Und hat *äcb tutcb Nonim .
Likiieinark rcrlirpitol, Tgl. ?, ^ohnlnnburj;. fjäUvhrifi ffir I
Bfl. Iß. p. 427.
«Dii
F. LintlenutHtt : Zur GtuhttAtc drr iSd^tUr «rc.
7:i3
Auf der Sifcnlu von Watsch iiiid auf ilur Situla Armtaldi (Bu* logna) kommt indessea je ein Wagen mit fCinfspeichi^iren Ksdera vor. Das wird uns nicht merkwürdig erscheinen, wenn wir annehmen, das:i das Pentagon- Dodekaeder bei deu Nord- etruskern eine besondere Verchrnng genoss nnd m d«a Fünfeck eine allen geläutigti Kigur war.
Was aber die Stellung des Pythagoras zum DudekaPdcr angebt, so sind auch vomtehende Erwiignngen nicht entscheidend : fiie untersttUzen nur, xasammen mit den Krörtarungen in g IS, die Richtigkeit der lii»torischen lleberliefrning. Alexander Pulvbistor (Beginn des I. Jahrb. v.Chr.) benchtet nünilicb, daw [*Ythagora.s von den tiallieni und den Bramaucn gelernt habe; JamblichuR erx&hlt analoge« in B<;trf'ff der Kellen und Iberer. Zeller^) deutet diese Kachriclit dahin, dam Pytha- goraa die Lehre von der Seelen Wanderung aus Gnllien em- pfangen habe.
Wir werden, da das Dodekaf'der iti OI>oritalien natßrliclinr Weise zuerst Beachtung fand (xusauimen mit dem Ikosaeder aU ChryHtall-Form de» SchwefelkieAen, vgl. ^ 18) und da Kach- bildung solcher Dodekaeder (-/u religiösen Zwecken V) auch in Oatlien flbbcdi war, vielmehr annehmen, dass Pythagoras ge- rade mit dem Oodckat^der durch die Gallier bekannt wurde; er kannte die Kigur also aus der ÄnschanuDg, ohne nie zu confltrniren. Dadurch wird ancb die obige Ersählung Q(M:r !A;inon Scbnlcr Hippasus veratAndlicfa,
Uebrigens iäl bemerkenswertb, dass auch da^ Petita>;rarun) aich in sfüterer Zeit bei den Galliern findet, und zwar auf den MUnKen altgalliscber Karsten, £. B. auf einer Silbermdnze mit der Aufschrift Ateuln und (auf der anderen Seite) Vlat^w mit einem Stier und dem Pentagramm*}, ferner auf den von Mioiinet
') GflBcbicht« JfT fifrii^hischt^n Fbilniopbir, p. 277.
• Vgl. GrBfBv, llan'lbnch <Jcr alt^'n Numiffmatik, Leipcig I8M. a1)Ki*bild«t «nf Taf XI, und Mionn«t. Dvwrnption de m^laille« auliqnn. Fahfl 1606, t. 1, [i. Stf. Nr 13 WfiN?n> MQo£<.*n fambp ich noch nicht Vorgldclieo k^nni-n, da irJi enl wlhn'nd tle« Dniric« drr ror1i<ii[L'ndi*n Arbflit Jorrh ZnAüt auf uiuo »olrbo MUnxr nnßiM^rlMAn) niirilr.
Tai
mummt dtr
■flUr Nr. 9. II. 24 (^ a.O. f. ft C), 44. 88. It7 taA\
p. 91 u. ifi>t wfxfgdtkaUn giÜMeba ManBa, mkIi «of etfMT KapfeffvAa» «■ K«cmm (( a.s,0. Taf,.M, Nr.«). O« gaOiKhM Uta
bld'U*) ak NadtbadoDgn
bong wiedvxa hmUti^mt; «r wirf Tidlwrlrt maa nieb die £cr««k«r di Venatttlor denkt; iiiiMiiiiili CftiD|]am«ci, andannati Obg^lUlwp : di« Kc ,ia der ^k»m waren aaoäfetclbare Xadikara der 6tta»e; Mxterc nahnM von iko<a die SAiifl aa, wia reiche gallitcha Mlaa« nst Aocfa im ajmbol dm Dodekaidn ■wtiüfaii. aMdh (| U») «»" dea AlpeaUiikni m PicaMMi aoa aSrlfiek aad wiaüwfc aa d« OaJlienif um dort lÄDger io Qebraocfa ni bleiben, ab hm da Elraeltam. Aabnlicb mag es aneb mit der Verbr^ilaag des PantagramoiR k^****b Min, den wir ia vAx IrAbar Zat in GampaoMn, einige Jabrboadcrie tfUba in Pallien kegpi^Mn. Mao kAante auch dann deokeo. da« da« Pmlagnmm naf der AriitooophcM-Vaie mit IVtbagoraa angalUir •ei, daaa damnaeb die KeoatniH dei Pflaladb mid daa Sdatw rnngthehrt von Caappairian aieb nacb GalEes rcrbradit babe. Dagegen i|iRcbeo aber muere IHlberen 6rtode fttr da» Alter dw Dod«fcaedcr vom Monte l^ioSa (p. 652 (T. n. 716 ff.}, «>- wiedie aonrt onTentAadliche KrUblang Aber Uippaxns. Aacb andere Ueberlegnni^eo, die wir hier oicbt wiadarboten*), lattaa
■t Tft Momraieo. BAanKbi» VaanraHm. p. 3U n. CTS C t Vk). 8. OBolkfr; lo » ' -rieo dalU tooria <i«i f«
^elljiti neu' uttirintlA p od n^ HtiOHUan Ji bOOfi^mfia * £
•teria ddl«! üii»» matnuticbe a Mdip. L 4. Bon 1874. B* vini law wh ilac di^U^b« Wort .I^midflDftta' fir 4m Pemtagnawi «rvtimt oad ■of t*rinitu'i AblcibuMr dcaenwo (ab IFtam der dc«h*) tiiBg>i eimwi: 4l«r in Tiab: nort immcnbaag d«> Peatac^nm» vaä ab»-
^Bcher Figurra lot .: »tt||mll»dav« ntigiflaeit Vnnu*3hn#w
Um« «■ (loch «1« raflf(iicfa «neMBin. dam jea«« Wort «k Mf dia |^-
, ilachea Priart« lii>*irlil.
.diMHI
F. iMtdcmaHn: Zw QeitchidUt der I'nlytdfr rtr.
735
es unwabrscheiulicli ersckeiaeD, daBS dem Pythagoras die wiasADSchafllicbe Conslnicfcion des regelmässigen Kdnfeeks be- kannt gewesen aei.
§ 20. Fortsetzung Die Bedeutung der Zahlen auf dem DodekaMer yom Honte Loffa.
Von (]«n Galliern konnte Pythagoras da» Dodekaeder kennen lernen; nimmt man dies an« so ist es wahrscheinlich, duB er Audi die btniachbarten, höber civilisirten Etrusker auf- fsuchte. Jedenfalb äcbeint er xu den Etruäkern in engen Be- /.iehungen gestanden £u baben; daa Volk muast« ibm aus Süd- Italien bekanot sein. In der Tbat wird er im Alt«rthunie hliulig nU ,dcr Tyrrhener* Hewirhnot.*) Man hat dies dahin gedeutet, daes Pythagura« /.war, wie die Ue herlief er ung will, auf Samos geboren sei, doss er aber von einem eingewundertuii tyrrhei)L'icb*peIasgischen Geachlechte abätamme. Dieser Beiname bezieht sieb nach unserer Ansicht (falls Samofi wirklich die Geburtsstätte war) darauf, dit»s Pythagoras vieles Ton den etruskisohen Prieatern in seine Lefaron her Überge- nommen babe, eine Anhiebt, die dnrch den folgenden Um- stand gestutzt wird.
Dai gonse in den libri pontitlcü venteichnete Oultusweaen der Rtimer war von pythagoreischen Gedanken durchzogen. So ist en begreiflich, dass Numa, der allgeiueiu Hlr den Schöpfer des ri'miittchen Gottesdienstes und der Zeitrechnung gehalten wurde, aU ScbUler des Pythagoras galt. Letalerer war in Rom Hl) hoch angesehen, doss man ihm im Samnitenkri^c» ein Standbild setr.te. Wegen des Anachronisroos ist die Numa be- trefleude Nachricht unmöglich riditig*); verständlich wird sie, wenn man annimmt, dass aowoht Numa ab Pythagoras aUD denselben, nämlich aus etrtiskiäcber Quelle geschöpft hatten.
<) Vftl. XelUr ik. n. t>. 371. Norh Pliitarch wfti» PrthufToru in Kmirit'M (tfSoivn.
'} V'si l'nK^r, Zoitrecbnunir der Griechen and BOuiur in t. Häl- 1 sr*« Baiitibiirh der Altttrtliiitnawiuienachnft, Bd. 1, S. Aull.. p. 799 ii. 008.
7*'I8 aiUung Jer mnth.-phtf*. Ctmtat om» &. Dtgmmbmr JifMJ.
In ähnlicher Weise sind aaoh die Anderen bemvrkeai- wcrthen Zahlen entweder selbst maf dem Dodekaod»! oder sie können durch Addition bezw. Subtraction be^ nachbarter Flächen leicht gebildet vtrdcD (vgL Taf. Wo im Fülgenden Zahlen durch die genannten 0( combinirt worden, handelt es «ich imoaer um solclie auf nachbarten Flächen. 3o kann auch 4 aU 20 — lti=^, — ^ gebildet werden. '> &U 15 — 10= F, — /^,. 2 aU 12 — l<
Acht ist bemerk eoswerth aU ejvter Cahas; wir 20 - 3 - 9 = F, — F^ - F„ = ?.
Neun hat als Quadrat von 3 und al« SchlmezaU der Dekas eine bedeutende Stelle: F^ = 9.
Zehn fasst in sich alle Zahlen and all« KrÜW, denn afle] höheren Zahlen werden aU Wiederholung der 10 enia trachtet: i;= 10,
Quadrat und Heteromekie (d. h. i^ und M(fi -{-'))] werden in der yythagu reischen Kategorieiiiafel einander Über gcatelli. Suchen wir daher auch diese Zahlen am Oodaha-1 irder festAUMtellen.
Die Quadrate 2', 3* sind schon erledigt; wir haken 4»=16 = Fj. Ferner 5» = 25 = /; + F, = F, -f /;. Ots Quadrat von 6, d. )i. 36, ist eine ganz beMnder« beJItife aie ist die Vereinigung der rier ersten Geraden ond t'ngipr 3« = 1 +:3 4-fl + 7 + 2 + •! + 6 + 8 (ald Tetraklyi zeichnet); sie ut die Summe der drei ersten CabiknKI«li| 1' + 2> + 3*; sie ist die Quelle nnd Wurxel der eviKW Kater | nnd repr&tentirt da« Weltall; nie war der höchste Schwur der Pythngiiriier. Vielleicht steht rie gerade d^hdb (wir die Zahl 7) nicht direkt, Honderu nur versteckt auf dem Dodekaeder. Wir haben :
i^,'ff;«20 + l6=F, + F,-12+24-/;+/; + F,^ - Ö +21 + 6 = F,+ ;•; « 21 + lÄ,
Dt- i t^r gegmttberliegenden Zahlen mi Uv fi »Igvoder
T;i I I »niehon :
J"'. t-imtemofin: Zur (/«»eluchU <ler I'olyctief efe, "^^
20 : aou, 15 : «o, »^ ai, 10 ^ li, lü : 24, 9 : 12.
Die deu zuletzt benutzten gegcnüljerliegendeii ZUTeni geben nlso. in gleicher Weise gummirt:
300 + 24 =• 324 = 9-30, 9 + 16 = 25 = b\ 12 + 3 + 10 =- 26 -. 5», 3 -f 00 « U - 7.
Die erste Zalil ist das Prodnct derselben Tetraktys in die be- deutsame Ziili) 0. Die sweilti und dritte geben lieide 25, was kaum Kufällig sein dürfte. In der zweiten Gleichung haben wir aaBsardem die Beziehung zwit^chon den drei iijthagoreischen Zahlen, welche dem pytliagtireiacben Lehrsatze zu Grunde liegt, und /.ngleich ist hierdurch die heilige Xnhl 36 ku diesen nierk- wOrdigen Zahlen 3*. 4', 5' und xu 63 in Beziehung gesetzt. Waa die gBgenflherliegenden Zahlen angebt, so ergibt sich aus obiger Tabelle kein »ehr benierkenswerfches Gesetz; in jedem Paare sind gemeinschaftliche Factorcn enthalten.
DieZnhl7*=^49istF,-Hr,-|-Fß-f-j;=20 + I04-l(> + 3 = F,4-F.-| F,-f>;«l0 + 3-f 12 + 24: 8»-64 i.t F„ 4- i*'.+ ^;H-F,+ ^»=-6-f 9+15 + 10-1-24; g» = 81 ist ^lot-'^^-i'^. f ^■-f->\-=6 + 21 + 24+10 + äO; 10»«100 — ^^ + 9 + ^n + 3+12 + 2•l + 21- Acbslich verhalten »«ich die heteromekeu Zahlen. Wir hahen: 2X3«6=.F„; »X4 = t2 = 7^,: 4X5 = 20=F,; 5 Xrt«30-F, + /•;-, 0X7 = 42 = li', + >*, + F,: 7X8 « 5Ö - i^\, + F, + F, + F, + F, - 6 + 1 6 + 9 + 1 5 + 1 0 ; 8X9i»72 = r, + F„= 12 + ftO; 9 X 10 «9t» ^24 + 21 + 9+16+20.
Die Zuhlen 12, 20, 15 »tehen zu dem DodekÄi^d**r in \te- Dnderer Ber.iehungf da sie die Anzahl bezw. der ICeken, K1&- chi<n und der Paare tod parallelen Kanten angeben. Der Zahl 60 kommt al^ Orundzahl d«.i sexageai malen Systems eine be- Torzogt* Sti»ll«ng zu (vgl. oben p. 660), der Zahl SOO = F„ atiff d«trii^c'lben Grunde, denn aacb im babylonischen HTKlem« tindeu wir fOr 300 ein besondere* Zeichen (vgl. Taf. IX. Fig. 4 und olien p, 708). Die Summ« 300 + «^0 + 6 gibt die Anzahl
48'
7 10 Sitxuny der mathrftlti/», (^itU9 «e« 5. UtMmher JHML
DodakaXdm nie nmn Br-
»t^rmul
der Tage im Bonoenjahre uur fCr die Scboltjobn üeberlegungen scheinen daher bei CoDstniction Dicht maassgebend f^ewesen zn sein; and- ' " ;
Ziehungen der Zeichen zu den Thitnl.. . :..
mQssen ; solche konnte ich inde»en nicht auffiDdon
In gleicher Weise wie die Quadrate and heteromektfii Zahl lassen sich alle Kahlen bilden, die als Vielfache ron 7 scheinen. Ausser den obigen haben wir: 14 ^ 24 — 28 = 15 -i-104-3«9-f 16-1-3; 35 = 20 + 15; 63«l3-f34 + 21 + n: 70 = 1<> + 9 + 15+ 10 + 20. Die vier Sannuadtf von 63 liegen um die Zahl 300 herum und schlieoien lefitere Zahl zusammen mit der Zahl 60 ein; die Zahl 63 be^eipiclc ans eben auch bei Besprechung der Tetraktjx: sie eatsteht a» ihr, wenn man Zehner und Heiner vertau^bt^ wa« aoch okM Auweudung unserer decimalen Schreibweise anffUlt, wenn das Rechenbrett (den Abacus) benutzt
Dasselbe gilt endlich auch fflr die Vielfachen ron und 8. Es iatnämlioh: 35 = 20+15; 40-= 10+ l5 + 9 + (t: 45 = 24 + 21; 50 = 21+9 + 20; 32 = 3 + 20+9: 48— U + 10 + 3+20; die anderen Zahlen sind schon -n.
Kine Ausnahme machen nur die Vielfachen von 0; m urt «hat kann 0X3=18 nicht durch Addition oder SubtractiiMi be- nachbarter Zahlen gebildet werden, dag^en wohl alt 31— S durch Subtraction gegenüber liegender Zalilrn. Die Zahl 1*^ hat rielleiclit als Hülfle der Tetraktvs eine ausgeEeichn^ic SUrik einnehmen sollen: alle Vielfachen von 6, ati»giefK)miii«i dW Vielfachen von 18, köuneD nuaaerdem durch V> .9^
solcher Zahlen erhalten werden, die direct auf dem Utu. H;,.^l«r angebracht sind : 13 = 2 X <** 18 = 2 X ^. 24 = 2 X lii, 30=2X15. 42—2X21, 48 — 2X24; «• febloü 36 = 2X1», 54=3Xi8.
üemKaa den Formeln 1 + 3 + 5 + . . . + (2ii — 1) =s ««, 2 + 4 + 0 + . . . + 2n ^ II (H + 1) sind die Summen der iia- girraden und geraden Zahlen mit den <^aadniten und d«a |if.f.....r,,.A.... '/»Iilen idvnliKch. Daxn ktMum^D diH «ijienAiintra
I
rliTMitfin: Xw f^nehidtte der /Arfwfrfei' rfr .
14-24-3+.
• +»= gWln+O.
hIso :j, Ü, 10, 16, 21« 28, 36« 45. Kur die letetea drei fiadeu aich nicht direct auf dem DüdekaPder; es entstehen aber 36 und 45 At» derselben Znhl 24 durch Additiun der benacfabarton 12 und 21, von düuon die mne aus der anderen durch Ver- tauachiing der Einer mit den Zehnern enULeht« wie ti3 aus 36. In denelben Bexiebung ntt^hi 54 zu 45 und es ist 54 = 9 4-10 4- 15 4-20. LeUtere vier Zahlen nind durch kleine <^nerlinien, die Ton J'\ nacli i^,, F^ und F^ flehen, mit einander verbunden, ebenso wie die Zahl 24 mit 21 und mit 12 je durch einen tina)o|;en Kinsclmitt in die IfelreÜ'ende trennende KOrperkante verbunden ist (vgl. Taf. II und 111). Den Zahlen 24, 21 und 12 t^e^unfiber liegen die Zahlen 1(>, 'i und 9: und ihre Summe ist 28. gibt ako die dritte noch fehlende Dreieckazahl. In gleicher Weise mit einander verbunden sind die Zahlen ß, 16 und 60; ihre Summe ist 82, welche Zahl wieder aus 28 durch Veriauschung von Zehnem und Kiuern hervorgeht. Durch dieae Uebrrlegung dürfte auch die Bedeutung der erwfthnten Qncr-Kerben klar gelegt sein; sie beziehen aich auf die Bildung derjenigen Dreieck^zahlen« welche nicht selbst anf den Flächen der Dudekaeder vorkommen; sie haben gleichzeitig eine zweite, sogleich zu erörternde Bedeutung. Zunächst liegt es nahe, diesen Kerben einen rein prak- tischen Zweck beizulegen; sie sollten etwn dazu dienen, das Dodekai'der irgendwie an Fäden aufzuhängen; aber die Auswahl der eingekerbten Kanten ist gerade fUr diewn Zweok nicht gOnatig. Man kann den Kerben eine zweite Bedeutung im Anschluss an die pythagorfti»»cbe Vondellong von den voll- kommenen Zahlen beilegen. Hine Ziihl ist vollkonuuen, wenn sie gleich der Summe ihrer Tlieiler i*t, wobei die li^iuheit ftlfl Thcilvr mitxuMthlen i»t (natarlich aber nicht die Z^hl selbft); z. B. 6= 14-2 + 3: 28-14-2 + 44-74- 14: 496 = 14-2 4- 4 4- « 4- Ifi 4- 31 r «2 4- 124 4- 248. Die Zah! ü steht auf Fläche Nr. 10. Die Zalil 28 haben wir soeben iils Dreiecka- zahl behandelt: Die vullkunimeue Zahl 490 erhalten wir
:*'-*^.*^
^ O» di. &?"** + 300.
T, '^"' z«ii/ a* , * "^ '• ■SU
•jr?"'"" *"^rf- be; .• '^* °" *1 + i
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'rnt
emann: Zur (rciwhichtfi dn' l'uli/eiUr etc.
743
Iruppe 60, ti, IC:
ki + 5,; = 5 + 18 -i- 107 = ISO.
S^ Gruppe 10. l.'j, 20 (iiideDi von Her hiemit au- gn Ü ziu)äch:tt abgesehen wird),
■^.; -1-^^=7 + 8 + 21 =36»),
Tetraktyx; während die Zahlen 60 und 120
das Sexogoaiiunlsystem ao^ezeiclinet sind.
Seeer 3 Zahlen 60 4- 120 + 36 ist gleich 216
t>^0^ steht also wieder zur Tehraktyx in ei^en-
Nciebung, denn es iat 3^ = 1» 4. 2^ -f- 3'.
der letzten Zahlengruppe die 9 mit berflcksichtigk erhalten wir
[egunQljerliegenden Zahlen:
PP« + >'« + '^« + ^3«, = 69*-
me ÜÜ4 -f 42 = 736 föhrt auf die Zahl S:^ = 775, ifferen/. 694 — 42 = 652 auf .S;;, = 495 ; es ist = 216 = G», S' == 376 und
«52
,S„. = 343 = 7».
,uch in den beiden anderen Tripeln von Zahlen die enden Zahlen ein, 80 wird
5^; + S;. -I- 5; = 24 und .S- = 35, 5« + -^« + ^.'5 = 50"°^ ^« = 42.
me 50 4- 24 =« 74 gibt S,\ = 39, .S3, -= 16 = 2*, ^2 = 77 gibt 5-; = 18*= 6',;. Bilden wir die
l»4-5w4-3| = M4-84-6 gibt Ührigeni 3Ö. nehnng xwiiirben 9 und 20 konnte mAii mrh üiicli m I ola 44~6 anf d»'m Dodebaikltrr ilarjfeslflll int. wubrt-nd ihrt. [>ttnn wüiv ß je mit 16 und 00 vtrbundeu. weil
BO i«t; tiaun ahor inUMtPii nurb noch andfre verbutideii at-ia ; e« ist ja it. B. {0 X 2 = 20.
it nirlit mit 10 vnrbumh'ri.
74 1 SitittuQ der
S. ttesernher IHSHt,
DiH
ercHxeu
der
U tiU — Ü4 — 36
Glaagü TheileraummeM gt^gi^nilber liegender Tripel,
und
feruer 3ü -j- 70
IW,^
I
r
^«+-^,»--60 + 73^ 133 und 106 -f 133 = 239 = S^,;
Ä- = 8 = 2^ und 26 + 55 = .%, + .S«= »l = 3*-
Die Summe der drei Zahlen 694. 24, 50 ist 709 nad ÄV„ = 745 , äV„ = U4 =- 2 (5^; + Sg, äVj^ ^ 183, «ndwrr- -*it« .S";,^-f^'^*f ^^-244, 5.^ = 189. .S;^=-129, oud 12y -f- 188 =^ 2<)2, SVgj = 133; ferner S;„ = 2<l. ^Y» "= '•^' 'S«+>«-^OiS« = 49 = 7V
Die der Gruppe (10, 15, 20} gegeDttberliegeuile« ZaUeft
ergebe«
Die Summe der Tbeilermimmen jener Gruppe war 36; » iat 679 -f U = 715 und ferner : S:^^ = 292 , S^ = ^25. S;,5=162, 5,;, = 200, 5^, = 2rt4, S^ = 455, .S'^-^Stt = 6*, welcher Zahl wir schon oben bege^el^u ; andfrrvntsk
5«,+ ^.. = 104 + 60-104, ä;^-iä9, s;^=^u, ä^=5«-J
Die Summe der drei Zahlen 24 > 50, 679 ist 753 uo^ ' ^i'u = ^^^ ^^^ die^lbe Zahl 254 i^t ^hhh der Suniui« 120
+ m -|- 5Ü H- 24.
Auf dieäelbe Zahl 104 wird man gefUhrt, wetm »lan dto
!\mr 1.1. 16 und das Piuir 0, OO betrachtet; es ist
'So + 'S«=23. ä« + ä;.= 112,
und fttr die Summe 112 4-23=^135 finden wir S^'J^^ = 104
Ebenso betrachten wir die durch (iuerkerl>eii markirie« FüAte 21, 12 und 24, 21 für alch', es int
50 -|- 45 ^= 95 [ und wieder S^^2^; wir biMett «oitet Ä'^ = .%, 5^ =- 12, .S;;^ 15, N,; ^ 8. S, = 6, S; = 5; dm» ist die Summ<i aller dieser Zahlen {5 bi»* 24) — 105 = S,^,
ReKeichnet man mit ~ u die Summen aller 12 Zahka *
rtftaf nitnit ■ Jsitf
htf der
ttf.
(ulw) 49U)« mit JT^^ und Z 8^ die Suiuniou alt«r 12 Znlilon 8^^ und iS^', 90 ist
= 300 — 20— 10 Xü.
Wühei 10 und t) einander gegenßberliegende Zahlen sind; uml ra besteht die (ia gewissoni Sinne) anHloge tjileichuDg
Xfi - V5„ + .V« -t- .V^ = 284 - 300 - 20 - (10 -f- «),
wo nuch 300 and 20 einander gegenüber liegen. Ett ist femer:
.s„,« 2X284. 380 =«10 XV
Die hier rurkoroni enden Zahlen 284 und 220 sind wieder aus den pytiiago mischen Lohren beknimt ; es sind xu einander befreundete Zahlen, indem die eine gleich der Suniroe der T heiler der andern ist:
284= l + 2-f 4+S + lO-f-U -f 20 + 22 + 44 + ö5-f H« 220= I + 2 + 4 + 71 -I- 142.
I)nKh ZasammeQfaaffung aller dieser Einr^lhciten kommen wir XU dem Hesultato: Die Zahlen auf dem Dodekaeder sind Bo auBgewühlt und angeordnet, dass die ans der ersten Dekade /.u bildenden Quadrat- und beteromeken Zahlen entweder direct vorkommen, oder durch addi- tives (in einzelnen Fällen subtractiTes) Aneinander- rvihen benuchbarier Zahlen zu bilden »ind; diio^ Qtei- tibu» Ton den Producten dt*r Zahlen der ersten Dekade gilt mit Aunnabme der Zahl IS und ihrer Vielfachen, bei denen auch einander gegeuOberliegendc Zah Jen »u berücksichtigen «ind, da»» die Dreiecks-Zahlen beson- d«r8 hervortreten, ebenso die vollkommenen Zuhtun, die Tctraktyx und (wenn auch weniger deutlich) die befreundeten Zahlen. Daneben traten auch BeKiehunj^en zwischen Zahlen wir C\?, und M, 28 nnd 82, h\ und IT» auf, di« in den pythagnräiftchen Ueberliefeningeo kt*in Analognu xu haben »cheinen.
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Urmantt: Xur Oenclnchle der Polyeder ete.
717
IrihHguriuT iiut denen ctniskisclier Priester vicl-
^(p. 735 f.); unter letzteren lialten Zahleu- rade eine besondere Bedeutung ; n Zeichen auf den Gewichten und auf dem Do- Ae grosse Gruppe von anderen Zeichen verwandt
N, die vor Einführung der phönikischen Buch- Igauzen Mittel meerbecken angewendet wurden nders als Stein metzzeicben) noch lange erhielten
rQnden fügen wir noch folgende Bemerkungen { auf den Gedanken, Pythagora-s habe von den 1 etwas entlehnt , schreibt Z e 1 1 e r (a. a. 0. Selbst wenn einzelnes von dieser Seite her in den s gekommen sein sollte, k&nnten es doch nnr xlnete Bestimmungen gewesen sein; philosophische len umwohnenden Barbaren anzunehmen, waren hen Griechen wohl ebensowenig geneigt, aW jene le Lehren mitKUtbeilen im Stande waren.* Nichts en Beinamen ,der Tyrrliener* för Pythagoras er- £e Worte ; er machte sich eben von dem helleui- eile gegen die Barbaren frei, wie er so manche loile abstreifte und nahm von den Etruskera, wa» , konnten.')
litalieu äia<l diese Zahlen-Speculaiiouen vielleicht 1 Übertragen, vielleicht Aber Aegypten oder durch er Phnniker. In der That verrauthet z. B. Cantor an der Tetrakiys babyloniiicbcn L'rsprnng.') Dahin i bevorzugt« Stellung der Zahl 60 auf dem Do- Stellang, die bei den Pythagoriiern in Vergessen-
nch umgekehrt das Intoene der Ktrusker lui ihm; vgl. Lotn. p. G&7.
a. 0. p. 86. Eiuen Aiisflaaa alt-orientBlisrbpr Oeber- ani man auch in Act an die Leber dvn Opfertliit*n» ge- , di<' lifÄontli-nt in Etniricn anw^'i-iilit wunli*: v^I. Difc-Jit', U*tupliiin von PiArr^izii, KtriiiikiA4-b«^ Porichimgi'n und lit(«art 1882, p. 7».
F. IhiilemtmMi Zur Guchicht« dtr i^yväcr etc. 7il>i
Mail liftt iliese Wort« als etrnskiflcha Zolilwurle für die Zabl«iii 1, 2, 1.1« 4, -j, 0 aufgePaaifb, ohne aber liulier fnfUluIlen xti, können, welrlie Zahl durch jedes Wort gemeint sei.') Am vahrscbeialicbstt*ii iat «d, daas nicht die ß irrsten, son- dern andere t> /«ahlen auf den WOrfctn stehen; vielleicht huiidutt 1» sich auch um Worte mit anderer religius^synibolischer ] Bedeutung.
Dlt Gebrauch, derartif^e Zahlen •Relationen auf rei^ulilren' Kör]>eni durzuätellen, bat »ich iiugHidcboiiiiicb länger t^rhalten: wir finden ihn auf dem Dodekarder von Bonn wieder, aber das BewiiästKcin von dcnt Inhalte der Relationen und der Bedeutung der Zahlen war verloren gegangen (vgl. |i. OWA a. 72H). In andercM' Weise begegnen wir demnelben Gebrauche auf der [bip()el|iymmide von Meclo (p. t}51 u. 712).
§ 21. Die Apicas des Boötius.
Teber die Herkunft unserer heutigen, sogenannten arabi^chfiil Ziflem bestehen verschiedene Ansichten. Sicher ist, dn&s schon früh in Indien ähnliche Zahlzeichen gebraucht wurden , dasa I diose nach Alexundrion fiburtragen, von den gelehrten Ambeni dea Westens (alä sogenannte Gobar-'/ißern) angenommen wurden] (etwa im 10. oder 11. Jahrhundert u. Chr.) und vou dort ihFenl Weg zn den Culturvülkern Europas fanden.') Fraglich ist nur, ob nicht ächon ähnliche Zeichen bei Griechen und HtJmern ta früherer Zeit benutzt wurden. In der Ar» geoniftric» des Bni^tiuf) (um 500 n. Cb.) findet sich nämlich die Bßmerknng,^| du»« beim Itechnen mit dem AbacuA (Ttecbenbrett) verschieb-^F baro Marken mit dort repr'xlucirtt'n besi)nden.'n Zeichen Hir ilie Zalileu fou 1 hin 10 angewendet wurden; dieee Zeichen werde bU pythagoräiiich bf/eiclmet und sind jenen Gobar/iffem aehr ähnlich. Wir haben dieselben auf Taf. IX, Fig. 7 und] Kwar mit I bi» V in den verschiedenen Formen, wie die in de
';- Vijl. B. \i. Puuli, Pie pimAkif-ph«^!! XalilwiVrtiT. KtnwkiidiJ Fonrhiinpf) itnil Studio». H<*ft 3, fitiitttpirt ISÜl. »I Vifl KriMllnin u.a. 0. |i. M ir. mid tUi II.
752 SiUun(r der imillt.-jJtifii. Ctiume rom '■. iMuemJjer StiSht,
tischen Zeichen für i (Taf. V). Die 4 unter II bdsUhfc demaelbeD Zeichen (wenn rcchU uud links vertauscht wird),' rerbunden mit einem horizontalen Striche. Der letztere t»t aber das (ältere) hierutiscfae Zeichen für 4 (Tiif. V. Col. b). En wü ilalier anzimehmeu, dass urbprüngUcb beide Zeichen nnf il«n Abacud benutzt wurden ; der horizontale Strich tat dazu »ber unpraktisch, da er bei Drehung der Marke um 90** die Kinbdl bedeutet; deshalb m&j;r ihm dann da» domoti«che Z< ' ' Ifö-^ gefti}{t sein. Die Zeichen flir 4 unter I und V «lud i ' .^ "ra-j tionen dea unter II mitgetheUten. Die Ziffer & ist io Füllen Ton der hieratischen oder demotwchen Zitfer wenig r« schieden ; der obere Querstrich ist nur leicht gekrOmiiit od«r^ schräg gestellt. Vertauscht mau in der hieratischen üdcr detao- , tischen (i gleichzeitig rechts mit links und oben mit unten, m\ entsteht daa Zeichen |||; und wenn man letxteree in einem Zogt' ausführt, 8o werden sich Verbindungästriche einitchiehon {wie bei dem ägyptischen Zeichen fQr 8 und dem Zeichen 3 sof d«B' Apices), so dass man die auf den Apices vorkommend*^ c^skigo Ö erhült.') Die Ziffer 7 entsteht aus der zweiten hirratii^rhrti Zitier in Columne d, wenn mau die abgerundeten Kckva ifpilx macht. Die Zitier 8 knüpft in der Form, in welcher si» untcr V eröcheiut. am besten au daß demoiische Zeichen ftlr 8 an; man braucht nur in lMt7lercm den horizontal noch rechtii ir«r* laufenden Strich etwas nach unten zu krOramen ; b« «chseller I Auäfiihrung der Schrift entsteht dann die gosohloaseot 6, wmJ unter I bis IV.
Diese Betrachtung dürfte ergeben, doas di» ■ämnatiichen Zitfem des Boetius*) sich ungezwungen aas den tg]r|»(4M]hm
1) Bei ilun Itobor-Ziflem ist die Scdu nuiil vi« tn mu in 4arO^ , gcnvrart. Na«h der LV T wWtv t\\» rokiffn Sisdtt al* |
di** Rlteri» Fonn dp»
•) Nif;ht von uti« l)t<liuuilf>it wt iliw Z»'ii-t»pn ; ,iii
d(«ra Atat-UN ooch anncicoU-n wird und an du« »J'J ^ ,
für 10 erinnnrt Im Tnte der iin g«nmKria «M ea otriil «rk Ul denbitlt) walinK'Whdirb iiputffrr %' ' ' '
i^iff<>rii tiiif >li*ni Abucu* ttHgi'Bf.-tKt<*ii
iwilzeicbf^n üMeitcn lasseu. Damit ist dann nach den vor- stehenden Krörterungen erwiesen, dsas die in der Ars gefmie- Iric» uns erhaltene neberlieferunj^, wonach st-hon Pythngora« die fraglichen Ziffern f^ebraiicbie, nicht nnint^lich ist, rielmehr eine innere Wahrscheinlichkeit fflr «ich hat Bei den re^^en VerbindviDgen , welche in prähiHtori^-her Zeit Kwi.sobeu Italien und dorn Orient« bestanden« erscheint uns auch eine Keise des Pjthaguras nach Aegypten oder ein längerer Aufenthalt des- selben in Aegypteu vor seiner Ankunft in Italien nicht nn- wahrscheinlich. ^B Ki mW hiermit nicht bestritten wenlen, dass unsere hen-
^^ tigen Ziffern uns von den Indiem durch Vermittlung der Araber Überkouitueu äind ; es sollte nur die Möglichkeit betont werden, ■ diu» sich eine Krinuerung an den (Jebraiich ähnlicher Ziffern im Occidente prhnlten hatte: und es mllte die bei Martin in Betreff der Ziffern •'>, 6« 7. 8 bestehende Lflcke aii.sgefntll werden.
S 2e. Bttckblick.
Rh ftoi uns gestattet, die gewonnenen Ijt^nltate hier kurz xuxamnienxtistellen.
I. Betreffend die Geschichte der ZahUcicheu.
1) Die niedrigeren Bgyptischen (hieratischen und denio- tiscben) Ziffern sind aus den einfachsten Eteiueiiten .. I, — , / tkler \ /.usaiunienges(*t/.t*), vielleicht tlibllwei»! Mihnn in Anlehnung an babylonische Vorbilder. Die Zeichen fllr die höheren Zahlen (00, 80. 00, 100, KKiO, vielleicht auch 10 und 40) und dorn babylonischen Systisme ontlvhnt (vgl. % 15).
2) Diese Zuhixeicben wurden im Anfange des ersU^n Jahr- tausends v. Chr. durch Vermittlung der IMumiker, für welche
*) Wie idi i*nt nnciitrfl|;licb Wuirrki*. «n-kltlrt auch de tlottgä du Zeichen fDr 7 itU $-f-4, it)tJi>ni fT i]«'h tchn'ip'ii 8tri(*li al« eine »Uf^e- kamtf Frtrm ilt>M Ki'irhetiit filr Ä t>ftra><htp| (». a. O. p. IM f.>: «Üf 7rfich»*ii fttr TiO un<t 70 fiiMt aitrli lt oIi Q X 10 iinü 7 >' 10 auf.
ISM. MtUi lAy«. (1. 4 -111
754 SiUutuj tier wath.-jihys. GI<i$m vom 5. l)eg«mtKr liXK!.
fiberbaupt die Vermischung babvIoniscb-uflyriBcher und «irrf^ tiscber Cultur-Eleniente charakberistiscii ist, (lacli Ober-ICalilfl| fibertragen (§ 14)« rielleicht schoa frtlber durch directe Be- rührung der Etrusker mit den Aeiiyptern (g IS).
3) So entwickehi sich die späteren etrupkischen and sehen /jnhlxeichen (§ IG) aii^ den ä^pbschen. wobei eine I derttng in der Nonnirtmg der Einheit zD berGcksiciitä^tfi die durch die doppelte Normirunff der babyloniscbvn und Gewächts-Einheiten erklärlich wird.
4) Wahrscheinlich hat sich auch Pythagoras b«i ■etiw» Rechnungen ägyptischer Zifti-rn bedient, wodarcli eioe Boetius erhaltene L'uborlicferung als richtig bMtitttgt würir (8 21).
5) Mit den älteMen Zahl/Wichen Oberitaliens treten gleich- zeitig eine Menge anderer Zeichen Ton syinboliscber DcdtMJtoog auf, deren Änwoiidung äich Ober das gauice Becken des Mitiel- meeres in sehr frülier Zeit verbreitete (g 17), und die kuui Theil ab Steinmetz- und Kigcntbuiusiceichen but ins Mittelalter ooJ bis in die Gegenwart fortleben.
II. Betreffend die Geschichte der Polyeder:
1) Nicht nar die gleicheukigen halhrcguläres (nrebii dischen) Körper, sondern auch die pnlar zngeonlnotvn glaidi* fhichigeii waren im Altirrthunie bekannt, wenn auch ervt iii i später Zeit (§ 1).
2) Mit den eomplicirteren regulären Körpern (IkcwaT'iier ond DfKiekiu^der) wurden zuerst die Bewohner von Öherr tt»d Elba) durch die Crystallformen du« ei^ienhuJügen Vya. --...^^ut. Zu Deginn der Bisenxeit 1(^^ man in Folge deoen dieteB Körpern eine religiöä-syiubolische Bedeutung b«. Der hi«miU i vcrbnndene Cu|tu.H verbreitete neb ioAbesODder* itadi Oifaai Wß^l Nordosten ku den nordetni&kuicben, Iwxw. riUi.icben tnMl lachen Stämmen, nai'h Wuättfn and KnrdwMteu zu den galli«rheai ' ViMker.-ichaften uml hat »ieh hei h'txteren bis rii die K&iwrwitl erhallen ({* 18).
4
>*. Lindomann: Xar (hat^cfü« tUr i'olyvter elr
V.Vi
S) I'vtlm^fora» wurde uiifc donj Ikosa*-Jer iiiul ii«iii Üo- dfkut'der durch die Gallier bekannt, hgi es btti (Gelegenheit einer Rei^e. sei es durch die vielfachen Bev.iehungen dc^ von den Etruskern beherrschten sQdHchuu Italiens bu OberiUlien (§ 19); coathenrntiäch coastruirt wurde das DodekoT'der emi durch seinen Schüler UippHäu^.
4) Aebolich verhall en sich mit dem Zeichen des Peikta- ((rainnis, das schon vor PyLhuf(ora« verbreitet wiir (§ 19).
Hl. In Betreff der aMgemelDen ('ultur-Ueschtchtc:
1) Früher als man in der Regel anzunehmen geneigt iat, haben wuhrscheinlich lUndfUbeziehungen ( vielleicht im An- HchhifBic an den von der Po-Mflndting au.sgehenden Bemstein- haudel oder an den Meialtreichthuni der wetttlichcn Hälfte de^ Mittelmeeros) /wischen Italien und At^ypten, bezw. Vorder-
Bien beitanden, sei es durch direkten Verkehr der alten noe* Itrendeii Tursen und Shardaner mit den Avgyptern, a^\ c$ durch Vermittlung der PhÖniker, wie e« ftlr da? 7. und 8. Jahr- hundert auch allgemein angenuinmeu wird.
2) In Kulge davon wurden schon sehr frlUi I>aliylr)ni8c'he vichte und Imhylonisch-iigrptiitche Xahlxoichen nach Italini
nhertrageu.
3) Inabesüudere ist der uykeni^Iie Culturkreis vuu Kinftus» auf div Kutwicklung d<>r proto-atruakii»cfaeD Cultiir gewesen und zwar durch lehertragung nmanientaler Motive und technUciier Fertigkeiten, während die Vebermittlung von Uewichten und Ziffern nicht nachweibbar i^t; wohl aber war in den «roykeni* Hchen* Ländern do-viulbti Synt^fni Viin /«pichen im Uobniuch, welchea vor Kinfllhnmg der phuniki?«:hi"n Buch:«tabenschrifl eine sehr allgemeine Verbreitung im Mittelmeer- locken geuuas.
4) Auch die arithmetischen Spectilationcn oder Spielereien wurden den Ktruftkeru wuhreicheittliuh aus dem Orient* flhrr- mittelt, von ihnen »eUiKt dann weiter ausgebildet.
fi) Die pytliaguräiftche l'hiloAophie »tand in enghter B«* xinhnng xii den Lehren etnukinrher und galliiicher Pnwdf
4ü'
756 Sil£ung der »mt/i.-Myji. Cid
tietember tStOG,
iasbt-sündero iat ihre Vorliebe ffir nritfanietische Relationen den Lehren jener Priester entnommen (?; 20).
Manche der gewonnenen Resultate werden Tielleicht dareb neuere Fnndc oder durch exiiktere Dufcimng der TorhAndenro Reste alter Culfcur einer Modification unterworfen werden k<^nneii; insbesondere mag die Frage« ob Pythagora^» von den Ktru)«ker& lernte oder umgekehrt diese von ibni, üb also das DüdekoMler vom Monte Loffn wirklich in die vorpythagoräifiche Zeil xa setzen iat (§ 'ZO) durt-h ein exakterem Studium uUer uuf i>tnt.*>ki- schen AltürthOmeni der Bronze- und HallsUlt-Periode rorban- denen Zeichen und Ziffern vielleicht anders beantwortet werdeo ki^nneii. Meine Aufgabe sollte es nur sein, auf Grund der mir bekannt gewordenen PundstUcke nicht nur den ZiMamnieii* hang zu konstatiren, sondern auch die Art des ZaNunmeohaogw mögliclist aufzuklären. Wie der letztere auch gewesen «ciii ma^, jedenfallM haben wir zum er-^teu MiJe einen Kinblick in die Natur der viel gernhmten aber wenig gekannton Weisb«!! der alten Eltnisker und der gaili.schen Druiden gewonnen.
Nachtrag.
Zu p. 692. In Betreff oearivr AnarhftaimK<'n Übfr den Vrwfruw$ tier ph5niki<4C'h>->n Sclirift und (llior ileri Rlnfluiu dci- lialivIonlMiim scf die iütesLe A};y|>liache Cultur sei uuf I*arfel'l'x l>ar«t*'UmK.' ')•.•-• >r..i-* urwillinttiu Jnkri'dbmchU* (j*. 130 ff.f vt-rwieM*!),
Zu fi. 7S3. Ein Ftttifei.'k lindvt tiab alu limiux'Ut auf a>iii :r<[m-ca lloilen einer ctru^kiMcbi'n Srhule am TL-rnuiilt* 'j^intudmi in rbtit^ {vffl. CorHacn, n. a. f*. U^I. I. p. 738); ein flu- > Rml nnf n*(v
ctniHlciicben UmbeMe au« iVwin> (vgl. Pfork. l <-b( Ulwr di» tta-
tbchen Spra«:hpn in Uuriian*i Jubn-Mbimcht ObiT die Ftirtwkritte iW kliKwifk-bi'i) AUt>rtbuniiiwiM«ontM-baft, Hd. 87, Suppl.-Ud., p. 114K
F. Linde»MHn: Zur OemAidite der Vt^ijeder etc. 757
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S 1. |
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?i 2. |
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s *. |
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ft 5. |
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S 1(>- |
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SIB. |
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S19. |
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?i20. |
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S21. |
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8U2. |
Inhalt.
Kin antikes Hhumbi'ii-Triiikontaimer 626
Die kt'ltijichrii üoiU'kin"dor 628
Einige iindere Pi>lypiler 632
Das DoiU'kiHNier vom Monte Lotta 637
Das Ikosaikler von Turin 641
Die Steinte wi eilte vom Monte LofiiL 642
Die Zahlen auf dem Dwlekainler 643
Die aehtKeitijife Dopiwlpyramidi' auä Meclo in Südtinil . . 050
Das Alter iIoh Dodekaedern 652
Die Zeichen auf den Steinffewlchtou vom Monte Loftii . )i5B Die Ziffern auf dem Dtnlekuwler verglichen mit Jon üftyp-
ti»chen Zahlzeichen 063
Die Volker der Po-Kbene in prUhistoriHcher Zeit ... - 070
Aeltvste Beziehungen Oher-ltaliens zum Oriente .... 67!»
Forti^etxung. Die Phi^iiiker ('»86
Die iigyptii«eben und babyloniHchen Zitfern 097
Die i'truskirtcheii im<l rttmiBchen Zahlzeichen 711
L'eber gewisse symb<dinche Zeichen aiiH jirähiatori.scher
bezw. frilhhiatorischer Zeit 716
Die Bedeutung der keltischen DtMlekaMer 725
PythagoniH 72'J
Fortnetzuiig. Die lletleutung di*r /^ahlen auf «lem Ihiileka-
imer vom Munt^.* Lotta 735
Die .\piccH des Hoetiua 749
KiickblJi-k 753
TerbMwemngea.
St'iti- 031, Zeile 7 v. n. lies liabTin-« -tatt (Jabrin.-.
632. . 1 v. u. . Pri^meu . Pvnimiden.
760 ,'iüiitftij lief mtüh.-iiiiyn. (Hanv« wm ~t. Vettmbrr ttUKUi
ErkUruug der Tafeln.
Titf. I, Fi^' 1 u. 2. Antikes Rh<itnbL>nfchjikr)Ht««>ilvr (| I).
3 u. 4. Pa»tti^'Ori-I>ü<lr'katVlr<r ftii* JlmwAii f{j 2 u. I8J.
&. lirimxe-Dotlokaüiler uue Ikitm ($ 3 u. 20).
6, Ciibij'Okt&gder (1 3).
7 II. 8. Bronite-ÜeriltW wu Wintliirli (S 16).
1 U' «2. Netx JrT Flüchen 'Ich Dnt]pkkk<^Irr* vom Mcinlifl
I u. *i, AnMiclit«.ii ilH.>«t'll>eii Dixlfkatnl^r* (% 4, 7, 1 1 Q.
U [n* 6. Zeichen a.n! den Sti'iti}<ewicbt«ii vom Honte (S 6 i]. lOj. IV, 1. Dupi^i^lpyTaiiiLide aus Me4:lo (fl B u. 10).
Aegyptiiche Zeichen für die Kahlen der MonAt) V VIII. At-'gYiitiarhi" i^ifTern ii;h-Ii ilr HoMffi* iiiirf Einpfiltthr (ft 1 1 n. ll !X. Fi^. 1. Phönikische Ziffern (§ 14).
,. 2. Ziffern der Keilsehrift nach decimulem Systeme (§ 15*.
S. Altbabylonische Bruchzeichen (§ 15). f 4. Altbabylonische Ziffern nach sexagei^iimalem Systeuit-
{§ 15). , 5. Altbabylon lache Ziffern, «ubtractiv gebildet (ft 16). , 6. Verschiedene Ziffern, Buchstaben , syinl wuscht' Zeicht-n
(S 17 u. 19). , 7. Die Apice-H den Boctius (§ 21).
n
r.vt
VerzeiobnlüM der eiii^eUurotivii Uruckuchririen Juli bis D»#inber 1896.
DU vonhrild)*« OMvIlMtlMfUu %nA luitltul«, mit wwIvbMi «tiMuni Akftilvnil« Im bwuUguns ko h*tnaliua,
Ton folj^nden OeseUsohaften and Iit8Ütat«D:
Ut*toriMche OeatH»d\aft des Kanton» Aartfou in Annttt: T««clMabuch fOr 4u J»hr 1890. 8°.
'Soeiili d'fmulatioH in AhbevUU: Bulletin. ADn<5« IBOl. No. 1-S. ä°
Ji/ii/al iifocit(y **f South- AuMraUa in Adetaide: TrHU-actioD». Vol XVI. part 8; Vol. XX. p*rt I. I89a ft". SüiUltUHttche Akademie der Wnnenschnßen in Agram: Riul. bd. 120, 126. 1806. 6<>.
MoDtuBeDtA ipfctuitia hiitoriam Slavonini meridioDiiHuiii. Vol 2R. I A9C. ffl. toViopina tcod. l^Oö. Id96. 8^. Ojuro Dtuii>^h\ Altt^Dli u rUkoIa. 1B96. 6*^.
K. Akademie der Wisse n»eJtaßen m Amuterdiim. VerbwadcliDpea, Afd. Natuurknnde. I. Sectio. Decl MI, No.fi— 9; Hw»! V. No. 1—2. Il.Sectie. Deel IV. No.7— 9; ttpel V. No. 1-3. I89,VM. t«. Verbaadclinffen. Afd. Uttcrlrand?. Deol I. No. 6-e. 1896. 4«. ZiUiBfftvenUffen. Afd. Natnurkande. Jaar 1896/96. I>eM IV. 1896. 4«. Jaarboek Toor 189r.. 4» Prijaven: Cena io CUodiaDo Nvrrae.
NatHntmaenschafthcher Verein in Augubnty: 83. »ericbt. 1696. 8«.
Peabodjf [nttitute in Bnttiwtort: ^h uuiual Report. 1896. (V«.
JvhHM llttphn4 (.'mirertittf in 3attinu*re : arciUar«. Vol. It;. N«. 127 \mv 4«
Amencan .toumul of Matl V.iL XVII. i; XVIIl. 1.3. 1895/96. &*.
Tbl» Amrriuui Journal of . Vol XVI. 2—1. 1896. 8».
AmmranChoeniml lonrnaJ. \ol-iVII. 8-10. Wtll, 1-6. 1800/96. 8«. luhn« llopkin« l niv.'nir> Htn.li*». Ser Xllf. No.9— 18; Ser.XIV, No.l -7. 1895/l«6. b«.
Catalo^s der numistnatiBcbe rersAmeling
Kgl. nntuurkutuUge Vereenitfi$tg in NciUrtatuhch Tkttit im
NatoorkuDdig TijJachria. Deel 05. löO«. 8". Bi>ekw«.>rkea t«r tafel gohracbt in de Ti^rfruderingeD 1895. IfitM Catalogne suppl^mectairo IBtiS— 1)8. 1695. 6*. Voordrachten. No. I. 1889. 8».
liiMorUchcr Vrrein in Bayrruth: Archiv für Ocnchtchte. Band Xl\, 8. 18%. Sfl. Chr. Meyer, Qaellen zur alten Gewhicht« dei KOntenilma
Bd. I. 18%. 8Ö. Katalog der Bücher und Manudcript« des Vereüu. 1600.
Mitseum in Bergen (ffoneet/^: An Acconnt of tbe Croitacea of Norway by O. O. äom. Vol. i I89t>. to.
K. yrcusfttsche Akademie der WiMtunnchaflem im B« SilxungiUricht«. 1S96, No. 24~S9. 4*).
Deutsche chemische GeseHtcha0 i» Bertimr Berichte. 89. Jabrff.. No. U. 13-17. 18»6. 8".
Deutliche geotogiache Qenrthchaft in Be/iim: Zeitachria- Band 47. Hea 4; Band 48. Heft 1.2. IBM.
PhifsikatiscKe Geurlhchaß in Bertim: yerhandlnnffen. Jnhrn. 189(i, Ko. 2-ß. 8*.
Pht/giofotjisfhe Gt»elUchafl in Bertin: CentralbUtt fQr PhvMoloK'ie. Üand \ (1896), No. 7-1«. VerbandluDgen. Jahrif. 1805/W. No. 12-17. 169«. 8". Kiiüterlich ä''Ht>*fheit nrchüohi^chet Intlttttt im Jabrbueh. Band XI. Il^-tt 2 u. 8. 189Ö 4°
K. preusM. meteoniiogxaAeji InntituS xn Bcthmi\ Bericht Über dai Jahr 1896. 1696. 80. KrKebaiHi«e der Beobachtungfln an d«<n Stationen 11. «ad
im Jttbra 1B92. Berlin 1896 4^« VertifTentlichungen 1B9G. Hpa I.
\>'erindttiiru> lirt tint/elaufemeii Druchtdirtttru.
-iXW
Verein für (»euchichte der Mark }iri\nd<nhur<f in ßerUn: KoneliiiDffeii tur UriuiileoljurgiM'hcn u. Picusuiicbcii (^racbicbte. Ud. IX, K Leipzig 1H96. 8".
yaturwitiaeHMhaßlirhe ^Vo€h*n»chnß in Berlin: Wochensclirift. Band Xt, HeO 7-12. I8Ö«. fhl.
/ifitfchrift für In^rummlrftkundt i« Btriin: 7.i-iUchr\fl. lfW>. 16. J»lirg.. He(t 8-1». 4">.
AliijrtNftne fjrwJiit^tsforacheniie Qmeihchafl der SehteHx in Bern: JftbrUttch für Schweixerische Üesichichie. Bd. X\I. ZQhch 16B6. \iP.
nixtt'rtficher rVrfin in licitil Denkfchrift tu dotveo FiOjährii^er Stifttingv^feier itn Juni I69fi. Bern 1896. 6*. Archiv. Bud XIV, i. 1896. 8«.
^oci^U li'Emulntinn dn Ihubs m Se$ait(OH: U6moint. VI. Serie, Tome 9. 18Ü4. 1895. 8°. ötwerbfchiäe in ßixtrit: XX. and X.Xl. Jabreabaricfat 139I/9& u. }99:>m, 19MJ9C. 8*). Ü. Accademia dette Seiente delV Ißtitulo in Boli^na: Mcmone. Ser. V Tom. IV, fa«. l-l. 1804. 4*». Ji. VryuliUionc dt gioria fMitrirt ycr ig Provinciedi liomfifjnit in Botoyna: Atli 0 M«morie, S«rie III. Vol. 14, tu^c. 1-3. 1696. A'^.
iWtedftthfiniAchf GrseUachnft für Natur- und llrdkumtf m Bonn äitionK^berichU IbSfi. 2. HAIfte: IBM. 1. Uftlft«. 1896/96. QP.
L'nireriritfU in Sonn: Subriften »tu ürm Jahre 1896/96 ia 4^ □. 8*.
Naturhi^oriH'her Verein der preuMsinchen Rhr.inJamte \n Bonn: Verhiindlongen. M. .lahtg, i HiXtie, 59. .lubrK. 1- HAlfte. 1BU6. b''.
Sfjcifte Linnfentu in Bordeaux: Act«. Vol. 49. 1896. 8°.
Sftriiti de gfographie commerciat« in Bordeatu: Bulletin. 1896. Nu. 13— 17. 19-23. 8«.
Boston Svcicty n( nalufal lUsUtry in Boston; Procuedingt, Vol. 27. puri T-74, 1896. 8».
Aciidemia uactOHiü de fienetOM in Bueruu Atret: Uoletm. Tom. 14, No. S. 4. 1896. 4«.
Muteo naoonaJ tn Buemm Aira: Aulet. Tom. tV. 1896. gr. S».
Offiema metearoliuficn Arijentina in Siteniu Aires: An»U*. Tomo X. XBÜC. 4°.
Arckic drr t>ttuU ItranftBtAweig: Urlrasdeobocb der Stjult Bniunw:hw«iti. iid. II, Abtti. i. 1896. 4«
SdUmMehtr Oetetfuchafl fUr rtitrr/nlnrfucAc Cultur in Bmlau: 76. Jabreiboricht net'it BTgAnuuigabefl. m96. 6".
Verein für dir Of^i'chit:kte MiHu-emt in Brunn:
Schriftro. it'i. m. leim. 8".
Dm d^uUclic SpTttclitrcbiei von Mftltftti und ScUleaiea v«b Fmnx Held, 1896. S*.
702
Verzeichtms der einffettiHfmen Orucktehriftetf.
Aeadimü JUtjfaic He midecine in BnUtelr Mömoii-ea couroonds. Tome XIV. foM. 4. 6. lBd6. 8^. UuIIetin. IV. Serie. Tome X, No- 0- 10. 189Ö. S».
Acadnnie Royeäe dt» scieneen in Brüsget: Uullptm. 8. S*^rie. Tome 31. No. 6; 82. No. 7— II. \&M\. 8" Annuaire. G3« aaaöe. 1897. S*».
SocieU dfji Bidlanäistf» in Brüsvel: Analecta BolUnJiajia. Touie XV. foso. 4. 1896. 6".
K. MoynrwtrÄc Akndfmie der WitseHtekafleu in Bud<tpe»i: Almauftrh. 1890. «". Nyelvtuilom&nvi Kttxleraeujrek. (äpracliwi-NeoioliHnUcb* Milüsrüiuiffva.j 1
Bd XXV.' 3 4; XXVI. I. 2. 1896/90. 8». TOrtüDctlud. l;;rt6kt^Z4.^k. (HUtoriicbe ALhaaJIuDgen.) Bd. XVI, 6. 7.
1896/9». 8". Monumeota cnmiliuram regtii Trfto'^jrlvaoiae. Vol, XVHI. 16itö. 8*. Arehaeolo^ai KrUnitu. Uj Folvam: t,Arcb&ölo;. Ao«eiger,) Bd. XV, 4.1;
XVI, 1 .j. 1806/98. ■4». Arcbaoologiai KAKlemt^nv«)!. (Arcb&oloff. Mittbeil.) Bd. XVItl. XU.
1895/90. Jol. TarduUnlmi I^rtekeu';aek. (StaatiwiMduiLhalU. AbbundL) Bd. Xt, II.
1896. 80. Nyelvtadomtin Krtekez^ek. (Sprachviuniiofa. Abb&iidl.) Bd. XTI. C T.
169&/96. 8« Muakücti B.. A VotjtVk B;elv tixitürft. (Vo^Akiiehw WArterbucb ) 18ML 0*. FrakTii^i V.. Uätyi'u KinU^ levelei. iBriefä d» KOoiff« MiittbUii.) 1696. 8*. Monumentu Hou^fanaft bi:<t-orioa. .S«ct II. Vfil. Bl, 1896. 8°. Uathematiku) K(tettit6. (Matbtni»t AnKeig«r.) Bd. XIU, 8-r<. XIV, 1. 1
1896. 8». Mathemaitkai KtVilemt^ü^ek. IMutfapntat. Hittbeil.) Bd. XXVI, S-^
1896. 8. MutbematiBcbe und natnnriMfnfL-haOl. Berichte aaii Cnifftm. Bd. XII,
2. H&Ifle unil Rd. Xlll, 1. Hbirtt*. Berlin 1890. 9fi. lEapport itif les tmvaux de rAcadomio eo t8U5. 1890. 8^. Katalog der Kli)4cher'8cb<-n liot>tbe tiammlunfs*. 1890. 8°. Koat J., La Hoogrie Utter«irß et tcicntifique. l'ahR 1806. 8*. R^?i ma^ar knltOk täm (Magaxiii alter aD»ntri»cher UichtvrJ Bd. TT.
1896. 8^. Bölcsenettuüomitnvi Krtekeztisek. Ud 111. 8. 1896. ifi. Goqnw atstatonim Uungariae mnoiciiMLliuin. Tum. IV. p. t. l8Wk 8^. TOrAk Ui^^•neti^ük jTQrkioeht* Hi-torik>?r ) Bd. 11. 1896. 8*. KatalojT der Werke, welcbe von 18H1~9A im Verlag der uiig»nii<bis
Akademie der Witittenscbaftea eriehimen find. 1896. 8*. ~
K. uHyarisrhr tfenlagiidtt AnaUiU in Bmlayrst:
FSldtAUt KOzlOny. Bd. XXVI, fajc. 1—10. 1890. 8°.
A Ma^'var kir fOldUni mtÜE«L t^Tk'^ayre. Bd. XI. 7. 8. 18116. ^.
Bolanischrr Garten tn HttHentorg fJartiU lied«dee)iDffeu uit '• Landa PluiUatuiu. No. XVI, XVU. BaUvia
189C. iO. Verilag nrer bet jaar 1896. BaUvU 1896. 8*.
Soci^U Linn^nm d« Iformniuhe in Odm Bttlleün. ** 3«rie- Vol. 9. fa«:. 2. 8. 1890. 4».
Mruutuat» äff «H^/nu/r-Mi-M Ihu--i,^<-hrt(ttH.
ica
tfttiv/c'/ffd/ DfjMtrtment of tfte fjoventmiut >tf ludüt tn Citlnülit: Munihly WeiithtT Hcview. Oecember lB!*fi und .Inniinry -M»y lKl.t6. fi>I tniliao Meteorolofpcftl Memoin. Vol. VI, p«rt 3; Vol. IX, iMurt 4—7,
1896. fol. He\tOTi DD tbe Ailmmiitriition 1895/90. 18%. fnl.
Gfolitgictii Suri'ev of Imiin in Caicutta. Uecord», Vol. m, ixiri 3. 4. 1896. 4«.
Aifiatifi SncU(*f *tf BfHffiU »w Catcutta: Itililiothectt Intliei. N.»« S*r. No. 872-876; 878- 886; 887. 1806. B». Joanuil. No. 861-8Ö8. 1896. 8«. ProcMdinff«. 1890. No. Il-V. 1896. 8**.
Gtotot/ici}! Sume*/ nf India (n CalcMtUi: MetaotrH. VoL 27, pärt 1. 1896. 4<*.
IVlltontnIoirica lii<tica. Ser Xllt. Salt-raoRe Fomüi. Vol. 3. S». XV, [liiii lUynn FoMitt. Vol. 2. Trinx, part X 1805. fol. rhil^tophiciil Soeiettf tu (1»tnbriHge: Procoediogi. Vol. IX, 3. 1896. 8*. Tronsftcliona. VoL XVI, I. 1806. 8».
^fuscuul of ojm imr.itivf Xooioifj/ in CambridffC, Ma».: Hulintin. Vol. 28, Na it; Vol. S9. Na. 4— €; Vol. 80, No. 1 und 'i. 1896. 8^.
Survei/or-Gfntral'i Office. CnpK Titten (Sttuth Äfricnj: lia|Riri bv Dr. Ovvid Oill on C*.Aonn\ Morru' GeoUeiic 8urTey of Soatb Alritt. 1896. fol
Yrrein für ffflturkunite in Ctuutel: AbhuadluDfi^n unJ Hericbt XU. 1896. 6°
Ph^fnkitliKeh-technische Heiehaaiuttüt in CtutrltitUtiburn: Die 'I*hatif{keiL der phyiilcalic^ch - t^cliniRcben Reiciia - AumIaI L Ucrlia 1896. 4'».
K. tdchäiidteii meteon>iotivKhfii Institiü in ChemnUs: Abhandlonffen. Bclt I. I^iptt^ 1896. 4^ Jabrl'och 1806. XIII. lahnr I u. 11. Abth. 1896. 4«.
Ftetti (^itlumbian Mu.-'eum in t^hica^: rublicaUoDH. No. 10 - Vi. 1896. 8".
Xritfdirifi „2'hf Oprn (hurt" in Chicago: The Üp«n Court. No 4&6-48I. 4P6. 1Ö96- 4».
Du Kvanffelium KuiMhA* tob ('aal C^m«; aui dnn Kngliichen von IE. V. '.' Uau« lrt;ifi. 8».
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Bftriahtignngen.
(üu liciTii V. Fedovüw'ö AljhiimUuiif(.)
Ö. 513, Z. 16, 1. „(liestT" st. .diege."
S. 514, 'L. 2 V. u. 1. «krystallograiilnschen Axen zur ithIo
aeiikrecht Hind" rI. ^kryat. Axen untur einander un
zur ersten aenkrecht sind*.
S. 526, 'L 13 v.o. 1. „da dieselben sich nicht', at. .da di< selben wich nur*.
S. 529 Z. 8 V. u. 1. »dessen Flüchencentra' at. .dessen Cer trum"*.
781
Namen - Register.
Charlier C. 287.
Dana Jarnos Dwi^tb (Nekroloj?) 343.
v.Fedorow EujTraph (Wahl) 440, 4W,
780. FlemminK Walthor (Wahl) 440. Fonim L. 283.
G<hU W. 11 i».
Goebel Karl 447.
V. Odmbel Wilhelm 64B.
HartiK Robert 1, 24, 282. 287. Helmert Robert (Wahl) 440. Hittorf Wilhelm (Wahl) 140. Hiixley Thomas Henry (Nekrolofr) 321.
Kantor S. 531.
KiSnigH Wilht.'lm (Wahl) 440.
Licncnklans K. 183.
Linde Karl (Wahl) 410.
Linderaann Ferdinand 31, 401. (i2r>.
LOwy Alfretl 20.
Lüvön Sven Ludwig (Ni'kndo;^') 319.
Ludwijr Karl (N.'knd<.i,') 326.
V. Miller Wilhelm G7.
Nenmann Franz Ernst (Nekroloff) 338.
V. Pettenkofer 30«), 43it.
Price «. C. 69.
PrinKsheini .\lfred 167, 005.
Ranke Johannes 67.
Röntgen Wilhelm Konnid (Wahl)
440. Rückert Johannes 282. Rütimcyer Ludwig (Nekrolog) 314,
Seeliger Hiipo 24, 373. Selenka Emil (Wahl) 440. Sohntke Leonhard 7.'>, 445.
Töpler Angiift (Wuhl) 440.
V. Voit Karl 209, 314. Voss Ann-I 1, 211. 273.
Wuhleyer Wilhelm (Wahl) 440. V. Weber E. 425.
Zinfl 07.
ErOffnufij^rede ziir Offen tUi-hfri Sitr-ttti}/: 30'.*, 4a!>.
Feuerbach 'scher Kreis 119. Fluoreacenz pohirisirte 75. Funktionen, aynektisehe 1G7.
Funktionen, welche du« Innere eines Kegelachnittes confonn auf <iie Hslbebene abbilden 401.
Gleichung SX = XS', Myminetrische und iilternirende lifisimgen der- selben 273. Gravi tationsgesetz, Newton'acheH 373. Cirünerde von Monte Ilaldo 645.
Isomerie der Stickstoffverbindungen G7.
Jiijijeridfnnn*'»! veu Pflanzen und deren künHtliche Wirtleiliervorrufuny 447.
Kl t-(iillrtgn*iiihie. (Jnindfnijfen derselben 4W.
Such- Ucffister. 783
HittchlUrbm im Hi>ii)^iin>;s)iil(le eines en<;i>ri S|Kilte^ G7. Mumentp (n) von i?i - CViiiiptexrii im Jtr 531. Myxinuiil, Üntogonic 6!i.
Nekrulo^c 314, 910, 321, S2G. 338, 313.
OstmctKit'ii Silin dem Mintwii \'on Ortoiilmr^ 183.
Polyt'dtT und ZahlzcicliPn, ilfftchic-lito doisi-Hu-n r»25.
Rauch, KinHiiüfi :i<if dif (ifxiindhrit der Nadulhi'il/rr 282. Ki'^oriitioii fTtdiistcr Kiwfi«s»tort'f im Dünndarm 2()ll. Iiiintfjt'n-Stnihh'n, Wcdlenliinji^e dt_'r?<pllii'n 283.
Schkidel- nnd Kü('k;;nitshuhlf, viTi;loi*'hend<' Itcstimmun;,'!'!! li". Svhwt'flijje tiiiurt', Kinwirkuii^,' mil' die Xadtdii der Fiditt* 1. •Seliiehier, Kntwirklunjf des Spir.ildurnn's di-rsellien 282.
Tabnliren der 8tünmj;en der kleiin'n liant-ien 287. Tiinnenminirniutte 282.
Transfuriniitiün, i'cmjfredieiitv der liilim-aren Finnen in «ich »ellirtt 1. TranMfonnatioii, k>nijii;:irtc einer Idlinean-n Form in -iieh ni'lbst 2j. Tranf>furmat)onfn, linearr eineri{iiiidnil'i>cli<'n Mi(iini>;taltif^keit in ^ieh 31. Traiiiifonnationen, nin<rrudii'nti> und adjnii<rii-te einer liiline;iri-ii Form in sirli no\Wf 211.
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