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THÉORIE

DES

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

ET

DE LEURS INTEGRALES.

ÉTUDE DES FONCTIONS ANALYTIQUES SUR UNE SURFACE

DE RIEMANN.

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PARIS. — IMPHIMERIE GAUTIIIER-VILLARS ET FILS, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS j
19363

THÉORIE

DES

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

DE LEURS INTEGRALES.

ÉTUDE DES FONCTIONS ANALYTIQUES SUR UNE SURFACE

DE RIEMANN;

Paul^PPELL,

MEMBRE DE l'iNSTITUT,
PROFESSEUR A LA FACULTE DES SCIENCES.

Edouard GOURSAT

MAÎTRE DE CONFERENCES

A l'École normale supérieure.

PARIS,

GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l' ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Augustins, 55.

1895

(Tous droits réserves.)

c4 ftM HdÂ-^td . i-4

MATH-STAT.

QA-3'il
Aù>r

MATH.-

STAT.

UBRARY

PREFACE

Le Mémoire de Piiiseux suivies fonctions algébriques, publié
en i854, a ouvert le champ de recherches qui a conduit aux
grandes découvertes mathématiques de notre époque. Ces décou-
vertes ont donné à la science du Calcul des principes nécessaires
et féconds qui, jusqu'alors, lui avaient manqué ; elles ont rem-
placé la notion de fonction, restée obscure et incomplète, par une
conception précise qui a transformé l'Analyse en lui donnant de
nouvelles bases. Puiseux a le premier mis en complète lumière
l'insuffisance et le défaut de ce point de vue où l'on se représen-
tait, à l'image des polynômes et des fractions rationnelles, les irra-
tionnelles algébriques et toutes les quantités en nombre infini qui
ont leur origine dans le Calcul intégral. En suivant la voie de Cau-
chj, en considérant la succession des valeurs imaginaires, les che-
mins décrits simultanément par la variable et les racines d'une
équation, l'éminent géomètre a fait connaître, dans ses caractères
essentiels, leur nature analytique. Il a découvert le rôle des points
critiques, et les circonstances de l'échange des valeurs initiales
des racines, lorsque la variable revient à son point de départ, en
décrivant un contour fermé comprenant un ou plusieurs de ces
points. Il a poursuivi les conséquences de ces résultats dans l'étude
des intégrales de différentielles algébriques. Il a reconnu que les

PREFACE.

divers chemins d'intégration donnent naissance à des détermina-
tions multiples, ce qui Ta conduit à l'origine, jusqu'alors restée
entièrement cachée, de la périodicité des fonctions circulaires,
des fonctions elliptiques, des transcendantes à plusieurs variables
définies par Jacobi comme fonctions inverses des intégrales hyper-
elliptiques.

Aux travaux de Puiseux succèdent, en 1867, ceux de Riemann
accueillis par une admiration unanime, comme l'événement le plus
considérable dans l'Analyse de notre temps. C'est à l'exposition de
l'œuvre du grand géomètre, des recherches et des découvertes
auxquelles elle a donné lieu qu'est consacré cet Ouvrage.

Une conception singulièrement originale leur sert de fonde-
ment, celle des surfaces auxquelles est attaché le nom de l'inven-
teur, formées de plans superposés, en nombre égal au degré d'une
équation algébrique, et reliés par des lignes de passage, qu'on
obtient en joignant d'une certaine manière les points critiques.
L'établissement de ces lignes est une première question de grande
importance, rendue depuis beaucoup plus simple et plus facile
par un beau théorème de M. Lu roth. S'offre ensuite la notion des
surfaces connexes, de leurs ordres de connexion, les théorèmes
sur l'abaissement par des coupures des ordres de connexion, puis
la formation du système canonique des coupures qui ramènent la
surface à être simplement connexe. De ces considérations pro-
fondes et délicates résulte une représentation géométrique, qui
est un instrument de la plus grande puissance pour l'étude des
fonctions algébriques. 11 serait trop long de rappeler toutes les
découvertes portant l'empreinte du plus grand génie mathéma-
tique, auxquelles elle conduit Riemann; j'en indiquerai seulement
quelques-unes.

Longte'mps avant les travaux de Puiseux, les points critiques
s'étaient offerts dans la théorie des courbes algébriques, leur
nombre déterminant la classe, ou bien le degré de l'équation

PREFACE. C

de la polaire réciproque. On avait reconnu que la classe d'une
courbe s'abaisse lorsqu'elle a des points multiples et qu'alors
des points d'inflexion disparaissent, mais ces résultats si intéres-
sants restaient dans le domaine de la Géométrie. Riemann joint
la Géométrie à l'Analyse, en leur donnant une notion nouvelle
et féconde, celle des substitutions oii les coordonnées s'expri-
ment en fonctions rationnelles de deux variables, ces variables
étant aussi des, fonctions rationnelles des coordonnées. Tantôt on
a égard à l'équation de la courbe, on les nomme alors substitutions
birationnelles ; tantôt on en fait abstraction, on les appelle dans
ce cas substitutions de Cremona, pour rappeler les beaux travaux
que leur a consacrés l'illustre géomètre. Les équations en nombre
infini qui se déduisent de l'une d'elles par ces transformations
sont regardées comme équivalentes, leur ensemble forme une
classe, et elles ont toutes un élément commun ayant le rôle d'in-
variant. C'est un nombre entier que Riemann nomme le geni^e àe
la courbe et désigne par/?; il est lié au nombre des points cri-
tiques n, et au degré m, par l'égalité 71=^ 2(771 -î- p — i).

La conception de classe des équations algébriques, celle du
genre et la relation qu'on vient de donner comptent parmi ses
plus mémorables découvertes; elles ont conduit à ce résultat im-
prévu, que les points multiples, qu'on n'avait encore considérés
qu'en Géométrie, ont en Analyse un rôle capital, comme éléments
caractéristiques des propriétés fondamentales des fonctions algé-
briques. On a, en effet, ce beau théorème que les équations d'une
même classe se ramènent à une équation normale de degré p -\- 2,
ayant un nombre de points doubles égal à ^p(p — i)* ^^ prenant
l'énoncé sous la forme simple qui est due à ^L Nôther, et où
n'entrent que des points doubles à tangentes séparées, j'en rap-
pelle quelques conséquences.

Supposons que p soit nul, l'équation normale est du second
degré, ses coordonnées sont des fonctions rationnelles d'un para-

PREFACE.

mèlre : il en est donc de même pour tontes les courbes du genre
zéro, qui ont le plus grand nombre possible de points doubles
pour nn degré donné. Ce sont les courbes antérieurement étudiées
par M. Gajlej, et auxquelles l'illustre géomètre a donné le nom,
généralement adopté, (ï anicursales. Supposons ensuite p = i
et /? = 2, ce nombre maximum sera successivement diminué
d'une ou de deux: unités; il faudra alors s'adjoindre la racine
carrée d'un polynôme du quatrième ou du sixième degré par rap-
port à la variable auxiliaire. Les expressions obtenues par cette
voie s'appliquent d'abord à l'intégration des fonctions algé-
briques de genre />, c'est-à-dire de fonctions rationnelles de la
variable et de la racine d'une équation de ce genre. Pour/? = o,
ces quantités s'obtiennent sous forme finie; poury^rmi^ elles se
ramènent aux intégrales elliptiques; on voit ainsi quelle extension
prend la méthode fondée sur l'emploi des substitutions, dont
l'usage était auparavant si restreint. Mais c'est dans un autre
ordre de question, dans le théorème d'Abel tout d'abord, que la
notion du genre se montre avec toute sa portée et sa puissance.

Abel avait fait la découverte capitale qu'une somme d'un
nombre quelconque d'intégrales à limites arbitraires, de la même
fonction algébrique, s'exprime par un nombre fixe d'intégrales
semblables auxquelles s'ajoute une quantité algébrique et loga-
rithmique.

Riemann établit que ce nombre est le genre de la fonction; il
complète ainsi l'œuvre d'Abel et donne à son théorème sa forme
définitive par un énoncé d'une simplicité frappante. En même
temps, et au moyen de considérations géométriques, il parvient
à la définition des intégrales de première, de seconde et de troi-
sième espèce, sous un point de vue entièrement nouveau, qui n'est
plus celui de la théorie des fonctions elliptiques, et démontre
qu'il existe p intégrales de première espèce et p intégrales de
seconde espèce, linéairement indépendantes. On sait que ce mé-

PREFACE.

morable théorème d'Abel a ouvert, avec la théorie des fonctions
elliptiques, le champ de l'Analyse moderne. Jacobi lui découvre,
comme il le dit, son véritable sens, en généralisantJe problème
de l'inversion de l'intégrale elliptique, et définissant les fonctions
de plusieurs variables à périodicité multiple qui ont un théorème
d'addition comme les fonctions elliptiques. Gopel et Rosenhain
résolvent les premiers la question de l'inversion dans le cas de
l'intégrale hyperelliptique du premier ordre; M. Weierstrass en-
suite la traite pour les intégTales d'ordre quelconque, et obtient
l'expression générale des nouvelles transcendantes. Les décou-
vertes de l'illustre analyste dans une question hérissée des diffi-
cultés ardues propres aux fonctions de plusieurs variables ,
se placent parmi les plus importantes et les plus belles qui aient
été faites en Analyse. A ses travaux succèdent ceux de Riemann :
le problème de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques
est alors traité dans toute sa généralité, et ce sont de nouveau les
fonctions holomorphes à un nombre quelconque de variables, ana-
logues à la transcendante 0 de Jacobi, qui en donnent la solution.
Mais le grand géomètre part d'autres principes et suit la voie qui
lui est propre ; il emploie la marche de la variable sur la surface
formée de plans multiples superposés, les lignes de passage entre
ces plans, le système des coupures par lesquelles elle est rendue
simplement connexe; il tire de ses méthodes originales et pro-
fondes d'admirables découvertes.

Les auteurs de ce Livre ont eu pour but d'enseigner ces
découvertes : ils se sont proposé d'ouvrir un accès facile aux
considérations nouvelles qui en sont le principe; ils se sont atta-
chés à donner des explications détaillées sur la construction des
surfaces de Riemann, sur la notion de connexion, à familiariser
avec l'emploi des coupures, qui ont remplacé les lacets de Pui-
seux, dans l'intégration des fonctions algébriques.

Les plus simples de ces fonctions, qui dépendent de la racine

f PRÉFACE.

carrée d'un poljnome, et la surface à deux feuillets correspondan
à cette racine sont considérées en premier lieu; leur étude sert d
préparation aux théories générales. En suivant cette marche e
commençant par un cas particulier, on demande moins d'effort
pour acquérir l'intelligence de méthodes abstraites et délicates
et la difficulté est diminuée pour les aborder ensuite dans tout
leur étendue. Dès le début, la notion du genre est donnée sou
le point de vue entièrement élémentaire où s'est placé M. Weier
strass ; la relation simple entre le genre et le nombre des ligne
de passage s'off*re alors comme d'elle-même ; puis le théorème qu
sur cette surface les fonctions algébriques considérées sont uni
formes avec des discontinuités polaires en nombre fini, et sa récî
proque qui est du plus haut intérêt; enfin, en passant de FAlgèbr
au Calcul intégral, la définition et les caractères essentiels des inté
grales hyperelliptiques des trois espèces. Les mémorables décou
vertes de Riemann sur ces quantités sont exposées en détail, elle
montrent avec éclat la puissance des méthodes qu'il a introduite
dans l'Analyse.

Le but essentiel de cet Ouvrage est donc d'initier à ces création
du génie, en exposant avec clarté les questions complexes de con
nexion, la transformation par des coupures de la surface à deu:
feuillets en surface simplement connexe, le rôle des coupure
comme lignes de discontinuité, cette discontinuité donnant un
origine nouvelle aux périodes de Puiseux, nommées modules d
périodicité de V intégrale, enfin les relations entre ces module
sur lesquelles se fonde la solution du problème de l'inversion e
la définition des intégrales normales. Cette étude des intégrale
hyperelliptiques, où se succèdent tant d'idées profondes etfécondes
tant de beaux et importants résultats, est l'enseignement d'u]
nouvel Art analytique qui se poursuit dans un ordre de question
plus élevées où l'on considère les fonctions algébriques sous 1
point de vue le plus général. La voie a été éclairée d'avance e

PREFACE. g

s'ouvre plus facile pour le lecteur; il retrouvera sous un jour plus
étendu les mêmes recherches, et l'originalité de la méthode ne
sera plus un aussi grand obstacle. Il acquerra aussi la connaissance
des recherches récentes, des beaux travaux auxquels s'attachent
les noms illustres de Klein, de Glebsch et Gordan, de Brill et
Ncither, de Luroth, d'autres encore, qui ont ajouté aux décou-
vertes de Riemann et les ont complétées dans des points essen-
tiels.

Un de ces points consiste à ramener, par une transformation
birationnelle, une courbe algébrique, quels que soient ses points
multiples, à une autre n'ayant que des points doubles, à tangentes
distinctes. Il est traité, d'après une indication recueillie d'Halphen,
avec les développements que demande son importance. La re-
cherche des intégrales hyperelliptiques s'exprimant sous forme
logarithmique, qui a été aussi le sujet des travaux d'Halphen et
de M. Picard, les applications àla Géométrie du théorème d'Abel,
si fécondes et si intéressantes, celles qui concernent spécialement
les quartiques planes, bien d'autres encore que je ne puis signaler,
appellent l'attention du lecteur.

Ge Livre rendra un grand et signalé service aux élèves des
Facultés des Sciences, aux jeunes géomètres auxquels il s'adresse,
en leur donnant, sans trop d'efforts, la claire vue, l'intelligence
complète de l'œuvre mathématique la plus belle de notre époque
par la puissance de l'invention. Il les conviera à s'en inspirer et
à suivre la trace des auteurs, M. Appell, M. Goursat, et de tant
d'autres disciples de Riemann, dont les travaux, qui occupent
une place considérable dans l'Analjse de notre époque, sont une
application directe et immédiate des méthodes du grand géo-
mètre.

CH. HERMITE.

ERRATA.

Page 43, première ligne, à compléter ainsi :

L'ordre est en général le nombre des infinis ou des zéros de la fonction ration-
nelle

V V := ^^ ;

R"

il peut être supérieure ce nombre si, pour certaines valeurs de z, un infini de v^
coïncide avec un zéro de v^ ou inversement; alors des zéros et des infinis dispa-
raissent dans le produit v^v^ et l'ordre de v est supérieur à celui de v^v^.

INTRODUCTION

1. Nous supposons connues les propriétés générales des fonc-
tions analytiques d'une variable complexe z. Nous rappelons
seulement les définitions et les théorèmes dont nous ferons prin-
cipalement usage.

Fonctions régulières. Zéros. — Une fonction analytique /(^)
est dite régulière en un point a si, dans un cercle suffisamment
petit de centre «, elle est développable en une série procédant
suivant les puissances positives croissantes de z — a. Si la fonc-
tion s'annule au point a, les premiers termes de cette série ont
des coefficients nuls, et si m est l'exposant de la plus petite puis-
sance de ^ — a dont le coefficient est différent de zéro, on dit que
z =: a est un zéro d'ordre ni.

Points singulières. Pâles. Résidus. — Si, en un point a, la
fonction n'est pas régulière, a est un point singulier. C'est un
point singulier isolé, s'il est possible de trouver un cercle de
centre a ne contenant à son intérieur que le seul point singulier
:; =z= a. Soit C un cercle de centre a dont le rayon est moindre que
la distance du point a au point singulier le plus rapproché. La
fonction f{z), étant supposée uniforme dans ce cercle, peut,
d'après le théorème de Laurent, être représentée par la somme de
deux séries convergentes,

f{z) = ^X,{z-ay'

La partie de ce développement qui contient les puissances né-
gatives de :: — a

V=— oo

yk,{z-ar

II INTRODUCTION.

s'appelle \^ parue principale relative au point singulier a; le

coefficient A_, de — ' — est le résida relatif à ce point. Si la partie

principale se réduit à un polynôme de degré m en r^.— ' le point

singulier ;: r= a est dit un pôle d'ordre m. Si la partie principale
comprend un nombre infini de termes, a est un point singulier
essentiel.

Dans le voisinage d'un pôle, le module de la fonction /(^)
augmente indéfiniment; au contraire, dans le voisinage d'un point
singulier essentiel, la fonction s'approche autant qu'on le veut de
toute valeur donnée à l'avance (').

En écartant le cas où a est un point singulier essentiel, on peut
toujours mettre, dans le voisinage de ce point, la fonction /(^)
sous la forme

/(^) = (..-a)nBo-HBi(^-a)+...],

q étant nul si le point a n'est ni un pôle ni un zéro, égal à un
nombre entier positif si le point a est un zéro d'ordre q^ égal à
un nombre entier négatif si ce point est un pôle d'ordre — ^ ; le
coefficient B» est supposé différent de zéro. Si ^ = o, la dérivée

logarithmique — ^^'"^ est régulière au point a; sinon, elle admet

le point a pour pôle du premier ordre, avec un résidu égal à q.

2. Point à Vinfmi. — Lorsqu'on veut étudier une fonction
/(^) pour les valeurs de z de module très grand, on pose ordi-
nairement ^ = -:, et l'on est ramené à étudier une fonction C5(^')

dans le voisinage du point ^' = 0; mais on peut aussi procéder
directement. Appelons domaine du point ce la portion du plan
extérieure à une circonférence G ayant son centre à l'origine et de
rayon très grand R. Si l'on peut choisir ce rayon assez grand pour
que, dans le domaine qui vient d'être défini, la fonction /(^)
soit représentée par un développement ne contenant que des
puissances négatives de z

(') E. Picard, Traité d'Analyse, l. II, p. 119.

INTRODUCTION. III

la fonction y(^) est dite régulière au point oc. Elle tend vers
une valeur finie Ao, lorsque le module de z augmente indéfini-
ment. Si les premiers coefficients sont nuls et que le développe-
ment commence par un terme en ^^, le point à l'infini est un
zéro d'ordre m.

Si une fonction n'est pas régulière au point oc, on dira encore
que ce point oo est un point singulier. Nous ne nous occuperons
que du cas où c'est un point singulier isolé, c'est-à-dire où Ton
peut prendre le rajon R assez grand pour qu'à l'extérieur du
cercle C la fonction /(c) n'admette aucun point singulier à dis-
tance finie, et où la fonction /"(:;) est uniforme dans ce domaine.
Soit C un second cercle concentrique au premier G, et de rayon
R^>R. Dans la couronne circulaire comprise entre les deux
cercles G et G', la fonction /(-3) est uniforme et régulière en chaque
point; on peut donc lui appliquer le théorème de Laurent. Gomme
le rayon R' peut être supposé aussi grand qu'on le veut, et que
les coefficients du développement ainsi obtenu ne dépendent pas
de ce rayon, on voit que ce développement est valable pour toutes
les valeurs de z de module supérieur à R. Par conséquent, lorsque
le point à Pinfini est un point singulier isolé, on peut déterminer
un cercle G de rayon assez grand R pour qu'à l'extérieur de ce
cercle la fonction j\z) soit représentée par un développement
de la forme

La partie qui contient les puissances positives de z

V=— 1

est ici la partie principale relative an point ce. Si cette partie prin-
cipale se réduit à un polynôme de degré /z, le point oc est un pôle
d'ordre n] sinon le point oc est un point singulier essentiel.

3. Résidu à V infini. — On appelle résidu relatif au point à l'in-
fini le coefficient de - changé de signe, c'est-à-dire — A|. Pour

INTRODUCTION.

justifier cette définition, il suffit de remarquer que le nombre
ainsi défini jouit de la propriété caractéristique du résidu : l'inté-
grale I /{^) dz^ prise le long du contour limitant le domaine d'un

point singulier, dans le sens direct, est égale au produit de ir^i
par le résidu relatif à ce point. Dans le cas où nous nous pla-
çons, c'est la circonférence C qui limite le domaine du point ce;
cette circonférence doit être décrite de façon à laisser à gauche
le domaine du point ce, et, par suite, en sens inverse du sens
habituel. Dans l'intégrale

le seul terme qui n'est pas nul provient du terme en -, et l'on a

(C)

Il est à remarquer que le résidu au point ce d'une fonction régu-
lière en ce point n'est pas nul en général. Par exemple, la fonction

z — a

admet un seul pôle à distance finie z=.b^ avec un résidu h — <t
Elle est régulière au point ce, car on peut l'écrire, dans le do-
maine de ce point,

^)(-r-(-?)o

et le résidu en ce point est égal à a — h.

Si le point à l'infini n'est pas un point singulier essentiel pour
f{z)^ on peut écrire, dans le domaine de ce point.

/(^)=^^(Bo + Bii-f-B2l --...Y

où Bo est différent de zéro, k étant nul, positif ou négatif, suivant
que la fonction f{z) a une valeur finie et difî^érente de zéro au

INTRODUCTION. V

point C3C, que ce point est un pôle ou un zéro. La dérivée loga-
rithmique est régulière au point oc, et le résidu est égal à — A-.

4. Ces définitions étant posées, rappelons encore les théorèmes

suivants :

I. Toute fonction analytique uniforme y régulière pour toute
valeur finie de z et pour :: = oc , est une constante.

IL Toute fonction analytique uniforme, n'ayant qu*un
nombre fini de points singuliers, est définie, à une constante
additiçe près, quand on connaît les parties principales rela-
tives à chaque point singulier.

IIL Toute fonction analytique uniforme, n'ayant d'autres
points singuliers que des pôles, est une fonction ration-
nelle {^).

IV. Si une fonction analytique uniforme n^a qu'un nombre
fini de points singuliers, la somme des résidus relatifs à ces
points singuliers, et au point à l'infini, est nulle.

Pour établir celte dernière proposition, décrivons, du point
z z= o comme centre, une circonférence G renfermant tous les
points singuliers à distance finie de/(^), et considérons l'intégrale

//(.)rf..

i

prise le long delà circonférence G, l'aire du cercle étant à gauche.
Gette intégrale est égale, d'une part, d'après le théorème de Gau-
chy rappelé plus loin, au produit de 2-/ par la somme des résidus
def[z) relatifs à tous les points singuliers à distance finie; d'autre
part, d'après la définition du résidu au point oc, à — 211 /R^. La
comparaison de ces deux valeurs de l'intégrale donne le théorème
énoncé.

Appliquons ce théorème à la dérivée logarithmique w = ,^

d'une fonction rationnelle r de :?. Les résidus de la dérivée lo^ra-

(') E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. laS.

VI INTRODUCTION.

rithmique proviennent exclusivement des pôles et des zéros de <^\
nous avons remarqué d'ailleurs qu'un zéro d'ordre m de v donne
un résidu égal à -h m pour i^p, et qu'un pôle d'ordre n de v donne
un résidu égal à — ii pour w. Le théorème IV conduit donc à la
proposition élémentaire suivante :

V. Le nombre des zéros cl' une fonction rationnelle de z est
égal au nombre des pôles, chacun de ces zéros et de ces pôles
étant compté avec son degré de multiplicité.

Nous savons aussi qu'on peut former une fonction rationnelle
avec des pôles, et des parties principales correspondantes, données
à l'avance d'une façon arbitraire : il suffit, pour obtenir cette fonc-
tion, de faire la somme des parties principales données relatives à
tous les pôles. On peut de même former une fonction rationnelle
avec des zéros et des infinis donnés à l'avance, pourvu qu'ils
soient en nombre égal.

5. La notion d'intégrale définie a été étendue aux fonctions
d'une variable complexe par Cauchj, qui a démontré le théorème
fondamental suivant :

Etant donnée une fonction uniforme f{z) régulière en tous
les points à l'intérieur d'une aire A, limitée par une ou

plusieurs courbes distinctes, l'intégrale j f{z')dz, prise le

long du contour total de A dans le sens direct (en laissant à
gauche l'aire enveloppée)^ est nulle.

Plus généralement, si la fonction f(^z) est uniforme et régu-
l ière en tous les points d'une aire telle que la précédente, sauf
en un nombre fini de points qu'elle admet pour pôles ou pour

points singuliers essentiels, l'intégrale ( f{z)dz, prise le long du

contour total de A dans le sens direct, est égale au produit de
271 i par la somme des résidus de/(^) relatifs à ces points singu-
liers (').

(•) E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. ii8. — Hermite, Cours d'Analyse,
4* édit., p. 109.

INTRODUCTrOX. VII

Il est à remarquer que renoncé précédent s'applique encore au
cas où l'aire A s'étend à l'infini, pourvu qu'on ajoute aux résidus
relatifs aux points singuliers de f{z) à distance finie le résidu de
f{z) relatif au point oc. Par exemple, supposons que l'aire A soit
l'aire illimitée extérieure aux deux courbes C, G'; so\l f{z) une
fonction régulière dans A, sauf en un nombre fini de points a,
ao, ..., a^, les résidus correspondants étant R, , Ro, ..., R^^. Le
point 00 peut être un point ordinaire pour f{z) ou un point sin-
gulier, mais, dans ce cas, c'est nécessairement un point singulier
isolé. Soit R^ le résidu correspondant. Ajoutons aux contours G,
G', un contour auxiliaire G'^ renfermant les deux contours primi-

Fie. a.

tifs G, G', ainsi que tous les points singuliers a,, a^, ..., a^. A
l'aire finie A', limitée par les trois contours G, G', G", appliquons
le théorème de Gauchj; il vient

f f{z)dz+ f f{z)dz-^ f f{z)dz = iT.i(R,^R,-^...^R,),

^{C) ^(C) -\C")

les intégrales étant prises comme l'indiquent les flèches. Mais,
d'après ce qu'on a vu plus haut sur le résidu au point oc, la der-
nière intégrale a pour valeur

f f{z)dz=-i-iK^-

*^(C")

il reste donc

f f(z)dz^ f f{z)dz=iTj{Ri-^-R2-^...-hRJ;
c'est la formule que nous voulions établir.

INTRODUCTION.

6. Soit/(^) une fonction uniforme dans une aire A, située tout
entière à distance finie ou s'étendant à l'infini, mais limitée par
une seule courbe G, qui est située tout entière à distance finie.
Supposons que y^(^) n'admette dans A qu'un nombre fini de
points singuliers, et soient R| , R2, ..., R/ les difi'érents résidus de
cette fonction dans A, y compris le résidu relatif au point à l'in-
fini, si l'aire A est illimitée. Considérons l'intégrale

^{z)=£f{z)dz

prise suivant un chemin situé tout entier dans l'aire A et joignant
deux points Zq^ ^ de A; laissant fixe la limite inférieure ^0 ^e
l'intégrale et faisant varier la limite supérieure ^, ^ {z) devient
une fonction analytique de z qui dépend aussi, dans une certaine
mesure, du chemin d'intégration. Si tous les résidus de /(^) dans
l'aire A sont nuls, il résulte immédiatement du théorème de Gauchy
que deux chemins quelconques, situés tout entiers dans A et
allant du point ^0 au même point g, donnent la même valeur pour
l'intégrale; F(^) est donc aussi une fonction uniforme dans
Faire A.

Il n'en est plus de même si tous les résidus de f{z) dans l'aire A
ne sont pas nuls; quand on tourne autour d'un point singulier où
le résidu est égal à R, l'intégrale F(:^) augmente de irdYi. Gette
intégrale admet donc, en chaque point de l'aire A, une infinité de
valeurs qui sont comprises dans une formule telle que

F(^) = [F(^)] -4- i^i I m,R, 4-. . .-^ ;n,.R,.j,

[F(:;)] étant une de ces valeurs et ms,m2, ..., w/ des nombres
entiers quelconques, positifs ou négatifs (<). Les quantités

27rfRi, . . ., 1-iKi
sont appelées périodes de l'intégrale ff{z) dz. L'étude des inté-

(') Hermite, Cours d'Analyse, 4« édition, p. i(

INTRODUCTION. IX

grales de fonctions algébriques nous conduira à des périodes d'une
nature tout à fait difTérente.

7. Riemann a déduit de la formule de Green une nouvelle for-
mule dont nous aurons à faire usage. Soient A une aire finie limitée
par un contour simple C, P et Q deux fonctions réelles de x et
(le j^, finies et continues, ainsi que leurs dérivées, dans l'aire A et
sur le contour G lui-même. D'après la formule de Green ( < ), on a

l'intégrale double étant étendue à l'aire A, et l'intégrale curviligne
étant prise le long du contour C dans le sens direct.

Soit maintenant

/(^) = X + tY

une fonction analytique de la variable complexe g régulière en
tous les points à l'intérieur de A et sur le contour C.
Faisons, dans la formule de Green,

elle devient

'=^£' "■'-%■■

i"-/ItSf-f£l-*

(C) ^ ^\k\

mais on a

d\ d\ dX __ dY

clx dy dy dx

et, par suite,

L intégrale f XclY^ prise le long du contour G dans le sens
direct, a donc une valeur positive.

(«) Hermite, Cours d'Analyse, 4« édition, p. 66. — E. Picard, Traité d'Ana-
lyse, t. I, p. 104.

INTRODUCTION.

I^OLir que celle inlégrale fùl nulle, il faudrail que l'on eûl

dx dy

el par conséqiienl

dY

d\

dx ' dy

\a\ foncliony (:;) =^ X -f- ^'Y se rédiiirail alors à une conslanle.

THÉORIE

DES

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

ET

DE LEURS INTÉGRALES.

ÉTUDE DES FONCTIONS ANALYTIQUES SUR UNE SURFACE
DE RIEMANN.

CHAPITRE I.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS (i).

Relations

u^' ==z, M»=r A(5-e,) {z— e.J {z-ej {z-ej,
i^.= A(5-e,) {z~-ej ... (^ -e„).

— F'onctions uniformes sur une surface de Riemann : zéros, points singuliers,
pôles, ordres. — Fonctions rationnelles de -c et m : propriétés caractéristiques.

— Genre.

1. Nous consacrons ce Chapitre à l'étude des surfaces de Rie--
mann correspondant à une relation de la forme

et à la théorie des fonctions uniformes sur ces surfaces. Pour bien
faire comprendre la méthode, nous commençons par deux cas par-
ticuliers très simples.

Considérons d'abord la relation algébrique

u^ = z,

entre la fonction u et la variable z.

(') Ouvrages à consulter : Riem.\^^, Inaugural dissertation; Neumann, Théorie
der Abel'schen Intégrale.

A. ET G. I

CHAPITRE I.

A chaque valeur de z

^ = p(cos6 + t sin6)

correspondent deux valeurs de ii égales et de signes contraires

i/ 0 . . 0
Ml = p'^ I cos — h i sin-

= pi[cos(i

2

Ui-\- U2= O.

Si le point z décrit une courbe fermée, G n'entourant pas l'ori-
;ine, l'argument de z part d'une certaine valeur Ô et revient à cette

Fig. I.

même valeur : chacune des déterminations Ui et 112, suivie par
continuité, reprend sa valeur initiale quand le point z reprend sa
position initiale.

Si le point z décrit une courbe fermée C entourant une fois
l'origine, l'argument 9 de ^ part d'une certaine valeur initiale et
reprend cette valeur augmentée ou diminuée de 2 7r, suivant le

sens dans lequel la courbe est décrite; l'argument - revient donc

à la valeur primitive augmentée ou diminuée de tt; la détermi-
nation u^ suivie par continuité prend la valeur u.2, quand le
point z revient à son point de départ; inversement u^. prend la
valeur u^. Donc les deux déterminations de a se permutent
quand z tourne une jois autour de l'origine. D'une manière géné-
rale, si le point z revient au point de départ après avoir tourné
nfois autour de l'origine, les déterminations u^ et u^ reprennent
leurs valeurs initiales ou se permutent suivant que n est pair ou
impair.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 3

Les deux déterminations ?/, et U2 ne sont donc pas fonctions uni-
formes de z dans le plan indéfini des z', mais, dans toute région à
contoiw simple ne contenant pas Forigine, elles sont des fonctions
analytiques uniformes de z.

2. En suivant la méthode générale donnée par Riemann, on
peut remplacer le plan simple, sur lequel u n'est pas une fonction
uniforme de z^ par deux feuillets indéfinis superposés dont l'en-
semble constitue une surface unique, sur laquelle la fonction u
devient uniforme, et qu'on nomme surface de Riemann.

Prenons deux plans V^ et Po limités chacun par un cercle de
rayon R aussi grand qu'on le veut, ayant pour centre l'origine O
d'un système d'axes Ox et Ojk; puis découpons dans chacun de
ces plans une petite ouverture rectiligne suivant le ravon Ox^
aibiOcidi dans le premier, «2^20006^2 dans le deuxième, ces
ouvertures ayant une largeur infiniment petite : nous obtiendrons
les deux feuillets séparés représentés dans la fig. 2.

Fis:. 2.

Si l'on part d'un point Zq du premier plan avec la détermina-
tion u^^ de la fonction w, cette détermination, suivie par conti-
nuité, est une fonction uniforme de u sur le plan ou feuillet P^,
car, à cause de la bande découpée a^b^Oc^d^, la variable ^ ne
peut pas tourner autour de O ; de même, la détermination Uo est
uniforme sur le plan Po. Nous imaginerons qu'en chaque points du
plan P, on inscrive la valeur de la détermination «, ainsi obtenue
par continuité et en chaque point z du plan P2 la valeur de la dé-
termination Wo.

Il est utile de remarquer que les valeurs de la détermination Ui
aux points situés en face l'un de l'aulre sur les bords opposés de

4 CHAPITRE I.

l'ouverture a^b^c^d^ sont égales et de signes contraires. Ainsi,
en appelant i^<(^,) et ?/, (ci ) les valeurs de u^ aux points 61 et c<
situés en face l'un de l'autre, on a

i^i(^i) = — ai ( Cl).

En effet, partons de bs avec la détermination ii^ (6,) inscrite en
ce point : si la variable :; décrivait le contour ^i EF^, entourant O
et revenait en ^,, la valeur finale de a serait — u^{b^); mais z
ne peut pas revenir en b^ à cause de l'ouverture a^b^c^d^\ le
point z doit s'arrêter au point c^ sur le bord de cette ouverture en
face de 6, . Comme l'ouverture a une largeur infiniment petite, la
valeur u^{c^) trouvée en c, est infiniment peu dilTérente de celle
qu'on trouverait en b^ en achevant le tour; on a donc

De même, sur le plan Po, on a

^^2(^2)= — «2(^2)-

Gomme les valeurs de u^ et u-, correspondant à une même va-
leur de z sont égales et de signes contraires, on a enfin

ai(ci) = — u^[c.2)= ihib^).

Nous avons ainsi obtenu, sur deux feuillets entièrement sé-
parés, le tableau complet des différentes déterminations de u.
Riemann réunit ces deux feuillets en une surface unique par le
procédé suivant : Plaçons le feuillet P, au-dessus de P2, réunissons
par une bande de surface les deux bords a, b^ et d2C.2', puis par
une autre bande de surface traversant la première les deux bords
«2 ^2 et d^ Ci . Nous obtiendrons ainsi une surface unique composée
de deux nappes planes qui se traversent suivant une ligne double
ou ligne de passage dirigée suivant un rayon. Pour se représenter
cette surface, on n'a qu'à imaginer les deux feuillets placés à une
certaine distance l'un au-dessus de l'autre. On peut imaginer, par
exemple, que les bords O^i^i etOc2<^2 (fig- ^) sont raccordés par
une portion de surface engendrée par une droite parallèle aux plans
P, et Po s'appujant sur les deux directrices rectilignes 00, O

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 5

et «1 c/o ; de même O c, 6^, ei Ob.ao sont raccordés par une bande
de surface engendrée par une droite parallèle aux deux plans s'ap-
pujant sur 00,0 et dta-2- Ces deux surfaces de raccord ont la
génératrice commune O, L suivant laquelle elles se traversent, et
qu'on appelle ligne de passage d'un feuillet dans l'autre.

Fis. 3.

On voit, sur la figure, qu'on peut passer du point [z^U\) du
feuillet supérieur au point (^, u-^) du feuillet inférieur, en suivant
le chemin continu

(I)

{z, a,) aj3Y0£(^, u,)

qui fait un tour autour de l'axe 00, O; inversement, on peut re-
monter du point (:;, 11.2) au point (3, w,) en suivant le même chemin
en sens contraire, ou en prenant le chemin

(2)

(::, z.,)a'3'YoV(::,«0.

De telle sorte que le chemin total formé de ces deux chemins placés
à la suite Fun de l'autre

(5, wi) «3703 (j, Ui)ci."~^'Y^'i {z, Ui)

ramène du point (;,«,) à ce même point après deux tours autour
de l'axe 00,0. La continuité de u est assurée quand on passe
d'un feuillet dans l'autre parce t'ait que la valeur de «, en un point
du bord 06, «, dans P, est égale à la valeur de 11-2 au bord opposé

6 CHAPITRE I.

Oc2^2 dans Po, et que ces deux bords sont précisément ceux
qu'on a réunis ; il en est de même des deux autres bords Oc, d^ et

Nous ferons cette convention que les points des deux feuillets
appartenant à la ligne de passage O, L sonl absolument distincts ;
de sorte que, par convention, le chemin ypa (^, «, ) s'oV, quoique
partant du point y de la ligne de passage et revenant à ce point, ne
constitue pas un chemin fermé, car le premier élément de ce
chemin est dans l'une des nappes qui se croisent suivant O) L et
le dernier élément dans l'autre. En vertu de cette même conven-
tion, les deux chemins (i) et (2) n'ont pas de point commun en y.
En général, deux chemins aboutissant en un même point de la
ligne de passage ne seront considérés comme se coupant sur cette
ligne que si leurs deux éléments aboutissant en ce point sont si-
tués sur une même nappe. Cette convention est spéciale à la ligne
de passage : diinû un chemin partant d'un point de l'axe 00, O et
aboutissant en ce même point est toujours un chemin fermé.

La figure précédente est une figure dans l'espace : en réalité, on
suppose les deux feuillets P, et P2 infiniment près l'un de l'autre,
et l'on représente la projection de la figure sur le plan P2 telle que
la verrait un observateur placé à une grande distance au-dessus
du plan P,. De plus, on ne figure pas les lignes 0 6, a,, Oc, <i,, ...,
qui ne jouent plus aucun rôle. Les deux plans apparaissent alors
comme superposés : la ligne de passage se projette en OL. On
convient de tracer en traits pleins les chemins situés dans le
feuillet supérieur et en traits pointillés les chemins situés dans le
feuillet inférieur : ces derniers points étant invisibles pour l'ob-
servateur placé au-dessus du plan P, . Par exemple, les chemins
précédents (i) et (2) sont représentés par les tracés ci-dessous
ifih' 4) • la partie {z, u^ ) aSy étant dans le feuillet supérieur est
en trait plein; on traverse ensuite la ligne de passage, on passe
dans le feuillet inférieur, et l'on a la partie yûc (^, «2) en pointillé,
conduisant au point (^, u^) du feuillet inférieur. En continuant à
tourner dans le même sens à partir de (^, u.>)^ on suit le chemin
{z^ lu) (a'P'y), dans le feuillet inférieur, puis yo's' {z, ii^) dans le
feuillet supérieur.

3. Pour désigner un point de la surface de Riemann, au lieu d

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 7

dire qu'il se projette en z et qu'il est dans le feuillet supérieur ou
le feuillet inférieur, on dit souvent le point (^, u^) ou le point
(;, U2) en indiquant à côté de la variable indépendante z celle des
déterminations que l'on prend pour w, ce qui revient à indiquer

Fig. 4.

le leuillet dans lequel on place le point ;:. On appelle point ana-
lytique {z,u) l'ensemble d'une valeur de z et de l'une des déter-
minations correspondantes de la fonction u. D'après cela, à
chaque point analytique correspond un point unique de la surface
de Riemann et réciproquement.

En particulier, à chaque point y de la ligne de passage corres-
pond un point analytique qui est différent suivant que ce point y
est considéré comme appartenant à l'un ou à l'autre des feuillets
qui se croisent suivant OL ; c'est ce que nous avons expliqué plus
haut en détail. Au point O lui-même les deux feuillets se réunis-
sent; pour ^ = o, les deux points analytiques {z, u^) {z, U2) se
réunissent en un seul (o, o). Ce point se nomme point de ramifi-
cation de la surface de Riemann.

Gomme le rayon R est aussi grand qu'on le veut, les considé-
rations précédentes s'étendent à tout le plan des ^, qui se trouve
ainsi recouvert de deux feuillets indéfinis soudés l'un à Tautre le
long d'une ligne de passage OL indéfinie dans le sens OL.

4. Pour étudier la fonction u à l'infini, on pose ^ = -, et Ton
est ramené à étudier la fonction

a'- = l.

8 CHAPITRE I.

dans le voisinage de ^' = o. A chaque valeur de V {fig. 5) cor-
respondent deux valeurs u^ et u^_ de u égales et de signes con-
traires. Ces deux déterminations, suivies par continuité, repren-

Fis.

nent les mêmes valeurs quand i;' revient au même point sans avoir
tourné autour de l'origine O' ou après avoir tourné un nombre
pair de fois autour de O'; elles se permutent, au contraire, quand
z^ tourne un nombre impair de fois autour de O'.

C'est ce que l'on voit immédiatement, comme ci-dessus, pour
le point ^ = o (n" 1). On pourra donc remplacer le plan
simple ^'O'jk', sur lequel la fonction u de z^ n'est pas uniforme,
par une surface de Riemann à deux feuillets raccordés le long
d'une ligne de passage O'L' issue de O' et indéfinie dans un sens,
dans le sens O^ x\ par exemple. On exprime ce fait, par analogie
avec ce qui précède, en disant que la surface de Riemann pri-
mitive a un point de ramification à V infini. En ce point ^' == o,
les deux déterminations de u sont égales et infinies.

En résumé, la surface de Riemann à deux feuillets, sur laquelle
la fonction u est uniforme, a deux points de ramification ^==o,
c = X et une ligne de passage allant de u à l'infini, c'est-à-dire
de \ an de ces points à Vautre.

o. On peut simplifier un peu ces considérations, à l'aide de la
transformation suivante.

Sur le plan xOy de la variable ^, élevons une perpendicu-
laire 00' égale à i et, sur 00' comme diamètre, décrivons une
sphère {fig. 6). Soit z un point du plan des xy, la droite O':;
coupe la sphère en un point Ç et le triangle rectangle O'O^, dans
lequel Ov est la hauteur issue du sommet de Tangle droit, donne

SURFACES DE R I E M V X X A DEUX FEUILLETS. 9

On peut donc dire que la sphère est la transformée du plan
par ravons vecteurs réciproques, le pôle de transformation
étant O'. Nous faisons correspondre ainsi à chaque point -; du
plan un point Ç de la sphère et inversement.

Fis. 6.

Supposons que le plan œOy soit recouvert par la surface de
Rieniann à deux feuillets, précédemment définie, avec la ligne de
passage indéfinie OL dirigée suivant O^. Nous avons supposé
qu'en chaque point z de chaque feuillet on a inscrit la détermi-
nation correspondante de u, de façon que, à chaque point de la
surface de Riemann, corresponde un point analytique déter-
miné (3, u). Si Ton applique à cette surface de Riemann la trans-
formation par rayons vecteurs réciproques que nous venons de
définir, chacun des feuillets se transformera en un feuillet sphé-
rique : la surface se transformera en une autre, formée de deux
feuillets sphériques appliqués sur la sphère, soudés l'un à l'autre
le long de la ligne de passage OAO' qui est une demi-circonfé-
rence transformée de la demi-droite indéfinie OL. A chaque
point analytique (^, u) de la surface de Riemann plane corres-
pond un point Ç de la surface de Riemann sphérique, où l'on
pourra supposer inscrite la valeur correspondante u et que nous
appellerons le point (ï, u) de la surface sphérique. La valeur de
la fonction u, en chaque point de la surface de Riemann sphé-
rique est ainsi bien déterminée. Quand nous dirons que le point
analytique (Ç, u) décrit une courbe sur la surface sphérique à
deux feuillets, cela signifiera que le point analytique correspon-
dant (g, u) décrit sur la surface de Riemann plane la courl)e
correspondante.

CHAPITRE

L'avantag-e de cette nouvelle représentation est que la nouvelle
surface de Riemann est limitée; les points à l'infini dans le
plan des z ont pour image sur la sphère le seul point O' qu'on
appelle le point oo ; on voit, d'après cela, que la surface de
lliemann spliérique a deux points de ramification O et O^ et une
ligne de passage OAO' joignant ces deux points.

Pour étudier la fonction u pour des valeurs très grandes de z-,

nous avons posé z = — • Cette transformation aune interprétation

géométrique simple dans la figure précédente. Menons en O' le
plan tangent à la sphère et, dans ce plan, un axe O' x', parallèle
à O^ et de même sens que O^, puis un axe O'y' perpendiculaire,
dirigé en sens contraire de Oy. La droite OÇ perce le plan
x'O'y' en un point z' qui est précisément la représentation du
point z' , lié à z par la relation zz' = i .

En effet, les deux triangles semblables 00' 3' et O'O^ donnent

immédiatement

0^.0'^'= 1;

de plus, l'angle xOz est égal à x' O' z' . Donc, en vertu de l'orien-
tation des axes Oy et O'y' ^ les quantités imaginaires z et z' ont
des arguments égaux et de signes contraires, ce qui prouve la
relation annoncée zz'=^i. La surface de Riemann sphérique à
deux feuillets est donc aussi la transformée par rayons vecteurs réci-
proques de la surface de Riemann du plan des x' y' que nous avons
introduite pour étudier la fonction «, dans le voisinage de z' ^= o.
Remarcjuc. — Si l'on étudiait de même la fonction

u-^={z~e^){z — e,),

on verrait qu'elle est uniforme, sur une surface plane à deux

Fig. 7.

/

feuillets soudés suivant la ligne de passage e^he^ joignant les
deux points de ramification (?<, ^2. A l'infini, les deux feuillets sont

II

SURFACES DE RIEMANX A DEUX FEUILLETS.

séparés : le point x n'est pas un point de ramification {^fig^ 7).
En construisant la surface sphéiique correspondante, on aurait
une surface sphérique à deux feuillets soudés suivant la ligne de
passage £, Aso transformée de CiLe^- Cette surface serait de même
nature que la précédente.

6. Prenons maintenant l'équation

e,)

où e,, e-i, 63, ^4 désignent quatre constantes différentes et A. une
constante différente de zéro. A chaque valeur de z répondent
encore deux déterminations z/, et 112 égales et de signes con-
traires. Posons

Z — 62= /'2(C0S6.2

z — es= r3(cos63

tsin6i),
tsinôj),
tsiaôs),

z — ^4 = ^4(00564-1- i sin64).
Si nous figurons les points fixes e,,^2, <^3»^4 elle point z,

Fig. 8.

/•, est la distance <?, z et 0, Fangle de «^, c avec la parallèle e, j:,
à l'axe Ox; de même pour /.>, 0^, ....
On a

«1 = ^n r.2 /'3 7-4 y/ A f cos ^ -r- i SHi J '

"2= y//l/-2/-3/-4

l \/A co>

0,_ 0,-03-7-04

^-)

;i„(«-l^^^rtliZl^„.)]

CHAPITRE I.

OÙ y/ A désigne Tune des déterminations de la racine da nombre
réel ou imaginaire A. Ces deux déterminations u^ et u^ ne peuvent
devenir égales à distance finie que si elles sont nulles, car la somme
ffs -h U2 est nulle ; elles ne deviennent donc égales qu'aux quatre
points e,, ^2, <?3, C/,.

Lorsque z décrit une courbe fermée entourant un seul des

points

C't , Ui et 11-2 ne font que s'échanger. Pai

exemple, si ^décrit la courbe fermée {^/fg'. 8) G entourant une
fois le point <?|, lorsque z est revenu au point de départ, Q, a
augmenté ou diminué de 27r, 8^1 ^3, ^4 ont repris leurs valeurs pri-
mitives. La valeur w, suivie par continuité s'est donc changée en
11-2 et inversement lu en 11^. Si z décrit une courbe fermée entou-
rant une fois deux des points e^, e^, ^3, ^z,, par exemple C, cha-
cune des deux déterminations Ui et ^^o reprend sa valeur primitive,
car deux des arguments 9,, 8^, B^, 84 reprennent la même valeur,
chacun des deux autres étant augmenté ou diminué de 211.

En général, si 5 décrit une courbe fermée quelconque, les valeurs
de i/\ et (f2 restent les mêmes ou s'échangent entre elles suivant
que le nombre total de tours faits par la variable z autour de
chacun des points Ci , <?o, r^^, e,, est pair ou impair, c'est-à-dire sui-
vant que la variation de 8, -+- 8;, + 83 + 8., est un multiple pair ou
impair de 211.

7. Voici maintenant comment on forme la surface de Rie-
mann correspondante. Prenons deux jîlans séparés P, et P.

ï^ig- 9

CAo-f)) limités Tun cl l'autre par un cercle de rayon très grand R
décrit de l'origine des coordonnées comme centre : sur chacun de

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. iJ

ces plans marquons les points ^,, ^o, ^3? ^ij puis enlevons des
deux plans les bandes infiniment étroites

eiaié-o^i, CaYi^iOi, eia.e.S,, esT^^^^s

comprises entre les points e^ et ^o d'une part et les points e^ et
C't d'autre part. jNous avons ainsi percé dans les deux plans quatre
ouvertures de forme linéaire deux à deux égales; nous suppose-
rons que la variable z ne puisse pas franchir ces ouvertures.

Supposons que l'on parte du point Co du plan P, avec une déter-
mination u^^ : comme z ne peut plus passer entre ^i et ^o ni entrées
et 64, quelque soit le chemin que suives pour revenir au point de
départ, on obtiendra toujours la même détermination finale de a,
car toutes les courbes fermées tracées sur Pj entourent nécessaire-
ment un nombre pair de points (?i, e.i, <?3, e-,. Plus généralement,
quel que soit le chemin que suive z pour aller, sur P,, du point :^o
à un autre point z, la détermination finale lit est toujours la
même. Ainsi les deux chemins G et C conduisent en z à la même
détermination de u. En effet, soit iii la détermination obtenue
en z par le chemin G ; pour trouver la valeur que prend u au
même point quand z parcourt le chemin G', on peut faire décrire
à z la courbe fermée ^^o^'^G^o suivie du chemin :?oC:?, car cela
revient à ajouter au chemin G' le même chemin zCzq parcouru
deux fois de suite en sens contraire ; la courbe fermée ^oG'^G^o
ramène en ^0 1^ détermination u J, puis le chemin zCzq donne
en z la détermination ?/, : donc le chemin G' donne la même déter-
mination u^ en z que le chemin G.

Gette détermination ?/, est une fonction uniforme de :; sur le
plan P, avec les deux ouvertures Cj^o et 63^4. On peut remar-
quer qu'aux deux bords opposés de l'une des ouvertures les valeurs
de iii sont égales et de signes contraires. En effet, soit Ut (a,) la
valeur de W| en a, ; si la variable z pouvait parcourir à partir
de oLi le chemin a, DD'a, entourant une fois le point ^i, la valeur
initiale de u étant w,(a,), la valeur finale au point a, serait
— M, (a, ); mais la variable z ne peut pas revenir jusqu'en a, : elle
s'arrête sur le bord de l'ouverture ei<?2 au point p^ situé en face
de a, . Getteouvertureei Co étant infiniment étroite, la valeur z/, (^t)
trouvée en ^j diffère infiniment peu de celle qu'on trouverait en

[4 CHAPITRE I.

a, si l'on achevait le tour : on a donc

wid^i) = — wi(a, ).

De même, sur le plan Po, la détermination u.,^ obtenue en un
point de ce plan en prenant pour valeur initiale de u en z■^^
Vautre détermination ul^ est une fonction uniforme de z quand
on a pratiqué dans le plan Po les deux ouvertures e^e^iC^e',
égales à celles du plan P,. La valeur de 11-2 en un point z quel-
conque de Po est égale à la valeur de u^ au même points de P,
changée de signe. On a en particulier aux points a^ et a^, ^\ et ^j-^

et comme

ou a

l'i («i) = «2(^2)» ^^1 (3i) = W2(a2)-

Supposons, comme dans l'exemple précédent, que l'on ait
inscrit en chaque point z du plan V^ la détermination correspon-
dante de u^ et en chaque point de Po la détermination correspon-
dante de 11-2' L'ensemble de ces deux plans formera le tableau com-
plet des valeurs de u^ chacune n'étant inscrite qu'une fois. Nous
j30uvons réunir ces deux plans en une surface unique par le pro-
cédé suivant, identique à celui qui a déjà été employé dans
l'exemple n*' 1.

Plaçons le plan V^ au-dessus de Po de façon à faire coïncider
les points ^<, Co, ^3, Cj de l'un avec les mêmes points de l'autre.
Soudons, par une petite bande de surface, le bord e^ a, <?o de l'ou-
verture Cl Co du plan V^ au bord opposé e,, ^oPo de l'ouverture <?, e^
du plan Po; et, inversement, soudons par une petite bande de sur-
face le bord e^ p, Co de l'ouverture du plan P< au bord oppose''
e,ao Co de la même ouverture de Po. Ces deuxbandes se croiseront
suivant une ligne allant de e, en eo, la ligne Ljo qui sera une ligne
de passage pour passer d'un plan à l'autre. Nous ferons la même
opération pour souder les deux bords de l'ouverture e^e,, du plan
P< aux bords opposés de la même ouverture du plan P2, à l'aide
de deux petites bandes de surface qui se traverseront suivant une
ligne de passage Lg^.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. \J

Nous obtenons ainsi une surface unique formée de deux feuil-
lets superposés et soudés comme nous venons de le dire.

Cette surface est analogue à celle qui est représentée pai-
\di Jîg. 10, avec cette différence que, dans la réalité, les deux
feuillets sont infiniment rapprochés et les ouvertures infiniment

Fie. 10.

étroites. On a figuré la surface telle que la verrait un obser-
vateur debout sur le feuillet supérieur. Les droites joignant les
points correspondants des deux plans parallèles P, et Po sont
supposées perpendiculaires à ces plans, par exemple ^i^,, e2(^2-
cette dernière seule est tracée.

7^2

et la droite zii

A chaque point de cette surface de Riemann correspond une
valeur de u (celle qui est inscrite en ce point) et réciproquement.
En appelant point analytique {z^ii) l'ensemble formé par une va-
leur de z et Vune des déterminations de w, on peut dire qu'à
chaque point de la surface correspond un point analytique [z, u)
et un seul. Quand le point z se déplace d'une manière continue
sur la surface, la valeur correspondante de u varie d'une manière
continue.

On a représenté la courbe suivie par le point de la surface de
Riemann ou point analytique, quand z tourne autour du point ^3^
on part du point (3, w,) du feuillet supérieur, puis z décrivant la
courbe C, arrive en y, sur le bord de l'ouverture e^e-^) le point

i6

CHAPITRE 1.

analytique descend alors par la bande qui joint le bord y< de ^4 e^.
au bord opposé Oo de l'ouverture e^d, du plan inférieur et arrive
en 02, d'où il suit enfin une courbe Co qui l'amène au point (s, u>^
placé au-dessous du point de départ (2, w<).

On a figuré également le chemin suivi par le point analytique
pour remonter de (^, ^^2) en (5, w<) quand z tourne autour de ^o-
Les quatre points <?<, ^o, ^3? ^\ sont les points de ramification de
la surface. Les lignes de passage sont représentées en L,2 et L34;
les deux nappes qui se traversent suivant ces lignes sont regardées
comme absolument indépendantes l'une de l'autre. Une courbe
qui part d'un point de la ligne de passage et aboutit en ce même
point n'est considérée comme fermée que si son premier et son
dernier élément sont dans la même nappe. C'est ce que nous
avons expliqué en détail à propos de l'exemple L

wSi l'on convient de représenter la surface de Riemann par sa
projection sur le plan P2, telle que la verrait un observateur placé
très loin au-dessus de Pi, on obtient la figure ci-dessous {fig- 1 1),

Fig.

où sont représentés les quatre points de ramification et les deux
lignes de passage. Les chemins situés sur le feuillet supérieur
sont en traits pleins, les chemins situés sur le feuillet inférieur
sont ponctués. C'est ainsi que les deux chemins figurés dans la
fig. 10 sont représentés sur cette nouvelle figure. On a figuré
aussi une courbe C partant d'un point (:;', u\) du feuillet su-
périeur et revenant à ce point après avoir tourné plusieurs fois
autour des points e^^e!,\ on remarquera que chaque fois qu'on
traverse une ligne de passage on change de feuillet : deux lignes
qui se croisent sur la figure ne se rencontrent que si elles sont

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. I7

tracées près du point de croisement toutes deux en traits pleins ou
toutes deux en pointillé, car autrement elles se trouvent dans des
feuillets dififérenls.

Point X. — Faisons 3 = - j nous aurons

y/A -j- \A • ~ fi;')n — e-iz' ){\ — c-iz' )\\ — <^-',) — ^t; ^C-^')-

Dans le voisinage de ^'=0, le radical qui figure dans celte
formule a deux déterminations qui sont l'une et l'autre régulières,
c'est-à-dire développables en une série convergente ordonnée
suivant les puissances entières de z' . Par exemple, celle des déter-
minations du radical qui se réduit à -f-y^A- pour z'^=o est donnée
par une série de la forme

o(z')=v/Â [i — { {e^-\- Ci-r- e-i^ e-^) z' -^ X.z'-^ ^ \iz'^ -^ . . .\;

l'autre est donnée par la série — 'f (^')- On a donc pour «, dans
le voisinage de c'=o, les deux déterminations

oiz') o{z')

uniformes toutes deux ; en outre le point c'= o est un pôle de
second ordre pour chacune d'elles. On peut donc dire que les deux
déterminations de u sont uniformes dans le voisinage du point x qui
est un pôle du second ordre pour chacune d'elles : d'après la conven-
tion spéciale faite pour le résidu au point oc (voir Introduction),
le résidu relatif au point x est — A3 pour la première détermina-
lion et -h A3 pour la seconde.

Les deux feuillets de la surface de Riemann sont donc entière-
ment distincts à l'infini, car on ne passe pas d'un feuilleta l'autre
en tournant autour du point c'= o. Le point x n'est pas un point
de ramification de la surface : ce point est, dans chaque feuillet,
un pôle du second ordre de la fonction u.

8. Si nous représentons la surface de Hiemann sur la sphère
(^g. 12), comme nous l'avons fait dans le premier exemple, nous
aurons, sur la sphère, une surface formée de deux feuillets super-

A. ET G. 9.

l8 CHAPITRE I.

posés avec quatre points de ramification s,, s^, ^3, ^o images des
points e<, <?2, ^3, <?/,, etdeuxlignes de passages A,2 etAj... On a tracé
sur la sphère les chemins correspondants à ceux de \^ fig- ii,
dont ils sont les images sphériques.

Fig. 12.

9. Soit enfin une équation générale

u''= î^{z-e,){z — e^)...{z-en),

où A est une constante différente de zéro, e^^e^-,- . .,<?//? Ji con-
stantes différentes.

Marquons dans le plan des^ les points <?, , e2,.--j ^//- ^^^ fonction u
a deux déterminations u^ et u^ égales et de signes contraires, ne
pouvant devenir égales pour une valeur finie de z que si elles sont
nulles toutes deux; ces déterminations sont donc égales à distance
finie aux seuls points Cj, e^^' . .,^/?. Si l'on part d'un point ^o d"
plan avec une détermination u^\ et si l'on fait décrire à la variable z
une courbe fermée, on retrouve en ^o la détermination ;/" ou
l'autre détermination ul suivant que z tourne un nombre pair ou
impair de fois autour de certains des points e, , ^2,..., <?,/.

Pour former les surfaces de Riemann correspondantes et étudier
leurs ramifications, il faut distinguer deux cas, suivant que n est
pair ou impair.

10. Premier cas: n impair. — Soit n = ip -\- i . Prenons deux
plans séparés V^ et Po, marquons sur chacun d'eux les points e,,
^2,...,^/^; puis, perçons ces plans d'ouvertures respectivement
égales et de forme linéaire, les deux premières ^i a< Co Pi et
C{ ^-iC-i [^2 joignant les points (?,,e27 les deux suivantes joignant les
points ^3, Ci, . . ., les avant-dernières joignant les points (?2/j_i, <?2/?j

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. I9

enfin les deux dernières allant de e^/j+i à l'infini suivant la même
direction dans les deux plans {fig- i3).

On suppose que les ouvertures ainsi pratiquées ne se croisent
pas, ce que Ton peut toujours réaliser en numérotant les points
e,, <?2?-"î ^2p+\ dans un ordre convenable. D'ailleurs il n'est pas
nécessaire que les ouvertures soient rectilignes comme nous le
supposons : on peut leur donner telle forme que l'on veut.

Sur les plans V^ et Po ainsi découpés, les deux détermina-
tions Ui et U2 sont respectivement uniformes ; aux points placés
en face l'un de l'autre sur les deux bords opposés d'une ouverture,
chacune des déterminations prend des valeurs égales et de signes
contraires : par exemple, aux bords de l'ouverture ^i^o, on a dans

le plan P,

Wi(ai)=— «i(.3i),

et dans le plan P2

«•2(2-2) =— «2(^2);

d'où, comme w, -h Wo est nul constamment, pour une même valeur
de z^

îfi(ai) == u-2{%), «i(Pi) = iHi^-i).

En supposant inscrites en chaque point z de chaque plan P< et P2
les déterminations correspondantes de u^ et 1I21 on obtient un
tableau complet des valeurs de u où chaque valeur est inscrite
une fois. On peut dire encore qu'à chaque point analytique (;, u)
répond un point de l'un des deux plans et inversement.

CHAPITRl!: l.

Pour obtenir la surface de Riemann, superposons les deux plans
de façon à faire coïncider les points ^i, e^, . . . , ^2/7+1 ; soudons, à
l'aide de petites bandes de surfaces, chaque bord d'une ouverture
du plan P< au bord opposé de l'ouverture correspondante du
planPg. Par exemple, le bord Ci ai <?2 sera soudé à ^i p2<?2, et^i l^i ^2
à Ci 7.262 par deux bandes de surfaces qui se croisent suivant une
ligne de passage Lio; de même, les deux bandes soudant en croire
les bords des deux ouvertures superposées e^er, se croisent sui-
vant une ligne de passage L3/, , . . ., enfin les deux bandes soudanl
les bords opposés des deux ouvertures eop^^, oc se croiseront sui-
vant une ligne indéfinie Loyj+i^cxD.

On obtient ainsi une surface de Riemann à deux feuillets
avec ip -\- I points de ramification ^i , eo, . . . , e^pj^^ à distance finie
eV p -\- \ lignes de passage

L12, Lsi, . . . , L2/^-l,2/>, L2;3 + i,^.

A chaque point de cette surface répond un point analytique
{z, u), et réciproquement; quand z varie d'une manière continue
sur la surface de Riemann, la valeur correspondante de u vaiic
aussi d'une manière continue.

Cette surface est figurée ici avec les mêmes conventions que
précédemment (y^^. 1 4).

Etudions la fonction dans le voisinage de z=::o. Si l'on fait
ve

^ = - > on trouve

z

" = Jij^i_ /(i — ei^') (1 — e^z')...{i — e^j,+iz').

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. '21

Les deux déterminations du radical sont régulières au point

;'^o, mais le premier facteur , ^. a deux déterminations qui

s'échangent quand le point z' tourne autour de z' = o, et qui
deviennent infinies pour ^'= o. Le point ce est donc un point
de ramification (comme dans l'exemple I) , pour la surface de
Riemann, car, lorsque z' tourne autour du point z' = o, le point
analytique (z, u) passe d' un feuillet dans l'autre.

Si l'on construit la sphère double correspondant à la surface
de Riemann par la méthode d'inversion exposée dans le n° o, à
propos du premier exemple traité, on voit que cette surface de
Riemann sphérique a 2/?+ 2 points de ramification

-2/J-Hl

, 0'

avec/? — 1 lignes de passage (Ji

A 12, .134, . . . , A.2„_

/'-1> 2/J,

A,„^

2/J-i-lO'

11. Deuxième cas : n pair. — Soit /? = 2/? + 2. Nous tracerons
alors, dans les deux plans P< et Po? /> H- i ouvertures deux à deux
égales joignant les points t?,^..,, e^ej^, . . . , e^/j+i , ^2^+2 ; puis nous
Superposerons ces deux plans en soudant chaque bord d'une
ouverture du plan P, au bord opposé de l'ouverture correspon-
dante de P2.

22 CHAPITRE I.

Nous aurons ainsi une surface de Riemann à deux feuillels
avec ip -\- 1 points de ramification à distance finie et/? + i lignes
de passage, surface analogue à la surface de \^ fig. lo, pour la-
quelle /? = I .

Voyons enfin ce qui se passe au point oo. Dans le cas actuel
(/i pair), le point o) n'est pas un point de ramification. Si l'on

fait ^ =: -, > on a

/(] - c^z') {\ — e^z'). . . (I — e2yp+2-s')-

Les deux déterminations du radical étant régulières au point
3'= o, chacune des déterminations de u est uniforme dans le voi-
sinage du point 3'= o et admet ce point pour pôle d'ordre /> + i .
Le point 00 est donc dans chaque feuillet un pôle d'ordre p -f- 1
de M, avec un résidu qui est le coefficient de z^ dans le dévelop-
pement de la détermination correspondante de u suivant les puis-
sances de z' ^ ce coefficient étant changé de signe.

La surface de Riemaftn sphérique correspondante a 2/) + 2
points de ramification s,, £0, «••? £2/7+2 et /? -}- i lignes de pas-
sage A^2, Ag,, Ao/j+n 2/J+2- Elle est de même nature que celle du
cas précédent (/i impair), avec cette seule difi'érence que, quand
n est impair, l'un des points de ramification £2/7+2 coïncide avec
le point O' {^fig- 16).

12. Cette identité de nature des deux surfaces de Riemann,
correspondant aux deux cas de n pair et de /z impair, deviendra tout

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 23

à fait évidente dans l'étude que nous allons faire des fonctions
uniformes, et particulièrement des fonctions rationnelles en^ el u
sur une surface de Riemann. La surface de Riemann, et non la
relation algébrique, sera alors prise comme point de départ, et
il est aisé de voir que toute fonction rationnelle sur une surface
de Riemann, pour laquelle /i = 2/? -i- 2, peut se ramener à une
fonction rationnelle sur une surface de Riemann pour laquelle

/l = op -i^ I .

En effet, dans la relation

(i) a^ = A(z — ei){z — eo) . . . {z — e^p+i),

faisons le changement de variable

d'où

e/,=

-2 ^2/J+î

(e^p-^:, — e/,) z' — (ei— e/,)

Si k est différent de 2/? -}- 2, on peut écrire

ek = ( ^2/;-^2 — ^a) — ; 7 .^k = )

^2/> + 2 ^1

et pour k- = 2p -\- '2
Substituant et posant

OÙ

A'= A(e2p+-2 — ei)(^2/J+2 — ^2) • • • (^2/^+2 — ^2/>4-l'

on a

li

Il =

(.-'-i)^-

D'après cela une fonction rationnelle sur la surface de Riemann
correspondant à la relation (i), pour laquelle n = 2p -\- 2, c'est-
à-dire une fonction rationnelle de n et z. se transforme évidem-
ment en une fonction rationnelle de u' et z', c'est-à-dire en une
fonction rationnelle sur la surface de Riemann correspondant
à la relation (2), pour laquelle n =^ 2 p -\- i , el réciproquement.

•24 CHAPITRE I.

13. Occupons-nous maintenant de Fétude des fondions uni-
formes sur une surface de Rieniann.

Si nous imaginons une des surfaces de Riemann précédemment
étudiées, nous dirons qu'une /o/ic/^'o/i v de z est uniforme sur la
surface de Riemann quand elle ne prend qu\uie valeur en chaque
point (z, u) de cette surface. Par exemple, une fonction ration-
nelle c:A.(^, u) de z et u est uniforme sur la surface de Riemann;
il en est de même des fonctions

eë\yz,u) ^ tang<R(^,?03

Si nous désignons, en général, par

v=f{z,u)

la fonction uniforme considérée, elle a, pour chaque valeur de ^3
distincte d'un point de ramification, deux déterminations

correspondant aux deux points analj'tiques (v, u^)^ (-3, f/o) super-
posés dans les deux feuillets. Les fonctions symétriques

^1 + Po et ^\ ^2

sont évidemment des fonctions uniformes de z dans le plan
simple des z] car, lorsque z décrit un contour fermé quelconque
dans ce plan, les deux déterminations v^ et v^ ne changent pas
ou se permutent entre elles.

Désignons par [z^^ Uq) un point de la surface de Riemann dis-
tinct d'un point de ramification : sur le feuillet correspondant
de cette surface traçons un cercle de centre (^o? ^^o) ^t de rayon o
assez petit pour que ce cercle ne contienne aucun point de rami-
fication; les points de la surface situés dans ce cercle constituent
ce qu'on appelle le domaine o du point (^o? Uq)- Dans ce domaine,
u et, par suite, v sont des fonctions uniformes de z.

14. La fonction i> est dite régulière diW point (^q, u^) si, dans un
certain domaine o de ce point, elle est développable en une série

= 2a.(

procédant suivant les puissances entières et positives de z

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS, 25

Si la fonction s'annule au point {zq, Uq), les premiers termes
de cette série ont des coefficients nuls, et le développement est
de la forme

r = (:; — ::o)'" [\m ^ A„,+i (^ — ^o) -^- • • ],

\m étant différent de zéro. On dit alors que le point (^05 ''0) ^st
un zéro d^ ordre m.

Si au point (zq. Uq) la fonction n''est pas régulière, ce point est
y\n point singulier. Nous ne considérerons que des fonctions ayant
des points singuliers isolés : alors, dans un domaine 8 suffisam-
ment petit du point (r^, Uq), il n'y a pas d'autre point singulier
que (^0, Uq). Gomme, dans ce domaine, v est une fonction uni-
forme de ;:; avec le seul point singulier Zq^ la fonction v peut d'a-
près le théorème de Laurent, être développée en une double série
procédant suivant les puissances positives et négatives de [z — Zq)

V= -00

la partie de ce développement qui contient les puissances négatives
de :; — Zq est \ii partie principale de v au point singulier (^05 ^^0)?
le coefficient A_, de est le résidu relatif à ce point. Si la

z — ^0
partie principale est une série illimitée, le point (zq^ Uq) est un
point singulier essentiel; si la partie principale contient un
nombre limité de termes, c'est-à-dire est un polynôme de degré ^

en 7-3JT"' 1^ point {zq, Uq) est un pôle d'ordre q.

15. Voici quelques remarques importantes au sujet des défi-
nitions qui précèdent.

L'intégrale-^^ l^^dz prise dans le sens positif sur le contour

du domaine & du point [z^^Uq), dans lequel les développements
précédents sont valables, est égale au résidu A_, relatif à ce
point : en effet, les intégrales de tous les termes de la série sont
nulles à l'exception de

-1-. f^^ d.,

■i-ij z — z^
qui est évidemment A_,.

9.6 CHAPITRE I.

En laissant de côté le cas où le point [zq^ Uq) est un point
singulier essentiel, on voit que dans tous les autres cas la fonc-
tion (' peut, dans le voisinage de ce point, s'écrire sous la forme

r = (^ - ^o)nBo+ Bi(-3 - ^o) + B2(^ - -o)- + ...],

où k est un entier positif, négatif ou nul et Bq un coefficient
constant différent de zéro. Si k est positif, le point [z^^ Uq) est un
zéro d'ordre k; si k est négatif, ce point est un pôle d'ordre — k;
si k est nul, ce point est un point neutre où la fonction est régu-
lière et ne s'annule pas.

Ce nombre k est le résidu de la fonction ," au point
(z-o, Uo)- On a, en effet,

c/logi^ _ k , n , p ., .^, .

— i • — H- Uo -h L. 1 { X, — ^07 + • • • >

az z — Zq

car, Bq étant différent de zéro, la dérivée logarithmique de la
série entière est aussi une série entière. Le résidu relatif au point
(^o> Uq) est bien k.

Considérons le point [zq, — Uq) superposé à {zq^ Uq) dans
l'autre feuillet et appelons v^ et ç-> les deux déterminations de r
dans le voisinage des points (^05 '^o)? (^o? — '^o)- Le résidu de la
fonction uniforme de ^, <^i-H^^2> au point Zq, est la somme des
résidus de r aux deux points (^o? '^0) ^t (^0? — z^o)- En effet, les

coefficients de — dans les développements en séries de c, et r.>

étant A_, et A'_, , celui de — dans (^, -\- To est évidemment

a_, + a:,.

Si aucun des points [zq^ Uq)^ {zq^ — ;^o) n'est un point singu-
lier essentiel, les développements de p, et ç^ sont, dans les do-
maines respectifs de ces deux points, de la forme

V, ~- (z-zoy'[B', + b; (.- - ^0) + B'2 {z - .-0)2 -f- . . . ] ,

avec Bq et B'^ différents de zéro. La fonction uniforme (^,(^0 sera
donc donnée par un développement contenant (z — z^Y^'^^' en
facteur; r,P2 admettra le point ^o comme zéro, infini ou point
neutre, suivant que k -\- k' sera positif, négatif on nul.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 27

i6. 11 s'agit d'étendre les définitions précédenles aux poinls de
ramification. Définissons d'abord, d'une manière précise, ce
qu'on appelle domaine d'un point de ramification ei : c'est l'en-
semble des poinls analytiques qu'on peut atteindre, en partant du
point e/, dans l'un ou l'autre feuillet, et assujettissant le module
de z — Ci à rester plus petit qu'un certain nombre ô, moindre que
la distance du point ei au point de ramification le plus rapproché.

Celte portion de surface de Riemann est représentée ci-contro
d'abord dans l'espace, en supposant les deux feuillets séparés
(comme dans la Ji^. 3); c'est la portion de surface située dans

Fiî

un cylindre de révolution, de rayon ô, ayant pour axe la ligne <?/<?/
normale aux deux feuillets P| et Po. Celte même portion de la
surface est représentée à côté, en projection sur le plan Po avec la
ligne de passage L issue du point <?/; la courbe limite est com-
posée de deux circonférences égales et superposées, de rayons o,
situées l'une dans le feuillet supérieur, l'autre dans le feuillet
inférieur, et se raccordant à la ligne de passage : on les a figurées
par des courbes un peu différentes d'une circonférence pour pou-
voir représenter les deux parties qui, en réalité, se recouvrent.
Cela posé, autour du point e/, les deux déterminations de u

.(^-e„;

se permutent. Si l'on pose

(3)

on a

z—ei= t^

t\/Xs/{ei

f^){ei

f^). ..^e/— e„— t-),

et chacune des déterminations de n est une fonction uniforme
de t pour des valeurs de t dont le module ne surpasse pas une

28 CHAPITRE I.

certaine valeur positive e, suffisamment petite. L'une de ces déter-
minations est donnée par un développement en série entière

(4) « = /(Go+ G,^2+C2^*-f-...)

et l'autre par la même série changée de signe; ces deux détermi-
nations se permutent quand t change de signe; elles sont données
aussi par la série

,, = {z- e,-)^[Co+ G,{z. - a) 4- G,(^ - etf^ . . . ]

convergente dans le domaine o = y/e du point e/, série dont le
premier facteur change évidemment de signe quand z tourne
autour du point et.

Quand t est connu, sous la condition | ^ | <; s, s et a sont déter-
minés sans ambiguïté par les formules (3) et (4), donc la fonc-
tion V n'a qu'une valeur; elle est une fonction uniforme de t.

La fonction ç est dite régulière au point et quand, pour des
valeurs suffisamment petites de ^, c'est-à-dire dans un domaine
suffisamment petit du point e/, elle est développable en une série

v=.o v=o

procédant suivant les puissances positives de t^ c'est-à-dire

de [z — <?/)^. Si la fonction v n'est pas régulière au point e/,
ce point est un point singulier^ nous envisageons seulement le
cas où c'est un point singulier isolé, c'est-à-dire où r n'a pas
d'autre point singulier dans un domaine suffisamment petit du
point Ci. Alors v étant, pour de petites valeurs de t, une fonction
uniforme de t avec un point singulier au point ^ = o, est, par la
formule de Laurent, développable en une double série

V=— 00 V = -oo

procédant suivant les puissances positives et négatives de
(::; — Ci)-. La partie formée par les termes à exposants négatifs

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 29

est la partie principale; quand cette partie principale est une
série illimitée, le point ei est un point singulier essentiel; quand
elle est limitée, ce point et est un pôle.

On appelle résidu relatif au point de ramification ei le double

du coefficient de 5 2A_2. Cette définition est justifiée par

les remarques suivantes. Le résidu en un point ordinaire (-^o, ;/o)

est égal à l'intégrale . 1 vdz. prise dans le sens positif sur le

contour limite d'un domaine infiniment petit du point (^o^ ''0) ; •!
est naturel d'appeler de même résidu au point ei la valeur de

l'intégrale —^-. 1 i'dz, prise sur le contour limite d'un domaine

infiniment petit du point Ci, domaine figuré précédemment
{Jig' 17); or, pour parcourir ce contour limite, la variable z doit
tourner deux fois autour du point Ci, ce qui donne pour l'intégrale

— : I vdz la valeur 2 A_o, car tous les termes de la série ci-dessus
ont des intégrales nulles, sauf le terme en dont l'intégrale

-i J z — Ci

d:

est égale à iK_2 quand z tourne deux fois autour du point e/.
Nous avons vu que la fonction uniforme de ;:;, v^ + v'o , a pour
résidu au point Zq la somme des résidus de v aux points super-
posés (:;o) "o) et (^05 — ^^o) • actuellement le résidu de r, + ('2
au point et est précisément égal au résidu de v au même point,
car on a

V = -f- 00 V V = -1-ao

Pi = ^ Av (^ — et)- y v,= ^ (—1 )v k^iz — et)'
= 2 2Aoa(3-^,■)^

Vi + w-2

1A = —

développement dont le résidu est bien 2 A_2.

Ecartons le cas où le point et serait un point singulier essen-
tiel : alors, dans le domaine de ce point, on peut écrire

f, 1

v^{z- e,)i[Bo + Bi {z-ay -+- B, (^ - ei) -+-... l,

3o CHAPITRE I.

oùBo est différent de zéro, k désignant un entier positif si la fonc-
tion s'annule au point <?/, négatif si elle devient infinie, nul si la
fonction est régulière et différente de zéro au point et. Dans le
premier cas (A\>o), le point c/ est appelé un zéro d'ordre A", dans le
deuxième cas (A <o), c'est un pôle d'ordre — A, enfin, si A: est nul,
le point Ci est un point neutre. Ce nombre A" est encore égal au

, . j . d logp . ^ (^ ^

résidu de — rf- au point a : en ellet, on a

dz

k
d\oiiv '}.

î— f [ G, + Cl {z -e/)2'-4- G, {z-ei).. . ],

dz z ~ e, . . ,

{^z — etY

développement dont le résidu est A'. On voit aussi que le point
Ci est pour la fonction uniforme i'i r^ un zéro ou un infini du
même ordre que pour la fonction c : en effet, les deux détermi-
nations Ti et V2 s'obtiennent dans le voisinage de et en changeant

le signe de {^z — ei)'^ ■>

P, = (^ - e,-) ' L Bo + B, (^ - e,-)^ + B2 {z-e{)^.. \ ,
v^=.{-Yf{z-eif\'^,-\>„{z-eif^\^,{z-ei)~..\,

Le produit v^ Co est donc bien égal à (^ — eiY multiplié par une
série entière en z — c/, non nulle au point ei.

17. Il nous reste à examiner les points à l'infini. Supposons
d'abord n pair et égal à ?,/? + 2 ; le point à l'infini dans chaque
feuillet est un point ordinaire : ces points se distinguent en ce que,

pour z infini, le rapport ^^^^ a une certaine limite +y/A dans

un des feuillets, et la limite — y/A dans l'autre. Prenons un de
ces points à l'infini oo, dans le feuillet V ^ ; nous appellerons do-
maine de ce point la portion du plan située dans le feuillet cor-
respondant à l'extérieur d' un cercle de centre O et de rajon R
assez grand pour que tous les points de ramification soient dans
ce cercle. Dans ce domaine, u et par suite ç sont des fonctions
uniformes de z. La fonction est régulière au point ooi si, dans le

SURFACES DE RIEM.VNN A DEUX FEUILLETS. 3l

domaine de ce point, elle est développable en une série

=2

\yZ-^

y = Q

ne contenant que des puissances négatives de z : si la fonction
étant régulière s'annule au point ce,, les premiers coefficients sont

nuls et si le développement commence par un terme en — ,1e point
Xi est un zéro d'ordre m.

Lorsque la fonction n'est pas régulière au point oc,, ce point
est un point singulier que nous supposerons isolé, c'est-à-dire
tel que dans le domaine du point ce, il n'y ait pas d'autre point
singulier. Dans ce domaine, la fonction est représentée par la
somme de la série

V

= 1

l'ensemble des termes à exposants positifs est la partie princi-
pale : s'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants positifs,
la partie principale se réduit à un polynôme de degré q

et le point oc, est un pôle d'ordre q. Dans le cas contraire, le
point co, est un point singulier essentiel.

Dans tous les cas, le résidu relatif au point x, est le coefficient
(\g - cJianiié de si^ne, c'est-à-dire — A,. Ce résidu est égal à

l'intégrale

4-/-^

prise dans le sens positif sur la circonférence limitant le do-
maine dans lequel le développement ci-dessus est valable, comme
on le vérifie immédiatement en remarquant que tous les termes
du développement ont des intégrales nulles, excepté le terme

en -•

z

En écartant le cas où le point x, est un point singulier essen-

32 CHAPITRE I.

lie], on a, dans le domaine de ce point,

I \ ^" / I T

oLi Bq est différent de zéro. Si l'entier k est positif, la fonc-
tion s'annule au point oc, qui est appelé un zéro d'ordre k : si
cet entier est négatif, la fonction devient infinie au point ce,
qui est un pôle d'ordre — k ; si k esL nul, le point cxd, est un
point neutre où la fonction est régulière et différente de zéro.
Comme en un point à distance finie, l'entier k est égal au ré-

sidu de — ~— au point oc,, car

d ioiiv k \ l r^ .,1 ^ \

dz

développement dont le résidu à l'infini est /■.

Pour le point à l'infini coo situé dans le deuxième feuillet, on a
des développements analogues. Si nous appelons c, et ç^ les dé-
terminations de V dans le domaine des points oc, et coo, A, et A',
les résidus respectifs de ces deux déterminations, k et A' les puis-
sances de - qu'elles contiennent en facteurs, la fonction uniforme

r, + To a pour résidu à l'infini A, + A', et la fonction uniforme
i-, i'o est, dans le domaine de ^ = ce, représentée par un déve-
loppement de la forme

contenant (-j en facteur, Gq étant différent de zéro.

Nous venons d'étudier le cas de n pair : passons maintenant au
cas de n impair, « = 2/? + i . Le point co est alors un point de rami-
fication et, dans la surface de Riemann, une des lignes de passade
va du point 62^,^1 à oc, la ligne Ls^ + i,^ ; décrivons de O comme
centre, sur la surface de Riemann, une circonférence de rajon R
plus grand que la distance du point O au point de ramifica-
tion le plus éloigné. Pour que cette circonférence se ferme, il faut
tourner deux fois autour du point O, car on change de feuillet,

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 33

comme le montre la fig. i8, en traversant la ligne de passage

Fiof. iS.

Les points de la surface de Riemann situés à X extérieur de cette
circonférence constituent le domaine du point ce.

Les valeurs de u el de z^ correspondant aux points analytiques
de ce domaine, peuvent s'exprimer en fonctions uniformes d'une
variable auxiliaire t par les formules

_ I _ \^\ v/( i—ei/-)(i —g.7 /-)...( i—e.>„^, f^)

où

Les deux déterminations de u s'obtiennent en donnant à t des
valeurs égales et de signes contraires. La fonction r est donc,
pour ces mêmes valeurs de ^, une fonction uniforme de f, et, en
supposant R suffisamment grand, on pourra développer la fonc-
tion i' en une série

.=;Sa..v

V:

L'ensemble des termes en z- à exposants positifs est la partie
principale. S'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants

positifs, la partie principale se réduit à un polynôme en :;- ; le
point à l'infini est un pôle. S'il n'y a pas de termes à exposants
positifs, la fonction est régulière au point ce, et enfin si le déve-
loppement commence par une puissance négative de z'- , le point oc
est un zéro.

A. ET G. 3

34 CHAPITRE I.

Le résidu au point oo est le double du coefficient de - changé de

signe — 2A2; c'est la valeur de l'intégrale—. / (^<i^, prise dans

le sens positif sur la circonférence qui limite le domaine du
point 00 dans lequel les développements ci-dessus sont valables,
cette circonférence étant, comme le montre la figure, parcourue
deux fois. Si l'on appelle <^i et (^2 les deux déterminations de c^ dans
le domaine du point gc, on a

V = -4-',oo ^ V=-t-oo ^^

V = — 00 V=: — 00

Le résidu de la fonction p» au point de ramification à l'infini est
donc encore égal au résidu de la fonction uniforme (^1+ Co à l'infini.

En écartant le cas où le point à l'infini serait un point singulier
essentiel, on peut, dans tous les autres cas, écrire la fonction ç
dans le domaine du pointc/D

- i

où Bo est différent de zéro; si l'entier k est positif, la fonction
s'annule au point de ramification 00; on dit qu'elle admet ce point
comme zéro d'ordre k ; si cet entier est négatif, la fonction devient
infinie au point co : on dit qu'elle admet ce point comme pôle
d'ordre — A; si /i = o, la fonction est régulière et différente
de zéro au point ce, qui est un point neutre. Le nombre A'

est encore le résidu de • — ^— au point ce. En appelant Vi et ^2 les

deux déterminations de ç obtenues en donnant à ( 7 )' des signes
contraires, on voit que la fonction uniforme Ti To est de la forme

elle admet le point go comme zéro ou comme infini du même ordre
que V.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 35

18. Parmi les fondions uniformes sur la surface de Riemann,
les plus simples, dont l'élude s'impose tout d'abord, sont les fonc-
tions rationnelles de z et u.

Soit

r = R(3,w)

une fonction rationnelle de z ^V u \ cette fonction v est une
fonction uniforme sur la surface de Riemann, car à chaque point
de celte surface correspond un seul système de valeurs de z et u^
et, par suite, une seule valeur pour c. Nous nous proposons
d'étudier les propriétés de cette fonction r.

La fonction rationnelle R(^, u) est le quotient de deux poly-
nômes en z et u dans lesquels on peut toujours remplacer les
puissances paires de «, u-^ , par leur valeur

A'7[( j - e,){z -e.,).. .{z — e,/)]'/.
et les puissances impaires u-^^^ par l'expression

u>^i [{z — e,){z — e.^). . .{z — en)]"! .

On amènera ainsi le numérateur et le dénominateur de r à ne
contenir?/ qu'au premier degré, et Ion mettra v sous la forme

Z3 -t- u Zi

Z,,Z2,Z3, Z4 désignant des pohnomes en :;. Multiplions et divi-
sons cette expression par le facteur

Z3 — Z/Z;

et remplaçons encore u- par sa valeur en fonction de z^ nous au-
rons V sous la forme

'= RW '

oii P(^), Q(:;), R(^) désignent des polynômes en z que nous
pouvons toujours supposer sans diviseur commun : si ces poly-
nômes avaient un diviseur commun, on le supprimerait au numé-
rateur et au dénominateur.

19. Cherchons quelle est la forme de la fonction ç dans le voi-
sinage d'un point ordinaire (-::o) ^'o) ^^ ^^ surface de Riemann.

36 CHAPITRE I.

Soil{zo,iio)unpo\nlde\diSUTÏ''dcedeR\emsinndlslinct d' un point
de ramification; nous l'appellerons pour abréger un point ordi-
naire de la surface de Riemann. Dans un domaine o de ce point
la fonction u, qui se réduit à Uonu centre du cercle, étant uniforme,
finie et continue, est développable en une série procédant suivant
les puissances entières et positives de z — z^ par la formule de
Maclaurin

u= Uo-] Uq -I- ^ -^ — w„ ^ . . . ,

les polynômes P(s), Q(;) et R(::) peuvent aussi être développés
suivant les puissances de (^ — ^o) par cette même formule, et
l'on aura, dans le voisinage de ^ = ^o^

F {z)+ uQ_{z)=^ a,^ ai{z — Zo)+ a.^z - z^^^ . . . ,

R{z) = Ro^{z-z,)\V,

1 .1

Koi 1^0 1 • • • désignant les valeurs du polynôme l\ et de ses dérivées
pour z = Zq; aQ^ ai, . . . des coefficients constants,

Pour traiter le cas le plus général, supposons a^, a^ . . ., a^. ,
nuls, avec a^ dilFérentde zéro, Ro, Rq^ • • • , t^o"~" nuls et R,,''^ diffé-
rent de zéro. On aura alors

P + ï^Q = (^ — 5o)'?[a,y + a^+-i(- — sj) + ... J,

d'où, en divisant,

^ = -^^^^ = ( — ^o)^-'' [ Ao + Al (^ - 5o) + A2(.- - ^o)^ -f- . . .] ,

où la série entre parenthèses est le quotient de la série

a./ + «7+1 (^ — -o) +. •.
par le polynôme

dont le premier coefficient est différent de zéro. Le coefficient
est par conséquent différent de zéro.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 87

Si ^ > /• la fonction r admetle point (^o, «o) comme zéro d'ordre
q — r\ si <7 < /• , elle admet ce point comme pôle d'ordre r — q',
enfin, si q =^ r, elle est régulière et diflerente de zéro au point
(^0, ^0)5 tpi 6st un point neutre.

i20. Voyons de même quelle est la forme de v dans le voisi-
nage &\m\ point de ramification. Soit <?/ un point de ramification;
écrivons u sous la forme suivante

1
u = {z — et)- Ui

avec

ui = y/(^c — ei)(z — Ci) ... {z— ei-x)K^ — ^i-^\) • • • K^ — ^^n)^

le facteur z — et étant laissé de côté sous le radical. Les deux dé-
terminations de Ui sont, pour des valeurs suffisamment petites du
module de :; — ei^ développables en série de puissances entières
et positives de z — ci : l'une de ces déterminations sera donnée
par la série

Ui = <7o -f- a^{z— e/)-f- aAz — ^/)- -h. . . ,

l'autre par la même série changée de signe. On a alors, pour des
valeurs suffisamment petites de (.3 — <?/),

u = (z — eiy^ [rto-^«ri(-— ei)-^a=i{z—eif-^. . .].

Cette expression donne les deux déterminations de u autour du
point <?/, car, lorsque z tourne autour de e/, le premier facteur

{z - e^f
change de signe.

En développant P, Q, R suivant les puissances de z — ei, on
aura

P 4- «Q = ^>o -^ ^1 (- - eiY -hb^iz- Ci) -h b,{z — e^y^. . . ,
R = Co -+- Ci(^ — ei) -+-c.2{z — eiy . ..,

dont la première procède suivant les puissances entières positives

de (z - ay.

Pour traiter le cas général, supposons nuls les coefficients
bo,bi, .. .,bq-i, Co, Cl, . . ., c,._i,

38 CHAPITRE I.

les coefficienls bg et Cr étant différents de zéro. On aura

P -+- i.Q :^ (^ - eiY' \h, -\- b,^y{z - eiY -4- VaC ^ -et) +...],
R = (^ — et)'- \Cr-\- Cr+i {z — Ci) -|- C^+o ( - — e/)2-}-.. .];

d'où, en divisant.

P-f-wQ

(]—ïr

D'après ce développement, le point a est un zéro d'ordre
q — 2r, ou un pôle d'ordre ir — ^, ou un point neutre, suivant
que q — ir est positif ^ négatif on nul.

21. Voyons enfin les points à V infini. Si n est pair,
et égal à 2/j) -h 2, il y a vin point à l'infini dans chaque feuillet ;
étudions la forme de la fonction dans le voisinage de l'un de ces
points, le point oo, par exemple. On a, pour des valeurs de z
dont le module surpasse une certaine limile p suffisamment
grande,

u = ..*. v/Â^/(,-^)(.-'^)...(>-^

ou

u ^ zi>+^ /a ( I -1- — + —-}- .

I

^2 —

Donc P + wQ est de la forme

(Iq étant différent de zéro et q un entier positif ou négatif. On a
de même

r désignant le degré de R : donc, en divisant et supposant le
module de z plus grand qu'une limite convenable,

. = — ^^ - Ao-hA.--.A

•i-)

On voit que le point oo^ est un zéro d'ordre r — q ou un pôle

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. oQ

d'ordre q — r, suivant que /' — q est positif ou négatif^ quand
/' — <y = o, la fonction est régulière et différente de zéro au
point oc,. On aura un résultat analogue dans le domaine du
point ooo.

Soit n impair, n ^= ip -\- i. Il y a un point de ramification
à rinfini et l'on a, dans un domaine convenable du point oc,

"--v/Vo-ï)0-ï)...0-^>

i^/X(I + ^^-^^

d'où

P

— wQ = ^2 [^«o-i-«i (l)"-^«2 (-\ ^^M J)''"^•••

R = ^'^ ( 60 -+- 61- 4-. . . -t- br —

et en divisant

ir — q

P

i^=er[A,.A,(i)^..i.A3(i)^...].

Le point de ramification à l'infini est donc un zéro d'ordre
ir — q ou un pôle d'ordre q — 2/-, ou un point neutre, suivant
que ir — q est positif, négatif ou nul.

22. 11 résulte de ce qui précède qu'une fonction rationnelle en
z et u est une fonction uniforme sur la surface de liiemann,
n'ayant à distance finie ou infinie d^ autres points singuliers
que des pôles.

Réciproquement, une fonction v uniforme sur la suif ace de
Riemann, et n^ ayant pas d'autres points singuliers que des
pôles, est une fonction rationnelle de z et u.

En effet, appelons u^ et u.2 les deux déterminations de z^ cor-
respondant à une même valeur de ^, ^, la valeur de la fonction ç
au point {z^u^) de la surface de Riemann, V2 sa valeur au point
(3, U2). Posons

4o CHAPITRE I.

les fonctions ^(z) et ^(z) étant définies par ces équations mêmes,
qui donnent immédiatement

comme on le voit^ en ajoutant et s'appujant sur ce que u^ -h 1/2= o.
Ces formules montrent que 'f(^) et ^(z) sont des fonctions
uniformes de z\ en effet, z étant donné, u,^^ u^-, iU et ç^ ont des
valeurs bien déterminées; quand z décrit une courbe fermée dans
le plan simple des z, u^ peut se permuter avec a^.-, mais alors v^ se
permute avec ^2 , et les fondions symétriques cp(^) et ^(s) ne
changent pas. De plus, ces fonctions uniformes o et ^ n'ont pas
d'autres singularités que des pôles; car, dans le voisinage d'un
point ordinaire (^Zç^^ Uq\ les développements en série de p< , ^'2,

— ■) — ne contiennent qu'un nombre fini de puissances néf>atives

de ^ — Zq\ il en est donc de même de o et t!;; dans le voisinage

d'un point de. ramification e/, les développements de v^. ^2, —

et— ne contiennent qu'un nombre fini de puissances négatives

de \l z — <?/; lorsqu'on forme les combinaisons v^ + v», — h — ^>

les puissances fractionnaires disparaissent et o et 'h n6 contiennent
qu'un nombre limité de puissances négatives de (^ — <?/) ; le même

fait se présente à Tinfini à l'égard de • Les fonctions 'z> (z) et

tj>(s), étant uniformes dans tout le plan simple des ^, et n'ajant
d'autres singularités qne des pôles, à distance finie et infinie, sont
des fonctions rationnelles de z. La fonction r, étant égale à
'j(z) -^ u^(z) en tous les points delà surface de Riemann, est
donc une fonction rationnelle de zet de u.

Le raisonnement qui précède montre que l'expression géné-
rale d'une fonction uniforme sur toute la surface de Riemann
est ç = 'f (^) -f- uà(z)^ cp et 6 étant des fonctions uniformes de z.
Si la fonction ç n'admet qu'un nombre fini de points singuliers
sur toute la surface, ^ (z) et à (z) n'admettent également qu'un
nombre fini de points singuliers dans tout le plan de la va-
riable z.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 4l

23. 11 est important de remarquer que toute fonction v uni-
forme sur la surface de Rieinann et régulière en tous les points
de cette surface, à distance finie et infinie, est une constante.

En effet, appelons v^ et ^2 les deux déterminations de cette
fonction correspondant à une valeur de :; , on verra, comme
ci-dessus, que les fonctions

sont des fonctions uniformes de z. Ces fonctions sont, de plus,
régulières pour toutes les valeurs de z finies et infinies : ce sont
donc des constantes. Les deux déterminations, i', et Co, sont
racines d'une équation du second degré à coefficients constants :
elles sont constantes. Gomme ces deux déterminations deviennent
égales aux points de ramification, elles sont égales à une même
constante, et la fonction v est constante.

24. La somme des résidus d'une fonction rationnelle r de u
et Zj en tous les points de la surface de Riemann, à distance
finie et infinie, est nulle.

En efi^et, appelons t'i et T;. les deux déterminations de r en deux
points superposés des deux feuillets : nous avons démontré, au
moment de la définition même des résidus, que, en un point ordi-
naire Zq, le résidu de la fonction uniforme r, -f- To est égal à la
somme des résidus de v aux deux points superposés (^o^ ^^o)
et (^0? — lia)-) et que, en un point de ramification, le résidu de
i'i H- To est égal au résidu de v en ce point. Donc la somme des
résidus de v est égale à la somme des résidus de la fonction uni-
forme v^ -h i'o, qui, d'après les relations

2P

se réduit à la fraction rationnelle-^- Comme la somme des ré-

sidus d'une fonction rationnelle est nulle, le théorème est dé-
montré.

Ce théorème s'étend à une fonction n'ayant qu'un nombre
fini de points singuliers, parmi lesquels des points singuliers
essentiels.

4'2 CHAPITRE 1.

Voici une conséquence importante de ce théorème :

Le nombre de zéros d'une fonction rationnelle de z et u
sur toute la surface de Rieniann est égal au nombre des infinis
de cette fonction, chacun des zéros et chacun des infinis étant
compté avec son degré de multiplicité.

Pour le démontrer, il suffît d'appliquer le théorème précédent
à la dérivée logarithmique de la fonction (^,

dlogv I dv
dz V dz

qui est évidemment une fonction rationnelle de u et z, puisque la

dérivée -,- est une fonction rationnelle de u el z.
dz

Nous avons établi, en effet, que les seuls points singuliers de la

C ' d loiïP ^ ^ . • ^ • 1 1

ronction iv = — ^ — , ou le résidu ne soit pas nul, sont les zéros

et les iniinis de (^; en un zéro de ç le résidu de iv est égal à l'ordre
de ce zéro, en un infini de (^ le résidu de w est égal à l'ordre de
cet infini changé de signe, et en un point neutre de ç le résidu
de iv est égal à zéro. La somme des résidus de (v étant nulle, la
somme des ordres des zéros de ç est égale à la somme des ordres
des infinis.

On peut aussi établir ce théorème en remarquant que la diffé-
rence entre la somme des ordres des zéros et la somme des ordres
des infinis de ç est égale à cette même différence pour la fonction
rationnelle

car nous avons vu que chaque zéro et chaque infini de ç donne un
zéro ou un infini du même ordre dans Çi (^2- Gomme le nombre des
zéros de toute fonction rationnelle de z est égal à celui des
infinis, le théorème est démontré.

2o. Nous appellerons ordre total d'une fonction rationnelle ç
de z et u le nombre de ses infinis, chacun d'eux étant compté
avec son degré de multiplicité. Le nombre des zéros est aussi égal
à l'ordre de la fonction. Si l'on appelle Çi et v^o les deux détermi-

SURFACES DK RIEMANN A DEUX FEUILLETS. {3

nations de r, l'ordre est le nombre des infinis ou des zéros de la
Ibnction rationnelle

L'équation

^' — G = o,

où G désigne une constante arbitraire, a, sur toute la surface de
Riemann, un nombre de racines égal à Tordre total de v; car
la fonction ç' — G est rationnelle en z et u, et le nombre de ses
infinis, c'est-à-dire l'ordre total de cette fonction, est le même
que celui de r.

26. Exemple. — Soit u-
rationnelle

; considérons la fonction

z — 1

et déterminons ses infinis, ses zéros, ses résidus.

A distance finie, le seul infini est le point de ramification .: = i .
Si l'on fait c = i -j- :?', on a, dans le voisinage de :;'= o,

!'t -^ z'y*— U(\

»■- T

1 ' ^

'2

(--.)=

4--(.-)-^-^

Le point de ramification ^ ^^ i est donc un pôle du second

ordre, le résidu étant égal à 2.

Les seuls zéros à distance finie sont les points ^ := o, u =^ziz i,

car l'équation

z'*-^ uz- = o

donne ^-=0, ou z- ^= — u, équation qui n'a pas de racine à
distance finie.

44 CHAPITRE I.

Prenons le zéro j;^ =z o, u = /, on a, dans le domaine de ce
point,

I

— I '^

c'est donc un zéro d'ordre 2 ; le point ^ = o, u=: — / est de même
un zéro d'ordre 2.

Points à V infini. — Les points à l'infini dans les deux feuillets

se distinguent en ce que, pour l'un d'eux ce, , le rapport -- tend

vers -f- I , et, pour l'autre oo^, vers — j .
Dans le voisinage du point 00,, on a

-(-ir-(-.;T.

Z _ I I

— 1 z z-

r (

V = Z-' \7. ; + .

2 •}. 1 3 I

p = 5-Mîi-+-- + — H- — + - —

Le point 00, est donc un pôle d'ordre 3, et le résidu en ce

3
int est

'1

Enfin, dans le vaisinage du point cc^,

1

1 I

[

2 z*

donc

I I

- H

z z-

_ I I

1Z 2^2

m

La fonction est régulière au point cca, qui est un zéro du pre-
ier ordre; le résidu du point 0C2 est — -•

SLIIFACES DE UIEMANN A DEUX I EUILLETS. 4^

En résumé, on a le Tableau suivant :

Points

Nature

analytiques.

des points.

Résidus.

= I, u = o.

Pôle d'ordre 9.

•?.

= o, u -^ i.

Zéro d'ordre 2

0

= o, H - — i.

Zéro d'ordre 2

0

u

Pôle d'ordre 3

3
2

u

Zéro d'ordre 1

1
2

I.a somme des résidus est nulle; la somme des ordres des zéros
est 5; celle des ordres des infinis est aussi 5.

L'ordre total de la fonction v est 5. Il est aisé de véiilîer que
l'équation (' = C a 5 zéros, quel que soit C.

27. Nous allons introduire maintenant, en suivant une méthode
de M. Weierstrass, une notion d'une grande importance, celle du
genre d'une relation algébrique.

Une fonction uniforme de c régulière en tous les points à dis-
tance finie et à l'infini étant une constante, une fonction rationnelle
de z devient infinie au moins en un point. Nous avons remarqué
(Introduction) que l'on peut former une fonction rationnelle de z
avec des pôles arbitraires et des parties principales également arbi-
traires : par exemple, la fonction

devient infinie en un seul point arbitraire a avec un résidu arbi-
traire A.

Il en est autrement pour les fonctions rationnelles de z et u^
u étant lié à z par l'équation

u'^ = X{z — ey^{z — e-i) . .. {z—en),
avec

n = 2p -T- 1 ou n = ip -T- 2.

Si une fonction r, rationnelle en z et u, devient infinie en
un seul point analytique {z^, Uq) arbitraire, l'ordre de cet in-
fini ne peut pas être moindre qu'un certain nombre entier.

4b CHAPITRE 1.

Cet ordre minimum diminué d'une unité se nomme, d'après
M, Weierstrass, le genre de la relation algébrique entre u et z^
ou encore le genre de la surface de Riemann correspondante.

Un point analytique arbitraire est un point dont on peut faire
varier à volonté la position sur la surface de Riemann; ce point
est donc supposé distinct cV an point de ramification. Nous
allons démontrer que le genre des surfaces de Riemann précé-
demment étudiées est égal à y?, si n — - ip -\- i ou ip -4- 2. Cher-
chons à former une fonction v rationnelle en z et u avec un pôle
d'ordre r au point (^07 ^^o)- Cette fonction r peut s'écrire, comme
nous l'avons vu,

P, Q, R désignant des polynômes en z sans diviseur commun.

Remarquons que, si un point ^0 distinct d'un point de rami-
fication est une racine d'ordre A' du polynôme R(5), la fonc-
tion V admet au moins un des deux points analytiques (i^o? i/o)>
(^05 — ^^0)7 correspondant à ^ = ::o 7 comme pôle d'ordre A". En
effet, on ne peut pas avoir en même temps

P(xJo)^«oQ(^o) ^ o, P(x;o) — «oQ(-o) ^ o,

car, «0 n'étant pas nul, on aurait

P(^o)-o, Q(^o)-o

et les polynômes P, Q, R admettraient un diviseur commun
(5 — ^o)- Supposons, pour fixer les idées, P(3o) + ?/oQ(^o) dif-
férent de zéro : alors la fonction r devient infinie d'ordre k au
point analytique (^o? «o)j et la proposition est démontrée.

Si le polynôme R(5) admet ei pour racine d'ordre A, et siP(<?/)
n'est pas nul, le rapport v devient en et infini d'ordre 2 A, car,
d'après les conventions antérieurement faites, on prend comme

infiniment grand principal . Si P(e/) est nul, Q(c/) ne

peut pas l'être, P, Q, R n'ayant pas de diviseur commun. Dans ce
cas, on peut supprimer au numérateur et au dénominateur de v le
facteur y/ ;^ — <?/ et la fonction v devient au point et infinie d'un
ordre 2 A — i, au moins égal à i .

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 4?

Ces remarques étant faites, puisque la fonction doit devenir
infinie d^ ordre r au seul point (^o? "0)5 1^ polynôme R(-3)
ne doit pas admettre d'autre racine que z^^z^^ au degré r de
multiplicité. Car, si ce polynôme admettait une autre racine, la
fonction v deviendrait infinie en d'autres points analytiques d'après
la remarque précédente; et, si ce polynôme admettait la racine s©
à un degré k différent de r, la fonction v admettrait l'un des deux
points analytiques (^0? "0) o^^ (^07 — ^^0) comme pôle d'ordre k ;
elle ne remplirait pas les conditions demandées.

On a donc, en négligeant un facteur constant,

R(^) = (,3-.-o)''.

Pour z = Zqj la fonction u a deux déterminations Uq et — //(, :
la fonction ç devant devenir infinie d'ordre r au seul point
(^0, Uq) et devant rester finie au point (^07 — ''0)7 le numérateur

P(^)-^ uQ_{z)

doit admettre le zéro (sq, — Uq) à l'ordre /' de multiplicité. Le
développement de P(^) 4- ?<Q(^) par la formule de Taylor, au
voisinage du point (Zq, — Uq)^ doit donc contenir (:: — ::o)' en
facteur, ce qui s'exprime en écrivant que cette fonction et ses
(r — i) premières dérivées s'annulent en ce point.

Il faut, en outre, que la fonction ç soit finie à l'infini. Donc :
i^ Si P('3) n'est pas identiquement nul, son degré est au plus
égal à /■ ; 2" Si Q(-3) n'est pas identiquement nul, son degré est
au plus égal à /■ — p — i .

En effet, à l'infini, u est d'ordre p -h - en z quand /? = 2/; -4- i ,

et d'ordre /? -f- i quand n^= 2p -\- 2. Donc, si le degré de P dépas-
sait /', ou si celui de Q dépassait r — p — i, l'une au moins des
déterminations du numérateur serait à l'infini d'un ordre en z
supérieur à r, et le rapport

V =

R

deviendrait infini, au moins dans un des feuillets, pour z infini.

Ces conditions ne peuvent pas être remplies si l'ordre /■ est
inférieur k p -\- i ; car alors, si Q n'était pas identiquement nul.

4« CHAPITRE 1.

son degré serait négatifs ce qui est absurde. Le poljnonie Q
étant identiquement nul, le numérateur P -t- wQ se réduit à P,
et, comme le développement de P-h^^Q suivant les puissances
de z — ^0 dans le voisinage du yjoint (sq, — Wo) doit contenir
(^ — ^o)'' en facteur, le polynôme P de degré /• doit contenir
{z — ^o)'' en facteur : il est donc égal au produit de (^ — ^o)'' par
une constante, etl'on a

ç = const.

Donc, Vordie r du pôle unique {zq^ u^) de ht fonction v ne
peut pas être inférieur à p-^\. Le genre est bien /?, comme
nous l'avons annoncé.

La fonction ç existe, au contraire, si r^p + i. Par exemple,
si /'=^-]-i, elle est entièrement déterminée à une constante
additive et à un facteur constant près. En effet, Q(^) devant
être de degré zéro, se réduit à une constante C. Le polynôme
P(^) de degré />> + i est assujetti à cette condition que le déve-
loppement de

dans le voisinage de ^ = i^o? u^= — if^a-, contienne [z — ^o)^^' en
facteur. On a donc

P(-^)

+ X{z-z,)P^^,

A désignant une constante : d'où enfin résulte pour v l'expression

{z — z^)-\-...^ "'^ {z — Zç,)P-^U

u\

= A + G— ' '-''-P

^z-z,y^-^

avec deux constantes arbitraires A et C.

Nous avons supposé le point {zq, Uq) arbitrairement variable
sur la surface et distinct des points de ramification. Une fonction
ayant un seul pôle placé en un point de ramification peut y de-
venir infinie d'un ordre moindre que (p -+- 1). Ainsi, quel que soit
le genre, la fonction

SURFACKS DE HIEMANN A D E U \ F E l I L LET S. 49

devient, au seul point de ramification <?/, infiniment grande du
second ordre.

28. On peut généraliser le résultat précédent en cherchant
à former une fonction r, rationnelle en z et u, ajant q pôles
arbitrairement choisis (a, , 6| ), . . . , (a^, 6^), distincts des points
de ramification, avec des degrés de multiplicité déterminés a,,
a^j, .. ., ay. Cette fonction sera d'ordre

Elle n'existe, on le voit, comme tout à l'heure, que si r^p -f- i.
Les polynômes P, Q, R sont alors assujettis aux conditions
suivantes : R est déterminé, à un facteur constant près,

R = (^ - «1 )^> (^ - a,y^^ ...{z- aq)y-, ;

P est de degré au plus égal à r, Q de degré au plus égal à
/• — p — I ; le numérateur P -t- ;<Q, développé par la formule de
Tajlor, doit contenir (; — «t)^' en facteur dans le voisinage de
(«,, — /;,), (-3 — ao)^^ en facteur dans le voisinage de («2, — 60), ...,
(r — t/^)^*? dans le voisinage du point (<^y, — ^y).Le polynôme Q
étant choisi arbitrairement du degré r — p — i, le poljnome P
est de la forme P=: AR-f-P,, A désignant une constante et P,
un polynôme de degré /• — i entièrement déterminé par les con-
ditions précédentes : on connaît en effet les valeurs de P, et de ses
(a, — i) premières dérivées pour z=^ a^^ les valeurs de P, et de ses
(ao — i) premières dérivées pour z =: a,, etc., ce qui donne,
comme il est connu, ;• conditions déterminant les /• coefficients
de P,. {Voir un article de M. Hermite, Journal de Crelle, t. 84-,
p. 70).

L'expression de v est donc

^-'^^ — wj) — '

où A est une constante arbitraire et Q(^) un poljnome arbitraire
de degré r — p — 1. Cette expression contient, outre A, /• — p
constantes arbitraires d'une façon linéaire et homogène. Dans le
voisinage de chaque pôle, les coefficients de la partie principale
sont en nombre égal au degré de multiplicité du pôle : il y a donc
A. ET G. 4

50 CIIAPITUE I.

en tout /• coefïîcients des parties principales. Ces coefficients
étant des fonctions linéaires et homogènes des /• — /> constantes
qui figurent dans Q (:;), il y a entre eux p relations.

29. Formons ces relations dans le cas simple où tous les pôles
sont du premier ordre,

ai = «2 — . - . = a^ -- I .
Alors rz q^

R = (^ — ay)(z — a,) ...(z — a,.) ;

Q(^) est de degré /• — p — i , Viz ) de degré i\ et l'on a

P(ai)-^6iQ(ai)=ro, ï\a,)~b^(l{a^)r^o,
V{ar)-b,.C){ar) =0,

puisque P-f- wQ doit s'annuler aux: points (a, , — ^i ), (ao, — ^2)?
. . . , [ar, - bf). Si l'on fait

P(^) = AR(^) + Pi(>),
P, étant de degré /' — i , on aura

Pi(«i)-: 6iQ(ai), Pi («2)-- ^2QC«2),
Pi («,.)=. b,(){a,.),

relations qui déterminent enlièiement le polynôme P,(:;), doni
on peut écrire l'expression par la formule de Lagrange.

On obtiendra une forme remarquable de v par la méthode sui-
vante, qui fournit immédiatement les/> relations entre les coeffi-
cients des parties principales relatives aux pôles (a,, 6,), ...,

Décomposant rrrr^ ^^ r7^" ^" tractions simples, on a

P , C, G, C,.

K z — «1 z — a=> z — Ur

Q_ Al A, A,.

R z — ci\ z — a=i z — cip

P + mQ , Cl -f- Al M C^-\- X^ii G,.-fA,. w.

V = ■ — p r-^ A H i -— + . . . H — ,

R z — «1 z — a-i z — ar

A, Cl, . . . , Cr, A, , Ao, . . . , A,^ étant des constantes.

SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 5l

Pour z := a^, 11= — bij là valeur de ç doit rester Jinie, car la
fonction v doit avoir le pôle («, , ^, ) et non (a^ , — bi). On a donc

A;.^;.

Cl

-A

1^1

=

o\

de

même

C,-\,b,

= 0,

•

• • )

G.

et

la fonction ç s'écrit

(a;

1 V =

A -+- Al

'A^ ^

A,

U -h

l>:

\ -

fonction qui, à distance finie, admet évidemment les seuls pôles
(«,, bi ), («25 ^2)? • • • j {(^r, br) du premier ordre.

Mais les coefficients A,, Ao, . . . , A^ ne sont pas arbitraires :

en effet, ce sont les résidus de la fraction rationnelle ^, dans la-

K

quelle le degré du numérateur est r — p — i, celui du dénomi-
nateur étant r. La somme des résidus de cette fraction rationnelle
à distance finie est donc nulle, et il en est de même de la somme
des résidus des fractions

_, -j^, ..., ___,

car le degré de z-P-^ Q est encore inférieur de deux unités à celui
du dénominateur, de sorte que le résidu à l'infini est nul.

On a donc, entre A,, Ao, . . . , A^ et a,, «2, ..., «r les/? rela-
tions nécessaires

A,-i- A2-1-. . . — A,. = o,

Ajai-j- A2a2-{-. . --^ A^a,. = o,

(3) { Ai«f-f- A,a2_|_. __i_ \^.^2_ o^

Al <-i ~ A,«5-i -. . . -f- X,aP,-^

Ces relations sont suffisantes pour que la fonction trouvée
remplisse toutes les conditions demandées. En effet, on vérifie
que, si ces conditions sont remplies, la fonction v définie parla
relation (a) est finie à l'infini. Par exemple, si n est pair
et égal à 2/? -t- 2, on a dans le voisinage du point x, dans l'un des
feuillets

Il = v/Â Z^/'+i-f- Go^P+ Gi^/'-i + . . . + C/,_, z -^ G,,-- li^±i ^. . . V

62

puis

«i

CHAPITRE

T «1 af

T «2 <^l

^r^

^v

et ainsi de suite. Subslituant ces développements dans l'expres-
sion (a) de ç et tenant compte des relations ([^), on voit que les
coeflicicnts des puissances positives de z sont bien nuls.
Si 71 est impair, /i = 2/> + i , on a pour z infiniment grand

Il z= y/A I z 2

n 1

Cos

'P-\

iMïf-A

et, en vertu des relations ([^), les coefGcients des puissances posi-
tives de z dans le développement de ^^ disparaissent encore.

Le résidu relatif au pôle («i, b^) étant, d'après l'expression (a)
de r,

Bi=:2Ai6i,

et les résidus relatifs aux autres pôles

les /? relations ([3) donnent, entre les résidus B,,Bo, ..., B^., /?
relations de la forme

Bi

al T> «« ^ a

hi

bo b,.

{k

2, .

0-

Les relations (jB) rendent évident ce fait que nous avons déjà
démontré autrement, que r doit être au moins égal kp -f- i.

Eq effet, si l'on avait 7'^/>, ces relations linéaires et homogènes
en A, , Ao, . . . , A^ donneraient pour tous ces coefficients des va-
leurs nulles, car le déterminant des coefficients de k^^ A^, ...^
A^, dans les r premières relations, est

«1

I

«2

al

SURFACES DE RIE M A NX A DEUX FEUILLETS. 53

déterminant qui est différent de zéro, puisque toutes les quantités
«, , rto) • • : (^r sont supposées différentes.

Si les points («i , b^ ), (a^j ^2)7 • • • ? (<^rj ^r) n'étaient pas arbi-
traires, c'est-à-dire variables indépendamment les uns des autres,
la fonction v pourrait exister pour r <^/? + i . Par exemple, si l'on
prend les deux points (<7,, 6,), («,, — ^,), qui sont superposés
dans les deux feuillets, il existe une fonction admettant seulement
ces deux pôles au premier degré, c'est

A:

30. Nous venons de voir que le genre de la relation

if2= k{z — ex){z — ei) . ..{z — en)i

où n=z 1 p -\- i ou ip -f- 2, est p.

Le genre des deux relations prises d'abord comme exemple,

(5) u'^ = z, u-= X{z — ei){z — e-i),

est zéro. On peut donc former une fonction rationnelle de z et u
avec un seul pôle du premier degré placé en un point arbitraire;
sous ce rapport, ces fonctions sont de même nature que les fonc-
tions rationnelles d'une variable représentée sur le plan simple.
La raison en est que l'on peut exprimer, dans les relations (5), u
et z en fonctions rationnelles d'un paramètre ^, de telle manière
qu'à chaque valeur de t réponde un seul point (:?, u) de la sur-
face de Riemann et réciproquement ; pour employer un langage
géométrique, cela tient à ce que les courbes (5) sont unicur-
sales.

En effet, pour la première des relations (5), il suffit de poser

z = t\ u = t,

et pour la seconde

u=ts/X{z — ei),
\ d où

z

- , u = /a

i- et l'on voit que la condition est réalisée. En imaginant le plan

54 CHAPITRE I. — SURFACES DE RIEMANN, ETC.

simple des t^ on peut dire qu'à chaque point du plan simple des t
répond un point de la surface de Riemann et réciproquement.
La surface de Riemann peut donc être représentée point par point
sur un plan simple : l'étude des fonctions rationnelles de z et u
se ramène alors à l'étude des fonctions rationnelles de t et in-
versement.

INTÉGRALES II Y PE R E L L I PT I Q L ES. 55

CHAPITRE II.

INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES (»).

Propriétés générales. — Singulai'ités des intégrales hyperelliptiques. — Différentes
espèces d'intégrales.— Le nombre des intégrales de premièi^e espèce est égal au
genre. — Intégrales de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques.
— Intégrales de deuxième espèce avec un seul pôle. — Mojen de déduire ces
intégiales de celles de troisième espèce. — Expression d'une intégrale hyperel-
liptique quelconque à l'aide d'intégrales des trois espèces. — Expression d'une
fonction rationnelle par une somme d'intégrales de première et de deuxième
espèce. — Décomposition en éléments simples. — Exemple. — L'intégrale élé-
mentaire de deuxième espèce est une fonction rationnelle du paramètre. — Expres-
sion d'une fonction rationnelle à l'aide d'intégrales de première et de troisième
espèce.

31. Soit (' une fonction rationnelle de :? et u

'= KÎV) '

(intégrale

Az,iù

}{z,u) = j vdz

est une intégrale abélienne attachée à la relation

ir- = k{z~ ex){z~e^_) ..Az — €n),

ou à la surface de Riemann correspondante. Les intégrales abé-
liennes ainsi formées se nomment JivperelUptiques (-). On sup-
pose la limite inférieure placée en un point analytique déterminé
[zq^ Uq) de la surface de Riemann, et l'intégration effectuée le

(' ) Ouvrages à consulter : Nkumanx, Théorie der Abelschen Intégrale: Clebsch
et GoRDAX, Théorie der Abelschen Functionen : erster Abschnilt.

(*) On d^'^eWe, en ^éï\éva\, intégrales hypeielliptiques ceWes qm ne contiennent,
sous le signe d'intégration, d'autre irrationalité qu'un radical carré portant sur
un polynôme d'un degré supérieur au quatrième. Toutefois nous conserverons
ici le même nom, quel que soit le degré de ce polynôme.

56 CHAPITRE II.

long d'une certaine courbe tracée sur la surface et aboutissant au
point analytique [z^ u)^ qui forme la limite supérieure. La valeur
de l'intégrale est une fonction de la limite supérieure, c'est-à-dire
du point analytique (;:;, «)•, elle dépend aussi, dans une certaine
mesure, du chemin d'intégration allant du point (^o^ ^^o) ^^^ point
(s, u). Quand, ces points restant fixes, le contour d'intégration
varie, les différentes valeurs que peut acquérir l'intégrale ne dif-
fèrent que par certaines constantes additives appelées modules de
périodicité, car toutes ces valeurs de l'intégrale ont même dé-
rivée V par rapport à :;.

32. Nous allons d'abord étudier la nalure des points singuliers
d'une intégrale lijperelliptique sur la surface de Riemann.

Si en un point à distance finie de la surface de Riemann la

fonction ç est régulière, l'intégrale J(^, u) est aussi régulière

en ce point. Gela résulte immédialement de ce que l'intégrale

d'une série procédant suivant les puissances positiçes croissantes

1
de z — Go ou de (z — Ci)'^ est une nouvelle série de même foime,

convergente dans le même domaine que la première.

Voyons maintenant comment se comporte l'intégrale J(g, u)
dans le domaine d'un pôle de la fonction ç. Soit («a, b/() un pôle
de P", d'ordre m^ placé en un point ordinaire de la surface à dis-
tance finie. Dans le domaine de ce point on a, en appelant Ryi

le résidu de i^ et écrivant le premier le terme en -^ —

-h Ao-+- Ai(^ — «A-) -i- AaC^ — a/,)--^

En intégrant et désignant par G une constante d'intégration, on
a l'expression suivante de l'intégrale, A^alable dans le même do-
maine 0 du point [aji^ b^),

A— m A_,,,.+-i

J(.^, u)=C-i- Ra- log(^ - a^-) -

(m — i)(^ - a/,)'«-i {m — ■j.){z — a/,)

iii — i

A_2 . , . . iz — ai,.f-

z — ak 1

Donc, lorsque le résidu R/; est nul, l'intégrale J(g, u) est uni-

INTÉGRAL KS II Y PEU E L L I PT I Q U ES. 67

forme dans le domaine o du point (a^, bh) qu'elle admet comme
pôle d'ordre m — i. Mais, lorsque le résidu R/f n'est pas nul, l'in-
tégrale n'est plus uniforme dans le domaine o : elle augmente de
27r«RA quand le point (z^u) décrit, à l'intérieur de ce domaine, un
contour fermé tournant une fois dans le sens positif autour de
(«A) bk)' On dit alors que le point (a^, bk) est un point singulier
logarithmique de l'intégrale.

Soit maintenant un point de ramification^/ que la fonction r
admet comme pôle d'ordre /??, le résidu étant R/. On a, dans un do-
maine 0 du point ei, en écrivant d'abord le terme en ,

^ - — ei

_ ^^' , -^-/n _^ A-;„+i ^ A-3

-i- ■ '' "'-y 4- Ao -f- AiC j — e/)^ -+- A2(^ — e,-) -H . . . ,

i^-en'

car, par définition, le résidu R^ est le double du coefficient de

En intégrant et désignant par C une constante, on a, dans

le même domaine, l'expression suivante de l'intégrale :

(Z,U) ^C-h- R/l0g(3 — Ci)- -jj^-^

(ni — 2)(.3 — Ci) - (m — 3)(^ — et) -

2 A-3 - 2 \| ^

— — — ^+2A-i(^ — e/)2 + Ao(^ — e/)4- ~~ (z — ei)'^ -

{z-etY ^

Lorsque le résidu R/ est nul, l'intégrale est uniforme dans le
domaine 3 du point ei qu'elle admet comme pôle d'ordre m — 2,
tant que m est supérieur à 2; si/?? = 1 , elle est régulière en ce point;
le cas de m = 2 ne peut pas se présenter avec l'hypothèse R/= o.
Lorsque R/ n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le
domaine S du point ei\ elle augmente de 2-iR/ quand le point
(5, u) décrit autour de ei dans le sens positif et à l'intérieur du do-
maine 8 une courbe fermée sur la surface de Riemann, ce qui
exige, comme nous l'avons vu (p. 2-), que^ ionme deux fois au-
tour de et. Le pointe^ est alors un point singulier logarithmique
de l'intégrale.

58 CHAPITRE ri.

Eludions, pour lermincr, la forme de l'intégrale dans le domaine
d'un j)oint à l'infini.

D'abord, si n est pair, les deux points à Tinfini dans les deux
feuillets sont des points ordinaires de la surface de Riemann. Dans
un certain domaine d'un de ces points, oc, par exemple, v est de la
forme, en prenant le cas le plus général,

^ ^ _ _j°_ _^ A_,„^'«-^- A_,„+i^'"-i-k ... k-,z ^.A„ •
z

AÏ i ï

en commençant par le terme en - , et appelant R^'' le résidu re-

z

latif au point oo, , résidu qui est le coefficient de - changé de signe.

z

En intégrant, on a, dans le même domaine,

}{z,u) ^ C-f-RL^Mog- 4- AzZ^^m+i_^^...^. ^-A^2_^ AoZ
z m -^ \ 9.

_- 4, i _ ^ _L _

' ' z '2 Z^

Lorsque le résidu l\J est nidy l'intégrale est uniforme dans
le domaine du point co, ; si (^ admet ce point comme pôle d'ordre 7?z,
.) l'admet comme |3Ôle d'ordre /n-\~i. Lorsque le résidu R^"
n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine
considéré du point cCi ; elle augmente de 2T:f RjJ' quand le point
(z, u) décrit dans le sens positif à l'intérieur du domaine consi-
déré un cercle de centre ^ = o. Le point ce, est alors un point
singulier logarithmique.

Pour que l'intégrale J(^, ?<) reste finie, c'est-à-dire soit régu-
lière au point cC|, il faut, d'après le développement ci-dessus, que

le développement de v commence par le terme en --> et que

tous les coefficients précédents soient nuls, c'est-à-dire que ç soit

dans le voisinage du point ce, infiniment petit de l'ordre de —

ou d'un ordre supérieur. Les mêmes remarques s'appliquent au
point GOo, qui peut être un pôle, un point singulier logarithmique
ou enfin un point où l'intégrale est régulière.

IXTÉGHALES II Y PE R E LL I PT I Q U KS. 69

Si l'infini est un point de ramification (/z imj3air), on a, dans un
certain domaine de ce point,

i R '3 //^-1 1

^..(0^-A,(i)V..(l)^...,

en appelant R^ le résidu relatif au point ce et écrivant le terme en
- le premier. On a donc, en intégrant,

J(^,zO = C-i-R3,log('^)

2 A.

2A._, I , , , 2A-1 i

Ao^-f-— ^^^-^ -2 A3

m -:- I

(if- T-

Lorsque le résidu R^ est nul, J est uniforme dans le do-
maine du point oc; si ç admet ce point comme pôle d'ordre m,
J l'admet comme pôle d'ordre m + 2. Lorsque R^ n'est pas nul,
l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine du point oc : elle
augmente de 2t:/R^ quand {z, a) décrit sur le domaine du point,
dans le sens positif, une circonférence fermée autour du pointoc,
circonférence qui doit être parcourue deux fois, comme nous
l'avons vu (p. 33). Le point 00 est alors un point singulier loga-
rithmique de l'intégrale. Pour que l'intégrale soit finie, c'est-
à-dire régulière au point oc. il faut et il suffit que le premier terme

3

du développement précédent de v soit le terme en ( -- j , ou un
terme de degré supérieur en - •

En résumé, dans le domaine d'un point quelconque (a, b) de
la surface de Riemann, ou bien l'intégrale est régulière, ou elle
admet ce point comme pôle, ou elle admet ce point comme point
singulier logarithmique. Dans ce dernier cas, si 1 on appelle R le
résidu relatif au point (a, b), on a, dans un certain domaine de
ce point,

J(^, u) = Rlog(^ — a) — o(z, u),

fo étant uniforme dans le domaine du point (a, b), régulière en ce

60 CHAPITRE II.

point, ou radmeltant comme pôle. Dans celte formule, pourrésii-

M~ mer tous les cas, il faut convenir de remplacer z — a par (^ — Ci)-

quand (a, b) coïncide avec un point de ramification, par - quand

(a, b) est un point ordinaire à l'infini, et par ( - j quand (rt, b)
coïncide avec un point de ramification à l'infini.

33. Gomme la somme de tous les résidus de la fonction ç est
nulle, l'intégrale J peut na^oir aucun point singulier logarith-
mique, si tous les résidus de v sont nuls séparément ; mais, si elle
possède un point singulier logarithmique, elle en a au moins un
second, car tous les résidus ne peuvent être nuls, sauf un seul,
puisque leur somme est nulle.

Les intégrales les plus simples possédant des points critiques
logarithmiques sont donc celles qui en possèdent deux avec des
résidus nécessairement égaux et de signes contraires.

Toute intégrale abélienne est une somme d'intégrales rentrant
dans l'une des trois catégories suivantes :

1° Une intégrale abélienne est de première espèce quand elle
reste finie, quel que soit le point analytique (^, w), à distance
finie ou infinie, formant la limite su])érieure : une telle intégrale
est une fonction du point analytique (:;, u), régulière en tous les
points de la surface de Riemann, mais non uniforme ;

2" Une intégrale abélienne est de deuxième espèce quand ell
devient infinie en un seul point de la surface de Riemann et qu
ce point est un pôle de l'intégrale;

W Une intégrale abélienne est de troisième espèce quand ell
devient infinie seulement en deux points (a, b) et (a', b') de 1
surface de Riemann, qui sont des points singuliers logarithmiques
de telle nature que, dans le voisinage de ces points, elle puisse
être représentée par des expressions de la forme

— log(^ — a) + cp {z, u),

co(5, u) et '^' {z^ u) désignant des fonctions régulières respective-
ment aux points {a, b) et {a', b').

INTÉGRALES H V P E R E LL I P T I Q U ES. 6l

34. Nous éludicrons d'abord les intégrales de première

espèce.
Soit

.»)^r

"^V^uO

dz

une intégrale de première espèce. Le polvnome P doit être iden-
tiquement nul. En effet, appelons (v' et w" les deux détermina-
tions de Tintégrale aux deux points analytiques superposés (-•, ;/,)
et (;, «2)5 if^x et Wo désignant les deux déterminations de u cor-
respondant à une valeur de z\ nous aurons

w = / ^ dz, w =

P

R "^^

d'où

div' div" P-f-z/iQ P-^?/,0

9 V

dz ~^ dz ~ R ' R

"

-R'

et, par suite,

= \[ -r''^-

L'intégrale (v étant de première espèce, toutes ses détermina-
tions w' et w" doivent rester finies, donc aussi la somme (t' -h w" .
Or, si P n'est pas identiquement nul, ou bien la fonction ration-

P
nelle -^ dépend effectivement de z, et alors elle devient infinie en

un ou plusieurs points où l'intégrale qui donne ^v' -\- w" devient

P

également infinie^ ou bien ^ est une constante C différente de

zéro, et alors l'intégrale qui donne iv' •+- w" ^ étant égale à
2C(^ — ^o)j devient infinie à l'infini. Pour que tv' H- (v^^ i este
finie, il faut donc que P soit nul identiquement. L'intégrale w ne
peut être que de la forme

qui peut aussi s'écrire, évidemment, en appelant S le polynôme

f

m'^^-

6-2 CIIAPITRK II.

Il reste à voir ce que doivent être les poljnômes S et R, sup-
posés débarrassés de leurs facteurs commuus, pour que w soit par-
tout finie.

Tout d'abord l\doil se réduire à une constante. En eflet, si K
admettait une racine r^, distincte d'un point de ramification,
d'ordre /r, on aurait, au voisinage de z ^=z a.

u\\ ^ {z — aY^ """ ^z — a)'^-^ -^ • . . + -^-3- .- (Ile -i- . . . ,

+ «/i-i lo<^(^ — «)+...,

expression infinie pour z = a. Si R admettait comme racine
d'ordre k un point de ramification ei, on aurait, dans le voisinage,

_i_ <^A-l ^k

... .j -: ^ -i . . . ,

(z-e,)-' {z-e^r^

S «0

ai

« R , A+ j

A-i
^0

{k--i){z-e,r-^ {k~i){z^^e,)"-^ (z-eo^

expression infinie pour z = e/.

Le poljnome R ne devant admettre aucune racine est une
constante , et l'expression de l'intégrale de première espèce
devient

II--

Toute intégrale de cette forme est finie en tous les points à du
tance Jinie, car, dans le voisinage du point <?/, on a

S «0 , .^ ^

S

expression finie pour z ■=. ei.

11 reste à exprimer que w reste finie pour z infini. Appelons s
le degré du polynôme S. Pour z infiniment grand, l'élément dif-

l.N TLGIl VLliS UV PI. R ELLIPTIQUES. 63

ferentiel - est, en 3, de l'ordre s ^ -; pour que l'intégrale soit
finie, il faut et il suffit que cet ordre soit inférieur à — i, d'où

s < I .

« '1

ï^orsque n est pair, /i ^^ ip -h 2, on a

s <p

et, si II est impair, n =^ "ip -^ ] ^

I

Dans les deux cas, la plus grande valeur de s est p — i ; on pourra
donc prendre pour S le polynôme

S = À, ^ X,^ -I- Xgs^^. . .^- X^:;/'-',

avec/? coefficients arbitraires X.), X.o, .... A^, et l'intégrale w ainsi
obtenue est l'intégrale la plus générale de première espèce. En
posant

^^k = / dz, Â- = 1 , 1, '■, p,

l'intégrale w la plus générale de première espèce pourra s'écrire

(V — Xi (Pi -r- X^tiP'a — ...-;- Xpcr^ -T- const.;

elle est donc une fonction linéaire à coefficients constants de />
intégrales spéciales de première espèce (r,, (Vo, . . . , Wp. Ces inté-
grales (ï,, (T;,, ..., Wp sont linéairement indépendantes; il est
impossible de trouver des coefficients constants G,, Co, •••, C^
tels que l'on ait

Cl wi -i- G2 «^-2 -r- . . . -h Cp H'y, = const. ;
en elTet, la différentiation donnerait la relation

G, ^ G.2-3 -^ G3S2 -- . . . -i- Cpzi'-^ = o,

qui ne peut être satisfaite identiquement que si les constantes
G|, G2, . . . , Gp sont nulles.

64 CHAPITRE II.

En résumé, le nombre d^ intégrales de première espèce li-
néairement indépendantes est égal au genre.

Toute intégrale de première espèce est une fonction linéaire à
coefficients constants de ces p intégrales particulières.

35. Voici maintenant comment on obtient les intégrales
de troisième espèce. Proposons-nous de fortner une intégrale
possédant les propriétés suivantes : elle est partout finie sur la
surface de Riemann, excepté en deux points analj'tiques donnés,
(a', b') et (a, Z>); dans un certain domaine du premier, elle est de

la forme

log(s — a') -+- Oy{z,ii),

et, dans un certain domaine du second, de la forme

— \o^{z — rt) H- ^{z, II) ,

C2, et c? désignant des fonctions régulières respectivement aux
points (a', b') et (a, b). Conformément à la convention que nous

avons faite pour les points singuliers logarithmiques (p. 60), il

1
2

faudra dans ces deux expressions remplacer (s — a) par (z — Ci)

ou --. ou ( - ) j suivant que le point (a, b) coïncide avec un point

de ramification, un point ordinaire à l'infini, un point de rami-
fication à l'infini; de même pour (z — a') à l'égard du point
(«', b').

Supposons d'abord ces deux points («', b') et (a, b) à distance
finie, l'intégrale

J 'iu\z — a z — a

remplit les conditions de l'éjioncé.

Prenons d'abord pour (a', b') [a, b) des points analytiques dis-
tincts des points de ramification. L'élément différentiel devient, à
distance finie, infini aux points de ramification, car en ces points u
s'annule ; mais en un de ces points et l'élément différentiel devient

infini comme ^ j? et l'intégrale est régulière en ce point.

L'élément différentiel devient encore infini à dislance finie aux

INTÉGRALES H YPERELL I PT I QU ES. 65

deux points (a', b') et («, b)^ chacun de ces infinis étant du
premier ordre avec les résidus respectifs 4- i et — i . En effet, la
fraction

I u -{- b'

iii z — a!

reste finie au point {d ^ — 6') dans le domaine duquel elle est ré-
gulière, et devient infinie du premier ordre avec un résidu égal à
I au point (a', b'). De même la fractioa

I u -^ b

est finie au point (a, — 6) et devient infinie du premier ordre
au point («, Z>), avec le résidu — i .

L'intégrale a donc bien dans le domaine des deux points
( a', 6'), (a, b) la forme requise. En outre, elle est régulière à l'in-
fini, car on peut l'écrire

P (-^, - ^)d. + f^ (-*-, -. -±-) a.,

J 1 \z — a z — a) J iu\z — a z — a J

et les deux intégrales séparées sont manifestement finies pour
c = ao : dans la première, l'élément différentiel est, pour z infini.

/i^tZ^iment petit de l'ordre de (M , et, dans la seconde, il est infi-
niment petit de l'ordre de

Cette intégrale m remplit donc toutes les conditions demandées.
Il est bon de remarquer que, si les deux points (<:/, b'), (a, b) sont
superposés, a' =z a, b' =^ — b, et l'intégrale prend la forme

I

X

(z,u)

h_^dz
— au

La même intégrale m continue à remplir les conditions deman-
dées quand l'un des points (a', b'\ (a, b) vient coïncider avec un
point de ramification. Supposons, par exemple, a =6/, ^' := o,
on a

\i\b

J 2.U \z — ei z — a /

cette intégrale se comporte aux points de ramification autres que
A. ET G. 5

66 CHAPITRE II.

<?/, au point (a, h) et aux points à l'infini, comme l'intégrale étu-
diée précédemment. Dans le domaine du point ei, on a immédia-
tement en écrivant

.. r I dz r \ u^b

"' ^ J 1 z—ei J iu z — a

et remarquant que la seconde intégrale est régulière au point <?/,
^^'■^= \o^{z — eiY -i- fonction régulière en e/,

expression qui est bien de la forme demandée.

Si le second point {a, h) coïncide avec un autre point de rami-
fication Cy, on a 6 = o et l'intégrale devient

' J -2 \z — ei z — ejj

pouvant s'écrire, sous forme finie,

l 11

^ rnf = log(^— et)'^ — log(^ — ejY + const.,

où les conditions requises sont évidemment remplies.

36. Quand l'un des points (a', b')^ («, h) s'éloigne indéfini-
ment, l'intégrale formée précédemment devient infinie si /i > o..
On la remplace alors par l'une des intégrales suivantes conve-
nant à toutes les valeurs de n.

Soit d'abord n pair^ n^= ip -^ i. Prenons le point (a, b) au
point 00, de Tun des feuillets caractérisé par

lim = v/A

zi'^^

pour ji? = co. L'intégrale

remplit encore les conditions demandées relativement aux deux
points {a'jb') et od, . En effet, aux points de ramification et au
point (a',b'), elle se comporte comme nous venons de le voir,
l^our étudier cette intégrale à l'infini, écrivons-la

J a V^ — a' u / J iu{z — a)

INTÉGRALES II V PE R E LL I PT IQU ES. 67

Maintenant la seconde intégrale est régulière aux deux points
éloignés indéfiniment oc, et ooo. Quant à la première, on a dans le
domaine du point ce,

I

z — a' z Z-' z^
>J'kzP _ I ^1 P2

~ir-~z^'^-~^j^~^-"'

d'où

0)2)'^' = — log - -f- fonction régulière en ocj ;

dans le domaine du point ooo, on a. au contraire,

sfkzp _ • 2i_â!_
--iT- 'z" z^- z^ ••"

le terme en - disparait dans la combinaison

1 \/\zP

-, -+- i

z — a II

et l'intégrale est régulière au point ooo.

Lorsque, n étant pair, les points {a\ b') et (a, b) sont à l'infiui
dans des feuillets différents, {a\ b') au point oco pour lequel

lim = — i/A

et (a, b) au point oc, pour lequel

lim — - = -h /a ,
on a une intégrale remplissant toutes les conditions en prenant

En effet, cette intégrale est finie à distance finie; dans le do-
maine du point oc,, on a

Il Z Z- ' z'^

68 CHAPITRE II.

d'où

TO*2 = — log - -h fonction régulière.

Dans le domaine du point ccs, on a de même

7îj*f = log - -t- fonction régulière.

z

/ri -r
. est

une intégrale de troisième espèce, attachée à la relation u-^=.\ — z-,
avec deux points singuliers logarithmiques à l'infini.

Enfin, supposons n impair et (a, h) placé au point de ramifica-
tion infiniment éloigné, l'intégrale

TH^'''^' = / -, dz

J 'lu Z — a

remplit encore les conditions requises. Elle se comporte à dis-
tance finie comme l'intégrale primitive m^''/" à l'égard du point
(a', b'). Écrivons-la

, A, r I 7 r b'dz

TiT«''*'= / — r.dz^ / r-r,

J -2 (^ — a) J '2u{z — a )

nous voyons que la seconde intégrale est régulière à l'infini et
que dans la première on peut faire, pour z très grand,

I I

il z — a') -iz

d'où

^a',b- _ _ log ( - ) + fonction régulière.

37. Nous avons ainsi formé une intégrale de troisième espèce
pour toutes les positions possibles des points singuliers logarith-
miques; l'intégrale de troisième espèce, la plus générale, corres-
pondant à une position déterminée des points singuliers logarith-
miques, est égale à l'intégrale que nous avons formée, augmentée
d'une intégrale de première espèce

Al Wi -f- X2 W'2 -t- . . . -h X/j Wp,

INTÉGRALES H Y P ERE LL I PTI Q U ES. 69

avec p coefficients arbitraires )h , ^^2, •••7 ^/j- En effet, si deux
intégrales de troisième espèce ont les mêmes points singuliers
logarithmiques (a', b') et (a, ^), avec les résidus respectifs -f- 1
et — I, leur différence est partout finie; cette différence ne pour-
rait devenir infinie qu'en un des points {a', b')^ (a, b): dans le
domaine du point («, b)^ les deux intégrales sont de la forme

— log(^ — a) -+- fonction régulière au point (a, b);

leur différence est donc évidemment régulière au point (a, b). De
même au point (a', b'). Cette différence étant régulière partout est
une intégrale de première espèce.

38. On peut former une intégrale unique de troisième espèce
qui conserve un sens, quelle que soit la position des points
(a', b') et [a, 6), à distance finie ou infinie. Pour cela, désignons
par A une constante arbitraire essentiellement différente de a et
de a', puis posons

Cette expression, dans le cas où (a', b') et (a, 6) sont à distance
finie, ne diffère de l'intégrale

que par une somme d'intégrales de première espèce, car tous les
termes, tels que

-^^^ dz (v = o, I, 2 .. .,/> — !,)

sont des intégrales de première espèce. L'intégrale W se réduit
d'ailleurs à nj^;^ , si l'on fait ). infini, ce qui est permis quand
(a', b') et (a, b) sont à distance finie, car \ est assujetti à la seule
condition d'être différent de a et de a' . Mais cette intégrale W
possède cet avantage de conserver encore un sens quand l'un ou

70 CHAPITRE II.

l'autre des points singuliers (a', b'), (a, b) ou tous deux s'éloi-
gnent à l'infini.

Pour le montrer, écrivons cette intégrale sous la forme plus
simple suivante, où nous remplaçons les progressions géomé-
triques

<i' — \ (a' — iy " (a' — l)P a — l ' {a—ly ' * ' {a — l)

par leurs sommes

Z—l\P /z—l\P

a — X

a — z a —

puis faisons croîtrez indéfiniment, en considérant successivement
les deux cas n pair, n impair.

Si n^=^ip -\- 2, faisons coïncider {a^ib) avec le point go, carac-
térisé par ce fait que

pour a =zca. Le second terme de l'élément différentiel

\a — X/ a a{a — X )/^ ^

z

I

a

tend vers v^-^(^ — X)/' et l'on a

^"{z^u)= / A

a -4- 6

^'-X

expression qui ne diffère de th^;^' que par des intégrales de pre-
mière espèce.

Si le point {a\b') s'éloigne à l'infini dans l'autre feuillet, de
façon à coïncider avec le point 002, on a

lim ~ — - = — /a

INTÉGRALES H YPE R ELL I P T IQ U E S. 7I

et un calcul analogue au précédent donne

*^ (=0. "0)

expression qui ne diffère de mZ] que par des intégrales de pre-
mière espèce et qui se réduit à Tn"| pour A = o.

Enfin , supposons n impair et égal à 2/> -^ i , et imaginons que le
point (a, b) coïncide avec le point de ramification co. Alors le rap-

b 1 , ,

port —j^^ tend vers zéro, la quantité

.z — a
tend vers zéro, et l'on a

expression qui ne diffère de ru^*' que par des intégrales de pre-
mière espèce et qui tend vers tu^'^ quand on prend ). infiniment
grand.

L'intégrale la plus générale de troisième espèce admettant les
points singuliers («, b) et (a', 6') est encore

^'a/ô'' -+- >^1 ^^1 4- X, tV, -I- . . . -i- \p Wp.

39. Voici quelques propriétés des intégrales précédentes. On a

d'après l'expression même de rn etT, car la permutation de {a\ b')
et (a, b) change le signe de l'élément différentiel. En particulier,
si [a , b')^=[a^b) ^ les intégrales m et W sont identiquement
nulles.

Soient u^ et Wo les deux déterminations de u correspondant à
une même valeur de z. Les sommes

<:b\z, u,) -f- <'i'' {z, u,), <f{z, iH)-^W-;;t{z,u^)

CHAPITRE I

ont respectivement pour dérivées

iu^\z~a' z-aj ^ 'iu\z-a' T^^)'

2 ai L z — a' z~ a J

'2 «2 L Z — a' z — a J

ou, en réduisant et tenant compte de la relation u, ~\- u^ =. o,

I I

z — a' z — a

donc, en intégrant, on a pour les deux sommes une expression de
la forme

, z — a Zç. — a

log "L . + const.

40. Il nous reste à étudier les intégrales de deuxième es-
pèce. Nous avons nommé ainsi une intégrale abélienne, finie en
tous les points de la surface de Riemann, excepté en un point
qui est un pôle de l'intégrale.

1° Le pôle est un point ordinaire. Soit d'abord (ç, t.) un point
analytique situé à distance finie et distinct des points de rami-
fication

V-A(^-eO(|-^,)...(^-e„),
et -^ la valeur de ~ pour z = l,u = /;,

L'intégrale

Mz, u)

est l'intégrale élémentaire de deuxième espèce, avec le pôle

INTÉGRALES H Y PE RE LL I PT IQ L E S. 78

simple (?, r,), la partie principale de l'intégrale relative à ce pôle

étant

Dans cette intégrale, le numérateur est w + P, , P< désignant le
polynôme du premier degré en z

obtenu en prenant les deux premiers termes du développement
de u en série par la formule de Tajlor dans le domaine du
point (i,r,).

L'intégrale ainsi formée est finie à l'infini, car, pour ^ infini-
ment grand, l'élément différentiel est, en -, infiniment petit d'un

ordre supérieur à i. A distance finie, l'élément différentiel devient
infini aux points de ramification, mais l'intégrale reste finie.
Enfin le dénominateur de l'élément différentiel s'annule pour la
valeur ^ = ; à laquelle répondent deux valeurs de u^ =b r,, diffé-
rentes de zéro. Au point (ç, — t,) l'élément différentiel est régu-
lier, car dans le domaine de ce point on a, par la formule de
Taylor,

Le numérateur u -+- ?< contient donc (z — ;)- en facteur, et
l'élément différentiel est fini au point (?, — r.). Mais dans le do-
maine du point (?, 7^) on a, par la formule de Taylor,

Écrivons l'élément différentiel comme il suit

l'intégrale devient dans le domaine du point (i,vi), G étant une
constante d'intégration,

t(z,u;lr^)= ■ -, +C^ / -^dz;

74 CHAPITRE II.

comme u — P< contient [z — ^)2 en facteur, l'élément

M— P,

iu{z — ^)

est une fonction régulière au point (ç, -/;), et l'on a, dans le domaine
de ce point,

Ç(^,w;^,rJ = ^ -+- fonction régulière.

C'est ce que nous voulions démontrer.

On formera de même une intégrale Ç^^^ (^, u\ \, Yj) finie partout,
excepté au point (sTA)? qu'elle admet pour pôle d'ordre (v -h i),
la partie principale relative à ce pôle étant

i^-^Y

Pour cela, désignons par Pv_|_i le polynôme de degré (v -H i) en ^
obtenu en prenant les v + 2 premiers termes du développement
de u dans le domaine du point (^, 7|), suivant les puissances de

L'intégrale

Ç<v)(., »; ^, , ) = - (V + X) j^''""_«^L_ dz

est l'intégrale demandée. En effet, elle est finie aux points à
l'infini et aux points de ramification ; elle est finie au point
(?, — Y,), car dans le domaine de ce point on a, parla formule
de Tajlor,

(z ^>-^-2 d'^+'^T.

U--l,^,- _-— -^——^ ^^ _ . . . ,

de sorte que l'élément différentiel est une fonction régulière au
point (^, — -^i). Enfin, pour étudier l'intégrale dans le domaine
du point (i,'^), on écrit comme précédemment

dz

,.(.,«;i„)=-(v..)r r^

(So. «0)

0^+2 2W(^ — O^-^l

(-^^)--^-^"-C'^^

V-.2 ^^-

integrales hyperelliptiques.

î: „ \

75

Puisque, dans le domaine du point (ç, t^), u est développable par
Ja série de Taylor, sous la forme

u= P>

(-_r,V-2 ^V4-2^

I.2...(v -i-2) <i;^^2

le numérateur de la deuxième intégrale

u — Pv+l

contient {^z — \y^- en facteur, et cette intégrale est régulière
au point (5, 't^ : on a dono bien, dans le domaine de ce point,

Ç(v)(^,,,;^,r,) =

— rvjTi "^ fonction régulière.

L'intégrale ^^^^ {z, u]'^^ — r^) est de même

lM(z,ii:l-T,) = -(^-\-i)

— Pv

^)V-h2

dz.

Il convient de remarquer la formule

= -(v

, r-^^"' __dz__ i_

~^^' ) (Z — ^^+2 (^ _MV

(^0-?;^

On a une formule analogue quand on calcule la somme des
valeurs

I que prend une même intégrale de deuxième espèce aux deux
F points superposés {z^u^) et (z, u-i)-

En effet, il vient, en tenant compte de la relation Ut -}- z/o = o.

dS
dz

S =

(y + 1)

[z-^r^^

const.

4i . Voyons comment il faut modifier les formules précédentes
quand le pôle est un point de ramification à distance finie.

76 CHAPITRE II.

Soit Ci un point de ramification à distance finie ; on peut écrire

1

w = (^ — e/)'^ M/,
OÙ

Ui= y/A v/(^ — ei)...(^ — e/_i)(z — e^+i ). . .(^ — e„);

Ui est une fonction régulière de z dans le domaine du point e/, et
l'on a, dans ce domaine,

Ui = E|)''^ + (^ - e/)E'/' + . . . -u (5 - e,-)^Et'V . . . ,

E[f', . . . , EJ,'^ désignant des constantes.

Lorsque, dans l'intégrale Ç(5, w; ?, Tj), le point (?, ri) devient
un point critique (<?/, o), cette intégrale devient infinie. Nous la
remplacerons par la suivante :

u;ei)=— / f

intégrale finie partout, excepté au point et.
Dans le domaine de ce point, on a

u — {z — eiY Ui^

et l'on peut écrire l'élément différentiel

1

'xui{z — ei)'^

ou, en ajoutant et retranchant m au numérateur,

L ^ uj-E^^^ .

1 à'

i{z — eiY 2Ui{z—eiy
d'où enfin, dans le domaine de e/,

(^-e,)2 J(^^_^^^^2i.,(^-e.)-

Comme, dans ce domaine, ut — E[J' contient^ — ei en facteur,
d'après le développement écrit pour ut^ cette dernière intégrale est

INTEGRALES H YPE RE LLI PT I Q U ES. 77

régulière au point et, et l'on a, dans le domaine considéré,

^{z, u; et) = j -r- fonction régulière.

On a donc ainsi une intégrale élémentaire de deuxième espèce
finie partout, excepté au point et qu'elle admet comme pôle

d'ordre i, avec la partie principale '- ^•

Pour obtenir une intégrale qui devient infinie au seul point et
qu'elle admet comme pôle d'ordre 2 avec la partie principale

, on prend simplement

Appelons d'une manière générale

dz

iz,,u,^^-^iy

L^^{z,ii;ei)

une intégrale devenant infinie au seul point e/, avec la partie
principale

(z-ei)^

Si V est impair, v = 2 ;jl — i , il suffît de prendre

?^.-(., »; e,) = (:r^- c = - ,£'"|^^^

Si V est pair

V = 2 a,

on prend

Pji' désignant le polynôme en ^ — ei de degré a, obtenu en pre-
nant les ([J.+ i) premiers termes du développement de ?//, sui-
vant les puissances de :; — e/,

P[;'^ = E\j' -i-iz- et) E'/) -. . .^- (^ - eiy^ Eji'.

yS CHAPITRE II.

L'intégrale ainsi formée est finie partout, excepté au point d.

Dans le domaine de ce point, on a

i
u =z (z — ei)'^ Ui,

et l'on peut écrire l'élément différentiel, en ajoutant et retranchant
ui au numérateur,

_ 2[Jt-4-I Ui — {ui—P^^[^) _ _ 2[JL-4-I I (2[^-|- l){Ui — V^^[')

Comme, dans le domaine du point ei, la différence Ui — P^
contient (z — ei)^'^* en facteur, le dernier terme devient au

point Ci infini de l'ordre de ^^ et son intégrale reste finie.

(z-e^y

On a donc en intégrant, dans le domaine du point ei,

^'2[J.) (z, u\ei) — — mTi~^ fonction régulière.

{z-eifr-

Si l'on calcule actuellement la somme

aux deux points superposés (^, u^) et (g, u^), on a évidemment,
quand v est impair,

V = 2 U. — I , SoM-i = , r- + COnSt. ,

et, quand v est pair,

v='2[Jt, <iS2fx=o, Sâjx = const.

42. Nous avons, dans ce qui précède, supposé le pôle à distance
finie : qu'arrive-t-il si le pôle est à V in fini?

Si n est pair, et égal à 2/? + 2, il y a deux points à l'infini oc,
etooo, qui se distinguent analjtiquement en ce que, au point oo, , le

rapport — — tend vers une limite y^A et au point ooo vers la li-
mite — y/A.

Formons, par exemple, l'intégrale de deuxième espèce finie par- ,
tout excepté au point oo, qu'elle admet comme pôle avec la partie

INTEGRALES HYPERELLIPTIQUES. 79

principale ^''+' ; on obtient l'intégrale élémentaire devenant infi-
nie au seul point oc, , avec la partie principale ^, en faisant v = o.
Dans le domaine du point oc, , on a

^ ^ /^ _^ Al _^ A2 _^

la fonction r étant régulière aupointcc,. Dansle domaine du point

Xo, on a de même

?/ = — j/'+i V.

Appelons Qv+, le polynôme en - de degré v + i obtenu en
prenant les v -|- 2 premiers termes du développement ci-dessus
de r,

Qv^i = v/A- y-;^!--' — :,^-
L'intégrale demandée est

''•"*w:;v_i_-v+/;+iQ,^^,

^(v)(^, f,:oci) = (v-i-i) / ^^^^-^dz,

(:o,"o)

où le terme ^^^+^+'Qv4.i est un polynôme en z de degré (v 4-/? + i ).
Cette intégrale est finie en tous les points à distance finie. Au
point oco elle est encore régulière. En effet, dans le domaine de
ce point, on a

l'élément différentiel est donc

Mais le développement de r — Qv+i commence i)ar le terme
en— ^; l'élément différentiel est donc au point cco infiniment

petit comme — et l'intégrale est régulière en ce point.
Dans le domaine du point oc,, on a

U=iZP^'^V

8o CHAPITRE II.

et l'élément différentiel devient

qii on peut écrire

z^

p^-g

'v+l

'IV

^v-

V —

■ z^ —

:i3z±i

Le développement de ^ — Qv+i commençant par le terme en -^-^,

la seconde partie de celte expression esta l'infini de l'ordre de —

et son intégrale est régulière au point oo,. On a donc, dans le do-
maine de ce point, en multipliant par (v -\- \)dz et intégrant,

X}^\z^u] GOi)= s^+^H- fonction régulière.

En particulier, pour v = o, on a l'intégrale élémentaire

qui devient infinie au seul point oo^ , la partie principale en ce point
étant z.

L'intégrale devenant infinie au seul point gco, avec la partie prin-
cipale 5^+^ est

f _"f 1 "^^^dz.

Donc

On trouve de même

^(^^(^,wi ;œi)+^M(^^i^2;=oi)= av+i-h const.

Si 11 est impair et égal à 2/? + i , le point co est un point de
ramification. Nous appellerons encore

une intégrale devenant infinie au seul point oc et ayant pour partie

V4-1

principale en ce point ^ '^ .

INTÉGRALES H Y PE R ELL I PT I Q U E S. 8l

Quand v est impair et égal à 2;ji. — i, on a immédiatement une
intégrale remplissant ces conditions en prenant

Si V est pair et égala 2|jl, on procède comme il suit. On a, dans
le domaine du point oc,

u = z - V,

où V est développable en une série de la forme

/T . '^1 , ^"^^ . ■ ^^'+^ ■

Appelons encore (^j^ le polynôme en -

et posons

Cette intégrale est partout finie, excepté au point ce. Dans le
domaine de ce point, on peut écrire

et l'élément différentiel devient

Gomme le développement de v — Qj^ suivant les puissances
croissantes de \ commence par ( M^ , le développement de

— - V

Qtx

commence parle terme en (-V et l'intégrale de la seconde partie
est régulière au point z/z. On a donc, dans le domaine du point oc,

2U.-+-I

Ç(2[Ji) (^z, u\^)= Z 2 -^ fonction régulière.

A. ET G. ^

82 CHAPITRE II.

L'intégrale élémentaire s'obtient en posant jjl = o,

expression qui, dans le domaine du point go, est de la forme

1
s^ H- fonction régulière.

La somme Sv des valeurs de l'intégrale Ç^^^(^, z/;co) aux deux
points superposés ( z, Ux ) et [z^u^) est 2 z^ quand v = 2 pi — i et
«lie est nulle quand v =: 2[jl.

43. Les intégrales de deuxième espèce peuvent être déduites de
•celles de troisième espèce et de l'intégrale élémentaire de deuxième
espèce. Considérons l'intégrale de troisième espèce, dans le cas où
les deux points singuliers logarithmiques sont à distance finie,

TH^'^" {z, u)= — , dz.

J^^^^^^^^2u\z — a' z-aj

Lorsque les deux limites (^o? ^^0) et [z, u) sont fixées, ainsi que le
chemin d'intégration, Tintégrale est une fonction des deux points
analytiques (a', b') et (a, h). Si l'on regarde le point (a'^b') comme
fixe, elle est une fonction du point («,^), régulière pour toutes les
positions de ce point k disidnice unie non situées su?' le chemin
d^ intégration^ car l'élément différentiel est une fonction de
(a^b) régulière en tous les points à distance finie, excepté au
point a =^ z, b =^ u qui est un point du chemin d'intégration.

Soit (^, -ri) un point ordinaire de la surface de Riemann ; traçons
le chemin d'intégration de façon qu'il ne passe pas par ce point.
Alors la fonction inj^' du point (<2, b), étant régulière au point
(Ç,T,), est, dans un certain domaine 8 de ce point, développable
suivant les puissances positives croissantes de (a — ç) parla for-
mule de Taylor. Ce développement a la forme suivante

(a i^^^^i

INTÉGRALES II Y PE R E LLI PT IQ L ES. 83

les coefficienls ^(r, z/; ;, r»),.. .,^^^^(5^,^; ^,r,) étant les intégrales
de deuxième espèce précédemment formées. C'est ce qu'il est fa-
cile de vérifier en calculant le coefficient de - — ^— dans le déve-
loppement ci-dessus. On a

"'" ,1, , nu z — a J, . iu z— a

Or, dans le domaine du point (^, r,),
I I t a — \ (a — ?)v

T, — i w+i

développement obtenu en appliquant à 6 la formule de Tajlor.
Dans le produit ; — ^— — , le coefficient de {a — ^Y'^* est donc

c'est-à-dire (p. 74)

Le coefficient de ^ ~ ^ dans le développement de t«5"''/'' est

par suite

/ T ?/ -T- rv + i ,

ce qui est bien ^^''^ {'-^li] ?? '^^i )•

D'après le développement (i), les intégrales Ç(3,w;i,7i),

^'(g,w; ;,r,), ... sont les dérivées successives de cr^;^*' par rap-
port au paramètre (?, Tj), à des facteurs numériques près :

d'où il résulte aussi

84 CHAPITRE II.

Par conséquent, si l'on donne à ^ un accroissement infiniment
petit A, et si l'on appelle k l'accroissement correspondant de yj,
on a

Supposons maintenant que dans l'intégrale tij^'I'/' le point (a, h)
soit dans le domaine d'un point de ramification ei. La fonction
Tïî^;f , de {a^b)^ étant régulière au point <?;, est, dans le domaine de
ce point, développable par la formule

(3) <f = </^' -^{a~ei)h{^,u\ei) + ...

+ ^"-^\ "- ;(v) (.-,»;. ,) + ...
procédant suivant les puissances croissantes de (a — e/)^. Dans ce

v-t-l

développement, le coefficient de -^ — ^ — — — est encore l'intégrale

appelée Ç^^^ (5, f^; et).

En efî'et, dans le domaine dn point e/, on a

I _ . I I a — a {a — e/)'«

z — a z — et— {a— Ci) z — ei {z — af (-_e,-)"^+i

h={a — ei)^ [E^"^ + E'/) (a — et) + E^'' (a - e/)2 + . . .].

Dans le produit ou — — ; -, calcu-

^ ia z — a 'i{z — a) iiiyz — a)

Ions le coefficient de ^ — — ? en remarquant que le dévelop-
pement de — -— ne contient que des puissances entières de

a — et, et celui de ; seulement des puissances frac-

' lui^z — a) i

tionnaires. D'après cela, si v est impair et égal à 2 p. — i , il n'y a
qu'un terme en - — ; — '-^ et son coefficient est

{^z-et)^-

INTÉGRALES H YPE RE LLI PTIQ UES- 85

dans le développement de l'intégrale ^"jf', le coefficient de
^^^^^^ est donc - a f^^'"- ^^^, c'est-à-dire Ç(2l^-^^(^, «,e.).

2JX-t-l

Ensuite, si v est pair et égal à 2 a, le coefficient de — ^ ' ^ — est

■lit \{z~ei)V-^' ' {z~ei)\^
ou, d'après les notations antérieures (p. 77)

'2U (z — ei)V-+^'
donc enfin, dans le développement de nsf^l;' , le coefficient de

2U.-f- l

--e^-^ - est-^^^^ f^ _^^^^, c'est-à-dire
La formule (3), difFérentiée par rapport à a, donne

on a donc, en faisant a =ei^h, b = k, h étant suffisamment
petit,

2A2

formule à rapprocher de (2).

On obtient de même les intégrales U''^{z, 11; ce), relatives aux
points àfinfini, comme coefficients du développement de la fonc-
tion

du point {a, b), dans le domaine du point x.

Si n est pair et égal à 2/? -h 2, la fonction Tsàe{a,b) est, dans le

86 CHAPITRE II.

domaine d'un des points à l'infini, co^ par exemple, développable
en une série procédant suivant les puissances entières décroissantes

de ^/, danslaquellelecoefficientde — - est l'intégrale t!J^^~^^(^,w; oc,).

En effet, dans le domaine du pointooi, on a

V^ a a^ /' z — a a a- a^

Dans l'expression

u -\- b

iu{z — a) 9.{z — a) iu{z — a)'

le développement de est

^ ^ '2u{z — a)

c'est-à-dire, en posant comme plus haut

z z- z

'^u -lu ' ' ' ' lit a 111 ' ' ' a"' iu

Dans le développement de l'intégrale t^I'/I,' nous aurons donc un
premier groupe de termes

J ^U J lU J '2 11

contenant les puissances positives de a et dont les coefficients
sont des intégrales de première espèce, car ^ Q^ , ^2Q ^ ^ , , ^ ^ zP'^Qp^^
sont des polynômes de degrés i , 2, . . ., (/. — i) en ^; puis vient le
terme indépendant de a

f^'"U_u^b^^zj>q,i^

^{=0,",) L2"(2 — a') 111 J '

qui est une intégrale de troisième espèce avec les deux points
singuliers logarithmiques {a', b') et 00, ; puis viennent enfin les

INTÉGRALES H Y PE RE LL l PT IQU E S. 87

termes contenant les puissances négatives de a dans lesquels le

coefficient de — -est h,

c'est-à-dire X}'^-^\z^ u\ oc,).
On a donc le développement

nj:;;f = aP Wi -i- a/^-i W2 + . . . -f- a Wp 4- t^t'^';^'

W, , Wo, . . ., W^ désignant des intégrales de première espèce. En
différentiant cette relation par rapport à a et remplaçant a, h
par ?, Tj, on trouve

développement valable dans le domaine du point oc, .
Dans le domaine du point oco, on aura de même

Si n est impair et égal à 2/? + i , l'intégrale

f ï

<2 z — a

considérée comme fonction du point analytique {ci^h) est, dans

le domaine du point oc, développable en une série de puissances

i
décroissantes de d' . Les coefficients de cette série sont encore,

1
partir du terme en (- j , des intégrales de deuxième espèce qui

88 CHAPITRE II.

ont pour pôle unique l'infini. En effet, dans le domaine du point

I II

h

iu z — a ■î(a — z) •iu{z — a)

2 \a a~ a'

I

2 U

\ Z z'^ \ p-y-\( I— Al Aa \

a a^- a^ ) y a a- )

La première partie de ce développement ne contient que des
puissances entières négatives de a, la seconde que des puissances
fractionnaires de a, d'ailleurs positives ou négatives.

Dans la première partie, le coefficient àe — — ^ est v^^"^ ; donc,
dans le développement de l'intégrale roj/f', le coefficient de -^

I
est

■idz^z^—zl= ^(2v-i)(^^ u;ao).

Quant au développement de la deuxième partie, on peut l'en-
visager comme le produit de ( - ) par le développement de

•iu\a a^ ) y a a^ / '

qui est le développement rencontré dans le cas précédent. Cette
deuxième partie donne donc dans le développement de nî^';f des
termes de la forme

1

comme on le vérifie immédiatement d'après les expressions trou-
vées plus haut pour les intégrales Ç^^v)^^^ ;^. ^^^^

On a enfin, en réunissant les deux parties que nous venons

INTÉGRALES H YPE RE LL I PT I QUE S. 89

de trouver,

2^—1 2;?—:»

(x = 2 aa2

En différentiant par rapport à <2 et remplaçant «, ^ par ;, r,,
on obtient le développement

alable dans le domaine du point ce.

44. Étant donnée une intégrale hyperelliptique quelconque, on
peut l'exprimer à l'aide d'intégrales de première, de deuxième et
de troisième espèce.

Soit

(-o,"o)

»

une intégrale abélienne, p désignant une fonction rationnelle
de z et u. Comme nous l'avons vu, cette intégrale est régulière en
tous les points où elle reste finie. Les points où elle devient
infinie sont de deux sortes, des pôles ou des points singuliers
logarithmiques.

Supposons qu'il j ait q points singuliers logarithmiques
(a,, ,3, ), (ao, j3o), ..., {oLç, Pq)\ dans le domaine du point (a^, ^a),
on a

I = Rk log(z — %,,)-h Of,{z, m),

c3a(z, u) désignant une fonction uniforme dans le domaine du
point (a/t, j^a), pouvant admettre ce point comme pôle. D'après

les conventions antérieurement faites, il faut remplacer ^ — a/^

1
par (-3 — e/)" quand le point (a^, J^/f) est un point de ramifica-
tion eij par - quand (a/j, j^y^) est un point ordinaire à l'infini et

go CHAPITRE II.

par I - j quand il est \\n point de ramification à l'infini. Le coef-
ficient R/( est le résidu de v relatif au point (ay^, [3yt).

On sait que la somme de tous les résidus d'une fonction ration-
nelle V de z el u est nulle. Donc

Bl-+- R2 4-. . .+ Ry = o.

Considérons alors l'intégrale

. dz - R, Ti.^;$;(^, u)- R2<;'|;(^, ^)-. . .- r,_, r^i^-^

l-Oi "0)

-fV'

{z, u)

obtenue en retranchant de 1 certaines intégrales de troisième
espèce multipliées par R, , R2, . . . , R^_i .

Cette nouvelle intégrale ahélienne J n'a plus de points singu-
liers logarithmiques. En eff'et, dans le domaine du point (a< , (3<),
on a

V dz = Kl log(2 — ai)H- 0]_{z, u),

donc

^a'}i ~ log(-^~ ai)H- fonction régulière;

i

V dz — Kl w^"L' = ^1(^5 w)+ fonction régulière

(Zû> «0) ^ '

puisque les autres intégrales de troisième espèce retranchées sont
régulières au point (a,, p,), la différence est uniforme dans le
domaine du point (a,, p<) comme la fonction cp, (5, u) et peut ad-
mettre ce point pour pôle, la partie principale étant la même
que celle de çp,(^, u).

On voit de même que J n'a plus aucun des points singuliers
logarithmiques (as, ^2), • • • , (a^_, , P^_0- Q^ant au dernier (a^, p^),
il disparaît également, car, dans le domaine de ce point, on a

J = R^log(5 — a^)+cp^(^, u)

+ (Ri+ R2 + . .+ R^y_i)log(5 ~ a^)4- fonction régulière,

et comme

Ri + R2 + .. .-+- R^ = o,

ie terme logarithmique disparaît encore. La proposition est donc
établie.

INTÉGRALES H Y P E R E L L I P T IQUE S. Qï

L'intégrale J, qui n'a plus de points singuliers logarithmiques,
peut avoir encore des pôles. Nous allons faire disparaître ces pôles
en retranchant de J des intégrales de deuxième espèce. Suppo-
sons que dans le domaine d'un pôle (a, b) d'ordre v, on ait

At A2 Av /•.•'!•«

J = ! 1 h. . .H- !- fonction resruliere,

z-a (2 — a)2 {z — ay

où il faut remplacer z — a par [z — ei)- ou - ? ou ( 3 ) > suivant

que a coïncide avec un point de ramification, un point ordinaire
à l'infini, ou un point de ramification à l'infini. Dans ces condi-
tions, la difTérence

J — Ai^(2, w; a,b)~P^,'Ç{z,u\ a,b) — .. .— kyV-''~'^\z, u\a,b)
est régulière au point ( <7, ^), car, dans le domaine de ce point, on a
Ç (z, w; a, 6) = 2 ^~ fonction régulière,

a

C(-5, «; a, b) = — 4- fonction régulière,

V"^~'^Uz, u: a, b)= h fonction réf^ulière.

^ ^ {^z — af^

D'ailleurs, comme les fonctions Ç, Ç', ... sont régulières par-
tout, excepté au point {a, b), la différence ci-dessus a les mêmes
pôles que J, moins le pôle (a, b). On a donc extrait, pour ainsi
dire, le pôle (a, b).

En opérant de même pour tous les pôles, et retranchant de J des
sommes d'intégrales de deuxième espèce correspondant à tous
les pâles de J, on obtiendra finalement une expression,

H = J - :S[Air(2, a; «, b) -+- A,r(-, u: a, b) -r- .. .-i- Ay^^''-'^\z, ir.a, b)\

(où le signe S s'étend à tous les pôles), n'ayant plus de pôle,
c'est-à-dire partout régulière. Cette expression H est d'ailleurs
une intégrale abélienne, car c'est une somme d'intégrales abé-
liennes : comme elle est partout régulière, c'est une intégrale de
première espèce, c'est-à-dire une expression de la forme

H = Xi M^i -h )v2 «^2 H- . . . -i- Xp Wp -T- const.

92 CHAPITRE II.

Remplaçant H par cette valeur et J par son expression, on ob-
tient enfin pour l'intégrale abélienne I l'expression

(...) '-''-'

2^^

i> dz = > Ryî: HT

,ait'Pfc

H- Xi MP-i + X2 W2 "*-•••+ ^/> w^P + const.

Toute intégrale abélienne peut donc être mise sous la forme
d'une somme d'intégrales de première, deuxième et troisième
espèce.

On remarquera que les coefficients R^et A/ sont connus immé-
diatement, si l'on connaît les points singuliers de l'intégrale et
les parties principales. Il n'en est pas de même des coefficients
Al , À2, • • • 5 AjE,.

45. Une première application importante de cette formule est
la représentation dhine fonction rationnelle v de z et u par
une somme d^ intégrales de première et de deuxième espèce;
ou, en d'autres termes, la décomposition en éléments simples
d'une fonction rationnelle de z et u.

Une fonction rationnelle p de -3 et w est une intégrale abélienne

-J- étant une fonction rationnelle de z et u.
dz

Comme v n'a pas de points singuliers logarithmiques, la formule

générale ci-dessus appliquée à (^ ne contient pas d'intégrales de

troisième espèce et donne la formule

V = 2[Ai^(s, u: a, b) -f- A2C(5, u\ «, b) +• • •+ Av^^^-i^^, u\ a, 6)]
+ Xi p^i + X2 «^2 H- • • • H- ^/j Wp + const. ,

le signe S indiquant une sommation étendue à tous les pôles de r.
Les coefficients A,, A2, ..., Av sont les coefficients de la partie
principale de v dans le domaine du pôle (<:/, ^),

A, A, Av

a)2 ' "* i^z — ay

fonction régulière.

INTÉGRALES II Y PE R E LLl PT I Q U E S. 98

Cette formule est d'une haute importance; elle donne la fonc-
tion rationnelle v sous une forme mettant en évidence les pôles et
les parties principales correspondantes de cette fonction. Elle est
analogue à la formule de décomposition d'une fraction rationnelle
de z en fractions simples, à laquelle elle se réduit d'ailleurs quand
n ^= i ou 2, c'est-à-dire quand la courbe

ii^' = \(z — ei)(z — e2)...{z — en)

est unicursale (p = o). On appelle cette formule formule de
décomposition en éléments simples : les éléments simples sont
les intégrales de deuxième espèce Ç^^^(:î, u ; a, h).

46. Donnons un exemple de cette formule. Soit

I w -f- r,

v= r^,

111 z — ^

(?, Ti) étant un point fixe, à distance finie, distinct d'un point de
ramification. Cette fonction v n'a que des pôles du premier ordre
qui sont :

I** Les points de ramification à distance finie, car u s'annule
en ces points;

2° Le point (^, r,).

Dans le domaine d'un point de ramification et, on a. en adop-
tant les notations antérieures,

u = {z- eiY Ui = (z- e,p [EJ,'' + E(/'(^ - e,)-. • •],

EJ étant différent de zéro. D'après cela, dans le domaine du
point <?/, la fonction ç est de la forme

-,s77i ^ r -+- ionction régulière,

où le coefficient de P est la constante — rV-. ^.

(z-e/f- ^^«'^ ^'""^

Dans le domaine du point (;, r,), on a

b

94

CHAPITRE 11.

par suite

V = ç -\- fonction i

La formule de décomposition en éléments simples est donc

i=n

où il ne reste "plus à déterminer que les coefficients des inté-
grales de première espèce >., , Ao, •••, '^'p- Nous allons montrer
que ces coefficients sont jiuls et vérifier en même temps la for-
mule. En effet, en remplaçant les intégrales Ç par leurs expres-
sions et X, , ).2, • • • 7 ^^/> P^r zéro, on a à vérifier la formule

y ?^ + '^i -^ (- — 0 -TF

•lu z — \ J(z,,u,) iu{z — :^f

Or cette formule résulte immédiatement de ce que la dérivée
du premier membre, par rapport à z, est nulle. En eflet, cette
dérivée est, après des réductions évidentes.

r

T df]

^

I 1 du

r, d\ , I

9.U

Z-l II dz

^-^ ' -2

{^ — ei)(z — e

J-

expression identiquement nulle, comme on le voit en décompo-
sant en fractions simples la fraction rationnelle en z

I I du
z — ^ u dz
c'est-à-dire

I I / 1 1 I

— - \ 4-. . .^

— ç '2X^ — 61 z — e.2 z — e,

INTÉGRALES II YP E R EL L i P T IQ U E S. qS

et remarquant que le résidu de cette fraction rationnelle au pôle

z = q est

I / I I 1 \ i chi

'ou encore - -j^

Gomme toutes les intégrales s'annulent quand (c, u) coïncide
avec la limite inférieure (^oj "0)5 la constante G, qui figure dans
la formule (A), a pour valeur

G = -L ^^izt^' .
iuq ^0 — ;

En écrivant la formule ainsi obtenue sous la forme

z= 1

on arrive à cette conséquence remarquable que ^intégrale élé-
mentaire de deuxième espèce est une fonction rationnelle du
paramètre (i, r,).

47. Voici une deuxième application de cette même formule de
décomposition en éléments simples.

Quand nous avons défini le genre de la relation entre u et ^,
nous avons, entre autres, établi le résultat suivant. Pour une re-
lation de genre/?, il existe une fonction (^rationnelle en z et u^ ad-
mettant pour pôles simples (/>-!- i) points analytic/ues arbi-
traires (a,, 3,), (ao, j'jo), (^'-/j+i, ?/;+i); soient

A 1 A 2 A ^-4-1

z — OL^' z — OL.y' Z Xp+i

les parties principales de ^' relatives à ces différents points. La
formule de décomposition en éléments simples donne

V — Al l{z, u; oci, ^1) -+- X2^[z, u; ao, ^2) -t-- • •

4- A/;+i ^j, U] oLp^i, ^p+i) -i- Xi Wi -^ l,w,~...— IpWp -i- const.

Gette formule montre que l'intégrale élémentaire v(:?, ?/; a,, 3,),
avec un pôle arbitraire (a,, [^,), peut toujours s'exprimer linéaire-
ment à l'aide d'une fonction rationnelle r, d'intégrales de première

t

96 CHAPITRE II.

espèce et de p intégrales de deuxième espèce, ayant pour pôles
des points donnés arbitrairement (as, ^o), •-•, (^p+n P/j+i)- ^e
même raisonnement s'applique d'ailleurs à une intégrale quel-
conque î^^'^^ de seconde espèce.

48. La décomposition d'une intégrale lijperelliptique en inté-
grales des trois espèces fournit aussi Vexpression d\ine fonction
rationnelle v de z et u à V aide d^ intégrales de première et de
troisième espèce.

Appelons Vq la valeur de v au point (sq^ ^^o), on a

1 ^ / ^

dv ,
— dz.

L'intégrale figurant dans cette formule est une intégrale abé-
lienne : on peut donc lui appliquer ce que nous avons dit de
l'expression générale d'une intégrale abélienne par une somme
d'intégrales de première, deuxième et troisième espèce. Ac-
tuellement cette expression ne contiendra pas d'intégrales de
deuxième espèce. On reconnaît facilement que tous les points
oii l'intégrale devient infinie sont des points singuliers logarith-
miques : aucun d'eux n'est un pôle. L'intégrale considérée est
donc une somme d'intégrales de première et de troisième espèce.
Formons cette somme : supposons d'abord que la fonction (^ n'ait
que des zéros et des pôles simples; soient

(«1,^1), («2,^2), •••, (a^, è^) les zéros,
(«1, Pi), (a,, P2), •■•, (ocr/, ^q) les infinis,

qui sont en même nombre que les zéros.
Dans le domaine du point [a^ , &^ ), on a

t^ = (-5 — <^i) [Ao-f- Ai(^ — ai) + A2(z — «1)24-. . .],

où Ao est différent de zéro, z — a^ devant être remplacé par
V-^ — Gi si (a^^ bi) est un point de ramification <?/, par - si ce point

est un point ordinaire à l'infini, et par ( - j si c'est un point de
ramification à l'infini. Par conséquent, l'expression de l'intégrale.

INTÉGRALES IIYPERELLIPTIQUES. 97

dans le domaine de ce point, est donnée par la relation
log— =log(j — «1)+ fonction régulière.

Dans le domaine du point (a,, |3<), qui est un infini simple, on
a de même

z — a

[Bo-l-B,(..-aO--...],

loii — = — log(:3 — 3:1) H- fonction régulière.

La conclusion s'applique à tous les autres points, zéros ou
infinis. La différence

est donc partout régulière et, comme c'est une intégrale abélienne,
c'est une intégrale de première espèce

Xttvi-i- }.2«'2-+-. • .+ )^/>«>-T- const.
On a enfin

^'^^ r ^ ^ ^av' ,3v"^ ^^1 *'^i + X2 ^2 + . . • 4- Ip IV p -f- const.,

(5) v = kç,e ■ ' "-^^ '"-'^'- V?v,

A- désignant un facteur constant.

La fonction ç est ainsi exprimée, à l'aide d'intégrales de pre-
mière et de troisième espèce, par une formule mettant en évidence
les zéros et les infinis de la fonction rationnelle r.

Elle est analogue à la formule qui donne une fonction ration-
nelle de z sous la forme du quotient de deux polynômes décom-
posés en facteurs du premier degré. Elle se réduit d'ailleurs
exactement à cette formule élémentaire, quand on suppose que la
relation

u^ = >l{z — ei){z — e.) . . .{z ~ en)
se réduit à

ce qu'on peut réaliser en supposant que /i = i, que A tende ver:

A. ET G. -7

gS CHAPITRE II. — INTÉGRALES II V PERE LLIPT I Q U ES.

zéro et que et augmente indéfmiment, de telle façon qucAci tende
\ers — I .

En effet, en supposant u = \, rintégrale de troisième espèce

devient

(--0. "o) '

s — a, Zft-
dz — loî

^ — ai <Zo— <^i

car u = bi=^ Pi= i. U n'existe pas, dans ce cas, d'intégrales de
première espèce, car il n'y a pas d'intégrale de fonction ration-
nelle de z qui puisse rester partout finie; on a donc

. (^ — «i)(^ — a,)- • •(- — «7)
V = fonction rationnelle de z = /cvq — ■ ?

{z — cci) {z — a.J . . . (z — a^ )

ce qui est bien la formule élémentaire.

JNous avons stipposé, pour établir la formule générale, que tous
les zéros et les infinis étaient simples. Si le zéro («i,^t) était
d'ordre m, il suffirait dans la formule de supposer (^a.,^ ^2)5 • • •?
(<^/«, àm) identiques à {a^yb^)', si le pôle (a^, p^) était d'ordre [i.,
il suffirait également de supposer (ao, JB2), ..-, (ocu,, [^(j,) iden-
tiques à (a.), [^1 ).

La formule (5) est donc générale, pourvu qu'on répète dans
cette formule chaque zéro et chaque infini autant de fois qu'il y a
d'unités dans son ordre de multiplicité.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 99

CHAPITRE m.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. PÉRIODICITÉ:
DES INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES (i).

Connexion des surfaces de Riemann à deux feuillets. — Coupures. — Théorème de
Cauchy sur une surface de Riemann.— Modules de périodicité des intégrales hy-
perelliptiques. — Relations entre ces modules. — Intégrales normales de première,
deuxième et troisième espèce. — Modules de périodicité des intégrales normales.

49. Dans ce qui suit, nous considérons les surfaces comme
des feuillets sans épaisseur, de sorte qu'un point ou une ligne
tracée sur la surface seront visibles pour un observateur placé
d'un côté ou de l'autre. Les surfaces seront en outre regardées
coinme parfaitement élastiques et indéchirables.

Une surface est dite connexe lorsque, ajant pris sur cette sur-
face deux points quelconques, on peut les joindre par un trait
continu situé tout entier sur la surface. Nous ne considérerons
que des surfaces connexes.

Une surface est fermée quand elle n'a pas de bords : tels sont
la sphère, le tore, un plan indéfini, une des surfaces de Riemann
précédemment étudiées, plane ou sphérique. Une surface est
ouverte quand elle a des bords : par exemple, un cercle, une calotte
sphérique, une sphère avec des trous, etc. Les bords d'une surface
ouverte peuvent être constitués par une seule ligne continue ou
par plusieurs lignes continues distinctes. Ainsi le bord d'une
calotte sphérique est formé d'une circonférence unique, c'est-
à-dire d'une ligne continue ; les bords d'une sphère percée de

(') Ouvrages à consulter : Riemann, Théorie der Abelschen Functionen. — Neu-
MANN, Vorlesungen uber Riemann's Théorie der Abelschen Intégrale. — Simart,
Thèse de Doctorat, 1882.

100

CHAPITRE III.

trois trous ne se touchant pas sont formés de trois courbes fermées
distinctes. Si, dans un feuillet circulaire, on fait un trou ne tou-
chant pas la circonférence, on obtient une surface connexe
kfiS' ^9) dont les bords sont constitués par deux lignes fermées,
la circonférence du cercle et le contour du trou.

Fi!

Nous 11' envisagerons que des surfaces avec des bords : si
l'on a une surface fermée, on commencera par lui donner un
bord en y faisant une petite ouverture, par exemple une fente
avec des ciseaux; les deux bords de cette fente formeront une
ligne continue constituant la limite ou le bord de la surface.

50. On nomme coupure une section faite avec des ciseaux
dans la surface, partant d'un point d'un bord et venant aboutir
en un point d'un bord. Cette coupure a deux bords. Ainsi l'on
part d'un point A du bord CD {fig. 20), on coupe dans la surface

Fis:, ^o.

avec des ciseaux suivant AB jusqu'en un point B de l'intérieur;
on a ainsi, non une coupure, mais un commencement de coupure
avec deux bords infiniment voisins qui peuvent se séparer jus-
qu'en B. A ce moment l'ancien bord de la surface qui était continu
de C en D se trouve remplacé par la nouvelle ligne continue

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. lOI

GaB|3D. Continuons à couper avec les ciseaux plus loin que B; la
coupure sera terminée quand nous serons arrivés en un point d'un
bord, que ce soit un point des bords primitifs ou un point des
bords nouveaux déterminés par le passage des ciseaux.

Ainsi, en prenant un feuillet circulaire percé d'un trou {^fig- 19),
on a une surface avec des bords formés de deux courbes dis-
tinctes P et P^ Partons d'un point A ou A' du bord P, nous pour-
rons ^fig' 21) tracer une coupure ACB ou une coupure ADE

Fi£f. 21.

aboutissant en un autre point d'un bord; nous pourrons aussi
tracer une coupure telle que A^FGH ou A'KLM venant se ter-
miner sur elle-même, c'est-à-dire sur un bord créé par le passage
des ciseaux.

Voici les effets produits par ces coupures : les coupures ACB,
A'FGH, A'KLM découpent chacune le feuillet en deux morceaux
distincts : de sorte que, une de ces coupures étant effectuée, le
feuillet n'est plus connexe. L'effet de la coupure ADE est tout dif-
férent. La surface est encore connexe après cette coupure, mais sa
limite, qui était formée de deux courbes distinctes PetP', est main-
tenant formée d'une seule courbe continue qu'on peut parcourir
complètement d'un seul trait. Dans ce parcours, que nous suppo-
sons effectué dans le sens positif, les deux bords de la coupure
sont parcourus en sens contraire, comme le montrent les flèches
indiquant le sens du parcours. Pour suivre ce parcours, il faut
imaginer que la coupure ADE existe seule et que la coupure
A'KLM n'est pas tracée (voiry^o^. 3o).

Nous verrons plus loin un grand nombre d'exemples de cou-
pures : on remarquera que nous n'aurons jamais à tracer de cou-

102 CHAPITRE III.

pures décomposant la surface en morceaux séparés, c'est-à-dire
détruisant la connexion.

51. La connexion d'une surface peut être plus ou moins com-
pliquée : on dit que la surface est à connexion simple ou encore
€st simplement connexe quand on peut, en déformant cette sur-
face, supposée parfaitement élastique et indéchirable, la réduire à
un feuillet plan limité par un contour simple ne se coupant pas
lui-même, par exemple à un feuillet rectangulaire, circulaire ou
elliptique. La nature de la courbe limitant le feuillet plan final
n'a aucune importance : l'essentiel est que cette courbe soit con-
tinue et ne se coupe pas elle-même.

D'après cette définition, les bords d'une surface quelconque
simplement connexe se composent nécessairement d'une seule ligne
continue ne se coupant pas, puisque, après la déformation, les
bords de la surface deviennent le contour simple du feuillet
plan. Citons d'abord quelques exemples de surfaces simplement
connexes.

1° Une calotte sphérique. Cette surface peut évidemment être
déformée de façon à devenir un feuillet circulaire, la circonfé-
rence de base de la calotte devenant la circonférence du feuillet
circulaire.

i"^ Un ruban rectangulaire allongé se traversant lui-même
autant de fois qu'on le veut, à la manière des deux feuillets
<Vune surface de Riemann {fig- 22). On suppose, bien entendu.

■comme pour les deux feuillets d'une surface de Riemann se croi-
sant en une ligne de passage, que les difi'érentes parties du ruban
se traversent librement et que le long d'une ligne de passage, telle
<[ue ^1^2, les deux nappes qui se croisent, et par conséquent les
bords du ruban, n'ont aucun point commun. Le ruban peut alors

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS.

s'étaler sur un plan et donner un rectangle : il constitue une sur-
face simplement connexe.

S*" Domaine d'un point de ramification de la surface de
Riemann à deux feuillets. Ce domaine a été représenté pré-
cédemment {fig- 17) : on peut vérifier aisément qu'on peut, par
déformation continue et sans déchirure, l'appliquer sur une por-
tion de plan à contour simple. 11 suffît de relever les bords du
plan P| en pliant ce plan suivant une droite OA partant de O
pour placer ces bords relevés dans le prolongement des surfaces
de raccord des deux feuillets : on obtient ainsi la figure sui-
vante 23 a; ensuite, on opère de même pour le plan inférieur Po,
ce qui donne lâfig. iZ h.

Fiff. 23.

(a.)

On a ainsi comme les deux pages d'un livre se traversant sui-
vant la ligne L. Comme, par convention, ces deux pages n'ont
aucun point commun sur L, on peut les ouvrir sans les déchirer;
les deux feuillets se traversent librement et Ton a finalement la
figure plane 28 c, limitée par un contour simple ne se coupant pas.

4° Soient deux sphères extérieures l'une à Vautre, reliées par
un cylindre (haltère). La surface de ce solide est fermée : si l'on
y pratique une fente y, on a une surface ouverte dont le bord est
formé par le contour de la fente {fig- 24 a). Cette surface est

Fis.

2A-

simplement connexe. On peut, par déformation continue, la
réduire à un ellipsoïde avec un trou {fig- 24 b)\ puis, en écartant

I04

CHAPITRE III.

les bords du trou, à une sorte de calotte sphérique, et finalement
à une aire plane à contour simple.

5^ Si l'on prend deux sphères dont Vune est intérieure à
l'autre, j-éunies par un cylindre, on a une surface fermée,
qui, après le tracé d'une fente /, devient simplement connexe
{fig. 20 a). La fente étant supposée tracée dans la sphère inté-

Fig. 25.

rieure, on peut, par déformation continue, retourner cette sphère
à travers le canal cylindrique/?^ comme on retourne un doigt de
gant {/ig. 25 b) : on est alors ramené au cas précédent.

6° Surfaces de Riemcuin à deux feuillets avec deux points
de ramification. Cet exemple est presque identique au précé-
dent. Prenons les surfaces de Riemann sphériques à deux points
de ramification considérées au début du Chapitre I. Elles sont
formées par deux feuillets sphériques intérieurs l'un à l'autre
réunis le long d'une ligne ^i (?2, comme il a été expliqué {fig. 26 a):

(cuj

on a figuré des chemins conduisant de la sphère extérieure à
l'autre, à travers celte ligne e^ e^_ : le long de cette ligne la surface
de la sphère extérieure se prolonge par celle de la sphère inté-
rieure, comme les deux nappes d'un ruban qui se croise lui-

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. Io5

même {fig- 22). Partout ailleurs que sur la ligne <?, e-y les sphères
sont indépendantes. On voit l'analogie avec l'exemple précédent :
le mode seul de réunion des deux sphères est changé; le raccord
par un cylindre se trouve remplacé par le raccord à travers la ligne
de passage e^e-2' Faisons une fente infiniment étroite dans la
sphère intérieure pour donner des bords à la surface. Cette fente
a une longueur arbitraire : pour simplifier, traçons-la suivant une
ligne voisine du grand cercle allant de <?, à ^o- Les deux bords
de cette fente que nous écartons dans la Jig. 16b sont e^7.e>
et e, ^eo.

La portion de sphère intérieure S,, située à gauche de la fente,
peut, par déformation continue, être retirée vers la droite à tra-
vers la ligne de passage comme un ruban et être amenée en S\ :
la portion de sphère So peut de même être retirée vers la gauche à
travers la ligne de passage et être amenée en S'^. Cette opération
serait analogue à celle qui consisterait à retirer dans la fig. 11 les
deux portions de ruban S, et So à travers la ligne de passage
6^62- Après cette opération, l'ensemble des deux sphères sera
transformé en la surface de la fig. 26 c, où Ton a un peu écarté les
deux parties S', et S!,. C'est une surface simplement connexe. On
peut, par déformation continue, l'amener à la forme d'une sphère
avec un trou, puis l'appliquer sur un feuillet simple. Ainsi la sur-
face de Riemann à deux feuillets et deux points de ramification,
percée d'une fente, est simplement connexe.

Nous avons dans ce qui précède, pour être plus clair, supposé
la sphère intérieure fendue du point e, au point e^. Mais cela

Fig. 27.

n'est pas nécessaire. Si l'on fait seulement dans la sphère inté-
rieure une petite ouverture / (yt^. 27 a), on peut imaginer que

106 CHAPITRE III.

l'on fasse passer celte sphère à traders la ligne de passage, car les
deux feuillets qui se croisent suivant eie.2 sont supposés n'avoir
aucun point commun : il n'y a donc aucun obstacle à la sortie de
la sphère intérieure; après cette opération on aura lajîg. 27 6,
constituée par deux sphères extérieures reliées par un tube. Il
faut remarquer que la partie Si de la sphère intérieure qui était
primitivement à gauche est venue à droite en S\ après la sortie de
la sphère, et inversement la partie droite S2 est venue à gauche en
S2. D'ailleurs l'extérieur de la sphère interne 8182 est resté à
l'extérieur de la sphère externe S\ S'^.

52. Pour définir le sens positif du contour d'une surface sim-
plement connexe, il faut distinguer l'une de l'autre les deux faces
de la surface. La surface est un feuillet analogue à une pièce
d'étoffe avec un endroit et un envers. Faisons choix d'une face
qui sera appelée V endroit ou le coté positif de la surface, puis dé-
formons la surface et appliquons-la sur un plan horizontal, Ven-
droit étant au-dessus : alors le sens positif du contour du feuillet
plan ainsi obtenu est le sens dans lequel se meut un observateur
debout sur le plan et décrivant le contour en ayant l'aire à sa
gauche.

A ce sens correspond, sur le contour de la surface primitive
simplement connexe, un sens déterminé qu'on appelle aussi sens
positif de ce contour. Ce sens est marqué par des flèches dans les
exemples précédents, où l'on a choisi comme endroit les faces
suivantes ; pour le ruban de l'exemple 2° la face supérieure du
bord 8, ; pourle domaine d'un point de ramification de l'exemple 3,
la partie supérieure des plans V ^ et P2 ; pour les sphères de
l'exemple 4°? l'extérieur de ces sphères ; pour les sphères de
l'exemple 5° l'extérieur de la sphère extérieure et, par suite, l'in-
térieur de la sphère intérieure ; enfin pour les surfaces sphériques
de Riemann de l'exemple 6^^ l'extérieur de ces surfaces.

Pour toutes les surfaces de Riemann dont nous nous occupe-
rons par la suite, V endroit ou côté positif de la surface sera la face
extérieure des feuillets sphériques ou la face supérieure des feuil-
lets plans supposés étalés sur un plan horizontal.

53. Il est essentiel de remarquer que toute coupure faite

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 107

dans une surface simplement connexe la découpe en deux mor-
ceaux distincls. En effet, après la réduction de la surface à un
feuillet plan à contour simple {fig- 28), toute coupure deviendra
une coupure telle que pmcj partant d'un point du bord pour re-

venir en un point du bord ou pour se couper elle-même; dans les
deux cas, cette coupure sépare évidemment la surface en deux
morceaux. Nous ne tracerons pas de coupures sur les surfaces
simplement connexes. Les coupures que nous employons plus loin
ont pour but de transformer des surfaces qui ne sont pas simple-
ment connexes en des surfaces simplement connexes.

Enfin une dernière propriété des surfaces simplement connexes
est la suivante : Toute ligne fermée tracée sur une suif ace
simplement connexe peut, par déformation continue sur la
surface^ être réduite à un point. Gela se voit immédiatement
sur le feuillet plan à contour simple dans lequel on peut, par dé-
formation continue, transformer la surface. Ainsi la ligne MoGMo
peut être réduite au point Mq {fig- 2g).

Fi g. 29.

o4. Voici maintenant des exemples de surfaces non simplement
connexes ou surfaces à connexion multiple : nous allons voir
que ces surfaces, parmi lesquelles se trouvent les surfaces de Rie-
mann à deux feuillets et à plus de deux points de ramification,

io8

CHAPITRE III.

peuvent toujours, à l'aide de coupures convenablement tracées,
être rendues simplement connexes.

i" Considérons d'abord un feuillet plan circulaire percé d'un
trou {fig- 19, p. 100). Cette surface n'est pas simplement connexe;
on ne peut pas, par déformation continue, sans déchirer la cou-
ronne comprise entre le trou et la circonférence, la réduire à un
feuillet plan à contour simple. Actuellement le contour se com-
pose de deux courbes distinctes : ce seul fait permet d'affirmer
que la surface n'est pas simplement connexe. Il existe des lignes
fermées MoMNMo {fig- 19, p. 100) tracées sur la surface, qui
ne peuvent pas, par déformation continue sur la surface, être ré-
duites à un point : ce seul fait permettrait aussi d'affirmer que la
connexion n'est pas simple. Mais, dans cet exemple, à l'aide
à^une seule coupure, nous obtenons une surface simplement
connexe. En effet, traçons la coupure AE allant d'un point de la
circonférence à un point du bord du trou et ajant pour bords afi
et oy {fig' 3o) : nous obtenons une surface simplement connexe

Fi^. 3o

dont le contour parcouru dans le sens positif, à partir de P, est
PajSQRôySTP :1e sens de ce parcours est indiqué par des flèches ;
on remarquera que les deux bords de la coupure AE sont parcou-
rus en sens contraire. On ramène immédiatement à ce cas la
surface formée par une sphère percée de deux trous : il suffit de
tracer une coupure réunissant les deux trous.

2** Prenons maintenant un feuillet circulaire avec des trous,
trois par exemple. Il faudra tracer trois coupures pour rendre
celte surface simplement connexe, comme le montre la y?^. 3i.
Après le tracé de ces coupures, la surface est limitée par un con-

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS.

109

loiir simple; si un mobile parcourt ce contour dans le sens positif,
indiqué par les flèches, les deux bords des coupures sont parcourus

Fig. 3i

en sens contraires. On ramène immédiatement à ce cas une sur-
face connexe, comme une sphère avec quatre trous, en traçant
trois coupures réunissant un trou aux trois autres.

00. Les deux exemples précédents nous montrent des surfaces
non simplement connexes, avec des bords formés de plusieurs
lignes distinctes. [1 ne faudrait pas croire que ce fait se présente
nécessairement pour toute surface qui n'est pas simplement con-
nexe. Dans les exemples que nous allons donner maintenant, et
qui comprennent les surfaces de Riemann, les bords de la surface
sont formés d'une seule ligne continue.

i'' Prenons deux sphères extérieures reliées par deux tubes cy-
lindriques L, et Lo, Vendroit ou côté positif de la surface étant
l'extérieur [fig. Sa). La surface est fermée; nous l'ouvrirons en

Fig. 32.

y pratiquant une petite ouverture /dont les bords formeront les
bords de la surface. Au point de vue de la connexion, cette sur-
face est identique à un tore percé d'un petit trou ; car on peut

lÔ

CHAPITRE III.

évidemment, par déformation continue, en faire un tore. Cette
surface n'est pas simplement connexe, car il existe sur elle des
contours fermés, tels que Imnl, qu'on ne peut, par déformation
■continue sur la surface, réduire à un point. On la rend simple-
ment connexe à l'aide des deux coupures suivantes.

Partons du bord du trou f et traçons une première coupure h
entourant la base du cylindre L, , sur la sphère de gauche, de façon
à détacher ce cylindre de cette sphère, comme le montre la figure
supérieure 33, où les deux bords de la coupure b sont appelés
b' et b" . La surface est encore connexe sans l'être simplement :
elle est, au point de vue de la connexion, identique à un tube
ouvert aux deux bouts, ou à une sphère percée de deux trous, ou
à un feuillet circulaire plan percé d'un trou; cela revient au même,
comme le montre la comparaison des Jig. 33 et 34, car le tube,
ouvert aux deux bouts, peut se déformer en un cylindre droit
ouvert aux deux bouts, et cette dernière surface en une sphère
percée de deux trous, ou en un feuillet plan circulaire percé d'un
trou.

Comme nous l'avons déjà dit, la surface obtenue parle tracé de
la coupure b (première surface de la Jig. 33) n'est pas simple-

Fij?.

ment connexe, car la ligne fermée Imnl ne peut pas encore être
réduite à un point par déformation continue. Traçons alors une
nouvelle coupure a allant d'un des bords b' de la première cou-

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. III

pure à TaiUre bord h>' en suivant le cylindre Lo. Cette nouvelle
coupure est figurée sur la deuxième surface de \di Jig. 33 ; elle est
figurée également sur les différentes surfaces qu'on peut déduire
de cette surface par continuité, tube ouvert, cylindre, sphère avec
deux trous, feuillet plan avec un trou {Jig. 34).

Après le tracé des deux coupures a et 6 la surface est devenue
simplement connexe. On peut, en effet, par déformation con-
tinue, appliquer cette surface T' {fig- 33) ou une des surfaces
dérivées (/?^. 34) sur une aire plane à contour simple. C'est ce
qui est réalisé sur le feuillet plan de ln/ig. 34; on pourrait aussi
développer le cylindre de \di fig. 34 pour transformer cette sur-

b' h"

Fis. 34.

face en un feuillet rectangulaire dans lequel les côtés opposés pro-
viennent des bords opposés des deux coupures. Au mobile qui
parcourt le contour de ce rectangle dans le sens positif (le côté
positif du rectangle provenant de l'extérieur du cylindre) corres-
pond sur le cylindre et, par suite, en remontant, sur la surface dé-
coupée T' de la. Jig. 33, un mobile parcourant le contour de cette
surface constitué par les bords des deux coupures dans le sens
positif. Ce sens est indiqué par les flèches; on voit que les deux
bords de chaque coupure sont parcourus en sens contraire.

2° Le cas de deux sphères, dont l'une est intérieure à l'autre,
reliées par deux tubes cylindriques L, et Loj est identique au pré-
cédent auquel on le ramène d'ailleurs immédiatement. Nous pre-
nons pour côté positif de la surface l'extérieur de la sphère exté-
rieure. Supposons une petite ouverture /dans la sphère intérieure
et traçons, en partant de f, une coupure b qui entoure la base du
cylindre L, sur la sphère intérieure, de façon à détacher la sphère
du cylindre L, {Jig. 35 a). Nous retirerons alors le cylindre L,
vers l'extérieur en le retournant comme un doigt de gant et il
restera à l'intérieur une sphère avec un trou b'' que nous retour-
nerons aussi, à travers le cylindre Lo, comme un gant. Nous aurons

12

CHAPITRE m .

ainsi ramené la surface à l'état de la surface précédente après le
tracé de la première coupure {fig> 35 [3). Pour la rendre simple-
ment connexe, il faudra tracer la coupure a {fig. 36 a) qui permet

Fig. 3c

(a)

de développer la surface sur un rectangle, comme on l'a vu dans
l'exemple précédent. Il est important de figurer ces coupures en
place sur la surface primitive : c'est ce qui est réalisé ci-dessous
{fis- 3^ ?) ; on a en outre marqué par des flèches le sens du mou-

Fig. 30.

Ca)

CP)

vement d'un mobile parcourant, dans le sens positif, le contour
de la surface finale rendue simplement connexe.

3° Surfaces de Riemana à deux feuillets et à quatre points
de ramification. — Nous prenons, pour embrasser tous les cas,
la surface sphérique à deux feuillets avec quatre points de ramifi-
cation. Nous choisissons comme endroit ou côté positif de la
surface l'extérieur des feuillets sphériques. Cette surface est for-
mée de deux sphères, l'une intérieure à l'autre, se raccordant sui-
vant deux lignes de passage e, e. et e^e, : elle oflre la plus grande
analogie avec les surfaces précédentes; la seule différence est que

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS.

Il3

les cylindres de raccord des exemples précédents sont remplacés
par des rubans de raccord se croisant le long des lignes de pas-
sage.

On suppose une petite fente faite dans la sphère intérieure en/"
pour donner des bords à la surface. On trace, comme précédem-
ment, une première coupure b {Jig- 3^ a) entourant la ligne de

Fig. 3-.

(O.)

passage e^ e-i-, de façon à détacher la sphère intérieure de la sphère
extérieure le long de cette ligne : on peut alors retirer vers l'ex-
térieur les bouts de ruban qui se croisent en e, e^ et qui ratta-
chaient les deux sphères ; opération analogue à celle de la page i o5.
Les deux bords de la coupure b sont alors b' à l'extérieur et b" à
l'intérieur, 6'' formant le contour d'un trou dans la sphère in-
terne {^fig> 37 P). Les deux sphères sont maintenant rattachées
seulement par les rubans qui se croisent sur e^e^ comme dans
l'exemple 6, page 104. On pourra, par déformation continue, faire
sortir la sphère intérieure à travers la ligne de passage e^e^ : il

Fis. 38.

suffira d'opérer comme on l'a indiqué dans l'exemple 6, page lob.
On a enfin la surface représentée dans \difig. 38, qui peut se ra-
mener à une surface convexe avec deux trous b^ et b" ^ ou à une
A. ET G. 8

Il4 CHAPITRE III.

surface circulaire plane avec un trou (exemple de la page m).
Une dernière coupure a rend la surface simplemenl connexe en
réunissant les deux trous. Il est important de figurer ces coupures
en place sur la surface primitive de Riemann ; c'est ce qui est fait
dans Xdijig. Sg. La première coupure b est tracée tout entière sur
la sphère intérieure, elle entoure la ligne de passage e^e2\ elle est
marquée en traits ponctués, le trait plein étant réservé pour les
lignes tracées sur le feuillet supérieur. La seconde coupure a part
d'un point a^ du bord de la coupure b^ traverse la ligne de passage
^3^4 à partir de laquelle elle passe sur le feuillet supérieur, sur
lequel elle continue son cours jusqu'à la ligne de passage e^e^

Fig. 39.

qu'elle traverse en passant de nouveau dans le feuillet inférieur;
elle vient enfin se terminer sur le bord de la coupure a opposé au
point de départ a[S. Les deux coupures n'ont aucun point com-
mun dans le voisinage du point P de la figure, car elles sont tra-
cées dans des feuillets différents; a passe au-dessus de b au voisi-
nage de P. Si nous figurons ces mêmes coupures sur la surface
plane de Riemann, elles prendront la disposition de \^fig' 4o,oii le
point e,, peut d'ailleurs être à l'infini. Nous appellerons ordinai-
rement T' la surface de Riemann ainsi découpée, en réservant la
lettre T pour la même surface sans coupures. On a indiqué par
des flèches le sens du mouvement d'un mobile parcourant le con-
tour de la surface finale simplement connexe T', dans le sens po-
sitif.

Il est important de distinguer le bord positif el le boî^d négatif
des deux coupures a et b. La coupure a affecte la forme d'une
courbe fermée entourant les deux points 62 et e^ : nous appelle-

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS.

Il5

rons bord positif àe cette coupure le bord extérieur \ marqué de
signes + sur la Jîg. 4o, et marqué en traits plus gros sur la

fig. 4ï ; le bord négatif de a sera le bord intérieur p. Ensuite,
pour la coupure b, nous choisissons comme bord positif le bord
de cette coupure que doit suivre un mobile pour aller du bord po-
sitif ô de a au bord négatif y de a, en ayant à sa gauche la surface
deRiemann (l'extérieur de la coupure) ; ce sens de circulation du
mobile est indiqué par les flèches. Le bord positif de b est mar-
qué de la lettre À et des signes -h dans \difig. 4o ; il est marqué
en trait plus fort dans la /^. 4i. Le bord opposé p est le bord

Fig. 4i.

négatif de b. Quand un mobile parcourt les bords des coupures
dans le sens positif (indiqué par les flèches), il décrit les bords
opposés en sens contraires.

Il6 CHAPITRE III.

Il est bien entendu que la disposition seule des coupures est
imj)ortante. On peut faire varier leur forme d'une manière con-
tinue comme on veut, ainsi que la forme des lignes de passage
Ci e.2 et ^3^4. On peut aussi intervertir le rôle des deux feuillets :
supposer par exemple la coupure b tout entière sur le feuillet su-
périeur, la coupure a dans le voisinage du point apyo sur le feuil-
let supérieur et dans le reste de son parcours entre les deux lignes
de passage dans le feuillet inférieur. Pour avoir la figure corres-
pondant à cette disposition des coupures, il suffirait de tracer en
traits pleins ce qui est pointillé, et inversement.

56. On traitera de même le cas général d'une surface de Rie-
mann à deux feuillets, avec un nombre quelconque de lignes de
passage. Les surfaces sphériques correspondantes sont analogues
au système de deux surfaces sphériques reliées par autant de tubes
cylindriques qu'il y a de lignes de passage. Prenons, par exemple,
pour traiter encore en détail le cas de six points de ramification,
deux sphères extérieures, reliées par trois tubes cylindriques L|,
Lo, L3. On fait d'abord une petite ouverture /"dans la sphère S ; puis
on trace, en partant de cette ouverture et en y revenant, une pre-
mière coupure bi entourant la base du cylindre Li sur la sphère S,

Fig. 4-

de façon à détacher ce cylindre (Jig: 42 a); il faut imaginer que
cette coupure 6< tourne sur la sphère S derrière la base du cy-
lindre L^ . Partant ensuite d'un point £ de cette coupure bi on trace
une seconde coupure ec^r^b^bo^ venantse terminer sur elle-même
en 0, de façon à entourer la base du cylindre Lo et à détacher ce cy-
lindre delà sphère; cette seconde coupure, que nous désignerons

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS.

117

par Co-h ^25 se compose de deux parties, une portion de coupure
Co de £ en t,, puis une autre portion ^o affectant la forme d'une
courbe fermée comme b^. Après ces deux coupures, la surface
n'est pas encore simplement connexe ; en la déformant un peu on
lui donne la forme représentée dans lajig. ^2 j^.

Cette nouvelle surface est composée d'une sphère S avec un
trou dont le bord b\ c'.-, b[, c"., est formé par les bords extérieurs de
bi et 60 et les deux bords de Co, puis d'une deuxième sphère S'
reliée à la première par un cylindre L3 et portant deux tubes cy-
lindriques L, et Lo ouverts par deux trous dont les bords b\ et
bl sont les bords intérieurs des coupures ^, et bo. Cette surface a
donc trois trous distincts : elle peut, par déformation continue,
être ramenée à une surface sphérique avec trois trous ou à un
feuillet plan circulaire avec deux trous {Jig. 4^ bis).

Fig. 42 bis.

Pour rendre la surface simplement connexe, on se trouve ra-
mené à un problème traité antérieurement: il faut réunir un de ces
trois trous aux deux autres par deux coupures a, et «2, de façon à
n'en faire qu'un seul trou. Nous joindrons par des coupures le

Fis:. 4

trou de S aux deux trous b'\ et b"., de S\ La coupure a, joindra
un point de b\ à un point de b\ ; de même la coupure adjoindra un

ii8

CHAPITRE III.

point de b'^ à un point de b'., {fig. 43 a). La surface est alors simple-
ment connexe. Il importe de figurer ces coupures en place sur la
surface primitive; c'est ce qui est fait dans la deuxième y^^. 43 p.
Si l'on trace les mêmes coupures sur la surface déformée
comme dans Xd^fig. 42 bis^ on obtient les surfaces de Xd^fig. 43 bis,

Fig. 43 bis.

où il est évident que le tracé des coupures rend la surface simple-
ment connexe.

Dans ce qui précède, les sphères sont extérieures. Si l'on avait
deux sphères intérieures, réunies par trois tubes, L<, Lg, L3, on
procéderait de la même façon. On commencerait par détacher de
la sphère intérieure S les deux cylindres L< et Lo par deux cou-
pures b^ et c- -h Z>2 entourant les bases de ces deux cylindres ;
puis l'on retournerait la sphère interne, à travers le tube L3,
comme un gant; on retournerait de même vers l'extérieur les
tubes Li etjLo et l'on serait ramené identiquement au cas précé-
dent {fig. 42 p).

57. Prenons maintenant le cas d'une surface de Riemann sphé-
rique à deux feuillets et 'trois lignes de passage e^ e^^y <?3^4j ^s^c-
Ces surfaces sont analogues aux précédentes, et nous les décou-
perons de la même façon. La sphère intérieure est rattachée à
l'autre par trois couples de rubans qui se croisent suivant e^e^-^
^3^'o <?56c> et qui remplacent les cylindres L<, Lo, L3. Traçons
sur la sphère intérieure, à partir d'une fente/, une première cou-
pure ^^ entourant <?< Co de façon à détacher cette sphère de la
sphère extérieure au voisinage de e^ e.^ ; puis retirons vers l'exté-
rieur (comme dans l'exemple 6, p. io5) les deux bouts de ruban
qui se croisent suivant e,(?o, de façon à les amener en l)\

{fig- 44 p).

Nous partons ensuite du bord extérieur b\ de cette coupure 6,,

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS.

119

et nous traçons une coupure Co+ 62 qui vient se terminer sur
elle-même après avoir contourné sur la sphère intérieure la ligne
de passage 63^4, en détachant ainsi la sphère intérieure de l'autre
au voisinage de 63^4. Cette nouvelle coupure faite, nous pouvons
retirer vers l'extérieur les rubans qui se croisent en e^ej^ de façon
à les amener en b\ {fig- 44 ?)• On a ainsi ramené la surface

Fig. 44.

(a)

primitive T à deux sphères intérieures réunies encore le long
d'une seule ligne de passage 6360 et percées, la sphère intérieure
d'un trou b\ c-2 b[, Co, la sphère extérieure de deux trous b] et b[^.
Si l'on fait alors sortir la sphère intérieure comme précédem-
ment à travers la ligne de passage e-^ec, on a une surface repré-
sentée dans la Jîg. /\b^ qu'on peut, par déformation continue,.

Fig. 45.

transformer en une surface connexe, une sphère, par exemple^
avec trois trous, 1,2, 3, et qui est identique à la surface de la
fig. 42 P ou 4'-^ bis. On la rendra simplement connexe par deux

CHAPITRE III.

coupures réunissant ces trois trous en un seul; une première cou-
pure a^ joindra le trou 1 au trou 3 en allant d'un point de b\ à
un point de b\ ; puis une deuxième coupure ûTo joindra le trou 2
au trou 3 en allant {fig. 4^) d'un point de b[, à un point de b\.

Fig. 46.

l b':

On a ainsi, comme dans l'exemple précédent, un système de
quatre coupures, ^i , Cg -f- ^25 <^\ et «o, rendant la surface simple-
ment connexe.

Il est important de figurer {fig. 47) ces coupures en place sur
la surface sphérique de Riemann à deux feuillets. La coupure b^ en-

Fig. 47-

toure les deux points e^ et^a sur le feuillet inférieur : elle est figu-
rée en traits ponctués; puis d'un point de b^ part une coupure
Co -+- b.2 se terminant sur elle-même après avoir entouré les deux
points ^3 et e, toujours sur le feuillet inférieur. Une première cou-
pure r/, part d'un point a|3 du bord extérieur de ^,, suit d'abord

CONxNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l'il

le feuillet inférieur jusqu'à la ligne de passage ^5^0, passe ensuite
sur le feuillet supérieur jusqu'à la ligne e^e-^^ repasse sur le
feuillet inférieur et se termine sur le bord de 6, opposé au point
de départ aj^. Une deuxième coupure «o part de même d'un point
a'j^' du bord extérieur de 60, suit le feuillet inférieur jusqu'en
^5^0, le supérieur jusqu'en ^3^4, de nouveau le feuillet inférieur
et se termine sur le bord de Z>2 opposé à a'[^'. Les coupures étant
ainsi tracées, on s'assure aisément qu'un mobile peut parcourir
la suite des bords des coupures d'un mouvement continu: le sens
de ce parcours, supposé effectué dans le sens positif par rapport à
la surface extérieure des spbères, est figuré par des flèches. Aux
points tels que P les coupures passent l'une au-dessus de l'autre,
car elles sont, l'une dans le feuillet inférieur, l'autre dans le
feuillet supérieur.

La même figure, étant faite pour la surface plane de Riemann,
prend la disposition suivante {fig- 4^) 7 0^1 nous avons mis les

Fig. 4

mêmes lettres et où le point eç, peut être à l'infini. Les cou-
pures «, et rto affectent la forme de courbes fermées : le bord
positif + marqué d'un trait plus fort est le bord externe. Pour
les coupures b^ et 62, le bord positif est défini par la même con-
vention que précédemment, page 11 5. Le bord positif de />, est

CHAPITRE III.

celui que suivrait un mobile pour aller du bord positif de a^ au
bord négatif de a, en marchant, par rapport à la surface de Rie-
mann, dans le sens positif (aire enveloppée à gauche, sens marqué
par les flèches). Ainsi, en partant du point a (bord positif de a^)
et marchant sur le bord extérieur de h<^ dans le sens de la flèche,
on revient, en ne tenant pas compte de la coupure C2, au point p
(bord négatif de «<). C'est donc, sur la figure, le bord exté-
rieur de h^ qui est le bord positif. Si l'on parcourait le bord
opposé dans le sens positif marqué par la flèche, on irait, au con-
traire, de Y sur le bord négatif Aç, a s. en 8 sur le bord positif. Pour
la coupure ^o, le bord positif est de même le bord qu'il faudrait
suivre pour aller du bord positif de «2 au bord négatif de a2 en
marchant dans le sens positif. Ce bord positif est, dans X-à fig, 48,
le bord externe de Z?2, qui conduit, comme on le voit, de a' (bord
positif de <22) en ^' (bord négatif de a^^ dans le sens des flèches.
Le bord positif de c^ est arbitrairement choisi.

58. Nous venons d'examiner en détail le cas de six points de
ramification avec trois lignes de passage, qui est au fond identique
à celui de deux sphères extérieures reliées par trois tubes. Si l'on
prend la surface de Riemann correspondant à la relation

dans laquelle n=^ ip-\- 'i^ ou 2/> + i , il j a sur la sphère ou sur
le plan p + i lignes de passage et ip + 1 points de ramification,
dont un à l'infini quand n est impair. La surface sphérique de
Riemann est, au point de vue de la connexion, identique à un
système de deux sphères extérieures reliées par/? + i tubes cy-
lindriques Li, Lo, . . ., L^_^i.

En opérant identiquement comme dans l'exemple précédent,
on rendra la surface de Riemann simplement connexe à l'aide des
ip coupures suivantes, aue nous traçons sur la surface de Rie-
mann plane. Tout d'abord on mène les coupures Z? et c + 6 toutes
dans un même feuillet, le feuillet inférieur,' par exemple, comme
il suit. On trace {fig. 49) une coupure fermée h^ entourant les
deux seuls points de ramification ^4 , e^ ; puis, partant d'un point
de />,, une coupure Co H- h^ venant se couper elle-même, formée

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. lïi

d'une branche Co et d'une boucle entourant les points ^3,64;
ensuite, partant de même d'un point de b-i, on trace une cou-
pure C3 4- bi venant se couper elle-même, formée d'une branche c-^
et d'une boucle 63 entourant les points ^5, e^, ... ; enfin, partant
d'un point de bp_i , on trace une coupure Cp+ bp venant se couper
elle-même, formée d'une branche Cp et d'une boucle entourant les
points Cop-i-, C-2P' Sur \dijig. 49? on a figuré ces coupures en siip-

Fig. 49.

■7/ ^sy^^s]

J^-^::^''--J/ w'e. // ^— ' "<^z

posant les points <?,, e^2^ . . ., e,i dans l'ordre dans lequel les ren-
contre un rayon vecteur tournant autour de l'origine O dans le
sens positif des rotations. Le point e-ip^o est figuré comme étant à
distance finie dans la surface plane de Riemann; il est à l'infini
quand n est impair. Les lignes de passage sont tracées comme
précédemment L,o, L3 4, . . . , l^2p+\,2p+2'

Pour achever de rendre la surface simplement connexe, il faut
ensuite tracer /> coupures a. La coupure a^ part du bord de la
coupure ^, en a^3 dans le feuillet inférieur {/ig- 5o), traverse la
ligne de passage L,o pour monter sur le feuillet supérieur, tra-
verse ensuite la ligne de passage ï^-2p+i,2p+2 pour revenir dans le
feuillet inférieur et vient se terminer au point yo sur le bord de bi
opposé au point de départ a[B {Jig. oo).

Dans la fig. 5o, pour ne pas surcharger, on a désigné les
points de ramification par leurs indices seulement, en mettant 1,
2, 3 au lieu de ^i, eo, (?3, .... De même, la coupure a^ part du
bord interne a^ de 60, traverse la ligne de passage L34 joignant
les points e-^, ^4, tourne autour du point eo^+, en traversant la ligne

124 CHAPITRE III.

de passage L2p+i,2/?+2 et vient se terminer en yS sur le bord de
Z>2 opposé au point de départ a[3. Les coupures «3, . . ., cip sont
tracées de la même façon à l'égard des coupures ^3, ..., bp.
Toutes ces coupures a franchissent la ligne de passage l^2p+\,-ip^'i

Fis:. 5o.

2r>*2

et affectent la forme de courbes fermées entourant le point e^p^K
associé à d'autres points de ramification. Ainsi a^ entoure <?, et
^2p4-n «2 entoure <?< , Co, <?3 et <?2/>+i ? • • -, «a entoure <?,, <?2j <?3, •••,
e-ih-x et <?2/j+i.

Comme dans les exemples précédents, nous nommerons bord
positif des coupures a^, a.2^ . . . , ap le bord externe de ces cou-
pures marqué d'un signe + ou de la lettre 1 : le bord positif d'une
coupure telle que bi est le bord que doit suivre un mobile pour
aller du bord positif de «, au bord négatif en marchant dans le
sens positif (aire de la surface de Riemann à gauche). D'après
cette convention, c'est le bord externe de Z?, qui est le bord po-
sitif : ce bord conduit en effet de v en 0 en tournant dans le sens
positif. La même convention appliquée aux autres coupures b
montre qu'elles ont toutes pour bord positif l'extérieur. Quant
aux coupures Co, C3, ..., Cp, le choix du bord positif n'a pas d'im-
portance. Nous prendrons pour bord positif de la coupure c^,
celui qu'il faut suivre pour aller de bk^^ à bk en marchant dans le

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 123

sens positif. On a figuré par des flèches le sens dans lequel se
meut un mobile parcourant dans le sens positif tout le contour
de la surface de Riemann ainsi découpée T', contour formé par
les bords des coupures. Il va de soi qu'aux points tels que P ces
coupures n'ont aucun point commun, car elles sont dans des
feuillets différents.

Il faut remarquer aussi que la forme des coupures ne joue au-
cun rôle : il n'j a d'essentiel que leurs positions relatives. On
peut remplacer le système de coupures considéré par tout autre
qu'on en déduirait par déformation continue. Par exemple, on
peut déplacer d'une manière continue le point d'insertion a^Syo
d'une coupure cik sur une coupure hk\ on peut aussi déplacer
d'une manière continue le point d'insertion d'une coupure Ch sur
les coupures hk-K et bh-, ou même le faire passer d'une coupure /;
sur une coupure a. Ainsi, dans Xd, fig. 5o, on pourrait par conti-
nuité amener Co à occuper une position telle que c!, ou c[^ ; de
même pour C3, . . ., Cp.

59. Théorème de Cauchy sur une surface de Riemann . — Ce
théorème résulte immédiatement des définitions posées dans le
Chapitre I. Soity(^, u) une fonction du point analytique (;, w),
uniforme dans le domaine d'un point (:;,, Ui) de la surface
de Riemann. Supposons que cette fonction soit régulière au
point (;,, i^,), ou admette ce point pour point singulier isolé :
on peut toujours prendre le domaine 0 du point (Zi,Ui) assez
petit pour que, dans ce domaine, il n'y ait pas de point singulier
placé autre part qu'en (j3,,;/i). Alors l'intégrale ff{z^u)dz^
prise dans le sens positif sur le contour du domaine 0, est égale
à 2t:«R,, R, étant le résidu relatif au point (i;<, i^,); et cela est
vrai que le point (^,, u^ ) soit un point ordinaire de la surface à
distance finie ou infinie, ou un point de ramification à distance
finie ou infinie.

Considérons maintenant sur la surface de Riemann une aire S
finie ou infinie, simplement connexe, limitée par une courbe C
formée nécessairement d'un seul trait et représentée sur la sphère
par une aire finie simplement connexe S, limitée par une courbe F.
Soit /(^, u) une fonction du point analytique (^, u), uniforme
dans l'aire S, finie sur le contour C, n'admettant dans l'aire S

126 CHAPITRE 111.

d'autres singularités que des points singuliers isolés, nécessaire-
ment en nombre fini. L'intégrale

f f{z.,u)dz,
^c

prise sur le contour C dans le sens positif, est égale à

•2-i(Ri-i-R24-...-+- R^),

R,, Ro, . . . , R^ désignant les résidas relatifs à tous les points sin-
guliers situés sur S et aux points à l'infini si l'aire S est infinie.
Pour démontrer ce théorème, découpons par des courbes trans-
versales, en nombre quelconque, l'aire sphérique S en parties o-<,
o-o, . . ., ^m assez petites pour que dans chacune d'elles il y ait au
plus un point singulier ou un point de ramification. Comme à
chaque point de la surface sphérique de Riemann correspond un
point de la surface plane de Riemann et réciproquement, à cette
division de l'aire sphérique S correspondra une division de l'aire
plane S en parties s^, 5o, .. . , Sm dont chacune contiendra au plus
un point singulier ou un point de ramification. L'intégrale
ff{^, u)dzj prise sur le contour total G de S, est égale à la somme
des valeurs de cette intégrale prises dans le sens positif sur les
contours d , Co, . . . , Cm des aires .Çi , ^o, . . • , Sfm et l'on a

(I) ff^z,u)dz=^ ff{z,u)dz^ f f{z,u)dz-^...-^ f f{z,u)dz.
^^ ^Ci Je, Jc^

Cette formule est évidente, car, dans les intégrales du second
membre, les côtés contigus des aires 5, , ^o, . . . , Sm sont parcourus
chacun deux fois en sens contraires, et les portions correspon-
dantes des intégrales se détruisent : il ne reste donc que les por-
tions de ces intégrales relatives aux parties du contour primitif C
qui ne figurent chacune qu'une fois dans la somme et dont l'en-
semble constitue l'intégrale du premier membre. Mais, dans l'é-
quation (i), chaque intégrale du second membre est prise sur le
contour d'un domaine assez petit pour ne contenir qu'un point
singulier ou un point de ramification au plus : chacune de ces
intégrales est égale à itù multiplié par le résidu relatif au seul

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 127

point singulier qui peut être situé dans l'aire correspondante, et
l'on a bien la relation fondamentale

(2) f f{z, ii)dz =i-î{Ri-\- R.-^ . . .-^ Rq),

quelle que soit la forme de l'aire simplement connexe S.

Le même théorème serait encore vrai, si l'aire considérée S
n'était pas simplement connexe et était limitée par une ou plu-
sieurs courbes dont l'ensemble formerait le contour C. La dé-
monstration est la même.

00. Voici une importante conséquence de cette formule, ne
s'appliquant qu'au cas où S est simplement connexe. Supposons
que, dans l'aire S, les résidus soient tous nuls; l'intégrale
ci-dessus est nulle. Considérons alors dans l'aire S deux points
analytiques Po et P de coordonnées (zq^ Uq) et (^, u)^ et deux che-
mins PqMP, PqNP joignant ces deux points. Les valeurs de l'in-

f y*(^j u)dzj prises le long de ces deux chemins,

(^0, «0)
sont égales. En effet, supposons d'abord que ces chemins ne se

coupent pas; la courbe fermée PqMPNPo, formée par ces deux
chemins placés bout à bout, est une courbe fermée tracée sur une
surface simplement connexe S; elle détache donc de cette surface
une portion Sj, également simplement connexe. C'est ce qui ré-
sulte de ce que nous avons vu (n^' oO, o3) pour les surfaces

Fig. 5i.

simplement connexes. Rappelons-en rapidement la raison. La sur-
face S peut, par déformation continue, être transformée en une
surface formée d'un feuillet plan s à contour simple c; dans cette
déformation, les points Pq, P et les chemins PqMP, PqNP de-
viennent {fig. Oi) Po, p, pomp^ p^np. Ces nouveaux chemins.

19,8 CHAPITRE m.

placés bout à bout , po^ipupo, forment un contour simple ne se
coupant pas, limitant une aire 5<, simplement connexe, située
dans s : donc, sur la portion de surface de Riemann S, la courbe
PoMPNPo Hmite une aire S, simplement connexe, située tout en-
tière dans S.

Comme, par hypothèse, les résidus de/(^, u) dans S sont tous
nuls, cette fonction est uniforme dans S< et elle y a aussi tous
ses résidus nuls : l'intégrale ff{z,u)dz, prise sur le contour
PoMPNPo de Si, est donc nulle. Or la première partie de cette
intégrale, le long de PqMP, est

/ f{z,u)dz,

«^Po MP

et la deuxième, le long de PNPq, est

fi^z,u)dz-

f .

la somme de ces deux intégrales étant nulle, on voit que la valeur
de l'intégrale ff(z, u)dz^ du point Pq au point P, est indépen-
dante de la courbe le long de laquelle on la prend, pourvu que
cette courbe soit située sur S.

Nous avons supposé que les chemins PqMP et PqNP ne se
coupent pas ; s'ils se rencontraient en un certain nombre de
points analytiques, il n'y aurait qu'à les comparer à un chemin
ayant les mêmes extrémités et ne rencontrant aucun d'eux; et la
conclusion serait la même.

En résumé, l'intégrale

F(5,«) = Ç ' f{z,u)dz

a une valeur unique, quel que soit le chemin suivi sur S entre les
deux points limites. Laissant le point Po(^05 ^o) fixe et faisant
varier le point P(^, ?/), on voit que cette intégrale définit une
fonction du point analytique (^, u), F{z, u), uniforme dans
l'aire S. Gomme/ est supposé n'avoir dans S que des points Ûvl-
guliers isolés à re5«(iw5 nuls, F(^, w) n'aura que des points sin-
guliers isolés dans la même aire S.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l'2<^

61 . Le cas le plus important et en même temps le plus simple
est le cas où Faire S se compose de toute la surface de Riemann
simplement connexe T', dont le contour G est formé par l'en-
semble des coupures a^, bk et c/i précédemment tracées. La fonc-
tion /(^, u) est alors supposée uniforme sur toute la surface T
et ne possède que des points singuliers isolés. Dans ces conditions,
l'intégrale

X

f{z,ii)dz,

prise sur le contour de la surface T' dans le sens positif, est égale
au produit de 9.'Ki par la somme de tous les résidus de /. Dans
cette intégration, les bords opposés d'une même coupure sont
parcourus en sens contraire.

Exemple. — Si la fonction f{z, u). satisfaisant aux condi-
tions précédentes, est uniforme, non seulement sur la suif ace T',
rendue simplement connexe par les coupures a, bj c, înais
aussi sur la surface primitive de Riemann T non découpée, la
somme des résidus de cette fonction, sur toute la surface de
Riemann (y compris Finfini), est nulle. Dire que /est uniforme
sur la surface primitive T de Riemann, c'est admettre qu'elle ne
change pas de valeur quand on franchit une coupure ou ocelle
prend les mêmes valeurs sur les bords opposés de chaque cou-
pure. Alors l'intégrale

ff{z,it)dz

est évidemment nulle, car les deux bords d'une même coupure
étant parcourus en sens contraire et la fonction / prenant les
mêmes valeurs sur les deux bords d'une coupure, les éléments de
Tintégrale provenant des bords opposés de chaque coupure se
détruisent deux à deux. La somme des résidus est donc nulle.
Ce théorème s'applique en particulier à une fonction ration-
nelle de z el U] nous l'avons démontré autrement dans le Cha-
pitre L

62. Supposons maintenant que l'aire simplement connexe S
ibrasse toute la surface de Riemann T', et que, de plus, tous

em

A. ET G.

9

i3o CHAPITRE m.

les résidus de f{z^ u) soient nuls. Dans ces conditions, si l'on
prend sur la surface deux points analytiques, Vq{zq^ Uq) et
P(^, ?^), l'intégrale

f{z,u)dz,

prise de Po en P le long d'une ligne quelconque tracée sur la
surface T', c'est-à-dire ne franchissant pas le contour de cette
surface constitué par Tensemble des coupures, a une valeur in-
dépendante du chemin suivi (n° 60). La limite inférieure étant
regardée comme fixe, cette intégrale est donc une fonction uni-
forme de sa limite supérieure (^, ?/), F(^, ?/), sur la surface de
Riemann T'. Cette fonction F(^, u) n'a d'ailleurs pas d'autres
points singuliers que les points singuliers de /(g, w), car, dans le
voisinage de tout point où /(^, u^ est régulière, il en est de
même de F(^, w), sauf, peut être, pour le point à l'infini.

Si l'on suppose que /(^, u^ est wne fonction rationnelle de z
et u avec des résidus nuls, F(^, ?/) est une intégrale abélienne
composée avec des intégrales quelconques de première et de
deuxième espèce. Donc une somme d'intégrales de première et
de deuxième espèce, ayant même limite supérieure (^, «), est une
fonction uniforme de(^, u) sur la surface de Riemann simplement
connexe T'.

63. Laissons de côté le cas o\if(z, u) serait une fonction trans-
cendante, et supposons que/(^, u) est une fonction rationnelle de
z et u avec des résidus tous nuls. L'intégrale

F(z,u)=. f ' f{z,u)dz

^ I-.. Il A

est alors, comme nous venons de le voir, une somme d'intégrales
abéliennes de première et de deuxième espèce : c'est une fonction
uniforme de (5, u) sur la surface T' ; la fonction rationnelle /(^, u)
est une fonction uniforme, même sur la surface primitive T sans
coupures, de sorte que /(z, u) prend les mêmes valeurs sur les
deux bords opposés d'une même coupure, car l'épaisseur d'une
coupure est toujours supposée infiniment petite.

i

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l3l

Voyons quelles relations il existe entre les deux valeurs de
F(^, II) aux deux bords opposés d'une coupure. Prenons, pour
fixer les idées, la coupure a, : soient A un point du bord positif, p
{fig- 52) le point situé en face de \ sur le bord négatif, a et ^ les

Fiff. 52.

deux points où le bord négatif de la coupure 6, rencontre les
bords de «,. La valeur de l'intégrale F(r, u) en un point analy-
tique étant indépendante du chemin d'intégration, pour avoir la
valeur de F(<5, u) au point À, nous pouvons aller de Pq en a, puis
de a en X le long du bord positif de la coupure ; alors

F()0 = F(a)- / f{z,u)dz,

la dernière intégrale étant prise sur le bord positif de la coupure
«, de a à A. De même, pour avoir la valeur de F(::, u) en p, allons
de Po en fi, puis de ^ en p le long du bord négatif

F(p) = F(^)

f^ f{z,ii)dz

Dans la figure, le point Pq est supposé sur le feuillet supérieur,
et l'on a tracé un chemin allant de Pq en a sans franchir de cou-
pure. Mais les deux intégrales / f(z,u)dzet I f{z, u)dz sont

égales y car a diffère infiniment peu de ,3, A de p, et les chemins
d'intégration de a à a et de ^ à p difî'èrent infiniment peu; enfin,

l32 CHAPITRE II [.

la fonction rationnelle prend les mêmes valeurs aux deux bords de
la coupure. Les intégrales sont donc composées identiquement
des mêmes éléments, et Ton a

F(X)-F(p)-F(a)-F(P).

Comme "k et p sont deux points quelconques en face l'un de
l'autre sur la coupure a,, la différence F(X) — F(p) est constante
tout le long de <2,, depuis a, ^ jusqu'en v, 8. Cette différence
constante, que nous appellerons Ai, est le module de périodicité
de l'intégrale F{z^u) le long de la coupure «<. Pour calculer
effectivement cette constante A, , remarquons que F (a) étant la
valeur de l'intégrale en a le long du chemin figuré Pq^, pour avoir
F(p), il suffit de prendre l'intégrale de Pq en a sur le chemin pré-
cédent, puis de a en [3 le long du bord interne de la coupure b^.
Donc la différence F(a)^F(P) est la valeur de l'intégrale

//(^, u) dz prise de (3 en a le long du bord interne de b^ ; le

module de périodicité Ai est donc la valeur de l'intégrale prise sur
une petite courbe fermée tracée dans le feuillet inférieur de la
surface et entourant les deux points de ramification <?< et ^2
{Jlg. 53); cette petite courbe fermée peut être supposée placée

en G' infiniment près de la ligne de passage Ci ^2, car les valeurs de
l'intégrale le long de deux courbes fermées quelconques C et C,
entourant les deux points Ci et 62 sur le feuillet inférieur de la
surface primitive T, et pouvant se réduire l'une à l'autre par con-
tinuité sans franchir aucun point de ramification, sont égales
entre elles. Cela résulte de ce que, dans l'aire comprise entre
les courbes C et G', la fonction /( 5, m) est uniforme et a ses résidus
tous nuls.

CONXKXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l33

De même, si l'on appelle ). et p deux points en face l'un de
l'autre sur les deux bords d'une coupure quelconque «/,, X sur
le bord positif, p sur le bord négatif, la différence F (À) — F (p) a,
le long de cette coupure, une valeur constante A^ égale à l'inté-
grale //(^, II) dz^ prise dans le sens positif le long d'une courbe
fermée entourant les deux points de ramification e^k-Ki ^ik sur le
feuillet inférieur.

Une coupure telle que h^ est partagée en deux parties par le
point d'insertion y£ de la coupure Co et le point d'insertion aj^yS
de Œk {fi g. 02). Nous appellerons provisoirement ces deux parties
b\ et b'\. En vertu du raisonnement précédent, sur la portion 6',, la
différence F(a) — F(p) est une constante B'^ et sur la partie b'\
une constante B^ ; enfin sur Co cette même différence est une con-
stante Co- Nous allons démontrer que

b;=B';, C2 = o.

En effet, le point de croisement des coupures «i et 6i donne

( F(a)-F(P) = A„
^ ( F(Y)-F(o)=Ai;

les points a et p, y et 8 sont en face l'un de l'autre sur les bords
de ^1, a et y sur le bord positif, j3 et S sur le bord négatif. De
même y et a, étant en face sur les bords de b'[^ on a

F(Y)-F(a) = B';,

puis 0 et ^ sur les bords de b\ , on a

f(o)-f(13) = b;.

Retranchant ces deux dernières équations membre à membre,

il vient

F(y)_F(8)-[F(a)-F(P)]=B;-B;,

équation dont le premier membre est nul en vertu des rela-
tions (3). Donc B'^ = B'^ ; nous appellerons alors Bi la valeur com-
mune de ces deux quantités, c'est-à-dire la différence constante
F()v) — F(p) tout le long de 6, ; B, est le module de périodicité
de V intégrale le long de 6,. Pour calculer effectivement Bi, on

1 34 C II A P I T R E 1 1 I .

remarque que B, ou F (y) — F(a) est égal à rinlégrale f{z,u) dz

prise sur le bord extérieur de la coupure «, de a à y, c'est-à-dire
dans le sens indiqué par la flèche. Donc B, est la valeur de l'in-
tégrale prise, dans le sens négatif, sur une courbe fermée entou-
rant les deux points de ramification e< , 62/)+! et tracée sur les mêmes
feuillets que la coupure a^.

Enfin le module de périodicité Go le long de C2 est nul. On
peut le voir d'une première façon en prenant le point de croise-
ment tyr^ des coupures bi et Cy qui donne

F(£)-F(rO=B„

F(yJ-F(s)^G2.

Retranchant les deux premières équations membre à membre,
on trouve immédiatement que Go est nul. C'est ce qu'on peut
aussi voir directement, car Go ou F('^)— F(£) est égal à l'inté-
grale I f(z, u) dz prise de s en y le long du contour suivant

{/Ig. ^2) : eb\o (bord extérieur de ^i), ôp^ (bord intérieur de «i),
jSvia (bord intérieur de b^)^ aXy (bord extérieur de «< ) , enfin
y 6'^ y (bord extérieur de Z>i). Gette intégrale est nulle, car, dans le
chemin d'intégration que nous venons d'indiquer, les bords
opposés des deux coupures ai et bi sont parcourus en sens con-
traire, et comme /(;î, u) prend les mêmes valeurs aux points cor-
respondants des deux bords des coupures, les éléments de l'inté-
grale sont deux à deux égaux et de signes contraires. D'après
cela, il n'y a pas de module de périodicité le long de Co ; l'intégrale
abélienne F(z, a) de première ou de seconde espèce prend les
mêmes valeurs aux deux bords opposés de Co, de sorte que, même
si l'on supprimait cette portion de coupure appelée C2, l'intégrale
F(:;, u) resterait uniforme sur la surface T^ ainsi modifiée.

Le même raisonnement montre que, sur chacune des coupures
bh{k = 1, 2, ...,/?), l'intégrale admet un module de périodicité
Ba, et que sur chacune des portions de coupures Ch{h = 1, . . ., p)
le module de périodicité est nul; Ba est égal à l'intégrale

j /(^) u)dz prise dans le sens négatif sur une courbe fermée en-
tourant les points e< , ^2, ^3, . . ., ^2^-,, e^p+i.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l35

L'intégrale F(:;, u), qui est l'intégrale la plus générale, coii*-
posée d'intégrales de première et de seconde espèce, a donc 2p mo-
dules de périodicité

Al, Ao, .... Ap,

Bi. B,, ..., Bp,

relatifs respectivement aux coupures ou portions de coupures

cil, CI2, . . . , dpt

bu ^2, • • , bp.

Cette intégrale est uniforme sur la surface de Riemann T' ren-
due simplement connexe par les coupures a^, bh et c^. Elle ces-
serait de lètre si l'on supprimait les coupures, ou, ce qui revient
au même, si l'on permettait au point analytique {z , u) de
franchir les coupures. Si nous continuons à appeler F(:;, u)
la valeur unique que prend lïntégrale en un point {z ^ u)
quand la variable (:;, u) ne franchit aucune coupure, la valeur
la plus générale que puisse prendre l'intégrale en ce point ,
quand le point (;;, a) peut franchir arbitrairement toutes les
coupures, est

F(^, u)-r- mi Al ~ m^X^,-^. . .— nipAp-^ /«iBi -f- /?2B2 H-. . .— fipBp.

m^, 771.2, ..., 77ip, /li, /?o, ..., 7ip étant des entiers quelconques
positifs, négatifs ou nuls. En effet, chaque fois que le point (z, u)
franchit une coupure, la différence entre les valeurs de l'intégrale

f ' f{z,u)dz et ¥{z.,u)

augmente ou diminue du module de périodicité correspondant.
Ainsi, par exemple, considérons (/Z^-. 5o)le chemin Pop).p'A'(:?, u)
qui franchit les deux coupures <7o, «3, en )., p et)/, p', avant d'arriver
au point (^, n).

L'intégrale prise de Po en p estF(p) puisque la limite infé-
rieure est au point Pq par hypothèse. Prise de p à X elle est 7iulle,
car l'épaisseur de la coupure est infiniment petite. Prise de A à p'
elle est F(p') — F().), de p^ à )/ elle est nulle; enfin de )/ en {z, u)
elle est F(^, u) — F(>/). La valeur de l'intégrale de Po en {z, u)

l3fi CHAPITRK III.

le long du chemin considéré est donc, si l'on fait la somme des
intégrales partielles ci-dessus,

F(p) + F(p') - F(X)-l- F(z, II) - F(X'),

c'est-à-dire

F(^, ^0 — ^2- A3,

car, sur «25 on a

F(X)-F(p) = A2

et, sur «3,

F(X')-F(p') = A3.

Remarque sur le calcul des modules de périodicité . — Nous
avons vu qu'un module de périodicité tel que K^ est égal à l'in-
tégrale / /(s, u) dz prise, dans le sens positif, sur une courbe fer-
mée G quelconque partant d'un point du feuillet inférieur et en-
tourant une fois les deux points de ramification e^ et e^ {fig- 53).
On peut, en particulier, donner à cette courbe la forme suivante.
Partant du point O du feuillet inférieur, on suit d'abord un che-
min rectiligne O l jusqu'en un point / infiniment voisin de e\ , puis
on décrit un cercle infiniment petit (7^ [autour de <?< , on revient
de / en O, on décrit un second chemin rectiligne Om, allant de O
(feuillet supérieur) en un point m infiniment voisin de e^-, un
cercle infiniment petit 0-2 autour de ^2 et l'on revient de m en O
(feuillet inférieur). Chacun des chemins 0 1(7^ 10, Om(j2mO
s'appelle un lacet. La période Ai est donc la somme des valeurs
de l'intégrale prise sur les deux lacets relatifs aux points e^ et e^
de la manière indiquée. Chaque période A/^ s'exprime, de la
même façon, par la somme des valeurs de l'intégrale sur les lacets
relatifs aux deux points de ramification entourés parla coupure ^a.
Quant aux périodes B< , Bo, ..., B^, elles s'expriment, la pre-
mière Bi parla somme des valeurs de l'intégrale prise dans le sens
négatif sur les lacets relatifs aux points e^^ <^2p+\-, la deuxième B2
par la somme des valeurs de l'intégrale prise dans le sens négatif
sur les lacets relatifs aux points e\, e^, e^, e2p+\, .... On a repré-
senté dans la /ig. 53 les lacets relatifs aux points Ci , ^2, <?3, e2p+\ '•
pour avoir B2, il faut faire décrire au point (z, u) la succession de
ces lacets en commençant, par exemple, par le lacet ^2^0+1 qui doit
être parcouru dans le sens négatif (sens de la flèche) en partant
du point O du feuillet inférieur; après le lacet (?2/?+i viendra ^3,

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 187

puis e-2, puis e, ; cela résulte de ce qu'une courbe fermée entou-
rant les points <?i, ^2, ^3, 62/7+1, comme le bord de la coupure «2,
peut, par déformation continue, être amenée à l'ensemble de ces
lacets successifs. Cette manière de calculer les modules de pério-
dicité permet de comparer les résultats delà méthode de Riemann
à ceux que donnent les méthodes de Cauchj [voir Briot, Fonc-
tions abéliennes, Chapitre VI).

64. Dans tout ce qui suit, nous étudierons l'intégrale F(^, u)
sur la surface de Riemann simplement connexe T' :¥{z^ u) est
alors une fonction uniforme de {z, u) avec ip modules de pério-
dicité. En particulier, toute intégrale abélienne de première
ou de seconde espèce admet ainsi ip modules de périodicité.
Nous allons étudier séparément ces deux sortes d'intégrales ;
mais auparavant nous traiterons un exemple, en appliquant ce qui
précède aux intégrales elliptiques de première et de seconde
espèce.

Considérons la relation algébrique

où k est une quantité imaginaire quelconque. Nous avons actuel-
lement quatre points de ramification H-i, — i, 4-t» — 7:

{fie' 54)- Nous conviendrons que, dans le feuillet supérieur, on ait
pour V = o, z^ = I , et que les deux feuillets se raccordent le long
des lignes de passage suivantes : la ligne droite L joignant les points

4-1, — î, et la ligne courbe U joignant les points -}- -,? — t*

La coupure b entoure entièrement les deux points + i et — i
dans le feuillet supérieur; la coupure a part du point yo du bord
externe de Z>, traverse U, tourne dans le feuillet inférieur autour

des points 4-t et -f- i, traverse la ligne de passage L et revient

aboutir au point a^S en face de ycJ. Nous supposerons le point O,
(0,1) placé sur le bord positif de cette coupure b. Tci/? = i
(figure analogue aiUiLjig. 4o et 4i)- H y a deux modules de pério-
dicité pour chaque intégrale de première ou de seconde espèce
correspondant à la relation algébrique considérée, c'est-à-dire

i38

CHAPITRE III.

pour chaque intégrale elliptique de première ou de seconde espèce
F(^, w)= //(^, z^) <i^,/ étant rationnel. Soient A et B ces d

eux

Fig. 54.

modules de périodicité le long des coupures a et h^ dont les
bords positifs sont marqués des signes -}-. On a

A = F(Y)-F(o);

A est donc l'intégrale elliptique considérée, prise de ô en y le long
du bord externe de h, ou plus généralement prise dans le sens
négatif sur une courbe fermée quelconque entourant les deux
points +1 et — I dans le feuillet supérieur. On peut, en particu-
lier, réduire cette courbe à une ligne G infiniment peu différente
de la droite — i -{- i, ou à cette droite elle-même parcourue de
— i en -f- I dans le feuillet supérieur, puis de + i à — i dans le
feuillet inférieur.

La période B étant égale à F([^) — F(v) est égale à l'intégrale
prise de y en ^ le long du bord externe de la coupure a, et, par
conséquent, à l'intégrale prise dans le sens négatif sur une courbe

fermée quelconque entourant les deux points -+- i et + y , et, en

particuher, le long d'une courbe fermée infiniment voisine du

segment de droite -i- i + | parcouru de i à | dans le feuillet

supérieur, de \ à i dans le feuillet inférieur.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l39

Prenons, par exemple, l'intégrale de première espèce
Appelons, avec Jacobi, K et îK.' les deux intégrales

prises dans le feuillet supérieur, la première suivant le segment

I
k

recliligne de oài, la deuxième suivant le segment i à y» L'intégrale

/

— j prise de — I à H- i dans le feuillet supérieur, est égale à

2K; si on la prenait de — i à -\- i dans le feuillet inférieur, elle
serait — 2K, car les valeurs de u seraient égales et de signes con-
traires aux précédentes : donc la même intégrale prise de + i à
— I dans le feuillet inférieur est 2K et la période A le long de a
est 4K. De même, la période B le long de b est 2/K', car l'inté-
grale de T à I, dans le feuillet inférieur, égale l'intégrale de i à -r

dans le feuillet supérieur.

Prenons encore l'intégrale appelée par Legendre intégrale de
seconde espèce,

Z(z,u)= / -7— '

qui est partout finie à distance finie. Pour des valeurs très grandes
de z, on a, dans l'un des feuillets,

Dans le domaine du point ce dans l'un des feuillets, Z(^, u) est
donc de la forme

z I / I \ I

Dans le domaine du point ce, dans l'autre feuillet, on aurait un
développement de même forme, obtenu en changeant la valeur de

CHAPITRE III.

la constante et le signe de tous les coefficients. L'intégrale Z(^, u)
est donc bien de seconde espèce d'après nos dénominations; elle
a pour pôles simples les deux points à l'infini dans les deux feuil-
lets. Si l'on pose avec Legendre

1

les intégrales étant rectilignes dans le feuillet supérieur, on voit,
comme plus haut, que les modules de périodicité de l'intégrale Z,
le long des coupures a et 6, sont

A =41, B' = 2iJ'.

Remarque. — La courbe G est composée d'une suite de deux
lacets ; la courbe G' entourant les points i et -j peut être rempla-
cée aussi par deux lacets partant de O et entourant successivement
les points i et t ? comme on l'a montré dans la fig. 53 pour la
courbe G' entourant les points e^ et ^2 de cette figure.

6o. Si F(^, II) et F'(^, II) désignent deux intégrales abéliennes
composées comme les précédentes à l'aide d'intégrales de pre-
mière et de seconde espèce, la valeur de l'intégrale

1= fF{z,u)dF'(z, u),

prise dans le sens positif sur le contour de la surface T' de Rie-
mann, a une forme remarquable. Le contour de la surface T' est
formé par l'ensemble des bords des coupures. Appelons Aa, B/f les
modules de périodicité de l'intégrale F, A'^ et B'^ ceux de F' le
long des coupures a^ el'bk'-) nous allons démontrer que l'inté-
grale 1 a pour valeur

1 = AiB'i — BiA'jH- AsB'a — B2A'2 ~ . . .-\- KpWp—Bpk'p.

En effet, évaluons, dans l'intégrale I, les éléments provenant des
deux bords des différentes coupures. Prenons d'abord la cou-
pure a^ , ). un point du bord positif, p le point situé en face sur le

i

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 14'

bord négatit. Dans la somme d'éléments I, la partie provenant au
bord positif de la coupure a, est {/ig'. Sa)

f F{l)dF'{l),

FÇk) et F'Çk) désignant les valeurs de F et F' au point )v, car le
point 1 se déplace de a à y; la partie provenant du bord négatif
est de même

/ ¥(p)dF'ip),

car, lorsque z parcourt le système des coupures, sur le bord négatif
il se déplace de o en J5 dans le sens indiqué par la flèche. La somme
de ces deux intégral es est, en intervertissant les limites de la seconde,

f\a)d¥'a)- f ¥{p)dF'(p).

Maintenant, comme la coupure a une largeur infiniment petite,
pour faire varier \ de a à y, il suffît de faire varier p qui est en face
de ^ à 8 ; on a de plus

f'(X) = f'(?) + a;,

F(X) = F(p)-i-Ai,
dF'{l)^dF\p);

donc la somme ci-dessus devient

rV(p)-A,]rfF'(?)- f F{p)dF'(p),
c'est-à-dire, en réduisant,

AiJ°^F'(p) = A,[F'(S)-F'(?)].

Mais cette dernière difl'érence F'(o) — F'(j3) est la différence
des valeurs de F' aux bords positif et négatif de bt ; c'est donc
B'^, et la somme des deux intégrales est A, B'^.

Cherchons de même, dans la somme des éléments I, ceux qui
proviennent des deux bords de la coupure bi : nous allons trou-

l42 CHAPITRE m.

ver — B<A'^. Ed effet, appelons encore A et p les deux points
opposés sur les deux bords de &< , nous aurons, comme pré-
cédemment, les intégrales

r'F()O^F'(X)- f F{p)dF'{p),

sur les deux bords de 6, . Or

F(X)-F(p)H-B„

f'()o = f'(p)-i-b;,

et pour faire varier )^ de y à o il suffît de faire varier p, qui est en
face, de a à [3. La somme des deux intégrales est donc

/ [F(p) + Bi]^F'(p)-/ F(p)^F'(p),

c'est-à-dire

bJ ^F'(p)-Bi[F'(P)-F'(a)J.

La différence F^(a) — F'(p) est égale à A',, car a est sur le
bord positif, p sur le bord négatif de «4 ; donc, l'expression ci-
dessus est

— BiA'i;

en résumé, la partie de l'intégrale I, provenant des bords des deux

coupures a^ et 6i, est

AiB;-BiA;.

De même, la partie provenant des bords des coupures a^^ ^2 est

A2B2 — B2 A'2,
et ainsi de suite.

La partie provenant des bords d'une portion de coupure Ck est
mille; car, sur les deux bords de c^, les fonctions F et F' prennent
les mêmes valeurs et les deux bords sont parcourus en sens op-
posés. Donc, enfin, I est égal à

AjB'i - BiA'i +.. .-^KpB'p—Bpk'j,.

Le théorème est démontré.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l/jS

66. On peut évaluer autrement cette intégrale I. En effet,
d'après le théorème de Cauchy, elle est égale à it.î multiplié par
la somme des résidus de la fonction

„ , . d¥'{z, u)

sur toute la surface de Riemann. En égalant ces deux valeurs de
l'intégrale I, on a une relation de la plus haute importance entre
les périodes.

67. Cette relation, que nous n'écrirons pas ici pour le cas gé
néral, prend une forme particulièrement simple quand F et F
sont deux intégrales abéliennes de première espèce. Alors tous
les résidus de la fonction

„ , , d¥'(z. II)

sont nuls. Tout d'abord cette fonction n'a que des points singu-
liers isolés, car il en est ainsi de chaque facteur F et ^ . De plus,

dz ^ ^

comme le premier facteur F est partout fini puisque c'est une
intégrale de première espèce, les seules singularités sont celles
qui proviennent du second facteur. A rinfmi, ce second facteur

-jz est infiniment petit de l'ordre de — ou de [-_) ; il en est de

même du produit et le résidu est nul. Le facteur — devient

dz

infini aux points de ramification: au point ^/, il devient infini
comme — ^ -, il en est donc de même du produit F ^, et le

résidu est encore nul. Donc tous les résidus sont nuls: l'intégrale I
l'est aussi, et l'on a entre les modules de périodicité de deux
intégrales de première espèce la relation

AiB'i-B,A;^-A2B', — B, a; +...-!- ApB;,-B^A;, = o.

68. Pour traiter un second exemple où le calcul de l'intégrale I
se fait directement, supposons que ¥ {z^ u) soit une intégralede
première espèce^ et F' (^, u) une intégrale élémentaire de se-
conde espèce ayant pour seul pôle le point analytique (a, 6), avec

l44 CHAPITRE III.

un résidu égala i. Nous supposerons (a, b) à distance finie et

distinct d'un point de ramification. On a alors, dans le domaine

de ce point,

F'(^, u) = — ^ hao + a,(^ — rt) +. .-,

z — a

OÙ les termes suivant le premier forment une série entière en

- — a. Donc, dans le domaine du même point,

dz {z — ay-

D'autre part, l'intégrale de première espèce F est régulière
partout : on a dans le domaine du point (a, 6), par la formule de

Taylor,

Y{z,u) = ¥{a,b) + {z-a)f{a,b)-^...,

oiif{Zj u) désigne la dérivée de F(z, u) par rapport à z, de sorte
que

F{z,ii)=Jf{z,u)dz]

y'(^, u) est donc la fonction rationnelle de z et u dont l'intégra-
tion fournit l'intégrale de première espèce considérée. Le déve-

dT^'

loppement de F(;^, u) —p au voisinage de (a, h) est, par consé-
quent,

FC^., ft) fia, h)
— -,, — '- r- une série entière;

iz — a)'^ z — a '

ce qui montre que le résidu est — /(«? h\

Tous les autres résidus du produit F(^, u) —,— sont nuls, car,

(XZ

aux points de ramification et aux points à l'infini, F' se comporte
comme une intégrale de première espèce, de sorte qu'à l'infini

d'F' ■ n • • Il • T .^

-^ est mtimment petit comme — ou -^ et, en un point de ramifi-
** ^ z^

r /7F'

cation ei à distance finie, infini comme • La fonction F -^—

\/z-ei dz

n'ajant qu'un résidu non nul, — f{a^ b), l'intégrale I est égale à

— 2Tuf{a, b) et l'on a, entre les modules de périodicité des deux
intégrales F(^, u) de première espèce et¥'{zj u) de seconde es-

I

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l45

pèce avec le pôle simple («, //), la relation
Al B; — Bi a; -+- AaB'a — Bg A'g -^ . . . + ApB^ — Bpk\, = — iT.if{a, b).

Nous n'examinerons pas comment il faut modifier le second
membre quand le pôle (a, b) de l'intégrale de seconde espèce se
trouve en un point de ramification ou à l'infini : on doit alors

calculer le résidu R du produit ¥{z, u) - — -^ — en ce point et

mettre dans le second membre, au lieu de — iT.if[a^ 6), le pro-
duit 27:/R.

69. De même que le théorème de Gauchj, la formule de Rie-
mann relative à l'intégrale / ILdY peut être étendue aune surface
à deux feuillets.

Soit ^(^, ?^) = X+ iY une fonction uniforme du point analy-
tique (^, «), régulière en tous les points d'une portion simple-
ment connexe S de la surface de Riemann, limitée par un con-
tour G. U intégrale j HdY, prise le long du contour total G

dans le sens direct, a une valeur positive.

L'aire S peut s'étendre à l'infini et contenir des points de ra-
mification. S'il en est ainsi, imaginons qu'on détache les points
de ramification en entourant chacun d'eux d'un petit cercle et
enlevant la portion de surface intérieure à ce petit cercle, et qu'on
enlève de même les portions de cette surface extérieure à un ou
deux cercles de rayons très grands. On déduit ainsi de S une
nouvelle surface S' située tout entière à distance finie et ne ren-
fermant plus de points de ramification. Gette surface S' peut être
décomposée par des lignes auxiliaires, en morceaux n'appartenant
qu'à un seul feuillet, à chacun desquels on peut appliquer la for-
mule de Riemann. En faisant la somme des égalités obtenues, les
portions d'intégrales provenant des lignes auxiliaires se détruisent

et Ton voit que l'intégrale / X<iY, prise le long du contour total

de S' dans le sens direct, est égale à l'intégrale double

ifm-m]'"-

étendue à Faire totale S'. Le contour de S' se compose d'abord du
A. ET G. Jo

j46 ciiAPiTi'.E m.

contour primitif C et en outre des petites circonférences qui en-
tourent les points de ramification et des grandes circonférences

que l'on a ajoutées pour limiter S'. Les intégrales / X<^Y prove-
nant de ces lignes sont infiniment petites. Par exemple, lorsque
(g, u) vient en un point de ramification (et, o), le point X + iY
vient en un point A + Bi à distance finie; au petit cercle décrit
autour de (e/, o) sur la surface de Riemann correspond, sur le
plan où l'on représente X + /Y, un contour fermé infiniment

petit entourant le point de coordonnées A, B. L'intégrale / X clY

le long du petit cercle est égale à l'aire balayée par le rayon vec-
teur joignant le point (A, B) au point (X, Y). Donc, la valeur de

l'intégrale / X dY le long du petit contour entourant le point et est

infiniment petite; on peut la supprimer sans altérer le signe de

l'intégrale totale / X^/Y étendue au contour de S^ De même,

quand le point [z^ u) vient en un point à l'infini, le point X h- iY
vient en un point (A, B) à distance finie. Quand {z, u) décrit sur la
sphère un contour fermé infiniment rapproché du point O^ ou
dans le plan un contour formé d'un ou deux cercles de rayon
très grand, le point (X, Y) décrit dans le plan représentatif de
X + iY une courbe fermée infiniment petite autour du point

(A, B). La valeur correspondante de l'intégrale / X <fY est égale à
l'aire de cette courbe fermée, elle est donc infiniment petite et sa va-
leur n'influe pas sur le signe de l'intégrale totale / X dY étendue à

tout le contour de S'. L'intégrale / X <iY étendue au contour pri-

dc

mitif ne différant de / X <iY, étendue au contour auxiliaire, que

par des intégrales infiniment petites, ces deux intégrales ont le
même signe, et le théorème est démontré.

70. Faisons l'application de ce théorème aux intégrales abé-
liennes de première espèce. Soit F(;^, u) une intégrale abélienne
de première espèce; c'est, sur la surface simplement connexe
T' limitée par les bords du système de coupures a^, 6/,, Ch une

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l47

fonction partout régulière. Si donc on pose

F{z, u) = \^iY,
l'intégrale

IxdY

étendue au contour de la surface de Riemann tout entière T', c'esl-
à-dire prise le long des bords des coupures, est positive. Soient

A A- = oc/, -r- fa'^., Ba- = 1^/, -H 1 8^.

les modules de périodicité de F(^, u) sur les coupures <7a, 6a, en
mettant en évidence les parties réelles et imaginaires. Alors, sur
les deux bords X et p d'une coupure «a, on a

F(X)-F(p) = Aa-,
c'est-à-dire

X(X) - .-YO) - X(p) - A'(p) = aA.-^ .-a;-,

en appelant X( a), Y(a), ... les valeurs de X et Y au point )., . . ..
On a donc

X(X) - X(p) = aA-, YfA) - Y(p) =. a'^.;

de même sur les bords de b/^^

X(X)-X(p) = .3a-, Y(a)-Y(p)-3),..

Sur les bords des portions de coupures c/j, ces différences sont
nulles. D'après cela, l'intégrale

=i^

J = / X dX

I

prise dans le sens positif le long des bords des coupures a pour
valeur

J = 3fi ^3', — ^1 a'i — a, ^2 — 1^2 3t 2 -4- ... + oLp ^'p — 3y, a;, ;

c'est ce qu'on voit en répétant identiquement le raisonnement du
n*^ 65 qui nous a donné la valeur de l'intégrale

fF{z,ii)dF'(z, u),

avec les conditions

F(X)-F(p) = Aa., F'(X)-F'(p)==A'a.

l48 CHAPITRE III.

sur les coupures «a, et

F(X)-F(p) = B/,, F'(X}-F'(p) = B'/,

sur les coupures b^, les mêmes différences étant nulles sur Ch-

Donc, pour une intégrale quelconque de première espèce, la
quantité J est positive. Il est, en particulier, impossible que
toutes les quantités a^, a2, ..., a^, a',, ..,, a^^ soient nulles en
même temps, c'est-à-dire que Ai, A2, ..., Ay, soient tous nuls.
On peut faire la même remarque pour Bi, Bo, . . ., B^.

Par exemple, pour l'intégrale elliptique de première espèce que
nous avons considérée au n" 64, les deux modules de périodicité
correspondant aux deux coupures a el b (p ^= i) sont

A = 4 K = a -H ia', B = 2 iK' = ^ + i^'.
On a alors

ce qui démontre que, dans le rapport -^, la partie réelle est posi-
tive; on a, en effet,

K ia — a' a'-^-i-a'-

71. Intégrales normales de première espèce. — Nous avons
trouvé qu'il existe /> intégrales de première espèce linéairement
indépendantes

Nous appellerons

Aa-i, Ax-2, .-., ^kp,

Bai, Ba-2, . . . , ^kp

les modules de périodicité de Wk le long des coupures a^.a^, . ■ ■ .
ap et 6i, 62, . .., bp.

Posons, en désignant par k un des nombres i, 2, ...,/?:

Aj, Ào, . . . , X^ étant des constantes. La fonction w^^'^ est aussi une

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 149

intégrale de première espèce : ses modules de périodicité, que
nous appellerons

«Al, Clkïj •••, «A/^,
^Al, ^A-2; ^A-pj

sont donnés par les équations

(4)

«Al = ^^1 An -t- X2A21 — . . . ^ Xpkpx^

«A^ ^= ^lAi2 "+~ A2A22 --' . . . -r- Ap\p->,

«A7J= ^1 Aiy,-T- X2A2/,

^P App,

(5)

/ ^^;;.i ^^ XiBh + X2B21 -- . . . -I- XpBpi,
) 6a-2-XiB,,-+-X2B22-|- ... -^XpBp2,

' ^A-p= XlBjp-i- X2B2P-7- ... -i- XyjBpp.

Tout d'abord, le déterminant des modules de périodicité A^ ^

An,

A21,

• ? Api

A12,

A22, .

.. -V

Ai/j,

A2p,

• • 7 App

est différent de zéro. En effet, s'il était nul, on pourrait déter-
miner les constantes )h i ^^2, • - • ? ^^p de telle façon que les modules
de périodicité ak\ , «as, • • - ' ciup donnés par {^) fussent tous nuls à
la fois. Car on aurait, pour déterminer les constantes \^p équations
linéaires et homogènes à p inconnues, le déterminant des coeffi-
cients étant nul : on aurait au moins un système de valeurs des
\ non nulles toutes à la fois. Mais alors la fonction ^v^^^ {z, u) serait
ime intégrale de première espèce pour laquelle tous les modules
de périodicité relatifs aux coupures ai, ag, . . .^ap seraient nuls,
ce qui est impossible, comme nous l'avons vu à la fin du numéro
précédent.

Le déterminant A n'étant pas nul, nous déterminerons les X en
écrivant que, dans l'intégrale w^^\ tous les modules de périodicité
relatifs aux coupures a sont nuls, excepté celui qui se rapporte
à la coupure Uk et que nous ferons égal à irù,

'^kh

0, {hXk)

cikk

IJO CHAPITRE III.

JNoiis aurons ainsi, pour déterminer À<, A2, • • • » ^/?? un système
de p écfuations linéaires à/? inconnues, le déterminant des coeffi-
cients étant différent de zéro; nous trouverons pour les \ un seul
système de valeurs. L'intégrale \v^^\z^ii)^ ainsi déterminée, est
une intégrale normale de première espèce. Comme l'entier k a
une quelconque des valeurs 1,2,...,/?, nous formerons de cette
manière/? intégrales normales de première espèce

w^^\ w^^-', ..., W^P\

pour lesquelles tous les modules de périodicité relatifs aux cou-
pures a sont nuls, excepté :

Pour w^i' le module a^ — iTzi,

Pour w^2) „ ^^^__27ri,

Pour (v^^-^ » «/,7c = 2 71^",

Pour (p(/^^ » app='2T.i.

Les intégrales \v^^\ (v^-\ ..., w'^P^ ainsi formées sont encore
linéairement indépendantes, car s'il y avait entre elles une relation
linéaire à coefficients constants \k^^ jjio, . . . , ui^ de la forme

^x^w^i) -1- [^2^(2) 4_ . _ _|_ r^XpW^P^ — const.,

tous les modules de périodicité du premier membre seraient nuls.
Or le module de périodicité du premier membre sur la coupure a^
est 2u.i7Zi, carie module de (V^^^ est '>.tù et ceux de w^'^\ . , ., w^p^
sont nuls. On aurait donc jj-i — o. De même, en écrivant que les
autres modules de périodicité sur les coupures a^, ...,ap sont
nuls, on aurait

[a, = 0, [^3 = 0, . . . , ]Xp = o.

Il n'y a donc pas de relation de la forme supposée et les w^^^
sont linéairement indépendantes.

72. Les intégrales normales ainsi formées admettent le long des
coupures />< , Z»o, . . ,,bp des modules de périodicité, qui sont, pour
l'intégrale w^^\ bj,,, ^ao, . . . , b^p. Ces modules de périodicité étant

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l5l

rangés en un tableau dans lequel les différentes lignes sont res-
pectivement les modules de iv'^^K w^-K . . . , w^p^

bn. bi2. .... bip
bi\i ^22r • • • . b^p

i bpi, bp2 bpp

forment un déterminant symétj^ique : c'est-à-dire que Ton a

bjik = bkh-

Pour démontrer cette importante propriété, appliquons aux
deux intégrales w'^^^ et w'^^^ la relation générale établie au n*" 67
entre les modules de périodicité de deux intégrales de première
espèce F et F'

AiB'i — BiA'i-^AaBo — B.A; -\- . . . -^ P^pWp -BpX'p = o.
Nous aurons, d'après les notations actuelles,

(6) «/il 6/,i — bja a/,1 ~ a/i2 b^z — ^A2«a-2 -t- • • . -f- a^pb^p — bjipaj^p = o ;

mais tous les modules a sont nuls, excepté ceux qui ont les deux
mêmes indices akk et a^, qui sont tous deux égaux à irJ. Il
ne subsiste donc dans la relation (6) que les deux termes sui-
vants :

ahhbkh — b/ikCf^kk = o
et. comme

il reste

i>hk = bjcht
ce qu'il fallait démontrer.

73. Comme résumé de ce qui précède, formons le tableau des
modules de périodicité des intégrales normales de première
espèce. En vue de la suite, il est plus commode de mettre en
évidence dans les modules de périodicité bhk ^m facteur 2 en

posant

bhk = 'i^/ik'

la condition bhk^^kh entraîne alors évidemment :x.hk = ^kh'

CHAPITRK m,

Nous aurons le tableau suivant, où sont inscrits sur une même
ligne horizontale les modules de périodicité de chaque intégrale
pp(o^ ^(2)^ ^ ^ ^^ -^^ip) Qi g^J. ^^j^g même colonne les modules relatifs
à chaque coupure a/i ou bk.

TABLEAU DES PERIODES.

a,

«.

«.

^

^.

*.

w(0

2TC \l— I
0

O

0

2Ti: \/— I

0

0

0
0

2 a.,

2 a,,

2^

2 a,,

2 a,,

2 1: v/^

avec la condition a^/^ = a^;^.

74. Voici une dernière propriété des modules de périodicité
relatifs aux coupures b.
Le déterminant

^11) «12, • • -, «!/) ]

^21 j «22, . . . , a^p

• • • » • • • 1

«jolj «p2j • • • 5 «/;/^

est le discriminant de la forme quadratique

P F
*ï> ( JUi , ma, . . . , nip ) = ^ ^ ^hk nij, m/, = a^ mf h- . . . h- 2 aia mi ma -^ .

Séparons, dans les modules de périodicité, la partie réelle et le
coefficient de y/ — i

^hk = ^hk + "J-hk si - i
et posons

A >t

<j;(mi,m2, ...,m/,)=2^a;;^m^m;ti

A A-

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 1 53

nous avons

*(mi, . .., nip) = cp(m,, . . ., nip) -^ ^ — i 'l{mi, .. .,mp)^

'Z){7ni, . . ., nip) et 6(/?i,, . . ., nip) étant des formes quadratiques à
coefficients réels. Attribuons aux indéterminées m^, m.2, ---t rrip
des valeurs réelles et appliquons la formule de Riemann (n" 70)

^(av?;-a;^j >o

à l'intégrale de première espèce

On a ici, en mettant en évidence les parties réelles et imaginaires
des modules de périodicité de W,

\!j = 2 ( nii %'l., — ma a'^^ — . ■ . -t- rUpT.'')

/'^ ^ d/?iv

et la formule de Riemann devient

1 -T-^ H- . . . H- mj3 -— ^ = 4 -? /«i, • • • . '^^/j) < ^•
diiiY ^ àmpj

La forme quadratique cp(/?i,, ..., m^) est donc négative pour
toutes les valeurs réelles des indéterminées /??, , mo, . . . , nip. C est
une forme définie et négative.

Cette propriété^ qui est la généralisation évidente de la pro-
priété rappelée plus haut pour le rapport des périodes de l'inté-
grale elliptique de première espèce, est fondamentale pour Fin-
version. Pour le moment, nous en déduirons seulement la remarque
suivante. Il peut se faire que les ip périodes de quelques-unes
des intégrales de première espèce se ramènent à un moindre
nombre; mais cela ne peut avoir lieu en même temps pour les ip
systèmes de périodes simultanées des p intégrales de première
espèce. En d'autres termes, il est impossible d'avoir, entre les

l54 CHAPITRE III.

ip périodes A4 , Ao, . . . , A^, B, , . . . , B^ de chaque intégrale de
première espèce, une relation de la forme

mi Al + . . . -f- nip Ap -1- /Il Bi -+- . . . H- Zip B/; = o ,

m^^ ...,77ip, ?if, . . . ^ ?ip étant des nombres entiers, la relation
devant être la même avec les mêmes entiers pour toutes les inté-
grales de première espèce. En effet, s'il existait une pareille rela-
tion, on aurait en particulier pour l'intégrale normale w^^^(z, u)

p
1 nth-K \J— I H- 2 \^ rik^hu — o

ou, en prenant la partie réelle,

/ / , do

2nia/,i -f- 2n2a/^2 + ...-+- iripa'j^ij = —^ =:= o.

On aurait pareillement

et par suite '^{ji\, . . . , /^^) = o, ce qui est impossible.

75. Intégrales normales de deuxième espèce. — • Soit
Ç(^, u\ a, U) une intégrale élémentaire de deuxième espèce avec
le seul pôle simple (a, b) de résidu i. Soient A4, Ao, . . ., A^; Bi,
Bo, . • ., Bp ses modules de périodicité. L'intégrale

Z — t{z, u\a^h)-\- Vi w^i^-f- V2W^2) . . . -i_ v^np(y>)

est encore de deuxième espèce, quels que soient les coefficients
constants Vi, Vs, ..., v^. Nous déterminerons ces coefficients en
écrivant que les modules de périodicité de Z le long des coupures a
sont tous nuls. Nous aurons ainsi

Ai+ 2Vi7rf = o, A2+ SV^TTf = o, ...,

car le long de a^ le module de périodicité de Z est k^ + 2V|7ri,
celui de w^"""» étant iizi et ceux de w^-\ ..., w^P^i étant nuls.
L'intégrale Z , ainsi formée , a le long des coupures h^ ,
b^, .-., bp des modules de périodicité B'^ , B^, . . . , B' , les mo-
dules A'^, ..., A^ étant tous nuls : c'est l'intégrale normale de

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. IDJ

deuxième espèce. Les modules de périodicité B, , . . . , B^ de cette
intégrale ont des valeurs remarquables que Ton trouve comme
il suit.

Associons cette intégrale Z à l'intégrale normale de première
espèce

et appliquons à ces deux intégrales la relation du n°68, établie
pour une intégrale quelconque de première espèce et une in-
tégrale élémentaire quelconque de deuxième espèce. Cette rela-
tion est

(7) AiB; — Bi a; -+ AoB; — B.2 a; ^...~ A;,b;,— b^a;, ^—lirj^a, b),

f{a^ b) étant la valeur que prend la dérivée de l'intégrale de pre-
mière espèce considérée au pôle («, b) de l'intégrale de deuxième
espèce, valeur qui, dans la notation actuelle, est Ok(a, b).
La relation (-) se simplifie beaucoup, car : i° les modules de
périodicité A', , A.,, .... A' de Z sont tous nuls ; i^ les modules de
périodicité A,, Ao, . . . , A^ de l'intégrale normale (v^^' sont tous
nuls, excepté Aa ou akk, qui est égal à 2r.i. Il ne reste donc qu'un
terme AaB^^c dans le premier membre de (7\ et Ton a

\/,B'/^.:^ — iiT.Of,(a, b);

d'où, comme A/,= 2^7:,

B';, = -o,.(a,b^.

Ainsi, pour l'intégrale normale de deuxième espèce, les mo-
dules de périodicité relatifs aux coupures a sont nuls, et ceux
relatifs aux coupures b sont respectivement

— oi(a,b), —02{a,b), ..., —Qp{a,b).

Nous avons supposé que (a, b) n'est pas un point de ramifica-
tion, ni un pointa l'infini. S'il en était autrement, il faudrait dans
le second membre de la formule (7) remplacer o^(a, b) par le

l56 CHAPITRE III.

résidu du produit

dZ{z, u)

W^'''{Z, II)

au point (a, b).

Il est intéressant de remarquer que les modules de périodicité
de l'intégrale normale Z de deuxième espèce sont des fonctions
rationnelles de (a, b) : cela résulte de l'expression même que
nous venons de trouver pour ces modules de périodicité. On peut
s'en rendre compte a priori en se rappelant que l'intégrale élé-
mentaire de deuxième espèce, Ç étant une fonction rationnelle
de (<2, b), comme nous l'avons vérifié (n° 46), ses modules de
périodicité, qui sont les différences des valeurs de l'intégrale aux
deux bords d'une coupure, sont des fonctions rationnelles de
(a, 6). Les coefficients Vi, Vo, ..., v^, définis plus haut, sont
donc aussi rationnels en (a, b) et, par suite, l'intégrale normale Z
est une fonction rationnelle de (a, b) et a pour modules de pé-
riodicité des fonctions rationnelles de (a, b).

76. Les considérations précédentes ne s'appliqueraient pas sous
la même forme aux intégrales hjperelliptiques de troisième
espèce, car ces intégrales,, à cause de la présence des points sin-
guliers logarithmiques, ne sont pas des fonctions uniformes de
leur limite supérieure sur la surface découpée T^ de Riemann.
Mais elles deviennent des fonctions uniformes de leur limite supé-
rieure si l'on modifie la surface T^ de façon à exclure les points
critiques logarithmiques. C'est ce que nous allons démontrer en
détail pour l'intégrale élémentaire de troisième espèce (n° 35)

f f{z,u)dz.

'(-o>"o)

Cette intégrale est régulière en tous les points de la surface
primitive T de Riemann, excepté aux deux points (a, b) et (a', U).
Dans le domaine du point (a, 6), elle est de la forme

Txi{z, II) —- — log(z — a) -h fonction régulière;

dans le domaine du point (a', 6'), de la forme

Trf(2, II) — log(s — a') -\- fonction régulière.

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. ID~

Si l'un des points, (a, b) par exemple, coïncide avec un point
de ramification e/, il faut remplacer dans la première expression
z — a par ^z — ei; si (a, b) est un point simple à l'infini, il faut
remplacer z — a par -; enfin, si (a, b) est un point de ramifica-
tion à l'infini, z — a par -— • Dans tous les cas, d'après les défini-

tions posées précédemment^ la fonction rationnelle /(^, u)^ dont
rn{z, II) est l'intégrale, a, sur la surface de Riemann, tous ses ré-
sidus nuls, excepté les résidus relatifs aux points (a, b) et (a^, b'),
qui sont respectivement — i et + i. La valeur de l'intégrale

/•

f{z, u)dz,

prise dans le sens positif sur la limite du domaine du point (a, 6 },
est égale à — 2.T,i, et, sur la limite du domaine du point (a', 6'),
à -t- 2 7:;.

L'intégrale tj5(z, u) n'est pas une fonction uniforme de (^, u)
sur la surface de Riemann P, rendue simplement connexe par
les coupures «a, bk, Ck- Pour obtenir une surface sur laquelle elle
soit uniforme, il faut transformer la surface T' par le procédé
suivant.

Marquons sur la surface de Riemann {Jig. 55) les points (a, b)
et («', b') que nous supposons pour fixer les idées dans le feuillet
supérieur en des points ordinaires. Partons d'un point (a, 3) du bord
d'une des coupures de T', de ap par exemple, et faisons dans un

Fis. 55.

feuillet de la surface de Riemann une fente / aboutissant au
point (rt, 6), sans franchir aucune coupure, puis une nouvelle
fente m de {a, b) à {a' , b'), sans franchir aucune coupure. Dans
la Jig. 55, nous avons élargi cette fente dans le voisinage des

l58 CHAPITRE III.

points («, /;) et {a' , b')^ de façon que ses bords prennent la forme
de deux petites circonférences o- et o-' de centres (a, h) et (r/, 6') ;
mais il est supposé que la largeur de la fente et les rayons de o-
et 0-' sont infiniment petits. Gomme nous l'avons fait précédem-
ment, pour les coupures, nous distinguerons le bord positif et le
bord négatif de cette fente /+ 7n. Soient 0 et x les points où les
bords du petit cercle a-' rencontrent les bords de la fente m : nous
choisirons les bords positifs et négatifs de m de telle manière
qu'un mobile parcourant la circonférence a-' dans le sens positif au-
tour de (a', 6') (sens contraire de la flèche) conduise du bord négatif
de m au bord positif. Le bord négatif est donc celui qui aboutit
en X, le bord positif celui qui aboutit en Q. Le bord négatif de la
fente m -\- l se prolonge ensuite, par continuité, de x jusqu'en p,
et le bord positif de ô en a. On a marqué du signe 4- et de la
lettre "k le bord positif, la lettre p étant mise en face de A sur le
bord négatif.

Désignons par T" la nouvelle surface de Riemann déduite de la
surface T', en ajoutant au système de coupures <2^, Z>/f, c/i la fente
l-^ m, qui n'est qu'un prolongement du bord positif de la cou-
pure ap. Le contour de cette surface simplement connexe T" est
formé par les bords des coupures cik, bk, Ch et de la fente /-t- m.
Si un mobile décrit le contour de cette surface T'' dans le
sens positif (aire enveloppée à gauche), il parcourt les bords des
coupures a^, b^^ ca, comme dans la fig. 5o, avec cette seule
différence que, lorsqu'il arrive en a sur le bord positif de la cou-
pure cip {fig. 55), au lieu d'aller directement en ^ et de conti-
nuer, il va de a en o, s, 0, le long de la fente / ^- m, puis revient
par G , T., 7|, V jusqu'en p, d'où il continue son mouvement comme
auparavant.

Revenons maintenant à l'intégrale

^a,'/. '(-^' ") = / f{^, U)dz.

Sur la surface simplement connexe T% la fonction rationnelle
f{z, II) est uniforme et n'a que des résidus tous nuls, car la
fente l -^r m a précisément supprimé les seuls points (a, b) et
{a', b'), où les résidus n'étaient pas nuls. L'intégrale m{:z, u) est
donc une fonction uniforme du point analytique {z, u) sur la

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. 09

surface T'^ de Riemann. Si l'on compare les valeurs qu'elle prend

aux points correspondants des deux bords d'une coupure, on

trouve, en répétant identiquement ce qui a été dit au n° 63

pour les intégrales de première et de deuxième espèce, les résultats

suivants. La différence ^(a) — ^(p) ^ "ne valeur constante le

loDg de chacune des coupures «a. 6a, Ch et des fentes l et m.

On a

Le long de «a-, tîî(X) — ^(p) = ^^k I

Le long de 6a-, t!t(X) — Tn(p) = llbA- \

Le long de c/j, w(l) — rjs(p) = o;

Le long de /, ^0') — ^(p) = -Cj

Le long de /??, Tn{X) — vj(p) = DTL.

Les constantes A^a? '^''^à- sont les modules de périodicité de l'in-
tégrale de troisième espèce w sur les coupures «a et ^a- Nous
allons déterminer les valeurs des constantes S^ et OIl, et mon-
trer que

J^= o, Ole = 2t:î.

En effet, commençons par DTl; cette constante est la valeur de
la différence tjsO.) — ^(p) le long de la fente m : on a donc en

particulier

Oit = m{f)) — cî(x),

ce qui montre que DTi, est la valeur de l'intégrale 1 f{z^ u)dz,

prise de x en 0 le long d'un contour quelconque ne franchissant
aucune fente ni coupure, par exemple le long du cercle a-' dans le
sens positif autour de («', b') (sens contraire de la flèche sur la
fig. 55). Or cette intégrale est égale à 27:1 multiplié parle ré-
sidu de/(^, u) au point (a', b')^ qui est i. Donc Olu est bien
égal à 2-/. On a ensuite

.C-nT(5)-C0(v);

-Ç^est donc la valeur de l'intégrale / f{z^ u)dz, prise dey en 0 sur
un contour quelconque G, ne franchissant aucune coupure ni
fente, par exemple sur le contour yo-TiX^GîTO : le contour doit
être regardé comme fermé, car o est infiniment voisin de y.
D'après le théorème de Gauchj, celte intégrale est égale à 2-/

l6o CHAPITRE III.

multiplié par la somme des résidus de /(s, u) relatifs aux pôles
situés dans le contour d'intégration que nous venons d'indi-
quer : les deux seuls pôles situés dans ce contour sont les pôles
(<2, 6), (a\ b') avec les résidus — i et + i dont la somme est
nulle. Donc 4^ est bien nul. ^

On peut donc dire que l'intégrale élémentaire de troisième
espèce admet ip -h i modules de périodicité,

cAai, oRfl,, . . . , cilojy sur les coupures afc\

2 7ri sur la fente m.

Si l'on supprimait le système des coupures et des fentes, l'inté-
grale nT(^, u) ne serait plus une fonction uniforme de (^, u) sur
la surface T de Riemann. Elle prendrait en chaque point (^, u)
une infinité de valeurs qui se déduisent toutes de l'une d'elles par
l'addition et la soustraction des 2/?+i modules de périodicité.
Ainsi, l'une des valeurs étant tj5^ (^, u)^ la valeur la plus générale
de l'intégrale sera

TÀ5{z, u) = mi{z, u) -+- nii JUi -+- m2<Jl£)2-4- ... -h mpA>p

+ /Il lILl ^ 712 1112 + • • • + 'î/j lAîp -4- 2 71 t: i,

in^ , wzo, . . . , nip, /11, 712, ' • 1 rip., n étant des entiers quelconques
positifs, négatifs ou nuls. C'est ce qu'on voit, comme précé-
demment, pour les intégrales de première et de deuxième espèce
(n" 63).

Nous avons fait la figure en supposant que les points («, Z>),
{a! ^ h') sont des points ordinaires à distance finie. D'après les dé-
finitions données du domaine d'un point quelconque de la surface
de Riemann (n°46-17), on sait comment il faut modifier les cercles
a- et a-' formant les domaines des points (a, 6), (a', h'), quand l'un
ou l'autre devient un point de ramification ou s'éloigne indéfini-
ment. Nous avons figuré dans l'angle de la fig. 55 la nouvelle
forme ^\ que devrait prendre cr' si le point (a', h') était un point
de ramification ei.

77. Intégrales normales de troisième espèce. — Posons

n

a', 6'

(5, u) = î^«''^*' {z, U) + Xi W(l) + X2 W(2) _i_. . .+ \ wkp)

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l6l

)v, , Àoi • • -, ^^/j étant des constantes et (V^'\ iv^-^^ . . . , w^p^ les inté-
grales normales de première espèce. Cette intégrale II est, comme
TU, une intégrale de troisième espèce. Pour obtenir l'intégrale nor-
male de troisième espèce, on détermine les À de telle façon que les
modules de périodicité de n le long des coupures a, , ao, . . . , ap
soient nuls. Le module de périodicité de H le long de «a- est

car celui de m est ^l,A, et les modules de périodicité de tv^'^, (v^^)^ ^
iV^P^ sont tous nuls sur «a, excepté celui de {V^^\ qui est ir.i. On
déterminera donc les X par les conditions

cW- -r- 2 Xyt - t = G (A- = I, 2, .. .,/>).

L'intégrale H ainsi obtenue est Vintégrale normale de troi-
sième espèce avec les deux points singuliers logarithmiques (a, b)
ei{a',b').

Cette intégrale admet encore les modules de périodicité sui-
vants :

Sur b};, le module de périodicité IJlj'yt,
Sur m, le module de périodicité i-i,

car, sur les deux bords de m, les intégrales w^'\ (p(-\ ..., w^P^
prennent les mêmes valeurs.

78. Les modules de périodicité oJb'^ ont des expressions remar-
quables. Pour les obtenir, considérons l'intégrale

Jj„ dz

oij w est une intégrale quelconque de première espèce, l'inté-
grale H étant prise dans le sens positif sur le contour de la sur-
face T", contour formé par les bords des coupures a>;, hk-^ Ch et
des fentes / et m. La fonction

dW

est uniforme sur la surface T" et a tous ses résidus nuls. En effet,
les deux facteurs sont uniformes. Le premier est partout fini; le

A. ET G. II

l62 CHAPITRE III.

deuxième a tous ses résidus nuls, car l'intégrale II ne devient
infinie qu'aux deux points (a, h) et («', 6'), qui sont exclus de la

surface T". Le produit {v -r- di donc bien tous ses résidus nuls,

et l'intégrale H est nulle. Nous allons évaluer directement cette
intégrale.

Le contour de T'^ est formé du contour de T' (bords des cou-
pures cik, bk, c/i), des bords de la fente /, des bords de la fente m
et des bords des circonférences a- et a-' {Jîg- 55). L'intégrale H
peut donc être divisée en cinq parties, l'une relative au contour
de T', l'autre aux bords de /, la troisième aux bords de m, les
deux dernières aux circonférences a- et a-', et l'on a, en désignant
par les indices T', /, m, <j, a-' ces cinq parties,

<8)

Jt '"" ^^ " "^ J/ "*" .L "^ X "^ X'

La deuxième de ces intégrales est nulle : en effet, sur les bords
de la coupure /, les deux fonctions iv et -^ prennent les mêmes va-
leurs et ces deux bords sont décrits en sens contraire : la somme
des éléments relatifs aux deux bords de /, c'est-à-dire la deuxième
intégrale, est donc nulle. On voit de même que la troisième de
ces intégrales, celle qui est relative aux bords de m, est nulle. L'in-
tégrale relative à la circonférence infiniment petite (t' décrite dans
le sens positif par rapport à son extérieur T" (sens de la flèche)
est égale à — itu multiplié par le résidu de la fonction intégrée

w -ji au point (a', h') : en effet, cette circonférence a-' entoure le
domaine du point {a'^b') et dans ce domaine w{z^u)ç.si fini,
-j- admet le seul pôle z =i a' . Evaluons le résidu de iv ^-r- au
point (a', b') : on a dans le domaine de ce point

w{z, u) = w{a', ^')4- a,(^ — a')-+- 0L2{z — a')^^-. . .,

aj, ao, . . . étant des constantes.

dz

Po+?,(^-a')+P2(^-«')'

Po> Pn ••• étant des constantes. Dans le produit w -^, lecoeffî-

dz

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. î63

cient de , ou le résidu est donc (v(a', 6'). On vérifiera d'après

les définitions données que ce résultat est général et a encore lieu
quand (rt', h') est un point de ramification ou un point à distance
infinie. L'intégrale

X

w —r- az

est donc égale à — 2iTnv(a', b'). De même l'intégrale affectée de

cm

dz

l'indice a- est égale à 2iT.iv(a, b), car le résidu de -r: an point («, b)

est — I . L'équation (8) nous donne donc

(9)

J tp — c?-3 — 2i-[w{a',b') — w{a,b)]=o
j. az

où il ne reste plus qu'à évaluer la première intégrale. Mais le
calcul de cette intégrale est identique à celui qui a été fait (n° 6o)
pour le calcul de l'intégrale appelée I, sauf le changement des inté-
grales F et F' en iv et II. Appelons A;t, B/f les modules de pério-
dicité de w, 'X'f^^ iiî))^ ceux de II le long des coupures a/i et b/,- : l'in-
tégrale I iv -Tz dz a pour valeur, en vertu du calcul du n'' 65,

A,Di,; - Bi .1,; -h AaDi; - B2 Ao'o + . . .-T- A^,\)i,;,- Bp.l,;,;

mais, comme II est l'intégrale normale de troisième espèce, les
modules de périodicité z\,\, ^l.'.-,, . . ., <yl,' sont nuls (n'' 77) et la re-
lation (9) s'écrit

(10) AïOll)'! -I- AaDb'a-F. . .-i- AplPo^;— 2«-[(p(a', b')— w{a, b)] = o.

Jusqu'à présent nous avons supposé que w est une intégrale abé-
lienne quelconque de première espèce. Supposons en particulier
que ce soit une intégrale normale w^^K Alors tous les modules
de périodicité A,, Ao, . . ., A^ de cette intégrale relatifs aux cou-
pures a sont nuls, excepté A^ qui est égal à 27:/. La relation (10)
devient donc, en remplaçant w par tv^^^,

Q. T. i ^SVk —irJ[ w'^-^ ( a', b' )— w^f^-\a, b)]= o,

164 CHAPITRE III. — CONNEXION DES SURFACES, ETC.

formule qui donne enfin la valeur de ill));.,

En résumé, les modules de périodicité de l'intégrale normale de
troisième espèce U'^^'j^' sont

Le long de «/. o,

Le long de 6/. w^^^a', b')— w^^^'^ (a, b),

Le long de m iTzi.

Nous ne poursuivrons pas plus loin, pour le moment, l'étude
particulière des intégrales hjperelliptiques. Nous avons voulu
seulement développer, sur un exemple simple, la conception de
Riemann, avant d'aborder la théorie générale des fonctions algé-
briques.

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE.

i65

CHAPITRE ÏV.

LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE
ET LES SURFACES DE RIEMANN CORRESPONDANTES (»).

Continuité des racines d'une équation algébrique. — Points singuliers. — Méthode
de Puiseux. — Surfaces à m feuillets. — Point analytique. — Propriétés générales
des fonctions uniformes sur une surface de Riemann.

79. Nous supposons connues les propriétés élémentaires d'nn
polynôme entier par rapport à une variable «, et en particulier le
théorème fondamental de la théorie des équations.

Tout polynôme de degré m en u, à coefficients quelconques,

P ( w) = Ao zi'" ^ Ai u'«-i -h . . . -h A,n
est décomposahle en un produit de m facteurs linéaires

P{U) = Ao( W Ui){u— Ui) . . .{u — ll,n)'

Il résulte immédiatement de cette décomposition que la varia-
tion de V argument du polynôme P(«), lorsque u décrit le con-
tour d'une aire dans le sens positif, est égale au produit de it,
par le nombre des racines du polynôme comprises dans cette
aire, chaque racine étant comptée autant de fois qu'il y a d'unités
dans son degré de multiplicité. Car l'argument d'un facteur
// — Ui revient à sa valeur initiale si le point ui est à l'extérieur
de l'aire considérée et augmente de 27: si ce point est à l'inté-
rieur de l'aire. On suppose cette aire limitée par une seule courbe.

(') Auteurs à consulter : Puiseux, Mémoire sur la théorie des fonctions
algébriques {Journal de Liouville, t. XV). — Briot et Bouquet, Théorie des
fonctions doublement périodigues, Liv. I.— Simart, Thèse de Doctorat.— E. Pi-
card, Traité d'Analyse, t. II.

[66

CHAPITRE IV.

SoitF(::. u) un polynôme entiei* à deux variables z et u^ de
degré m en u^ qui, ordonné par rapport à u^ s'écrit

(0

F{Z, u) = Oo{z)-^ UOi{z)-r-...-r-U'

M,

les coefficients 'f/(^) étant des polynômes entiers en
valeur de :r. l'équation

A une

(2)

F(^, u) = o

fait correspondre m valeurs pour u, à moins que le polynôme-.
Om{^) ne soit nul pour celte valeur particulière de z. Ces m va-
leurs de u varient en général avec .3 d'une manière continue. C'est
ce qui résulte du théorème suivant :

Si pour z= a l'équation (2) a n racines égales à 6, pour
une valeur de z voisine de rt, elle a n racines vçisines de b.

En remplaçant :; par a -j- z, el u par b -\- u, on est ramené au
cas où, pour ^ =: o, l'équation a n racines nulles. Les polynômes-
cpo(^), 'f I (^)j • • • T ?«-< {^) sont tous nuls pour ^ = o, mais 'fn(oX
n*est pas nul. L'équation (^1) peut s'écrire .

(3)

en posant

F(^, a) = o„(^)u«(i 4- P -f- Q) = o,

On-^-l

^ On U"-

?n-hi

«1

lini-n

0,1
O,. U

Du point ^ = o comme centre, décrivons une circonférence de
rayon p laissant à l'extérieur toutes les racines du polynôme
o,t{z). Soit A une limite inférieure du module de o,,(w) et B une:
limite supérieure du module des polynômes o«^, (^), . . . , 'f mV^)
lorsque z reste à l'intérieur de ce cercle, de telle sorte que l'on a,
lorsque |:j| <; p,

l9«(^)i>A,

,(.-)!< B (/> = !

m — n ).

Si l'on prend pour z un point à l'intérieur de ce cercle et
pour u une valeur dont le module r est inférieur à l'unité, on a

|Pi<X('-

• •)

i68

CHAPITRK IV.

l'unité décrit du point ç = i comme centre. Cette courbe ne peui
donc contenir l'origine à son intérieur, et l'argument de v revient
à sa valeur initiale. Par suite, l'argument de F(^, u) augmente d^
2/?.-; l'équation F(z, u) = o a donc bien n racines de module
inférieur à r lorsque le module de z est inférieur à p^

80. Si, en particulier, Inéquation (2) a une seule racine égale
à b pour z = a, elle admet une seule racine voisine de 6, pour
une valeur de z voisine de a.

On peut alors, des points z = a el u = b comme centres, dé-
crire deux cercles C, C, de rayons 0' et r respectivement, tels
que pour toute valeur de ^ comprise à l'intérieur de G l'équa-
tion (2) ait une racine et une seule à l'intérieur de G,. Cette ra-
cine u est donc une fonction uniforme et continue de ;: tant que-
cette variable reste comprise à l'intérieur du cercle C. Pour dé-
montrer que c'est une fonction analytique de z dans ce domaine,
il suffit de prouver qu'elle admet une dérivée. Attribuons à z un
accroissement A^ et soit à.u l'accroissement correspondant de u^
on a

,. F{z-h ^z, u-^ lu) ~-F{z, u) — o,

ce qui peut s'écrire

'f\ et r/ tendant vers zéro en même temps que ^u et A:^. On en

déduit

àF

lu dz '

àz

ùF

Nous venons de voir que, lorsque As tend vers zéro, il en est de ^
même de \u^ et, par suite, de r^ et de r/; le rapport — a donc une

limite

àF
du _ dz
in ~~ 'W'
du

FO>-CTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 1 69

En réalité, cette dérivée admet, comme u^ m valeurs pour
chaque valeur de z: mais on obtient sans ambiguïté la valeur
qu'il faut prendre, en remplaçant dans le second membre u parla
racine dont on cherche la dérivée. Tant que la variable z reste à

d¥
l'intérieur de C, le dénominateur — ne peut être nul, puisque Ja

racine considérée est racine simple de l'équation (2). La dérivée
est donc elle-même une fonction continue de i: dans ce domaine.
Il suit de là qu'à l'intérieur de C la racine u est développable par
la formule de Tajlor

uz=: b -^i^{z — a)-f- '7.^_{z — a)' -h. . . ,

et le ravon de convero^ence de cette série est au moins és^al à o'
mais peut lui être supérieur.

De même, si,.pour ;3 = «, l'équation (2) a m racines simples
bi^ b2j . . ., bniy on peut trouver un cercle C de centre a et de
rajon assez petit pour qu'à l'intérieur de ce cercle les m racines
soient des fonctions uniformes et régulières. Les m racines sont
alors représentées par m développements distincts : on a, par
exemple, pour, la racine w/ qui se réduit à bi au point z = a,

Ui = bi -h aV'(^ — a) -h 'xf{z — a)^ -h. . . .

Les rayons de convergence de ces différentes séries sont, en gé-
néral, inégaux.

Nous avons ainsi défini un élément de fonction algébrique.
Pour définir cette fonction lorsque la variable z décrit un chemin
quelconque, on étendra la définition de proche en proche. Sup-
posons que le polynôme F (.s, u) soit indécomposable, c'est-
à-dire ne soit pas le produit de deux autres polynômes entiers
en z et u. Alors l'équation F(^, u) =0 n'aura de racines mul-
tiples que pour des valeurs de z en nombre fini. On obtiendra
ces valeurs de z en éliminant u entre les deux équations

d¥

marquons dans le plan des z ces valeurs de z^ ainsi que les racines
de l'équation 'fm(>^) = o. On appelle ces points les points singu-
liers. Cela posé, prenons deux points non singuliers Zqj Z, et un

170 CHAPITRE IV.

chemin L joignant ces deux points et ne passant par aucun point
singulier. Soient «,, «o? •••5 "m les m racines simples de l'équa-
tion F(iïo? f^) = o ; si l'on part de Zq avec une de ces racines, a^
par exemple, la valeur de cette racine sera fixée tout le long du
chemin L par la condition de continuité. En iin point ^ii voisin de-
z^^ l'équation F(i:,, z/) = o admet une seule racine u^ voisine.
de «, ; en un point z-i voisin de z^^ l'équation admet une seule ra-
cine u^ voisine de w', , et ainsi de suite. On arrive au point Z avec
une valeur de u déterminée sans ambiguïté.

Nous devons maintenant étudier l'influence du chemin suivi par
la variable. La proposition suivante est fondamentale :

Soit A une aire plane limitée par un seul contour, ne ren-
fermant aucun des points singuliers; si l'on va d' un point ^^ à
un autre point X par deux chemins contenus tout entiers dans
Vaire A, en prenant la même valeur initiale pour u, on arrive
au point Z avec la même valeur finale.

Fig. 56.

Soient ZQmTj^ z^nTj {fig. 56) les deux chemins allant de Zq à Z.
Joignons les deux points /tz et n ; nous formons ainsi deux contours
fermés z^mnzoj nmXn. Si les deux chemins ^q'^^^î ^o^-^ i^e con-
duisent pas à la même valeur finale pour w, il v aura au moins un
des contours fermés z^mn^o, nf?iZ n qui, décrit tout entier en pre-
nant au point de départ une des racines de l'équation (2), ne ramè-
nera pas cette racine. En effet, on peut remplacer le chemin z^mT,
par le chemin z^mn -j- nmTj. Supposons qu'en allant du point ^0
au point n par les deux chemins Zomn, z^n on obtienne la même
racine u' ^ puis que, partant du point n avec la racine u! ^ on aille au
point Z par les deux chemins /iZ, nmX^ et qu'on arrive dans les
deux cas avec la même valeur pour ;i-, alors les deuxchemins z^mT^
et ZquV^ sont équivalents. Si donc ces deux chemins n'étaient pas
équivalents, il j aurait au moins deux des chemins {z^mn^z^n) et

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. I7I

{n'Li nnilj)^ qui ne seraient pas non plus équivalents. Supposons,
par exemple, que les deux chemins z^mn et z^n ne conduisent
pas à la même valeur de u au point n. Alors le contour fermé
Zor?i/iZo, décrit avec la valeur initiale Ui pour «, ne ramènera pas
celte racine. En décomposant de même le contour z^ninz-Q en
deux contours plus petits, un de ces contours au moins devra
changer une des racines de l'équation (2) quand il sera décrit
tout entier. En continuant ainsi, on a une suite d'aires, toutes
comprises les unes dans les autres, et, si l'on choisit convenable-
ment les lignes de division, ces aires décroissent indéfiniment
dans toutes leurs dimensions. Elles ont donc pour limite un
point M, intérieur à A. Par conséquent, si l'on considère un
cercle de rayon aussi petit qu'on le veut, ayant son centre en M,
il devrait toujours exister à l'intérieur de ce cercle un contour c,
ne ramenant pas à sa valeur initiale une des racines de l'équa-
tion (2). Le point M serait donc nécessairement un point singu-
lier, ce qui est contraire à l'hypothèse.

81. Il nous reste à examiner ce qui se passe lorsque la variable
indépendante z tourne autour d'un de ces points singuliers que
nous avons mis de côté.

Soit ^ = <7 un point pour lequel Péquation F(:j, u) = o admet
une racine u = b d'ordre n. En un point ^07 voisin de a, l'équa-
tion aura /z racines voisines de 6

lll, lU, .... Un.

Si la variable z part de ^0 ^^ décrit une petite courbe fermée G
autour du point a, la fonction ayant la valeur initiale ;/,, cette fonc-
tion leprend sa valeur initiale, ou, comme sa variation ne peut
être que très petite, sa valeur finale est une des autres valeurs de
u qui, pour z = z^^ sont voisines de b. Dans le premier cas, la
racine Ui est une fonction uniforme de ;: dans le voisinage de
z z= rt, développable en une série procédant suivant les puissances
entières et positives de z — a. Dans le second cas, soit Ui la valeur
finale; si l'on décrit de nouveau la courbe G dans le même sens
avec la valeur initiale z//, il est impossible que l'on retrouve la ra-
cine Uij car Je chemin inverse doit ramener «,. On obtiendra
donc u, ou jLine autre des racines non encore obtenues. Si l'on re-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIVBLE. IJS

//,, 11-2^ ' -'1 fip sont des fonctions uni/ormes de .3^ En effet, si z'
décrit une petite courbe fermée ne tournant pas autour du point
z.'= o, ;; décrit une petite courbe fermée ne tournant pas autour
du point a et chaque racine reprend sa valeur initiale. Si z' décrit
une petite courbe fermée tournant une fois autour du point
z'zzzo, z décrit une petite courbe fermée tournant p fois autour
du point a, comme il résulte de la substitution : chaque racine
reprend donc encore sa valeur initiale d'après la façon dont ces
racines s'échangent. D'après cela, Wf, par exemple, est une fonc-
tion analytique de z' ^ devenant égale à b pour ^'= o, uniforme,
finie et continue pour les valeurs de z' appartenant à un domaine
suffisamment petit du point z' = o. Cette racine U{ est donc
développable, par la formule de Tajlor, en une série procédant
suivant les puissances entières et positives de ^,

ux = b ^biz ~ 62-'--+-. . . -f- év -'^ H-

Si l'on revient à l'ancienne variable 5, liée à z' par l'équation
écrite plus haut, qui donne

z'={z-a)P,

on a le développement suivant pour w,

1 2 2.

u^ = b-^bi{z — a)P^bi(z — a)f'-^..,-^b.,{z — a)P-^...,

j^
procédant suivant les puissances entières et positives âe (z — a)P .
On obtiendra des développements de même forme pour «o^
//j, ..., iip. On peut d'ailleurs les déduire de celui de Ui en
s'appuvant sur la loi même de permutation des racines. Posons

(jj = e P .

Prenons la racine w, définie par la série précédente et sup-
posons que l'on fasse décrire à ^ un petit cercle autour du
point z =^ a, dans le sens positif. La racine «1 devient z/o et

{z—a)P devient iû(z— a)P, car, l'argument de z — a augmen-

tant de 2-, celui de (z — a)P augmente de — • On a donc le déve-

174 CHAPITRE IV

loppement suivant pour ^^>,

u, = b-^ bi io{z — ay H- b. io2 (z — a)'' -^ . . . -^ 6.; a>v(^ — a)^ -h. . . . ..

Un nouveau tour de z autour du point a donnera «3 en chan-'

1 1

— , — - . <i

géant (:: — a)P en lo(z — a)^,

et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait obtenu toutes les racines w,,,
iti^ ..., f^^. On voit donc que les/» racines appartenant à un même ;^
système circulaire sont représentées par une même série procé- "rî

dant suivant les puissances entières et positives de (:; — ^)^i '^

L 1

Il ~ b -^ bi(z — a)f^ -J^- bi{z — rt)^-^...,

les différentes racines z/,, Un, ..., Up étant obtenues en rempla-

çant successivement dans ce développement (-■ — a)P par ses p
déterminations. ®

/ 82. Nous venons d'étudier les racines qui deviennent égales à --^
une valeur finie b quand z tend vers une valeur finie a. L'étude /^»
des racines devenant infinies pour z ^=^ a nous conduira à la notion .^^g
des pôles d'une fonction algébrique. Ordonnons Féquation "
F(:;, z/.) = o par rapport aux puissances décroissantes de ?^,

Y{z,u)=.0,nyz)u'"

{^z)u'n-^-^.,,^^,^z)li-^'0^{z)^0.

Soit z =^ a une racine de l'équation Om {-■) =^ c» î lorsque z tend

vers rt, une ou plusieurs racines deviennent infinies. Pour étudief

ces racines, posons

i

l'équation (2) se change en une nouvelW équation
il') . F,{z,a') = F(^z,L,yi''n=.o,

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. IJD

qui aura un certain nombre de racines nulles en même temps que
z ^ a. Dans le cas général, ces racines se partageront en un certain
nombre de systèmes circulaires, les racines d'un même système
étant représentées par un développement de la forme

procédant suivant les puissances de (:; — a)P et contenant en
facteur une certaine puissance de [z — «)^', car a' est nul pour
z:=a. La série v qui multiplie [z — a)P est une fonction régu-
Hère de {z — «)^qui n'est pas nulle pour z^= a. On en déduit

u = -, = - \z — a) ^;

U V

- sera aussi une fonction régulière de (:; — ^)^ •> de sorte que les

p valeurs de u seront représentées par un développement de la
forme

--[ - - 1

u^{z—a) ^ [ao-f-ai(j — a)^ — a2(^ — a)^-l-...J.

C'est un développement de même forme que les précédents, sauf
qu'il présente à gauclie un certain nombre de termes à exposants
négatifs. Si /> = i , le point z = a est un pôle pour la racine con-
sidérée, au sens élémentaire du mot; si p est plus grand que i,
c'est en même temps un point de ramification.

83. Pour étudier les racines de l'équation en u lorsque z de-
vient infini, on pose

et l'on est ramené à étudier les racines de Péqualion transformée

pour les valeurs de z' voisines de zéro. Plusieurs cas peuvent se
présenter suivant que ces racines ont des valeurs distinctes et
finies, des valeurs égales ou des valeurs infinies. Dans tous les cas

176 CHAPITRE IV.

possibles, les m valeurs de u sont représentées dans le voisinage
de s' = o par un ou plusieurs développements de l'une des formes

suivantes

1 ( 1 i

u = z' ^ \ao -4-ai^'^ + a2-s'^ +. . ./.

Par conséquent, les m valeurs de u^ pour des valeurs de z de
module supérieur à une certaine limite, seront données par un ou
plusieurs développements tels que

u — b

u =

[., + a, (:)''+ a, (1)" + ...J,

On peut résumer comme il suit tous les résultats obtenus :

Dans le domaine de tout point z=^ a^ les m racines de
V équation (2) sont représentées pai^ un certain nombre de dé-
veloppements en série de la forme

^~\ - - 1

u — {z — a) ^ Lao+ ai(^ — a)^H-a2(^ — a)^4-. . .J,

en convenant de remplacer z — 00 par -•

Il est essentiel de remarquer qu'il n'y a jamais qu'un nombre
fini de termes à exposants négatifs.

84-. Nous voyons qu'une fonction algébrique n'admet que deux
catégories de points singuliers : i" des pôles, c'est-à-dire des
points où une ou plusieurs branches de la fonction deviennent
infinies, de façon que les inverses restent des fonctions régulières
dans le voisinage ; 2" des points critiques algébriques, c'est-
à-dire des points autour desquels un certain nombre de valeurs
de u se permutent circulairement, les valeurs d'un même système
circulaire étant représentées par un même développement en

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DL'NE VARIABLE. I79

se permutent entre elles, et de chaque point ai tirons une ligne L/
s'étendant jusqu'à l'infini, de manière que ces lignes ne se croisent
pas entre elles. Soient ^o un point distinct des points singuliers, et
a,, ao, ...,a„f les m racines simples de Téquation F(^07 w) ^ o.
Lorsque la variable z décrit un chemin quelconque sans fran-
chir les lignes L/, les m racines de l'équation restent des fonc-
tions uniformes de z. Quelques-unes de ces racines peuvent de-
venir infinies en certains points isolés, mais elles restent uni-
formes dans le voisinage de ces points. Désignons par u^^ i/o, . . .,
Um les m racines qui se réduisent respectivement à a, , ao, . . ., a„,
pour z = ^07 et appelons chemin direct de ^o à ^ tout chemin
joignant ces deux points sans franchir aucune des lignes Lj.

Pour suivre la marche de la fonction u lorsque la variable décrit
un chemin quelconque, il suffit de savoir comment s'échangent
les m fonctions m,, ?/o, ..., Um lorsque la variable franchit une
des lignes L/. Soient ai un point critique, Zi un point infiniment
voisin; joignons le point Zf au point Zq par une ligne droite, et
du point «/comme centre décrivons un petit cercle passant par le
point Zi. Le chemin ZoZ-ininziZo s'appelle un lacet {fig. 5"); il
peut être décrit dans le sens direct ou dans le sens rétrograde,
suivant qu'on laisse le point ai à sa gauche ou à sa droite. On le

représente par la notation («/) ou («/)_!, suivant qu'il est décrit
dans le sens direct ou dans le sens rétrograde. On dit que le
lacet («/) unit les deux racines w^, U]^ si, en partant du point ^o
avec la racine a^, et décrivant le lacet, on revient au point de dé-
part avec la racine a^ ; on dit qu'il est neutre par rapport à une
racine, s'il reproduit cette racine.

Un chemin quelconque allant de ^o ^n -^ peut être remplacé par
une suite de lacets suivie du chemin direct unissant ces deux
points. Par exemple, le chemin Zo'xm'^n^pz {Jig. 58) peut être
remplacé par ZQy,mzQ-[- ZQm'^nzQ-^ ZQn-(pzQ-{- Zopz] z^aniZo
peut, à son tour, être remplacé par le lacet («i), ZQm^nzQ parle

i8o CHAPITRE IV.

lacet («o)-!? ZqTi^pZq par le lacet (aj).,, et z^pz est un chemin
direct allant de ^o à ^.

Fig. 58.

Nous terminerons ces généralités par la remarque suivante. La
racine ui^ qui se réduit à a^- pour z = ^oj est développable par la
formule de Taylor dans le voisinage de ce point; quel est le rayon
de convergence de cette série? Ce rayon est égal à la distance du
point ^0 au point critique le plus voisin où la racine considérée
devient infinie ou se permute avec une autre. Mais le cercle de
convergence de cette série peut contenir des points où les racines,
autres que w/, se permutent ou deviennent infinies.

87. Dans ce qui précède, nous avons établi a /?/'/o/7' l'existence
des s^'stèmes circulaires et la forme des développements en séries
des racines. Il nous reste à montrer comment on peut obtenir ces
systèmes circulaires. Les valeurs de z, pour lesquelles l'équation
F(^, u) = o admet des racines multiples, s'obtiennent en élimi-

d¥
nant u entre les deux équations F = o, -— = o. Soit z ^=- a une
^ ' Ou

valeur de z pour laquelle l'équation F (3, iC) = o admet une racine

h d'ordre n. En général, ~ ne sera pas nul pour z^= a, u--=b.

En langage géométrique, cela signifie que le point de coordon-
nées (a, b) de la courbe qui a pour équation F(^, u) = o est un
point simple où la tangente est parallèle à Taxe des u. Mais, si l'on

a en même temps -— = o, le point (a, h) est un point multiple de

cette courbe. En définitive, les points critiques de la fonction
algébrique u de z correspondent : i'^ aux points de la courbe
où la tangente est parallèle à Vaxe des u; 2° aux points mul-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D UNE VARIABLE. l8l

tiples. Nous laissons de côté pour le moment les points à l'infini;
leur étude se ramène, comme on l'a vu, à celle des points à dis-
tance finie.

Supposons d'abord que, pour ^ =: a, on ait une racine b

d'ordre /z, et que -^ ne soit pas nul pour z = a^ a = b. En rem-
plaçant z par z -\- Cl et u par u H- b, ce qui revient à transporter
l'origine au point (a, 6), F(-:, u) sera de la forme

(6) F = Az^Bu''-^uzo(z,u)^'l>{z, ii) = o,

6{z, u) ne contenant que des termes de degré supérieur à n par
rapport à u et du second degré au moins par rapport à ;:; A et B
sont des constantes différentes de zéro. Pour z =^ o, ona n racines
nulles et n seulement, c'est-à-dire que l'axe des u rencontre la
courbe en n points confondus à l'origine, qui sera un point ordi-
naire si /i tzi: 2, et un point d'inflexion si n est supérieur à 2.
Si l'on pose

l'équation (6), divisée par ^''% devient

(7) X-^Bi-n^z'U{z',i>) = o.

Pour z'=o^ l'équation (7) admet n racines simples fournies
par l'équation binôme

A + B p« = 0 .
Soient

ces n racines rangées par ordre d'argument croissant, l'argument
de chacune de ces racines étant égal à celui de la précédente,

augmenté de -^- Pour une valeur de z' voisine de zéro, l'équation

(7) admettra n racines qui seront des fonctions régulières de z'
dans le domaine de l'origine et se réduisant respectivement à v^^
^'2, •••? Vn pour ^'=:o. Ccs 11 raciucs pourront être représen-
tées par

a,, ao, . . . , a,i étant des fonctions régulières de z\ qui sont nulles

l82 CHAPITRE IV.

pour z' = o. L'équation (6) admettra les n racines

i i 1

pour savoir comment se permutent ces racines dans le domaine de
l'origine, faisons décrire à la variable un petit cercle dans le sens

direct autour de l'origine; l'argument de 5" augmente de — ; le

i i

produit v^z'^ devient donc V2Z"' et la racine u^ se change en

1 1

27t/

a', étant infiniment petit avec 5, car c'est, au facteur e" près, ce
que devient la quantité a, quand on augmente l'argument de z' de

— • Cette racine doit faire partie des n racines w<, 1121 ..., Un-

Elle ne peut être égale quà u^, car, si elle était égale à u^ par
exemple, on aurait

i i 1 1

V'iZ"' -h a'. Z"- = i^^z'i -+- oLz^" '

et, en divisant par 5",

de sorte que la quantité finie Ço — ^3 serait égale à une quantité
infiniment petite. On verrait de même que, après que z a décrit un
petit cercle dans le sens direct autour de l'origine, 112 se change
en ?^3, u^ en ?^/,, ..., u,i en w<. Les ii racines forment donc un
seul sjstème circulaire.

Ces n racines peuvent être représentées par un même dévelop-
pement en série. La racine de l'équation (y), qui se réduit à ^i
pour ^'=0, est régulière dans le voisinage de z'=o-^ elle peut
donc être représentée par la somme d'une série convergente

telle que

pj + «i^'h- a^z'^-h ... ;

la racine correspondante Ui de l'équation (6) sera égale à la somme
de la série

Viz~^-i- ai\z~i) -ha2\z~t) -+-....
Or, quand z tourne autour de l'origine, cette série prend n va-

\
\

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. l83

leurs distinctes que l'on obtient en donnant à z'^ ses n détermina-
tions; et, d'après ce que nous venons de voir, ces n valeurs repré-
sentent les n racines de l'équation (d), qui s'annulent avec ;.

88. Supposons maintenant que le point (a, b) soit un point
multiple de la courbe F(:;, w) = o; nous porterons encore l'ori-
gine en ce point. Avant d'aborder le cas général, nous étudierons
deux cas particuliers très simples :

1° L'origine est un point double à tangentes distinctes, et au-
cune des tangentes ne coïncide avec l'axe des u. Si l'on ordonne
F(:?, u) suivant les puissances croissantes de u et de :;, on aura
l'équation

(8) ¥ {z,u) = aii'^-\- -ibuz -{- cz--{- '■:i{z,u) = o, a ^ o, b- — ac ^ o,

o{z^ u) ne contenant que des termes de degré supérieur au second.
Pour ^ = 0;, deux valeurs de u sont nulles; posons u = vZj
l'équation (8) devient, en divisant par z-^

(9) aç^-{- ibi' -{- c -i- z^(z, v) = o,

et la nouvelle équation admet, pourr=:o, deux racines simples
(^1, Ç.2' Dans le domaine de l'origine, l'équation (9) admet par con-
séquent deux racines qui sont des fonctions régulières de z,

t^' = Pi -}- ai ^ 4- ^1 -32 -+- . . . ,
Les valeurs correspondantes de u sont représentées par deux

l(l= ViZ -i- OLiZ^-h ^iZ^-i- . . . .
U,= Ç.2Z -\- «2^2+ ^iZ^-h

Chacune de ces racines est donc régulière dans le domaine du
point ^ := o.

2" L'origine est un point de rebroussement, et la droite w ^ o
est la tangente de rebroussement. L'équation proposée est de la
forme

(10) F(^, u)= ut ^ au^ ^ bu'^ z ^ cuz^--h dz^-h cf(z, u) = o,

l84 CHAPITRE IV.

o(;î, u) ne contenant que des termes d'un degré supérieur au troi-
sième. Si l'on pose

et qu'on divise par^'»*, Téquation devient

(il) v'^-^ d + z'^{z',v) = o.

Supposons que d n'est pas nul, ce qui aura lieu si l'origine est
un point de rebroussement de première espèce. Pour z'=^o^
Téquation (i i) admet deux racines simples ±.\J — c/; pour d voisin
de zéro, on aura deux valeurs de v régulières dans le domaine de
l'origine et se réduisant respectivement à ±:y/ — d pour z'=^o.
On en conclura, comme plus haut, l'existence de deux valeurs
de Li^ racines de l'équation (lo),

Ux = \ v — d -+- OLi) z^ , 11=1 = ( — y/ — d -f- «2) z~^ ,

se permutant quand on décrit un petit cercle autour du point ^ = 0.
Ces deux racines sont encore représentées par un même dévelop-
pement en série

u=^—dz^--\-az^--{-^[z'^) +...,
dans lequel on donne à z'^ ses deux déterminations.

89. Après ces cas particuliers, arrivons au cas général, où l'ori-
gine est un point multiple d'ordre quelconque. L'équation en u
ayant n racines nulles pour ^ = o doit contenir un terme de la
forme Au^^ où A est une constante non nulle, suivi de termes
parmi lesquels ceux qui ne renferment pas z contiennent u à des
puissances supérieures à ii. Elle est donc de la forme

(1-2) ¥{z,u) =z Aii'^-\-ZAa^u^z^ = 0,

les exposants a et ^ étant des entiers positifs ou nuls assujettis à
la condition que, si ^ est nul, a est supérieur à n. Alors, pour
^ = o, il j a bien n racines nulles. Nous emploierons, pour par-
tager ces n racines en systèmes circulaires, la méthode donnée
par Puiseux dans son célèbre Afémoire sur les fonctions algé-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. l85

briques ('). Admettons que chacune des valeurs infiniment pe-
tites de u est d'un degré infinitésimal déterminé par rapport à c,
ou peut être mise sous la forme

|ji étant un nombre positif et v une fonction de z qui a une va-
leur finie et différente de zéro pour ^ = o. Remplaçons u par cette
expression dans l'équation (12), le degré infinitésimal du terme
général est aa + J^ et celui du premier /z a, expression qu'on peut
faire rentrer dans aix + [i en faisant pour le premier terme a = /z,
p = o. Soit m le degré du terme qui a le plus petit degré, après
cette substitution. 11 y aura au moins deux termes de degré m^
car, s'il n'y en avait qu'un, en divisant par ^"% on aurait une quan-
tité finie qui serait égale à une quantité infiniment petite. Il faudra
donc qu'il j ait au moins deux termes

parmi lesquels peut être le premier, tels que

et tels que, pour tout autre terme P^^^n o^n u'^" z^' ^ on ait

|jLa"-i- 3"^ laa-h 3.

Pour trouver les valeurs de iji qui remplissent cette condition,
on se sert d'une représentation géométrique dont le principe est
dû à Newton. Traçons dans un plan deux axes de coordonnées
rectangulaires Oa, O^ et marquons les points qui ont pour coor-
données les exposants (a, P) des diff'érents termes de l'équa-
tion (12). Au terme indépendant de z correspondent les points de
l'axe Oa; le premier, qui est fourni par le terme h^u^^ est d'ab-
scisse n. De même, les termes de l'équation indépendants de u
donnent des points sur l'axe O 3 {fig- Sg).

Ces différents points étant marqués dans le plan, pour avoir le
degré aa 4- ^ en ^ qu'acquiert un terme AapM°'^P par la substitu-
tion u = çz"^, il suffit de mener par le point de coordonnées (a, j3)

(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. XV; i85o.

l86 CHAPITRE IV.

une droite A de coefficient angulaire — a

y-^

;-t(^ — a)

et de prendre l'ordonnée à l'origine Oo de celte droite : cette
ordonnée est en effet |j.a + [i. Donc, si par tous les points mar-
qués dans le plan aO^, on mène des droites A parallèles ajant
pour coefficient angulaire — [Ji, les ordonnées à l'origine de ces
droites donneront les degrés que prennent par la substitution

I^i

g- 5

9-

//

.p

.^

\\^

^^^

A^

\A

■^sA

N A

\'

'^

ap

\

-

0

^^

=^

'"a

u^i^çz^ les divers termes de l'équation. Le terme de plus petit
degré en z correspond au point (a, 8) situé sur la droite D dont
l'ordonnée à l'origine est la plus petite ; comme il doit y avoir au
moins deux termes ayant le plus petit degré, il faut déterminer jj.
de façon qu'il y ait au moins deux des points (a, ^) sur celle des
droites D de coefficient angulaire — [x ayant la plus petite or-
donnée à l'origine. Le nombre — p. est donc le coefficient angu-
laire d'une droite joignant au moins deux des points (a, p), et
laissant tous les autres au-dessus d'elle. Voici comment on déter-
mine toutes les droites possédant cette propriété.

Concevons une droite mobile d'abord couchée sur O a. Faisons-la
tourner de gauche à droite autour du point d'abscisse n sur Oa, jus-
qu'à ce qu'elle vienne rencontrer un ou plusieurs autres points;
faisons-la ensuite tourner, toujours dans le même sens, autour du
dernier de ces points, jusqu'à ce qu'elle vienne à rencontrer de nou-
veaux sommets du réseau, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne
une droite passant par le premier sommet du réseau / situé sur
0[3. On a ainsi formé une ligne polygonale, allant du point n au
point /, dont tous les sommets sont des points du réseau, et telle

I

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 187

que, si Ton prolonge un quelconque de ses côtés, on laisse tous
les autres sommets du réseau au-dessus de ce côté.

Le coefficient angulaire de chaque côté de cette ligne polygo-
nale, changé de signe, fournit une valeur convenable de |j.. Soient
(a, [^) et (a', ^') les coordonnées de deux sommets du réseau situés
sur un même côté, de coefficient angulaire — a. La droite, à la-
quelle appartient ce côté, a pour équation

et le point où elle rencontre O |ii a pour ordonnée ^ + u.a. Il est
clair que l'on aura

^ -^ ua =3'+ aa',

tandis que, pour un sommet du réseau (a", ,3'') situé au-dessus du
côté considéré, on a

Cela posé, considérons un côté G/ de la ligne polygonale allant
du sommet (a,-, ^3/) au sommet (a/+,, [3/+«), et soit (a, P) un point
quelconque du réseau situé sur C/, et (a', 3') un point quelconque
du réseau situé au-dessus de G/. L'équation proposée pourra
s'écrire

(i3) F(^, ^0 = Aa,p,^^^.^^' +21 ^a?"^-^

a.-^.f5i-..«"'-'-'"*^'-^2^^a.3'^^^'^^

A^,^.&,^.w^

Soit u le coefficient angulaire changé de signe du côté G/; on
aura

a/ jjL -h ^,- = a a -t- ^ = a/+ , ix + p^+i , a' |Ji -h ^' > cci [x h- §/ ;

on tire de là

= ^~^' = ^'-^' ~ ^^ = 1
a^— a a/— a/^i p

La fraction — étant supposée irréductible, on a

l88 CHAPITRE IV.

k et ki étant des nombres entiers. Posons, dans l'équation (i3),

z = z'P, u = vzi\
elle devient

mais on tire des relations écrites plus haut

et, en divisant par z'^^i-^P^i^ l'équation devient
(i4) v^i+^^{v) + z'W{z',v) = o,

^^\z' , ^) étant une fonction entière de v et de z\ et <I>((^) désignant
le polynôme

Pour ^'= o, cette équation se réduit à

pa.u-i <î>((;) = o;

elle admet a/ — a/_|., racines finies et différentes de zéro; pour une
valeur de z' voisine de zéro, elle admettra donc a/ — a/_^, racines
respectivement voisines des précédentes et, par conséquent,
l'équation en u aura le même nombre de racines de la forme

vzP , la quantité v tendant vers une limite différente de zéro lorsque
z tend vers zéro. Le côté G^- de la ligne polygonale fournit donc

(a/ — ^iJr\) racines d'un même degré infinitésimal^- En opérant

de même avec chaque côté, nous obtiendrons un nombre total de
racines

(n — ai)-4-(ai — a2)+ ... -+-(a„ — o) = n.

On retrouve ainsi les n racines de l'équation (12) voisines de zéro.
Chacune de ces racines est donc bien d'un degré infinitésimal
déterminé, et de plus ce degré est commensurable.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D UNE VARIABLE. 1 89

Considérons maintenant en particulier les racines du degré
infinitésimal -? qui sont fournies par l'équation ^(c^') = o. Dans

le polynôme ^{^), tous les exposants sont des multiples de p;

ainsi

a/ — ^i+i = kip, a — a/^i = ( ki — k)p.

Si l'on pose r/* = X, l'équation 0(r) = o est remplacée par l'é-
quation

(r5) n(À) = Aa,p,X^-. -i-^ Aa^)/<-^- + Aa,,.p,., - o.

Soit A une racine simple de l'équation (i5) et

les/? racines de l'équation vP = a, rangées dans un ordre tel que
les arguments forment une progression arithmétique de raison

— ^- Ces racines sont racines simples de l'équation <ï>(r)i=o;

par conséquent, pour une valeur de z' voisine de zéro, l'équa-
tion (r4) aura/? racines voisines des précédentes, qui seront régu-
lières dans le voisinage de z' =^ o. Soient

i^i -h ai, v-i-^i-i, ..., Vp-\-7.p

ces/? racines, a,, ao, . . . ^ oLp étant infiniment petits avec -3^
L'équation (ï3) admettra les p racines

'1 ç '1

et Ton verra, comme plus haut (§87), que ces p racines se per-
mutent circulairement autour de l'origine. Supposons que la
racine de l'équation (14)7 qui se réduit à r,, soit développée sui-
vant les puissances croissantes de z'

V = ç>i -T- az -\- bz'^ -^ ... ;
la formule

u = v,\zn ^a\zP) -^b[z") -f-...,

OÙ l'on attribue successivement à z^ ses p déterminations, repré-
sente les/? valeurs de u, qui se permutent circulairement. Ainsi, à

igo CHAPITRE IV.

toute racine simple de V équation (i5) correspond un système
circulaire de p racines.

Si l'équation (i5) a ki racines simples, le côté C^- de la ligne
polygonale nous fournira kt systèmes circulaires de p racines. S'il
en est de même de loules les équations analogues pour les autres
côtés, la séparation des racines en systèmes circulaires sera effec-
tuée dès la première approximation.

Supposons maintenant que l'équation (i5) ait une racine mul-
tiple A d'ordre n' , et soit ç^ une racine de l'équation vP z=\\ v^
sera une racine multiple d'ordre n' de l'équation <ï>(r) = o.
Lorsque z' tendra vers zéro, l'équation (i4) admettra n' racines
voisines de Ti . Pour séparer ces n' racines, nous poserons
(^ = t'i + v' , ce qui nous conduit à une nouvelle équation

(iG) F'(^>') = o,

ayant n' racines infiniment petites avec z' . Appliquons à cette
nouvelle équation la méthode précédente, et supposons que ces
// valeurs de v' se répartissent en systèmes circulaires dès Ja pre-
mière approximation. Soit

'x[z'i"y +a {z'i")

7'+i

un de ces systèmes circulaires àe p' racines. L'équation en u ad-
mettra la racine

u = z'^(çi -4- v') = z'^i [i^i-\- wi Kz'P'Y -+- . . .J
ou

U = Vi \zl'l") + (Vi {zPi") -+-

On a dans le second membre un développement suivant les puis-

sances croissantes de zVP\ dans lequel les trois nombres qp', pp',
q' ^ qp' sont premiers entre eux. Ce développement prend/?/?'
valeurs différentes quand la variable z tourne autour de l'origine;
il représente donc un système circulaire de pp' racines de l'équa-
tion en u. En effet, lorsque la variable z tourne autour de l'ori-

j_
gine, le radical zPP' prend pp' valeurs différentes. Après p tours,
le premier terme se reproduit, mais l'argument du second aug-

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. I9I

mente de —L ?:; ainsi les p premières racines diffèrent par le pre-
mier terme, qui est la partie principale. Ensuite, de p en p, les
valeurs obtenues diffèrent par le second terme. On a donc bieny?yo'
valeurs différentes pour u.

90. Si les n^ racines de l'équation (i6) ne peuvent se répartir en
svstèmes circulaires dès la première approximation, on opérera
sur cette nouvelle équation comme on a opéré sur l'équation (i 3),
et ainsi de suite. Au bout d'un certain nombre de transforma-
tions successives, on arrivera à des équations n'ayant plus que des
racines simples, et, en remontant de procbe en proche, on voit
que la séparation des racines de l'équation proposée en systèmes
circulaires sera effectuée. Il ne pourrait en être autrement que si
la suite des opérations conduisait toujours à des équations ayant
des racines multiples. Il nous suffira donc de montrer que cette
circonstance ne peut se présenter.

L'équation (i3) admet une racine nulle d'ordre n pour ^ = o,
et l'équation (i6) admet une racine nulle d'ordre n' pour ^' = o.
Or n^ est au plus égal à a, — a/^,, et par suite au plus égal à n.
Si la séparation des racines de l'équation (i6) n'est pas effectuée
dès la première approximation, on en déduira une nouvelle équa-
tion ayant une racine nulle d'ordre n pour -3'' = o, et /i^' sera
inférieur ou égal à n! ; et ainsi de suite. On aura donc une suite
de nombres entiers positifs a«, n', /i'^, . . . n'allant jamais en crois-
sant. Si aucun des nombres de cette suite n'est égal à l'unité, il
faudra évidemment qu'à partir d'une certaine équation tous ces
nombres soient égaux. Supposons, pour fixer les idées, que cela
ait lieu dès la première équation. Comme rî est au plus égal à
rj.1 — ^•ijf.K'i il faudra qu'on ait

a/ = n , a,+i = o, ^z = o, ?i+i = nq ,

et la ligne polygonale se réduira à un seul côté, allant d'un point
n sur l'axe Oa à un point nq sur l'axe O ^. Si l'on pose dans
l'équation (i3) u =: vz'f, elle devient, par hypothèse,

192 CHAPITRE IV.

et, par suite, les n racines infiniment petites ont une même valeur
approchée

Posons ensuite v = ('0 + ^', l'équation en v' aura n racines
nulles pour ^ = o et si l'on écrit v' = wz^' , q' étant choisi conve-
nablement, elle devient, d'après l'hypothèse,

et les n valeurs de u auront encore même valeur approchée

En continuant ainsi, on voit que les n valeurs infiniment petites
de u différeraient entre elles d'une quantité dont l'ordre infinité-
simal serait aussi élevé qu'on le voudrait-, ce qui est impossible
si l'équation est irréductible, et, par conséquent, n'admet pas de
racines égales pour toute valeur de z. Imaginons, en effet, que
l'on forme l'équation aux carrés des différences des racines de
l'équation proposée; on aura une équation de même nature que
la première, dont les racines nulles pour ^ = o seront d'un ordre
infinitésimal déterminé.

En définitive, lorsque pour ^ -— a l'équation (2) admet az ra-
cines égales à ^, les n valeurs de a qui tendent vers 6, lorsque z
tend vers a, sont représentées dans le domaine du point z ^=^ a
par un ou plusieurs développements de la forme suivante

u — h-\- ai(^ — aY -\- CLi{z — aY h- . . . + a/(^ — aY -f-.. .,

OÙ l'on attribue successivement à (^ — ay ses p déterminations,
et où l'on prend la même détermination dans chacun des termes.
Quelques-uns des nombres entiers positifs ^,, ^o, ...^qi peu-
vent avoir des diviseurs communs avec p, mais il ne pourra pas
arriver que tous les nombres qt aient avec p vin autre diviseur
commun que l'unité, de sorte que le second membre aura bien/;
valeurs distinctes.

Si l'on a un seul système circulaire de n racines, le points = a
est dit un point de ramification d'ordre n — i ; pour n = 2, on
dit aussi que c'est un point de ramification simple. Si l'on a plu-

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE.

Ï9^

sieurs systèmes circulaires, au point ^ = a sont superposés plu-
sieurs points de ramification distincts.

91. Exemple 1. — Considérons l'équation (*)
u^ — 3 a -h 2^ = o.

Pour r = -i- I, on a deux racines égales à -f- i , qui forment un
système circulaire, et une racine simple égale à — -2; de même,
pour ^ = — I , on a une racine simple égale à 2 et deux racines
égales à — i, qui forment un système circulaire. Pour toute autre
valeur finie de z^ les trois racines de l'équation sont distinctes et
finies. Traçons dans le plan des z deux coupures indéfinies sui-
vant les lignes 1 h- oc, — i oc; les trois racines

deviennent des fonctions uniformes dans toute l'étendue du plan.

G

e

Appelons Uq, Ui, u-^ ces trois racines, qui se réduisent respective-
ment à o, -f- y^3, — y/s pour ^ = o. Si l'on construit la courbe
représentée par l'équation précédente, on reconnaît que, z crois-
sant de o à -f- I par valeurs réelles, u^ croît de o à + i, «, décroît
de y 3 à 4- I, et u^ décroît de — y/3 à — 2. Par conséquent, quand
on franchit la coupure L, on passe de ^/q à //,, de u^ à f^o, mais
it-i ne change pas. De même, quand on franchit la coupure U, «„
et u^ se permutent, tandis que u^ ne change pas. Si l'on décrit
de l'origine comme centre un cercle de rayon supérieur à l'unité,
on revient à la valeur initiale après avoir décrit trois fois la
circonférence et rencontré les trois racines. Ces racines forment
donc un seul système circulaire dans le domaine du point ;: = cc;
ce qu'on vérifie aisément par la méthode générale. - .. V; -r

Exemple IL — Soit Téquation (-)

. «3__ 3„2_^ -6 = 0.

(') Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. 5-
(') Briot et Bouquet, loc. cit., p. Sg.

A. ET G.

]3

194

CHAPITRE IV.

Pour ^ = o, OQ a la racine simple u =^ 3, et deux racines
nulles. Si l'on pose/W= vz', Téquation devient

3y2_i_ç,3-'

pour 3 = 0 elle admet deux racines simples -—, -— • Les valeur

v/3 s/3

de u qui tendent vers zéro avec z sont par conséquent régulière^
dans le domaine de l'origine et ont pour premier terme de leur
développement

Ui =

Nous désignerons par Uq la racine qui se réduit à 3 pour z = c>
Pour chacune des six valeurs de z données par l'équation z^ = \.
on a une racine simple u =: — i et une racine double iiz=z 2, ei
les deux racines qui tendent vers 2 se permutent autour du point
critique. A partir de chacun de ces points de ramification, Ira— .^
çons une coupure indéfinie suivant le prolongement du rajon joi-
gnant ce point à l'origine; les trois racines deviennent des fonc-
tions uniformes dans toute l'étendue du plan [Jig^ 61).

Fis. 61,

Pour voir comment se comportent les racines quand on fran«
chit les coupures, il suffit de construire la courbe qui représente-
l'ensemble des solutions réelles de Téquation

r- = 0:

on reconnaît aussitôt que, lorsque t croît de o à 2 par valeurs

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. igS

réelles, les trois valeurs de u vont respectivement des valeurs ini-
tiales Wo, W|, Ui aux valeurs finales 2, 2, — i. Donc, lorsque z
décrit une des lignes 0<7,, 0^3, O^s, les trois racines ^^j, «,, u-^
tendent vers les valeurs 2,2, — i ; par suite, quand on franchit
une coupure d'indice impair, on va de la racine Uq à la racine ?<,,
de ?/, à Wo) mais Wo «^ change pas.

De même, lorsque z décrit un des rayons 0^2? Oa^, 0«6j t va
de o à — 2 par valeurs réelles, et les racines Uq^ w,, 11.2 tendent
respectivement vers 2, — 1, 2, de sorte que, en franchissant une
coupure d'indice pair, on passe de Uq à ^/o? ^e u.2 à ?<0 7 mais u^
ne change pas. Les lacets («o), («4), («e) unissent donc les ra-
cines ?/o, if-i et sont neutres pour la racine «,, tandis que les
lacets (rtj), («3), («5) unissent «0 et w,, et sont neutres pour la
racine ^2- Si l'on décrit un cercle concentrique à l'origine conte-
nant les six points de ramification, ce chemin équivaut à six
lacets, et chaque racine revient à sa valeur initiale. La méthode
générale montre, en effet, que le point à l'infini est neutre pour
chacune des racines.

On peut faire l'étude complète des fonctions algébriques et de
leurs intégrales au moyen des lacets. C'est la méthode employée
exclusivement par Briot dans sa Théorie des fonctions abé-
liennes. Nous nous servirons, dans cet Ouvrage, du mode de re-
présentation de Riemann (').

92. Suif aces de Riemann. — A toute relation algébrique
irréductible à deux variables, telle que F(3, ?^) = o, on peut
faire correspondre une surface plane à plusieurs feuillets, qui joue
le même rôle que la surface à deux feuillets pour une équation du
second degré en u.

Exemple I. — Considérons la relation

à chaque valeur de :; correspondent m valeurs de u qui se permu-
tent circulairement quand la variable tourne autour de l'origine.

(') Le lecteur fera de lui-même le rapprochement entre le Chapitre I et les
paragraphes suivants.

196
Soit

CHAPITRE IV,

p(cos6 H- isin6), ol6<27c,

0 . . 0

m = p'" ( cos h i sin —

m m

u,_ = p"^f

cos

i sin

6-^<î7:

ihn = p'« cos

t(m — ï)tz . 0-f-2(m — 1

-^ — -h f sin —

m

m

,.]

Prenons m feuillets plans limités par une circonférence de
centre O et d'un rayon très grand R, et dans chacun de ces feuil-
lets traçons une coupure suivant l'axe réel; si à un point :; du
feuillet P/f on fait correspondre la valeur Uk {fig- 62),

u,^ — p"w cos

[i±^ii^^] H- .-sin [i^llii^'i^]

Fig. 62,

on a ainsi sur ces m feuillets la représentation complète de tous
les systèmes de valeurs de u et de z satisfaisant à la relation
donnée W"-^=z. Plaçons maintenant ces m feuillets les uns au-
dessus des autres, les indices se succédant dans leur ordre naturel,
et le feuillet Pi étant le plus haut; puis réunissons le bord y<q,
de \\ au bord 7.2 [^2 de Po, le bord ^.><>2 de Po au bord ag ^3 de P^,
et en général le bord v/ô^ de P^- au bord a/.,., !^/^, de P/+,, puis le
bordY,„o„, de P„, au bord a, [ii de P, par de petites bandes de
surfaces. On obtient ainsi une surface ï à plusieurs feuillets dont
la section par un plan perpendiculaire à la direction de la coupure
olfrira l'aspect ci-dessous (/?^. 63).

La dernière bande de surface, celle qui joint YmO,„ et a, pj,
traverse toutes les autres, mais nous conviendrons, comme plus

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE.

197

haut, qu'il n'y a pas de connexion entre deux nappes de la surface
le long d'une ligne double, de façou que deux courbes de la surface
qui se croisent en un point d'une ligne double n'ont un point
commun que si elles sont tracées sur la même nappe. La fonction

Fig. 63.

Il de z devient alors sur la surfaceTainsi obtenue une fonction jouis-
sant des propriétés suivantes : i^à chaque point de T correspondent
une valeur de 3 et une valeur de imparfaitement déterminées; 2** cette
valeur de u varie d'une manière continue quand on décrit un
chemin quelconque sur la surface ï. A chaque point d'une ligne
double correspondent deux valeurs de u^ que Ton distinguera
d'après la nappe de surface à laquelle ce point est censé appar-
tenir. Le raisonnement est tout pareil à celui du n'^ 2.

Nous avons figuré {fig- 64) en perspective la surface obtenue
en supposant le nombre de feuillets égal à 3 (m = 3).

Fig. 64.

Imaginons maintenant que le rayon R augmente indéfiniment et
que les m feuillets, au lieu d'être à une distance finie les uns des
autres, soient à une distance infiniment petite. Nous représente-
rons la surface par sa projection sur un plan avec la ligne de pas-

igS CHAPITRE IV.

sage o h 20, en marquant par un trait différent les chemins

situés sur les différents feuillets. Ainsi isijïg. 65 représente un
chemin fermé entourant l'origine sur la surface à trois feuillets,

avec une ligne pleine pour les chemins sur le feuillet supérieur,
une ligne formée de points sur le deuxième feuillet, de traits et
points sur le troisième.

Si l'on projette sur la sphère, on aura une surface sphérique à
m feuillets, avec deux points de ramification, le point O et le
point O'.

Exemple IL — Reprenons l'équation étudiée plus haut

u^ — Zu ^'IZ — o,

qui admet les deux points critiques ^ = ±: 1 . Considérons trois
feuillets dans lesquels nous tracerons deux coupures partant des
points 4-1 et — i {fig. 6Q).

Appelons Uq^ ?/,, u^, les trois valeurs de a qui se réduisent res-
pectivement à o, + y/S, — sj?> pour ^ = o, et sur chaque point du
feuillet P^- marquons la valeur correspondante de ?//. Pour former
la surface de Riemann, superposons ces trois feuillets; pour savoir
comment on doit réunir les hords, reportons-nous au n° 91.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 199

Quand on traverse la coupure L, Uq se change en «,, //, en
«0, mais 11.2 ne change pas. Il faudra donc réunir ao ,3o et v,ô,,
a, j3, et Yo^oj p"is ao J^o et yoOo. De même, il faudra réunir, le
long de la seconde coupure, Aq |jio et v^po, )^2 [-'•2 et Vopo) a, a, et
V, p,. Lay?o-. 67 représente la projeclion d'une courbe fermée si-

Fig. 67.

tuée sur la surface. On a inscrit, à côté de chaque ligne de pas-
sage, les feuillets qu'elle réunit, et l'on a indiqué dans Tangle de
la figure le trait employé pour figurer un chemin dans les feuil-
lets o, I et 2.

93. Abordons maintenant le cas général. Soit F (3, ?/) = o une
équation algébrique entière, irréductible, àe degré m en u. On
peut former de bien des manières une surface T, composée de m
feuillets superposés, correspondant à cette relation. Voici une
méthode générale. Marquons dans le plan les divers points «,.
<72, ..., a>' autour desquels plusieurs racines se permutent, et tra-
çons à partir de ces points des coupures s'étendant jusqu'à l'infini,
de façon que ces coupures ne se croisent pas entre elles. Soit en-
suite Zq une valeur de z telle que l'équation

ait m racines distinctes et finies, 6,, 605 •••5 ^/«- Appelons z/,,
11-2^ ..., Uni les ni racines qui se réduisent respectivement à 6|,
^2, •••, l>ni pour :; = ^o, et qui restent des fonctions uniformes
de Zj tant que cette variable ne franchit aucune coupure. Imagi-
nons m feuillets plans superposés, admettant tous les mêmes cou-
pures allant des points ai à l'infini. A chacun de ces feuillets atta-

CHAPITRE IV.

chons une valeur de u et donnons au feuillet le même indice qu'à
la racine correspondante. Il s'agit de voir comment on doit réunir
les bords des coupures de ces diflérents feuillets.

Pour cela, considérons en particulier le point critique ai et une
racine 11^. Si le lacet («/) ramène la racine Uh à sa valeur initiale,
on supprimera la coupure aico dans le feuillet correspondant. On
opérera de même pour tous les feuillets correspondant à des racines
que le lacet («/) ne permute avec aucune autre. Les autres racines
se partageront en un certain nombre de systèmes déracines se per-
mutant circulairement autour du pointa/. Soit(?/a5 '^p? ••■1 '')o ^^]^)
un de ces groupes; le lacet (a/) décrit dans le sens direct change
Uy^ en ?/p, u^ en ii^, ..., u\ en u^. Réunissons le bord droit de la
coupure sur le feuillet a au bord gauche de la même coupure sur
le feuillet p, le bord droit de la coupure sur le feuillet p au bord
gauche de la coupure sur le feuillet y, . . ., et enfin le bord droit
de [ji. au bord gauche de a. Dans le voisinage du point <7/, les feuillets
d'indice a, [3, ..., X, [x sont ainsi liés les uns aux autres, mais ils'sont
complètement isolés des autres feuillets. Ils peuvent cependant les
traverser, mais suivant des lignes doubles de la surface, et nous
conviendrons toujours qu'il n'y a point de connexion entre deux
nappes de surface le long d'une ligne double.

Opérons de même avec tous les feuillets et tous les autres points
critiques. La surface Tainsi obtenue jouit des propriétés suivantes :
i'' à chaque point de cette surface correspond une valeur bien
déterminée de z et de u\ 2° à un déplacement infiniment petit
sur cette surface correspond une variation infiniment petite de u^
sauf, bien entendu, dans le voisinage des pôles, qui sont en nombre
fini. Cette surface T est la surface de Rieraann correspondant à
la relation F(^, u) = o, étendue sur le plan des z. Projetons cette
surface sur la sphère par le procédé déjà employé plusieurs fois
(n° 5) ; nous obtenons une surface sphérique formée de m
feuillets, qui peut remplacer la surface plane. Aux valeurs de z de
module très grand correspondent les points de la sphère voisins
du point O', et la liaison des feuillets autour du point O' résulte
de leur liaison autour des autres points de ramification. Par
exemple, si une racine est uniforme dans le domaine de ^ = go,
quand on décrira un contour fermé sur la sphère autour du point
O' en partant du feuillet correspondant à cette racine, il pourra

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'lNE VARIABLE. 20 1

se faire qu'on traverse plusieurs feuillets différents, mais, après
un tour complet, on reviendra au point de départ sur le même
feuillet.

Considérons une valeur a de :; pour laquelle a valeurs de u de-
viennent égales à h et forment un seul système circulaire dans le
voisinage de ce point. Sur la surface T, on aura un système de ;j.
feuillets liés les uns aux autres dans le voisinage de ce point, mais
séparés des autres feuillets. Tls pourront les traverser suivant des
lignes doubles, mais on ne pourra pas passer par continuité d'un
de ces ui feuillets à un autre différent de ceux-là, en restant dans
le domaine du point a. Nous dirons que ces a feuillets forment
un cycle, et le point commun à ces a feuillets est le sommet du
cycle; c'est un point de ramification d'ordre u. — i . Il peut se faire
aussi que, pour z^^a^ on ait plusieurs systèmes circulaires de
racines. Au-dessus du point :; = a du plan des ^, on aura sur la
surface T plusieurs cycles distincts dont les sommets se projettent
en ce même point. Par extension, on dira quelquefois qu'un point
de la surface, par lequel ne passe qu'un seul feuillet, est un point
de ramification d'ordre zéro. Un même point du plan des z peut
être la projection de plusieurs points de ramification d'ordre zéro
et d'autres points de ramification d'ordre supérieur. A un point
double (a, h) de la courbe F(^,^/) = o, par exemple, correspon-

Fig. 68.

dent deux points de ï par lesquels passent deux feuillets tout à fait
distincts : la surface ne présente rien de particulier en ces points.
Ldijïg. 68 représente quatre feuillets superposés P, ,Po, P3, P^;
le point a est un point de ramification d'ordre i pour les feuillets i

202 CHAPITRE IV.

et 2, d'ordre o pour les feuillets 3 et 4; ces deux derniers feuillets
sont entièrement distincts au point a ifig- 68).

Remarque I. — Quand on dit d'un point de T que ce point
n'appartient qu'à un seul feuillet, on fait abstraction des lignes
doubles. Pour un point pris sur une ligne double, il faut ajouter
à quelle nappe le point est supposé appartenir.

Remarque II. — Il est clair que la façon de réunir les feuil-
lets pour former une surface T n est pas unique. Par exemple, il
n'est pas nécessaire de supposer que les lignes de passage sont
des lignes droites; on peut leur donner des formes absolument
arbitraires. Lorsqu'il n'y a que des points de ramification sim-
ples, on peut employer un procédé particulier dû à Luroth.
( Fo/r Picard, Traité d^ Analyse, t. II, p. 367 et suivantes.)

94-. On appelle point analytique {z.,u) l'ensemble d'une valeur
de^ et d'une valeur de u vérifiant la relation considérée F (;j,w) = o.
A tout point de T correspond un point analytique et inversement.
Soit (a, b) un point analytique ; on a F(a, 6)= o et en général
u ^=^h est racine simple de l'équation

F(a, u) = o.

S'il en est ainsi, le point de T qui correspond au point analy-
tique (a, ^) estdéterminé sans ambiguïté. Il ne peut y avoir excep-
tion que si u = b est racine multiple de l'équation précédente.
Supposons d'abord que les n valeurs de u voisines de b pour une
valeur de z voisine de a appartiennent à un même système circu-
laire. Sur la surface T on aura, au-dessus du point z ^= a, un
cycle de n feuillets, dont le sommet sera le point unique de T
correspondant au point analytique (a, b). Il n'en est plus de même
si les n valeurs de u voisines de b se partagent en p{p^ i) sys-
tèmes circulaires. On aura/? cycles sur T, dont les sommets cor-
respondent au même système de valeurs z- = a, u = b. On aura
en réalité p points analytiques (a^b), qu'il faudra distinguer les
uns des autres. Mais ceci ne peut avoir lieu que pour un nombre
fini de systèmes de valeurs de a et de b.

95. Nous nous proposons d'abord d'étudier les propriétés gêné-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. loS

raies des fonctions uniformes sur la surface T ou, ce qui revient
au même, des fonctions uniformes du point analytique (^, a). Soit
en premier lieu {a, b) un point à distance finie de la surface par
lequel ne passe qu'un feuillet. Découpons un petit morceau
de surface entourant ce point et situé tout entier sur un seul
feuillet; lorsque le point de T restera sur cette portion de surface,
le module de z — a restera inférieur à une certaine limite, et la
branche de fonction considérée sera, dans ce domaine, une fonc-
tion uniforme de ^ — a. Il peut se faire que cette fonction ç soit,
dans ce domaine, égale à la somme d'une série convergente

(> = Ao-i- Ai(^ — rt)-f-. . .-h kg{z — a)'7-f-.. . ;

alors la fonction r sera dite régulière au point (<7, b). Si

Ao= Ai =. . .= A^_i — o,

sans que A^ soit nul, le point analytique («, ^) est un zéro d'ordre
q. Si la fonction r n'est pas régulière au point ( a, Z>), ce point est
un point singulier. Nous supposerons que c'est un point singulier
isolé; alors, d'après le théorème de Laurent, on aura, dans le do-
maine de ce point,

V = Ao-F Ai(2 — a)^. . .-^ kg{z — a)l^.. .

z — a {z — ay^

S'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants négatifs,
le point (a^b) est un pôle, dont Tordre est égal à la plus haute

puissance de dans le développement. S'il j a un nombre il-
limité de termes à exposants négatifs, le point analytique (<7, b)
est un point singulier essentiel isolé. Dans les deux cas, le coef-
ficient de est encore appelé i^ésidu.

Supposons maintenant que le point analytique (<7, ^) soit le
sommet d'un cycle de a feuillets à distance finie. Découpons sur
T un petit morceau de surface t ne contenant à son intérieur
d'autre point de ramification que celui-là; t se composera de cer-
taines portions des ijl feuillets qui passent par ce point, et sera li-

'204 CHAPITRE IV.

mitée par une courbe fermée qui, vue en projection sur le plan
des z^ tournera [x fois autour du point z^=^a. (La figure repré-
sente cette courbe limite, pour p. = 3, la convention pour les traits
([ui figurent les chemins étant la même quey?^-. 65).

Fi g. 69.

C'est cette petite portion de surface que nous appellerons le do-
maine du point (rt, h). Il est facile de voir que cette surface peut
se ramener à une portion de surface plane, située sur un même
feuillet. Posons, en effet, s = « + ^^H- et représentons encore la
variable ^' par un point dans un autre plan. Traçons les droites

issues de l'origine qui font entre elles des angles égaux à — ? et du

point ^' ^ 0 comme centre décrivons un cercle de rayon ;- très
petit. On a ainsi une surface t\ composée de [jl secteurs circulaires
égaux. Lorsque la variable d décrit un de ces secteurs, z décrit^
autour du point <7, toute la partie d'un feuillet aboutissant à ce
point comprise à l'intérieur d'un cercle de rayon /'H-. A la surface
t' correspond ainsi sur T un domaine entourant le point analytique
(r/, ^), domaine que l'on peut prendre pour la surface t. Ces deux
surfaces t et t^ se correspondent point par point et, sauf au point
^' = o, l'application est conforme. Toute fonction uniforme du
point analytique {z^ ?/) pourra donc, à l'intérieur de ^, être remplacée
par une fonction uniforme de z' à l'intérieur de i . Il suit de là que
cette fonction sera dans le domaine de {a^b) une fonction uni-

forme de {z — a)^ , chaque détermination du radical correspondant
à un des feuillets.

S'il n'y a pas, dans le voisinage du point [a, 6), une infinité
d'autres points singuliers, la fonction v sera donc représentée, dans
le domaine de ce point, par un développement ayant l'une des

FONCTIONS ALGEBKIQUES D UNE VV Kl A BLE.

formes suivantes

i 1

-1-00

(II) r=yA,(.^--a)i^,

V

,111) ,^^^{^^^{--af'

V = — 00

Dans le premier cas, on dira que la fonction v est régulière au
point (rt, 6); si Ao = A, = . . .= A^_, --^ u, sans que A^ soit nul,
le point ( rt, b) sera dit un zéro d'ordre q. Dans le second cas, le
|)oint (rt, b) sera appelé un pôle d'ordre n, et, dans le troisième
cas, un point singulier essentiel isolé. Dans ces deux derniers

cas, si les développements contiennent un ternie en _ _ ^?

z — a

un appellera résida le produit ;jlA_[x. Il est facile de justifier ces
définitions. Imaginons un contour Iracé sur T autour du point de
ramification {a, b)\ puisque, par ce point, passent ;j. feuillets, ce
contour doit faire a tours autour du sommet du cycle. Cela posé,
considérons l'intégrale

/•

prise le long de ce contour, de façon à avoir à sa gauche le do-
maine du point (V/, b). Le seul terme qui puisse donner quelque

chose dans celte intégrale est le terme en j

A

I

/

^dz.

et, comme Targument de z — a augmente de i^xr. quand on
décrit le contour précédent, cette intégrale a pour valeur
^iir.'xk_^,. On a donc, en appelant R (r/, b) le résidu,

R(rt, b) = — !-- V dz,

206 CHAPITRE IV.

l'intégrale étant prise le long d'un petit contour entourant com-
plètement le point (<7, b), de façon à avoir à sa gauche l'aire en-
veloppée, comme dans le cas d'un point («, b) qui ne serait pas
de ramification.

Pour justifier la définition de Tordre d'un pôle ou d'un zéro,
remarquons qu'un zéro d'ordre q àe, v donne toujours une va-
riation de iqiz dans logr, quand la variable z décrit un contour
fermé dans le sens direct autour du point analytique («, ^), tan-
dis qu'un pôle d'ordre n donne une variation de — inr^ dans
logç'. En d'autres termes, un zéro d'ordre q de r donne dans la
dérivée logarithmique un résidu égal k -\- q^ et un pôle d'ordre n
un résidu égal à — n.

Soit, en effet,

ç = {z-a)v\k^-^h,{z-af+...\, Ao^o.
On aura

+ (

ay^^kd^~af V...J,

, -Al (s — a!

i dv q !^

V dz [JL ( 2 — a) 1

Ao+ Ai(^ — rt)!^4-...

Le développement du second terme commencera par un terme
de degré i ou de degré plus élevé; le résidu sera donc

^ X u. = ^. On verrait de même que, pour un pôle d'ordre n

de r, le résidu de la dérivée logarithmique est égal à — n.

Passons, maintenant, aux valeurs infinies de z. Pour plus de
généralité, supposons qu'on ait à l'infini un cycle de a feuillets.

En posant ^ =z — , la fonction uniforme p se change en une fonc-
tion à[z')^ qui est uniforme dans le voisinage de 5'= o. Écartons
le cas où cette fonction '^{z') admettrait une infinité de points
singuliers dans le domaine de l'origine; dans ce domaine, ^(^')

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. lOJ

sera représentée par un développement de l'une des formes sui-
vantes :

+ 00

^(z')="^k,z'^^.

•j — X

La fonction v sera donc représentée, dans le domaine du point
à l'infini considéré, par un développement de l'une des formes
suivantes :

_i 7

(I) v = X,-^k,z ^-...-^X,z E^-...,

— a:

(If) v=. 2 Av^-~i^;

V =—n

(III) r= Va,., i^-.

Dans le premier cas, la fonction r est régulière au point à l'in-

fini; si le développement commence par un terme en z ^, ce
point sera dit un zéro d'ordre q. Dans le second cas, le point à
l'infini est un pôle d'ordre /?, et, dans le troisième cas, un point sin-
gulier essentiel isolé. Si le développement contient un terme en -,

'-^j on appellera résidu le produit — ;^-^-a- Ces définitions se

justifient comme précédemment. Le résidu de la fonction v pour
un point à l'infini est égal à

21T.J

l'intégrale étant prise le long d'un contour fermé limitant le do-
maine de ce point à l'infini, de façon à avoir ce domaine à sa
gauche. Un zéro d'ordre q et un pôle d'ordre n donneront res-
pectivement ^ et — n pour résidus dans la dérivée logarithmique.

2o8 CHAPITRK IV.

Remarquons encore une fois que la fonction peut être régulière
à 1 infini sans que le résidu soit nul.

96. Soient ç une fonction analytique uniforme du point analy-
tique (^, u) et Vi, {^2i ' • '■) <'m les m déterminations de cette fonc-
tion pour une valeur quelconque de z; il est clair que toute fonc-
tion symétrique de (^,, t'o, . • ., ^m sera une fonction uni/orme
de z. Supposons que, pour z = a, quelques-unes des valeurs (^,,
i'2, • ••, Vm ne soient pas régulières; alors la fonction p du point
analytique (z, u) admettra comme pôles ou points singuliers essen-
tiels quelques-uns des points analytiques [a^ h) qui sont superpo-
sés au point ^ = a du plan des z. La somme des résidus de la
fonction v, relatifs à tous ces points singuliers^ est égale au ré-
sidu de la fonction v^-\- v^-^- - - - -^- t'm relatif au point z = a.

Si aucun des points analytiques (a, b) que la fonction ç admet
comme points singuliers n'est un point de ramification, la démon-
stration est immédiate. Supposons que l'un de ces points soit un
point de ramification d'ordre ]x — i; dans le voisinage de ce
point, a des valeurs t^,, ('2, ..., v,n, seront représentées par un

même développement en série suivant les puissances de (^z — aj^ .
Soit A_p. le coefficient de dans ce développement. Dans la

somme c, 4- i'.. + . . . -f- r,,^ on aura le terme ' " ""' provenant des

a valeurs de v appartenant à ce système circulaire. En opérant de
la même façon avec tous les points analytiques («, 6), on voit que
la proposition est exacte avec la définition du résidu que nous
avons adoptée. On reconnaît tout pareillement que la somme des
résidus de la fonction v^ pour les points à l'infini deT, est égale au
résidu de la fonction ^i + (^2 + • • • + ^'w pour ^ = oc.

Supposons que la fonction v du point analytique (3, u) n'ait
sur T qu'un nomhve fini de points singuliers. La somme des ré-
sidus de cette fonction sur toute la surface T sera égale, d'après
ce que nous venons de voir, à la somme des résidus de la fonction
<') + <^^2 -l- • • • + <'w7 q^ii est une fonction uniforme de z, pour
toutes les valeurs finies et infinies de z. Or cette somme

FONCTIONS ALGÉBUIQLES D ' U N E VARIABLE. 209

n'a évidemment qu'un nombre fini de points singuliers, et, par
conséquent, la somme de ses résidus est nulle {voir Introduction).
On a donc le théorème suivant :

Soit ç une fonction uniforme du point analytique [z. u)
qui Ji admet, sur toute la surface T, qw un nombre fini de
points singuliers; la somme des résidus de cette fonction sur
toute la surface est égale à zéro.

97, Parmi les fonctions uniformes du point analytique (z, u)^
les plus simples sont les fonctions rationnelles de z et de u,

P etQ étant des polvnomes entiers en r et u. Dans le voisinage d'un
point analytique [a, b) à distance finie, où u reste fini, le numéra-
teur et le dénominateur peuvent se développer en séries ordonnées
suivant les puissances de z — a, si parce point ne passe qu'un seul

feuillet, et de (:; — «j^si ce point est le sommet d'un cycle de a
feuillets. Le quotient ne pourra donc contenir qu'un uovahva fini
de termes à exposants négatifs, si le dénominateur est en z — a
d'un degré infinitésimal supérieur à celui du numérateur. La fonc-
tion ç est donc régulière au point (r/, ^), à moins que ce point ne soit
un pôle. Le raisonnement est le même pour les points de T où u
devient infini et pour les points à l'infini de la surface. Par con-
séquent, toute fonction rationnelle de u et de z n'admet sur toute
la surface de Riemann que des pôles.

Réciproquement, toute fonction uniforme du point analy-
tique (;, «), qui y sur toute la surface de Bieman/t, n'admet
d'autres points singuliers que des pâles, est une fonction ra-
tionnelle de z et de u.

iNous nous servirons, pour le démontrer, de la remarque géné-
rale suivante :

Toute fonction uniforme du point analytique [z, u) peut
être mise sous la forme

Po(^), P| (c), . . ., P„,_, [z) étant des fonctions uniformes de z.
A. El G. i4

•2)0

CHAPITRE IV.

Par hypothèse, l'équation irréductible F(3, u) = o est de dé-
gré m en u. Soient Ut, 112, . • ., Ujfi les m valeurs de 11 correspon-

dant à une même valeur de z, et ^,

les m valeurs de

correspondant respectivement aux points analytiques (:3, «,),
(z, U2), . . ., (^, Uni)' Posons

^2 = Po— ^2 Pi H- ... -h ll'i^~^ P/n-U

t^.,.= Pr

on peut résoudre ces m équations par rapport à Pq, Pi, .
car le déterminant

D

Ho

«^est pas identiquement nul. On en tirera, par exemple,

ou

P.=

D'

1 Ui

. a[-^

^1

U\^^ .

. . u'I'-^

l U2

. . u'f^

V.2

a'+^ .

. uf-^

1 U,n '

■ ■ <7^

Vm

. u'I^r^

p

D/-

Faisons décrire à la variable z un contour fermé quelconque^
les lignes du déterminant D se permutent d'une certaine façon.
Mais, par hypothèse, les vt se permutent de la même manière que
les Ui, de sorte que les lignes du déterminant D/ s'échangent entre
elles exactement de la même manière que celles de D. Les deux
déterminants sont donc multipliés par un même facteur, égal
à dz I, et, par suite, P^ est une fonction uniforme de z.

Supposons maintenant que la fonction v du point analytique
(3, u) n'admette que des pôles sur toute la surface T. Les déve-
loppements des Ui et des r/ dans le domaine d'un point quelconque
de la surface ne contiendront jamais qu'un nombre fini de termes

FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. 2IÏ

à exposants négatifs. Il en sera évidemment de même de D et
de D/, et, par suite, de P/. La fonction uniforme P/(^), n'admet-
tant d'autres points singuliers que des pôles, est une fonction ra-
tionnelle; d'où résulte la proposition énoncée plus haut.

Toute fonction uniforme du point analytique (^, u), qui est
régulière en tous les points de la suif ace T, est une constante.

En efîet, soient r,, r^, . . ., ^'m les ni valeurs de v correspon-
dant à une même valeur de z. Les fonctions symétriques

sont des fonctions uniformes de z qui restent finies pour toute
valeur, finie ou infinie, de cette variable. Ce sont donc des con-
stantes et, par suite, v est racine d'une équation à coefficients
constants.

98. Le nombre des zéros d' une fonction rationnelle v =i':i{z, u)
sur toute la surface T est égal au nombre des pôles, chacun
d'eux étant compté a^;ec son degré de multiplicité.

La dérivée logarithmique

d^ d'o du
I dv dz du dz

est aussi une fonction rationnelle de :; et de u^ et les résidus de
cette fonction proviennent des pôles et des zéros de r. Un zéro
d'ordre /??/ de v donne 4- nii pour résidu, et un infini d'ordre n^
donne — /?a pour résidu. On a donc, d'après un des théorèmes
précédents, Im/ — I/?^ = o ou -mi = ^n^.

Cette proposition donne lieu à quelques remarques.

L La fonction '^,(:^, «)=-— peut admettre d'autres pôles

que ceux qui proviennent des zéros ou des infinis de c. F^ar
exemple, supposons que, dans le domaine d'un point de ramifica-
tion d'ordre a — i , on ait

V

on en déduit

a 12 CHAPITRE IV.

Le point z^=^ a est un pôle d'ordre [jl — v pour -^, et, par
suite, le résidu correspondant est nul.

II. On aurait pu aussi démontrer le théorème précédent en
remarquant que la diflférence entre le nombre des zéros et celui
des pôles de la fonction (^ est égale à la même différence pour la
fonction rationnelle V\ ^o . . . Vm de z.

m. Soient V r= ^(^, w) une fonction rationnelle de z et de u,
et N le nombre des infinis de cette fonction sur toute la surface.
On dira que cette fonction est d'ordre N. La fonction C5(^, u) — A-
a les mêmes pôles que cp(;3, w), quelle que soit la constante /.-.
Elle a donc aussi IN zéros, et la fonction (^ = cp(5, it) passe N fois
et N fois seulement par toute valeur donnée à l'avance.

Les propriétés précédentes rapprochent, on le voit, les fonc-
tions rationnelles de z et de u des fonctions rationnelles d^une
variable. Si l'on connaît, soit les pôles de la fonction rationnelle
r = cp(:j, u), avec les parties principales correspondanles, soit les
pôles et les zéros (qui devront être en nombre égal, en tenant
compte de leur ordre de multiplicité), cette fonction ç sera déter-
minée, à une constante additive près dans le premier cas, à un
facteur constant près dans le second. En effet, s'il existe deux
fonctions rationnelles de z et u satisfaisant à ces conditions, leur
différence dans le premier cas, et leur quotient dans le second cas,
est une fonction rationnelle de z et de u, restant finie en tous les
points de T, c'est-à-dire une constante; mais il n'en résulte pas
qu'on puisse choisir arbitrairement les pôles avec les parties princi-
pales, ou les pôles et les zéros. Nous savons même (voir Ghap. I)
qu'il n'en est pas généralement ainsi. L'étude des relations entre
les résidus ou entre les pôles et les zéros sera faite plus loin.

IV. On emploie quelquefois l'expression ordre d'une fonction
en un point (a, [3). Cet ordre est zéro, si le point (a, p) n'est ni
un pôle ni un zéro; il est égal à -4- ii, si ce point est un zéro
d'ordre n, à — n' si ce point est un pôle d'ordre n' . Le théorème
sur l'égalité du nombre des zéros et du nombre des infinis peut
alors s'énoncer ainsi : La somme des ordres d' une fonction rat ioii-
iielle de z et de u sur toute la surface de Riemann est nulle ( ' ).

(') tÎRiOT et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. îi;,

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. 2l3

Lorsqu'il y a quelque ambiguïté à craindre, on peut dire que
Vordre total d'une fonction est égal à N, si elle admet en tout
]N pôles, chacun d'eux étant compté avec son degré de multipli-
cité.

99. La définition des zéros et des infinis est purement analy-
tique; on peut également la justifier par des considérations algé-
briques et géométriques. Étant données les équations de deux,
courbes algébriques indécomposables

(i8) ^{z,u)^o,

d'après la théorie générale de l'élimination, les abscisses des
points communs aux deux courbes s'obtiennent en éliminant u
entre ces deux équations. Le résultat de l'élimination est

iti, it-2j ' •', ihn désignant les m racines de l'équation (17). Soit
(a, j3) un point commun aux deux courbes; lorsque z tend vers a,
/•des racines de l'équation (17), U\, Ui, • • • ■> i^r, par exemple, ten-
dent vers p. Le nombre des points d'intersection des deux courbes
qui sont confondus au point (a, [3) est, par définition même, le
degré du produit ^{z, «, ) . . . O (z, u,-) en (z — a). Il faut remar-
quer que A(;) peut contenir (z — a) à une puissance supérieure
à celle-là, si les deux courbes ont d'autres points communs d'ab-
scisse égale à a.

Cela posé, supposons d'abord que les /• valeurs de u égales à
^ pour z = x forment un seul système circulaire; ces /• racines
sont alors représentées par un même développement

l *

u = p-i- Ai(-3 — a)'- -h A^_{z — a)'- ~-

1
où l'on attribue au radical [z — a)'' ses /• déterminations. Quand
on remplace u par ce développement dans ^{z^ u), le résultat est
nul par hypothèse pour ; = a, et l'on a un nouveau développe-
ment

2IÎ CHAPITRE IV.

Chacune des expressions <ï>(^,?^i), ..., <I>(5, «,) est donc du

degré ^ en (z — a) et, par suite, leur produit est du degré q. Or

q est précisément l'ordre du zéro de la fonction ^{z^ u) au point
(a, |3). Donc le nombre des points dHntersection des deux
courbes (i^) e^(i8) confondus au point (a, ^) est égal à V ordre
du zéro de la fonction ^(z^u) au point analytique (a, [^),
u et z étant supposés vérifier la relation F (::;, ?^) = o.

Si les r valeurs de u qui deviennent égales à ^ pour ^ = a se
partagent en k systèmes circulaires, il j a, sur la surface de Rie-
mann correspondante à l'équation F(^, u^ = o, k points analyti-
ques (a, [3). Le même raisonnement montre que le nombre des
points communs aux deux courbes confondus en (a, P) est égal
à la somme des ordres des zéros de ^[z^u) en ces différents
points analytiques (a, [^) (^).

Si le point commun aux deux courbes considérées est à l'infini,
on ne peut plus appliquer la même règle. Par exemple, les deux
courbes

¥{z,u) =^ uz — I = o,
<ï>(z, u) = uz"^ — I = o,

ont une asymptote commune ^ = o, et dans le domaine du point
^ = o, on a

ce point n'est donc pas un zéro pour <ï>(^, u). L'emploi des coor-
données homogènes permet, comme on sait, d'éviter ces diffi-
cultés; on peut dire encore, ce qui revient au même, qu'une
transformation homographique ramène le point commun à dis-
tance finie et supprime la difficulté.

La remarque suivante s'applique à tous les cas. Soit F (:;,?/) = o
l'équation d'une courbe algébrique indécomposable et f{z, u)^
'^j{z^ u) deux polynômes quelconques du même degré /i; dési-

(^) Nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. Halphen: Sur les points
singuliers, etc. {Journal des Savants étrangers, t. XXVI), où l'on trouvera une
dclinition géométrique du même nombre.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 2l5

gnons par ç(:?, ii) la fonction rationnelle

'1(Z. u)

o{z, u)

/(^, «)

Cela posé, soient (a, ^3) un point quelconque de la courbe F = o,
q le nombre des points communs aux deux courbes F = o, /= o
confondus au point (a, j^), q' le nombre des points communs aux
deux courbes F = o, -i/ = o confondus au point (a, ^). La diffé-
rence q' — q est égale à la somme des ordres de o (;, u) aux diffé-
rents points analytiques (a, p).

La proposition est une conséquence immédiate de ce qui pré-
cède si le point (a, ^) est à distance finie. Si ce point est à l'infini,
on le ramènera à distance finie par une transformation homogra-

phique

az -\- bu -\- c a z --- b' u -+- c'

s = "TT-, nr—, T. 5 u = -Y-, T^—- if ^

a z -\-b u -^ c a z -r- o u -\- c

cp(^, u) devient

, ^^{z\u')

où 'li (^', u') = o et fi {z\ u') = o sont les équations des deux
courbes de même degré qui se déduisent des courbes 6(z, u) = o,
y(^, u) = o, par la transformation homographique précédente.
Or l'ordre d'une fonction rationnelle en un point ne change pas,
comme on le verra au Chapitre Y [, par une transformation homo-
graphique. La proposition est donc générale.

100. Le théorème classique de Bezout, sur le nombre des
points communs à deux courbes algébriques, peut être considéré
comme un simple corollaire de l'égalité du nombre des zéros et
du nombre des infinis. Étant données deux courbes algébriques,
de degrés m et n respectivement, choisissons une droite D ren-
contrant le système formé par les deux courbes en m -]- n points
distincts, et faisons subir aux deux courbes une transformation
homographique, de façon que la droite D devienne la droite de l'in-
fini. Les /?^ 4- n directions asymptoliques du système formé par
les deux courbes sont alors distinctes; nous supposerons de plus
qu'aucune de ces asymptotes n'est parallèle à l'un des axes de

^l(> CHAPITRE IV.

coordonnées. Les équations de deux courbes s'écrivent alors

( 19) F(^, ^0 = ^'-/.. (' , '{) - ^"^-'f,n-^ ( .. ") +. . .= o,

//, cp/f sont des polynômes entiers en - d'un degré au plus égal à

leur indice. En outre, les éqnalions/„i(i , c) = o, cp,, ( i , c) = o ont
toutes leurs racines simples et n'ont aucune racine commune. La
surface de Riemann, qui correspond à l'équation F(^, u) =r. o, se
compose de 7n feuillets et n'a aucun point de ramification à l'in-
fini; les m valeurs de u pour ^==roo sont représentées par m déve-
loppements de la forme

u = CiZ + a'o'"' + -;- -+- (i =1, 2, . . ., m).

Chacun de ces points à l'infini est un pôle d'ordre n pour
^(Zyu), car le développement de ^(z^ii) commencera par un
terme de degré n, z" cp/;(i, a), qui, d'après les hypothèses, ne peut
être nul. La fonction $(^, u) a donc mn zéros à distance finie,
chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité; les
courbes ont par conséquent mn points communs à distance finie.
Il est clair d'ailleurs qu'elles n'ont aucun point commun rejeté à
l'infini.

101. Toute surface de Riemann ayant des points de ramifica-
lion d'ordre quelconque peut être considérée comme limite d'une
surface de Riemann n'ayant que des points de ramification simples.
Soit ^(z^ u) le poljnome le plus général de degré m en ^ et u.
Nous pouvons supposer que la courbe qui a pour équation
ri(z, u) = O n'a aucun point multiple, et que les m asymptotes
sont distinctes, de telle sorte que les m valeurs de u pour z = 00
-sont fournies par m développements de la forme

Uf =: CiZ + a'/'' -^- ilL ^- . . . ii=i,2, ..., m);

le point ^ = GO est un pôle du premier ordre pour chaque valeur

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DLNK VARIABLE. >. 1 7

de II. Les points de ramification sont tous à distance finie et pro-
viennent des points de la courbe oii la tangente est parallèle à
l'axe des u. Si l'on a pris les axes, ce qu'on peut toujours sup-
poser, de façon qu'aucun de ces points ne soit un point d'inflexion,
ces points sont au nombre de jn{m — i) et chacun d'eux est un
point de ramification simple. La surface de Riemann T,, cor-
respondant à la relation ef(^, «) = o, a donc m feuillets et
m{m — i) points de ramification simples

«i, «2, .... «>• [N — /??(/?? — [)].

Imaginons maintenant que les coelficients du polvnome 5{z^ u)
varient d'une manière continue depuis leurs valeurs primitives et
admettons, pour fixer les idées, que le coefficient de u'"^ ne devient
pas nul. Quelques-uns des points de ramification peuvent venir
se confondie, mais la surface de Riemann correspondante se
compose toujours de m feuillets. Pour voir nettement ce qui se
passe, il est plus commode d'employer les lacets. A partir de
chacun des points critiques <7), a.^^ ..., «>• tirons, dans le plan
de la variable z, une coupure s'étendant jusqu'à l'infini, de façon
que ces coupures ne se croisent pas entre elles {fig. 70). Soient z^

l'origine des lacets et u^, 11-2^ ..-, ihn les m racines, qui sont
uniformes tant que z ne franchit aucune des coupures.

Supposons que les deux lacets («,) et (rto) unissent les deux
racines ?/, et u-2 et soient neutres pour les autres racines. Un
chemin tel que ZqJUJizq est équivalent à la suite des deux lacets
(«i), {0.2) et ramène chaque racine à sa valeur initiale. Si l'on
imagine maintenant que, les coefficients de <?(:?, u) variant d'une

2l8 CHAPITRE IV.

manière continue, les deux points critiques a^ et a.i viennent se
confondre en un point ^,, le chemin z-Qjnnz^^ devient équivalent
au lacet (bi) et, par suite, ce lacet ramène les deux racines z/,, u-,
à leurs valeurs initiales. On voit donc que deux points de ramifi-
cation simples sont venus se réduire à un point ordinaire.

On peut s'en rendre compte d'une façon plus sensible. Sur la
surface de Riemann primitive, la ligne droite a^ cio peut servir de
ligne de passage entre deux feuillets; si les deux points «i, a^
viennent se confondre avec le point ^,, cette ligne de passage
disparaît, et il n'y a plus de connexion entre les deux feuillets
au point bt .

Nous pouvons faire d'autres hypothèses. Si les lacets (<2,)
et (a.^) unissent des racines différentes telles que u^ et ii.,} ih
et z</, , le point limite ^< sera la superposition de deux points de
ramification simples. Si le lacet («<) unit «< et Wo, le lacet (ao)
Ui et «3, le chemin Zç,jniiZQ conduit de ii^ à z^o, de U2 à W3, de
it-i à u^. A la limite, le lacet {b^) permutera circulairement les
trois racines w,, u-y^ Uz' Plus généralement, supposons que l'on
ait /• points critiques voisins a< , «2, ..., «/•, tels que le lacet
[ai) unisse les racines u^ et w/^i , et qu'un rayon vecteur tournant
autour de ^0 rencontre ces points dans l'ordre des indices. Un
chemin fermé entourant tous ces points critiques et ceux là
seulement permute circulairement les /' + i racines u^^ ....
Urj^^ ; si tous les points a^^ a^-, • • ., ctr viennent se confondre en
un point Z>,, on aura autour de ce point un système circulaire de
/• + I racines.

La méthode précédente est évidemment générale et montre
suffisamment comment tout point de ramification d'ordre quel-
conque peut être envisagé comme provenant de la réunion de
plusieurs points de ramification simples, suivant la conception de
Riemann. 11 est clair, en effet, qu'on peut passer de la relation
^[z^ u^ = o 3. toute autre relation du même degré par une varia-
tion continue des coefficients.

Soient D le nombre des points de ramification simples qui
sont venus se confondre en un point z = b et R la somme des
ordres des points de ramification qui sont superposés au point
z--—b. La différence D — R est nulle ou égale à un nombre
pair positif.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. 219

Pour démontrer cette propriété, nous supposerons que les D
points critiques a,, a^i . . . , «d viennent successivement coïncider
avec le point z ^ b. Après i opérations, par exemple, les points
<7,, a^, * . .., ai seront venus se confondre avec le point b et l'on
aura en ce point b un certain nombre de points de ramification
superposés, les points (//+», . . . , «0 restant des points de ramifi-
cation simples. Soit R/ la somme des ordres des points de ramifi-
cation superposés au point b après ces i opérations. Après la
première opération, on a

Di = i, Ri=i, Di-R, = o,

et, en général, 0/= /.

Imaginons que le point (<7/+) ) vienne à son tour se confondre
avec le point b. Le lacet (<7/+, ) unit deux racines u/i, ifk- On peut
faire plusieurs hypothèses :

1° Les deux racines u/i, Uk sont uniformes dans le domaine du
point b. Lorsque aiJ^^ sera venu en Z>, on aura en ce point un
point de ramification du premier ordre de plus; par conséquent

D/+1 = ?■ 4- I , R,+i = R/ -M ,
D,>,-R,+i = D,-R,.

2° Une des racines, u^ par exemple, appartient à un système
circulaire de racines se permutant autour du point b. et Uk est
uniforme dans le domaine de ce point. Supposons que le lacet

Fi°:. 71.

(<^*f/+t) unisse les racines «, et ;/a et que le lacet {b) permute les
racines u^, ..., Up, la racine Uk restant uniforme au voisinage
de b. Un chemin tel que z-QmnzQ (Jig. 71) conduit de w, à Uk. de
Uk à Wo, • • ., de Up à ?/,. Lorsque a/_,_i sera venu en b, le lacet

220 CHAPITRE IV,

(h) permutera les/> + i racines i/,, u^^ ;/o, . . . , Up, et les autres
systèmes circulaires seront restés les mêmes. On aura encore

D,+., = D/ + I , R,^i = R . _^ r , D,+i — R,+i = D, — R, .

3" Les deux racines Uh^ u^ appartiennent à un même système
circulaire de racines se permutant autour de b. Par exemple, suppo-
sons que le lacet (6) permute les racines {Ui,ii-2,---,ità',iik+\^ -'•i"p)
et le lacet {(U^^ ) les racines «, et u^. Le chemin (z^Qmnz^^) per-
mutera circulairement les racines

Quand le point <7/^, sera venu en />, on aura deux systèmes cir-
culaires de racines

(«1, ti/i+i, ••■, Up), {ih, Ui, ■■■, ii/t),

et il n'y aura rien de changé aux autres systèmes circulaires. On
aura toujours Dt^^ = i -\- i; pour avoir R/4.1, remarquons qu'au
lieu d'un système circulaire de p racines on a deux systèmes cir-
culaires de (A — i) racines et de (/> + i — h) racines. Donc

Ri+ 1 — }\i — h — 1 -\- p — h — {p — i) = — \ ^

4" Les deux racines que le lacet (cti^^) réunit appartiennent à
deux systèmes circulaires différents autour du point b. Par
exemple, le lacet («/+i) unit u^ et Uh et le lacet {b) permute les
racines (w<, , . ., Up)^ (u/,, Uh^,, . . ., Uh+g).

Le chemin z-QUinz^ permute alors les racines dans l'ordre

A la limite on aura

DiVi = t + I , n■^^ — ^■=zp -+- q ~{p — i) — q =1,

D,+i -R,4-i = D,-R,.

En définitive, quand on change i en « + i , le nombre D/ — R/

FONCTIONS ALGÉBUIQLES d'une variable. 221

ne change pas, ou augmente de deux unités. Comme D, — K, = o,
on en déduit la proposition énoncée.

Appliquons celle relation à tous les points de ramification d'une
surface de Riemann; le nombre -D^ est égal au nombre des points
de ramification simples de la surface primitive, c'est-à-dire à
m{/}i — 0, qui est un nombre pair. On en conclut que la somme
!'(/• — i), étendue à tous les points de ramification d'une surface
de Riemann, est un nombre pair, /désignant le nombre des feuil-
lets qui appartiennent à un même cycle.

29.2 CHAPITRE V.

CHAPITRE V.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. PERIODICITE
DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

Connexion des surfaces en général. — Ordre de connexion d'une surface quel-
conque; d'une surface fermée; d'une surface de Riemann. — Généralisation de
la relation d'Euler pour les polyèdres. — Coupures sur une surface de Riemann.
— Exemples. — Equations binômes. — Surfaces de Riemann régulières. — In-
tégrales abéliennes. — Propriétés générales. — Périodes. — Classification (*).

102. On a vu an Chapitre III comment une snrface de Rie-
mann à denx feuillets pouvait être transformée en une surface sim-
plement connexe, par un système convenable de coupures : il en
est de même des surfaces à un nombre quelconque de feuillets;
mais les considérations intuitives dont on s'est servi pour le cas
particulier déjà traité deviennent plus difficiles à saisir pour le cas
général. Aussi nous allons reprendre la théorie de la connexion
des surfaces à un point de vue tout à fait général.

Rappelons qu'une surface est dite coAine.rê lorsqu'il est possible
de réunir deux points quelconques de cette surface par un trait
continu situé tout entier sur la surface. Si l'on a affaire à une sur-
face fermée, ou n'ajant pas debords, comme une sphère, un tore,
une surface de Riemann, on commence par lui donner une courbe
limite en pratiquant une petite fente dans cette surface ou en enle-
vant un petit morceau de cette surface. Les coupures dont il s'agira
ici sont considérées comme de véritables traits de ciseaux, par-
tant d'un bord et s'arrêtant dès qu'on rencontre un nouveau bord ;
quand on trace plusieurs coupures successivement, les coupures ou

(*) Auteurs à consulter : Riemann, Inauguraldissertation, Théorie der
Abel'schen Functionen ; — Neumann^ Vorlesungen Liber Riemann's Théorie, etc.;
— E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, Chap. XIII et XIV ; — Simart, Thèse de
doctorat; — Jordan, Recherches sur les polyèdres {Comptes rendus, t. LX-
LXII; — Journal de Crelle, t. LXVI-LXVIII) ; — Note sur la déformation des
surfaces {Journal de Mathématiques, i" série, t. XI).

CONNEX^IOX DES SURFACES DE RIEM\NN. 213

portions de coupure déjà tracées doivent être regardées comme
de nouveaux bords, de sorte qu'une coupure ne peut pas se traver-
ser, mais peut s'arrêter en un point de son trajet.

Nous prendrons pour définition de la surface simplement con-
nexe la propriété suivante : une surface connexe est dite simple-
ment connexe lorsqu'il est impossible de tracer une coupure sur
cette surface sans la morceler, c'est-à-dire sans la décomposer en
deux morceaux n'avant plus de connexion entre eux. Dans le cas
contraire, elle est plusieurs fois connexe, ou à connexion mul-
tiple.

La sphère, le plan indéfini, la surface d'un cercle ou d'un rec-
tangle sont simplement connexes. Au contraire, une surface plane
à plusieurs contours, le tore, une surface de Riemann à deux feuil-
lets et plus de deux points de ramification, etc., sont à connexion
multiple. Par exemple, dans la surface ABCD {^/ig- 72)

Fis:.

on peut tracer les trois coupures a^, yo, cvj sans morceler la sur-
face; une nouvelle coupure la morcellerait. Prenons la surface du
tore (Jig- 73); une coupure telle que omnpo ^ tracée suivant un

Fis. 7?.

méridien, la transforme en une sorte decvlindre recourbé, et une
nouvelle coupure telle que o^io' transforme la surface en une sur-
face à connexion simple o^Fo'o, M, o, . Inversement, en réunissant

'iu

CHAPITRE V

les côtés opposés d'un rectangle, on obtient une surface leriné

ee

analogue à la surface du tore

103. La définition précise de l'ordre de connexiim d'une sur-
face repose sur les propositions suivantes :

I. Une surface simplement connexe S est décomposée par
une coupure en deux morceaux simplement connexes (').

Supposons d'abord que la coupure ah joigne deux points de la
limite totale de S. Prenons snr les deux bords de la coupure deux
points infiniment voisins /??, m' \ il est clair que tout point de S
peut être réuni à l'un des deux points m ou m' par un trait con-
tinu situé sur S, sans franchir la coupure ah. On a donc décom-
posé la surface S en deux portions connexes séparément S', S'^ et,

Fig. 7l.

(1 )

(M-)

par hypothèse, il n'j a pas de connexion entre S^ et S'^ 11 s'agit
(le faire voir que chacune de ces surfaces S' et S" est simplement
connexe. En effet, si S', par exemple, n'était pas simplement con-
nexe, on pourrait, sans la morceler, tracer dans S' une coupure.
Soit cd cette coupure, telle que l'indique la première figure à
gauche.

Cette coupure cd ne morcelant pas S', tout point de S' peut
être joint par un trait continu au point m sans franchir la coupure
cd. Si maintenant on supprime la coupure primitive rt^, tout point
de S'^ pourra également être joint au point /;« sans franchirez/. On
pourrait donc^ contrairement à l'hypothèse, tracer sur S une cou-
[)ure c<ine morcelant pas la surface. On raisonnerait d'une façon
analogue dans tous les cas, suivant la disposition de la coupure 6*<^,

( ' ) i^iEriANN, Gesammelle Werke, p. 9.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 225

et l'on arriverait toujours à obtenir une coupure ne morcelant pas
S; telle serait c\db pour la 2^ figure, ackdb pour la 3^, bcdef
pour la 4^-

Si la coupure «6, au lieu de réunir deux points de la limite to-
tale de S, se terminait en un point de son parcours, comme l'in-
dique la figure ci-dessous {Jig- 70), les deux points /??, m\ infi-

I

niment voisins sur les bords opposés de la coupure, seraient dis-
posés ainsi que le montre le dessin. Nous laisserons au lecteur le
soin d'achever le raisonnement, qui est identique à celui de tout
à l'heure.

Corollaire. — Etant données [Ji surfaces simplement connexes,
si l'on trace, dans ce svstème de surfaces, v coupures successive-
ment, on obtient ;jl -|- v morceaux simplement connexes. Chaque
nouvelle coupure a pour eflfet de décomposer un morceau en deux.

II. Soit }l un système quelconque de surfaces; si, au moyen
de V coupures successives, on décompose ce système en a mor-
ceaux simplement connexes, la différence v — a est un nombre
constant pour ce système de surfaces (*).

Supposons qu'en procédant d'une façon différente on ait, au
moyen de v' coupures successives, obtenu a' morceaux simplement
connexes ; il s'agit de montrer que Ton a v — a = v' — a'.

Soient q une coupure du premier sjstème, q' une coupure du
second système. 11 est toujours permis de supposer que les cou-
pures q et q' ne se rencontrent pas sur les courbes limites, et que
les points de croisement des coupures q n'appartiennent pas aux
coupures q' et inversement ; s'il n'en était pas ainsi, il suffirait de
déplacer infiniment peu quelques-unes des coupures, ce qui ne
change évidemment pas les nombres v, a, v', a'. Imaginons alors

(') RiEMANN, loc. cit., p. 10.

A. ET G. i5

9.26 CHAPITRE V.

que, dans le système de surfaces S, on ait tracé à la fois les coupures
q el q' \ et soit A le nombre de morceaux ainsi obtenus. On peut
compter ce nombre de deux façons différentes; d'abord, on peut
supposer qu'on ait tracé les coupures q les premières et qu'on
trace ensuite, dans les a morceaux simplement connexes ainsi ob-
tenus, les coupures q' . Chacune de ces coupures ^' devra compter
pour/) H- I coupures distinctes,/? désignant le nombre de fois que
€ette coupure q' traverse une coupure q. Si donc on appelle P le
nombre des points de rencontre des coupures q avec les coupures
q' ^ le nombre total des morceaux sera A = a -|- v' -+- P. En opé-
rant dans l'ordre inverse, on trouverait de même A = a' -f- v -[- P.

On a donc

a H- v' -h P = a' -h V 4- P,

c'est-à-dire

v' — a' 3= V — a.

Ainsi, pour décomposer une surface en cent morceaux simple-
ment connexes, il faut toujours le même nombre de coupures,
de quelque façon qu'on opère.

104. Gela posé, considérons en particulier une surface con-
nexe S, et supposons que cette surface puisse être décomposée en
portions simplement connexes au moyen d'un nombre fini de cou-
pures (^ ). Si V coupures successives donnent a morceaux simple-
ment connexes, la différence v — a est, d'après ce qu'on vient de
voir, un nombre parfaitement déterminé pour cette surface. Le

nombre

N = V — a -+- 2

est appelé Vordre de connexion de cette surface. Pour une sur-
face simplement connexe, on peut prendre V = o, a=:i, et l'on a
N= I, comme il est naturel. (On voit pourquoi nous avons pris
V — a + 2, et non pas v — a, pour mesurer l'ordre de connexion.)
Un cylindre ouvert aux deux bouts est transformé en une sur-
face simplement connexe par une coupure tracée le long d'une
génératrice. On a ici v = a =: i ; ce cylindre est donc une surface
doublement connexe. Pour transformer le tore en une surface sim-

(*) Nous excluons par là même les surfaces qui ne pourraient être décomposées
en portions simplement connexes par un nombre fini de coupures.

ï

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 227

plement connexe, il faut deux coupures ; le tore est donc une sur-
face triplement connexe. En général, une aire plane à ii contours
est une surface connexe d'ordre /?.

Soit S une surface N/o«5 connexe (N > i) ; si l'on trace dans
S une coupure cj ne morcelant pas cette surface, on obtient une
surface S', qui est (N — ^) fois connexe.

Soit N' l'ordre de connexion de S'; si v coupures successives
décomposent S' en a morceaux simplement connexes, on aura

N' = V — a + 2,

et, comme on a passé de S à S' en traçant une coupure, on aura

aussi

N = V 4- I — a 4- 2,
et, par suite,

N' = N-i.

On conclut de là que toute surface, S qui est N fois connexe,
peut être transformée en une surface simplement connexe au
moyen <f e N — i coupures.

Puisque S est N fois connexe (N >> i ), on peut tracer une cou-
pure sans la morceler, et l'on a une surface S' qui est N — i fois
connexe ; si N est plus grand que 2 , on pourra tracer dans S' une nou-
velle coupure et l'on obtiendra une surface S'^ quisera(N — 2) fois
connexe, et ainsi de suite. Au bout de N — i opérations, on arrivera
à une surface dont l'ordre de connexion sera N — (N — i ) = 1 ,
c'est-à-dire à une surface simplement connexe.

Le même raisonnement prouve que, sur une surface N fois con-
nexe, on ne peut tracer plus de N — i coupures sans la morceler.
L'ordre de connexion d'une surface est donc égal au nombre maxi-
mum de coupures que l'on peut tracer sur cette surface sans la
morceler, augmenté d'une unité.

lOo. Appliquons ceci aux surfaces fermées. Le type des sur-
faces fermées simplement connexes est la sphère; après la sphère,
la surface fermée la plus simple est le tore, qui est triplement
connexe. Mais il n'existe pas de surface fermée doublement con-
nexe, et, d'une manière générale : L'ordre de connexion d'une
surf ace fermée est un nombre impair.

228 CHAPITRE V.

On s'appuie, pour démontrer ce théorème, sur les remarques
suivantes :

1. La limite totale dUine surface simplement connexe se
compose dhine seule courbe (V).

11 faut entendre par cet énoncé que celte limite totale peut
être décrite d'un seul trait continu. Supposons qu'on ait deux
courbes limites distinctes C, C, et soit ah une coupure allant
d'un point de G à un point de G'. Gette coupure ne morcelle
pas la surface; pour le prouver, il suffit évidemment de faire
voir qu'on peut réunir deux points infiniment voisins m, /?^', pris
sur les deux bords opposés de ah^ par un trait continu, sans
franchir cette coupure. En effet, soient n et n! deux points infini-
ment voisins de G' de part et d'autre du point h {Jig- 76).

On peut aller de m en n et de n' en m' en longeant la coupure.
D'autre part, la courbe limite (}' n'ajant qu'un point commun h
avec la coupure, il est clair qu'on peut joindre les deux points n
et n' par un trait continu restant toujours infiniment voisin de G'
et ne traversant pas ab. Il existerait donc, contrairement à l'hy-
pothèse, une coupure ne morcelant pas la surface.

II. Si dans un système de surfaces 2 on trace une coupure,
le nombre des courbes limites augmente ou diminue d'une
unité.

Il suffît d'examiner tous les cas qui peuvent se présenter et
qu'on a figurés ci-dessous en donnant aux coupures aZ>, abcd des

(*) Cette propriété est évidente, si l'on définit une surface simplement connexe,
comme au n° 51. Pour l'identité des deux définitions, on pourra consulter la Note
de M. Jordan Sur la déformation des surfaces {Journal de Mathématiques,
2® série, t. XI).

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 229

épaisseurs finies pour qu'on voie leurs deux bords {fig. 77). Si
la coupure réunit deux courbes limites différentes A et B
{^fig. 77, i), ces deux courbes limites sont remplacées par une
seule qu'on peut parcourir dans le sens marqué par les flèches. Au
contraire, si la coupure joint deux points d'une même courbe
limite (2) ou se termine en un point de son parcours (3), le
nombre des courbes limites est augmenté d'une unité. Dans tous
les cas, ce nombre change de parité.

Fig. 77.

Cela posé, soit S une surface fermée N fois connexe. La limite
totale se compose d'une seule courbe infiniment petite, et la
surface se transforme en une surface simplement connexe au
moven de N — i coupures. Comme, à chaque coupure, le nombre
des courbes limites change de parité, et que toute surface simple-
ment connexe a une seule courbe limite, on voit que N — i doit
être pair. Plus généralement, l'ordre de connexion d'une surface
et le nombre des courbes limites sont de même parité.

106. Soit

N = 2/> -r- I

l'ordre de connexion d'une surface fermée 5 le nombre entier/?
est appelé le genre de la surface. La sphère est de genre zéro,
le tore de genre un. Le type des surfaces fermées de genre/) est la
sphère solide avec/? trous, ou le système de p anneaux soudés l'un
à l'autre, formant une chaîne non fermée. Pour transformer une
pareille surface en une surface simplement connexe, il faut un
système de ip coupures. Par exemple, on peut tracer ces ip cou-
pures de façon que/? d'entre elles tournent autour d'un trou, les/?
autres passant à travers un ou deux trous. Tout ceci est à rap-
procher du début du Chapitre III; les surfaces qui y sont étudiées

23o CHAPITRE V.

ne sont au fond que des surfaces du genre/». Les considérations
qui y sont employées prouvent directement que la surface de
Riemann à deux feuillets et à 2/> + 2 points de ramification est
de genre p ; résultat que nous vérifierons tout à l'heure.

107. Soit S une surface connexe; isolons un point sur cette
surface par une courbe infiniment petite G et supposons enlevé
le morceau intérieur; on obtient ainsi une nouvelle surface S',
dont V ordre de connexion est supérieur d'une unité à celui

deS{fig.^%).

Fig. 78.
A

C

Il est évident d'abord que la surface S' sera encore connexe. Joi-
gnons un point 6 de G à un point a d'une courbe bmite A de S par
une coupure ab^ ne morcelant pas S^ (n° 102), et soit S'' la nou-
velle surface ainsi obtenue. Les ordres de connexion des trois
surfaces S, S', S^' sont respectivement N, N', N". Imaginons que
V coupures successives q tracées dans S'^ la décomposent en a
morceaux simplement connexes; on aura d'abord

Gomme on passe de S' à S'^ en traçant dans S' une seule cou-
pure ab^ on aura aussi

N'= V + 1 — a-f- 2.

D'un autre côté, si l'on trace dans S la coupure abcb, on la
décompose en deux, le morceau simplement connexe intérieur à
la courbe G et la surface S'^; si l'on trace ensuite dans S'^ les v
coupures g, on obtient a morceaux simplement connexes. On a
donc

N = V -h [ — (aH- i) 4- 2
et, par suite,

N'=N + i.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 23 1

D'une manière générale, quand on enlève n morceaux simple-
ment connexes d'une surface connexe, l'ordre de connexion aug-
mente de Ti unités.

Remarque. — Quand on applique ce théorème aux surfaces
fermées, on doit supposer qu'on a déjà donné une limite à la sur-
face.

108. On déduit aisément de cette remarque une généralisation
de la relation, due à Euler, qui lie le nombre des faces, le nombre
des sommets et le nombre des arêtes d'un polyèdre.

Soit T une surface fermée connexe, de genre/?; imaginons
qu'on ait décomposé cette surface en F portions simplement con-
nexes par un système de coupures. On aura sur cette surface une
espèce de réseau polygonal ayant F faces, S sommets, A arêtes. SI
l'on entoure chaque sommet du réseau d'une petite courbe et
qu'on enlèye le morceau intérieur, on aura une surface connexe
T' dont l'ordre de connexion sera, d'après ce qui précède,

jN' = 2/? -h I -h S — I = ip -+■ S,

car une des petites courbes doit être regardée comme formant la

limite de T. Si l'on trace ensuite dans T' des coupures suivant

les A arêtes, on trouve F morceaux simplement connexes. On a

donc

N' = 2/?-T-S = A — F-i-2

ou bien

A — F — S = 2/)— 2 (V).

Si /? = o, on retrouve la formule d'Euler. Si/?= i, il reste
A = F-|-S; comme vérification, reprenons le tore et ses deux
coupures, on a

A = 2. F = i, S = i.

La formule précédente est souvent utile pour trouver le genre
d'une surface fermée.

109. Nous allons appliquer cette théorie générale aux surfaces

(*) Lhuilier, Annales de Gergonne, t. III.

232 CHAPITRE V.

de Riemann. Le premier problème que l'on ait à résoudre est le
suivant : Etant donnée une surface de Riemann connexe T,
composée de m feuillets, dont on connaît les points de ramifi-
cation, trouver le genre de cette surface.

Il suffit de procéder comme pour établir la formule d'Euler gé-
néralisée. Supposons la surface T composée de m feuillets éten-
dus sur la sphère et soient a^^ . . . , a^ les q points de la sphère où
se projettent les points de ramification. Au point at^ par exemple,
sont superposés ni points de ramification dont quelques-uns peu-
vent être d'ordre zéro. Prenons un point O de la sphère au-dessus
duquel passent m feuillets distincts; isolons chacun des m points
qui se projettent en O par une courbe infiniment petite, et enle-
vons les portions de la surface intérieures à ces courbes. Opérons
de même avec tous les points de la surface qui se projettent aux

Fig. 79-

points «1, «2, . . ., aq, et soit ï' la surface ainsi obtenue. Le
nombre des morceaux enlevés est m + n< H- . . . -f- /z^; comme une
des petites courbes doit servir de limite totale à T, l'ordre de
connexion de T' sera, en appelant ip -j- i celui de T,

N'= 2/) -t- /?ZH- /Il -f- /l2-H. . .-i- Tlq.

Pour fixer les idées, supposons les lignes de passage de T tra-
cées suivant des lignes allant du point O aux points a^, a^i • •-,
Œq. Si, sur chacun des feuillets de T', on trace les q coupures
allant de O aux points a,, ..., a^, on a, au moyen de ces mq
coupures, décomposé T' en m morceaux simplement connexes.
Par suite, on a

N' = 2/> H- m -i- Ail 4- . . . 4- n^ = mq — /ti h- 2

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. a33

OU

'Ji.p z= \ ( /?i — m) — 2 /?i -r- 2 ;

1

or m — Ri est égal à la somme des ordres des points de ramifica-
tion qui sont superposés au point «/, S(/?i — iii) représente donc
la somme !(/• — i) des ordres de tous les points de ramification
de la surface; il vient donc, en définitive,

SCr — i)
p = m -h I ,

2

Telle est la formule fondamentale due à Riemann ('). On voit
que la somme -(/• — i) est toujours un nombre pair (n® 101).

Exemple. — Pour une surface à deux feuillets, ayant ip-{- i
points de ramification, la formule précédente montre que le
genre sera égal à/?; ce qui est bien d'accord avec le Chapitre III.

110. Le second problème à résoudre est celui-ci : Etant
donnée une surface de Riemann, de genre /?, transformer
cette surface en une surface simplement connexe au moyen de
ip coupures.

On peut employer pour cet objet plusieurs systèmes de cou-
pures. Nous adopterons un système dont s'est servi Riemann (2).
Remarquons d'abord les propriétés suivantes :

1° Toute surface dont la bmite totale peut être décrite d'un
seul trait continu est connexe. En effet, si l'on prend d'abord
deux points quelconques infiniment voisins de la limite, on peut
passer de l'un à l'autre par un trait continu infiniment voisin de
cette limite. Si l'on a ensuite deux points quelconques de la sur-
face, il est clair qu'on peut réunir chacun d'eux à un point infi-
niment rapproché de la courbe limite.

2° Étant donnée une surface à connexion multiple limitée par
une seule courbe, on peut tracer dans cette surface une coupure
terminée en un point de son parcours et ne morcelant pas la sur-

(') Gesammelte Werke, p. 106.

(') RiEMANX, Abelschen Functionen, § 7.

'^34 CHAPITRE V.

face. Par hypothèse, on peut tracer une coupure ne morcelant pas
la surface. Cette coupure part d'un point a de la limite; suppo-
sons qu'elle se termine en un autre pointa de la limite. Marquons
sur cette coupure deux points et! ^ h\ infiniment voisins des points
a et h^ et réunissons-les par un trait continu o! b' infiniment
voisin de ah {fig. 80); si l'on supprime la coupure ^6' et qu'on

trace une coupure a' b' , on a la coupure aa! cV oJ qui est terminée
à un point de son parcours et qui ne morcelle pas la surface.

Gela posé, considérons une surface de Riemann ip + i fois
connexe (/> > o) To^^, 5 soit A une courbe infiniment petite servant
de limite à cette surface. Soit, de plus, a^ une coupure ne morce-
lant pas cette surface ; on peut supposer que les deux extrémités de
cette coupure sont sur la courbe limite A. En effet, si cette cou-
pure se terminait en un point b de son parcours, on pourrait
prendre pour courbe limite de To^.^, une petite courbe entourant

Fig. 81.

le point 6, et supprimer la portion de coupure comprise entre A
et b^ ainsi que la courbe limite A. La nouvelle surface To/,, ainsi
obtenue, est ip fois connexe; on peut donc réunir deux points
infiniment voisins, pris de part et d'autre de «,, par un trait con-
tinu. Traçons une coupure b^ le long- de ce trait continu; la sur-
face obtenue To;,., est encore connexe, car sa limite, comme le
montre ^'à fig. 81, peut être parcourue d'un seul trait continu.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 2i35

Si/?>>i, T.2p_i sera encore plusieurs fois connexe, et l'on
pourra tracer une nouvelle coupure, partant d'un point de ^, et
terminée en un point de son parcours, ne morcelant pas la sur-
face. Soient c, «2 cette coupure, et To^_o la nouvelle surface, qui
est encore à connexion multiple, ainsi obtenue. On pourra ensuite
joindre deux points infiniment voisins, de part et d'autre de a^-,
par une nouvelle coupure 60, et la nouvelle surface Tojs-s sera
connexe, car sa limite totale pourra être parcourue d'un seul trait
(/-•Sa).

Fig. 82.

Si y? ^ 2, To^_3 sera simplement connexe. Si /? >> 2, on con-
tinuera de la même façon. Au bout de p opérations, on aura
transformé T en une surface simplement connexe T' au moyen
de/? systèmes de deux coupures (^v, ^v), ('-' = 17 2, . . . , p), réunies
par des coupures Cv(v = 1,2,...,/? — i). Remarquons que les
coupures Cv et «v+i (sur la figure c, et rto) ne forment en réa-
lité qu'une seule coupure se terminant en un point de son par-
cours.

D'après la façon dont on a opéré, on voit que les coupures sont
absolument disposées comme celles qui nous ont servi dans le cas
d'une surface à deux feuillets. La seule différence entre les deux
cas, c'est que les coupures Cv employées ici joignent une cou-
pure by à une coupure a^^t. Mais ceci importe peu; on a déjà
fait remarquer, en effet, que l'on peut, par une déformation con-
tinue, déplacer l'extrémité de la coupure Cv de façon à Tamener en
un point de ^v+i . On verra d'ailleurs que ces coupures Cy ne jouent
qu'un rôle tout à fait auxiliaire. Relativement aux bords positifs
et négatifs des coupures a^ et 6v, on peut choisir arbitrairement le
bord positif d'une coupure «v? et le bord positif de b^esl alors dé-

■^36 CHAPITRE V.

fini par la convention du Chapitre III. Par exemple, si la cou-
pure «v, vue en projection sur le plan des z^ a la forme d'une
courbe fermée, ne se coupant pas elle-même, on prendra pour
bord positif le bord extérieur.

IH. Appliquons ces considérations générales à quelques
exemples.

Exemple 1. — La surface de Riemann correspondant à la
relation

se compose de quatre feuillets; les points z = y. et ^ = y sont des
points de ramification d'ordre 3 ; au point z=^ sont superposés
deux points de ramification simples, enfin le point à l'infini n'est
pas un point de ramification. La surface est donc du premier
genre, d'après la formule générale. Nous supposerons les lignes
de passage tracées suivant des lignes droites indéfinies issues
des points a, p, y : soient i^, u.., u,i, u,, les quatre valeurs de u,
rangées par ordre d'argument croissant, qui correspondent à une
valeur de z différente de a, p, y, et P,, Po, P3, P, les feuillets cor-
respondants de la surface de Riemann. Les lacets (a) et (y)
unissent les racines u, et lu, 11-2 et u^, u^ et ?/,, u, et w,. Les
lignes de passage issues des points a et y unissent donc les feuil-
lets Pi etP„ P2etP3, P3 etP,, P, et P< . Au contraire, il y a deux
lignes de passage distinctes issues de p; l'une d'elles unit les
feuillets P^ et P3, l'autre les feuillets Po et P,. Lafig. 83 montre

Fig. 83.

h

r>'

■^

//

//

If
ta

;--

-hA —

^

-•.

les deux coupures a et 6; on a adopté un trait différent pour
chaque feuillet, comme il est indiqué à côté de la figure.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 287

Exemple 11. — La surface de Riemann correspondant à l'é-
quation

a quatre feuillets et six points de ramification; les points a et v
sont des points de ramification d'ordre 3 ; aux points jj et oc, on a
deux points de ramification simples superposés. Le ^enre de la
surface est donc égal à 2. jNous supposerons toujours les lignes de
passage tracées suivant des lignes droites allant des points a, p,y
au point à l'infini. Adoptons les mêmes conventions que dans
l'exemple précédent. Quand on tourne dans le sens direct autour
du point a, on rencontre les feuillets dans Tordre P,, Po, P3, Pj ;

Fig. 84.

quand on tourne dans le sens direct autour de y, on les rencontre
dans Tordre P,, Pj, P3, Po. Du point [^partent deux lignes de pas-
sage unissant Pi et P3, Po et P4. Sur \dijig. 84 on a tracé les cou-
pures a,, 6,, c,, «2, b.2'

Exemple III. — La surface de Riemann correspondant à la

relation

..3=A(.--a)(^-3)(3-Y)(^_5)(M

(') Cette équation a servi de point de départ aux recherches de M. Picard
Sur les fonctions de deux variables indépendantes analogues aux fonctions
modulaires (Acta mathematica, t. II, p. ii4)-

238

CHAPITRE V.

a trois feuillets et cinq points de ramification du deuxième ordre,
a, [^, y, 0, co : le genre est donc égal à 3. Quand on tourne dans
Je sens direct autour des points a, p, y, o, on rencontre toujours
les feuillets dans le même ordre P^ , Po, P3. Sur la fig. 85 on a

Fig. 85.

supposé les lignes de passage allant des points a_, p, v, S à l'infini ;
on a tracé les coupures «2, , èi, c< , «2, ^2, Co, a^, b^ en figurant par
un trait continu, par des points ou des points-traits, les lignes
tracées dans les feuillets i, 2, 3.

112. Proposons-nous encore, comme application, d'étudier le
genre d'une équation binôme

(i) i^'" = R(5),

R(^) désignant une fonction rationnelle. Si, pour une valeur

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. l3g

finie ou infinie de z, R(^) a une valeur finie différente de zéro,
les 771 valeurs du radical ^R(^) restent des fonctions uniformes
de z dans le domaine de ce point. Il en est de même si, dans le
domaine d'un point z = a à distance finie, on a

ou si Ton a, pour ^ = ce,

q étant un nombre entier positif ou négatif, et R, [z) une fonction
rationnelle qui prend une valeur finie et différente de zéro pour
z = a, ou pour z =^ ce.

On obtiendra donc les points de ramification de la surface de
Riemann, correspondant à la relation binôme (i), en cherchant
les pôles ou les zéros de la fonction rationnelle R(^) dont Tordre
de multiplicité n'est pas un multiple de 77i. Soit a un de ces points,
un zéro par exemple, et 7i son degré de multiplicité. Dans le do-
maine du point ^ = (7, les 77i valeurs de u sont représentées par

V(i;-a)'*Pi(z),

P, (^) désignant une fonction uniforme dans le domaine du point
z = a et le radical ^{z — «/' devant être pris avec ses m déter-
minations. Lorsque l'argument de ^ — a augmente de 27r, l'argu-
ment de II augmente de — -- Supposons — réduit à sa plus simple
expression -; après /' tours de la variable z autour du point «,

l'argument de u a augmenté de 2t.s et, par conséquent, u revient

à sa valeur initiale. On a donc, en supposant m = /-a, a cycles

de /• feuillets ayant leurs sommets au point z ^ a.

Soient rt,, ao, . . . , a^ les différents points de ramification, et

/, , /'o, . . . , 7'q les nombres entiers qui jouent le même rôle que le

nombre /■; le point ai est le sommet de a/ cycles de r/ feuillets.

Posons

m = a, /'i = a2 /'2 = . . . = ocg r'q ;

tous les nombres /'i, /*o, . . ., 7'q font partie des diviseurs de m su-

24o CHAPITRE V.

périeurs à l'unité et ne sont pas iorcément inégaux. La formule
générale de Riemann nous donne alors

ai(/-l — l)^...-f- g (/y — t)

L — L (m — i)=p

ou

/

1p — 1.

Les surfaces de Riemann, qui correspondent à une équation bi-
nôme, sont des surfaces régulières. On appelle ainsi les sur-
faces de Riemann telles qu'en chacun des points de ramification
les m feuillets de la surface se partagent en un certain nombre de
cycles composés d'un même nombre de feuillets. Soient «,,
<225 ' ' '^ciq les points de ramification; si au point ai les m feuillets
se partagent en a,- cycles de 77 feuillets (m = a/ 77), le genre de la
surface est encore donné par la formule précédente.

La détermination de toutes les surfaces régulières d'un genre
donné dépend donc en premier lieu de la recherche des solutions
en nombres entiers et positifs de l'équation (2), /'<,..., /-^ étant
des diviseurs de m supérieurs à l'unité. On peut encore écrire
cette équation

m{q — 2; — (aiH-... + a,^)=r 27?— 2,

a,, a2, . . . , a^ étant des diviseurs de m, inférieurs à m.

Examinons les cas les plus simples. Si /? = o, l'équation (2)
donne

q-1

etj comme - est au plus égal à -, on en conclut que l'on a

q — i<^ ou q <\.

Si q =2, l'équation (2) devient

m m
ri /•2

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMAXN. 24!

ce qui exige que l'on ait m = /-< = /-o. En prenant ^ = 3, on doit

avoir

III
- H ^ - >i,

/•l /'2 ''3

équation qui n'admet qu'un nombre fini de solutions en nombres
entiers et positifs. Toutes les solutions de l'équation (2) sont,
dans ce cas, renfermées dans le tableau ci-dessous :

(q = 2, m = f'i = r,;

/ 771 = 2/1, /'i = 2, fi — 2, 7'i = n ;

p = oi ) m = 12, /•i=2, /•o=3, ri=3;

I i m = 24, /•i = 2, r,^3, /•j=4;

\ \ m =z 60, '*! = 2, /■2— 3, /•:i=5.

Si /> = I , l'équation (2) devient

-2-2;!- = o;

îomme — est au plus égal à -, on doit avoir

q'^i -i- ~f ou ^ = 4"

Si ^ = 4? OQ a forcément /v= 2. Si ^ == 3, l'équation devient

ï I

h — = I

/'2 '-3

et n'admet encore qu'un nombre fini de solutions, qui sont four-
nies par le tableau ci-dessous :

q = 4, '"i = ''-2 = /'3 = /^ = 2 ;

I /'l =: O, /'■■> = J, /'g = J 5

/> = I < ]

' = 3 j ri = 2, 7-2 = 4, ''3=4;

( /'l = 2, /'2 = 3, /-j = 6.

Enfin, si Ton suppose p supérieur à un, l'équation (2) n'admet
encore qu'un nombre limité de solutions en nombres entiers et
A. ET G. 16

^42 CHAPITRE V.

positifs, répondant à la question. En effet, on a ^-^ < ? et, par
suite,

7n iq — 1 — ) ^ ^y — ^
OU

(3) m{q-^)^\p-^.

Comme m est au moins égal à 2, on en conclut que q satisfait
à l'inégalité

q — \%ip — ?.
ou

l'égalité n'ayant lieu que si tous les nombres m et r, sont égaux
à 2. Il y a donc une limite pour q. En second lieu, pour une va-
leur donnée de q^ il y a une limite pour m et, par suite, pour
j\ , r2, . . . , Fq. Ceci est évident, d'après l'inégalité (3), si q est su-
périeur à 4- 11 ne peut y avoir de difficulté que si ^ = 3 ou </ = 4-

Si 7 = 3 , la somme \ 1 devant être intérieure à l'unité,

on s'assure aisément que cette somme est au plus égale à ^j ce

qui a lieu pour /•, = 2, ^0= 3, r^^'j. On a, par suite,

m^^i{ip — 2).

De même, si ^ = 4, la somme 1 \ \ ? devant être

/"i r^ /"s /'i

inférieure à 1, est au plus égale à — et l'on a, par suite,

m^6(2p — 2).

On a d'ailleurs une limite inférieure de tn en remarquant que
y^ — est au moins égal à — et l'on a, par suite,

. 2y0 — 2 H- (7
q — 'x

Voici le tableau des solutions de l'équation (2) lorsque/? = 2;

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN,

243

nous rappelons que /■/ doit être un diviseur de m supérieur à
l'unité.

q = ^

q = ^

q=6

m = 5.
m = 6.
m = 8.

m = 9..
m = 10.
m = 12.

m = 1 5 ,
m — 1 G .

/?? = 18.

771 = 20.
771 = 24 .

/?l z= 3o.

m = 36.
m = 40.
m = 48.
m = 84.

m = 3 . ,

/?i = 4 •
/7i = 6.

771 :
[ 771

771
771

8.
12,

^1

= r.2 =

'■3 = 3;

'*!

= 3,

/-^ = Ta = 6 :

'•1

= r.2 =

/•3 = 4 ;

'•1

= 2,

ro -- Ta = 8 ;

r\

= r, =

3. ^3 = 9;

J\

= 2,

/•o = 5, /-a = 10;

J\

^ 2,

/'2 = 4, '"3-- 12;

J\

z= "2,

7-2 = 6, 7-3 = 6;

r\

=./-2 =

3, ^3 = 6;

ri

= 3,

r-2 = /•3 = 4 ;

rx

= 7-2 =

3, /•3 = 5:

ri

= 2,

''2 = 4, ''3 = 8;

ri

== 2,

r2 = 3, r3=i8;

ri

=: 2.

r, = 5, Ta rrr 'j ;

ri

= 2,

7\_ = 3, 7'3 r^ 12;

ri

= 2,

'•2 = 4, ^3 = 6;

ri

= /•, =

3, Ta = 4;

ri

= 2,

''2 = 3, 7-3 = 10:

ri

= 2,

7'2 = 3, /'s =9;

ri

= 2.

^2 ==4, ''3=-- 5;

ri

= 2,

7-2=3, /'3 = 8;

7\

— 2,

ri - 3, 7-3 = 7.

7\

= ^2 =

/'3 = r^ = 3 :

ri

-zr.2 =

2, 7-3 = 7-4 ^4;

ri

^ri =

2, • 7-3 = 7-4 3= 3 ;

ri

= 7-2 =

''s = 2, /'4 = 6;

ri

— 7'2 =

7-3 = 2. /'i = 4 ;

ri

= To =

7-3 =: 2, 7*4 = 3.

/'

1 = r.2 ^

:. . . = r^ = 2 ;

/'

1 = 7'2 =

: . . . = 7'6 = 2.

Connaissant une solution de l'équation (2), la détermination
d'une surface de Riemann avant la ramification demandée est un
problème de combinaisons qu'on peut toujours résoudre par un
nombre fini d'essais. Cette surface une fois déterminée, il reste-
rait encore à examiner si elle correspond à une relation algé-

244 CHAPITRE V.

brique, question générale que nous n'aborderons pas ici(^). Nous
allons montrer simplement comment on peut obtenir les équations
binômes qui correspondent à une solution de l'équation (2) en
nombres entiers et positifs. Soit

(4) ii'« = Ti{z — ai)"^i

une équation binôme irréductible; le nombre mi peut toujours se
mettre sous la forme m/ = mti^ nt^ tt désignant un nombre en-
tier positif ou négatif, et ni un nombre entier satisfaisant aux
inégalités o^ni<^m. L'équation binôme proposée peut alors
s'écrire

(5) urn ^['R^{z)Y^{z — a^)n.{z —a^Y^. . .^z ~ asYs^

Ri(^) désignant une fonction rationnelle de ^ et /z<, ..., ils des
nombres entiers positifs inférieurs à ni. Les nombres m, n^^ ....
jis sont en outre premiers entre eux, sans quoi la relation ne se-
rait pas irréductible. Il est clair que la fonction u définie par l'é-
quation (5) est ramifiée comme la fonction U définie par l'équation

(6) U'« = (> — ai)«i(s — a2)«2...(^ —as)"^.

Supposons connues les valeurs de q^ /'<, r^, . . ., r^. Le nombre
.V est égal k q — i ou à ^, suivant que le pointa l'infini est ou non
un point de ramification. Quant au nombre /?z, il est toujours égal
au plus petit multiple commun M des nombres /'i , /'o, . . ., rq. En

effet, le rapport — réduit à sa plus simple expression doit être de

la forme —S ce qui exige que m soit divisible par ri. On a donc
m = MQ, et, par suite,

ni r'i , M

tous les nombres ni sont donc divisibles par Q, et, par consé-
quent, on a Q = I : autrement la relation ( 5 ) ne serait pas irréduc-
tible.

Cette remarque permet d'éliminer un certain nombre des solu-
tions trouvées pour l'équation (2), auxquelles ne correspondent

(') Riemann a démontré qu'à toute surface connexe à plusieurs feuillets cor-
respond une fonction algébrique. (Picard, Traité d'Analyse, t. II.)

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 2^5

pas d'équations binômes. Nous voyons de plus que, lorsque
yo = I , les valeurs de m sont respectivement m = 2, 3, 4, 6. En
nous bornant au cas de /? = o et de y;» = i , nous n'avons donc en
tout que six cas à examiner :

/> = o,

? = 2,

/77 = n —

''î,

/) = o,

? = 3,

/?î = 2/1,

ri = 2, /% = 2, rg = n {n impair

p = h

? = 4,

/?i = 2,

ri = ^2 = ''3 = ^4 = 2 ;

î = 3,

m = 3,

/•i = /'s -= /-s = 3 ;

î = 3.

m r^ 4,

r, = 2, r2 = /'3 = 4;

9 = 3,

m = 6,

/'i =: 2, ro = 3, /'s = 6.

La discussion n'offre aucune difficulté et toutes les relations bi
nomes de genre o ou i sont fournies par le Tableau suivant :

/> = o

«2)'

III..
IV. .
V...
VI..
VII.
VIII

ir- = [Ri {z)y-{z — ai){z — a.2){z - a^jiz — «4);
ir^ = [Ri{z.)Y^{z-ai)iz — a,){z-a^);

m3 = [Ri(\s)]3(- — «i)(-s — «2)(- — «3); .
u^ = [Ri{z)]Hz — ai)(z — a.);
u^ = \Ri(z)f{z - aiY-iz - a.y-(z - a^r-;
u^=[Ri{z)\^{z-aiy{z-a.y-
IX u'*= [Ri(z)]'-{z — aiY-iz — a,){z - as);

X u' = [R,(^)]H- - «i)'-(- -«2);

XI u'^ = [Riiz)]*{z — a.2){z — as);

xu. ... u* = [Ri(^)]H^ - «i)'-(- — «2)H- — «3)^ ;

\ XIII... u'*=[Ri{z)y-{z^aiy-{z-a.y\
XIV. ... u'* = [Ri{z)]-*{z-aoy{z - «3)^ ;

XV 11^ = [R,{z)]H^ — ay)(z - a.y-iz — a^y;

XVI.... ii^^[Ri{z)Y{z — ai){z-a.2y;
ii^=^[Ri{z)y(z-a,){z-a,y;

«6 = [ Ri (z)y {z — a.yiz — «3 )-^ ;

u^ = [Ri{z)Y{z-aiy{z-a.y:

«6 = [Ri(.)]6(^_«l)3(-_«3)5;
?.6 = [Ri(^)]6(-_ a2)H--«3)^-

XVII. .
XVIII.
XIX...
XX. .
XXI...
XXII. .

On peut remarquer que ces équations se déduisent de quelques

^46 CHAPITRE V.

unes d'entre elles par des transformations simples. Ainsi, en
effectuant sur z une substitution linéaire, on peut ramener les
trois dernières équations à la relation (XTX), les équations
(XVI), (XVII) et (XVIII) à la relation (XV), (XIII) et (XIV)
à (XK), (X) et (XI) à (IX), (VIII) à (VII), (VI) à (V), (IV)
à (III), (II) à (I). On peut déduire de même (VII) de (V),
(XII) de (IX), (XIX) de (XV) en changeant ..en^. Enfin, si
Ton remplace u par uK^{z)^ on voit que toutes les équations bi-
nômes de genre un se ramènent à quatre équations distinctes

Iir.. . . m2 ={z-~a^){z — a^){z — a^){z — a,))

VU'.... u^ = {z-a,Y{z-a,Y{z~a,Y-

Xir.. . . u'^ ^{^z — a^ Y{z — a.y{z — «3)3 ;

XIX'... u^ = {z — a^y{z — a^f{z — aiY,

dont elles peuvent se déduire par une substitution linéaire effec-
tuée sur z^ accompagnée de l'une des transformations

U

Toutes les équations binômes de genre zéro se ramènent de
même à la relation unique

113. Nous avons vu qu'il existe en outre quatre surfaces de
Riemann régulières de genre zéro, composées respectivement de
12, 24, 60, in feuillets. Les équations algébriques correspon-
dantes jouent un rôle important dans un grand nombre de re-
cherches ( ^ ); nous allons les indiquer ici. Nous nous appuierons
pour cela sur les identités suivantes qu'il est facile de vérifier

(^)^— (^)^

{u'* — 2 v/=^ m2 + i)"^ _ (wi _|_ 2 v^IITs t^2 _|_ 1)3 ^ _ 12 s/'^[u{u'* — l)]2,

(a8 -h 14 u'* 4- i)3 _ fo8 [i^(i^4_ ,)]4 = (ïil2_ 33 ^^8 _ 33 u'* -f- l)2,
== — [w30+T-4- 52'2(w2S_ u^)— IOOo5(w20+ wl0)]2.

(' ) Voir, par exemple, l'Ouvrage de M. Klein, Vorlesungen iiber das Jkosaedei

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 1^'J

Cela posé, les équations algébriques

(z/«-i)2

(M«-l-l)2'

(m*— 2V/— 3w2^l)^

[u^^is/^lW^-hif

(m8+i4w* + i?

I08[M(z^i-l)]*'

(— m20_^ 228?^13__4g4;^10_

-2lSu'^ —

-1)3

i-ji^u^^u^^^iiu'^-

-1)5

OÙ 1 on considère :? comme la variable indépendante et u comme
la fonction, admettent pour surfaces de Riemann des surfaces ré-
gulières de genre zéro. Démonlrons-le, par exemple, pour la
seconde. La surface de Riemann se compose de t2 feuillets ; pour
:: = o, les douze racines sont égales 3 à 3 et les racines égales for-
ment un seul système circulaire. Le point z = o est donc le som-
met de quatre cycles de trois feuillets, et l'on voit immédiatement
qu'il en est de même du point z = ce. D'autre part^ la seconde
des identités écrites plus haut montre que les douze racines de-
viennent égales deux à deux pour ^ = i , une racine double étant
infinie. On a donc , au point ^ = i , six points de ramification
simples. Pour faire voir que la surface n'a pas d'autres points de
ramification, il suffit de montrer que'pour toute autre valeur finie
de z les douze racines de l'équation en u sont distinctes.

C'est ce qu'on peut voir facilement. Si, en effet, pour z = a
l'équation en u admettait une racine multiple u = b, on aurait

^ — ^ — 7 — : Zi )

et le numérateur de -r^ contiendrait en facteur (u — bY'*. Or

du ^ '

un calcul facile donne

clz _ 8 \-— 3 ?/(a' —I ) (?/>— 2 y/^^ zr2 ^ i)^

et le numérateur n'admet pas d'autres racines que celles qui pro-
viennent des valeurs o et i de :j.

^ »° CHAPITRE V.

114. Intégrales ahéliennes. — Soit

(7) F(^, M) = o

une relation algébrique irréductible, de degré m en u, T la sur-
face de Riemann correspondante, composée de m feuillets éten-
dus sur le plan des z, cp(s, u) une fonction rationnelle de z et de
II. L'intégrale

' cp(z, u) clz

est dite une intégrale abélienne appartenant à l'équation (7). Nous
supposerons qu'on a pris pour limite inférieure (^o, «o) un point
de la surface par lequel ne passe qu'un seul feuillet et pour lequel
cp(z, i^) reste fini.

Occupons-nous d'abord des points singuliers que peut ad-
mettre cette intégrale. Il suffit d'examiner les différentes formes
possibles pour cp(^, u). Soit d'abord (a, h) un point analytique
à distance finie, par lequel ne passe qu'un seul feuillet, dans le
voisinage duquel la fonction cp(^, w) est régulière. Dans le do-
maine de ce point, on a

o(s, w) = Ao-i- Ai(^— a) + A2(^ — a)2 + ...
et, par suite,

A A

w^ H+Ao(^ — a)+ -l(^_a)2-f- _? (^ _ a)3 4-. . . ;

l'intégrale w est elle-même régulière dans le domaine de ce
point. Supposons ensuite que le point {a,b) soit un pôle de

on en déduit

«^ = " + (Tir^ (T=:^ + - ••+ A- jog(z-a) + Ao(z --.«) + .. ..

Si A_, est nul, le point analytique («, h) est un pôle d'ordre
ii — i de l'intégrale; si A_, n'est pas nul, c'esl un point singu-
lier logarithmique. Lorsqu'on tourne autour du point (a, b) sur
la surface, l'intégrale augmente ou diminue de itûK_^.

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 249

Supposons ensuite que (<7, b) soit un point de ramification
d'ordre jjl — i . Plusieurs cas sont à distinguer :
i« La fonction cp(^, u) est régulière en ce point

\_ «

0(2, w) = Ao ^- Ai(.^ - a)H- -+- A2(^ — a)H- -T- . . . .

On aura

w= j o{z, u)du = 11 — S^q(z — a)

a — I a — 2

On voit que l'intégrale est également régulière au point (a^b).
2« Le point analytique {a. b) est un pôle d'ordre inférieur à a.

On a

tf{z, m) = A_5j,+„ -^ 4-. . .

(z-a)' V-
et, par suite,

n

L'intégrale iv est encore régulière dans le domaine du point ana-
lytique (rt, 6), quoique sa dérivée devienne infinie en ce point.

3° Le point analytique {a, b) est un pôle d'ordre supérieur à u-,
et le résidu est nul. On a

0{Z, u) =A-^-n- ^ -<-•••

et

H ^ A_,j._rt

d' = H . -t- . . . ,

n 1

(z-cc)'^

l'intégrale abélienne w admet le point {a, b) comme pôle
d'ordre n.

4« Enfin si le point («, b) est un pôle d'ordre égal ou supérieur
à jJL, sans que le résidu soit nul, ce point est pour l'intégrale <v
un point singulier logarithmique.

L'étude de l'intégrale pour les valeurs infinies de 3 conduira
à des résultats analogues que le lecteur établira aisément. Re-
marquons seulement que la fonction o{z,u) peut être régulière
à l'infini, sans qu'il en soit de même pour w; il faut, en outre.

25o CHAPITRE V.

que le développement de cp(s, u) commence par un terme en - de

degré supérieur à l'unité. En résumé, une intégrale abélienne
est régulière en tous les points de la surface T, sauf en un
nombre fini de points, qui sont des pôles ou des points singu-
liers logarithmiques.

115. Nous avons fait abstraction jusqu'ici du chemin suivi par

la variable. Si l'on va du point [zq^ Uq) à un même point {z, u)

de la surface par deux chemins différents, les valeurs finales w^ iv\

obtenues pour l'intégrale, ne peuvent différer que par une con-

1 1 f • , dw dw' . 1 • i-v 1 • 1

stante, car les dérivées -7- ? -r- sont identiques. On obtient donc

toutes les valeurs possibles de l'intégrale en un point analytique
(5, u^ en ajoutant à l'une d'elles certaines constantes, appelées pé-
riodes ou modules de périodicité, qui jouent un grand rôle dans
cette théorie.

Pour trouver le nombre de ces périodes, nous n'avons qu'à
répéter, mot pour mot, les raisonnements du Chapitre III. Il est
clair, en effet, que ces raisonnements sont indépendants du nom-
bre des feuillets qui composent la surface de Riemann et de la
nature des points de ramification. Le théorème de Cauchj s'étend
de la même façon aux surfaces à un nombre quelconque de feuil-
lets, ainsi que la formule de Riemann relative au signe de l'inté-
grale Tx^Y.

Si donc cp(^, u) a tous ses résidus nuls, l'intégrale

I o(z,u)dz
(-0, "0)

est une fonction uniforme du point analytique (z, u) sur la sur-
face T'. Cette intégrale possède 2/? périodes A,, ...,A^, B,,
B2, . . . , By, relatives aux coupures «< , . . . , ap, b^^ . . . , bp^ cha-
cune de ces périodes étant déterminée comme sur la surface à
deux feuillets ; les périodes relatives aux coupures Ci , C2, ...,
Cp_^ sont toutes nulles.

Supposons, en second lieu, que la fonction cp(5, u) admette un
certain nombre q de pôles, avec des résidus différents de zéro, Ri,
Ro, . . . , Ry. Soient (a, , j^, ) . . . (a^, p^) ces pôles dont quelques-uns

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN.

25 1

peuvent être des points de ramification ou rejetés à l'infini. L'in-

f o{z,u)dz

(-0, "o)

tégrale

ne sera plus uniforme sur la surface ï'; un contour infiniment
petit autour du point (a^-, §f) augmente cette intégrale d'une quan-
tité Hi=: 27iiR/, qui est une nouvelle période. Pour rendre cette
intégrale uniforme, nous ajouterons de nouvelles coupures. En-

Fiff. 86.

MU,

^Op^r ^oj

tourons chacun des points (a;, ^3/) d'un cercle de rayon très petit,
ou de rayon très grand, si ce point esta l'infini. Joignons tous ces
cercles à un point P de la surface par des lignes ne se croisant pas
entre elles et ne rencontrant pas les coupures «v, ^v? ^v; puis, joi-
gnons le point P à un point de c, , par exemple. Si l'on regarde les
lignes tracées comme de nouvelles coupures, on aura obtenu une
nouvelle surface T'^, simplement connexe, sur laquelle l'intégrale
considérée sera une fonction uniforme \v\ car un chemin fermé
quelconque tracé sur T'^ ne renferme, à son intérieur, aucun des
points (a/, ;3j).

Tout chemin situé sur T, allant de Mo en M, est équivalent à
une suite de contours fermés, dont chacun ne traverse qu'une
seule coupure, suivi du chemin direct situé sur T^, allant de Mo
en M. La diff'érence des valeurs de rv', en deux points infiniment
voisins de part et d'autre de la coupure di^ est égale à y^rùV^i = H/.
Le module de périodicité relatif à la coupure e est égal à

202 CHAPITRE V,

27rf(R, + . . . + Kg) = o. Enfin les modules de périodicité rela-
tifs aux coupures ci sont encore nuls, tandis que les modules rela-
tifs aux coupures ay et b^ ont la même signification que plus haut.
L'intégrale abélienne admet donc 2p -\- q périodes

Al, A2, .-., Ap, B„ B2, ..., B^„ Hi, H2, ..., H

116. En résumé, une intégrale abélienne jouit des propriétés
suivantes :

1° Elle est régulière en tous les points de la surface de Rie-
mann, sauf en un nombre fini de points qu^ elle admet comme
pôles ou comme points singuliers logarithmiques. Dans le do-
maine dhin point singulier (a, P), elle est représentée par un
développement de la forme suivante :

ysf — ^n , A,t-i Al

(z — ol)'^ (s_a)«-i •" ' ^ — a

+ H log(c - a) + Bo-H Bi (5 - a) -f- . . . ,

le coefficient H ou les coefficients Ki pouvant être nuls ; z — a

doit être remplacé par [z — a)f^ si le point analytique (a, p)
est un point de ramification d^ ordre \k — \.,et z — 00 par - ;

2" On obtient toutes les déterminations de l^ intégrale en un
point quelconque [z, u) de la surface, en ajoutant à Vune
déciles des multiples quelconques de certaines périodes, en
nombre fini.

Les périodes sont de deux sortes. Les unes proviennent de
lacets infiniment petits décrits autour des points singuliers loga-
rithmiques. Elles peuvent être en nombre quelconque, mais
leur somme est nulle; ce sont les périodes polaires. Les autres
périodes proviennent de certains contours fermés, appelés cycles,
tracés sur la surface T, contours qui ne peuvent être réduits à des
contours infiniment petits par une déformation continue. Ce sont
les périodes cycliques. Elles se ramènent toujours à ip périodes
distinctes, quelle que soit la fonction considérée o(;3, w), mais
quelques-unes peuvent être nulles.

Inversement, toute fonction du j)oint analytique (^, «) jouis-

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 203

sant de ces propriétés est une intégrale abélienne, car sa dérivée
est une fonction uniforme sur la surface T^ n'admettant que des
pôles pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle
de z et de n.

117. Les relations algébriques se classent naturellement d'après
le genre p de la surface de Riemann correspondante. Si /? = o, il
n'y a que des périodes polaires; si/? = i, il y a deux périodes cy-
cliques, etc. Les intégrales abéliennes relatives aune même équa-
tion algébrique F(^, ^^)^o se classent à leur tour d'après la
nature de leurs singularités. Nous distinguerons trois espèces
d'intégrales :

1° Intégrales de première espèce. — Ce sont celles qui restent
régulières dans le domaine de tout point de la surface de Rie-
mann; elles ne peuvent devenir infinies que par l'addition d'un
nombre illimité de périodes. Il est clair qu'elles n'admettent que
des périodes cycliques.

2° Intégrales de deuxième espèce. — Elles sont régulières en
tous les points de T, sauf en un seul point qu elles admettent
comme pôle ; elles n'ont encore que des périodes cycliques.

3° Intégrales de troisième espèce. — Elles sont régulières en
tous les points de T, sauf en deux points (a,, |3,), (ao, ,3o),
qu'elles admettent pour points singuliers logarithmiques. Dans le
domaine du point (a< , j3,), une intégrale de troisième espèce, admet-
tant ce point pour point singulier logarithmique, sera de la forme

log(5-aO-+-P(^ — a,),

P(^ — a,) étant une fonction régulière au point (a,, [3, ), et dans
le domaine du point (ao, ^o) on aura pour la même intégrale

Q(3 — ao) étant régulière au point (ao, ^2)- Nous désignerons
cette intégrale par le symbole

Si un des points critiques logarithmiques vient en un point de
ramification d'ordre ;j., z — t. devra être remplacé par (3 — a)^;

254 CHAPITRE V.

si un de ces points s'en va à l'infini, z — oc devra être remplacé

par -. Une intégrale de troisième espèce admet 2/> périodes

cycliques et une période polaire égale à i-kî.

Remarquons encore qu'il ne peut y avoir d'intégrale plus simple

ayant des points critiques logarithmiques. En effet, si la dérivée --r-

a des pôles simples, elle en aura au moins deux, avec des résidus
égaux et de signes contraires; en divisant l'intégrale par une con-
stante égale à l'un de ces résidus, on ramènera les résidus à
être dz I .

118. On verra, dans un des Chapitres suivants, comment on
peut former ces trois espèces d'intégrales. Nous nous bornerons,
pour terminer ces généralités, à rappeler quelques conséquences
de la formule de Riemann. Soient w une intégrale de première
espèce et A| , . . . , A^p, R, , Bo , . . . , B^ ses ip périodes,

Av = av + av / — I , Bv = pv 4- [^v / — i •

D'après la formule de Riemann, l'expression

^(avp;-Pv<)

est essentiellement positive; elle ne pourrait être nulle, d'après la
façon même dont on établit cette formule, que si w se réduisait
à une constante. On en conclut immédiatement que, si ^v ne se
réduit pas à une constante, il est impossible : i*' que les parties
réelles ou les parties imaginaires de toutes les périodes soient
nulles; 2° que les périodes relatives à toutes les coupures a^ ou à
toutes les coupures Z>v soient nulles en même temps.

Une autre conséquence, sur laquelle nous voulons appeler l'at-
tention, c'est qu'à une relation algébrique de genre p ne
peuvent correspondre plus de p intégrales linéairement dis-
tinctes de première espèce. Soient, en effet, w^, (Po, ..., tv^^,,
p -f- I intégrales de première espèce ; on peut toujours trouver/) + i
coefficients constants Xj, \2i • • • ? ^^p-\-\i dont un au moins sera dif-

CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 255

férent de zéro, tels que toutes les périodes de l'intégrale

Xi«^i-^ . . . -f- Xp+iWp^i,

relatives aux coupures «v, soient nulles; on a en effet, pour déter-
miner ces coefficients, p relations linéaires et homogènes à /? -f- i
inconnues. L'intégrale précédente se réduit donc à une constante,
et, si A^+o par exemple, n'est pas nul, on voit que Wp_^.i est une
combinaison linéaire à coefficients constants des p intégrales
iVi, ..., Wp. Il y a donc au plus/? intégrales distinctes de pre-
mière espèce. On démontrera plus loin qu'il y en a p effecti-
vement.

256 CHAPITRE VI,

CHAPITRE VI.

TRANSFORMATIONS BIRATJONNELLES (').

Transformations rationnelles générales. — Transformations birationnelles. —
Conservation du genre. — Ordre et classe d'un cycle. — Transformation
d'Halphen. — Théorème de Nother. — Définition géométrique du genre. —
Courbes de genre zéro. — Courbes de genre un. — Courbes de genre deux.

119. Soit

(l) /(^, M) = 0

une équation algébrique irréductible, de degré m en u et de degré
n en z. Prenons deux fonctions rationnelles de z et de u

d'ordres f/ et v respectivement; la fonction cp(^, u) admet jjt. pôles
sur T, en général distincts, et la fonction ^(5, u) en admet v. Si
Ton élimine z et u entre les équations (i) et (2), on est conduit à
une relation algébrique entière entre Z et U,

(3) F(Z,U) = o,

qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les
trois équations (i) et (2) admettent un système de solutions com-
munes en z et u. Il est facile de trouver le degré du polynôme
F(Z, U) par rapport à chacune des variables. A une valeur de Z
la relation Z = (d(z, u) fait correspondre par hypothèse a points

(') Auteurs à consulter : Nother, Sur les systèmes singuliers, etc. {Mathe-
matische Annalen, t. IX, p. 166-182) ; Halphen, Note ajoutée à la traduction fran-
çaise du Traité des courbes planes, de Salmon.

TRANSFORMATIONS B I R A T I ON NE L LE S. >.j-

analjtiques sur la surface T, et par suite aussi u. valeurs de U;
inversement, à une valeur de U correspondent v points de la sur-
face T et, par suite, v valeurs de Z; l'équation (3) est donc de
degré ui par rapport à U et de degré v par rapport à Z.

120. Le polynomeY [T^ U) est irréductible, ou il est une puis-
sance exacte d'un polynôme irréductible.

Soit en effet (Zq, Uo) un couple de valeurs de Z et de U, véri-
fiant l'équation (3) ; il existe sur la surface T un point analytique
{zq^Uq) tel que l'on ait

soient ensuite (Z,, U, ) un autre couple de valeurs de Z et U, satis-
faisant à l'équation (3), et (::?,, u^) un point analytique correspon-
dant de la surface T, c'est-à-dire tel que Ton ait

./(-i,Wi) = o, Zi = ç(^,, ;/i), U, = •}( Ji, f<,).

Imaginons que l'on aille sur la surface T du point (^Zq^ Uq) au
point (^,, u^) par un chemin ne passant jiar aucun des pôles des
fonctions cp(;, u) et ^(^, u). Alors Z variera d'une manière con-
tinue de Zo àZ,, et U variera de même de Uq à U,. Donc, si l'on
considère la fonction algébrique U de Z définie par l'équation (3),
on voit qu'il est possible de faire décrire à la variable Z un chemin
allant du point Zq au point Z,, tel que, U avant la valeur initiale
Uo, sa valeur finale soit U, ; Uq est une quelconque des racines

de l'équation

F(Zo,U) = o

et U, une quelconque des racines de Féquatiou

F(Z„U) = o.

Or, cela n'est possible que si le polynôme F(Z, U) est irré-
ductible ou est une puissance exacte d'un polynôme irréduc-
tible (§ 85).

\ oici comment on pourra distinguer les deux cas. La relation

Z = '^iz,u)

A. ET G.

258 CHAPITRE VI.

fait correspondre, à chaque valeur de Z', a points analytiques sur
T, en général distincts,

(G) (-l,«l), (-2, "2), ... (-fJo^^ljJ-

De même l'équation

fait correspondre, à chaque valeur de U, v points analytiques

(G') {z\,u\), {z',_, u'.^), ..., (-;, <).

Si les valeurs considérées Z, U vérifient l'équation (3), un ou
plusieurs points analytiques devront faire partie des deux
groupes. On a donc deux hypothèses à examiner :

1° Supposons d'abord, ce qui est le cas général si les fonctions
<f et ^ n'ont pas été prises d'une façon particulière, que les deux
groupes (G) et (G') n'aient qu^un seul point analytique com-
mun^ sauf pour des valeurs particulières de Z et de U. Alors à
une valeur de Z correspondent p. valeurs de U, qui sont en général
distinctes. En effet, supposons qu'aune valeur de Z correspondent
seulement k valeurs distinctes de U, Ui ,Uo, ..., U/r (A << a). Soient

les V points analytiques qui correspondent à la valeur U/. Par hy-
pothèse, un seul de ces points analytiques fait partie du groupe
G; en opérant de môme avec chacune des valeurs U|, ...,U/v,
on trouve k points analytiques du groupe G. Si l'on suppose
k <C [J-, on n'a donc pas épuisé toutes les valeurs de U qui corres-
pondent à une valeur donnée de Z. Ainsi à une valeur de Z cor-
respondent [j. valeurs de U, qui sont en général distinctes et^
par conséquent, le polynôme F(Z, U) est indécomposable.

Les équations (1) et (2) n'ayant qu'un système de solutions
communes en z et w, lorsque Z et U sont liées par la relation (3),
on sait, par la théorie générale de l'élimination, que les valeurs
de z et de u s'obtiendront par des divisions et la résolution d'équa-
tions du premier degré. Par conséquent, z et u s'exprimeront aussi
en fonctions rationnelles de Z et de U

p = *(Z,U),

TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E L LES. l5^

La transformation considérée est dite réversible ou hiration-
nelle. On dit aussi que les deux équations (i) et (3) appartiennent
à la même classe.

2° Les deux groupes G, G' ont toujours q points analytiques
communs. On a, dans ce cas,

\^q

en effet, soient

(G) (-1, "i), (-2, "2), •••, (-a: «ja)

les points analytiques de T qui correspondent à une même valeur
de Z. Au point (^,, ;/, ) correspond une certaine valeur de U, qui
est la même par hypothèse pour q des points du groupe (G);
soient [z^^ Wo)? • • •? {^q-, Uq) les points de ce groupe qui donnent la
même valeur que (^i, w,). Soit de même U' la valeur de U qui
correspond à un des points qui restent, (-3,7+1, Uq^\)'', il y a encore
q — I points de (G) qui donnent pour U la même valeur U' que
celui-là. En continuant ainsi, on voit que a est forcément un
multiple de q, u. = ^j!q, et qu'à une valeur de Z ne correspondent
que [Ji' valeurs de U. Tout pareillement, v doit être un multiple
de q^ V = v'^, et à une valeur de U correspondent v' valeurs dis-
tinctes de Z. Le polynôme F(Z, U) est de la forme

F(Z, U)=[Fi(Z,U)]^

F,(Z, U) étant un polynôme irréductible de degré v' en Z et de
degré jjl' en U.

121. Il est un cas particulier remarquable que nous devons
signaler, c'est celui où les formules (2) définissent une trans-
jorniation de Cremona. Alors, à tout système de valeurs de Z
et de U, ces équations font correspondre un seul système de va-
leurs pour z et M, variable avec Z et U. Les valeurs de z et u
s'expriment à leur tour rationnellement en Z et U, et la transfor-
mation précédente appliquée à une relation algébrique quelconque
donnera lieu à une transformation birationnelle. Mais la réci-
proque n'est pas vraie; il peut se faire que les équations (-2)
admettent plusieurs systèmes de solutions en ^ et w variables

26o CHAPITRE VI.

avec Z et U, tandis que l'ensemble des équations (i) et (2) n'en
admet qu'un seul.

Cette distinction est peut-être plus facile à saisir en employant
le langage géométrique. Considérons (^, u) et (Z, U) comme les
coordonnées de deux points dans deux plans. A tout point du
premier plan les équations (?.) font correspondre un point et un
seul du second plan, et à la courbe C, représentée par l'équation
f{z, ;/) = o, correspond la courbe C, qui a pour équation

F(Z,U) = o.

Si les équations [1) définissent une transformation de Cremona.
à tout point du second plan correspond un seul point du premier
plan et, par suite, à tout point de C correspond un point et un
seul de C. Mais il peut aussi arriver que la correspondance entre
les points des deux courbes C et C soit uniforme, sans qu'il en
soit de même pour la correspondance entre les points des deux
plans. Ainsi les formules de transformation

ne définissent pas une transformation de Cremona; cependant, si
l'on applique cette transformation à une courbe n'admettant aucun
des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axe de sy-
métrie, elle donne lieu à une correspondance uniforme entre les
points des deux courbes. Par exemple, si l'on applique cette trans-
formation à la droite A3 4- Bf^ = i , on obtient la parabole qui a
pour équation

A*Z2-i-B*U2+ I— 2A2B2ZU-2A2Z-2B2U = 0.

A un point (Z, U) de la parabole correspond un seul point (:;, u )
de la droite, dont les coordonnées sont

B2U — A^Z + i A2Z- B2U-1- I

u = p; j

2B ' -- ^^

Nous ne nous occuperons dans la suite que des transformations
birationnelles entre les points de deux courbes.

122. Revenons aux deux équations algébriques

f{z,u) = o, F(Z, U) = o,

TRANSFORMATIONS B I R A T I 0 NN E LL E S. 261

que nous supposons appartenir à la même classe. Si dans la
seconde équation on regarde Z comme la variable indépendante,
il lui correspond une surface de Riemann T,, composée de jjl feuil-
lets étendus sur le plan des Z. Les points des deux surfaces T
et T, se correspondent d'une façon univoque; à un point de
Tune correspond un point et un seul de l'autre et inversemenl.
Déplus, à tout déplacement infiniment petit sur l'une des surfaces
correspond un déplacement infiniment petit sur l'autre surface.
Il n'y a exception que lorsqu'un des points s'en va à l'infini sur
Tune des surfaces, mais on peut éviter cette difficulté en suppo-
sant les deux surfaces de Riemann étendues sur la sphère. Cela
posé, à toute coupure tracée sur T correspond une coupure
tracée sur T, et inversement. Imaginons qu'on ait tracé sur T
les N coupures qui la transforment en une surface simplement
connexe T'; les N coupures correspondantes tracées sur T, la
changent en une surface T', , qui est simplement connexe. D'abord
cette surface T', est connexe. Prenons, en effet, deux points quel-
conques M, M' de T^ et les points correspondants m^ m' de T'. On
peut joindre les deux points m, m' de T' par un chemin continu ne
traversant pas les coupures ; le chemin correspondant de Tj joindra
les deux points M, M' sans traverser les coupures. En second lieu,
la surface T', est simplement connexe ; car, s'il en était autrement,
on pourrait tracer sur ï', une nouvelle coupure sans morceler
cette surface, et la coupure correspondante de T' ne morcellerait
pas non plus la surface T', ce qui est impossible, car nous avons
supposé T' simplement connexe. Les deux surfaces T et T,, étant
transformées en deux surfaces simplement connexes par un même
nombre de coupures, sont du même genre. Par conséquent, le
genre d'une relation algébrique se conserve dans toute trans-
formation birationnelle. On peut dire encore que deux rela-
tions algébriques appartenant à la même classe sont du même
genre.

A cause de l'importance de ce théorème, nous en donnerons
une seconde démonstration purement analytique. Remarquons
d'abord qu'on peut, dans la démonstration, faire les hypothèses
suivantes :

i*' La fonction rationnelle

9.62 CHAPITRE VI.

devient infinie du premier ordre en ^ points distincts de la sur-
face T, qui ne sont pas des points de ramification.

2° La surface T n'a aucun point de ramification à l'infini, et
les m valeurs de Z pour les valeurs infinies de z sont représentées
par m développements distincts

ZU) = A'/' -h A'/^ -î. -H . . . + A^!'' ~ + . . . (t = I, 2, . . . m),

où les coefficients A'/* sont tous différents de zéro.
Soit, en efî'et^, Zo une valeur telle que l'équation

o(^, u) = Zo

admette [jl racines simples difi'érentes (aj, jSi), ...,(a[j,, [^j^), distinctes
des points à l'infini et des points de ramification. La fonction

de (^, u)^ Z'= Y ^"^^ V- pôles simples à distance finie sur la

surface T; or, si l'on prend pour nouvelle variable, dans la rela-
tion entre Z et U, ^ 7- = Z', il est clair que le nombre des

feuillets de T ^ ne change pas, ni le nombre et l'ordre des points
de ramification de cette surface, ni par conséquent le genre de la
surface.

Soit maintenant Zq une valeur finie de z, telle que les m va-
leurs de u correspondantes, ainsi que celles de Z', soient distinctes
et finies. Dans le domaine du point Zq, les ni valeurs de TJ sont
représentées par m développements de la forme suivante :

Z'=A'/)+A^/H^-^o) + ...-l-Aif'(z-.-o)^-+... (i = i,2,...,m),

et nous pouvons supposer, de plus, que les m coefficients A'/' sont
différents de zéro. Si l'un d'eux était nul, un des points analy-
tiques qui sont superposés au point ^0 serait racine de l'équation

dZ'

— -r=: o, et l'on peut toujours prendre pour Zq un point qui n'est

pas racine de cette équation . Si l'on pose maintenant z = ^0 H — j '

ce qui ne change pas le genre de la surface T pour les mêmes rai-
sons que plus haut, il est visible que les hypothèses que nous
avons énoncées seront satisfaites.

TRANSFORMATIONS R I R A T I ONN ELLES. 203

Cela posé, cherchons les points de ramification de la surface T,,
c'est-à-dire les valeurs de Z telles que U cesse d'être une fonction
uniforme de Z. Considérons d'abord les [x points à l'infini de cette
surface, qui correspondent aux u. pôles simples

(ai,Pi),...,(ajx, ?!x)

de la fonction Z. Dans le domaine du pôle (a,, ,3/), on a, par
exemple,

z — -Ml
on en tire

}^^ÏS_^ ..^— =^"^[i + G;(.-a,) + ...].

Z K/ Lo(;; — a/) , K/

'^ R, "" • • •

En faisant l'inversion, on aura

P (]^ désignant une fonction régulière dans le domaine du point
1=0. Comme, par hypothèse, le point (a,, ji/) n'appartient qu'à
un seul feuillet, u— ^i est une fonction régulière de ^ — a, et,
par suite, de Ij- Par conséquent, la fonction rationnelle

est une fonction uniforme de ^ dans le domaine du point Z = ce.
Les iJL points à l'infini de la surface Tj ne sont donc pas des points
de ramification.

Prenons ensuite les points de la surface T, qui correspondent
aux points à l'infini de T. Dans le domaine d'un point à l'infini
de T, on a

Comme A'f est supposé ditTérent de zéro, l'inversion nous donnera

l^P(Z-Â'J'),

'^64 CHAPITRE VI.

puis

z. = Q(Z-A'/0,
et enfin

P(Z-AÏ'), Q(Z-AÏ)), R(Z-A'i') étant des fonctions uni-
formes de Z dans le domaine du point AJj'. On en conclut que ces
points ne sont pas non plus des points de ramification pour la
surface T, .
Soient

(«1,^1), .... (ai,bi), ..., (aA;b/,)

les points de ramification de T, d'ordre /•, — i , . . ., /-yr — i respec-
tivement. Dans le domaine du point (a/, ^/), par exemple, on a

Z=.Z,--4-G'i(,G-a,-)''-4-... , G'1^0.

On en déduit

(Z - z,y7=. ( . _ a,f'[c{ -- a,(.- - a^y'i-^ . . .]''

et l'inversion donne pour (z — ct/Y^ un développement en série

1
procédant suivant les puissances croissantes de (Z — Z,)'^. Comme

a — bi est une fonction uniforme de (z — cii)''^ dans le domaine
du point de ramification, on en conclut que u et, par suite, 1.1 pour-

1
ront se développer suivant les puissances croissantes de (Z — Z/)^,
c'est-à-dire que le point de la surface T, qui correspond au poini
(rt/, bi) de la surface T est un point de ramification d'ordre

Prenons de même un point (a, b) de T par lequel ne passe
qu'un seul feuillet. On a, dans le domaine de ce point,

Z = A-4- A„(^ — rt)«-f- ... A„^o;

si n est plus grand que un, on en déduit pour z — a el u — b des
développements en série procédant suivant les puissances crois-

santés de (Z — A)'' ; le point correspondant de Ti sera donc un
point de ramification d'ordre n — i .

TRANSFORMATIONS B I R AT lONN E LLES. 205

On pourrait objecter à ce raisonnement que les exposants frac-
tionnaires peuvent disparaître dans le développement de U ou
avoir un dénominateur commun plus petit que // ou que /i, quand
on les réduit à leur plus simple expression. Il est facile de lever
l'objection. Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le dernier cas
qui vient d'être examiné ; soit (A, B) le point de T< qui corres-
pond au point (a, b) de T, et admettons, pour un moment, que par
ce point (iV, B) il passe moins de n feuillets. Lorsque z décrit
une petite circonférence sur T autour du point [a. b), l'argument
de Z — A augmente de 2/01. S'il v avait moins de n feuillets pas-
sant en (A, B), la droite joignant le sommet (A, B) du cycle au
point Z, droite qui a tourné de 2 ht., aurait décrit plusieurs fois
le domaine du sommet du cycle. 11 n'y aurait donc pas correspon-
dance uniforme entre les points des deux domaines, contraire-
ment à l'hypothèse.

En définitive, les points de ramification de T, proviennent des

points de ramification de T et des points de T pour lesquels -p

est nul. Écrivons que le nombre des zéros de cette fraction ration-

nelle -77 est égal au nombre des pôles. D'abord cette fonction a m

zéros du second ordre à l'infini, comme on le voit en différentiant
les ?n développements de Z dans le domaine de z =^ ce. et u. pôles
du second ordre aux points (a,, p,), ...,(ol^, ^^^j. Un point de ramifi-
cation d'ordre /\, pour lequel le développement de Z est de la forme

/,
Z = Zi -r- Ci{z — ai)'' -h . . . Cl ^ G,

est un zéro d'ordre li — /■/. si li^i'i^ et un pôle d'ordre // — li
si /'/ >> //. On aura donc, dans tous les cas, la relation

la somme \](/7 — //) étant étendue à tous les points de ramifi-
cation de T, et la somme \^(/^ — i) à tous les zéros de -77 distincts
des points de ramification. Cette égalité peut encore s'écrire

266 CIIAPITUE VI.

OU

— m-T-i — 1 > -^ _ a + I.

2 22'

Or les deux membres de celte égalité sont égaux respectivement
aux nombres p elp' qui, d'après la formule générale de Riemann,
représentent le genre de la surface T et de la surface T<. Le théo-
rème est donc établi.

Remarque. — Etant donnée une relation algébrique entière

f{z, 11)^0,

on peut à volonté considérer z ou u comme la variable indépen-
dante. On a ainsi deux surfaces de Riemann distinctes T, T, qui
sont du même genre, d'après le théorème précédent. On peut
donc, pour évaluer le genre de la relation f{z^ u) = o, considérer
à volonté la surface T ou la surface T^. Par exemple, si la relation
est du premier degré par rapport à l'une des variables, l'une des
surfaces de Riemann se réduit à un plan; on peut affirmer que
l'autre surface est simplement connexe.

123. Soit (0(5, u) une fonction du point analytique (z, u)] si
l'on suppose ;: et u remplacés par leurs valeurs en fonction de
Z et de U, to(z, u) se change en une fonction Û(Z, U) du point
analytique (Z, U). Soit (A, B) le point analytique qui correspond
à un point analytique (a, b) de la première surface : si la fonc-
tion 03(5, u) est régulière dans le domaine du point (a, b), la
fonction Û(Z, U) sera régulière dans le domaine du point ( A, B) ;
si le point («, b) est un pôle ou un zéro pour w(-g, w), le point
(A, B) sera un pôle ou un zéro du même ordre pour Q(Z, U).

Pour plus de généralité, supposons que le point analytique
(<2, b) soit un point de ramification d'ordre r — i de la première
surface, et le point (A, B) un point de ramification d'ordre / — i
de la seconde surface. D'après les développements du paragraphe
précédent, on aura, dans le domaine du point (r/,, ^),

1 1 2

(Z — A)^ — ai{z ~ ay'-\- i^i^ ~ «)'' — • . ., «i ?^ o,

et inversement dans le domaine du point (A, B),

_i 1 2

(^ _ af = ?i(Z -ky-^ p2(Z - Ay +. . ., pi ^ o.

TRANSFORMATIONS R I R A T 10 NN EL LE S. 267

Toute fonction to(w, u) régulière au point («, b) est égale à la
somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances

positii^es el croissanles de (z — a)'"; la fonction Q(Z,U) sera

donc égale à la somme d'une série convergente ordonnée suivant

1
les puissances positives et croissantes de (Z — A)^. Si le premier

développement commence par un terme en (.- — a)'', le second

développement commencera par un terme en (Z — A)^; le point
(a, b) sera un zéro d'ordre q pour w(^, w), et le point (A, B) un
zéro d'ordre q pour Û(Z, U). Si le point (a, b) est un pôle d'ordre
q' pour Lo (z, u), on aura, dans le domaine de ce point,

=:!?.'( 1 j

iû(z, u) = (z — a) '' ^ «0 — «1 (-s — «)'■ -f- . . . ) , «0 ^ G,

et par suite

-'7' « -^.(z-Ay

12(Z,U) = (Z-A) ^ ^' ' ^'^" '^\ %^o, Yo?^o

Yo-f-Ti(Z — Ay-i-...
ou

_r i 1 /

0(Z, U)=(Z-A) / (ao4-oi(Z-A) -^... i, ôo?^o,

de sorte que le point (A, B) sera un pôle d'ordre q' pour Û(Z, U).
Le raisonnement reste le même si un des points (<7, b) ou
(A, B) s'en va à l'infini sur l'une des surfaces. Il suffira de rem-
placer z — X par -5 ou Z — ao par y

Soit(v= j Il{z^ u) dz une intégrale abélienne relative à la
courbe /(^, u) = o ; si l'on pose

^ = 4>(Z,U), 11 = W(Z,l]),

cette intégrale se change en une nouvelle intégrale abélienne
/ II, (Z, \J)dZ relative à la courbe transformée

F(Z,U) = o.

En particulier, si la première intégrale reste finie en tous les
points de la surface T, il en sera de même de la nouvelle inté-

^G8 CHAPITRE VI.

grale. Donc une intégrale de première espèce se change en une
intégrale de première espèce, et ceci n'exige pas que la transfor-
mation employée soit réversible. Si à la première courbe sont
attachées q intégrales distinctes de première espèce, il j en aura
au moins q pour la seconde, mais elle pourra en avoir davantage.
Si nous supposons, en outre, que la transformation soit réversible,
le nombre des intégrales de première espèce pour la seconde
courbe ne pourra être supérieur à ^; caria transformation inverse
donnerait pour la première courbe plus de q intégrales de première
espèce. Ainsi, deux relations algébriques de la même classe
admettent le même nombre dHntégrales abéliennes distinctes
de première espèce.

On voit de même qu'une transformation birationnelle change
une intégrale de seconde espèce en une intégrale de seconde es-
pèce et une intégrale de troisième espèce en une intégrale de
troisième espèce.

Parmi les transformations birationnelles, une des plus simples
est la transformation homographique, définie par les formules

«ZH-6U-f-c a'Z^ b'\] -^ c'

a"Z-^b"V-^c" a"7.-\-b"V^c"'

soit m le degré d'une relation algébrique /(s, u) = o, en z et u^
c'est-à-dire le degré de la courbe représentée par cette équation.
Choisissons une droite D rencontrant cette courbe en m points
simples distincts; on peut disposer des coefficients de la transfor-
mation homographique de façon que celte droite soit rejetée à
l'infini et qu'aucune asymptote ne soit parallèle à l'axe des U.
L'équation transformée sera de degré m en U, et les m valeurs

de -y pour une valeur infinie de Z seront distinctes et finies, de

sorte que les m valeurs de U seront représentées, pour des va-
leurs de Z de module très grand, par m développements de la

forme

a'/'
U = c/Z + a'o'^+-^ + ... .

La surface T correspondante n'aura pas de point de ramification
à l'infini. Les points de ramification proviendront des points mul-
tiples de la courbe et des points où la tangente est parallèle à

TRANSFORMATIONS B I R A T I ON N E LLE S- 269

l'axe des U. On peut toujours supposer que ces derniers sont
des points de ramification simples ; il suffit pour cela que Taxe
des U ne soit parallèle à aucune tangente d'inflexion.

124. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'entrer dans
quelques détails sur la théorie des courbes planes algébriques et
sur un important théorème dû à M. Nother. Étant donnée une re-
lation algébrique entière et irréductible en z et u,

/ (-: «) = 0,

si l'on considère z et a comme les coordonnées cartésiennes
d'un point du plan, cette équation représente une couj-be.
Au sens étroit du mot, la courbe se compose simplement des
points dont les coordonnées réelles vérifient l'équation pré-
cédente. Mais nous conserverons le nom de courbe pour dési-
gner l'ensemble des solutions, réelles ou imaginaires, de cette
équation.

Soit z = a. Il ^ b un point de cette courbe à distance finie. Si
pour z = a l'équation /(«, u) = o admet IN racines égales à 6, il
résulte de l'étude faite plus haut (§ 81) que, pour une valeur de ::
voisine de a, l'équation /(::, w) = o admet N racines voisines
de b', de plus ces N racines se partagent en un certain nombre de
systèmes distincts. Les racines d'un même système sont repré-
sentées par un même développement en série

(5) u — b = oc^{z — a)'^ -^ 7.i{z ~ ay^ -V...

où ao, a,, ... sont des coefficients quelconques, dont le premier
n'est pas nul, 7?^, /?z,, ... des nombres entiers positifs croissants,
et où les exposants sont supposés réduits à leur plus petit déno-
minateur commun n. Quand on attribue au radical (z — a)" ses n
déterminations, le second membre prend /i valeurs distinctes ; il
faut remarquer toutefois que dans le calcul on doit prendre dans

chaque terme une même détermination de (z — a)". En langage
géométrique, ces résultats s'énoncent comme il suit : Soient
«, b les coordonnées cVun point d'une courbe algébrique. Au

CHAPITRE VI

voisinage de ce point , les diverses branches de la courbe
sont représentées par un ou plusieurs développements de la
forme (5).

La portion de courbe représentée par une équation telle que
(5) s'appelle un cycle et le point (a, b) est V origine de ce cycle.

De l'équation (ô) on tire inversement un développement de

z — a suivant les puissances positives de {u — ^)'", commençant

71

par un terme en [u — b)'"-

((i) z — a= ^^{u — bY^-\- ^^{u-by^-^....

Le premier exposant — pourra ne pas être réduit à sa plus simple

expression, mais m sera le plus petit dénominateur commun de
tous les exposants. En effet, supposons que ces exposants puis-
sent être réduits à un dénominateur commun m' << m. On

aurait

m — m'k^ n — n' k^ /ii — n\k ,

et la formule (6) pourrait s'écrire

n' n'i

On en déduirait ensuite pour u — b un développement procédant

suivant les puissances positives de (g — a)"', de sorte que u pren-
drait/zSaleurs différentes, et non pas n, lorsque z tournerait
autour du point z ^= a.

Des deux développements (5) et (6) il y en a au moins un
qui commence par un terme dont le degré n'est pas inférieur

à l'unité. Supposons par exemple — ^ i ; le nombre n est appelé
V ordre ouledegré dvi cycle : si Ton avait au contraire — << i , alors —

serait supérieur à un, et le degré du cycle serait égal à in.

Le degré d'un cycle est indépendant du choix des axes de
coordonnées ou, d'une manière plus générale, ce degré se con-
serve par toute transformation liomographique. Supposons qu'une
transformation homographique fasse correspondre au point (a, b)

TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E LLES. 271

un point de coordonnées (A, B). Les formules de transformation
sont de la forme

7 A - ^'(--^)-^^'(''-^)

L'équation (5) qui représente le cycle, supposé d'ordre /?, peut
être remplacée par le système des deux équations

z = a-h f", i, = b -^ocot'" -h ' ■ .-■,

si l'on remplace z — a et u — b par ces valeurs dans les formules
de transformation, on obtient pour Z — A et U — B des dévelop-
pements suivant les puissances positives de t, dont l'un au
moins commence par un terme en t". Si , par exemple , cela
arrive pour Z — A, on en déduira pour U — B un développe-
ment procédant suivant les puissances positives de (Z — A)". Au
cycle primitif correspond par conséquent un nouveau cycle dont
le degré est au plus égal à fi. Ce degré ne peut être inférieur à n,
car, si le degré d'un cycle ne jieut s'élever par une transformation
homographique, il ne peut pas non plus s'abaisser.

Remarque. — Considérons un point de coordonnées (c, u)
appartenant à un cycle ayant son origine en un point {a, b). Le

rapport ^^^- tend vers une limite finie et différente de zéro si

m — n; il tend vers zéro si m > n et il croît indéfiniment si m < n,
lorsque z — a tend vers zéro. La droite passant par l'origine du
cycle et par un point infiniment voisin de ce cycle tend donc vers
une limite parfaitement déterminée que nous appellerons la tan-
gente du cvcle. Si cette droite est parallèle à l'axe des z, on a
my>n; si elle n'est parallèle à aucun des axes de coordonnées,
on a m = n.

En particulier, si le cycle est linéaire ou du premier degré, et
si la tangente au cycle n'est pas parallèle à l'axe des u, la valeur
de u est représentée par une série ordonnée suivant les puis-
sances entières et positives de :; — a

u = b--~oL{z-a)-^^^{z-ay'-^ ....

^7'^ CHAPITRE VI.

Si un point {a, b) est un point simple d'une courbe algébrique,
le cycle qui a son origine en ce point est toujours linéaire (§80).

125. Pour définir le degré d'un cycle, dont l'origine est un
point à l'infini de la courbe, on commence par ramener l'origine
du cycle à distance finie par une transformation homographique.
D'après ce qu'on vient de voir, le degré du nouveau cycle sera le
même, quelle que soit la transformation homographique employée.
Pour évaluer ce degré, il est commode d'introduire les coordon-
nées homogènes. On a à cet égard la règle suivante, qui résulte
immédiatement de ce qui précède : Les trois coordonnées homo-
gènes d'un point étant dé^^eloppées suivant les puissances en-
tières et croissantes d' un paramètre, qui correspond uniformé-
ment à un point du cycle, formons trois combinaisons linéaires
et homogènes X, Y, Z de ces coordonnées de telle sorte que les
développements c/eX, Y, Z commencent par des termes à expo-
sants tous les trois différents, et soient a, b, c ces degrés rangés
par ordre de grandeur croissante : le degré du cycle est b — a.
Si l'on a, en elTet,

X = A '« 4- ...

Y = B;^^+ ...

on peut adopter pour coordonnées cartésiennes

Y B ,

X A ^ ^ ••

Z C

X A ^ • • • '

d'où l'on déduira un développement de u suivant les puissances
de z^'~~"- commençant par un terme en

c—a r— b

Z"~^ _— ^ b—a

Le nombre c~b s'appelle la classe du cycle; c'est le degré
du cycle corrélatif, c'est-à-dire du cycle qui se déduit du pre-
mier au moyen d'une transformation par polaires réciproques. On

TRANSFORMATIONS B I R A T I 0 N N E LL E S. ^73

peut prendre en effet pour coordonnées homogènes d'un point du
cycle corrélatif les expressions

Xi = \dZ — Zd\\ Y, = Zd\ — \dZ, Z, =Xd\ — Yd\.
el, en remplaçant X, \, Z par leurs développements, il vient

X, = (r — 6)BG?A^^-'-^ ...
Yi = (<7 — c)AG/^+«-i^ . . .
Z, = (/>-«) AB^^+'^-i-^

Les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont ici

a -^ b — \ .
a -^ c — I ,
h -^ c — I ;

le degré du nouveau cvcle est bien égal à c — h\ comme on devait
s'y attendre, sa classe est b ^ a, c'est-à-dire le degré du cycle
primitif.

Remarque. — Si Ton a un cycle représenté par l'équation

u = kz " -^ . . .

on peut le considérer comme représenté en coordonnées liomo
gènes par les équations

Y = xV ^"+v -h . . .

Z= i;

sa classe est donc égale à v.

Proposons-nous maintenant d'évaluer le degré et la classe
d'un cycle ayant son origine à l'infini. Plusieurs cas sont à dis-
tinguer.

Premier cas. — Le cycle est donné par un développement tel
que le suivant

m in—\ 1 2

u = A_„j z^ H- A.-,„+i z "^ -h . . . -t- B + Cl ^'"" -4- G2 ^ ~ " -i-

où

A_,„ ^ G.

A. ET G. 18

274 CHAPITRE VI.

Employons les coordonnées homogènes

X Y

puis posons

X=i, Z-^«;
il vient

Si n est plus grand que /?^, les exposants, rangés par ordre de
grandeur croissante, sont o, n — m, n ; le degré du cycle est
n — m et la classe m. Si n = m, il faudra considérer dans Y
l'exposant du terme suivant. Si n est plus petit que m, les expo-
sants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont n — m, o, n]
le degré est m — /i et la classe n.

Deuxième cas. — Le cycle a un développement de la forme

u = Ao H- A,„ / ^j -'r- \„i+i

G)"--^

'origine du cycle est à l'infini sur 0^.

Posons encore

X Y ^

^=r "=z' ^-

= 1, Z = ?'^

1 reste

On a les trois coordonnées homogènes

X=: I, Z = ^«, Y — AoZ = A,„^'«+«+ ...;

le degré du cycle est /z et sa classe m.

' Troisième cas. — Le cycle a son origine à l'infini sur O u

rn 1

U = \-,n {z — af ^ -\- . . . -h Xo -h Xi{z ~ a)'' + . . . .

Il est équivalent au cycle représenté en coordonnées homogènes
par les équations

Y = A_,„ + A_;„+i t-\-...-hAo t"' H- A, ^"H-i + . . . ,

X= ^'"+«;
le degré est m et la classe n.

TRANSFORMATIONS B I R AT lONN E LLES. 275

Considérons en particulier un cycle représenté par le déve-
loppement

Il = A Z»^ H- B 3'«-l -f-...-^H-i-^^...;

d'après ce que nous venons de voir, si m est^ i, le degré du
cycle est m — i. Si donc m est supérieur à 2, le cycle n'est pas
linéaire. Ce résultat peut sembler étrange, mais il est facile de
le vérifier sur des cas particuliers. Par exemple, la courbe if = z^
présente un point de rebroussement à l'infini, car la transforma-
tion homographique

T :;'

u = ---, ^ — —,

IL U

remplace la courbe donnée par la courbe u'- = z'^^ qui a bien un
cycle du second degré à l'origine. Si m = i, le degré du cycle est
toujours égal à un, mais la classe peut être quelconque.

Si une courbe n'a que des cycles du premier degré, il en sera
de même de toutes ses transformées homographiques. La courbe
étant de degré m, supposons que la droite de l'infini la rencontre
en m points distincts et qu'aucune asymptote ne soit parallèle à
l'axe des u. Alors les ni valeurs de u pour ^ = ce seront représen-
tées par m développements de la forme

a'/' al,''
u = CiZ -^ y.^' ^ — -i- -j- -^ . . . (t = I, 2, . . . , ?n ),

les m coefficients ct étant différents ; les m cycles ayant leur ori-
gine à l'infini sont linéaires. La courbe peut avoir des points
multiples d'ordre quelconque; mais, si aucune des tangentes en
un de ces points multiples n'est parallèle à l'axe des u, hypothèse
qu'on peut toujours faire, chacun des cycles de la courbe ayant
son origine en un point multiple sera représenté par un déve-
loppement de la forme

u — b = oi{z — a)-\- '^{z — ay--\-

Les seuls points critiques pour la fonction algébrique u de z dé-
finie par l'équation y (;:, u) = o seront les points de la courbe où
la tangente est parallèle à l'axe des w, si ces points ne sont pas

ajô CHAPITRE VI.

des points d'inflexion, ce qu'on peut toujours supposer, la sur-
face de Riemann n'aura que des points de ramification simples.

126. JNous donnerons encore quelques détails sur une transforma-
lion employée par Halphen et qui nous sera utile. Soient G(/?i,''.87)

une courbe plane quelconque, S une conique directrice. A chaque
point M de C, on fait correspondre le point de rencontre M' de la
tangente en M avec la polaire de M par rapport à S. Le point M'
décrit une courbe O qui correspond point par point à la courbe C,
si la conique 2 n'a pas été prise d'une façon particulière. On peut
remarquer qu'en partant de C^, polaire réciproque de G par
rapport à S, on obtiendrait la même courbe C/.

Considérons un cycle de C, de degré n et de classe v, et cher-
chons le degré et la classe du cycle correspondant de C. Nous
supposerons que le point M n'est pas sur Set que la tangente en M
n'est pas tangente à S. Prenons pour triangle de référence MM, M',
M, étant le pôle de MM' par rapport à 2; ce triangle est conjugué
par rapport à S, et cette conique est représentée par une équation

de la forme

AX2+BY2-^GZ2=o,

que l'on peut écrire, sans diminuer la généralité,

X2 -f. Y2 + Z2 = O.

TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LL ES. 277

Soient ^,y, ^ les coordonnées homogènes d'un point de C, x\
y, z' les dérivées de x^y, z par rapport au paramètre t qui cor-
respond uniformément aux points du cycle ayant son origine en
ce point. La polaire M, M' a pour équation

Xx -i- YjK — 7jZ = g ;
la tangente MM' a de même pour équation

X Y Z

X y z

X y z'

ou

\(yz'—zy)-^\(zx'—xz')^Z{xy—yx') = o.

On en déduit pour les coordonnées homogènes de M'

X=y(xy—yx') — z{zx'—xz')
= ociyy'-^ zz')— x'(y--^z'-),
y =y{zz'-^xx')~y{x^'-hzi),
Z = z{xx'-^jy)— z'{x'--^y'').

On peut toujours supposer le cycle de C représenté par les

équations

x = t'^, y = at'^+'^^ . . ., -=i;

il suffit de prendre MM' et MM, pour les côtés X et Y du triangle
de référence. Il vient

a7'=/i/«-», j'z= (/i-f-v)rt^«

o^

et les coordonnées d'un point du cycle correspondant de C auron
pour expressions

= — «/«-l-h .. .,

Y = ntïn-\]^at'^^''^ . . .] — ([+ ^2«)[(,z + v)rt^«+v-i+ . . . j

^ — (n -i- v)a/"+v-i_,_

Z = /ir2«-i -^ {n-h v) «2 r-n+iy~i _

278 CIIAPITRK VI.

Les premiers termes des développements de X, Y, Z sont les
suivants :

^ =^— nt'i-i -\- . . . , Y =— (/i-i- v)a^«+v-i_|_ _^^ 2. = nt^'''-^ -^ . . . ;

trois cas sont à distinguer :

Premier cas, v > /^. — Les exposants, rangés par ordre de
grandeur croissante, sont n ~\^ 'in — \, /^ _j_ v __ i • le degré du
nouveau cjcle est /2, et sa classe v — n.

Deuxième cas^ v < n. — Le degré du nouveau cycle est v, et
sa classe n — v.

Troisième cas, y=zn. — Y et Z commencent par un terme
en t-^~^ ; le degré du nouveau cycle sera égal à /z, et la classe s'ob-
tiendra en cherchant le degré du premier terme dans nY + 9.7îaZ.

En résumé, le degré du nouveau cycle est égal au plus petit
des deux nombres /?, v. Dans aucun cas, il ne peut dépasser le
degré du cycle primitif. Si n et v sont différents, la classe du
nouveau cycle est zt (/i — v).

Supposons maintenant que le point M est sur la conique direc-
trice S et que la tangente au cycle n'est pas tangente à S; pre-
nons pour côtés du triangle de référence la tangente en M à la
courbe G et les deux tangentes à la conique S aux points où elle
est rencontrée par la tangente à G.

La conique 2 aura pour équation

Y2-!-2XZz=o;

x,y^ z, x',y, z' ayant la même signification que plus haut, les
coordonnées X, Y, Z d'un point de G' seront données par les
formules

X =yiccr' — y.v') — .t{zx'- xz')^
Y = x(yz' - z.y) - .z.{xy~yx'),
Z =z{zx' — xz')—j'{yz'~--zy).

Le cycle de G étant représenté par les équations

x=zt", y = at''-^'^-^ ., .^ z=i,
on aura, pour le cycle correspondant de G',

X = — /Z^2«-l H- . . . ,

Y = — 2xy-{-x'y — — (n -\- 2v)«?2«+v-i_|_^ _ ^^

Z = y -h y y = /zv«-i + . , , .

TRANSFORMATIONS R I R AT I ONN E LLE S. 279

Les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont
71 — 1 . 171 — 1 , 2 /i + V — I ; le degré et la classe sont les mêmes
pour le nouveau cycle que pour le cycle primitif.

Dans la suite, nous supposerons toujours que la conique direc-
trice I rencontre la courbe C en des points distincts, ainsi que sa
polaire réciproque, et que ces points sont origines de cycles du pre-
mier degré et de la première classe. SI la tangente en un point M
de C est tangente à Z sans que M soit sur 2J, on est ramené au cas
précédent, car le point correspondant M, de la polaire réciproque
C, sera sur S sans que la tangente en M, à Ci soit tangente à S.

127. Etant do7inée une cou7^be algéb7^ique quelco7ique, on
peut lui faire co/'7'espondre, poi7it pa7' point, pa7' ujie transf 07^-
mation bi7xitio7i7ielle, utie aul7'e cou7'be algéb/^ique n'ayant
que des cycles linéai7'es.

11 suffît évidemment de montrer que, si une courbe algébrique
a des cycles de degré supérieur à un, on peut, par une transforma-
tion birationnelle, abaisser le degré d'un de ces cycles sans aug-
menter le degré d'aucun autre cycle. Soient 71 et v le degré et la
classe du cycle considéré; appliquons à la courbe la transfor-
mation précédente, la conique directrice I n'ayant, comme il a
déjà été expliqué, aucune position particulière. Si v est inférieur
à /i, le degré du nouveau cycle sera égal à v, et, par conséquent,
inférieur à /z. Si v est supérieur à /î, le degré du nouveau cycle
sera égal à 71, mais sa classe sera v — n. En répétant la transfor-
mation par rapport à la conique - ou à de nouvelles coniques un
nombre assez grand de fois, on finira par arriver à un cycle dont
la classe sera inférieure ou égale à n. Dans le premier cas, une
nouvelle transformation abaissera le degré du cycle.

Le seul cas qui demande un examen particulier est donc celui
où la classe est égale au degré ou à un multiple du degré. Em-
ployons les coordonnées cartésiennes et supposons qu'on ait pris
pour origine des coordonnées l'origine du cycle, l'axe des y ne
coïncidant pas avec la tangente au cycle. Le développement de y
contiendra un certain nombre de termes entiers en .r,

a g+i

y =i'P{x)-\- kx'^^'' -~ k^x^^ «-T-... o<a</2,

'i8o

CHAPITRE VI.

P(^) désignant un poljnome de degré q au pins, et Kx^^~' étant
le premier terme à exposant fractionnaire. Les q premières déri-
véesy, f , . . . , j^y) conservent nne valeur finie pour x^o, mais
la dérivée suivante j^?+«^ est infinie pour Torigine des coor-
données.

Le cycle transformé a pour origine un point (a, ^), et nous
supposerons qu'on a choisi les axes de façon que la tangente ne
soit pas parallèle à l'axe des j. Le développement de Y — h sera
de la forme

Y--^ = Q(X — a) + B(X-a)''"^/. + ... o < |3 < /^

i

Q(X — a) étant un polynôme de degré rau plus, idl^{x — a) ''^'^ le
premier terme à exposant fractionnaire. Les dérivées Y', Y'^, ...,Y(''^
sont finies pour X — a, mais Ja dérivée suivante Y^''^^' devient
infinie.
Soit

/(•^,7, -) = <>

l'équation rendue homogène de la conique directrice S; le point
(X, Y), qui correspond au point (^,jk), est à l'intersection des
deux droites

On tire de Jà

on aura ensuite

d^ ù^ , d^

La fraction qui donne Y' n'est pas, il est aisé de s'en assurer,
indépendante de y, de sorte que Y' dépend bien effectivement

TRANSFORMATIONS B I R A T I ON N E LL E S. 'iSl

(\ey" ( ' ). On aura ensuite

en posant

lAI

ây"

Oo do , Oz> „
Ox dy -^ dy' "^

I

et, d'une manière générale,

I — iin^-r, y, y , ...,y ) . / do ^ do , do ^A"

Supposons qu'on ait choisi les coefficients de la conique direc-
trice de façon que j-^et ^ + ^ j'^ j^y ne soient pas nuls pour

l'origine. La première dérivée Y^«^, qui deviendra infinie pour
l'origine du cycle transformé sera la dérivée d'ordre q. On a donc
r = q — i^ c'est-à-dire que les termes fractionnaires apparaissent
un rang plus tôt dans le cycle transformé que dans le cycle primitif.
Gomme on peut répéter la transformation tant que q est supé-
rieur à 2, on finira par arriver à un cycle représenté par un déve-
loppement tel que

y = ax -h bx- -h ex " -\- . . . o<2</i

ou, en changeant les axes,

y = bx'^ -^ ex '' -i-

En coordonnées homogènes, ce cycle est représenté par les équa-
tions

(') On peut s'en rendre compte a priori. Si V ne dépendait que de x,y, y',
la transformation serait une transformation de contact , c'est-à-dire qu'elle
changerait deux courbes tangentes en deux courbes tangentes. Or à la tangente
en M à la courbe C correspond cette tangente elle-même; les deux courbes C
et C auraient donc les mêmes tangentes, ce qui est impossible.

282 CHAPITRE VI.

Si l'on se reporte aux calculs du paragraphe précédent, on trouve
pour les coordonnées d'un point du cycle, après une nouvelle
transformation,

X = — nt't-'^ + . . .

Z = n /2"-i H- 9. n h t'^'i-^ -i- . . .

Les expressions X, Z, Y + 26Z commencent par des termes de

degré

n — ! , 111 — [ , 2 /i — I + a ;

la classe du nouveau cycle est égale à a, qui est <^ n. Une dernière
transformation abaissera donc le degré du cycle.

Nous voyons, en résumé, qu'on peut toujours, par une suite de
transformations d'Halphen, abaisser le degré d'un cycle, si ce
degré est supérieur à l'unité. Gomme cette transformation n'aug-
mente jamais le degré d'un autre cycle, la proposition énoncée se
trouve établie.

128. On n'a pas épuisé ainsi tout le parti que l'on peut tirer
de la transformation d'Halphen. Une courbe n'ayant que des cy-
cles linéaires pourra avoir des points multiples d'ordre quel-
conque, et en chacun de ces points multiples il pourra y avoir
des branches de courbe ayant un contact d'un ordre aussi élevé
qu'on voudra, chacune de ces branches étant représentée, avec
des axes convenables, par un développement de la forme

y = ax -h bx''- -\- cx^ -+- . . . ,

où ne figure aucun exposant fractionnaire. Appliquons à cette
courbe G la transformation par rapport à une conique directrice ^
n'ayant pas de position particulière. Si deux cycles de G ont la
même origine sans être tangents, les cycles correspondants de G
n'auront pas la même origine; un point multiple d'ordre /• à tan-
gentes distinctes est donc remplacé par/' points distincts. Si deux
cycles de G ont en un point un contact d'ordre ;z, les cycles cor-
respondants de G' auront un contact d'ordre n — i^ d'après ce
qu'on a vu plus haut; car, d'une manière générale, Y^") dépend
de x^y^y\ .. .jjK^""^'^ et est une fonction linéaire de ^'("+<^. Par

TRANSFORMATIONS B I R AT lONNELLES. 283

suite, en appliquant la transformation autant de fois qu'il est
nécessaire, on remplacera tous les cycles de G ayant une ori-
gine commune par des cycles ayant toutes leurs origines diffé-
rentes. On a dispersé ainsi toutes les singularités de la courbe
donnée.

Il reste à examiner si l'on n'introduit pas des singularités nou-
velles, chaque fois qu'on applique la transformation d'Halphen.
G, G', 2] ayant toujours la même signification, soit N un point
quelconque du plan; pour reconnaître si ce point N appartient à
la courbe G', on procédera comme il suit. Soit P la polaire du
point N par rapport à S et Mi, Mo, ..., jM,„ les m points d'in-
tersection de cette polaire avec la courbe donnée G. Pour que
le point N appartienne à la courbe G', il faut et il suffit que la
tangente à la courbe G en un des points M^ aille passer par le
point N. S'il en est ainsi, il y aura en général un seul point M,
satisfaisant à cette condition. Le point N sera un point double si
les tangentes à la courbe G en deux des points M/ vont passer en
N; en écrivant ces conditions, on a deux relations pour déter-
miner les coordonnées (^^^o, J'o) du point N. Il y aura donc en
général sur G' un certain nombre de points doubles provenant
de la superposition de deux points distincts de G. Il n'y aura pas
de point triple, si la conique S n'a pas été prise d'une façon
particulière, car il faudrait que les tangentes en trois des points
M/ soient concourantes, ce qui exigerait évidemment une relation
entre les coefficients de ï. Pour la même raison, les tangentes aux
nouveaux points doubles seront distinctes.

Ge qui est vrai d'une seule transformation s'applique naturel-
lement à une suite de transformations et, en réunissant tous les
résultats qui ont été établis, on peut énoncer l'important théo-
rème dû à M. Nother (* ) :

A toute courbe plane algébrique on peut faire corres-
pondre, par une transformation birationnelle , une autre

(') En réalité, M. Nother a seulement démontré qu'on peut transformer toute
courbe algébrique en une autre, qui n'a que des points multiples à tangentes dis-
tinctes, ce qui suffit dans la plupart des applications. Au sujet de cette question,
on pourra consulter deux Notes récentes, dans les Comptes rendus, de M. Poin-
caré (t. CXVII, p. 18) et de M. Simart (t. CXVI, p. Î047).

284 CHAPITRE VI.

courbe plane algébrique, n'ayant cV autres points multiples
que des points doubles à tangentes distinctes.

Il est permis de supposer que, dans cette transformation, les
cycles de la première courbe, qui ont leur origine en nn point
multiple, correspondent tous à des cycles de la seconde courbe
ayant leur origine en des points simples. C'est ce qui résulte bien
clairement des développements qui précèdent.

Il29. Etant donnée une courbe algébrique plane représentée
par l'équation

(7) F(5,«) = o,

on appellera genre de cette courbe le genre de la surface de
Riemann correspondante, quand on regarde u comme une fonc-
tion de z définie par la relation (^). D'après le théorème du
n" 122, ce nombre ne dépend pas des axes de coordonnées et, plus
généralement, se conserve par toute transformation birationnelle.
Proposons-nous d'évaluer le genre d'une courbe dont les seuls
points singuliers sont des points multiples à tangentes distinctes
et des points de rebroussement de première espèce. Nous choisi-
rons pour cela les axes de coordonnées de façon à satisfaire aux
conditions suivantes : i" la courbe, supposée de degré ni, a ni
points distincts à l'infini, et aucune asymptote n'est parallèle à
l'axe des u ; 2° aucune tangente en un point multiple n'est parai ■
lèle à l'axe des u ; 3" les tangentes parallèles à O;^ ont un contact
du premier ordre avec la courbe.

La surface de Riemann correspondante aura m feuillets et
N -f- /' points de ramification simples, provenant des /■ points de
rebroussement de première espèce et des N points où la tangente
est parallèle à O^^. On aura donc pour le genre y? (§ 109)

p — m -\- i ,

2

En groupant ensemble les termes du même degré, F(r, u) peut
s'écrire

TRANSFORMATIONS B I R A T I 0 N N E L L E S. 285

C5,w(i,c) étant un polynôme de degré m en c, tel que l'équation
c,;/ = o ait m racines distinctes c, . ... c,„. On a de même

où

o;„(.,e)=%-'.

Le résultat de l'élimination de j' entre les deux équations

F(5,z<j=o, — r=F,(j, ?o = o

est une équation entière en ^

m

(8) A(.^) = JJf,(^,z//) = o,

/= 1

où ;/,, i/o, ..., Um désignent les m racines de l'équation F = o ; A(:î)
est un polynôme entier en z de degré ni {m — i). En effet, c'est
une fonction symétrique entière de //|, .... //«iCt, par suite, un po-
lynôme entier en z. Pour évaluer son degré, considérons les m
valeurs de u dans le domaine du point :? = oc ; on a par exemple,

dans ce domaine,

a'"

iti = c/ 3 + a[, -T- "7 - . . . ,

de sorte que, dans F,(c, ///), le terme du degré le plus élevé
sera ;:"'"' cp^„ (i , c/) puisque, par hypothèse, cp,'„(i,c/) n'est pas
nul. Le produit des ni facteurs analogues sera donc de degré
m (/7i — i).

Les racines de l'équation (8) ne peuvent provenir que des
points multiples et des points simples de la courbe où la tangente
est parallèle à Ou. Examinons d'abord ces derniers points. Si au
point (a, b) la tangente est parallèle à Ou, on a, dans le voisinage
de ce point,

F(^, m) = A{z — a ) -:- B{ii — by- -^ C{z — a) (a — Ù) -^ ...

les coefficients A et B n'étant pas nuls, d'après les hypothèses
faites. Les deux valeurs de u^ qui deviennent égales à b pour -• = «,

'286 CHAPITRE VI.

sont représentées par un même développement

A

^=\/-s'(---y-

où Ton attribue au radical y/^ — a ses deux déterminations. D'autre

part, on a

dF

Fi = — ^iBdi- b)-+-C(z — a)^

du / \ ,

Si dans F, on remplace u par une des racines précédentes, le

résultat sera d'ordre - en (z — a). Comme il y a deux facteurs de

cette espèce dans A (3), on voit que A(^) est divisible simple-
ment par ;:; — a. Ainsi, les abscisses des points de contact des
tangentes parallèles k O it donnent des facteurs simples dans

Supposons maintenant que le point («, b) soit un point mul-
tiple d'ordre q à tangentes distinctes, aucune de ces tangentes
n'étant parallèle à Ou; F (z, u) peut alors s'écrire

Y (^z, u) = {z — a)n 'o,i {\ , _ _ \ -^{z — a)'i+^Orj+, ( i, ___ ^) + • • • ,

cp<y(i,c) étant un poljnome de degré q n'ayant que des facteurs
simples. De même

T-l . , , [ II' ^ \

Fj (^, u) z= (^ - «;<7-i ?^i , __ ^ J + • . . .

Si Cl, Co, ..., Cq sont les q racines distinctes de l'équation
cp^(i, c) = o, les q valeurs de u^ qui deviennent égales à h pour
^ =: a, sont représentées par q développements de la forme

m — h = Ci(^z — a) -^ di{z — ay- -\- . . . \

Y^i^z^Ui) sera du degré (</ — i) en (^ — a), car son premier
terme est (^ — a)^~' ?</(*? ^i)- Comme il y a^ facteurs analogues,
A (^) sera divisible par (^ — a)^^^~'^ ; un point multiple d'ordre q
à tangentes distinctes donne dans A (5) une racine multiple d'ordre
^ (<7 — i) de multiplicité.

Enfin supposons que le point (a, h) soit un point de rebrous-

TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E LLE S. iSy

sèment de première espèce, où la tangente n'est pas parallèle à
0;^. En transportant l'origine en ce point, ce qui est évidemment
permis, on a

¥(z, u) = \(u — mzy- -^ z-i-o^ ( i ,-] 4- ...,
'^3 (i, m) n'étant pas nul, et

¥i(z, II) = 2X(u — mz) -+- -2oW I , - j -^

Les deux valeurs de u^ qui deviennent nulles pour ; = o, ont un
même développement de la forme

u z^ mz -T- xz- -r- . . . . 2 ^ o ;

3
Fi(z^u) est de degré - et par suite A (3) est divisible par z'-^.

Un point de rebroussement de première espèce donne donc une

racine triple. En écrivant que ^(z) est de degré ni (m — i) , il

vient

N -t- Z ^ ( ^ — I ) -h 3 /• = /« ( /n — 1 ) ;

portons la valeur de N dans la formule qui donne /?, il reste, toutes
réductions faites,

(m — i)(fn — -î) ^g(ç — O

,9) ^^(,„-n.«-.,_-^

— r.

Si, en particulier, la courbe n'a que d points doubles à tangentes
distinctes, on a

(10) p= ^ '-d—r;

on retrouve ainsi la définition géométrique du genre.

La comparaison des deux formules (9) et (10) montre qiiaa
point de vue du genre, un point multiple d'ordre q à tan-
gentes distinctes équivaut à ^-^- points doubles ordinaires.

130. Appliquons ces considérations aux courbes pour lesquelles
p a les plus petites valeurs. SoitC une courbe de genre zéro; d'après
le théorème de M. Nôther, on peut lui faire correspondre, point

'288 CHAPITRE VI.

par point, une courbe G', aussi du genre zéro, n'ayant que des

points doubles. Si cette courbe G' est du degré m, elle possédera

I 1 • 1 • ^ 1 11 -^ C'^' — i)(m — i) ^
le nombre maximum de points doubles, soit • Ur,

les coordonnées d'un point d'une pareille courbe s'expriment,
comme on sait, par des fonctions rationnelles d'un paramètre
variable t, de façon qu'à un point variable de la courbe ne corres-
ponde qu'une valeur de /. 11 suffit de couper la courbe G' par un

!• • j 1 j j '/ \ . } (fn — i)(m — •:>.)
laisceau de courbes de degré (/?? — i) passant par les ;-

points doubles et par '2 m — 3 points simples pris à volonté sur G',

r . . , ^ ^ i('^î — i)(m — 2)
ou par un faisceau de courbes Lim-2 passant par les

points doubles et par m — 3 points simples de G'.

Inversement, supposons :; et u exprimées par des fonctions ra-
tionnelles quelconques d'un paramètre t

^ = F(0, ii = ^{f)-^

le point de coordonnées (^, u^ décrit une courbe G de genre
zéro. Si à un point de la courbe G ne correspond qu'une valeur
de /, la démonstration est immédiate. Des formules précédentes
on tire en effet t = W(:j, u), W étant une fonction rationnelle, et
la courbe G correspond point par point à la courbe de genre zéro,
iv ^= t. Elle est donc elle-même de genre zéro.

J^orsque plusieurs valeurs de t donnent un même point (^, ?/),
la représentation est impropre, et le raisonnement précédent ne
s'applique plus. Mais M. Liiroth (*) a démontré qu'il suffit d'un
simple changement de la variable indépendante pour être ramené
au cas précédent. Soient

les expressions des coordonnées, /(a), cp(X), «J>(a) désignant trois
polynômes. Nous supposons qu'il existe n valeurs de À donnant
le même point (^, u) ou, d'une façon plus précise, que les deux
équations

^ ^^ ^O^i) ^(>0' ^ih) '^{l)'

(') LùROTH, Mathematische Annalen, t. IX, p. i63.

TRANSFORMATIONS R 1 R A TIO NNE LLE S. 289

ont, quel que soit).,, rt racines communes ).,, )w, . . ., \,i. Ces n ra-
cines sont en général distinctes, sauf pour des valeurs particulières
de X,. En effet, écrivons les équations

(i3)

si \i était une racine multiple de ces deux équations, on
aurait

et par suite

f\h)^{h)-^'{h)fai) = o.

Le rapport j^— y- serait donc une constante; or, la racine mul-
tiple )>/ varie évidemment avec A,, et l'hypothèse est inadmis-
sible.

Si donc on cherche le plus grand commun diviseur des deux

polynômes /(À)M^^h)-'K^)/(>-.) et 'f 00 'M>h ) - '^OO ?(>^0.
on obtient un polynôme de degré n en )., qui n'est autre que le
produit (A — A,) (À — Ào) ... (a_à,^), abstraction faite d'un fac-
teur indépendant de À. Soit '}(a, A,) ce plus grand commun divi-
seur 5 comme les deux polynômes précédents ne font que changer
de signe quand on permute \ et A,, 'i{\ )h ) sera aussi du degré
n en 1,,

6(X,Xi) = Oo(X,)X«4-cpi().,)X«-i+...+ cp„().i),

?o()^i), 'f I ()^i), . . ., '-p/i(X, ) étant au plus du degré n en À,.

Si dans l'équation 'J;()., a,) = o on remplace successivement
X, par Ao, . . ., A„, cette équation aura toujours les mêmes racines,
car les valeurs A,? ^^2, • • •, A/^ q"i correspondent à un même point
(^, u) forment un groupe inséparable. Il s'ensuit que les coefli-

co -f X )

cients ^'-^ reprennent les mêmes valeurs quand on y remplace A

par )v,, Ao,..., A,i- Choisissons 'f/(A) de façon que ce coefficient
ne se réduise pas à une constante, et posons

cpo(X)'
A. ET G. iq

290 CHAPITRE VI.

à un point (^, u) de la courbe considérée correspond une seule
valeur de [jl. Inversement à une valeur quelconque de [i. corres-
pondent au plus n valeurs de X; or, si \^ est une de ces valeurs,
les autres valeurs du même groupe )w, ).3, . . . , \a vérifient la même
équation. Il s'ensuit que cette équation est bien du degré n en A
et qu'à une valeur de a ne correspond qu'un point (^, u). Si donc
on prend [jl pour variable indépendante, on voit que z et u s'ex-
primeront rationnellement au moyen de [i., et qu'inversement jj.
sera une fonction rationnelle de z et de u.

Considérons, par exemple, la courbe représentée par les équa-
tions

_ (X2-HJ)2 _ À(X2.4-i)

En appliquant la méthode précédente, on trouve

La représentation est donc impropre. Mais si l'on prend pour
paramètre

on vérifie que ;: et u s'expriment rationnellement en ti.

et l'on a inversement

u

131. Étant données deux courbes de genre zéro C, G', on peut
toujours les faire correspondre point par point d'une infinité de
manières. Soient, en effet,

les formules qui concernent les coordonnées d'un point de C,
y, cp, t: étant des fonctions rationnelles,

Z = F(T), . U = 4>(T), T = n(Z,U)

TRANSFORMATIONS B I RAT lONN ELLES. 29I

les formules analogues pour C. Si Ton établit entre ^ et T une
relation linéaire

(14 ) AT;-f-B^-i-CT-^D = o,

on voit que Z, U s'expriment rationnellement au moven de z^ u
et inversement. On a ainsi la transformation birationnelle la plus
générale que l'on puisse établir entre les points des deux courbes
G, C; il est clair, en effet, que toute correspondance biration-
nelle entre les points de ces deux courbes donnera entre ^ et T
une relation algébrique qui devra être du premier degré par rap-
port à chacune des variables. La relation (i4) dépend de trois pa-
ramètres dont on peut disposer de façon qu'à trois points déter-
minés de C correspondent trois points arbitraires de G^ Comme
cas particulier, il peut arriver que ces deux courbes coïncident,
et l'on voit qu'^Y existe une infinité de transformations hira-
tionnelles, dépendant de trois paramètres arbitraires , par
lesquelles une courbe du genre zéro se change en elle-
même.

Les intégrales abéliennes relatives à une pareille courbe se ra-
mènent immédiatement à des intégrales de fractions rationnelles.
Il n'y a pas d'intégrale de première espèce.

132. Passons au cas oii /? = i. Etant donnée une courbe du
premier genre C, nous pouvons toujours supposer, d'après le
théorème de M. Nother, qu'elle n'admet que des points doubles à
tangentes distinctes. Si elle est de degré m, elle aura donc

(m — \)( m — 2 ) m (m — 3 ) . -, 11 ^ m (m — 3 )
-^ —1= — ^ pomts doubles. Ces — ^ -

points doubles^ joints à m — 2 points simples pris à volonté
sur C, déterminent un faisceau de courbes d'ordre m — 2,

^m~2i car

jnim — 3) (m — 'i)(m-\-\^

-f- m — .2 = I .

j. 1

Soit

(i5) ^{z,u)^t'h{z,u) = o

l'équation d'une courbe de ce faisceau; elle rencontre la courbe C
en /w(/n — 2) points dont deux seulement sont variables avec t.

292 CHAPITRE VI.

En effet, chaque point double compte pour deux points d'inter-
section, et l'on a bien

m {m— 3 ) + m — -2= m{m — 2 ) — 1 ( * ).

On obtiendra les coordonnées de ces deux points d'intersec-
tion variables par la résolution d'une équation du second degré à
coefficients rationnels en t^ de sorte que les coordonnées d'un
point de G s'exprimeront au mojen de t par des formules de la
forme suivante :

p

-f-Qv/K(0

Pi

S(0 '

(16)

Si(0

p, Q, Pi, Qi, S, Si, R étant des polynômes entiers en t^ dont le
dernier R(^) est supposé sans facteurs multiples. De considéra-
lions géométriques bien connues (2), on déduit que R(^) est du
troisième ou du quatrième degré; c'est aussi une conséquence
immédiate du théorème général sur la conservation du genre. Po-
sons, en effet,

«. = y/R(7);

des formules (i5) et (16) on tire ^ et wp en fonctions rationnelles
de z et de u. La courbe G et la courbe G' représentée par l'équation
(v-= R(^) se correspondent ainsi point par point par une trans-
formation birationnelle. La courbe G étant de genre un, il doit en
être de même de la seconde courbe, ce qui exige que R(^) soit
du troisième ou du quatrième degré (§ 109).

Si R(^) est du troisième degré, la seconde courbe sera du troi-
sième degré. Si R(^) est du quatrième degré, soit a une racine
de l'équation R(^)= o; la transformation birationnelle

I y

X x^

(*) Si un seul des deux points d'intersection inconnus était variable avec t^
les coordonnées de ce point seraient des fonctions rationnelles de t, et la courbe
serait du genre zéro. On peut employer aussi un faisceau de courbes C,„_,, pas-
sant par les points doubles, et 2 /n — 2 points simples de C.

(^) Clebscii, Ueber diejenigen Curven dereii Coordinaten sich als elliptische
Functionen eines Parameter darstellen lassen {Journal de C relie, t. LXIV).

TRANSFORMATIONS B IR ATIONNELLES. 298

ramène encore à une courbe du troisième degré. Ainsi, ci toute
courbe de genre un on peut faire correspondre, par une trans-
formation hirationnelle, une courbe du troisième degré, qui
sera nécessairement sans point double. On dit que la cubique
sans point double est la courbe normale du premier genre.

Inversement, les coordonnées d'un point d'une cubique peuvent,
et d'une infinité de manières, s'exprimer rationnellement au
moyen d'un paramètre t et de la racine carrée d'un polynôme du
quatrième degré en t^ R(0- ^ suffît de couper la cubique par un

faisceau de droites

y —yQ= t{x — x^),

passant par un point fixe {oCq, y^) choisi arbitrairement sur cette
courbe. Les racines du polynôme R(^) ont une signification géo-
métrique évidente; ces racines sont les coefficients angulaires des
quatre tangentes que l'on peut mener du point {^qi^q) à la cu-
bique. Quel que soit le point (^o; J'o) choisi sur cette courbe, ces
quatre tangentes ont même rapport anharmonique, et, par consé-
quent, Finvariant absolu de la forme biquadratique ^^, R ( — ) ne

dépend pas du point (^o? J'o)- On n'obtient donc pas de représen-
tations essentiellement distinctes.

Le théorème de Géométrie qui vient d'être rappelé se démontre
très aisément au moyen d'une remarque qui peut être utile. Sur
une courbe du troisième ordre, sans point double, prenons deux
points fixes A et B, et soient X, \k les coefficients angulaires des
deux droites AM, BM joignant les deux points A et B à un point
quelconque M de cette cubique. Il est clair qu'il existe une rela-
tion algébrique entre ). et iji, et cette relation doit être du second
degré par rapport à chacune des variables ; elle est donc de la
forme

)v2(A{Jl2_}_B;jL-4-C)

^ ^^ j +X(Aifji24_Bi;jL-T-Ci)+ Ao.u^^-Ba.u+Co

et peut encore s'écrire

Si la droite de coefficient angulaire X, issue du point A, est

igi CHAPITRE VI.

tangente en un aulre point à la cubique, les deux valeurs corres-
pondantes de [A doivent être égales. Par suite, les coefficients an-
gulaires des tangentes issues de A sont les racines de l'équation
du quatrième degré

. ox \ R(X) = (BA2 + Ba+B,)-2

^ ^ \ -4(AX2 + AiX-i-A2)(G).2+CiX + C2) = o.

De même, les coefficients angulaires des tangentes issues du
point B sont les racines de l'équation

Il s'agit de faire voir que le rapport anharmonique des quatre
racines est le même pour les deux équations. Comme ce rapport
anharmonique ne change pas par une substitution linéaire, la pro-
position sera évidemment établie si l'on démontre qu'on peut, par
une substitution linéaire de la forme

^ , a\ -y- b , aa H- B
A = -.— — -, j \x = — '- ,

ck -^ a Y[Jt.-i- 0

ramener la relation (17) à une relation symétrique en X et [Ji.
Choisissons pour cela, ce qui est toujours possible, les coeffi-
cients des deux transformations, de telle façon que, pour X = o,
l'équation (17) ait une racine double infinie en u., et, pour a = o,
une racine double infinie en \. Dans ces conditions, on a

A2 = B2 = o, G = Cl = o
et la relation (17) prend la forme

A X2 fx2 -1- X|Ji ( B X -H Al [JL-H Bi ) + C2 = o.

Si AiB n'est pas nul, il suffira de remplacer u par — pour être

Al

ramené à une relation symétrique. On ne peut avoir A,B= o; on

vérifie, en effet, que les deux équations R(X)=r=o, R,(!jl) = o

auraient chacune une racine double. Ce cas ne se présenterait

que pour une cubique ajant un point double.

133. Considérons, comme application, les courbes de genre un
représentées par une équation binôme. On a vu (n° 112) que ces

TRANSFORMATIONS B I R ATI ONNELLE S. 2^5

courbes se partagent en quatre groupes; les équations apparte-
nant à un même groupe peuvent, par quelques transformations
simples, qui sont précisément des transformations birationnelles,
être ramenées à une forme type. On peut prendre, par exemple,
pour formes types les suivantes :

(A) u^.^(^z-a)(z-b){z-c),

(B) iû = {z-a)(z-b),

(C) u'*=^(z-a}(z-by-,

(D) u6 = ç^-^ay{z — b)K

Nous n'avons évidemment à nous occuper que des trois der-
nières équations (B), (C), (D). Si, dans l'équation (B), on pose
K = t^ il vient

a-\- b / /a -i- b\- .

et cette équation, jointe à la relation u = t^ donne évidemment
une solution du problème.

De même, dans l'équation (C), posons

z = a-^ t^-^
il vient

u'* = t^-{t^- ^a — by-j
d'où l'on tire

u =: \/ 1 i^t- -\- a — b).

Enfin, dans l'équation (D), il suffit de poser

z = b-\-t^
et Ton obtient pour u la valeur

u = tï sj ti — b — a.

134. Toute courbe du premier genre admet une infinité de
transformations birationnelles en elle-même. La proposition sera
établie, si on la démontre pour une cubique; or, dans ce cas par-
ticulier, le théorème est presque évident. Il suffit en effet de
prendre sur la courbe du troisième degré un point quelconque A
et de faire correspondre à un point M de la cubique le troLsième
point de rencontre de cette cubique avec la sécante AM.

296 CHAPITRE VI.

Cette remarque' bien simple permet déjà d'intégrer l'équation
d'Euler. Soient

l'équation d'une courbe du troisième degré, (a, P) les coordon-
nées du point fixe A, {x, y) et {x' , y') les coordonnées des points
M et M'. On a entre ces coordonnées des relations de la forme

(.,^) \x=\\ (^',y,a,P),

et inversement

(22) i ^'=R (^,r,«,P),

R et R, étant des fonctions rationnelles.

L'intégrale de première espèce, attachée à la courbe (20),

dx

J \Jx'^ -4- px- -\- qx -^ r

devient, après la transformation (21), une intégrale de première
espèce attachée à la même courbe y^- = x'^ -^ px'- + qxJ'^ + r
c'est-à-dire que l'on a

J Vx-^-+-px^-h qx-+- r J ^x"^

dx'

-i-px'^ -+- qx' -v r

et, comme les deux transformations (21) et (22) sont inverses
l'une de l'autre, on a forcément A^ = i, et par suite

(23) "^^ , dx'

s/x^-^px-^^ qx-+-7^ \/x'-i-i-px'-^-^qx'-{-r

Les formules (21) donnent donc une intégrale de l'équation (23)
et, comme ces formules renferment un paramètre arbitraire (a, (3),
elles donnent l'intégrale générale.

Il est facile de développer les calculs. Soit

y = mx -\- n

^équation de la droite M A M'; x,x\^ sont les trois racines de
l'équation

TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LLE S. 297

On a donc

OL -^ X -h t' = m- — /?,

a{x -T- x') -T- xx' = g — imn,
axx' = n- — /•-

L'élimination de m et n entre ces trois équations conduit à la
relation cherchée

a(x-i- x') -+■ xx' = q — is/ {r -^ ocxx'){p H- a -i- x -i-x')y

qui contient une constante arbitraire a.

En combinant deux transformations birationnelles telles que
la précédente, on obtient de nouvelles transformations, par
lesquelles la cubique se change en elle-même. Ainsi, étant don-
nés deux points A et B sur cette courbe, faisons se correspondre
les points M et M' tels que les sécantes BM' et AM concourent
en un nouveau point de la cubique. Si le point A reste fixe et
qu'on fasse varier le point B, on obtient une infinité de trans-
formations dépendant algébriquement d'un paramètre, l'abscisse
du point B par exemple, et, lorsque B est venu en A, la trans-
formation considérée se réduit à la transformation identique.
Ainsi, toute courbe de genre un admet une infinité de trans-
formations birationnelles en elle-même, dépendant algébri-
quement d^ un paramètre t,

x' =K {x,y,t),

y = Ri{x,y,t),

et telles que, pour une valeur particulière /q de ceparamètre,
on ait identiquement

x'=Xj y = y.

i3o. Considérons encore les courbes du genre 2. Si une
courbe C,„, de genre 2, n'a que des points doubles ordinaires,
le nombre d de ces points doubles est égal , d'après la for-
mule (10) (§129), à

(m — \')(m — 'i) m(m — 3)

— ^ — 2 = — I.

9. 2

On peut encore trouver un faisceau de courbes rencontrant

298 CHAPITRE VI. — TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LLE S.

Cm en deux points variables seulement, soit en prenant un fais-
ceau de courbes de degré m passant par les d points doubles de Cm
et par 3 /?z points simples, soit en prenant un faisceau de courbes
de degré m — 3 passant par les d points doubles de Cm- En repre-
nant les raisonnements du n° 132, on en conclut que les coor-
données d^ an point d'une courbe de genre 1 s'' expriment ra-
tionnellement au moyen d'un paramètre t et de la racine
carrée d'un polynôme du sixième degré R(^) (^ ).

D'une façon plus précise, à toute courbe de genre 2, on peut
faire correspondre, par une transformation birationnelle, une
courbe représentée par une équation de la forme

(24) w^- = X{t — ai) {t — a,) . . . {t ~ a(,) .

Si Ton pose encore ^ = ^, w ^=:^ [x — a^)[x — <^2)jKj on voit
que la courbe (24) correspond point par point à la courbe du qua-
trième ordre

(25) j2(^ — ai){x — a^) = A(^ — «3) ... (x — «g),

qui a un point double à l'infini. Inversement, toute courbe
du quatrième ordre, ayant un point double, est du genre 2. On
peut donc prendre cette courbe pour la courbe normale du
genre 2.

(') ScHWARZ, Essai de déîiionstration d'un théorème de Géométrie {Journal
de Mathématiques pures et appliquées, 3" série, t. VI, p. iii-ii/j).

NTEGRALES NORMALES. 299

CHAPITRE VII.

INTÉGRALES NORMALES. — DÉCOMPOSITION

D'UNE INTÉGRALE ABÉLIENNE EN ÉLÉMENTS SIMPLES.

CAS DE RÉDUCTION (i).

Formation des intégrales de première espèce. — Courbes adjointes. — Intégrales
de seconde et de troisième espèce, — Intégrales normales des trois espèces. —
Périodes des intégrales normales. — Échange du paramètre et de l'argument
dans les intégrales de troisième espèce. — Intégrales de seconde espèce déduites
de l'intégrale de troisième espèce. — Réduction d'une intégrale quelconque à
une partie algébrique, à des intégrales de troisième espèce et à 2^0 intégrales
de première et de seconde espèce. — Intégrales algébriques. — Intégrales lo-
garithmiques. — Intégrales de première espèce réductibles à des intégrales
elliptiques.

136. Nous avons déjà indiqué sommairement (n^ 117) comment
on partage les intégrales abéliennes en intégrales de première,
de deuxième et de troisième espèce. Nous allons, dans ce Chapitre,
revenir sur ce sujet, et nous proposer d'abord de former les inté-
grales de ces trois espèces.

Pour déterminer les intégrales de première espèce relatives à
une courbe donnée

(i) F{z,u) = o,

de degré m, nous supposerons qu'on a effectué, s'il est néces-
saire, une transformation homographique de façon que les m
coefficients angulaires des asymptotes aient des valeurs distinctes
el finies. Aucune asymptote n'étant parallèle à l'axe des w, l'équa-

(') A.uteurs à consulter : Riemann, Théorie der AheVschen Functionen; —
Clebsch et GoRDAN, Théorie der AbeVschen Functionen, Chap. IV et V; — Abel,

Sur l'intégration de la formule différentielle j ^-j=^.j R et p étant des fonc-
tions entières.

300 CHAPITRE VII.

tion (i) renferme un terme en ^^'^% et peut s'écrire

(i') F(^, u) = Aoa'«+ Aiw"^-i +... + A/w'«-i'+...+ A„i = o,

Ao étant une constante et A/ un poljnome en jz de degré i an
plus. Les m valeurs de u pour une valeur de ;:; de module très
grand sont fournies par m développements distincts, tels que

,0 .

Ui = CiZ -h ai^ ^ -^. .. (i— 1,2, m).

z

Soit

f ^{z,u]dz

(-o,"o)

une intégrale abélienne relative à cette courbe. Il est évident que,
si cette intégrale est de première espèce, c'est-à-dire reste finie
pour toute valeur de ^, la fonction rationnelle 0(5, w) satisfait
aux conditions suivantes :

i^ Pour des valeurs infinies de ^, elle est de l'ordre de — ou

z^

2° Si en un point analytique (zto, u^) à distance finie, cp(^, u)
devient infinie, elle le devient d'un ordre fractionnaire et infé-
rieur à l'unité par rapport à _ ^ ? de sorte que ce point (^o? «<o)

est un point de ramification de la surface de Riemann correspon-
dante. La même propriété a lieu pour le produit u'^ o{z, u), quel
que soit le nombre entier positif A", car u reste fini pour toutes les
valeurs finies de z.

D'après cela, si l'on appelle ?/<, ^2, . . • , Um les m valeurs de u
qui correspondent à une valeur de ^, la somme

Vk-1= U\^{Z, U^)^ u\o{z,Ui)+...-^ U^m'^iz, U,n)

est un polynôme entier en z. En efî'et, P^_2 est une fonction
symétrique de Wi, ^2, • . • , Um et, par suite, une fonction ration-
nelle de z. Pour faire voir que c'est un poljnome, il suffit de
montrer qu'il reste fini pour toute valeur finie de z. Or un terme
quelconque de cette somme u^(f(z^ ui) ne peut devenir infini
qu'en un point de ramification (^oj ^^o) et, dans ce cas, il ne con-

INTÉGRALES NORMALES. 3oi

I

tient que des puissances de ^-—^ d'exposant inférieur à l'unité;
sa partie principale est de la forme

ai a, a„_i
{z — ZqY (z — zoy (-5--S0) "
si le point de ramification est d'ordre n — i . La somme P^_o ne con-
tient donc aucune puissance entière de : dans le domaine

^ (^ — -0)

de ce point et, comme Pa_2 est une fonction rationnelle de z, il
s'ensuit qu'elle reste finie pour z =^ Zq.

Pour avoir le degré du polynôme Pa_2, il suffit de voir de quel
ordre est cette fonction par rapport à z pour une valeur infiniment

grande de z. Or, cp(^, a) étant de l'ordre de — au moins et «f de

l'ordre de ^*, Pa_2 sera de l'ordre de z^~' au plus. On voit d'abord
que, si A^ est égal à o ou à i , Pk-2 sera identiquement nul, car un
poljnome ne peut être nul pour z infini, que s'il l'est identique-
ment. Si A"^ a, Pfc-2 sera de degré k — 2 au plus. On a donc, en
faisant successivement A' ^ o, i , 2, . . . , 7?i — i , les relations sui-
vantes :

0(5, Ml) 4- 0(^,^2)+...+ o{z^U,n) = 0,

lllO{z,Ui ) -l- W2Cp(^, M2)H-. . .+ Um^{z,U,n) = O,
(3) / U\0{Z,U{)^ ulo{z,U2) + . ..-^UjnO{z,U„i) =^Q,

\ W'i«-1 0{Z, U,)^ U'r'o{z, iu)^...-^u'!^r' ?(-2, «m)= P

/«— 3 :

Pq. . . . ,Pi, . . . , Pni-i étant des polynômes entiers en z d'un degré
marqué par leur indice, ou d'un degré inférieur.

Ces équations linéaires (3) fournissent les ni déterminations
de 'f (^, u). Pour les résoudre commodément, imaginons qu'on
ait divisé F(s, u) par (w — U{)\ le quotient est un polynôme de
degré m — 1 en u

^A^±^ = Bo w'«-i + Bi a^n-2 ^...^ B,n-l ,

Il — Itl
où

Bo = Ao, Bi = Ao«i4-Ai, B2 = Aoi/f -I- AiMi^- A2, ...:

en général Ba est un polynôme de degré A en ^ et W|.

302 CHAPITRE VII.

Le polynôme — ^f— s'annule pour u=^ Uo, - - .^ u = u,n ; et sa

valeur pour u = Ui est F;^(^,^^^). Multiplions la première des
équations (3) par B„,_i, la deuxième par B;;,_2, . . ., la dernière
par Bq et ajoutons-les; il reste, en tenant compte des propriétés
que nous venons de rappeler,

Q(z, w< ) étant un poljnome de degré 77i — 3 au plus en ^ et z/,,

Q(Z, Ui)= PoB,„_3 -h Pi B„,_2 +. . .+ P,„_3Bo.

On obtiendra de même (f{z,ui)en remplaçant, dans l'équa-
tion (4), Ui par m; par suite, quelle que soit la racine de l'équa-
tion (i) que l'on prenne pour u^ on a

Toute intégrale de première espèce relative à la courbe (i)
est donc de la forme

oîi Q(^, u) est un polynôme de degré m — 3 au plus en z et u.

137. Il ne s'ensuit pas que toute intégrale de la forme précé-
dente soit de première espèce. Il faut voir à quelles conditions
doit satisfaire le poljnome Q(^,?/) pour que l'intégrale reste
partout finie. Considérons d'abord un point à l'infini de la surface
de Riemann, la valeur de u étant donnée parle développement

u = az^ y-i^ ^- — H —

z

Par hypothèse, on a, en groupant ensemble les termes de même
degré,

F(z,w) = ^'«cp,„ ll^-\^Z^n-l^^^^_^ /l^ L'") +...^

l'équation cp„j(i,c) = o ayant w racines distinctes. On en conclut

r/«-i \ M

u
1

INTÉGRALES NORMALES. 3o3

la notation cp^ (^'t) ii^diquant une dérivée prise par rapport à
-• Le coefficient ^'„i{^i^i) n'étant pas nul, on voit que, si l'on

remplace u par le développement qui précède, F^(^, u) sera de
l'ordre de z"^~^^ tandis que Q(^, u) sera de l'ordre de z"'''^ ou
d'un ordre inférieur. L'intégrale reste donc finie pour z = y^^
quel que soit le polynôme Q(^, u).

L'intégrale ne peut, par conséquent, devenir infinie qu'aux
points où la dérivée F'j^(xj, u) s'annule. Ces points correspon-
dent, comme on sait, aux points de la courbe où la tangente est
parallèle à l'axe des u^ et aux points multiples. Soit (sq, Uq) un
point de ramification où passent n feuillets ; dans le domaine de
ce point, les n valeurs de u qui deviennent égales à Uq sont repré-
sentées par un même développement en série

1 2

quand on remplace u par ce développement dans F^^(^, «), le ré-

sultat est d'un certain ordre en [z — ^o)'S P^^' exemple de l'ordre

^■
de (-3 — ^o)"- Il faudra qu'en remplaçant u par le même dévelop-

pement dans Q(^, «<), le résultat soit de l'ordre de (^ — Zq) " ou
d'un ordre supérieur. En écrivant que ces conditions sont satis-
faites pour tous les points où F',^(^, u) = o, on obtient un certain
nombre de relations linéaires entre les coefficients du polynôme

Q(-s«).

Le calcul est très laborieux lorsqu'on ne fait aucune hypothèse
sur les points singuliers de la courbe F(^, iC) = o. On le trouvera
dans la Thèse de M. Elliot (') et dans l'Ouvrage de Briot. Mais
si l'on veut seulement évaluer le nombre des intégrales distinctes
de première espèce relatives à une courbe de genre /?, on peut
toujours supposer qu'on a ramené la courbe, par une transforma-
tion birationnelle, à une autre courbe dont les seuls points sin-
guliers sont des points doubles à tangentes distinctes. Le calcul
n'offre alors aucune difficulté.

(*) Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 2« série, l. VI;

1875.

3o4 CHAPITRE VII.

Prenant un cas un peu plus général, nous supposerons que la
courbe F{z, a) = o, de degré m, n'admet que des points multi-
ples à tangentes distinctes ou des points de rebî'oussenient de
première espèce.

Soit d'abord (a, b) un point simple de la courbe où la tangente
est parallèle à l'axe des w; les développements du n°87 montrent
immédiatement qu^ine intégrale

/

reste toujours finie en ce point, quel que soit le polynôme
Q(z^ u). C'est aussi ce qu'on peut voir sans calcul en remar-
quant que l'intégrale précédente, d'après la relation

peut s'écrire

'Q(z,u)du

P

et que F'^ (^, u) n'est pas nul au point (a, b).

Soit, en second lieu, (a, b) un point multiple d'ordre q à tan-
gentes distinctes. En portant l'origine en ce point, on a

F(Z,U)=J,^^^( I, ^ ) +^'7+1©^+,

'fy(i, c) étant un polynôme de degré q qui n'admet que des fac-
teurs linéaires simples et, par suite,

Les q valeurs de u^ qui deviennent nulles en même temps que z,
sont représentées par q développements distincts

Ui= CiZ-^UiZ^--^ ... {1 = 1,2, .. .,q),

les constantes Ci , Co, . . . , c^ étant toutes différentes. Si l'on rem-
place u par un quelconque de ces développements dans F,'^(:;, u)^
le résultat est de l'ordre de z*^'*. Il faut, pour que l'intégrale
reste finie en chacun des q points analytiques correspondant
aux q branches de courbe, que Q(^, u) soit, après la même substi-

INTÉGRALES NORMALES. 3o5

tutioD) de l'ordre de z^~* ou d'un ordre supérieur. Ceci aura lieu
si Q(^, w) ne contient aucun terme de degré inférieur à ^ — i
en z et u. Cette condition est d'ailleurs nécessaire; en effet,
supposons que Q(>3, u)^ ordonné en groupes de termes de
même degré en z et u, contienne un groupe de degré inférieur
à^ — 1,

Q(^, u) = '1/,{Z, u) -{- ^;,+i{z, u) -h ... {k<q —I).

Quand on remplace u par un des développements qui précèdent,
le résultat est de l'ordre de^^, à moins que l'on n'ait <J>a(«^ ci) = o.
Si k est inférieur k q — i , il faudrait donc avoir à la fois

et le polynôme 6a (i, c), de degré inférieur k q — i, aurait q ra-
cines distinctes. Si, au point multiple (a, 6), l'axe des u était tan-
gent aune des branches de courbe, on aurait, en prenant ce point
pour origine,

F{z,u) = z9oq-i (i, ^^j

le raisonnement s'achèverait comme plus haut et conduirait à la
même conclusion.

Enfin, supposons que le point («, b) soit un point de rebrousse-
ment de première espèce où la tangente n'est pas parallèle à l'axe
des u. On a, en portant l'origine en ce point,

F{z,ii) = A(u — y.zy^-h:^^{z, u) -^ o:,{z, u) ~ . . . ^

les polynômes homogènes '-^si^-, w), Oi(z,di)j . . . étant d'un degré
marqué par leur indice, et o-i(Zj u) n'étant pas divisible par
u — OLZ. On en déduit pour u un développement de la forme

(n° 88)

u = y.z-^ '^z'^-+--(z^--^ ...,

OÙ ^3 n'est pas nul. Si Ton remplace u parce développement dans

FU^, M) = 2A(w-a^)-l--^ + ...,

1
le résultat de la substitution est évidemment de l'ordre de z'-. Pour

A. ET G. 20

3o6 CHAPITRE VII.

que l'intégrale f lf'( reste finie pour 5 = o, il faut évidem-

ment que Q(5, u) ne contienne pas de terme constant. La condi-
tion est d'ailleurs suffisante, car Q{z, u) est alors de l'ordre de z
ou d'un ordre supérieur.

La condition est la même si la tangente de rebroussement est
parallèle à Taxe des w, car on a identiquement, en vertu de la
relation F' du + FI <^^ = o,

/

Q(z, u)dz _ f Çl{z,u)du

et, en raisonnant sur la nouvelle intégrale, on voit qu'elle restera
finie au point (a, 6), si Q(a, ^)= o, et dans ce cas seulement.
En résumé, pour que l'intégrale

/

Q(.,.)^^

¥\,{z,u.

soit de première espèce, il faut et il suffît que tout point multiple
d'ordre q de la courbe F(^, u) — o soit un point multiple d'ordre
q — I de la courbe de degré m — 3 représentée par Téquation
Q(3,w)= o. CecisupposC; bien entendu, que la courbe F(^, u)^= o
n'a pas d'autres singularités que celles qui ont été spécifiées plus
haut.

138. Pour déterminer le nombre d'intégrales de première espèce
d'une courbe de genre/?, il suffit, comme on l'a déjà remarqué,
de considérer une courbe n'ayant que des points doubles à tan-
gentes distinctes. C'est ce que nous allons faire. Soient m le degré
de la courbe, d le nombre des points doubles; on a

{m — \){în — -i)
p = a.

-^ 1 /-w / \ 1 1 ' o • miin — 3)
Tout polynôme Q(^, u) de degré m — 6 contient — ^-^ ^-4- i

coefficients arbitraires. En écrivant que la courbe Q(^, «) = o
passe par les d points doubles, on établit entre ces coefficients d
relations linéaires; il restera dans Q(^, u) un nombre de coeffi-
cients arbitraires égal à

— ^^ : + I — cZ = i — cl— p.

INTÉGRALES NORMALES. 3o7

On ne peut pas conclure de là immédiatement que la courbe
admet p intégrales distinctes de première espèce; on pourrait
craindre, en efl'et, que les â? relations établies entre les coefficients
du polynôme Q(^, u) ne soient pas distinctes. Mais le raisonne-
ment prouve que la courbe possède au moins p intégrales dis-
tinctes de première espèce. D'ailleurs, elle ne peut en admettre
plus de /> (§ 118). Donc on peut énoncer le théorème général
suiv^ant :

A toute relation algébrique F(^, ?«)=o, de genre p, sont
attachées p intégrales abéliennes distinctes de première espèce.

Nous disons que p intégrales w^ , Wo, • . • , iVp sont linéairement
distinctes, s'il n'existe aucune relation linéaire à coefficients con-
stants de la forme

Cl tvi + G.2 w, -}- . . . -^ G^ w^ H- G/,+1 = o,

où Tune au moins de ces constantes soit différente de zéro. Si «',,
W2^ .. ., iVp sont/? intégrales distinctes de première espèce, toute
autre intégrale de première espèce est égale à

Xl Wl-H A2tP2+ • ♦ . -4- '^pWp-^ ^^p+i-

Remarque. — Un polynôme de degré m — 3 en g et w contient

(m — i)(m — 2 ) fp • . 1 • . • • I

■^ ^ coethcients arbitraires; par suite, le genre dune

courbe de degré m est au plus égal a ^^ -, ce qu on peut

voir aussi directement sans difficulté. Pour que cette limite supé-
rieure soit atteinte, il est nécessaire que le polynôme Çlm-3 ne soit
assujetti à aucune condition, c'est-à-dire que la courbe considérée
n'ait aucun point multiple.

139. Le théorème qui précède étant fondamental, il n'est peut-
être pas inutile d'en donner une démonstration toute différente,
où n'interviennent pas les surfaces de Riemann. Il suffît de mon-
trer qu'une courbe de genre p ne peut avoir plus de p intégrales
distinctes de première espèce. C'est ce qui résulte du théorème
suivant :

S'il existe un faisceau de courbes algébriques rencontrant

3o8 CHAPITRE VU.

une courbe algébrique donnée en q points variables seulement,
et si Von peut dispose?^ de ce faisceau de façon qu'un de ces
groupes de q points puisse être choisi arbitrairement, la courbe
donnée a nécessairement moins de q intégrales distinctes de
première espèce (^).

Soient F(:;, u) = o Féquadon de la courbe donnée,

f{z,ii)^l'\>{z,u) = o

l'équation d'une courbe du faisceau et (^<, w, ) . . . (zq, Ug) les coor-
données des q points d'intersection variables avec X; soit enfin

(f{z, u)dz
une intégrale de première espèce. Posons

' c^{z,u)dz;

la somme

VV = w{Zi, Ui)^ «^(-32, ^^2) -T- . . . + M^(^<7, Ug)

est une fonction du paramètre \, qui conserve une valeur finie
pour toute valeur de X. On a d'ailleurs

dW ^ . dzi dzq

des relations

i)F dui dY dui _

dui d\ dzi d\ "" '
df dz-i df duj \ ( ^"^ ^^i ^^ diii\ _

on lire pour -^ une fonction rationnelle de zi^ ui^ A

Par suite, -^ est une fonction rationnelle et symétrique des q

(') La démonstration suivante est due à M. Picard {Bulletin des Sciences ma-
thématiques, 2^ série, t. XIV; 1890).

INTÉGRALES NORMALES. SOQ

couples de valeurs {z-t ,?/,)... (Zq, Uq). Elle se réduit donc à une
fonction rationnelle de )., R(a); or l'intégrale d'une fonction ra-
tionnelle

devient infinie au moins pour une valeur de )., à moins que R()v)
ne soit identiquement nul. C'est ce qui arrive nécessairement ici,
et la somme W est constante ('). On a donc

o{zr,iii)-^-^...-i-o{z^,Ug)-^ =o.

S'il existe q intégrales abéliennes distinctes de première
espèce

wi = I tfi{z,u)dz, W2 = j oz{z,u)dz,

on aura de même

dz,

= I Oq{z, U)dz,

Oi{Zi,ui)^ -^...-r-^i{Zq,U,j)'-^- =0,
?2(-l,Wl) -^ -T-...-+-02(^y,Z/^)

dzç^
dX

dZq
d\

Oq(Zi,Ui)

dzi
'dï

...^Oq{Zq,Uq)

dz

1 _

dl

Gomme les points (3,, Ui), . . ., (zq, Uq) sont variables avec )., il
faudra donc que Ton ait

01(^1, ?<l) ... 0[{Zq,Uq)
02(^1, Ml) ... 0^_{Zq,Uq)

^q{Zi,U^) ... Oq{Zq,Uq)

et puisque, par hypothèse, on peut choisir arbitrairement un des
groupes de q points, ce déterminant A devra être nul, quels que
soient les q points (^,, Ui), . . . , {Zq, Uq).

Il est clair que ceci ne peut avoir lieu si les q fonctions cp(::, u)

(') C'est un cas particulier du théorème d'Abel, qui sera étudié plus loin.

3lO CHAPITRE VII.

sont linéairement distinctes. En eflet, considérons les mineurs
du premier ordre, obtenus en supprimant les éléments de la der-
nière colonne, par exemple ; si tous ces mineurs ne sont pas identi-
quement nuls, quels que soient les points (j:?< , «<), . . . , (^^_i, Uç-.\)j
prenons ces q ■ — i points de façon que l'un au moins de ces mi-
neurs soit différent de zéro. En développant A par rapport aux
éléments de la dernière colonne, on a

Al , . . . A^ étant des constantes dont une au moins n'est pas nulle.
Cette relation ayant lieu quel que soit le point (zq, Uq)^ on voit
que les q fonctions 0\ (5, u)^ . . . 0^(5, u) ne sont pas linéairement
distinctes. Si tous les mineurs du premier ordre de A étaient iden-
tiquement nuls, on raisonnerait sur un de ces mineurs comme on
a raisonné sur A, et ainsi de suite. On arriverait, dans tous les
cas, à établir une relation linéaire à coefficients constants entre
q'{q'<C q) des fonctions cp, , cp^, . . . , 'f ^ ; ce qui est contraire à l'iiv-
pothèse. La proposition énoncée est donc établie.

Gela posé, supposons qu'une courbe de genre /?, n'ayant que
des points doubles ordinaires, possède plus de p intégrales dis-
tinctes de première espèce. Le polynôme de degré m — 3 le plus
général s'ânnulant pour les coordonnées de ces points doubles
sera une fonction linéaire et homogène de/> + i coefficients arbi-
traires au moins. On pourra disposer de ces coefficients de façon
à faire passer la courbe Q(^, 11):= o par p points arbitraires pris
sur la courbe donnée F(^, u) = o. Les autres points d'intersec-
tion seront au nombre de

m{7?i — 3 ) — 2d —p = p — 2.

Par ces p — 2 points et les d points doubles de la courbe
donnée, on pourra faire passer un faisceau de courbes de degré
jn — 3, chacune des courbes du faisceau rencontrant la courbe
donnée en p points variables seulement, et cela de telle façon que
l'une des courbes du faisceau soit la courbe déterminée tout à
l'heure, qui passe par p points choisis arbitrairement. Il suit de
là que la courbe F(^, u) = o aurait moins de/> intégrales de pre-
mière espèce, et nous avons vu qu'elle en a au moins p. Cette
contradiction démontre le théorème.

INTÉGRALES NORMALES. 3ll

14-0. Étant donnée une courbe algébrique Cm n'ayant que des
points doubles ordinaires, on appelle courbe adjointe toute
courbe passant par les points doubles de la première. Les inté-
grales de première espèce sont fournies, on vient de le voir, par
les courbes adjointes du degré m — 3 j ces courbes adjointes Qm-^
forment un système p — i fois indéterminé et sont comprises dans
une équation de la forme

(^{x,y) = l, Qi(:r, j) + l,Q,{x,y) +...-- lpQAT,y) = o,

les y;» polynômes Q/(^,Jk) étant linéairement indépendants. Par
p — I points pris à volonté sur C, il passe une courbe adjointe de
degré m — 3, et une seule en général. Par/? — i -^ h points pris
au hasard sur C, (/i > o), il ne passe en général aucune courbe
adjointe de degré 7?z — 3. Enfin, toute courbe adjointe G/„_3 ren-
contre la courbe G en 2p — 2 points variables, en dehors des
points doubles. On a, en effet, d'après l'expression du nombre/?,

m (m — 3 ) = 9.d -\- ?,/> — t..

Pour donner un exemple simple, prenons une courbe du qua-
trième ordre C4 ; les courbes adjointes sont ici des lignes droites
passant par les points doubles de C4. Si Cj n'a pas de point
double, toute ligne droite est une courbe adjointe ; il j a trois inté-
grales distinctes de première espèce. Si C4 a un point double, les
courbes adjointes sont les droites passant par ce point; il y a
deux intégrales distinctes de première espèce. Lorsque C4 a deux
points doubles, il y a une seule courbe adjointe d'ordre m — 3,
la droite qui joint ces deux points et, par suite, une seule inté-
grale de première espèce. Enfin, si C4 avait trois points dou-
bles, il n'y aurait plus de courbe adjointe du premier degré ni
d'intégrale de première espèce.

141. Si la courbe donnée C/« présente des points singuliers
d'une nature quelconque, on appelle encore courbe adjointe toute
courbe représentée par une équation Q(:î, u) = o, telle que l'in-
tégrale abélienne

(l(z,ii)dz
F'^{z,u)

reste finie en tous les points singuliers de la courbe donnée;

3J2

CHAPITRE VII.

Q(^, u) est un polynôme adjoint. On suppose toujours, comme
plus haut, que tous ces points singuliers sont à distance finie.
Cette condition est indépendante du choix des axes, ou, d'une
façon plus générale, la définition précédente est projective.
Imaginons, en effet, qu'on effectue une transformation homogra-
phique

az' -\- bu' -^ c
a" z' -^ b" u! -\- c"

b' u'

a z -\- b" u' -\- c"

la courbe considérée Crn se change en une nouvelle courbe C^,
ayant pour équation

(6) §{z', u') = {a"z'-i- b"u'-{- c")'« F

\a z

az'-^bu'-hc a' z' -h b' u' -\- c'

' -+- b" u' H- c" ' a"z' H- b" u' -+- c"

et de même la courbe adjointe Q(z, u) = o de degré u se change
en une nouvelle courbe de degré u.

(7) ^(z',Li') = (a"z'-i-b'u'-hc")\>-q

az' -{- bu' -h c a' z' -{- b' u' ^ c'

a" z' -+■ b" u' -f- c" a!' z' + b" u' H- c'

)=o.

Soient encore (a, [3) un point multiple de C,„ et (a', p') le point
correspondant de C^. Tout revient à faire voir que, si l'inté-
grale (5) reste finie au point (a, P), il en est de même de l'in-
tégrale

(8) n{z',u')dz'

au point (a', ^'). De la relation (6), on tire

^'u>{z', u) = {a"z'+ b"u'-^ c"Y^ ( f: -^, + f;, — , ) ,

\ au au /

ou, en tenant compte de la relation Y.dz + ¥\,du — o,

dz§',,{z\u') = {a"z+ b"u'-^ c"yn ^/^/^,\ ¥',,dz'.

jl) (z . u )

D'ailleurs, un calcul facile donne

D(^', u) {a" z' ^ b" u' -{- c"y

X

abc
a' b' c'
a" b" c"

{a" z^ b" u! -h 6'")^

INTÉGRALES NORMALES. 3l3

A désignant le déterminant de la substitution homographique. On
déduit de là

\dz' I dz

^;X- , u') {a"z-^ b"ii'-^c"yn-i ¥[,{z, uY

il vient enfin

^(z\u)dz'

rQ(z,u)dz ^ ^ r

J F^^, «) J (a"z'-

b'u'+c'')V--"^+^^u'{^\u)

Puisqii'au point (a', [ii') correspond un point (a, j3) à distance
finie, le facteur a" z' -\- b'' a' -^ c" n'est pas nul pour z' = a, u' ^ ^^'
et, par conséquent, l'intégrale (8) reste finie au point (a', ^3') si
l'intégrale (5) reste finie au point (a, [3) et inversement.

142. On peut obtenir, par des opérations rationnelles, les rela-
tions auxquelles doivent satisfaire les coefficients d'un polynôme
adjoint Q(-^, a) ('). Ces relations sont linéaires, et leur nombre est

. , ( m — \) (m — 2 ) 1 J J ' V A

égal a ^ p pour une courbe de degré m et de genre

p. Les courbes adjointes du degré m — 3 fournissent toujours les
intégrales de première espèce et forment un système {p — i) fois
indéterminé. Enfin, toute courbe adjointe de degré m — 3 ren-
contre la courbe C/„ en ip — 2 points distincts des points mul-
tiples. Nous allons montrer, en efl'et, que dans toute transfor-
mation hirationnelle, le système des points d'intersection d'une
courbe adjointe de degré m — 3 et de la courbe proposée se
change en un système analogue relatif à la seconde courbe.
Soit Q(^, u) une courbe adjointe de degré m — 3 relative à la
courbe Y(^z^u)=^q\ une transformation birationnelle change
l'intégrale de première espèce

s%

Q{-;lOdz

(*) NôTHER, nationale Ausfuhrung der Operationen in der Théorie der alge-
braischen Functionen {Mathematische Annalen, t. XXIll.p.Sii; i884); Raffy,
Thèse de Doctorat (Paris, i883) ; Tikhomandritzky, Esquisse d'une méthode pour
déterminer le genre et les courbes adjointes d'une courbe algébrique donnée
au moyen des opérations rationnelles {Bulletin des Sciences mathématiques,
1898; Annales de l'École Normale, 1893).

3l4 CHAPITRE VII.

en une nouvelle intégrale de première espèce

/

Qi (z', u') étant un polynôme de degré [jl — 3 adjoint à la nou-
velle courbe de degré [ji, qui a pour équation 0(^', i(!)=zo. On
a donc

Çl{z,u)dz _ Qi(-g\ u')dz'
¥[,{z,u) ~ ^'u,{z',u) '

(z, u) et (z', u') étant les coordonnées de deux points correspon-
dants. Supposons, ce qui ne restreint pas la généralité (n" 128),
que les points d'intersection de la courbe C et de son adjointe,
autres que les points multiples, correspondent à des points ordi-
naires de C et inversement. Cela posé, soit {zq, Uq) un point d'in-
tersection des deux courbes

F(z, u) = o^ Q{z, II) = o,

distinct des points multiples, et [z'^^, u'^) le point correspondant
de la seconde courbe. On peut toujours choisir les axes de façon
qu'en aucun de ces points les tangentes ne soient parallèles aux
axes; aucune des expressions

ne sera nulle, et, comme Q(-:oj ^^o) = O7 on doit avoir

et aussi, par suite.

d'après l'identité

dz' du' __

Ceci ne peut avoir lieu que de deux manières; ou bien

Qi(^o,Wo)==o,

ou bien on a à la fois

^'\ _ /duf _

dzJo~ ' \dz /o~

INTÉGRALES NORMALES. 3l5

Cette dernière hypothèse est inadmissible, si la transformation
est birationnelle. En effet, les développements de u' — u\^ z' — z'^
commenceraient par un terme en [z — ^o)" ou <ie degré supérieur,
au voisinage du point (^o? '^o)j

u'- a, = ^0(5 - ^0)' + 3i(^ - 5o)3 +. . . .

Lorsque le point analytique (z, u) décrirait un petit cercle sur
la surface de Riemann, autour du point {zq, Uq)^ le point (^', u')
tournerait plusieurs fois autour de (z'^, u'^) et il n'y aurait pas
correspondance univoque entre les points des deux surfaces.

On a donc nécessairement Q, (^„, w„) = o, ce qui prouve que
le système des points d'intersection de F = o avec son adjointe
Q = o correspond à un système analogue pour la courbe trans-
formée. Si la seconde courbe n'a que des points doubles ordinaires,
ce qu'on peut toujours supposer, la courbe adjointe la rencontre
en 2/? — 2 points distincts des points multiples; il en est donc de
même de la courbe adjointe à la première.

Remarque. — Quand nous parlons du nombre des points
d'intersection distincts des points multiples d'une courbe et de
son adjointe, il est entendu que les coefficients arbitraires dont
dépend la courbe adjointe sont quelconques; pour certaines va-
leurs particulières de ces coefficients, ce nombre peut diminuer.
Par exemple, si une courbe C^^ n'a que des points doubles ordi-
naires, une courbe adjointe peut être tangente à Qm en certains
de ces points doubles. Mais ce cas doit être considéré comme un
cas limite, où quelques-uns des points d'intersection variables sont
venus se confondre avec les points doubles.

143. Nous pouvons compléter dès maintenant le théorème établi
plus haut (n" 122) sur les transformations birationnelles. Soient

(9) Y{z,u) = o

une relation de genre />, et z>(z,u), 'l{z, u) deux fonctions ra-
tionnelles quelconques de z et de u. En éliminant z et u entre la
relation (9) et les suivantes

(10)

Z = o(z, 11)^

3t6 chapitre vu.

on en déduit entre Z et U une relation irréductible

(II) *(Z,U) = o,

de genre/?'. Si la transformation est réversible, on a />' = /?. S'il
n'en est pas ainsi, on a dans tous les cas p'^p. En effet, toute
intégrale de première espèce attachée à la courbe (i i) se change,
par la substitution (lo), en une intégrale de première espèce rela-
tive à la courbe (9). Par suite, la première courbe possède au
moins autant d'intégrales de première espèce distinctes que la
seconde, c'est-à-dire que le genre p est au moins égal à p' . Il est
facile de montrer, par un exemple, que p peut être supérieur kp' .
Prenons une courbe de genre zéro, dont les coordonnées s'ex-
priment par des fonctions rationnelles d'un paramètre t

z = cp(o, u==^(^),

et remplaçons dans ces formules t par une fonction rationnelle
quelconque R(^, u) des coordonnées d'un point d'une courbe de
genre />, {p > o). On voit bien que l'on passe de la courbe de
genre zéro à la courbe de genre/) par une transformation ration-
nelle, mais ici la transformation n'est plus réversible.

Une autre conclusion à tirer de là, c'est qu'o/z peut toujours
passer, par une transformation simplement rationnelle , d'une
courbe de genre zéro à une courbe quelconque; cette transfor-
mation dépend cV une fonction rationnelle arbitraire des coor-
données d\in point de la seconde courbe.

Le même raisonnement prouve qu'une courbe dont les coor-
données s'expriment par des fonctions rationnelles d'un paramètre
est nécessairement de genre zéro, car elle ne peut avoir d'intégrale
de première espèce (c/. n° 130).

144. Nous allons montrer maintenant comment on peut obtenir
les intégrales de seconde et de troisième espèce.

Pour former l'expression d'une intégrale de troisième espèce
avec les deux points singuliers logarithmiques («<, 6,), (^^o, ^2)5
nous supposerons que ces deux points sont deux points simples
de la courbe, ce qui ne restreint pas la généralité, car une trans-
formation birationnelle peut toujours ramener le cas général à

INTÉGRALES NORMALES- ^[7

celui-là (§ 122). Admettons en outre que la droite qui joint ces
deux points rencontre la courbe en m points distincts. Les axes
de coordonnées étant choisis comme plus haut (n° 136), considé-
rons l'intégrale

l.

(=0, "o)

où

I

est Téquation de la droite D qui joint les deux points singuliers
logarithmiques et Q„,_o un polynôme adjoint de degré m — i.
Cette intégrale ne peut devenir infinie qu'aux points de rencontre
de la courbe C avec la droite D ; si l'on assujettit la courbe adjointe
Qm-o (-, u)=-ok passer par les m — i points de rencontre autres
que \a,\b,) et («2,60), l'intégrale n'aura évidemment que ces
deux points singuliers. Dans le domaine du point {a,,b^), par
exemple, on aura

(a^ + ^i*-hY)F'„(^,iO z — a,

et le point (a,, b,) sera un point critique logarithmique de l'inté-
grale, qui pourra s'écrire, dans le domaine de ce point,

P,(r — a,) étant régulière en ce point. De même, dans le do-
maine du point (ao, 60), on aura pour l'intégrale une expression
de la forme

les résidus vérifiant nécessairement la relation

En divisant par R,,,.,., cette intégrale, les coefficients des loga-
rithmes seront respectivement + 1 et — i .

Il est facile de voir qu'on obtient ainsi l'intégrale de troisième
espèce la plus générale avec les deux points critiques («,, 6,),
(«2, b.). Soient, en effet, I, et L deux intégrales de troisième
espèce avec ces deux points critiques ; on peut toujours trouver un

3l8 CHAPITRE VU.

nombre A tel que la différence

I2-AI1

n'ait plus de point singulier ; A étant choisi de cette façon, L — AI,
est donc une intégrale de première espèce

et, par suite, en supposant que !< est l'intégrale définie tout à
l'heure, on a

/

c'est une intégrale de même forme que la première.

Remarque. — Le raisonnement suppose que toute courbe
adjointe de degré m — 2, qui passe par les m — 2 points de ren-
contre de la courbe G avec la droite D, autres que les deux points
(a<, 64), (^2, 62), ne passe pas par un de ces 2 points. S'il en
était ainsi, toutes ces courbes adjointes se décomposeraient en la
droite D et une autre courbe adjointe de degré m — 3, car elles
rencontreraient D en plus de jn — 2 points. Le polynôme
Qm_2(^; ^^) le plus général satisfaisant aux conditions énoncées
serait de la forme (a^ ^ ^u -I- Y)Qm-3(^j u), Qm-3 étant un po-
lynôme adjoint de degré m — 3, et par conséquent dépendrait
de/> coefficients arbitraires. Or tout polynôme de degré m — 2

contient — + i coeiiicients ; en écrivant que la courbe

Qwi_2(^j if^) = o est adjointe et passe par [m — 2) points donnés,

'^\^•.('^^ — 2) (m — i) , 1 . ^„

on établit '- — p -{- m — 2 relations entre ces coeffi-
cients. Il doit donc rester

(m~Q.)(7n -h }) (ni — i)(m — \)

~ '— ' -h I — ^ '-^ ' ^p — m-^i=p^i

coefficients arbitraires.

Si la droite D ne rencontre pas la courbe G en m points dis-
tincts , les conditions auxquelles doit satisfaire le polynôme
Q/w_2(^7 i^) sont plus compliquées; mais on peut tourner la diffi-
culté comme il suit. Prenons sur la courbe G un troisième point

INTÉGRALES NORMALES. Stg

(^35 ^3) tel que les deux droites joignant ce point aux deux
points («1, bi), («21 ^2) rencontrent chacune G en m points dis-
tincts. L'intégrale cherchée est égale à la différence de deux inté-
grales de troisième espèce admettant respectivement pour points
critiques les points (a,, 6,), («3, 63) et («o, ^2)7 (<^37 ^3) ; cha-
cune d'elles peut être obtenue par la méthode indiquée.

14o. Proposons-nous enfin de former une intégrale de seconde
espèce, avec un seul pôle au point («<, ^,), que nous suppose-
rons un point simple de la courbe. Soit

(D) aj-f-3w-hY = o

l'équation de la tangente en ce point; si cette tangente D ren-
contre la courbe G en ni — 2 points distincts du point (r/,, ^,),
l'intégrale

h

"-+-t)f;,(,^,^o'

où Qw_2(^, u) == o est l'équation d'une courbe adjointe de degré
m — 2 passant par les m — 2 points d'intersection de G et de D
autres que (<7,, 6, ), ne peut devenir infinie qu'au point (a,, ^,).
Dans le domaine de ce point, on aura

il n'y aura pas de terme en 7— — ? puisque la somme des résidus
doit être nulle. L'intégrale sera donc de la forme

Pi (z — a,) étant régulière au point (cx,, 64). En divisant l'inté-
grale par — A, on ramènera le résidu de l'intégrale à la valeur
+ I. On voit, d'après ce mode de formation, que l'intégrale de
seconde espèce avec un seul pôle peut être considérée comme
un cas limite d'une intégrale de troisième espèce dont les deux
points critiques seraient venus se confondre.

On obtiendrait de la même façon des intégrales de seconde es-
pèce ayant un seul pôle d'ordre quelconque.

320 CHAPITRE VII.

146. Intégrales normales. — Les intégrales normales des
trois espèces se définissent comme au Chapitre 111. Ainsi, toute
courbe du genre p possède p intégrales linéairement distinctes
de première espèce w^^ w^-, . . -, Wp. Avec ces p intégrales, on
peut former une intégrale de première espèce w^^^ dont toutes les
périodes relatives aux coupures ah soient nulles, sauf la période
relative à la coupure ayt, que nous prendrons égale à 1'k\^' — i.
En faisant successivement k = 1,2, ...,/?, on obtient ainsi les/?
intégrales normales de première espèce, w'^^\ w'''^\ ..., w^pK
Nous conserverons pour le Tableau des périodes les notations
de la page i52.

Prenons maintenant une intégrale de seconde espèce r(^, w; S,Ti)
ayant un seul pôle du premier ordre en un point (^, Tj) à distance
finie, par lequel ne passe qu'un feuillet, avec un résidu égal à + 1 .
Soient A, , Ao, . . . , Kp les périodes de cette intégrale relatives aux
coupures ai , ao, . . . , «2^ ; la différence

admet le même pôle (?, Tj) avec le même résidu et ses périodes
relatives aux coupures a^ sont toutes nulles. C'est une intégrale
normale de seconde espèce

Plus généralement, nous désignerons par la notation

une intégrale de seconde espèce admettant le seul pôle (^, 'r\) avec
la partie principale

1.2 ... V

et dont toutes les périodes relatives aux coupures ak sont nulles.
11 est clair que cette intégrale est complètement définie, à une
constante additive près; en effet, s'il existe deux intégrales possé-
dant les propriétés précédentes, leur différence est une intégrale
de première espèce dont tous les modules de périodicité relatifs
aux coupures ak sont nuls, c'est-à-dire une constante.

INTÉGRALES NORMALES. 321

Pour trouver les périodes de ces intégrales relatives aux cou-
pures bhy il suffît de reprendre, en le généralisant, le calcul du

n° 75. L'intégrale / w^^^ dL ' [z^ u ; c, r,), prise le long du contour
total de la surface T' dans le sens direct, est égale, d'une part, à
271 ^Ba-, en appelant B/f la période de 7j'^^\z, u] ?, r^) relative à la
coupure 6^, d'autre part au produit de 2T,i par la somme des ré-
sidus de

,(A-)

dz

sur toute la surface T'. En un point de ramification (a, h) à dis-
tance finie, la dérivée — -rr peut bien devenir infinie, mais son

développement ne renferme que des puissances de •;; d'un

degré inférieur à l'unité. De même, en un point à l'infini, le déve-
loppement de cette dérivée commence par un terme en - d'un de-
gré supérieur à l'unité, puisque l'intégrale Z ''' doit rester finie
en ce point. H n'y a donc que le pôle (i,T,) qui puisse donner
un résidu différent de zéro. On a, dans le domaine de ce point,

et, par suite,

dz {^-\r^

Q(^— 0,

V(^z — ^ ç) et Q(:j — \) étant des fonctions régulières au point
(^, Tj). D'autre part, en appelant 0/t(x;, u) la fonction rationnelle
dont l'intégration donne w^^\ de telle sorte que l'on ait

f Ok{z,u)dz^

1 r . 7/1

le développement de cette intégrale, dans le domaine du poin,
(5, Tj), est donné par la formule

w'^f^^{z,u) = w^'^Hlr,)-^{z-l)of,{\,r,)

A. ET G. 21

322 CHAPITRE VII.

^P(l, 'r\) désignant la valeur de la dérivée

dyok{z, II)

pour ^ = ?, u^= 'r\. Le résidu cherché a donc pour expression
— ^r(i, Ti). Par suite, les périodes de V intégrale T}^\z^u\ ^,7^)
relatives aux coupures h^^h^^ . . .^ bp sont respectivement

En particulier, les périodes de l'intégrale Z(;:;, ^^ ; ç, -/j) ont pour
expressions

On remarquera que toutes ces périodes sont des fonctions ration-
nelles du point analytique (^, ri).

147. Les formules précédentes doivent subir des modifications
lorsque le pôle de l'intégrale de seconde espèce est un point de
ramification ou s'en va à l'infini. Soit d'abord (?, t,) un point de
ramification d'ordfe r — i à distance finie. Nous désignerons
encore par

les intégrales de seconde espèce, qui admettent le seul pôle (i, r;)
avec les parties principales

I

I

1.2. . .V

2' • ■

V+1

et dont toutes les périodes relatives aux coupures ah sont nulles.
Enfin, si le point (Ç, -/]) s'en va à l'infini, supposons, pour em-
brasser tous les cas, que ce point soit pour la surface de Rie-
mann un point de ramification d'ordre r — i (y — i pouvant être
nul). Nous désignerons par Z(^, z^; ?, ri), ..., Z^^^ (5, w; i, Tj), ...
les intégrales de seconde espèce qui admettent pour pôle le seul
point (;, Ti) avec les parties principales

1 V-M

Z'\ . . . , 1.2. . .V. S '■ .

INTÉGRALES NORMALES. 3^3

et dont toutes les périodes relatives aux coupures cih sont
nulles.

Les périodes de ces intégrales relatives aux coupures hh s'ob-
tiennent encore en calculant le résidu de la fonction

^.L^^^u) ^^

relatif au point (?, "n), ce qui n'offre aucune difficulté. Il nous

suffira d'énoncer le résultat : Soit (i, t») un point quelconque

de la surface de Riemann , par lequel passent r feuillets,

et soit

t

(12) w^''\z,u)^w'>'\^,,r,)^-{z—\Yo,,{\,r,)

2 V-f-1

le développement de V intégrale de première espèce ^^^'^{z, u)
dans le domaine de ce point, r étant égal à i si le point (;, r,)
n'est pas un point de ramification et z — co devant être rem-
placé par -_- Les périodes de V intégrale de seconde espèce

Z^^\z, u; H,'r,) relatives aux coupures 6,, 60, .... bp sont res-
pectivement

Les quantités cp'^''(;, r.) ne sont plus ici les dérivées successives
de l'intégrale de première espèce ^v'^^^ {z , u) ] leur signification
actuelle résulte du développement ((2) écrit plus haut pour cette

148. L'intégrale normale de troisième espèce Ilr^' {z, u) se
définit exactement comme au n° 77. Dans le domaine du point
(;', r/), elle est de la forme

et, dans le domaine du point (ç, r,), de la forme

324 CHAPITRE VII.

P(^ — f) et Q(^ — ^) étant des fonctions régulières; enfin les
périodes relatives aux coupures ah sont nulles. Les périodes rela-
tives aux coupures hh se calculent comme au n^ 78. On trouve
ainsi que la période de l'intégrale 11^ 'îj (s, ?/), relative à la cou-
pure hh^ a pour valeur

l'intégrale étant prise le long d'un chemin situé sur T' ne ren-
contrant aucune des coupures a^, hh^ Ch- H est à remarquer que
cette expression de la période reste la même, quelle que soit la
position des points critiques logarithmiques.

De la définition de l'intégrale normale de troisième espèce ré-
sultent immédiatement quelques propriétés :

1° On a identiquement, quels que soient les points (?, y,),

(i',V),(?.ro,).

(■3) nil5''+4;?''l+n||;'.!, = o-

En efî'et, la somme précédente est une intégrale abélienne qui n'a
plus de points singuliers; c'est donc une intégrale de première
espèce. D'ailleurs, les périodes relatives aux coupures ai sont
toutes nulles; elle se réduit donc à une constante. Or, si l'on fait
coïncider le point (z, ii) avec le point (^o, Wo), origine des inté-
grales, le premier membre est évidemment nul.

2° Si l'on fait dans la formule précédente Ç, = ^, r^ = Tj, il
reste

formule qui résulte d'ailleurs immédiatement de la définition.

3° L'intégrale normale de troisième espèce n[|'ÎJJ dépend de
àen^i paramètres (^, ri), (^','/i'). On peut, d'une infinité de ma-
nières, la mettre sous forme d'une difl^érence de deux fonctions,
dont la première dépend de (?, yi) seulement, la seconde de (ç', 'r\).
Prenons en effet un point analytique arbitraire, mais supposé fixe
(^^, '/!,). On a, d'après l'identité (i3),

ce qui démontre la proposition énoncée.

INTÉGRALES NORMALES. 325

4*^ La formule (i3) peut être généralisée. Prenons un nombre
quelconque de points analytiques (;,, r,,), (^2, '-02)7 • • •> (ç^j 'f\k) ;
on a

149. En définitive, c'est toujours par la considération d'inté-
grales de la forme / Uc/V, où U et V sont deux intégrales abé-

liennes, prises le long du contour total de ï', que nous avons
obtenu les périodes. Jusqu'ici nous avons toujours pris pour U
une intégrale de première espèce. Prenons maintenant pour U une
intégrale de troisième espèce avec les points critiques (;,*^j),
(^', t/), et pour V une autre intégrale de troisième espèce avec
les deux points critiques (a, 3), (a', '^'), différents des premiers.

La fonction U -7- n'est pas uniforme sur la surface P; pour la

rendre uniforme, nous tracerons sur T' une nouvelle coupure L
joignant les points (^, '/\), (?', r/).

Fig. 88.

c- - -^ ^

Sur la nouvelle surface T'' la fonction U -p est uniforme et on

peut lui appliquer le théorème général de Cauchy. L'intégrale

/ U<iV, prise le long des coupures «v, ^vj Cv, dans le sens direct,

est toujours égale à

p

]^(Avb;-a,Bv),

V— 1

Av et Bv désignant les périodes de U aux coupures a^ et b.,, et
Av, Bv les périodes de V aux mêmes coupures. Reste à évaluer

l'intégrale flJdY le long de la coupure L. En deux points infini-
ment voisins /?z, m 'sur les bords opposés de la coupure, les valeurs
de U diffèrent de 2 7zi

Um — U,n'= 271 î;

3^6 CHAPITRE VII.

l'intégrale se i^éduit donc à

iizi I d\.

En effet, l'intégrale / U<iV, prise ]e long d'un petit cercle en-
tourant chacun des points critiques (^, Vi)? (^S '^ï')^ tend vers zéro
avec le rayon de ce cercle. Dans le voisinage du point (ç, '^), par
exemple, cette intégrale est de la forme

y*iog(,^-op(^-o^-,

l?(^z — ;) désignant une fonction régulière dans le domaine du
point ^ = ?. Posons

Q(s — ^) étant régulière au point ^ et nulle pour ^ =.ç; l'inté-
grale proposée devient, en intégrant par parties,

\os(.-i)(i(^-i)-f^^£^d^.

Dans la seconde intégrale, -^-^^ ~ est régulière au point ^ et,

par suite, l'intégrale prise le long du petit cercle est nulle. Quant
à la première partie

iog(^-OQ(^-0,

on doit prendre l'accroissement de cette fonction lorsque z dé-
crit un petit cercle autour de ^, partant d'un point ? + p et y
revenant; cette quantité a pour valeur 27r/Q(p) et tend vers zéro
avec p.

Quant aux résidus de U -77 sur la surface T'', on les évalue

comme plus haut; ils ont pour somme

U(a', p')-U(«,P)= / dV,

rintégrale étant prise suivant un chemin qui ne rencontre aucune

INTÉGRALES NORMALES. Saj

des coupures ^v: ^vj Cv, L. Il vient donc finalement

f dv- d^\ => (AvB;-a;Bv).

Les intégrales qui figurent dans le premier membre de cette
égalité sont supposées prises suivant des chemins ne se coupant
pas entre eux et ne franchissant aucune des coupures a^^ by^ c.,.

' dU — / dV s'exprime tou-

jours au moyen des périodes des deux intégrales U et Y.

Supposons maintenant que U et V soient des intégrales nor-
males

on a Av = A'v = o, et il reste

(a. S) «^(S.r/i

C'est la formule fondamentale que nous voulions établir; elle est
connue sous le nom àe formule de V échange du paramètre et
de V argument dans les intégrales de troisième espèce.

Cette relation ajant lieu, quels que soient les points (?, Tj),
(^', r/), (a, ;B), (a', ^'), remplaçons-j (a, ,3) par le point (^o, Wo),
origine des intégrales, (a', P') par (^, z^); il vient

(i5) 4';^'' {z, U) = n4;;^/r, r/) - n/;;;^ (^, rj,

en remarquant que n^\J (^oj ^^o) = o. Si Ton ne tient pas compte
des chemins suivis par les variables, l'égalité précédente a seule-
ment lieu à des multiples près des périodes.

150. Dans l'intégrale normale de troisième espèce

considérons les points analytiques (;', r/), (:;, u^ comme donnés,
et le point analytique (?, r,) comme variable. Cette intégrale
devient une fonction du point analytique (;, r,), fonction dont

328 CHAPITRE VII.

les propriétés résultent immédiatement de la formule précé-
dente (i5). On voit que, considérée comme fonction du point
analytique (Ç, t,), l'intégrale II est encore égale à une intégrale de
troisième espèce avec les points critiques logarithmiques (z, u),
(zqj Uq). Par suite, la dérivée

est une fonction rationnelle du point analytique (?, r\), admet-
tant comme pôles les points de ramification et les points (z, u),
(zq, Uq), ces derniers étant des pôles du premier ordre avec des
résidus égaux à — i et à + i respectivement. Un point critique
d'ordre q — i ne peut être un pôle d'ordre supérieur à ^ — i . Les
dérivées successives

d^^ ' d^^

sont de même des fonctions rationnelles du point analytique (ç, 't])
admettant pour pôles les points (^o, ?^o), (^5 i^) et les points de
ramification. Il est clair d'ailleurs qu'elles ne dépendent pas
de (^', 7\'). Ces dérivées successives sont identiques, nous allons
le voir, aux intégrales de seconde espèce définies plus haut.

Soient (a, b) un point à distance finie de la surface de Riemann,
distinct d'un point de ramification, et <Î>(Ç, '^) l'intégrale de
seconde espèce suivante, où (Ç, y\) désigne le point analytique
variable

*(ç,'0= AiZ(^,Y);a,6)+A2Z'(^,Y];a,è)-[-... + Av+iZ'.v)(^,T;;rt,6),

A,, Ao, . . ., Av+, étant des constantes quelconques. Cette inté-
grale admet un seul pôle, le point (a, b)^ et la partie principale
relative à ce pôle est

Al A2 1.2...V .

A,

Considérons l'intéerrale

J^ilr,

du\''^

INTÉGRALES NORMALES. 829

étendue au contour total de la surface T' dans le sens direct. On
peut lui appliquer le théorème de Gauchj, puisque, nous venons
de le voir, H? '.^'^ , considérée comme une fonction du point analy-
tique (?, Ti), est identique à une intégrale normale de troisième
espèce.

Les périodes des deux intégrales <E>(i, ti) et Ur.^ relatives aux
coupures «/ sont toutes nulles; par suite, l'intégrale précédente,
étendue au contour total de la surface ï', est égale à zéro. On en
conclut que la somme des résidus de la fonction

sur toute la surface de Riemann est nulle. Ces résidus ne peuvent
provenir que des pôles (z, w), (gq, Wq)? (<^j b). Les résidus pro-
venant des deux premiers pôles sont respectivement

— *(-,"), +*(^o, «o)-
Pour avoir le résidu relatif au pôle (a, b), écrivons les dévelop-

pements de ^(;, r, ) et de -^ dans le domaine de ce point

"^^r! _/cm

d\ -\dl

où ( -^ j désigne la valeur que prend la dérivée d'ordre i\
> pour ç = a, r, =: b. Le résidu relatif au pôle («, 6) est

77f) -^^-^ -;7ît) +----+-AV+1 hy^^

On a, par conséquent, en écrivant que la somme des résidus est
nulle, et remarquant que <Ï>(^oî "o) = o,

— <i>(^, îO-^ Al ( -r-- ) -f-...-1-A

\d\]a ^''^'\d^i'^^

330 CHAPITRE VI

Remplaçons <E>(^, u) par sa valeur-, il vient, en ordonnant par rap-
port aux coefficients A, . . . . , Av+i ,

A,[z(.„;«,.)-(-)J.A,[z-(.„;«..)-(-n)J....

+ Av+1 [Z(v)(^, u- a, b) - (^^) J = o.

Cette égalité devant avoir lieu, quels que soient les coefficients
constants Ai , Ao, • . • , Av+i , on en conclut que l'on a

Z(z,u:a,b)- (-^j = o, Z'(z, u: a, b)— (^

Remplaçons maintenant {a, b) par (^^r^) pour ne pas multiplier
les notations; les égalités précédentes deviennent

• • • 5

Ainsi, lorsque le point (?,ri) est un point ordinaire de la sur-
face de Riemann à distance finie, les intégrales normales de
seconde espèce Z{z, u; ?, ti), Z'(z, u; i, t]), . . ., Z(^^(^, i^^ i, yi), ...
qui admettent ce point pour pôle sont les dérivées successives
de V intégrale normale de troisième espèce \^^^ par rapport au
paramètre (S, ''O)-

Par suite, toutes ces intégrales normales de seconde espèce sont
des fonctions rationnelles du point analytique (?,"/i), admettant
pour pôles le point (^, u) et les points de ramification, et l'on a
aussi

Nous avons déjà obtenu, au Chapitre II, des résultats identiques,
sauf une petite différence de notation, pour les intégrales hjper-
elliptiques Ç (i;oi> n°* 4-3 et 46).

INTÉGRALES NORMALES. 33 1

151. Lorsque le point (a, b) est un point de ramification à dis-
tance finie, les dérivées successives de l'intégrale normale n|'^'
par rapport au paramètre (i,v;) deviennent infinies en ce point.
De même, ces dérivées sont nulles en tous les points à l'infini
de la surface de Riemann; elles ne peuvent donc représenter les
intégrales normales de seconde espèce qui admettent pour pôle nn
point de ramification ou un point à l'infini de la surface de Rie-
mann. Il faut alors remplacer ces dérivées par les coefficients du

développement de Hr^' suivant les puissances de (; — a)'' dans le
domaine d'un point de ramification (a, b) d'ordre /' — i à distance
finie, ou par les coefficients du développement suivant les puis-
sances de 7 dans le cas d'un point à l'infini (^ ). Ainsi, soient (a, b)

■5

un point de ramification d'ordre r — i à distance finie et

1 y + i

le développement de l'intégrale de troisième espèce dans le do-
maine de ce point. Les coefficients II^ , IIo, . . . , llv+i , • . . sont pré-
cisément, à des facteurs numériques près, les intégrales normales
de seconde espèce définies plus haut, qui admettent pour pôle
le point de ramification (a, b). Ainsi on a

Z(z, u; a, b)= Ui, Z'{z, ii: a, b)= 2U2,

et, en général,

Z''^^(z, u\ a,b)=\.i. . .{') + 1)11^+1.

Enfin, si le point (a, b) est un point de ramification d'ordre
/• — là l'infini (/• — i pouvant être nul), soit

n|f=nE--n.(l)Vn.(')'--.._n...Q)"^...

le développement de l'intégrale de troisième espèce dans le do-
maine de ce point. On démontrera, comme plus haut, que l'on a

Z(z, i«;3c)=ni, ..., Z(v)(z, if ; ao) = i.2.. .(v -M)nv+i.

(1) E. GouRSAT, Sur la théorie des intégrales abéliennes {Comptes
rendus, t. XGVII, p. 1281).

332 CHAPITRE VII.

Ces formules sont encore à rapprocher des formules obtenues au
nM3.

152. Quelques considérations de passage à la limite permet-
tent de prévoir et d'expliquer la plupart des résultats qui précè-
dent. Considérons d'abord deux intégrales normales de troisième
espèce

ayant un point critique commun (?', t/) et deux points critiques
infiniment voisins (?, tj) et (^ -j- A, t^ + A"), que nous supposons à
distance finie et distincts des points de ramification. La diffé-
rence

est encore une intégrale abélienne avec deux points critiques lo-
garithmiques infiniment rapprochés (?, Ti) et (^ + A, '/] + A). En
tout autre point («, b) de la surface, cette intégrale est régulière.
Faisons tendre h vers zéro; la différence

a pour limite -^^' de sorte que, à la limite, l'intégrale en ques-
tion admet le seul pôle (ç,7j) avec la partie principale z' D'ail-

Z Ç

leurs, toutes les périodes de to relatives aux coupures a^ sont
nulles; cette intégrale w a donc pour limite l'intégrale normale
de seconde espèce Z(5, u; ?, t)), c'est-à-dire que l'on a

/l=0

ou encore

Z{z,u;^,ri) =

dn

d^

Les périodes de Z relatives aux coupures bh se déduisent de la
même façon des périodes de H. Ainsi la période de l'intégrale w

INTÉGRALES NORMALES. 333

relative à la coupure bh est

h

expression qui a pour limite

dl

=--9h{lr,).

lorsque li tend vers zéro.

On verrait de la même façon que les intégrales Z'(;, z^ ; E, r,), ...,
IJ^'^z, u\ H,r,) peuvent se déduire de Tintégrale Z(^, u\ ?,r.) par
des différentiations successives relativement au paramètre (H,^.)-

Remarquons aussi que les propriétés précédentes deviennent
évidentes pour une courbe de genre zéro. Alors toute intégrale
abélienne est égale à l'intégrale d'une fonction rationnelle

f^{t)dt,

t désignant le paramètre qui correspond uniformément aux points
de la courbe. Il n'y a pas d'intégrale de première espèce; l'inté-
grale de troisième espèce avec les deux points critiques E, H' est

4-o.(i^);

les intégrales de seconde espèce avec le pôle t — z sont respecti-
vement

^'''(''^^) = uéri^i

On a bien

lo3. On peut établir les propriétés de l'intégrale normale de
troisième espèce par une autre méthode, qui offre une application
intéressante d'une formule de M. Hermite relative aux fonctions

334 CHAPITRE VII.

représentées par des intégrales définies admettant des coupures(^).
Donnons-nous les limites de l'intégration (zq, Uq), (z, u), le che-
min d'intégration L joignant ces deux points, ainsi que l'un des
points critiques (^', r/) supposé fixe; l'intégrale

a un sens bien défini tant que le point variable (^, rj) ne vient pas
sur le chemin d'intégration.

Nous admettrons, ce qui est indispensable, que c'est une fonc-
tion analytique du point (?, r,) sur toute la surface de Riemann ;
c'est justement ce qu^établit la formule (i5).

Fig. 89.

/y

Pour voir ce qui se passe quand on franchit la Jigne L, consi-
dérons deux points infiniment voisins (?, t)), (^,, yji) de part et
d'autre de cette ligne, et un chemin d'intégration tel que L', voi-
sin de L {fig. 89) ; la fonction — Jr~ ^^^ holomorphe à l'intérieur

du contour formé par les deux lignes L et L^ lorsque le point
(ç, 7i) est à gauche de L, comme l'indique la figure. Par consé-
quent,

dnl''-^'

Au contraire, la fonction —4^ admet le point (;,, r,,) comme
pôle du premier ordre avec un résidu égal à — 1. [On suppose

(') Hermite, Journal de Borchardt, t. XCI; E. Goursat, Acta Matlieina-
tica, t. I, p. 189.

INTÉGRALES NORMALES. 335

que le point fixe (?', r/) est à l'extérieur du contour formé par les
deux lignes L et L']. On a donc

-'(L) d^ ^L) ^-

Retranchons ces deux égalités membre à membre; il vient

Tous les éléments de l'intégrale du second membre deviennent
nuls lorsque les points (ç, r, ) et(?,,-/;,) viennent coïncider avec
un même point de la coupure L; il reste donc

cette égalité exprimant qu'en deux points infiniment voisins de
part et d'autre de L, les valeurs de n^',!j' diffèrent de irA. Cette
ligne L n'est d'ailleurs qu'une coupure artificielle pour cette fonc-
tion ; en déformant infiniment peu le chemin d'intégration, on
voit qu'elle reste régulière en tous les points de L, sauf aux deux
limites (^, u) et (:^o, ^^o)- Si le point i^^'r,) est très voisin du
point (^, iL)^ on a

^

dz

= — TZii -f-P(>s,«^;i,^i),

P(::. U] ç, Tj) désignant une fonction qui reste finie pour ^ = ;,
u==ir^. On en conclut que, dans le domaine du point (^, u)^

n|;;''-iog(^-^-)-Q(^,ro,

Q(^, r,) restant finie au point (z, u). On a, de même, dans le do-
maine du point {zq, Uq),

La fonction étudiée reste donc finie en tout point (;, t.), sauf
aux points (:;, u), (zq, Wq), où elle se comporte comme on vient
de le voir.

11 reste à voir comment varie cette fonction lorsque le point
(c, 7,) décrit un contour fermé quelconque, en particulier, lorsque

336 CHAPITRE VII.

ce point franchit les coupures ai et hi. Nous avons vu plus haut
(n° 144) comment on pouvait former une intégrale de troisième
espèce ayant les deux points critiques logarithmiques (^, ri),
(^', 7i') ; cette intégrale est de la forme

S(^, u\ Ç, V)) étant une fonction rationnelle de (s, ii) et aussi de
(^, Tj). Pour passer à l'intégrale normale de troisième espèce, il
faut ajoutera cette intégrale certaines intégrales de première es-
pèce. Soit tJL)i(^, 'r\) la période de l'intégrale précédente à la cou-
pure <2i, période qui est égale à l'intégrale / S (5, u\ ç, Tj) dz,
prise le long de la coupure {ht),

Wi(^,>î)= / S(z, u\\,r,)dz.

J

L'intégrale normale de troisième espèce est égale à

en représentant par / cpi(^, 11) dz l'intégrale normale de première

espèce w^^\
La période

considérée comme fonction du paramètre {^^y\)^ est représentée
par une intégrale définie admettant la coupure {ht)- Lorsque le
point variable (Ç, 't\) ne franchit pas cette coupure, Ci)/(Ç, 'r\) reste
une fonction uniforme du point (^, Tj) et, en reprenant le raison-
nement de plus haut, on voit qu'en deux points infiniment voisins
de part et d'autre de la coupure ht les deux valeurs de w/(^, r^)
diff'èrent de 27c/. Gela posé, reprenons la fonction

/"'"T I "^ 1

INTÉGRALES NORMALES. 337

si le point (ç, r,) décrit un chemin fermé quelconque ne traver-
sant aucune coupure bi, ni la ligne L, chaque élément de l'inté-
grale, et, par suite, l'intégrale elle-même reviennent à leurs va-
leurs initiales. Au contraire, en deux points infiniment voisins de
part et d'autre de la coupure 6/, les éléments correspondants
des deux intégrales diffèrent de '^i{z^ u). Les intégrales elles-
mêmes diffèrent de

En résumé, l'intégrale normale de troisième espèce, considérée
comme fonction du paramètre (^, r, ), présente les caractères sui-
vants :

1° Elle reste finie en tout point de la surface de Riemann, sauf
aux points (^, «), (^o, ^^o) qu'elle admet pour points critiques
logarithmiques;

2^ Toutes les périodes relatives aux coupures ai sont nulles,
et la période relative à la coupure bi est égale à

i

11}

Ces propriétés caractérisent l'intégrale normale de troisième
espèce, avec les points critiques logarithmiques (;, «), (^o? ^^o)-
On a donc

n|!j'(^, zO-n^:;;'"(ç,^)-+-C.

Pour déterminer la constante C, remarquons que, lorsque le
point mobile (;, y;) vient en (;', r/), le premier membre est nul.
W reste donc l'égalité

qui est identique à la formule (i5).

lo4. Avant de revenir aux intégrales abéliennes les plus géné-
rales, il nous faut expliquer le sens d'un mot qui sera souvent
employé. Étant donné /' intégrales ^,, vo, . . ., 'Cr^ n'ayant aucun
point critique logarithmique, et, par suite, composées uniquement

A. ET G. 2^

338 CHAPITRE VII.

d'intégrales de première et de seconde espèce, on dira que ces
intégrales sont algébriquement distinctes s'il n'existe aucune
combinaison linéaire à coefficients constants, telle que

W = Ai^,-4-A2r2-f-...-f-A,^,,

qui se réduise à une fonction rationnelle de z et de u (sauf, bien
entendu, lorsque tous les coefficients A^- sont nuls).

Si l'on a une équation algébrique de genre /?, l'intégrale pré-
cédente W admet, en général, ip périodes cycliques; pour que
W se réduise à une fonction rationnelle de z et de z/, il faut et il
suffît que les 2/> périodes soient nulles, car cette intégrale est
alors une fonction uniforme du point analytique [z^ u)^ n'admet-
tant que des pôles sur toute la surface de Riemann. En écrivant
ces conditions, on a ip équations linéaires et homogènes entre
les /• coefficients A^ A2, . . . , A;^; ces équations admettent certai-
nement un système de solutions, non toutes nulles, dès que;- est
supérieur à 'ip. Par suite, il ne peut y avoir plus de 'ip intégrales
algébriquement distinctes de première et de seconde espèce.

Nous dirons que 9.p intégrales algébriquement distinctes Çi,
42^ •• V» ^2p forment un système fondamental. Pour qu'il en soit
ainsi, il faut et il suffit que le déterminant d'ordre ip formé par
les (2/?)- périodes de ces ip intégrales soit diff'érent de zéro; on
aurait, en effet, pour déterminer les coefficients A/ tels que toutes
les périodes de l'intégrale A, Ç, +. . .h- Ao^^sa;» soient nulles,
'ip équations linéaires et homogènes dont le déterminant n'est pas
nul. Toute intégrale ahélienne v^ n^ ayant aucun point cri-
tique logarithmique, est égale à une combinaison linéaire à
coefficients constants des op intégrales Ç, , . .., 'C^^p-, formant
un système fondamental, augmentée d^ une fonction ration-
nelle de z et de u. Il suffit, pour le voir, de remarquer qu'en éga-
lant à zéro les ip périodes de l'intégrale

p — Ai^i— A2!^2 — ••• — A,^, ^2/>

on a 2/? équations linéaires et non homogènes, dont le détermi-
nant n'est pas nul. On en déduit donc pour les coefficients A,,
Ao, ..., k^p un système de valeurs finies; ces coefficients étant
ainsi déterminés, la différence (^ — Ai Ç, — . . . — k<ipX^<ip n'a plus

INTÉGRALES NORMALES. SBq

de périodes, et se réduit, par conséquent, à une fonction ration-
nelle de z et de u.

En particulier, toutes les intégrales abéllennes de première
et de deuxième espèce attachées à une courbe algébrique de
genre p se réduisent à ip intégrales distinctes.

Pour former un système fondamental, prenons pour J^j ,^0? • • •' ^/>

les/> intégrales normales de première espèce v, = (p^'^, !Co=(v'-^,

;^^r=r w'^P\ et pour î^_^, , . . ., ^2/j? P intégrales normales de seconde
espèce, T{z, u; ai^ b^), ..., Z{z, u; ap^ bp)^ admettant pour
pôles/? points ordinaires à distance finie, tels que le déterminant

A =

?/>(.«i,^i) ••• ^p{<^p,bp)

ne soit pas nul (n" 139). Ces 2/? intégrales forment bi en un système
fondamental. En effet, si l'on désigne par a,, 7.0, .... a^ les p pé-
riodes d'une intégrale r relatives aux coupures «,, a-,, •.., <r/^,
la différence

v' = (' —. ( ai (ï^^" -h . . , -h ay, w'^P^ )

a toutes ses périodes, relatives aux coupures a^, nulles. En écri-
vant que l'intégrale

<-'— Ài Zi z. u : <7i. 61) — . . . — Ip Z(z, a: ap^ bp)

a également toutes ses périodes relatives aux coupures b^ nulles,
les coefficients a, sont déterminés par/? équations linéaires dont
le déterminant est précisément A.

11 est clair qu'on peut remplacer ce système de ip intégrales par
un système composé de/? intégrales distinctes de première espèce
(T'i, w.2^ . . ., (v^ et de /? intégrales de seconde espèce admettant
les pôles du premier ordre («,, ^,), . . . , («r/^, bp), caries intégrales
normales sont des combinaisons linéaires de celles-là, et inverse-
ment. On peut aussi supposer que quelques-uns des pôles

(«1,61), .... (ap,bp)

sont venus se confondre; par exemple, si ces p points sont tous

340 CHAPITRE VII.

confondus en un point (a, b)^ on prendra, pour former un sys-
tème fondamental, avec les/? Intégrales de première espèce, les
p intégrales normales de seconde espèce

Z{z,u\a,b), T{z,u\a,h), .... Vp-^H_z, u: a,b).
Ce système est fondamental pourvu que le déterminant

o^{a,b) o'.;^{a,b)
'?p(a,b) o'f,{a,b)

AP-I)

{a,b)

ne soit pas nul. Ce déterminant ne peut être identiquement nul
pour tout point analytiqne (a,b); en effet, les éléments de la
^•ième colonne sont les dérivées d'ordre i des éléments correspon-
dants de la première colonne par rapport à la variable a. D'après
un théorème bien connu, pour que A, soit identiquement nul, il
faut et il suffit qu'il existe entre les éléments de la première co-
lonne une relation linéaire et homogène à coefficients constants,
l'un au moins de ces coefficients étant différent de zéro,

Cl coi(a, 6)+ G2 02(«, b)

Cp(Oj>(ih ^)

ceci est impossible, puisque 'fi(^, «), ..., '^p{^^ ^Ô ^^^^ ^^^ ^^~
rivées par rapport à z des/? intégrales normales de première espèce.

15o. Soit

K{z, u)

.-o,"u)

dz

une intégrale abélienne quelconque; les points critiques loga-
rithmiques de cette intégrale sont les points de la surface oii le
résidu de R(^, u) n'est pas nul, et, en général, ses points singuliers
proviennent des pôles de R (s, u) et des points à l'infini. En procédant
comme au n" 44, on peut exprimer \ par une somme d'intégrales de
première, de deuxième et de troisième espèce. Soient (a, , [3,), ...,
(a^, ^q) les q points critiques logarithmiques de cette intégrale,
R,, R2, ..., R(7 les résidus correspondants de R(s,;<), dont la
.somme R, -|- Ro -+-...+ Ry est nulle ; la différence

I - Ri 11^" rÇ'-Ra II

R,_ili;n"^^

'^q-y pq
T ^1

INTÉGRVLES NORMALES. 34 I

n'admet plus de point critique logarithmique. Elle peut avoir des
pôles en nombre quelconque. Soient (a, h) un de ces pôles et

z — a'^{z — af {z — ay

la partie principale de J dans le domaine du point (<7, b).
L'expression

H = i —Slx^Ziz. u: a, b)

où le signe V est étendu à tous les pôles de J, est une intégrale

abélienne régulière en tous les points de la surface de Riemann,
c'est-à-dire une intégrale de première espèce a, tv^^'^ + •.•-[- A;,<v^^'.
On en déduit pour l'intégrale I la valeur suivante

('7) (

= / R(z, u)dz

+ y [Ai Z{z, u;a, b)-^. . .-- ^^" : Z^v-i^.^, u: a, b)]

Les coefficients Ra, A,, ..., Ay sont connus immédiatement si
Ton connaît les résidus de R(^, «), et les parties principales au
voisinage des pôles de l'intégrale; ces coefficients dépendent donc
algébriquement des coefficients de la fraction rationnelle R(^, u).
Il n'est pas de même de )., , • • -, '^^p\ '^-h, par exemple, est égal à la
période de l'intégrale I à la coupure a^j divisée par 2t.i.

On pourrait encore arriver à la formule de décomposition (17)
de la façon suivante. Sur la surface T', traçons un contour fermé G
renfermant à l'intérieur tous les points critiques logarithmiques
de l'intégrale 5 soit T'' la surface limitée par G et par les bords des
coupures «v? ^v? <^v La fonction

T(.^rJ=IU^rJ

dml'

dl

34^ CHAPITRE VII.

est une foDction uniforme du point analytique (?, r.) sur la sur-
face T". En appliquant le théorème de Cauchj à l'intégrale

r

prise le long du contour total de T'^ dans le sens direct, on a à
calculer, d'une part, cette intégrale prise le long du contour de
C et le long des coupures, d'autre part les résidus de T(ç, ti). Si
l'on réduit le contour C à une suite de petits cercles décrits autour
des points critiques, réunis l'un à l'autre par des fentes de largeur
infiniment petite, le calcul ne présente aucune difficulté, et l'on
retrouve ainsi la formule (17).

156. Toutes les intégrales de première et de seconde espèce se
ramenant à 2/? intégrales distinctes, on peut ne laisser dans le se-
cond membre de la formule (17) que ces ip intégrales. Imaginons,
pour fixer les idées, que l'on ait choisi, pour former un système
fondamental, avec les/? intégrales de première espèce, p inté-
grales de seconde espèce, admettant respectivement pour pôles
du premier ordre les /> points {as^b^)^ ..., {ap^bp). Soient w^,
(Vo, . . ., Wp^ Ç(s, z^; «I, 6i ),..., Ç(^, u\ a p^ bp) ces ip intégrales.
Si l'on remplace chaque intégrale normale Z^"^^ par son expression
au moyen des ip intégrales précédentes et d'une fonction ration-
nelle de z et de u^ la formule (17) peut s'écrire

-4- Bi (Pj-H B2 (^2-^-- • •-+- B/, (Py, ■
ou encore

*^{z, u) étant une fonction rationnelle de z et de u^ I, et lo dé-
signant deux intégrales abéliennes dont la première n'admet que
des points critiques logarithmiques, tandis que la seconde lo
n'admet que des pôles du premier ordre qui sont pris parmi les
p points (a,, ^,), ..., {ap, bp).

Ces deux intégrales !< et L ne sont pas complètement définies,

INTÉGRALES NORMALES. 343

quand on connaît la fonction rationnelle T{{z, ii)^ car on peut
ajouter à l'une d'elles une intégrale quelconque de première es-
pèce, à condition de retrancher la même intégrale de l'autre. Mais,
si les points (<7| , ^i ), • . ., {ap, bp) ont été choisis une fois pour
toutes, la partie algébrique de l'intégrale^ ^(^> u)i est complè-
tement déterminée, à une constante additive près.

Supposons, en effet, qu'en opérant d'une autre façon, on ait
mis I sous la forme

(19) \ = ^'{z,u) — l\-h\\,

\\ et I!, jouissant des mêmes propriétés que I| et lo ; on en déduit,
en retranchant membre à membre,

^{Z, U) — «ï»'(-3, U) — \\ — II— i;— lo.

Il est clair que les points critiques logarithmiques disparaissent
dans le second membre, et la fonction rationnelle ^ — 4>' ne peut
avoir pour pôles que quelques-uns des points (<7,, bC)-, ...,(a^, bp)^
ces pôles étant du premier ordre. Soit

H,

la partie principale de 4> — ^'dans le domaine du point {ai, bi)\
la différence

* — *' — HiZ(^, M, rt,,èi) — ...— ^pZ{z, u, a,„bp)

est régulière en tous les points de la surface de Riemann, et ses
périodes relatives aux coupures a/i sont toutes nulles. C'est donc
une constante, et ses périodes relatives aux coupures b/i doivent
être nulles également. En écrivant qu'il en est ainsi, on établit
entre les coefficients H,, ..., H^ un système de p équations
linéaires et homogènes dont le déterminant A est essentiellement
différent de zéro (n° 139). On a donc H, = Ho == . . . = H^ = o,
et les deux fonctions <ï> et O' ne diffèrent que par une constante,
qu'il est évidemment permis de négliger.

Il paraît probable, d'après cela, que cette partie algébrique
<I>(c, u) peut être obtenue par des opérations rationnelles, c'est-
à-dire des additions, multiplications et divisions de polynômes. 11

344 CHAPITRE VII.

ne semble pas que ron possède jusqu'ici de méthode générale
pour effectuer ce calcul. La question a été résolue par M. Hermite
dans le cas particulier des intégrales hjperelliptiques (^); nous
rappellerons succinctement sa méthode.

Etant donnée une relation de genre/?, de la forme

où les quantités // sont toutes différentes, toute intégrale

j K{z,u)dz,

où R(2;, u) est une fonction rationnelle de z et de w, se ramène,
par des calculs élémentaires, à des intégrales de l'une des formes
suivantes

rv_dz r z^ndz rx.dz

J (i'^ ' J ~^' J x^ir

P, X,, X, Q étant des polynômes, dont les deux derniers sont pre-
miers avec leurs dérivées. La première intégrale est égale à une
fonction rationnelle de z, que l'on peut calculer sans avoir à ré-
soudre aucune équation de degré supérieur au premier, et à une

~^, OÙ l^ est de degré inférieur à celui de Q, qui

est égale à une somme de logarithmes. De même, les intégrales
r z'n dz rx^dz
J ~~[i~' J ~x^ ^^ ramènent, par des calculs élémentaires, à

une partie rationnelle en z et w, à des intégrales de la forme

J \u

où Y est de degré inférieur à celui de X, et où X est premier
avec le polynôme F(^) (intégrales qui n'admettent que des points
critiques logarithmiques) et enfin aux intégrales T——, où m n

une des valeurs o, i, 2, . . . , 2/?. Pour /?2 = o, i, 2, y» — i ,

on a les p intégrales de première espèce fr<, W2, - . ., (ï>. Pour

(*) Bulletin des Sciences mathématiques, 2= série, t. VII, p. 36. Cours pro-
fessé à la Faculté des Sciences, rédigé par Aiidoyer.

INTÉGRALES NORMALES. 345

m =/>, on a une intégrale de troisième espèce avec deux points
critiques logarithmiques à l'infini. Enfin, si

on a une intégrale qui admet encore, en général, deux points cri-
tiques logarithmiques à l'infini; en choisissant convenablement
le coefficient À^, la différence

-j

ZP-^^l-K,ZP ^.

admet les deux points à l'infini pour pôles d'ordre q. En défini-
tive, l'intégrale proposée est décomposée en une partie ration-
nelle en z et w, en une somme d'intégrales de troisième espèce,
et des ip intégrales ir, , (ï^oj • • • , <^>j ïo • • • ? '^p-

Ces ip intégrales forment bien un système fondamental. En
d'autres termes, il n'existe aucune combinaison linéaire à coeffi-
cients constants

Al «•!-+-. . .— .S.piVp — B,^i-f-. . .-^ B/j^/,,

qui se réduise à une fonction rationnelle de z et de a (sauf pour
A/ = B/ = o). En effet, cette fonction rationnelle n'aurait pour
pôles que les points à l'infini, d'ordre p au plus, et, d'après les
expressions des intégrales ^y, les coefficients des parties princi-
pales dans le domaine de chacun de ces pôles seraient égaux et de
signes contraires; il en résulte (n'' 27) que cette fonction ration-
nelle serait de la forme uÇl{z)^ Q(^) étant une constante ou un
polynôme. Or les points à l'infini sont des pôles d'ordre/? -h i
au moins, pour une telle expression.

157. Nous allons montrer, dans ce paragraphe, comment on
peut trouver la partie algébrique ^{z^ u) d'une intégrale et les
coefficients de la formule (i8), quand on connaît les points singu-
liers de l'intégrale avec les parties principales du développement
dans le domaine de chacun d'eux. Soient

t'^i = Ai(-, u) dz, iv.2=f^2{z, u)dz, . . ., u'p =j^p{z, u) dz

346

CHAPITRE VI

p intégrales linéairement distinctes de première espèce, ^j>4,^27 •••?
'1^ étant des fonctions rationnelles connues de z et de u. Prenons,
pour fixer les idées, p points analytiques (a<, ^<), . . ., {cip^ Z>^), à
distance finie, et distincts des points de ramification, tels que le
déterminant

ne soit pas nul. On a vu plus haut (n'' 145) comment on pouvait
former une intégrale de seconde espèce admettant le seul pôle

(r^/, bi) avec la partie principale •; —

soient

^1 = I yji^, u)dz,

^p= I Ipi-^ ^0^^

les p intégrales de seconde espèce ainsi formées, admettant res-
pectivement pour pôles du premier ordre les points («,, Z>^), . . .,
(<^7?, àp). D'après les explications qui ont été données (n" 154),
les 2p intégrales Wi, . . ., (v^, Ç<, . . ., Ç^ forment un système fon-
damental, car les intégrales normales iv^^\ (v^^\ ..., {\>^f'\
Z(^, u] ciijbi), ..., Z(5, w, cip, bp) s'expriment linéairement au
moyen des premières, et inversement, et le déterminant 8 ne
diffère du déterminant analogue où ^/(^, u) serait remplacé
par ^i{z, u) que par un facteur différent de zéro. Nous dési-
gnerons encore par ra|'^. l'intégrale de troisième espèce avec les
deux points critiques (?,'/]), (^',7/), que l'on a appris à former
plus haut (n" 144).

Gela posé, soient (a,, j3<), ..., (a^, j3^) les points critiques lo-
garithmiques de l'intégrale abélienne I = i^(^, u)dz^ et Ri, ...,
Ry les résidus correspondants de R(^, u). La différence

-i

(So,«o)

R(..,.o^^^'-Ri<;;'p;

n'admet plus de points critiques logarithmiques. La dérivée

INTÉGRALES NORMALES. 347

est une fonction rationnelle S{z, ?/) dont tous les résidus sont
nuls. L'intégrale J peut donc s'exprimer par la somme d'une fonc-
tion rationnelle de z- et de u et d'une combinaison linéaire à coeffi-
cients constants des 2/? intégrales «,, ..., Wp^ ^,, ..., Ç^,

(20) J = ^(Z, II) -h )vi^i — . . .-f- lplp-\- [Jli Wi-T-. . .-î- {J-pWp.

Cherchons d'abord à déterminer les coefficients À,, ..., \p^
U|, ..., [kp. Pour cela, multiplions les deux membres de l'équa-
tion (?.o) par ^/(^, u)j et égalons la somme des résidus des deux
membres de l'égalité obtenue sur toute la surface de Riemann.
Les résidus du produit J(!>/(^, u) s'obtiennent sans difficulté, con-
naissant les pôles de l'intégrale J et les parties principales dans
le domaine de chacun de ces pôles. En effet, en tout point où
l'intégrale J est régulière, le résidu de J'li[z, u) est nul; car,
'^i{^i u) étant la dérivée d'une intégrale de première espèce, son
développement dans le domaine d'un point à l'infini commence

par un terme en - d un degré supérieur a lunite et, en un point

de ramification (a, b) à distance finie, 'i>/(^, u) ne contient que

des puissances de — d'un desrré inférieur à l'unité. Suivant une

notation employée par Cauchj, désignons par C[J'|/(:?, u)] la
somme de ces résidus. La somme des résidus de la fonction ration-
nelle ^{z, u)'bi(z, u) est nulle. Les résidus de la fonction
^fcài{z^ u) se réduisent au seul terme '}/(6t^, b^) provenant du
pôle («A, bfi) de Zk- Enfin le produit w/i'li{Zj u) n'admet aucun
résidu. Il reste donc les p relations

/,,x \ li'^iiai, bi) ^. . .-^Ap'l^iiap, bp) = C[J'hi{z,u)]

^^ I (/=!, 9., ...,/>),

qui déterminent les p coefficients A, , . . . , a^, car le déterminant
de ces équations linéaires est précisément 0.

Pour obtenir les constantes a,, ..., ;jl^, multiplions de même
les deux membres de la relation (20) par '//(:?, u), et égalons la
somme des résidus des deux produits. La somme des résidus de
saX^(^, u) est égale k yi{a/(, bh) — '/ji^^n ^i)] celle des résidus
de iv/iyi{z^ u) est égale à — '^a(«/, bi); enfin la somme des résidus

3i8 CHAPITRE Vil.

de la fonction rationnelle ^{z-, u)yj{^-, t^) est nulle. Il vient donc

^'"^^ ( =-~^[iyj{^,iO]-^hdlk{anbi)-yj{a,,b,.)];

(f= I, 2, ... /?);

ces équations déterminent ^i, ji-o, . . ., '^p^ car le déterminant est
encore égal à ù.

En définitive, tout revient à calculer les sommes des résidus
des produits JtJ;/(i:, u) et !'/_/(:?, u); les résidus de J^i(^, u) pro-
viennent uniquement, on l'a déjà remarqué, des pôles de l'inté-
grale J. Soit (<2, b) un de ces pôles que nous supposons, pour
fixer les idées, à distance finie et distinct des points de ramifica-
tion ; écrivons le développement de la fraction rationnelle S(^, u)
dans le domaine de ce point

On en déduit

J = fs{z, u)dz =:C~

A.

--kAo(.-«)

Soit

^i{z, u)=z ^i(a, b)-{-{z — a)Yi{a, b) -+- . . .
( z a )m—2

+ - ^ r N Vr-'^ {a,b)-^...:

le résidu du produit J'|/(;, ii) au point (a, h') est donc

-. A_,.},,.(«, i) - ^ 4,;(«, i) -. . .- ~-^^^^ >i'i"*-"(«, *)•

Nous voyons que ce résidu se calcule au moyen des seuls coef-
ficients des développements de S(^, u) et de ^/(^, u) dans le do-
maine du point (a, h\ 11 en est de même, on le vérifie facilement,
quelle que soit la position du point (<2, ^). Les résidus du produit
Jyi(^, ?/) proviennent des pôles de J et du point (a/, ht) qui est
un pôle du second ordre de ^^ (^, w) ; le résidu relatif à ce point est

INTÉGRALES NORMALES. 349

égal à — S(rt/, bi)^ car, dans le domaine de ce point, on a

S{z, u) = S(a/, bi) -f- (> — <7/)S'(rt/, bi)-^.. .,
J = j Si z. u) dz = C -{- ( z — ai) S(ai, 6/) -f- . . . ,

yjiz, u) =— — -• -f- P( j — ai).

V^ — "i )~

Les résidus provenant des pôles de J se calculent comme tout
à l'heure. En définitive, pour calculer les coefficients X,, . . ., X^,
;jL,, jjLo, . . ., ui;, de la for m a le (20), il suffit de connaître : i"* les
coefficientsdes développements des fonctions rationnelles S (z, u),
'li{z^ u), '/i{Zj u) dans le domaine de chacun des pôles de J;
2*^ les i^aleurs de la fonction rationnelle S(z, u) aux p points
analytiques (<7, , ^i ), . . ., {ap^ bp).

Reste à déterminer la fonction rationnelle ^{z^ u). Nous con-
naissons les pôles de cette fonction qui sont les pôles de J et les
points (rt/, bi). Dans le voisinage d'un pôle de J, la partie princi-
pale est la même que celle de J; au point (^r/, 6/), la partie princi-
pale est — Nous sommes donc amenés au problème sui-

^ z — at ^

vant : Déterminer une fonction rationnelle ^{z^ «), connaissant
les pôles et les parties principales dans le domaine de chacun de
ces pôles. Cette question sera discutée au Chapitre suivant.

I08. Comme application de ce qui précède, cherchons les con-
ditions pour qu'une intégrale abélienne

/

R ( -3 , u) dz

"0)

soit une fonction algébrique de z. Il faut évidemment que cette
intégrale n'admette ni périodes, ni points critiques logarithmiques.
S'il en est ainsi, elle est une fonction uniforme du point analy-
tique (^, u)^ n'ayant, sur toute la surface de Riemann, que des
pôles pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle
de z et de u. On déduit de là le théorème suivant, dû à Abel : Si

une intégrale /R(^, u) dz, oii R(:?, u) est une fonction ration-
nelle de deux variables z et u liées par la relation algébrique

3;>o CHAPITRE vii.

F(^, u) ■= o, est elle-même une fonction algébrique de z, elle
est égale à une fonction rationnelle de z et de u.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que tous les résidus de
la fonction rationnelle R(^, ?/) soient nuls. Cette condition étant
supposée satisfaite, on a R(5, ?/)=:= S (i;, w), I = J; il faut, en
outre, que tous les coefficients A,, . . ., X^, p.,, , . ., jji^ de la for-
mule (20) soient nuls, c'est-à-dire, d'après les équations (21) et
(2-2), que la somme des résidus de chacun des produits J|/(-S, u^
et J y/(^, ?^) (/ = 1 , 2, . . .,/?) soit nulle séparément.

Donc, pour cjue l'intégrale abélienne I = / R(^, u) dz se ré-
duise à une fonction rationnelle de z et de u, il faut et il suffit :

1° Que tous les résidus de la fonction rationnelle R(^, u)
soient nuls;

2" Que la somme des résidus du produit I'^(::, ;^), oii

hh(z, u) dz est une intégrale quelconque de première espèce^
soit /lui le;

3"^ Que la somme des résidus de chacun des produits lyi{z^ u)
soit nulle, yj (z, u), . . ., y^p{Zj u) ayant le même sens que plus
haut.

Nous ferons remarquer de nouveau que les conditions trouvées
sont toutes algébriques. Si la première condition seule est satis-
faite, l'intégrale 1 ne contient aucune intégrale de troisième es-
pèce. Si les deux premières conditions seules sont satisfaites, l'inté-
grale I est égale à une fonction rationnelle de ^ et de u, augmentée
d'une intégrale de première espèce. Remarquons enfin qu'au lieu
de prendre pour '/j{z, u), .... '/^p(z, u) les dérivées de p inté-
grales de seconde espèce n'ajant qu'un pôle du premier ordre, on
pourrait prendre les dérivées de p intégrales quelconques de se-
conde espèce, formant avec (ip^ . . ., Wp un système fondamental.

159. Les deux dernières conditions peuvent être mises sous
une autre forme. De l'identité

d(lwi) = I<hi{z., u)dz -h iriR{z, u)dz.,
on déduit

/ I <h/(z, II) dz =— wi l\(z, u) dz,

INTÉGRALES NORMALES. 35l

chacune des intégrales étant prise le long du contour total de T'.
Or la première intégrale est égale, à un facteur près, à la somme
des résidus de I'}i(^, u), et la seconde est égale, au même fac-
teur près, à la somme des résidus de (V/R(z, u). La deuxième
condition peut donc être remplacée par la suivante : La somme
des résidus de w R(:?, if) sur toute la surface doit être nullej
w étant une intégrale quelconque de première espèce.

On voit de même que la dernière condition peut être énoncée
comme il suit : La somme des résidus de chacun des p produits
^/R(;, u) doit être nulle {^).

On trouverait immédiatement ces conditions par une méthode
un peu différente en écrivant que toutes les périodes de l'intégrale

I ^{z, u)dz sont nulles. Il suffît, pour cela, d'appliquer le théo-
rème de Cauchy aux 2/? intégrales

jw^'\z, u)R(z, u)dz. I Z{z., u;ai,bi)R{z., u)dz, (l = 1,2, ...,p)r

prises le long du contour total de T', en se servant de l'expression
de ces intégrales au mojen des périodes (n° 60).

160. Prenons comme exemple les courbes algébriques telles
que l'aire limitée par deux rayons vecteurs et l'arc de la courbe
compris entre les deux extrémités de ces rayons soit une fonction
algébrique des coordonnées des deux extrémités. Cette aire est
représentée par l'intégrale

;/•■

z du.

le on a / u dz = uz — z du, le problème revient à re-
chercher les relations algébriques

(•23) F{z,i() = o,

telles que l'intégrale f u dz soit elle-même une fonction algébrique

(•) HuMBERT, Acta Mathematica, t. X, p. 391. On pourra consulter aussi sur
ce sujet : Liouville , divers Mémoires dans le Journal de Mathématiques;
Zeuthen, Comptes rendus, 1880; Raffy, Thèse de Doctorat, i883.

352 CHAPITRE Vil.

de jz. Bornons-nous au cas où la courbe (23), de degré m, a m
points distincts à l'infini ; on peut prendre les axes de telle façon
qu'aucune des m asjmptotes ne soit parallèle à l'axe des u. Soit

u = CiZ H- di-+- -^ -\ T + • • •

-»> JZ

Téquation qui représente une branche infinie asymptote à la droite
H = CiZ -\- di; tous les coefficients tels que a[^^ doivent être nuls.
Géométriquement, cela signifie que le point à l'infini dans la di-
rection précédente est un point d'inflexion. En effet, effectuons la
transformation homographique

u
11^=—-

z

à la branche infinie correspond une branche de courbe issue du
point z' = o, a' = ci,

u' = Ci-T- diZ'-\- a[-^^^'2_^ 3c[.2'^'3_|_

Si aj'^nno, on voit que la tangente lé =z Ci-\- diz' rencontre la
courbe en trois points confondus.

Lorsque la courbe considérée est du genre zéro, ces conditions
sont suffisantes. Donc, pour que l'aire d'une courbe unicursale
de degré m^ qui a ni points simples à r infini, soit algébrique,
il faut et il suffit que les m points à V infini soient des points
d'inflexion (^).

Si la courbe est de genre/? > o, il faudra, en outre, que ip con-
ditions nouvelles soient remplies. Prenons, par exemple, une cu-
bique avec trois points d'inflexion à l'infini; si l'on prend pour
axes de coordonnées deux des asymptotes, l'équation de cette cu-
bique est de la forme

uz{u — az — b) — k-— o.
On en tire

_ az -{-b \/zHaz -4- by^-h \k^z
Il — -\- — ,

'2 -IZ

r , «52 bz 1 r^z^az^by-^ik^'Z ,

udz = — i h- - / ^ ^- ^ dz.

J \ 1 1 J z

(*) ArrELL et E. Picard, Thèses de Doctorat.

INTÉGRALES NORMALES. 353

Si le polynôme sous le radical a une racine double, la courbe
est unicursale, et, d'après ce qui précède, l'intégrale doit être al-
gébrique, ce qu'il est facile de vérifier. Dans tout autre cas, l'inté-
grale

n'est pas algébrique. En effet, considérons la relation auxiliaire
?/-= R(^) et les deux intégrales

r dz r dz

de première et de seconde espèce, attachées à cette relation,

D'après la théorie Sfénérale, la somme des résidus de ï et de

— _ devrait être nulle. Formons cette somme pour le second

zs/^^^T) . ,. .

produit. Les points à l'infini sont des pôles du second ordre pour I,
et l'on a, dans le domaine de chacun de ces points,

z^ , 2A-2 I

> a z

z^B.{z) z^\a a'^ z ' "' J'

les signes ±. se correspondant dans les deux formules. La somme
des résidus pour les points à l'infini est donc égale à — i. Dans
le domaine de l'origine, on a

/- ^2 3

le résidu du produit est donc égal à 4- Pour toute aulre valeur de
3, le résidu est nul. Par suite, l'intégrale

/

s/zHaz^bY-^ Xk-'z ^_

ne peut être algébrique, lorsque lepolvnome sous le radical n'ad-
met que des racines simples.

A. ET G. 23

354 CHAPITRE VII.

161. Le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de a est
une intégrale abélienne qui ne possède que des points critiques
logarithmiques (n" 48). Cette remarque nous conduit à nous poser
la question suivante :

Étant donnée une intégrale abélienne 1= /R(^, u)dz^ qui
n^admet que des points critiques logarithmiques, comment
peut-on reconnaître si elle s exprime par une somme de loga-
rithmes de fonctions rationnelles de z et de u et d'une inté-
grale de première espèce ?

Soient (a,, h,), {a., b.), ..., {ctg, bq)\es points critiques lo-
garithmiques, R<, Ro, .-., i^q les résidus correspondants de
R(^, w), qui vérifient la relation

(^4) Ri-i- R2 -I-. • ■+ R^ = o.

Supposons que l'intégrale considérée s'exprime de la façon in-
diquée, c'est-à-dire que l'on ait

(25) I = f^{^, ii)dz = (Mi\ogOi +W2logcp2 -+-...+ w;. logcp,. -f-w(^, u),

cOi, W2, ..., (-Or étant des constantes, cp,, Oo, ..., cp;. des fonctions
rationnelles de z et de u, et iv{z, u) une intégrale de première
espèce. On peut toujours admettre qu'il n'existe entre les con-
stantes (Oi, coo, ..., w^ aucune relation linéaire et homogène à
coefficients entiers; si, en effet, il existait une pareille relation,

7711 Wi -T- ;?Z2W2-1- . . .-f- Jn,.Oir = o,

où l'un au moins des coefficients, m,-, par exemple, est différent de
zéro, on en tirerait

mj Wl + 7?l2(02 -h. . .H- /«/•-! W/.-i

OJ,. = >

m,.

et l'expression (20) pourrait s'écrire

La nouvelle formule contient un logarithme de moins que la

INTÉGRALES NORMALES. 355

précédente. Si donc on suppose qu'on a réduit, de cette façon,
autant que possible le nombre des logarithmes, il ne peut exister
entre les constantes w, aucune relation de la forme indiquée ; c'est
ce que nous admettrons désormais.

Gela posé, les zéros et les infinis des r fonctions cp,, cp,, ..., cp,-
font nécessairement partie des q points (a,, b^ ), ..., (a^,, bq). Si,
en effet, un autre point (a, 3) était un pôle ou un zéro de quel-
ques-unes de ces fonctions, dans le domaine de ce point, le second
membre de la formule (20) serait infini comme

(micoi -i-. . .-f- m,.oir) log(^ — ce),

m^ mo ryir étant des nombres entiers dont l'un au moins

n'est pas nul. Or l'intégrale I est régulière au point (a, P); il fau-
drait donc que Ton eût 7?z, w, -f-. . .-1- nir^r — o, contrairement à
l'hypothèse qui vient d'être faite. Soit mu un nombre entier, égal
à zéro si le point («/, bi) n'est ni un pôle ni un zéro de 9a(^, w),
éo-al à 4-/1 si le point (a/, bi) est un zéro d'ordre n de cp^, et à

ji' si (rt/, bi) est un pôle d'ordre n' de cpA. Dans le domaine du

point (<7/, 6/), le second membre de la formule (20) est de la
forme

p/ - _ ai) désignant une fonction régulière. On a donc entre les
résidus R,, R2, •••, R? et les constantes co,, w., ..., tO;- les q re-
lations

(26) ^i — nmoii^ TlliUMi-r-.. .^ niri^r (î = ï , 2, . . . , q),

où tous les coefficients m^i sont des nombres entiers.

16^. Nous voyons que les q résidus R, , R,, . . ., R^ s'expriment
par des fonctions linéaires à coefficients entiers des r quantités
w,, (1)2, . . ., ^r- 11 n'en résulte pas qu'elles ne puissent s'exprimer
de la même façon au moyen de moins de /• quantités, et nous
sommes conduits à traiter d'abord la question suivante :

Étant données q quantités quelconques R,, Rj, •••, R^,
réelles ou imaginaires, les exprimer par des fonctions li-
néaires et homogènes à coefficients entiers du plus petit
nombre possible de quantités.

356 GHAPITRK VII.

Supposons le problème résolu et soient

\ F!

R,

^12^1

^q = 'llq'^l

Si
. . . . ,

les formules qui donnent une solution du problème, les nombres
Hiff étant tous entiers. D'après la relation (24), le nombre s est au
plus égal kq — i ; il est clair aussi qu'il est au plus égal à j\ mais
il peut lui être inférieur. Nous allons montrer qu'on peut toujours
ramener les /' logarithmes de la formule (20) à s logarithmes
seulement (^).

Par hypothèse, il n'existe aucune relation linéaire et homogène
à coefficients entiers entre a-,, o-o, ..., as. De plus, tous les dé-
terminants d'ordre s que l'on déduit du tableau

^12

nu

^22

n^r

rigi

en prenant s lignes ne peuvent être nuls à la fois. En effet,
supposons, pour plus de généralité, que tous les déterminants
d'ordre supérieur à s'(s'<Cs), déduits du tableau précédent en
supprimant un certain nombre de lignes et de colonnes, soient
nuls et que l'un au moins des déterminants d'ordre s', par exemple

nu

ris'i

soit différent de zéro. Chacun des déterminants d'ordre s'
tel que

nu ..

■ n,'i

R,

/Il2

ns'i

R2

riis' . •

ris's'

R.'

nu . . .

ris'i

R.

(') E. Coursât, Comptes rendus, t. CXVIII, 5 mars 1894.

INTÉGRALES NORMALES. SÔJ

OÙ i est un des nombres s'-i-i, ...^ s, est identiquement nul,
comme on le voit, en remplaçant R,, Ro, • . ., R^', R/ par leurs va-
leurs tirées des formules (27). En développant ce déterminant par
rapport aux éléments de la dernière colonne, on en déduit

DR/ 4- Di Ri + . . . -f- D^' R,' = o,

D,, Do, ..., D^ étant des nombres entiers. On voit que R,,
Ro, . . ., Kq s'exprimeraient au moyen de s' quantités

Ri R.'

D' '"' D"'

par des formules linéaires et homogènes à coefficients entiers; le
nombre s ne serait donc pas, contrairement à notre hypothèse,
le plus petit nombre entier donnant la solution du problème.

On démontrera de la même façon que Tun au moins des déter-
minants d'ordre s déduits du Tableau

rriii m2i . . . niri
m 12 Tn=>2 . . . m, -2

mi,. m-i,. . . . ni/r

est différent de zéro; les équations (26) peuvent donc être réso-
lues par rapport à s des quantités w,, ..., w^. On en tire, par
exemple, Wi, too, .... w^ en fonction de R|, . . ., R^ et de w^+i, ...,
(o,., et, en y remplaçant R,, ..., R^ par leurs expressions tirées
des formules (27), on obtient des formules de la forme suivante

/ Acoi — XnOJ^,.|-l — • • • — ^^l,r-s^r = ,^11 '^l -H. . .-T- [Ai^T^,.,
(28) '

( ^(^Js — ^51 W^-+-l — . . .— '>^s,r-s^r = !J-5l ^1 "^ • • • -^ l^ss^s,

tous les coefficients A, 1, a étant des nombres entiers.

Imaginons maintenant qu'on substitue dans les formules (26)
les valeurs de R, , Ro, . . ., R^, w,, . . ., w, tirées des relations (27)
et (28) ; on devra obtenir des identités, c'est-à-dire que les coeffi-
cients de w^^,, .. ., (o^ devront être nuls dans les seconds mem-
bres, et les coefficients de cr,, . . ., cr^ devront être égaux de part
et d'autre. En effet, si le coefficient de co^+,, par exemple, dans
l'un des seconds membres n'était pas nul, on en tirerait pour

358 CHAPITRE VII.

(j)s+i une fonction linéaire et homogène à coefficients commen-
surables de co^^o? •••^ ^ry '^\j •••? ^s- En ajoutant cette équation
aux équations (28) on aurait 5 -h i équations distinctes entre Wi , . . . ,
is)r, 0-,, ..., ds et l'élimination de a^, g.,, . . ., o-^ conduirait au
moins à une relation linéaire et homogène à coefficients entiers
entre iù^, . . ., lûr. De même, si les coefficients de o-< , ..., o-ç
n'étaient pas égaux de part et d'autre, on aurait une relation de
même forme à coefficients entiers entre cti, o-o, . . ., a^.

Après la substitution précédente, le coefficient de iOs+h dans le
second membre de la relation (26) est

nis^h.i + mu '- -\- m^i -^- -4- . . .+ nisi -•— ;

le coefficient de <7h est uj^i dans le premier membre et

niM \i.\ k -H ma/Va/r + • . . H- m^i ix.sk
A

dans le second membre ; on a donc les relations suivantes entre ces
nombres entiers

(29) m,+/,,/H T =0, (

A \/z = I, 2, r — s)

, o . mu [Xiz- -I- . . . -4- lllsi IXsk j 1=1,1. ...,q

(30) nki= * T '— j

A \k=-i,i, . . ., S

Dans ces relations les nombres iij^i sont supposés connus par
les formules (27), mais les nombres m^^, X, [ji, A sont complète-
ment inconnus.

Dans la formule (20), remplaçons toi, Wo, . .., cO;. parleurs ex-
pressions tirées des formules (28); il vient

ï^ ^ log<];i4-...-l-- logt];5+ -'-^ log <];,+!+... 4- ^logt];,.-+-«^,

OU

n[^ii (p[^îi . . . cpl^^i,

5

. ' il ' ' 'Ts Tr '

INTÉGRALES NORMALES. 35()

Les fonctions rationnelles '^j^,, ..., ...,6rse réduisent à des con-
stantes. En effet, ^s+h n'admet pour pôles et pour zéros que quel-
ques-uns des points («,, ^,), ..., («y, bq). Dans le domaine du
point (ai, bi) elle contient en facteur une certaine puissance de
(z — ai) dont l'exposant est, d'après la signification des nom-
bres niffi,

c'est-à-dire zéro, d'après la formule (29). Le point (rt/,6/) n'est
donc ni un pôle ni un zéro pour 'i^^+yi ; cette fonction, n'admettant
ni pôles ni zéros, se réduit forcément à une constante, et, par
suite, l'intégrale T ne contient que s logarithmes, comme nous
l'avions annoncé,

(3i) 1= ^log6,-t-...4-~Mog^,-H«^(^,zO-

Pour déterminer les fonctions à^, . . . , t!;^, cherchons les ordres
des pôles et des zéros de •^,, par exemple; ces points font partie
des q points (a, ,b\).., (ciq^ bq). Dans le domaine du point (a/, bi),
log'v, est infini comme

( niu ai 1 -^ . . . -^ nisi ii^y ) log( - — «/),

c'est-à-dire, d'après les formules (3i), comme A/?,/log(:: — «/).
Les nombres n^i sont supposés connus; si l'on connaissait A, on
voit que les pôles et les zéros de 6,, , . . ,'ls seraient connus, avec
leurs ordres de multiplicité respectifs. C'est l'indétermination de
ce nombre entier A qui fait la difficulté de la seconde partie du
problème.

163. En résumé, la question que nous nous sommes proposée
comprend deux problèmes distincts. Si l'on veut chercher le
nombre minimum de logarithmes auquel une intégrale abélienne
peut se réduire, en supposant cette réduction possible, il faut
chercher le plus petit nombre possible de quantités au moyen des-
quelles les résidus R, , . . . , R^ peuvent s'exprimer par des fonc-
tions linéaires et homogènes à coefficients entiers. Si ce nombre
est égal à 5, le nombre minimum des logarithmes est aussi égal
à 5; on remarquera que ce nombre ne dépend que des résidus.

36o CHAPITRE VII.

Cette première question étant supposée résolue, on a ensuite à
résoudre un ou plusieurs problèmes du type suivant :

Étant donnés sur une surface de Rlemann q points

et q nombres entiers /i,, n^, . . ., nq, dont la somme est nulle,
existe-t-il une fonction rationnelle oi^z^u) et un nombre en-
tier M, tels que logcp(^, u) soit régulier en tous les points
de la surface de Riemann, sauf aux points {a^,bC)^ ...,
[aq^ bg), et soit infini comme M/z^ log(^ — a/), dans le domaine
du point [aiy bi)l

Si le nombre M était connu, le problème reviendrait évidem-
ment à reconnaître s'il existe une fonction rationnelle cp(^, w),
admettant des pôles et des zéros donnés, avec des degrés de mul-
tiplicité déterminés, problème dont on s'occupera plus loin et qui
n'offre que des difficultés algébriques. Mais, aussi loin que l'on
aille dans la série des essais en faisant successivement M=i , 2,3,...,
sans jamais réussir, on ne peut affirmer, du moins dans le cas
général, que le problème est impossible. Pour prendre un exemple
simple, supposons/) = i, et supposons de plus qu'il n'y ait que
quatre points critiques («4,6,), («2? ^2)? (<^37 ^3)? (<^.'o ^'. )? et
enfin que l'on ait n^=i /io = i, az3= 714 = — i. Tout revient à trou-
ver s'il existe une fonction rationnelle de ^ et de w admettant les
seuls zéros [a^^ 6,), (ao, ^2) et les seuls pôles («3, 63), (a/,, b;^)^
chacun au degré M de multiplicité, M étant un nombre entier
indéterminé. Soit w[z-^u) l'intégrale de première espèce ; pour
que la fonction cherchée existe, il faut et il suffit, d'après le théo-
rème d'Abel, qui sera étudié en détail dans un des Chapitres sui-
vants, que l'on ait

M[w{ax, bi)-^- iv{a2j ^2)]= M[w{a^, 63)+ (^(«4, bi,)],

le signe ^ indiquant l'égalité à une période près. Il faut donc
que la différence

w(ai, bi)-\- w{a2, b^) — ^(«3, ^3)— <^(«4, ^4)

soit commensurable avec une période de «^(s, u). Le problème

INTÉGRALES NORMALES. 36l

en question est donc de même nature que celui-ci : Etant donnés
deux nombres que l'on peut calculer avec une approximation in-
définie, reconnaître si leur rapport est commensurable. Aussi
loin que l'on pousse les opérations, il n'est jamais permis de con-
clure négativement, par cette seule considération. Pour plus de
détails sur ce sujet, nous renverrons le lecteur aux dernières pages
du Tome II du Traité des fonctions elliptiques d'Halphen, où
l'éminent géomètre fait ressortir très nettement la difficulté du
problème.

16i. Comme application de la théorie précédente, reprenons
le problème suivant traité par Abel :

/o dz
^^-^ y OÙ G (?^ R

sont deux polynômes entiers en z^ R étant premier avec sa dé-
rivée, qui s'expriment par une somme d'un nombre fini de
logarithmes de fonctions rationnelles de z et de u.

L'intégrale / —^ ne doit posséder, comme singularités, que

des points critiques logarithmiques. Or cette intégrale est régu-
lière pour toute valeur finie de ^ ; si R est de degré impair, le dé-
veloppement de ~= dans le domaine du point de ramification à

rinfini ne contient que des puissances fractionnaires de z^ et, par
suite, le point à l'infini ne peut être un point critique logarith-
mique pour l'intégrale. Il faut donc que R soit de degré pair ip-\-Q .
La surface de Riemann présente alors deux points distincts à l'in-
fini; dans le domaine de chacun d'eux, l'intégrale doit être égale
à un terme logarithmique, augmentée d'une fonction régulière,
ce qui exige que p soit de degré p. Si ces deux conditions sont
remplies, les deux résidus R|, Ro sont égaux et de signes con-
traires; le nombre s est égal à l'unité. Par suite, lorscpt'une inté-
grale delà forme j ^-^ est exprimable par logarithmes, elle

s'exprime au moyen d^un seul logarithme.

Soit

362 CHAPITRE VII.

A désignant une constante et P, Q, S étant trois polynômes, la
formule qui donne la valeur de cette intégrale. A chaque valeur
de z correspondent pour le logarithme deux valeurs

log -^^-^— , log- ^^,

dont les dérivées — ^—= et L ont une somme nulle. La somme

A v/H a v/R

de ces deux logarithmes et, par suite, le produit

+ Qv/r\/p-Qv/k

S J\ S
doit donc se réduire à une constante K

p2_RQ2^KS2;

on peut alors écrire

K

ou encore

, p + Q/R I I /p + q/rX
log ^i-L— = -logK-f- -log ^^~= •

Employant les notations d'Abel, on voit que, si l'intégrale considérée
est exprimable par logarithmes, elle a une expression de la forme

(32) / '-=- = Alog

J v/R ^Va-?/R

a et P étant deux polynômes. On peut évidemment supposer a
et ^ premiers entre eux; on peut aussi supposer a premier avecR.
En effet, si a et R ont un plus grand commun diviseur N, on a

a = aiN, R=RiN,

a, étant premier avec R,; nous pouvons écrire

a-4-Pv/R _ ai y/N H- ^ y/RJ
a-P /R ~ «ly/ÎV — pv^ï^'
^ /ai y/N H- ^ /rTX ^ i ^^^ /af N + ^^ Ri H- 2 a^ ^ /r"

2 ^Va'-pVl^

INTÉGRALES NORMALES. 363

expression de même forme que la première, où

Les deux polynômes oJ et R sont premiers entre eux ; en effet, R, est
premier avec N et avec a,, N est premier avec Ri et avec ^, car il
divise a, et a et [^ sont supposés premiers entre eux.

Cela étant, si la fonction rationnelle ^-^ satisfait à la rela-

tion (32), elle a un seul pôle et un seul zéro, tous les deux reje-
tés à l'infini; autrement, le logarithme aurait des points critiques
logarithmiques à distance finie. Le produit

ne peut s'annuler pour aucune valeur finie de ^; en effet, une ra-
cine ; ^ a de cette équation ne peut annuler à la fois les deux
facteurs a H- ^ v'R, a — ^ ^/R, car elle annulerait la somme 2 a et
la différence 2 ^ v^R, et nous avons vu qu'on peut supposer a pre-
mier avec ^R. Il faut donc que a- — [^-R se réduise à une con-
stante et, comme il est permis de multiplier a et [3 par un même
facteur constant, on peut supposer cette constante égale à l'unité;
par conséquent, les trois polynômes a, ^ e^ R doivent vérifier la
relation

(33) a5— ^•2R = i.

Inversement, si trois polynômes a, ^3, R donnent lieu à l'iden-
tité (33), on en déduit une solution du problème proposé. Il est
clair d'abord que R est de degré pair 2^ -i- 2 et que a est premier
avec pR; on peut supposer aussi que R est premier avec sa déri-
vée; s'il contenait un facteur multiple tel que (^ — ^o)'^? on pour-
rait faire passer (^ — ^0)^' dans [3 ; s'il était divisible par {z — ;:o)"^"^' 1
on multiplierait ^ par {z — ^0)^ et il ne resterait dans R que (;: — ^o)-
Gela posé, la fonction rationnelle de z et de y/R,

a -f- |B v/R

a — P/R
n'admet, d'après la relation (33), ni pôles ni zéros à distance finie

364 CHAPITRE VII.

elle admet un seul pôle et un zéro, tous les deux rejetés à l'infini.
La dérivée logarithmique est donc égale, à un facteur numérique
près, à une intégrale de troisième espèce avec deux points cri-
tiques logarithmiques à l'infini, c'est-à-dire qu'on a une relation
de la forme

/

= log ' ^ ^

y/R V«-^v/îï

p étant un polynôme de degré p.

Pour résoudre de la façon la plus générale l'équation indéter-
minée (33), on peut se donner arbitrairement le polynôme a. La
théorie des racines égales permet alors de mettre le polynôme
a^ — I sous la forme p^R, R étant premier avec sa dérivée, par
des opérations algébriques élémentaires. Par exemple, si l'on a

«2-i = XiXlXlX|,

les polynômes X^ n'ayant aucun facteur multiple, ni aucun facteur
commun, on prendra R = Xi X3, p^XoXgX^. La valeur de p
se calcule ensuite sans difficulté; on trouve

p = aSR'-i-2(a3'— a'^)R.

Abel s'est proposé aussi la question suivante, qui est en quelque
sorte l'inverse de la précédente :

Etant donné un polynôme R, premier avec sa dérivée, de
degré pair ip -^ i, reconnaître si Von peut trouver un autre

polynôme p tel que r intégrale 1 ~^ s'exprime par un loga-

J V l"^
rithme.

Ce problème est, d'après ce qui précède, équivalent à celui-ci :
Peut-on trouver deux polynômes a et p, satisfaisant à la
relation (33) ?

Si l'on connaissait a priori le degré de l'un de ces polynômes,
on pourrait toujours, par la méthode des coefficients indétermi-
nés, reconnaître si le problème admet ou non une solution. Mais,
ici encore, on voit s'introduire un nombre entier indéterminé.
Abel a rattaché la solution de ce problème à la théorie des frac-
tions continues algébriques; il est arrivé à la proposition suivante,

INTÉGRALES NORMALES. 365

pour la démonstraiion de laquelle nous renverrons à son Mé-
moire : Pour qii'il existe un polynôme p répondant à laques-
tion, il faut et il suffit que le développement de \jK en fraction
continue algébrique soit périodique.

Lorsque le polynôme R(5) est du quatrième degré, p doit être
du premier degré. Dans ce cas spécial, le problème a été étudié
depuis par M. Tchebjchefr(^) et par M. Zolotareff (-), lorsque
les coefficients de R(3) sont commensurables ou sont des nombres
entiers complexes. Ces deux méthodes supposent que Ton con-
naît les racines de B.(^) ; elles permettent de reconnaître, au bout
d^ un nombre fini d^ opérations, R(:;) = ^'' +«^^ + bz'--^cz-\-d
étant donné, s'il existe une constante A telle que Ton ait

/'

Il faut, pour cela, qu'il existe une fonction rationnelle de z et
de y/R(^) ayant un seul pôle et un seul zéro, tous les deux à l'in-
fini; pour que ce problème admette une solution, il faut et il
suffit, d'après le théorème cité à la fin du n'^ 163, que la difTé-
rence des valeurs de Tintégrale de première espèce aux deux
points à l'infini soit commensurable avec une période. Tout re-
vient donc à reconnaître si cette dififérence est de la forme

où m, m', n sont des nombres entiers, et a\ to' les périodes de
l'intégrale de première espèce.

Kio. On a vu (n" loi) qu'une somme d'un nombre quelconque
d'intégrales de première et de deuxième espèce se ramène tou-
jours à ip intégrales distinctes et à un terme algébrique. Il
n'existe point de proposition aussi simple pour les intégrales de
troisième espèce; le théorème suivant offre cependant une cer-
taine analogie avec le théorème qui vient d'être rappelé :

Etant donnée la somme d'un nombre quelconque d'inté-

(') Journal de Liouville; 1884.

(^) Voir Bulletin des Sciences mathématiques, 1879; P- 47^-478.

366 CHAPITRE VII.

grales de troisième espèce, multipliées par des facteurs dont
les rapports sont commensurables , on peut exprimer cette
somme au moyen du logarithme d^une fonction rationnelle
de z et de u, et de p intégrales de troisième espèce, V un des
points critiques de chacune de ces intégrales de troisième es-
pèce pouvant être choisi arbitrairement.

Soit 1=^ I R{z^ u) dz une intégrale n'admettant que des points

critiques logarithmiques, et telle que tous les résidus deR(^, u)
soient commensurables entre eax. En multipliant R(^, u) par un
facteur constant convenable, on peut supposer, ce que nous
ferons désormais, que tous ces résidus sont des nombres entiers.
Soient («1, 6i), ..., (rt^, bq) les points critiques pour lesquels
les résidus m^ , mo, ..., m^ sont des nombres entiers positifs,
(a,, î^i). ..., (a^, [^^) les points critiques pour lesquels les résidus
sont des nombres entiers négatifs, — n^^ — /Zo, . . ., — n,- Pour
ne pas interrompre la suite des idées, admettons le théorème sui-
vant, qui sera démontré un peu plus loin, sans rien emprunter à
cette théorie : il existe une fonction rationnelle de z et de u qui
admet les points (a/, bt) pour zéros d'ordre /?z,, . . ., nig respecti-
vement, les points (a^-, p^) pour pôles d'ordre n^^ . .., nr-, et qui
est en outre infinie du premier ordre en/? points (ci, d^), ...,
{Cp^ dp)^ que l'on peut choisir arbitrairement. Soit <ï>(^, u) cette
fonction rationnelle, qui admet, en outre, p zéros distincts des
premiers (c', , d\)^ . . ., (c' , d' ). La différence

log<ï>(^, u) — / K{z, u) dz

admet donc les seuls points critiques logarithmiques (c/, di)^
(c^, d'i) avec les multiplicateurs -\- i et — i respectivement; elle
est donc égale à une somme de p intégrales de troisième espèce,

telles que nr'^'' *(i=ri, 2, ..., /?)^ ce qui établit la proposition.
Pour prendre un exemple, considérons la relation de genre un

l'équation Z = o n'ajant que des racines simples, et l'intégrale

INTÉGRALES NORMALES. 867

elliptique

r hdz

J v^Z

ou

(35) L=-/iv/Ao^-- -^— ^ H ^- +...-+- — ^ + K;

/?, «,, ..., Urj sont des nombres entiers positifs ou négatifs,
«,, ..., Œq sont distincts des racines de Z = o, enfin on a
6^? = Ao<7^- -H. . . + A/,. L'intégrale I n'admet que des points cri-
tiques logarithmiques (a^-, bi)^ {at^ — bi) et les deux points à
l'infini, les multiplicateurs étant précisément ifc /?/, àz n (n°^ 35
et 36). On peut donc lui appliquer le théorème précédent. L'in-
tégrale de troisième espèce la plus générale avec les deux points
critiques ( c, û?), (</, d') est (n° 37)

u A- d u-^ d , 1 7
~ — -h k I dz.

z — c z — c

Si l'on choisit convenablement la constante A" et les deux points

(c, <:/), (c', d')^ on aura

r t rf. _, r J- (_»^i' _ !i±^ + /-■) rf. = iog<i.(., u)

J u J iu\z — c z — c ]

dz = 2log*(5, ^0+ loge- — c)— log(^ — c')

ou

2L + T

/

= log[

en posant

(36)

^Hz

■.ii)(z-

-c)'

z — c'

J

d'

d

-T-k

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Étant donnée une fonction ratioîinelle L de la forme (35),
on peut toujours trouver une fonction T de la forme (36),

T I 'T'

telle que ^-^- — soit la dérivée logarithmique d' une fonction
rationnelle de z et de u {^ ).

C) Halphen, Traité des fonctions elliptiques, t. II, p. 638.

368

CHAPITRE VII.

On verra, dans l'Ouvrage d'Halphen, comment on peut calculer
T, ainsi que la fonction rationnelle dont le logarithme a pour dé-

rivée -^— ^^ — lorsque L est donnée. Un des points (c, d)^ (c^, d!)

peut être pris arbitrairement; si l'on a pris pour (c', d!) un point
de ramification, d =z o, et l'expression de T se simplifie

z — c

166. Lorsque l'intégrale abélienne y R(^, u)dz est égale à une

fonction rationnelle de z et de u^ <ï>(^, u)^ ou au logarithme d'une
fonction rationnelle A log<ï>(5, u) ^ le changement de variable

^{z^u)^=t ramène l'intégrale proposée à la forme Ç dt^ ou
/ -y-* vJn peut se poser une question plus générale :

Étant donnée une intégrale abélienne j \\{z, u) dz^ rela-

iwe à une courbe de genre /?, dans quels cas existe-t-il une
substitution algébrique qui change cette intégrale en une
nouvelle intégrale abélienne relative à une courbe de genre
p' ^ inférieur à p?

La solution de ce problème général paraît difficile. Nous mon-
trerons seulement, par un exemple simple, comment la question
est liée à la réduction du nombre des périodes. Considérons une
courbe de genre/?, supérieur à un, et une intégrale de première
espèce

w = o(z, u) dz

attachée à cette courbe : si les 2p périodes de cette intégrale
se ramènent à deux périodes distinctes, on peut ramener cette
intégrale à une intégrale elliptique par une substitution ra-
tionnelle. Soient a)4 et W2 les deux périodes auxquelles se ramè-
nent toutes les périodes de w\ la période relative à la coupure ai
est égale à m^ù^ + ni^^^ et la période relative à bi est/?,tOi -f- qt Wo,
^i^ ^i^ Pi-, qt étant des nombres entiers. Séparons les parties

INTÉGRALES NORMALES. Sôg

réelles et les coefficients de y/ — i ; soit

toi = a -h ^ \/~— I

D'après la formule de Riemann, la somme

p

2 [(m/a -f- /ir;) (/?/? + ^/5 ) — (m,- ? ^ /i/o) (/?/a -^ qr()]

i=\

P

= (ao — ?y)^ ( m/^',- — «//?0

/=: 1

est essentiellement positive. On ne peut donc avoir tZ — ^v = o,

c'est-à-dire que le rapport — est nécessairement imaginaire ; le

même raisonnement prouve d'ailleurs que les ip périodes de w ne
peuvent se réduire à une seule. Soit a((v) une fonction doublement
périodique de w^ avec les deux périodes to,, Wo, admettant deux
pôles simples dans un parallélogramme élémentaire (^ ); cette
fonction satisfait à une équation différentielle de la forme

(37) (^M'=AX'+BX3+CX^+DX-E,

A, B, C, D, E étant des constantes. Imaginons que, dans \[w),

on remplace w par l'intégrale /'f(^, ii) ciz ; A(tp) devient une

fonction uniforme du point analytique {z, u), puisque toutes les
valeurs de iv en un même point de la surface de Riemann s'ob-
tiennent en ajoutante l'une d'elles des multiples entiers de to, et
de o)o. Soit A((r) =: 0(3, u); appelons ^ et r, les deux pôles de
a((v) dans un parallélogramme élémentaire. La fonction <ï> {z, u)
ne peut cesser d'être régulière que pour les points de la surface
de Riemann où l'intégrale iv prend une valeur de la forme
ç-f- /?ito, 4- /nx).2 ouTj -\-/n'ù)i + n'iô.2j et Ton reconnaît aisément
que ces points sont des pôles pour ^{z. a); c'est donc une

(') Nous supposons connus les éléments de la théorie des fonctions doublement
périodiques.

A. ET G. 24

370 CHAPITRE VIT.

fonction rationnelle de z et de u. Gela posé, de la relation

X(cv) = ^{z, u),
•on déduit, en différentiant par rapport à z,

,. , . , dw d^

en remplaçant V(iv) par sa valeur tirée de la relation (3-), et

dw

dz

dw , \ -1 • *

-TZ pai- ?(-^ if^)^ il vient

?(-, u)

d<P
dz

ou

(38)

o(z, u)dz= I -.

On voit donc qu'en prenant pour nouvelle variable la fonction
rationnelle ^(z, u), l'intégrale proposée se change en une inté-
grale elliptique de première espèce, comme nous l'avions an-
noncé.

167. Considérons maintenant en particulier le cas où /> = 2, et
ijupposons qu'une courbe de genre deux possède une intégrale de
première espèce (Vj, ayant seulement deux périodes distinctes to,,

7??! Wj H- /il W2, ;?l2 Wi + 722 W2, />1 Wi -i- ^1 t02, />2 ^i -h ^2 ^^'^Z

les périodes de w^ relatives aux coupures «), «25 ^i? ^2- Soit «'2
une seconde intégrale de première espèce, distincte de la pre-
mière, et A,, A2, B^, B2 ses périodes relatives aux mêmes cou-
pures. D'après la relation générale qui lie les périodes de deux
intégrales de première espèce (n*' 67), on a

(mioii -h /^l W2) Bi — Ai(/>iCl)i -i- (/i w,)

4- (m2a)i4- 7i2W2)B2 — A2(/'2 Wj -+- (72W2) =. o

ou

(39)

( -f- a)2(A«iBi— qi Al -!- 71262— '72A2) = o.

INTÉGRALES NORMALES. Sjl

On peut supposer que les périodes A,, Ao, B,, Bo vérifient la
relation

(4o) miBi — piXi-h niiB-j — /?-2A2 = o;

en effet, si l'on remplace (Vo par l'intégrale Wo -H K(v,, où K est
une constante, les périodes de cette nouvelle intégrale sont

A', = Ai-j- K(mi wi -h /Il W2),
A2 = A2-T- K(m2Wi -i- ^^2^2),
B'i = Bi — K {piioi-^ ^iw,),
Bj = Bo-T- K (/>2 wi-i- q2(x>-2),
et l'on a

fniB\ — i>i A'i -f- m2B', — /?2 A', = niiBi — /^jAi-H m2B2— y^o Ao

-^Koii{miqi — riipi-^ fn-iq^— n^Pi).

Le coefficient de K dans le second membre n'est pas nul, d'après
la relation de Riemann rappelée plus haut; on peut donc choisir
la constante K de façon que la relation (4o) soit vérifiée pour la
seconde intégrale. La formule (89) donne alors

(40 n^Bi — ^iAi-i-/i2B2— ^2A2= o.

Les deux nombres /?z, q^ — niP{ et 7722^2 — fiip-2 ne peuvent être
nuls en même temps; supposons, par exemple, que /?z, q^ — t^\P\
ne soit pas nul. On tire alors des équations (4o) et (4i)

_ {p-2q\~Piq-2^-X^i—(p\n-2 — qi mo ) B,
'"" fniqi — n^pi

_ (Pi^i — q2nii)X2-i-(min2 — nt/?î2^B2
niiqi — nipi

On voit que toutes les périodes de la seconde intégrale se ra-
mènent à deux périodes distinctes,

A, , B,

k

miqi—nipi ' m^q^— ii^pi

et Ton peut énoncer le théorème suivant, dû à M. Picard (') :

(' ) Sur la réduction du nombre des périodes dans les intégrales abéliennes,
et, en particulier, dans le cas des courbes du second genre {Bulletin de la
Société mathématique, t. XI, p. 25).

372 CHAPITRE VII. — INTÉGRALES NORMALES.

Si une courbe de genre deux possède une intégrale de pre-
mière espèce, ayant seulement deux périodes, elle en possède
nécessairement une seconde jouissant de la même propriété.

Voici deux exemples où l'on connaît les deux intégrales de pre-
mière espèce qui se ramènent à des intégrales elliptiques. Les
deux intégrales de première espèce

dz r zdz

J \/z^ -\-az^-^bz'^-\-c'' J s/z^

az'*^ bz'^^c

relatives à la courbe de genre deux, u^ = z^ ^ az'* + bz^-\-c^ se
ramènent à des intégrales elliptiques parle même changement de
variable ^^= t.

Les deux intégrales de première espèce

dz r ^dz

2Z -t- i

OÙ l'on a

r dz r^^

J s/{z^-^az-t-b){z^^pz'^-^q)' J\l{z^-

b){z^

q^ \b^-ap,

se ramènent de même à des intégrales elliptiques, en posant res-
pectivement

_z'^-^az^b z"^-^ pz'^-\- g _ .

^"^ Zz—p ' azi—Zbz-^ ~

On remarquera, sur ces exemples, que le degré de la substitu-
tion à faire est le même pour les deux intégrales. C'est là une
propriété générale, dont on trouvera la démonstration dans le
Mémoire de M. Picard (').

(1) Le lecteur, désireux d'approfondir ce sujet, pourra étudier aussi les tra-
vaux suivants :

Kœnigsberger, Journal de Borchardt, t. LXIV; Kowaleski (Sophie) Acta ma-
thematica, t. IV, p. 894; Poincaré, 5ar la réduction des intégrales abéliennes
{Bulletin de la Société mathématique, t. XII, p. 174); Picard, Remarque sur
la réduction {id., p. i53); Goursat, Sur la réduction des intégrales hyperel-
liptiques {Bulletin, t. XIII, p. i47)-

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SjS

CHAPITRE VIII.

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN (»).

Expression d'une fonction rationnelle au moyen d'intégrales normales de seconde
espèce. — Théorème de Riemann-Roch. — Fonctions spéciales. — Fonctions
d'ordre minimum. — Courbes hyperelliptiques. — Relations entre les pôles et
les zéros. — Expression générale d'une fonction uniforme avec un nombre fini
de points singuliers.

168. On a déjà fait remarquer, à plusieurs reprises (n°^ 45, loo),
qu'une fonction rationnelle R(^, «), où z et u sont liées parla
relation algébrique F (z, u) = o^ est égale à une somme d'inté-
grales abéliennes de première et de seconde espèce, relatives à
cette courbe algébrique. Ce mode de décomposition étant d'une
importance capitale, il est nécessaire de l'étudier d'une façon
plus approfondie. Pour simplifier les notations, nous supposerons
que les pôles (a,, [^,), . . ., (a^t, fi^) sont des points de la surface de
Riemann à distance finie et distincts des points de ramification.

Soit

' 7^-r-T^-^---+i-2...(v/ — i)t-- — i— . (i = l,1,...,k)

z — ai (^-a/)2 ' {z — aiy

la partie principale de la fonction considérée R(^, u) dans le do-
maine du pôle (a/, ^/). La difî'érence

R(^, u)-^[\[^^ Z{z, u: a,, p,) -h. . .+ Al^.^ Zfv.-i^^, «; ^o M

est une intégrale abélienne régulière en tous les points de la sur-
face de Riemann, et dont les périodes relatives aux coupures a/i

( ') Auteurs à consulter : Riemann, AbeVschen Functionen, § 8; Roch, Journal
de Crelle, t. 64; Brill et Nôther, Mathematische Annalen, t. VII; Klein,
Théorie der elliptischen Modulfunctionen^ t. I, p. 5^0 et suivantes

374 CHAPITRE VIII.

sont toutes nulles; elle se réduit donc à une constante (n° 118)

et l'on a

k

(i) R(z, w) = G + 2 [AV')Z(U, uioci, p,-) +. ..-^Alf. Z(v.-i)(^, u;ai, p,-)]-

Telle est la formule fondamentale de décomposition que nous
voulions obtenir; elle met en évidence les pôles et les parties prin-
cipales de R(5, w). Il est à remarquer que la fonction qui joue le
rôle d'élément simple Z(^, u ; Ç, Tj) n'est pas uniforme sur la sur-
face de Riemann,

La formule (i) montre immédiatement que les coefficients
Aj'^jA^^ ... ne peuvent pas être pris arbitrairement. Il faut, en
effet, que les périodes du second membre de cette formule rela-
tives aux coupures bh soient toutes nulles. Or, la période relative
à la coupure bk est (n° 146)

k
i = l

les coefficients A'^^', A^^ ... doivent donc vérifier les /? relations

(-2) ^ [A'/'cp„(a,, ?,) +. . .+ A<';)cp^-^)(a,-, p,)] = o.

«=i

A = I, 2, ...,/>.

Ces relations sont d'ailleurs suffisantes pour qu'il existe une fonc-
tion rationnelle R(«, u) admettant les /: pôles (a^ , p<) . . ., (a^, p^),
avec les parties principales données. En effet, le second membre
de la formule (i) représente alors une intégrale abélienne dont
toutes les périodes sont nulles, c'est-à-dire une fonction ration-
nelle de z et de u.

Remarque. — La somme

représente le résidu du produit R(^, u)z)/i(z^ u) relatif au pôle
(a/, ^i). Lesp relations (2) expriment donc que les sommes des
résidus des p fonctions rationnelles

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 875

sont nulles, car tous ces résidus proviennent des pôles de ^{z, u).
En résumé, les p relations linéaires que doivent vérifier les
coefficients des parties principales de ^{z-^ u) s^ obtiennent en
écrivant que la somme des résidus de toute fonction rationnelle

R(;, u) 'f (^, u)^ oit I cp(^, u)dz est une intégrale quelconque

de première espèce, est égale à zéro.

C'est là, au fond, une façon condensée d'écrire les/? relations
qui existent entre ces coefficients, qui s'applique aussi, il est
aisé de s'en assurer, quelle que soit la position des pôles. 11 est
clair, d'ailleurs, que ces relations peuvent toujours être écrites
explicitement quand on a obtenu l'expression générale des inté-
grales de première espèce (Cf. n° 29).

169. Nous sommes maintenant conduits à traiter le problème
suivant : Former l'expression générale d'une fonction ration-
nelle de z et de u, admettant k pôles donnés (a, , j3,), . . . , (ayt, ^a)
avec des degrés de multiplicité déterminés, v,, Vo, . . . , v^.

Les coefficients arbitraires A:^\ A^', . . . , dont dépend la fonc-
tion cherchée R(^, u)^ sont au nombre de

M = V,-h V2-f- . . . -f- VA-.

Ces coefficients doivent vérifier p relations linéaires et homo-
gènes. Si nous supposons ces relations distinctes, le problème
n'est possible que si M^yo + i, et la fonction cherchée dépend
alors de M — p constantes arbitraires, abstraction faite d'une
constante additive. Mais il peut arriver que, pour certaines posi-
tions particulières des pôles, les p relations linéaires se réduisent
à moins de p relations distinctes. Ce point demande un examen
particulier et nous allons nous j arrêter.

Supposons d'abord qu'on veuille former une fonction ayant un
seul pôle arbitraire (a, JB) d'ordre v. Le problème n'est possible
que si v est >/?+ i. Le point (a, [^) étant, par hypothèse, un
point arbitraire de la surface, on peut le supposer à distance finie
et distinct des points de ramification. Soit

Al A.2 i .2. . . (v — l)Av

'z^^ ~^ {z — af "^ • • • "^ (5 — a)v

376 CHAPITRE Viri.

la partie principale dans le domaine de ce pôle; les v coefficients

Ai , Ao, . . ., Av doivent vérifier les p relations

Ai«pKa. P) + A2o;-(a, p) + ,.. + Avcp'>-i)(a, P) = o (i = i, 2, . . . ,/?).

Si V est inférieur à/> + i , les équations précédentes n'admettent
pas d'autre solution que Ai = A2= . . . = Av= o, à moins que
tous les déterminants d'ordre v contenus dans le Tableau

5 ' • • • ' 1

ne soient nuls en même temps. On démontre, comme au n'' 154,
que ces déterminants ne peuvent être nuls pour un point arbi-
traire (a, p) de la surface de Riemann. Par conséqueni, si une
fonction rationnelle de z et de u admet un seul pôle sur la surface
(ce pôle pouvant être choisi arbitrairement), Tordre v du pôle ne
peut être inférieur à /> +1. C'est de cette façon que M. Weierstrass
définit le genre d'une relation algébrique (Cf. n° 28).

Supposons, en second lieu, que l'on veuille obtenir l'expression
générale d'une fonction rationnelle de z et de u^ admettant v pôles
du premier ordre (ai, j3,), . . ., (av, jiiv). Afin d'éviter les difficultés
accessoires, nous supposerons qu'on a effectué, s'il est nécessaire,
une transformation birationnelle, de façon que les conditions sui-
vantes soient remplies : i" la courbe considérée C, représentée
par l'équation

(3) F(^,^,)=o,

supposée de degré m, a m points distincts à l'infini, et aucune
asymptote n'est parallèle à l'axe des u ; 2° les v points (a< , ^i), . . . ,
(av, Pv) sont des points simples de cette courbe et, en aucun d'eux,
la tangente n'est parallèle à l'axe des u. Toute fonction ration-
nelle R(s, u\ infinie du premier ordre en ces v points seulement,
est représentée par une somme d'intégrales normales de seconde
espèce,

R(^, i<)= G-T- AiZ(,s, w; ai, Pi) + . . .4- AvZ(^, w; av, ^v)-
Soient, d'autre part, Q, (:î, 11)^ ^%{^^ w), . . ., Q^(5, u) lesppolj-

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 877

nomes adjoints distincts de degré m — 3, de façon que l'équation
générale des courbes adjointes de degré m — 3 soit

XiQi(^, w)+ \t^i{z, u) -{-... -^IpQpiz, u)= G.
On a les p intégrales distinctes de première espèce,

et les p relations (2), que doivent vérifier les v coefficients A|,
Ao, . . ., Av, peuvent s'écrire

'^^F^'.Cx^pO 'F«(a2,?2) 'FUav,?v)~

si Ton pose A, =:B, F^'^(ai, j^i), . . ., Av= B^F[^(xy, ^v)? ces p re-
lations deviennent

(4)

/ BiQi(a,,^0--B,Q,(a2, !3,) + -..-{-BvQi(av, pv)=o,

En général, si les v pôles (a,, j^,), . . ., (av, ^v) sont pris arbitrai-
rement sur la courbe, les p équations (4) sont distinctes, ce que
l'on voit en reprenant les raisonnements du n° 154. Pour qu'elles
admettent un système de solutions autre que B,==B2...= Bv=o,
il faut donc, en restant dans le cas général, que v soit au moins
égal àjoH-i, et, s'il en est ainsi, v — p des coefficients B/ peu-
vent être pris arbitrairement. Il n'existe donc pas de fonction
rationnelle admettant moins de p -\- i pôles simples donnés arbi-
trairement.

Approfondissons davantage la question. Il peut se faire que les
p équations (4) se réduisent k p — o- équations distinctes, par
exemple que les a- dernières équations soient des conséquences
des p — (7 premières. Si cette circonstance se présente, tous les
déterminants d'ordre/? — 3-4-1 que l'on peut déduire du Tableau
rectangulaire

I Qi(ori,?i)'Qi(a2, ?2) ... Qi(av,Pv)
(E)

' Q/.(«i,Pi) Qp(a2,?2) .. QpC^vmSv)

378 CIlAriTRE VIII.

par la suppression d'un certain nombre de lignes et de colonnes
sont nuls, mais l'un au moins des déterminants d'ordre p — a- est
différent de zéro. Or ce Tableau (E) se présente dans une autre
question. Supposons que l'on \euille obtenir l'équation générale
des courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par les v points
donnés, on a à déterminer les p coefficients A,, X^-t - > • i^p au
moyen des v équations de condition

(5) XiQi(«/, h)-^- . .+X;,Qp(a,-, ^0=0 {i = I, 2, . . ., v).

D'après la théorie des équations linéaires, si le premier déter-
minant du Tableau (E) qui n'est pas nul est d'ordre/? — a-, a- des
coefficients \i restent arbitraires, ce qu'on exprime encore en di-
sant que par les v points (ai, pi), . . . , (av, j^v) il passe o- courbes
adjointes de degré m — 3 linéairement indépendantes. En résumé,
les p équations (4) se réduisent à p — c- équations distinctes,
<y désignant le nombre des courbes adjointes linéairement
distinctes d^ ordre m — 3, qui passent par les v points consi-
dérés.

Si V n'est pas supérieur kp — o-, il n'existe pas d'autre solution
que B< = B2 = . . . 3= Bv = o ; mais, si v est plus grand que/? — a-,

V — p H- 0- des coefficients Ai, A2, . . . , Av restent arbitraires et,
en comprenant une constante additive, la fonction rationnelle
cherchée dépend de v —p + o- + i constantes arbitraires. Nous
pouvons donc énoncer le théorème général suivant, qui est connu
sous le nom de théorème de Riemann-Roch (' ) :

Etant donnés v points sur une courbe algébrique, la fonc-
tion rationnelle de z et de u la plus générale qui devient infi-
nie du premier ordre en cjuelcjues-uns de ces points, et qui
reste régulière en tout autre point de la surface, dépend de

V — p -I- 0- -4- 1 constantes arbitraires, le nombre o- ayant la même
signification que plus haut.

Cet énoncé donne lieu à quelques remarques :

I. La fonction rationnelle cherchée n'existe que si le nombre

V — /? + 0- -h I est au moins égal à 2 ; cette fonction n'est pas né-

(') Riemann n'avait considéré que le cas général où a = 0; c'est Roch {Jour
nal de Crelle, t. 64) qui a étudié le cas où a a une valeur quelconque.

(

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 879

cessairement infinie du premier ordre en chacun des v points
(a,,^,), ..., (av, |3v)5 car il peut se faire que quelcjues-uns des
coefficients A,, Ao, . . ., ^v soient nuls, mais il en reste toujours

V — p -f- 3- d'arbitraires.

II. Le cas où quelques-uns des pôles sont d'ordre supérieur au
premier est à considérer comme cas limite du précédent. Si, par
exemple, /' des points (a,, ^,), . , ., (av, ^^i) sont venus se con-
fondre en un point (a, ^, la fonction R(-3, li) aura un pôle d'ordre r
au plus en ce point; au lieu de considérer les courbes adjointes
qui passent par ;• points distincts, il faudra considérer les courbes
adjointes ayant un contact d'ordre /' — i avec la courbe proposée
au point (a, P).

170. Une courbe adjointe de degré m — 3 ne rencontre la
courbe proposée qu'en ip — i points, en dehors des points mul-
tiples. Par conséquent, si v est supérieur à ip — 2, le nombre t
est égal à zéro et la fonction R(-:;, u) contient toujours v — p -h i
constantes arbitraires, quelle que soit la position des pôles sur la
surface de Riemann. Si v est inférieur ou égal à ip — 2, d'autres
circonstances peuvent se présenter : 1° supposons d'abord

jD — 1 < V 1 2/3 — 2 ;

il ne passe pas, en général, de courbe adjointe de degré m — 3
par ces v points, s'ils sont pris arbitrairement sur la courbe (n" 140).
Mais, s'il en passe une ou plusieurs, nous dirons que ces points
forment un groupe spécial. Il existe toujours de pareils groupes;
il suffît, en effet, de considérer une courbe adjointe quelconque
de degré m — 3 et de prendre p — i 4- A de ses points d'intersec-
tion avec la courbe donnée; 2° soit v^/? — i; par ces v points
passe, en général, un faisceau d'ordre p — v — i de courbes ad-
jointes de degré m — 3. Mais, pour certaines positions de ces

V points, il peut se faire que l'ordre du faisceau soit plus élevé,
p — V — i + /i par exemple. On dira encore que les v points for-
ment un groupe spécial. En résumé, un groupe spécial est carac-
térisé par ce fait que la multiplicité des courbes adjointes d'ordre
m — 3 qui passent, par les points de ce groupe est d'ordre plus
élevé qu'on ne devrait s'y attendre d'après le nombre des points
de ce groupe. Il est clair, d'après cela, que v points pris au hasard

38o CHAPITRE VIII.

sur une courbe algébrique (v^ip — 2) ne forment pas un groupe
spécial.

Etant donné un groupe spécial, il existe toujours une fonction
rationnelle, qui n'admet que des pôles du premier ordre, apparte-
nant tous à ce groupe. Il suffît évidemment de supposer v<</>-l- 1 .
Si V =p, /? > I , on a un groupe de/? points sur une même courbe
adjoinle de degré m — 3; le nombre o- est au moins égal à un et
V — p _|_ 0- -h I est au moins égal à deux. Donc la fonction ration-
nelle existe. De même, si l'on a un groupe spécial de moins de
p points, le nombre o- est égal k p — v -h /i, h étant un nombre
entier positif, et le nombre v — p -h o- -{- i est égal à /^ -j- i , qui
est au moins égal à deux. Les fonctions rationnelles ainsi obtenues
s'appellent des fonctions spéciales.

Inversement, si une fonction rationnelle admet moins de p -\- i
pôles, tous du premier ordre, ces pôles forment un groupe spé-
cial. En effet, si cette fonction admet/? pôles simples, le nombre o-
doit au moins être égal à l'unité, et, par suite, ces p points doivent
être situés sur une même courbe adjointe de degré m — 3. Si la
fonction admettait v pôles simples (v<C/?) ne formant pas un
groupe spécial, on aurait o- =p — v, et la fonction rationnelle dé-
pendrait de V — P -^{p — v)+[ = i paramètre arbitraire; or,
nous avons remarqué que cette fonction n'existe que si le nombre
des paramètres dont elle dépend est au moins égal à deux.

171. On doit à MM. Brill et Nother une loi de réciprocité re-
marquable, relative au cas où o- n'est pas nul. Prenons les ip — 2
points d'intersection de la courbe donnée avec une courbe adjointe
d'ordre m — 3, et partageons ces points en deux groupes Gv, Tv',
composés respectivement de v et de v' points (v -f- v'= ip — 2).
Soit 0- le nombre des courbes adjointes linéairement indépendantes
d'ordre m — 3 qui passent par les points du groupe Gv, et a-' le
nombre analogue relatif à Fv'. Soit encore /(^, z/)= o l'équa-
tion de la courbe adjointe d'ordre m — 3 qui passe par Gv et Fv',
et cp(^, i^)=r o l'équation générale des courbes adjointes d'ordre
m — 3 qui passent par Gv; cp(^, u) est une fonction linéaire et
homogène de o- constantes arbitraires. La fonctioa rationnelle

■ V/' ^ est infinie du premier ordre aux v' points de Fv' seulement

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 38l

(ou en quelques-uns de ces points) et dépend de t paramètres ar-
bitraires. On a donc, d'après le théorème général de Riemann-
Roch,

v' p -I- C7'+ I^CJ,

égalité qui subsiste alors même que t serait égal à un; en inter-
vertissant les deux groupes de points daas le raisonnement, on
voit de même que l'on a

En ajoutant ces deux inégalités membre à membre, il vient

V -+- v' — 2/> -h 2 ^ () ;

or V + v' = 2/? — 2, et, par conséquent, le signe ^ doit être
exclu des relations précédentes. Il reste donc les deux égalités

v' p -h j'+ I =: (T,

V — p -\- a -h I = a',
qui se réduisent d'ailleurs à une seule

v' — v = 2(cr — a);
c'est la loi de réciprocité de Brill et Nother.

172. On peut se proposer de former explicitement l'expression
de la fonction rationnelle la plus générale ne devenant infinie du
premier ordre qu'en v points donnés (a,, ^,), ..., (av, ,3v) ou
en quelques-uns de ces points. Lorsque ces v points forment
un groupe spécial G;, la solution est contenue implicitement
dans le paragraphe précédent. Ces v points sont situés sur une
courbe adjointe C/;j_3, qui rencontre encore la courbe donnée
en v' points formant un groupe F,/. L'équation générale des
courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les v' points de Fv ,
dépend, nous venons de le voir, de v — yo -h t -h i paramètres ar-
bitraires. Soit o(^, w) = G cette équation générale et/(-:?, u) =o
l'équation de la courbe particulière G/„_3 qui passe par les points

de Gv et de F,/. La fonction rationnelle ^^^ — - dépend de

V — p -;- a -T- I

382 CHAPITRE VIII.

constantes et ne devient infinie du premier ordre qu'aux points
donnés; c'est l'expression générale demandée.

On voit, d'après cela, que toute fonction spéciale R(^, u) se pré-
sente sous forme du quotient de deux polynômes adjoints d'ordre
t^ — 3. \oici une autre démonstration très simple de ce résultat,
qui est due à M. Klein. Étant donnés v points formant un groupe
spécial, soit Q = o l'équation d'une courbe adjointe d'ordre
m — 3 passant par ces v points et R(^, u) une fonction spéciale ne
devenant infinie du premier ordre qu'aux v points considérés.

L'intégrale / -^7- dz reste finie aux v points de ce groupe, puisque

la courbe Q = o passe par ces points; elle est finie également
pour les points à l'infini, car la fraction R(s, u) reste finie en ces
points, et le polynôme Q est du degré m — 3. Cette intégrale est
donc une intégrale de première espèce, et, par suite, le produit
QR est égal à un autre polynôme adjoint Q, d'ordre m — 3.

Supposons, en second lieu, que les v pôles donnés ne forment
pas un groupe spécial; le nombre v est plus grand que /?, et les v
points ne sont pas situés sur une courbe adjointe d'ordre m — 3.
Nous supposerons, pour plus de netteté, que la courbe considérée
n'a que des points doubles ordinaires. Choisissons pour tji un
nombre entier satisfaisant aux inégalités

[j. > m, [JL m > 2 <i 4- V,

et formons l'équation d'une courbe de degré ijl passant par les d
points doubles de Cet par les v points donnés (a,, [^<), .. . ^ (av, ^v).
Cette courbe Cj^ rencontre la courbe donnée en

A" = ^xm — id — V

autres points (a), p]). L'équation générale des courbes de degré [jl,
C|l, passant par les d points doubles de C et les k points (a-, (3;)
dépendra de

h = — ~+- r — ut. /?! -f- c/ + V

2 '

paramètres. Soit

(p(^, w) = o

l'équation générale des courbes Cji, et

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 383

l'équation de la courbe parliciilière Cj^; la fonction rationnelle

n'admet pour pôles que les points donnés ou quelques-uns d'entre
eux; car elle conserve une valeur finie pour les points doubles et
les k points (a-, [3]).

Cette fonction rationnelle paraît contenir un nombre de con-
stantes arbitraires supérieur à celui qu'indique la théorie. Pour
expliquer ce paradoxe, remarquons qu'on ne diminue pas la gé-
néralité en remplaçant cp(^, u) par

Oi(z, u) =o(z, u) — 6{z, u)F(z, II),
'^(z, u) étant un polynôme arbitraire de degré jjl — 7n.

On 1 ([J- — ^^)(l''- — m -^ 3) fn • • 1/

n peut proiiter des H- i coeilicients indé-
terminés dont dépend ^(^, u) pour attribuer une valeur déter-
minée à un pareil nombre de coefficients de 'f((^, u). Il restera
dans ce polynôme

jjiffjL-t- 3) (ijL — m)((jL — m -h 3)

2 2

(m — i)(fyi — 2)
— \x m H- — ^ — p-T-v = v — p -T-i

coefficients arbitraires, comme l'indique la théorie.

Remarque. — Le cas oii quelques-uns des pôles seraient
d'ordre supérieur au premier est toujours à considérer comme
cas limite et se traiterait de la même façon. Au lieu de prendre
des courbes adjointes passant par les v pôles donnés, on aurait,
d'une façon plus générale, à prendre des courbes adjointes ayant
avec la courbe donnée, en des points donnés, des contacts d'un
certain ordre.

La même méthode permet d'obtenir explicitement une fonction
rationnelle dont on connaît les pôles avec les parties principales
correspondantes. Si l'on a formé l'expression générale des fonc-
tions rationnelles admettant les pôles donnés, cette expression
contient un certain nombre de constantes arbitraires. En écrivant
que les coefficients des parties principales ont des valeurs don-

384 CHAPITRE VIII.

nées, on a un certain nombre d'équations linéaires permettant
de déterminer ces constantes. On opérerait de la même façon
pour obtenir une fonction rationnelle, dont on suppose connus à
l'avance les pôles et les zéros.

173. Toute fonction rationnelle R(3, u) admettant v pôles
simples se présente, d'après ce qui précède, sous la forme sui-
vante

(d(z-, u) et f{z^ u) étant deux polynômes du même degré*, tous
les points communs aux deux courbes F = o, /= o, sauf les v
pôles donnés, appartiennent aussi à la courbe 'f = o. Il suit de
là que le faisceau de courbes

rencontre la courbe donnée en v points seulement variables avec X,
ce groupe de v points venant se confondre avec le groupe des v
pôles pour X = o. Inversement, d'un faisceau de courbes rencon-
trant la courbe donnée en pi points variables seulement, on déduit
une fonction rationnelle devenant infinie du premier ordre en ^
points seulement.

On a vu qu'il n'existait pas de fonction rationnelle admettant
moins de p -\~ i pôles simples, si ces pôles sont pris arbitraire-
ment. Par conséquent, s'il existe un faisceau de courbes rencon-
trant la courbe donnée en v points variables seulement, l'un de
ces groupes de v points pouvant être choisi arbitrairement, v est
au moins égal à/>-f-i. Nous retrouvons une proposition déjà
établie directement (n" 139).

174. Soit F(z, u) = o l'équation d'une courbe de genre supé-
rieur à zéro; il ne peut exister pour cette courbe de fonction ration-
nelle de z et de u, admettant un seul pôle du premier ordre. En
effet, s'il existait une pareille fonction ç ^-^z c^(^z, u), k toute valeur
de ^ correspondrait un seul point analytique (z^ u) et les coor-
données d'un point de la courbe considérée seraient des fonctions
rationnelles du paramètre p. Ceci prouve, soit dit en passant, que

FONCTIONS UNIFORMES SIR UNE SURFACE DE RIEMANN. 385

les courbes adjointes d'ordre m — 3 n'ont, en dehors des points
multiples, aucun "point fixe commun avec la courbe. En effet, si
l'on avait pour un point (a, j^) de cette courbe

Qi(a,3) = Q2(a,P)=... = Q„(a,3) = o,

l'intégrale normale de seconde espèce Z(:;, u\ a, [3) aurait toutes
ses périodes nulles; elle serait donc égale à une fonction ration-
nelle de ^ et de u^ ayant un seul pôle du premier ordre.

Il suit de là que, pour une courbe donnée, le nombre des pôles
d'une fonction rationnelle (tous ces pôles étant supposés du pre-
mier ordre) ne peut descendre au-dessous d'un certain minimum.
Ce nombre minimum r, qui se conserve évidemment dans toute
transformation birationnelle, paraît devoir jouer un rôle impor-
tant dans la théorie des courbes algébriques. On peut encore
(n*^ 173) le définir comme le nombre minimum de points d'inter-
section variables de la courbe donnée avec les courbes d'un fais-
ceau. Le nombre r se présente aussi quand on cherche, parmi les
différentes relations algébriques de même classe qu'une relation
donnée^ celle qui est du plus petit degré possible par rapport à
une des variables. Soit

(6) *(Z, U) = o

une équation algébrique se déduisant de la relation F (-3, u) =i o,
au mojen des formules de transformation

(7) z=/(^, u), u=o(^, iO;

chacune des fonctions /(^, w), cp(^, u) admet au moins r infinis,
et, par conséquent (n° 119), la relation (6) est au moins du
degré r par rapport à chacune des variables.

Inversement, supposons que la fonction rationnelle/ (::, u)
ait /• pôles du premier ordre (a(, j3,), . . ., (a,., ^3^); prenons pour
'-p(-3, u) une fonction rationnelle ayant un seul pôle du premier
ordre commun avec/(;:;, u), par exemple le point (a,, p, ). Les
formules (7) définissent bien une transformation birationnelle,
car la courbe transformée (6) a une direction asymptotique
non parallèle aux axes de coordonnées; au point à l'infini dans
cette direction ne correspond qu'un point unique de la courbe

A. ET G. 25

386 CHAPITRE VIII.

primitive, le point (a,, [3,). D'ailleurs, la nouvelle équalion(6)
est bien de degré r par rapport à U.

Examinons les cas les plus simples. Si/? = i, il existe toujours
une fonction rationnelle admettant deux pôles simples, pris d'une
façon arbitraire; donc r=zi. Si p = 2, on a encore /• = 2 ; en
effet, soient Qi et Q^ deux polynômes adjoints distincts d'ordre

m — 3. Le quotient ~ n'admet que deux pôles du premier ordre.

D'une manière générale, lorsque p est supérieur à un, /• est au
plus égal à p; car, si l'on considère deux courbes adjointes
d'ordre m — 3, Qi =1 o, Q2 = o, ayant, avec la courbe proposée,
p — 1 points communs en dehors des points doubles, le quotient

^ a au plus/? pôles du premier ordre. Lorsque p est plus grand
Se 2

que 3, on peut encore trouver pour r une limite inférieure, comme
on le verra plus loin. Mais, pour /? = 3, on peut avoir r = 2, ou
r = 3. 11 est facile de donner des exemples des deux cas. Ainsi,
une courbe du cinquième degré avec un point triple est du genre 3
(n^l29); une droite passant par le point triple rencontre la
courbe en deux points variables seulement, 7'= 2. Une courbe
du quatrième degré sans point double est encore du genre 3,
mais ici on a /" = 3. En effet, s'il y avait une fonction rationnelle
admettant seulement deux pôles du premier ordre (a, P), (a', (B'),
on devrait avoir pour ce groupe de deux points o- = 2 , c'est-à-dire
qu'ily aurait une infinité de courbes adjointes d'ordre m — 3 passant
parées deux points; or ces courbes adjointes sont des lignes droites.

175. Après ces généralités, considérons en particulier les
courbes algébriques pour lesquelles ?^=2. Soient (a,,^,) et
(a2, P2) les deux pôles du premier ordre d'une fonction ration-
nelle R(5, u), qui n'admet pas d'autres pôles que ces deux-là. Ces
deux points (ai, p< ) et (ao, po) doivent former un groupe spécial,
c'est-à-dire que les deux équations

XiQi(ai, Pi)+...+ X^Qy,(ai, Pi) =0,
XiQi(a2, ^z) ■+-... -^-IpQpi^i, P2) = o

doivent se réduire à une seule. On a donc

Qi(«2;pO ^ ^Qp(«2, P2).

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 887

en langage géométrique, cela signifie que toutes les courbes ad-
jointes d'ordre m — 3 qui passent par le point (a,, j^, ) vont
passer par un second point fixe (ao, ^o)- Or, le point (a, , J5,) peut
être pris arbitrairement, puisque c'est un des deux points d'inter-
section variables de la courbe donnée avec les courbes d'un fais-
ceau. Les courbes considérées jouissent donc de la propriété sui-
vante :

Toutes les courbes adjointes d^ordre m — 3 qui passent par
un point quelconque de la courbe donnée vont passer par
un second point fixe de cette courbe (*).

Inversement, si une courbe C possède cette propriété, prenons,
sur C, /? — 2 points fixes arbitraires. Les courbes adjointes d'ordre
m — 3 qui passent par ces/? — 2 points fixes vont passer par
p — 2 autres points fixes de G; le faisceau de ces courbes ren-
contre donc la courbe G en deux points variables seulement. Soit

(8) /-À?-o

l'équation de ce faisceau; les coordonnées des deux points d'in-
tersection variables s'obtiennent par la résolution d'une équation
du second degré dont les coefficients sont rationnels en \. On a
donc, pour les coordonnées d'un point de G, les expressions sui-
vantes

( ^^A-Bv/RÔ"),
(9)

( w= G-i-D v/R(X),

R()v) étant un polynôme premier avec sa dérivée et A, B, G, D
des fonctions rationnelles de \. Inversement, des formules (8\
et (9) on tire, pour ). et y/R(l), des fonctions rationnelles de z et
de u^ de sorte que la relation algébrique considérée peut être ra-
menée, par une transformation birationnelle, à la relation hyper-
elliptique

(10) ^2 = R(X).

(') Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par un point donné
(a, P) ne peuvent passer par plus d'un autre point fixe de G, en dehors des
points doubles. Autrement, une courbe adjointe d'ordre m—Z, qui serait assu-
jettie à passer par /> — i points de G aurait plus de "ip — 2 points communs avec
C, en dehors des points doubles.

388 CHAPITRE VIII.

Par extension, on appelle courbes hyper elliptiques toutes les
courbes pour lesquelles /' := 2.

Les points d'une courbe hjperelliptique se correspondent deux
à deux par une transformation birationnelle. Si l'on considère, en
effet, deux points (a<, ^i), (as, [^0) formant un groupe spécial, il
est clair que les coordonnées du point (ao, po) sont des fonctions
rationnelles des coordonnées du point (a,, ^s) et inversement.
Donc,/>ot^r une courbe hyperelliptique quelconque, il existe
une transformation birationnelle involutive qui change cette
courbe en elle-même. Mais cette propriété n'est nullement carac-
téristique. Elle appartient évidemment à toute courbe possédant
un axe ou un centre de symétrie, par exemple à une courbe du
quatrième degré ayant un axe de symétrie. Or, si cette courbe
n'a pas de point double, elle n'est jamais de l'espèce hyperellip-
tique (n« 174).

On emploie quelquefois, pour l'étude des relations algébriques
hyperelliptiques, une autre forme normale que celle qui nous a
servi dans les premiers Chapitres. L'équation d'une courbe hyper-
elliptique ayant été ramenée, par une transformation birationnelle,
à la forme

(II) i.'2 = P(^)Q(^),

où P(^) et Q(^) sont deux polynômes sans facteur commun, ni
facteur multiple, le premier de degré /> + i ou/> 4- 2, le second
de degré /?, la transformation birationnelle

z = z, ii = u'q{z')

conduit à une nouvelle courbe de degré p -i- 2

(12) u^q{z') = Fiz'),

qui présente un point multiple d'ordre p à l'infini sur l'axe Ou' ;
les tangentes en ce point multiple sont toutes distinctes et cha-
cune d'elles est une tangente d'inflexion. Inversement, toute
courbe de degré /? H- 2 possédant un seul point multiple d'ordre/?
à tangentes distinctes est une courbe hyperelliptique de genre /?,

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIE3IANN. 389

car un pareil point singulier équivaut à^-^ points doubles

ordinaires, et l'on a

1 -i

d'ailleurs, une droite passant par le point multiple rencontre la
courbe en deux points variables seulement. Donc, à toute courbe
de Vespèce hyperelliptique^ de genre /?, on peut faire corres-
pondre, par une transformation birationnelle, une courbe de
degré p-\-i avec un point multiple d'ordre p à tangentes
distinctes.

Les courbes adjointes d'ordre m — 3 sont ici des courbes de
degré p — i ayant un point multiple d'ordre /? — i • Elles se dé-
composent donc en un système de /> — i lignes droites passant
par le point multiple. Il est évident géométriquement que toute
courbe adjointe passant par un point fixe de la courbe va passer
par un second point fixe.

176. Comme appbcation, proposons-nous d'appliquer à une
courbe de cette espèce le théorème de Riemann-Roch, c'est-à-dire
de chercher l'expression générale d'une fonction rationnelle de
(;;, u) qui devient infinie du premier ordre en v points simples
(a,, 3,), ...,(av, ^v)- Soit C la courbe considérée de degré
p-h 2, O le point multiple d'ordre p. On a deux cas à consi-
dérer :

I" Parmi les v points donnés, il n'y en a pas deux en ligne droite
avec le point O. Ces v points ne forment pas un groupe spécial;
pour qu'il existe une fonction rationnelle répondant à la question,
il faut que v soit au moins égal à /? -f i, et le nombre des para-
mètres dont dépend cette fonction est égal à v— />-h i. Nous
avons traité ce problème sous une autre forme au Chapitre I.

2° Les V points donnés se partagent en deux groupes de 2 jj.
points et de p points respectivement. Les 2 a points du premier
groupe (a,, ^,), • - • Ah^ M'A<^?.)^ ...,(a^, .3^) sont deux
à deux en ligne droite avec le point O. 11 en est ainsi des points
(a/, '^i) et (a;, (3;). Parmi les p points (v,, 8,), ..., (yp, Op) du
second groupe, il n'y en pas deux en ligne droite avec le point O.

390 CHAPITRE VIII.

On peut former une fonction rationnelle de {z, u) n'admettant
que les deux infinis simples (a/, j^/), (a;, [3,); soit fi{z^ u) une pa-
reille fonction qui [sera, par exemple, une fraction simple telle
que

si l'équation de la courbe hjperellip tique est de la forme (12).
Soit $(^, u) une fonction rationnelle n'admettant que les 2|jl4- p
pôles du premier ordre (a^-, (3,), (a;, j^;), (y^, ^a); on peut toujours
trouver des coefficients constants X), Xo, • • -, ^a tels que la diffé-
rence

^{z, u) — Xi/i {z, u)—.. .— l^f^iz, u)

reste finie aux points (a^, ^\), ..., (ol'^, |3y. Cette différence se ré-
duit donc à une fonction rationnelle W{z, u) infinie du premier
ordre aux [X 4- p points (a^, (3^, ..., (^fx, Pp.), (y,, 0,), ..., (yp, Op)
seulement. Nous sommes donc ramenés au cas précédent.

Bemarque. — Si l'on a [i. -f- p </? -1- i , il n'existe pas de
fonction rationnelle '^(z, u) n'admettant que les ui + p pôles du
premier ordre (a^, p^), ..., (a^,, j3[,), (y,, S^ ), ..., (yp, 8p), et, par
conséquent, la fonction rationnelle ^(z, u) a pour expression
générale

^{z, u) = 'kif,{z,u)-\-...-i~'k^f^(z, u)-h-l^+i.

On voit qu'elle n'admet pour pôles du premier ordre que
quelques-uns des 2[a-1- p points donnés; on remarquera toutefois
que le nombre des paramètres dont dépend cette fonction est bien
égal au nombre donné par la formule de Riemann-Roch ; on a, en
effet, dans ce cas particulier,

et, par suite,

2;jH-p — /? + a+i = {jL-l-t.

177. Etant données deux courbes liyperelliptiques du même
genre /?]^i, on peut se proposer de rechercher les conditions
nécessaires et suffisantes pour que ces deux courbes appartiennent
à la même classe, c'est-à-dire pour qu'on puisse passer de l'une à

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 891

Taulre par une transformation birationnelle. Soit G une courbe
hyperelliptique; supposons que l'on ait exprimé de deux façons
différentes les coordonnées d'un point de cette courbe au moyen
d'un paramètre et de la racine carrée d'un polynôme, de telle
façon qu'à un point corresponde une seule valeur du paramètre.
On aura à la fois

(i3) z = \ -i-B ^Rijj, Il = C -^ D \/R{Ï), X = cp(2, m)

et

(i4) ^ = Ai^-Biv/Ri((Jt), 11 = Ci^Div/Ri({x), ii=oi{z,u),

A, B, G, D étant des fonctions rationnelles de )., A,, B,, G,, D,
des fonctions rationnelles de ;jl, R()0 ^^ ^^W ^^"^ polynômes
de degré 2/> + i ou 2/? -h 2. Gherchons la relation qui existe
entre les valeurs des paramètres A et it. qui correspondent à un
même point de cette courbe. Remarquons pour cela qu'à une va-
leur de l=z'j(z^ II) correspondent deux points seulement; la
fonction rationnelle cp(;, w), ayant deux infinis seulement, est une
fonction spéciale, qui peut se mettre sous la forme suivante

Q, et Qo étant deux polynômes adjoints d'ordre m — 3 (n'' 172).
De même a = 6{z^ u) est égale à

Q3 et Q4 étant aussi deux polynômes adjoints d'ordre m — 3.
Soient (a, '^) et (a', 3') deux points correspondant à une même

valeur \q de \ ; la fonction rationnelle ^_^^ n admet que les deux

pôles du premier ordre (a, ^) et (a', ^'). Ges points sont donc
deux points associés de la courbe, c'est-à-dire que toute courbe
adjointe d'ordre m — 3 qui passe par un de ces points passe aussi
par le second. On a, en particulier,

Q3(a',?')-Q3(a,P)'

392 CHAPITRE VIII.

et, par suite, [j. reprend la même valeur en ces deux points. Ainsi
à une valeur de 1 correspond une seule valeur de {Ji; il est clair
que la réciproque est vraie, pour la même raison. On a donc entre
). et [i. une relation homographique

aliJ. -\- bX -h ciJ.-{- d = o,

et l'on passe des formules (i3) aux formules (i4) par la substitu-
tion linéaire

(.5) X:

Or, après cette substitution, les invariants absolus de la forme
binaire X;^^-Rf — j sont les mêmes que ceux de la forme binaire

La réponse à la question posée est maintenant bien facile.
Etant données deux courbes b^/perelliptiques de même genre G,
G', supposons les coordonnées d'un point de G exprimées en
fonctions rationnelles de À et de v/R(>Ô7 ^e façon qu'à un point
ne corresponde qu'une valeur de À^ supposons de même les coor-
données d'un point de G' exprimées par des fonctions rationnelles
de [i. et de sjKi (u.), de façon qu'à un point de C^ ne corresponde
qu'une valeur de [j.. Pour que les deux courbes G et G' appartien-
nent à la même classe, il est nécessaire, d'après ce qui précède,
que les invariants absolus des deux formes

Xp^2r/M, ^^P+2R /!^\

soient les mêmes.

Ges conditions nécessaires sont suffisantes. En effet, on peut
remplacer les courbes G et G' par les courbes

P2=: R(X), Çp2 = Ri(fJL),

qui correspondent respectivement aux deux courbes G, G'. Si les
invariants absolus sont égaux, on peut trouver une substitution
linéaire telle que l'on ait

R

aii+b\ k^

cii-hd/ {c\i -^ dy^P+^

Ri(!^)

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SgS

on passe alors de la première courbe à la seconde par la transfor-
mation

1 =

{C'j.-\- d)P-

qui est évidemment birationnelle.

Une forme binaire de degré ip -\- i possède ip — i invariants
absolus; il y a donc ip — i conditions pour que deux Courbes
hyperelliptiques de genre/? appartiennent à la même classe. On
exprime ceci en disant qu'une classe de courbes hyperellip-
tiques de genre p possède ip — i modules.

Il résulte aussi du raisonnement précédent que, si une courbe
hyperelliptique se change en elle-même par une transformation
birationnelle, le paramètre X subit une substitution linéaire

l!— aX-h_6 j^ faudra donc que les racines du polynôme R ( a)

ck-hd ^

s'échangent entre elles au moyen de la substitution précédente;
il est clair qu'il n'existe jamais qu'un nombre fini de substitutions
jouissant de cette propriété.

178. La même méthode ne s'applique plus lorsque/» = i .
Soient G et C deux courbes du premier genre; supposons-les
ramenées à ia forme normale

R(a) et R» (;jl) étant deux polynômes du quatrième degré. Si ces
deux courbes se correspondent point par point d'une façon uni-
voque, la relation algébrique entre les valeurs de 1 et de a, qui
donnent deux points correspondants sur les deux courbes, est
évidemment du second degré par rapport à chacune des va-
riables,

X2(A a2 + B a H- G) + X(Ai [Jl2 -f- Bi a -4- Ci) +. A, a^ h- Bo [x + C, = c

Pour que les deux valeurs de 1 qui correspondent à une même
valeur de a soient égales, il faut que les deux points de (/ que
fournit cette valeur de ;jl viennent se confondre, c'est-à-dire que ;j.
vérifie l'équation R, (;jl) = 0. On a donc

Ri ( Ht) = (Al IX'- H- Bi IX + Cl )2 — 4 ( A ;a2 + B jx + G) (A, u^ + B, -x -4- G, ),

394 CHAPITRE VIII. \

à un facteur constant près. On a de même

R(X) ^ (BX2 + Bi f^ + B,y - 4(A X2 + AiX + A2) (GX2 + Cl X + G^),

à un facteur constant près. Or, il a été démontré plus haut (n° 132)
que les deux polynômes R{1) et Ri(|Jl) ont même invariant ab-
solu. La conclusion est analogue à celle de tout à l'heure; une
courbe du premier genre possède un seul module, qui est l'inva-
riant absolu de la forme biquadratique XÎÎR^y^V

179. On obtient une autre expression d'une fonction ration-
nelle R(^, u) au moyen des zéros et des pôles de cette fonction.
Soient

les q pôles et

les q zéros, chacun de ces points étant compté autant de fois qu'il
y a d'unités dans son degré de multiplicité.
L'intégrale abélienne

logR(^,..)=y^^

admet les 2q points critiques logarithmiques (a/, (B,), (a^, [3^) et
n'a aucun autre point singulier. Dans le domaine d'un pôle (a^, <^l)
d'ordre hi^ cette intégrale est de la forme

1
z — a,- devant être remplacé par (z — oli)'' si le point (a/, p,) est

un point de ramification d'ordre r — i, et z — œ par -. De même,

dans le domaine d'un zéro, d'ardre /i^, (a^, (3;^), l'intégrale est de
la forme

hk[og{z — ak) + P(5 - ak).

L'intégrale abélienne
où n|^;]^,j est l'intégrale normale de troisième espèce, n'admet

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SgS

plus de points singuliers ; c'est donc une intégrale de première

espèce

Xi w'i + . . . -h Xj3 Wp + Xp+i

et l'on en déduit

(i6) Riz,u) = Ce

tPi, w.2j . . • , iVp étant les intégrales normales.

Lorsque le chemin décrit par le point analytique (r, u) traverse
une des coupures, le second membre est multiplié par un certain
facteur. Gomme le premier membre est une fonction uniforme, il
nous faut écrire que tous ces multiplicateurs se réduisent à l'unité.
Quand on traverse une coupure «a, la fonction qui figure en expo-
sant augmente de iràXh-, et le second membre est multiplié par
eStVAx-. X,^ ),2, . . . , )vA doivent par conséquent être des nombres

entiers

Xi = 7?ii, . . . , li = nii, ... , Xp = r7ip,

et R(-3, u) est de la forme

7 (a,, p.)

(17) K(z,u) = Ce -^ *^'^''

Lorsque la variable traverse la coupure ^a, R(^5 '^) est multi-
plié par

e '-*

Il faudra donc que l'on ait

<? ç

(i8) ^ Wk(oi'i, P/) — 2 w/,(oii, P/) = 1 m^ÙAi +. -.-^impbkp H- 2/iaî-

(A- = i,2,... ,73),

rik étant un autre nombre entier. Dans les premiers membres de
ces relations, les intégrales Wh sont toujours supposées prises sui-
vant des chemins qui ne rencontrent pas les coupures. Récipro-
quement, si l'on peut trouver des nombres entiers 7?2,, . . . , nip^
n^^....^np vérifiant les relations précédentes (18), la fraction
R(^, u) représentée par la formule (17) présente bien tous les
caractères d'une fonction rationnelle admettant les q pôles (a , ^\)
et les q zéros (a^-, p/). Les relations (18) expriment donc les con-

396 CHAPITRE VIII.

ditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une fonction
rationnelle admettant les q pôles et les q zéros donnés.

Ces relations peuvent s'écrire sous une forme plus générale.
Soit w une intégrale quelconque de première espèce et to, ,
0J2, . . . , too^ ses ip périodes ; il faudra que l'on ait

q ■ n

^ (v (<•, p;-) — ^ w(a,-, ^i) = Ml Wi + M2 0)2 + . . . 4- MapW,;, ,

Ml, M2, . . . , Mo^ étant des nombres entiers, qui sont les mêmes
pour toutes les intégrales, les chemins suivis par la variable res-
tant aussi les mêmes pour les intégrales qui figurent dans le pre-
mier membre. On écrit ces relations sous une forme plus con-
densée

^ q

(ï9) ^^{<.%)^'^^v{^.i,^i).

i-i i-i

Par conséquent, la somme des valeurs d'une intégrale abé-
lienne de première espèce pour les zéros dUine fonction
rationnelle ne diffère de la somme des valeurs de la même
intégrale pour les pôles que d'une somme de multiples des
périodes.

C'est, comme on le verra plus loin, une des formes qu'on peut
donner à un cas particulier du théorème d'Abel.

Les conditions précédentes sont au nombre de p ; elles expri-
ment d'ailleurs toutes les relations entre les zéros et les infinis
d'une fonction rationnelle, puisque, si elles sont vérifiées, on
peut former une fonction rationnelle admettant les zéros et les
infinis donnés. Ces relations se présentent sous une forme trans-
cendante, quoiqu'elles soient en réalité algébriques. Imaginons,
en effet, qu'on ait formé l'expression générale des fonctions ra-
tionnelles qui admettent les q pôles (a^-, |3'^.); cette expression est
une fonction linéaire et homogène d'un certain nombre de coeffi-
cients arbitraires. Il faudra qu'on puisse disposer de ces coeffi-
cients de façon que la fonction admette les q zéros (a/, ^i) ;
ces conditions s'expriment évidemment par des relations algé-
briques entre les iq points donnés. On a là un exemple remar-

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 897

quable de relations transcendantes équivalentes à des relations
algébriques. Si p = o, le théorème ne nous donne rien. On peut
prendre arbitrairement les zéros et les infinis. Il est facile de le
vérifier, car z et a s'expriment par des fonctions rationnelles
d'un paramètre t^ et on est conduit à former une fonction ration-
nelle de t, connaissant ses pôles et ses zéros. Si /> = i, on a une
seule relation entre les zéros et les infinis. Cette relation est
d'ailleurs équivalente au théorème de Liouville sur les zéros et
les infinis d'une fonction doublement périodique.

180. Les théorèmes généraux sur les fonctions uniformes d'une
variable s'étendent aux fonctions uniformes d'un point analy-
tique (*). Nous allons montrer comment on peut former l'expres-
sion générale d'une fonction uniforme n'ayant qu'un nombre fini
de points singuliers sur toute la surface de Riemann. Pour plus
de simplicité, supposons que ces points singuliers sont à distance
finie et distincts des points de ramification. Soient (a,, j^,), . . .,
{^n, P«) les n points singuliers, ^{z, u) la fonction uniforme con-
sidérée et

z — ti ' {z—cci-y- . .-. . ^._^.^.j

la partie principale de ^{z--, u) relative au point singulier (a/, ^/),
cette partie principale étant formée d'une série si le point (a/, ^i)
est un point singulier essentiel. La fonction

considérée comme fonction du point (?, r^), admet les points sin-
guliers (a,, ^,), ..., (a«, [3„), {z^ u),{zo^Uo) et, en outre, les points
de ramification. Ecrivons que la somme des résidus de cette fonc-
tion uniforme sur toute la surface de Riemann est nulle. Les
résidus relatifs aux points de ramification et aux points à l'infini
sont tous nuls. Les résidus relatifs aux points {z^ u) et (zq, Uq)

(') Appell, Sur les /onctions uni/ormes d'un point analytique {Acta ma-
thematica, t. I, p. 109-144)-

398

CHAPITRE VIII.

sont respectivement - ^{z, u) et ^{z,, u,) (n« 150). Dans le do-
maine du point (a/, [3^), on a

Je résidu est donc

A</)Z(z, u- a,, p,) + . . .-- ^^.^^^^^^^|_^^ Ziv-i)(^, u; a,, (3,) + . • .,
et on a la relation

/=1 V=:l

Chacune des séries

+ 00

Il.....^('v-.)^"""<^'"'°"'P--)

V=:l

est convergente tant que le point {z, u) est différent de (a,-, ^i),

car elle représente le résidu de <ï)(?, 7i)^ relatif au point (a,-, (3,).

La fonction représentée par celte série n'admet plus que le point
singulier (a/, p,); nous la représenterons par

G,{z, u; a,, i3.-) = 2^ — . . .(v - i) ^^'"'^^^' "' «'' P'")'
et la formule (20) peut s'écrire

n

^(z, u)= <P{zo, Uo)^^Gi(z, u; a,-, |3,-).
1=1

On voit que <ï>(^, u) est la somme de n fonctions dont chacune
n'a qu'un point singulier; mais ces fonctions ne sont pas, en gé-
néral, uniformes.

En écrivant que les p périodes de $(5, w) relatives aux cou-

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 899

pures bfi sont nulles, on a, entre les coefficients A!/^ les p rela-

tions

1^=71 — 30

que l'on obtiendrait aussi en écrivant que la somme des résidus
de chacune des fonctions

sur toute la surface est égale à zéro.

Les théorèmes de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler,
sur les fonctions uniformes qui ont une infinité de points sin-
guliers et sur la décomposition en facteurs primaires, s'étendent
aussi aux fonctions uniformes d'un point analytique (Appell,
Acta mathematica, t. I).

400 CHAPITRE IX.

CHAPITRE IX.

THÉORÈME D'ABEL (i).

Théorème général. — Application aux intégrales de première, de seconde et de
troisième espèce. — Formule générale. — Application aux intégrales hyper-
elliptiques. — Seconde démonstration. — Réduction d'une somme d'un nombre
quelconque d'intégrales k p intégrales et à des quantités algébriques et loga-
rithmiques. — Théorème d'addition pour les intégrales de première espèce. —
Intégration d'un système d'équations différentielles. — Extension du théorème
d'Abel aux courbes gauches algébriques.

181. On a déjà remarqué, dans certains Chapitres antérieurs,
un cas particulier de la célèbre proposition, connue sous le nom
de théorème d'Abel. L'illustre géomètre l'a énoncée dans un
Mémoire présenté à l'Académie des Sciences de Paris en 1826,
qui a pour titre : Remarques sur quelques propriétés générales
d'une classe de fonctions transcendantes.

Pour l'établir ici dans toute sa généralité, considérons une
fonction rationnelle quelconque cp(^, u) de z et de u, et une inté-
grale abélienne U attachée à la courbe

(0 ¥{z,u) = o,

de degré m et de genre p. L'intégrale

I'

prise dans le sens direct le long du contour total de la surface T',
c'est-à-dire le long des coupures a^, by, Cv, est égale à une somme

(*) Auteurs à consulter : k.^e.Y.i., Remarques sur quelques propriétés générales
d'une classe de fonctions transcendantes; Démonstration d'une propriété gé-
nérale d'une certaine classe de fonctions transcendantes; Clebsch et Gordan,
Abelsche Functionen, zweiter Abschnitt.

THÉORÈME d'ABEL. 4oI

de produits de deux facteurs, l'un des facteurs étant une période
de l'intégrale U, le second facteur une période de l'intégrale loges.
Mais toutes les périodes de cette dernière intégrale sont évidem-
ment des multiples de itù^ et l'on a

(2) / \J dlo^o = 'î-i{my(ji^-^ nioiii^-^. . .->r niipiM^ip),

w,, too, ..., ^2p étant les ip périodes de l'intégrale U relatives aux
coupures «v et ^v^ et m,, /??2, ..., m2p des nombres entiers,
qui ne dépendent que de la Jonction rationnelle '^(^, u). Le
produit irùm^^ par exemple, est égal à l'intégrale

/

c?logcp,

prise le long de la coupure a^^ et les autres nombres mi ont une

signification analogue.

Nous supposerons d'abord que l'intégrale abélienne U n'a pas
de points critiques logarithmiques; alors la fonction

est uniforme sur la surface T', et Ton peut appliquer le théorème
de Cauchj à l'intégrale (2). D'après ce théorème, l'intégrale (2) est

égale au produit de ir.i par la somme des résidus de U ^^ ' sur

toute la surface de Riemann. Ces résidus proviennent des pôles
de U ou des pôles et des zéros de '^(^, u). Soient

les zéros de la fonction rationnelle cp(3, u) et

ses infinis, chacun d'eux étant compté autant de fois qu'il 3- a
d'unités dans son degré de multiplicité. La somme des résidus
provenant des pôles et des zéros de 'j(;, u) est égale à

7 n

D=2u(^,-,rw-)-2^'(;A-,U.).
A. ET G. 26

402 CHAPITRE IX.

Par conséquent, la somme

mi Wj -f- . . . -h ra=xp (x>2p

est égale à la différence qui précède D, augmentée de la somme
des résidus de la fonction

dz

relatifs aux pôles de l'intégrale U. Si, en particulier, l'intégrale U
est une intégrale de première espèce w(^z^ u\ cette dernière
somme est nulle, et il reste

n n

ce que nous écrirons d'une façon condensée
9 n

Nous retrouvons la relation établie plus haut entre les pôles et les
zéros d'une fonction rationnelle de ;î et de ?^ (n° '^'^^J-

182. L'énoncé qui précède est purement analytique. On donne
ordinairement à ce théorème une forme plus géométrique, qui en
montre mieux la généralité. Soient

(5) /(^, w)=o, ^U,u) = o

les équations de deux courbes du même degré n\ supposons, pour
plus de netteté, que ces courbes n'ont aucun point commun à l'in-
fini avec la courbe F:=o, et que les points d'intersection sont
distincts des points multiples. Alors les zéros de la fonction ra-
tionnelle

sont les points d'intersection de la courbe donnée F (^, w) = o
avec la courbe /= o, et de même les infinis de cp sont les points
d'intersection de F = o avec la courbe '}(^, u) = o. On peut donc
énoncer le théorème d'Abel sous la forme suivante :

THÉORÈME d'aBEL. 4o3

La somme des valeurs d' une intégrale ahélienne de pre-
mière espèce aux points dHntersection de la courbe donnée G
avec une autre courbe algébrique G' est égale, à des multiples
près des périodes, à la somme des valeurs de la même intégrale
aux points d^ intersection de G avec une autre courbe G", de
même degré que C.

Les restrictions que nous avons faites sur les points d'intersec-
tion ne sont d'ailleurs nullement nécessaires. Par exemple, sup-
posons qu'en un point (H,r,) à distance finie ou à l'infini, la courbe
donnée F =r o ait q points communs confondus avec la courbe
f= o et q' points communs confondus avec à =z o. Si, pour plus
de simplicité, nous admettons que les valeurs de u qui deviennent
égales à t, pour z=^\ forment un seul système circulaire, le point
(^, Tj) ne sera ni un pôle ni un zéro pour '^{z, u) si q^^q'\ ce
sera un pôle d'ordre q^ — q si q^ est > ^, un zéro d'ordre
q — q\ si q est > q^ (n° 99). Dans tous les cas, on peut suppo-
ser que, dans l'égalité qui exprime le théorème sous sa première
forme, le terme (V"(ç, r, ) figure q fois au premier membre et q' fois
au second membre. On aura donc, d'une part, la somme des va-
leurs de l'intégrale w aux points de rencontre de F = o avec
/= o, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité;
d'autre part, la somme analogue relative aux points d'intersec-
tion de F = o avec 6 = o. De là résulte la généralité du second
énoncé.

Tant qu'on ne fait aucune hypothèse sur les chemins suivis par
la variable, il est clair qu'on ne peut obtenir une proposition
plus précise. Mais on peut aller plus loin. Gonsidérons une pre-
mière courbe/(^, ?/) = o, de degré /i, qui coupe la courbe F = o
en mn points que nous supposerons distincts, pour fixer les idées,
(E,, 7,,), ..., {^mni 'hmn)'-, imaginons ensuite que les coefficients de
/(^j w) varient d'une manière continue depuis leurs valeurs ini-
tiales. Les mn points d'intersection de G avec la seconde courbe
décrivent sur T certaines lignes continues à partir des valeurs ini-
tiales. Gela posé, la somme des accroissements dUine intégrale
de première espèce le long des lignes continues décrites par
les points (ç/, r,,) est rigoureusement nulle.

Il suffit évidemment de le démontrer pour une variation infi-

4o4 CHAPITRE IX.

niment petite des coefficients de f{z^ u). La nouvelle courbe
aura une équation de la forme

^{z,u)=f{z, u) + zfi{z,u),

£ étant un nombre très petit ei/iÇz, u) un polynôme de même
degré que /(^, u). Supposons que les coupures a^, by, Cy aient
été tracées de façon à ne pas rencontrer les lignes décrites par les
points (Ç/, 'r\i), ce qui est toujours possible si ces lignes sont suf-
fisamment petites. D'après la proposition générale, la différence

jnn mn

j = 1 i = 1

est égale à la somme

les produits tels que iizinik représentant les périodes de Tinté-

grale abélienne

logcp(^, M)=l0g

f{Z, U)

relatives aux coupures a^, by. Or il est aisé de voir que ces pé-
riodes sont toutes nulles. Par exemple, la période relative à la
coupure a^^ est égale à l'intégrale

Jib

-^1

'(6,) i + 'Xi-'^)
OÙ l'on a posé

^^- ^^^ - 7(^770

Supposons, ce qui est évidemment permis, le module de '/(-?, n)
plus petit que l'unité tout le long de la coupure ^v- Si l'on désigne
par l la longueur de cette coupure, le module de l'intégrale est

moindre que _ ; comme cette période doit être un multiple de

2Tzi, on en conclut qu'elle est rigoureusement nulle.

Ainsi, si Von considère les points cV intersection dUine courbe
fixe G avec une courbe variable de degré /z, la somme des
valeurs continues d\tne intégrale abélienne de première

THÉORÈME d'aBEL. 4o5

espèce, attachée à la courbe G, aux points d^ Intersection va-
riables reste constante.

Le théorème subsiste évidemment si quelques-uns des points
d'intersection vont à l'infini ou viennent aux points de ramifica-
tion. Lorsque la courbe mobile passe par un certain nombre de
points fixes de la courbe donnée, on peut en faire abstraction
dans l'application du théorème.

183. Supposons, en second lieu, que l'intégrale U soit une inté-
grale de seconde espèce, admettant un seul pôle du premier ordre
(a, 6) en un point à distance finie et distinct des points de rami-
fication, avec la partie principale

le résida de la fonction U Jl '■•> au point (a, 6), est égal à

. ^'(a.b) . ,/ 7\ j' • 1 1 j I j' • ' do(z,u)
A , ' , ou C5 a, o) desiofue la valeur de la dérivée — —j

pour z^= a, u ^ b, et il reste

1 = 1 A- = l

Si l'on pose, comme plus haut, '3(z, u) = \ "' ,^ où f el à

sont des polynômes de même degré en z et u, on a

o'(a, b) _ f'(a, b) _ ^'( a, b)
^{a,b) ~ f{a,b) ^{a,b)'

Les points (;/, ru) sont les points d'intersection de la courbe
f[Zj u) = o avec la courbe donnée F = o; les points (ç^, Ti^.) les
points d'intersection de tj^ = o avec F = o. Un cas particulier
remarquable est le cas où, parmi les courbes du faisceau

il s'en trouve une qui coupe la courbe F ^= o en deux points
confondus au point {a, b). Alors, pour une certaine valeur de la
constante \, on a

/(a, 6) H- X ^{a, b) = o, f{a, 6) + X 6'(a, b) = o,

4o6 CHAPITRE IX.

d'où, en éliminant "k. on voit que la quantité ^ ^' , , est nulle.

On peut alors énoncer le théorème suivant, utile dans les applica-
tions géométriques : Soit U une intégrale de deuxième espèce
avec un pôle simple (a, b) ; si l'on coupe la courbe F := o par
deux courbes de même degré /= o et '^ = o, telles que, parmi
les courbes du faisceau /+ Xt{> =: o, il s'en trouve une tangente
à F au point (a, 6), la somme des valeurs de U aux points d'in-
tersection de F et de / est égale à la somme des valeurs de U aux
points d'intersection de F et de o.

184. Si le point (a, b) est un point de ramification, ou s'en va
à l'infini, ou si ce pôle est d'un ordre supérieur au premier, les
résidus de la fonction

dz

ont une expression moins simple. Mais, quels que soient l'ordre
et la position du pôle sur la surface, si la fonction rationnelle
cp(^, u) dépend d'un certain nombre de coefficients arbitraires c,,
C2, . . ., Cq, dont elle estune fonction rationnelle, le résidu relatif
au pôle (a, b) est toujours égal à une fonction rationnelle de
ces coefficients indéterminés Ci, Co, ..., c^. Il en sera encore de
même pour la somme des résidus, si l'intégrale abélienne U admet
un nombre quelconque de pôles, sans admettre aucun point cri-
tique logarithmique. Pour plus de précision, supposons

, - P(z, u)

P et Q désignant deux polynômes entiers en u et z, dont nous dé-
signerons les coefficients par Ci, Co, ..., Cq. Le théorème d'Abel
nous montre que la différence entre la somme des valeurs de
V intégrale abélienne U pour les zéros de la fonction ration-
nelle cp(^, u) et la somme des valeurs de la même intégrale
pour les pôles de cp(^, u) est égale à une fonction rationnelle
des coefficients Ci, ..., Cq des deux polynômes P et Q, abstrac-
tion faite d^une somme de multiples de périodes de l'inté-
grale U.

THÉORÈME d'aBEL. ^OJ

Cette fonction rationnelle des coefficients c,, Co, ..., Cq peut
toujours être calculée dès qu'on connaît les pôles de U et les par-
ties principales correspondantes. Pour donner à l'énoncé précé-
dent une forme géométrique, il suffit de répéter ce qui a été fait
pour les intégrales de première espèce. Soit/(^, ui) = o l'équa-
tion d'une courbe de degré n qui rencontre la courbe donnée en
77Z/2 points (i,, 7),), ..., (5;,^;^, T,„,,i); imaginons que les coefficients
de/(Zf ?^) varient d'une manière continue; les points (ç,, r,,), ...,
(?TO/^7 '^.m«) se déplacent sur la surface T d'une manière continue.
Soient ( i; , r/, ),..., (?;,„, <,„) les nouvelles positions de ces points
d'intersection, correspondant à une autre courbe '}(-S, m) = o
de même degré. Cela posé, on a

(8) y / du=v,

V désignant une fonction rationnelle des coefficients des deux po-
Ijnomes/et 6, et les intégrales étant prises suivant les chemins
décrits par les points (i/, r,/), lorsque les coefficients du poly-
nôme/varient d'une manière continue depuis les valeurs initiales
jusqu'à devenir égaux aux coefficients du polynôme 'l.

Supposons donnés tous les coefficients du polynôme /, les
coefficients de 6 restant variables, l'égalité (8) peut s'écrire

(9) y/ ^'=2/ ^u-^..

La première partie du second membre reste constante; par
conséquent, la somme des valeurs d' une intégrale abélienneV,
n'admettant aucun point critique logarithmique, prises depuis
une origine commune (zq^ Uq) Jusqu'aux: mn points d'intersec-
tion de la courbe donnée avec une courbe variable de degré n^
h(^z^ u) = Oj est égale à une constante C, augmentée d'une
fonction rationnelle des coefficients du polynôme ^{z, u).

Rien n'empêche d'ailleurs de supposer que ces mn intégrales
ont des limites inférieures différentes, pourvu qu'elles soient fixes,
ce qui revient à modifier la constante C.

40^ CHAPITRE IX.

185. Lorsque l'intégrale U admet des points critiques logarith-
miques, la fonction

dz

n'est plus uniforme sur la surface T^ et le raisonnement doit être
modifié. Pour plus de netteté, supposons que U se réduise à une
intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques loga-
rithmiques {a, b) et (^1, b^). Il faudra joindre aux coupures a^,
^v, Cv une nouvelle coupure L joignant ces deux points critiques
et ne rencontrant pas les précédentes. Sur la nouvelle surface P'

la fonction sous le signe / est uniforme et l'on peut lui appliquer

le théorème de Cauchj; l'intégrale

/

U<r/logcp(z, u),

prise le long des coupures <2v, 6v, Cv, a la même expression que
plus haut. Quant à l'intégrale prise le long des deux bords oppo-
sés de la coupure L dans le sens direct, elle a pour valeur

(n" 149)

Il vient, par conséquent, l'égalité suivante

A— 1

qui constitue le théorème d'Abel dans le cas des intégrales de
troisième espèce.

De cette formule on déduit, en répétant les raisonnements déjà
employés pour les intégrales de première et de seconde espèce,
les conséquences suivantes :

i"" Soient/(^, u) = o^ 'K-^'^O = oies équations de deux courbes
de degré n. On a

mn ,

THÉORÈME d'à BEL. 409

les points d'intersection de F = o avec les deux courbes /= o,
<!/ = o étant représentés respectivement par ( Ç/, ri/) , {l[^ r,^)
(i = I, 2, . . . , m/i), et les chemins d'intégration étant fixés
comme il a été déjà expliqué. On remarquera que la fonction sous
le siffne logr est une fonction rationnelle des coefficients des deux
polynômes y* et 'l. Par exemple, si les deux points singuliers lo-
garithmiques de l'intégrale II sont les deux points analytiques
superposés en un point double dans des feuillets différents de
la surface de Riemann (p. 201), on a a = «i, b = bf^ et le loga-
rithme du second membre est nul; la somme des intégrales (11)
est alors nulle à des multiples de périodes près.

Il en est de même dans le cas plus général où il existe une
courbe du faisceau /{z, u) -\- )v6(3, u) = o passant par les deux
points (a, b) et («i, 6,). En effet, on a alors, pour une certaine
valeur de X,

/(«, b) -h ma, b) = o, /(«i, bi) + l'l(ai, b^) = o,

d'où

f(a,b)i>(a,.bi)

J\ai,b0à[a,b)

I.

2° Soit U une intégrale abélienne quelconque, elf=o, 6 = 0
les équations de deux courbes de degré n, qui coupent respecti-
vement aux mn points (^oT,/) et (?,, loi) la courbe proposée. On
a une relation de la forme

?nn

(12) > / cOJ = p + Al logPi-4-.. . -{- A,.Iogp,.H-C,

A, , A2, . . . , Ar étant des constantes, et p, ^1,^2? • • • 5 ^r des fonc-
tions rationnelles des coefficients des deux polynômes fei ^. Il
suffit, pour établir cette formule, de décomposer U en intégrales
des trois espèces.

3** Si la courbe/est fixe et la courbe 6 variable, la formule (12)
devient

(i3) y r''"'''' dTJ = G4-P4-AilogPi+... + A;,log^v,

G désignant une constante. Par conséquent, là somme des valeurs

4lO CHAPITRE IX.

d'une intégrale abélienne quelconque U, prises depuis une
origine commune (zq^ Uq) jusqu'aux mn points d'intersection
de la courbe donnée avec une courbe variable de degré n^
<j;(z, z/) = o, est égale à une fonction rationnelle des coeffi-
cients de h^ augmentée d'une somme d'un nombre fini de loga
rithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients, muU
tipliés par des facteurs constants.

On peut remarquer, comme plus haut, qu'il n'est pas néces-
saire de prendre la même limite inférieure pour toutes les inté-
grales.

186. Tel est, dans le cas le plus général, le théorème d'Abel.
Pour les applications, il est commode d'avoir une formule géné-
rale s'appliquant à tous les cas particuliers. Désignons toujours
par cp(5, u) une fonction rationnelle de z et de u dont les zéros et
les infinis sont respectivement

(^n^i'i)j •••, (^ij -^'-z),
et par

R(z, u) dz

"-Il

une intégrale abélienne quelconque. Imaginons qu'on trace un
contour fermé C sur T^, ce contour renfermant à son intérieur
tous les points singuliers de l'intégrale U et laissant à l'extérieur
tous les pôles et tous les zéros de cp(5, u) ; soit T" la surface con-
nexe ainsi obtenue; l'intégrale

/ U«^logcp,

prise dans le sens direct le long du contour total de T'^^ est égale,
d'une part, à

d'autre part, la portion d'intégrale prise le long des coupures «vj
6v, Cv a pour valeur

27ri(miWi-+- . . .-h m2pW2/;).

THÉORÈME d'ABEL. 4^1

Il reste à calculer la portion d'intégrale prise le long du contour C.
Or. on a

(i4) d{lj logcp) = l]d\ogo -+- B.{z, u) logçc?^;

lorsque le point (3, u) décrit le contour G, le produit Ulogo
revient à sa valeur initiale, puisque ce contourne renferme aucun
point critique de logcp et renferme tous ceux de l'intégrale U. Il
vient donc

f Udlo§o=— f R{z,u)log'^dz.

A l'intérieur du contour C, la nouvelle fonction R(^j z/) logcp
est uniforme et on peut lui appliquer le théorème de Cauchy. On
a par conséquent, en remarquant que, si l'on décrit G de façon à
avoir l'aire T'^ à sa gauche, on a l'aire intérieure à droite,

1 n

(l5) 2 U(^,, r^) - ^ U(^i., r:,) = C[R(^, u) logcp],

le second membre désignant la somme des résidus du produit
R(^, z/)log'j relatifs à tous les points singuliers de l'intégrale
abélienne U.

Remarque. — Dans l'application de cette formule, il faut ima-
giner trac3 le contour G, et choisir une des valeurs multiples de
loges (::, II) pour un point intérieur; les valeurs de ce logarithme
pour tous les points singuliers de U s'en déduisent par continuité.
Pour avoir un énoncé géométrique applicable aux points d'in-
tersection d'une courbe variable avec la courbe fixe, nous procé-
derons comme plus haut, en prenant pour cp le quotient de deux

polvnomes de deo^ré /z, c = "^ . "' ^\ • Les notations étant les mêmes,

la formule (i5) devient

mn y,

Pour n'avoir aucune ambiguïté dans l'application de cette for-
mule, il faut imaginer les coefficients d'une courbe variable de
degré n variant d'une manière continue, depuis les valeurs qui

4l2 CHAPITRE IX.

conviennent à la courbe f(z, u) = o jusqu'aux valeurs qu'ils ont
pour la courbe cp(^, w) = o; les intégrales du premier membre
sont prises suivant les chemins décrits par les points mobiles d'in-
tersection, et, si le second membre présente des logarithmes, on
déterminera les valeurs qu'il faut leur attribuer en suivant leur
variation continue en même temps que celle des coefficients
variables.

Supposons en particulier que les deux courbes /= o, ^ ^= o
fassent partie d'un faisceau de courbes de degré ii

^{z, u) = &(z, u) -hl Qi{z, u),

et imaginons que, 'Kq restant fixe, X seulement soit variable. De la
formule qui donne I

on déduit

dl

= c\k(z,u)—-^\,

il est clair, en effet, que la dérivée d'un résidu par rapport au pa-
ramètre X est égal au résidu de la dérivée par rapport à X. On a
par conséquent

(.7) i=r£[R(.,„)_^j^X,

le signe €. s'étendant à tous les points singuliers de l'intégrale
considérée (^ ).

On peut remarquer que ©< et 0 sont deux courbes quelconques
du faisceau f -{-"k^ = o. Supposons que f et ^ ne passent pas
par les pôles de U, mais que, dans le faisceau /+ l^J; = o, il s'en
trouve une, que nous appellerons ©i , qui passe par tous les infinis
de R(^, u) d'ordre supérieur à l'unité, de telle façon que le pro-
duit R(^, w)0| n'ait plus que des infinis d'ordre inférieur à

l'unité. Alors les résidus de R(^, u) ■- ^--- sont nuls, quel que

soit X, et l'on a I = o. Donc, dans ce cas particulier, la somme

(') On trouvera d'intéressantes applications de cette formule dans un Mémoire
de M. Humbert {Journal de Mathématiques, 4* série).

THEOREME D ABEL. 4l3

' dU, prises depuis les points de rencontre

de F avec la courbe /= o jusqu'aux points de rencontre de F
avec ^ = o, est nulle à des multiples de périodes près. C'est la
généralisation des remarques du n° 18o.

187. Appliquons laformule générale (i5) aux intégrales hvper-
elliptiques. Soit

(i8) u^- = K{z)

une relation algébrique, où R(2) est un polynôme de degré ^p -\- i
ou 2/? + 2, sans facteurs multiples, et

(19) v{z,u)= / — T-^^»

une intégrale abélienne correspondante, P(^) étant un polynôme
entier en z. Considérons les iji points d'intersection de la courbe
(18) avec la courbe

6(z) — w8i(s) = o,

où B et 9, sont des polynômes entiers en z. Soient (^i, W|), ...,
{^•\ii i^ii) ces [JL points; z^^ So, .. ., ^tx sont racines de l'équation

r-{z)-K{z)n{z) = o.

Désignons par r^(z) et par r^i{z) deux autres polynômes de
même degré respectivement que 8 et 9,, et soient (z\^ u\)^ . . .,
(-^0.7 ^^a) les a points de rencontre de la courbe (18) avec la

courbe

T^{z) — ur^^{z) = o.

La fonction rationnelle

^{z)—u^,{z)

^iz,u)

r^{z) — ur,i{z)

admet les a zéros (5/, iii) et les ix pôles (s), u\), et, si Ton suppose
que les polynômes 9, 9,, tj, Tj, sont les plus généraux de leur
degré, les points à l'infini de la surface ne sont ni des pôles ni des
zéros pour 'j(:;, u). Remarquons maintenant que l'intégrale ç{z, u)

4ï4 CHAPITRE IX.

est régulière en tout point à distance finie; la formule (i5) nous
donne donc

(20) ^^(^i, w/)— ^(^(^;-, ii'i)^c^ -^iogcp(s,

u):

mais la somme de ces résidus n'est autre chose que le coefficient
de - dans le développement de

dans le domaine du point à l'infini. Si l'on regarde maintenant les
coefficients des polynômes r,, Tj, comme constants, les coefficients
de 0, 9i restant seuls variables, il vient

(21) v{zx, u^)-^...^v{z^, u^) = G + r,

G étant une constante et r le coefficient de - dans le développe-
ment de

On vérifiera sans peine que cette formule est identique à la
formule (29) [théorème III] du Mémoire cité d'Abel.

Dans le domaine d'un point à l'infini de la surface de Riemann,
le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de u est de la

forme q\o^z-^V l^j ou de la forme ^log^+pZ-^V suivant

que ce point à l'infini est un point ordinaire ou un point de ra-
mification, P(^) désignant une fonction régulière pour ^ = o. Si
l'intégrale considérée est de première espèce, le développement

de —^ commence par un terme en -^ ou en ^; il n'y a donc pas

z^

de terme en -^ dans le produit —^ log {l~''^^A et, par suite,

r = o. C'est le théorème connu pour les intégrales de première
espèce.

188. Il est intéressant de remarquer que /* peut être nul ou
indépendant des coefficients variables, pour certaines formes par-

THÉORÈME d'ABEL. ' ^iS

ticulières des polynômes 8, Oi, sans que l'intégrale ç>{ZjU) soit
de première espèce. Par exemple, supposons que R(^) soit un
polynôme du cinquième degré et P(c) un polynôme du deuxième
degré; soit, en outre,

Bi(z) = nzP-^ -^BiZP-'*-^ B-izP-^-^. ..,

n étant une constante et A, , Ao, • . . , B, , Bo, . . . des coefficients
arbitraires, dont le nombre est égal k ip — 3. Dans le domaine

du point à Tinfini, le développement de commence par un

Il 1 ^ 1 Q — U^i , , .

terme en ^- le second lacteur ios^^ t- peut s écrire

./ -' ^ Û -r- «Oi i

•-(^;)

en posant

T =

0 zP-\- X^zP-^ -^.

Le développement de ^', pour ^= x, commence par un terme

en — ^ et le coefficient de ce terme est indépendant des coeffi-

\/z

cients variables A,, Ao, Le coefficient de - dans le produit

est donc indépendant des coefficients A et B. On déduit de là la
conséquence suivante. Supposons, pour fixer les idées,

^{z) = {z — e^){z — e^) ...{z — e-^),
V{z) = z^',

soient (^,,w,), ..., {zop, Uip) les points de rencontre de la
courbe u-^^ ^{^) ^vec la courbe variable

Ziy Z2t ' ' ', :-2p étant racines de l'équation de degré 2/?

r-(z)-Riz)%Kz)=o.

4*6 CHAPITRE IX.

La somme

(^(^1, Ml) H- ^(^2, M2) +• • .+ t^C-Ssp, Wap)

reste constante, lorsque les coefficients A et B varient d'une ma-
nière quelconque, quoique l'intégrale (^(s, u) ne soit pas de pre-
mière espèce (*).

Les autres énoncés que renferme le Mémoire d'Abel se dédui-
raient de même de la formule générale (i5). Par exemple, en
considérant l'intégrale

J (5— a)/R(7)

" 0

et en conservant les mêmes notations, on a

/ X ^ / ^ r P(«) 1 re(a)-f-BOi(a)-]

OU

p2=:R(a)

et où r est le résidu de

pour le point à l'infini.

189. Nous allons donner une seconde démonstration du théo-
rème d'Abel, d'un caractère plus élémentaire, et qui montre encore
mieux la véritable origine de cette importante proposition. Elle
est d'ailleurs identique à la démonstration donnée par Abel lui-
même pour le cas le plus général d'une relation algébrique de
forme quelconque.

Soit

(22) F(^, u) = o

l'équation d'une courbe algébrique quelconque G de degré m, et soit

R(^, u)dz
(-0, "«)

(*) On trouvera dans l'Ouvrage de M. Darboux, Leçons sur la théorie géné-
rale des sur/aces, t. II, p. 3ii, une application intéressante de cette remarque.

THÉORÈME d'aBEL. 417

une intégrale abélienne quelconque attachée à cette courbe. Une
courbe G' de degré n

(23) *(z, m) = o,

dont l'équation renferme un certain nombre de coefficients varia-
bles «, , a.2, . .. , «A, rencontre la courbe G en mn points variables
avec ces coefficients (^, , z/,), (^o, ^^2),. . •,(-to«, «w«). La somme
des valeurs de l'intégrale abélienne ç{zju), où l'on prend suc-
cessivement chacun de ces points d'intersection pour limite su-
périeure

I = v{zi,ui)

'"" (-■ 7/1

est une fonction des paramètres ai,ao, . . . , ak-, dont nous allons
chercher la forme analytique.

Désignons d'une manière générale par oV la différentielle to-
tale d'une fonction V par rapport aux paramètres a,, «2î • • • , «a-
On a

ol = ^R(^/, Ui)oZi.

Des équations (22) et (23) on tire

d¥ ^ d¥ ^

—- hzi-\- -—- ùUi = o,
dzi dui '

- — OZi -r- -— OUi -h 0<Pj = O,

ozi aiii

et par suite

OZi = 0^i^\Zi, Ui),

^ {ziy Ui) étant une fonction rationnelle de (^/, ui) et des coeffi-
cients ai, a.2^ . . . , rt/f, et O/ désignant <ï>(^i, Ui). En remplaçant ozi
par cette valeur dans ol, il vient

:i=^R(zi,Ui)W{zi,iii)o^i.

Si 1 on développe o^^ = _ — oa, -j- . . . -r ^^ — oa^-, le coedicient
A. ET G. 27

4l8 CHAPITRE IX.

de oa^, par exemple, dans le second membre, est égal à
fil fi

c'est-à-dire à une fonction rationnelle et symétrique des coordon-
nées des mn points (^,, Ui ), (^o, 1^-2), - - -, {^mn, Unui)^ fonction qui
est en même temps rationnelle par rapport aux coefficients a,,
«2, ..-, ak' Or, toute fonction rationnelle et symétrique des
coordonnées des 7??/i points communs aux deux courbes (22) et
(28) est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux
équations. Il reste donc en définitive

ol = Ilioai -h 112 0^2 H-. . .+ U/cOak,

Ui, IIo, . . . , Il/f étant des fonctions rationnelles des k coefficients
a<,«2^ '-"iCik-i ne renfermant plus les coordonnées des points
(^/, Ui). Par conséquent

1= / Ilioai -I- n2oa2 -h. . .-T- n/,0(2/,. ;

/"-

or, les fonctions IIi, ITo, . • . , 11^ étant rationnelles, l'intégration
ne peut introduire d'autres transcendantes que des logarithmes.
La somme I est donc égale à une fonction rationnelle des coef-
ficients a^^a-.j • . . , ah, augmentée d'une somme de logarithmes
de fonctions rationnelles des mêmes coefficients.

Si l'intégrale abélienne considérée est de première espèce, la
somme I doit être constante. En effet, si les fonctions IIi , IIo, . . . ,
IIa n'étaient pas identiquement nulles, on pourrait trouver un
système de valeurs a'^, a'^, - - -.a,, pour les coefficients a^^^a^^ . . . ,
«A, tel que I deviendrait infini pour a^ ^= a\^ . . . ^ ak^= a'^. Si les
points de rencontre de la courbe G avec la courbe varia])le (7, qui
répond aux valeurs a\, . . . , a]^ des paramètres, sont {z'^, u[), ....
i^'mm^'mn)^ il y aurait au moins une des valeurs de i^(z, u) qui
deviendrait infinie lorsque le point {z^u) tendrait vers un des
^o\uls{z\^u\)\ ce qui est impossible, puisque l'intégrale est de
première espèce.

190. Si l'intégrale abélienne considérée est quelconque, il est
facile de montrer que l'on retrouve les mêmes formules finales

THÉORÈME d'aBEL. 419

que par la première méthode. Pour plus de simplicité, supposons
que ç{z, u) soit une intégrale de seconde espèce avec un pôle
simple (i, r^) à distance finie, distinct des points de ramification,
le résidu étant égal à i . Etant données deux courbes du même
degré /z, représentées respectivement par les deux équations

(24) f{z.,u) = o, o{z,u) = o,

si l'on considère le faisceau de courbes

<25) f{z,u)^\fi{z,u) = o,

où

fi(z, u) = o(z, u) —f{z, u),

les deux courbes appartiennent à ce faisceau et correspondent aux
valeurs zéro et un du paramètre A. D'après ce que nous venons

de démontrer, la dérivée -^ est une fonction rationnelle du para-
mètre A. D'autre part, la somme I conserve une valeur finie, sauf
pour la valeur A, du paramètre A, telle que l'un des J7in points
d'intersection soit venu au point (;, r,), c'est-à-dire pour la valeur

Pour fixer les idées, supposons que, pour )v= A,, un seul des
points d'intersection vienne au point (^,Tj). Dans le domaine du
point (ç, r,) on a

A étant un coefficient diff'érent de zéro qui a pour valeur

d¥ ( df d/,\ d¥ ( df à/A

A _ -.

lnversement_, dans le voisinage de a = A, , on a

^-^ = ^(X-X,)[i-Bi(X-XO + ...]-
L'intégrale v{xi^ j>'/), correspondant au point {xt^ yt) qui vient

I

420 CHAPITRE IX.

coïncider avec le point ( Ç, v)) pour 'k=:'k^^ est donc, dans le do-
maine du point Xi, de la forme

P(X — Xi )étant une fonction régulière pour X =: "X, . La différence

A — Al

reste donc finie pour toute valeur de X, et, comme sa dérivée est
une fonction rationnelle de 'k, elle se réduit nécessairement
à une constante. Écrivons que la somme précédente a la même
valeur pour X = o et pour ), = i ; il vient, en remarquant que A

peut s'écrire

^D(F,cp) ^ D(F,/)

A = —• ^ ,

I, = A f - i-

^'^~ V >^i i->^i/ Xi(i-xo

et, en remplaçant ).4 par sa valeur,

D(F,9) D(F,/)

"? (^7] -^ dri

ce qui peut encore s'écrire

i df i d(^

c'est au fond la même formule (7) que nous avions déjà obtenue
par la première méthode. 1/ et Tç représentent respectivement la
somme des valeurs de l'intégrale ç{z^ u) aux mn points d'intersec-
tion de la courbe donnée avec les deux courbes /= o et cp = o.

Le procédé qui vient d'être indiqué s'applique évidemmen,t à
une intégrale abélienne, quels que soient les points singuliers et
leur position sur la surface. Nous ne nous y arrêterons pas da-
vantage.

THÉORÈME d'à BEL. 4^1

191. Après ces généralités, nous allons considérer en particu-
lier le cas des intégrales hyperelliptiques. Soit

(27) ir~=R{z)

une relation hjperelliptique de genre /?, et cp(^) une fonction ra-
tionnelle quelconque de z. Si l'on veut considérer le système des
points de rencontre de la courbe (27) avec une autre courbe
algébrique quelconque /{z, m), on peut supposer qu'on a rem-
placé, dans/(^, u), une puissance paire de u, telle que a-^, par
[R(^)]^ et une puissance impaire de u, telle que 11-^+^, par
[R(^)]^w, ce qui revient à prendre pour équation de la seconde
courbe une équation du premier degré en u,

P(z)

P{z) et Q(::) étant des polynômes de degré m. Les abscisses des
points de rencontre des deux courbes (27) et (28) sont données
par l'équation

(-29) P2(^)_Q2(2)R(2)=0,

de degré 2m-i-2/> — i ou 2^-7- 2/^ 4- 2, suivant que R(^) est de
degré 2/? -7- i ou 2/? -h 2. Soit q le degré de cette équation, Zt,
z., ..., Zq ses q racines, et lu, u.^ .... Uq les valeurs correspon-
dantes de M,

_ P(^/)

Posons toujours

'^ --'-'"^'0(^)^2

et désignons par la lettre S la différentielle totale prise par rap-
port aux coefficients variables des polynômes P(:;) et Q(-).
On a

de l'équation

^{zi) = PH-0 - QH^O R(-/) = o,

4^2 CHAPITRE IX.

on lire

^'{Zi)^Zi^O^{Zi)= o,

c'est-à-dire en développant 0(];(^/),

^'{zi)^Zi-^- iF{zi) SP,— 2Q(zO R(-3,-) oQ,-= o,

et, par suite,

Y 2_^_(^ Q,R(^,)ûQ,-P,5P,
^ y{zi) Il

Remplaçons au numérateur Qf R/ par P| et supprimons le fac-
teur commun P/, il reste

(3o

'•=2:?fe^^-^Q'-Q-'''-)-

Si l'intégrale / ^ <i^ est de première espèce, ^(z) est un po-
lynôme de degré/? — i au plus: le coefficient d'une différentielle
quelconque telle que ùa/( au numérateur est un polynôme de degré
im-\-p — 1 au plus. On a donc comme coefficient de ^a^ une
somme telle que

Z^^\Zi)'

étendue à toutes les racines de l'équation ^{z) = o, ©(-s) étant
un polynôme de degré ini -^ p — i au plus ; le numérateur est
donc d'un degré inférieur de deux unités au moins au degré de
^(^). D'après une propriété élémentaire bien connue, cette somme
est nulle.

Remarquons ici que le degré de l'équation (29) peut s'abaisser
pour certaines valeurs particulières des coefficients des polynômes
P(5) et Q(^). Dans "ce cas, quelques-uns des points d'intersec-
tion des deux courbes qui sont variables avec les coefficients
doivent être considérés comme s'étant éloignés à l'infini.

192. Nous allons nous occuper maintenant de quelques-unes
des applications les plus importantes du théorème d'Abel. Etant
donnée une courbe algébrique de genre /?, F (5, ii) = o, et une

THÉORÈME d'aBEL. ^23

intégrale abélienne quelconque i>{z,u) attachée à cette courbe,
la somme des valeurs de cette intégrale en un nombre quel-
conque de points analytiques

peut toujours se ramener ci la somme des valeurs de la même
intégrale en p points {z\, u\ ), ..., {z'^, u'^), se déduisant algé-
briquement des premiers, augmentée de quantités algébriques
et logarithmiques.

Il suffît évidemment de démontrer la propriété lorsque
V- = P -^^' En effet, si la somme de /? 4- i intégrales se ramène
à la somme de/? intégrales, la somme de /» ^ 2 intégrales se ra-
mènera d'abord à la somme de /> 4- i intégrales, puis à la somme
de/) intégrales. En continuant de même, on voit que le résultat
sera général. Supposons donc qu'on ait la somme

v{Zi, Mi)-f-(;(^2, "2) -^.. .^ v{zp.

-il "-p+l)'

D'après un résultat établi plus haut(n° 172), on peut toujours
trouver un faisceau de courbes (par exemple de courbes ad-
jointes d'ordre /?? — -2) rencontrant la courbe donnée en /? + i
points variables seulement, de telle sorte que pour l'une des
courbes du faisceau ces /? 4- i points variables soient précisément
les points donnés {z,, u,), ..., (zp^,, Up+i)-

Soit

l'équation de cette courbe particulière C du faisceau,

(3'^) f{z, u)-r~lMz,in = o

l'équation d'une courbe quelconque du faisceau. Les poljnomes
/(^5 '0^/< (-^5 ^0 ont leurs coefficients qui dépendent rationnelle-
ment des/? + I points donnés (^,, «^), . . ., (^^^, , ;/^^,). Dispo-
sons maintenant du paramètre A, de façon qu'une courbe du fais-
ceau passe par un point donné à l'avance (a, ^), par exemple, par
le point pris pour origine des intégrales. Cette courbe C" ren-
contre en outre la courbe donnée enp points (z\, u'j, ...,(z' , u )

4^4 CHAPITRE IX.

qui dépendent algébriquement des premiers; d'après le théorème
général, la différence

est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux
courbes G^', C/, augmentée d'une somme de logarithmes de fonc-
tions rationnelles des mêmes coefficients. On a donc bien

(33)

C, Al, ..., A^ étant des constantes et cp, cp^, ..., cp^ des fonctions
rationnelles des coordonnées des /> -+- i points donnés (^^, u^), ...,
{^P-\-\, Up+\)' La proposition est donc établie.

Si, en particulier, l'intégrale ç{z, w) est de première espèce,
la différence

P+i

^^{Zi, Ui)~^ç{z),,u'k)

A ^ 1

se réduit à une constante ^'(a, |3). La proposition générale peut,
dans ce cas, s'énoncer ainsi : La somme des valeurs d'une inté-
grale ahélienne de première espèce en un nombre quelconque
de points analytiques est égale, à une constante près, à la
somme des valeurs de la lyiême intégrale en p points analy-
tiques seulement, qui dépendent algébriquement des pre-
miers.

C'est le théorème d'addition pour les intégrales de première
espèce.

193. On déduit de là sans difficulté l'intégration des équations
différentielles dites abéliennes, dans le cas le plus général.
Soient

i^i= j oi(z,u)dz, V2= r<f2{z,u)dz, ..., i>p=r

cpp(^, u)dz

p intégrales linéairement indépendantes de première espèce,
attachées à une courbe de genre p. On donne le nom d'équa-

THÉORÉxME d'ABEL. 4^5

lions différentielles abéliennes au système d'équations suivant

I Oi(^i, Ml)û?^i-r-Oi(^2 7 Ui)dZi-^...— Oi{Zp, U^) dZp -h 'Oi{Zp^i, Up^i) dZp^i= o,
1 02(-Si, Wi)<i^l-}- -^O^i^p^l, Up^i)dZp^i = o,

\ cp/,(^i, ai)<i^i -F 4-c3p(^^-+-,,î^p^i)c?.Sp+, = o,

où l'on suppose toujours zi et ui liés par la relation F{zi, ui) = o.
Ces p équations définissent p des points analytiques {zi, ui) en
fonction du (/7-f-i)'^™% par exemple, {zo, Uo)^ •••, (^/>+o «^/j+Oî
en fonction de (^i, ?^,), quand on se donne les valeurs initiales
(?,,Th), (io, -^.2): ...,(?/.+., -^^p+i)' D'après les théorèmes géné-
raux de Cauchy, la solution du système (34), où les valeurs ini-
tiales sont les précédentes, est complètement définie (*). Cette
solution est d'ailleurs donnée par les équations

(35) '

( i'pi^l, U\)-r- -^VpiZp^i, Up^i)= Vpi^u 'Ttl)-^-'-^ i'pi^p^l, "^tp-hl),

équivalentes aux équations (34), en tenant compte des valeurs
initiales. Ces relations paraissent transcendantes, mais elles sont,
en réalité, algébriques (Cf. 179). Imaginons, en effet, qu'on ait
l'équation d'un faisceau de courbes

(36) fiz,u)^lf,{z,u) = o

rencontrant la courbe donnée en /? 4- 1 points variables seulement,
ces p -^ I points variables se réduisant aux /? -i- i points donnés
(;,,Tn), .. ., {^p+iyTip^i) pour une des courbes du faisceau, par
exemple, pour la courbe /(^, ii)= o. La courbe du faisceau (36)

(37) /(-, w)/i(-i, "i)-/i(^, iOAm, "i)= o

rencontre la courbe donnée au point (3,, Ut) et, en outre, en
/? points (30, Wo),. . .,(-/^+«, ap+i)\2iTisih[esi\vec{Ziy z^,). Ce groupe
dep points se réduit au groupe des points (^o? '^■2)7 - • - •< {^p+i^ '^i/'+i)

(') Nous négligeons les cas exceptionnels où les p — i points (^, tJ seraient
sur une courbe adjointe d'ordre ni — 3. On serait conduit à des solutions singulières
que nous laissons de côté.

426 , CHAPITRE IX.

lorsque (^i, uC) coïncide avec le point (^<,yi,). D'ailleurs, d'après
le théorème d'Abel, ce groupe de p points satisfait toujours aux
équations (35) et, par suite, aux équations (34). Il constitue donc
l'intégrale de ce dernier système, qui est défini parles conditions
initiales données.

194. Les calculs à effectuer sont plus ou moins compliqués,
suivant les cas. Nous allons indiquer comment on peut les effec-
tuer pour les intégrales hjperelliptiques, en modifiant légèrement
la méthode générale.

Soit

(38) 1*2,= Ao52p+2^ Aix;2p+i_|__._^A2;;+i^-f-A2;,+2= RC-s)

une relation de genre />, le coefficient Ao pouvant être nul, mais
le coefficient A^ n'étant pas nul dans ce cas, et

(3i))' w = ao^-P+i-h «i^/'

^/J-Hl

une courbe de degré /> -f-i, où ai, ao, . . ., a^^, sont arbitraires
et où l'on a pris ao= V^^o • Ces deux courbes (38) et (3^) se cou-
pent en ip -\-i points variables avec les paramètres ai, ao, . . .,
a/7+i, et généralement situés à distance finie. Les abscisses de ces
2/> -f-i points (^4, i^,), . . . , (22/)4-i5 ^^2/j+O sont fournies par l'é-
quation

(4o) (ao^/^+l-H a^ZP-^. . .-^a^+i)2— Ao^2/;+2__. ..— A2p-f-2= o.

On peut disposer des p +i paramètres a,, . . . , a^_^, de façon que
la courbe (39) passe par /> + i points donnés à l'avance de la
courbe (38), (^, , u^), . . . , (zp^^ , Up^i). Les p points restants

('2/?+2? l^p+l)-! • • ' 1 (•22p-f-l) U^p^\ )

sont alors déterminés algébriquement en fonction des premiers.
D'après le théorème général, si p(:3, u) est une intégrale attachée
à la courbe (38), on a

(40

p+i

= 1 A- = 1

= G-h4^4- Al log<]>i + ...-+- Aylogd;,/,

THÉORÈME d'ABEL. 4^-7

Al, . . ., Ay, G étant des constantes et t!;, 'i/,, . . . , ^^ des fonctions
rationnelles de a^, . . . , a^^, et, par suite, des /> -f-i points don-
nés {z^, Ui)f. . .,(^^+4, Up+\)' Si l'on remarque maintenant que la

somme des valeurs d'une intégrale abélienne / ^-^ — ^ en deux

points superposés (z, u), (z. — u) est une constante, la formule
(4i) peut encore s'écrire

p-hi p

en posant Zf^== Zp^k^i^ ^^a= — ifp+k+\' C'est au fond le théorème
d'addition des intégrales abéliennes.

Si, en particulier, l'intégrale (^(^, u) est de première espèce, les
formules (4i) et (42) deviennent

^-+-1 p

(4<y ^^'{ZhUi)-}-^v{ Zp+k+\ , Up+A+i )=C,

^-^1 p

(4^y ^^^{zi, u,)=y.Hzi., u',)-^ c.

L'intégration des équations abéliennes se déduit de là bien aisé-
ment. Posons

P-» dz

de la relation (40' ^^ ^^^^

dz,

1 ^=-2 1 1 dzp+i _ dzp^2

— •■

z, dz,
(43) ^ u,.

Z-2 dz<2 ^ ^p-1-1 dZp^i Zp-^2 dZp+2

-^2p-f-l "^2/H-l

U2 Uj'^l ^^P^'i

W2P-M

zP-' dz

, , ^r' ^-^2 , , zPp^l dzp^, _ zPzi dzp^.

— ••

zVpU dz.p^x

"1

U2 Up+i Up-^l.

Uin+\

Les p équations abéliennes

(44)

"1/^^+...; -P-' dzp^,= o (/- 0,1,2,..
11. Il ... . '

•^p

-0

M,

4'28 CHAPITRE IX.

sont donc équivalentes aux p relations

W/j+2 W2/JH-1

dont on obtient l'intégrale générale en posant

ClZ p-y-i = O, • ' • 1 d^ip-\-\ ^— O5

c'est-à-dire Zp_^2= Ci, . . . , Zop+i = Cp. En résumé, pour obtenir
l'intégrale générale des équations (44)5 on détermine les coeffi-
cients a<, a2, ..., 0Lp^^ de la courbe (39), de façon que cette
courbe passe par les /> + i points (z^ , Wi), . . . , (s^+i , t^p+])', la
courbe ainsi obtenue rencontre la courbe u^=^K(z) en p autres
points dont les coordonnées sont des fonctions algébriques des
coordonnées des (p -hi) premiers points. En écrivant que ces p
nouveaux points sont fixes, on obtient/) relations, dépendant de
p constantes arbitraires, entre les p -\-i points

(Zi, Ui), . . ., (Zp-i-i, Up^l).

C'est V intégrale générale des équations abéliennes (44)-

195. Développons les calculs pour/? = 1 et/?=2. Considérons
d'abord la relation

^2= R(^)=^4_f-Ai^3+ A2^2_i_ Aa^-f- A4;

le système (44) se réduit à l'équation unique
/ ,/. X dzi dz^

qui est précisément l'équation d'Euler. Pour appliquer la méthode
générale, il faut d'abord déterminer les coefficients a et a4, de fa-
çon que la courbe auxiliaire

(47) M. = ^2 4_ az H- ai

passe par les deux points [z^, u^)^ (^2, z^2)r on trouve ainsi

(48) (x= — ^—(^1 + ^2), ai= -^-^ \-ZiZi.

Zi — Z2 Zi- — Z2

THÉORÈME d'ABEL. 4^9

La courbe (47) rencontre la courbe donnée en un troisième point
{z.3,Uz) dont l'abscisse ^3 est racine de l'équation du troisième

degré

(z^ -^ OLZ -r- oLiY- = z'* -h Xiz^ -i- Ai^^ -+- Aa^-i- A4

OU

(Al — 2a)^3_^(A2— a2— 2a,)i;2-+-(A3— 2aai)5-- Âi-al = o;

les deux autres racines sont ^, et Z2- On a entre ces racines les
relations

^i-i-^2+^3- Ai-2a '

ZiZ2-+- Zs{Zi-\- Z2) =

a'-f- 2ai — A2
Al — aa

A3— 2 gai

Al — IX

l'intégrale générale de l'équation (46) peut donc s'écrire sous l'une
des trois formes suivantes

a--i-ioii — Ao . , ^ p

7 ( -1 -T- -52 j = ^,

Al — 2 a

A3— 2aai p, , ,

Al — 2 a

af— Ai ..

= K^ZiZo,

Al — 2a

OÙ l'on suppose a et a, remplacés par leurs expressions (48). Si
la relation considérée a été mise sous la forme normale

u^^=.ii-z^^){i-k^-z^-)=k-^(^z^-'-^^'-^^,)^

il suffît de prendre A, = o, Ao = — -^^^^ Ag^o, A,= ^-Si
l'on adopte la seconde des formes précédentes pour l'intégrale gé-
nérale, il reste

ai — ZiZ2=^ C{zi-i- Z2)

ou

Zi ^^2 — -^2 ^'1 .

Ci = 5 —^ j

zi ^2

on retrouve la formule habituelle qui donne l'intégrale générale
de l'équation d'Euler.

43o CHAPITRE IX.

196. Soit, en second lieu,

pour intégrer le système abélien

/ dzi dz=> dz^

1 ^ _[- =z o,

] Ux W2 M3

zi dzx z% dz'> z^ dz^

4- -\ = o,

Ux W2 W3

déterminons les coefficients a, a^, a2 de la courbe auxiliaire

(5o) i^ = a^2_i_ a^^ _l_ 0^2,

de façon qu'elle passe par les trois points (zi , z^,), (:^o, ?^2)7 (^a? ^3)^
on trouve

^^ Ml(^2— ^3)+ ^2(^3— ^1)--^ ^^3(^1 — ^2)
(^1 — ^2) (-Si — ^3) (^2 —^3^

^1 ^2 ^3 (^2 — ^3 ) + ?^2 ^3 -^1 ( ^3 — -Si ) + ^3 -^1 ^2(^1 — ^2 ) ^

(^1— ^2) (-1— -Sa) (^2— ^3)

La courbe (5o) rencontre la courbe proposée en deux autres points
(^4, z^i), (^5, u^^ dont les abscisses sont données par l'équation du
cinquième degré

Ao23 + (Ai — a2)^i-t-(A2 — 2aai)^3 + (A3— af — •iy,^{)z''-

4- (A4— 1'Xx'm)z + A5— a| = o;

les trois autres racines sont^, , z-^^ ^3. On a donc les cinq relations

«2— Al

Zx-\- z^-\- z^-\- z,^-\- z-.

Ao '

A2 — aaai

^1^2-+- ^l-23-+-^2^3 + ('5l+^2+^3)(^4+^3)-i-'54'S5 =
^li;2'S3 + (-2l-^2+ -^I-^JS^- -^2'=^3) (-2^ -T- -^0)

+ (^i+Z2+^3)-4-5= -^ r^ -%

•51^2-23 (-54 + >S5) -h (-Si ^2 H- ^1-^3+ -^2-^3) -24-^5 =
-Si ^2 -23-34 ^5

Ao

A4 — 2aia2

Ao

a.\ — A5

THÉORÈME d'ABEL. 43i

Il suffit de remplacer dans deux de ces relations ^4 et Z5 par des
constantes arbitraires et a, a,, ao par leurs valeurs tirées des for-
mules (5i) pour avoir l'intégrale générale du système (49).

197. On peut former des systèmes d'équations différentielles,
analogues aux systèmes précédents, et dont l'intégrale générale
est algébrique, alors même que les intégrales qui y figurent ne
sont plus de première espèce. Par exemple, nous avons vu que
l'intégrale générale de l'équation différentielle

dzi dz<î

est donnée par la relation

Zi ^\\— z'I )( I— k'-zl )~ Zo v/(i — ^f )(;i — A'-^i )
Ci = ~5 _ .-,

Zi ^5

11 est clair que la vérification directe, qui est facile, s'eflectue
quelle que soit la valeur de k. Si Ton fait A* = o, on en conclut
que l'intégrale générale de l'équation

dz\ dzo

z = o

est fournie par l'équation

H^i-zl-z,^i-z\

qui peut s écrire aussi

Zi )/i—zl-\- Zi y/i— -î = G'.
On voit de même, en faisant A = i, que l'équation

1 -7- -• 1 •« 2
représente l'intégrale générale de Téquation

dz^ dz=> _

432 CHAPITRE IX.

L'application directe du théorème d'Abel aux intégrales de troi-
sième espèce conduit aisément aux mêmes résultats. Étant donnée
la relation

considérons la fonction rationnelle

^(z, u) =

qui admet trois zéros {z^^ u^), {zo, ih), (-3, u^) et trois infinis
{z\^ u\)^ {z[,^ u'^), (z.^, u'.^), et l'intégrale de troisième espèce / -—^
qui a ses deux points critiques rejetés à l'infini. La fonction
(£>{z, II) reprend la même valeur^ en ces deux points critiques;
donc, d'après la formule générale (10), on a

Laissons fixes les coefficients y, 8, et faisons varier a et [3j le
second membre de l'égalité précédente conserve une valeur con-
stante. On a donc

dzi dz2 dz^

— - -i 1 '- = o

ll\ ^2 W3

(^ij '^i)» (^2,^2)^ (^3 5 ^'3) désignant les coordonnées des trois
points d'intersection variables de la courbe donnée u-=zi —^2
avec la courbe mobile u^= !-{- a.z-^ '^z^.
L'intégrale générale de l'équation

dz^ dzi

s'obtient donc en posant ^a^const. Le calcul s'achève comme
au n« 195.

198. Le théorème d'Abel s'étend aux courbes gauches algé-

THÉORÈME D ABEL. 433

briques. Soit C une courbe plane de genre/?, représentée par
l'équation

(52) F(z,u) = o;
le point de coordonnées (X, Y, Z),

(53) X=/(z,^^), \ = o{z,u\ Z = ^{z,u\

oùf(z, u). '^(z, u), ^(5, u) sont des fonctions rationnelles, dé-
crit une courbe gauche F, qui correspond point par point à la
courbe plane G, si les fonctions/, cp, ^ n'ont pas été prises d'une
façon particulière, ce que nous supposerons; de telle sorte qu'in-
versement z et u sont des fonctions rationnelles de X, Y, Z. Toute
intégrale de la forme

(54) /

a^/X + 3f/Y-i--r/Z.

prise le long de la courbe F, où a, ^3, y sont des fonctions ration-
nelles de X, Y, Z, se change, par la substitution (53), en une

intégrale abélienne / R(^, ii)dz relative à la courbe C. D'autre

part, soit

TT/v V V P(X,Y,Z)

"^^'''^^=QIX7YX)

une fonction rationnelle, P et Q étant deux poljnomes du même
degré; si l'on y remplace X, Y, Z pary(^, u), 'f (-^, w), ^(^-j w),
il vient

n(x, Y, Z) = n,('^, «),

n,(^, u) étant une fonction rationnelle du point analytique (z, u),
dont les zéros correspondent aux points d'intersection de la courbe
gauche F avec la surface S, qui a pour équation P(X, Y, Z) = o,
et les pôles aux points d'intersection de F avec la surface S' repré-
sentée par l'équation Q(X,Y, Z) = o. On peut donc, en appli-
quant le théorème d'Abel, exprimer, au moyen de quantités algé-
briques et logarithmiques, la différence entre la somme des valeurs
de l'intégrale (54) aux points d'intersection de la courbe gauche F
et de la surface S, et la somme analogue aux points d'intersection
de F et de S'. En particulier, si l'intégrale considérée est de pre-
A. ET G. 28

434 CHAPITRE IX. — THÉORÈME d'aREL.

mière espèce, il en est de même de l'intégrale / R(5, u)dz^ el le
théorème d'Abel peut s'énoncer ainsi :

La somme des valeurs dhine intégrale de première espèce

I

adX-i-^dY-h^(dZ,'

attachée à une courbe gauche algébrique F, prises depuis une
origine fixe j usqu' aux points d^ intersection de cette courbe
avec une surface algébrique variable de degré m, reste con-
stante lorsque les coefficients du premier membre de V équation
de cette surface varient d\ine façon arbitraire.

LE PROBLÈME DE l' IN VE R S ION. 435

CHAPITRE X.

LE PROBLÈME DE L'INVERSION (i).

Hecherche des courbes dont les coordonnées sont des fonctions uniformes d'une
intégrale abélicnne attachée à cette courbe. — Les trois formes possibles de
rintégrale. — Inversion de l'intégrale de première espèce attachée à unfi courbe
du premier genre. — Généralités sur les fonctions doublement périodiques. —
Recherche des équations F(u,u') = o, qui admettent une intégrale uniforme.

— Méthode de M. Hermite. — Application aux équations binômes. — Fonctions
qui admettent un théorème d'addition algébrique. — Généralisation du problème.

— Le problème d'inversion de Jacobi. — Extension du problème de Jacobi.

199. Le problème que nous allons d'abord traiter peut se for-
muler ainsi : Etant donnée une relation algébrique irré-
ductible

(I) F(^,.0 = o,

peut-on trouver une fonction rationnelle R(-^, u) telle qu^en
posant

(2)

1 R(^, u)dz,

à une valeur de w ne corresponde qu^un point analytique

S'il en est ainsi, les coordonnées^ et w d'un point de la courbe (i)
sont des fonctions uniformes de w. D'après la façon dont ce problème
est posé, il est clair qu'on peut effectuer sur la courbe considérée

(') Auteurs à consulter: Jacobi, De functionibus duarum variabilium qua-
drupliciter periodicis, quitus theorîa transcendentiuni Abelianarum inràtilur
{Journal de Crelle, t. XV) ; — Briot et Bouquet, Recherches sur la théorie des
fonctions {Journal de l'École Polytechnique, XXXVP Cahier); Théorie des
fonctions doublement périodiques, Livre V, Chap. IV.

436 CHAPITRE X.

une transformation birationnelle quelconque. Nous pouvons donc
supposer que la surface de Riemann T, composée de m feuillets,
qui correspond à l'équation F = o, n'a aucun point de ramifica-
tion à l'infini. Cela posé, la fonction R(^, u) doit satisfaire aux
conditions suivantes :

1° Cette fonction ne peut s^ annuler pour aucun point de la
surface de Biemann à distance finie. En effet, soit d'abord
(a, h) un point non de ramification à distance finie. Si R(«, h)
était nul, on aurait, dans le domaine du point (a, ^),

R(^, t^) = A(^ — a)'^-l- B(^ — a)«+i H- . . .
et, par suite.

Par un raisonnement bien connu, on en conclut que, aune valeur
de w voisine de w(a, b), correspondent, pour z, {n + i) valeurs
voisines de a qui se permutent circulairement lorsque le point qui
figure la variable w décrit dans son plan un petit cercle autour du
point (v(a, b).

Soit, en second lieu, (a, b) un point de ramification d'ordre
r — ik distance finie. Si l'on pose ^ = a -j- r, on en déduit
uz= b -i-o(t), cp(^) désignant une fonction uniforme de t dans le
voisinage de l'origine ; le domaine du point de ramification {a, b)
correspond d'une façon univoque au domaine du point t = o sur
le plan où l'on représente la valeur de t. En substituant ces va-
leurs de z et de u dans la fonction rationnelle R{z, u), il vient

R(^, u) = ^^^•(^■^0 + Al ^ + ...),
le coefficient Aq n'étant pas nul. On a de même

w= f'n{z,u)d^= Ç tf^{k^-i-k^t-^...)rt''-^dt]

si le nombre entier k était positif, on voit, comme tout à l'heure,
que t et, par suite, z et u ne pourraient être des fonctions uniformes
de w dans le voisinage de w(a, b).

[1 en serait encore de même si le nombre entier k -h r — i était
positif. On doit donc avoir A" < i — r, c'est-à-dire que le dévelop-

LE PROBLÈME DE l' IN VERS ION. 4^7

pement de R(:?, u) doit commencer par un terme à exposant né-
gatif, la valeur absolue de cet exposant étant au moins égale à /' — i .
Par conséquent :

2° Tout point de ramification d^ ordre r — i à dislance
finie doit être un pôle de R(:^, u)^ d^ ordre r — \ au moins.

Enfin, en étudiant ce qui se passe aux points à l'infini, on
voit que :

3® Les m valeurs de z-V^{z, u) pour z infini sojit différentes
de zéro.

Si l'on pose, en effet, ^= — , il vient

w =Jr{z, u)dz =-f^ (^, ' ") 7^ *
D'après la première propriété, le produit

ne peut être nul pour ^' = o ; par conséquent -3-R(:?, ?/) ne peut
être nul pour z infini. 11 suit de là que les m développements de
la fonction rationnelle K[z, u) pour des valeurs très grandes de z

commenceront par un terme en - ou en —5 à moins de contenir

des puissances positives de z ou de commencer par un terme
constant. Mais aucun de ces développements ne peut commencer

par un terme en — ou un terme de degré supérieur. Si donc un

point à l'infini de la surface de Riemann est un zéro pour la fonc-
tion rationnelle R(i?, «), l'ordre de ce zéro est au plus égal à 2.

200. Rapprochons les propriétés qui viennent d'être démon-
trées pour la fonction R(^, u). D'après la première et la troisième,,
le nombre des zéros de K(z, u) est au plus égal à 2 m, et cette
limite n'est atteinte que si chaque point à l'infini est un zéro du
second ordre. D'après la seconde propriété, chaque point de rami-
fication d'ordre /• — i de la surface de Riemann est un pôle d'ordre
/• — I au moins de R(^, u). Dénombre des pôles est donc au moins
égal à !(/• — i), et cette limite inférieure n'est atteinte que si
chaque point de ramification d'ordre /• — i est un pôle d'ordre

438 CHAPITRE X.

/• — I et si la fonction R(c, u) n'admet pas d'autres pôles. Gomme
le nombre des zéros est égal au nombre des infinis, on a donc

(4) S(r — i)-î-o = 2m,

8 étant nul ou positif , Portons la valeur de S(/- — i) dans la rela-
tion fondamentale qui donne le genre

il reste

(6) /> = !--'

et cette équation n'admet que les deux solutions

jo = I, S = o,

p = o,

0 = 2.

Nous voyons déjà que le problème proposé n'admet une solu-
tion que si le genre de la courbe considérée est zéro ou un.

Si p = I, 0 = o, les seuls pôles de R(s, u) sont les points de
ramification de la surface et tout point de ramification d'ordre
;. __ I est un pôle d'ordre r — \. Les m points de la surface à l'infini
sont des zéros du second ordre, c'est-à-dire que, dans le domaine
de chacun de ces points, R(^, u) a un développement de la forme

R(^, u) = -,

On voit que l'intégrale f^{z, u)dzresle finie en tous les points

de T, et, comme il n'existe qu'une intégrale de première espèce
pour la courbe F = o, de genre un, cette condition détermine
complètement la fonction rationnelle R(^, u), à un facteur con-
stant près.

Prenons la seconde solution p = o, 8 — 2. On peut faire plu-
sieurs hypothèses sur les pôles et les zéros de R{z, u). On peut
supposer d'abord que le nombre des pôles est égal à S(/' — i) + 2,
chaque point à l'infini étant alors un zéro du second ordre. Cette
hypothèse se subdivise elle-même en plusieurs autres, que nous
allons énumérer :

LE PROBLÈME DE l'INVERSION. 489

i"" Chaque point de ramification d'ordre /' — i est un pôle
d'ordre r — i de R(:?, u), qui admet en outre deux pôles simples
ou un pôle double, distincts des points de ramification ;

2*^ Un des points de ramification d'ordre ;* — i est un pôle
d'ordre r deK{z, u), qui admet en outre un pôle simple, distinct
des points de ramification;

3° Deux points de ramification d'ordre /• — i et r' — i sont res-
pectivement des pôles d'ordre ;* et /' ;

4" Un point de ramification d'ordre /• — i est un pôle d'ordre
/• -h I de R(^, u).

Si le nombre des pôles est S(7' — i) -}- i, le nombre des zéros
est 2 m — I ; la fonction a un zéro simple et (m — i) zéros doubles
à l'infini. A distance finie, elle a un pôle simple distinct des points
de ramification, ou bien un point de ramification d'ordre r — i
est un pôle d'ordre /'.

Enfin, si le nombre des pôles est ]S(/- — i) = 2m — 2, la fonc-
tion a deux zéros simples et (m — 2) zéros doubles à l'infini, ou
bien m — i zéros doubles, le dernier point à l'infini de la sur-
face n'étaut alors ni un pôle ni un zéro pour R(-G, u).

Si l'on passe en revue tous les cas qui viennent d'être énu-
mérés, on reconnaît immédiatement que l'intégrale

/

R(j, u)d:

est. dans tous ces cas, soit une intégrale de seconde espèce avec
un seul pôle simple, soit une intégrale de troisième espèce.

201. Les conditions sur lesquelles nous nous sommes appuyés
pour déterminer la fonction rationnelle R(5, u) sont simplement
nécessaires. Il nous reste à examiner si ces conditions sont suffi-
santes^ en d'autres termes, si les solutions que nous venons d'ob-
tenir répondent bien à la question (').

(') C'est là un point sur lequel les raisonnements de Briot et Bouquet prêtent
à des objections. On voit bien sans difficulté que, dans le voisinage de toute va-
leur Wg de «', z et u sont des fonctions uniformes de w — (V^, mais cela ne suffit
pas pour prouver que z et u sont des fonctions qui n'admettent qu'une détermi-
nation pour chaque valeur de w. L'étude approfondie des équations linéaires du
second ordre a conduit à une conclusion tout opposée. Pour plus de détails, nous

44o CHAPITRE X.

Considérons d'abord le dernier cas, c'est-à-dire le cas d'une
courbe de genre zéro F(^, u)=: o et d'une intégrale

w = I R{z, u)dz

de troisième espèce, ou de seconde espèce avec un pôle simple.
Nous avons vu plus haut (§ i30) que z et a peuvent s'exprimer
en fonctions rationnelles d'un paramètre t

z=f{t), u = o{t)-

par ce changement de variable, une intégrale de seconde espèce
se change en une fraction simple, telle que

A

1

t — a
tandis qu'une intégrale de troisième espèce a pour expression

On vo.it que, dans le premier cas, z et u sont égales à des fonc-
tions rationnelles de pp, et, dans le second cas, à des fonctions

w

rationnelles de e^.

Soit, en second lieu, F(^,z/) = o l'équation d'une courbe de
genre i , et

' 'Ri^z, u)dz

l'intégrale de première espèce attachée à cette courbe. A une va-
leur de iv ne correspond qu'un point analytique (^,«); si, en
effet, on pouvait trouver deux points (gi, iii), (^25 1^2) tels que
l'on ait

OU, plus généralement, tels que (v(^<, Ui) et (v(52, 112) ne diffèrent

renverrons le lecteur aux Mémoires de M. Poincaré sur la théorie des fonctions
fuchsiennes, et à une Lettre de M. Fuchs à M. Borchardt, insérée dans le Bulletin
des Sciences mathématiques (t. IV, 2^ série, p. 334).

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44»

que d'une période, on pourrait former une fonction rationnelle
de ^ et de u^ admettant un seul pôle simple {z-^^u-^) et un seul
zéro simple {z^^ u^) (§ 179). Or, sur une surface de Riemann de
genre/? >> o, il ne peut exister de fonction uniforme admettant
un seul infini du premier ordre (§ 174).

En résumant tout ce qui précède, on peut donc énoncer le
théorème suivant :

Étant donnée une courbe algébrique de genre p^

(7) F(^, M) = o,

pour qu'il existe une fonction rationnelle R(:5, u) de z et de u
telle qu'en posant

f ^{z, u) dz,

(=0, «0)

les coordonnées z et u soient des fonctions uniformes de w, il
faut et il suffit que le genre soit égal à zéro ou à un. Si p = o,
il suffira de choisir R(^, u). de façon que w soit une intégrale
de troisième espèce, ou une intégrale de seconde espèce, avec un
pôle du premier ordre. Si p ^= i, on prendra pour w l'inté-
grale de première espèce attachée à la courbe.

Dans le cas d'une courbe de genre zéro, on a deux, solutions
différentes. Si l'on prend pour w une intégrale de seconde espèce,
à un point de T correspond une seule valeur de w et inversement.
La surface T correspond donc, point par point, à un plan ou à
une sphère. C'est, au fond, le mode de représentation ordinaire
des courbes unicursales. Si l'on prend pour w une intégrale de
troisième espèce, à un point de T correspondent une infinité de
valeurs de w comprises dans la formule a-}- 2/^7:/, m étant
un nombre entier. Divisons le plan des w en bandes indéfinies
de largeur 27: par des parallèles à Taxe des quantités réelles.
Lorsque la variable w parcourt une de ces bandes , le point
(5, u) passe une fois et une seule fois par tout point de la sur-
face T. Pour transformer la surface d'une de ces bandes en une
surface fermée, il suffît de réunir les deux bords opposés en appli-
quant l'un sur l'autre les deux points qui correspondent aux va-
leurs w et w -\- iT^i. On obtient ainsi une surface fermée analogue

442 CHAPITRE X.

à un cylindre de révolution indéfini ou à un fuseau très allongé ;
cette surface est bien du genre zéro, et les deux sommets du fu-
seau correspondent aux points critiques logarithmiques de l'inté-
grale de troisième espèce.

202. Soient enfin F (5, z/) = o une courbe du premier genre et (v
l'intégrale de première espèce. A un point analytique (^, u) cor-
respondent une infinité de valeurs de w comprises dans la formule
(V -f- /?zw -H m' bi' , m et m' étant deux nombres entiers et w, w' les
deux périodes distinctes, dont le rapport est toujours imaginaire,
tandis qu'à une valeur de l'intégrale w ne correspond qu'un point
analytique (^, u). Imaginons qu'on ait ramené la surface T à une
surface simplement connexe T^ au moyen de deux coupures a
et b. Nous pouvons supposer qu'on a pris pour co et (o' les périodes
qui correspondent respectivement à ces deux coupures. Lorsque
le point (^, u) décrit la surface T', le point qui figure la valeur
de w décrit dans son plan une portion finie de surface 0 et les
deux surfaces T' et Q se correspondent point par point d'une
façon univoque. Il est aisé de se rendre compte de la forme de ù.
En effet, lorsque le point [z, u) décrit le bord de la coupure a, le
point çç décrit une certaine ligne L; lorsque (5, u) décrit le bord
opposé de a, w a augmenté de w, et, par conséquent, à ce bord
correspond une ligne égale à L, qui se déduirait de L par une
translation de la quantité w. De même, aux deux bords opposés
de la coupure b correspondent deux lignes Li et L', , qui se dé-
duisent l'une de l'autre par une translation égale à co'. L'aire ù a
donc la forme d'un parallélogramme curviligne {fig. 90).

Le point (5, u) décrivant le contour total de T', le point w dé-
crit le contour ADGBA. Soit maintenant P un point à l'intérieur
de ù^ qui représente la quantité imaginaire a. Lorsque le point
(^, u) décrit la surface T', l'intégrale w passe une fois et une seule
fois par la valeur a. Il est évident d'abord, d'après ce que l'on sait
déjà, qu'elle ne peut prendre la valeur a plus d'une fois; mais
rien ne prouve jusqu'ici que w atteint bien toutes les valeurs in-
térieures à l'aire ù. Pour le démontrer, considérons l'intégrale

dw

r dw

J w —

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44^

prise le long du contour total de T', dans le sens direct; elle a
pour valeur l'accroissement de log((V^ — a) lorsque iv décrit dans
le sens direct le contour ADCBA, c'est-à-dire 27:/. D'ailleurs elle

Fig. 90.

C(<x+(jd+c»)')

(at-uj)

A (a)

est égale, d'après le théorème de Cauchy, au produit de 27:1 par

la somme des résidus de -j ■ à l'intérieur de T'. Ces résidus

az w — a

ne peuvent provenir que des pôles de -r^ ou des racines de (v — a.

Les résidus provenant des pôles de -p sont tous nuls, puisque iv

est une intégrale de première espèce, et toute racine de iv — a
donne un résidu égal à + i . La comparaison de ces deux valeurs

de l'intégrale définie / c/log((T'— a) prouve donc que l'équation

iv = y. admet une racine et une seule sur la surface T'. Le même
raisonnement prouve d'ailleurs que, si jB est une quantité imagi-
naire représentée par un point extérieur à Q, l'équation (T' = |^
n'admet aucune racine sur la surface T'.

Si l'on joint les deux bords opposés L et L', puis les deux bords
L, et Lp en réunissant les points qui correspondent à im même
point analytique (^, w), on obtient une surface fermée analogue à
un tore, qui correspond point par point, d'une façon univoque,
à la surface de Riemann T. Cette surface fermée est bien du pre-
mier genre.

Si maintenant on fait mouvoir le point analytique (z, u) d'une
façon quelconque sur la surface T, le point qui figure la valeur

444 CHAPITRE X.

de w atteindra un point quelconque du plan. Par exemple, imagi-
nons que le point (z, u) franchisse une seule fois la coupure a et
décrive ensuite de nouveau la surface T', on obtient pour w des
valeurs qui se déduisent des valeurs déjà obtenues par l'addition
de la période w. Ces valeurs de w recouvrent une aire 0| qui se
déduit de Ù par une translation égale à w ; en franchissant un
nombre quelconque de fois la coupure co dans un sens ou dans
l'autre, on obtient ainsi une suite de parallélogrammes curvi-
lignes tous égaux, deux parallélogrammes consécutifs ayant un
côté commun. On obtiendrait de même une suite de parallélo-
grammes se déduisant du premier par des translations égales à
ih w', ±20)', di 3to', . . . , si le point (^, u) franchit un nombre
quelconque de fois la coupure b. Enfin, si le point (5, u) décrit
sur la surface T un chemin quelconque, on obtient une infinité de
parallélogrammes se déduisant de Q par des translations m co -\- n co'.
Ces parallélogrammes recouvrent tout le plan, une fois et une
seule, fois. A chaque point du plan des w correspond ainsi un
point et un seul de la surface T, et à tous les points du plan des w
qui représentent les quantités imaginaires (v + m co -f- n w' cor-
respond le même point de T.

203. Les fonctions ^ et m de w sont donc des fonctions uni-
formes définies dans tout le plan de cette variable. Ces fonctions
ne présentent que des discontinuités polaires à distance finie.
Pour le démontrer, il est évidemment permis, comme on Ta fait
plus haut, de supposer que la surface de Riemann, composée de
m feuillets, n'a aucun point de ramification à l'infini. Soit

l'intégrale de première espèce; la fonction rationnelle R(^, 11)
admet m zéros du second ordre à l'infini, et tout point de ramifi-
cation d'ordre /• — i est un pôle du même ordre. Ce sont là les
seuls pôles et les seuls zéros de R(^, u) (§200). Imaginons que
la variable w^ partant de zéro, arrive à un point Wy, du plan; le
point analytique (^, iC) arrive à un certain point (a, [^) de T. Si
ce point est à distance finie, comme R(a, P) n'est pas nul, on a,

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44^

dans le domaine de ce point,

(r _ w^ = X(z — a) + B(^ — y.)--}-

et Ton en tire pour z — a un développement de la forme

^-a= __2'4-Bi((r — «^a)2-h....

D'ailleurs, u — '^ est dans le domaine de ce point une fonction
uniforme de z — a, représentée par un développement tel que

M-? = (^-a)^-[Ao-i-Ai(^-a)^...l.

En remplaçant z — y. par sa valeur, on en conclut que le point (T'^^
est un pôle ou un point ordinaire pour u.

Si le point (a, J^) est un point de ramification d'ordre r — i, on
a dans le domaine de ce point

R(-', n) = ^^7^ - ^^3 + • • • ' ^ ^ «•

On en tire, en posant ; = a + z''',

w = r f {X ^ B z' -h . . .) dz =AV:^-\- Xrz' -^ ....

Par suite, z' est régulier dans le domaine du point iv = w^; il
en est donc de même de z. Quant à u, u — îïi est une fonction uni-
forme de z' et par suite de w, ne présentant jamais qu'un nombre
fini de termes à exposants négatifs. Le point Wa est donc un pôle
ou un point ordinaire pour u. Le calcul précédent met bien en
évidence ce fait que la variable z tourne /• fois autour du point a
lorsque w décrit un petit cercle autour de tv^.

Enfin, supposons que le point analytique {z^ u) s'en aille à
l'infini, lorsque w prend la valeur finie w^. Dans le domaine d'un
point à l'infini de T, on a

446 CHAPITRE X.

et par suite, en posant z=z —,i

j n{z,u)clz = — J \,^ ^ dz'=— J (A

Bz'+ ...)dz'

ou

w — w^ = — As

2

On en conclut que le point w^ est un pôle du premier ordre
pour^. C'est un pôle ou un point ordinaire pour u^ suivant que le
point analytique est un pôle ou un point ordinaire pour u.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe algé-
brique du premier genre peuvent être représentées par des
fonctions uniformes doublement périodiques d'un paramètre,
n^ admettant que des discontinuités polaires à distance finie.
{Ce paramètre est précisément l'intégrale de première espèce
attachée à la courbe.)

204. La proposition réciproque est bien connue. Nous l'énon-
cerons ainsi : Entre deux fonctions uniformes doublement pé-
riodiques, aux mêmes périodes, n'ayant que des discontinuités
polaires, il existe une relation algébrique (qui est, en général,
du premier genre, mais qui peut être de genre zéro).

Rappelons en quelques mots la première partie de la démon-
stration ('). Soient u^ =f ((p), U2=f2{iv) deux fonctions dou-
blement périodiques aux mêmes périodes w, w'. A une valeur de
l'une d'elles, u^ par exemple, ne correspondent qu'un nombre fini
de valeurs pour w^ abstraction faite de multiples de périodes, et
par suite qu'un nombre fini de valeurs pour U2. Si l'on cherche
ensuite la nature des discontinuités de «2, considérée comme fonc-
tion de Ui, on trouve, en examinant tous les cas possibles, que les
seuls points singuliers sont des pôles ou des points critiques algé-
briques. Cet examen est analogue à ceux que nous avons déjà

(') Nous supposons connues ici les propriétés fondamentales des fonctions
doublement périodiques.

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44?

faits plusieurs fois et, pour abréger, nous ne le reproduirons pas.
On en conclut (§ 84) que w, et u-i sont liées par une relation
algébrique

(8) F(?«,,«2) = o.

La relation (8) est évidemment du genre un, si à un point ana-
lytique (w,, ^^2) ne correspond qu'un point à l'intérieur d'un pa-
rallélogramme élémentaire, car la surface de Riemann T et la sur-
face du parallélogramme ou, si Ton aime mieux, la surface fermée
obtenue en joignant les bords opposés de ce parallélogramme, se
correspondent point par point d'une façon univoque, et, par con-
séquent, sont du même genre. On peut aussi le faire voir en re-
prenant une démonstration tout à fait pareille à celle qui a été
employée pour démontrer la conservation du genre dans toute
transformation birationnelle (§ 122).

Si à un point analytique (?/(, Wo) correspondent plusieurs
points à l'intérieur d'un parallélogramme, la démonstration ne
s'applique plus. La relation (8) peut être de genre zéro ou un,
mais non de genre supérieur à un. Il suffit de faire voir que, si les
coordonnées d'un point d'une courbe F(c, il)=i Ç) sont des fonc-
tions uniformes doublement périodiques d'un paramètre, n'ayant
que des discontinuités polaires, il ne peut y avoir plus d'une inté-
grale de première espèce attachée à la courbe. Soit, en effet. U
une intégrale de première espèce attachée à la courbe considérée ;
quand on exprime z et u au moyen du paramètre (P, U devient une
fonction ^(.(v) de w qui est régulière pour toutes les valeurs
finies de cette variable {^)] il en est de même de sa dérivée 0'((v).
Or, lorsque w décrit un contour fermé, le point (^, u) décrit aussi
un contour fermé et ^{w) augmente d'une période ; <ï>'((p) est donc
une fonction uniforme de w\ lorsque (V^ augmente de co ou de co',
le point (.3, u) décrit encore un contour fermé, et $((r) aug-
menie d'une période; la dérivée ^'((v) est donc doublement pério-
dique, et, comme elle est régulière pour toute valeur finie de tr,
c'est une constante et la fonction <I>((v) se réduit, à une constante

(') Il suffit de remarquer que, si (a, |î) est un point de ramification d'ordre r
correspondant à Ja valeur w^ de w, z' = {z — o^y est régulière au point iv^.

448 CHAPITRE X.

près, à Cw. 11 suit de là qu'il ne peut exister sur la surface T deux
intégrales distinctes de première espèce.

Les fonctions doublement périodiques À, ik fournissent un
exemple bien simple de fonctions doublement périodiques liées
par une relation de genre zéro

Conformément à la démonstration précédente, à un système de
valeurs pour ces fonctions correspondent deux points à l'intérieur
d'un parallélogramme élémentaire (^).

Il est toujours aisé de choisir deux fonctions doublement pé-
riodiques Ui et Uo, aux mêmes périodes, telles qu'à un point ana-
lytique (u\, Uo) ne corresponde qu'un point à l'intérieur d'un
parallélogramme élémentaire. Il suffît, par exemple, de prendre
deux fonctions ayant un seul infini commun du premier ordre, {Vq.
La courbe F (^Ui, u^) ^= o possède alors une seule asymptote non
parallèle aux axes, et à ce point à l'infini de la courbe ne corres-
pondent que les points pPq + '" ^ + '^^'•

205. L'étude des fonctions uniformes sur une surface de Rie-
mann du premier genre revient donc à l'étude des fonctions uni-
formes doublement périodiques et inversement.

Résumons en quelques mots la correspondance qui vient d'être
établie. Soient

(9) F{z,u) = o

une relation algébrique de genre un, cj et to' les périodes de l'inté-
grale de première espèce iv. A toute valeur finie (Vq de (^ corres-
pond un seul point (a, ^) de la surface T. Si ce point (a, p) n'est
pas un point de ramification, on a, dans le domaine du point iVo,

5 — a = A((P — tVo)-h B((ï' — (Vo)2 + . . ., - A 7^ o

si le point (a, P) est à distance finie, et

- = A( (^ — (^o) -+- B((p — (^o)^ -+- • • •

(') BriiOT et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. 35i et suivantes.

I

LE PROBLÈME DE L INVERSION. 449

si ce point (a, ^) est à l'infini. Lorsque le point (a, ^) est un point
de ramification d'ordre r — i, on a

z' — A(tp — wq)-^ B(tp — w^y- -h . . ., A 7^ G,

où l'on a posé ^ = a H- d^ si le point (a, ^) est à distance finie et

^ = -r- si ce point analytique est à l'infini.

De là se déduisent quelques conséquences immédiates. Etant
donnée une fonction du point analytique (:;, w), $ (^, w), si l'on j
remplace z et u par leurs expressions au moyen du paramètre
w, ^(^, it) devient une fonction de la variable çv,^(a'). Si <^(^, ii)
est régulière au point (a, |j), ^'((p) est régulière au point (Vq ; si
(a, j^) est un zéro de <ï>(^, li)^ w^ est un zéro du même ordre de
^'((v). Lorsque (a, [3) est un pôle ou un point singulier essentiel
pour <ï>(^j iL)^ Wç^ est un pôle du même ordre ou un point singulier
essentiel pour ^'(fv). De même, un point critique logarithmique sur
la surface T se change en un point critique logarithmique sur le plan
des w. Par suite, toute fonction rationnelle de z et de u se change
en une fonction uniforme doublement périodique à discontinuités
polaires. Inversement, toutes les fonctions uniformes doublement
périodiques à discontinuités polaires sont des fonctions ration-
nelles de deux d'entre elles, convenablement choisies.

Toute intégrale abélienne I sur la surface T admet des périodes
cycliques et des périodes polaires. Lorsque le point (^, ii) décrit
un cycle, w augmente de mw + zico'; par suite l'intégrale abé-
lienne I se change en une fonction J (w) qui vérifie deux rela-
tions de la forme

J(tv -H w) = J(w) -t- K,

J(«, + a)')=J((v)-hK'.

Si l'intégrale I n'admet pas de périodes polaires, J((v) est une
fonction uniforme de w. Si I admet des points critiques logarith-
miques, il en sera de même de J(«^). Mais, dans tous les cas,
J'((v) est une fonction uniforme doublement périodique n'ayant
que des discontinuités polaires. Les intégrales abéliennes relatives
à une surface de genre un se changent donc en des intégrales de
fonctions uniformes doublement périodiques à discontinuités po-
laires. Par exemple, l'intégrale normale de seconde espèce avec
un pôle simple (a, P) se change en une fonction uniforme admet-
A. ET G. 29

450 CHAPITRE X.

tant un seul pôle simple à l'intérieur d'un parallélogramme élé-
mentaire et vérifiant les deux relations

(.10)

Z(pp + w) = Z(«^), Z(^p-h w') = Z((v)-i-G.

Ce qui précède explique l'analogie parfaite qui existe entre les
propriétés des fonctions rationnelles d'un point analytique sur
une surface de Riemann du premier genre et les propriétés des
fonctions uniformes doublement périodiques d'une variable. On a
rappelé ci-dessous les plus importantes :

Sur une surface de Riemann
du premier genre.

la- Toute fonction rationnelle du
point analytique (z, u), qui est
régulière en tout point de la sur-
face, est une constante.

lia. Il n'existe pas de fonction ra-
tionnelle R(^, u) admettant un
seul pôle du premier ordre.

III^. Le nombre des zéros d'une
fonction rationnelle R(^, u) est
égal au nombre des pôles, cha-
cun d'eux étant compté avec son
degré de multiplicité.

IVa- La somme des résidus d'une
fonction rationnelle R(^, u) sur
toute la surface est égale à zéro.

Va. La somme des valeurs de l'in-
tégrale de première espèce pour
les zéros d'une fonction rationnelle
R(^, u) ne diffère de la somme
des valeurs de la même intégrale
pour les infinis de R(^, u) que
d'une somme de multiples des
périodes.

Sur un plan indéfini.

Ib. Toute fonction uniforme dou-
blement périodique d'une variable
i^p, régulière pour toute valeur
finie de la variable, est une con-
stante.

II*. Il n'existe pas de fonction dou-
blement périodique admettant un
seul pôle simple à l'intérieur d'un
parallélogramme élémentaire.

III^. Le nombre des zéros d'une
fonction doublement périodique à
l'intérieur d'un parallélogramme
élémentaire est égal au nombre
des pôles , chacun d'eux étant
compté avec son degré de multi-
plicité.

ly b- La somme des résidus d'une
fonction doublement périodique à
l'intérieur d'un parallélogramme
élémentaire est nulle.

y b' La somme des zéros d'une fonc-
tion doublement périodique et la
somme des infinis contenus dans
un même parallélogramme élé-
mentaire ne diffèrent que par une
somme de multiples des périodes.

LE PROBLÈME D E l' IN VE R S I OX. 4^1

Les propositions mises en regard se déduisent l'une de l'autre
par la transformation que nous étudions, sauf les propositions
l\a et IVô. En effet, si un point de ramification (a, ^) d'ordre r—i
est un pôle pour ^{z, u), le résidu relatif à ce pôle est égal à
/• fois le coefficient de ^-^ dans le développement, tandis que le
coefficient de — ^- — - dans W{w) provient du terme en —

dans $(c, u). Le théorème IV^ correspond au théorème suivant :
La somme des résidus du produit ^{z, u) -^ sur toute la sur-
face T est nulle. En effet, remarquons que cette somme est égale,
au facteur 21^/ près, à l'intégrale

prise le long du contour total de ï', et cette intégrale est elle-
même égale à l'intégrale

/•

prise le long du contour d'un parallélogramme élémentaire; cette
dernière intégrale est à son tour égale au produit de irù parla
somme des résidus de ^{w) dans ce parallélogramme : ce qui
donne la proposition \S i-

Le théorème IV^ transformé donnerait celui-ci : La somme des

résidus duproduit W{w) -r- dans un parallélogramme élémen-
taire est nulle; proposition qui, au fond, ne diffère pas de la pro-
position \S hi puisque -v^ est aussi une fonction doublement pério-
dique.

Le théorème V^ est connu sous le nom de théorème de Liou-
villej on voit que c'est une simple conséquence du théorème gé-
néral d'Abel. Du reste, la démonstration peut se faire de la même
façon; si l'on considère en effet l'intégrale

/'

prise le long du contour total du parallélogramme élémentaire,

452 CHAPITRE X.

on en déduit sans peine la relation entre les zéros et les infinis
de W(w). Or, c'est précisément le procédé qui nous a servi
pour établir le théorème d'Abel dans le cas le plus général.

On pourrait de même se proposer de déduire de toutes les
propriétés que nous avons obtenues pour les fonctions ration-
nelles d'un point analytique (z, u) et leurs intégrales les proprié-
tés correspondantes des fonctions doublement périodiques et de
leurs intégrales. Mais il est à remarquer que Ton n'obtient ainsi
rien d'essentiellement nouveau, ni quant aux résultats (dont les plus
importants sont antérieurs aux recherches de Riemann), ni quant
aux méthodes de démonstration. En effet, le procédé qui nous a
servi constamment consiste à évaluer de deux façons une certaine
intégrale prise le long du contour total de T'. Si, dans le cas de
p = i, on passe de la surface de Riemann au plan des w, l'inté-
grale prise le long du contour total de T' devient une nouvelle
intégrale prise le long du contour du parallélogramme élémen-
taire. Or la considération de pareilles intégrales convenablement
choisies constitue précisément un des moyens les plus simples
d'établir les propriétés fondamentales des fonctions doublement
périodiques et de leurs intégrales.

Nous nous bornerons à ces indications, notre but n'étant pas
d'écrire un traité des fonctions doublement périodiques.

206. Dans leurs célèbres recherches sur les équations différen-
tielles, Rriot et Bouquet s'étaient posé la question suivante :

Etant donnée une équation différentielle du premier ordre

oit F est un polynôme entier en u ^t -r- ^ reconnaître si cette
équation admet une intégrale uniforme.

Ce problème n'est au fond qu'un cas particulier de celui qui

du
dz

vient d'être traité. Posons, en effet, U = -7-; la relation (it)

devient

(12) F(^.,U) = o,

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 453

et l'on a

, du

d'où

/du

Si u est une fonction uniforme de z^ il en est de même de

U = -T-5 et l'on voit que les coordonnées d'un point de la
ciz ^ ^

courbe (12) sont des fonctions uniformes de l'intégrale abé-

lienne z^ /Tf attachée à celte courbe. Inversement, si u et U

sont des fonctions uniformes de l'intégrale abélienne Zy on a

— =U, et la fonction uniforme u de z vérifie bien l'équation

proposée (i i).

Donc, pour que V équation (i i) admette une intégrale uni-
forme, le genre de la relation F(z^,U) = o doit être égal à
zéro ou à un; si le genre de cette relation est égal à zéro,

V intégrale abélienne j -p- doit être une intégrale de seconde

espèce avec un seul pôle du premier ordre, ou une intégrale
de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques ;

si le genre de la relation est égal à un, V intégrale / -rj doit
être de première espèce.

Suivant les trois cas qui peuvent se présenter, l'intégrale de
l'équation (i i) est une fonction rationnelle de^, ou une fonction
rationnelle de e^^., ou une fonction doublement périodique, n'ad-
mettant que des discontinuités polaires. On vérifiera facilement
que les conditions précédentes ne diffèrent que par la forme de
celles qui ont été obtenues par Briot et Bouquet.

207. Lorsqu'on se trouve dans l'un des cas où l'intégrale est
uniforme, on peut effectuer l'intégration au moyen d'une mé-
thode très simple, qui a été donnée par M. Hermite dans son
cours de l'Ecole Polytechnique, en i8^3. Supposons que la
courbe représentée par l'équation (12) soit du genre zéro; alors

on peut exprimer u et -r- en fonctions rationnelles d'un para-

454 CHAPITRE X.

mètre t

et l'équation proposée donne

Si l'on a pris pour t le paramètre qui correspond d'une façon
univoque aux points de la courbe (12), la nouvelle équation

dt _ (o(t)
dz-fJT)

doit admettre une intégrale uniforme, ce qui exige que l'inté-
grale \^ admette un seul pôle du premier ordre, ou deux

points critiques logarithmiques. On sera donc ramené à l'une des
équations suivantes

dt _ k dt _ k A dt _ k. dt _

dz t — a dz t — a t — h dz {t — a)^ dz '

dont l'intégration est immédiate.

De même, si la relation (12) est du premier genre, on peut ex-
primer u et -77 par des fonctions rationnelles d'un paramètre t el

ctz

de la racine carrée d'un polynôme B(^), du troisième ou du qua-
trième degré. Soient

u =^ f[t, ^K(T)i ^; = ?[^/rTô];

dz
on en déduit une nouvelle équation

dz

où P est une fonction rationnelle, qui doit admettre une intégrale
uniforme, si le paramètre t a été choisi convenablement. Ceci
exige, nous venons de le voir, que l'intégrale abélienne

/

dt

P[t,s/R{t)]

soit de première espèce, c'est-à-dire que P se réduise à Cy/R(/)

LE PROBLÈME DE l' INVERSION. 4^5

C désignanl une constante, et l'équation difFérentielle proposée
est ramenée à la forme classique

(,3) g=Gv/R(7).

Remarquons que le procédé de M. Hermile s'applique à toutes
les équations différentielles algébriques du premier ordre ne con-
tenant pas la variable indépendante, pourvu que le genre soit
zéro ou un.

208. Considérons en particulier les équations binômes

du \ '"

/du
\d^

F (li) étant une fonction rationnelle de u^ dont l'intégrale géné-
rale est uniforme. Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que la
relation U'" = F(?/) soit du genre zéro ou un. Or, nous avons
énuméré, à la page 245, toutes les équations binômes du genre zéro
ou un; il suffira donc de prendre les équations binômes de genre

zéro pour lesquelles l'intégrale / -— - = / est une intégrale

de seconde ou de troisième espèce et les équations de genre un
pour lesquelles cette intégrale est de première espèce. Cet exa-
men ne présente aucune difficulté, et il nous suffira de donner
le Tableau des équations binômes dont l'intégrale générale est
uniforme :

1° Équations dont l'intégrale est une fonction rationnelle de z :

du du , , ^ du , ^ '-^^-^ , -. , ^^^—~

du , , ^-^ du , , w— j^

2° Equations dont l'intégrale est simplement périodique :

du . . . . . du . .

-^= g{u — a){u — b), —=g{u — a),

du , ^ I i— — du r 7—

-^= g{^u — a)slKu — b)^u—c), -j_ =gsj^u — b)^u — c),

-j2 = g{u — a)^u — b.

456 CHAPITRE .X.

3° Equations dont l'intégrale générale est uniforme et double-
ment périodique :

(i4) (^y = Q[u-a){u-b){u-c){u-d),

^'^^ (^^y = G{u-a){u-b){u-c),

( i6) l^y = G( w — a)2 (m - bf {u — c)2 ,

(17)

{~y = 0(u-aY{u-br-,

f du \ ^

(18) (^^j =Ç.{u-aY{u-b)Hu-c)\

(19) (^'y = G(..-a)^(w-6)3,

(21) (^^j =C(^-a)3(^_6)H^~c)S

(22) (^gy = G(^-a)3(^-6)S

(23)

(24) {^^' = ç,^u-bY{ii-c)K

Les équations dont l'intégrale est rationnelle ou simplement
périodique s'intègrent immédiatement. Pour ramener les équa-
tions dont l'intégrale est doublement périodique à la forme cano-
nique (i4) ou (i5), il suffit d'employer la méthode de M. Hermite.
On a déjà vu (n° 133) comment on peut exprimer les coordonnées
d'un point d'une courbe de genre un, représentée par une équa-
tion binôme, par des fonctions rationnelles d'un paramètre t et
de la racine carrée d'un polynôme R(^) du troisième ou du qua-
trième degré. L'application de la méthode de M. Hermite n'offre
donc aucune difficulté. Nous indiquerons rapidement les résul-
tats.

On passe de l'équation (i6) à l'équation (17) en changeant u

en c H Si l'on pose, dans l'équation ( 1 ^), -7^ = G^^, on en tire

Ç^t-^ = {^u — a){ii — b),

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 4^7

et par suite

a-^b J / y— 77T-r-

1

la nouvelle fonction inconnue t est déterminée par l'équation

dt

(25)' 3 :=^(^a — 6;^ + 4G^3,

Les trois équations (i8), (19) et (20) forment un seul groupe,
car on passe de l'équation (18) à l'équation (19) en changeant u

en c H — j et de l'équation (20) à l'équation (19) en changeant

w en (7 H — • Il suffît donc de considérer l'équation (19) ; en
posant

il vient

_^ = G^ \/\b — a-\- Gt-)t,
et, par suite,

(26) 2 ^_ =v/^(6 — a-t-G^').

De même, les quatre équations (21), (22), (23), (24) se ramè-
nent par une substitution linéaire à l'équation (22). Si l'on pose
dans cette dernière

u = b -^ P,
il vient

du

-— = GW- sj b — a^f^,
CLz

et l'on a, pour déterminer t^ l'équation différentielle
(27 j 3^ =G^slb — a-^tK

On trouvera d'autres exemples intéressants dans la Théorie
des fonctions doublement périodiques (p. 398-4 16).

209. Voici une autre application importante des résultats ob-
tenus. Etant donnée une fonction analytique uniforme /(^) d'une
variable z, on dit que cette fonction admet un théorème d'addi-

458 CHAPITRE X.

don, s'il existe une relation algébrique entre /(^), f{t) et
J'(^z + t)^ quelles que soient les valeurs de z et de t. Soit

(28) ^m^)J{t)J{z + t)-\ = o

cette relation, § désignant un polynôme entier en /(^), /(O?
f{z-\-t). Posons, pour simplifier, uz=f(z)^ ç=f(t). w^=f(z-\-t);
en différentiant l'équation (28) par rapport à ^ et par rapport à t
successivement, il vient

f (z)- — h -r- f (z + n = o,
En éliminant f \z + t) entre ces deux relations, on trouve

(.9) 2/'(^)-|?/'w = °'

enfin, si l'on élimine f{z + t) entre les équations (28) et (29), on
obtient une nouvelle relation algébrique

(3o) *[/(^),/(^),/(0,/(0]-o.

Attribuons à t une valeur fixe quelconque f 0 ; on voit qu'il existe
une relation algébrique entre /(^) et /'(^). Donc (n« 206), les
seules fonctions uniformes qui puissent admettre un théorème
d'addition sont : i'' les fonctions rationnelles de z; 2° les
fonctions rationnelles de e«^; 3° les fonctions doublement pé-
riodiques de z, n'admettant que des discontinuités polaires à
distance finie.

Nous n'insisterons pas sur la démonstration de la proposition
réciproque, qui est bien connue.

210. Le problème résolu au début de ce Chapitre peut être
généralisé de différentes façons. Considérons encore une intégrale
abélienne

' R(^, u) dz,

attachée à une courbe algébrique du genre />,

(3i) F{z,u) = o.

LE PROBLÈME DE l' INVERSION. 459

Si Ton ne se trouve pas dans l'un des trois cas qui viennent d'être
examinés, à une valeur de l'intégrale iv correspondent plusieurs
points analvtiques (z, u) sur la surface de Riemann. Nous allons
rechercher quelle doit être la nature de l'intégrale (v pour qu'à
une valeur quelconque de cette intégrale ne correspondent qu'un
nombre Jl ni de points analytiques qui donnent la même valeur à
l'intégrale (tp; il est clair que, si l'on se donne un de ces r points
(^, w), les /• — I autres points (^, , w, ), (^o? ''2)7 • • • ? (^r-n ^'r-i )
sont déterminés par la même. Donc, toute fonction symétrique
des coordonnées de ces /• — i points est une fonction uni/orme
du point analytique (Zj u). Si l'on prend, en particulier, une
fonction rationnelle et symétrique de ces coordonnées, on voit
aisément que, considérée comme fonction de (^, «), elle ne peut
admettre que des discontinuités polaires; c'est donc une fonc-
tion rationnelle de z et de u. Cela posé, soit cp(^, a) une fonc-
tion rationnelle quelconque; la somme

^{Z, u) = cp(^, u)-i- o(Zi, Ui)+. ..-h 0(Z,.-1, Ur-i)

est encore une fonction rationnelle et il est clair, d'après la forme
du second membre, que celte fonction rationnelle reprend la
même valeur en tous les points d'un même groupe. Soit 'b{z^ u)
une autre fonction rationnelle et

W{Z, u) = '\>{Z, u)^^{Zi, Ui)-\-...-h'i>{Zr-i, Ur-l)

la fonction correspondante. Si l'on pose

Z = *(^, w), U = '¥{z,u),

le point de coordonnées (Z, U ) décrit une courbe auxiliaire C|,
qui est une transformée simplement rationnelle de C. Si à un
point (Z, U) correspond un point (z^u)^ il est clair qu'au même
point (Z, U) correspondent tous les points de G qui appartiennent
au même groupe que (z, u). Je dis qu'on peut choisir les fonc-
tions cp et ^ de telle façon qu'à un point (Z,U) ne correspondent
que les points d'un même groupe sur G. En effet, prenons pour
(s{z^u) une fonction rationnelle admettant v pôles simples
(a,, 3,), ..., (av, pv) appartenant à des groupes différents ^,,
g2, . . . , ^v et pour à{z, u) une fonction admettante pôles simples

46o CHAPITRE X.

(a<, j3<), (a^, jB'^), . . . , (a'p, ^p) appartenant à des groupes diffé-
rents .^^, ^;, ..., g'^^ les groupes g., . . . , ^v, g'.,, ••-,/? étant
tous différents. Les fonctions ^{z^ u) et ^(^, m) deviendront si-
multanément infinies pour les points du groupe ^i et pour ceux-là
seulement. La courbe auxiliaire G< a donc un point à l'infini
auquel ne correspondent, sur la courbe G, que les points du
groupe g^. A un point de Ci voisin de ce point à l'infini ne peut
correspondre qu'un groupe de points sur G, voisin de g^. S'il en
était autrement, à une valeur très grande de Z devraient corres-
pondre plusieurs points voisins de (ai, p< ), ce qui n'a pas lieu
puisque ce point est un pôle simple de ^(s, u).
Soit

(32) #(Z,U)=:0

l'équation de la courbe auxiliaire G,. A. un point (Z, U) de cette
courbe correspondent r points de la première courbe, en chacun
desquels l'intégrale w reprend la même valeur, à des multiples

près des périodes; donc -^^ est une fonction uniforme du point

analytique (Z, U). D'ailleurs, il est clair que cette dérivée est une
fonction algébrique de Z; par conséquent, w est égale à une inté-
grale abélienne attachée à la courbe auxiliaire (Sa). A une valeur
de cette intégrale w correspondent r points de la courbe primitive
(3i) et un seul point de la courbe auxiliaire Gi ; nous sommes
donc ramenés au problème primitif. A chaque solution de ce pre-
mier problème correspond une solution du problème généralisé.

Si la courbe (32) est du genre zéro, l'intégrale w peut être de
seconde ou de troisième espèce; dans le premier cas, w est une
fonction rationnelle de (Z, U) et, dans le second cas, w est égale
au produit d'une constante par le logarithme d'une fonction ra-
tionnelle de (Z, U). Si l'on revient à la courbe primitive, on voit
que w est égale à une fonction rationnelle de z et de u^ ou au
logarithme d'une pareille fonction, multiplié par une constante.

Lorsque la courbe auxiliaire Gi est du genre un, l'intégrale w
est de première espèce et a deux périodes, nécessairement dis-
tinctes (n^ 70). Après la transformation rationnelle qui conduit
de la courbe Gi à la courbe donnée (3i), w se change en une inté-
grale de première espèce relative à cette courbe, dont toutes les

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 46i

périodes se réduisent à deux. En résumé, si à une valeur de
V intégrale ahélienne w ne correspondent qu'uîi nombre fini
de points de la courbe F(^, «) = o, il peut se présenter trois
cas : 1° w est une fonction rationnelle de z et de w^ 2° w est
égale au produit d'une constante par le logarithme dune
fonction rationnelle de z et de u; 3^ w est une intégrale de
première espèce, dont toutes les périodes se réduisent à deux
périodes distinctes.

On a vu plus haut (n° 158) les conditions nécessaires et suffi-
santes pour qu'une intégrale abélienne tvse réduise à une fonction
rationnelle. Il est plus difficile d'obtenir des conditions suffisantes
pour que l'intégrale appartienne à une des deux autres catégo-
ries (n"^ 161-166). Remarquons que chacune de ces trois espèces
d'intégrales fournit bien une solution du problème proposé. Ainsi,
dans les deux premiers cas, on a

w = 'f{z, u)

ou

'^(^, u) étant une fonction rationnelle de z et de u; les points ana-
lytiques (zj u) qui correspondent à une valeur de w sont fournis
par la résolution des deux équations

F(z, u) = o, o{z, u) = w
OU

w

F{z, u) = o, o{z, u) = e^ .

Lorsque w est une intégrale de première espèce n'admettant
que deux périodes w, w', le rapport — est nécessairement imagi-
naire (n° 166). Soit )v((v) une fonction uniforme doublement pé-
riodique, aux périodes co, co', n'ayant que des discontinuités po-
laires à distance finie ; si l'on remplace w par l'intégrale précédente,
'k(w) devient une fonction rationnelle cp(^, u) de z et de u. Les
coordonnées des points (z^ u) qui correspondent à une valeur de iv
s'obtiennent par la résolution des équations simultanées

F(j, a) = o, o{z,u)=l(w).

462 CHAPITRE X.

211. Etant donnée une équation différentielle algébrique du
premier ordre

, du

pour que cette équation admette une intégrale qui ne prenne
qu'un nombre yZ/ii de valeurs pour chaque valeur de z, il faut et
il suffît, d'après cela, que l'intégrale abélienne

^=f^^ où F(w,U)

appartienne à une des trois catégories précédentes; nous n'avons
qu'à répéter le raisonnement du n° 206.

Par conséquent, si Vintégj^ale d^une équation de la forme

F( î/, -p ) = o, oii F est un polynôme entier en u et -j^^ n^ ad-
met qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z^
cette intégrale est racine dune équation algébrique entière
en u^ dont les coefficients sont, soit des fonctions rationnelles
de z, soit des fonctions rationnelles de e"^, soit des fonctions
uniformes doublement périodiques, aux mêmes périodes,
n'ayant que des discontinuités polaires à distance finie (').

212. Quand on ne se trouve pas dans l'un des cas qui viennent
d'être examinés, l'inversion d'une intégrale abélienne conduit à
des fonctions qui admettent une infinité de valeurs pour chaque
valeur de la variable. Par exemple, la fonction inverse de l'inté-
grale elliptique de seconde espèce ou, ce qui revient au même,
une intégrale de l'équation différentielle

dz ) ~ u'*

admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de z {^). Dans
son célèbre Mémoire sur les fonctions quadruplement périodiques
de deux variables (Journal de C relie, t. J3), Jacobi a posé

(') Briot et Bouquet, Journal de l'École Polytechnique, 36® Cahier.
(^) On pourra consulter sur ce sujet deux Mémoires de M. Casorati {Acta ma-
thematîca, t. VIII, p. 345-38G).

LE PROBLÈME DE l'iNYERSION. 463

d'une autre façon le problème de l'inversion pour les intégrales
hyperellipliques de genre 2. L'énoncé a été ensuite étendu aux
intégrales abéliennes relatives à une courbe quelconque de genre
/?•, le problème ainsi généralisé est appelé le problème de Vin-
version de Jacobi. On peut le formuler de la manière suivante :
Soient (V,, w.2, • . ., ^Vp les p intégrales distinctes de première
espèce attachées à une courbe de genre/?; nous supposerons qu'on
a pris une même limite inférieure (^05 ''0) pour toutes ces inté-
grales. Les/? équations

( -0, "0 ) •- ( -0, "0 )

(33) \

I «?«'.2+ / dw2-\-...-{- j dWi = Vo,

(Zo.//oi dizn.iia^ d(z„,Un)

.(=i,"i)

f dwp-{- j dwp-^. . .-^ j

(Zo,Uo) ^(-0>"o) d{Zo,Uo)

dwp= Vjj,

où les intégrales qui ont même limite supérieure sont supposées
prises suivant le même chemin, déterminent les p points analy-
tiques (^,, w,), {zo, 11-2), •••) i^'p, Up) en fonction des/? variables
t'o ^'2? •••) ^>- C'est la détermination effective de ces p limites
supérieures au moyen de r,, Co, .. ., Vp qui constitue le problème
de Jacobi. La solution a d'abord été obtenue pour les intégrales
ultra-elliptiques de genre 2 par Gopel ('), et par Rosenhain dans
son Mémoire couronné (-). M. Weierstrass (^) a ensuite étendu
la solution aux intégrales hyperellipliques de genre quelconque.
Enfin Riemann et M. Weierstrass ont obtenu simultanément la
solution du problème dans toute sa généralité au moyen des fonc-
tions 0 de /? variables. L'étendue de cet Ouvrage ne nous permet
pas de l'exposer ici; nous nous bornerons à montrer comment, à
un système de valeurs de v^^ t^o, ..., Vp, il ne correspond, en

(•) Gopel, Theoriœ transcendentium Abelianarum primi ordinis adiim-
bratio levis {Journal de Ci'elle, t. 35, 1847).

(^) Rosenhain, Mémoire sur les fonctions de deux variables et à quatre pé-
riodes qui sont les inverses des intégrales ultra-elliptiques de la première
classe {Mémoires des savants étrangers, t. XI, p. 36i-46S).

(^) Weierstrass^ Zur théorie der Abel'schen Functionen {Journal de Crelle,
t. 47, p. 289-806; t. 52, p. 285-38o).

464 CHAPITRE X.

général, qu'un seul système de points analytiques (^,, î/,), ...,

(-/>, Up)'

Remarquons que les équations (33) peuvent être remplacées
par un système d'équations aux différentielles totales du premier
ordre :

icpi (^1, Ui)dz^-^. . .+ cpi {zp, Up)dzp= dvi,
cp2(si, ?<i)<isi-f-...+ cp2(^p, Up)dzp= dv^,
<P/,(2i, Ui)dz^-\-...^(!^p{zp, Up)dzp^ dvp,
OÙ l'on a posé

-X

<:^i{z,u)dz, i=i,i,

(-o."o)

Si l'on applique à ce système d'équations différentielles les
théorèmes généraux, on reconnaît qu'à l'exception de certains
systèmes de valeurs de Pi, ^2? • • •> ^p-, pour lesquels il y a indéter-
mination, à des valeurs de Pi, ^2? •••) ^p ne correspond qu'un
seul système de points analytiques (^). Ce résultat peut aussi se
déduire du théorème d'Abel.

Supposons, en effet, qu'à un système de valeurs pour t'< , (^05 •••,
Vp^ il corresponde deux systèmes de points analytiques (^i, u^)^
. . .j (zp^ Up) el {z\, u\) , .. ., (z'^^ w^). Les équations (33) nous
donnent

p p

2 ^^(^à, Uh) = ^ «^i(4, u',,), i= I, 2,

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe
une fonction rationnelle (p (^, u) admettant pour pôles du premier
ordre les/? points (^,, ?/<), . . ., (^^, Up) et pour zéros les/? points
{z\y u\), . . ., (^^, u'p) (n° 179). Cette fonction, ne devenant infinie
du premier ordre qu'en p points seulement, est une fonction spé-
ciale, et l'on peut faire passer par ces p pôles une courbe adjointe
d'ordre m — 3 (n° 170). Cette courbe adjointe rencontre en
outre la courbe proposée en p — 2 points simples (a,, j3i), . . .,

(*) Foi> Briot, Théorie des fonctions abéliennes (Chap. IX). Le raisonnement
est soumis aux mêmes objections que pour /> = i.

LE PROBLÈME DE l'iNVERSFON. 4^5

(a^_2, (3^-2) et l'on voit que (^,, r^. •.., t> doivent être de la forme

(35) Pi=^ 2K1— V tvi(ay,, P/0, ..., Vp= iKp— 2^ ii'pjvi, ^h),

2K/ désignant la somme constante des valeurs de l'intégrale w^
aux 2p — 2 points d'intersection variables de la courbe pro-
posée avec une courbe adjointe de degré 77i — 3. Par consé-
quent, si les valeurs de r,, To, . . . , (-'^ ne sont pas de la forme
(35), il ne peut j avoir plus d'un système de points analytiques
vérifiant les équations (33). Mais si ('<, ç^y • - • ■, ^p sont de la
forme (35), il j a une infinité de systèmes de p points analyti-
ques répondant à la question. En effet, si l'on fait passer par les
p — 2 points (y./i, ^/i) une courbe adjointe d'ordre m — 3, elle
rencontre la courbe proposée en p autres points distincts des
points multiples qui, d'après le théorème d'Abel, satisfont bien
aux équations (33). En résumé, lorsqu'on fait décrire aux va-
riables indépendantes ç'i, (^2? •••) ^p des contours fermés dans
leurs plans respectifs, les p points analytiques (^, , u^), . . . , (Zp, Up)
ne peuvent que s'échanger entre eux, sauf pour des systèmes de
la forme (35) où il y a indétermination. Toute fonction ration-
nelle et symétrique des coordonnées de ces p points est une fonc-
lion uniforme des p variables indépendantes v^^ i^o, ..., Vp^
devenant indéterminée pour les valeurs de la forme (35). C'est
une fonction abélienne ; elle s'exprime au moyen des fonctions 0
àe p variables, où les arguments sont précisément (-'4, v^i • • • , ^p-
Si l'on fait décrire à un des points (^/, ut) un cycle sur la surface
de Riemann, ^j, t^o? • - -i ^p augmentent d'une période; on voit
donc que les fonctions abéliennes sont des fonctions de p
variables, admettant ip systèmes de périodes simultanées.

213. Le problème d'inversion de Jacobi a été étendu par diffé-
rents géomètres au cas où l'on ajoute, aux p intégrales de pre-
mière espèce, un certain nombre d'intégrales abéliennes pré
sentant des points de discontinuité sur la surface de Riemann (* ).

(•) On trouve déjà des exemples dans le Mémoire de Rosenhain (Savants
étrangers, t. XI). Voir aussi Clebsch {Journal de Crelle, t. 64); Clebsch et
A. ET G. 3o

^66 CHAPITRE X.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on prenne, avec [es p inté-
grales de première espèce (v, , w., . . . , Wp^ q intégrales de seconde
espèce avec un seul pôle du premier ordre, Ç(^, i^^ a,, p<),. . .,
Ç(s, w; a^, !^^), et r intégrales de troisième espèce m^i'.%...,
TîîT^'^'°'', quelques-uns des points (a/i, ^a) pouvant aussi être des
points critiques pour quelques-unes des intégrales de troisième
espèce. La méthode que nous allons suivre s'applique d'ailleurs au
cas général. Considérons les n ^= p -\- q -\- r équations

(36) Wi{ZuUx)^Wi{z^^,m})^...^Wi{Zn,Un) = Vi, {1 = 1, '1. ...,/?).

(37) J;(-Si, Mi;a/i, P/0+..-+ Ki^n, Un] '^/n i^/j ^ ^h, {h=i,2....,q).,

(38) r^X^z,,u,)+...-^r^^fi{zn,u^.) = ^l. {k = i, 9^. . . . , r),

OÙ l'on suppose que l'on prend la même limite inférieure (^o, lio)
pour toutes les intégrales, et où les intégrales qui ont la même
limite supérieure sont prises suivant le même chemin. Si l'on re-
garde dans ces équations ^i, th, txa comme des variables indépen-
dantes, elles définissent, en fonction de ces n variables, les //
points analytiques (5^, u^), ..., (^,., Un)- Nous allons montrer
qu'à un système de valeurs arbitrairement choisi pour les va-
riables Vi^ th, '^k, il ne correspond en général qu'un seul
système de points analytiques (s,, u^), . . ., {zn, Un).

Prenons sur la surface de Riemann n + p points (^,, r,,), . . . ,
{\n+pi fin+p)^ absolument quelconques. La fonction rationnelle la
plus générale du point analytique {z, u), qui devient infinie du
premier ordre en ces n -{-p points seulement, dépend de /? -h i
constantes arbitraires, si ces points n'ont pas été choisis d'une
façon particulière, comme nous le supposons (n° 169). Soit

*(^, u)

F{z,u)

*i(2, w)

l'expression générale de cette fonction^ ^i{z,u) est un poly-
nôme parfaitement déterminé, tandis que <I>(^, u) est une fonc-
tion linéaire et homogène de /i + i coefficients arbitraires Ao,

GouDAN {Abelschen Fitnctionen) ; Elliot {Annales de l'École Normale, 2" série,
t. XI); Appell {Journal de Mathématiques, ^ série, t. I); Goursat {Comptes
rendus, t. XV, p. 787-790; 1892).

LE PROBLEME DE L INVERSION. 467

A,, . . ., A,;. Cette fonction F(::, u) admet n -\~ p zéros variables
avec Ao, A, , . . . , A„; nous allons chercher à déterminer les coef-
ficients ki en fonction des quantités r/, th^ ~a, de façon que n de
ces zéros soient précisément les n points analytiques (^zi^ ui) dé-
finis par les équations (36), (37) et (38). Le problème étant sup-
posé résolu, désignons par {z\^ u\), . . . , {z^^ u^) les p zéros res-
tants de F (5, u). D'après le théorème d'Abel, on a

Wi{Zi, Ml) -i-. ..— Wi{Zn,Un) -^ Wi{z\,ll\)—. . .~Wi(Zp,u]j)
n-hp

les équations (36) peuvent donc être remplacées par les suivantes

(39) ^'^i{^'i,ih)—'--—iVi(^'p,ii'p) = Mi—Vi (f = i, 2, . .../?).

et nous venons de voir qu'à un système de valeurs de ç^, (^o, ....
i>p il ne correspond, en général, qu'un seul système de points
analytiques {z\^ u\ ), . . . , (^^, 11^). Les p équations

^{z\,u\)-^o. .... *(4,«p) = o

sont aussi équivalentes aux p équations

<4o) (-'iy*(-',,w'i)H-...— (4)'*(4.w;,) r^ G (i = o, 1,2, ...,^— I).

qui sont encore linéaires par rapport aux coefficients A^, A, , . . . ,
A„, mais qui, de plus, sont des fonctions symétriques des/? points
{z\, u^), . . ., [z'p^ ii'p). On a donc ainsi p équations linéaires et
homogènes en Aq, A,, ..., A,,, dont les coefficients sont des
fonctions abéliennes de ^1, Co? • • •? ^>-

Appliquons maintenant le théorème d'xVbel aux intégrales 'C
et TH. On a (n° 183, I80)

= 2 ^^'^■' "'^5 ^'- P^*^- d~z ^«S^^^^^- ?'^)'

7 = 1

,^;5;, .„«,)-.. . + <-:(-.«») -<V::(V„«'.)+--.-<2:(.„«;,)

1=1

468 CHAPITRE X.

Les équations (87) et (38) sont donc équivalentes aux équa-
tions

(40 1 "^'

n-+-p

h^i,2, . . .,q, k = 1,1, . ..,r.

Les q -i- r équations (4i) et (42) sont encore linéaires et ho-
mogènes par rapport aux coefficients inconnus Aq, A,, . . ., A„.
Les seules quantités qui figurent dans ces équations et qui ne
soient pas connues directement sont les suivantes

QT:y(z\,u\)-i-...-hzy(z'p,ii'p-

ces quantités sont des fonctions uniformes de t^i, (^27 • • • , ^p- En
effet, les/» points {z\, u\), . . . , {z^, u'p) sont définis, en fonction
de ç'i, ^^27 • • • ? <^>, parles équations (Sg), et nous savons déjà qu'à
un système de valeurs de t^i , (^o, • • • , ^/> ne correspond qu'un seul
système de points analytiques {z\, u\), . . ., {z'^, u'p). Par consé-
quent, lorsque les variables indépendantes <^\^ ç^^ • • • , ^/7 décri-
vent, dans leurs plans respectifs, des chemins fermés quelconques,
les p points {z' ^ u') décrivent des chemins fermés ou se permutent
entre eux. On peut évidemment supposer que chacun de ces points
décrit un chemin fermé, puis que quelques-uns d'entre eux se
permutent, sans que les nouveaux chemins décrits franchissent
aucune des coupures a, 6, c. Or, après que ces p points auront
décrit de pareils chemins, la somme (^^ aura diminué de la quantité

m< , . . . , m^p étant des nombres entiers, et w^^, , . . . , to^^sp les 2/>
périodes de l'intégrale wi] la somme

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 4^9

aura augmenté de la période

A'i, .... A-o^ étant les 2/? périodes correspondantes de Ç( s, w;aA, ^a),
et la somme

aura augmenté de même de

mi Hi -^ . . . -h m.2/j Ho/j -^ 'i m'rJ,

Hi, .... Ho;, étant les ip périodes cycliques de t^Îz^u) et m'
étant un autre nombre entier. Pour que p,, .... Vp reviennent à
leurs valeurs initiales, il faut que tous les nombres entiers 7?i,, ...,
in.^p soient nuls, car on ne peut avoir les/? relations

nii co/4 -T- . . . -f- m^p oii^op = o, ( f = I ,...,/? ),

pour des valeurs entières des coefficients m, sauf pour
mi = . . .=^ m.2p = o {n° 74). Par conséquent, lorsque les va-
riables Vi, . . . ^ Çp reviennent à leurs valeurs initiales, il en est de
même de la somme

et de

En résumé, les n -h i inconnues Aq, A,, . . . , A„ sont déter-
minées par n équations linéaires et homogènes dont tous les
coefficients sont des fonctions uniformes de (-'< , . . . , Çp^ ^, , . . . , ^^,
7:4, .... -,.. Les équations (36), (3-) et (38) définissent donc un
seul système de points analytiques, sauf les cas d'indétermina-
tion qui peuvent se présenter.

4/0 CHAPITRE XI.

CHAPITRE XI.

COURBES NORMALES. MODULES (i).

Théorème de M. Schwarz. — Transformations birationnelles d'une courbe de
genre un en elle-même. — Courbe normale de Clebsch. — Courbe normale de
Nôther. — Modules d'une classe de courbes algébriques. — Généralités sur les
transformations simplement rationnelles.

214. Nous allons d'abord compléter, sur un point essentiel, la
théorie des transformations birationnelles des courbes algébriques.
On a déjà remarqué (n°' 131, 134) que les courbes de genre zéro et
Uîi se changent en elles-mêmes par une infinité de transformations
birationnelles; ce sont les seules courbes qui jouissent de cette
propriété. Nous commencerons par démontrer le théorème sui-
vant, dû à M. Schwarz : // ne peut exister de transformation
birationnelle, renfermant un paramètre arbitraire, qui change
en elle-même une courbe de genre supérieur à un (-).

Soient, en effet,

(I) f{z,u) = o

l'équation d'une courbe algébrique C de genre/? >> i , et

^' = R (^z, u. t),

(2)

u' =^ R'(^, u, t)

des formules définissant une transformation birationnelle dépen-
dant d'un paramètre arbitraire t. Admettons, pour un moment.

(^) Auteurs à consulter : Riemann, Abel'schen Functionen; Brill et Nother,
Mathematische Amialeii, t. VII; — Clebsch et Gordan, Théorie de?^ Abel'schen
Functionen j — Klein, Théorie der elliptischen Modul functionen, t. I; —
E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. 436-458.

(') Schwarz, Journal de Crelle, t. LXXXVII. La démonstration que nous don-
nons ici est due à M. Picard.

COURBES NORMALES. MODULES. 4/1

que le point [z', u') décrit la courbe C, lorsque le point (^, u) dé-
crit la même courbe, quelle que soit la valeur attribuée au para-
mètre t. Considérons p intégrales distinctes de première espèce
attachées à la courbe G

/Q,(z, M)â?s rQ2(z,u)dz rQp(z, u)dz

J u *J J u J J u

puisque, par une transformation birationnelle, toute intégrale de
première espèce se change en une nouvelle intégrale de première

espèce, l'intégrale / ^' " — ^- doit en particulier se changer en

»/ J u'

une nouvelle intégrale de la forme

^ .^^ rq,(z',u')dz' ^ rx,Q,(z,u)-^...^\„Qp{z,u) ^^^

J J ui J J it

A<, . . ., A^ étant des constantes indépendantes de (;, u). Nous
allons montrer que ces coefficients ne dépendent pas non plus du
paramètre t. En effet, donnons à ce paramètre une valeur fixe ^o>
d'ailleurs arbitraire, et faisons décrire au point (^, u) un cycle
sur la surface de Riemann ; le point (y, ii!) décrira aussi un cycle.
Lorsque le paramètre t prend ensuite une valeur voisine ^o -1- h^
le cycle décrit par (^', ?^') ne diffère qu'infiniment peu du premier
et la période reste la même. Soient co,, W2, . . . , to^ les périodes
des p intégrales de première espèce correspondant au cycle décrit
par le point (^, ii) et co' la période de l'intégrale

/

Q,(c\ u)dz
f'w

correspondant au cycle décrit par le point (5', u') ; on a entre les
coefficients A, , Ao, . . . , A^r, la relation

CO, = Aj Wj — A2 'Oo-r- . . . ~ A-pOJp.

Faisons maintenant décrire au point (z, u) les p cycles dont
chacun franchit une seule coupure a./, on établit ainsi, entre les
coefficients A,,A2. . . . , A^, p relations linéaires, dont le déter-
minant n'est pas nul, où ne figure pas le paramètre /. Ces coeffi-
cients sont donc des constantes indépendantes de t. En prenant

472 CHAPITRE XI.

une nouvelle intégrale de première espèce, on aura de même

(4)

rQ.Xz', u)dz' _^ rniQiiz. u)^...^Bf,Q,,(z, u) ^^^

U J u< J J u

les coefficients B,, . . . , B^ ne dépendant pas de t. Des équations
(3) et (4) on tire

- Qi(^\ u') _ A^giiz, u) ^ . . . ^ XpQ,,{z, u)

^ ^ q^iz'^u') ^'' Biqi{z,u) -}-...-+- Bj,qp{z,uy

relation entre les coordonnées des deux points (^, u) et (^z' , u') qui
ne dépend pas de t. Or, une telle relation est impossible ; car, à
un point (^, w), l'équation (5), jointe à l'équation /(^', u') = o
de la courbe donnée, ne fait correspondre qu'un nombre y?Aii de
points (z', u'). Le point (^', u') défini par les formules (2) ne va-
rierait donc pas d'une manière continue avec le paramètre ^, con-
trairement à riijpothèse.

215. Le même raisonnement permet de démontrer qu'une
courbe de genre supérieur à l'unité ne peut se reproduire par une
infinité discontinue de transformations birationnelles, c'est-à-dire
ne dépendant pas de paramètres arbitraires. En effet, il résulte du
paragraphe précédent que toutes les transformations birationnelles
qui reproduisent la courbe G, de genre supérieur à un, sont don-
nées par une relation de la forme (5), où l'on attribue aux con-
stantes A et B des valeurs convenables. Or, si l'on part d'une rela-
tion de cette forme donnée a priori et si l'on cherche les conditions
pour qu'elle définisse une transformation birationnelle de la courbe
en elle-même, on établit évidemment un certain nombre de reldi-
lious algébriques entre les constantes A et B. Ces relations peuvent
être incompatibles ou admettre un nomhTe fini de solutions, mais
il ne peut pas arriver que quelques-unes de ces constantes restent
arbitraires, car la courbe donnée admettrait des transformations
birationnelles dépendant d'un paramètre arbitraire, contrairement
à ce qui vient d'être démontré. En résumé, une courbe de genre
supérieur à un ne peut se changer en elle-même que par un
nombre fini de transformations birationnelles.

216. Il est aisé de former l'équation de courbes algébriques qui
admettent un nombre fini^ mais aussi grand qu'on le veut, de

COURBES NORMALES. MODULES. ^jS

transformations biralionnelles en elles-mêmes. Supposons que la
courbe G, représentée par l'équation (i), se reproduise par la
transformation birationnelle

(6) j^, = P(=,«).

f Ui= R(z, u),

si l'on applique deux fois de suite cette transformation, on obtient
une nouvelle transformation qui reproduit aussi Ja courbe C,

, . I --2 - P[P(^, U), n{z, II)] = P.(^, U),

^ I u,^-R[P{z,u),R{z,u)] = V{i{z,u);

d'une manière générale, si l'on pose

Zi = P(^/_i, «/_i) = P/_i(^, u),

Ui= R(^/_i, iii-i) = R/_i(z, u),

on a une suite de transformations birationnelles

(8) {^-/=P/-i(^,"),

I Ui= R/-i(^, u),

qui reproduisent toutes la courbe C. Si la courbe proposée est de
genre supérieur à w/?, on ne peut obtenir ainsi qu'un nombre fini
de transformations distinctes et, par conséquent, au bout d'un
nombre fini d'opérations, on doit retrouver la substitution iden-
tique z'=z, u'=u. Supposons que cela arrive après q opéra-
tions, de telle sorte que l'on ait identiquement

Fg-i{z,u)^- z, Rç^i(z,u) = u;

la transformation considérée est dite d'ordre q. On a

P^(^, w) == P(5, U). K^i z, u) = R(^, m),

et, d'une manière générale,

Vq^i{z, u) = Vi{z, u), Rq+i{z, u) = R(z, u).

Soient cp(^, «), <l[z^ u) deux fonctions rationnelles de z et de u.
Posons

(9)

i z r-, cp(5, w)-^?(-i,Wi)-i-...-f-cp(;;^_i,ï^^_i),

( u -=-^{z,u)-^CL'^{Zy, Mi)-^...-:-a'7-16(^y__,, My._i),

a désignant une racine primitive de Féquation a9= i.

474 CHAPITRE XI.

Lorsque le point (^, u) décrit la courbe C, le point (Z, U) dé-
crit une autre courbe Ci qui correspond point par point à la pre-
mière, si les fonctions cp(^, u) et J;(^, u) ont été prises convena-
blement. Prenons, par exemple, pour cp et <} deux fonctions
rationnelles ayant un seul pôle commun du premier ordre (a, 6),
et telles que tous les aulres pôles, ainsi que les points qu'on en
déduit par l'application répétée de la transformation (6), soient
distincts. Alors la courbe C< a un point à l'infini, avec une direc-
tion asymptotique non parallèle aux axes, auquel ne correspond
qu'un seul point de la courbe C, le point (a, b). Remarquons
maintenant que, lorsqu'on change ^ et w en V{zj u) et R(^, u)

respectivement, Z ne change pas, tandis que U se change en — ;

la nouvelle courbe Ci admet donc la transformation birationnelle
7J r= Z, aU^ = U, et, par suite, elle est représentée par une équa-
tion de la forme F(Z, U^) = o, entière par rapport à Z et à
Uï(').

217. Proposons-nous, pour finir ce sujet, de déterminer
toutes les transformations birationnelles qui font revenir sur elle-
même une courbe du premier genre. Soit w{z^ u) l'intégrale de
première espèce attachée à cette courbe. Entre les coordonnées
(^, u) et {z\ u') de deux points correspondants, on doit avoir une
relation de la forme (n° 214)

(lo) w{z' , u') — kw{z, u) -^'Q,

A et B étant des constantes indépendantes de [z^ u). Récipro-
quement, pour qu'une relation de la forme (lo) définisse une cor-
respondance birationnelle entre les coordonnées (^, u) et (^', u'\
des deux points, il faut et il suffît, d'après les explications du
n^ 203, que w [z' , u') augmente d'une période lorsque w{z^ u)
augmente d'une période, et inversement. Soient (o et to' les deux
périodes distinctes de l'intégrale; on doit avoir

( Aw — /7l 0) -r- /2 CO ,

(*) Pour plus de détails sur ces courbes, nous renverrons à un Mémoire de
M. Hurwitz {Gottinger Nachrichten, 1887; Mathematische Annalen, t. 32).

COURBES NORMALES. MODULES. 47 >

m, m', n^ n' étant des nombres entiers; de plus les deux périodes
Ato, Aco' doivent former un parallélogramme équivalent au paral-
lélogramme élémentaire (to, to'), ce qui exige que l'on ait

(i'2) mn'—m'n— — \.

Des équations (i i) on tire

(i3) m'co--T-(n' — m)cow' — nto'-—o,

équation qui se réduit à une identité si Ton a

m = /i = o, m ^^ n'

et, en tenant compte de la relation (12, m = /i' = iî= i . On a
donc toujours deux séries de transformations, définies par les
formules

w{^z\ u') r^4- w{z, U) -ht,

(i4)

( iv(z\u')= — w{z, u) -h t,

t désignant un paramètre arbitraire.

Si Téquation (i3) ne se réduit pas à une identité, on en lire

co m — n zh \/| ni — li f h- 4 fn n
w' -ini

ou, en tenant compte de la relation (12),

10 _ ni — n' ± \^' (^ m -+- n' )- ip 4
eu' A ni

Gomme le rapport — doit être imaginaire, on doit prendre le

signe 4- dans la formule (12) et, en outre, le nombre entier m — n'
doit être égal à zéro ou à dz i . On voit donc que, si le module de
la courbe de genre un est quelconque, elle n'admet pas d'autres
transformations hirationnelles que celles qui sont définies par
les formules (i4)- Pour qu'il en existe d'autres, il faut que le
rapport des périodes soit racine d'une équation à coefficients en-
tiers de la forme (i3), où Ton a mn — m' n ==r i, (m — n')'^ <C 4-

Le coefficient A s'obtient en éliminant le rapport — entre les

47^ CHAPITRE XI.

équations (i i); on trouve ainsi l'équation

( A — /?i ) ( A — n') — m' n r= o
ou

A^— {m -^ n')k -f-i — o,

•

et comme m + /?/ ne peut prendre que les valeurs o, -f-i, — i , on
voit que A doit être racine de Tune des équations

A2-f-Ir^O, A3--T — O, A3+IZZ.0.

En résumé, on obtient toutes les transformations birationnelles
qui changent en elle-même une courbe de genre un en combinant
la transformation

w{z\ II') =-- w{z, u)-^ t,

qui dépend d'un paramètre t, avec quelques-unes des transforma-
lions

w {z', u') — Pi.w{z, II),

A désignant une racine primitive de l'une des équations

A2 — 1 = 0, , A3 — 1 = 0, A4 — 1 = 0, A6— [ = o.

218. Voici une application, qui nous sera utile, du théorème de
M. Schwarz. Cherchons, d'une manière générale, les courbes C,,^ de
degré m et de genre />, telles que toutes les adjointes d'ordre m — 3
qui passent par A points quelconques {cf.^, pi), . . . , (a^, [3;^) de G,„
aient en commun avec la courbe donnée k points fixes (•/<, 8i),
• • '5 (y/fî ^a) dépendant des premiers; on suppose, bien entendu,
h<^p — i. Plaçons-nous d'abord dans l'hjpothèse où les coor-
données des points (y, o) dépendent des coordonnées de tous les
points (a, |3). Soient M^, M2, ..., M^_.i,/?— i points quel-
conques de C„i par lesquels passe une courbe adjointe C„,_3.
Formons avec ces p— i points tous les groupes possibles de h
points (a, P); à chacun de ces groupes correspond un groupe de
k points et tous ces points sont distincts puisque les points M/
sont arbitraires et que chaque groupe de k points (y, 0) dépend
de tous les points du premier groupe de h points. La courbe
Cw--3 aura donc en commun avec la courbe C,,/, en dehors des
points multiples, /j — i h- A-C^_, points simples, G^_^ désignant le

COURBES NORMALES. MODULES. 477

nombre de combinaisons de p — i lettres h à h. Il faut donc que
l'on ait

ceci n'a lieu que si l'on a. h = k := i ou h = p — 2, A' = i. Dans
le premier cas, toutes les courbes adjointes passant par un point
fixe vont passer par un second point fixe dépendant du premier et
la courbe est hjperelliptique. Examinons la seconde solution
h = p — 2, k --— i; si /? == 3, elle se confond avec la première. Si
p'>'6, elle est inadmissible. En effet, il faudrait que toutes les
courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par /? — 2 points
quelconques de Cm aillent passer par un autre point fixe. Les
coordonnées [z' ^ u') de ce nouveau point seraient évidemment des
fonctions rationnelles des coordonnées de ces p — 2 points, dé-
pendant à la fois de tous ces points. Soient

, r. j z'= R (^1, Mi; ^2, «2, ... ; Zp-^_, Up-^_),

\ u' = Ri(>si, Ui ; ^2, "2, • • . ; -5^-2, Up-i)

les expressions de ces coordonnées. Inversement, toutes les
courbes adjointes passant par les p — 2 points (^', u')^ . . . ,
(zp_2, Up_2) doivent passer par un autre point fixe qui est forcé-
ment le point (r, , Ui ) et l'on a aussi

( ^1 -^ R i^', «'; -2, U2' . • ., ^p-2, Up-i),
{ «1 = Ri (-',«'; -2, W2; . . .: ^p-2, «/;-2)-

En considérant Go, . . . , Zp_2 comme des paramètres variables,
on voit que la courbe Cm admettrait une transformation biration-
nelle, dépendant de paramètres, ce qui est impossible puisqu'on
suppose /> >> 3.

Si les coordonnées de quelques-uns des A* points (y, 0) ne dé-
pendaient que des coordonnées de h' points (a, p) ih' <i A), il
faudrait en conclure que toutes les courbes adjointes d'ordre
m — 3 qui passent par h' points quelconques vont passer par un
certain nombre d'autres points fixes dépendant de ceux-là, et l'on
serait ramené au cas précédent. La conclusion est donc la suivante :
les seules courbes qui répondent à la question sont les courbes
lijperelliptiques.

478 CHAPITRE XI.

219. Courbes normales. — Parmi toutes les courbes algé-
briques appartenant à la même classe, on peut en prendre une,
présentant quelque caractère particulier, pour servir de type ou
fie courbe normale à la classe considérée. On a cherché surtout
jusqu'ici à obtenir pour courbes normales des courbes dont le
degré soit aussi peu élevé que possible, mais il est évident que ce
n'est pas là une règle absolue; il pourrait y avoir avantage, dans
certains cas, à définir la courbe normale par d'autres propriétés.
Nous nous sommes déjà occupés de cette question, à diverses re-
prises, pour les courbes de genre o, 1,2, et, plus généralement,
pour les courbes hjperelliptiques (n*^^ 132, 135, 175). Dans ce qui
suit, nous supposerons qu'on a affaire à une classe de courbes non
hjperelliptiques et, par conséquent, que le genre est au moins
égal à trois.

Soit C,« une courbe non hyperelliptique de genre p\ prenons
sur cette courbe /? — 3 points arbitraires Mi, Mo, - . . , M^„3, et
soient Qi = o, Qo = o;, Q3 = o les équations de trois courbes
adjointes linéairement indépendantes d'ordre m — 3 passant par
ces/? — 3 points. Les points M/ étant pris arbitrairement, on peut
toujours supposer que ces trois courbes n'ont aucun point com-
mun sur G;7i, en dehors des points M/. Gela posé, lorsque le point
(^, ?/) décrit la courbe G,«, le point de coordonnées

décrit une certaine courbe G', qui correspond point par point à
la courbe G^. En effet, soit (a, b) un point quelconque de Cm et
(A, B)le point correspondant de G'; à ce point (A, B) correspond
sur Cm le seul point {a, b). Pour qu'il en fût autrement, il fau-
drait que, quel que fût le point (a, b) de Cm, on pût trouver un
autre point (a', b') tel que l'on eût

ri8^ ' Qjl^l^) = Qii^.b) (h(<jn ^ Q^Aa,b)

^ ^ qs{a',b') Qs{a,by Q,{a',b') Q-s{a,by

Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les/? — 3
points M/ et le point (a, b) iraient passer par un autre point
(a', b'); ce qui est impossible, puisque les p — 2 points peuvent
être pris arbitrairement. Les formules (17) définissent donc une

COURBES NORMALES. MODULES. 479

transformation birationnelle entre les points des deux courbes C,„
et G'. Il est facile d'avoir le degré de la courbe G'. La fonction

' ' Q3(2, w)

où a, 1^, Y sont des constantes quelconques, admet p -\- i pôles
du premier ordre, les p -{- i points de rencontre de la courbe
Q3 = o avec la courbe G^^, autres que les points M,, Mo, ...,
yip-s ; la courbe G est donc de degré /> + i. Ainsi, étant donnée
une classe de courbes non hypereltiptiques de genre /?, on peut
prendre pour courbe normale une courbe de degré p -h i -

Ce théorème a d'abord été énoncé par Glebsch et Gordan
(Abels'che Functionen, p. 65), mais leur démonstration man-
quait de rigueur. G'est M. Picard qui l'a mise à l'abri de toute
objection, grâce à la remarque du paragraphe précédent.

La courbe G/ possède en général un certain nombre de points
doubles provenant des couples de points («, 6), {a' , b') satisfai-
sant aux relations (i8). On obtient immédiatement le nombre o
de ces points doubles, en remarquant que la courbe G' est du
genre p ; on trouve ainsi

Si/> > 3, la courbe normale a nécessairement des points mul-
tiples; une droite variable passant par un de ces points rencontre
G' en /> — I points mobiles au plus ; le nombre r est donc au plus
égal àp ~i (n° 174).

220. M. Nother emploie une autre courbe normale. Soient
Q< (^1 '0? Q2(^') «), . • .,Q;,(3, u) Xesp polynômes adjoints linéai-
rement indépendants de degré /?< — 3 -, posons

(19) Xi = Qi(^, iO, X2 r^Q.2(^, ii), ..., X^, = Qp(^, m),

et regardons IL^, X^, . . . , X^ comme les coordonnées homogènes
d'un point dans l'espace à/? — i dimensions. Lorsque le point ana-
lytique {z^ u) décrit la courbe G, le point de coordonnées (X,,
Xo, .... Xp) décrit dans l'espace k p — i dimensions une courbe
gauche Y qui correspond point par point à la courbe G, si celle-ci

48o CHAPITRE XI.

n'est pas liyperelliptique. Si, en effet, on avait deux points (a, b)
et (a', b') de G correspondant à un même point de F, on en con-
clurait les relations

(l,{a\b') ^ Q^(a\b') ^ ^ Qf,(a\ h')
Qi{a,b) Q2{a,b) •-• Qpia,b)'

et toutes les adjointes d'ordre m — 3 passant par (a, b) passe-
raient aussi par (a', b'); ce qui ne peut avoir lieu si la courbe C
n'est pas hyperelliptique. Le degré deT est égal, on le voit immé-
diatement, à 2/? — 2.

Lorsque p = 3, ]a courbe F coïncide avec la courbe normale de
Glebsch. Il n'en est plus de même si p > 3, mais on peut passer
de l'une à l'autre. Par exemple, si p =^ ^, la courbe F est une
courbe gauche du sixième ordre de l'espace à trois dimensions;
en projetant cette courbe sur un plan, le point de vue étant un
point de F, on obtient une courbe plane G' qui correspond point
par point à F et dont le degré est égal à 6 — i ==^ 5. On retrouve
la courbe normale de Glebsch. A l'aide de considérations em-
pruntées à la Géométrie à n dimensions, que nous laissons au
lecteur le soin de développer, on peut étendre ce procédé au cas
général. Ainsi, en projetant la courbe gauche F de l'espace à
p — I dimensions dans un espace plan k p — 2 dimensions, le
point de vue étant un point de F, on obtient une nouvelle courbe
gauche T^ de degré ip — 3, dans l'espace kp — 2 dimensions,
qui correspond point par point à la courbe F. En opérant de
même sur la courbe Fi, et ainsi de suite, on finit par arriver à
une courbe plane G' de degré 2/? — 2 — (/? — 3) -::^p --f- i , qui
correspond point par point à la courbe F et, par suite, à la
courbe G.

Remarque. — Le raisonnement qui précède est soumis à une
objection. Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le cas d'une
courbe gauche F de l'espace à trois dimensions. Soit G' la per-
spective de cette courbe sur un plan, le point de vue étant un
point S de F; les deux courbes F et G' se correspondent point par
point, à moins que toutes les sécantes passant par S et un autre
point quelconque A de F ne rencontrent cette courbe en un troi-
sième point. Pour que ceci ait lieu, quel que soit le point S
choisi pour point de vue, il faudrait que toutes les sécantes dou-

COURBES NORMALES. MODULES. 48l

bles de F fussent des sécantes triples. Cette hypothèse est inad-
missible si la courbe F n'est pas une courbe plane. En effet, pre-
nons sur F deux points quelconques A et B; la sécante AB
rencontre F en un troisième point C. Prenons ensuite sur F un
point A' voisin du point A; la sécante A'G doit rencontrer F en
un point B' voisin de B. Lorsque le point A' se rapproche indéfi-
niment du point Aj les sécantes AA', BB' ont pour limites les
tangentes aux points A et B à la courbe F et, comme les droites
AA', BB' sont toujours dans un même plan CAA', on en conclut
que les tangentes en deux points quelconques de F sont toujours
dans un même plan, propriété qui n'appartient qu'aux courbes
planes. On lève de même l'objection dans le cas général.

La courbe normale de Glebsch n'est pas du plus petit degré
possible. MM. Brill et Nôther ont montré, en effet, qu'on peut
en général faire correspondre, à une courbe de genre /? , une
courbe de degré p — t: -h 2, r: désignant la partie entière du quo-
tient ^; mais leur démonstration prête à des objections, et ce point
appelle de nouvelles recherches.

221. Modules. — Etant données deux courbes hjperellip-
tiques du même genre />, on a vu plus haut que ip — i condi-
tions devaient être remplies pour que ces courbes appartiennent
à la même classe; ces conditions s'expriment par l'égalité de
ip — I fonctions des coefficients des deux équations. De même,
toutes les courbes de genre/? dépendent d'un nombre fini de pa-
ramètres, si Ton ne considère pas comme distinctes les courbes
qui appartiennent à la même classe, puisqu'on peut supposer
(n^ 219) que ces courbes sont de degré /? -{- i . Biemann s'est pro-
posé de chercher le nombre de ces paramètres, dont dépend
essentiellement une classe de courbes de genre /?; il faut entendre
par là qu'à des valeurs de ces paramètres, prises arbitrairement,
correspond une classe de courbes ou un nombre limité de classes.
Ce sont ces paramètres qu'on appelle les modules; il est clair
qu'ils se conservent dans toute transformation birationnelle.
Riemann a démontré de deux manières différentes que le nombre
des modules d'une classe de courbes est égal à 3/? — 3 (/> > i) ;
on trouvera l'exposé de ces méthodes dans le Traité d'Analyse
A. ET G. 3i

482 CHAPITRE XI.

de M. Picard (t. II, p. 482). On peut s'en rendre compte au moyen
de la courbe normale de Glebsch, de degré p -\-i. Toute courbe

de degré p-\- i dépend de — — paramètres; si elle est de

genre p, elle doit avoir ^-^^^ points doubles, ce qui établit

entre les coefficients de l'équation ce même nombre d'équations.
Il reste donc

(/> + !)(/> + 4) -/>(/> -3)
=^p-^-i

coefficients arbitraires. D'un autre côté, la transformation bira-
lionnelle, par laquelle on passe d'une courbe quelconque de genre
p à une courbe de degré /> -f- i, dépend de (/> — 3) points indé-
terminés; on peut imaginer que l'on ait choisi ces p — 3 points
de façon à attribuer des valeurs données à l'avance k p — 3 des
coefficients de la courbe normale. Enfin, si Ton fait subir à la
courbe normale la transformation homographique générale, qui
dépend de huit arbitraires, on peut encore attribuer à huit des
coefficients des valeurs données à l'avance. Il restera donc en tout
un nombre de paramètres égal à

4/?-t-2 — (p — 3) — 8 = 3/? — 3.

Remarque. — Si l'on désigne par p le nombre de paramètres
arbitraires dont dépend la transformation birationnelle la plus
générale qui fait revenir sur elle-même une courbe de genre/?, le
nombre des modules est toujours représenté par 3/? — 3 -j- p. Si
/? = o, p = 3, on trouve zéro pour le nombre des modules, comme
on devait s'y attendre. Si /? = 1 , p = i ; il y a un seul module
(n« 178). Enfin, si /? > i , on a toujours p = o (n° 214).

222. Du nombre des modules , il est facile de déduire une
hmite inférieure pour le degré de la courbe normale du genre p.
Soit C^ une courbe de degré q et de genre p ; le nombre 0 des
points doubles doit être égal à

2 ^

COURBES NORMALES. MODULES. 483

On doit donc avoir d'abord

(20) {q—i){q—l)lip.

Cette inégalité étant supposée satisfaite, on démontre, comme
au paragraphe précédent, que la courbe C,^ dépend, en tenant
compte de la transformation homographique générale, de

g(y + 3) _ (gr-i)(^-2) _^ g

2 2 ^

paramètres arbitraires; ce qui nous donne une nouvelle inégalité
(.,) g(?^3)-(?-.)(?-.)^^_3,3^_3

pour que la courbe C^ puisse servir de courbe normale de genre/?.
De cette dernière inégalité, on tire

ylE

( 22 ) q<:

Soit TT le quotient de la division par 3 du nombre /?, de façon
qu'on ait p = Stt, ou St: -f- i , ou St: + 2. L'inégalité (22) peut
s'écrire

^ P

et la limite inférieure de q est, dans les trois cas, /> — t -f- 2. C'est
le degré de la courbe normale de Brill et Nôther. Cela ne veut
point dire qu'il n'y ait pas de courbe de genre p dont le degré
soit inférieur à cette limite. Par exemple, la courbe du cinquième
ordre, sans point multiple, est du genre 6; il faut conclure seule-
ment de ce qui précède qu'une courbe quelconque du sixième
genre ne peut pas correspondre point par point à une courbe du
cinquième degré.

223. A la recherche des modules se rattache la solution de la
question suivante : Etant données deux courbes de même genre/?,
non hjperelliptiques, C et Ci, d'ordres m et n, représentées par
les équations

reconnaître si elles appartiennent à la même classe.

484 CHAPITRE XI.

Soient Qi (^, u), Q2 {z, u)^ . . . , Q/,(^, u) les /> polynômes ad-
joints d'ordre m — 3 correspondant à la courbe G, et R< (i;', w'), ...,
Rp(^', i/) les p polynômes adjoints d'ordre Ji — 3 de la courbe €< .
Si l'on peut établir une correspondance point par point entre les
points des deux courbes, toute intégrale de première espèce se
change en une intégrale de première espèce, et l'on doit avoir entre
les coordonnées de deux points correspondants des deux courbes
p relations de la forme

(23)

F r ClZ — —7 — ; yz tt^

Ai, Bi, . . .yhi désignant les constantes.

On en déduit /> — i relations ne contenant plus dz et dz

^.N Qi(^>^) ^ QK^,^)

^^ Al Ki(z', w') +. . .4- Li Rp{z', u') A-Ri{z', u')-i-. . .-H U ^p{^', W)

Soient r et T^ les deux courbes normales de l'espace àp — i di-
mensions qui correspondent aux deux courbes données G et Ci 5
les coordonnées homogènes d'un point de F sont

Xi = Q_i(z, u), ..., Xp = Qp(z,u),

et les coordonnées homogènes d'un point de F,

X\ =Ri{z',u'), ..., Xjj = Rp(z',u').

Les formules (24) montrent que, si les deux courbes G et G|
sont de même classe, les deux courbes normales F et F^ peuvent
se déduire l'une de l'autre par une transformation homographique.
Gette condition est d'ailleurs suffisante; en effet, si elle est rem-
plie, les courbes F et F< et, par suite, G et G, se correspondent
point par point. Donc, pour que les courbes du même genre
G et Gi appartiennent à la même classe, il faut et il suffit que
les courbes normalesT et T ^ puissent se déduire U une de Vautre
par une transformation homographique.

Par exemple, une courbe G4 du quatrième degré, sans point
double, coïncide avec là courbe normale F ; on en conclut que les
seules transformations birationnelles qui reproduisent une courbe

COURBES NORMALES. MODULES. . 485

du quatrième ordre et du troisième genre sont des transformations
homographiques.

224. Il semblerait, d'après les raisonnements employés jus-
qu'ici, que les courbes de genre p se partagent en deux grandes
classes : les courbes générales et les courbes hjperelliptiques ;
mais une telle vue serait inexacte, et les courbes hyperelliptiques
doivent plutôt être considérées comme un cas limite. Prenons
en effet une courbe G de genre /? > 3, non hyperelliptique, et soit

XiQi(^, a) -\- liQiiz, u) -i- XsQsC-, w) -r AiQiC^, u) = o

l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 , qui
passent par p — 4 points fixes quelconques de cette courbe ;

posons

Q,iz,u) Qs(^,u) Q4(£^)

^ Qi(^,")' Qi(^,w)' Qi(^,")*

On démontre, comme au n*' 219, que, lorsque le point (z, u)
décrit la courbe G, le point (X, Y, Z) décrit une courbe gauche F,
de degré /> -]- 2, qui correspond point par point à la courbe G. Si
l'on projette F sur un plan, le point de vue étant sur F, on obtient
la courbe normale de Glebsch ; mais, si le point de vue est en
deliors de F, la projection est une courbe de degré/? -{-2, qui,

devant être de genre />, possède ^-^^ points doubles. Ainsi, à

la courbe générale de genre/?, on peut faire correspondre, point
par point, une courbe de degré p -{- 2 axec^—^ points dou-
bles. La conclusion s'applique encore pour/? = 3; car, si l'on
applique à la courbe générale du quatrième ordre une transfor-
mation quadratique avec trois points fondamentaux pris sur cette
courbe, on obtient une courbe du cinquième ordre avec trois
points doubles.

Imaginons maintenant que ces ^^ ^^ points doubles viennent

se confondre en un seul; on obtient à la limite une courbe de
degré p -\- 2 avec un point multiple d'ordre p, c'est-à-dire une
courbe hyperelliptique.

486 CHAPITRE XI.

225. Nous terminerons ce Chapitre par quelques remarques
sur les transformations simplement rationnelles. Soient G et G'
deux courbes algébriques de degré ni et m' respectivement, la
première de genre />, la seconde de genre />', représentées par les
deux équations

(25) ¥{z,u) = o,

(26) ^{z',u') = o;

nous supposons qu'en posant

) -=^(5', a'),

où cp et (]; désignent deux fonctions rationnelles, le point [z, u)
décrit la courbe G lorsque le point {z\ u') décrit la courbe G'.
Nous savons déjà que l'on a p'^p', mais on peut avoir pour p'
une limite plus précise. Soit [ji V ordre de la transformation (27),
c'est-à-dire le nombre de points (5', u') de G' qui correspondent
à un même point {z^ u) de la courbe G. Supposons /? > 1 et
soient Qi(^], ?^), (^^y{z,u) deux polynômes adjoints d'ordre
m— Z relatifs à la courbe G; on doit avoir, pour la transforma-
tion considérée,

rQi(-'") 7 r'^,{z\u')d^ rq,Sz,u)dz _ fR.^(z',ii')dz'

j-^^dz=J. ^^- , J f;, -J ^, '

R, {z', u')^K2{^', z/') étant deux polynômes adjoints d'ordre m'— 3
relatifs à la courbe G', et par suite

Le faisceau des courbes adjointes Q_i{z, u) -\-'kQ_2{^^ i^) = ^
rencontre la courbe G en 2/? — 2 points variables avec À, si les
deux courbes adjointes Q, = o, Qo = o n'ont aucun point com-
mun avec la courbe G, en dehors des points doubles, ce qu'on
peut toujours supposer. A ces 2/? — 2 points de G correspondent
i;.(2/>— 2) points de G', variables avec )., situés sur la courbe

adjointe ,

Ri(^', u') -+- >vR2(^', u') — o;

COURBES NORMALES. MODULES. 4^7

on a donc

(28) 1^(27? — 2) £(2/)' — 2),

relation qui subsiste si /> = o, ou p = i .

La formule (28) nous fait connaître une limite inférieure de/?',
connaissant les deux nombres u et p ; mais il est impossible de
trouver une limite supérieure pour ce même nombre (').

Si les deux nombres p et p' sont égaux et supérieurs à un, on
déduit de la relation (28) ;j.^ i et, comme ix est un nombre entier,
on a nécessairement a = i .

Nous pouvons donc éno ncerle théorème suivant, dû àM. Weber :
Si une transformation rationnelle conduit d'une courbe de
genre supérieur à un à une autre courbe du même genre, la
transformation est birationnelle (-).

(») E. GouRSAT, Sur les transformations des courbes algébriques {American
Journal of Mathematics, vol. XVI; 1894).

(») Journal de Crelle, t. LXXYI.

Pour de plus amples détails sur les transformations simplement rationnelles des
courbes algébriques, nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. Painlevé Sur
les équations différentielles du premier ordre {Annales de l'Ecole Normale
supérieure; 189 1).

/f88 CHAPITRE XII.

CHAPITRE XII.

APPLICATIONS DU THÉORÈME D'ABEL A LA GÉOMÉTRIE (i).

Etude des groupes de points obtenus en coupant une courbe algébrique donnée
par d'autres courbes algébriques. — Applications aux cubiques et aux quartiques.
— Tangentes doubles des quartiques; coniques quadruplement tangentes. —
Application du théorème d'Abel aux aires, aux angles et aux arcs des courbes
de direction. — Biquadratiques gauches.

226. Le théorème d'Abel, appliqué à la Géométrie, donne des
résultats qui se présentent sous une forme intuitive des plus
simples. En nous bornant presque exclusivement aux courbes du
troisième et du quatrième ordre, nous indiquons sur des exemples
précis les idées essentielles de la théorie. Nous commencerons
par les courbes du troisième ordre.

Il existe deux espèces de courbes du troisième ordre : i*^ celles
qui n'ont pas de point singulier; 2° celles qui ont un point
double ou de rebroussement.

Si la courbe du troisième ordre F(x^y) =^ o n'a pas de point
singulier, elle est du genre un. L'intégrale

I F'

»^(Xn, Vn) y

est alors de première espèce. A chaque point (^,y) de la courbe
correspondent une infinité de valeurs de u qui se déduisent de
Tune d'elles par l'addition ou la soustraction de deux périodes w
et to^ A chaque valeur de u ne correspond qu'un point (^,jk) de

(') Ouvrages à consulter : Mémoires de Clebsch {Journal de Crelle, t. LXIII,
LXIV); — Leçons de Géométrie de Clebsch, par Lindemann; — Mémoire de
M. Humbert {Journal de Mathématiques, 4" série, t. III; 1887).

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GEOMETRIE. 489

la courbe, comme il résulte du problème de Tinversion : les coor-
données ^ et ^ de ce point sont des fonctions elliptiques de u, aux
périodes w et to'.
Une droite

<1^(^> J') = aa; -f- py + Y = o

coupe la courbe en trois points : soit u^, iio-, Us un système de
valeurs de ii correspondant respectivement à ces trois points ; on
a, en vertu du théorème d'Abel appliqué aux intégrales de pre-
mière espèce,

(i) Ml -h w.2-f- W3 = P H- n 0) -4- n'oi',

P étant une constante indépendante de la droite considérée et n
et n' des entiers positifs, négatifs ou nuls.

Cette relation nécessaire entre les paramètres de trois points en
ligne droite est suffisante. En effet, prenons sur la courbe trois
points Ml, M2, M3 dont les paramètres u vérifient la relation (i).
La droite qui joint les deux points M2 et M3 coupe la courbe en
un point M'^ de paramètre ii\ ; il faut montrer que M'^ coïncide
avec Ml. Les points M^, M2, M3 étant en ligne droite, on a

u[ H- ^2 -I- W3 = P -h m o) + m' co' ;

en comparant avec (i), on voit que Ui et u\ ne diffèrent que par
des multiples des périodes w et w^ : les deux points Mi et M^ sont
donc confondus. On prouve, par un raisonnement identique, que la
condition nécessaire et suffisante pour que six points de la cu-
bique soient sur une conique est que les valeurs de w, relatives à
ces six points, vérifient une relation de la forme

(2) M, 4- M2-T- . . . + "6= 2P H- nco -h /l'co',

OÙ la constante est 2P, comme on le voit en supposant la conique
décomposée en deux droites.

Gomme application de ces relations, cherchons d'abord les
points d'inflexion. Si u est le paramètre d'un point d'inflexion, la
tangente d'inflexion coupe en trois points confondus avec celui-là ;
il faudra donc faire dans (i), à des multiples près des périodes,

Ml — U2= 113= u;

490 • CHAPITRE XII.

d'où

P nw-f-n'w'

u=^ + — r —

Dans cette formule, on peut donner à n et n' toutes les valeurs
entières ; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples
de iù et co' donnent le même point d'inflexion. Il suffît donc de
donner à n et n' les valeurs o, i et 2, associées de toutes les ma-
nières possibles. On trouve ainsi neuf ipoïnls d'inflexion dont les
paramètres sont donnés par le Tableau suivant, où Ufi^n' désigne
la valeur de u correspondant à un choix déterminé des entiers n
et n' :

_ P _ p + w'

î^o.o — "^r ' Uq i — — 5 Wo,2

5 'ci

P + w P

10 -H W

P

H- 2w'

3 ■'

p

H- w -h Si w'

3

p

-4- 2 0) -\- 10)'

^1,0 — ô ' ■ ^^1,1 — ô ' ^^li2 —

Pn-aw P + 2to + to'

^2,0= ô ' ^2,1=— ô ' ^^2,2 =

Ces points sont trois à trois en ligne droite ; la droite qui joint
deux quelconques d'entre eux passe par un troisième; on a, par
exemple,

. ^0,0 -t- i^I,! + ^2,2 = P + W H- w',

ce qui prouve que les points correspondants sont en ligne droite.
Gomme autre application, on pourra chercher les points où la
conique osculatrice a un contact du cinquième ordre ^ c'est-à-dire
coupe en six points confondus ; les valeurs de u correspondantes
sont données par

U = f

OÙ n et n' peuvent prendre toutes les valeurs de o à 5, ce qui
donne 6^= 36 points. On trouve parmi ces points les neuf points
d'inflexion qu'on obtiendrait en considérant les tangentes d'in-
flexion comme des droites doubles, puis

62 _ 32 = 2-7

points de contact de véritables coniques surosculatrices. Ces
points sont six par six sur des coniques.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 49I

Si l'on coupe la cubique par une courbe Q= o d'ordre s supé-
rieur ou égal à 3, il y a 3s points d'intersection sur lesquels 3 5 — i
peuvent être choisis arbitrairemeht, le dernier étant alors bien
déterminé. En effet, l'équation Cs=^o contient d'une façon linéaire

et homogène -^ -^ — — — - coefficients arbitraires 5 on ne change

évidemment pas le système des points d'intersection avec la
cubique F(x, y) = o en remplaçant la courbe Cs= o par

C;^G,-F(^,jK)G,_3 = o,

C,_3 étant un polynôme de degré s — 3. Comme ce dernier poly-

( s — 2)(5 — l) m ' !•

nome contient — coeilicients arbitraires, on peut

disposer de ces coefficients de façon à faire disparaître autant de
termes dans C^ : il ne restera alors dans Q que

(s -{-i)(s -^ 1) (s — l)(s — l)_^
1 1

coefficients arbitraires entrant d'une façon linéaire et homogène.
On pourra disposer de ces coefficients de manière que la courbe
C',=r o passe par 3 5 — i points pris arbitrairement sur F = o; le
dernier point d'intersection sera ensuite entièrement déterminé.
Il existe donc une relation et une seule entre les valeurs w,,
;/o, . . . , z^3^ du paramètre u correspondant aux 35 points d'inter-
section. Cette relation est fournie sous forme nécessaire et suffi-
sante par le théorème d'Abel : elle est

où la constante est 5P, comme on le voit en supposant la courbe
sécante décomposée en s droites.

227. Supposons maintenant que la cubique ait un point singu-
lier : prenons ce point pour origine d'un système d'axes xOy.
L'équation de la courbe peut s'écrire

— j désignant un polynôme du troisième degré en —

49^ CHAPITRE XII.

constante positive, négative ou nulle. En posant y = tx, on a
immédiatement

La courbe étant de genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de pre-
mière espèce correspondant à la relation

F(rr, jK) = o.

Supposons a différent de zéro, ce qui exclut le cas du rebroiis-
sement, et considérons l'intégrale abélienne

^(^;7) = — 2a / ■=•

dx r'^^' dx

(a:o,ro) y

(■^0, yè

-^^f'iS)

iy

D'après le n° 144, c'est là une intégrale de troisième espèce
admettant comme points singuliers logarithmiques les deux points
de la courbe superposés au point double. C'est ce qu'on vérifie
immédiatement en faisant, dans l'intégrale th, y = tx^ puis rem-
plaçant X par sa valeur (3); on trouve ainsi

, . r ladt , t

a tQ-\- a.

cette intégrale a un seul module de périodicité lui.

Il faut actuellement distinguer deux cas, suivant que l'on coupe
la ligne par une courbe ne passant pas par le point double ou
passant par ce point. Nous supposerons d'abord que la courbe
sécante ne passe pas par le point singulier. Une droite quelconque

^{x,y)^ux^vy-\-w = o

rencontre la courbe en trois points [x^^y,^)^ {^21 y^)^ (-^ajJKs)
correspondant aux valeurs ^<, ^2, ^3 de t. On a vu (n° 185) que,
si 7îj(^, y) est une intégrale de troisième espèce aux points singu-
liers (a, b) et (a', b')^ la quantité

Ha, h)

^(^1, 7i) + ^(^2, 72) + ^(^3, yz) — lo

t|;(a', b')

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GEOMETRIE. 403

est indépendante de la droite considérée, c'est-à-dire de u^ p, w.
Comme actuellement les deux points (a, b) et {a\ b') sont placés
au point double a = o, b = o et a'=z o, b' = o, le logarithme est
nul et l'on a

r^i^i, yi) -^ rn{x2, y^_) -h vj{xs, y:i) = G,

G étant une constante indépendante de u^ v, w et déterminée à
des multiples de ^izi près. D'après la valeur (4) de nj(^, y), cette
relation s'écrit enfin

(5) log- -^-log- - + log-- =K-f-2/i7:i,

tj — a lo — oc [3 — a

où K désigne une nouvelle constante indépendante de ii, p, (v el /i
un entier positif, négatif ou nul. Cette relation, facile à établir
par une voie algébrique, donne la condition nécessaire et suffi-
sante pour que les trois points /,, /o, ^3 soient en ligne droite.

On verra de même, en prenant pour 6 (^,j') le premier membre
de l'équaùon d'une conique, que les six valeurs de t correspon-
dant aux points d'intersection de la courbe et d'une conique sont
liées par la relation

(6) log- -+-log- -h...-f-log- =iK-^inTUy

t\ — a «2 — ^ '6 — ^

où la première constante du second membre est évidemment le
double de K, car la relation (6) doit être vérifiée encore dans le
cas où la conique est décomposée en deux droites.

Pour avoir les points d'inflexion il suffit de supposer, dans (5),
que ^,, t., et ^3 aient une valeur commune ^; on a ainsi

, ^ , t -r- CL K -\- ITlT.i

(7) ^og = ,

ce qui donne trois points d'inflexion en ligne droite, correspon-
dant aux valeurs o. i et 2 de /i, comme on le voit en résolvant (7)

par rapport a y-

On écrira sous la même forme la condition nécessaire et suffi-
sante pour que 3 s points de la cubique soient sur une courbe C^ =^ o

494 CHAPITRE XII.

d'ordre s ne passant pas par le point singulier : cette relation est

(8) \^ log-^ =sK-{- 271111.

Nous avons supposé a différent de o : si a était nul, l'origine
serait un point de rebroussement, l'intégrale appelée TTj(x,y)
deviendrait une intégrale de seconde espèce infinie en ce point et
les relations (5) et (6) devraient être remplacées par les sui-
vantes, comme on pourra le vérifier,

-4---I- - = G,

t\. t=i ^3

II I ^

Les théorèmes suivants doivent être modifiés en conséquence.

Examinons maintenant le cas où la courbe sécante passerait par
le point double. La relation précédente (8) devient illusoire, car,
deux des points d'intersection étant confondus avec le point
double, une des Zs valeurs de t est a et l'autre — a : de sorte qu'il
y a dans la relation deux termes infinis de signes contraires. Dans
ce cas il n^ existe plus aucune relation entre les 35 — 2 autres
points où la courbe Q coupe la cubique. Ainsi on peut toujours
faire passer une conique par quatre points pris arbitrairement
sur la cubique et par le point double.

En général, on peut toujours faire passer une courbe d'ordre s
par Zs — 2 points pris sur la courbe et par le point double, car
cela ne fait que 3 5 — i équations de condition et, d'après le raison-
nement de la page 491 5 ^^ dispose de 3^ , paramètres entrant
d'une façoQ linéaire et homogène.

Le même fait a lieu si le point double devient un point de
rebroussement.

228. Courbes du quatrième ordre sans points doubles (genre
trois). — Soit

(9) F(^,JK) = 0

l'équation d'une courbe du quatrième ordre sans points singuliers.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GEOMETRIE. 495

Il résiille des formules générales que cette courbe est du genre 3.
L'intégrale la plus générale de première espèce est

/

F'

dx

avec trois constantes arbitraires a, p, v. Nous appellerons u{x^y)j
i^{x,y)j w(Xjy) ou simplement u, ç, w les intégrales normales
de première espèce relatives à la courbe (g), et nous écrirons
comme il suit le Tableau des périodes normales de ces intégrales :

ai

a.

«3

àx

b.

b.

II

iT.i

o

o
o

A

B"

B'

V

o

ir.i

B"

A'

B

w

o

o

iT.i

B'

B

A"

Si l'on coupe d'abord la courbe par une droite quelconque, on
obtient quatre points d'intersection M,, Mo, M3, M4, de coor-
données {Xi,y^), (^2,:r2), (^^3,73), («2:^4, 74)- Nous appellerons
Ui^U2^ U3, liji les valeurs u(xi,yi), u(x2^ y2)^ • • . de l'intégrale
u{x, y) en ces quatre points; de même (^,, To, ('3, i'4 et iVi^ Wo, ^^3,
ÇV4 les valeurs des deux autres intégrales de première espèce aux
mêmes points. D'après le théorème d'Abel, on a, entre ces valeurs,
les trois relations

/ Z^l -r- Mo -f- M3 + M4 = P H- il-i -h l\ -7- inB" -r- /zB',
(10) < Çi -^ V2 -h i^3 -^ i\ = Q -+- 2.u.T.i-^ IB" -\- mX' -^ nB,
{ wi -+- ^2+ «^3 -+- (P4 = R -I- 'iv-i H- /B' -+- niB H- nB",

où P, Q, R sont des constantes indépendantes de la sécante
considérée, )., [jl, v, /, m, n désignant des nombres entiers po-
sitifs, négatifs ou nuls. Pour abréger, on peut dire que les seconds
membres de ces relations (10) sont égaux respectivement à P, Q, R,

496 CHAPITRE XII.

à des multiples des périodes près, et les écrire

Ml-f- Ui + W3 -h M4 = P,

«^1+ w^-+- w^-\- Wi^^ R,

en employant la même notation qu'à la page 896.

Sur les quatre points Mi, M2, M3, M/, on peut en prendre deux
arbitrairement; la droite qui les joint coupe alors la quartique en
deux autres points bien déterminés. Les équations (10) doivent
donc déterminer sans ambiguïté deux des quatre points quand les
deux autres sont donnés. L'une d'elles est donc une conséquence
des deux autres. Ce fait que les trois équations (10) fournies par
le théorème d'Abel se réduisent actuellement à deux est spécial
aux systèmes de points dHnter section par des droites ; cela
lient à ce que les droites sont des courbes dont l'ordre est infé-
rieur de trois unités à celui de la courbe.

Si nous coupons la courbe par une conique G2= o, nous ob-
tenons huit points d'intersection Mi, Mo, ..., Mg*, les valeurs
des intégrales u^ ^, w en ces huit points sont liées par les relations

[ Ui-^u^^. ..-^u^ = 2 P -I- 2 Xtï j + / A -h m B" -f- /i B',

(11) < t^i-l- P2 -+-. • .+ ^8 = 2Q -t- 2(Ji7ït+ /B"-f-mA' -i-;zB,

( Mfi-T- «^2-f-. . .H- M^8 = 2R -f- 2V7rî -t- /B' + mB H- nhl\

où les premières constantes 2 P, 2Q, 2R sont les doubles des con-
stantes qui figurent dans les relations (10).

Sur ces huit points d'intersection, Mi , M2, . . . , Mg on peut en
prendre cinq, M4, M5, . . . , Mg arbitrairement; la conique passant
par ces cinq 'points coupe la quartique en trois points M,, M2, M3
bien déterminés. Les coordonnées de ces trois points sont données
parles trois relations (11); pour les calculer effectivement;, on
aurait donc à résoudre le problème de l'inversion qui donne,
comme on le sait, un seul système de valeurs pour les coordonnées
des trois points M,, M2, M3. On peut donc dire que les rela-
tions (i i)sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que
les huit points de la quartique soient sur une conique.

Pour faire une application de ces conditions, cherchons les
coniques qui sont tangentes à la quartique en quatre points M,,

2

- >

•>. |J.7

-i -~

-/B'

/ ,

-mA'-

^/iB

2

2V-

i -h

/B'

4-

mB -^

nA''

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 497

Mo, M3, M4. Pour cela, il faut et il suffit que les points M5, Me,
M7, Mg coïncident respectivement avec les quatre premiers.
Les relations (i i) deviennent alors

2 î<, -^ 2 u-i -^111^-^111-^= 2 P -+- ilr.i^ IX — m B" + n B', . . . ,

ou, en divisant par 2,

Itl-T- «2 -r- «3 H- «i —P-^
(12) { (,j ^ (,2 H- ç,^ _|. p^ = Q _;_

^1 -f- 4^2 + W3 + W4 = R -h

2

D'après ces équations, on voit qu'on peut prendre arbitraire-
ment l'un des quatre points de contact, M4 par exemple; les trois
autres M,, Mo, M3 sont ensuite déterminés par les équations (12).
Une fois les nombres entiers )., a, v, /, //z, n choisis, les équa-
tions (12) donnent pour les coordonnées de M,, M2, M3 un seul
système de valeurs qui varient d'une manière continue quand le
point M4 se déplace sur la courbe. Donc, à chaque système de va-
leurs des entiers À, ui, v, /, m, n correspond un système de co-
niques tangentes en quatre points à la courbe. Si l'on ajoute aux
nombres A, a, v, /, /??, n des nombres entiers pairs quelconques,
le système des coniques reste le même, car cela revient à ajouter
aux seconds membres des équations (12) des périodes simultanées ^
l'inversion donne alors les mêmes valeurs pour (^,, j'i), (^27jK2)j
(•^37 JK3) en fonction de (^4,^-4).

Il suffit donc, pour obtenir tous les systèmes de coniques tan-
gentes en quatre points, de donner à chacun des six entiers qui
figurent dans les relations (12) les valeurs o et i. En associant ces
valeurs o et i de toutes les manières possibles, on obtient 2«= 64
systèmes de valeurs pour A, [jl, v, /, m, n. Il existe donc Çt^ sys-
tèmes distincts de coniques tangentes en quatre points à la quar-
tique. Mais un de ces systèmes, celui que l'on obtient en prenant
A ^ a = V = / = /?? = /z =: o, est composé des droites du plan
regardées comme des droites doubles; en effet, pour cette détermi-
nation des six entiers les équations (12) expriment que les quatre
points M,, M2, M3, M4 sont en ligne droite. Il n'y a donc que
63 systèmes de coniques véritables tangentes en quatre points.

A. ET G. 32

49B CHAPITRE XII.

Nous obtiendrons des résultais analogues en coupant la quar-
tique donnée par une cubique Cg^ o. Il y a alors 12 points d'in-
tersection, sur lesquels 9 peuvent être choisis arbitrairement : les
trois autres sont déterminés sans ambiguïté. Les conditions néces-
saires et suffisantes pour que 12 points de labiquadratique soient
sur une cubique sont donc

Uy + îi2 -t- • • • -+- ^^12 = 3P -I- 2X71^-1- ZA -^ mW -\- nW,
Pj _f- ^2 -f-. . .-+- P12 = 3Q-i- 2[jLîrf + /B"+ 7?iA'-H/iB,

^j_l_ (Va-H. . .-h «^12= 3R -4- 2v TTi + ZB'-h mB -f- ai A".

On pourrait, par exemple, employer ces relations à déterminer
les systèmes de cubiques ayant un contact du deuxième ordre en
quatre points : on en trouverait 3'^ dont un formé par les droites
du plan comptées comme triples.

En général, si l'on coupe la quartique par une courbe
Q =r o d'ordre 5 > 3, il y a 4-^ points d'intersection sur lesquels
45 — 3 peuvent être pris arbitrairement, les trois autres étant
alors complètement déterminés. En effet, l'équation C^ = o con-
tient ^^'^^ V. coefficients d'une façon linéaire et homogène;

l'équation de la quartique étant ¥{x,y) = o, le système des points
d'intersection de la quartique avec C^ — o est le même qu'avec la
courbe G'^ = o ayant pour équation

G,— G,_4F(^,jk) =0,

où Q_/, est un polynôme en x et y, de degré s — 4? contenant

< -^ — ) ( -^ — ?- ) coefficients arbitraires. On pourra déterminer ces

•1 ^

derniers coefficients de façon à annuler, dans C^, un nombre égal
de coefficients. La courbe C^ ne contiendra plus dans son équa-
tion que

coefficients d'une façon homogène. On pourra donc faire en sorte
que 45— 3 des points d'intersection de G^ , c'est-à-dire de G^, avec
la quartique, aient des positions données à l'avance. Une fois ces

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 499

45 — 3 points choisis, le théorème d'Abel fournit les trois rela-
tions

ui -i- U2 -T-.. .-+■ ii.,s = sP,

wi -+- tr, -h ... -h W!,s = s R,

ayant lieu à des multiples de périodes près, et permettant de cal-
culer les coordonnées des trois derniers points d'intersection. Les
constantes des seconds membres sont nécessairement ^P, 5Q, sR;
car ces relations doivent être vérifiées en particulier quand la
courbe Cs se décompose en s droites.

229. Supposons maintenant que la courbe du quatrième ordre
acquière un point double x = a^ y=^ à tangentes distinctes.
La courbe F{x^y) = o esl alors de genre deux ; il n'existe plus
que deux intégrales distinctes de première espèce. L'intégrale la
plus générale de première espèce est

/

!x(x — a) 4- [3(jK — b)

dx.

où a et P sont des constantes arbitraires, car le numérateur égalé
à zéro doit représenter une droite passant par le point double.
Nous appellerons u{x^y) et v^x^y)^ ou simplement u et v les
deux intégrales normales de première espèce^ les périodes de
ces intégrales relatives aux coupures «4, «o et ^,, Z^o sont données
par le Tableau

ai

a. 2

b,

b.

II

iT,i

0

A

B

V

0

iT.i

B

G

La troisième intégrale qui figure dans les relations précédem-
ment établies, pour la quartique sans singularités, est actuelle-
ment remplacée par une intégrale de troisième espèce ad-
mettant pour points singuliers logarithmiques les deux points

500 CHAPITRE XII.

analytiques distincts superposés au point double. L'intégrale de
troisième espèce la plus générale remplissant ces conditions est

f

^^^ïrfx.

F'

où a, p, Y sont des constantes ; cette intégrale est la limite vers
laquelle tend l'intégrale la plus générale de première espèce con-
sidérée dans le n° 228, lorsque la courbe F = o acquiert un point
double; elle est composée linéairement avec les deux intégrales de
première espèce u et ç et une intégrale normale de troisième
espèce tj5{x^ y) ayant pour points singuliers logarithmiques les
deux points analytiques superposés au point double x=^ a^ y = b.
Cette intégrale normale -ns^x^y) admet une période polaire iizi et
deux périodes D et E relatives aux coupures b^ et 62; les pé-
riodes relatives aux coupures a^ et a-^ sont nulles.

Gela posé, il faut distinguer deux cas pour l'étude des systèmes
de points d'intersection de la courbe F = o avec une autre courbe,
suivant que la courbe sécdiXite passe ou non par le point double^
c'est-à-dire suivant qu'elle est adjointe ou non.

1° Courbes non adjointes. — Soit d'abord une droite ne pas-
sant pas par le point double; elle coupe en quatre points : M,,
M2, M3, M4; nous distinguerons, comme précédemment, par les
indices i, 2, 3, \\es valeurs des intégrales u, (', tjs en ces points.
Ces valeurs sont liées par les trois relations

/ Ui H- u=i -H W3 -h z/4 = P H- 2X TïJ H- ^A -f- m B,
{11 bis) i Pi H- c^2 + ^3 + <^4 = Q H- 2 ;ji Tt t H- / B -H m G,

( tîTi + ^2 + Tn3 -h tï?4 = R H- 2 V TT t H- / D H- W E,

P, Q, R désignant des constantes indépendantes de la sécante
considérée^ )^, u., v, /, m des entiers quelconques. Le fait que P
et Q sont indépendants de la sécante est évident, d'après le théo-
rème d'Abel appliqué <aux intégrales de première espèce. Pour
montrer que R est également indépendant de la droite sécante,
il faut se reporter à ce qui a été dit du théorème d'Abel pour
une intégrale de troisième espèce devenant infinie en deux points
superposés en un point double (n^ 185).

Les relations (12 bis) sont donc établies. L'une de ces relations

ll^-^Uo-^..

. H- Z/g = 2 P -h 2 )v 77 î H- / A -4- mB ,

C'i + t'2 -^ . .

. -î- ^s = 2 Q -f- 2 |j.- 1 H- / B -h m G,

TxSi -T- 73T2 +• •

, .4-7178 = 2 R -h 2V -t -1- /D H- /7lE,

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5oi

doitêtreuneconséquencedesdeuxautres, car, deuxdes quatre points
M|, M2, M3, M4 pouvant être choisis arbitrairement, il ne peut
exister entre eux que deux relations distinctes. Mais on peut pré-
ciser et affirmer que les deux premières relations (12 bis) donnent
les conditions nécessaires et suffisantes pour que les quatre points
soient en ligne droite : en effet, M3 et M4 étant choisis, ces deux
relations donnent, pour M, et Mo, un seul système de valeurs. La
troisième relation (12 bis) est donc une conséquence des deux pre-
mières. Ce fait exceptionnel d'une équation surabondante ne se pré-
sente plus quand on coupe par des courbes d'ordre supérieur à un.
Par exemple, coupons par une conique G2 ne passant pas par
le point double : nous aurons huit points d'intersection, dont cinq
arbitraires. Les valeurs des intégrales u, r, tj5 en ces huit points
sont liées par les relations

(i3)

les premières constantes des seconds membres étant 2P, 2Q, 2R,
comme on le voit en supposant que la conique Go se décompose
en deux droites. Ces équations (i3) donnent les conditions néces-
saires et suffisantes pour que huit points de la quartique soient
sur une conique. Pour calculer, à l'aide de ces relations, les coor-
données de trois des points quand les cinq autres sont donnés, on
doit résoudre le problème d'inversion généralisé (n° 213).

Comme application, cherchons encore les systèmes de coniques
tangentes en quatre points M,, Mo, M3, M4 à la quartique ; nous
aurons, en supposant que les quatre autres points M5, Mo, M7, Mg
coïncident respectivement avec les quatre premiers

^ '2>. TTt -T- /A -i- mB
Ui 4- 11-2 -+- «3 -h u-^ = P -\-

( 14 ) { ^1 + ^-'2 -+- ^'3 + t'i = Q -^

Wi -f- W--> -r- TÎT3 -f- TJT^ = R H-

Pour obtenir tous les systèmes de coniques tangentes en quatre
points, il suffît de donner aux cinq entiers X, a, v, / et j?i les va-

•1

y

2 i-t:

~i

-hlB

-h

771 C

2

2V

-i

+ /D

-\-

771 E

50'J. CHAPITRE XII.

leurs o et i associées de toutes les manières possibles; c'est ce
qu'on verrait comme plus haut (p. 497), car les valeurs de Mi,
M2, M3 déduites des relations (i4) en fonction de M/,, ne chan-
gent pas quand on augmente ou diminue un quelconque des cinq
entiers d'un nombre pair; il y a donc 2^ = 82 systèmes de coni-
ques distincts ; mais l'un d'eux, celui qu'on obtiendrait en prenant

X = (Jl = V = l =: 7?l = o,

se composant des droites du plan regardées comme doubles, il y a
3i systèmes de coniques proprement dites tangentes en quatre
points à la quartique.

Si l'on coupe la biquadratique par une courbe Q d'ordre 5, non
adjointe, on voit de même que les coordonnées des 4-^ points d'in-
tersection sont liées par les trois relations nécessaires et suffisantes

Ui-i- u^-h. . .^ Ui,s= sF -h ilr.i-h lA-h mB,

i^i + ^2 +. • •+ i-'i^s = sQ -h 2 [XTii-h /B 4- mC,

Wi-\- W^-h . . .-h Wi^s = SR -f- 2V Tlî H- /D -h /?2E.

2" Courbes adjointes. — Quand on coupe la quartique par
une courbe passant par le point double, ce point compte pour un
dans le nombre de points nécessaires pour déterminer la courbe
sécante, mais il compte pour deux dans le nombre de points d'in-
tersection de la courbe avec la quartique. D'autre part, l'inté-
grale 7n devient infinie aux deux points d'intersection confondus
avec le point double et la somme des deux valeurs de l'intégrale ttt
en ces deux points doit être regardée comme indéterminée. Les
relations précédentes doivent alors être modifiées. Mais cette mo-
dification est des plus simples : elle consiste à effacer la dernière
relation, celle qui contient l'intégrale cî et à ne conserver que les
deux premières.

Coupons d'abord par une droite issue du point double; soient
Mi et M2 les deux autres points où cette droite coupe la courbe,
Ui , U2 et Çi , (^2 les valeurs des intégrales u et ç en ces points, u' et
u'\ ç' el v" leurs valeurs aux deux points analytiques superposés
au point double. Le théorème d'Abel pour les intégrales de pre-
mière espèce s'applique toujours et donne

( Mi-+- M2= P'-i- ^X-Âif + /A -H mB,

(i5) <,

[ v^ 4- p., = Q'-l- 2;jL7iJH- IB -\- mC,

Uy -+- 11-2 -f-. .

.+ Mg= p'_|- p -^2X7:1+ ^A H- mB,

ri -f- P2 -+- . .

,-i- çq = Q'-i- Q-h iiir.i -h IB -^ niC.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GEOMETRIE. 5o3

P' et Q' désignant les constantes P — «'— u" et Q — v' — v\ Ces
relations (i5) doivent se réduire à une, car un des points ^M, et
M2 peut être choisi arbitrairement. On a encore là un cas où le
problème de l'inversion est indéterminé.

Si l'on coupe par une conique Co passant par le point double,
cette conique coupe en six points distincts du point double entre
lesquels ont lieu les relations

(16)

Sur ces six points, quatre peuvent être choisis arbitrairement;
les deux autres sont déterminés par les équations (16), en vertu
du problème d'inversion. On a donc obtenu les conditions néces-
saires et suffisantes pour que six points de la courbe soient sur
une conique passant par le point double. Ces conditions pourraient
servir, par exemple, à déterminer les coniques passant par le
point double et tangentes en trois points à la quartique. Enfin,
pour que ^s — 2 points de la quartique soient sur une courbe Cs
d'ordre s, passant par le point double, il faut et il suffit que l'on ait

Z^l+ ï«2-+-.- --^ «i5-2= P'-+-(5 — l)P,

30. Quartique avec deux points doubles Z etZ' à tangentes
distinctes. — Dans ce cas le genre est un\ l'intégrale

/

^^^'U:c,

F>

OÙ a, |i, V sont des constantes, est de première espèce quand
la droite aj^; -f- j3y -f- y ^ o passe par les deux points doubles.
Mais si a, J^, v sont arbitraires, cette intégrale est une fonc-
tion linéaire de l'intégrale normale de première espèce z^, et
de deux intégrales normales de troisième espèce ts et -us' de-
venant infinies, la première aux points superposés au point
double 0, la deuxième aux points superposés en 8'.

L'intégrale u admet les périodes 2 t: « et A sur les coupures a et
b\ l'intégrale to admet la période polaire 27:/, la période o sur a

5o4 CHAPITRE XII.

et B sur b] th' admet de même la période polaire 2-/, les périodes
0 et G sur a et b.

Il faudra, pour l'étude des systèmes de points d'intersection,
distinguer trois cas, suivant que la courbe sécante ne passe par
aucun point double, passe par un point double ou par les deux.

i"" Courbes ne passant par aucun point double. — On trouve
comme plus haut les relations suivantes en distinguant par des
indices les valeurs des intégrales u^ to, ra' aux points d'inter-
section.

Droites sécantes :

Ui

+ 112

+ W3 -f- U;,

=

P

H- 2 X 7: t H-

/A,

Wi

-f- TTT2

+ THs

H- W'^

=

Q

-1- 2 [J. Tt i -1-

IB,

^'1

+ 7^2

+ TÏT3

-+- ^4

=

R

4- 2 V Tï t H-

IC,

où p, Q, R sont des constantes, >., u, v, /des entiers. Ces relations
se réduisent à deux.
Coniques sécantes:

Ui + M2 H- . . . -h i«8 = 2 P -^ 2 X TT i -i- / A,
757i + TTT2 -+- . . . -h TTTg = 2 Q + 2 [JITÎ J + / B,
Txj[ ^- w'^ -+- . . . -f- TTj'g = 2 R -h 2 V T t -h / G .

Cherchons,par exemple, les coniques tangentes en quatre points.
Comme actuellement il n'y a plus que quatre entiers 1, a, v, /, on
trouve 2"* — I = i5 systèmes de coniques véritables tangentes en
cjuatre points.

^'^ Courbes passant par un des points doubles 0'. — H y a
alors une relation de moins entre les points d'intersection et deux
de ces points sont situés au point double S'. La relation qui con-
tient l'intégrale w^ n'a plus de sens. Il reste alors les relations
suivantes, dans lesquelles P' et Q' désignent de nouvelles con-
stantes.

Droites passant par V :

11^ 4- wo = P' + 2X771+ /A,
Toi -h 71T2 = Q'+ 2fji7rt + /B.

Ces relations se réduisent à une.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 5o5

Coniques passant par o' :

iii-{- iio-^. . .-\- uc, = P' -f- P 4- -iX-t + /A,

TUi -+- CJo + • • • -i- ^6 = Q' H- Q -^ 2 {JL- t -+- /B,

et ainsi de suite.

3° Courbes passant paj' les deux points doubles S et o'. — H n'y
a plus alors qu'une relation entre les points d'intersection : c'est
celle qui est donnée par l'intégrale de première espèce.

Coniques passant par o et o' . — Elles coupent en quatre
points variables dont trois arbitraires; ces quatre points sont liés
par la relation

(17) Z^l4- Ui-^ U^^ z^- =z P H- 2A-i 4- Ik.

La constante est nécessairement P, car la relation doit être vé-
rifiée en particulier si la conique se décompose en deux droites,
l'une joignant les deux points doubles et l'autre quelconque; elle
doit donc être vérifiée par quatre points en ligne droite. La rela-
tion (17) ainsi obtenue est nécessaire et suffisante pour que les
quatre points soient sur une conique passant par 0 et o', car elle
donne une seule position pour M, quand Mo, M3, M4 sont choisis
arbitrairement.

De même, une cubique passant par les deux points doubles
coupe la courbe en 8 points variables dont - peuvent être choisis
arbitrairement, le huitième étant alors déterminé et unique. Ces
huit points sont liés par la relation

zf 1 4- z«2 -i- • • • H- «8 = îi P -T- 2 X T t -h / A ,

où la constante est 2P, car la relation doit être vérifiée quand la
cubique se décompose en trois droites dont une joignant les points
0 et ù' .

On vérifiera en général que, si une courbe Q d'ordre s passe
parles deux points doubles, elle coupe la quartique en 4 5 — 4 points
dont 4-5 — 5 peuvent être choisis arbitrairement; ce raisonnement
est identique à celui de la page 491- Les valeurs de u aux ^s — 4
points sont liées par la relation nécessaire et suffisante

* «l-t- «2-r-. • .-^ "4a--4= {s l) P H- 2X7:^-4- /A.

5o6 CHAPITRE XII.

231. Il nous reste à examiner le cas simple où la courbe a trois
points doubles à tangentes distinctes ; elle est alors unicursale :
les coordonnées d'un point de la courbe s'expriment en fonctions
rationnelles d'un paramètre t^ de telle façon qu'à chaque point de
la courbe corresponde une seule valeur de t et réciproquement.
La courbe étant du genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de première
espèce correspondante.

Soient B<, 80, B3 les trois points doubles, a^^ b^ les deux valeurs
de t qui donnent le point ûi, a^^ b^, et a^, 63 celles qui donnent
les points 80 et Ô3. Si Q_{oc^ y) = o désigne l'équation de la droite
8283, l'intégrale

<--Q(-,r)^,

f;-(^,7)

est une intégrale de troisième espèce admettant pour points sin-
guliers logarithmiques les deuxpoints superposés aupointdouble 8,.
Si donc on l'exprime en fonction de i, en y remplaçant œ al y
par leurs expressions en t^ on doit trouver

(.8) .(.,^) = ,„.f-^f..;rl..

Cette intégrale n'a plus qu'une période polaire 271 1.

i" Intersection avec des courbes ne passant par aucun point
double :

Appelons ^,, ^2 7 ^3) ^4 les valeurs du paramètre correspondant
aux quatre points d'intersection (^^,J'^), (^25^^2)7 (^a^JKs)?
(^4, y^ de la courbe avec une droite; d'après le théorème d'Abel
appliqué aux intégrales de troisième espèce, la somme

^(^i,J))-+- ^(^2,72) + ^(^-3,73) + ^(^4,74)

a une valeur constante indépendante des coefficients de la droite
considérée ; la partie logarithmique disparaît, car les points sin-
guliers logarithmiques de tîj(^, j/)sont superposés au point double.
Remplaçant dans cette somme tïï(^<, J^/^ ), ... par leurs valeurs
tirées de (18), on a une relation de la forme

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 607

K, étant une constante et n^ un entier quelconque. La considéra-
tion des deux intégrales de troisième espèce devenant respective-
ment infinies aux points superposés en Oo et O3 donne de même
les deux relations

(19')

lo<

lOî

?1

—

an

^1

—

b.

tx

—

«3

loî

?2 — ^2

ti-b,

lo.^

^2
«3

.-^log
. -T-lo£r

05-2

bi

= K,

in^r.i,

t^—b

Î^ = K3

Ces trois relations (ig) et (19') se réduisent nécessairement à
deux, car deux des points d'intersection d'une droite avec la
courbe peuvent être choisis arbitrairement; les deux autres sont
alors déterminés sans ambiguïté. Donc, ^3 et ^J étant pris arbi-
trairement, les valeurs de ti et (2 tirées des deux équations (19')
doivent vérifier (19), ce qui exige l'existence de relations entre
les constantes K,, Ko, K3 et les quantités «<, b^, «o, ^25 <^'35 ^3-
Certaines de ces relations s'obtiennent immédiatement; par exem-
ple, la droite ûoSs, joignant deux des points doubles, rencontre la
courbe aux points

b-2j

b,:

ces valeurs doivent donc vérifier l'équation (19); en écrivant ce
fait, on a l'expression de K, en fonction de «j, 64, a-i, ^2,
«3, ^3.

Ces équations (19) et (19'), dans lesquelles t^, a une valeur arbi-
traire, fournissent donc un exemple du cas où le problème d'in-
version généralisé est indéterminé, car ces trois équations ne dé-
terminent pas tf, 1-2, t-i ; on peut encore y prendre arbitrairement
une de ces quantités.

On verra de même que, si huit points de la courbe ?i , ^o? • • • > ^8
sont sur une conique, on a

(20)

lo<

a,

ti—bi

lo

">"^T-,,

ï^ -T- lo

lo<

^2 —

«1

0

t-l-

b.

s

tî —

«2
'b\

-

)2-

*1

«3

-h

_«3 _ .
63 ' ^^^-^3

-^log.

^8-

-ai

^8-

-b,

-^log

^8-

■ at

^8-

-b.

i

8

«3

■ Aog-

8 —

^3

= 2Kt-4- iniT.i,
= 2K2-T- in^r^i,
= 2K3-)- in^rA.

5o8 CHAPITRE XII.

Les trois conditions (20) sont les conditions nécessaires et
suffisantes pour que huit points de la courbe soient sur une
conique; elles sont nécessaires, comme nous venons de le voir:
elles sont suffisantes, car cinq des points ^4, ^5, Iq, ify, tg étant
choisis arbitrairement, la conique de ces cinq points coupe la
courbe en trois antres points bien déterminés, et ces trois points
coïncident nécessairement avec les points t^^ t^^ t^ définis par les
équations (20), qui donnent pour ^,, t^, t^ un seul système de
valeurs.

Appliquons, par exemple, ces relations à la détermination des
points d'inflexion.

Pour un point d'inflexion t on a, en coupant par la tangente
d'inflexion, ^0 = ^3 = ^/i = f- Donc les équations (19') donnent

3l0g — -}-log — = K2+2Al2 7rï,

l 6*2 f 1 l^±

t — a^ ti— as

3 i^s j_rb, + i^s l—Tb, == K3+ 2^37:..

Si l'on passe des logarithmes aux nombres, et si l'on élimine f,
entre les deux équations linéaires en ti ainsi obtenues, on a une
équation du sixième degré en t : il y a donc six points d'inflexion.

Appliquons de même les relations (20) à la détermination des
systèmes de coniques tangentes en quatre points de paramètres ii,
^2, ^3, tf,. Pour obtenir les groupes de quatre points de contact,
exprimons que Z^, Iq^ t-j et tg sont égaux respectivement à /< , fo^
^3, tj^. Les relations (20) deviennent

(21)

loff ''"

-«* , i„„ «s-»*

'°»<.-

.b, ' ^"-t.-b.

^3 — ^z,- , h — CLk

K^H- injcizi,

où A-^ I, 2, 3. Ces formules montrent que t,^ peut être pris arbi-
trairement : ^1, ^25 ^3 sont alors déterminés. On obtiendra huit
systèmes difl'érents de coniques quadruplement tangentes en don-
nant à /11, /Zo, n^ les valeurs o et i associées de toutes les manières
possibles. Mais la combinaison

/ij == 722 = ^3 = o

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. DOg

donne des groupes de quatre points en ligne droite; c'est une so-
lution fournie parles droites du plan regardées comme doubles. Il
ne reste donc que sept systèmes de coniques tangentes en quatre
points.

On obtiendrait de même les trois relations nécessaires et suffi-
santes pour que douze points de la courbe soient sur une cubique
ne passant pas par un point double, et l'on pourrait en déduire
les cubiques ayant en trois points un contact du troisième ordre,
ou en quatre points un contact du second ordre, etc.

2° Courbes passant par un ou plusieurs points doubles :

Si une courbe sécante passe par un point double, il y a entre
les points d'intersection une relation de moins, celle qui contient
l'intégrale de troisième espèce infinie au point double.

Si la courbe passe par deux points doubles, il disparaît les deux
relations contenant les intégrales de troisième espèce devenant
infinies en ces deux points : il ne reste donc alors qu'une re-
lation.

Par exemple, une conique passant par deux points doubles
coupe la courbe en quatre points variables, dont trois arbi-
traires.

Si la courbe sécante passe par les trois points doubles, il n'y a
plus aucune relation entre les points d'intersection. Ainsi une
conique passant par les trois points doubles coupe la courbe eu
deux points variables que Ton peut prendre arbitrairement.

Remarque. — Si certains des points doubles devenaient des
rebroussements, il suffirait de remplacer fintégrale de troisième
espèce devenant infinie au point double par l'intégrale de seconde
espèce admettant le point de rebroussement comme pôle du pre-
mier ordre.

232. 2'angentes doubles des quartiques. — Le problème des
tangentes doubles des quartiques présente des difficultés particu-
lières qui tiennent à ce que les droites sont des courbes de degré
m — 3 (/?i = 4) et que les équations exprimant que quatre points
sont en ligne droite sont surabondantes.

Si l'on coupe une quartique sans points singuliers par une tan-
gente double, les quatre points d'intersection sont deux à deux
confondus avec deux points M, et Mo. Les équations (lo), p. 49^)

CHAPITRE XII.

qui expriment que quatre points sont en ligne droite, deviennent
alors

P H- 'îlizi^ /A -1- ?nB" -h nB'

(22)

lll -+- 11-2 —

Wi -j- iV2

2

Q-h iixr.i-{- IB" -h m A' -+- nB

2

R H- 2V7:f -h IB' 4- ?nB -f- 7i X"

On a ainsi trois équations pour déterminer les deux points de
contact M| et Mo. Les lettres /, m^ n, )^, |j., v désignent des en-
tiers. Il est certain d'avance que l'on pourra donner à ces entiers
des valeurs telles que les trois équations ci-dessus soient compa-
tibles, car on sait qu'il existe des tangentes doubles, mais la diffi-
culté est de savoir comment il faut choisir ces valeurs des entiers.
Tout d'abord il suffit de donner à chacun des entiers une des
valeurs o et i, car, en augmentant ou diminuant un des nombres
/, m, n, )v, tx, V de deux unités, on ajoute ou retranche des pé-
riodes aux seconds membres des équations. 11 reste alors à savoir
comment il faut associer les valeurs o et i données aux six en-
tiers; Riemann a démontré (^), par des considérations tirées de
l'évanouissement des fonctions 0, qu'il faut et qu'il suffit que les
entiers /, m^ /z, X, |j., v vérifient la condition

(23) Il -]- m [j. -i- nv = un nombre impair.

Comme l'étude des fonctions 0 ne rentre pas dans le sujet que
nous avons voulu traiter, nous admettrons le théorème de Rie-
mann. Il correspondra une tangente double à chaque système de
valeurs des nombres /, m, n, À, p., v vérifiant la condition (aS),
ces nombres ayant chacun la valeur o ou i. Pour évaluer le
nombre des tangentes doubles, supposons d'abord deux des nom-
bres /, m, n nuls, le troisième étant i ; ce qui peut se faire de
trois manières. Par exemple, supposons 1= m = o^ n = i . Alors
). et [J. peuvent prendre chacun les deux valeurs o et i , mais v
doit être égal à i, ce qui donne 4 systèmes de valeurs pour )., tji,

(') Zwr Théorie der Abelsclien Functionen fiXr den Fall p = 3 {Œuvi-es com-
plètes, p. 457 )•

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5ll

v; on a, de cette façon, 12 systèmes de valeurs pour /, /??, /?, A,
a, V en supposant deux nombres /, m, n nuls. Si un seul des
nombres /, m, n est nul, / par exemple, X peut prendre la valeur
o et I , puis [JL -H V doit être impair, ce qui exige a = o avec v ^= i ,
uL =: I avec V =^ o; on a donc encore 4 systèmes de valeurs de X,
a, V, en supposant / nul, m et n égaux à i , ce qui donne, en pre-
nant un seul des nombres l, m, n nul, 12 systèmes de valeurs des
6 entiers. Enfin, supposons l = m = n =^ i -^ alors X -1- ui -f- v doit
être impair; donc, ou bien les trois nombres X, tx, v sont égaux
à I ou un seul d'entre eux est égal à 1 : ce qui fait 4 systèmes de
valeurs. On a ainsi en tout 28 tangentes doubles conformément
aux formules de Pliicker. Désignant par (Imn, A[av) une tangente
double correspondant à un choix déterminé des six entiers i, m, n,
X, [Ji, V, on a le Tableau suivant des 28 tangentes doubles :

(100.100) (oTo,oio) (001,001) (OTI,OIO)
(toOjIio) (010,110) (001,011) (011,001)

(100.101) (010,011) (001,101) (011,110)
(100,111) (010,111) (001,111) (011,101)

(101,100) (110,100) (111,100)

(101,110) (110,101) (111,010)

(101,001) (110,010) (111.001)

(101,011) (110, ou) (111,111)

Nous ne nous occuperons pas ici de la réalité de ces tangentes
doubles, en nous bornant à remarquer qu'elles peuvent être toutes
réelles, comme l'a montré Pliicker (voir Salmon, Courbes
planes). Nous indiquerons quelques théorèmes relatifs au grou-
pement de ces tangentes doubles, théorèmes que Hesse et Steiner
ont démontrés par voie algébrique et que Glebsch a établis comme
application du théorème d'Abel (Journal de C relie, t. 63) (').

Nous avons trouvé (n° 228) qu'il existe 63 systèmes de coniques
tangentes en quatre points à la quartique. Dans chacun de ces
systèmes figurent six couples de tangentes doubles; les points
de contact de deux couples appartenant au même système
sont situés sur une conicjue.

(*) Voyez aussi Leçons sur la Géométrie^ par Clebsch, traduites par Benoit,
t. III, p. 345 et suivantes.

5l2 CHAPITRE XII.

En effet, les qualre points de contact Mi, Mo, M3, M4 d'une
conique tangente en quatre points sont liés par les trois équations

2 P -h 2 Xît j + / A + m B" -h nB'

Ui -\- U2 H- Ui + W4 =

(24) { Çi -i- V2 -\- i^3 -h Vf,

WPi H- W2 + W3 H- Wi,

2
2 Q -t- 2 [JL-JT f + / B" + /?l A' -h /Z B

3
2 R -f- 2 V Tc i -t- IB' -h mB -^ n A"

"1

+

u^

+

IH

+

W4

=

2P

it.

2 711 +
2

B'

Vl

-4-

(^0

H-

Vz

<^4

=

2O
2R

2

B

— ?

A"

où /, 7?z, /z, X, [x, V prennent les valeurs o et i associées de toutes
les manières possibles, ce qui donne 2^ = 64 systèmes de coniques.
La combinaison l = m = fi ^=k^ ^kz^ y = o donnant les droites
doubles du plan, il reste 63 systèmes de coniques tangentes en
quatre points.

Prenons, pour fixer les idées,, le système de coniques correspon-
dant au choix / = m = o, n ^ ij\= i^ pL=z:v = o. On a

(25)

Soient alors deux tangentes doubles caractérisées par les nom-
bres

(/', m', n' ; X', /, v') (/", m", n" ; V, |a", v");

appelons Mi , M2 les points de contact de la première, nous aurons

, „. P -\- iV T. i ^ r X -h 7n' B" -^ n' B'

(26) Ml + ii2 = ; j

et deux relations analogues pour ^^^ -\- ^2^ t^i -H ^2 ', appelons de
même M3, M., les points de contact de la deuxième, nous aurons

, , F -H 2 X"7r t H- l"A -+- m"B" -h n"B'

(27) «3 + W4 = — ,

2

et deux relations analogues pour P3 -j- P4 et w-^ + w^. Pour que
l'ensemble de ces deux tangentes doubles forme une conique qua-

APPLICATIONS DU THEOREME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l3

druplement tangente du système (25), il faut et il suffît qu'en
ajoutant les relations telles que (?6) et (27) on trouve les relations
(26) à des multiples des périodes près. Il faut et il suffit pour
cela que À'-}-X'', n' -\- n" soient impairs, ^' -{- u!' ^ v'-f-v'^, i'-\-l"-,
m' + m" pairs. Les six couples suivants de tangentes doubles
remplissent ces conditions :

I (010,010) (oii,iio)

II (011,010) (010, no)

III (100,111) (101,011)

IV (100,101) (101,001)

V ( 110,011 ) (111,111)

VI. (110,101) (111,001)

Les huit points de contact de deux quelconques de ces couples
sont sur une conique; en effet, les quatre points de contact de
chaque couple vérifient des relations de la forme (25). En ajou-
tant, membre à membre, les relations correspondantes pour les
deux couples, on obtient précisément des relations de la forme
(11), qui expriment que huit points sont sur une conique.

233. Nous venons de supposer que la courbe du quatrième ordre
n'a pas de points doubles. Si elle acquiert des points doubles ou des
points de rebroussement, le nombre des tangentes doubles diminue,
conformément aux formules de Plûcker. On pourra encore étu-
dier le nombre et la disposition de ces tangentes à l'aide des rela-
tions fournies par le théorème d'Abel.

Pour ne pas rendre cette étude trop longue, nous nous boise-
rons à examiner en détail le cas où la courbe admet trois points
doubles à tangentes distinctes.

Nous avons trouvé (n° 23i) les conditions nécessaires et suffi-
santes pour que quatre points ^,, t^, ^3, t^ de la quartique unicur-
sale soient en ligne droite. Ces relations peuvent s'écrire

Cl désignant la constante e^''. Les constantes c,, Co, C3 se déter-
minent de la façon suivante. Considérons la droite joignant les
A. ET G. 33

5l4 CHAPITRE XII.

deux points doubles («o? ^2) et (a^, 63). Cette droite coupe la
courbe aux quatre points

Exprimant que la première des relations (28) est vérifiée par ces
valeurs de ^<, t. 2, ts, ^/,, on a

""ï - («2 -bi){b,-bi)ia,- bi)ib, ■- 60 *
De même, on a

g _ ( c?.3 — a^)(bs — a-2)(ai —a^Mb^ — a-j)
^^ "" ^a^ — b^){b^ — b.i){ay-bi){b, -62)'

2 _ {ax — az){bi~-a-i){ai — a^){bi--a^) ^
^'' ~ {ay — b^){bi — bs){a^-~bi){bz — b^)'

On tire de là deux déterminations pour chacune des constantes
C\, C2, C3 : nous les choisirons comme il suit. Formant le produit
^1^2^3 7 ^^ trouve un carré parfait dans le deuxième membre;
nous extrairons les racines et nous prendrons

(«1— «aH^' — «3)(«3— «O
<"9) «"=^<'==(i,_è,)(è.-6,)(é3-é,)'

Ceci posé, arrivons au problème des tangentes doubles. Soient
t et t' les paramètres des deux points de contact : on aura dans (28)

if j = ^2 = ^> ^3 rrr ^^ rr: ^ ,

d'où, en extrayant les racines,

,_ , (t — ak)(t'—ak) ^ ^

^'^^> {t-b,)it'^b,)=^'''^

OÙ £/e = ± I . On a ainsi trois relations pour déterminer t et t' ', ces
relations se réduisent forcément à deux, par exemple aux deux
premières. Une fois £< et £2 choisis, on trouve un seul système de
valeurs pour t et t'^ c'est-à-dire une tangente double. Comme
e, = dz I, £2 =± I, on peut associer ces valeurs de quatre façons
différentes : on trouve donc quatre tangentes doubles.

Une fois £< et £2 choisis, £3 est déterminé : pour le voir on peut
employer la méthode élémentaire suivante, due à Clebsch ; chassons

APPLICATIONS DU THÉORÈME DABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l5

les dénominateurs dans les relations (3o) ; elles prennent la forme

(3i) al — H-Ckb'l — {t^t'){ak — t/^CA-bk) -^ tt'{i — s^-c^.) = o.

Ces équations linéaires en ^ -|- ^' et 1 1' devant être compatibles,
on a la condition

«f — £lCi6f «1— Cl Cl 61 1 — £,Ci

a| — £202^1 «2 — 22^2^2 I — £0^2
«3 — ^3^361 «3 — £30363 I — £303

Cette condition, ordonnée par rapport à s,, So, £3, est de la
forme

(3i bis)

A- -:- Bl £1 -f- Bo £2 -i- B3 £3 4- Cl £2 £3 -T- C2 £3 £1

-+- C3 £1 £0 -^ D£i £9 £3 = o.

Les coefficients se calculent immédiatement par le développe-
ment du déterminant. Ainsi

aj «1 I j

al «2 I I = («"'2 — «i)(a3 — «2)(«i— «3),
«1 «3 I j
D --=— {b.~b,)(b:i — b.2)(bi — b:i)ciCiC.,,

Bi =

Gi =

I ^ï bi I

I «2 ^2 I

i «3 «3 I

a] ai I

bl b. I

bl b, .

{bi — a.2){bi—as){a,— a3)ci ...,

C2C3 = — («1 — 62)(ai ~bs){b.2—bs)Ci

Ci-

D'après la relation (29), on a donc

D = -A, Gi = -B,.
On trouve de même

C2 = — B2, C3 = — Bj.
En remarquant que

^3 — Si (l — :i£2£3),

5i6 CHAPITRE XII.

on peut écrire la relation (3i)

(A -+- BiSi -T- BaSî + B3£3)( J — £ie2E3) = o.

Le premier facteur n'est pas nul si (a,, 6,), («2, ^2) (<^35 ^3)
sont quelconques; on a donc

(3!2) ei^2£3 = i,

ce qui détermine £3, une fois £< et £2 choisis égaux à ±: i .

Gomme conséquence de cette détermination, nous démontre-
rons que les huit points de contact des quatre tangentes douhles
sont sur une conique. En effet, supposons écrites les relations
(3o) pour les quatre tangentes doubles; en appelant {t^^ t\) ,
\h, Q, (^3, 4), (^4, i[) les valeurs de t correspondant aux points
de contact des quatre tangentes doubles, on aura, en multipliant
membre à membre les relations (3o) correspondantes,

A: = I. 2, 3),

car, £a ayant deux fois la valeur — i, le produit des seconds
membres est c^ ou e^'^S car nous avons posé c'I = e^^K Les rela-
tions (33) sont celles qui expriment que huit points de la quartique
appartiennent à une conique (n°231). Le théorème est donc
démontré.

On pourra vérifier la proposition suivante : Parmi les sept sys-
tèmes de coniques quadruplement tangentes définies par les équa-
tions (21), les trois systèmes obtenus en assujettissant n, + /lo + n-i
à èlre pair contiennent chacun deux paires de tangentes doubles;
les quatre autres systèmes obtenus en assujettissant ni -i- n^ -h n^i à
être impair ne contiennent pas de tangentes doubles.

Si la quartique a des points de rebroussement, le nombre des
tangentes doubles est moindre. Il faudrait alors remplacer

. t — a/, 1 .

loer 7— par ?

oik désignant le paramètre du point de rebroussement.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. Diy

234. Les cas particuliers que nous avons traités montrent
comment le théorème d'Abel donne les conditions nécessaires et
suffisantes pour qu'un système de points situés sur une courbe
donnée d'ordre m soit le système complet des points d'intersection
de cette courbe avec une courbe d'un degré donné. Si la courbe
n'a pas de points doubles, les conditions seront exprimées à l'aide
d'intégrales de première espèce. S'il y a des points doubles, il
faut employer, en outre, des intégrales de troisième espèce deve-
nant infinies respectivement aux points superposés aux points
doubles. S'il y a des rebroussements, ces intégrales de troisième
espèce sont remplacées par des intégrales de deuxième espèce ayant
respectivement les points de rebroussement comme pôles du pre-
mier ordre. Quand la courbe sécante passe par des points doubles
ou de rebroussement, les relations qui contiennent les intégrales
correspondantes disparaissent. Enfin, si le degré de la courbe
sécante est inférieur ou égal à m — 3, les relations fournies par
le théorème d'Abel de la façon que nous venons d'indiquer ne sont
pas toutes distinctes.

235. Dans les applications précédentes, nous avons cherché
les conditions nécessaires et suffisantes pour que ms points, pris
sur la courbe d'ordre m, appartiennent à une courbe quelconque
d'ordre s qui n'est assujettie à aucune condition. Le théorème
d'Abel se prête aussi à l'étude des groupes de points d'inter-
section d'une courbe donnée avec des courbes d'ordre s assu-
jetties à passer par des points fixes donnés pris en dehors de cette
courbe.

Prenons, par exemple, une cubique plane sans point double et
coupons-la par des droites passant par un point fixe A non situé
sur la cubique. Une de ces droites coupe la courbe en trois
points Ml, Mo, M3 ; l'un de ces points étant choisi arbitrairement,
les deux autres sont déterminés : il y a donc deux relations dis-
tinctes entre les trois points analytiques M,, Mo, M3. Nous les
obtiendrons comme il suit : d'abord en appelant u l'intégrale de
première espèce attachée à la cubique, et u^^ 11.2-, U3 les valeurs de
cette intégrale aux points M, , Mo, M3, on a la relation déjà indiquée

(34) Wi -r- U-2 -h W3 = P -i- /?ltO -T- /)l lii',

5l8 CHAPITRE XII.

qui exprime que les trois points sont en ligne droite. Menons
ensuite par A une sécante déterminée ANiNgNg et appelons
v!5{x^y) l'intégrale de troisième espèce ayant pour points singu-
liers logarithmiques les points Ni, Ng. La somme t^i -h 7^2 + ^:$
des trois valeurs de m aux points Mi , Mo, M3, où une droite variable
y = o, passant par A, coupe la courbe, est constante. En effet, soit
W= o une seconde droite, passant par A; la somme 7574 + ^2 + ^3
est la même pour les deux droites /= o et W= o, car, dans le fais-
ceau /+ [JiW = o, il j a une droite passant par les points critiques
logarithmiques de l'intégrale rn , à savoir la droite ANiNoN^
(n" 185). On a donc une nouvelle relation

(35) THi+THaH-nTgr^ Q -h Ci^TItH- mQ-^- 7?2'0',

0 et ù' étant les périodes de ts correspondant aux mêmes coupures
que co et w' pour u.

Voici un deuxième exemple.

Soient une conique fixe F(^, y) = o et deux points fixes A et B
non situés sur la courbe. Une conique quelconque passant par A
et B coupe F = o en quatre points dont trois peuvent être choisis
arbitrairement; il y a donc une relation entre ces quatre points :
cette relation est fournie par le théorème d'Abel. Soient Ni et N2 les
deux points fixes où la droite AB coupe la conique ; formons l'inté-
grale de troisième espèce 7jj(^,j), relative à F (x, 7)= o, admettant
comme points singuliers logarithmiques les deux points Ni et N2.

La somme 7774 + 7172+7153 + 757.4 des quatre valeurs que prend 757
aux quatre points d'intersection de F = o avec une conique /=:o
passant par les deux points A et B reste constante quand cette
conique varie. En effet, si l'on considère une deuxième conique
(L == o passant par les points A et B, la somme Ts^ + 7573 -h 7573 + 757/,
est la même pour les points d'intersection de F = o avec les
deux coniques /= o et ^ = o, car, dans le faisceau /+ \k^ = o,
il se trouve une conique passant par Ni et N2. Si l'on exprime
les cooordonnées d'un point de la conique F — o en fonction
rationnelle d'un paramètre ^, et si l'on appelle a et b les valeurs
de t correspondant aux points fixes IN, et No, on a

t — a

^ = L0g- -r'

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l9

La relation entre les valeurs ^,, ^o, ^3, ^4 du paramètre t aux
quatre points d'intersection de F = o avec une conique variable
passant par A et B est donc de la forme

I-OS 7^6 ^ Log^^ - Log^-— 5 + Log ^--^ = K -- an.,,

OÙ K est une constante qui sera déterminée dès qu'on connaîtra
les points d'intersection de F = o avec une conique particulière
passant par A et B.

Ainsi, coupons l'ellipse -^ + ^ — 1=0 par des cercles, c'est-
à-dire des coniques passant par les deux points circulaires à l'in-
fini A et B. On peut exprimer les coordonnées d'un point de
l'ellipse, en posant

j ^2 2 ^

a7 = <2coso = a ) ^ = èsino = 6

t = tang ^'

La droite de l'infini AB coupe l'ellipse en deux points Ni et N2
correspondant aux valeurs ^ = y — i et t =r. — y — ^ i . L'intégrale
de troisième espèce avec ces deux points singuliers logarithmiques
est

2 dt

f.

c'est-à-dire nsz^i'^. Soient alors cp, , cpo, 03, cp^ les valeurs de cp
correspondant à quatre points de l'ellipse situés sur un cercle;
comme la somme des valeurs de l'intégrale rn en ces quatre points
est constante, on a

91-T- ^2-^ ?3-<- 94 = G -h 2 7i77,

OÙ G est une constante et ii un entier. Le cercle homographique
de l'ellipse lui est bitangent aux deux sommets : pour ce cercle
particulier, on a

La constante G est donc nulle et on a

')>.o «:ii A l'ii m-; XII.

^l'M't. On ohlH'iil ciHorc (l(s I Ih'oi'ciikîS (i(; ( Îk'oiiu'I ri(; <l'un
ruaiM.r soiivcfillrrs r\i"^Ati\ eu .i|>|)li(|iiarit l(; llK'orrnKMl' Ahel a (Jos
ml<'<^r ;»I<'S jil)(*li(;iirK;s (|iii oui iiih' si;^iii(i(;!il iOii j^roni/Miici iir, nai-
(!X('in|)l<' à (\('.H irité;.;f'al(!.s alxîliciinos reprcîsenlanl, des ai/es, des
fi/cs, (les tlisfanccs, des ///tj^ les, (Me.

l'oiir donuci' mic i(l('(' de; (Uî ^l'iiir de iIm'oi rincs, nrcnoiis iiim;
coiirlKi d'ordi'iî ///, V(;jr, y) : o, avec /n dii'e(;hoiis asjinptolique.s
disliiieL(;s. K'airct d'cin secleur do celle eourix' (U)m|)l('î aiiloiir du
poinl (), (Jonl le choix est arbitraire, est

S ~ / .7.' r/y y dun Xf ' f

(7esl iirHî iiHci^rale ahcliciiiK; r<daliv(! 'h la courbe. (a'XU) inlé-
f;ral(î devi(Mil liilinie seiileuKuil à l'iiiliin^ j)our voir coinnient elh?
d(;vi(Mil inlitiic, )'('iiiar(|ii<)ns (pu; |)(Hir iinc, des brai)('li(;s iufiiiie.s,
ou a, ./• élaul 1res ^raiid,

y — ax -h h -I ■ — I- . , . .

X

Donc

S ?= A- "+- c - hx H- r; loi» .r H f- . . . .

X

Ij'iiilé^rabî S devi(!iil donc; iidiin(; avec ./• parce (pi^îllc; conliiMil
le leiriH! bx qui dwvicîul indiii du pi(;niier ordre el le lerme \{^^x.

Coupons alors la courbe F = o par une courbe variable f :=z o
d'ordre .ç, (issujettùi à cwoir sos directions asymptotir/uos fixes et
distinctes des directions asymptotiijues de F :=- o. J.a sonnn(î

des aires des secteurs S limitais aux points d'intersection de F et/
est constante. Mw efï'et, si ^•:—- o est une dcuxicme r^oinbe d'ordre.?
ayant niâmes directions asyniplolirpies (pn; /' o, parmi les
courbes du faisceau /' \ \i.'\ o jl s'en Irouvc uik; l'orruéct de la
droile de l'inliui et d'une courb(; d'ordre .s ™ i ; comme cette
courbe passe par les points où l'inlc'î^rale S devient infinie, la
somme (^f)) a la môme valcMir pour les deux courbes/et «]; (n"1K()).
<^uand le degré de/:=::o égale ou surj)ass(' celui de; V o, ou jx-ui

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GEOMETRIE, J2l

évidemment remplacer dans l'énoncé la courbé /=o parla courbe

/+).F=:0,

où lest arbitraire, car celte courbe n'a aucun point commun avec
F = o à l'infini.

Par exemple, on pourra vérifier le théorème pour l'hyperbole

xy = I coupée par les coniques

où P et Q sont des constantes déterminées non nulles, a, ^, y, 8
des constantes arbitraires.

236. Voici un exemple des théorèmes relatifs aux angles. Soient
F(^, y) = o une courbe fixe d'ordre f?i et 8 l'angle que fait, avec
une direction fixe, O^r, la droite OM joignant un point arbitraire O
au point 1\I pris sur la courbe. Le point O étant choisi comme

û r jf, X dy — y dx

o

X

r

ou encore, comme

F^ dx -+- F y dy = o,
x¥;^—yF'y dx

^= —

■r' ^'y

L'angle 9 est donc donné par une intégrale abélienne relative à
la relation algébrique F(;r, y) = o. Cette intégrale abélienne, étant
égale à

arc tans: — = — . Lo<

J'

n'a d'autres singularités sur la surface de Riemann que des points
singuliers logarithmiques; elle n'a d'ailleurs qu'une période tt.

D'après son expression sous forme finie, cette intégrale est finie
en tous les points de la courbe F := o, à distance finie ou infinie,
excepté aux points de rencontre de la courbe avec les droites iso-
tropes

;r2-i-^2:^ O.

Le théorème d'Abel, appliqué à l'intégrale Ô sous la forme du
A. ET G. 33.

522 CHAPITRE XII.

n° 186, donne alors le théorème suivant, que nous énonçons en
adoptant une dénomination due à Laguerre; nous dirons que deux
systèmes de droites ont la même orientation si la somme des
angles que font les droites d'un des systèmes avec un axe fixe,
égale, à un multiple de tu près, la somme des angles que font les
droites de l'autre système avec le même axe. Les deux systèmes
formés par les droites qui joignent respectivement un même
point O aux points oit la courbe donnée F = o est traversée
par deux courbes G = o et 0'= o de même degré, ont même
orientation si, parmi les courbes du faisceau G -f- XG'= o, il en
est une qui passe par les points de rencontre de¥ ^= o avec un
cercle de rayon nul de centre O (*). Par exemple, on peut
prendre pour G et G' deux cercles de centre O.

On obtient des propositions analogues en employant les coor-
données tangentielles. Soient /(?/, v)=^o l'équation tangentielle
d'une courbe algébrique et 8 l'angle de la tangente

UX -^ Vf -^1 = o

avec l'axe O^. On a

,. u ,^ (' (Hi — u dv
0 — — arc tanjï — i d% — — 7

L'angle Q est do*nc encore une intégrale abélienne relative à la
relation algébrique /(;/, v) = o : celte intégrale devient infinie
comme un logarithme pour les valeurs de u et v correspondant aux
tangentes menées à la courbe par les points circulaires à l'infini
u ~h iv = o et u — iv = o. On en conclut le théorème suivant :

Les deux systèmes de tangentes respectivement communes à
la courbe /( u, ç) = o et à deux courbes algébriques o{u, v)=^o
et ^(?<, v) =0 ont même orientation si, paimi les courbes du
faisceau tangentiel cp -f- X(i> = o, il en est une qui touche les
tangentes menées à /"= o par les points cycliques du plan (-).

Par exemple, les deux systèmes de tangentes communes à une

(') JIuMBERT, Journal de Mathématiques, 4" série, l. III, p. 356; 1887.
(M Hur.iBERT, loc. cit., p. 358.

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 323

courbe algébrique et à deux courbes liomofocales ont même orien-
tation (M.

237. Terminons enfin par quelques exemples relatifs aux arcs.
Soit

l'équation d'une courbe algébrique. L'arc a- de celte courbe est
défini par

Gomme -^ est une fonction iri'ationnelle de x eV y^ rr est

donné par une intégrale abélienne relative à une relation algé-
brique différente de ¥[œ^y) = o. Il y a exception pour les
courbes que Laguerre a appelées courbes de direction (-) et qui
sont caractérisées par cette propriété que \/^'^ 4- F'- puisse s'ex-
primer rationnellement en fonction des coordonuéees x et r d'un
point de la courbe.

Supposons cette condition remplie

/F7~F7=/(;r,r);

alors or est une intégrale abélienne relative à la courbe elle-même
F = o. La courbe f(x, y) =i o est une courbe adjointe, car la
fonction y* s'annule en tous les points singuliers de F.

En appliquant à l'intégrale o- le théorème d'Abel, on aura des
relations entre les longueurs des arcs de la courbe de direction
F = o comptés depuis un point fixe jusqu'aux points où cette
courbe est coupée par une courbe variable d'un degré déterminé.
Nous nous contenterons d'en indiquer un exemple élégant.

La courbe du sixième ordre, qui a pour équation en coor-
données polaires

r3= «3 cos3ô,

est du genre un, comme étant la transformée par rayons vecteurs

{') Laguerre, Comptes rendus, janyier i865.
(0 Comptes rendus, t. XCIV, 1882.

") >./| <; Il M' nui; \ii.

récipr()(|iics d'iinc (',iil)i(nio sans poinl. doiihlc. (]('lle courbe est
d'ailleurs une (tourbe de direelion, car ou a

<r' r/O a-^ , y

\j[\ dinVîrenliellc <li csl doue l)ieu ralioiiuelle eu œ vXy. On vé-
v\[\(\ eu oulie (|ue a esl, une iiii(':;iale de première espèce; eu cHcL
il suflil de l'expiiuiei' eu foiu-liou (!<• /',

r a^ dr

J y/;^Fir7a

pour i-econuaîlre qu'elle esl pari oui (iuie.

Donc, eu appelaul o-,, o-^, . . ., cr„,/ les arcs comptés de[)uis des
points fixes de la courbe jus(|u'au\ points de reueoutrc de la

i''^'^- !)'

courbe douuée avec uwv courbe al^ébricpie (pudcoiupie C,

d'or(b'e //, ou a

a] H- aj -f- . . . -t- ffG« ~- K,

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5'}.5

K désignant une constante indépendante des coefficients de C« ( ' ).
l*ar exemple, un cercle passant par l'origine coupe la courbe con-
sidérée en douze points dont six à l'infini aux points cycliques,
trois à l'origine; il en reste donc trois variables seulement A,
B, C; les trois arcs OA, OB, OC comptés à partir de l'origine
dans un même sens de circulation sur la courbe ont donc une
somme constante quand le cercle varie, et cette constante est
nulle, car la somme s'annule évidemment avec le rayon du cercle.
On a donc en valeur absolue, en supposant que OA est le plus

grand des arcs,

arcOA = arcOB -f- arc OC.

L'arc de cette courbe a déjà été étudié par M. IVf. Roberts
(Journal de Mathématiques, t. XII).

238. Le théorème d'Abel appliqué aux courbes gauches coupées
par des surfaces algébriques permet également d'étudier Icî»
groupes de points sur ces courbes. Par exemple, une biquadra-
tique gauche sans point double effectif est du genre un. En appe-
lant u l'intégrale elliptique attachée à la courbe, on a, pour les
quatre points d'intersection de la courbe avec un plan, une rela-
tion de la forme

(37) tti-t- «2 -4- «3-4- a^:^ G -i- /nw -I- /n'w',

m et m' étant des entiers, w et w' les périodes de u. La théorie
de ces courbes est alors analogue à celle des cubiques sans point
singulier.

Si Ton prend, sur la biquadratique, deux points variables M| et
INLj, assujettis à la condition

ai -f- «2 = A -r- mw -r- rn'co',

où A est une constante arbitraire, la droite M| M2 engendre une
quadrique passant par la courbe. D'après (3^), les génératrices de

(•) HuMBERT, Journal de Matlœmatiques, '\* série, t. III, p. 394; i^^y-

526 CHAPITRE XII. — APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL.

l'autre système de cette quadrique rencontrent la courbe en
deux points M3 et M4 tels que

M3 -h W4 = G — A 4- m w -h m' lo'.

ERRATA.

P. 87. Dans l'intégrale du haut de la page, il faut remplacer Q^ par Q^,^„ :
l'intégrale ainsi modifiée peut encore être désignée par Ç(''-')(2^ u; ocj, car elle
diffère de l'intégrale de deuxième espèce de la page 79 par des intégrales de
prejnière espèce seulement.

TABLE DES MATIERES. 527

TABLE DES MATIÈRES.

Pa?es.

Introduction ^

CHAPITRE I.

Surfaces de Riemann a deux feuillets.
Relations

u'z= z, u' = k{z — e^) {z — ej {z-~ej {z — ej,
u^:=A{z-e^){z-e,).. {z-ej.

— Fonctions uniformes sur une surface de Riemann : zéros, points
singuliers, pôles, ordres. — Fonctions rationnelles de z et u : propriétés
caractéristiques. — Genre ^-^4

CHAPITRE II.

Intégrales hyperelliptiques.

Propriétés générales. — Singularités des intégrales hyperelliptiques. —
Différentes espèces d'intégrales. — Le nombre des intégrales de pre-
mière espèce est égal au genre. — Intégrales de troisième espèce avec
deux points critiques logarithmiques. — Intégrales de deuxième es-
pèce avec un seul pôle. — Moyen de déduire ces intégrales de celles
de troisième espèce. — Expression d'une intégrale hyperelliptique
quelconque à l'aide d'intégrales des trois espèces. — Expression d'une
fonction rationnelle par une somme d'intégrales de première et de
deuxième espèce. — Décomposition en éléments simples. — Exemple.
— L'intégrale élémentaire de deuxième espèce est une fonction ration-
nelle du paramètre. — Expression d'une fonction rationnelle à l'aide
d'intégrales de première et de troisième espèce 55-ç)8

528 , TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE m.

Connexion des surfaces a deux feuillets. — Périodicité
DES intégrales iiyperelliptiques.

Pages

Connexion des surfaces de Kiemann à deux feuillets. — Coupures. —
Théorème de Caucliy sur une surface de Riemann. — Modules de pé-
riodicité des intégrales Iiyperelliptiques. — Relations entre ces mo-
dules. — Intégrales normales de première, deuxième et troisième
espèce. — Modules de périodicité des intégrales normales 99-164

CHAPITRE IV.

Les fonctions algébriques d'uxe variable et les surfaces
DE Riemann correspondantes.

Continuité des racines d'une équation algébrique. — Points singuliers.

— Méthode de Puiseux. — Surfaces à m feuillets. — Point analytique.

— Propriétés générales des fonctions uniformes sur une surface de
Riemann i65-22t

CHAPITRE V.

Connexion des surfaces de Riemann. — Périodicité
des intégrales abéliennes.

Connexion des surfaces en général. — Ordre de connexion d'une sur-
face quelconque; d'une surface fermée; d'une surface de Riemann. —
Généralisation de la relation d'Euler pour les polyèdres. — Coupures
sur une surface de Riemann. — Exemples. — Equations binômes. —
Surfaces de Riemann régulières. — Intégrales abéliennes. — Proprié-
tés générales. — Périodes. — Classification 222-255

CHAPITRE VI.

Transformations birationnelles.

Transformations rationnelles générales. — Transformations biration-
nelles. — Conservation du genre. — Ordre et classe d'un cycle. —
Transformation d'Halphen. — Théorème de Nôther. — Définition
géométrique du genre. — Courbes de genre zéro. — Courbes de genre
un. — Courbes de genre deux 266-298

TABLE DES MATIERES. 3^9

CHAPITRE VII.

Intégrales normales. — Décomposition d'une intégrale

ABÉLIENNE EN ÉLÉMENTS SIMPLES. — CaS DE RÉDUCTION.

Pages.

Formation des intégrales de première espèce. — Courbes adjointes. —
Intégrales de seconde et de troisième espèce. — Intégrales normales
des trois espèces. — Périodes des intégrales normales. — Echange du
paramètre et de l'argument dans les intégrales de troisième espèce.
— Intégrales de seconde espèce déduites de l'intégrale de troisième
espèce. — Réduction d'une intégrale quelconque à une partie algé-
brique à des intégrales de troisième espèce et à ip intégrales de pre-
mière et de seconde espèce. — Intégrales algébriques. — Intégrales
logarithmiques. — Intégrales de première espèce réductibles à des in-
tégrales elliptiques 299~^7^

CHAPITRE Vin.

Fonctions uniformes sur une surface de Riemann.

Expression d'une fonction rationnelle au moyen d'intégrales normales
de seconde espèce. — Théorème de Riemann-Roch. — Fonctions spé-
ciales. — Fonctions d'ordre minimum. — Courbes hyperelliptiques.
— Relations entre les pôles et les zéros. — Expression générale d'une
fonction uniforme avec un nombre fini de points singuliers 370-399

CHAPITRE IX.

Théorème d'Abel.

Théorème général. — Application aux intégrales de première, de se-
conde et de troisième espèce. — Formule générale. — Application aux
intégrales hyperelliptiques. — Seconde démonstration. — Réduction
d'une somme d'un nombre quelconque d'intégrales à p intégrales et à
des quantités algébriques et logarithmiques. — Théorème d'addition
pour les intégrales de première espèce. — Intégration d'un système
d'équations différentielles. — Extension du théorème d'Abel aux
courbes gauches algébriques 4oo-434

CHAPITRE X.

Le problème de l'inversion.

Recherche des courbes dont les coordonnées sont des fonctions uni-
formes d'une intégrale abélienne attachée à cette courbe. — Les trois

530 TABLE DES MATIÈRES.

Pages
formes possibles de l'intégrale. — Inversion de l'intégrale de pre-
mière espèce attachée à une courbe du premier genre. — Généralités
sur les fonctions doublement périodiques. — Recherche des équations
F{u,u') =0 qui admettent une intégrale uniforme. — Méthode de
M. Hermite. — Application aux équations binômes. — Fonctions qui
admettent un théorème d'addition algébrique. — Généralisation du
problème. — Le problème d'inversion deJacobi. — Extension du pro-
blème de Jacobi ^\35-^6(^

CHAPITRE XI.

Courbes normales. — Modules.

Théorème de M. Schwarz. — Transformations birationnelles d'une
courbe de genre un en elle-même. — Courbe normale de Clebsch. —
Courbe normale de Nother. — Modules d'une classe de courbes algé-
briques. — Généralités sur les transformations simplement ration-
nelles 470-487

CHAPITRE XII.

Applications du théorème d'Abel a la Géométrie.

Étude des groupes de points obtenus en coupant une courbe algé-
brique donnée par d'autres courbes algébriques. — Applications aux
cubiques et aux quartiques. — Tangentes doubles des quartiques;
coniques quadruplement tangentes. — Application du théorème d'Abel
aux aires, aux angles et aux arcs des courbes de direction. — Biqua-
dratiques gauches ^8H-Ï)'26

Errata 526

IN DE LA TABLE DES MATIERES.

iy363 Paris. — Impr. GAUTHIER-VILLARS ET FILS, quai des Grands-Auguslins, 55.

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