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TRAITÉ
DE
GÉOMÉTRIE
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PARIS. — IMPRIAÎERIE G A UTH lE R-VILL ARS ET C
665v4-22 55, Quai des Grands-Augustins, 55
7
TRAITÉ
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GÉOMÉTRIE
Eugène ROUCHÉ et Ch. de COMBEROUSSE
NOUVELLE EDITION
DEUXIÈME PARTIE GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE
PARIS GAUTHIEH-VILLARS el 0\ ÉDITEURS
HUriAIRES DU BLRIiAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 55,' QuhI des Grands-Augustins, 55
1922
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1^ ^x
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X
TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES.
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
LIVRE V.
§ I. — Premières notions sur le plan.
Pages
Positions relatives d'une droite et d'un plan i
Intersection et positions relatives de deux plans 2
Conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer un plan 3
Positions relatives de deux droites dans l'espace 4
Conditions de parallélisme de deux droites dans l'espace : conséquences. . . .
§ II. — Droites et plans parallèles.
Positions relatives du système de deux droites parallèles et d'un plan;
droites parallèles à une troisième 6
Positions relatives du système de deux plans parallèles et d'une droite ou
d'un plan "^
Égalité des angles à côtés parallèles et de même sens. — Définition de l'angle
de deux droites; droites perpendiculaires 8
Egalité des parallèles comprises entre droite et plan parallèles, entre plans
parallèles lO
Système de deux droites coupées par trois plans parallèles 1 1
•
§ III. — Droite et plan perpendiculaires.
Conséquences immé<liates de la définition adoptée 1 1
Conditions pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan 12
Existence de la perpendiculaire au plan 1 3
R. et DE C. — Tr. de Géom. (Il* Partie).
VI TABLE DES MATIERES.
Page». Parallélisme de deux droites ou d'une droite et d'un plan perpendiculaires à
un même plan ou une même droite iS
Propriétés de la perpendiculaire et des obliques 17
Dislance d'un point à un pla.nj'^i' une droite et d'un plan parallèles, de deux
plans parallèles 18
§ IV. — Projection d'une droite sur un plan. — Angle d'une droite et d'un plan. — Plus courte distance de deux droites.
Projection d'une droite sur un plan. — Projection de deux droites parallèles. 18 Projections de deux droites rectangulaires sur un plan parallèle à l'une d'elles; théorème des trois perpendiculaires. — Ortiiogonalité de la trace d'un plan
et de la projection d'une perpendiculaire à ce plan 19
Angle d'une droite et d'un plan 21
Perpendiculaire commune à deux droites non situées dans le même plan:
distance de ces deux droites 22
§ V. — Angles dièdres.
Angle dièdre droit. — Angle plan correspondant à un angle dièdre 24
Mesure d'un angle dièdre 26
Ligne de plus grande pente d'un plan 28
§ VI. — Plans perpendiculaires.
■ Propriétés relatives à un dièdre droit et à la perpendiculaire à l'une de ses
faces 28
Plan mené par une droite donnée perpendiculairement à un plan donné. . . 3o
Intersection de deux plans perpendiculaires à un troisième 3o
§ VII. — Angles polyèdres.
Convexité d'un angle polyèdre 3l
Angles polyèdres symétriques 33
Propriétés générales des angles polyèdres convexes 35
Conditions pour qu'on puisse former un trièdre avec trois faces données. ... 37
Trièdres supplémentaires; origine du principe de dualité 3^
Conditions pour qu'on puisse former un trièdre avec trois dièdres donnés.. 4^
Cas d'égalité des trièdres; quatre cas 4^
APPENDICE DU CINQUIÈME LIVRE.
Quadrilatère gauche coupé par un plan quelconque et, en particulier, par
un plan parallèle à deux côtés opjiosés 4^
Piapporl anliarmoniquo de quatre plans 4'5
TABLE DES MATIERES. Vn
Pages. Propriétés fondamentales de la projection centrale ou perspective. — Point de fuite d'une droite. -^ Condition pour que des droites aient leurs per- pectives parallèles. — Ligne de fuite d'un plan; conception de la droite de V infini d' un plan ^q
LIVRE VI.
LES POLYÈDRES.
§ I. — Propriétés générales et aire latérale du prisme.
Propriétés relatives aux faces opposées et aux diagonales du parallélipipède. 55
Sections d'un prisme par des plans parallèles. — Section droite 57
Aire latérale 58
§ II. — Volume du prisme.
Théorèmes préliminaires relatifs à la transformation du prisme oblique en prisme droit équivalent, et à la décomposition du parallélipipède par
un plan diagonal Go
Volume du parallélipipède rectangle 63
Volume du parallélipipède droit et du parallélipipède quelconque 65
Volume du prisme quelconque, conséquences 6fi
§ III. — Propriétés générales et aire latérale de la pyramide.
Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base : conséquences. ... 70 Aire latérale d'une pyramide régulière et d'un tronc de pyramide régulier. 78
§ IV. — Volume de la pyramide.
Équivalence de deux pyramides triangulaires de bases équivalentes et de même hauteur 74
Volume de pyramide : conséquences. — Cas du tétraèdre régulier. — .Mé- thode pour évaluer le volume d'un polyèdre quelconque 7^
Volume du tronc ilr- pyramide à bases parallèles. — Formules relatives soit
au tronc de première espèce, soit au tronc de seconde espèce 79
Volume du tronc de prisme triangulaire. — Application au tronc de parallé- lipipède Sd
Volume du polyèrln/ ayant pour bases deux polygones quelconques situés dans des plans parallèles et limité latéralement par des triangles ou des trapèzes. — Application au tas de pierres, cuvettes, tombereaux, etc. .. • 88
VIII TABLE DES MATIERES.
Pages, § V. — Figures symétriques*
Symétrie par rapport à un centre, à un axe, à un plan 90
Influence de la position du centre ou du plan de symétrie. — Manière de ramener l'une à l'autre la symétrie par rapport à un centre et la symétrie
par rapport à un plan 92
Propriétés relatives à deux droites symétriques, à deux plans symétriques. 98
Propriétés des polyèdres symétriques 96
Equivalence de deux polyèdres symétriques 96
§ VI. — Polyèdres semblables.
Cas de similitude de deux pyramides triangulaires 98
Décomposition de deux polyèdres semblables en tétraèdres semblables.
Droites homologues 99
Rapport des aires et des volumes de deux polyèdres somblaliles lo3
APPENDICE DU SIXIÈME LIVRE.
Propriétés générales des polyèdres convexes. — Théorème d'Euler
(.S + F = A + 2) et ses conséquences i o5
Conditions d'égalité et de similitude de deux polyèdres convexes; nombre
des conditions nécessaires pour déterminer un polyèdre convexe no
Projection d'une aire plane 1 1 4
Centre des distances proportionnelles 116
Centre de gravité : triangle, trapèze, polygone; tétraèdre, polyèdie 120
Aire latérale et volume d'un tronc de prisme quelconque 124
Méthode de démonstration des propriétés projectives 127
Règle pour reconnaître la projectivité de certaines relations métriques;
expression trigonométrique du rapport anharmonique d'un faisceau. .. . 129
Figures homologiquos; leur origine; leur construction; droites limites i3o
Propriétés métriques des figures homologiques. — Coefficient d'homologie,
nouvelle définition 1 33
Homologie des projections de deux figures planes en perspective, réciproque. i35
LIVRE VII.
LES CORPS rsO.NDS.
§ I. — Cylindre de révolution.
Notions préliminaires. — Plan tangent. — Prisme inscrit ou circonscrit. — Cylindres semblables i36
TABLE DES MATIERES. IX
Pages.
Aire latérale du cylindre de révolution. — Développement i4i
Volume du cylindre de révolution 1^2
§ II. — Cône de révolution.
Notions préliminaires. . — • Plan tangent. — - Pj-ramide inscrite ou circonscrite.
— Cônes semblables 1^4
Aire latérale du cône de révolution. — Développement i48
Aire latérale du tronc de cône à bases parallèles i49
Volume du cône de révolution i5 1
Volume du tronc de cône à bases parallèles. — Formules soit pour le tronc de
première espèce, soit pour le tronc de seconde espèce 162
Application au cubage des troncs d'arbres, au jaugeage des tonneaux (for- mule pratique) 1 53
§ III. — Premières notions sur la sphère.
Notions préliminaires. - — Tangente à une courbe spbérique i56
Sections planes de la sphère. — Grands cercles; petits cercles 167
Propriétés des pôles d'un cercle de la sphère 160
Recherche du rayon d'une sphère solide • 161
Plan tangent à la sphère. Cône ou cylindre circonscrit 161
Intersection de deux sphères i64
Quatre points déterminent une sphère i65
§ IV. — Propriétés des triangles sphériques.
Angle de deux arcs de grand cercle i C6
Premières propriétés des triangles et des polygones sphériques 16S
Figures sphériques polaires ou supplémentaires; dualiîd 1-3
Cas d'égalité des triangles sphériques 177
Définition de la longueur d'un arc de courbe gauche. — Plus court chemin
entre deux points sue la sphère 178
Arcs de grand cercle perpendiculaires et obliques à un cercle donné : consé- quences relatives au triangle sphérique rectangle 180
Positions relatives de deux cercles d'une même sphère i83
Lieu du sommet d'un triangle sphérique dont on donne la base et l'excès de
la somme des angles à la base sur l'angle au sommet . . i84
Divers tracés sur la sphère. — Construction des triangles sphériques. —
Grand cercle tangent à un petit cercle, à deux petits cercles 192
§ V. — Aire de la sphère.
Aire engendrée par la rotation d'une droite autour d'un axe situé dans son
plan : conséquences' % iqS
Aire de la zone; aire de la sphère 1 07
Équivalence de deux triangles sphériques symétriques : conséquences.... 199
X TABLE DES MATIERES
Pajes. Aire d'un fuseau, d'un triangle sphérique, d'un polygone sphérique; théo- rème de Lexell 201
§ VI. — Volume de la sphère.
Volume engendré par un triangle tournant autour d'un axe situé dans son
pian et passant par l'un des sommets : conséquences 20G
Volume du secteur sphérique, de la sphère 209
Volume engendré par un segment circulaire 211
Volume du segment sphérique; cas du segment à une base; son expression en
fonction de sa hauteur et du rayon de la sphère 212
Volume de la pyramide sphérique 2 1 5
§ VI. — Généralités sur la surface.
Surfaces coniques, cylindriques, de révolution 216
Sections d'une surface cylindrique ou conique par des plans parallèles. ... 21S Aire latérale d'un cylindre quelconque. — Volume d'un cylindre ou d'un
cône quelconque 219
Plan tangent au cône ou au cj'lindre; tangente à la projection d'une courbe;
cas d'exception 220
Section antiparallèle du cône oblique à base circulaire; lieu du centre; cône
passant par deux cercles d'une sphère 221
Existence du plan tangent à une surface quelconque; normale. — Cas des
surfaces réglées, développables ou gauches 224'
Propriété fondamentale du plan tangent aux surfaces de révolution 226
Propriété fondamentale du plan tangent aux surfaces gauches; raccorde- ment des surfaces gauches 272
APPENDICE DU SEPTIÈME LIVRE.
Théorèmes de Guldin sur l'aire ou le volume engendré par la rotation d'une ligne ou d'une aire plane autour d'un axe situé dans son plan 228
Théorèmes sur le maximum des figures. — La sphère a le plus grand volume
parmi les corps de même surface 233
Polyèdres réguliers convexes; il n'en existe que cinq; leur construction;
sphères inscrite ou circonsciite 230
Calcul du dièdre d'un polyèdre régulier. Calcul des rayons des sphères ins- crit ou circonscrite 244
Polygones et polyèdres réguliers d'espèce supérieure. 11 n'existe que quatre polyèdres réguliers d'espèce supérieure 247
Trouver l'espèce d'un polyèdre régulier; généralisation de la formule d'Euler. — Application aux polyèdres réguliers d'espèce supérieure, leur construc-
\ur.l , 253
Figures liomothétiques dans l'espace. — Centres et axes de quatre figures hornothétiques deux à deux, et, en particulier, de quatre sphères 266
TABLK I)i:.S MATIKHES. XI
Similitude dans l'espace 2G1
Figures homologiques dans l'espace. — Plan do l'infini. — Principe de la
construction des bas-reliefs 262
Pôle et plan polaire par rapport à la sphère. — Droites réciproques 264
Plan radical de deux sphères; axe radical de trois sphères; centre radical de
quatre sphères; propriélés des points antihomologues 266
Conipiément de la théorie des figures inverses et de la méthode de transfor- mation par rayons vecteurs réciproques; fi;^urfc inverse d'un plan, d'une
sphère ou d'une circonférence; conservation des angles 268
Projection stéréographique 270
Sphère tangente à quatre sphères données, théorème de Dupuis 271
Sphère tangente à quatre plans donnés, nombre di s solutions, calcul des
rayons 278
Figures tracées sur la sphère : rapport anharmonique; rapport harmonique : pôle et polaire par rapport à un cercle de la sphère; axe radical; centres de
similitude; cercles isog maux 278
Problèmes relatifs au contact des cercles sur la sphère. — Cercle coupant trois cercles donnés sous d( s angles donnés, et problème analogue de Géométrie plane. — Sphère coupant quatre sphères données sous des angles donnés. 285
LIVRE VIII.
LES COURBES ET LES SURFACES USUELLES.
§ I. — Propriétés fondamentales de l'ellipso.
Définition et tracé de la courbe; foyers, centre et a.\es 289
Point intérieur ou extérieur à l'ellipse 298
Propriété fondamentale de la tangente, normale 294
Cercles directeurs, ceicle principal 297
Tangente par un point donné. — Lieu des sommets des angles droits circons- crits à la courbe. — Propriétés des tangentes issues d'un point extérieur. 29) Tangente parallèle à une direction donnée; produit des distances des fuycrs à
une tangente 3o2
l'oinls de rencontre d'une droite avec l'ellipse non tracée 3o4
§ II. — Propriétés fondamentales de l'hyperbole.
Définition et tracé de la courbe; foyers, centres et axes 3o5
l'oint intérieur ou extérieur à l'hyporbole 3o8
I'ro|iriélé fondamentale de la tangente. — Récijtroque pour l'ellipse et
l'hyperbole . — Normale Sog
Cercles directeur», cercle principal 3 1 a
XII TABLE DES MATIÈRES.
Paires.
Asymptotes. — Hyperbole équilatère. — Hyperboles conjuguées ?i3
Tangente par un point donné. — Lieu des sommets des angles droits cir- conscrits à la courbe. Propriétés des tangentes issues d'un point exté- rieur. — Application au quadrilatère circonscriptible 3i6
Tangente parallèle à une direction donnée; conséquences 3i8
Points de rencontre d'une droite avec l'hyperbole non tracée; discussion. . 819
§ III. — Propriétés fondamentales de la parabole.
Définition et tracé de la courbe : foyer, directrice, paramètre, axe 821
Point intérieur ou extérieur à la parabole 828
Propriété fondamentale de la tangente. — Réciproque 824
Propriété de la tangente relative à la directrice 826
Normale. — Tangente au sommet. — Le foyer est le centre du cercle circons- crit au triangle formé avec l'axe par la tangente et la normale 827
La directrice est le lieu des points symétriques du foyer par rapport aux tan- gentes, et la tangente au sommet est le lieu des projections du foyer sur
ces mêmes tangentes 828
Expressions de la sous-tangente, de la sous-normale et de l'ordonnée 38 1
Tangente par un point donné. — Lieu des sommets des angles droits circons- crits à la courbe. — Propriétés des tangentes issues d'un point extérieur. 882
Tangente parallèle à une direction donnée 334
Points de rencontre d'une droite avec la parabole non tracée 334
§ IV. Ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle.
La projection orthogonale d'une circonférence de cercle sur un plan est une
ellipse; conséquence relative à l'ordonnée 335
Affinité de l'ellipse et du cercle principal. — Application au tracé des tan- gentes et à l'intersection d'une ellipse et d'une droite 887
Diamètres de l'ellipse, diamètres conjugués, tangente à l'extrémité d'un dia- mètre 3 '(0
Aire de l'ellipse 8^1
Ellipse décrite par un point quelconque d'une droite de longueur constante dont les extrémités glissent sur doux droites rectangulaires. ^Construction de la normale en un point de cette ellipse : conséquence 84 1
Étant donnés deux diamètres conjugués de l'ellipse en grandeur et en direc- tion, construire les axes de la courbe 3 (3
Théorème de Schooten et de la Hire 3^4
§ V. — Parabole considérée comme limite de l'ellipse.
La limite d'une ellipse dont un sommet et le foyer voisin restent fixes, tandis que l'autre foyer s'en éloigne indéfiniment dans la direction du grand axe, est une parabole : conséquences 345
TABI.K DES M ATIlCItES. XIII
Pauci. Parabole rapportée à un diamètre et à la tangente correspondante; conserva- tion de la propriété de la sous-tangente 347
Aire d'un segment parabolique 348
§ VI. — Origine commune des trois courbes. Sections planes du cône de révolution.
Directrices dans l'ellipse et dans l'hyperbole : propriétés fondamentales. . . . 349 Lieu des points dont les distances à un point fi.xe et à une droite Cxe sont
dans un rapport constant; conséquences 35 1
Sections planes d'un cône circulaire droit, examen des dilîérents cas 353
Définition commune aux trois sections coniques 35"
Placer une ellipse, une hyperbole ou une parabole donnée sur un cône de
révolution donné 357
Projection de la section plane d'une surlace gauche de révolution sur un
plan perpendiculaire à l'axe de la surface; cas du cône 359
§ VII. — Propriétés fondamentales de l'hélice.
Ordonnée et abscisse curviligne d'un point d'une surface cylindrique..... 36o
Définition de l'hélice. — Spires. — Pas , 36i
Transformée de l 'h lice dans le développement du cylindre 363
Tangente et sous-tangente. — Conséquences 364
Mouvement hélicoïdal d'un solide : 365
APPENDICE DU HUITlf:ME LIVRE.
HOMOGRAPHIE ET INVOLUTION.
Divisions homographiques. — Formes principales de la relation homogra- phique 3(>T
Cas particuliers : divisions semblables, divisions homologiqucs. — Condi- tion pour que deux divisions homographiques soient honiologiques 36o
Divisions homographiques de même base; points doubles 3"!
Détermination simultanée de deux points sur une même droite : points ima- ginaires , 372
Faisceaux homographiques. — Rayons doubles. — Faisceaux résultant de la
rotation d'un angle de grandeur constante autour de son sommet 374
Intersection d'une droite et d'un cercle. — Points cycliques d'un plan. . . . 37G
Divisions homographiques en involution. — Formes de la ri'lalion involu-
tive. — Projectivité de l'involution. — Points doubles 378
Re allons métriques entre trois segments en involution 38o
Faisceaux en involution; rayons doubles; couple de rayons homologu s rec- tangulaires 382
XIV TABLE DKS MÂhÈl^ES.
Pase». Propriétés involutives du quadrilatère. — Théorème de Desargues sur le
quadrilatère inscrit ou circonscrit à un cercle 384
Constructions relatives à l'homographie et à l'involulion 386
COURBES DU SECOND ORDRE.
Génération et classification des coniques 889
Ordre d'une courbe algébrique, t^ Identité des coniques et des courbes du second ordre SgS
Extension aux coniques du théorème de Pascal. — Théorème de Desargues, généralisé par Slurm Sg^
Pôle et polaire dans les coniques Sgô
Point intérieur ou extérieur à une conique 897
Quadrilatères inscrits ou circonscrits. — Théorème de Frégier. — Inscrire un polygone dont les côtés passent par des points donnés, et problème cor- rélatif 897
Points et droites conjugués. — Intersection d'une conique et d'une droite :
tangentes à une conique par un point de son plan 899
Diamètres, centre, asymp.otes. — Diamètres conjugués et cordes supplé- mentaires 4oo
Équation de l'ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. — Angle auxi- liaire; théorèmes d'Apollonius; maximum de l'angle do deux diamètres con- jugués; diamètres conjugués égaux 4o3
Équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes ou à deux diamètres conjugués. — Propriétés relatives aux diamètres conjugués et aux asymp- totes; propriétés des sécantes et de la tangente; théorèmes d'Apollonius; hyperbole équilatère 4°?
Propriétés des diamètres conjugjés et des tangentes dans l'ellipse et dans
l'hyperbole 4^0
Problèmes usuels relatifs à l'ellipse et à l'hyperbole l^ii
Diamètres et tangentes dans là parabole. — Équation de cette courbe rap- portée à un diamètre et à la tangente à son extrémité. — Propriété de la sous-tangente 4'^
Recherche des foyers et des directrices dans les coniques; conséquences pour la tangente et la normale; retour aux définitions élémentaires des trois courbes 4 • 6
Coniques confocales 4^3
Généralisation de l'idée de foyer. — Cercles de rayon nul bitangcnls à la conique. — Points communs au.x tangentes menées à la courbe par les points cycliques du plan 4^3
Tableau de formules relatives aux coniques : 423
Complément de la méthode des polaires réciproques. — Théorème de Pappus
sur le quadrilatère inscrit 4^7
Clause d'une courbe algébrique. — Identité des coniques et des courbes de seconde classe. — Nombre des foyers d une courbe d'après sa classe. . . . nZi
TAdl.E DE« MATIERES XV
Pages.
Propriétés des points et des droites imaginaires 4^2
Cordes et tangentes comniuncs à deux coniques 4^4
Triangle autopolaire commun à deux coniques; discussion 436
Faisceau de coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère. — Théo- rèmes de Lamé et de Newton. — Cercle osculateur et rayon de courbure
d'une ellipse; théorème de Mac Cullag 438
Coniques tangentes, bitangcntes osculalrices 44o
Coniques honiologiques. — r Méthode générale pour les tracés graphiques
relatifs aux coniques à l'aide d'un cercle auxiliaire 44'
Coniques homothétiques 44^
Méthode de recherche fondée sur la projection conique. — Théorème de Carnot et de Newton. — Principes relatifs à la projection d'une conique
ou de deux coniques d'après certaines conditions 446
Théorème de Laguerre sur la transformation des relations angulaires 4^0
Construction d'une conique connaissant cinq éléments (points ou tan- gentes). — Généralisation du théorème de Pascal par M. Auhert 4^1
Détermination d'une conique d'après d'autres conditions. — Caractéristiques
d'un groupe de coniques 456
Construction de points communs et des tangentes communes à deux
coniques 458
Normales à une conique par un point de son plan. — Théorème de Joa-
chimsthal 'jSg
Problèmes usuels relatifs à la parabole et à l'hyperbole équilalère 46i
THÉOUIE DES SUHFACES DU SECOND ORDRE.
Définition. — Pôle et plan polaire 46?
Points et droites conjugués; trièdre polaire 468
Plans diamétraux; diamètres, centre. — Sections par des plans parallèles. . 469
Plans principaux et sections circulaires 47°
Cônes du second ordre. — Axes et plans cycliques 473
Cônes supplémentaires; dualité 47^
Focales et plans directeurs. — Propriétés des focales et des plans cycliques;
leur corrélation 476
Coniques sphériques 47*5
Quelques cas particuliers remarquables de l'intersection de deux surfaces du
second ordre.. . ." 179
Propriétés générales des surfaces réglées du second ordre. — Distinction
entre l'hyperboloïde à une nappe et le j)araboloïde hyperbolique 48o
Hyperboloïde à une nappe. -^ Cône asymptote. — Sections planes; plans
cycliques. — Équation de la surface. — Projection de la surface sur un
plan diamétral au diamètre conjugué de ce plan (83
Paraboloïdé hyperbolique. — Plans directeurs. — Sections planes. —
Équation de la surface. — Divers modes de génération ÎG8
Qassiûcation des surfaces non réglées du second ordre 1S9
XVI TABI,E DES MATrERES.
Pages.
Ellipsoïde. — Sections planes. — Sections circuLiircs; ombilics. — Équa- tion de la surface. — Diamètres conjugués; extension des théorèmes d'Apollonius 49*^
Paraboloïde elliptique. — Diamètres; axe. • — Sections planes. — Équa- tion de la surface 49^
Hypcrboloïdc à deux nappes. -^ Sections planes. • — Equation de la sur- face 49^
ÉTUDE DE QUELQUES SURFACES d'oRDRE SUPÉRIEUR.
Surfaces polaires réciproques. — Classe d'une surface 494
Surfaces apsidales. — Plan tangent. - — Apsidale de la polaire réciproque. 49^ Surface des ondes ou surface apsidale d'un ellipsoïde par rapport à son centre. — Diverses manières de la faire dériver de l'ellipsoïde. — Sec- tions principales. — Plan tangent; théorème de Niven. — Singularités :
points coniques, plans louchant suivant un cercle 499
Tore ou surface apsidale d'une sphère. — Section par un plan bitangent, par une sphère bilangcnte. — • Droites bitangentes menées par un point donné 5o4
QUESTIONS PROPOSÉES SUR LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
Exercices concernant les divers paragraphes :
Du cinquième Livre (531 à 592) 609
Du sixième Livre (593 à 710) 619
Dn septième Livre (711 à 843) 629
Du huitième Livre (844 à 1021) 54a
Questions diverses de Géométrie dans l'espace (1022 à 1090) 669
NOTES.
NOTE I. Sur l'application des déterminants à la Géométrie.
Aire du triangle. — Volume du tétiaèdre et rayon de la sphère circons- crite 5G7
Relations entre les distances mutuelles de quatre points d'un cercle, de
cinq points d'une sphère, de cinq points quelconques de l'espace 569
Rayons des sphères coupant quatre sphères données sous des angles donnés, ou des sphères touchant quatre sphères données; formules pour les pro- blèmes correspondants de Géométrie plane S'i
TABLE DES MATIERES. XVII
NOTE IL Sur la Géométrie non euclidienne.
Conception de Lobatcheffsky :
Paros. Angle de parallélisme 676
Sommes des angles d'un triangle 578-
Contribution de M. Poincarê :
Axiomes fondamentaux; impossibilité pour Lobatcheffski de se heurter à une contradiction 58 1
Géométrie de Riemann. — Les formules de la trigonométrie sphérique sont les mêmes pour les trois géométries 585
La transformation T; nouvelle interprétation de la Géométrie de Riemann. 588
La Géométrie plane Riemannienne ne difîère pas de la Géométrie de la sphère. — Formule d'où l'on déduit toutes celles de la Trigonométrie plane non euclidenne 589.
Liens qui rattachent la Géométrie plane non euclidienne à la Géométrie infi- nitésimale des surfaces 592
NOTE III.
Sur les transformations linéaires et quadratiques, les coniques associées à un triangle et les systèmes de trois figures directement semblables.
Formes perspectives SgS
Transformations linéaires 602
Transformations quadratiques 6iO-
Inversions triangulaires. — Hyperboles équiiatères circonscrites à un triangle. 6i6-
Transformation par points réciproques. — Ellipse de Steiner 621
Figures orthogonalement affines 624
Figures affines superposées 628
Système de deux figures semblables superposées 63o
Système de trois figures directement semblables 632
Exercices • (i35-
NOTE IV. Sur la Géométrie récente du tétraèdre.
Points et plans harmoniquement associés (j^^
Sections antiparallèles d'un tétraèdre. — Rayon de la sphère circonscrite. bql>
XVriI TABI.E DES MATIERE&.
Points inverses 64 8
Tétraèdres et pentagones orthologiques (l/jÇ)
Point inverse du centre de gravité d'un tétiaèdio 65o
Quadruples hyperboloïdiques G5 1
Sphères tangentes aux quatre faces d'un tétraèdre ').53
Tétraèdres orthocentriques GGi
Les hauteurs d'un tétraèdre quelconque sont des généra Lriccs d'un liype-r-
boloïde équilatère 6G4
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
LIVRE V„
LE PLAN.
§ I. — PREMIERES NOTIONS SUR LE PLAN. DÉFINITIONS.
487. Un plan est une surface telle qu'une ligne droite y est contenue tout entière dès qu'elle y a deux points {5;. Cette surface est illimitée ; toutefois, pour la représenter, On est obligé de lui assigner des limites; on représente un plan par une figure tracée dans ce plan, le plus souvent par un parallé- logramme.
488. Il résulte de la définition du plan qu'une droite et un plan ne peuvent ofîrir que trois positions relatives :
1° La droite a deux points communs avec le plan, et alors elle y est contenue tout entière.
2" La droite n'a qu'un point commun avec le plan; on dit alors que la droite et le plan se coupent.
3° La droite n'a aucun point commun avec le plan; on dit alors que la droite et le plan sont parallèles.
Quand une droite CC et un pl;in P se coupent {Ji{;- ^7 j
R. et DE C. — />. de Géom. (H* l'arlic). I
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE*
leur point commun D divise la droite GC en deux demi- droites DC et DC, situées de part et d'autre du plan.
THÉORÈME.
489. 1° Deux plans P et Q, qui ont un point commun k, ont une droite commune passant parce point.
1° Deux plans P et 0, qui ont en commun une droite AB et un point G extérieur à cette droite, coïncident dans tonte leur étendue.
En effet:
I" Par le point A commun aux deux plans P et Q ifig. 276), menons dans le plan Q deux droites quelconques LAL', NAN'. Si l'une de ces droites a, avec le plan P, un point commun autre que A, elle appartient tout entière à ce plan; elle est donc commune aux deux plans P et Q, et le théorème est dé- montré.
Fifj. 276. Fig. 277.
E.
Supposons donc que les droites LAL', NAN' coupent l'une et l'autre le plan P, et prenons un point quelconque E sur la partie de la droite LAL' qui est au-dessus du plan P, et un point quelconque F sur la partie de la droite NAN', qui est au-dessous du plan P. La droite EF, passant d'un côté à l'autre du plan P, coupe ce plan en un point I; par suite, la droite Al est commune aux deux plans P et Q, puisqu'elle a deux points A et I dans chacun d'eux.
2" Par le point G et par deux points E et F, pris à volonté sur AH [fig. 277), menons les droites indéfinies GE cl GF; ces deux droites appartiendront, comme la droite ATî, aux deux plans P et Q, puisque chacune d'elles a deux points dans
LIVRE V. — LE PLAN. 6
chacun de ces plans. Cela posé, soit M un point quelconque du plan P; menons par M, dans ce plan, une droite quel- conque MX; celte droite rencontrera au moins deux des droites AB, CE, CF; les deux points de rencontre I et K ap- partiendront au plan Q; par suite, il en sera de même de la droite MX tout entière et, en particulier, du point M. Ainsi tout point M de l'un des plans appartient à l'autre, ce qui prouve que ces deux plans coïncident.
Corollaires.
490. L'intersection dv deux plans est une ligne droite.
Car, dès que deux plans ont un point commun, ils ont une droite commune passant par ce point (489, i°) ; et ils ne peu- vent avoir aucun point commun extérielir à cette droite, sans coïncider (489, 2°).
491. Il résulte des propositions précédentes que deux plans distincts ne peuvent ofîrir que deux positions relatives :
1° Ils ont en commun une droite unique; on dit alors qu'ils
se coupent.
2° Ils n'ont aucun point commun; on dit alors qu'ils sont
parallèles.
THÉORÈME.
492. Un plan est déterminé :
1° Par une droite AB et un point C extérieur à cette ligne; 1° Par trois points A, B, C, non en ligne droite; 3° Par deux droi'tes AB et AC qui se coupent; 4° Par deux droites parallèles. En etfet [Jig. 278) :
Fie. 27S.
|
A |
) |
||
|
\r |
|||
|
b |
B |
1° Que l'on mène un plan AI)KI{ par AB, et (lu'on le fasse
4 GÉOMÉTRIE DAKS l'eSPACE.
tourner autour de celle droite, comme une porte sur ses gonds, jusqu'à cequ'il contienne le pointC;on aura alorsun plan AF<iP> pass ml par la droite AB et par le point C. Il ne saurait d'.iil- leurs en exister d'autres, puisque deux plans remplissant ces conditions coïncident (489, 2°).
2" On ramène le deuxième cas au premier en remarquant que tout plan passant par la droite AB et le point C contient les trois points A, B, C, et réciproquement.
3° On ramène le troisième cas au premier en remarquant que tout plan passant par AB etpar un point quelconque de AC contient les deux droites AB, AC, etVéciproquement,
4° Deux parallèles sont toujours, par définition (56), situées dans un même plan; et ce plan est le seul qui les contienne, puisqu'on ne peut mener qu'un plan parla première parallèle el par un point de la seconde.
Corollaires.
493. Par un point A, on ne peut mener dans l'espace qu'une parallèle à une droite donnée DE. Car [Jîg. 278), si AB est une parallèle à DE menée par A, AB sera située dans le plan ADE (492, 4°), et l'on sait que, dans un plan, on ne peut mener par un point qu'une parallèle à une droite (56).
494. Nous avons indiqué les positions relatives d'une droite et d'un plan, ainsi que celles de deux plans. Il nous reste, pour terminer ces préliminaires, à étudier les positions rela- tives de deux droites.
Deux droites AB et CD étant données d'une manière quel- conque dans l'espace, le plan P, mené par AB el par un point quelconque D de CD, peut couper cette droite CD ou la con- tenir tout entière.
Dans le premier cas [Jîg. 275), il n'existe aucun plan qui contienne à la fois les deux droites AB et CD; car un tel plan ayant la droite AB et le point D communs avec le plan P coïnciderait avec lui, et, par suite, le plan P contiendrait la droite CD contrairement à l'hypothèse. Les deux droites AB et CD, n'étant pas situées dans un même plan, ne peuvent ni se couper ni être parallèles (492, 3" et 4'']«
LIVRE V. — LE PLAN. 5
■ Deux droites distinctes peuvent donc offrir, dans l'esptice, trois positions relatives :
1° Elles ne sont pas situées dans un même plan.
s>.° Elles sont parallèles.
3° Elles se coupent.
Comme, dans les deux premiers cas, elles n'ont aucun point commun, on voit que, pour prouver le parallélisme de deux droites de l'espace, il ne suffira plus, comme en Géomé- trie plane, d'établir qu elles ne se rencontrent pas, si loin qu'on les prolo7ige ; il faudra, en outre, montrer qu'elles sont situées dans un même plan.
4-95. Voici, à l'appui de ce principe, deux exemples qui conduisenlà deux conclusions importantes :
1° Deux droites, l'une située dans un plan, l'autre parallèle à ce plan, n'ont évidemment aucun point commun. Cepen- dant, pour qu'elles soient parallèles, il faut encore, et il suffit qu'elles soient situées dans un même plan. On énonce ordi- nairement cette proposition en disant : Si, par une droite AC parallèle à un plan P, on mène un plan A(]BI) qui coupe le plan P, l'intersection BI) des deux plans est parallèle à AC
U^k'- 279)-
Fig. 279.
2° Deux droites situées respectivement dans deux plans parallèles P et Q n'ont évidemment aucun point commun. Cependant, pour qu'elles soient parallèles, il faut encore, et il suffit, qu'elles soient dans un même plan. On énonce ordinai- rement cette proposition en disant : Quand deux plans pa- rallèles I' et O sont couprs par un troisième ACIJi>, les inter- sections \C et lU) sont pantllèles ,fifi'- 279^.
6 GÉOMÉTKIE DANS L ESPACE. ^
§ IL — DROITES ET PLANS PARALLÈLES.
THÉORÈME. 490. iS"* deux droites AB et CD sont parallèles, tout plan P qui coupe lune AB coupe Vautre CD [fig. 280].
Fig. ■jSo.
En effet, puisque la droite AB coupe le plan P, le plan ABCD des deux parallèles et le plan P se rencontrent suivant une droite BX qui, coupant AB, coupe sa parallèle CD (60). Par suite, CD a un point commun avec le plan P, et elle ne saurait en avoir d'autre, sans quoi elle coïnciderait avec BX et ne serait pas parallèle à AB.
Corollaires.
497. Si deux droites sont parallèles, tout plan qui contient la première, ou qui lui est parallèle, contient la seconde ou lui est parallèle ; cav, s'il n'en était pas ainsi, il couperait cette seconde droite (488), ei, par suite, il couperait la première.
498. Si deux droites AetB sont parallèles, toute droite C parallèle à la première A est parallèle à la seconde B ou coïn- cide avec elle,
D'abunl, si C ne coïncide pas avec B, ces deux droites n'ont aucun point commun, sans quoi, par ce point, on pourrait mener deux parallèles à A. Pour prouver que les droites G et B sont alors parallèles, il suffit de montrer qu'elles appariiennent à un même plan, c'est-à-dire que le plan déterminé par la droite C et un point de B contient cette droite B. Or, si ce plan coupait B, il couperait sa parallèle A, et, coupant A, il couperait sa parallèle C, tandis qu'il la contient.
On énonce ordinairement cette proposition d'une manière plus rapide, mais incomplète, en disant : Deux droites paral- lèles à une troisième sont parallèles entre elles.
LIVRE V. — LE PLAN. 7
SCOLIES.
499. L'intersection de deux plans parallèles à une même droite est parallèle à cette droite ; car, si par un point commun aux deux plans on mène la parallèle à la droite considérée, celle parallèle doit appartenir à chacun des deux plans ^497).
5U0. Deux plans conduits par deux droites parallèles peu- vent être considérés comme parallèlesà une droite quelconque parallèle aux deux premières (497 ; on a donc celle pro- position comme cas particulier de celle qu'on vient d'énoncer : L'intersection de deux plans conduits par deux droites paral- lèles est parallèle à ces droitex.
THÉORÈME.
501. Si deux plans P et Q sont parallèles : i" toute droite 1) qui coupe le premier P coupe le second Q ; 2" tout plan H qui coupe le premier P coupe le second Q.
En eSeiifg. 281):
Fijj. 281.
ozrz
1° Par un point quelconque I du plan Q et par la droite I) qui coupe le plan P en C, concevons un plan R; ce plan ayant nn point commun avec chacun des deux premiers coiq)era ceux-ci suivant doux parallèles CE et FI (Wo). Or CD ciMipe CE; elle coupe donc sa parallèle FI et, par suite, le plan O.
2° Menons dans le plan K, qui coupe le plan P suivant CK. une droite CD non parallèle à Ci:. Celle droit/» CI) roupaiit le plan P coupera le plan Q (i"]; donc le plan R coupe le plan Q.
8 GÉOMÉTRIE DA>S l'eSPACE.
Corollaires.
502. Si deux plans sont parallèles, toute droite parallèle au premier ou contenue dans le premier est parallèle au second ou contenue dans le second; car, si elle coupait le second plan, elle couperait aussi le premier.
503. Si deux plans sont parallèles, tout plan qui est paral- lèle au premier est parallèle au second ou coïncide avec le se- cond ; car, s'il n'en était pas ainsi, il couperait ce second plan (i91), et, par suite, il couperait aussi le premier.
504. Par un point A extérieur ù un planB' X'C , on peut toujours mener un plan parallèle à ce plan, et l'on n'en peut mener qu' un [fig. 2821.
En eirel, menons par A deux droites AB et AC parallèles au plan B'A'C. Le plan BAC sera parallèle au plan B'A'C; car, s'il le rencontrait, leur intersection devrait être parallèle à la fois à AB et à AC (495); ce qui est impossible. De plus, tout plan autre que BAC mené par A coupe le plan B'A'C, puis- qu'il coupe le plan BAC qui est parallèle à B'A'C (501).
SCOLIE.
505. Si, par un point A extérieur à un plan Q, on mène des droites parallèles à ce plan, le lieu de ces parallèles est le plan P mené par k, parallèlement au plan Q.
Car toute parallèle au plan Q, menée par A, doit être située dans le plan P ou être parallèle à ce plan (502) ; or c'est le premier cas qui a lieu, puisque la droite considérée a déjà un point A commun avec le plan P.
THÉORÈME.
506. Deux angles qui ont leurs côtés respectivement paral- lèles sont égaux ou supplémentaires, et leurs plans sont paral- lèles (Jig. 282).
1° Les plans des deux angles sont parallèles en vertu du n° 504.
2" Deux angles BAC, B'A'C, dont les côtés AB et A'B', AC etA'C, sont deux à deux parallèles et de même sens, sont
LIVRE V. — LE PLAN. 9
égaux. En efîei, par deux points B et C pris à volonté et respectivenienl sur les côtés de l'angle A, menons des parai-
|
A |
Fig. 282. A' P |
|
|
A. |
N- Il |
\, |
|
jx^ |
e/ |
\. |
lèles à AA' jusqu'à leur rencontre B' et C avec les côtés de l'angle A'; les droites BC, B'C sont parallèles comme inter- sections des deux plans parallèles BAC, B'A'C avec le plan BB'C'C. Donc les deux triangles BAC, B'A'C ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun, comme parallèles comprises entre parallèles, et les angles BAC, B'A'C sont égaux.
On prouvera d'ailleurs, comme en Géométrie plane, que deux angles dont les côtés sont deux à deux parallèles et de sens contraires sont égaux, et que deux angles dont deux côtés sont parallèles et de même sens, tandis que les deux autres sont parallèles et de sens contraires, sont supplémen- taires.
SCOLIES.
507. Sur une droite quelconque MN ^Ji^. 282), il y a deux sens à distinguer: le sens de MN et celui de NM.
On appelle angle de deux droites, dont la position dans l'es- pace et le sens sont donn-és, l'angle que l'on forme en menant par un point quelconque de l'espace, à chacune des deux droites données, une droite parallèle et de même sens. Ainsi MN et PQ étant les deux droites données, par un point quelconque A de l'espace, menons AB parallèle à MN et de même sens, AC parallèle à PQ et de même sens ; l'angle BAC sera, par définition, l'angle des deux droites MN et l'O.
P.our que celle définition n'offre rien de contrudicloire, il faut que la grandeur de l'angle ainsi obtenu soit indépendanle de la position qu'occupe dans l'espace le point par le(|ucl on mène des parallèles aux droites données. Or soient HAC, B'A'C les valeurs obtenues pour l'angle de MN et de I\>,
ÏO GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
lorsqu'on mène à ces firoiles des parallèles par deux points difiorents A et A'; les droites AC et A'C, étant chacune pa- rallèles à MN et de même sens que celte droite, sont parallèles entre elles et de même sens (198); il en est de même pour ABetA'B'; par suite, les deux angles BAC, B'A'C sont égaux.
508. On dit que deux droites non situées dans le même plan sont perpendiculaires Cune à Vautre lorsque leur anglç est droit.
On voit, par la définition même de l'angle de deux droites, que, lorsque deux droites sont perpendiculaires entre elles, toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
THÉORÈME.
509. i*" Les parallèles AB et CD, comprises entre une droite AC et un plan P parallèles, sont égales [Jîg. aSS).
a° Les parallèles AB et CD, comprises entre deux plans pa- rallèles P et Q, sont égales [fig. 283).
Celte double proposition résulte de ce que le plan des deux parallèles AB et CD coupe, dans le premier cas, le plan P sui- vant une parallèle BD à AC, et coupe, dans le second cas, les plans P et Q suivant des droites parallèles BD et AC (49o) ; les droites AB et CD sont donc, dans les deux cas, égales comme parallèles comprises entre parallèles.
Fig. 283.
/Hi7
Fig. 284.
EE±J
THÉORÈME.
510. Deux droites quelconques kC, A'C [fig. 284) sont cou- pées par trois plans parallèles P, Q, R, en parties proportion- ftelles ; en d'autres termes, si la droite AC coupe les pians
I.IVUE V. — LE l'LAN. H
P, Q, K en A, Jî, C, el si la dritiie A'C cuupe les mêmes pians en A', B', (/, un a
^' A'B' ~ BC "" A'C*
En effet, menons par A la parallèle à A'C, el désignons par 1) el E les poinls où elle coupe les plans Q et B. Les droites BD et CE étant parallèles (495), on a
AB _BC _ AC AD "~ DE " AE'
mais les segments AD, DE, AE sont respectivement égauv à A'B', B'C, A'(J', comme parallèles comprises entre plans pa- rallèles. La relation (il est donc démontrée.
Corollaire.-
51 L Deux droites concourantes AC et AE étant divisées en parties proportionnelles par le point A et les plans parallèles Q et B, il en est de même pour u:hî série de sécantes parlant de A. En supposant, en eiïel, (|u'il v nii trois sécantes, le rap- port des segments de la première ('tant égal à la fois au rap- port des segments de la seconde et au rapport des segments de la troisième, ces deux derniers rapports sont égaux entre eux.
§ III. — DROITE ET PLAN PERPENDICULAIRES.
DÉFINITIONS.
'.'){i. On (lit (|iiuiic droite el un plan sont ptrjjeiidtculiUit'S l'an, à l'aulre lorsque la droile est perpendiculaire (oOS) à loules les droites parallèles au |)lan ou situées dans le pl;ni.
513. Il suit immédiatement de celle délinition quo : !" .SV deux droites V cf B sont parallèles, tant plan V jier- pendiculaire à la première est ptrjitndicalaire à la seconde; car toute droite parallèle au pl:m P ou située dans ce plan, étant perpendiculaire à A, est aussi 508) perpendiculaire à B. ■1° Si deux plans P et O soat parallèles, toute droite \) per- pendiculaire au premier est perpendiculaire au second; ( a ■
19, GÉOMÉIIUK DANS L ESPACE.
toute droite parallèle au plan P ou située dans ce plan est pa- rallèle au plan Q ou située dans ce plan (502).
On énonce souvent ces deux propositions en disant : Deux droites parallèles ont leurs plans perpendiculaires communs, et deux plans parallèles ont leurs perpendiculaires communes.
THÉORÈME,
ol4. Pour qu'une droite AB soit perpendiculaire à un plan P, il sufjit qu'elle soit perpendiculaire à deux droites D et I)', non parallèles entre elles, situées dans le plan P ou parallèles au plan P [Jig. 285).
Fig. 285.
Remarquons dabord que la droite AB rencoritre le plan P; car, sans cela, en menant pai- un point du plan P des parallèles aux droites AB, D et D', on aurait dans ce plan (497) trois droites concourantes dont la première serait perpendiculaire aux deux autres.
Cela posé, par le point B où la droite AB rencontre le plan P, menons des parallèles Bc?, Bf/', Bô, aux droites D et D' et à une troisième droite quelconque A parallèle au plan P ou si- tuée dans ce plan. Les trois droites B<^/, Bff, Bô, seront con- tenues dans le plan P (497); AB sera perpendiculaire aux deux premières B^/, Bf/' (508); et, pour établir le théorème énoncé, il suflira de prouver que AB est aussi perpendiculaire à la troisième droite Bô.
A cet eft'el, par un point quelconque ô pris sur Bô, traçons dans le plan P une droite qui ne soit parallèle ni à Bt/ ni à ^d' ,
LÎVUK V. — LU l'LAN.
i3
et qui les rencontre aux points il et </' ; prolongeons Ali, de l'autre côté du plan P, dune longueur BA'=AB, et joignons chacun dos points A et A' aux trois |)oints d, o, </' .
De l'égalilé des triangles WUi et X'Vu/ el de celle des trian- gles ABrf' et A'Bc?', on déduit respectivement Ad = A'd el Ad'=\'d'. Les deux triangles \dd' et A'f/</'sonl donc égaux. Cette égalité entraîne l'égalité des angles A </o, \'d6, par suite celle des triangles A.dd, A'd$, et enfin celle des longueurs Ad et A'o.
La droite Bô ayant deux de ses points, B et o, également distants des extrémités A et A', est perpendiculaire sur le mi- lieu B de AA', et AB, à son tour, est perpendiculaire sur B(3.
ScoLir.
Mo. Le point B où la perpendiculaire AB rencontre le plan P est \e pied de la perpendiculaire.
Une droite est dite oblique à un |)lan, lorsqu'elle rencontre ce plan sans lui être perpendiculaire.
THÉORÈME.
516. Par an point donné A, on peut toujours mener un plan perpendiculaire sur une droite donnée W , et l'on ne peut en mener quun.
1° Supposons le point A situé sur la droite XV [Jig- '^86). Dans deux plans dilïérents passant par XY, menons à cette
Si
7T
droite les perpendiculaires AB et AC; elles détermineront un plan P, perpendiculaire a XY au point A 514).
11 n'existe pas d'autre plan perpendiculaire à X\ au puini V. En eflet, tout plan mené per|)en(liiulaiiem(MU à X\ par le point A doit couper le plan XAH suivant la [•er[)en<licnlair;: A!»
H
GÉOMÉTRIE DA^S L ESPACE.
à XY (512), et le plan XAG suivant la perpendiculaire AG à cette même droite; il ne diffère donc pas du plan P,
2° Supposons le point A extérieur à la droite XY [Jîg- 287).
Soit UZ la parallèle à XY menée par A. Les droites paral-
lèles XY et UZ ayant leurs plans perpendiculaires communs (513), dire que par le point A on peut abaisser un plan per- pendiculaire sur XY et qu'on ne peut en abaisser qu'un, c'est dire que, par le point A, on peut élever un plan perpendicu- laire sur UZ et qu'on ne peut en élever qu'un; or c'est ce que nous venons d'établir fi").
ConOLLAIRE.
^il .. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles ou coincident ; car s'ils se coupaient, d'un point de leur intersection, on pourrait mener deux plans perpendicu- laires sur la même droite, ce dont nous venons de démontrer l'impossibilité.
THÉORËME.
518. Par un point donné A, on peut toujours mener une droite perpendiculaire à un plan donné V, et l'on ne peut en mener qu'une.
1° Supposons le point \ situé dans le plan J' [Ji;;. 288). Considérons à part une droite OH cl le plan Q élevé perpendi- culairement à cette droite par Vwu de ses points 11; puis, transportons celte fij^ure tout d une pièce, de manière que, le plan Q s"appli(iuanl sur le i)lan P, le point H coïncide avec le point A. La dioile Oïl, dans sa nouvelle posi-
LIVRK V. — LE TLAN. l5
lion, sera une perpendiculaire AB menée au plan P par le point A.
FijT. aSX.
On ne peut en mener (jii'une; car, si l'on pouvait en mener deux, AB et AB', le plan BAB' couperait le plan P suivant une droite AC perpendiculaire à la fois à AB et à AB'.
a" Supposons le point A extérieur au plan P [Jig'. ■^-89).
Fig. 289.
^A
Soit Q le plan mené par A parallèlement au plan P. Les plans parallèles P elQ ayant leurs perpendiculaires communes (313), dire «lue, par le point A, on peut abaisser uîie perpendiculaire sur le plan P et qu'on ne peut en abaisser qu'une, c'est dire que par le point A on peut élever une periiendiculaire sur le plan Q, et (|u'<jn ne peut en élever qu'inie; or c'est ce que nous venons d"<''lablir (i").
CoïKii.i.Anu:.
olî). Dftux droites A et B, perpendiculaires à un même plan V. sont parallèles ou coïncident.
En effet, si les droites A et B ont un [xiint c(»nnniMi, elles coïncident, puisque, de ce point, on ne peut mener qti'une perpendiculaire au plan P. Si les droites A et B n'ont pas de point commun, imai,'inons, par un point >F de B, la paral- lèle A' à A. Cette droite A' sera perpendiculaire au plan P (513'; elle coïncidera donc avec B, puis<|ue, du point M, on ne peut mener (|u'une perpendiculaire au plan P,
l6 GÉOMÉTRIE DANS L KSPACt;.
Les propositions des n°= 517 et 519 sont les réciproques de celles du n" 513.
THÉORÈME.
520. Si une droite AB est perpendiculaire au plan P, toute perpendiculaire CD à la droite AB est parallèle au plan P, ou située dans ce plan [/îg. "290).
En effet, menons par le point A la parallèle AE à CD : Tangle BAE sera droit. Par suite, la droite AE sera contenue dans le plan P; car sans cela le plan BAE couperait le plan P suivant une autre perpendiculaire à AB (512), et l'on aurait au point A, dans le plan BAE, deux perpendiculaires sur BA, ce qui est impossible. La droite CD, étant alors parallèle à une droite AE du plan P, est parallèle à ce plan ou située dans ce plan (W7).
Celle proposition est la réciproque de la définition adoptée au n° 512.
COUOLLAIUES.
521. Le lieu géométrique des perpendiculaires que l'on peut mener à une droite AB par un point C est le plan P mené par ce point perpendiculairement à la droite AB [Jig. ^9')) car l'une quelconque CD de ces perpendiculaires doit être paral- lèle au plan P ou y être contenue tout entière : c'est ce dernier cas qui a lieu ici, puisque la droite CD a déjà un point com- mun avec le plan P.
|
Fie B |
• 290. D |
Fi g A |
291. |
|
/ ■/ ' |
-"/ |
/ ^ v/ |
"?</ |
522. Le lieu des points de l'espace équidistants des extré- mités d'une droite XY est le plan élei'é perpendiculairement sur le milieu de cette droite [Jig. 286). En effet, dans un plan quelconque XYB passant par XY, le lieu des points équidi- stants des extrémités de cette droite est la perpendiculaire AB élevée dans ce plan sur le milieu A de XY; or on vient de Y«ir que le lieu des diverses perpendiculaires élevées sur XY
LIVRE V. — LE PLAN. t 'j
par lo point A est le plan mené par ce point perpendiculaire- ment à XY.
THÉORÈME.
523. Si, d'un point A pris hors d'un plan P [Jîg. 29?.), on mène à ce plan la perpendiculaire AB et diverses obliques AC, A!), AE :
1° Veux obliques AC et AD, dont les pieds € et I) s'écartent également du pied B de la perpendiculaire, sont égales.
1° La perpendiculaire AB est plus courte que toute oblique AC, et, de deux obliques AC et AE, l'oblique AE, qui s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire, est la plus longue.
El) ell'et :
I" Les deux triangles rectangles ABC et ABI) étant égaux, comme ayant les deux côtés de l'angle droit respectivement égaux, les hypoténuses AC et AD sont égales.
•2" En prenant BD = BC, on a, en vertu de l'alinéa précé- dent, AC = AD, et, par la Céométrie plane, AE >■ AD >• AB; on a donc AB < AC et AE > AC.
52'i-. Les réciproques de ces propositions sont vraies. Il en résulte que te lieu des points d'un plan P situés à é^ale dis- tance d'un point donné A est une circonférence ayant pour centre la projection B de ce point sur le plan [Jig. 29"2j. i^e là.
«n moyen pratique pour abaisser une perpendiculaire sur un plan P par un point extérieur A : on fixe au point A l'une des e\lréniit(''S d'un fil dont l'aulrf! exlrémilé est armée d'un crayon, on marque trois points C, I), V <\\v le phin en tcnani le fil tendu, on cherche le centre du cercle (pii |)asserail par ces trois points, et l'on a le pied de la perpendiculaire de- mandée.
II. l'I UE C. — Tr. de (iéom. {W l'aitic). 21
j8 géométkie dv>s l espace.
^ SCOLIES.
525. En Géométrie, le mot distance est toujours synonyme Aç plus courte distance. D'après cela, il résulte du n° 523 que la distance d'un point A ù un plan P est la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan.
Si l'on rapproche ce résultat des n"^ 509 et 519, on voit que 1° une droite et un plan parallèles sont partout équi distants ; 1" deux plans parallèles sont partout équidistanls.
§ IV. — PROJECTION D'UNE DROITE SUR UN PLAN. — ANGLE D'UNE DROITE ET D'UN FLAN. — PLUS COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES.
DÉFINITIONS.
526. On appelle projection d'un point A sur un plan P le pied a de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan
[fis- ^93)-
La projection d'une ligne quelconque ABC... sur un plan I* est le lieu des projections a, b, c, ... des divers points de cette liane.
Fig. 293.
Fig. i9',.
THÉORÈME.
527. La projection d'une ligne droite AB sur un plan P est une ligne droite [fig. ^94)-
Car toutes les perpendiculaires ka, B6, .. , abaissées sur le plan P par les divers points de la droite AB sont parallèles (519) ; leur lieu est donc un plan (492), et, par suite, le lieu de leurs pieds est la droite ab suivant laquelle ce plan coupe le plan P.
SCOLIES.
528. Lorsque la droite est, comme EF, perpendiculaire au
LIVRE V. — LE PLAN. Ï9
plan P, sa projection sur ce plan se réduit évidemment à un point e.
5*29. Lorsque la droite est, comme CD, parallèle au plan P, elle est parallèle à sa projection cd sur ce plan (495).
Corollaires.
530. Les projections ah et cd de deux droites parallèles AB et CD, sur un même plan P, sont parallèles [Ji^: '^95;.
Fig. 2fj5.
Car la projetante \a d'un point quelconque de AB et la pro- jetante Ce dun point quelconque de CD étant parallèles, les angles BAa, DCc ont leurs plans parallèles (306 ; et, par suite, les droites «/> et cd, suivant lesquelles le plan P cuupe ces deux plans, sont parallèles.
THÉORÈME.
531. Lorsque deux droites AB et CD de l'espace sont per- pendiculaires l une à l'autre, leurs projections ab et cd sur un plan P parallèle à l'une d'elles CD sont aussi perpendiculaires entre elles [Jig- 29'^>)-
Fig 297.
En effet, la droite cd est, comme sa parallèle CD, à anylc droit sur AB ; elle est d'ailleurs à angle droit sur la pro- jetante A a, droite perpendiculaire au plan P qui tonlit'iil cd.
20 GÉOMÉTUIE DANS L ESPACE.
Donc, cd est perpendiculaire au plan ABrt6 et, par suite, à ab.
532. Réciproquement, deux droites de l'espace AB et CD soîit perpendiculaires l'une à l'antre, si leurs projections ah et cd sur un plan P parallèle à l'une d'elles CD sont perpen- diculaires entre elles [fig. 296),
En ellet, la droite cd, étant à angle droit sur ab et sur A a, est perpendiculaire au plan AB6«. Il en est donc de même de sa parallèle CD, qui, par suite, est perpendiculaire à AB.
Dans le cas très-particulier où le plan P contient CD et où les droites AB et CD se coupent, cette réciproque revient au théo- rème connu sous le nom Aq théorème des trois perpendiculaires:
Si du pied a d'une perpendiculaire Ka à un plan P on mène la perpendiculaire oB sur une droite quelconque CD tracée dans ce plan, la droite AB qui joint au point B un point quelconaae de la perpendiculaire A a est perpendiculaire à CD {/ig. 297).
Il y a une seconde réciproque que nous nous contenterons d'énoncer : Si deux droites rectangulaires ont leurs projec- tions rectangulaires, l'une d'elles au moins est parallèle au plan de projection.
Corollaire.
533. Considérons une droite quelconque AB et un plan Q perpendiculaire à cette droite ; soient ab la projection de AB sur un plan quelconque P [Jig. 298)^ et CD l'intersection des
plans P et Q, ou la trace du plan Q sur le plan P. Les deux droites AB et CD étant perpendiculaires Tune à l'autre, il doit en être de même de leurs projections ab et CD; de là ce théorème, fondamental en Géométrie descriptive : Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan O, sa projection sur un
LIVRE V. — LE l'LAN. 'il
plan quelconque P est perpendiculaire à lu trace du plan O sur le plan P.
THÉORÈME.
o3i. Lorsqu'une droite Ali est oblique à un plan P, l'angle aigu \\\b que cette droite fait avt^c sa projection sur ce plan est moindre que l'angle BAC qu'elle forme avec toute autre droite AC passant par son pied dans le plan [Jig- 299;.
t'ig- 299.
En effet, b élant la projeciiuii (ruii ptHiil quelconque B de la droite AB, prenons AC = A^ et menons BC. Les deux triangles \\\b, BAC ont deux côtés égaux; mais le troisième côté B6 du premier élant moindre que le troisième côté BC du second, puisque la perpendiculaire est plus courte que l'obli- que, il faut (jue l'angle BA/> soit moindre que langle BAC.
SCOLIE.
535. En faisant parcourir ;iu poini (] le cercle décrit dans le plan P, du point A comme centre avec \T) fiour ravon, on \(iit (jue l'oblique BC croît dune manière continue depuis le puini b jusqu'au point b' , puis décroît en re|)renant successivement les mêmes valeurs depuis 6' jusqu'en /;. Par suite, l'angle BAC, minimum lorsque le point C est en b, croît jusqu'à ce (|ue le point C soit en // : il est alois maximum; |»uis il décroît, en reprenant successivement les mêmes valeurs, depuis // jus- qu'en b.
536. On appelle angle d'une droite et d'un plan l'angle aigu que cette droite forme avec sa projection sur ce plan.
537. On voit aisément (|ue l'angle d'une droite I) // d (ai plan P est égal à l'angle d'une droite quelconque D' paral- lèle à D et d'un plan quelconque P' parallèle à P.
22 GÉOMÉlKlIi DANS L' ESPACE.
THÉORÈME.
538. Etant données deux droites AB et CD non situées dans le même plan : i° // existe une droite, et une seule, qui les rencontre l'une et l'autre à angle droit; 2° cette perpendicu- laire commune est la plus courte distance des deux droites
P'ig. 3oo. Fij;. 00 1.
|
A '. |
/: . |
|
/^i |
/ 1/ |
|
V " |
K '/ |
En elfei :
1° Par un point quelconque A de AB, menons la parallèle AE à CD; le plan BAE, que nous désignerons par P, sera parallèle à CD; par suite, nous aurons la projection de CD sur ce plan P en menant une parallèle de à la droite DC par la projection d d'un point quelconque D de cette droite. Cela posé, pour qu'une droite rencontre à la fois AB et CD à angle droit, il faut et il suffit qu'elle soit perpendiculaire au plan P en un point de AB, et qu'elle ait son pied sur cd, lieu des pieds des per- pendiculaires au plan P menées par des divers points de CD. Or la perpendiculaire au plan P élevée parle point c commun à AB et à cd remplit- seule ces conditions. Il existe donc une droite Ce, et une seule qui rencontre à angle droii les deux droites données AB et CD.
a" Cette perpendiculaire commune Ce est moindre que toute autre droite BD joignant un point de AB à un point de CD. Car, Dd étant la projetante du point D, on a évidemment Cc=Di/etD(/<DB.
ScOLIES.
539. La démonstration (jui précède permet d'obtenir la plus courte distance des deux droites AB et CD. Voici un second procédé très usuel ( fig. 3oi),
Si Von prend pour plan de projection un plan P perpendi- culaire à l'une quelconque AB des deux droites données AB et CD, la plus courte distance EF se projette en vraie gran-
I.IVKE V.
I.li PLAN,
?.3
deur, suivant ta perpendiculaire Ae abaissée du point A pro- jection de AB sur La droite Ç,d projection de CD. En effet, EF étant perpendiculaire à AB est parallèle au pian P; elle se projette donc en vraie grandeur sur ce plan, et l'angle droit CEF se projette suivant un angle droit; la projection de EF est donc la perpendiculaire Ae menée du point A sur la projection Cd de CD.
oiO. Enlîn, si l'on ne vfHit que la distance, c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire commune, il suffit do mener par l'une AB des deux droites un plan P parallèle à l'autre CD, et de prendre la distance D'/ d'un point quelconque de CD au plan P (fi^'. 3oo).
§ V. — ANGLES DIÈDRES.
DEFINITIONS.
54.1. Lorsque deux plans P et Q se rencontrent [Jig. 3oo.) pi sont terminés à leur intersection commune BE, on dit (ju'ils forment un angle dièdre. Les deux plans I* etO sont Xi^^^ faces, et la droite BE est l'an'te de cet angle.
ok'2. Pour désigner un angle dièdre isolé, il suffit d'indiquer son arèie; ainsi l'on dit (.^g". 3o2) l'angle dièdre BE. Mais, lors(|ue plusieurs angles dièdres ont la même arête, pour dé- signer celui d'entre eux que l'on considère, il faut employer (piatre lettres, savoir : une lettre pour cliaque face et deux
f ig. 3.
Fig. 3o3.
rf\
■K
pour l'arête; on place d'ailleurs les deuv liîtlrcs relatives à l'arête entre les deux autres. Ainsj, dans \a Jig. 3o3, on dis- lini^Mie les trois dièdres CUiD, \\\\\\\, CABE.
Deux iiiigics, tels (pu' CVni». lUUK '/'^'- ''»J^« M"' '•'" '*'
|
\ Q |
C P P |
3.4 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
même arête AB, une face commune ACD, et les deux autres faces situées de part et d'autre de la face commune, sont dits adjacents.
5i3. Deux angles dièdres sont égaux lorsqu'on peut les faire coïncider. Pour ajouter deux angles dièdres, on transporte le second à la suite du premier de manière à former deux angles adjacents, tels que CABD, DABE fig. 3o3); l'angle CABE des deux faces non communes ABC, ABE est la somme des deux angles dièdres proposés.
5ii. On acquiert une idée nette de la grandeur de l'angle dièdre, en supposant que l'une des faces P, d'abord appliquée sur l'autre face Q [Jig. 3o4), tourne autour de la droite AB; dans celte rotation, le plan mobile P fait avec le plan fixe (j un angle dièdre qui croît d'urîe manière continue.
Fig. 3o4.
Fir;. 3o5.
Fijj. 3o6.
\l_j2
|
n |
K |
|
|
\ \ |
C P |
|
|
t |
F |
Un plan Pj est û'\\. perpendiculaire sur un plan OQ' [f'g- 3o4), lorsque les deux angles adjacents P, ABQ, P^ABQ', qu'il forme avec celui-ci, sont égaux. Un plan P, qui forme avec QÇ)' des angles adjacents PABO, PABO', inégaux, est dit oblique sur le pian QQ'.
On nomme ««^/e dièdre droit ioul dièdre P^ABQ dont une face est perpendiculaire sur l'autre.
oio. Deux angles dièdres sont dits opposés par l'arête lors- que les faces de l'un sont les prolongements des faces de l'autre. Deux plans indéfinis PP', QQ' {/ig\ 3o5) forment en se coupant quatre angles dièdres qui sont deux à deux opposés par l'arête AB.
LIVRE V. — T.E rLA>-, îS
On nomme plan bissecteur d'un. angle dièdre le plan qui, mené par i'arêle, divise cei angle dièdre en deux autres diè- dres égaux entre eux.
oi6. On appeWe angle plan correspondant à un angle dièdre l'angle rectiligne que l'on forme en élevanl, par un même point de l'arèle, une perpendiculaire à celle arèie dans cha- cune des faces. Ainsi, B étant un point de l'arête BE de l'angle dièdre PEBQ {/îg. 3o6 , si l'on élève dans le plan P la perpen- diculaire BA sur l'arèie BE, et dans le plan Q la perpendicu- laire BC sur l'arête BE, l'angle ABC sera V angle plan du dièdre considéré.
Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, il faut que la grandeur de l'angle plan correspondant à un angle dièdre soit la même, en quelque point de l'arête qu'on forme cet angle plan. Or, soient les angles plans ABC, DEF, formés en deux points B et E de l'arête de l'angle dièdrePBEQ [fig. 3o6) : les côtés BC et EF sont parallèles et de même sens, comme étant, dans un même plan Q, perpendiculaires à la même droite BE; il en est de même de BA et de ED par rapport au plan P; les angles ABC, DEF sont donc égaux.
11 est à remarquer que le plan ABC est perpendiculaire à l'arête BE; réciproquement, tout plan perpendiculaire à l'arête coupe les faces suivant des perpendiculaires à celle arête, et, par suite, l'angle dièdre suivant son angle plan.
THÉORÈME.
oïl. Par une droite AB, située dans un plan QQ', on peut toujours élever un plan ^^.perpendiculaire sur ce plan, et l'or, ne peut en élever qu'un Jig. 3o4).
COUOLLAIHES.
548. Tous les angles dièdres droits sont égaux.
La démonstration de ce théorème el de son corollaire est tout à fait semblible à celle qui a été donnée ?ux n"' i:? et l 'i delà Géométrie plane.
Un angle dièdre est dit aigu ou obtus suivant qu'il esi iniè- rieur ou supérieur à l'angle dièdre droit. Deux angles dièdres
20
GÉOMÉTRir DANS l'eSPACE.
sont complémentaires lorsque leur somme est égale à un angle dièdre droit.
549. Tout plan P qui en rencontre un autre QQ' fait avec celui-ci deux angles dièdres adjacents PABQ, PABQ', dont la somme est égale à deux dièdres droits [fig. 3o4). Kéciproque- ment, si deux angles dièdres adjacents PABQ, J'ABQ' sont supplémentaires^ c'est à-dire ont une somme égale à deux dièdres droits, leurs faces non communes Q et Q' sont dans le prolongement l'une de l'autre. [Voir les n°'lC, 17 et 18.)
550. Lorsque deux plans PP', QQ' se coupent, les angles dièdres opposés par l'arête AB sont égaux [fig. 3o51. [Voir le n°21.)
THÉORÈME.
551 . Le rapport de deux angles dièdres est égal au rapport de leurs angles plans.
Il suffit. \Voir ^'ote I) de prouver :
I" Que si deux angles dièdres AIOB, A'I'O'B' sont égaux, leurs angles plans AOB, A'O'B' sont égaux [fig. 307);
2° Que si un angle dièdre AlOC est la somme de deux autres angles dièdres A'I'O'B', BIOC, son angle plan AOC est la somme des angles plans A'O'B', BOC, qui correspondent aux deux autres angles dièdres [Jig. 3071.
En eflel :
1° Transportons l'angle dièdre A'I'O'B', de manière que l'angle droit 10' A' s'applique sur l'angle droit lOA; puisque
Fig. 307.
les dièdres AIOB, A'I'O'B' sont égaux, le plan l'O'B' tom- bera sur le plan lOB, etO'B' coïncidera avec la perpendicu-
LIVRE V. — LK PLV:^. 27
laire à 10 élevée dans le plan lOB par le point 0, c'est-à-dire avec OB; les angles plans AOH, VO'B' sont donc égaux.
2° Puisque l'angle plan A' 0' B' est égal à AOB, pour prouver que l'angle plan AOC est égal à la somme de A'O'B' etdeBOC, il suffit de faire voir que les trois droites OC, OB, OA sont dans un même plan; or cela résulte du n° o'21.
Corollaire.
552. Par suite, tout angle dièdre a la même mesure que l'angle plan correspondant , pourvu que l'on prenne pour unité d'angle dièdre l'angle dièdre auquel correspond l'angle plan choisi pour unité d'angle plan ; ou, d'une manière incorrecte, mais plus rapide, tout angle dièdre a pour mesure son angle plan.
SCOLIES.
553. L'angle dièdre droit a pour angle plan un angle droit, et, inversement, un angle dièdre est droit si son angle plan est droit. En effet, soient PABQ, PABQ' (Jig. 3o8) deux angles dièdres adjacents formés par la rencontre du plan P et du plan QQ' ; par un point 0 de l'arête AB, menons un plan perpendi- culaire à cette arèie; ce plan déierniinera, par ses iniersec- lions avec les plans P et QQ', deux angles rectilignes adjacents EOC, EOD, quiseronl les angles plans des deux angles dièdres proposés. Or, quand les deux dièdres sont égaux, les deux angles plans sont égaux, et réciproquement.
55'*. La proportionnalité des angles dièdres et des angles plans correspondants permet de conclure un grand nombre de propriétés des angles dièdres des propriétés analogues des angles rectilignes démonirées en iiéométrre plane. Nous cite- rons, par exemple, les propositions suivantes, qui sont sou- vent utiles :
Le plan bissecteur d'un angle dièdre est le lieu des points qui, situés dans l'intérieur de cet angle, sont équidistaiits de ses faces ; etc. {foirle n" 50.)
Deux angles dièdres qui ont leurs faces parallèles deux à deux sont égaux ou supplémentaires, [f'oir le n" C(j.]
28 GÉOMÉTRIE BANS l'f.SPACE.
THÉORÈME.
555. Parmi toutes les droites que l'on peut mener par uu
point A dans un plan P, celle qui fait le plus grand angle avec
un autre plan donné Q est la perpendiculaire AB abaissée du
point A sur l'intersection LT des deux plans P et Q [fig. Sog).
Fig. 309.
Soient AC une droite quelconque menée par le point A dans le plan P, et a la projection du point A sur le plan Q; aB et flC seront les projections de AB et de AC, et il s'agit de dé- montrer i536j que l'angle ABf? est plus grand que l'angle ACa. Or, la droite aB étant perpendiculaire sur LT, en vertu du théorème des trois perpendiculaires, la droite aC est une oblique, et l'on a aB <; aC. Si l'on prend sur la droite aB, à partir du point a, une longiieur aD égale à aC, le point D sera donc situé au delà de B, et l'angle ABa extérieur au triangle ABD surpassera l'angle intérieur AI) a; mais, les triangles AaC et AaD étant égaux comme ayant un angle droit égal compris entre deux côtés égaux, l'angle ADa est égal à l'angle ACa; donc enfin l'angle ABa est plus grand que l'angle ACa.
SCOLIE.
556. Lorsque le pian Q est horizontal, la droite AB prend le nom de ligne de plus grande pente du plan P, L'angle de cette ligne avec le plan Q est l'angle plan du dièdre PLTQ. Par chaque point d'un plan passe une ligne de plus grande pente de ce plan, et une seule.
§ VI. — PLANS PERPENDICULAIRES.
THÉORÈME.
557. Lorsque deux plans P et O sont perpendiculaires l'un à l'autre, toute droite AB, menée dans le premier plan P per-
LE PLAN.
20
pendiculaJ rement à V intersection commune Cl), est perpendi- culaire à r antre plan Q [fg- 3iO;.
En elTiH, les deux plans P ei Q éUini perpendiculaires l'un à l'autre, l'angle plan correspondant à l'arij^le dièdre PCDQ doit être droit ; or on forme cet angle plan ABE en élevant, dans le plan Q et par le point B, la perpendiculaire BE à CD ; donc la droite AB est perpendiculaire à BE, et, comme elle l'est aussi par hypothèse à CD, elle est perpendiculaire au plan Q.
Fig. 3 10.
Fig. 3ii
THÉORÈME.
558. Si une droite AB est perpendiculaire à un plan O, tout plan P passant par cette droite ou parallèle à cette droite est perpendiculaire au plan O.
En effet :
1° Si le plan P passe par AB [fig. 3io), menons dans le plan Q et par le point B la perpendiculaire BE à l'intersection CD des deux plans P et Q. L'angle ABE sera droit, puisque la droite AB est, par hypothèse, perpendiculaire au plan Q; d'ail- leurs, cet angle ABE est l'angle plan du dièdre PCDQ ; donc ce dièdre est droit, et le plan P est perpendiculaire au plan Q.
2" Si le plan P est parallèle à AB [Jig. 3i i), menons par un point quelconque E de ce plan la parallèle EF à AB ; cette droite EF sera à la fois perpendiculaire au plan Q et située dans le plan P. Donc le plan P, passant par une droite EF perpendiculaire au plan Q, sera perpendiculaire à ce plan (1°).
559. Réciproquement, si deux plans Q e/ P sont perpendicu- laires entre eux, toute droite AB perpendiculaire au premier plan Q est située dans l'autre plan P ou lui est parallèle.
En effet, si la droite AB n'avait qu'un seul point cuimiiun
3o
GÉOMÉTUIE DANS l'eSPACE.
avec le plan P, en menant de ce point une perpendiculaire su? l'inierseclion CD des plans P et Q [Jig. 3ii), cette perpendi- culaire serait perpendiculaire au plan Q, et l'on pourrait me- ner d'un même point deux perpendiculaires au plan Q; ce qui est impossible. La droite AB, ne pouvant couper le plan 1', est donc parallèle à ce plan ou située dans ce plan.
Corollaire. 560. Par une droite AB oblique à un plan P [Jig. 3 12), on peut abaisser un plan perpendiculaire sur ce plan P, et l'on ne peut en abaisser qu'un.
En effet, le plan BAa, déterminé par la droite AB et par la perpendiculaire ka au plan P abaissée d'un point quelconque de AB, est perpendiculaire au plan P. C'est le seul, car tout plan conduit par AB perpendiculairement au plan P doit con- tenir la perpendiculaire A a.
Fi". 3i2.
THÉORÈME.
561. Si deux plans P et Q sont perpendiculaires à uri troi- sième Vi, leur intersection AB est perpendiculaire à ce troi- sième plan [Jig. 3i3).
Car si, par un point quelconque de l'intersection AB, on mène la perpendiculaire au plan R, celte perpendiculaire doit se trouver à la fois dans le plan P et dans le plan Q (559) ; elle ne diffère donc pas de AB. Corollaires.
582. Un plan perpendiculaire à deux plans qui se coupent est perpendiculaire à leur intersection.
563. Si les plans P elQ de la/g^. 3i3 formentun angle dièdre droit, les trois plans P, Q, K seront perpendiculaires entre
IIVKE V. — I.K PIAN.
ôl
ejx ; i'interserlion de deux quelconques de ces plans sera per- pendiculaire au troisième, ei les trois intersections seront perpendiculaires entre elles.
^ VU. — ANGLES POLYÈDRES.
DEFIXITIOXS.
56i. Considérons des demi-droites issues d'un même point S i/ig. 3i4), et assignons-leur un ordre déterminé SA, SB, se, SD, SE. La figure formée par les demi-droites et par les angles plans ASB, BSC, CSD, DSE, ESÂ, compris entre chaque demi-droite et la suivante, reçoit le nom d'angle polyèdre. Le point S est le sommet, les droites SA, SB, SC, . . ., sont les arêtes, et les angles ASB, BSC, CSD, ... sont les /aces de l'angle polyèdre.
(Jn désigne un angle polyèdre par la lettre du sommet suivie des lettres relatives aux diverses arêtes. Ainsi, pour indiquer l'angle polyèdre de la /îg. 3i4, oh dira l'angle SABCDE, ou plus simplement l'angle S; car, quand un angle polyèdre est isolé, la lettre du sommet suffit. Fîff. 3 14.
11 faut au moins trois plans pour former un angle polyèdre. L'angle formé par trois plans prend le nom d'angle trièdre. Dans un angle trièdre BACS ' fig- 3i4)» on dislingue six élé- ments, savoir : les trois faces SBA, SBC, ABC, et les trois dièdres BA, BC, BS.
oGo. On dit qu'un angle polyèdre est convexe, lorsqu'il est situé tout entier d'un même côté par rapport au |)lan indéfiiii de chacune de ses laces {Jig- 3i4 j ; il est concave dans le cas contraire {fi g. 3i5).
62
GfiOMÉTRIi: DANS L ESPACE.
Considérons un angle polyèdre convexe SABCDE [Jig. 3i6)' ses arêtes seront, d'après la définition de la convexité, situées toutes d'un même côté du plan PQ d'une face quelconque ASB: dans \3i Jig. 3i6, nous les avons placées, pour fixer les
Fig. 3.6.
idées, au-dessus de ce plan. Par le point S, dans le plan PO, menons une droite MN située en dehors de l'angle ASB, et concevons une série de plans menés par la droite MN et contenant successivement chacune des arêtes SC, SD, SE. Si DSM ou RMN est celui de tous ces plans qui fait le plus petit angle avec la portion PMN du plan PQ, l'angle polyèdre proposé SABCDE sera situé tout entier dans l'angle dièdre RMNQ formé par la partie antérieure Q et la partie supé- rieure R des deux plans PQ, RT. Donc, tout plan GH mené par MN et situé dans l'angle dièdre PMNR et dans son opposé par l'arête QMNÏ sera un plan mené par le sommet S et lais- sant toutes les arêtes d'un même côté. Par suite, tout plan pa- rallèle au plan GH et situé, comme l'angle polyèdre SABCDE, à droite de GH, coupera toutes les arêtes de cet angle sans pas- ser par le sommet. Le section sera donc un polygone ABCDE ayant autant de côtés que l'angle polyèdre a de faces, et ce polygone sera convexe; car, l'angle polyèdre étant tout entier d'un même côté, par rapport au plan de chacune de ses faces, le polygone se trouvera, par là même, situé tout entier d'un même côté par rapport à chacune des droites indéfinies qui unissent deux sommets consécutifs quelconques.
LIVRE V. — LE PLAN.
33
566. Si l'on prolonge au delà du sommet S toutes les arêtes d'un angle polvèdre SABCDE [Jig. 317), on obtient un autre angle polyèdre SA'B'C'JJ'E qui est dit le symétrique du pre- mier.
Deux angles polyèdres symétriques SABCDE, SA'B'C'D'E' ont tous leurs élémenis respectivement égau\ : les faces ASB et A'SB', BSC et B'SC, ... sont égales deux à deux comme angles plans opposés par le sommet, et les angles dièdres SA et SA', SB et SB', . . . sont égaux comme opposés par l'arête. Mais la disposition des parties égales n'est pas la même dans les deux angles polyèdres. En effet, un observateur couché sur l'arête SA, ayant la tête en S, les pieds en A, et regardant l'in- térieur de l'angle SABCDE, verrait les arêtes se présenter de
Fig. 3i8.
droite à gauche dans l'ordre SB, SC, SD, SE; tandis qu'un observateur placé de la même manière dans l'autre angle SA'B'C'D'E', c'est-à-dire couché sur SA', ayant la lêie en S, les pieds en A' et regardant l'intérieur de l'angle, verrait les arêtes se succéder de droite à gauche dans l'ordre inverse SE', SD', se, SB'.
A cause de cette différence de disposition, deux unifies polyèdres symétriques, bien qu'égaux dans toutes leurs pur- ties, ne sont pas superposables.
En effet, considérons, par exemple, deux irièdres symétri- ques SABC eiSA'B'C [fig. 3i8 , et supposons, pour (ixcr les idées, que l'arête SC soit en avant du plan ASB, et, par suiie, que son prolongement SC soit en arrière du mémc^ |il:m. Il y a
R. et DE C. — Tr. de Gi-om. (Il' PartieJ. ^
34 GÉOMÉTRIE DANS L'ESrJtCE.
deux manières différentes d'essayer la superposition des deux trièdres.
1° Concevons [fig. 3i8) la perpendiculaire élevée par le point S sur le plan ASB, et faisons tourner le trièdre SA'B' C de i8o degrés autour de cette droite dans le sens delà flèche/; l'arête SA', qui dans ce mouvement ne sort pas du plan ASB, viendra sur SA; de même SB' s'appliquera sur SB; mais l'arête se restera toujours en arrière du plan ASB; par suite, dans sa nouvelle position, le trièdre SA'B'C ne coïncidera pas avec SABC.
2° Menons [fig. 319) la bissectrice xSjde l'angle BSA', et, autour de celte droite, qui est située dans le plan ASB, faisons
tourner le trièdre SA'B'C de 180 degrés dans le sens de la flèche 9. L'arête SA' s'appliquera sur SB, l'arête SB' sur SA, et, par suite, lafac^A'SB' coïncidera avec BSA ; de plus, l'arête SC viendra cette fois en avant du plan ASB. Mais la nouvelle po- sition SC, de cette arête différera en général de SC ; car, les angles dièdres suivant les arêtes SA et SB étant en général in- égaux, il en sera de même des angles dièdres SB et SA', et, par suite, les plans CSB et Ci SB, étant inégalement inclinés sur le plan ASB, ne coïncideront pas.
On voit cependant que la coïncidence aurait lieu si le trièdre SABC avait les deux angles dièdres SA et SB égaux entre eux. Car, dans cette hypothèse, les plans d S B et CSB seraient éga- lement inclinés sur le plan ASB; ils tomberaient donc l'un sur l'autre; il en serait de même des plans C,SA et CSA, et,
LIVRE V. — I.K l'LA.N. 35
par suite, les arêtes SC et SC.se confondraient. Observons d'ail- leurs que la face C SA', qui est égale à ASC, s'applique alors sur CSB, de sorte que l'égalité des deux angles dièdres SA et SB entraîne celles des faces CSB et CSA. Donc, en résumé, /;owr qu'un irièdre soit superposable à son symétrique, il faut et il suffit que ce trièdre ait deux angles dièdres égaux ; et, dans un tel trièdre, les faces opposées aux dièdres égaux sont égales.
THÉORÈME.
5G7. Dans tout angle polyèdre, une face quelconque est moindre que la somme de toutes les autres.
Il n'y a lieu à démontrer cette proposition que lorsque la face considérée est plus grande que chacune des autres.
Cela posé, considérons d'abord un angle trièdre SABC [Jig. 320). Dans la face ASB, que nous supposons plus grande que chacune des deux autres, formons un angle ASD égal à ASC, et prenons, à partir de S, sur les droites SI) et SC, des longueurs SC et SD égales entre elles. Par le point D, menons une droite ABI) qui rencontre les arêtes SA et SB en A et en B ;
enfm, joignons le point C aux points A ol B. L'égalité dos doux triangles ASD, ASC, qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, donne AD = AC; et comme on a
AB ou AD + DB<AC-l-CB,
on voit que le segment BD est moindre que CB. Dès lors, les deux triangles CSB, DSB, avant SB commun, SC = SD, et DB<BC, il faut [k\.] que l'ongle DSB soit moindre que CSB. Donc, en ajoutant d'une part l'angle ASD et de l'autre son égal ASC, on a
ASD H- DSB ou ASB < ASC -+- CSB.
36 GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.
Pour étendre le théorème au cas d'un angle polyèdre quel- conque, il suffit de décomposer cet angle en irièdres en me- nant par l'une des arêtes SA et par les arêtes opposées SC.SD, des plans diagonaux ASC, ASD [Jîg. Sin); la démonstration est évidente.
Corollaire.
568. Dans toiil angle (rièdre, à un plus grand angle dièdre est opposée une plus grande face.
Soit [Jig. 32 1 ) le trièdre SABC dans lequel l'angle dièdre SC est plus grand que l'angle dièdre SB. On pourra mener dans le dièdre SC et par l'arête SC un pian CSD qui fasse, avec le plan CSB, un angle dièdre égal au dièdre SB. Le trièdre SBCD ayant deux dièdres égaux, les faces BSD, CSD, opposées à ces angles, seront égales (566). Or le trièdre SACD donne
ASC < ASD + DSC;
on aura donc, en remplaçant la face DSC par son égale DSB,
ASC < ASD + DSB ou ASC < ASB.
En rapprochant ce théorème de celui qui a été démontre au dernier alinéa du n° 366, et en raisonnant comme au n° 35, on verra que : réciproquement, si un angle trièdre a deux faces égales, les dièdres opposés à ces faces sont égaux, et si un angle trièdre a deux faces inégales, à la plus grande face est opposé le plus grand dièdre.
SCOLIE.
569. Si, par le soni/iiet S (/'ii/i angle trièdre SABC, on mène une droite S0« volonté dans ^intérieur de ce trièdre, la somme des a/ig/esOSB, OSG est moindre que la somme des faces ASB, ASC.
Si les deux faces d'un an^le trièdre sont respecti\'ement égales à deux laces d'un autre angle trièdre, et si l'angle dièdre compris entre les ]>re~ mières est plus grand que l 'angle dièdre compris entre les deux autres, la troisième face du premier trièdre est plus grande que la troisième face du second.
Cette dernière proposition est l'analogue de celle du n° 40. Elle se démontre de la même manière. Il est inutile de faire de nou- velles figures; il suffit de regarder la fig. 34 comme la section
LIVRE V. — LE PLAN. ^^
plane des trièdresque l'on considère, les sommets de ces trièdres étant supposés en avant, par exemple, du plan des sections.
THÉORÈME.
570. Dans tout angle polyèdre convexe, la somme des faces est moindre que quatre angles droits ' fig- 3?..>. .
En elîel, soit ABCDE un polygone convexe obtenu en cou- pant l'angle polyèdre par un plan qui rencontre toutes les arêtes (060). En ajoutant les inégalités
EAB < EAS -f- BAS, ABC<ABS4-CBS, BCD < BCS -+- DSC,
que fournissent les trièdres A, B, C, . . . 367], on voit que la somme des angles intérieurs du polygone ABCDE est moindre que la somme des angles à la base des triangles SAB, SBC, SCD,..., qui ont S pour sommet. Or, la somme des angles tant intérieurs qu'extérieurs du polygone convexe AliCDE est égale à la somme de tous les angles des triangles dont S est le sommet commun. Donc, la somme des angles en S de ces triangles, c'est-à-dire la somme des faces de l'angle polyèdre, est moindre que la somme des angles extérieurs du polygone, c'est-à-dire moindre que quatre angles droits.
SctJLIE.
.^)7J. Il résulte des doux théorèmes précédents (îj(J7. 570) que, pour qu'on puisse former un anj^le Iriedre avec trois race> données, il faut (pie la plus grande face soit inférieure à la somme des deux autres, et que la somme des trois faces soit moindre que quatre angles droits. Nous allons prouver que ces deux conditions sont suffisantes.
38
GÉOBIÉTRIE DANS l'eSPÀCE.
Soient (fîg.'i-i.'i) ASB la plus grande face, et ASC, BSC, les deux autres faces rabattues dans le plan de la première, de part et d'autre de celle-ci;
se et se sont les deux droites provenant du dédoublement delà troisième arête.
Décrivons du point S comme centre un arc de cercle CC de rayon ar- bitraire ; cet arc sera moindre qu'une circonférence, puisque la somme des trois faces données est inférieure à quatre angles droits. Ce et CV'' étant les cordes menées des points C et C perpendiculairement aux arêtes SA et SB, les arcs AC et Ar sont égaux entre eux, ainsi que les arcs BC et Br'; et comme chacun de ces arcs est moindre que AB. les points c et c' tombent entre A et B. De plus, l'inégalité
ou
arc AB < arc AC -+- arc BC arc AB < arc Xc -t- arc Bc',
(jui exprime (jue la plus grande face ASB est inférieure à la somme des deux autres, montre que le point c tombe entre B et c' . 11 suit de là que les points C et c sont de part et d'autre de la corde C'/-:'; cette corde coupe donc la corde Ce en un point 0 situé à l'intérieur du cercle.
Élevons au point 0 la perpendiculaire OM au plan ASB et, dans le plan DOM, décrivons du point D comme centre, avec un rayon égal à DC. im arc de cercle qui coupera nécessairement la perpendiculaire OM, puisque OD est moindre que DC. M étant le point d'intersection, menons SM : le trièdre SABM sera formé avec les trois faces données. En effet, si l'on tire MD et ME, ces droites seront respectivement perpendiculairessur SA et sur SB, en vertu du théorème des trois perpendiculaires ; dès lors les deux triangles SDM, SDC sont égaux comme ayant un angle droit compris entre deux côtés égaux chacun à chacun : on en conclut dabord que la face ASM est égale à la face donnée ASC, et que l'arête SM est égale à se. Los deux triangles rectangles S.ME, SC'E ont donc l'hypoténuse égale et un côté commun, et leur égalité prouve que la face MSB est égale à l'autre lace donnée BSC.
LIVRE V. — LE PLAN.
39
THÉORÈME.
572 . Si un angle Irièdre S A' 1} ' C'est le Irièdre supplémen taire d'an angle tiièdre donné SAHC, réciproquement 8ABC sera le irièdre supplémentaire de S A' B' C.
Pour bien comprendre la défiiiiiion du Irièdre supplémen- lairc et l'objet du présent théorème, il convient de faire une remarque. Par un point 0 d'un plan P, menons une perpendi- culaire OM à ce plan et une oblique ON. Si les deux droites OM et ON sont d'an même côté du plan P, l'angle MON qu'elles forment est aigu [fig. 3^4 > car il est compris dans l'un des angles droits MOT ou MOT' (|ue fait la perpendiculaire OM avec la trace TOT' du plan MON sur le plan P. Si les deuv droites OM et ON sonl situées de pari et d'autre du plan P,
Fig. .325. .M
N
l'angle MON est ohius [f'g. 325 , car il contient l'un des angles MOT ou MOT'. Donc, réciproquement, suivant que l'angle MON est aigu ou obius, on peutafllrmer que la perpen- diculaire OM et l'oblique ON sont d'un même côté du plan P ou de part et d'aulre de ce plan.
Cfila posé, on nomme trièdre suppléiTieniaire d'un irièdre SABG [Jig. 326) un nouveau trièdre SA'B'C formé delà ma- nière suivante :
Par le sommet S, on élève une perpendiculaire SC à la face ASB, du même côté que SC par rapport au plan de celle face; on mène SB' perpendiculaire à la face ASC, du même côté que SB par rapport au plan ASC, et l'on trace enfin SA' perpei\- diculaire à la face BSC, du même côté que SA par rappoil au plan BSC.
Il s'agit maintenant de démomrer (jue le trièdre SAB(] rc-
4o
GÉOMÉTRIE PANS l'eSPACR.
suite du trièdre SA'B'C, comme celui-ci du premier; ou, en d'autres termes, que l'arête SC, par exemple, est perpendicu- laire à la face A'SB' et du même côté que SC par rapport au plan de celle face. Or, par hypothèse, SA' est perpendiculaire au plan CBS et par suite à SC; de même, SB' est perpendicu- laire à SC; donc SC est perpendiculaire au plan A'SB'. De plus, se ayant été menée perpendiculairement au plan ASB et du côté de SC, l'angle CSC est aigu; par suite, la perpendicu- laire SC ou plan A'SB' et l'oblique SC formant un angle aigu, ces deux droites sont situées d'un même côté par rapport à ce plan A'SB'.
THÉORÈME.
573. Si SABC e/ SA'B'C sont deux trièdres supplémentaires, chaque angle dièdre de l'un de ces trièdres est le supplément de la face opposée duns l'autre [fig. 327).
La démonstration est fondée sur la remarque suivante : Lorsque, par un point 0 pris sur l'arête d'un angle dièdre 01, on élève sur la face lOA une perpendiculaire OA' du même côté du plan lOA que la face lOB, e^ sur la face lOB une perpen- diculaire OB' du même côté du plan lOB que la face lOA, l'angle A'OB' est le supplément de l'angle plan kOB qui mesure le dièdre {fi g- 3 28, 3 29).
Fig. 329. I
Les quatre droites OA, OB, OA', OB', sont dans le plan per- pendiculaire à 01 mené par 0; d'ailleurs, OA' perpendiculaire au plan lOA doit être perpendiculaire à OA, et de même OB' doit être perpendiculaire sur OB; les angles AOB, A'OB' sont donc deux angles situés dans un même plan et ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun; pour prouver qu'ils
LIVRE V. — LE PLAN. 4^
sont supplémenlaiies, il sulfit de prouver qu'ils sont toujours d'espèce différente, c'est-à-dire l'un aigu, l'autre obtus. Or, cela résulte de la direction que l'énoncé impose aux perpendi- culaires OA' et OB'. En effet, si l'angle AOB est aigu [Jîg. 328), l'angle A'UB' renferme l'angle droit AOA' et, par suite, est obtus; si l'angle AOB est obtus (/g. 329), l'angle A'OB' est contenu dans l'angle droit AOA' et, par suite, est aigu.
Cela posé, revenons aux trièdres supplémentaires SABC, SA'B'C {Jig. 327), et considérons, par exemple, le dièdre SC. La droite SB' est une perpendiculaire à la face CSA de ce dièdre du côté de SB, et par suite du côté de l'autre face CSB; de même, SA' est une perpendiculaire à la face CSB du dièdre, lu côté de la face CSA; donc, l'angle A'SB' est le supplément de l'angle qui mesure le dièdre SC ou, plus brièvement, le supplément du dièdre SC. On procéderait de même pour les dièdres SA et SB.
Puisque les deux trièdres SABC, SA'B'C se déduisent l'un de l'autre par la même construction, il est clair que la pro- priété qui vient d'être établie pour les dièdres du premier s'étend aux dièdres du second. D'ailleurs, la démonstration serait la même.
C'est en raison de celle double propriété que les deux triè- dres ont été appelés supplémentaires.
ScOLiE.
b7i. Désignons par (i. h. c les nombres qui mesurent les faces, et par A, B, C les nombres qui mesurent les angles dièdres d'un angle trièdre, langle droit étant pris pour unilé d'angle. Les nombres «', b\ c\ i\n\ mesureront les faces, et ceux A',B', C'qui mesureront les angles dièdres du trièdre supplémentaire, seront donnés par les formules
a' = 1 — A , A' = 2 — «, è' = 2 — B, B' = 2-6,
c' ~ X — c, c = 2 — C.
Si l'on connaît une propriété quelconque d'un angle trièdre, c'est-à- diro une relation enlre les éléments «, 6, c, A, B, C do celle ligure, en appliquant celle relation aux élénunls n\ b\ c', A', B', C du trièdre sup- plémentaire, puis en ij'niolaçant Ces éléments par li'urs valeur» tirées des
4 2 GÉOMÉTKIE DANS l'kSI'ACE.
foniniles précédentes, on aura une relation nouvelleentre a, h, c, A, B, C, c'est-à-dire une nouvelle propriété du trièdre primitif.
De même, toute propriété relative à plusieurs trièdres conduira, par la considération des trièdres supplémentaires des proposés, à une propriété nouvelle de ce système de trièdres.
On conçoit par là l'importance du théorème précédent. Voici d'ail- leurs quelques applications de la méthode générale que nous venons d'indiquer.
575. Nous avons vu (570) que la somme des faces d'un trièdre était toujours comprise entre zéro et quatre angles droits. Cherchons le théo- rème correspondant, ou, comme on dit, le théorème corrélatif. Considé- rons à cet etfet le trièdre supplémentaire du proposé ; a\ h\ c' étant ses faces, on a
O < rt' -t- ^' -I- c' < 4 .
Par suite. A, B, C étant les dièdres du trièdre proposé, on a
o<(a_ A) + {2-B) + (2-C)<4, ou
C>A+B-i-C>2.
Ainsi, la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre, la somme des angles dièdres est comprise c/ilre deux droits et six droits.
Nous avons vu encore {5G7) que, dans tout trièdre, la plus grande face est moindre que la somme des deux autres : quel est le théorème cor- rélatif?
Soient a\b\ c' les faces du trièdre supplémentaire du trièdre considéré. a' étant la plus grande, on a
a' < 1/ -f- c' ; par suite, si A, B, C sont les dièdres du trièdre proposé, on aura
2-A<(2-B) +(5..-C), ou A+2>B-4-C.
D'ailleurs, le supplément d'un angle diminuant quand cet angle augmente, A doit être le plus petit des dièdres A, B, C, puisque a' est la plus grande des faces a', b', c'. Donc, enfin, la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre, le plies petit angle dièdre, augmenté de deux droits, est plus grand que la somme des deux autres dièdres.
576. En résumé, pour qu'on puisse former un angle trièdre avec trois dièdres donnés A, B, C, il faut que leur somme soit comprise entre deux droits et six droits, et que le plus petit augmenté de deux droits soit supérieur à la somme des deux autres.
LIVRE V. — LE PLAN. 4^
Ces conditions sont suffisantes ; car, quand elles sont remplies, les sup- pléments a' , b\ c' des angles donnés A, B, C satisfont aux deux condi- tions (lu n" 571. On peut doiic, avec les trois faces n', b', c', construire un trièdre; par suite, en construisant le trièdre supplémentaire de celui-là, on aura un irièdre dont les dièdres seront les angles donnés A, B, C.
THÉORÈME.
577. Deux angles trièdres sont égaux :
1° Lorsqu'ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés:
■?." Lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ;
3" Lorsqu'ils ont leurs faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ;
4" Lorsqu'ils ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.
I" Soient les deux trièdres SABC et S'A'B'C {fg. 33o\ Par hypothèse, la face ASB est égale à la face A' S' B', les angles
Fip. 33o.
dièdres SA et S'A' sont égaux entre eux, ainsi que les dièdres SB et S'B'. On suppose en outre (jue la disposition est la même, c'est-à-dire que, si un observateur dont la tête est en S, le dos appuyé sur la face ASB ot le regard dirigé vers SC, a l'arcte SA à sa gauche et l'arôtc SB à sa droite, un autre observa- teur, dont la tête serait en S', le dos appuyé sur la face A'S'B' et le regard dirigé vers S'C, aurait l'arête S'A' à sa gauche et l'arête S' B' à sa droite.
Dans ces conditions, les deux trièdres sont égaux, c'est à . dire suporposables. En edet, si l'on place la face A'S' B' sur son égale ASB, de façon rjuc S'A' coïncide avec SA et S'B' avec SB,
44 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACK.
l'arêle S'C tombe, par rapport au plan ASB, du même côté que se, sans quoi la disposition des éléments serait diftérente dans les deux trièdres. Alors, les dièdres SA et S'A' étant égaux, le plan A'S'C s'applique sur le plan ASC; de même, les dièdres SB et S'B' étant égaux, le plan B'S'C s'applique sur le plan BSC; donc, enfin, les arêtes S'C et SG se confondent et les deux trièdres coïncident.
2° Le deuxième cas résulte du précédent, dont il est le corré- latif {61^}. ¥^n effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont une face égale adjacente à deux dièdres respecti- vement égaux et semblablement disposés; ils sont donc super- posables et, par suite, il en est de même des trièdres pri- mitifs.
D'ailleurs, la démonstration directe n'offre aucune difficulté; on voit, par un raisonnement analogue au précédent ( i°), que la superposition est possible, si, conformément à l'hypolbèse, la disposition des éléments est la même.
3° Pour le troisième cas, on pourrait prouver par l'ab- surde que le dièdre SB, par exemple, est égal au dièdre S'B', en s'appuyant sur le second tbéorème énoncé au n° 569.
Voici d'ailleurs une démonstration directe :
Soient SABC et S'A'B'C les deux trièdres; il suffit évidem- ment de démontrer l'égalité de deux dièdres bomologues, des dièdres SA et S'A', par exemple.
Supposons d'abord que les deux faces ASB, ASC, qui com- prennent le dièdre SA, soient deux angles aigus. En un point quelconque 0 de l'arêle SA, formons {/îg. 33i) l'angle plan
'correspondant à l'angle dièdre SA; en d'autres termes, élevons j)ar le point 0 des perpendiculaires sur SA dans les plans ASB
LIVUH V. — LK PLAN. 45
el ASC; les angles ASB el ASC étant aigus, ces perpendiculaires rencontrent les arêtes SB et SC en deux points M el N que nous joindrons par une ligne droite, l'renons S'O' := SO et construi- sons de même en 0' Tantale plan M'O'iN' du dièdre S' A'. 11 s'agit de démontrer l'égalité des deux angles plans MON et M'O'N'. Or les deux triangles reolangîesSOM, S'O'M'soiit égaux comme ajanl un côté égal adjacent à deux angles égaux : il en est de même des triangles SON et S'O'N' ; par suite, les deux trian- gles SMN, S'M'N' ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, et enfin les deux triangles OMN, O'M'N' ont les trois côtés égaux chacun à chacun. L'égalité de ces derniers triangles entraîne celle des deux angles MON, M'O'N'.
Supposons en second lieu que les deux angles ASB el ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient quelconques, el prenons six longueurs égales SA = SB = SC = S'A' = S'B' = S'C', à partir des sommets, sur les arêtes des deux trièdres {Ji^. 332).
Fig. 332.
Les triangles isocèles ASB et A'S'B', BSC et B'S'C, CSA et CSA' sont égaux deux à deux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux; par suite, les triangles ABC, A'B'C sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. D'après cela, les deux trièdres A et A' ont leurs (acos respectivement égales; d'ailleurs, les angles SAB, SAC, qui comprennent le dièdre AS, sont aigus comme ongles à la hase de triangles isocèles; donc, en vertu du raisonnement fait dans l'alinéa précédent, le dièdre AS est égal au dièdre A'S'.
4° Le dernier cas résulte du précédent dont il est le corrâ- latif. En elVet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont leurs faces respectivement égales el semhlahlement dispo- sées; ils sont donc superposables, el, par suite, il en esl do même des Irièdres primitils.
^6 GÉOMÉTKll! UA>S l'eSI'AGU.
SCOLIE.
578. Si, dans chacun des quatre cas examinés, la disposi- tion des éléments égaux était différente dans les deux trièdres, il n'y aurait plus égalité, mais seulement symétrie. En effet, soient T et T' les deux trièdres proposés, et ï, le symétrique de T, c'est-à-dire celui que l'on déduit de T en prolongeant ses arêtes au delà du sommet (j^^^-. 33o). Les trièdres ï et ï, ont leurs éléments égaux et inversement disposés; par suite, comme T et T' remplissent par hypothèse toutes les conditions de l'un des cas d'égalité, sauf celle relative à la disposition des parties égales, les trièdres T' et ï, satisferont à toutes les con- ditions de ce cas d'égalité : ils seront donc superposables; d'où l'on voit que T' est alors superposable au symétrique de T.
579. Nous avons suffisamment signalé dans le courant de ce paragraphe l'analogie entre certaines propriétés des trièdres et des triangles rectilignes. Il importe toutefois d'observer en ter- minant que, si, à toute propriété des triangles répond une pro- priété des trièdres, la réciproque n'est pas vraie; par exemple, tandis que l'égalité des angles dièdres de deux trièdres entraîne l'égalité de leurs faces, l'égalité des angles de deux triangles n'entraîne que la proportionnalité des côtés.
§ Vm. — APPENOICB.
QUAt)BlLATt:RE GAUCHE.
H80. On dit qu'un quadrilatère ABCD i^^g. 333) est gnuc/ic\orsque ses quatre côtés ne sont pas dans un même plan. Pour obtenir une pareille figure, il suffit d'assembler deux triangles ABC, ADC, ayant un côté com- mun AC, de façon que leurs plans ne coïncident pas.
THÉORÈME.
581. Quand un plan V rencontre les quatre côtés d'un quadrUatère gauche ABCD en quatre points <-/, h^ c, d [Jig. 333 ), on a la relation seg- nicntaire
(^ bj^ cC crû _ (0 TiV,' hC' c\)\l:\ ~ "^ ''
LIVRE V. — LE PLAX. 47
En effet, en appliquant le tliéorème de Ménélalis ['3lO) aux deux triangles ADC et ADC coupés respectivement par les deux transversales nb
Fig. 333. Fig. 334.
etcfl, et remarquant que les deux droites ab et cd se rencontrent .ni point £ où la diagonale AC perce le plan P, on a les égalités
«A ^ eC _ ££ '^ L^ _
dont le produit est précisément la relation ( i).
582. RÉCIPROQUEMENT, si sur les quatre côtés d'un quadrilatère gauche ABCD, on prend quatre points o, 6, c, d, tels (juan oit larelation (i), ces quatre points sont dans un même plan [Jïg. 33.4 ).
Car le plan P, déterminé par les trois points b, c, (/, rencontre le côté A B en un point a', tel qu'on ait (381 )
a\k bh rC. d[) _ a'B"bC'7T)'7r\~ ^'
La comparaison de cette relation avec la relation (i), qui a lieu |)ar hypothèse, donne
«A _ «'A ^ ^tB ~y7Tj '
et celte proportion entraîne (303) la coïncidence des points a' et a.
|
Corollaires. |
|
|
583. La relation ( i |
) est satisfaite lorsqu'on a |
|
«A cD bB dX aB~cC bC~\l\)' |
De là ce théorèipe : .SV une première droite ne divise proportion/iellc- mciit deux volés opposés AB et DCd'un quadrilatère gauche ABCO, et si une seconde droite bd divise proportionnellement les deux autres côtéx HC et AD, ces deux droites sont diuis un mu an; plan {_fig. 334).
Dans le cas particulier où le iilai» tr.insversal P est parallèle aux deux côtés opposés BC et AD, les doux | oints b it d passent à l'inliai, les
ijb GfiOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
deux rapports r^et-y^ se réduisent à l'unité, et la relation (i) devient 0\^ cl A.
a A cC aX cD
n B c 13 a]5 cL
Donc : Tout plan P, jjiirallèle h deux côtés opposés BC et AD c/V^/i (jU(ulrilatère gauche ABCD, divise proportionnellement les deux autres côtés.
La démonstration directe de ce théorème est d'ailleurs très-simple : si, par chacune des droites BC et AD, on imagine un plan parallèle au plan P, on a deux droites AB et CD coupées par trois plans parallèles; donc (SIO), etc.
Réciproquement: Toute droite ac, cjui divise proportionnellement deux côtés opposés AB et CD d'un quadrilatère gauche ABCD, est située dans un plan parallèle aux deux autres côtés AD et BC. Car, si l'on imagine le plan mené par c parallèlement aux droites AD et BC, ce plan doit, en vertq du théorème direct, diviser le côté AB en parties proportionnelles àcCetcD ; ce plan contient donc le point a et, par suite, la droite ac.
RAPPORT ANHARMOMQUE DE QUATRE PLANS.
58i. Il est aisé de voir que, lorsque quatre plans A, B, C, D passent par une même droite, le raj)port anharmonique du faisceau de quatre droites déterminé par un plan transversal quelconipie est indépendant de la position de ce plan transversal. Car les quatre droites (7, b, c , r/, dé- terminées par un premier plan P, et les quatre droites r/', h\ c\ d\ dé- terminées par un second plan P', se coupent deux à deux enquartre points a, j5, 7, (î, situés sur l'intersection des deux plans P et P', et le rapport anharmonique des points a, ^, y, rj est égal (321) à celui des droites «, b, c, c/, aussi bien qu'à celui des droites a\ b\ c\ d'.
D'après cela, on donne le nom de rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans passant par une mênve droite à tout rapport anharmo- nique du faisceau de quatre droites déterminé par un plan transversal quelconque.
fJSS. Lorsque quatre plans passent par une même droite, toute trans- veisale les rencontre en quatre points dont le rapport anharmonique est égal à celui des (juatre jjlans. Car ces deux rapports ne sont autres que celui du faisceau de quatre droites déterminé par un plan quelconque contenant la transversale (321, 584).
Un faisceau de quatre plans. A, B, C, D, passant par une même droite, est dit Juumoniqur lorsque le rapport anharmonique (A, B, C, D)
LIVHK V. — I.i: l'L\N. 49
de ces quatre plans est égal à— i. Alors, tout plan transversal ou toute sécante détermine un système harmonique de quatre droites oudequatre points.
PROJF.CTION CENTRALE OU PEUSPECTIVE.
b8G. Le théorème du n" 527, relatif à la projection d'une droitesur un plan, subsiste lorsque les projetantes des divers points de la droite sont obliques au plan, pourvu qu'elles soient parallèles entre elles ou qu'elle^ divergent d'un même point de l'espace; car les projetantes sont encore, dans l'un ou l'autre cas, situées toutes dans le plan de l'une d'elles et de la droite que l'on projette.
On est ainsi conduit à étendre le sens du moi projection.
La projection m d'un point M s\ir un plan P est dite orthnaonale, oblique ou ccntnile, suivant que la projetante M/« est perpendiculaire au plan P, ou qu'elle est parallèle à une direction fixe oblique à ce plan, ou enfin qu'elle est issue du point fixe S de l'espace.
La projection orthogonale, oblique ou centrale d'une figure est le lieu des projections orthogonales, obliques ou centrales de ses divers points, en supposant, bien entendu, dans les deux derniers cas, que la direction oblique des projetantes, ou que le centre S de projection, ne change pas quand on passe d'un point à un autre de la figure que l'on projette.
La perspective d'une figure sur un tableau P n'est autre chose que la projection centrale de cette figure sur le plan P, la position de l'œil étant prise pour centre S de projection.
D'après cela, le théorème du n" bSa peut encore être énoncé de la ma- nière suivante :
Lorsfpic (pidtre droites concourantes sont situées dans un nie'nie plan, si Ton construit leur projection orthogonale, ol)li(pie nu centnde, sur un plan (juelcnnque, on obtient quatre droites concourantes dont le rapport anharmonique est égal a celui des (ptalre premières.
Le théorème du n*" 330 relatif aux projections de deux droites parallèles subsiste, ainsi que la démonstration, pour la projection oblique; mais il cesse d'être vrai pour la projection centrale. Nous allons, à cette occa- sion, donner, sur la projection centrale ou perspective, quelques dé- finitions et quelques principes fondamentaux qu'il est indispensable de connaître.
K87. On nomme droite de front toute droite parallèle au tableau, et plan de front tout plan parallèle au tableau.
On appelle trace d'une droite \) It- point t où elle rencontre le ta- bleau ^ [fig- 335), Gi trace d'un plan la droite suivant laquelle ce plan coupe le tableau. Une droite de front n'a pas de trace, ou plutôt sa trace
K. et DL C. — Tr. de Géoin. (tl" Pailie). 4
GÉOJIÉIRIE DANS l'eSPACE.
esta l'infini; il en est de même d'un plan de front. Quand une droite SF passe par le centre S de projection, sa perspective se réduit à un point./, qui est sa trace. Quand un plan passe par le cenire de projection, tous les points de ce plan ont donc leurs perspectives sur la trace du plan.
On nomme point de fuite d'une droite D non parallèle au tableau la trace /delà parallèle S/ menée à cette droite par le centre S de projec- tion. Quand un point M s'éloigne de plus en plus sur la droite D, la pro- jetante SM de ce point tend vers la position S/, et la perspective m du point M tend vers/; le point de fuite/ d'une droite D est donc la per- spective du point à l'infini de cette droite.
Lorsque plusieurs droites D, D', D", . . . , non parallèles au tableau, sotit parallèles entre elles, elles ont le même point de fuite ; leurs perspectives d, d' , d" ,. . . concourent donc en ce point/.
Une droite de front A n'a pas de point de fuite, ou plutôt soD point de fuite est à l'infini ; elle a pour perspective une droite S qui lui est parais lèle, car son plan projetant, passant par une droite A parallèle au tableau, coupole tableau suivant une parallèle o à cette droite. 11 résulte de là que, si plusieurs droites de front sont parallèles^ leurs perspectives sont varallèles.
Fig. 3j5.
336.
— >-.j:v
Les droites de front, parallèles entre, elles ne sont pas les s-ules droites qui aient leurs perspectives parallèles. Pour que des droites D, D', D", ... {fig. 336) aient leurs perspectives d, d' . d",... parallèles entre elles, il faut et d suffit qu'elles rencontrent une même droite de front SU passant par le centre S de projection. En effet, la condition est nécessaire; car, si les traces d, d', d'\... des plans projetants S /^/ St'd\êt"d" sont paral- lèles, ces plans se coupent suivant une droite SU parallèle (oOO) à d, d', d", . . . , c'est-à-dire suivant une droite de front qui rencontre chacune des
droites D, D' ,D", La condition est suffisante ; car, si elle est remplie,
les plans projetants SnD, Sa'D', Sa"D",..... passant tous par une niêiiie
LIVRE V.
LE PLAN.
droite de front Su, auront leurs traces d, d\ d'\ . . . parallèles à cette droite (493). On retombe sur le môme résultat que celui obtenu dans ie cas très^-particulier signalé d'abord, loisque les droites D, D', D" rencoplrent à l'infini la droite de front SU.
588. On appelle ligne de fuite d'un plan Q. non parallèle au tableau P la trace FF, du plan Q,, mené par le centre S de projection parallèlement au plan Q [fg. 33;). Plusieurs plans parallèles ont donc la même ligne de fuite.
rig. .337.
Quand une droite D est parallèle à un pUm Q ou située dans ce plan, son point de fuite f est sur la ligne de fuite FF| du plan ; car la parallèle S/à D, menée par S, est contenue dans le plan Q, (497),
Les points à l'infini de toutes les droites du plan Q ont, d'après cela, leurs perspectives sur la ligne de fuite FF, de ce plan et, comme la per- spective d'une ligne plane, dont le plan ne contient pas le centre S de pro- jection, n'est une droite qu'autant que cette ligne est droite elle-même, on voit qu'o// est conduit à considérer tous les points à l'infini dUm plan Q comme étant en ligne droite. On nomme cette droite \à droite de l' infini du plan Q.
5-2 - GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
LIVRE VL
LES POLYÈDRES.
§ I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES ET AIRE LATERALE DU PRISME.
DÉFINITIONS.
589. On appelle />o//èf/re tout corps terminé de toutes parts par des plans.
Ces plans, en se limitant mutuellement, déterminent les arêtes, les faces elles somme/s du polyèdre. Les angles diè- dres et polyèdres formés par les faces sont les angles dièdres et polyèdres de la figure. Le polyèdre a pour diagonales les droites qui unissent deux sommets quelconques non situés sur une même face.
On a donné des noms particuliers à certains polyèdres d'après le nombre de leurs faces. Ainsi tout polyèdre ayant quatre faces est un tétraèdre. Les noms hexaèdre, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre correspondent aux polyèdres de six, huit, douze, vingt faces.
590. Un polyèdre est convexe, lorsqu'il reste tout entier d'un même côté de chacune de ces faces prolongées indéfi- niment.
Une droite quelconque ne peut rencontrer la surface d'un polyèdre convexe en plus de deux points. Car tout plan mené suivant cette droite rencontre nécessairement la surface du polyèdre suivant un polygone convexe (26), dont le contour a, avec la droite donnée, les mêmes points d'intersection que la surface du polyèdre.
Dans ce qui suit, il ne s'agira que de polyèdres convexes.
LIVRE VI. — LrS POLYÈDRES. 53
591. Parmi les polyèdres, on dislingue le prisme et la pyra- mide.
Le prisme est un polyèdre compris sous plusieurs plans parallélogrammes réunis entre eux par deux faces opposées égales et parallèles.
On construit un prisme de la manière suivante :
Soit [Jïg. 338) ABCOE un polygone plan quelconque. Par le sommet A, menons exiérieuremeiil au plan de ce polygone
la droite AF et, par le point F, un plan parallèle au plan ABCDE; puis, par les sommets B, C, D, E, traçons jusqu'à la rencontre du plan mené par le point F les droites BG, CH, DI, EK, parallèles à AF. Ces droites sont toutes égales à AF(510); toutes les faces ABGF, BCIIG, CDIH, . . . sont donc dos pa- rallélogrammes. De plus, les deux polygonesparallèles ABCDE, FGUIK sont égaux comme ayant leurs côtés égaux et paral- lèles. Le polyèdre obtenu est donc un prisme.
592. Si la droite AF est perpendiculaire au plan ABCDE, le prisme est droit ; sinon, il est oblique.
Les droites AF, BG, Cil, . . . sont les arêtes latérales du prisme, et la somme des faces parallélogranmies ABGF , BCHG, . . . forme son aire latérale.
Le prisme a pour bases les deux polygones égaux et paral- lèles ABCDE, FGHlK, et sa hauteur est la distance des |)laiis de ses deux bases.
593. Dans un prisme droit, chaque arête latérale est égale à la hauteur. Les faces latérales d'un prisme droit sont des rectangles.
5-1 CÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Dans un prisme oblique, la hauteur est moindre que l'arêie latérale.
Un prisme régulier est un prisme droit qui a pour bases des polygones réguliers.
594. Suivant que les bases d'un prisme sont des triangles, des quadrilatères, des pentagones, des hexagones, etc., le prisme est dit triangulaire, quadrangulaire , pentagonnl, liexagonal, etc.
o9o. Parmi les prismes quadrangulaires, on dislingue celui qui a pour bases des parallélogrammes, et on lui donne le nom de parallélipipède. Toutes les faces d'un parallélipipède sont des parallélogrammes [fig. SSg).
Un parallélipipède peut être droit ou oblique (592).
Parmi les parallélipipèdes droits, on distingue \q paralléli- pipède rectangle, dont les bases sont des rectangles. Toutes les faces d'un parallélipipède rectangle sont des rectangles
[fig- Ho).
On nomme cube le parallélipipède rectangle dont les bases et les faces latérales sont des carrés, nécessairement égaux
(A--. 340.
On remarquera que, la perspective déformant les angles, la fig. 340 représente aussi bien un parallélipipède droit qu'un parallélipipède rectangle.
Fig. 339.
Fig. 3'|0. U G
Fig. 3.',i.
|
/i |
/ |
|
1 D'- - |
i |
|
'-' |
/ |
596. De même qu'on appelle dimensions d'un rectangle les longueurs de deux côtés adjacents, on appelle dimensions d'un parallélipipède rectangle les longueurs de trois arêtes coniiguës, c'est-à-dire partant d'un même sommet. Le parai-
LIVRE VI. — LES POLVfeDUES. Cf5
lélipipède rectangle AG [Jig. 34o' a pour dimensions les lon- gueurs des arêles AB, AD, AE.
THÉORÈME.
397, Les faces opposées d'un parallélipipède sont égales et parallèles.
Soil (fig. 342) le parallélipipède A(j. Ses bases ABCD, EFGH soni, par délinilion, des parallélogrammes égaux el parallèles.
11 faut donc prouver seulement que deux faces latérales op- posées, ADHE el BCGF par exemple, remplissent la même condition. Or, AD et BC sont égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABCD; AE et BF sont aussi égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABFE. Par suite, les deux angles DAE et CBF sont égaux, et leurs plans sont parallèles. Les deux parallélogrammes ADHE, BCGF sont donc égaux et parallèles.
Corollaires. o98. Le parallélipipède étant un prisme compris sous six fa'^es parallélogrammes dont les opposées sont égales et pa- rallèles, on peut prendre pour bases d'un parallélipipède deux faces opposées quelconques ( 591 .
599. Tout plan qui rencontre deux faces opposées d'un pa- rallélipipède le coupe suii-ant un parallélogramme. Soit le plan IKLM (Jig. i^'i) qui renronire les deux faces opposées ADIIK et BCGF du p;irallélipipède AG. Les côtés oppobésde b section IKLM étant parallèles comme iuterseclions de deux plans parallèles coupés par un troisième, celle section est uu paiallélogramme.
56 GÉOMÉTRIE DANS I.'eSPACE.
SCOLIE.
600. Pour construire un parallélipipède sur trois droites données AB, AD, AE, parlant d'un même point A et non si- tuées dans un même plan \ fîg- 342), il suffit de mener par l'extrémité non commune de chacune de ces droites un plan parallèle au plan des deux auires. Ainsi, par le point E, on conduira un plan parallèle au plan BAD, parle point D un plan parallèle au pian BAE, par le point B un plan parallèle au plan DAE. Le polyèdre compris sous les six plans considérés sera un parallélipipède.
THÉORÈME.
601. Druis un parallélipipède, les quatre diagonales se cou- pent mutuellement en parties égales.
^oit [fg. 343 le parallélipipède AG et ses quatre diago- nales AG, CE, BH, DF. Les deux côtés AE et CG étant égaux et parallèles, la figure ACGE est un parallélogramme dont les diagonales AG et CE se coupent mutuellement au point O en parties égales. La figure ABGH étant aussi un parallélogramme, les diagonales AG et BH se coupent mutuellement en parties égales, c'est-à-dire au point 0 milieu de AG. On prouverait de même que la quatrième diagonale DF passe au point 0 et y est divisée en parties égales.
SCOLIBS.
602. On appelle centre d'un parallélipipède le point de ren- contre de ses quatre diagonales.
Toute droite KL passant par le point 0 et limitée à la sur- face du parallélipipède AG {fig. 343) est divisée au point O en deux parties égales. En effet, le plan déterminé par cette
Livnr VI. — LES poivÈPREs. f)7
droite el la diagonale AG coupe les deux faces opposées ADHE et BCGF suivani les parallèles aK el GL; les deux triangles AOK, GOL sont donc égaux.
603. Si le parallélipipède proposé est rectangle, tous les parallélogrammes de la figure deviennent des rectangles. Le parallélogramme ABGH, par exemple, est alors un rectangle, parce que l'aréle AB est perpendiculaire à la face ADHE. Les diagonales d'un rectangle étant égales, les quatre diagonales d'an parallélipipède rectangle sont égales.
60i. Dans l'hypothèse précédente, les triangles HAB, HDA étant rectangles, on a
bh' =3Âb'-âh', âh' = ad + dh' = ad -+- ae\
Par suite,
BÏï' = Âb' -h AÏ)' + ÂË*.
Donc, le carré de la diagonale d'un parallélipipède rectan- gle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.
Un cube étant un parallélipipède rectangle dont les dimen- sions sont égales, le carré de la diagonale d'un cube est égal à trois fois le carré de son arête.
THÉORÈME. 605. Les sections faites dans un prisme par deux plans pa- rallèles sont deux polygones égaux.
Fiu. 3.',',.
Soient {/ig. 3.|4) le prisme AU et les sections LMXOP,
58 GÉOMÉTRIIÎ DANS l'esPACE.
QRSTU, faites par deux plans parallèles. Les côtés de ces sections sont deux à deux parallèles comme intersections de deux plans parallèles coupés par un troisième, et égaux comme parallèles comprises entre parallèles. Les deux poly- gones obtenus ont donc à la fois leurs angles égaux et leurs côtes égaux.
Corollaires.
60G. Lorsque le plan sécant est parallèle à la base du prisme, la section obtenue est égale à cette base.
En supposant les arêtes latérales du prisme prolongées au delà des bases, la démonstration précédente s'applique, que les sections soient intérieures ou extérieures au prisme, et même lorsqu'elles sont en partie intérieures et en partie ex- térieures. Il suffit que les plans sécants rencontrent toutes les arêtes latérales.
SCOLIE.
607. On appelle section droite d'un prisme la section déter- minée dans ce prisme par un plan perpendiculaire à ses arêtes latérales.
THÉORÈME.
608. L'aire latérale d'un prisme a pour mesure le produit du périmètre de sa section droite par son arête latérale.
Soient (fig- 345) le prisme AH et sa section droite LMNOP. Les côtés de cette section droite sont les hauteurs des pa- rallélogrammes qui forment l'aire latérale du prisme, et ces
LIVRE VI. — LKS POLYËDRES. Sç)
parallélogrames ont pour basos égales les arcies latérales du polyèdre. La somme de leurs mesures sera donc
AF.LM-<-BG.M\+.. +RE.PL = AF LM-^MN ...-+- PL).
Corollaire.
G09. Si le prisme est droit, sa section droite est égale à sa base et son aréle latérale à sa hauteur 'G06, 593). L'aire Inlé- rnle d'un prisme droit n donc pour nitsiire le produit du péri- mètre de sa base par sa liauteur.
SCOLIK.
610. En ajoutant à l'aire latérale d'un prisme deux fois l'aire de sa base, on obtient son aire totale.
§ IL — VOLUME on PRISME.
DÉFINITIONS.
Cil. On appelle volume d'un polyèdre l'étendue du lieu qu'il occupe dans l'espace indéfini.
Quand deux polyèdres peuvent coïncider, ils sont é^aux. Quand deux polyèdres ont des volumes égaux sans pouvoir coïncider, on dit qu'ils sont équivalents.
Pour démontrer que deux polyèdres convexes coïncident, il suffit de prouver qu'ils ont les mêmes sommets.
612. Si l'on détache une portion d'un prisme par un phin incliné à sa base, le polyèdre restant est un prisme tronqué. La section obtenue est la base supérieure du tronc de prisme.
THÉORÈME.
613. Deux prismes droits de même base et de même haii~ leur sont éi^nùx.
Car, si l'on fait coïncider les hases iiifi'rieures de ces prismes, leuis arêtes latérales prendront deux à deux Ui même direc-
6o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
lion (518), ei, comme elles sont égales à la hauteur donnée, les bases supérieures des deux prismes coïncideront aussi.
SCOLIE.
614. La démonstration précédente s'applique au cas de deux prismes droits tronqués de même base, lorsque leurs arêtes latérales sont égales deux à deux.
THÉORÈME.
615. Tout prisme oblique est équivalent nu prisme droit ayant pour base In section droite du prisme oblique et pour hauteur son arête Intérale.
Soit {fig. 346) le prisme oblique ABCDEFGHIK ou AH. Par un point G' de l'arête BG, menons la section droite F' G' H TK'.
Prolongeons l'arête BG au-dessous de la base ABCDE d'une longueur BB' =GG'> et par le point B' menons un plan paral- lèle au plan de la section droite. Les intersections de ce plan avec les arêtes latérales du prisme prolongées détermineront un polygone A'B'C'D'E' égal (606) au polygone F'G'HTK'. La figure A'B'C'D'E' F'G'HTK' ou A'H' sera donc un prisme droit ayant pour base la section droite du prisme oblique AH et pour hauteur son arêle latérale BG; car on a B'G'=:BG, puisque, par construciion, BB' = GG'.
Cela posé, le volume compris entre la base inlérieure du prisme oblique AH et la base supérieure du prisme droit A'H' est commun aux deux prismes. Pour démontrer l'équi- vaience de ces deux prismes, il suffit donc de démontrer l'é-
LIVRK VI. — LES POLYÈDRES.
6l
galilé des deux polyèdres ou prismes droits tronqués (612) A'B'C'D'E ABCDE ou A'C et F'G'H'l' K'FGHIK ou F'H. Cette égalité résulte immédiatement de la remarque faite au n° 6li; car les deux bases A'B'C'D'E', F'Ci'H'l'K' sont égales, ainsi que les arêtes correspondantes A' A et F'F, B'B et G' G, etc. A' A, par exemple, est l'arête latérale ou la hauteur du prisme droit A' H', diminuée de AT', et F'F est l'arête laté- rale du prisme oblique AH, diminuée de la même quantité.
THÉORÈME.
61 G. Le plan mené par deux arêtes latérales opposées d'un pandlélipipède le partage en deux prismes triangulaires équi- valents.
Soit [fig. 347 le parailélipipède quelconque AG. Le plan AEGC, mené par les arêtes opposées AE et CG, partage ce pa- railélipipède en deux prismes triangulaires ABCEFG,ACDEG II, dont il s'agit de démontrer l'équivalence.
ISIenons la section droite du parailélipipède AG. Celle sec- lion OKLM est un parallélogramme ;o99); et les deux triangles égaux KLM, KMO, suivant lesquels la diagonale KM la divise, sont respectivement les sections droites des prismes ABCEFG, ACDEGII.
Or le prisme triangulaire ABCEFG est équivalent au prisme droit ayant pour base KLM et pour hauteur AE (615); de même, le prisme triangulaire ACDEGII est équivalent au prisme droit ayant pour base KMO et pour hauteur AE. Les deux prismes droits énoncés éiant égaux (6I3j, les deux prismes triangulaires ABCEFG, ACDEGII sont équivalents, cl chacun d'eux esl la moitié du parailélipipède AG.
62
(;éomktkie dans l esi'ace.
THEOREME.
617. 1° Si deux parallélipipèdes rectangles de même hase ont des hauteurs égales, ils sont égaux.
2° Si trois parallélipipèdes rectangles de même base sont tels, que la hauteur du premier soit égale à la somme des hauteurs des deux autres, le premier parallélipipède est égal à la somme des deux autres.
En efiel :
1° Soient [fig. 348) les deux parallélipipèdes reclangles AG el A'G', dont les bases ABCD, A'B'C'D' soni égales, ainsi que les hauteurs AE el A'E'; ces deux parallélipipèdes reclangles seront égaux comme prismes droits ayant même base elmême hauteur (613).
Fi{î. 348.
2° Soient [fig. 348) les trois parallélipipèdes rectangles AN, A'G', E"N', dont les bases ABCD, A'B'C'D', E"F"G"H" sont égales, et dont les hauteurs AL, A'E', E"L', satisfont à la con- dition
AL=rA'E'+E"L';
le parallélipipède rectangle AN est égal à la somme des deux autres. Car, si l'on prend sur AL une longueur AE égale à A'E' et qu'on mène par le point E une section EFGH paral- lèle à la base ABCD, EL sera égale à E"L', en venu de l'hy- pothèse énoncée. Par suite, des deux parallélipipèdes rectan- gles AG, EN, qui composent le parallélipipède rectangle AN, le premier sera égal au parallélipipède rectangle A'G', et le second au parallélipipède rectangle E"N' ( i°).
LIVRE VI — r.i:S POLYÈDRES. 63
Corollaires.
618. Le rapport de deux parallélipipèdes rectangles de même base est égal au rapport de leurs hauteurs; en d'autres ternies, le tJolume d'un parallélipipîule rectangle de base con- stante est proportionnel à sa /fauteur.
("ar le théorème précédenl prouve qu'un parallélipipède rectangle de base constante et sa hauteur satisfont aux condi- tions nécessaires et suffisantes ivoir Noie I) pour qu'il y ait proportionnalité entre ces grandeurs.
Dire que deux parallélipi|)èdes rectangles ont même base, c'est dire qu'ils ont deux dimensions communes :o96 . La con- clusion précédente peut donc être énoncée de cette manière :
Deux parallélipipèdes rectangles, qui ont deux dimensions communes, sont entre eux comme leurs troisièmes dimensions.
Il résulte de là que deux parallélipipèdes rectangles quel- conques sont entre eux comme les produits de leurs trois dimensions, puisque une grandeur proportionnelle à plusieurs autres varie proportionnellement à leur produit Note I).
G19. L'une des dimensions d'un parallélipipède rectangle étant prise pour sa hauteur, le produit des deux autres di- mensions mesure sa base (''^19^ Donc, deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur.
THÉORÈME.
G20. Le volume d'un parallélipipède rectangle a pour me^ sure le produit du nombre qui mesure sa base par le nombre qui mesure sa hauteur, lorsqu'on prend pour unités d'aire et de volume le carré et le cube construits sur l'unité de lon- gueur.
En efîel, soient {Jîg. 348) AN le parallélipipède rectangle à mesurer et A'G' le cube dont le côté A'B' = A'D' = A'E' re- présente l'unité de longueur : on a '019)
AB< I) AL ' A'ii'C'D''A'K'*
^4 GfiOMÉTUIK DANS l'eSPACE.
Or, dans le système d'unités adopté, le premier membre de celle relation est égal au nombre qui mesure le volume AN ei les rapports qui composeni le second membre sont respec- tivement égaux aux nombres qui mesurent la base et la hau- teur du parallélipipède rectangle proposé. Donc le nombre qui mesure le volume du parallélipipède rectangle est égal au produit des nombres qui mesurent sa base et sa hauteur. Ainsi, en désignant ces trois nombres par V, B, H, on a la formule
V=B.H.
On préfère énoncer ce théorème usuel d'une manière plus rapide, quoique' incorrecte, en disant : Le volume d'un pa- rallélipipède rectangle est. égal au produit de sa base par sa hauteur.
SCOLIES.
621. En se reportant au n» 618, le rapport du parallélipipède rectangle AIN au cube A' G' peut s'écrire
AN AB AD AE
A G A B' A jy A'E'
Les rapports qui composent le second membre étant respec- tivement égaux aux nombres qui mesurent les arêtes conti- guësdu parallélipipède rectangle, on voit que le nombre qui mesure le volume d'un parallélipipède rectangle est égal au produit des nombres qui mesurent ses trois dimensions. En d'autres termes, le volume d'un parallélipède rectangle est égal au produit de ses trois dimensions.
Ce second énoncé n'est applicable qu'au parallélipipède rectangle; nous allons prouver, en terminant ce paragraphe, que le premier (020), où entrent explicitement la base et la hauteur du parallélipipède, est applicable à tous les prismes.
62-2. Le volume d'un cube est égal à la troisième puissance de son arête. De là, le nom de cube donné à la troisième puis- sance d'un nombre.
623. Le volume d'un parallélipipède rectangle est encore
LIVRE VI.
LES 1'0LV^;DUES.
fis
égal au produit de s;i base par sn liauieur, lorsqu'on prend pour unité de volume le paralh^lipipède rectangle ayant pour base l'unité d'aire quelle qu'elle soit et pour hauteur la lon- gueur prise pour unité de hauteur.
THÉORÈME.
62i. Le volume d'un parallélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.
Soit ' fig- 349 le parallélipipède quelconque AG ayant pour base ABCD ou EFGH et pour hauteur la perpendiculaire EP abaissée du sommet E sur le plan ABCD. Menons par le point E, dans le plan EFGH, la perpendiculaire EM à HG. Si
Fis. 3l9-
n M
G K
^^-
1'^-
K
_K
l'on prend la face AEHD pour base du parallélipipède pro- posé 'o98j, son arête latérale sera EF, et sa section droite 607) sera le parallélogramme EMQR déterminé par le plan MEP. Le parallélipipède AG sera donc équivalent au parallélipipède droit RK ayant pour base la section droite EMQR et pour hau- teur l'arête EF 615 .
Cela posé, reproduisons à part, pour plus de clarté [Jig. 349 ce parallélipipède droit RK, et construisons un parallélipipède rectangle PK ayant pour dimensions EF, EM, EP. Le paral- lélipipède droit RK et le parallélipipède rectangle PK ainsi déterminé présentent seulement comme parties non com- munes les deux |)rismes droits qui ont pour hauteur EF et pour bases les deux triangles ég.uix EPU, MVQ. Ces deux prismes étant égaux 613 , les deux parallclipipèdes seront équivalents et, par suite, il en sera de même du paniiléiipi- pède quelconque AG et du parallélipipède rectangle PK. Donc,
R. et BE C. — Tr. de Géuin. ^.11' l'artiej. 5
66
GÉOMfiriUl' DAiNS l'uSPACE.
!e produit EF.EM.EP, qui exprime la mesure (621) du pa- raliélipipède reclangle PK, mesure aussi le volume du paral- lélipipède quelconque ÂG. Or, EF.EM mesure la base EFGII de ce parallélipipède, elEP esi sa hauteur.
Donc, enfin, le volume du parallélipipède quelconque AG est égal au produit de sa base par sa hauteur.
THÉORÈME.
023. Le volume d'un pris/ne quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa liauleur.
1" Soit [fig. 35o) le prisme triangulaire ADCEFG. Par l'ex- irémilé A de l'arête AB, menons le plan ADIIE parallèle à la face BCGF, et par l'extrémité G de l'arête BC le plan CDHG parallèle à la face ABFE; prolongeons en même temps les deux bases du prisme jusqu'à la rencontre de ces plans. On obtiendra ainsi (600) le parallélipipède AG construit sur les trois droites BA, BC, BF. La face ACGE du prisme triangu- laire considéré étant un plan diagonal du parallélipipède AG, ce prisme en sera la moitié (616). Donc, le volume du paral- lélipipède AG ayant pour mesure le produit de sa base ABCD par sa hauteur EP (624), le volume du prisme triangulaire ABCEFG aura pour mesure la moitié de ce produit, c'est-à- dire le produit de sa base ABC, moitié du parallélogramme ABCD, par sa hauteur EP.
2° Soit [fig. 35t ) un prisme quelconque ABCDEFGHIK. On le décompose en prismes triangulaires en faisant passer des plans diagonaux par l'arête AF et chacune des arêtes CH, DI. Ces prismes triangulair.'^s ont pour bases les triangles ABC, ACD, ADE, qui composent la base du prisme donné, et leur
LIVRE VI, — LES POLYÈDRES. 67
haiiieur commune esl celle II du prisme. La somme do \vuv> •mesures ( i°)
AnC.lI + ACn.II+AOE.H,
ou la mesure du prisme AI, sera donc égale au produit de sa base ABCDE par sa hauteur H.
Corollaires.
G26. En désignant par V, B, H les trois nombres qui me- surent respectivement le volume d'un prisme, sa base et sa hauteur, on a la formule générale
\ =B.II.
Donc, (/eux prismes de hases t'^tiii/irtlen/es et de même liau- leur sont équivalents; deux prismes sont entre eux comme les produits respectifs de leur buse pur leur hauteur ; deux- prismes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.
62T. Application. — Un bassin a la forme d'un prisme hexa- gonal régulier de o"', 75 de hauteur, le côté de la base hexagO' nale est égal à i mètre; calculer la capacité du bassin.
E'aire de la base du prisme considéré étant six fuis l'aiie du triangle équilatéral de i mètre de côté esl égale à
G'"'i v/3 3""' i'3
— j^{ï^7) ou à - ,-• En applifjuant la formule V=rB.II,
68 GÉOMÈTftlIi; DANS l'eSPACE.
on aura donc pour le volume cherché à I décimètre cube près.
§ III. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES ET AIRE LATÉRALE ' DE LA PYRAMIDE.
DÉFINITIONS. 628. La pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone quelconque, ei dont toutes les autres faces sont des triangles ayant pour bases respectives les différents côtés de la face polygonale et, pour sommet commun, un point ex- térieur à cette face.
Fig. 352. s
Ainsi, soit [fîg. 302) un polygone ABCDE et un point G pris hors du plan de ce polygone. Le corps limité par la face polygonale ABCDE et par les faces triangulaires SAB, SBC, SCI), SDE, SE/V est une pyramide.
G29. La pyramide SABCDE a pour base le polygone ABCDE et \iO\ir sommet le point S. Sa /lanteure^l la distance du som- met S à la base ABCDE, c'est-à-dire la longueur de la perpen- diculaire abaissée de ce point sur ce plan.
Les droites Sx\, SB, SC, . . . sont les arêtes latérales de la pyramide, et la somme des faces triangulaires SAB, SBC, SCD, . . . constitue son aire latérale.
630. La pyramide est régulière lorsque sa base est un poly- gone régulier dont le centre se confond avec le pied de la hau- teur de la pyramide.
LIVUE VI. — LES POLYÈDRES. Gg
Les arêtes latérales d'une pvraniide régulière sont nécessai- rement égales, comme ol)li(|ucs s'écarlanl également du pied de la hauteur; ses faces latérales sont donc des triangles iso- cèles tous égaux entre eux. La hauteur d'un de ces triangles est Vapolhème de la |)yramide régulière,
G31. Suivant que la base de la pyramide est y\u iriangle, un (|uadrilalèrc, un pentagone, un hexagone, etc., la pyrainide est dite triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, hexago- nale, etc.
632. Toute pyramide triangulaire ayant quatre faces, on lui donne souvent aussi le nom de tétraèdre 589 .
D'après la défiiiiiion générale de la pyramide, on voit qu'on a le droit de prendre pour base d'un tétraèdre telle face qu'on veut; le sommet du tétraèdre est alors le sommel opposé à la base choisie.
Les tétraèdres sont dans la Géométrie de l'espace ce que les triangles sont dans la Géométrie plane. On fixe la position d'un point sur un plan en le ratlachaiil |)ar un iriangle à deux points donnés. On fixe la position d'un point dans l'espace en le rattachant par un tétraèdre à trois points donnés.
033. Si l'on coupe une pyramide par un plan qui rencontre toutes ses faces latérales, le polyèdre compris entre la section obtenue et la base de la pyramide est une pyramide tronquée ou un tronc de pyramide.
Si le plan sécant est parallèle au plan de la base de la py- ramide, le troue de pyramide est dit <V bases parallèles.
Fifî. 353.
Soit [Jîg. 353; la pvramide SAliCDK. Coupons colle pyra-
70 Gf'OMÉllllli DAXS l/ESl'ACli.
mid(^ par le plan abtde parallèle à la base ABCDE, et compris entre celte base et la sommet S. La section a6c«?e ei la base ABCDE sont les bases du tronc de pyramide à bases parallèles \^(L\Wuahc(Je, La hauteurûw tronc est la dislance constante des plans de ses deux bases. Les segments ha, B6, Ce, . . ., sont ses arêtes latérales, et son aire latérale est la somme des trapèzes \^ab, BCbc, CDcy/, ....
634. Si la pyramide considérée est régulière, le tronc de pyramide à bases parallèles qui lui correspond est un Ironc de pyramide régulier,
THÉORÈME.
635. Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base :
1" Ses arêtes latérales et sa hauteur sont divisées en parties proportionnelles;
?." La section est un polygone semblable à la base de la py- ramide.
• S
I" Soit [fig. 354) la pyramide SABCDE coupée par le plan abcde parallèle à sa base. Ce plan rencontre les arêtes laté- rales SA, SB, se, , . ., et la hauteur SH de la pyramide aux points a, b, c, . . ., h. Deux pians parallèles couj)ant en parties proportionnelles une série de sécantes issues d'un même point (511 , on peut écrire imnîédiatemenl
Srt
SA
S^ SH
Se
se
SA SH*
LivRi: VI. — Li;s i'OL\tDi{ES. 71
2" Les polygones ABCDK ei abcde onl leurs cÔK^s deux à deux parallèles ;i9o1 el dirij^és dans le même sens. Les angles homologues do ces polygones sont donc égaux (506). De plus, le parallélisme de leurs côtés entraîne la similitude des trian- gles S.\B et Srtô, SBC el èbc, Par suite,
d'où
|
ab èb ab~sb' |
^b bc _ SB"^BC' |
|
ab |
bc |
|
AiJ~ |
BC' |
|
même manière qu'or |
|
|
bc c(l BC "" Ci) "" |
de en DE "^ EA |
Los polygones ABCDE et abcde, ayant leurs angles égaux et. leurs côtés proportionnels, sont semblables.
ConOLF.AIRE.
036. La similiiude des triai>gles SAB et Srt6 donne
ab Srt
AB"SA
ou, d'après ce qui précède,
ab SA
ÂB~sFi'
La similitude des polygones ABCDE et abcde donne 6 son
lour
- — 3 abcde _ nh
ÀBCDË" Xb"
On a donc
— 2 ohcde _ SA
AUCDi: " rfp"'
c'est-à-dire que, dan^ une pjramide, les sec/ions païadr/rs à la base ri la base elle-ntème sont proporlionnell s aux carres de leuis dislances au soiiiniet de la pyramide.
72
GÉOMÉTniE DANS l'eSPACB,
SCOLIE.
637. Si l'on coupe une pyraniide régulière par un plan pa- rallèle à la base, la section abcde, étant semblable à la base ABCDE, est aussi un polygogne régulier. Comme les arêtes la- térales d'une pyramide régulière sont égales, il en est de même des arêtes du tronc de pyramide régulier obtenu. Les faces latérales d'un tronc de pyramide régulier sont donc des trapèzes isocèles tous égaux entre eux. La hauteur d'un de ces trapèzes est V apothème du tronc de pyramide.
THÉORÈME.
038. Lorsque deux pyramides ont des hauteurs égales, les sections faites dans ces pjiamides parallèlement à leurs bases et à la même distance de leurs sommets sont proportionnelles aux bases des deux pyramides.
Fiîî. 355.
Soient {/ig. 355) les deux pyramidesSABCl), S'A'B'C, dont les hauteurs SH et S' H' sont égales. Prenons SA = S7/' et, par les points h et //', menons la section abcd parallèle à la base ABCD et la section «' 6' c' parallèle à la base A'B'C. Nous aurons (G36]
ahcd _ ST^ a'b'c' _ S^^
su' ^'^^ s^r''
ABCD
c'est-à-dire, en vertu de l'hypothèse et de la construction,
abcd a'b'c' ABCD ~A'B'C''
LIVRE VI, — LES rOLYÈOnES. ^3
SCOLIE.
639. Si les hases des deux pyramides sont équivalentes, les sections obtenues sont équivalentes.
THÉORÈME.
640. L'aire latérale d'une pyramide régulière a pour me- sure la moitié du produit du périmètre de sa base par son apo- thème.
Soil ijig. 356) la pyramide régulière SABCDE. Les triangles isocèles et égaux qui composent sa surface latérale ayant res- pectivement pour bases les côtés AB, BC, . . ., EA de la base de la pyramide, et pour hauteur son apothème SH 630 , la somme des aires de ces triangles, c'est-à-dire l'aire deman- dée, a pour mesure la moitié du produit de la somme des côtés AFÎ, BC, . . ., EA par l'apothème SH, c'est-î-dire la moi- tié du produit du périmètre de la base de la pyramide par son apothème.
SCOLIE.
OVl. L'aire latérale d'un tronc de pyramide régulier a pour mesure le produit de la demi-somme des périmètres de ses deux bases par son apothème.
Soil [Jig. 356) le tronc de pyramide régulier ABCl)Ert^c(/e. Les trapèzes isocèles et égaux qui composentson aire latérale ayant respectivement i)Our bases les côtés AB et ab, BC cl bc, ..., EL et ea, des bases du tronc dç pyramide, et pour hauteur son apothème H// 637), la somme des aires de ces Irapèzes, c'est-à-dire l'aire demandée, aura pour mesure le
74 GÉOMÉTUir. DANS l'eSPACE.
produit de la demi-somme des côlés AB et ab, BC el bc. . . ., EA et ea, par l'apothème H/i, c'est-à-dire le produit de la demi-somme des périmètres des deux bases du tronc de pyramide par son apothème.
§iv.
VOLUME DE LÀ FTRAHIOE.
THÉORÈME.
G^i'â. Deux pyramides triangulaires de bases équivalentes et de hauteurs égales sont équivalentes.
Fig. 357.
Nous diviserons la démonstration en deux parties.
i" Considérons {fig. 357) une pyramide triangulaire SABG. Divisons l'arête SA en un certain nombre n de parties égales SK, KG, GD, DA et, par les points de division K, G, D, menons des plans parallèles au plan de la base ABC. Soient KML, GIH, DFE, les sections faites dans la pyramide par ces plans. La parallèle menée par M à SA sera située dans le plan déter- miné par le point M et la droite SA, c'est-à-dire dans le plan de la face SAC ; elle rencontrera donc GI en un certain point T, tandis que la parallèle menée par L à SA rencontrera à son tour la droite GH en un certain point R. La figure KMLGTR sera alors un prisme inscrit dans la tranche KMLGIH, et l'on obtiendra de mêma les prismes GIHDQP, DFEAON, inscrits dans les tranches suivantes GIHDFE, DFËACB.
Cela posé, nous allons prouver que la somme S des volumes
LIVRE VI. — LF.S POI.Yf'DRES. ^5
des prismes inscrits dans les diverses tranches de la pyramide SABC a pour limite le volume de cette pyramide, lorsque le nombre n croit indéfiniment.
■ Remarquons, à cet effet, que les droites SK, LR, HP, EN, étant égales et parallèles, les figures SKLR, LRIIP, HPEN, sont des parallélogrammes; les segments KR, RP, PN, sont donc parallèles à l'arête SB, et, comme l'extrémité do chacun d'eux est l'origine du suivant, ils appartiennent tous à une même droite KN parallèle à SB. Les points K, T, Q, 0, soni, également, sur une même droite, KO parallèle à l'arête SC. Il en résulte que la figure AKON est un tétraèdre dont la base est parallèle à celle du tétraèdre primitif ASCB (63-2), qui difTère d'autant moins de ce tétraèdre que la division SK est plus petite, et qui coïncide avec lui à la limite, lorsque n croît indéfiniment, puisque, dans cette hypothèse, SK tend vers zéro. Mais le volume fixe ASCB et les volumes AKON et S qui varient avec /; satisfont évidemment, pour toute valeur de l'entier n, aux inégalités
AKON < S < ASCB.
Donc, puisque AKON a pour limite ASCB, la somme S tend vers celte même limite.
1" Considérons maintenant (/t^. 807) deux pyramides trian- gulaires SABC, S'A'B'C, de bases équivalentes et de même hauteur. Si l'on place les bases ABC, A'B'C, sur un même plan, de façon que les sommets S et S' soient d'un même côté de ce plan, ces sommets seront dans un plan parallèle au plan commun des bases. Si l'on opère alors sur la pre- mière pyramide SABC comme il a été dit ci-dessus, en me- nant des plans parallèles au plan commun des bases par les points de division de l'arcle SA supposée divisée en n par- ties égales, ces plans partageront aussi SA' en n segment égaux entre eux et, à chaque tranche de SABC et au |)risme qui y est inscrit, corresiiondront une tranche de S'A'B'C et un prisme inscrit dans cette trancln;. Mais d(;iix prismes in- scrits correspondants, tels que GIÏTDQP, G'I'II'D'Q'P', sont équivalents (G2G); car, leurs hases GIIT, G'I'II', sont équi-
76
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
valentes (639), et leurs hauteurs sont les mêmes puisque les bases supérieures sont dans un même plan aussi bien que les bases inférieures. Donc, la somme des volumes des prismes inscrits dans la pyramide SABC est, quel que soit l'entier n, égale à la somme des volumes des prismes inscrits dans la pyramide S'A'B'C; et, comme chacune de ces sommes a pour limite le volume de la pyramide cor- respondante lorsque n croît indéfiniment (i"), les volumes de ces pyramides sont égaux (611).
THÉORÈME.
643. Le volume d' une pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.
Fi(î. 359.
1° Soit i/ig. 358) la pyramide triangulaire EABC. Par les sommets A et C, menons les droites AD et CF, parallèles à l'arête BE, jusqu'à leurs rencontres D et F avec un plan mené par le sommet E parallèlement à la base ABC de la pyramide. Le polyèdre ABCDEF sera un prisme triangulaire ayant même base et même hauieur que la pyramide proposée.
Si l'on fait passer un plan par les trois sommets D, E, C, le prisme triangulaire ABCDEF se trouve décomposé en trois py- ramides triangulaires EABC, EDCA, EDCF. La première est la pyramide donnée. Les deux autres sont équivalentes (6i2), car elles ont même hauteur et leurs bases sont équivalentes comme moitiés du parallélogramme ACFD. Or, si l'on prend la face DEF pour base de la pyramide EDCF, son sommet est le point C. Cette pyramide a donc même base et même hau-
I.IVRF. Vf, — LKS rOLYËDUES. -J'y
teur que le prisme ABCDEF ; elle esi donc équivalente à la pyiamide EABC.
Les trois pyramides dont se compose le prisme ABCDEF étant équivalentes, chacune d'elles est le tiers de ce prisme. Or, le volume du prisme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur; le volume de la pyramide EABC a donc pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.
2° Soit {Jig. 359) la pyramide polygonale SABCOE. On la décompose en pyramides triatigulaires en faisant passer des plans par l'arête S.\, et cliacune des arêtes SC, SD. Ces pyra- mides triangulaires ont pour bases les triangles ABC, ACD, A DE, qui composent la base de la pyramide donnée, et leur hauteur commune est celle de celte |nramide. La somme de leurs mesures ou la mesure de la pyramide SABCDE sera donc égale au tiers du produit de sa base AB(^DE par sa hauteur SO.
CoitOLLAiRES.
04i. En désignant par V, B, H les trois nombres qui me- surent respectivement le volume d'une pyramide, sa base et sa hauteur, on a la formule géniMale
Donc, toute i>yriiniidc est le tiers du prisme de même base et de même hauteur. Deux pyramides quelconques de bases équi^'alentes et de même hauteur sont équivalentes. Deux py- ramides sont entre elles comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur. Deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs. Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases.
GV'i. Quand un tétraèdre est régulier, son volume s'exprime en fonction de son arête a.
Un tétraèdre régulier est com|)ris sous quatre triangles équilaiéraux égaux. Sa base a donc pour expression (427)
a\/3
\
Sa hauteur est le cùté de I'lui^Il' diuit d'un triangle rectangle
■^8 GÊOMÉTIUI' DANS l'eSPACE.
aytTiil pour second cùlé de l'angle droit le rayon du cercle cir- conscrit au triangle de base, c'est-à-dire -^v et pour hypoté-
V'3
nuse l'arête a du tétraèdre. Celte hauteur est, par suite, / a- ûKi
On a donc, pouV le volume du tétraèdre régulier en fonction de son arête,
~3' 4 ' V^3 ~" '2 ' Exemple. Quel est le voUiine du tétraèdre régulier dont l'arête est I mètre}' On a
imc 2 I '"'■,4 1 40.1 36 or
\ =- 3L_= i±-:^ =::0'"%II7 85l,
I >. 12
à y centimètre cube près.
SCOLIE.
0i6. Pour évaluer le volume d'un polyèdre, il suffit de dé- composer ce polyèdre en pyramides., de calculer les volumes de ces pyramides et de faire la somme des nombres obtenus. Plus généralement, il suffit de décomposer le pulyèdre pro- posé en parties telles, que l'expression de leur volume soit connue.
Pour opérer la décomposition en pyramides, on peut clioisir un point quelconque dans l'espace et le joindre à tous les sommets du polyèdre. Les bases des différentes pyramides formées sont les faces du polyèdre, et leurs hauteurs sont les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces faces. Le volume du polyèdre est la somme arithmétique ou algé- brique des volumes des pyramides obtenues, suivant que leur sommet commun est lui-même intérieur ou extérieur au polyèdre.
I.IYRE M. — LES l'OLVtDRIiS. 79
Souvenl on (ifeciue la décomposition en prenant pour centre l'un des soniniels du polyèdre, c'est-à-dire en menant loutes les diagonales qui parlent d'un même sommet.
Si l'on peut trouver dans l'iniérieur du polyèdre un pointa égale distance de toutes ses laces, les pyramides qui le com- poseront auront pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'une des faces, et le volume du polyèdre aura pour mesure le tiers du produit de son aire par celte perpendiculaire.
THÉORÈME. ()i7. Ln tronc de pyramide à hases parallèles est équiva- lent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur corn-' mune la hauteur du tronc, et pour bases respectives les deux bases du tronc et ta moyenne proportionnelle entre ces deux bases .
I" Soit [Jig. 36o le tronc de pyramide triangulaire à hnses parallèles ABC DE F.
Fig. .36o.
Les plans AEC, DEC le partagent en trois pyrnmidcs trian- gulaires EABC, EDCF, EDCA, dont nous désignerons les vo- lumes respectifs par P, P', P".
La première EAIÎC a pour base la base inférieure ABC du tronc de pyramide, et elle a mémo hauteur que ce tronc, puisque son sommet E est un sommet de la hase supérieure.
Si l'on prend le point C pour sommet, la seconde pyramide EDCF a pour base DEF la hase supérieure du tronc, et elle a môm(î hauteur que ce tronc, puisque son sommet C se con- fond avec un sommet de la base inférieure.
Pour évaluer la troisième pyramide EJ)(^\, comparons-la successivement aux deux autres,
8o
GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
Si l'on prend le point C comme sommet commun des deux pyramides EABC, EDCA, elles ont même hauteur et sont entre elles comme leurs bases EAB, ADE; mais ces triangles, dont la hauteur est aussi la même, sont entre eux comme leurs bases AB et DE, et l'on peut écrire
P AB AC ,^.^„
De même, si l'on ])rend le point E comme sommet commun des deux pyramides EDCA, EDCF, elles ont même hauteur et sont entre elles comme leurs bases DAC, CDF, ou comme les bases AG et DE de ces triangles, qui ont aussi même hauteur. On a, par suite,
-L — £!
Il en résulte
P"2 = P.P'.
Le volume de la troisième pyramide est donc la moyenne proportionnelle des volumes des deux premières, c'est à-dire que la pyramide EDCA équivaut à une pyramide ayant pour hauteur la hauteur du tronc, et pour base la moy.enne pro- portionnelle entre ses deux bases.
?.°Soit(y?5-.36i] le tronc de pyramide polygonale GHIKLMNP.
Vl^. 3Gi.
Ce tronc a été obtenu en coupant la pyramide TGHIK par
LIVRE VI. — i.ES POI.YÈDRKS. 8l
un plan parallèle à sa base. Prenons un point Sa la même hau- teur que le poinl T au-dessus de la base GHIK, et construisons dans le plan de celte base un triangle ABC qui lui soit équi- valent. La pyramide triangulaire SABC sera équivalente à la pyramide polygonale TGIIIK 6i4). Si l'on prolonge le plan LMNP jusqu'à la pyramide SABC, il déterminera dans cette pyramide une section DEF équivalente à la section LMNP (639 ; les deux pyramides SDEF, TLMNP seront donc aussi équi- valentes. Par suite, le tronc polygonal GHIKLMNP, dilîérence des pyramides TGIIIK, ÏLMNP, sera équivalent au tronc trian- gulaire ABCDEF, différence des pyramides SABC, SDEF. Et comme le ironc de pyramide triangulaire est équivalent à la somme dé trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases respectives les deux bases du tronc et la moyenne proportionnelle enire ces deux bases, il en sera de même du tronc de pyramide polygonale qui a même hauteur et des bases équivalentes.
COUOLLAIRES.
6i8. En désignant par V, B, b, h les nombres qui mesurent respectivement le volume d'un tronc de pyramide à bases parallèles, ses deux bases et sa hauteur, on a la lormule
V = ^B/< -f \-bh-\-~.h v'ïr6 0 o o
ou
(i)- V=|(B+ /»+ v/ÎJ^).
Souvent, au lieu do donner les deux bases B et A. on donne lune d'elles B cl le rapport -r- de deux cùiés homulugues de ces deux bases; on a alors
b a 11 en résulte
B=A'' d'où 6=Jb-
_- B// ,
B. et DE C. — Tr. de Gvoni. l'il* Partie)
83 r,f:oMi'TRiR i)A>s l'ebpace.
Celte furmule, irès-commode dans les applicaliong, se trouve dans un Traité de Léonard de Pise, Sur les centres de gravité.
Exemple.
Les bases parallèles cran tronc de pyramide sont deux hexagones réguliers ayant respectivement i mètre et 2 mètres de côté, sa hauteur est égale à 3 mètres : calculer son volume.
On a dans ce cas
Ii:=lAl^ = 6"'qs/3
et, en appliquant la formule (2),
c'est-à-dire
V = 3 v'3. 3, 5 :=: i8'"%î 86534
à I centimètre cube près.
ScoLir.s.
6i9. On aurait pu employer, pour trouver le volume d'un tronc de pyramide polygonale, la méihode de décomposition déjà suivie dans d'autres cas (625, G43); mais celle marche exigeant ici la vérification d'une formule algébrique, il était préférable d'avoir recours à la méthode de transformation en ligures équivalentes.
60O. On peut donner au mot tronc une extension utile.
De même que les théorèmes relatifs aux sections d'unprismes'èiendent au cas où elles sont extérieures (606), les théorèmes relatifs aux sections rt'une pyramide (635, 636) s'étendent au cas où ces sections deviennent extérieures, qu'elles soient faites au delà du sommet ou au-dessous de la base de la pyramide proposée. Les plans sécants doivent seulement rester parallèles à la base de celte pyramide.
On peut distinguer les deux cas possibles en disant que les sections faites au-dessous du sommef donnent des troncs de première espère, et
LIVnE Vt. — LES POl.Yf.DItES. 83
que les sections faites au-dessus du sommet donnent des troncs de seconde espèce.
l'our évaluer le volume d'un tronc do seconde espèce ABCOEF [fig. 362),
Fig. 36a.
il suffit d'effectuer la somme des pyramides SABC, SDEF. La hauteur// du tronc est d'ailleurs égale à la somme des hauteurs H et 11' des doux py- ramides. On a ainsi, en conservant les notations du n" 6-48,
V = iB.l.,
j--K"-t)
De la relation (018, tioG)
B A^ IP
il résulte
d'où
Par suite,
b tr W
Il 11' H H ir //
A (i A + a A -(- ((
11 = ^, il' "^'
A -h (i Ah- a
Cl aussi
V = |(B-l^-^-^)=^^(B^^-vïï?i\
Pour un tronc de seconde esi)ùt'e, la formule du volume est donc la même que pour un tronc de première espèce, sauf le signe de la moyenne juroportionnelle. On passe donc de l'une à l'autre formule en clianijeanl le siyne de cette moyenne ou en cliari^^'caiit n eu — (t.
84 " GEOMLTUIU DAmIS L i:SPaCE.
On aurait pu suivre une maiche analogue pour calculer l'expression du volume d'un tronc de pyramide de première espèce; seulement, au lieu d'ajouier les pyramides SABC, SDEF, il aurait fallu les retrancher (/^■•36i).
651. Problème. — On donne le volume V, la liant eur h et le côté k de la base inférieure d'un tronc de pyramide à bases parallèles ; on sup- pose (jue cette base est un hexagone régulier, et l'on demande le côté x de P hexagone régulier, base supérieure du tronc.
L'équation du problème sera l'équation (?,) du n° 648, dans laquelle on remplacera a par l'inconnue x, c'est-à-dire
d'où
x^ X 3 V
Les racines de celte équation restent imasinaires tantqu'on a V < — -.;
4
elles deviennent réelles et elles restent toutes deux négatives tant que V
B// B// ^ ,, ,, • • 1. . »
est compris entre — et — ; enfin, elles sont I une positive et 1 autre né- 4 -ï
gative, lorsqu on a V > -^'
Dans le premier cas, le problème est impossible ; dans le deuxième cas, deux troncs de seconde espèce répondent à la question ; dans le troisième cas, un tronc de première espèce et un tronc de seconde espèce y ré- pondent à la fois.
Supposons, par exemple, A = i"", d'où B= — — — > // = i^-v^, et V = 2'"^ L'équation à résoudre sera
2 4 2 '
X^ -^ X -\- \ — -r = O ou x' -\- X — -=^ O. 6 j
Elle donne
— 3 ± s/'xï — 3 ± 4,58s'.5757
-= G = f^
La racine positive est j: = 0,26376 à jfj de millimètre près; la racine négative est ^ = — 1,26376 avec la môme approximation. La première r^jond à un tronc de première espèce; la seconde, pri^r p-^si l^-cment,
I.IVRK VI. — l.KS POLViURES. 85
à un Ironc de seconde espèce. La hauteur de la pyramide qui correspond au tronc de première espèce est (6o0)
H= = .,,. , = 2,3d3
à -i millimètre près. Celle de la pyramide qui correspond au tronc de se- conde espèce est (CoO)
Ml !'".V/'3 m ^.
A -T- X 2,2Uj7o à -j millimètre près.
THÉORÈME.
652. Un fronc de prisme Iriangiilnire est é(ji<iralenl à la somme de trois pyramides ayant pour base commune la hase inférieure du ironc et, pour sommets, ceux de sa base supé- rieure.
Soil fig. 363 ) le ironc de prisme iriangulaire ABCDEF. En menant le plan ACE, on détache du tronc la pyramide trian- gulaire EABC, qui a pour base ABC et pour sommet le point E.
Fifr. 3G3.
II reste la pyramide quadrangulaire ECADF. En menant le plan DEC, on la partage en deux |)vramides triangulaires ECDA, ECDF.
La première ECDA, qui a pour sommet le point E et puur base CDA, équivaut à la pyramide BCDA de même base CDA et de mt-me hauteur, puisque son sommet B est situé sur l'arète EB parallèle à DA ou au plan CDA de la base com niune. Or la pyramide triangulair(î BCDA peut être regardée comme ayant pour ba^o ABC et poiii' sommet le point D.
La seconde pyramide triangulaire ECDF peut être regardée
86 Gi^oMï<rniK dans l'espace.
comme ayant pour hase KCF el pour sommet le point D; elle équivaut donc à la pyramide ABCF, de base BCF et de som- met A. En ellet, les deux bases ECF, BCF sont équivalentes comme triangles de même base CF et de même hauteur, puisque l'arête EB est parallèle à FC; et les hauteurs des deux pyramides comparées sont égales, puisque la droite DA, qui joint leurs sommets, est parallèle à FC et, par conséquent, au plan commun EBCF de leurs bases. Or, la pyramide trian- gulaire ABCF peut être considérée comme ayant pour base ABC et pour sommet le point F.
ScOLIJi.
653. Si le tronc considéré est un tronc de prisme droit, les hauteurs des trois pyramides indiquées se confondent avec
les arêtes latérales EB, DA, FC, el la hase ABC avec la section droite du tronc. Le volume du corps tronqué a donc alors pour mesure le produit de sa section dioite par la moyenne arithmétique de ses arêtes latérales (C43;.
On étend facilement cet énoncé au cas du tronc de prisme oblique. âoit(/jO-. 364" le tronc de prisme oblique ABCDEF. Menons sa section droite MNP. Elle le partage en deux troncs de prisme MNPABC, MNPDEF, qui sont droits relativement à cette section considérée comme base. Le premier a pour mesure
M\ + NR
le second.
MNP
MNP
PC
\
/M1) + NE + PF^
LIVRE VI. ~ Li:s poi.vknuES. 87
Le tronc (le prisme oblique ABCDEF, somme des deux ironçs de prismes droits MNPABC, IMNPDKF, a donc pour mesure la somme de leurs mesures, c'esl-à-dirc
MNP
AI)
BE
3"
a;\
CoROLLAmn.
654. En désignant par V, B, p, h, h', //", a, a', a" les nom- bres qui mesurent respectivement le volume d'un tronc de prisme triangulaire, sa base et sa section droiie, les hauteurs des sommets de sa base supérieure au-dcssus du plan de sa base inférieure et ses arêtes latérales, on a les formules
(0
(2)
ArPLic\riON.
G35. La base B d'un parallélipipède droit tronqué est égale à 36 mètres carrés; ses arêtes latérales sont égales à 5 mètres, 3 mètres, 7 mètres e/ 9 mètres; on demande de calculer son volume.
Soit [Jig. 3()5) ABCDEFGH le parallélipipède tronqué pro- posé. Menons le plan diagonal ACGE qui le partage en deux
troncs de prismes triangulaires droits, dont les bases sont égales entre elles et à la moitié du |)arallélogiamme ABC.D. Les volumes de ces deux troncs do prismes étant rcspcciive-
88 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
ment, d'après les formules du numéro précédent, iS '-] et 18' •'
3 le volume cherché sera
V= 18. ~= aiG'"^
D'une manière générale, si l'on désigne par A et <?, B et b, les arêtes latérales, opposées deux à deux, d'un parallélipipède tronqué quelconque et par S sa section droite, les volumes c et c' des deux prismes triangu- laires tronqués qui le composent sont
_ S A -f- ^/ ^ /; , _ S A -+- r/ -I- B , 2 3 23'
par suite, son volume ¥ = (> + «'' a pour expression
■ 2(A-r-<7) -i- (B-i-b)
Mais, si l'on représente par 3 la longueur de la droite qui unit les centres des deux bases du tronc, on a
A-i-« = B-t-^ = 2.S, d'où
V=: S. 5.
Le volume d'un parallélipipède tronqué quelconque a donc pour me- sure le produit de sa section droite par la moyenne (irithmétique de deux arêtes latérales opposées.
THÉORÈME.
6S6. Le volume de tout polyèdre ayant pour hases deux polygones quelconques situés dans des plans parrdlèles et /jour faces latérvdcs des trapèzes ou des triangles est exprimé par la jormule
"(B + B' + 4B"),
dans laquelle H désigne la distance des deux plans parallèles, B la base inférieure du pnl\ ('drc. R' la hase supérieure, et B" la section équidistante des deux bases. (Les faces latérales sont des trapèzes ayant un côté commun avec chacune des bases, ou des triangles ayant deux sommets communs avec l'une des bases et un sommet commun avec l'autre.)
LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. 9
En effet, soient L, M,N|P, Q, la section équidislanle des bases (/i,'-. 3GG et S un point pris à volonté dons lintérieur de cette section. Le polyèdre licut être décomposé en pyramides ayant pour bases ses diverses laces et
Fig. 366.
pour sommet commun le point S. Les \clumes des deux pyramides qui
, . r. ^, . -, BH BU
reposent sur les bases B et B ont évidemment pour mesures "7;" ' -7- '
et il reste à évaluer les volumes des pyramides qui reposent sur les faces latérales. Soit donc LMM'L' une quelconque de ces faces, par exemple celle qui répond au côté L|M, du polygone L|]M,N,P|0| ; pour raisonner d'une manière générale, nous supposerons que cette face soit un trapèze (si c'était un triangle, l'un des côtés parallèles LM ou L'M' serait nul). Abaissons du point S la perpendiculaire SO sur le plan de la face LMM'L'; dans ce plan, menons par le point 0 la perpendiculaire TOI, à L|M,; la droite SI, sera perpendiculaire à L,M, ; enfin menons l'K, perpendiculaire au plan de la section L|M,N,P,(J, : l'K, sera la moitié de la dislance H des bases du polyèdre. Cela posé, la pyramide SLMM'L'a pour mesure
L,M,.9.l'I,.:!;S0.
Or, le produit ri,. SO peut être remplacé par le produit SI, .l'K,, qui, comme lui, exprime le double de l'aire du triangle l'I.S ; on a donc, pour le volume de la pyramide indiquée,
H
Par suite, pour avoir la somme des volumes des pyramides qui reposent sur les faces latérales du polyèdre, il faut multiplier par- quatre fois la somme des triangles qui ont S pour sonmiet commun et pour bases les côtés delà section L|M,N,P|Q|, c'est-à-dire multiplier [lar -. quatre fuis l'aire B" de cette section.
9° GÉOMéTHIE DANS l'eSPAOE.
Application. G57. Les amas de pierres, les fossés ou cuvettes établis de distance en dislance le long des routes, les tombereaux, etc., sont terminés haut el bas par deux rectangles parallèles LMNP, L'M'N'P', et latéralement par quatre trapèzes LMM'L'.MNN'M', NPP'N', PLL'P'. Exprimons le volume d'un pareil corps en fonction de la distance h des plans des deux rectangles et des dimensions a et h, ci et //, de ces rectangles [fig. 367).
La section L|M,P|Q| , équidistante des bases, est un rectangle dont les
dimensions, L, M,, L, P, , sont évidemment égales à - [n + a') et - [h + b').
Le volume du cor(is est donc, en vertu du théorème précédent, donné par la formule
- [ab -f- (i b' -f- (rt -I- (i)\b + i')],
que l'on peut écrire tlo la manière suivante ;
bh, ,. b'h. ,
o u
Pour b' = o, le volume se réduit à
-{■la + a'],
et le corps a la forme qu'on donne dans les parcs d'artillerie aux piles de boulets sphériques rectangulaires.
§ V. — FIGURES SYMÉTRiaUES.
DÉFINITIONS.
658. Deux points A cl A' sont symétriques par rapport à un centre 0, lorsque ce centre 0 est le milieu de la droite AA' (fg. 3(38).
Deux points A et A' sont symétriques par rapport à un axe xf [fig- 369) ou à un plan P [fig. 370], lorsque cet axe
LIVllK M,
LIS roi.YtîDuns
91
ou ce plan est perpendiculaire au milieu de la droite AA'. Deux figures sont symétriques par rapport à un centre, à un axe ou à un plan, lorsque leurs points sont deux à deux symé- triques par rapport à ce centre, à cet axe ou à ce plan. Les points symétriques dos deux figures sont dits homoloffues.
l'ig. 3C8,
Fig. 3()Q.
fig. 370.
Deux Jîgures syniétiiques, par rapport à un axe, sont égales. Car une rotation de 180 degrés autour de l'axe, impri- mée à l'une des deux figures, amène évidemment cette figure sur l'autre.
La symétrie par rapport à un axe n'olTre donc rien de par- ticulier. Aussi, dans la suite de ce paragraphe, ne scra-l-il question que de la symétrie leiative à un point ou h un plan.
THÉORÈME.
659. Deux figures F' et F", symétriques d'une même figure F par rapport à deux centres di/férents 0' et 0", sont égales
Fig. 371.
|
--, 0' |
I' |
|
|
■.^_ |
||
|
i" |
0" |
Soient A un jjoint quelconque de la figure F, A' son homo- logue dans la figure F' et A" son liumologue dans la figure F". 0' étant le milieu de A A' et ()"!(' milieu de A A", la droite A' A"
(') MnvvMS, Journal (le Mdlltéinatèqiies, t. XIV.
9^ GÉOMfiTltlE DA>S l'i-SPACE.
est parallèle à O'O" et égale à 20'0". La figure F" n'(sl donc que la figure F' transportée parallèlement à la direction O'O", d'une quantité égale à aO'O".
Corollaire.
660. La position du centre de symétrie n'influe ni sur la forme ni môme sur Vorièntation de la figure symétrique d'une figure donnée.
THÉORÈME.
661. Si deux figures F et F" sont symétriques par rapport à un plan P, on peut toujours les placer de telle sorte quelles soient symétriques par rapport à un centre 0' pris à volonté dans ce plan; et réciproquement, si deux figures F et F' sont symétriques par rapport à un centre 0', on peut toujours les placer de telle sorte qu'elles soient symétriques par rapport à un plan quelconque P passant par ce centre [fig S^ i) (').
11 suffit de faire tourner la figure F" dans le premier cas, la figure F' dans le second, de i8o degrés autour de la perpen- diculaire O'CB élevée en 0' au plan P.
En efïet, considérons une figure F, un plan P et un point quelconque 0' de ce plan; soient F' la figure symétrique de F par rapport au point 0', et F" la figure symétrique de F par rapport au plan P. Le théorème direct et sa réciproque seront démontrés à la fois, si l'on fait voir que les figures F' et F" sont symétriques par rapport à la perpendiculaire O'iî élevée en 0' au plan P (658^. Or, soient A, A', A" trois points homo- logues des figures F, F', F", et 0" le point où la droite AA" rencontre le plan P. 0' éiant le milieu de AA' et 0" le milieu de AA", la droite A' A" est parallèle à O'O" et, par suite, per- pendiculaire sur O'B. D'ailleurs O'B, étant menée parallèle- ment à AA" par le m<lieu de AA', passe par le milieu Cde A' A". Donc, enfin, les points A' et A" sont symétriques par rapport à la droite O'B.
(') BhaVAIS, Juiinial de Mtithèmndtnipi. t. XIV.
t.ivile vi. — les polyèdues. 90
Corollaires
66*2. Deux tigures symcii uiues d'une même figure F, par rappuri à deux plans dilTéreiils P ei Q, ne sont auire chose, quant à la/b/'me, que la figure symétrique de F par rapporta un centre quelconque (659); elles sont donc superposables. Mais leur orientation dans l'espace n'est pas la même, à moins que les plans P et Q ne soient parallèles.
663. En résumé, si l'on fait abstraction de l'oiienialion pour n'avoir égard qu'à la forme, on voit qu'une fifjure V n'a qu'une seule Jif^ure sj métrique. Toutes les figures obtenues en pre- nant la figure symétrique de F, par rapport à tel centre ou à tel plan qu'on veut, sont superposables.
ScOLIE.
66*. Telle propriété de deux figures symétriques (6o8) est plus ou moins aisée à démontrer, suivant que l'on considère la symétrie relative à un plan ou à un centre. Le théorème précédent (661) permet de choisir le mode de symétrie qui facilite le plus les raisonnements. C'est généralement la symé- trie relative à un centre qui rend les démonstrations plus sim- ples, parce qu'en déplaçant le centre de symétrie on n'alièrc pas même l'orientation de la figure symétrique (6G0'.
THÉORÈME.
605. La figure symétrique d'une ligne droite est une ligne droite.
Car, si l'on prend un point quelconque de la droite pour centre de symétrie, ce qui ne peut rien changer au résultat (660\ on retrouve évidemment la droite elle-même pour figure symétrique.
Corollaires.
660. La distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques.
Car, si l'on prend pour centre de synn'tiie le milieu do la droite qui joint les deux points, on voit <iiui ces ileu\ points; ne font que s'échanger.
C)| GÉOJIÉIRIF, DANS l'uSPACK.
GG7. L'angle de deux droites est t^gal à (angle de leurs sf- métriques.
Car, en prenant pour centre de symétrie le sommet de cet angle, on voit que les droites symétriques formenl l'angle qui lui est opposé par le sommet.
SCOLIE.
668. 11 importe de se figurer nettement la situation de deux droites symétriques par rapport à un centre ou par rapport à un plan.
Soit AB [fig. 372) une droite dont on veut la droite symé- trique par rapport à un centre donné 0'. Prenons d'abord la
v\z. 3:3.
|
Fi |
iS' |
, 37^. |
|
A |
0 ï |
|
|
1 1 1 1 1 |
/ ■/ 0' / |
droite symétrique de AB par rapport à son milieu 0 : le point A aura son symétrique en B, et le point B son symétrique en A; de sorte que la droite symétrique de AB, par rapport à son milieu 0 pris pour centre, sera BA. Pour passer ensuite du centre 0 au centre ()', il sulfiia (659) de faire décrire aux points A et B des droites BA' et AB' parallèles à 00' et dou- bles de 00'. On trouve ainsi, pour symétrique de AB, la droite A'B' parallèle à AB, de sens contraire, et située à la même distance du centre 0' de symétrie.
Soit OA {_/ig. 3':3) une droite dont on veut la droite symé- trique par rapport à un plan P qu'elle rencontre en 0. En pre- nant d'abord la droite symétrique de OA par rapport au point 0, on trouve son prolongement OA', et il sunil(G61) de faire tourner OA' de 180 degrés autour de la perpendiculaire OB au plan P, pour avoir la droite OA" demandée. On voit que les deux droites OA et OA", symétriques par rapport au plan P, sont également inclinées sur ce plan, qu'elles rencontrent d'ailleurs au même point 0.
UVllE VI.
i.i;s l'OLviîUKES. 96
THEOREME.
669. LaJigiiK^sjntélriqae d'au jjùui est un plan.
Car, si Ton prend un point (!li plan pour cenlre de symétrie, on retrouve évidenimeni le plan lui-même jiour figure symé- trique.
Corollaires.
070. La fii^ure symélriqtie d'un polygone plan est an poly- gone égal an premier.
D'abord, c'est un polygone pian 6G9j; il est ensuite égal au premier, parce qu'il a ses côtés et ses angles égaux aux côtés homologues et aux angles homologues de ce polygone (066, 007).
671. L'angle de deux plans est égal à l'angle de leurs sy- mélriquts.
Car, en prenant pour centre de symétrie un point de l'arêie de l'ang'e clièdre donné, on voit que les plans symétriques de ses faces forment le dièdre qui lui est opposé par l'arête.
SCOLIE.
072. Deux plans symétriques par rapport à un centre sont parallèles et équidistanls de ce cenlre.
Deux plans symélrirnies par rapport à un plan sont égale- ment ini^dinés sur ce plan, qu'ils coupent d'ailleurs suivant la même droite.
THÉORÈME.
073. Deux polyèdres s)/né/riijues ont : i" leurs faces égales chacune à chacune; 2" leurs angles dièdres homologues égaux; 3° leurs angles polyèdres homologues symétriques oOO).
!• L'ég.ilité des faces homologues résulte du n''670.
?." L'égalité des angles dièdres homologues r('\sulic du n°C71.
3" Pour montrer clairement la relation qui existe entre un angle polyèdre A de la première fig(M'(> P et l'angle polyèdre homologue A' de la seconde lignre 1*', il suffit de construire la
C)6 GÉOMÉTRIE D\^S l'kSPACE.
figure symétrique de P en prenant pour centre de symétrie le sommet A du premier angle polyèdre. On voit ainsi que l'angle polyèdre A' est l'angle polyèdre opposé parle sommet à l'angle polyèdre A.
THÉORÈME. 674. Deux polyèdres syniciiiques P et P' sont équi\'alenfs.
Si l'on décompose le polyèdre P en tétraèdres, à chacun de ces tétraèdres répond un tétraèdre symétrique, et l'ensemble de ces tétraèdres symétriques forme le polyèdre P'. Deux polyèdres symétriques P et P', étant d'après cela composés d'un même nombre de tétraèdres symétriques deux à deux, il suffit de démontrer que deux tétraèdres symétriques sont équivalents.
Or, soit (//g. 374) SABC un tétraèdre quelconque. Formons son symétrique SA'B'C par rapport au point S. Les triangles ABC, A'B'C sont égaux (670), et leurs plans sont équidi-
Fig. 375.
sianls du point S (672). Par suite, les deux tétraèdres SABC, SA'B'C, ayant des bases et des hauteurs égales, sont équiva- lents.
La symétrie relative à un plan fournirait dans ce cas une démonstration tout aussi simple; car, comme la propriété dont il s'agit concerne la grandeur et non la silnation, on peut prendre à volonté le plan de symétrie (662). Or, on construi- sant [fig. 375) la figure S' ABC symétrique de SABC par rap- port au plan ABC, on voit que les deux tétraèdres SABC,
LIVRK VI. — LES POLYÈDRES. 97
S'ABC ont même base ABC et des hauteurs égales SO et S'O; d'où résulte leur équivalence.
SCOLIE.
67o. Les deux prismes dans lesquels un parallélipipède est décomposé par un plan diagonal (616) sont évidemment symé- triques par rapport au centre 0 du parallélipipède Jig. 343 . C'est pourquoi ils ont même volume 07i), bien qu'ils ne soient pas en général superposables. On ne peut les super- poser que quand ils sont droits.
§ VI. — POLYÈDRES SEMBLABLES.
DÉFINITIONS.
G70. On donne le nom de polyèdres semblables aux po- lyèdres qui ont leurs angles polyèdres égaux et qui sont com- pris sous un même nombre do faces semblables chacune à chacune.
L'égalité des angles polyèdres entraîne évidemment l'éga- lité des angles dièdres homologues.
On appelle homologues les éléments (faces, arêtes, diè- dres, etc.) qui se correspondent dans deux polyèdres sem- blables.
677. Les arêtes liomologues de deux polyèdres semblables sont proporlionnelles.
Car les faces semblables de ces polyèdres ayant le même rapport de similitude, puisqu'une même arête appartient sur chaque polyèdre à deux faces adjacentes, le rapport de deux arêles homologues quelconques est constant.
THÉORÈME.
678. En coupant une pyramide par an plan parallèle à la base, on détermine une seconde pyramide semblable à la pre- mière.
Soit [fig. 376) la pyramide S.VBCDK, dans laquelle un plan parullèle à la base a déterminé la section F(iinK. l.es deux pyramides SABCDE, SFGHIK ont leurs faces semlilablcs, car
K. cl i)i; C. — Tr. de Géoin. (1I« Pailie'i. 7
98 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
les polygones AKCUE, FGeiiv soni semblables (635), et les faces latérales SAB et SFG, SBC et SGH . . ., le sont aussi par
suite du parallélisme des côtés de ces deux polygones.
Quant aux angles polyèdres, l'angle polyèdre S est commun, et deux angles trièdres homologues, tels que A et F, sont égaux comme ayant un angle dièdre commun compris entre deux faces égales chacune à chacune ei semblablemeni dis- posées, savoir : l'angle dièdre SA commiin, la face SAB égale à la face SFG et la face SAE égale à la face SFK.
TEÉOREME.
679. Deux priainides triangulaires sont semblables, lors- qu'elles ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées.
Soient [Jig. 377) les pyramides SABC, S'A'B'C', dans les- (juelles l'angle dièdre SA est égal à l'angle dièdre S'A', et les faces SAB, SAC, semblables aux faces S'A'B', S'A'C, et sem- blablement placées.
Portons la seconde pyramide sur la première, de manière qu'elles aient môme sommet et que les faces homologues de leurs angles dièdres égaux coïncident. Le triangle S'A'B' étant semblable au triangle SAB et le point A' tombant en D sur SA, S'B' se confondra avec SB, et le point B' viendra en un point E tel, que DE soil parallèle à AI>. De même le triangle S'A'C, étant semblable au triangle SAC, S'C se confondra avec SG,
LlvnF. vr. — LES POI.Vf.DRES.
90
et le point C viendra en un point F tel, que DF soit parallèle à AC, La base A'B'C occupera donc alors la position DEF, et
son plan sera parallèle au plan de la base ABC ''506). La pyra- mide SDEF élanl semblable à la pyramide SABC >6T8", il en est de même de la pyramide S' A'B'C qu'elle représente.
THÉORÈME.
G80. Deux polyèdres, composés d'un même nombre de té- traèdres semblables chacun à chacun et semblablement dis- posés, sont semblables.
Fi;;. 378.
Soient {fig. 378) OArsi), OBCI), OCDE, ..., O'A'Si'D', O'B'C'O', O'C'H'E', ... deux séries de tétraèdres ro>pefii- vement sen:blal)les et semblablement disposés; le polyèdre formé par les premiers tétraèdres est semblable au polyèdre formé par les seconds.
L.i eHel :
I" Les faces homologues des deux polyèdres sont semblables
iOO GÉOJIÉTRIE DANS l'eSPACE.
comme composées d'un même nombre de triangles semblables et semblablemenl disposés. Considérons, par exemple, la face ABCD du premier polyèdre. Les triangles ABD, BCD, qui la constituent, sont semblables aux triangles A' B'D', B'C D', comme faces homologues de tétraèdres semblables. De pins, les triangles ABD, BCD étant dans un même plan, les angles dièdres OBDA, OBDC des deux tétraèdres OABD, OBCl) sont supplémentaires; il en est donc de même des angles dièdres homologues O'B'D'A', O'B'D'C, des tétraèdres semblables O'A'B'D', O'B'C'D'. Par suit?, les deux triangles A'B'D', B'C'D' sont aussi dans le même plan, et constituent sur le second polyèdre une face A'B'C'D' setriblable à la face ABCD. 2" Les angles polyèdres des deux polyèdres sont égaux comme ayant tous leurs élémonls égaux et semblablement disposés; car les faces homologues des deux polyèdres étant semblables et semblablement disposées, leurs angles po- lyèdres ont d'abord toutes leurs faces égales chacune à cha- cune et semblablement disposées. De plus, les angles dièdres homologues de ces angles polyèdres sont égaux, soit comme dièdres homologues de deux tétraèdres semblables, soit comme somme d'angles dièdres égaux. L'angle dièdre BCDE, par exemple, formé par les deux faces ABCD, CDE du pre- mier polyèdre, est la somme des deux angles dièdres BCDO, ECDO, qui appartiennent aux deux tétraèdres OBCD, OCDE; el l'angle dièdre B'C'D'E', formé par les deux faces A'B'C'D', C'D'E' du second polyèdre, est la somme des deux angles dièdres homologues B'C'D'O', E'C'D'O', qui appartiennent aux deux tétraèdres semblables O'B'C'D', 0' C'D'E'.
681. Réciproquement, deux polyèdres semblables peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disj>osés.
Soit [Jif;-. 379) un point 0 pris dans l'intérieur du premier polyèdre; décomposons-le en télraèdres en prenant le point 0 pour centre de décomposition (64-6), el soit OABC l'un des tétraèdres obtenus. Les points A, B, C, ayant pour homo- logues sur le second polyèdre les points A', B', C, menons un plan O'A'B' faisant au-dessus de A'B'C un angle dièdre
LIVUF. VI. — I.r? POI.YftDRES.
éf^al à celui que Corme le plan AOB au-dessus de ABC, eidans ce plan O'A'H' construisons le triangle O'A'B' semblable au
FiiT- 379.
triangle OAB. En prenant le point 0' pour centre de décom- position, on décompose donc le second pol vèdre en léiraèdrcs, qui correspondent à ceux du premier polyèdre, et il reste seulement à prouver que ces tétraèdres sont semblables deux à deux.
SoilD un quatrième sommet du premier polyèdre, tel que les deux triangles ABC, ABD aient un côté commun et soient situés sur la même face ou sur deux faces adjacentes. Com- parons les deux tétraèdres OABD, O'A'B' D'. Les faces OAB, O'A'B' sont semblables comme faces homologues des deux tétraèdres semblables OABCO'A'B'C; les faces ABD, A'B'IV le sont aussi comme triangles homologues de deux faces sem- blables des polyèdres donnés. Do plus, si les deux triangles ABC, ABD sont dans un même plan, les deux dièdres OAIU), O'A'B'D' sont égaux comme suppléments des angles dièdres égaux OABC, O'A'B'C; si les deux triangles ABC, ABD ne sont pas dans un même plan, les deux angles dièdres OABi), O'A'B'D' soiii encore égaux comme différences des angles dièdreségaux.DABCeiOABC d'une pan, D'A'B'C etO'A'B'C al'auire part. Dans les deux cas, les tétraèdres OABI), O'A'B' ]>' sont semblables 1^079,.
La même démonstration s'appli<|uera de proche en proche. La similitude des deux tétraèdres coiisid(*rés en deiiiier lii'ii [jermettra toujours de vérifier la similitude des deux tétraèdres suivants.
I02 ' GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
SCOLIE.
682. Deux poiiUs O et 0' i-apportés à deux polyèdres sem- blables sont dits liomologues, lorsqu'en joignant l'un d'eux 0 aux sommets consécutifs A, B, C de l'un des polyèdres, et l'autre 0' aux sommets homologues A', IÎ',C' de l'autre po- lyèdre, on obtient deux tétraèdres Ox\BC, O' A' B' C semblables et semblablement disposés par rapport aux deux polyèdres.
Il résulte de la démonstration précédente que deux points homologues quelconques peuvent être pris pour centres de décomposition de deux polyèdres semblables, en tétraèdres semblables et semblablement disposés.
Si le point 0 est extérieur au premier polyèdre, son homo- logue 0' est aussi extérieur au second polyèdre; il faut alors considérer les deux polyèdres comme composés de tétraèdres additifs et de tétraèdres soustraclifs.
Si le point 0 coïncide avec l'un des sommets A du premier polyèdre, son homologue 0' coïncide avec le sommet A' du second polyèdre, et les diagonales homologues des deux po- lyèdres, relatives aux sommets A et A', se confondent avec les arêtes latérales de leurs tétraèdres homologues.
083. Deux droites rapportées à deux polyèdres semblables sont diies homologues, lorsque leurs extrémités sont deux à deux des points homologues. Telles sont, par exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues.
Le rapport de deux droites homologues quelconques est égal au rapport de similitude des faces homologues des deux polyèdres.
Soient [Jig.ZQo] ABCDE, A'B'C'D'E' deux faces homo- logues quelconques des polyèdres donnés, ot FH, F H' deux droites homologues quelconques. Formons les tétraèdres ho- mologues FABC, F'A'B'C, HABC, H' A'B'C. La similitude de ces tétraèdres entraîne celle des tétraèdres FHAC, F'H'A'C En effet, les faces FAC, HAC sont respectivement semblables aux faces F'A'C, H'A'C, et l'angle dièdre FACH, différence des angles dièdres FACB, HACB, est égal à l'angle dièdre
IITHE VI. — LES POLYÈDRES. îOO
F'A'C'ir, différence des angles dièdres égaux F'A'C'B',
Fie. 38o. D
H'A'C'P.'. Les deux tétraèdres FHAC, F'H'A'C étant sembla- bles, on a G77)
FH _ AB
F'H' ~ A B*
THÉORÈME.
G8i. Le rapport des volumes de deux polyèdres semblables est égal au cube du rapport de similitude de leurs faces homo- logues, ou deux polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes des arêtes homologues.
Soient d'abord IJig. 38i] deux tétraèdres semblables SABG, SDEF, qu'on peut toujours supposer placés l'un dans l'autre, comme l'indique la figure (6781, de manière que leurs bases ABC, DEF soient parallèles.
Le premier tétraèdre SABC ayant pour base ABC cl pou; -"^auteur 311, son volume a pour expression
ABC. SU
I04 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Le second tétraèdre a;) aiit pour base DEF et pour hauteur SK, son volume est égal à
DEFSK
. 3 "
Le rapport cherché est par suite égal à
ABC.SH _ ABC SH DEF.SK ~ DEF* SK*
Mais le plan DEF étant parallèle au plan ABC, on a (636, 635)
ABC _ SH SH _ SA _ AB
DËF "" ^' °^ SK ~ SD ~ DE°
Le rapport des volumes des deux tétraèdres est donc repré- senté par
sïï' âb'
r ou 3°
SK^ DE
Soient maintenant deux polyèdres semblables P et P'. Le rapport de similitude de leurs faces homologues sera (677) celui de deux arêtes homologues quelconques AB et A'B'.Ces deux polyèdres sont décomposables en un même nombre de tétraèdres semblables et sembiablement disposés (681), et le rapport de similitude des laces homologues de deux tétraèdres
A T>
homologues est égal (683) au rapport ■ • Si le polyèdre P
est composé des tétraèdres T, T,, T., et le polyèdre P' des tétraèdres homologues T', T', ,'1',, on aura donc, d'après ce qui précède,
1^ _ âb' t, _ âb' T2 _ âb'
^ AB' '■ AB' ^^ AB'
et, par suite, en appliquant un théorème connu,
T+T,+ T, Âb' p Âïi'
ou
1 + i>+ Jî AB' ^ AB'
LIVRE VI. — J.tS POLYÈDRES. lo5
SCOLIES.
685. Les aires de deux polyèdres semblables sont propor- tionnelles aux carrés de leurs arêtes homologues. CSG. De la relation démontrée, on déduit réciproquement,
AB _ 3 /l»^ A' B ~ V P' *
Donc, lorsqu'on veut amplifier ou réduire un polyèdre dans un rapport donné, Véchelle à adopter pour amplilier ou réduire les arêtes de ce polyèdre est égale à la racine cubique du rapport donné. Par exemple, si le volume du nouveau polyèdre doit èlre la millième partie du polyèdre donné, il fau- dra faire ses arêtes dix fois plus petites ([ue les arêtes homo- logues du polyèdre donné.
Application. 687. Étant donnée une pyramide dont l'une des arêtes 'èS. est égale à i m.èlre, par quels points a et a' de cette arête faut-il mener des plans parallèles à la base delà pyramide, pour partager son iwlume en trois parties équivalentes?
Les pyramides partielles dont les arêtes sont S^r et Sr/ re- présentent respectivement le tiers et les deux tiers de la pyra- mide donnée. On aura donc
S« 1 /i '^d 5/2
^"V3' sA-y^'
d'où, en opérant par logarithmes et en faisant SA — i'",
S« = o">,6r,3 et Sa' = o'",874 à { millimètre près.
§ Vn. — APPENDICE.
PROPRiiÎTÉs (;i':m':iuli:s des POLviïDRES.
THÉORÈME.
6S8. Dans laiU polyèdre convexe, le iinnibrc des nrctcs aiii:;nientè (le ■? est c'^dl au nombre des j'ai es augmenté de relui des sommets. .S ,'ient A le nombre des arùLc-, F celui des face?, et S celui '!"S som-
toG GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE. '
mets du polyèdre ; il faut démontrer l'égalité
(i) F-4-S = A-!-2.
Considérons d'abord une figure plane ^ formée par la juxtaposition de plusieurs polygones convexes réunis successivement autour de l'un d'eux sans laisser de vide. Soient Oj et ^i le nombre des côtés et celu' des sommets du premier polygone, «2 et s-i les nombres des côtés et des sommets du second polygone qui ne lui soient pas communs avec le premier, «3, ^3 les nombres des côtés et des sommets du troisième polygone qui ne lui soient pas conmiuns avec les deux premiers, et ainsi de suite. Si F' est le nombre total des polygones qui composent S on aura les F' équations
«1 = ^1
rt, = *2 -i- 1 «3 = ^3 H- 1
qui donnent, par addition,
(«, -i- «2+ «3-+-- • •) = (-^1 -f- ■^'î + ■^iS -f- • • .)-f-F'— I,
ï'est-à-dire
(2) A'-S'+F'-i
si l'on désigne par À' et S' le nombre des côtés et celui des sommets de la figure S.
Ce lemme établi, revenons au polyèdre convexe. Si on supprime l'une des faces, les faces restantes, dont le nombre sera F — i, pourront être considérées comme formant une suite de polygones convexes juxtajwsés et renfermés dans le contour de la face supprimée; nous pourrons d'ailleurs raisonner sur ce réseau comme s'il était plan, puisque le théorème ne dépend que des nombres des polygones, des sommets et des arêtes. La relation (2) doit donc être satisfaite par les valeurs
A'=A, S'=S, F'=F— i;
on tombe ainsi sur la relation (i), qui est attribuée à Euler (Mémoires de Pétersbourg, 1 768 ) ( * ).
Corollaires.
689. Désignons par t, q, p, li, h' , o, . . . les nombres des faces triangu- laires, quadrangulaires, pentagonales, hexagonales, heptagonales, octogo-
(') En réalité la formule (i) appartient à Descartes; on la trouve en effet dans l'écrit posthume de ce grand géomètre intitulé De solicforum cientenils. Voir sur ce sujet un remarquable mémoire de M. de Jonquière? (Académie des Sciences, 3i mai-s i8f)oJ.
LIVRE vr. — IBS POLYÈDRES. ÏO7
nales, .... Chaque arête étant commune à deux faces, on aura évidemment
( 2 ) F = t -i- </ -h p -^ // -^ /t' -\- o-h . . . ,
(3 9. A = ■) / -r- i 7 -I- 5/p ^- G/i -»- 7 // -(- 80 -1- . . . .
Soient T,Q, P, H, H', 0, . . . les nombres d'angles Iriédres, tétraèdres, penlaèdres, hexaèdres, ... du polyèdre proposé ; chaque arùle unissant deux sommets, on aura de même
(4) S=T-T-Q-i-HH-H'-+-0 4- ...,
(5) 2A = 3T+4Q + 5P-4-6H+ -H' + SO-h ....
D'après l'égalité (3), le nombre des faces dont le nombre des côtés est impair ( c'est-à-dire le nombre t -v- p -^ h' -\- . . . ) est toujours pair; d'a- près l'égalité (5j, le nombre det angles polyèdres ou des sommets dont le nombre des arêtes est impair (c'est-à-dire le nombre T -f-' P + H' -H . . .) est toujours pair.
<J90. On peut exprimer F en fonction de T, Q, P, H, H', 0, ... ; il suffit d'éliminer S et A entre les relations ( i ), (4) et (5). On trouve
( C) 2F = 4 + T -^ oQ -T- 3 P - 4 H -^ ") H' -+- GO -r^ . . . .
De même, on peut exprimer S en fonction de t, 7, p^ h^ //, ",...; il suffit d'éliminer F et A entre les relations (i), (a) et (3). On trouve
17) 2 S = 4 "^ <■ "^ '^ 7 ~T- ^ /^ "^ 4 '''' -+• 5 // -r- G f) H- ....
SCOLIK.
691. Si Von conçoit la surface d'un polyèdre convexe décomposé en plusieurs portions, chaque portion étant une face seule ou le système de plusieurs faces voisines , le théorème d'Eulera encore lieu entre le nombre des portions dont il s 't^git, le nombre des arêtes cjui servent de limites à CCS mêmes portions^ et le nombre des sommets compris entre ces arêtes.
En effet, que les droites qui terminent chaque portion soient ou non dans un même plan, les nombres considérés ne varient pas. Or, dans la première hypothèse, eans rien changer à ces mêmes nombres, on pourrait former un nouveau polyèdre en substituant à chaque portion une faie plane terminée au même contour, elle théorème d'Fuler serait applicable y ce polyèdre.
Toutes les form.ule.s que nous venons d'établir subsistent dans ce cas ; seulement, t est alors le nombre des portions de la surface, terminées par un contour triangulaire; 7, /?, ... les nombres des portions dont le con- tour est quadrangulaire, pent-)gonyl, etc.
'OO GÉOMÉTRIE BANS l'eSPACE.
THÉORÈME.
692. Dans tout polyèdre convexe^ le nombre des faces triangulaires^ augmenté de celui des angles trièdres, est au moins égal à huit. En effet, si dans la relation (i), qu'on peut écrire
4F-+-4S = 4A + 8,
on remplace F par la valeur (2), S par la valeur (4), et 4 A par la somme des valeurs (3) et (5), on trouve
/ + T = 84- (/^-^P) -t- ■2(// + H) + 3(// + H')-+-4 (o-f-0)+ ....
D'après cela, // n existe aucun [jolyèdre con«exc qui ne rcnjernie niface triangulaire, ni angle trièdrc.
THÉORÈME.
G93. \" Il ri existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces aient plus de cinq côtés ; 2^ il ri existe aucun polyèdre convexe dont tous les angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.
En effet :
1° Si, dans Tinégalité 2A> 3S, qui résulte de la compaiaison des re- lations (4) et (5), on remplace A et S par les valeurs (3)ot (7), on trouve la formule
3^ -I- 27 -t- /;> 1 2 H- ( A' -H 2 o -H- . . . ),
qui prou\e que t, q et p ne peuvent être nuls à la fois.
2° Si, dansl'inégalité 2A> 3F, qui résulte de la comparaison des re- lations (2) et (3), on remplace A et F parles valeurs ( 5) et (6), on trouve la formule
3T •+- 2Q-+-P> I2-H(H'-t-20-f- ...),
qui prouve que T, Q el P ne peuvent être nuls à la fois.
SCOLIE.
094. La symétrie de la formule d'Euler par rapport aux nombres F el S et la similitude des équations (2) et (4), (3) et (5) entraînent dans les relations qu'on peut en déduire une corrélation que le lecteur a sans doute déjà remarquée.
THÉORÈME.
695. // ne peut exister que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre n de côtés et dont tous les angles polyèdres aient le même nombre m d'arêtes.
I.IVlti: YI. — LES POLYÈDRES. IO9
En effet, chaciue arèie ap[iartenant à deux faces et joignant deux som-
mels, on a
'jiA = //F = wS.
L'élimination de A et de S entre ces équations et la formule d'Euler donne
2 [ m -h /i) — /un Pour n = 3, celte relation devient
1'"
(3 — /;/ '
et l'on ne peut donner alors à m que les valeurs 3^ 4 et 5, auxquelles répondent respectivement les valeurs F = 4, F = 8, F == 20. Pour fi — 4 ou n = 5, on a
2 '" ,-, 4 ">
F =
10 — 1)1)1
On ne peut donner dans les deux cas à m que la valeur 3, et il en résulte F = G ou F = 12. Pour // =: G, on a
et l'on ne peut donner à m aucune valeur. 11 en est de môme n fortiori pour// > 6; ce résultat était d'avance indiqué par le théoième du n°G93. 11 n'y a donc que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre de côtés et tous les angles polyèdres le même nombre d'arêtes : ce sont le tétraèdre, l'oclaèdre et l'icosaèdre à faces triangles; l'hexaèdre à faces quadrilatères; le dodécaèdre à faces pen- tagones.
THÉORÈME.
696. L'angle droit étant ])ris pour imiK', la somme des angles de tontes te. < faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre jois te nombre des sont mets dindnué de •>..
1/angle droit étant l'unité d'angle, on sait que, pour une face quelcon(]uo de// côtés, la somme des angles est a//— 4. En désignant par //,//', //", ... les nombres de côtés des différentes faces, on aura donc pour toutes les faces
(2 // — 4 ) -+- ( 2//' — 4 ) -H ( ?- /'"— 4 ) -+-
Cette suite contiendra d'ailleurs F termes. La soinnie cliercliée a donc pour expression
2 ( // H- //' -i- //■' -f- . . . ) — 4 l'-
IlO GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Chaque côté appartenant à deux faces, la parenthèse est égale à 2A, et l'on obtient !a formule
UA-F) ou 4(S-2),
d'après le théorème d'Euler.
CONDITIONS d'égalité ET DE SIMILITUDE DE DEUM POLYÈDRES CONVEXES.
LEMME. 697. Si, dans un angle polyèdre convexe dont toutes les faces- sauf une restent invariables , un ou plw.ieurs angles dièdres non adjacents à la face variable augmentent on diminuent tous à la fois, cette face elle-même augmente ou diminue.
Fi;;. 3S2.
Soient [Jig. 382) l'angle polyèdre SABCDEFet, dans cet angle, SAB la seule face qui puisse varier. Supposons d'abord qu'un seul angle dièdre SD augmente ou diminue. Menons les plans ASD, BSD. Les deux angles po- lyèdres SBCD, SÂDEF ne changent ni de forme ni de grandeur, d'après les conditions de constance imposée? à leurs faces et à leurs angles dièdres. Par suite, si l'angle dièdre SD augmenle ou diminue, ce ne peut être que par sa partie ASDB; et, comme ce dernier angle dièdre est compris dans l'angle trièdre SABD entre deux faces invariables de grandeur," îa face opposée ASB augmenle ou diminue (569).
Si plusieurs angles dièdres non adjacents à la face ASB augmentent ou diminuent à la fois, il en sera de même de cette face; car on peut faire varier isolémicnt, et l'un après l'autre, les angles dièdres considérés et, d'après ce qui précède, chaque changement partiel en produira toujours un de même nature sur la face ASB.
Corollaire.
698. Si, toutes les faces demeurant constantes, certains dièdres d'un angle polyèdre viennent à changer, il est impossible que tous-varient dnns le même sens, cest-à-dire qu'il est 'uipossible que tous augmentent pg nue tous diminuent.
LIVKL VI. — LES POLYÈDRES. III
LEMME.
699. Soit un angle polyèdre convexe ayant plus de trou faces ; si. les faces demeurant constantes et l'angle polyèdre restant convexe, un suppose que les angles dièdres aient, les uns augmenté, les autres diminué; et si, en faisant le tour de l'angle polyèdre, on affecte du signe -{- l'arête de chaque am^le dièdre augmenté, et du signe — iarêic de chaque angle dièdre diminué, on trouvera toujours dans le tour entier au moins quatre variations de signes.
Il est impossible qu'il n'y ait (jue deux variations de signes, en d'autres ternies il est impossible qu'à une série de signes -h succède une série de signes — qui ramène au premier signe -i-. En effet, si {fig. 38^) les arêtes SA, SF, SE étant affectées du signe -f-, les arêtes suivantes SD, se, SB étaient affectées du signe — , la face ASE qui sépare les deux angles polyèdres SAFE, SEDCBA augmenterait dans l'un et diminuerait dans l'autre (697).
Puisqu'il y a plus de deux variations de signes et qu'on doit fermer le circuit en rejoignant le signe qui a servi de point de départ, il est impos- sible que le nombre des variations soit impair. Puisque ce nombre est pair et plus grand que 2, il est an moins égal à 4.
THÉORÈME.
700. Dans un polyèdre convexe dont toutes les faces sont constantes^ les angles dièdres sont aussi constants.
« En effet, supposons, contre l'énoncé ci-dessus^ que l'on puisse faire » varier les inclinaisons des faces adjacentes, sansdétiuire lepolvèdre; » et pour simplifier encore la question, supposons d'abord que l'on puisse » faire varier toutes les inclinaisons à la fois. Les inclinaisons sur certaines » arêtes varieront en plus, les inclinaisons sur d'autres arêtes varieront » en moins; et en comparant deux à deux, relativement aux signes de » leurs variations, les inclinaisons des arêtes qui, dans chaque face, aboii- » tissent aux mômes sommets, on trouvera, en passant successi\einenl » d'une arête à l'autre, plusieurs changements de signes. C'est le nombre )) de ces changements (jue nous allons chercher à déterminer ( ' \ >'
Il suit du lemme précédent que cIuKpie angle polyèdre présente sur ses arêtes au moins (juatre changements de signes. Le nombre des change- ments de signes obtenus en considérant tous les angles polyèdres du po- lyèdre serait donc au moins égal à 4 S. Or il est aisé de voir que cela est impossible.
( ' ) Cacciiy, Journal de l'École Polytechnique, XVI' Cahier, p. 9G. Dans lo
î.in;;.Tj;c de Catichy, le mot inclinaison est ici synonyme du ciiéilre.
112 GÉ05IÈTKIE DANS L ESPACE.
Remarquons qu'en faisant le tour de chaque sommet ou en faisant celui du périmètre de chaque face on doit trouver le même nombre total de variations de signes. En effet, chaque variation de signes autour d'un sommet correspond à deux arêtes de signes différents qui se suivent sur le périmètre d'une même face, et réciproquement.
Mais, sur un périmètre, le nombre des variations ne peut dépasser le noiiibre des côlés et ne peut être impair; car, puisqu'on doit revenir au point de départ, chaque variation en entraîne nécessairement une se- conde. Chaque face triangulaire ne peut donc fournir plus de deux chan- gements de signes; les quadrilatères et les pentagones ne peuvent en fournir plus de quatre; de même, les hexagones et les heptagones plus de six, et ainsi de suite. Toutes les faces ou tous les sommets du polyèdre ne pourront donc donner plus de changements de signes qu'il n'y a d'u- ni lés dans la somme
it ^ :\q -^ .^p -\- (j h -{- C:)h' -\- èo -\- . . . .
Or celte somme est inférieure à 4 S; car on a (690), d'après la formule (7),
4S= 8-f-2/-+-4 7-^6/;-t-8//-f- 10 h' -k- 120 -t- ....
Il faut en conclure qu'il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes changent toutes à la fois,
« Si l'on suppose, en second lieu, que, dans le polyèdre donné, non- » seulement les faces, mais encore les inclinaisons sur plusieurs arêtes » restent invariables, ei que cependant on puisse, sans détruire le po- » Ivèdre, faire varier les inclinaisons sur les arêtes restantes, alors, pour « démontrer l'absurdité de l'hypothèse, il suffira de concevoir la surface » du polyèdre décomposée en autant de portions que les arêtes sur les- » quelles les inclinaisons varient forment de contours diR'érenls, et d'ap- » piliquer aux portions, aux arêtes qui les terminent, et aux sommets n compris entre ces arêtes, les mêmes raisonnements que nous avons ap- >■> pliqués, dans l'hypothèse précédente, aux faces, aux arêtes et aux som- )i mets du polyèdre ('). » On y parviendra eu s'appuyant encore sur le lemme précédent et sur le scolie du n° 691.
COROI.LAIUES,
701. Il suit du théorème précédent que deux prAyèdres convexes, coin-' pris sons un même nombre de faces é^rdes, sont égaux ou synielrifjucs, suivant que les faces égales sont ou non somblablement disposées.
702. Il suit encore du lliéorème précèdent que, lorsque deux polyèdres Convexes sont compris sous un même nombre de faces semblables, le
(') CavciiY, loc, cit.
LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. Il3
icco/ifl est semblable at( ijrcniier ou à un troisième polyèdre symétrique du premier, suivant que les faces semblables sont ou non scmblablement placées.
PROBLÈME.
7U3. Chercher le nombre de conditions nécessaires pour déterminer un polyèdre convexe.
1° Le polyèdre est d'une nature déterminée, c'est-à-dire qu'on connaît le nombre des faces, le nombre des côlés de chacune d'elles et la manière de les assembler.
Prenons pour base une des faces du polyèdre. Si elle a n cùtés, il faut III — 3 conditions pour la déterminer. Or il y a hors de cette base S — « sommets, et comme pour déterminer un point dans l'espace il faut trois conditions, on aura en tout 2^2 — 3-1-3 (S — «), ou 3 S — « — 3 conditions. Mais les sommets qui rep iiidoiit à une même l'ace sont dans un même plan, et trois points suftisent pour déterminer un plan. Par conséquent, pour tous les sommets d'une même face, en sus des trois premiers, il ne faut réellement que deux conditions. On doit donc diminuer 3(S— «) de la somme («' — 3) -t- («" — 3) -f- («'" — 3 ) -i- . . . , en désio:nant par n', n", n'",. . . les nombres de côtés des F — 1 faces qui restent en dehors de la base choisie. Le nombre de conditions demandé est donc finalement
3{F -^S — i) - (a -h n' -^ n" -h n'" -h ...);
mais (688, 689)
n -^ n' -h n" -^ //" -f-... = 2A et F-l-S — ■?. = A.
Le nombre cherché se réduit donc à A. Ainsi, le nombre ries données né' cessaires pour déterminer un polyèdre, dans les conditions indiquées, est éo(/l au nombre de ses arêtes.
« Remarquez cependant que les données dont il s'agit ne doivent pas » être prises au hasard parmi les lignes et les angles qui constituent les » éléments du polyèdre; car, quoiqu'on eût autant d'équations que d'in- » connues, il pourrait se faire que certaines relations entre les quantités n connues rendissent le problème indéterminé. Ainsi, il semblerait, d'après » le théorème qu'on vient de trouver , que la connaissance des aréles » seules suCit en général pour déterminer un polyèdre; mais il y a des )) cas où cette connaissance n est pas sulïisante. Par exemple, étant donné ■• i> un prisme non triangulaire quelconque, on pourra former une infinité » d'autres prismes qui auront des arêtes égales et placées de la même ma- » nière. Car, dès que la base a plus de trois côtés, on peut, en conser- » Nanties côtés, changer les angles et donner ainsi à cette base une inli- )i nitéde formes différentes ; on peut aussi changer la position de l'aiélc » longitudinale du prisme par rapport au plan de la base ; enfin, on [teut » combiner ces deux changements l'un avec l'autre, et il en résultera
R. et DE C, — Tr. de Céom. (II« P.irtic). ^
Il4 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
» combiner ces deux changements l'un avec l'autre, et il en résultera » toujours un prisme dont les arêtes ou côtés n'auront pas changé. D"où » Ton voit que les arêtes seules ne suffisent pas dans ce cas pourdéler- » miner le polyèdre. Les données qu'il convient de prendre sont celles » qui ne laissent aucune indétermination ('). »
i" La nature du polyèdre n'est pas déterminée, et l'on connaît seule- ment le nombre des sommets.
Prenons trois de ces points à volonté. Pour déterminer le triangle formé par eux, il faudra trois conditions; puis, pour déterminer chacun des S — 3 autres sommets, il suffira de donner ses distances aux trois premiers, ce qui exige 3(S — 3) conditions. Le nombre cherché est donc ici 3 -t- 3 ( S — ii ) ou 3 S — C-.
SCOLIE,
704. Si un côté et A — i angles déterminent un polyèdre de nature donnée, un autre côté pris à volonté et les mêmes angles déterminent un polyèdre semblable au [iremier. Donc, pour que deux polyèdres de même nnture soient semblables, il faut A — i conditions.
Si les deux polyèdres ne sont pas de nature déterminée, et s'ils ont seulement le même nombre S d'angles polyèdres, il faut 3S — 7 condi- tions pour qu'ils soient semblables.
RELATION ENTRE L ETENDUE D INE FIGURE PLANE ET CEU.E DE SA PROJECTION ORTHOGOiNALE.
THÉORÈME.
70j. La projection d'une droite AB sur un axe XY est égale au pro- duit de la longueur AB de cette droite par le cosinus de l'angle aigu a. qu'elle jait avec l'axe.
Fi!T. 3S3.
Nous supposons ici {j!^. 384) que la droite AB et l'axe XY ne soient
(*) LtGENiiKE, Ele/iu'/its de Gfoinctrii', i j'" oJitioii. iVolo \lli
I.tVIÎK VI. — LKS f'OLYÈDRLS. Il5
pas dans un môme f)lan, sans quoi le lliéorème ne différerait pas de celui qui a été démontré déjà en Géométrie plane (Appendice du III" Livre). Dans notre hypothèse, la projection ob est égale à la portion de l'axe XV comprise entre deux plans M et N menés par \ et B perpendiculaire- menr à cet axe, on bien encore à la portion AI) do la parallèle à l'axe menée par le point A jusqu'à la rencontre du plan X. Or le triangle rectangle ADB donne
AD = AB cosa ou ab = AB COSs:.
THÉORÈME.
/•'.'(j. Vdire de la pmjcction iVuu triangle sur un phin est cga/r n ruirc (le ce triangle iimlliplitc par h cosinus de l' angle aigu (jue l'orme le plan du triangle avec le plan de projection .
|
Fis. 385. A |
Fij. 386. A |
|
^7 y^ "^'7 / |
Supposons d'abord que le triangle proposé ABC ait un de ses côtés BC situé dans le plan P de projection [fig. 3S5). Si de la projection a du gommet A on mène la [)erpendieulaire c/D sur BC, la droite AD sera, en vertu du théorème des trois perpendiculaires, la hauteur du triangle ABC. Or, le rapport des triangles «BC,ABC, de même bascBC, est égal au rap- port des hauteurs «D et AD, c'est-à-dire au cosinus de l'angle aigu AD<7 qui mesure l'inclinaison des deux plans.
Considérons actuellement un triangle ABC placé d'une manière quel- conque par rapport au plan de projection [fig. 38()), et menons par le sommet B le plus voisin do ce plan un plan P' qui lui soit parallèle. La projviction r/Br du triangle ABC sur le plan P' est égale à celle qu'on ob- tiendrait en le projetant sur le plan primitif. Or, soient 0 le point où le cùlé AC prolongé rencontre le plan P', et y. l'angle du plan ABC et du plan do projection; le triangle ABC étant la différence de deux triangles ABO, CBO, qui ont un coté BO dans lo |)lan P', on a
flBf = ^/BO — rBO ^ ABO cosa - CBOcosx ^ ( ABO — CUO ) cos '/ ^ ABC cosî<,
]|6 GÉO'li.TniE DANS l'eSI'ACE.
Corollaire.
707. Le tlii'-nrènie s^ctend h lu ])rojection de l'aire d'un polygone plan et même d'une cotuhe plane fermée.
Il suffit de fiiire voir que la proposition a lieu pour un polygone, puis- qu'une courbe n'est qu'un polygone d'un nombre infini de côtés infini- ment petits.
Or, soient T, T', T", ... les aires des triangles qui composent le poly- gone pian P et /, /', /",. .. les triangles correspondants du polygone/?, qui est la projection de P ; chacun des triangles de la deuxième série est évidemment la projection du triangle correspondant de la première, et si l'on appelle y. l'inclinaison du plan du polygone P sur le plan de projec- tion, on a
^ = ï cos a, t' = T' cos a, l" — T" cos a, . , , ,
d'où, en ajoutant,
^-+ /'-h^"h- ... =:(T+T'-hT"+ ... )c03a ou /> = Pcosa.
CENTRE DES DISTANCES PROPORTIONNELLES.
708. Soient A et B deux points donnés, y- un coefficient ou nombre fixe, d'ailleurs positif ou négatif, correspondant au point A, et ê un coefficient relatif au point B. On sait que, sur la droite indéfinie qui passe par
MA
les points A et B, il existe un point unique M tel, que le rap[)ort ^ soit
égal en grandeur et en signe à • Projetons les trois points A, B, M
sur un plan quelconque P, parallèlement à une direction donnée arbitraire- ment, et proposons-nous de déterminer la longueur de la projetante MM, ou 2 du point M en fonction des coefficients a et 6, et des projetantes AA, = rt et BB, = h des points A et B.
il y a deux cas à distinguer, suivant que les coelTicienls a et 6 sont do môme signe ou de signes contraires.
Fi<ï. .38:.
|
Fis |
. 3S8. |
B |
|
"r |
V-^ |
-^1 |
|
'-r~- |
— ,D |
|
|
p/ m7 |
A, |
-1/ |
Dans le premier cas [fg. 38;), le rapport est négatif, et, par
LIVRE VI, — I.F.S POLYÈDRES. II7
suite, le point M est situé entre A et B. D'ailleurs, en menant CMD
MA
par;iilè!e au plan P, on voit que le rapport ^ est égal, en valeur ab-
, , XC z—ri , S MA z — ri ,, .
solue, a r— — 7 j on a donc ^ -— — —• -, , o ou
ùD 0 — z y. MB O—z
^^ a + 6 ■
Dans le second cas {/îg. 388), le rapport est positif et, par suite, lo
point M est situé sur l'un des proiongeuienls do AB. On a alors
6 MA a — z z — n
= TTïï == 7 ou ■ Tî
a MB b — z z — b
d'cij
, . ay. -\- bo
C'est la même formule que dans le premier cas. a -h S sera lo coetricicut attribué au point M.
709. Nous avons supposé jusqu'ici que les points A, B, M étaient si- tués d'un même côté du plan P ; mais cette restriction n'est pas néces- saire, et la formule (i) subsiste pour toutes les dispositions possibles de lafigure, pourvu qu'on regarde les nombres iJ,b,z, qui mesurent les pro- jetantes, comme positifs pour les points situés d'un côté du plan P, et comme négatifs pour les points situés du côté opposé.
Kn elfet, les points A, B, M, étant situés d'une manière quelconque par rapport au plan P, menons un plan P' parallèle à P et à une distance /i assez grande pour que les trois points A, B, M, soient au-dessus du plan P'. Alors, si a', b', z' mesurent les projetantes relatives à ce plan P', on aura ("708)
(x -(- 6) c' = a' a -f- b'<j.
En retranchant de cette égalité l'identité
( a -+- 6 ) // = Irx -y- hZ, on obtient la relation
(a -H (:) (s' _//)=,(,/_- A) a + (// -//)§.
Mais, en ayant égard au.\ signes des projetantes, on a tonjonrs
z' — h — z, a' — Il — (I, b' — // — b,
m8 géométrie da>s l'espace.
<?, b, z étant les projetantes relatives au plan P. Donc la formule
{y.->rZ)z = (ty.-^-b^j
subsiste dans tous les cas.
710. Cela posé, soient A , B, C, D , . . . , L autant de points qu'on voudra, situés d'une manière quelconque dans l'espace ; désignons par a, ê, 7, 0 ..., A les coeificients correspondants, et par «, Z>, r, «'/,..., / les nombres positifs ou négatifs qui mesurent les droites' projetant obliquementou or- thogonalement les points A, B, C, D,..., L, sur un plan quelconque P.
Sur la droite AB [Jig. 389) prenons le point M, tel, que
M, A _ 6 M,B^ a*
La projetante z, de ce point sera, en grandeur et en signe,
<iy. ->r b'j
Menons ]\î,C el prenons sur cette droite le point M, tel, qu3
M,M, _ 7
Û,C~ a-i-S'
La projetante z^_ de ce point sera
G, (a -t- ^) -H r7 _ ay. ■+- bZ -1- ry
"^ ( c. -f- 6 ) -h Y « -H !? -r- 7
En menant de même M^D el prenant gur cette droite un point M tel, que
M- M. ^
ALU
et continuant ainsi jusqu'au dernier point L, on obtiendra finalement un point M dont la projetante :; aura pour expression
l'-^)
9 =
(7 a -i- /; S -)- r 7 -I- ... -{- l\
LIVRE VI, — LES POLYfeDRES. IIÇ)
On dit que ce point M est le centre des distaiire/; proportionnelles des points donnés (A, y.) (B,o), (C,7),..., (L,).). On arrive diiilieurs au même point M dans quelque ordre que Ion joigne les points donnés; cela résulte de ce que la formule (2), qui exprime la distance du poinl M à un plan quelconque P, ne porte aucune trace de l'ordre suivi.
Dans le cas où tous les coefficients «,6,7,..., / sont égaux entre eux, le point M j)rend le nom de centre des moyennes distances; sa distance à un plan quelconque, comptée parallèlement à une droite arbitraire, est donnée par la formule
«-t-Z'-t-C-J-... — /
z = . -J
//
n étant le nombre des points considérés.
1\\. La formule (2). qu'on peut écrire
(3) 2i7. = ir/a,
en désignant en généra! par la notation la la somme de tous les coeffi- cients et par -tiy. la somme de tous les produits «a, 66,. .., A, exprime que la sonnne des produits obtenus en multipliant la projetante de chaque point par son coe(ficient est égale au produit de la projetante du centre des distances proj^rtionnelles par ta sonnne des coejficietits.
Pour que z soit nul, il faut et il suffit que ï<7y. le soit, car on suppose expressément que la somme I-j. des coefficients donnés est différente de zéro. Donc, pour qu'un plan passe p(n- le centre des distances proportion- nelles, il faut et il suffît (pic la somme des produits obtenus en multipliant chaque projetante relative h ce plan par le coefficient correspondant soit égale à zéro. Cette condition se réduit à la = o, lorsqu'il s'agit du centre des moyennes dislances.
712. Dans le cas où tous les points donnés A, 13, C, ..., L sont dans un même plan O, le centre M est aussi dans ce plan. Si l'on [)ren(l alors pour direction des projetantes une parallèle au ])lan (j, tous les pieds des projetantes seront situés sur 1 intersection XY du plan O et du plan 1' de projection ; cela revient donc à projeter sur une droite tiuelcon(iue XV du plan (J.
713. Soient A,, A,,,..., B,, B,,... deux groupes de points; M le rentre des distances priipoiiionnelUs du premier groupe, et Z le cent4e des dis- tances pro[)orlionnelles du système formé par tous les points des deux groupes.
.\ppelons a,, Xj, ..., p,, ^2,... les coefficients, w,, n....... b^, b^,... les
projetantes des points donnés, et désignons [lar m et par z les i>roje-
120 Gf:OMÉTRlE DANS I/eSPACE.
lanles de M et de Z. On aura, par la formule {1).
d'où, en posant 2a = p.,
z[n ■+- iS) = ma 4- 2^(5.
Le point Z est donc le centre des distances proportionnelles des points M, B,, B^„ ..., quand on donne à M un coefficient égala p.
Ainsi, do/is la recherche chi centre des distances proportionnelles cVun système de points, on peut remplacer plusieurs de ces /mints par leur centre particulier, pourvu fjiCon donne à ce centre un coefficient égal à la somme des coefficients des points correspondants .
Inversement, on peut remplacer un point par plusieurs autres^ dont il est le centre, et dont la somme des coefficients est égale à son coef- ficient.
CENTRE DE GRVVITÉ.
714.. On appelle centre de gravité d'une ligne droite AB le centre des moyennes distances de ses extrémités A etB, c'est-à-dire par conséquent le milieu de cette droite.
Le centre de gravité d'une ligne brisée plane est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des divers côtés de ce contour po- lygonal, ces centres ayant des coefficients proportionnels aux côtés cor- respondants.
Il est aisé de voir, d'après cela, que le centre de gravité du périmètre d' un triangle kW. est le centre 0 du cercle inscrit au triangle A'B'C formé enjoignant les milieux des côtés du triangle primitif {/ig. 890). En effet,
si l'on mène les trois hauteurs A'A", B'B", C'C" du triangle A'B'C, etsi l'on applique la formule(3) en projetant successivement sur chacun des côtés de ce triangle, on trouve
AB.C'C"
BC.A'A"
CA.B'B"
AR + BC -f- CA ' AB -+- BC 4- (A AB -^ BC -^ CA
pour les distances du centre de gra\ité aux trois droites A'B'. B'l7. T'A'.
I.IVRK VI. — I.rS POI,Yi;i'RES. '^ï
Or, comme les nviméraleurs de ces trois fraclions représentent chacun l'aire du triangle ABC, on voit que le cenlre de gravité cherché est équi- dislant des trois côtés du triangle A'B'C.
71.J. On appelle centre de gravité de l'aire d"un triangle, ou plus rapi- dement c<?/?/;v? r/^ jorrr/c/Ve r/'/z/z trififiglr, 1(> centre des moyennes distances des trois sommets.
Il est aisé de voir [fii^. Sgi ) que le centre de gmvilé G d'ii/i tiianole ABC est le point de concours des médianes de ce triangle; car, pour avoir ce centre, il faut, d'après la construction même du u° 710, prendre le mi- lieu I de BC, puis diviser lA de telle sorte que pT — • Donc le point G
est sur la médiane AI, au tiers de sa longueur à partir de la base, etc.
716. Un polygone ABCDE étant donné {^g. 392), si on le décompose en triangles, enjoignant tous ses sommets à un point 0 pris dans son plan,
et que l'on cherche le centre G des distances proportionnelles dos centres de gravité G,, Gj, G3,G^ , G^ de ces triangles, en leur attribuant des coeffi- cients proportionnels aux aires des triangles correspondants, on aura ce qu'on appelle le cenlre de gravité du polygone. Si le point 0 est pris à l'intérieur du polygone, tous les triangles sont additifs, et l'on donne à tous les coefficients le signe + : si le point 0 est prisa l'extérieur du po- lygone, il y a des triangles additifs et des triangles soustraclifs, et Ion donne pour coefficients aux centres de gravité des triangles additifs les aires de ces triangles précédées du signe -i-, et aux centres de gravité des triimgles soustraclifs les aires de ces triangles précédées du signe — .
Pour légitimer cette définition, il faut prouver que la position duccntio de gravité G du polygone est indépendante de la position quoccupe le point 0 diins son jjlan. A cet effet, projetons la figure sur un plan (piel- conque P, en donnant aux projetantes une direction perpendiculaire au plan ABCDE. Soient g, g,,gj, g^, gi,^^ les projetantes des points G, G,, G.,, Gj, G,, G., et 7, 7,, 7,, 73, 7,, 75 les coefficients correspondants, c'est-à-dire les aires du polygone AfCDE et des triangles OAB, UBC,0CD, Of'E, 0E.\, [)rises avec les signes con\enables.
laS GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
La formule (3) donnant
y.jO' représente le volume du tronc de prisme droit dont ABCDE est la base. En effet g^, projetante du point G,, est égal au tiers des projetantes des points 0, À etB, puisque^, est le centre des moyennes distances des trois sommets du triangle OAB. Donc 7,.^, représente (653) le volume du IrOnc du prismedroit dontOAB esl la base. De même, les produits 7,. g-^, 7,. 5^3,... représentent les volumes des troncs de prisme construits sur OBC, OCD,.... D'ailleurs, comme les facteurs 7,, 7^, 73,... sont positifs ou négatifs, sui- vant que les triangles correspondants sont additifs ou soustractifs, on voit que les produits 7, .{^^, li-g-.-, ■•■ ont naturellement le signe + ou le signe — , suivant que les troncs de prisme qu'ils représentent sont additifs ou sous- tractifs. Donc, enfin, le second membre de la relation précédente exprime la mesure du volume du tronc de prisme construit sur le polygone ABCDE ; et, en désignant ce volume par V, on a
7.,^=V ou g = -'
La distance du point G à un plan quelconque P, comptée perpendicu- lairement au plan ABCDE, est donc indépendante de la position que le point 0 occupe dans le plan du polygone,
717, Cherchons, par exemple, le centre de gravité d'un trapèze ABCD
ifg' '^93).
Fis- 393.
A I B
A:! \ "S—
D'après le théorème précédent, le point G est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des triangles ABD, BDC, ces points ayant des coefficients proportionnels aux aires de ces triangles, c'esi-à- dire à leurs bases AB et DC, puisqulls ont même hauteur, ou à 3 AI et 3KC, les i)oints I et K étiint les milieux de AB et de DC. Mais (713) on peut remplacer le centre de gravité du triangle ABD par le système des trois points A, B, D, affectés chacun d'un coefficient égal à AI, et le centre de gravité du triangle BDC par le système des trois points B, D, C, affectés chacun d'un coefficient égal à KC. On a donc en somme à prendre le centre des distances proportionnelles des quatre points A, B, C, D, affectés respectivement de coefficients égaux à AI, AI -t- KC, KC, AI -1- KG.
LIVRr Vî. — LES POLYèltRES. 1^3
Or, les points A et B peuvent être à leur tour remplacés par le point 1, ayant ■>». AI -i-KC pour cpefficient, et les points D et C par le point K, ayant 2KC-I-AI pour coefficient. Le contre de gravité G du trapèze, étant le centre des distances proportionnelles de ces deux points I elK, s'obtiendra en divisant IK en deux parties telles que
GI^_ 2KCh- ai _ PC H- AI GK~ 2 Aï H- KG ^ AB-f-KC*
Par suite, si Ton prolonge BA d'une longueur AE égale à DC, et DC d'une longueur CF égale à AB, la droite EF coupera IK au point de- mandé G.
718. Pour déterminer les centres de gravité des volumes, on suit une marche entièrement analogue à celle qu'on vient d'exposer.
Après avoir défini le centre de gravité (Vun tétraèdre comme étant le centre des moyennes distances de ses sommets, on définira le centre de gravité d'un polyèdre quelconque comme étant le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des tétraèdres additifs ou sous- tractifs qu'on obtient en joignante tous les sommets du polyèdre un point 0 pris à volonté dnns l'espace ; ces centres de gravité doivent être d'ail- leurs affectés chacund'uncoelficient proportionnel au volume du tétraèdre correspondant. On démontrera, par un raisonnement semblable à celui du n" 716, que la position du centre de gravité ainsi défini no dépend pas de la position du point 0.
Nous laissons au lecteur le soin de développer ce sujet et d en faire des applications. Les problèmes de ce genre ont leur véritable place dans la Statique, où l'on aperçoit mieux leur utilité. Les centres de gravité ne jouent qu'un rôle fort restreint en Géométrie pure, oîi ils interviennent cependant dune manière intéressante pour l'évaluation de quolipies aires et de certains volumes, comme nous allons le voir immédiatement pour le tronc de prisme quelconque, et comme nous le montrerons plus tard à la suite de l'étude des corps ronds.
Fig. 39/j.
A.
C
Nous nous arrêterons néanmoins un instant sur le centre de i^moiié du
Ï24 GÉOMÉTRIE DANS î/eSPACE.
tciraèdrê. Ea remplaçant \fig. 894) les deux sommets A et B par leur milieu I affecté du coefficient 1 et. de même, les sommets C et D parleur milieu K affecté du coefficient 2, on voit que le centre de gravité G du tétraèdre est au milieu de la droite (fui joint les milieux de deux arêtes opposées AB et CD.
Si, procédant autrement, on remplace les trois points B, C, D par le centre de gravité 0 du triangle BCD, affecté du coefficient 3, on voit que le centre de gravité G est sur la droite AO en un point tel, que
GO I , , - ,. pn AO
p;— = — -1 cest-a-dire GO = — - • GA j 4
En réunissant ces deux résultais, on a la proposition suivante : Dans tout tétraèdre, les trois droites (pd joignent les milieux de chaque couple (T arêtes opposées, et les fjuatre droites qui joignent chaque sommet au point de rencontre des médianes de la face opposée, passent par un même point ; ce point est situé au milieu des trois premières droites, et pour chacune des quatre outres il est aux trois quarts de sa longueur comptée à partir du sommet corresj)oiidant.
THÉORÈME.
710. Vnire latérale d'un tronc de prisme quelconque est égale au pro- duit du périmètre de la section droite par la portion de la parallèle aux arêtes du prisme, menée par le centre de grarité du contour de la section droite et comprise entre les deux hases du tronc [fig. 3 9 5.)
Soient A'B'C'D'E' A"B"C"D E" le tronc de prisme, et ABCDE une sec- tion droite ^ituéc-, par exemple, au-dessus des deux bases. Par les mi- lieux L, M, N, P, R des côtés de la section droite, et par le centre de gravité G du contour de cette section, concevons des parallèles aux arêtes du prisme, et appelons respectivement /', m\ //, //, /•', ^' les longueurs de ces i)aral!èles prolongées jusqu'au plan de la base A'B'C'D'E', et l'\m",
LIVRK VI. — LES rOLYÈDUKS. 125
«", //', r", ^" les longueurs des mêmes parallèles prolongées jusqu'au jtlan de la base A"Ii"C"D"E". /,_(/., v, iz, p étant les côtés AB, liC, CD, DE, EA de la section droite, on aura, par la formule (3.),
( A -f- r/. - <- V H- - -f- ù ) o^' = a/' -(- u m' -+- -j n' -f- ~ p' -h 0 r', ( '/. -+- <j. -T- V -H - -i- f/ ) _<,'" = a/'' -i- y. ///'' -f- V //' — -jj" -H 0 /•",
d'où, en retranchant,
(). + „. _^. V + TT H- p) (i°"— ^' ) = A ( /" —/')-+- ;/(/»" — m' )^-j[n" — n')
Le second membre représente évidemment la somme des aires des faces latérales du tronc de prisme ; il doit donc en être de même du premier. Or, ce premier membre est le produit du périmètre a-i- fx + v -f- --t-ode la section droite, parla portion g' — g' de la parallèle auxarêtes du prisme menée par G et comprise entre les plans A'B'C'D'E' et A"B''C"D"E".
THÉORÈME.
7:20. Les rciilrcs de grcn-ilé des aires de toutes les sections pla/us d^tiii prisme sont situés sur une inénie parcdlcle au.r arêtes de ce prisme.
Le théorème est évident pour le prisme triangulaire, car, lorsqu'on projette obliquement ou orthogonalement un triangle sur un plan, chaque médiane du triangle jirimilif a i)Our projection une médiane du nouveau triangle.
Considérons actuellement un prisme quelconque ; soit ABCDE (/aç-. 392) sa section droite, qu'on a décomposée en triangles en joignantaux divers sommets un point (pielconque 0 de son plan ; soit P le plan d'une section quelconcpii! incliné d'un angle y. sur le plan de la section droilo. Conser- vons toutes les notations du n° 716, et désignons par A', B',C', I)',E',0', (t',G',,G'j,G'3,G',,G'5 les points où les arêtes du prisme et les |)arallèles à ces arêtes menées par les points 0, G, G,, G^, G^, G,, G^ rencontrent le [)lan P. G étant le centre de gravité de la section droite, on a
l'ty /l'M ^ Ir^i ^^ /:i*rt.i ^ li'ftk ^^ /.'.•bj
et, par suite, en multipliant par eus a,
7 COS a . _i,' = 7, COS y. . i,", -+- 7., cos y. . g^
-f- 7, COS X .<,'•,, -(- 7| C(<s z . g^ -i- 7j cos 'y..g^.
.M;!is les points G'|, G'j. G',, G',, G', sont, daprè-i le premier alinéa, les centres de gravité des triangles O'A'B', O'B'C, O'C'D', O'D'E', O'E'.V, dont se compose la section [)ar le plan P, et 7, cosz, 7^cos>'., 7j(osa,
IC^G GfiOMÉTRIi; DANS l'eSPACE.
7j cos a, 7. cos « sont (706) les aires de ces iriangles prises avec le signe -4- ou le signe — , suivant que ces triungles sont additifs ou soustraclifs. Donc la dernière relation. exprime que le point Gest le centre de gravité de la section oblique.
721. Le théorème correspondant sur les centres de gravité des péri- mètres des diverses sections planes d'un prisme n'est pas vrai. Les centres des périmètres des sections faites par une série de plans parallèles sont bien situés sur une même droite parallèle aux arêtes, mais cette droite se déplace lorsque l'inclinaison de la série des plans parallèles vient à changer.
THÉORÈME.
722. Le volume (V un tronc de prisme quelconque est égal au produit de Vcdre de la section droite par la dislance des centres de gjxn'ité des deux bases.
Oans le cas où la section droite est l'une des deux, bases dn tronc, le théorème résulte immédiatement de ce qui a été dit aux n™ 716 et 720. En effet, on a vu au n° 716 qu'en désignant parV le volume d'un pareil tronc, par 7 l'aire de la section droite, et par g la parallèle aux arêtes du prisme menée par le centre de gravité de cette section droite jusqu'à l'antre base, on avait V = ,0^.7, et l'on sait, d'après le n° 720, que celte droite o- réunit les centres de gravité des deux bases.
Considérons actuellement un prisme dont les arêtes soient obliques sur Ips bases A'B'C'D'E' et A"B"C" D"E" [fig. 396). Désignons par V son vo- lume, menons une section droite ABCDE au-dessus des deux bases, et ap- pelons S, V, V" l'aire de cette section et les volumes des deux troncs compris entre cette section et chacune des deux bases primitives. Si l'on observe que les centres de gravité G, G', G" de la section droite et des deux bases sont sur une même parallèle aux arêtes, on a
V"=:S.GG", V' = S.GG'
et. par soustraction,
V"-V'=-S(GG"-GG'), ou V = S.G'G",
SCOLIE.
723. Soit [fg. 39J) G"K la perpendiculaire abaissée du centre de gra- vité de l'une des bases sur l'autre; a étant l'angle G" du triangle rec- tangle G" KG', on a
G"K = G'G"cos:'.;
mais l'angle, a est égal à l'angle du plan de la section droite ABCDE ot
i-lVKi: VI. — LES FOLYÈRRES. 12^
du plan de la base A'B'C L)'£', clonl nous désignerons l'aire par B; on a donc (707)
S = Bcosx et, i;ar suite,
V = S.G'G"^Bcosy.— = B.G"K. COSy.
Delà, cet autre énoncé :
Le nolume (V un trntic de prisme quelconque est c^a/ au pinduit de Vunc (les bases par lu perpendiculaire abaissée du centre de f^rarité de l'autre base sur le plan de la première.
7:24. Nous devons signaler à l'attention du lecteur le mode de démon- stration employé au n° 716. Cette métliode; dite /jar les solides auxiliaires et qui consiste à faire intervenir la Géométrie de l'espace dans la solu- tion d'un problème de Géométrie plane, se distingue parle caractère in- tuitif des démonstrations qu'elle fournit. Les travaux de Desargues, de Monge et de Poncelet, en offrent des exemples nombreux et remar- quables.
MÉTHODE FONDÉE SUR LA PROJECTION CENTRALE.
723. Quand deux figures planes sont la perspective (580) l'une do l'autre, certaines propriétés de la première figure conviennent encore à la seconde; on qualifie de pînjectives les propriétés qui se conservent ainsi en projection.
Toutes les i)ropriélés descri[)tives sont projectives; car, si plusieurs points sont en ligne droite, leurs projections sont en ligne droite, et, quand plusieurs droites concourent en un mèmt^ point, leurs projections passent par la projection de ce point.
Il n'en est pas de môme des relations métriques. Quelques-unes, comme la proportion liarmonique, sont projeclives; mais la plupart, mémo les plus simples, ne le sont pas. Ainsi, l'égalité entre les deux segments d'une ligne droite n'est projeclive que dans le cas très-particulier où il y a parallélisme, soit entre les projetantes, soit entre la droite considérée et sa projection.
Pour démontrer sur une Jl^ure donnée une propriété (pie l'on sait être projertive, il sujfit de prouver (pie la propriété a lieu pour l'une quel- joinpic des jjriiieetions de cette fiirure. L'application de ce principe évi- dent constitue un moyen de recherche connu sous le nom de méthode par projecticm, et qui est de beaucoup le plus fécond parmi les procédés (pu reposent sur l'intervention de la Géométrie de l'espace dans les ipies- lions (le Géométrie plane.
128 GÉOMÉTKIE DANS l'eSÎPACE.
Toutefois, comme on ne fait ainsi que ramener un problème à un autre, il importe de choisir le centre et le plan de projection, de façon que la nouvelle figure offre des circonstances plus pro[)res à la recherche qu'on a en vue. Pour obtenir une projection plus simple que la figure proposée, on projette ordinairement celle-ci de telle sorte rpt'un de ses points ou une de ses droites passe à Vinfini dans la projection. Il suffît évidemment pour cela que le plan de projection soit parallèle, dans le premier cas à la projetante du point considéré, et dans le second cas au plan projetant de la droite qu'on veut rejeter à Tinfini. C'est ainsi (\\iun (ptadrilatère complet donne un parcdléloc^ramme , <juand on pj-ojette sur un phm parallèle a celui qui passe par le centre S de jjrojection et par l'une de ses trois diagonales ; et même, comme l'un des angles de ce pa- rallélogramme est égal à celui sous lequel on voit du point S la diagonale considérée, on peut, par un choix convenable du centre S, donner au parallélogramme obtenu un angle de telle grandeur qu'on voudra (entre zéro et i8o degrés).
726. Nous allons appliquer la méthode par projection à trois théorèmes, déjà démontrés d'une autre manière (315,326, 327).
1° Dans un cpaulrilatère complet ABCDEK, chcupte diagonale AC est divisée liarmoniqucment par les deux autres BD et EF {fg. 206). En projetant de façon à rejeter la projection de EF à l'inlini, on obtient un parallélogramme <7^cf/ dans lequel la propriété énoncée est évidente; car la droite ne, étant rencontrée par bd en son milieu et par la troisième diagonale à l'infini, se trouve divisée harmoniquemeiit (333).
0° Quand deux triangles ABC, A'B'C sont tels que leurs côtés homo- logues se coupent deux à deux en trois points a, j3, y, situés en ligne droite, les droites qui joignent les sommets homologues concourent en un même point 0 [Jig. 211). En projetant la figure de façon que la projection de la droite rzôy passe à l'infini, on est ramené à démontrer la même propriété pour deux triangles abc, a'b' c' , ayant leurs côlés homologues parallèles; or, on sait que deux triangles de ce genre sont homolhé- ti(]ues (361 j.
3° Quand deux triangles ABC, A'B C sont tels que les droites qui joignent leurs sommets homologues concourent en un même point 0, les côtés homologues se coupent deux a deux en trois points x, [3, 7, situés en ligne droite [fig. 211). En projetant la ligure de façon que la droite qui joint les deux points y. et p ait sa projection à l'infini, on obtient deux triangles abc, a'b' c' , qui, comme les [iremiers, ont leurs sommets homo- logues situés sur des rayons issus d'un même point o (projection de 0), mais qui ont en outre deux couples cb et c b' , ca et c' a' de côtés homo- logues parallèles ; il suffit alors de prouver le parallélisme de ab et de a'b'.
Livnr VI. — LES FOf.vÈnnES, loo
Or, cela résulte de ce que le rapport de ou' à oa est égal à celui de ob' à o^, puisque chacun de ces rapports équivaut à celui de ne' à oc
727. Ces exemples suffisent pour faire comprendre l'esprit de la mé- thode, dont toute la portée n'apparaîtra d'ailleurs que lorsque nous trai- terons des coniques.
Voici, pour terminer, une règle importante, qui permet de reconnaître à simple vue que certaines relations métriques sont projectives.
Une fraction , dont le numérateur et le dénominateur sont chacun le produit de facteurs exprimant de simples distances AB, CD, . . . , entre les divers points d'une ^figure plane, est prnjictive, si les mêmes lettres se retrouvent dans les facteurs linéaires ciui composent les deux termes, et si à cluupie distance appartenant à l'un des termes correspond dans l'autre terme une distance cjui S'jit sur la même droite c/ue la première.
En effet, soient A, B, C, D, ... les divers points d'une figure plane, et A', B', C, D', . . . les points correspondants de sa projection sur un autre plan. Désignons par a, b, c, d, . . . les longueurs des projetantes SA, SB, se, SD, . . . , et par p, cj, ... les distances du centre S de pro- jection aux droites AB, CD, .... En égalant deux expressions bien con nues de l'aire du triangle SAB, on a
AB./> = rt.6.sinASB, d'où AB = — sinASB,
P
il l'on aurait de même
CD = — sinCbD, 7
Or, quand on substituera aux facteurs linéaires AB, CD, ... les valeurs ci-dessus, les quantilés a, b, . . . disparaîtront en vertu de la première condition, et il en sera de môme des quantités p, fj, . . ., en vertu de la deuxième hypothèse. Il ne restera d'. ne qu'une fraction qui se déduira de la proposée en y remplaçant chaque facteur AB. CD, . . . par le s.inus de l'angle sous lequel oti voit du point S chaque segment correspondant AB, CD, .... La valeur de la fraction considérée ne dépend donc que des valeurs des angles des projetantes, et nullement de la position du plan de
la figure ABCD , de sorte que la fraction composée de la même
manière avec les segments homologues A'B', CD', .,. de la ligure A'B'C'D', . . . aura la même valeur.
Cette proposition contient évidemment comme cas particulier celle du n° 3-20 , car l'expression
CA . DA C U)B
CB • UB ^" Cb.UA
R. et DL C. — tr. de Gcuin. (1[« l'aitie). y
l3o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
remplit les conditions proscrites dans la règle précédente. On retrouve ainsi la projecti\ ité du rapport anharmonique de quatre points en ligne droite, ainsi que Texpression
sinCSA , sinDSA
sinCSB • sinDSB
du rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites SA, SB, SC, SD, situées dans un même plan, qui ne dépend que des angles de ces droites, et qui n'exige pas la considération d'une transversale auxi- liaire.
Ajoutons que le rapport anharmonique de quatre plans A,B, C, D, passant par une même droite, est susceptible de l'expression analogue
sinCA sinOA
sinCB sinDB
dans laquelle la notation CA représente l'angle des plans C et A. Celle remarque résulte de ce que le rapport anliarmonique d'un faisceau de quatre plans est égal à celui du faisceau des quatre droites suivant les- quelles ces plans sont coupés par un plan perpendiculaire à leur arête commune.
FIGURES HOMOLOGIQUES.
758. A la méthode par projection se rattache directement la théorie des figures homologiques qui est due à Poncelet, et qui se recom- mande à la fois par le rôle considérable qu'elle joue en Géométrie pure, et par l'heureux parti qu'on peut en tirer en Géométrie des- cripti\e.
On dit que deux figures situées dans un même plan sont hnmologifjues, iiuand elles se correspondent point par point et droite par droite, de telle sorte que deux points ho/nologues quelconques soient en ligne droite avec un point fixe, et que deux droites homologues quelconques se coupent sur une droite fixe. Le point fixe prend le nom de centre dliomo- logie, et la droite fixe celui à'axe d'/io/nologic.
Des deux dernières conditions énoncées dans la définition, il suffit que l'une soit satisfaite pour que l'autre soit remplie; ainsi :
Deux figures sont honwlogiques, ûi elles se correspondent point par point et droite par droite, de façon que deux points honioh'gues quel- conques soie/U en ligne droite avec un point fixe
Deux figures sont honiologicfues, si elles se correspondent point par point et droite par droite, de façon que deux droites homologues quel- conques se coupent sur une droite fixe.
LIVRE VI. — LES POLÏÈDUES.
i3i
Il suffit, en effet, de prouver que, si p est le point de concours d'un premier couple (AC, A'C) de droites homologues {^g. 211). et 7 le point de concours d'un second couple (AB, A'B'), le point de concours a d'un troisième couple quelconque (BC, B'C) est situé sur la droite ^7, Or cela résulte du théorème dé- montré aux n™ 320, etc.
11 suffit, en effet, de prouver que, s: 0 est le point d'intersection des droites AA', BB', qui joignent deux premiers couples (A, A') (B, B') de points homologues, la droite CC qui unit un troisième couple quel- conque {C,C') passe par 0. Or cela résulte du théorème démontré aux n"" 327 , etc.
C'est en projetant sur un plan quelconque P deux figures homothéti- ques situées dans un autre plan Q, que Poncelet [Traité ({es propriétés prnjectiics. Section III, Chapitre I) est arrivé à la notion des figurer ho^ mologiques. Il est évident, en effet, que dans les deux nouvelles figures la droite qui joint deux points homologues quelconques passe par la per- spective du centre de similitude des figures primitives , et que deux droites homologues quelconques provenant de la perspective de deux droites parallèles ont leur point de concours (088) sur la ligne de fuite du plan Q.
729. La transformée homologique F' d'une figure F est déterminée { f/g. 39(5) dès qu'on donne, outre ce centre 0 et l'axe X d'homologie, le point a', homologue d'un premier point a de la figure F; car, pour obtenir l'homologue ni' d'un point quelconque /« de la figure F, il suffit alors de déterminer le point î où la droite am coupe l'axe X d'homologie, et de prt-iidre l'intersection m' du rayon Ow avec la droite «'î homologue de m.
Fit». 396. I Jx
f>'ix'
Souvent, le centre ou l'axe d'homologie sont hors des limites de la feuiUo de dessin, et il laut savoir trouver lliomologue m' d'un point quel- conque m de la première figurt; en n'employanl que lo centre d'honio-
l32
GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
logie 0 et deux couples de droites correspondantes, ou bien que Taxe d'homologie et deux couples de points correspondants. Voici la marche qu'on suit.
1° Soient [fig. 897) 0 le centre d'homologie, et [np^ f^'p')-, {c^/^ "'''/') deux couples de droites homologues. A l'aide de deux rayons quel- conques Obb', Occ', menés par 0, on déterminera un troisième couple (bc, b'c') de droites homologues; le point ^ commun à a/?i et à bc aura pour homologue le point .ç^' commun à b' c' et au rayon Og, et a' g' homo- logue de ag rencontrera Om au point cherché m'.
1° Soient (7%'. SgS ) X l'axe d'homologie, et {d.n') {b,b') deux cou- ples de points correspondants. En joignant au point a' le point a où am coupe l'axe d'homologie, on aura l'homologue de la droite nm; on ob- tiendra de même l'homologue b'p de la droite bm; l'homologue m' du point m sera donc le point commun à «'a et à b'p.
Fig. :',98.
y/a'
Nous devons faire remarquer que toutes ces constructions n'exigent que l'emploi de la règle.
730. Il est évident : 1° que toute droite passant par le centre d'homo- logie se correspond à elle-même; 2° que le centre d'homologie coTncide avec son homologue, et qu'il partage cette propriété avec chacun des points de l'axe d'homologie.
Puisque deux droites homologues coupent l'axe d'homologie au même point, à la droite de l'infini de la première figure F dcit correspondre dans la seconde figure F' une droite J' parallèle à l'axe d'homologie; et de même, à la droite de l'infini de la figure F' répond dans la figure F une droite I parallèle à l'axe X ; la droite I prend le nom de droite limite do la figure F, et la droite J' celui de di-nite limite delà figure F'.
Rien de plus simple que de con^^truire la figure F' quand on connaît la
LIVRE VI — LES POLYÈDRES. ^ 33
figure F, sa droite limite I ainsi que le centre 0 et l'axe X d'homologie; m étant [Jig. Sgg) un point quelconque de F, on mènera par ni une
Fif;. 3c)().
.,--'''■»)«'
droite quelcomiue im\ on joindra le centre O au point / où cette droite coupe I, et par le i)oint t où cette même droite coupe X on mènera la parallèle à 0/; cette parallèle, qui est évidemment l'homologue de la droite £/«/, rencontrera le rayon Oui au point demandé m'. On lit immédiatement sur la figure la relation
0^
Ow ini
1)1 ni îPi
d'où l'on déduit les deux formules
Oui =11 1 m 111 = Uni — ri
/m lin
qui nous seront utiles plus tard. La seconde de ces formules a été donnée, en 1704, par le géomètre belge Le Poivre qui, comme de la Hiro et Newton, avait étudié quelques cas particuliers de la transformation ho- mologique, bien avant que Poncelet eût créé la théorie complète de ces figures.
7:51. Qiuiiid deux fleures sont h(>iiinloij;i(iii('s : 1° le nipport cuiluinno- nifjtte de qiuitre points en lii^ne droite, et, h. c, d, est c^eil au idpport anharmoniquc des ipiatre points homologues 11' , /;', c' , d' ; car ces rap(iorts sont égaux l'un et l'^iutre à celui du faisceau Ona\ Obh' , Occ', Odd'; 2" le rnpport on/ui/nio//ifjue d'un faiscenu SA, SB, SC, SD de quatre droites est égal au rapport anluirnioniepie du jaisceau formé par les quatre droites lioniologues S'A', S'B', S'C',S'D'; car les rayons homolo- gues des deux faisceaux se croisant sur l'axe d'homologie, les rapports anharmoniques considérés sont égaux à celui de la section commune faite par l'axe d'homologie.
732. Cotisidi'ions deux figures hou-.ologiques; soient [/ig- 3f)6) 0 le centre et X l'axe d'homologie, [a, a') et (///, m') deux couples de points
î34 QÉOiWÉUllE HANS l'eSPACÏ,
homologues, y. et x les poinls où les rayong Ofu»i' et Ona' coupent l'axe X, et s le point de concours de am et de «'/«'. Le faisceau (sO, =«, sX, sr/' ) étant coupé par les deux transversales Onini', Oaa', on a
wO ^ ni'O _ ^ _ (f'O m y. m' [j. a y. ' n'y.
Le rapport anhnrinoni(iuc {O'j.duh') a donc une vnlcur constante ; on donne à cette constante, que nous désignerons par )., le nom de coefficient d' homoln^ie .
^ La réciproque de cette proposition est vraie, et elle conduit à une nou- velle définition des figures homologiques :
Etant donnés ilans un plan un point fixe 0 et une droite fixe X {fK' ^9^)i ^^ '^"'' (^l('"^l't(' rayon Ou- on prend deux points ni et /«' tels que le rapport ((nharnionicjui' [Oy-nnii'] ait une valeur constante "/, les points m et m' tlécrivent deux figures homologiques.
En effet, par la définition même, deux poinls homologues quelcon- ques m et /;/ sont en ligne droite avec le point fixe 0; il suffit donc de prouver que, si le point /;/ décrit une droite at, le point m' décrit à son tour une droite coupant l'axe X au même point s que la première. Or, menons par le point 0 une droite quelconque, et désignons par a, a, a' les points où elle rencontre les droites ?/«, sX, s m': le faisceau (sO, sw, eX, cm') étant coupé par les deux transversales Ou., 0 a, les rapports anharmoniques {Otimm') [Ouaa') seront égaux; le second aura donc comme le premier la valeur A; donc le point r/, qui est situé sur «/«', sera la position que prend m' quand /«vient en a.
La constante ^^ est égale an rapport des distances de la droite limite I au centre et à Vaxe d'Iiomologie. Car, en désignant par c et 7 les pro- jections orthogonales du centre 0 sur les droites I et X, et appliquant le théorème précédent au système formé par les quatre points 0, 7, c et c\ le dernier étant à l'infini, on a
rO co'O . cO ,
— : — — = A, ou — = A. fy ce 7 c'f
On voit de même que le rapport des distances de la droite limite J' au
centre et à l'axe d'homologie est égal à -•
Quand la constante / est égale à — i, les deux droites limites coïnci- dent avec la droite unique qui est équidistante du centre et de l'axe d'Iiomologie ; ce genre particulier d'homologie prend le nom iV/ioniologie /uirmo/iiijue.
LIVKE VI. — LES fOLVfeDRES. ï 35
Quanrl l'axe d'iiomologie est à l'inlini, le rapport anhantioiiiqiie
\{jy.//!m I se réduit a —7-, et la relation //< U
/>/0 _ ,
montre que Vhomolo^ie devient homothèiw; le point 0 est le centre do similitude, et / est le rapport de similitude. Enfin, si c'est au contraire le centre d'iiomologie qui est à l'infini, le
rapport anharmonique (Oy./»w') se réduit à — '--, et la relation
ni u. -
m'ik ~
montre que la seconde figure résulte de la première en dilatant dans un rap|)ort constant les ordonnées abaissées de ses divers points sur ra.\e fixe X dans une direction donnée ; quelques géomètres donnent à ce genre d'homologie, qui se présente fréquemment, le nom (^affinité.
733. Nous terminerons par un théorème très important tant au point de vue théorique qu'au point de vue des applications; d'une part, il montre la concordance entre l'horaologie et la perspective; d'autre part, il intervient fort utilement, en géométrie descriptive, pour la solution du problème des rabattements et des questions relatives au.\ sections planes des prismes et des pyramides, des cônes et des cylindres.
Ounnd deux p gares pleines F et F' sont en perspective, leurs projec- tions sur un plan quelconque \\, à l'aide d'un centre de projection quelconque o), sont deux figures Iiomologiques ; le centre d'iiomologie est la projection o du point de vue V, et l'axe d'iiomologie est la pro- jection Ui de l'intersection LLi des plans P et P' des doux figures.
La dcmonslrai.ion est presque intuiiive :
En effet : d'abord, à chaque point m de la figure / répond évidem- ment un point unique m' do la figure/, et la droite mm' passe par o puisque les points correspondants M et AI' des figures F et F' sont en ligne droite avec V. En second lieu, à une droite (pielconque d do la figure f répond évidemment une droite et une seule ff de la figuic.r, et le point de concours de d et de ^ est sur Iti puisque les droites cor- respondantes D et D' des figures F et F' se croisent sur LL,.
La réciproque exige plus d'attention :
Deux figures homologiqucs fet f peuvent, d'une infnité de manières, être considérées comme la projection sur leur plan 11 de deux figures planes V et F' qui sont en perspective {fig. 4oo).
l36 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
En effet, soil w un point pris à volonté dans l'espace, et o le centre d'homologie de y' et de/'; dans le plan Q déterminé par id et par l'axe d'homologie Ui des figures /et/', choisissons arbitrairement une droite LLi; imaginons par cette droite deux plans P et P' et appelons G et G' les points où ces plans coupent la droite tjio. Enfin, désignons respecti- vement par F et F' les figures qu'on obtient en projetant, du point w comme centre, les figures /et/', la première sur le plan P, la seconde sur le plan P'. Tout se réduit à démontrer que les figures F et F' sont
Fig. 4oo.
en perspective; en d'autres termes, si M et M' sont les points de F et F' situés sur les projetantes wm, tom' de deux points homologues quel- conques m et m' de / et de/', il suffît de prouver que la droite MM' passe par un point fixe. Or, soit \s. le point où mm' coupe lli, fJ^i le point où i3i\x. coupe LLi et I et V les points où MM' rencontre m\l et coo. Le rap- port anharmonique de la division \iomni' est constant et égal au rapport d'homologie des figures /et/'; mais ce rapport anharmonique est égal à celui de la division IVWM' et, par suite, égal aussi à celui de la divi- sion (oVGG' qu'on obtient en projetant la précédente du point \i.i sur ow. D'ailleurs, les points w, G et G' sont fixes; donc il en est de même du point V. C.Q.F.D.
Un cas particulier intéressant est celui où F et F' sont deux positions d'une même figure qui tourne autour d'une droite de son plan; dans ce cas, F et F' sont, en effet, en perspective, le point de vue V étant à l'in- fini dans la direction perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre formé par les plans de F et de F'. Enfin, si l'on choisit alors pour plan de pro- jection le plan de la figure F', /' ne différera pas de F'; ce qui montre aue la projection f d'une f gare F et son rabattement F' sont homolo- giques, et inversement.
LIVRE VII.
LES CORPS ROM»S.
i37
LIVRE VIL
LES CORPS RONDS.
§ I. — CYIINDRE DE RÉVOLUTION.
DÉFINITIONS.
73i. On nomme surface crlindrique de révolution la sur- face engendrée par une df^Me GG' qui tourne autour d'une droite fixe XX' à laquelle elle est parallèle et invariablement liée [Jig. 4oi).
La droite fixe XX' reçoit le nom iVaxe de la surface, et la droite mobile GG' celui de f^énératn'ce ou d'arête.
735. Tout point A de la droite GG' décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre est sur l'axe; car, pendant la rotation, la perpendiculaire AO abaissée du point A sur XX' reste perpendiculaire à cet axe ei conserve toujours la même longueur.
Fig. :',0I.
On appelle section droite toute section faite par un plan per- pendiculaire à l'axe. Il résulte des C(»nsidéraiioiis précédentes que les diverses sections droites d'une même surface cyli/i- drique sont des circonférences éL^ales : le ravon (((mniiMi de
i38
GÉOMÉTRIE DANS i/eSPACE.
ces cercles, c'esl-à-dire la dislance des deux parallèles XX' et GG', est le rayon delà surface cylindrique, et l'on voil que le lieu des poin's de l'espace situés à une distance donnée d'une droite fixe est la surface cylindrique de révolution qui a cette droite pour axe et la distance donnée pour rayon.
736. Considérons une droite fixe XX', un plan P parallèle à celle droite, et désignons par R la dislance de la droite au plan, ou, ce qui revient au même, la dislance de la droite a sa projection AA' sur le pïan {Jig. 4»^)- t.e Heu des points du plan P, situés à une distance donnée 6 de la droite XX', se compose de deux droites BB' et CC parallèles à XX', placées de part et d'autre de AA% et à une distance de celle droite égale au côlé AB de l'angle droit d'un triangle rectangle OAB, dont l'hypoténuse OB est égale à ô, et l'autre côté OA de l'angle droit égal à R. Il en est ainsi tant que â est plus grand que R; lorsque ô devient égal ou inférieur à R, le lieu se ré- duit à la droite AA' ou cesse d'exister.
D'après cela (735), un plan parallèle à Taxe d'une surface cylindrique de révolution renferme deux génératrices de celte surface, ou une seule, ou n'a aucun point commun avec fa surface, suivant que )» distance du ptan à Pàxe est inférieure, égale ou supérieure au rayon de la surface.
Fig. 402.
|
~"y |
|
|
^~V |
V |
Fig. 4o3.
X.
|
• c |
1 |
c |
|
|
' B |
1 , Ib; |
'i |
"^ |
|
A |
1 1 " |
^ |
|
|
^_^ |
|||
|
1 |
M |
737. Arrêtons-nous un moment sur le cas où le plan et la surface n'ont en commun qu'une génératrice AC [fiç^. 4o3).
Un tel plan peut être considéré comme la position limite d'un plan variable qui, passant par la génératrice fixe AC et par une génératrice voisine A'C, tourne autour de AC jusqu'à
LIVRE VII. — LES COUPS RONDS. ïSp
ce que A'C vienne, en restant sur la surface cylindrique, se confondre avec AC. Cela étant, soit BB' une courbe quel- conque tracée sur la surface cylindrique; la sécante BB', qui unit les points B el B' où la courbe rencontre les génératrices ACetA'C, reste constamment dans le plan variable ACA'C'} d'ailleurs, cette sécante devient la tangente BN à la courbe BB', lorsque la génératrice mobile A'C vient se confondre avec AC, c'est-à-dire lorsque le plan variable ACA'C atteint sa posi- tion limite; donc ce plan limite contient la tangente BN. Ainsi, le plan limite considéré renferme les tangentes à toutes les courbes que l'on peut tracer sur la surface, aux points où ces courbes rencontrent la génératrice AC; on lui donne le nom de plan tangent suivant la génératrice AC.
La génératrice AC, et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface au point où celle courbe rencontre AC, suffisent pour déterminer le plan langent suivant cette généra- trice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à la section droite AA', on voit que le plan tangent est perpendiculaire au plan déterminé par l'axe et par la génératrice de cont((Ct; en effet, le plan tangent renferme la droite AM qui, étant à angle droit sur AO et sur AC, est perpendiculaire à leur plan CAOX.
738. On appelle cylindre de révolution le corps compris entre une surface cylindrique et deux plans perpendiculaires à l'axe de cette surface, ou, en d'autres termes, la ligure en- gendrée par la rotation d'un rectangle AA'O'O autour d'un de ses côtés 00' {Jig. 4^4 )•
Fi[(. /|o'|. Kij. /)o5.
L.
La surface cylindrique engendrée par le cùi('' AA' est \\ surface latérale du cylindre; les cercles décrits par les cùlés
l4o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
OA et 0' A' en sont les bases, ei la droite 00' en est la hau" leur:
739. En construisant un prisme droit, de même hauteur que le cylindre, et ayant pour base un polygone inscrit ou circon- scrit au cercle de base du cylindre, on obtient un prisme in- scrit ou circonscrit au cylindre [fi^. 4^5 ). Le plan de chaque face latérale du prisme circonscrit est langent au cylindre (737). Si le polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base est régulier, le prisme inscrit ou circonscrit au cylindre est régulier.
Considérons un cylindre de révolution et un prisme régulier inscrit. L'aire latérale du prisme s'obtient en multipliant le périmètre de sa base par sa hauteur (009). Or, quand on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone de base, le périmètre de ce polygone tend vers une limite fixe et indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés ten- dent vers zéro; d'ailleurs, la hauteur du prisme reste constamment égale à la hauteur du cylindre. Donc l'aire latérale du prisme inscrit tend vers une limite fixe indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de sa base tendent vers zéro : c''est cette limite (jne l'on appelle Paire laté- rale du cylindre.
Considérons en second lieu un cylindre de révolution et deux prismes réguliers de bases semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cylindre {fi^. 4o5). Le volume du cylindre est compris entre les volumes des deux prismes. Or, ces deux prismes ont même hauteur, et le rapport des aires de leurs bases a pour limile l'unité (447), lorsque le nombre com- mun de leurs côtés croit indéfiniment; par suite, le rapport des volumes des deux prismes tend vers l'unité, et il en est de même a fortiori du rapport du volume du cylindre au volume de l'un quelconque de ces prismes. Donc le volume d'un cylindre de révolution est la limite commune des volumes des prismes réguliers de bases semblables, inscrit et circon- scrit, dont on fait croître indéfiniment le nombre des faces.
Il importe de remarquer que ce dernier énoncé est un véritable théo- rème, tandis que l'énoncé de l'alinéa précédent relatif à l'aire n'est qu'une définition.
7i0. Deux cylindres de révolution sox\\.à^\'s, semblables, lors- qu'ils sont engendrés par des rectangles semblables, c'est- à-dire lorsque leurs hauteurs sont entre elles comme les rayons de leurs bases.
T.lVnE Ml. — LES COUPS KO.MiS. l4l
THÉORÈME.
741. L'aire latérale d'un cylindre de réi'oludon a pour me- sure le produit de la circonférence de sa buse par sa hau- teur.
L';iire latérale du cylindre est la limite des aires latérales des prismes réguliers inscrits dont le nombre des faces croît indé- finiment. D'apràscela, soient S, C, H l'aire latérale, la circon- férence de base et la hauteur du cylindre considéré; soient s eip l'aire latérale et le périmètre de la base d'un prisme régu- lier inscrit. On a (609)
s = p. H.
Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la base du prisme, s tend vers S et /> vers G; on a donc, à la limite,
S=C.H. Corollaires.
742. Si K est le rayon du cylindre, on a C = 27:Rel, par suite,
S = 27-RB.
En ajoutant à celle aire latérale lés aires des deux bases ou le double ^ tt R' de l'aire de l'une d'elles, on obtient, pour l'aire totale ï du cylindre,
T = 2 - RU 4- ? 77 R' = 2 - R ( R -+- II ].
743. Soient S, S' les aires latérales; 'J\ T' les aires totales; R, IV les rayons et H, H' les hauteurs de deux cylindres de révolution semblables. On aura (740)
|
R H ]{ ^ H |
||
|
R'~H'~~ R'-i- H |
||
|
et, par suite, |
S RH R H W R' S'~ R'll'"~ R' ir ~11"~"R"' |
|
|
T |
\{ ( K -i- Il ) R R + H IP 11' (IV +H') IV IV +ii' II" |
R' R' |
142
GfiOMf.TIUK DANS k'ksI'ACE.
Donc, les aires latérales ou totales de deux cylindres de ré- volution semblables sont entre elles comme les carrés des rayons ou comme les carrés des hauteurs,
SCOLIE.
74i. Considérons un cylindre de révolution et un prisme régulier inscrit ABCDEFA'B'C'D'E'F' {fig. 406); par une rotation autour de l'arête BB', amenons la face ABB'A' dans le prolongement de la face BCC'B' ; puis, par une rotation autour de CC, amenons les deux faces déjà réunies dans le prolongement de la face suivante CDD'C, et ainsi de suite jusqu'à ce que toutes les faces latérales du prisme soient réunies sur le plan de la dernière d'entre elles A FF' A'. Dans son mouvement autour
Fig. 406.
•107.
A'i
R'i
I^'l
1^1
t\
de l'arèle BB', le côté AB reste perpendiculaire à cette arête; il se place donc sur le prolongement de CB; de même la droite ABC, formée par la réunion de AB et de BC, vient se placer sur le prolongement de DC, .... On obtient donc finalement sur le dernier plan un rectangle AjA^A'^A', (Jïg. 407) dont la hauteur est celle du prisme droit et dont la base est égale au périmètre de la base du prisme. Ce rectangle est le développe- ment de l'aire latérale du prisme.
Si le nombre des faces du prisme régulier inscrit dans le cylindre croît indéfiniment, le rectangle AiAoA'jA', conserve la même hauteur, et la longueur de sa base A,A.^ tend vers la circonférence de la base du cy- lindre. Le rectangle limite, qui a une hauteur égale à celle du cylindre et une base égale à la circonférence de la base du cylindre, est dit le r/c'w- loppcmcnt de l'aire latérale de ce cylindre.
THÉORÈME.
745. Le volume d'un cylindre de révolution a pour mesure le produit de sa base jjur sa hauteur.
LIVRE VII. — LKS CORPS RONDS. l43
Le volume du cylindre esl la limite des volumes des prismes réguliers inscrits, dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'après cela, soient V, B. H le volume du cvlindre, l'aire de sa base et sa hauteur; soient (^ cl 6 le volume et l'aire de la base d'un prisme régulier inscrit au cylindre; on a (G26)
Tiais lorsque le nombre des faces du prisme croît indéfini- ment, V tend vers V et b vers B ; on a donc, à la limite,
V = B.H.
Corollaires.
746. SI R est le rayon du cylindre considéré, on a B = -11' el par suite
V = -llMi.
7i7. Soient V, V les volumes, R, IV les rayons, H, II' les hauteurs de deux cylindres de révolution semblables; on aura (740)
R _ il R' "~ H' • el, par suite,
V R'H /R\' H IV 11'
y R'^H' \\v j ir R'^ H'3
Donc, les volumes de deux cylindres de révolution sem- blables sont entre eux comme les cubes des rayons ou comme les cubes des hauteurs.
748. Exemple.
Pour mesurer les liquides, on emploie des vases ayant la forme de cylindres de révolution dont la hauteur est double du diatnètre : calculer d'après cela les dimensions du litre.
La capacité du cylindre dont on demande la hauteur H esl 1 décimètre cube; en prenant le décimèlre pour unité de lon-
gueur, et en remarquant que le rayon du cylindre esl y» on a la relation
<")•-
TtlD
ou — T— = I ;
•44
on en déduit
GÉOMÉTRIE DA^S l'EsI'ACE.
Hm \/^ = «'''", 7^0.
Le Mire est donc un cylindre dont la hauteur a 172 milli- mètres, et dont le rayon a par suite 4^ millimètres.
§ n. — CONE DE RÉVOLUTION.
DÉFINITIONS.
749. On appelle surface conique de révolution la surface engendrée par une droite GSG' tournant autour d'une droite fixe XSX' qu'elle rencontre en un point S, et à laquelle elle est invariablement liée [fig. 4o8).
Fig. 4o8<
La droite fixe XX' reçoit le nom d'«^e de la surface, et la droite mobile GG' celui de génératrice ou û'arête. Le point S, qu'on nomme sommet, divise la surface conique en deux par- lies indéfinies qu'on appelle nappes.
Le lieu géométrique des droites qui, passant par un point donné S, font un angle donné a avec une droite donnée I>, est une surface conique de révolution ayant le point S pour som- met et pour axe la parallèle menée à D par le point S.
Un point quelconque A de la droite GG' décrit une circon- férence dont le centre est sur l'axe, et dont le plan est perpen- diculaire à l'axe (735 . Par suite, toutes les sections faites par des plans perpendiculaires à l'axe sont des circonférences
LITRE VII. — LES CORPS RONDS. l45
dont le lieu des centres est l'axe lui-niènie. Quant aux rayons OA.O'A' de ces cercles, la similitude des triangles SOA, SO' A.' prouve qu'ils sont proportionnels aux distances SO, SO' de leurs plans au sommet, ou encore aux portions correspon- dantes SA, SA' de la génératrice GSG'. Leurs aires sont donc proportionnelles aux carrés des mêmes lignes.
750 Considérons une droite fixe XSX', un plan P passant par un point S de cette droite, et désignons par a l'angle de la droite et du plan, c'est-à-dire l'angle aigu de la droite SX avec sa projection SA sur ce plan Jîg.^og). Par le point S, on peut mener dans le plan P (535; deux droites SB, SC, faisant avec SX un angle aigu donné o). Ces deux droites sont sy- métriques par rapport à AA'. Il en est ainsi tant que &> est su- périeur à a; lorsque « devient égal ou inférieur à a, les deux droites se réduisent à la droite unique SA ou cessent d'exister.
D'après cela, un plan passant par le sommet d'une surface conique de révolution renferme deux génératrices de cette surface, ou une seule, ou enfin n'a de commun avec la sur- face que le sommet, suivant que l'inclinaison du plan sur l'axe est inférieure, égale ou supérieure à l'angle aigu de la généra- trice avec l'axe, c'est-à-dire au cle/ni-ang/e nu sommet de la surface conique.
Fij. 409. Fig. 'fin.
Dans Iccas où le pUui doniK' n'a de commun avec la sui- face qu'une seule génératrice SA (Jii^. 4'oj, on peut le coasi-
U. cl UE C. — Tr. dt Ccom. {\b Pailie). 1»
i46
GÉOMÉTRIE DANS k'eSPACK.
dérer comme la position lim'iie d'un plan variable qui, passant par la génératrice fixe SA et par une génératrice voisine SA', tourne autour de SA jusqu'à ce que SA' vienne se confondre avec SA. On voit dès lors, par un raisonnement identique à celui qu'on a fait pour le cylindre (737), que ce plan renferme les tangentes AM, BN, . .. à toutes les courbes AA', BB',. . ., que l'on peut tracer sur la surface, aux points A, B, . . . , où la génératrice SA rencontre ces courbes. On donne à ce plan le nom de plan tangent suivant la génératrice SA.
La génératrice SA et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface, au point où cette courbe rencontre SA, suffisent pour déterminer le plan tangent suivant cette géné^ ratrice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à une sec- tion AA' perpendiculaire à l'axe, on voit, comme pour le cy- lindre, que le plan tangent est perpendiculaire au plan déter- miné par Vaxe et la génératrice de contact.
751. On nomme cône de i^votiition le corps engendré par la rotation d'un triangle rectangle SOA autour de l'un des cô- tés SO de l'angle droit SOA (Jig. 4i i ).
La surface conique engendrée par Thypoténuse SA est la surface latérale du cône; le cercle décrit par le côté OA est la base, la droite SO est la hauteur, et l'hypoténuse SA est le côté ou l'apothème de ce cône.
Fig. /|ii.
Fi(T. 4 12,
75*2. Si l'on coupe une surface conique de révolution [Jig. 4") P*"" deux plans AB^ A'B', perpendiculaires à l'axe
LIVRE VU. — LES CORPS RONDS. l/\'J
el siiiK's d'un môme côté dusommeiS, on obiienl un voluine lerminé i)ar une portion de la surface conique, el par les deux cercles AB, A'B'. Ce corps, que l'on nomme tronc de cône de révolution à bases parallèles, est la dllFérence des deux cônes SAB, SA'B'. On peut encore le considérer comme engendré par la rolalion du trapèze rectangle A 00' A' autour du côté 00'. La droite 00' est la hauteur du tronc; les cercles AB, A'B' en sont les bases et A A' en est le côté ou Vapotlième.
Eu coupant une surface conique de révolution par deux plans AB, AiBi, perpendiculaires à l'axe, mais situés de part et d'autre du som- met S [fg. iii), on obtient un corps qui est la somme des deux cônes SAB, SA,B,. Il con\ient de donner encore à ce corps le nom de (mnc de cône ; mais, pour le distinguer du tronc de cône proprement dit, que nous avons délirii dans l'alinéa précédent, nuus l'appellerons tronc de cône de seconde espèce ( 6o0 ) .
753. En construisant une pyramide de même sommet que le cône, et ayant pour base un polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base du cône, on obtient une pyramide inscrite ou circonscrite au cône [fi§- 4'2j. Le plan de cliaque face la- térale de la pyramide circonscrite est langent au cône. Si le polygone de base est régulier, la pyramide inscrite ou circon- scrite est régulière.
On appelle dire Intérrde d^im cô/wVa limite de l'aire latérale d'une py- ramide régulière inscrite dont le nombre des faces croît indéfiniment. Ou légitime cette définition en montrant que la limite considérée existe et est indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de la base de la pyramide tendent \ers zéro. Le raisonnement est analogue à celui qu'on a employé pour le cylindre (739) ; seulement, tandis que la hauteur du prisme inscrit au cylindre reste fixe, l'apotlième de la [)yrannde régulière inscrite au cône est variable et tend vers l'apotlième du cône.
On (téniontre, absolument comme dans le cas du cylindre, que le volunie ,rtin cône de révolution est la limite conininne des volumes des pyrunndes ré<gulières de bases semblables, inscrite et circonscrite, dont on jnit croître indéfiniment le nombre des faces.
Toi. Deux cônes de révolution sont dits semblables lors- qu'ils sont engendrés par des triafigles rectangles semblables, c'est-à-dire lorsque leurs bauleurs sont entre (dies comme les rayons des bases.
l4S GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
THÉORÈME.
755. L'aire hit&rale d'un cône de révolution a pour mesure le produit de la circonférence de sa base par la moitié de son apot/ième.
L'aire latérale du cône est la limite des aires latérales des pyramides régulières inscrites dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, A l'aire latérale, la ciiconférence de base et l'apothème du cône considéré, et s, p, a l'aire latérale, le périmètre de la base et l'apoihème d'une pyramide régulière inscrite. On a (640)
s =^ n • - U'
Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la base de la pyramide, s tend vers S, p vers C, a vers A; on a donc, à la limite,
ConOLLAlRE.
756. Si K est le rayon de la base du cône, on a C ==27:11, et par suite
S = 7:RA.
En ajoutant la base 7^Iv^ on a, pour l'aire totale, ï= -KA + T.IV 3= 7:R ( A + R).
757. En raisonnant comme au n° 743, on reconnaît que les aires latérales ou totales de deux cônes de révolution sem- blables sont entre elles comme les carrés des rayions ou des apothèmes ou des hauteurs.
758. Considérons un cône de révolution et une pyramide régulière inscrite SABCDKF {^g. 4i3) ; par une rotation autour de l'arête SB, ame- nons la face SAB dans le prolongement de la face SBC; puis, par une rota- tion autour de SC, amenons les deux faces déjà réunies dans le prolonge- ment de la face suivante SCD; et ainsi de suite jusqu'à ce que toutes les faces latérales de la pyramide soient réunies dans le plan de la dernière
LIVRE VII. — LES CORPS KOXUS. l49
d'entre elles FSA. On obtiendra ainsi un secteur polygonal régulier S,Â,B,C,D,E.F,A, ( fïg. 4i4), ayant pour rayon l'arête de la pyramide
Fig. 4i3.
Fis. 4''l-
régulière, c'est-à-dire rapothème du cône, et pour base une ligne brisée régulière .4,8,0, D,E| F, A, égale au périmètre de la base de la pyramide. Si le nombre des faces de la pyramide régulière inscrite dans le cône croît indéfiniment, le secteur S, A,B,C, D,E,F, A^ conser\e le même rayon, et la base dégénère en un arc de cercle ayant une longueur égale à celle de la circonférence du cône. Le secteur circulaire S, A, D,Aj obtenu est dit le déi'clnj)j)enient de l'aire latérale du cône. Il est aisé de calculer le nombre // de degrés contenus dans l'angle A, S, A, de ce secteur circulaire. .4 étant l'apothème du cône et R le rayon de sa base, on a
n arc A, A,
36o
2 77.5, A.
-2-R •i-n s.
d'où n = 360"
R
Pour A = ■?.[{, on d n= 180°, de sorte que le développement est un demi-cercle. Le cône correspondant est dit équilatérat ; sa section i)ar un plan passant par l'axe SO est un triangle équilatéral SAI).
TUÉORLME.
759. L'aire-, latérale d'un tronc de cône de réi'oliition à bases parallèles a pour mesure le produit de la demi somme des circonférences de ses bases par son apothème.
L'aire latérale (Ju tionc de cùiie AJ) D'A' (//^i,^ 4'5) est la dif- férence des aires latérales des cônes SAI), S A'D'. Cela |)Osé, in-
i.5o
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
scrivons dans le cône SAD une pyramide régulière SA.BCDEF; le plan A'D' de la base supérieure du tronc de cône décompose celte pyramide en deux parties qui seul, l'une, SA'B'C'D'E'F', une pyramide régulière inscrite dans le cône SA'D', l'autre? ABCDEF A'B'C'D'E'F', un tronc de pyramide régulier inscrit dans le tronc de cône AD D'A'. Or les aires latérales des cônes SAD, SA'D' étant les limites des aires latérales des pyramides SABCDEF, SA'B'C'D'E'F', lorsque le nombre commun de leurs laces croît indéfiniment, l'aire latérale du tronc de cône sera égale à la limite de l'aire latérale du tronc de pyramide régulier inscrit. Soient s, a, p, p' l'aire latérale, l'apothème, et les périmètres des bases du tronc de pyramide ; soient de même S, A, C, C l'aiie latérale, l'apothème et les circonfé- rences des bases du tronc de cône; on aura (6il)
Mais, à la limite, lorsque les côtés du polygone ABCDEF ten- dent vers zéro, s tend vers S, p vers C, p' vers C, a vers A, et l'on a
S^ -(C +C')A.
Fig. /,.6.
Corollaire.
/60. Si K ei R' sont les rayons des bases du tronc, on a C := 2 77 R, C = 2 t: R', et par suite
S = 7:[R-^R') A.
MTHE VII. — LES CORPS BONDS.
i5i
761. Par le milieu A, ducôié AÂ' (%. ^t6\ menons un plan parallèle aux bases du tronc de cône; le rayon A.O, de la sec- lion circulaire déterminée par ce plan est parallèle (49o) aux rayons AO, A'O', des bases et, par suite ('i^33), égal à la demi- somme de ces rayons. Donc la circonférence A, D, est la moyenne arithmétique des circonférences de base, et l'on peut dire que l'aire latérale d'un tronc de cône de réi'olation a pour mesure le produit de l'apothème par la circonférence équidistante des deux bases.
Ce dernier énoncé s'applique aussi au cylindre et au cône ; car la circonférence équidistante des bases est égale, dans le cylindre,, à celle de la base, et, dans le cône, à la moitié de celle de la base.
THÉORÈME.
762. Le volume d'un cône de révolution a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur.
Le volume du cône est la limite des volumes des pyramides régulières inscrites dont le nombre des faces croît indéfini- ment. D'après cela, soient V, B, H le volume du cône, l'aire de sa base el sa hauteur; soient v &\.b\e volume el l'aire de la base d'une pyramide régulière inscrite dans ce cône. On a (643)
I
= ; 6 11 .
Mais, lorsque le nombre des faces de la pyramide croît indé- finiment, V tend vers V et b vers B ; on a donc, à la limite,
Corollaires. 763. Si K est le rayon de la base du cône, on a B = r: K et, par suite.
On voit, comme au n" 747, que les volumes de deux cônes
iSît GÉOMÉTIUE DANS l'eSPACE.
de révolution semblables sont dans le rapport des cubes des hauteurs ou des rayons des bases.
764. Lorsqu'un rectangle ABCD tourne autour de l'un de ses côtés AB (^g-. 417), le triangle ABC engendre un cône
Fig. 417.
dont le volume est le tiers (7'to, 762) de celui du cylindre engendré par le rectangle ABCD. Par suite, le volume engendré en même temps par le triangle ADC est les deux tiers du même cylindre. Cette remarque nous sera utile plus tard.
THÉORÈME.
765. Le volume d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles est égal à la somme des volumes de trois cônes ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases, le premier la base inférieure, le deuxième la base supé- rieure, et le troisième la moyenne proportionnelle entre les deux bases du tronc.
Considérons, comme au n" 759, im ironc de pyramide ré- gulier inscrit dans le tronc de cône. Les volumes des deux pyramides dont ce tronc de pyranlide est la différence ayant respectivement pour limites les volumes des deux cônes dont le tronc de cône proposé est la différence, on aura le volume de ce tronc de cône en prenant la limite du volume du tronc de pyramide. D'après cela, soient V, b, B, H le volume, les bases et la hauteur du tronc de cône, i-,, 6,, B, le volume et fcs bases du tronc de pyramide inscrit; on aura (648)
II
v,^ .,-,'B, + ft, -f- v'H> b,)-
Mais, lorsque le nombre des faces du tronc de pyramide croît
LIVRK Vir. — LES CORPS RONDS. l53
indéfiniment, v, lend vers \ , 6, v(?rs h, B, vers B; ei l'on a, à la liiniie, la formule
V^2(B^6 + v/B6),
dont l'énoncé ci-dessus n'est que la traduction en langage ordinaire.
Corollaires. 766. Si R est le rayon de la bise inférieure B, et /■ le rayon de la base supérieure b, on a B := - R% 6 == t: r-, et par suite
(i) V = ~^'*(R' + r^ + Br).
7ti7. Le raisonnement qui précède s'applique au tronc de seconde es- pèce; il faut seulement substituer le mot somme au mot différence et remarquer que, le tronc de pyramide inscrit correspondant étant de se- conde espèce, le radical qui figure dans l'expression de c, doit avoir le signe — (630). On obtient ainsi, pour le volume du tronc de cône de se- conde espèce, la formule
V="(B + é-v/BZ) = ^(R= + /^-Rr).
708. Parfois, dans la pratique, notamment pour le cuhage des troncs d'arbres non équarris, les bases ditïèreni assez peu pour qu'on puisse assimiler sans inconvénient le cône tronqué à un cylindre ayant pour hauteur la hauteur du tronc et pour base la section faite dans le tronc à égale distance des deux bases. L'erreur commise est d'ailleurs facile à évaluer; en retranchant le volume cylindrique
du cùne tronqué dont le volume est donné p:ir la formub? 'i , on trouve
L'erreur commise est donc égale au volume dun cône ayant
i54
GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
pour hauteur la hauteur du tronc et pour rayon de sa base
la demi-difterence des rayons des bases du tronc.
Quand on veut appliquer la formule (2) au cubage d'un ironc
d'arbre, il convient de la préparer de la manière suivante :
soit C la longueur de la circonférence moyenne que l'on évalue
au moyen d'un cordon métrique; le rayon de cette circonfé-
C rence sera - — et, par suite, le volume cherche
2 71
HP
4^
Ainsi, supposons qu'on ait trouvé i'",8o pour la circonfé- rence moyenne et 6'",ôo pour la hauteur, on aura pour le vo- lume
6,5x(t,8)'_6,5x(o,9;
•47t
^ i'"S 676.
769. La question ^u jaugeage des tonneaux se rattacheà la mesure du tronc de cône.
En considérant le tonneau [Jig. 4 18) comme la somme de deux troncs de cône identiques opposés par leur grande base, on aurait la formule
V=l7:H(R' + r'H-Rr),
dans laquelle H est la hauteur totale du double tronc, /■ le rayon
Fig. .I18.
du fond AA', et R le rayon de la grande base BB' à laquelle on donne le nom de bouge. Mais cette formule donne évi-
LIVRE VU. — LES CORPS RONDS. l55
demmenl un résultat trop faible. En Introduisant, suivant l'u- sage, les diamètres A et ô au lieu des rayons R et /•, et ayant égard à Tidentilé A*+ ô*= 2 A(3 + (A — è)*, on peut mettre la
formule précédente sous la forme V=-^ H Aô h H(A — ô)^
Or, le dernier terme est négligeable; car, son rapport
I /A-^\«
3 V v/^
au précédent, ne dépasse guère un demi-cenlième dans les conditions ordinaires, ce qui correspond à une erreur d'un demi-litre par hectolitre.
Mais alors la formule réduite V::^ 7 IIAô est a fortiori un
peu trop faible. Aussi, par compensation, les tonneliers rem-
placent-ils le coefficient j = 0,785 par 0,8; ce qui conduit à
la formule très simple V = (0,8) HAô, qui donne le volume, en mèlres cubes, lorsque H, A, è sont évalués en prenant le mètre pour unité. Pour avoir le volume en hectolitres, il suffit de multiplier par 10; c'est ce que l'on fait habituellement, et on parvient ainsi à la formule définitive
(i) V = 8HAÔ,
qui est généralement employée dans le Midi de la France, et dont de nombreuses expériences ont permis de constater la suffisante exactitude. Pour H = o™ ,756, A = C", 69, ô = o"',6 1 , cette formule donne V = 254'"'.
Appliquée aux foudres ou grands tonneaux de 100 à 200 hec- tolitres, la formule (i) donne un résultat trop fort, à cause de la forme concave que l'on donne, dans ce cas, aux fonds pour augmenter leur résistance. L'expérience montre qu'il con- vient alors de diminuer de 4 pour loo, dans les conditions ordinaires, l'évaluation fournie par la formule (i), en enten- dant par H la dislance des deux fonds prise à la partie infé- rieure, c'est-à-dire au bas de la porte.
Observons enfin que l'on peut trouver des l'ornmles plus exactes, mais en augmentant leur complication et en faisant intervenir un plus grand nombre de mesures.
ï5G GÉOMÉTRIE DANS L'F,f=PACE.
§ III. — PREMIÈRES NOTIONS SUR LA SPHÈRE.
DÉFINITIONS.
770. On appelle surface sphéiique la surface engendrée par la rotation d'une demi-circonférence ABx\ '-autour du diamètre AA' qui la termine [fig- 4'9)«
Dans ce mouvement, tout point de cette demi-circonférence décrit un cercle dont le centre est situé sur l'axe de rotation AA' et dont le plan est perpendiculaire à cet axe.
La sp/ière esl le corps limité par une surface sphérique. On confond souvent dans le discours les mots sphère e\ sut face sphérique, de même qu'en Géométrie plane on dit parfois cercle pour circonférence de cercle.
771. Considérons la sphère engendrée parla rotation du demi- cercle x\BA' autour du diamètre AA' et un point quelconque de l'espace. Quand le demi-cercle générateur vient se placer suivant ACA' dans le plan déterminé par AA' et par le point considéré, il peut se faire que ce point soit comme E à l'ex- térieur du cercle ACA', ou comme I à l'intérieur, ou enfin comme M sur la circonférence de ce cercle. Dans le premier cas, le point E est extérieur à la sphère, et sa distance au centre 0 du cercle ACA'est plus grande que le rayon R de ce cercle; dans le second cas, le point I est intérieur k la sphère et la distance 01 est moindre que H ; enfin, dans le troisième cas, le point M esl sur la surface sphérique et la dislance OM esl égale à R.
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 167
La surface spliérique peut donc être encore définie le lieu géométrique des points équidistnnts d'un point fixe.
Ce poini fixe 0 est dit le centre de la sphère. On nomme rayon toute droite, telle que OA ou OM, menée du centre 0 à la surface; tous les rayons d'une même sphère sont égaux. On nomme diamètre toute droite, telle que MN, passant par le centre et limitée à la surface sphérique; tous les diamètres d'une même sphère sont égaux, car chacun d'eux est la somme de deux rayons.
Deux sphères de même rayon sont égales.
772. La définition donnée au n° 111 pour la tangente aux courbes planes s'étend aux courbes de l'espace. H est aisé de voir, d'après cela, que la tangente MT à une courbe quel- conque AMB tracée sur la sphère est perpendiculaire à l'extré- mité du rayon OM mené au point de contact. En effet (^g"- 420 ).
Fig. 420.
prenons sur la courbe AMB un point M' voisin du point M, menons la sécante MM'S et joignons le centre 0 au milieu I de la corde MM'. Le triangle MOM' étant isocèle, la droite 01 est perpendiculaire sur MM'. Or, lorsque la sécante MM'S tourne autour du point M de manière à devenir à la limite la tangente MT, le point 1 milieu de M\î' se réunit au point M en même temps que le point M'. L'angle OMT, position limite de l'angle droit OIS, est donc lui-même un angle droit.
THÉORÈME.
773. Toute section plane de la sphère est un cercle. En efl'el, les points de ia section sont, puis(|u'ils appartien- nent à la sphère, situés à la même dislance du contre de celle
i58
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
sphère; or on sait (91, 524) que le lieu des poinls d'un plan équidisianls d'un point fixe esi une circonférence de cercle.
.') 2 I .
Corollaires.
774. Si le point fixe 0, qui est ici le centre de la sphère [fig. 4^1 ), est situé dans le plan sécant, ce point est le centre même delà section ACB, dont le rayon ne diffère pas de celui de la sphère.
Si le point fixe 0 est extérieur au plan sécant, le centre I de la section DEF est la projection du cenlre 0 de la sphère sur le plan sécant o2i'. Quant au rayon lE = r de la section, c'est le côté de l'angle droit d'un triangle rectangle OIE dont l'hypoténuse OE est le rayon 11 de la sphère el dont l'autre côté de l'angle droit 01 est la dislance d du centre de la sphère au plan sécant. Ce rayon r résulte donc de la formule
/^ = R'
d\
vMî est ainsi conduit à diviser les sections planes de la sphère en deux classes : les grands cercles, dont les plans passent par le cenlre de la sphère et qui sont tous égaux entre eux, puisqu'ils oni tous pour rayon le rayon de la sphère; el les petits cercles, dont les plans ne contiennent pas le centre de la sphère, et dont les rayons, inférieurs à celui de la sphère, décroissent à mesure que leurs plans s'éloignent du centre de la sphère.
Deux petits cercles également éloignés du cenlre de la sphère sont égaux, el, de deux petits cercles inégalement éloignés du centre de la sphère, le plus grand est celui qui est le plus voisin de ce centre.
Ajoutons qu'il faut trois poinls ûe la surface sphérique pour
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. \5C)
déteriiiinor un petit cercle IIG, i92), tandis que deux points suffisent pour déterminer un grand cercle, attendu que le centre est connu; toutefois, dans ce dernier cas, les deux points donnés ne doivent pas être en ligne droite avec le centre de la sphère, sans quoi le plan du grand cercle, assu- jetti seulement à passer par un diamètre, pourrait occuper une infinité de positions (492).
77.^. ?out grand cercle divise la surface sphérique et la sphère en deux parties égales. Car si, après avoir séparé les deux parties, on les applique sur la base commune en tour- nant leur convexité clans le même sens, les deux surfaces coïncideront, sans quoi tous les points de la surface sphérique ne seraient pas à la même distance du centre.
776. Deux grands cercles APBP', ABC {Jig./\22) se divisent mutuellement en deux parties égales; car le centre 0 de la sphère, appartenant à la fois aux plans de ces deux cercles, est situé sur leur intersection commune, qui est alors un diamètre.
777v ine droite ne peut couper la surface sphérique en plus de deux points. Car celle droite ne peut avoir plus de deux points communs avec la circonférence de grand cercle, située dans le plan déterminé par celle droite et le centre de la sphère.
778. La sphère est de révolution autour d'un diamètre quel- conque AB. Car la circonférence ACB déterminée par un |)lan quelcon(ju(i passant par AB, ayant même centre () cl même rayon 0\ que la sphère, engendrera évidemment celte sur- face en lournanl autour de AB {fig. ^^f).
l6o GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
779. On nomme pôles d'un cercle de la sphère les extré- mités du diamètre de la sphère qui est perpendiculaire au plan du cercle.
Deux cercles DFE, ACB [fg. 4^-3), dont les plans sont pa- rallèles, ont les mêmes pôles P et P'.
Le centre I d'un cercle quelconque DE, ses pôles P et P', el le centre 0 de la sphère sont sur une même perpendicu- laire au plan de ce cercle.
Tout grand cercle PFCP' passant par les pôles P el P' d'un cercle DFE a son plan perpendiculaire au plan de ce cercle, puisqu'il contient la droite PP' qui est perpendiculaire à ce dernier plan.
THÉORÈME.
780. Tous les pomts de la circonférence d'un cercle DFE de la sphère sont à égale distance de chacun des pôles P et P' de ce cercle.
Fig. 4 23.
P
D>
^E
f7
H
En effet, la droite PI, qui joint le pôle P au centre I du cercle DFE, étant perpendiculaire au plan DFE, les droites PD, PF, PE, ... sont des obliques qui s'écartent également du pied I de la perpendiculaire et qui, par suite, sont égales.
On voit encore que les arcs de grand cercle PD, PF, PE
sont égaux comme sous-tendus par des cordes égales.
Enfin, dans le cas où le cercle considéré DFE devient un grand cercle ACB, la même propriété subsiste; mais les angles droits POÂ, POC, POB, ... ayant leurs sommets au centre des grands cercles PAP', PCP', PBP', ..., les arcs PA, PC, PB, ... sont tous égaux au quart d'une circonférence de grand cercle.
SCOLIE.
781. Des deux pôles P el P' d'un petit cercle DFE, nous ne considérerons désormais, à moins d'avertissenieni contraire,
LIVRE VII. — LES CORPS RONPS. l6l
que le pôle P qui esi le plus rapproché du plan de ce cercle. Nous donnerons à la dislance rertiligne PD, qui sépare le pôle P d'un polni quelconque D du cercle DFE, le nom de distance polaire de ce cercle, ei à la longueur de l'arc de grand cercle PD, qui va du pôle à un point quelconque D du cercle DFE, le nom de rayon sphérigue de ce cercle.
Le rayon sphérique d'un grand cercle est égal au quart de la circonférence de ce cercle ou à un quadrant, et sa dislance polaire est égale à la corde de cet arc, c'esi-à-dire au côté du carré inscrit dans un grand cercle.
782. Le théorème précédent permet de tracer des circonfé- rences sur une sphère solide comme on les trace sur un plan. On emploie à cet effet un compas à branches courbes, afin de ne pas être gêné par la convexité de la sphère. On donne au compas une ouverture (distance des deux pointes) égale à la distante polaire voulue, et l'on place 1? icinie sèche au point choisi pour pôle; l'autre pointe déciit alors le cercle de- mandé.
Pour décrire un grand cercle, il faut avoir sa distance po- laire, c'est-à-dire la corde d'un arc égal au quart d'un grand cercle; ce qui exige la connaissance du myon de la sphère.
PROBLÈME.
783. Trouver le rayon d'une sphère solide [fig. ^'?4)- D'un point P de la surface sphérique comme pôle, avec une
ouverture de compas arhilraire, on décrit un cercle ARC. On relève ave le CMnpas les trois distances reciilignes AB, BC,
R. et DE C. — '/>. de Géoin. Jl* Partie). **
l62 GÉOMÉTBIK DANS l'eSPACE.
CA, el l'on construit sur le papier un triangle abc ayant pour côtés ces trois longueurs. On détermine le centre i du cercle circonscrit au triangle abc, et la droite ai est égale au rayon AI du cercle ABC. Par suite, si du point « comme centre, avec une ouverture de compas égale à celle qui a servi à décrire le cercle ABC sur la sphère, on décrit un petit arc de cercle jusqu'à la rencontre /> de la perpendiculaire pip' élevée en / sur ai, on forme un triangle api égal à API, et il ne reste plus qu'à éle- ver la perpendiculaire ap' sur ap pour avoir en pp' le dia- mètre PP' de la sphère.
Pour obtenir des résultats précis lorsqu'on n'a à sa disposi- tion qu'une portion de sphère, il faut : choisir le point P à peu près au milieu de la portion de surface dont on dispose, prendre une distance polaire PA aussi grande que possible, et, enfin, dans tous les cas, choisir les points A, B, C, sur le cercle ABC, de telle sorte que le triangle ABC soit à peu près équi- îatéral.
SCOLIE.
784. On emploie souvent, pour déterminer le rayon d'une sphère solide, un instrument spécial, qui est décrit dans les Traités de Physique et qu'on nomme sp lié ro mètre. Cet instru- ment fait connaître le rayon AI = r du cercle ABC, et la flèche PI=/j. La construction graphique plane reste la même; seu- lement, au lieu de déterminer le point/? à l'aide d'un arc de cercle décrit du point a, on prend ?*/? = li- Mais, dans ce cas, on préfère le calcul à la construction graphique; R étant le rayon inconnu de la sphère, le triangle rectangle PAP' donne
AI = IP.IP' ou r' =li[o.\\ — h),
d'où l'on déduit
u = ^^.^).
THÉORÈME.
78o. Tout plan ACB perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon Oc est tangent à la sphère el, réciproquement, tout plan ACB
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS.
ir33
tangent à la sphère est perpendiculaire à l'extrémité du raj on OC mené au point de contact C [fig. 4^5}.
On dit qu'un plan ACB est tangent à la sphère lorsqu'il n'a avec celle surface qu'un poinl commun C, qu'on nomme pom^ de contact.
Cela posé, soil ACB un plan perpendiculaire à i'exlrcmiié d'un rayon OC. D élanl un poinl quelconque de ce plan,aulre que C, OD esl oblique à ce plan, el l'on a OD>>OC, de sorle que le poinl D est extérieur à la sphère. Le plan ACB, n'ayant d'après cela que le poinl C commun avec la surface sphérique, est langent à cette surface.
Inversement, si ACB est un plan tangent à la sphère au point C, tout poinl D de ce plan, autre que C, esl extérieur à la sphère, et l'on a 01)>>0C; donc OC, cianl !a plus courle dislance du centre 0 au plan ACB, est perpendiculaire sur ce plan.
Corollaires.
78G. Par un point pris sur la surface sphérique, on peut toujours mener un plan tangent à cette surface, et l'on ne peut en mener qu'un (olG).
787. Le plan tangent à la sphère en un point C contient les tangentes en ce point à toutes les courbes qu'on peut tracer par ce point sur la surface sphérique [772, o'2i),
788. Considérons une sphère 0 el un point extérieur S [fg. 426). Par la droite OS, menons un plan quelconque qui déterminera dans la sphère un grand cercle PAP', et menons par S une tangente SA à ce cercle. Pendant que le demi-cercle PAP', en tournant autour de l'axe SO. engendre la sphère, la
l64 GÉOMÉTRIE DANS l'e^PACE.
tangptiie SA crrgendre un cône de révoliiHo;i qui a ''n rom- mun avec la sphère le cercle AB déciii par ie point A. De
plus, en tout point M de ce cercle, le cône et la sphère ont le même plan tangent; car la génératrice SM et la tangente MT au cercle AB, qui déterminent le plan tangent au cône (750), sont situées l'une et l'autre (787) dans le plan tangeïit à la sphère. On dit d'après cela que le cône est circonscrit à la sphère et que la sphère est inscrite au cône le lot)g du cercle commun AB.
On voit encore par là que, par un point extérieur S, on peut mener une infinité de plans tanp^ents à une sphère 0, et que toutes les tangentes SA, SM, SB,. .. à la sphère, issues du même point S, sont égales.
Si le point S s'éloigne indéfiniment sur la droite PP', le cône dégénère en un cylindre circonscrit, et le lieu des points de contact de la sphère et de ce cylindre de révolution devient le grand cercle perpendiculaire à la direction PP' des généra- trices du cylindre.
THÉORÈME. ■ 789. L'intersection de deux sphères A e/ B est une circon- férence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la liqne des centres AB des deux sphères et dont le centre est sur cette
''S""^ if g- 4^7)-
Car cetie interser-ilon n'est autre que la circoulerence engendrée par la lOlaiion autour de AB du poini C commun aux deux circonférences suivani leM|uelles lee deux sphèies S0|il coupées par un plan quelconque passant par AB.
LIVRE VII.
LES CORPS RONDS.
,G5
SCOLFE.
790. Lorsque deux sphères n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes en ce point, qu'on nomme point de contact; le point de contact est situé sur la ligne des centres, et en ce point les sphères ont le même plan langent (120).
Fig. /)27. ,
Les positions relatives de deux sphères sont au nombre de cinq (122), et les relations correspondantes entre la dislance des centres et les rayons sont celles qui ont lieu pour les circonférences de grand cercle déterminées dans les sphères données par un plan quelconque passant par la droite des centres.
THÉORÈME.
791. Par quatre points A, B, C, D, non situés clans un même plan, on peut faire passer une surface sphérique, mais une seule [Jig. 4-8)«
Fir;. .'|28.
il s'agit de prouver qu'il exislc un point, et un seul, situé à la môme distance des quatre points A, B, C, 0.
Or, tout point équidislant de A, B,C,IJ doit se trouver sur la perpendiculaire Fil élevée au plan ABC par le cenlie V du cercle circonscrit au triangle ABC, puisque cette perpendicu- laire est le lieu des points équidisianis de A, B, C (52V; il doit aussi ap|)arlenirà la perpendiculaire EG élevée au plan ACD par ie centre E du cercle circonscrit au triangle ACD. Comme
l66 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
deux droites FH, EG ne peuvent avoir qu'un point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un seul point équidistanl de A, B, C, D. En second lieu, un tel point existe toujours si, conformément à l'hypothèse, les points A,B, C,D ne sont pas situés dans un même plan. En effet, le plan per- pendiculaire sur le milieu K de AC, étant le lieu des points équidislants de A et deC, doit contenir EG et FH; d'ailleurs, les deux droites KF et KE, suivant lesquelles il rencontre les plans ABC et ADC, se coupent, puisque les plans ABC et ADC sont distincts; donc les deux droites EG et FH, étant situées dans un môme plan EKF, et étant, dans ce plan, perpendicu- laires à deux droites KF et KE qui se coupent, ont un point commun 0 qui est le centre de la sphère demandée.
Corollaires. 792c Deux sphères, qui ont quatre points communs non situés dans un même plan, coïncident.
793. Les perpendiculaires élevées aux quatre faces d'un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à chacune de ces faces se coupent en un même point.
§ IV. — PROPRIÉTÉS DES TRIANGLES SPHÉRIQUES.
DÉFINITIONS.
794c On nomme angle de deux courbes passant par un même point de l'espace l'angle de leurs tangentes en ce point. L'angle de deux courbes tracées sur la sphère est donc égal à l'angle des plans menés respectivement par le centre de la sphère et par les tangentes à ces courbes au point commun; car, ces tangentes étant perpendiculaires au rayon qui aboutit au point commun (772), leur angle mesure le dièdre des deux plans considérés. En particulier, l'angle de deux arcs de grand cercle est égal à l'angle des plans de ces arcs.
THÉORÈME.
795. L'angle APB de deux arcs de grand cercle PAP', PBP' a pour mesure, soit iarc de grand cercle AB décrit de son som-
LIVRE VII. — TES CORPS RONDS. »(^7
met P comme pôle et compris entre ses côtés, soit le plus petit arc de grand cercle ppt, qui unit les pôles de ses côtés
[fis- 4?9^-
En eflct :
1° Les arcs PA, PB élant des quadranis, les angles POA, POB sont droits, el l'angle AOB esl l'angle plan qui mesure l'angle dièdre formé par les plans des deux grands cercles. Mais (794) cet angle dièdre est égal à l'angle APB des deux arcs de grands cercles, el l'angle au centre AOB a pour mesure l'arc AB; donc l'arc AB esl aussi la mesure de l'angle APB.
2° Prenons sur la circonférence ABC, à partir des poinls A et B, dans le même sens, deux arcs Kp et B/;,, égaux à un quadrant; Vavc pp^ esl évidemmenl égal à l'arc AB, el, pour juslitier le second énoncé du théorème, il suffit de prouver que /^ et /?, sont les pôles des cercles PAP', PBP'. Or, la droite O/y, perpendiculaire à OA, puisque l'arc Ap esl un quadrant.
et perpendiculaire à OP, puisqu'elle est dans le plan ABC, est perpendiculaire au plan du grand cercle PAP' ; p est donc le pôle de ce grand cercle. De n)ème, /?, est le pôle du grand cercle PBP'.
Nous avons dit que nous portions les arcs \p et B/>, dans le même sens, à partir de leurs origines respectives A el B; si on les portail l'un dans un sens et l'autre en sens contraire, l'arc ppt serait le supplément de l'angle des deux grands cercles. Il y a donc une précaution à prendre dans l'applica- tion du second énoncé. Il faut considérer, pour l'un des grands cercles PAP', le pôle p qui esl du même côté que le dcnii- cercle PBP' et, pour l'autre grand cercle PBP', le pôle /-», (lui n'est pas du même côté (lue le demi-cercle PAP'.
l68 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Corollaires.
796. Le lieu géomélrique des pôles des grands cercles incli- nés d'un angle donné sur un grand cercle donné se compose de deux cercles dont les pôles se confondent avec ceux du grand cercle donné. Le rayon sphérique de ces cercles est égal à l'arc de grand cercle qui mesure l'angle donné.
797. Pour que deux grands cercles se coupent à angle droit, il faut et il suffit que chacun d'eux renferme le pôle de l'autre.
798. Deux grands cercles APC, BPD [fig. 429) forment en se coupant au point P quatre angles APB, BPC, CPD, DPA ; les angles adjacents APB, BPC sont supplémentaires, les angles opposés par le sommet APB, CPD sont égaux.
DÉFINITIONS.
799. On appelle polygone sphérique la portion de surface sphérique ABCDE comprise entre plusieurs arcs de grand cercle. Ces arcs AB, BC, CD, DE, EA sont les côtés du poly- gone; les angles ABC, BCl),... qu'ils forment, et les som- mets B, C, . . . de ces angles sont les angles et les sommets du polygone [fig. 43o).
Fig.. 430.
Un polygone sphérique est dit convexe lorsque chaque cùié prolongé laisse tout le polygone dans le même hémi- sphère.
Chaque côté d'un polygone sphérique convexe est moindre qu'une demi-circonférence de grand cercle. Car, si le côté AB, par exemple, était plus grand qu'une demi-circonférence, on pourrait prendre sur AB, entre A et B, un point I tel, que AI
IITRE VII. — LES cours RONDS. 169
fùl égal à une deiiii-ciiconférence; dès lors, le grand cercle auquel appariieni le côté ÂE passerait par le point I ^776), et le polygone ne serait pas tout entier dans l'un des deux hémi- sphères déterminés par ce grand cercle AE.
Un polygone sphérique convexe ne peut être rencontré en plus de deux points par un arc de grand cercle (26).
800. Le polygone sphérique le plus simple est le triangh sphérique; c'est la portion ABC de la surface de la sphère com- prise entre trois arcs de grand cercle AB, BC, C\, qui sont chacun moindres qu'une demi-circonférence. D'après cela, un triangle sphérique est toujours convexe [Jig. ^3i].
On pourrait admettre des rôles qui surpasseraient la demi- circonférence, et appeler encore triangle sphérique la figure formée par des arcs tels que AB, AC, BDC, dont le dernier est supérieur à une demi-circonférence. Mais d'abord cela serait incommode, parce que ces nouvelles figures présenteraient des angles, tels que A, qui surpasse deux angles droits ; et en- suite cela e>l inutile, car la connaissance des éléments du tri.ingle sphérique proprement dit ABC entraîne celle de tous les éléments de la figure formée par les arcs AB, AC, BDC.
Un triangle sphérique est isocèle, éqwlatérnl, rectangle, dans les mêmes circonstances qu'un triangle rectiligne.
801. En joignant les sommets d'un triangle sphérique ABC i/ig. 432) au centre 0 de la sphère, on forme un angle trièdre OABC, dont les faces AOB, BOC,... ont la môme mesure (127) que les côtés correspondants AB, BC, . . . du triangle sphé- rique, et dont les angles dièdres OA, OB,... ont la iiiètne mesure (794) que les angles A, B,. . .'de ce triangle. La même
70
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
remarque s'éiend à un polygone sphérique ABCD ijig.. 433) et à l'angle polyèdre correspondant OABCD,
D'après cela, à chaque propriété des angles Irièdres ou po- lyèdres répond une propriété analogue des triangles ou poly- gones spliérîques; et, pour énoncer celte propriété, il suffit de remplacer respectivement les mots /«ce ç^i angle dièdre par
les mots côté et anale.
Fig. 432.
433.
C'est même cette marche que l'on suit pour établir les pre- mières propriétés des figures sphériques. Mais plus lard, et pour des propriétés moins simples, il est ordinairement pré- férable de faire l'inverse, c'est-à-dire d'établir directement les propriétés des figures sphériques pour en déduire les pro- priétés des angles polyèdres correspondants. On raisonne en efi'et sur une surface, et en particulier sur la sphère, pres- que aussi aisément que sur un plan, tandis qu'il faut un cer- tain effort pour se représenter une figure de l'espace un peu compliquée. L'étude de l'Astronomie ne laisse à cet égard aucun doute, et la conception de la sphère céleste est un des plus heureux artifices iiéométriqueti qu'on ait imaginés.
802. Si l'on prolonge les arêtes de Fangl^î polyèdre OABCD {fg. 433) au delà du sommet 0, on forme un angle polyèdre symétrique OA'B'C'D', qui détermine sur la surface de la sphère un polygone A'B'C'D'. Les deux polygones ABCD, A'B'C'D', dont les sommets sont ainsi diamétralement opposés deux à deux, sont appelés polygones sphériques symétriques. Les considérations développées au n" 566 conduisent aux pro- priétés suivantes :
1° Deux polygones symétriques ont leurs angles et leurs côtés égaux deux à deux ^ 2" ces polygones ne sont pas en gé-
LIVRE Vn, — LES C0BP8 BONDS. *7*
néral superposables, allendu que les parties respectivement égales sont dispostes dans un ordre inverse; 3° pour qu'un triangle sphérique soit superposable à son symétrique {Jig. 4 3^), il faut et il suffit qu'il ait deux angles égaux, et dans un lei triangle les côtés opposés aux angles égaux sont égaux ; en d'autres lermes, ce triangle est isocèle.
THÉORÈME.
803. Dans tout polygone sphérique, un côté quelconque est moindre que la somme de tous les autres.
En effet, soit ABCD le polygone proposé [fig. 433). Dans l'angle polyèdre correspondant OABCD, on a (567)
AOB < BOC -+- COD -^ DO A. Donc (127)
arcAB<arcBC -{- arcCD -h arcDA.
SCOLIES.
804. Dans tout triangle sphérique ABC [fig. 434 '> à un plus grand angle est opposé un plus grand côté.
Fig. 434. ••"•«• 435. .
Cela résulte de la propriété analogue de l'angle irièdre (568). On peut aussi le démontrer comme il suit. Soit l'angle ABC plus grand que l'angle C; on pourra mener dans l'angle ABC un arc de grand cercle BD qui fasse avec BC un angle DBC égal à l'angle C. Le triangle BDC ajanl deux angles égaux DBC, DCB sera isoscèle (802;, et l'on auraBD = DC. Or le triangle ABD donne (803j
AB<AD + BD
Cl, en remplaçant le côté BD par son égal J)(],
AB<AI)-f-DC ou AB<AC.
Ï72 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
En rapprochant ce théorème de celui qui a été démontré au n° 802 (3°), on voit que : réciproquement, 5/ un triangle spliérique est isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, et si un triangle spliérique a deux côtés inégaux, au plus grand côté est opposé le plus grand angle.
805. De ce qu'un triangle sphérique isocèle est superpo- sable à son symétrique, il résulte que, dans tout triangle sphérique isocèle, l'arc de grand cercle qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet en deux parties égales.
806. Enfin les propriétés du triangle reciiligne, démontrées aux n°' 40 et 41, s'appliquent au triangle spliérique et s'énon- cent de même ; il suffit de remplacer le mot droite par les mots arc de grand cercle.
THÉORÈME.
807. Dans tout polygone sphérique convexe , la somme des côtés est moindre qu'une circonférence.
Car la somme des faces de l'angle polyèdre correspondant est moindre que quatre angles droits (570).
La démonstration directe est d'ailleurs facile. Considérons d'abord un triangle sphérique ABC [Jig- 435), et prolongeons les côtés AB et AC jusqu'à leur rencontre A'; les deux arcs ABA', ACA' sont des demi-circonférences de grand cercle (776) et, comme dans le triangle BCA' le côté BC est moindre que BA' -}- CAMa somme AB 4- AC -+- BC des côtés du triangle ABC est inférieure à ABA' -f- ACA', c'est-à-dire à une circonférence de grand cercle.
En opérant d'une manière analogue sur un polygone, c'est- à-dire en remplaçant un côté par les prolongements des deux qui lui sont adjacents, on voit que, si la proposition est vraie pour un polygone convexe, elle subsiste pour le polygone convexe qui a un côté de plus ; donc elle est générale.
LIVKK VII.
LES CORPS RONDS.
173
THÉORÈME.
808. Si un triangle sph trique A' B'C' est le triangle polaire d'un triangle sphérique donné ABC, réciproquement AliC sera le triani^le polaire de A'B'C.
Pour bien comprendre la définiiion du irion^le polaire et l'objet du présent théorème, il convient de faire une re- marque.
Soient EIF un grand cercle {Jig. 436), P l'un de ces pôles, et M un point quelconque de la sphère. Si P et M sont d'un même côté du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle qui va de P en M est moindre qu'un quadrant PI. Si P et M sont de part et d'autre du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle allant de P en M est supérieure un qua- drant.
Fifj. /,3(;. Fig. 437.
p c
Cela posé, on nomme triangle polaire d'un triangle sphé- rique ABC un nouveau triangle A'B'C (^«•.437) dont les som- mets sont définis de la manière suivante : A' est celui des deux pôles du grand cercle HC qui est, par rapport à ce grand cercle, du même côté que le sommet opposé A; de même Fi' est le pôle de AC qui est situé par rapport à AC du même côté que B, et C est le pôle de AB qui est placé par rapport à AB du même côté que C.
Il s'agit de démontrer que, réciproquement, le triangle \\M] est le triangle polaire de A'B'C. A cet cllei, considérons l'un quelconque de ses sommets, C par exemple; A' étant le pôle de HC, l'arc de gi'and cercle qui joindrait C et A' est un (|ua- drant; de même l'arc de graïul crcle CIV osi un (piadrant, puisque B' est le pôle de AC. Donc, le point C (780) est |e
1-^4 GÉOMÈTBIE DANS l'eSPACE.
pôledeA'B'. De plus, puisque C est le pôle de AB qui se trouve par rapport à AB du même côté que C, le plus petit arc du grand cercle allant de C en C est moindre qu'un quadrant ; par suite, C est le pôle de A'B' qui se trouve par rapport à A'B' du même côté que C.
SCOLIE.
809. D'après cela, le triangle polaire A'B'C d'im triangle donné ABC peut être considéré comme obtenu en décrivant des sommets A, B, C, pris successivement pour pôles, trois circonférences de grand cercle. Ces trois circonférences di- visent la surface de la sphère [fi^. 437) en huit triangles, dont l'un A'B'C est le triangle polaire de ABC. C'est celui qui est tel, que les sommets A et A' soient d'un même côté par rap- port à BC, les sommets B et B' d'un même côté par rapport à AC, et les sommets C et C d'un même côté par rapport à AB.
Les deux trièdres OABC, OA'B'C, qui répondent à deux triangles polaires ABC, A'B'C, sont supplémentaires (572). En elîet, d'après la construction du point C, on voit que l'a- rête OC, par exemple, est perpendiculaire (779) au plan AOB et située par rapport à ce plan du même côté que OC : on rai- sonnerait de même pour les autres arêtes OB' et OA'. Chaque angle de l'un des triangles ABC, A'B'C, doit donc (573) être le supplément du côté opposé de l'autre triangle. Mais celte propriété, en vertu de laquelle deux triangles polaires sont aussi appelés triangles supplémentaires, mérite d'être démon- trée directement; c'est là l'objet du théorème qui suit.
THÉORÈME.
810. Si ABC, A'B'C sont deux triangles polaires, chaque angle de l'un de ces triangles a pour mesure une demi-circon- férence de grand cercle, moins le côté opposé dans l'autre triangle [Jig- 438).
En effet, considérons, par exemple, l'angle A et prolon- geons, s'il le faut, les côtés AB et AC jusqu'à la rencontre de l'arc B'C; puisque A est le pôle de B'C, l'angle A a pour me- sure l'arc DE (795); mais on a évidemment
DEr=B'E-i-DC —B'C.
LIVRE VII.
LtS CORPS KONDS.
in5
D'ailleurs B'E et DC sont des quadiGnls, puisque B' est k pôle de AC el C le pôle de AB ; on a donc
DE = Y cire, de grand cercle — B'C
On procéderait de la même manière pour les angles B eiC.
!.■(;. /j^o.
Les triangles ABC el A' B'C résultant l'un de l'autre par la même construction (808), la propriété que nous venons de démontrer pour les angles A, B, C du premier triangle con- vient aux angles A', B', C du second. On prouverait d'ailleurs directement que l'angle A', par exemple, a pour mesure le supplément de BC, en prolongeant BC jusqu'à la rencontre de A'B' etde A'C.
SCOLIK.
811. Les propriétés des triangles polaires s'étendent aux polygones et aux courbes sphériques.
Soit (Jîg. 43y) un polygone sphéritpie convexe ABCDE; prenons, des deux pôles de l'arc de grand cercle EA, celui A' qui, par rapport à EA, est dans le même hémisplièrc que le polygone ABCDE; prenons d'une manière analogue les pôles B', C, D', E' des côtîs AB, BC, CD, DE. Le polygone A'B'C'D'E' sera le polygone polaire du proposé, et l'on démon- trera, comme aux n"' 808 et 810 : i" que, si un imly^one sphériqiœ A'B'C'D'E' l'st le polygone polaire d'un polygone donné ABCDE, rccipro- (juenicnt ABCDE est le polygone polaire de A'B'C'D'E' ; a" que, dans deux polygones polaires , tout angle de l'un est le supplément du vôtédeCautre dont le sommet de l'angle considéré est le pôle.
812. On appelle arc de grand cercle tangent en un point M c/'////,- couibe sfjhéric^ue AMN [Jîg. .ijo) la limite des positions que prend lo
176 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE,
grand cercle mené [lar le point M et un point voisin N, lorsque ce second point N de la courbe tend vers le premier. Une courbe sphérique esicon- vexe si le grand cercle tangent en l'un quelconque de ses points laisse la courbe tout entière dans un seul hémisphère (799). Une courbe sphé- rique convexe ne saurait être rencontrée par un grand cercle en plus de deux points; et, des deux arcs de grand cercle qui joignent deux points quelconques de la courbe, Je plus petit, c'est-à-dire celui qui est moindre qu'une demi-circonférence, est à Vintérieur de la courbe.
Cela posé, soit A'M' [fig. 44o) une courbe sphérique convexe; en un point quelconque M' de cette courbe, menons le grand cercle tangent et prenons le pôle M de ce cercle qui est dans le même hémisphère que la courbe A'M'; le lieu des points M est la courbe polaire AM de A'M'. In- versement, la courbe A'M' est la courbe polaire de AM; en d'autres termes, le point M' est le pôle de l'arc de grand cercle tangent en M à la courbe AM; car si N est le pôle de l'arc de grand cercle N'T' tangent à la courbe A'M' en un point N' voisin de M', le point T' sera le pôle (780) de l'arc sécant MN, et, quand ce dernier arc deviendra tangent en M, le point T' se confondra avec M'. Ainsi les points M et M' des deux courbes se correspondent deux à deux, de telle sorte que le point M soit le pôle de l'arc de grand cercle tangent en M' et que le point M' soit le pôle de l'arc de grand cercle tangent en M.
Deux figures sphériques polaires sont des figures corrélatives : à tout point de l'une répond un arc de grand cercle dans l'autre, de telle sorte que, si trois pomts de la première sont sur un même grand cercle, les trois arcs de grand cercle correspondants de la seconde passent par un môme point, pôle de ce grand cercle. Tout théorème en engendre immé- diatement un autre; et c'est même cette corrélation des figures sphériques qui a suggéré l'idée du principe général de dualité.
Corollaires.
813. Dans tout triangle sphérique : 1" la somme des angles est comprise entre deux et six angles droits; 2° le plus petit angle augmenté de deux droits surpasse ta somme des deux autres angles.
La démonslraiion est la même que pour les angles trlèdres (575), et les propriétés énoncées petiveiii èiro elles-mêmes considérées comme une conséquence des propriétés corres- pondantes des trièdres.
Il résulte de là qu'un triangle sphérique peut avoir un, deux ou trois angles droils. Quand le triangle est biredangle, ie sommet de l'angle qui n'est pas droit est le pôle du côté
LIVTIE Vir. — LV.S CORPS RONDS. I-yj
opposé, et les côtés qui compionnr-ni cet inigle sonl des qua- dranis. Dans le li iangle sphérique trirectan^^le, tous les côtés sont des quadrants; le triangle irireciaugle est le huitième de la sphère sur laquelle il est tracé : on le voit immédiatement en prolongeant les arcs de grand cercle qui forment les côtés du triangle.
THÉORÈME.
814. Deux triatigles sphériques traces sur la même sphère ou sur des sphères t^^ales sont égaux dans toutes leurs parties : i" lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux aui^les égaux chacun à chacun; 2° lorsqu'ils ont un angle égal compris entie deux côtés égaux chacun à chacun; 3" lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à chacun; 4° lorsqu'ils ont les angles égaux chacun à chacun. — Dans tous les cas, ils sont égaux ou sj^- métriques, suivant que la disposition des éléments donnés est la même ou est inverse.
Ce théorème est une conséquence des propriétés analogues (577, 578) des angles tiiedres. On peut aussi le démontrer directement.
Supposons d'abord que la disposition des éléments soit la même dans les deux triangles, on démontrera l'égalilé pour les trois premiers cas en raisonnant comme au n" 32 de la Géométrie plane. Quant au quatrième cas, il résulte du troi- sième par la considération du triangle polaire (810). Memar- quons, en outre, que les deux premiers cas soniaussi corréla- tifs l'un de l'autre.
Si la disposition des éléments donnés est inverse, le pre- mier triangle et le symétrique du second présenteront la même disposition : ils seront donc égaux en vertu des données; par suite, les triangles proposés seront symétriques.
SCOLIE.
815. Un tiièdre, dont le sommet est placé au centre de doux sphères concentriques, détennin(; évidemment sur ces sphères deux triangles sphériques dont les angles sont respeciivcnuMU égaux et les côtés proportionnels (296). Deux triangles sphé- riques de celte nature sovw. û\is semblables,
U. et DE C — Tr. de Géom. (Il' Parlie). 12
178
GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.
THÉORÈME.
816. Le plus court chemin d'un point à un autre sur la sur* face (le la sphère est l'arc de grand cercle, moindre qu'une demi-circonférence, qui joint ces deux points.
\° Il faut, avant tout, définir la longueur d'un arc de courbe gauche, c'est-à-dire dont tous les points ne sont pas situés dans un mênie pion. Celte longueur se définit comme celle d'un arc de courbe plane> C'est la limite du périmètre d'une ligne brisée qui est inscrite dans cet arc et dont les côtés tendent vers zéro.
Nous allons prouver que cette limite existe et qu'elle est unique, c'est-à- dire indépendante de la loi suivant laquelle on fait tendre vers zéro les divers côtés de la ligne brisée.
Soient {/ig. 440 AB un arc de courbe gauche, oh sa projection ortho- gonale sur un plan quelconque P, M un point quelconque de AB et m la projection de ce point. Dans un plan pris à volonté, menons une droite indéfinie x,j, (fg. 44^) et prenons sur cettedroite, à partir d'un points,, une longueur «,/«, égale à la longueur de l'arc nm\ puis, au point w,, élevons sur x^y^ la perpendiculaire "/|M| égale à la projetante Mw. A lout'point M de la courbe AB répondra ainsi un point M, et, lorsque le point M décrira l'arc AB, le point M, décrira un arc de courbe plane A,B,, dont nous désignerons la longueur par /.
Fig. 441.
Fig. 442.
Cela posé, soient AMNRB une ligne brisée quelconque inscrite dans l'arc AB et amnrb, A,M,N,R,B, les lignes brisées correspondantes in- scrites dans la projection ab et dans la ligne plane A,B,. La valeur du rapport
AM-^MN + iNK-f-BB (0 A.M,-^M.N,^-N.H,^-R,B"
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. I79
est comprise entre les valeurs de deux des rapports
A>l^ ^ JsR^ JVB^ ^^> A,M,' M.n; N,H,' R.B;
Par suite, si l'on peut prouver que chacun de ces rapports a l'unité pour limite, il en sera de même du rapport (i); et, comme le dénomina- teur de ce rapport a pour limite la quantité bien définie /, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés de la ligne brisée AMNRB tendent vers zéro (291), son numérateur aura aussi / pour limite, quelle que soit cette loi.
Prenons donc l'un quelconque des rapports (2), -rpj^ par exemple.
Désignons par ^ la différence N// — M///, ou son égale N,/?, — M,///,. Le carré du rapport considéré aura pour expression
La valeur de ce carré est donc comprise entre / i»n \' rP
Mais, /», //, étant la longueur de l'arc de courbe plane dont mn est la corde, le rapport a l'unité pour limite (292) quand wi«i tend vers zéro.
La limite de tt-tt est donc égale à i.
M,N,
2° La longueur d'un arc de courbe sphfirique est égale à la limite du périmètre d'une ligne brisée sphérique qui est in- scrite dans cet arc et dont les côtés tendent vers zéro.
En efiel, soient AGB ( /ig: 44^ ) un arc de courbe quelconque
Fig. i>13.
tracé sur la sphère, et AEFGIB une ligne brisée sphérique in- scrite dans cet arc, c'est-à-dire une ligne formée de portions d'arcs de grands cercles, ayant ses exliémilés on A et en M et ses sommets iniermédiaires situés sur l'arc de courbe AGI5.
l8o GÉOMÉTRIE DA^S l'eSPACE.
Si les arcs de grands cercles, donl la longueur de la ligne brisée sphérique esi la somme, tendent séparément vers zéro, suivant une loi d'ailleurs quelconque, le rapport de chacun de ces arcs à sa coi de aura l'unité pour limite. 11 en sera donc de même du rapport de la longueur de la ligne brisée à la somme des cordes. Et, comme (i°) la somme des cordes a pour limite la longueur de l'arc de courbe AGB, on voit que la longueur de la ligne brisée sphérique inscrite dans l'arc de courbe quelconque AGB a aussi pour limite la longueur de cet arc.
3" 11 est maintenant très-facile de trouver le plus court chemin entre deux points A et B sur la surface de la sphère
Soient AMB l'arc de grand cercle, moindre qu'une demi- circonférence, qui unit les points A et B, et AGB une courbe sphérique quelconque tracée entre ces deux points. AEFGIB étant une portion de polygone sphérique inscrite dans cette courbe, on aura (803)
AMB < AE -+- EF + FG + GI -h IB.
Or, si l'on fait tendre vers zéro les côtés du polygone inscrit, le second membre a pour limite (2°) la longueur de l'arc de courbe AGIî. Donc l'arc de grand cercle AMB est moindre que toute autre courbe sphériijue allant de A en B : c'est le plus court chemin du point A au point B sur la sphère.
D'après cela, ou appelle distance sphérique de deux points A et B d'une sphère la longueur de l'arc de grand cercle moindre qu'une demi-circonférence qui unit ces deux points.
THÉORÈME.
817. Pour qu'un grand cercle soit perpendiculaire à un petit cercle AMB, il faut et il suffit que le grand cercle passe par les pôles P et P' du petit cercle [fg- 42'i).
En d'autres termes, si l'on désigne par 0 le centre de la sphère et, respeclivement, par MS et par MT les tangentes au grand cercle et au pelil cercle au point commun M, pour que l'angle SMT soit droit, il faut et il suffit que les plans O.MS, MPP' coïncident.
En effet, le plan MPP' est perpendiculaire à MT, puisqu'il contient deux
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS.
l8l
droites OM et PP' qui sont à angle droit sur MT. Donc, si l'angle SMT est droit, MS est dans le planMPP' qui, par suite, coïncide avec le plan O.MS. Inversement, si les plans OMS, MPP' coïncident, la droite MS contenue dans le plan MPP' est à angle droit sur la perpendiculaire MT à ce plan.
COBOLLAIBES.
818. Par un point 0 de la sphère, on peut mener un grand cercle per- pendiculaire à un cercle donné AB et Von ne peut en mener quun: c'est le grand cercle OPI'P'I qui passe par le point 0 et par les pôles P et P' du cercle AB [fi^. 444)-
Il y aurait toutefois indétermination si le point 0 coïncidait avec l'un des pôles P et P'.
En laissant de côté ce cas singulier, on voit que, du point 0, on peut mener deux «/•« de grand cercle, 01 et OPl', normaux à un cercle donné AB.
THÉORÈME.
819. Si, d'un point 0 d'une sphère, on mène, sur un cercle AB, le plus petit, 01, des deux arcs de grand cercle normaux et plusieurs arcs de grand cercle obliques OC, OD, OE [Jig. 444) ♦
l" L'arc perpendiculaire 01 est moindre cpie tout arc obVupie OC ;
a" Deux arcs obliques, OC et OE, dont les pieds C et ^sont équidistants du pied 1 de l'arc normal, sont égaux ;
3° De deux arcs obliques, OC et OD, ou OE et OD, celui dont le pied s'écarte le plus du pied I de l'arc normal est le plus long.
En effet, le cercle AB divise la sphère en deux calottes dont l'une con- tient le point 0; soit P le pôle de AB qui est situé dans cette Ciiloite: menons les arcs de grand cercle PC, PD, et désignons par K l'interseclion des arcs OD et PC.
1" Dans le triangle sphérique POC, on a
PC - PO < OC,
ï87, GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
c'est-à-dire
PI -PO ou OKOC.
i" Les points C et E étant symétriques par rapport au plan du grand cercle PIP', les cordes OC et OE sont symétriques par rapport au même plan et, par suite, égales entre elles; donc les arcs de même rayon, OC et OE, qu'elles sous-tendent, sont égaux.
3'' Les triangles sphériques OKC, PKD donnent
OC<OK + KC, PD<PK + KD,
d'où, en ajoutant,
OC ^- PD < OD -^ PC
et, enûn, à cause de PD = PC.
OC<OD. Corollaires.
820. Si le point C décrit le cercle AB en partant du point I, l'arc de grand cercle OC, d'abord égal à 01, croît, devient égal à OPI', puis dé- croit jusqu'à la valeur primitive OL Parmi les chemins qui conduisent du point 0 au cercle AB, le plus court est donc le plus petit, 01, des deux arcs normaux qu'on peut mener du point 0 au cercle AB. Aussi, donne- t-on à la longueur de cet arc 01 le nom de distance sphérique du point 0 au cercle AB.
Les réciproques des propositions précédentes sont vraies (7).
Le lieugéométri(jue des points de la sphère équidistants de deux points de cette surface est le grand cercle perpendiculaire sur le milieu de Varc de grand cercle qui unit les deux points ( 49 ).
Deux triangles sphériques lectangles sont égaux ou symétriques : \° lorsquHls ont l'hypoténuse égale et un angle oblique égal; 2° lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté égal (50). *
Varc de grand cercle bissecteur de l'angle de deux grands cercles "est le lieu des points de la sphère équidistants des deux côtés de cet angle (53).
Les raisonnements sont les mêmes qu'en Géométrie plane.
Fig. 445.
V
p' 821, Voici encore deux remarques impoifanles : l" Dans tout triangle sphérique rectangle, le nombre des côtés siq: e-
LIVRE VI r. — LES CORPS RONDS. t83
rieurs à un qu(ulrant est pair. lin effet, soient [fi^, 44â) trois grands cercles APB, AIB, PIP', perpendiculaires deux à deux; sur AP, prenons un arc AC moindre qu'un quadrant et joignons |iar un arc de grand cercle CD le point C à un point quelconque I) de AIU. Dans le triangle rec- tangle CAD, le côté AC est aigu, et l'on voit que tant que AD reste aigu, c'est-à-dire moindre que le quadrant Al, CD reste inférieur à CI, c'est-à- dire à un quadrant; si AD devient obtus comme AD,, l'arc CD, est supé- rieur à CI, c'est-à-dire à un quadrant. Le triangle ACD a donc ses trois côtés aigus, ou un aigu et deux obtus. On prouverait pareillement que le triangle rectangle CDB. dont le côté BPC est obtus, possède toujours deux côtés obtus et un aigu, car, BD étant obtus, CD est aigu, et, BD, étant aigu, CD, est obtus.
2° Dans tout triangle spltérique rectangle, tout angle oblique est de même espèce que le côté opposé. En effet, l'angle ACI étant droit, l'angle ACD est aigu et l'angle ACD, est obtus; or AD est aigu et AD, est obtus.
THÉORÈME.
822. L'arc de grand cercle, tangent à un petit cercle, est perpendicu- laire à l'extrémité du rayon spliériquc qtù aboutit au point de contact.
Car le rayon sphérique, étant un grand cercle [)assant par le pôle du petit cercle, est perpendiculaire (817) à ce petit cercle et, par suite, au grand cercle tangent.
SCOLIE.
823. Les propositions suivantes se démontrent comme en Géométrie plane.
Lorsque deux petits cercles d'une sphère se coupent, Varc de grand cercle qtù passe par leurs pôles est perpendiculaire sur le milieu de l'arc de grand cercle qui passe par leurs deux points d'intersection.
Lorsque deux petits cercles d'une sphère sont tangents, leur point de contact est situé sur le grand cercle qui passe par leurs pôles, et l'arc de grand cercle mené par le point de contact à angle droit sur celui qui unit les pôles est tangent à chacun des deux petits cercles.
On dit qu'un point de la sphère est intérieur ou extérieur à un petit cercle, suivant qu'il est situé dans la plus petite ou dans la plus grande des deux calottes que ce cerele détermine sur la sphère. vSa distance sphé- rique (810) au pôle du petit cercle est, dans le premier cas, inférieure et, dans le second, supérieure au rayon sphérique (781 ) de ce cercle.
Étant donnés deux petits cercles d'une sphère, on dit : i^que les deux cercles sont extérieurs, lorscjue tout point de chacun d'eux est extérieur k l'autre; -i" que le premier est intérieur d^w second, lorsque tout point
l84 GÉOMÉTRIE CATSS l'eSPACE.
du premier est intérieur au second, et alors tout point du second est ex- térieur au premier.
Cela posé, soient R et ries rayons sphériques de deux petits cercles, et D la distance sphérique de leurs pôles. Le quart d'un grand cercle étant pris pour unité, Il et r sont moindres que i et D est inférieure 2. Si les cercles sont extérieurs, on a D > R -+- r , si les cercles sont tangents extérieurement^ on a D = R -+- r ; si les cercles se coupent, on a à la fois RH-r>D>R — r; si le cercle r touche intérieurement le cercle R, onaD = R — r\ enfin, si le cercle r est intérieur au cercle R, on a D < R — r. Les réciproques sont vraies.
THÉORÈME.
8i2i. Le lieu des sommets des triangles sphériques, qui ont une base commune DE et dans lesquels la différence entre l'angle au sommet et la somme des angles à la base est constante en valeur absolue, se compose de deux petits cercles passant par les points D et E et symétriciues par rapport au plan DEA du grand cercle DE.
En effet, C étant un point pris arbitrairement sur la sphère et P étant le pôle du cercle circonscrit au triangle sphérique CDE, désignons res- pectivement par 7, rj, £ les valeurs des angles à la base dans les triangle» isooèles PCD, PDE, PEC. Si le pôle P est à l'intérieur du triangle DEC (comme dans la fig. 446), on a
D-hE — C = ((?-^7)-(-(rî-i-g)~(7-t-s) = 2^;
si P est extérieur au triangle DEC, mais situé du même côté que C par rapport au grand cercle DE, on a
P + E-C= (^^-7)-+-(^- s)-(V — ;) =2<y, ou
D-^E~G= (^-7)H-(^-t-e) — V = — 7) = 2^;
enfin, si P et C sont de part et d'autre du grand cercle DE, on a
D -f- E — C = (7 — ^) -H (£ — (?) - {7 -H s) = — 2d^
ïl résulte do là que, si le point C se déplace de façon que la différence (D -(- E) — C reste constante en valeur absolue, l'angle 8 et, par suite, le triangle isocèle DPE restent invariables de grandeur; en sorte que le point P ne peut avoir que deux positions, qui sont symétriques par rap- port au plan DEA, Le lieu du sommet C se compose donc du cercle dé- crit du point P comme pôle avec PD pour rayon et du cercle symétrique par rapport au plan DEA.
Lorsque la diiTérence (D -1- E) — C est donnée à la fois en grandeur et en signe, il faut prendre seulement sur chacun de ces deux cercles l'arc qui est situé par rapport au plan DEA du même côté que son pôle si la dif- férence est positive, et au contraire l'autre arc si la différence est négative.
LIVHE VU. — LES CORPS RONDS. lS>
Quand la différence (D -f- E) - G est nulle, o est aussi nul; les deux points P coïncident avec le milieu de DE, et le lieu est le cercle décrit sur DE comme diamètre dans un plan perpendiculaire au plan DEA.
Ce théorème est l'analogue de celui du n" 13 i de la Gc'nmétric jAanc. En effet, lorsque, dans un triangle rectiligne CDE, ou donne l'angle G, on donne par cela même la différence D -+• E — G.
PROBLÈME.
8*2o. Tracer sur la sphère un grand cercle passant par deux points donnés A et B [Jig- 447)*
L'inconnue de la question est le pôle du cercle demandé. Or la dislance de ce pôle P à chacun des points A et B est égaie à la corde du quadrant (780); on l'obtiendra donc en décrivant successivement deux arcs de cercles, des points A et B comme pôles, avec une distance polaire égale à la corde du quadrant.
Fig. 446. F'g- 4'l7- Fig- 448.
'P^ \ /A;
PROBLÈME.
826. Mener par un point donné A sur la sphère un arc de ^rand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné BP
[fis- 448).
L'inconnue de la question est le pôle du cercle demandé. Or ce pôle P doit se trouver sur le cercle BP (797), et être à une distance du point A égale à la corde du quadrant. On l'ob- tiendra donc en décrivant, du point A comme pôle, avec une dislance polaire égale à la corde du quadrant, un arc de cercle qui rencontre en P le cercle donné BP.
PROBLÈME.
827. Mener un arc de grand cercle peipcndiciddire sur un arc de graml cercle donné AB, en son milieu ; ou, diviaer un are de grand cercle AH en deux parties égales [fig. 449 )•
11 suffit do décrire des points A etD comme pôles, avec la mémoouver-
i86
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
lure de compas, deux arcs qui se coupent en C et D ; puis, de faire passer un grand cercle par C et D.
Remarquons que ce grand cercle CD divise aussi en deux parties égales tous les arcs de petit cercle dont les extrémités sont A et B.
Fig- '1i9-
Fig. .15o.
PROBLÈME.
828. Trouver le pôle d'un petit cercle passant par trois points donnés A, B, C, sur la sphère [fig. 45o).
Ce pôle P, étant équidistant de A, B, C, est à l'intersection des arcs de grand cercle élevés perpendiculairement sur les milieux des arcs de grand cercle AB et BC (827).
Le pôle P une fois connu, on tracera le petit cercle avec une ouverture de compas égale à PA.
PROBLÈME.
829. Far un point A donné sur la sphère, mener un grand cercle faisant un angle donné avec un grand cercle donné DED' [fig. 45i).
Soit P celui des deux pôles du grand cercle donné qui se trouve dans le même hémisphère que le point A, et soit a l'arc de grand cercle qui mesure l'angle donné, lequel peut toujours être supposé aigu.
Le pôle Q du cercle inconnu doit se trouver sur le grand cercle EE' dont A est le pôle, puisque le grand cercle demandé passe par A. Le pôleQ
LIVRB VU. — lïS COKPS nONDS. lf'7
doit aussi appartenir au pelilccrcle décrit du point P tomme pôle avec un rayon spliérique égal à x, puisque ce petit cercle est le lieu des pôles des grands cercles qui coupent, sous l'angle donné, le grand cercle DED' (7<)6).
On décrira donc deux cercles, l'un du point A comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrant, l'autre du point P comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde de l'arc a. Tout point commun Q à ces deux cercles sera le pôle d'un grand cercle satisfaisant à la question proposée.
Pour que le problème soit possible, c'est-à-dire pour que les cercles auxiliaires se coupent, il faut et il suffit, puisque l'angle donné est aigu, que l'on ait
PQ > PI ou a > S,
en désignant par ê la distance sphérique AD du point donné A au grand cercle donné DED'.
Lorsque le point A est sur le grand cercle donné DED', le grand cercle EE' passe par P, et il suffit, pour avoir le point Q', de porter sur le grand cercle EPE', à partir de P, une ouverture de compas égale à la corde de l'arc a.
PROBLÈME.
830. Construire un triangle sp/iérif/NC r-ec tringle, connaissant: \° un côté de l'angle droit et l'hypoténuse; i" un angle et le côté opposé.
i" Après avoir tracé [Jig. 4^2) deux grands cercles perpendiculaires l'un à l'autre, c'est-à-dire deux grands cercles DAD', EAE', tels que le
pôle de l'un soit sur l'autre, on portera sur l'un d'eux DD', à partir du point commun A, un arc AG égal au côté donné /^; puis, du i)oint C comme pôle, avec un rayon sphérique égal à l'hypoténuse donnée a, on décrira un cercle BB' (pii coupera le grand cercle EE' en deux points symétricpsespar rapporta DCD' ; en menant les arcs do grands cercles CD, CB', on aura
l88 GÉOMÉTRIE EANS l'eSPACF.
deux triangles sphériques symétriques BAC, B'AC, qui répondent à la question proposée.
Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le nombre a qui mesure l'hypolénuse soit compris entre les nombres ^ et 2 — 6 qui mesurent les distances sphériques minimum" et maximum du point C au grand cercle EE'.
2° On commencera par tracer deux grands cercles BAB',BCB' [fi^. 453)
faisant entre eux l'angle donné B; soit P le pôle du premier et EPE' le grand ceicle qui est perpendicuUiire à la fois sur BAB' et BCB'; le pro- blème se réduit à mener un grand cercle, perpendiculaire à BAB', c'est- à-dire passant par P, et tel que la partie CA, interceptée dans le fu- seau BEB'D, soit égale au côté donné b. Or PC sera égal alors à i —h. On décrira donc du point P, avec un rayon sphérique égal à i — ^, un cercle qui coupera BDB' en deux points; C étant Fun quelconque de ces points, le triangle BCA satisfera à la question, ainsi que le triangle B'CA. La condition de possibilité consiste dans l'inégalité
PC> PD ou !-/;>! - B, c'est-à-dire
6<B.
Nous avons supposé l'angle B aigu : s'il était obtus, on aurait
PC = ft— I, PD = B — I,
et la condition de possibilité serait 6> B.
* PROBLÈME. 831. Construire un triangle sp/i'^rique , connaissant trois quelconques de ses six éléments (angles ou côtés). Ce problème offre six cas distincts; on peut donner : 1° les trois côtés
LIVRE VII. — LES CORPS ROPS. 189
OU les trois angles; 1° deux côiés et l'anixle oompris, ou un rôle el les deux ringles adjacent?; 3° deux côtés et langle opposé à lun d'eux, ou deux angles el le côté opposé à l'un d'eux.
iJans cette énuméralion, nous avons réuni chaque fois les deux cas cor- rélatifs, c'est-à-dire qui se ramènent l'un à l'autre par la considération du triangle polaire. Il n'y a donc que trois cas à traiter directement.
1° On donne les Irais côtés a^b, c.
Supposons, pour fixer les idées, a';> by- c.
Pour que le problème soit possible, il faut (803, 807) que l'on ait à la
fois
rt<6-i-r, rt-i-^-i-c<4.
Ces conditions sont suffisantes. En effet, sur un grand cercle M.M'de la sphère, prenons un arc BMC égal à a {fig. 4 54 ) ; du point B comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de l'arc c, décrivons un
E D M
arc de cercle DD' et, du point C comme pôle, avec une ouveiture de compas égale à la corde de l'arc é, décrivons un second arc de cercle EE'. Puisque l'arc BC est plus grand que chacun des arcs BD et CE, les points D et E sont situés dans la portion BMC du grand cercle MM' et, comme BC est moindre que la somme BD -i- CE, les arcs BD el CE em- piètent l'un sur l'autre : le point E tombe donc entre B et D. D'ailleurs, la somme BD'-f- BC -f- CE' étant moindre qu'une circonférence de grand cercle, le point E' est situé sur l'arc CM'D' entre C et D'. Il résulte de là que le point E et le point E' sont, le premier intérieur, le second extérieur à la calotte qui, déterminée par le cercle DD', a pour pôle B. L'arc EE'. qui, par rapport à cette calotte, unit un point intérieur à un point cxté- rieiiT, doit donc couper la base DD' de celle calotte en un certain point A, lequel est le troisième sommet du triangle demandé ABC.
Les cercles DD' et EE' se coupent en un ^^econd point A', sommet d un second triangle A'BC, symétrique du premier.
iqO GÉOMÉTKIE DANS l'eSPACE.
Ainsi, pour qiCoii puisse construire un trinnglc spiicrique avec trois côtes donnés, il faut et il suffit (jue le plus grand côté soit moindre que la somme des deux autres et que la somme des côtés soit injérieure à une circonférence de grand cercle.
Dans les applications, il peut se faire que l'une de ces conditions soit remplie d'elle-même; il ne reste plus alors qu'à considérer l'autre. Par exemple, au n° 8i3, lorsqu'on cherche les conditions pour'cpie deux petits cercles se coupent, on n'a pas à faire intervenir la relation
D+R -+-/•< 4,
parce que, d'après la manière dont D, R et /• sont définis, cette relation est satisfaite d'elle-même.
Souvent, on ignore l'ordre relatif de grandeur des côtés donnés. Dans ce cas, on exprime que le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres, en écrivant que chaque côté est moindre que la somme des deux autres.
Pour qu'on puisse construire un triangle spJiériqae avec trois angles donnés, il faut et il suffit que le plus petit angle augmenté de deux droits soit plus grand que la somme des deux autres et que la somme des trois angles soit supérieure à deux angles droits, car, en prenant les sup- pléments de ces angles comme côtés, on peut construire le triangle sup- plémentaire, d'où l'on déduit ensyite le triangle demandé par le tracé in- diqué au n° 809.
2° On donne deux côtés a et b et V angle compris C.
Même solution qu'en Géométrie plane (145).
3" On donne deux côtés a et b et l'angle A opposé au côté a {fg. 455).
Construisons sur la sphère deux grands cercles formant un angle égal à A (829). Prenons, à partir du sommet, sur l'un des côtés de cet angle, un arc AG égal à è, et du point C comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de «, décrivons un arc de cercle; B étant Tinter- section de ce cercle avec le second côté de l'angle, le triangle ABC sera le triangle demandé.
La discussion de ce problème exige quelque attention.
Fig. /,55.
« Achevons le fuseau A, et du point C abaissons l'arc CD perpendicu- » laire sur l'autre côté de l'angle. Dans le triangle sphérique rectangle
LIVRE VII. LES CORPS RONDS. I9I
» ACD, l'arc perpendiculaire CD sera aigu ou obtus suivant que l'angle » donné A sera lui-même aigu ou obtus (821, 2°). Si l'arc CD est aigu, » il sera le plus court de tous les arcs qu'on pourrait mener du point G » dans le fuseau aux divers points de l'arc ABA', et les arcs obliques aug- » menleront en s'éluignant du pied de l'arc perpendiculaire; si l'arc CD » est obtus, il sera au contraire le plus grand des arcs menés du point C, » et les arcs obliques augmenteront en se rapprochant du pied de la per- » pondiculaire f819, 820).
» Cela posé, pour que le triongle proposé soit possible, il faudra (Fabord » fjue le côté opposé a soit nu moins égal à l'arc perpendiculaire, si » l'angle donné A est aigu; ou plus petit, si l'angle donné A est obtus. » Celte première condition de possibilité est évidemment satisfaite lorsque » l'angle donné A et le côté opposé a aussi donné sont de nature différente.
» Je dis maintenant que :
^ X et a étant de nature différente, le problème, s'il est possible, n'a » qu'une solution;
)i A et a étant de même nature, le problème, s'il est possible, a une ou » deux solutions.
» En effet, soient A aigu et a obtus, par exemple. Si l'on peut tracer » dans le fuseau, par le point C, une oblique CB égale au côté a, elle ne » pourra se trouver évidemment que du côté de celle des obliques ex- » trêmes bon 180" — 6 qui sera de même nature quea; ainsi le problème » ne peut avoir qu'une solution. Cette solution existera pour «< celui » des arcs b ou 180° — b de même nature; le triangle sera impossible n pour a au moins égal à celui des arcs b ou 1 80" — 6 de même nature.
» Si l'on supposait A obtus et a aigu, on arriverait aux mêmes conclu- » sions; seulement il fa<idrait renverser les signes, parce que larcper- » pendiculaire CD serait obtus.
» Soient A et a aigus. L'arc perpendiculaire CD étant alors aussi aigu, » on voit qu'il pourra exister dans le fuseau une oblique CB' égale à a du » côté de celui des arcs b ou 180° — ^ qui sera aigu, et, a fortiori, qu'il en » existera alors une autre CB du côté de celui des deux arcs b ou iSo" — b » qui sera obtus. Ainsi le problème pourra avoir deux solutions. Ces » deux solutions existeront pour a< celui des arcs b ou îSo" — b de » même nature; une de ces deux solutions ne sera plus possible pour a au » moins égal à celui des arcs b ou j8o° — 6 de même nature. Le triangle n sera impossible |iour a < lare per|>endicul3ire CD.
» Si l'on supposait A et a obtus, on arriverait aux mêmes conclusions; n seulement il faudrait renverser les signes, parce que l'arc perpendicu- » laire CD serait obtus ( '). »
C) Lentuéric, Nouvelles Annales, l. Il, i'"- série.
iqi
GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
PROBLEME.
832. Par un point donné, mener un arc de grand cercle tangent à un petit cercle donné [Jîg. 456).
Fig. /|56.
-^c
Si le point donné est sur le cercle, il suffit d'élever par ce point un arc de grand cercle perpendiculaire au rayon sphérique correspondant (822).
Supposons, en second lieu, que le point donné A soit extérieur au petit cercle donné, c'est-à-dire soit situé dans la plus grande des deux calottes sphériques séparées par ce petit cercle. Considérons le problème comme résolu; nommons P le pôle du petit cercle donné, B le point de contact de l'arc BA, et prolongeons le rayon sphérique PB d'une quantité BC = PB. Le pointe se trouve d'abord sur un cercle décrit du point P comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde d'un arc de grand cercle double du rayon sphérique r du petit cercle. Il se trouve en outre sur un second cercle décrit du point A comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde de l'arc P.4 = D; car, BA étant perpendiculaire sur le milieu de PBC, le point A est équidistanl de P et de C.
Le point C une fois obtenu à l'aide de ces deux cercles auxiliaires, on mènera l'arc de grand cercle PC qui coupera le petit cercle en B, et, en joignant B et A par un arc de grand cercle, on aura Tare tangent de- mandé.
Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le triangle APC, dont on a les trois côtés, existe, c'est-à-dire qu'on ait (831 )
D<D-f-2/', 2r<D-f-D, D4-D-+-2/<4.
La première condition est toujours remplie, et les deux autres équi- valent à
/•< D< 2 — /-;
elles expriment que le point A doit être situé hors de !a calotte sphé- rique PB, et hors de la calotte symétrique.
LIVRE VU. — LES CORPS RONDS. ig3
Les cercles auxiliaires ?e coupent en deux points C et C; de là deux solutions AB et AB'.
La construction précédente s'applique au problème corresponddnt de Géométrie plane; mais elle exige plus de place que celle du n° 137.
Observons enfin que, lorsque deux cercles de la sphère ont deux points communs, les symétriques de ces points par rapport au centre de la sphère appartiennent évidemment à la fois aux deux cercles symétriques des pre- miers. Si les deux points considérés se confondent, c'est-à-dire si les deux cercles proposés se touchent, les deux cercles symétriques se touchent au point symétrique du premier point de contact. Enfin, si l'un des cercles est un grand cercle, comme il esta lui-même son symétrique, on voit que tout grand cercle tangent à un petit cercle est aussi tangent au petit cercle syniéiricjue du premier par rapport au centre de la sphèn-. Ainsi, dans le problème qui nous occupe, les grands cercles trouvés AB et AB' louchent non-seulement le cercle donné PB, mais encore son symétrique.
PROBLÈME.
833. Décrire un grand cercle tangent à deux petits cercles donnés.
Soient P et P' les pôles (781) des deux petits cercles, R et R' leurs rayons sphériques, D la distance sphérique (81(5) des deux pôles P et P'. Nous supposerons, pour fixer les idées, R >R'.
Le grand cercle cherché X peut laisser les deux cercles R et R' dans un même hémisphère ou dans des hémisphères opposés.
Dans le premier cas [Jïg. 4^7 J , nous prendrons pour inconnue le pôle Q
Fig. ',57.
du grand cercle X, qui est dans le même hémisphère que les cercles R et R'. Si X et A' .-^ont les points où le cercle X louche respectivement les cercles R et R', le pôle Q est à la fois sur les grands cercles PA et P.V ; il est donc le tro sième sommet d'un triangle sphérique QPP', dont on connaît deux sommets P et P' et les tr.jis côtés
PP' = D, PQ = OA-AP- i-R, P'0= QA'-.\'P'= I— R'. R. et DE C. — Tr. de Géom. (.11' Partie J. l3
ig4 GÉOMÉTRIE DANS l.'liSPACE.
Les conditions de possibilité sont (831)
D<i-R-f-i — R' ou 2 — D>R+Tl',
i-R'<D + i-R ou D>R-R',
i-R<D-f-i-R' ou D>R'-R,
D + i — R H- I -R'< 4 ou D<2+R-hR',
Supprimant les deux dernières relations qui sont satisfaites d'elles- mêmes, puisque l'on a D < 2 et R' < R, il ne reste plus que les condi- tions
D>R-R' et 2-D>R + R'.
Les principes du n'' 8^3, applicables ici puisque D est moindre que 2 et que i — R et 1 — R' sont moindres que i, les auraient fournies immé- diatement; ils permettent d'ailleurs d'interpréter géométriquement ces deux conditions. La première exprime que la calotte R' n'est pas contenue dans la calotte R. Quant à la seconde, comme 2 — D est la distance sphé- rique de P au symétrique de P', elle signifie que )a calotte R et la ca- lotte symétrique d(! la calotte R' sont extérieures l'une à l'autre.
Dans le second cna [fig. 458), on voit, d'une manière analogue, que
/,58.
le pôle Q du grand cercle X qui se trouve dans le même hémisphère que le cercle R est le troisième sommet d'yn triangle sphérique QPP', dont on a les deux sommets P et P' et les longueurs D, 1 — R, i -hR', des trois côtés. Les conditions de possibilité sont
D>R-^R' et 2— D>R— R'.
Elles exprimentque les calottes R et R' sont extérieures l'une à l'autre et que la calotte R ne contient pas la calotte symétrique de la culotte R'-
LIVRE VU. — LES CORPS HONDS.
195
i^ V. — AIRE DE LA SPHERE
DÉFINITIONS. 834. On appelle zone In portion de la surface sphérique comprise entre deux cercles dont les plans sont parallèles. Ces cercles sont les bases de la zone ei la distance de leurs plans est sa hauteur. Ainsi, tandis que la demi-circonférence PABP' engendre une sphère en tournant autour du diamètre PP' [Jig. 459), Tare AB décrit une zone dont les bases sont les
cercles AC et BD décrits par les points A et B, et dont la hau- teur est la projection CD de l'arc AB sur l'axe PP'.
Si l'un des plans est langent à la sphère, l'un des cercles considérés se réduit à un point, el la zone, qui n'a plus alors qu'unç base, devient une calotte sphérique. Ainsi l'arc PA, en tournant autour de PP', engendre une calotte sphérique dont le cercle AC est la base el dont PC est la hauteur.
THÉORÈME. 835. Lorsqu'une droite AB tourne autour d' un axe xy situé dans son plan, l'aire quelle engendre a pour mesure le produit de la projection Cl) de cette droite sur l'axe par la circonfé- rence dont le rafon est la perpendiculaire 10, élevée au mi- lieul de la droite \B jusqu'à la rencontre de l'axe xf [Jig. 4(Jo),
Fiji;. /(Go.
Nous supposerons que la droite AB est située tout enliôre
iq6
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
d'un même côté de l'axe .rj. Quelles que soient alors les positions relatives de AB et de xf, l'aire engendré par AB a pour mesure (761)
(i) 2Tr.lM.AB,
IM étant la perpendiculaire abaissée du point I sur xy.
Si la droite AB est parallèle à xy^, le théorème proposé est tout démontré; sinon, il faut transformer l'expression (i). A cet effet, menons AE parallèle à xy jusqu'à la rencontre de la projetante BD ; les triangles AEB, IMO sont semblables comme ayant les côtés respectivement perpendiculaires, et l'on a
IM_ 10 AE~AB
d'où IM.AB = IO.AE.
L'expression (i) peut donc être remplacée |)ar
2Tr.I0.AE ou 27:. 10. CD,
ce qui démon'tre la proposition énoncée.
Dans le cas où le point A est situé sur l'axe xy, le raisonne- ment subsiste; seulement la droite AE se confond avec l'axe.
THËOR£M£.
836. L'aire engendrée par une ligne brisée régulière ABCD,
tournant autour d'un diamètre xy~ qui ne la traverse pas, a
pour mesure le produit de (a circonférence inscrite dans la
ligne brisée par la projection A' D' de cette ligne sur l'axe xy
Fig. 40 1.
*a;a' b
D'])\
Soient 0 le centre et 01 = OIC = OL l'apothème de la ligne brisée régulière ABCD; si l'on désigne par aire AB l'aire en-
LIVRR VII. — LES CORPS RONDS. 197
gendrôe par la rotation de AB autour de xy, on a, d'après lé théorème précédent,
aire AB z= A'B'.circ.OI, et de même
aire AC = B'C'.circ.OI,
aire CD = CD'. cire. 01,
d'où, en ajoutant,
aireABCD = (A'B' + B'C' + C'D'j.circ.OI = circ.Ol.A'D'.
Corollaires.
837. Considérons un arc de cercle AD et une ligne brisée régulière inscrite ABCD; tandis que l'arc AD tourne autour du diamètre xOr, la ligne brisée engendre une aire qui (end vers une limite indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro. En effet, dans le pro- duit A' D', cire. 01 qui mesure cette aire, le p.'*emier facteur A'D' est in- variable et le second cire. 01 a toujours pour limite circ.OA. C'est cette limite de l'aire engendrée par la ligne brisée régulière inscrite qu'on ap- pelle aire de la zone décrite par l'arc AD.
On voit sans peine que la ligne brisée A, B, C, D, circonscrite au même arc et semblable à la ligne inscrite ABCD engendre une aire qui tend vers la même limite. En effet, on a
aireA,B,C,D, _ A', D', • circ^O^ ^ aire ABCD ~ A' D' .'circTOF *
^ 1 . circ.OA OA . , i. •. - ■ ■ u i
Or le rapport rrr = ttt tend vers 1 unité lorsque le nombre des
' '^ cire. 01 01
côtés delà ligne brisée ABCD croît indéfiniment, et il en est de même
A' D' , ,
du rapport ', ,' qui, en vertu de la similitude des polygones A' A BCDD ,
OA
A',A, B, C, D, D',, est aussi égal à Yj7'
THÉORÈME.
838. L'aire d'une zone sphénque a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle.
Par définition, l'aire de la zone est la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l'arc générateur de la zone, lorsque le nombre des côtés de cette ligne brisée croît indéfiniment. D'après cela, soient S
ig8 GÉOMfiTRIE BAWS i/eSPACE.
l'aire de la zone, H sa hauteur, et U le rayon de l'arc généra- teur, c'est-à-dire le rayon de la sphère à laquelle la zone ap- partient; soient de même s l'aire engentirée par une ligne bri- sée régulière inscrite dans l'arc générateur, et a l'apothème de celte ligne brisée. On a (836), puisque la projection de la ligne brisée sur l'axe est aussi égale à H,
5 = H. 27ra.
Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, H reste invariable, s tend vers S, et a vers R. On a donc, à la limite,
S=H.27TR.
Corollaires. 839. Dans des sphères égales, deux zones sont entre elles comme leurs hauteurs-et, par suite, deux zones de même hau- teur sont équivalentes.
8i0. Considérons la calotte sphérique engendrée par l'arc AB tournant autour du diamètre AT) [Jig. 462). En vertu du théo-
Fig. 4G2.
rème précédeni, l'aire de cette calotte a pour mesure
2-.A0.AC = 7r.AD.ÂC ou (223) tt-FiI.
Donc, une calotte sphérique quelconque équivaut au cercle dont le rayon est égal à la corde de l'arc générateur de la calotte.
THÉORÈME.
841. L'aire de la sphère a pour mesure le produit de son diamètre par la circonférence d'un grand cercle.
Car celle aire peut être considérée comme celle d'une zone dont la hauteur PSl égale au diamètre de la sphère. D'ailleurs, le raisonnement fait pour la zone s'applique textuel- lement à ce cas particulier.
lIVnF Tri. — tF.S CORPS BONDS. «09
Corollaires.
8i2. S éiani l'aire d'une sphère de rayon R ou de diamètre D, on a
S=9,H.2-R=:477U^ = 7:D^
L'aire de la sphère est ûouc égale à quatre grands cercles. On peut dire encore qu'elle équivaut à l'aire d'un cercle dont le rayon serait égal au diamètre de la sphère.
Les aires des deux sphères sont entre elles comme les carrés des rayons ou des diamètres.
843. Voiri deux applications numériques :
1° Trouver, à moins d'un myriamètre carré, la surface du globe terrestre.
Ou sait, par la définition du mètre, que la circonférence
d'un grand cercle du globe renferme ^o millions de mètres ou
, . . ... , ' ■ . 4ooo
4000 myriametres; son diamètre est donc égal a et, par
suite (842), l'aire du globe est
/4oO0\' 16000000 „ /-ov.„«
7r(-t^^-) = = 5o92 958"""i5
à I myriamètre carré près.
-x'' L'aire d'une sphère est i mètre carré: quel est son rayon? La formule
47:11==! donne R = ^ 1/ - = o'",282,
à I millimètre près.
THÉORÈME.
844. Deux triangles sphériques symétriques ABC, A'B'C sont équivalents yjig. 463) .
Fie. 46^.
Prenons le pôle Pdu petit cercle qui passerait par les points
200 GÉOMÉTRIE DANS l'esPACE.
A, B, C, et menons les arcs de grand cercle PA, PB, PC, qui sont égaux entre eux (780). Traçons le diamètre POP' et les arcs de grand cercle P'A', P'B', P'C. L'égalité des angles POA, P'OA' entraîne celle des arcs PA et P'A'; on voit de même que PB = P' B' , et PC = P' C ; par suite, comnne PA = PB = PC, il faut qu!on ait P'A' = P'B' = P'C. D'après cela, les triangles PAB, P'A'B' sont symétriques et isocèles; ils sont donc su- perposables. De même, les triangles PAC, P'A'C. sont égaux entre eux, ainsi que les triangles PBC, P'B'C. Donc, enfin, le triangle ABC, somme de PAB, PAC et PBC, est équivalent au triangle A'B'C, somme de P'A'B', P'A'C et P'B'C,
Si le pôle P tombait à l'extérieur du triangle ABC, ce triangle ne serait plus une somme, mais une dilï'érence.
Fig. 464.
COROLLA.IRE.
8i5. Si deux arcs de grand cercle kÇJ k' ,^CW se coupent dans un même hémisphère C ABA'B', la somme des triangles opposés ACB, A'CB' est égale au fuseau dont l'angle est
ACB(/o..464).
On nomvwQ fuseau la portion de surface sphérique com- prise entre deux demi-grands cercles CAC, CBC, qui se ter- minent à un diamètre commun COC; l'angle ACB ou ACB de ces deux arcs est dit V angle du fuseau.
Cela étant, le fuseau compris entre CAC et CBC se com- pose du triangle ABC et du triangle ABC; et, comme le triangle A'B'C est évidemment le symétrique de ABC et que deux triangles symétriques sont équivalents, on voit que le fuseau dont l'angle est C est égal à la somme des triangles opposés ACB, A'CB'.
tIVIîE VU. — LES CORPS RONDS. 9.0I
THÉORÈME.
846. Si l'on prend pour unité d'ungle l'angle droit et pour unité d'aire l'aire du triangle trirectangle, un fuseau a pour mesure le double du nombre qui mesure son angle.
On voit immédiatement que, sur la même sphère ou sur des sphères égales : i° deux fuseaux de même angle sont super- posables ; 2° un fuseau est égal à la somme de deux autres, si son angle est égal à la somme des angles de ces deux autres.
Il résulte de là (l""^ Partie, Note I) que deux fuseaux quel- conques d'une même sphère sont entre eux comme leurs angles.
Cela étant, soient A et A' les nombres qui mesurent les angles de deux fuseaux d'une même sphère, l'angle droit étant pris pour unité; et soient F et F' les nombres qui me- surent ces fuseaux, le triangle trirectangle (813) étant pris pour unité d'aire; on aura
FA F'~ A*
Prenons A' = i ; le fuseau correspondant, ayant son angle droit, sera égal au quart de la sphère, c'est-à-dire au double du triangle trirectangle : on aura donc F' =. ?. et, par suite,
- =— , d OU F =: 2A. 2 I
THÉORÈME.
847. Si l'on prend l'angle droit pour unité d'angle et le triangle trirectangle pour unité, d'aire, l'aire d'un triangle sphérique a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, diminuée de 2.
Fig. 465.
Soil [fig. 465) AliC le. triangle proposé; achevons le grand
202 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE,
cercle AB, et prolongeons les côtés AC, BC, jusqu'aux points A' et B' où ils rencontrent ce grand cercle. On aura évicl<;m- ment
ABC + BCA' = fus. A,
ABC + ACB' = fus.B,
el (845)
ABC + B'CA':^ fus. C.
La somme des premiers membres de ces trois égalités se com- pose de la demi-sphère el de deux fois l'aire du triangle ABC. Comme, dans le système d'unités adopté, la demi-sphère est mesurée par le nombre ^, si l'on désigne par S, A, B, C les nombres qui mesurent l'aire el les angles du iriangle, on aura (84G)
4 + aS = 2 A 4- 2 B H- 2 C, d'où
(i) S=:A^-B-^C — 2.
SCOLIES.
84-8. Soient Rie rayon de la sphère évalué en mètres, o- l'aire du Iriangle en mètres carrés, el a, ê, y les angles de ce iriangle évalués en degrés; on aura, en observant que le iriangle Iri-
rectangle est égal au huitième -TrB^de la sphère.
— , B = — , C = -^, S
90 90 90 ^ttK^
et, par suite, en vertu de la relation (i),
, . a-t-g + y— 180
(2) a = ^^ -ttU'.
Voici deux exemples :
1° Quelle est, sur la sphère dont l'aire est égale à i mètre carré, l'aire du triangle dont les angles sont de 61 degrés, loc) degrés, 127 degrés?
Le rapport de ce iriangle au triangle Irireclangle est, d'après {a formule (i ),
61 H- 109 H- 12. ij — 180 117 „_
— — ' z=z: — ' > -^J
90 • 90
IIVIE Vil. ^ LBS CORPS BONDS. io3
el, comme le triangle irireclangle est ici le huitième du mètre rarré, l'aire du triangle donné est
- X 1,3= o""i, 1G25. o
2" Quelle est, sur la sphère dont le rayon est 2"',4> l'aire du triangle sp/térique dont les angles sont de 5i°37', 73*11', 87°43'?
La formule (2) donne, en réduisant en minutes,
__(5i +734-87- 180) 60 4- 37 -M 1^ 43 , ,.,
(7 — ôz-â. ^X^-A
100.00
= I ,o4o533 X 7: = 3""i, 2689,
à I centimètre carré près.
849. En analyse, on évalue généralement les angles en par-
ties du ravon (297. 3" ; nlors l'angle droit repond a —, et, si
l'on désigne par A', H , C les angles du triangle évalués en parties du rayon, on a
77 - TT r.
2
et, par suite,
A + lî + C — 2 = I f A' + R' -f- C — 7:) .
D'ailleurs, le rayon de la sphère étant i, l'aire du triangle tri- rectangle est alors mesurée par -» de sorte qu'on a
S = - = — ,
7: 71
2
S' étant le nombre qui mesure l'aire du triangle dans ce nou- veau système d'unités. On a donc enlin (847), à cause de la formule i \
S' = A' + B' -hC -7T.
Un donne à ce nombre abstrait A' -f- IV -1- C — z le nom d'excès sphérique du triangle.
^o4 GftOMÉTRfE DANS !,' ESPACE.
THÉORÈME.
850. Sf l'on prend l'angle droit pour unité d'angle et le triangle tri- rectangle pour unité d'aire, l'aire d'un polygone sphérique de n côtés a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, diminuée de 1 [n — 2).
On arcive à ce résultat en décomposant le polygone en triangles à l'aide d'arcs de grand cercle diagonaux issus d'un même sommet, et en appli- quant la formule (i) du n" 847 aux [n — 1) triangles ainsi obtenus.
SCOLIE.
851. Soient, dans le système d'unités adopté, S, A,, A^, ..., A„ les me- sures de l'aire et des angles d'un polygone sphérique convexe de n côtés ; on aura
S= (A, -I- Aj-f- ... -H A,,) — 2 (« — 2).
Désignons par (7,,«j, . . . , a^^ les nombres qui mesurent les côtés du po- lygone polaire (811), en prenant pour unité de longueur le quart de la circonférence d'un grand cercle ; on aura
A, = 2 — «,, Aj = 2 — «2, ..., A„ = 2 — «„,
et, par suite,
S = [2« — (rt, -+- fl'2 -f- ■ • • -t- «„)] — 2(/^ — 2) = 4 — («I -t-'^î -•- •••-^-^J> OU enfin, en désignant par/; le périmètre du polygone polaire,
S = 4-/^.
Ainsi, \airc d'un polygone sphéri(iue convexe est égale a 4 moins le pé- rimètre du polygone polaire; cette relation mérite^d'êlre remarquée.
THÉORÈME.
852. Le lieu géométrique des sommets C des triangles sphériques, de même base A6 et de même aire S, se compose de deux arcs de petits cercles symétriques par rapport au plan du grand cercle AB et passant par les points E et \) diamétralement opposés aux extrémités de la base AB 'A-. 466).
Fi(T. /|66.
'B
En effet, en désignant par A, B, C les angles d'un triangle quelconque
HYiiE VII, — LUS coins noNus. 2o5
ABC satisfaisant à la question et par D, E, G les aneles tin triangle cor- respondant DCE, on a A = 2 — E, B = 2 -tt D, et par suite
S = ( 2 — E ) -f- (2 - D) -f- C — 2, d'où
D + E — C=2-S;
on tombe ainsi sur le lieu étudié au n° 82 i, dans le cas où la différence (L) -(- E) — G est donnée en grandeur et en signe ; ce qui démontre l'énoncé. Ce théorème est dû à Lexell [Acta Petrop., 1781).
§ VI. — VOLUME DE LA SPHÈRE.
DÉFINITIONS.
853. Pendant que la demi-circonférence .rABr engendre la surface sphérique en tournant autour du diamètre x}\ l'arc Ali engendre une zone, et les rayons OA et OB engendrent
i-ig. '167.
les surfaces latérales de deux cônes de révolution. La portion du volume de la sphère comprise entre les surfaces latérales de ces deux cônes et la zone AH est le secteur spliévique cor- respondant au secteur circulaire AOB. Un secteur sphérique est donc le volume engendré par la rotation d'un secteur cir- culaire autour d'un axe passant par son sommet, situé dans son plan et extérieur à sa surface; la zone engendrée par l'arc du secteur circulaire est la base du secteur sphérique.
^hk. On a\}^Q,\\e segment sphérique \:i portion du volume de la sphère comprise entre deux plans sécants parallèles. Les cercles déterminés par ces plans parallèles sont les bases du segment sphérique, et leur dislance en est la hauteur.
Lorsqu'un des plans parallèles devient langent à la sphère, le cercle correspondant se réduit à son pôle, ei l'on a un segmcnl sphériiiue à une base.
Si l'on ajoute [fis- 4^7) ^u secteur sphérique AOB les deux
•206
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
cônes AOa, BOb, on oblient le segment sphérique compris entre les deux plans parallèles déterminés par la rotation des perpendiculaires Aa, Bb, autour de xy. Ce segment sphérique correspond donc à la rotation du trapèze mixtiligne aAB6 au- tour du même axe.
THÉORÈME.
855. Lorsqu'un triangle tourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par l'un de ses sommets sans traverser sa surface, il engendre un volume qui apour mesure le produit de l'aire que décrit le côté opposé au sommet fixe, par le tiers de la hauteur relative à ce côté.
Soit le triangle ABC ayant son sommet A sur l'axe xy q\ AE pour hauteur relative à ce sommet : nous distinguerons trois cas.
Fig. /,68. Fig. 469.
A' B'
|
K' |
U B. |
|
|
r- 1 |
FI |
^\j |
1° Supposons l'un des côtés ATÎ du triangle ABC confondu avec l'axe xy. Suivant que la hauteur CD qui correspond au côté AB tombe à l'intérieur [fig- 4^8) ou à l'extérieur [fig. 469) du triangle ABC, le volume engendré par ce triangle est la somme ou la différence des cônes engendrés par les triangles rectangles ACD, BCD.
En même temps, le cylindre engendré par la rotation du rectangle ABB'A', qui a même base et môme hauteur que le triangle donné ABC, est la somme [fig. 468) ou la différence {fig. 469) des cylindres engendrés par la rotation des rec- tangles ADCA', BDCB', dont le rectangle ABB'A' est lui-même la somme ou la différence. D'ailleurs, le cône ACD est le tiers du cylindre ADCA', et le cône BCD, le tiers du^cylindreBDCB' (764). Donc, dans l'un et l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est le tiers du cylindre AB B'A', et l'on a
vo1.ABC = ^7tCD
AB
ou vol.ABC = ^7rCD.BC.AE,
HVRK Vir. — LKS CORPS ROKDS. 207
puisque les prorluils CD. AB el BC. ÂE représentent tous deux le double de l'aire du triangle donné. Or, tt.CD.BC exprime (756) l'aire latérale du cône BCI) ou l'aire de la surface en- gendrée par le côté BG dans la rotation du triangle ABC. Par suite,
AE
~3"
vol.ABC = airc BC
2" Supposons ijii^. 470) que, le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur l'axe xy, le côté BG prolongé vienne rencontrer l'axe au point D.
Fig. 470.
D y
Le triangle ABC étant la différence des triangles ACD, ABD, le volume qu'il engendre est la différence des volumes engen- drés par ces triangles. On a donc (i")
AF AF
vol. ABC = (aire DC — aire DB) — ' = aireBC ~.
3° Supposons enfin que le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur l'axe xf, le côté BC soil parallèle à cet axe.
Le volume engendré par le triangle ABC est la somme iJ'f)- 47*) ou la différence {/tg- 47^) des volumes engendrés par les triangles ABE, ACE. Or, le volume engendré par le
Fig. 471. Fig. 472.
triangle ABE est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle A B' BE.etle volume engendré parle triangh; ACE, les deux tiers du cylindre enj^endré par le rectangle AG'GE (704),
2o8 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Donc, dans l'un et l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB, somme [fig- 47 0 O"^! différence {Jig- 47^) des rectangles AB'BE, AC'CE; et l'on a encore
AE
vol.ABC = ^7rAE .BC = aireBC ,
27r-AE.BC exprime en effet l'aire latérale du cylindre engen- dré par le rectangle B'C'CB ou l'aire de la surface décrite par le côté BC du triangle ABC.
THÉORÈME.
856. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d'un diamètre extérieur à sa surface a pour mesure le produit de l'aire que décrit la ligne brisée gui lui sert de base, par le tiers de l'apothème de cette ligne brisée.
Soit [fg. 47^) le secteur polygonal régulier (H3) OABCD. tournant autour du diamètre xy. Décomposons ce secteur en triangles, en joignant au" centre 0 les sommets de sa base ABCD, et appelons a l'apothème de cette base. Le volume engendré par le secteur sera la somme des volumes engendrés par les triangles qui le constituent. Or (855)
vol.AOB=aireAB.|,
vol.BOCr=aireBC-^,
YP|.ÇOP:;:?^ireCD.f.
LIVRE Vir. — LES COUPS RO>'DS. 9.0Ç)
En ajoutant ces égalités membre à membre, il vient vol.OABCD = (aire AB -h aireBC + aire CD). |
ou
vol. OABCD = aire ABCI).?
SCOLIE.
857. Soient {/g. 473)AOD un secteur circulaire et OABCD, OAB'C'D', deux secteurs polygonaux réguliers semblables, l'un inscrit, l'autre cir- conscrit au secteur circulaire. Si l'on désigne par n et a' les apothèmes des deux secteurs polygonaux, le rapport des volumes engendrés par la rotation de ces secteurs autour de l'axe jtj est
a aireABCD
a' aireA'BC'U'
Mais, lorsqu'on fait tendre vers zéro les côtés de la ligne brisée régu- lière ABCD, suivant une loi d'ailleurs quelconque, les deux facteurs du produit qu'on vient d'écrire tendent l'un et l'autre vers l'unité (291, 83"). Donc le rapport des volumes engendrés par les deux secteurs polygo- naux a l'unité pour limite et, par suite, il en est de même, a fortiori, du rapport du volume du secteur sphérique engendré par le secteur circu- laire AOD au volume décrit par chacun des secteurs polygonaux qui le comprennent. Donc enfin :
Le volume d'un secteur sphérique est In limite commune des volumes engendrés par des secteurs poljrgonatuv réguliers semblables, inscrit et circonscrit nu secteur circulaire correspondant, lors(pton fait croître in- définiment le nombre des côtés de leurs bases.
THÉORÈME.
858. Le volume d'un secteur sp/iérigue a pour mesure le produit de l'aire de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère.
Le volume d'un secteur sphérique est la limite des volumes engendrés par les secteurs polygonaux réguliers inscrits dans le secteur circulaire correspondant, quandon fait croître indéfini- ment le nombre des côtés de leurs bases. D'après cela, soient c le volume engendré par un secteur polygonal régulier inscrit, s l'aire de la surface décrite par sa base, « son apot.hcme; soient de même V le volume du secteur sphérique, S l'aire
R, cl DE C, — Tr. (h- Géont, ^11° Partie}, l^
210 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
de la zone qui lui sert de base, l\ le rayon de la sphère.
Ona(83G)
a v = s.-. .
Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtes de là base du secteur polygonal, v tend vers V, s vers S et a vers R. On a donc, à la limite.
Corollaires.
859. Dans des sphères égales, deux secteurs sphériques sont entre eux comme les zones qui leur servent de bases, et, par suite, deux secteurs sphériques dont les bases ont même hauteur sont équivalents.
THÉORÈME.
860. Le volume de la sphère a pour mesure le produit de son aire par le tiers du rayon.
Car ce volume peut être considéré comme celui d'un sec- leur sphérique ayant pour secteur circulaire correspondant un demi-cercle ou pour base l'aire de la surface sphérique elle- même. D'ailleurs, le raisonnement l'ail pour le secteur sphé- rique s'applique lexiaellement à ce cas particulier,
Corollaires.
861. V étant le volume d'une sphère de rayon n ou de dia- mètre D, on a
8G2. Les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes des rayons ou des diamètres.
863. Voici deux applications numériques :
1° Trouver le volume du globe terrestre.
L'aire du globe est (843], à moins d'un myriamètre carre,
LIVRE VU. — LES CORPS RONDS. 211
2OOOO0OO'"
5092958 myriamèlres carrés. Son rayon esld'ailleurs-
OU 6366 kilomètres, à i kilomètre près. Le volume du globe terrestre, égal au produit de son aire par le tiers du rayon, sera donc 1 081 000 000 myriamèlres cubes, à un million de myria- mètres cubes près.
Si l'on prend le rayon du globe terrestre pour unité, le rayon du Soleil est représenté par 108, 5. L'aire et le volume du So- leil sont donc environ 1 1 800 fois et 1280000 fois l'aire et le volume de la Terre '842, 8(>2).
1" Trouver le rayon de la sphère dont le volume est un mètre cube.
La formule
iî^7:R'=:i donne K =^ \ 7— =: o"',G2o, à moins d'un millimètre.
SCOLIE.
83V. Les volumes de deux polyèdres circonscrits à la mt^me sphère ou à des sphères égales sont entre eux comme les aires de ces mêmes polyèdres.
Si l'on décompose, en elTet, les polyèdres donnés en pyra- mides, en prenant pour centre de décomposition le centre de la sphère inscrite, la mesure du volume de chacun d'eux s'ob- tient en multipliant l'aire de sa surface par le tiers du rayon de la sphère (6iC).
THÉORÈME.
860. Le volume engendré par un segment circulaire tour- nant autour d'un diamètre extérieur à sa su 1 face équivaut au sixième du cylindre qui a pour rayon la corde du segment et pour hauteur la projection de cette corde sur l'axe.
Le segiueni AmB [fig. 474; e.>t la dilférence du secteur cir- culaire AOK et du iriangle isocèle AOB; la portion du volume de la sphère engendrée par la rotation de ce segment sera donc
GÉOMÉTKIE DANS l'kSPACE.
égale à la différence des volumes du secteur sphérique AOB et du triangle lournani AOB.
Fig. 47/,.
DP étant la projection de AB sur xy et 01 la hauteur du triangle AOB, on aura (858, 838, 855, 835)
OA 0. — 2 sect. sph.AOB^: zone AB. -— = ^7rOA .DF,
01 2 — 2 vol. AOB = aire ÂB^=-7r01 .DF.
Par suite,
vol. AmB = ^ - (ÂÔ'— Ôï' ) DF. ù
Le triangle rectangle OIA donnant
ab'
il vient, en réduisant,
V(
ce qui vérifie l'énoncé
OA —01 = Al =-r ■> 4
vol.AmB=-T7rAB.DF,
THÉORÈME.
861). Le volume d'un segment sphérique équivaut au vo- lume d'une sphère ayant pour diamètre la hauteur du segment y augmenté de la demi-somme des volumes de deux cylindres ayant pour hauteur commune celle du segment, et pour bases respectives les bases du segment.
Le trapèze mixtiligne DAmBF [Jig. 475) engendre un seg- ment sphérique en tournant autour du diamètre xy (854). Ce segment est donc la somme des volumes engendrés par le segment circulaire A/7iB et le trapèze rectangulaire DABF. On a d'abord (8G0)
vol.AmB^^TrÂB.DF. b
LIVRE VII. LES CORPS RONDS.
2l3
Le trapèze DABF engendrani un tronc de cône de révolution, on a aussi (766)
vol. DABF = ^- UF(bf' -i-Ân' 4- BF. AD).
Par suite,
vol. D A mBF = ^ t: DF ( Ab' + 2 Bf' H- 2Âd' -+- 9. BF. ad).. o
D'ailleurs, la corde AB est liée à la hauteur DF et aux rayons
Fig. 475.
a. 1) F 0 y
BF et AD des bases du segment sphérique par la relation
Âb' = ÂË' + BË' =1)f' -4-(BF-AD)' —
ou
Âb'=: DF' -f BF' H- AT)' — 2BF.AD.
2
En substituant celte valeur de AB et en simplifiant, il vient
vol. DAmBF = g -DF (df' -f- 3BF V 3Âd'), ce (|u'on peut écrire
vol.DAmBF = ;^T:DFV - (r Bf' .DF + ttÂd'.DF)
D -i
de manière à vérifier l'énoncé (861, 746).
Si le segment considéré n'a qu'une base, c'esl-à-dire si (^h- 476J le |)oini D vient occuper l'une des extrémités du diamètre ay, on a simplement
vol.D/;iBF=^,4-l)i''-i---BF'.DF. 0 2
2ï4 GÉOMÉTHIR DANS l'eSPACE.
SCOIIE.
867. Quand le segment sphérique n'a qu'une base {/ig.^']6), on peut exprimer son volume V en fonction de sa hauteur
Fig. '176.
a; D F 0
DF=:/i et du rayon R de la sphère. On a d'abord, d'î:>près la formule précédente,
b 1
D'ailleurs (223), d'où
BF
A(2.R — /O,
b 2 ^
ou, en simplifiant,
(i) V = 7r/^'
(r-1/,).
On peut trouver directement cette formule, en regardant le segment à une base comme la somme ou la différence du secteur sphérique terminé à la même calotte sphérique et du cône de révolution qui, ayant la même base que le segment, a son sommet au centre de la sphère. Le segment sphérique est la somme ou la différence des deux volumes indiqués, sui- vant qu'il est plus grand ou plus petit que la demi-sphère.
Dans le second cas [fig. 476), on a
V = ^7rUV«-^7rBF'(R-A);
dans le premier (même figure),
V^^ttU^// + ^7:RF (/t — R).
LITIÎE VII. — LES CORPS RONDS. 21 5
7
Ces deux formules sonl idenliques, puisque BF a toujours la même expression; et, en les simpliliani, on retrouve la for- mule ( I ).
THÉORÈME.
8G8. Le volume d'une pyramide sphérique n pour mesure le produit de sa base par le tiers du rayon de la sphère.
Une pyramide sphérique est la portion du volume de la sphère comprise entre les faces d'un angle polyèdre dont le sommet est au centre de la sphère; le polygone sphérique correspondant à cet angle polyèdre est la hase de la pyramide. Deux pyramides sphériquessont dites5/m^f//</Me5 lorsqu'elles ont pour bases des polygones sphériques symétriques.
On appelle onglet la portion du volume de la sphère com- prise entre deux demi-grands cercles CAC, CBC [fig. 4<J4) '• ^^ fuseau C'ACBC est la base del'onjilet, et son angle est Vangle de l'onglet.
On démontre que :
1° Deux pyramides sphériques triangulaires s) métriques sont équivalentes (84i) ;
i^Si l'on prend pour unité d'angle l'angle droit, et pour unité de volume la pyramide trireclangle qui est le huitième du volume de la sphère, un onglet a pour mesure le double du nombre qui mesure son angle (SVfi) ;
3" Dans le même système d'unités, le volume d'une pyramide sphérique triangulaire a pour mesure le nombre A + B + C — 2, A, B, C étant les mesures des angles du triangle sphérique qui sert de base à la pyramide (847).
Il résulte de là que le rapport du volume d'une pyramide sphérique triangulaire à l'aire de sa base est égal au rai)porf de la pyramide sphérique trireclangle au triangle trirectangle; mais ce dernier rapport est égal à celui du volume de la sphère à son aire, c'est-à-dire au tiers du rayon. Donc le volume de la pyramide sphérique triangulaire est égal au produit de sa base par le tiers du rayon; et ce théorème s'étend à la pyramide sphérique polygonale, en décomposant sa base en triangles.
GÉOMÉTRIE DANS t/kSPACH.
§ VII. — GÉNÉRALITÉS SUR LES SURFACES.
DEFINITIONS.
869. Une surface est le lieu des positions successives d'une ^ ligne qui change de position et même de forme, suivant une loi déterminée et continue. Le plus souvent on règle, au moins en partie, le mouvement de celte ligne, qu'on nomme génératrice, en l'astreignant à rencontrer sans cesse certaines lignes fixes qu'on appelle directrices.
Voici des exemples :
1° Une surface conique est le lieu des positions successives d'une droite A, SA [fig. 477) tjui passe toujours par un point fixe S et qui s'appuie sur une ligne fixe AMB plane ou gauche. Ici la génératrice est constante de forme, c'est une droite, et l'une des directrices se réduit à un point S qu'on nomme sommet. Une surface conique a deux nappes SA,B,,SAB, sé- parées par le sommet.
Fig. 477.
Fig. 478.
/ M/
/ / j"/ /
Q^° Une surface cylindrique est le lieu des positions succes- sives d'une droite AA' qui s'appuie sur une ligne fixe ABC et reste parallèle à une direction donnée [fg- 47^)- Une surface cylindrique peut être considérée comme la limite d'une sur-
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 2'7
face conique dont le sommet s'esl éloigné indéfiniment dans la direction donnée; ou, plus brièvement, c'est une surlace conique dont le sommet est à l'infini dans une certaine di- rection.
3° Une surface de révolution est le lieu des positions suc- cessives d'une ligne MNP qui tourne autour d'une droite fixe XY à laquelle elle est invariablement liée [fig- 479 • l^^"^ ce mouvement, tout point AI de la génératrice MNP dérrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe XY, et dont le centre 0 est sur cet axe; d'après cela, toutes les sections faites par des plans perpendiculaires à l'axe sont des cercles : ces cercles M,MM„ N.NN,, P.PPj,. . . sont les parallèles de la surface. On appelle méridiens les sections faites dans la surface par des plans passant par l'axe XY; deux méri- diens quelconques M,N, P,, M2N2P2 sont des lignes superpo- sables: car, si l'on fait tourner le plan XOP, de l'angle PiOPj, de manière à amener le point P, sur le point P2, les points M,, N,,. .. arriveront respectivement sur MjjNj, .. ., attendu que les angles M,OM„N,ON„. . ., P,OP„ sont égaux, comme angles plans d'un même dièdre.
F'S- 479-
Toute courbe tracée sur une surface de révolution peut être prise pour génératrice de celle surface; le plus souvent on choisit pour génératrice la courbe méridienne. Nous avons déjà étudié trois surfaces de révolution : la surface conique de révolution dont le méridien est une droite qui rencontre l'axe, la surface cylindrique de révolution dont le méridien
2l8 GÉOMÉTRllî DANS i'eSPACE.
est une droite parallèle à l'axe, et la sphère dont le méridien est une circonférence ayant son centre sur l'axe.
Les surfaces de révolution admettent un second mode de génération fort remarquable : on peut les considérer comme le lieu des positions d'un cercle dont le centre parcourt l'axe fixeXY, dont le plan reste perpendiculaire à cet axe, et dont le rayon varie suivant une loi telle, que le cercle rencontre sans cesse un méridien ou toute autre courbe tracée sur la surface. C'est ce cercle, variable de grandeur et de position, qui est alors la .génératrice, et le méridien ou la courbe fixe considérée sur la surface qui est la directrice.
THÉORÈME.
870. 1° Les sections d'une surface cylindrique, par deux plans parallèles, sont égalas.
2° Les sections d'une surface conique, par deux plans pa~ rallèles, sont semblables.
En effet :
1° Soient la surface cylindrique AA' et deux sections ABC, A'B'C, faites par deux plans parallèles (^,^. 478). Prenons quatre points A, B, C, M, sur la première section, et menons les génératrices AA', BB', CC, MM', qui rencontrent la se- conde section en A', B', C, M'. Les quadrilatères ABCM, A'B'C M' sont superposables comme bases opposées d'un prisme quadrangulaire; D'après cela, si l'on transporte le plan de la seconde section sur celui de la première, dès que les trois points A', B', C seront appliqués sur leurs correspon- dants A, B, C, tout point M' de la seconde section coïncidera avec son correspondant M de la première.
La section A'B'C peut être considérée comme la [jiojec- tion obliqu*. ^586) de ABC; on peut donc encore énoncer ce théorème de la tnanière suivante : Lhie courbe plane quelconque est égale à su projection oblique [ou orthogonale) sur un pUtn parallèle au sien.
2" Soient la surface conique SAMB et deux sections AMB, A'M'B', faites par deux plans parallèles [Jig. 477)- Menons par le sommet une droite quelconque SOO' qui rencontre les
LIVRR VII. — LES C0BP8 RONDS. 21C>
deux plans en 0 el 0', el projetons, parallèlement à SOO', la première section AMB sur le plan de la seconde; cette projec- tion nmb étant égale «à AMB (1°), la proposition sera démontrée si nous prouvons que nmb etA'M'B' sont houiolliétiques. Or, SMM' étant une génératrice quelconque de la surface, les droites OM et O'M' sont parallèles, et l'on a
OM SO
O'M' " SO'
ou, en observant que la projection m de M est située su.r O'M' et que O'/« = 0M,
O'm _ 80 O'M' ~ SO'*
Le second membre de cette égalité ayant une valeur indépen- dante de la position du point M' sur la courbe A'M'B, les courbes amb et A'M'B' sont homothétiques.
SCOMES.
871. On nomme section droite d'une surface cylindrique la section faite par un plan perpendiculaire aux génératrices.
Un cylindre est le corps compris entre une surface cylin- drique et deux sections planes parallèles. Ces sections sont les bases du cylindre, et la dislance de leurs plans parallèles est la hauteur de ce corps. Le cylindre est droit ou oblique, suivant que ses génératrices sont perpendiculaires ou obliques au plan de la base. Le cylindre droit à base circulaire n'est autre que le cylindre de révolution étudié dans le § L
L'aire latérale d'un cylindre quelconque est ég(de au pro- duit de son arête par le périmètre de sa section droite.
Le volume d'un cylindre quelconque est égal au produit da sa base par sa liauteur.
On arrive à ces théorèmes en considérant le cylindre comme la limite d'un prisme inscrit, lorsque les cotés de la base po- lygonale tendent vers zéro.
Les théorèmes relatifs au prisme troncpié, (l(''montr<^9 aux u " Tli», 7:20, 722, 7:£3, sont de môme applicables au cylindre tronqué.
220 GftOMÉTRTE DANS l'eSPACE.
872. Un cône est le corps compris sous une surface conique limitée d'une part à son sommet et de l'autre à une section plane, qui prend le nom de base; la hauteur du cône est la dislance du sommet au plan de la base. Un cône à base circu- laire est droit ou oblique suivant que la projection orthogo- nale du sommet sur le plan de la base coïncide ou non avec le centre du cercle. Le cône circulaire droit n'est autre que le cône de révolution étudié au § II.
Le volume d'un cône quelconque est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur.
On arrive à ce théorème en considérant le cône comme la limite d'une pyramide inscrite, lorsque les côtés de la base polygonale tendent vers zéro.
THÉORÈME.
873. Dans un cône ou dans un cylindre, le plan SNT, dé'ter- miné par une génératrice SN et par la tangente NT menée à une courbe ANB située sur la surface, au point N où cette courbe rencontre la génératrice, est le même, quelle que soit la courbe considérée {fig. 4^0 ).
II suffit de prendre une seconde courbe CMD sur la surface, coupant la génératrice SN au point M, et de prouver que le plan SNT renferme la tangente MR menée par le point M à celte courbe. Or le plan NSN' mené par la génératrice SMN et une génératrice voisine SM'N' a pour limite SNT, puisque la corde NN' tend vers la tangente NT. D'ailleurs, quand N' vient en N, M' vient en M, et les sécantes NN', MM' de-
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 221
viennent en même temps les tangentes NT et MR; comme les sécantes MM' NN' sont sans cesse contenues dans le plan SNN', on voit <iue le plan SNT renferme la langenie MR.
Ce plan SNT psl dit le plan tancent au cône ou au cylindre suivant, la génénitrice SN.
Corollaire.
874. Ed supposant que la courbe ANB soit plane, on arrive à ce théorème : La tangente NT à la projection ou à la per- spective ANB d'une courbe CMD est la projection ou la per- spective de la tangente MR à cette courbe (586).
Ce corollaire souffre toutefois une exception, lorsque la tan-- gente de l'espace est elle-même une des droites projetantes. La projef'lion ou la perspective de la tangente se réduii alors à un point, tandis que la tangente de la projection ou de la perspective est une droite bien déterminée; c'est la l race, sur le pian de projection, du plan langent au cylindre ou au cône projetant, suivant la génératrice qui coïncide avec la tangente de l'espace.
THÉORÈME.
875. Dans le cône oblique à base circulaire, toute section anti -parallèle à la base est un cercle.
Soit ijig. 481) S le sommet d'un cùne oblique ayant pour base le cercle 0. On nomme plan principal le plan SAB mené par la droite qui joint le sommet S au centre 0 de la base, perpendiculairement au plan de celte base; on dit qu'un plan CMD est anti-parallèle à la base, lorsqu'il est perpendiculaire sur le plan principal SAB et que sa trace CD sur ce plan prin- cipal est ami-parallèle à AB par rapport à l'angle ASB ( 189 j. Il s'agit de prouver que la section CMD est un cercle.
Par un point quelconque M de la section, menons un plan parallèle à la base; ce plan coupera le cône suivant un cercle A' MB' (870) décrit sur A'B' comme diamètre, et le plan CMD suivant une droite MP perpendiculaire au plan principal (5G1). Or, dans le cercle A' M B', on a (223 )
Mp'=: PA .PB'.
D'ailleurs, les triangles PCA', PDB' sont sembloi)los comme
222 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
avant leurs angles égaux ; ils donnent
Donc
^ = W' ^''^ PA'.PB' = PC.PD.
MP =PC.PD
et, par suite (223), le point M appartient à un cercle décrit sur CD comme diamètre.
876. RÉciPUOQiEMENT, il n'y <f fiucles sections parallèles et lessectiom anti-parallèles à la base qui soient des cercles.
En effet, considérons une section circulaire CMD non parallèle à la base, et soit [fig. 481) RR' la trace de son plan sur le plan de la base; du centre 0, abaissons sur RR' la perpendiculaire OQ qui rencontre la circon- férence de base en A et B; menons les génératrices SA, SB, et les tan- gentes AK et BL qui sont évidemment parallèles à QR. Les plans SAK, SBL, tangents au cône, couperont le plan MRR' suivant deux droites CG et DH, tangentes au cercle CMD et parallèles à RR'; par suite, la droite DCQsera perpendiculaire à RR', et l'on conclut de là que les cercles AB et CD sont perpendiculaires au même plan SAB qui passe par leurs centres et par le sommet du cône. D'ailleurs, en menant la section B'MA' parallèle à la base, on a
MP'=PA'.PB', MP' = PC.PD, d'où PA'.PB'^PC.PD.
Les triangles PA'C, PDB' sont donc semblables, et les angles DB'A', DCA' sont égaux, de sorte que CD est anti-parallèle à AB.
COROLL.MUES.
877. La même propriété subsiste pour le cylindre oblique à base cir' culaire.
LIVRE Vir. — LES CORPS RONDS. 9,23
878. Deux sections, Vunc S.fij>arallètc, l'autre ÇA) (inti-ponillèlc à In hase d'un cône ohlique à hase circulaire, sont toujours situées sur une même si)hère ;caT les deux sections circulairesA|B, etCD (y%. 482) doivent (873) être perpendiculaires à un même plan SAB passant par leurs centres, et le qu;idrilatère A|B, DC situé dans ce plan doit être inscrip- tible; les cercles A, B, et CD sont donc snr la sphère dont le grand cercle passe par les quatre points A,, B,, C, D.
Inversement, par deux cercles A, B, et CD placés sur la surface d'une sphère, on peut toujours faire passer deux cônes. — En effet, soient [Jig. 482) A|B, DC une section passant par le centre de la sphère et par les centres des deux cercles, et A.B,, CD les diamètres de ces cercles déterminés par la section A,B,CD; les i)lans de ces cercles seront per- pendiculaires au plan sécant A|B,CD. Or, si l'on mène les droites A C et B, D,leur point de concours S sera le sommet d'un cône ayant pour base le cercle A.B, et passant par les poinis C et D. Mais l'angle DCS est égal à l'angle A,B, S : donc la section CD faite dans le cône par un plan perpendiculaire à A, B, DC sera un cercle ayant CD pour diamètre; donc ce cercle se confond avec le cercle CD de la sphère. II y a un second cône qui coupe la sphère suivant les mêmes cercles A|B| et CD ; son sommet est à l'intersection S' des deux diagonales B|C et A,D. Ces deux cônes peuvent, dans certains cas, dégénérer en cylindres.
879. Il résulte encore des considérations précédentes que, lorsqu'un cône S pénètre dans une sphère suivant un cercle k^^^, il en sort suivant un second cercle CD.
880. Dans un cône oblique à base circulaire, les centres des sections parallèles à la base sont distribués sur une même droite passant par le sommet; les centres des sections anti-parallèles à la base sont aussi placés sur une seconde droite passant par le sommet. Il importe de connaître la situation respective de ces deux droites.
Soit SAB la section principale du cône dont la base est le cercle décrit sur AB comme diamètre. Le cercle circonscrit au triangle ASB |yî"<»^. 483) est un grand cercle de la sphère qui contient le cercle AB et lo sommets du cône. La tangente SG au cercle SAB est la trace sur SAB du plan tangent à la sphère en S, et ce plan tangent est perpendiculaire au plan SAB de la figure; d'ailleurs, la droite SG est anti-parallèle à AB, à cause de régalité des angles BAS, BSG. Donc le |)lan langent SG est parallèle aux plans des sections anti-parallèles à la base AB, et la question se ré- duit à trouver le centre d'une section quelcomiue [)arallèle à ce plan lan- gent. Nous choisirons celle qui passe par le point de concours T des tan- gentes en A et enB au cercle ASB, c'est-à-di reparle sommetTdu côno(iiii est circonscrit à la sphère suivant lo cercle AB. En menant par le point T
2^4 GÉOMÉTRIE 1)A^S l'esPACIÎ.
la parallèle CTD à SG, on aura le diamètre de celte section. Or il est aisé de voir que le point ï en est précisément le centre, c est-à-dire que le
Fig. 483.
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point T est le milieu de CD. En effet, l'iingle TBD, égal à SBK, a pour mesure la moitié de l'arc SIB ; l'angle TDB, alterne-interne de BSG, a la même mesure; donc le triangle TBD est isocèle et l'on a TD = TB.On voit pareillement que TC = TA ; par suite, comme TA = TB(lo8), on a TC — TD. Ainsi, le lieu des centres des sections cinti- parallèles à la base AB est la droite ST, qui joint le sommet S au sommet T d'un cône auxi- liaire circonscrit, suivant le cercle AB, à la sphère déterminée par ce cercle et par le sommet S du cône primitif.
THÉORÈME.
881. Le lieu des tangentes, menées par un point d'une surf ace aux di- verses courbes que ton peut tracer par ce point sur la surface, est un plan.
Soient M le point donné, AMA' une section plane passant par ce point, et BB', ce,.. . des sections voisines faites par des plans parallèles au pre- mier {fi^. 484). Si l'on prend sur ces courbes les points P, Q,. . ., où la tangente est parallèle à MT, on obtiendra une courbe continue MPQ,. . ., située sur la surface. Soit INIU la tangente à cette courbe au point M; tout se réduit à prouver que le plan Ti\IU renferme la tangente MV à une courbe quelconque MG tracée par M sur la surface.
Or, soit M' le point où la courbe ]\1G rencontre la section BPB'; menons les cordes MF, MM', et projetons, parallèlement à MF, sur le plaii de la première section AMA', la section BFB' ; la courbe MM, B, ainsi obtenue sera tangente en M à MT. En effet, la tangente à la projec- tion MM, B, doit être la projection de la tangente FS à la courbe de l'es- pace BPB' (874), et la projection de PS, parallèlement à MP, est précisé-
LES CORPS RONDS.
225
menl MT, puisque, par hypothèse, PS et MT sont parallèles. Cela étant, si M, est la projection de M', le plan M, Jl P des deux cordes MM, et MP
Fig. 48',.
renferme sans cesse la corde MM'; par suite, la tangente MV sera con- tenue dans le plan limite de M|MP; or ce plan n'est autre que TMU, puisque les cordes MM, et MP ont re.-poctivement pour limites les tan- gentes MT et MU.
Ce plan, lieu des tangentes aux diverses courbes que l'on peut mener par le point M sur la surface, prend le nom de plan tangent de la surface au point M.
SCOLIIÎS.
8S2. La normale à une surface au point M est la perpendiculaire au plan tangent en ce point.
883. Le plan tangent en un point d'une surface est déterminé par les tangentes à deux courbes quelconques menées par ce point sur la surface.
884. Dans toute surface réglée, c'est-à-dire engendrée par une ligne droite, le plan tangent en un point contient la génératrice qui passe par ce point; il est alors déterminé par cette génératrice et par la tangente à une courbe quelconque menée par ce point sur la surface. Ce plan tourne en général autour de la génératrice. Il est pourtant une classe de surfaces réglées, pour lesquelles le plan tangent est le même tout le long de la génératrice, comme cela arrive (873) poar les cônes et les cylin- dres. Ces surfaces sont dites dévelnppables, tandis qu'on appelle gauches les surfaces réglées qui ne jouissent pas de cette propriété. Les Surfaces développables sont ainsi nommées, parce qu'on peut les étendre sur un plan sans les déchirer ni les replier. Considérons, en effet, une surface telle que les plans tangents soient les mêmes le long de chaque généra- trice, c'est-à-dire ne changent qu'en pas>ant d'une génératrice; à l'autre : l'ensemble des plans tangents, suivant les diverses génératrices, formera
R. et DE C. — Tr. de Géom. (II" Partie). l5
226 GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
une surface polyédrique circonscrite, qui a pour limite la surface consi- dérée. Or cette surface polyédrique peut être étendue sur un plan, en faisant tourner chaque face plane autour d'une arête, de manière à la rabattre sur le plan de la face précédente; 'et, comme cette propriété a lieu, quelque rapprochées que soient les génératrices, il en est de même à la limite poar la surface considérée.
885. Le plan tangent à une surface peut laisser la surface tout entière d'un seul côté; il y a alors un point de contact unique ou une ligne de contact; le premier cas se présente, par exemple, pour la sphère, le second pour le cylindre et le cône à base circulaire. Le plan tangent peut aussi couper la surface, et la section est alors une courbe à nœud : c'est ce qui arrive, par exemple, en un point de la gorge d'une poulie.
886. Enfin nous devons observer que le théorème précédent (881) cesse parfois d'être vrai en certains points singuliers, tels que le sommet d'un cône; en ce point, le lieu des tangentes forme, non pas un plan, mais la surface conique proposée. Il en est de même au point d'une surface de révolution situé sur l'axe, lorsque la méridienne rencontre cet axe sous un angle différent de 90 degrés. Ajoutons cependant que, si un point décrit sur la surface d'un cône une courbe bien déterminée et aboutissant au sommet, le plan tangent au cône en chacune des positions du mobile sur sa trajectoire est parfaitement déterminé, et il l'est encore au moment oi^i le mobile atteint le sommet du cône; c'est le plan tangent suivant la génératrice qui touche au sommet la courbe considérée.
THÉORÈME.
887. Le plan tangent en un point M (Pune surface de révolutinn es( perpendiculaire au plan méridien ZO\I (pii passe par le point de contact
[fg. 485).
Fig. /,85.
En effet, le plan tangent on M contient la tangente MT au parallèle
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS." 227
OM, et cette tangente MT est per|)en(liciilaire au plan méridien ZOM, comme étante angle droit sur les deux droites OM et OZ de ce plan.
Corollaires.
888. La normale MS à la surface au point M est contenue dans le plan méridien ZOM (8S2). Le point S, où elle rencontre l'axe ZZ,, est d'ailleurs le môme pour toutes les normales qui répondent aux divers points d'un môme parallèle ; d'où l'on conclut que les normales menées à une surface de révolution par les divers points d'un parallèle forment un cône de révolution qui a son sommet S sur l'axe de la surjace. Les tangentes aux différents méridiens en des points situés sur une même parallèle jorment aussi un cône de révolution qui est circonscrit a la surface et qui n son sommet S, sur l'axe de cette surface. L'an.nle S, M S, qui mesure l'angle des plans tangents aux deux cônes au point M, est droit; les deux cônes sont donc orthogon((UX.
THÉORÈME.
889. Quatre plans tangents à une surface gauche , menés par une même génératrice, ont leur rapport anhartiionique égal à celid de leurs quatre points de contact.
En effet, soient G une génératrice d'une surface gauche (884), et A, B, C, D les plans qui touchent cette surface respectivement aux pomts rt, b\ c, d de cette génératrice. Considérons quatre courbes fixes ax, b2>, cy, do, tracées à volonté sur la surface et passant respectivement par les points a, b, c, d; désignons par a', b\ c', d' les [)Oints où ces courbes rencontrent une génératrice G' voisine de la génératrice G, et menons les cordes aa'. hb', cc\ dd'. Le faisceau des quatre plans Gaa\ Gbl/, Gcc\ Gdd', étant coupé par la transversale G' aux points «', b'^ c, d', lo rap- port anharmonique de ces quatre points est é,gal à celui des quatre plans. Cette propriété ayant lieu, quelle que soit la position de G' sur la surface, subsiste quand G' vient se conioiidre avec G; mais alors les points a\ b\ c', d' se confondent avec a, b, e, d, et les plans Gaa', Gbb', Gcc\ Gdd' deviennent les plans tangents A, B, C, D, puisque les cordes aa', bb', ce', dd' ont pour limites les tangentes en a, b, c, d, aux courbes «a, bp, cy, d^. I)onc le rapport anharmonique des quatre plans tangents A, B, C, D est égal à celui de leurs points de contact a, b, c, d.
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Corollaires. |
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800. La relation (727) |
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sin i'.\ sm DA |
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sinCli
228 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
qui est la traduction analytique du théorème précèdent, permet de déter- miner le plan D qui touche la surface en un point donné quelconque d de la génératrice G, dès qu'on connaît les plans tangents A, B, C en trois points donnés «, b, c de cette génératrice.
891 . On dit que deux surfaces gauches S et S', qui ont une génératrice commune G, se raccordent suivant cette génératrice, lorsqu'elles se tou- chent en tout point de cette ligne.
Deux surfaces gauches S et S' se raccordent suivant une gcnératrice commune G dès qu'elles se touchent en trois points /7, /;, c de cette génératrice.
En effet, soient d\m point quelconque de !a génératrice G; D et D' les plans qui touchent respectivement au point d les surfaces S et S'; enfin, A, B, C les plans tangents communs en c/, h, c. Les rapports anharmo- niques des deux systèmes de quatre plans (A, B, C, D), {A, B, C, D') sont égaux entre eux, puisque, d'après le théorème précédent, chacun d'eux est égal à celui des quatre points a, ù, c, d. Donc les pians D et D' coïn- cident, et les deux surfaces S et S' se touchent en un point quelconque d de la génératrice commune.
C'est surtout en étudiant la Géométrie descriptive qu'on comprendra l'importance de ce, principe fondamental.
§ VIII. - APPENDICE. L — Théorème de Guldin.
892. L'importante proposition connue sous ce nom se trouve indiquée dans Pappus (fin du iv" siècle). Elle a été ensuite retrouvée par Guldin (commencement du xiv^ siècle).
THÉORÈME.
893. L'aire engendrée par une ligne brisée plane quelconque, tour- nant caitnur d'un axe extérieur quelconque situé dans son plan, a pour mesure le produit de la longueur de la ligne brisée par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Nous savons que le centre de gravité d'une ligne brisée plane est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité de ses côtis (lU).
Si la ligne brisée se réduit à une droite AB, la proposition a déjà été démontrée (761), puisque le centre de gravité d'une droite est en son milieu (714).
LES CORPS RONDS.
22q
Soient maintenant [fi^. 486) la ligne brisée plane quelconque ifNPCjR tournant autour de l'axe xy. Soient a, b, c, . . . les longueurs des côlés
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(c),^-- |
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ja |
i |
de cette ligne; a, S, 7, ... les distances des milieux A, B, C, ... de ses côtés à l'axe xy. L'aire totale S, engendrée par la ligne brisée MNPQR, étant la somme des aires engendrées par ses côtés MN, NP, . . . , on aura (761)
S =-■ a.aîi'a -(- é.2 7rS H- C.2777 -H . . . = 2<7(«a -f- 6S -t- cy -h . . . ).
Si l'on désigne par z la distance à l'axe xy du centre des distiinccs pro- portionnelles des points A, B, C, . . . , on a (710)
d'où
«a -H bb^n C'f
= z ( ^< -I- 6 -t- c H- .
s =(a-+-Z»-t-c-t- ...).2-z,
expression de l'énoncé.
Corollaires. 894. Le théorème subsiste, quels que soient le nombre et la grandeur des côtés de la ligne brisée, c'est-à-dire à la limite, quand il s'agit d'une ligne courbe en tout ou en partie. Le centre de gravité de la ligne obte- nue est alors la position limite du centre de gravité de la ligne polygonale. Par suite, l'aire engendrée /jcir une ligne courbe plane tournant autour d'un axe extérieur quelconque situe' dans son plan a pour mesure le produit de sa longueur par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Applications.
89o. 1° Quelle est l'expression de Taire engendrée par une circonfé- rence de rayon r, en tournant autour d'une droite xy de son plan <pii ne la roupe pas ?
Soit d la distance du centre de cotte circonférence à l'axée) ; le centre d'une circoulérence est évidemment son centre de gravité, car, dans la
aSo
GÉOMÉTRIE ©ANS l'eSPACE.
recherche du centre des moyennes distances, on peut remplacer plusieurs points par leur centre particulier (713), et le centre qui correspond aux extrémités d'un diamètre quelconque est le centre de la circonférence. L'aire de la surface engendrée, qu'on appelle tore, sera donc
17: f. 1-fl =: ^Tz-rd.
7.° T/nuver la position du centre de gravité d^mc denii-rirconfércnce de rayon r.
Soit X la distance du point cherché au diamètre qui termine la demi- circonférence. Si on la fait tourner autour de ce diamètre, elle engen- drera une surface sphérique de rayon /•. On devra donc avoir (842)
Tcr.iTTX ou i-n rx
d'où
Le centre de gravité cherché étant d'ailleurs, d'après une remarque pré- cédente, situé sur le rayon perpendiculaire à l'axe, sa position est par- faitement déterminée.
THÉORÈME.
896 . Le volume engendré par un triangle tournant autour d\in axe extérieur situé dans sort plan, û pour mes tire le produit de l'aire du triangle par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Nous distinguons trois cas :
1° L'un des côtés du triangle se confond avec l'axe [fg. 487).
Fig. 487.
Le volume engendré par le triangle ABC tournant autour de l'axe xy a pour expression (853, i°|
i77.AD^LC, '
c'est-à-flire, en désignant par S l'aire du triangle dont le double est re- présenté par AD.BC,
|«.AD.S*
LIVRK VÎI. — LES rORPS RONDS.
?3l
Si G est le centre de gravité du Iriaii-lc ABC, on a (71^i), pour la per- pendiculaire GG' à l'axe.
Le volume engendré a donc finalement pour mesure
S.277.GG'. 2" Le triangle n'a qu'un sommet situé sur l'axe {fg. 488),
i É G' 3' 9' [> y
Prolongeons le côté AC jusqu'à sa rencontre avec l'axe .rj. On a
vol. ABC = vol.ABD — vol.CBD.
Si ,"• et g, sont les centres de gravité des triangles ABD et CBD, il vient donc, d'après le premier cas,
vo! . ABC = 2 TT ( ABD .g-*' — CBD .^, ^^'^i ).
Le triangle ABC étant la diRérence des deux triangles ABD et CBD, son centre de gravité G est le centre des distances proportionnelles des points g, g^, si l'on attribue aux trois points considérés des coefficients propor- tionnels aux aires des trois triangles correspondants, en donnant à ces coefficients les signes convenables (710). On aura, par suite,
ABD.^'^'-CBD.^^^', = ABC.GG'; d'où
vol. ABC = ABC.27rGG'.
3° L'axe est complètement extérieur au triangle (Jig. 489).
Les trois côtés du triangle ne pouvant être parallèles à l'axe, prolon- geons le côté AB, par exemple, jusqu'à sa rencontre en D av<«c l'axe -cy. et joignons CD. On aura
vol. ABC = vol.ACD - vol.BCD,
c'est-à-dire, d'après le second cas, en désignant |ar g et g^ les centres
2o2 GÉOMÉTRIE BANS l'eSPACE.
de gravité des triangles ACD et BCD,
vol. APC - o.- {ACD.gg' — BCD.g-,^',). Le triangle ABC, dont le centre de gravité est G, étant la différence
Fig. 489.
des triangles ACD et BCD. on a, comme ci -dessus,
ACD.^-§''-BCD.^,^'.==ABC.GG'; d'oij encore
Yol.ABC- ABC.aTrGG'.
THÉORÈME.
897. Le volume engendré par un polygone tournant autour d'un axe extérieur situé dans son plan a pour mesure le produit de son aire par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Décomposons le polygone donné, dont l'aire est S, en triangles ayant pour aires t, t\ t" ,. . . , Soient S, S', S", ... les distances des centres de gravité de ces triangles à l'axe, et d la distance du centre de gravité du polygone (716) au même axe. Le volume engendré parle polygone, somme des volumes engendrés par les triangles qui le composent, est
1i.Tv{tS -h t'o' -i-t"o" -^ ...).
Mais, d'après les propriétés du centre des distances proportionnelles, la parenthèse est égale à S.^. Par suite, le volume cherché a pour ex- pression
S.lTrd.
Corollaires.
898. Le théorème subsiste, quels que soient le nombre et la grandeur des côtés du polygone, c'est-à-dire à la limite, quand le polygone ou une partie du polygone devient une courbe. Dans ce cas, le centre de gravité d© la surface obtenue est la position limite du centre de gravité de la
LIVRE VII. — LES CORPS RONPS.
233
surface polygonale. Par suite, le wUume engendré pur une surface plane quelconque tournant autour d'un axe extérieur situé dans son plan a pour mesure le produit de son aire par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Applications. 899. i" Quel est le volume du tore? En conservant les notations du n° 895, ce volume a pour expression
77 r\ 2 rr ^ = i TT^ /•- (■/.
2° Trouver la position du centre de gravité d'un demi-cercle de rayon r.
Le centre de gravité cherché appartient évidemment au rayon perpen- diculaire au diamètre qui termine le demi-cercle donné. De plus, si l'on fait tourner le demi-cercle autour de ce diamètre, il engendre une sphère de rayon r. On a donc, en appelant x la distance du centre de gravité à l'axe,
-^r^ 4 3,,. ^r
•iT:x=-T:n, d ou .r = - —
2 3 3-
La position du point demandé est donc complètement déterminée.
II. — Sur le maximum et le minimum des figures.
900. Les propriétés qui font l'objet du §IUde l'Appendice du IV Livre ainsi que leurs démonstrations s'appliquent aux figures sphériques aussi bien qu'aux figures planes. Toutefois le théorème du n° 481 et son corol- laire doivent alors être énoncés comme il suit :
Entre tous les triangles sphériques construits avec deux côtés donnés AB et AC, le triangle maximum est celui dans lequel l'angle A de ces deux côtés est égal à la somme B -t- C des deux autres [fig. 4 it>)-
Entre tous les triangles sp/iériques dont la somme AB -+- AC de deux côtés est donnée, le triangle maximiim est celui dans lequel ces deux côtés sont égaux et comprennent un angle A égal à la soniiuc B -t- C des deux autres.
Celte seconde proposition se déduit de la première par un raisonne- ment semblable à celui du n" 48:2; il ne reste donc qu'à démontrer la première.
A cet effet, laissons AB fixe; le point C sera alors astreint à rester sur un cercle w ayant A pour pôle et pour rayon spliérique la longueur donnée du côté AC. Par les points E et D symétriques de A et de B par rapport au centre de la sphère, imaginons un plan; le cercle suivant lequel ce plan coupe la sphère rencontre le cercle w en deux points Ci et Ci
ô34 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
qui sont les sommets de deux triangles CiAB, CjAB équivalents (8S2). L'aire de ces triangles augmente avec l'inclinaison du plan du cercle sur le plan EDAB, c'est-à-dire à mesure que les points Ci et C2 se rapprochent l'un de l'autre sur le cercle w, cette aire est donc maximum quand ces deux points se confondent, et par suite le triangle maximum demandé est le triangle ABC obtenu en choisissant le sommet C sur le cercle oj Je telle sorte que ce cercle w et le cercle circonscrit au triangle DEC soient tangents; mais alors le pôle du cercle DEC est sur EC (822) ; donc on a C = G, C == 7, E = (J; et par suite A = 0. — E = 1 — â, C = 7, B= 2 — D = 2 — (^ -+- 7y, d'où, enfin, A - B + C.
901. On peut dire encore que dans le triangle maximum ABC construit avec deux côtés donnés AB et AC, le troisième côté CB est le diamètre spherique du cercle circorfscrit ; car, en imaginant l'arc de grand cercle qui partagerait l'angle A en deux parties, l'une égale à B, l'autre égale à C. on voit immédiatement, par les deux triangles isocèles dans lesquels cet arc décompose le triangle ABC, que le point où cet arc coupe BC est équidistant de A, B et C, et par suite est le pôle du cercle inscrit à ABC.
THÉORÈME.
902. Parmi tous les corps de même aire, la sphère est celui qui a le plus grand volume,
Soil K un corps ayant le volume maximum sous une aire donnée, et 2 la surface qui le limite.
1° La surface 2 est conrexe, sans quoi on pourrait augmenter le vo- lume du corps sans augmenter l'aire.
2° Tout plan A rjui divise l'aire de K en deux parties équivalentes di- vise aussi le volume e/i deux parties a et p équivalentes (fig. 490); car,
Fis- ^90-
si l'on avait, par exemple, « > [3, en remplaçant p par la figure tx.i symé-
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 235
triqne de a par rapport au plan A, on obtiendrait un corps (a, aj) de même aire que K et de volume plus grand.
Nous donnerons, pour abréger le discours, aux plans tels que A, le nom de plans médiaiu. Par toute tangente à la surface 2!, on peut menei un plan médian (raisonnement analogue à celui du n° 13, en faisant tourner un plan autour de la tangente depuis la position où il est tangent jusqu'à ce qu'il le redevienne); de même, on peut mener un plan médian parallèle à un plan quelconque.
3° Tout plan médian A est nnriiial à la surface - en tout point de la ligne suivant lariuclle il coupe cette surface ; car, si en un point de cette ligne le plan tangent était oblique au plan A, en remplaçant l'une des parties a ou p par la symétrique de l'autre par rapport au plan A, on obtiendrait un corps ayant le volume maximum sous l'aire donnée, et qui, étant coupé par le plan tangent au point considéré, ne serait pas convexe
4° Tout plan R passant par l'intersection D de deux plans médians P et Q est un plan médian. En effet, soit X un point commun à la droite D et à la surface 2 et XT la tangente à la section que le plai] K déteruiine dans la surface i; par XT on peut mener un plan médian (2°), et ce plan doit être normal en X (3") ; mais la normale en X devant appartenir aussi aux plans médians P et Q (3°) n'est autre que D; donc le plan médian considéré est le plan DXT, c'est-à-dire le plan R.
j" Toutes les normales à la surface - passent par un même point.
Qu'on imagine, en effet, les trois plans médians respectivement paral- lèles aux trois faces d'un trièdre quelconque; ces trois plans formeront an nouveau trièdre. Or la normale en un point quelconque M de 2 passe par le sommet 0 de ce trièdre; car, les trois plans déterminés par le point M et par chacune des arêtes du trièdre étant médians (4"), leur droite commune OM est la normale en M (3").
G" La surface S est une sphère.
En effet, soient A et B deux points quelconques de S {fig- 49')7 0 '^
Fi{;. ',91.
0
point de concours des normales à cette surface, Ali la section faite dans 2
236 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
par le plan AOB. ACD . . . B, une ligne brisée inscrite dans l'arc AB,
et AMN ... TB la ligne brisée circonscrite correspondante (291 ). La relation
OA ■+- MA = O.AI = OC -^ MC donne
ôT — OC =yîc —m.\
d'où
et l'on a de même
oc - OD < Q^^^p (NC + ND),
oe-ob<ôëVôb''"= + tb).
Faisons tendre vers zéro les côtés de la ligne brisée inscrite; toutes les fractions des seconds membres des inégalités précédentes tendent vers zéro; en désignant par c la plus grande d'entre elles et ajoutant les iné- galités membre à membre, on a
OA-OB<H.P,
P étant le périmètre de la ligne brisée circonscrite; comme F tend vers la longueur de l'arc AB, et que t tend vers zéro, on voit que la différence OA — OB peut devenir moindre que toute quantité donnée. Or cette dif- férence est ^xe; donc elle est nulle, et l'on a OA = OB. Deux points quelconques de la surface 3 sont donc équidistants du point 0, ce qui prouve que cette surface est sphérique.
III. — Polyèdres réguliers.
DES POLYÈDRES RÉGULIERS CONVEXES.
904. Un polyèdre régulier est un polyèdre dont toutes les faces sont des polvgones réguliers égaux et dont tous les angles polyèdres sont égaux entre eux.
THÉORÈME.
90j. Il ne peut exister que ciricj polyèdres réguliers convexes. Cette proposition n'est qu'un cas particulier de celle du \x° 695, On peut d'ailleurs la démontrer directement en qqelcjue^ (ijots,
LIVRE VII. — LES COUPS RONDS. '37
La somme des faces dun angle polyèdre convexe devant être inférieure à quatre angles druils (o70), si les faces sont des trianiiles équiiatéraux, on ne peut assembler autour d"un même point, pour former un angle po- lyèdre, que trois ou quatre ou cincj de ces triangles. On construit ainsi : le tétraèdre régulier compris sous quatre triangles équiiatéraux ; Xoctaèdre régulier, compris sous huit triangles équiiatéraux: V icosni'drc régulier, compris sous vingt triangles équiiatéraux. Au delà, six triangles équiia- téraux assemblés autour dun même point donnent six angles plans dont la somme est égale à quatre angles droits; il n'y a plus d'angle polyèdre : les six triangles se trouvent développés dans un même plan.
On ne peut employer les carrés et les pentagones réguliers qu'en les assemblant par trois, puisque l'angle d'un carré est droilet que celui d'un pentagone régulier est égal à | d'angle droit. On a ainsi X hexaèdre régu- lier ou cube, compris sous six carrés égaux, et le dodécaèdre régulier, compris sous douze pentagones réguliers.
Aucun autre polyèdre régulier convexe n'est possible, puisque, l'angle d'un hexagone régulier étant égal à ^ d'angle droit, trois angles d'hexa- gone régulier font en somme quatre angles droits.
Nous prouverons l'existence des cinq polvèdres réguliers énoncés, en montrant comment on peut effectuer leur construction.
PROBLÈME.
906. Construire un polyèdre régulier, connaissant son arrtc.
La construction du tétraèdre régulier {//^. 49^)61 celle du cube {^g. 493) ne peuvent offrir aucune difliculté, d'après ce qui a été dit aux n"' S91 et 64.^. Nous ne nous occuperons que de l'octaèdre, du dodécaèdre et de l'icosaèdre.
Fig. 493.
Octaèdre ré^tdier.
Prenons [^g. 494) un carré ABCD de côté a. Élevons en son ceniro 0
238
GÉOMÉTRIE DAKS l'eSPACE.
une perpendiculaire indéfinie, et portons de part et d'autre du point 0 sur cette perpendiculaire une longueur égale au rayon du carré ABCD, c'est-
a-direa —^' Enjoignant les points S et S' ainsi obtenus aux sommets
FifT. h
A, B, C, D, on forme un octaèdre régulier SABCDS'. En effet, les huit arêtes SA, SB, . . . , S' D sont égales entre elles et <\
t /tT"/" 77»' l'Kr ■?./i^
S/O^ ^OA -^^^^-^ = n.
Les huit faces du polyèdre construit sont donc des triangles équilaléraux égaux. De plus, les six angles polyèdres sont égaux entre eux ; car les angles S et B, par exemple, sont les angles au sommet de deux pyramides quadrangulaires régulières SABCD, BASCS', évidemment superposables comme ayant même base et même hauteur.
On peut résumer la construction de l'octaèdre régulier en remarquant que irois droites égales et perpendiculaires entre elles en leur milieu, telles que AC, BD,SS',ont pour extrémités les six sommets d'un pareil polyèdre.
Dodécaèdre régulier. Soit [fïg. 495) un pentagone régulier ABCDE de côté a. Prenons d'au- tres pentagones réguliers de côté n. Avec deux de ces pentagones joints au pentagone ABCDE, formons en A un angle Irièdre qui, ayant ses faces égales, aura aussi ses angles dièdres égaux. Les trois côtés BA, BC, BiH déterminent alors un angle trièdre B, égal à l'angle trièdre A, comme ayant un angle dièdre égal compris entre deux faces égales entre elles et chacune à chacune. On peut donc former à tous les sommets du penta-
LIYUE VII. — LES CORl'à RONDS. " 23y
gone ABCDE des angles trièdres égaux à A, en employant des pentagones réguliers égaux à ce pentagone et disposés comme l'indique la figure. Le pentagone ABCDE est commun à tous les angles Irièdres : le deuxième, le troisième et le quatrième trièdre nécessitent l'addition dun nouveau pen- tagone; le dernier angle trièdre en E se trouve tout construit.
Fig. 495.
On obtient ainsi un assemblage de six pentagones réguliers égaux et également inclinés. Cet assemblage constitue une surface polyédrale ou- verte, moitié du dodécaèdre , et les sommets du décagone i^aïu/ic (') FGHIKLMNPR qui la termine correspondent successivement à un et kdcux pentagones. D ailleurs les angles de ce décagone sont égaux entre eux; en effet, les deux angles trièdres en A et en F sont égaux comme ayant un dièdre égal compris entre deux faces égales entre elles et chacune à chacune. Langle RFG est donc égal à l'angle EAB et, par suite, à l'angle FGll. On peut alors fiiire tourner le polygone FGHIKLMNPR sur lui-même, en faisant passer le sommet F en G, le sommet G en H, etc., sans qu'il cesse de coïncider avec sa première position. l
Si l'on construit de la môme manière la seconde moitié du dodécaèdre et si on la retourne pour l'opposer à la première moitié, on pourra, d'a- près cela, rapprocher les deux calottes polyédrales et appliquer l'un sur
(') Ce décagone est gauche ; car si los quatre points R, F, (i, H étaient dana Un même plan, eu plan cuntcnant aiis&i lu point A, il n'y aurait plus d'an(jlo trièdre eu A.
9.^0
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
l'autre les polygones qui les terminent, en établissant la coïncidence des sommets du premier où il n'y a quitn pentagone et des sommets du se- cond qui en réunissent deux. Comme les plans de ces pentagones ont déjà entre eux l'inclinaison nécessaire pour composer un angle trièdre égal à l'angle A, l'ensemble obtenu sera bien un dodécaèdre régulier compris sous douze pentagones réguliers égaux formant vingt angles trièdres égaux.
Icosaèdre régulier. Prenons [fg. 496) un pentagone régulier ABCDE de côté a. Élevons en
l-'iSj. /196.
son centre 0 une perpendiculaire et, dans le plan déterminé par le rayon OAet cette perpendiculaire, décrivons du point A comme centre, avec a
LIVRE VII. — LES COUPS RONDS. 9.^1
pour rayon, un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire au point S;
V 10
car fl est plus grand que OA = a \ / ^« Les arêtes SA, SB, ... , SE
seront égales entre elles et à a. Far suile, la surface latérale de la pyra- mide pentagonale SABCDE sera formée de cinq triangles équilatéraur. égaux entre eux et également inclinés, puisque les angles trièdres isocèles en A, B, . . . , E sont égaux entre eux comme ayant leurs trois faces égales chacune à chacune.
Cela posé, en chacun des sommets A et B du triangle SAB, plaçons (comme l'indique la seconde figure) le sommet d'une pyramide identique à la première SABCDE, de manière que les deux nouvelles pyramides ABSEFG, BASCHG aient respectivement avec la première les faces com- munes ASB et ASE, BAS el BSC, et entre elles les faces communes ASB et ABG. Nous aurons ainsi un assemblage de tiix triangles équilatéraux égaux et également inclinés.
Cet assemblage forme une surface polyédrale ouverte, moitié de l'ico- saèdre, elles sommets de l'hexagone gauche (') CDEFGH qui la termine réunissent successivement deux et imis triangles D'ailleurs, les angles de cet hexagone sont égaux : l'angle DEF, par exemple, est égal à l'angle EFG, car tous deux sont évidemment égaux à l'angle EAG. On peut donc faire tourner le polygone CDEFGH sur lui-même, en faisant passer le sommet C en H, le sommet H en G, etc., sans qu'il cesse de coïncider avec sa première position.
Si l'on construit de la même manière la seconde moitié de l'icosaèdre et si on la retourne pour l'opposera la première moitié, on pourra donc rapprocher les deux calottes polyédralcs et appliquer l'un sur l'autre les polygones qui les limitent, en faisant correspondre les sommets de l'un qui réunissent trois triangles aux sommets de l'autre qui en réunissent deux. Comme les plans de ces triangles ont déjà entre eux l'inclinaison nécessaire pour constituer alors en chaque sommet un angle polyèdre égal à l'angle S, l'ensemble obtenu sera bien un icosaèdre régulier compris sous vingt triangles équilatéraux égaux, formant douze angles pentaedres égaux.
SCOLIE.
//F « F
907. En ayant recours aux formules S = — et A = — du n" 695, on
(') l>e contour CDEFGH est gauche; car si les quatre points C. U, H, F ci.iiciit dans un même plan, les deux pentagones ABCDE, HSEF'G, qui ont déjà dans le plan CDE les souinicts B et E communs, seraient tous deux dans ce même ])lan, qui conlii'ndrait le point A en ntème temps que les points li, E, F; co qui est impossible, d'après ce qui précède.
U. el uu C. — Ir. de Geo/.i. (11* Partie). l6
242
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
forme facilement le tableau suivant, qui renferme les nombres des élé- ments des cinq polyèdres réguliers convexes, dont nous connaissons les nombres de faces :
|
F |
n |
S |
m |
A |
|
|
. Tétraèdre régulier. . . |
4 |
3 |
4 |
3 |
6 |
|
Hexaèdre régulier... |
6 |
k |
8 |
3 |
T2 |
|
Octaèdre régulier... |
8 |
3 |
6 |
4 |
I 2 |
|
Dodécaèdre régulier. |
12 |
5 |
20 |
3 |
3o |
|
Icosaèdre régulier... |
20 |
3 |
\i |
3 |
3o |
Le nombre des faces de l'hexaèdre et le nombre de côtés de ses faces sont respectivement égaux au nombre des sommets de l'octaèdre et au nombre d'arêtes de ses angles polyèdres. Il en est de même réciproque- ment pour l'octaèdre comparé a l'hexaèdre ; le nombre d'arêtes reste le même de part et d'autre. Les mêmes conditions sont remplies par le do- décaèdre et l'icosaèdre. On peut donc regarder les polyèdres réguliers convexes comme conjugués deux àdeux ; car le tétraèdre régulier, ayant autant de faces que de sommets, est conjugué à lui-même.
THÉORÈME.
908. Tout polyèdre régulier convexe est inscriptible et circonscriptihle à la sphère.
Soient [fig. 497), dans le polyèdre régulier considéré deux fncea adja- centes ABCDE, ABC'D'E', dont 0 et 0' sont les centres.
Flg. '197.
Les perpendiculaires OK et O'K au côté commun AB se couperont en un même point K ; les perpendiculaires OS et O'S aux deux faces ABCDn',
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 24^
ABC'D'E', lieux respectifs des points à égale distance de leurs sommets, secouperoni en un point S, car elles sont situées dans le plan OKO' per- pendiculaire à AB au point K. Les deux triangles rectangles KOS, KO'S seront d'ailleurs égaux entre eux, puisqu'ils ont l'hypoténuse KS com- mune et le côté KO égal au côté KO' comme apothèmes de deux [)oly- gones réguliers égaux. L'angle OKO' mesunint l'inclinaison constante de deux faces adjacentes du polyèdre, l'angle OKS égal à l'angle O'KS sera la moitié de cette inclinaison, et le triangle KOS sera, par suite, constant pour toutes les faces.
Si l'on considère une troisième face 0", conliguë à la face ABCDE par le côté CD dont le milieu est L, la perpendiculaire élevée à cette face par son centre 0" coupera donc la droite OS an point S, de manière que le triangle LO"S soit identique au triangle KOS ou à son égal OLS.
En continuant de proche en proche, on voit que les perpendiculaires élevées aux différentes faces du polyèdre par leurs centres se coupent mutuellement en un même point S, situé à la même distance de toutes les faces et à la même distance de tous les sommets.
Donc la sphère de centre S et de rayon SA passe par tous les sommets du polyèdre régulier ou lui est circon.scrite; la sphère de môme centre S et de rayon SO est tangente à toutes les faces du polyèdre en leurs centres ou lui est inscrite.
Le point S est le centre du [)olyèdre régulier; SA est son rayon, SO son apothème .
Corollaires.
909. Si l'on décompose un polyèdre régulier en pyramides en prenant pour centre de décomposition le centre même du polyèdre, les pyramides obtenues sont régulières : Tout polyèdre régulier peut donc être partagé en autant de pyramides régulières (pi il a de faces.
Les faces latérales de ces pyramides étant prolongées décomposent évidemment la sphère inscrite ou circonscrite en autant de polygones sphériques réguliers égaux que le polyèdre considéré a de faces.
Le volume d'un polyèdre régulier a pour mesure le produit de son aire par le tiers du rayon de la sphère inscrite (G4G) .
Deux polyèdres réguliers de même ordre étant nécessairement sembla- bles, le rapport des côtés, des aires ou des volumes de ces polyèdres est aussi celui des rayons, des carrés ou des cubes des rayons des sphères inscrites ou circonscrites .
910. Les centres des faces d'un polyèdre régulier sont les sommets (run autre polyèdre régulier conjugué du pteitiier [Jig. 498).
Soient A l'un des sommets du polyèdre donné et S le centre commun
244
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
des sphères inscrite et circonscrite à ce polyèdre. Désignons par 0, 0', 0", . • • 'es centres des faces réunies autour du point A. Ces points,
étant également distants des points S et A, sont situés dans un même plan perpendiculaire à SA en un point qui est le centre du cercle circonscrit au polygone OO'O".... De plus, L étant le milieu du côté AB, le triangle OLO' est constant, et le polygone inscrit OO'O"... ayant ses côtés égaux est régulier. Le polyèdre formé en joignant les centres des faces du po- lyèdre proposé a donc déjà pour faces des polygones réguliers égaux, et le nombre de ces polygones est égal à celui des sommets du polyèdre donné. Il reste seulement à prouver que ces polygones sont également inclinés. Or, si l'on considère les deux faces du nouveau polyèdre qui s'appuient sur le côté 00', l'angîe dièdre qu'elles comprennent est le supplément de l'angle constant ASB des deux perpendiculaires SA et SB à ces deux faces.
La réciproque de ce théorème est évidente.
On voit iiu'en appliquant la construction indiquée sous l'une ou sous l'autre forme, le tétraèdre régulier conduit à un nouveau tétraèdre; l'hexaèdre régulier à un octaèdre régulier, et, réciproquement: le dodé- caèdre régulier à un icosaèdre régulier, et réciproquement; ce qui justifie la dénomination de conjugués donnée à ces polyèdres (907).
PROBLÈME.
911. Un polyèdre régulier convexe étant donné, trouver: \° P incli- nai son de deux faces adjacentes ; 2° les rayons des sphères inscrite et circonscrite.
1° Soient [Jîg. 499) S le centre de la sphère inscrite ou circonscrite, AB le côté commun aux deux faces adjacentes dont les centres sont 0 et C, Lson milieu : langle OLO' mesure l'inclinaison cherchée L
AB étant perpendiculaire au plan OLO', les plans OLO' et ASB sont per- pendiculaires. Par suite, si du point S comme centre nous décrivons vme
LIVRE vn. — LES CORPS RONDS. ^45
sphère, sa rencontre avec laiigle Irièdre SAOL déterminera un triangle sphérique aol^ rectangle en /.
Fig- ''l99-
B
Soient, dans le polyèdre considéré, n le nombre de côtés de chaque face, m le nombre d'arêtes de chaque angle polyèdre. On aura évidem- ment
'XTC TT
ansle aol = angle AOL = — = -}
angle O''// = angle OAL = — ^ — — •
Le triangle sphérique rectangle aol donne d'ailleurs
cos ofil= coso/. sinrtrt/. Mais
coso/ = cosOSL = sinOLS = sin -L
2
On a donc la formule générale
cos— sin-I = •
2 77
En l'appliquant aux différents polyèdres réguliers convexes, on trouve pour l'inclinaison 1 les valeurs suivantes :
Tétraèdre régulier 7o"3i'43",6
Hexaèdre régulier go°
Octaèdre régulier io()"28'i6",4
Dodécaèdre régulier i iG°3:) '').(", a
Icosaèdre régulier i38^i i'22",75
Les valeurs indiquées sont exactes pour l'hexaèdre et l'jcosaèdre, ap-
M^ GÉOMÉTRIE BANS l'eSPACK.
prochées pour les trois autres polyèdres. Les inclinaisons des faces du tétraèdre et de l'octaèdre régulier sont supplémentaires l'une de l'autre. 2° Soient a le côté du polygone donné, /■ son apothème, R son rayon. Le triangle OLA donne
0L = ALcotÂOL = -azoi-'
■2 II
Le triangle rectangle SOL donne à son tour
SO = OLtangOLS,
c'est-à-dire
/ \ I TT I^
(i) r= -rtcot— tan2;-L
% n "- 1
Le triangle sphérique ool donne enfin
COSor/ = C0t</o/.C0tO(7/.
Or
On a donc
SO
cosorr = cosOSA = ^TT- •
SA
■^rp^ = tang(7o/.tangott/
SO ", ^
R r. -
- — tang- tani' • r II " m
On en déduit %
(a) R = -rttang — tang-L
' ' . -x "^ m ^ 'x
En appliquant les formules (i) et (a) aux ditlerents polyèdres réguliers convexes, on obtient les valeurs suivantes :
Tétraèdre régulier z-^-^;
Hexaèdre réi^ulier.. /•= -i
Octaèdre régulier r^ — —
Dodécaèdre régulier Içosaèdre r
|
R-''^^ X |
|
|
25 — 1 1 y^5 lO |
4 |
, ,. «\/3(3 H- 1/5) „ rt . /5 -H v/5
* 12 2 V 2
I.lVnK vil. — LK? CORPS BONDS. "^Al
SCOLIE.
912. Pour deux polyèdres conjugués, Ifts nombres n el /« ne faisant
que s'échanger (907), le rapport - demeure constant. Donc, si R est le
même pour ces deux polyèdres, r est aussi le même. En d'autres terme», si les deux polyèdres conjugués sont inscrits à une même sphère, ils sont aussi circonscrits à une même sphère, et réciproquement.
POLYEDRES REGULIERS D ESPECE SUPERIEURE,
913. Nous avons déjà parlé (270) des nouveaux polygones réguliers découverts par ;M. Poinsot, et nous savons qu'// r a nuuiut de l'olygoncs réguliers différents de m côtés que de nombres premiers h m depuis i
jus<pL a- [ni — I )
Si p est l'un quelconque de ces nombres, on joint les m points de division de la circonférence de p en p^ et l'on revient au point de départ après avoir fait un nombre de tours égal k p.
914. Les polygones éloilés qu'on obtient en suivant la marche indi- quée « ont leurs m côtés et leurs ni angles bien nets et bien distincts : » ce sont les angles qui ont lieu aux bouts réunis deux à deux des » /// droites dont lu chaîne continue achève complètement la figure. Les » autres angles, formés par les côtés non contigus qui se traversent,. . ., » ne doivent pas être comptés ; pas plus que, dans les polygones ordi- » naires, on ne compte les angles qui auraient lieu à la rencontre des » côtés non contigus suffisamment prolongés. Sous ce point de vue, la » difiérence de ces polygones étoiles aux polygones ordinaires est (|ue, » dans ceux-ci, un côté quelconque aurait besoin d'être prolongé pour )' être rencontré par les côlés non contigus aussi prolongés, au lieu que, » dans les autres, les côtés mêmes peuvent être actuellement traversés » par les autres côtés.... Mais toutes ces distinctions sont plus appa- » rentes que réelles, et disparais.-ent tout à fait dans l'analyse où ces » polygones se présentent d'unes manière inséparable. Si l'on cherche, en » effet, le côté d'un polygone régulier, on trouve une équation de degré » supérieur, dont toutes les racines sont réelles, et qui donne à la fois les » différents côtés de toutes les espèces de polygones réguliers de l'ordre » que l'on considère. » Poinsot, Journal de l*Jicole Polytechnique, t. IV, p. 25).
9lo. Vordre m d'un polygone est marqué par le nombre /// do ses côtés ou de ses sommets; son espèce varie en raison du nombre premier
248 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
à m qui lui a donné naissance. Or, si ce nombre est /?, il faut décrire p fois la circonférence (270) pour décrire le polygone lui-même. L'espèce d'un polygone étoile est donc le nombre de circonférences parcourues en suivant tous ses sommets, ou le nombre de fois que les projections de ses côtés sur la circonférence circonscrite recouvrent cette circonfé- rence. Si l'espèce d'un polygone étoile est p^ la somme de ses angles au centre vaut p fois quatre angles droits.
916. Lordre cVan angle polyèdre est marqué par le nombre de ses faces. Il est d'ailleurs de même espèce que le polygone qui résulte de sa section par un plan. Si l'on considère une" pyramide régulière ayant pour base un pentagone étoile ou de seconde espèce, l'angle polyèdre au som- met est de seconde espèce, et les angles plans qui le forment, projetés sur la base de la pyramide, remplissent deux fois les quatre angles droits.
9J7. « ... En conservant toujours la définition générale des polyèdres » réguliers,..., on voit la possibilité de construire de nouveaux polyèdres » réguliers, non-seulement avec les nouveaux polygones (réguliers),..., » mais même avec les polygones réguliers ordinaires; et, pour bien en- » tendre cela, il faut commencer par distinguer nettement dans un po- » lyèdre ses faces, ses arêtes et ses sommets.
» Comme un même polyèdre peut paraître également construit sous » tels ou tels polygones, on prend pour \ti faces les plans qui, en plus
» petit nombre, achèvent complètement ce même polyèdre
» Pour les arêtes^ ce sont les côtés mêmes qiii terminent les faces du » polyèdre, et par lesquels ces faces se joignent deux à deux, de sorte » que chaque arête ^ert de côté à deux faces adjacentes, et qu'ainsi le » nombre des arêtes est (toujours) égal à la moitié du nombre des côtés » de toutes les faces.
» C'est à ces seules droites, comme faîtes, que se trouvent les angles » dièdres du polyèdre; les autres angles que pourraient former les faces » en se traversant n'en font point partie , et de même c'est aux seuls » points où se réunissent les extrémités des arêtes que sont les sommets » et les angles polyèdres du polyèdre.
» Cela posé,... on peut construire de nouveaux polyèdres parfaitement » réguliers. . . : ils ont toutes leurs faces égales et régulières, également » inclinées deux à deux, et assemblées en même nombre autour de chaque » sommet. Ils peuvent être inscrits et circonscrits à la sphère (')-.•• La
(') Car la démonstration du n° 908 est fondée seulement sur Kégalè incli- naison des faces égales et régulières du polyèdre et sur l'identité de position du centre de chacune d'elles par rapport à ses intersections avec les faces ad- jacentes.
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. ^/\Ç)
» différence essentielle de ces polyèdres aux polyèdres (réguliers) ordi- » naires est que, dans ceux-ci, les faces étant projetées par des rayons » sur la sphère inscrite ou circonscrite, les polygones (sphériques) cor- » respondants recouvrent une seule fois la sphère; au lieu que, dans les » autres, ces polygones la recouvrent exactement plusieurs fois. » [PoiysoT, loc. cit.). Ce dernier point exige une explication : soient aj «2, . • ., a^ et w les projections sur la sphère des sommets successifs et du centre du polygone régulier convexe ou étoile qui constitue l'une det: faces du polvèdre; ce que nous entendons pav aire sp/iérique recouverte par la projection de cette face, c'est la somme des aires des triangles sphériques isocèles successifs waia2, wa^aa. .... a)a„a,.
918. On nomme ordre d'un polyèdre régulier le nombre de ses faces, et espèce d'un polyèdre régulier le nombre exact de fois que sa projec- tion sur la sphère (c'est-à-dire la somme des aires sphériques recouvertes par les projections de ses diverses faces) recouvre cette sphère.
919. Il est facile de voir qu'en prolongeant les côtés d'un polygone régulier jusqu'à leur rencontre on forme un polygone étoile de même ordre, qui a pour noyau le polygone primitif. On peut faire provenir d'une manière analogue les polyèdres réguliers d'espèce supérieure des po- lyèdres réguliers ordinaires; en prolongeant les arêtes ou les faces d'un des polyèdres réguliers déjà connus, on obtient, sauf les cas d'impossibilité, un nouveau polyèdre régulier qui a pour noyau le polyèdre régulier ordi- naire qui a servi de point de départ. C'est ce qu'a établi M. Cauchy [Jour- nal de V École Polytechnique, t. IX, p. 68).
Plus lard, M. J. Bertrand [Comptes rendus de i Académie des Sciences, t. XLVI) a rattaché les nouveaux polyèdres aux polyèdres réguliers déjà connus, par une démonstration du même genre, mais beaucoup plus sim- ple : c'est celle que nous allons exposer.
920. Nous regarderons d'abord comme évident que, des points quel- conques étant donnés dans l'espace, on peut toujours trouver un polyèdre
■ CONVEXE, dont les sommets soient pris parmi les points donnés, et qui contienne tous les autres points dans son intérieur, à moins qtHl n'ait précisément pour .sommets tous les points donnés eux-mêmes.
Nous savons d'ailleurs (693) qu'il ne peut exister de polyèdre convexe dont chaque .sommet soit la réunion de plus de cinq faces.
THÉORÈME.
921. Etant donné un polyèdre régulier A, d'espèce (ptrlconqtte, il existe toujours un polyèdre régulier convexe X rpii a les mêmes sommets que le polyèdre A.
Les sommets du polyèdre régulier quelcompie A étant sur une même
25o GÉtîMÉTBIE DANS l'eSPACE.
Bphère (908), tout polyèdre convexe dont les sommets sont pris parmi ceux de A ne saurait contenir les autres dans son intérieur. Il existe donc (920) un polyèdre convexe X dont tous les sommets se confondent avec ceux du polyèdre A, Il reste à prouver que ce polyèdre convexe X est régulier.
Désignons par P la figure formée par l'ensemble des deux polyèdres considérés, et par Q une autre figure identique à la première. Puisque le polyèdre A est régulier, la coïncidence des deux figures pourra être ob- tenue en plaçant un sommet quelconque de Q sur un sommet déterminé de P, ce qui entraîne l'égalité de tous les angles polyèdres du polyèdre convexe X.
De plus, deux sommets étant l'un sur l'autre, la coïncidence des deux polyèdres A qui font partie de P et de Q, et par suite celles des figures totales, pourra être obtenue au moins de trois manières différentes; car les sommets considérés appartiennent à des angles au moins trièdres et, sur l'une des faces du premier angle, on peut placer une face quelconque du second. Les angles polyèdres correspondants des deux polyèdres con- vexes X sont donc, à leur tour, non-seulement égaux, mais susceptibles de coïncider aussi de trois manières différentes au moins; et, comme ces angles sont trièdres, tétraèdres ou pentaèdres (695), ils ont alors néces- sairement toutes leurs faces égales et également inclinées.
Les faces des deux polyèdres X sont donc des polygones équiangles et également inclinés, dont la coïncidence peut être établie en plaçant un sommet arbitraire de Q sur un sommet désigné de P; en d'autres termes, ces faces sont des polygones réguliers égaux. Le polyèdre X, ayant pour faces des polygones réguliers égaux et pour angles des angles polyèdres égaux, est régulier..
Il convient de remarquer que l'ordre des angles polyèdres est le même pour le polyèdre A et pour le polyèdre X. Ou le voit sans peine en se fondant sur ce que cet ordre ne peut être que 3, j ou 5.
THÉORÈME.
922. Il n'existe que quatre polyèdres réguliers (V espèces supérieures, « En vertu du théorème précédent, pour obtenir les polyèdres régu- » liers d'espèces supérieures, il faut évidemment prendre les polyèdres i) réguliers convexes (90o), et procéder de la manière suivante: choisir » un sommet sur l'un de ces polyèdres, et chercher s'il existe d'au- » très sommets qui, réunis à celui-là, puissent former un polygone ré- » gulier. » (J. Bertrand, loc. cit.) Ce polygone est alors une face pos- sible d'un polyèdre d'espèce supérieure ayant mêmes sommets que le polyèdre convexe proposé. Si le polyèdre d'espèce supérieure existe, le nombre des polygones égaux partant alors d'un môme sommet est le
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 25 T
nombre de faces de son ani^lo polyèdre; mais, pour qu'il en soit ainsi, ces polygones égaux doivent pouvoir former un angle polyèdre.
« Il est clair que cette construction appli([uée au tétraèdre ne donne rien.
0 Chaque sommet de Toctaèdrc appartient à deux carrés, lesquels ^no
peuvent évidemment pas former les faces d'un polyèdre.
» Chaque sommet du cube peut former, avec deux autres sommets con- » venablement choisis, un triangle équilatéral, et cela de trois manière» » différentes ; mais ces trois triangles appartiennent à un tétraèdre régulier.
» Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut, de trois manières dif- » férentes, former des triangles équilatéraux avec des sommets apparte- )) nant à deux des faces qui s'y réunissent; mais ces triangles ne feront » pas un angle polyèdre, deux d'entre eux n'ayant jamaisd'arête commune.
» Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut également être consi- » déré comme le sommet de six triangles équilatéraux dont les autres » sommets appartiennent à des faces contiguës à celles qui^ contiennent » le sommet donné. Mais ces six triangles équilatéraux sont les faces de » deux tétraèdres réguliers.
» Chaque sommet du dodécaèdre est enfin le sommet commun de trois » pentagones réguliers dont les quatre autres sommets appartiennent au » même polyèdre. Ces trois pentagones ne forment pas les faces d'un » angle trièdre, parce que deux d'entre eux n'ont pas d'arête commune; » mais les pentagones étoiles qui ont les mêmes sommets forment un » angle trièdre, et leur ensemble, pour tout le polyèdre, forme le dodé- » caèdre régulier (de septième espèce).
» Chaque sommet de l'ico.saèdre est le sommet commun de cinq trian- » gles équilatéraux ayant pour côtés les droites les plus courtes que l'on » puisse mener entre les sommets, après celles qui forment les côtés des » faces. Ces triangles forment l'icosaèdre de septième espèce.
» Chaque sommet de l'icosaèdre peut être considéré comme le sommet « commun de cinq pentagones réguliers de première espèce, dont les » quatre autres sommets appartiennent également à l'icosaèdre; ces pen- » tagones sont les faces du dodécaèdre de troisième espèce (à faces con- » vexes). Enfin les mêmes sommets peuvent être considérés comme B appartenant à des pentagones étoiles qui forment le dodécaèdre (de » troisième espèce, à faces étoilées).
» Il n'y a donc en tout que quatre polyèdres étoiles, qui sont précisé- » ment ceiix que M. Poinsot a découverts. » (.1. Bkutrand, loc. cit.)
Nous croyons devoir ajouter ici le raisonnement suivant, dil à M. Kœnigs, pour prouver que le dodécaèdre ne fournit cpi'un polyèdre étoile et que l'icosaèdre n'en donne que trois.
D'après ce qui précède le dodécaèdre ne peut donner que des polyèdres étoiles à sommets trièdres.
202
GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACB.
Or, parmi les plans passant par A {Jïg. 499 bis), le plan (AL, A'L' ) déterminé par les deux arêtes AL, A'L' joignant des couples de points dia- métralement opposés A et A', L et L', est un plan de symétrie du dodé- caèdre ; et, il y a en chaque sommet A de ce corps trois plans de symétrie tels que le précédent.
Un plan de symétrie du /3o/^èf/rep/'//n//«/étant un plan de symétrie du/>o- Ifèdre dérive, noas allons chercher à former au sommet Auntrièdre admet- tant le plan (AL, A'L') pour plan de symétrie et ayant par suite une arête dans ce plan, tandis que la face opposée est perpendiculaire à ce plan.
Pour cela, nous ferons tourner un demi-plan autour d'une droite menée par A perpendiculairement au plan de symétrie ; et, en considérant les po- sitions du plan contenant des sommets du polyèdre primitif, nous cher- cherons à former avec ces sommets des polygones réguliers pouvant être pris pour faces d'un polyèdre dérivé.
499 ^^•
Le plan est supposé tourner vers l'arrière de la figure (*). Voici le ta- bleau de ses positions successives :
Première position. — Le plan contient, outre A, le sommet L seul.
Deuxième position. — Le plan est AMQ'. Le triangle AMQ' est équila- téral; les deux autres sont AP'D, ACiN; ils n'ont pas d'arête commune.
Troisième position. — Le plan est AC'D'. Le triangle AC'D' n'est pas équilatéral.
Quatrième position. — Le plan est AP'N ; il contient aussi B' et E', car les arêtes LA, Q'P', C'B', D'E', MN sont également inclinées sur la face LQ'C'D'M. Les sommets A, N, E', B', P' forment un pentagone semblable au pentagone qui forme la face du dodécaèdre primitif. Les trois penta-
(') L, N, Q, M', P' sont dans un même plan; L', N', Q', M, P sont dans iij autre; aucun de ces plans ne contient le centre O qui est dans un plan pi.- rallèle intermédiaire-
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 253
gones convexes formés delà sorte autour de A ont deux à deux en com- mun deux sommets non consécutifs; ils ne peuvent pas former un angle polyèdre; mais, par la même raison, les pentagones étoiles ayant les mêmes sommets ont deux à deux une arête commune et donnent le dodé- caèdre étoile (de septième espèce).
Cinquième position. — Le plan est AN' P. Le triangle AN'Pest isocèle, mais on peut démontrer que N'P est plus grand que AP.
Sixième position. — Le plan est AM'Q. Le triangle AM'Q n'est pas équilaléral, car M'Q est égal à AD, lequel est inférieur à AM'.
Septième position. — Le plan est ABCDE; c'est la face même du dodé- caèdre ))rimitif.
A partir de là, le demi-plan, en achevant sa rotation, ne rencontre plus aucun sommet.
Le dodécaèdre ne peut donc fournir qu'un polyèdre étoile.
Nous laissons au lecteur le soin d'appliquer le même raisonnement à l'icosaèdre; la chose est encore plus simple, et l'on reconnaît de la sorte que l'icosaèdre ne donne que trois polyèdres étoiles.
PROBLÈME.
923. Trouver l'espèce d'un polyèdre régulier, La relation d'Euler (i) S-4-F = A-4-2,
démontrée au n° G88, ne s'applique pas seulement aux polyèdres con- vexes; elle subsiste sans modification pour tout polyèdre jouissant de cette propriété qu'il existe, dans leur intérieur, un point tel que chaque demi-droite issue de ce point rencontre la surface en un point, mais en un seul. C'est ce que montre clairement la démonstration suivante que l'on peut substituer à celle du n° 688.
Imaginons une sphère ayant pour centre le point en question et, en con- sidérant ce point comme centre de projection, projetons le polyèdre sur la sphère. A chaque face du polyèdre répondra un polygone sphérique ayant le même nombre n de côtés et dont l'aire aura (830) pour expression s — 2« -f- 4, s désignant la somme des angles de ce polygone sphérique. La somme des aires de tous les polygones sphériques ainsi formés, c'est-à-dire l'aire de la sphère, sera donc représentée par Is — 25;« -t- 4F et, comme dans le système d'unités adopté (813) l'aire de la sphère est égale à 8, on aura la relation
(a) 2:5-22:/î-h4F = 8.
Or, d'une part, la somme des angles sphériques autour de la projection de chaque sommet du polyèdxe étant égale à 4. on a 2.^ == 4S. D'autre
a54 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
part, la projection de chaque arête du polyèdre formant un côté appar- tenant à deux polygones sphériques, on a 2« = 2A. La relation (2) devient donc 4S — 4A + 4F = 8, c'est-à-dire la relation (i).
Cette démonstration offre d'ailleurs l'avantage de montrer la route à suivre pour modifier la formule d'Euler de manière à la rendre appli- cable aux polyèdres réguliers étoiles. Il faut alors tenir compte à la fois de l'espèce du polyèdre considéré (918), de l'espèce de ses faces (91S) supposées toutes de même espèce, et de celle de ses angles polyèdres (916) supposés tous de même espèce. A cet effet, projetons le polyèdre donné sur la sphère inscrite ou circonscrite, en prenant pour centre de projection le centre de cette sphère (917).
Soient «le nombre des côtés de l'une des faces du polyèdre, «pie nombre qui en marque l'espèce, a l'aire sphérique que sa projection recouvre (917), s la somme des angles de ce polygone sphérique. Décomposons-le en trian- gles en joignant à ses sommets, par des arcs de grands cercles, la projec- tion du centre de la face considérée. L'aire de l'un de ces triangles, ayant a pour somme de ses angles, sera, en prenant pour unités l'angle droit et le triangle trirectangle (847), a — 2. L'aire a qui contient n de ces triangles, sera a = 2a — 2«. Or 2a, c'est la somme des angles des n triangles ou la somme ^des angles du polygone augmentée de la somme des angles au sommet de ces mêmes triangles, somme qui est égale à 4?» puisque l'espèce de la face projetée est cp(916). Il vient donc
a = j-t-4<f — 2/1
Soit Ë l'espèce du polyèdre ou le nombre exact de fois que sa projec- tion recouvre la sphère dont l'aire est ici représentée par 8 (813); nous aurons Fa = 8E en désignant par F le nombre des faces.
On a d'ailleurs F/z = 2 A. A étant le nombre des arêtes du polyèdre. Quant à F^, elle représente la somme des angles de tous les polygones sphériques obtenus. Mais la somme des angles réunis autour de chacurx de leurs sommets, projection de toutes les faces de l'angle polyèdre cor- respondant vaut «r fois quatre angles droits, o- marquant l'espèce des angles polyèdres (916). On aura donc, s'il y a S sommets,
F* = 4(78,
et en substituant les valeurs de a, /2, «dans la relation ci-desBus« il vient
(I) A-+-2E = <p.E-+-«r.S.
Si l'on fait dans cette formule E = cp = o- = i, on retrouve la formule d'Euler, Au lieu de la formule que nous venons d'obtenir, Poinsot (Mé- moire cité) trouve
Ah-2E = F-+-(7S,
parce qu'il ne tient pas compte de l'espèce de la face du polyèdreu
LIVKE VII.
LES CORPS RONDS.
►55
924. Dodécaèdre régulier de septième espace (Poinsot, quatrième espèce).
On l'obtient à l'aide de pentagones étoiles ou de seconde espèce, for- mant des angles trièdres de première espèce autour de chaque sommet d'un dodécaèdre régulier ordinaire (922). Ce nouveau polyèdre [Jîg. 5oo)
Fig. 5oo.
a donc vingt sommets (907). En désignant par m le nombre des arêtes d'un de ses angles polyèdres et par n le nombre d; s côtés d'une de ses faces, on a (693)
2 A = /« S et 2 A = // F ;
d'où l'on déduit (en faisant S = 20, w := 3, // = 5)
A=3o et F = 12,
La formule (I) donne ensuite, en faisant o- = 1, o .= 2, A — . 3o, F= n, S = 20,
2F = 24 -f- 20 — 3o ou E — 7.
Ce nouveau dodécaèdre est donc de sopliènic espèce.
92-^. Ivosaèdre régulier de septième espèce.
On l'obtient (922) à l'aide do triangles équilatéraux formant des angles
9.56
r,ÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
pentaèdres de seconde espèce autour de chaque sommet d'un icosaèdre régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre [fs;. 5oi) a donci 2 sommets (907),
Fig. 5oi.
En faisant S = 12, w = 5, /? — 3, dans les équations 'i^.— lll'è et 2A = «F, on trouve
A = 3o et F = 10.
La formule (I) donne ensuite, en y faisant 1^ = \ &[. g — -x.
2E = 20-1-24 — 3o ou E = 7.
Ce nouTel icosaèdre est donc de septième espèce.
926. Dodécaèdre régulier de troisième espèce, à faces conorui-s.
On l'obtient (922) à l'aide de pentagones réguliers ordinaires formiuit des angles pentaèdres de seconde espèce autour de chaque sommet d'un icosaèdre régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre ayant douze sommets, Jes équations 2A= /«S et iA = nF donnent (pour m = 5 et « = 5)
A = 3o et F — 12.
La formule (I) donne ensuite, pour '^ = i et t = 2,
2E=-i2-<-24 — 3o ou E = 3.
LIVHE VII. — LES CORPS RONDS. aST
Ce nouveau dodécaèdre à faces convexes {_fig. 5o2) est donc de troisième espèce.
Fif[. 5o2.
^11 . Dndècardrc ré}^t(lier de Uni sir nie espèce, à faces étoilées (PoiNSOT, deuxième espèce).
R. et DF. C. — Tr. de Ceom (II" Partie). I7
258
GÉOMÉTRIE OAKS l'kSPACE.
On l'obtient (922) à l'aide de pentagones étoiles formant des angles pentaèdres de première espèce autour de chaque sommet d'un icosaèdre régulier ordinaire. Ce nouveau polyèdre a donc douze sommets (907). Les équations 2A — mS et 2A= nF donnent alors, pour m = 5 et « = 5,
A = 3o et F = 12.
La formule (I) donne ensuite, pour «p = 2 et <7 = i,
2E = 24 -+- 12 — 3o ou E = 3.
Ce nouveau dodécaèdre à faces étoilées (Ji^. oo3 ) est donc aussi de troi- sième espèce.
928. Voici le tableau des éléments des quatre nouveaux polyèdres ré- guliers.
|
F |
n |
? |
5 |
m |
'7 |
A |
E |
|
|
Dodécaèdre régulier de septième espèce |
13 20 12 12 |
5 3 5 5 |
2 I 1 2 |
20 12 1 2 12 |
3 5 5 5 |
1 2 2 I |
3o 3o 3o 3o |
7 7 3 3 |
|
Icosaèdre régulier de septième |
||||||||
|
Dodécaèdre régulier de troisième espèce, à faces convexes Dodécaèdre régulier de troisième espèce, à faces étoilées |
On voit que les nouveaux polyèdres ç,qïi\. eu njugué s A&xn. à deux, comme les polyèdres réguliers ordinaires (907).
929. Pour familiariser davantage le lecteur avec les nouveaux polvèdres, nous terminerons en indiquant aussi leur mode de construction d'après Cauchy (919), parce qu'il fait peut-être mieux image que celui qui a été adopté plus haut (922).
« En prolongeant dans le dodécaèdre ordinaire les arêtes qui forment » les côtés des douze pentagones, on obtient le dodécaèdre étoile (detroi- » sième espèce).
» Si, dans le dodécaèdre ordinaire, on prolonge le plan qui contient » chaque face jusqu'à la simple rencontre des plans des cinq faces qui » entourent la face opposée, on obtiendra le dodécaèdre de troisième » espèce, compris, comme le dodécaèdre ordinaire, sous des pentagones » de première espèce.
LIVRE VII. — LES COUPS RONDS, ^Sq
» Enfin, si l'on prolonge les anHos qui, dans ce dodécaèdre de (roi- » sième espèce. Forment les côtés des douze pentagones, on obtiendra le » dodécaèdre de septième espèce.
» On obtiendra ricosaèdre de septième espèce, en prolongeant chaque » face de ricosaèdre ordinaire jusqu'à la rencontre des plans des trois » triangles qui entourent la face opposée à celle que l'on considère. »
IV — Homothétie et homologie dans l'espace.
FIGURES HOMOTHÉTIQUES DVXS l' ESPACE.
930. Étant donné un système de points A, B, C, ..., situés d'une ma- nière quelconque dans l'espace [Jig. 225 et 226), si, sur les rayons SA, SB, se, !.., issus d'un point S pris à volonté, on prend à partir de ce -loint des segments SA', SB', SC, ..., tels que
SA ' _ sb; _ se ' _ _
SA ~ SB ~ SC ' '
fi étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points A', B', C, ... est hnniothétique au système primitif ABC. . . , Suivant que le rapport À rP homothétie est positif ou négatif, les points homologues tels que A et A' sont situés d'un même côté ou de côtés différents par rapport au centre S d'hnmotlu'tic, et les deux systèmes ABC..., A'B'C... sont dits homothétrfjues directs ou hnmothétiques inverses.
La définition de l'homotliétie est donc la même pour les figures de l'espace et pour les figures planes (3o4). Toutefois, il n'est plus vrai de dire ici, comme dans le plan,fiue Ihomothétie inverse doime, abstraction faite de la posilion, les mêmes figures que l'homolhélie directe; Fêtant une figure quelconque de l'espace, si l'on construit, à l'aide d'un centre S arbitraire, la figure homothélique directe F' suivant le rapport k et la figure homothétique inverse F,, suivant le rapport — /-, les deux figures F' et Fj seront sYinetriques par rapport au point S (G^îS). Or on ne peut plus faire coïncider deux pareilles figures (673), tandis que dans le plan une rotation de 180 degrés autour du point S entraînait la coïncidence (354).
931. La fi:,ure liomothëtique d'une sphère est une sphère ; la démon- stration est la même que celle du n" 3.').t. Par suite, comme un cercle peut toujours être considéré comme l'intersection de deux sphères, la figure honioth(''ti(iue d'une circnnjérence par rapport a un point quelroncpic de l'espace est une circonférence.
932. Le théorème du n" 3rj6 et sa démonstration subsistent. La figure honmtliétique d'une droite est une droite parallèle h la prcnnèrc, et Fangle de dru.v droites est égal à clui de leurs droites lioinidogues ( 3.-)7, 3o8)«
a6o GÉOMÉTRIE DANS l'f.SPACE.
Im Jtgure homotlieti<iiœ d'un pUui est tut phm puni Hèle au premier^ car, si l'on considère dans le plan donné une droite qui tourne autour d'un point A, dans chacune de ses positions cette droite aura pour homothé- tique une droite parallèle passant par un point fixe A' homothélique de A< Il résulte de là : i" (\\iun plan (pd passe par le eentre d'homothétie esta lui-même son homotliéticpte ; a** que l'angle de deux plans est égal à l'angle de leurs hnmotliétiqitcs.
Les tangentes en deux points homnlogues de deux courbes homothé- tiques sont parallèles, comme limites de sécantes parallèles. Par suite (883), les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces honwthé- tiques sont parallèles.
933. Deux systèmes sont homothétiques, s'il existe dans l'espace deux points 0 et 0' tels, que les droites qui joignent le point 0 aux divers points du premier système, et les droites qui joignent le point 0' aux divers points du second système, soient parallèles et dans un même rapport /•; la démonstration est la même qu'au n° 360.
Il résulte de là que deux sj)hères quelconques sont à la fois homothé- tiques directes et homothétiques inverses (362 ) ; les deux centre, d'iiomo- thétie divisent harmoniquemenl la ligne des centres des deux sphères; ces centres sont en outre les sommets des deux cônes qu'on peut circon- scrire aux deux sphères. Lorsque les deux sphères sont tangentes, leur point de contact est un centre d'homothétie, directe si le contact est intérieur, inverse si le contact est extérieur.
934. Le théorème du n°363 et sa démonstration subsistent. Ainsi, deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux, et les trois centres cP homothétie sont sur une même ligne droite, qu'on nomme axe d'homothétie des trois systèmes.
Trois sphères considérées deux à deux ont trois centres d'homothétie directe et trois centres d'homothétie inverse (933). Elles ont donc quatre axes d'homothétie : un axe d'homothétie directe qui contient les trois centres d'homothétie directe, et trois axes d'homothétie inverse qui renferment chacun deux centres d'homothétie inverse et le centre direct qui répond au troisième centre inverse. Ces quatre axes d'homothétie sont ceux des trois cercles (366) que l'on obtient en coupant les trois sphères par le plan qui passe par leurs centres.
935. Lorsque quatre systèmes P, P', P", P'" sont homothétiques deux à deux, leurs six centres dliomotJiétie sont situés dans un même plan.
En etTet, soient respectivement 0,, 0^, 0,, les centres d'homothétie do P et P', de P et P", de P ot P'" ; le pian 0, 0, 0, est à lui-même son homo- logue dans les systèmes, P yt P', puisqu'il contient leur centre 0,; il est
LTYIIF, VII. — lES CORPS RONDS. 261
aussi à lui-même son homologue dans les systèmes P et P", puisqu'il contient leur centre 0^. Donc ce môme plan est encore à lui-même son homologue d;ms les systèmes P' et P" (934); et, par suite, il contient leur centre d'homothétie. On prouverait de même que ce plan passe par les centres d'homothétie de P' et P'", et de P" et P'",
Ces six centres d'homothétie sont les sommets d'un quadrilatère com- plet dont les côtés sont les quatre axes d'homothétie des quatre système^ proposés pris trois à trois. Le plan de ce quadrilatère reçoit le nom do plan d'homothétie des quatre systèmes P, P', P", P'".
936. Considérons en particulier ler^-v de quatre sphères. Comme deux sphères sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses, on aura douze centres dhoinotliétie, dont six directs et six inverses. Il est aisé d« voir qu'il y a huit plans d homothétie . En effet, imaginons le té- traèdre dont les sommets sont les centres des quatre sphères ; sur chaque face de ce tétraèdre, il y a six centres d'homothétie, trois directs et trois inverses (934). Considérons l'un 0 des six centres qui sont sur l'une des faces; ce point 0 appartient à deux droites A et B dont chacune passe par deux autres centres de la même face. D'ailleurs, ce même point 0 est commun à une autre face du tétraèdre, et, par suite, ii appartient égale- ment à deux autres droites Cet D situées sur cette seconde face. En com- binant les deux droites A et B de la première face avec les deux droites C et D de la seconde, on obtient quatre plans, AOC, AOD, BOC, BOD, dont chacun passant par cinq centres d'homothétie renferme nécessairement le sixième centre correspondant. Ainsi, par chaque centre 0 de la première face, passent quatre plans d'homothétie; mais chacun de ces plans est commun à trois centres de cette même face. Donc le nombre total des plans d'homothétie est égal à huit.
937. Dt'ux figures de l'espace sont semblables lorstiue, par un dépla- cement convenable, on peut amener la seconde sur l'une des homothé- tiques directes de la première. Or, d'après le n° 930, pour avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n'est pas nécessaire de faire varier le centre; il sullit, en prenant un centre arbitraire, de faire varier /■ de o à oo (36i). Donc on obtiendra toutes les figures semblables à une figure donnée, en construisant, avec un centre pris à volonté, les surfaces homothétiques qui répondent à toutes les valeurs du rapport /, depuis zéro jusqu'à l'infini.
Ainsi deux sphères fjuelco/uptcs sont semblables (931 ).
La seule fii^iire semblable h une surjace conique est cette surface co- nique elle-même; car, si l'on prend le somnu't 0 pour centre d'homothétie, l'homologue A' d'un point (|uelcon(iuo A de la surface conique proposée est situé sur la i;ônératrice OA,
2t52 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Enfin drux surfnrrs cy/in.-/riq(fc.s snnt hunnthétiqnex lorsque Intrx génératrice; snnt parallèles^ et leurs directrices deux courbes JiomntliC' tiques; car la figure homolliétique d'une droite estune droite parallèle. Par suite, les sections par un même plan de deux cylindres lionwtliétiques snnt deux courbes homothcticiues dont le centre est à la rencontre du plan sécant et de la parallèle aux génératrices menée par le centre d'homothé- tie des deux cylindres.
FIGURES HOMOLOGIQUES DANS l'eSPACE.
938, La nouvelle définition donnée au n° 732 pour les figures planes s'étend aux figures de l'espace, lorsqu'on remplace la droite fixe X par un pian fixe.
Ainsi, étant donnés un point fixe 0 et un plan fixe Q, si, sur chaque rayon 0-j. joignant le point fixe 0 à un point quelconque u. du plan Q, on prend deux points m et m' tels que le rapport anharmnnique [Oy-nim') ait une valeur constante )i, les points m et m' décrivent deux figures F et F' qu''nn dit HOMOLOGIQUES.
0 est le centre d'homologie, Q le plan d'homologie, et a le coefficient d'homologie.
Le point 0 est son propre homologue, et il partage cette propriété avec chacun des points du plan Q.
Au lieu de donner la constante >., on peut donner un premier couple [a, a') de points homologues. Alors, pour obtenir l'homologue d'un point quelconque /// de la première figure F, il suffit de prendre l'intersection /«' du rayon Om avec la droite a'B qui joint le point a' au point s, où la droite am rencontre le plan d'homologie. Ce tracé est la généralisation do celui du n" 729 et, d'après les considérations dévcloppé(>s au n° 732, il équivaut à la définition donnée ci-dessus.
939. Les sections faites dans les figures F et F' par un plan quelconque R passant par le centre d'homologie 0 sont évidemment deux figures homo- logiques planes ayant pour centre d'homologie le point 0, pour axe dhoinulogie l'intersection des plans Q et R, et pour coelTicient a.
D'après cela, à une droite quelconque de la figure F répond, dans la figure F', une droite coupant la première sur le plan d'homologie. Toute droite passant par 0 est sa propre homologue.
A tout plan P de la figure F répond, dans la figure F', un plan qui ren- coiitriî le premier sur le plan d'homologie. En effet, soient A l'inter- section du plan P et du plan d'homologie Q ; a \\n point fixe du plan P et a' son homologue; l'homologue m' d'un point quelconque/» du plan P appartient à la droite homologue de am; or le [)oiiit a où am rencontre A élantsou propre homologue, la droite amx a pour homologue aa' et, par
LIVIIK VII. — LES CORPS UONDS.
î63
suite, le point /;/' e?t dans le plan (iélerniiné par le point a' et la droite A. Tout plan passant par le centre (lliomologie est son propre homologue. Si un plan est parallèle au plan dlioniologie, il en est de môme de .-on homologue ; par suite, si une figure F est située dans un |)lan parallèle au plan d'homologie, la figure homologue F' est semblable à la première.
940. Dans deux figures homologiques, le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues.
Il en est de même pour un faisceau plan de quatre droites et pour le faisceau correspondant; pour le faisceau de quatre plans passant par une même droite et pour le faisceau formé par les plans homologues.
Le premier principe est évident, d'après la remarque faite en tête du numéro qui précède; les deux autres s'en déduisent immédiatement.
• 9il. Lorsqu'un point m' de la figure F' est à l'infini, l'égalité
(0(x/;//«') = ^ se réduit à
^ ->
Donc tous les points à l'infini de la figure F' ont leurs homologues situés dans un plan U parallèle au plan d'homologie; ce plan est dit le plan limite de la figure F.
On est ainsi conduit à généraliser la notion acquise au n" 588, sur les points à l'infini d;ins un plan. Puisque tous les points à l'infini dans l'es- pace ont leurs homologues situés dans un plan, et que la figure homo- logue d'un plan est un plan, on doit considérer tous les points h V infini dans r espace comme étant situés dans un même plan qu'on nomme plan à l'infini; ce plan contient les droites ^ l'infini de tous les plans de l'espace.
Mais revenons aux figures homologiques. La figure F' a aussi son plan limite V qui répond aux points à l'infini de la figure F ; et l'on voit, comme au n° 732, que le rapport des dislances du plan limite U au centre 0 et au
plan Q d'homologie est égal à X, tandis que ce rapport est égal à y pour
le plan limite V.
Étant donnés une figure F, son plan limite U, ainsi que le centre 0 et le plan Q d'homologie, on obtient l'homologue m' d'un point quelconque m de la figure F de la manière suivante : p Gl fj étant les points où une droite menée par /// rencontre les plans U et Q, on mène par le point*/ la parallèle au rayon Op, et l'on prend l'iiilerseclion /// <le celte droite (homologue de pnnj) avec le rayon Om.
204 GÉOMÉTRIE DANS I.'esPACE.
942. Pour 1 = — I, l'homologie est dite /un-nionujuc ; les deux plans limites se confondent avec le plan qui est équidistant du centre et du plan d'homologie.
Quand le plan d'homologie est à l'infini, l'homologie devient homo- thétie. Si, de plus, l'homologie est alors harmonique, on est ramené à la symétrie par rapport à un centre.
Lorsque le centre d'homologie est à l'infini, l'homologie devient affi- nité ; la seconde figure se déduit de la première en dilatant dans un rap- port constant ses ordonnées normales ou obliques par rapport au plan d'homologie. Si, de plus, l'homologie est alors harmonique, on est ramené à la symétrie (normale ou oblique) par rapport à un plan.
9i3. Nous montrerons plus tard les ressources qu'offre à la Géométrie pure la transformation homologique. Nous nous bornerons à signaler ici une des plus intéressantes applications pratiques de celte théorie; nous voulons parler de la construction des bas-reliefs, c'est-à-dire de ces figures qui forment une faible saillie sur le mur d'un édifice et à l'aide desquelles on représente un sujet ou une scène quelconque. Le bas- relief F et la scène F' qu'il représente sont deux figures homologiques. Soit 0 l'œil du spectateur qui est en avant du mur, tandis que la figure F' est supposée en arrière; désignons par a' le point de F' qui est le plus voisin du mur, et par P' le plan mené parallèlement au mur par le point le plus éloigné. On prend le point 0 pour centre d'homologie, le plan P du mur pour plan homologue de P', et l'on se donne à volonté, un peu en avant du mur, le point a qu'on veut faire correspondre au point a' et qui sera le point le plus saillant du bas-relief. Ces données, c'est-à-dire le centre d'homologie 0, un couple («, a') de points homologues et un couple (P, P') de plans homologues, suffisent évidemment pour déter- miner la figure F homologue de F', m' étant un point quelconque de F', on prend l'intersection // de la droite a' m' el du plan P'; le rayon Ob' donne, par sa rencontre avec le plan P, l'homologue b de b' ; par suite, l'in- tersection /n de ab et du rayon 0/«'est le point m du bas-relief qui répond au point m' de la figure à représenter. On pourrait aussi commencer par déterminer, à l'aide de ces données, le plan d'homologie, et opérer ensuite à l'aide du plan et du centre d'homologie, et du couple [a, a').
V. — Plan polaire et plan radical.
POLE ET PLAN POLAIRE PAR RAPPORT A LA SPHÈRE.
944, Un point 0 et une sphère C étant situés cVune manière quel- conque dans Vespace, si par le point 0 on mène une sécante quelconque OFE (7?^. 2i6 et 217, n" 3-iO), et qu^on détermine le conjugué harmoniqueX du point 0 par rapport à EF, le lieu géométrique du point I, lorsque
TÎVRK VIÏ. — TES CORPS RONDS.
3,6c
la sécante tourne autour du point U, est un plan P perpendiculaire au diamètre AB (fui passe par le point 0 ; car, dans chaque plan mené par OC, le lieu est une droite ( 340) perpendiculaire au diamètre AB et menée par le point H, conjui;ué harmonique de 0 par rapport à ce diamètre.
On dit que le point 0 e>;t \e pôle dû plan P, el que le pian P est le jdan polaire du point 0 par rapport à la sphère C.
Le plan polaire P d'un point 0 est évidemment le lieu des polaires du point 0 par rapport à tous les cercles de la sphère dont les plans passent par 0.
Le rayon de la sj)hère est moren proportionnel entre les distances du centre au pôle et au plan polaire. La discussion des positions du pôle et du plan polaire par rapport à la sphère est la même qu'au n" 3 il. Nous remarquerons seulement qne^lorsrjue le pôle est extérieur à la sphère, le plan polaire est le plan de la circonférence de contact du cône cpti est circonscrit à la sphère et cpd a le pôle pour sommet.
94S. Les plans polaires de tous les points d'un plan passent par le pôle de ce plan; et inversement, les pôles de tous les plans qui passent par un même point sont sur le plan polaire de ce point. La démonstration du n" 3i2 subsiste; seulement, XY [fii^. 218) représente alors la projection, sur le plan considéré, de la droite CO qui joint un point quelconque Ode ce plan au centre C de la sphère.
Il résulte de là que, si chacun des points d'un plan P est pris pour sommet d'un cône circonscrit à la sphère, les plans des cercles de contact passent tous par un même point p, pôle du plan P; inversement, «', sui- vant chacun des cercles de la sjjhrre dont les plans passent par un même point p, on circonscrit un cône à la sphère, les sommets de ces cônes sont tous dans un mé/ne plan P, rjui est le plan polaire du point p.
94G. Soient une sphère dont le centre est 0 et une droite quelconque
Fig. So.'j. Pi A M B
AB {ftg. 5o4). Prenons le pôle A' de Ai> par rapport au grand cercJQ
266 GfiOlMf'TRIE DANS l'f.SPACK.
ECFD situé dans le plan AUB,et par le point A' élevons la perpendicu- laire À'B' à ce plan AOB ; on voit que, réciproquement, la droite AB est la perpendiculaire au plan OA'B' élevée par le pôle A de A'B' par rapport au grand cercle EIFK situé dans le plan OA'B'. Les deux droites AB, A'B' ont reçu, d'après cela, le nom de droites léciprofjurs par rapport à la sphère 0.
Quand deux droites sont réciproques par rapport à une sphère, cha- cune d'elles est le lieu des pôles de tous les plans passant par l'autre ; ou, ce qui revient au même, chaccne (Pelles est r intersection commune des plans polaires des divers points de l'autre. En effet, le plan polaire d'un point quelconque M de AB est perpendiculaire au plan FCE, et sa trace sur ce plan est la polaire du point M par rapport au cercle F'CE. Cette trace passe donc (342) par le point A' qui est le pôle de AB par rapport au cercle FCE. Par suite, le plan polaire CID du point M ren- ferme la droite A'B'.
Il résulte de là que, lorsque deux plans sont tangents à la sphère, leur intersection est jéciproqnc de la droite qui unit les deux points de contact, car ces points de contact sont les pôles des plans tangents.
Remarquons enfin que la droite AB est le lieu des pôles de saréciprocjue A'B' par rapport a tous les cercles de la sphère dont les plans passent par A'B'. En effet. A' étant le pôle de la droite AB par rapport au cercle FCE, si N est le point où la droite AB rencontre le diamètre CD d'un cercle quelconque CID conduit par A'B', les points C, A', D, N forment un système harmonique; doncN est le pôle de A'B' par rapport au cercle CID.
-PLAN RADICAL DE DEUX SPHÈRES.
947. Si, par un point M de l'espace, on mène à une sphère 0 une sé- cante arbitraire qui rencontre la sphère en A et B, le produit MA. MB a une valeur indépendante de la direction de la sécante. Ce produit con- stant, qui est positif lorsque le point M est extérieure la sphère, négatif lorsque le point M est intérieur, et nul lorsque le point M est sur la surface sphérique, prend le nom de puissance du point M /mr rapport à la s})Iièiv 0.
La puissnfwe (F un point par rapport à une sphère est égale, en gran- deur et en sigfu-, à l'crcès du carié de la distance de ce point au centre sur le carré -du rayon (372). Lorsrpie le point est crtéricur à la sphère, sa puissance est égale au carré de la tangente menée h la sphère par ce voint .
Quand deux s/>hèrrs se cou fient orthngonnlenieut, le carré du rayon de chacune d'elles at égal à la puissance de son centre par rapport à Vautra sphère ( 383),
LITRE VII. — LES COUPS RONDS. 9.67
948- Le lieu des points d'égale puissance par rapport à deux sphères est un plan perpendiculaire à la ligne des centres (373).
Ce plan a reru le nom de plan radical des deux sphères. — Lorsque deux sphères se coupent, leur plan radical est le plan du cercle commun; lorsque deux sphères se touchent, leur plan radical est le plan tangent au point commun. — Le plan radical de deux sphères concentriques dis- paraît à l'infini.
Le plrm radical de deux sphères est le lieu des points d'oii l'on peut leur mener des tangentes égales (374). C'est aussi le lieu des centres des sphères qui coupent les deux premières orthogonalement (383).
949. Les plans radicaux de trois sphères considérées deux à deux passent par une même droite (37(3). Celte droite est la perpendiculaire au pian des centres des trois sphères, élevée par le centre radical des trois grands cercles contenus dans ce plan ; elle a reçu le nom û'axv radical des trois sphères.
Lorsque les centres des trois sphères sont en ligne droite, l'axe radical se transporte à l'infini : il piîut cependant arriver (jul- les trois plans ra- dicaux coïncident, auquel cas les trois sphères ont un plan radical au lieu d'un axe radical.
950. Enfin, les six plans radicaux de quatre sphères considérées deux à deux passent pur un même point. Car le point où l'axe radical des trois premières sphères rencontre le plan radical de l'une de ces sphères et de la quatrième est d'égale puissance par rapjiort aux quatre sphères; il est donc commun aux six plans radicaux des sphères considérées deux à deux, et aussi aux quatre axes radicaux des sphères considérées trois à trois.
Ce [)oint est dit le centre radical des quatre sphères. Il est unit|ue, à moins que les centres des quatre sphères ne soient dans un mémo plan ; dans ce cas, il peut arriver que le centre radical disparaisse à l'infini, ou bien qu'il soit remplacé par un axe radical, ou môme par un plan radical si les centres des quatre sphères sont en ligne droite.
9.^1. Les propriétés relatives aux points antihomologueB ainsi que 'eurs démonstrations subsistent pour les sphères. 11 suffit de remplacer, dans le n° 378, cercles par sphères, axe radical piv plan radical, et, dans le n° 379, le pâle t par la droite réciproque, le point de rencontre des tangentes par l'intersection des plans tangents.
a68 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
VI. — Figures inverses dans l'espace.
COMPLÉMENT DE LA MÉTHODE DE TRANSFORMATION PAR RAYONS VECTEURS
RÉCIPROQUES.
932. La définition du n° 384 s'applique à des points A, B, G, . . . , situés d'une manière quelconque dans l'espace.
Le cercle d'inversion devient alors une sphère, et, lorsqu'on fait varier le rayon de cette sphère sans déplacer son centre, les figures inverses de la figure donnée ainsi obtenues sont homothétiques (385) entre elles.
953. Un plan L et une sphère 0 quelconque peuvent être considérés comme deux figures inverses l'une de l'autre (388). La figure inverse d'un plan L est une sphère 0 passant par l'origine ; et la figure inverse d'une sphère 0, par rapport à l'un quelconque de ses points pris pour origine, est un plan L perpendiculaire au diamètre passant par l'origine.
On voit aisément que :
1° Si plusieurs cercles situés dans un même plan ont le même centre radical, l'inversion les transforme en cercles dont les plans passent par un même point.
2° Si plusieurs cercles situés dans un même plan ont le même axe radical, l'inversion les transforme en cercles dont les plans passent par une même droite. "
954. Deux sphères quelconques 0 et 0' peuvent être considérées comme deux figures inverses l'une de l'autre (390). La figure inverse d'une sphère 0, par rapport à un point S extérieur ou intérieur pris pour ori- gine, est une autre sphère 0'.
953. L'inverse d'une circonférence G par rapport à un point quel- conque S de l'espace pris pour origine est une autre circonférence G . Gar, la circonférence G étant considérée comme l'intersection de deux sphères 0 et 0', son inverse est l'intersection des deux sphères 0' et O'i, inverse des sphères 0 et Oi, c'est-à-dire un cercle.
Il résulte immédialement de la définition des figures inverses que /row couples quelconques a et a', b et b', c et c', des points correspondants de deux figures inverses sont situés sur une même sphère. Donc une cir- conférence quelconque C et son inverse G' appartiennent à une même sphère, et par suite (878) elles sont des sections antiparallèles d'un même cône oblique qui a l'origine S pour sommet. De là le moyen de tiouver le centre de la circonférence G' inverse d'une circonférence G; ce centre est (880) sur la droite qui joint l'origine S au sommet d'un
LIVRK Yll, — LES CORPS RONDS. 269
cône auxiliaire, circonscrit suii'ant le cercle C à la xphère déterminée par la circonférence C et le point S.
956. La formule du n" 386 et sa démonstration subsistent. Quant au théorème du n° 387, il s'applique aussi à deux lignes quelconques de l'espace; mais une nouvelle démonstration est nécessaire.
Et d'abord on démontre, absolument comme au n° 387, en considérant {fig. 240 ) une ligne quelconque plane ou gauche MN et son inverse M'N', que leurs tangentes MT, M'T' font des angles égaux TM.M', TM'M avec le rayon vecteur SMM'. Cela étant, soient {/îg. 241) deux courbes gauches MA et Mrt qui se coupent en M, et les courbes inverses M'A', M'a'; il faut prouver que l'angle des deux premières, c'est-à-dire l'angle fMTde leurs tangentes, est égal à l'angle /M'T des deux autres. Or on a, d'après l'observation précédente,
t MM' = t M' M , TMM' = T M' M ;
donc le trièdre formé par les droites MM', MT, M/, et le trièdre formé par les droites M'M, M'T, Wt, ont un angle dièdre égal MM' compris entre deux faces égales chacune à chacune; ces deux trièdres sont donc symétriques et, par suite, les troisièmes faces TM/, TM'f sont respec- tivement égales.
937. L^angle de deux surfaces F et Fi, en un point quelconque m de leur ligne d'intersection anib, est égal à l'angle sous lequel les surfaces inverses F' et Y\ se coupent au point correspondant m'.
En effet, menons par m sur les surfaces F et ¥% deux courbes mp et mpi à angle droit sur la ligne d'intersection amb', leurs inverses m' p' et m'p\ couperont (936) à angle droit la ligne a' m'b' commune aux sur- faces F' et F'i, et de plus l'angle des deux premières courbes mp et mpi sera égal à celui de leurs inverses m' p' et m' p\. Or l'angle des courbes mp et mpx mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F et Fj au point m, et l'angle de m'p' et rn'p\ mesure l'inclinaison mutuelle des deux surfaces F' et F', au point correspondant m' .
Puisque l'inversion conserve les angles des surfaces, les sphères in- verses de deux sphères tangentes sont aussi tangentes; d'ailleurs on voit, comme au n" 393, que le contact entre les deux nouvelles sphères et le contact entre les deux sphères primitives sont semblables ou dissem- blables suivant que les puissances du centre d' inversion par rapport aux deux sphères primitives ont le même signe ou des signes opposés.
Les lignes et les surfaces inverses jouissent, relativement à la cour- bure, de propriétés très importantes que nous ne pouvons pas développer ici. Nous renverrons sur ce sujet aux Mémoires déjà cités dans len°3'J8, et à un Mémoire de M. Hirst, Annales de Tortolini, t. II, 1859.
37©
GËOUËTRIB DANS l'bSPACB.
Applications.
938. Voici quelques applications des principes qui précèdent.
On nomme projection stéréographique d'une figure sphérique la per- spective de cette figure faite en prenant pour point de vue S un point de la sphère, et pour plan de projection ou tableau le plan P du grand cercle dont le pôle est au point de vue S.
D'après le n" 9o3, on peut considérer le plan diamétral P comme l'in- verse de la surface sphérique, en prenant pour origine le point S et pour puissance le double da carré du rayon de la sphère. La projection stéréographique n'est donc qu'un cas particulier de la transformation par rayons vecteurs réciproques, et l'on peut énoncer les propositions suivantes qu'on utilise dans la construction des mappemondes :
1° Les projections stéréo graphiques de deux lignes tracées sur la sphère se coupent sous le même angle que ces lignes elles-mêmes ;
a" La projection stéréographique d'un cercle de la sphère est un cercle dont le centre est la perspective du sommet du cène circonscrit à la sphère suivoju le cercle proposé.
La projection stéréographique a été connue des Grecs : Ptolémée l'a décrite sous le nom de planisphère, et les auteurs du moyen âge l'appe- laient astrolabe La construction du centre est due à M. Chasles.
939. On peut toujours transformer un groupe de trois sphères données en un groupe de trois autres sphères ayant leurs centres en ligne droite; le lieu de l'origine ou du pôle de transformation est la circonférence qui coupe à angle droit les grands cercles des sphères données situés dans le plan des trois centres. En effet, il est évident que les pôles de transformation doivent être dans le plan des trois centres, et que ..out revient à transformer les grands cercles situés dans ce plan en trois autres ayant leurs centres en ligne droite. Or, si l'on prend pour pôle un des points de la circonférence qui coupe orthogonalement ces trois grands cercles, cette circonférence orthogonale se transforme en une droite qui coupe à angle droit les transformées des circonférences données et qui, par suite, contient les centres de ces transformées.
VII. — Problèmes relatifs au contact des sphères.
SPHÉRE8 TANGENTES A QUATRE SPHÈRES DONNÉES.
960. Il s'agit ici d'étendre aux sphères le problème d'Apollonius re- latif aux cercles tangents à trois cercles donnés situés dans un même plan (n" 401). L'extension étant facile, nous nous bornerons, comme
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. «7I
Aï. Fouché, à indiiiuer sommairement et parfois même sans démonstra- tion, la suite des propositions qui mènent à la règle finale.
1° Toute sphère 'a qui passe par deux points a et a' homologues de deux sphères fixes 0 et 0' est isngonale à ces deux sphères; et, réci- proquement. On se rend compte de celte proposition en considérant le plan des trois centres et se reportant au n° 400'.
La droite aa' passe par l'un C des centres de similitude de 0 et de 0', et le produit C«.Ca' exprime à la fois la puissance de C par rapport à u et le module de l'inversion qui, ayant C pour pôle, trans- Jorme les sphères 0 et 0' l'une dans l'autre. Comme il y a deux centres de similitude, on peut énoncer le théorème suivant :
Les sphères isogonales à deux sphères données 0 et 0' se répartis- sent en deux groupes suivant qu'elles ont pour centre radical l'un ou l'autre des deux centres de similitude.
Les sphères tangentes à 0 et 0' appartiennent au premier ou au se- cond groupe suivant que leurs contacts avec 0 et 0' sont de même espèce ou d'espèces différentes.
1" Les sphères isos;onalcs à trois sphères fixes 0, 0', 0", se répar- tissent en quatre familles ; 1rs sphères d'une même famille ayant pour axe radical l'un L des quatre axes de similitude des sphères 0, 0', 0".
Le lieu des centres des sphères d'une même famille est le plan per- pendiculaire à L mené par l'axe radical de 0, 0', 0".
Les plans radicaux de chaque sphère d'une même famille avec l'une des trois sphères données coupent L au même point.
3° Parmi les sphères isogonales à 0, 0', O' se trouvent en particu- lier les sphères to tangentes à ces trois sphères données. Le plan radical de 0 et d'une sphère oj devient alors le plan tangent au point T où t»> louche 0. Il doit couper l'axe de similitude L en un point H qui reste fixe quand w varie; il enveloppe donc le cône qui ayant pour sommet H est circonscrit à la sphère 0. Le lieu des points de contact T est un cercle, et comme il y a un tel cercle par famille, on a cet élégant théo- rème
Le lieu des points de contact des sphères tangentes à trois sphères fixes avec l'une de ces sphères se compose de quatre cercles. (Du- PUis, Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, t. I.)
4° Les sphères isogonales à quatre sphères fixes 0, 0', 0', 0" se ré- partissent en huit jaisceaux; les sphères d'un même faisceau ont pour plan radical l'un P des huit plans de similitude des quatre sphères données.
La démonstration est analogue à celle du n* 400'.
Le lieu des centres des cercles (f d'un même faisceau est la perpeo*
37» GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
diculaire menée du centre radical des quatre sphères données sur le plan de similitude considéré P.
Soit (H) la droite suivant laquelle le planP rencontre le plan radical de l'une des sphères «p et de l'une des sphères données, 0 par exemple, Lorsque <p varie (en appartenant toujours au même faisceau), la droite (H) reste fixe, car tous les points de cette droite conservent la même puissance par rapport à «p et à 0.
De là résulte la construction d'une sphère tangente à quatre sphères données 0, 0', 0', 0'" :
Après avoir choisi troix centres de similitude de la sphère donnée 0 avec les trois autres sphères données 0', 0", 0'", on prend arbitraire- ment sur 0 un point quelconque M dont on cherche les antihomologues M', M', M'" sur 0', 0", 0'". La sphère qui passe par M, M', M", M"' coupe la sphère 0 suivant un cercle dont le plan rencontre, suivant une droite (H), le plan des trois centres de similitude considérés. Par la droite (H) o« mène un plan tangent à la sphère 0; A étant le point de contact, on construit ses antihomologues A', A*, A'" par rapport à 0', 0', 0'". La sphère qui passe par A, A', A', A* répond à la question.
n y a seize solutions.
Mais la discussion serait beaucoup plus compliquée que dans le cas du problème plan (n° 401'). Il n'est pas vrai d'ailleurs que les seize so- lutions soient réelles toutes les fois que les quatre sphères données sont deux à deux extérieures
961. La plupart des auteurs qui se sont occupés du problème relatif à la sphère tangente à quatre sphères données (Gaultier de Tours, Journal de l'École Polytechnique, t. IX; Hgegmann, Mémoires de l'Académie de JJlle, iSaS; J.-A. Serret, Journal de Crelle, t. XXXVII, et Nouvelles Annales) ont fondé leur démonstration sur le théorème de Dupuis. Au lieu de suivre cette marche, qui rompt l'analogie avec (a Géométrie plane, nous avons tenu à conserver cette analogie, et l'on peut constater que le raisonnement employé au n° 960 n'est que l'ex- tension naturelle de celui déjà fait au n° 400. Le théorème de Dupuis n'en est alors qu'un corollaire immédiat, comme nous venons de le voir. On peut toutefois en désirer une démonstration directe. Une des plus simples repose sur la remarque du n° 9S9 :
Considérons la figure formée par les trois sphères fixes Si, S2, S3, la sphère variableXqui les touche ; transformons cette figure de façon que Si, Sj, S3 deviennent trois sphères 2i, 22, '^3 ayant leurs centres o-i, t^, 0-3 en ligne droite. La transformée $ de X touchera Xi, 22, I3 et le lieu de son point de contact ^v§ç l'une quelcontî"© de ces sphères sera évidemment
LIVRE VU. — LES CORPS RONDS. «73
on cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite o-to-jffs. Donc, en revenant à la figure primitive et se rappelant que la transformée d'un cercle est un cercle, on voit que le point de contact de la sphère variable X décrit un cercle sur chacune des sphères fixes Si, Sî, S3. (Mannheim, Nouvelles Annales, i" série, tome XIX.)
SPHERE TANGENTE A QUATRE PLANS DONNES.
962. Établissons d'abord un lemme :
Soit AiA2A3At un tétraèdre, k étant l'un quelconque des indices 1,2, 3, 4, désignons par Sk l'aire de la face opposée au sommet A*, par MPa la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque M de l'espace sur le plan de cette face, et par Xk le nombre qui mesure la longueur de cette perpendiculaire, précédé du signe -!- ou du signe — suivant que le point M et le sommet A^. sont d'un même côté ou de côtés différents par rap- port au plan de la face Sk.
Les quantités x», Xj, xs, x^^ reçoivent le nom de coordonnées te'traé- driques du point M.
Fig. 5oJ.
Les coordonnées lélraedriijius il' un point quelconque M de l'espace sa- tisfont à la relation
( « ) .V, .r, -H s.^x^ -H s^x^ -H .ï,x, = 3 (^,
V étant le volume du tétraèdre.
En effet, les plans des faces du tétraèdre indéfiniment prolonges par- tagent l'espace en quinze régions; ce sont [fig. 5o5) ;
R. et DB C. — Tr. d« Gfom. (U« Partie). 18
27d GEOMETRIE DANS L ESPACE.
L'espaco A, A^A^A^ occupé par le lélraèdre;
Le tiièdrc k^a^x^oL^^ opposé par le sommet au trièdre A, du tétraèdre; il y a quatre trièdres de ce genre, un relatif à chaque sommet;
Le tronc de pyramide indéfini ^.,^^^,o.^a^a,, qu'on obtient en re- tranchant du trièdre A, l'espace occupé par le tétraèdre ; il y a quatre troncs de ce genre, un relatif àrchaque face ;
Le comble A, A^^ja^a'^a,^ qui a pour faite l'arête AiA^ et pour .arêtes les prolongements A, aj, A,a^, des arêtes qui aboutissent en A, et les prolongements A.^a'3, k^a\, des arêtes qui aboutissent en A^; il y a six combles de ce genre, un relatif à chaque arête.
Cela posé, si le point M est situé dans l'intérieur du tétraèdre, les
. . 1 .11
quantités X,, j:^, ^3, j",, sont positives; les expressions 5<', J",, 0 -S ■^2'
- .Vj x.^, - s^ x^, représentent les volumes des pyramides triangulaires
qui ont M pour sommet et, pour bases, les faces s^, i\, s^, s^; et, comme la somme des volumes de ces pyramides est égale au volume du tétraèdre, la relation (i) est démontrée pour ce cas.
Si le point M est dans le trièdre A.a, a^a^, les hauteurs des pyramides qui ont pour bases .^p .^j. .^3, .^4, et pour sommet le point M, sont respec- tivement égales à x^, — x^,^x.^, — .r^, et, comme le tétraèdre équivaut à la pyramide ayant pour base .s\, diminuée de la somme des pyramides ayant pour bases Sî^v^^) on a
c'est-à-dire encore la relation (i).
On voit de même que, suivant que le point M est situé dans le tronc A^AjAj a^n^n^ ou dans le comble (A,AJ, on a
— ^, ( — X, ) 4- .y,.r, ^- .V3.r3-^ .î^.r, = 3.- ou
.V, X, -H .v.^.r^ - .s-3 ( — .r, ) — .^, ( — xj = 3 <',
c'est-à-dire toujours la relation (i), qui se trouve ainsi établie pour tous les cas,
RÉciPROOiiEMENT, SI quatre r/na//t/fés x^^x^,x^,x^, satisfont à la re- lation ( I ), // existe un point de l'espace et un seul dont ces quantités sont les coordonnées tétraédriques.
En effet, menons un plan Q^. parallèle au plan de la face .v^, à une dis- tance de celui-ci égale à la valeur absolue de .r^, et du même côté du plan .v^ que le sommet A^ ou du côté opposé, suivant que x^ est positif ou négatif; nous obtiendrons ainsi quatre plans Q,, Q^, 03)04, bion dé- terminés. TroiS' quelconques d'entre eux, Ç^^,<^j^,Qi^, se coupent oi) wn
LIVRE Vil. — LES CORPS RONDS. 275
point unique y. rlont nous désignerons les coordonnées tétraédriques par Ç,, Ç^, ti, ?4. D'après la construction du point M, on a
d'ailleurs, le point y. est le seul point de l'espace dont les trois coordon- nées d'indices ■2, 3, 4 soient respectivement égales à jc^,x^,x^. Il reste donc seulement à prouver que H, est égal a x^. Or on a, par le théorèmf^ direct,
•v,H,^-.v,;,-)-i-3Ç3-+ .?,?,= 3 c, .
c'est-à-dire, à cause des relations précédentes,
s'i ç, -T- .s',.r., -^ s..r^ -+- .\\x. = 3 c,
et la comparaison de cette relation avec la relation (i), qui, par hypo- thèse, est ici satisfaite, donne Ç, = j:,.
963. Abordons maintenant le problème de la sphère tangente a quatre plans que nous supposerons former un tétraèdre.
Pour qu'il existe une sphère inscrite dans le tétraèdre, il faut et il suf.it qu'on puisse satisfaire à la relation (i) en prenant
X, = fi, x^= û, .rj=rp, .r, = p,
p désignant le nombre fini et positif cfui mesure le rayon de la sphère. Or, une telle solution est toujours possible el est unique, caria substit'.i- tion des valeurs précédentes dans (i) donne
( .v, -I- .v.^ -+- .Vj -f- .Vj ) p = 3 (',
d'où l'on tire pour p la valeur unique, finie et positive,
3(' P =
.V, -+- .V_, -r- .Vj -f- .y,
Il y a donc une sphère inscrite au tétraèdre et une seule; son rayon est donné par la formule précédente ; d'ailleurs, son centre, étant équidistant des quatre faces, appartient à tous les plans bissecteurs des dièdres inté- rieurs du tétraèdre, et trois de ces plans, relatifs aux trois arêtes d'une même face, sufïisent pour le déterminer.
Pour qu'une sphère taiigenlc eût son centre dans le trièdre S^y.^y./y.^^ il faudrait qu'on pût satisfaire à la relation (1) par les valeurs
X| = p, X., — — p, -^j = — p, -^1 = — 'i,
péliint fini et positif; or, la substitution de ces valeurs donno
3r
{•S— S- -s-'^Jp^ ■^'' ''"•' P
276 GÉOMÉTRIK DANS l'eSPACE.
ce qui est impossible, puisque, une face quelconque d'un tétraèdre étant moindre que la somme des trois autres, le second membre est négatif. Ainsi, il n'y a aucune sphère tangente ayant son centre dans le trièdre con- sidéré ni dans les trois autres Irièdres analogues.
Il y a, au contraire, une sphère dans le tronc k.^k.^k^n,a^a^, car la substitution des valeurs
donne
( — .V, -I- .V, -f- .V, -i- .V, )p — 6v, d ou p = ,
valeur unique, finie et positive, puisque dans un tétraèdre une face quel- conque est moindre que la somme des trois autres. Cette sphère est dite exmscrite suivant la face s^ ; son centre est à l'intersection des plans bis- secteurs des dièdres extérieurs relatifs aux arêtes de cette face. Il y a de même une sphère exinscrile dans chaque tronc.
Voilà donc cinq sphères, la sphère inscrite et les (jiuitre sphères exin- scrites, dont l'existence est certaine. II reste à examiner ce qui se passe pour les combles.
Pour raisonner d'une manière générale, désignons par A,Aj l'arête re- lative au comble considéré et par A,'Aa-' l'arête opposée. Pour qu'il y ait une sphère tangente dans le comble (A,Aj),il faut et il suffit que la sub- stitution des valeurs
•^'i = p. ^k = p. ^i' = — P' -^a' = — p,
dans la relation (i) donne pour p une valeur finie et positive. Or, cette substitution conduit à
Si -+- .Vj — S) — .y ) p — 3 r, d'où 0 ■
s. -+- s.. — S' — s.,
Donc, pour ipi'il Y ait une sphère tangente clans l'un des combles^ il faut et il suffit que la somme s^-+- s^ des deux faces qui nnt pour côté commun r arête du comble soit supérieure à la somme si ■+- s 1,1 des deux autres faces.
II suit de là immédiatement que, s'il y a une sphère dans un comble, il n'y en a pas dans le comble opposé, et que, si la somme de deux faces est égale à In somme des deux autres, il n'y a de sphère tangente ni d(ms le comble cpd a pour arête le côté commun aux deux premières faces, ni dans le comble opposé qui a pour arête le côté commun aux deux autres faces.
Donc, enfin, le nombre des sphères tangentes à quatre plans formant un tétraèdre est au moins égal à cinq et au plus égal à huit.
LIVIli: VII. — LKS CORPS RONDS, '>'']
Admettons, ce qui est permis, qu'on ait et posons
L'égalité c/^ = o entraîne </- — o et </^ = o; car, si l'on a
0 = 72=1 *"l — ^3) -^- (-^2 — •^) = (-S — ■^) -^ (•^î — -^ ),
c'est que les différences entre parenthèses, qui ne peuvent être négatives, sont nulles; on a donc
•»■> = -S = "i = -^ et, par suite,
73 = 0 et q, = o.
L'égalité f/^ — o entraîne </ , = o ; car, si ion a
0 = 73= (s— -Sl^ (^3— ^),
c'est quelesdifférenees entre parenthèses sont nulles; onadoncci = «-î, fj = s^ et, par suite, «74 = o.
Ces remarques très simples permettent d'achever la discussion.
Si les trois quantités qi, q^, qt, sont nulles, on a .^i = .5-2 = x^ = .ç^, et réciproquement. Donc, pour que le nombre den sphèrex soit e'^al à 5, it faut et il suffit que le te'traèdre ait toutes ses faces équivalentes.
Si deux seulement des quantités q^, 9», qi, eonl nulles, c'est qu'on a
<?S=0, 74 = 0, .^2>'>,
c'est-à-dire
5, = Vj. Si^.Si., .î, a.^.lj,
et récrproquement. Donc, pour que le nombre des sphères soit égala 6, il faut et il suff-^t que les /aces du téùrièdre i;oie.it équivalentes deux à deux ians être toutes équivalentes. Si uae seule îles quantités 92, qz, q^ est null-i, c'est qu'on a
9* --- o, qi > <t, q, "j:- >, c'oKî-à-dire
il -t- *4 = ^2 ■+■ ^3, Si > St ^ Si > ^4,
et réciproquement. Donc, pour que le nombre des sphèrer soit égal à 7, il faut et il suffit que le tétraèdre ait une face maximum et une face mini- mum, et que la somme de ces deux faces soit égale à la somme des deux autres, lesquelles peuvent d'ailleurs être équivalentes entre elles ou non. Enfin, si aucune des trois conditions précédentes n'est réalisée, le nombre des sphères est égal à 8.
278 GÉOMÉTRIE lUXS LESPACE.
Nous laissons au lecteur le soin d'examiner les cas où les quatre plans donnés ne forment pas un lélraèdre.
VIII. — Figures tracées sur la sphère.
RAPPORT ANHARiMOMQUE.
964. On nomme rapports anharmoiiiques de quatre points A, B, C, D, • situes sur un grand cercle d'une sphère dont nous désignerons le centre
par w, les rapports anharmoniques du faisceau formé par les quatre rayons wA, o-B, wC, wD, qui aboutissent à ces points.
Lorsqu'un faisceau de quatre arcs de grand cercle OM, ON, OP, OQ, ISSUS d'un même point 0 de la surface sphérique., est coupé par un arc de grandcercleL, le rapport anharmonique des quatre points k, B, C, D, déter- mines par le faisceau sur cet arc transversal, a une valeur inde'pendante de la position de cet arcL. Car ce rapport est, par définition, égal à côluJ du faisceau formé par les rayons »>A, wB, wC, wD, lequel ne diffère p&.iS de celui du faisceau des quatre plans wOA, wOB, wOC, 'jQD (5^4).
D'après cela, on nomme rapport anharmonique d'un faifceau de quatre arcs de grand cercle ie rapport anharmonique de quatre points détermi- nés par ce faisceau sur un arc de grand cercle transversal quelconque.
Les deux propositions fondamentales (322 et 324) s'étendent aux figures sphériques; par suite, il en est de même de leurs corollaires (323) et (32S), de la propriété des triangles homoIogiques(326 et 327), et des théorèmes de Pascal et de Brianchon (328 et 329). Les démonstrations que nous en avons données subsistent entièrement; le lecteur devra seu- lement remplacer dans les énoncés et dans les raisonnements les mots ligne droite par les mots arc de grand cercle.
RAPPORT HARMONIQUE.
965. Quatre poi nts A, B,C, D, si tués sur un arc degrand cercle, forment un système harmoniquelorsque le rapport anharmonique(ABCD) est égal à — i .
Un faisceau de quatre arcs de grands cercles OA, OB, OC, OD esc harmonique, lorsque le rapport anharmonique (O.ABCD) est égal à — 1, c'est-à-dire lorsqu'on peut trouver un arc de grand cercle qui coupe le faisceau suivant un système de quatre points harmoniques ; alors tout autre arc degrand cercle iransversai jouira de la même propriété (964).
Il résulte de là que, si par un point C de la surface sphérique on mène, à travers un angle AOB formé par deux arcs de grands cercles, diverses sécantes telles que ACB, et que l'on prenne sur chacune d'elles le point D conjugué harmonique de C par rapport au segment AB intercepté entre les côtés de l'angle, le lieu du point D sera l'arc de grand cercle OD con- jugué harmonique de OC par rapport au segment AOB. Le point C et l'arc de grand cercle OD soai. dits pôle et polaire f*ar rapoorl à. l'angle AOB.
LIVIIE VII. — LES CORPS RONDS. 379
La proposition (315) relative au quadrilalèrecompleletla démonstration que nous en avons donnée (337; subsistent pour la S[)lièi'e ; il suffit de rem- placer les mots li}^ite droitepav arc de ^raiid cercle. Il en résulte un moven simple de tracer sur la sphère : r'lequatrièiiieharmoni(piede trois points d'un grand cercle ;2ola polaire d'un point par rapport à un angle (316 el337).
POLE ET POLAIRE PAR RAPPORT A UN CERCLE DE LA SPHÈRE.
966. Un point 0 et un petit cercle AEFB étant donnés sur la sphère (Jfg. 5o6), si par le point O on mène un arc de grand cercle sécant OFE etquon détermine le conjugué hannoniquei du point O par rapporta EF, le lieu géométrique du point I lorsque l'arc UFE tourne autour du point 0 est un arc de grand cercle perpendiculaire au grand cercle OC déterminé par le point 0 et par le pôle Q, du cercle donné.
En effet, soit 0' le point oii le rayon wO rencontre le plan du cercle donné : les trois points E. F, 0' seront en ligne droite, et le faisceau des quatre rayons wE, wl, wF, wO'sera par hypothèse harmonique; donc, si l'est le point de rencontre deEF etdewï, le système rectiligne E, r, F, 0' sera aussi harmonique. Mais le lieu du point l' est une droite KH située dans le plan AEB et perpendiculaire au diamètre O'BA *,
donc le lieu du point I est l'intersection de la sphère par le plan wKII; c'est donc un grand cercle perpendiculaire au grand cerclé OC.
On dit que le point 0 est le pôle du grand cercle toKIi, et que ce grand cercle est \a polaire du point 0 par rapport au cercle AFB.
Le mot pôle a déjà reçu une autre acception, mais il ne pourra jamais y avoir d'ambiguïté si l'on fait la convention suivante : quand nous emploierons le mot pâle dans le nouveau sens que lui attribue le théorème précédent, il sera toujours suivi des mois par rapport au cercle considéré^ tandis que, lorsqu'il sera pris dans le sens primitif (944), cq mot ne sera suivi d'aucune indication.
28o OftOMfiTniR DANS l'eSPACE.
Nous avons étudié avec détail au n" 341 les positions relatives du point 0' et de la droite Kll: le lecteur en déduira aisément les positions relatives du point 0 et du grand cercle wKH.
Quand le point 0' décrit une droite dans le plan AEB, on sait (342) que la droite KH tourne dans ce plan autour du pôle de cette droite ; mais alors le point 0 décrit un grand cercle, et le plan wKH tourne autour du diiimètre qui perce la sphère au pôle, par rapport à AEB, du grand cercle décrit par 0. Donc, les polaires de toiis les points d'un grand cercle passent par le pôle de ce grand cercle par rapport au cercle directeur AEB : et les pôles par rapport au cercle directeur AEB, de tous les grands cercles qui passent par un point de la sphère, sont situés sur le grand cercle polaire de ce point .
Le théorème du n° 344, sa démonstration et ses conséquences (345, 346) subsistent pour la sphère en remplaçant les droites par des arcs de grand cercle; il en résulte le moyen de construire sur la sphère la polaire d'un point par rapport à un cercle directeur donné,
Enfm, la méthode de transformation par les polaires réciproques (348 et suiv.) s'étend aussi aux figures sphériques. Le mode de transformation général par polaires réciproques dans l'espace contient comme cas parti- culier le mode de transformation spécial que nous avons exposé au n° 808 pour les figures sphériques, et dans lequel on fait correspondre à un triangle un triangle supplémentaire. Soient , en effet , une sphère de rayon R et un point A de l'espace situé à une distance d du centre w de la sphère ; le plan polaire de ce point est un plan perpendiculaire à w A
et situé à une distance de w égale à — • Si le rayon R de la sphère tend
R'
vers zéro, — tend aussi vers zéro, et les plans polaires de tous les points
de la droite indéfinie wA ont pour limite le plan unique mené par w per- pendiculairement à wA. On peut, d'après cela, donner à ce plan le nom de plan polaire delà àrohe wA par rapport à une sphère infiniment petite ayant w pour centre. Cela posé, si l'on a une figure formée de droites et de plans passant tous par un point w, on aura la figure corrélative en menant par w des plans et des droites perpendiculaires aux droites et aux plans de la figure primitive. Sur la sphère, à un grand cercle répondra son pôle, et inversement, de sorte que l'on retombe sur les figures sup- plémentaires des n°' 811 et 812.
AXIÎ RADICAL DE DEUX CERCLES.
967. On nomme a.i'e radical de deux petits cercles PetQ tracés sur îa sphère l'arc de grand cercle UV dont le plan passe par l'intersection XY des plans des deux petits cercles P et Q. D'après cela, cet axe radical est
LIVRE VII. — LES CORPS RONDS. 201
perpendiculaire à l'arc de grand cercle PQ qui joint les pôles des deux petits cercles donnés (yî"^. 507).
Si l'on coupe les deux cercles fixes P et Q par un cercle auxiliaire
Fig. 507. U
variable (jid coupe le premier en A et B, et le second en A' et B', le lieu des points de rencontre M des arcs de grand cercle AB et A' B' est Vaxe nulical des cercles P et Q. Car les droites AB, A'B', se coupant évidem- ment en un point M' de XY, le point M où le rayon wM' perce la sphère appartient à la fois aux trois grands cercles dont les pians passent respec- tivement par les droites 'AB, A'B', XY. Cette propriété permet de con- struire sur la sphère l'axe radical de deux cercles.
Fig. 5o8.
Si le cercle sécant ABA'B' devient un c('rcle CD tangent en C et D ^fig. 5o8), les arcs de grand cercle BAM, B'A'M deviennent des arcs dft grand cercle tangents iMC et MD; ils sont d'ailleurs égaux comme tan-
282 GfeOMf'TRIE DANS L'iiSPACE.
gentes sphériques menées d'un même point M au cercle au\i|i;iire CD (832, 820). Donc l'axe radical UV des deux cercles P <?? Q est le lieu des deux points de la sphère d'où l'on peut leur mener des tangentes spliériques égales.
Le cercle CID, décrit du point M comme pôle, coupe orthogonalement ',es deux cercles P et Q ; car il est à angle droit sur les arcs de grand cercle MC et MO. Donc l'axe radical des deux cercles V et Q est sur la sphère le lieu des pôles ou centres sphèriqiies des cercles fjui coupent orthngonalcment les deux cercles ^ et Q.
Enfin, le plan du cercle CID est le plan polaire du point M' qui appar- tient à XY; car son plan est perpendiculaire à wM', et il contient le point G qui appartient évidemment au plan polaire. D'ailleurs, comme lorsque le cercle orthogonal CID varie, son pôle M' décrit la droite XY, le plnn de ce cercle CID passe constamment par la droite réciproque (946) de XY. Donc, lorsque deux systèmes de cercles se coupent nrtJio- gonalenient sur la sphère, les plans des cercles de chaque système passent par une droite, et ces deux droites sont réciproques par rapport à la sphère. Inversement, deux séries de plans passant par deux droites ré- ciproques par rapport à une sphère tracent sur cette sphère deux sys- tèmes de ccirles orthogonaux (' ). Ajoutons que la droite réciproque de l'intersection des deux cercles P et Q est précisément la droite qui joint les sommets des deux cônes (878, 880 ) que l'on peut faire passer par ces deux cercles. En effet, prenons pour plan de la figure le grand cercle [fig. 219, p. 344) perpendiculaire aux deux cercles donnés, qui sont alors représentés par les deux droites AA' et BB' ; en joignant AB et A'B', puis . AB' et BA', on aura les sommets N et 0 des deux cônes considérés, et, comme la droite NO est (346) la polaire de l'intersection M des deux droites AA' et BB', la perpendiculaire au plan de la figure élevée par le point M, c'est-à-dire la droite commune auxplans des deux cercles AA' et BB', aura pour réciproque NO (946).
Les axes radicaux de trois cercles d'une sphère considérés deux à deux concourent en un même point; car le rayon qui aboutit au sommet du trièdre formé par les plans des trois cercles perce la sphère en un point commun aux trois axes radicaux. Ce point prend le nom de centre radical des trois cercles. C'est le centre sphérique du cercle qui coupe ot thogo- nalement les trois cercles donnés.
(') L'élude du double système des cercles ortlior;onaux sur la splière a des conséquences importantes relativement aux surfaces dont les li{fnes de cour- bure sont planes (O. I>o:<NnT, Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXV" cahier ' — l'icART, Essai d'une Théorie géométrique des surfaces, iSG3).
tITRK YII, — LES COUPS K()M)S. 283
CENTRES DE «UIILITt HE HE DEUX CERCLES.
008 On nomino centres de similitude de deux cercles AB et CD situés sur une sphère (^5. 509) les points 0 et 0' où la sphère est rencontrée par
Fig. 509.
les rayons w S et wS'qui vont aux sommets S et S' des deux cônes (878) que l'on peut faire passer par les deux cercles. Ces deux centres sont d'ailleurs sur le grand cercle qui p;isse par les pôles P et Q des deux cercles donnés.
On dit que deux points M et N, appartenant, l'un au cercle P, l'autre au cercle Q, sont anti-homolngucs lorsque la droite qui les joint est une gé- niTatrice de l'un des deux cônes S et S', h' arc de j^rand cercle MN passe alors par le centre de similitude 0 relatif au cône considéré S, car son plan contient les points w et S, et, par suite, le point 0 de la droite ojS (A-.5I0).
Deux couples M et N, B et D, de points anti-homologues par rapport h un même cône S appartiennent h un même cercle de la sphère, car ils sont situés dans le plan des génératrices MN et BD du cône. On en conclut (907) que Varc de grand cercle qui joint deux points fjuclcoinjues du cercle P et Varc de grand cercle (jui joint les points antidiomologues du cercle Q se coupent sur l'axe radical des cercles P et Q.
Si les deux points considérés sur le cercle P se confondent, les deux propositions quî précédent deviennent les suivantes : Quand deux cercles P et Q d'une même sphère sont touchés par un troisième X, les points de contact M et N sont anti-homologues et le plan de ce cercle X passe par le sommet S rlu cône correspondant. Les tangentes sphérifpies en deux points a/Ui-homologues M et N de deux cercles P et Q se coupent sur Vttxe nuit cal de ces deux cercles.
Le plan d'un cercle tangent à trois cercles de la sphère est tangent à trois cônes qui passent par ces cercles pris deux à deux, et réciproquement. Or, trois cercles pris deux à deux forment trois combinaisons, à chacune desquelles répondent deux cônes. Du sommet de l'un des cônes de la pre-
284
GÉOMÉTRIE DANS I.'eSPACE.
mière combinaison on peut mener, en général, deux plans tangents à l'un des cônes de la secondL',et ces plans seront tangents non-seulement aux deux cônes, mais encore à un des cônes de la troisième combinaison. Donc l'intersection de ces deux plans passe par les sommets des trois cônes. Nous avons considéré dans ce raisonnement un cône de la pre- mière combinaison et un cône de la seconde, ce qui a déterminé le cône
Fig. 5io.
de la troisième. Mais on peut associer de quatre manières différentes un cône de la première combinaison et un cône de la seconde. Par suite, les sommets des six cônes sont situés trois à trois sur quatre droites, chaque sommet appartenant à deux droites différentes; donc ces quatre droites se coupent deux à deux et sont toutes situées dans un même plan. Il résulte de là que les six centres de sinnlitude de trois cercles d^uic même sphère sont situés trois à trois sur quatre grands cercles,
CliKCLKS ISOGONAUX,
969. Pour que, sur une sphère, un cercle L, qui rencontre un rercle P en un point M et un cercle Q en un point N, coupe ces deux cercles sous des angles égaux ( ou supplémentaires ) , il faut et il suffit que les points M et N soient ttnti-homologiws.
Remarquons d'abord que, si par deux points appartenant respective- ment à deux lignes sphériques on peut mener un cercle qui coupe ces lignes sous des angles égaux, toutîautre cercle passant par lesdeux points coupera aussi ces lignes sous des angles égaux, car les nouveaux angles différeront respectivement des premiers d'un angle égal à relui des deux cercles. Il suit de là qu'il suffit de démontrer le théorème proposé dans l'hypothèse où le cercle L est un grand cercle. Soit donc (Jîg. 5io) MN un grand cercle coupant P et Q sous des angles égaux, et soit X le point d'intersection des rayons sphériques PM, QN. Les angles XMN,XNM étant égaux, le triangle sphérique XMN est isocèle, et, par suite, le cercle décrit de X comme centre sphérique et passant par M passe aussi par N; ce cercle touche d'ailleurs en M et N les cercles P et Q (823); donc les
LIVRF VU. — TFS CORPS RONDS.
285
pointsM et N sont anti-homologues (9IJ8). Inversement, soient MN l'arc de grand cercle qui joint deux points anli-homologues des cercles? et Q et X le pôle du petit cercle qui touche (968) P et Q en M et N; les grands cercles PX et QX passent respectivement par les points de contact M et N (823) et, dans le triangle sphérique isocèle XMN, il y a égalité entre les angles à la base M etN, et, par suite, entre les angles que MN fait avec P et 0-
On peut encore énoncer ce théorème en disant (968) : Pour que, sur une sphère, un cercle L coupe deux cercles V et Q sous des angles égciux ( ou supplémentaires ) , // faut et il suffit que son plan contienne le sommet de l'un des cônes qui passent par P et Q.
Si A, B, C sont trois cercles d'une sphère avant deux à deux même axe radical (c'est-à-dire dont les plans passent par une même droite K), et si un autre cercle L se déplace sur la sphère en faisant avec A un angle constant x et avec M un angle constant S, ce cercle mobile fera avec C un angle constant 7. En effet, soient L et L, deux positions du cercle mobile. A foupant L et L, sons le même angle a, son plan passe par le sommet S de l'un des cônes déterminés par L et L, ; pour la même raison, le plan du cercle B passe par S ; donc le point S appartient à la droite K et, par suite, au plan du cercle C qui, dès lors, coupe L et L, sous le même angle.
Il suit de là que, si un cercle L se déplace sur une sphère en coupant respectivement deux cercles A ef B sous des angles constants y. et p, ce cercle mobile reste tangent à deuc cercles fixes. En effet, L, étant une position particulière du cercle mobile, menons par la droite K, commune aux plans A et B, un plan qui coupe ia sphère suivant un cercle C tangent à L, ; le cercle mobile devra, dans toutes ses positions, faire un angle invariable avec C d'après le théorème précédent; et comme, dans la po- sition particulière L,, il touche C, c'est-à-dire fait avec C un angle nul (ou égal à deux droits), il devra toucher C dans toutes ses positions. D'ailleurs, par la droite K, on peut mener deux plans coupant la sphère suivant un cercle tangent à L, ; donc le cercle mobile louche constamment deux cercles fixes C et C. Observons enfin que, les cercles A, B, C, C, ayant leurs plans passant par une môme droite K, leurs pôles sont sur le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à cette droite.
PROBLÈMES RELATIFS AUX CERCLES SUR LA SPHÈRE.
970 I" Par deux points donnés \ et LJ, mener un cercle langent a un gni/id cercle donné KL ( fîg. i83i V
La solution est analogue à celle du problème correspondant de Géo- métrie plane. On joindra A cl B par un arc de grand cercle (|u'(in pio- longera jusqu'à sa rencontre C avec KL, L'inconnue de la question est lo
l'èS GEOMETRIE DANS l'eSPACE.
poini T où le cercle demandé touche KL. Or, la longueur CT étant égale à celle rie la tangente sphérique menée du point C à nn cercle quel- conque tracé par A et B sur la sphère, on déterminera cette longueur à l'aide d'un cercle mené à volonté par A et B, puis on la perlera sur KL en CT ou CT', ce qui donnera deux solutions.
2'' Par deux points donnés B c^ C, mener un cercle tangent à un petit cercle donné 0 [fig. i832).
Le tracé est le même qu'en Géométrie plane. Par B et C, menez un cercle quelconque qui coupe le cercle donné 0 en deux points D et E, et du point M, intersection des grands cercles BC, DE, menez deux arcs de grand cercle tangents au cercle 0; A et A' étant les points de contact, il suffira de mener des cercles par B, C, A et par B. C, A', pour avoir les deux solutions du problème.
971. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés sur la sphère. Le raisonnement et la construction sont les mêmes qu'au n" 400, à
condition de remplacer les droites par des arcs de grand cercle.
Voici quelques détails à ce sujet :
1° Par inversion, la proposition du n' 400' devient la suivante : Le^ cercles isogonaux à deux cercles de la sphère se repartissent en deux groupes tels que chacun d'eux est Jormé de cercles ayant leurs plans pafisant par un même point. Et le théorème du n" 400' se transforme en celui-ci : Les cercles irogonaux à troi^ cercles donnés sur la sphère se repartissent en quatre faisceaux tels que chacun d'eux est formé de cercles ayant pour axe radical commun l'un des 'quatre axes de simi- litude des trois cercles donnés. D'ailleurs le lieu des pôles des cercles isogonaux d'un même faisceau est le grand cercle mené perpendicu- lairement sur l'axe de similitude par le centre radical des trois cercles donnés (car parmi les cercles orthogonaux figure le cercle orthogonal aux trois cercles).
2° Le théorème du n" 400*" subsiste puisqu'il exprime que le point H est le centre radical commun à tous les cercles isogonaux et au cercle 0. On le voit directement en observant que H est sur le rayon de la sphère qui passe par le point où l'axe- du faisceau coupe le plan du cercle 0.
Il résulte de là que la construction indiquée au n° 400 pour tracer un cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan s'applique à trois cercles donnés sur une sphère.
Il y a encore huit solutions (réelles ou imaginaires), et les conclu sions de la discussion subsistent entièrement.
972. Décrire sur une sphère un cercle X qui coupe trois cercles donnés A, B, C, sous des angles donnés a, (3, y.
LIVRE VII. — LES CORPS KO>DS. 287
Le cercle X, coupant A et B sous des angles constants x et (3, est tan- gent à deux cercles dont les pôles sont sur le grand cercle qui contient les pôles de.t et de B (969). En considérant de même A etC, puis BetC, on voit que le cercle X doit être tangent à six cercles. Il suflira donc, pour le déterminer, de connaître trois de ces six cercles et de leur appli- quer le problème précédent. Voici comment on obtient l'un des six cercles, par exemple l'un des cercles relatifs au couple (A, B). Ce cercle doit toucher tout cercle L qui coupe A sous l'angle x et B sous l'angle &; il suffira donc d'avoir trois de ces cercles L. Or, pour avoir un cercle L, on se donnera à volonté son rayon sphériijue, et, alors, son pôle sera à des distances splicriques déterminées des pôles des cercles A et B.
Le problème correspondant de Géométrie plane a été traité au n° i03 comme application de la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques. On pourrait le résoudre exactement par les principes appliqués ci-dessus en remplaçant les arcs de grand cercle par des droites.
EnGn la méthode précédente s'étend également au problème analogue relatif aux sphères. On voit aisément que la sphère variable, assujettie à couper deux sphères sous des angles constants, reste tangente â deux sphères fixes dont les centres sont sur la droite des centres des sphères données. Dès lors, la sphère qui coupe quatre sphères données sous des angles donnés doit toucher douze sphères, dont quatre (932) suffiront pour la trouver.
Le triple problème dont nous venons d'esquisser la solution a occupé divers géomètres; mais il avait été résolu, dès 1826, par Steiner {Jour- nal de Crelle, t. I) et par Heegmann {Mémoires de la Société des Sciences de Lille).
LÎVKE VIIÎ. — LES COURBES USUELLES.
289
LIVRE VIII.
LES COURBES ET LES SURFACES USUELLES.
§ I. — PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE L'ELLIPSE.
973. L'ellipse est une courbe plane telle, que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes de son plan est égale à une longueur constante. Ainsi {Jl^. 5ii), les deux points fixes étant F et F' cl l;i longueur donnée étant représentée par la droite AA', on a pour tout point M de l'ellipse
MF-|-MF'=A\'.
D'après cela, pour décrire une ellipse d'un mouvement con- tinu, on ijlante sur la feuille de dessin, en F et en F', deux
Fig. 5ii.
épitif^les qu'on entoure d'un fil sans fin (c'est-à-dire dont les deux bouts sont réunis), au(|uel on doiuie la longueur totale FF'-i- AA'. On tend constamment ce fil à l'aide d'ini crayon (|ue l'on l'ail mouvoir sur le papier jusqu'à ce qu'on soit ra- mené au point de départ. La pointe du crayon trace évidem- ment l'ellipse demandée; car, |)our une position quelconque SJ de cette pointe, on a
r*F' -f- MF -4- MF' = FF' 4- AA' ou MF
R. el DE C.
MF'=FF-f-AA' ou
Ir. de Gcoin. (Il* Partie).
MF' = A A'.
•9
2qO GÉOMÉTRIE DAWS l'eSPACE.
Le procédé qu'on vieni d'indiquer est surtout applicable sur le terrain : on remplace alors les épingles par des piquets, le fil par une corde et le crayon par un jalon. Nous mention- nerons plus loin -d'autres tracés bien préférables au point de vue de l'exécution des épures.
Les points F et F' sont les foyers de l'ellipse, les droites MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. La longueur con- stante AA' est ordinairement représentée par la.
La distance FF' ou distance focale est représentée par ic.
L'existence du triangle MFF' entraîne alors la condition
2C<C 2« ou c<ia.
c Le rapport -est l'excentricité de l'ellipse. Celte excentii-
dité peut varier de o à i . Pour c- = o, elle est nulle, les foyers se confondent et l'ellipse devient un cercle de rayon a. Pour c=a, l'excentricité est égale à i, et l'ellipse se réduit à la portion de droite FF' — 2a. Entre ces deux limites, l'ellipse se rapproche d'autant plus de la droite FF' que son excentri- cité est plus grande.
974. On peut aussi tracer l'ellipse par points.
En effet, marquons [fig. 5i2) le milieu 0 de la distance focale
Fig. 5i2.
A' F'^^ 0 K,' F A
K'\ A /M'
B'
FF' et, de pan et d'autre du point 0, prenons OA = OA' = a, puis un point quelconque K sur AA'. Si des points F et F' comme centres, avec des rayons respectivement égaux à AK et A'K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs points d'in- tersection M et M' appariiendronl à l'ellipse, puisqu'on aura
MF -+- MF' = M' F +M'F' -^ AK -+- A'K = 2a.
La dislance des centres FF' étant toujours moindre que la
LIVRE VIII. — LES OOIJRBRS USUELLES. agi
somme 2« des rayons, il suffit, pour l'iritcrseclion des
deux circonférences, qu'on ait, en supposant K à droite de O,
FF'>A'K-AK ou 202a — 2AK.
La condition cherchée est donc AK >» a — c ou AK > AF,
D'ailleurs, on peut échanger les centres F et F' sans modi- fier les rayons employés, de manière à obtenir pour chaque point K quatre points M et M', N et N' de l'ellipse. Les li- mites des positions du point. K sont alors l'un des foyers F et le point 0. Tout cela résulte immédiatement de la symétrie de l'équation de condition MF + 1MF'= ?.« par rapport aux deux rayons vecteurs d'un même point.
Si le point K est en 0,les points correspondants de l'ellipse sont en B et en B' sur la perpendiculaire élevée à la droite FF' par son milieu. Si le point K est en F, les deux points correspondants de l'ellipse sont en A et en A'. Le rayon vec- teur minimum est AF ou « — c, le rayon vecteur maximum est A' F ou « + c.
THÉORÈME.
973. L'ellipse a : i" pour axes, la droite AA' qui passe par ses deux foyers et la droite BB' perpendiculaire au milieu de la première: 7." pour centre, l'intersection de ces deux droites.
On appelle axe d'une courbe toute droite par rapport à la- quelle les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux; on appelle centre d'une courbe tout point par rapport auquel les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux {638).
1° Soit M un point de l'ellipse [Jig. 5i3); on aura
MF -h MF' = 2 a.
Supposons alors que le plan de la ligure fasse une demi-révo- lution autour de AA'. Dans ce mouvement, les foyers restent fixes, le point M vient dans la position symétrique M, et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas, on a
M, F -1- M, F' = 2«,
c'csl-à-dire que le point M, appartient à l'ellipse. Donc à tout
292
C.ÉOMfiTRIE DANS L ESPACE.
point M de l'ellipse correspond un point M,, symétrique de M par rapport à AA'.
Si le plan de la figure fait de même une demi-révolulion autour de BB', les foyers ne font que s'échanger, le point M vient dans la position symétrique M, et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas, on a encore
ce qui montre qu'à tout point M de l'ellipse correspond un autre point M, de la courbe, symétrique de M par rapport à BB'.
Fig. 5i3.
r-n w
Fig. 5i5.
F A
M.
1° L'autre partie de la proposition n'est qu'un cas particu- lier de ce théorème plus général : Quand une courbe possède deux axes rectangulaires xx' et jy' , leur intersection 0 est un centre de la courbe {Jig. 5i4)-
Soient M un point de la courbe, M' son symétrique par rap- port au point 0, et N l'intersection des parallèles menées res- pectivement aux deux axes par les points M et M'. L'égalité des triangles rectangles MOP, OM'P' donne
MP=:OP' = PN et M'P' = OP=P'N.
Le point N est donc à la fois symétrique de M par rapport à xx' et symétrique de M' par rapport à ry'. Or, le point N étant sur la courbe comme symétrique de M, le point M' en fait aussi partie comme symétrique de N. Donc à tout point M de la courbe correspond un point M' symétrique de M par rapport à 0.
Il résulte de là que le milieu O de la distance focale FF' est un centre de l'ellipse.
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 2q3
On peut d'ailleurs le démonirer directement comme il suit [fis- 5i5).
Soient M un point de l'ellipse et M' son symétrique par rap- port à 0; menons les rayons vecteurs de ces points. Les dia- gonales MM' et FF' se coupant mutuellement en parties égales, le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramme, et le point M' appartient à l'ellipse en vertu de l'égalité des deux con- tours F M F' et F M' F'.
Corollaires.
976. On appelle longueurs des axes de l'ellipse les longueurs AA' et BB' interceptées sur ces axes par la courbe [fig. 5i3). La longueur du premier axe AA' est donc {974) égale à za, la longueur du second BB' est représentée par ib.
La perpendiculaire BO {Jig.5i3) étant moindre que l'oblique BF = a, on a
h<Za.
AA' est dit alors le grand axe et BB' le petit axe de l'ellipse.
Les extrémités A et A', B et B' des deux axes sont appelées les sommets de la courbe.
Le triangle rectangle BOF [fig. 5i3) donne a^ = h'' -v- c"^ , relation qui permet de déterminer l'une des trois quantités a, b, c, lorsqu'on connaît les deux autres.
977. Quand on donne les longueurs a et b, il est facile de déterminer graphiquement les foyers : on n'a qu'à décrire de l'extrémité B du petit axe comme centre {/ig. 5i3), avec un rayon égal à a, un arc de cercle qui coupe le grand axe aux deux foyers F et F'.
THÉORÈME.
978. Suivant qu un point est intérieur ou extérieur à l'el- lipse, la somme de ses distances aux deux foyers est plus petite ou plus grande que s>. a.
Soit d'abord {Jîg.5i6) un point N intérieur à l'ellipse. Joi- gnons ce point aux deux foyers, |)roloiigeons F'N jusqu'à la rencontre de la courbe en M, et menons MF. Un théorème connu donne immédiatement
NF -1- NF' < MF -+- MF' ou NF -+ NF' < a.i.
294 «fOMÉTRIK DANS LESPACE.
Soil (\g même un nointN' extérieur à i'ellipse. Joignons ce poini aux deux foyers; N' F' coupant la courbe au point M,
Fig. 5i6.
menons MF. En s'appuyanl sur le même théorème, on aura ici N' F + N' F' > MF H- MF' ou N' F -f- N' F' > -xa.
COKOLLAIRE.
979. Le théorème précédent, rapproché de la définition de l'ellipse, fournit un critérium pour juger de la position d'un point quelconque du plan de la courbe par rapport à cette courbe supposée non tracée. Siifi'anl que la somme des dis- tances d'un point aux deux foyers est supérieure, égale ou inférieure à in, ce point est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur.
THÉORÈME.
980. La tangente à l'ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs du point de contact, extérieurement à leur angle.
Prenons sur l'ellipse [fig-^^']) deux points voisins M et M' ; menons la sécante MM'S et les rayons vecteurs des deux points M et M'. Portons sur F'M une longueur F'D = F'M' et sur FM une longueur FC = FM'. Le segment MD représente alors l'augmeniation que subit le rayon vecteur mené du foyer F' quand on passe du point M au point M', et MC la diminution que subit le rayon vecteur mené du foyer F quand on passe du même point M au même point M' ; comme la somme des rayons vecteurs d'un point de l'ellipse reste constante, MD est égal à MC.
Cela posé, d'un point quelconque G de la sécante MM'S,
T.IVRE VIII.
LES COURBES USUELLES.
?9b
menons aux droites M'D et M'C des parallèles GI ei (ill jiis- quà la rencontre des rayons vecteurs du point M. Le quadri- latère GHMI étant semblable au cjuadrilatère M'<>MF) ;208', l'égalilé de Ml) et de MC entraîne celle de MI et de Mil. D'ailleurs, les droites GH et GI, étant parallèles aux bases M (^ et M'D des triangles isocèles CFM', DF'M', sont perpendicu- laires aux bissectrices de leurs angles au sommet.
Quand le point mobile M' se rapproche du point fixe M, la sécante MM' S tend vers la tangente au point M. Les bissec- trices des anj^Ies CFM', DF'M', ayant alors pour limites les rayons vecteurs FM, F' M du point M, les droites GII et GI ont elles-mêmes pour limites les perpendiculaires abaissées du point G sur ces rayons vecteurs. D'ailleurs, pendant ce mou- vement, MH et MI varient en restant égaux entre eux.
Fi{j. 517.
FiîT. ôi3
On voit, d'après cola,, en passant à la limite, que ce (jui ca- ractérise la tangente MT au point M {fig. 5i8), c'est que, si, d'un point quelconque G de cette droite, on abaisse des per- pendiculaires GII et GI sur les rayons vecteurs MF et MF' du point M, on ait Mil = MI. Les triangles rectangles MGII, MGI sont alors égaux, et il en est de même des angles GMII, GMI. La tangente à l'ellipse est donc bissectrice de l'an^ie formé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le pro- longement de l'autre rayon.
L'angle F'MT, étant l'opposé par le sommet de Tangle GMI, les deux angles GMIÏ ou FMT et F' M T, sont égaux, ce qui vé- rifie le premier énoncé du théorème.
COROLLAIRFS.
981. La droite V':^, qui joint un foyer F' de l'ellipse au syimUrique cp de l'autre foyer F par rapport à une tangente
7.q6 GÉOMÉTIUE DANS L'iSPACE.
quelconque TT, , passe par le point de conlocl M de cette tangente et est égale à la longueur ■2.a du grand axe [fig. Siq). En effet, joignons le point de contact M aux points F', F et 9, et désignons par K le point où F<p rencontre la tangente TT,» L'égalité des triangles MKF, MKcp, qui ont un angle droit com- pris entre deux côtés égaux entraîne celle des angles KMF,
lig. 519.
RM©; d'ailleurs, d'après le théorème précédent, le prolonge- ment de F' M doit faire avec MT un angle égal à KMF; donc le prolongement de F' M n'est autre que M9, ce qui démontre la première partie de l'énoncé. D'autre part, les mêmes trian- gles donnent M9 = MF, d'où l'on déduit
F cp = FM + M9 = F'M + MF = ia.
982. Tous les points de la tangente à l'ellipse sont exté- rieurs à la courbe, sauf le poitit de contact.
En effet, la tangente étant perpendiculaire sur le milieu de F9, un point quelconque T, de cette droite est équidistant de F et de o. On a donc, d'après le triangle F'Ïi9j,
T,9-f-T,F' ou T|F + T,F'>> F'o ou 2rt.
Tous les points de la tangente MT, sauf le point M, sont donc extérieurs à l'ellipse (979j.
La tangente en un point d'une courbe peut couper la courbe en d'autres points; mais elle a nécessairement (111) avec la
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. Sg-j
courbe au moins un point commun de moins que les droites qui en ont le plus. De ce qu'on vient de (iémonirer, il rt'sulte donc qu une droite ne peut rencontrer l'ellipse en plus de deux points, c'est-à-dire que l'ellipse est une courbe convexe.
983. Si l'on mène au point M [Jig. 5i8) la perpendicu- laire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, F'JNIN sont égaux comme compléments d'angles égaux. Donc, la normale à l'ellipse est bissectrice de l'angle formé par les rayons vec- teurs du point de contact.
La normale en un sommet de l'ellipse se confond avec l'axe correspondant, et la tangente est perpendiculaire à cet axe, de sorte que la courbe est inscrite dans le rectangle construit sur ses axes.
Les propriétés précédentes justifient la dénomination de foyer. L'angle d'incidence et l'angle de réllexion étant égaux, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de l'un des foyers F d'une ellipse, viennent, en vertu d'une loi physique, après leur réflexion sur la courbe, converger à l'autre foyer F'.
THÉORÈME.
984-. Le lieu des symétriques © de l'un des foyers F de l'el- lipse par rapport aux tangentes est un cercle décrit de l'autre foyer Y' comme centre, avec la longueur o.a du grand axe pour rayon {fig. 5 19).
D'abord, tout point 9 du lieu est sur le cercle en question, puisque (981j F'cp est égal à ia. ^
Inversement, tout point 9 de ce cercle est le symétrique de F par rapport à une certaine tangente à l'ellipse qui a F et F' pour foyers et le rayon F'' 9 pour la longueur de son grand axe. En effet, soit M le point où F'' 9 rencontre la perpendicu- laire TT, sur le milieu K de Fo. L'égnlité des triangles KAFF. KM 9, qui oui un angl(> droit compris entre deux côtés égaux, donne MF =:M9, d'où l'on (l('(luiiMF' + MF = MF'-+-M9 = F'9; donc (979) le point M apparlienl à l'i^llipse. T.es mêmes trian- gles entraînent, en outre, l'égalité des angles* K.MF', KM 9, et par suite celle des angles KM F, T, MF"'. Donc, la droite T T, est la tangente à l'ellipse; en M ^980 . Donc, enfin, le point 9 du cercle est le symétricjue de F par rapport à la tangente K T .
2g8 GÉOMÊTKIE DANS L'eSI'ACE.
On donne au cercle F'cp le nom de cercle directeur relatif au foyer F'. Au foyer F répond aussi un cercle directeur de môme rayon 2 a.
THÉORllME.
985. Le lieu des projections des foyers d'une ellipse sur ses tangentes est la circonférence de cercle décrite sur le grand axe comme diamètre.
Fis. 520.
Soient {Jig: 5-20) F et F' les deux foyers, K la projection du foyer F sur une tangente quelconque TT, et 9 le symétrique de F par rapport à cette tangente. Le côté F'o du triangle FF'9 étant égal à 2a (981), la droite OK qui joint les milieux des deux autres côtés est égale à a, Le point K appartient donc à la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.
Réciproquement, tout point K de cette circonférence est la projection de l'un des foyers F sur une tangente; car, si l'on prolonge FK d'une quantité Kcp = KF, on aura
F'9 = 2OK = 2rt.
Par suite le point cp appartient au cercle directeur relatif au foyer F', et Ton a démontré au n" 98i que tout point de ce cercle est le symétrique de F par rapport à une tangente à l'ellipse. Le cercle OK est dit le cercle principal de l'ellipse^).
SCOLIE.
98(). Si le sommet d'une équerre décrit le cercle principal d'une ellipse, pendant que l'un de ses côtés passe constam- ment par un foyer de la courbe, l'autre côté de l'équerre lui reste toujours tangent.
( ') Si l'on considère, au lieu delà projection orthogonale K du foyer F sur 1> tangente T, T, la projection oblique L sous un angle donné a, le lieu du point L serait encore une circonférence. On le voit en remarquant qu'on passe du lieu (K) au lieu(L) par une rotation suiv>f> r*'s»ne dilatation.
LIVKE VIII. — LKS COUHBES USUELLES. ?.99
THÉORÈME.
987. i" Le lien des points équidistants d'nn cercle de centre F' et d'nn point intérienr F est nne ellipse dont les points F et F' sont les foyers et dont le grand nxe est égal au rayon du cercle [Jig. 5 19).
En effet, soit M un point du lieu; sa dislance à la circonfé- i"ence est égale au segment M9 obtenu en prolongeant le rayon F' M jusqu'à sa rencontre avec cette ligne. On a donc MF = M9, et par suite FM + MF = FM + M9 = F'o. Le point M appartient donc à l'ellipse définie dans l'énoncé.
Inversement, tout point M de cette ellipse est équidistant de la circonférence et du point F; car, puisque F'M + MF est égal à F'o, c'est-à-dire à F'M h- M9, c'est que MF est égal à Mo.
a° La tangente en un point quelconque M du lieu est j.'er- pendiculidre sur le milieu K de la droite qui joint le point intérieur F à l'extrémité 9 du rayon F'M passant par yi.
En effet, la tangente doit être également inclinée sur MF et MF', ou, ce qui revient au même, être la bissectrice de l'angle 9MF, et, comme ce triangle est isocèle, elle est perpen- diculaire sur le milieu de la base F9.
988. De là résulte, pour l'ellipse, un nouveau tracé donnant à la fois le point et la tangente :
De l'un des foyers F', comme centre, décrivez un cercle de rayon égal à -la; joignez l'autre foyer ¥ à un point quel- conque 9 de ce cercle, et menez la perpendiculaire TT, sur le milieu de F9; cette perpendiculaire coupe le rayon F' 9 en un point M du lieu, et elle est en outre la tangente en ce point.
PROBLÈME.
989. Mener une tangente à l'ellipse par un point donné.
1" Si le point donné M est sur la courbe, on le joint aux deux foyers [fig. 5i8), et l'on mène la bissectrice d(î l'angle FMI formé par l'un des rayons vecteurs MF et le prolonge- ment MI de l'autre rayon MF' (980).
2" Si le point donné V est extérieur à l'ellipse [Jig. 5». il, on remarque que la (lucslion scrail résolue, si i'(»n cuiniais- sait le symétrique 9 de l'un des foNcrs F par r;ip|tori à la lan-
3oo
GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE.
génie cherchée; car on aurait des lors celle langenie en abais- sani de P une perpendiculan-e ÏT, sur Fcp : la droile TT, couperait d'ailleurs F'cp au point de contact M (988). Or, le point 9 se trouve à la fois sur le cercle directeur relatif au foyer F' (984) et sur le cercle de centre P et de rayon PF.
Pour que ces deux cercles se coupent, c'est-à-dire pour que le triangle F'P(p existe, il faut et il suffit que chacun des côtés PF', P9 = PF, F'cp = ia, soit moindre que la somme des deux autres; de là les inégalités
PF'<2a-t-PF, PF<2a + PF', 2a<PF-+-PF'.
Les deux premières sont satisfaites d'elles-mêmes, puisque a est plus grand que c et que le triangle PFF' donne
PF'<2c-f-PF, PF<26-4-PF';
il ne reste donc que la troisième condition, qui (979) exprime que le point P doit être extérieur à l'ellipse.
Fig. 522.
Comme les circonférences tracées se coupent en deux points 9 et 9i, il y a deux solutions qui se réduisent à une seule lors- qu'on a PF + PF' = 2«, c'est-à-dire lorsque le point P est sur la courbe.
Corollaires. 990. Cherchons la condition pour que les deux tangentes )ïienées 4u ^o\n\ P ?i VeUipse soiéo; ^ ^ngle drQtU
LIVRE VIII. — LES COUUUKS USUELLES. 3oi
Si les deux tangentes ÏT,, Ï'T', , n^enées du point P, sont à anj^'le droit [fig. Sii], comme elles sont respectivement per- pendiculaires sur le milieu des droites Fcp, F(p,, l'angle oFo, de ces deux droites doit être lui-même un angle droit. Cet angle étant inscrit dans la circonférence PF dont le centre est P, la droite 99, est un diamètre de cette circonférence, et P est le milieu de ce diamètre.
Le lieu du point P est donc le lieu décrit par le milieu de la corde interceptée dans le cercle directeur relatif au fover F', par un angle droit tournant autour de son sommet fixe F. Or, si l'on joint le point P aux foyers F et F', on a Po = PF, et le Irianele rectangle F'Po donne alors
Pi' ^Po =rPF' +PF =F'o =fsa\
La somme des carrés des distances du point P aux j)oints F et F' étant constante, le lieu des sommets P des angles droits circonscrits à l'ellipse est une circonférence concentrique à cette courbe ;'i3'2]. Le rayon de ce cercle est d'ailleurs égal à sja''^ (y, puis(pie les sommets du rectangle construit sur les axes appartiennent évidemment au lieu.
991. Les tangentes PM, PM', menées à l'ellipse par un point
extérieur V, font des angles égaux ai'ee les droites qui vont
du point P aux deux foyers; la droite qui va du point P à
l'un des foyers est bissectrice de l'angle formé par les rayons
vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M
et M' [fS- 5'i'3j.
Fi-T. 523.
Menons les deux cercles directeurs de l'ellipse. 9 étant le gyinélricjue de F par rapport à la tangente PM et 9' Iç s^mçt
3o2
GÉojiÉrniE DANS l'espace.
trique de F' par rapport à la tangente PM', les deux triangles PF9' ei PF'9 sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Les angles FPg' et F'P<p sont donc égaux. Si l'on enlève la partie commune FPF', les restes FPcp, F'P©', sont égaux, ainsi que leurs moitiés MPF, M'PF'.
En second lieu, l'égalité des triangles PFç-', PF'tp, entraîne celle des angles PFcp', PoF'. Mais les deux triangles PM©, PMF étant égaux, l'angle P9F' est aussi égal à l'angle PFM, et la droite PF est la bissectrice de l'angle MFM'.
PROBLÈME.
99*2. Mener à l'ellipse une tangente pnrallt'le à une droite donnée.
Tout revient encore à trouver le point symétrique 9 de l'un des foyers F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point est à l'intersection du cercle directeur relatif au foyer F' (984) ei de la perpendiculaire menée du foyer F sur la droite don- née DD' [fig. 524). Celle perpendiculaire coupe toujours le
Fig. 524.
Fig. 525.
cercle F' en deux points 9 et 9,, puisque le point F est inté- rieur à ce cercle. Les perpendiculaires TT, et T'T', élevées aux droites F9 et F9, par leurs milieux sont les tangentes de- mandées, et leurs points de contact M et M' sont à leurs ren^ ççnires respectives avec les rayons F'9 et F'9, (988).
LITRE Vm. — IKS C0URBF8 CSUELLES. 3o3
Corollaires.
993. Les deux points rie contact M et M' des deux tangentes parallèles TT,, T'T', sont symétriques par rapport au centre 0 de l'ellipse.
En effet, les triangles FM 9, FM'©,, cpF'cp, sont des triangles isocèles ayant tous un angle égal à la base; ils sont donc semblables et ont leurs côtés parallèles. La figure MFM'F' étant un parallélogramme, la diagonale ^FM' passe par le mi- lieu 0 de la diagonale FF' et y est divisée en deux parties égales.
Inversement, les tangentes menées à l'ellipse en deux points symétriques par rapport au centre sont parallèles. Car le quadrilatère MFM'F' étant dans ce cas un parallélogramme, puisque ses diagonales se coupent en parties égales, les angles FMo, FM' 9, ont leurs côtés parallèles et sont égaux. Il en est donc de même de leurs moitiés 980) FMT, OiM'T', ce qui en- traîne le parallélisme des tangentes MT,M'T', aux points M et M'.
99i. La propriété précédente appartient d'ailleurs à toutes les courbes à centre. Dans toute courbe à centre, les tan- gentes en deux points M et M' symétriques par rapport au centre 0 sont parallèleset, par suite, équidistantes du centre.
En effet, si N [Jig. 5x5 ) est un point de la courbe voisin de M, et N' son symétrique par rapport à 0, l'égalité des triangles MON, M' ON', prouve le parallélisme des cordes ou sécantes MN, M'N', et leur égale distance au centre. Quand N tend vers M, N' tend vers M'. Les deux sécantes tournent donc à la fois autour des points M et M', de manière à devenir ensemble tangentes, en restant toujours parallèles ei équidi- stantes du centre.
995. Les points K et K' [Jig. 624) appartiennent au cercle principal de l'ellipse (985). Les deux segments FK, FK', étant alors ceux d'une corde quelconque de ce cercle passant par le foyer F, leur produit est constant. On peut donc dire que le produit des distances d'un foyer à deux tangentes parallèles est constant. Si l'on mené par le foyer F' la corde LL' du ceirle principal qui e>t parallèle à KK', on a évidemment FK' = F'L. On peut donc dire aussi que le produit des dislances des deux
3o4 GÉOMÉTRIE UAXS L ESPACE.
foyers à une même tangente est constant. Si Ton veut con- naître celle constante, il suffit de considérer la tangente à i'une des extrémités du petit axe, et Ton obtient immédiatement le carré du demi-petit axe 6' pour sa valeur.
SCOLIH.
996. Les constructions des n''^ 989 et 992 n'exigent pas que la courbe soit tracée.
PROBLÈME.
997, Étant donnés les foyers F et F' et le grand axe AA' d'une ellipse, déterminer ses points de rencontre avec une droite DD' {Jig, 626).
Fig. 526.
Supposons le problème résolu, et déterminons le symé- trique © du foyer F par rapporta DD'. M étant l'un des points de rencontre de la droite DD' avec l'ellipse, on aura M 9 = MF. Prolongeons F'M d'une longueur MG = MF; F' G sera égal à AA', et le point G appartiendra au cercle directeur relatif au foyer F'. Le cercle décrit du point M comme centre avec MF pour rayon passe donc par les deux puinis F et © et est lan- gent au cercle directeur F'G. La question est ainsi ramenée à trouver le cenire M d'un cercle passant par deux points don- nés F el 9 et tangent à un cercle donné F'G. Nous avons ré- solu ce problème (262, 2").
Comme le foyer F est intérieur au cercle directeur relatif au loyer F', il y aura évidemment deux solutions, une seule ou aucune, suivant que le point <p sera lui-même intérieur, com-
LIVRE Vin. — I ES COURBES USI'KLT.ES.
3o5
pern donc l'ellipse en deux points, lui sent, tangente ou exté- rieure, suivant les mêmes condilions ^'j.
COUOLLAIRE.
9D8. Une droite ne pouvant rencontrer une ellipse en plus de deux points, l'eJlipse est une courbe convexe (982).
§ II. — PBOPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE L'HYPERBOLE
999. Lliyberbole est une courbe plane lelle, que la différence des dislances de chacun de ses points à deux points fixes de son plan est égaleà unelongueur constante. Ainsi !^"«-. 527), les deux points fixes étant FetF' et la longueur donnée étant représentée par la droite A A', on aura pour tout point M de l'hyperbole
MF-MF'=d=AA', suivant ([ne K' point considéré sera plus éloigne du point F ou du point F'.
D'après cela, pour décriie un are d'iiypi'rbole d'un niouve-
l'ig. J27. A' A
ment continu, on prend une règle F'K dont on fixe Tuno des exliéniités au point F' Ji^. ~ri.']\, de manière; (|u"elle puisse seulement tourner autour de ce point. Un lil dont la longueur est moindre que celle de la règle de la constante AA' est fixé
(') Quand la droite DH' est langfiiti', f est eu G; en d'autres termes, G est alors le s\niftii«|ue de !•" par rapport a DD'; donc DD' est la bissectrice de i'an;;lç GMF. ce qui fournit une seconde deuionsti-alion delà propriété t'otitki- -SîtîS'ialc de la tauijctite. Mais cette iléniunst ration a, comme beaucoup d'iiu très plus ou moins inj;énieusi!s, le tort iVélva parcicutirre ; celle que nous Hvoiis donnée au n° O'SO est bien préferah'.e, car <'lle consiste uaiis l'application à l'ellipsi' de la méthode (jéiiéra/e pour la dcttMiuiualiun des tan{;entes dans le système bipolaire. P.. et DF. C. — Tr. rie Céom. ( W Partie). 20
3o6 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
par Tune des ses extrémités au point Fet, par l'autre, aupointK. Si l'on tend alors constamment ce fil le long de la règle à l'aide d'un crayon, en faisant tourner la règle autour de F', la pointe du crayon trace un arc de l'hyperbole demandée; car, pour une po- sition quelconque M de cette pointe, on a (dans le cas de la figure)
MF— MFr=(MF +MK) — (MFh-MK) = AA'.
En prenant pour centre de rotation de la règle le point F, et en attachant la seconde extrémité du fil au point F', on obtient la seconde partie de la courbe. Quand la règle est au-dessus de FF', le fil doit être tendu contre son arête inférieure; c'est l'inverse quand la règle est au-dessous de FF'.
On voit que l'hyperbole est formée de deux parties qui ne peuvent avoir aucun point commun, puisqu'on a toujours, pour la partie de droite de la figure, MF' >■ MF, et pour celle de ga uche, MF>>MF'. Chaque partie, c'est-à-dire chacune des deux bran- ches, s'étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de la droite FF' ; rien ne limite en effet l'éloignement des points obtenus sur la courbe, que la longueur même de la règle et du fil employés.
1000. Les points F et F' sont les foyers de l'hyperbole, les droites MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. La lon- gucurAA' est ordinairement représentée paria. La distance FF' sc\)owme distance focale al on la représente par ac. L'existence du triangle MFF' entraîne la condition 2c >- 9.a ou c>> a.
c
Le rapport - est l'excentricité de l'hyperbole. Cette excen- tricité peut varier de i à co . Pour c =: a, elle est égale à i, et l'hyperbole se réduit aux deux portions de la droite FF' qui sont séparées par la distance FF'; pour a=z o, elle est infinie, et l'hyperbole se réduit à la perpendiculaire élevée sur le mi- lieu de FF'. Entre ces deux limites, l'hyperbole se rapproche d'autant plus de la droite FF' que l'excentricité est plus petite.
1001. On peut aussi tracer l'hyperbole par points {fig. 5z8). En efïet, marquons le milieu 0 de la dislance focale FF' et, de part et d'autre du point 0, prenons OA = OA' = a, puis Un point K quelconque sur le prolongement de OA. Si des
LIVRE VIII.
LES COURBES USUELLES.
307
points F et F' comme centre, avec des rayons respecUvement égaux à AK et à A'K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs
|
4-- |
B |
_\M |
|
|
t' A' |
"Ô |
à F |
K |
|
nV |
B' |
*7m' |
points d'intersection M el M' appartiendront à l'hyperbole, car on aura
MF' — MF = M' F' - MF = A' K — AK = sa.
La dislance des centres FF' étant toujours [)lus grande que la différence la des rayons, il suffit, pour l'intersection des deux circonférences, que cette distance soit moindre que la somme des rayons, c'est-à-dire qu'on ait
FF'<AK+A'K ou -20 < iAK -h 9.a.
La condition cherchée est donc
AK>t~a ou AK>AF.
Comme on peut échanger les centres sans modifier les rayons, chaque point K permet d'obtenir quatre points M et M', N et N' de l'hyperbole. Le point K doit seulement être au delà du point F, sans que rien limite sa position à droite de ce point. Ce que nous venons do dire résulte d'ailleurs de la symétrie de l'équation de condition MF' — MF = ±2^, par rapport aux deux rayons vecteurs.
Si le point K est en F, les p(iints correspondants de l'hy- perbole sont les points A et A'. Le rayon vecteur minimum este — a; il n'y a pas de rayon vecteur maximum, puiscpie les rayons vecteurs d'un point de la courbe peuvent croître Jusf^u'à l'infini.
3o8
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
THÉORÈME.
1002. L'hyperbole a : i" pour axes, la droite AA' qui passe par ses deux foyers, et la droite ^W perpendiculaire au milieu de la première; i° pour centre, l'intersection 0 de ces deux droites {fig. 628).
Même démonstration que pour l'ellipse (975), en considé- rant la différence des rayons vecteurs au lieu de leur somme.
1003. Des deux axes AA' et BB', le premier seul rencontre la courbe. L'axe AA' est dit l'axe transverse de l'hyperbole, l'axe BB' est dit son axe non transverse. Les extrémités A et A' de l'axe transverse sont les sommets de la courbe.
Un point du plan est dit extérieur à l'hyperbole lorsqu'il est situé entre les deux branches (F) et (F'): il est dit intérieur s'il est placé soit à gauche de la branche (F'), soit à droite de la bi-anche (F).
THÉORÈME.
1004. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à l' hy- perbole, la différence de ses distances aux deux foyers est plus grande ou plus petite que ia {fig. 529).
Fig. 529.
Soit N un point intérieur et supposons, pour fixer les idées, qu'il soit à droite de la branche (F); NF' coupera cette branche en un point M, et on aura
NF<MNh-MF, d'où NF'-NF>NF' — MN-MF,
LIVRE VIII.
LES COURBES USUELLES.
309
c csl-a-dire
\F' — NF > MF — MF ou 9. a.
Soit N' un point extérieur; JN'F coupera la branche (F) en un point M, et on aura ?sT'F'_^j>T, ^^jp, ^1^,, NF— MX— MF<MF — MF,
c'est-à-dire
N'F' — N'F<2«.
Corollaire.
1005. Ce tiiéorème, rapproché de la détinilion de la courbe, fournil un critérium pour juger de la position d'un point quel- conque de son plan par rapport à l'hyperbole supposée non tracée. Suivant que la différence des distances du point con- sidéré aux deux foyers est inférieure, égale ou supérieure à 2rt, ce point est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur.
THÉORÈME.
1006. La tangente à C hyperbole est la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs du point de contact {fig. 53o, 53 1 ).
Même démonstration que pour l'ellipse (980), en remar- quant que dans l'ellipse les rayons vecteurs d'un même point varient en sens contraires, tandis que dans l'hyperbole ils va- rient dans le même sens.
1007. Réciproquement, ta cnurbe dont la tangente fait des angles égaux, extérieurement ou intérieurement, a\'cc les rayons veeteurs menés du point de contact à deux points fixes, est une ellipse ou une Inperbole dont ces points fixes .sont tes foyers.
En effet, si l'on abaisse d'un point G de la tangenie MX [fig. 53o) des
Fit;. 53o.
perpenrliculaires GII et GI sur les rayons vecteurs (iu point M, \o< Irian.ules rectanjiles ainsi formés seront ('•.i.'aiix. piiiscpio la liin.ïenle os!, \r,M liypo- thèse, la bi&seclrice de l'angle HMl; ou aura donc MU = Ml,
3io
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Considérons maintenant la sécante MM S \ fîg. 53 1) qui coupe la courbe en M et en M', et portons les rayons vecteurs du point M' sur ceux du point M en FC et eu ï D. Si l'on mène alors d'un point G quelconque de
la sécante les parallèles GH et GI à M'C et à M'D, les quadrilatères M'CMD, GHMI, seront semblables, et l'on aura constamment
MC MD
MH MI
Mais à la limite, quand le point M' vient en M, la sécante MM'S est rem- placée par la tangente MT, et Ton a MH = MI. Donc la limite du rap-
, MC . „ . ,
port -irm est aussi 1 unité. ^ MD
Cela posé, soient P et Q deux points quelconques de la courbe, mais tels qu'en allant de P en Q le rayon vecteur relatif au foyer F aille tou- jours en croissant; alors le rayon vecteur relatif au foyer F' ira toujours en décroissant ou toujours en croissant. Concevons l'arc PQ divisé en «parties telles, que, lorsque/? croît indéfiniment, chacune des parties tende vers zéro; désignons par u et c les rayons vecteurs de P, par «' et v' ceux de Q, et par («i, l'i), (w^, c,), . . ., (//„_i, .('„_,), ceux des points inter- médiaires.
Si les rayons vecteurs c, ci, .... ('„-î, <'', relatifs au foyer F', vont en croissant, les rapports
ll\ — u II 2 — ll\ u — //»-l
auront tous l'unité pour limite, lorsque u croîtra indéfiniment; et comme le ra[)port
obtenu en divisant la somme des numérateurs par celle des dénominateurs, a une valeur comprise entre celles des premiers, il faut qu"on ait
-7 — I , d ou ic — V = u — V,
nvBF. Ylîl.
LES CODRBKS USUELLES.
3ll
La courbe est donc une li\ perbole, puisque la différence des rayons vec- teurs reste constante.
Si les rayons vecteurs •', <'i, . . . , c,,-!, f' relatifs au foyer F' vont en décroissant, le raisonnement subsiste, à la condition de changer les sii^ncs des dénominateurs; on arrive ainsi à
r = I , d ou II -h 1' = Il -h v.
La courbe est donc une ellipse, puisque la somme des rayons vecteurs reste constante.
Enfin, si l'arc PQ était trop étendu pour que les rayons vecteurs rela- tifs au foyer F varient toujours dans le même sens, on décomposerait cet arc en plusieurs parties satisfaisant à la condition, et la somme (ou la dif- férence] des rayons vecteurs re.>tanl constante dans chaque partie serait la même à l'origine P et à l'exlrémilé Q.
CoROLL.\lRKS.
1008. i" La droite F' cp qui joint un foyer F' dt l'Iiypeihole au symétrique 9 de l'autre joyer F par rapport à une tan- gente quelconque TT, passe par le point de contact de cette tansrente et est éi^ale à la lonp/ieur la de l'axe transverse
[Jig. 53i).
FiiT. 532.
2" Tous les points de la tani;ente MT, sauf le point M, sont extérieurs à l 'hyperbole, qui est, par suite, une courbe com^exe.
Mêmes dénionslralions que pour l'ellipse (981, 982), en rem- plaçant la somme des rayons vecteurs par \om diflérence.
1009. Si I ou mène au point M [Jig. r)32) une perpendicu- laire MN à la langenle MT, les angles FMN, LMiN sont égaux
3[2
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
comme compléments d'angles égaux^onc, la normale à rhf- pevbole est la bissectrice de l'angle jormé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l 'autre rayon.
La normale en un sommet de l'hyperbole se confond avec l'axe iraiisverse, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.
Si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers ou sont homofocales, elles se coupent à angle droit; car, en l'un quelconque des points d'intersection, la tangente de l'une est la normale de l'aun-e (980, 983).
Dans le cas de l'hyperbole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui parlent de l'un des foyers F, s'éloignent de plus en plus de l'autre foyer F' après leur rétlexion sur la courbe; mais toutes leurs directions prolongées viennent y converger.
THÉORÈME.
1010. Le lieu des points symétriques cp de l'un des foyers F par rapport aux tangentes est un cercle [directeur) décrit de l'autre foyer Y' comme centre avec la longueur ia de l'axe transverse pour rayon [Jig. 532) [984].
THÉORÈME.
101 1 . Le lieu des projections des foyers d'une hyperbole sur
Fig. 533
ses tangentes est la circonjéience décrite sur l'axe Iransverse comme diamètre [fig- 532).
LIVRE VIll. — LES COURBES LSLELLES. 3l3
On donne à celle circonférence le nom de cercle principal. Même démonsiraiion que pour l'ellipse (985).
THÉOR£ME.
1012. Le lieu des points éqiiidistdnts d'un cercle de cenlre F' et d'un point extérieur F est une hyperbole dont les points F et ¥'■ sont les foyers, et dont l'axe transverse est égal au rayon du cercle [fig- 53'5).
La tangente en un point quelconque M du lieu est la per- pendiculaire sur le milieu K de la droite qui joint le point F à l'extrémité du rm on ¥' o passant par M.
Comme pour l'ellipse ^987 .
COKOLLAIRE.
1013. De là, pour l'hyperbole', un nouveau Iracé donnant à la lois le point et la tangente.
Décrivez le cercle directeur relatif à l'un des foyers F', c'est- à-dire le cercle dont le centre est F' et dont le rayon est égal à 1 a', joignez l'autre foyer F à un point quelconque o de ce cercle, et menez la perpendiculaire KT sur le milieu de Vo; cette perpendiculaire rencontre le rayon F'cp en un point M de l'hyperbole et elle est en outre la tangente en ce point.
M suit de cette construction que, sur loule droite indéfinie GG' passant par F', il y a deux points de l'hyperbole et seule- ment deux; ils oorrespondent aux deux points o et o' où le diamètre GG' coupe le cercle directeur.
SCOLIK.
lOH. Une droite OV est dite asymptote d'une branche infinie de courbe AL, si la distance MP d'un point qu('lcon(|ue M de la courbe à la droite tend vers zéro quand h» point M s'éloigne iniléfiniment en restant sur la courbe. ^
THÉORÈME.
1015. L'hyperbole a pour asymptotes les perpendiculaires Ox et ()y abaissées du centre () sur les tangentes Fil', Tli,
(') Le théorème s'étend aux projecliont obliques (ii* 9S5).
3l4 GÉOMÉIKIE DANS LESPAGE.
menées par l un des foyers F au cercle direclear relatif à l'autre foyer ¥' [fig. 533).
En effet, remarquons d'abord que tout point de chacune des droites xx' et j/' est extérieur à la courbe, car, soit D, par exemple, un point quelconque de jj'; cette droite, étant paral- lèle à F' H et passant par le milieu de FF', passe par le milieu de FH; on a donc DF = DH, et, par suite,
I)F' - DF = DF' - DH < F' H ou ia.
En second lieu, il est facile de voir que, P désignant le point commun à GG' et HF, le point E où GG' rencontre la perpen- diculaire élevée sur le milieu I de PF est intérieur à la courbe. Car on a
EF'— EF = EF - EP = F'P > :ta.
On conclut de là, en désignant par D' et D les points oîi GG' coupe xx' et jj', que les deux points (1013) M' et M, où GG' rencontre l'hyperbole, sont situés, l'un entre F' et D', l'autre entre D et E; car, en allant de F' en D', on passe de l'intérieur à l'extérieur, et en allant de D en E, on passe de l'extérieur à l'intérieur.
Cela posé, considérons, par exemple, le point M correspon- dant au point 9 du cercle directeur : pour que ce point s'éloigne indéfiniment sur la courbe, il faut et il suffit que les deux droites F'<p et KT, dont il est l'intersection, deviennent paral- lèles; et, comme la seconde est sans cesse perpendiculaire à Fcp, il faut et il suffit que F 9 devienne perpendiculaire à F'9, c'est-à-dire devienne la tangente FH au cercle directeur. Mais lorsque 9 tend vers H, PH tend vers zéro, et, comme en a
I PH = { FH - { FP = FC - FI =r IC,
IC tend aussi vers zéro; or, d'après l'alinéa précédent, le point M est situé entre D etE; sa dislance MO à 0/ est donc moindre que IC; donc MQ a pour limite zéro, et par suite Or' est asymptote
SCOLIES.
lOlC. Il importe de remarquer que l'asymptote 0/ est la
LtvnK VIII.
LKS cuCKnes ubukules.
3i5
limite vers laquelle tend la tan<^ente KT ati point M, quand M s'éloigne indéfiniment sur la courbe ; car la langenle KM, étant sans cesse perpendiculaire sur le milieu de Ftp, devient à la limite la perpendiculaire élevée sur le milieu de FH.
1017. La droite OKj étant parallèle à F'H et. égale à sa moitié a, on voit que le cercle principal A A' [fig- 534) touche au point K la tangente FH au cercle directeur.
Fig. 534.
I"ig. 535.
Menons [Jig. 535) Ày perpendiculaire à FF' jusqu'à sa ren- contre avec l'asymptote Or; puisqu'on a OK = n = OA, les triangles rectangles OAy, OKF sont égaux, et l'on en conclut 0y = 0F=6'.
Achevons le rectangle yy'ào' , et soient B et B' les points où l'axe non transverse rencontre yèely'o'; par analogie avec l'ellipse, on donne à la longueur BB' le nom de longueur de l'axe non transverse de l'hyperbole, et on la représente par ib.
Les trois longueurs a, b, c sont liées entre elles par la re- lation c'=z a'-+- b\ Elles sont liées dans l'ellipse par la relation c'=: a'— b\ qui ne diffère de la précédente que par le chan- gement de b' en — b'. Par suite, les propriétés de l'ellipse et de l'hyperbole qui ne dépendent que des longueurs de leurs axes se déduisent les unes des autres par le simple change- ment de />' en — b'^.
3l6 GÉOMÉTRIE DA>S l'eSPACE.
Lorsqu'on donne les longueurs des axes de l'hyperbole, il est fiicile de déterminer graphiquement les foyers. On n'a qu'à élever à l'extrémité A de l'axe iransverse une perpendiculaire \y =: b [fig. 535) et à décrire du point 0 comme centre, avec Oy pour rayon, une circonférence qui coupe l'axe trans- verse aux deux foyers F et F'. On trouve en même temps l'asymptote Oy et sa symétrique Oy'.
1018. On appelle hyperbole (''qnilatère une hyperbole dont les deux axes ont la même longueur. Le rectangle yy'^è' [Jig. 535) devenant alors un carré, on voit que les asym- ptotes d'une hyperbole équilalère sont à angle droit l'une sur l'autre.
1019. (^)n entend par hyperboles conjuguées deux hyperboles qui, ayant les mêmes axes et, par suite, le même centre, la même distance focale et les mêmes asymptotes, sont situées par rapport à ces asymptotes dans des angles différents; c'est- à-dire que l'axe transverse de l'une est l'axe non iransverse de l'autre, et réciproquement [fig- 535).
Deux hyperboles conjuguées ne sont identiques et ne peu- vent se substituer l'une à lautre par un quart de révolution, que lorsqu'elles sont équilatères (1018).
PROBLÈME.
1020. Mener une tangente à l'hyperbole par un point donné. , Mêmes procédés que pour l'ellipse (989). Ici c'est la U"oisième
des inégalités du n''989, ?.", qui est satisfaite d'elle-même, puisque aeslmoindre que c, elqueletrianglePFF'donne2C<;PF H- PF'; les deux premières expriment (1005) que le point P doit être extérieur à l'hyperbole.
COKOLLAIRES.
1021. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à l'hyperbole est une circonférence concentrique à la courbe et ayant pour ra]on \/a— b' (91)0).
La démonstration directe est la môme que pour l'ellipse.
tIVRE Vm. — LES COURBES USUELLES. 3l7
Seulement, la question revient iri à chercher le lieu des mi- lieux des cordes inierceplées dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit dont le sommet F lui est exté- rieur. Le problème peut alors être impossible, et le lieu ces- ser d'exister, si l'on a a<Cb.
La tangente de l'angle aigu formé par l'asymptote Oy avec
■ r l> , , ,.
1 axe iransverse étant représentée par -? le prijblemeesi im- possible quand cet angle est supérieur à 45 degrés ou quand l'angle rO:r des deux asymptotes Jig. 535) est obtus: il est possible, au contraire, quand cet angle est aigu.
En effet, l'angle des deux asymptotes est précisément (1017) le supplément de celui des deux tangentes qu'on peuimenei* au cercle directeur F' par le foyer F. Or, ce n'est que lorsque l'angle de ces deux tangentes est obtus que les deux côtés de l'angle droit dont le sommet est en F peuvent rencontrer à la fois le cercle F'.
Lorsque l'angle des asymptotes est droit, celui des deux tangentes menées du foyer F au cercle directeur F' est aussi droit, et il n'y a pas d'autre angle droit circonscrit à l'hyper- bole que celui de ses asymptotes. Ce résultat limite est d'ail- leurs évident; car, la courbe étant alors équilatère (1018), on a a=zb, et le lieu se réduit au centre de l'hyperbole.
1022. Les tangentes PM, PM', menées à l'hyperbole par un point extérieur P, font des angles égaux ai'ec les droites qui vont du foyer P aux deux foyers ; la droite qui va du point P à l'un des foyers est bissectrice de l'angle intérieur ou exté- rieur des rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M et M', suivant que les deux tangentes touchent l'hypesbole dans la même région ou dans deux régions diffé- rentes.
Même démonstration que pour l'ellipse (991)^
Los propositions des n" 991 et 1022 conduisent à une démonstration très simple (Darbolx, Bulletin, l. XIV) de la condition pour qu'un qua- drilatère, convexe ou non, soit circonscriptible à un cercle. Cette condi- tion, d'abord mal énoncée par Pitot (Mémoires de V Académie, ij-aj), puis reclifiée [lar Stkinku (Jaiiriuil de Crcllc, t. 32), consiste en ce (pje :
3!8
UÉOMÉTRIB DANS l'KSPACE.
Dans tout quadrilatère drcnnscrit, Ui somme de deux côtés (opposés ou adjacents, suivant les cas) est égale à In somme des deux autres; et réciproquement.
La proposition directe est évidente; elle résulte immédiatement de l'éga- lité des deux tangentes menées à un cercle par un point extérieur. C'est la réciproque seule qui exige quelque attention pour être établie en toute généralité. ABCD étant le quadrilatère considéré, l'hypothèse con- sistera dans l'une des égalités
AB -+- BG = AD -I- DC, AB-BC = AD-DC, AB-BG = DC-AD;
mais l'une quelconque de ces égalités exprime qu'il y a une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers les deux sommets opposés A et G et passant par B et D. Les tangentes en B et D à cette courbe se coupent en un point P, et il résulte des théorèmes (991 et 1022) que par ce point P viennent passer une des bissectrices de l'angle A et une des bissectrices de l'angle G; ce point P est donc équidistant des quatre côtés du quadri- latère, et, par suite, il est le centre d'un cercle inscrit à cette figure.
PROBLÈME.
1023. Mener à l'hyperbole une tangente parallèle à une droite donnée [figé 536).
Fig. 536.
Même procédé que pour l'ellipse (992). Seulement, le pro- ilème n'est pas toujours possible. Il laut que, si ion mène
LIVRE Vlir. — LES COURBES USUELLES. lig
par lo centre de la courbe une parallèle à la droite donnée, elle ne tombe pas dans les angles des asymptotes qui ren- ferment l'hypeibole. En elTet, pour que la perpendiculaire menée du foyer F à la droite donnée rencontre le cercle directeur F', il faut et il suffit que l'angle aigu de Fcp avec l'axe . Iransverse soit moindre que l'angle aigu que fait avec le même axe la tangente menée de F au cercle F'; or ces angles sont respectivement les compléments des angles aigus ô et ô que l'axe iransverse forme avec la droite donnée 1)1)' et avec les asymptotes; on doit donc avoir
^■ — o<-— ^, d'oùô>9.
2 2
Si la condition est remplie, il y a deux solutions T et T'. Pour d = 9, il n'y a plus qu'une solution : c'est l'asymptote à laquelle la droite donnée est alors parallèle.
Corollaires.
1024. Les deux tangentes parallèles à une droite donnée ont leurs points de contact symétriques par rapport au centre (993).
1025. Le produit des distances d' un foyer à deux tangentes parallèles ou le produit des distances des deux foyers à une même tangente est constant.
Conmie pour lellipse (995).
Les constructions des n'" 1020 et 1023 n'exigent pas que l'hyperbole soit tracée (996).
PROBLÈME.
102G. Connaissant les foyers V et F' et l'axe transverse d'une hyperbole, déterminer ses points de t encontre avec une droite donnée.
.Même j)roci''dé que pour I ellipse ^997), seulement la dis- cussion exige quelque attention.
Soient li l'hyperbole, d la droite donnée, o l'angle aigu de cette droite et de Taxe transverse, 6» l'angle aigu des asym- ptotes et du même axe.
320 GÉOMÉTRIE DANS l'e«P.\CK.
Les points communs à // ei a d sont les centres des cercles qui, louchant le cercle directeur F', passent par l'autre foyer F et par le point o symétrique de F par rapport à </. De plus, un point commun à // et à d appartient à l'une ou à l'autre branche de l'hyperbole, suivant que le cercle directeur F' est extérieur au cercle tangent ou est enveloppé par ce cercle.
Cela posé :
1° Si è est inférieur à 9, d coupe h en deux points situés sur deux branches distinctes ; car la droite indéfinie Fo étant alors extérieure au cercle F', il y a deux cercles tangents dont un seul enveloppe le cercle F'.
2° Si 0 est supérieur à 0, la droite indéfinie Fo coupe le cercle F', et il y a trois cas à distinguer. F'o étant infé- rieur à -xa, d ne rencontre pas II-, car o est alors intérieur au cercle F', et il n'y a pas de cercle tangent. F'o étant égal à ia, d touche li; car o est alors sur la circonfé- rence F', et les deux cercles tangents se réduisent à un seul. Enfin, F'o étant supérieur à la, d coupe h en deux points appartetuait à une même hranc/ie; car o est alors extérieur au cercle F', et il y a deux cercles tangents qui enveloppent tous deux le cercle F' ou auxquels le cercle F' est à la fois extérieur, suivant que F' et o sont séparés ou non par le cercle F'.
5° Si 0 esl égal à 9, la droite Fo est tangente au cercle F', et il y a deux cas. Si d est une asymptote, ellr a deux points communs à l'infini avec li, puisque le point o est alors sur la circonférence F' et que les deux cercles tangents se rédui- sent à la droite Fo. Si d nest que parallèle à une asy^mptote, elle a avec V hyperbole deux points communs, dont un seul à distance finie ; car le point o est alors extérieur au cercle F', et il y a deux cercles tangents dont l'un se réduit à la droite Fcp.
Observons enfin qu'on peut donner d'autres formes aux énoncés des conditions précédentes, en introduisant la consi- dération, soit de la parallèle menée par le centre à la droite donnée, soit des tangentes parallèles à celle droite. Par exemple.
LIVBE VIII. — LES COURBES LSUELLBS. 331
la condition o > 9 peut être remplacée par l'une des sim'- vaiiles : la parallèle à d menée par le centre doit être com- prise dans les angles des asymptotes qui ne renferment pas la courbe, ou la courbe doit avoir des tangentes parallèles à d.
§ m.
PROPRIETES FONDAMENTALES DE LA PARABOLE.
\
1027. La parabole est une courbe plane telle, que chacun de ses points est équidistant d'un point fixe et d'une droite fixe donnés dans son plan. Ainsi {fig- 587), le point fixe
Fig. 537
étant F et la droite fixe DD', on aura, pour tout point M de la panibole, en abaissant MH perpendiculaire sur DD', MF = MH Par sa définition même, la parabole est nécessairement siluéf tout entière du même côté que le point fixe par rapport à lu droite fixe.
D'après ce qu'on vient de dire, pour décrire un arc de pa- rabole A'un momement continu, on fait coïncider l'arête
R. el DE C. — Tr. de Géom. (11* Partie). 21
323 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
d'une règle avec la droite DD', el l'on applique contre cette règle le petit côté KH d'une équerre KHG. Un fil, égal en longueur au grand côté HG de celle équerre, est fixé par ses deux extrémités, d'une part au point F, el de l'autre à l'extré- mité G du côté HG. Si l'on tend alors constamment ce fil contre le grand côté de l'équerre à l'aide d'un crayon, et si l'on fait en même temps glisser l'équerre le long de la règle, la pointe du crayon décrit un arc de parabole. En effet, pour une position quelconque M de cette pointe, on a
GM -f- MF = GH = GM + MH, d'où MF = MH.
En opérant de celte manière, on trace d'un mouvement continu l'arc BA, (|ui va du point B de la courbe dont la dis- lance au point F est égale à GH, jusqu'au point A milieu de la perpendiculaire FL abaissée du point F sur la droite DD'. H faut ensuiie retourner l'équerre, comme l'indique la figure, pour décrire l'arc AB'.
On voit que la parabole est formée de deux branches qui s'étendent indéfiniment, à partir du point A, au-dessus et au-dessous de la droite FL; car, si l'on emploie une règle, une équerre el un fil assez longs, rien ne limite l'éloignement des points obtenus sur la courbe. La parabole est donc une courbe à branches infinies, mais sans séparation, et d'un seul côté de la droite fixe.
1028. Le point F est ]e foyer de la parabole, la droite DD' est sa directrice. La droite MF est le rayon vecteur du point M. La distance FL du foyer à la directrice se nomme le paramètre de la courbe, et on la représente par/?.
1029. On peut aussi tracer la parabole par points.
En eff'et, prenons {Jig. 538) un point P quelconque sur la perpendiculaire FL abaissée du foyer sur la directrice. Par le point P, menons une perpendiculaire à FL ou une parallèle à la directrice, el du foyer F comme centre, avec PL pour rayon, décrivons une circonférence qui coupera cette parallèle en deux pomls M et M' appartenant à la parabole, comme équi- disiants du foyer et de la directrice.
LIVRE viir.
I.F.S COURBES LSUKl.LES.
39.3
Pour que les points d'inlerseciion M et M' existent, il sufiit que le point P soit a l'intérieur du cercle dé< rit du foyer F comme centre avec PL pour rayon, c'est-à-dire qu'on ait' FP<<PL. Cette condition sera toujours remplie lorsque le point P sera à droite du foyer F (dans le cas delà ri:ïure); mais elle exige, si le point P est à gauche de F, qu'il reste à
droite du point A milieu de FL. Si l'on a dans ce cas, comme condition limite, FP=PL, le point P se confond avec le point A, et les deux points y et ÎM' se réunissent en ce point.
Le rayon vecteur minimum est donc AF ou -•, il n'y a pas de
rayon vecteur maximum, rien ne limitant l'eloignemenl du point Pà droite du foyer F.
THÉORÈME.
1030. La parabole a pour axe la perpendiculaire menée du fojer sur la directrice {/ig. Ô37).
Même démonstration que pour l'ellipse (975, i" . Le point A, commun à la parabole et à son axe, est le som- met de la courbe.
THÉORÈME.
1031. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à la parabole, sa distancf^ au foyer est moindre ou plus grand»' tjue sa distance à la directrice {/ig. 53ç)).
Soit d'abord un point N intérieur à la courbe. Menons la droite NF et la perpendiculaire Nil à la directrice, laquelle
324
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
coupera la parabole au point M (1027). Le triangle NFM donne alors
NF<NM+ MF ou NF<NH, puisque MF = Mil.
Soit de même un point îs' extérieur à la courbe. Si le point N' el le foyer sont de côtés difTérenls par rapport à la directrice, la proposition est évidente. Sinon, menons la
Fi[f. 539.
droite N'F et la perpendiculaire NU à la directrice, laquelle, prolongée, coupera la parabole au point M. Le triangle N'F M donne alors
N'F>MF - MN' ou N'F>N'H, puisque MF = MH.
COROLlAinE.
1032. Ce théorème, rapproché de la définition de la courbe, fournit un critérium pour juger de la position d'un point quelconque de son plan par rapport à la parabole supposée non tracée. Suivant que la distance du point considéré au foyer est égale, supérieure ou inférieure à sa distance à la directrice, ce point est à la courbe, il lui est extérieur ou in- térieur.
THÉORÈME.
1033. La tangente à la parabole fait extérieurement des ongles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l'axe par le même point.
Prenons sur la parabole {/ig. 54o) deux points voisins M
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 325
et M'; menons la sécante M M' S, abaissons des deux points considérés les perpendiculaircsMo, M'o', surla direciriceDD', et traçons leurs rayons vecteurs. Portons sur FM une lon- gueur FC= FM', et sur 9 M une longueur "o-E^:: 9' M'. D'après la définition de la parabole, MC est égal à ME.
Fig. 540.
Fig. 5'ji.
D'un point G quelconque de la sécante MM'S, menons à M'C cl à M'E, jusqu'à la rencontre de FM et de 9M, les paral- lèles GI et GH. Les deux quadrilatères G M'E M, IGHM sont semblables 208 , et l'égalité de MC et de ME entroîne celle de MI et de Mil.
A mesure que le point M' se rapproche du point M, GH reste, comme ME, perpendiculaire à M9, tandis que GI, per- pendiculaire à la bissectrice de l'angle au sommet du triangle isocèle M'FC, tend à le devenir au rayon vecteur FM. On a de plus constamment MI = MH. La tangente à la parabole (y?^»-. 540 doit donc être telle, que si, d'un point quelconque G pris sur cette droite, on abaisse des perpendiculaires GI et GH sur le rayon vecteur du point de contact M et sur la perpendiculaire aljaissée de ce point sur la directrice, on aitMI = MH. Les triangles rectangles MGI, MGH sont donc égaux, ainsi que les angles GMI, GMII. Art tangente à la parabole est donc bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la perpendiculaire abaissée de ce point sur la direc- trice.
Mais, l'angle GMH étant l'opposé par le sommet de l'angle
326 GÉOMÉTRIE. lUNS l'eSPACE.
T.MO, les deux angles GMI ou TMF ei T, MO sont égaux ; ce qui conduit à l'énoncé adopté.
103i. RÉciPnoQUEMEM, la convie dont la ta/ii^eiite est bissec- trice de Vangte formé parles droites menées d'un point de la courbe à un point fixe, et perpendiculairement à une droite fixe, est une parabole ayant le point et la droite fixes pour foyer et pour directrice.
Démonstration analogue à celle donnée pour l'ellipse et l'hyperbole ilOOT).
COROl-LAmES.
1035. Soit S le point où la sécante M M' S (fig. 5jo] coupe la directrice DD'. On a, à cause des parallèles,
M S _ Mo _ MF ârS~'M'9'~ MF'
la droite SF est donc la bissectrice de l'angle extérieur en F du triangle MFM' (183 . La droite qui joint le foyer d'une para- bole an point de rencontre d'une sécante quelconque avec la directrice est donc bissectrice de l'angle extérieur des rayo?is vecteurs des points d'intersection de la sécante avec la courbe.
A la limite, quand la sécante devient tangente, c'est-à-dire quand l'angle MFM' devient nul, la droite SF est remplacée [fig. 540 parla droite RF bissectrice de Tangle supplémentaire de cet angle nul. Par suite, la droite qui joint le foyer d'une parabole au point où une tangente quelconque rencontre la directrice est perpendiculaire sur le rayon vecteur du point de contact.
103G. Tous les points de la tangente MT, scuif le point de contact M, sont extérieurs à la parabole qui, par suite (982), est une courbe convexe [fig. 5^i).
En effet, le triangle FM 9 étant isocèle et la tangente étant la bissectrice de son angle au sommet (1033), elle est perpen- diculaire sur le milieu K de Fo. Pour un point T, quelconque de latangente,ouadonc,T, H étant la perpendiculaire abaissée
LIVRE Vill. — LES COURBES USl ELLES. S'il
de ce point sur la directrice, T,H<T,cp ou T,H<T.F. Le
point T, est donc extérieur à la courbe (1032).
Figr. 5/, 2.
1037. Si l'on mène au point M ifig. 54^) une perpendicu- laire MN à ia tangente MT, les deux angles FMN, OMN sont égaux comme compléments d'angles égaux (1033). Donc, la normale à la parabole est bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la parallèle menée à l'axe par ce point.
Au sommet delà parabole, la normalese confond avec l'axe, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.
Soient T et N (Jîg. 542) les points où la tangente et la nor- male rencontrent l'axe. Les triangles TMF.NMF étant évidem- ment isocèles, on a MF = FT = YN. Le foyer F est donc à une distance, soit du pied de la tangente, soit du pied de la nor- male sur l'axe, égale au rayon vecteur du point de contact.
1038. Dans le cas de la parabole, les rayons lumineux, so- nores ou calorifiques, qui partent du foyer, deviennent tous parallèles à l'axe après leur réflexion sur la courbe. C'est pour- quoi l'on emploie des réflecteurs paraboliques, lorsqu'on veut projeter au loin un faisceau de rayons lumineux parallèles (lanternes de voilures, phares). Réciproquement, tout rayon qui vient rencontrer la parabole parallèlement à son avese réfléchit au foyer de la courbe. De là, par exemple, l'usage des réflecteurs paraboliques dans les télescopes, pour concentrer au foyer les rayons lumineux venant de l'astre observé.
328 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
THÉORÈME.
Î039. Le lieu des points symétriques 9 du foyer F par rap- port aux tangentes à la parabole est la directrice ijîg. 542).
Celte proposition est évidente d'après ce qui a été dit au n° 1036.
SCOLIRS.
1040. Étant donnés un point F et une droite DD' {Jîg. 542), si ton mène des droites F 9 aux différents points de la droite DD', les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs mi- lieux enveloppent une parabole qui a pour foyer le point F et pour directrice la droite ïiD' ; les points de contact de ces tangentes sont à leurs rencontres avec les perpendiculaires menées à la directrice par les points 9.
C'est là un nouveau procédé pour décrire la parabole par points (1029). En le suivant, on n'obtient qu'un point à la fois; mais on a en même temps la tangente en ce point.
lOVl. On voit que les parallèles à l'axe de la parabole ne rencontrent la courbe qu'en un seul point. Il serait donc faux de dire qu'une droite qui n'a qu'un point commun avec une courbe, même convexe, lui est tangente. Une droite tangente à une courbe convexe n'a qu'un point commun avec elle(982) ; mais la réciproque n'est pas vraie.
THÉORÈME.
lOï'i. Le lieu des projections du foyer de la parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet.
MT étant la tangente à la courbe au point M {fig. 543), et 9 le symétrique du foyer F par rapport à cette tangente, le point K où F9 coupe la tangente est le milieu de F 9. D'ail- leurs, le sommet A est le milieu de FL. Donc, dans le triangle FLo, AK esi parallèle à la directrice ou se confond avec la tangente au sommet (1037;. La projection K du foyer sur une tangente se trouve par suite sur la tangente au sommet.
Réciproquement, K étant un point de la tangente au som-
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 3?.9
met, si l'on mène la droite FKo, le point 9 sera le symétrique du foyer F par rapport à la tangente qui passe par le point K
Fig. 543.
|
M/ |
||
|
} |
||
|
D' |
A |
F |
(1040) ; le point K sera donc la projection du foyer F sur celle tangenieO).
Corollaire.
1043. Si l'un des côtés d'une équerre passe constamment par le foyer F, tandis que son sommet parcourt la tangente AK au sommet de la courbe, l'autre côté de l'équerre reste con- stamment tangent à la parabole.
THÉORÈME.
1044. Dans toute courbe rapportée àdesaxes rectangulaires, l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre la sous-tangente et la sous-normale.
Pour indiquer la position d'un point AI sur un plan {flg.^W), il suffit de donner ses projections P et Q sur deux axes rectan- gulaires x'Ox, y'Oy tracés dans ce plan, ou, ce qui revient au même, les nombres (positifs ou négatifs) qui mesurent les segments OP et 00. On convient d'ailleurs de fixer le sens positif sur cbacun des axes de la manière suivante : après avoir choisi à volonté le sens positif sur l'axe x'Ox, on place sur cette droiU; les lettres x' cixûc larou (jue le sens positif que l'on a adopté soil celui de a.' vers .v; puis, on place les lettres y' cV y sur l'autre axe de telle sorte qu'une rotation de 90", autour de 0, dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, amène la demi-droile 0/ sur la demi-droite
(') Le théorème l'étend aux projections obliques (n* 985).
33o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
0^, et l'on adopte pour sens positif sur j'O/ le sens de j' vers /.
La valeur algébrique du segment OP, ou de son égal QM, reçoit le nom d'abscisse du point M, et l'on nomme ordonnée de ce même point la valeur algébrique du segment OQ ou de son égal PM. L'abscisse et l'ordonnée d'un point sont les coordonnées de ce point; les axes a^'Oa-, y' Oy sont les axes des coordonnées et 0 est l'origine des coordonnées.
Quand un point appartient à une courbe donnée, son or- donnée y dépend de son abscisse x, et elle est déterminée
Fig. 544.
par le choix de cette abscisse. Par exemple, l'abscisse x et l'ordonnée y d'un point quelconque d'une circonférence de rayon R rapportée à deux axes rectangulaires passant par son centre {fig. 544) sont évidemment liées par la relation
j«4-a7» = RS d'où 7*r=R» — ar«.
Le choix des axes coordonnés est arbitraire. On adopte de préférence les droites les plus remarquables du plan relati vement à la courbe, telles que ses axes, ses tangentes aux sommets, etc. Dans la parabole, on choisit l'axe et la tangenlo au sommet.
Cela posé, soit i^fig. 545) une courbe C rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires xOx', yOy' . Menons en un point quelconque M la tangente MT, la normale MN et
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLliS. 33 1
l'oi-fJonnée MP. La projection TP sur i'axcOx de la portion de langenle MT comprise entre son point de contact M et son pied T sur cet axe s'appelle sous-tangente ; de même, PN est la sous-normale. Le triangle T.MN étant rectangle en M, etMP étant perpendiculaire sur l'hypoténuse TN, le théorème énoncé est démontré.
Au lieu d'axes rectangulaires, on peut employer des axes obliques. Les coordonnées d'un point sont encore ses dis- lances aux deux axes, mais comptées parallèlement à ces axes. Les projections ne sont plus alors orthogonales, mais obliques, et le théorème précédent cesse d'être vrai.
THÉORÈME.
1045. Dans la parabole : i" la sous-tangente est double de l'abscisse du point de contact ; 2° la sous-normale est con- stante et égale au paramètre [fig. 54^^
1° Soit la tangente en M à la parabole. Si l'on prend pour axes coordonnés l'axe A^' de la courbe et la tangente au sommet A^', le point M aura MP pour ordonnée et AP pour abscisse. Le triangle TFVf étant isocèle (1037), la projccliou K du foyer F sur la tangente MT est le milieu de MT. La tangente au sommet AK >• étant parallèle à lordonnée MP, le sommet A est donc le milieu de la sous-tangente TP, et TP = 2AP.
I''ij. .5'|5.
* u T
|
F |
g. '^-i^- |
|||
|
D |
y |
|||
|
Ç |
M/^ |
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||
|
R.^ . 1 \ |
||||
|
T/ |
^l\/l |
\. |
||
|
y L II |
K |
F P |
\ |
X |
3" Soit la normale M\. Elle est porpendiculaire à la t^ingente MT connue la droite Fo. La figure M^FN est donc uii jiaral- b'Iogramme, et <pF r=:MN. Les doux triangles rectangles MPN, oLT, sont donc égaux, ol l'iin ;i f^N = LF=r/?.
332
GÉOMÉTRrE DANS l'eSPACE.
Corollaire.
1046, Le carré de l'ordonnée d'un point de la parabole est proportionnel à l'abscisse de ce point [fig. 546).
Soient y el x les coordonnées MP et AP d'un point quel- conque M de la parabole. On a (1044, 1045)
;^' = TP.PN=2:c./> ou x^ = 2px.
PROBLÈME.
1047. Mener une tangente à la parabole par un point donné. 1° Si le point donné M est sur lacourbe [fig. 546), on mène
le rayon vecteur MF et la perpendiculaire Mç sur la directrice; puis, la bissectrice de l'angle FMcp, qui est la tangente deman- dée (1033).
Il vaut mieux prendre sur l'axe, du côté du sommet, une longueur Fï égale à MF; en joignant le point T ainsi obtenu au point donné M, on a (1037) la tangente demandée.
2° Si le point donné P est extérieur à la parabole, on re- marque que la question serait résolue si l'on connaissait le symétrique cp du foyer F par rapport à la tangente cherchée; car on aurait alors cette tangente en abaissant du point? une perpendiculaire TP surF^ [fig, 547). La droite ÏP coupe-
rail d'ailleurs la parallèle menéeà l'axe par le point cp, au point de contact M. Or, le point 9 se trouve à la fois sur la directrice
IIVÎIE VIII. — LKS COURBES ISLiaLES.
333
DD'fl03!)) eisurle cercle décrit du poinl P comme centre avec PF comme rayon.
Ce cercle et la direclrice se coupent toujours, quand le point P est extérieur à la courbe; car il est alors plus près de la directrice que du foyer (1031), et il y a deux solutions, qui se réduisent à une seule quand le point P est sur la parabole, ou disparaissent lorsqu'il est intérieur à la courbe.
ConOLLAIRES.
1048. Cherchons la condition pour que les deux tangentes menées du point P à la parabole soient à angle droit.
Ces tangentes étant supposées à angle droit, comme elles sont respectivement perpendiculaires aux milieux des droites Foet F9', l'angle 9F9' est aussi droit; par suile, 99' est un diamètre de la circonférence PF, et le point P est sur la di- rectrice. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la parabole est donc la directrice.
Dans ce cas, l'angle PFM est droit ainsi que l'angle PFM' (1035 ; la corde des contacts MM' passe donc alors par le foyer et est perpendiculaire à PF.
lOiO. Les tangentes PM, PM', menées d'un point exté- rieur P à la parabole^ font des angles égaux avec la droite qui joint ce point au foyer et avec la parallèle menée à l'axe par ce point ; la droite qui va du foyer au point P est bissec- trice de l'angle formé par les rayons vecteurs des points de contact M et M'.
Reportons-nous à la fg. 647, et soit PII la parallèle menée à l'axe par le poinl P. La tangente PMT étant perpendiculaire sur le milieu de F9, comme la tangente PM'T' sur le milieu de F9', les deux angles MPH, F99', ont leurs côtés respec- tivement perpendiculaires et sont égaux; la droite PM' est la bissectrice de l'angle 9'PF, et l'angle au centre M'PF, égal alors à l'angle inscrit F 99', l'est aussi à l'angle M PII. De plus, les angles PFM, PFM' sont respectivement égaux aux angles P9M,P9'M'. Or, le triangle 9 P9' étant isocèle, les angles P9M, P9'M' sont égaux comme composés d'angles égaux ; et leur égalité démontre celle des angles PFM, PFM'.
33/
ÇÉOiHÉTRIE DA^'S l'eSPACE.
PROBLÈME.
1050. Mènera la parabole une tangente parallèle à une droite donnée.
. Tout revient encore à trouver le point cp symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point se trouve à l'intersection de la directrice etde h perpendiculaire abaissée du foyer F sur la droite donnée. Il y a toujours une solution, et une seule.
SCOLIE.
1051. Les constructions des n"' 1047 et 1050 n'exigent pas que la courbe soil tracée : il suffit d'en connaître le foyer et la directrice.
PROBLÈME.
1052. Connaissant le foyer P et la directrice DD' d'une pa- rabole, déterminer ses points de rencontre avec une droite donnée LL'.
Supposons le problème résolu, et prenons [Jig. 548) le sy- métrique 9 du foyer F par rapport à LL'. Si M est l'un des
Fig. 5/|8.
points de rencontre de la droite LL' avec la courbe, on aura M 9 = MF ^ MH, MH étant la perpendiculaire abaissée du point M sur la directrice. Le cercle décrit du point M comme centre, avec MF pour rayon, passe donc par les points F et 9 et est langent à la directrice. La question est ainsi ramenée à trouver le centre M d'un cercle passant par deux points don-
LIVRE VIII.
LES COURBIiS l'SriLLES.
335
nés F el cp ei langeni à une droite donnée DD'. Nous avons résolu ce problème ('262, i°).
Comme il n'est possible que lorsque les deux points F et 9 sont situés d'un même côté de la droite DD', la droite LL' coupera la parabole, lui sera tangente ou ne la rencontrera pas, suivant que le point 9 sera du même côté que le foyer par rapport à la directrice, sur cette directrice, ou de l'autre côté de cette droite par rapport au foyer. •
CoROLLAlltE.
1053. La parabole, ne pouvant être coupée par une droite en plus de deux points, est une courbe convexe (1036).
§ IV. — ELLIPSE CONSIDÉRÉE COMME PROJECTION ORTHOGONALE DU CERCLE.
THÉORÈME.
lOai. La projection orthogonale d'une circonférence de cercle sur un plan est une ellipse.
Les projections d'une figure sur deux plans parallèles étant égales, on peut toujours supposer que le plan de projection passe par le centre 0 du -cercle considéré ABA'B'.
Soient donc AA' le diamètre situé dans li,' plan de projection
336 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
el bOb' la projection du diamètre BB' perpendiculaire a AA'; l'angle ^OA sera droit, puisqu'il est la projection d'un angle droit BOA sur un plan contenant l'un de ses côtés.
M étant un point quelconque du cercle, et m sa projection, prenons, sur AA',OF = OF' égal à la projetante B6 du point B, et abaissons FG, F' G' perpendiculaires sur le diamètre MM'.
Il suffit de prouver que le rayon vecteur /?/F est égal à MG; car on prouverait de même que m F' est égal à MG', d'où l'on conclurait
mF + /7tF = MG + MG' = MG 4- MG = MM' = AA'.
Mais l'égalité m F = MG résulterait de celle des triangles rec- tangles m FM, GFM et, par conséquent, de l'égalité FG = Mm. Or cette dernière ressort immédiatement de la comparaison des proportions
MJP_BO MPMO BO
Mm~ B// ¥G~ OF ^'^' B/»'
qui sont fournies, la première par les triangles à côtés paral- lèles MPm, B0/>, la deuxième par les triangles rectangles équiangleg MOP, GOF.
On voit que le grand axe de l'ellipse obtenue est toujours égal au diamètre du cercle donné. On a, de plus, dans le triangle rectangle B60 (70.5),
O/; = OB cos B06, ou b r= a cosV,
en désignant par la et ib les axes AA' et /'/>' de l'ellipse, el par V l'angle des plans des deux courbes.
Corollaires.
1053. L'ordonnée MP du cercle ( fig. 549) étant représentée par Y et l'ordonnée correspondante mV de l'ellipse par y, le triangle rectangle MmP donne
v=VcosV, c'est-à-dire fr^-Y.
On passe donc du ceicle principal d'une ellipse (985) à cette ellipse, en diminuaiu toutes les ordonnées du cercle dans le rapport du petit axe au grand axe. Celte remarque fournit un nouveau procédé pour décire l'ellipse par points.
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLKS. 337
On trace un cercle sur chacun des axes de l'ellipse comme diamètre (//^. 55o); un rayon quelconque coupe ces cercles aux points N et S. Si l'on mène alors l'ordonnée NP du point N et ki parallèle SM au grand axe, linlerseclion M de ces deux droites est un point de lellipse. On a, en edet,
MP = ^NP, c'est-à-dire MP=-XP. ON a
105G. Si l'on considère sur l'ellipse et sur le cercle ib deux points M et S ayant la même ordonnée OQ, leurs abscisses a: et X sont liées par la relation
^ ON j, , ^ 6 V = TTC ' d ou \ = -x. X Oï5 a
Pour passer de lellipse au cercle ayant le petit axe pour dia- mètre, il faut donc diminuer les abscisses de l'ellipse dans le rapport de b à a.
L'ellipse peut donc être regardée comme provenant de la contraction ou de la dilatation des cercles qtii ont ses axes pour diamètres.
SCOLIE.
4057. On a démontré que le rayon vecteur F /« {fîg. 549) est égal à MG, c'esl-à-dire k a— OG ; mais les triangles équiangles MOP, GOF, donnent
on a donc
OG OP ,, . .,^ c.r ÔF=OM' ^'"" ^^ = V'
c V
p /,i — a ~ — et, par suite, F'/;/ = a
PROBLÈME.
iO">'ii. Mener à VelUpsc une tan'^cnte par un point donné.
1" Soit d'abord le point donné m situé sur la courbe.
Supposons le problème résolu {Jîg. 55i), et soit ni'ï la tangente de- mandée. Dilatons loule la figure, perpendiculairement à kk\ di\ns le lap. porl de OB à OA. L'ellipse deviendra le cercle AA', le point m devicndia le point iM, le point T ne changera pas, et la droite MT sera lu langonle au cercle principal. On déterminera donc réciproquement le point T en
R, et I)F. C. — Tr. de néom. ( II' Partip). ^- ^
33S
GÉOMÉTniE BANS l'eSPACE.
construisant la tangente en M au cercle principal, et, en traçant wT, on aura la tangente à l'ellipse au point m.
Fig. 55o.
Fij. 55 1.
2" Soit maintenant le point donnée extérieur à l'ellipse [fig. 552). Supposons de même le problème résolu (yfg. 552) et soient R/«T, R/«'T' les tangentes qui répondent à la question. Dilatons la figure,
Fiff. 552.
comme dans le prenaier cas. L'ellipse deviendra le cercle A.V, la droite RBIv deviendra la droite B,K, et le point R, correspondant au point R, devant se trouver à la fois sur l'ordonnée PR et sur la droite B,K, sera déter- miné. On en déduira les tangentes R, M T, R,M'T' au cercle principal et, par suite, les tangentes R//(T, Rwz'T' à l'ellipse, dont les points de con- tact m et m' se trouveront d'ailleurs sur les ordonnées des points M et M'.
PROBLÈME.
10o9. Mener à V ellipse une tangente parallèle à une droite donnée (fg. 553).
LBS COURBES USUELLES.
J3q
Soit OD la droiie donnée [fg. 5:>3). Kn suivant toujours le môme pro- cédé, on considère la droite quelconque BK qui coupe OD au point N ; à
cette droite BK correspond la droite B|K qui rencontre en N, l'ordonnée du point N. La droite ON,D, est donc celle qui correspond à OD. On n'a alors qu'à mener au cercle principal les tangentes MT, M' T', parallèles à ON|D. et à tracer, par les points T et T', des parallèles à OD qui sont les tangentes demandées ; leurs points de contact m et m' appartiennent aux ordonnées des points M et M'.
1000. Les constructions précédentes (10o8, 1059) n'exigent pas que l'ellipse soit tracée : il suffit que ses axés soient donnés.
PROBLÈME.
lOGl. Connaissant les axes d'une ellipse, construire ses points iVintcr- section avec une droite donnée [fig. 554 ).
Fie. j5/|.
Soit DD' la droite donnée; son point L ne changera pas dans la dil.itaiion de l'ellipse. La droite quelconque BK rencontrant DD'au point C et dev&-
34o GÉOMÉTniE DANS l'ESPACK.
nant B.K, le point C devient C,. La droite LC, correspond donc à la droite DD' et, comme elle coupe le cercle principal aux points M et M', on n'a plus qu'.à ramener ces points sur DD', par des perpendiculaires à AA', pour avoir en lu et en m' les points demandés.
THÉORÈME.
1062. Tous les diamètres de V ellipse sont des lignes droites passant par son centre.
On entend par diamètre d'une courbe le lieu des milieux des cordes de celte courbe parallèles à une direction donnée. Dans le cercle, tout dia- mètre est une droite perpendiculaire au système de cordes qu'ildiviseen deux parties égales (103) ou qui lui est conjugué.
Cela posé, tout système de cordes parallèles du cercle a pour projection un système de cordes parallèles de l'ellipse, projection du cercle. Les nai- lieux des cordes du cercle étant sur un même diamètre, les projections de ces milieux ou les milieux des cordes correspondantes de l'ellipse sont sur une même droite, projection du diamètre du cercle, c'est-à-dire pas- sant par le centre de l'ellipse. Le théorème est donc démontré.
1003. RÉCIPROQUEMENT, toute droite passant par Ic centre de V ellipse est un diamètre de la courbe: car elle est la projection d'un certain dia- mètre du cercle dont l'ellipse est la projection. Les cordes conjuguées au diamètre de l'ellipse sont les projections des cordes conjuguées an dia- mètre correspondant du cercle.
Corollaires.
1064. On nomme diamètres conjugués deux diamètres tels, que cha- cun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre. Pour avoir deux diamètres conjugués dans l'ellipse, il suffit évidemment de projeter deux diamètres rectangulaires du cercle.
408o. La tangente à l'extrémité du diamètre du cercle, étant per- pendiculaire à ce diamètre, est parallèle au système de cordes qui lui est conjugué. 11 en résulte que la tangente à l'extrémité d'u/i dia- mètre de l'ellipse est parallèle au système de coi d:s conjugué à ce dia- mètre.
1066. Si l'on mène deux tangentes à un cercle par un point extérieur, le diamètre mené à leur point de concours est perpendiculaire sur le milieu de la corde qui joint leurs points de contact. Par suite, si l'on mène ci une ellipse deux tangentes par un point exte'rieur, le diamètre mené à leur point de concours passe par le milieu de la corde qui unit leurs points de contact.
LIVnE VIII.
LES nOlRBE? LSLELLES.
3/xI
Nous renvoyons à l'Appendice pour le développement de la ihéorio des diamètres dans l'ellipse, l'hyperbole et la parabole.
THÉORÈME.
1067. L aire de l'ellipse est la moyenne proportionnelle des aires des cercles construits sur ses deux axes comme diamètres.
L'ellipse donnée, dont les axes sonlar/et 26, peut être regardée comme la projection orthogonale d'un cercle de diamètre aa, dont le plan fait
L
avec celui de l'ellipse un angle V, tel que cosV = - (1054). D'après un
théorème connu (707 ), on obtiendra alors l'aire de l'ellipse en multi- pliant l'aire du cercle par cosV. On trouve ainsi, pour l'expression de cette aire,
~ab^ c'est-à-dire \/ r. cr .r. b^ .
THÉGRilME.
1068. Lorsque les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires Ox et Oy, un point quelconque M de cette droite décrit une ellipse dont les axes sont dirigés suivant Ox et 0 y, et ont pour demi-lon- gueurs a et b les distances MA et MB du point M aux extré- mités de la droite AB 'fig. 555).
|
llg. 5.33. |
||
|
V |
N |
|
|
y^ |
M |
|
|
>'-""' B/ / |
Prenons pour axes coordonnés ^104i) les deux droites 0.r et 0^-; les coordonnées du point M seront MP et OP. Par le point 0, menons ON parallèle à ABM, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée M P. La figure OAMN étant un parallélogramme,
3^2 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
ON sera égale à la longuour conslanle ÂM ou a. Les triangles rectangles semblables BPM, OPN, donnent d'ailleurs
MP BM .,„ b
lirFi=7v^j 0" MP=--^P. NP OiS a
Le point M décrit donc l'ellipse (1035) dont le cercie ON est le cercle principal, et qui a' pour demi-axes a et b, c'est-à- dire les dislances MA et MB.
Ce théorème donne un moyen pratique irès-simple de con- struire une ellipse par poinfs, à l'aide d'une bande de papier sur les bords de laquelle on marque les trois points A, B, M. Il existe un compas elliptique fondé sur ce même principe.
Corollaires.
1069. Considérons ijig. 556) la droite donnée dans les deux positions voisines ABM, A'B'M'. Sur les milieux de AA' et de BB', élevons les perpendiculaires aw et (3w qui se coupent en w. La perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' passera par le point o). En effet, les deux triangles AmB, A'coB' élanl égaux, les angles ABw, A'B'w sont égaux. Les angles oiBM, oiB'M' le sont alors eux-mêmes comme suppléments d'angles égaux. Il en résulte l'égalité des triangles oi BM, où B' M' et, par suite, celle des distances wM, wM'.
Si l'on suppose maintenant que le point M' se rapproche in- définiment du point M considéré comme fixe sur l'ellipse qu'il décrit, MM' tendra vers la tangente à la courbe en M, et la perpendiculaire élevéesur le milieu de MM' vers la normale au même point. D'ailleurs, œw et j'io) ont pourlimiies les per- pendiculaires élevées en A et en B aux axes Oj et 0.r. En joignant le point I d'intersection de ces perpendiculaires au point M (//g'. 555), on aura donc la normale en M à l'ellipse tracée.
1070. 11 est utile de remarquer que /a longneurMl comptée sur là normale en M {Jig: 555^, est égale à la longueur du demi-diamètre qui est conjugué au diamètre OM.
Soit, en effet [Jig. 557), OM' le diamètre conjugué au dia- mètre OM; ce diamètre conjugué est parallèle à la tangente
LIVRE VIII. LÈS COURBES USUELLES. 343
en M (lOGd), c'esl-à-dire que la normale MI lui est perpendi- culaire. De plus, le rayon du cerrie principal qui correspond à OM est parallèle à la position de la droite AB qui donne le point M de l'ellipse ;1068 , et le rayon de ce cercle qui cor- respond à OM' est de même parallèle à A'B'M'. Les diamètres conjugués del'ellipse répondant à des diamètres rectangulaires du cercle principal ;106'*), on en conclut que ABM est per- pendiculaire à A'B'M'. Comme BI, d'ailleurs, est perpendicu- laire à OB', les deux triangles MBI, M'B'O, qui ont le côié MB égal au côté M'B', ont leurs angles égaux [11] et sorti égaux ; par suite, M1=0M'.
PROBLÈME.
1071. Étant donnés deux diamètres conjugués de l'ellipse en grandeur et en direction, construire les axes de la courbe. Soient {/îg-. 557) OM et OM' les demi-diamètres conjugués
*' B
donnés, dont les longueurs sont a' cl b'. En menant par le point M une perpendiculaire à OM' et en prenant sur celte perpendiculaire MI = />', nous aurons le sommeil du rectangle inconnu lAOB ^1070). Les sommets B et A de ce rectangle se trouvent à la fois sur le cercle circonscrit dont le diamètre esl 10 et sur la droiiequi unit le poinlMau cenlre K de ce cercle: ils sont donc déterminés. En joignanl ces points B 01 A au point 0,on a les axes de l'ellipse en direction ; de plus, MA et MB représentent leurs demi-longueurs (10G8, lOGl).
344
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
THÉORÈME. 1072. Quand les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites fixes quelconques Ox et Oy, un point quelconque M, lié invariablement à AB dans le plan AOB, décrit une ellipse [fig. 558).
|
\ |
/ / |
^ |
/ / |
1 y \ |
|
|
\ |
/ / |
r^ |
/ |
||
|
^ |
/ / |
/ |
-/ ' |
||
|
0^ |
^ / |
X» |
X |
Considérons une position quelconque de la droite AB et faisons passer un cercle par les trois points A, B, 0. Si l'on suppose ce cercle lié à la droite AB et entraîné dans son mou- vement, il passera toujours par le point 0; car l'angle AOB, ayant pour mesure la moitié de l'arc invariable AB compris entre ses côtés, ne peut pas cesser d'être inscrit. Le diamètre OC de ce cercle, dans la position actuelle de la droite AB, s'obtient en élevant en B et en A, aux axes Ox et Oy, des perpendiculaires qui se coupent au point C.
Le cercle OC changeant de position en même temps que la droite AB, l'arc Al) qui sépare le point A d'un point quel- conque 1) de sa circonférence reste constant; par suite, l'angle AOD restant lui-même constant et ayant son côté OA fixe, tout point D du cercle OC décrit une droite OY.
Si l'on trace le diamètre du cercle OC qui passe par le point
. LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 345
donné M, les exlrémiiés D ei E de ce diamètre décrivent donc pendant le mouvement de AB les deux drortes fixes ODY et OEX. Ces droites étant à angle droit, il résulte du théorème précédent (1068) que le point M décrit une ellipse ayant pour demi-longueurs de ses axes, dirigés suivant OX et OY, lesdis- tances ME et MD.
Les perpendiculaires variables élevées en D .et en E aux droites OY et OX se coupant au point mobile C, on obtiendra la normale en M à celte ellipse en menant la droite MC (1069).
SCOLIE.
1073. La position du point C est indépendante de celle du point donné M. Donc, si le point M varie, toutes les normales aux points correspondants des difTérenles ellipses obtenues viendront, pour une même position de la droite AB, secouper au pointe.
D'ailleurs, le lieu du point G est la circonférence décrite du point 0 comme centre avec la longueur constante OC pour rayon, et le cercle wC, variable de position, reste constam- ment tangent au cercle OC dont le rayon est double du sien.
On peut donc se figurer le mouvement du triangle ABM, en le supposant entraîné dans le mouvement du cercle wC qui roule sans glisser àl'iniérieur ducerclefixeOCderayondouble.
On sait que, dans un pareil mouvement, /ow/ point du cercle mobile décrit un diamètre du cercle fixe (théorème de de la Hire), résultat qui coïncide avec la remarque sur laquelle la démonstration précédente est fondée. De plus, d'aprèsce qu'on vient de voir, tout point M lié invariablement au cercle mo- bile, et situé en dehors ou en dedans de ce cercle, décrit une ellipse; c'esi un autre énoncé de la proposition du n° 1072.
§ V. — PARABOLE CONSIDÉRÉE COMME LIMITE DE L'ELLIPSE.
THÉORÈME.
1074. La limite d'une ellipse [OU d'une /lyperbole) dont un sommet et le foyer voisin restent fixes, tandis que l'autre foyer s'en éloigne indéjiniment dans la direction du ^rand
340
GÉOMÉTniK DANS l'eSPACE.
axe [ou de l'axe transverse), est une parabole qui a pour som- met et pour foyer le sommet et le foyer fixes [fig. ôSg).
En efiel, le cercle directeur relatif au foyer mobile F' coupe toujours le grand axe à droite du foyer fixe F, en un mêntie point L déterminé par la condition évidente AL= AF. A me- sure que le centre F' de ce cercle s'éloigne dans la direc- tion AÀ', son rayon croît indéfiniment, de sorte qu'il a pour limite In perpendiculaire DD' menée par le point L au grand axe AA'. D'ailleurs, tout point M de l'ellipse étant également distant du foyer F et du cercle directeur F' (987), on a con- slammentMF = MG, c'esi-à-dire à la limite, quand l'ellipse se déformant le point M vient en j\îi, j\I,F=:M,lI, en désignant par M, H la perpendiculaire abaissée du point M, sur la droite DD', limite du cercle F'. Le lieu des positions limites des points de l'ellipse donnée est donc une parabole ayant pour foyer et pour sommet les points F et A et, par suite, la droite DD' pour directrice.
La même démonstration s'applique à l'hyperbole (1012). Dans ce cas, la parabole est la limite de la demi-hyperbole de droite à laquelle appartiennent le sommet A et le foyer F; l'autre demi-hyperbole de gauche disparaît à l'infini.
Corollaire. 1075. Le théorème précédent permet de prévoir et de dé- montrer les propriétés de la parabole, en les déduisant par
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 347
voie de iransfoimation des piopriéiés corrcspondonies de l'ellipse.
Piir exemple, pour démonlrer que la tangente à la parabole fait extérieurement des anf^les égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l'axe par le même point (1033 , il suffit de remarquer que, lorsque l'un des foyers de l'ellipse s'éloigne à l'infini, le rayon vecieur re- latif à ce foyer tend à Jevenir parallèle au grand axe.
De même, pour établir que le lieu des projections du foyer de la parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet (104-2, on n'a qu'à observer que le cercle principal de l'el- lipse tend vers la tangente au sommet fixe du grand axe, lors- que l'autre sommet se transporte à l'infini.
Si les propriétés considérées dépendent explicitement des axes a et 6 de l'ellipse et de sa distance focale c, on subsli- lùeà a et à /> leurs valeurs en fonction de c et du paramètre p = i{a — c)de la parabole limite; puis, en supposant c infini dans les formules obtenues, on passe des propriétés de l'el- lipse représentées par ces formules aux propriétés corres- pondantes de la parabole exprimées en fonction du para- mètre p.
THÉORÈME.
1076. 'l'uus tes dialiictres de la jjanibolc sont des droites parallèles à l'axe.
On démontre immédiatement cette proposition en regardante parabole comme la limite d'une ellipse (1074) dont l'un des foyers et le sommet voisin coïncident avec le foyer et le sonnnet de la parabole, mais dont l'autre foyer et, par suite, le centre se transportent à riiifini sur le grand axe de la courbe.
Les propriétés de l'ellipse démontrées aux n"' IOGj et 1066 appar- tiennent aussi à la parabole limite. Ces propriétés vont nous perniellre d'élablir la proposition suivante.
THÉORÈME.
1077. La parabole étant rapportée au système d'axes ohlitpies jormé par un diaiiiè/re el la tangente à son extrémité, dans ee nouveau système d^ixes, la sous-tan^ente est eneore double de f'absrisse du point de eon- tact (104b).
En elTet, soient {fi^. 5Go) la tangente Aj et le diamètre \x pris pour
348
GÉOMÉTRIE DANS l'uSPACE.
axes coordonnés; menons la tangente MT en un point- quelconque M de la parabole. Si, par le point d'intersection G des tangentes A/ et MT, on
mène une parallèle à A.r, cette parallèle coupera la corde AM en son milieu (1066) : le point G est donc le milieu deTM. AGj étant parallèle à l'ordonnée MP, le point A est alors le milieu de la sous-tangente TP.
THÉORÈME.
1078. L'aire d'un segment parabolique est les deux tiers du paraUclo- gramnie qui a pour côtés la cnrde et In flèche du segment, cette flèche étant mesurée sur le diamètre conjugué à la corde du segment.
Soit [flg. 5Gi) le segment parabolique MAM, déterminé par la corde
LIVRE Vllt. — LES COURBES USUELLES. 349
MMi- Prenons pour axes coordonn's le diamètre Ax conjugué à cl e corde et la tangente.parallèle Aj. Évaluons d'abord l'aire ie la po 'lion MAP.
Inscrivons dans l'arc AM une ligne brisée MM'M'... A et, par les sommets de celte ligne brisée, menons à la courbe les tangentes MT, M'T',..., jusqu'à la rencontre du diamètre Ax; menons aussi les or- données MP, M'P', . . . , des sommets de la ligne brisée.
Comparons le trapèze MiM'P'P au triangle correspondant GTT'. Si l'on mène par le sommet G du triangle une parallèle CAi à Ajt, elle passera par le milieu I de la corde MM' (1076). La perpendiculaire abaissée du milieu du côté MM' sur le côté PP' du trapèze MM'P'P est donc égale à la hauteur du triangle GTT'. Pour avoir le rapport de leurs aires, il suffît d'après cela de comparer le côté PP' du trapèze à la base TT' du triangle. Or (1077)
AT = AP et AT' = AP', d'où
TT' = PP'.
Le triangle est donc la moitié du trapèze. Et, comme on peut répéter le même raisonnement pour chaque trapèze et pour le triangle correspon- dant, la somme des trapèzes reste toujours égale au double de la somme des triangles. La limite de la première somme étant l'aire MAP et la limite de la seconde l'aire MAT, l'aire MAP est les deux tiers du triangle total MTP ou du parallélogramme équivalent APMQ.
L'aire Mj AP étant de même les deux tiers du parallélogramme APMiQi, l'aire cherchéeMAMi est enfin lesdeux liersdu parallélogrammeMQQi Ml, qui a pour côtés la corde MMi du segment ou le double de l'ordonnée MP, et la flèche de ce segment ou l'abscisse AP.
§ VI. — ORIGINE COMMUNE DES TROIS COURBES. SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION.
1079. Dans l'ellipse et dans l'hyperbole, à chaque foyer F correspond une droite D qu'on nomme directrice; c'est la perpendiculaire à l'axe focal élevée par le point E qu'on obtient en portant sur cet axe, h partir
a'
du centre 0 et de 0 vers F, une longueur OE égale à — {^g. 562).
Dans l'ellipse, a étant plus grand que c, OE est plus grand que OF : ie point E tombe donc sur le prolongement de OF. en d'autres termes le foyer est entre la directrice correspondante et le centre. Dans l'hy- perbole au contraire, a étant plus petit que c, OE est moindre que OF;
35o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPVCE.
le point E tombe donc entre 0 et F, en d'autres tern:ie3 la directrice passe entre le centre et le foyer correspondant.
THÉORiME.
1080. La directrice D relcitive à un foyer F est : i" La polaire P de ce foyer par rapport au cercle principal; i" L'axe radical R de ce foyer et du cercle directeur relatif à l'autre foyer.
En eflet :
1° La polaire P est (341) perpendiculaire à OF et située par rap-
port au centre du même côté que le foyer F, à une distance égale à —
puisque le rayon a du cercle principal est moyen proportionnel entre les dislances du centre au pôle F et ^ la polaire P.
1° L'axe radical R (401, io°) est perpendiculaire à FF', du même côté que F par rapport au point 0 et à une dislance de ce centre égale à
4c
— > puisque 2a est le rayon du cercle directeur (F'). THÉORÈME..
1081. Dans l'ellipse ou dans l'hyperbole, le rapport des distances d'un point quelconque II de la courbe à un foyer F et à la directrice corres'
, c
pondante D est constant et égal à l'excentricité' - {fig. 56i). Eu effet, soient P la projection du point M sur la directrice D, N le point
Fig. 562.
où F' M prolongé rencontre le cercle directeur (F'), et I le point oi!i la tangente en N à ce cercle rencontre D. D'après le théorème précédent,
LIVnE VIII. — jEf; COURBES LSI rîJ.F.S. 35 1
on a IN = IF; d'ailleurs MN est égal à MF; les deux triangles MNI, MFI ont donc les trois côtés égaux; par suite, l'angle MFI est droit comme l'angle MNI et le cercle décrit sur MI comme diamètre passe par F, N, P. Il résulte de là que l'angle NPM est égal à NFM ou (puisque le triangle MNF est isocèle) à MNF.
D'ailleurs les angles NMP, NF'F sont égaux comme correspondants. Les triangles NMP, F'NF sont donc équiangles, et l'on a la proportion
|
MN |
FF' |
MF 2c c |
|
|
— |
ou |
. —' — _• |
|
|
MP |
NF' |
MP la a |
qui exprime le théorème énoncé.
Corollaire.
108:2. Le lieu des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe ont un rapport constant X est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que le rapport X est inférieur, supérieur ou éi^nl à l'unité {fig. 56'2).
Pour X = I, la proposition résulte de la définiiion même de la para- bole.
Supposons X < I, et considérons l'ellipse qui a pour foyer le point fixe F, pour directrice correspondante la droite fixe D et pour excentri- cité le rapport X. Celte ellipse est bien déterminée, car les relations
- = X, c = FE,
a c
dont les seconds membres sont connus, assignent des valeurs uniques cl finies aux éléments a et c. Or, d'après le théorème précédent, tout point de cette ellipse appartient au lieu, et il reste seulement à montrer que tout autre point M' du plan ne saurait faire partie du lieu. Or soient M le point où la demi-drqjte FM' rencontre l'ellipse, P et P' les projections do M et M' sur la directrice D, et Q et Q' les points où MP et Ml' coupent la parallèle à D menée par le foyer F. On aura
FM MQ MP±FE
FM' M(J' .M'P'itFE
les signes se. correspondant. Mais, d'après un théorème connu sur le?
fractions dont on augmente ou on diminue les termes d'une mOme quéin-
MP tité, le dernier rapport et, par suite, le premier, diffère de -rrrry', donc
FM F' M' les rapports Vjp ' Tîrp? sont inégaux ; comme le premier est égal à X,
352
GÉOMÉTRIE DANS L'KSPACE.
le second ne saurait lêlre et, par suite, le point M' n'appartient pas au lieu. / Le raisonnement subsiste pour X > i ; il n'y a qu'à substituer au mol ellipse le mot hyperbole.
D'après ce corollaire, l'ellipse, l'hyperbole et la parabole ont une même origine; aussi leur a-t-on donné une dénomination commune. Le nom qui a prévalu est celui de conique, que nous adopterons désormais, et dont nous allons montrer tout à l'heure l'origine.
THÉORÈME.
1083. La droite FI qui joint le foyer d'une conique au point où une corde quelconque MN rencontre la directrice est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs FAI et FN ou de son supplément, suivant que les deux points M et N appartiennent à des branches différentes ou aune même brandie (J/g- 563).
En effet, P et Q étant les projections de M et N sur la directrice D, les rapports
IM FM in' FN
'. . • .• . « MP ^
sont égaux entre eux comme étant egawx respectivement a r^ • Donc
la droite FI bissecte l'angle MFN ou son supplément, -suivant que le
point 1 est situé entre M et N ou sur le prolongement de JIN. Or le pre- mier cas ne peut se présenter que si la courbe est une hy'perbole et si M et N appartiennent à des branches différentes.
Corollaires.
lOSi. Si d'un point quclcviqtte I de la directrice D on mène des tan~ génies \T, IT' à une conique, la droite des contacts TV passe par te
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 353
foyer F correspondant et est perpendiculaire à la droite qui joint le point I au foyer.
Kn effet, supposons que dans le théorème précédent les points M et N viennent se confondre, auquel cas M et N appartiennent forcément à la môme branche, la ligne FI sera la bissectrice de la limite du supplé- ment do l'angle MFN, c'est-à-dire la perpendiculaire à la droite FT qui représente les deux rayons vecteurs confondus. On verrait de même que FT' est perpendiculaire à FI. Donc les trois points T, F, T' sont sur une même perpendiculaire à FI.
4083. Le même théorème fournit une solution simple du problème qui consiste à construire une conique connaissant un foyer F et trois points A, B, C.
Tout revient à trouver la directrice D relative au foyer F. Or on ob- tient deux points de cette droite en appliquant suc'essivemcnt la pro- position (1083) aux deux cordes AB et BC.
On verra aisément qu'il y a quatre solutions et que, des quatre co- niques obtenues, trois sont certainement des hyperboles; la quatrième est une ellipse, une parabole ou une hyperbole suivant la disposition des données.
THÉORÈME.
1086. La section d'un cône circulaire droit par un plan est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.
i' Supposons que le plan sécant rencontre toutes les génératrices du cône sur une même nappe {fîg. 564).
Menons le plan méridien (869, 3°) du cône qui est perpendiculaire au plan sécant AMA'; il coupera le cône suivant les deux génératrices SA et S-V qui font entre elles l'angle au sommet do la surface, et le plan sécant suivant la droite AA'. Dans le plan méridien considéré, construi- sons les circonférences 0 et 0' qui, situées de part et d'autre de AA', sojit à la fois tangentes aux génératrices SA et S.V et à la droite AA' qu'elles touchent aux points F et F'. Si l'on fait tourner le plan méri- dien autour de l'axe SO, ces deux circonférences engendreront deux splièrcs tangentes à la surface conique suivant les parallèles (869, 3°" BC et B'C, et tangentes au })lan sécant en F et en F'.
Cela posé, prenons un point M quelconque sur la courbe d'intersection ;
menons les droites MF, MF' et la génératrice SM qui coupera en G et en G '
les parallcl'' BC B'C. La droite MF étant tangente à la sphère 0 (787), on
a (788) MF = MJ. On a de même, par rapport à la sphère 0', MF' = MG'.
R. et DE C. — Tr. de Geo m. ( II* Partie). 23
354 Par suite,
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
MF + MF' = MG 4- MG' = GG' = BB' = const. D'ailleurs, en vertu des propriétés rappelées, on a
BB' = AB-4-AB' = AFh-AF' et BB' = CC = C A' -4- A' C = A' F -4- A' F'
« Il en résulte évidemment
AF-A'F' et BB' = AA'.
La courbe obtenue est donc une ellipse ayant AA' pour grand ajce et les points F ef F' pour foyers.
Fig. 564.
Si l'on trace A'H parallèle à BC, AH est la distance focale de celle ellipse. En effet,
AF' = AB' et HB' = A'C' = AF.
Les plans des parallèles BC, B'C, prolongés jusqu'à la rencontre du plan sécant, le coupent suivant deux droites DE, D'E', perpendiculaires au plan méridien considéré (561). Si l'on mène le parallèle LL' de la surface qui passe par le point M, son intersection avec le plan sécant
LIVRB VIII. — LES COURBES USUELLES.
355
est de même dirigée suivant rordonnée ^IP de ce point par rapport au grand axe AA', et PD représente la distance du point M à la droite DE. Les triangles APL, ADB, A A' H, évidemment semblables, donnent alors
BL ou MF AB AH AD
PD
= TTT = T-TT = COnSt.
AA'
Ainsi, les distances de chaque point de l'ellipse trouvée au foyer F et à la droite DE sont entre elles dans un rapport égal à rexcentricité(973) de la courbe. La même démonstration s'applique au foyer F' et à la droite D'E'. Les droites DE, D'E', sont donc les directrices de la sec- tion.
2* Supposons que le plan sécant rencontre les deux nappes du cône {fg. 565).
Fig. 565.
On a alors
MF' — MF = MG' - MG = GG' = BB' = consl.; d'ailleurs, BB'=^AB'— AB = AF'— AF et BB' = CC'= A'C — A'C' = A'F - A'F'
356 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
U en résulte évidemment
AF = A'F' et BB' = AA'.
l,a courbe obtenue est donc une hyperbole, ayant kk' pour axe transverse et les points Y et ¥' pour foyers .
Si l'on trace A'II parallèle à B'C, AH est la distance focale de celle hyperbole. En effet,
AB' = AF' et B'H = G'A' = A'F'.
Les droites DE et D'E', intersections des parallèles BG, B'C', avec le plan sécant, sont les directrices de l'hyperbole. Le rapport des distances du point M au foyer F et à la droite DE est égal à l'excentricité de la courbe. C'est ce que les triangles semblables APL, ADB, AA'H, montrent immédiatement.
3° Supposons le plan sécant pa^cdièle à l'une des'^ génératrices du cône {fig. 566).
Fig. 566.
|
^..D |
||
|
/ ^ |
^Er\» |
|
|
\ |
F |\ |
|
|
\\ |
/L-^^ |
|
|
/ |
Ayant mené le plan méridien LSL' perpendiculaire au plan sécant, ce dernier se trouve parallèle à la génératrice SL' et est alors coupé par le plan méridien suivant une droite AP parallèle (493, i") à cette généra- trice Dans le plan méridien, construisons la circonférence 0, tangente aux génératrices principales en B et en C, et à la droite AP au point F. Si l'on fait tourner la figure autour de l'axe SO, la sphère engendrée par
LIVRE Vm. — LES COURBES USUELLES. 35^
la circonférence 0 est tangente au cône suivant le parallèle BC et touche en F le plan sécant.
Cela posé, prenons un point quelconque M sur la courbe d'intersec- tion ; menons la droite MF et la génératrice SM qui coupe on G le parallèle BC de la surface ; menons également le parallèle LL' de la surface qui passe par le point M et qui rencontre le plan sécant suivant l'ordon- née MP de ce point par rapport à AP. On aura toujours
MF = MG = EL.
D'ailleurs, l'intersection du plan sécant et du parallèle BC est une droite DE perpendiculaire au plan méridien, et PD représente la dislance du point M à la droite DE. Les deux triangles APL, ABD étant isocèles, puisqu'ils sont tous deux semblables au triangle SLL', on a
PD = BL, c'est-à-dire MF = PD.
La courbe obtenue est donc une parabole ayant le point F pour foyer et la droite DE pour directrice.
SCOLIE.
1087. Les sphères considérées dans la démonstration précédente peu- vent, tout en restant inscrites au cône, cesser d'être tangentes au plan sécant qui les coupe alors suivant deux cercles. Les mêmes raisonne- ments étant applicables à ce cas, on arrive à cette proposition : Le lieu des points tels, que le rapport qui existe entre les tangentes menées de ces points à un cercle fixe et les distances de ces mêmes points à une droite fixe soit constant, est une section conique dont la nature dépend de la valeur de ce rapport comparée à l'unité (1086).
THÉORÈME.
1088. Placer une ellipse, une hyperbole ou une parabole donnée sur un cône de révolution donné.
i" Si l'on se reporte à \9,fig. 564, o" voit qu'on connaît dans le triangle AA'H le grand axe AA' de l'ellipse donnée et sa distance focale AH, ^insl que l'angle AILV, complément du demi-angle au sommet du cône donné. La question revient donc à construire un triangle avec deux côtés et l'angle opposé à l'un deux. Comme l'angle donné est opposé au plus grand des deux côtés donnes, ce triangle est complètement déter- miné (146). Quand il sera construit, on élèvera une perpendiculaire sur
358 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
le milieu de A'H, et la surface conique engendrée par AH en tournant autour de celte perpendiculaire sera coupée suivant l'ellipse donnée par un plan mené suivant AA' perpendiculairement au plan du triangle A A' H. On peut donc toujours placer une ellipse donnée sur un cône donné.
1° Si l'on se reporte à la^^. 565, on voit qu'on connaît dans le triangle AA'H l'axe transverse AA' et la distance focale AH de l'hyperbole doimée, ainsi que l'angle AHA', complément du demi-angle au sommet du cône donné. Comme cet angle est opposé ici au plus petit des deux côtés don- nés, le problème peut avoir deux solutions ou n'en avoir aucune (146). Pour qu'il soit possible, il faut que AA' surpasse la perpendiculaire abaissée du point A sur HA', c'est-à-dire qu'on ait, on appelant 2 S l'angle au sommet du cône et en posant (1000) A A' = aa, AH = 20,
2«>2ccos0 ou cos6<-« ' c
Mais, si l'on appelle 28 l'angle des deux asymptotes de l'hyperbole proposée, on a évidemment (1015)
- = cos9. c
La condition cherchée est donc'
cosp < cos9,
ou, puisqu'il s'agit d'angles inférieurs à un droit,
P>9 ou 2P>29.
Donc, pour pom'oir placer une hyperbole donnée sur un cône de révolution d nné, il faut que l'angle au sommet du cône surpasse celui des deux angles des ccsjmptotes de l'hyperbole qui comprend la courbe.
3° S l'on se reporte à la fig. 566, on voit que la droite OA est per- > pendiculaire à l'axe SO, d'après la détermination du point 0 et le paral- lélisme des droites SL' et AP. Dans le triangle rectangle OBA, on connaît
FD
par suite le côté AB = AD = — > demi-paramètre de la parabole donnée
(1028), et l'angle BAO, complément du demi-angle au sommet du cône donné. Ce triangle est donc complètement déterminé (32). L'ayant construit, on élèvera OS perpendiculaire sur OA, et la surface conique
LIVRE YIII. — LES COURBES USUELLES. SSg
engendrée par la rotation de AB autour de SO sera coupée suivant la parabole donnée par un plan mené perpendiculairement à celui du triangle OBA et passant par la droite AP, tracée de manière que AO soit la bissectrice de l'angle SAP. On peut donc toujours placer une para- bnle donnée sur un cône donne'.
SCOLIE.
1089. Le sommet d'un cône de révolution s'éloignant à l'infini dans la direction de l'axe, ce cône dégénère en cylindre de révolution. Un cylindre circulaire droit est donc coupé suivant une ellipse par un plan sécant quelconque (1086, i°).
C'est ce qu'on démontrera, du reste, directement en adoptant la même marche que précédemment. Cette marche permettra de déterminer le grand axe, le foyer et les directrices de la section proposée. On en déduira lacilement que toutes les ellipses trouvées en coupant par un plan quelconque un cjUndre de révolution ont pour petit axe le diamètre de ce cylindre.
On peut toujours placer une ellipse donnée sur un' cylindre de révo- lution donne' {108S, i°), lorsque le petit axe de l'ellipse est égal au diamètre du cylindre.
THÉORÈME.
1090. Si l'on coupe une surface gauche de re'volution par un plan, la projection de l'intersection sur un plan perpendiculaire à l'axe de la turjace est une section conique (fig. 667 ).
On appelle surface gauche de révolution la surface engendrée par une droite non située dans un môme plan avec l'axe autour duquel elle tourne.
36o GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACB,
Le plus petit parallèle de la surface, engendre par la plus courte distance de la génératrice à l'axe (S38), porte le nom de cercle de gorge de la surface. La projection de la génératrice sur le plan du cercle de gorge est tangente à ce cercle, car, cette génératrice étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon du cercle de gorge, il en est de même de sa pro- tection (531).
Cela posé, représentons la surface par son axe OX, son cercle de gorge OG et l'une de ses génératrices GG'. Coupons-la par un plan HLB. Si ce plan rencontre en M la génératrice GG', M sera un point de la courbe d'intersection. Sa projection sur le plan du cercle de gorge sera en P, sur la tangente GP à ce cercle. La génératrice faisant un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PG à MP reste constant.
Menons par le point M la ligne de plus grande pente MH (555, 556) du plan HLR par rapport au plan du cercle de gorge, et traçons la droite PH. La droite MH faisant de même un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PH à MP reste constant; le rapport de PG à PH est donc aussi constant, et le théorème est démontré (1087).
Corollaires.
1091. Si le rayon du cercle de gorge devient nul, la surface gauche de révolution dégénère en un cône. Donc, la projection d'une section conique sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône de révolution sur lequel elle est placée est une section conique, dont l'un des fojers est la projection du sommet de cône sur le plan de projection et dont la directrice cor- respondante est la projection sur le même plan de l'intersection du plan sécant avec le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan de projection .
§ VII. — L'HÉLICE.
DÉFINITIONS.
1092. Considérons un cylindre droit à base circulaire AA' et une génératrice fixe GAZ.
Soient M un point quelconque de la surface cylindrique et P sa projection sur AA' {/ig: 568). Le point M sera déterminé de position si l'on connaît ses coordonnées
arcAP = 5, PM = 2.
LIVRE VIII. — LES COURBES LSUELLES.
36 1
La première, conipléc dans un sens convenu sur la circon- férence AA', reçoit le nom d'abscisse cunùligne et l'on appelle
Fig. 568.
ordonnée la seconde, comptée dans un sens convenu parallè- lement aux ffénératrices.
1093. Parmi les lignes situées sur la surface du cylindre, on nomme hélice celle dont l'ordonnée est proportionnelle à ['abscisse curviligne, c'est-à-dire celle qui a pour équation
(0
z =r ks.
où k désigne un nombre positif donné. On en déduit immédiatement la relation
(2)
Az =■ kL:.y
entre les accroissements correspondants A5, A:; de l'abscisse curviligne s et de l'ordonnée z. En particulier, si l'accrois- sement de l'abscisse est égal à la longueur 27: R de la circon- férence de base, l'accroissement de l'ordonnée sera k.iizW, et comme cette expression est indépendante de la valeur de r. on voit que le segment compris entre deux points de ren- contre successifs M et M, de l'hélice avec une même généra- trice PMM, est constant (non seu ment sur une uiême gêné
362 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
ralrice, mais encore en passant d'une génératrice à l'autre). On donne à cet intervalle le nom de pas et on le désigne habituellement par H. On a donc
(3) H = A:.27tR d'où ^=—5-,
et, par suite, l'équation de l'hélice devient
H
27îK*'
H
(4) ^ = r:;;:TY*»
que l'on peut écrire encore
( 5 ) zzzi — (ù,
w désignant l'angle au centre AOP de l'arc *.
L'arc d'hélice MAiMi compris entre deux points de ren- contre M et Ml de l'hélice et d'une même génératrice prend le nom de spire.
1094. Par deux points A et B situés sur une surface cylin- drique, il passe un arc d'hélice moindre qu'une spire, mais un seul.
En effet, si l'on prend A pour origine, toute hélice passant par A aura une équation de la forme (5); pour qu'elle passe par B, il faut et il suffit qu'on ait
H
27r
Zi et w, étant les coordonnées du point B. On tire de là, pour le pas H, la valeur unique
(6) H=^^.
LITRE Tin. — LES COURBRS USUELLES.
363
THÉORÈME.
1095. Dans te développement du cylindre, l'hélice a pour transformée une ligne droite {fig. Sôq).
En effet, considérons une spire AMM'B,, et soit AaBB, le rectangle qui est le développement de la partie correspon- dante du cylindre; Aa est égale à la circonférence de base et HBj est égale au pas. Pour avoir les points Mi et M'i de
développement qui correspondent à deux points quelconques M et M' de l'hélice, on prendra AP, et AP', égaux respecti- vement aux arcs AP et AP' et l'on mènera par Pj et P'j per- pendiculairement à Aa des droites PiMi, P'iM'i égales aux ordonnées PM et PMi. Cela posé, l'équation de l'hélice donne
PM
P'M'
Mais on a
arcAP arcAP'
PMr^rPiMi, P'M' = P',M;, arcAP=:APi, arcAP'=AP',.
La proportion précédente devient donc
p^M. _ p; m;
AP, " AP'i '
ce f|ni prouve que les trois points A, Mi, M', sont en ligne droite.
364
GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
THÉORÈME.
1096. La tangente M 9 en un point quelconque M d'une hélice fait avec les génératrices du cylindre un angle cons- tant a, dont la cotangente est égale à k {fig. ^jo).
En effet, soit M' un point voisin de M sur l'hélice consi- dérée; menons les ordonnées MP, M'P' et soit T le point de rencontre des cordes prolongées M' M, P'P.
Fig. 670.
Si «1 désigne l'angle de TMM'avec les ordonnées, on aura
^arcAP =PM = TP colga,, ^ arcAP' — P'M = TP' cotga, ;
d'où, par soustraction,
A:arcPP'=: corde PP'cotga,,
arcPP'
c'esl-à-dire
cotga, = k
corde PP'
Mais, lorsque M' tend vers M en restant sur l'hélice, l'angle a, tend vers l'angle PMÔ que la tangente M 9 fait avec les géné- ratrices du cylindre. Donc, comme le rapport de l'arc PP' à sa corde tend vers l'unité, l'équation précédente deviendra, à la limite.
(7)
cotga = k z=
H 27rR
LIVRE Vlir. — LES COURBES USUELLES. 365
Corollaire :
1097. La soas-iangente en un point quelconque M d'une hélice est égale à l'abscisse curviligne de ce point.
En elïet, menons la tangente en P à la base du cylindre jusiiuà sa rencontre 0 avec la tangente en M à l'hélice ; c'est la longueur P9 qu'on nomme sous-tangente. Or le triangle rec- tangle PMÔ donne
P0 = PMtga=:^ j =5=:arcAP. ° k
HOUYEMEM HÉLICOÏDAL.
1098. On donne le nom de solide ou de syslènie indéfor- mable à tout système de points dont les dislances mutuelles restent les mêmes, quels que soient les déplacements que le système prenne dans l'espace.
Voici quelques propositions remarquables relatives à ces déplacements :
1° Nous avons vu au n" 175 qu'a/te figure plane indéfor- mable, mobile dans son plan peut être amenée d^une quel- conque de ses positions à toute autre par une rotation autour d'un point fixe.
Un raisonnement analogue prouve q\\i'' une figure sp/icriquc indéformable, mobile sur la sphère, peut être amenée d'une quelconque de ses positions à toute autre par une rotation autour d'un diamètre de la sphère.
2° Il résulte de là qu'un solide qui possède un point fixe peut être amené de l'une quelconque de ses positions à toute autre par une rotation autour d'un axe passant par le point fixe. Il suffit, pour démontrer cette proposition, de consi- dérer une sphère ayant le point fixe pour centre et d'appliquer le théorème précédent à la figure suivant laquelle la sphère rencontre le solide.
3° Tout déplacement d'un solide^ libre de se mouvoir d'une manière quelconque dans l'espace, peut être produit par une translation et une rotation {fig. 5yi).
En effet, soient S la position primitive du solide et Si la po-
366
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
sition que ce solide a prise lorsqu'on a fait décrire à tous ses points des droites égales et parallèles à celle 00' qui unit la position initiale 0 à la position finale 0' de l'un de ses points. Ce mouvement, qui amène le solide de S en Si est une trans- lation, et il reste à prouver que le passage de la position S, à a position finale S' peut être produit par une rotation. Or, cela résulte (3°) de ce que, dans ce passage, le point 0' reste fixe; l'axe de rotation L passe d'ailleurs par 0'.
On peut faire en sorte que l'axe de rotation soit parallèle à la translation.
En effet, soient P et P' deux plans perpendiculaires à l'axe L menés respectivement par les points 0 et 0', et soit I la pro- jection de 0 sur le plan P'. La translation 00' peut êtrerem- placée par deux autres : l'une 01, parallèle à l'axe L, l'autre 10', dans le plan P'. La première amène le plan P sur le plan P'; la seconde et la rotation autour de L déplacent le
plan P' sur lui-même et peuvent (i°) êlre remplacées à la fois par une rotation autour d'un point G du plan, c'est-à-dire au- tour d'un axe U perpendiculaire à ce plan. On a donc, en défi- nitive, une translation 01 et une rotation autour d'un axe U parallèle à la tratislalion. On donne à cet axe U le nom à'axe central.
1099. On nomme mouvement hélicoïdal d'un solide un mouvement tel «\^ie les divers points de ce solide décrivent
LIVRE Mil. — LES COURBES USUELLES. 867
des hélices de même axe, de même sens et de même pas.
Cela posé, on a ce théorème fondamental :
Tout déplacement d'un solide libre peut être produit par un mouvement hélicoïdal.
En effet, soient U l'axe central, ^i la translation parallèle à U et Cl), l'angle de rotation autour de U qui amènent un point quelconque M du corps de sa position initiale A à sa position finale B. Au lieu de faire décrire au point M ces deux dépla- cements successifs, ok peut lui faire décrire l'arc d'hélice déterminé (1094.) par les points A et B. Mais s, et o), étant les mêmes pour tous les points du solide, il en est de même
du pas — — des diverses hélices et le déplacement du sys-
COi
tème est ainsi produit par un mouvement hélicoïdal.
§ VUI. — APPENDICE. I. - HOMOGRAPHIE ET INVOLUTION.
DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES.
HOO. On donne le nom de division à une suite quelconque de points situés en ligne droite. Sur cette droite, qu'on appelle base de la division, on choisit à volonté une origine fixe a, et l'on indique sans ambiguïté la position d'un point quelconque m en donnant le segment ain en grandeur et en signe.
Dans un grand nombre de questions de Géométrie, on est conduit à considérer deux divisions dont les points se correspondent un à un sui- vant une loi déterminée; on appelle alors homologues deux points cor- respondants quelconques, et on les désigne par une même lettre, non accentuée pour le point de la première division, et affectée d'un accent pour le point de la seconde. Soient L et L' les deux bases [Jîg. ^72), m et m' deux points homologues; n l'origine prise sur la base L et b' l'origine cjioisie sur la base L' ('); la loi suivant laquelle les points ho- mologues des deux divisions se correspondent s'exprimera alors par une équation entre les segments am et b' m'.
On dit que deux divisions sont hoiuogmphiques lorsque l'équation qui exprime la loi de correspondance des points homologues m et m' est du
(') Nous supposons, pour plus de (jénéralilé, que les origines u et b' no sont pas nécessaireuieiit deux points houiolognes.
368 GÉOMÉTRIE BANS l'p.SPACE.
premier degré par rapport à chacun des segments nm et Z»'/»', c'est-à- dire est de la forme
( 1 ) A . am . b' m' -+- B . arn -i- C . 6' w' -{- D = o,
A, B, C, D, étant des constantes données.
Deux divisions homographiques cV une troisième sont homographiques entre elles; car soit une autre division homographique de la première ; en désignant par c" l'origine et par m" l'homologue de ///, on aura
k^.am.c" m" -+- B^.a/n -+■ C, .c"ni" -h D, = o,
et, comme l'élimination de am entre les deux relations précédentes con- duit évidemment à une équation de même forme entre b'm' et c"m\ les deux divisions engendrées par les points ///' et m" sont homographiques.
Souvent, au lieu de donner les quantités A, B, C, D, on donne des couples de points homologues. Or, l'équation (i) ne renferme en réalité que trois coefficients arbitraires, qui sont les rapports de trois quel- conques des quantités A, B, C, D, à la quatrième; d'ailleurs, donner un couple de points homologues, c'est donner une valeur de nm et la valeur correspondante de 6'/;/, c'est-à-dire une équation du premier degré entre les trois rapports considérés. Pour déterminer ces rapports, il est donc nécessaire et suffisant d'avoir trois équations de ce genre, c'es!-à-dire de connaître trois couples de points correspondants. A\ns'\, deux divisions /mniograp/u'ques sont déterminées par trois roupies de points homologues.
1101. Écartons, pour le moment, le cas particulier où A est nul; nous pourrons alors diviser par A, et la relation homographique (i) prendra ia forme
( 'i. ) am . h m' — i . am — p. . b' m' -h v — o.
Les coefficients ). et (xont des significations géométriques remarquables. Nous désignerons toujours, dans la suite, par I le point de la première division qui est l'homologue du point situé à l'infini dans la seconde, et par J' le point de la seconde division qui répond à l'infini de la première. Si, dans la relation (2), on fait am infini après avoir divisé par am, on trouve
b' y — \ — o, d'où / — ^' J',
et l'on a de même, en faisant b' m' infini,
a\ — ij. =r o, d'où f/ = a\.
La relation homographique (2) peut être transformée de bien des ma- nières. Voici les deux autres formes les plus utiles;
LIVRE VIII. — IBS COURBES CSHELT.ES. 369
i" L'équation (2) peuL s'écrire
{am — \>-)[b' ni' — X) =; A,
k élant une constante; en remplaçant alors > et « par les valeurs ci- dessus, on trouve
(3) \in.Vin' = k,
formule très-usuelle ; car, dans les applications, on détermine en général très-aisément les points I et J', auxquels on donne le nom de points li- mites.
1" Soient a, b, c, trois points choisis à volonté dans la première divi- sion; a', h', c', leurs homologues dans la seconde, et m, m', un quatrième couple quelconque de points correspondants. La relation (3) donne
. ^ I '^ JI - 1 T "il
1(7=77-7, lc = —-,i d ou c(i = la — le = — ,•(■' " '
y a' Je' i a .i c
En formant les valeurs analogues de cb, /na, mb^ et les portant dans l'expression du rapport anharmonique
, , ra mn
( abcm I ou — T : — r > cb iiiIj
on trou\e
(4) (nbr/n) = {a'b'c m').
Donc, pour que deux divisions soient homos^raphiques, il faut et il suffît que tout système de quatre points de la première- ait le même rapport aniiormonique que les quatre points homologues de la seconde. C'est cette propriété que M. Chasies prend pour défmition dans sa Géométrie supé- rieure.
1102. Examinons maintenant le cas où A est nul. La relation homogra- phique (i) se réduit alors à
B.rt/// -(- et' w' -I- D = o,
ou, cjmmo B et C ne sauraient être nuls à la fois, à
am = k[b ni — /<),
// et / étant deux constantes. Lorsque m est en a, le premier membre s'annule, et, comme m' coïncide alors avec l'homologue a' de a, on voit que h = b' a' et, par suite, que l'équation précédente peut s'écrire
am — h [b' m' — b' a') ou nm = k.a' m'.
Donc les deux droites L et L' sont divisées en parties proportionnelles. R. et DE C. — 7>. de Géom. (Il' Partie). J.'l
370 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
On dit, dans ce cas, que les deux divisions homograpliiques sont iem" blahlcs.
Dans deux divisions semblables, les points à Vinfini sont homologues ; car, d'après l'équation précédente, am et «'/// deviennent infinis en même temps. Réciproquement, deux divisions homograpJiiques dont les points à Vinfîni se correspondent sont semblables ; car, si dans l'équation (1), préa- lablement divisée par am. b' m' , on fait à la fois am ei b' m' infinis, on voit que A = o.
Lorsque le coefficient k qui figure dans la relation précédente est égal à + I, les deux divisions sont dites égales; elles sont égales et de même sens pour /■ = i, égales et de sens contraires pour Â- = — i .
Pour deux divisions semblables, la relation (3) n'a plus de sens; mais il est évident que la relation (4) subsiste encore.
il03. Deux divisions r/^tv///?. . . , a^b^c^m^n^. . . . sont dites tiomohgiques, lorsqu'elles sont la perspective l'une de l'autre, c'est-à-dire lorsque les droites bb^, ce,, . . . , /«/w,,. . . , qui joignent les points homologues con- courent en un même point S (y/g-. 572).
Deux difisions homologiques sont homographiques, puisque le rapport anharmonique est une expression projective; le point d'intersection [a, «,) des deux bases L et L, est alors un point homologue commun. Récipro- quement, deux divisions liomographiques qui ont un point homologue commun sont homologiques ; c'est le théorème fondamental du n° 324 avec un autre énoncé.
On déduit de là un moyen très simple pour construire deux divisions homographiques dont on donne trois couples de points homologues. Soient (a, a'), {b, b'), (c, c'), les trois couples donnés, et m' un point quelconque de la deuxième division; il s'agit de trouver le point m de la première division qui est l'homologue de m'. A cet effet, on portera
LIVRE VllI. — LES COURBES USUELLES. 871
la division L', à l'aide d'une bande de papier, sur une droite quel- conque L, passant para, de faron que a' vienne en a\ 6,, r,, /»,, élantles positions que prennent alors è', c',/7j', enjoindra /«, au point de concours S des droites W, et rc,, et l'intersection des droites S/», et L sera le point demandé m. Il est clair, en effet, que le système ahcm est homo- logiquedu système a^b^c^m^^ et, par suite, homografhique de son éga- a'b'c'm'.
DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES DE MEME BASE.
il04. Deux divisions homographiques peuvent être situées sur une même droite L; on appelle alors point double tout point de cette droite qui, considérée comme appartenant à la première division, coïncide avec son homologue de l'autre division.
Deux divisions homographifjucs de même base, qui ont trois points doubles, coïncident ; car a,b, c, étant les trois points doiibles, et {m, m') un couple quelconque de points homologues, l'égalité des rapports anhar- moniques [nbcin] et [abcm') exigent que /« et /«'coïncident. Il suit de là que deux divisions honuygraphiques distinctes et tracées sur une même droite ne peuvent avoir plus de deux points doubles.
1105. Pour étudier plus complètement la question des points doubles, prenons pour origine commune le milieu 0 de la droite IJ' qui unit les points homologues de l'infini [fig. 573);on aura alors OJ' = — 01, c'est-
Fig. 573.
^
« î 0^ TK~f îô'~^
\ y
à-dire (1101 ) a = — w, et l'homographie des deux divisions s'exprimera par l'équation
0/«.0w' — X (Ow — Ow') -+- V = o, ou
(5) O/'/.O/// -i-"A.«i//i' -<- V = o.
Nous savons d'ailleurs que). = 0J' = —01; et. pour avoir la signifi- cation géométrique de v, il suffit de supposer que m est en 0; car alors, /«' coïncidant avec l'homologue 0' de 0, l'équation (">) donne).. 00 -4- v—o, d'où V = — OJ'.OO' = 01.00',
Cela posé, pour qu'un point m soit double, c'est-à-dire pour qu il coùi-
372 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACK.
cide avec son homologue ///, il faut et il suffit qu'on ait, en vertu de l'équation (5),
Ow +v = o ou Om = ±\/Oi'.00'.
On conclut de là que deux divisions homograpliiqucs de même hase ont toujours deux points doubles réels ou imaginaires, et que le milieu des points doubles coïncide avec le milieu du segment \S' formé par les points limites.
Les points doubles sont imaginaires lorsque les segments OJ'et 00' ont des signes contraires, c'est-à-dire lorsque 0' et J' sont de part et d'autre de 0. Ils sont réels lorsque 0' et J' sont d'un même côté du point 0 ; dans ce cas, en menant par 0 une tangente au cercle décrit sur O'J' comme diamètre, puis rabattant cette tangente OT = v/OO'.OJ' sur la droite L en Oe et en G/, on a les deux points doubles e et/.
H06. Pour que deux divisions homograpltiques de même base soient semblables, il faut et il suffit (1102) ^«1? Pun des points doubles soit à V infini.
On voit immédiatement que : i^ pour que deux divisions soient égales et de même sens, il faut et il suffit que les deux points doubles soient à f infini ; 1° pour que deux divisions soient égales et de sens contraires, il faut et il suffit que l'un des points doubles soit à V infini et que le second point double soit le iinlieu de tous les segments mm' formés par deux points homologues quelconques.
1107. Cette théorie des points doubles nous amène naturellement à dire un mot de la détermination simultanée de deux points et du rôle des ima- ginaires en Géométrie.
Soient (fig. 200) une origine fixe 0 sur une droite X'X, et A et B deux points quelconques de cette droite. Au lieu de donner les segments OA et OBqui détermineraient individuellement les points A et B (303), on peut donner la demi-somme /> el le produit 7 de ces deux segments, qui sont alors les racines de l'équation du second degré
x"^ — ipx -{- q — o.
Les nombres p et q sont dits les éléments du couple (A, B) ; leur con- naissance détermine simultanément les deux points A et B.
Les nombres p et q étant supposés réels, les segments OA et OB seront réels ou imaginaires (conjugués), selon que la quantité p'^ — q sera posi- tive ou négative; dans ce dernier cas, les points A et B cessent d'exister, et l'on dit qu'ils sont i/uagin/u'rrs.
Deux points imaginaires A et B, ainsi définis, peuvent avoir des rela-
LIVRE Mil. — LES COURBES USUELLES. 378
tioBS réelles avec des points réels; ce sont des relaiions contenant d'une manière symétrique les segments imaginaires conjugués OA et OB, de telle sorte que, tous calculs effectués, il ne reste plus dans les équations que les éléments réelsyj et q du couple (A, B) et les autres quantités réelles étrangères a ce couple. Considérons, par exemple, deux couples de points (A, B), (C, D) situés sur la droite X'X [fg. aco) et définis respectivement par les équations
x^ — ipx -{- f/ = o, x^ — 2jp'a: -4- f/ = o.
Supposons que ces poinis soient réels et forment une division harmo- nique ; on aura alors la relation
, . CA DA__
^^' cb'db" ■ '
qui, après qu'on y a remplacé les segments CA, CB, . . . par leurs valeurs OA —OC, OB —OC, . . . , revient, tous calculs etTectués, à la suivante :
(2) 7 + 7' = 'iPP\
dans laquelle les deux couples de points (A, B), (C, D), ne figurent plus que par leurs éléments {p, q), (//, r/). ,
Cela posé, supposons que, le couple (A, B) restant réel, la quantité p' ~g' devienne négative ; les points C et D cesseront d'exister, et la relation ( i ) n'aura plus de sens explicite; mais rien n'empêchera de la conserver comme manière symbolique d'écrire la relation (2) qui sub- siste loujour>, et à laquelle la relation ( i ) se réduit lorsqu'on effectue les calculs d'après les règles de l'Algèbre. Ainsi, au lieu de dire que, lorsque p'^ — q est négatif, il n'existe plus de couple de points divisant harmo- niquement le segment AB, mais qu'il existe seulement entre les éléments p,q,p\q , la relation {2), on pourra dire que le couple (C, D) des points qui divisent harmoniquement le segment AB devient imaginaire, et em- ployer la forme symbolique ( 1 ), qui fait bien plus image que la relation (2^ à laquelle elle revient au fond. Les avantages de celte nouvelle manière de voir sont connus du lecteur qui est déjà versé dans l'Analyse algé- brique. En Géométrie comme en Algèbre, l'introduction des imaginaires permet de généraliser les énoncés, évite les subdivisions, et leur emploi transitoire fournit des démonstrations rapides et élégantes.
Remarquons en terminant que, si (comme nous le supposons iou- jours) les éléments p, q, //, </', sont réels, la relation (2) exige que l'une des deux quantités // — «y, p'^ — 7', soit positive ; car, si l'on avait à 1.1 l'ois
p'—q<0, p"~q'<0,
374 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
on aurait
ou, à cause de (2),
// -H />»'- — 2 />»/>'< o, c'esl-à-dire [p—p'Y<.o,
ce qui est absurde. Ainsi, quand deux couples de points en ligne droite forment une division harmonique, l'un des couples au moins est réel.
Rappelons enfin la signification géométrique de l'élément/^; cet élément exprime la distance de l'origine 0 [fg. 200) au milieu 1 du segment AB, puisqu'on a
/^ = J(OA + OB) = OI (303).
Lorsque le couple (A, B) est imaginaire, les imaginaires disparaissent dans la somme des deux quantités conjuguées OA et OB, de sorte que le milieu I du segment compris entre deux points imaginaires conjugues A et B est toujours réel.
FAISCEAUX IIOMOGRAPHIQUES.
1108. On dit que deux faisceaux sont Jwmographiques lorsqu'on peut trouver deux droites L et L' qui les coupent suivant deux divisions liomogra- pliiques.Il est clair (\vï alors toute section /ectiligueL^ du premier jaisceau sera homograpfiique d'une section j'ectiligne quelconque L', du second faisceau; car les divisions L et L, , étant en perspective, sont homogra- phiques (1103) ; il en est de même de L' et de L',, et, comme L et L' sont homographiques par hypothèse et que deux divisions homographiques d'une troisième sont homographiques entre elles (1100), les deux divi- sions L, et L', sont homographiques.
Pour que deux faisceaux soient honiographicfies, il fend et il suffit que quatre droites quelconques du premier aient le même rapport anhar- monique que les c^uatre droites homologues du second (320 et 1101, 2").
Deux faisceaux homographiques sont déterminés par trois couples de rayons homologues (1100).
Quand deux faisceaux homographiques ont un rayon homologue com- mun, les aut?cs rayons homologues se coupent deux à -deux sur une ligne droite : c'est le théorème fondamental du n° 322 avec un autre énoncé.
1109. Deux faisceaux homographiques de même centre ont toujours deux rayons doubles {réels ou imaginaires), c'est-ti-dire deux rayons tels, que chacun d'eux, considéré comme appartenant au premier faisceau,
LIVRE YIII. — LES COURnES USUELLES. ijS
coïncide avec son homologue dans le second faisceau. On obtient ces rayons en joignant le centre commun des deux faisceaux' aux points doubles des deux divisions homographiques, déterminées par les deux faisceaux sur une transversale arbitraire.
Lors<juiin angle lournc autour de non soiiunct S [Jii^. i>7 4', ^es deux
côtés engendrent deux faisceaux homographiques concentriques, car, les angles du premier faisceau étant respectivement égaux à ceux du second, quatre droites quelconques du premier faisceau ont (321) le môme rap- port anharmonique que les quatre homologues du second. Les rayons doubles de ces deux faisceaux ^««/évidemment imaginaires, et il importe de remarquer que la position de ces rayons doubles imaginaires est indé- pendante de la grandeur de l'angle. En effet, soit L une transversale quelconque et l'SI, 0'60, J'SJ, trois positions de l'angle donné relatives, la première au cas où le second côté est parallèle à L, la seconde au cas où le premier côlé est perpendiculaire à L, et la troisième au cas où le premier côté est parallèle à L. Tout revient à trouver les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques que les côtés de l'angle tracent sur L. Or I et .1' sont les points limilos de ces deux divisions, et 0, qui est évidemment leur milieu, est le milieu des points doubles; ces points sont donc, de part et d'aulre de 0, à une distance égale
(llOo)à _
v/OJ'.OO' = /— OJ'.Ô'O.
Mais, puisque O'SO = J'SJ, l'angle O'SJ' est droit, et l'on a O'O.OJ' = SÔ' ;
donc, la distance du point 0 aux deux points doubles est égale à SO V — ' ! d'où l'on voit qu'elle dépend de la distance de la transversale L au som- met S de l'angle, mais en aucune manière de la grandeur de cet angle.
Réciproquement, lorsque deux divisions ho/nogra//hiques de nicmc base ont leurs points doubles i/nagimiires, on peut co/isidércr ces deux divisions comme tracées par un certain angle de grandeur constante tournant autour de son sommet. En effet, 1 et J' étant les homologues de l'infini.
376 GÉOMÉTIlIE DANS l'ESPACE.
0 leur milievi et 0' son homologue, décrivons une circonférence sur O'J' comme diamètre, jusqu'à la rencontre S (ou S,) de la perpendiculaire élevée par 0 sur la base L. L'angle OSO', en tournant autour du point S, tracera sur L deux divisions homographiques dont (0, 0'), (I, «5 ),(oo,J') seront trois couples de points homologues ; car, si l'on mène l'SJ paral- lèle à L, les angles OSJ, O'SJ', l'SO, étant droits, les angles JSJ', O'SO, rSI, seront égaux. Donc ces deux divisions, ayant trois couples de points liomologues communs avec les deux divisions proposées, ne diffèrent pas de celles-ci.
ixtensection d lne droite et d un cercle. — points cycliqins d'un plan,
1110, 11 résulte du n° 321 que : 1° lorsqiCun point mobile m décrit lin cercle, les droites P/«, P'w, qui joignent ce point h deux points Jïxes, V et P', pris h volonté sur la circonférence, forment deux faisceaux Iiomogiriphiques ; 1° lorsqu'une droite mobile enveloppe un cercle, elle trace sur deux tangentes Jïxes de ce cercle deux divisions homogra- phiques.
Une droite quelconque L du plan d'un cercle C rencontre tnuj(nirs la circonférence en deux points [réels ou imaginaires) ; car, les deux divi- sions homographiques tracées sur L par les rayons Pw, P'/«, des deux faisceaux, ont toujours deux points doubles (réels ou imaginaires). Le milieu des deux points d'intersection est toujours réel: c'est la projection 0 du centre Q. du cercle sur la droite L ; car, si l'on choisit pour les points Pet ^' [Jïg- 5/5) les extrémités du diamètre perpendiculaire à L, les deux points I et J', homologues de l'infini dans les deux divisions homogra- phiques ao. . . , a'o', . . , tracées sur L, coïncident avec 0, de sorte que 0 est le milieu des deux points doubles. Le carré de la distance des deux points d'intersection au point 0 est égal à la puissance du point 0 j)ar rapport au cercle, changée de signe. Car, puisque I et J'sont confondus avec 0, le produit Oa.Oa' est constant (IIOS), et le carré de la distance du point 0 aux deux points doubles est égal à cette constante; or, si S et ^' sont les deux points homologues qui répondent au point «, milieu du demi-cercle PwP', 0^ et Of^' sont en valeur absolue égaux à OP et à OP', et la constante est égale à — OP'.OP.
IHI. Considérons un cercle C [fig. 575) et la droite à l'infini située dans son plan. P et P' étant deux points fixes pris à volonté sur la cir- conférence C, les rayons V m et ?'/« tracent sur la droite de l'infini, quand le point /« décrit le cercle, deux divisions homographiques dont les points doubles imaginaires appartiennent à la fois à la droite et au cercle. Or,
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES.
3;-
si w est un point pris à volonté dans le plan du cercle, les parallèles à Pm et P'w, menées par ce point, vont couper la droite de l'intini aux mêmes points a et a' que les rayons P/// et P'/«; d'ailleurs, l'angle «&)«' de ces
Fi(j. 573.
parallèles est constant, puisque, en vertu de-la propriété de l'angle inscrit, l'inclinaison mutuelle des droites P/» et P'w ne varie pas; donc, les points d'intersection du cercle et de la droite de l'infini sont les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques tracées sur cette droite par un angle de grandeur constante tournant autour du point w.
En faisant varier la position et la grandeur du cercle ainsi que la posi- tion des points P et P' sur le cercle, on ne fait que changer la grandeur de l'angle qui tourne autour du point fixe w, et, comme la situation des points doubles imaginaires est indépendante (1109) de la grandeur do l'angle, on arrive à cette conclusion : Tous les cercles situés dniis un plan ont les deux mêmes points imaginaires cnmnnins avec la droite à V infini de ce plan. Nous donnerons à ces. deux points, dont la considération est souvent utile, le nom de points c.ycliciues du plan.
Deux cercles quelconques, C et C, admettent donc la droite de l'infini pour corde commune. Vaxe radical L des deux cercles est une seconde corde commune; en effet, les points réels ou imaginaires où cet axe ren- contre l'un quelconque des deux cercles sont de part et d'autre du pomt 0, à une distance égale à la racine carrée de la puissance, prise en signe contraire, du point 0 par rapport au cercle considéré ( 1110); et comme, si L est l'axe radical, le point 0 a la même puissance- par rapport aux deux cercles, on voit que l'axe radical coupe ces cercles aux deux mômes points.
Ainsi, deux cercles quclcnnipies ont tnujmrs quatre points d'intersec- tion situés deux à deux sur deux cordes communes réelles, qui sont l'axe
378 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
radical et la droite de l' tu fini. Les deux points d'intersection sïtue's sur l'axe radical peuvent être tous deux réels ou tous deux imaginaires. Quand tes cercles sont concentriques, l'axe radical passe à l'infini, les deux cordes communes se con fondent ,ei les deux cercles ont un double contact imagincdre à l'infini. Ces dernières idées ont été émises d'abord par Poncelet {Propriétés projectives, i'"* Section, Chapitre II); mais, de- puis cette époque, l'introduction des imaginaires en Géométrie a donné lieu à de remarquables travaux (Smith, Annahs de Tortolini, 1869; Lagl'Erre, Nouvelles Annales, 1870, etc.).
DIVISIONS ET FAISCEAUX HO.MOGRAPHIQUES EX INVOLITIOX.
1112. On dit que deux divisions homographiques de même base L forment une involution, lorsqu'on peut trouver sur la droite L un point a qui, considéré successivement comme appartenant à l'une ou à l'autre division, a toujours pour homologue le même point a'.
L'homographie de deux divisions de même base s'exprime (H05)par ia relation générale
(i) Ow. Ow' H- OJ'. ?///// -i- V =0,
0 étant le milieu des points I et J' dont les homologues sont à l'infini. Pour que l'égalité
0«.0«'-f-0.)'.r/^'-+-v = G
ne change pas quand on permute a et a', il faut et il suffit que 0J' = o. Donc, pour que deux divisions homographiques forment une involution, il faut et il suffit que les points I et J', homologues de linfini, coïncident. La relation ( i ) se réduit alors à
(2) 0/«.0/h' = const.,
et la symétrie de cette équation, par rapport àO/w et à Ow', montre que tous les couples de points homologues jouissent de la même propriété que le couple ( m, m'). Ainsi, dans deux divisions homographiques en in- volution, tout point considéré successivement comme appartenant a la première et à la seconde division a toujours le même homologue.
Le point 0, ou sont réunis les points I et J'et dont le conjugué est à l'infini, reçoit le nom de point central de V involution.
H 13. L'équation (-2), très-commode à cause de sa simplicité, est trop particulière. Lorsqu'on veut prendre pour origine commune des deux divisions, non plus le point central 0, mais un point quelconque a de Ja
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 879
base, il suffit d'exprimer dans la relation (1101)
am . am' — X . oui — a . oui' -i- v = o
que les points I et J' coïncident, c'est-à-dire, puisque (1101) X = a]' et (JL = a\, que \ — ^. L'équation d'involution est alors
(3 ) am.atn' — \[am -h am') 4- v = o.
On voit qu'elle ne renferme que deux coefficients arbitraires X et v, de sorte qu'// suffit de deux couples de points homologues pour déterminer une involution .
Soient («,«'), [b, b'),{c, c'), trois couples de points homologues de deux divisions en involution : quatre quelconques de ces six points ont leur rapport an/iarmonique égal à celui des quatre points homologues ; ainsi l'on a, par exemple, {abcb') = [a'b'c' b), car les deux systèmes abcb', a'b'c'b, sont homographiques. Réciproquement, pour que trois couples de points [a, a'), [b, b'),[c^ c'), en lignedroitej soient en involution, c'est-à-dire pour que les points c et c' soient deux points homologues des deux divisions homographiques en involution déterminées par les deux couples (<7, fl')et [b, b'), il suffit que quatre de ces points aient leur rapport anliarmonique égal à celui de leurs homologues ; car, si l'on a, par exemple, [abcb') = [a'b'c'b'), l^s deux divisions abcb', a'b' c'b, sont homographiques, et au point ^, considéré tour à tour comme appar- tenant à la première et à la seconde division, répond toujours le même point b' .
Il résulte de là que V involution est une propriété projective .
1144. On sait que deux divisions homographiques de môme base ont deux points doubles réels ou imaginaires, dont le milieu coïncide avec le milieu des points I et J' homologues de l'infini. Donc, toute involution a deux points doubles e et f, réels ou imaginaires, dont le milieu est le point central 0 ; cela résulte d'ailleurs de la relation (2) qui donne, pour les segments 06' et 0/ relatifs aux points doubles,
Qc^-^ \JOaA)a', 0/ ^ — \/0a.0a',
[a, a') étant un couple quelconque de points homologues.
Ces expressions montrent encore que le scgnu-nt ef, formé par les deux points doubles réels ou imaginaires, est divisé harmoniquement par cluKpic couple de points homologues [a, a'), [b, b'), ... (' ). Le point central, ayant même puissance par rapport à tous les couples (a, a'), (b, b'), ... de
(') Il résulte de Ki que, lorsque ruii des i]t)iiits doubles e est il l'iiidiii, l'autre point double / est le milieu de tous les segmenta aa', bb' , ce', ....
38o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
points homologues, appartient à l'axe radical de deux cercles quelconques ayant respectivement pour cordes deux segments quelconques aa!^ hh\ .... Donc : i° si sur les divers segments aa', bb' , ce',. . . formés par chaque couple de points homologues, on décrit des circonférences passant toutes par un même point quelconque extérieur à la base, ces circonférences ont un second point commun et leur corde commune coupe la base au point central; 2° les circonférences décrites sur les divers segments aa\ bb', ce', . . . comme diamètres, ont pour axe radical commun la per- pendiculaire à la base élevée par le point central.
Nous avons déjà trouvé la plupart de ces résultais au n° 381 où nous avons ébauché en quelque sorte la théorie de l'involution en prenant pour ^Doint de départ la relation (2) ci-dessus. Nous renver- rons à ce numéro, pour ce qui concerne l'influence de la réalité ou do l'imaginarité des points doubles sur la disposition des points d'une di- vision involutive.
1115. Les points doubles e et fde deux divisions homographiques quel- conques, abc, . . .,db' c' ,. . .,de même base, forment une involution avec chaque système de deux couples tels que ab' et a' b; car on a
{abef) = {a'b'ef) = (b'a'fe) (318),
de sorte que les deux figures abef, b' a'fe, sont homographiques, et que le point e, considéré tour à tour comme appartenant à l'une et à l'autre, a toujours le même homologue /.
On conclut de là (1114) que : 1° les trois circonférences, menées par un même point g quelconque extérieur à la base et par les trois seg- ments ab', ba', ef passent toutes trois par un second point commun; 2° les circonférences décrites sur ab', ba', ef, comme diamètres, ont même axe radical.
RELATIONS METRIQUES ENTRE TROIS SEGMENTS EN INVOLUTCON.
1116. Soient (a, a'), (b, b'), (c, c'), trois couples de points (réels ou imaginaires) situés en ligne droite, et
r^ — 2piX 4- <jri = 0, .r^ — ip'^x -f- .72 = 0, x^ — ^p^x -i- q^ ~ o,
les équations qui les représentent, en adoptant pour origine com- mune un point A arbitraire de la base. Pour que les trois couples
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 38 1
forment une involulion, il faut et il suffit (1113) que chacun d'eux sa- tisfasse à la relation
km, h. m' — \{km-\- km') -f- v = o ;
de là, tes trois équations
</, — 1p^ )l -I- V = G, q^ — 2/>'jX -I- V =r G, q^ — 2/;^ X -I- v = o,
qui doivent ôlre satisfaites par les mêmes valeurs de \ et de v. La con- dition d'involulion résulte donc de l'élimination de X et de v entre ces trois équations ; on trouve
(i) -/.(A— P3)-+-!7j(/'3-A)-+-73(/'. — A) = o-
Cette équation (i) résulterait pareillement de l'élimination du para- mètre arbitraire k entre les deux relations
_ i\+h}\ y, ^ kq^
qui peuvent dès lors remplacer la condition ( i ). En vertu de ces valeurs, l'équation x^ — "i-Pi^ ~^ 1^ — ^ P^^t s'écrire
a-' — 2/^,.r + <7. + / (.r'- 2/;,.r + <7j = o;
telle est l'équation qui détermine le troisième couple (r, c') en fonction des éléments des deux premiers («, a') et (è, h').
il 17. Dans les applications, il est souvent plus commode de substituer aux éléments /j,, 7,, /?j, 7,, /?3, 7,, les segments A*?, ka\ kb, kb', Ac, kc' ; or, SI X, |3, 7, désignent respectivement les milieux des segments «/, bb', ce', on a
P, = k7., p,=-kp, p, = ky,
et, par suite, la condition d'involulion (i) s'écrit
(2) ka.ka'.&y -h Xb.kb'.yx-h kc.kc'.y.p —o.
Cette équation fondamentale en donne beaucoup d'autres. Par exemple, si l'on fait coïncider successivement l'origine arbitraire A avec chacun des points «, a', b, b', c, r', on obtient le groupe
(3;
|
nb . ab' |
_ af. |
d'b.a'h' |
_ y.p |
|
oc . fie' |
ay |
Cl' c .a'c' |
xy |
|
be . bc' |
r-v |
b'r.b'r' |
h |
|
ba.ba' |
-p-' |
b'd.b'a' |
^. |
|
ca . ea' |
c'a. c'a' |
yx |
|
|
cb.cb' |
c'b.c'b' |
-y|3 |
382 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
En remarquant que les équations écrites sur la même horizontale ont le même second membre, on a encore
/ ah . ab' a' b . d h'
(4)
ac . ac bc.bc' ba . bci
ca . cd
cb.cb' "' c b.c'b'
|
de. |
|
|
b'c |
.b'c' |
|
b'a. |
.b'd' |
|
c' a. |
.c d |
Enfin, en multipliant entre elles de toutes les manières possibles trois des six équations (3), prises de telle façon que le produit des seconds membres soit égal à i , on obtient
iab' .bc' .cd = — db.b' c.c'a^ ab' .bec d = — d b.b'c'.cn,
(5) (,,,■' ■!' 1 '
^ •ab.bc.ca = — a b .bec a,
ab.b'c.c d^^ — dU .bc'.ca.
FAISCEAUX EN INVOLUTION.
1418. On dit que deux faisceaux homographiques de même centre sont en invalution ou forment un faisceau involutif, lorsqu'on peut trouver une droite qui les coupe suivant deux divisions en involution. Alors toute autre section rectiligne des deux faisceaux donnera deux divisions en in- volution (H13).
Dans un faisceau involutif, tout rayon considéré tour à tour comme appartenant à iun et à Vautre faisceau a toujours le même homologue. Inversement, deux faisceaux homographiques de même centre sont en involution s'il existe un rayon qui, considéré successivement comme ap- partenant au premier et au second faisceau, mit toujours le même homO' logue [Vm).
Un faisceau involutif est déterminé par deux couples de rayons homo- logues.
Six rayons issus d'un même point et conjugués deux à deux sont en involution si cjuatre d'entre eux, convenablement choisis, ont même rap- port anharmonique que leurs conjugués ; et alors, quatre quelconques de ces rayons auront même rapport anharmofùque cjue leurs conju~ gués (1113).
Dans tout faisceau involutif, il j/ a toujours deux rayons doubles réels ou imaginaires ; les rayons doubles forment un faisceau harmonique avec deux rayons homologues quelconques (1111).
LIVRE YlII. — LES COURBES USUELLES. 383
Vn angle droit tournant autour de son sommet engendre un faisceau involutif dont /es rayons doubles sont imaginaires (381, 2°).
]J 19. Quand plusieurs cordes ad, bh'.cc' , . . . , d'un cercle passent par un même point oj, les couples de droites menées d'un point quelconque 0 de la circonférence aux extrémités de chaque corde' sont en im'olution [fg- 576).
Fig. 5y6,
à'Y-
II suffit de démontrer l'égalité des rapports anharmoniques [O.abca'), {O.a' b'c'a). Or, si l'on désigne par 0' le second point d'intersection du cercleet de la droiteO&j, on voit que lerapport anharmonique [O'.a'b'c'a) est égal à chacun des deux qui précèdent. Il équivaut au premier, puisque les droites 0«, 0^, Oc, Oa', coupent respectivement les droites 0'a',0'b', O'c', O'a, sur la polaire du point w (3ii) ; et il équivaut au second, d'après l'observation faite au n^SSI, i".
Réciproquement, si par le centre commun 0 d'un faisceau involutif on fait passer un cercle quelconque, les cordes interceptées dans ce cercle par les couples de rayons homologues concourent en un même point 0). Car, si w est l'intersection des deux cordes ad et bb\ et si l'on désigne pour un instant par c" le second point oià la droite wc rencontre le cercle, l^s droites Ort, Oa', Ob, Ob', Oc, Oc", seront en involution d'après le théorème direct ; or, Oa, Oa', Ob, Ob', Oc, Oc', sont en in- volution par hypothèse; donc, Oc' et Oc" coïncident, et, par suite, les points c"et c' ; la corde c'c passe donc par m.
De là résulte immédiatement cette proposition très-importante :
Dans tout faisceau involutif, il existe toujours un couple de rayons ho- mologues rectangulaires . Ce sont les deux rayons Of/,Or^, qui aboutissent aux extrémités du diamètre qui passe par w. Toutefois, si le point cj était au centre du cercle, tous les couples de rayons homologues seraient rec- tangulaires. Ainsi le couple de rayons homologues rfctangultùres est unique, à moins que tous les couples ne soient rectanoulaires ; dans ce cas parti- culier, les rayons doubles sont imaginaires : cela résulte du n" 381, 2°; on peut aussi le voir directement, car les rayons doubles correspondent
38.'
GÉOMRTRIE DANS L ESPACE.
en général aux points de contact des tangentes menées au cercle par le point w ; or ces tangentes sont imaginaires quand le point w estau centre du cercle.
PROPRIÉTÉS INVOLUTIVES DU QUADRILATÈRE.
1120. Toute transversale \j menée dans le plan d'un quadrilatère ABC\) rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points, a et «', b et b', c et c' , qui sont en involution [fg. 677) ; car les faisceaux homo- graphiques(AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA. CD, Ce'), déterminent sur L deux divisions homographiques, et l'on a
[acb'c')={bca'c') ou (320) [acb' c') = [a' c' bc),
d'où l'on conclut (1113) que les segments <-/«', bb' , ce', sont en involu- tion.
Les six droites menées d'un point quelconque 0 du plan d'un quadri- latère ABCD aux sommets et aux points de concours E f^ F des côtés opposés, sont en im'olution ; car le quadrilatère OAFB, dont OF et AB sont les diagonales, détermine, d'après le théorème précédent, six points en involution sur la transversale DC ; donc, les droites OA et OC, OB et OD, OE et OF, qui passent par ces six points, sont en involution.
En plaçant le point 0 à l'intersection des deux circonférences dé- crites sur AC et BD comme diamètres, les couples de rayons homo- logues OA et OC, OB et OD, seront rectangulaires ; donc, le troisième couple OE et OF le sera aussi (1119), et, par suite, la circonférence dé- crite sur EF comme diamètre passera par les deux points communs aux deux premières; donc, les trois circonférences décrites sur les trois dia- mètres AC, BD, EF, d'un quadrilatère complet comme diamètres, se coupent aux deux mêmes points ; d'où l'on peut conclure immédiatement le théorème du n" 317.
1121. Quand un quadrilatère ABCU est inscrit dans un cercle, une transversale quelconque L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en trois couples de points [a, a'), ( /->, b'), (e, /), cpd sont en involu- tion (jpg. 577).
En effet, les droites qui joignent
aux points fixes A et C un point mobile qui décrit la circonférence, forment deux faisceaux homogra-
1122. Quand un quadrilatère abcd est circonscrit à un cercle, si xPun point 0 situé dans son plan on mène des droites 0a,0b,0r,0d, àses sommets et deux tangentes OE, OF, à la courbe, les trois couples de droites 0 a et Oc, Ob et Od, OE et OF, sont en involution \Jîg- 578).
En effet, une tangente, en rou- lant sur le cercle, trace sur les tan- gentes fixes ab et cd deux divisions homographiques(lHO). Les droites
LIVRR VIII.
LES COl'RBi:S USI lil.l.F.S.
385
phiqtics (1110); par suite, ces fais- ceaux tracent sur L deux divisions homographiques dont e et /sont les points doubles. D'ailleurs, comme AB ot BC, AD et CD, sont deux couples de rayons homologues des deux faisceaux , « et é, h' et «', seront deux couples de points homologues des deux divisions. Donc (1115) les trois couples (c',«'), (è, ^'), (tf, /), sont en involution.
Au lieu de prendre les deux cou- pies de côtés opposés, on pourrait prendre un couple de côtés opposés et les deux diagonales ; le théorème subsisterait, car ces quatre droites forment aussi un quadrilatère inscrit au même cercle.
11 résulte du théorème précédent
que, si un (fuadriUnère inscrit à un
cercle se (Icfonnc de telle sorte que
trois de ses côtés tournent aulnur de
1\. et DE C. — Tr. de Ceoiii.
menéesdu pointOà ces divers points forment donc deux faisceaux homo- graphiques dont OE et OF sont les rayons doubles. D'ailleurs, comme n et d, h et f, sont deux couples tie points homologues des deux divi- sions, Ort etO*-/, O^et Or, sont deux couples de rayons homologues des deux faisceaux. Donc (1118) les trois couples 0(1 et Oc-, Ob et Or/, OE et OF, sont en involution.
Fig. 5v8.
Au lieu de prendre les deux cou- plesdesominelsopposés, on pourrait prendre un couple de sommets op- posés et lesdeux points de concours e et/des côtés opposés ; le théorème subsisterait, car ces quatre points sont aussi les sommels d'un quadri- latère circonscrit au même cercle.
Il résulte du théorème précédent
que, si un quadhlntère circonscrit à
un cercle se déforme de telle sorte
que trois de ses sommets glissent sur
(ir Pallie). '^^i
386
GÉOMÉTRIE DA>"S l'eSPACE.
trois points en ligne droite, le qua- trième côté tourne aussi autour dhin point fixe de cette droite.
On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points en lisrne droite.
trois droites passant par un même point, le (piatrième sommet décrit aussi une droite passant par ce point.
On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Circon- scrire a un cercle un triangle dont les sommets reposent sur trois droi- tes données et passant par un même point.
Le théorème du n° J 121 est dû au célèbre géomètre français Desargues' (première moilié du xvii' siècle); toutefois, les anciens [Collections ma- tliémaiicpies de Pappus) en ont connu des cas particuliers.
1123. Voici les deux cas particuliers les plus intéressants :
En supposant un ou deux côtés infiniment petits et remplacés par des tangentes, on a ces énoncés :
Quand un triangle est inscrit dans un cercle, les" points où une transversale rencontre la courbe, deux côtés du triangle, le troisième côté et la tangente au sommet op- posé, sont en involution.
Quand un angle est circonscrit à un cercle, les points où une trans- verscde rencontre la courbe, les deux côtés de r angle et la corde de con- tact, forment une involution dont le dernier point est un point double.
En supposant que le quadrilatère circonscrit se réduise à un triangle ou à un angle, on a ces énoncés :
Quand un triangle est circonscrit à un cercle, si d'un point quelconque de son plan on mène les deux tan- gentes au cercle, les deux droites qui aboutissent à deux sommets, et les deux droites qui aboutissent, l'une ou troisième sommet, r autre au point de contact du côté opposé, on obtient un faisceau imoliitif.
Quand un angle est circonscrit à un cercle, si d'un point quelconque de son plan on mène les deux tan- gentes au cercle, les deux droites qui aboutissent aux points de con' tact des côtés de l'angle et la droite qui passe par le sommet de V angle, on obtient un faisceau involutif dont la dernière droite est un rayon double.
CO.NSTmCTIONS RELATIVES A L HOMOGRAPHIE ET A L INVOLLTION.
1124. Construire deux divisions homographiqucs , connaissant trois couples de points homologues.
LIVRE M[I. — LES COIRBES LSIKM-ES. 38"
Noiis avons déjà donne une premii-rc solulion de ce pioblèiiic ( 1 1();{). En voici deux autres.
Supposons les deux divisions tracées sur deux droites différentes L et L'el soient («,«'), {b,b'), {c\c') trois couples de points homologues.
1° Prenons l'intersection p de ab' et de a' h, l'intersection 7 de ac et de a'c, et tirons la droite py que nous désignerons par /; m étant un point quelconque de la division L, menons n'm et joignons au point c/lepointfx, où a' m coupe a; la droite c/f/. rencontrera L'au point w' homologue de m. En effet, en désignant par y. I,e point où /. coupe an', on voit que les di- visions ûùcm, a'b'c'm' sont homographiques comme étant homologiques de la division y.y/y. (J/g. J79).
9° Décrivons un cercle quelconque dans le plan des droites L et L' {Jîg. 58q) et joignons à un point quelconque 0 de la circonférence les points o^b,c, n\b\c', m; les droites ainsi obtenues couperont la cir- conférence en des points que nous désignerons respectivement par a, [5, y, 0L',p',y',u. B étant le point commun à yW ei y.'p, C le point commun à ay' et a'v, tirons la droite BC que nous désignerons par ).. En joignant le point 7. au point de rencontre M de ). et de a'u, on obtient une droite aM qui coupe le cercle en p',et il suffit de mener Oft' jusqu'à sa rencontre avec L'pour avoir l'homologue /«' de m. En effet, si /«' désigne l'homologue de /«, les faisceaux {0,abcni), et [O^n'b'c'm') ou (0, «^7/*), (0, a'P'7'pi'), sont homographiques; donc (1108) il en est de même des faisceaux (a,a'|i'7'pi') et (a', x[i7fy.); mais, coumie ces derniers faisceaux ont un rayon
588
GÉOMÉTRIE I)A>S l'eSPACE.
homologue commun aa', les intersections B, C, M, de? autres couples de rayons homologues sont en ligne droite; donc, les rayons uu.' ela'pi
Fifr. 5So.
se croisent sur la droite BC ou >v; en d'autres termes, la droite qui joint a au point M, où y.'i^. rencontre >., passe par le point p.', oiiOm' coupe le cercle.
Cette dernière construction s'applique au cas où les deux divisions (rt,/7, ), (i,^,) (c,c,) sont sur la même droite L, et elle donne aisément \qs points doubles e et/; il suffit, en effet de joindre le point 0 aux points £ et <p où \ coupe le cercle et de prolonger les droites Os et Oy jusiju'à leurs rencontres avecL; si la droite X est extérieure au cercle, les points doubles sont imaginaires.
4125: Construire un faisceau involutif, connaissant deux couples [On et 0«'), [Ob et 0^'), de rayons homologues.
On tracera [fig. 576) un cercle quelconque passant par le point 0, et l'on déterminera le point w de concours des cordes aa\ bb', interceptées par les deux angles aOa', bOb'. Cela posé, on obtiendra :
x° Le rayon 0<?'. homologue d'un rayon donné quelconque Oc, en joi- gnant le point w au point c où Oc rencontre le cercle, puis le point 0 au second pointe' d'intersection du cercle et de la droite wc (liJ9);
1° Les rayons doubles, en joignant le point 0 aux points de contact des tangentes menées par w;
3" Le système des deux rayons rectangulaires, en joignant le point 0 aux extrémités du diamètre qui passe par w.
1126. Deux faisceaux involutifs de mente sommet étant donnés chacun
LIVRE YIII. — LES COURBES USUELLES. SSq
par deux couples (0«,0a'), (06, Ob') et (Oa„Ofl',), (0*„ Oè',) de rayons homologues, construire les rayons conjugués communs aux deux fais- ceaux.
On délerminera, comme ci-dessus, les points w et w, relatifs aux deux faisceaux et à un même cercle passant par 0, et l'on joindra au point 0 les poinls où le cercle rencontre la droite ww,.
1 127. Construire une invohition de points sur une droite h^ connaissant deux couples [y.,'j.'), (j3, ji'), de points hoiiU)lngues.
On joindra aux poinls a, a', p, p', un point quelconque 0, et l'on con- struira le faisceau involutif déterminé par les deux couples (Oa, Oz'), (OS, OS'). Les rayons de ce faisceau détermineront, par leur rencontre avec la droite L, Tinvolution demandée. Aux rayons doubles 0^, 0^', répondront les points doubles 0 et V. Quant au point central y, il répon- dra au rayon homologue de celui qui est mené par O. parallèlement à la droite L, attendu que le point central est le conjugué de l'infini.
1128. Étant donnés sur une droite L, deux coup/es de points ( x, a'), (p, P'), troui'er les deu.t points 6 et 0' qid divisent karmonuiuenient les deux segments aa', fl^'"
Ces deux points sont (1114) les points doubles de linvolution déter- minée par les deux couples (a, a'), C^, ^').
1129. Étant données, sur une droite L, deux i/wolutions, chacune par deux couples de points homologues {a, a'), (b, b' ) et (ai, a\ ), {b^, b\ ), trouver le segment commun aux deux involutions.
On joindra les points donnés à un point arbitraire 0; on aura alors deux faisceaux involulifs de même sommet, dont on délerminera ( 1126) les rayons conjugués communs ; ces rayons intercepteront sur la droilg L le segment demandé.
II. — COURBES DU SECOND ORDRE. gkm-;h\tion kt classification dks coNiyins; i.iciR idkntité
AVEC les COIRUICS Dt SliCOM) ORDIU;.
1130. Nous donnerons désormais le nom de conique à toute section plane d'un cône quelconque à base circulaire.
On sait que :
Lorsqu'un point mobile décrit un cercle, les droites qui joignent ce point h deux points Jixes de la rir- conférrncc,jormcnt deux faisceaux honiogrnpitiqucs.
Lorsqu'une droite mobile enve- loppe un cercle, elle trace, sur deux tangentes fixes de ce cercle, deux ili visions honiographiques.
Cae rrmqne n'étani ifm la ii'TMi.na dfi <Je deux
1. ^^j^a.
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les dea» dinsioag dkermèaées > cette droite par les deax Càisce. âoat biaaui^ nihi>ta>. : ; ettes oat<faac L cepMac
LIVRE VIII.
LIÎS COURBES USUELLES.
deux points doubles réels ou ima- ginaires.
1° Que la courbe passe par les centres P etV des deux faisceaux ; car la droite PP', considérée comme un rayon du faisceau P, rencontre en P' le rayon homologue du fais- ceau P'. On voit de même que la courbe passe en P.
3° Que la tangente en P est le rayon du faisceauV ^ (jui est r homo- logue de la droite P'P considérée comme rayon du faisceau P'; car, lorsque le point a de la courbe vient en P, le rayon Va devient tangent en P et son homologue Va vient se confondre avec P'P, De même, la tangente enV est le rayon du fais- ceau P' fjui est l'homologue de la droite PP' considérée comme rayon du faisceau P.
Cela posé, « par le point de con- » cours 0 des tangentes en P et » en P' à la courbe considérée P«P', » menons dans l'espace une droite » quelconqueOz ; dansl'angle zOP, » inscrivons un cercle tangent à OP » au point P, et désignons parQle » point où ce cercle touche Oz.
» a étant un point quelconque de » la courbe P«P', menons Va qui » coupe OP en ///, puis Qw qui ren- » contre le cercle en a' . Quand le » point a décrit la courbe, les » droites Va et Qa' engendrent » deux faisceaux homographiques ; » maislesfaisceaux décrits par Prt'et » Q«' sont homographiques (1130), )) et ii en est de même par hypo- |
391
divisions sont homographiques ; ils ont donc deux rayons doubles (réels ou imaginaires).
2" Que la courbe est tangente aux bases Ox et Oy des deux divisions; car la droite Ox unit deux points homologues des deux divisions, sa- voir : le point 0 considéré comme appartenant à la division Ojr et le point homologue de la division 0^. On voit de même que la courbe touche Oy.
y Que le point de contact P de la tangente Ox est le point qui ^ sur cette droite, répond au point 0 con- sidéré comme appartenant à la di- vision Oy\ car, lorsque la tangente y.am se confond avec Ox^ le points devient le point de contact P et son homologue a arrive en 0. De même, le point de contact P' de la tan- gente Oyest l'homologue du point 0 considéré comme appartenant à la division Ox.
Cela posé, par le point 0 menons dans l'espace une droite quelconque Oz; inscrivons dans l'angle zOx un cercle tangent à Ox en P, et dé- signons par Q son contact avec Oz.
a étant un point quelconque de lacourbe Va P', menons la tangente correspondante qui coupe Oxen m et Ojen a ; puis, par m, menons la tangente /««'au cercle Qrt'P, et dé- signons par a' le point où cette tan- gente coupe Oz. Quand le point a décrit la courbe Pc/P', les points a ei/« tracent sur O/et Ox deux divi- sions qui, par hypothèse, sont homo-
392 GÉOMÉTIUE D
-) thèse des faisceaux engendrés i"ar r> Va et ?'ti. Donc les droites P« » et P<^/' engendrent deux faisceaux » homographiques, et, par suite, les » points a et a', où les rayons mo- » biles Prt et P«' rencontrent les » droites fixes OP' et OQ, forment » sur ces droites deux divisions ho- » mograpliiques. Les points F' et Q » sont deux points homologues de » ces deux divisions {m est alors » en 0) ; de plus, le point 0 est un » point correspondant commun {m r> est alors en P). Donc (1103) la » droite az' coupe la droite fixe QP' » en .un point fixe S.
wParconséquent, l'œil étant placé n en S, la droite P'/» sera la pro- n jecti.on de Q/ii, etPy. sera celle )' de P x' ; donc a sera la projection » de a' et, enfin, la courbe propo- 1 sée PrtP' sera la projection du » cercle Va'Q (').
VNS L ESPACE.
graphiques; lesdi\isions tracées sur Oj"etOzpar m et y.' sont aussi ho- mographiques (1130); donc les points y. et a' décrivent sur 0/ et Os deux divisions homographiques. Les points P' et Q sont deux points homologues de ces deux divisions /ii est alors en 0); de plus, le point 0 est un point correspondant commun ( /« est alors en P). Donc, la droite mobileaa' coupe (1103) la droitefixe QP' en un point fixe S.
Par conséquent, l'œil élanl placé en S, la droite y/n sera la projec- tion de y'm, et, comme la première enveloppe la courbe Pr/P' et que la seconde enveloppe le cercle Q«'P, on voit que la courbe Pr/P' est la projection du cercle Vn'Q.
1132. Les principales propriétés des coniques résultent aisément de ce double mode de génération. Ces deux générations, l'une par point, l'autre par enveloppe, étant corrélatives, lorsque, en partant de l'une d'elles, on aura démontré un théorème, il suffira, pour démontrer le théoièmo cor- rélatif, départir de l'autre mode de générationiet de faire des raisonne- ments corrélatifs des premiers.
Cinq points déterminent une co- nique ; car, après avoir pris deux de ces points pour centres des deux faisceaux générateurs, il suffit de joindre chacun d'eux aux trois autres points pour avoir trois couples de rayons homologues.
Ci/Kj tangentes délerniiiient une conique; car, en considérant deux de ces tangentes comme fixes, les trois autres traceront sur elles trois couples de points homologues des deux divisions homographiques qi;i déterminent laconique.
Il suit de là que la projection C d'une conique C sur un plan quel- conque P ne passant pas par le centre de projection est encore une conique. En elfet, la courbe C est le lieu des intersections des ravons
(') Eugène RinciiÉ, Bulletin de la Société Philomathique, \" juillet iSb.ï.
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. SqS
liomologues de deux faisceaux homographiques, qui sont les projections des deux faisceaux généraleurs de la conique C. La proposition rcsullo encore de ce que la courbe C est l'enveloppe des droites joignant les points eorrespondantsdc dcuxdivisions homographiques, qui sont les pro- jections des deux divisions qui définissent la conique C comme enveloppe.
i 133. Les deux faisceaux homographiques qui déterminent la conique ont deux couples de rayons parallèles (réels OU imaginaires); car, sil'on transporte l'un des faisceaux parallèlement à lui-mêrnc, de façon que son centre coïncide avec le centre de l'autre faisceau, on a deux faisceaux homographiques concentriques qui ont (1109) deux rayons doubles (réels ou imaginaires).
Si les deux couples de rayons parallèles sont imaginaires, la courbe n'a aucun point à l'infini; elle est fermée, et nous lui donnerons le nom <\'eirt})se, en nous réservant de démontrer plus tard son identité avec l'ellipse définie au n° 973.
Si les deux couples de rayons parallèles sont réels, la courbe, a deux points à l'infini; nous lui donnerons le nom d'/n/ie/'Z'o/e, et nous démon- trerons plus tard son identité avec l'hyperbole définie au n" 999.
Enfin, si les deux couples de rayons parallèles coïncident, la courbe a deux points à l'infini confondus en un seul, et, par suite, elle est tangente à la droite de l'infini; nous lui donnerons le nom de parabole^ et nous démontrerons plus tard son identité avec la parabole définie au n" 1027.
Tels sont les trois genres de coniques. Comme variétés de ces courbes, on peut avoir :
i" Deux droites (réelles, coïncidentes ou imaginaires), lorsque les deux faisceaux sont concentriques (1109), ou lorsque la drcile qui unit leurs centres est un rayon homologue commun (IIOS);
2° Deux points (réels, coïncidents ou imaginaires), lorsque les deux divisions ont la même base ( 1 104), ou lorsque le point d'intersection des deux bases est un point homologue commun (1103).
.113i. On dit qu'une courbe est alt^ébrique ou transcendante suivant que son équation en coordonnées rectilignes x qi y est algébrique ou transcendante. On appelle ordre d'une courbe algébrique le degré en .r et y de son équation préalablement rendue rationnelle et entière par rapport à ces variables. Pour que cette définition no soit pas contradic- toire, il faut montrer que le degré de l'équation est indépendant de la position de la courbe par rapport aux axes de coordonnées. C'est ce que nous allons établir.
Considérons une droite située d'une manière (piclconfiue par r.i|i;iort aux axes coordonnés or et oy. Soient M, M', M",..., divers points de cettedroite,P,P'P",. . ., les extrémités de leursabscisses.etQ, Q'jQ",. . .,
394 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
les extrémités de leurs ordonnées comptées sur oy. Les deux divisions PP'P", . . ., QO'Q*i- • •' sont homographiques et semblables, car chacune d'elles est évidemment semblable (1102) à la division JMM'M", . . .; il y a donc entre a: == oP et j = oQ une relation homographique privée de termes en xy, c'est-à-dire que les coordonnées d'un point quelconque M de la droite sont liées constamment par une équation du premier degré.
L'équation d'une ligne droite étant du premier degré, quelle que soit là situation de cette droite par rapport aux axes coordonnes, il faut nécessairement que, si x et j sont les coordonnées d'un point par rap- port à certains axes joj:, et x' qIj' les coordonnées du même point par rapport à d'autres axes y'ox\ x et y soient des fonctions du premier degré de x' et j'. Par suite, la substitution de ces valeurs de x et j dans une équation algébrique en j: et j n'altérera pas le degré de cette équa- tion. En d'autres termes, l'ordre de la courbe représentée par cette équation sera le même, quels que soient les axes auxquels on la rapporte.
Une courbe algébrique d'ordre n est coupée en n points {réels ou ima- ginaires) par une droite quelconque. En effet, en prenant cette droite pour axe des x, l'équation de la courbe sera toujours du degré n d'après ce qui précède ; et, si l'on fait y = o, l'équation se réduira à une équation du degré n en x, qui donnera les abscisses des points communs à la courbe et à la droite; or, on sait par l'Algèbre qu'une équation algébrique rationnelle et entière du degré n hn racines réelles ou imaginaire. Ainsi, l'ordre d'une courbe algébrique exprime le nombre des points suivant lesquels cette courbe est rencontrée par une droite quelconque.
Les coniques sont donc des courbes du second ordre (1131). Inverse- nnent, toute courbe du second ordre est une conique; car, l'équation géné- rale du second degré à deux variables x etj)' ne renfermant que cinq coefficients arbitraires, on voit que cinq points déterminent une courbe du second ordre; mais, par ces cinq points, on peut faire passer une conique et une seule ( 1132); et, comme cette conique est du second ordre, elle ne diffère pas de la courbe proposée.
113S. Les théorèpies de Pascal (328) et de Desargues (1121), les pro- positions corrélatives ainsi que leurs corollaires sont applicables aux coniques; les démonstrations données aux n°* 328, 329, 1121, 1122, sub- sistent sans modification.
Le théorème de Desargues a été généralisé par ^\.\ivm{Jnnales de Ger- gonne,l. XVII). Considérons unesuite de coniques circonscritesà unmême quadrilatère : soient aa', bb\ ce'., ... , les segments que ces coniques inter- ceptent sur une transversale quelconque L, et pp'., qq'., les segments de cette même droite compris entre les deux couples décotes opposés du qua- drilatère. Les deux couples de points (/?,/?'), (7,(7') déterminent sur la droite Lune involution à laquelle appartient, en vertu du théorème de Desargues,
L1.VRE Vin. — LES COURBKS USUELLES. SqS
chacun des couples {n, a'), {h, b'), (c, c'), . . . ; donc ces derniers couples de points forment une invohilion, et l'on a ce théorème : Les coniques qui passent par quatre points fixes déterminent sur une transversale quel- conque une série dépeints en im'olutio/i. On démontrerait pareillement le théorème corrélatif: Les tangentes menées d'un même point aux coniques tangentes à quatre droites fixes forment un faisceau en invoiution.
PÔLE ET POLAIRE DANS LES CONIQUES.
1136. Si par un point 0 pris dans le plan d'une conique on mène une décante qui rencontre la courbe en deux points m et m' {réels ou imagi- naires)^ et si l'on détermine le conjugué harmonique 0' du point 0 par rapport nu segment mm\ le lieu du point 0', lorsque la sécante tourne autour du point 0, est une ligne droite {fig. 583 ).
FisT. 583.
0 -csfr'
En eiïct, menons deux sécantes fixes Oaa',Obb, et désignons par ael a' les points où la transversale 0mm' coupe les côtés opposés ab et a'b' du quadrilatère inscrit ab b'a'. D'après le tlicorèmede Desargues (1121), le pointO est un point double de l'involution déterminée par les deux couples (m, m'), (a, a'); or, par hypothèse, O'esl le conjugué harmonique de Opar rapport au segment mm' ; c'est donc l'autre point double, et, par suite, il est aussi le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment ax' ; donc, quand la transversaleOwm'tourneautourde 0,1e point O'décritla polaire du point 0 par rapport à l'angle bub' formé par les droites Gxes ab et a'b'.
Le pointOetIa droite îiO' son Idits/jfî/e et /)o/rt/reporrapportàla conique.
En observant que la polaire de Opar rapport à l'angle /.'«Z»' renferme (337) le point d'intersection des droites ab' et ba', on voit, par la démonstration même qui précède, que : Si par un point 0 pris dans le plan d'une en- nique on mène deux sécantes Oaa', Obb', et si l'on prend les points de rencontre u et v des droites qui joignent deux à deux les cxtrénùlcs des cordes aa' et bb' , le lieu des points u et c, lorsqu'on fait varier les sé- cantes Oaa', Obb', est la polaire du point 0 par rapport à La conique.
SgÔ GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Quand les droites Ow/', OU/, se confondent, les cordes o^, «7;', sont les tangentes en a et «'; donc, si par un point 0 pris dans le plan d'une co- nique on mène une sécante Oad et les tangentes at, a' t', aux points a et a' où elle rencontre la conique, le lieu du point de concours t de ces tangentes, lorsque la transversale tourne autour de 0, est la polaire de ce point 0.
La polaire est la corde de contact des tangentes issues du pôle; car, au point de contact k d'une tangente issue du pôle, les trois points w, m' , 0', sont réunis. Par suite, la polaire d'un point de la conique est la tangente en ce point, et, inversement, le pôle cVune tangente est son point de contact.
\ 137. Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite, et, inversement, les pôles de toutes les droites qui passent par un point sont situes sur la polaire de ce point.
Eli effet, soient {//g. 584) un point A et une droite L qui sont pôle et
Fig. 584.
poliiire par rapport à une conique C. A' étant un point quelconque de L, la droite A A' coupe la conique en deux points a et ^ (réels ou imagi- naires), et A et A' sont conjugués liarmoniques par rapport à «p; donc le point A appartient à la polaire L' de A'. Ainsi la polaire d'un point quelconque A' de L passe par A, et, in\ersement, le pôle A d'une droite quelconque L passant par A' est sur la polaire L' du point A'.
Il résulte de là que toute droite a pour pâle Fintersection des polaires de dcu.i de SC'S points, et que tout point a pour polaire la droite qui joint les pâles de deux droites issues de ce point.
1138. La polaire d'un point O couj)e la conique en deux points réels
LIYlli; VIU. — LES COURBES LSLELLES. 3g~
OU imaginaires, qui sont les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires issues du point 0.
Lorsque la polaire du point 0 coupe la courbe en deux points réels, de ce point 0 on peut mener à la conique deux tangentes réelles, et le point 0 est dit extérieur à la conique.
Lorsque la polaire du point 0 rencontre la courbe en deux points ima- ginaires, les deux tangentes issues du point 0 sont imaginaires, et le point 0 est dit intérieur à la courbe.
La région intérieure et la région extérieure ont pour ligne de démar- cation la conique elle-même qui est le lieu des points dont les polaires louchent la courbe, c'est-à-dire ont chacune avec la courbe deux points communs réels et coïncidents.
Considérons une conique C et un point extérieur T {fii;. 584). La po- laire de ce point rencontre la courbe en doux points réels y. et p, et les droites Ta, TS, sont les tangentes réelles issues du point T. Nous donne- rons à l'angle aT_5' formé par les directions Ta et T[i le nom (.{'angle des tangentes, et nous appellerons l'angle STa formé par la direction TS et par la direction Ta' opposée à Ta rnngle supjjlémentnire des tangentes. Cela posé, prenons les points a et [i pour centres des deux faisceaux générateurs de la conique, et considérons une droite quelconque TL ou TL' issue du point T. Les deux jaisccnux traceront sur cette droite deux divisions honingraphi<iues en involution ; car le point T, considéré suc- cessivement comme appartenant à l'une ou à l'autre de ces divisions, a toujours pour homologue le même point A (ou A'), où la polaire a^ de T rencontre la transversale TL' (ou TL). Les points doubles, réels ou ima- ginaires de cette involution, seront les points réels ou imaginaires com- muns à la transversale et à la conique. Or il est aisé de voir que ces points sont réels tant que la transversale est, comme TL', située dans l'angle aTS des tangentes, et imaginaires lorsque la iranversale est, comme TL, placée dans l'angle ^Ta' supplémentaire des tangentes. En effet, dans le premier cas, le segment TA et le segment nn' formé pnr deux points homologues de l'involution correspondant à un point quelconque m de U courbe n'em- piètent pas l'un sur l'autre et, par suite, les points doubles de linvolutiori sont réels; mais, si TL' tourne autour de T de manière à venir sur TL dan.^ l'angle supplémentaire, les points n et n' glissent sur les droites fi.xes olc . ph, se croisent en S, et sont ensuite de part et d'autre du point T ; les seg- ments nn' et TA' empiétant l'un sur l'autre, l'involution a ses points dou- bles imaginaires. Ainsi ia courbe est située tout entière dans l'angle aTfi de tangentes issues d'un point extérieur (juclconr/ue T (et dans son op- posé par le sommet).
1!3'J. Les propriétés (352, 3o3) des quadrilatères inscrits et cir-
SgS GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
conscrits, ainsi que leurs démonstrations, s'appliquent aux coniques.
Il €n est de même du théorème démontré au n° 1119. Dans cette pro- position et dans les tracés (H2o) qui en dérivent, on peut substituer au cercle une conique. Il en résulte un théorème que nous n'avons pas énoncé alors, parce qu'il était évident pour le cercle, mais qui est une propriété importante des coniques : Si autour cVun point dune conique, comme sommet, on fait tourner un angle droit, la corde variable cjue ses côtés interceptent dans la conique passe par un point fixe, car les deux côtés de' l'angle droit décrivent un faisceau involutif. Il est évident que le point fixe est situé sur la normale au point considéré, puisque, quand l'un des côtés de l'angle droit devient tangent, la corde interceptée de- vient normale. Cette proposition, connue sous le nom de Tliéorènic de Frégier, fournit donc un moyen simple j)our construire avec Téquerre la normale en un point donné d'une conique.
Le théorème (IM9) étendu aux coniques donne une solution du problème suivant : Inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent respectivement par des points donnés A, B, C, . . . , M. Si un som- met a était connu, on tracerait immédiatement le polygone; il suffirait de mener la droite Aa, de joindre au point B le second point b d'inter- section de A« et de la conique, de joindre au point C le second point c d'intersection de la droite B6 et de laconique, et ainsi de suite; la der- nière droite Mw couperait pour la seconde fois la conique précisément au point a. Cela posé, prenons arbitrairement un |iremier point de dé- part a^ sur la conique, joignons-le au point A, et opérons comme ci- desSus; nous obtiendrons une ligne brisée inscrite a^b^c^. . . w, a,, mais qui ne se fermera pas, c'est-à-dire telle que la dernière droite M«j, ren- contrera pour la seconde fois la conique en un point a, différent de a^. Construisons deux autres lignes brisées analogues fljèj.-.a,, a^b^ . . . 'j-„, et soit S un point fixe pris à volonté sur la conique. D'après le théorème du n° 1119, le faisceau {S.aa^a^a^) est homographique du faisceau ['è.bb^b^b.j^), puisque les cordes ab,a^b^, a^b.^, fi^b^, passent par le même point A; de même, le faisceau {S.bb^b^b^) est homographique du suivant {S.cc^c^c^), et ainsi de suite; donc le premier et le dernier faisceau {S.aa^a^a^), (S.ax^a^y:^), sont horaographiques, et Sa est un rayon double de ces deux faisceaux. On voit par là qu'il suffira de con- struire (M 26) les rayons doubles des deux faisceaux homographiqucs déterminés parles trois couples (Sa^, Sa,) [Sa^,Sx^) [Sa^, Sy-j); chacun de ces rayons doubles coupera la conique en un point qui pourra être pris pour le sommet a; il y a donc deux solutions.
Le problème corrélatif : Circonscrire à une conique un polygone dont les sommets soient situés respectivement sur des droites données, se résoudrait d'une manière analogue en s'appuyant sur le théorème cor-
LIVRE VIU. — LES COLKBES USUELLES. Sqq
relatif de la proposition (1119).
Quand des cingles circonscrits à une conique ont leurs sommets en ligne droite, les segments qu'ds interceptent sur une tangente quelconque à la courbe forment une ini>olution ; ce théorème et sa réciproque se démon- trent par des raisonnements corrélatifs de ceux faits au n" 1119; le lec- teur les rétablira sans peine et pourra en déduire des tracés graphiques prrélatifs de ceux exposés aux n°' 11:25 et suivants.
1 1 40. Deux points A et A' [Jig. 584 ) sont dits conjugués par rapport à une conique lorsque la polaire de l'un passe par l'autre. Ces points sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points (réels ou imagi- naires) X et ô suivant lesquels la droite AA' qui les joint rencontre la conique. Lorsque les points a et S sont réels, l'un des points A et A' est intérieur et l'autre extérieur à la courbe.
Plusieurs couples de points conjugués sur une même droite forment une int'olution dont les points doubles sont les points où la droite coupe la conique ( 1114 ). Quand ces points doubles sont imaginaires, il existe de chaque côté de la droite un point d'où l'on voit sous un angle droit chaque couple de points conjugués.
Deux droites L et L' sont dites conjuguées par rapport à une conique lorsque le pôle de l'une est situé sur l'autre. Ces deux droites sont con- juguées luirmoniques par rapport aux deux tangentes réelles ou imagi- naires issues de leur point d'intersection ; l'une au moins des droites con- juguées, rencontre toujours la courbe.
Plusieurs couples de droites conjuguées issues d'un même point forment un faisceau en involiition dont les rayons doubles sont les tangentes (réelles ou imaginaires) issues de ce point. Donc (1H9), par un point quelconque du plan d'une conique passe toujours un couple de droites conjuguées rectangulaires; et il n'en passe en général qu'un seul, à moins que tous les couples de droites conjuguées passant par ce point ne soient rectangulaires, ce qui a lieu pour certains points remarquables dont nous parlerons plus lard.
Les deux propositions qui précèdent fournissent des solutions simples des deux problèmes suivants :
Trouver les points cV intersection d'une conique et d'une droite de son plan.
On prend deux points o et Z» sur la droite; on détermine leurs po- laires et l'on prend les points a' et b' où ces polaires coupent la droite; les points cherchés sont les
Mener les tangentes à une co' nique par un point de son plan.
On mène deux droites A et B par le point; on cherche leurs pôles, puis, en lesjoignant au point donné, on obtient deux nouvelles droites A' et B'. Les tangentes cherchées
400 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
sont les rayons doubles (réels ou
imaginaires) du faisceau involulif déterminé par les deux counlcs (A, A'), (B, B').
points doubles (réels ou imagi- naires) de l'involution déterminée par les deux couples {a, a'), {b, b').
On dit qu'un triangle est autopolaire ou conjugué par rapport à une conique lorsque chaque sommet est le pôle du côté opposé.
Il est évident que, dans le plan d'une conique, il existe une infinité de triangles autopolaires : il suffit de prendre pour les deux premiers som- mets deux points conjugués quelconques a et h par rapport à la conique el pour troisième sommet c le pôle do ab ; en effet, la polaire de a devant passer par h qui est conjugué de a et aussi par c qui est le pôle de ab sera la droite bc, et l'on verrait de même que la polaire de b est ac.
Dans tout triangle autopolaire abc, deux sommets quelconques sont conjugués aussi bien que deux côtés quelconques. L'un des sommets est intérieur à la conique, et les deux autres sont extérieurs ; car, des deux points conjugués a et i,run au moins, a par exemple, est extérieur; sa polaire bc coupe donc la courbe et, par suite, les points conjugués b et c sont l'un intérieur, l'autre extérieur.
1141, Les polaires OA, OB, OC, OD, de quatre points /?, b, c, d, si- tues sur une même droite L, forment un faisceau dont le rapport anliar- ninnique est égal à celui des quatre points.
En effet, soient «', b\ c'. d\ les points où la droite D rencontre le faisceau (0, ABCD). Comme le centre 0 du faisceau est le pôle de la droite L (1137), les points a et a', b et b\ c et c', d et d\ sont conju- gués; ils forment donc une involution, et, par suite, le rapport anbar- monique {ahcd) est égal au rapport anharmonique (<'//-'' c'rf'), qui n'est autre que le rapport anharmonique du faisceau (0, ADCD).
DIAMÈTRES ET CENTRE.
IIIS. Les deux points de rencontre a et p d'une conique et d'une droite sont réels ou imaginaires, mais le point milieu du segment a^ est toujours réel; c'est le conjugué harmonique par rapport ù a^ du point situé à l'infini sur la droite considérée (1 1 li). il résulte de là que le lieu des milieux des cordes d'une conique parallèles à une direction donnée est une ligne droite; c'est la polaire du point à l'infini commun à toutes les cordes. Celte droite, qui passe évidemment parles points de contact des tangentes parallèles à la direction donnée, a reçu le nom de diamètre.
A chaque direction des cordes répond un diamètre. Tous les diamètres
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 4oi
passent par un point unique, pôle de la droilc de l'infini ( 1137), et qu'on nomme centre de la conique.
La polaire du centre étant la droite de l'infini, les tangentes réelles ou imaginaires issues du centre ont leurs points de contact à l'infini; on leur donne le nom (ï asymptotes.
Quand un angle est circonscrit à une conique, la droite qui joint le sommet au milieu de la corde de contact est un diamètre ; car c'est la polaire du point à l'infini situé sur cette corde.
1143. On dit que deux diamètres sont conjugués- lorsque le pôle de l'un est situé sur l'autre. Le pôle d'un diamètre étant à l'infini sur la direction des cordes correspondantes, on voit que, si deux diamètres sont conjugués, chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.
La polaire L d'un point p est parallèle au diamètre conjugué Où de
Fis. 585.
celui qui passe par ce point p (Jig. 585); car ce diamètre doit passer par le pôle du diamètre Oa et ce pôle est à l'infini sur Ob.
En particulier, si le diamètre aOa' rencontre la courbe, les tangentes T et T aux extrémités de ce diamètre sont parallèles à son conju- gué Ob.
114-4. Plusieurs coupla de diamètres conjugués forment un faisceau en involution (iliO); les axes de symétrie de la courbe forment le couple de ravons homologues rectansulaires.
R. et DE C. — Tr. de Géom. (Il* Partie).
a6
4o2 GÉOMÉTRIF! DANS l'eSPACE.
Dans l'ellipse {fig. 585), le sommet du faisceau, c'est-à-dire le cen- tre de la courbe étant intérieur, il n'y a pas de rayons doubles; un couple quelconque de diamètres conjugués est alors séparé par tout autre couple. D'ailleurs tout diamètre coupe la courbe en deux points.
Dans l'hyperbole {fig. 586), le centre étant extérieur, le faisceau a pour rayons doubles les tangentes issues de ce point, c'est-à-dire les d'eux asymptotes. De là résultent diverses conscqiiences :
1° Le diamètre conjugué d'une asymptote est cette asymptote elle- même.
1° Deux diamètres conjugués quelconques OL et OL' divisent harmo- niquement l'angle uOv des asymptotes.
3° De deux couples de diamètres conjugués (Ox, 0/) (OL, OL'), l'un est toujours compris dans l'autre.
4» De deux diamètres conjugués 0^ et Oj, l'un rencontre la courbe, l'autre ne la rencontre pas.
5° La portion 68' d'une tangente quelconque comprise entre les asymptotes est divisée en deux parties égales par le point de contact G; car 60' est parallèle au diamètre conjugué Oj de OC, c'est-à-dire au rayon Oj du faisceau harmonique (Oj-, Ou, Or, Oc) {fg. 586).
A cause de la symétrie par rapport au centre, la portion a-r' de la tan- gente en C comprise entre les asymptotes est égale et parallèle à 66' et la figure Ojj'ô' est un parallélogramme. Par analogie avec ce qui a été dit pour l'axe non transverse (1017), on donne à la partie DD' du diamètre non transverse Oj, qui est comprise dans le parallélogramme 6aa'6', le non de longueur de ce diamètre; mais ce n'est là qu'une dénomination introduite pour faciliter le langage, et il faut bien se garder de croire que les points D et D', quoique portant le nom â! extrémités du diamètre non transverse Oj, appartiennent à la courbe; il n'y a pas de points de la courbe sur j'o/.
114S. La polaire d'un point quelconque p du plan d'une ellipse ou d'une hyperbole rencontre le diamètre passant par le pôle p en un point p' qui est conjugué de p par rapport à la conique (1143). Les couples de points tels que p et // {fig. 585 et 586) forment sur ce diamètre une involution dont le point central est le centre 0 de la conique, puisque le conjugué de 0 est à l'infini (1112). Si ce dia- mètre est transverse (ellipse ou hyperbole), ses extrémités sont les points doubles de l'involulion, et l'on a, en appelant ^' J«*. demi-
LIVRE VIII. — Li:S COUIlBliS USUELLES. 4o3
longueur de ce diamètre,
(i) Qjj.Op'=a'K
Si le diamètre est non Iransverse (hyperbole), il n'y a pas de points doubles; mais alors les points D et D', que nous sommes convenus d'ap[)eler les extrémités do ce diamètre, sont évidemment conjugués, car le pôle de DO est sur la polaire de 6, c'est-à-dire sur la droite CU' qui, étant parallèle à l'asymptote, est la corde de contact des tan- gentes 6« et 6C; on a dans ce cas
(2) Op.Op' = — b'\
b' étant la demi-longueur OD du diamètre non transverse.
1146. On nomme cordes supplémentaires deux cordes qui, partant d'un môme point m de la conique {Jïg. 587), aboutissent aux extrémités d'un même diamètre AA'. Deux cordes supplémentaires Am, A' m, sont paral- lèles à un système de diamètres conjugués. En effet, soient OC et OD deux diamètres respectivement parallèles à A'm et à km. OC, passant par le milieu 0 de A A', passe par le milieu h de A m; il divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à OD. et par suite OC et OD sont conjugués. Inversement, deux droites Am et A' m menées par les ex- trémités d'un diamètre AA', parallèlement à deux diamètres conju- gués quelconques OD et OC, se coupent sur la conique. Car désignons par }x le point où la corde A m parallèle à OD coupe la conique, et menons \i-A'\ les cordes supplémentaires A p., A' p., sont parallèles à deux diamèlres conjugués, et, comme A|x est parallèle à OD, M \l doit être parallèle à OC; elle ne diffère donc pas de A' m et les points m et |ji se confondent.
Cela posé, considérons séparément l'ellipse, l'iiyperbole et la para- bole.
1147. L'ellipse n'ayant aucun point à l'infini, la droite de l'infini est extérieure à la courbe, et son pôle 0, c'est-à-dire le centre de l'ellipse, est à l'intérieur de la courbe. Tous les diamètres rencontrant la courbe en deux points réels sont limités; et, comme les tangentes issues du centre sont imaginaires, le faisceau en involution formé par les divers coui)les de diamètres conjugués n'a pas do rayons doubles; donc, un cou|)le quelconque (OA, OU) de deux diamètres conjugués est séparé \)m- tout autre couple (OC, OD); en d'autres termes, si OC est situé dans l'angle BOA {fîg. 587), OD est extérieur à cet angle.
Le diamètre AA' étant la polaire du point à l'infini sur le diunièlre
4o/i GÉOMÉlIilE DA.\S l'eSPACE.
conjugué OB, les cordes supplémentaires A m et A m' tracent sur 013, quand m se déplace sur la courbe, une involution dont B est un point double (H33). On a donc, en appelant n et «' les points où OB ren- contre km et km\ la relation
(i) 0«.0// = ÔB^
Prenons pour axe des .r le dcmi-diamctrc 0.\, dont nous dcsii^ncrons la longueur par «', et pour axe desjr le demi-diamètre OB, dont nous désignerons la longueur par b' : r et x étant les coordonnées mp et Qp d'un point quelconque m do la conique, on a, en considérant d'abord les
triangles semblables //OA et mpA, puis les triaiiglcs semblables //'OA et mpA',
y On y On' _
a' — X a' a' -h X a'
en multipliant membre à membre et en ayant égard à la relation (i). on obtient pour l'équation de l'ellipse
j2 b'^ .rî j 2 _
(^) :7f^-r5 = .7^ 0"
^'2
Si l'on désigne par .r', j»', et par x", y" les coordonnées des extré- mités C et D des diamètres OC et OD parallèles aux cordes A'/w et km, on a, en considérant d'abord les triangles semblables OC9 et A'«'0, puis les triangles semblables ODr, A//0,
y' On' y" On^
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. /^OD
en miiUi|iliant membre à membre et en ayant égard ù la relation (i), on Vrouve
Ci) -L^ = _ _ .
Le rapport —, reçoit le nom de coefficient angulaire du diamèlre OC, do
y»
même "H; est le coefficient angulaire du diamètre OD.
X
Lorsqu'on prend pour axes de coordonnées les axes mêmes de la courbe, on a, en désignant par a le demi grand axe dirigé suivant Ox g\ par b le demi petit axe dirigé suivant Oy,
(4) (5)
les coordonnées étant !il<irs rectan:;ulaircs, le coefficient angulaire —.est
X
y' égal à langCOA, et'— est égal à langDOA.
Il est facile d'exprimer les coordonnées x" , y" de l'extrémité D d'un diamèlre OD en fonction des coordonnées x', >', de l'extrémité C de son conjugué OC. En effet, le point C étant sur la courbe, ses coordonnées x' etj' satisfont à l'équation (4); on peut donc poser
|
X- |
)2 |
|
a- |
■^='' |
|
•r:< |
b^ |
|
x' x" |
~ a2^ |
|
(6) |
x' = |
a cosç.', |
y' = |
b sincî', |
|
|
et de même |
|||||
|
(7) |
x' = |
a coso", |
y = |
b sin'v'. |
|
|
La relation (5) |
devient aU |
rs |
|||
|
cosC'/ — |
9')^o, |
d'où |
9 = — •- 2 |
?' |
|
|
et, par suite, |
|||||
|
8) x" = |
- — (7sin Ci |
', >•• |
= b coso' - |
4o6 CÉOMÉTIUE DAXS l'eSPACE.
pour avoir les coordoiitiées de l'autre extrémité D' du diamètre OD, il suffirait de changer les signes. Les relations (6) et (8) donnent
x'- -hx"^ = a-, y -h-y = IJ^ ;
donc 1(1 somme des carrés des projections orthogonales des deux demi" diamètres conjugués OC et OD sur chaque axe est constante. En ajoutant les deux égalités précédentes, on a
[x'^^Y'^^^[x"'-^y'^)^a-'-\-b' ou 5cVÔD = «=-^6^
donc , la somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est cori' stante.
Le triangle OCD est la moitié du parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres conjugués OC et OD. Il est égal au trapèze CD/7, diminué de la somme des deux triangles rectangles OCy, ODr; son aire a donc pour, expression
^(j'^-?")('ï'--^")-^(-^"j")-^^-'j-' = ^i'^'r"--i-V)
ou - ab, eu égard aux formules (6) et (8). Donc, Vaire du parallélo- gramme construit sur deux demi-diamètres conjugués est constante.
Les deux derniers théorèmes sont dus à Apollonius.
La proposition précédente peut s'écrire, d'après une expression bien connue de l'aire du triangle,
OC.ODsLnCOD=r/^.
L'angle obtus COD de deux diamètres conjugués est maximum quand son
sinus est minimum, c'est-à-dire quand le produit OC.OD ou son carré est
— 2 — 2 maximum; ce qui a lieu pour OC = OD, puisque OC -+-0D est constant.
Ainsi, les diamètres conjugués qui foitt le plus grand angle sont les dia- mètres conjugue's égaux. Le carré de leur demi-longueur commune est
- («■■'-(- 6^), et l'on a
-[d' -^b'^) = X- ' -^ y = a' cos' 'f ' -4- ¥ sin' 'i*'.
On déduit de là sin'^' = — - = cos'f' : par suite, les coordonnées x' et y
du point C sont alors proporliunnelles à a et ^, de sorte que les diamè- tres conjugués égaux sont dirigés suiva/it les diagonales du rectangle construit sur les axes.
LIVRE Mil. — LES COURBES USUELLES.
407
L'angle COD de deux demi-diamèlres conjugués est droit lorsque OC coïncide avec le grand axe, puis il augmente jusqu'à ce que OC soit dirigé suivant une diagonale du rectangle des axes; il diminue ensuite et rede- vient droit lorsque OC reprend la position du petit axe.
Quand les axes a et h de l'ellipse sont égaux entre eux, l'équation (4) se réduit à x- -1-7' = «'; tous les points de la courbe sont donc à une distance du centre égale à «; en d'autres termes, l'ellipse dégénère en un cercle.
Pour une même abscisse Op {Jig. 588), c'est-à-dire pour une même
FijT. 588.
valeur de l'angle ij)', l'ordonnée niji de l'ellipse est isin«', et celle np du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre est a sm-^ ; le rapport —
, , . è est donc constant et eijal a - • a
Remarquons enfin que l'angle auxiliaire çp', dont l'emploi est si com- mode, est précisément l'angle nOp.
1148. Vliyperbolc ayant deux points réels sur la droite de l'infini, son centre est extérieur à la courbe (1133); les tangentes 0//, 0»-, issues du centre, c'est-à-dire les asymptotes, sont donc réelles; ce sont les rayons doubles du faisceau en involution formé par les deux couples de diamè- tres conjugués. Il suit de là que deux diamètres conjugués (iiielconques divisent harmoniquement Vangle des asymptotes et qu'aucun couple de diamètres conjugués n'est séparé par aucun autre. Knfin, de deux dia- mètres conjugués, l'un rencontre réellement la courbe et l'autre ne la rencontre pas (1144).
Les portions AE, AE' [fig. 589) d'une tangente comprise entre l'hy- perbole et SCS asymptotes sont égales; car les asymptotes 0« et Of, le diamètre 0A.r et son conjugué 0/ forment un faisceau liarmonique, et la tangente EAE', étant parallèle au rayon 0.)- d(^ ce faisceau (Il V.\), est divisée en deux parties égales par les autn.s rayons. Il suit de là que, si l'on mène AP et AP' parallèles aux asymptotes, P est le milieu de OE et F' le milieu de OE'; donc, loi-stpi'on prend les asymptotes pour axes de
4oS
GÉOMÉTRIE DANS L ICSi'ACE.
coordonnées , In sous-tan gcnte OE' est double de Pobscisse OP' du point (le contact.
Les portions gni et g' m' d'une sécante gg', comprises entre l'hyper- bole et ses asymptotes, sont égales. En eiïet, soit EAE' la tangente paral- lèle à gg\ et OA le diamètre qui passe au point de contact; ce diamètre divise la corde mm' de l'hyperbole en deux parties ini et im' égales entre ("lies; mais, puisque A est le milieu de EE', i est évidemment le milieu de la parallèle gg \ donc ig — ig\ et, par %\i\le, ig ~ im ou gm est égal à ig' — im' ou g' ni' .
Une tangente quelconque EAE', lorsque son point de contact A se dé- place sur la courbe, trace sur les asymptotes (1130) deux divi?ioiis ho-
I-is- 589.
mographiques ; et, comme le point 0 correspond évidemment à l'infini dans l'une et l'autre division, le produit OE.OE' est constant; il en est donc de même de l'aire du triangle OEE' et, par suite, de l'aire du paral- lélogramme OPAP', qui est la moitié de ce triangle. On voit par là que, si l'on désigne par x et j»' les coordonnées d'un point quelconque A de Ihy- perbole rapportée à ses asymptotes, 0« et Oc, on a pour Téqualion de cette courbe xy = const.
11-49. AOA' étant un diamètre transverse quelconque de l'hyperbole, menons les tangentes en A et A' qui coupent les asymptotes, la première en E et E', l'autre en F et F'. Les triangles OAE,AO'F',sontcgaux, puis- qu'ils ont leurs angles respectivement égaux et que OA = OA'; donc AE = A'F'; par suite, les droites EE', FF', sont égales, et, comme elles sont parallèles (1113), la figure EFF'E' est un parallélogramme dont 0 est le centre. Soient B et B'^les points où le diamètre rOj' conjugué de OA rencontre EF etE'F'; B est le milieu de EF, B' celui de E'F', les droites AB', A'B, sont parallèles à l'asymptote 0», et les droites AB et A'B' à l'asymptote Oi'.
Cela étant, posons OA = r/', OB = //, et prenons les deux demi-dia- mètres conjugués OA jt, 0B_), ^)our axes des coordonnées; m étant un
LlVIiE VIII. — I.KS COl'RBKS USUELLES. 4^9
point quelconque de riiyporbole, les deux cordes supplémeninires A m, A'///, déterminent sur le diamotrejO /deux points «el// qui engendrent une involution (II Î7) dont B et B' sont évidemment deux points homo- logues. On a donc
Ofi.O//'= 03. OB' = —b'\
Dès lors, tous les raisonnements faits et les résultats obtenus pour l'el- lipse subsistent, en changeant b'^ en — b'' ou b' en b' ^ — i. Ainsi : 1° L'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués a pour équation
x^ _ 2J _
Pour x = G, on a,r = =^ b' v^ — i ; de là le nom de Inii'^m nr du demi* diamètre non trnnsverse attribué à OB = b' .
a ç\ b étant les longueurs des deux axes, on a, en preiuml ces droilys pour axes de coordonnées rectangulaires,
Los triangles semblables g^/0, EAO, donnent
si EA b' -} b'-'—t
on a d'ailleurs, par l'équation de l'hyperbole,
— .ï b'^ i —■' ..\
nu =-—10/ — f ' ) ;
a '
donc, en retranchant,
} 2
^i — nu = b'^ ou
ô" = {.i,''H- /;//) [oi — mi) = i^in.gm' = nvj;.niç;' ;
a.nsi le profltiit des scç^mrnts dhiiic sécante, conijuis entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi-diamètre paral- lèle à ia sécante.
1° La relation entre les coefficients angulaires de deux demi-diamètres conjugués est
y v" //' >■■ >' //
— ''—„ — — i ou •-••— = —,
X j: a^ XX a^
suivant qu'on prend pour axes de coordonnées les demi-diamètres con- jugués a et b' ou les <lemi-axes a et b de la courbe.
4lO GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
3° Les coordonnées de l'extrémité d'un demi-diamètre s'expriment en fonction des coordonnées de l'extrémité du demi-diametre conjugué par les toi mules
, /"
/, /=^=- "T
qui sontdues à M. Chasles [Aperçu historique, etc.).
4° La différence des carrés des projections de deux demi-diamètres conjugués sur un axe est constante. La différence des carrés de deux diamètres conjugués ciueiconques est constante, ainsi (jue l'aire du paral- lélogramme construit sur ces dia/nètres.
La relation r/'^ — b'^= a^— b^ montre que, si «est différent de b, «'est différent de b' ; l'hyperbole n'a donc pas de diamètres conjugués égaux.
Si a =^ b, on a a' — b', c'est-à-dire que tout diamètre est alors égal à
son conjugué, et l'hyperbole est dite équilatère. Le parallélogramme
EE'F'F construit sur deux diamètres conjugués quelconques est dans
' ce. cas un losange, et les asymptotes qui en sont les diagonales sont alors
rectangulaires.
Nous avons vu (1148) que l'hyperbole rapportée à ses asymptotes a pour équation xy = K^ ; en supposant que dans \^fg. 58ij les droites OA et OB soient les axes « et 6 de la courbe, le parallélogramme 0 A E' B' sera un rectangle, et les coordonnées OP' et P'A du sommet A par rapport aux asymptotes seront l'une et l'autre égales à la moitié de la diagonale \/ a' -f- b^ de ce rectangle ; on a donc
4 pour une hyperbole quelconque, et, en particulier pour Thyperbole équila- tère,K' = - a'^. On donne souvent à cette constante K^ que nous venons d'exprimer en fonction des axes, le nom de puissance de l'hyperbole.
THÉORÈME.
HoO. Da//s l'ellipse et dans l'hyperbole :
1 ° Deux diamètres conjugués quelconques interceptent sur une tcmgente fixe ST deux segments CT et CS dont le produit est constant.
■2° Une tangente TJ\IT' détermine sur deux tangentes fixes et paral- lèles deux segments CT, CT dont le produit est constant {fig. 690).
En effet :
1° Le faisceau iavolutif formé par les divers couples de diamètres con- jugués détermine, sur la tangente fixe SCT, une involution. Le point de
LIVRE Vin. — LES COURBES USUELLES. 4'!
contact C est le point central de cette involution, puisque son homo- logue est à l'infini, attendu que, lorsque S vient en C, T est sur le dia- mètre OD conjugué de OC, c'est-à-dire parallèle à CT. Le produit CT.CS est donc constant.
■i" Les droites OT et OT' étant respeclivement les diamètres des cordes parallèles à MC et à MC sont deux diamètres conjugués, puisque ces cordes sont supplémentaires; d'ailleurs, S désignant le point où T'O
Fig. 590.
prolongée rencontre la tangente CT, les deux segmcnls C'T' et CS, sy- métriques par rapport au centre, sont égaux et de signe contraire; on a donc
CT.C'T' = — CT.CS = const.
II.tI. Le faisceau involutif des diamètres conjugués n'a pas de rayons doubles dans l'ellipse, tandis qu'il a pour rayons doubles les asymptotes dans l'hyperbole. Donc le produit
CT.CS
est négatif dans l'ellipse et positif dans l'hyperbole. Quant à sa xmleur absolue elle est, pour l'une et l'autre courbe, e'gnle au carré'du demi- diamètre OD jiarallèlc à la tangente SCT. En effet, supposons que CT soit égal à OD; alors, dans l'ellipse {fg. 590), DT étant parallèle à OC, C'T' et son égal SC sont égaux à OD; dans l'hyperbole {Jîg. 586), T est alors en 6 sur l'asymptote, en vertu de la définition (1144) de la longueur du demi-diamètre non transversc OD, et comme c'est le point double de l'involulion, S est aussi en 6 et par suite CT comme CS csl égal à OD.
4i'a
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
PROBLEME.
HoS. Voici quelques problèmes usuels relatifs à l'ellipse et à l'hy- perbole.
1° Construire une liyperbole connaissant Us nsj niptotes Ox et Oy et un point E (J/g. 69 1).
En menant par le point donné E une droite quelconque, prenant les points d'intersection H et H' de cette droite avec les asymptotes, puis portant H'E' = EU, on aura un nouveau point E' de la courbe (lliS). La tangente E'T en ce point s'obtiendra en menant E'K parallèle à Oj-, puis en prenant KT = OK (Hi8). On obtiendra ainsi autant de points que l'on voudra de l'iiyperbole ot les tangentes en ces points.
Fig. 591.
Les axes seront dirigés suivant les bissectrices Oaet Op des angles des asymptotes. Le point E et par suite la courbe étant ici situes dans l'angle yOx des asymptotes et dans son opposé par le sommet, ce sera sur la bissectrice Oa de l'angle jO.r que sera l'axe transverse. En menant par E la parallèle à Op jusqu'à ses rencontres R et S avec les asym- ptotes, et construisant la moyenne proportionnelle Ee entre les seg- ments RE, ES, on aura (11-49; la demi-longueur h de l'axe non trans- verse; on portera celte longueur de 0 en B, sur OP; [mis, en menant RA parallèle à 0,r, on obtiendra sur Oale point A qui donnera la demi- longueur OX de Taxe transverse.
On pourrait, si l'on voulait, commencer par déterminer a en menant par E une parallèle à Oa.
2° Construire les axes d'une hyperbole ou d'une ellipse connaissant en grandeur et position un système de diamètres conjugués.
Pour l'hyperbole, il faut indiquer en outre quel est celui des deux demi-diamètres donnes qui est transverse; l'exlrcmité de ce denii-dia-
LIVRE Vlir. — LES COLKBES LSLELLES. 4l3
mètre est alors un point donné de la courbe, et, comme les diago- nales du parallélogramme construit sur les diamcîres conjugues donnés sont les asymptotes, on voit qu'on est ramené au problème précé- dent.
Pour l'ellipse, on déterminera par le procédé du n" 1119 le couple Ox, Of de rayons homologues rectangulaires dans le faisceau involulif formé d'une part par le couple donné OC et OD de diamètres conjugués et d'autre part par le couple dirigé suivant les diagonales OE et 01 du parallélogramme construit sur le premier couple. Puis, pour avoir, par exemple, la longueur de l'axe dirigé suivant 0^, on observera que la projection P de E sur Ox est le pied de la polaire du point T où le côté DE, c'est-à-dire la tangente en E, coupe Ox, en sorte que la lon- gueur cherchée sera la moyenne proportionnelle entre OP et OT.
Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer cette construction; nous avons déjà donné (1071) une autre solution du même problème.
3° Trouver le diamètre conjugué d'un diamètre donné 0!M, connais- sant en grandeur et en position un premier couple de diamètres con- fugués AA', BB' {fg. 592).
La solution est très-simple pour l'hyperbole. En menant les diago-
Fig. 592.
nalcs du parallélogramme construit sur les deux diamètres AA' et BB', on a les asymptotes OC et OD. Or, le diamètre cherché ON est le con- jugué harmonique du diamètre donné O.M par rapport à l'angle COD des asymptotes; on aura donc un point K de ce diamètre ON, en menant une parallèle à OD, et en portant sur cette ligne, à partir du point I où elle coupe OC, un segment IK égal et opposé au segment IG intercepté dans l'angle COM.
Pour l'ellipse, on opère de même. Seulement, après avoir trouvé le point K, on mène par ce point une parallèle à OA, jusqu'à sa ren- contre 11 avec OB, et l'on prolonge Kil d'une quantité égale HK'.
4l4 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
OK' sera le diamètre conjugué do OM. En effet, prenons pour axes coordonnés les droites OA et OB, et soient x et j les coordonnées d'un point quelconque de OM, x^ et ji les coordonnées du point K, x' et j' les coordonnées du point K'. Puisque OK est le conjugué de OM dans l'hyperbole qui a pour diamètres conjugués
OA = a'
ot
OB = b\
on a la relation
Xi X à- qui, à cause des égalités évidentes
devient
^L = — — •
x' x'' ft'2 '
OK' et OM sont donc conjugués par rapport à l'ellipse ayant OA et OB pour diamètres conjugués.
PROBLÈME.
HS3. Construire danx l'ellipse ou dans Vhyperhole un couple de dia- mètres conjugués faisant entre eux un angle donné.
A l'aide d'un cercle G passant par le centre 0 et conformément aux prescriptions du n° 1119, on construira le point w relatif au faisceau invo- lutif formé par les divers couples de diamètres conjugués; il suffira pour cela de connaître deux premiers couples, par exemple les deux asym- ptotes dans l'hyperbole, et dans l'ellipse les axes et les diagonales de leur rectangle. Il restera à mener par w une sécante détachant dans le cer- cle une corde pq qui soit vue du point to sous l'angle donné 6; 0/? et 0^ formeront alors le couple cherché. Or le tracé de la sécante en question revient à inscrire dans G un triangle ayant l'un de ses angles égal à ô, puis à mener par le point w une tangente à un cercle con- centrique au cercle G et tangent au côté du triangle qui est opposé à l'angle 6.
Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer les constructions et de
LIVRE VIU. — LES COURBES LSI ELLES. ^13
faire la discussion qui est facile et intéressante et qui montre une fois de plus l'utilité de l'involution.
1154. La parabole étant tangente à la droite de l'infini, son centre, qui est le pôle ou le point de contact de cette tangente, disparaît à l'infini. Donc, tous les diamètres ax, nu, AX, ..., sont parallèles, et cette courbe ri a (jriun axe AX à distance finie. Le point A, où cet axe rencontre la courbe, est le sommet [Jîg. 393) de la parabole.
Fij. SgS.
Une tangente mobile détermine sur deux tangentes fixes d'une conique deux divisions homographiques ( H?.0 ) ; dans la parabole, ces deux divi- sions homographiques^^ont semblables (1 102), puisque, la droite de l'infini étant une des positions de la tangente mobile, les points à l'infini dans les deux divisions sont homologues. Donc, toutes les tangentes à la para- bole divisent deux tangentes fixes en parties proportionnelles iç.X. récipro- quement, si deux droites fixes sont divisées en parties proportionnelles, l'enveloppe des droites qui joignent les points homologues est une para- bole tangente aux deux droites fixes. Cette propriété est très-utile dans les applications.
Prenons pour axes de coordonnées un diamètre quelconque ax et la tangente ay à son extrémité a ; m et n étant deux points quelconques de la parabole, menons les ordonnées mr et «r/, la droite an et le diamélic nu qui coupent respectivement nir en c et en c'. On a (M47)
mr = rc . rc' ;
nrj
rc = nrj, et — —
ar a<i
4l6 GÉOMÉTIUE DANS l'eSPACK.
Donc
rc . rc' mr nq
OU == — ^ •
nr fir (Kf
En d'uuircs ternies, l'expression — est constante : en la di'signant par 2/7, l'équation de la parabole rap[)ortée aux axes de coordonnées ax et ay est
j'= 2/JX.
La valeur de p varie avec la position du point a de la courbe, que l'on prend pour origine. Au sommet A, les axes deviennent rectangulaires, et la valeur correspondante de la constante p est ce qu'on appelle h para- mètre de la parabole.
Soit nt la tangente en n qui coupe ax en t\ n<] est la polaire du point / (1 136); par suite, les quatre points t, a^q,nc ^ forment un système harmonique; on a Aonc ot — — aq^ d'où ((f = laq. Ainsi, dons la para- bole, la snus-tojigente (c'est-à-dire la portion ttj du diamètre ax comprise entre les pieds de l'ordonnée et de la tangente) est double de l'abscisse du poi/it de contact.
FOYERS ET DIRECTRICES.
1 lo5. On nomme foyer tout point du plan d'une conique autour duquel chaque droite est perpendiculaire à sa conjuguée.
Un foyer ne peut se trouver que sur un axe; car, pour tout autre point du plan, le diamètre qui passe par ce point et la parallèle au conju- gué de ce diamètre forment un couple de droites conjuguées non rectan- gulaires.
Pour prouver (lu'un point F d'un axe est un foyer, il suffit de démon- Iror qu'on peut mener par ce point F un couple de deux droites conju- guées rectangulaires et non parallèles aux axes ; car l'axe proposé et la parallèle à l'autre axe menée par le point F formeront un second couple de droites conjuguées rectangulaires, et l'on sait (1119) qu'autour d'un point tous les couples de droites conjuguées sont rectangulaires dès que deux couples le sont.
Cela posé, considérons V ellipse. — Soient 0, le centre; 0« et Oc, les directions des deux axes dont nous désignerons les demi-longueurs par a et 6 ; 0^ et Op., les directions des diagonales du rectangle construit sur les axes; F, un point quelconque de l'axe Om, et GDP, la polaire du point F' par rapport à l'ellipse [Jig. Sgi ). Menons FQ parallèle à 0).. Le pôle de FQ sera sur la polaire GD de F et sur la polaire du point à l'in- fini de FQ ou de OÀ, c'est-à-dire sur le diamètre Oy. conjugué de OX:
LIVRE VIII. — LES COUUBES USLKLLES. 4^7
ce sera donc le point P commun à GD età Oy. de sorte que FP sera ' Fie. 5q4.
|
t> |
G |
|
|
0 |
\. F\ |
D <l |
la conjuguée de FQ. Donc, pour que F soit un foyer, il faut et il suffit que l'angle QFP soit droit, c'est-à-dire qu'on ait
Mais on a
FD~ÔD
On en déduit, par division,
d'où (0
FD =PD.DQ = DG.DQ. d'où
DQ DG Ê ,,,„., DG.DQ f.'
FD.OD
FD _ ^' OD ~~ y}''
OF UD
D'ailleurs, puisque GP est la polaire de F, on ?. [i) OF.ÛD=x=.
En multipliant (i) et (2), on obtient
Ôv" = y? — i\ d'où OF = ± \f^^-.
Il y a donc sur Ou deux foyers qui sont réels ou imaginaires, suivant que a est supérieur ou inférieur à S. Ainsi, l'ellipse a deux foyers réels sur le grand axe et deux foyers imaginaires sur le petit axe; et, si l'on dé- signe par «, b, c, le demi-grand axe, le demi-petit axe et la demi-distance focale OF, on a
Considérons maintenant V hyperbole. — Soient 0 le centre; Ou et Ov
11. ol bË C. — Tr. de Gcoin. (Il* Partie). 27
41'
GÉOMÈTKIE DANS L'ESPACE.
les directions des deux axés dont nous désignerons les demi-longueurs (H49) par a et p ; 0^ une asymptote; F un point quelconque de l'axe 0//, et GD la polaire du point F par rapport à l'hyperbole '^fig. agS). Me- nons FQ parallèle à 0>; le pôle de FQ sera sur la polaire GD de F et
Fi{j. 595.
sur la polaire du point à l'infini de FQ ou de 07>, c'est-à-dire sur 0). puis- qu'une asymptote est sa propre conjuguée; ce sera donc le point G com- mun à OX et à GD, de sorte que FG sera la conjuguée de FQ. Donc, pour que le point F soit un foyer, il faut et il suffit que l'angle GFQ soit droit, c'est-à-dire qu'on ait
Mais on a
On en déduit, comme ci-dessus,
|
DF = |
DG.QD. |
|
QD DF~ |
DG p OD~â* |
|
us, |
|
|
DF OD |
|
|
OF |
y} H- (5^ |
|
0D~ |
x' |
d'où (1^
D'ailleurs, puisque GD est la polaire de F, on a
(2) OO.OF=±a^
le signe convenable étant -f- si 0« est l'axe transverse, et — si Om est l'axe non Iransverse. En multipliant (1) et (2), on obtient
0F=±(«'^-^') d'où 0F= dr v/=t(,-//-t-eî). Ainsi, l'hyperbole a deux foyers réels sur i'axe Iransverse et deux
LIVRE MM. — LES COURBES USUELLES. 4 '9
foyers imaginaires sur l'axe non transverse. En désignant respectivement par (7, /;, c, le demi-axe transverse, le demi-axe non transverse et la derai- di^ance focale OF, on a
lirje. Dans le plan d'une conique à centre, considérons deux droites conjuguées rectangulaires quelconques />s et k (/«■. 5i,6).
Fif[. Sgfi,
Soient n et n' les points où ces deux droites rencontrent le dia- mètre OC relatif aux cordes parallèles à ht, m et m' les points où elles coupent l'un des axes de la conique, et enfin F et F' les foyers situés sur cet axe. En menant par F des parallèles à hs et à kt jusqu'à leurs ren- contres p et p' avec le diamètre OC, on a
d'où, en multipliant,
0//.0// Op.Op'
— j Or les dénominateurs sont égaux l'un et l'autre à OC, puisque n et n'
sont conjugués par rapport à la conique aussi bien que p et p'. Les nu- mérateurs doivent donc être égaux, et l'on a
|
0/»' OF O/i' ~ 0/>' |
Om OF On 0// |
|
0/H.0/«' |
ôf' |
(0
Om.Om'
Donc le segment compris entre les deux foyers situes sur un même axe est divisé liarmoniquemcnt par tout couple de droites conjuguées rectan- gulaires, ou, en d'autres termes, les divers couples de droites conjugnces rectangulaires déterminent sur chacun des axes de lu conique une invo- lutinn dont le point central est le centre de la conique, et dont les points doubles sont les foyers réels ou imaginaires appartenant à cet axe.
420 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
1157. Quand nous parlerons désormais des deux foyers d'une conique, il s'agira, à moins d'avertissement contraire, des deux foyers réels.
Les deux droites conjuguées rectangulaires (jui passent par un point quelconque du plan cVune conique sont les bissectrices des angles formés par les droites qui unissent ce point aux deux foyers. Car ces quatre droites, divisant harmoniquement l'axe focal, forment un faisceau harmo- nique, et, comme les deux premières sont rectangulaires, elles sont les bissectrices des angles formés par les deux autres.
En particulier, si le point considéré appartient à la conique, les deux droites conjuguées rectangulaires qui passent par ce point sont la tan- gente et la normale. Donc, dans toute conique à centre^ la tangente et In normale sont les bissectrices des angles que forment les deux rayons vec- teurs menés de ce point aux deux foyers.
Dans l'ellipse comme dans l'hyperbole, les deux foyers réels sont à l'in- térieur de la courbe; cela résulte des formules du n° Hoo. Quant au centre, on sait qu'il est intérieur pour l'ellipse et extérieur pour l'hyperbole. — Il suit de là que, si M est un point de la conique, et si F et F' sont ses foyers, le triangle MFF' est intérieur à l'ellipse, tandis que pour l'hyper- bole il est en partie intérieur et en partie extérieur. Donc, si, parlant du point M, on veut, en se déplaçant un peu sur les droites MF et MF', rester à l'intérieur de la courbe, il faudra se déplacer, pour l'ellipse, dans le sens de MF et de MF', et, pour l'hyperbole, dans le sens de l'une de ces droites et dans le sens opposé à l'autre.
Comme, dans tous les cas, la tangente en M est extérieure à la courbe, on voit que dans l'ellipse la tangente est en dehors de l'angle FMF' des deux rayons vecteurs, tandis que dans l'hyperbole la tangente est exté- rieure à l'angle formé par l'un des rayons vecteurs et par le prolongement de l'autre ; en d'autres termes, la bissectrice de l'angle FMF' est dans l'ellipse la normale en M, et dans l'hyperbole la tangente au même point.
1158. La polaire d'un foyer prend le nom de directrice.
L'ellipse et l'hyperbole ont donc chacune deux directrices DHD,, D'H'D', [Jig. 597], qui sont perpendiculaires à l'axe A'OA qui contient les foyers réels; elles sont situées de part et d'autre et à égale distance du centre, extérieurement à la courbe, puisque les foyers réels qui en sont les pôles sont intérieurs (1138). Les points A', F, A, II, formant un sys- tème harmonique, on a
5Â'-0F.0II,
d'où l'on déduit
0H = ^ c
pour la dislance du centre aux directrices.
I.IVIiK VIM.
LES COllRtlES ITSII'LLES.
421
De la dcfinition même du foyer et de la directrice, il résulte (lue la })i)htirc TT' d'un point (juclconrjitf I de la directrice DD, passe par te
fnyrr F et est perpendiniUiire sur la dnitc qui joi/it le poitit I au jo)Ci. P;ii' suite, si Von prolow^c une corde quelcorupic MN d'une ellipse ou (Tune hyperbole jusrpià sa rencontre en I avec la directrice, la droite IF et la polaire FT du point I sont les bissectrices des angles formes par la rayons vecteurs FM et FN ; cur, d'après la définition même de la polaire, le faisceau (FI, FN, FT, FM) est harmonique, et nous venons de voir que les deux rayons FT et FI sont rectangulaires.
Dans l'elli/jsc et dans rinperbole, le rapport des distances MF et MP d\t/i point quelconque M de la courbe au forer F et à la directrice cor- respondante DD, est constant. Car, si N est un autre point quelconque de la courbe, et I le point où la corde MN rencontre la directrice, la droite FI est bissectrice de l'angle NFG ; on a donc
MF NF
MI
M
MP NQ'
MF
Pour trouver la valeur constante du ra|)port^, > il suffit de considérer le point B; sa distance au foyer est égale à a, et sa dislance à la direc- trice est OH = — : le quotient est - ; on le désigne habituellement par c,
et on lui donne le nom û' excentricité ; il est moindre que un pour l'ellipso et plus i^rand (pie un pour l'hyperbole.
1159. Dans l'ellipse la somme, et dans Pliypeibole la différence des rayons vecteurs MF et MF', qui jnii^ncnt un point quelconque I\I de ta courbe cuix deux foyers, est constante. Car, des relations
M F r MF' c MP^«' MP'^'â'
422 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
on déduit
MF + MF' _ c MF — MF' _ c
^^^ MP~=rMF~« MP-MP'~a*
Or, diins Fellipse, MP -h MP' = IIH' = '^ — ; donc, en vcrlu de la première
des égalités (i),
MF -i-MF'= la.
Dans l'hyperbole, MP — MP' = HM' = -2 — j donc, en vertu de la seconde
des égalités (i),
MF — MF' = 2rt.
On retombe ainsi sur les définitions élémentaires de ces courbes, et l'on peut dès lors regarder comme acquises les propriétés et les con- structions établies aux §§ I, II, IV du Livre VIII.
llfiO. Considérons maintenant la parabole.
Le centre, qui est le point central de l'involution tracée sur l'axe AX {fis- ^9^) P^"" 'f's pieds des divers couples de droites conjuguées rectangu- laires, étant à l'infini, l'involution a l'un de ces points doubles à l'infini, et l'autre point double est le joycr unique de la parabole. Il divise en deux parties égales (1114) le segment intercepté sur le grand axe par deux droites conjuguées rectangulaires quelconques, et en particulier /;><7r la tan- gente et la normale en un point quelconque de la j)arahnle ; d'où l'on conclut (339) que la Umgcntc et la normale en un point quelcon(iue de la parabole sont les bissectrices des angles formes par la parallèle à l'axe menée par ce point et le rayon vecteur mené de ce point au joyer.
La directrice ou polaire du foyer est perpendiculaire à l'axe, et exté- rieure à la courbe, puisque son pôle est intérieur comme doit l'être tout foyer réel (HoS). Le foyer et la directrice sont d'ailleurs à égale distance du sommet (llTiS).
On voit, comme au numéro précédent, que : i° la polaire d'un point quelconque de la directrice est perpendiculcdre sur la droite qui joint ce point au foyer; i° la droite rjui joint le foyer à l'intersection de la direc- trice et d'une corde quelconque de la parabole est la bissectrice du sup- plément de r angle formé par les rayons vecteurs des points où la corde coupe la ])ar<ihiile.
On en déduit cjue le rapport des distances d'un point (piclcon<pic de la parabole au foyer et à la directrice est constant ; comme le sommet est équidistant du foyer et de la directrice, la constante est égale à un ; donc tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la directrice. On
LIVRE VIII. — LES COURBES USL'ELLES. ^23
retombe ainsi sur la définition de la parabole donnée au n° 1027, et nous pouvons alors re.sarder comme acquises toutes les propriétés et toutes les constructions données dans les §§ III et V. En particulier, le pammèlre p représente la dislance du foyer à la directrice; il est aussi égal à la snus- nonvnle comptée sur l'axe, c'est-à-dire à la partie de l'axe comprise entre les pieds de l'ordonnée et de la normale. (Il importe de remarquer que, lorsque la parabole est rapportée à un diamètre quelconque et à la tan- gente correspondante, la sous-tangente est toujours double de l'abscisse, mais la sous-noinuile n'est plus constante et égale au paramètre; cette dernière propriété n'est vraie que dans le cas où la parabole est rap- portée à son axe et à la taftgente au sommet.)
•1161, Lorsque plusieurs coniques ont les deux mêmes foyers, on dit qu'elles sont confocalcs.
Deux coniques confocales ont le même centre, et leurs axes sont di- rigés suivant les mêmes droites; elles ont aussi les mêmes systèmes de droites conjuguées rectangulaires (IISS).
Deux ellipses, deux hyperboles, une ellipse et une hyperbole peuvent être confocales ; mais une parabole ne peut être confocale que d'une pa- rabole.
Si par un point, on mené aeiix tnn^tncvs a une conique et deux tan- gentes à une conique confocale, les angies des deux premières tangentes et les angles des deux autres ont les deux mêmes bissectrices.
Par un point P du plan d'une conique, on peut mener deux coniques confoccdes avec la première; ce sont une ellipse et une hyperbole si la conique primitive est une ellipse ou une hyperbole; ce sont deux para- boles de sens opposés si la première conique est une parabole. — Ces deux coniques se coupent orthogonulement, car leurs tangentes au point P sont les bissectrices des angles que forment les droites menées de ce point P aux deux foyers de la conique primitive.
1162. Les foyers jouissent de jtropriélés caractéristiques autres que celle qui nous a servi à les définir, et qui méritent d'être rapportées, non- seulement parce qu'elles sont très-utiles dans les recherches géomé- triques, mais encore parce qu'elles permettent de généraliser l'idée de foyer et d'étendre cette conception aux courbes d'ordre quelconque.
1° Considérons une conique quelconque C , intersection d'un cône de révolution par un plan P et une sphère inscrite dans ce cône. Soient ■ Q le plan du cercle de contact de la sphère et du cône, •/ le cercle inter- section de la sphère et du plan P, et D la droite commune aux plans P et Q.— D'abord, il est aisé de voir que le cercle'/ passe parles points I et r (réels ou imaginaires) où la droite D rencontre la conique C; en elTet, les points I et I' appartiennent dune piirt au plan P, et, d'autre
424 GÉOMÉTRIE BANS l'eSPACE.
part, à la sphère, puisque, faisant partie à la fois du cône et du plan Q- ils sont sur le cercle de contact du cône et de la sphère. — En second lieu, la conique C et le cercle 7 se louchent en I et en F; en efîèt, la tan- gente en I à la conique est l'intersection du plan P et du plan tangent au cône ; la tangente au cercle 7 est ["intersection du plan P et du plan tan- gent en I à la sphère; or, le point I étant sur le cercle de contact du cône et de la sphère, les deux plans tangents en question coïncident.
En résumé, le cercle 7 a un double contact (réel ou imaginaire) avec la conique C, et la droite des contacts est la droite D. — Faisons mainte- nant varier la sphère inscrite jusqu'à ce qu'elle touche le plan P; le rayon du cercle deviendra nul, ce cercle se réduira à un point qui est (1086) un foyer, et la droite D deviendra la directrice relative à ce foyer. On est ainsi conduit à regarder le jorer d'une conique comme un cercle de rayon nul doublement ternirent h la conique; la corde des con- tacts al la directrice relative h ce Jover.
2° On sait (illl ) que, si l'on a dans un niêaie plan des angles d'une même grandeur et placés d'une manière quelconque, pourvu qu'ils soient formés dans le même sens de rotation, leurs côtés tracent sur la droite à l'infini deux divisions homographiques dont les points doubles sont, quelle que soit la grandeur commune de ces angles, les points cycliques du plan. Si les angles sont droits, les deux divisions homographiques forment une involution; donc, les points cycliques d'un ])lan divisent harmoniquement le segment intercepté sur la droite à l'infini par un angle droit situé d'une manière quelconque dans ce plan.
Cela posé, considérons plusieurs couples de droites conjuguées issues d'un même point du plan d'une conique : ces divers couples forment (H 38) un faisceau involutif dont les rayons doubles sont les tangentes réelles ou imaginaires menées à la conique par le point considéré. Si ce point est un foyer, tous les couples de droites conjuguées "sont rectangulaires, et, par suite, d'après l'alinéa précédent, les rayons doubles du faisceau, c'est-à-dire les tangentes imaginaires menées à la conique par le foyer, passent par les points cycliques du plan. Ainsi, on peut considérer les foyers comme des points tels que les tangentes à la conique meiu'cs par ces points passent par les points cycliques du plan.
Des deux points cycliques on peut mener à la conique deux couples de tangentes, dont l'ensemble forme un quadrilatère imaginaire circon- scrit à la courbe; les deux diagonales de ce quadrilatère sont les axes, et ses quatre sommets, dont deux réels et deux imaginaires, sont les foyers. La parabole étant tangente à la droite de l'infini, un foyer réel est à l'in- fini, les deux foyers imaginaires sont les points cycliques, et il ne reste plus qu'un foyer réel à distance finie.
Il résulte de là : r que deux coniques qui ont nn foyer commun ont
LIVRE VMI. LES COURBES USUELLES. 4^5
deux tangentes coiiiiuuiics pasaaiu par ce foyer; ce sont les droites qui vont de ce foyer aux points cycliques du plan; les cordes de contact sont les directrices de l'une et de l'autre conique relatives à ce foyer; 1° que deux coniques confocales, c'est-à-dire qui ont deux foyers com- muns, sont inscrites dans le même quadrilatère imaginaire.
Cette notion très-féconde des foyers considérés comme des points tels que les tangentes correspondantes passent par les poinis cycliques du plan est due au géomètre Pliicker (Journal de Crelle,i. X), qui a ainsi pu étendre l'idée de foyer aux courbes algébriques d'ordre quel- conque : on appelle foyers d\ine courbe plane d'ordre quelconcpie la poinis comnnins aux tangentes menées à la courbe par les points cycliques de son jjlan.
^163. Voici qnclqres formules utiles : • i"C( nsidérorisMnet-////;Ar rapportée ii son centre Oetà ses axes OA = «et Ç)h=^li[Jig. 598) ; M étant un quelconque de ses points, soient x etj ses coordjnnées OP et IMP, p et &' les deux rayons vecteurs MF et MF', et b' la longueur du demi-diamètre conjugué de OM. Menons la tangente TMT' et la normale MNN', la perpendiculaire MD sur la directrice, et les perpen- diculaires OE, FK, F'K', abaissées du centre et des foyers sur la tangente.
On a
(i) ^ ~ a-- ex^ 6* =- rt -+- c .r , b'^ = a^—e^x''= pp\
y -^
|
p |
~ |
a — |
|
OT |
= |
a-" x |
|
ON |
=: |
«'^ |
(3) ON = ^, .r , 0N'= - r!r, P-^' = ^•^, a^ b--^ a'
(4) MN = -\/^' = — 5 MN'=y/^'-^', MN.MN'=^'%
a "^ (i * h '^ b
(*)^'<=V^' = 7' ''^-"sl^f
bb' ,^„ td)
0 i>
La première des formules (i) résulte de la relation
FM.= f.Mf) = r(0H-0Pi.
La troisième des formules (i) s'obtient en faisiuu la somme des carrés des valeurs (8) du n" H4/, et en ayant égard à la position du puinl IM sur l'ellipse. — Les formules (2) sont une conséquence de la tliéorie des pôles et polaires. — La première formule (3) résulte de la Ihéorie des foyers, et la seconde de la similitude des triangles ONN', NPM. — On obtient la première formule (4) en applifjuant la forniulc du n" 23S. et la seconde résulte de la similitude des triangles ONN', NPM. — Kniin, les deux premières formules (5) s'obtiennent à l'aide du théorème du
426
GÉOMÉTRIB DANS l'eSPACK.
n" 99o et de la similitude des triangles FMK, F'MK', qui donne le rapport de FK à F'K'; la troisième s'en déduit en prenant la demi-somme.
2° En changeant b'^ en — i', on a des formules analogues pour \lijr- jM rbole.
F'S- 598. Fig. 599.
3" Considérons une parabole rapportée à son axe A^- et à la tan- gente ky au sommet [Jîg. Sgg). M étant un quelconque de ses points, soient r et j» ses coordonnées AP et MP, p le rayon vecteur MF, p le pa- ramètre FH = 2AF, et 0 l'inclinaison de la timgente MT sur l'axe. Me- nons la normale MN, et abaissons la per[)endiculairp FK du fover sur la tangente MT.
On a
TP = 2.r. P\ = p, TN = p-hJ:, Le triangle rectangle FTK donne ensuite
1k =l¥.'ïk = ox, Kf' == FT.AF
d'où
MT^ = 10X., Mn' =/jp. lîiitin, dans le triangle rectangle TMN, on a
PN p . ,, PN^ ;
MN'
= Fr=-TxN = '- 2 2
tang& =
PM
im-^)
P
Nous avons vu que la parabole rapportée à un diamètre quelconque M.x' et à la tangente correspondante Mj' avait pour équation r'^= ■xp'x'. Pour évaluer/»', menons AI parallèle à MT, de manière à figurer les coordon- nées x' ~ MI. j'= — AI du sommet A par rapport aux axes y M j:'; nous aurons alors
MT 2 AT
TP
■2pl
LIVRE VIII. — LtS COURBES USUELLES.
OU encore, d'après ce qui précède,
TN , />"' = /j -H 2 r, // =
P
siirO
Remarquons que le paramètre/.» de la parabole, ex|)riinant la distance du foyer à la directrice, est égal à l'ordonnée du foyer. On donne égale- ment le nom de paramètre, dans l'ellipse et dans l'hyperbole, à l'ordon- née du foyer; pour avoir sa valeur en fonction des axes a et h, il suffit
2
c a de multiplier par e ou - la distance c du foyer à la directrice, ce qui
donne — •
COMPLEMENT DE LA METHODE DES POLAIIIES RECIPROQUES.
116 i. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de compléter et de généraliser la théorie que nous avons exposée aux n"' 348 et suivants.
Nous nommerons orii^inc le centre 0 du cercle auxiliaire par rapport auquel on prend les pôles ot les polaires, et nous désignerons par R son rayon.
La polaire réciproque d'un cercle C situé dune manière quelconque par rapport cni cercle auxiliaire 0 est une conique qui a pour foyer l'ori- <^ine 0 et pour directrice la polaire MM' du centre C du cercle proposé par rapport au cercle auxiliaire [fïg. Goo).
Imjj. 6oo.
En effet, désignons par p le rayon du cercle proposé C et par o la dis- tance OC de son centre à l'origine. TP étant une tangente quelcuncpi» du cercle C et Q son pôle par rapport au cercle 0, on a (351, 2"), en désignant par QX la distance du point Q îi la droite MM',
OQ QN
OC
l28
GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
Le rapport des distances du point variable Q au point fixe 0 et à la droite fixe MM' est donc constant.
L'excentricité - de la conique obtenue est inférieure, supérieure ou P égale à un, suivant que S est inférieur, supérieur ou égal à p. Donc, la
conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'ori' gine 0 est intérieure, extérieure au cercle proposé C ou située sur la cir- conférence de ce cercle.
Cette proposition, combinée avec le principe du n" 330, permet de dé- duire de toute propriété du cercle une propriété focale des coniques.
Comme exemple, transformons la propriété de l'angle inscrit : L'angle ^\XB, formé enjoignant un /)oint variable d'une circonférence de cercle à deux points fixes de cette circonférence, est constant et égal à la moitié de l'angle au centre ACB correspondant. Au cercle, répondra une conique ayant pour foyer l'origine 0 et pour directrice la polaire 7 du point C par rapport au cercle auxiliaire 0; aux points A, B,M, répondront deux tangentes fixes a et 6, et une tangente variable pdela conique. Les points d'intersection de f* et a, de p. et ê, de 7 et «, de 7 et S, seront res- pectivement les pôles des droites Î\L\, MB, CA, CB, et par suite, en vertu du principe du n° 330, on aura ce théorème : L'angle sous lequel on voit du joyer 0 d'une conicjue la portion d'une tangente mobile fx comprise entre deux tangentes fixes a et &., est constant et égal à la moitié de l'angle sous lequel on voit du foyer la poi-tion de là directrice 7 comprise entre les deux tangentes fixes y.et fj.
Voici d'autres exemples :
Deux tangentes d'un cercle sont également inclinées sur la corde des contacts.
Le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à un cercle est un cercle concentrique, et la corde des contacts enveloppe un cercle aussi concentrique.
Si une corde d'un cercle est vue sous un angle constant d'un point
La droite qui joint le foyer d'une conique à l'intersection de deux tangentes divise en deux parties égales l'angle sous lequel on voit du foyer la corde des contacts.
Si une corde d'une section coni- que est vue du foyer sous un angle constant, cette corde enveloppe une section conique ayant même foyer et même directrice que la proposée ; le point de concours des tangentes aux extrémités de cette corde décrit une section conique ayant aussi même foyer et même directrice que la proposée .
Le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à la
LivRi: vin.
LES COURBES USUELLES.
4^-9
fixe A de la circonférence^ cette corde enveloppe un cercle concen- trique.
Les projections d'un point A d'une circonférence de cercle sur les côtés d'un triangle inscrit quel- conque sont en ligne droite.
parabole est une conique ayant le même foyer et la même directrice.
Si, par les sommets d'un trianole circonscrit à une parabole, on élève des perpendiculcùres sur les droites qui joignent ces sommets au foyer F, les trois perpendiculaires concourent en un même point I .
Dans les deux derniers exemples, on a pris pour origine le point A ; et, comme ce point est sur la circonférence, la transformée de cette circon- férence est une parabole. Observons, en outre, qu'en vertu du dernier théorème obtenu, si l'on décrit un cercle sur FI comme diamètre, ce cercle passera par les sommets du triangle circonscrit ; de là celte propo- sition : Le lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites fixes est le cercle circonscrit au triangle formé par ces trois droites.
i 163. Im polaire réciproque d'une conique C par rapport h un cercle auxiliaire 0 est une conique C .
En effet, la conique C peut être considérée (11:^0) comme l'enveloppe des droites /«/«' qui joignent les points homologues m et nï de deux divisions homographiques tracées sur deux tangentes fixes L et L'. Or, soient /, V, w, les pôles des tangentes fixes L et L' et de la tangente mobile /«/«'; les droites \u, /'p., décriront deux faisceaux homographiques. Car les droites issues de )> répondant anliarnioniquement aux points de la division L, et les droites issues de ^' aux points de la division L' (1108), quatre droites quelconques issues de À auront même rapport anharmo- nique que les quatre droites homologues issues de >', attendu que quatre points quelconques de la division L ont même rap[)ort anharmonique que les quatre points homologues de L'. Donc le lieu des points u. est une conique qui passe par les points )> et ).' (H31, 2^).
A chaque propriété des coniques en répondra dès lors une autre |)ar la méthode des polaires réciproques.
Voici des exemples :
Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole est un cercle.
Le lieu des projections d'un foyer
L'enveloppe des cordes d'une co- nique, qui sont vues sous un angle droit d'un point fixe du plan dr In conique, est une cuitre conique dont ce point fixe est le fo)er.
Si par chaque pnint d'un cerrlc
43o GÉOMfiTRlE DANS l'eSPACE.
sur les tangentes d'une ellipse ou d'une liypnhole est un cercle.
on élève une fjerpendiculaire sur la droite qui joint ce point à un point Jixc^ r enveloppe de ces perpcndicu- Unres est une conicjue dont ce point fixe est le foyer.
M68. Reportons-nous au théorème du n° 353. Si, sans rien changer au raisonnement, on avait pris pour origine de la transformation un point quelconque au lieu du centre du cercle circonscrit au quadrilatère, on aurait obtenu pour théorème corrélatif :
Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique, le produit des dis- tances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tangente.
Cette dernière proposition, transformée à son tour par la méthode des polaires réciproques, donne alors :
Dans tout quadrilatère inscrit h une conique, le produit des distances d'un point quelconque de la conique à deux côtés opposés est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux deux autres côtés.
Ce théorème est attribué à Pappus. On doit remarquer la manière dont nous l'avons obtenu et qui consiste dans une double application de la méthode des polaires réciproques.
Les explications données au n° 353 permettront au lecteur de voir lui- même comment ces théorèmes peuvent se généraliser et s'étendre à des polygones. Nous appellerons ici, au contraire, l'attention sur un cas par- ticulier. Lorsque deux côtés opposés du quadrilatère inscrit deviennent tangents à la conique, les deux autres se confondent avec la corde de contact, et le théorème de Pappus devient le suivant : Le produit des distances d'un point quelconque d' une conique aux deux côtés d'un angle circonscrit est dans un rapport constant avec le carré de la distance du même point à la corde de contact. Le théorème corrélatif s'énonce : Le produit des distances de deux points Jixes d'une conirpie à une tangente variable est dans un rapport constant avec le carré de la distance de V intersection des tangentes aux deux points fixes à la même tangente variable; il résulte immédiatement de la propriété des quadrilatères cir- conscrits, lorsque l'on suppose que deux côtés adjacents du quadrilatère viennent seconfondre avec les deux autres.
•1167. On peut généraliser toute cette théorie en substituant au cercle
auxiliaire, par rapport auquel on prend les pôles, une conique auxiliaire :
La courbe polaire j'ccipi-oque d'une conique quelconque par rap-
LIVRE Vllî. — LES COURBES USUELLES. 43 1
port à une conique auxiliaire est encore une coni<juc. La démonslralion du n° 1!6j s'applique snrs modiQcations.
La méthode ainsi généralisée se prête avec la môme facilité à la trans- formation des propriétés descriptives; mais il n'en est plus de même pour les propriétés métriques, et, quand il s'agit de transformer de telles pro- priétés, il convient de prendre un cercle auxiliaire.
La transformation par polaires réciproques, avons-nous dit au n° 349, laisse ignorer comment on pourrait démontrer directement les proposi- tions que l'on découvre de la sorte. Ce reproche ne s'adresse qu'à la manière dont on applique ordinairement la méthode, en se bornant à transformer les énoncés ; mais, en réalité, comme l'a montré M. Mannhoim {Transformation des propriétés métrirpies, i85-), la méthode se prête à la transformation des démonstrations. Une démonstration n'est, en effet, qu'une chaîne de propositions qu'il suffit de transformer une à une pour avoir les anneaux successifs de la chaîne qui constitue la démonstration directe. C'est ainsi que nous avons procédé en déflnilive aux n°' 326 et 327, 328 et 329, etc.
1168. Deux courbes polaires réciproques sont telles, que chacune d'elles est coupée par une droite quelconque en autant de points (réels ou imaginaires) qu'on peut mener de tangentes (réelles ou imaginaires) à l'autre par un point donné quelconque. On nomme classe d'une courbe algébrique le nombre des tangentes réelles ou imaginaires qu'on peut mener à cette courbe d'un point quelconque. D'après cela, on peut énoncer la propriété précédente de cette manière plus concise : Quand deux courbes sont polaires réciprocpies, l'ordre de r une est égcd à la classe de l'autre.
Les coniques sont des courbes de la seconde classe, et, inversement, toute courbe de la seconde classe est une coniqur.
D'après la définition que nous avons donnée au n" M62 des foyers des Courbesplanesd'ordrequelconque, on voit (\\\'unc courbe de la classe n pos- sède n'^ foyers, puisque l'on peut mener à cette courbe n tangentes de chacun des deux points cycliques, et que ces deux faisceaux de n droites ontrt' points communs, dont n seulement sont réels ; cesontceux qui sont fourrn's par la rencontre de deux tangentes imaginaires conjuguées.
Si la courbe est tangente à la droite de l'infini, le point de contact à l'infini est un foyer réel, et il n'y a plu? que n — i foyers réels à distance finie. Quant aux foyers imaginaires, il y en a (« — i j' — («— i ), outre les deux points cycliques qui, par conséquent, tiennent lieu chacun de n — I foyers.
432 GÉO.MÉTUIE DANS LliSPACE.
PROPRIETES DES POINTS ET DES DROITES IMAGINAIRES.
H69. Nous avons expliqué (1044) comment un système de deux quan- tités réelles x et j, dites coordonnées, détermine la position d'un point du plan; ce point est dit réel. Par analogie, on dit que deux quantités imaginaires, x' et y, c'est-à-dire deux quantités de la forme
(i) x' = a -\- bi. y' — a'-\-b'i,
où (1, b, a\ b', désignent des nombres réels et / le symbole {/— i, déîer- ipiaent un point imaginaire dont elles sont les coordonnées. Deux points sont appelés imaginaires conjugués lorsque leurs coordonnées sont res- pectivement imaginaires conjuguées ; ainsi le point imaginaire conjugué de celui que déterminent les valeurs (i) a pour coordonnées
(a) x\ = a — bi, >', = a' — /;'/.
Nous avons vu (U3i) qu'une équation du premier degré
(3) A.r-f- Bj-t- C — o, '
dont les coefficients A, B, C, sont réels, représente une ligne droite, ce qui veut dire que le lieu des points réels dont les coordonnées satisfont à cette équation est une ligne droite. Par analogie, on nomme droite ima- ginaire l'ensemble des systèmes de valeurs imaginaires de x et de y qui satisfont à une équation du premier degré à coefïicients imaginaires
(4) (A' + A"/)ar+ (B'^ B"/) J -t- C'-+- C"/ ^ o.
Deux droites sont appelées imaginaires conjuguées lorsque les coeffi- cients de leurs équations sont respectivement imaginaires conjugués; ainsi, la droite imaginaire conjuguée de celle qui a pour équation (4) est représentée par l'équation
( 5 ) (A' — A"/ ) .r -f- ( B' — B"/ ) r -i- C - C'V = o.
De ces définitions, résultent les conséquences suivantes : 1° Toute droite réelle contient [outre une infinité de points réels) une infinité de points imaginaires ; car, |)0ur toute valeur imaginaire attri- buéeà.r, réquation(3) donne une valeur imaginaire correspondante de j'. 2° Une droite réelle qui contient un point imaginaire contient aussi son conjugué; car. si l'on exprime que lesvaleurs(i) ou les valeurs (2) satisfont à l'équation (3), on trouve dans les deux cas les deux mêmes conditions
Aa -t- B^ -♦- C — o, ka'-^\ib'=o.
LIVRli Vin. — LtS COLRBtS USUILLES. 433
Réciproquement, la droite qui contient deux i/oinls imagitudres conju- gués est rcclle; en effet, l'équation
représente la droite qui passe par les points réels ou imaginaires dont les coordonnées sont j:' et y, x" etj", attendu que cette équation est du pre- mier degré et qu'elle est satisfaite soit par x = jr' et r = j', soit par x= x"et/=y. Or, si les deux points sont imaginaires conjugués, c'est- à-dire %\x' et y, x" ety ont respectivement les valeurs (i) et (2), la sub- stitution de ces valeurs réduit l'équation à la suivante :
« h X — h y — db' — bn\
qui a ses coefficients réels.
3° Toute droite imagiiuiire contient un point réel et un seul, ijiii appar- tient aussi à sa conjuguée) cas, pour qu'un couple de valeurs réelles de.r et dej satisfasse à l'équation (4) ou à l'équation (5), il faut et il suffit que ces valeurs vérifient le système
(6) A'a:^D/ + C'=o, A".r+ B"j -l-r;' = o.
Or ces équations, étant du premier degré, donnent pour x et j un couple unique de valeurs réelles; l'une des coordonnées ou les deux peuvent être infinies; on dit alors que le point est à l'infini. Mais le système ne peut être indéterminé, car on voit immédiatement que, si les équations (6) avaient leurs coefficients proportionnels, la droite (4) serait réelle.
4° Les coordonnées du milieu de la droite qui joint deux points réels (x',y), {x'\y'), ont pour expression
i!-'-
(7) ^= - i^" + ^"j,
Par analogie, quand les points (.r', r'), [x",y'], sont imaginaires, on dit encore que le point dont les coordonnées ? et n sont exprimées par ces formules (7) est le milieu de la droite qui joint les deux points. On voit immédiatement, par la substitution des valeurs (i) et (-.t), que le point mi- lieu est réel si les deux (joints considérés sont imaginaires conjugués ; il serait imagin;:ire si les deux points éiaient imaginaires non conjugués.
5"" L'intersection de deux droites réelles est le point rOd dont les coor- données sont les valeurs de x et de j fournies par la résolution des équations des deux droites. L'intersection de deux droites imagimnrcs conjuguées est aussi un point réel; car le système de leurs équations ( 4 ) et (5 ) peut . par addition et soustraction, être remplacé par le syslème (0). qui esta coeilicienls réels. — Mais deux droites peuvent évidemment se couper
R. et DE C. — Tr. de Gconi. (11= Partie). 28
434 GÉOMÉTRIE DA^S L ESPACE.
en un point réel sans être réelles ou imaginaires conjuguées; mr exemple, les deux droites imaginaires non conjuguées y = (7.-i-pi)x, y— [y -+- rJi]x passent l'une et l'autre par l'origine.
Telles sont les notions fondamentales sur lesquelles repose l'introduction des imaginaires en Géométrie. 11 serait vain de vouloir le déguiser : c'est l'Analyse qui fournit ces principes; puis, la Géométrie s'en empare et en déveloi>pe les conséquences avec les moyens qui lui sont propres, comme nous allons le voir dans l'étude de la question suivante.
CORDES ET TANGENTES COMMUNES A DEUX CONIQUES.
1170. Deux coniques quelconques, situées clnns un même ylcm, ont :
I ° Quatre points communs réels ou imaginaires conjugués ;
1° Trois systèmes de deux cordes communes, dont l'un au moins est réel.
En effet :
1° En éliminant j^ entre les équations du second degré qui repré- sentent les deux coniques, on obtient une équation où r ne figure qu'au piemier degré et que nous désignerons par (j) ; puis, en substituant cette valeur de j dans l'une des deux équations primitives, on trouve une équa- tion du quatrième degré en x, que nous désignerons par ix), et dont les racines sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Si l'équation [x) a ses quatre racines réelles, l'équation (j) donne pour chacune de ces valeurs de x une valeur réelle dej ;et, par suite, /e^ deux coniques ont quatre points communs réels. — Si l'équation [x) a deux racines réelles et deux racines imaginaires (conjuguées), léquation (y) donne pour j deux valeurs réelles et deux valeurs imaginaires (conju- guées) ; et, par suite, les deux coniques ont deux points communs réels et deux points communs imaginaires {conjugués). — Enfin, si l'équation [x) a ses quatre racines imaginaires (conjuguées deuxàdeux), l'équation [y) donne pourj quatre valeurs imaginaires (conjuguées deux à deux) ; et, par suite, les deux coniques ont quatre points communs imaginaires (conjugués deux à deux).
1° Si les deux coniques ont quatre points communs réels a, b, c, d [fig. 6oi), les trois couples ah etcd., ac et hd., ad et bc. de cordes com- munes sont évidemment réels.
Si les deux coniques ont deux points communs réels a et b, et deux points conununs imaginaires conjugués c et d, la corde commune ab est évidemment réelle; c<^/ rcj/rt«.v.v/, puisqu'elle unit deux points imaginaires conjugués. Les autres cordes communes ac et bd^ ad et bc sont imaginaires; car. si la droite ac, par exemple, était réelle, le point dinlersection des deux droites réelles ac ^icd serait réel. — Il convient d'observer que les
LIVRE vni. — LES COURBES USUELLES. 435
deux droites imaginaires d'un même couple ac et hd ou ad et bc ne sont pas conjuguées ; car, si ne et bd l'étaient, leur point d'intersection/»' serait réel, et chacune de ces droites, ayant deux points réels a et p' oxib et/V, serait réelle. La conjuguée de ne est évidemment nd, et celle de hd est br.
Si les deux coniques ont quatre points communs iina^innires conjugués deux h deux a ei b, c et d, les cordes communes ab et cd sont réelles, puisque chacune aura deux points imaginaires conjugués ; les autres cordes communes ne et bd, ad el bc, sont imaginaires ; car si, par exemjile, ne était réelle, les points « et c où elle coupe respectivement les droites réellesrt^ et rr/ seraient réels. Ici, les droites imaginaires d'un même couple, ac et bd ou nd et bc, sont conjuguées; car on passe, par exemple, de ac à bd en remplaçant a par son conjugué b et c par son conjugué d.
En transformant la proposition précédente par la méthode des polaires réciproques et donnant le nom d'ombilic à tout point d'intersection de deux tangentes communes, on voit que :
Deux coniques ont :
1° Q/intrc tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées ; 2" Trois systèmes de deux ombilics, l'un au moins de ces systèmes étant réel.
Si les quatre tangentes communes a, j3, y, ^, sont réelles, les trois couples
Fi{;. 601.
d'ombilics sont réels (Jîg. 601). En désignant le point commun à deux
^36 GÉOMÈTRIB DANS l.'l-.SPACE.
droite» L et L' par la notation (L, L'), le premier couple est formé par A ou (k, S) et A, ou (7, ê), le second couple par B ou («,7) et B, ou {P, S), le troisième par C ou (a, 0) et C, ou (S, 7).
Si le quadrilatère circonscrit a deux côtés réels a. et pet deux imaginaires conjugués 7 et S, ou encore si le quadrilatère a ses côtés imaginaires con- jugués deux à deux en. et p, ^j et <?, // liy a qu'un couple cU ombilics réels; c'est le couple A ou (a, S) et A, ou (7, 5).
1171. On nomme pôle double tout point du plan de deux coniques qui a la même polaire par rapport à ces deux courbes {fg. 601).
Soient p le point commun aux cordes ab et cd, p le point d'intersec- tion de ac et de bd. et /;" le point de rencontre de ad et bc. Chacun des sommets du triangle pp' p" est évidemment le pôle du côté opposé par rapport aux deux coniques. A\ns\, tout point d'intersection de deux cordes communes est un pôle double (ou un point commun aux denx coniques). Réciproquement, tout pôle double est l'intersection de deux cordes com- munes; en effet, soit p^ un pôle double, et a, a' les points où p^n rencontre pour la seconde fois chacune des coniques; le point /;>, devant avoir le même conjugué harmonique par rapport aux deux segments ay. et ay! , il faut que a et a' coïncident, c'est-à-dire se confondent avec l'un des points b, c, d^ avec c par exemple; ainsi le point p. est sur ac\ on verrait de même qu'il est sur bd\ il est donc à la rencontre de deux cordes com- munes.
Les trois seuls pôles doubles sont donc les sommets du triangle pp p". Ils sont éVidemmenl réels tous les trois, si les quatre points a, b, c, d, com- muns aux deux coniques sont tous les c^uatre réels. Ils le sont aussi quand les points a, è, c, f/, sont tous imaginaires, car, alors, les deux cordes d'un même couple sont réelles ou imaginaires conjuguées. Mais, si les points a et b sont réels, et c et d imaginaires conjugués, le pôle double p est leseul réel; il est réel parce qu'il appartient aux deux cordes réelles «^ et cd\ et // et //'sont imaginaires, car, si p'. par exemple, était réel, la droite ap ou ac serait réelle. Observons enfin que chacun des pôles doubles est Je centre d'un faisceau harmonique formé par les deux côtés du triangle et les deux cordes communes qui passent par ce point.
On nomme polaire double toute droite qui a le même pôle par rapport aux deux coniques. Toute polaire double est la polaire d'un pôle double, et réciproquement; il n'y a donc que trois polaires doubles, dont une tou- jours réelle : ce sont les côtés du triangle pp' p", auquel on donne le nom de triangle autopolaire commun aux deux coniques.
Les trois diagonales P, P', P'', du quadrilatère complet formé par les quatre tangentes communes y.\ j3, 7, «?, aux deux coniques, sont réelles si les quatre droites a, p, 7, ^, sont toutes réelles ou toutes imaginaires
LIVIIK YIII. — LES COLRDES l"SLi:i ITS. iSj
(conjuguées). Si deux de ces tangentes y. et S sont réelles, et les deux antres 7 et 0 imaginaires conjuguées, la diagonale P est seule réelle.
Ces diagonales P, P', P", sont évidennment des polaires doubles; elles ne diiïèrent donc pas des côtés du triangle pp'p". En outre, il résulte immé- diatement de la construction de la polaire d'un point par rapport à deux droilesque les deux ombilics et les deux pôles doubles situéssur un même côté du triangle autopolaire pp'p" forment un système harmonique.
En résumé :
Si le triangle autopolnire pp'p" est eittièreinent ri cl, les deux cnni(jues ont :
Soit quatre points communs réels et (paître tangentes communes réelles ;
Soit quatre points comnutns i/i/ai^i/uiires et quatre tangentes communes imaginaires ;
Soït quatre points rn/n/nuns réels et quatre tangentes comnuines inuigi- naires ;
Soit quatre points comnutns imaginaires et quatre tangentes comnuiues réelles ;
Et si le triangle autnpulaire n\i de réels (ptUm sommet p et le coté op- posé P, les deux coniques ont :
Deux points communs réels et deux points communs imaginai/Ts, et en même temps deux tangentes communes réelles et deux tangentes com- munes imaginaires .
Dans le troisième cas, l'une des coniques au moins est hyperbolique.
1172. Si deux points pris sur une corde commune sont conjugués par rapport h l'une des conirpws, ils le sont aussi par rapport à l'autre. Car, puisqu'ils sont conjugués par rapport à la première conique, ils divisent harmoniquement la corde commune, et, par suite, ils sont conjugués par rapport à la seconde conique.
Réciproquement, si, sur une droite située dans le plan de deux coniques, il existe deux couples de points a et f^ , b et h' , tels que les deux points d'un même couple soient conjugués à la jois par rapport aux deux coni- ques, cette droite est une corde couunune aux deux coniques. Car les points de chacune des deux coniques situées sur la droite sont les deux points réels ou imaginaires qui divisent harmoniquement le segment tui et le segment bb'.
Les propositions corrélatives s'énoncent de la manière suivante :
Si deux droites issues d'un ombilic sont conjuguées par nqjport à l'une des coniques, elles le sont aussi par rapport h P autre.
Si par un j)oint du plan, de deux coniques passent deux couples de droites k et X\ B et B', situées dans ce plan et telles que les deux droites de chaque couple soient conjuguées par rapport aux deux conifpies, ce point est un ombilic
438 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
CONIQUES CIRCONSCRITES OU INSCRITES A UN QUADRILATÈRE.
1173. Quand plusieurs coniques ont quatre points communs [réels ou imaginaires), il existe sur une droite quelconque de leur plan deux points conjugués par rapport à toutes ces conic^ues. Car les segments interceptés sur la droite par les diverses coniques forment une involu- tion (1172); les points doubles (réels ou imaginaires) de cette involulion divisent harmoniquement chacun de ces segments et, par suite, sont conjugués par rapport à chacune des coniques.
Dans le cas particulier où la droite est à l'infini, on a ce théorème : Toutes les coniques passant par quatre points donnés ont un système [réel ou imaginaire) de diamètres conjugués, parallèles entre eux.
Le théorème corrélatif sur les coniques tangentes à quatre droites s'énonce : Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un même quadri- latère ( réel ou imaginaire ) , // passe par chaque point de leur plan deux droites ( réelles ou imaginaires ) qui sont conjuguées par rapport à toutes ces conic^ues.
1174. Quand plusieurs coniques ont quatre points comnmns [réels ou imaginaires), les polaires d'un point Jîxe quelconfjue P de leur plan par rapport à ces courbes passent par un même point (Lamé, Examen des différentes méthodes... \ i8i8).
Soit P' le point commun aux polaires de P par rapport à deux A et B des coniques considérées ; les points P et P' sont conjugués par rapport à A et B et, par suite, d'après le théorème précédent, par rapport à toute conique C du groupe ; donc le point F' est sur la polaire de P par rapport à la conique C.
Dans le cas particulier où le point P est à l'infini, on a cette proposi- tion : Quand plusieurs coniques passent par quatre points donnés, les diamètres de ces courbes, conjugués à une même direction, passent par un même point.
Les théorèmes corrélatifs s'énoncent :
Quand plusieurs coniques sont inscrites dans un même ({uadrilatère, les pôles d'une droite quelconque de leur plan par rapport a ces courbes sont en ligne droite.
Le lieu des centres des coniques inscrites dans un cjuadrilatère est une droite passant par les milieux des diagoncdes (Newton).
1175. Les bissectrices de tout système de deux cordes communes à un cercle et à une conicpie sont parallèles aux axes de la conique.
En effet, si par le point commun aux deux cordes C et C on mène des parallèles L et L' aux axes de la conique, les droites L et L' sont évidem- ment parallèles au système des diamètres conjugués qui sont communs en
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 4-^9
direction au cercle et à la conique (II4G); ces deux droites rencontrent donc la droite à l'infini en deux points conjugués à la fois par rapport aux deux courbes, et par suite aussi conjugués par rapport aux cordes com- munes C et C; donc L et L' sont conjuguées harmoniques par rapport à C et à C, et, comme elles sont rectangulaires, elles divisent en deux parties égales les angles formés par ces cordes.
Il résulte de là (jue, pniu- que deux coniques se coupent en quatre points situés sur un même cercle, il faut et il suffit que leurs axés soient parallèles ou perpendiculaires .
Lorsque trois des quatre points communs à un cercle et à une conique se réunissent en un seul ^I, on dit que le cercle est osculateur de la co- nique au point M. La tangente en M et la corde MN qui joint le point de contact M au point de section N des deux courbes sont alors, d'après le théorème précédent, égalemt^nt inclinées sur un quelconque des axes de la conique. Cette propriété permet de déterminer le point N et, par suite, le cercle osculateur en un point donné M d'une conique.
On calcule aisément le rayon de ce cercle à l'aide d'un théorème élé- gant dû à Mac-Cullagh, Dublin, iH36 : Le rayon R du cercle qui passe par trois points M, N, P, d'une ellipse est éj^al au produit des demi-dia- mètres /??, n, p, parallèles aux côtés du tria/i^le formé par ces trois points, divisé par le produit ab des demi-axes. En effet, en divisant 1 éga- lité (428)
NP.PM.MN
R =
par l'égalité analogue
4lMiNP N'P'.P'M'.M'N'
4M'N'P'
relative aux points correspondants M', N', I'', du cercle dont l'ellipse est la projection, on a
R _ MNP' NT PM MN .
"a ~ "ÂhNP NT' P'M' ATN^'
mais le premier rapport du second membre est égal à -j (7U(), lOoG) cl
les autres sont égaux respectivement a -i -, -> pui.-uue deux droites ' a a a ^
parallèles .sont entre elles comme leurs projections. La relation précédente se réduit donc à
mnp R = — j-i c. 0. V. D.
ab
Si les points N et P se réunissent en M, les (|u:inlilés m, //, /', deviennent égales au demi-diamètre «î parallèle à la tangente en M, et l'on
a pour le rayon du cercle osculateur en M l'expression —, ou encore, en
44o GÉOJlfîTUlE DANS l'eSPACE.
vertu du second ihéoièrae d'Apollonius, l'expression—» dans laquelle p désigne la distance du centre de l'ellipse à la tangente au point M. Cette expression se réduit à — ou à -t- quand le point considéré est l'ex- trémité du grand axe ou du petit axe.
CONIQUES TANGENTES, B ITANG E ?;T E S , OSCU LATH ICES.
1176. Coni(j[ie!i tangentes. — Quand deux coniques se touchent en un point (7, ce point est la réunion de deux poinis communs a et />, et il ne reste plus que deux autres points communs c et f/, qui sont réels ou ima- ginaires conjugués.
La tangente en <7 et la droite cd forment un couple de cordes com- munes; ce couple est réel. Quant aux deux autres couples, ils se confon- dent en un seul ac et w/, qui est réel si c et d sont réels et imaginaire si f et .'/ sont imaginaires.
Outre la tangente en r/, il n'y a plus que deux tangentes communes réelles ou imaginaires; leur point d'intersection et le point a forment un système d'ombilics réels, et il n'y a plus qu'un autre couple d'ombilics : ce sont les points réels ou imaginaires où la tangente en« rencontre lesdeux autres tangentes communes.
Coniques hitangentcs. — On dit que deux coniques sont bitangcntes ou ont un double contact lorsqu'elles se touchent en deux points ; nous désignerons ces deux points par i^ et //, et le point d'intersection des tan- gentes en ij- et h par / .
Il n'y a plus encore ici que deux systèmes de cordes communes: le pre- mier est formé par les tangentes l-g gI A//, et le second par la droite double ou corde de contact gh. Les points g et li forment un couple d om- bilics, et le point h forme à lui seul le second couple.
Quant à la réalité, il faut distinguer deux cas, suivant que le double contcict des deux coniques est/'cWou imaginaire, c'est-à-dire suivant que les points g et h sont réels ou imaginaires conjugués. Dans le premier cas, les cordes communes et les ombilics que nous venons d'énumérer sont tous réels. Dans le second cas, la corde de contact gh forme le seul couple de cordes communes réelles et son pôle /■ forme le seul couple d'om- bilics réels.
Quand deux coniques ont un double contact :
i" Les polaires d'un point quelconcjue M de leur plan se coupent sur la corde de contact; car elles doivent se couper (llTi) sur la polaire de M par rapport aux systèmes des deux cordes communes confondues avec la corde de contact, polaire qui coïncide avec cette dernière corde.
LIVRR vm. — LES COURBES USUELLES. j|l
1° Les pôles (Vunc droite quclcnmiiœ A sntileii lij^ne droite avec le pôle de In corde de contact qu'on nomme j>6le de contact ; c'est la proposition coirélative de la précédente.
3" Tout point k de la corde de contact est un pôle double, car, pour chacune des coniques, la polaire de h contient le pôle de contact et le point /•' conjugué harmonique de /■ par nipport aux deux points de contact. Nous trouvons ainsi un cas d'exception à la proposition : deux coniques n'ont, en général, que trois pôles doubles.
Coniques oscidntrices. — On dit que deux coniques sont osculatrices ou quelles ont un contact du second ordre lorsque trois de leurs points communs sont réunis en un seul que nous appellerons w. Elles ont alors un quatrième point d'intersection d(\m est toujours réel, et, o\itre la tan- gente en w, une tangente commune réelle cf; soit t le point oîi la tangente en w rencontre la tangente cl.
Il n'y a qu'un système de cordes communes; il est réel et formé par la tangente oH et par la corde wr/, 11 n'y a aussi qu'un couple d'ombilics : ce sont les points réels oi et /.
On dit que deux coniques ont un contact du imisièine ordre, lorsque leurs quatre points communs sont réunis en un seul w. Les quatre tan- gentes communes sont alors confondues en une seule qui est la tangente w^ au point w. Cette même droite w^ est la seule corde commune et le point 0) le seul ombilic.
C0NIQI:ES HOMOLOGIQUES .
1177. Lajigure honiolngique d'un cercle, lorsqu'on prc/nl le centre du cercle pour centre d'/io/nologie, est une conique qui a ce centre pour foyer; car si, dans l'avant-dornière formule du n° 730, Om' est constant,
il en est de même du rapport — r; par suite, le rapport des distances
d'un point quelconque m de la figure cherchée au point fixe 0 et à la droite fixe I est constant.
Par suite, une conique étant donnée, on voit qu'il faut placer le centre d'iiomologie 0 à l'un des foyers pour que la figure homologique soit un cercle de centre 0.
C'est cette propriété que M. Chasles prend pour définition des foyers dans son Traité des Sections coniques. La marche que nous avons suivie (n°' iloa et suivants) est à la fois plus directe et plus simple.
1178. La //gure hoiuolof^ique d'une conique C est une conique C.
Kn effet, P et 0 étant deux points fixes pris arbitrairement sur la conique donnée C, et m un point variable de cette conicpie, les droites
{^^2 GÉOMÉTRrE DANS l'eSPACE.
Pw, Q/ii, eiii^endrenl deux faisceaux liomograpbiqiies (IdSO). Or, si P', Q', m', sont les homologues de P, Q, m, le faisceau engendré par F' m' tournant autour du point fixe P' sera homographique du faisceau en- gendré par P/;/ (73'J); de môme, le faisceau décrit par Q'/?/' sera homographique du faisceau décrit par Qw, Donc les faisceaux engendrés par V'ni' et Q' m' sont homographiques, et (1131) le lieu du point m' est une conique. — A un point p et à sa polaire L relatifs à la première conique C, r-é pondent dans la seconde conique un point p' et sa polaire L'. Car aux quatre points harmoniques p, <?, </, h, situés sur une transversale issue du point /j, et qui coupe la conique C en a et h et la polaire L en 7, répondent quatre points/)', «', (/',6', qui sont aussi harmoniques (731). On voit par là qu'« deux points ou à deux droites conjuguées relative- ment à la conique C répondent deux points ou deux droites conjuguées relativement a la conique C. — L'axe cVIiomologie XX' est une corde commune aux deux coniques C et C. En effet, les points communs à la conique C et à l'axe XX' sont les points doubles des deux divisions homo- graphiques tracées sur XX' par les faisceaux générateurs Vm et Qw de cette conique. De même, les points communs à la conique C et à XX' sont les points doubles des deux divisions tracées sur XX' par les faisceaux ?' m' et Q'/«'; mais les rayons homologues des faisceaux P et P' se cou- pent sur l'axe XX', aussi bien que les rayons homologues des faisceaux Q et Q'. Donc les points doubles sont les mêmes pour les deux divisions. — Enfin on voit, soit par un raisonnement corrélatif du précédent, soit en appliquant à la propriété précédente la transformation par polaires réciproques, que le centre dliomologie S est un ombilic des deux co- niques.
Réciproquement, deux coniques quelconques C et C sont deux figures homologiques dans lesquelles l'axe d'iioi/iologie est une corde commune et le centre d'homologie un ombilic correspondant à cette corde. Considérons le trianglep/>'/>", dont chaque sommet est le pôle du côté op- posé par rapport aux deux coniques [fig. 6oi) ; par chaque sommet pas- sent deux cordes communes, et sur chaque côté sont situés deux om- bilics ; nous appelons ombilics correspondant h une corde commune les deux ombilics placés sur le côté du triangle pp'/?" opposé au sommet qui est situé sur la corde commune considérée. Cela étant, soient XX' une corde commune aux deux coniques proposées, qui les coupe en^-et/, et S l'un des deux ombilics correspondants ; a étant un point quelconque de la conique C, la droite S« rencontre la conique C en deux points : dési- gnons par a' celui de ces deux points qui, lorsque la sécante Srt tourne autour de S, vient se réunir avec a au point e. Si, en prenant S pour centre d'homologie, XX' pour axe et («,«') pour un couple de points homologues, on construit la figure homologique de C, on trouve une
LIVRE Vm. — LES CO'JKBES USUELLES. 44-^
conique C, qui, ayant en commun avec la conique C les points a\ e, /, et les deux tangentes issues de S, ne diffère pas de la conique C. Donc C et C sont homologiques.
Il faut cependant, d'après la démonstration même, que les deux coni- ques soient placées de lelle façon, que toute transversale issue de l'om- bilic S rencontre les deux courbes en des points qui soient à la fois réels ou à la fois imaginaires pour les deux coniques.
De plus, comme il peut y avoir six cordes communes, et qu'à chacune d'elles répondent deux ombilics, on voit que eleiix coniques peuvent cire hontologiques de douze mnnièrcs différentes.
Parmi les nombreux corollaires de cette réciproque, nous citerons les deux suivants :
Lorsque deux coniques se touchen t en un point A et se coupent en deux autres points B et C réels ou imaginaires, le point A est un centre d'ho- mologie, et la corde commune BC, qui est toujours réelle, est l'axe d'homo- logie correspondant.
Lorsque deux coniques ont un foyer commun, le foyer est un contre d'homologie, puisqu'il est le point de concours de deux tangentes com- munes imaginaires (1J62).
1179. Voici quelques applications de la théorie de Thomologie aux co- niques :
i" Considérons une conique C et un cercle C ayant un foyer F de la conique pour centre. Ces deux courbes sont homologiques, et F est le centre d'homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de F comme sommet, la corde qu'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique au premier ; donc la corde interceptée dansla conique enveloppe une seconde conique C. D'ailleurs, deux cercles concen- triques ont un double contact sur la droite de l'infini; donc, les coniques C et C" ont un double contact (imaginaire) sur la directrice correspon- dant au foyer F, attendu que cette directrice, étant la polaire du foyer, correspond à la droite de l'infini dans le cercle, laquelle est la polaire du centre. Ainsi, lorsqu'un angle de grandeur constante tourne autour du foyer d'une conique comme sommet, la corde qu'il intercepte dans la conique enveloppe une nouvelle conique doublement tangente à la pro- posée sur la directrice relative au foyer considéré.
2° Soient une conique C et un cercle C tangent en S à cette conique. Ces deux courbes sont homologiques, et S est le centre d'homologie. Si un angle de grandeur constante tourne autour de S comme souunct, la corde interceptée dans le cercle enveloppe un cercle concentrique. Donc, la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique C" double- ment tangente à la première, suivant la parallèle à l'axe d'homologie qui
^44 (jf.OMÉlUli; DANS L LSTACE.
répond à l'infini du cercle. Ainsi, loisquhui aii^le de i^randeur constante tourne autour d'un point d'une conuiue comme sommet, la corde inter- ceptée dans la conique enveloppe une autre conique cjui a un double con- tact avec la première.
• En particulier, si l'angle est droit, la coide interceptée dans le cercle passe par le centre de ce cercle, c'est-à-dire par un point fixe situé sur la normale commune aux courbes C et C au point S. Donc, quand un angle droit pivote autour d'un point S d'une conique comme sommet, la corde interceptée dans la conique passe par un point fixe situé sur la normale en 'à à la conique. C'est le théorème de Frégier, que nous avor.j démontré déjà directement au n° 1139.
3° La transformation homologique permet de ramener les questions graphiques relatives aux coniques à de simples questions du même genre relatives au cercle. Tout consiste à tracer dans le plan de la conique un cercle et à déterminer, d'après les conditions qui définissent la conique, le centre et l'axe d'homologie de la conique et du cercle. On aura alors tout ce qu'il faut pour résoudre, sans peine et à l'aide de la règle seule, les diverses questions graphiques relatives à la conique.
Supposons, par exemple, qu'on demande de déterminer le centre et les axes d'une conique donnée par quatre points 0, a, b, c, et pyr la tan- gente Of au point 0.
On tracera un cercle quelconque tangent en 0 à la droite 0/; ce cercle sera homologique de laconique par rapport au centre d'homologie 0. En joignant le point 0 aux points a, b, c, on aura, [)ar les intersections des droites Oa, Ob, Oc, avec le cercle, les points a', b', c', homologues de a, b, c. On se trouvera alors dans les conditions du n" 729 (i°), et l'on saura trouver le point de la figure F qui répond à un point prisa volonté dans la figure F', ce qui permettrait de tracer la conique par points. On déterminera i 730 ) la droite limite J' de la figure F'; cette droite pourra rencontrer le cercle en deux points jc'.j', ou le toucher en un seul point s', ou être extérieur à ce cercle.
Dans le premier cas, la conique aura deux points à l'infini , placés sur O^r'etOj'; ce sera donc une hyperbole, dont on aura les asymptotes en cherchant les homologues des droites p'x, p'j', qui touchent le cerc.'e aux points j:' et.r'.
Dans le deuxième cas, la conique n'aura qu'un pointa l'infini situé sur Oz'; ce sera une parabole dont l'axe, d'ailleurs parallèle à Oz', s'ob- tiendra en prenant la polaire du point situé à l'infini sur la direction per- pendiculaire à O2'.
Dans le troisième cas, la conique n'ayant aucun point à l'infini sera une ellipse, dont on aura le centre en prenant l'homologue /j du pôle p' de J' par rapport au cercle.
I.nui: MM. — LES COLKBES i;SI,ELLES. 44^
Dans le cas de l'hyperbole, les axes sont parallèles aux bissectrices des angles des droites Ox' et Oj' qui sont les directions asymptotiques. Mais on peut oblenirces parallèles aux axes sans faire intervenir les droitesOx' et Or', de manière à avoir une construction qui s'applique au cas de l'eliipse, dans lequel Ox' et Oj' sont imagin;iires. Il sufllt de iriicer le diamètre du cercle qui passe par le point p' ; les directions demandées seront celles des droites qui joignent le point 0 aux exliémités ds ce diamètre.
CONIQUES HOÎIOTIIÉÏIQUES.
1180. On sait que deux figures homolhétiques ne sont autre chose que deux figures homologiques dont l'axe d'homologie est à l'infini (732). 11 suit.de là et des propiiélés démontrées au n° 1178 que (a figure lioniotliéllque d'une coiiitiuc est une conique, et que deux coniques honio- thétiques ont une corde commune à Vinfini. Réciproquement, lorsque la droite de Vinfiid est une corde commune à deux coniques C et C, ces courbes sont liomothétiques . En effet, si deux points de la droite de l'in- fini sont conjugués par rapport à l'une des coniques, ils sont conjugués par rapporta l'autre; par suite, deux diamètres conjugués quelconques de la courbe C sont parallèles à deux diamètres conjugués de la courbe (7. Cela posé, soient AB et A'B' deux diamètres parallèles des coniques C et C ; M étant un point quelconque de C, AM et BM sont parallèles à deux diamètres conjugués de C, et, par suite, les parallèles A'M'et B'M' à AM et à BM se coupent en un point M' de la conique C. Or (360), les points M et M' ainsi déterminés décrivent deux figures homothéliques
AB
dont le rapport de similitude est -rrrrr
A li
11 résulte delà que toute coniciue passant par les deux points cycliques de son plan est un cercle, car, ayant la droite de l'infini pour corde com- mune avec un cercle quelconque de ce plan, elle est homothélique à ce cercle.
1181. Deux roni(jues homotliétiijues et concentriques ont un double contact sur la droite de l'infini. En effet, soient = et '^ les points com- muns aux deux coniques et à la droite de l'infini. Les tangentes en t et y à la première conique doivent passer par le pôle de îo, c'est-à-dire par le centre 0 de cette conique ; de même, les tangentes en s et <j> à la deuxième conique doivent passer par 0 ; donc les deux coniques ont les mêmes tangentes en £ et ^. Réciproquement, deux coniques qui ont un d'iublc contact sur la droite de l'infini sont }iomnthcti<pics et concen- triques ; car d'abord elles sont homolhétiques, puisque la droite do l'in- fini est une corde commune, et, d'autre part, Le centre de chacune d'elles doit être le pôle de la droite de l'infini, qui est le mémo pour les deux
446 GÉOMÉTIllE DANS l'kSPACE.
coniques, puisque c'est le point de concours des tangentes communes en s et y.
1182. Deux figures semblables ne diffèrent en définitive que par l'échelle à laquelle elles sont construites, de sorte qu'un simple changement d'é- chelle les rendrait égaies. Donc, pour trouver les conditions de similitude de deux courbes de même espèce, il suffit de distinguer, d'après la défi- nition des courbes de cette espèce, les données distinctes et indépen- dantes relatives à la forme des données relatives à la position. Par exemple, si la connaissance d'une seule grandeur suffit pour déterminer la forme d'une courbe d'une certaine espèce, toutes les courbes de cette espèce sont semblables, car un simple changement d'échelle permet de les faire coïncider. Ainsi tous les cercles sont semblables, toutes les paraboles sont semblables. Si la forme de la courbe dépend de plusieurs données distinctes et indépendantes, il faut que les données angulaires homologues soient égales et les données linéaires homol-ogoes proportion- nelles ; car, le changement d'échelle ne permettant de rendre égaux que deux éléments linéaires homologues, l'égalité des autres éléments linéaires homologues doit résulter de celle des deux premiers. C'est ainsi que la similitude de deux ellipses ou de deux hyperboles consiste dans la pro- portionnalité de leurs axes.
Quand deux paraboles ont leurs axes parallèles, elles sont hainothé- tiques ; elles touchent la droite de l'infini au même point : c'est le point situé sur leurs axes parallèles.
MÉTHODE FONDÉE SUR LA PtVOJECTION CONIQUE-
H83. Nous avons dit que c'était surtout à propos des coniques qu'ap- paraîtrait la portée de cette méthode, dont nous avons exposé les pre- miers principes aux n°* 72o, 726 et 727.
Voici un premier exemple, important par lui-même et par la facilité avec laquelle la méthode s'y applique :
Un triangle ABC étant trace dans le plan d'une conique qui ren- contre ses côtés consécutijs AB, BC, CA, en trois couples de points (c, c'), (a, «')) {b,b'), les segments que ces points forment sur les cotés ont entre eux la relation
Ab.Ab' Ca.Ca' Bc.Bc' _ Ch.Cl/'Ba.Ba'' Ac.Ac' ~^'
Kn effet, cette relation est projective ; car, lorsqu'on a chassé le déno- minateur, onvoit qu'elle satisfaitaux conditions prescrites dans le n"727. D'ailleurs, elle est évidente sur le cercle, à cause de la propriété des se-
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 4 »7
cantos ; donc elle convient à une section conique (Hielcoiniue, [niisim'une telle courbe peut toujours être projetée suivant un cercle.
Ce lliéorcme, dû à Carnot ( Gcoméirie de position, p. 4^7). est la géné- ralisation de celui de MénéUiiis (310). Il a de nombreuses conséf|uences. Par exemple, si le sommet B du triangle ABC est à l'infini, la relation
précédente devient
Ab.kb' ^Ch.Ch'
Ac.Ac' Ca.Cd'
Or, si par un point quelconque D de la droile Cna' on mène une pa- rallèle à AC,qui rencontre la conique en e et e', on aura de mémo
Dt'.De' _Cb.Cb' Ba.Da'~ Ca.Cd''
d'où, en rapprochant les deux équations précédentes,
A^>.A^'_Df.Dg' Ac.\c'~Da.Ba''
Donc : Si dans le plan d 'une conique on mène par un point <pielconque A deux droites parallèles a deux axes fixes, le rapport des produits des segments [réels ou imaginaires) que la courbe détermine sur ces droites h partir de leur point commun A est constant. Ce théorème est dû à Newton [Énumération des courbes du troisième ordre).
4184. Pour montrer toute la fécondité de cette méthode relativement à la recherche des propriétés des sectionsconiques, il faut établir quelques nouveaux principes.
i" On peut projeter une conique C de telle sorte qu'une droite L de son plan passe à Vinfini, et qu'un point f de ce même plan se projette au foyer de la nouvelle conique C — Le point F doit, d'après cela, être à l'intérieur de la conique C. Par suite, linvolution déterminée sur la droite L par tous les couples de droites conjuguées issues du point F a ses points doubles imaginaires ( 1 140 ) , de sorte qu'il existe de part et d'autre de L deux points P etP'de chacun desquels on voit sous un angle droit les divers segments de l'involution. Plaçons le sommet S du cône sur la cir- conférence décrite, dans un plan perpendiculaire à celui de la coni(|ue C, sur PP' comme diamètre, et prenons [)0ur plan de projection un plan pa- rallèle à celui du sommet S et de la droile L. De cette façon, la droite L passera à l'infini dans la projection, et chaque couple de droites conju- guées issues du point/ deviendra en projection un couple de droites rectangulaires et conjuguées par rapport à la conique C. La projection du point /sera dune ( ll?)îj) un loyer de cette nouvelle courbe C. Ajoutons que celte conique C sera une hyperbole, une ellipse ou une pariibole,
448 GÉO.MlVilUE DANS l'uSPACE.
suivant que la droite L coupera la conique primitive C en deux points réels, imasinaires ou coïncidents.
Le pôle o de la droite L, par rapport à la conique C, deviendra en pro- jection le centre de la conique C (1142). On peut donc projeter une co- nique C de manière que deux points j et o de son plan deviennent, en projection, l'un le forer, l'autre le centre de la nouvelle conique C.
En particulier, si /coïncide avec le pôle o de la droite L par rapport à la conique C, le même point sera en projection le centre et le foyer de la nouvelle conique C, qui dès lors sera un cercle. On peut donc pmjete; une conique suivant un cercle de telle sorte qu'un point de son plan se projette au centre du cercle ou qu'une droite de son plan passe à l'infini.
7.° On peut projeter deux coniques situées dans un même plan suivant deux cercles. —Il faut évidemment que les deux coniques proposées aient au plus deux points communs réels ; il existe alors une corde commune réelle qui rencontre les deux coniques en deux points imaginaires (1 170, 2°). En projetant de telle sorte que l'une des coniques devienne un cercle et que cette corde commune passe à l'infini, l'autre coniciue donnera aussi un cercle, car les deux courbes ayant en projection une corde commune à Tinfini seront homothétiques ( 1180), et la figure homo- tiiétique d'un cercle est un cercle.
Si les deux coniques proposées ont un double contact imaginaire, on peut les projeter suivant deux cercles conce/itri(pies. Car, en projetant l'une des coniques suivant un cercle de telle sorte que la corde de con- tact passe à l'infini, l'autre conique donnera un cercle de même centre, puisque les deux courbes en projection ayant un double contact sur la droite de l'infini devront être homothétiques et concentriques.
Les deux droites qui joignent le foyer d'une conique aux points circu- laires à l'infini sont tangentes à la conique (1162), et la corde de contact est la polaire du foyer, c'est-à-dire la directrice. Donc, deux coniques qui ont même foyer et même directrice peuvent être projetées suivant deux cercles concentriques, attendu qu'elles ont un double contact imaginaire sur la directrice commune.
3° On peut projeter une conique C de telle sorte que deux points [in- térieurs] de son plan,fetj', deviennent en projection les deux foyers de la nouvelle conique C. — En effet, en désignant par a et a' les points où la droite /f coupe la conique C, et par / et /' les points qui divisent à la fois harmoniquement les segments aa' et _//', il sutlit de projeter de telle sorte que /et /■ deviennent l'un le foyer, l'autre le centre de la nou- velle conique C. Alors la projection de/' sera évidemment l'autre foyer.
On peut projeter deux coniques situées da/is un même plan suivant deux coniques confocales. — Ces deux coniques doivent avoir un seul couple d'ombilics réel.-^, et ces deux ombilics doivent être intérieurs à
LIVIIE Mil. — LtS COLKUES USUELLES. 4^9
l'une et à l'autre courbe. Cela étant, il suffit de projeter de manière que :es deux ombilics deviennent en projection les deux foyers de l'une des courbes; ils seront par cela même les deux foyers de l'autre ( 1161 ).
Voici des applications :
Dans tout quadrUdtcrc inscrit à une cnnie/ue, V intersection des deux diagonales est le paie de lu droite quijoint les points de concours des côtés opposés; 1rs diagonales de ce quadrilatère et celles du quadrilatère dont les côtt'-s sont les tangentes à la conique menées par les sommets du qua- drilatère inscrit se coupent au même point et forment un faisceau har- monique. Car, en projetant la conique suivant un cercle, de telle sorte que la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrila- tère inscrit passe à linfini, le théorème devient évident.
Quand deux coniques ont un double contact, toute corde de l'une qui est tangente à l'autre est divisée hctrmoniquement par le point de contact et j)ar le point où elle rencontre la corde de contact des deux coniques. Car, en projetant les deux coniques suivant deux cercles concentriques, on transforme cette proposition dans la suivante, qui est évidente : Toute corde d^un cercle tangente à un cercle concentrique a son milieu au point de contact.
Si deux côtés d'un triangle inscrit à une conique passent chacun par un point fixcy le troisième côté enveloppe une co/nque qui a un double contact avec la première sur la droite qui joint les deux points fixes. Cd^r, en projetant la conique suivant un cercle de telle sorte que les deux points fixes passent à l'infini, on retombe sur ce théorème : Si deux côtés dun triangle inscrit dans un cercle sont parallèles à deux droites données, le troisième côté enveloppe un cercle concentrique, ce qui est évident, puis- que l'angle au sommet du triangle est constant.
On voit immédiatement que le lieu des centres des cercles qui passent par un point ^xe et qui touchent une droite fixe est une parabole dont le point fixe est le forer. En transformant par projection ce théorème, et remarquant que le point fixe ou foyer et les deux points cycliques forment un triangle circonscrit à la parabole, on obtient la propo- sition suivante : Etant donnés un triangle et une droite, si l'on conçoit toutes les coniques circonscrites à ce triangle et tangentes à cette droite, le lieu des points de concours des tangentes à deux des sommets du triangle est une conique inscrite dans ce triangle.
Nous avons démontré (l'104) que le cercle circonscrit à tout triangle iornié par trois tangentes à la parabole passe par le foyer : en remar- quant que le foyer et les deux point.s cycliques forment un second triangle circonscrit à la parabole, et, transformant par projection, on arrive à ce théorème : Si deu.v triangles so/it circonscrits à une conique, leurs six sommets sont situés sur une conique.
P.. Pl nr. C. — Tr. de Géom ( II' Partie). 29
45o GÊOMÉTIUE DANS l'eSPACE.
118j. La solution générale du problème de la transformation des rela- tions angulaires est due à M. Laguerre [Nouvelles Annales, i853). Elle repose sur le principe suivant :
Le rapport anharmoniqiie
, , sin//oo- sin//o/(
1 -= ^ • -^ ■/
sinwg- sinco/i
du faisceau formé par les côtés d'un angle uov = Q et parles droites qui
joignent son sommet aux points cf cliques g et h du plan est égal à
g29v^_ En effet, m étant un point d'un cercle ayant o pour centre et R
pour rayon, on a, en menant mp parallèle à ov jusqu'à sa rencontre
avec ou,
— ' — ' , _, , smuom pm
op -^ pm -^ 2op.pm cosfJ = K et -^ = — - — j
' ' smcow op
d'où, en désignant par z ce rapport de sinus,
Z^ — 2ZC0SÔH-I= :,•
op
Or, si m est l'un des points g ou //, op est infini, et l'on voit que le rap- port anharmonique a bien la valeur énoncée, puisqu'il est égal au quo- tient des racines de l'équation
Z^ — 2Z cosO -f- I = 0.
Cela posé, soit uoi> = 0 un angle quelconque, UOV sa projection, G et H les projections des points cycliques g et h du plan «oc; en désignant par p et nommant rapport anharmonique relatif à l'angle UOV le rapport (i), dans lequel on remplace chaque lettre par la lettre majuscule correspon- dante, on a, en vertu de la projeclivité du rapport anharmonique,
e^6V~ = p^ d'où 9 =r L=- logp.
2\/ — 1
Telle est la relation entre un angle et sa projection. Donc enfin, à une relation quelconque
entre les angles 9,, . . . , 9„ d'une figure répond, entre les angles 6', , . . . , 6jj delà figure projection, la relation
/( /— '"SP" / — 'ogP2» •••) !_ logo J = o,
} \2y/ — I 2^ — I ^v — * /
OÙ pj désigne le rapport anharmonique relatif à l'angle 9'/..
Remarquons que, dans le cas particulier de ô = - j ona p = e^-^-' = — i;
donc, à tout angle droit d'une figure répond, dans la figure projection.
LIVRE YllI. — l-F.S COURBES USUELLES.
Z|Or
un angle dont les côtés divisent luirnumiqucnient les droites qui joignent le sommet aux projections des points cycliques. Voici quelques applications :
Deux coniques confocales se cou- pcnt orthogonalement (1161),
Le lieu des angles droits circon- scrits à une ellipse ou à une hyper- bole est un cercle (990, 1021).
Le lieu des angles droits circon- scrits à une parabole est la direc- trice {SUS).
Si autour du centre d'un cercle comme sommet on fait tourner un angle de grandeur constante, la corde qu 'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique.
Si deux coniques sont inscrites dans le même quadrilatère, les deux tangentes à l'un des points com- muns divisent harmoniquement une diagonale quelconque de ce quadri- latère.
Le lieu des angles circonscrits à une conique, dont les côtés divisent harmoniquement une ligne droite donnée ab., est une conique passant par les points a et b.
Le lieu des angles circonscrits à une conique, dont les côtés divisent harmoniquement une tangente ab h cette conique, est la droite qui joint les points de contact des tan- gentes issues de a et de b.
Si autour d'un point fixe on fait tourner deux rayons formant deux faisceaux homograpliiques dont les rayons doubles soient les tangentes à une conique, la corde interceptée clans la conique enveloppe une autre conique qui a avec la première un double contact sur la polaire du point fixe.
TRACES RELATIFS AUX CONIQUES.
1186. Construire une conique connaissant :
1° Cinq points ^/, b, c, d, e. — abcd forme un quadrilatère inscrit dans la conique cherchée. Par le point e, on mènera une droite quel- conque ef et l'on cherchera le point /conjugué du point c dans l'inv-o- lution déterminée sur cette droite par les points où elle rencontre les côtés opposés (lu quadrilatère. Le point /appartiendra à la conicjue.
Si l'on veut trouver la tangente bt en b, on regardera acbt comme un quadrilatère inscrit, dont deux sommets sont infiniment voisins en b, et la droite ed comme une transversale de ce quadrilatère. Celte transver- sale coupe les côtés opposés ba, bc, en x, 7, la courbe en e et d, et lc3
452 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
côtés opposés ac, bi, en S et x. Ces six points formant une involution, on déterminera le point x, et par suite la tangente ùt.
2° Cinq tangentes. A, B, C, D, E. — Quatre des tangentes données for- ment un quadrilatère circonscrit. Qu'on prenne sur la cinquième un point quelconque a et qu'on le joigne aux quatre sommets du quadrila- tère; le sixième rayon, conjugué à la cinquième tangente dans l'involution que ces quatre droites déterminent, est une tangente issue du point a.
Supposons qu'on veuille trouver le point de contact de la tangente B. On considère le quadrilatère formé par les tangentes A, C, B, dont deux côtés se confondenten un seul suivant B, et dont (A, C), (A, B), (B, C) et t sont les quatre sommets. Le sommet / est incoimu, mais les six rayons qui aboutissent au point de concours I de D et E, savoir : D, E, 1 (A, B), I(B,C),I(A, C), I^ sont en involution, et cinq sont connus. Il sera donc facile de déterminer le sixième et, par suite, le point cherché t.
Dans le cas de la parabole, la cinquième tangente est donnée implici- tement : c'est la droite de l'infini. Les quatre qui sont données forment un quadrilatère. Par les sommets de ce quadrilatère, on mènera quatre parallèles dans une direction arbitraire; on les coupera par une trans- versale quelconque, sur laquelle on cherchera le point central de l'invo- lution qu'elles y déterminent, et la parallèle aux autres droites menée par ce point sera une cinquième tangente.
3° Quatre points et une tangente. — Soient abcd le quadrilatère donné et e le point de contact inconnu de la tangente. Soient a, a', et S, p', les points où cette tangente rencontre successivement les côtés opposés du quadrilatère. Ces points déterminent une involution dont e est un point double. Il sera donc facile de le trouver. On voit que la question a deux solutions.
Dans le cas de la parabole, la tangente est à l'infini. Soit S le point de concours des côtés opposés od et bc du quadrilatère donné. Qu'on mène Se', Sr/', parallèles respectivement aux deux autres côtés opposés; on a quatre rayons Se', Sf/', Se, Sr/, issus du point S, qui, conjugués deux à deux, déterminent une involution. Chacun des deux rayons doubles de cette involution est parallèle à l'axe d'une parabole qui satisfait à la question.
4° Quatre tangentes et un point. — On trouve une cinquième tangente en cherchant les rayons doubles de l'involution qui est déterminée par les quatre rayons, conjugués deux à deux, qu'on obtient en joignant le loint donné aux sommets du quadrilatère formé par les quatre tan- gentes données. Chacun des deux rayons doubles est une tangente à la conique; on a donc deux solutions distinctes.
Pour la parabole, on donne un point et trois tangentes; la quatrième
IIVKE VIII. — LES COL'RBES USUELLES. 4^3
est à l'infini. La solution est la même; deux des rayons de l'involution sont parallèles respectivement à deux des tangentes données.
5" Trois jmints et deux tangentes. — Soient a, h, r, les trois points donnés, T et T' les deux tangentes qui se coupent en 0 et qui touchent respectivement la courbe aux deux points <t et e qu'il s'agit de déter- miner. On peut regarder la corde de contact de comme représentant un quadrilatère inscrit dont deux sommets sont en r/et les deux autres en e. La corde //r, considérée comme une transversale du quadrilatère et de la courbe, fournil une relation d'involulion, en vertu du théorème de Desargues, entre les six points où elle coupe les côtés opposés du qua- drilatère et la courbe. Ces points se réduisent ici à cinq, savoir : /, /', sur les tangentes /^/O, cO, respectivement; s, sur les deux autres côtés opposés qui se confondent en un seul de\ et enfin b, c, sur la courbe. Le point s est donc un point double de l'involution déterminée par les segments bc, tt'.— Si l'on prend «^ comme transversale au lieu de bc, on trouvera de même un point ^ appartenant à la corde de contact de, qui sera ainsi déterminée par les deux points t et cp. Mais comme chacune des deux relations d'involulion fournit deux points doubles » et s', y et 7', on obtiendra quatre positions distinctes de la corde de, savoir : î^, £'/, s'f, î''/, c'est-à-dire quatre solutions du problème proposé.
Dans le cas de la parabole où l'on ne donne qu'une tangente et trois points, on obtient de même quatre solutions. La tangente T' est à l'infini, ainsi que le point t'; donc, le point t qui lui est conjugué dans l'invo- lution est le point central de cette involution, dont on connaît en outre le segment /'c et dont il s'agit de trouver les points doubles. Chacune des quatre cordes de contact îf est un diamètre d'une parabole satisfaisant aux conditions proposées.
6° Trois tangentes et deux points, — Nous allons déterminer deux nou- velles tangentes à la courbe aux points donnés «et A. Soient AB,BC,CD, celles qui sont données. Désignons par 0 le point de contact inconnu des deux tangentes cherchées; si l'on regarde l'angle /;0« comme un qua- drilatère circonscrit OaOb dont les côtés adjacents se sont confondus deux à deux en un seul On ou Ob, on verra que la droite BO est un rayon double de l'involution formée par les deux couples de rayons conjugués Ba et Ub, B.\ et BC. Pareillement, CO est un rayon double de l'involution C.a, Cb, CB, CD. Donc, le point 0, intersection des rayons BO et CO, est dé- terminé. Mais, comme chacune des involutions comporte deux tels rayons, on obtient quatre positions distinctes du point 0, et, par conséquent, le problème admet, comme lo précéflent, quatre solutions.
S'il s'agit (l'une [)arabole, l'une des trois tangentes données esta l'infini, BC par exemple. La construction reste la même en principe; mais ici les deux faisceaux de rayons en involulion se composent de droites parallèles,
454 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
puisque leurs rayons respectifs B et C sont à {"infini. Coupons-les par une transversale quelconque. On aura sur cette droite, relativement au pre- mier faisceau : deux points x, p, intersections des rayons conjugués aB, ^B; un point w, intersection du rayon AB dont le conjugué CB est à l'in- fini, ce qui est cause que w est le point central de l'involulion; enfin un point double x, intersection du rayon BX, et qu'il s'agit de déterminer. Relativement au second faisceau, on aura de même deux points conju- gués d'une involution x', ê', un point central w', et l'on déterminera un point double j. Lc'S droites .rO, jO, parallèles respectivement aux deux tangentes données AB, DC, se couperont au sommet 0 de l'angle circon- scrit à l'arc ab de la parabole, et l'on aura encore quatre solutions, parce que l'on obtiendra deux positions du point x et deux positions du point /.
1187. Les solutions précédentes, qui sont extraites d'un excellent article de M. de Jonquières, publié dans le tome XVI des Nouvelles annales (T* série) , sont fondées sur le théorème de Desargues et le théorème corrélatif.
Les autres théorèmes généraux (proposition fondamentale du n" 1131, théorème de Pascal, théorème de Carnot, etc.) fourniraient de nouvelles solutions.
Reprenons, par exemple, le premier cas, c'est-à-dire celui où l'on donne cinq points a, b, c, d, e, et appliquons la proposition fondamen- tale du n° 1131. On prendra deux des points donnés d et e comme som- mets des deux faisceaux homographiques dont on aura alors trois couples [da, ea), [db, cb), [de, ec) de rayons homologues. L'intersection d'une droite dm menée à volonté par d et de son homologue em sera un nou- veau point de la conique. — La tangente au point d sera l'homologue du rayon ed considéré comme appartenant au faisceau (<?), et cette con- struction donnera la tangente en un point quelconque de la conique, car il suffira de considérer ce point comme le sommet de l'un des faisceaux générateurs. — Les points où une droite donnée L rencontre la conique seront les points doubles des deux divisions tracées sur cette droite par les deux faisceaux. — Les directions des asymptotes s'obtiendront en transportant le faisceau [e) parallèlement à lui-même au sommet d, et prenant les rayons doubles du faisceau [d) et du faisceau [e] ainsi trans- porté; car ces rayons doubles sont les rayons du faisceau [d) dont les homologues dans [e) sont parallèles.— Enfin, une fois les deux points à l'infini u et w' ainsi déterminés, on aura les asymptotes elles-mêmes en menant les tangentes en ces deux points, ce qui se fait en considérant la conique comme engendrée par deux faisceaux ayant w et w'pour centres et prenant dans chaque faisceau l'homologue de la droite à l'infini ww'. Voici le détail de ces opérations : par a, b, c, on mène des parallèles r? a,
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. ^00
5p, CY, et «a', 6^', cy', aux droites déjà trouvées chù, doj'; soient X, p, Y' °''' P' Y ' '^s points où ces droites rencontrent une transver- sale quelconque L ; la droite ww' rencontre L à l'infini; on détermi- nera les points I et J' conjugués de l'infini dans les deux divisions dé- terminées par les trois couples (a. a), (^, p'), (y, y'); les droites menées par I parallèlement à r/co et par J' parallèlement à cUo' seront les asymptotes.
Indiquons maintenant la solution fondée sur le théorème de Pascal. — Pour avoir le point /où une droite quelconque menée par a rencontre la courbe, on considérera l'hexagone inscrit dont les sommets seraient fi, b, c, d, e,J [Jii^. -212). On prendra le point // commun aux côtés opposés «/et ff/, le point / commun à ab et f/e; la droite ni contiendra le point de concours du côté bc et du côté inconnu cf-^ on aura donc ce point de concours m par la rencontre de bc et de In. Dès lors, les droites r//et me donneront le point demandé /. — On obtient la tangente en a en considérant ie pentagone abcde comme un hexagone abcdef dont deux sommets voisins a et /seraient confondus; le côté «/est alors remplacé par la tangente en .?, qu'il s'agit de déterminer. A cet effet, on prendra l'intersection /de baf H de de, l'intersection m de bc et de ea; la droite misera la droite qui joint les points de concours des couples de côtés opposés; elle contiendra donc le point de concours de cd ei de la tangente en «; ce point sera donc à la rencontre n de cd et de fil, et an sera la tangente cherchée. Ces constructions sont, au fond, d'une grande simplicité.
La tangente en a une fois connue, on peut trouver les éléments de la courbe par la théorie des figures homologiques, comme nous l'avons expliqué au n" 1179, 3°.
Nous devons faire connaître ici une généralisation remarquable du théorème de Pascal, qui est due à M. .\ubert {Naiwelles Annalex, V série, tome VIII) et qui donne neuf points en ligne droite.
La proposition de .M. Aubert peut s'énoncer ainsi :
.Si deux triangles ABC, A'B'C inscrits dans une conu[ue sont bonwlogiques , et si l'on prend un point I sur la conique, les points de concours ol, ^, -( des droites BC et lA', GA et IB', AB et [C sont situes sur une même droite L passant par le centre d'Iio- mologie D.
En effet, considérons les trois hexagones 1A'A.BCC', JB'BCAA', IC'CABB'; ils ont un sommet commun 1 et chacun des autres som- mets se déduit de ceux de l'hexagone précédent par une permutation circulaire effectuée sur les lettres. Les trois droites de Pascal corrcs-
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456 |
G |
É031É1U1K DA>S LKSrACE |
• |
|||
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pondantes |
||||||
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lA' |
A' A AB |
IB' B'B BC |
IC ce |
CA |
||
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BC |
ce IC |
5 |
CA AA' lA' |
> |
AB BB' |
IB' |
sont
aDy, pDa, ^D^.
Chacune d'elles ayant deux points communs avec cbacune des deuî autres, ces trois droites coïncident et, par suite, les points a, p, y, D sont en ligne droite.
Ce théerème a de nombreuses conséquences; nous signalerons seule- ment son application à la construction d'une conique donnée par cinq points I, A, B, A', B'.
Par le point de concours D de AA' et BB', menons une droite quel- conque L et soient a, p, y les points où L rencontre lA', IB' et AB. Les droites aB et pA donnent un point C de la conique, et les droites CD cl ly en donnent un autre C.
En conservant le même point I, on peut échanger soit simultanément, soit séparément, les lettres A et A' d'une part, B et B' de l'autre. Avec chacune de ces nouvelles combinaisons de points, la môme droite L fournit deux nouveaux points de la conitjue; on obtient donc huit points de la conique à l'aide de cette droite L.
1188. On a souvent à déterminer une conique par des conditions autres que celles de passer par des points ou de touclier certaines droites.
On dit qu'une condition est simple lorsque la recherche d'une conique assujettie à remplir celte condition et à passer en outre par quatre points est un problème déterminé.
Il est évident, d'après cela, que donner un point ou une tangente équivaut à une condition simple (1186), et qu'il faut cinq conditions simples pour déterminer une conique.
Une tangente cl son point de contact \ aient deux conditions ; par suite, il en est de même d'une asymptote; une parallèle à une asymptote ne vaut qu'une condition, puisque cela revient à donner un point situé à l'infini sur cette parallèle.
Un point p du plan et sa polaire P valent deux conditions ; car, si l'on donne en outre trois points «, Z», c, de la conique, on aura trois nouveaux points a', h\ c', de la courbe en prenant les conjugués harmoniques de (7, /v, c, par rapport aux segments interceptés sur les droites pa,pb.pc, entre le point/» et sa polaire P. — Un point du plan et un point de sa polaire équivalent à une seule condition.
LIVRE VIII. — LES COIKBES L'SLELLES, \:)-J
Le centre vaut deux conditions, puisque c'est le pôle de la droite do l'infini.
Viïi foyer vaut aussi deux conditions, puisque les droites qui joignent ce point aux deux points cycliques du plan sont tangentes à la conique. On peut aussi remarquer qu'un foyer /"et trois points a, b, c. déter- minent la conique : la directrice coupe en effet la droite ab sur la bis- sectrice du supplément de l'angle afb ( 1138 ), etc.
Un axe vaut deux conditions, puisque, si l'on donne en outre trois points de la conicpie, on a trois nouveaux points de cette courbe en pre- nant les symétriques des premiers par rapport à l'axe. 11 résulte de là qu'un sommet équivaut à deux conditions, car, si l'on donne en outre la tangente en ce point, on aura par là même un axe et un point, c'est-à- dire trois conditions.
Dire qu'une conique est une parabole équivaut à une condition, puisque c'est donner une tangente (la droite de l'infini). — Dire que la conique est un cercle équivaut à deux conditions, puisque c'est donner deux points de la courbe (les deux points cycliques du plan). — Savoir qu'une conique est une hyperbole équilatère équivaut à une condition; cela résulte de ce que deux points A et B et une asymptote L (^ c'est-à-dire quatre conditions; déterminent une hyperbole équilatère. En effet, le théorème des sécantes donne le point où la corde AB coupe l'autre asymptote qui est dès lors déterminée puisqu'elle est perpendi- culaire à la première.
1189. A tout système de quatre conditions simples ré[)ondr'nt une infi- nité de coniques formant un groupe. Soient ii. et v les nombres des co- niques du groupe qui remplissent, outre les quatre conditions données, celle de passer par un point donné ou de loucher une droite donnée. Les nombres u- et v on! reçu le nom de caractéristiques du groupe considéré.
Il résulte dos sululions données aux n- 1186 et suivants que les grou[)es de coniques passant par quatre points, passant par trois points et tou- chant une droite, passant par deux points et touchant deux droites, pas- sant par un point et touchant trois droites, louchant quatre droites, ont respectivement pour caractéristiques
(p= 1,7=2), (2,4), (4,4), (4, ■^), (2, i).
Les propriétés d'un groupe de coniiiues dépendent essentiellement des caractéri^liques de ce groupe, et l'étude, de celte dépendance constitue ' une belle théorie créée tout récemment par M. Chasles et par ses conti- nuateurs, de.Tonquières, Zeuthen, etc. Nous ne saurions exposer mémo les principes de cette théorie sans sortir de noire cadre ; nous nous bor- nerons à ofirir au lecteur un exemple très-simple.
Le lieu des pôles (Vune droite Jivc L, par rapport aux coniques du
458 GÉOMÉTRIE DANS l'iîSPACE.
f;roupe qui a pour carnctérisliques p, et v, est une ligne ch: V ordre v. En effet, la droite L ne peut rencontrer le lieu qu'autant qu'elle contient son pôle, c'est-à-dire que lorsqu'elle touche l'une des coniques du système; or le nombre des coniques au groupe qui touchent une droite quelconque, et par suite la droite donnée, est par hypothèse égal à v.
On conclut de là, en supposante droite L à l'infini, que le lieu des centres des coniques passant par quatre points donnés est de l'ordre 2, c'est-à-dire est une conique, et que le lieu des centres des coniques tan- gentes h (paître droites est de l'ordre i , c'est-à-dire est une ligne droite; nous avons déjà trouvé ces deux théorèmes par une autre voie.
dl90. Construire les points coninnins à deux coniques 2 et 2,',
On commencera par chercher les pôles doubles (1171). Pour cela, on construira une conique auxiliaire G, lieu des points de rencontre des po- laires par rapport à 2 et à 2' des divers points d'une droite L choisie à volonté. On construira de même une seconde conique auxiliaire G', définie de la même manière relativement à une seconde droite L' prise aussi ar- bitrairement. Ces deux coniques G et G' auront évidemment en commun le point w d'intersection des polaires par rapport à 2 et à 2' du point de rencontre des droites L et L' ; elles auront donc trois autres points com- muns; ces points seront les pôles doubles^, p' , p". En effet, soit m l'un de ces points communs; puisqu'il appartient à la conique G, il sera à la rencontre des polaires d'un certain point n de L et, par suite, inverse- ment, les polaires de m passeront par /<; de même, puisque /// appartient à la conique G', ses polaires passeront par un certain point n' delà droite L'; donc les polaires du point m coïncideront l'une et l'autre avec la droite nn\ ce qui démontre que /«est un pôle double.
Cela posé, deux cas peuvent se présenter :
Si les coniques auxiliaires G et G' n'ont que deux points communs réels oj et/?, il n'y aura qu'un pôle double réel . On déterminera alors lesdeux cordes communes qui passent par ce point; leurs intersections avec l'une des coniques seront les points demandés ; deux d'entre eux seulement seront réels(1171). Pouravoirles deux cordescommunes, on prendra deux points à volonté?/ et c; on cherchera le point commun u' aux deux polaires de « et le point commun c' aux deux polaires de c ; les cordes communes de- mandées diviseront harmoniquement les deux angles upu\ vpv' ; en effet, la polaire de u par rapport au système des deux cordes communes passe (1174) par u' ; cette polaire est donc />»«', et, par suite, pu et pu' sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux cordes communes.
Si les coniques auxiliaires G et G' ont quatre points communs réels oi, p,p',p", il y a trois pôles doubles réels p^p'.p"., par chacun d"eux passe un couple de cordes communes, et l'un de ces couples au moins est réel;
LIVRE MU. — LES COLRBES USUELLES. 4^9
on le déterminera comme ci-dessus, et l'on prendra les inlersections des droites du couple avec l'une des coniques; les quatre points seront tous réels ou tous imaginaires.
On voit que la solution consiste à réduire la question à la recherche analogue pour deux autres coniques qui passent par un point connu. On remplace ainsi un problème du quatrième degré par un problème du troisième; au fond, on ne fait pas autre chose en Géométrie analytique, puisqu'on y ramène la question à la résolution d'une équation du troi- sième degré connue sous le nom Adéquation en a.
La recherche des tangentes comnmues s'effectue par des tracés corré- latifs des précédents et qu'il suffit, dès lors, d'indiquer d'une manière rapide.
Autour d'un point pris à volonté, on fait tourner une droite dont on prend les pôles par rapport à S et à 2'; la droite qui joint ces pôles enve- loppe une conique auxiliaire. Un second point, choisi aussi d'une manière arbitraire, donne d'une manière analogue une seconde conique. Ces deux coniques auxiliaires touchent l'une et l'autre la droite c passant par les pôles de la ligne qui unit les deux points choisis ; elles ont donc trois autres tangentes communes, dont l"une au moins est réelle: ce sont les polaires doubles P, P', F".
On pourrait d'ailleurs obtenir ces polaires doubles en déterminant d'abord les pôles doubles />», p' . p" , comme au problème précédent, puis prenant leurs polaires par rapport à l'une des coniques données - et -'.
Cela posé, il peut se présenter deux cas :
Si une seule P des polaires doubles est réelle, on déterminera les deux ombilics placés sur cette droite, et par ces ombilics on mènera à l'une des coniques données des tangentes, dont deux seulement seront réelles. Pour trouver ces ombilics, on prend deux droites arbitraires U et V, on cherche la droite U' qui joint les pôles de U et la droite V qui joint les pôles de V; les deux ombilics devront diviser hiirmoniquement chacun des deux segments interceptés sur P par U et U' et par V et V.
Si les trois polaires doubles P,P',P", sont réelles, chacune d'elles con- tiendra un couple d'ombilics; l'un au moins de ces couples sera réel, et on le déterminera comme ci-dessus ; puis, de ces points, on mènera à l'une des coniques données des tangentes qui seront toutes les quatre réelles ou toutes les quatre imaginaires.
H91. Mener une normale à une conique C par un point P donné dans son plan [fg. 602).
MT étant une tangente à la conique et OM le diamètre qui aboutit au point de contact M, abaissons du point P la perpendiculaire sur MT, et prenons le point Q où cette perpendiculaire rencontre U.M. Quand le point
Aôo
GÉOMÉllUE DANS L ESPACE.
M décrit la conique, la perpendiculaire qui tourne autour de P et le dia- mètre OM qui tourne autour du centre 0 de la conique décrivent deux faisceaux qui sont homograpliiques, puisque chacun d'eux est homogra- phique du faisceau formé par la rotation du diamètre conjugué de OM. Le lieu du point Q est donc une conique H (dl31) qui passe par les points 0 et P, qui touche au point P le rayon homologue de OP, c'est-à-dire la
Fi g. 602. sT
perpendiculaire abaissée de P sur la tangente à la conique C au |)oint où OP rencontre cette conique, et qui touche au point 0 le rayon homologue de PO, c'est-à-dire le diamètre qui aboutit au point de contact de la tan- gente perpendiculaire à PO. Enfin, cette conique H est une hyperbole équi- latère ayant ses asymptotes parallèles aux axes de la conique C; on voit en effet que, quand OM coïncide avec l'un des axes, le point Q passe à l'inlini sur cet axe. Cela posé, si M, est le pied d'une normale menée du point P sur la conique C, PM, est perpendiculaire à la tangente au point l^i, ; ce pied M, appartient donc au lieu 11. On aura donc les pieds des nor- males en cherchant les points communs à la conique proposée C et à l'hy- perbole H, qui est bien déterminée, puisqu'on en connaît deux points, les tangentes en ces points et les directions des asymptotes. Le problème a quatre solutions qui peuvent se réduire à deux. En particulier, quand le point P est sur l'un des axes, l'hyperbole se décompose en deux droites rectangulaires dont l'une est cet axe même. Dans le ca? où la conique proposée C est une parabole, l'axe de cette parabole est une asymptote de l'hyperbole équilatère H, qui est ainsi bien déterminée, puisqu'on connaît en outre un de ses points P et la tangente en ce point ; les deux courbes C et H ont alors, en commun, outre un point à l'infini, trois points dont l'un au moins est réel ; d'où il suit que le problème a trois solutions ou une seule. Enfin, quand le point P est sur l'axe de la parabole C, l'hyper- bole H se réduit à deux droites dont l'une est cet axe lui-même et l'autre, la perpendiculaire à cet axe située à une distance du point P égale au paramètre (104o).
L'emploi de cette hyperbole équilatère pour résoudre le problème des normales remonte à Apollonius. En transformant la solution précédente
LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 4Ôl
par polaires réciproques, la conique donnée étant prise pour direclrico, on tomberait sur une nouvelle solution, dans laquelle les pieds des nor- males seraient les points où la conique C est loucl'.ée par les tangentes communes à celle conique et à une parabole aisée à déterminer. Ajoutons eniin qu'eu prenant pour inconnues, non les pieds des normales, mais les points où la conique C est rencontrée par les perpendiculaires menées de l'un de ses sommets sur les quatre normales, on trouverait ces points par la rencontre de la conique donnée et d'un cercle(r'o/rJoACHiMSTiiAr,,/oMr- nal de Crellc, t. XLVIII ; cl S.tiiTii, Annales de TortoUnl, i" série, t. III).
Nous devons encore signaler sur ce sujet une proposition remarquable duc à Joacliimslliai.
Si d'un point ou mène des normales à une ellipse, trois des points d'incidence N, P, Q, et le point Rlj diamétralement opposé au qua- trième M sont sur un même cercle.
lin ciïct, d'après le théorème de Desargues, l'ellipse, l'Iivperbolo d'Apollonius et le système des cordes communes MX et PQ déterminent sur cliacun des axes de l'ellipse une involution ; et, comme dans chacune de ces involutions le point conjugué de l'infini est évidemment le centre 0 de l'ellipse, on a, en désignant par Aj et Bi les points où les axes coupent MX et par Aj et B-2 les points où les axes coupent PQ,
0B.0B' = 0B,.0B2, OA.OA' = OA,.OA,;
d'où, par division,
PB, OBo _ h"^ OAi'â^"^^'
ce qui exprime que le produit des coefficients angulaires des deux
cordes MN et PQ est éiral ù — ; mais le produit dos cocrficienis an"u-
laircs des deux cordes supplémentaires NM et NÎ\I| est (1146. 1147) égal
a «Dont les cordes PQ et N.Mj ont des coefficienls angulaires
égaux et de signes contraires; en d'autres termes, ces cordes sont éga- lement inclinées sur les axes de l'ellipse. Par suite (1 173), les points P, (J, N et Ml sont sur un même cercle. Le théorème et la démonstration subsistent pour l'hyperbole.
QUELQUES PROBLÈMES RELATIFS A LA PARABOLE ET A l'iI VPEUnOM': KQUILATÈRE.
110-2. Construire une paral>olc connaissant deux tangentes A^, Af cl la corde de contact 3\' (T'o- GoJj.
462 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACIÎ.
Ce problème se présente souvent en MathémaLiques appliquées et notamment en StaLiqiie graphique.
La théorie des diamètres fournit un premier tracé par points cl tan- gentes : on joint le point A au milieu 0 de la corde Pyj '^ milieu I de AO est un point de la courbe et la tangente en ce point I est parallèle à Py* On continuera en opérant de même sur les angles circonscrits formes par la nouvelle tangente et les deux tangentes primitives.
Un autre tracé fort simple résulte du théorème suivant : .SV, par un point quelconque M de la corde de contact ^y d'un angle ^Ay cir- conscrit à une parabole, on mène dex parallèles MB, MC aux côtés de cet angle, la diagonale BC du quadrilatère ABMG ainsi formé est tan- gente à la parabole. En outre, on obtient le point de contact a de cette tangente BG en prenant G a = Oi B, Oi désignant le point où. BC rencontre la médiane AO du triangle p A y. En effet, on sait (1154) que, pour qu'une droite mobile BG soit tangente à une parabole, il faut et il suffit qu'elle détermine sur deux tangentes fixes, A y et Ap, des segments homo- logues proportionnels, c'est-à-dire que l'on ail
YB _ AC
BA ~ C p *
Or cette condition est ici remplie, car les deux rapports précédents sont respectivement égaux à
YB bm
MG ' G p ' dont l'égalité résulte de la similitude des triangles MBy, pCM.
Fig. 6o3.
La première partie de l'énoncé se trouve ainsi établie Pour démon-
I.EVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 463
trer la seconde, il suffit d'appliquer le théorème que nous venons de rappeler aux deux tangentes Ba, By coupées par la tangente AC et aux deux tangentes Cp et Ca coupées par la tangente AB. On obtient ainsi les deux proportions
|
TA |
BC |
|
AB |
~ Ca |
|
PA AC |
CB ~ Ba |
qui, si l'on désigne par Oi, yi et ^i les points où BC rencontre AO et les parallèles à AO menées par v et p, peuvent être remplacées par
|
YiO, 0,B |
BC |
|
p.o, o,c |
CB " Ba' |
on en conclut, en observant que Yi^i = Oipii '^ relation
d'où l'on déduit
0,B _ CO,. Ca ~ aB '
0,B C0, + 0,B CB
Ca CaH-aB CB
OU
Ca = Ol B. C. Q. F. D.
On peut aisément déterminer les éléments fondamentaux de la para bole, c'est-à-dire le foyer F et la directrice A.
Le tracé que l'on donne habituellement pour déterminer le foyer F consiste à prendre l'intersection delà droite yF symétrique de yYi pac rapport à y A et de la droite pF symétrique de ppi par rapporta ^A; c'est une conséquence immédiate de l'égale inclinaison de la tangente à la parabole sur le rayon vecteur et la parallèle à l'axe. M. Maurice d'Ocagne a fait observer (Génie civil, tome IX, page 91) que ce tiac^ devenait illusoire lorsque l'angle fX^ formée par les tangentes données
464 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE,
csldroil, el il a proposé la solution suivante qui convient a tous les cas : Élevez en k et ^ des perpendiculaires sur A^, en A et y des perpendi- culaires sur A^ ; le foyer F sera la projection du point A sur celle des diagonales du parallélogramme ainsi formé qui ne passe pas par A. Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce tracé, attendu ([u'il nous semble préférable, pour la détermination du foyer et do la directrice, de recourir au théorème suivant :
Si un triangle ABC a ses côtés tangents à une parabole, le cercle cir- conscrit passe par le foyer F et le point de concours H des hauteurs est sur la directrice A. En effet, la tangente au sommet do la parabole, con- tenant les projections du foyer F sur les tangentes, est la droite de Simson (169, ii") relativement au triangle ABC et au point F; ce point F appartient donc au cercle circonscrit au triangle ABC. La seconde partie de l'énoncé résulte de ce que la droite de Simson est équi- distante des points F et H (i).
Si l'on applique successivement ce théorème au cas où la tangente variable BaC se confond avec l'une et l'autre des tangentes fixes données ABy, ACp, on voit que :
Le fojer F est le second point d'intersection de deux cercles dont
(') [,e théorème énoncé en icte de cet alinéa permet de trouver une solu- tion élégante du problème déjà résolu au n" 1186 et qui a pour objet la construction d'une parabole dont on donne quatre tangentes A, B, G, D. En elFet, d'après le lliéorènie en question, l'intersection des deux cercles cir- conscrits aux deux triangles (A, B. G). ( B, C, D ), donnera le foyer F de la parabole. On aura ensuite la directrice en joignant les symétriques de F par ■ apport à deux des tangentes.
On pourrait d'ailleurs ramener la construction de la jiarabole dont A, B, G, D sont quatre tangentes données, à la construction de la parabole dont on a deux tangentes A et B et leurs points de contact, c'est-à-dire au pro- ))lcmo qui fait l'objet du n" 1192. Il sulfit de montrer comment on trouve le point de contact a de l'une quelconque A des quatre tangentes données. Voici deux manières de procéder :
1° Après avoir obtenu, comme nous l'avons dit ci-dessus, le foyer et la directrice, par le symétrique du loyer par rapport à A, on mènera la paral- lèle à l'arc; cette droite coupera A au point clierclié a.
2" Désignons par a, b, c les points d'intersection de A. et de B, de B et de C, de C et de D, et appelons d ex. e les points où D et E rencontrent la droite de l'infini qui est, comme on sait, tangente à la parabole, on appliquera le théo- rème de Brianclion à l'hexagone ayant pour so nmets les cinq points connus a, b, c, d, e el le point inconnu a. Le point w étant l'intersection de aa et de br (pii sont respectivement parallèles à D et A, la droite wc coupera A au point a.
LIVRE Mil. — LES COUItBES USUELLES. 4^5
l'un passe par p et touche en A la droite Af et dont l'outre passe par '( et touclie en A la droite A^.
La directrice A est la diagonale ne passant pas par A, du parallé- logramme formé en menant par A et jî des perpendiculaires à A y et par A et y des perpendiculaires à A p. D'ailleurs, dès qu'on a le fo\ er F, la direcliicc A s'ensuit, puisqu'elle doit contenir les symétriques de F par rapport aux deux tangentes données.
4193. Construire une hyperbole équilatère dont on donne quatre points.
La solution est fondée sur la proposition suivante {fîg. 6o5) :
Quand un triangle ABC est inscrit dans une hypcrbo'e équilatère, le point de concours H des hauteurs est situé sur l'hyperbole et le cercle des neuf points passe par le centre lo de la courbe.
En effet, soit D le second point d'intersection de l'iiyperbolo et de la iiauteur issue du point C; la première partie de l'énoncé revient à dire que le point D n'est autre que H. Or, menons AF parallèle â l'une des asymptotes et DE parallèle à l'autre; désignons d'ailleurs par K le point
Fi?. 6d5.
commun à AF et à CD et par I le point commun à DE et à AB. Le théorème de Pascal, appliqué à l'hexagono ABCDEF dont les derniers sommets sont à l'infini, montre que IK est parallèle à BC ; mais AI) csi perpendiculaire à IK, puisque 1 est le point de concours des liauicurs du triangle ADK; donc AD est perpendiculaire à BC, et le point D ne diffère pas du point de concours II des hauteurs du triangle ABC,
Considérons la deuxième partie de l'énoncé {Jlg. 606); soient Ai, B,, Cl les milieux des côtés du triangle ABC; désignons par P et Q les projections de B et C sur la parallèle menée par A à l'une des asymp- totes de l'hyperbole, de sorte que les projetantes BP, CQ sont paral- lèles à l'autre asymptote; enfin soient A' et C les points où A(> coupe
R. et DF. C. — Tr. (le Géom. (Il' Parliez. 3o
466
GÉOMÉTRIE DAi\S l'kSPACE.
les asymptotes. Le point Bj sera, d'après la propriété des sécantes de l'hyperbole, à la fois le milieu de AC et celui de A'C; ce sera donc le centre d'homothétie des deux triangles à côtés parallèles ACQ, A'wC; donc tùBi passe par Q et, de même, wCi passe par P. Cela posé, il
Fiiî. Co6.
est aisé de voir que les angles sous lesquels on voit du point A et du point o) la droite BiCi sont égaux ou supplémentaires (ils sont supplé- mentaires sur notre figure où w et A sont placés du même côté de BiCi); donc les angles sous lesquels on voit BiCj du point Ai et du point w sont aussi égaux ou supplémentaires et, par suite, le point w appartient à la circonférence de cercle passant par Ai, Bi, Ci.
Chacune des deux parties du théorème précédent fournit un mode do solution du problème qui consiste à construire une hyperbole passant par quatre points donnés A, B, C, D.
D'après la première partie, on construira le point de concours H des hauteurs de l'un quelconque des quatre triangles ayant pour sommets trois des points donnés, et l'on sera ainsi ramené à la construction d'une conique dent on connaî', cinq points A, B, C, D, H. Le problème a une infinité de solutions, si l'un des quatre points donnes est le point de ren- contre des hauteurs du triangle formé par les trois autres.
D'après la seconde partie, on déterminera le point commun aux cercics
LIVIIE VIII. — LES SURFACES USLELLES. 4^7
des neuf points relatifs aux quatre triangles que Ion peut former avec les points donnés. Ce point co sera le centre de l'hyperbole dont on obtiendra un cinquième point, en prenant le symétrique par rapport au centre de l'un des points donnés. H y a indétermination dans le cas déjà cité, les quatre cercles des neuf points coïncidant.
Il est d'ailleurs facile de trouver les asymptotes de iliypcrbole; du milieu Bi de AG comme centre, avec un rayon égal àBiio, on décrira un cercle qui coupera AC aux points A' et C où les asymptotes ren- contrent ce côte.
III. — THÉORIE DES SURFACES DU SECOND ORDRE.
PÔLE ET PLAN POLAIRE.
Ii9i. On nomme surface; du second ordre les surfaces dont toute section plane est une conique réelle ou imaginaire; d'où il suit qu'une droite quelcon(iue a, avec une telle surface, deux points communs réels ou imaginaires, à moins qu'elle n'appartienne tout entière à la surface.
Si, par un point (juelcofKiue p de l'espace, on mène une droite quel- conque L, et si l'on prend sur cette droite le conjugué harmonique p' de p par rapport aux deux points m et m' communs à la droite L et à une surface du second ordre 1,1e lieu des points p\ quand L se déplace autour de p, est un plan Jixe zs.
Observons d'abord que, si l'on mène deux plans quelconques par />», et si l'on prend les polaires de p par rapport aux deux coniques que ces plans déterminent sur la surface -, ces deux polaires ont un |)oiiit com- mun : c'est le conjugué harmonique de p qui est situé sur l'intersection des deux plans. Cela posé, concevons par le point />> deux plans lixe.«; a et ^ arbitraires et un pian quelconque '/contenant la droite L; soient A, B, C les polaires de p par rapport aux coniques que les plans «,^,7, dé- terminent sur la surface ï:. Le point p' est situé sur C ; d'ailleurs, d'après l'observation ci-dessus, la droite C rencontre les droites fixes A et B qui se rencontrent elles-mêmes. Donc le point /j'est constamment situé dans le plan fixe w des deux droites A et B.
Le plan ct est dit le plan polaire du point p^ et le point p est dit le pôle du plan w, par rapport à la surface 1.
Le plan polaire d'un point de la surface S est le plcai taui^cnt en ce poi'it, puisijue ce plan langent contient toutes les tangentes en p aux sections faites parce point, c'est-à-dire toutes les polaires de p par n.'.p-
468 GÉOMÉrniE dans l'espace.
port à ces sections; inversement, tout plan tangent a pour pôle son point de contact.
Lu courbe de contact de tout cône circonscrit à la surface 1 est la co- nique suivant laquelle le plan polaire ot du sommet p coupe la surface ; si cette conique est réelle, le point p est dit extérieur à la surface; si elle est imaginaire, le cône cesse d'exister, et le point p est dit inté- rieur. — Par une droite donnée, on ne peut donc mener que deux plans tangents à une surface du second ordre S ; car les plans tangents qu'on peut mener à une surface par une droite donnée sont les plans tangents menés par cette droite au cône qui a pour sommet un point quelconque de cette droite, et qui est circonscrit à la surface. — Il résulte de là que les surfaces du second ordre sont de la deuxième classe, en entendant par classe d'une surface le nombre des plans tangents qu'on peut mener à cette surface ^ar une droite.
1195. Le plan polaire de tout point d^un plan passe par le pôle de ce plan, et, réciproquement, le pôle de tout plan passant par un point est sur le plan polaire de ce point. Par suite, les plans polaires de tous les points d'une droite L passent par une droite L', et, inversement, les pôles de tous les plans passant par une droite L' sont sur une droite L. Deux droites L et L', telles que l'une contient les pôles des plans passant par l'autre, sont dites conjuguées. A toute droite L répond une droite con- juguée L', et une seule; on l'obtient en joignant les pôles de deux plans menés à volonté par L, et en particulier en joignant les points de contact des plans tangents conduits par L.
Le pôle d'une droite L par rapport à la section faite dans la surface par un plan a contenant la droite L coïncide avec le pôle par rapport à la surface du plan que déterminent la droite L et le pôle a du plan «; il appartient donc à la conjuguée L' de L. Donc, si Von coupe une surface du second ordre "i par une série de plans contenant une même droite L, les pôles de cette droite L par rapport aux diverses sections sont sur une droite L' qui contient encore les pôles de tous ces plans sécants par rapport à la surface et, en particulier, les points de contact des deux plans tangents conduits par la droite primitive L.
Lorsque quatre points sont en ligne droite, leurs plans polaires for- ment un faisceau dont le rapport ardiarmonique est égal à celui des quatre points.
Lorsque quatre droites concourantes sont situées dans un même plan, leurs conjuguées jormenî un faisceau plan qui a même rapport anhar- monique que le faisceau primitif.
1196. Deux points sont dits conjugués par rapporta une surface du se- cond ordre, lorsque le plan polaire de l'un passe par l'autre. Plusieurs
LIVKE VIII. — LES StnFACES USUELLES. 4%)
couples de points conjugués sur une même droite forment une involution, dont les points doubles sont les points communs à la droite et à la surface.
Deux plans sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre lorsque le pôle de l'un est situé sur l'autre. Plusieurs couples de plans conjugués passant par une même droite forment un faisceau de plans en involution (c'est-à-dire un faisceau que toute transversale coupe suivant une suite de points en involution) : les plans doubles sont les deux pians tangents menés par la droite; il suit de là que, par une droite quelconque, on peut toujours mener deux plans conjugués rectangulaires.
Une droite et un plan sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre lorsque la droite passe par le pôle du plan. Quand un plan et une droite sont conjugués, le plan contient évidemment la conjuguée de ia droite.
Tout point p de l'espace est le sonnnct d'une injiinté d'angles trièdns dont chaque arête est conjuguée à la face opposée ; car il suffit, pour avoir un tel trièdre, de joindre le point p à trois points a, b, c, choisis dans le plan polaire c de p, de façon que chaque sommet du triangle abc soit le pôle du côté opposé par rapport à la coniijue que le plan is détermine sur la surface. Un tel trièdre prend le nom de trièclre polaire.
PLANS DIAMÉTRALX, DIAMÈTRES, CENTRE; SECTIONS PARALLÈLES.
1 197 . Dans toute surface du second ordre, le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée est un plan : c'est le plan polaire des points à l'infini communs à toutes ces parallèles. On donne à ce plan le nom de plan diamétral conjugué à la direction des cordes.
Le pale du plan à l'infini est évidemment commun à tous 1rs plans diamétraux i on le nomme centre de la surface.
Toute corde passant par le centre a son milieu en ce point et prend le nom de diamètre.
Un diamètre et un plan diamétral mnl dits conjugués lorsque le dia- mètre passe par le pôle du plan diamétral (1196). A chaque diamètre répond un seul plan diamétral conjugué, et réciproquement.
1198. Le centre est le sommet d'une infinité d'angles trièdres polaires (1196;, c'est-à-dire de trièdres dont chaque arête est le diamètre conjugué du plan diamétral. détermmé par les deux autres. Les trois arêtes forment un système de trois diamètres conjugués deux à deux, et les trois faces un système de trois plans diamétraux conjugués deux à deux.
1 199. Si l'on coupe une surface du second ordre 1 par une série de plans fia/w//è/o y.,, a,,..,, c'est-à-dire par une série deplans ayant une droilecom-
470 GÉOMÉTRIE BA>S l'eSFÀCE.
mune L à l'infini, les centres des sections seront les pôles de cette droite L par rapport à ces sectio^ns ; ils seront donc (HGS; tous situés sur une même droite L' qui contient aussi les pôles des plans a,, a^,. . ., par rap- port à la surface ; cette droite est le diamètre conjugué du plan diamétral a parallèle aux plans considérés, puisqu'elle renferme à la fois le centre de la section faite parce plan a et le pôle de ce plan. Les deux plans tangents parallèles aux plans considérés auront leurs pôles, c'est-à-dire leurs points de contact, sur cette droite L', d'où l'on voit que tout plan tangent a une surface du second ordre est parallèle au plan diamétral conjugué du dia- mètre qui passe par le point de contact. Enfin, si l'on mène deux plans conjugués quelconques par le diamètre L', le premier coupera les plans a,, «2, . . . , suivant des droites A,, A^, . . . , parallèles entre elles; le second coupera les mêmes plans suivant des droites A',, A'^, . . . , parallèles entre elles; d'ailleurs les couples (A,, A',), (A^, A'J,..., seront des diamètres con- jugués des sections C,, C^,..., faites par les plans z,, a^i •••• Ainsi, à chaque système de diamètres conjugués dans la conique C, répondra, dans chacune des coniques C^, . . ., un système de diamètres conjugués respectivement parallèles à ceux de C,. Donc les sections C,, C.^,..., faites par des plans parallèles dans une surface du second ordre, sont semblables et sembln- hlcmenl placées.
PLANS PRINCIPAUX ET SECTIONS CIRCULAIRES.
1200. Un plan diamétral est dit principal lorsqu'il est perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales; le diamètre parallèle à ces cordes, c'est-à-dire le diamètre conjugué du plan principal, prend le nom d'rtxe.
La recherche des plans principaux et celle des sections circulaires dé- pendent des mêmes principes. iNIais, avant d'aborder ce double problème, nous devons généraliser quelques idées émises en Géométrie plane.
On sait qu'un plan coupe une sphère suivant un cercle dont le rayon r
est égal à
v/R' — d\
R désignant le rayon de la sphère et d la distance du centre au phm sécant. Si d est plus grand que R, le cercle cesse d'exister; mais, pour généraliser et en vertu de considérations que nous avons déjà indiquées plusieurs fois, on dit dans ce cas que la section est un cercle imaginaire dont le rayon a encore pour carré la quantité R- — d\ qui est alors néga- tive. 11 est clair que les formules où entre le carré du rayon d'un cercle et les propositions géométriques qui en sont la traduction subsistent d^ms le cas où le carré du rayon devient négatif; mais, lespointsou les droites que l'on considère dans ces théorèmes n'ayant plus dans le second cas
LIVRE VIII. — LES SURFACES USL'ELLES. ^-J l
les mêmes positions que dans le jîremier, il faudrait, si l'on excluait la considération du cercle imaginaire, employer dans les deux cas des énoncés différents, qu'aucun lien apparent ne rattacherait l'un à l'autre, tandis que l'emploi du cercle imaginaire permet de n'avoir qu'un théorème et d'exprimer la propriété dont il s'agit d'une manière plus saisissante et qui fait image.
Voici un exemple très-simple qui fera bien comprendre notre idée : On sait que la polaire P d'un point p par rapport à ua cercle de centre o est la droite menée perpendiculairement au diamètre op par le point p' de ce diamètre que détermine la relation
(I) op.np'^r\
et l'on a démontré que les polaires des divers points d'une droite L pas- sent par un même point. Dans cette définition de la polaire, aussi bien que dans la démonstration du théorème cité, le cercle n'a aucune part, et l'on ne fait intervenir en somme que les points o et p et la quantité i'. La proposition subsiste donc dans le cas où r^ est négatif; seulement, alors, il n'y a en réalité plus de cercle; la droite P, toujours définie par la rela- tion (i), n'est plus, par rapport au point o, du même côté que le point ^, et le théorème prend la forme suivante : Si, par les divers points p cVunc droite L, on mène a un point fixe o des rayons po sur lesquels on marque des points p' déterminés par la relation (i), les perpendiculaires éle^ vées par ces points p' sur les rayons correspondants passeront par un point fixe. On voit combien cet énoncé est lourd, et combien il est à la fois plus simple et plus clair d'exprimer le même fait en conservant l'énoncé primitif, à la condilion de dire que le cercle est alors imaginaire et de donner à la droite P le nom de pnUdn; du point p par rapport à ce cercle imagincnre. Bien que se rapportant àun cercle imaginaire, la propo- sition n'en aura pas moins une signification parfaitement précise et portant en définitive sur des choses réelles.
La formule (i) est susceptible d'une interprétation géométrique fort utile.
Supposons r^ négatif, et soit r'^ sa valeur absolue. Menons par o une droite perpendiculaire au plan et égale à /•'; ^ étant l'extrémité de celte perpendiculaire, on aura
ce qui prouve que l'angle psp' est droit. On a donc ce théorème :
Si, par le centre o d'un cercle imaginaire, on mène une droite os per- pendiculaire au jjlan du cercle et égale à son rayon supposé réel, la droite qui Joint le point s à un point quelconque p du plan du renie est perpendiculaire au plan qui pafse par le point s et par la polaire P du point p par rapport au cercle nnaginaire.
4;^ GÉOMÉTKIE DANS l'eSPACE.
1201. Nous avons vu (lllll que tous les cercles d'un plan coupent la droite à l'infini de ce plan aux deux mêmes points imaginaires. On con- clut de là que toutes les sphères coupent le plan à l'infini suivant un même cercle imaginaire qu'on nomme le cercle imaginaire h V infini. Soient, en effet, C et C les cercles déterminés par le plan à l'infini dans deux sphères quelconques 2 et 2'; pour prouver que ces cercles coïnci- dent, il suffit de montrer que tout plan tt les coupe aux deux mêmes points. Or, le plan tt donne dans les deux sphères deux cercles A et A', qui coupent la droite de l'infini du plan tt aux deux points cycliques de ce plan ; ces deux points, appartenant au cercle A et au plan de l'infini, appartiennent au cercle C, et l'on voit de même qu'ils sont sur le cercle C
Lorsqiî une droite P et un point p sont pôle et polaire par rapport au cercle imaginaire à l^ infini, la droite qui joint un point qtielconcjue q de Vespace au point p est perpendiculaire au plan mené par ce point q et par la droite P. En effet, soient o le centre d'un cercle imaginaire, in- tersection d'une sphère fixe et d'un plan c, /;, le point où la droite qp perce le plan w, P, la polaire de p^ par rapport au cercle imaginaire, s l'extrémité d'une droite menée par o perpendiculairement au plan w et égale au rayon du cercle imaginaire supposé réel. La droite sp^ sera (1200) perpendiculaire au plan déterminé par s etP,, et cette perpen- dicularité subsistera lorsque le plan ts se déplacera en s'éloignant indéfi- niment du centre de la sphère ; mais, à la limite, les droites qp^ ei sp, sont parallèles, et il en est de même des plans déterminés par la droite P, et par chacun des points s Gi p^. Donc la droite qp est perpendiculaire au plan de la droite P et du point q.
1202. Nous pouvons maintenant aborder la recherche des plans prin- cipaux et des sections circulaires dans les surfaces du second ordre.
Considérons une surface du second ordre 2 et la conique C réelle ou imaginaire suivant laquelle le plan à l'infini coupe cette surface. Le cercle imaginaire à l'infini C rencontre cette conique en quatre points imagi- naires conjugués deux à deux, a et b, c et d. Les deux lignes C et C ont donc trois couples de cordes communes
[ab,cd), [ac,bd), [ad,bc),
dont le premier est seul réel, et un triangle aulopolaire commun pp'p" dont les trois sommets sont réels (1171 ).
Désignons par I le centre de la surface 2. La droite I/? est le diamètre conjugué du plan diamétral Ip'p" (1197); d'ailleurs cette droite et ce plan sont rectangulaires (1201 ) ; donc Ip est un axe et ]p'p" est le plan prin- cipal correspondant à cet axe. On prouverait de même que \p' et ]pp'\ Ip" et Ipp' jouissent de la même propriété, d'où résulte, pour les surfaces du second ordre, l'existence de trois plans principaux réels.
LIVIU: VIII. — LKS SURFACES tSLELLLS. \,0
Désignons par m un point quelconque de l'espace situé à dislance (inic, et considérons l'un des six plans déterminés par le point m et chacune des cordes communes, le plan mab par exemple. Ce plan détermine dans la surface ï une conique qui rencontre la conique C aux deux points n et b; par suite, cette conique est un cercle, attendu que les points n et b sont les points cycliques du plan mab. Donc, par un point (luelconque m de l'espace passent six plans mab, mcd, mac, ntbd, mnd^ mbc, donnant des sections circulaires, mais dont les deux premiers sont seuls réels. Les deux plans d'un même système mab et mn/, mac et mbd, mad et mbc, se coupent respectivement suivant les droites mp, mp\ mp", qui sont paral- lèles aux a\es ; ils sont donc respectivement perpendiculaires aux plans principaux \p'p", ^p"p, ^pp'-
On donne en particulier le nom de plans cycliques aux trois couples de plans \ab et Ici-/, lacel \bd, lad et \bc^ qui donnent des sections ciicu- laires et qui passent respectivement par les axes \p, Ip', \p". On obtient toutes les sections circulaires de la surface en coupant cette surface par des plans parallèles aux six plans cycliques. Il y a donc six séries de sec- tions circulaires; le lieu des centres de chaque série est le diamètre con- jugué du plan cyclique auquel sont parallèles les plans de la série con- sidérée, et l'on donne le nom d'ombilics aux points où chacun de ces diamètres rencontre la surface.
Les deux plans cycliques qui passent par un même axe ont pour plans bissecteurs les deux plans principaux qui contiennent cet axe. Ainsi, les plans cycliques Ir//;, Icr/, ont pour plans bissecteurs les plans principaux Ipp', \pp" ; cela résulte de ce que les cordes ab et cd divisent harmoni- quemenl l'angle p'pp'\ de sorte que l'angle dièdre droit [\ab^ \cd) est di- visé harmoniquement par les plans \pp' -, ^pp" '
Des trois couples de plans cycliques, un seul (1^6, \cd] est réel ; il n'y a donc que deux séries réelles de sections circulaires et, par suite, que quatre ombilics réels.
CÔNES DU SECOxND ORDRE ET CONIQUES SPIIÉRIQUES.
1203. Dans lecône, le plan polaire rs de tout point /; de l'espace con- tient le sommet s^ et si le point p se déplace sur />.v, le plan polaire w ne change pas ; aussi convient-il de donner à ce plan a le nom de plan po- laire de la droite psel, à cette droite, le nom de polaire du plan cr. Si la droite ps tour/te autour du sommet s dans un plan, son plan polaire c tourne autour de la polaire de ce plan ; cela résulte de ce que les traces de/w et de ct sur un plan quelconque sont constamment pôle et polaire par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.
Tout plan qui ne passe pas par le sommet a ce sommet pour pôle ; le sommet est donc le pôle du plan de liaûni, c'est-à-dire le centre de la
474 GÉOMÉTRIE nAXS l'eSPACE.
surface. Désormais, quand nous parlerons de droites et de plans conjugués par rapport à un cône du second ordre, nous entendrons toujours qu'il s'agit de plans et de droites passant par le sommet. Ainsi nous dirons que : 1° une droite et un plan sont conjugués par rapport au cône lorsqu'ils passent par le sommet et que la droite est la polaire du plan ; 2° deux plans sont conjugués par rapport au cône quand ils passent par le sommet et que chacun d'eux contient la polaire de l'autre; 3° deux droites sont conjuguées par rapport au cône quand elles passent par le sommet et que chacune d'elles est située dans le plan polaire de l'autre.
Quand deux plans ou deux droites sont conjuguées, leurs traces sur un plan quelconque sont conjuguées par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.
Quand un cône est circonscrit à une surface du second ordre, les droites et les plans conjugués par rapport au cône sont aussi conjugués par rap- port à la surface ; car, d'abord, leurs traces sur le plan de la conique de contact sont conjuguées par rapport à cette conique, et, de plus, ce plan est le plan polaire du sommet du cône par rapport à la surface.
Les sections cVun cône du second ordre par des plans parallèles sont semblables (1199), et le lieu des centres est la polaire du plan a mené par le sommet du cône parallèlement aux plans sécants. Ces sections sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, suivant que le plana ne contient pas de génératrices, en renferme une seule ou en contient deux.
Une droite passant par le sommet d'un cône du second ordre est dite intérieure ou extérieure au cône, suivant que sa trace sur un plan quel- conque qui ne passe pas par le sommet est intérieure ou extérieure à la conique que ce plan détermine dans le cône. Un point de l'espace est dit intérieur ou extérieur au cône, suivant que la droite qui unit ce point au sommet est elle-même intérieure ou extérieure.
1204. Le sommet d'un cône du second ordre est le sommet d'une infinité de trièdres polaires (H96), c'est-à-dire de Irièdres tels que chaque arête est la polaire de la face opposée. Les trois arêtes forment un système de trois diamètres conjugués ; l'un de ces diamètres est intérieur au cône et les deux autres sont extérieurs; cela résulte de ce que la trace du trièdre sur un plan quelconque est un triangle polaire par rapport à la conique section du cône par ce plan, et un tel triangle a toujours un sommet inté- rieur et deux sommets extérieurs à la conique.
L'un de ces trièdres polaires est trirectangle ; ses arêtes sont les trois axes du cône; l'un est intérieur et les deux autres sont extérieurs.
Tout plan perpendiculaire à l'un des axes détermine dans le cône une conique qui a soncentre sur cet axe et ses axes parallèles aux deuxautres axes du cône. Tout plan perpendiculaire à l'axe ialérieur du cône donne
LIVRE Vllf. — LES SURFACES USUELLES. i~ 0
une ellipse, et tout plan perpendiculaire à l'un des deux aui.res axes donne une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux deux génératrices du cône parallèles au plan sécant. On nomme nxr principal du cône l'axe intérieur; grand axe celui qui est parallèle au grand axe de i'el- lipse suivant laquelle le cône est coupé par un [)lan normal à l'axe principal ; petit aie celui qui est parallèle au petit axe de la même ellipse ; on appelle plan de la grande section le plan de l'axe principal et du grand axe ; plan de la petite section le plan de l'axe principal et du petit axe ; plan principal \e plan du grand et du petit axe. Le plan principal ne coupe le cône suivant aucune arête; de tous les plans conduits par l'axe principal, le plan de la grande section et le plan de la petite section sont ceux qui coupent le cône suivant les deux arêtes qui font entre elles res- pectivement l'angle maximum et l'angle minimum. Les plans tangents au cône menés par le grand axe le touchent suivant les deux arêtes contenues dans le plan de la petite section ; les plans tangents conduits par le petit axe touchent le cône suivant les deux arêtes contenues dans le plan de la grande section ; enfin, par l'axe principal, on ne peut mei.er aucun plan tangent au cône.
Le cône est de révolution quand la section par un plan perpendiculaire à l'axe intérieur est un cercle.
1203. Il résulte de ce qui i été dit au n° 1202, sur les sections circu- laires des surfaces du second ordre, que tout cône du second ordre admet deux plans cycliques réels passant par l'un des axes et également inclinés sur les plans principaux qui contiennent cet axe. Tout cône du second ordre, admettant, d'après cela, deux séries de sections circulaires, peut être considéré de deux manières comme un cône à base circulaire. Les propriétés des sections circulaires des cônes du second ordre ont déjà été étudiées aux n"' 873,. . ., 880. Ajoutons seulement ici que les deux plans cycliques passent, comme on le reconnaît immédiatement, par le grand axe et, par suite, sont perpendiculaires au plan de la petite section.
1206. Si par le sonuiiel d'un cône du second ordre on mène des droites perpendiculaires à tous les plans tangents, on obtient un second cône de même sommet et qui est dit supplémentaire du premier. Le cône supplé- mentaire d'un cône du second ordre est aussi du second ordre ; en d'autres termes, tout plan mené par le sommet ne peut le couper que suivantdeux arêtes; car, si un tel plan le coupait suivant trois arêtes, ces arêtes seraient normales à trois plans tangents au cône proposé, lesrpiels plans passeraient par une même droite per[)endiculaire au plan des trois arêtes, ce qui est absurde, puisque par une droite on ne peut mener que deux plans tan- gents à un cône du second ordre. .SV un cane 1' est supplémentaire d'un cône i du second ordre , inversement lest supplémentaire de -'. En eflet,
^~6 (iÉOMÉTRii: i)A>s l'espace.
deux arêtes infiniment voisines du cône 2' sont perpendiculaires à deux plans tangents au cône 2 infininnent voisins ; le pian de ces deuxarcles est donc perpendiculaire à l'inlersection de ces deux plans tangents ; en d'au- Ires termes, les plans tangents à 2' sont perpendiculaires aux arêtes de 2.
On aperçoit immédiatement que : \° à une arête de 2 et aiiplan tangent conduit par cette arête, j-é pondent dans 2' un plan tangent et son arête de contact ; 2° à une droite et à son plan pothire par rapport a 2, répon- dent un plan et sa polaire par rapport a I' \ 3° « deux droites conjuguées de 2, lé pondent deux plans conjugués de 2' ; 4° à deux droites menées arbitrairement par le sommet de 2, répondent dans 2' deux plans j'aisant entre eux un angle supplémentaire de celui des deux droites; 5° aux trois axes de 2, répondent les trois plans diamétraux conjugués rectangulaires de 2'; à l'axe principal de 2, répond le plan principal de 2', et les deux cônes ont même axe principal et même plan principal ; mais le plan de la grande section de l'un est le plan de la petite section de l'autre, de sorte que le grand axe de l'un est le petit axe de l'autre.
Il résulte de là que les propriétés des cônes du second degré sont dou- bles, comme celles des trièdres et des triangles sphériques.
1207. Dans tout cône du second ordre, on nomme focales les deux droites menées par le sommet perpendiculairement aux plans cycliques du cône supplémentaire; ces deux droites sont donc situées dans le plan de la {)etite section du cône supplémentaire, et par conséquent dans le plan de la grande section du cône considéré.
Tout plan rs perpendiculaire à une focale F coupe le cône suivant une conique rpd a pour foyer le pied f de cette droite. Il suffit, pour établir ce théorème, de prouver que tout couple de droites conjuguées par rap- port à la conique et passant par/ est rectangulaire. Or, deux droites conjuguées du cône supplémentaire, comprises dans un plan cyclique de ce cône, sont rectangulaires, puisqu'elles sont parallèles à deux dia- mètres conjugués de la section circulaire faite par un plan parallèle à ce plan cyclique; donc deux plans conjuguésdu cône primitif, menés par la focale F qui est perpendiculaire à ce plan cyclique, sont aussi rectan- gulaires. Le plan tt coupe donc le cône suivant une conique, et les deux plans conjugués suivant deux droites rectangulaires telles, que le pôle de l'une par rapport à cette conique soit sur l'autre.
Puisque dans deux cônes supplémentaires les droites focales de l'un répondent aux plans cycliques de Vautre, à chaque propriété des focales répondra, par la considération du cône supplémentaire, une propriété des plans cycliques, et inversement. Indiquons les plus importantes de ces propriétés.
1208. Nous savons que la polaire d'un plan cyclique est le diamètre, lieu
I.IVKK VIII. — LES SLT.FAtES l'SUELLES. [\-J
des contres des sectioiis circulaires parallèles à ce plan cyclique. D'ailleurs, à un plan cyclique et à sa polaire répondent, dans le cône supplémentaire, une ligne focale et son plan polaire. De même que dans les coniques on donne le nom de directrice à la polaire du foyer, on donne dans les cônes le nom (]e plan cUrrcte/ir au plan polaire d'une focale. Ainsi, un cône du second ordre a deux focales et, par suite, deux plans directeurs. Cela posé, voici les propriétés fondamentales des plans cycliques et des focales ; les théorèmes sont disposés sur deux colonnes; de cette manière, on trouve à côté lune de l'autre les proposition!; corrélatives, c'esl-à-dire les propo- sitions qui résultent l'une de l'autre par la considération du cône supplé- mentaire, et il suffit chaque fois de démontrer l'une de ces deux propo- sitions.
Dans tout cône du second ordre, | Dans tout cône du second ordre, tes sinus des angles que chaque plan I les sinus des angles (pie chaque aréle
tangent fait avec un plan cyclique et avec la polaire de ce plan cyclique ont un rapport constant.
forme avec une ligne jocale et avec le plan directeur correspondant ont un rapport constant.
En effet, coupons le cône par un plan parallèle à un plan cyclique et, du centre de cette section circulaire, qui est un point de la polaire du plan cyclique, abaissons une perpendiculaire sur un plan tangent au cône. Le sinus de l'angle du plan tangent et du plan du cercle est égal à cette perpendiculaire divisée par le rayon du cercle; le sinus de l'angle du plan tangent et de l'axe polaire du plan cyclique est égal à la même per- pendiculaire divisée par la distance du sommet du cône au centre de la section circulaire. Le rapport des sinus ne dépend donc que du rayon du cercle et delà distance de son centre au sommet, et nullement du plan tangent considéré.
Tout plan tangent à un cône du second ordre coupe les deux plans cycliques suivant deux droites égU' le ment inclinées sur l 'arête de con- tact.
Les plans menés par les deux focales d'uu cône du second ordre et par une arête quelconque sont également inclinés sur le plan tan- sent suivant cette aréle.
En effet, coupons le cône par deux plans parallèles à ses deux plans cycliques; les sections seront deux cercles situés sur une même sphère. Une arête quelconque du cône coupe ces cercles, et les tangentes à ces cercles aux points de rencontre obtenus sont situées dans le plan tangent au cône suivant l'arête considérée; ces deux droites étant tangentes à une même sphère et comprises dans un môme plan sont également incli- nées sur la corde qui unit les points de contact, c'est-à-dire sur l'arête du cône, et, comme ces droites sont parallèles à celles suivant lesquelles le plan tangent coupe les plans cycliques, le théorème est démontré.
47"^ GÉO.IIÉTHIE DANS I.'kSPACE.
La somme ( ou la différence ) des ans^les dièdres que chatiue phi/i tangent à un cô/ie du second ordre forme avec les deux plans cycliques est constante.
La somme ( ou la différence ) des (inities que chaque arête d'un cône du second ordie forme avec les deux focales est constante.
Dans les deux cas précédenls, nous avons démontré le théorème de gauche; ici, nous démontrerons le théorème de droite. Il suffit à cet effet de considérer ce qui se passe sur une sphère ayant pour centre le sommet du cône. Une nappe du cône coupe la sphère suivant une courbe qu'on nomme ellipse spliériquc, et les deux points déterminés sur cette portion de sphère parles focales du cône sont dits \e'è foyers de cette conique. Cela posé, si M est un point de cette conique sphérique et si F et F' sont ses foyers, il suffit de prouver que la somme des arcs de grand cercle FM -i- F'M est constante, sachant, d'après le théorème précédent, que l'arc de grand cercle tangent à la conique au point M est également incliné sur les deux arcs vecteurs MF et iMF'. Le raisonnement est analogue à celui du n° 1007.
De là résulte un nouveau point de vue sous lequel on peut considérer les propositions qui précèdent et, en général, les propriétés des cônes du second ordre (Chasles, Mémoires de C Avadcnne de Bruxelles, année 1 829).
1209. Une conique sphérique est l'ensemble des deux courbes fermées dites ellipses sphériques, suivant lesquelles un cône du second ordre coupe une sphère ayant le sommet pour centre. Ces deux courbes sont symé- triques par rapport à chacun des trois grands cercles suivant lesquels les plans diamétraux principaux du cône coupent la sphère.
Considérons le plan principal du cône, et ne prenons que l'hémisphère et la nappe du cône situés au-dessus de ce plan. Celte nappe déterminera sur la sphère une ellipse sphérique dont le centre et les sommets seront les points où la sphère est percée par l'axe principal et par les généra- trices situées dans les plans de la grande et de la petite section; les foyers répondront aux lignes focales ; les plans cycliques du cône couperont l'hémisphère considéré suivant deux demi-grands cercles ayant le grand axe du cône pour diamètre commun : ce grand axeest compris dans le plan du plus grand (7/rr//V/wè//-e de l'ellipse sphérique, et ces deux demi-grands cercles, dits arcs cycliques de l'ellipse sphérique, sont perpendiculaires au plus petit arc diamètre de l'ellipse et ne rencontrent jamais cette courbe.
Considérons en second lieu le plan de la petite section du cône, et la partie de la conique sphérique située d'un seul côlé de ce plan ; elle est composée de deux branches, moitiés des deux ellipses sphériques et symétriques par rapport au plan diamétral perpendiculaire à l'axe prin- cipal du cône; on lui donne le nom à^hyperbole spitérique. Son centre
LIVRE VIII. — LES SL'RFACES USUELLES. ^79
est le point où le grand axe du cône perce l'hémisphère qui contient la courbe., et ses foyers, intersections de cet hémisphère et des lignes focales, se trouvent sur l'arc de grand cercle qui unit les deux seuls sommets de la courbe. Pour tout point Mde l'hyperbole sphérique, c'est la différence (et non la somme) des arcs vecteurs MF et MF' qui est constante. Quant aux plans cycliques du cône, ils coupent l'hémisphère suivant deux demi- grands cercles passant par le centre de l'hyperbole et également inclinés sur l'arc qui joint les foyers ; ce sont les arcs cyclir/itcs de l'hyperbole.
Enfin, si l'on considérait 1 hémisphère situéd'un côté du plan delà grande section du cône, lequel plan contient les lignes focales, on aurait deux moitiés de demi-ellipses sphériques se présentant leurs concavités et dont l'ensemble forme une troisième espèce de courbe sphérique. Celte courbe a un centre, intersection de la sphère et du petit axe du cône, quatre foyers situés dans le plan de la grande section du cône, et deux arcs cyclicfues situés entre les deux branches de la courbe et perpendiculaires à l'arc de grand cercle qui joint les deux sommets.
Les trois courbes que nous venons de considérer sont des portions de la courbe unique, dite conique sphéricjue, qui est l'intersection complète de la sphère et du cône.
A une conique sphérique répond une conique sphérique supplémen- taire : c'est l'intersection de la sphère par le cône supplémentaire de celui qui produit la première conique. On peut aussi parvenir directement à cette conique supplémentaire en la considérant comme l'enveloppe des arcs de grands cercles dont les plans sont normaux aux rayons de la sphère menés par les différents points de la conique primitive.
Les arcs cycliques de l'une des coniques sont dans les plans diamétraux perpendiculaires aux diamètres de la sphère qui passent par les foyers de l'autre conique.
Les deux théorèmes relatifs à l'invariabilité de la somme ou de la diffé- rence des arcs vecteurs d'une conique sphérique, et à l'égale inclinaison de l'arc de grand cercle tangent sur les arcs vecteurs, sontdusàM. Magnus, de Berlin [Annales de Gergonne, iSaS).
1210. Par deux sections planes quelconques d'une surface du second ordre, on peut toujours faire passer deux cônes. En effet, considérons la droite L' conjuguée de l'intersection L des deux plans, c'est-à-dire de la sécante commune aux deux courbes ; par celte droite L' et par un point m quelconque de l'une des courbes, menons un plan, et soient/? et q les points communs à ce plan et à la seconde courbe ; du point ,y, où mp rencontre!/, projetons la première courbe sur le plan de la seconde, celte seconde courbe et la projection de la première se confondront, car ce sont des conirpies ayant trois points communs, dont deux, situés sur la sécante commune L, sont dos points de contact. Le point s est donc le
4So (iÉOMÉTRlE BA.VS LtSI'ACE.
sommet d'un cône passant par les deux courbes, et l'inlersecliondeL'el de mq serait le sommet s' d'un second cône jouissant de la même propriété. Les deux cônes se touchent aux deux points qui sont communs aux deux courbes planes. On peut montrer que, réciproquement, deux cônes du second ordre, qui ont deux plans tangents communs, se coupent sui- vant deux courbes planes. Plus généralement, deux surjaces du second ordre qui se touchent en deux points a et b se coupent suivant deux courbes planes. En effet, c étant un troisième point commun, le plan abc coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui se confondent, puis- qu'elles ont trois points communs a, h, c, et les mêmes tangentes aux points a et b. Voilà donc une conique commune aux deux surfaces. Mais l'intersection complète de deux surfaces du second ordre est du quatrième ordre, car tout plan transversal, donnant une conique dans chaque sur- face, coupe l'intersection des deux surfaces en quatre points (réels ou imaginaires). Donc, dans le cas qui nous occupe, l'intersection se compose de la conique que nous avons déjà déterminée et d'une seconde conique- La seconde conique passe, comme la première, par les points n ei b; car on verrait, comme ci-dessus, que, si d est un point de l'intersection non situé sur. la première conique, le plan nbd coupe les deux surfaces suivant une conique commune qui, par conséquent, n'est autre que la se- conde conique considérée.
Toutefois, lorsque l'intersection des plans tangents en a el b se con- fond avec la droite nb, cette droite appartient aux deux surf jces qui, alors, ont de plus en commun une ligne du troisième degré. Ce cas d'exception au théorème de Monge a été signalé par M. de la Gournerie, dans une lettre à Poncelet ( Traité des propriétés projectives, annotations de la seconde édition).
Il résulte du théorème précédent que, si deux surfaces du second degré se touchent en trois points <?, /y, f , elles se raccordent le long d'une ligne plane. L'intersection des deux surfaces doit, en effet, se composer de deux coniques dont les plans passent à la fois par «, é, c; ces deux coniques coïncident donc et forment une conique double suivant laquelle les deux surfaces sont circonscrites l'une à l'autre.
ê
SURFACES RÉGLÉES DU SECOND ORDRE.
1211. On dit que ùaxw faisceaux de plans (o8i) sont homographiques lorsqu'on peut trouver deux droites sur lesquelles ils tracent deux divi- sions homographiques; une droite quelconque est alors coupée par le premier faisceau suivant une division homographique de celle que le second faisceau détermine sur une seconde droite quelconque. Le rap- port anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est
LIVRE VIII. — LES SURFACES USUELLES. 4^1
égal au rapport anharmonique des quatre plans homologues de l'autre faisceau, etc.
La surface réglée, lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux hnmographiqucs, est du second ordre; car, si on la coupe par un plan quelconque c, les deux faisceaux de plans coupent ce plan vs suivant deux faisceaux de droites qui sont homographiques, et la section de la surface par ce plan ct est le lieu des intersections des rayons homo- logues de ces deux faisceaux de droites, c'est-à-dire (11.31 ) une conique. Il existe donc des surfaces réglées du second ordre.
1212, Réciproquement, toute surface réglée du second ordre peut être considérée comme le lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux de plans homographicpies. Nous décomposerons la démonstra- tion en plusieurs parties, et elle nous permettra de mettre en évidence les principales propriétés de ces surfaces réglées.
1° Trois droites A, B, C, appartenant h la surface, ne peuvent passer par un même point o, à moins que toutes les droites de la surface ne passent par ce point. Car, toute autre droite D de la surface, ne passant pas par le sommet o du trièdre formé par A, B, C, aurait au moins avec l'une des faces de ce Irièdre un point commun non situé sur les arêtes; par suite, le plan de cette face aurait en commun avec la surface deux arêtes du trièdre et de plus un point extérieur à ces arêtes, de sorte que le degré de la section serait supérieur au second. Les surfaces réglées du second ordre se partagent donc en deux groupes : l'un relatif aux surfaces dont toutes les génératrices passent par un même point, l'autre relatif aux surfaces dont trois droites ne passent jamais par un même point. Les surfaces du premier groupe sont les cônes et, en particulier, les cylindres, lorsque le point de concours de toutes les génératrices est à l'infini. Les cônes du second degré jouissent évidemment de la propriété énoncée, car tonte section faite par un plan ne contenant pas le sommet est une conique qui peut être considérée comme le lieu des intersections des rayons homologues de deux faisceaux homographiques; les plans déter- mmés par les génératrices fixes qui aboutissent aux centres de ces deux faisceaux et par la génératrice variable qui aboutit à un point quelconque de la conique sont donc homogra|ihi(|ues. Nous n'avons par conséquent à considérer que les surfaces réglées proprement r//7e.v, c'est-à-dire celles dont trois droites ne passent jamais par un même point.
2° Soit G l'une des génératrices de la surface. Tout plan passant par G donne dans la surface une conique qui se compose nécessairement de la droite G et d'une autre droite. Si l'on coupe la surface par une série de plans y,'/,/", • • • , passant par G, on obtiendra donc une série de druites L,L',L", . . ., qui formeront un système de génératrices rectilignes. Toutes ces droites rencontrent G en des points différents, sans quoi, par un même
K. Pt Dr C. — Tr. de Céoin. fil' Pnrtie). . 3l
482 fiÉOMÉTRIE T)A\S I.'eSPACR.
point, passeraient trois droites de la surface; par suite, deux quelconques des génératrices L,L',L", ..., ne sont jamais dans un même plan. Actuelle- ment, par l'une L de ces droites, menons une série de plans)., ).', /", . . .; nous obtiendrons une nouvelle série de droites G, G', G", . . . , doiil G fera évidemment partie et qui formeront un second système de génératrices rectilignes; on verra, comme ci-dessus, que deux quelconques de ces génératrices ne sauraient être dans un même plan. Donc, en résumé. In surface admet deux systèmes (G) et (L) de génératrices rectilignes ; par un point quelconque m de la surface passe une génératrice de chaque système (ces deux génératrices sont fournies par les plans menés par m et chacune des deux droites fixes G et L) ; fe plan de ces deux généra'- trices est le plan tangent en m à la surface. Deux génératrices d'un même système ne sont jamais dans un même plan ; une génératrice quel- conque de Vun des systèmes rencontre toutes celles de l'autre système.
3° Puisque trois droites suffisent pour régler le mouvement d'une droite mobile assujettie à s'appuyer sur elles, et qu'une génératrice de l'un des systèmes doit rencontrer toutes celles de l'autre système, on voit que la surface peut être considérée comme engendrée par une droite qui rencontre sans cesse trois droites fixes L, L', L".
4° Sur l'une L de ces trois droites fixes, prenons une série de points a, h,c, d, ... ; par chacun de ces points et par les deux autres droites fixes L' et L" menons deux plans ; nous obtiendrons ainsi deux faisceaux de plans homographiques dont L' et L" seront les axes et tels, que les inter- sections des plans homologues rencontrent les trois directrices L, L', L", c'est-à-dire soient des génératrices de la surface. La surface est donc/e lieu des intersections des plans lioninlogues de deux faisceaux de plans homographiques, comme nous l'avons annoncé.
Nous avons vu (i°) que les cônes rentrent dapo celta définition ; ils ré- pondent aux cas où les axes des deux faisceaux se rencontrent ; quand les axes sont parallèles, les cônes deviennent des cylindres.
1213. Voici encore d'autres propriétés importantes des surfaces réglées proprement dites du second ordre. \ /
Le faisceau de plans passant |)ar L" rencontre les deux auv!?és direc- trices L et L' et détermine sur elles deux divisions homographiques; les droites qui joignent les points homologues de ces deux divisions s'ap- puient à la fois sur L, L', L"; ce sont des génératrices de la surface. Donc toute Surface réglée du second ordre est le lieu des droites qui divi- sent homographiquement deux droites fi.ce s.
Tout plan passant par un point quelconque m de la surface, et qui nu contient aucune des deux génératrices G etL passant par ce point, coupe la surface suivant une conique qui passe par m et qui ne se réduit pas à
LIVRE MU. — LES SIIKFACES liSt'ELLES. -S-^
deux droites , sans quoi la section serait d'un degré supérieur au second.
Chaque point d'une section plane résulte de l'intei section du plan sécant et d'une génératrice de la surface ; toute section plane d'une surface réglée du second ordre est donc réelle. Par suite, en appliquant cette remarque au plan polaire c d'un point quelconque/-» de l'espace, on voit que toi(( point de l'espace est le sommet crtin cône réel circonscrit à lu surface.
Le plan de l'infini détermine une section réelle qui est : ou une co- nique ordinaire, ou un système de deux droites; la surface prend dans le premier cas le nom ^ liyperboloïde a une nappe et, dans le second, le nom de paraboloïde hyperbolique,
HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE.
1214. Nous avons nommé hyperbohïde à une nappe [fig. 607) celle des deux surfaces réglées proprement dites du second ordre que le plan
Fig. 607.
de l'infini coupe suivant une conique C qui ne se réduit pas à deux droites. Le plan de l'infini n'étant pas tangent à la surface ne contient pas son propre pôle; ce pôle, c'est-à-dire le centre de In surface, est donc à disr tance finie. Si l'on transporte à ce centre o et parallèlement à elles-mêmes toutes les génératrices de la surface, les droites ainsi transportées con- servent leurs mômes points à l'infini ; on obtient donc un cône ayant pour 8omrael o et pour base la conique C, et, comme le point o est le pôle du plan de la conique C, on voit que ce cône est tangent à la surface
/|84 GÉOMÉTKIE DANS l'eSI'ACE.
tout le long de la conique C située à l'infini ; ce cône, enveloppe des plans tangents à l'infini de la surface, ou, comme on dit plus rapidement, des j)lans asympt.oiiques à la surface, prend le nom de cône asymptote de l'hyperboloïde. La surface est tout entière à l'extérieur de ce cône, sans quoi il y aurait des génératrices qui le couperaient à distance finie.
Par chaque point de la conique C passent deux génératrices, une de chaque système; donc, à chaque génératrice cVun système, lépond dans Vautre système une génératrice parallèle, et, par suite, climpie généra- trice du cône asymptote est parallèle à deux génératrices de la surface.
Trois génératrices d'un même système ne sauraient être parallèles à un même plan, sans quoi les trois génératrices correspondantes du cône asymptote seraient dans un même plan, ce qui est absurde, puisque le cône est du second ordre.
1215. Les sections planes de la surface peuvent être des hyperboles, des paraboles ou des ellipses suivant les positions du plan sécant; car, suivant que ce plan coupe la conique C en deux points, la touche ou ne la ren- contre pas, le nombre des points à l'infini dans la section est 2, i ou o. D'ailleurs, les sections P et P, de la surface et du cône asymptote par un même plan quelconque zs sont semblables, semblablement placées et con- centriques. En effet, soient D et D' deux diamètres conjugués de la sec- tion P faite par le plan rs dans la surface; les plans déterminés par le centre o de l'hyperboloïde et par chacune des droites D et D' seront diamétraux conjugués par rapport à cet hyperboloïde ; donc ils le seront aussi par rapport au cône, puisque (1203) le cône et la surface ont les mêmes systèmes de droites et de plans conjugués; par suite, les intersec- tions de ces deux plans par le plan w, c'est-à-dire les droites D et D' elles-mêmes, seront deux diamètres conjugués de la section P, faite par le plan or dans le cône asymptote. En particulier, les plans cycliques du cône asymptote coupent donc V hyperboloïde suivant des cercles ; on les nomme plans cycliques de l'hyperboloïde; tout plan parallèle à un plan cyclique donne une section circulaire (1199).
1216. Puisqu'à tout diamètre de l'hyperboloïde répond le même plan diamétral, soit dans cet hyperboloïde, soit dans le cône asymptote, l'hy- perboloïde et le cône ont les mêmes systèmes de diamètres conjugués, et, par suite, les mêmes axes et les mêmes plans principaux. Des trois axes, l'un oz est donc inférieur (1204), et les deux autres oxQi oy sont exté- rieurs et coupent seuls la surface; il y a donc deux sommets imaginaires et quatre sormmets réels; le pian principal xoy coupe la surface suivant une ellipse qu'on nomme ellipse de gorge, et les plans principaux xoz et yoz la coupent suivant des hyperboles. Toute section par un plan paral- lèle au plan xoy est une ellipse semblable à l'ellipse de gorge et dont les
LIVUE VIII. — LES SURFACES USUELLES. 4^-^
sommets sont situés sur les hyperboles principales; de là, découle un mode de génération fort simple de la surface.
Dans l'espace, on nomme coordonnées d'un point M par rapport à trois axes rectangulaires ox, oy, nz, les nombres qui mesurent les projections
Fi". Co8. .
du segment OM sur les trois axes, chacun de ces nombres étant précédé du signe -+- ou du signe — , suivant que les projections du point M tom- bent sur les parties positives ox, oy, oz, des axes ou sur les parties op- posées ox', oj', oz'. En désignant par .r, j, z, les trois coordonnées d'un point quelconque M de l'hyperboloïde (fig. 608), on a .r = O'P, j = PM, z = 00'. Soit A'B' l'ellipse obtenue en coupant la surface par le plan mené par M parallèlement au plan xof de l'ellipse de gorge AB ; désignons par n et b les demi-axes de l'ellipse de gorge et par c la valeur absolue du demi- axe imaginaire commun aux deux hyperboles principales AA' et BB'. Nous aurons, puisque le point M appartient à l'ellipse A'B',
O'A' OB'
et, puisque le point A' appartient à l'hyperbole AA' et le point B' à l'hy- perbole BB',
0^'' _ £ _ Ô'B'' _ z^ _ n' c'~^' b' ?"'•
L'élimination de O'A' et de O'B' entre ces trois équations doiuie la re- lation
a' b^ <•' ~ '
entre les coordonnées d'un point quelconque de la surface; c'est Vrqun- tioii de riiy[)erboloïde.
\S6 UÉOMÉTRIE DANS LESPACK.
1217. Si l'on f)vnjvtt.c toutes les gé'iicrotrices d''itn Iiypcrholoïde sur un plan diamétral quelconque cr à Voide de ]>rnjetantes parallèles au dia- mètre D conjugué du plan zs, les projections des génératrices sont tnn- i^entes à la section ^ faite dans la surface par le plan vs. En effet, soie.nt G une génératrice quelconque et m le point où elle rencontre la courbe P. Le plan tangent au point m est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui aboutit en /«, lequel plan diamétral contient D; donc le plan tangent en m, passant par la génératrice G et étant parallèle à D, est précisément le plan projetant de cette génératrice; par suite, la projec- tion de cette génératrice est l'intersection du plan w et du plan tangent à la surface, c'est-à-dire est la tangente en m à la courbe P.
En particulier, les projections ortliogonales des génératrices sur les plans principaux enveloppent r ellipse de gorge et les hyperboles principales.
4218. Quand les deux axes réels ont la même longueur, l'ellipse de gorge devient un cercle, et la surface, lieu des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l'axe oz et dont les centres sont sur cet axe, est de révolution ; cet hyperboloïde de révolution résulte de la rotation de l'hyperbole principale autour de son axe non transverse.
PARABOLOÏDE II Y P E II BOL I QUE.
1219. Nous axons ai)[)elé paraboloïde /lyperbolique (/"g. 609) celle des deux surfaces réglées proprement dites du second ordre qui a une géné-
Fig. 609.
•ratrice de chaque système Gj et Lj d;ms le plan de l'infini. Celte surface est donc tangente ù ce plan de l'infini et. par suite, le pôle de ce plan, c'est- à-dire le centre de la surface, est à l'infini. L'un des plans principaux passe alors à l'infini ainsi que les deux axes qu'il contient, et il ne reste à dis- tance finie qu'un seul axe et les deux pians principaux qui passent par cet axe, auquel tous les diamètres deviennent d'ailleurs parallèles.
r.ivuE v!ii. — r.RS surfaces usuelles. 'i8-
T'juI plan passant pur l'axe donne dans la surface utie conique symé- trique par rapport à cet axe et clonl le second axe disparaît à rinlini: cette conique est donc une parahulc. Toutes ces paraboles ont leur som- met en un même point commun à l'axe et à la surface, qu'on nomme sommet de la surface.
Toute section par un plan 57 parcdlclc à Va te est une parabole égale à celle (pie détermine le plan cr' mené pcn- Vaxe parallèlement au plan proposé. En effet, d'abord la section par le phin a est une parabole, puis- qu'elle est semblable à la section faite par le plan c'; puis ces deux pa- raboles sont égales, attendu que l'un des cônes qu'on peut mener par ces deux courbes (1210) dégénère en un cylindre dont ces courbes sont deux sections parallèles.
1220. Les sections par des plans non parallèles à l'axe sont des hyper- boles, puisque ces plans coupent les génératrices G, et L^ situées à l'infini en deux points. Étudions spécialement les sections hyperboliques dont les plans sont normaux à l'axe. Désignons |)ar o le sommet, par nx la partie de l'axe située à droite de o et par ox' la partie de l'axe située à gauche. Le plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet r> est tangent à la surface, puisqu'il est conjugué à la direction ox\ il contient donc deux génératrices que nous nommerons og et 0/, et c'est à ces deux droites que se réduit ici la section hyperbolique. L'hyperbole obtenue en coupant par tout autre plan normal à l'axe doit donc avoir ses asymptotes parallèles à oo^et à fV; ces asymptotes sont donc les intersections du plan considéré et des deux plans fixes gnx, lox\ par suite, si l'on désigne par oy et oz la bissectrice de l'angle gol et celle de son supplément, les plans uox, l'iix, devront contenir les axes de toutes ces hyperboles, de sorte que ces plans sont les plans principaux ; ils coupent la surface suivant deux paraboles ayant même sommet o, et pour axe l'une ox, l'autre ox' ; car, si ces paraboles principales étaient tournées du même côté, par exemple toutes les deux à droite de o, les sections hyperboliques faites par des plans normaux à l'axe et à droite de o auraient quatre sommets réels, ce qui est absurde. Ainsi, en résumé, les hyperboles ob- tenues en coupant par des plans perpendiculaires à l'axe sont situées : à droite du sommet, dans l'un des angles formés par les plans gox, lox (et dans son opposé); et, à gauche du sommet, dans le supplément de cet angle (et dans son opposé).
1221. Tout plan parallèle à l'un des plans principaux coupant la sur- face suivant une parabole égale à celle que détermine ce plan princi- j)al, on voit que la surface peut être engendrée par l'une des paraboles principales glissant parallèlement h elle-même de façon (pie son sommet décrive l'antre parabole princip(de ; ce mode de génération est celui (\\n
488 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
révèle le plus nettement la forme de la surface. Ajoutons quV« projection orthnannnle sur un plan principal, les génératrices enveloppent la para- bole principale correspondante.
Soient/? et// les paramètres des paraboles principales BOB', COC; cherchons l'équation du paraboloïde, c'est-à-dire la relation entre les
Fif;. 6io,
constantes données pelp' et les coordonnées variables .r = 01, j = PM, z-IP, d'un point quelconque M de cette surface {fig. 6io ). La section faite par le plan mené par M parallèlement au plan xoy étant une parabole ICg égaleà la parabole BOB', on a, puisque M appartient à cette parabole/Cg',
y- = Q.p . CP = ip . Kl
et, puisque le point C appartient à la parabole COC,
2' = 2//. KO; on en déduit
•--î =2iKl-K0) = 201, P F c'est-à-dire
P ~P' ~'"'''
12"22. Le plan gox^ coupant la surface suivant une première généra- trice og, doit la couper encore suivant une génératrice du système op- posé; et cette seconde génératrice doit être à l'infmi, sans quoi l'axe ox rencontrerait la surface en deux points à dislance finie; c'est donc la génératrice L,. Or toute autre génératrice G du même système que 0|i^esl dans un même plan rs avecL,; les deux plans vs elgox ayant leur inter-
l.lMtK VIII. — I.KS SURFACES USUELLES. 4^9
section L, à l'infini sont parallèles; donc G est parallèle au plan ^«jr. Ainsi, toutes les génératrices d'un système sont parallèle'; au plan gox, et J'on verrait de môme que toutes les génératrices de l'autre système sont pantllèles au plan lox. Les deux plans fixes gnx^ lox, prennent le nom de plans directeurs de la surface. Il résulte du n" 1220 que les plans prin- cipaux divifcnt en deux parties égales les angles dièdres formés par les plans directeurs.
Toutes les génératrices d'un syslème étant parallèles à un même plan, ces droites divisent deux génératrices quelconques de l'autre système en parties proportionnelles, et la surface peut être considérée comme ^//^o'é'//- dréc /)ar une droite mobile Jormant sur deux droites fixes deux divisions homographiques semblables. Cette propriété est très-utile dans les ap- plications; on l'utilise aussi pour construire des modèles en fil de la surface.
SURFACES DU SECOND ORDRE NON RÉGLÉES.
1223. Il nous reste à étudier les surfaces non réglées du second ordre.
Tout plan tangent a à l'une quelconque de ces surfaces en un point a n'a en commun avec cette surface que le point (i\ car, s'il en avait un autre b, la droite ab serait commune au plan y. et au plan polaire jî de b\ elle serait donc sa propre polaire, et chacun de ses points étant à lui- même son conjugué serait sur la surface. 11 y aurait donc sur la surface une droite ab^ et, par suite, il y en aurait une infinité.
Il suit de là que, si l'on mène de part et d'autre d'un plan tangent y. deux plans parallèles et infiniment voisins, un seul de ces deux plans rencontrera la surface. Il y a donc dans l'espace des plans qui ne ren- contrent pas la surface, des plans qui la coupent, et des plans qui n'ont qu'un point commun avec elle; les pôles de ces plans sont pour les pre- miers intérieurs à la surface, pour les seconds extérieurs, et pour les derniers situés sur la surface.
On classe les surfaces non réglées du second ordre par la considération du plan tangent à l'infini. Ce plan peut être extérieur à la surface, la loucher ou la couper suivant une conique qui diffère de deux droites. De là, trois surfaces distinctes auxquelles on donne les noms suivants :
n'ayant aucun point à l'in-/ _,,. i ; . ^ Ellipsoïde.
\ tini »....'
Surfaces du secoiidl , - , ■
, , ,, itanijenle au plan de I m-/
ordre sur lesquellcsj . . ^ Paraboloïde cllipii<jiie.
on ne pout placer, ■• •• ■■• .......
■^i . Icoupee parleplan de I inlini,
aucune droite. I . i. / ,, ,,-,.,
y suivant une conique ordi-^ Ujperboluidc u dciix nappa.
naire ;
Nous allons décrire euccessiveraent ces trois surlaces.
AO'^
GÉOMÉTRIE DANS k'eSPACE.
ELLIPSOÏDE.
122i. L'ellipsoïde [fig. Cn\) n'ayant aucun point à l'infini n'admet que des sections planes elliptiques. Le centre est intérieur à la surface, et. par suite, les trois axes rencontrent la surface chacun en deux points réels; ces trois axes ont généralement des longueurs différentes; combi- nés deux à deux, ils forment les axes des trois ellipses principales. Les sections par des plans parallèles à un plan principal sont des ellipses sem- blables à l'ellipse principale correspondante, et dont les sommets sont situés sur les deux autres ellipses principales : de là un mode de géné- ration très-expressif de la surface.
Fig. 6i I.
Les deux plans cycliques passent évidemment par l'axe moyen; leurs traces sur le plan des deux autres, axes sont les diamètres communs à rellipsc principale située dans ce plan et au cercle concentrique décrit avec un rayon éi'al à l'axe moyen. Tout plan parallèle à un plan cyclique coupe l'ellipsoïde suivant un cercle; le lieu des centres des sections cir- culaires est formé de deux diamètres de l'ellipse principale, qui a pour axes l'axe maximum et l'axe minimum ; ces diamètres, qui sont respecli- vement corijugués aux traces des deux plans cycliques, rencontrent l'ellipse en quatre points réels : ce 'èoiii\%?, ombilics .
En désignant par <?, b, c les longueurs des trois axes, et prenant re. - pectivement ces axes pour axes des x^ des y et des z, on trouve, en rai- sonnant comme au n° 1216, pour l'équation de l'ellipsoïde,
x"- >'- z' (i^ ù'-~^c-~
Il suffit, dans los (onnules du u" i:216, de changer c^ ea — c'.
LIVRE VIII. — LES SURFACES USUELLES. -'igi
l:22o. Soient on' , ob\ oc\ un système de trois demi-diamètres conjugués, et od, nb, oc, les trois demi-axes. Conservons le diamètre oc' et substi- tuons à ou' et où' deux autres diamètres oa" et ob" conjugués entre eux dans le plan a'oh', et dont l'un oa soit l'intersection de ce plan avec le [)lan (lob; on aura
ofi' -h nb' = oa" -.- oh" .
Les trois droites oa", o//, or', formeront encore un système de diamètres conjugués, et le plan b"oc' contiendra l'axe oc, puisque oa" est dans le plan principal aob. Conservons maintenant nu", et remplaçons ob" et oc' par deux nouveaux diamètres conjugués situés dans le plan c'ob", dont l'un, ob,, soit l'intersection de ce pian avec le plan «o^; alors, ort" et 06, se trou- vant l'un et l'autre dans le plan principal aob, le conjugué de ob, ne sera autre que l'axe oc, et l'on aura
ob" -+- oc' = ob, -+- ne ,
Enfin, la comparaison du système actuel oa", ob„ oc, avec le système oa, ob, oc, donne
oa" -r- ob^ = oa -+- ob ,
et, en ajoutant les trois relations précédentes, on obtient — j — j — 2 — i — 2 — 3
oa' -+- ob' -t- ne' = oa -+- nb -t- oc ;
ce qui donne la cénéralisation du premier des théorèmes d'Apollonius (1147):
La soniine des carrés de trois diamètres cotijii°;iiés quelconques est constante.
Le second théorème d'Apollonius se généralise de même : Le volume du parallélipipcde construit sur trois diamètres conjugues quelconques est constant. En effet, on a évidemment
vol. {oa', ob', oc') — vol. [on" , ob",nc'),
puisque ces deux corps ont la môme hauteur et des bases équivalentes comme parallélogrammes construits sur les deux systèmes de diamètres conjugués oc' et ob' , ofi" et ob", de la section faite par le plan a'ob'. On a de même
vol. {o(è', ob", oc') = vol. [oa" ,ob,, oc) =.vol. [oa, ob, oc),
d'où résulte
vol.(o^/', nb' ,oc') = \o\,{na, ob, oc).
49^ GÉOMÉTUIK DANS l'eSI'ACE.
1226. Si deux des axes sont égaux, l'ellipsoïde devient de révolution autour du troisième axe. Enfin, si les trois axes sont égaux, l'ellipsoïde se réduit à une s|)lière.
P.VnABOLOlDE ELLIPTIQUE.
1227. Le paraboloïde elliptique [fi;. (Jia) est tangent au plan de l'in- fini. Son centre est donc à l'infini, ainsi que l'un des plans principaux et les deux axes qu'il contient. Il ne reste à distance finie qu'un seul axe et les deux plans principaux qui passent par cet axe, auquel tous les dia- mètres sont d'ailleurs parallèles.
Fig. fil 3.
Toute section passant par Vaxe est tangente à la droite de l'infini; c'est, une parabole ayant pour axe l'axe même de la surface et pour som- met le point où cet axe rencontre le paraboloïde, c'est-à-dire le sommet de cette surface. Toute section par un plan parallèle à l'axe est une parabole égale à celle que déterminerait un plan parallèle passant par l'axe.
Les sections par les plans non parallèles à l'axe sont des ellipses, puisque ces sections n'ont aucun point commun à l'infini. Les ellipses don! les plans sont normaux à l'axe ont leurs sommets sur les deux paraboles principales qui, par suite, sont situées l'une et l'autre d'un même côté du plan tangent au sommet. Enfin, la surface peut être engendrée par l'une des paraboles principales glissant parallèlement a elle-même de jaçon que son sommet décrire l'autre parabole principale.
Tous ces résultais s'aperçoivent aisément après ce qui a été dit (1219 et suiv.) sur le paraboloïde hyperbolique.
En prenant pour axe des x l'axe commun des deux paraboles princi- pales et pour axes des y et des s les tangentes au sommet de ces para-
I.IMU: Mil. — LES SURFACES USUELLES. ^93
boles, puis raisonnant comme au n" ii-2l , on obtient, pour l'équation du paraboloïde elliptique,
P P
Il suffit de changer dans 1 équation du paraboloïde hyperbolique, /v' en
— p'-
Ajoutons que la surface admet deux séries de sections circulaires dont les plans sont perpendiculaires à la section principale de moindre para- mètre et également inclinés sur l'autre section principale.
Si les deux paraboles principales ont môme paramètre, le paraboloïde devient de révolution.
HYPEUIiOLOÏDK A DEIX NAPPES.
1228. L'hyperboloïde à deux nappes (y?^. 6i3), étant coupé parle plan de l'infini suivant une conique ordinaire C, a un centre o placé à distance
.Fis. 6i3.
finie et extérieur à la surface. Le cône qui a le point o pour sommet et la conique C pour directrice est tangent à la surface tout le long de cette co- nique à l'infini ; on le nomme eôfie asymptote, et la surface étant intérieure à ce cône se compose de deux parties ou nappes séparées, situées chacune dans l'une des nappes du cône. Les diamètres et plans diamétraux conju- gués de la surface sont les mêmes que ceux du cône ; elle a donc les mêmes axes que ce cône; l'axe intérieur au cône rencontre donc seul la surface qui n'a que deux sommets réels. Tout plan passant par l'axe transverse
494 GÉOMÉTRIK DANS l'ksPACE.
coupe la conique C de l'infini en deux points et, par suite, la surface sui- vant une hyperbole symétrique par rapport à cet axe et ayant pour som- mets réels les deux sommets réels de la surface; ce fait met mieux en- core en évidence la division de la surface en deux nappes.
Les sections par des plans perpendiculaires à l'axe transverse sont des ellipses semblables dont les sommets sont situés sur les deux hyperboles principales dont les plans passent par Taxe. Ces ellipses se réduisent à un point lorsque le plan sécant passe par l'un ou l'autre sommet; quand le plan sécant est entre les deux sommets, la section devient imaginaire.
Les plans cycliques de la surface sont les mêmes que ceux du cône asymptote.
L'équation de la surface se déduit de celle de l'hyperboloïde à une nappe en changeant U^ en — ^^; elle est
X y z
l'axe des .r étant dirigé suivant l'axe réel.
Cette surface n'a aucune importance au point de vue des applications. Nous avons hâte d'ailleurs de terminer cette esquisse déjà bien longue de la théorie des surfaces du second ordre. Le lecteur qui voudra la lire, la plume à la main, en restituant les figures une à une, n'éprouvera au- cun embarras pour démontrer les points secondaires que nous n'avons fait qu'énoncer. Il pourra ensuite, s'il veut pousser plus avant cette étude, consulter avec le plus grand fruit le Supplément sur les propriétés pro- jectiles des figures dons l'espace, de Poncelet; les Mémoires àe M. Chasles sur les cônes, sur les conifjues sphériques et sur les surfaces réglées, et enfin VJpercn historique.
IV. — ÉTUDE DE QUELQUES SURFACES D'ORDRE SUPÉRIEUR.
SURFACES POLAIRES RÉCIPROQUES.
1229. La méthode des polaires réciproques s'étend aisément aux figures de l'espace ; nous nous bornerons à quelques indications sur ce sujet [voir Poncelet, Traité des Propriétés projectives, t. II).
Deux surfaces sont dites polaires réciproques par rapport à une surface du second degré o-, lorsque chacune d'elles est le lieu des pôles des plans tangents à l'autre, les pôles étant pris relativement à la surface auxi- liaire a.
Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, il faut prouver que, si une surface -^ est le lieu des pôles des plans tangents d'une sur- fiice 'j>, réciproquement la surface <? sera le lieu des pôles des plans tan-
LIVIU; Mil. — LES SURFACES USUELLES. ^\)>
gents à la surface -y Or, soient //, p', u.", trois plans tangents à la sur- face «; m, m', m", leurs points de contact, et //, «', //', leurs pôles par rapport à t. [>e point commun aux trois plans p, p.', p", a pour polaire le plan /fn'n"; mais, quand /«'et m" tendent vers w, il en est de même du point commun aux plans p, u.', p", et alors, les points n' et //' tendant vers //, le plan nn'n" tend vers le plan tangent en n à la surface -^i. Donc le point /« de la surface ^ est le pôle du plan tangent en « à la sur- faco •!/.
4230. Qiifind deux sur j aces sont polaires réciproques, la classe de Tune est égale au degré de l'autre. Car, si une droite quelconque A rencontre la surface o en /■ points, à ces /■ points répondent /- plans polaires pas- sant par la droite B conjuguée (1196) de la droite A et tangents à la sur- face ■!/; et inversement, aux / plans menés par B tangentiellement à la surface i*, répondent / points communs à la surface 'f et à la droite A.
Il résulte de là que la surface polaire réciproque d' une surf ace du se- cond degré est une surface du second degré, puisqu'une surface du second ordre est de seconde classe (H94).
12.31. Le plus souvent, surtout lorsqu'il s'agit de transformer des pro- priétés métriques, on prend une sphère pour surface auxiliaire. Alors le point n' de la surface ^ correspondant au point // de la surface 's (Jîg. 617) s'obtient en abaissantdu centre ode la splière une perpendiculaire np sur le plan tangent en « à la surface <? et en portant sur cette perpendiculaire une longueur on' telle qu'on ait
op. on' = /•',
r étant le rayon de la sphère. D'ailleurs, comme la polarité est réciproque, le plan tangent en n' à la surface L est à son tour perpendiculaire sur on et coupe cette droite en un point y>>, tel que
on.op^ := /•^
Il est évident, d'après cela, que, si l'on considère un ellipsoïde t ayant pour axes «, b, c, sa polaire réciproque par rapport à une sphère concen- trique de rayon r est un autre ellipsoïde dont les axes sont dirigés sui- vant les même droites que ceux du premier et ont respectivement pour
r' /•* r' longueurs — ? -ri — abc
1232. Nous terminerons ce paragraphe par une remarque qui nous sera fcienlôt utile et qui se rattache à la théorie des pôles et des polaires.
Si, d'un point quelconque n d'un ellipsoïde, on (ihais.se un plan nsrpvr-- pendiculaire sitr l'un des axes ox de celte surface, et si l'on désigne par
496 GÉOMÉTRIE DANS LliSPACE.
S le point où ce plan coupe In perpendiculaire op menée du centre o sur le plan put tangent en n, on a la relation
os .op z= a^,
a étant la longueur de C axe dirigé suivant ox (fig. 614).
En efiet, le plan nsr a pour pôle, par rapport à l'ellipsoïde, le point /
Fi(j. 6i5. Fig. 6i'|.
B
OÙ le plan langent en n coupe l'axe ox] mais ce plan a le même pôle par rapport à l'ellipsoïde et par rapport à la sphère concentrique de rayoi\ a. Donc le plan pnt passant par t doit avoir son pôle par rapport à la sphère dans le plan nsr, et, comme ce pôle doit élresur op, il n'est autre que le point s, ce qui entraîne la relation ci-dessus.
SURFACES APSIDALES.
1233. Soient m (_/îg. 6i5)un pomt quelconque d'une surface quel- conque tp et 0 un point fixe pris arbitrairement dans l'espace. La sphère ayant o pour centre et cm pour rayon coupe la surface <o suivant une ligne A ; a étant le cône qui a pour sommet 0 et pour directrice A, on élève par le point o la perpendiculaire au plan qui touche lo cône a suivant la génératrice cm. Les points n et n' , où cette perpendiculaire rencontre la sphère, décrivent une surface J^, lorsque m se déplace sur la surface tp. La surface 4^ est, par définition, la surface apsidalc de <p par rapport au point 0.
Les deux points n cl n' de <{/ qui correspondent à un même point /// quelconque de cp, sont symétriques par rapport au point 0; toute surface apsidale '^ est donc une surface à centre.
Les points qui correspondent aux divers points de la ligne A appar- tiennent à une ligne sphérique B située sur <^\ le cône p ayant pour sommet 0 et pour directrice B est supplémentaire du cône a. Ou peut donc revenir de n ou n' au point m en effectuant en ordre inverse la construction qui a fourni ces deux points. Mais il ne faudrait pas con- clure de là que 9 est l'apsidale de 4*, puisque toute surface apsidale est une surface à centre.
LIVRE VIII. — LES SURFACES USUELLES. 497
Voici d'ailleurs un exemple fort simple :
On voit immédiatement que i'apsidale d'un plan P par rapport à un point 0 est le cylindre de révolution qui a pour rayon la dislance oco du point o au plan P et pour axe la droite indéfinie oio. Si roncherclio maintenant la surface apsidale de ce cylindre par rapport au même point 0, on trouve le plan P, son symétrique par rapport à o, et la splièro qui, ayant le point o pour centre, est inscrite dans le cylindre.
(M.VNNIIEIM.)
THÉORÈME.
1 234. Les plans tangents p. et v aux points corrcspondanls ru et n de deux surjaces apsidales «p et -^ sont pcfpendiculaires au plan mon et per- pendiculaires entre eux.
En effet, la tangente mX à la courbe sphérique A [fig. 6i3) est àangle droit sur le rayon om de la sphère; elle est aussi à angle droit sur la droite o//, puisque o« est perpendiculaire au plan y/«T; donc cette tan- gente est perpendiculaire au plan wo//,et, parsuite, il en est de même du plan \i. qui contient /«T.
On voit de même que le plan v est perpendiculaire au plan mon.
Il reste à montrer que les plans p. et v sont perpendiculaires entre eux, ou bien, puisqu'ils sont l'un et l'autre perpendiculaires au plan mon^ que leurs traces sur ce dernier plan sont rectangulaires. Or, soit '>it{fig. GiG)
Fig. 6iG.
Fie. 617.
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' |
?. |
|
\ 'iY |
m |
|
\ \ \ \ |
un jtoint voisin de m sur la section de la surface 'o par le plan mon qui est pris ici pour plan de la figure; la droite /?w, sera à la limite la trace du plan p. Soit //, le point de la surface ^ qui répond à w, ; rabattons le triangle onn^ en onn^ sur le plan de la figure, par une rotation autour de on. Le plan «//, //^ esta la limite tangent suivant nn., au cône de révo- lution que décrit ////, en tournant autour de no\ il est donc perpendicu- laire au plan de la figure, et, par suite, nn^ est à la limite la trace du plan V. Pour un motif analogue, la droite o/?, peut être consid'.''réL' coiuim> la projection orthogonale de on,; donc l'angle /«,o//j est droit comme
R. et DE C. — Tr. de Gdom. (li« Partie), 32
498 GÉOMÉTKIE DANS LESPACE.
étant la projection d'un angle droit miO/ii dont un côté o/«,<est dans le plan de projection. Il suit de là que le triangle no/i^ n'est autre que le triangle iiio/)i^ qui aurait tourné de 90 degrés autour du point o dans son plan; lesdroites /«///,, nn^, sont donc à la limite perpendiculaires l'une à l'autre.
Corollaires.
123o. 1° Les normales en m et n aux surfaces © et •!> sont contenues dans le plan mon et sont perpendiculaires entre elles.
2" Les perpendiculaires abaissées du point n sur les plans tangents y. et V sont contenues dans le plan mon, et leurs longueurs, c'est-à-dire les distances du point o aux plans y et v, sont égaies.
3° La section de la surface 'f par le plan moT [Jîg. 6i5) a pour tan- gente en m l'intersection du plan o/iiT et du plan -j.: cette intersection est donc, comme chacun de ces deux plans, perpendiculaire au plan mon et par suite à la droite om. Donc la droite om est une normale à cette section, et l'on peut donner des surfaces apsidales cette définition, que Mac-Cullag prend pour point de départ dans le tome XVII des Transac- tions of tlie Royal Irish Jcadcmie : La surface apsidale ^ d'une surlacc donnée o par rapport à un point o est le lieu des points obtenus en por- tant, à piutir de o, perpendiculairement à chaque plan passant par ce point, des longueurs égales aux normales abaissées du point o sur la sec- tion faite dans la surface © par le plan considéré.
THÉORÈME.
1236. Si deux surfaces i et z sont polaires réciproques par rapport à une sphère de centre o , leurs apsidales "^ et o/', relatives au point o, sont polaires réciproques par rapport à la même sphère [fig. 617).
En effet, soient n et n' deux poinis homoloanes de s et de î', et m et m' les poinis correspondants de o et de '^'. Prenons pour plan de la figure le plan norï ^ et désignons par v, •/, p., y.', les plans tangents aux surfaces =, ;', '^, 'J , aux points //, //', w, m' . D'après le corollaire (2°), puisque on' est perpendiculaire au plan v, la droite ow est située dans le plan de la figure, et il en est de même de om' , puisque le plan •/ est per- pendiculaire à on. D'ailleurs, si l'on abaisse np et mq perpendiculaires à on' et à o///, ces lignes seront les traces des plans v et p., et Ion aura non-seulement on' = ow', mais encore (même corollaire) op ~ oq. Donc la relation
op. on' = r',
où /■ eat le rayon de la sphère auxiliaire, équivaut à
oq.om = r',
LIVRE VIII. — LES STJUFACES USUELLES. i\CC)
ce qui prouve que les surfaces f ei '/ sont polaires réciproques par rap- port à la sphère de centre o et de rayon r.
SURF.\CE UKS ONDES.
1237. Supposons qu'une suite d'ébranlements périodiques ait lieu en un point d'un milieu biréfringent : le mouvement vibratoire se propagera dans toutes les directions autour de ce point, et, au bout de l'unité de temps, le premier ébranlement sera parvenu sur une certaine surface que Fresnel a considérée le premier et à laquelle on donne le nom de sur- face des ondes.
Laissant complètement de côté le point de vue physique, nous allons ici étudier géométriquement cette surface intéressante et signaler les par- ticularités curieuses qu'offre sa forme.
Nous partirons de la définition suivante :
La surface des ondes est la surface apsidale o d'un ellipsoïde $, par rapport au centre de cette dernière surface.
Le théorème du n° -1236 montre que la polaire réciprocjue de la sur- face des ondes » par rapport à une sphère concentrùfue a l'ellipsoïde e est encore une surface des ondes; c'est la surface apsidale <p' de leliip- soïde i', polaire réciproque de l'ellipsoïde primitifs.
Le théorème du n° 1234 permet de construire le plan tangent et la nor- male en un point quelconque de la surface des ondes.
Enfin, en combinant le théorème du n- 1236 et les corollaires du théo- rème du n- 1231, on voit que la surface des ondes y peut être déduite des ellipsoïdes i et ;' de la manière suivante :
1° 67, par le centre de V ellipsoïde i, on élève une perpendiculaire à chaque plan diamétral, et qu'on porte sur cette perpendiculaire, à partir du centre, des longueurs égales aux demi-axes de la section diamétrale considérée, le lieu des extrémités de ces longueurs est la surface m.
'j." Si, à chaque plan diamétral de r ellipsoïde e', on mène des plans pa- rallèles à des distances de ce plan égales aux longueurs des demi-axes de la section dianiélrale considérée, la surface "5> est la surface tangente à tous ces plans.
1238. Étudions maintenant la forme de la surface en partant de la ])rc- mière de ces deux définitions.
On voit d'abord immédiatement que la surface o admet le même centre o et les mêmes plans principaux xoy, )oz, zox, c'est-à-dire les mêmes plans de symétiie que l'ellipsoïde ;. Désignons par a, ù, r, les longueurs des trois axes de cet ellipsoïde qui sont dirigés respectivement suivant «x, oj^ oz: supposons a'^ by c, et cherchons les sections princi(>a!es de la
5oO GÉOMRTRIE DANS LKSI'ACi:.
surface des ondes, c'est-à-dire les sections de cette surface par les plans principaux xny, yoz, zox.
Pour qu'un point de la surface cp soit dans le plan xoy, il faut et il suffit que le plan diamétral correspondant soit perpendiculaire au plan xoy, c'est-à-dire passe par l'axe oz; mais chacune des sections diamé- trales passant par oz a pour demi-axes le demi-axe mineur c de l'ellip- soïde et l'un des demi-diamètres de l'ellipse [ab). La section de la sur- face <f se compose donc du cercle qui a pour centre o et pour rayon c, et de l'ellipse {ob) qu'on aurait fait tourner de 90 degrés autour de son centre; d'ailleurs, le cercle est intérieur à l'ellipse, puisque son rayon c est inférieur à la fois aux deux demi-axes 6 et <? de l'ellipse ; nous dési- gnerons le cercle par C et l'ellipse par C.
On voit d'une manière analogue que la section faite par le plan f^z se compose du cercle qui a pour centre n et pour rayon a, et de l'ellipse ( bc)
Fiîî. 618.
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qui aurait tourné de 90 degrés autour du point o\ ici, c'est l'ellipse qui est intérieure au cercle, puisque le rayon de ce cercle est plus grand que chacun des demi-axes de l'ellipse; nous désignerons ce cercle et cette ellipse respectivement par A et A'.
Enfin, le plan znx coupe la surface «y suivant le cercle ayant o pour centre et b pour rayon, et suivant l'ellipse \ca) qu'on aurait fait tourner de 90 degrés autour du point o. Ce cercle, que nous désignerons par B, et cette ellipse, que nous désignerons par B', se coupent en quatre points réels, puisque le rayon b du cercle a une valeur comprise entre les va- leurs «et c des demi-axes de l'ellipse. Ces points reçoivent le nom à!om- billes de la surface des ondes.
D'après cela, pour se rendre compte de la forme de la surface, en se bornant, bien entendu, à la partie comprise dans le trièdre des coordon-
i.iviti: VIII.
I.K> SLtlFACES USUELLES.
OO I
nées positives , on imaginera que ce Irièdre soit fendu suivant l'axe des_7-, et que l'on ait rabattu la face zoy en zo)\ sur le plan des sj-, et la face .Tojen .rry-j sur le même plan des zx. Les trois faces étant ainsi ap- pliquées sur le même plan, on pourra dessiner avec exactitude les trois couples de sections principales en se bornant au quart de chacune d'elles, comme on le voit sur la^.^. 6iS. Il suffit dès lors de ramener par la pensée les trois plans dans leur position pritnitive, de manière à re- former le tiiedre, pour acquérir une idée nette de la forme de la surface telle qu'on la voit en perspective dans \Afig. 619 ; on a ménagé dans cette figure une ouverture qui permet de voir la nappe intérieure. Quant à la /^. 620, elle représente le corps solide ou noyau qui serait recouvert par la nappe intérieure seule.
Fifj. 620.
THÉORÈME.
1239, L(i <ij>lirrc qid jxissc par un point fjuricnnfjiic m de la surfarc et par la projection q du centre sur le plan tan^^ent en ce point, et qui a son centre sur l'un des axes, coupe le plan principal perpendiculaire à cet axe suivant le cercle principal correspondant.
Par exemple, la sphère qui passe par /// et 7 et qui a son centre sur l'axe oj: coupe le plan yoz suivant le cercle A. l
En effet, soient {Jif^. 621) n un point quelconque de l'ellipsoïde z,p la projection du centre o sur le plan tangent en n, et ns la trace sur le |)lan nop (qui est ici pris pour plan de la figure) du plan mené par n perpen- diculairement à l'axe ox. Faisons tourner la figure de 90 degrés dans son plan autour du point o, de manière à l'amener en owyi,'^; m seia un point quelcomiue de la surface des ondes et 7 la projection du centre o sur le plan tangent en ce point. Quant à la droite w^^, nouvelle position do ns.
0O2
GÉOMÉTRin: DANS l'esPACE.
elle sera perpendiculaire à ns et, par suite, parallèle à la projection do l'axe ox sur le plan de la figure; on aura d'ailleurs (1232j og.oq = a}. Cela posé, imaginons le point c où l'axe ox coupe le plan mené perpen- diculairement à la droite qm par son milieu / ; c sera le centre de la sphère considérée; soient*-/ sa projection sur le plan delà figure et h sa distance à ce plan. En désignant par p le rayon du cercle suivant lequel la sphère coupe le plan principal zot, on aura
1' 2 , • 2 2
p^ = cm — co = (A- -+- dvv ) — [li^ -t- dd^'] = dm — do ,
ou, en appelant k le point de rencontre de mg et de la droite /V/ qui est parallèle à oy,
2 — —2 / — 2 2\ / 2 2\ 2 ~2
p^ = dm — mh — \di -\- im ) — \ih -+- un ) = di — //.
= {de -h ik) [di — //.) = [dk -+- lik) dk = og (og -h gq) = og.oq,
c'est-à-dire, d'après la relation ci-dessus, p = a, ce qui prouve que le cercle d'intersection n'est autre que le cercle principal A.
FiiT. 621.
•1240, Ce théorème, qu'un géomètre anglais, M. Niven, a trouvé par l'analyse, etdont nous venons de donner une démonstration géométrique, fournit une nouvelle solution du problème du plan tangent et une expli- cation simple des particularités de la surface.
Veut-on le plan langent en un point w? On considérera les trois sphères passant par le point m et par chacun des cercles principaux A, B, C; le second point commun à ces trois sphères sera le point 7, projection du centre o sur le plan langent cherché, qui, par suite, n'est autre que le plan mené par q à angle droit sur oq.
Inversement, un plan tangent étant donné, veut-on le point de contact? Parla projection q du centre o sur le plan donné, et par chacun des cercles principaux A, B, C, on mènera trois sphères, et le second point commun mue ces sphères sera le point de contact du plan tangent considéré.
1241. Revenons à la section de la surface par le plan zox, laquelle se compose du cercle B et de l'ellipse B' qui ont quatre points communs réels tels que ti, et quatre tangentes communes réelles, telles que viv
LIVIîK VIII. — LES SURFACES USUELLES. 5o3
i^fig. 6t8 ). Cherchons le plan tangent en u à la surface des ondes. La pro- jection du centre o sur ce plan tangent doit être le second point commun aux trois sphères puissant par «et par chacun des cercles principauxA,D,C; mai?, comme le point u est sur le cercle B, la sphère correspondant à ce cercle est indéterminée, et l'on trouve pour la projection du centre su.» le plan tangent, non pas un point, mais un lieu qui est le cercle d'Intersec- tion des sphères passant par « et par chacun des cercles A et C, et dont le plan est perpendiculaire au plan zox. Il en résulte que la surface admet au point u une iufinilé de plans tangents ayant pour envelopjjc un cône dont le sommet est au point u et dont les tangentes au cercle B et à l'ellipse B' sont deux génératrices o[)po5ées.
Considérons en second lieu la tangente commune rw. Le plan tt élevé par celte ligne perpendiculairement au plan zox est évidemment tangent à lii surface des ondes aux points c et iv. Il est facile de voir que le plan tt touche la surface tout le long du cercle décrit dans ce plan sur nv comme diamètre. En effet, le point de contact du plan ~ doit être le second point commun aux trois sphères passant par la projection c du centre o sur ce plan et par chacun des trois cercles principaux A, B, C; mais, le point v étant sur le cercle B, la sphère relative à ce cercle est indéterminée, et l'on trouve pour le point de contact, non pas un point unique, mai> un lieu qui est le cercle counnun aux deux S()lières déterminées pur l!^[ioint V et par chacun des cercles A etC; ce cercle, dont le plan est évidemment
Fi{j. 622.
perpendiculaire au plan zf)x, n'est autre que le cercle décrit dans le plan TT sur w comme diamètre.
Ainsi, la surface des ondes a quatre points conicjues et quatre cercles de contact. La /!•>. 6.>-2 représente la section de la surface par un plan pas- sant par les (piatre points coniques (').
Cj m. iVfannheim a démontré les propriçtus principales de cette surface et
5o4 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.
1242. M. Darboux, qui a étudié {Comi>tcs rcmhis, t. XCII) la surface qu'on obtient quand les cercles A, B, C ont des positions quelconques dans l'espace, a déduit du théorème de .M. Niven le moyen de construire les points (et par suite les plans tangents) de la surface des ondes sans passer par la considération de l'ellipsoïde.
0 étant le centre de la surface des ondes et q le second point d'inter- section des trois sphères passant respectivement par les cercles A, B, C et par un point quelconque m de la surface, l'angle 0(//h est droit; et il est clair que cette propriété constitue une définition de la surface; car, si m est un point quelconque de l'espace et «7 le second point commun aux sphères déterminées par m et par les cercles A, B, C, l'angle Oqm n'est plus droit.
Cela posé, prenons deux sphères quelconques passant l'une par le cercle A, l'autre par le cercle B, et cherchons les points de la surface qui sont situés sur le cercle 7 commun à ces deux sphères. 11 résulte inmiédiatement des propriétés des axes radicaux que toute sphère pas- sant par le troisième cercle C coupera 7 en deux points p et u/, tels que la droite pf.' aille passer par un point fixe a situé sur la droite commune aux plans des cercles C et 7. Si le point /a appartient à la surface, il faudra que l'angle Ouu', c'est-à-dire l'angle Oaa, soit droit. Donc le |)oint u. sera sur la sphère admettant 0« pour diamètre. Cette construc- tion donne deux points sur le cercle 7.
TORE.
1213. Le tore (89S) est la surface apsUlale (Vune sphère par rapport à un point quelconque de l'espace. En effet, celte surface apsidale est évidemment de révolution autour de la droite oz qui joint le point considérée au centre de la sphère; d'ailleurs, comme le plan tangent à la sphère est perpendiculaire au plan méridien du point de contact, il résulte du mode de correspondance (1233) entre les points de deux surfaces ap- sidales que la méridienne de cette surface de révolution n'est autre qu'un grand cercle de la sphère qui aurait tourné de 90 degrés dans son plan autour du point o.
La méridienne complète se compose de deux cercles w et w' symétriques par rapport à l'axe os; le point o, qui est sur l'axe et qui est le milieu de w&)', est le centre du tore; nous désignerons par r/le rayon moyen ow du tore et par r le rayon w/du cercle méridien w.
obtenu plusieurs propriétés nouvelles par d'élégantes considérations de Géo- métrie cinématique {Comptes rendus, 1867 et 1S74; Congres de Lille, 1874, de Ka'iles, 1875, et du Narre, 1877; Cours de Géométrie descriptive, 1880),
I.IVRK VIII.
LES SURFACES USUELLES.
5o5
1244. Tout plan bi tangent P coupe le tore suivant le système de deux cercles. (YvoN Villarcuau, Comptes rendus, 1848.)
En effet, prenons pour plan de la figure [fig. GaS) le plan méridien per- pendiculaire au plan P; les deux points de contact /e-t /' seront (S87) situés dans ce plan méridien, de sorte que la trace du plan P sera la tangente commune intérieure fof aux cercles w et w'. Désignons par M uu point quelconque de la section, et soit gn la trace du parallèle qui passe par ce point; le point M se projettera en m sur gn elff, et l'on aura
Fin. 62.3.
oM = on, puisque oM et on sont deux génératrices du cône qui a pour sommet le point o et pour base le parallèle gn. Si l'on rabat le plan P, au- tour de/jT', sur le plan de la figure, le point M viendra donc sur la per- pendiculaire élevée au point m sur //''en un point Mi tel, quer»Mi = on. Cela posé, prolongeons «w jusqu'à sa rencontre .v a\ecff' et menons oe perpendiculaire sur «w; le rapport de oe à w/est égal à celui deio à .vw ou encore à celui de ow à o)« («t, comme w/= ctja/, on a orn = ae; l'égalité des triangles rectangles ocn, om'Sli, montre alors que l'angle ono: est égal à oMim et, par suite, à Mio/, n/, étant la perpendiculaire élevée par o s\iT ff'. Si Ion prend ok = r, les triangles oXMi, o<»«, seront donc égaux, et l'on aura Mi/- = ow = d. On voit ainsi, en redressant le plan, que la section se compose de deux cercles dont le rayon est égal au rayon moyen d du tore et dont les centres sont situés de part et d'caitre de o, à une distance égale à r, sur la perpendicul(dre menée par o au plan de la figure.
Par tout point du tore passent donc r/uatre cercles de la surface; ce
5o6 (iF.O.MÉTIUE DANS l'eSPACE.
sont le parallèle, le méridien, et deux des quatre cercles suivant lesquels le tore est coupé par les plans tangents menés par ce point au cône ^ qu'engendre la àfo'ileff en tournant autour de l'axe oz.
124o. Toute sphère bilongente coupe le tore suivant un système de deux cercles. (Mannheim, Nouvelles Annales, i856.)
En effet, prenons pour plan de la figure le plan du centre c de la sphère et de l'axe nz du tore. Ce plan méridien renferme les deux points de contact/-» et /j', puisque les normales poi, p'oi\ en ces points passent par c et rencontrent oz. Les points p et p' étant d'ailleurs deux points aiitihomologues des cercles w et w', la droite pp' passe par le centre de similitude o. Soient P et Q les plans tangents au cône 2 menés par la àroile pp\ et Tle plan tangent commun à la sphère et au tore au point p; l'un 9 d('S deux cercles suivant lesquels le plan p coupe le tore passe par p et p' et a pour tangente en p l'intersection L des plans P et T; mais le cercle c- que le plan P détermine dans la sphère passe aussi par les points p et />' et a pour tangente en p la droite L. Donc les cercles ô et o- coïncident, et l'on verrait de même que le cercle que le plan Q détermine dans la sphère coïncide avec l'un de ceux que ce plan détermine dans le tore.
1246. Nous terminerons ces notions sur le tore par la solution d'un problème qui se présente dans les applications (MAX.\un:ni, Cours de Géométrie descriptive, 1880) :
Etant donné un tore et un point quc.lcoïKpie S de l'espace, mener par le point S des droites bitangcntes au tore.
Soit SL l'un de ces rayons bitangents; en tournant autour de l'axe de révolution du tore, il engendre un hyperboloïde de révolution qui touche le tore suivant les deux parallèles engendrés par la rotation des points de contact do la droite SL.
Considérons le plan méridien qui passe par le point donné S. Ce plan coupe le tore suivant deux cercles Ci et C2 et l'hyperboloïde suivant une hyperbole passant par S et bilangente à chacun des cercles Ci et C2. Soient S/j, '^q les tangentes menées de S aux cercles Ci et C2; prenons sur S/^, Sr = S7, en sorte que pr = Sp — Si/. L'hyperbole est le lieu des points pour lesquels la différence des tangentes menées de ces points aux cercles Ci et C2 est constante et égale à pr. Si donc on décrit, dans le plan méridi'^n considéré, un cercle concentrique à Ci et passant par r, ce cercle coupera C^ en deux points a el b qui seront les points où l'hy- perbole touche le cercle C2. Ces points appartiennent aux parallèles de contact du tore et de l'hyperboloïde. Les rayons bitangents demandés seront donc les droites qui, passant par S, s'appuient sur ces deux pa- rallèles, c'est-à-dire les génératrices communes aux deux cônes qui ont
LIVRE VIII. — LES SURFACES USUELLES. -iO-J
le poiiii floniK' S poui- sommet commun c-t, pour bases respectives, les parallèles engendrés par a et b.
Nous laissons au lecteur le soin do voir ce que devient la construction lorsque le point S s'éloigne à l'infini dans une direction donnée, cest- à-dire lorsqu'il s'agit de mener au tore des rayons bild/igents et i:araUèlcs à une droite donnée.
QUESTIONS PROPOSÉES
SUR LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
LIVRE V.
LE PLAN.
§§ I, IL — Premières notions sur le plan. — Droites et plans
parallèles.
.531. Mener par un point donné une droite qui rencontre deux droites données non situées dans un même plan.
532. Mener à une droite donnée une parallèle qui s'appuie sur deux droites données non situées dans un même plan.
533. .Mener par un point donné une droite qui rencontre une droite cl un cercle non situés dans un même plan.
534. Dans tout quadrilatère gauche, c'est-à-dire dont les côtés ne sont pas situés dans un plan unique, les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme.
535. Plusieurs droites étant données en grandeur, direction et sens, si on les transporte parallèlement à elles-mêmes, de telle sorte que l'extré- mité de chacune d'elles se confonde avec l'origine de la suivante, la droite qui part de l'origine de la première et aboutit à l'extrémité de la der- nière prend le nom de résultante des droites proposées ; celles-ci sont dites à leur tour les composantes de la résultante. Composer des droites, c'est trouver leur résultante; décomposer une droite, c'est trouver des droites qui aient pour résultante la droite donnée. Ces définitions posées, démontrer les propositions suivantes :
1° La résultante de plusieurs droites reste la môme, quel que soit l'ordre dans lequel on compose ces droites.
2"° La résultante de plusieurs droites n'est pas changée quand on rem- place un certain nombre d'entre elles par leur résultante.
3° Si, sans changer la direction ni le sens des composantes, on altère
5lO GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.
leurgrandeur dans un certain rapport, la résultante conserve sa direction et son sens, mais sa grandeur est altérée dans le même rapport.
4° Si, sans altérer la grandeur ni la direction des composantes, on change leur sens, la résultante conserve sa grandeur et sa direction, et cliange de sens.
5" Pour décomposer une droite D en deux autres dont l'une soit une droite donnée d, il suffit de composer D avec cl prise en sens contraire.
536. Une droite se déplace en restant parallèle à un plan donné et en s'appuyant sur deux droites non situées dans un même plan : quel est le lieu des points qui divisent la droite mobile dans un rapport donné?
§§ III, IV. — Droite et plan perpendiculaires. — Projection d'une droite sur un plan. — Angle d'une droite et d'un plan. — Plus courte distance de deux droites.
537. Mener, dans un plan donné et par un point de ce plan, unedroite per- pendiculaire à une droite donnée d'une manière quelconque dans l'espace.
538. Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu'elle soit également inclinée sur trois droites passant par son pied dans ce plan.
539. Étant donnés un plan P et deux points A et B situés d'un même côté de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la somme de ses distances aux points A et B soit minimum.
540. Étant donnés un plan P et deux points A et B situés de part et d'autre de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la différence de ses distances aux points A et B soit maximum.
Mi. Étant donnée une droite D et deux points A et B situés comme on voudra dans l'espace, trouver le point de la droite D qui est équi- distant des points A et B.
542. Étant donnés un triangle ABC et un plan quelconque P, trouver le point du plan P qui est équidistant des trois sommets du triangle ABC.
543. Trouver le lieu des points d'un plan dont la différence des carrés des distances à deux points donnés hors de ce plan est constante.
544. Trouver le lieu des points d'un plan d'où l'on voit sous un angle droit une droite située hors de ce plan.
545. La projection d'un angle droit sur un plan qui n'est parallèle à aucun de ses côtés, est un angle obtus si le plan de projection coupe les deux côtés de l'angle droit ou leurs deux prolongements; sinon, celte projection est un angle aigu.
546. Si par l'une des diagonales d'un parallélogramme on mène un
QUESTIONS PROPOSÉES. OU
plan quelconque. Ic3 perpendiculaires abaissées sur ce plan des extré- mités de l'autre diagonale sont égales.
Di". Deux droites égales AB, A'B', étant situées d'une manière quel- conque dans l'espace, trouver une droite D telle qu'une rotation autour de D amène simultanément A en A' et B en B'.
348. Étant donné un angle AOB, trouver le lieu des points M de l'es- pace tels que, si on les joint au sommet 0 de l'angle, la somme des pro- jections de la droite OM sur les deux côtés de l'angle soit constante.
349. Le plan mené parallèlement à deux droites non situées dans un m^me plan, par le milieu de leur plus courte distance, passe par les mi- lieux de toutes les droites qui joignent un point de la première droite à un point de la seconde.
530. Lorsqu'une droite est parallèle à un plan, la plus courte distance de cette droite à toutes les droites du plan qui ne lui sont pas parallèles est constante.
331. Entre deux droites données d'une manière quelconcpie dans l'es- pace, mener une droite parallèle à un plan donné et ayant une longueur donnée.
352. Trouver le lieu décrit par le milieu d'une droite de longu.'^ur con- stante, dont les extrémités s'appuient sur deux droites rectangulaires et non situées dans un même plan.
333. Un angle AOB tourne dans l'espace autour d'une droite ZZ' pa- rallèle à sa bissectrice; démontrer que, si A'O'B' est une seconde position d'ailleurs quelconque de cet angle : i° les droites OA et O'A' ne sont pas dans un même plan, non plus que les droites OB et O'B'; 'i° OA et O'B' sont dans un m.ême plan, et il en est de même de O'A' et de OB; 3" trois quelconques des droites OA, OB, O'A', O'B', ne sont pas parallèles à un même plan.
33i. Soient « plans tels que deux quelconques ne soient pas parallèles, que trois quelconques ne soient pas parallèles à une môme droite, et enfin que quatre quelconques ne passent pas par un même point. Prouver
que le nombre des droites d'intersection de ces plans esl égal à 7 /•'(// — i),
que le nombre des points d'intersection de ces droites est égal à
-/i{n — i)(n — -2).
333. Si la somme des perpendiculaires abaîssées d'un point A sur doux plans donnés est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d'un autre [loint Bsur les mêmes plans, cette somme reste la môme pour tout
5 12 GitOîlÉTRIF, DANS î/ESPACE.
autre point C de la droite Ali. — Étendre ce théorème au casd'un nombre quelconque de plans.
506. Soient trois points A, B, C, et deux plans P et Q. Si la somme des deux perpendiculaires abaissées de chacun de ces points sur les deux plans est la même pour les trois points, cette somme restera encore la même pour tout autre point du plan ABC. — Étendre ce théorème au cas d'un nombre quelconque de plans.
§§ V, VI, VII. — Angles dièdres. — Plans perpendiculaires. Angles polyèdres.
507. Si, par un point 0 de l'espace, on mène deux parallèles OA et OB à un plan donné P, puis par le même point 0 deux plans respectivement perpendiculaires à OA et à OB, l'intersection de ces plans est perpendi- culaire au plan P. (Cette proposition est utile dans les applications.)
S58. Si l'on projette un même point de l'espace sur deux plans qui se coupent, les perpendiculaires abaissées des deux projections sur l'inter- section des deux plans la rencontrent au même point. — Béciproquement, si cette condition est remplie pour deux points des deux plans, ces points sont les projections d'un même point de l'espace.
5o9. Deux droites égales, parallèles et de même sens, ont leurs pro- jections sur un même plan égales, parallèles et de même sens. — Réci- proque de cette proposition.
oGO. Toute ligne qui se projette, sur deux plans qui se coupent, suivant une ligne droite, est elle-même une ligne droite.
561. La projection, sur un plan ou sur un axe, de la résultante de plusieurs droites est la résultante des projections de ces droites, [Foirla Question S3o.)
o62. Si une droite est également inclinée sur les deux faces d'un angle dièdre, ses traces sur les deux faces sont également distantes de l'arête de l'angle dièdre, — Réciproque,
503. Quel est le lieu des points équidistants de deux plans qui so coupent?
564. Quel est le lieu des points de l'espace équidistants de deux droites qui se cou|)enf?
563. Les perpendiculaires abaissées d'un même point sur des plans dont les intersections sont parallèles sont dans un même plan.
566. Deux angles dièdres qui ont leurs arêtes parallèles et leurs faces perpendiculaires chacune à chacune sont égaux ou supplémentaires.
QUESTIONS PROPOSÉES. 5l3
567. Quel est le lieu des points équidislants de deux plans donnés et de deux points ou de deux droites données situées dans un même plan?
568. Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances a deux plans donnés soit égale à une droite donnée?
569. Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances à trois plans donnés soit égale à une droite donnée? — Étendre ce pro- blème au cas d'un nombre quelconque de plans.
570. Trouver sur une droite donnée un point tel, que la somme de ses distances à deux plans qui se coupent soient un minimum.
571. Montrer que, si par un même point de l'arête d'un angle dièdre on mène dans chaque face une droite faisant un angle donné a avec cette arête, l'angle rectiligne ainsi obtenu ne varie pas proportionnellement à l'angle dièdre, à moins que l'angle « ne soit droit.
572. Dans tout angle trièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se coupent suivant une même droite. — Quel est le lieu des points équi- distantsdes trois faces d'un angle trièdre indéfiniment prolongées?
573. Dans tout angle trièdre, les plans menés perpendiculairement aux faces, par les bissectrices de ces faces, se coupent suivant une même droite. — Quel est le lieu géométrique des points équidislants des trois arêtes d'un angle trièdre indéfiniment prolongées?
574. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes perpendi- culairement aux faces opposées se coupent suivant une même droite.
575. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes et les bis- sectrices des faces opposées se coupent suivant une même droite.
Remarque. — Les quatre théorèmes précédents sont vrais lorsque le sommet de l'angle trièdre se transporte à l'infini, c'est-à-dire lorsqu'il s'agit de trois plans dont les trois intersections deux à deux sont pa- rallèles.
576. Couper un angle polyèdre à quatre faces, de manière que la sec- lion soit un parallélogramme.
577. Si, dans le plan de chaque face d'un angle trièdre et par son som- met, on mène une perpendiculaire à l'arête opposée, les trois perpendicu- (aires obtenues sont dans un même plan.
578. Tout |)lan perpendiculaire à l'une des arêtes d'un angle trièdre rectangle coupe cet angle trièdre suivant un triangle rectangle.
> 579. La somme des angles formés par les arêtes d'un angle trièdre avec les faces opposées est comprise entre la somme des faces et la moitié de cette somme.
580. Si, par un point pris dans l'intérieur d'un angle polyèdre, on
K. ul i)i; C. — Tr. de Géom. (IC Partie). 33
5i4 GÉOMÉTHIE DANS L'eSPACE.
abaisse des perpendiculaires sur toutes ses faces, le nouvel angle polyèdre ainsi formé est supplëmenuiire du premier. [Voir les n*" S72, 573. )
581. Dans tout angle polyèdre convexe de n faces, la somme des angles dièdres est comprise entre 2« et 2« — 4 angles droits.
382. La somme des angles aigus formés avec les arêtes d'un Irièdre trirectangle par une droite située dans l'intérieur du trièdre et passant par son sommet est moindre que t8o°. — Peut-on assigner une limite inférieure de la même somme?
583. A, B, C, étant trois points pris à volonté sur les arêtes d'un angle trièdre trirectangle et 0 la projection du sommet S de cet angle trièdre sur le plan ABC, démontrer que le triangle ASB est moyen propor- tionnel entre les triangles ABC et OAB.
584. Étant donné le triangle suivant lequel la feuille de dessin est ren- contrée par un angle trièdre trirectangle, trouver, par des constructions graphiques exécutées sur le plan de cette feuille, les inclinaisons des trois arêtes de l'angle trièdre sur ce plan.
585. Couper un angle trièdre trirectangle par un plan tel, que la sec- tion soit un triangle égal à un triangle donné.
APPENDICE DU CINQUIÈME LIVRE.
58G. Étant donnés un quadrilatère gauche et une droite qui divise deux de ses côtés opposés en parties proportionnelles, trouver une droite per- pendiculaire à la première et qui divise proportionnellement les deux autres côtés du quadrilatère.
587. Dans un quadrilatère gauche, les trois droites qui joignent les milieux des côtés opposés et les milieux des diagonales se coupent mutuel- lement en parties égales.
588. Quand un plan transversal coupent lés côtés consécutifs d'un poly- gone gauche ABCD. . ., en des points a, b, c,. . ., on a, en grandeur et en signe, la relation
a\ bB cC ^ fiB' bC' cD'" - '^^■
589. Si une droite ne glisse sur deux côtés opposés AB et CD d'un qua- drilatère gauche, de telle sorte qu'on ait
/7A_ . £D
X étant une constante, cette droite rencontre toujours trois droites fixes.
QUESTIONS PROPOSÉES. 5l5
590. Si l'on fait toiinior deux plans rectangulaires autour de deux droites fixes dans l'espace, leur intersection rencontre toujours trois droites fixes. — Dans le cas où les deux droites fixes se couitent, quel est le lieu des points où l'intersection des deux plans rectangulaires rencontre un plan perpendiculaire à l'une de ces droites fixes?
591. Quand on a mis en perspective une figure plane sur un tableau plan, si l'on fait tourner le tableau autour de son intersection LT avec le plan de la figure donnée, les deux figures restent toujours en perspec- tive, et le lieu- de l'œil, qui change de position dans l'espace, décrit un cercle silué dans un plan perpendiculaire à LT.
592. Si A,B,C et A', B',C', sont les points où deux droites L et L' ren- contrent les plans des faces d'un trièdre trirectangle et si les angles sous lesquels on voit du sommetdu trièdre les segments AB, BC, CA, sont res- pectivement égaux aux angles sous lesquels on voit les segments A'B', B'C, C'A', 1( s deux droites L et L' sont dans un même plan passant par le sommet du trièdre.
5l6 GÉOMÉTRIE DANS L'KSPACE.
LIYRE VI.
LES POLYÈDRES.
§§ I, IL — Du prisme.
593. 1° Le volume d'un prisme triangulaire apourmesurelamoifiédupro- duitdel'aire d'une face latéraleparla distance de cette face à l'arêle opposée.
1° Si, sur trois droites parallèles et non situées dans un même plan, on prend d'une manière quelconque des longueurs égales à une droite donnée, le volume et la surface latérale du prisme triangulaire ainsi formé sont constants.
594. Couper un cube par un plan de manière que la section soit un hexagone régulier.
595. Deux prismes sont égaux : \° lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre une base et une face égales chacune à chacune et sembla- blement disposées; 2° lorsqu'ils ont une base et deux faces adjacentes égales chacune à chacune et semblablement disposées.
596. Deux prismes triangulaires sont égaux lorsqu'ils ont leurs faces latérales égales chacune à chacune et semblablement disposées.
597. Vérifier par la Géométrie la formule qui donne le cube d'une somme ou d'une différence de deux parties.
598. On donne trois droites deux à deux non situées dans un même plan, et l'on demande de construire un parallélipipède dont trois arêtes soient sur ces trois droites.
599. Dans tout prisme quadrangulaire, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des diagonales de huit fois le carré de la droite qui joint les milieux communs de ces diagonales considérées deux à deux. — Application au parallélipipède quelconque.
600. Dans un hexaèdre quelconque, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des di.igonales de quatre fois la somme des carrés des quatre droites qui joignent les milieux des diagonales du polyèdre et les milieux des diagonales de deux faces opposées. — Appli- cation au parallélipipède.
QUESTIONS PROPOSÉES. 5lJ
601. Mener par une droite donnée un plan qui partage un parallélipi- pède en deux parties équivalentes.
602. Dans tout prisme triangulaire, l'aire de la plus grande face est plus petite que la somme des deux autres.
603. De tous les prismes de n faces, c'est le prisme régulier qui a : 1° La plus petite aire latérale, les bases étant équivalentes et les Iiau-
teurs égales ;
■2° La plus grande base et le plus grand volume, les aires latérales étant équivalentes et les hauteurs égales;
3° La plus grande hauteur et le plus grand volume, les bases et les aires latérales étant respectivement équivalentes ;
4° La plus petite base et la plus grande hauteur, les aires latérales et les volumes étant respectivement équivalents.
604. De deux prismes réguliers, celui dont le nombre de faces est le plus grand possède les quatre propriétés énoncées dans le numéro pré- cédent.
603. De tous les prismes quadrangulaires, c'est le cube qui, à égalité d'aire, possède le plus grand volume et qui, à égalité de volume, possède la plus petite aire.
§§ III, IV. - De la pyramide.
006. Démontrer que deux tétraèdres sont égaux : i° lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; 2° lorsqu'ils ont une face égale adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés ; 3°lors- qu'ils ont trois faces égales chacune à chacune et semblablement dispo- sées ; 4" lorsqu'ils ont une arête égale et cinq angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.
607. Les plans menés perpendiculairement sur les milieux des aréles d'un tétraèdre se rencontrent en un même point.
608. Les plans bissecteurs des angles dièdres d'un tétraèdre se ren- contrent en un même point.
609. Les perpendiculaires élevées sur chaque face d'un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à la face considérée se rencontrent en un môme point.
610. Los droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux points d'intersection des médianes des faces opposées se rencontrent en un même point, situé au quart de chacune de ces droites à partir de In face cor- rcs[)ondan(o. ( rair lo n" Tls. 1
5i8 GÉOMÉTRIE DANS L'tSPACE.
611. Les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposée? d'un tétraèdre se coupent mutuellement en parties éirales.
612. Trouver dans l'intérieur d'un tétraèdre un point tel, qu'en le joi- gnant aux quatre sommets on décompose ce tétraèdre en quatre tétraèdres équivalents.
613. Si l'on prend un point 0 dans l'intérieur d'un tétraèdre SABC, et si l'on prolonge les droites SO, AO, BO, CO, jusqu'à la rencontre des faces opposées en s, a, b, c, on a la relation
Os- On Ob Or bi' Art 130 Le
614. Si l'on coupe un prisme ou une pyramide par un plan non paral- lèle à la base, et si l'on prolonge les côtés de la section jusqu'à la ren- contre des côtés correspondants de la base, les points d'intersection obtenus sont en ligne droite.
61o. Étant données les faces d'un tétraèdre, trouver, en ne se servant que du compas, la longueur de la hauteur du tétraèdre et le pied de celte hauteur sur le plan de la base.
616. Deux tétraèdres qui ont un angle trièdre égal sont entre eux comme les produits respectifs des arêtes qui comprennent cet angle. — En déduire la première partie du théorème du n° 684.
617. Deux tétraèdres qui ont une arête égale et les angles dièdres cor- respondant à cette arête égaux chacun à chacun sont entre eux comme les produits des faces qui comprennent le dièdre égal.
618. Le pian bissecteur de l'angle dièdre d'un tétraèdre partage l'arête opposée en deux segments proportionnels aux face? qui comprennent l'angle dièdre. — Considérer le plan bissecteur de l'angle dièdre extérieur.
619. Soient le tétraèdre SABC et le point 0 où la droite SO également inclinée sur les trois faces latérales (to//- la question ."572) rencontre la base ABC : démontrer que les triangles 0.\B, OBC, OAC, sont proportion- nels aux faces latérales correspondantes.
620. Le plan déterminé par une arête d'un tétraèdre et le milieu de l'arête opposée partage ce tétraèdre en deux tétraèdres équivalents.
621. Si par la droite DE, qui joint les milieux de deux arêtes opposées SA, BC,d'un tétraèdre SABC, on mène un plan quelconque qui coupe l'arête SB en F et l'arête AC en G, la droite FG est divisée par la droite DE en deux parties égales,
622. Tout plan conduit par les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre le partage en deux volumes équivalents.
QUESTIONS PROPOSÉES. T) I 9
623. On donne une droite sur l'une des faces d'un tétraèdre, et l'on demande de mener par cette droite un plan qm détermine avec les faces de ce tétraèdre un autre tétraèdre qui soit au premier dans un rapport donné.
6?!. On donne une droite sur l'une des faces d'un angle trièdre, et l'on demande de mener par cette droite un plan qui ferme l'angle trièdre en déterminant un tétraèdre de volume déterminé.
623. Quelle est la différence des volumes d'un tronc de pyramide à bases parallèles et d'un prisme de même hauteur ayant pour base la demi-somme des bases du tronc de pyramide? — Quelle erreur commet-on en rempla- çant l'un des volumes par l'autre, [lour une hauteur de 6 mètres et pour des bases du tronc de pyramide égales à 3""', 76 et à a""", 85?
626. Mener, parallèlement à une droite donnée ou par un point donné, un pian qui partage un tétraèdre donné en deux parties équivalentes.
627. Trouver l'expression du volume d'un tronc de pyramide quel- conque à bases parallèles, en le décomposant en troncs de pyramide trian- gulaires.
628. Les arêtes latérales d'une pyramide triangulaire SABC ont pour longueurs L, M, N ; on coupe cette pyramide par un plan abc non pa- rallèle à la base, qui rencontre les arêtes kitérales à des distances du sommet égales à /, ///, n : trouver le volume du tronc de pyramide ainsi déterminé.
629. On donne deux tétraèdres S.4BC, S'A' B'C, tels, que les droites qui unissent les sommets correspondants concourent on un même point; démontrer que, si les faces correspondantes des deux tétraèdres se coupent, les quatre droites d'intersection sont dans un même plan.
630. Soit un tétraèdre SABC ; par un point 0 jtris dans la face SBC, on meneaux arêtes SA, .\B, AC, jusqu'aux faces ABC, SAC, SAB, les paral- lèles OD, OE, OF : démontrer la relation
Op OE 0F_
sa"^ab"^ac~ '•
031. Soit un tétraèdre SABC coupé par un plan quelconque DEF; me- nons les diagonales des quadrilatères ABDE, BCFli, ACFD; ces diagonales se rencontrent deux à deux aux |)oints G, 11, K, et les droites SG, SU, SK, coupent elles-mêmes les côtés de la base ABC aux points L, M, N . Démontrer : 1° que les transversales AM, BN, CL, se coupent en un même point 0 de la base ABC ; "2" que les Iransversales SO, A!l, BK, CG, se coupent en un même point P de l'espace.— Examiner le cas où la section DEF est paiallele a la base ABC.
520 GÉOMÉTRIE DANS I.'eSPACE
632. Dans un tronc de pyramide triangiiUnre à bases non parallèles, les points d'intersection des diagonales des trois faces latérales et les points d'intersection des côtés des bases prolongés deux à deux sont dans un même plan.
■633. La hauteur d'un tétraèdre régulier est égale à la somme des per- pendiculaires abaissées d'un point pris dans l'intérieur du polyèdre sur ses quatre faces. — Examiner le cas m le point est choisi extérieurement.
634. Si, par un point quelconque pris dans l'espace, on fait passerplu- sieurs droites parallèles et égales aux différents côtés d'un polygone ou plusieurs polygones parallèles et égaux aux différentes faces d'un polyèdre quelconque, la somme ali^ébrique des produits obtenus en multipliant la longueur ou l'aire de chacun des éléments ainsi transportés par la per- pendiculaire abaissée sur lui d'un autre point constant de l'espace est égale à zéro. — Les produits considérés sont positifs ou négatifs, suivant que les faces transportées laissent ou non d'un même côté le centre com- mun des perpendiculaires.
6315. Soit le tétraèdre SABC; menons une section quelconque DEF pa- rallèle à la base ABC, et joignons les milieux des côtés de celte section aux sommets opposés de la base : les trois droites obtenues se croisent en un même point dont on demande le lieu.
636. Par un point quelconque pris dans l'intérieur de la base d'une py- ramide régulière, on mène à cette base une perpendiculaire qui rencontre toutes les faces de la pyramide ou leurs prolongements : démontrer que la somme des distances des points de rencontre obtenus à la base de la pyra- mide est constante. — Considérer le cas où le pied de la perpendiculaire élevée à la base est extérieur à cette base.
637. Étant données les quatre hauteurs d'un tétraèdre et les disiances d'un point à trois des faces, déterminer la distance de ce point à la qua- trième face.
638. La somme des distances des sommets d'un tétraèdre à un plan est égale à quatre fois la distance du centre de gravité du tétraèdre à ce plan.
639. Quand, dans un tétraèdre, sur les trois couples darêtcs opposées, deux sont formés d'arêtes perpendiculaires, la même condition est remplie par le troisième couple. — Conclure de là qu'il existe une infinité ds tétraèdres à arêtes opposées orthogonales.
640. Dans tout tétraèdre à arêtes opposées orthogonales :
1° Les quatre hauteurs et les plus courtes distances des arêtes oppo- sées se coupent en un même point.
QUESTIONS PROPOSÉES. Oil
2" Les milieux des arêtes et les pieds des plus courtes distances dos arêtes opposées sont équidistants du point de concours des droites qui joignent les sommets au centre de gravité des faces opposées.
641. Dans tout tétraèdre à arêtes opposées orthogonales :
i" Les produits des arêtes opposées sont en raison inverse des plus courtes distances de ces arêtes;
■i" Les sommes des carrés des arêtes opposées sont égales entre elles, et la somme des carrés des produits des arêtes opposées est égale à quatre fois la somme des carrés des quatre faces;
3" La somme des six dièdres et des douze angles formés par chaque arête avec les deux faces auxquelles cette arête aboutit est égale à douze angles droits.
642. Étant donné un tétraèdre SABC, on construit sur les faces SAB, SBC, SAC, trois prismes triangulaires quelconques dont les bases supé- rieures se rencontrent en 0; sur la base ABC du tétraèdre, on construit alors un quatrième prisme triangulaire en prenant ses arêtes latérales égales et parallèles à la droite SO : démontrer que le volume de ce der- nier prisme est équivalent à la somme des volumes des trois premiers prismes.
643. Mener un plan parallèle à la base d'un tétraèdre donné, de ma- nière que ce plan détermine un autre tétraèdre dont l'aire totale soit la moitié de celle du tétraèdre donné.
644. Construire un tétraèdre, connaissant :
i" Les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées et les angles que font entre elles ces trois droites;
2" Un point de chaque arête;
3" La base et les longueurs des trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées;
4° La base et les droites qui joignent les sommets de la base aux points d'intersection des médianes des faces opposées.
643. Trouver le volume d'une pyramide triangulaire, en regardant celte pyramide comme la limite de la somme des prismes inscrits dans cette pyramide, l'inscription étant effectuée comme au n" 6i;2.
646. Soit une pyramide triangulaire SABC. Par le milieu E de l'arête SB, on mène le plan DEF parallèle à la base .ABC, le plan EGll parallèle à la face ASC, et le plan EDII; la pyramide S.\BC se trouve ainsi décom- posée en deux prismes triangulaires équivalents et en deux pyramides triangulaires équivalentes. On peut faire subir la même décomposition à la pyramide SDEF, et continuer ainsi indéfiniment : en déduire le volume de la pyramide SABC.
t)22 GÉOMÉTRIE T)\NS L ESPACE.
647. Étant donnée une pyramide triangulaire SABC, à quelle distance de la base ABC doit-on mener un plan parallèle abc, pour que le rapport des volumes de la pyramide Sabc et du tronc de pyramide ABCabc soit égal à m"!
618. Étant données trois droites parallèles non situées dans un même plan, on porte sur l'une d'elles une longueur AB donnée, et l'on prend arbitrairement un point C sur la seconde droite, un point D sur la troi- sième; démontrer :
1° Que le volume de la pyramide triangulaire ABCD est constant, quelles que soient les positions des points C et D et la parallèle sur laquelle on porte la longueur AB; 2° que ce volume est proportionnel à AB.
6i9. On donne l'arête A d'un prisme triangulaire quelconque; sur l'une des arêtes, on prend à partir de la base une longueur .r; sur la seconde arête, on prend de même une longueur a, et sur la troisième une lon- gueur b. Par les trois points ainsi déterminés, on fait passer un plan qui divise le prisme en deux parties. Pour quelle valeur de x ces parties sont-elles équivalentes?
650. Trouver le volume du corps limité par quatre plans parallèles deux à deux, une face parallélogramme et un quadrilatère gauche ayant pour plan directeur cette face parallélogramme.
6S'l. Étant donnés quatre polygones plans disposés d'une manière quelconque dans l'espace, trouver un point tel, qu'en le donnant [)our sommet commun aux pyramides ayant pour bases ces polygones, les vo- lumes de ces pyramides soient enlre eux comme quatre droites ou quatre nombres dormes.
632. Couper un tétraèdre par un plan parallèle à deux arêtes opposées, de manière que la section soit maximum.
6o3. Par la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre, on peut faire passer une infinité de plans : quel est celui qui détermine la section minimum?
654.. Dans une pyramide SABCD dont la base ABCD est un trapèze, on donne la face SAD en grandeur et en position, son inclinaison sur la base ABCD, la direction des arêtes parallèles AB et CD, les angles de la base SBC, et l'on demande de construire la pyramide. — îMème prqi)lème, en supposant qu'on donne la face SAD en grandeur et en position, son inclinaison sur le plan donné de la face SBC et les angles de cette der- nière face.
653. Étant donné un prisme triangulaire, le couper par un plan tel, que la section soit semblable à un triangle donné.
QUliSTlONS i'KOPOSÉES. 023
606. Partager une pyramide quadrangulaire régulière en deux parties équivalentes, par un plan mené par l'un des côtés de la base.
657. Construire le parallélii)ipèdo circonscrit à une pyramide triangu- laire.
658. Le volume d'un tétraèdre est le tiers du volume du parallélipipède circonscrit.
659. Trouver le volume du tétraèdre régulier par la considération du parallélipipède circonscrit.
660. Tout tétraèdre n'a qu'un seul parallélipipède circonscrit; mais tout parallélipipède correspond à deux tétraèdres inscrits, qu'on peut appeler conjugués et qui sont équivalents; l'un de ces tétraèdres étant donné, construire le second.
661. Calculer le volume du noyau octaèdre commun aux deux tétraèdres conjugués d'un même parallélipipède.
662. Si l'on prolonge indéfiniment les arêtes de l'un des tétraèdres conjugués d'un parallélipipède. et si l'on considère quatre de ces arêtes opposées deux à deux, il existe toujours un plan, susceptible de deux inclinaisons diflerentes, qui, en se mouvant parallèlement à lui-môme, coupe ces arêtes en quatre points situés sur une même circonférence. Dans quelle position du plan sécant le diamètre variable de cette circon- férence est -il minimum?
663. Si l'on prolonge indéfiniment les arêtes des deux tétraèdres con- jugués d'un parallélipipède, et si l'on considère huit de ces arêtes situées dans quatre faces du parallélipipède et parallèles entre elles deux à deux, il existe toujours un plan, susceptible de deux inclinaisons différentes, qui, en se mouvant parallèlement à lui-môme, coupe ces arêtes en huit points situés sur une circonférence.
664. Par un point S pris sur le prolongement de l'axe d'un prisme hexagonal régulier et par les côtés du triangle équilaléral obtenu on joignant de deux en deux les sommets de sa base supérieure, on fait pa.sser des plans qui détachent du prisme trois tétraèdres et les rem- placent parut! tétraèdre unifpie r('()06ant sur sa basiî supérieure: déter- miner la position du point S qui rend minunum laire du décaèdre ainsi construit (alvéole des abeilles).
()().-). Sur une première droite \.\', on doniu; deux points (ixes a et h; sur une seconde droite quelconque Bfi', deux points mobiles r et f/ restent à une distance constante : chercher pour (piellc position du segment cfl l'aire de la pyramide abal est minimum.
524 GÉOMÉTRIK DANS l'eSPACE.
§§ V, VI. — Figures symétriques. — Polyèdres semblables.
n66. Déterminer les arêtes d'un" parallélipipède rectangle, sachant qu'elles sont proportionnelles aux nombres «, b, c, et que le volume du parallélipipède est V.
667. Chercher le rapport des volumes de deux tétraèdres, dont l'un a été formé en menant par les sommets de l'autre des plans parallèles aux faces opposées.
668. Deux tétraèdres sont semblables : i° lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées; i" lorsqu'ils ont une face semblable adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés; 3° lorsqu'ils ont trois faces semblables chacune à chacune et semblable- ment disposées ; 4° lorsqu'ils ont cinq angles dièdres égaux chacun à cha- cun et semblablement disposés.
669. Les carrés des volumes de deux polyèdres semblables sont pro- portionnels aux cubes de deux faces homologues.
670. Une droite comprise entre deux faces d'un polyèdre donné est divisée en plusieurs segments; sur chaque segment, considéré comme l'homologue de la droite donnée, on construit un polyèdre semblable au polyèdre donné : démontrer que l'aire de ce polyèdre est égale au carré de la somme des racines carrées des aires des polyèdres segmentaires, et que son volume est égal au cube de la somme des racines cubiques des volumes de ces mêmes polyèdres.
671. Construire deux droites qui soient dans le même rapport que deux cubes donnés.
672. Démontrer que le tétraèdre formé en joignant les points de reu' contre des médianes des faces d'un tétraèdre donné est semblable au symétrique de ce tétraèdre; chercher le rapport des volumes de ces deux tétraèdres.
673. On nomme centre de symétrie d'un système de points un point 0 tel, qu'en le joignant à un point quelconque A du système et en prolon- geant la droite AO d'une quantité égale à elle-même, le point A' ainsi obtenu soit aussi un point du système proposé. — Démontrer d'après cela que, dans tout système de points limité, il ne peut exister qu'un centre de symétrie.
674. On nomme axe de symétrie d'un système de points une droite telle, qu'en faisant tourner le système d'un certain angle autour de celte droite, la nouvelle position de chaque point du système soit l'ancienne
QUESTIONS PROPOSÉBS. 020
position d'un certain point du même système. — Démontrer que le plus petit des angles capables de restituer ainsi le lieu des points du système, dans la rotation de ce système autour d'un axe de symétrie, est une
partie aliquote - de 3Go degrés. Suivant que q est égal à 2, 3, 4 , • • • »
l'axe de symétrie est binaire, ternaire, quaternaire,. . . ; q est l'on/rc de symétrie.
67"). On nomme plan de symétrie d'un système de points un plan tel, qu'en abaissant d'un point quelconque du système une perpendiculaire sur ce plan et en prolongeant cette perpendiculaire d'une quantité égale à elle-même, l'extrémité ainsi obtenue soit encore un point du système. — Démontrer que, si un système possède divers axes et divers plans de symétrie, tous ces axes et tous ces plans doivent se couper en un même point.
670. Dans tout système possédant un plan et un centre de symétrie, la droite menée par le centre normalement au plan est un axe de symétrie d'ordre pair.
677. Lorsqu'un système possède deux plans de symétrie, l'intersection de ces plans est un axe de symétrie,
678. Un système dépourvu d'axe de symétrie ne peut posséder à la fois un centre et un plan de symétrie.
679. Lorsqu'un système possède deux plans de symétrie non reclangu- laiies, il en possède un troisième.
680. Lorsqu'un système possède un plan P de symétrie et un axe L de symétrie oblique à ce plan, la droite L' homologue de L par rapport au plan P est un nouvel axe de symétrie.
G8i. Lorsqu'il existe dans un système deux axes de symétrie binaires, la perpendiculaire menée au plan de ces axes par leur point d'intersection est un axe de symétrie.
682. Lorsqu'un système possède trois axes quaternaires rectangulaires entre eux, il possède en môme temps quatre axes ternaires.
APPENDICE DU SIXIÈME LIVRE.
■ G83. Étudier les polyèdres considérés dans le VI' Livre, sous le rapport de leurs centres, de leurs axes et de leurs plans de symétrie.
08i. Soit un polyèdre divisé en P autres polyèdres quelconques; soient S le ni>mbre des sommets de ces diiïérents polyèdres y compris le premier,
526 GÉOJltTKIE DANS l'iîSPACE.
F le nombre de leurs faces, A le nombre de leurs arèlos; on aura la formule
A + P -I- 1 = F + S.
G85. En se reportant à l'exercice précédent, quelle est la relation entre les nombres d'arêtes, de faces et de sommets appartenant à la surface extérieure du polyèdre proposé, et les nombres d'éléments analogues situés à l'intérieur de ce polyèdre?
080. Étant données autant de droites qu'on voudra passant par un même point 0, trouver le lieu des points tels, qu'en abaissant de ces points des perpendiculaires sur les droites données, Vô somme des produits des dis- tances du point 0 à ces perpendiculaires par des droites données soit égaie à un carré donné /«'.
087. Étant donnés autant de plans qu'on voudra passant par un même point, trouver le lieu des points tels, que la somme des produits de leurs distances aux plans donnés par des droites données soit constante.
688. La somme des carrés des cosinus des angles qu'une droite ou un plan forme avec trois axes ou trois plans perpendiculaires entre eux est égale à l'unité.
089. Le carré d'une droite ou d'une aire plane quelconque est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois axes ou sur trois plans perpendiculaires entre eux.
690. Si A et A' sont les aires de deux figures situées dans un même plan, P et P', Q et Q', R et R', les projections de ces deux figures sur trois plans perpendiculaires entre eux. on a
AA' = PP' + OQ' + RR'.
091. Étant donnés les angles que deux droites ou deux plans forment respectivement avec trois axes ou trois plans rectangulaires, trouver l'angle de ces deux droites ou de ces deux plans,
692. Étant données les projections d'une droite ou d'une aire plane sur trois axes ou sur trois plans rectangulaires, trouver sa projection sur un quatrième axe ou un quatrième plan qui fait des angles connus avec les trois premiers.
693. La somme des carrés des projections d'autant de droites ou d'au- tant d'aires planes qu'on voudra sur trois axes ou sur trois plans rectan- gulaires quelconques est constante.
694. Trouver l'axe ou le plan sur lequel la somme des projections de droites ou d'aires planes données est un maximum. — Cette même somme est constante lorsqu'on projette sur des axes ou des plans faisant le même angle avec l'axe ou le plan sur lequel la projection est un maximum.
QUESTIONS PROPOSÉES. 5î7
G9"). Dans un polygone quelconque, la somme des projections de tous les côtés sur un axe quelconque est égale à zéro. — Dans tout polygone convexe, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés de tous les autres, moins deux fois la somme des produits obtenus eu multipliant ces mômes côtés deux à deux et par le cosinus de l'angle qu'ils comprennent.
696. Dans un polyèdre convexe quelconque : i° la somme des projec- tions de toutes les faces sur un plan quelconque est égale à zéro; 2" le carré de l'une des faces est égal à la somme des carrés de toutes les autres, moins deux fois la somme des produits obtenus en multipliant ces mêmes faces deux à deux ei par le cosinus du dièdre qu'elles comprennent.
697. Lorsque le volume d'un tronc de prisme et l'une des bases A restent fixes, le plan de l'autre base B passe par un point fixe, et l'aire de cette base B est minimum lorsque son plan est perpendiculaire aux arêtes du tronc.
698. De toutes les pyramides de n faces latérales, qui ont même hau- teur et lies bases équivalentes, c'est la pyramide régulière qui a la plus petite aire latérale. — De toutes les pyramides dont la base a n côtés et dont les aires latérales sont équivalentes, c'est la pyramide régulière qui a le plus grand volume.
699. De tous les tétraèdres dont les aires sont équivalentes, le tétraèdre régulier a le plus grand volume.
700. La base d'un tétraèdre est semblable à un triangle donné; la somme de cette base et d'une face latérale est constante; enfin les deux autres faces sont perpendiculaires à la base : de tous les tétraèdres qui remplissent ces conditions, celui dont la base équivaut au quart do la somme donnée a le plus grand volume.
701. La base p d'une pyramide a n côtés et est semblable à un polygone donné; la somme ^ -i- a de cette base et d'une face latérale a est con- stante : le volume de la pyramide est maximum lorsque, a étant égal à 2 fi, la face latérale a est perpendiculaire à la base p.
702. Trouver : 1° le centre de gravité d'un arc de cercle; 2° le centre de gravité d'un secteur circulaire (on nomme centre de gravité d'une ligne courbe ou d'une aire terminée par une ligne cnurhe la limite des positions du centre de gravité du contour ou de l'aire d'une ligne poly- gonale inscrite ou d'un secteur polygonal inscrit).
703. Trouver le centre de gravité d'un tronc de pyramide à bases pa- ra llèk's.
704. L9 somme de trois faces latérales d'un tétraèdre étant donnée, son
528 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
volume est maximum lorsque ces faces latérales sont des triangles rec- tangles isocèles, perpendiculaires entre eux.
70o. Parmi toutes les pyramides limitées latéralement par les faces d'un angle polyèdre S et dont la base est déterminée par un plan qui passe par un point fixe P situé dans l'intérieur de l'angle S, celle dont le volume est maximum a le point P pour centre rte gravité de sa base.
706. 1° Parmi toutes les pyramides équivalentes limitées latéralement par les faces d'un même angle polyèdre, celle dont la hauteur passe par le centre de gravité de la base a la base minimum ;
2° De toutes les pyramides limitées latéralement par le même angle polyèdre et qui ont des bases équivalentes, la pyramide de volume maxi- mum est celle dont le sommet se projette orthogonalement au centre de gravité de la base;
3" Enfin, de toutes les pyramides de même hauteur, limitées latérale- ment par le même angle polyèdre, la pyramide de volume minimum est celle dont la hauteur passe par le centre de gravité de la base.
707. Dans deux figures homologiques, le rapport des distances de deux points homologues quelconques m et m' au centre d'homologie est au rapport des distances de ces deux points m et m' à deux droites homo- logues D et D' quelconques dans une raison constante. — Que devient ce théorème : i" lorsque lune des droites D et D' est l'axe d'homologie? 1° lorsque la droite D est à l'infini ? 3° lorsque, la droite D étant à l'infini, la droite D' se confond avec la droite de la première figure qui correspond aux points de la seconde situés à l'infini?
708. Étant données deux droites parallèles dans le plan d'une figure, si d'un point fixe on mène un rayon à chaque point m de cette figure, et que sur ce rayon on prenne un point m' tel, que le produit des dislances des points m et m' aux deux parallèles soit constant, le point m' décrit une figure homologique à la proposée.
709. Quand deux figures sont homologiques, si l'on fait tourner l'une d'elles autour de l'axe d'homologie, de manière à faire coïncider de nou- veau son plan avec celui de l'autre figure, les deux figures, dans leur nouvelle position relative, sont encore homologiques, mais leur centre d'homologie est différent.
710. Quand deux figures sont homologiques, si l'on fait tourner l'une d'elles dans son plan autour du centre d'homologie, après une rotation de i8o degrés, les deux figures sont encore homologiques, mais avec un axe d'homologie diflérent.
QUESTIONS PROPOSÉES. SsQ
LIVRE VII.
LES CORPS RONDS.
§§ I, II. — Cylindre et côue de révolution.
7H. 1° Quel est le rapport des volumes de deux cylindres dont les aires convexes sont équivalentes? 2° quel est le rapport des aires con- vexes de deux cylindres qui ont le même volume?
712. Les volumes engendrés par un rectangle tournant successivement autour de ses côtés adjacents sont de a mètres cubes et de b mètres cubes : trouver la longueur de la diagonale de ce rectangle.
713. Calculer l'aire convexe, Taire totale et le volume d'un cône équi- laléral en fonction de son côté. — Pour quelle valeur de ce côté l'aire totale du cône est-elle i mètre carré ou son volume i mètre cube?
714. Partager l'aire latérale d'un cône de révolution en n parties équi- valentes par des plans parallèles à sa base.
713. La hauteur d'un tronc de cône de révolution étant 3 mètres et ses bases ayant pour rayons 2 mètres et i mètre, partager son volume en trois parties proportionnelles aux nombres 2, 3 et 7, par deux plans parallèles aux bases.
716. Le volume d"un tronc de cône de révolution étant 41"', 39.8, sa hauteur i^jSij, le rayon d'une de ses bases a"", 698, on demande de cal- culer à o'",ooi près le rayon de sa seconde base.
717. Calculer à 0,001 près le rapport que doivent présenter les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution pour que son volume soit la moitié de celui du cylindre de même hauteur élevé sur la base inférieure du tronc.
718. Quel est le rapport des volumes engendrés par un parallélogramme tournant successivement autour de ses deux côtés adjacents?
719. Soit ABCDEF un hexagone régulier circonscrit à un cercle de centre 0 et de rayon R. On mène la diagonale FC et les droites AC et BF qui se coupent en I sur le rayon OH perpendiculaire à FC, et l'on demande
r.. Pt DE C. — Tr. (le Géoni. (M' Partifi). 34
53o GÈOMÉTKIE DANS l'eSPACE.
de calculer, en fonction de R, les volumes et les aires des cônes engen- drés par les triangles IHA, 10F, en tournant autour de OH pris pour axe.
720. Soit B'C la projection du diamètre BC d'un cercle OA sur la tan- gente TT' au point A : chercher pour quelle position de BC le rapport du rercle OA à l'aire totale du tronc de cône engendré par la rotation du trapèze BCB'C autour de TT' est égal à m\ discussion.
721. Calculer les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution, connaissant sa hauteur, son côté et son aire ou son volume.
722. Un tronc de cône de révolution d'une substance dont le poids spécifique est d est plongé verticalement dans un liquide dont le poids spécifique est r/'; les rayons de ses bases sont R et /-, sa hauteur est //. On demande de calculer la hauteur de la partie immergée et le rayon de la section déterminée dans le tronc de cône par la surface de niveau du liquide.
723. Quel est le volume maximum d'un cône de révolution dont le côté est donné?
724. Parmi tous les cylindrea ou tous les cônes qui ont môme aire to- tale, quel est le cylindre ou le cône de volume maximum? — Parmi tous les cylindres ou tous les cônes éijuivalents, quel est le cylindre ou le cône d'aire totale minimum?
72o. Inscrire dans un cône donné un cylindre de volume donné; dis- cussion. — Circonscrire à un cylindre donné un cône de volume donné; discussion.
§§ III, IV, V, VI. — Premières notions sur la sphère. — Propriétés des triangles sphériques. — Aire et volume de la sphère.
726. Trouver le lieu des points qui sont à la distance a d"un point A et à la distance h d'un point B.
727. Par une droite donnée, mener un plan tangent' à une sphère donnée.
728. Par une droite donnée, mener à une sphère donnée un plan sé- cant (jui détermine une section de rayon donné.
729. Lorsque trois sphères se coupent deux à deux, les plans des trois cercles d'intersection se coupent suivant une même droite perpendicu- laire au plan déterminé par les centres des trois sphères.
730. Trouver le lieu des centres des sections faites dans une sphère donnée par tous les plans sécants qui passent par une droite donnée ou par un point donné.
QUESTIONS PKOI'OSÉES. ^S i
731. Connaissant les rayons de deux sections parallèles faites dans une sphère et la distance de Ces sections, trouver le rayon de la sphère.
7.'j2. Trouver la plus courte ot h plus grande distance d'un point donné à une surface sphérique. — Trouver le lieu dos points qui sont à une dislance donnée d'une sphère donnée.
733. Trouver la plus courte distance d'une droite donnée ou d'un plan donné à une surface sphérique.
734. Si d'un point de la surface sphérique comme pôle on trace un cercle avec un ray^on sphérique égal au cimpiième ou au tiers d'un qua- drant, le rayon du cercle obtenu est la moitié du rayon de la sphère ou le plus grand segment de ce rayon divisé en moyenne et extrême raison.
73o. La somme des carrés des cordes interceptées par une sphère donnée sur trois droites rectangulaires partant d'un point donné est con- stante, ainsi que la somme des carrés des six segments déterminés sur ces trois cordes par le point donné.
736. Trouver le diamètre de la sphère circonscrite à une pyramide triangulaire dont trois faces sont perpendiculaires entre elles.
737. Si, d'un point de l'espace, on mène des sécantes à une sphère donnée, le produit des dislances de ce point aux deux points d'intersec- tion de chaque sécante avec la sphèio est constant.
738. Mener dans une sphère donnée trois cordes perpendiculaires entre elles, qui passent par un point dfinné et qui soient proportionnelles à des nombres donnés. — Mener dans une sphère donnée trois plans perpen- diculaires entre eux, qui passent par un point donné et qui déterminent trois cercles dont les aires soient proportionnelles à des nombres donnés.
739. Si deux cercles de l'espace sont tels, que leurs centres soient les projections d'un même point et que les tangentes menées à ces cercles par un point de l'intersection de leurs plans soient égales, ces deux cercles sont situés sur une même sphère.
740. La somme des carrés des projections de trois rayons d'une sphère perpendiculaires entre eux sur un plan quelconque est égale au double du carré du rayon de ia sphère.
74Ï. Étant données deux sphères solides, trouver la dislance de leurs centres par une construction plane.
742. Trouver le lieu des points de l'espace dont le rapport des dislances à deux points fixes est constant. — Trouver le lieu des [loinis de l'espace également éclairés par deux lumières données.
743. Trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances
i)32 GÉOMÉTltlE DANS l'kSPACE.
à deux points donnés est constante. — Trois points étant donnés, trouver le lieu des jioints dont la somme des carrés des distances est à la fois constante par rapport au premier et au second point, par rapport au premier et au troisième.
■ 744. Trouver le lieu des points d'où l'on voit une sphère donnée, deux sphères données ou trois sphères données, sous un angle donné.
74o. Indiquer le lieu des points d'où l'on voit une droite donnée sous un angle donné, ou deux droites données issues d'un même point, sous des angles respectivement donnés.
74G. Trouver le lieu des centres des sphères qui coupent deux sphères données ou trois sphères données suivant des grands cercles.
747. Quelle est la condition pour que quatre points de la surface sphé- rique appartiennent à un même plan?
748. Construire une sphère :
1° De rayon donné, qui passe par trois points donnés;
1° De rayon donné, passant par deux points donnés et tangente à un plan ou à une sphère donnée;
3° De rayon donné, passant par un point donné et tangente à deux plans ou à deux sphères données;
4° De rayon donné, tangente à trois plans ou à trois sphères données;
5° De rayon donné, passant p;ir un point donné et tangente à un plan et à une sphère donnés;
6'' De rayon donné, tangente à deux plans et à une sphère donnés;
7° De rayon donné, tangente à un plan et à deux sphères donnés.
749. Connaissant les latitudes et les longitudes de deux lieux de la sur- face terrestre supposée parfaitement sphérique, trouver, à l'aide d'opéra- tions exécutées sur un globe, la distance de ces deux lieux en degrés.
700. Construire un triangle sphérique, connaissant :
i" Un angle, un côté adjacent et la somme ou la diflérence des deux autres côtés;
2° Un côté, un angle adjacent et la somme ou la dilféience des deux autres angles;
3° Deux côtés et la hauteur correspondant à l'un d'eux;
4° Un angle, un côté et la hauteur qui lui correspond;
5° Son aire, un angle et l'un des côtés adjacents.
701. Inscrire un cercle dans un triangle sphérique.
732. Transformer un polygone sphérique en un triangle sphérique équi- valent.
QUESTIONS PROPOSÉES. 533
7o3. Trouver une aire plane équivalente à celle d'un triangle sphé- rique donné.
754. Les côtés opposés d'un quadrilatère sphérique étant égaux : i" les quatre angles du quadrilatère sont égaux, ses diagonales sont égales et se coupent mutuellement en parties égales, ses sommets sont dans un même plan et les cordes correspondantes forment un rectangle; agraire de ce quadrilatère a pour mesure quatre fois l'excès de son angle sur un droit.
7oo. Dans un losange sphérique, les diagonales se coupent à angle droit.
756. Un cône à base circulaire étant inscrit dans une sphère, toute section faite dans ce cône par un plan perpendiculaire au diamètre qui passe par son sommet, est un cercle.
757. L'enveloppe sur une même sphère des bases de tous les triangles sphériques qui ont un angle commun et même périmètre est un cercle de la sphère. — Même problème sur le plan.
758. Dans tout polyèdre convexe, le nombre d'angles dièdres droits contenus dans la somme des angles dièdres, moins la moitié du nombre d'angles trièdres trirectangles contenus dans la somme des angles po- lyèdres, est égal à deux fois le nombre des faces du polyèdre diminué de deux.
759. Dans tout polyèdre convexe, la somme des angles polyèdres sup- plémentaires de ceux du polyèdre proposé est égale à huit angles trièdres trirectangles.
760. Si de chaque sommet d'un parallélipipède comme centre on décrit des sphères égales, toutes ces sphères réunies interceptent une portion du volume du parallélipipède égale à l'une d'elles.
761. Si P est le pôle d'un arc de grand cercle DE passant par les mi- lieux D et E des côtés AB et XC d'un triangle sphérique BAC, l'angle BPC est le double de l'angle DPE.
70:2. Si trois petits cercles sont inscrits dans un triangle sphérique dont chaque angle est égal à 120 degrés, de manière que chacun de ces cercles touche à la fois les deux autres et deux côtés du triangle, leur rayon sphérique est égal à 3o degrés et leurs centres sont les sommets du triangle polaire du triangle donné.
■ 763. Calculer en myriamètres carrés l'aire de l'une des deux zones glaciales, sachant que le petit cercle qui lui sert de base est à ^VSo' du pôle.
76 i. Dans une sphère de rayon doiuié, mener un plan sécant AlB tel,
534 GEOMÊIHIE UA.NS L ESl'ACE.
que le rapport de la oalolte sphériqne quil détermine à l'aire latérale du cône ([ui a pour base !e cercle AlB et pour sommet le centre de la sphère, soit égal à m ; discussion.
70o. Inscrire dans une sphère un cône dont l'aire latéiale soit équiva- lente à celle de la calotte sphérique terminée au même cercle.
766. Si Ton divise une demi-circonférence en trois parties égales et si on la fait tourner autour de son diamètre, la zone engendrée par l'arc du milieu est équivalente à la somme des zones engendrées par les deux arcs extrêmes.
767. Diviser une zone en moyenne et extrême raison par un plan pa- rallèle à ses bases.
768. La calotte interceptée par une sphère fixe sur une sphère sécante de rayon variable et qui passe toujours par son centre a une aire con- stante. — La zone interceptée par deux sphères fixes concentriques sur une sphère sécante de rayon variable et qui passe toujours par leur centre commun a une aire constante.
769. Placer sur le cercle générateur d'une sphère l'arc générateur d'une zone dont on connaît l'arc et la hauteur.
770. Placer sur une sphère donnée une calotte spiiérique dont l'aire soit double de celle engendrée par la corde de l'arc générateur de la calotte.
771. Couper une sphère par un plan tel, que l'aire de la section soit égale à la différence des deux zones que ce plan détermine.
772. Un cylindre inscrit dans une sphère de i mètre de rayon a pour aire latérale la moitié de l'aire d'un grand cercle de la sphère : calculer son volume.
773. L'aire totale d'une chaudière cylindrique terminée par deux hémi- sphères est de (?■ mètres carrés, toute section passant par l'axe a un péri- mètre de h m.ètres : calculer la hauteur et le rayon de la partie cylin- drique de la chaudière; discussion.
774. Le poids de i décimètre cube de fonte étant 7*^^,2, calculer avec la plus grande approximation possible le diamètre d'un boulet en fonte (Ju poids de 24'"^' — En déduire celui d'un boulet de 8''^.
775. Ayant mené la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle, on le fait tourner autour de son troisième côté pris pour axe : quel est le rapport des volumes engendrés par les deux parties du triangle?
776. Dans une sphère de rayon donné, mener un plan sécant AlB tel, que Ji3 rapport du segment à une base qu'il détermine, au secteur sphé-
QUESTIONS PROPOSÉES. 535
riqiie avant pour base la même calotte sphérique, soit égal à m: dis- cussion.
777. On prolonge l'un des côtés a d'un triangle équilatéral d'une lon- gueur égale à a et, par l'extrémité obtenue, on élève une perpendiculaire à ce côté : calculer le volume engendré par le triangle équilatéral en tour- nant autour de cette perpendiculaire.
778. Inscrire dans une sphère donnée un cône de révolution toi, que les sections faites par un plan donné parallèle à sa base, dans le cône et dans la sphère, soient dans un rapport donné.
779. Étant donnée une série de cercles concentriques, on mène dans ces cercles des cordes toutes égales entre elles et parallèles à un dia- mètre commun : les volumes engendrés par les segments correspondants en tournant autour de ce diamètre sont équivalents.
780. Étant donné sur une sphère de rayon R un cercle de rayon r, mener un second cercle parallèle au premier tel, que le rapport du seg- ment compris entre ces deux cercles au cône qui a pour base le second cercle et qui a pour sommet le centre du premier soit égal à m; dis- cussion.
781. Les volumes d'un cône de révolution, d'une sphère et d'un cy- lindre de révolution, de même hauteur, sont proportionnels aux nom- bres I, 2, 3, lorsque le cône et le cylindre ont pour bases un grand cercle de la sphère.
782. L'aire totale ou le volume du cylindre équilatéral inscrit ou cir- conscrit à une sphère est moyenne proportionnelle entre l'aire ou le volume de cette sphère et l'aire totale ou le volume du cône écpiilatéral inscrit ou circonscrit.
783. Calculer en fonction de leurs côtés les aires et les volumes en- gendrés par les polygones réguliers les plus simples, depuis le triangle jusqu'au dodécagone, lorsqu'ils tournent autour d'un de leurs côtés pris pour axe. — Mémo question, en prenant pour axe de rotation une per- pendiculaire menée à l'extrémité d'un des diamètres du cercle circonscrit qui aboutit à un sommet du polygone considéré.
78 i. On prend un point B sur le prolongement du rayon OA d'un cercle donné, et l'on mène par ce point au cercle la tangente BT : chercher pour quelle position du point B les aires décrites par la droite BT et l'arc AT, lor.-tiuon fait tourner la figure autour de l'axe 0.\B, sont dans un rapport donné; discussion.
78.T. Étant donné un triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, trouver le rapport du volume ou de* l'aire qu'il engendre, lorstpie la
536 GÉOMÉTKIE DANS l'kSPACE.
figure tourne autour du diamètre du demi-cercle, au volume ou à l'aire de la sphère engendrée par ce demi-cercle. — Cas où le triangle rectangle donné est isocèle.
786. Inscrire ou circonscrire à une sphère donnée un cône ou un cylindre dont l'aire totale ou le volume soit à l'aire ou au volume de la sphère dans un rapport donné; discussion.
787. La longueur de Taxe d'une chaudière cylindrique terminée par deux hémisphères étant donnée, calculer les dimensions de la partie cylindrique de manière que la capacité de la chaudière ait une valeur donnée; discussion.
788. Étant donné le volume d'un secteur sphérique appartenant à une sphère de rayon R, chercher le maximum de son aire totale.
789. On donne les volumes engendrés par un triangle en tournant successivement autour de chacun de ses côtés : calculer les trois côtés du triangle.
790. Construire un triangle, connaissant deux côtés et sachant que le volume engendré par ce triangle en tournant autour du troisième côté est égal à la somme des volumes qu'il engendre en tournant successive- ment autour des deux côtés donnés.
791. D'un point B extérieur à une circonférence 0, on lui mène deux tangentes BA, BC, et l'on projette le point de contact C sur le rayon OA en D : démontrer que, si l'on fait tourner la figure autour de l'axe AOD, le volume engendré par le triangle mixtiligne ABC est équivalent au cône engendré parle triangle rectangle BAD, et le segment sphérique engendré par le triangle mixtiligne DAC équivalent au volume engendré par le triangle BCD.
792. Ou donne un cône de révolution et deux sphères inscrites dans ce cône et tangentes extérieurement l'une à l'autre; le volume compris entre le cône et les deux sphères proposées est la moitié du volume compris entre ce même cône et la sphère qui passe par ses deux cercles de contact avec les sphères données.
§ VII. — Généralités sur les surfaces.
793. Indiquer le lieu des points qui sont : i" à la distance a d'une droite A et à la distance b d'une droite B ; 2° à la distance a d'une droite A et à la distance p d'un plan P ; 3° à la distance a d'une droite A et à la distance b d'un point B.
794. Étant donnés dans l'espace un point et une surface conique ou
yuKSTiuNs l'HOPosÉts. SSy
cylindrique de révolution, irouver hi plus courte distance du point à la surface.
7flo. Trouver le lieu des points dont les distances à un point donné et à une droite donnée passant par ce point sont dans un rapport donné.
796. Un point et deux droites passant par ce point étant donnés, trouver le lieu des points dont les distances respectives au point donné et aux droites données sont proportionncîlles à trois longueurs données.
797. Mener un plan tangent à une surface cylindrique ou à une surface conique de révolution : i° par un point donné de la surface ; 2" par un point extérieur donné; 3° parallèlement à une droite donnée.
798. Étant donnés un nombre quelconque de plans et deux points A et B pris sur deux d'entre eux, trouver le plus court chemin qui conduit du point A au point B, sans sortir des plans proposés. — Application à la recherche du plus court chemin entre deux points sur une surface cylindrique ou conique.
799. Trouver le lieu des points tels, que les plans tangents menés de chacun d'eux à un cylindre ou à un cône donné se coupent sous un angle donné.
800. Deux cylindres de révolution dont les axes sont parallèles ou deux cônes ayant même sommet étant donnés, trouver le lieu des points tels, que les plans tangents menés de chacun d'eux à l'une des surfaces fassent le même angle que les plans tangents menés du même point à l'autre surface.
801. Construire un cône ou un cylindre de révolution, connaissant trois génératrices.
802. Construire un cône de révolution, connaissant : 1° l'axe, le sommet et le rapport des distances d'un point de la surface au sommet et à l'axe ; 2° l'axe, le sommet et un plan tangent à la surface; 3° le sommet, un plan dans lequel se trouve l'axe et deux plans tangents à la surface; 4" trois plans tangents à la surface.
803. La Lune et le Soleil étant supposés parfaitement sphériques et le volume du Soleil étant environ 63 000 000 de fois celui de la Lune, cal- culer le rapport des distances des centres de ces deux astres à la Terre, lorsqu'ils ont le même diamètre apparent, c'est-à-dire lorsqu'ils sont vus sous le même angle.
804. Les rayons de la Lune, de la Terre et du Soleil étant proportion-
3 nels aux nombres — i i et 108, 3, trouver le rapport des dislances du
centre de la Terre aux centres des deux autres astres, lorsqu'on suppose
538 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACK.
les centres de ces trois globes sur l'axe d'un cône de révolution qui leur est tangent; considérer le cas où les trois astres sont tangents à une même nappe, et celui où, la Terre étant située dans une nappe, les dewi autres astres sont dans la nappe opposée.
APPENDICE DU SEPTIÈME LIVRE.
80.J. Partager la surface spliérique en parties égales par des polygones égaux et réguliers.
806. Le volume d'un cube est égal à six fois le volume de l'octaèdre régulier qui a ses sommets aux centres des faces du cube.
807. Les milieux des arêtes d'un tétraèdre régulier sont les sommets d'un octaèdre régulier.
808. Trouver l'aire et le volume d'un polyèdre régulier.
809. Connaissant le rayon d'une sphère, trouver l'aire et le volume des polyèdres réguliers inscrits.
810. Mener par un point donné un plan tangent à deux sphères données.
811. Mener un plan tangent à trois sphères données.
812. Si l'on donne une sphère et deux points quelconques dans l'espace, les distances de ces points au centre de la sphère sont projxtrtionnelles aux distances respectives de chacun d'eux au plan polaire de l'autre.
813. Soient AA,Aj un triangle sphérique et 0 un point de la sphère correspondante. Si l'on élève sur l'arc de grand cercle OA un arc de grand cercle perpendiculaire qui vient rencontrer le côté op[)Osé A,Aj en B, et si l'on détermine de la même manière B, sur AA, et B, sur AA,, les trois points B, B,, B^, sont sur une même circonférence de grand cercle,
814. Construire une sphère :
i" Respectivement tangente à trois droites données en un point donné de chacune d'elles;
2° Passant par trois points donnés et tangente à un plan ou à une sphère donnée;
3° Passant par deux points donnés et tangente à deux plans ou à deux sphères données;
4" Passant par un point donné et tangente à trois plans ou à trois sphères données;
5° Tangente à trois plans donnés et à une sphère donnée;
6° Tangente à un plan donne et à trois sphères données;
7" Tangente à deux plans donnés et à deux sphères données.
QUESTIONS PROPOSÉES. 53û
81a. Mener par uno droite donnée vin plan qui coupe doux spliéres données suivant des cercles de rayons proportionnels à ceux des sphères.
816. Mener par un point donné un plan qui coupe trois sphères données suivant des cercles de rayons proportionnels à ceux des sphères.
817. De tous les triangles sphériques formés avec deux côtés donnés, le triangle d'aire maximum est celui dans lequel l'angle compris entre ces côtés est égal à la somme des deux autres angles.
818. De tous les triangles sphériques isopérimètres et de même base, le triangle isocèle est un maximum.
819. Deux triangles et un point étant donnés dans un plan, mener par le point une droite telle, que les volumes engendrés par les triangles tournant autour de cette droite soient dans un rapport donné. — ^Mime problème pour deux cercles donnés. — Même problème pour trois triangles ou trois cercles donnés.
S20. Étant donnés un cercle et un point intérieur, est-il possible de le projeter centralement suivant un cercle qui ait pour centre la projection du point donné?
821. Les trois arcs de grand cercle qui, passant par chaque sommet d'un triangle sphérique, le divisent en deux parties équivalentes, se cou- pent aux deux mêmes points.
822. On peut toujours transformer un groupe de trois sphères données en un groupe de trois autres sphères de rayons égaux : quel est le lieu des pôles de transformation?
823. Trouver le lieu des points dont les puissances par rapport à trois sphères données sont entre elles comme les rayons de ces sphères.
82i. Peut-on, par la méthode des rayons vecteurs réciproques, ramener le problème de la S[)hère tangente à quatre sphères données au problème de la sphère tangente à une sphère et à trois plans? Quel point faut-il choisir pour pôle de transformation ?
82-j. Étant données quatre sphères de rayons/*, -+- o, r\-{-o,r.,-^ o, r, -ho, trouver le lieu que décrit leur centre radical quand on fait varier p. — Quel est le problème analogue de Géométrie plane?
820. Par deux points A et B donnés sur la surface de la sphère, on fait passer des cercles auxquels on mène ensuite des grands cercles tangents
. par un point C pris sur l'arc de grand cercle AB [)rolongé: quel est le lieu des points de contact?
827. Étant donnés un cercle et deux points do la sphère, mener par 3C3 deux points un second cercle qui coupe le premier en deux points distants d'une longueur donnée.
54o GÉOMÉTRIE BANS L'ESPACE.
828. Étant donnés sur une sphère deux grands cercles et un petitcercle A, mener aux deux grands cercles un cercle tangent B tel, que, si l'on mène ensuite aux deux cercles A et B deux tangentes communes sphériques, leur angle soit égal à un angle donné.
829. Étant donnés sur une sphère deux points et un grand cercle, trouver sur ce cercle un point tel, que la somme de ses distances sphé- riques aux deux points donnés soit égale à un arc donné.
830. Étant donnés sur une sphère un point et deux grands cercles, mener par le point un cercle qui coupe les deux autres sous des angles dont la somme soit donnée.
831. Construire un triangle sphérique, connaissant sonaire, un angle et un point par lequel doit passer le côté opposé à cet angle.
832. Construire un triangle sphérique, connaissant un angle, le côté op- posé et le cercle inscrit au triangle.
833. Étant donnés sur un cercle de la sphère deux points A et B, trouver sur ce cercle un troisième point C tel, que les deux grands cercles CAet CB se coupent sous un angle donné.
83i. Les arcs qui, menés par les sommets d'un triangle sphérique, par- tagent respectivement son aire en deux parties équivalentes, se coupent au même point.
83?). Décrire sur une sphère donnée un cercle qui soil tangent à deux cercles donnés et qui coupe en deux parties égales la circonférence d'un troisième cercle donné.
836. Décrire sur une sphère donnée un cercle qui coupe trois cercles donnés A, B, C, chacun en deux points diamétralement opposés.
837. Décrire sur une sphère donnée un cercle qui coupe deux cercles donnés sous des angles donnés et qui rencontre un troisième cercle donné en deux points diamétralement opposés.
838. Si plusieurs triangles sphériques ont un côté commun, les circon- férences de grand cercle passant par les milieux des deux autres côtés de chacun de ces triangles concourent en un même point.
839. Par un point donné sur une sphère, mener un cercle qui coupe trois cercles donnés sous des angles égaux.
840. Décrire sur une sphère donnée un cercle qui coupe quatre cercles donnés sous des angles égaux.
841. Une sphère variable, mais assujettie à passer par deux points fixes.
QUESTIONS PROPOSÉES. 3^ I
touche une sphère flxe en une suite de points formant une circonférence de cercle.
842. Une sphère variable, mais assujettie à passer par trois points fixes, coupe une sphère fixe suivant une série de cercles dont les plans passent par une même droite.
8i3. Quels sont sur la sphère les théorèmes analogues à ceux do Pascal et de Brianchon (voir les a"* 3-28 et 329)?
GÉOMÉTRIE DANS l/ ESPACE,
LIVRE VIII.
LES COURBES USUELLES.
§§ I, ÎL — Propriétés fondamentales de l'ellipse et de l'hyperbole.
8U. Quelle est la pli;s courte et la plus grande distance du centre de l'ellipse à un point de l;i courbe ?
8i3. Quel est le lieu du centre d'une ellipse qui glisse entre deux axes rectangulaires ?
846. Deux ellipses dont les grands axes sont égaux et qui ont un foyer commun ne peuvent se couper qu'en deux points.
847. Quel est le lieu des points également distants do deux circonfé- rences intérieures ou extérieures Tune à i autre?
8-48. Quel est le lieu des centres des cercles tangenis à deux cercles donnés? — On examinera les différents cas possibles.
8-49. Sur les deux tangentes PM, PM', à une ellipse ou à une hyperbole dont les foyers sont F et F', on prend des longueurs PQ, PQ', respective- ment égales à PFet à PF': démontrer que la droite QQ'est égale au grand axe de l'ellipse ou à l'axe transverse de l'hyperbole.
830. Le grand axe de l'ellipse ou l'axe transverse de l'hyperbole et une tangente quelconque interceptent, sur les deux tangentes menées aux extrémités de l'axe de la courbe, des longueurs dont le produit est constant.
831. Des cercles touchent une droite AB en un point fixe C, et des points fixes A et B on mène des tangentes à ces cercles : trouver le lieu des points d'intersection de ces tangentes.— Le point C peut être entre A et B ou sur AB prolongée.
8.")2. Soient les deux tangentes menée? à l'ellipse ou à l'hyperbole par un point extérieur et une troisième tangente quelconque: démontrer que îa longueur interceptée sur celte troisième tangente par les deux pre- mières est vue de chaque foyer sous un angle constant.
85o. Démontrer directement que, si l'on mène à une hyperbole deux
QUESTIONS PROPOSÉES. ■)^o
tangentes PM, P.M', par un môme point extérieur P, les angles PFM, PFM' sont égaux ou supplémentaires, suivant que les points de contact M et M' appartiennent ou non à la même moitié de la courbe.
834. Trouver le lieu des centres des ellipses dont le grand axe a la môme longueur, qui ont un foyer commun et qui touclient une droite donnée.
8dd. Quels sont les lieux géométriques : rdes sommets ; 2° des points de rencontre des côtés non parallèles; 3". des points d'intersection des diagonales, des trapèzes construits sur une base fixe, et dans lesquels la longueur de l'autre base est donnée, ainsi que la somme ou la ditrérence des côtés non parallèles ?
806. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant : 1° ses foyers et un point; 2" ses foyers et une tangente; 3° un foyer, deux points et une tangente ; 4° un foyer, un sommet et une tangente; 5° un foyer, deux tangentes et le point de contact de l'une d'elles ; 6" un foyer et trois tan- gentes; 7° le centre, deux tangentes et la longueur du grand axe ou de l'axe transverse.
837. On donne les positions d'un foyer et d'un point d'une ellipse, ainsi que les longueurs des axes : déterminer son centre.
858. Le cercle qui a pour diamètre la portion d'une tangente quelconque à l'hyperbole interceptée par les tangentes menéesaux extrémités de Taxe transverse passe par les foyers de la courbe.
§ III. — Propriétés fondamentales de la parabole.
839. La perpendiculaire abaissée du foyer de la parabole sur une tan- gente à la courbe est moyenne proportionnelle entre le rayon vecteur du point de contact et la moitié du paramètre /j.
8G0. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, les triangles FPM, PPM', sont semblables, et FP est la moyenne proportionnelle des rayons vecteurs FM, FM', des deux points de contact.
861. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, démontrer que la parallèle menée à l'axe par le point P passe par le milieu de la corde MM', et que la tangente au point où cette parallèle rencontre la courbe est elle-même parallèle à la corde .MM'.
8G2. Si l'on rapporte la parabole à une tangente et au diamètre mené par son point de contact pris comme axes coordonnés, le carré de l'or-
5^4 GÉOMÉTRIE DANS i/eSPACE.
donnée d'un point de la courbe est égal à quatre fois le produit du rayon vecteur de l'extrémité du diiimètre par l'abscisse du point considéré.
863. Si deux cordes de la parabole se coupent, les produits de leurs segments sont dans le rapport des rayons vecteurs des extrémités des .diamètres qui leur sont conjugués.
804. MN étant une tangente commune à la parabole et au cercle décrit sur la corde menée perpendiculairement à l'axe par le foyer comme dia- mètre, démontrer que les droites FM et FN sont également inclinées sur cette corde.
865. La tangente en un point de la parabole rencontre la directrice et la corde menée par le foyer, perpendiculairement à l'axe, en des points équidistants du foyer.
866. Si l'ordonnée d'un point M de la parabole passe par le milieu de la sous-normale qui correspond à un point M', l'ordonnée du point M est égale à la normale qui correspond au point M'.
807. Si d'un point pris sur une tangente à la parabole on mène une autre tangente à la courbe, l'angle compris entre cette tangente et la droite menée du même point au foyer est constant.
868. Construire une parabole qui touche un cercle donné en un point donné, et dont l'axe soit tangent au même cercle en un autre point donné.
869. Si par le point de contact d'une tangente à la parabole on tire une corde, puis qu'on trace une autre droite parallèle à l'axe, la portion de cette droite comprise entre la tangente et la corde sera divisée par son point de rencontre avec la courbe dans le même rapport que cette droite elle-même divise la corde.
870. Si le diamètre de la parabole menée par le point M rencontre la directrice en K et la corde menée par le foyer parallèlement à la tangente MT en H, on a
MK= MH.
871. Quel est le lieu du point d'intersection du diamètre mené en un point de la parabole avec la corde tracée par le foyer parallèlement à la tangente au" même point?
872. AB et AC étant deux droites rectangulaires, on mène la droite quelconque AR et la parallèle fixe CR à AB, puis, on prend sur AR un point M tel que son ordonnée MQ par rapport à AB soit égale à CR: quel est le lieu du point M ?
873. On considère dans un cercle un diamètre fixe AOB et un rayon quelcon(|ue OC; D étant le milieu de la corde CE menée parai lètement
QUESTIONS PROPOSÉES. 5^5
au diamètre fixe, on demande le lieu du point d'intersection des droites OC et AD.
874. Si deux tangentes égales à la parabole sont coupées par une troi- sième, les segments déterminés sur ces tangentes sont égaux, mais les segments égaux ne sont pas placés de même sur les deux tangentes.
875. Le cercle déterminé par les points d'intersection de trois tangentes à la parabole passe par le foyer.
876. MFN étant une corde quelconque menée par le foyer de la para- bole, si Ton trace du sommet S les droites SM et SN, elles rencontrent la corde focale perpendiculaire à l'axe en deux points P et Q dont les dis- tances au foyer sont égales aux ordonnées des points N et M.
877. Si d'un point 0 pris sur l'axe de la parabole on mène une corde, la dislance SO du sommet S au point 0 est la moyenne proportionnelle des abscisses des extrémités de la corde.
878. Du sommet S, on mène deux droites rectangulaires qui viennent rencontrer la parabole aux points M et M'; le paramètre 2/j est la moyenne proportionnelle des abscisses des points M et M'.
879. Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le secteur cir- culaire AOB, dont l'un des rayons OA est fixe et dont l'autre OB est mo- bile ?
880. Sur une corde de la parabole comme diamètre,on décrit un cercle qui coupe la parabole en deux autres points; si l'on joint ces [)Oints, les deux cordes considérées interceptent sur l'axe de la courbe une longueur égale au paramètre a/?.
881. Deux paraboles égales qui ont un même foyer et leurs axes dirigés en sens contraires se coupent à angle droit.
882. Si un triangle est inscrit dans une parabole, les points où ses côtés prolongés viennent rencontrer les tangentes menées à la courbe par les sommets opposés sont en ligne droite.
883 Si les tangentes PM, PM', à la parabole sont coupées en Q et en Q'
par une troisième tangente, on a
PQ _ Q^' QM " PQ' *
884. Si l'on tire par le sommet de la parabole des cordes à angle droit l'une sur l'autre, et qu'on construise sur ces cordes un rectangle, quel est leiieu de son quatrième sommet ?
S8o. Si une parabole roule sur une autre parabole égale, les sommets
R. et DE C. — Tr. (le Gcom. (II« Partie). iî.j
546 GÉOMÉTUIE DANS l'eSPACK.
étant d'abcrd confondus, le foyer de chaque courbe trace la directrice de l'autre.
886. Quel est le lieu des points également distants d'une droite et d'une circonférence données ?
887. Quel est le lieu des points dont la somme ou la différence des dis- tances à un point fixe et à une droite fixe est constante?
888. Des extrémités d'une corde focale de la parabole on abaisse de& perpendiculaires sur une droite quelconque de son plan; la somme des rapports de chaque ordonnée au rayon vecteur correspondant est con- stante.
889. Les carrés des perpendiculaires abaissées du foyer de la parabole sur deux tangentes sont proportionnels aux rayons vecteurs des points de contact.
890. Construire une parabole, connaissant : i° le foyer ou la directrice et deux points ; 2° le foyer ou la directrice, un point et une tangente; 3° le foyer ou la directrice, une tangente et son point de contact ; 4° le foyer ou la directrice et deux tangentes; 5° trois tangentes, parmi les- quelles la tangente au sommet; 6° quatre tangentes.
§§ IV, V, VI. — Ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle. — Parabole considérée comme limite de l'ellipse. — Ellipse, Hyperbole et Parabole, considérées comme sections planes du cône de révolution.
891. La demi-corde focale de l'ellipse ou de l'hyperbole, perpen- diculaire au grand axe ou à Taxe transverse de la courbe, est égale
892. Les tangentes aux extrémités d'une corde focale se coupent sur la directrice correspondante.
893. Si la tangente en M à l'ellipse ou à l'hyperbole de centre C ren- contre en T le grand axe ou l'axe transverse de la courbe, MF étant l'or- donnée du point M par rapport à cet axe, on a
CT.CP = r/^
804. Les tangentes fixes aux sommets A et A' dune ellipse de centre C étant rencontrées par une tangente mobile en M et en M', on projette W sur CM en P; démontrer que le lieu du point P est un cercle passant par C.
QUESTIONS PROPOSÉES. 547
895. Dans l'ellipse ou l'hyperbole, la distance d'un foyer au pied d'une normale sur le grand axe ou sur Taxe transverse de la courbe estau rayon vecteur correspondant du point de contact dans un rapport égal à l'ex- centricité de la courbe.
890. On mène l'ordonnée d'un point de lellipse ou de l'hyperbole et la normale au même point; le rapport des distances du pied de l'ordonnée au pied de la normale sur le grand axe, ou sur l'axe transverse et au
centre, est égal a -j-
897. MP étant l'ordonnée d'un point de l'ellipse ou de l'hyperbole dont le grand axe ou l'axe transverse est AA', on a
RÏP' A^
AP.A'P a'
898. Si une tangente en M à l'ellip-^e ou à l'hyperbole rencontre le petit axe ou l'axe non transverse en U, et si Q est la projection de M sur le même axe, C étant le centre de la courbe, on a
CU.CQ = ^^
899. Si deux tangentes PM, PAl', à l'ellipse partent d'un même point P, le centre de la courbe étant C, et la droite CP coupant la courbe en R et la corde de contact MM' en H, on a
Cr' = CH.CP.
900. Les normales en deux points M et M' d'une ellipse rencontrant l'un des axes en P et P', la perpendiculaire élevée au milieu de MM' passe par le milieu de PP'.
901. Une tangente mobile rencontrant en M et en M' les tangentes fixes aux sommets A et A' d'une ellipse, le point d'intersection P des droites AM' et A' M décrit une ellipse coivcentrique à la première.
902. Si l'on rapporte une ellipse ou une hyperbole à deux diamètres conjugués DD' et EE', de longueurs art' et ib\ pris comme axes coor- donnés, MP étant l'ordonnée d'un point M de la courbe, on a
MP' h"
DP.D'P a"
903. Si CD et CE sont deux diamètres conjugués de l'ellipse ou de l'hy- perbole, et ([ue la perjtendiculaire HK à CD rencontre le grand axe ou l'axe transverse de la courbe en G, on a
.j.'jS GÉOJlf/l'KIE DANS l'eSPACE.
904. Si CD et CE sont deux diamètres conjugués de l'ellipse ou de l'hy- perbole, on a
FE.F'E = Cb\
903. Si deux cordes se coupent dans l'ellipse ou l'hyperbole, les pro- duits de leurs segment-s sont proportionnels aux carrés des diamètres pa- rallèles à ces cordes.
906. La distance du centre de l'hyperbole au point où une asymptote coupe une directrice est égale au demi-axe transverse. — La perpendicu- laire abaissée d'un foyer sur une asymptote est égale au demi-axe non transverse. — Si une asymptote rencontre la tangente au sommet A en II et la directrice correspondante en I, AI est parallèle à FH.
907. Soit un point K de l'asymptote d'une hyperbole, dont l'ordonnée et l'abscisse par rapport aux axes de la courbe sont KP et KR; si KP coupe l'hyperbole en M et si KR coupe l'hyperbole conjuguée en N, on a
KP= — MP= = b' et KR' — NR^ = u\
De plus, la droite MN est parallèle à la seconde asymptote de l'hyper- bole.
908. La directrice d'une hyperbole joint les projections du foyer correspondant sur les asymptotes.
909. Si par le point M d'une hyperbole on tire une sécante quel- conque qui coupe les deux asymptotes en P et P', la tangente pa- rallèle à cette sécante- et limitée aux deux asymptotes étant LQL', on a
mp.mp' = qlI
910. Deux hyperboles conjuguées interceptent sur une sécante quel- conque des longueurs égales.
911. Tout point de l'hyperbole est également distant d'un foyer et de la directrice correspondante, cette dernière distance étant comptée paral- lèlement à une asymptote.
912. Si une tangente LQL' coupe les asymptotes en L et en L', l'aire du triangle CLL' est égale à ab.
913. Si M et N sont les points de rencontre de deux hyperboles con- juguées avec l'ordonnée et l'ahscisse d'un point d'une de leurs asymptotes, les tangentfs menées aux deux courbes en M et en N sont respectivement parallèles à CN et à CM.
QUESTIONS PROPOSÉKS. b^g
914. Soit un point M de rnyperbole; si MV est l'ordonnée de ce- point par rapport au diamèlre CD (c'est-à-dire la parallèle menée par M à la tangente en D) et si la tangente en M coupe CD en T. on a
CP.CT=rCD'.
9d5. Si MT est une tangente à l'ellipse au point M, rencontrant le grand axe AA' au point T, et si la perpendiculaire élevée en T au grand axe rencontre en Q et en Q' les droites MA et MA', on a
QT =-- O'T.
Olfi. Soit MFM' une corde focale de l'ellipse dont le grand axe est AA'; si l'on prolonge MA et M'A jusqu'à leurs points de rencontre Q et Q'avec la directrice qui correspond au foyer F, l'angle QVQ' est droit.
917. Dans l'ellipse, la somme des carrés des deux normales menécsanx extrémités de deux demi-diamètres conjugués est constante (on prend pour longueur d'une normale la distance du point de contact au pied de la normale sur le grand axe).
918. Soient dans l'ellipse deux demi-diamètres conjugués CD et CE ; sur la normale en D, on prend DP égale à CE : quel est le lieu du point P?
919. M et M' sont deux points de l'ellipse dont le grand axe est AA'; AM' et A'M' coupant l'ordonnée MP du point M en deux i^oinls Q et Q', on a
m' = VQ.TQ'.
920. Soient dans l'ellipse la normale MG et la perpendiculaire GL abaissée du point G sur le rayon vecteur FM; le rapport dv GL à l'or- donnée MP du point M' est égal à l'excentricité de la courbe.
921 . Si l'ordonnée MP d'un point M de l'ellipse rencontre en Q la tan- gente menée à l'extrémité de la corde focale principale, on a
QP = FM.
922. M étant un point fixe d'une ellipse et QQ' une corde quel(oni]ue conjuguée au diamètre CM, le ceicle Q.MQ' rencontre l'ellipse proposée en un point fixe.
923. M étant un point de relli|)sc, on lire la corde .MM' parallèle au grand axe, et, par le point M', on mène les cordes M'Q, M'Q', faisant des angles égaux avec le grand axe : démontrer que la droite QQ' est paral- lèle à la tancente en M.
55o GÉOMÉTIUE DANS L ESPACE.
92i. Quel esl le parallélogramme d'aire minimum circonscrit à l'el- lipse ?
925. Quand la somme de deux diamètres conjugués de l'ellipse est-elle minimum?
926. Si du point M de l'ellipse on tire des droites aux extrémités d'un diamètre DD', lesquelles coupent son conjugué EE' aux points P et P', on a
cp.cp' = cd'.
927. Si CD et CE sont deux demi-diamètres conjugués de l'ellipse, on a
[¥D-aY-^{FE — ay = c\
928. Soient CD et CE deux demi-diamètres conjugués de l'ellipse dont les axes sont AA' et BB'; traçons les droites BI) et BE, ainsi que les droites A'D et AE qui se coupent en 0 : démontrer que le quadrilatère BDOE est un parallélogramme, et chercher dans quel cas son aire est maximum.
929. Si ^IFM', NCN', sont deux cordes parallèles menées par le foyer et par le centre d'une ellipse, démontrer qu'on a
FM.FM'_/>^
CN.CN'~rt^'
930. Si la tangente au sommet A de l'ellipse est coupée par deux dia- mètres conjugués en T et en U, on a
AT.AU = è^
931. Si les tangentes en trois points P, Q, R, de l'ellipse se coupent deux à deux aux points R', Q' et P', on a
PR'.QP'.RQ'= PQ'.QR'.RP'.
932. Si des extrémités des axes d'une ellipse on (ire dans une direc- tion quelconque quatre droites parallèles, les points où elles rencontrent la courbe sont les extrémités de deux diamètres conjugués.
933. Si MFM' est une corde focale de l'ellipse etX le pied de la direc- trice correspondante, les droites XM et XM' sont également inclinées sur les axes de la courbe.
934. PM et PM' étant deux tangentes menées à l'ellipse par un même point P, et la corde MJVl' coupant les directrices en R et en R', on a
RM. RM Pm" RM .H'M'~p^'
QUESTIONS PROPOSÉES. 55 I
03o. CD et CE étant deux demi-diiimètrcs conjugin'sde l'ellipse, el CE renconirant les rayons vecteurs FI) et F'D en H et en H', on a
Fil = F' H'.
936. Quel est le lieu des milieux des cordes focales d'une ellipse?
937. M étant un point quelconque de l'ellipse ou de l'hyperbole, quels sont les lieux décrits par les centres des cercles inscrit el exinscrils au triangle F.MF ?
938. Si du foyer F de l'ellipse on abaisse des perpendiculaires sur les diamètres conjugués DD'et EE', ces perpendiculaires prolongées coupent EE' et DD' sur la directrice correspondant au foyer F.
939. M étant un point de l'ellipse de grand axe AA', quel est le lieu des points d'intersection des perpendiculaires élevées en A et en A' aux droites AM et A'M ?
940. Si MP etCP sont l'ordonnée et Tabscisse du point M d'un cercle décentre C rapporté à deux diamètres rectangulaires comme axes coor- donnés, et si la droite FQ prise é:rale à MP est inclinée sur elle d'un angle constant, quel est le lieu du point Q ?
941. Soient un triangle PQR et une ellipse enveloppante ayant son centre C au point de rencontre des médianes du triangle; CP, CQ, CR, prolongées, rencontrent l'ellipse aux points P', Q', R' : démontrer que les tangentes en ces points forment un triangle semblable au triangle PQR et d'une aire quatre fois plus grande.
9i2. Une tangente mobile rencontre en M et N les tangentes fixes aux sommets A et B d'une ellipse; le lieu du point d'intersection des parallèles menées par .M et N aux axes de l'ellipse est une hyperbole équilatère.
943. Quel est le lieu des points d'intersection des perpendiculaires abaissées des foyers d'une ellipse sur deux diamètres conjugués?
944. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant : i° ses directrices et un point ; a" ses directrices et une tangente; 3" une direc- trice, deux points et une tangente; 4° une directrice, un sommet et une tangente; 5° une directrice, deux tangentes et le point de contact de l'une d'elles; 6° une directrice et trois tangentes; 7° un foyer, la directrice correspondante et une tangente ; 8° un foyer ou une directrice et trois points.
94t>. Soient MP I ordonnée d'un point de l'hyperbole dont le centre est C et PQ une tangente au cercle princi[>al ; si l'on trace juscju'à l'axe Irans- verse MN parallèle à CQ, on a
PN = b.
552 GÉOMÉTUIE DANS l'eSPACE.
946. Soient MP rordoiinée d'un point M de l'ellipse ou de l'hyperbole, C le centre de la courbe, A l'un des sommets situés sur le grand axe ou l'axe transverse; menons PQ pnrallèleà AM jusqu'à la rencontre de CM: .démonirer que AQ est parallèle à la tangente en M.
947. Si l'on mène deux tangentes quelconques à l'hyperbole, les droites déterminées par leurs points d'intersection avec les asymptotes sont pa- rallèles.
948. Dans l'hyperbole équilatère, les diamètres conjugués sont égaux entre eux, et la portion de normale comprise entre le point de contact et l'axe transverse est égale à la distance du centre au point de contact.
949. Si l'on tire une droite par un sommet de l'hyperbole, son second point de rencontre avec la courbe divise en deux parties égales la portion de cette droite interceptée par les parallèles menées de l'autre sommet de l'hyperbole à ses asymptotes.
930. Les asymptotes de l'hyperbole divisent en parties égales les droites qui unissent les extrémités de deux diamètres conjugués.
931. CD et CE étant deux demi-diamètres conjugués de l'hyperbole,
on a
F'E— ED = rt-/^.
932. Dans l'hyperbole équilatère, les cordes focales parallèles à deux diamètres conjugués sont égales.
933. Le rayon du cercle qui touche une hyperbole et ses asymptotes est égal à la portion de la corde focale principale prolongée comprise entre la courbe et ses asymptotes.
934. MM' étant une corde de l'hyperbole et CP le demi-diamètre cor- respondant, si l'on tire par les points M, F, M', des parallèles Mil, PK, M' H', à l'une des asymptotes jusqu'à la rencontre de l'autre en H, K, H', on a
CH.CH'= Ck'.
933. Soient un cercle de diamètre AA' et une corde PQ perpendicu- laire à AA' ; trouver le lieu des points d'intersection des droites AP et A'Q.
956. Si deux hyperboles équilatères égales sont décrites de manière que les axes de l'une soit les asymptotes de l'autre, elles se coupent à angle droit.
937. Quel est le lieu des points, qui sont au tiers des arcs de tous les segments de cercle qu'on peut décrire sur une droite donnée?
')38. Si deux tangentes partant dun même point P coupent l'une des
QUESTIONS PKOrOSÉF.S. ->->>>
asvmptotes de riiyperbole on R et en S, l'aulrc asymptote en r et en j, on a
PR.PS=- P/-.P.y.
9.")9. MM' étant la double ordonnée d'une ellipse de grand axe AA', quel est le lieu des points de rencontre des droites AM et A'M'?
960. Si la tangente au point M d'une hyperbole équilalèro coupe ses asymptotes en L et en L', et si MG est la normale en M, l'angle LGL' est droit.
961. Soit la corde MM' d'une liypcrbole rencontrant ses asymploles en R et en R', et la tangente RN à la courbe; si les parallèles MH. NK, M'ir, à l'une des asymptotes, rencontrent l'autre asymptote aux poinisll, K, ir, on a
MIl + M'ir= ?.NK.
962. Si par les points M et M' d'une liyperliole on niéue des dmites parallèles aux asymptotes, on forme un parallélogramme dont MM' est inic diagonale : démontrer que l'autre diagonale passe par le centre de la courbe.
963. Quel est le lieu décrit par le milieu d'une droite qui se meut en formant avec deux axes rectangulaires un triangle d'aire constante?
96i. Si par le point M d'une hyperbole de centre C on mène des paral- lèles MI) et ME à chaque asymptote, jusqu'à la rencontre de l'autre, et si l'on construit une ellipse ayant Cl) et CE pour demi-diamètres con- jugués, CM coupant l'ellipse en N, les tangentes aux deux courbes en I\[ et en N sont parallèles.
96."î. On fait passer un cer.le par un point quelconcpie M d'une hyper- bole et les extrémités A et A' de son axe transverse : trouver le lieu du point Q où l'ordonnée MP prolongée rencontre ce cercle,
966. On donne une série d'ellipses tangentes à une hyperbole équila- tère et ayant leurs axes dirigés suivant ses asymptotes : démontrer (jue le produit des axes de ces ellipses est constant.
967. Sur deux diamètres conjugués d'une ellipse comme asymptotes, on construit deux hyperboles conjuguées l'une à l'autre : démontrer (|iie, si l'une de ces hyperboles touche l'ellipse, il en est de même de l'autre, et que les diamètres tirés aux points de contact sont conjugués aussi bien dans l'ellipse que dans l'hyperbole.
968. Trouver l'angle des asymptotes de l'hyperbole obtenue en coupaiil un cône de révolution par un plan. — Cas où le j)lan sécant c>t parallèle à l'axe du cône.
554 GÉOMÉTRIK DANS l'iîSPACE.
969. Deux cônes de révolution qui ont même sommet, même généra- trice et leurs axes rectangulaires sont coupés par deux plans menés p:;- rallèlement à leurs axes d'un même point de la génératrice commune, sui- vant des hyperboles conjuguées.
970. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections paraboliques d'un cône de révolution donné?
971. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections elliptiques de même excentricité dans un cône de révolution donné?
972. Quel est le lieu des extrémités des petits axes de toutes les sec- tions elliptiques parallèles d'un cône de révolution donné?
973. Dans que! cas un plan peut-il couper un cône de révolution donné suivant une hyperbole équilatère?
97 i. Construire une hyperbole, connaissant : i" un foyer ou une directrice, la longueur de l'axe transverse et une asymptote ; 2° un foyer ou une directrice, une tangente et une asymptote; 3" trois points et une asymptote.
975. Trouver le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par une ellipse ou une hyperbole donnée de position et de grandeur.
I VII. — Propriétés fondamentales de l'hélice.
97fi. Par deux points d'une surface cylindrique, on peut faire passer une infinité d'hélices.
977. Quel est le plus court chemin entre deux points d'une surface cylindrique, mesuré sur cette surface elle-même?
978. Deux hélices tracées sur un cylindre de révolution se coupent orlhogonalement; on donne le rayon du cylindre et le pas de l'une des hélices, trouver le pas de l'autre.
979. Des extrémités A et A' d'un diamètre de la section droite d'un cylindre de révolution partent deux hélices orthogonales dont le premier point d'intersection est en M: trouver, en fonction du pas h de la pre- mière hélice et du rayon R du cylindre, l'aire mixtiligne AMA'. — Quel doit être le pas h pour que l'aire AMA' soit maximum? Le rayon du cy- lindre étant un décimètre, évaluer à un millimètre carré près cette aire maximum.
980. Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révolution, une droite glisse sur cette hélice et sur l'axe du cylindre en restant nor- male à cet axe -, quelle est la section de la surface ainsi engendrée : 1° par
QUESriO>S PROPOSÉES. 555
un cylindre roncenlrique au premier ? 2° par un cylindre de révolution dont une arête est Taxe môme du premier cylindre?
981. Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révolution, une droite glisse sur cette hélice et sur l'axe du cylindre en faisant un angle constant avec cet axe: démontrer que la normale à la courbe tracée par cette droite sur un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, intercepte une longueur constante sur la perpendiculaire élevée par le pied de l'axe dans le plan considéré au rayon vecteur issu du môme point.
APPENDICE DU HUITIÈME LIVRE.
982. Démontrer que l'homographie de deux divisions peut s'exprimer par l'une quelconque des formules
|
nm . a m |
. fini a m |
|
^:; f^ . |
A 1- u. y • |
|
bin h' ni' |
(j/n ' 0 ni |
983. Deux divisions homographiques étant données, on peut toujours prendre à partir d'un point donné de la première deux segments qui soient respectivement égaux à leurs homologues de la seconde, mais l'un avec le même signe, l'autre avec un signe contraire,
984. Deux droites divisées homographiquemenl peuvent toujours être placées l'une sur l'autre de manière que les deux divisions soient en in- volution.
983. Dans deux divisions homographiques de même base, le rapport des distances d'un point quelconque de la première division aux deux points doubles est proportionnel au rapport des dislances du point homologue de la seconde division aux deux mêmes points doubles.
986. Quand deux faisceaux homographiques concentriques ont leurs rayons doubles imaginaires, on peut les projeter suivant deux faisceaux dont les rayons homologues fassent entre eux des angles égaux et de même sens.
987. Étant donnés dans une involution deux points conjugués, le point central elle milieu de deux autres points conjugués, on demande de dé- terminer ces derniers points.
988. Dans deux faisceaux en involution, il existe toujours deux rnvons homologues également inclinés sur un rayon donné, et il n'y en a (juo deux.
989. Étant donnés deux faisceaux homographiques non rnnoonlii(pios, on peut les couixt par une droite suivant deux divisions en involuliofi.
556 GÉOMÉTRIli DANS L'eSI'ACE.
Toutes les transversales qui remplissent cette condition passent par un même point.
900. Dans toute proportionliarmotiique ah a'h\ le conjiiguéharmonique du milieu de hb' par rapport à a et«' coïncide avec le conjugué harmo- nique de ad par rapport à h et //, et ce point est le point central de l'in- volution déterminée parles deux couples («, a') et (^, b').
991. Lorsqu'un point décrit une hyperbole, les droites qui joignent ce p:)int à deux points fixes interceptent .sur une asymptote un segment de longueur constante.
992. Quel est le lieu des points dont le produit des distances à deux droites fixes est constant?
993. Dans tout triangle circonscrit à une conique, les droites qui joi- gnent les sommets aux points de contact des côtés opposés concourent en un même point.
994. Le sommet d'un angle de grandeur constante décrit une droite fixe, tandis que l'un des côtés passe par un point fixe. Quelle est l'enve- loppe de l'autre côté?
993. Démontrer que, lorsque deux triangles sont inscrits à une conique, les six côtés touchent une autre conique.
996. Deux angles de grandeur constante tournent autour de leurs som- mets; deux de leurs côtés se coupent sur une droite fixe : quel est le lieu décrit par l'intersection des deux autres côtés? — Quel est le théorème corrélatif?
997. Un polygone plan se déforme de telle sorte, que ses côtés pivotent autour de points fixes et que ses sommets moins un glissent sur des droites fixes; quel est le lieu décrit par le dernier sommet? — Quel est le lieu décrit par l'intersection de deux côtés non contigus quelconques? — Quel est enfin le théorème corrélatif?
998. Si deux cordes d'une conique se divisent mutuellement en deux parties égales, ces cordes passent par le centre.
999. Dans l'hyperbole équilatère, les droites menées d'un point de la courbe aux extrémités d'un diamètre sont également inclinées sur une asymptote.
1000. Étant données une conique et deux tangentes parallèles, les droites menées du centre aux points où une troisième tangente rencontre les deux premières sont deux diamètres conjugués.
1001. Une hyperbole qui a pour asymptotes deux diamètres conjugués d'une conique la coupe sur deux autres diamètres conjugués.
QUESTIONS PROPOSÉES. 557
1002. Trouver dans le plan d'une conique le lieu du point M tel, que les rayons vecteurs FP et F'P', menés des foyers aux points de contact des tangentes issues de ce point, soient parallèles et de môme sens.
1003. La figure restant la môme qu'au numéro précédent, trouver le lieu du point de rencontre des diagonales du trapèze FPP'F'.
iOOi. Si une droite fixe rencontre une série de coniques ayant même foyer et même directrice, les tangentes à ces coniques aux points où elles rencontrent la droite fixe enveloppent une conique qui a même foyer que les proposées, et qui touche à la fois leur directrice commune et la droite fixe.
•IOOj. Si l'abscisse d'un point d'une parabole est égale au rayon vecteur mené du foyer à un autre point, l'ordonnée du premier point est égale à la normale relative au second.
1006. Transformer par la méthode de projection les théorèmes sui- vants :
1° Dans le cercle, la tangente est perpendiculaire à l'extrémité du rayon du point de contact;
2" Les tangentes menées par un point extérieur à un système de co- niques confocales font des angles égaux avec les droites qui joignent ce point aux deux foyers ;
3" Le lieu des centres d'un cercle qui touche de la môme manière deux cercles donnés est une hyperbole qui a pour foyers les centres des deux cercles donnés.
1007. Étant donnés cinq points d'une hyperbole, construire ses asym- ptotes.
1008. Étant données cinq tangentes à une conique, construire les deux tangentes qui passent par un point donné.
1009. Construire une conique, connaissant le centre et trois points.
1010. Construire une conique, connaissant un point et les directions do deux couples de diamètres conjugués.
1011. Étant données deux coniques et une droite, construire une troi- sième conique tangente à la droite et passant par les quatre points com- muns aux deux premières.
101^. Construire une conique homothétique à une conique donnée, et passant par trois points donnés ou tangente à trois droites données.
1013. Tout plan mené par deux arêtes d'un cône du second ordre coupe les plans cycliques suivant deux droites qui font res[)ectivement avec ces deux arêtes deux angles égaux. — Que! est le théorème corrélatif?
558 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.
1014, Deux plans tangents à un cône du second ordre suivant deux arêtes quelconques coupent les deux plans cycliques suivant quatre droites qui sont les génératrices d'un même cône de révolution dont l'axe est perpendiculaire au plan des deux arêtes de contact. — Théorème corré- latif.
1013, Dans tout cône du second ordre, chaque plan tangent coupe les deux plans cycliques suivant deux droites telles, que le produit des tan- gentes des demi-angles qu'elles font avec l'intersection des deux plans cycliques est constant. — Théorème corrélatif.
1016. Dans tout cône du second ordre, le produit des sinus des angles que chaquearête fait avecles deux plans cycliques est constant.— Théo- rème corrélatif.
1017. Les projections orthogonales des deux focales d'un cône dusecond ordre sur les plans tangents au cône forment un nouveau cône du second ordre ayant un double contact avec le premier et dont les plans cycliques sont normaux aux focales du premier. — Théorème corrélatif.
1018. Quand deux cônes du second ordre ont même sommet et mêmes plans cycliques, si on leur mène un plan tangent commun, les deux arêtes de contact sont rectangulaires. — Théorème corrélatif.
1019. Autour de deux points Fixes pris sur une sphère, on fait tourner les côtés d'un angle sphérique de grandeur variable et tel, que le segment intercepté entre ses côtés sur un arc de grand cercle donné ait une lon- gueur constante : quel est le lieu du sommet de cet angle?
1020. On donne sur une sphère deux arcs fixes, et l'on demande le lieu des points de cette sphère dont le produit des distances à ces deux arcs est constant.
1021. Quelle est la courbe sphérique dont chaque point estéquidistant d'un point de la sphère et d'un arc de grand cercle de cette sphère?
QUESTIONS PROPOSÉES, ODQ
QUESTIOINS DIVERSES
DE GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
1022, Construire un triangle spiiérique, connaissant son aire, un côté et le cercle circonscrit.
1023. Construire un triangle sphérique, connaissant son aire, sa base et sa hauteur.
102i. La sphère variable assujettie à couper deux sphères fixes suivant leurs grands cercles passe par deux points fixes.
1023. Les milieux des arêtes d'un tétraèdre ne sont sur une même sphère que si les hauteurs du tétraèdre passent par un même point, et alors la sphère qui les contient passe par les pieds des plus courtes dis- lances des arêtes opposées.
4026. Si une sphère variable coupe trois sphères fixes sous des angles égaux, mais indéterminés, son centre ne sort pas d'un certain plan.
1027. Si une sphère variable coupe quatre sphères données sous des angles égaux, mais variables simultanément, son centre décrit une droite .
1028. Mener une sphère qui coupe quatre sphères données suivant leurs grands cercles.
1029. Dans un tétraèdre dont les hauteurs se rencontrent en un même point, les centres de gravité des faces, les pieds des quatre hauteurs et les points situés aux deux tiers des droites qui joignent chaque sommet au point de rencontre des hauteurs sont sur une même .sphère, dont le rayon est égal au tiers du rayon de la sphère circonscrite et dont le centre est au milieu de la droite qui joint le point de concours des hauteurs au point de concours des perpendiculaires élevées sur chaque face par son centre de gravité.
1030. Mener une sphère qui en coupe cinq autres sous des angles égaux.
1031. Enjoignant un point de Tespace aux sommets d'un tétraèdre,
56o GfiOMÉTiUE DANS l/jiSPACE.
on obtient une figure dont les plans des faces opposées se coupent deux à deux suivant trois droites comprises dans un même plan; la diagonale issue d'un sommet, divisée par la longueur de son prolongement jusqu'à ce plan, est égale à la somme des trois côtés adjacents à ce sommet, divi- sés respectivement par les longueurs de leurs prolongements jusqu'au même plan.
1032, Une série d'ellipses ont leurs diamètres conjugués égaux de même longueur; l'un de ces diamètres est fixe et commun à toutes les ellipses, l'autre varie de position quand on passe d'une ellipse à la sui- vante. Si l'on prend un point fixe sur le diamètre fixe prolongé et si l'on mène de ce point des tangentes aux ellipses considérées, quel est le lieu des points de contact de toutes ces tangentes ?
1033. Si l'on décrit une ellipse sur le grand côté d'un rectangle comme grand axe, de manière qu'elle passe par le point d'intersection des dia- gonales, et si l'on joint un point de l'ellipse extérieur à ce rectangle aux extrémités du côté opposé au grand axe, les droites ainsi déterminées divisent le grand axe en segments qui sont en progression géomé- trique.
•J034. Le produit des segments déterminés par son point de contact sur une tangente à l'ellipse, limitée à ses points de rencontre avec les axes, est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.
103o. Quel est le lieu du second foyer des ellipses qui ont un foyer commun et deux tangentes communes?
1036. Quel est le lieu des milieux de toutes les cordes d'une conique qui vont converger en un point fixe ?
1037. Si deux diamètres conjugués d'une ellipse sont en même temps les asymptotes d'une hyperbole, les points de contact des tangentes com- munes à l'ellipse et à l'hyperbole sont sur une ellipse semblable à la pro- posée.
1038. La base AB du triangle ABC reste fixe, tandis que le sommet C décrit une hyperbole équilatère passant par les points A et B : P et Q étant les points où AC et BC rencontrent le cercle décrit sur AB comme diamètre, trouver le lieu des points d'intersection de AQ et de BP.
1039. Quel est le lieu du second foyer des ellipses qui ont un foyer commun et qui passent par deux points donnés ?
1040. Quel est le lieu des centres des hyperboles équilatères qui pas- sent par trois points donnés?
1041. Si l'on joint aux deux foyers de l'hyperbole les points de rcn-
QUESTIONS PROPOSÉES. 56 I
contre d'une tangente à la courbe avec les asymptotes, on obtient un quadrilatère inscriptible.
1042. Si l'on prend sur la corde focale principale d'une parabole deux points également distants du foyer, le trapèze formé en abaissant de ces points des perpendiculaires sur une tangente quelconque à la courbe a une aire constante.
'J043. Les produits des distances du foyer d'une parabole aux sommets opposés d'un quadrilatère circonscrit à la courbe sont éi^aux.
1044. En un point P de la parabole, la corde du cercle de courbure, qui est menée parallèlement à l'axe de la courbe, est égale à quatre fois le rayon vecteur du point P.
1043. La corde PII du cercle de courbure au point P de l'ellipse ou de l'hyperbole, qui est menée par le centre C de la courbe, satisfait à la re- lation PH.CP = aCD , CD étant le conjugué du diamètre CP.
1046. Étant donnés deux triangles, projeter le premier sur un plan de telle sorte que sa projection soit semblable au second triangle.
1047. Couper un cône de révolution donné suivant une ellipse d'excen- tricité donnée.
1048. Deux cônes de révolution qui se coupent ont même axe, et l'angle au sommet du cône intérieur est de Go degrés: démontrer que le sommet de ce cône est un foyer commun de toutes les sections déterminées sur le cône extérieur par les plans tangents au cône intérieur.
1049. Construire une sphère admettant avec quatre sphères données des tangentes communes de longueurs données.
1050. On appelle hnmncycUqucs deux cônes qui ont même sommet et mêmes plans cycliques. Démontrer que, lorsqu'un plan mené par le som- met commun de deux cônes homocycliques coupe ces cônes suivant quatre arêtes, les deux arêtes de l'un font respectivement deux angles égaux avec les deux arêtes de l'autre. — Qu'arrive-t-il en particulier lorsque le plan considéré coupe l'un des cônes et touche l'autre ?
10.j1. Quand un plan touche deux cônes homocycliques, les deux arêtes de contact sont rectangulaires.
IOdS. sa et SB étant deux arêtes rectangulaires prises sur deux cônes homocycliques, le plan ASB coupe les deux cônes suivant deux autres arêtes SA' et SB' qui sont encore perpendiculaires l'une à l'autre; les quatre droites suivant lesquelles se coupent les plans tangents au premier cône suivant SA et SA', et les plans tangents au second cône suivant SB et SB', appartiennent à un troisième cône homocyclique avec les deux
R. et DE C. — Tr. (if Gvom. ( II' Citiip), -36
è'02 GÉOMÉTRtK DA.NS l'eSI'ACE.
premiers ; ce tioisièriie cône reste le même, quelles que soient les deux arêtes rectangulaires primitives SA et SB.
4053. Quand deux cônes sont homocycliques, deux plans tangents au premier cône coupent l'autre cône suivant quatre arêtes appartenant à un cône de révolution dont l'axe est normal aux arêtes de contact des deux plans tangents.
4054. Etant donnés un cône à base circulaire et deux plans fixes tan- gents à ce cône, si un autre plan tangent roule sur le cône, ses intersec- tions avec les deux plans fixes sont telles, que les plans menés par chacune d'elles et une ligne focale font un angle constant.
4005. Pour qu'un quadrilatère gauche ait ses quatre côtés sur un hy- perboloïde de révolution, il faut et il suffit que la somme de devix quel- conques de ses côtés soit égale à celle des deux autres.
4006. Toute section plane du tore est le lieu d'un point tel que le pro- duit des longueurs des tangentes menées de ce pointa deux cercles soit proportionnel à la distance de ce point à- une droite. — Que devient ce théorème, lorsque le plan de la section est parallèle à l'axe du tore?
1037. Un polygone plan se déforme de telle sorte que ses sommets, moins un, glissent sur des droites fixes, tous ses côtés étant vus d'autant de points fixes sous des angles donnés: trouver le lieu du dernier sommet. — Quel est le théorème corrélatif?
40S8. Sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet, on prend trois couples de points qui divisent harmoniquement ces trois droites: démontrer que les six points considérés sont sur une conique. — Quel est le théorème corrélatif ?
40b9. On donne une conique et un triangle situé dans son plan ; dé- montrer : 1° que les droites qui joignent les sommets du triangle aux pôles des côtés opposés par rapport à la conique concourent en un même point; 2° que les côtés rencontrent les polaires des sommets opposés en trois points en ligne droite.
4060. Si autour d'un point fixe on fait tourner une sécante qui ren- contre une conique aux points « et a\ la somme algébrique des inverses des distances des points a et a à la polaire du point fixe est constante.
4061. Construire la conique déterminée par cinq points, dont quatre sont imaginaires.
40*i2. Construire la conique déterfninée par cinq tangentes, dont quatre sont imagina il es.
4063. Projeter une conique suivant une hyperbole équilatère.
1064. La polaire réciproque d'une parabole par rapport à un point de la directrice est une hyperbole équilatère.
QUESTIONS PROPOS ftKS. 563
iOCvS. Inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent par autant de points fixes.
1066. Construire une conique tangente à trois droites et ayantundouble contact avec une conique donnée.
1067. ABC étant un triangle circonscrit à une conique, et a, S, 7, les points de contact de BC, CA, AB, on joint un point quelconque P du plan aux sommets B et C; si l'on désigne par I et K les points où la corde py rencontre respectivement CP et BP, les trois droites P«, Blet CK concourent en un même point. Déduire de là le moyen de trouver le point de contact d'une tangente à une conique qui touche en des points donnés les côtés d'un angle donné.
1068. Si, sur les rayons menés d'une origine fixe 0 aux divers points d'un plan P on porte des longueurs proportionnellesaux valeurs inverses de ces rayons, les plans conduits perpendiculairement à ces droites par leurs extrémités passent tous par un même point p. Lorsque, l'origine 0 restant fixe, le plan P se déplace en passant sans cesse par un même point, le point/? ne sort pas d'un certain plan.
1069. Une droite glisse sur trois droites fixes prises à volonté dans l'espace. — Quel est le lieu décrit par la Irace de celle droite sur un plan fixe quelconque?
1070. La somme des angles d'un quadrilatère gauche est moindre que quatre angles droits.
1071. On peut couper un tétraèdre régulier suivant un carré. — Dé- Tnontrer que le contour apparent du tétraèdre régulier projeté sur un pian parallèle à une section carrée, est a la Ibis un carré et le contour apparent maximum du tétraèdre projeté sur un plan.
1072. Lorsqu'on projette orthogonalement un cube sur un plan per- pendiculaire à une de ses diagonales, le contour apparent obtenu est à la fois un hexagone régulier partagé en trois losanges et le contour apj)a- rent maximiun du cube projeté sur un plan.
lOTS- On peut projeter l'octaèdre régulier de manière à obtenir un contour apparent liexagonal régulier.
1074. Le centre de gravité du périmètre ou do l'aire d'un polygone . régulier convexe d'un nombre impair de côtés, est le centre du poly- gone.
107o. Trouver l'aire latérale et le volume dun tronc de cylindre.
1076- Si un cône de révolution est inscrit dans un angle trièdre fonné
5G4 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
par trois plans tangenls. les plans menés par chaque génératrice de contact et l'arête opposée de l'angle trièdre se coupe suivant une même droite.
1077. Toute section d'un cône oblique à base circulaire, perpendicu- laire au plan principal, appartient à un cône droit.
1078. Étant donnés trois points ou trois arcs tangents et un arc cyclique d'une conique sphérique, déterminer le pôle de cet arc.
1079. Étant donnés trois points et un arc cyclique d'une conique sphérique, déterminer le second arc cyclique de celte courbe.
1080. Étant donnés trois arcs tangenls et un foyer d'une conique sphérique, déterminer le second foyer de celle courbe.
1081. Quelle est la surface polaire d'une conique par rapport à une sphère? — Examiner le cas particulier où la conique est un cercle. — (On nomme surface polaire d'une ligne l'enveloppe des plans polaires de ses divers points.)
1082. Si deux cônes du second ordre ont une ligne focale commune, ils se coupent suivant deux courbes planes.
1083. Quelle est la surface polaire d'une sphère par rapport à une sphère?
1084. Une conique tourne autour de son axe focal. Quelle est la section delà surface de révolution ainsi engendrée par un plan passant par un foyer de la conique donnée?
108o. Quelle est la projection d'une section plane d'une surface de révolution du second ordre, sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur mené d'un foyer de la surface à l'extrémité du diamètre qui passe par le centre de la section?
1086. Circonscrire un tétraèdre a une surface de révolution du second ordre, dont un foyer est donné.
1087. Deux surfaces de révolution du second ordre, qui ont un foyer commun, se coupent suivant deux courbos planes; les plans de ces courbes et les deux plans directeurs forment un faisceau harmo- nique.
1088. D'un point de l'espace, on peut généralement mener six nor- males à une surface du second ordre ; ces six droites sont sur un cône du second degré, qui passe par le centre de la surface et contient les trois axes principaux du cône circonscrit à la surface, qui a pour sommet le point donné.
1089. Le volume du parallélipipède construit sur trois génératrices quelconques de même système d'une hyperboloïde est constant.
1090. Inscrire dans une sphère donnée un polygone dont ch;uiue côté passe par un point donné.
NOTES.
NOTES,
NOTE ï.
SUR L'APPLICATION DES DÉTERMINANTS A LA GÉOMÉTRIE.
1. Aire (lu triangle en fonction : i° des coordonnées des sommets; 2° des longueurs des côtés.
Soient O^et Oj deux axes de coordonnées rectangulaires situés dans le plan du triangle A, A^A^ ; .r, et r,, x.^ et j^, x.^ et j„ les coordonnées respectives des sommets A,, Aj, A,; et r/,,, */„, a?,,, les carrés des lon- gueurs des côtés A,Aj, AjAj, A^A,. L'aire S du triangle est l'excès
Fi;j. G2(.
{fg. Gv.'i) du trapèze A, AjA'jA', sur la somme des trapèzes A, A^A'jA', et
A, A, A'. A',. On a donc
aS = {x^ - a-,) (J3 + r,) - (.r, - ^Jfr, -H.),) - (x.^ - ./-Jfr, -f- j.) = (,r,r, - x^, ) - [j-j:^ - .rj-^ ) -+- (.r,.)-^ - r.j-^ ) , ou
I X, r,
(ï)
2S-
I X., y.,
568 NOTE I.
On peut mettre ce détermina-nt sous les deux formes suivantes ',
2S =
o
o o
aS=-
0 I o o
1 o X^ J,
I o ^2 .>'2
en multipliant membre à membre, on trouve alors, d'après la règle de multiplication des déterminants,
1S' =
01 1 I
I J^,.r,-+-J-,.'''2 ■^■2-^-jI ^i^2-^yû'i
Multiplions les trois dernières horizontales par — 2, puis divisons la première verticale par — 2; le déterminant sera multiplié par 4- Cela fait, aux trois dernières horizontales, ajoutons la première successivement multipliée par j:? -1-7?, a:l-hrl,xl -hyl, et de même, aux trois der- nières verticales, ajoutons la première successivement multipliée par les mêmes facteurs; la valeur du déterminant ne sera pas altérée par ces dernières transformations, et si l'on se rappelle la formule bien connue
on aura finalement
(2]
^^..-{■^.-•n)'-+-(j,— j.r,
i6S== —
I c/,, o (Yj, o
2. Volume de In pyramide trian^idnire en fonction : \° des coordonnccs des sommets ; 1" des longueurs des tiret es.
Soient :ox, oy.oz, trois axes de coordonnées rectangulaires; (^^,,7,, z,), {^i->J-2'>^2)^ (-^35 Js' 23), (jr^,7^,Si), les coordonnées des sommets A,, A^, A3, A^ : r/,,, r/,3, d^^, d^^, r/^,, </,,, les carrés des longueurs des six arêtes.
La marche est absolument pareille à celle que nous avons suivie pour le triangle. En projetant les sommets sur le plan xor, on verra que le volume du tétraèdre est la somme algébrique de troncs de prismes trian- gulaires dont les bases ou sections droites s'évalueront à l'aide de la for'-
APPLICATION DES DÉTERMINANTS.
muie (i), et l'on obtiendra pour le volume V du tétraèdre
569
(3)
6V =
|
1 A-, |
y^ |
z |
|
I x^ |
y. |
-. |
|
' ^z |
Xz |
z, |
|
I .r, |
J4 |
z^ |
puis, en opérant sur ce déterminant comme nous l'avons fait sur le dé- terminant (i), et observant que
on trouvera
(4)
288 V'
|
0 |
I |
I |
I |
I |
|
I |
0 |
d,. |
'^,3 |
< |
|
1 |
cl,, |
0 |
<hz |
<h |
|
I |
<l. |
'h: |
0 |
cl. |
|
I |
<K. |
<h-> |
cl. |
c |
En égalant à zéro les déterminants (2) et (4), on obtient évidemment les conditions pour que trois points soient en ligne droite ou pour que quatre points soient dans un mente plan. Les formules (2) et (4), abstrac- tion faite de la notation des déterminants, ont été données par Euier, dans les Mémoires de Pétersbourg.
3. Relation entre les distances mutuelles : 1° de quatre points situés sur un même cercle; 2^ de cinq points situés sur une même splière.
Soient (j:^,, j,), (■^2>/i)i (-^ai/a)) (•^4>J<)> les coordonnées rectangu- laires des quatre points A,, A^, Aj, A^; ^id^^^d^^ ,. . . .,d^^\. . . , les carrés de leurs distances mutuelles. Ces points étant sur un môme cercle, on a, d'après la Géométrie analytique,
^\ -^ y\ -t- " -t- ^"fj -H c-Xi — o,
^\ -^ y\ -T- « -f- bx^ -+- CKj = o,
A -+- y\ -I- « -1- i)^K -*- n\ — "•
On a, par suite, en éliminant a. b, c, , ou
■y\ I
■yl •
|
X, |
y^ |
|
^, |
y-: |
|
•^3 |
J)', |
|
^4 |
y. |
|
I x]-^y] |
— a.r. |
— 2 )', |
|
I .ll-i-\\ |
— 2^., |
- •-«.>•. |
|
' A -^ y"i |
— 2 •■''j |
-2/, |
|
1 >r; -f- r? |
— 2 X. |
— 2 1' |
5-0
NOTE I.
Or, il suffit de multiplier ces deux derniers déterminants par la règle connue et d'égaler le résultat à zéro pour avoir la relation chercliée
o
^.3 O
o
= o.
Un calcul tout à fait analogue donne
(6)
O
^.0
O
pour cinq points situés sur une même sphère.
La relation (5) revient au fond au théorème de Ptolémée (240); la relation (6) a été donnée sous une autre forme par Feuerbach. — Nous avons suivi la marche indiquée par M. Cayley dans le lome II du Journal de Cambridge.
En développant par rapport aux éléments de la première verticale le premier des déterminants considérés dans ce numéro, et désignant par Oj l'origine des coordonnées, qui est d'ailleurs un point quelconque du plan du quadrilatère A, A^A3A^, on a, eu égard à la formule (2), la relation
0,A, (A,A3AJ-0,A, (A3 A, A,) -^U, A3 (A,A, A,)-0, A, (A,A,A3) = o
qu'on énonce de la manière suivante : Dans tout quadrilatère inscriptible, si on multiplie l'aire du triangle forme' par trois des sommets par le carré de la distance du quatrième sommet h un point quelconque du plan, la somme des produits relatifs aux deux triangles séparés par une diago- nale est égale à la somme des produits relatifs aux deux triangles séparés par Vautre diagonale. Cette proposition, due à M. Luchterhandt [Journal de Crelle, t. XXIII), comprend comme cas particuliers les théorèmes (240, 242) relatifs au produit et au rapport des diagonales du quadrila- tère inscriptible. Pour les en déduire, il suffit de remplacer l'aire de chaque triangle par le produit des trois côtés divisé par quatre fois le rayon du cercle circonscrit et de placer le point 0,, dans le premier cas à l'un des sommets du quadrilatère, dans le second cas au centre du cercle.
En éliminant les parenthèses (A, A, A J, . . . entre l'équation précédente et les trois analogues que fourniraient trois autres points 03,03,0^ pris
APPLICATION DES DÉTERMINANTS.
à voloiilc dans le plan, on obtient une relation
rr' ax' ôT
57 1
|
0,A. |
0,A, |
|
O3A. |
O3A, |
|
O.A. |
0,A, |
0,A,
O.A,
0,A,
entre les distances respectives de quatre points d'un cercle à quatre points quelconques de son plan. Cette relation comprend comme cas par- ticulier la relation (5) qui, en outre, se trouve ainsi démontrée sans le secours de la règle de multiplication des déterminants (Antomari, iVc/wc. Jnn., 188-2).
4. Relation entre les distances mutuelles de cinq points situés d'une manière quelconque dans r espace.
Il suffit d'égaler à zéro le produit des deux déterminants
0 I 0000
1 x]^y]^z] X, j, z, o
I 00
G 00
27, — 2 3^ O
^l-^Jl-^^l •
IX. — 1Y, — 2;
oour obtenir la relation demaïKJée, due à Lagrange,
(7)
|
I |
I |
I |
I |
I |
|
0 |
d^. |
d.. |
d. |
d, |
|
d,. |
0 |
d: |
d.. |
d. |
|
d. |
d,. |
0 |
d.. |
d. |
|
d,. |
d. |
d,. |
0 |
d. |
|
<l:. |
d.. |
d,., |
d., |
0 |
En remplaçant, avant de les multiplier, dans chacun des deux déter- minants, l'expression x] -^-y] n-sf, où / a les valeurs i, 2, 3, 4, 5, par
Xi ■+-/(' -+- z1 — rt^ on obtient la relation
;8)
|
0 I |
I |
I |
I |
I ' |
|
I ^u |
'\. |
'l^ |
'î,. |
•î.s |
|
' «2, |
''■n |
^3 |
^i |
^.. |
|
• ^3, |
'l. |
'^.13 |
«^3. |
«Î3. |
|
' ^U |
'h. |
^.3 |
K |
^.,., |
|
I '\. |
K^ |
^S3 |
K |
^. |
5;.
NOTK I.
dons laquelle o^ désigne la quantité a," -hn —(fa, et qui est une généra- lisation de Ja formule précédente, puisqu'elle renferme, outre les dislances mutuelles c/.j. des cinq points, cinq nouvelles quantités /-,, r^, 7-3, z-^, r^, ar- bitraires.
5. Rayons des sphères rjui coupent quatre sphères données sous des ongles donnés.
Supposons que, des cinq points A,, A,, A3, A,, Aj, que nous venons de considérer, les quatre premiers soient les centres de quatre sphères dont les rayons/-,, r,, r^, r^, sont donnés; désignons par 0 le rayon et par A. le centre d'une sphère qui coupe les quatre premières respectivement sous les angles o,, o^, ©3, o^.
En faisant, dans la relation (8), les substitutions
— n -(- p- — [rf -h p^ — aor-coso,) = ap/", COS'J, (/=i,2,3,4),
puis amenant au premier rang la dernière horizontale et la dernière ver- ticale, préalablement divisées par p, et enfin divisant par 2 chaque hori- zontale, sauf la seconde, et multipliant par 1 la seconde verticale, on obtient, pour déterminer p, l'équation du second degré
r^cos»3 ^COS«p<
(9)
|
I |
I P |
/•| COSy, |
r |
COSo |
|
I p |
0 |
I |
I |
|
|
/•, COSïi, |
I |
^1. |
^,. |
|
|
TjCOSaj |
I |
^2< |
^22 |
|
|
r^cosoj |
I |
^3. |
^32 |
|
|
r, cos?. |
I |
c,, |
'^i. |
OÙ Cik désigne la quantité - (^,- -1- ri — r/,;) pour / = i , 2, 3, 4.
Celte équation ne change pas quand on y change simultanément les signes de r^,r^,r^,r^. D'après cela, à chaque combinaison de signes pour r,, Tj, 7-3, r^, et à la combinaison opposée, répondent les deux racines de la même équation du second degré. En faisant varier les signes de r,, /-,, /\, r^, on trouve les seize solutions du problème.
En procédant d'une manière analogue, on obtiendrait une équation donnant les rayons des cercles coupant trois cercles situés dans un même plan, sous des angles respectivement donnés. Celte équation est d'ailleurs celle qu'on obtient en supprimant dans le déterminant (9) la dernière horizontale et la dernière verticale; en faisant varier les signes, on aurait les huit solutions du problème groupées deux à deux.
AI'I'LICATION Ui;S DÉTERMINAMS. SjS
L'équation (9), dans laquelle on remplace les cosinus par l'unité, donne les rayons (les sphères tangentes à (judlrc sphères données, et celle qui en résulterait en supprimant la dernière horizontale et la dernière verti- cale donnerait pareillement les rayons des cercles tangents à trois cercles donnés.
Enlin, comme dernière application de cette relation (9), nous allons en déduire le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre- Il faut, dans ce cas, supposer r, = r^ = r^ ~ r^^ o,etpar suite <-,* = — -.V,/; l'équation
deviciit
I
■20
|
0 |
r/,, |
^/.3 |
d^ |
|
'l. |
0 |
<h. |
<K |
|
':. |
^h. |
0 |
'h |
|
'/., |
<L. |
(l. |
c |
d'où l'on déduit, en ajoutant à la deuxième horizontale la première mul tipliée par - et ayant égard à la relation (6), 0 f/,j r/,3 d^,
'^3. '^32 O r/3,
d,. d,„ d„ o
(^10) S-GV-'p-^ —
|
0 |
I |
1 |
I |
|
|
I |
0 |
<hA. |
</ln |
|
|
■ — |
I |
''u'^.3 |
0 |
<A. |
|
I |
d,jl,, |
'i.A. |
0 |
En comparant le dernier déterminant au déterminant ( 2) et désignant par T l'aire du triangle dont les côtés seraient égaux aux produits des couples d'arêtes opposées du tétraèdre, on voit qu'on a définitivement pour le rayon de la sphère circonscrite.
T
Celte expression remarquable est due à Crelle (Sammlung nwthcmatisrhei Aufsàtze ),
Ces notions doivent sufBre pour inspirer au lecteur le désir de lire les Mémoires originaux sur l'application des déterminants à la Géoniélrio. Los travaux faits sur ce sujet sont fort nombreux: nous citerons les Mémoires de MM.Joachimsthal(yw//7/r// de Crelle, t. XL), Cayley [Journal de Cand)ndge, t. II), Brioschi [Journal de Crelle, l. L), Kronecker [Journal de Crelle, t. LXXll), Darboux [Annales de V École Normale, 2* série, t. 1), Bauer [Journal de Srhlumilch, t. V, et Mémoires de V Aca- démie de Munich pour 1873), Frijbenius [Journal de Crelle^ t. LXXiX).
Kn\
NOTK II. 57
NOTE II.
SUR LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE.
La théorie des parallèles n'a fait aucun progrès depuis Euclide jusqu'au conunencement de notre siècle. Tous les efforts pour démontrer lapostn- latum d'Eudide ou une proposition équivalente étaient restés infruc- tueux, lorsque Lobattclieffsky en 1829 et Bolyai en i83a, cliangeant résolument de voie, conçurent et exécutèrent séparément le projet hardi de supposer que la proposition à démontrer n'était pas vraie et de consti- tuer un nouveau système de géométrie non contradictoire, en poussant jusqu'à ses dernières limites le développement de leur hypothèse. Gauss qui, par ses propres méditations, avait obtenu les mêmes résultats dès 1792, sans toutefois avoir rien publié sur ce sujet, assura par son patronage le succès de l'œuvre de Lobattclieffsky qui, écrivait-il à Schumacher, « avait traité la matière de main de maître ». Depuis lors un grand nombre de géomètres, parmi lesquels il faut surtout citer Riemann et Bcltrami, ont considérablement agrandi le champ de ces spéculations qui, on ne saurait le méconnaître, ont jeté une vive lumière sur la véritable origine des vérités géométriques.
L'analyse de ces nombreux travaux (•) serait fort longue; nous nous proposons ici uniquement d'en faciliter la lecture en exposant les principes fondamentaux de cette partie de la Science qui. après avoir été appelée successivement Géométrie astrale, Géométrie imaginaire, Pangéométrie, a reçu (loriniti\ement le nom de Géométrie non euclidienne.
(') LoBATTCHEFFSKV, Nouveaux principes de Géométrie {Mémoires de l'Uni- versité de Kasan et Courrier de Kasan, 1826, 1839, i836-i838); Géométrie ima- ginaire (J. de Crelle, 1887); Etudes géométriques sur la théorie des parallèle^ (Berlin, iSjo); Pangéométrie (Kasan, i855). — Bolyac. Appendix scientia». spatii absolute veram exhibens ( Maros-V^asazhély, iSSa). — Kiemvnn, Sur la hypothèses de la Géométrie ( Académif^ de Gôtlingue, 18G7). — Helmuoltz, Sur les faits fondamentaux de la Géométrie (Heidclberu, 1868). — Battai;lim, Sur la Géométrie de Lobaitctipffsky (Girirnalc ; 'Sap]e&, 1868). — Beltrami, Inter- prétation de la Géométrie non euclidienne (Naples, 1868): Sur les espaces de courbure constante (Milan, 1868). — Klein, Sur la Géométrie non euclidienne (Math. Annalen, 1871). — De Tili.v, Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique {Mémoires de l' Académie de Bordeaux, 1879 j.
Plusieurs de ces Mémoires ont éli* traduits en français par M. Hoiiël.
576
NOTE H.
1° Considérons dans un plan un point p et une droite LL'; soient /jo la perpendiculaire abaissée de p sur LL' et EpE' la perpendiculaire élevée par/j sur/jo {/^g. 625). On sait (57) que cette perpendiculaire ne ren- contre pas LL'. Mais cette droite est-elle, parmi celles qui passent par p, la seule qui jouisse de cette propriété? C'est ce que l'on admettait depuis Euclide. Cependant tout ce qu'on peut affirmer, et c'est là le point de départ de Lobattcheffsky, c'est que, si une droite illimitée tourne autour du point p dans le sens de la flèche, depuis la position po jusqu'à la po- sition E'pE, elle passera nécessairement par une position cpu, telle que toutes les droites contenant le point p et situées dans l'angle iipE (et dans son opposé) ne coupent pas LL', tandis que toutes les droites situées dans l'angle opu (et dans son opposé) coupent oL.
Fig. 625.
|
^^^^~~""^ |
.^ |
^..-^' |
|
|
t' |
^,^-^757 |
■s-. |
E |
|
u' |
/ |
\ |
D'après cela, en désignant par v pu' la symétrique de ^'pa par rapport à po^ on voit que toutes les droites menées par le point ]) dans le plan peuvent être rangées par rapport à LL' en deux catégories suivant qu'elles coupent LL' ou qu'elles ne la rencontrent pas; les sécantes sont comprises dans les angles upii! et \pv' ; les non-sécantes dans les angles upv et i'/^k'. Les deux lignes de démarcation uv et «'c' sont dites paral- lèles à LL' relativement au point /a Ainsi, par chaque point/» d'un plan, on peut mener à toute droite LL' de ce plan deux parallèles, l'une vu pour le côté oL de la droite, l'autre \>' u pour l'autre côté oL. On désigne par angle de parallélisme relatif au point p l'angle opu ou son égal opu' .
2° Ce qui distingue une parallèle vu ou v'u' d'une non-sécante quel- conque, c'est que la parallèle devient sécante dès qu'on la dévie en dimi- nuant d'aussi peu qu'on veut son inclinaison opu ou opu' sur la perpen- diculaire po.
Dans le cas où l'angle de parallélisme est droit, la classe des droites non-sécantes disparaît et les deux parallèles se réduisent à une seule E/;E'.
3° Voici maintenant deux |)ropositions qui sont les compléments indis- pensables de la définition des parallèles.
GÉOMÉTRIE NON ELCLl Dli-N.NK.
77
Une droite conserve le caractère du parollélisme en tous ses pi nui s. — En d'autres termes, si H'H est parallèle à D'D relativement au i)oint A, elle est encore parallèle à D'D relativement à tout autre Ai ou A-, (Je ses points (//§•. 6:26).
En effet, supposons d'abord un point Ai situé sur la partie AH de H'H qui fait avec la perpendiculaire AC un angle CAH égal à l'angle de paral- lélisme. Abaissons Ai Ci perpendiculaire sur DD', menons Ai F dans l'in- térieur de l'angle CiAiH, et prenons sur cette droite un point F aussi voisin qu'on pourra de Ai; la droite AF ira couper CD en un certain point G, et l'on aura un triangle ACG dont le contour étant rencontré
Fig. 626.
une proniière fois en F par la droite Ai F devra être rencontré une deuxième fois par la même droite; or Ai F, d'après sa construction, ne peut couper le côté AC, elle ne peut pas non plus avoir un second point commun avec le côté AG; donc elle coupe le côté CG, et, par suite. Ai H est parallèle à D'D relativement au point Ai, puisque toute droite Ai F, située dans l'angle Ci Ai H, rencontre D'D, si petit que soit l'angle H Al F.
Considérons, en second lieu, un point Ao situé sur AH', et soit AoCo la perpendiculaire abaissée de A2 sur D'D; prenons sur AC un point F' aussi voisin de A qu'on voudra, et menons AF faisant avec AH un angle HAF égal à HAoF'; la droite AF ira couper CD en un certain point G, et la droite AoF' coupant une première fois, en F', le contour du triangle ACG, devra couper ce contour une seconde fois. Or elle ne peut couper une seconde fois le côté AC; d'autre part, puisfuie les angles correspon- dants HAF, HA2F' sont égaux, A2F' ne peut rencontrer AF ('); donc A2F' coupe le côté CD; etc.
(') Nous admettons ici que, si deii\ di-oites AB, CD ( /?^. 43), lornient ;ivcc une troisième FE des angles correspondants FGB, FHD, égaux, ces deux droites ne peuvent se rencontrer. La démonstration de ce ttiéorème, donnée au n» G4, dépend du postulatum d'Eudide; maison peut démontrer le fait indépen- damment de tout postulatum. En effet, on peut, par une rotation autour du milieu O de GH, amener la ligure BGHl) sur la ligure CHGA, de façon que GB R. et DB C. — Tr. de Geom. (If Partie). 3;
--Q NOTE II.
Le parnUélisnie de deux droites est réciproque, — En d'autres termes, si AB est parallèle à CD [fig. 'ôii). CD est parallèle à AB.
En effet, soit AC une perpendiculaire sur CD; menons dans l'angle ACD une droite CE faisant avec CD un angle DCE aussi petit qu'on vou- .dra; enfin abaissons AF perpendiculaire sur CE; AF sera moindre que AC ; prenons sur AC une longueur AG = AF et faisons tourner la figure BAFE autour de A, de façon que AF vienne sur AG ; soient GH et AK les positions que prennent FE et AB ; AK coupera CD quelque part en K, etTon aura un triangle ACK dont le contour étant rencontré une première fois, en G, par GH. devra être rencontré une deuxième fois par cette même droite; mais GH étant comme CD perpendiculaire à AC ne peut rencon- trer CD: donc GH coupe AK en un certain point L. Donc, en ramenant le triangle LAG en sa position primitive, c'est-à-dire en le faisant tourner autour de A de façon que AG vienne sur AF. AK sur AB et GH sur
Fig. 627.
FE, on voit que GF doit couper AB, quelque petit que soit l'angle DCE; donc (-2°) CD est parallèle à AB.
H.
1" Dans tout triangle recliligiie ABC,/« soninic des angles ne peut sur- passer deux angles droits.
En effet, soit A le plus petit angle du triangle; en prolongeant la mé- diane AI d'une quantité lE égale à elle-même et joignant EC, on forme un triangle ACE dans lequel (on le voit sans peine) la somme des angles est la même que dans le triangle primitif et la somme des deux plus petits angles est égale à A. Le plus petit angle du nouveau triangle est donc au plus égal à | A. En opérant de même sur ce second triangle, puis sur le suivant, etc. , on obtient une suite de triangles, dont la somme des angles reste la même et dont le plus petit angle est successivement
A \ A . . ,
moindre que —■, j- —■> • • • et, par suite, peut devenir aussi petit quon
recouvre HC et que DH recouvre GA; si donc GB et HD se rencontraienl, HC <■; GA se rencontreraient aussi, et les deux droites AB, CD auraient deux points conimuns sans coïncider.
GÉOMÉTRIE NON FXCLIDlENiNE.
579
veut. Or, si la somme des angles du triangle primitif surpassait deux droits d'une certaine quantité a, en opérant sur ce triai%Ie, comme nous venons de le dire, on obtiendrait, après un nombre suffisant d'opérations, un triangle ayant son plus petit angle inférieur à a ; le triangle suivant aurait à la fois la somme de ses trois angles égale à 2R + a, R dési- gnant un angle droit, et la somme des deux plus petits angles moindre que a; le troisième angle de ce triangle surpasserait donc -iR. ce qui est absurde.
2° Si dans un trlnnole rectillgne ABC la somme des angles est e'gfde à deux angles droits, il en est de même pour tout autre triangle [fg. 628).
En effet, deux au moins des angles du triangle ABC sont alors aigus; soient, par exemple, A et C, ces deux angles; la perpendiculaire BO abaissée du sommet B sur AC partage le triangle ABC en deux triangles rectangles ABO, CBO dans chacun desquels la somme des angles est égale à 2R. sans quoi la somme totale des angles de ces deux triangles serait
lig. 628.
(1°) inférieure à 4R et, par suite, en retranchant les deux angles en 0, qui sont droits, la somme des angles du triangle proposé ABC serait inférieure à 2 R. Il suit de là que, si l'on construit sur AB un triangle BAI, égal à ABO, on aura un quadrilatèreAOBI, dont les côtés 0[)posés sont égaux deux à deux et dont les angles sont droits. En superposant <y quadrilatères égaux à celui-là et juxtaposant /.> figures égales à la figure AOQS, ainsi obtenue, on obtient un quadrilatère POQR, dont tous les angles sont droits et dont les côtés opposés, égaux deux à deux, peuvent devenir aussi grands qu'on veut, en prenant les nombres p et </ assez grands. Ce quadrilatère sera partagé par la diagonale PQ en deux triangles rcc- tangk'S égaux et l'on verra, comme ci-dessus, que la somme des angles de chacun de ces triangles est égale à 2R. Donc on peut construire un triangle rectangle POQ, dans lequel la somme des angles est égale à 2R et assez grand pour contenir dans son intérieur tout triangle rectangle donné DOE, lorsqu'on aura fait coïncider les angles droits do ces 'riangles. Or la droite QD décompose POQ en deux triangles QDP, QOO, dans chacun des(]uels la somme des angles est égale à 2R, sans quoi la somme des angles du triangle total POQ serait moindre que 2R ; de môme, la droile DE partage QDO en deux triangles DEO, OEQ, dans chacun desquels la
580 >OTE II.
somme des angles est égale à aR. sans quoi la somme des angles du triangle total QDO serait inférieure à 2R. Il est donc démontré que. par suite de l'hypothèse, la somme des angles serait égale à 2K dans un triangle rec-r .tangie quelconque DOE ; il en serait de même, par suite, pour tout triangle rectiligne, puisqu'un tel triangle peut toujours être décomposé en deux triangles rectangles.
3° Par un point donné A, extérieur à une droite BC. on peut toujours mener une droite faisant avec la première un an^Ie aussi petit qu on veut
[fig- 629).
En effet, soit AB perpendiculaire sur BC, D un point pris à volonté sur BC, et DE une longueur égale à AD et portée sur BC à la suite de BD. La somme des angles du triangle ADE ne pouvant surpasser i\\. on a, puisque ce triangle est isocèle,
2 AEB ^ ( 2 R - ADB ) < 2 R, d'où AEB < \ ADB.
Ainsi, étant donnée une droite AD, coupant BC sous un certain angle, on peut toujours en trouver une autre AE, faisant avec BC un angle au plus égal à la moitié du précédent; en opérant sur cette nouvelle droite comme sur la première et continuant ainsi, on parviendra à une droite faisant avec BC un angle aussi petit qu'on voudra.
4° Si deux perpendiculaires AH. BC à une même droite AB sont pa- rallèles, la somme des angles est égale à deux angles droits dans tout triangle rtctiUgne {/'g. 629).
Fig. 639.
En effet, menons dans l'angle BAH une droite AE, faisant avec AH un angle HAE aussi petit qu'on voudra; cette droite AE coupera BC, et l'on peut supposer, d'après le numéro précédent, que l'angle AEB, sous lequel AE coupe BC, soit aussi petit qu'on veut. Cela posé, D étant pris à volonté entre B et E, menons AD et désignons respectivement par 2R — a, 2R — p les sommes des angles dans les triangles ABD, ADE. La somme des angles du triangle ABE sera 2R — a — S; on aura donc
2R _ y. _ ^ = R -t- AEB -+- I R - HAE), d'où
o'.-hp = HAE — AEB ;
mais, chacune des parties du second membre pouvant devenir moindre
GÉOMÉTRIE NOÎJ EUCLIDIENNE. 58 1
que toute quantité donncc, on a a + ^ = o, et, par suite, a = o, P = o, puisque a et 3 ne peuvent être négatifs. c, q. f. d.
5" Il résulte des propositions précédentes que deux hypothèses sont seules possibles :
Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est égale à deux angles droits; alors l'angle de parallélisme est toujours droit, et par un point quelconque on ne peut mener qu'une parallèle à une droite.
Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est inférieure à deux angles droits; alors, par un point quelconque, on peut mener deux parallèles à une droite, et l'angle de parallélisme, toujours aigu, varie avec la distance du point à la droite.
La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire ou euclidienne. La seconde peut être également admise sans conduire à aucune contradiction; elle est la base de la Géométrie non eucli- dienne que LobatchefTsky a établie, jusqu'au développement complet des équations entre les côtés et les angles d'un triangle, soit recti- ligne, soit sphérique (•).
m.
Toutefois il y a encore lieu de se demander si, en poussant plus loin les déductions, LobatchefTsky n'aurait pas uni par se heurter à une contradiction. En d'autres termes, y a-t-il contradiction d'une part entre les axiomes admis par les géomètres (en mettant de côté le pos- tulatum d'Euclide), et d'autre part le postulatum de LobatchefTsky? Pour nous en rendre compte, nous allons énoncer ces axiomes sous la forme suivante, en mettant en évidence ceux que les géomètres no formulent pas d'ordinaire et qu'ils se contentent d'admettre implici- tement.
Axiome 1. — Par deux points, on peut faire passer une droite et une seule; par trois points, un plan et un seul.
Axiome 2. — Toute droite qui a deux points dans un plan est tout entière dans ce plan, ou bien, ce qui revient au même, l'intersection de doux plans est une droite.
Axiome 3. — Si deux figures sont égales, les lignes et les surfaces delà seconde qui sont homologues aux droites et aux plans de la pre- mière, sont aussi des droites et des plans.
(') Tout ce qui va suivre, dans cette Note, est dû à M. Poincaré.
583 NOTE II.
Jxiome i. — Dans deux figures égales, les angles homologues sont égaux, ainsi que les distances des couples de points homologues.
Axiome S. — Une figure peut se déplacer en restant égale à elly- mème et de telle sorte que tous les points d'une droite restent fixes (mouvement de rotation).
Jxiome 6. — Une figure peut se déplacer en restant égale à elle- même et de telle sorte que tous les points d'une droite se déplacent, mais en restant sur cette droite (mouvement de glissement).
Jxiome 7. — Si un point B est sur la droite AC, la distance AC est égale à la somme des distances AB et AC; dans le cas contraire elle est plus petite.
Y a-t-il contradiction entre ces sept axiomes et le postulatum de Lobatcheffsky, d'après lequel : On peut par un point mener une infi- nité de plans qui ne rencontrent pas un plan donné.
Afin de lever les derniers doutes à ce sujet, il faut employer un dé- tour. Considérons une sphère qu'on appelle la sphère absolue; appe- lons domaine intérieur l'ensemble des points intérieurs à la sphère absolue.
Considérons une sphère qui coupe orthogonalement la sphère abso- lue; la partie de cette sphère qui est dans le domaine intérieur s'ap- pellera faux plan.
Soit de même un cercle qui coupe orthogonalement la sphère absolue; la partie de ce cercle qui est dans le domaine intérieur s'appellera i mis se droite.
Nous pouvons alors énoncer les deux propositions suivantes :
Proposition 1. — Par deux points du domaine intérieur on peut faire passer une fausse droite et une seule; par trois points du domaine intérieur on peut faire passer un faux plan et un seul.
Proposition 2. — L'intersection de deux faux plans est une fausse droite.
Supposons maintenant que l'on fasse une transformation par rayons vecteurs réciproques (n° 9S2), en prenant pour sphère d'inversion un faux plan, c'est-à-dire une sphère coupant orthogonalement la sphère absolue.
Les sphères se transformeront en sphères et les cercles en cercles; de plus, les angles seront conservés; la sphère absolue, coupant ortho- gonalement la sphère d'inversion, se transformera en elle-même; et à cause de la conservation des angles, les faux plans se transformeront en faux plans et les fausses droites en fausses droites.
GÉOMÉTRIE ^■0.^ EUCLIDIENNE. 585
Le rapport anharmonique de quatre points sur un cercle, tel qu'il a été défini au n" 321, n'est pas non plus altéré par l'inversion.
Soient A et B deux points quelconques du domaine intérieur ; joignons ces deux points par une fausse droite qui viendra couper la sphère absolue en C et en D.
Appelons f a u.\- se dislance des points A et B le logarithme du rapport anharmonique (ABCD), multiplié par le rayon R de la sphère absolue.
L'inversion transformera A et B en deux points A' et B' et la fausse droite qui les joint en une fausse droite qui coupera la sphère absolue en deux points C et D' transformés de C et D. On aura donc
log(ABCD) = log(A'B' CD').
La fausse distance n'est pas altérée par l'inversion.
Soit une figure F quelconque; faisons-lui subir un certain nombre de transformations telles que celle dont je viens de parler, c'est-à-dire un certain nombre d'inversions, la sphère d'inversion étant un faux plan. Je dirai que la figure transformée est congruenie à F; la congruence sera directe si elle résulte d'un nombre pair d'inversions et inverse dans le cas contraire.
Nous pouvons alors énoncer les propositions suivantes :
Proposition 3. — Si deux figures sont congruentes, les lignes et let surfaces de la seconde qui sont homologues aux fausses droites et aux faux plans de la première sont aussi des fausses droites et des faux plans.
Proposition i. — Dans deux figures congruentes, les angles homo- logues sont égaux; les fausses distances de deux couples de points homologues sont égales.
Les angles étant conservés, deux figures congruentes infiniment pe-
R2 QÎ
tues sont semblables. Le rapport de similitude est =- — ^,> R étant le
rayon de la sphère absolue, pi et p? les distances des deux figures à l'origine, c'est-à-dire au centre de la sphère absolue. Dans le cas où la
sphère absolue se réduit à un plan, ce rapport se réduit à — , jt et jj
étant les distances des deux figures au plan absolu.
Soient D une fausse droite, S et S' deux faux plans passant par D. Soient F une figure quelconque, Fi la figure inverse de F par rapport à S. F2 la figure inverse de Fi par rapport à S'. Les points de D n'oiii pas été altérés par ces deux inversions.
Supposons que, D et S restant fixes. S' varie d'une manière continue, mais en passant toujours par D. f-a figure Fi variera d'une manière con-
5S4 ROTE ti,
tinue, mais en restant congrucnleà cllc-môaic. Ce dcplaccmenl conlinu (accompagné d'ailleurs de déformation) s'appellera une fausse rotation; les points de D resteront fixes.
Soient encore D une fausse droite, S et S' deux faux plans orthogo- naux à D.
Soient encore F une figure quelconque, Fi la figure inverse de F par rppport à S, F2 la figure inverse de Fj par rapport à S'. La droite D n'est pas altérée par ces deux inversions ; les points de D sont déplacés, mais ils restent sur D.
Supposons que, D et S restant fixes, S' varie d'une manière continue, mais en restant ortliogonal à D. La figure Fj variera d'une manière continue en restant congruente à elle-même. Ce déplacement continu s'appellera un faux glissement; dans ce mouvement, les points de D se mouvront, mais en restant sur D.
Nous pouvons donc énoncer les deux propositions suivantes :
Proposition 5. — Une figure peut se déplacer en restant congruente à elle-même, et de telle sorte que tous les points d'une fausse droite restent fixes (fausse rotation).
Proposition 6. — Une figure peut se déplacer en restant congruente à elle-même et de telle sorte que tous les points d'une fausse droite se déplacent, mais en restant sur cette fausse droite (faux glissement).
Le lieu des points dont la fausse distance au point A est constante ne doit pas être altéré par les inversions qui ont lieu par rapport à un faux plan passant par A; ce lieu doit donc couper normalement tous les faux plans qui passent par A.
Considérons la sphère S, lieu des points dont la fausse dislance à A est constante; et d'autre part la sphère S', lieu des points dont la fausse distance à B est constante. Si ces deux sphères sont tangentes, le point de contact ne doit pas être altéré par les inversions qui ont lieu par rapport à un faux i)lan passant par A et B, puisque ces inversions n'al- tàrent aucune des deux sphères. Ce point de contact doit donc être sur la fausse droite AB. D'où cette conséquence : de tous les points G qui sont à une fausse distance donnée de A, celui dont la fausse distance à B est la plus petite est sur la fausse droite AB.
Mais si C est sur la fausse droite AB, il résulte des définitions que la fausse distance AB est la somme des fausses distances AC et BC. Nous pouvons donc énoncer la proposi'.ion suivante :
Proposition 7. — Si un point B est sur une fausse droite AC, la fausse distance AC est la somme des fausses distances AB et BC. Dans le cas contraire, elle est plus petite.
GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE. 585
Il est aisé de vérifier d'autre part que :
Proposition 8. — On peut par un point du domaine intérieur mener une infinité de faux plans qui ne rencontrent pas un faux plan donné.
On remarquera immédiatement que ces huit propositions sont, pour ainsi dire, la traduction des sept axiomes de la Géométrie et du postii- latum de Lobalchcffsky.il suffit pour passer des uns aux autres de rem- placer partout les mots
(i) espace, plan, droite, distance, égal, angle,
par les mots
. \ domaine intérieur, faux plan, fausse droite, fausse distance, ( directement congruent. angle.
(La congruence inverse correspondrait à la symétrie.)
Supposons donc que Lobatclieff'sky, en tirant les conséquences logiques des axiomes et de son postulatum, soit ai rivé à deux propositions con- tradictoires. Alors, en traduisant son raisonnement de la façon que je viens dédire, c'est-à-dire en remplaçant les mots (i) par les mots (a) correspondants, on arriverait également à deux propositions contradic- toires qui seraient des conséquences logiques des propositions 1 à 8 que nous venons d'énoncer.
11 y aurait donc coutradiclion entre ces huit propositions; mais cela est impossible, puisque ces huit propositions sont vraies et appartiennent à la Géométrie ordinaire.
11 est donc certain que LobatchefTsky ne pouvait arriver à une con- tradiction et que l'on n'y arrivera jamais, quelque loin que l'on pousse les déductions.
Ajoutons qu'un faux plan divise le domaine intérieur (de môme qu'un plan divise l'espace) en deux régions entièrement séparées l'une de l'autre.
IV.
La puissance de l'origine par rapport à un faux plan (n" 193) est égale à R-, R étant le rayon de la sphère absolue; elle est donc con- stante.
Convenons d'appeler faux plan toute sphère telle que la puissance de l'origine par rapport à cette sphère soit égale à une constante donnée K, mais en supposant cette constante négative. En d'autres termes, suppo- sons que le rayon de la sphère absolue soit imaginaire.
Nous désignerons toujours par fausse droite l'intersection de dcui faux plans.
5S6 NOTE II.
Ici, il n'y a plus lieu de distinguer un domaine intérieur : un faux plan n'est plus une portion de sphère, mais une sphère entière.
Un faux plan et une fausse droite se coupent alors en deux points que Rappellerai points antipodes. Ces deux points sont en ligne droite avec l'origine et le produit des rayons vecteurs sera égal à K,
Dans le cas du § III (c'est-à-dire quand K était positif et la sphère absolue réelle), une sphère et un cercle orthogonaux à cette sphère ab- solue se coupaient encore en deux points antipodes; mais un seul de ces deux points appartenait au domaine intérieur et par conséquent au faux plan et à la fausse droite envisagés.
Si K était positif, les deux points antipodes seraient d'un même côté de l'origine.
Si K est négatif, ils sont de part et d'autre de l'origine.
Quand un point se rapproche de l'origine, son antipode s'éloigne indé- finiment; nous sommes ainsi amenés à regarder tous les points à l'in- fini comme un point unique, antipode de l'origine.
Dans ces conditions, un faux plan et une fausse droite se rencontrent toujours, et il en résulte qu'un triangle curviligne dont les côtés sont des fausses droites, a la somme de ses angles plus grande que deux droits (cette somme était au contraire plus petite que deux droits dans le cas du § III).
Nous conserverons la définition de la fausse distance AB; seulement les points C et D qui figurent dans cette définition sont maintenant ima- ginaires, puisque la sphère absolue est devenue imaginaire. On peut éviter la considération de ces points imaginaires en remarquant que si A' et B' sont les antipodes de A et B, la fausse distance AB est égale à
/^, i-+-iv/fA'AB'B)
/Klog , »
I — iv/(A'AB'B)
(A'AB'B) représentant le rapport anharmonique des quatre points.
Nos sept premières propositions subsistent avec un seul changement : la proposition 1 comporte une exception; si deux points sont antipodes; on peut faire passer par ces deux points une infinité de fausses droites, de même par trois points, dont deux sont antipodes, on peut faire passer une infinité de plans.
Quant à la huitième proposition, elle doit être remplacée par la sui- vante :
Proposition 8 bis. — Par un point donné, non seulement on ne peut pas mener une infinité de faux plans qui ne rencontrent pas un faux plan donné, mais on n'en peut mener aucun
GÉOMÉTRIE >;Oi'S EliCLIUlLN^E. 38^
On peut conclure de là que l'on pourrait, sans contradiction logique, construire une Géométrie où l'on conserverait les sept axiomes ordi- naire-, mais en admettant que l'axiome 1 cesse d'être vrai dans certains cas d'exception; nous voulons dire qu'il y aurait certains couples de points exceptionnels par lesquels on pourrait faire passer, non pas une droite, mais une infinité de droites. De même, par un de ces couples de points exceptionnels et par un troisième point de l'espace, on pourrait faire passer une infinité de plans.
Quant au postulatum d'Euclide ou à celui de Lobatcheffsky, ils devraient être remplacés par le suivant : par un point, on ne peut mener aucun plan parallèle à un plan donné.
« Traduisons » en effet ces axiomes en remplaçant les mots (i) par les mots (2) nous retrouverons nos huit nouvelles propositions qui étant vraies ne sauraient être contradictoires.
Dans cette nouvelle Géométrie non euclidienne, qui est connue soi'.s le nom de Géométrie de Kiemann, la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits. Nous avons vu plus haut que Lobat- cheffsky avait démontré que cette somme ne peut-être qu'égale ou infé- rieure à deux droits; c'est que le géomètre russe admettait ([ue l'axiome i est vrai sans aucune exception.
Ainsi en « traduisant » une proposition quelconque de la Géométrie de Lobatcheffsky ou de celle de Riemann, on retrouvera une propo- sition euclidienne.
Démontrons maintenant que les formules de la Trigonométrie sphc- rique sont les mômes dans les trois Géométries. En effet, considérons dans la Géométrie de Lobatcheffsky (ou celle de Riemann) une propo- sition de Trigonométrie sphérique; ce sera une relation entre les côtés et les angles d'un triangle sphérique, ou, ce qui revient au môme, une relation entre les angles plans et les dièdres d'un trièdre non eucli- dien T. Traduisons cette proposition en remplaçant les mots (i) par les mots (2) : nous obtiendrons une relation entre les angles sous lesquels se coupent trois faux plans, et les angles sous lesquels se coupent les trois fausses droites intersections mutuelles de ces trois faux plans; c'est-à-dire entre les angles plans et les dièdres du trièdre T' formé par les plans tangents à nos trois faux [ilans en leur point d'inter- section.
La relation n'aura d'ailleurs pas été altérée par la traduction, puisque le mol angle se traduit par angle. La relation est donc la même entre les éléiuenls du trièdre non euclidien T et ceux du trièdre euclidien T'.
588 NOTE II.
Introduisons maintenant une transformation nouvelle que j'appellerai la transformation T. Soit 0 l'origine, A un point quelconque, A' son antipode; B le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment AA'; le point B sera regardé comme le transformé du point A.
Dans celte transformation T :
1° La sphère absolue n'est pas allcrce;
2° Un faux plan est transformé en un plan proprement dit qui n'est autre que le plan polaire de l'origine par rapport à la sphère dont fait partie ce faux plan;
3° Une fausse droite se transforme en une droite proprement dite;
4° La fausse distance de deux points A, B est par définition le loga- rithme du rapport anharmonique (ABCD), les points C et D étant les intersections de la sphère absolue et de la fausse droite AB. Par notre transformation T, les points C et D ne changeront pas, les points A et B seront transformés en A' cl B'. Les quatre points A'B'CD seront en ligne droite et le rapport anharmonique (A'B'CD) sera le carré de (ABCD).
Nous pourrons alors appeler fausse distance de deuxième sorte des points A' et B' le demi-logarithme de (A'B'CD), ce sera la même chose que la fausse dislance des points A et B.
5° Les angles seront altérés par la transformation T conformcmenl aux règles du n° HSj. Soient deux plans quelconques, elles deux plans tangents (imaginaires) menés par leur intersection à la sphère absolue,
soit p le rapport anharmonique de ces quatre plans; l'expression — -'^' -
2 y/ — I s'appellera \q faux angle de ces deux plans. L'angle de deux faux plans est égal au faux angle des deux plans qui sont leurs transformés
6° Soient deux points A et B inverses l'un de l'autre par rapport au faux plan P; soient. A' et B' leurs transformés, P' le transforme de P (ce sera un plan). Soit Q le pôle du plan P' par rapport à la sphère absolue. Les points Q, A', B' sont sur une même droite qui coupe le plan P' en un point R conjugué harmonique de Q par rapport au segment A'B'. Les points A' et B' sont donc transformés l'un de l'autre par homologie; mais cette homologie satisfait à des conditions particulières, puisque {voir n° 938) le centre d'homologie est le pôle du plan d'homologie par rapport à la sphère absolue et que le rapport d'homologie est égal à — I. «
Considérons une figure, et ses transformées successives par une série d'homologies satisfaisant à ces conditions. On dira que ces diverses
GÉOilÉllilE >0?f ELCLII)1E>.\E. SSg
figures sont congruentex de la seconde manière. Il est clair que si deux figures sont congruentes de la première manière, leurs trans- formées par la transformation T seront congruentes de la seconde manière.
Ces considérations nous font connaître une autre manière de déduire une proposition de la Géométrie ordinaire de toute proposition do la Géométrie non euclidienne.
Il suffit pour cela de la traduire en remplaçant les mots :
(i) espace, plan, droite, distance, égal, angle.
par les mots :
/ domaine intc'rieur, plan, droite, fausse distance de la deuxième (3)1 sorte, directement congruent de la deuxième manière, jaux \ angle.
Voila donc une nouvelle interprétation qui, en ce qui concerne la Géométrie de Riemann, soulève l'observation suivante :
Deux points antipodes ont le même transformé par la transfor- mation T; par conséquent, dans la nouvelle manière d'interpréter la Géométrie de Riemann, un plan et une droite ne peuvent avoir qu'un point commun; l'axiome i est vrai sans comporter aucune exception. Comment se fait-il alors que, contrairement à la démonstration de Lo- batcheffsky, la somme des angles d'un triangle soit supérieure à deux droits? C'est que nous avons abandonné une autre des hypothèses fon- damentales de la Géométrie : il n'est plus vrai de dire qu'un plan par- tage l'espace en deux régions de telle façon qu'on ne puisse passer d'une de ces régions à l'autre sans traverser ce plan.
Il est inutile d'ajouter que toutes ces propriétés peuvent être trans- formées d'une manière quelconque par homologie. La sphère absolue sera alors remplacée par un ellipso'i'de ou un hyperboloïde absolu. A part ce changement, les définitions de la fausse distance de la seconde sorte, de la congruence de la seconde manière, du faux angle ne seront pas changées; le caractère projectif de ces définitions est en effet manifeste.
W.
La Géométrie non euclidienne à trois dimensions, étant ainsi cons- tituée, contient, comme cas particulier, la Géométrie plane non eucli- dienne. Aux figures situées dans un plan non euclidien, correspondront dans l'espace euclidien, les figures situées dans un faux plan quel-
SgO NOTE II.
conque que nous pourrons d'ailleurs choisir arbitrairement. Nous choi- sirons un faux plan P passant par l'origine et qui sera par conséquent à la fois un faux plan et un pian au sens ordinaire du mol.
Ce faux plan P coupera la sphère absolue suivant un cercle qu'on appellera le cercle absolu. Les fausses droites de P couperont orthogo- nalement ce cercle absolu; la puissance de l'origine par rapport à ces fausses droites sera égale à K.
Nous allons voir d'abord que la Géométrie de Riemann à deux dimen- sions ne diffère pas essentiellement de la Géométrie sphérique. Suppo- sons donc K négatif; construisons une sphère S de rayon / — Rayant pour centre l'origine. Soit F une figure de la sphère, projetons-la sté- réographiqiiement sur le plan P (n" 9o8). Cette projection conservera les angles, les grands cercles de la sphère se projetteront suivant des fausses droites; la longueur d'un arc de grand cercle n'est autre chose que la fausse distance des projections de ses extrémités.
Les projections de deux points antipodes de la sphère seront deux points antipodes au sens du paragraphe IV; c'est ce qui justifie cette dénomination.
A chaque théorème de la Géométrie de Riemann correspondra donc un théorème de la Géométrie sphérique; il sufTit, pour la traduire, de remplacer les mots :
(i) droite, ét^nl, longueur, angle,
par les mois :
(4) grand cercle, égal, longueur, angle,
En particulier, les formules de la Trigonométrie plane de Riemann seront les mêmes que celles de la Trigonométrie sphérique ordinaire. On a, par exemple, en Trigonométrie sphérique,
,., sinA sinB sinC
(5)
A,B, C étant les angles d'un triangle sphérique, et a, 6, c les longueurs de ses côtés (le rayon de la sphère étant supposé égal à y/ — K), de
Il « « b e . , , , . ,
tjllc façon que i ^ . soient les longueurs des cotes
/=^ v/— K /— K
correspondants du triangle semblable construit sur la sphère de rayon i.
La formule (5)sera encore vraie d'un triangle plan dans la Géométrie •^0 Riemann.
l;lle sera encore vraie (par continuité) d'un triangle plan dans la
GÉOMÉTniE JrOM tUCLIDIENNE. SqI
Géométrie de Lobatcheiïsky. Seulement, K étant positif, la formule se présente sous une forme imaginaire. Pour lui rendre la forme réelle servons-nous d'une formule d'Analyse
2sin/j: = e-^ — e^;
notre formule (5) deviendra :
,r I ■ s sinA sinB sinC
(5 bis)
|
a |
a |
~~ b |
h |
c c |
|
ev/K_ |
-e v/K |
ev'iî- e |
/K |
e^—e v/K |
Soient F une figure sphérique quelconque, F' sa projection stéréogra- phique sur le plan P. Comment pourrait-on obtenir la transformée F' de F' par la transformation T du paragraphe V? Pour cela menons à la sphère S un plan tangent parallèle à P; faisons la perspective de F sur ce plan, en prenant pour point de vue le centre de la sphère; et enfin projetons orthogonalement sur le plan P la perspective obtenue; il est aisé de montrer que la figure ainsi construite n'est autre chose que F'. On vérifie immédiatement qu'aux grands cercles de F correspondent les droites de F".
Lorsque K est positif, la sphère S est imaginaire; on peut donc dire que la Géométrie plane de Lobatcheffsky est la Géométrie d'une sphère imaginaire; mais il y a bien des moyens d'éviter cette sphère imagi- naire et d'arriver à la formule (5 bis) et aux formules analogues sans passer par la considération des imaginaires. Nous nous bornerons à indicjuer sommairement le suivant :
Considérons un hyperboloïde de révolution à deux nappes. Soit P le plan de symétrie qui ne rencontre pas la surface; soient N l'une des nappes et V le point où l'axe de symétrie perpendiculaire à P vient ren- contrer l'autre nappe. Soit F une figure quelconque tracée sur la nappe N : faisons-en la perspective sur le plan P, en prenant V pour point de vue. Toutes les sections planes do l'hyperboloïde se projette- ront suivant des cercles.
Menons par V des parallèles aux génératrices du cône asymptote. Nous obtiendrons un certain cône de révolution qui viendra couper le plan P suivant un certain cercle C. Ce cercle est la projection des [)oints à l'infini de l'hyperboloïde.
Si nous prenons C pour cercle absolu, les sections diamétrales de l'hyperboloïde se projetteront suivant des fausses droites.
A chaque point de la nappe N correspond ainsi un point du domaine intérieur et par conséquent un point du plan non euclidien. Cette con- struction joue, pour la Géométrie de LobatchefTsky, le rùlc que jouuit
tout à l'heure la projection stéréographique pour la Géométrie de Rie-
mann.
Soient, dans le plan P, deux figures congruentes, Fi et F'i, qui soient
les projections de deux figures F et F' de la nappe N; les coordonnées
d'un point de F' sont alors des fonctions linéaires et homogènes des
coordonnées du point homologue de F; il suffit de montrer qu'il en est
ainsi quand on suppose que Fi et F'i sont transformées l'une de l'autre
par une seule inversion, le cercle d'inversion étant une fausse droite;
or cela se vérifie immédiatement.
Soient
z* — X- — y- = I
l'équation de l'hyperboloïde, et
(x,j,z), ix',y,z')
les coordonnées de deux points de N. Soit o la fausse distance des pro- jections de ces deux points; on vérifie aisément que
i{zz' — xx' — yj-') = e^-i- e-°.
Celte formule, d'où l'on peut déduire toutes celles de la Trigonométrie plane non euclidienne, est l'équivalent de la formule de Géométrie ana- lytique qui donne le cosinus de l'angle de deux directions en fonction de leurs cosinus directeurs.
VII.
Dans les pages qui précèdent nous n'avons fait usage que des prin- cipes de la Géométrie élémeniaire; tout au plus dans le paragraphe pré- cédent avons-nous invoqué une formule d'Analyse, et quelques formules de Géométrie analytique, ce que nous aurions d'ailleurs pu éviter au prix de quelques longueurs. Nous ne saurions cependant clore cette Note sans dire quelques mots des liens qui rattachent la Géométrie plane non euclidienne à la Géométrie infinitésimale des surfaces. Nous renverrons d'ailleurs pour les théorèmes dont nous aurons à nous servir, à l'Ouvrage classique de M. Darboux.
Deux surfaces sont dites applicables l'une sur l'autre, si l'on peut déformer l'une d'elles (sans altérer les longueurs des lignes tracées sur celte surface et les angles sous lesquels ces lignes se coupent) de ma- nière à l'appliquer sur l'autre sans déchirure ni duplicature.
Une géodésique d'une surface est, par définition, le plus court che- min d'un point à un autre sur celte surface. Il est clair que si deux sur- faces sont applicables l'une sur l'autre, les géodésiques de l'une
GÉOMÉTRIE >0>' EUCLIDIENNE. 5q3
correspondront aux géodésiques de l'autre, puisque la déformation, n'altérant pas les longueurs, conserve les géodésiques.
La courbure totale d'une surface est l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux. On démontre que la condition néces- saire et suffisante pour qu'une surface soit applicable sur une sphère de rayon R, c'est que cette surface ait sa courbure totale constante et
égale à p.
Une sphère est applicable d'une infinité de manières sur elle-même; une surface à courbure totale constante sera donc aussi applicable sur elle-même d'une infinité de manières.
Il est clair que la Géométrie des lignes tracées sur une surface sera la même que la Géométrie des lignes tracées sur une surface applicable sur la première.
Or nous avons vu que la Géométrie plane de Riemann ne difTère pas de la Géométrie de la sphère; elle ne différera donc pas non plus de la Géométrie des surfaces à courbure totale constante positive.
Les triangles dont les côtés sont trois géodésiques tracées sur une pareille surface auront la somme de leurs angles supérieure à deux droits et leurs éléments seront liés par les formules de la Trigonométrie sphérique.
Mais il y a également des surfaces réelles à courbure totale négative, connues sous le nom de surjaces de Behrami. La Géométrie de ces sur- faces ne différera pas de celle de Lobatcheffsky.
Les triangles dont les côtés sont trois géodésiques tracées sur une surface de Beltrami auront la somme de leurs angles inférieure à deux droits et leurs éléments seront liés par les formules de la Trigonométrie plane non euclidienne.
H. et DE C. — Tr. lie Ceom. (II* Partie)
38
5g5
NOTE III (')•
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES,
LES CONIQUES ASSOCIÉES A UN TRIANGLE,
ET LES SYSTÈMES DE TROIS FIGURES DIRECTEMENT SEMBLABLES.
FORMES PERSPECTIVES (2),
!. En Géométrie projcctivc (géométrie de position), on considère coiiiine cléments simples des figures :
Lq point, la droite (indéfinie) et le plan (indéfini).
Les points soni ordinairement désignés par les lettres majuscules A, B, ... ; les droites, par les lettres minuscules a, b, ... ; les plans, par les lettres grecques a, p, .. .
2. Ces éléments sim|)les donnent naissance à sc\^\. jormcs fondamen- tales :
1° La division oa ponctuelle reclilignc, ayant pour éléments tous les points d'une même droite indéfinie qu'on appelle la base, ou le sup- port de la ponctuelle (MOI).
i"" Lq faisceau de rayons ou la radiée, ayant pour éléments toutes les droites menées par un même point {centre ou sommet du faisceau) dans un même plan (319).
3° Lq faisceau de plans ou h feuillce, dont les éléments sont tous les plans menés par une même droite (axe de la feuillée).
4" Le système plan, qui a pour éléments tous les points et toutes les droites situés dans un même pla\., appelé support du système; quand on ne considère que des points ou que dos droites, on emploie aussi les expressions de c/ia/np ponctuel, champ rc<^lé.
( ' ) Les renvois se rapportent au texte du Traité, à la Note III de la pre- .mière Partie et à la Note actuelle; ceux qui visent les numéros de ces Notes seront précédés respectivement des lettres N et N'.
(^) Ces notions préliminaires ont pour but de familiariser le lecteur avec les terminologies les plus récentes, et de coordonner, en les complétant, certains développements disséminés dans le Traité de Géométrie.
596 NOTE III.
5° La gerbe, comprenant toutes les droites et tous les plans menés par un même point, qu'on nomme centre ou sommet de la gerbe; les termes de gerbe de rayons, gerbe de plans n'ont pas besoin d'expli- cation.
6° Vespace, qui a pour éléments tous les points et tous les plans; les expressions de espace ponctuel, espace planaire désignent respecti- vement la totalité des points et la totalité des plans.
7° Vespace réglé, qui a pour éléments toutes les droites.
La ponctuelle, la radiée et la feuillée sont des formes du premier ordre ou à une dimension; le système plan et la gerbe sont des formes du deuxième ordre ou à deux dimensions ; l'espace est du troisième ordre ou à trois dimensions ; enfin l'espace réglé est du quatrième ordre ou à quatre dimensions. Ces qualifications proviennent de ce que chaque élément simple de l'une de ces formes est déterminé respecti- vement par un, deux, trois ou quatre paramètres (ou coordonnées); lo nombre des éléments simples de ces formes peut être représenté res- pectivement par le symbole 00, co', oo^, 00*,
3. Deux formes de même ordre sont dites rapportées l'une à l'autre lorsque à chaque élément de l'une on fait correspondre, en vertu d'une certaine loi, un élément de l'autre. On dit aussi que cette loi transforme la première figure en la seconde.
Ainsi, on rapporte une gerbe do rayons à une gerbe de plans si l'on considère comme éléments homologues ou correspondants un rayon do la première et un plan de la seconde qui sont perpendiculaires.
Deux formes qui sont rapportées à une même troisième sont, par cela même, rapportées l'une à l'autre; car on peut considérer comme éléments homologues des deux premières formes deux éléments qui correspondent à un même élément de la troisième.
4.. Si deux formes du premier ordre sont rapportées l'une à l'autre, de manière qu'à chaque élément de la première il corresponde n élé- ments de la seconde, et à chaque élément de la seconde m éléments de la première, on dit qu'il existe entre ces formes une correspondance (TO, n).
Par exemple, si l'on joint chaque point M d'une circonférence r à un point fixe A de celte courbe et à un point fixe B non situé sur cette ligne, on aura établi entre les faisceaux [A] et [B] une correspondance (2, i). En effet, un rayon du second faisceau rencontre T en deux points qui, étant joints à A, donnent deux rayons correspondants du faisceau [A]; un rayon du faisceau [A] coupe r au point fixe A dont on peut faire abstraction, et en un point variable M, et l'on associe au rayon AM du premier faisceau le seul rayon BM du second faisceau.
SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. Sqj
5. Lorsqu'il existe entre deux formes du premier ordre une corres- pondance (i, i), ces formes sont dites projectives ou liomographiquc;.
On voit facilement que deux formes projectives à une troisième sont projectives entre elles.
Les cas le plus simples de deux formes homographiques sont ceux de deux formes perspectives. Nous allons les définir successivement.
Une ponctuelle est dite perspective à un faisceau de rayons ou de plans si chaque élément de la ponctuelle est situé sur l'élément corres- pondant du faisceau. On dit alors que la ponctuelle est une section (rectiligne) du faisceau, et que le faisceau projette la ponctuelle à partir de son sommet ou de son axe.
Deux ponctuelles sont perspectives si elles sont des sections d'une môme radiée (H03). Le point d'intersection de leurs supports est ap- pelé élément uni, parce qu'il est son propre homologue dans les deux ''ormes.
Deux radiées sont perspectives : i° lorsqu'elles projettent une même ponctuelle à partir de deux centres différents; 2° lorsque, ayant le même sommet, elles sont des sections d'une même fouillée. Dans le premier cas, si elles sont dans un même plan, la droite qui joint les centres est un élément uni; dans le second cas, la ligne d'intersection des plans des deux radiées est un élément uni.
Enfin, deux fouillées sont perspectives si les plans homologues se coupent suivant les rayons d'une même radiée. Le plan de leurs axes est un eïément uni.
Nous appelons quateme l'ensemble de quatre éléments d'une ponc- tuelle, d'une radiée ou d'une fouillée. On a vu que dans deux jormcs perspectives, les quaternes homologues ont le même rapport anluirmo- nique (320, 321,584, 58b).
6. Plus généralement, dans deux formes projectives, les quaternes /lomologues ont le mémo rapport anJiarmonique. En effet, cette pro- priété a déjà été démontrée pour deux ponctuelles projectives (1101), et on l'étend facilement à deux formes projectives quelconques; par exemple, si une radiée et une feuillée sont homographiques, leurs sections rectilignes le sont également, etc.
Deux formes projectives peuvent toujours, par un déplacement con^ venahle de l'une d'elles, être rendues perspectives. Le lecteur établira facilement cette proposition; les solutions des cas principaux sont ren- fermées dans les théorèmes suivants :
Deux ponctuelles projectives qui ont un élément uni sont pcrspec' tivcs (324).
Deux radiées projectives sont perspectives : 1" lorsqu'elles sont situées
SgS NOTii m.
dans un même plan et que la droite joignant leurs centres ( supposés distincts) est un élément uni; i° lorsqu'elles ont même sommet et que l'intersection de leurs plans (supposés distincts) est un élément uni.
Deux feuiUée<; projectives sont perspectives, lorsque leurs axes sont situés dans un même plan qui est un élément uni des deux formes.
7. Un système plan et une gerbe sont perspectifs si, à chaque rayon de la gerbe, on fait correspondre son point d'intersection, et à chaque plan de la gerbe sa ligne d'intersection avec le support du système. On dit alors que le système est une section de la gerbe, et que la gerbe projette le système.
Deux gerbes sont perspectives si elles projettent le même système plan.
Deux systèmes plans sont perspectifs s'ils sont des sections d'une même gerbe; autrement dit, ces deux systèmes sont une projection centrale l'un de l'autre (586). A cause de leur importance, il convient d'insister plus longuement sur ces figures.
8. Considérons à cet effet deux plans XYVZ, XYW'T' et un point fixe S {fig. i). A un point quelconque A du premier plan nous faisons
Fis. 1
correspondre le point A' oîi la droite SA rencontre le second plan. Quand A décrit une droite AD, A' parcourra également une droite A'D; ces droites homologues AD, A'D sont dans un même plan passant par S et se coupent sur la droite XY (ou sont parallèles à XY). Les deux systèmes plans XYVZ, XY'W'T', ainsi rapportés l'un à l'autre, sont dits perspectifs; S est le centre perspectif, XY est Vaxe perspectif. Cet axe est un lieu de points unis.
Menons par S un plan ST' W parallèle à XYV et rencontrant le plan T'XY suivant la droite T'W; menons encore le plan SPQ parallèle
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 699
à T' XY et rencontrant le plan XYV suivant la droite PQ. Ces lignes T' W, PQ, qui sont parallèles à l'axe XY, s'appellent lignes de fuite (oSS) des plans XYV, T'XY; par exemple, le point à l'infini sur la droite DA a pour homologue le point J' où le rayon SJ' parallèle à DA rencontre T' W, et le point I où AD coupe PQ a pour correspondant le point à l'infin de A'D.
Remarquons encore qu'à une ponctuelle et à une radiée du plan XYV correspondent, dans le plan T'XY, respectivement une poncluelle ou une radiée, et que deux formes homologues du premier ordre sont elles- mêmes perspectives (N'., 6).
9. Voici les cas particuliers remarquables de deux systèmes plans perspectifs.
i" Si le centre perspectifs se transporte à l'infini sur une droite dé- terminée «, et si l'axe perspectif XY est à dislance finie, les deux systèmes plans sont perspectivement ajfins; l'un est une projection cy- lindrique de l'autre, les rayons projetants étant parallèles à u. Les lignes de fuite sont maintenant à l'infini; autrement dit, les lignes de l'infini des deux systèmes se correspondent. Cette propriété entraîne les suivantes : a. A tout faisceau de parallèles correspond un faisceau de parallèles, b. Deux ponctuelles homologues sont toujours sem- blables, c. Si l'on rapporte deux systèmes affins à deux triangles ho- mologues, deux points correspondants ont toujours les mêmes coordon- nées barycentriques ; en prenant pour axes coordonnés deux droites quelconques du premier système et leurs homologues du second sys- tème, on a entre les coordonnées de deux points homologues des rela- tions de la forme x'= Ix, j' = i^y (Clairaut, Mém. Ac. Se. Paris, lySi).
2° Si ie centre perspectif S est à distance finie, et l'axe perspectif à distance infinie, les deux systèmes sont perspectivement semblables ou homothétiques.
3° Si le centre perspectif se transporte à l'infini sur une droite don- née «, et si les supports des deux systèmes sont parallèles, les deux systèmes sont perspectivement congruents. Une translation parallèle à u fait coïncider les deux systèmes.
10. Etant donnés deux systèmes plans perspectifs XYV, T'XY, st l'on jait tourner l'un d'eux autour de l'axe XY en conservant la cor- respondance des éléments, les deux systèmes restent toujours perspec- tifs, mais le centre perspectif décrit une circonjérence.
En effet, si l'on considère deux triangles homologues AB'-, A'B'C, les côtés correspondants continuent à se couper sur l'axe lorsqu'on
600 NOTE III.
fait tourner A'B'C autour deXY; par conséquent, les côtés homo- logues BC etB'C, CA et C'A', AB et A'B' continuent à déterminer trois plans formant un trièdre S, et les droites AA', BB', CC ne cessent de concourir en un même point S. En remplaçant le couple CC par d'autres, on voit que deux points homologues sont toujours alignes sur un point fixe.
Revenons aux deux systèmes dans leur position primitive, et menons par le centre S un plan perpendiculaire à l'axe XY; soient PX, XT, ses intersections avec les plans proposés et achevons le parallélo- gramme PXT'S. T' sera l'homologue d'un point T situé à l'infini sur PX, et P sera le correspondant d'un point P' situé à l'infini sur XT'. Mais si l'on fait tourner le plan T'XY autour deXY, les points T et T', I' et P' seront toujours des éléments homologues des deux systèmes, et il suffira de construire un parallélogramme sur XP et XT' pour ob- tenir le nouveau centre de perspective. On en conclut que ce point dé- crit une circonférence qui est située dans le plan perpendiculaire à XY en X, et qui a pour centre le point P, pour rayon XT'.
H. Lorsque le plan T'XY, en tournant autour de XY, vient se ra- battre sur le plan XYV, les deux systèmes plans, réunis sur le môme support, jouissent encore des propriétés suivantes : deux droites ho- mologues se coupent sur l'axe et deux points liomologues sont alignés sur un point fixe. On les appelle maintenant systèmes perspectifs su- perposés ou systèmes /lomologiques; pour les propriétés et les cas par- ticuliers de ces figures, nous renvoyons aux §§ 728-733.
12. On peut rapporter deux espaces l'un à l'autre en s'imposant les conditions que deux points homologues soient toujours alignés sur un point fixe S, et que deux droites homologues se coupent sur un plan fixe ij. Nous allons démontrer que ces conditions ne sont pas contra- dictoires.
La correspondance entre les deux espaces est établie si l'on se donne S, <j ei UD premier couple de points correspondants A, A' {,fg. 2). Alors, pour trouver l'iiomologue d'un point quelconque B du premier espace, nous menons la droite AB qui coupe a en F, et nous joignons F à A'; les droites FA', SB, qui sont situées dans un même plan, se rencontre- ront au point cherché B'. Soit CC un autre couple de points corres- pondants obtenu par le même procédé; il importe de démontrer que es droites BC, B'Cse coupent sur le plan a. D'abord, ces droites sont situées dans un même plan CSB ; ensuite, les côtés homologues des deux triangles ABC, A'B'C se coupent en trois points situés sur la ligne d'intersection des plans de ces triangles, et comme deux de ces
SLR LES TRANSFOIIMATIONS L[.\ÉA1U£S ET QlADRA TIQL ES. Go 1
points, F et E, appartiennent déjà au plan a, il en est de même du troisième D. Observons aussi que, lorsqu'un point M parcourt une droite BC, son homologue M' décrira la droite B'C. Par suite, lorsque la droite AAI engendre le plan ABC, son homologue A'M' engendrera le
plan A'B'C. Il résulte de là que tout plan du premier espace a pour homologue un plan du second espace, et ces deux plans se coupent sur a.
Les deux espaces que nous venons de considérer sont d'ils perspectifs ou homologiques ; S est le centre d'homologie, et or le plan d'Itomologie.
Un plan quelconque SHK mené par S coupe les deux espaces sui- vant deux systèmes plans homologiques, ayant pour axe l'intersection IIK des plans HSK, a\ soient i et y' les lignes de fuite de ces systèmes. Si ce plan est mené par une perpendiculaire SH au plan u, et qu'on le fasse tourner autour de SH, les éléments correspondants des deux es- paces qu'il renferme continueront à se correspondre dans ces espaces; on conclut de là que les plans engendrés par les droites i et y' sont les lieux des points de l'un des espaces qui ont leurs homologues à l'infini. Ces plans sont appelés plans de fuite des deux espaces homologiques.
Pour une élude plus détaillée et pour les cas particuliers, nous ren- voyons aux §§ 9:^8-943.
6o2 NOTE m.
TRANSFORMATIONS LINEAIRES.
13. Deux formes fondamentales du deuxième ordre sont dites homo- graphiques, coUinéaires ou projectives dans les conditions suivantes :
\° Deux systèmes plans tt, i:', si à tout point A de tt on fait corres- pondre un point A' de it et à toute droite a de tt, passant par A, un? droite a de tt', passant par A';
2° Un système plan tt et une gerbe S, si à tout point A de tt corres- pond un rayon a de S, et à toute droite a de ■ji, passant par A, un plan a de S, passant par a';
3° Deux gerbes S, S', si à tout rayon a de S correspond un rayon a de S', et à tout plan a de S, passant par a, un plan a' de S', passant par à .
On voit immédiatement que deux formes du second ordre perspec- tives sont projectives ; ces formes sont encore projectives quand on dé- place l'une d'elles, mais elles cessent alors, en général, d'être perspec- tives. De mêniQ, si dans une suite de formes fondamentales du second rang, chaque forme est perspective à la suivante, la première et la dernière sont projectives. Remarquons encore que deux formes du se- cond rang qui sont homographiques à une même troisième, sont homo- ' graphiques entre elles.
Nous n'étudierons ici que les systèmes plans coUinéaires.
14. Soient ir, ir' deux systèmes plans coUinéaires; désignons par (A, A'), (B, B'), ... des couples de points correspondants,par (a, a'), {b, b')-, ... des couples de droites correspondantes. De la définition on tire les conclusions suivantes :
1° La droite AB a pour homologue la droite A'B'; car à la droite passant par les points A et B doit correspondre une droite passant par les points homologues A' et B'.
1° Le point d'intersection de deux droites «, i de tu a pour homo- logue le point d'intersection des droites correspondantes a', b' de ir.
3° Une ponctuelle de tt a pour homologue une ponctuelle de tt', ho- mographique à la première.
4* Une radiée de tt a pour homologue une radiée de tt', homogra- phique à la première.
15. Pour construire deux systèmes coUinéaires tt, tt' on peut se donner arbitrairement quatre couples de points homologues (A, A), (B, B'), (C, C), (D, D'), pourvu que les points A, B, C, D et les [joints A', B', C, D' soient les sommets de deux quadranglcs propre-
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 6o3
ment dits. Ces quadranglcs se correspondront dans toutes leurs parties : les droites AB, BC, CD, DA, AC, BD auront pour homologues les droites A'D'; B'C, CD', D'A', A'C, B'D'; les points d'intersection E, F, G des couples de droites (AB, CD), (AD, BC), (AC, BD) auront pour
Fi-. 3.
correspondants les points d'intersection E', F', G' des couples do droites (A'B', CD'). (A'D', B'C), (A'C, B'D'). Cela posé, les points A et A' sont les centres de deux radiées projectives [A], [A'], dont nous connaissons trois couples de rayons correspondants (AB, A'B'), (AC, A'C), (AD, A'D'); nous pourrons donc en tracer autant de couples d'élémenls homologues que nous voulons. Construisons de même les radiées projectives [B], [B'] qui se correspondent dans les systèmes -, tt'. Un point quelconque M du système - est à l'intersec- tion de deux rayons des faisceaux [A], [B]; les rayons homologues des faisceaux [A'], [B'] se coupent au point M'. Si l'on répète cette con- struction pour les différents points d'une droite PQ, il est facile de voir que leurs homologues se trouveront sur une droite P'Q'. En eiïct, lorsque M parcourt PQ, les rayons A.M, B.M engendrent deux faisceaux perspectifs ayant le rayon uni AB; par suite, les droites A'M', B'M' en- gendreront deux faisceaux projeclifs, qui sont même perspectifs à cause du rayon uni A'B'.
Pour déterminer l'iiomologue P'Q' d'une droite donnée PQ, on cherche les homologues de deux de ses points, de préférence ceux des points P, Q où la droite donnée rencontre deux côtés du quadranglc ABCD. On est ainsi amené à construire les deux ponctuelles projectives [-VU], [A'B'] dont on connaît ieux ternes homologues ABE, A'B'E', et les deux ponctuelles projectives [CD], [C'D'J dont on connaît les ternes homologues CDE, C'D'E'. Il est facile de voir que celte construction de deux droites homologues PQ et P'Q' fait correspondre à une radiée de - une radiée de tt'.
6o4 NOTE III.
Soient I, J'ies points de fuite des ponctuelles projectives [AB], [A'B'], et II, J'i ceux des ponctuelles projectives [CD], [CD']; la droite IIi de « correspond à la droite de l'infini de tt', et J'JÎ est la ligne de ir'qui cor- respond à la droite de l'infini de tt. IIi et J'J', sont donc les lignes de fuite des deux systèmes ir, ir'.
16. Si les ponctuelles [AB], [A'B'] sont semblables, de même que les ponctuelles [CD], [CD'], les points de fuite I et J', Ii et Ji sont à l'infini (1102), et les lignes à l'infini des deux systèmes se correspon- dent. On a alors deux systèmes dits ajfina. Tout point à l'infini de tt ayant son homologue à l'infini dans ■ji', un faisceau de droites parallèles correspond à un faisceau de parallèles, et deux ponctuelles homologues sont toujours semblables. Cette dernière propriété conduit à une con- struction facile des deux figures quand on connaît deux triangles ho- mologues ABC, A'B'C : si l'on prend pour axes coordonnes du système tt les droites AB, AC, pour axes du système tz les droites A'B', A'C, les coordonnées de deux points homologues sont liées par les relalions
, A'B' , A'C
^=AB-^' -^^ÂC-^-
Remarquons aussi que deux points homologues ont les mêmes coor- données barycentriques respectivement par rapport aux deux triangles ADC, A'B'C.
Si les quadrilatères ABCD, A'B'C D' sont semblables, les systèmes r, Tt' sont semblables ; si ces quadrilatères sont égaux, les deux systèmes sont égaux.
17. Deux systèmes coUinéaires it, Tt', qui ont le même support, sont dits superposés. Dans de tels systèmes, un point qui coïncide avec son homologue est appelé point double; toute droite qui coïncide avec son homologue prend le nom de droite double.
La droite qui joint deux points doubles A, B est une droite double. Elle est le support de deux ponctuelles projectives des deux systèmes; tout point de la droite AB autre que les points A et B est distinct de son homologue, à moins que les deux ponctuelles ne soient identiques. Dans le dernier cas, les deux systèmes sont dits avoir une ponctuelle double.
Semblablement, l'intersection de deux droites doubles a, b est un point double des deux systèmes ir et t:' ; par ce point, il ne passe pas d'autre droite double, à moins qu'il ne soit le centre d'une radiée double.
Lorsque deux systèmes coUinéaires superposés ont quatre points
SUR LES TRA.NSFORMATIONS LINÉAIRES KT QUADRATIQUES. 6o5
doubles qui sont les sommets d'un quadrangle proprement dit, ces systèmes sont identiques; cela résulte de la construction de deux sys- tèmes collinéaircs donnés par deux quadrilatères homologues ABCD, A'B'C'D' (N'., lo), si l'on suppose ces quadrilatères confondus.
Cherchons les éléments doubles de deux systèmes distincts, définis par les quadrangles homologues ABCD, A'B'C'D'. Si K est un point double, les droites AK et A'K se correspondent dans les faisceaux pro- jectifs [A], [A']; K appartient donc à la conique 2 lieu de l'intersec- tion des rayons homologues de ces faisceaux. Il appartient aussi à la conique 2' lieu de l'intersection des rayons homologues des faisceaux [B], [B']. Ces courbes se coupent généralement en quatre points, dont l'un est le point de rencontre des rayons AB, A'B'. Ce point doit être écarté, car il change avec le choix des points A, A', B, B'; il reste en- core trois autres points d'intersection de 2 avec 2', que nous désignons par K, K', K". Donc, en général, deux systèmes collinéaires superposés ont trois points doubles K, K', K" et trois droites doubles K'K', K''K, KK'. L'un de ces points est toujours réel ; les deux autres sont à la fois réels ou à la fois imaginaires.
Supposons que AA' soit un rayon uni des deux faisceaux [A], [A']; ces faisceaux sont alors perspectifs et les rayons homologues se cou- pent sur une droite m passant par le point d'intersection II des droites AB, A'B'; la conique 2 est composée des droites AA' et m. De même, si BB' est un rayon uni des faisceaux [BJ, [B'], la conique 2' est com- posée delà droite BB' et d'une droite n menée par R. Les points doubles des systèmes x et -k' sont alors le point d'interscclion des droites AA', BB' que nous désignons par S, et les points de rencontre de AA'avec // et de BB' avec m.
Il peut arriver que les droites m et n se confondent; alors m est le support d'une ponctuelle double, car tout point de m a|)parlienl aux deux coniques 2, 2'. Toute droite menée par S est une droite double puisqu'elle passe par un second point double, situé sur m. 11 résulte de là que tout point M a son homologue M' situé sur la droite (double) SM, et que deux droites correspondantes rencontrent m au môme point (double). Nous retrouvons donc ainsi les systèmes perspectifs super- posés.
18. Deux systèmes plans ir, -k sont dits corrélatifs ou réciproques, lorsque à chaque point A de it correspond une droite a' de tz', et qu'à toute droite a de tt passant par A correspond un point A' de i:', situé sur a' .
On remarque immédiatement que deux systèmes plans qui sont po- laires réciproques par rapport à une conique (1167) sont corrélatifs.
6o6 NOTE m.
Il résulte de la définilion que la droite joignant deux points A, B de r. a pour homologue le point de rencontre des droites correspondantes a, b' de -'; que le point dinterscction de deux droites a, Z/ de tt a pour homologue la droite joignant les points correspondants A', B' de t^' {fg- 4)
Fig. 4.
On déduit de là qu'une ponctuelle de tt se transforme en une radiée de -', projective à la ponctuelle, et qu'une radiée de tt se transforme en une ponctuelle de -', projective à cette radiée.
Pour construire deux systèmes corrélatifs tt, tJ, on peut prendre ar- bitrairement quatre couples d'éléments homologues (A, a'), (B, b'), (C, c'), (D, d'), pourvu que A, B, C, D soient les sommets d'un qua- drangle proprement dit, et «', h' . c' d' les côtés d'un quadrilatère pro- prement dit. Les autres éléments de ABCD et a' b' c' d' se correspon- dront corrélativement, à savoir : les côtés AB, BC, CD, DA, AC, BD, désignés par les lettres m, n, p, q, r, s, aux sommets a'b', b'c', c'd', d'à', a'c', b'd', désignés par les lettres M', N', P', Q', R', S'; les points d'intersection E, F, G des couples de côtés opposés m et p, n et q, r et * du quadrangle ABCD aux diagonales e'. /', g-' joignant les couples de sommets opposés M' et P', N' et Q', R' et S' du quadrilatère a', b', c', d . Construisons un faisceau [A], de centre A, projectif avec une ponc- tuelle [a'] située sur a', deux ternes homologues étant mqr, M' Q'R'; un rayon x du faisceau et le point correspondant X' de la ponctuelle seront des éléments correspondants des systèmes ~, iz'. Si nous con- struisons encore un faisceau [B] projectif avec une ponctuelle [b'] en
SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQCES. 607
prenant pour ternes homologues mns et M'N'S', nous pourrons consi- dérer un point quelconque U de ir comme l'intersection de deux rayons x,y des faisceaux [A], [B]; la droite homologue «' de rJ sera déterminée par les points correspondants X', Y' des ponctuelles [a'], [ b']. De cette construction des éléments homologues (U, u'), on peut dé- duire que si U décrit une droite v, u! tourne autour d'un point fixe V. Ces explications suffisent pour montrer comment on peut obtenir le point correspondant à une droite de -, la droite homologue d'un point donné de it', ou le point homologue d'une droite donnée de tc'.
19. Appelons j la droite de l'infini de ic, i' celle de rJ, J' et I les points correspondants de l'autre système; ces points sont nommés les centres des deux systèmes. Si I est situé sur y, i' doit passer p;ir 3'; donc les deux centres sont à distance finie, ou tous deux à l'infini. Nous laissons au lecteur le soin de continuer l'examen du second cas.
Considérons linvolution engendrée par les côtés des angles droits de sommet I; elle se transforme en une ponctuelle involutive ayant pour support i'. Si l'on projette celte ponctuelle à partir de J', on obtient un faisceau involulif, qui possède deux rayons conjugués rectangu- laires x',y (1109); appelons Y', X' (/j-. 5) les points à l'infini sur ces
Fi-. 5.
Y,
J^,
rayons, et j, j^les droites homologues de Tt, lesquelles passent nécet. sairemcnt par I et sont rectangulaires. Nous dé>i.;,Mions encore par Y, X les points à l'infini sur x, y. Les triangles IXY, J'X' Y' se correspondent dans les deux systèmes tt, n' : aux sommets et aux côtés du premier correspondent respectivement les côtés et les sommets du second. Les droites x et j, r' et j' sont appelées les ares des deux systèmes tz, t:'. Si un point P' parcourt la droite x', la ponctuelle qu'il engendre est
6o8 NOTE III.
projective avec le faisceau de centre X, engendré par la droite corres- pondante p, et par suite avec la ponctuelle déterminée par le point P où p rencontre x; ces ponctuelles [P], [P'] ayant pour points de fuite les points I, J', on a
(i) lP.J'P'=aS
a étant une constante. Semblablement, la ponctuelle engendrée par un point Q' mobile sur j' est projective avec le faisceau, de centre Y, en- gendré par la droite correspondante q, et par suite avec la ponctuelle déterminée par le point de rencontre Q de 7 avec y\ ces points Q, Q' satisfont à une relation de la forme
(2) \Q.yÇ)'=b^-,
h étant une constante. Cela posé, un point quelconque M de ■;: est dé- terminé par un rayon p du faisceau [X], et un rayon q du iaisceau [Y] ; ces rayons sont perpendiculaires respectivement à a; et à/. La droite correspondante m! est déterminée par les points P', Q' oîi elle ren- contre x' , y'\ les relations (i) et (2) donnent une construction facile pour déduire M de m' ou m' de M.
Il y a plus : si l'on superpose le système ~' au système tt en faisant coïncider J'X' avec IX et J'Y' avec lY, on obtient deux figures polaires réciproques par rapport à l'ellipse «'j-^h- ^-^2= a^^*. Si l'on plaçait l'angle Y'J'X' sur l'angle YIXi, les deux systèmes deviendraient polaires réciproques par rapport à l'hyperbole a?)-"^ — b-x'^ = — à^h^. On pour- rait aussi placer l'angle Y'J'X' sur l'angle YiIXi; alors ir et u' seraient polaires réciproques par rapport à l'ellipse imaginaire
a2j2_,_ b")- x^- + a"^ b^- = G.
Deux systèmes polaires réciproques sont dits réciproques en invola- tion, parce que deux éléments (M, m') continuent à se correspondre si l'on attribue M au second système et m! au premier.
20. Étant donnés deux systèmes réciproques 7:, r', qui sont situés dans un même plan, on appelle /io/«f^ incidertts\Qs points d'un système qui appartiennent aux droites correspondantes de l'autre; ces droites elles-mêmes sont appelées droites incidentes.
Observons d'abord que ces éléments restent incidents quand on les range dans l'autre système. En effet, désignons un même point du plan par M ou par N' suivant qu'il est considéré dans le premier système ou daiis le second, et soient m' et n les droites correspondantes du second ou du premier système. Si M est situé sur m', la droite n\ qui
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIKES ET QUADRATIQUES. 609
correspond au point N' de m' dans îe système tc', doit passer par le point homologue de m\ c'est-à-dire par M; donc le point M(N') est situé sur ses deux droites homologues m' et n. On démontre de même qu'une droite incidente contient ses deux points homologues.
Les points incidents appartiennent à une conique E, et les droites incidentes enveloppent une seconde conique E'. — Pour démontrer ce lliéorème, soient jM un point mobile sur une droite u, m' la droite cor- respondante de Tt', Ml le point oià m' rencontre u, U' le point corres- pondant à m; le point variable M engendre une ponctuelle [u] qui est projective à la radiée [U'] engendrée par m', et par suite à la ponc- tuelle [«1] décrite par Mi. Les ponctuelles [u], [i^,] ont deux points doubles P, Q (llOi); ces points sont évidemment des points incidents, et les droites U'P, U'Q sont des droites incidentes. Il en résulte que le lieu géométrique des points incidents est rencontré par une droite quelconque u en deux points, et que l'enveloppe des droites incidentes admet deux tangentes passant par un point quelconque U'. Ces courbes sont donc des coniciues.
Lorsque les courbes E, E' coïncident, les systèmes u, t: sont en involution.
21. La transformation qui (ait correspondre à un point et à une droite du système plan tt un point et une droite d'un système tc' (N'., III, 13) est appelée //o/?2o^'r«/;//«e ou collinéatwn ; colle qui fait correspondre à un point une droite et à une droite un point, a reçu le nom de corréla- tion, réciprocité ou dualité. Ces deux transformations sont dites li- néaires. Elles comprennent la translation parallèle (171), le retourne- ment {i'2), la rotation, Vhomothétie, la similitude, la transformation par polaires réciproques, la projection cylindrique ou \ affinité, la pro- tection centrale ou la perspective.
Désignons par T', T*, T'", .. ., T'«' des transformations qui changent un système plan en un autre système plan. Si T' change un système t. en un système tc', et que T' ciiange tt' en it", on désigne par le produit W la transformation qui sert à passer de it à tt". En général, les opé- rations T'T' et T"T' sont différentes. Par exemple, si l'on retourne un plan successivement autour de deux droites a, b do ce plan, un point du plan vient occuper deux positions différentes suivant que l'on com- mence par l'un ou par l'autre retournement; cependant si les deux axes «, b sont rectangulaires, l'ordre des opérations est indifférent.
Plus généralement, le produit T'T' . . .T'"' désigne la transformation unique qui donne le même résultat final que l'opération T' changeant en it', l'opération T* changeant ir' en t^", etc.
Nous avons déjà dit que le produit de plusieurs collinéntions est c^n- \\. et DE G. — Tr. de Gcom. (II* Partie). 09
6io r-OTE m.
lement une colllnéation. On voit facilement que le produit de deux réciprocités est une collinéation . Enfin, le produit de plusieurs trans- formations qui sont des collinéations et des réciprocite's dans un ordre quelconque, est une collinéation ou une réciprocité suivant que le nombre des réciprocités est pair ou impair.
TRANSFORMATIONS QUADRATIQUES (*).
22. Lorsque deux systèmes plans sont rapportés l'un à l'autre de manière qu'à tout point de l'un corresponde un point de l'autre (un seul, sauf des exceptions en nombre limité), et à toute ponctuelle de l'un des systèmes une conique de l'autre, on dit qu'il existe entre ces systèmes une correspondance quadratique ponctuelle.
Pour établir une correspondance univoque entre les points de deux systèmes plans it, t^' {fig- 6), nous considérons dans le premier système deux radiées de centres différents A, B et, dans le second, deux radiées de centres différents A', B', et nous supposons que les faisceaux [A] et [A'] soient gradués projectivement, ainsi que les faisceaux [B] et [B']. Alors à chaque point M de tî on peut faire correspondre, dans 7t', le point M' situé à l'intersection des rayons des faisceaux [A'], [B'J qui correspondent aux rayons AM, BM des faisceaux [A], [B].
Si les droites AB, A'B' sont des rayons homologues tant des fais- ceaux [A], [A'] que des faisceaux [B], [B'], les points M, M' se cor- respondent dans deux systèmes collinéaires.
Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, et menons les rayons A'C, B'C des faisceaux [A'], [B'] qui correspondent à la droite AB considérée com.me rayon des faisceaux [AJ, [B], ainsi que les rayons AC, BC des faisceaux [A], [B] qui sont les homologues du rayon A'B' des fais- ceaux [A'], [B']. Les points A, B, G, A', B', G' sont appelés les points principaux de la transformation, et les droites AB, BC, GA, A'B', B'C', C'A' {//g. 6) en sont les droites principales ; ABC et A'B'C sont les triangles principaux.
(' ) Magnus, Journal de Crelle, t. 8. — Steiner, Sjstematische Entwickelungen (Exercices). — Abel Transon, Nouv. Ann., iS64 et i865. — Hirst, Proceed- ings o/ the Royal Society, iS65 et iS66; Nouv. Ann., i866. — De Longchamps, Nouv. Ann., iSGG; Ann. de l'Ecole Normale supérieure, t. III; Journal de Math, spéc, 18S2. — Mathieu, Nouv. Ann., i865. — Saltel, Mém. de l'Acad. d". Belg., 1871. — Dewulf, Bull, des Se. math., t. V, iSyS. — Schoute, Ibid., 2» série, t. VI et VII. — Cii. Servais, Mathesis, 1R87 et 18SS. — Neuderg, Mathesis, 1888. — Ripert, ibid., 1899. — Salmon, Traité de Géom. anal. (LiOurbes planes), Cliap. VIII. — Reye, Géométrie der Lage, t. II,
SUU LES TRANSFonMATfO.NS LlJNÉAIlîKS ET QUADRATIQUES. 6ll
Un sommet d'un triangle principal a un nombre infini de points correspondants, situes sur le côté oppose de l'autre triangle principal. — En effet, A étant l'intersection d'un rayon quelconque du faisceau [A] ».vec le rayon BA de [B], son homologue est à l'intersection d'un rayon indéterminé de [A'] avec le rayon B'C de [B'], qui est l'homologue de BA; A a donc pour homologue un point quelconque de la droite B'C. De même C, intersection des rayons AC, BG de [A], [B] a pour homo- logue un point quelconque de la droite A'B', l'homologue de AC, BG dans les deux faisceaux [ A' j, [B']. Même raisonnement pour les points B, A', B', G'.
Fi>: 6.
Lorsque le point M parcourt un rayon m du faisceau [A], son homo- logue M' décrit le rayon homologue m' du faisceau [A'], de sorte qu'une droite m menée par A a pour homologue une droite m' menée par A'; toutefois, comme le point A de m a pour homologue un point quelconque de B'G', on peut dire que m se transforme en un système de deux droites (m', B'C'). Conclusion analogue pour les droites me- nées par B, A' ou B'. Supposons ensuite que M décrive une droite n menée par C. Les faisceaux engendrés par A'M', B'M' seront projectiis aux faisceaux perspectifs engendrés par AM, JiM; ils sont donc pro- jectifs entre eux, et même perspectifs à cause du rayon uni A'B', qui correspond aux deux rayons AC, BC menés au point C de n. Il résulte de là que la droite n se transforme en une droite n' passant par C, ou mieux en un système de deux droites («', B'C).
Observons aussi que si n tourne autour de C, les droites n, n' se correspondent dans deux faisceaux projectifs [G], [C], de sorte (luo les trois couples (A, A'), (B, B'), (G, C) jouent le même rôle.
Faisons parcourir au point M une droite quelconque u, qui rencontre BA, CA, AB en D, E, F. Les droites A' M', B'M' se correspondront dans
Gl2 NOTU III.
deux faisceaux qui sont projectifs respectivement aux faisceaux pers- pectifs engendrés par AM et BM, et par suite projectifs entre eux; le point M' décrit donc une conique W (1131). Cette courbe passe par les points A', B', C qui sont les homologues des points D, E, F de m, et y touche les rayons des faisceaux [A'], [B'], [C], qui correspondent aux rayons AD, BE, CF des faisceaux [A], [B], [C].
Les droites de l'infini des systèmes tt, tt', que nous désignons par les lettres y, i', se transforment en deux coniques jj', 3 circonscrites aux triangles A'B'C, ABC. Suivant que la droite « rencontre la conique 3 en deux points réels distincts, confondus ou imaginaires, la transformée ïl' est une hyperbole, une parabole ou une ellipse.
Les diverses droites du plan it se transforment donc en des coniques passant par trois points fixes A', B', C; on dit que ces courbes con- stituent un réseau homaloïde. Les rayons d'un faisceau de centre M se transforment en un faisceau de coniques, passant par quatre points fixes A', B', C, M'. Une conique passant par les trois points fondamen- taux A, B, C se transforme en une droite; si elle passe par deux points fondamentaux A, B, sa transformée est une conique passant par A', B'; une conique quelconque de ic a pour transformée une quarlique pas- sant par A', B', C.
La transformation que nous venons d'étudier est une tronsfomiatlon quadratique (ou du second degré) ponctuelle. Elle est déterminée quand on connaît les triangles fondamentaux ABC, A'B'C et un couple de points correspondants (M, M'). Si l'on rapporte les plans tt, tz' res- pectivement aux triangles ABC, A'B'C, les coordonnées normales ou barycentriques de deux points homologues quelconques sont liées par des équations de la forme
xx' yy' zz' ^ __ X _ fi. v
X ~ [JL ~ V ' •/ '^ x' ' X' ' Z'^
X, |ji, V étant des constantes.
Si les systèmes tt, ir' se trouvent dans un même plan, ils ont, en général, quatre points doubles. En effet, si K est un tel point, les rayons AK, A'K se correspondent dans les radiées projectives [A], [A'], et aussi dans les radiées [B], [B']; on en conclut que K appartient à la fois aux deux coniques qui sont engendrées l'une par l'intersection des rayons homologues des radiées [A] et [A'], l'autre par les ra- diées [B] et [B']. Ces deux courbes se coupent en quatre points Ki, Kj, Kj, K4, qui sont les points doubles cherchés.
23. Nous allons examiner quelques cas particuliers.
Supposons d'abord que les points principaux A', B', C coïncident
SUR I.tS TItANSFORMATlO.NS Ll.NÉAIIÏES ET yLADIUTlQLES. Gl3
respectivement avec A, B, C. Les radiées projeclives [A], [A'], qui ont inaintcnant deux rayons homologues ccliangeables AB, AC, forment une involution qui a deux rayons doubles «i, a^ : de môme les radiées [B], [B'] forment une involution dont nous désignons les rayons doubles par bj, h^\ enfin, soient cj, ci les rayons doubles de l'involution constituée parles radiées [C], [C]. Les points «i<^i, «1^2, «2^i> «2^2 (.Ao- 7) ^^'^'^ évidemment les points doubles Kj, K2. K3, K* des systèmes tt, t:'; comme ils se trouvent aussi sur les droites cj ou c», les points prin- cipaux A, B, C sont les points d'intersection des côtés opposés du qua- dranglc complet qui a pour sommets les points doubles Ki, Kj, K3, K4.
Fig. 7.
Les rayons AM et A!\I', BM et B.M', CM et CM', qui abou lissent à deux points homologues M, M' des systèmes w, ti', séparent iiarmoniquenient les droites a\ et «2> ^1 et b^, c^ et c%\ on en déduit que les points M et iM' sont conjugués par rapport aux coniques (dégénérées) a^a^^ bibi^ C1C2, et aussi par rapport à une conique quelconque passant par les points Ki, K2, K3, K^ (1174).
Le cas spécial que nous venons d'étudier est appelé une transfor- mation quadratique involulive ou harmonique, pour rappeler que deux points correspondants M, M' sont échangeables. On peut définir ce cas comme il suit : Étant données dans un même plan deux coniques quelconques E, E', les polaires d'un point M par rapport à ces courbes se coupent en un point M' ; les points M, M' se correspondent dnns une transformation quadratique invulutive qui a pour points doubles les points d'intersection de E et E', pour points principaux les sommets du triangle aulopolaire commun.
6l/l NOTE III.
24. Considérons ensuite une transformation quadratique dans laquelle le triangle principal A'B'C coïncide avec ACB, et supposons en B et C deux radiées projectives [B], [C], qui représentent en môme temps les radiées [B], [B'] et les radiées [C], [C] du cas général, les rayons BA, liC ayant pour homologues les rayons CB, CA. L'homologue d'un point M de ir est à linlerseclion des rayons CM', BM', qui corres- pondent aux rayons BM, CM des radiées [B], [C]. On voit immédiate- ment que tout point de la conique engendrée par l'intersection des rayons homologues des radiées [B], [C] est un point double des sys- tèmes t:, tt'; nous avons donc ici une conique des points doubles, que nous désignons par(K). Cette courbe touche en B et Clés droites AB,AC.
fi;;. 8.
Les droites CM', BM, qui sont des rayons homologues des fais- ceaux [CJ, [B], se rencontrent en un point R de (K), BM' et CM en un point S -de (R). En appliquant au quadrilatère BSCR des propriétés connues (1139), on trouve que les points M, M' sont alignés sur A et conjugués par rapport à (K); les faisceaux [A], [A'] sont donc iden- tiques. La transformation précédente, étudiée d'abord par M. Hirst, est appelée inversion quadrique; elle est involutive. On peut la dé- finir comme il suit : Étant donnés dans un même plan une conique (K) et un point A, deux points correspondants M, M' sont toujours en ligne droite avec A et conjugués par rapport à (K). {Fig. 8.)
Elle comprend comme cas particulier l'inversion ordinaire (.^84) : il suffit de prendre pour (K) une circonférence de centre A. Les points principaux sont A et les points cycliques.
SUR LES TRANSFOr.ilATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 6l5
Voici un aiilrc cas particulier de l'inversion quadrique, qui a été étu- dié par M. G. do Longchamps : Deux points correspondants M, M' sont alignés sur un point fixe A, et la distance M^I' est vue d'un point fixe B sous un angle droit. Les faisceaux [A], [A'] du cas général sont réunis en A et coïncident; les faisceaux [B], [B'], réunis en B, ont leurs rayons homologues perpendiculaires et coïncident avec les faisceaux [C], [C]; au point principal A correspond comme ligne principale la perpendi- culaire élevée en B sur BA, et au point B la ligne principale BA; enfin la conique des points doubles est le système des droites isotropes issues de B, A la droite de l'infini correspond la circoniérence de dia- mètre AB; une perpendiculaire à AB se transforme en une hyperbole ou en une ellipse de sommets A, B suivant qu'elle passe ou non entre A et B.
2o. Il existe encore deux autres transformations du second degré, que l'on pourrait appeler respectivement transformation quadratique corrélative et trarisjormation quadratique réglée. Nous allons d'abord les déduire de la transformation quadratique ponctuelle.
Soient donc -, t:' deux systèmes plans entre lesquels il existe une cor- respondance quadratique ponctuelle, et soit kj un système plan corrélatif au système ir'; si nous considérons comme homologues deux éléments de 7c et TTi qui correspondent à un même élément de ir', nous aurons ctalili entre ~ et tîj une correspondance quadratique corrélative. Les sommets du triangle principal A' B'C se transforment en trois droites «i, bi. Cl de r.i, et les côtés de A'B'C ont pour homologues les sommets Aj, Bi, Cl du triangle formé par les lignes ai, éi, c\. Nous pouvons main- tenant dire que tout point M de t: a pour homologue une droite my de -i , à l'exception ùq.s points principaux A, B, C, qui ont pour homologues une droite quelconque passant respectivement par Ai, Bi ou Ci. Inver- sement, toute droite /n, de tti a pour homologue un point M de ir, à l'exception des droiles ai, ^i, c\ qui ont pour homologue une quel- conque des droites BC, CA, AB. Une droite (ponctuelle) do it se trans- forme en une conique lli de Tti , inscrite au triangle Ai B, Ci ; un faisceau do rayons de tti se transforme en une suite de points situés sur une conique passant par A', B', C
2G. Transformons maintenant par réciprocité doux systèmes plans «, -' entre lesquels il existe une correspondance quadratique ponciuollo; soient <i, a' les nouveaux systèmes ainsi obtenus. Si 1\I, M' sont deux points homologues de it, u', et m, m' les droites correspondantes des systèmes (x, a', nous considérerons les droites m, m! comme des élé- ments homologues des derniers systèmes. La correspondance ainsi
6i6 NOTE m.
établie sera une correspondance quadratique réglée. A toute droite m de 0- correspondra une seule droite m' de u'; il y a exception pour les côtés a, Z», c. et a\ b\ c' de deux triangle.i principaux, qui ont pour homologues une droite quelconque menée par le sommet opposé de l'autre de ces triangles. A un point de u considéré comme centre d'une radiée correspond une conique tangente aux lignes principales «i, &i, ci.
27. Pour établir directement une correspondance quadratique corré- lative entre deux systèmes plans it, tti, nous considérons un point quelconque M de tt comme l'intersection de deux rayons p, q des deux radiées données [A], [B], et une droite quelconque /«i de 7:1 comme la jonction de deux points Pi, Qi de deux ponctuelles données [^i]. [^1]; de plus, nous supposons la radiée [A] projeclive à la ponctuelle [«i], et la radiée [B] projective à la ponctuelle [61]. Alors si/) et Pi, 7 et Qi sont des éléments homologues de ces formes, nous regarderons M etwi comme des éléments correspondants des systèmes 7:, t:^.
La correspondance ainsi établie sera une réciprocité si le rayon AB des deux faisceaux [A] et [BJ a pour homologue, dans les deux ponc- tuelles [ai], [bi], le point d'intersection Ci de leurs supports.
S'il n'en est pas ainsi, nous aurons une correspondance quadratique corrélative. Soient alors Bi le point de «1, et Ai le point de bi qui cor- respondent respectivement au rayon AB de [A] et au rayon BA de [B]. Soient encore AC le rayon dulaisceau [A] etBG celui du faisceau [B] qui correspondent au point Ci considéré comme appartenant à la ponc- tuelle [ai ] ou à la ponctuelle [bi]. Il est facile de voir que les points A, B, C ont pour droite homologue de Tî une droite quelconque menée respectivement par Ai, Bi, Ci, et qu'un point quelconque de l'une des droites AB, BC, CA a pour droite homologue de ui respectivement Ai Bi, BiCi, CiAi.
Nous laissons au lecteur le soin de continuer l'étude de cette cor- respondance, et de voir comment on peut établir directement une correspondance quadratique réglée.
INVERSION TRIANGULAIRE. HYPERBOLES ÉQUILATÈRES CIRCONSCRITES A UN TRIANGLE.
28. Soient M, M' deux points inverses par rapport au triangle ABC (N., 9-11) Lorsque M décrit une ligne A, M' décrit une ligne A' qu'on appelle Yinverse triangulaire ou même simplement Yinverse de A.
L'inversion triangulaire est une transformation quadratique involu- live, qui a pour points principaux les sommets du triangle fondamental, pour points doubles les centres des cercles inscrit et exinscrits.
SUR LES TRANSFORMATIONS LI.NÈAlUtS ET QUADRATIQUES. 6(7
L'iiwerse de la droite de l'infini est la circonférence ABC (N., 11).
Une droite qui coupe DC, CA, AB aux points D, E, F a pour inverse ne conique passant par A, B, C et touclianl en ces points les isogonalcs les droites AD, BE, CF.
Une droite qui rencontre la circonférence ABC en deux points éels T, T', se transforme en une hyperbole dont les asymptotes sont larallèlcs aux isogonales des droites AT, AT'. L'hyperbole devient quilatcre lorsque l'angle TAT'est droit, ou que la droite TT' passe par e centre 0 du cercle xVBG; elle passe alors par l'orthocentre H, inverse lu point 0 (1193). Les droites de Simson des points T, T' sont les isymplotes de la courbe; car elles sont perpendiculaires aux isogo- lales des droites AT, AT' et rencontrent BC, CA, AB en des couples le points isolomiques, de sorte qu'il existe une hyperbole équilatèrc îirconscrite au triangle ABC et admettant ces droites pour asymp- otcs (11-48).
Une tangente à la circonférence ABC a pour inverse une parabole lont les diamètres sont parallèles à l'isogonale de la droite joignant A lu point de contact. Enfin une droite extérieure au cercle 0 se trans- orme en une ellipse.
Des droites équidislanles du centre 0 se transforment en des co- nques semblables circonscrites au triangle ABC. Ce théorème se lémontre immédiatement pour les paraboles et pour les hyperboles [ui ont même angle des asymptotes; le principe de continuité permet le l'étendre aux ellipses semblables.
29. Parmi les hyperboles équilatères circonscrites au triangle ABC, )n a surtout étudié celle qui passe par le barycentre G (*); elle est 'inverse du diamètre OK qui passe par le point de Lemoine K. Cette iourbe, que nous désignerons par la lettre F, est souvent appelé /y- jerbole di; Kiepert, du nom du géomètre cpii l'a rencontrée pour la jremière fois en traitant la question sWwiiniG {Nouvelles Annales, 18G9. 5.40:
Sur les côtés d'un triangle A, B, C comme bases, on construit trois riangles isoscèles semblables PaBC, l'^CA, PcAB, dirigés à la fois vers '■'intérieur ou vers l'extérieur du triangle ABC. Les droites APa, BP/,, jPc concourent en un même point; lorsque l'angle Va'èQ' varie, ce point
C) Llmoine , Cuiii^rès de Lyon {Association française des Sciences), 187 3. — BRocAno, J. de Mack. spéc, i884 et i885. — M« Cay, lUal/icsis, 1S87. — KiLiiL, Programme de Brombcrg, 188S. — Nelulkc et Gob, Congres de Pans, iHSg. — E. Cesaro, Nouv. Ann., 1888. — Neuiiebg, Mathesis, 1892.
6i8 NOIE m.
décrit une conique ayant pour équation en coordonnées normales
sin(B — C).72 -t- sin( G — k).zx -\- sin(A — B)..r/ = o.
Pour démontrer l'ideniilé de F avec ce lieu, appelons ç l'angle CBPa, considéré comme positif lorsqu'il est mesuré de BC vers BA, et dési- gnons par A', B', G' les milieux de BC, GB, AB. Gomme les points ?<,, Pc déterminent deux ponctuelles semblables, les droites BP^, GPc se cor- respondent dans deux radiées projectives, et leur point de concours P décrit une conique. Lorsque cp prend les valeurs A, B, G, Cjgo", P coïn- cide avec un sommet du triangle fondamental, le barycentre G ou l'orthocentre II, cinq points qui appartiennent à V. Il en résulte que P parcourt Thyporbole de Kiepcrt, et que les droites APa, BP*, GPc con- courent en un même point.
Les coordonnées normales de P sont coséc (A — tp), coscc(B — ç), coséc(C — cp).
30. Soient a, p, y les projections de K sur les côtés du triangle ABC, et soient q\ q" , q'" les points où ces côtés sont rencontres par les droites KP^, KP^, KP^. On a
Ka: kP:Ky = bg : CA : AP = A'Pa: B'Pô: C'P^;
d'où l'on déduit que les triangles q'q'q'"-, PaPôPc sont homothcliqucs par rapport à K et que les perpendiculaires élevées en 7', q'\ q'" sur BC, CA, AB concourent en un point q de la droite OK. Or l'inverse de q ap- partient à r et s'obtient en abaissant de A, B, C des perpendiculaires sur les côtés du triangle podaire de ç ; on a donc le théorème suivant : Les perpendiculaires abaissées de A, B, G sur les côtés correspondants du triangle PaP^Pc concourent en un point Q de l'hyperbole T.
Nous allons démontrer ce théorème par un autre procédé, qui établit une relation remarquable entre les points P et 0* Considérons deux triples de triangles isoscèles semblables (P^BC, PèCA, P^AB) et (OaBC, QôCA, OcAB), tels que les angles CBPa, CBQa soient complé- mentaires et situes du même côté de BC. Les lignes brisées PcC'B'P^, \C'A'Oa ont les composantes P<:G' et AC', C'B' et A'Qa, B'Pô et C'A' perpendiculaires et proportionnelles; par conséquent les résultantes Pc Pfc, AQa sont perpendiculaires et dans le mémo rapport PcC : AC'= tangcp. On en conclut que les droites AQ^, BQ^, CQc sont perpendiculaires aux côtés correspondants du triangle PaPiPe-
Les couples de points ?aQ<., ^bQb, PcQc marquent trois involutions dont les points doubles sont les centres des carres construits extérieu- rement et intérieurement sur BC, CA, AB. Il en résulte que les couples
SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 619
fie rayons (APa, AQ^), (BP^, BQi), (CPc, CQc) engendrent trois fais- ceaux involulils; donc la corde PQ de F passe par un point fixe. Ce
Fig. 9.
point est le centre 0 du cercle ABC; car, lorsqu'on prend 0 successi- vement pour Pa, Pfc, Pc. P passe respectivement sur les rayons OA, OB, OC, et 0 se confond avec A, B, G.
31. Citons quelques cas particuliers remarquables du dernier tlico- rème :
a. Si Pa, P/i, Pc sont les sommets des carrés construits soit extérieu- rement, soit intérieurement sur BG, CA, AB, les droites AP^, BP^, CP^ sont égales et perpendiculaires aux côtés correspondants du trian- gle PaP/^Pt ; l(^iif point de concours est situé sur T et la tangente en ce point fjasse par 0.
b. Soient P^. P^, Pc les sommets des triangles équ'datéraux construits soit extérieurement, soit intérieurement sur BC, CA, AB. et soient Q^, Qh, Qc, les centres de ces triangles. Les droites APa, BPft, CPc sont perpendiculaires aux côtés correspondants du triangle QnQ/jQc et con- courent respectivement au premier ou au second centre isogone Z, Z' de ABC; les droites AQa, BQô, CQc sont perpendiculaires aux côics correspondants du triangle P^P^P,. et concourent respectivement en deux points U, U'. Les points Z, Z', U, U' appartiennent à l'/ijocr- bole V et les droites ZU, T M' passent par 0.
ôao NOIE ni.
La droite TL' est un diamètre de V. En effet, les faisceaux Z(ABC), Z'(ABC) étant inversement égaux, leurs rayons homologues se coupent sur une hyperbole équilatère ayant pour diamètre TL'.
c. Les projections Ai, Bi, Ci de K sur les médiatrices OA', OB', OC sont les sommets de trois triangles isoscèles dont les angles à la base sont égaux à l'angle V de Brocard; les droites AAi, BBi, CCi concou- rent donc en un point D de V. Les perpendiculaires abaissées de A, B, C sur les côtés opposés du triangle AiBiCi concourent également en un point N de T; la droite ND passe parU. Le point N appartenant aussi à la circonférence ABC est l'inverse du point à l'infini de la droite OK. (N., 37, 40, 43.)
Le centre de V est au milieu de la droite HX. Car H est le centre de similitude directe de la circonférence des neuf points du triangle ABC et de la circonférence circonscrite, et la première de ces lignes con- tient le centre de r (1193); par suite, le point diamétralement opposé à H sur r est situé sur la circonférence ABC et ne peut être que N.
d. Soient t' , t", t'" les projections sur BC, CA, AB d'une extrémité T de diamètre OK du cercle ABC; elles sont sur une asymptote de r. Les droites Kt', Kt", Kt'" rencontrent les médiatrices OA', OB', OC en trois points A3, B3, C3, qui sont en ligne droite et qui sont les sommets de trois triangles isoscèles semblables A3BC, B3CA, C3AB, ayant pour angle à la base un angle de Steiner (N., 39); la seconde extrémité T' du diamètre OK conduit à un triple analogue de points A4B4C4. Ces droites A3B3C3, A^B^Ci sont rectangulaires et passent par le bary- centre G ; nous les avons appelées les axes de Steiner. On voit main- tenant qu'elles sont parallèles aux asymptotes de V.
32. Les côtés du triangle PaP^Pc , qui joignent les éléments homo- logues de ponctuelles semblables, enveloppent trois paraboles Ya> Y*) te-, qui ont d'abord été étudiées par M. Artzt. {Programme de Reckling- liausen, 1884.)
Trois positions particulières de ces droites étant B'C, C'A', A'B', les paraboles sont inscrites respectivement aux trianglesOB'C, OC A', OA'B'. Les directrices passent respectivement par les orthocentres A', B', C des mêmes triangles; elles passent aussi par le barycentre G où se croisent les axes de Steiner, qui sont deux tangentes rectangulaires communes aux trois paraboles. Par suite, les directrices de Ya, '{bi Yc ''Ont les médianes AA', BB', CC.
Les droites AP^, AP^ étant isogonales par rapport à l'angle BAC peu- vent coïncider avec la bissectrice intérieure ou extérieure de cet angle; ces bissectrices sont donc tangentes à Ya- Lorsque AP^ ou APc coïncide avec AO, l'autre de ces droites devient la hauteur AH; on en conclut
SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 6i l
que AH rencontre les médiatrices OB', OC en leurs points de con- tact E, E' avec fa-
Le foyer de fa est sur la circonférence C'OB'A circonscrite au triangle de trois tangentes; il se trouve aussi sur la symétrique delà directrice par rapport à la tangente AI. C'est donc la projection de 0 sur la sy- mcdiane AK. Ainsi, les foyers des paraboles Yaj Y*' ï^ sont les som- mets du second triangle de Brocard (N., 3G).
33. L'axe d'homologie des triangles PaPôP^, A'B'C enveloppe une parabole inscrite au triangle A'B'C. Car la tangente variable Pi Pc maniue sur les tangentes B'C, O'B', OC de fa des ponctuelles sem- blables, etc.
Deux triangles PaP^Pc, QaQbQc fiui correspondent à des valeurs complémentaires de l'angle o (N'., 30) ont, avec ABC, un même axe d'Iiomologie. En effet, si pi, Yi désignent les points de rencontre de BC avec OB', OC, un calcul de Trigonométrie facile montre que les rap- ports anharmoniques (j^iOPiO^), (yiOPcQc) sont égaux; donc à cause de l'élément uni 0 les droites ^lYii PiPo QuQc concourent en un même point.
L'axe d'Iiomologie des triangles ABC, PaP^Pc enveloppe une para- bole inscrite au triangle ABC et ayant pour directrice la droite HO. Car, soient U, U', U" les points de rencontre des côtés homologues; les côtés du triangle QaQôQc passent par les mêmes points. Si l'on donne le point U de BC, les deux tangentes menées de ce point à la parabole Ya déterminent les points Pô, Pc, Qb, Qc\ ceux-ci font connaître d'abord les points Pa, Qa, et ensuite les points U', U". 11 existe donc entre les points U, U' une correspondance (1,1), et comme l'axe d'ho- mologie des triangles ABC, A'B'C est à l'infini, les points U, U' se cor- respondent dans deux ponctuelles semblables, et la droite UU' enve- loppe une parabole. Deux positions particulières de cette droite étant les axes de Stciner, qui sont rectangulaires, la directrice passe par G,
TRANSFORMATION PAR POINTS RÉCIPROQUF.S. ELLIPSES DE STEINER.
34. La transformation par points réciproques (N., 8) est quadratique et involutive; elle a pour points principaux les sommets du triangle fondamental ABC, pour points doubles le barycentre G et ses associés (N., 7).
Une droite quelconque qui coupe BC, CA, AB au.v poi/its D, E, F se transforme en une conique tangente en A, B, G aux droites qui joignent CCS points aux isotoniiques des points D, E, F.
Gi3 NOTK III,
En particulier, la droite do l'infini se transforme en une ellipse qui touche en A; B, C les côtés du triangle anlicomplémentaire. CelLo courbe, qui a pour centre le barycentre G, est appelée ellipse de Steiner.
On désigne quelquefois sous le nom de seconde ellipse de Steiner l'ellipse qui touche les côtés du triangle de référence en leurs milieux. Nous représenterons ces deux eUipses par les lettres C, C .
La propriété de la parabole démontrée au n° 1192 conduit immédia- tement au théorème suivant : Si une parabole variable touche les côtés d'un triangle ABC aux points a, P, y» ^^s cordes Sy, ya, afj tournent autour des associés du barycentre, et les droites A a, B|j, C^ concourent sur la première ellipse de Steiner.
33. Le quatrième point de rencontre de la circonférence ABC avec l'ellipse C est appelé point de Steiner (»); c'est le point déjà désigné par la lettre R.
Les droites AU, BC ont des directions antiparallèies par rapport à un axe de C Or, si Aj, Bi, Ci sont les symétriques de A, B, C par rap- port à G, les droites BiCi, Ci Ai, AiBi seront encore des cordes de C qui sont respectivement antiparallèies aux cordes AR, BR, CR par rap- port à un axe de C On en conclut que les circonférences ABC, ABiCi, BCjAi, CAiBi se coupent en R.
L'ellipse <C, le cercle ABC et les cercles ABiCi, BCiAi, CA,Bi ont pour figures complémentaires l'ellipse C et les cercles des neuf points des triangles ABC, GBC, GGA, GAB; ces dernières lignes se coupent donc en un même point R', qui est le complémentaire de R. Or, le centre de l'hyperbole de Kiepert, qui est équilatcre et passe par A, B, G, G, doit se trouver sur les cercles des neuf points déterminés par trois de ces quatre points; le centre de T est donc le complémentaire de R.
Les axes de C sont parallèles aux bissectrices des angles des droites AR, BC ; ceux de r sont antiparallèles aux bissectrice3 des angles des droites AN, BC. L'angle RAN étant droit, les axes de C sont parallèles aux asymptotes de T\ ce sont donc les droites GX, GY, appelées ci- dessus axes de Steiner du triangle ABC.
Les cercles osculateurs aux points A, B, C de C passent par R ; car la tangente en A, par exemple, et la corde AR sont antiparallèies à un axe de C(1173).
36. Pour trouver les axes iX, aiJli de C, nous cherchons d'abord la
C) Nei-berg, Sur le point de Steiner {Coiiar,ès de Grenoble, i8S5, i?t J. de ]\lalh. spéc., i88G).
SLR LES TnANSFOUMAÏIO.VS Li:>f:.UUES ET QUADRATIQUES. 023
longueur du demi-diamèlrc GD conjugué à GA. Or, il existe entre DC et la parallèle GD le même rapport qu'entre le côté et le rayon d'un triangle équilatéral; car, si l'on projette C suivant une circonférence, le triangle ABC se projette suivant un triangle équilatéral, puisque la
Fi-. 10.
projection de G sera à la fois le baryccntre de la projection du triangle ABC et le centre du cercle circonscrit. Cherchons donc les centres I, I' des triangles équilatcraux BCZa, BCZ^ construits sur BC ; nous aurons GD = ZaI —Z'aX. Si nous menons par G une perpendi- culaire à BC qui rencontre AZa, AZ^ en «, «', nous aurons aussi GD = Gm = G«'. Alors la solution de Chaslcs devient immcdialemcnt applicable : les axes de C sont parallèles aux bissectrices de l'angle uku! (ju de l'angle IGl'), et
.1, -+- Dî, = Aîi = I AZa, X - ifl = A«'= I AZ;.
Si l'on tient compte des calculs de N., 34 cl 39. on peut écrire X=\ v/ScotVi, ijî, = \ v/ScolV„ XDL = - S /3.
Soient ^1»'= -ciU, iJl)'= - \lî) les demi-axes de C ; un a
X'-+-i)l'= ^AZa= GI, X'— U'o'=- Ul.
et, par suite,
X'2— v)l)'2=GI.Gl'.
62A
NOTE III.
On oblienl donc les foyers F, F' de C en portant sur la bissectrice de l'angle IGl' i^fig- lo) les longueurs GF et GF' égales à la moyenne géométrique entre GI et Gl' (Laisam, Congrès de 'Jculouse, 1887).
FIGURES ORTHOGONALEMENT AFFINES (' ).
37. Soient •;:, tc' deux plans qui se coupent suivant la droite t et iont entre eux l'angle 0. On donne, dans le plan «, les points A', B', ... qui se projeltent orthogonalement en A', B', ... sur le plan tt'; pour abré- ger, on peut appeler le système AB. . . une contreprojectinn du sys- tème A'B'. ... Si l'on rabat t. sur -' autour de f, deux points homo- logues se placent sur une même perpendiculaire à f, et leurs distances à t sont dans le rapport constant i : cos6. Les deux systèmes AB. . ., A'B' . . . sont devenus orthogonalement affins ; t est \axe d'ojfimte, et cos 0 est le module d'affiinté (732).
Réciproquement, si d'un premier système de points AB... on déduit un second système A'B'. .. en multipliant par une constante \l (posi- tive ou négative) les ordonnées abaissées des points A, B, ... sur un axe fixe ?, le second système est égal à une projection ou à une contre- projection du premier sur un plan mené par t et faisant avec le plan AB. .. un angle 8 dont le cosinus est égal à la valeur (absolue)
de [A ou de —> suivant que |ji2< i ou > i.
Si l'on transforme une figure plane par affinité orthogonale en prc-
Fig. I M'"
|
._. Q |
M |
|
T '/nu- " |
|
|
^^ |
yrro |
naitt pour ates d'affiiiilc deux droites rectangulaires /, t' et pour mo-
dule't deux romôres réciproques [i, —1 on obtient deux figures sein-
\
blables.
(') ^LLBERG, Sur les projections et contreprojections, etc. {Jicm. de l'Ac. de Bctsjitjue, 1890).
SLU LES TUANSFOIJUATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQCKS. 620
Soiciil /«, in les deux points qui correspondent à un même point M ( fig. Il), de sorte que
m? MF
= f^.
m'Q MQ
On voit facilement que les triangles 0/«P, Om'Q sont semblables; donc les points 0, m, m' sont en ligne droite et Om ; Ow'= (j..
Si les modules étaient [jl et ^ les points m, /«"qui correspondent
à un point M seraient des points homologues de deux figures inverse- ment semblables.
38. Problèmes. — Transformer par affinité orthogonale le triangle donné ABC en un triangle semblable à un triangle donné AiBiCi.
On peut, sans nuire à la généralité, faire passer l'axe d'aifinilé t par le sommet A; soit alors AB'C le triangle cherché. Les droites homo- logues BC, B'C se coupent en un point S de t, et les droites BB', CC sont perpendiculaires à t. Si donc on élève en A une perpendiculaire t' à t, les côtés BC, B'C sont divisés en parties proportionnelles par le point S et par la droite t' aux points S', n. Construisons le triangle EBC semblable à AB'C; les systèmes SBS'CE, SBnC'A étant semblables.
Fis 12.
, c-
l'angle ESB sera égal a ASB', el l'angle SES' égal à SAw ou à un angle droit. La circonférence de diamètre SS' passera donc par A et par E. D'où la soUilion suivante :
Consunisez le triangle EBC semblable à A|BiCi, et élevez au nii- lien 1) de la droite AE une perpendiculaire qui coupera BC en L ; du II, et DE C. — Tr. de Gcom. (Il» Partie). 4o
626 KOTE III.
centre L et avec le rayon LA, décrivez une circonférence, qui cou- pera BC en deux points S, S' : on peut prendre pour axe d'affinité chacune des droites AS, AS'. Construisez encore l'angle AS« = ESS' et l'angle AS'/j = ES'S, et soient B', C les points de rencontre de kn avec les perpendiculaires abaissées de B, C sur SA, et de même B", C ceux de kp avec les perpendiculaires abaissées de B, C sur S'A : les triangles k^' 0/ , AB"C'' résolvent le problème.
Remarques. — I. Les deux axes d'affinité sont rectangulaires. Les droites S«, S'/» sont parallèles; car les angles nSk, pS'k sont égaux aux angles complémentaires ESS', ES' S. Enfin les deux modules ont des valeurs réciproques nk : S'A, pk : SA.
IL Si l'on construit un second triangle eBC semblable à AiBiCi, les axes t, t' sont les bissectrices extérieure et intérieure de l'angle EAe.
III. Les arcs ES', AJ étant égaux, la droite AE est parallèle à S'J et, par suite, perpendiculaire à B'C et B"C", Si les modules étaient néga- tifs, B'C et B'C" seraient perpendiculaires à la droite ke.
IV. D étant à la fois le milieu de AE et D'D" (à cause de SL = LS'), la droite AE est égale à la somme des hauteurs AD', AD" des triangles AB'C, AB'C. La droite ke est égale à la différence de ces hauteurs, car Ae = S'J = D'D".
39. Ces remarques conduisent à un théorème fort élégant :
Pour transformer par affinité orthogonale un triangle donné k^Ç, en un triangle semblable à un triangle donné AiBiGi, on construit, vers l'extérieur de ABC, les triangles EBC, AFC, ABG, et, vers l'intérieur, les triangles eBC, kfC, kBg semblables à AiBjCi : l'axe d'affinité est pa- rallèle à la bissectrice extérieure ou intérieure de chacun des angles EAe, FB/, GCg'. Les côtés' des deux triangles cherchés sont perpendiculaires soit aux droites AE, BE, CG, .wf aux droites ke, B/, C^; les hauteurs de l'un de ces triangles sont égales aux moitiés des sommes AE -t- Ae, BF -H B/, CG -+- Cg, et celles de l'autre aux moitiés des différences AE — Ae, BF — B/, CG — C-.
Nous laissons au lecteur le soin de déduire de là la solution de Lionnet {Nouvelles Annales, p. 528; 1869) :
Soient E', F', G', e\ f, g' les centres des cercles circonscrits aux triangles EBC, .... Les côtés des triangles cherchés sont parallèles soit à ceux du triangle E'F'G', soit à ceux du triangle e' f g' \ ils ont pour longueurs, dans l'un des triangles cherchés, les sommes des côtés ho- mologues des triangles E'F'G', e'f'g', et dans l'autre les différences des mêmes côtés.
40. Soient a, b, c, S, a\ b'. c\ S' les côlds et les aires de deuît
SUR LES TKANSl'OUMATIONS LriSÉAlUES ET QUADRATIQUES. 6i-J
triangles ABC, A'B'C dont le second est une projection orthogonale du premier. On trouve facilement
a'^= n"--i-(BB'—CC'y-, ■ 62 = b'*^{CC'—AX'y-, c2 = c'î-H(AV'— BB')2; d'où l'équation
( I ) {/a- — a- ± s/b'^ — b'^ ± /c- — c - = o.
Or, l'égalité
v/3c ± / )' ± /i = o,
rendue rationnelle, devient
"Lx- — aS.rj = o;
en appliquant ce résultat à la relation (ij, on obtient
(■2) ( S a* — 2 S a2 62 ) _^_ ( s a'; _ 2 V «'2 y-. ) + 2 2 «2 ( 6'2 + c'2 — a'2 ) = o.
h étant la hauteur de ABC issue de A, on a
l6S2= 5lSa2//2_ Srt^^ l6S'2= 2Srt'2 6'2— S«'*.
b'--^c'- — «2= 2^VcosA'= 4S'cotA',
2S a = //(cotB -f- cotC) = — ^(cotB -\- cotC). a
Au moyen de ces formules on ramène l'égalité (2) à
S2-i-S'2— 2SS'S(colBcolC'-i-cotCcotB') = 0;
d'où, en divisant par SS' et désignant par 6 l'angle des plans ABC, A'B'C,
(3) cosOh ^, = 2S(cotBcolC'-4-cotCcotB').
cosO ^ '
41, Supposons le triangle A'B'C équilatéral et appelons V l'angle de Brocard du triangle ABC; la formule (3) devient
cos6 ■+- — ;- = 2 cotV cot6o*. cos 0
On en conclut que lex triangles équilatéraux situés dans un nicme plan se projettent et se contreprojettent sur un second plan suiiv//it des triangles de mcinc angle de Brocard.
Lei conséquences de cette proposition sont nombreuses. Par exemple,
G28
NOIE Ht.
si l'on prend sur les côtés AB, BC, CA d'un triangle équilatcral trois longueurs égales Ay, Bx, C^, le triangle a^y est équilatéral, de même que celui dont les côtés sont dirigés suivant les droites Aa, Bp, Cy; une projection orthogonale de celte figure donne le théorème suivant :
Si les points a, p, y divisent les côtés BC, CA, AB d'an triangle quel- conque dans un même rapport, le triangle a^-( et celai dont les eûtes sont dirigés suivant les droites Aa, B^, Cy ont le même angle de Bro- card que le triangle primitif ABC.
Si l'on fait la projection de la figure formée par les triangles équilaté- raux inscrits à une même circonférence, on trouve cette proposition :
^ une ellipse donnée, on peut inscrire une infinité de triangles ayant pour barycentre le centre de l'ellipse; tous ces triangles sont circonscrits à une même seconde ellipse, ont même surface et même somme des carrés des cotes.
FIGUP.es affines SUPERPOSEES.
42. LeiMME. — Étant donnés deux triangles ABC, A'B'C, il existe toujours trois masses et, P, y qui ont le même barycentre D, quand on les applique soit aux points A, B, C, soit aux points A', B', C.
Si ces masses existent, les droites AD, A'D' (fig. i3) rencontrent
Fi". i3.
respectivement CC, B'C'en des points E, E' tels que
BE _ B^ _ y
EC ~ E'C " ^
ED _ E'D Dl ~ DA'
Les dernières proportions montrent que les lignes EE', A'A sont pnr3l-
SUR LES TUANSFORMATIONS LINÉAIUES ET QUADRATIQUES. 629
lèlcs et dans le rapport ai^S-i-y. Construisons les parallélogrammes A'A EEfl, EBB'Ei, EC C'Ec] les points E', E, E^ sont en ligne droite, et de la similitude des triangles E'B'E^; E'G'Ec (iOO, 2°), on conclul que les points E^, E', Ec sont en ligne droite. On a donc les égalités
E'^ _ « E^E' _ Y
EE^~^^-y' E'Ea~p'
il en résulte que E est le centre de gravité des masses a, p, y oppli- quées aux points Ea, E^, Ec.
Ainsi, si l'on mène par un même point E (qui peut être quelconque) trois droites EE^, EE^,, EEc égales et parallèles aux droites AA', BB', ce, les masses cherchées sont proportionnelles aux aires des triangles EE^Ec, EE^Ea, EE^E^,
Ce résultat, qui comprend le lemme de la Noie III, § 08, admet de nombreuses conséquences. Par exemple, étant données trois ponc- tuelles semblables définies par les termes homologues ABC, A'B'C, les masses a, p, y> appliquées à trois points correspondants quelconques Pflî Pfi) Pc ont pour barycentre le point D. Les côlésdu triangle PaP^Pc enveloppent trois paraboles qui ont deux tangentes communes (réelles ou imaginaires) passant par le point D.
43. Deux systèmes plans sont des systèmes collinéaires dans les- quels les droites de l'infini se correspondent. A tout point à l'infini do l'un des systèmes correspond un point à l'infini dans l'autre; par suite, l'affinité transforme une ponctuelle en une ponctuelle semblable, et un faisceau de parallèles en un faisceau de parallèles.
Considérons deux figures affines situées dans un même plan et dé- finies par deux triangles homologues ABC, A'B'C; nous allons en dé- terminer les éléments doubles. La droite de l'infini est évidemment une droite double. Elle est le support de deux ponctuelles projectives dont les points doubles X, Y sont des points doubles des deux figures affines. Projetons ces deux ponctuelles à partir d'un point 0 situé à dis- tance finie; nous aurons deux faisceaux projectifs dont trois couples do rayons homologues sont parallèles aux droites (BC, B'C), (CA, C'A'), (AB, A'B'). Il est facile de construire les rayons doubles OX, OV des deux faisceaux (1103, HM).
Il existe un troisième point double D, qui a les mêmes coordonnées barycentriques dans les deux triangles ABC, A'B'C; on peut donc lo déduire du lemme (42).
Nous indiquons, sans démonstration, la construction suivante du point D : Si At est le point d'intersection des droites BC, B'C et A,
C3o
NOTE III.
celui d'une parallèle à BC par A avec une parallèle à B'C par A', la droite Al Aj et les droites analogues BiBo, CiCj passent par D.
SYSTEME DE DEUX FIGURES SEMBLABLES SUPERPOSEES.
M. Considérons deux figures directement semblables, situées dans un même plan et définies par deux segments homologues AB, A'B' (f/g. 14). Deux points correspondants quelconques M, M' forment avec ces segments des triangles directement semblables.
Fig. i/j.
Appelons C, D les points d'in'crscclion des droites (AB, A'B'), (AA', BB'). Les angles MAB, M' A'B' étant égaux, les droites homo- logues AM, A' M' se coupent sous un angle constant, égal à l'angle ACA'; par conséquent, elles se coupent sur la circonférence circonscrite au triangle ACA'. Semblablemcnt. les droites homologues BM, B'M' se coupent sur la circonférence BCB'. Les deux circonférences ACA', BCB', qui passent par le point C, se rencontrent, en outre, en un point S à distance finie et aux deux points cycliques w, co'. Les points S, 10, 10' sont les points doubles des deux systèmes semblables.
On appelle S le centre de similitude ou le pôle double (368). Comme la similitude des triangles SAB, SA'B' entraîne celle des triangles SAA', SBB', S est aussi le centre de similitude de deux figures directement semblables définies par les segments homologues AA', BB'; on en con- clut que les circonférences circonscrites aux triangles ABD, A'B'D' passent également par S {voir exercice 93).
La génération la plus simple de deux systèmes directement semblables esl la suivante : Les rayons vecteurs SM, SM', qui aboutissent à deux
SUR LES IRA.NSIOKIUTIO-NS LI>ÊA1UES ET QUADRATIQUES. 63 1
points homologues, font entre eux un angle constant et ont un rapport constant.
45. Soient M, Mi deux points correspondants des deux figures in- versement semblables construites sur les segments homologues AB, A'B'(/o. i4).
Les triangles MAB, MjA'B' étant symétriquement semblables, les droites homologues AM, A'Mi tournent autour de A, A' avec des vitesses égales et de sens contraires; leur point d'intersection décrit donc une hyperbole passant par les points A, A', C et ayant des asymptotes paral- lèles aux bissectrices CT, CT' de l'angle ACA'. De même les droites homologues B.M, B'Mi se coupent sur une hyperbole passant par B, B', C et ayant des asymptotes parallèles à CT, CT'. Ces deux hyperboles ont, outre le point C, trois autres points communs, à savoir les points à l'infini sur CT, CT' et un point Si à distance finie; ces points sont les points doubles des deux figures semblables. Sj est appelé centre de similitude ou pôle double; les parallèles Si V, SiV à CT, CT' sont les droites doubles ou les axes. Les points cycliques w, w' s'échangent mutuellement dans la transformation.
La génération la plus simple de deux systèmes inversement sem- blables est la suivante : Les rayons vecteurs Si M, SiMi ont des direc- tions symétriques par rapport à Si V et leur rapport est constant.
46. Voici une autre méthode pour déterminer les points S, Si. On doit avoir
|
SA SB |
AB |
S, A S,B AB |
|
SA' ~ SB' ~ |
' A'U'' |
S, A' - S,B' ~ A'B' |
Par suite, si l'on divise AA' aux points A, A', et BB' aux points V, V, additivement et soustraclivement dans le rapport AB : A'B', les circon- férences décrites sur UU' ou VV comme diamètre (187) se coupent aux points S, Si. Mais les droites UV, U'V sont parallèles à CT, CT'; car si l'on construit les parallélogrammes U.4BN, UA'B'N' (non marques sur la figure), les triangles YBN, VB'N' seront semblables (200, 2°), d'où l'on conclut que les points N, V, N' sont en ligne droite et que
NV _ BV _ AB _ UN VN" ~ VB' ~~ A'B' ~ UN''
de sorte que UV est la bissectrice de l'angle NUN', etc. Les droites UV, U'V sont donc rectangulaires, et leur point d'intersection coïncide avec Si.
632 NOTE III.
SYSTÈME DE TROIS FIGURES DIRECTEMENT SEMBLABLES ( • ).
47. Soient <pa, çi, cçc trois figures directement semblables, situées dans un même plan. Menons par un même point E trois droites EE^, EEû, EEc équipollentes à trois segments homologues, et traçons par Ea, Eô, Ec des perpendiculaires à ces droites; ces perpendiculaires forment un triangle Fa FôFc- Les triangles E^EôEc, FaE^Fc, qui ont des formes invariables, sont appelés respectivement premier et second triangle modulaire de Oa, <f6, «pc Nous désignerons par o, b, c les longueurs EEa, EE^, EEc ou mieux les coordonnées normales de E dans le triangle FaFiiFc; par a, P,y les coordonnées barycentriques de E dans le triangle EaE^Ec.
Si l'on applique le lemme (Note III, 42) à deux triples de points ho- mologues ABC, A'B'C, on trouve le théorème suivant : Le barjcentre de trois points homologues quelconques de Oa, (fb, ^c, chargés des niasses a. , p, Y, est un point fixe D. Ce point a reçu le nom de point directeur.
48. Nous désignons par S^ le point double des figures «f^, cpcj et par Sa le point correspondant de ç». Les lettres Sô, S^, Se, Se ayant des significations analogues, le triangle S^S^Sc et le cercle circonscrit sont appelés respectivement triangle de similitude et cercle de simili- tude ; S^, S'^, S^ sont les points adjoints {//g- i5).
Les droites Sa, S^, S^j S'^, Se, Se concourent au point directeur D ei sont divisées en ce point dans le rapport p M- y I «• Car D est le bary- centre des masses «, P, y appliquées soit en Sa, Sa, Sa, soit en S^, S'/„ Su, soit en Se, Se, Se, qui sont des triples de points homologues.
Les triangles S^ S,^ Se, Sa S'/, Se, Sa S^ Se sont directement semblables au premier triangle modulaire EaE^Ee- En effet, ils sont semblables parce que les points Sa, S^,, Se de (f>a ont pour homologues les points Sa, S/,, Se de çi et les points Sa, Sô, Se de Çc- Ensuite, ScSa et ScSa étant des segments correspondants de ^a et <p6, le triangle ScSa Sa est semblable à EEaE^, et l'angle SeSaS^ est égal à EEaE^; de même l'angle S6S^Sa= EEaEe, d'où l'on conclut l'égalité des angles S^S^ Se, E^EaEc. On démontrerait que les angles ScS'^Sa, SaSéS^ sont égaux à EcE/iEa, E^EcEa-
(') Gbolard, Sur les figures planes semblables {L'Institut, 1870). — G Tarry etNELBERG, Propriétés générales de trois fgures semblables {Matliesis, i8'^2). — IS'tiBERG, Sur les projections et contreprojections, etc. {Mémoires de l' Académie de Helg;que, 1889).
SLR LES TRANSFOHMATIONS LI.Nf:AIRES ET QUADRATIQUES. 633
Les triangles SaSôSc, S^S^Sc, SaS^Sé sont appelés les triangles annexes. On démontre facilement que les circonférences circonscrites passent par D (Note III, lo).
Fig. i5.
49. Le triangle formé par trois droites homologues quelconques est perspectif avec le triangle de similitude ; le lieu du centre de perspec- tive est la circonjérence de similitude.
. Désignons par «a, "i, "c trois droites homologues de <pa, o^, ^c\ elles forment un triangle NaN^Nc (non marqué sur la figure), qui est directement semblable au second triangle modulaire Va^b^c- Si l'on représente par (X, z) la distance du point X à la droite x, on a
(Sa, /?6) (Sa, Ile)
(S/„nc) (Sa, "a)
(Sç. /^g)
(Se, n/,)
De ces égalités on conclut que les droites NaS^, NôS^, Ne S^ con- courent en un point N dont les dislances à //a, "b, "c sont proporlion- nclles à a,b,c. Les quadranglcs ^NaN^Nc, FFaF^F'c sont donc sem- blables; par suite les faisceaux N(SaS^Sc), E(FaF6Fc) sont égaux. Il résulte de là que le point N a pour lieu une circonférence passant par Sa, Sô, Se.
50. Il existe une infinité de triples de droites homologues cn/icou- rantes ; le lieu du point de concours est la circonférence de similitude,
634 ^^^^ "'•
et ces droites pivotent autour de trois points fixes de cette circonfé- rence.
En effet, tous les triples de droites homologues parallèles à «a, "a, «c forment des triangles liomothétiqucs ayant pour point double commun le point N. Les parallèles NI^, NI^, Nie à na, «i, «^ sont l'un de ces triples et sont les seules droites homologues concourantes parallèles à na,rib,nc. L'angle SaNI^, = NN^Nc ^^EE^Ec; comme il est constant, le point Ia est fixe sur la circonférence Sa S^Sc. De même, les points la, le sont indépendants de la direction de «a-
Les points la, I*, le sont appelés les points invariables. Ce sont des points liomologues de (fa, <?/., Çc, puisqu'ils appartiennent à une infinité de triples de droites homologues. Le-triangle lalôlc est symétriquement semblable au triangle modulaire, car le faisceau de trois parallèles aux côtés de ce triangle est symétriquement égal aux faisceaux N(Ial6lc)> E(EaEz,Ec)-
51. Le triangle ayant pour sommets trois points homologues quel- conques Pa, Pô, Pc est perspectif avec le triangle invariable ; le centre de perspective appartient à la cii conférence de similitude. En effet, les droites homologues JaPa, IôPa, IcPc forment nécessairement un fais- ceau égal au faisceau N(Ial6lc)-
En appliquant cette proposition aux triples de points homologues SâSaSa, S^S/^Sô, ScScS^, on voit que laltic sont situés sur les droites
^«■^a, ^b^bi ^c^c
52. Il existe une infinité de triples de points homologues Qa, Qb, Qe titués en ligne droite; ces points se meuvent sur les circonférences cir- conscrites aux annexes, et la droite QaQb tourne autour de D.
D'abord, puisque D est le baryccnlre des masses a, p, y, appliquées en Qa, Qb, Qc, la droite QaQb passe par D. Ensuite, les triangles ScQaQb, SbQaQc étant semblables aux triangles EEaEc, EEaEc, on voit que Qa se meut sur une circonférence passant par les points Se, Sa, D, etc.
Réciproquement, toute droite menée par D rencontre les circonfé- rences annexes des trois points homologues de spa, 'fb, Oc-
53. Les parallèles menées par trois points homologues quelconques Pa, Pa, Pc ««^ droites SaSâ, S^S'ô, S^S^ concourent en un même point P.
En effet, appelons cp la transformée par affinité de ©a lorsqu'on prend pour axe d'affinité la droite S^Sc et les points Sa, Sa comme points homologues. Si P est le transformé de Pa, la droite PaP est pa- rallèle à Sa Sa, et les droites SâPa, SaP se coupent sur S^Sc. Mais il est facile de voir que o se transforme en Ob quand SaSc est l'axe d'affi-
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 635
nilé, et Sa, S'/, un couple de points homologues; alors P se transforme en P^,, et PP* est parallèle à SbS'/„ etc.
54. On arrive à des propositions très curieuses lorsqu'on choisit d'une manière particulière les éléments qui déterminent trois figures semblables.
Par exemple, cpa, f*, '-pc peuvent être les figures semblables cons- truites sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle comme lignes homo- logues. Un premier triple de droites homologues concourantes est formé par les médiatrices A'O, B'O, C'O des côtés du triangle; un second triple, par les parallèles à BC, CA, AB, menées par le point de Lemoine. Les droites homologues de ces deux triples se coupent aux sommets du premier triangle de Brocard. Ces sonmiets sont donc les points invariables, et le cercle de similitude se confond avec le cercle de Brocard. Les points S^, S^, Se sont les sommets du second triangle de Brocard; le point directeur est le centre de gravité de ABC, etc.
On peut encore choisir pour les points Sa, S^, Se les pieds Ha, H^, Hc des hauteurs d'un triangle ABC; pour les points adjoints Sa, S^, Se, les points A, B, C, etc.
De même on peut prendre pour Sa, Sô, Se les sommets du triangle ABC, et pour Sa, S'i, Sé les symétriques de ces sommets par rapport aux côtés opposés. Dans ce cas, les figures Çaj ?*> <fc sont égales entre elles.
EXERCICES
1. On projette le foyer F d'une conique sur les tangentes au moyen de droites faisant avec les tangentes un angle donné a, toujours dans le môme sens. Le lieu des projections est une circonférence qui a un double contact (réel ou imaginaire) avec la conique donnée. La mémo circonférence est aussi le lieu des projections du second foyer F' sur les tangentes au moyen de droites faisant avec les tangentes l'angle a dans l'autre sens.
Énoncer la réciproque de ce théorème (986) et la proposition ana- logue sur la parabole.
2. Deux points inverses par rapport à un triangle sont les foyers d'une conique inscrite. Les points tic contact des côtés sont situés sur les droites joignant l'un des points donnés aux symétriques do l'autre par rapport aux côtés correspondants.
636 NOTE m.
3. Les points de Brocard d'un triangle sont les foyers d'une ellipse qui touche les côtés aux pieds des symédianes {ellipse de Brocard).
A. Le barycentre G et le point de Lemoine K d'un triangle ABC sont les foyers d'une ellipse qui touche les côtés BC, CA, AB aux pieds des symédianes des triangles BCG, CAG, ABG.
5. Le premier centre isogone Z et le premier centre isodynamique d un triangle ABC sont les foyers d'une conique qui touche les côtes BC, CA, AB aux pieds des droites AZ, BZ, CZ.
6. L'or'hocentre H d'un triangle ABC et le centre 0 du cercle cir- conscrit sont les foyers d'une conique inscrite.
Béciproquement, à une conique on peut circonscrire une infinité de triangles qui sont en même temps inscrits au cercle directeur de centreF. Tous ces triangles ont pour orthocentre le second foyer F'.
7. La conique qui touche les côtés d'un triangle aux pieds des hau- teurs a pour centre le point de Lemoine.
8. Si les points variables a, p, y partagent les côtés BC, CA, AB d'un triangle dans un même rapport, les droites py, y*) o^? enveloppent trois paraboles. Ces courbes sont tangentes à deux côtés du triangle aux extrémités du troisième, et elles ont pour foyers les sommets du second triangle de Brocard; les directrices sont les perpendiculaires abaissées des milieux des segments AH, BH, CH des hauteurs sur les médianes AA', BB', CC (Arztz, Progr. de Rechlinghausen, i8S4).
9. On porte sur les côtés BC. CA, AB d'un triangle ABC une même longueur variable Ba = Cp = Ay- Les droites a^, Py, ya roulent sur trois paraboles qui touchent respectivement BC en B, CA en C, AB en A et ont pour axes les bissectrices des angles C, A, B. Ces courbes ont deux tangentes communes (réelles ou imaginaires), passant par le point qui a pour coordonnées barycentriques c, <?, b. Le centre de gra- vité du triangle «Py parcourt une droite parallèle à l'axe antiorthique de ABC (M. d'Ocagne, Mathesis, 1887).
10. On porte sur les côtés BA, CA d'un triangle ABC une même lon- gueur variable By = Cp = X vers le point A, et aussi By'= C3' = X dans les sens opposés. Les droites py» P'y' roulent sur une parabole inscrite au triangle ABC et ayant pour axe la bissectrice extérieure de l'angle BAC; les droites Py'î P'Y enveloppent une seconde parabole qui a pour axe la bissectrice intérieure de l'angle BAC (Mandart, Mathesis, p 3o; 1890).
SLR LES TRANSFOUMATIO.NS LINÉAIRES ET QLAOKATIQUES. 687
11. On projette un point quelconque du côté BC d'un triangle sur les deux autres côtés AB, AC. La droite qui joint ces projections enveloppe une parabole qui est tangente aux côtés AB, AC et aux hauteurs BB', CC. Le foj'er est le pied de la hauteur AA', et la directrice est la droite B'C (Neuberg, Mathesis. p. 60; iSgS; Duoz-FAnxy, Ibid., p. 226).
12. Sur les côtés d'un triangle ABC comme bases on construit des triangles isoscèles variables PaBC, P^CA, PcAB. Désignons par Ba, Ca, C^, Afi, Ac, Bc les points de rencontre des couples de droites (BPa, CA), (CPa, AB), (CPô, AB), (APô, BC), (AP^, BC), (BP^, AC). Les trois droites BaCa, CôA^,, AcBc enveloppent trois hyperboles, qui touclicni, deux côtés du triangle ABC et sont asymptotiqucs au troisième ; les centres sont situés sur l'axe orthique, et les polaires des points A, B, C respectivement par rapport aux trois courbes sont les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés opposés. La droite de Lemoine est une quatrième tangente commune aux trois hyperboles (Neuberg, Mathesis, p. 11; 1900).
13. Si les triangles isoscèles PaBC, P^CA, PcAB de l'exercice 12 sont semblables, les points de concours Ra, R^;,, Rc des couples de droites (BP^, CPô), (CPa, APc), (AP^, BPa) décrivent trois hyperboles circonscrites au triangle ABC et ayant respectivement pour asymptotes les parallèles menées par le milieu d'un côté de ABC aux bissectrices de l'angle opposé. Les droites ARa, BR^, CRc concourent sur la droite OK.
14. Deux triangles orthogonaleraent affins sont orthologiques.
15 ('). AiBiCi étant le triangle qui a pour côtés les tangentes menées aux sommets d'un triangle ABC au cercle circonscrit, on construit un triangle quelconque a^y homolhétique à Ai Bj Ci par rapport au centre 0 du cercle ABC. Les droites Aa, B3, Cy concourent en un point, qui décrit l'hyperbole équilatère circonscrite à ABC et passant par 0 et par le point de Lemoine de ABC; cette courbe est l'inverse triangu- laire de la droite d'Euler OH. L'axe d'homologie des triangles ABC, a^y enveloppe une parabole qui touche BC, CA, AB et la droite de Lemoine.
La même hyperbole est le lieu du centre d'orlhologie du triangle ABC et d'un triansïle variable PaP^Pc» ayant pour sommets les sommets de trois triangles isoscèles équivalents PaBC, P^CA, PcAB.
(') Tour les exercices 15 et 13, voir Jehadkk et NiauERC, Malhesis, p. 81; 1888. — FciiRMANN, Ibid., p. ii5. — Brocard, Mémoires de l'Acad. de Mont- l)<-llier, 1886. — Neuberg, iJ/af/icsii, p. 166; 1890. — M°" Prime, /ô/</., p. 33; 1893,
638 Koiii m.
16 (1). Soient D, E, F les points de contact des côtés du triangle ABC avec le cercle inscrit. On porte sur les rayons ID, JE, IF une même longueur variable la = 1^ =IY) ^^s droites Aa, B^, Cy concourent en un même point, qui décrit une hyperbole équilatère passant par A, B, C, I.
Cette courbe, qui est l'inverse triangulaire de la droite 01, est aussi le lieu du centre d'orthologie du triangle ABC et d'un triangle variable PaP^Pc, ayant pour sommets les sommets de trois triangles isoscèles de même hauteur P^BC, P^CA, PcAB.
17. Deux transversales réciproques par rapport à un triangle ABC sont les asymptotes d'une hyperbole circonscrite à ce triangle.
Si l'une de ces droites tourne autour d'un point fixe P, l'autre enve- loppe une conique qui touche les côtés du triangle ABC aux isotomiques des points où ces côtés sont rencontrés par les droites AP, BP, CP. Des droites parallèles ont pour réciproques les tangentes à une même parabole.
La transformation par transversales réciproques est une transforma- tion quadratique réglée involutive, ayant pour points principaux les sommets du triangle fondamental, pour lignes principales les côtés op- posés : chacun de ces côtés est la transversale réciproque d'une droite quelconque menée par le sommet opposé.
18. Soient P un point quelconque du plan d'un triangle ABC, p sa polaire trilinéaire. Lorsque P parcourt une droite u qui rencontre BC, CA, AB en D, E, F, p enveloppe une conique qui touche les côtés BC, CA, AB aux conjugués harrconiques des points D, E, F par rapport aux extrémités de ces côtés. Lorsque p tourne autour d'un point fixe U, le point P décrit une conique passant par les points A, B, C; les tangentes en ces points sont les conjuguées harmoniques des droites AU, BU, CU par rapport aux angles BAC, CBA. ACB.
Examiner le cas particulier où la droite u est à l'infini, et celui où le point U est à l'infini.
La transformation par pôle et polaire trilinéaires est une transforma- tion quadratique corrélative, dans laquelle tout point d'un côte du triangle de référence a pour droite correspondante ce côté lui-môme, et toute droite menée par un sommet de ce triangle a pour point cor- respondant ce sommet lui-môme.
(') Pour Ie3 exercices 16 et 24, voir Mandart et Neuberg, Mathesis, p. 8i; iSgS. — Lemoime, Congrès de Paris, p. 2o3 ; 1889. — Boutin, Joiirn. de HJal/i. spéc, p. io4 el 124; 1890. — FiiHBMANN, Mathesis, p. io5; 1S90.
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. GSg
19. A tout point M d'un plan on fait correspondro un autre point M, par la condition que la distance ]\liM' soit vue de deux points donnés A, B sous des angles donnés a, p. Démontrer que la transformation (M, M') est quadratique et se ramène à une inversion triangulaire si l'on rem- place M' par son symétrique par rapport à la droite AB.
20. A un point M du plan d'un triangle ABC on fait correspondro le contre de gravité M' de son triangle podaire par rapport à ABC. Dé- montrer que les points M, M' se correspondent dans deux figures affines. — Si M" est le barycentre du triangle des symétriques de M par rap- port à BC, C.\, AB {triangle réflexe de M), les points M, M" se corres- pondent dans deux figures symétriquement semblables. Le point M et le centre du cercle circonscrit au triangle réflexe sont inverses par rapport au triangle ABC.
21. L'hyperbole de Riepert est le lieu du pôle trilinéaire, par rapport au triangle ABC, d'une droite qui se déplace en restant perpendiculaire à la droite OH; c'est aussi la transformée par points réciproques de la droite GK. Les polaires trilinéaires des points de la droite GK enve- loppent une parabole inscrite à ABC, ayant pour directrice HG et tou- chant les axes de Steiner.
22. On projette les points d'un plan ti' sur un second plan ir au moyen de droites s'appuyant sur deux droites données. La correspon- dance ainsi établie entre les champs ponctuels tt, tt' porte le nom de projection gauche; démontrer que c'est une transformation quadra- tique.
23. Soient A',B', C les milieux des côtés du triangle ABC; H», II/,, \\c les pieds des hauteurs; //«, ht,, hc les intersections des côtés homo- logues des triangles ABC, IlalUHc; les lettres 0, II, G. K, I, !„, I/,, \c ont la signification habituelle.
Une droite qui se meut en partageant les droites BC, 11^, Hc en par- ties proportionnelles, enveloppe une parabole Ça (parabole de Bro- card), qui touche les hauteurs BH^,, CHc et les bissectrices AI, AI/,. La polaire do ha est l'isogonale de kha\ celle de H est AO.
Il existe deux autres paraboles analogues <f/,, cpc- Ces trois paraboles sont aussi les enveloppes des côtés d'un triangle l^aP^Pc dont les som- mets partagent les hauteurs Alla, BH/,, CHc dans un même rapport. K est toujours le centre de gravité des points Pa, P/,, Pc pour les masses rt^, b-, c^. Les directrices sont les symédiancs AK, BK, CK. Les trois courbes ont deux tangentes communes rectangulaires, issues de K et parallèles aux droites de Simson des extrémités du diamètre OH do
64o NOTE iir.
la circonférence ABC. Les foyers Fa, F^, Fc sont les points de ren- contre des médianes AG, BG, CG avec le cercle de diamètre AG {cercle orthocentroïdal); ¥a est aussi situé sur le cercle d'Apollonius passant par A et sur les deux cercles adjoints qui touchent BC.
L'axe d'homologie des triangles ABC, PaP^Pc- enveloppe une parabole inscrite au triangle ABC et touchant la droite hahbhc\ la directrice est HK.
Les côtés du triangle PaP^Pc de l'exercice 15 enveloppent les anti- complèmentaires des paraboles (fa, ^b-, «?c-
24. Les côtés du triangle PaP^Pc de l'exercice 16 enveloppent trois paraboles [j.a, V-b, ^c inscrites respectivement aux triangles OB' G', OG'A', OA'B' (comparer exercice 10). Les foyers de ces courbes sont les intersections des bissectrices AI, BI, CI avec la circonférence de diamètre 01; les directrices sont les bissectrices intérieures AT, BT, CI' du triangle A'B'C, l' est le centre de gravité des points Pa, Pô, Pc pour les masses «, 6, c. Par ce point passent deux tangentes rectangu- laires, t et /', communes aux paraboles jjta, fi^, ]^c'-, elles sont parallèles aux droites de Simson des extrémités VV, VV du diamètre 01 du cercle ABC, et interceptent sur les médiatrices O'A', O'B', O'C, à partir des points A', B', C, des segments égaux à {IVV ou à lIVV.
L'axe d'homologie des triangles A'B'C, PaP^Pc enveloppe une para- bole qui touche les droites ?, t' et les côtés du triangle A'B'C; la directrice est 01'.
25. Une transversale m, qui pivote autour d'un point fixe M, ren- contre les côtés du triangle ABC aux points Ai, Bi, Ci; les droites AAi, BBi, CCi forment un nouveau triangle A2B2C2. Démontrer que les points A2, B2, G2 engendrent trois coniques circonscrites au triangle ABC. Comment faut-il choisir le point M pour obtenir la circonférence ABC, l'ellipse de Stein^r ou l'hyperbole de Kiepert? Étudier le cas ou le point M est à l'infini.
26 (1). La transformation dans laquelle on considère comme homo- logues deux points M, M' dont les coordonnées normales du premier sont proportionnelles aux coordonnées barycentriques du second par rapport au même triangle de référence ABC, est une transformation linéaire {transformation instantanée)^ qui a pour points doubles les points A, B, C. Trouver les lignes de fuite et la transformée de la cir- conférence circonscrite ou inscrite.
(') Pour les exercices 26 et 27, voir G. de Longchamps, Congrès de Nancy, p. 69; 1886. — Nel'berc, Congrès néerlandais d'Amsterdam, p. 225; iSgS.
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES 64l
27. Soit S un point quelconque du plan d'un triangle ABC; menons les droites AS. BS, CS qui rencontrent les côtés en Ai,Bi, Ci et appe- lons s l'axe dhomologie des triangles ABC, AjBiCi. Les systèmes homologiques dans lesquels ces triangles se correspondent ont pour module — 2; ils se projettent suivant deux systèmes semblables, si l'on prend pour centre de projection un point quelconque E extérieur au plan ABC et pour plan de projection un plan parallèle au plan ES.
Si I est le centre du cercle inscrit, on obtient la transformation par pointx supplémentaires . La circonférence ABC se transforme alors en une ellipse {ellipse de Longcliamps) de centre I, passant par les pieds des bissectrices et touchant le cercle inscrit aux extrémités du petit axe, qui est perpendiculaire à l'axe antiorthique; le grand axe est égal à /i U r.
Si l'on prend pour S le point de Lemoine, la circonférence ABC se transforme en l'ellipse de Brocard. Cette circonférence se transforme en une conique de foyer 0 et ayant pour directrice une ligne de fuite, lorsque 0 est pris pour centre d'homologie. Elle se transforme en la circonférence des neuf points lorsque S est l'orthocentrc de ABC.
28. Les sommets d'un triangle ABC et deux points jumeaux J, J' sont cinq points d'une hyperbole équilatère, qui a pour centre le milieu de ja distance JJ'.
29. Si l'on transforme un triangle ABC par polaires réciproques, en prenant pour centre du cercle directeur le point de Lemoine K, la cir- conférence circonscrite se change en l'ellipse qui touche en leurs mi- lieux les côtés du triangle A'B'C transformé de ABC; K estunfoyer de celte ellipse et est appelé un fojer de Steiner du triangle A'B'C (Hada- MABD, Journ. de Math, spéc, p. 4i; i885). K est le point de Lemoine 'Je son triangle podaire par rapport au triangle A'B'C.
R. et DE C. — 7>. de Géom. (Il* Partie). (|I
NOTE IV. <>4^
NOTE IV (»). ■ SUR LA GÉOMÉTRIE RÉGENTE DU TÉTRAÈDRE.
DEFINITION DES COORDONNEES.
1. Soit AiAoAsAv le tétraèdre fondamental.
Désignons par .vi, ^2, -^3, *4 les aires des faces; par «i, a^, a^ les arêtes A2A3, A3A1, A1A2; par «4, «s, «6 les arêtes A^At, A4A2, A; A3; par ajt le dièdre compris entre les deux faces qui ont l'arête commune ait.
Les coordonnées normales d'un point M sont des équimultiples quel- conques de ses coordonnées tétraédriqnes ^i, ^0, x-^ x^ (9^^); celles-ci portent aussi le nom de coordonnées normales absolues.
Les coordonnées barjcentriques de M sont des nombres ^i, ^O) \z-, \'* proportionnels aux volumes des tétraèdres MA2A3At, MA3A4A1, MA4A1 A2, MA1A2A3, ces volumes étant affectés des mêmes signes que les coordonnées normales correspondantes. Appelons M>t le point de rencontre du plan s^ avec la droite Ayt-^I, et m^ le point d'intersection de l'arête ak avec le plan mené par M et par l'arête opposée à «yt. On démontre facilement les relations
Aimi ^3 M/72, ÇlH-^4 MM4 \;
MW4 Ç2-^Ç3 A4.M4 ^1 -+- Ç2
Ç3
Il résulte de là que M est le centre des distances proportionnelles des fK>iDts Al, A2, A3, A4 pour les coefficients ^1, ^2. \z-, \\ il"^^)-
Les coordonnées d'un plan \ sont des nombres Xi, X2, X3, X4 propor- tionnels aux distances des sommets de tétraèdre A1A2A3A4 à ce plan, ces distances étant précédées du signe -f- ou — d'après une règle coiiDue(709). Soient /i, ^2, . . . les points où X coupe les arêtes rt5,aî, . ..; on a
A, /3 _ X, A4 4 _ X4
A2 ^3 X 2 A 1 /4 X 1
(') Dans cette Note, qui est le complément naturel de la Note III de la pre- mière Partie, les renvois se rapportent au texte du Traité et à celui de la Nota elle-même; pour éviter toute ambifjuïté, nous ferons précéder ceux qui visent les Numéros de cette dernière de la lettre N.
644 ''OTE IV.
POINTS ET PLANS HARMONIQUEMENT ASSOCIES.
THÉORÈME.
2. Si deux tétraèdres Ai A2 A3 A4, Ai Aj A3 A4 sont tels que les droites joignant les sommets homologues concourent en un même point S, les droites r/j, d^, ds, di, suivant lesquelles se coupent les faces homologues sont situées dans un même plan ff.
En effet, deux arêles homologues étant situées dans un même plan ont un point d'intersection. Soient Bj, B?., . . ., 8$ les points où les arêtes du premier tétraèdre sont rencontrées par les arêtes homologues du second. La droite c?^ contient les points Bj, B2, B3; la droite di passe par les points Bi, B5, Bg. Ces lignes ont un point commun Bi; donc elles sont situées dans un même plan a avec les droites f^, d^^ qui joignent les points B2 et Be, B3 et B5.
La démonstration de la réciproque ne présente pas de difficultés.
Les deux tétraèdres Ai A2 A3 A4, B1B2B3B4 sont dits homologiques , S est le centre d'homologie, a est \e plan d'homologie (938).
3. Étant donnés un tétraèdre Ai Aj A3 A4 et un point M, appelons [x;t le plan mené par M et l'arête a^. et v/,-, le plan conjugué harmonique de \ik par rapport au dièdre a^ du tétraèdre; ces plans coupent l'arête opposée en deux points que nous désignons par les lettres m, n affec- tées de l'indice propre à cette arête. La droite A;tM rencontre le plan Sk en un point M^.
Les trois plans [JL4, [xg, [jLe se coupent suivant la droite A4M, et les plans V,, V2, V3 rencontrent cette droite au conjugué harmonique N4 de M par rapport à AiMi. Si ^1, ^2, Ç3, ^4 sont les coordonnées normales ou barycenlriques de M, celles de N4 sont ^1, \^, ^3, — $4.
Les plans \>.i, \ii, se rencontrent suivant la droite B4B1, qui passe par M. Les plans ^4, s^, (^2, vo formant un faisceau harmonique, déter- minent sur m^mk une division harmonique m^m^^lW^. Les plans V3, vs, ve passent également par N'j. Les coordonnées de ce point sont — ^1, ?2, bî — %k-
Nous désignons par Ni, N2, N3, N4 les conjugués harmoniques de M par rapport aux segments AiMi, A2l\l2) A3M3, A4M4; par Ni, N2, N'3 les conjugués harmoniques de M par rapport aux segments mim,,, m-im^, m^m^. Le Tableau suivant indique les coordonnées de ces points, les plans menés par ces points et les arêtes du tétraèdre, et les droites qui passent par ces points en s'appuyant sur deux arêles opposées du
GÉOMÉTKIE DU TÉTRAÈDRE. 645
tétraèdre : M [jLi, fXo, fJi3, i^^i! 1^5, l'J^o; Dii/H:,, m^in^jmini^: çi, ^o, çsi b-
Ni... Vi, [X2, aj, [^4, V3, Vg; mi//;, /«5«2, W6«3; — ;i, ;2; ?3, Ci-
No... jjLi, vo, iJtj, Vi, [JL5, v^; mi//i, '«i^ô, ^à"3; ^i5 — b» ^3) Ci'
N3... ;x,, [.lo, "•'3, V4, V3, ae; rn:,/ii, W5//2, //«a/is; ;i, ;2, — Çs, V*-
Nt... [X,, [^2, H3, V;, V5, Ve; »il«4, »«2«5, '«3«6; Çlî Ç2, b) — ^4-
N'i... l-li,V2, V3, |J.i,V5, Vg; /72i/Wi, «2 «5, «3 «s; — Çl, îî, b;— ^4-
Ng. . . vj, (I2, V3, Vi, [Jt.s, vs; «1 /^, W2W5, "'s'Ws; ^1) — ?2> b) — ?*•
N'3. .. vi, V2, [JI3, vj, V5, îi-e; «1 «4, n^ nz, m^m^\ fj, Ç2, — Çs» — $4-
4. Les droites Ai/tzi, A2W0, A3W3 concourent en M4; par conséquent, les points «1, «2, «3, conjugués harmoniques de nij, m^, m^ par rap- port à A2A3, A3AJ, A1A2, sont situés sur la polaire de ^U par rapport au triangle A1A2A3. Pareillement, les triples de points («1, «3, «e), («2, A?4, «g), (/?!, «4, «s) sont situés sur les polaires des points Mi, M2, M3 par rapport aux triangles A2A3A4, A3A4A1, A4A1A2. Ces quatre polaires ayant deux à deux un point commun sont situées dans un môme plan X, qu'on appelle plan polaire de M par rapport au tétraèdre Ai Ao A3 A4. Les six points «1, «2, ''3, ni,, «sj «e sont les som- mets d'un quadrilatère complet, dont les diagonales se coupent aux points N'i, N2, N3. Les coordonnées du plan X sont inversement pro- portionnelles aux coordonnées barycentriques du point M.
Les deux tétraèdres A1A2A3A4, N'iNgNjM présentent celte parti- cularité que deux arêtes opposées quelconques de l'un, par exemple, Aj A2 et A3 A4, sont partagées harmoniquement par les deux arêtes cor- respondantes N'iN'o, N'j M de l'autre tétraèdre. On en déduit que cha- cun de ces tétraèdres est autopnlaire par rapport à l'autre, c'est- à-dire que chaque sommet de l'un des tétraèdres est le pôle de la face opposée par rapport à l'autre tétraèdre. Ces tétraèdres sont honio- logiquesi Ni est leur centre d'homologie, N2N3N4 est leur plan d'homo- logie.
Le tétraèdre N1N2N3N4 est également autopolaire par rapport à A1A2A3A4; ces deux polyèdres ont M pour centre d'homologie, et leur plan d'homologie est N', N2N3.
Pour d'autres propriétés intéressantes de la figure, nous renvoyons à un article de M. Stephanos Cyparinos {Bulletin des Science x mathéma- tiques et astronomiques, 1879, p. 434)-
Les tétraèdres A1A2A3A4, M1M2M3M4 ont également pour centre d'homologie le point M, et pour plan d'homologie le plan N'iN^Nj.
6A6
NOTE IV.
SECTIONS ANTIPARALLELES D UN TETRAEDRE. RAYON DE LA SPHÈRE CIRCONSCRITE.
5. Désignons par 0 et R le centre et le rayon de la sphère circon- scrite au tétraèdre Ai A2 A3 A4, et par B1B2B3B4 le tétraèdre formé par les plans tangents menés en Ai, A,, A3, A4 à la sphère 0 {fîg. i ).
Si un plan parallèle au plan B1B2B3 coupe les arêtes A4 Ai, A4 A2, A4 A3 aux points Pi, P2, P3, nous dirons que le triangle P1P2P3 est une sec- tion antiparallèle du tétraèdre. Les côtés de ce triangle sont parallèles aux tangentes menées en A4aux circonférences A4A2A3,A4A3Ai,A4AiAi;
Fig. I.
par conséquent, les six points Aj, A2, A3, Pi, P2, P3 sont situés sur une même sphère, et l'on a
(l) A4P,.r/4= A4P2.^i; = A4P3.«6=/>,
p étant la puissance de cette sphère par rapport à A4. On démontre faci-
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAfeDRK. 647
lement les relations
P^Pa _ IVPi ^'fVP2 ^ p axd-^ a<ia-^ a^a^ a-^a^a^,
Donc les côtés d'une section antlprirallèle menée dans l'un quelconque des quatre trièdres d'un tétraèdre sont proportionnels aux produits des arêtes opposées du tétraèdre.
Remarquons aussi que la forme des sections antiparallèles d'un tétraèdre ne clian'ge pas quand on applique aux sommets du tétraèdre une transformation par rayons vecteurs réciproques.
Les circonférences circonscrites aux triangles A1A2A3, P1P2P3 appar- tiennent ù un même cône C4., ayant son sommet en A4 (878); les plans tangents menés par les arêtes A4 Ai, A4A2, A4 A3 de ce cône forment un trièdre circonscrit tel, que les plans menés par les arêtes de ce trièdre, et respectivement par A4A1, A4A2, A4A3, se coupent suivant la même droite. 11 résulte de là que les centres des symédianes des triangles A1A2A3, P1P2P3 sont sur une même droite passant par Ai.
Enfin, rappelons que le centre du cercle circonscrit au triangle PiPjPî est sur la droite A4B4 (1
6. La considération d'une section antiparallèle conduit aisément à l'expression du rayon de la sphère 0. En effet, si D, D' sont les points où le rayon A4O coupe le plan P1P2P3 et la sphère 0, on a
/> = AvD.AiD^aR.AiD.
Soient V, V les volumes des tétraèdres A4P1P2P3, AiAiAoAs; l'on a {Exercice 616)
v; ^ A4P1.A4P2.A4P3.
V «4^/5^6 '
d'où, en remplaçant A4P1, A4P2, A4p;j par leurs valeurs tirées de (i),
\" =
Désignons par T l'aire du triangle dont les côtés ont pour valeurs numériques «104, «2«sî <^zfi6'i à cause des égalités (2),
airoP,P2P3= .''] , T, «4 c/jag
par suite.
648 NOTE IV.
Égalons les deux valeurs de Vet remplaçons/» par 2R.A4D; il vient
6RV = T.
■ Cette démonstration est due à von Standt {Journal de Crelle, t. 57, p. 88).
POINTS INVERSES- THÉORÈME.
7. Soit ^k l^ pion mené par un point donné M et par V arête a/; de te'traèdre AJA2A3A4, et soit ^^ le plan symétrique de jjl/c par rap- port au plan bissecteur du dièdre a/, du tétraèdre : 1° les plans vj, V2, ... passent par un même point N ; 2° les coordonnées normales de N sont inversement proportionnelles à celles de M; 3" les projections (Ml, Ma, M3, M4), (Ni, N2, N3, Ni) des points M et N sur les faces du tétraèdre Ai A2 A3 A4, sont huit points d'une même sphère; 4° les deux pentagones complets MA1A2A3A4, NN1N2N3N4 sont tels, que la droite joignant deux sommets de l'un est perpendiculaire au plan passant par les sommets non homologues de l'autre polygone.
Appelons Q le centre de la sphère M1M2M3M4, N le symétrique de M par rapport à Q, et Ni, N2, N3, N4 les projections de N sur les faces du tétraèdre Ai A2 A3 A4. Comme Q se projette au centre du petit cercle suivant lequel le plan Sk coupe la sphère Q, My^N^t est un diamètre de ce cercle. Donc les points Ni, N2, . . . appartiennent à la sphère Q.
La droite MM/^ coupe cette sphère en un point N^ symétrique de N* par rapport au centre Q; par conséquent, NN^t = N/^.M. Or
MMi.MN'i = MMa.MN'a = MMs-MN's = MM4.MN'4 ;
donc les coordonnées normales de M sont inversement proportionnelles à celles de N. Il résulte de là que les plans M^/t, N«Ar sont symétriques par rapport au dièdre a^.
Les droites NNi, NN2, NN3, NN4 sont déjà perpendiculaires aux plans A2A3A4, Al A3 A4, A1A2A4, A1A2A3. Le plan NN1N2 est coupé, par la droite A3 A4 en un point L, et par le plan MA3A4 suivant la droite L'L, isogonale de L'N par rapport à l'angle NiLN2-, donc la droite N1N2 est perpendiculaire à la droite LL' et, par suite, au plan MA3A4 qui est mené par LL' perpendiculairement au plan NN1N2. Les droites N1N2, N1N3 étant perpendiculaires aux plans MA3A4, MA1A4, le plan NiN2N3 est perpendiculaire à la droite MA4.
SCOLIE.
8. x" Les points M, N sont des points inverses par rapport au tétraèdre
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 6^9
A1A.2A3A4. Ce sont les foyers d'une surface de révolution du second ordre, touchant les faces du tétraèdre. En effet, construisons, dans un plan quelconque mené par MN, la conique ayant pour foyers les points M, N et pour axe principal le diamètre de la sphère Q qui est dirigé suivant MN ; cette courbe, en tournant autour delà droite MN, engendre une surface de révolution S. La sphère Q est le lieu des projections des foyers M, N sur les plans tangents à S. Réciproquement, le plan Sk, perpendiculaire à la droite MM^, aboutissant à un point M/f de la sphère, touche la surface S. 1° Lorsque le point M est à l'infini, on a le théorème suivant : Par les arêtes d'un tétraèdre Aj A2A3 A^, on mène des plans paral- lèles à une même droite d ; les symétriques de ces plans par rapj)ort aux plans bissecteurs des dièdres correspondants du tétraèdre passent par un même point N, dont les projections sur les faces du tétraèdre sont situées dans un même plan 8 perpendiculaire à d. Ce point est le foyer d'un parahnloïde de révolution touchant les quatre faces du té- traèdre et le plan 8; les diamètres de cette surface sont parallèles à d. Le plan 8 offre quelque analogie avec la droite de Simson d'un point de la circonférence circonscrite à un triangle. Mais nous faisons remar- quer que le lieu de N n'est pas la sphère circonscrite au tétraèdre Al Ao A3 A4; ce lieu est une surface du troisième ordre.
TÉTRAÈDRES ET PENTAGONES ORTHOLOGIQUES.
THÉORÈME.
9. Si deux te'traèdres Al Xz ^3 Al, C1C2C3C4 sont tels, que les perpen- diculaires abaissées des sommets du premier sur les faces opposées du second concourent en un même point A, les perpendiculaires abaissées des sommets du second tétraèdre sur les faces opposées du premier con- courent également en un même point C.
Voici trois figures où ce théorème s'aperçoit immédiatement :
i" Soit D le point inverse de A par rapport au tétraèdre AjAoAsAiv, et soient Di, D2, D3, D4 les projections de D sur les faces de ce tétraèdre.
2° Appelons 0, Oi, Oo, O3, O4 les centres des sphères circonscrites aux tétraèdres A1A2A3A4, AAjAsAi, AA1A3A4, AA1A2A4, AAiA2A3.
3° Transformons le tétraèdre Ai Ao A3 A4 par polaires réciproques en prenant une sphère directrice, de centre A; soit E1E2E3E4 le tétraèdre ainsi obtenu. Les tétraèdres D1D2D3D4, O1O2O3O4, E1E2E3E4 or.t leurs faces perpendiculaires aux droites AAi, AA2, AA3, AA4 et, par suite, sont homothétiques à C1C2C3C4; il résulte de leur construction que les per- pendiculaires menées par leurs sommets sur les faces correspondantes du tétraèdre A1A2A3A4 concourent en un même point D, 0 ou A.
60O NOTE IV.
SCOLIE.
10. 1° Les télraàdres AiAgAsA^, C1C2C3C4 sont dits orthologique^ ; les points A, C en sont les métapôles.
■ Les pentagones complets AA1A.2A3A4, CC1C3C3C4 jouissent delà pro- priété (\\iLun côté quelconque de l'un d'eux est perpendiculaire à la face opposée de l'autre; par exemple, le côté A3 A4 est perpendiculaire au plan CC1C2; les pentagones peuvent, également, être appelés ortholo- giques.
1° Les distances d'un sommet du premier pentagone aux autres sommets sont inversement proportionnelles aux distances du sommet homologue du second pentagone aux faces non adjacentes de ce poly- gone. Cette propriété se voit immédiatement si l'on prend pour CiCsCsCi le tétraèdre désigné ci-dessus par DiDoDaD^ ou EiE2E3E4.
3° Deux côtés correspondants AiAo, Ci C2 de deux pentagones ortlio- logiques .vont divisés dans le même rapport par les faces opposées A A3 A4, CC3C4.
En effet, appelons a le point de rencontre de Ai A2 avec le plan AA3 A4, c celui de CiCs avec le plan CCsG4, et soient a', c' les points situés à l'influi sur A1A2, C1C2. La droite Aa, intersection des plans AA1A2, AA3A4 qui sont perpendiculaires aux droites C3C4, CiCo, est perpendi- culaire au plan QjzQ.!,b' . Par conséquent, le faisceau des plans CsCiCi, C3C4C2, C3C4C, C3C4C' a même rapport anharmonique que le faisceau des droites AA2, AAi, A«', Aa qui sont perpendiculaires à ces plans. Si l'on coupe ces faisceaux par les transversales C1C2, A1A2, on obtient
(Li G2CC) = (A2 Ai« «) ou — — = — — •
CC2 aA2
Il résulte de là que deux sommets correspondants de deux penta- gones orthologiques ont, respectivement, mêmes coordonnées barycen- triques dans les te'traèdres formés par les autres sommets.
POINT INVERSE DU CENTRE DE GRAVITÉ d'l'N TÉTRAÈDRE.
M. Soient 0:1, x^. x^, xi, les coordonnées normales absolues d'un point L par rapport au tétraèdre Ai A, A3 Ai. On a l'identité
{xl -t- xr, -r- xl-^xl)(sj -+- .y| -+- si -+- sf) — (.Vi.ri -+- .Vo.ro -hs^x^-i- s^x,,)^
= (SlX.2 — S.2Xiy^ -^(SiXs — .S-:iXip -^. . .-hiSsXi — S^.TsY'.
Le second membre de cette égalité se réduit à zéro, lorsque
•' i •■'^2 "^'3 Xl,
GÉOMÉTUIE DU TÉTRAÈDRE. 65 I
et la quantité si .vi -^-^2-^2-1- ^s-^'s -+- •>'4-^4 a l<i valeur constante 3 V ; par conséquent, le minimum de la somme <7 = xl -h j~l -i- x'I -i- .rj corres- pond au point L dont les coordonnée<! normales sont proportionnelles aux aires des faces du tétraèdre. Les coordonnées du centre de gra- vité G étant égales aux quarts des hauteurs ^i, //o, h^, h,,, L est l'in~ verse de G par rapport au te'traèdre; il est le centre de gravité du tétraèdre qui a pour sommets les projection.^ de L sur les faces de A,A,A3A4(N., iO, 3°). Pour le minimum cherché,
9V- I II 1 I
~ s\ ^ si -^ si -\- sf '~ ll\ Itr, ' hl ' /il
Le point L rappelle, par quelques-unes de ses propriétés, le centre des symédianes d'u.n triangle; mais l'analogie entre les deux points est loin d'être complète.
QUADRUPLES BYPERBOLOÏDIQUES.
LEMME.
12. Etant données quatre droites ^i, g», gs, gi,, non situées deux à deux dans un même plan, il existe, en général, deux droites s 'appuyant sur ces lignes; mais, si l'on peut assigner trois droites s'appujant sur f?i> gz) g%} glu '^ ^"^ existe une infinité.
Cette proposition résulte du n° 1212; en voici une démonstration directe. Soit A un point quelconque deg-i; les plans §^2 A, ^sA se coupent suivant une droite H s'appuyant sur g^j, g<,_^ g3, et ils rencontrent ^'•4 en deux points B, C, qui sont généralement distincts. Lorsque A par- court gi, les plans gzA, giA engendrent deux faisceaux homogra- phiques; par conséquent, les points B, C marquent sur g^ deux divisions homographiques. Soient E, F les points doubles de ces divisions; les plans gzE, gsE se coupent suivant une droite rencontrant gi,g2,g3, gt,, et il en est de même des plans gzF, gsF.
Si, dans troi-s positions de A, les points B, C so confondent, ils coïn- cident constamment (llOi), et toute droite s'appuyant sur gi, g^, g^ rencontre également gi,.
13. Dans la dernière hypothèse, la droite H engendre un hyperboloïde ou un paraboloïdc, dont gi, g^, g^, g^ sont des génératrices du second mode. Un dit alors que^i, g^, gs, g^ constituent un quadruple /ijper- Loloïdique ou, plus simplement, que ces droites sont hyperholo'idiques.
De tels systèmes de quatre droites se présenlenl fréquemment dans
Ô52 NOTE IV.
la Géométrie du tétraèdre ; il y remplacent les triples de droites con- courantes de la Géométrie plane.
Soient Pi, P2, P3, P4 quatre points pris dans les plans des faces .vi, s^, S3, si, d'un tétraèdre Ai A2 A3 A4. Pour que les quatre lignes Ai Pi, A2P2, A3P3, ■A4P4 soient hyperboloïdiques, il suffit de trouver trois droites qui les rencontrent. Par exemple, par le point A4 de l'une de ces lignes, il doit passer une droite s'appuyant sur les trois autres, ce qui exige que les plans A4A1P1, A4A2P2, A4A3P3 se coupent suivant une même droite; ou que les droites A4P1, A4P2, A4P3 rencontrent A2A3, A3A1, A1A2 en des points Pu P2, Pz tels, que les droites Ai/3i, A^pt, A^pz concourent en un même point. De même, les plans A1A4P4, A1A2P2, A1A3P3 doivent se couper suivant la même droite, etc.
Désignons maintenant par pi, p^, ps^pi, quatre lignes hyperboloïdiques, situées dans les faces du tétraèdre A1A2A3A4. Le plan A1A2A3, mené par /)4, coupe /Ji, pz, p3 en trois points d'une même droite; autrement dit, les droites /?i,/j2,/?3 rencontrent A2A3, A3A], A1A2 en trois points qui sont en ligne droite. Une semblable condition doit être remplie par trois faces du tétraèdre.
Applications.
14. 1° Les droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux centres des cercles inscrits aux faces opposées sont hyperboloïdiques. {Exercice 573, p. 5x3.)
2° Soit B1B2B3B4 le tétraèdre formé par les plans tangents menés par les sommets du tétraèdre Ai A2 A3 A4 à la sphère circonscrite, et soient Kl, K2, K3, K4 les centres des symédianes des faces de Ai A2 A3 A4.
Si le plan A1A2A3 coupe les droites B4B1, B4B2, B4B3 aux points Ci, C2, C3, les côtés du triangle C1C2C3 touchent en Ai, A2, A3 la circonfé- rence circonscrite au triangle A1A2A3; donc les plans B4B1A1, B4B2A2, B4B3A3 se coupent suivant la droite joignant B4 au centre des symé- dianes de A1A2A3. Par conséquent, les droites AiBi, A2B2, A3B3, A4B4 sont des génératrices d'un même mode, et les droites BiKi, BoKo, B3K3, B4K4 sotJt des ge'nératrices de l'autre mode d'un liyperboloïde .
3° Le plan BiB2B3 rencontre les côtés du triangle A1A2A3 en trois points Di, D2, D3 qui sont les conjugués harmoniques, par rapport à ces côtés, des points où aboutissent les symédianes A4K1, A4K2, A4K3; on conclut de là que les plans A4A1K1, A4A2K2, A4A3K3 se coupent sui- vant une même droite. Par suite, les droites A]Ki, A2K2, A3K3, A4K4 sont hyperboloïdiques .
4° Appelons d^ d^, ds, di, les intersections des faces homologues des tétraèdres Ai A» A3 A4, Bi B2 B3 B4. Le plan B4 B2 B3 rencontre le plan Ai A2 A3 suivant une droite C2C3 qui touche en Ci le cercle A1A2A3. Le point
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 653
d'intersection Ei de C2C3, A0A3 appartient à la ligne rfi ; mais les trois points analogues, situés sur les côtés du triangle A1A2A3, sont sur la polaire de Kv par rapport à A1A.2A3. Donc les plans homologues des tétraèdres Ai AsAsAj. B1B2B3B4 se coupent suivant quatre lignes fijrper-
boloïdiques.
THÉORÈME.
lo. Si les droites joignant les sommets liomologues de deux tétraèdres Al A» A3 A4, EiE2E3Ei sont hyperholoîdiques, les lignes d'intersection des faces correspondantes jouissent de la même propriété.
Soient Fi, F2, F3 les points de rencontre du plan A1A2A3 avec les droites E4E1, E4E2, E4E3. Par hypothèse, les plans E4E1A1, E4E2A2, E4E3A3 passent par une même droite; donc les droites EiAi, E2A2, E3A3 concourent en un même poi:it. Les côtés homologues des triangles E1E2E3, AiA2A3se coupent donc en trois points Gi, G2, G3 d'une même droite. Or, ces points appartiennent, respectivement, aux droites d'in- tersection des plans B4B2B3 et A4A2A3, B4B3B1 et A4A3A1, B4B1B2 et A4.41A2; donc la droite 616263 s'appuie sur les quatre lignes suivant lesquelles se coupent les faces homologues des deux tétraèdres AiAo A3 A4, B1B2B3B4.
La réciproque de ce théorème est également vraie.
THÉORÈME.
16. Soient (Pi, Q{), (P2, Q2), (P3, Q3), (P*, Qi) quatre couples de points inverses par rapport aux triangles des faces du tétraèdre Al Ai A3 A4. Si les droites Ai? i, A2P2, A3P3, A4P4 sont lijperboloîdiques, les droites AiQi, A2Q2, A3Q3, A4O4 le sont également.
En effet, prenons sur A4A1, A4A2, A4A3 trois longueurs égales A4Ni= A4N2 = A4N3; les droites A4 Pi et A4O1, A4P2 et A4Q2, A4P3 et A4Q3 coupent, respectivement, les côtés du triangle N1N2X3 en des couples de points isotomiques. Par hypothèse, les plans A4 Ai Pi, A4A2P2) .\4A3P3 se coupent suivant une même droite, ou leurs traces sur le plan N1N2N3 concourent en un même point; on déduit de là que les traces des plans A4A1Q1, A4A2Q2, A4A3Q3 sont également concourantes, ou que ces plans se coupent suivant une môme droite.
SPHÈRES TANGENTES AUX QUATRE FACES d'lN TÉTRAÈDRE.
17. M. Hermary a fait connaître dans le Bulletin de la Société ma- thématique de France, t. Vil, p. i38, une solution remarquable du pro- blème de construire une sphère touchant les quatre faces (indéfinies) d'un tétraèdre Ai A2 A3 A4. Celte solution va nous donner un complément
654 ^'OTE IV.
de la discussion établie au n" 963 et quelques propriétés des points de contact des faces du tétraèdre avec les différentes splières résolvant le problème.
Désignons par (xi, [Xj, p,3 les plans bissecteurs intérieurs des dièdres .(h, ^i), {^k} ^i)'. (•<'4, iz), et par vj, vj, V3 leurs plans bissecteurs exté- rieurs. Il peut y avoir huit sphères touchant les faces du tétraèdre; leurs centres, indiqués par les lettres I, J, J' sont les intersections des plans suivants : ,
I ... (Xi, [A2, [X3; J4 .. . Vi, V2, V3;
J, . . . Vi, (X2, [X3; J2 .. . t^i, Vo, (X3; J3 . . . JXi, [Xo, V3;
J'i . . . [i-l, V,, V3; Jo. .. Vi, fX,, V3; J3...V1, Vo, [X3;
leurs points de contact avec le plan A1A2A3 seront dénotés par 1^, J44,
Jl4) •••,■' li,
Considérons {Jig. 2) l'une quelconque de ces sphères. Rabattons les
Fis
plans .îi, J», ^3 autour des arêtes «1, «2, «3 sur le plan ^4 dans des «ens tels, qu'ils écrasent la sphère; leurs points de contact viennent coïncider avec le point de contact du plan s,, et, comme ils étaient à égale
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 655
distance de A4, le point de contact de Si, sera le centre de la circonfé- rence passant par les trois rabattements de A4 sur le plan A1A2A3.
D'après cela, nous décrivons dans leplan A1A2A3 trois circonférences ayant pour centres les points Ai. A2, A3 et pour rayons les distances Al A4, A2A4, A3 A4. Soient Dj et D', , D2 et D'j, D3 et D3 les intersections de ces courbes deux à deux; ce sont les différents rabattements pos- sibles du sommet A4 autour des arêtes «i, «,, 03. Si Di, Do, D3 sont situés du même côté de ces arêtes que les sommets opposés Aj, Aj, A3, les points de contact du plan A1A2A3 avec les sphères cherchées sont les centres des circonférences passant par les points suivants :
h D,, D2, D3; J44.... d;, Di,D;;
J,4.... D',,D2, D3; J24.... D,, D;, Da; J34 . • • DuD,,n',-
.1;,... D,, D'2, D3; .1;,... d;. Do, D'3; .lu... d;,d'2, D3.
Les droites DjD'j, DoD',, D3D3 concourent en un même point H4, qui est la projection de A4 sur le plan A1A2A3. Comme
H4D1.H4D; = HtDj.HiD; = H4D3.H4D'3,
les circonférences D1D2D3, D, D', D3 sont des lignes inverses par rapport au point H4, et leurs centres I4, J44 sont en ligne droite avec H4; cette dernière propriété résulte aussi de ce que les plans bissecteurs des dièdres A4A1, A4A2, A4A3 du tétraèdre se coupent suivant une même droite passant par A4, I, J4. Les points I4, J44 sont des points inverses par rapport au triangle Ai A2 A3; car les lignes Ai I4, AiJ44, par exemple, sont perpendiculaires aux lignes D2D3, D2D3 qui, étant antiparallèles par rapport aux droites D2D'2, D3D3, le sont aussi par rapport à A1A3, A1A2. Celte proposition peut se démontrer directement; en effet, si X, Y, Z, X', Y', Z' sont les projections de U, J44 sur A2A3, A3A1, Ai A2, les triangles II4X ot X'J44J4, . . . sont semblables, d'où les égalités
I4X.J44X'= I4Y..I44Y'= l4Z.J44Z'= II4.J4J4V,
de sorte que les coordonnées normales de J44 sont inversement propor- tionnelles à celles de 14.
Ainsi, les points li et J44, J14 et .I',.;, J24 et J',^, J34 et J34 so/it des points inverses- par rapport au trian-^le A1A2A3; ils sont situés sur quatre droites passant par II4.
18. Les triples de points DiDîDsjD'i D'2 DjjD'jDjDa, DjD'jDs, DjDzD; sont toujours les sommets de triangles proprement dits ; par conséquent,
656
NOTE IV.
les points I4, J44, Ju, J24, J34 sont à distance finie; la sphère inscrite et les sphères exinscrites existent toujours.
Si les points Dj, D2, D3 sont situés en ligne droite {fig. 3), le point J3 4 se transporte à l'infini dans la direction perpendiculaire à D', D'^; et nous dirons que la sphère Jj disparaît à l'infini. La circonférence D1D2D3 passe maintenant par H4 et son centre J3 est situé sur la circonférence circonscrite au triangle A1A2A3, à l'intersection avec la perpendiculaire
Fis. 3.
abaissée de II4 sur D'^ Dg. Le triangle D1D2D3 est symétriquement sem- blable à A1A2A3. Le quadrilatère inscrit D1D2D3H4 donne
DiDa.HiD'a = DiD'3.HvD2 + DaD'j.H^Di
ou, en remplaçant les côtés de D1D2D3 par ceux de A1A2A3,
AiA2(C3D3-+-C3Hv) = AiA3(C2D2-G2HO + A2A3(CiD, — CiHO,
d'où l'on tire aisément
.V3 -^ Si, — Sx->r S^.
Telle est la condition pour que la sphère J3 disparaisse. On peut lui donner d'autres formes. En effet, les angles D3D3D2, DjDsDi doivent être supplémentaires; mais, dans les deux circonférences ayant pour centres Ai, A2, ces angles inscrits et les angles aux centres D2A1D3, D3A2D1 sous-lendent des arcs ayant les mêmes extrémités. On conclut
GÉOMÉTRIE DD TÉTRAÈDRE. 657
de là que la somme des angles plans composant les trièdres Ai, Aj du té- traèdre égale quatre droits, ou que , dans le quadrilatère gauche ki A3 A 2 A 4, la somme de deux angles opposés égale celle des autres angles opposés. Observons également que le triangle D'jD', D3 est semblable à AiAiA^; l'angle D'aD'jDi, par exemple, étant égal à la moitié de l'angle au centre D3A1D3 qui, dans la circonférence D3D2D3, sous-tend le même arc.
La combinaison D'i D'j D3 conduit à une sphère inscrite dans le comble Al Al ou dans le comble AjÂ^, suivant que la droite Dj D'^ passe ou non
Fig. 4.
entre les points D3, D3. La somme des angles D3D3D2, D3D3D', est, respecli\ ement, supérieure ou inférieure à deux angles droits et, dans le quadrilatère gauche AiAjAjAv, la somme des angles opposés à la dia-
R. et DE C. — Tr. de Géom. (Il* Partie). 4*
658 NOTE IV.
gonale AiAj est, respectivement, inférieure ou supérieure à «elle des angles opposés à la diagonale AsA^.
19. Les deux sphères J'j, Jj disparaissent à l'infini, lorsque les points D'i, D2, D3 sont en ligne droite, ainsi que D'i, Dj, D3. Les deux circonfé- rences Di Dj D3, Di Do D3 {fg. 4) passent maintenant par H4 ; les points J^, J34 sont situés à l'intersection de la circonférence A1A2A3 avec les per- pendiculaires abaissées de H4 sur les droites D'jDg, D', Dj, et la droite qui les joint est perpendiculaire au milieu de HtDj et, par suite, paral- lèle à A2A3.
Les deux triangles D1D2D3, D1D2D3 sont symétriquement semblables à AiAjAs- Le triangle D^D^Dj est équiangle à chacune des faces A2At Av, A3 A4 Ai; donc celles-ci sont égales entre elles, et
AiA2 = A3A4, AiA3 = A<iA4.
Ainsi, deux sphères inscrites dans les combles dispar eussent, lorsque le tétraèdre a deux couples d'arêtes opposées égale,?.
Le parallélipipède circonscrit au tétraèdre AiA2AsAi est droit et a pour base un parallélogramme obliquangle (p. 523, exercice 660). Parmi les trois droites joignant les milieux des arêtes opposées du tétraèdre (ces droites sont appelées médianes du tétraèdre), l'une est perpendi- culaire sur les deux autres.
Fig. 5.
20. Les trois sphères J'i, J2, .T3 disparaissent si les trois triples D'i D2 D3, Di D2 D's , D 1 D2 D'3 sont sur trois droites (f/g. 5 ). Alors les arêtes opposées Ao A3 et AiAj, A3 A. cl À^A^, AjAo et AsA^ sont égales, et le? quatre faces du tétraèdre sont égales entre elles. Les points Ai, Aj, .
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. ÔSg
sont les milieux des côtés du triangle D', D'jD'j; les points Di, Dj, Dj sont les pieds des hauteurs du même triangle. Les points Ju, ht,, ht, sont les milieux des segments D;Hv, D^Ht, D'3 H4 compris entre les sommets du triangle D\ D2D3 et son orthocentre H4; h est le centre du cercle AjAoAs, hi est l'orthocentre du triangle A1A2A3.
Le tétraèdre particulier que nous venons de considérer a reçu le nom de tétraèdre équifacial. Le parallélipipède circonscrit est rectangle; les trois médianes sont perpendiculaires deux à deux et leur point de concours est à la fois le centre de gravité du tétraèdre, le centre de la sphère circonscrite et celui de la sphère inscrite. D'après ce que l'on a vu plus haut, les points de contact de la sphère inscrite avec les faces sont les centres des cercles circonscrits à ces faces; les points de contact intérieurs des sphères exinscrites sont les orthocentres des faces; enfin, les points de contact extérieurs des sphères exinscrites sont situés sur la sphère circonscrite au tétraèdre. Les centres des sphères exinscrites sont les symétriques des sommets du tétraèdre par rapport au centre de la sphère inscrite; ce sont donc des sommets du parallélépipède circonscrit au tétraèdre.
21. La proposition (N., 14, 2°) peut être énoncée ainsi :
Si une sphère touclie les faces d'un tétraèdre kik^Xzk^ aux points Pi, P2, P3, P4, les droites Ai?i, A2P2, A3P3, A^P^ sont des génératrices d'un même mode, d'un hyperboloîde ; les droites qui joignent les points Pi, P2, P3, P4 aux centres des sy médianes des triangles P2P3P4, PjPiPi» P4P1P2) P1P2P3 "ont des génératrices du second mode de la même surface.
De ce théorème et des n°' (N., 16 et 17), on déduit que les droites Ai Ju, •^2Jm) AjJ33, Aii il,, /oignant les sommets d'un tétraèdre XiAzAsAitaux points de contact des faces opposées avec les sphères exinscrites corres- pondantes, forment un quadruple hyperboloîdique. Les droites AiJm A2J32, A3.i23, ki,}\ ,^ jouissent de la même propriété.
SUR LES HAUTEURS D'uN TÉTRAÈDRE.
22. Nous désignons {fig. 6) par Hi, H2, H3, Hi les projections des sommets du tétraèdre AiA2A3Av sur les faces opposées.
Si deux hauteurs AiHi, A2H2 se coupent en un point H, les arêtes Al A», AsAv sont perpendiculaires, et les hauteurs A3H3, A^H^ se cou- pent également en un point H'; les points H, II' sont situés sur la p!u^- courte distance MN des arêtes k\kzi A3 Ai.
Ea eilet, le plan Ai A2 II est perpendiculaire auxplansA2A3A4, Ai AsA; «t, par suite, à leur intersection A3 A^ (S08, î)61); donc AiAo, AjAv sont rectangulaires. Réciproquemeht, si ces arêtes font un angle droit, on peut mener par Al Ao un plan z perpeufliculaire à A,tAi.('L co i>liin con-
66o
NOTE IV.
tient nécessairement les hauteurs Ai Ht, A2H2 (521); de môme, le plan a' mené par AsA» perpendiculairementà A1A2 contient les droites A3H3, AfcHv. Les plans a, a' se coupent suivant une droite iVlN, qui est la per-
Fig. 6.
pendiculaire commune à A1A2, AjA^; cette droite est une hauteur de chacun des triangles AiA2iM, A3A4N. On trouve facilement les ésialités
d'où
A^M — A3M = AjAî — A3A2 — A4A1 — AsA),
«J -4- «i = rtj -I- rtg.
Soient jTi, xj, X3, x^ les coordonnées normales d'un point quelconque P de la hauteur A^Hv; on a
oTi = A4P cosa,, Xï = A4P cosa2, X3 = AvPcosa3,
d'où
Xi
Xi
■^i
cosaci cosaj cosas 9e même, pour les coordonnées de tout point de AsHi,
^) J^^ ÛC^
cosΞ cosa^ cosaj
GÉOMÉTRIE DD TÉTRAÈDRE.
66]
Si les hauteurs Â4H4, A3H3 ont un point commun H', on a, nécessai- rement,
COSai COSa^ = cosaj cosocj.
23. Supposons maintenant (/f^-. 7) que les trois hauteurs AiHi, A2H2, AjHj concourent en un même point H. Alors, d'après ce qui pio- ns- 7-
cède, les arêtes opposées A,Aî et AsA^, A2A3 et AiAi, A3A1 et A^Aj sont perpendiculaires, et
COSai COSav = cos a^ cosa; = cosaa cosaj; de plus, la hauteur AtH* passe également par II. Les plus courtes dis- tances des arêtes opposées se coupent é^^alement en H; les pieds de ces droites sont les pieds des hauteurs des faces du tétraèdre, et les points Hi, Hj, II3, H4 sont les orlhocenlres des faces.
Le tétraèdre particulier que nous venons de rencontrer a été appelé tétraèdre orthocentrique.
24. Dans tout tétraèdre orthocentrique AjAiAsA», les milieux des
602 NOTE IV.
arêtes et les pieds dex plus courtes distances des arêtes opposées sont douze points d'une même sphère, ayant pour centre le centre de gra- vité G du tétraèdre C première sphère de douze points).
Car, les milieux de deux couples d'arêtes opposées étant les sommets d'un rectangle, les trois médianes du tétraèdre sont égales, et G est le centre d'une sphère passant par les milieux des six arêtes. Cette sphère passe, évidemment, par les circonférences des neuf points des faces du tétraèdre; donc elle contient les pieds des hauteurs de ces faces, et son centre est au milieu de la distance comprise entre l'orthocentre H du tétraèdre et le centre 0 de la sphère circonscrite (').
25. Dans tout tétraèdre orlhocentrique Ai Aj A3 A4, les centres de gravité des faces, leurs orthocentres et les points qui divisent dans le rapport 1 ; i les segments des hauteurs du te'traèdre compris entre les sommets et leur point de concours H, sont douze points d'une même sphère, dont le centre 0' divise la distance HO dans le rapport i : 2 (seconde sphère de douze points).
En effet, les centres de gravité Gi, G2, G3, G4 des faces du tétraèdre sont les sommets d'un tétraèdre homothétique à AiA2A3At par rapport à G; les hauteurs de ce nouveau tétraèdre concourent donc en un même point H' de la droite HG, et l'on a HG = 3GH'; le centre 0' de la sphère G1G2G3G4 divise la distance HO dans le rapport 3 : i. Comme on a HiGi= 3GiOi et, par suite, HH'= 3H'0, on voit aisément que
H0'=O'H'=H'O. Donc D'est à la rencontre des perpendiculaires élevées sur les faces du tétraèdre par les milieux des segments HiGi, HjGj, ...: par consé- quent, la sphère 0' passe également par les points Hj, Hj, Enfin,
la droite dkO' coupe Aa-H en un point L* appartenant à la sphère 0' et tel, que UH = H'Ga = i A^H.
Remarque. — Les points H, H' sont des points inverses par rapport au tétraèdre AjAsAsAi. Les droites Ai H', AjH', A3 H', A4 H' sont per- pendiculaires aux faces de tétraèdre H1H2H3H4.
26. Un tétraèdre orlhocentrique Ai Aj A3 A4 est autopolaire par rapport à une sphère ayant pour centre l'orthocentre du tétraèdre.
Car, H étant l'orthocentre des triangles AiAjM, . . ., on a
HAi.HHi = HA2.HH2 = HA3.HH3 = HA4.HH4;
donc chaque sommet est le pôle de la face opposée par rapport à la
sphère décrite du centre H avec le rayon y/HAi-HH,. Toutefois, pour
que cette sphère soit réelle, H doit tomber à l'extérieur du tétraèdre.
(') Comparer ce qui précède avec les Exercices 639, 640, 641, 1029, 1025 (p. 020, 521, 559).
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 663
ce qui exige que l'un des angles solides du tétraèdre soit composé de trois angles plans obtus.
Remarque. Les sphères circonscrites aux tétraèdres AiAjAsAi et HiH2H3Hi, la première sphère de douze points de AiAîAsAv el la sphère conjuguée ont pour plan radical commun le plan d'homologie des tétraèdres AjAîAaAt, H,H2H3Hi.
27. Les points Aj. A^, A3, A*. H sont les sommets d'un pentagone ortho- centrique : la droite qui joint deux quelconques de ces points est perpendi- culaire au plan passant par les trois autres points ; chacun de ces points est l'orthocentre du tétraèdre ayant pour sommets les quatre autres points.
Pour construire un tétraèdre orthocentrique, on peut prendre arbi- trairement les sommets Aj, Aj, A3; le quatrième sommet Ai est un point quelconque de la perpendiculaire menée sur le plan du triangle A] A, A3 par son orthocentre. On peut également se donner à volonté un trièdre AiAiAjAs; les plans menés par les arêtes du trièdre perpendiculaire- ment sur les faces opposées (plans-hauteurs), se coupent suivant une même droite A^X, et un plan perpendiculaire à A^X forme avec le trièdre donné un tétraèdre orthocentrique.
Les arêtes d'un trièdre et l'intersection de ses plans-hauteurs consti- tuent un quadrarête orthique : chacune de ces droites est l'intersection des plans-hauteurs du trièdre ayant pour arêtes les trois autres. Un plan perpendiculaire à l'une des droites coupe les quatre lignes aux sommets d'un quadrangle orthique, c'est-à-dire en quatre points dont chacun est l'orthocentre du triangle des trois autres sommets.
Les hauteurs d'un tétraèdre orthocentrique forment un quadrarête orthique.
28. On sait que toute conique passant par les sommets d'un triangle et par son orlhocentreest une hyperbole équilatère. (Exercice 1067, p. 563.)
Un cône du second ordre, circonscrit à un quadrarête orthiqueS A Al A2 A3 jouit également de propriétés particulières : il est capable d'une infinité detrièdres trirectangles,et d'une infinité de quadrarêtes orthiques.
En effet, un plan a perpendiculaire à la droite SA coupe le cône sui- vant une conique K, et les droites SA, SAj, SA», SA3 en des points que nous indiquons par A, Ai, Ai, A3 Comme A est l'orthocentre du triangle Ai A2A3, K est une hyperbole équilatère.
Prenons sur K un point quelconque Bi, et menons par S un plan per- pendiculaire à la droite SBi ; si 82, B3 sont les points de rencontre de ce plan avec K, A est l'orlhocenlre du triangle BiB2B3, car ce triangle est inscrit à l'hyperbole équilatère et la droite BiA est perpendiculaire à BjBj. Soient Cj, Cj, C3 les points où les droites BiA, BjA, BjA
664 NOTE IV. — GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE.
coupentBîBs.BsBijBiBa.Oaa ABi.ACi =AB2.ACs = ABs.AC3 et, comme
2 2
SA = — ABj.ACi, onaaussiSA = — ABî.ACj = — AB3.AC3, d'où l'on conclut que les angles BjSCo, BsSCsSont droits et que le trièdreSBiB2B3 est trirectangle.
Réciproquement, tout cône du second ordre circonscrit à un trièdre trirectangle SB1B2B3 jouit de la propriété que les plans-hauteurs de tout trièdre inscrit SAA1A2 se coupent sur le cône. Car, si un plan a perpendiculaire à SA coupe les arêtes des deux trièdres en Bi, Bj, B3, A, Al, A2 et le cône suivant la conique K, le point A est, d'après un théo''ème connu, l'orthoccntre du triangle B1B2B3; il en résulte que K est une hyperbole équilatère. Soit A3 le point où la perpendiculaire menée de A sur A1A2 coupe l'hyperbole; A est l'orthocentre du triangle A1A2A3 et, par suite, SA est l'intersection des plans-hauteurs du trièdre SA1A2A3, et SA3 celle des plans-hauteurs du trièdre SAAjAj.
Le cône que nous venons de rencontrer est dit cône équilatère; comme une génératrice quelconque SBj est une arête d'un trièdre trirectangle inscrit SB1B2B3, un plan perpendiculaire à SBi coupe le cône suivant une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles à SBj, SB3.
29. Les hauteurs d'un tétraèdre quelconque A1A2A3A4 sont des géné- ratrices d'un hyperhololde équilatère, dont le centre o) est symétrique du centre 0 de la sphère circonscrite par rapport au centre de gravite' G.
Soient Al Hi, ..., les hauteurs du tétraèdre Ai A2 A3 A4, et /ii, ...,les orthocentres des faces. Les plans HiAi/^4! '^i^-^ht,. H3A3/(v sont per- pendiculaires au plan A1A2A3, car ils contiennent, chacun, deux per- pendiculaires à un môme côté de triangle A1A2A3. Il résulte de là que la perpendiculaire h^x menée par h^ sur le plan AiA^Aj rencontre les quatre hauteurs du tétraèdre. On peut de même trouver trois autres droites s'appuyant sur AiHi, A2H2, A3H3, AvH4. Les hauteurs sont donc des génératrices d'un même hyperboloïde.
Cette surface est coupée par le plan A1A2A3 suivant une hyperbole équilatère K, car les points Ai, Ai, A3, hi^ appartiennent à la courbe d'in- tersection. Or, trois génératrices du cône asymptote sont parallèles aux asymptotes de l'hyperbole K et à AiHj ; ce cône est donc équilatère.
Le centre co de l'hyperboloïde est équidistant des génératrices paral- lèles A4 Ht, hi,x. Celles-ci étant contenues dans les plans menés par les points A4, Al perpendiculairement à A2A3, to est situé dans le plan mené par le milieu de A4 Ai perpendiculairement à AîA3, plan qui est symétrique, par rapport à G, du plan perpendiculaire au.milicu de Aj A3. On en conclut que oj et 0 sont symétriques par rapport à G.
FIN DE LA SECONDE PARTIE.
6G524 PAl'.IS. — IMl'RI.MEUII-: GAL THIKR-VILLAHS ET C'%
Quai des Grands-Augustiiis, 55.