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THÉORIE

LA CAPILLARITÉ.

OUVRAGES DE M. Emile MATHIEU.

Cours de Physique mathématique. In-4 ; 1878 i5 fr.

Cet Ouvrage peut être considéré comme le premier Volume d'un Traité de Physique mathématique. L'auteur y présente les méthodes d'intégration dans cette branche de la Science. Pour simplifier cette exposition, il apph'que ces méthodes seulement à la Théorie de la chaleur et à l'Acoustique; mais elles trouvent aussi bien leur emploi dans l'Électro- slatique, le Magnétisme, l'Électrodynamique et la Théorie de l'élasticité.

Dynamique analytique. In-4 ; 1878 i5 fr.

Quand la seconde édition de la Mécanifjiœ analyticjnc do Lagrange parut, au commen- cement de ce siècle, elle pouvait être regardée comme une œuvre accomplie; mais difTé- rents géomètres ont ensuite apporté sur cette matière des travaux importants : il était donc utile de fondre les résultats nouveaux avec les anciens. C'est ce que s'est proposé l'auteur dans cet Ouvrage, en laissant de côté la Statique, à laquelle il avait été peu ajouté.

886G Paris. — Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, quai des AufTiistins, 55.

THÉORIE

DE

LA CAPILLARITÉ

PAR

M. EMILE MATHIEU,

PROFESSEUR A LA F A C C L T É DES SCIENCES DE NANCY.

PARIS,

GAUTHIER- VILLARS , IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DE l'école polytechnique, DU BUREAU DES LONGITUDES,

SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER ,

Quai des Angustins, 55.

1883

(Tous droits réservés.)

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10^%

A M. LE GÉNÉRAL MENABREA,

AMBASSADEUR D ITALIE.

MoNsiEUFx LE Général,

J'ai désiré vous dédier cet Ouvrage comme à celui de tous les savants qui m'a témoigné le plus d'estime pour mes recherches scientifiques. C'est pour moi une grande satisfaction que mes travaux aient occupé quelques instants des loisirs d'un homme qui, par la politique et par les armes, a contribué puissamment à l'unité et à la grandeur de l'Italie. Mais ce plaisir est aujourd'hui mêlé de quelque regret, c'est que ce Livre ne soit pas plus digne de vous être dédié.

Votre tout respectueux serviteur, É.' Mathieu.

PRÉFACE.

L'Ouvrage que j'ai publié précédemment sous le titre de Cours de Physique inatliématique pouvait être considéré comme le premier Volume d'un Traité de Physique mathé- matique; le Livre actuel en forme le deuxième Volume. Le temps qui s'est écoulé entre les publications de ces deux Ouvrages a été assez long; mais je pense que les autres Vo- lumes paraîtront à des époques beaucoup plus rapprochées.

THÉORIE

Dli

LA CAPILLARITÉ.

/ \^ ' r.f JHt

INTRODUCTION.

Au commencement de ce siècle, on connaissait un certain nombre (le phénomènes dus à la capillarité, mais on n'avait aucune théorie pour les calculer, ni même les expliquer.

La plupart de ces phénomènes avaient été reconnus par Borelli et décrits par lui dans un Ouvrage publié en 1G70 [voir Poggexdorff, Geschichte der Physik).

Dès cette époque, on savait l'inégale ascension des divers liquides dans un même tul)e capillaire plongé dans un vase qui les renferme, certains d'entre eux, comme le mercure, étant même déprimés. Suivant Borelli, l'ascension verticale d'un liquide dans un tube capillaiie cir- culaire est en raison inverse du rayon du tube, et l'élévation du liquide entre deux lames parallèles est la même que dans un tube dont le rayon est égal à la distance des lames. Quand les liquides sont suscep- tibles de mouiller les tubes, on obtient des résultats plus facilement comparables en humectant de liquide l'intérieur des tubes.

Comme le reconnut le même physicien, deux lames verticales et parallèles, très voisines, plongeant dans un même liquide, s'attirent réciproquement, soit que le liquide s'élève entre les deux lames, soit qu'il s'y abaisse ; mais elles se repoussent au contraire si le liquide s'élève sur l'une et s'abaisse sur l'autre.

Borelli attribuait aussi à la capillarité le fait d'une petite aiguille

■2 INTRODUCTION.

d'acier qui reste à la surface de l'eau, quand on l'y a posée avec pré- caution.

Une colonne d'eau renfermée dans un tube conique, ouvert à ses deux extrémités et maintenu horizontal, se porte vers le sommet du tube. Une colonne de mercure dont la surface est convexe s'éloigne au contraire du sommet. Si l'on incline l'axe du tube renfermant la co- lonne liquide sous un angle suffisant, l'action capillaire pourra faire équilibre au poids et la colonne restera suspendue. On peut également maintenir suspendue une goutte liquide entre deux lames qui forment un très petit angle et se rencontrent suivant une droite horizontale, et, en faisant varier l'inclinaison du plan bissecteur, on voit que le sinus de cette inclinaison est en raison inverse du carré de la distance du milieu de la goutte à l'intersection des deux lames. Hawksbee, en 1713, étudia l'équilibre d'une goutte ainsi suspendue.

Tels sont les principaux faits qui étaient connus dans la théorie de la capillarité au commencement du siècle actuel, et, comme on voit, ils l'étaient déjà depuis longtemps ; mais aucun n'avait été expliqué par l'Analyse mathématique.

Clairaut avait bien essayé, en I7^i3, dans sa Théorie de la figure de la Terre, de soumettre au calcul l'élévation des liquides dans les tubes capillaires ; mais de son analyse exacte et rigoureuse il ne put déduire la loi de cette élévation, parce qu'il n'a pas admis que l'attraction du tube sur le liquide est insensible à des distances excessivement faibles et incomparablement plus petites que le rayon du tube. Il trouva que le poids du liquide soulevé dans le tube doit faire équilibre à l'action du ménisque et à l'action directe du tube. S'il avait supprimé cette der- nière action comme insensible, il eût immédiatement résolu la ques- tion.

En i8o5, Thomas Young, A'aw^Xgs PhUosophical Transactions, avait assimilé la surface libre d'un liquide à celle d'une membrane égale- ment tendue dans tous les sens et il en avait conclu le premier l'équa- tion aux différences partielles, à laquelle satisfait cette surface. Mais, comme le dit Poisson et comme Laplace l'avait remarqué auparavant, « l'identité entre la surface du licjuide et celle d'une membrane ne peut être que la conséquence et non le princij)e de la solution du problème ».

INTROnrCTION. 3

Laplace publia \o prnmior, on iSoG, nno véritable théorie mathé- matique de l'action capillaire (en premier et second Supplément au Livre X de la seconde Partie de la Mécanique céleste) ( ' ), et ce travail de l'illustre géomètre est un de ses principaux titres à la célébrité. En se fondant sur le principe de l'attraction du liquide sur lui-même et sup- posant qu'elle n'a lieu qu'à des distances insensibles, il commence par déterminer l'équation aux différences partielles de la surface capil- laire ; puis il explique et calcule tous les phénomènes connus jusqu'a- lors dans cette théorie et que j'ai commencé par rappeler. Il calcula aussi l'adhérence d'un disque à la surface des liquides, la figure d'une large goutte de mercure posée sur un plan horizontal et la dépression dans un large tube barométrique due à la capillarité.

Les résultats obtenus par Laplace ont été vérifiés par les expériences de Gay-Lussac.

Gauss, à son tour, s'occupa des principes de cette théorie dans un Mémoire \n\\i\\\ii Principia generalia theoriœ figiuxe fluidonim in statu œquilihni, i83o (Gauss, Werke, t. Y). Il remarqua que les objections qui avaient été faites contre la théorie de Laplace sont en général sans valeur [vel levis vel nullius momenti). Le seul défaut grave de cette tlréorie, suivant lui, est d'avoir accepté d'abord sans démonstration la constance de l'angle de la surface du liquide avec la partie de la paroi touchée par le liquide, et cette lacune n'avait pas même été remarquée des détracteurs de Laplace. Il est vrai que, dans la seconde partie de sa théorie, Laplace est revenu sur la constance de cet angle et qu'il en détermine même la valeur en fonction des constantes d'attraction ; mais, outre que cette démonstration est, suivant Gauss, peu satisfai- sante, elle ne s'applique qu'à une paroi verticale. Cependant le prin- cipal mérite de la théorie de Gauss n'est pas d'avoir comblé cette lacune. Ce géomètre cherche la fonction de forces qui régit le liquide et dont la variation égalée à zéro donne l'équation générale du principe des vitesses virtuelles. Cette fonction renferme, outre un terme qui provient de la pesanteur, deux intégrales sextuples; mais, par des transformations analytiques, il les ramène à la somme de deux termes proportionnels, l'un à la surface libre du liquide, l'autre à la surface

(I) (A.m'ics (oiiipiciis dt J.dpicic, t. IV; iSî^o.

4 INTROnrCTION.

du vase touchée pai' le liquide. Ce résultat est certainement le plus remarquable de ce Mémoire.

M. Bertrand a montré que l'analyse de Gauss pouvait être simplifiée dans plusieurs de ses parties.

Presque aussitôt après la publication du Mémoire de Gauss, Poisson fit paraître, en i83i, ^a Nouvelle Théorie de l'action capillaire, oii il ne cite d'ailleurs Gauss que dans le préambule. Il reproche à Laplace d'avoir établi sa théorie sans tenir compte du chaugement de densité d'un liquide tout près de sa surface libre et aussi tout près des sur- faces qui sont en contact avec un corps solide ; la théorie de Gauss a d'ailleurs le même défaut. Pour avoir les équations des phénomènes capillaires, il ne suffit donc pas d'avoir égard à la courbure des sur- faces des liquides, il faut encore tenir compte de leur état particulier vers leurs limites. Par des calculs foi't compliqués, mais extrêmement bien conduits, il retrouve l'équation aux différences partielles de la surface capillaire et démontre la constance de l'angle de raccorde- ment. Les équations sont les mêmes que dans la théorie de Laplace, avec cette seule différence que les deux constantes qui y entrent prennent une signification plus compliquée. La théorie de Poisson est certainement exacte, mais on pourra voir dans le Chapitre I de mon Ouvrage qu'il n'est pas nécessaire d'employer des calculs si difficiles pour modifier la signification de ces constantes. On peut aussi juger par le seul Chapitre Y de son Livre que Poisson a pris cette théorie par un côté très difficilement accessible. Il étudie en effet dans cet endroit les modifications de la pression, sur un corps plongé en partie dans un liquide, par l'action capillaire. Mais, bien qu'il déploie dans cette recherche la plus grande habileté, il ne parvient à résoudre complète- ment la question que pour un corps de révolution dont l'axe est ver- tical. J'ai traité le même sujet dans le Chapitre IV de mon Livre d'une manière complète pour un corps de forme quelconque. Je l'ai même traité deux fois : d'abord par des démonstrations synthétiques et plus faciles, ensuite par des démonstrations analytiques ; car je montre que les premières sont insuffisantes ; j'arrive des deux manières aux mêmes résultats. Je termine ce Chapitre en montrant l'accord de ma théorie avec celle de Poisson.

Depuis la publication de l'Ouvrage de ce célèbre géomètre, le champ

INTRODUCTTON. 5

des expériences relatives à la capillarité s'est beaucoup agrandi et a fourni de nouveaux éléments à la théorie.

Hagen, Brunner, Edouard Desains, Bède, M. Quet ont étudié avec une grande précision l'élévation ou la dépression des liquides par la capillarité et ont démontré l'accord des faits avec la théorie. Mais on sait maintenant qu'une très légère altération de la surface d'un li- quide par le contact de l'air peut modifier beaucoup la constante ca- pillaire. On sait aussi que l'angle de la surface d'un liquide avec un corps solide est susceptible encore de plus grandes variations. Cet angle constant, d'après la théorie qui suppose que le liquide reste tou- jours identique à lui-même, peut varier beaucoup si le liquide ou seu- lement sa partie superficielle vient à s'altérer.

Gay-Lussac ne connaissait pas la grande variation de cet angle pour le mercure. Ainsi, à la demande de Poisson, il a mesuré la hauteur de gouttes de mercure de différentes grosseurs, après en avoir déterminé le poids. Or, en m'occupant du calcul de la figure de ces gouttes, j'ai pu reconnaître [l'oir Chapitre V) que l'angle de raccordement qu'elles formaient avec le plan de verre sur lequel elles reposaient, et qui était considéré comme constant par Gay-Lussac, a varié d'une goutte à l'autre. Ces expériences auraient présenté plus d'intérêt s'il avait déterminé la plus grande largeur des gouttes, au lieu de leur hauteur.

Enfin, pour achever de citer seulement les principales recherches des physiciens, je rappellerai que Hagen a employé le premier le compte- gouttes pour déterminer la constante capillaire, que Dupré a prouvé directement la tension superficielle, que Plateau et Quincke ont déter- miné la limite des distances des attractions moléculaires et que Plateau a étudié, dans des expériences célèbres, les figures d'équilibre que peu- vent prendre les liquides sans pesanteur.

CHAPITRE I.

CHAPITRE I.

DES PRINCIPES DE LA THÉORIE DE LA CAPILLARITÉ.

1. Dans la tlicorie de la capillarité, comme son nom l'indique, on cherche à déterminer l'élévation ou la dépression des liquides dans des tuhes très fins; mais, plus généralement, on s'y propose d'étudier l'équilihre des liquides mis en contact avec des corps solides.

Le senl fait sur lequel nous nous appuierons d'ahord, c'est (jue la surface d'un liquide ne varie pas, quand on change l'épaisseur des parois du vase dans lequel il se trouve, quelque Aiihle qu'on rende cette épaisseur. 11 en résulte évidemment que les actions capillaires s'exercent à une distance excessivement petite.

Il est aisé de comprendre que la densité d'un liquide doit varier dans le voisinage des surfaces qui le terminent, soit que ces surfaces demeurent lihres, soit qu'elles couvrent d'autres corps. A une distance sensihle de ces surfaces, un liquide pourra être regardé comme de densité constante, chaque molécule étant pressée par toutes les molé- cules situées dans sa sphère d'activité, dont le rayon t est très petit, d'après ce qui vient d'être dit. Mais, si l'on considère une molécule à une distance de la surface lihre qui soit moindre que le rayon d'acti- vité moléculaire, la force comprimante, qui proviendra alors de la partie comprise entre la surface libre et la surface parallèle menée par la molécule, sera moindre que précédemment. La densité du liquide sera donc moindre en ce point qu'à l'intérieur du li(|ui(le et décroîtra jusqu'à la surface. La couche d'épaisseur s, dont l'une des faces est la surface libre du liquide, étant d'une densité moindre que celle qui a lieu à une profondeur sensihle, exercera sur l'autre face une jtression moindre que celle à la(}uelle sont soumises les molécules situées à une profondeur plus grande. Ainsi la densité du liquide doit être consi-

DES PRINCIPES DE LA THEORIE DE LA CAPILLARITE. 'J

dérée comme variable vers la surface libre et jusqu'à une profondeur plus irrande que le rayon d'activité.

On voit de même que la densité d'un liquide doit changer aux en- virons d'une paroi ou d'un autre liquide et y être tantôt plus grande, tantôt moindre qu'à l'intérieur du premier liquide.

Laplace n'a point fait entrer dans ses calculs sur la théorie de l'action capillaire ce changement de densité, et l'a regardé comme négligeable. Mais c'est à tort qu'on a prétendu souvent qu'il la croyait constante; il dit au contraire, à la fin de cette théorie, que cette densité change vers les limites du liquide.

Application du priivipe des vitesses virtuelles.

2. Considérons un liquide en contact avec un corps solide et appli- quons à ce système le principe des vitesses virtuelles.

Soient m,, //z^, . . ., m^, . . . les molécules du li(juide et M,, 31.,, . . ., M^, ... les molécules du corps solide. Désignons par r,,^ la distance entre rrii et m^, et par R/,^ la distance entre m^ et M^; représentons aussi par/(/',,J la fonction qui exprime l'attraction entre nii et m^, et par F(R,,J celle qui donne l'attraction entre m, et M,.

Prenons un système d'axes rectangulaires des r, y, z, dont l'axe des z soit vertical et mené de bas en haut. Le moment virtuel de la pesanteur sur la molécule m sera — gm})z, Iz étant le déplacement vir- tuel de m suivant la verticale, et g l'accélération due à la pesanteur. Le moment virtuel des deux forces égales et contraires qui s'exercent entre m^ et m^, provenant de la variation ^r,_^ de leur distance, a pour valeur

et le moment qui résulte des actions entre m^ et M^ est de même

-/;/,M, F(U,-,.,)oU,-,,.

Le système étant supposé en équilibre, on aura, d'après le principe des vitesses virtuelles, en indiquant les sommations avec le signe S,

la première somme s'étendant à toutes les molécules m du liquide; la

CllAl'lTl'.K I.

seconde somme, qui est double, s'étendant à chaque arrangement de deux molécules W/, Wj du liquide; enfin la troisième somme, double également, s'obtient en prenant chaque molécule tni du liquide avec une molécule quelconque M^ du corps solide. On a mis le facteur ^ en avant de la première somme double, afin de ne pas prendre deux fois un terme provenant de l'action mutuelle entre deux molécules du liquide.

Nous regarderons/(r) et F(R) comme tout à fait nuls, dès que ret R dépasseront des quantités très petites e et a'; nous pouvons donc poser

f Y{r)dr^ I l<{r)dr:r.<i^{r),

(p(r) et <î>(r) étant deux fonctions positives, puisque tous les éléments des intégrales sont positifs. Nous en déduisons

— J\r)dr=z(/o{r), — F( /•) r//' = r/ '!•(/•).

Ainsi l'équation du principe des vitesses virtuelles deviendra

Si nous désignons par U la fonction de forces pour tout le système et que nous posions en conséquence

U ^—i^'è/n z + !, S,S,w,///,s- 'f ('•/,.) + S,-S,m,M,1'(R/„0,

nous réduirons cette équation à

(a) oU-^o.

Prenons un point à l'intérieur du li(|uide et situé à une distance sen- sible de sa surface. Désignons par L la somme S//Z9(/-) étendue à toutes les molécules m d'une sphère dont le centre est à ce point du liquide et dont le rayon est celui de la sphère d'activité. Si nous sommons la quantité m'L pour toutes les molécules du liquide, cette somme restera constante, quelle que soit la forme afrectée par la masse donnée du liquide.

DES Pr.LNCIPES DE L\ THKOP.IE DE I.A CAPILI.AUITE. - C)

Nous allons employer cette considération à la simplification de la somme

ib) S,S,/«,//^,o(/V,,).

3. Supposons d'abord que le liquide soit entièrement homogène, même vers sa surface. Si nous sommons la quantité m'L pour toutes les molécules du li(juide, nous obtiendrons une somme LSm' plus grande que(^); car elle comprendra, outre la somme [b), \e potentiel Aq la masse liquide sur une couche fictive excessivement mince de ce liquide, re- couvrant cette masse et dont l'épaisseur constante est égale au l'ayon i de la sphère d'activité.

(J'étends ici le mot àa potentiel à une attraction autre que celle de l'inverse du carré de la distance.)

Désignons par y, une molécule de cette couche fictive; nous aurons

/^désignant dans la dernière somme la distance de la molécule fictive [j. à une molécule quelconque du liquide. Le premier terme du second membre est constant, la masse du liquide restant invariable. D'autre part, l'épaisseur s de la couche est en général excessivement petite par rapport aux rayons de courbure de la surface du liquide et o(/) est nul pour /•> s; il est donc évident que SSy.wo(r) est proportionnel à la surface du liquide, à des quantités près tout à l'ait négligeables.

Ainsi, en désignant par T la surface entière du liquide et par/» une quantité constante positive, on a, pour la variation de la quantité [h),

(c) )r) sailli 1)1,0 'f(/v,.s-) ^— P 5T.

La démonstration de cette formule suppose que le liquide reste ho- mogène jusqu'à sa surface. Nous allons maintenant supposer que le liquide change de densité dans les environs de sa surface et examiner comment cette dernière formule se modifie.

Modification de la fornude [e) dans r/iypothèse d'un changemeii! de densité da//s le liquide.

4. Pour simplifier, admettons d'abord que la surface du liquide est entièrement libre. Soient aa' {/ig. i) la sui'face de ce liquide et h// la

lO

CIIAPITHE 1,

limite inférieure de la couelie de densité moindre que la densité p de l'intérieurdu licjnide; la surface />// est parallèle à rï^' et à iinedistaMce/; de cette dernière surface, plus grande que le rayon d'activité s.

FilT. 1.

Condensons par la pensée cette couche d'épaisseur •/;, de manière qu'elle prenne partout la densité p et l'épaisseur w, alors la surface ex- térieure du liquide viendra en ce' , surface parallèle aux deux précé- dentes.

Considérons la quantité LSw, S/^z représentant la somme de toutes les molécules renfei'mées dans la partie B du liquide comprise sous la surface hh' , et dans la couche condensée cc'hh' que nous appellerons A. Si l'on suppose que la surface extérieure aa' vienne à se modifier, non seulement LS/?z restera constant, mais le volume renfermé sous la sur- face ce' sera lui-même constant et, d'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, le potentiel de ce liquide, compris dans <:'c', sur lui-même est égal à l'expression

(i) jLS/// — iSS;x/;/o(/'),

oij la somme douhle représente le potentiel de A sur une couche placée surrr' et ayant la densité p et l'épaisseur £. Pour avoir h; potentiel total

(2) lS,S,;;/,;;/,'^(/V,.0,

il suffira de l'etrancher de la valeur (i) le potentiel de la couche A sur le liquide B et sur elle-même, et d'y ajout(u* le potentiel de la couche »'raie hh' aa' sur le liquide B et sur elle-même.

D'après cela, désignons par v>, rz' deux molécules quelconques de la couche fictive A, et par.v, v' deux molécules quelconques de la couche vraie ad hh' . Désignons aussi par m' une molécule (juelconque de B. Le potentiel de la couche A sur B et sur elle-même sera

DES PRINCIPES DE LA THÉORIE DE LA CAPILLARITE. I I

et celui de la couche aa'hb' sur B et sur elle-même sera

SSm'v'^(/') + iSSvv''^(/-),

r représentant dans chacune de ces sommes la distance entre les deux molécules qui y sont indiquées.

Nous en concluons, pour l'expression (?.),

!^ S/S,s/^///y/,-T (/•/,, S-) = H^^/'i^ \ SS//rj.'j(/') ^SS/«'r;T'f(/') — ^-SSTOro'o(/') + SS//<'v o(/-) -H ,lSSvv'o(/-\

Les termes de la deuxième ligne sont respectivement plus grands que ceux de la troisième.

Si l'on conçoit que la surface extérieure du liquide change, la quan- tité ^LSm restera invariahle. Ensuite, d'après ce que nous avons re- connu (n" 3), la première somme double de la formule précédente est proportionnelle à la surface T du liquide, et l'on voit de la même ma- nière que les quatre autres sommes doubles sont proportionnelles à cette même surface : donc, A et K étant deux constantes positives dont la première représente H^Sm, le second membre de la formule (3) peut

s'écrire

A — KT.

5. Concevons ensuite (jue la surface T du liquide ne soit plus entiè- rement libre, mais qu'elle se compose d'une partie libre n et d'une partie H en contact avec un corps solide ou un autre liquide. Nous sup- poserons encore que la couche terminée par a et de densité moindre que p ait l'épaisseur r,, et que celte couche condensée jusqu'à la den- sité p prenne l'épaisseur a. Et pareillement nous supposerons (|ue la semblable couche terminée par i^ ait l'épaisseur-/;, et (jue, ramenée à la densité p, elle ait l'épaisseur u^.

Désignons encore par n ou rr, chaque molécule de la couche fictive d'épaisseur /i ou //, et par v ouv, chaque molécule de la couche vraie d'épaisseur r, ou r,,. Alors, pour avoir l'expression de la (|uantité (2), il faudra, au second membre de la formule (3), ajouter

12 CHAPITRE I.

Désignons par A, B, C, D des nombres constants; nous pourrons représenter ^LSm par A, SSmao(r) par B('7 -+- £>), la somme da quatre derniers termes du second meml)re de (3) par — (''7 et la somme (4) par — Di^. Nous aurons donc

iS,S,/;^■w,'v(/v,.s.)— \— -(a+o) — Ct -Dt>,

A, B et C étant positifs et D positif ou négatif. Les termes — Ct— Di2 sont ceuxqui proviennent du changement de densité du li(|uide vers ses limites.

Nouvelle forme de V équation du principe des vitesses virtuelles.

C. Supposons que l'on ait un seul liquide qui se trouve au contact d'un solide par la surface 12. La quantité

S/S,/;/,-M,<I'(U,-,s-),

qui entre dans l'expression de U (n'* 2), est proportionnelle à 12 et peut être représentée par Ei2, E étant une constante positive. On peut, dans cette même expression de U, remplacer g'èmz par

g? :-dTT^,

l'iutégrale s'étendant à tous les éléments dvî du volume du liquide. On au l'a donc

L = - ,s^pfz dr. + A - (^^ + c) . - (!1 -, - I) - e) <>.

Dans le cas où l'on suppose C (;t 1) nuls, on obtient la formule donnée par Gauss. Cette fonction doit être substituée dans l'équation

oUrrO.

Remarques sur les principes employés dans les numéros précédents.

7. Outre l'attraction entre deux molécules, il peut y avoir entre elles nue répulsion calorifique; mais, pour eu tenir compte, il suffit

l)i:S I>niN(',ll>KS DE LA TlIKOniE DE LA CAPILLAUITÉ. l3

(l'admettre que, dans le n° 2, les fbnctions/(/) etF(/) représentent la somme de ces deux actions.

Nous admettons donc seulement que l'action totale entre deux molécules n'est fonction que de leur distance. Cependant on peut douter que cette action soit aussi simple. On conçoit en effet que les molécules liquides au voisinage du corps solide puissent prendre une orientation déterminée, et l'action entre deux molécules, l'une liquide, l'autre solide, pourrait dépendre non seulement de leur distance, mais encore de la disposition de la molécule liquide par rapport à la droite qui la joint à la molécule solide. Toutefois il suffit que l'expi-ession du moment virtuel de la force

où X, Y, Z sont les composantes de cette force, soit une différentielle exacte, pour que les résultats obtenus dans ce qui précède restent applicables. L'intégrale de cette différentielle remplacera la fonc- tion <i>(R) et l'on reconnaîtra facilement que la somme qui remplacera

S,S,/y^M,*(R,-,,)

pourra, comme au numéro précédent, être représentée par Ei2, E étant constant.

On verra également que, si les molécules du liquide ont une certaine orientation auprès de la surface libre et que le moment virtuel de leur action mutuelle soit une différentielle exacte, l'expression qui rempla- cera

^ S; S.,- /«//;?.,. 'f'(/'/,i-)

pourra encore se mettre sous la forme indiquée ii la fin du n" 5. Donc enfin il existera une fonction de forces U, qui conservera la même forme qu'au numéro précédent.

L'existence d'une fonction de forces doit d'ailleurs être admise, si l'on néglige la viscosité, c'est-à-dire le frottement du liquide sur lui- même; car, dans ce cas, les molécules du liquide étant supposées dé- placées, puis revenues à leurs positions primitives, le travail accompli doit être nul, ce qui n'a lieu que dans la supposition de l'existence d'une fonction de forces.

i\ CHAPITRE I.

Équilibre d'un liquide renfermé dans un vase.

8. Supposons un corps solide formant un vase (|ui renferme le li- quide. Posons

d'après le n" 6, nous aurons l'équation

( :î ) 0_/".- f/77T + M r:^ + N 01) =1 O,

(7 étant la surface libre et 12 la surface du liquide en contact avec le so- lide.

La quantité ^Jzdx serait évidemment nulle si la surface libre <> ne changeait pas, et aussi, pour évaluer cette quantité, nous pouvons sup- primer au volume du liquide bipartie commune avant et après le dépla- cement virtuel. Si nous multiplions chacun des éléments de la dilfé- rence des deux volumes par :;, nous aurons ^Jzdxs. Or, en désignant par n la normale extérieure et par hi le déplacement de la surface sui- vant cette normale, l'élément de volume de cette dilférence a pour v;.- Icur dnhi; on aura donc

r,fz(/T^-fzO/ld7,

l'intégrale du second membre s'étendant à tous les éléments de la sur- face libre a.

Comme la densité du liquide n'est plus la même vers ses limites, il faudrait, pour plus de rigueur, remplacer le premier terme de la for- mule (2) par

(3) -rjj'zpdîT},

p étant considéré dans l'intégrale comme variable vers la surface du li- quide. Alors, le liquide étant supposé partagé en la partie dont la densité est constante et en une couche d'épaisseur très petite d'une densité moindre, la partie de la formule (3) qui se rapporte à cette couche est insensible, comme on le voit aisément; donc il n'y a rien à

DES PRTNT.ÎPF.S DE LA THÉORIE DE L\ CAPILLARITÉ. IJ

changer à la détermination que nous avons faite du premier terme de l'équation (2).

Pour former l'équation (2), supposons d'abord que, la surface Q. restant la même, la surface libre g soit changée en une surface infini- ment voisine g', terminée au même contour. Sur la surface a traçons les deux systèmes de lignes de courbure, ^ et ^, ; le long de ces lignes menons des normales qui détermineront sur g' les lignes s' et s\. Ces lignes de courbure découpent la surface g en rectangles curvilignes infiniment petits. Soient ds, r/5, les deux côtés d'un de ces rectangles ; les normales menées aux deux extrémités de ds se rencontrent en un même point et interceptent sur g' l'arc ds' ; de même les deux normales menées aux deux extrémités de ds^ interceptent sur g' l'arc ds\ et l'on aura

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IT

Kl

%n étant la distance déjà considérée entre les deux surfaces et R, W^ étant les deux rayons de courbure principaux de la surface g, qui doi- vent être regardés comme positifs ou négatifs, suivant (ju'ils sont ex- térieurs ou intérieurs au volume du liquide. Nous pourrons donc poser

(h -zz (/s ds i , r/cr' = ds' ds! = ds ds,l f- ~](i

et il en résulte

d^ rn d-'

(h

(ïï

0// c/.v (/Si,

Donc, quand ^Q. est nul, l'équation (2) se réduit à

(4) f

M(^

+ -

di

Il faut exprimer que la masse du liquide ne change pas, et il est en- core aisé de voir qu'on peut dans cette condition négliger le change- ment de densité qui a lieu trc's près do la surface. On aura donc îi

l6 CFIAPITRE I.

exprimer que le volume du liquide est constant ; ce qui donnera

/•

on ch =: o.

Multiplions cette dernière équation par une constante — // et ajou- tons îi (4) ; nous avons

/

M ( |j + ^

r,ii (h

Comme cette équation doit avoir lieu quel que soit S//, on en conclut (5) -M(-^^-T^-)-hc-/^

Ml^-.-^^,..

ce qui détermine l'équation de la surface libre a.

Si l'on voulait tenir compte de la pression II de l'atmosphère, on remarquerait que son moment virtuel sur l'élément «^/c; est — JVtiid': et que le premier membre de l'équation (2) est la quantité %\} divisée par — ^0. On en conclurait qu'il faut introduire dans l'équation (/|)

entre les crochets la quantité — II, et l'on obtiendrait, au lieu de l'é- quation (5),

n + ,i^p (.. - /O -^ .i^;p M (^-|^ + ll^y

9. Supposons ensuite que la surface ^ de contact du liquide avec le vase change. Désignons par / la ligne de séparation de g et de i2 ; par la déformation /se changera en une ligue /'. Le long de la ligne/ éle- vons des normales à la surface g jusqu'à la rencontre de a ; ces nor- males couperont t' suivant une ligne /, . Ainsi la surface a' peut être partagée en deux parties : l'une '7^ renfermée dans la ligne/,, l'autre n'., comprise entre /, et /'.

D'après ce qui a été démontré ci-dessus, nous avons

(6)

'^~^-^-j{^.-^w)'"'''

Désignons par c)X la distance enti'c les deux lignes / et /' situées sur

DES PniNCTPES DE LA THÉORIE DE l.A CAPILLAIUTE. I -

la paroi du vase ; nous aurons d'aboi'd

Oi> — f OÀ d/.

Ensuite rr., peut être considéré comme la projection des éléments ^1 dl de la paroi sur n' . Si donc nous désignons par / l'angle des nor- males à T et a la paroi, menées respectivement hors du liquide et hors de la paroi, nous aurons

( 7 ) <!.■, -=r. / COS^'o dl.

Ajoutant (G) et (7), nous avons

car:-: — I (— -h -- I rhld'l -\- I COSf'oXc//.

Enfin considérons encore l'expression () / zJcj;ellese compose d'a- bord de / zhi clrj, puis d'une partie provenant du liquide renfermé entre

la paroi et la petite surface réglée terminée aux deux lignes /et/,; mais cette seconde partie est infinimentpetite par rapporta la première. Ainsi l'équation (2) devient

/

"'•ïï-^K

O/i c/t -h / (M COS/ + N) oX (^/:rzo,

et il faut y ajouter encore l'équation de condition

/ o/i <r/a- r— o.

On en conclut comme ci-dessus l'équation (5) et aussi, puisque (>7. est arbitraire,

M ces/ -T- N zzr: o.

Ainsi on a, \)QI\\'V angle de raccordement, c'est-à-dire l'angle sous lequel le liquide rencontre la partie de la paroi touchée par le liquide,

(8)

N

COS« ■=^ — rj

li ~ 2 E 4- 2 D

ij -h 2(; B, E, C étant des quantités positives et D positif ou négatif.

I (S chai'Hiœ i.

10. La mélhode qui précède, pour déduire au moyen de l'équation (2) l'équation de la surface libre du liquide et la formule qui détermine l'angle i, a été exposée pai' M. Bertrand [Journal de Liouville, t. XUl, 1848). La variation de densité que j'ai admise vers les limites du liquide ne modifie en rien cette démonstration. Laplace a démonti'é le premier ces deux formules, en supposant la densité du liquide par- tout la même, et par suite C et D nuls.

Si nous faisons C et D nuls, nous avons

li — 2 E

19) cos< = jj- — ,

et nous obtenons les résultats suivants donnés par Laplace.

Admettons que l'action, entre deux molécules du liquide ou entre une molécule du liquide et une du solide, soit la même fonction de leur distance, à un coefficient constant près. Alors 13 et E seront pro- portionnels à ces attractions.

Si B — 2E est positif et par conséquent l'attraction du liquide sur lui-même plus grande que deux fois celle de la paroi sur le liquide, l'angle / est obtus et, si la paroi est verticale, la surface du liquide est convexe.

Si B = 2E, le liquide rencontrera la paroi normalement et il sera liorizontal si le tube est vertical.

Si B — 2E est négatif et par conséquent l'attraction du liquide plus petite que deux fois celle de la paroi, l'angle / est aigu et, si la paroi est verticale, la surface du liquide est concave.

Toutefois si, B — 2E étant négatif, on a de plus B << E, la valeur trouvée pour cos/ serait plus grande que 1, la valeur de/ serait imagi- naire et la formule (9) ne serait plus applicable ; cela provient de ce que l'équilibre n'est plus possible. Alors le liquide tendra par l'attrac- tion de la paroi à s'y élever et à y former une couclie excessivement mince ; le liquide n'aura qu'à vaincre sa pesanteur qui sera très faible et le frottement contre la paroi qui pourra avoir une valeur sensible. Le tube liquide excessivement mince qui s'élève au-dessus de la surface du liquide devra être substitué dans la tbéorie précédente à la paroi même. On devra donc faire B = E, et par suite

cos< r= i;

DES PRINCIPES DE LA THÉORIE DE LA (IsPILLAHITÉ. If)

ainsi l'angle / est nul et la surface du liquide est tangente à la paroi. Tous ces résultats cessent d'être exacts, si C et D, comme il est vraisemblable, ne sont pas négligeables devant B et E; alors il faut adopter la formule (8). La limite où l'expression (8) sera applicable aura lieu quand cos?' sera égal à i ou

(lo) E = B + C + I).

Ainsi, à cette limite, la surface du liquide est tangente à la paroi.

Quand on aura

E>B^C + I),

la valeur de i donnée par la formule (8) sera imaginaire ; mais on devra concevoir qu'une coucbo liquide excessivement mince s'élève au con- tact de la paroi. Désignons par E' la quantité analogue à E et relative à l'attraction de la coucbe liquide sur le liquide intérieur et par C et D' ce que deviennent G et D, quand on substitue la couche liquide à la paroi. Les quantités G', D' seront évidemment très petites. En rem- plaçant E, G, D par E', G', D' dans la formule (8), nous aurons

. ?.E' — B — 9.1)'

ces/ =:

Or il est aisé de comprendre que l'angle i doit rester nul, comme dans le cas où a lieu la formule (lo); car le liquide du ménisque et celui de la couche ne forment qu'un môme liquide dont la surface ne doit point contenir de parties angulaires. Ainsi E' satisfera à l'équation

E' = B + C'4-T)'. ,

11. On peut, par la considération de l'angle de raccordement, dé- montrer que les actions moléculaires îtb s'exercent qu'à une distance excessivement faible. A cet effet, Quincke déposa sur la surface du verre des couches extrêmement minces de différents corps, et il con- stata que l'angle de raccordement d'un liquide déterminé avec ces corps ne varie pas quand l'épaisseur des couches surpasse des quantités ex- trêmement petites. Par exemple, pour le mercure, voici les couches trouvées suffisantes :

o"'"',oooo4S de sullnre d'argent, o™'", 000059 d'iodiiro d'argent.

■2 0 CHAPITRE 1.

Ces nombres indiquent l'ordre de grandeur des distances auxquelles s'arrêtent les actions moléculaires.

Sur (h's précautions à prendre dans V application du principe des vitesses virtuelles.

12. Si, dans un déplacement virtuel du liquide, la courbure de la surface libre t change d'une quantité finie, même seulement sur une étendue infiniment petite de cette surface, mais de longueur finie, la quantité s, quoique très petite, étant finie, le raisonnement qui a servi à démontrer (n" 3) que la quantité

(i) SS;/./// '^(z-)

subit une variation proportionnelle à celle de la surface du liquide n'est plus applicable.

On voit de la même manière que la variation de cette quantité n'est pas proportionnelle à celle de la surface du liquide, si, dans la défor- mation de la surface libre g, l'angle du liquide avec la paroi change d'une quantité finie. Dans le même cas, la variation de la quantité

(2) SSmM'I>(R)

ne sera pas proportionnelle à f)12, H étant la surface du liquide en con- tact avec la paroi.

En résumé, dans l'application du principe des vitesses virtuelles, il faut avoir soin de ne considérer que des déformations de la surface libre du liquide, dans lesquelles les angles du plan tangent à cette sur- face avec les trois plans de coordonnées subissent des variations infi- niment petites.

Supposons, par exemple {fig. 2), un tube capillaire parfaitement cy- lindrique à son intérieur et la base rectangulaire sur le cylindre inté- rieur. Un liquide qui y est renfermé descend jusqu'à la base du tube, en formant une surface concave tangente au cylindre intérieur. Or il n'est pas permis de donner à tout le liquide un même déplacement vir- tuel Vi de haut en bas. En effet, après ce déplacement, l'angle de la surface du liquide avec le tube, qui était égal à zéro, devient celui de la surface du li(juide extérieur avec la base du tube, c'est-à-dire égal à

DES PRINCIPES DE LA THEORIE DE LA CAPILLARITÉ.

21

un angle droit. Il en résulte que la quantité (2) subit une variation qui n'est plus proportionnelle à ^£î; cette variation doit même être considérée comme indéterminée, parce que ^h est infiniment petit par rapport à s et que la loi de la fonction <!> (R) est inconnue.

Filj. 2.

V^ / ^

13. Il n'est pas inutile de donner un second exemple pour mieux justifier les réflexions qui précèdent.

Supposons une paroi plane qui retienne un liquide, et calculons la force produite par la capillarité sur cette paroi ; cette paroi a d'ailleurs une inclinaison quelconque sur l'horizon et le liquide la rencontre sui- vant une droite horizontale /. Donnons [fig. 3) à tous les points de

Fig. 3.

«7

nV

la paroi plane AB des déplacements virtuels rectilignes, égaux, paral- lèles et de grandeur égale à ^A; nous supposons ^h oblique à la paroi, mais perpendiculaire à la ligne /. La paroi plane vient ainsi de AB en A'B'.

On peut supposer que le liquide s'étend à l'infini du côté de R, en sorte qu'il ne s'abaissera que d'une quantité négligeable. Conformé- ment à ce qui vient d'être dit, nous devons supposer que dans ce mou-

2 2 CHAPITRE I.

vement le liquide ne subit pas un changement fini de courbure, et que l'angle de raccordement sur A'B' soit i comme sur AB, à un infiniment petit près. Prolongeons donc la surface aR jusqu'en a de manière qu'elle fasse avec la paroi A'B' un angle qui diffère infiniment peu de i. Supposons que al représente Vi et aE la perpendiculaire commune aux deux plans. Désignons aussi par P la somme des composantes suivant la des forces appliquées à la paroi et par y l'angle a' al. Appliquons le principe des vitesses virtuelles; nous aurons

en désignant par / la largeur de la paroi ; nous avons ensuite

, , sin(Y + /) ,,,

oc: ■=. aa x, l -=i ■ ^ — . / o//^

sin«

Nous avons et nous en concluons

N "-- — M ces/,

M 05 + N oQ = M / cos Y 8//.

%Jzdv>, dans l'équation (a), correspond à la pression hydrostatique qui a lieu en dehors des forces capillaires; nous obtenons donc pour la composante de la force capillaire suivant la

,4'-pM/cosY.

On en conclut que la paroi est sollicitée par une force normale à /, tan- gente h la surface du liquide et égale à g^M par unité de largeur.

Il est aisé de voir qu'on arriverait à un résultat différent et inexact, si l'on eût appliqué le principe des vitesses virtuelles en prenant au- trement l'accroissement de la surface libre du liquide. Si, par exemple, on prenait cet accroissement suivant al au lieu de le prendre suivant aa', on aurait

oQ =: o, oa =: / oh,

Moc7 + NoQ — M/oA,

et l'on trouverait que la composante de la force capillaire suivant al est ^pM/ : ce qui est faux.

DES ITUNCIPES DE LA THÉORIE DE L\ CAI>ILL\IUTÉ. 2^

Force capillaire normale à la surface d'un liquide et tension à cette surface.

14. Nous avons, pour l'équation de la surface capillaire d'un li- quide (n" 8),

Reportons-nous à l'équation (>U ==: o du principe des vitesses vir- tuelles dont nous l'avons tirée, et qui peut s'écrire

— g-p j {z - - h)o/i (t/t — /Il o/i cla + g^j / ^1 ( TT +■ .7- ) (^^'t- <^l^ = o.

Le premier et le deuxième terme représentent la somme des moments virtuels qui proviennent de la pesanteur et de la pression n d'un gaz sur la surface capillaire. Le troisième terme représente une somme de moments virtuels de forces agissant sur la surface et représentées sur chaque élément t/a par

cette force élémentaire agit suivant l'élément hi de normale extérieure au liquide, si v- -\~ tt- est positif ou si le plus petit rayon de courbure principal est extérieur au volume du liquide, et en sens contraire si |r + TT- est négatif. Ainsi, la courbure de la surface produit une force normale égale à

'?"(k-'-h;)'

qui agit dans la concavité de la surface si les deux rayons de courbure sont de même sens, et du côté du rayon le plus petit s'ils sont de sens contraire.

15. Nous avons trouvé (n^'ô), pour la fonction de forces.

l[\ CIIAPITUE I.

Si nous supposons une délormation très petite de la masse liquide qui altère les quantités a et 12, il en résultera un travail représenté par

0 U r— g p IJz dv5 i^ p M 0!T — g p N ol2.

Si la surface ^ reste la même et que le centre de gravité de la masse liquide ne change pas sensiblement de hauteur, ce qui rend insensible le premier terme, on aura simplement

Ce sera le travail provenant de la seule déformation de la surface libre. Si la surface libi'c du liquide diminue, il se fait un ti'avail positif in- diqué par la variation de la fonction U; ce travail se changera en une petite quantité de chaleur qui élèvera la température du liquide; cette quantité de chaleur se calculera facilement d'après le principe de la transformation du travail en chaleur. De même, à l'accroissement de la surface libre du liquide correspondra un petit abaissement de tempé- rature.

Supposons une membrane plane, dont l'épaisseur très mince est e, et qui est tendue dans tous les sens par une force constante : cette ten- sion s'exercera dans toute l'épaisseur; représentons par ^ le contour de la membrane : la tension sur la longueur <^^ pourra être représentée par Tzds, et, si nous désignons par hi U) déplacement normal à s, le travail correspondant sera —Ttclshi. Faisons la somme de tous ces travaux élémentaires et remarquons que f^nds est la variation "^g de la sur- face d'un des côtés de la membrane : nous aurons — Ts ^a pour ce tra- vail. Supposons ensuite que la membrane ne soit pas plane, qu'elle soit étendue sur un corps solide, sur lequel elle s'applique exactement, et qu'elle soit tirée sur ses bords par une force normale constante. Il suf- fira alors de la diviser en éléments plans auxquels ce qui précède sera applicable, et l'on arrivera au même résultat.

Si nous appelons la quantité Ts la tension de la membrane, nous voyons que, dans le travail provenant de l'accroissement de la surface libre du liquide, la quantité gpM est analogue à la tension de la mem- brane. On doit aussi la considérer comme s'exerçant non à la surface, mais à une profondeur tellement petite, que les résultats du calcul ne sont pas altérés si l'on fait abstraction de cette épaisseur. C'est ainsi

DES PRINCIPES DE I.A THÉORIE DE LA CAPILLARITÉ. 25

que, dans la Théorie mathématique de l'électricité statique, on fait abs- traction de l'épaisseur de la couche électrique.

La tension à la surface du liquide, selon ce que nous avons vu (n° 13), exercera sur la paroi une action dont la direction, en chaque point de l'intersection de la surface avec cette paroi, sera tangente à la surface du liquide.

D'après l'expérience, la tension superficielle d'un liquide peut chan- ger considérablement, sans que sa nature soit sensiblement altérée. Il suffit, par exemple, que la couche superficielle de l'eau renferme quelques traces d'alcool provenant de l'évaporation de ce liquide placé dans le voisinage; il suffit encore que la couche superficielle du mer- cure renferme des traces d'oxydation. La théorie exposée aux n"^ 4, 5 et 6 reste applicable; on concevra seulement que la couche superfi- cielle du liquide, que nous avons supposée d'une autre densité que le reste du liquide, soit aussi d'une composition chimique un peu diffé- rente, et tous les raisonnements resteront l(;s mêmes.

CHAPITRE IL

CHAPITRE If.

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION D'UN LIQUIDE AUPRÈS D'UNE PAROI.

Equation aux différences partielles de la suif ace du liquide.

1 . Les rayons de courbure principaux d'une surface sont donnés par l'équation du second degré

en posant

dz dz d^ z d^ z __ d"^ z

dx ' dy dx"^ dx dy dy"-

En établissant cette équation, on regarde les rayons de courbure prin- cipaux comme positifs ou négatifs, suivant qu'ils font un angle aigu ou obtus avec les z positifs. D'après cette équation, on a, pour la somme des inverses de ces rayons de courbure,

I I ( I + />- ) ^ H- ( f + 7-) /■ — 2 />r/.ç

Il R,

(,+y,2_|_^2)-2

Désignons par a- la quantité positive représentée par M dans le Cbapitre précédent; alors l'équation delà surface capillaire (n"8)

deviendra

(2) {\^p''-)t-A-{\-\-(f)r -ipcjfi ^ 1 ^_

{i+p'^+q'-Y

Nous rappelons que l'axe des z est vertical et mené de bas en baut.

ÉLÉVATION OU DEPRESSION D UN LIQUIDE AUPRÈS D UNE PAROI. 27

Dans l'équation (i), R et R, sont supposés positifs ou négatifs, sui- vant que ces rayons de courbure sont dirigés vers l'extérieur ou vers l'intérieur du liquide (Chap. I, n'^S). Si donc l'un des deux rayons de courbure est extérieur au liquide et fait un angle aigu avec les z posi- tifs, les valeurs ^^^ n + ït' calculées des deux manières précédentes,

ont le même signe, et l'on a bien l'équation (2). Il en est de même si l'un des rayons de courbure est intérieur au liquide et fait un angle obtus avec les z positifs. Dans les cas différents des précédents, il fau- drait changer de signe le second membre de la formule (2).

Un tube étant plongé dans un liquide indéfini, cette équation con- viendra également à la surface du liquide intérieure au tube et à celle qui lui est extérieure. La constante h sera donc la valeur de z pour la surface de niveau, c'est-à-dire pour la partie de la surface du liquide assez éloignée du tube pour qu'elle puisse être considérée comme plane. En effet, en les points de cette surface, R etR, seront infinis et l'équa- tion (i) se réduira à ^ = A.

2. Si la surface du liquide est de révolution autour de l'axe des z, prenons, au lieu de x, y, des coordonnées polaires, en faisant

r sera la distance de chaque point à l'axe de révolution, et l'on aura

dz dz X dz dz y

dx dr r dy dr r

d^ z d'^z x^ dz y^ d-z d-z xy dz xy

dx""' dr- r- dr r^ dx dy dr''' /'^ dr /■*

d'^z d'^'z y^ dz x''- ^

dy''' dr- r- dr r^ '

on obtiendra donc, au lieu de l'équation (2), la suivante :

d'-z I dz dr"- r dr

(dz '^Vdr

1 +

a-

On aurait pu former immédiatement cette équation en remarquant que

28 CHAPITRE II.

les deux rayons de courbure principaux d'une surface de révolution sont le rayon de courbure du méridien et la grandeur de la normale à ce méridien, terminée à l'axe. On peut donc poser

jr-(p-

l\,r=r

drV

d' z V \ ''^■^

et il en résulte l'équation précédente.

Poids du liquide s()ule<^é dans un tube cylindrique par l'effet de la capillantè.

3. Supposons d'abord un tube vertical plongé dans un liquide, et calculons la formule donnée par Laplace pour déterminer le volume du liquide soulevé dans ce tube, en suivant l'analyse de l'illustre géo- mètre.

L'équation (2) de la surfoce du liquide peut s'écrire ainsi :

^.dp , ,, dq (dp d(i

ou encore

= i=(--"'

d f p \ d f (j \ I

-1 — 7

dœ \^y ^p-i + (ji J dy \^ y/j + p^^ + q'^

Posons, pour abréger l'écriture,

S-' <--">■

T ' - V

et cette équation devient

,5, d'V dV I . ,,

(3) -T- + -.- =—,{z — h).

^ ' dx dy a-

Multiplions cette équation par dxdyc^i intégions ensuite les deux membres, en étendant l'intégration à toute la section du cylindre ; nous

ÉLÉVATION OU DÉPllESSION D UiN LIQUIDE AUPHES D UNE PAROI . 29

aurons

«) ffSi "-'■■• '-//^? ""'J- - i' //(-^ " ">''^'-"--

Considérons la première intégrale double; on peut d'abord y effectuer l'intégration par rapport à x, et l'on a

df j -j- clx 1= T, dy — To c(r,

les indices o et i indiquant qu'on prend la quantité T pour la plus petite et la plus grande valeur de x correspondant à une valeur de y. Cette formule donne la partie de l'intégrale double relative à une bande de largeur dy et parallèle à l'axe des x.

Désignons par v l'angle de la normale au contour s de la section droite du cylindre avec l'axe des x, la normale étant menée extérieure- ment; désignons aussi par ds^, ds^ les arcs infiniment petits du con- tour qui terminent la bande; nous aurons

df nz dSi COS l'i, df r=: — dS(, COS i\,

ds^i, dst et dy devant être regardés comme positifs. Nous avons donc

/ / — dx df =: j T COS vds,

l'intégrale simple s'étendant à tout le contour de la section.

Nous pouvons transformer de la même manière la seconde intégrale double. Nous aurons d'abord, en intégrant le long d'une bande infini- ment étroite, d'épaisseur dx et parallèle à l'axe des y,

r dv

les indices ayant un sens analogue à celui qui a été indiqué ci-dessus, et, comme nous avons

dx -- dsy sin c,, dx rr; — ds^ siii t'y, ds\^, dSf étant les arcs qui terminent cette bande, il en résulte

/ l -J- dx df =1 I V sin r ds.

3o CHAPITRE II.

Le premier membre de l'équation (/j) devient donc

/

p cosi^ -H 7 Sine

\J l -^ p^' -\- q-

l'intégrale s'étendant à tout le contour de la section.

Les cosinus des angles de la normale à la surface du liquide, menée intérieurement au liquide, et de la normale à la paroi menée dans cette paroi, sont respectivement

P

\U+p^'+q''' \/ 1 -\- p"' -\- q^' \/ 1 -i- p' -h q^' cosc, sine, o;

or cet angle des deux normales est précisément celui qui est désigné par i au n" 0 du Chapitre I ; on a donc

p COSi' -+- q s'm'H' — - — =:COSl,

\/l-i-p' -^q^'

et, comme i est constant tout le long du contour, on a

/p cos(^ -hq s\nv j f , ,

^ — =^- as ■=. ces i / as = l ces i,

^l+f-+q' J

en désignant par / la longueur de ce contour. Nous avons donc

/ / ( :; — h) dx dy z= a-lcos i.

La quantité h représente la coordonnée z pour la surface de niveau ; le premier membre est donc égal au volume V du liquide soulevé dans le tube au-dessus de cette surface et l'on a

(5) V=:a-/cosf.

Comme nous avons posé (Chap. I, n*^ 8)

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION D UN LIQUIDE AUPRÈS DUNE PAROI.

il en résulte aussi la formule

3.

S?^-^ {- + CJ/COS?-,

qui exprime le poids du liquide soulevé dans le tube. On voit que ce poids est proportionnel au contour de la section droite du tube.

Si l'angle i est obtus comme pour le mercure dans un tube de verre, la formule (5) donne pour V une valeur négative et indique la dépres- sion du liquide dans le tube.

4. Supposons ensuite le tube capillaire incliné et faisant l'angle a avec la verticale ifig- 4)-

Fin- -I-

7

^S£

OF THC

UNJ VEERITY

Soit G le centre de gravité de la section AB faite dans le tube par le plan de niveau du liquide. Menons par le point G la section droite A'B' du cylindre; soit Gj l'intersection de A'IV par le plan AB; me- nons les deux autres axes rectangulaires G^r, Gs; puis, dans le plan xÇfZ, menons G^' parallèle aux génératrices et Gx' rectangulaire sur

D'après l'origine prise pour les axes, on a A = o et l'équation de la surface du liquide dans le tube est

(^)

I I

[x\y,z') étant les coordonnées d'un point de la surface du liquide par rapport aux axes G^', Gj, G^', on a

^'cosa H- .r'sina.

Remplaçons :; par sa valeur dans l'équation («), puis multiplions ses

32 CHAPITRE II.

deux membres par dx' dy' et intégrons dans toute l'étendue de la sec- tion droite A'B'; nous aurons

{h) cos a r ( zJ dx' dy' + sin a r fx' dx' dy' = «' T f (w^ H- jf ) di' df .

Si le tube est capillaire, la coordonnée z' sera à très peu près la même en tous les points du bord du ménisque liquide (toutefois, par exemple, B'F sera plus grand que A'E dans un tube circulaire). En admettant cette égalité, ce qui ne produira qu'une erreur très faible, on aura, d'après le calcul du numéro précédent.

//

jT 4- 7^ ) dx' dy' = lco^i.

En désignant par V le volume soulevé, on a

\.'dx'dy' =-_ V - vol AGA' + volGBB' = V ;

ff

car, le point G étant le centre de gravité de la section AB, on a

VOlAGA'-VOlGBB'nrO;

pour la même raison on a

r r

x' dx' dy' -=^ o.

ff

D'après tous ces résultats, la formule (/>) devient

V cosa r=: a-lcosi.

Le volume soulevé varie donc en raison inverse de cosa, a étant l'angle des génératrices du tube avec la verticale.

Le théorème donné par la formule (5) peut être étendu au liquide soulevé dans l'espace compris entre deux tubes verticaux. Il est en effet aisé de voir que le raisonnement qui a conduit à cette formule est en- tièrement applicable. Supposons que les deux tubes soient de même matière, en sorte que la quantité î soit la môme pour les deux tubes. Alors, en désignant par / le contour de la section droite du cylindre in- térieur du tube extérieur, et par /' le contour de la section droite du cylindre extérieur de l'autre tube, on aura pour le volume soulevé entre ces deux tubes

V r_- rr (/H- /') cos/.

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 33

Elévation ou dépression d'un liquide auprès d'une lame verticale, plongée dans ce liquide.

5. L'axe des z étant toujours supposé vertical et mené de bas en haut h la surface de la plaque dont la largeur est supposée indéfinie, ou du moins assez grande pour qu'on puisse négliger ce qui a lieu aux extrémités, menons l'axe des j horizontal dans la surface de la plaque, et l'axe des a? perpendiculaire à cette surface. Le liquide affecte alors la forme d'un cylindre de révolution dont les génératrices sont paral- lèles à l'axe des y. La coordonnée z étant indépendante de j, l'équation de la surface du liquide devient

:,{z-h).

dz dx

En intégrant, on a, G étant une constante arbitraire,

^-m

2 a-

V'

Si nous comptons les z à partir de la surface de niveau, h sera nul et, pour 3 = o, nous aurons -^ = o et par suite C = i . Nous obtenons donc

(A)

Il en résulte

et, en intégrant, on a

h(â)'I

2 a-

(B)

dx =:

(2 a- — z^)dz

z\]!\a''' — z'^

±x-=. \J [\ or — z- + a loj

\Jkd--

const.

D'après cette formule, pour 3 = 0,^ sera infini ; la surface du liquide

34 CHAPITRE II.

est donc asyinptotique au plan desa;, j. Toutefois, à une petite distance de la plaque, cette surface sera à très peu près plane et horizontale.

i étant l'angle de raccordement de la surface du liquide avec la plaque, la formule (A) donnera, pour la hauteur h contre la lame,

sin i = 1 ^ , h = ±:a \j2ii — siiw') = ± 2a sin ( t — - i '

le signe ± ayant lieu suivant que le liquide s'élève ou s'abaisse contre la plaque.

Si le liquide mouille le tube, on sl i = o, et il s'élève contre la plaque à la hauteur « V2-

Si la lame est inclinée {Jig. 5), désignons par v l'angle EBF de cette

Fi (T. 5.

lame avec l'horizon BF; menons la tangente EH à la section droite EA: le premier membre de l'équation (A) est égal àcosEHB; on a EIlB = c^ — /, et l'on déduira de l'équation (A), pour la hauteur verticale contre la lame,

h ^=.2 a sin -

0. Hagen a vérifié que la hauteur à laquelle l'eau s'élève contre une lame verticale au-dessus du niveau est indépendante de la nature de cette lame, pourvu qu'elle ait été au préalable convenablement mouillée par ce liquide. En prenant de l'eau distillée ou de l'eau de fontaine, il a trouvé, pour cette hauteur, quand la surface de l'eau est fraîche,

h—a\J~2-=. 3""", 49;

d'où l'on déduit a- = G,i. Mais cette hauteur décroissait assez vite et descendait à 3""",og, ce qui donne a- = 4, 77. Le nombre G, 1 , comme nous verrons plus loin, est trop faible, ce qui prouve que l'expérience qui a donné ce nombre n'a pu être conduite assez rapidement.

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 35

Hagen, ayant mesuré par l'expérience les ordonnées de la courbe ca- pillaire, provenant de l'immersion d'une lame de verre verticale, a trouvé :

^ — 0">"S00, 0'"'",70, I""",42, 2""", 12, 2"'", 84, 3"'",54, 4™'">24, 5'"™, 26, 7™'", 06, z-=z 3"'",09, i""",58, i™™,io, o""",77, o""",54, o""",4i, o'"™,27, o""",i6, o""",o9,

qui sont très conformes à la formule (B), en prenant a- = 4 » 77-

Elévation ou dépression d'un liquide entre deux plaques fixes, planes, verticales et parallèles, qui y sont plongées.

7. Supposons deux lames planes, verticales, maintenues fixes et pa- rallèles; nous les regardons encore comme très larges. La figure de la surface liquide en dehors des deux lames a été obtenue ci-dessus; il reste à déterminer cette fi2^ure à l'intérieur des deux lames.

Mettons l'origine des coordonnées sur le plan de niveau et l'axe des^ perpendiculaire aux plaques; alors l'équation de la surface du liquide sera, comme au n" 5,

En intégrant, on obtient, G étant une constante arbitraire,

, j s .-.^ ^ 2 a-' / ciz

..I.OT

dx

\/-(^-iiy

et la dernière intégration conduit à des intégrales elliptiques.

Mais reprenons la question autrement. Menons la section droite de la surface cylindrique du liquide, et désignons par © l'angle de la tan- gente avec un plan horizontal. L'expression du rayon de courbure

36

CHAPITRE II.

ds

sera -r^ ds étant l'élément de la courbe et l'équation (A) deviendra

(B)

On a d'ailleurs

d^ z

ds Or-

dz . dx

---=sinç, -y -== COS9.

ds ' ds '

Différentions l'équation (B), nous aurons

'd et, en intégrant,

ds^ a-

(C)

I (d':^y I

G étant une constante arbitraire. On en conclut

(B) (I)')

a

sji y/C — cos'j' , a coscp<icp

v''-^ VG — cos -f • a sino d'^

sjl v/G — cos Ci

8. En premier lieu, supposons que le liquide s'élève contre chacune des lames prise isolément. Faisons passer l'axe des z par le point le plus

l'ij. 6.

iV

K X

bas de la courbe, et mettons l'axe des x sur la surface de niveau (fig. G). Désignons par z^ la coordonnée z du point le plus bas; nous avons, pour ^ = ^„,

cp =: O.

ÉLÉVATION OU DEPRESSION D UN LIQUIDE AUPRES D UNE PAROI.

Égalant les valeurs de -^ fournies par les équations (B), (C), on a

et

(E) x:o = «v/n/<^-i-

Soient c, é les distances de l'axe des z aux deux lames, et soient /, i les angles de raccordement TME, Ï'M'E'. Pour x=^e, nous aurons

(p =: « et, pour X r= — e , 9 == \-i .

En intégrant la formule (D), on a

Pour donner à ces intégrales elliptiques la forme canonique adoptée par Legendre, posons

nous aurons

C — coscp= C4-cos24^ — C-r I— 2 sin^<|^ =: (G + 1) (i— ^r— sin-t]; j-

D'après la formule (E), G est > i; si donc on fait

G + I k sera < i et l'on aura

{i — k'Aa

/ / /2 • '>T T / S^ — l^^'^xn-^d^.

Ti l

Pour a? = e, on a 9 = - — ^ et, par suite, ({^ = ^ + -; on en conclut la première de ces formules

e — — -, — a / , 7- / VI — '^" sin^ ^ d\y

a\ j- \ sj \ — k- 'à\w- ^ d<\

2 — /C'-

V

4 ' %

38

CHAPITRE II.

la seconde se déduisant de la première en changeant les deux quantités e, i en e\ i' . En ajoutant ces deux équations et remplaçant e -{- e par /, on obtiendra une équation qui ne renfermera plus que l'inconnue k. Si l'on en déduit y?-, on aura ensuite e et e' par les mêmes équations, puis on aura, pour la hauteur du point le plus bas.

et, pour les valeurs de z sur les lames.

a\^\/ — — I — suH,

^v^Vè"

I — sin^.

9. Dans le cas particulier où «'= «, on a e — - eti^est déterminé par l'équation suivante :

; 2 — ,t' r' d'i/ ia c'- ,

Supposons que la distance entre les deux lames soit très petite et cher- chons à calculer k au moyen de cette formule. La distance / étant très petite, la hauteur z^ du point le plus bas de la section deviendra très grande par rapport à a, et il résulte de la formule qui détermine z^^ que le module k sera très petit. Nous pourrons donc développer le second membre de la formule (F) suivant les puissances de k, en négligeant les termes multipliés par k^. Nous aurons

/(-^.sin'«-irf* = (,H-fH-il/')t-(fH-|jX-')sin.^+Jg^-'si„4^, Prenons ces intégrales entre ^ + - et -> puis substituons dans (F),

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 3f)

nous aurons

9 ^..

2/ _l±_ 3 4 2/ kV ^ 64

(•2-r-)

TT + 15- A:M cosi -I — p-T A:^ sin 2 « o ô'2 / 200

+ 7 H — 7^ cos < -I ^ A'^ sin 2 f

\4 10/ 128

et, en ordonnant par rapport à k,

l A^ / TT i I

- ■=. A cosi + -7- cos i + y h -/ sin 2 i

a 4 \ 424

Par première approximation, on a, pourvu quoi ne soit pas voisin de ^>

Ar

/

a cosi

et, en remplaçant /î; par cette valeur dans les termes du troisième degré par rapport à k, on obtient

, / /^ / . I . . TT /

A ■=■ . — -, — —. COS l -!- y Sin 2 f + -,

a cosf l^a" cos*f \ 4 4 2

D'après la formule (/), on a, pour la hauteur du point le plus bas du ménisque, en négligeant les termes de l'ordre — ?

,^, /i A\ ici'- ç,Ç)'?,i /i . . TT i \ l

(Ij) z^-=.ia\- — ■ ^ ^sin2fH-- cosf -^

\k 1/ L \4 42 /2cos-i

et, pour la hauteur du liquide contre les lames,

/i i + sini,\ 2 a- cos « / . . . ~ A /

2 a 7 -, A =: — ■ 4- — sin i cos f h i\ -, —. •

\A- 4 / / \ 2 /4cos^i

Si le liquide mouille les deux lames, en sorte qu'on aiti = o, on aura

a 16 a^

_ 2 a"' 4 — - ,

4o CHAPITRE II.

et la hauteur du liquide contre les lames sera égale à

~ + 8 '•

10. On peut, comme l'a fait Hagen, déterminer la quantité a-, en observant l'élévation d'un liquide entre deux lames verticales paral- lèles et très rapprochées.

Supposons que «et i' soient nuls, en sorte que le liquide mouille les deux lames, et représentons par z' la hauteur à laquelle le liquide s'élève dans cet intervalle contre les lames; nous aurons

et, par suite,

(H) a^=\{^^-zl).

Hagen prit d'abord pour liquide l'eau et il vérifia, comme lorsqu'il n'employait qu'une lame, la diminution considérable de la quantité a-, lorsque l'expérience est prolongée ; il trouva 7,59 pour la valeur maxi- mum de a^. Il fit des expériences semblables pour l'alcool et l'huile d'olive, et il trouva au contraire que l'élévation contre les lames et la quantité a- ont diminué très peu, après plusieurs heures.

En employant la formule (H), il a trouvé

Poids spécifKiue. Tension à la surface.

Alcool «-—2,96 ^p=: 0,797 ^pa2r=2,36

Huile d'olive ^^ = 3,77 ^p = 0,918 ^^-pa^ r=r 3,44

La température était d'environ 19° C.

Si l'eau s'est abaissée peu à peu entre les lames, il faut l'attribuer surtout à ce que l'eau qui se trouvait sur les lames a dû s'évaporer, en sorte qu'elles ont cessé d'être mouillées et que l'angle i n'a plus été égal à zéro; d'ailleurs, si l'angle i n'est plus nul, cette expérience ne donne plus a-.

\\. En second lieu, supposons que le liquide s'abaisse auprès de chacune des lames prises isolément. Les angles i et i', que fait le plan tangent au liquide avec la surface du tube en contact avec le liquide.

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. f\\

sont obtus. Désignons par y et y' les suppléments de ces angles. Alors la théorie précédente est entièrement applicable et la surface du liquide est la symétrique, par rapport au plan de niveau, de celle du premier cas, les angles i et i' étant remplacés pary et/.

Ainsi k s'obtiendra comme ci-dessus; la valeur de x restera la même et l'on aura

a y 2 t / -Ti — I — cos 'f , ^^0 = — 2 a y —

^0 étant la coordonnée z du point le moins déprimé du ménisque.

Si î' = t et que / soit très petit par rapport à a, on aura, d'après la formule (G),

2 a- cos/ /, . • '^ ./' •\ ^

— ism2y+ -- — - -cosy

" l \* '' [^ 1 -' ) 1 cosv

et, pour l'abaissement du liquide contre les lames,

2 a'^ cos / / . . . Ti . \ / + - siny cosy +-—77-

l \ ■'■'2/4 cos-y

12. En troisième lieu, supposons que l'angle i soit aigu et l'angle i' obtus.

En général, la section droite aura un point d'inflexion. Faisons passer l'axe des z par ce point et mettons l'origine des coordonnées sur le plan de niveau. Au point d'inflexion le rayon de courbure est infini ; donc l'équation (B) donne z ~^ o pour ce point, qui sera donc à l'origine des coordonnées. Désignons par 9» 1^ valeur de 9 en ce point ; nous dé- duirons de l'équation (G)

C = COScpo-

En posant encore

r=.iz — 27,

on aura	do	— id'^
et, en faisant	y/C — cos^p sin<]^ -	\Ji + cos'fo — 2 sin-t]
	/l+COScpo • A

42 CHAPITRE lî.

puis, remplaçant dans la formule précédente, on obtient

do .- f]f)

V2

v/C — coscp \/i — yt-sin-O

avec

7 ?"

A:r= COS — •

2

D'après les formules (D) et (D'), on a

^ ::= a y/2 y/C — COS O ,

._ ^ f"^ C0Scp<ic5

y/2 J^^ y/C — COS cp '

on trouve d'ailleurs

y/C — COS ^ = k\^^ COS e,

cosç =^2k'^ si 11^0 ^ I,

COS cf G?'^ (— ?' V^2 A-- siii- 0 -+- y/2 ) <iô

V^C — coscp y/i — k^ sin^O

= 2 v/2 y/i — A^Tin^ f/Ô

V^^O

y/i — /i^ si 11-0

Remarquons ensuite qu'on a

cos - = sint];= A-sinO — COS — sinO, 2 2

et que, par suite, pour 9—90» on a 6 — ^^, et les valeurs ci-dessus de ^ et £1" deviendront

5 — 2ak ces 6,

^'0 y'i — A-'^sin-O Jo

Désignons encore pare la distance de l'origine des coordonnées à la lame qui correspond à l'angle /; on calculera k et e, en raisonnant comme dans le premier cas. Si nous désignons par z^ et z.^ la hauteur du liquide contre la première et la seconde lame, nous aurons

^, — 2 a V / k- — cos^ ( T ) ' ^2 = — 2 a \ / A-- — COS- ( j

yK'-^o^[j^--y -.=-2«y y^ ^

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'l'NE PAROI. 4^

13. Si le liquide s'élève sur une des lames et s'abaisse auprès de l'autre, lorsqu'on rapprochera suffisamment les lames, le point d'in- flexion disparaîtra, à moins que l'angle obtus i' ne soit le supplément de i.

Représentons - -t'par/; nous aurons

4-cos^f?--^

Si, par exemple, ? est <y', la valeur absolue de ^i est plus grande que celle de z.,, le liquide s'élèvera plus contre la première lame qu'il ne s'abaissera contre la seconde. A mesure qu'on les rapprochera, k dimi- nuera, et pour

(t. /■' k =z ces T — —

on a ^2 = o- Le point d'inflexion, qui est à la hauteur du niveau, se trouve alors sur la seconde lame. En rapprochant encore les lames, toute la surHice du liquide qui y est renfermée s'élèvera au-dessus du niveau, et il faudra modifier l'analyse précédente. Nous allons voir qu'on peut se servir des formules du premier cas, où les angles i et i' sont aigus.

Soit C le point le plus bas de la section droite [fig. 7). Menons le

plan BF parallèle au plan AE, entre la lame AE et le point C, puis me- nons la tangente HK; l'angle KHF, que nous appellerons /,, est obtus, tandis que l'angle TME, qui représente l'angle i est aigu, et l'on a / < - — i , .

44 CHAPITRE II.

Remplaçons ensuite le plan BF par une lame pour laquelle l'angle de raccordement avec le liquide soit précisément égal à «, . Il est évi- dent que le liquide se maintiendra jusqu'à la surface HM; car la sur- face HM représente bien une surface capillaire, et les deux conditions relatives aux angles de raccordement sont satisfaites.

On pourra donc, en prenant encore pour origine des abscisses celle du point C, appliquer la formule du premier cas

2 — A-2 X =: — - — a k

F(-, k 1

en posant, d'après la notation de Lcgendre,

E(-, A

2

E(J>,/0

r —=£L=^-=.YK^,k), f'sj\-k'^sm^^d^'^E{'!^,k Jo V' — A- SI 11^ ^{^ c/q

Pour ^ == OE = e, on a cp = - — «, -^ = ^ h — et, pour ^ = OF = e, , on a 9 = ï) — 75 <\i= -J-' — -• Donc l'équation précédente devient, pour

=^«K^^)-<i-^^)]

2 a

E -, A-

/i^

4<i

, k

F('^-^S k

]--'[e(..

/c) — E

^-,"-^',A-

)} )]

Désignons par 1 la distance des lames; nous aurons, en retranchant ces égalités,

1 =

-THT-r'^-Kl-^i'')]

équation qui détermine k.

Les élévations du liquide contre les lames seront positives et données par les expressions

""^^k/y'—^—^'^^'' ^^\/Yi~

sin i

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. /| ^

Ce qui précèdo suppose ?, <- — i. Si ?, est >> - — i, le calcul sera tout semblable, mais les élévations se changeront en dépressions.

Sur l'élévation ou la dépression d'un liquide dans un tube circulaire

et capillaire.

14. Supposons un cylindre vertical circulaire; prenons son axe pour l'axe des :; et mettons l'origine des z sur le plan de niveau. En dési- gnant par X la distance d'un point de la surface du liquide à l'axe, nous aurons, d'après ce que nous avons vu (n° 2), pour l'équation du méri- dien de la surface du liquide,

d-iz I dz r /dz \-"|

d^v- X dx I \dx } I z

\ ' / 3 "-2 '

\-m\

Le premier membre représente la somme des courbures principales en chaque point de la surface, au sommet de laquelle les deux rayons de courbure principaux sont égaux à une même quantité y. Si donc on fait X — o dans cette équation et qu'on désigne par h la hauteur du sommet, on aura

ï

En multipliant l'équation (i) par ^</a7 et intégrant les deux membres,

on a

dz

(2) = —l xz dx.

/ (dz y \'-^\Tx)

Nous allons maintenant supposer que le rayon r est très petit. Dans ce cas, la surface du ménisque diffère peu d'une portion de sphère; si elle appartenait à une sphère, son méridien serait un cercle ayant pour équation

/i() ciixVPiTiu: II.

/ et c étant constants. Posons donc

Z -- l — \'c'- — ./• ' -h If,

u étant une fonction de x très petite. Nous aurons

dz X- du

et par conséquent -%- est nul pour a? = o. Nous allons substituer cette expression de z dans (2); en négligeant le carré de -,-? nous aurons

/ dz \- c ( ic v/f- — œ- du

I + -7- — ^- I +

dz

dx ( X- X v/c- — X' du \ f X V c^ — x- du

I ( d-\''- \ c c dx ) \ c^ dx

x''- x{c'- — x'^Y du c c-* dx

et le second membre de (2) deviendra

I /■ ' , .X-' / {c- — r^ ) ^ - - c'^

— - / XZ dx = : -\ ■- — 5

a- f 2a- 6a-

en négligeant -\ / uxdx. Ainsi l'équation (2) devient

du „ / cl

= CM :, — I

dx ~ \id- ) . , „.\ 3a- X Sa"^ . „ ,,ij (c- — x-)^ x{c^ — x^)-

et, en intégrant, on aura

u = c- ( --^ — /-„ — I ) , + y—, Iog(c + \/c-— x^-) -H const.

\2a^ 3«- J^c-i—x^ 3a2

Comme m ne doit pas être extrêmement grand, quand x diffère très peu de c, le premier terme de u doit s'annuler, et l'on a

2 a- Ci

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUI'UÈS d'uNE PAUOI. Zj-

ce qui détermine / en fonction de c; enfin, on déterminera la con- stante arbitraire qui entre dans w, en exprimant que, pour a? — o, w est nul; on obtiendra ainsi

c const. =z — - — - loir2c 6 a-

et

c* c -+- \/c

W = 7T-T lOô

/r2 _ .^2

oa- 2C

Nous obtenons donc, pour la surface du ménisque, cette équation

dans laquelle il ne reste plus d'inconnue que c. Pour ^ — - o, s est égal à A, et l'on a

. . 2^^ C

Nous déterminerons la quantité c par l'angle aigu i de la surface avec le tube; nous aurons donc, en désignant par r le rayon du tube,

dz

COlf=: OU

colf =: -7- pour >r = /•,

C"" I

COti = ^rrr— _ ( I — -—

De cette formule on tire d'abord, pour c, la valeur approchée :>

puis on a

/■ r^ I sin-i

c ■=

cost à a- cos*f 1 +sint

c étant obtenu, l'équation (3) ne renferme plus rien d'inconnu.

Si l'angle i est obtus, le liquide sera déprimé dans le tube. Toute la théorie précédente est applicable, })ourvu que l'on change le signe du radical \/c- — x'-. Cela revient à dire que l'on peut adopter encore les formules précédentes, en prenant pour i l'angle aigu que fait le liquide avec la partie du tube qui n'est pas en contact avec le liquide, et por- tant la valeur de z au-dessous du plan de niveau.

48 CHAPITRE IT.

D'après ce qu'on a vu ci-dessus, on a, pour le rayon de courbure y au sommet,

la-

qui est donc aussi déterminé, puisque h est connu.

Remarque. — Le calcul de Poisson pour résoudre ce problème est très analogue à celui-ci, quoiqu'il ne conduise pas aux mêmes formules. Il est bon de montrer par où pèche son raisonnement. En égalant, comme je l'ai fait, à zéro le coefficient de ~— dans u, il trouve

ICI •

■^ ba- c

que, d'après ses notations, il écrit

I Y '

- -H ô^- 1

Y 0 a- Y

et, comme on a A = — > il en résulte

T

2 a- c (a) ^^==T--3

Or, sans remarquer cette valeur, il emploie, pour déterminer A, un calcul que je vais faire seulement pour le cas de i = o. On a alors c = /% et l'équation (2) donne

,. _, i_ j a-{h-rZ,)djC,

en faisant

Z^z::: c — \J C^ — x'^ + U ;

cette équation devient, puisque c est égal à r, ou

Poisson trouve donc deux valeurs de A, savoir (a) et (6), et la se-

, hr- 2, , ,

a-r=:. 1 ; h / iixdx

2 6

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'lN LIQUIDE AUmÈS d'uNE PAPxOI. 49

conde rend u infini pour x = /■. La correction du terme en — ? qu'il fait

par la formule [h), se trouve être à peu près double de celle qu'il faut faire.

15. Si l'angle i de raccordement n'est ni nul, ni très petit, les for- mules que je viens de donner s'appliqueront très bien à des tubes dont le rayon ne dépassera pas i'"'"; ainsi elles s'appliqueront en particulier à une colonne mercurielle renfermée dans un pareil tube. Mais, si «est nul, la métliode d'approximation du calcul précédent n'est plus appli- cable. En effet, dans ce cas, c est égal à r, et une nouvelle approxima- tion calculée d'une manière semblable donnerait dans z des termes qui seraient infinis pour x ■= r.

11 faut donc, quand i est nul, employer d'autres formules. La surface convexe diflerant peu d'un liémispbère si le rayon ne dépasse pas i""", restant convexe et se terminant normalement à un plan horizontal, on conçoit qu'elle pourra être assimilée avec une grande approximation à un demi-ellipsoïde de révolution dont le rayon équatorial sera celui r du tube.

En mettant l'origine au sommet, l'équation de l'ellipse méridienne sera

r, p étant ses demi-axes, et le rayon de courbure au sommet sera

r-

F

(I) h

I - ^

on aura donc

2 «^ 2 a- p

Le volume du liquide soulevé est 2-ra- (n" 3), et il en résulte

2 7:/'a- i::^ TT/ 2/i -H 2 71 / ZXclx.

•- 0

Cette intégrale est égale à ^- > et l'on obtient

2 «2 8

(.) ''= — -f

.)0 CIIAPITHE 11.

Dos équations (i) et (2), on tii'c

„ 6 a-/' , I?, a'*

ba- -h /- (oa--h /-)/■

Nous verrons, au Chapitre Y, le moyen de juger du degré d'approxi- mation de ce calcul en comparant les résultats des formules précédentes à ceux d'autres entièrement rigoureuses.

Si l'on veut calculer la quantité a'-, connaissant h, on déduira de la dernière formule

h/' hr / 4'" f^J' ( I /■ I /•- \

"^=^ T ^" T V ^"^' 3Â ^ T V ^- 3 Â - 9 ^^ '"•• )'

Edouard Desains a déduit, au moyen de cette formule, pour la valeur de cC^ relative à l'eau, le nombre 7,60 à la température de 8", 5 G.

IG. Pour déterminer l'épaisseur de la couche d'un liquide qui hu- mecte la paroi intérieure d'un tube capillaire, M. Duclaux, après avoir introduit dans le tube une colonne du liquide, l'aspire jusqu'à une des extrémités de ce tube; puis il fait retournera sa position primitive la base opposée de la colonne dont la longueur se trouve diminuée. Il en déduit bien facilement le volume de la couche liquide qui reste adhé- rente à la surface intérieure du tube et par suite aussi son épaisseur. M. Uuclaux a ainsi trouvé, en employant un tube de o'"'",i4v') :

Epaisseur en millimètres.

Eau o , oooSo

Alcool à ào° 0,00076

» à 90" o , 00064

Huile d'olive o,oo344

J'ai le premier démontré que, lorsqu'un liquide coule dans un tube capillaire, il se trouve sur la paroi une couche immobile tellement mince qu'on peut la considérer comme nulle dans le calcul (voir Comptes ren- dus des séances de l' Académie des Sciences, 10 août i8G3, et mon Cours de Physique mathématique, n° 30). Cela n'était nullement admis aupara- vant; néanmoins les physiciens ne me citent jamais à ce sujet.

Si l'on représente par 11 la hauteur moyenne, au-dessus du niveau,

ÉLÉVATION OU nÉPRFSSTON D UN LIQUIDE AUPr.ÈS DUNE PAROI. 5l

de la surface du ménisque dans un tube circulaire du rayon ;% on a, d'après le théorème de Laplace,

OU

Ainsi H varie en raison inverse du rayon du tube; ce qui est la loi dite de Jurin.

Certains physiciens ont cru reconnaître que, pour les liquides qui mouillent le tube, la hauteur H croît plus que ne l'indique la loi de Jurin, quand le rayon du tube devient inférieur à i'"'". On a voulu expliquer ensuite ce fait par la couche liquide dont l'épaisseur ne se- rait plus négligeable pour des tubes aussi fins; mais cette explication doit être rejetée d'après les nombres donnés ci-dessus pour l'épaisseur de la couche. La loi de Jurin doit être considérée comme très exacte et l'anomalie, que certains physiciens ont observée, provient de ce que, dans les tubes extrêmement fins, la surface du liquide est moins ex- posée à être altérée par les poussières et que la couche liquide s'y main- tient plus longtemps.

Remarquons que, si l'on voulait tenir compte de l'épaisseur de la couche, il faudrait, dans l'application des formules, diminuer le rayon du tube de plus du double de l'épaisseur de cette couche. En effet, dans le Chapitre P% n'' 10, on a raisonné comme si la couche liquide était solide, ce qui était suffisamment exact à cause de sa faible épais- seur; toutefois elle est attirée par le ménisque et celui-ci doit se relier à la surface cylindrique par une très petite surface, en sorte que la somme des rayons de courbure principaux ne change pas brusquement, en passant d'une surface à l'autre, ainsi qu'on l'avait admis.

17. Laplace avait énoncé ce théorème : L'élévation d'un liquide qui mouille exactement les parois d'un tube capillaire est, à diverses tempéra- tures, en raison directe de la densité du liquide. (On fait abstraction de la dilatation du tube).

Désignons par H la hauteur du liquide dans le tube à la température t et par Ho cette hauteur à la température zéro et représentons par a un

52 CHAPITRE II.

coefficient constant; puis posons

(b) II=:Uo(i-aO;

d'après Laplace, a serait le coefficient de dilatation du liquide. D'après les expériences de Brunner, on a la formule {h)

Pour l'eau entre o" et 82" en faisant a =1:0,00187 •

» l'étlier entre 0° et 35" » a 3= o,oo523

» l'huile d'olive entre. . o" et iSo" » a=:o,ooi/4i

et les valeurs de a sont beaucoup plus grandes que le coefficient de dila- tation de ces liquides.

M. Wolf a trouvé, pour l'eau et pour des valeurs de t comprises entre 0° et 2j", la formule encore plus précise

Il rr; IIq ( I — O , OO20G i — O , 00000298 t- ) ,

qui conduit à la même conclusion.

Voici à quoi revient le raisonnement fait par Laplace : D'après la formule (a), on a

r gp r

La quantité g^a- esta peu près proportionnelle à l'attraction du li- quide sur lui-même, comme il résulte de la formule (Chapitre F', n'* 8)

- + C --=,i?-pM ■— i'-prr-, 2

si l'on suppose C très petit vis-à-vis de B. Si donc on néglige l'accrois- sement de répulsion entre les molécules provenant de l'augmentation de la température, on voit que g^a- varie à peu près proportionnelle- ment à p- ; donc H est sensiblement proportionnel à la densité p. Comme cette conséquence n'est pas juste, il faut en conclure que les hypo- thèses précédentes ne sont pas non plus, toutes les deux, exactes.

Tube non cylindrique , mais de jvvo/ution et dont l'axe est vertical.

18. Supposons un tube de révolution, dont l'axe est vertical, plongé en partie dans un liquide (fig. 8). Soit ZOD l'axe vertical du vase qui

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNE PAROI. 53

sera aussi celui du liquide. La hauteur du ménisque AMB ne dépend que de la forme de ce ménisque.

Pour un liquide donné, le ménisque ne variera qu'avec le rayon AO = r et l'angle NAO = i' formé par la normale AN à la surface capil- laire avec l'horizon.

Fis. 8.

Soient AH une verticale, AT et AG deux tangentes au méridien et à la section du ménisque; on aurai' = HAC. Désignons comme précé- demment par i l'angle de raccordement TAC qui est connu; nous au- rons

i' r= [lAT + i.

Si nous regardons comme connus la hauteur du cercle AB et par suite r et l'angle HAT, nous aurons aussi la valeur de i. Alors la for- mule qui donne la coordonnée z de la surface du ménisque est la même que celle qui donne cette coordonnée pour le ménisque d'un tube cy- lindrique, dont r est le rayon, l'angle de raccordement étant supposé égal à i .

Ainsi on aura (n° 14)

(«)

+ -C

v/^:

3«-

loe: -

2C'

c étant fourni par la formule

{b)

c =

COSi

/■- tanff-/'

3 a- I + siiu'

n y a toutefois une remarque à faire pour le cas où, dans la surface du ménisque, à certaines valeurs de x correspondent deux valeurs de z, ainsi que cela a lieu (fig. 9) depuis le point A' jusqu'en A.

54

CHAPITRE II,

Les formules [a) et {h) sont encore applicables depuis le point M jusqu'au point P où la tangente est verticale. Mais en ce point la va- leur (le

do)

s/c'

' 3a^

v/^

devient infinie; oc y est donc égal à c et le radical y change de signe. Il faudra donc, à partir de ce point jusqu'en A, faire

9, (7^ , r— c'' , C — V^C^^ .T^

z = H .^ e + \'C' - - ^-^ -h ^— ^ log ^^

c * ^ 6a^ 2c

Pour déterminer c, désignons par i' l'angle aigu de la normale au

«•'i:T. 9-

ménisque en A avec l'horizon, nous aurons

r/- /• COil' --=■ — -j- :=^ -.-- -

"•^ v/c- — /■

V

3^

s/c

et on en conclut facilement

tang^f'

cosi' \ da' i — sini'

Dans ce qui précède, nous avons supposé connue la section circu- laire AB à laquelle s'arrête le liquide, par suite connues les valeurs de

z, X et-T^ au point extrême A du méridien du ménisque. Si cela n'avait

pas lieu, on égalerait entre elles les valeurs de z relatives aux méridiens du ménisque et de la surface intérieure du tube, et il en résulterait en général un problème assez difficile, mais peu utile à la Physique.

ELEVATION OU DEPRESSION D UN LIQUIDE AUPKES D UNE PAROI. JJ

19. Dans un tube de révolution dont l'axe est vertical, il peut y avoir plusieurs états d'équilibre et si le rayon diminue par degrés in- sensibles, ces divers équilibres sont en général alternativement stables et instables. Voici le raisonnement donné parLaplace pour le prouver:

D'abord, le liquide tend à s'élever dans le tube, et cette tendance en diminuant devient nulle dans l'état d'équilibre; le liquide conti- nuant à s'élever, elle change de signe et le liquide tend à s'abaisser. Ainsi le liquide, étant un peu écarté de cet état d'équilibre, tend à y revenir : cet état est donc stable. Si l'on élève le liquide par aspiration, sa tendance à s'abaisser, après que cette action aura cessé, diminuera jusqu'à devenir nulle pour une certaine hauteur de la colonne, au delà de laquelle, la tendance changeant de sens, le liquide devra monter. Ainsi cette hauteur correspond à un état d'équilibre instable. De môme le troisième état d'équilibre serait stable, le quatrième instable et ainsi de suite.

Le raisonnement de Laplace est vague et il est indispensable de le remplacer par un autre qui ait plus de précision.

La fonction de forces U qui régit le liquide peut être considérée comme ne dépendant que d'une seule variable, par exemple de la hau- teur à laquelle s'élève le sommet du liquide, et l'équilibre correspond à l'équation §U = o. Or la fonction U ne dépendant que d'une variable, les valeurs de cette variable déduites de cette équation correspondent en général à des maxima ou des minima de U qui se succèdent alter- nativement quand cette variable va en croissant. Au maximum de U correspond un équilibre stable d'après un théorème de Mécanique, et à un minimum de U un équilibre instable. Ainsi les équilibres de la colonne capillaire seront alternativement stables et instables. Il reste à prouver que le premier est stable.

On a (Chapitre I", n*^ 6)

U =; A — g^ fzdm — -pMa — ^-pNtî et, si le liquide mouille le tube, on a N — — M — — «-, par suite

\]-=k~ g^fzdxis — spa^'}^ g^a'-il,

a étant la surface libre du liquide et Q, celle qui est au contact du tube. On voit facilement que si l'on fait croître la hauteur de la colonne à

56

CHAPITRE II.

partir de zéro, le terme g^a-Q. sera celui qui subira d'abord le plus grand accroissement et que U commencera par croître. Quand U cessera d'augmenter, il passera par un maximum. Ainsi le premier équilibre est stable.

Tuhe conique vertical.

20. Comme application de ce qui précède, considérons un tube co- nique de révolution et plongeons-le dans un liquide qui le mouille par sa partie la plus large, de manière que son axe soit vertical. Désignons par 2/2 l'angle au sommet du cône et par a le rayon du tube à la hau- teur de la surface de niveau, à partir de laquelle on compte les z. Le méridien du tube est une droite qui a pour équation

lang^

Nous supposons la surface du ménisque tangente au tube; elle se trouve donc dans le second cas examiné au n" 18. Désignons par r le rayon du tube sur le contour du ménisque; sur ce contour, z étant le même pour le tube et la surface libre du liquide, on a

/•

2«'_^2^^./72 T^ , c' i.„^-v/c^-

tangp c ^ ^ 3a- ° 2C '

l'angle désigné précédemment (n'' 18) par i' est constant et égal à [5 et l'on a

/ , r ( r^- langes

(2) ._ / . ^ V

cos^ \ 3a^ 1 — sinp

En portant cette valeur de c dans l'équation précédente, elle ne ren- fermera plus que l'inconnue r.

Faisons le calcul en supposant que p soit un très petit angle, ce qui est nécessaire pour que le tube soit capillaire, et posons d'abord

3^^^^

c — \[^

En faisant simplement c = r et négligeant J, on déduira de Téqua-

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'uN LIQUIDE AUPRÈS d'uNF. PAKOT. 5^

tion (i)

r-= - ±i / -r — 2«2sin3.

Ne considérons d'abord que la solution où le radical est prcccdé du signe + et posons

— 1- 1 / — — 2 «■- sin p =z /•, ,

i/ -y 2«- sinp

nous aurons pour J, en remplaçant dans le logarithme c par — ^5

/■? , I — sin3

Faisons ensuite dans l'équation (i)c = — ^ et remplaçons le dernier

^ ^ ' ces ,3 '

terme par J, dont la valeur est connue; nous aurons

a — /• 2 a- cos ?j 9. /■ . n T

laiigp /• .T cos 3

et il en résultera, en négligeant des quantités très petites,

a — J, tangj3 4- va' — 2a,)i taiig3 — 8c/- siii|i (i + ^ siii[i)

Si nous posons de même

4

t / • :? rt- SI n ;i :=:: /'.. ,

/• ' , I — sin 3 ^- lop- '- -.h_,

nous aurons pour le rayon du bord du ménisque cette seconde solu- tion

. a — J., tangp — s/'oL'^ — :^aj, tang^ — 8a' sin i^ (i H- | siii|^)

^"*^ '' ^ '.i + -.;-siii;i

D'après ce que nous avons dit (n" 19), la valeur (4) de /-correspond à un équilibre instable; la valeur (3) se rapporte au contraire à un équi- libre stable; toutefois cet équilibre n'est lui-même possible que si l'ex- pression (3) est réelle, c'est-à-dire si l'on a

a^ — 8 «2 sin ^ - 9. 7.1, 1ang3 - \« a- sin- p > o.

58 ciiapht.e n. — i.i.évatiox ou dépression d'un uquioe, etc.

Si cette condition n'est pas remplie, le liquide montera jusqu'en haut du tube. Cette inégalité se réduit à peu près à

a- > Sa- sinP;

donc un équilibre stable sera possible, si le rayon le plus grand du tube est sensiblement >2«v2sin^, et il suffira d'enfoncer le tube de manière que son rayon à la hauteur de la surface de niveau soit > 2a\/2s\n{i. Il faudra d'ailleurs que le tube s'élève assez pour que la valeur de r donnée par la formule (3) soit un des rayons du tube.

LIQUIDES SUPEUPOSÉS.

^9

CHAPITRE m.

LIQUIDES SUPERPOSÉS. - SUSPENSION DANS L'AIR D UN LIQUIDE PAR UN TURE CAPILLAIRE.

Equilibre d'un système composé de deux liquides et d'un corps solide.

1. Appliquons l'analyse exposée, du n" 2 au n" 6 du Chapitre I, quand, au lieu d'un seul liquide, on en a deux superposés dans un vase.

Désignons par m chaque molécule du premier liquide; par m' cha- cune du second; par M chacune du corps solide, avec des indices pour les distinguer. Représentons par r la distance entre deux molécules du premier liquide; par r la distance entre deux molécules du second; par R la distance entre met M; par R' la distance entre m' et M, et par/> la distance entre m et m' . Nous aurons, d'après le principe des vitesses virtuelles, l'équation

g^moz + - S,S,-/;i,//^./(/-/,,s)o/v^,. ;- S,S,./«/M,-F(R/,^)oR,-^,„

~ g'èm'oz' -r 7 S/S,-/?ij-»/,/i(/v,,)5/v,,, -;- S/S,.7«',M, Fl(R'/,.,)ol^/,,s■ + S„St,/«„/;C '^{Pu,v) '■'Pu, V :- o,

/, /,, F, F<, 9 étant les attractions entre les molécules, dont les masses multiplient ces fonctions. Le premier membre de cette équation est égal à — %\^, U étant la fonction de forces.

Désignons par c» etrr'les parties libres des surfaces des deux liquides; par Çl et ^ les surfaces suivant lesquelles ces deux liquides touchent

6o CUAPITRK III.

le solide ; enfin, parT la surface de séparation des deux liquides. Soient encore p et p' les densités de ces deux liquides.

Nous aurons, en désignant par B, C, D, E, F, H, B', C, D', E', F' d(îs constantes,

S,S,m;M.Fi(R;,,)8U;.,..:-E'S<>',

- S/ S, /«//«,/(/•/, 5) 8/7,, s- — - o(c7 + <> + T ) + c Sa + D oi> + F oT,

1 s,s,m;. m;/, (/•;,,) a/-;. , -.._ "1' o{a' + <>'+ t') -^ c'3a'+ d'8i>'+ f' si,

C, D, F, G', D', F' étant nuls si l'on ne suppose aucun changement aux limites des liquides. Posons

^-E + l)=-i'-pN, ^-E'+D'=.-é^p'N', - +F-h- +F'-H=-T,

et l'équation du principe des vitesses virtuelles deviendra

( A ) po fzdm 4- p' 0 / z'dxn' ^\- p M os -l- p' M' 8 j' + p N 8i2 + ?' N' 8i>' + X Sï =: o.

2. Développons d'abord l'équation (A), en supposant que le second liquide recouvre entièrement le premier. Soient R', R', les rayons de courbure de la surface a et Jl, Jl< ceux de la surface T; désignons par i' l'angle de raccordement de g' avec la paroi, par /' le contour de a' et par SV la distance de la ligne /' à la position infinimentvoisine qu'elle prend après le déplacement virtuel. Désignons par ï, , /, , Sx, les mêmes quantités pour la surface T. Entin, représentons par ^/^, hi', h les di- stances des surfaces a, t', ï à ces mêmes surfaces après le changement virtuel.

LIQUIDES SUPERPOSES.

6i

D'après ce qu'on a vu dans le Chapitre I (n'"* 8, 9), on obtient faci- lement

oT = — / ( "ijT + T^- ) ^"' <^T H- / ces il oXi dli, o<2 = / oX dl + I olidli,

0 I z dw ■:==. 1 Zi OV f/T,

0 fz' dw' z= Cz' on' d^' — i Zy OV dT,

z' étant l'ordonnée de la surface c' et ^, celle de la surface T. Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (iV), les intégrales en tn!%fz' et t^dl. seront

M'IjL^jL,,.

on' d^' ,

f

f[- K^+F,)+(?-P')-]°''"''

et, comme le volume de chacun des liquides est constant, on en conclut, pour les équations des surfaces a et ï,

M'(5-, + I^)=^'-/<,

X / I I \ ,

h et //, étant deux constantes arbitraires.

On trouve aussi, dans l'équation (A), les deux intégrales

r(p'M'cosi'+p'N')§X'^/', A-ccosii + pN— p'N')oXiG?/i,

62 ClIAPlTIiE m.

qui doivent être nulles, quels que soient S)/ et Bx, ; on en eonclut

on a

COSl ■-- — CY, j COSi,

M' T

H „ TV ,., „

et, dans le cas où le cliangement de densité des liquides serait négli- geable à leur limite, cette formule deviendrait

pM-hP'M' -

Superposition d'une goutte de liquide à un autre liquide.

3. Plaçons une goutte de liquide sur un autre liquide plus dense, que nous supposons assez large pour être regardé comme s'étendant indé- finiment. En prenant, par exemple, pour la goutte de l'eau ou de l'huile et pour le liquide inférieur du mercure, les surfaces seront convexes. Pour simplifier, nous admettrons que la surface de la goutte est de révolution et par suite aussi la surface du liquide inférieur.

p' est la densité du liquide de la goutte, p celle du liquide inférieur, T la surface de contact des deux liquides; nous aurons à faire

0<) =:: O, 0<>' — O

dans l'équation (A) du n° 1, qui deviendra

(D ) pM -^ drs + p'ô / z' dvj' -f- pM ô(T -h p'M' ot' 1- T ôT :^ o.

Nous pouvons supposer que les déplacements virtuels laissent de ré- volution les surfaces c, g' et T.

I'i{j. 10.

Admettons d'abord que, dans ce mouvement, le cercle aa! [fig. lo)

LIQUIDES SUPERPOSÉS. 63

suivant lequel se rencontrent ces trois surfaces ne change pas de gran- deur et reste fixe. Nous aurons

0 / ^ 07TT zz:z I z on da -\- I Zi ov dT,

0 Çz' Zw'— Çz'on'd^'— fz, 5v dV^

Z,^-j(^L^^y.nd.,

Nous allons supposer ensuite que le cercle «a' se modifie et chercher les termes qu'il faut ajouter aux expressions précédentes. Si l'on con- çoit que le point a se meuve dans un plan passant par l'axe de révo- lution, ce déplacement peut se décomposer en deux autres : l'un sur g et l'autre sur g', que nous allons examiner séparément.

4. Faisons d'abord glisser le point a d'une quantité infiniment pe- tite ()"X =: ««, sur G et supposons que g ne change pas au delà du paral- lèle du point «,. Dans la déformation, T viendra en T,, g' en g\ et ses deux surfaces feront entre elles un angle très peu différent de celui qu'elles faisaient d'abord.

Désignons par ^'g, Vg', ^'T les parties de ^g, ^t', ^J qui n'ont pas été calculées précédemment et qui dépendent de ^1; représentons par h le rayon du cercle aa' et par n, n', N les normales menées au point a aux trois surfaces g, g', T et dirigées à l'intérieur de la goutte. Enfin posons, pour les angles de ces normales,

{n,n') — i, («, N)=./, («', N) = 'j =/ — /;

nous aurons

o'a z^ — 2- h oX,

8'T— 'itJi X bai'- 2tJi SX ces/,

8' a' -= — 2 r A X ca -= — 2 t. h oA COS i,

ah et a.c étant des normales aux méridiens de T, et g ,

64 CHAPITRE HT.

Ainsi, l'équation (D) renferme l'expression

(E) 2'jr/i oX(— pM — p'M' COS< + -ï: cosy).

En second lieu, déplaçons le point a [fîg. 1 1) sur la surface a d'une quantité infiniment petite t'ï! — «a et supposons que a' ne change pas

Fig. II.

au-dessus du point a. Dans la déformation, T viendra en T, et n en a^ ; abaissons ay? normal à a et ak normal à T,. Les parties de ta, tï, ta dépendant de ^X' sont respectivement

' — iizh xap ^=^ — 9.T. h oX' cos /, ^Tzh X ak r=z 9. TT h o)/ ces 0, — 2-h X « a "— — ^-k/i o)/;

ainsi l'équation (D) renferme l'expression

(F) 2~AoX'(— pMcos/— p'M' + TCOS'j).

Les deux quantités ^X et (>X' étant arbitraires, les deux parenthèses des expressions (E) et (F) sont nulles.

Si l'on supposait le déplacement du point «effectué sur la surface T, en désignant par c)L sa grandeur, on trouverait qu'il faut ajouter au pre- mier membre de (D) l'expression

2 7tAo L(pM cosy -f- p'M'cosu — -:),

qui doit être également nulle.

5. On a donc ces trois équations, qui ne renferment que les incon- nues i ety,

( « ) — p M — p ' M' cos / + T cosy" -„ o,

{b) — pM cos« — p'M'+ -: cosu 7= o,

(c) p M cos/ + p'M'cosu — X .:- o,

LIQUIDES SLTERPOSI-.S. 65

mais dont la troisième doit évidemment rentrer dans les deux pre- mières.

Pour le démontrer, remplaçons u pary — i, puis multiplions (a) par sin(y— i), {b) par - siny et ajoutons, nous aurons

— pM [sin(y — i)-- cosisiny] — p']\r[cosi sin(y — i) - siny]

-F- ' [cosy sin (y — i) — siny ces (y — /)] -: o ;

si l'on développe et qu'on divise par sin?, on trouve l'équation (c).

On peut regarder {a), [b), [c) comme trois équations du premier degré dont les inconnues sont cosy, cosu et eos/, et l'on a

. T^ + p^lVP^-p'^M'^ -:2 — p^M^-hp'^M'^

cosy -V- ■ ~ , CCS 'J -- ' -r-rV 5

cosi

o.oM p'M'

Ces formules nous montrent que p^I, p'M' et t forment les trois côtés d'un triangle dont les angles opposés à ces côtés sont u,j, - —i. Con- formément au n" 15 du Chap. I, regardons gz^\ et ^p'ÎM/ comme des forces de tension normales au cercle aa' et tangentes aux surfaces n et g'. Dans le travail virtuel (^U des forces capillaires, — g-r^T est la partie qui provient de la variation de la surface T, en sorte que gi peut être considéré comme une tension de la surface T qui agit tangentiel- lement à cette surface et normalement au cercle aa' ; on en conclut ce théorème :

Les trois tensions relaCwes aux trois surfaces a, r/ et ï se font équilibre.

Ce théorème, admis maintenant sans raisons suffisantes dans les Ou- vrages de Physique, était indispensahle à démontrer.

6. D'après ce qui précède, on connaît les inclinaisons mutuelles des trois tangentes au point a, menées aux méridiens des trois surfaces; il reste à former une équation pour déterminer leurs positions.

Nous allons examiner cette question dans le cas où la goutte est très large, en sorte qu'on peut la regarder comme cylindrique dans une petite étendue [fig. 12). Supposons donc que les trois surfaces a, r/, T se rencontrent suivant une ligne droite horizontale et qu'elles soient

9

6G

CHAPITRE III.

des cylindres dont les génératrices sont parallèles à cette droite. Soient a, a' et r, les angles aigus formés avec un plan horizontal par les plans tanijents menés à ces trois surfaces en leur intersection.

L'équation de la surface g est (Chap. Il, n" 5)

I ^-h

dzY-

cLr

en mettant l'origine des g sur le niveau de n. Désignons par /la distance verticale d'un point a de l'intersection à ce plan de niveau. On déduit de l'équation précédente

COSa — ^ 1

9,(7-

n T(7 sin

Désignons par II la hauteur de la partie horizontale plane de q au- dessus du niveau de t et parti, la hauteur de la partie horizontale de T au-dessous de ce même plan. Nous aurons ces deux équations sem- hlahles à la précédente

r,' Il + /

en faisant

H,

M' -:rr «'

2a'sni -- ?

1

lrz=.lb Sm -; 2

- b\

Supposons les points B et G sur une même verticale et admettons de plus que, en les points A, B, C, les surfaces c, c' et T soient sensible- ment planes et horizontales. Concevons un canal dont les branches ver- ticales passent par ces points et soient réunies par une branche horizon-

LIQUIDES SLI'EUPOSÉS. G7

taie qui passe au-dessous de la surface T; nous déduirons de l'équilibre de ce canal

(II + 1I.)?'-II,P,

et, en remplaçant H et II,, nous aurons

a' siii v h sin -\o' - [h sin - -i- a sin

or nous avons

{a) %'—%^l, r, — a—:/;

l'équation précédente devient donc

a sin h b sin- - ? ::: b siu -1- a sin

tang^

On en conclut

a' 0' sin b{ç> — p') sin -

' 2 ' ' ' 2

^ ( P — ?' ) cos - -\' ao — a'o' cos -

formule dont le second membre ne renferme que des quantités con- nues. On aura ensuite a' et r, par les formules (a).

Pour que l'équilibre de la goutte soit possible, il faut que les trois tensions ^pM, ^p'M' et ^t puissent se faire équilibre et par conséquent que la plus grande de ces quantités soit plus petite que la somme des deux autres. Si cette condition n'est pas remplie, le liquide le moins dense se répandra sur l'autre, jusqu'à former une coucbe d'épaisseur excessivement mince, à laquelle les raisonnements précédents ne se- ront plus applicables. Cette remarque a été faite pour la première fois par Marangoni, en i865.

Figure d'équilibre d'une masse liquide soustraite à l'action de la pesanteur.

7. Pour réaliser un liquide sans pesanteur, Plateau composa un mélange d'eau et d'alcool ayant exactement la même densité que de l'huile. Si donc on introduit une goutte de cette huile dans ce mé-

68

CIlAI'lTliK 111.

lange, elle y (lemeurcra suspendue et prendra une figure d'équilibre sous la seule action des forces moléculaires.

x\ppliquons les n°* 1 et 2 à l'ensemble de cette masse liquide. En dé- signant, comme précédemment, par U la fonction de forces, le premier

membre de l'équation (A) du n" 1 représente — - ()U; si l'on suppose

qu'on déforme infiniment peu la masse d'iiuile, sans clianger la surface du liquide extérieur dans sa partie libre et dans celle qui toucbe le vase, le premier membre de (A) se réduit à t()Ï; ainsi on a

SU

g-^dT

-/(^

si SX,

ov ^T.

Le volume de la masse d'Iiuile étant constant, / hdJ est nul. Multi- plions cette expression par une constante G, ajoutons à ^U et égalons la somme à zéro, nous aurons

f[-HT.'-^y^y''''=°

pour l'équation générale de l'équilibre et, h étant arbitraire, on a, pour l'équation de la surface de l'iiuile,

(I)

1

I

const.

Pour que l'équilibre soit stable, il faut que la fonction de forces U soit maximum ; ainsi le volume se déformantd'une manière quelconque, il faut que (>U soit négatif et, par suite, ()T positif; donc la surface T est alors minimum. Si l'on assujettit la surface T à passer par des lignes qui la terminent, la même propriété subsistera.

8. Supposons que la surface d'équilibre soit de révolution. Dési- gnons par C une constante arbitraire et par ^ la distance d'un point de la surface à l'axe de révolution pris pour axe des :■. L'équation (i) peut s'écrire

d.

dz dx

-rz 2 C J? dx

h(OT)

LIQUIDES SUPERPOSÉS. 69

Cliap. II, n" 14). intégrons les deux membres, puis résolvons par rap- port à dz, nous aurons, en représentant par C une seconde constante arbitraire,

CIZ z — - ,

^X' — {'ùx"- --H C')-

et cette équation peut s'écrire

{x^ ± ab)dx

dz

\/{x'— b'^){a- — X-)

a et b étant deux quantités positives, dont la première est la plus grande. Comme œ- peut varier entre a- et b-, posons

nous aurons

et si nous posons

nous aurons

x^ -:=! a- cos^ç + 6-sin^cp,

dz ■= ' ' «'f ,

, \Ja^-~b'^ ^ I 77-.— 7-

'do

(.) z--=aj^odo±ibj ^^

9. La seconde intégrale étant précédée du signe ±, prenons d'abord le signe -+-, et, en nous servant des notations habituellement employées pour les intégrales elliptiques, nous aurons les deux formules

X r— a Ace,

qui expriment les deux coordonnées du méridien au moyen d'une môme variable cp.

Si nous faisons varier 9 depuis zéro jusqu'à 7 > x décroîtra depuis a jusqu'à b. Prenons l'origine des z pour 9 = 0, alors z croîtra depuis

70

zéro jusqu'à

CHAPITRE in.

bV

aE

et nous obtiendrons l'arc AB {/ig. i3).

Continuons à faire croître o de - à -, x croîtra de b h a, et comme les intégrales ont la même valeur, prises entre e et -j ou entre -

^ ^222

et - 4- e, il en résulte un second arc BC symétrique du premier. En- suite la courbe se composera d'une infinité de brancbes identiques à

Fig. i3.

ABC. La surface dont elle est le méridien a été appelée par Plateau un onduloïde. On a

dz^ ^•^+ ab dP-z _ {a+ b)"^ {ab — x^) x _

donc la courbe méridienne a un point d'inflexion pour x =z sjab.

LIQUIDES SUPERPOSÉS.

Si « = ^, la surface devient un cylindre droit Si a = oo , l'équation différentielle devient

h dx

\Jx'^ — h''-

et le méridien est une chaînette dont l'équation est

Cette surface d'équilibre, appelée calènolde, correspond à C = o et ses deux rayons de courbure principaux sont égaux et de sens contraire.

Si Z> = o, la surface est une sphère, elle est intermédiaire entre la famille des onduloïdes et celle des surfaces suivantes.

10. Prenons ensuite, dans la formule (2), le signe — . Nous aurons

x; = aE(o)-^.F('f), X -rr a A'j.

Faisons croître 9 à partir de zéro, x décroîtra depuis la valeur a, et z ira d'abord en croissant. On a

dz		ab — X-		d^z dx-	-{a-	- by {ab -V- X-) X ^
dx	{x^--	-b^na^-	1 ' -x^^y	■ b^'Y' {a- — x-y

l'ordonnée z croîtra donc jusqu'à la valeur de x = sjah, qui correspond à la valeur de 9 donnée par

sincpi

v/«

on en pourra déduire la valeur correspondante z^ de :; par les Tables des intégrales elliptiques, et l'on en conclura l'arc AD [fig. i4)- Puis 9

variant de o, à -, x décroîtra de \Jah à h et z décroîtra de z. à

aEf - 1 ^--^F( -

on obtiendra ainsi l'arc BD. En faisant varier 9 de - à 77, on aura un

72

CHAPITRE III.

arc BEF symétrique de l'arc ADB. La courbe est ensuite composée d'une infinité de branches identiques à ADBEF. La surface qui a cette courbe pour méridien a été appelée par Plateau un nodoïde.

Fig. i/,.

11. Le méridien de l'onduloïde ou du nodoïde peut être obtenu par le roulement sans glissement d'une ellipse ou d'une hyperbole dans un plan sur l'axe de révolution. Le foyer de la conique engendrera en effet le méridien de la surface, comme l'a démontré Delaunay (Journal de Liouville, t. YI ; iS/ji).

Pour obtenir ces figures d'équilibre, Plateau commençait par établir dans le vase deux disques horizontaux et de môme axe, et il formait un cylindre d'huile dont les bases étaient sur ces disques. En rappro- chant lentement ces disques, le cylindre droit se change en une portion d'onduloïde, dont le plus grand cercle parallèle est à égale distance des deux disques. Si l'on rapproche encore les plaques, on obtient une

LIQUIDES SUPERPOSÉS. ']'5

portion de sphère, puis une portion de nodoïde, où n'entrent jamais de parties correspondant à l'arc BD.

Si, après avoir formé le cylindre précédent, on enlève avec une pipette de l'huile au milieu, on aura un onduloïde qui aura son cercle de gorge à égale distance des deux bases. Jamais la grandeur de l'onduloïde ne dépasse la distance comprise entre deux cercles de gorge consécutifs.

Si, au lieu de deux disques, on emploie deux anneaux de fil de fer qui servent d'abord de bases au cylindre, ce cylindre sera terminé par deux calottes sphériques convexes égales. En rapprochant les deux an- neaux, on pourra obtenir de même un onduloïde ou un nodoïde, ter- miné par deux calottes sphériques convexes.

Stabilité de l'équilibre d'un cylindre sans pesanteur.

12. Occupons-nous de la stabilité de l'équilibre d'un cylindre d'huile placé entre deux disques parallèles dans le mélange de Plateau. Il ré- sulte des expériences de ce physicien que ce cylindre serait stable tant que sa hauteur ne dépasserait pas la circonférence de sa base; mais il deviendrait instable dès que la hauteur dépasse cette circonférence. Nous allons rechercher si cette proposition est absolument exacte.

Il faut, comme nous avons vu au n° 7, pour que l'équilibre du cylindre soit stable, que sa surface soit plus petite que toutes celles dans les- quelles elle peut se changer par une déformation très petite.

Supposons d'abord qu'on déforme infiniment peu ce cylindre, de ma- nière que la surface conserve son axe de révolution et qu'elle reste une surface d'équilibre, de sorte que la somme des courbures principales sera la même dans toute l'étendue de la surface.

L'équation du méridien de ces surfaces est (n"8)

dz

					dx		C.r2	-hC
	1 (dz '	T
OU,	si	nous	posons	dx 'dz	X	c^^	+ C'
(•)					—	;	,
				v/i -^p^	•i.

74 CHAPITRE III.

Dans le cas particulier où cette surface se réduit h un cylindre, on a /? = o, et l'équation devient

x — h C,

9.

r •= -i ± -^ ^/TZTTCiy.

Comme x a alors une seule valeur, nous devons supposer que le radical est nul; ainsi nous avons

et, en désignant par R le rayon du cylindre,

Pour l'onduloïde infiniment voisin provenant de la déformation du cy- lindre, C et C doivent prendre des valeurs infiniment peu différentes

I \\

^ + 3, h '/i; posons aussi

oc — - R -h i(,

II sera infiniment petit, et, comme y; l'est aussi, l'équation (i) deviendra

(R H_ „) (, _ Ç^ = (_'_ H_ i) (U=+ .,,11 + „.) -H ^ +- ,„

y/_ . Ra c— :iR-f, — 2li^l<<^^-^

et, en intégrant, on aura

, , ^ R'^£ + ?< ,-

(2) -Y". — arc cos -=^ + I),

D étant une constante arbitraire. La valeur de u s'annulera pour des valeurs de z distantes de ttR. Le radical devant être réel, on en conclut

(3) — Rn-2r, >o.

Calculons l'aire S de la surface; nous aurons

S "- 2 TT / ^ y/ 1 -4- y^- dz,

LIQUIDES SUPF.IïPOSKS. -yS

puis, en posant nous obtenons

/ 3R2 \ R^£ + ;/

— — V A -h R « — «- -t- R ■ î — rj arc ces , -\- consi .

\ 2 ; ^/_iv'£-2Rt)

ou, d'après la formule (2),

//o, :^o t'tant les valeurs de ?/, s sur la base inférieure, et les lettres u, z sont conservées sans changement pour la base supérieure.

Exprimons ensuite que le volume n'a pas changé. On a, pour ce vo- lume.

R'z-i-u

V — — 2 Tc R- y/À + R « — //"- + -r R- ( R + R ) arc ces — "- _ — + const. ,

V/A

et, si :: — ^0 6st plus petit que 2-R, on déduit de (2)

Le volume du cylindre est donné par le premier terme; il faut donc que la partie restante de Y soit nulle, ce qui donne

y/A + R « — u- — y/À -r- R «0 — "0 — " — R- (■= — ^0 ). Remplaçant dans S, on a

et, d'après l'inégalité (3), S est toujours plus grand que la surface du cylindre 2-R(5 — ::„).

Donc, si la haïUcar du cylindre est. moindre que la circonférence de ses bases, sa surface latérale est moindre que celle de l'onduloïde infiniment

76 . CHAPITRE III.

îxnsiji dans lequel le cylindre peut se changer. Ce cylindre ayant donc été ainsi déformé, il tendra à reprendre sa forme première.

13. Nous allons considérer une autre déformation du cylindre, en supposant encore que sa hauteur soit plus petite que la circonférence s-R de sa base. Concevons que le cylindre se change en une surface de révolution dont le méridien ait pour équation

OÙ [X et h sont infiniment petits, et supposons l'axe des x mené à la moitié de la hauteur du cylindre.

Désignons par ih la hauteur du cylindre; nous aurons, pour expres- sion du volume de révolution,

V

= t: / X- dz,

et, en remplaçant x par sa valeur [a),

V=2tJi

{n-i^-y-i--

bH . 1-h

sui

2 /

Ce volume est égal à 2-R-A; on en conclut la valeur de ]j. Calculons ensuite la surface: nous aurons

x ds ■=. 2T. I X i/ I H -— ces- -^ dz

- .^y(R- 1X4- ^sin^) (^1+ ^- cos^^^j./..

En effectuant le calcul, on obtient

c / r> 7 / 7 ^"^'i)7 nb-li . 2iz/i

b — l^Tilih H- 27: — 2 [xh -] ^,-- R/i H — — sin — ,—

\ 2 /- 4 ^ i

LIQUIDES SUPERPOSÉS. n'j

remplaçons [j. par la valeur (b), et nous aurons

S ^ ^r.^h + ~^^~ {-^nV- 1')+^^ (^^IV^+ t') sin ^-- .

La surface du cylindre est [\~V\.h, et, pour reconnaître si S peut être plus petit que cette surface, il suffit d'examiner le signe de la quantité

(c) -~ (-Ml^- n + {-"-W-h 1-) sin '^^

Supposons nous pouvons alors poser

h < Ut: < /,

Sin =r — sin 2 7: A-

i

et, si nous prenons k entre zéro et -, sin -j- sera négatif; par suite, l'expression (c) le sera aussi. Il en résultera toutefois

/ 2

ainsi ce calcul suppose la hauteur du cylindre comprise entre -R et 27:R. Remarquons que, en opérant comme nous venons de le faire, on rend négatives les deux parties de l'expression (e); ce qui n'est pas néces- saire pour que cette expression soit elle-même négative. Il en résulte que l'instabilité de l'équilibre du cylindre commence pour une valeur de sa hauteur notablement inférieure à -R.

14. De ce qui précède, on doit conclure que Plateau s'est trompé quand il dit au § 418 de son bel Ouvrage {Statique eocpciimentalc et théorique des liquides) :

« Pour tout intervalle des bases moindre que leur circonférence, la » surface du cylindre est mi ni/nœ ai'cœ d\\ne manière complète, c'est- )) à-dire à l'égard de toute espèce de petite déformation. »

Cette proposition n'étant pas exacte, il faut maintenant s'expliquer

yS CIIAPITUE III.

comment Plateau a pu admettre, d'après ses expériences, que le cy- lindre est stable, quand sa hauteur ne dépasse pas 2-]\.

Il faut d'abord remarquer que si, dans la déformation, la grandeur des bases de la figure vient à changer, la variation W ne se réduira pas à — ^T()T, comme nous l'avons trouvé (n"7); mais, si nous désignons par //„ et u les variations des rayons des bases et par b- une constante, nous aurons

ôU ■= — ,^- oT + 3 -R h- ( a -H Ko).

Si les bases se rétrécissent, h' second terme est négatif; l\] peut donc être négatif, sans que son premier terme le soit. Remarquons aussi que le liquide peut être un peu maintenu par les disques à cause de l'adhé- rence et du fi'oltemenl.

Toutefois ces raisons ne suffisent pas pour expliquer comment, d'a- près l'expérience, l'équilibre est stable tant que la hauteur est plus petite que j-rAi. Mais les déplacements très petits que l'on communique ordinairement à la colonne liquide, et par exemple en donnant un mou- vement vibratoire au vase, ne sont pas absolument quelconques. On conçoit que, en se déformant, la colonne liquide ait une tendance à passer par des figures d'équilibre. C'est, en effet, ce qui a été reconnu par Plateau. Alors, d'après ce qu'on a vu au n"" 12, le méridien de la surface devient une sinusoïde dont le pas est égal à 277R, et la surface déformée est plus grande que celle du cylindre, si la hauteur de la figure est inférieure à 277 R.

15. Plateau a étudié expérimentalement les déformations succes- sives d'un cylindre très allongé d'un liquide sans pesanteur, dont les deux bases sont au contact de deux disques horizontaux. En faisant vibrer cette colonne, il y produitdes ventres et des étranglements qui se suivent régulièrement, et, quand la figure se rompt, elle se partage en deux ou trois espèces de sphères qui se succèdent aussi régulièrement. Béer, qui a calculé le premier l'onduloïde et le nodoïde, a aussi étudié ces faits par l'analyse [Einleitung in die Elasticitat und Capillantdt); mais on doit toutefois remarquer que c'est après avoir admis certains faits d'expérience qu'il en calcule d'autres rigoureusement. Remar- quons aussi, comme l'a déjà observé Plateau, que quand les surfaces d'équilibre ne sont pas minimœ areœ, en sorte qu'elles ne sont pas

LiQUinES supi-.nposKs. 79

stables, on ne doit pas les regarder comme des surfaces maximœ. areœ, ainsi que l'a fait Béer. Ces surfaces de révolution sont en général jni- nimœ areœ, parmi les surfaces qui renferment le même volume, entre un cercle parallèle donné et un autre cercle suffisamment rapproché.

FigufTS d'équilibre d'un liquide sans pesanteur, qui ne sont pas

de révolu tio/i.

16. Les surfaces renfermées dans l'équation

î^-,^ï(_-. consl.,

et qui ne sont pas de révolution, ne peuvent pas être fermées; mais on peut obtenir, dans l'appareil de Plateau, une masse d'huile terminée par une pareille surface, en l'assujettissant à passer par deux fils de fer qui la limitent.

Au lieu de soustraire une masse liquide complètement à l'action de la pesanteur, on peut rendre cette action excessivement faible et négli- geable vis-à-vis des forces moléculaires. Pour cela, Plateau forme une ligne fermée gauche au moyen d'un fil de fer, et il la plonge dans un liquide convenablement choisi; après que le til est retiré, une lame mince de liquide tei'minée à ce fil peut se maintenir un certain temps.

La lame étant soumise sur ses deux faces à la pression de l'atmo- sphère, la pression normale provenant de l'action capillaire doit être nulle; ainsi l'on a

pour la surface d'équilibre affectée pai' la lame. Les surfaces que nous avons considérées précédemment sont miiiima pour un volume donné qu'elles devaient renfermer; celles-ci sont minima sans condi- tion, pourvu toutefois qu'on n'en prenne pas une trop grande éten- due. C'est aussi seulement dans ce cas que l'équilibre sera stable et, par conséquent, que la lame liquide pourra se maintenir. On recon- naît que ces surfaces sont minima par la formule qui donne la varia-

8o CHAPITRE HT

tion de leur aire quand on passe à une surface infiniment voisine

"/(ïï + i)^""^'

(Chap. I, n"8); l'élément '^n de normale étant quelconque, il faut, pour que (irrsoit nul, qu'on ait l'équation (A).

Les surfaces fournies par l'équation (A) ont été étudiées par Monge, MM. Ossian Bonnet, Scherk, Schwai'z, Enneper. Plateau a cherché d'ahord à reproduire quelques-unes de ces surfaces qui avaient été défi- nies d'une manière particulière parées géomètres; puis il a reconnu expérimentalement que, par un contour donné, on peut en général faire passer une lame mince et par conséquent une surface satisfaisant à l'équation (A).

Uiemann a précisément soumis à l'analyse les surfaces fournies par l'équation (A) et qui passent par des lignes limites données; mais on ne voit pas dans son Mémoire d'équations de ces surfaces sous forme finie.

Poids des liquides superposés dans un tube capillaire.

17. Supposons deux liquides renfermés dans un tube capillaire, le plus léger de densité p', le plus lourd de densité p, etle tube plongé aussi dans ce dernier liquide. Soient h' et A les hauteurs moyennes des deux liquides dans le tube, au-dessus de la surface de niveau dans le vase.

Imaginons un abaissement infiniment petit de même grandeur, re- présenté par — M, pour tous les points du liquide renfermé dans le tube, et par ^if l'élévation correspondante de chaque point de la surface ex- térieure. Appliquons l'équation (A) du n" 1 ; nous aurons d'abord

0 / zr/jT^ zrz — oh I z dx dy H- / - 5//, dx dy\

z, dans la première intégrale du second membre, représente la hauteur d'un point de la surface du ménisque et dans la seconde intégrale la hauteur d'un point de la surfa('e du liquide du vase; les indices Z> et B indiquent que les intégrales s'étendent aux sections h et B du tube et du vase.

LIQLIDi:S SLJ'KHPOSKS. 8l

La valeur moyenne de la quantité positive M, est à ^h comme /; est à B, et comme z n'a que de très petites valeurs dans la seconde inté- grale, elle est négligeable. Ainsi S j zdrjy se réduit à — b/il/t.

En considérant la même quantité pour le liquide moins dense, on aura

On a ensuite

01':

rr

et si l'on désigne par / et L les périmètres des sections du tube et du vase, on a

mais la quantité NSi2 de la formule (A) doit être remplacée pai' ces deux parties

i>

en désignant par N, ce que devient N quand on [)asse du tube au vase ; toutefois le second terme est négligeable devant le premier. Ainsi l'équation (A) du n" 1 deviendra

(H) -.hh~^-:b[ji' -h)

et si l'on fait (Cliap. I, ii" Oj

/-N^.

on obtient

(K)

PS -- — M cos/,

,: hh + p'^ ( h' —h) — p /M ces i.

Le premier membre représente le poids du liquide soulevé dans le tube, et l'on trouve ainsi ce tbéorëme donné parLaplace : La poids duliqidde soulevé dans le lid>e ne dépend que du liquide inférieur.

18. Il faut toutefois remarquer que, si le liquide inférieur mouille le tube, on n'a pas en général N = — Mcost = — M, en faisant / = 0; mais, d'après ce qu'on a vu (Cbap. I, n" 10), i peut être imaginaire, et l'on a alors — N > M. Le poids soulevé pourrait donc être plus grand

82 CllAl'lTUE 111.

que celui qui est indiqué par la formule (K), et la détermination expé- rimentale de ce poids pourrait servir à calculer N d'après (H).

On doit observer que, dans la formule (H), on ne peut supposer que le liquide supérieur disparaisse complètement, parce que l'angle de raccordement du liquide inférieur avec le tube varierait brusquement. Cependant personne ne me semble avoir fait cette remarque.

Citons une expérience de Thomas Young qu'il a donnée comme étant en contradiction avec la théorie de Laplace. Une petite goutte d'huile était introduite par le haut dans un tube capillaire qui renfermait de l'eau, et la surface supérieure de l'huile s'est abaissée au-dessous de la surface primitive de l'eau.

On peut expliquer ainsi ce fait. Admettons que l'angle de raccorde- ment de l'eau avec le verre ne soit pas zéro, mais un petit angle que nous appellerons i. Désignons par H la hauteur à laquelle s'élève l'eau dans le tube mouillé préalablement par ce liquide; nous aurons

Enfonçons le tube de manière que l'eau vienne jusqu'à l'extrémité su- périeure, puis introduisons une très petite goutte d'huile et relevons le tube; nous pourrons alors appliquer la formule (K), qui montre que le poids soulevé dans le tube capillaire sera moindre que précédem- ment. On comprend donc que, si la goutte d'huile est très petite, la sur- face supérieure de l'huile dans le tube se trouve plus bas que la surface de l'eau quand le tube ne renfermait que l'eau. On voit de plus que cette expérience, faite avec précision, pourrait servir à déterminer l'angle i.

19. Supposons que le tube capillaire soit formé de deux matières différentes, séparées par une section droite. Si le liquide supérieur reste au-dessus de cette section, la formule (H) subsistera, N désignant une constante relative au liquide inférieur et à la partie supérieure du tube, ainsi qu'on le voit d'après le raisonnement qui a servi à établir cette formule.

Si le liquide supérieur est en partie au-dessus, en partie au-dessous de la même section, désignons par N, et N', ce que devient N quand on prend la partie inférieure du tube avec les liquides inférieur et supé-

LIQUinES SUPKHPOSKS.

rioiir. Il faudra, dans la formule (A), remplacer

NÔ.2 par -^N,/o//,

N'o.>' par — N'/o//-i-N; /o.'/,

et, au lieu de la formule (H), nous aurons

83

Enfoncement d'un tube ccipUlaire dans un rase renfermant deux liquides superposes.

20. On a un vase indéfini renfermant deux liquides. Plongeons-y verticalement un tube capillaire et cessons d'abord de l'enfoncer quand l'extrémité inférieure du tube rencontre le fond CD du liquide supé- rieur [fig. i.^); alors le tube ne renfermera que du liquide de densité p', et si nous désignons par X la longueur moyenne de la colonne soulevée dans le tube au-dessus de CD, par H' la bauteur moyenne de la surface

Fiff. i5.

Fig, i6.

	^._ y
\			Ij
c			1)

du ménisque au-dessus du niveau AB du liquide supérieur et par k la distance des niveaux AB et CD, nous aurons

Continuons à enfoncer le tube. La colonne \ du liquide supérieur res- tera dans le tube, et il s'y introduira de plus du liquide inférieur [fig. i6). Désignons par h la bauteur moyenne du ménisque inférieui' au-dessus de CD et remarquons que, d'après le théorème du n" 17, le poids soulevé au-dessus de CD, o'A a + ohh, ne dépend pas de la nature

S\ CHAPITRE HT.

(lu liquide siipôricuir; nous aurons, si l'angle i esL réel,

H étant la hauteur à laquelle s'élèverait le liquide inférieur dans un tube capillaire, s'il existait seul. En remplaçant 1 par sa valeur, on a

.A:^, pll— O'U',

é([uation qui détermine //.

21 . Enfonçons le tube davantage et de manière que l'extrémité infé- rieure plonge dans le liquide plus dense et l'extrémité supérieure dans le liquide moins d(ïDse.

Concevons qu'on donne un très petit déplacement vertical de haut en bas aux molécules du liquide intérieur au tube et le même pour toutes; puis appliquons l'équation (A) du n" 1, nous aurons, en dési- gnant par A hi hauteur moyenne de la surface de séparation des deux li(juides dans le tube au-dessus de CD,

0 f Z flTT-, ^r: — h.h l !l , 0 fz ' (Itt,' r - h h 0 A , ;î.i^— /$/, 0?J=zlol,,

et l'équation du principe des vitesses virtuelles deviendra

_ p /,// + p' hl, - N / + N7 rr: O.

Or, II et H' étant l'élévation moyenne du premier et du second liquide dans un tube capillaire, on a

et, en remplaçant dans l'équation précédente,

Sur la Jiaulcur des sommets de deux liquides superposés dans un tube capillaire et circulaire (pd plonge dans le liquide inférieur.

22. Deux liquides étant superposés dans un tube capillaire vertical dont la section dioite est un cercle, désignons par z' la coordonnée de

Liorinr.s superposas.

la surface du liquide supérieur et par ^ celle de la surface de sépara- tion des deux liquides. Comme au Chap. II, désignons la quantité posi- tive M par a^ et M' par «'-; la quantité

remplace rt'-, quand on passe de la surftice supérieure à la surface de séparation.

La coordonnée z' de la surface du liquide supérieur ne diffère que par une constante de celle qu'on aurait s'il n'existait que ce liquide, puisque le ménisque reste le même. On aui'a donc, /' étant une con- stante inconnue (Chap. II, n" 14\

/' — V' '■' ~ ■^■' + ''T'T, '^^

c> c -t- K^C' — ./•-

.) a - 9. c

avec

cos<' 3(7- (1 -1- sii)/' ) cos<'

i' étant l'angle de raccordement du liquide supérieur avec le tube. De même, ?'< étant l'angle de raccordement de la surface de séparation, on aura, pour l'ordonnée de cette surface.

'"' i,w/''''-v^i

Zy-= I — Jc'\ — .r- -\ '- loi;-

/• /•' 1an2:-<,

' " COS/j ?>ri\ ( ! -i- Sill/'i ) COS/'i

Les quantités /et /' sont deux constantes qu'il faut calculer.

Si l'on suppose qu'on a déterminé expérimentalement la distance /• des deux sommets, on aura

Si, au lieu de cette donnée, on connaît le volume -nz de la masse supé- rieure, cette équation sera remplacée par

Ensuite, comme nous savons que le poids du liquide soulevé dans

86 CHAPITRE III.

le tube est — p.27:7'N (n" 17), nous aurons

{z' — z) œ d.r + 2

-p / z

X dx =r — p 2 - /• N

OU

p' / z'x dx -\-{''^ — ^') I zx dx r=z — p r^ .

t-'n •-'h

L'équation {c) avec {a) ou {b) détermine /et /'.

Si l'on se contente d'une approximation où l'on regarde les sur- faces des deux liquides comme spliériques, on aura

-' = i' - .^/^jrz.

cos<

COS/i

et l'équation [c) deviendra

Si l'on a l'équation {a), on en conclura

^-.i(..-,..,î-ie.

-prN.

/ = - - N - !- '• P

21 ji O /^'^

3 r^^ ' '' 3/'^

Si c'est, au contraire, l'équation (/>) à laquelle on doit satisfaire, on ti- rera de cette équation et de {c)

X dx —s — N /■ ^ — -

-/ ,-2.

N/- -h '-

— p /-£

OU, en remplaçant les deux intégrales par leurs valeurs déjà employées ci-dessus,

/ = -^N-P

3 "^ ' 3 eus'/,

2 2 /■

â /•tang3/'+ - . —

SUSPENSION d'un LIQUIDE DANS l'aIH AU MOYEN d'uN TUDE GAPILLAIUE. 87

SUR LA SUSPENSION D'UN LIQUIDE DANS L'AIR AU MOYEN D'UN TUBE CAPILLAIRE.

Suspension (l'an liquide par an tube vertical de rèxolulion.

23. Supposons que la surface intérieure du tube soit de révolution et qu'elle ait son axe vertical [fig. ij). Les surfaces inférieure et supé- rieure BGB' et AG'A' du liquide suspendu dans ce tube seront aussi de révolution autour du même axe.

Vi". 1-.

Désignons respectivement par :; et :;'les hauteurs des points des sur- faces BCB' et AG'A' au-dessus d'un plan horizontal. Si R, R, et R', R', sont les rayons de courbure principaux en un point quelconque de ces surfaces, on aura

(')

1 R'

I

r;

Je dis qu'on doit prendre la même constante k dans ces deux équations. En effet, désignons par h et h' les valeurs de z et z' aux deux sommets G et G' et par y et y' les rayons de courbure en ces points, nous aurons

h' -h

ou

,(A'--Aj=:.yp«'(

car cette équation exprime que le poids d'unTilet vertical liquide, com- pris entre les deux sommets, est égal à la différence d'action des deux ménisques qui terminent ce filet. Or l'équation (2) se déduit des équa-

88

CIIAPlTIiE m.

lions (i) retranchées l'une de l'autre, et montre qu'il fallait prendre la même constante k dans ces deux équations.

D'après ce ({ue nous avons vu (Chap. II, n" 1), les deux équations (i) peuvent s'écrire, en désignant para? la distance d'un point à l'axe.

d'-z 1 dz dx' X dx	v-m'\	= -±U™.)	_'+(Êy.
d-z' 1 dz' dx'^ X dx	.-.(^f	= >-'^^	:^[,u) _

(3)

(4)

De la seconde de ces équations, on tire (Chap. 11, n" 14'

c'

Z-' — A =: —j- ^ ^ c' ^\ C'- — x' + rr~, log

c ' c \ c - — ,/-

avec

/ ■ I

sur- /

ces/' Sa- cos-'y' j + siny'

/•' étant le rayon du cercle AA' et y' étant l'angle de la tangente à la courbe ACA' avec la verticale menée de haut en bas. En modifiant le calcul du n"14 du Chap. Il pour obtenir:; au moyen de l'équation {'.)), on trouve

c

V'c-

X- ~i-

r cos/

loi

sm\/

\ c- — X-

ùu- cos\/ I 4- siny

/• étant le rayon du cercle BB' et j l'angle aigu de la tangente en B à la courbe BCB' avec la verticale. Si l'on connaît les positions des points A et B, les angles y et/ se déduisent immédiatement de l'angle i de raccordement de la surface du liquide avec la paroi.

Une goutte de liquide étant placée dans un pareil tube, l'équilibre ne s'y établira pas en général sans un déplacement de toute la goutte qui montera ou descendra. Pour trouver sa position d'équilibre, il faudra exprimer qu'aux points A et B les coordonnées z' et z des mé- nisques coïncident avec la coordonnée z du méridien du tube, et que la goutte a un volume donné. Les lignes trigonométriques dey et/ doivent d'ailleurs se déduire de ré({uation du méridien AB.

SrSPENSTON d'lN LIOIIDR DANS l'aIR AU MOYEN WvS TUIîF. CAPII.I.ATHE. cSf)

Suspension d'un liquide dans un tube conifjue verlicaL

24. Pour qu'une colonne liquide d'un volume donné reste en sus- pension dans un tnhe conique dont l'axe est vertical [fig. 18), il faut

risT. iN.

T' v'I

que le sommet du cône soit en haut si les ménisques sont concaves, et en bas s'ils sont convexes. Considérons le cas où ces surfaces sont con- caves.

Désignons par 2[3 l'angle au sommet du cône et par i l'angle aigu de raccordement; enfin pary et / les angles aigus du plan tangent au bord des ménisques inférieur et supérieur avec la verticale. Nous aurons, BV et AV étant deux verticales,

TRV rrr _/ = / + 3 , ï' A V ^ j' = / - - 3.

D'après le numéro précédent, en négligeant des termes très petits, on aura, pour les coordonnées z' et z des surfaces AIA' et BKB' qui terminent la colonne liquide.

z' = /. +

'x ci- ces /'

3 cos/' V cos^y

Ta- cos / '?. r i /•- _ j

" " ' /• j cos/ y cos^y

Désignons par Z' et Z les valeurs de :;' et z sur les bords des mé-

90 CHAPITRE HT.

nisqiies ou pour .r = /' et r\ puis retranclions-pn z' eX z, nous aurons z-Z - . V/ • - — r-- - ^->in / .

Représentons par Y le volume du tronc de cône AA'BB' et par t^, (^' es volumes AlA' et BKB'; nous aurons

sn=r— ^^, SI)' '''

langui tangfi

.5 ^ in ni;- 3

r'' -/••'

(■'— '^^ît: / (//— z').r (Ir -=- :---.; (■> -— ?> sin/'+ sin^/').

Supposons que nous comptions les coordonnées z et z \\ partir du sommet S du cône; comme elles étaient supposées positives, étant comptées de bas en haut, nous aurons

' , 7/= '■

lA '

tang;^ tang[i

égalons ces expressions à celles que nous avons obtenues précédem- ment pour les mêmes quantités; nous aurons

/• , 9. «-cos/ T /•

(I , _, _ /. + ._ _„ . |_ /. tang/,

langS /■ 6 cos/

tangp /•' 3 cosy'

Désignons par m^ le volume donné de la goutte, nous aurons

m'- -- V — (• - r'

OU

(3)/

/' — /■ tanins

"" -7(2-3 sin,/+ sin^ /) - T~r^^:, (-^ ~ ^ sin,/' + sinV')

3 cos\/ - ./ '^ 3 cos' /'

SUSPENSION D UN LIQUIDE DANS 1. AIK AU 310\EN D UN TUUE CAI'ILIAIHE. ()l

Les trois équations (i), (2), (3) serviront à déterminer les trois quan- tités /■, /-', /•.

25. Dans ee qui précède, j'ai supposé que la verticale ne rencontre jamais la surface AIA' qu'en un point. En particulier, elle rencontre cette surface vers son bord en deux points si l'angle i est nul. Si la sui- face AIA' est traversée en deux points par la verticale, nous aurons / ' = [i — i; mais, dans les formules précédentes, il faudrait changer le signe de/, comme on le voit facilement. On peut donc conserver les for- mules précédentes en regardant/ comme négatif.

Considérons le cas oî^i «est nul, nous aurons y — ['>, f — — [', et, en retranclianl (i) et (2), nous aurons

, , I 9.(1- (;os3 . :>. /■ 1- /•'

"•- /• ) ..,„;,. o -7.7 1- ^^»"r

nr^ ..[/■'

3^ \laiiy;i ces-/ / o cos^i

L'angle fi est très petit; si de plus la longueur de la goutte est très pe- tite par rapport à la distance du milieu de la goutte au sommet du cône, on pourra écrire ainsi ces deux é(|ualioiis

1 ■>.a'-

' ' _ _!i: ■■■•■

lang/i

Éliminons / — r' entre ces deux équations, et nous obtiendrons cette équation du troisième degré

(Sza- taiiu/./'-- \>in' r-^- (j/itui' lang / -^ o, qui permettra de déterminer / .

IncUnaisun suus IcKjucllc il faut niclLic l'ii.ic d'un liihc coni<iue [nnir qu'une goutte reste suspendue à un e/ulruit donné du tube.

26. Pour résoudre cette question, je suivrai exactement l'analyse de Laplace.

9-^' CUAPITUE lil.

Soit i\A'BB' le cône intérieur du tube qui a son sommet en S [fig. 19); soit efkh la colonne liquide et supposons les extrémités con- caves; on peut regarder la goutte comme de révolution. Désignons par R et R' les rayons de courbure de e/^et hp'k aux sommets u et//;

H est < W. Considérons un canal infiniment étroit /;//; la difféi'ence d'action des deux ménisques est égale à la quantité

■^^"^■K IV

multipliée par la tîCction droite du filet, et fera avancer le liquide vers le sommet si le tube est horizontal.

Déterminons les rayons de courbure R et R', en supposant les arcs (if, hk circulaires. Désignons par 2I la longueur /y, par 2 fi l'angle au sommet du cône et par \ la longueur SP, où P est le milieu de/;/.

Menons la tangente eC et la normale eO; désignons toujours par / l'angle hcC de raccordement; nous aurons

cosOe/ cos(/— [^.j' /• ^: SI lang fi, Si r^ S/> ~- \p -^1- i ^- 1{ [ , „_ sin ( i - ,3 )J ;

en remplaçant dans la première équation, on obtient

,. _ À-/-R[i-sin(/ --p)|

cos(/— p) i-ui^...

Tirons R de cette équation, en ayant égard à ce que p est très petit, et nous aurons

(À — /) si 11 3

R

COS/+ sin 3

SUSPENSION d'lN LlOl 11)1': DANS l/Alli AU JJOVKN I)'UN TUlîi: (lAIHLLAllU:.

On trouve; do mémo On a do no

9'^

cos<

SI 11^

K II'

I / c<»s / siii3 \ À

I

X -\- l

ASlll i

/

I H- - A

/\ -'

I H

/\-'1

et, 011 iiégligoaiit dos tormos très [)otits, on a

""'î\ "lî'

)~-~sinTi

Supposons que le tube soit inoliné à l'horizon d'un angle I; le poids do la colonne cylindrique divisé par la section du tube au point P sera 2/i,'p et sa composante suivant l'axe du tube sera égale à ^fyosinl. Il faut pour l'équilibre que cotte ({uantité soit égale à la précédente. Ainsi l'on a

"~sin3~ )> ^'^ Tl '

5inl

Le second terme étant en général très petit vis-à-vis du premier qui renferme sinp en dénominateur, le sinus de l'inclinaison est à peu près inversement proportionnel au carré de ),.

27. Considérons (Misuite une goutte de liquide comprise entre deux plans qui se touchent par un bord, en faisant un angle très petit. Si le plan bissecteur est horizontal, cette goutte sera à peu près circu- laire et analogue à une poulie. Supposons que, en inclinant ce plan sur l'horizon, la goutte soit assez large pour que, vers le milieu de sa largeur, sa surface puisse être considérée en haut et en bas comme cy- lindrique, la génératrice des deux cylindres étant parallèle à l'inter- section des deux plans. Nous regardons toutefois la longueur de la goutte comme très petite par rapport à la distance du milieu de sa lon- gueur à l'intersection. Alors le raisonnement et la figure qui précèdent seront applicables; les lignes SB et SB' représenteront les coupes des deux plans donnés, SOO' leur plan bissecteur, epf, hp'/c les surfaces cylindriques.

94 CIIAPITUK III.

En considérant comme précédenjment un tilet pp de section to, on

trouvera

I I

ïï " ïr

g?a-\ -

pour la différence d'action de ses deux ménisques et l'on aura pour la composante verticale de son poids 2/co^psinI, I étant l'inclinaison du plan bissecteur sur l'horizon. Donc, si la goutte reste en équilibre, la valeur de cet angle sera donnée par cette formule :

. , rt-COS< I (('-

sin^ A- /A

On voit donc que, pour l'équilibre d'une goutte suspendue dans un tube conique ou dans l'intervalle de deux plans à une même distance de S, on devra également incliner sur l'horizon l'axe du tube et le plan bissecteur si l'angle des deux plans est égal à la moitié de l'angle au sommet du cône.

Dans ces expériences, il est utile de mouiller le tube et les deux lames; car, sans cela, le lïottement jouerait un rôle qui ne serait pas négligeable.

SiispciiSLon (l un li(jiddc dans un tube cy[uulri(ju(' rcrlical.

28. Si l'on applique la théorie précédente au cas où le tube est cylindrique, les deux ménisques tournés en sens contraires sont alors identiques; et en faisant y— y dans l'équation (2) du n"" 23, on trouve A'^ //. L'équilibre de la goutte ne serait donc plus possible. L'expé- rience prouve cependant qu'une petite quantité de li(|uide peut restei' suspendue dans un tube cylindrique vertical si le tube n'est pas mouille intérieurement au-dessous du ménisque inférieur, et l'on ne peut ex- pliquer ce désaccord qu'en admettant un frottement du li(]uide contre le tube.

Le Irottement du liquide sur le tube étant supposé du même ordre de grandeur que la cohésion, le liquide tendra à tomber en C, mais sera retenu en 1> près de la paroi [Jig- 20); le ménisque inférieur s'af- faissera donc et l'angle de raccordement augmentera.

SUSPENSION D UN LIQUIDE DANS L AIR AU MOYEN 0 UN TUBE UAPILLATRE.

q3

Désignons par /la longueur AB comprise entre les bords des ménis- ques; si le liquide a un mouvement suivant l'axe du tube, la force de frottement contre le tube sera -îr.rJf, /étant un coefficient. Imaginons un déplacement vertical et descendant de translation commun à tout

Fif[. 20.

\)

le liquide, et, en regardant les deux surfaces ACA', BC'B' comme spbériques, nous aurons

— o.r.rifr.!, ^-

-/•V-

COS'< \ .5 O

-r"' fo I

U<

OU

{a) 2lJ>i^zr\l--^

cos-'< \ ,>

sin'/

sin /

cos'/. V'>

/ et i' étant les angles aigus de raccordement des surfaces supérieure et inférieure avec la paroi. Quand il y aura égalité entre les deux mem- bres, la valeur de / représentera la longueur maximum de la colonne liquide qui peut rester suspendue. Réciproquement, si l'on détermine cette longueur maximum par l'expérience, on en conclura la valeur de/.

Désignons par ir.iif la résistance opposée par le frottement pour empêcher le mouvement; nous aurons

{f>)

iir

?/iï,

en représentant, pour abréger, par H la quantité mise entre crochets dans l'inégalité [a).

()G ciiAPiTRi: m.

Considérons nn filet vertical HB'A'I à section dt'oite rectangulaire dont un des côtés ds est sur la surface du tube. Désignons par P le poids de ce filet, par Y la composante verticale de la différence d'ac- tion des deux ménisques qui terminent le filet et par D la différence de l'action verticale du tube sur ces deux ménis(|ues; nous aurons

P - //V/V :^. V - - I).

Or P = V pour tous les filets verticaux, el cette égalité a encore lien tout près de la paroi ; on a donc

{(■) - - If (Is-: — I).

Ensuite la partie du tube en contact avec le filet produit à la surface supérieure la composante verticale

et à la surface inférieure; la composante verticale

— ,4''p/'('- COS/" r/.v

( ro7> Cbap. 1, n" 13). On a donc pour la quantité 1)

]) ~- .;'■ p rr ( Cf tS / COS / ' ! ^/s

et l'on déduit de l'équation (r)

( (/) /■/' --= Si' pa-(cosi - ros /' ) .

En comparant [b] et (d), on a

/•H =■- 2 a"- ( ces / — ces/' ).

Supposons H remplacé par sa valeur; la longueur / est connue par l'ex- périence et l'angle i est aussi connu: cette équation servira à détermi- ner l'angle i de raccordement de la surface liCB' avec le tube.

29. z cXz' étant les distances d'un point des surfaces des ménis(jues supérieur et inférieur à un plan borizontal, nous avons (n"24)

'>.a- COS/ 2 r I /■"-

/■ H ces/ y COS-/

2<'/-C0Sr

,, -h i/---.r-., — .r

o COS/ y COS/

SUSPENSION 1) UN LIQUIDE DANS L AIR AU MOYEN I) UN TUBE CAPILLAIHE. 97

La longueur /de la colonne comptée entre les bords des ménisques est égale à la valeur de ^ — g' pour œ = r; ainsi nous avons

(c) 1= — ( cos / — cos i' ) H- ^ /• ( . -i- ■ ^ ) — /■ ( lang- / -[- tanst' ) .

/• ^ o \cosi cosr/ ^ o o y

Cette équation ne renferme pas d'inconnues nouvelles et sera im- possible. Mais admettons que le liquide ait une viscosité qui ne soit pas négligeable; il ne faut plus alors supposer dans les deux équations (i) du n" 23 que la constante/' ait la même valeur. Cbangeons k en /c' dans l'expression de z'; nous aurons, au lieu de l'équation {e),

/— A — /.'+ - — (ces/ — cos/') + ^/i . -; r, I — /•(lari2-/ -hlaiiii/'),

/• ' O \COSi COS</ \ o o .'

équation qui déterminera X- — k'.

L'équation (2) du n" 23 sera remplacée par

et l'on voit que^p(X: — /c') indiquera la résistance opposée par la visco- sité pour contribuer à l'équilibre.

Suspension d'un liquide à l'exlrèinitê d'un tube vcitieaL

30. Supposons ensuite que le liquide descende jusqu'à l'extrémité inférieure du tube, mais en y restant enfermé. Il faudra alors avoir égard à la courbure de la surface intérieure du tube vers son extré- mité. En eflet, cette surface ne doit pas être considérée comme celle d'un cylindre coupé rigoureusement par un plan normal à l'axe; mais elle doit se terminer par une partie courbe EF tangente d'une part à la surface du cylindre intérieur et de l'autre au plan de la base

(/^•2l).

Pour simplifier, supposons que cette surface soit de révolution au- tour de l'axe du cylindre intérieur, et appliquons l'équation

(\) 0 l zdr;^ + M 07 + N oi> = o

()8 CUAI'ITUE III.

(Chap. I, n° 8), où a est la surface libre du liquide et 12 la surface de contact du liquide avec le solide. Le liquide étant supposé mouiller parfaitement le tube, on a M = — N = a'-.

ut- ■■>■'■

Nous supposons aussi que le bord du ménisque inférieur touche la partie courbe EF du tube.

Cela posé, donnons à tous les piùnts du liquide un mouvement ascensionnel infiniment petit et tel que le ménisque supérieur J soit transporté parallèlement à lui-même en J,, et le ménisque inférieur de J'en J',, le bord de J' étant seulement diminué de la quantité infini- ment petite qui sort de la section du tube en J',. Désignons par r le rayon du tube et par r' le rayon de la base de J', puis par Vi et ^li' les hauteurs dont se sont élevés les ménisques J et J' dans le déplacement virtuel.

Le ménisque J' est tangent à la surface EF et J', ne fait qu'un angle infiniment petit avec la même surface. Par le cercle de base ce de J', menons le cylindre vertical ce; la sera égal à J', — J'; nous aurons

donc

07 = — suri', ec/,

oi> = 2 - /• o/< — su ri", cd.

Ainsi

07 — o<2 := ^ 2 - /■ oA -\- surf, cd — suri", cd

=: — 1-iV.i 4- surf.ce sinu,

'J étant l'angle du plan tangent au bord du ménisque avec un plan

SUSPENSION 1) UN LIQUIDE DANS L All\ AU MOYEN d'uN TUHE CAPILLAIRE. 99

horizontal; nous avons donc enfin

07 — oi> = — 171 r ^jIi + o.-v' o/V siiTJ. On a d'autre part

0 / ; c/ttt — - (• cA — • c'o//',

V et / étant les volumes intérieurs du tube depuis J et J' jusqu'à la base FG du tube. Ecrivons enfin que le volume du liquide n'a pas changé, et nous aurons

Remplaçons dans l'équation (A) les termes par leurs valeurs calcu- lées, et nous trouverons

(R) (•/•'' — r'/-^ z=:. 9. -a^ /•/■'{ /■' — /■ sin'j).

Si r — r est très petit par rapport à /*, ce qui aura lieu ordinaire- ment, on pourra remplacer dans cette équation /' par /•, et nous aurons

la formule

(• — r'= 9.-a-r(\ — sinu),

qui donnera le volume du liquide soulevé. Il est aisé de voir que cette formule subsisterait quand même le bord très petit EF ne serait pas de révolution.

31. Supposons ensuite qu'une partie du liquide soit extérieure au tube, que le cylindre extérieur du tube se relie à la base FG par une partie courbe très petite GH et que le liquide s'élève sur GH jusqu'en I. Désignons par r' le rayon du cercle parallèle du point I; soient v et v' les volumes du liquide appartenant à la partie intérieure et à la partie extérieure au tube, u l'angle aigu du plan tangent en I avec un plan horizontal. Il suffira de changer les signes de ç^' et -j dans la formule (B),

et nous aurons

(•/■'- + r'/'- m 9- a- /•/■'{/'' -\~ /• sin'j).

Si r' est assez petit pour que la surface de la partie extérieure du liquide puisse être regardée approximativement comme sphérique, on aura

, T.r'^ (i I

siir'oVS ' 3

lOO CHAPITRE III.

nous avons ainsi denx équations pour déterminer ç et v' et par suite le volume total r -h c'.

La formule (C) n'est qu'approchée; dans le Chapitre V, nous mon- trerons comment on peut calculer exactement le volume t''.

Suspension d'un liquide à l'extrémité d'un tube capillaire vertical adapté au fond d'un rase.

32. Désignons par R le rayon intérieur du vase supposé cylindrique, par /'le rayon intérieur du tuhe et par/ son rayon extérieur. Le vase lenferme un liquide dont une goutte s'est formée à l'extrémité du tube, ayant pour base la section extérieure; cherchons la condition d'équi- libre de cette goutte. Il suffit de reprendre les raisonnements du n"30.

Soient H la hauteur du liquide dans le vase et A la longueur du tube. Donnons un mouvement ascendant infiniment petit au liquide; soient ^\\ l'élévation du liquide dans le vase, th la quantité dont le liquide monte dans le tube et enfin Vi' la quantité dont s'élèvent les points de' la surface de la goutte. Nous aurons

07 — oJ r= — ^-/•'o///sin'j — -^TcR oTL

Désignons par V le volume du vase et par v' celui de la goutte, nous aurons

0 Cz <H ^ v' o/é + V 8H 4- - r' h o// .

Substituons ces expressions dans l'équation

0 / Z(lT7i 4- (7-(07 — oi2) = o,

et nous aurons

r'o//' f- Wm ^!- -r'-l, oh - >-r'a-^ oA'siU'j ^ ■^,-\\rr oH = o.

Or nous avons

et le volume V est égal à -R-H; l'équation précédente donne donc pour

SUSPENSION D UN LIQUIDE DANS L AIR AU MOYRN D UN TUDU CAPILLAIRE. I () I

le volume (^' de la goutte

/•'■- (•'i= 2:T/-'rt- sin'j + 2 7:a- -r^ — -/-'-(Il + A),

qui sera par conséquent le plus grand pour 'j =^ '-■

Pour que l'équilibre soit possible, il faut que ^^' soit positif pour

■-) = -; ce qui donne la plus grande valeur que puisse avoir la hauteur 11

du liquide dans le vase. Quand H dépasse cette valeur, la goutte gros- sit, puis elle tombe.

I02 CIIAPITP.E IV.

CHAPITRE IV.

MODIFICATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPILLAIRES.

Les forces qui élèvent ou abaissent un liquide en équilibre contre la paroi qui le retient ou contre un corps quelconque exercent aussi une influence sur la pression supportée par ce corps. Il en peut môme ré- sulter (les mouvements sensibles, tels que l'attraction ou la répulsion entre deux lames verticales parallèles et très rapprochées quand elles sont plongées dans uu môme liquide, ou encore l'attraction ou la ré- pulsion entre de petits corps nasjeant à la surface d'un liquide. Nous allons étudier d'une manière générale dans ce Chapitre la modification de la pression hydrostatique due aux forces de la capillarité.

Nous commencerons par quelques démonstrations synthétiques qui auront l'avantage de faire concevoir plus facilement le détail des phé- nomènes; nous embrasserons ensuite leur ensemble dans des démon- strations analytiques.

Attraction et rèpidsioji entre deux lames verticales parallèles, pfonqées dans un liquide.

1. Soient les deux lames L et L' parallèles et verticales, NM la sur- face cylindrique du liquide intérieur et ABCD celle du liquide extérieur

{fig.2'?.).

Imaginons un canal edcb qui parte d'un point e situé sur le plan de niveau et dont le côté ch vienne entre les lames et évaluons les pres- sions par des hauteurs du liquide. La pression en le point H du canal sera

310011 ICATION DE LA PIII-SSION UYDIIOSTATIOIL PAU LES lOUCES CAPILLAIULS. I o'^

évidemment la même qu'en e, c'est-à-dire la pression II de l'atmosphère et la pression en h sera égale à n diminué de la hauteur verticale iH. Si le canal se recourbe horizontalement suivant ha et se termine sur la face intérieure de L, la pression du liquida contre la lame sera

l'ij. 21.

		1		1'	I. .M
		^^.y
		'L^b
	K lî			.(',
t	\	K,,^	f	ij^	: 1

n — ^11, diminué de l'attraction du li(|aide sur la lame; mais cette dernière force sera détruite par l'action égale et contraire de la lame sur le liquide et ne produira que l'adhérence. Et comme, au point cor- respondant de la face extérieure de la lame L, la pression estn, il en résulte une pression en a égale ii HZ> et agissant de a vers b.

Dans la partie BI de la lame, les pressions sont égales et contraires sur les deux faces. Prenons en effet sur une normale à la lame le point/ sur chacune des faces; à l'intérieur, d'après ce qui vient d'être dit, le point/subira la pression II — /I; menons le canal F/horizontal et nor- mal à la lame; la pression au point extérieur / sera la même qu'au point F et égale à II — /I.

Pour évaluer la résultante des pressions qui s'etfectuent sur NB, élevons en chaque point tel que a une normale égale à bE. et évaluons le poids du liquide compris entre la paroi et le lieu des extrémités des normales. Désignons par ^o et r, les hauteurs des points B et N au- dessus du plan de niveau, par/ la largeur des lames, par p la densité du liquide et par^'- l'accélération due à la pesanteur; nous aurons ainsi pour la résultante des pressions qui s'exercent sur la lame L

l{=-,- ^■,)

n'P^i-l

IO.| CIIAPITUK IV.

Mais il existe deux autres forces dont il faut tenir compte; soient ?", et i les angles de raccordement en N et B. Le liquide exerce le long des deux lignes d'atïleurement en N et B sur la lame une tension normale à ces lignes et tangente à la surface du liquide; la grandeur de cette Ibrce est g^a'- par unité de largeur. Ces deux tensions produiront donc les forces normales ^p^'/sini, et g^crlsïni, la première dirigée sui- vant NP, la seconde suivant BK.

On a donc enfin pour la résultante des pressions normales agissant sur la lame L

(i) • l* -- l^:,'p /(:;■[— c-^) + ^'-p (7- /(sin/'i — s'ini).

Les hauteurs :?, et :;:„ ont été calculées (Chap. II, n"* 5, 8 et 9 j.

Si les deux faces de la lame sont entièrement identiques, on aura /, = /, et le dernier terme de P disparaîtra.

La démonstration qui précède est exactement celle qui se trouve dans la Théorie de la capillarité de Laplace, sauf qu'il avait négligé la partie de P due à l'action de la couche superficielle du liquide; Poisson a remarqué le premier qu'il faut tenir compte de cette quantité [Nou- velle Théorie de r action capillaire, Chap. V, n"" 85).

2. La lame L' est poussée vers la lame L par une force normale sem- blable à P et dont la valeur est

V -j:.{ -p /(:;',-— z'^-) -J- i,'prt-/(siiu", -- sin/'),

en adoptant les mêmes lettres avec des accents, afin d'indiquer pour la lame L' les mêmes quantités que pour L. Si les angles de raccorde- ment sont les mêmes des deux côtés de chaque lame, les deux forces P et P' seront égales.

En effet, l'équation de la surface du liquide renfermé entre les lames peut s'écrire (Chap. II, n" 5)

(i) T v^consl ^•

Kw appli(|uant celle é{}ualion sur la face intérieure de la lame L, on

.M(»l)lllCATIO> l)i: LA l'UKSSlO.N IIYDROSTATIQL K PAU LKS lORCES CAI'lLLAllil S . lOJ

aura

siii /, = consi — -^; 2 a'-

on a II l'a de uicuii'

par suite,

siiu, = coiisl —:

■>. a-

Sill /, - Sin f, rr: ^-^ — — !- ■.irt- "2(1-

Mais, si Tou appli(jue l'tMjuation (i) aux deux parties du liquide exté- rieur qui coi'respondeut à eliaque lame, la eonstaute arbitraire sera éiiale à ruiiilé, et l'on aura

il en resuite

SUU — I — — ;?

■la-

^n\i :=- I : :

'^ a-

■I • • • , -,

la Si doue /, = /et /', = /', on aura

ou

par suite, P = P.

Si les deux lames sont très rapprochées, z'I sei'a négligeable vis-à-vis de z\\ or z^ est alors sensiblement en raison inverse de la distance des deux faces internes des lames. Donc l'attraction P de ces deux plans aura lieu à très peu près en raison inverse du carré de leur distance, ainsi que l'a remarqué Laplaee.

Nous avons supposé que les deux lames ne pouvaient se mouvoir que suivant leur normale commune; autrement, les résultantes des pressions qui se trouvent sur les deux faces n'étant pas directement opposées, la lame L tournerait en outre autour d'un axe passant par son centre de gravité et parallèle à sa largeur. Il serait facile d'évaluer le mouvement de rotation, en se rappelant que les forces capillaires agissent en NetB, et en déterminant la position du centre de gravité du prisme liquide imaginé ci-dessus.

loG CHAPITRE IV.

3. Si le liquide s'a])aisse auprès de chaque lame prise isolément, la surface du liquide est partout convexe et le liquide s'abaisse entre les lames; nous désignerons alors par z^ et ^^o '^s dépressions du liquide auprès de la lame L, et nous aurons encore, pour la pression (jui agit sur la lame L,

1* " !- ,^'-? / ( z'I — zl) -{- -p a- /( sin /, — sin l'o ),

?„, if étant les angles aigus de raccordement, et P tendra encore à rap- procher L de L'.

Si, dans l'intervalle des deux lames, le liquide s'élève vers l'une et s'abaisse vers l'autre, z^ sera en général plus petit (juc r„; néanmoins, le premier terme de P restera ordinairement en valeur absolue plus grand que le second; ainsi les deux lames auront une tendance à s'éloi- gner l'une de l'autre, mais, comme on voit, cette répulsion sera faible, comparée à l'attraction apparente qui a lieu entre deux lames mises dans un liquide qui les mouille.

Supposons que le liquide s'élève plus sur la première lame qu'il ne s'abaisse sur la seconde. Nous avons vu (Cliap. 11, n" 13) que, en rap- prochant suffisamment ces lames, le point d'inflexion de la section droite du liquide disparaîtra et qu'ensuite le liquide montera sur les deux lames : par conséquent la répulsion se changera en attraction.

Ce fait reconnu, d'après la théorie, parLaplace a été vérifié par Haùy. 11 plongeait dans l'eau un parallélépipède d'ivoire qui était mouillé et, parallèlement à une de ses faces, une feuille de talc laminaire sus- pendue à un fil très délié. 11 a constaté que cette feuille, qui n'était pas mouillée pai* l'eau, était repoussée d'abord, puis attirée lorsqu'elle était amenée à une distance suffisamment petite.

Su/- la imussc'c verticale (jid sollicite un corps ils rc^'ohuion dont l'aie est vertical, immergé en partie dans an liquide.

4. Soient PQ [fig. 2'3) le plan de niveau et a,3 le cercle auquel le li- quide vient affleurer sur le corps de révolution AEBD, dont l'axe AB est vertical.

Désignons par u l'angle du plan tangent au corps le long du cercle a[i avec le plan de niveau et par ^ l'angle de raccordement F[il. 11 existe

MODIFICATION ])V. I.A PRESSION IlYDROSTATlQli: PAR LES FORCES CAPILLAIRES. lO"

en chaque point ^ du cercle a^ une force de tension dirigée suivant la tangente pi au méridien [iH du liquide, et sa composante verticale

sera

^'- p Cl' cos b '^\ --= ^ p a- sin { u — / ) ,

et si nous désignons par /'le rayon du cercle a^, la portion du liquide voisine de ce cercle produit une force verticale, agissant de haut en has

et éarale à

2~rgpa^ sin('j — i).

Évaluons ensuite la pression hydrostatique provenant du reste du liquide qui entoure le corps solide.

Fi!', al.

	\
/■		N
	_	1 f
1 \	¥	Vf

La pression normale sur un élément de surface (h, appartenant à la partie EBD située au-dessous du niveau et représentée sur la figure par e/, sera

gpy (h + W(h,

n étant la pression de l'atmosphère et j la distance de l'élément au plan de niveau, et la composante verticale de has en haut sera

gpy chcos{n, c) + U fhcos{n, z),

n désignant la direction de la normale menée intérieurement, et z celle de la verticale menée de has en haut. En faisant la somme de toutes ces quantités sur EBD, on aura

gp f j- cos(//, z)(h -'i- n cercle ED = gp vol. EBD4- n cercle ED.

Si certaines des ordonnées r rencontraient la surface EBD en deux points, il est aisé de voir que ce résultat serait encore exact.

Io8 CHAPITllK IV.

Considérons ensuite la partie ED[3x; la pression an point// de la sur- face du liquide estll — ^p.r, tétant la distance du point/?'au plan PQ; menons le canal horizontal pp' , la pression en p sur l'élément da de surface sera [W — c>'^x)dr:, et sa composante verticale de liant en bas sera

(a) (U— -p..r)cos(N, ::)r/7,

N étant la normale extérieure menée à di. Donc la résultante verticale comptée de bas en haut sur la surface aED[i sera

\ g? i .r cos(N, z) (h — n (cercle El) — cei'cle oc3)

' rrz opvol. annulaire E<7aZ; 1)3 — n(cerc]oEf) -- cercloaS).

Enfin la résultante de la pression atmosphérique sur la surface y.k'i est II cercle y.'i.

On obtient donc, en ajoutant toutes ces forces, pour la poussée ver- ticale du liquide,

gçj vol.EBJ) 4- ,4' p vol. annnl. a V.ab 1)3 - •x-ii^zrr sin (u — /).

Dans le cas où le corps est homogène à son intérieur et libre, pour que le corps soit en équilibre, il suffit que cette force soit égale h son poids.

On n'a pas tenu compte de la densité de l'aii'. Si l'on veut y avoir égard, désignons par p, cette densité; il faudra ajoutei' à l'expression précédente de la poussée la quantité ^p^ vol.EocASD; mais dans (A) il faudra aussi remplacer p par p — p,, ce qui donnera le terme

— ^,;'- Pi vol. aiHHil. Er/a/>l)3.

On aura donc, pour la poussée totale,

^A\'-vol.EBD+,;'(p--pi)vol.ain]ul.Erta/>I)3 f-;'pi vol.Ea.VSI) — ^77/-^'^pr/2j^in(o -

Pour calculer la hauteur du cercle a[i au-dessus du plan de niveau, si la courbure de la surface du corps immédiatement au-dessus du cercle ED n'est pas très petite, on cherchera l'élévation verticale du

.MODinCATION lii: I.V PI'.KSSION liYDIlOSTATIQri: PAU LKS lOP.CF.S CAl'ILI.AHir.S. I Of)

liquide sur le plan tangent, et l'on aura ainsi, pour cette hauteur ^Chap. H, n"5).

A -: la sin

Si les perpendiculaires abaissées de la surBice EafiD sur le plan de niveau sont extérieures au coips comme dans la /7.i;>-. 9.[\, cos(N, z) seia

A

,^7

'7 b

négatif dans la formule (a), et il faudra, au contraire, retrancher de la poussée l'anneau y.ciMDb^i qui est extérieur au corps. On aura donc, pour cette poussée,

5r (Calculons ensuite le volume du licjuide soulevé autour du corps au-dessus du plan de niveau. La coordonnée verticale :; étant comptée à partir de ce plan, l'équation dilTérentielle de la surface lihre du li- (juidc peut s'écrire, si l'on tient compte de la densité :, de l'air,

Tir

V

/ l<lz. ^- "■

' ^ I Tu

z.r (l.f.

X étant la distance à l'axe de révolution, et, en intégrant, on a

(^

dz n	1
1 ldz\-	a X r

r étant le ravou du cercle yJi et \\ le rayon d'un cercle à partir ducjuel

I lo ciiAi'iir.i: IV.

le liquide peut être considéré comme sur le niveau. Pour .r = / ou ; — h, on a

dz

dx

— — ■ = — sui ( 'j — / ) ;

/ / dz . -

[)ar suite, en multipliant l'équation (/>) par 2-, on a

( r ) T - /• si n (■ 'j — i)-r=L — ^ '- 'i / - 0 T..V d.r

Or o.r,xdx représente la projection sur le plan horizontal d'une zone de la surface du liquide; donc, si l'on désigne par Y le volume du liquide soulevé au-dessus du niveau, on a

/ n-.rv/r =V + V0l. aillHll. aErt^D^i.

d r

En remplaçant dans (c), on a, pour le volume soulevé,

(p — p,)V -: ">.-v.cd sin(u — /) — (p - pi ) vol. annul. aE^Z^D'i. Dans le cas de la ///>•. 2^1, le signe du volume annulaire doit être changé.

Poussée 7'Prlicah sur un cojjts solide quelconque immergé en partie

dans un liijuide.

6. Prenant maintenant, au lieu d'un corps de révolution, un corps quelconque, nous conserverons néanmoins les figures du n" 4; ainsi PQ sera encore le plan de niveau, mais la courbe a^ n'est plus un cercle, et ses points sont à difTérentes hauteurs.

Désignons par r/s un élément de la courbe a,3; ses éléments en gé- néral pouiTont être considérés comme sensiblement horizontaux. Kn désignant encore par u l'angle du plan tangent au corps en un point de cette courbe avec un plan horizontal, on aura, pour la hauteur de chaque point de la courbe afi,

, . j — / A :-- 2 a sin 5

MODll'ICATION DE LA PIU.SSION IlYDrvOSTATIOl'E l'AP. LI.S lOlUlKS CAPILLAIUES.

1 1 I

OÙ 'j est maintenant une quantité variable. La tension de la surface du liquide qui s'exerce normalement sur toute la courbe afi aura une com- posante verticale qui, estimée de bas en baiit, est égale à

^'•pa- / sin('j — /) (Is

En l'aisonnant comme ci-dessus, on trouvera, pour le restant de 1 poussée verticale estimée de bas en baut.

g-, vol. EBD + i,' pi vol. liaAIiJ) + -(p

vol. aniiul.E'/a^l) 3,

si le volume annulaire est intérieur au corps solide.

D'une manière générale, si le volume annulaire est en partie inté- rieur, en partie extérieur au coi'ps, on pourra encore adopter la for- mule précédente, en convenant de considérer comme positive la partie de ce volume intérieure au corps etcomme négative celle qui se trouve en dehors.

Ainsi, en désignant par P la poussée verticale provenant du liijuidc, on aura

1> - -p vol. EBD + g-., vol. h:aA.3J)

+ ,^'(p — pi ) vol. aniiul. My-aW^l) ^ goa- 1 siii('j — i)c/s,

en comprenant le troisième terme, comme nous venons de l'expliquer.

7. Voyons comment nous devons modifier le dernier terme de cette formule, quand chaque élément ds de la ligne a[i n'est pas regardé

comme sensiblement horizontal. Concevons alors un cylindre vertical mené par cette ligne; soit a l'angle de ds avec un plan horizontal. Me- nons {/i^. 25) en un point M de ds la normale N au cylindre et la nor-

1 12 CilAlMTlU; IV.

maie n à la surface du corps, les deux normales elaiil diiigées vers l'intérieur, et soit vi l'angle de ces deux normales.

Représentons la ligne s par MC; soient Mï la tangente en M, ZMII une verticale, /la tension de la surface du liquide; elle est située dans le plan tangent à celte surface et perpendiculaire à IMT. Projetons y" en y, sur le plan vertical ZMT;/, sera comme /perpendiculaire à MT, et la projection verticale de/ sera

- /cos(y,,/,)cus/, MIL

i^a ligne MT fait avec MZ l'angle - — \).\ donc/ MH = ;x. Les plans TAFy

et TM/ sont les plans tangents à la surface du liquide et à la surface du cylindre vertical, et leur angle /:M/ est celui des deux normales XM/i ou r,. Donc la projection verticale de / est

— /'cOSr, COSJJ..

Donc le dernier terme de l'expression de P doit être remplacé j)ar

— g'^a- I COSr, ces ;j. (Is.

8. Calculons ensuite le volume V du liquide soulevé autour du corps au-dessus du niveau.

Comme la poussée ne dépend pas de la nature intérieure du corps, on peut toujours concevoir le poids yo du corps et la position de son centre de gravité, de manière qu'il y ait équilibre entre le poidsyjet la poussée. Imaginons alors un canal composé de deux branches verticales égales; la première branche est supposée comprendre le corps et toute la partie du liquide qui s'élève au-dessus du niveau par suite de l'at- traction du corps solide; dans la seconde branche, le liquide se ter- mine par le plan de niveau.

Désignons par ^ et v' les parties du volume du corps situées au-des- sous et au-dessus du niveau, par zs le poids du liquide situé dans la secondée branche et par A le volume annulaire compris entre le plan de niveau, le cylindre vertical mené parla ligne d'affleurement et la sur- face du corps. Le poids cj du liquide renfermé dans la seconde branche du canal doit être égal au poids du liquide et du corps contenus dans

MODIIICATION I)i: I.A l'IiKSSION lIYDROSTATlOn: PAIi l.F.S lOUCES C M'n.LMFU'.S. I I '1

la première brandie; on a donc par snite

/> — ^pr— -Ce — c,)V' -u -p,r'.

Cette quantité est égale à la poussée P, dont l'expression esl, d'après ce que nous venons de voii' fn"' 0 et 7),

I* r— i^>-p f -h ,4' Pi r'+ ,:,' (p — pi ) \ — .A'p«" / COSy, cos ;j. c/.v,

et, en exprimant cette égalité, on obtient l'équation

( p ^ Pi ) V = p a- j COST, ros ;j. r/.v — ( p — p , ") \ , (|ui détermine le volume \ .

/^r/// ro/y>,v phi ce SI//- 1(1 surface d'un liquide.

9. Un petit coi'ps placé sur la surface d'un liquide qui ne le mouille pas peut ne pas s'y enfoncer complètement, bien que sa densité soit supérieure à celle du liquide. Il suffit évidemment que la force verti- cale provenant de la capillarité surpasse la difféi'ence entre le poids du petit corps et celui du liquide sous le même volume.

Prenons l'exemple même donné par Laplace. Un petit parallélépipède rectangle, dont la densité est D, est placé sur un liquide dont la den- sité p est moindre; les côtés a, ^ du parallélépipède sont mis borizon- taux et le côté A vertical ; a et A sont supposés tiès petits. Désignons par X la quantité dont il s'enfonce et par f l'angle dont le liquide s'é- carte du corps. Le poids du corps sera gD'x^h, celui du li((ui(le dé- placé /?pai.r et la composante verticale de la tension superficielle Liza- . 2i y. H- '0 cosi'; on aura donc

,;' I)'/3// ■=- ^yx'i.v 4- i:oa-.'.i (a -+- 3) cos/

OU

I) , oa-(a + 8) ces/ .f =. — Il ,

et, si cette quantité est plus petite que //, le corps flottera sur le li- (]uide.

I I \ CIIAPITP.E TV.

Dcmonstra/ion analytique des rèsuUats précédenls.

10. Nous avons calculé d'une manière synthétique la poussée d'un liquide sur un corps qui y est plongé. Mais on peut douter que nous n'ayons rien négligé dans le calcul de cette force; on comprendra mieux l'importance de cette remarque par les numéros suivants, où il sera prouvé qu'il existe véritablement d'autres forces verticales qui sol- licitent le corps, mais qu'elles se détruisent. La démonstration analv- tique, que nous allons donner, lèvera tous les doutes sur l'exactitude des résultats qui précèdent.

Supposons d'abord le corps de révolution et son axe vertical. Fai- sons descendre de Vi tout le corps solide, et, confoi'mément au n*" 12 du Chapitre I, nous supposons que l'accroissement tn de la surface libre rRdu liquide, qui forme l'anneau chc'h', soit le prolongement de la sui- face c^ (Jig. sO).

	a ^
u ^	'<^.	?i " -
r
	\ \^	^ /

La ligne d'affleurement ce vient ainsi en bb'; par bb' menons un cv- lindrevertical qui rencontre la position primitive de la surface du coi'ps en aa'. L'accroissement '^Q. de la partie de la surface du corps qui plonge dans le liquide est indiqué ])i\v aen'a'. Ainsi on a

•<-/'. c/k

/'étant le rayon du cercle ce'. Comme précédemment, désignons par/ l'angle de raccordement du liquide avec le corps et par -j l'angle du plan tangent au corps solide avec l'horizon; on déduit de la considéra- tion du triande abr

oAcosu oAcos(u /) co:=^ — ; — 7-) ea — A-^

Désignons par Z la résultante veiticale de toutes les forces qui solli-

MOUlI-ICx^TION DE I.A l'IiESSlU.N IIYDIIOSTATIQLE PAK LES FOliCES CAI'ILLAIHES. 1 I J

citent le corps solide de bas en haut. D'après le n° 8 du Chapitre 1, on aura, en ayant égard au déplacement du corps solide,

pa i z.(It^ + \)o i - ch- + M p 07 -i- Np an =: '- Z oA,

p étant toujours la densité du liquide, D la densité du solide, ch son élément de volume, drs l'élément de volume du liquide.

Désignons par dO un élément quelconque de la snrface du corps et par f/£2 un des éléments de cette surface situé au-dessous du cercle ce' . Appelons In la distance normale de la seconde position de la surface du corps à la première, et remarquons que le liquide vient remplacer l'espace abandonné par le solide au-dessous de la surface 6cR6'c'R'; nous aurons

a / ; (/r ^ — / c 0// c/0, a / ; du, L^ I z a/< cLi •

or on a

r,n -= a/< cus(//, .;),

/i étant la normale menée intérieurement, z la verticale menée de bas en haut, et ?i/i positif quand il est extérieur à la surface primitive; on a donc

a / ; (/\- :- ^ rJi l - COS(//, Z)di), a / .- <lxr^ ^. ^Jl / ; C0^(/^ Z)dil.

I zcos{n, z)dO, comme on l'a déjà remarqué au n" i, représente le

volume entier V du corps solide, / z cos(//, z)d<}, représente le volume

du corps situé au-dessous du niveau augmenté de la partie annu- laire fgc; appelons-le Y'. Entin nous avons

M zn a-, ^ ::^ — a- cos /,

COS'J,, .^ C0S(J — /).

SllU SHH

11 en résulte

( A ) Z t= — ^ D \' — ^'- p \ ' — 'iT.rg p a- siu ( -j — O .

Le premier terme représente le poids du corps, l'action du liquide est donnée par les deux autres termes, et nous retrouvons le résultat du n" 4.

I if)

ciiAi'inU': IV

1 1 . Examinons ensuite le cas où le corps solide n'est pas de révolu- tion autour d'un axe vertical. On voit aisément qu'il n'y a lieu de moditier, dans la démonstration précédente, ([ue ce (|ui concerne l'ex- pression

cr/-(^0T — COS/o.i),

Le triangle abc de \'àfig. 2(3 sera remplacé par un quadrilatère gauche défini comme il suit : Soit ce' la ligne d'affleurement et aa' la trace de cette ligne sur le corps quand il est enfoncé verticalement de Vi. V-àv le j)oint c de la ligne ce' , menons à cette ligne et sur la surlace du corps

la ligne normale tï^; de même, menons normalement à la ligne «/ sur le prolongement de la surfiice ': du liquide la courbe c[i; menons la ver- ticale ah ^^Vi terminée au point h de t, et menons h^j parallèle à ce'. L'arc ca représente la largeur de %il et l'arc c'i celle de (^t; ainsi on a

0- r:: l C'^..<ls, 01> ri; /,

(H- . ris.

les deux intégrales s'etendant à tous les éléments ds de la ligne d'af- tîeuj'emeut.

Projetons la ligne brisée cab^^ sur c,i, nous aurons

c 3 -- ac cos / — oA cos{a[j, c 3 ) ;

mais nous avons vu (n"7) que le dernier cosinus est égal à cosr, cos;;.; nous avons donc

c } — ac eus / =: — oA cosT, cos ;j.

et par suite

07 — COS i oii z^ / ( c ,3 — ac cos i) ds =^ - - oA / eus y, cos ;j. cls.

MODiriCATIO.N 1)K I.A l'KKSSlO.N IIYDIIOSTA IIOIK PAU I.F.S 1 OIICK.S CAl'iM.AIKKS. 1 I

L'équation (A) est donc remplacée pai* la suivante :

■ I ) \' -i - ,4' ,> >" — ,:,'■ : a ' j cos r, c

os 'A f/s.

et nous arrivons aux. niéines résultats ({u'aux. n"' 6 et 7.

Désignons par), l'angle de la normale à la surface du corps avec la normale Xau cylindre vertical mené par la ligne c', les deux normales étant menées intérieurenient, il est clair (ju'on aura

Su/' les cornposdnli's /loiizontd'es des forces everrees par un H(jid(U'

sur un corps jJollanl.

12. Supposons le corps rapporté à trois axes rectangulaires des .r, )', z, le plan des a, vêtant toujours supposé le plan de niveau. l^]n i-ai- sonnant comme aux n'" 10 et II, on trouvera, pour la somme des com- posantes dirigées suivant l'axe ^\{^> .r,

X — ,:,' s / ^ cos(//, -r) (Li — ^' I) / :: cos(//, ■>)(iO v'p<^" / cos y/ COSa' (h avec

les trois angles r/, a', y/ ayant la même signitication relativement à l'axe des a- que r,, a, ;x pour l'axe des ::. Je dis (jn'on a

/ :;: (:os(//,

<l{)

en ellét, supposons deux éléments ^0 de la surface du corps (jui aient la même projection sur le plan des y:^. La quantité z y sera la même et la quantité cos(/i, x)dO y aura des valeurs égales et de signe contraire, dont l'une sera la projection de ces éléments. Comme on peut prendre ainsi deux ;i deux tous les éléments de la surface, il est évident que l'in- tégrale est nulle. Pour la même l'aison, l'intégrale

/ c COS(//. .r ) (Il

ii8

ClIAl'lTIiE IV.

peut être l'éduite aux éléments compris entre la ligne s d'at'tleuremeni et une ligne horizontale tracée sur le corps par le point le plus bas de la ligne s. Cette intégrale étant ainsi comprise, on aura

X ^:= ^^' i / ; COS(/<, .<■) (/'.l — A'P«" / COSt/ COSJJ.' c/s.

On aura de même la somme des com[)osantes des mêmes forces suivant l'axe des )'.

Sa/' Ui ihéoric donnce par Poisson.

13. Poisson, dans le Chap. V de sa Théorie de l'action capillaire, s'est occupé de la moditication de la pression hydrostatique pai' l'action ca- pillaire sur un corps qui y est plongé en partie, il pai'tage le liquide ({ui environne le corps solide en ditférentes parties dont il recherche sépa- rément l'actioii sur ce corps; ily emploie des calculs extrêmement coui- pliqués, bien que ti'ës habiles; on peut toutefois reconnaître <[u'il n'avait pas pris la question par son vrai coté, car il n'est parvenu à dé- terminer l'ellét des actions capillaires que dans le cas où le corps est de révolution et son axe vertical.

La surface capillaire d'un liquide est sollicitée par une pression nor-

male P égale à

Il et R, étant les rayons de courbure principaux de la surface en chaque point. Mais, comme le remarque Poisson, cette force s'exerce de la même manière sur une couche de liquide qui entoure le corps, R et R, étant les rayons de courbure principaux de ce corps, et cette pression se transmet au corps solide. Ainsi, en laissant de côté la pression qu'on a coutume d'appeler hydrostatique, chaque élément de la surface d'un corps situé dans un liquide n'est soumis qu'à la pression P. Cette sur- face est en outre sollicitée par une tension constante, et cette tension, exercée sur toute la surface immergée du corps, ne tend à produire aucun mouvement; il y a exception toutefois pour celle qui se produit le long de la ligne d'affleurement, parce qu'elle n'est pas contreba- lancée de l'autre côté de cette ligne. Poisson trouve que, pour un corps

MODiriCATlON DE T.A PRESSION TIYDROSTATTQIT. PAR LES FORCES C.AIMEEAIRES . T K)

solide de révolution dont l'axe est vertical, la résultante verticale des forces P est détruite par nne action qui s'exerce près de la ligne d'af- flenrement, et qui n'est autre que la tension dont je viens de parler.

On doit remarquer que, dans la démonstration analytique que j'ai donnée dans les n"* 10 et 1 1 , on ne rencontre pas l'action des forces P (jui s'exercent sur la surface d'un corps solide de forme quelconque. On en doit conclui'e que les trois composantes de la résultante de ces forces sont détruites parles trois composantes de la résultante des ten- sions qui s'exercent le long de la ligne d'affleurement et tangentielle- ment an corps solide. C'est ce que nous prouverons par un calcul direct.

Calcul des; /rois coni osdiiles des forées ectnillalres. 1 î. Proposons-nous de calculfM' les trois composantes des forces

qui agissent normalement sur la partie du corps solide baignée par le liquide, .r, y, tétant les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface du corps, posons

dz dz , ^ :

	d.r /'' dv	-^'1,	VH-/>- -	^7
nous aurons
{o)	1 I	' dr \	r ' dv	(1:

comme nous l'avons déjà vu (Cliap. II, n° 3). Remplaçons la quantité g^ci^ parla lettre M, et, en désignant par X, Y, Z les composantes de la force P, nous aurons

Z

L± (IL] ,, i ^ii'LV

M r d r ^ r ' r (h- \ i

iVI	r de \ r /	r dy \v !
-Y- M	V '^ ( /'\ r d.r\vj	'1 <i (n\ y dy \y )

I 2L) ClIAlMTIir. IV.

formules (ju'on peut l'euiplacer par les suivautes

I ri f\\p\ j ri fMg\ ;■ 7/]

z -.. - ~ ^

X

/.v

I ./

r 7h-

7- 7h-

M,
-(	4-	7"	)
M,			n
— { r	-4-	/'	■)

I // /.M 7 7r7\\-'"',

r ^/ /M >>

7 7rrh '''')■

Poisson, supposant la tension superficielle M variable, ce qui peut avoir lieu si la températui'C du liquide n'est pas pai'tout la même, est arrivé à ces trois formules, (^'est pour indiquer cette généralisation que j'ai placé la quantité M sous les sii^nes de diiïérentiation ; je ne la de- monti'erai pas rependant, parce {|u'elle me parait pcMi utile.

15. Faisons la somme des composantes verticales des forces P. Dé- signons par (h'i un élément de la surfac*' du corps baignée par le li- quide; - c/oj représentera sa [)rojection sur le plan des . ri' et pourra être remplacé par dxdy. Xous aurons donc

kI>)

MJ^^^''-//^:;.f7)'^-^'- ./V"^

Supposons d'abord qu'en tous les points de la ligne s qui termine la surface que nous considérons la normale intérieure au corps fasse un angle aigu avec l'axe des z positifs.

Désignons par r, r', c' les cosinus des angles de la normale à la sur- face avec les trois axes; la dii*ection de la normale faisant un angle aigu avec l'axe des z positifs, nous aui'ons

C=-~-^, r

<l

par suite

Par le contour s de la sui'face w que nous considérons, menons um* surface cylindrique parallèle à l'axe des ::, et soient [i, V, o les cosinus

MODIFICATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPlLLAlPxES. 1 1 1

des angles de la normale intérieure à cette surface cylindrique avec les trois axes de coordonnées. Désignons aussi pari l'angle des deux nor- males menées à la surface du corps et au cylindre en un point de la lignes, par ;z l'angle de «-/i- avec le plan horizontal, enfin par / la pro- jection de la ligne s sur ce plan.

Dans la première intégrale du second membre de (r/), etTectuons l'intégration dans le contour s' le long d'une bande de largeur dy et parallèle à l'axe des x, nous aurons

rf//

i^^dx^{c.^~c^)dy,

c, et c. étant les valeurs extrêmes de c. On aura ensuite

dy -=z — p, f/5', = ^1 ds^ ,

po et p, étant les valeurs de [i aux deux extrémités et ds',, ds\ les arcs infiniment petits de s' interceptés par la bande. On en conclut

/ / -7- dœ dy rr: — / c P ds' -=: — / c p ces [Ji. ds,

les intégrales du second et du troisième membre s'étendant au contour entier s' ou s. On a de même

il en résulte

/ / -j— dx dy -zz — I c' fj' cos [x ds ;

— / Z (^co — - / ( c p + c' [îi' ) cos [X ds.

cjâ + c'P' — cos).,

Comme on a

on a enfin

(e) I Zdui :^M I cosX cos[x ds.

D'après ce qui a été dit, \ est l'angle formé par les deux normales menées en un point de la ligne s à la surface du corps et au cylindre vertical mené par s, les deux normales étant menées intérieurement au

16

122 CHAPITRE IV.

corps. On a supposé que la normale, ainsi menée à la surface du corps, fait un angle aigu avec l'axe des z positifs. Pour simplifier, admettons que la surface du corps soit entièrement convexe; si cette normale fait un angle obtus avec l'axe des ^, d'après ce qui a été dit ((^bap., II, n"l), le second membre de (a) devrait être cbangé de signe, et par suite aussi le second membre de (Z>);inais les expressions (c) des cosinus c, c\ c" devraient être aussi cbangées de signe, et par conséquent il n'y aura rien à cbanger à la formule {d). On en conclut que la formule (e) reste exacte.

[Par inadvertance, Poisson dit, dans sa Théorie de T action capillaire (Cbap.Y), que le signe de cosl doit être cbangé dans la formule (e), quand la normale intérieure fait un angle obtus avec l'axe des z positifs.]

Si, en certains points de la ligne s, la surface était concave ou qu'elle fût concavo-convexe et de manière que la concavité fût plus grande que la convexité, on verrait facilement que le signe de cos>. devrait être cbangé en ces points et supposé négatif.

16. Concevons une force égale à M, normale à la ligne s, tangente à la surface du corps et dirigée du côté oii le corps est toucbé par le liquide. D'après ce que j'ai démontré (n'*7), la projection verticale de la résul- tante de cette force est

— M / cosX cos [j-ds,

c'est-à-dire qu'elle est égale et de signe contraire à la force verticale (e). Il est évident que le même résultat est applicable aux deux autres composantes; par conséquent, comme nous l'avons dit(n° 13), les trois composantes des forces normales P, qui agissent sur la partie de la sur- face du corps baignée par le liquide, sont détruites par la tension qui agit le long de la ligne d'affleurement, tangentiellement à la surface du corps.

Calcul des moments des forces capillaires.

17. D'après les expressions obtenues (n^'li) pour les composantes X, Y, Z de la force normale P qui agit sur la surface du corps, baignée

MODIFICATTON DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPILLAIRES. 123

par le liquide, on a pour les moments de cette force

M d^

V cly

M ^

V dy

M d r y X

M d \p

^X — XL -=. T-

(' + 7'^)^

.ri M d fv 1

/J j~\-!- {pz \-x) .

r J r dy [r ^J

Calculons l'intégrale

j\xY-y^.

\)dio,

étendue à toute la surface co; nous pouvons la ramener à une intégrale relative à la ligne s qui termine o), par le même calcul qui a été fait ci- dessus. Adoptant les mêmes notations et posant

U rrr i [( I -i- g^' )y^pqoc-], \^l[{i + p'- ) X + pqy],

nous aurons

j^î /(^^ Y ^- JX) ^co r:=ff ^ ./^ <>- _ j^y ^ ^^ ^J

— — Avp'— U!3)cosii.^.ï. Remplaçons U et V par leurs valeurs, et nous obtiendrons

Comme on a aussi

dv , dx

Bcosiji — ■--•, B' cos [j. — -5- ,

il en résulte

i_ j"(^Y-jX)rAo

COS[Ji.

V

ds.

(éO

- — r ^ [(' -^ p-)jcdx 4- (i 1- ff-)ydy -\- pq{ocdy ^\-ydx)\.

124 CHAPITRE IV.

Désignons par l, -n, "( les composantes de la force M appliquée norma- lement à la courbe s et tangentiellement à la surface co. D'après ce que nous avons vu, nous aurons

K =: — - M COS). COSJJL,

1 étant l'angle des normales intérieures menées à la surface et au cy- lindre vertical mené par s. On a, par analogie,

^ -r — M ces X' COS [x', r, =" — M COS X" COS [x",

V, [j! et 1", \j!' étant ce que deviennent les quantités X, [z quand on change l'axe des z en celui des x ou des y. En prenant les moments de ces forces tout le long de s par rapport à l'axe des z, on aura

/ ( -^ '^. — 7 0 ds -- — M \{x COS X" COS -j." — y ces X' cos \i! ) ch.

Menons par s un cylindre parallèle à l'axe des ^; soient (o, a', a") les cosinus des angles de la normale avec les trois axes; soient (a,, o, a, ) les mêmes quantités pour un cylindre parallèle à l'axe des y. Nous aurons ces formules

il~- „ dy

\Jdy- + dz^ sjdy- + dz-

dr dz

\Jdz^+d.x^ '^dz'^ + dx'-'

nous avons d'ailleurs

cos X' ^ c'a' + C"a", cos X" nrr Ca, + c" oî\ ,

, \ldY^- -f- dz^ „ Jdz^ 4- d.T- COS \x' " ^- , cos [x" = i ~ — - ■

ds ds

Nous aurons donc, en remplaçant dans l'intégrale,

/ 1 [(/^ -^ + ^/ j) dz + X dx + y dy'\

MOniFICATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPILLAIRES. I 2 5

et en remarquant que l'on a

dz ■-■— p dx -f- (j dy,

on obtient une expression égale et de signe contraire à (^•).

Je crois inutile de revenir sur la question des changements de signe qui peuvent se produire dans les quantités employées dans la démon- stration et qui se compensent dans le résultat final.

Il est évident qu'on arriverait à un résultat semblable pour les mo- ments par rapport à l'axe des x ou à l'axe desj.

2G

CIIAPITRK V.

CHAPITRE V.

ÉLÉVATION D'UN LIQUIDE AU MOYEN D'UN DISQUE HORIZONTAL. - FIGURES DES GOUTTES DE LIQUIDE POSÉES SUR UN PLAN HORIZONTAL OU SUSPENDUES.

Poids (Vun liquide soulevé au moyen d'un disque.

\ . Lorsqu'on place la base parfaitement horizontale d'un disque sur la surface d'un liquide et qu'on le soulève graduellement, on éprouve une résistance de la part du liquide. Le disque en s'élevant soulève une colonne liquide, qui se détache seulement dès qu'elle atteint une cer- taine hauteur.

Supposons le disque circulaire. Au point M de la surface du liquide soulevé {/ig. 28) et en tout point situé à la même hauteur dans la co-

Fig. 28.

r

C Ay

T

lonne liquide, la pression est égale à H — ^pA, H étant la pression de l'atmosphère, g l'accélération due à la pesanteur, p la densité du liquide et // la hauteur du point M au-dessus du niveau. Donc, si l'on désigne par k la hauteur de la hase inférieure du disque au-dessus de ce niveau, il existe sur cette base, dont la surface est B, une pression égale à (H — ^p^)B, et, comme la pression sur la base opposée est HB, le disque est tiré de haut en bas par une force verticale égale à ^pB^.

ÉLÉVATION D UN LIQUIDE AU MOYEN d'uN DISQUE HORIZONTAL. I27

Le bord du disque, près de la base inférieure, ne doit pas être re- gardé comme une arête vive; mais il est formé d'une surface courbe dont les rayons de courbure, quoique très petits, sont cependant très grands par rapport au rayon d'activité moléculaire. Il en résulte que la surface du liquide, tout en faisant l'angle ordinaii'C i de raccorde- ment avec cette surface, pourra faire un angle très différent de i avec le plan CA de la base. Désignons par u l'angle ATR du plan tangent au bord supérieur du liquide avec l'horizon; la tension de la surface du liquide produira sur ce bord une force verticale, tirant de haut en bas

et égale à

pa^ L sinu.

L étant la circonférence du bord. Donc, en définitive, le disque est sollicité de haut en bas par une force verticale égale à

^' p B k + ^'p La- sinu.

Si, après avoir suspendu le disque au plateau d'une balance et lui avoir fait équilibre, on abaisse l'appareil de manière à mettre le disque au contact du liquide et qu'on élève graduellement ce dis(|ue, en ajou- tant successivement dans le second plateau de petits poids dont la va- leur totale est égale à P, on aura

P n= ^ p B A- + 5' p L «2 sin u.

Nous déterminerons plus loin la grandeur maximum de k.

Supposons que le liquide mouille le disque. A mesure que le disque s'élèvera, le bord supérieur du liquide descendra sur la surface courbe

de l'arête; l'angle u aura d'abord pour valeur - + i, et il deviendra

égal à i aux points de ce bord où le plan tangent est horizontal. Alors la ligne où le liquide s'arrête sur le disque cesse d'être déterminée et le liquide tombe.

Si le liquide mouille parfaitement le disque, l'angle ï est nul.

Calcul de la surface du liquide soulevé par le disque.

2. Désignons par / le rayon du disque circulaire et par l-{-x la distance à l'axe d'un point de la surface du liquide ; z étant sa coor-

«28 CUAMTUE V.

donnée verticale au-dessus du niveau, nous aurons l'équalion

7Ï^

dx j

-tH-

dx

l-\- X

I H-

dz\^

dx

Nommons o l'angle de la tangente en un point du méridien de la sut- face avec l'horizon, nous aurons

dz

l'équation précédente devient ainsi

d'i

(*)

COS!

sm'-2

dx """ ' l-\' X a'- et, en multipliant l'équation par dz -- — dx tangç,

t) rfci Slll'-:> — Sino = ;

' l -{- X a-

iiitécrant, nous avons

COSO -

r4

sin© dz

-\- X ià-

const.

Sur le niveau, on a ^ = o, o = o, ce qui détermine la constante, et

C sino

i on a

(a)

:, =-- I — COSo

dz

X

Si l'on suppose le disque très large, / sera très grand par rapport à a, et l'on aura approximativement

Z-:=: as]l\l l — COStf :^ 9. Cl SÏll ^•

Substituant cette valeur dans l'intégrale, nous aurons

sm- cos^ - , ^

/ • ^'f = — V / 1 d

cos^l^ — J ),

ÉLÉVATION D UN LIQUIDE AU MOYEN D UN DISQUE HORIZONTAL. 1 29

et, en intégrant par partie,

(^)

/■"sinœ

sin cp dz

, COS-' -'- — I

4rt

COS'* - — I 2

(/

dx.

Négligeons le second ternie de cette formule qui est très petit vis- à-vis du premier, et nous aurons

I — cos^-

(c)

ou

z- = 4 a- sm^ — —

2 ,> / 4- X

9. a sm -

2

I — COS'* - 2 a- 2

(/+ .r) sin -

formule donnée par Laplace.

3. On peut obtenir une approximation encore plus grande en rem- plaçant z par cette valeur dans le second membre de la formule [a] et ayant égard au second terme de la valeur de l'intégrale {h). 11 faudra

ainsi ajouter à la valeur de -^ l'expression

COS^- — I 2

- cos - a»

2/ -2j '

3 .; {i + xy \ et, en intégrant par partie de zéro à o, on obtient sensiblement

>7

, , , , ces'*- — I ) cos-'

3 (Z + .r)^ V 2

l"3o CHAPITRE V.

Ainsi l'on aura, au lieu de la formule (c),

1 — cos'-

/^ étant la hauteur de la base inférieure du disque au-dessus du niveau du liquide, on a, pour le point le plus élevé du méridien de la colonne liquide,

Ci 71 U

Ainsi l'on a

{cl) h- = \a'- ces--- - -^ (^i - sin^ â j (^' " 7 '"^ ^

4. Supposons que le liquide mouille le disque; l'angle u, d'après ce

que nous avons dit, varie depuis ^+i jusqu'à i, et la valeur la plus

grande de k aura lieu pour -j = i, comme le prouve la formule précé- dente.

Pour que l'expérience réussisse bien et que toutes les parties de la base du disque soient en contact avec le liquide, on commence par mouiller le disque avant de faire l'expérience.

En général, /est nul, et l'on obtient, par conséquent, pour la valeur maximum de Py

ou

2a^ ^ = '^--37'

et cette quantité est indépendante de la nature du disque. On aura alors pour le poids du liquide soulevé P = ^pMr/-K, c'est-à-dire le poids d'un cylindre de hauteur K et de base égale à rd'-. Le rétrécisse- ment au-dessous du disque est donc égal au volume du liquide soulevé en dehors du cylindre précédent.

Remarquons, en passant, que si l'on fait u =: - dans la formule [d),

la quantité k sera la hauteur à laquelle s'élèverait le liquide le long des

ÉLÉVATION D*L'N LIQUIDE AU MOYEN d'uN DISQUE HORIZONTAL. l3l

génératrices d'un cylindre vertical de révolution dont le rayon / est très grand. Ainsi l'on aura pour le carré de cette hauteur

3 M oJo \ i/o /

2V/2

Sl^J \ sji

5. Calculons directement le volume du liquide soulevé par le disque. Ce volume est égal au cylindre ~Pk, plus à l'intégrale

(/ + x)zdj:.

On peut calculer rigoureusement cette intégrale. En effet, multi- plions l'équation [s) par (/-h x)dx et intégrons, nous aurons

— / {l -^ x)zdx ^=^ — I {In- x) cos o ch — / siii o dx ■=— {t+ x) sillci 4- COllSt.,

et, en faisant commencer l'intégrale à o = o, la constante arbitraire est nulle, parce que (/+ x) sin9 est nul pour 9 = 0, bien que (/+ jo) soit infini.

En effet, nous avons trouvé (n" 2), pour la surface du liquide, l'équa- tion

dz . z.dz Sm«? do — -, Sllici m !

' ' l -]- X ' a-

si nous supposons a; très grand et, par suite, z très petit, cette équation se réduira à

, zdz

puisque :; = o pour 9 = 0. Ensuite l'équation -7- = — tang9 donne

dz , d'^ , ,

-— z=:l — 9, dxr=z — a—^) L-\-x=- — alogç;

dx ' (f

donc (/+ ic)sin9 pour 9 == o a la môme valeur que — a9log9; elle est donc nulle.

On en conclut que l'intégrale (/) a pour valeur 2rJa- sinu, et l'on-re-

102 CHAPITRE V.

trouve la formule

V =: TT /- A -H 2 t: /«- sin ->,

pour le volume du liquide soulevé.

6. Supposons ensuite que le liquide soulevé par le disque soit le mercure (y?^. 29). Désignons par y l'angle aigu de raccordement du mercure avec la surface AMH du disque et par u l'angle aigu MDÏ du

Fig. 29.

plan tangent à l'arête courbe avec l'horizon, le long de la ligne d'inter- section S de la surface du liquide et de celle du disque. Si, sur cette ligne passant par M, u est < 7 — TME, comme on a posé

dz

et que, sur tout le méridien de la surface du liquide, z décroît avec x, tang9 est positif et 9 est un angle aigu sur toute cette surface; on a

donc

o = MTD r=y — u.

Si le liquide s'arrête en A au bas de l'arête, u sera nul et o sera égal

Nous aurons donc la plus grande hauteur de la colonne de mercure élevée par le disque en faisant 9 =y dans la formule [c). Réduisons cette formule à son premier terme, nous aurons

x;2=: 4<^" sin^- ou ^r=2asin-j 2 2

et nous aurons pour la plus grande hauteur du liquide soulevé (/) K=^2asin-«

ÉLÉVATION d'un LIQUIDE AU MOYEN d'uN DISQUE HORIZONTAL. l33

Remarquons que, pour u =/, nous aurons 9 — 0 sur le disque et ;:; = o. Pour une valeur de u plus grande que y, o serait négatif et la ligne S s'abaisserait au-dessous du niveau.

L'angle de raccordement du mercure avec le verre dans l'eau est nul. Si donc on applique un disque de verre sur la surface du mercure et qu'on recouvre le mercure d'une couche d'eau, l'angley sera nul, K le sera donc aussi et le disque se séparera du mercure sans résistance. Ce fait est vérifié par l'expérience.

7. Gay-Lussac a fait des expériences sur l'adhérence des disques aux liquides. Quand le liquide est susceptible de mouiller le disque, il commençait par mouiller ce disque avant de l'attacher au plateau de la balance et il a reconnu, comme on devait s'y attendre, que le poids maximum de liquide soulevé était indépendant de la matière du disque.

Gay-Lussac a pris successivement pour liquide l'eau, l'alcool et l'huile de térébenthine; les poids maxima soulevés ont été trouvés conformes à la théorie.

Il est au contraire arrivé à des résultats peu concordants entre eux en prenant le mercure pour liquide à soulever. Tandis que le poids maximum de mercure soulevé par le disque qu'il employait devait être, d'après la formule (/), de 222^'', 464, en supposant l'angle y égal à 45°3o', ce poids a varié dans ces expériences depuis 138^'' jusqu'à 296^''. Les valeurs moindres que le nombre théorique peuvent toujours faci- lement s'expliquer par une petite agitation venant de l'extérieur, qui aurait fait tomber la colonne mercurielle avant qu'elle fût arrivée à sa hauteur maximum.

On sait, d'autre part, que l'angley de raccordement du mercure subit de grandes variations, et l'angley peut encore croître, dans l'expérience actuelle, par suite du frottement du mercure sur lui-même tout près du disque; mais le poids de 296°''' ayant été obtenu en soulevant le disque dans un temps que Gay-Lussac indique comme long, sans en donner la grandeur, c'est surtout à l'oxydation de la surface du mercure qu'il faut attribuer la grandeur du poids soulevé, et l'angle de raccordement y a dû s'élever à environ Go°.

l34 CHAPITRE V.

Goutte cVun liquide sur un plan horizontal. 8. L'équation de la surface de la goutte est

en prenant pour plan des x, y le plan horizontal sur lequel repose la goutte et l'axe des z étant, comme à l'ordinaire, mené vertical de bas en haut. Si la goutte est très large, on aura, à très peu près, au point le plus haut, R = co , R, = oc et A sera la plus grande épaisseur de la goutte. Si la goutte est de révolution, que q soit sa plus grande hau- teur et que b soit la valeur prise positivement des rayons de courbure principaux au sommet, on aura en ce point R= R, = — Z;, et il en ré- sultera

h.= q+—.

h étant supposé connu, examinons comment on pourra calculer le volume V de la goutte. Multiplions l'équation (a) par dxdy et inté- grons dans toute l'étendue de la projection de la surface libre de la goutte; si B est la surface plane par laquelle la goutte repose, nous au- rons

V-BA

'j\k-^w)'^^'^y^

en changeant dxdy de signe pour les points situés à la partie infé- rieure de la goutte, déterminée par un cylindre circonscrit vertical. Or, d'après le raisonnement donné (Chap. II, n'^ 3), on aura, pour cette in- tégrale dont tous les éléments sont négatifs,

(P) j\k^K)"-''y

X sin i,

1 étant le contour de la base de la goutte et i l'angle aigu de raccorde- ment du mercure avec le plan. On aura donc cette formule

(y) y=zB/i — ansini.

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. 1 35

9. On peut encore démontrer la formule (y) de la manière suivante, donnée par M. Bertrand [Journal de Liomille, t. XIII, 1848).

L'intégrale double ([3), prise en signe contraire, peut être considérée comme la composante verticale d'un système de pressions normales à la surface libre de la goutte et ayant sur chaque élément (h de cette

surface une intensité égale à — ( n -+- wy^'^- ^^ système de forces

peut être remplacé par deux autres systèmes. En effet, imaginons une surface a' parallèle à a et menée au-dessus de n à la distance t infini- ment petite. Supposons que chaque élément r/^ de la première surface

soit sollicité normalement de bas en haut par une force ~(h, et de même chaque élément cW par la force -dn', mais en sens contraire.

Si da et dn' sont deux éléments correspondants, en sorte que dr/ soit la projection de dn sur t', on aura

[voir Chap. I, n" 8). La différence des forces qui agissent sur ces deux éléments est donc bien

Il reste à prendre la somme des composantes verticales de toutes ces forces; elle est

- I COS{z, /i) ch' I COS{z, /i) d:!,

[z,n) indiquant l'angle de la normale intérieure avec la verticale menée de haut en bas. Ces deux intégrales doubles représentent les projec- tions P' et P de a' et n sur le plan des oc, y; nous aurons donc

-f f [i ^id "■'"'' =i'''"~''^'

mais la différence P' — P des projections de g' et a est égale à la projec- tion de la surface réglée infiniment petite menée normalement à g le long de la ligne 1 et comprise entre a et g' ; elle est donc égale à sXsini"; on a donc bien la formule (^).

36

CHAPITRE V.

Figure d'une large goutte de mercure placée sur un plan horizontal.

10. Nous supposerons que la surface de la goutte est de révolu- tion.

Afin de nous rapprocher le plus possible des calculs des n^'* 2 et 3, menons l'axe des z vertical de haut en bas et menons dans le méridien de la surface l'axe des x tangent au sommet. Désignons ensuite par / le rayon de la base de la goutte et par / + a? la distance à l'axe d'un point quelconque de la surface; nous aurons l'équation

(A)

d^z I r /^^-V] ^^- dx' l -\- X ' \dx J ] dr	z — h
\-mj	a-

dz

Quand la tangente à la courbe devient verticale, — devient infini, et le dénominateur change de signe pour la partie inférieure de la goutte [fig. 3o).

Fig. 3o.

Désignons par /> le rayon de cf^~\rbure au sommet de la courbe; les deux rayons de courbure principaux sont égaux à h en ce point; le pre- mier membre de l'équation se réduit \\j->^X l'on a, en faisant 5 = 0,

Posons

h^ —

dz langcp=_

nous trouverons, au lieu de l'équation [t) du n"2,

dz _{z — h)dz

sin© do 4- sincii

GOUTTE U'UN LIQUIDE SUR UN PLAN HORIZONTAL. iS;

et, en intéc;i'ant,

■= I — COSCf

(z — hy r "sinwf/c

la-

pour 9 = o, on doit avoir 2 — 0, et l'intégrale est nulle; comme le premier membre se réduit à — , = -,-7 5 il faudrait en toute rigueur ajouter cette quantité au second membre; mais, comme nous suppo- sons b très grand, cette quantité est très petite et négligeable. Nous avons ensuite

i

, ; . , , I COS'

smcp az \a

l + X 3 I, -\~ X

et, en négligeant le dernier terme comme très petit par rapport au pre- mier, on aura

j I — cos^ "

(B) (-_A)2,^/«2sijj2? _^^ _ ^',

^ ' ^ ' 1 i i+ X

, I — cos^ -

( C ) 3 — A r= 2 a sni - M ^

2 3

9 (/ + ^) sni-

Faisons ç = - — ?', ? étant l'angle aigu formé par la surface du mer- cure avec le plan horizontal, et désignons par q la hauteur de la goutte, nous aurons en même temps ce =: o, ^ = q, et l'équation pré- cédente deviendra

I — sni'"

(D) .J:=2aC0S^-^^.jj- .

cos

2

Telle est la formule donnée par Laplace, qui exprime l'épaisseur de

la goutte en supposant connu le rayon de courbure h au sommet qui

9. tj' entre dans le terme très petit — -'.-•

'En poussant plus loin l'approximation, on aura, d'après le calcul du 11 «j ,

/ 2a'-y , , . .'O ^a' '■ ^°' 2 /• a c.\

^ -i — --] = 4« sur- - H- -r, -, i-f 7- — cos -^ h

\ b J 2 3 1 + X \ ^ 1 + X 1)

18

l38 CHAPITRE V.

et la hauteur q de la goutte sera donnée par la formule

q H T- ) = i\a- COS-- + -T77 I — siir^- i-f -y sin-

3/\ ?. /V / 2

ou

(E) ^:^_-+y/4«-cos-- + ^^(^r-sin3-j(^i-f--sin-j.

Cette formule pourra donner une approximation très supérieure à celle qui est fournie par la formule de Laplacc, si -. n'est pas une quan- tité extrêmement petite.

11. Calculons maintenant le rayon de courbure h. Dans l'équation (A), remplaçons l-^x par r, et, en négligeant les termes du troisième degré par rapport à -,"? nous aurons

d} z \ dz z — h df^ r dr a'-

OU

d''' z dz V 1

dr- dr œ b

On en tire

'd^\

ce n'est pas l'intégrale générale, mais elle s'annule pour r= o, ainsi que -,-; elle est donc l'intégrale voulue.

Le calcul actuel suppose que ~_ reste très petit sur la partie considé- rée de la courbe ; toutefois on peut supposer que r soit assez grand pour que — soit un nombre considérable.

Posons, en prenant t pour variable,

. 4^

sm -

2

En supposant r assez grand pour que la limite supérieure l/— de

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. iSq

l'intégrale par rapport à t puisse être remplacée par co , on aura

^lX"-(-i^'')'

Or

/

e-'' f/^

?.

donc

2a^ Spxa- e'^ ( a\

Calculons ensuite la quantité z approximativement en fonction de r, vers le bord de la goutte.

En ne prenant dans l'expression (C) de z — h que son premier terme, on a

dz ■= a ces -d'^y

2

et, comme dz — f/rtangç, on a

?

cos

dr = a «i — a / — sin - H \ do.

° ^ \ 2 sni - /

\ 2/

En intégrant, on a

(«) - =: 2C0S - H- logtang y + consl.

^ ' a 24

Pour 9 = - — i, on a r = /; donc

consl. = 2 sin log lang ( 7 — 7 ) '

et, en remplaçant dans l'équation [n], on obtient

o /• l -il, T. — i cp

log tang -jr = 1- 2 sm - H- log lang — , 2 cos -^ ,

et si Ton veut appliquer cette équation en un point pour lequel cp est très petit et pour lequel l'équation [m) a déjà été établie, on pourra

I /|0 CHAPITRE V.

faire o — o dans le dernier terme, et l'on aura

O •:: — i

lane: y =r: tan g - , — e "

4 ^ 4

et, parce que 9 est très petit, on en conclut encore

aZ , . 7T l —^ 4sin3

tangcf =r — nr: 4tang — ^— e " '^

ip) ^= consl. + 4«tang— ^ — e "

Les deux équations (m) et (p) doivent avoir lieu à la partie supé-

dz

TTi-

rieure de la goutte en des points où /' est grand, quoique ^' soit très

petit, et l'on en conclut, en égalant les deux valeurs de z,

\Jia~ , T.— i -4siir-— -^-

y-—^ -- 4 « lang ^.- e ' " ,

h\lTd 4

(F) |— cîy/p.rr -\/T:/lang— ,~e " ' "' '' .

b 4

Ainsi la formule (D) ou (E) ne renfermera plus rien d'inconnu. L'équation (F), qui détermine h, a été donnée par Laplace.

1 2. Calcul du rayon du plus grand parallèle de la goutte. — Désignons par 2L la plus grande largeur de la goutte qui correspond à 9 = -; on déduira de la formule [n]

L = / + asji — 2 a sin - + «log tang ^ — alog tang ^— •

Désignons par p la différence entre L et /, c'est-à-dire posons

{q) ^ -— a\J 9. — 9. a 's,\n — h aloglang^ — «logtang

et proposons-nous de calculer L avec une approximation plus grande.

Pour calculer r d'une manière plus approchée que par la formule [n), il faudra, dans la formule

dz

dr —-■ »

iang<i.

r.OLTTR d'un liquide sur un plan horizontal. i4i

prendre pour z toute l'expression (G), en remplaçant toutefois l ^- x par /+ p, ce qui augmentera le second membre de {n) de

/ o

(ces - - r sin--

la constante C devant être déterminée de manière que cette intégrale s'annule pour 9 = - — ï; ce qui donne

i I — sin -

01 7: — i

-f- 4 CCS- 3 log tang — . —

^ ces- -

On aura donc

/■ ~ . 2 a ces - + (7 log tang > h / — 2 « sin - — « log tang -^

, .. .„- _ V H / — 2a sm a log tang — ; —

2 '=''4 2 ""4

-1- 4sni--^ — 3 log tang I

' ^ ' 2C0S- y /

-. 4- 4cos- 3Ioglang — -.—

\ 2C0S- — ^ — •

On aura donc, pour le plus grand rayon de la goutte,

L :::./ + P - ^-^l^-^j / -— ^ ^ 2 - 3 log tang ^

^ '^ \ 2C0S--^

(G, ; a-^ ' I

— -,^ï^^ — — / . + 4cos- - — 3 log tang '--^

6(/+i) o-^— ' ^- 4

\ 2 ces- — ^

P ayant la valeur donnée par la formule (q).

Les formules (D) et (F) permettent de calculer la hauteur q d'une large goutte de mercure, quand on connaîtra le rayon /de la base. Si

1^2 CHAPITRE V.

l'on regarde la plus grande largeur 2L de la goutte comme une donnée de l'expérience, on en conclura / par la formule (G) et l'on obtiendra ensuite la hauteur cj comme précédemment.

1 3. Calcul des dimensions d'une large goutte de mercure au moyen de son volume. — Supposons que l'on donne le poids et, par suite, le vo- lume V de la goutte. Nous avons obtenu (n° 8) la formule

■2a^-\

en y faisant nous aurons

7 H T- ) C-— -2 ta?- sm ; = - ,

et, en remplaçant le coefficient de /^ d'après la formule (D), nous obte-

nons

I — sm^ - I 2

cos^ - 1

2Sin- \al 1

V

o;

lit a ces

on obtiendra /en calculant la racine positive de cette équation du se- cond degré. On aura ensuite 6 et ^ par les formules (F) et (D).

Goutte de mercure de révolution, placée entre deux lames horizontales. 14. Prenons pour axe des z l'axe vertical de la goutte mené de haut

	Fi	g. 3i.
	0	dK'	C X
				y

en bas et l'axe des x dans le plan horizontal supérieur [fig.'M). Dési- gnons par / le rayon DA de la base inférieure et par /' celui de la base

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. l43

supérieure. Désignons encore par l + x la distance à l'axe d'un point de la surfoce libre du liquide. En conservant à toutes les lettres la même signification qu'au n° 10, nous aurons, comme dans ce numéro, l'équation

, I— cos*- (a) z:=. h + la^m- -\ :r- ?

2 3 .... Ci

(/ H- .-r) sin -

2

h étant une constante à déterminer.

Regardons / comme connu et désignons par q la distance des deux lames qui est donnée; si nous faisons o = x — i, nous aurons

, l 2(7- 2

a —. Il -\- 2 a ces — h ^:rT -■ — ;

^ 2 3/ <

cos-

2

cette équation déterminera h.

En supposant la lame supérieure de même nature que la lame infé- rieure, on aura en même temps

5 =r o, l ~k- X r=^ l' , 52 = i,

et, par suite,

„ i , I — cos^-

. l "2 0/' 2

O =: /< + 2 a sin — !- ——, : — '

2 61 . l

sin -

2

équation qui ne renferme que /'d'inconnue, mais qui ne pourrait servir à la déterminer avec assez d'approximation.

Mais, d'après le calcul du n''12, nous avons, pour la distance / + a?,

o , o . i t: — i

r = l 1- 2 a cos - + a loi? tang y — 2 a sin - — a loff tang — ^ —

2 ^°/j 2 "^^4

-|!/_i-H-4sm^|-3Iogtan8|\

\^2C0S- J

+ g / ^ ^ + 4 cos^ i - 3 log lang^^\

\ 2 cos- - ^ ■ /

l44 CHAPITRE V.

et, en y faisant 9 — i,

,1 , fi' ■ i\ 1 i 1 ■^ — i

/ — / + 2 a ( cos sin - j + a log lang -j — a log tang —-, —

+ _ / . _____ + 4 cos- - - o log lang -— y

On obtiendra le rayon L du plus grand parallèle de la goutte, en fai- sant 9 = - dans l'expression de r; puis on aura la distance/ de ce pa- rallèle au plan supérieur, enfaisanto = - dans {a), et l'on obtiendra

/ ^^ /< + a ^/2 + — ( 2 V 2 — J )•

15. Cherchons la formule qui exprime le volume de la goutte. Nous avons l'équation

<*) "'(r + É;

Désignons par da un élément de la surface libre de la goutte, par y l'angle de la normale intérieure avec l'axe des z et par ch' la projection de cIg sur le plan des x, y; nous aurons

— ± dx dy =; ±: t/a',

cos 7 "^

suivant que y sera aigu ou obtus. Multiplions l'équation {h) par — dn et intégrons dans toute l'étendue de la surface courbe, nous aurons

(c)

'^y^(ii-ïl;)^^'-/^^^^'-^/=^^^''

les éléments ayant le signe h- ou le signe —, d'après ce que nous ve- nons de dire. Nous aurons ensuite

I ±zda'- ~\olAbcd-\- vol bcA'^^ -{\o\Abcd-h\oH)AdO~\oibcA')~\-Tzl^rj,

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. l/|5

en indiquant les volumes de révolution par les surfaces qui les engen- drent. Si nous désignons par V le volume de la goutte, nous aurons

/

±zd^' =z — Y -^Til'^q.

Pour calculer la première intégrale de l'équation (c), imaginons, comme aun° 9, une surface infiniment voisine de la surface courbe, parallèle et située au-dessus, a la distance s; de plus, terminons-la aux normales menées à la première surface le long de ses bords. Désignons par P la projection de la première surface sur le plan des x, y et parP' la projection de la seconde surface. Nous aurons

/Hh-^) — i('"-"'-

Projetons les deux surfaces parallèles et les sui'faces latérales des deux troncs de cône ({ui les unissent sur le plan des x, y, nous aurons

— 2 - /î sin i -t- l* + 2 - /' ; sin i — P' -— o OU

^ (I>'— P) = 2-(/'-0sin/.

Remplaçons dans (c) les trois intégrales par leurs valeurs, et nous aurons

{d) y ^ {q ~ h)- r- ^ 2-{l — l' ) a'^ ^\ni + h-l'K

16. Supposons qu'on connaisse le volume V de la goutte; pour dé- terminer sa figure, il faudra déterminer /, /' et A. Posons

A -; 2 [ces - — sin - ) + log ta"g / """ ^Oo tanj

B . -+- 4 sin'^ 3 log lang -, „ i:~- — 4 cos'^- -i- 3 log tang — — >

2 ces' y ^^2 ces- —7— "^ '

4 4

I — siir^ - i r>.n 2

L. — 2 ces r- ., ; ^ — >

1 6 L i

cos -

2

l4^ CHAPITRE V

nous aurons

h -— q — aC, r z= l-]- lia — -.--. H,

et l'équation (d) deviendra

V

ç-/- H- 2 A a ( Y — aC)l 1- 2 A « - sin «

-[ {q — aC) (a-— -^j a- * y ( a sin f + A ^ — A a C ) =0.

Négligeons d'abord les termes en j; et nous obtiendrons /en calcu- lant la racine positive d'une équation du second degré; remplaçons /, par la valeur obtenue, dans les termes en y? et nous obtiendrons en- suite / avec une plus grande approximation. Connaissant le rayon /, nous sommes ramenés à un problème qui a été traité (n° 14).

Détermination de la constante a- et de l'angle i de raccordement du mercure avec le verre.

17. On peut opérer ainsi, comme l'a fait Edouard Desains. Il me- sura la dépression du mercure dans un vase large auprès d'une lame de verre plane et verticale. En désignant par H cette dépression, on a

(1) ir-=2a^(i — sin/).

Il observa ensuite la plus grande épaisseur d'une large goutte, ayant 49'"'", 5 de rayon, et il substitua cette valeur à la place de q dans la for- mule de Laplace,

, I— sm^-

, ^ i ia? ia- 1

(2) ^^,acos---^- + ^- -^ ,

ces -

2

en négligeant le terme très petit — -j- On réduira d'abord le second membre de l'équation (2) à son premier terme et l'on calculera ainsi a et i. On obtiendra ensuite une approximation plus grande, en tenant compte du troisième terme de l'équation (2). Desains a trouvé ainsi

GOUTTE D UN LIQUIDE SUPx UN PLAN HORIZONTAL. \ l\']

Calcul d'une petite goutte de mercure.

18. Prenons pour axe des r la tangente au sommet du méridien de la goutte de mercure, pour axe des z la verticale qui passe par ce sommet et menée de haut en bas. Désignons par r la distance d'un point du méridien de la surfiice à l'axe et par 9 l'angle de la tangente à ce méri- dien avec l'axe des r; nous supposerons que cet angle, nul au sommet de la goutte, croît jusqu'à - — î, en représentant par i l'angle aigu de raccordement du mercure avec le plan sur lequel repose la goutte. Puis nous poserons

^^ i r=:B,cp +B2cp3+B3r+Bicp^ + ....

D'après le n*" 10, nous avons ces deux équations, où h est égal à

/■coscsf/» 4- s'uï'idr =z --(z — h)r (Ir, dz = drlang<s,

et, en y substituant les deux expressions précédentes, on trouvera les valeurs suivantes des coefficients, où b représente le rayon de courbure au sommet :

Ai=-, A,=:— ^^+K- —

'2 \24 02 a-

I , I />^ 5 U^

A3= — 7-, . ,. h -A :, -1 jj -, 1

^374^5767778 "^ 75360 ^ "^ ^^76 d* "^ 73^^ ^y B,= ^ B.:= (^Z,+ A^

I , I /r' I b''

I20 24 a^ 24 Cl

/ I 23 ^^ 7 tf" 169 IP

^^"^ ~ \^3.4.5.6.7 "^ 576Ô «2 '^ 384 ^ ^ 921(3 ^

i48

CHAPITRE V.

19. Au moyen de ces formules, on pourra déterminer s et r depuis cp = o jusqu'à une valeur o, de o plus ou moins grande, suivant que h sera plus petit ou pins grand, car la convergence des deux séries sera d'autant moins grande que b sera plus grand. Soit/> la valeur de :; correspondant à 9 = p,. A partir de cette valeur de 9, développons r suivant les puissances de 'C =-- z — p. Nous avons l'équation

dr- '' r dr \ dr

M

'--È

et, si nous prenons r pour la variable indépendante, nous ferons

d'-z dJ^

_drr

dz'-

7~dJ^'^'

71:

-f^+P,

en faisant, de plus,

l'équation différentielle deviendra

ih- I /dry- I I r

d'. dl

1-4-

Posons

B)

- — I 4- m il + /«2C-+ Jn.^V+ ;;?. ^■' + . . .^

et nous trouverons, après avoir posé/- — i + c-m\, c/;îi" colcp,, f^-

siii-o,

r

2C 2rt- •

cm,.

_ fhti

'>• I 1

„ -f- 2 cm, m., — -— j /' ; II /;? . /«, c- /■,

6c- 3 ' - Ç)a--' a- ' - •/'

I2f

cm

ia-

^ Tn\m.,c -\- ^ c//i:

2 ' •*

5^ (./'-.,

in^mj

- c'- fin^ ;«,•

(lOUTTR d'un LIOUIDR SUR UN PLAN IIORIZONTAI.. l/jf)

Les coefticients de la formule (B) deviennent beaucoup plus faciles à calculer si on l'applique à partir du plus grand rayon de la goutte; on aura alors cm, == o et l'on obtiendra pour les autres coefticients

(C) { niuc -^

m^c =

I II I

,•> m-iC = ~ —,

2C aa- ba-

I Il W W

2-4 c* [\a-c- 3a''c Sa'''

7 JL . ii Jï _ A ^ï'

60 a'-c^ /|0 rà c 20 a"

20. Premier exemple [fig. ^2). — Supposons que l'angle aigu de rac- cordement du mercure avec le verre sur lequel il repose soit de /|2"3o' et adoptons pour a- la valeur

ft^= 3,263.

Prenons d'abord pour le rayon de courbure au sommet de la goutte />== 1™'". Eu prenant le millimètre pour unité, on obtient, si l'on ap- plique les formules (A),

;; =; o , 5 y — 0 , 07O4 •^'' + O , OO90 o"' — O , OO I ^2 'i'*,

/■ ■=. ç - - n,2o5oci^4- o,o25oo'' — ■ o,oo366o".

Pour 0= -) on trouve ' 2

---0,91, /'^OjQO.

Appliquons ensuite la formule (B), en partant du rayon maximum qui vient d'être calculé et en nous servant, par conséquent, des expres- sions (G). Nous ferons 11 = 0,91 -h ^.a- = 7,/i^i, et nous aurons

/• = o , 95 — o , G 1 .^i C^ — o , o5 1 C' — o , 2 16 C — o . 077 U, 'r

et, pour ^C, = 0,5,

"^^■::,-_ - 1, 228^-0, i53C—o,98K'-o,385!:',

dr

'■ = 0,79, ^=— o,

A partir du point correspondant à ces dernières valeurs, appliquons

I ^O CHAPITRE V.

la formule (B); nous aurons d'abord

c — 0,79, cm,=:-o,8o, 11 — 7,9^,, /2r=I,6'i;

puis

'■ = 0,79 — o,8oC-i, 5i7Ç2_ 2,5,4^3^

dr dl

-^ = — o , 80 — 3 , o34 — 7 , 542 1-,

et, pour Z, = 0,08, on a

dr ^ = 0,72, ———1,09, t: — o = 42«3o'.

Ainsi la goutte de mercure a i'""','49 de hauteur; le rayon de son équateur est 0,95 et le rayon de base est 0,72. Le volume V de la goutte est

y = 7zt-(q -\- — \ — 2rda^s\ni;

en faisant /= 0,72, ^ = 1,49, h = i, et prenant 1 3,6 pour la densité du mercure, on obtient pour le poids de la goutte

oë', 041.

21. Deuxième exemple (fig. 33). — Prenons ensuite pour le rayon de courbure au sommet de la goutte 6 = i'"'",38. En appliquant les formules (A), nous aurons

- = 0,690-— 0,182 cp4+ 0,0294 o«—o,oo85oicp8, /•= 1 ,38cp — o,33itp3+ o,o645cp^— 0,016820";

au moyen de ces formules, on obtient

pourcpr=3o% 5 = 0,1801, / =0,677;

0 = 58", 5 = 0,593, /•= 1,108;

cp = 75», 5 = 0,90, /•=i,25;

0=90°, 5=1,23, /•=i,3i.

Les deux séries ne sont pas assez convergentes pour 9 = -, pour que l'on soit sûr du dernier résultat obtenu; mais nous le vérifierons.

GOUTTK D UN LTQUinE SUR UN PLAN HORIZONTAL. lOI

En appliquant les formules (B) et (C), nous aurons

/• = i,3i — o,53i ^- — o,o5i I ^^ — OjiSg^^— o,o56C',

et, pour vérifier cette formule, essayons de retrouver le point corrcs pondant l\ (^ = y.)*"; pour cela, faisons 'C = — o,33, et nous aurons ef- fectivement r= 1,23.

lie. 33. — Échelle 20.

Fij. 32. — Éclielle 20

Fig. 34. — Échelle 20.

Faisons dans cette formule et dans sa dérivée ^ = o,j, nous aurons

Appliquons la formule (B) à partir de ce dernier point; nous aurons /• z= 1 , 1 54 — o . 67 Ç — 1 , 089 C^ — 1 , 267 C^ — o , 249 ?S

132 CHAPITRE V.

Pour "C = o,i5, nous aurons

Cette goutte de mercure a donc une hauteur </ — i'°'",88, un rayon de base /= 1,02 et un rayon de l'équateur égal à f ,3i. On trouve pour son poids 0^^', 102.

22. Troisième exemple [fig. '^f\). — Prenons h —- 2'"'". En applitjuant les formules (A), nous aurons

-3 = ç-2 — O , 3 I 82 Ci'* 4- O , I 4 I 2 Ci" — O , o83o Ci*,

/• = 2cp — o,63g8ci' + 0,2440 «f"' — o,o832 cf'^. Pour 9—7' on a

^ =r 0,519, /• = I ,3l8.

Appliquons ensuite la formule (B), nous aurons

/■ =r I , 3 1 8 H- C — O , 880 C" -t- O , GG I U;

et, pour 'C = o,.), nous obtiendrons

/• — 1,61, —=0,41, cp = 67^30'. Appliquons de nouveau la formule (B), nous aurons

/• r=. I , 6 1 + o , 4 1 Ç — o , '(Gj X,--\- o, 0968 "O ;

d'après cette formule, on voit que /■ est maximum pour 'C == o,5i, et l'on obtient, pour la valeur de /-correspondante, 1,71. La formule (B), appliquée à partir de l'équateur, donne

(a) /■=: 1 ,71 — 0,441 C^— o,o5i i^-' — o,o83Ç* — 0,089 1"'.

Pour '( — 0,78, on a /•— i,38, et l'inclinaison de la tangente sur l'ho- rizon est42°3o'. La base est l'eprésentée sur \'à fig. 34 par AA', et la tangente au méridien en k par AT.

Ainsi la goutte de mercure a la hauteur ^ = 2""",3i, le rayon de base /= 1,38 et le rayon de l'équateur égal à 1,71. On trouve pour son poids 06', 193.

GOUÏTIi: 1) UN LIQUIDE SUU UN PLAN HORIZONTAL. 1 53

Les deux premiers exemples s'accordent assez bien avec des expé- riences de Gay-Lussac; mais il n'en est pas de même du troisième exemple. Pour se rapprocher le plus possible dans le dernier cas des résultats obtenus par ce physicien, il faudra supposer, à l'angle de raccordement du mercure avec le verre, la valeur de 55"* qu'il ne peut guère dépasser. On trouve alors que, pour avoir le rayon de base, il faut faire dans [a) C = o,G; on a ainsi

et l'on a, pour le poids de la goutte, o^', i85. Sa base est alors repré- sentée, sur \'à Jig. 3/i, par BB' et la tangente au méridien en B par BH.

23. Gay-Lussac, après avoir déterminé les poids de plusieurs gouttes, en a cherché expérimentalement les hauteurs; voici les résultats qu'il a obtenus (Poisson, Nouvelle théorie de VacUoii capillaire, n° 109) :

Poids llaulcui'

en cil

;;rairiiiics. luilliiiièU'cs.

6 ,oi3 3,34

J,^7^ >^'^9

2,865 3 ,2.5

2,14; 3,20

',187 ^'>9<^

o,8i3 2,80

o , 667 2,71

0,307 2,32

0,233 2, 19

0,095 1,78

0,059 I ,60

o,o3i 1 ,38

11 faut remarquer que, la hauteur d'une goutte de mercure étant donnée, on n'en peut pas conclure sa masse, même approximativement, car cette masse sera très différente suivant l'angle de raccordement qu'elle fera avec le plan sur lequel elle repose, angle qu'il est très dif- ficile de maintenir constant. Au contraire, si l'on se donnait le plus grand rayon de la goutte, sa masse serait à très peu près déterminée, car elle ne varierait que peu avec l'angle de raccordement.

Suivant les expériences d'Edouard Desains, quand on laisse une

20

l54 CHAPITRE V.

fifoutte de mercure sur un plan de verre, on reconnaît que la goutte s'affaisse peu à peu et que son épaisseur diminue notablement. En outre, le mercure perd sa fluidité à tel point, qu'il conserve les empreintes qu'on y fait, se comportant alors en quelque sorte comme du beurre. En agitant le mercure, on lui fait reprendre sa fluidité; mais la goutte ne reprend pas tout à fait la même épaisseur qu'à l'état primitif. Ain.si, il est nécessaire, dans ces expériences, de prendre du mercure parfai- tement pur et de mesurer cliaque goutte aussitôt qu'elle a été posée sur un plan de verre.

Calcul des dimensions d'une goutte moyenne de mercure.

24. I.es calculs employés dans les exemples précédents deviendraient fort pénibles pour des valeurs de b plus grandes que 2""", et il sera utile de les modifier.

Menons une ellipse tangente au sommet du méridien de la goutte et ayant le même axe de symétrie. Prenons toujours pour axe des r la tan- gente au sommet et pour axe des z l'axe de symétrie. Désignons par a etp les demi-axes de l'ellipse et par 9 l'angle de la tangente à l'ellipse avec l'axe des r. Les coordonnées r et ^ de cette ellipse seront données par les deux équations

, , a-siiio 3-cosc»

V/p-cos-cp + a- sin'o v^!^^ cos-ç. H- a^ sin'^cp

En développant les expressions de r et :; suivant les puissances de 9, on trouve

D'autre part, les coordonnées /et 2 du méridien de la goutte sont ex- primées par les formules du n" 18 :

b I b'^ 6 "^ 8 ^,	).'-.
b 3 b'\ 24 32 rz-y	)o-.+

r.OUTTE 1) L'N LIQUIDE SUR UN PLAN IIOUIZONTAL. [ ;>D

En identifiant les deux coordonnées r ou les deux coordonnées z dans leurs deux premiers termes, on obtient

(2)

? = -

Ir

I b''

I + 7 — ,

I h 4 r."^

On peut adopter pour méridien de la goutte l'ellipse, dont on vient de calculer les demi-axes, depuis o = o jusqu'à une valeur plus ou moins grande de o suivant la valeur de h. J'ai vérifié que, lorsque h = f\, en

prenant l'arc d'ellipse jusqu'à 7» l'erreur commise sur /-et z aux ex-

trémités de cet arc ne dépasse pas -j-^ de millimètre. Quand h sera plus petit que 4, l'emploi du même arc d'ellipse donnera des résultats en- core plus exacts.

25. Calculons la forme d'une goutte de mercure quand le l'ayon de

FifT. 3,). — Échelle -îo

courbure h du sommet est égal à 4""" {fig. 35). On déduit d'abord des formules (2)

y. — 9.,C)'^\, ,3 = 1,79;,

et, pour 9 — 45", les formules (i) donnent

/• = 2,9.27, c = 0,796.

1^6 CFIAPITRE V.

En développant rpar l'apport à "C à partir de ce point, on a (n" 19)

/• r= 2,0,27 + ^ — 0,6o3 t- --f- 0,24'î C'',

COto = -3^ =[ — i , 9.0b l -h o ,y'?.6Ç- .

o est, d'après la dernière formnle, égal à Go*' pour 'C -= o, Vj, et l'on a alors

(3) ^=0,790-1-0,44 :=z 1,236, /• = 2,566.

[En faisant 9= Go" dans les formules (i), on aurait z = i,r4(), /'= 2,5oo].

En développant rl\ partir de ce point, on a

/■ =z 2,566 4- 0,577 r — o,4i6 Ç- -H 0,084 ?^

et, pour 'Ç = o, s on a

;•-=: 2,760, -7;; =0,214.

dr d^

On a ensuite

;- = 2,76o4-o,2i4r — o,363r--H-o,oo3r^

et -pz est nul pour C = o,29G.

Ainsi l'on a, pour le rayon du plus grand cercle et pour sa distance au sommet,

/■:r:2,79I, ^ = 2,o32,

Enfin, en développant /à partir de ce cercle, on a

/• = 2,791 — 0,382 ^- — o,o5i !' — o,o63 V* — 0,029 r-,

r/inclinaison de la tangente sur le plan de la base est égal h 4^°3o',

lorsque — est égal à — cot42"3o'= — 1,091, et cette dérivée prend

cette valeur pour 'C = o,(S8; on en conclut ensuite r— 2,412.

Ainsi le rayon de courbure h de la goutte au sommet, sa liauteur </, le rayon / de sa base et son plus grand rayon c ont ces valeurs

b = \, 7 = 2,912, / = 2,4i2, c — 2,791,

et l'on déduit pour son poids o^''',G75.

GOUTTE 1) UN LIQUIDE SUR UN PLAN HOrdZONTAI,. I 57

26. Lorsque le plus grand rayon do la goutte ira on croissant, la convergence de la série

c -h cm..\ -4- cm-

appliquée au-dessous de l'équateur, ira en augmentant par une raison que nous donnerons plus loin. iVinsi, lorsque le rayon de courbure h sera >• 4 o^i ^lue le rayon de l'équateur sera >> 2,791 , après avoir cal- culé le méridien depuis le sommet jusqu'à ce cercle, on pourra facile- ment achever de déterminer le reste du méridien jusqu'à la base de la goutte. Mais, pour déterminer la partie supérieure de la goutte, on em- ploiera une des méthodes par quadrature, que nous exposerons plus loin dans la recherche de la dépression capillaire dans le baromètre.

27. On pourrait faire croître le rayon h du sommet de la goutte par intervalles très rapprochés et calculer, d'après les méthodes précé- dentes, pour chaque goutte correspondante le plus grand rayon, le rayon / de la base, la hauteur ^de la goutte et enfin son poids, en sup- posant connu l'angle de raccordement du mercure avec le plan de la base. Alors réciproquement, étant donné un quelconque de ces élé- ments de la goutte, on en pourra déduire les autres.

D'après les expériences de M. Quincko, non seulement l'angle de raccordement varierait d'une goutte à une autre, mais, le mercure n'étant pas un fluide parfait, cet angle serait loin d'être constant sur tout le contour de la base d'une môme goutte. S'il en est ainsi, les cal- culs précédents pourraient servir à déterminer la valeur moyenne de cet angle sur la base.

En effet, supposons qu'on ait déterminé par l'expérience le poids d'une goutte et son plus grand rayon. D'apri's ce que nous venons de dire, nous pourrons, de ce plus grand rayon, conclure le rayon de courbure h du sommet. On connaîtra ensuite la forme du méridien de la goutte et, sachant son poids, on calculera le point oi^i le méridien s'arrête sur la base et l'angle i de raccordement du mercure avec cette base. Si cet angle n'est pas constant le long du contour de la base, cette valeur théorique de i pourra être prise pour la valeur moyenne de cet an£fle.

i58

CEIAPITRK V.

Figure cViine huile d'air,

28. La figure d'une bulle d'air qui se trouve sous un plan horizontal à l'intérieur d'un liquide qui mouille ce plan peut être obtenue par les mêmes calculs que la figure d'une goutte de liquide qui ne mouille pas le plan sur lequel elle est placée.

En effet, mettons l'origine des coordonnées au sommet de la bulle et menons l'axe des z vertical de bas en haut [fig. 36). Nous aurons,

Mfî. 36.

pour l'équation de la surface concave du liquide (jui limite la bulle.

TT +

9. a

a- étant la constante capillaire du liquide et h le rayon de courbure au sommet o. Cette équation est entièrement semblable à celle que nous avons trouvée au n° 10 pour une goutte de mercure.

Supposons qu'on ait déterminé par l'expérience l'angle de raccorde- ment du bord de la bulle avec le plan, angle qui sera en général très petit ou nul. Alors, si la bulle est grande, on pourra y appliquer les formules des n""* 10, 11 et 12. Si la bulle est petite, on pourra y ap- pliquer les formules (A) du n" 18.

Injlueuce de la capillarilé sur le birom^'lr.'.

29. Supposons que le baromètre soit formé d'un tube cylindrique droit vertical, d'un assez grand rayon, fermé à son extrémité supé- rieure et plongeant dans une très large cuvette de mercure. Désignons par / le rayon du tube et par q la hauteur ou flèche du ménisque. Nous

GOUTTE D UN LIQUIDE SUR UN PLAN HORIZONTAL.

avons (n" 10), pour l'équation de la surface du liquide,

139

I — cos^-

4«^ sin- - f

"3 r~^

en comptant z de haut en bas à partir du sommet.

Désignons par f l'angle aigu de raccordement; nous aurons, sur le

contour de cette surface, r — o, o = - — /, 3 = q, et nous déduisons

de cette formule, pour la flèche du ménisque.

I — COS"^

?~i'J[('"^^°'(i~0_

Ladépression du sommet provenant de la capillarité est(Chap. II, n" IV

2«-

et il reste à déterminer le rayon de courbure h du sommet du ménisque. Pour l'obtenir, il suffit de reprendre le calcul (|ui donne cette quantité au sommet d'une goutte de mercure. On a approximativement (n" il )

-— 2C0S ^ + log' laiigy + const.

Pour o

ainsi I on a

i, on a /■ — /, donc

const. -= 3 cos [ y — - ) — log lang ( h — y );

log tang^ := « -^^o^i - « l-.cos(^ - i) +logtang(^ - i ),

(a)

tangy —taiig^j^

1- 2 L'cx — 2 cos I -

, « \ i 2/ 2 „«

e ;

et, en supposant o très petit, on oi)tient

dz

tan^,::--^-=4lang^g-vie

.8 4^^..

i6o

CHAPITRE V.

mais, en difï'érentiaiit l'expression (m) de 3 du n*' 11 et négligeant des termes très petits par rapport à celai que l'on conserve, on a aussi

dz _ \J'i a- \ -

Ces deux expressions de -^ doivent être égales pour une valeur de /

moindre que /, mais peu différente de /; on ne commellra qu'une très petite erreur en faisant /• = /dans les deux expressions et en les éga- lant; on obtient ainsi

y =^2^/2 a ^y^Tï/lanj

^\ -^--1:4)

Cette valeur de , est plus exacte que la semblable obtenue (n" 11)

pour une goutte de mercure posée sur un plan.

En effet, soit N'AN la figure d'une telle goutte et soit B'AB {fig. 37)

la portion de sa surlace qui fbi'merait la surface barométrique, en sorte que l'angle du plan tangent avec la verticale est égal à i au point B. On peut obtenir un point M assez voisin de B et où la tangente est sensible- ment borizontale, et la formule {a) n'a besoin d'être admise que de B en M. Au contraire, pour la goutte, la semblable formule doit être admise depuis N jusqu'en M.

D'après ce qui précède, on a pour la dépression barométrique

(M

A — 4^/2 a^- y- / lang / {^

M, ---"'(

c'est la quantité dont il faudra augmenter les indications du baromètre.

GOUTTE d'un liquide SUR UN PLAN HORIZONTAL. iGl

30. Supposons qu'on remplace le tube barométrique par un tube vertical ouvert à ses deux extrémités et plongeant dans la même cuvette

de mercure. La quantité -y- représentera 1 abaissement du sommet de

la colonne au-dessous du niveau dans la cuvette et, q étant la fïèclie

du ménisque, la quantité q + — 1~ ou le radical

V

8rt'

ces'

eos

représentera la distance du contour du ménisque au plan de niveau. Supposons que le même tube ouvert soit plongé dans un liquide qui le mouille. Pour avoir l'élévation du contour du ménisque alors con- cave au-dessus du niveau extérieur, il faudra faire i=~ dans l'expres- sion du radical précédent, et l'on aura pour cette élévation

/.■ ^^-

ia--{-

17

./...

J^>.

Soit B (fig. 38) le sommet du ménisque, CA la bauteur k du bord du

Fis. 38.

ménisque au-dessus du niveau extérieur; on a CB ~ ^, BA = h-, donc b étant négatif et donné par la formule

^17

i^'xa - v-/tang^t^ "

lC)2 (.IIAPITRE Y.

ainsi l'on anra ponr la liantonr du ménisque

a v's

dont le premier terme est négatif, comme ci-dessus.

Le volume de liquide soulevé dans le tube par la capillarité est (Chap. 11, n" 3) 2-7rr', plus généralement

9. -/r/- cos/',

si l'on suppose que l'angle aigu i' de raccordement ne soit pas nul ; menons le plan tangent en B, le cylindre renfermé entre le plan tan- gent et le niveau est ~r-h; donc le ménisque a pour volume

2TZ ra- cas/' — T.r'-/i, /< étant donné par la formule (/>) changée de signe, où Ton lait

OU par la formule

h — t\ \hi a- \'t. l lang- ( ij — 7 ) - "

4siM-

\8 4

31. Ce qui précède suppose que le tube est très large. Si l'on veut trouver la dépression du mercure due à la capillarité dans un tube d'un très petit rayon, on pourra appliquer la formule du n" 14 du Cha- pitre II. Mais on obtiendra une approximation plus grande en se ser- vant des calculs des n°"* 18 et 19 du Chapitre actuel. Pour une valeur du rayon de courbure h au sommet, on pourra calculei' les rayons du tube qui correspondent à un angle donné de raccordement; par suite aussi, étant donnés ces rayons, on en conclura h ou la dépression h.

Supposons, par exemple, que l'angle de raccordement du mercure avec le tube soit égal à 4^"- l^os quatre exemples calculés aux n"^ 20,

21 , 2*2 et 24 donneront, en y faisant 9 — - — 4^'' -- 45*",

I" Z>=:l, f z=iO,Q(^'^, ;=: 0,284, h ^=9. a- :r:;6,5r>G;

2» ^—1,38, /•" 0,9^0, :: = 0,382, A ::^ y-^ —4,728;

GOLTTl': d'UiN LlOLIDt; SLUi UN l'LAN IIOUJZOMAL. l63

3" b=^9., /:=i,3i8, ^ = o,5ig, li-=ia- =3,263;

4" ^ = 4, i=i,î-2-;, ^ = 0,796, II—— =],63i.

La seconde colonne verticale donne le rayon du tube, la troisième la liauteur du ménisque et la quatrième la dépression du mercure.

Remarquons que les formules (A) et (B) des n"** 18 et 19 pourront servir également à calculer la figure du ménisque d'un liquide dans un tube capillaire qu'il mouille.

Quand le rayon du tube n'est ni très petit ni supérieur à 10""', on forme alors une Table des dépressions au moyen de quadratures.

Mél/iodes par quadrature pour former une Tahle de la dépression barométrique due à la capillarité.

32. Il s'agit de former une Table qui fournisse la dépression baro- métrique, provenant de la capillarité, pour des valeurs successives du rayon du tube.

Première méthode. — Laplace a indicjué une métbode par quadrature pour déterminer la surface du ménisque mercuriel [Connaissance des Temps, 181 2). Pour trouver le rayon du tube correspondant à une dé- pression donnée II, il prend d'abord pour le rayon de courbure au som- met b = -,|-- 11 divise le méridien de la surface en parties dont les ex- trémités correspondent à des valeurs de l'angle 9 distantes de 4" et il remplace ces arcs par des arcs de ceicle de même amplitude et dont chacun continue le précédent suivant la même tangente.

D'abord, le premier arc de cercle qui commence au sommet est im- médiatement déterminé, puisque son rayon est b; si donc on désigne par 9, la valeur de 9 relative à son autre extrémité et qu'on mette l'ori- gine des coordonnées au sommet, l'axe des z vertical et l'axe des /■ horizontal, on aura pour les coordonnées de cette extrémité

Calculons le rayon de courbure du méridien correspondant à ce point.

iG/j CllAl'lTIlt V.

R, étant ce rayon de courbure et R' et ce point terminée à l'axe, nous avons

R, étant ce rayon de courbure et R' étant la longueur de la normale en

'1 ou

I I \ ia-

I 'l I I

R, " h

Menons un arc de cercle dont le rayon soit R,, qui passe par le point (r,,j^,) et qui soit le prolongement du précédent; nous aurons pour les coordonnées des points de cet arc

/•n:; Il -f- Ui sillo, Zr=z k — Ri COS'f,

A, k étant deux constantes; désignons par (a.,, z.^) la seconde extrémité de cet arc qui correspond à o =9., nous aurons

/2 — /'i^: Ri sinço — Ri sino, =:= aR, siu — ^ ces

formules qui déterminent /.,, z.^. On calculera ensuite le rayon de cour bure R^ en ce point par la formule

I :>> I I .

i\2 b a- ' /■,

puis on déterminera un troisième arc de cercle, et ainsi de suite, jus- qu'à ce qu'on arrive à la valeur de 9 qui est égale au complément de l'angle de la surface du mercure avec le tube. La valeur de /• corres- pondante sera le rayon du tube pour la dépression supposée.

Quand la dépression est moindre que o""",8, le l'ayon de courbure /> au sommet de la goutte devient trop grand pour qu'un arc de 4" vers le sommet puisse être remplacé par un arc de cercle. On a donc été obligé, dans cette partie de la courbe, de faire croître l'angle 9 de (juantités plus petites.

Dans cette métbode, on l'emplace les arcs du méridien de la goutte

GOUTÏK 1) LN LlQLIUbT SUR UN PLAN HORIZONTAL. 1 63

par des arcs de cercles osculateurs, qu'on transporte parallèlement bout à bout, et l'on suppose ainsi que le rayon de courbure est con- stant tout le long d'un arc, tandis qu'il va en diminuant. 11 en résulte que les valeurs que l'on calcule successivement pour les abscisses r, , /%, /-.j, ... sont trop grandes et que les valeurs obtenues pour :;,, z.,, r.,, .. . sont trop petites; l'erreur commise sur cbaque arc a donc lieu dans le même sens. A la vérité, après avoir calculé un des arcs de cercle et le rayon de courbure à la seconde extrémité, on peut, comme l'a fait Bravais, revenir sur le calcul de cet arc, en prenant pour son rayon la demi-somme des rayons de courbure obtenus à ses extrémités. Mais on obtiendra des résultats beaucoup plus exacts si l'on conserve les mêmes divisions du méridien ou beaucoup plus rapides si l'on prend des divi- sions plus grandes, en adoptant des arcs d'ellipse au lieu d'arcs de cercle. C'est surtout vers le sommet du ménisque que cette méthode sera avantageuse.

33. Seconde méthode . — Divisons donc le méridien du ménisque en parties correspondant ii des accroissements successifs de l'angle 9 et assez petites pour être assimilées à des arcs d'ellipse.

Nous prendrons d'abord un arc de l'ellipse osculatricc au sommet; les coordonnées /■, z dt' chaque point de cet arc ont pour valeurs

(^^ .._ '^'sif? ._o P'coscp

V/[i- COS^'v H- a- siu'^'f \l'^'^ C0S-Ç3 -+- a- sill'^o

a et [i étant donnés par les formules (n" 24)

I «■

ces valeurs correspondent à une valeur déterminée de b ou, d'après ce que nous avons dit, à une valeur déterminée de la dépression. Nous prendrons un arc de cette ellipse depuis 0 = 0 jusqu'à une valeur o =r o,, et nous aurons les coordonnées j\, r, de l'extrémité en faisant o — o, dans les équations (A).

Considérons une deuxième ellipse, dont les axes ont la même direc- tion, qui passe aussi par le point (/•,, z^) et qui ait la même tangente

l66 CIIAPITUE V.

que la première en ce point, et examinons comment nous devons choi- sir ses demi-axes a,, ^^ pour qu'elle se rapproche le plus possible du second arc du méridien. Les coordonnées r, z de cette ellipse seront

( !', ) )■ = h + , ' ' _-^ , ; = A-

V'Pi cos-'f + 'J.\ sin-o \J^l cob-o -i- %'[ siii-o

h, k étant deux constantes.

Nous avons les deux équations du n" 18

/• coso do -H siii'v (Ir i^- ( -^ 4- -^ 1 r dr,

■ ' ' \a- ùj

dz -— dr lang'f. Kemplaçons-y o par ç, -h y, nous aurons

/■ cos ( '^1 4- -!; ) d'I "\- siii ( -i , + 'l ) dr — ( ~; + 7 ) '' ^^/" = o> (cos'l' — taiig'fi siii '})<;/:; — 'vlanyoi cos^J/ + siii'})c//' =: o.

Développons les premiers membres d(î ces équations par rapport aux puissances de 7, après avoir posé

- = -1 + Pi"^ + /y/i'}- + . . ., (C) /• = /•! + Yi 6 -f. /i,.}^ + . ..,

et nous en tirerons, en égalant à zéro les coet'ticients des puissances

de 'l,

/■| COS'-i,

Vi " — r- r^" ' Pi — Vi iy»D'fi»

2 «2 ' ^

'"i 1 7.2 -'- 7. )-"Snic^,

27, coso,— /'i siii'fi — I , + H) 7i ilh'h'^

«1 —

2,,i-+^l-2sm'-p,

Les trois quantités/;,, ^,, //, sont donc connues. D'autre part, si l'on développe l'expression (B) de l'abscisse r de l'ellipse suivant les puissances de 6, on obtient, en s'arrêtant aux

GOUTTE n UN LIQUIDE SUR UN PLAN HORIZONTAL. 167

tonnes en 6^, cette équation

02

a- sin-fi aj |:J- COS?

G G^

si no,

OÙ l'on a posé

G-=; j3j cos-o, i-ajsin^'f,.

En identifiant cette expression à (C), on obtient ces deux équations

af 3^ COSo,

— G^T---'/.,

^I?' ^"^^^ ['^I^ÎCOS^^,- aJ(r + 2C0S^ç,)] ::^/?,,

pour déterminer a,, [!i,. En divisant la seconde par la première, on

trouve

7i tanp:o,[^;3j cos-G,— 7.-2(i + 2cos-'f,)] = 2G-/«i et

g 2 _ ■^//|Sin-o, + Yi lnnp-o,(i + 2cos-o,) ^^ , ''" 2ros-o,(vi tang-oi— //i) ^''

Pour abréger, désignons par M le coefficient de a'; dans cette formule, et a;'. Si; seront déterminés par ces deux expressions

5 :', — M y.:.

M^ ces- o

f 1

Oo étant la valeur de 9 relative à l'extrémité du second arc, les coor données 7\, z-, de ce point seront données par les formules

ol] sino, ol'i sincsi

r, — /■', — '

\ 'j'î (:os'o,+ ^1 sin-o., \^fi,' cos-OiH- aj sin-o Pj ces Ça P^ cosç,

\'3'j cos'cio ~i- '^j siri-'f, V'[^ï cos-0| + y.^ siii-o,

On calculera de même successivement les arcs d'ellipse qui peuvent remplacer les arcs en lesquels on a partagé le méridien du ménisque.

3i. Bouvard a formé en 1812 une Table de la dépression dans les tubes barom*étiiques, d'après la métbode exposée au n*^ 32; il avait

l68 CHAPITUE Y.

supposé l'angle de raccordement du mercure avec le verre des tubes égal à 43" 12'.

Ed. Desains, en discutant les expériences faites par Danger sur des tubes barométriques de différents rayons, a trouvé que l'angle de rac- cordement du mercure avec ces tubes a été très sensiblement constant et égal à 3 7" 5 2' [Annales de Chimie et de Physique, 3'' série, l. LI).

Suivant un Mémoire de Bravais, antérieur à celui de Desains, l'angle / de raccordement du mercure avec le verre dans le vide barométrique serait en général })lus grand que dans l'air, et l'on ne doit songer à faire la correction de la dépression qu'après avoir déterminé cet angle expérimentalement pour le baromètre qu'on emploie. En se servant aussi de la métbode indiquée au n" 32, il a formé une Table de cette dépression pour des valeurs de i comprises entre 73" et 4^" et pour des rayons du tube compris entre 2'"'" et 10""" [Annales de Chimie et de Phy- sique, 3*^ série, t. V, 1842). Nous reproduisons cette Table ci-contre.

Bravais a adopté pour la constante capillaire à- — 3,264; ïtI'IJs il est utile de remarquer qu'on ne peut pas admettre que l'angle de raccorde- ment s'élève de 42" à 75"*, sans que la coucbe superficielle du mercure s'altère beaucoup, ce qui devrait entraîner un changement sensible dans la valeur de a-.

r.OUTTE 1) UX LIQUIDE SUR UN PLAN HORIZONTAL.

1G9

	H
	0S
	H
	•H
	^
	^M
w
UJ	—
0	r^
1-^
Sh	ïr;
H	w
-w	H
	•«
0	a
Pï	«
<	(1.
PQ	X!
	b;
p^
ï^	M
'^
0	•^
0	H
U	se
	-<
-<	^
U	[^
w
Q	a
^	■<
0	hJ
(Xl	^^
CD	0
w	>5
	0
Ch
-UJ	H
Q	a

000

•. oooôoôoôôooo

o o 00 00 o" o o" o" o" o"

O — (M (M ^:^t tfO co w -■*•-•*■-+ -• -o

000000000000

0000000 obooo

^ cToocToooooooc.

Z t^ tô ci j^^ o ^ o ^^* ^ ^M ^

b o o o o o o o o^ o^ o^ o^

',. 000000000— ■"«■^

'~ o" o" o" o" o"" o o" o o o o o

" o"o"o"Groooooooo

■^ o" o' o" o" o" o" o o" o" o ~ e'

^ ! o o' o' o' o" o o" o" cT o o c-

■'^ o' o"" o" o" o o o o o o o o

■'' ^oo'ooooooooo

=== \-

no

CHAPTTFÎE V

Forme d'une croiitte suspendue à un corps solide quelle nioudle.

35. Menons au sommet 0 de la goutte la verticale 0^ de bas en haut et la tangente Or au méridien. D'après le n" \ du Chapitre II, on a, pour l'équation de la goutte,

I J_ _ h — z

et, si l'on désigne par h le rayon de courbure au sommet, on aura, en faisant ^ = o,

Nous en conclurons, comme au n" 18, les deux équations

/• cos cp do + sin cp dr ~- ~{^h — z)r dr.

a- dz :zz df tanffcû.

'6

On passe donc des formules du n" J8 à celles du problème actuel, en changeant simplement a- en — a-. Ainsi l'on aura

en faisant

Air=-, Aa — -4--

2 9J\ 62 a-

1.2.3.4.0.6 "j-i a- i44 rà

1.2.3... 8 i53bo «^ 9216 «'* 78728 a«

B, — Z^, B2 = — 7. + - - ,

p _ J^ J_ ff _i_ ^5

120 24 a'^ 9.\ a*^

B> = \ /, + Jil i' _ ^7_ ?l! _,^ i69_ *.^

1-2. 3... 7 .O-bo r/^ 384 <7'* 9216 a"

36. On développera z et r par les formules précédentes, tant qu'elles

GOUTTE SUSPENDUE. I7I

seront suffisamment convergentes; puis, comme au n" 19, p étant la valeur de z pour l'extrémité de l'arc obtenu, nous développerons rsui- vant les puissances de C = ^ —p. Posons donc

W^P

f'--rz\-\-c-m\

et les coefficients du développement

{b)

1 -\- /Hi Z + m.2 ^- -{- m^ l-^ -\- .

seront, en désignant par 9, la valeur de o pour z --p,

cm,r=L coto,, cm=^z=. - — h jH/^,

(c)

6c 3 ba--^ a-

{i)i] — m^)f- 1 ., I ., I ci)i'^^=. '-^ ,,))i\))i^_c -h T,c))ii cm^m^

ia-

3

- C-//llif)l.2.

Si l'on applique ces formules à partir du plus grand rayon de la goutte, on aura w, = o, /= i et, par suite,

I

(d)

ni^c =

2 c 2 a^ I H

IP W

,'.^i '.

l'.^C 'j^a-c

'da*c 8 a'*

71 M H 3 IP

bo a'c^ 40 ci*c 20 a**

En raisonnant comme nous avons fait n'' 8, nous trouverons pour le volume de la goutte

/2«2 \

(e) V = a- X sin « — ( -^^ 7 j B,

en désignant par ^ la hauteur de la goutte, 1 le contour et B la surface de la base.

Il est utile de remarquer que, lorsqu'on aura calculé la figure d'une

I ']2 CHAPITRE V.

goutte (l'un liquide, on en pourra conclure la figure d'une correspon- dante d'un autre liquide quelconque. En efï'et, d'après les formules [a), ^ et T ne dépendent de a et Z; que par le rapport -• Par conséquent, à

une goutte du premier liquide correspondra une goutte semblable du second liquide.

37. Application I. — Nous allons déterminer avec une grande préci- sion la figure d'équilibre d'une goutte d'eau suspendue à un tube dans la supposition que le rayon de courbure h au sommet soit égal à 2'"'".

Fig. 89. — Échelle lo.

Faisons donc ;«- = 7,5 et appliquons d'abord les formules (a), nous aurons

/•rn^aci — 0;2ç^ — o,oo4oç^ — o,ooo55o''.

Faisons 9 = -> et nous aurons

^ m 3 , 806, /• = 2 , 3 1 6 ;

GOUTTE SUSPENDUE. 1 73

ainsi le plus grand rayon de la goutte est 2""",3i6. Ces coordonnées correspondent, sur lay%-. Sq, au cercle aa' . Pour 9 = 7' on a

ce qui correspond au cercle hh' .

Appliquons ensuite les formules {h) et [d]\ nous aurons

0 1=2,3 16, H=::^2,8o6-— 7,5=— /4,69/i, mi=:o, et nous trouverons

/•=: 2,3l6 — 0,0970^^+ 0,0222!;*— 0,0001 V— 0,00082?%

Nous en concluons

-^ r=: — O, 1940? + 0,o666C^— 0,0004?''— 0,004l C^

Pour? = 0,5 ou ^ = 3,3o6, /•:- 2,295,

?= I : = 3,8o6, /•=i2,24i,

?r=l,5 ^r=4,3o6, /•=2,I79,

t^l ^ = 4,806, /■ = 2,I28.

Pour '( = 2, la série qui donne ^ n'est pas suffisamment conver- gente; mais cette série est égale à — 0,121 pour "( = i,5. Appliquons donc les formules {h) et (c) à partir du point c correspondant à '(= i,5 ; nous aurons

c- = 2,i79, H = 4, 306-7,5=:— 3,194, cm, — -o, 111,

et nous trouverons

/■ = 2,i79 — o, 121 Ç H- 0,01521*4-0,0272?*,

^■=-o,i2i + o,o3o4? + o,o8i6?^; dX,

— — = o,o3o4 + o, i632?. a?'

La première dérivée est nulle sur le cercle de gorge et pour

?=:l,05, ^=:5,356, /■--=2,ioo,

174 CllAPITUE V.

et la seconde dérivée est nulle au point d'inflexion pour

^,-^= — 0,l86, Z -^ l\,l'20, /•"-= 2,202.

Appliquons les formules [b) et {d) à partir du cercle de gorge dd'; nous aurons

C ::= 2 , lOO, 11 -- — 2,1 44> C/W, ■=: O,

et ensuite

/• s^- 2 , loo + 0,095 W-+ 0,0222 w* — o,ooi6^^.

Pour véritier cette formule, employons-la à la détermination d'un point déjà obtenu et faisons '( = — o,55, ce qui correspond à z = 4>8o6, et nous retrouvons en effet r= 2,128.

Pour "C = 0,55 ou ^ = 5,906, nous obtenons r^= 2,129.

Enfin, calculons le volume de la goutte jusqu'au cercle de gorge, d'après la formule (e); nous ferons

(J=^0,3o6, 1=:--, X = 27rX2,l, H :i^T..2 ,1^,

et nous trouverons

V ^ ôg^'^S 26 ;

ainsi son poids est de 69'"^'", 2G.

38. Application II. — Résolvons la même question dans la supposi- tion que le rayon de courbure b au sommet de la goutte soit égal à l'^'^Sy:"). Depuis le sommet jusqu'au plus grand cercle de la figure, nous appliquerons les formules [a), qui deviennent

z -r=z 0,8-5'^-— o,oo6ci^+ 0,0026^5*^ + 0,0004 P**,

/■ =:r I , ^00 Cf — O , 2o3 Ci* — O , Oo3 I ç '' — O , OOo5 Ci'^ ;

et nous en déduirons

*

Pour 0= y, x;:=o,538, z'^; 1,275, 4

Pour cp i:::; -, ^ = 2,176, /— 1,920,

ce qui correspond, sur \'à/ig. 4o, aux cercles bb' et aa .

GOUTTE SUSPENDUE.

Appliquons ensuite les formules (/>j et (r/) au-dessus du cercle aa' ; nous obtiendrons

/■ =r. 1 ,920 — o, i66r- 1 0,0222 î^-^ — 0,004^^^-1 o, 002/4 !i'',

- =:r — 0,332^ -! 0,0666^- — 0,0l6C^H- 0,0120^%

et, pour *C— 1,3,

/•=z 1,686, -^:rr— 0,320, ^-3,476.

Fi(j. 4o. — Échelle 10.

Au-dessus du point qui a ces coordonnées, nous appliquerons les formules [h) et (c), et nous aurons

/■ z= 1 ,686 — o,32or — 0,066 r2+ o,o4or%

dK

=: — 0,320 — o, l32 ^ +0,120:1-,

et, en faisant Z = 0,5,

dr

rr-i,5i5, -^——0,224, - = 3,976.

J76 CHAPITRE V.

Nous aurons ensuite

/• =r I ,5l5 — 0,224b H- 0,0l6^--t- 0,o4l ^%

et, pour 'C = 0,3,

cJr

/• — i,4,5o, -^-- — o,2o3, ^^4,2-6;

puis

/•rr. I ,43o — 0,2o3^ -f- 0,055^"+ 0,o42^^,

et, pour C =: 0,5,

/• — 1,36;, --^— — o,r[7, ^ = 4,776.

Enfin, à partir de ce dernier point, nous aurons

;■ = 1 , 3G7 — o, 117^-1-0, ii3^-+o, o35 ^% -ip — —0,117 -f- 0,226c + o, io5!;^

Cette dérivée est nulle pour (^ = o,43, ce qui correspond au cercle de gorge cld' . Ainsi l'on a sur ce cercle

/• = 1,341, ^ = 5,206.

En comptant la coordonnée verticale T à partir du cercle de gorge, on a encore

/• =: I ,341 + O, 149^^+ 0,0222 C^— 0,0375 C*.

La hauteur de la goutte jusqu'au cercle de gorge est donc <7= 5, 206, et, en appliquant la formule {e), on trouve 44'"*'% 18 pour le poids de la goutte.

On doit remarquer que la hauteur de cette goutte diflère peu de celle de la précédente, mais que le cercle de gorge et le volume sont deve- nus beaucoup moindres.

39. Application III . — Résolvons ensuite la même question dans la supposition que le rayon de courbure h au sommet de la goutte soit égal à i™"',5. Nous aurons d'abord, d'après les formules [a),

Z ■=! 0,75ocp- — 0,0203cf.*+ O , 0006 Ci'' -f- 0,0000-JCi^,

r = 1 ,5oocp — o, i938<p^ — o,ooo6!p^H- 0,000070'.

GOUTTE SUSPENDUE. I77

En faisant 9 = -? nous aurons, sur le plus grand parallèle de la joutte, représenté sur la/^. 4i par aa',

^ = 1,788, /•:= 1,600. Fig. !\\. — Échelle lo.

Ensuite, d'après les formules [b) et {d), on obtient

/• = i,6oo — 0,289^^-0,022^3— 0,011 Ç^H-o,oo5 es

— 0,478? +o,o66C'—o, 044^^+0, 025 es

dr

et, pour '( = I , on a

di

r — i,2>--, -^= — 0,431, ^ — 2,788. Au delà de ce point, nous appliquerons la formule

/•— 1,877 — 0,431!; — 0,192 C' 4- 0,0262 ?% %= -o,43i -o,384? +o,0786rs

et, pour 'C = 0,75, nous aurons

/• = 0,964, -^^-O'^^Q'

8,488.

•28

178 CHAPITRE V.

A partir de ce point, nous emploierons la formule

/• = O , 964 — O , 629 t -V- O , 008 ^-+0,1 6/4 Ç^,

et nous aurons, en faisant "C — o,325,

r:=zo,~6y, -Ti =^ — 0,555, ^=:3,8i3.

CIL,

Nous aurons ensuite

/• = 0,767 — o,o55Ç -t- o,236b"+ o,248Ç^, et, pour 'C = 0,2,

/• = 0,667, ^^ "~°''^+'^^' - — 4,oi3;

puis

r z= 0,667 — o,43i s + 0,373^^+ o, 199^^,

r —

et, pour C = 0,2,

/• — 0,598, -^=—0,258, ^r=4,2l3.

Enfin nous aurons

/• 1^:0,598 — o,258Ç + o,466C--f- o, ii4C% -k; = — o,258 +0,932^+0,342^-,

et cette dérivée est nulle pour C = 0,20. Ainsi l'on a pour le cercle de gorge marqué sur la figure par dd',

/• = 0,565, ^ = 4)463.

On aura, pour le volume de la goutte terminée au cercle de gorge,

V r= 2 7t X o,565.a2 — 71. o, 565^ x 5,537 = 21 ,074;

on en conclut que son poids est 2i'"«%o74.

40. Appliccuion IV. — Passons au cas où le rayon de courbure au sommet de la goutte est b = 1""". Nous aurons d'abord

^ =^ o , 5 Ci- — o , 029 1 Ci* + o , 0002 cp'^ + O , 00002 cp** + . . . ,

/• rzz o — O, i5oocp'^+ o,oo35cp5 + 0,00025 cp ■' + ... ,

GOUTTE SUSPENDUE.

et, pour o—- -y nous obtenons

5 — 1,059, / =1,029;

ce qui correspond au plus grand cercle aa' de lay?^. 42.

Fif[. /(2. — Échelle lo.

^79

Nous avons ensuite

,. — 1^029 — 0,443^2+ 0,022^^ — 0,066 r* + 0.0176^%

et, pour "C = 0,6,

/• = 0,867, -^= — 0,554, ^ = 1,659.

9."" A partir de ce point, nous avons

r = 0,867 — 0,55/4!; — o, 135!;-— o,oI6r^

et, pour 'C — 0,3,

,• = 0,689, ^=-0,639, r= 1,959.

3° Nous aurons

/• = 0,689 — o,639r — o,43i Ç-'- o,o5i C%

et, pour 'C = o,25,

r = o,5o3, 5=-o,844, ^ = 2,209.

l8o CHAPITRE V,

4" Nous obtenons

/• = o,5o3 -o, 844?- o,2o8^M- 0,843 ^S et, pour t = o,25,

/•= 0,292, —=—0,790, :;- 2,459.

5*^ Nous aurons enfin

;• = o , 292 — o , 790 Ç H- I , o5 1 Ç2 + 2 , 427 t', dr

-7= = —0,790 + 2, 102!; + 7,281 Ç-.

Cette dérivée est nulle pour *C = 0,214. Ainsi l'on a, sur le cercle de gorge marque sur \difig. l\i par dd' ,

/• = 0,195, ^ = 2,673. En comptant "C, à partir du cercle de gorge, on aurait encore

r :rz o, 195 + I ,74'2C^ + 0,022?^ — I , 126Ç*.

On trouvera ensuite, pour le poids de la goutte, le nombre

7™g'',7i6.

Figures d'une goutte suspendue à un tube et en équilibre stable.

4t. Si nous coupons une àas fig. Sg, l\o, 4i et 4^ au-dessous du cercle aa par une section circulaire et horizontale, la partie située au- dessous représentera la figure d'équilibre d'une goutte suspendue à un tube vertical.

En prenant cette section suivant le cercle aa', on aura les figures de gouttes d'eau en équilibre attachées à un tube dont la section exté- rieure sera aa' , lorsque le plan tangent le long du bord fait avec l'ho- rizon le plus grand angle, c'est-à-dire un angle droit.

En prenant ensuite, par exemple, les parties situées au-dessous du cercle bb' , on aura les figures de gouttes d'eau, suspendues à un tube dont la section est bb', lorsque le plan tangent le long du bord de la goutte fait un angle de 45° avec l'horizon.

GOUTTE SUSPENDUE. l8l

Ce sont les figures que nous avions assimilées dans une première approximation à une portion de sphère (Ghap. 111, n''31).

Sur le développement en série (n"* 36) de la fonction r suivant les puissances de t.

42. La fonction r satisfait à l'équation différentielle

et nous nous proposons de déterminer les points critiques de cette fonction de l, afin de savoir dans quelles limites elle est développable suivant les puissances de '(.

Il est d'abord aisé de voir que le sommet de la courbe qui a pour coordonnées (^ = o, - = o) est un point critique et que la fonction est développable à partir de ce point en une série de la forme

On a aussi un point critique correspondant à

En effet, aux environs d'un tel point, le second membre de l'équation (A) est très petit en comparaison des termes du premier membre, et cette équation se réduit sensiblement à

Intégrons cette équation, et, en désignant par C et C deux constantes arbitraires, nous avons

dt 2 ^

I02 CHAPITRE V.

et, puisqu'on doit avoir, si l'on suppose le point à l'origine des coor- données,

dr .

-7= = =n i pour Ç r= O, «s

en faisant i =^ \J— i, il en résulte

CJ T. .

et la valeur de r devient, pour la même valeur de C

r=r L ces- = o.

2

On a ainsi deux points doubles, pour lesquels -p ~ ±: {, et, en dési- gnant par a et p deux quantités réelles, on peut représenter les coor- données de ces deux points par

^ = a + p/, /■ .— o,

L'expression (B) de r peut s'écrire

A' = L ï

2

OU, en changeant C en -

/ = tf sin j^'

Nous pouvons prendre cette expression pour le premier terme d'un dé- veloppement et poser

ç ç t: r

(C) /■ = Cisin T7 -H D sin-'- h- E sin"-;; 4- F sin" - +. . ..

Ij L/ Ij Li

Si t a un petit module, on peut remplacer dans (A) "C par son dévelop-

t pement suivant les puissances de sin-r?

GOUTTE SUSPENDUE. 1 83

et en prenant le radical du second membre de (A) avec le signe di, puisqu'il s'annule en ce point, on aura, si l'on désigne par A' la valeur imaginaire

que prend h en ce point.

	'la"
	~b	a -	- p i
It,	D =	- ^	h' C'^ cû- lo
	E =	-^	C^ (// + ( i8a-	^
56 F	+ i6J)=.	ziz	i5A'CD/	•5

et il est aisé de voir qu'on obtiendra, pour tous les coefficients de la formule (C), des valeurs finies et déterminées.

43. Si l'on fait c = o et cm, = i dans les expressions données au n*' 36 pour les coefficients du développement

r --= c -V cm 1 V 4- cm 2 ^- -i- . . . ,

on aura /== o, et l'on voit que tous les coefficients se présentent sous la forme -; ils sont cependant déterminés. En effet, nous avons re- marqué que la série (C) a tous ses coefficients finis et déterminés. Remplaçons sin^par son développement, et nous aurons

44. La fonction r n'a pas d'autres points critiques. Si donc on pose

et qu'on regarde u,v comme les coordonnées rectangulaires d'un point, la fonction r sera développable à partir du point {u =p, t' = o), sui- vant les puissances de C = ^ — p, dans l'intérieur d'un cercle décrit de ce point comme centre, de manière qu'il ne renferme pas les points cri- tiques. Dans l'application IV (n"40), on a, pour le cercle de gorge, :r = 2, 673 et,

l84 CHAPITRE V.

àtrëspeuprès, pour les deuxderniers points critiques, 5 = 2, 673 ±o,3f. Il en résulte que les développements de r sont peu convergents dans le haut delà goutte. Dans l'application I (n"37) au contraire, le méri- dien de la surface de la goutte s'éloignant beaucoup de l'axe sur le cercle de gorge, on comprend facilement que la même série soit très convergente sur tout l'arc ad.

On s'explique de la même manière pourquoi, selon ce qui a été dit (n" 26), la série analogue relative à une goutte de mercure est très con- vergente au-dessous de son plus grand parallèle, dès que le rayon de ce cercle surpasse 3™"".

Compte- gouttes.

45. Quand une goutte se forme à l'extrémité d'un tube capillaire ver- tical, adapté au fond d'un vase, pour ensuite tomber, elle grossit peu à peu, puis s'étend au delà du rayon du tube; enfin elle se creuse. Elle affecte finalement les figures complètes dont j'ai calculé plusieurs cas dans les n"' 37 à 40 ; alors elle se rompt sur le cercle de gorge, dont le rayon diffère très peu du rayon de la section extérieure ou intérieure du tube, suivant que la goutte est attachée au cylindre extérieur ou intérieur.

Bien que la goutte, avant de se détacher sur le cercle de gorge, prenne une figure d'équilibre instable, on ne peut cependant consi- dérer l'ensemble formé par la goutte et par le liquide du vase et du tube comme un système en équilibre. C'est pour cette raison que la

quantité désignée au n° 36 par — H = ^| q ne représente pas la

hauteur du niveau du liquide du vase au-dessus du cercle de gorge. La hauteur de ce niveau n'altère pas la forme de la goutte; quand cette hauteur croît, la vitesse de l'écoulement est seulement augmentée.

En supposant même le vase d'une longueur indéfinie, la vitesse d'é- coulement ne sera pas uniforme. Au moment où la goutte se creuse, il se produit une traction capillaire de dedans en dehors, qui accélère la descente du liquide du vase.

La théorie que je viens d'expliquer est confirmée par les expériences de Dupré. En eff'et, d'après les calculs que j'ai faits ci-dessus sur les

GOUTTE SUSPENDUR. l85

figures des gouttes prêtes à se détacher, il résulte que, si le diamètre du tube capillaire est, en millimètres,

0,39. 1,1 3, o.,68, 4,20, les poids des gouttes sont respectivement, en milligrammes,

7,716, 21,074, 44,18, 69,0.6.

Or Dupré a trouvé par l'expérience (Dupré, Théorie mécanique de laeha- /^7/r, Cliap.TX) que, pour les diamètres

m 111

0,9,, 0,5^, I,i5, ■:!,i5, y.,-?.^)-?., 3,o'|, 4,06, 4,445, 5,1:2, 10,435,

les poids des gouttes sont, à la température de 9.'S°, en milligrammes,

4,20, 12,4, 2r,g, 35,1, 4o,8, 5o,o, 65, o, 70,0, 76,5, 85,6,

et les nombres que j'ai trouvés s'accordent bien avec ces derniers. Il faut remarquer que les diamètres donnés par Dupré sont ceux des tubes et que les diamètres que j'ai calculés sont ceux des cercles de gorge de la goutte; mais, par cette comparaison même, on voit que les seconds diamètres doivent différer très peu des premiers. Il est aussi utile de dire que Dupré déclare qu'il aurait pu arriver à une précision plus grande, s'il avait pu consacrer plus de temps à ses expériences.

46. Ilagen a employé le premier le compte-gouttes pour comparerles tensions superficielles. On place le liquide à essayer dans un vase muni d'un tube capillaire par lequel il s'échappe par goutte, et l'on admet que les poids de deux gouttes de deux liquides différents, tombant de cet appareil, sont proportionnels à leurs tensions superficielles, ou, ce qui revient au même, que les volumes de ces deux gouttes sont pro- portionnels aux constantes capillaires a- et a"- de ces liquides. En fai- sant donc couler par gouttes un même volume des deux liquides et dé- signant par // et //' le nombre des gouttes fournies par chacun, nous aurions

n' a-

(=<) — = -7:.'

n a -

■ Mais la proportionnalité des poids des sfouttes des deux liquides à

24

l86 CHAPITRE V.

leurs tensions superficielles est loin d'être très exacte, ainsi que je vais l'expliquer.

On a, pour le volume de la goutte depuis son sommet jusqu'au cercle de gorge, en désignant par R le rayon de ce cercle et par ^ la hauteur de la goutte (n" 36),

V:r.:27:R«^--(^-7)-R';

on a ensuite, d'après rtk|uation du méridien de la goutte,

9.«- „/_!_ I

rj ^^- a-[ — —

i étant le rayon de courbure du méridien sur le cercle de gorge, pris positivement; en remplaçant, on a

Y = .Wa^{^-^[

Pour le volume d'une goutte du second liquide sortant du même appa- reil, on aurait

V'=--:7rR2«'M^^+ '-

en accentuant les lettres pour la seconde goutte, mais R reste le même. Or, pour que le rapport de Y à V fût égal à celui de ^, il faudrait que x' fût égal à ï, et l'on conçoit facilement que cette égalité ne doit pas avoir lieu.

Au reste, examinons les valeurs de î^ et ^ pour les quatre gouttes

que j'ai calculées; on obtient ^ en calculant la valeur de -^ sur le cercle de gorge. Nous trouverons ainsi :

Application I, h -r^ ?.™"^ ÏÏ ~ 2~i" ~ °'^"^' ~ = ^' ^9»»

11,^-1,75.... r^=7:^-«'7^6, ^=:=o,.98,

ni' '^-''5 n = d65 = ''""' T^''«^^^'

IV, b.= ^ ïï^^^^''^^' ^ = 3,484.

GOUTTE SUSPENDUE. ign

Le rapport tle - ^i jr ^i respectivement pour valeurs

(?) 0,399, o,4oo, o,58o, 0,678.

Si ce rapport était constant pour un même liquide, il le serait aussi quanti on passerait d'un liquide à un autre, cardiaque goutte du premier liquide a sa semblable dans le second liquide (n" 35), et si R était le même dans deux gouttes de ces liquides, t. le serait aussi. Les nombres {{i) étant différents, cette propriété n'a pas lieu. Toutefois, comme ces nombres ne varient pas rapidement, on comprend qu'on puisse obtenir une certaine approximation, en déduisant a'- de la formule (a), pourvu que le rapport plus grand que l'unité des deux nombres rr, a"- ne soit pas trop grand.

47. Montrons comment on pourra vérifier si le compte-gouttes ainsi appli(|ué donne un résultat suffisamment approché.

Supposons que le premier liquide dont la constante capillaire est a- soit l'eau, et concevons qu'on ait fait les calculs des n''^ 37 à 40 pour un plus grand nombre de gouttes d'eau, en sorte qu'elles ne dif- férent successivement que par petits degrés. Connaissant le volume V de la goutte d'eau (|ui tombe de l'appareil, nous pourrons en conclure

b, Il

par interpolation, et nous n'avons pas besoin d'admettre que R soit le rayon du tube. Au moyen de la formule (a), nous calculons a'- approxi- mativement et nous connaissons V exactement par l'expérience.

Pour la valeur a^ de l'eau, construisons la courbe qui a pour abscisses les quantités b et pour ordonnées correspondantes les quantités R.

Pour la valeur trouvée pour a'-, construisons la courbe analogue à

a'

la précédente, ayant pour abscisses b — b — et pour ordonnées

R' = R^.

Dans cette seconde courbe, prenons l'ordonnée égale à la valeur R du cercle de gorge des deux gouttes ; l'abscisse correspondante b' sera le rayon de courbure au sommet de la goutte du second liquide.

Considérons la goutte d'eau semblable dont le rayon de courbure au

l88 CHAPlTHi: V. — GOUTTE SUSPENDUE.

sommet est b, = // — , et soit V, son volume. Le volume V de la ûoutte

liquide doit être égal à -,— ^« = ~i ^ <• Si cette égalité n'a pas lieu à

très peu près, c'est que a'- a été mal calculé au moyen de la for- mule (a).

Dans ce cas, en augmentant ou diminuant a'- et reprenant la même méthode, on pourra parvenir à corriger le premier résultat trouvé.

On peut remarquer que, dans cette recherche, R n'est pas supposé égal au rayon du tube; mais ce qui est plus exact, on le suppose égal au rayon du cercle de gorge, qu'on regarde comme le même pour les deux gouttes des deux liquides, qui tombent du même appareil.

FIN.

TABLE DES MATIÈRES.

Pages Préface v

Dédicace vu

Introduction. — H istoiiquc i

CHAPITRE I.

DES PRINCIPES DE LA THÉORIE DE LA CAPILLARITÉ.

Application du principe des vitesses virtuelles -

Comment on tient compte du changement de densité présenté par le liquide tout près de

sa surface q

Nouvelle forme de l'équation du principe des vitesses virtuelles 12

Remarques sur les principes employés dans les numéros précédents 12

Equilibre d'un liquide renfermé dans un vase. — Calcul de l'angle de raccordement i4

Sur des précautions à prendre dans l'application du principe des vitesses virtuelles. — Ac- tion de la capillarité sur la paroi d'un vase 20

P'orce capillaire normale à la surface d'un liquide et tension à cette surface 28

CHAPITRE IL

ÉLÉVATION OU DÉPRESSION d'l'N LIQUIDE AUPRÈS d'lNE PAROI.

Equation aux différences partielles de la surface du liquide. — Cas oii cette surface est

de révolution 26

Poids du liquide soulevé par la capillarité dans un tube vertical ; — dans un tube incliné. 28

Élévation ou dépression d'un liquide auprès d'une lame verticale qui y est plongée 33

Élévation ou dépression d'un liquide entre deux plaques fixes, planes, verticales et paral- lèles qui y sont plongées. — Cas où le liquide s'élève sur chaque lame prise isolément; — où il s'abaisse sur chacune prise isolément; — où il s'élève sur l'une et s'abaisse sur l'autre 35

K)Ô TABLE DES JIATIEKES.

Pages

Élévation ou dépression d'un liquide dans un tube circulaire et capillaire. — Cas où l'angle de raccordement est nul. — Épaisseur de la couche qui humecte la paroi intérieure du tube. — Variation de la hauteur capillaire avec la température ^5

Tube non cylindrique, mais de révolution et dont l'axe est vertical. — Des différents écjuilibres de la colonne capillaire dans ce tube 5i

Tube conique vertical 56

CHAPITRE 111.

LIQUIDES SUPERPOSÉS. — SUSPENSION DANS l'aIR d'uN LIQUIDE PAR UN ÏUBE CAPILLAIRE.

Équilibre d'un système composé de ticux liquides et d'un corps solide 59

Superposition d'une goutte de liquide à un autre liquide 62

Figui-es d'équilibre d'une masse liquide soustraite à l'action de la pesanteur. — Détermi- nation de ces figures quand elles sont de révolution 67

Stabilité de l'équilibre d'un cylindre sans pesanteur. — Comment la théorie parait au premier abord en contradiction avec l'expérience. Explication de ce désaccord apparent. ^3

Figures d'équilibre d'un liquide sans pesanteur, qui ne sont pas de révolution 79

Poids des liquides superposés dans un tube capillaire. — Théorème de Laplace. Cas où l'angle de raccordement du liquide inférieur avec la matière du tube est imaginaire.

— Explication d'une expérience de Thomas Young 80

Enfoncement d'un tube capillaire dans un vase renfermant deux liquides superposés.... 83 Sur la hauteur des sommets de deux Ii(pii(les superposés dans un tube circulaire (fui plonge

dans le li(|uide inférieur 84

Suspension d'un liquide par un tube vertical de révolution 87

Suspension d'un liquide dans un tube conique vertical 89

Inclinaison sous laquelle il faut mettre l'axe d'un tube conique pour qu'une goutte reste suspendue à un endroit donné du tube. — Problème semblable pour deux lames qui

comprennent entre elles un très petit angle 91

Suspension d'un liquide dans un tube cylindrique vertical par l'effet du frottement contre

le tube et de la viscosité du liquide g'j

Suspension d'un liquide à l'extrémité d'un tube vertical 97

Suspension d'un liquide à l'extrémité d'un tube capillaire adapté au fond d'un vase 100

CHAPITRE IV.

.MODIFICATION DE LA PRESSION HYDROSTATIQUE PAR LES FORCES CAPILLAIRES.

Attraction et répulsion entre deux lames verticales parallèles, plongées dans un liquide. 102 Détermination synthétique de la poussée verticale qui sollicite un corps de révolution,

dont l'axe est vertical, et qui est immergé en partie dans un liquide 106

Solution du problème pTécédent pour un corps de forme quelconque 1 10

Équilibre d'un petit corps placé à la surface d'un liquide moins dense que ce corps ii3

Démonstration analytique des résultats précédents 1 14

Sur les composantes horizontales des forces exercées par un liijuide sur un corps flottant. 117

Sur la théorie donnée par Poisson i'^

TABLF DES MATIÈRES.

'9ï

Pages

Calcul des trois composantes des forces capillaires nq

Calcul des moments de ces forces , 1 22

CHAPITRE V. ■

ÉLÉVATION d'uX LIQUIDR Al MOYKN DL.N DrSQLE HORIZONTAL. — FIGURES DES GOUTTES DE LIQUIDE POSÉES SUR UN PLAN HORIZONTAL OU SUSPENDUES.

Poids d'un liquide soulevé au moyen d'un disque lafi

Calcul de la surface du liquide soulevé par le disque. — Elévation niaxiniuni du ii((iiide.

— Cas où le liquide soulevé est le mercure. — l-]xpériences de Gay-Lussac iît

Goutte d'un liquide sur un plan horizontal i34

Figure d'une large goutte de mercure placée sur un plan horizontal. — Calcul du rayon

du plus grand parallèle de la goutte. — Calcul des dimensions de cette goutte d'après

son volume i3G

Goutte de mercure de révolution placée entre deux lames horizontales i^a

Détermination de la constante capillaire du mercure et de l'angle de raccordcmenl tic ce

liquide avec le verre r^6

Calcul d'une petite goutte de mercure posée sur un plan. — Premier et second système de

formules pour calculer le méridien de la goutte. — Application à plusieurs exemples.

— Expériences de Gaj -Lussac et d'Éd. Desains 1 1-

Calcul des dimensions d'une goutte moyenne de mercure. — Connaissant le poids d'une

goutte et son plus grand rayon, comment on en pourrait déduire l'angle de raccordement

de la goutte avec le plan de base i54

Figure d'une bulle d'air i58

Influence de la capillarité sur le baromètre. — Calcul de la llèclie du ménisque mercuriel.

— Élévation d'un liquide dans un tube large et vertical i58

Deux méthodes par quadrature pour former une Table de la dépression barométrique due

à la capillarité t63

Table donnant cette dépression 169

Figures de gouttes suspendues à un corps solide qu'elles mouillent. — Représentation de gouttes au moment où elles sont près de se détacher sur le cercle de gorge, près de l'ori- fice du vase d'où le liquide s'écoule. — Examen particulier des gouttes d'eau quand le

rayon de l'orifice varie entre 2°"", 100 et o""",ig5 l'jo

Figure d'une goutte suspendue à un tube et en équilibre stable 180

Sur le développement en série de la fonction r suivant les puissances de Ç 181

Compte-gouttes i84

8866

Paris. — Imprimerie de Gauthier-Villars, quai des Augustins, 55.

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