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Z ISTWALD'S KLASSIKER ? EXAKTEN WISSENSCHAFTEN.
Nr. 64.
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ÜBER DIE
YIERf \CH PERIODISCHEN FÜNCTIONEH
ZWEIER VASIÄBELN.
VON
C. G. J. JACOBL
(1834.)
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2^S WILHELM ENGELMANN IN LEIPZIG
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Ankündigung.
Der grossartige Aufschwung, -welchen die Naturwissenschaften in unserer Zeit erfahren haben , ist, wie allgemein anerkannt wird, nicht zum kleinsten Masse durch die Ausbildung und Vci'breitung der Unterrichtsmittel, der Experimentalvorlesungen, Labora- torien u. s. w., bedingt. Während aber durch die vorhandenen Einrichtungen zwar die Kenntniss des gegenwärtigen Inhaltes der Wissenschaft auf das erfolgreichste vermittelt wird, haben hoch- stehende und weitblickende Männer wiederholt auf einen Mangel hi^^weisen müssen, welcher der gegenwärtigen wissenschaftlichen isbildung jüngerer Kräfte nur zu oft anhaftet. Es ist dies das .'ehlen des historischen Sinnes und der Mangel an Kenntniss jener grossen Arbeiten, auf welchen das Gebäude der Wissenschaft ruht.
Diesem Mangel soll durch die Herausgabe der Klassiker der exakten Wissenschaften abgeholfen werden. In handlicher Form und zu billigem Preise sollen die grundlegenden Abhandlun- gen der gesammten exakten Wissenschaften den Kreisen der Lehren- den und Lernenden zugänglich gemacht werden. Es soll dadurch ein Unterrichtsmittel beschafft werden, welches das Eindringen in die Wissenschaft gleichzeitig belebt und vertieft. Dasselbe ist aber auch ein Forschungsmittel von grosser Bedeutung. Denn in jenen grundlegenden Schriften ruhten nicht nur die Keime, welche inzwischen sich entwickelt und Früchte getragen haben , sondern es ruhen in ihnen noch zahllose andere Keime , die noch der Ent- wicklung harren, und dem in der Wissenschaft Arbeitenden und Forschenden bilden jene Schriften eine unerschöpfliche Fundgrube von Anregungen und fördernden Gedanken.
Die Klassiker der exakten AVissenschafte n sollen ihrem Namen gemäss die rationellen Naturwissenschaften, von der Mathematik bis zur Physiologie umfassen und werden Abhandlungen aus den Gebieten der Mathematik, Astronomie, Physik, Chemie (einschliesslich Krystallkunde) und Physiologie ent- halten.
Die allgemeine Redaktion führt von jetzt ab Professor Dr. Arthur von Oettingen (Leipzig); die einzelnen Ausgaben werden durch hervorragende Vertreter der betreffenden Wissen- schaften besorgt werden. Die Leitung der einzelnen Abtheilungen
Fortsetzung auf der dritten Seite des Umschlages.
Ueber die
VIERFACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN
zweier Variabein,
auf die sich die Theorie der Aberschen Traiisceiidenten
stützt.
Von
C. G. J. JACOBI,
ordentl. Prof. dpr Miith. zu Königsberg.
(Crelle's Journal für reine und angewandte Mathematik Bd. 13, 1834.)
Herausgegeben
von DEPARTMENT OF MATHEMATICS
H. Weber. UNIVERSITY OF TORONTO
Aus dem Lateinischen übersetzt
von
A. Witting.
LEIPZIG
VERLAG VON WILHELM ENGELMANN 1895.
UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY
WILLIAM H. DONNER COLLECTION
l)iiichasccl jrom a gift bij
THE DONNER CANADIAN FOUNDATION
Che. halten.
Dit Dr. ArtI werden o
scliaften b
[55]
lieber die vierfach periodischen Functionen zweier Variabein,
auf die sich die Theorie der Abel'schenTranscendenten stützt.
Von
C. G. J. Jacobi,
oid. Prof. (1. Math, zu Königsberg.
1.
in den »Fiindamenta Nova Functionum EUipticarum« habe ich darauf hingewiesen (pg. 85), dass eine doppelte Periode die allgemeinste Periodicität umfasse, die in der Ana- lysis gebildet werden könne. Dies soll im Folgenden genauer untersucht werden.
Periodisch nenne ich eine Function X [u] , wenn es eine Constante i giebt, sodass für ein beliebiges u
L [u -\- i] = ?. [ü] .
Die Constante i nenne ich den Index der Function. Es ist aber offenbar, dass aus einem Index unzählige andere hervor- gehen, da jedes beliebige positive oder negative Vielfache selbst ein Index ist. Von allen diesen nenne ich den, von dem kein aliquoter Theil Index der Function ist, den eigent- lichen Index. In den Elementen werden die periodischen Functionen sin u^ e" behandelt, deren eigentliche Indices resp. 2 TT, '27i\ — 1 sind.
Nun nehmen wir an, wofür ein erstes Beispiel bei den elliptischen Functionen nachgewiesen ist, dass die Function ). [u]
4 C. G. J. Jacobi.
zwei Perioden habe, die sich nicht auf eine zurückführen lassen. Ihre ludices seien /, i' ^ sodass die Gleichungen statt haben:
A(« + 2*) = ^ [u) /. (m + i'] =^ ^[u] 1
aus denen, wenn w, m' irgend welche ganze positive oder negative Zahlen bezeichnen, die allgemeinere Gleichung
X[u + '>ni + ni i') = A(m)
folgt; d. h. auch mi -\- m'i' wird ein Index sein. Zuerst nun ist klar, dass man die Indices als unter einander incommen- surabel annehmen muss. Denn wäre J ihr grösstes gemein- sames Maass, so könnte man
i = mJ i' = m J
setzen, wo w, tn' ganze relative Primzahlen bezeichnen. Dalier können wir zwei andere Zahlen w, n so bestimmen, dass
[56] 7n7i + m' n' = 1.
Nun aber folgt der Index
n i -\- n i' ^=^ J ^
und da aus diesem einen die ludices /, i' als seine Viel- fachen hervorgehen, so sehen wir: loenn die Indices zweier Perioden einer Function unter sich commensurabel sind, so gehen die heiden Perioden auf eine einzige zurück^ deren Index das grösste gemeinsame Maass jener ist.
Da in dem Vorhergehenden gezeigt ist, dass der Quotient ziveier Indices^ die nicht aus einem hervorgehen, nicht als rationale Grösse angenommen werden kann, so ist auch weiter leicht einzusehen, dass man ihn nicht als reelle Grösse an- nehmen darf. Sei nämlich
^ = £^ , i' ^= e J ,
wo £,«' reelle, unter sich incommensurable Grössen bedeuten, so lassen sich zwei solche ganze positive oder negative Zahlen w, 7n' finden, dass
m £ -\~ m' e = e"
kleiner als irgend eine gegebene Grösse wird. Dann wird
l{u -\- mi + m'i') = l{u + £"z/) = l{u] ,
es würde also die Function X [u) einen Index haben, der kleiner
Ueber die vierfach periodischen Functionen eti- ."»
als irgend eine gegebene Grösse ist und doch nicht ver- schwindet. Das aber kann nicht sein.
Aus dem Vorstehenden folgt, dass, so oft von Perioden, die nicht auf eine zurückgehen, die Indices imaginäre Grössen sind:
i = a-\- h > — T i' = a -\- h' \^^\. , wo a, ^, a', h' reelle Grössen bezeichnen, niemals
ab' — a b = 0 sein kann. Dann nämlich würde der Quotient der Indices
a + ^'V— 1 _ f^_ ^ a + by^^\ ~ a~ b eine reelle Grösse sein.
2.
Untersuchen wir nun, ob eine Function drei Perioden haben kann, die sich nicht aus zweien zusammensetzen lassen. Seien die Indices dreier solcher Perioden
i = a^b y -1 , i = ci 4- V V— 1 , i" = a + ^»"> -^,
wo «, b^ a', b\ a", b" reelle Grossen bedeuten. Wir setzen nach dem Vorhergehenden voraus, dass von den Grössen
ab" — a" U ^ ab — ab'\ ab' — ab
keine verschwindet. Denn sonst würden sich entweder zwei Perioden auf eine reduciren, was gegen die Voraussetzung ist, oder die Function würde einen Index haben , der kleiner ist, als irgend eine gegebene Grösse, ohne doch zu verschwinden, [57j was absurd ist. Zunächst nun bemerke ich, dass sich jene drei Grössen nicht wie ganze Zahlen verhalten, oder nicht durch dieselbe Grösse gemessen werden können. Nehmen wir nämlich an, es verhielte sich
ab" — a"b' : ab — ab" : ab' — a' b ■:^ m : ni : w",
wo m, m\ m"*) ganze Zahlen bedeuten, die wir als von ge- meinsamen Factoren befreit annehmen. Dann ist
*) Hier und weiterhin nehmen wir die ganzen Zahlen sowohl als positiv, wie auch als negativ an.
6 C. G. J. Jacobi.
ma -\- m' d + m' a = 0 , mh Ar ni b' + 7n' b" = 0 , und ebenso auch.
mi -\- ni % + ^'^"i" = 0 .
Sei f das grösste gemeinsame Maass von m' , ni\ das zu w prim sein muss, da die drei Zahlen w, m', m" nicht durch dieselbe Zahl getheilt werden; dann wird auch
mi fm' ., m" .„"1
171 1
ein Index der Function. Da nun die Indices i und — ;- unter
sich commensurabel sind mit dem grössten gemeinsamen Maass
t t
^ , so wird auch — Index sein , wie in § 1 bewiesen ist.
Es mögen nun zwei Zahlen n\ n so ausgewählt werden, dass m , ni' ,,
/'' +/"='•
dann , sage ich , setzen sich die drei Perioden aus zweien zusammen, deren Indices
— und n i — n %
sind, da sich aus diesen der Index i und auch die übrigen Indices i\ i" zusammensetzen. Man hat nämlich
, i , m" „ ., , .., ■ — mn — -1 — -r- (w ^ — m ]
[m ., m" .„1 m" , ,, ., , .„, .,
II '^ ^ / II •! I •tt\
— mn -^ TT [n i — 7i i )
„Tm' ., , m" .„] m' , ., , .„ = n \-^ t +':7. i \ :^ in ^ ~m ) = i .
Also, wenn sich die drei Grössen
d b" — a" b' , ab — ab" , ab' — d b
Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 7
verhalten wie gauze Zahlen, oder, was dasselbe ist, weyin m, in\ m" ganze Zahlen bezeichnen und zwischen den In- dices t, i\ i" eine Gleichung
mi -\- m i' + ni i" = 0
besteht^ so lassen sich die [58] drei Perioden aus zweien zu- sammensetzen^ oder die Function ist nur ziceif ach periodisch. Ich bemerke an zweiter Stelle, dass, xcenn a, a\ a" ganze Zahleti bedeuten^i auch keine Gleichung der Form
a [a'b" — ci'b') + et [ab — ab") + a" [ab' — a' b) = 0
bestehen kann. Denn nehmen wir sechs ganz beliebige andere ganze Zahlen
an und setzen
u =1 y'a" — y"a') a -j- (/'« — ya")a' -\- [ya — y'cc)a\ u' = [u'ß" — a"ß')a + [a'ß — uß")a + [aß' — aß) a", V = [y'a" — y"a'\ b + [y"a — ya") b' + [ya — y a) b" ^ v' = {a'ß" — a"ß') b + [aß — aß") b' + [aß' — aß] b" ,
so werden auch
u + V V -^1 , u + v' y^
Indices der vorgelegten Function sein. Setzt man nun
E = a[ß'f-ß"y') + a'[ß"y-ßy"j + a"[ßy'-ß'y) ,
so findet man
uv' — u'v = e[a[a'b" — a"b') -\- a ab — ab") -\- a [ab' — ab\\.
Hieraus folgt, wenn der Klammerausdruck verschwindet,
UV — w'ü = 0 .
Dass aber diese Gleichung nur statt haben kann , wenn die Indices
u + t;V— ^ , u + v'\^^\
commensurabel sind oder aus einem Index hervorgehen, haben wir im § 1 gesehen. In diesem Falle kann man, wenn y, /' ganze Zahlen bezeichnen, setzen
f[u + v\^^\) —f'{u + v'\—\) --= 0 .
8 C. G. J. Jacobi.
eine Gleichung, die unter Einsetzung der Werthe von u^ v, u', v' die Form annimmt
?ni -\- m' i' -{- vi i" = 0 ,
anze Zahlen gängig ist, haben wir gezeigt.
wo w, ?w', m ganze Zahlen bedeuten; dass dies nicht an-
3.
Nach diesen Vorbereitungen werde ich nun zeigen, class^ wenn die drei Perioden sich nicht auf eine zurückführen lassen, man immer ganze Zahlen m, tri ^ m" bestimmen kann, sodass jeder der beiden Ausdrücke
ma + m'a + m"a" mh -\- m' V -\- m"h"
kleiner wird als irgend eine gegebene Grösse, oder dass die vorgelegte Function [59] ei7ie7i Index hat, der kleiner ist , als irgend eine gegebene Grösse , ohne jedoch zu ver- schiohiden.
Ich setze der Kürze halber:
II b" — a' b' = A , a"b — a h" = ^' , ab' — a b = A" ,
sodass
aA + a'A' + ct'A' = 0 , bA + b'A'^+ b"A" = 0 .
Bezeichnen ferner «, a', a" ganze Zahlen, so setze ich
ccA' . ^ aA" „ .,
A ' A
sodass
aa -\- ci' a' -\- a" a' = — [ci z/ H- ci'zl ] , üb + a'b' + a"b" = — [b'J + b"J'] .
Nun kann man die Zahlen a, a' so bestimmen, dass J kleiner als irgend eine gegebene Grösse wird. Ferner lässt sich nach Bestimmung von «, a die dritte Zahl a" so annehmen, dass ohne Rücksicht auf das Vorzeichen
wird. Bestimmt man so a, «', a", so werden die obigen Aus- drücke der Reihe nach absolut genommen kleiner als \a" und '^b". Sind also die Grössen «, a', a" und b, b' b" ge-
Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 9
gehen^ so lassen sich immer ganze Zahlen a, a', a" derart bestimmen^ class, wenn
a!" = aa + a' a' + «"«", //" = ab + a' b' + «"''/'
gesetzt icircl^ zugleich
icird, ohne Rücksicht auf das Vorzeichen.
Es möge nun der Reihe nach gesetzt werden
ßa! + ß'a" + ifa'" = a^\ ßb' + ß' h" + ß" b'" = b^"" , y a!' -i- y a'" + r" «^^ = «^ 7 ^" + Y b'" + /' ^-^^^ = Ä^ , (5a'" + ^'«1^4. (5"aV = ^vi^ ^^"' _|_ ^' ^iv _^ ^j-'^v ^ jvi. ^
/-^
Nach dem Vorhergehenden lassen sich die Coefticienten dieser Gleichungen /!?, / etc., ß\ y' etc., //', /' etc., so annehmen, dass ohne Rücksicht auf das Vorzeichen gleichzeitig wird
«i^^ < \a"\ a^' < |a^v, a^ < |a^ etc. iiv <; 1 1'"^ jv <- 4. ^iv ^ i^i < ^ ^v, etc.
Daraus folgt, dass die Glieder der beiden Reihen
" "' IV V VI
a , « , a^^ , «^ , a , ...
b", b'", b'''', b\ b'''', ...
bei genügender Fortsetzung kleiner werden, als irgend eine gegebene Grösse.
[60j Seien die entsprechenden Glieder a^"\ 5(") der beiden Reihen kleiner als eine gegebene Grösse. Betrachtet man die Bildung der Gleichungen, durch die jene Grössen von den vorhergehenden abhängen, so erhellt ohne Mühe, dass man sie durch die Grössen a, «', a" und b, b', b" vermöge der Gleichungen
a^") = j)ia -\- m a -\- m" d\ b(^) = mb -\- m' b' -p m"b",
ausdrücken kann, in denen die Coefficienten ?n, m', m" ganze Zahlen sind. Man erkennt ferner, dass diese Coefficienten in jeder der beiden Gleichungen dieselben sind, da die Grössen rtC"), //CO bez. durch dieselben Gleichungen von den ihnen vorhergehenden abhängen. Hierdurch ist bewiesen, was be- hauptet war, dass man positive oder negative ganze Zahlen
10 C. G. J. Jacobi.
m, m\ m" so bestimmen kann, dass gleichzeitig jeder der beiden Ausdrücke
ma -j- 771 a + 7n' a'
mh -\- m' b' + ni' b"
kleiner als eine gegebene Grösse wird.
Der bezeichnete Algorithmus, durch den die Glieder der beiden Reihen nach einander gefunden werden, wird nicht gestört, wenn ein Glied der einen Reihe verschwindet. Dann freilich wird das nächste Glied nicht kleiner als die Hälfte von diesem, da es nichts kleineres als ein verschwindendes Glied giebt, wenn man von den Vorzeichen absieht. Aber man erkennt leicht, dass, wenn ein Glied der einen Reihe ver- schwindet, man das nächste kleiner als irgend eine gegebene Grösse machen kann. Sei beispielsweise a =0, so tindet sich das nächste Glied
a" = — a ^J ^
wo J kleiner als irgend eine gegebene Grösse gemacht werden konnte. Unter Benutzung also dieses Gliedes und unter Vor- gabe irgend einer kleineren Grösse wird man den Algorithmus fortsetzen, bis auch die Glieder der anderen Reihe kleiner werden als die gegebene Grösse. Es können aber nie zwei entsprechende Glieder der beiden Reihen zugleich verschwinden. Denn wäre gleichzeitig
a(") = 0 , i(") = 0 ,
so gäbe es Zahlen ni. m\ m'\ für die zugleich «(") ^= ina -\- ni a -\- m" d' = 0 , ä(«) = m b + m' b' + m b" = 0 , und gleicherweise
mi -\- ni i' + m'i" = 0 .
Dass aber dies nur stattfinden kann, wenn sich nicht die drei Perioden aus zwei zusammensetzen lassen, haben wir im § 2 gesehen.
Der bezeichnete Algorithmus setzt ferner voraus , dass niemals
[61] was folgendermaassen klar wird. Sei nämlich
a(^+') =pa -\- p'd -\- p"a , bO'+O = 2^b -\- p b' -^ p" b" .
Ueber die vierfnch periodischen Functionen etc. 1 1
Dann wird
' 0 = a(")^.(«+0 _ a("+')i(") := \m'i)' — m p' ] [a'b" — ab'] -\- m' p — mp") [ab — aW) + [mp' — m p] [a b' — ab).
Diese Gleichung ivaiin aber, wie im § 2 gezeigt ist, nicht statt haben.
Setzen wir
so ist klar, dass ?"", ^^^, i^ etc. Indices der vorgelegten Func- tion werden. Wir haben mithin einen ganz bestimmten Algo- rithmus angegeben, durch den aus drei gegebenen imaginären Indices eine unendliche Reihe von Indices gebildet wird, deren reeller und imaginärer Tlieil zugleich kleiner als irgend eine gegebene Grösse wird , ohne doch gleichzeitig verschwinden zu können. Daher ist allenthalben unumstösslich bewiesen : loenn eine corgelegte Functioti drei Perioden hat^ so lassen sich diese enttceder aus zweien zusanunensetzen, oder die Functio7i hat einen Index^ der kleiner ist als Jede gegebene Grösse. Da dies absurd ist, so giebt es keine dreifach perio- dische Function.
Man sieht also, dass wir mit gutem Rechte gesagt haben, dass eine zweifache Periode die gesammte Periodicität erschöpft. Aber das gilt nur von Functionen einer Variabein. Betrachtet man Functionen mehrerer Veränderlichen, so braucht man bei weitem nicht bei einer zweifachen Periode stehen zu bleiben.
Beispiele von Functionen mehrerer Variabein, die mehr als zwei Perioden haben, bieten diejenigen Functionen dar, die ich zuerst in den »Commentatiuncula de transcendentibus Abelianis^ (Cr. J. Band IX. pag. 394) betrachtet habe. Aber dieser wichtige Gegenstand muss nochmals gründlicher er- örtert werden.
Sei
lA
u = C-\ fr + A, sin2rr -4- Ai siu4rr -f- A> sin6r/ -]-•••
n ' ' '
eine für alle reellen Werthe von (p convergente Reihe. Setzen wir fest, dass x eine völlig bestimmte Function von sin^rjp ist, z. B. eine rationale Function. Aendert mau rp in (p-\-Jt,
1 2 C. G. J. Jacobi.
so wird X nicht geändert, wohl aber wird u in u -\- 2 A über- geführt. Wenn also
X = l [u] , so folgt
l{u -\- -lA) = l[u).
Es wird daher l[u] eine periodische Function sein und ihr Index 2A.
Betrachten wir nun folgendes Integral
r^ {a-[-ßx]diX r'-{a-\-ßx)^x
J 0 y\x[i—x) ( {—Y.-^x) [Y—):^{\—(.i'^x)] ~J 0 yx '
[62] wobei x^, P, /<2 reelle positive Grössen, kleiner als die Einheit, bezeichnen. Wir untersuchen nun die Werthe, die dieses Integral bei wachsendem x für reelle Werthe zwischen — oo bis + oo annimmt. Sei x- > A- > fi'^ so unterscheiden wir 6 Intervalle, innerhalb derer x sich bewegen kann:
1. — oo . . • 0, 2. 0 ... 1 , 3. 1 V,
X-
11.11 1
4- ^■■'12^ 5. ^...-, 6. -^...oo.
Im ersten, dritten und fünften Intervalle wird der Werth von X negativ, im zweiten, vierten und sechsten positiv sein. Fragen wir nun, wie sich x in den einzelnen Intervallen so durch sin- rp ausdrückt, dass sich das vorgelegte Integral ti in eine unendliche convergente Reihe der bezeichneten Form
2A
u = C -\ (p -\- u4] sin 1(p -{- A-i sin \(p + ^3 sin 6f/) + ■ • •
entwickeln lässt. Wenn dies geschehen ist, setze man x = l[v) und hat dadurch in L[u) eine periodische Function mit dem Index 2 A^ nämlich
71
CA , Au 2A
r^du , Jq ax ^
1°. Wenn der Variabein x ein negativer Werth zukommt, so setze man
fi'^s'm'^fp
Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 13
wächst X von — oo bis 0 , so nimmt ([ von 0 bis - zu.
Führt man die Substitution aus und setzt der Kürze halber
x'2 = 1 — /.2 , A'2 = 1 — Ä2 , a'-i = 1 — «2 ^
so findet man
*^(a -\- ßx)A.x
J 0
0 y— X
2 r*^ [(/i + a|ii2; sin2(;) — p^j d(/)
]/|^(t_,/2sin2,^)|l_'''iLj^'sin2^
Setzt man
/'O (a + /:?a:)da?
2^1 = / =^
J_. >/_x
2 p t(«|t^^ + /3)sin2y-^]dy ^
'''0 |/r(l— u'2sin2f;,)|l— ''-^-^sin2f/)j| 1— ^i^\in2(^jl
so wird nun [63]
2]/=Tp
xl J 1
+ --'7
0
y— 1
1/ 1(1— tt 2sin2(y^jj 1— — ^sin-r/^ljl ry-sm-r/i||
Ich bemerke nun, dass ein Integral der Form [m -\- n sin2 (p) d (p
Jo V\n
V[{i — jo2 sin2fjf)) (1 — j2 sin^(p) (1 — r2 sin2f^)]
sofern p-, q~, 7-- reell und kleiner als die Einheit sind, sich immer in eine convergente Reihe der Form
2A
cp + A^ sin 2 tp -{- A2 sin icp -\- A^ sin 6 r/) ... ,
entwickeln lässt, wo
^•2 (^ _i_ n sin2(jp) d cp
./o yr(i —
[(1 — jo2 sin2(jp) (1 — ^2 3in2f^j (1 — ^-2 sin2(^
14 C. G. J. Jacobi.
fs'tlrd^'"'' ""''" " '" ^'' ^«^•'^°^*«^ Weise entwickeln; und
Setzt man also :. = 2(^.), sowirf ;j^,) eine periodische Func- tion mit dem Index 2m, y_i sein, oder
/.(e/4-2«, V— I) =/,(,,).
2°. Liegt X zwischen 0 und 1, so setze ich
'i-. X = sin^ff) ; es wird '^
' 0 >'(T^=^^^^"^i^^^)Tr'-i:7^^i^^ •
Setzt man also
'V«+/?a;)d^
= 2 f —^ [^^+^/^^in2£2^^^^
" l'n^^=^^^^~sin^^^j(r:=^^sln^r^)^^
clmcLtef ^^ " '^^ '^^^^^^"^^^ ^^-^ -^--kem, deren
sind. Es wird deshalb 2u, der andere Index der Function X = A{u) sein, oder man hat auch i^unciion
A (m + 2 «2) = ;. [u] . 3°. Liege nun x zwischen 1 und - , so setze ich
3. x= L______^ L
coshp + x2 sin2f/) 1 — x'2sin2^ ■
Da nun das Integral u von 0 bis x genommen wird so zer lege ich das Intervall in 2 Theile, den einen von 'o bis den andern von 1 bis r rio«« üJa • "="/"" " "it» i,
der Substitution ^"^ ^°^'" ^"' °^^^ Ausführung
Ueber die vierfacli peiiudischen Functionen etc. 1 5
U = U2
-'u [/ (l_x'2 3in2f^) /l__sm2f/)j 1 — pi [64] Setzt man
'^'^ {a -\- ßx]dix
^ rf [c^ 4
' '"«^0 y ( 1 — x'2 sin^f/)) ( 1 — '^ sin2 r/- j ( l — ^77^ sin2 (p\
y-x
[a + /i — ax'2 giii2 (^j (] (^j
so lässt sich 2^ in eine Reihe der vorgelegten Form entwickeln, deren erste Coefficienten
C = 2^2 ; A = u-i V — 1 .
sein werden.
Daher hat die Function x^^K u) auch den Index 1u-^\ — l, oder es ist auch
l[u + 22^3]/.^) = l[u] .
4°. Gehen wir nun zum vierten Intervall zwischen —
/.2
und -V— über; hier setze ich
^ _ yl'2cos2y + y.'2siu2y _ 1'2 — l;/2_;;2) sin2^
x2>l'2 cos2(p -\~ A2-/^ sm-(p x2A'i — :x2 — ;;2j sin2fp '
; sodass, wenn x von -— - bis .— wächst, w von ü bis — zu-
nimmt. Nach Ausführung der Substitution geht das vorgelegte Integral über in folgendes:
r'=(a-^ßx)Ax 2
'^ ^[A'2(a-/.2 + ,J: — (/2_A2)(c, + /j)sin2y]dy
/
16 G.G. J. Jacobi.
Da sich dieses wiederum in die angegebene Form entwickeln lässt, so hat man unter der Bezeichnung
r^_ [l'^laz'^ + ß] — (x2 — A2) sinV/9]dy
als erste Coefficienten der Entwickelung
C = ?/2 + ^fj 1 1 j -^ = ^^4 7
sodass also die Function .r = ^..(ef) den Index 2u^ hat, d. b.
/, [u -]- 2Ui) = X [u] .
1 1
5°. An fünfter Stelle liege x zwischen ^-- und -., und
in diesem Falle setzen wir:
(/2 ^«2) coS^f^ -f- (x2 ^2) gin2(^
11 (/.2 — ^i2j cos^f/) -t" ;w2 |3{2__j^ sin'2(jp
-/.2 «2 — ^^2 ^,2j gin2 fp
"" A2 ,jj,2 _ ^,21 _ ./i a^—JJ) sinV/) '
11 sodass, wenn x von -^r— bis — r^ wächst, (p wieder von 0 bis
-7- zunimmt. [65] Führt man die Substitution aus, so er- hält man:
r"^ [(x2— /<2)fca2 + /i)- (A2_^/2)(c,x24-^)sin2f/^]df/)
^«>^(^-ii^i^^"'^^)(^--;^|r2^^^^^^^^
Auch von diesem Ausdruck ist klar, dass er sich in die bezeichnete Form entwickeln lässt und
Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 17
-/*
X
-X IV T/(-/.2— «2)3
(/■•i— iit2)(ca2 + /^) — (Ä2— ,u2') (a/.2 + A')sin^</>] <!''/'
/ 2 ^(^2__^,2)(^^2
1p)('-3q?^-'-'/-)(l-;..^^,-pf>»V)
gesetzt wirtl, so sind die Coefficienten der Entwickelung
c = ?/2 + "^h y — 1 — ^1 ) ^ = — U:^ y — 1 .
Daher hat die Function x = ?, [u] auch den Index 2u;-,V — 1
oder es wird
). u + 2ur,y~[) = /,(m).
6°. Wenn sich endlich x im 6*"" Intervalle zwischen . und oo bewegt, so setze ich:
6. X = —, — '-— tan" - rn ,
^i^ ^ /2«i ' / '
und es kommt
2
t( = u, 4- tf V — l— «4 — «5 V — 1 + - , ,f X
/''' [/2 (g »2 _p ^y) _ ,,2 ^a 12 4, ß) sin2 y] d y
J. i/r. ^'- • , \/, ^^vTTTT, (x2-/2),«2 . ~ '
Wenn man, was erlaubt ist, diesen Ausdruck in die bezeich- nete Form entwickelt und setzt
w« =J -^ = ^ __~ ^ — X
diX
vx A3^t'2|/(x2^-::^)
,f
^ [A2 (a,u2 4_ ^) _ „2 (c, A2 + ß] sin2 r/^] d y
\/T. i"2 . , \/, Ä'2u2 . \ / (x2 — ;.2)«2 X
so werden die ersten Coefficienten der Entwickelung C = M2 + M3 V — 1 — u^ — W5 > — 1 , A =
Ostwald's Klassiker. 64.
18 C. G. J. Jacobi.
und die Function x = X[u) wird auch den Index 2m,; haben oder es wird
l [u + 2 'Mß) = l (w) .
Wir haben also unsere Aufgabe bereits gelöst und gezeigt, wie sich für alle reellen Werthe von x das vorgelegte Integral
('■' {a -\- ßx)dx
u
-l
0 yx
[66] in eine convergente Reihe der Form
2A
u = 6' -| • fp ^ A sin 2 (p -\~ A sin 4 r/) -|- ^ 'sin 6 (/) -)
entwickeln lässt. Und die sechs untereinander verschiedenen Entwickelungen, die wir für die sechs Intervalle, in denen sich x bewegen kann, aufgestellt haben, lieferten ebensoviel Indices der periodischen Function x = X [u] .
5.
Im Vorhergehenden haben wir für die einzelnen Intervalle solche Substitutionen angewendet, durch die das vorgelegte Integral immer in dieselbe Form
im -\- n sin2(/)) d(f
" ^[(^ — p' sin"-^/)j (1 — (/' sin2 rp) [i — r^ sin^r/^)]
übergeht, wo p'^, (f^, /•'- kleiner als die Einheit sind; zugleich
wächst cp von 0 bis — , während x von der unteren Grenze
des Intervalles bis zur oberen wächst. Dasselbe kann für die einzelnen Intervalle auch durch eine andere Substitution von der Form
d -\- e sin^^
""/+ ^ sin^r/) erreicht werden, sodass, wenn die Variable x von der unteren
TT
bis zur oberen Grenze zunimmt, zugleich cp von — bis 0 ab- nimmt. Allgemeiner hat Eichelot in einer Abhandlung, die bald das Licht erblicken wird, gezeigt, dass, wenn X irgend eine ganze rationale Function G*^®" Grades darstellt, die in reelle lineare Factoren zerlegt werden kann, das Integral
Ueber die vierfach periodischen J^inctionen etc. 19
[a + ßxjdx
"-f
vx
durch 1 2 reelle Substitutionen von der Form
d -4- e am-cp X — —
Z + ysiD-r auf die Form
k
[m -\- n &W^ip) d(p
V(l — /)- sin-ff) (l — q'^ sin^f^j 1 1 — r- sin'^y)
gebracht werden kann, wo p'^, </'-, r'^ reell, positiv und kleiner als die Einheit sind. Derselbe hat das auch auf den allge- uioinen Fall augewendet, wo X von irgend beliebiger ■2?i**' Ordnung ist. Auf denselben Fall Hessen sich daher auch die vorstehenden Betrachtungen ausdehnen. Uebrigens konnte man durch unzählige andere Substitutionen zu einer Integralform gelangen, die eine Entwickelung in eine convergente Reihe nach den Cosinus oder Sinus von Vielfachen desselben Winkels gestattet, eine Entwickelung, die allein hier nöthig ist. Doch [67] kann man nicht durch andere Substitutionen zu anderen Indiccs gelangen, es seien denn solche, die sich aus den von uns angegebenen zusammensetzen Hessen.
Aber jene Indices, die wir bezeichnet haben, von denen drei reell, drei imaginär sind, stehen in solchen Beziehungen, dass ein reeller aus den beiden anderen reellen, ein imaginärer aus den beiden anderen imaginären sich zusammensetzen lässt. Im Folgenden wollen wir dies beweisen.
Das vor^eleo-te Integral
iix) d.r
yx
ist nur bestimmt, wenn für die einzelnen Intervalle über das Vorzeichen der Wurzel eine Festsetzung getroffen ist. Da nun für jedes nächste Intervall ein neuer Factor des Radi- canden das V^orzeichen ändert, so haben wir festgesetzt, dass dadurch immer eine Multiplication mit derselben Grösse V — 1
entsteht, sodass dem Ausdrucke— = in den bezeichneten Inter-
VX Valien die bez. Vorzeichen
20 C. G. J. Jacobi.
zukommen, wenn man auch das vorgesetzte zbV — 1 zu den Vorzeichen zählen darf. Nach diesen Bestimmungen gelangen wir unter Anwendung jener oben angeführten Werthe ^^l, u-^ etc. zu der Gleichung
' + * [a + ßx] ([x
f
vx
:=: y 1 e^i -\- ?/2 -|- t/.^ y 1 Ux 11^ V 1 H- ?/(5 .
Da nun für — an Stelle von x die beiden Grenzen zusamraen-
X
fallen, so erschliesst sich uns die Beziehung
0 = — y — 1 wi + 1^2 + ^h ^^ — 1 — '^'4 — ^^5 V — 1 4- 2^6 ;
oder
oder was dasselbe ist:
_L i
f'O {a-\r ßx)äx /*?' [a + /:?^) drr p' [a + ßx]äx
/'O (a 4- /?a;) d ä; Z*^' {a-\- ßx]dx _ P"' [c
, _i_
/* Ma 4- ß^ dx r^ {a 4- ßx) äx _ r^^ ja -\- ßx) Ax
' 0 Vx^ Ji Vx ~A y^ '
wobei y — X und V X immer positiv genommen werden. Da jedoch wegen der Zweideutigkeit des Radicales VX ein an- derer Beweis der vorstehenden bemerkenswerthen Formeln erwünscht ist, so wollen wir sie aus einem speciellen Falle des AbeV&chQu Theorems herleiten. Dies möchten wir hier ge- nauer auseinandersetzen.
[68] 6.
Betrachten wir folgende kubische Gleichung
f{x) =x[V — yi'^x) (1 — ^i'^x) — h[V—x)[\.— r-x) = 0 ,
deren drei Wurzeln wir als Functionen von h auffassen. Sei wieder
1 > x'-i > P > ^^2 ;
wenn h positiv ist, so erhält für
Ueber die vierfucli periodischen Functionen etc. 21
1 1 1
x= - oo, 0 , 1 , -^, .— , -^ , 4- oo
die Function j\x\ die Zeichen
Daher sind die 3 Wurzeln der kubischen Gleichung reell, eine zwischen ü und 1, die zweite zwischen -—■ und -r— , die dritte
1
zwischen — ., und + oo- Wenn // negativ ist, so wird die Function f[x) für dieselben Werthe von ./- mit den Zeichen
-, +, +, -, -, +, +
der Reihe nach behaftet. Auch in diesem Falle sind also die
3 Wurzeln der kubischen Gleichung reell, die erste negativ,
die übrigen positiv, und zwar die zweite zwischen \ und
1 1 1
— , , die dritte zwischen -^^ und ~~ gelegen. X- /- a-
Differentiirt man die vorgegebene Gleichung, so kommt
leicht
d// 1 1 — z^ }:- — u-
hAx X ' [\—x][\—-/C-x) ' {\~}:^x)[\^ii'-x)
_ 1 X2— /2 «2
~~ x[\—x] [\—v:-x)[\—)r-x] \~^a^ '
Diese Formel lehrt,
1. wenn h positiv ist und x entweder zwischen 0 und 1,
oder zwischen — - und v- , oder zwischen — - und
00 liegt,
2. wenn h negativ und x entweder negativ, oder zwischen
1 und — — , oder zwischen ^- und - liegt,
d^ so wird der Ausdruck ~-r immer positiv. In beiden Fällen d/<
mithin, mag li positiv oder negativ sein, werden alle 3 Wurzeln
der kubischen Gleichung gemeinsam mit li beständig wachsen
oder abnehmen. Nun aber:
22 C. G. J. Jacobi.
für // =^ — oo , werden die Wurzeln — oo , 1 , y^,
1 1
- A = 0 , - - - 0 , -^7, — ,
1
- Ä= + 00, - - - 1, -^— , +00.
[69] Wenn wir daher in jedem Falle die Wurzeln ruit a, b, c
bezeichnen, und zwar als erste, zweite, dritte Wurzel der
Grösse nach geordnet, so sehen wir, dass gleichzeitig und
continuirlich wachsen :
1 1
7/ von 0 bis 4- oo , a von 0 bis 1 , b von — bis -rr,,
c von — - bis + oo ,
h von — oo bis 0 , a von — oo bis 0 , b von l bis — ,
e von ^— bis — - . /^ /«-^
Daher wachsen auch gleichzeitig und stetig:
h von — ^oo bis -|- oo , a von — oo bis 1 , b von l bis t^,
r von ^r- bis + oo .
Nun setzen wir fest, dass, wenn k von /iq bis //, wächst, zugleich a von a^ bis «, , b von Z>o bis ^i , c von Cy bis q wachsen. Setzt mau
dx "J '^^ ' so folgt durch Differentiation der vorgelegten Gleichung
f[7:)dx — (1 —x)[\ — 'k'ix)dh = 0, oder wenn man substituirt
(1— :^•)(l — 22.r)VÄ= __
l/[.r(l — .r) (l — -/2^';! (l — l'^x) (l — ii^x)\ = Vx und mit a -\- ßx multiplicirt
(« + ßx) Ax _ {a + ßx)Vi
VX " yTifix]
Ueber die vieif:icli periodischen Functionen etc. 2'i
Setzt man in dieser Formel an Stelle von x seine drei Werthe a^ b, <?, so entstehen die drei Formeln:
r'"{a-i-ßx)dix _ /•'"(« + ßa)d/i ''a„ Vf "''ho y/if ia) '
/''" (« + ßx] dx _ /•'" {a + ßb) &h Jio VZ "A-o ~yJf~[b]~'
/'^>(a -{- ßx)äx _ r'^'ia -]- ßc)äh «^co VX ~''i>o \Tif'[r)
Da unn aber nach einem sehr bekannten algebraischen Satze
ii + ßii , « + ,^^> , « + /^^- ^ ^
so geht, wenn man summirt und \h überall mit demselben Vorzeichen nimmt, aus den drei obigen Formeln hervor:
^'"'[a -\- ßx)dix , ^ /'«"(« 4- /i^) da;
r"^{a-\-ßx)dx , /'
yx -^io yx
+ £.J ^ ^,U^ = 0
ro
Vx
die wegen der Zweideutigkeit des Radicals beizufügenden Fac- toren t, «i , 60 bezeichnen entweder -|- l oder — 1.
Zur Bestimmung dieser Factoren £ , £1 , £2 bemerke ich, dass in unsere Rechnung das Radical VX an Stelle des Ausdruckes
VX = {].—x]{\ — V-x)Vh
[70] in unsere Rechnung eingeführt wurde, ein Ausdruck, der mit demselben Vorzeichen behaftet ist, wenn x zwischen
— 00 und 1 und auch wenn es zwischen — und -|- 00 liegt,
mit entgegengesetztem Vorzeichen aber, wenn x zwischen 1
und -r^ liegt; oder für die erste und dritte Wurzel, a und r,
hat es das gleiche Vorzeichen, für die zweite Wurzel b da- gegen das entgegengesetzte. Daher darf man setzen
24 C. G. J. Jacobi.
Dadurch wird unsere Gleicliung
'"' (« 4- ßx) d.r /'^i (« + ß.r) dx f^' (a + ßx] äx
T'" (a 4- /i:r) d.r /'^i (« + /i'.r) d:r _ /"^' (a
yx
In dieser Gleichung müssen die drei Radicale V X mit dem- selben Vorzeichen genommen Averden. Wir sehen auch, dass
1 1
und
(/(^ = 0 , bf^ = ~ , (y
1
«1 = 1, '•'i = X^ • ^1 = + CO
zusammengehörige Werthe sind, die den Werthen
7/^ = 0, //i ^ + '^'o
entsprechen. Dann aber entspringt der vorgelegten Formel
die Gleichung
I
r^ {a-{- ßx)dx r " [a + ßx)dx _ r^'{a + ßx]dx Jo VX ''±_ V^ ~-'±_ Vx
Ferner wird gleichzeitig
1
«0 = — OO , r,) = 1 , ro = ^ ,
l
,2 '
entsprechend den Werthen von 7/
7^0 ^= — oo , 7/j = 0 .
Aus der aufgestellten Formel fliesst damit, wenn wir zugleich durch 1' — 1 dividiren:
j^ _|_
f^^{a-\-ßx)dLx ri'''{a -{- ßx)dx r^ [a -\- ß x) d x
n [u H- ßx] dx r>''{a-{- ßxjdx _ f"'
V—X
Auch iu diesen Formeln müssen die Wurzeln } X und V — X mit demselben Vorzeichen genommen werden. Dies sind die Formeln, die zu beweisen wir uns vornahmen und die wir
lieber (He vierfach periodischen Functionen etc. 25
aus der obigen allgemeineren Formel über unbestimmte Inte- grale hergeleitet haben.
Bei der vorliegenden Frage war vorausgesetzt, dass // die Variable x nicht enthalte; das von Abel aufgestellte Theorem stützt sich auf die viel allgemeinere Annahme, dass // das Quadrat irgend einer rationalen Function von x sei.
[71] 7.
Im Vorhergehenden ist dargethan, dass sich die sechs von uns aufgefundenen Indices
Wi > — 1, Ui^ Mjl — 1, u^ ^ U:,\ — 1, «6
mit Hülfe der Formeln
u^ + u-^ = ^^3 , it^ + ^z,; ^ u^,
auf vier zurückführen lassen. Als solche setzen wir fest
?/2, W(i ; ?<il — 1 , «5^ — 1 •
Allgemein aber können weder u-i und ?Z(i noch u^y — 1 und M5V — l auf denselben Index zurückgeführt werden, oder es sind Ui und «g , sowie auch u^ und u--, unter sich incommen- surabel. Daher wird die Function x = 'L'vu] vier Indices haben, die nicht auf eine geringere Anzahl zurückgeführt ■werden können, oder sie wird vierfach periodisch sein. Dass es schon keine dreifach periodische Function giebt, ist oben ausführlich dargelegt. Dass aber dieser Fall, wo zwei incommensurable Indices reell, zwei incommensurable imaginär von der Form u^y — l, u--y — 1 sind, absurd ist, steht schon aus § 1 fest. Es gäbe nämlich zufolge der dort angestellten Erörterungen für die Function x = 'L{u) Indices A und A'V — 1 , wo A und A' reelle Grössen und kleiner sind als irgend eine ge- gebene beliebig kleine Grösse. Daher würde die Function X[v) ungeändert bleiben, während u alle reellen oder imaginären Werthe annehmen könnte oder unter der Zahl der Werthe, die u bei ungeänderter Function K[u] annehmen könnte, wür- den immer etliche sein , die sich von irgend einer reellen oder imaginären Grösse um weniger unterscheiden, als eine beliebig kleine gegebene Grösse. Das aber ist absurd.
2G C. G. J. Jacobi.
Zu noch mehr Perioden kommen wir, wenn die Function X, die unter der Wurzel steht, zu höherem als dem 5^**" oder gtea Qvade ansteigt. Im Allgemeinen nämlich, wenn X von der 2w*^" oder [2n — [)^^^ Ordnung ist und man setzt
^/
y{x] d X
yx
wo yi^) irgend eine gegebene ganze rationale Function ist, erscheint x als Function von ti mit 2 w — 2 Indices, die ausser in Specialfällen nicht auf eine geringere Zahl zurückgeführt werden können; und zwar sind, wenn die Coefficienten von X reelle Grössen sind, n — 1 reell, n — 1 imaginär.
Auf dieselbe Weise nämlich, wie oben, wird im all- gemeinen Falle das Folgende dargelegt. Sei
X = .r( l — .r) (l — /;^.r) (1 — /t.r) (1 — ^n-i^] ,
wo
1 >■ X- >> /J . . . . > X5„__5 -> '^•In-i ,
die Gleichung n^"' Ordnung [72]
x{{—yrx){i— xlr)- • • • (1— x|„. ^x) =Ä( 1 —x){ \~'4x)- ■ • -{i—^u-tx)
hat ti reelle Wurzeln; bezeichnen wir diese der Grösse nach mit a, , «2 7 ' ' ■ ■ <^n-, so wird, wenn h von — oo bis 0 und dann von ü bis + oo wächst, a, von — oo bis 0 und darauf von 0 bis 1 zunehmen;
«o von 1 bis -T und sodann von ^7 bis -^7,
^ X.] X5 x^
allgemein a,„ von -:, bis — und sodann von — bis —^ ,
X-}„j — f) '■^im^i ''^im — i X2,„_3
und zuletzt a„ von -ö bis -^ und sodann von —, bis + 00 .
Xön — S '^5)1 — 4 '^-in — i
Wenn nun, während h von A'"' bis Ji wächst, a„, von o|l** bis a',„ zunimmt, so wird aus
pßx^äx _ r4f{x]£x ^ _^ r<f{x\^x ^ ^
''af^ yx -'«f vx -'«1?' yx '
lieber die viorfacli periodischen Functionen etc. 27
wobei f{.r) eine beliebige ganze rationale P'unction {n — 2)^*" Ordnnng bezeichnet. Aus dieser Formel gehen zwei specielle hervor
y-l
"4u-if{x] dz
/?
0
V—X
In diesen Formeln sind die w Wurzeln VX und j — X mit demselben Vorzeichen zu nehmen. Es werden die 'In hin- geschriebenen bestimmten Integrale, wenn man sie verdoppelt und bei den ??, ersteren V X an Stelle von V — X schreibt, die Indices der Function x == l [u) sein, ti davon reell und Ji imaginär, die durch die zwei vorhergehenden Gleichungen auf n — 1 reelle und n ■ — 1 imaginäre zurückkommen ; nur in speciellen Fällen können sie auf eine geringere Zahl zurück- geführt werden.
Aus dem Vorausgeschickten schliessen wir: y> gerade so ivie die Kreisbogen für dcnselbeyi Sinus unzüh- •»lige von einander gleich iveit abstellende Werthe annehmen ., ygerade so tcie es zu demselben Nunierus unzählige Loga- -»rühmen giebt^^ die von einander um dieselbe imaginäre •»Grösse abstehen; gerade so icie die elliptischen Integrale »für denselben Werth des Sinus der Amjjlitude doppelt un- » endlich viele Werthe annehmen^ da Ja sotcohl ihre reellen,
m'
lacobi.
»tftV? i/tre iittaginäreti Bestandtheilc zugleich unzählig viele » ll'erthe erreichen, die con einander gleich treit ahsfehe». »[73] HO fuhren die Abel sehen oder htjperellip fischen Intc- yignile, d. h. Integrale, in denen unter dem Integralzeichen ^cine Quadra/irurzel aua einer Function ron höherem als dem SS-/''" Grade steht, eine so starke Vielfaihheit ton Werthcn umit .sich, dass sie für will kiirl ich gegehenc Grenzen alle » beliebigen reellen oder imaginären Werthe annehmen, oder >dass sich unter all den Wcrthen, die dasselbe Integral für y dieselben icillkürlich gegebenen Grenzen annehmen haptn, nimmer solche befinden, die sich ton einem beliebigen ge- ygebenen reellen oder imaginären Werthe um iceniger unter- i scheiden als irgend eine gegebene, noch so kleine Grösse, t^ Es ist aus dem Vorhergeheuden klar, dass, sowie X von höherem als dem 4**" Grade ist, x nicht mehr als analy- tische Function von u angesehen werden kann : auch sieht man nicht, wie man die allgemeineu Methoden, auf rieten Ornnd ehedem die analytische Trig:onometrie nnd jüngst die Theorie der elliptischen Functionen aufgebaut ist, auf die -4/Wschen Transcendenten anwenden könnte. Doch aus dieser gleichsam verzweifelten L:ige giebt einen einzigen Ausweg eine Ueberlegung. die wir von ganz anderen Betrachtungen aus- gehend in einer früheren Abhandlung {Cr. J. Bd. 9 S. :iÜ4fgg.) anseinandergesetzt haben und die allein nach nnserer Meinung geeignet ist, die viAr/'schen Transceudenten in die Analysis einzuführen, und hier die Schwierigkeiten, die aus der Viel- fachheit der lnt<;gralwerthe entstehen, hebt. Diese Sache will ich mit einer leichten Aenderung kurz wiederholen.
"^^
Sei wiederum X eine rationale ganze Function 5*" oder r.'*"^ Ordnung; wir wollen setxen
/'- {a-\~ßj:)i.T n (g-ri^jdx ^ ^
L vx •'* vx
wo a, b, rt, ß, «'. ß' Oonstante bezeichnen, x und y dürfen als Wurzeln einer quadratischen Gleichung
H, «CS, Tij^
* %
Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. Ux"^ — U'x + U"= Q
29
betrachtet werden, wo ?7, U\ U" Functionen von w, u' sind. Wenn nun u als Summe mehrerer Integrale
/
(a 4- ß x] dx
und zugleich u' als Summe von ebensoviel Integralen
'{c('-[-ß'x)dx
ß
yx
gegeben wird, die bez. zwischen denselben Grenzen genom- men werden: so erhält man aus dem ^ie/'schen Theorem ?7, U', U" als rationale Functionen dieser Grenzen und der Werthe, [74] die VX für dieselben annimmt. Und in diesem Falle werden daher die beiden transcendenten Gleichungen auf algebraische zurückgeführt. Dies ist die geeignete An- wendungsweise des AöeP&chen Theorems, wenn X den 5*®" oder 6*«° Grad hat.
Ein sehr einfaches Beispiel dieses umfassenden Theorems haben wir oben gegeben. Es folgt nämlich aus dem früher Erkannten, wenn wir setzen
X = xn —x){\— y.'^x) ( 1 — ?ßx] f 1 — i.i^x)
wo 1>/2>Ä2
.«2, und unter der Annahme der beiden
transcendenten Gleichungen
{a -\- ßx) dx fy [ct-\- ßx)dx
VX J± vT
^(a'-f ,/.r)da; f'J [a -\~ß'x)dx
VX
-l
Vx
[a + ßx] dx VX
f [ct' + ß'x)dx
dass X, ij sich durch z ausdrücken lassen als Wurzeln der quadratischen Gleichung :
'\-z){\-l'iz]x[\-y^x)[\-a'^x)-z[i-y.'iz)[\-u'^z)[[-x){\-/:^T]
= 0
oder
wo
üx^
U'x-^ U" = 0
■n.:7^
'^jIä''^"'.
-^ite>."'^..^,.1!l
|
..,M |
^l llfe
m
*-^^^
BK'-'' QHB2t'' d^S^^I
■m^^^äm
28 C. G. J. Jacobi.
»U'ie iJire imaginären Bestandtheile zugleich unzählig viele » TVerthe erreichen, die von einander gleich weit abstehen, »[73] so fuhren die AbeV sehen oder hyperelliptischen Inte- •»grale, d. h. Integrale, in denen unter dem Integralzeichen yeine Quadrattcurzel aus einer Function von höherem als dem y>4ic" Grade steht, eine so starke V^ielfachlieit von Werthen ■»mit sirJi, dass sie für willkürlich gegebene Grenzen alle ■»beliebigen reellen oder imaginär e7i Werthe annehmen, oder »dass sich unter all den Werthen, die dasselbe Integral für »dieselben willkürlich gegebenen Grenzen annehmen kann, »immer solche befinden, die sich von einem beliebigen ge- »gebenen reellen oder imaginären Werthe um weniger unter- »scheiden als irgend eine gegebene, noch so kleine Grösse. <^ Es ist aus dem Vorhergehenden klar, dass, sowie X von höherem als dem 4'*^" Grade ist, x nicht mehr als analy- tische Function von ti angesehen werden kann ; auch sieht man nicht, wie man die allgemeinen Methoden, auf deren Grund ehedem die analytische Trigonometrie und jüngst die Theorie der elliptischen Functionen aufgebaut ist, auf die AbeV&chQM Transcendenten anwenden könnte. Doch aus dieser gleichsam verzweifelten Lage giebt einen einzigen Ausweg eine üeberlegiing, die wir von ganz anderen Betrachtungen aus- gehend in einer früheren Abhandlung [Cr. J. Bd. 9 S. 394 fgg.) auseinandergesetzt haben und die allein nach unserer Meinung geeignet ist, die ^Äe/'schen Transcendenten in die Analysis einzuführen, und hier die Schwierigkeiten, die aus der Viel- fachheit der Integral werthe entstehen, hebt. Diese Sache will ich mit einer leichten Aenderung kurz wiederholen.
Sei wiederum X eine rationale ganze Function 5*''*' oder (jter Ordnung; wir wollen setzen
*■'• (a -f- ßx]Ax ni [a + ßx) Ax _
r- [ci-\-ßx)dix r
Ja vx -h yx
r--« [a -1- ß'x)dix i'y {a-irß'x)diX
''a yx '';- yx
= u
wo a, b, a, ß, a' . ß' Constante bezeichnen, x und y dürfen als Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. 29
Ux-i — U'x + t7" = 0
betrachtet werden, wo C", Ü7', U" Functionen von u^ u sind. Wenn nun u als Summe mehrerer Integrale
/
(a -\- ß x\^x
und zugleich u' als Summe von ebensoviel Integralen
P
VX
gegeben wird, die bez. zwischen denselben Grenzen genom- men werden: so erhält man aus dem AbePschen Theorem U, U', ü" als rationale Functionen dieser Grenzen und der Werthe, [74] die V X für dieselben annimmt. Und in diesem Falle werden daher die beiden transcendenten Gleichungen auf algebraische zurückgeführt. Dies ist die geeignete An- wendungsweise des ^^eZ'sclien Theorems, wenn X den 5*®" oder 6*«" Grad hat.
Ein sehr einfaches Beispiel dieses umfassenden Theorems haben wir oben gegeben. Es folgt nämlich aus dem früher Erkannten, wenn wir setzen
X = x'A—x)[l— yßx) (1 — /ßx) [i — i.i^x) , wo 1 ^ -/^ ^ /2 ■--> ,<2^ i^iii(j unter der Annahme der beiden transcendenten Gleichungen
r* [a + ßx) dx rv [a + ßx) äx __ j' [a -f ßx:, d.r
^'ü Vx 'A Vx "'A yx '
r^ [a -\-ß'x)diX l'y {cc'^ß'x)dx _ r' [a' -{- ß'x]dx
'K yx J^ vT "-'l VT '
dass rr, y sich durch z ausdrücken lassen als Wurzeln der quadratischen Gleichung :
'\~z){\-l'^z)x[\-yßx)[\-^i'^x]-z[i-yßz)[\-u'^z){{-x){\-l''-x) __
X — z oder
Ux'^— U'x + C7" = 0, wo
30 C. G. J. Jacobi.
Cr' = (l— X2^i(l — //2~^
Wir haben nämlich bewiesen, dass eine andere transcendente Gleichung statt habe, wenn x^ y^ z Wurzeln der kubischen Gleichung
^(l — x2^) 1 1 — fi^x) = h[\ — X- (l — A2.r)
sind ; aus ihr erhalten wir nach Elimination von li mit Hülfe der Formel
(1 —z] (1 —X^z]
und nach Division durch x — c, die übrigen Wurzeln .r, \j als Wurzeln der vorgelegten quadratischen Gleichung. Da nun jene Gleichung in keiner Weise durch die Constanten a, /i berührt wird, so genügen dieselben algebraischen Gleichungen zwischen .r, y, z auch einer anderen transcendenten Gleichung, in der sich statt a, /i andere Constanten a', ß' vorfinden. Auch würde nichts Neues hinzugefügt werden, wenn wir eine dritte transcendente Gleichung anreihten, in der wieder andere Constanten a ", //' für a, /i' gesetzt sind. Denn wenn durch die zwischen x, y, z bestehenden Beziehungen den beiden vor- gelegten transcendenten Gleichungen genügt ist, so entspringt eine neue Gleichung
{m -\-nx]^x py [m -\- nx) d :r /'^ [rn -\- ?^.r) d.r
r-^ {m + nx] Ax P'J {m -\- nx) d :r /*
Jü yx -'i yx ~M
_ yx
was auch die Constanten m, n sein mögen, ganz von selbst.
[75] 10.
Wir haben oben sechs Substitutionen der Form d -\- e sin-rp
gegeben, mit deren Hülfe wir in den verschiedenen Intervallen, zwischen denen x enthalten ist, das Integral
Ueber die vierfach periodischen Functionen etc. '.\\
r
./,
I A
in die Form brachten, die eine Entwickehing in folgende con- vergente Reihe gestattet
I ' ' — z= C -4 w -\- A sin 2 q -\- A sin 4 rp
+ Ä" sin G r/- • • • •
Da nun jene Substitutionen keineswegs von den Constanten <7, [i abhängen, so wird in jedem Falle durch dieselbe Sub- stitution auch für andere Constanten «', ß' die convergente Entwickelung
, — = C -\ ff-\-B sin 2 (/--{- jö sin 4 cp
+ B" sin G ry^ + • • • •
gefunden. Für einen gegebenen anderen Werth y erhält man durch dieselbe Substitution oder durch eine andere
d' -\- e' sin2 ip ^ ^ f + 9 sin2 iij '
die für das Intervall, in dem sich y bewegt, anzuwenden ist, die folgenden convergenten Entwickelungen:
/ ^ '^' — = 6*3 H ip + A[ sin 2 ih + A'{ sin 4 ip
''b \X ^
+ A'[' sin 6 t/; + ■ • • •
\ X ^
+ B'C sin 6 «/;+••• •
Setzt man
/•■'■ [ce + ßx)dix _. f'J [ci + ßx)Ax
Ja yx Jh yx ~~^'
r^ {a-{-ß'x)Ax r>> {a'-^ß'x)dx _ ,
Ja VX Jb VX ~~ '
so erkennt man jetzt, dass bei Aenderung von cf in cf-\-m^, von j/' in ip-{-in'7r, wo m, m beliebige ganze positive oder negative Zahlen vorstellen, gleichzeitig
./
32 ^- ^^- J- Jacobi.
H in u -\- '2 mA -\- 2 m' A\ II in li -\- 2 m B -\- "1 fn B^
übergeht, dass aber x und y beide ungeändert bleiben. Hier sind A^ A^ zweien von den früher angegebenen sechs Grössen
— =^ , 1(2 , «sV— i , — W4 , — M5 y— 1 , wp ,
y — 1
gleich, nnd zwar beide derselben oder verschiedenen, und B^ Bi sind die Grössen, in die A, A^ [76] übergehen, wenn an Stelle von a, ß gesetzt wird «', (i' . Wenn dabei jene sechs Grössen in die folgenden
, W] , W3V— 1, — ?/4, ~'',-,K — 1, Mfi
Übergehen, so folgt, dass bei gleichzeitiger Aenderung von
n in ?/ 4- ^^^^-=^ + 2m' ih + 2m"v.\' — 1 + 'Im'" 11^
und von
u' in •«'+ " ^L + 2m' iio + 2?n"u'^V — 1 + 2m"'?4
y— 1
sich :?•, y nicht ändern ; m, ntym"^ rn" bezeichnen beliebige ganze Zahlen. Die Indices 2w3y — 1, 2^4 und die ent- sprechenden 2w3y — 1, 2^4 haben wir weggelassen, da sie auf die übrigen zurückgeführt werden. Gefunden ist daher folgendes für die Perioden unserer Functionen grundlegende Theorem :
F u n d a m e n t a 1 - T h e 0 r e m .
Sei
X = x{[—x) (l — x2.7:) (1 — A2.-r) (1 —!.i^x) ,
sei ferner
ßx)^x _ . ^ p^ {a -{- ßx)diX _
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K— X «^0 yx 1
" y=x '' ' "A yx
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VJeher die vierfach periodischen Functionen etc. 33
r'i^{a' + ß'x)Ax _ r - {a' + ß'x)üx _ .
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seie/i endlich x, y hetrachtet als Fiunctionen
X = ?.[((, u') , y = ^''{i(, u')
rnn Grössen n, u', die durch die Gleichungen r^ [a + ßx)ix r'J [a -^ ßx)^x _
K yx Jb yz ~ '' '
/'■'■ {a' + ß'x)dix r-'J {a'-\-ß'x)dx _ , ^'a vT 'Ib VT ^^ '' ' f/egchen sind, so wird, sein : ■ lu -\- fiiii V — l + Wi'?2 + m"/3y — 1 -\- m"'i^ ,\ . , ,
'• l/^mi[V—i-\- jfi'i;, -f m"i!,y^ 4- 7,i"'i', j "" ''■ ^"' " ' '
. ,lu + ?nii y — l + m'i) -\- m"i^y — 1 + m"'ii ,\ , , ,
^' U-^mi[y — l + m.'?i + m"?"a — T+ «/"/^ / ^ '^ ^"' "''
welches auch die Werthe der 'positiven oder negativen ganzen 'Zahlen w, m', w", m'" sein mögen.
[77] Die Art der Periodicität, die im soeben ausgesproclie- neii Theorem erklärt ist, hat nichts, was den Gesetzen der analytischen Functionen zuwider liefe. Freilich lassen sich immer Zahlen m, m', ni\ m'" so bestimmen, dass einer der beiden Ausdrücke
u -\- m' i=y -\- m"'i^ + i^^ii + m"ii)V — l , 2i' -{- ni i'.> -\- m"'i[ -\- [mi[ -|- ni'i'i} \ — 1
von einer beliebigen gegebenen Grösse
p + (?y-T
um weniger als irgend eine noch so kleine gegebene Grösse abweicht; doch kann dies im Allgemeinen nur dadurch er- reicht werden, dass jene Zahlen über alle Grenzen wachsen;
Ostwald's Klassiker. (14. ;i
34 C. G. J. Jacobi.
wenn also der eine Ausdruck der gegebenen Grösse fast un- endlich nahe kommt, so wird der andere zugleich unendlich gross werden. Daher sehen wir, dass in unseren vierfach periodischen Functionen zweier Veränderlicher
X = X[u, u') , y = ^ (w, w')
dann das eine Argument unbestimmt wird, wenn das andere ins Unendliche geht. Das aber hat nichts Absurdes.
Wir sehen, dass man für dieselben Werthe von ar, y nicht nur das eine Argument um eine bestimmte Grösse ändern darf, während das andere ungeändert bleibt, sondern dass immer jedes der beiden Argumente eine Aenderung erleidet, so dass durch den Index des einen Arguments der des anderen durch- aus bestimmt ist. Das ist die charakteristische Eigenschaft dieser Art von Periodicität, ohne die sie nicht bestehen könnte.
11. Nach dem ^Ä^/'schen Theorem steht fest, dass wenn X —- L [u, v'] , 1/ -^ l' (w, n']
gesetzt wird, die Functionen
X), -^ Xnu, Uli] , y„ ■= ).' {nu , nii')
als Wurzeln der quadratischen Gleichung
Unx'- - ^,/;^r + u: -= o
gegeben sind, wobei ?/„, Z7,', Uli rationale Functionen von a:, y, Y X, V F sind, wenn Y dieselbe Function von y wie X von X ist. Daher ist auch offenbar, dass man umgekehrt X, y aus x^,^ y,, durch die Auflösung algebraischer Gleichungen erhalten kann. Auch kann man aus dem fundamentalen Theo- rem bereits schliesseu, dass deren Ordnung n^ sein wird. Für « = 2 kann man dies mit Hülfe des AbeVi,Q\iQ\\ Theorems bestätigen; und dasselbe Theorem liefert uns sogar leicht die Auflösung der Gleichung 16*«" Grades, die bei der Zwei- theilung [78j auftritt, durch blosse Ausziehung von Quadrat- wurzeln. Das wollen wir bei anderer Gelegenheit weiter verfolgen.
Wenn aber Transformationen gegeben sind, so schliesst man leicht aus demselben Theorem, dass man zur Multipli-
Uebcr die vieriacli periodischen Functionen etc. :;5
cation gelangt, iudem man vier Transformationen w'*' Ordnung nach einander anwendet; daher wird die Gleichung vom Grade n*, die bei der Zerlegung in ?i Theile erforderlich ist, auf vier Gleichungen //*"" Grades zurückgeführt, wenn man die Theilung der Indices als bekannt voraussetzt. Diese aber hängt, wenn //■ Primzahl ist, wie man leicht schliesst, von einer Gleichung der Ordnung l -{- n -\- n- + n^ ab. die im Allge- meinen nicht lösbar ist, und von einer zweiten Gleichung
n — 1 der Ordnung — - — , die eine Lösung zulässt, sofern man die
Wurzeln Jener als bekannt voraussetzt. Auch wird, wenn n Primzahl ist, l -\- ti -\- rfi -|- n^ die Zahl der Transformationen derselben ^i*^" Ordnung sein und von diesen werden 1{n-\- 1) reell sein.
Geschrieben 14. Febr. 1834.
3*
Auiiierkiiugeii.
Die berühmte Abhandlung von Jacohi^ die hier in deut- scher Uebersetzuug den Mathematikern vorgelegt wird, ist zuerst im 13. Bande des Cre/(?e'schen Journals im Druck erschienen, und trägt das Datum 14. Febr. 1834, Ein Vor- läufer ist die im 9. Bande desselben Journals gedruckte Ab-, handluag vom 12. Juli 1S32 »Considerationes generales de transcendentibus Abelianis«. Beide Abhandlungen sind wieder abgedruckt im 2. Bande der Gesammtausgabe von Jacohi'i Werken. In unserer Arbeit legt Jacohi die ersten festen Grundlagen für die Theorie der mehrfach periodischen Func- tionen, die als die Umkehrungs-Functionen der algebraischen Integrale auftreten.
Unsere Abhandlung behandelt zwei verschiedene darauf bezügliche Fragen.
Den ersten Theil bildet eine Untersuchung über die Mög- lichkeit von Functionen ein«r Variablen mit mehr als zwei nicht auf eine kleinere Anzahl zurückführbaren Perioden oder mit zwei reellen incommensurabeln Perioden.
Jacohi leitet hier den Satz ab, dass eine Function einer Veränderlichen mit drei Perioden, zwischen denen keine lineare homogene Gleichung mit rationalen Coefficienten besteht, noth- wendig eine Periode haben muss, deren absoluter Werth, ohne gleich Null zu sein, unter einer beliebig kleinen Zahl liegt, oder, wie man sich kurz ausdrückt, eine unendlich kleine Periode. Dasselbe findet statt bei Functionen mit zwei Pe- rioden, die in einem reellen, nicht rationalen Verhältniss zu einander stehen. Diese Beweise sind vollkommen einwandsfrei. Nun aber sagt Jacohi mit kurzen Worten, ohne weitere Be- gründung, dass solche Functionen unmöglich seien, dass ihre Annahme absurd sei (S. 4, 14), und dieser Punkt hat in der Folge zu mannigfachen Bedenken und Erörterungen Anlass gegeben. Der Erste, der dagegen einen Einwand erhob, war wohl Göpel in seiner Abhandlung im 35. Band von Cr eile' % Journal (Theoriae Transcendentium Abelianarum primi ordinis adumbratio levis [1847]), die in einem der nächsten Bändchen
AumerkuTigen. 37
dieser Sammlung erscheinen soll. In einer Redactionsnote bat jedoch Jarohi diesen Einwand kurz zurückgewiesen.
Vollständige Einsicht in diese Frage, wenigstens soweit sie sich auf die ^6e/'schen Transcendenten bezieht, ist aber schon in der grossen Iiiemcm7i^ sehen Abhandlung über Abel- sche Functionen [Crelle\ Journal Bd. 54 1857) zu finden. Alles wird unmittelbar anschaulich, wenn man die Riemann- schen mehrblättrigen Flächen und die conforme xVbbildung zu Käthe zieht. Dann ergiebt sich, wie Riemann in Art. 12 nachgewiesen hat, dass durch ein einzelnes Integral erster Gattung vom Geschlechte p die einfach zusammenhängende Biema mische Fläche, in der die Abel' sehen Integrale ein- deutig dargestellt sind, auf ein endliches Flächenstück ab- gebildet wird, welches von p Parallelogrammen begrenzt wird.
Das Flächenstück wird bei Veränderung des Argumentes um Perioden mit sich selbst congruent wiederholt, und diese Wiederholungen bedecken, wenn p grösser als l ist, die Ebene unendlich oft. Es entsteht also eine unendlich vieldeutige 2/>fach periodische Function, die aber in der Umgebung eines jeden einzelnen Werthes den Charakter einer analytischen Function hat. Diese 2 /j fach periodischen Functionen sind aber an sich keineswegs absurd, sondern sehr wohl definirt und verständlich.
Es ist jetzt wohl schwer noch festzustellen, welche Vor- stellung Jacobi über diesen Punkt hatte und wie seine kurzen Aussprüche in der vorliegenden Abhandlung zu verstehen sind. Dass er bereits eine der JRiemann' sehen ähnliche klare An- schauung hatte, halten wir nicht für wahrscheinlich. Wahr- scheinlich ist aber die von Het^mite ausgesprochene Ansicht richtig, dass Jacobi dabei nur an eindeutige analytische Func- tionen gedacht hat, die sich nach Art der elliptischen ver- halten. Dass es solche Functionen mit unendlich kleiner Periode nicht giebt, und dass also für diese Jacobis Aus- spruch vollständig zutreflend ist, können wir kurz so zeigen.
Wenn f{z) eine einwerthige analytische Function des complexen Argumentes z ist und Z(^ eine beliebige nicht singu- lare Stelle, so lässt sich bekanntlich z in einer endlichen Umgebung von Z(f in eine Reihe der Form
/(-) =f[H) + (^--o)/'ro) + *^f=|^/"N + • • •
entwickeln.
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38 Aunicrkimsren.
Wenn nun alle Diflferentialquotienten ./'(^o), f"{ verschwinden, so ist f{z) eine Constante und jeder beliebige Werth kann als Periode betrachtet werden. Andernfalls sei /■(')(cy) der erste nicht verschwindende Differentialquotient. Dann ist
und nun kann man um den Punkt ;:;o eine Umgebung ab- grenzen, in der die rechte Seite dieses Ausdrucks überall von Null verschieden ist. Hat nun aber f[z) eine unendlich kleine Periode, so giebt es in dieser Umgebung einen von z^ ver- schiedenen Punkt z, für den f[z) =f[zQ) ist, und dies er- giebt uns einen Widerspruch.
Bei Functionen eines reellen Argumentes genügt schon die Annahme der Eindeutigkeit und Stetigkeit^ um die Un- möglichkeit einer unendlich kleinen reellen Periode bei nicht Constanten Functionen nachzuweisen.
Wenn nämlich eine Function reellen Argumentes, f[x)^ eine unendlich kleine Periode hat, so hat sie auch eine Periode, die jedem gegebenen Werth a beliebig nahe kommt. Denn ist p eine Periode, so lässt sich eine ganze Zahl m linden, so dass
miy ^ « ^ (m + 1 ) y> ,
und mp ist eine Periode, die von a um weniger als p ab- steht. Wenn nun f{x) nicht constant ist, so können wir a für ein gegebenes x^ so wählen, dass f{x^) -\- a) von /{x^) verschieden ist, also etwa
/(^o + «) = /(^'n) + a , worin a von Null verschieden ist. Nun giebt es aber in be- liebiger Nähe von x^ + or Werthe von x^ für die f{x) =^ f{xo) ist, und dies widerspricht der vorausgesetzten Stetigkeit.
Unter der Periode einer mehrdeutigen Function ist eine constante Grösse zu verstehen, um die man das Argument verändern kann, ohne dass die Gesammtheit der Functions- iverthe^ die zu einem Argumentwerthe gehören, sich ver- ändert. Nach dieser Festsetzung ist der /aco^t'sche Satz nicht bloss für einwerthige, sondern auch für mehrwertbige FunctionoB richtig, wenn nur die Anzahl der zu einem Ar- gumcntwerth gehörigen Functionswerthe endlich ist. Man
Anmerkungen. 39
braucht, um dies einzusehen, die vorhergehenden Betrach- tungen nur auf die symmetrischen Functionen anzuwenden, die aus den verschiedenen Functionswerthen zu bilden sind, speciell auf die Coefficienten der algebraischen Gleichung, deren Wurzeln diese Functionswerthe sind. Ist aber die Func- tion eine unendlich vieldeutige, dann versagen diese Schlüsse.
Hierauf hat, ohne auf liiemann Bezug zu nehmen, im Jahre 1S63 Casorati hingewiesen und auf anderem Wege gezeigt, dass unendlich vieldeutige Functionen von mehreren Perioden sehr wohl gebildet werden können (Compteü rendus der Pariser Akademie Bd. 57, 58. 1863, 1864). In einer Note zu diesen Mittheilungen Casorati'^ spricht Hermite seine oben erwähnte Ueberzeugung über JacoJ^'s Meinung aus: »Es sei mir erlaubt, zu bemerken, dass nach meiner Ueberzeugung Jacohi nie andere (als eindeutige Functionen im Auge ge- habt hat«.
Caaorati ist mehrfach auf den Gegenstand zurückgekom- men (man vgl. »Sopra il teorema di Jacobi riguardantc la periodicitä etc.« Rendiconti del K. Istituto Lombardo Ser. II vol. XV 1882; »Les fonctions d'une seule variable ä un nombrc quelconque de periodes« Mailand IS 85, Acta Mathematica Bd. VIII 1886).
Die entsprechenden Fragen für Functionen von mehreren Variablen sind näher untersucht worden von Fäemann (»Be- weis des Satzes, dass eine einwerthige, mehr als 2 «fach perio- dische Function von w Veränderlichen unmöglich ist«, Auszug aus einem Schreiben Hiernann^^ an Weierstrass vom 26. Octo- ber 1859 \Crelle% Journal Bd. 71]) und von Weier&irass (Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen von mehreren Veränderlichen, Monatsbericht der Berliner Akademie 1S76 [abgedruckt mit einigen Noten in der Sammlung »Abhandlungen aus der Functionentheorie« Berlin IS86]).
Die Periodicität der Functionen mehrerer reellen Variablen hat Kronecker untersucht (Sitzungsberichte der Berliner Aka- demie, 20. Nov. 188 1:.
Im zweiten Theil der Abhandlung wird nun von Jacohi nachgewiesen, dass man, wenn man bei einem hyperelliptischen Integral erster Ordnung eine algebraische Function der Grenze als Function des Integrals auffasst, sechs verschiedene Perioden erhält, die sich zwar auf vier, aber nicht auf eine noch ge- ringere Zahl zurückführen lassen, und da er im ersten Theil
40 Anmerkungen.
dargetlian hat, dass Functionen von vier Perioden, wie er sie sucht, nicht existiren, so ist zu schliessen, dass hier eine Um- kehrung, wie sie bei den elliptischen Integralen so elegante Resultate ergeben hat, nicht auszuführen ist. Jacohi unter- sucht nun ferner die Frage, in welchem Sinne gleichwohl eine Verallgemeinerung seiner Theorie der elliptischen Functionen möglich sei, und findet sie darin, dass er gleichzeitig zwei Summen von je zwei dieser hyperelliptischen Integrale erster Gattung als unabhängige Variablen einführt. Die so definirten vierfach periodischen Functionen zweier unabhängiger Ver- änderlichen haben nichts, was dem Functionsbegriff wider- streitet. Dass auf diesem Wege aber wirklich eindeutige, analytische, vierfach periodische Functionen zweier Argumente gewonnen werden, ist in der Ja(:>oZ»^'schen Abhandlung noch nicht nachgewiesen. Dies ist durch wirkliche Darstelluug dieser Functionen von Rosenhain, unter directem Eiufluss von Jacohi^ und davon unabhängig von Göpel geleistet.
Auf ganz anderen Grundlagen und in sehr viel allge- meinerem Sinne ist danu die Theorie der .y4/>>e/'schen Tran- scendenten, wie diese Umkehrungsfunctionen schon von Jacohi genannt wurden, von Weiemtrass und liicmann ausgebaut worden. {IVeierstrass, »Zur Theorie der Abcr&chen Func- tionen«, Crelle's Journal Bd. ^7 [IS54], »Theorie der Abel- scheu Functionen«, Ebenda Bd. 52 [1856]; üieman?/, »Theorie der ^4Ä^/'sehen Functionen', Ebenda Bd. 54 [1857]).
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Dniclc von Breitl<oiil' & Hiiiiel in Leipzig.
übernahmen: für Astronomie Prof. Dr. Bruns (Leipzig), für Mathe- matik Prof. Dr. Wangerin (Halle), für Krystallkundc Prof. Dr. Groth München), für Pflanzenphysiologie Prof. Dr. W. Pteifer (Leipzig), für Chemie Prof. Dr. W. Ostwald (Leipzig), für Physik Prof. Dr. Arthur von Oettingen (Leipzig).
Um die Anschaffung der Klassiker der exakten Wissenschaften Jedem zu ermöglichen und ihnen weiteste Verbreitung zu sichern, ist der Preis für den Druckbogen ä 16 Seiten Ton jetzt an auf Jl — .25 festgesetzt worden. Textliche Abbildungen und Tafeln je- doch machen eine entsprechende Preiserhöhung erforderlich.
>^A Jacobl, ivarl Ciustav Jair:ob 3/5 Ueber die vierfach perioai.s-
J3j15 chen Fanctiunen zweier Varie-
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