tte En

ed

En zz:

nn at

DE
ze
EE
keten

Lif
Hat
HEA

Ht Id

Zeh
Bk

EERENS

ek
„is
hals

En

iS bk (jn
KEREL DL
de bit

tet
1%

Ì bi Bligh
'

Digitized by the Internet Archive
in 2009 with funding from
University of Toronto

http://www.archive.org/details/verhandelingen05akad

1

VERHANDELINGEN —

KONINKLIJKE AKADEMIE

WETENSCHAPPEN.

VIJFDE DEEL.

MET PLATEN.

AMSTERDAM,
C, G. VAN DER POST,
1857.

ALES OAD ET REDA Tt OPE
| s U We j

Je MAAG PAR _
Es (ATTAHIAKET TW NR
Ek Ge

Cake "Ile PEER

Ne TA amrtk SL, L

Ke

o ::
ma Tek TA de 5

re em N
rn
i Nek is PF gr Voen IT

\ KACTAETEN A nn .

A
\GEDRERT BIJ W. 5. KröbeR
Haar

IN EO U BD

VIJFDE DEE LL.

C. M. van Der Sanpe Lacoste. Synopsis HEPATICARUM JAVANICARUM, ADJECTIS QUí-

BUSDAM SPECIEBUS HEPATICARUM NOVIS EXTRÂ-JAVANICIS.
D. Bierens pE Haar. Repverron pes ÍNTEGRALES DEFINIES GENERALES.

W. VROLIK. ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DeNDROLAGUS INustus.

G. F. W. BarHr. Over De DRAAIENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT.

Oe ot de

hes - pn Ì « ke
| A Utd Eh e Te f
B 8
be HTA AN
. rn
r 4 r rn N
ana ZATWR Be
$
ip HIVA L PF} b Bel er 8 Í „rú „vr g\ Kier? Aa tue dr 9
1 - à he EA
NONE wigneene vagen
ab! reeet ann Wig
é 7 " x
ei a B E per Mera raare) avs s KE 0 _
vr . NN verm BAP NS 4 Ka rdt Ds % hl | RÀ)
en " ria HA JORAN ad ed wa ri
ed «
\

SYNOPSIS

HEPATIGARUM JAVANIGARUM,

ADJECTIS QUIBUSDAM SPECIEBUS

HEPATICARUM NOVIS EXTRA-JAVANIGIS.

PARTIM DESCRIPSIT ICONIBUSQUE ILLUSTRAVIT

C. M. VAN DER SANDE LACOSTE.

Med. Doet

Edidit Academia Regia Secientiarum.

CUM TABULIS XXII

= = Ge

AMSTEL /AEDAMI,
C. G. VAN DER POST

1556

P
Á
kj é
cl
Ld

n Ie |
r
Ci
„ie
4 î ï . ni

Áe .
Art ArsS

EA

GQ 0 r
Ï 1f
bb Mi

ONE EK

en en

uid ansues raffas } ad k Hi T radtêoitsqoll Aan
Ee

zin en tard
voted atra

TWEE MTTEAS

Kra WE a Oi

u et dk

.

Me

a apdtnitoa siert
KRUT urn! 43 ei ali
al Arsraard
raayraral IE amat
êl r/ ien
HLT end
Jaa uset
ndtza® wairaed zeaegll
RAN AEN
ulntoareold Ys
aan} af ak „anlls YIEEGN
väanezald poll ern? Dj

tse marters zeg: ga,
! asten ak eer AEON Ee dy hete
vos bnjsk ooien ierroed aalk mjn
te dach’ ziedinolais. mali wADEET

Lapt Sq Md

asdansjaor

vorrnintn ERIK
as
Em it aehhia 4 viaraed ‚dn
0E&I oudt. di EJ
ruig Hus) Fo uier hade
align"?
Wb 0 ost

WENEN

ERTL ECH

nn
atra

WOR ke

naar Hatten ve aide

SYNOESIS
HEPATIGARUM JAVANIGARUM,

ADJECTIS QUIBUSDAM SPECIEBUS

HEPATICARUM NOVIS EXTRA-JAVANIGIS.
PARTIM DESCRIPSIT ICONIBUSQUE ILLUSTRAVIT

C. M. VAN DER SANDE LACOSTE,

Med. Doct.

eee Ee

Primam notionem Hepaticarum Javanicarum TuunBerGJo debemus, qui eum
plantis Phanerogamis Hepaticas aliquantulas legit, quae specimina descripsit
Swartzius. Messem insignem Hepaticarum in Java insula legerunt Vir. Clar.
Brume et Rerxwarpt, quae conjunctis studiis et opera horum virorum et
Clar. Nees ab Esexpeek editae sunt in Novis Actis Acad. Caesar. L.C. Nat.
Cur. T. XI et XIL. Anno 1850, cura hujus auctoris celeberrimi, publici juris
facta est Enumeratio plantarum Cryptogamicarum Javae, cujus fasciculus prior
Hepaticas continet. Posthac nonnullas Hepaticas Javanicas deseripserunt Virt
Clar. LenmaNy in Pugillis novarum et minus cognitarum stirpium et HookER
et Moxraaxe in Diariis London Journal of Botany et Annales des sciences
naturelles. Hepaticae Javanicae pluribus novis adauctae, (praesertim detectac
a Viris Doet. HasskarrL et Juwauumn), et in novum systema redactae, in
Synopsi Hepaticarum describuntur, auctoribus GorrsCHe, LINDENBERG et Nees
ab EsenBeekK. Eodem fere tempore Clar. LiNpeNBERG, postea conjunctim
eum Clar. Gorrscue, Species Hepaticarum edere coepit,‚ iconibus illustratas.
Tandem iisdem auctoribus LispenBerG et Gorrscur expositionem debemus

Hepaticarum in Herbario Zollingeriano obviarum, quas alter edidit in Botani-
1

WIS- EN NATUURK. VERI. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V.

2 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

sche Zeitung, 1848, alter in Natuurkundig Tijdschrift voor Nederlandsch
Indie, 1855, Vir Doct. ZorLinGer in Systematisches Verzeichniss easdem spe-
eies denuo promulgavit. Atque horum virorum operibus factum est, ut Hepaticae
Javae insulae, prae ùüs aliarum regtonum tropicarum sint investigatae et cognitac.

Vir Doet. Jurenuur in itinere suo per Javae insulam magnam copiam
plantarum legit et transvehi euravit, quae a diversis auctoribus sunt expositac.
Vir Clar. pe Vriese mihi proposuit ante sexennium et persuasit, ut Hepaticas
Herbariiù Junghubniani investigarem,

Opus haud leve viribusque meis impar, suscipere conatus sum, quandoquidem
fautorum amicorumque auxilia et adminicula mihi haud defuerunt. Etenim
libros et herbaria sua Hiberali manu mihi suppeditaverunt Viri Clar. Mrgver
et pe Vrrese el Viri Doct. MorkenBoer (jam defunctus), Dozy, vAN DEN
Bosen et Buse. Animo grato, amicissime Dozy! perpetuo recolam tempus
nimis eito labens, quo domus tua, ut semper, mihi patuit atque familiaritate
tua usus sum atque auxilio, quo indigebam, ut plantulae saepe tenerrimae
analyst subtiliori submitterentur, qua a Viro expertissimo KouwerLs ad naturam
delineari possent. Vobis gratias omnibus ago habeoque quam maximas.

Phrases diagnosticas specierum jam deseriptarum, praesertim depromst ex
operibus Neesrr, Gorrscuer et LinpenserGir. Aliquando mihi contigit dia-
gnost supplere, si quid huic deficeret, v‚ec. perianthi descriptio. Synonyma
consulto omissa sunt, quippe quibus conferri potest Synopis Hepaticarum,
quod opus continuo citatur.

Species novas Javanicas in diversis Herbariis obvias, breviter antea jam de-
scripseram. Ex parte enim istae sunt propositae in Diario: pe Vriese et Dozy
Nederlandsch kruidkundig Archief T. [IL et IV et in opusculo Viri Doet. Dozv,
cujus titulus: Plagiochila Sandei, ieone illustrata. Praeterea in tisdem Herbariis
Hepatieae nonnullae latebant, extra Floram Javanicam lectae, quas non de-
scriptas inveni. Haud abs re fore existimavi, eas simul- exponere et iconibus
illustratas, Synopseos calci adjungere.

Conamina haee mea, ut benigne accipiantur atque in scientiae sint emolu-
mentum ex animo opto.

Dabam AMSTELAEDAMI, d. 28 m. Mart. 1856.

4D Re el En Bd

JUNGERMANNIEAE. N. arn E.

LL. FOLIOS AE.
SUBTRIBUS 1.

GYMNOMITRIA N. an E.

L GYMNOMITRIUM N. an E.
1. GYMNOMITRIUM BELANGERIANUM Gorrscur, Synops. Hepat. p. 4.

Caule prostrato simplici; foliis subhorizontalibus oblongo-ovatis obtusis sub-
retusisve integerrimis adscendentibus; amphigastriis oblongo-lanceolatis bifidis
laciniis linearibus subeontiguis; fructu terminali toro deorsum gibboso, folio
florali intimo involuerum aequante apice subinciso. Syn. Hepat. l.c.

Habitat Javam. Horre in Herb. Dz, et Mr. In monte Pangerango. Lerb.
ZoLLINGER n. 561 b.

U. ALICULARIA CORDA.
2, ALICULARIA SCALARIS Cra. N. ab E. Hep. Eur. Il. p. 448, Caule

repente; foliis subverticalibus suborbiculatis integris apiceve emarginatis; am-
phigastriis (riangulari-subulatis vel ovato=triangularibus integerrimis, superiori-
busve subdentatis. Syn. Hep. p. 10.

«. major: rigida, caule maximam partem adscendente nudo foltisque planis
saturate viridibus, involucralibus integris emarginatisve ; amphigastrits crebris,
superioribus subintegerrimis Syn. Hep. l.c.

«“. rigens; caule elongato rigido, infra apicem bis terque simpliciter elon-
gato, ob folia arete imbricata compresso, foliis integerrimis; amphigastriis
ereberrimis latis acutis. |. c.

Habitat var. «* rigens Javam. Syn. Hepat. Herb. Junen.

5. ALICULARIA HASKARLIANA N. ab E. Syn. Hepat. p. 12. Caule erecto
adseendenteve rigidulo, infra apicem e latere simpliciter innovante radiculoso-

comato; foliis subverticalibus patulis semiorbiculatis amplexicaulibus leniter
1*

Á SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

repandis; involucralibus conformibus basi paulo angustioribus magisque repandis,
omnibus e basi radiculoso-capilligeris; perianthio conico tri= (quadri) angulari,
ore trifido denticulato. Syn. Hep. Le.

Habitat Javam. Syn. Hepat. Herb. Juwen. et Herb. Dz. et Ms.

SUBTRIBUS 2.

COE LOGA UIES SN as 1E:
HI. GOTTSCHEA N. an E,
a. Foliüis laevibus.

$. 1. Amphigastriatae.

4. GOTTSCHEA REINWARDTI N. ab E. Syn. Hepat. p. 15. Ramis apice
subfurcatis; foliorum lobo ventrali oblongo-faleato apiee eroso-dentato, lobo
dorsali foliigeno subquadrato apice acuminato; amphigastriis imbricatis ovatis
profunde bifidis utrinque subunidentatis, laciniis margine reflexis; fructu ter-
minali. Syn. Hep. l.c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb, Jureu.

5. GOTTSCHEA ALIGERA N. ab E. Syn. Hepat. p. 17. Ramis erectis
subfurcatis, foliorum lobo ventrali oblongo-falcato apice serrato, dorsali folii-
geno duplo breviori oblique truncato integerrimo, angulo superiori acuminato;
En in planta fructifera ad apicem solummodo obvis inciso-mmultifidiss
fructu terminali, involueri foliis eonnatis inciso-fimbriatis; caule ramentaceo-
folioloso. Syn, Hep. l.c.

8. Caule abbreviato vix polticari erecto. |. c.

z. laza; caule brevi erecto, foliis distantibus. 1. c.

ò. ezalbida; repens, tota fibris plurimis muscis adhaerens, foluis albidis
laneeolatis subdistantibus. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hepat, Var. «. Herb. Juren. et Herb. Dz. et Ms.
Ad montem Salac, cum G. Blumii. ZorrinGer coll. n. 218. Herb. v. p. Boscu.

6. GOTTSCHEA PHILIPPINENSIS N. ab E. et Mont. Annal. des sc. natur.
XIX p. 244, Caule procumbente furcato; foliis imbricatis lanceolato-acuminatis
lobuloque foliigeno semiovato acute excurrente argute serratis; amphigastriis

SYNOPSIS KHEPATICARUM JAVANICARUM. 5

in planta fructifera tantum obviis, imbricatis tri-quadrifidis serratis; fructu late-
rali, imvolueri foliis connatis margine serrato-ciliatis. Syn. Hep. p. 18.
Habitat Javam. Syn. Hepat. Herb. Juren. Tersmann in Herb. Dz. et Mp.
7. GOTTSCHEA JAVANICA N. ab BE. Syn. Hepat. p. 19. Caule adscen-
dente; foliorum lobulo ventrali dorsalique foliigeno subaequalibus oblongo-ovatis,
margine grosse serrato-dentatis ciliatisque; amphigastriis bifidis et subintegris
dentato-ciliatis; fructu... Syn. Hep. Lc.
Habitat Javam. Syn. Hep. Herb, Juren.

$. 2. Eramphigastriatae.

8. GOTTSCHEA NEESII Morr. Annal. des sc. nat. XIX p. 244 t.9. f. 2.
Syn. Hep. p. 16. Caule basi procumbente tomentoso ramoso, ramis adseenden-
tibus planis divisis; folis caulinis imbricatis distichis patentibus oblongis obtu-
sis apice subintegris, lobo foliigeno abrupte truncato trapezoideo integerrimo,
supremis surrectis lobuloque foligeno spinuloso-dentatis; fructu terminal;
perianthio nullo; involucro longissimo (subbilineari) cylindrico-cornucopioideo
tubuloso ore fimbriato-laciniato, tubo basilari e foliorum involucralium paribus
binis aut ternis cum calyptra carnosa pistillis sterilibus coronata concretis,
composito; peduneulo pallido tortili flaccido involuero duplo longiore ; capsula
oblonga ad basin usque quadrivalvi, valvis linearibus. Mont. Sylloge p. 54.

Habitat Javam in montosis. Herb. Mig. Terrsm. in Herb. Dz. et Ms.

b. Foltis eristulis lamellarum instar obsitis.

9. GOTTSCHEA BLUMIL N. ab. E‚ Syn. Hepat. p. 19. Ramis adscen-
dentibus subdivisis; foliorum lobo ventrali oblongo-falcato dorsalique foligeno
semiovato obtuso duplo breviori acutis, basi ciliatis apice serratis; amphigastriis
quadratis retusis ciliatis, subtus in medio loboque ventrali apiceem versus
eristatis; fructu terminali et axillari, involuero inciso-ciliato bast connato;
caule ramentaceo-folioloso. Syn. Hep. 1. c.

B. Foliis inciso-serratis l.c. Stirps fructifera.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Joven. Tersa, in Herb. Dz. et Ma. Herb.
v. D. Boscn,

6 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

SUBTRIBUS 3.
JUNGERMANNIDEALE N, ap EL,
IV. PLAGIOCHILA NEES er MONT,

Sect. 1. VAGAE.

Folia vel basi infera dilatata semicordata, vel basi cuneata obovato-oblonga,
vel denique subaequalia oblongo-linearia, patenti-divergentia, dentato-spinulosa,
rarius Ciliata vel integerrima.

$. 1. Pafulae. Folia vel dimidiato-cordata vel ovata, patula, spinuloso-denticulata.

10, PLAGIOCHILA SALACENSIS Gorrscue, Museor, Hepaticor. spec. nov.
Javanenses in Natuurk. Tijdschr, voor Nederl, Indie 1855. IV. p. 576. Zor-
LINGER Systemat, Verzeichn. 1. p. 21. Gaule repente ramoso, ramis iterato-
diehotomis elongatis subflexuosis; foliis basi imbricatis horizontalibus patentibus
planis trapezoideis, margine ventrali subrecto et apice oblique retuso repando-
denticulatis, basi subintegerrima (versus fructificationem fortius armata) re-
flexis, margine dorsali subsinuato descendente integerrimo; perianthio cam-
panulato-subeompresso late alato (ala apice, nec margine, denticulata) ore
dentato; foliis involucralibus margine ventrali duplicato-denticulato-spinosis,
dorsali latius reflexis, Gorrscue |, c.

[Habitat ad ramos montis Salak, Javae insulae. ZorrinGer pl. Jav. collect.
n’. 5560 c,

11. PLAGIOCHILA JUNGHUHNIANA v. p. Sp. Le. Nov. spec. Hepat. in
DE Vriese, Dozr et Morkensorr Nederl. Kruidk, Archief. UI. p. 416. Dozy
Plagiochila Sandei p. 6. Caule repente; ramis erectis iterato-dichotomis laxis
flexuosis5 foliis basi imbricatis semiverticalibus patentibus dimidiato-ovatis,
apiee truncato-emarginatis bi-tridentatis, margine dorsali decurrentibus reflexis
integerrimis, ventrali toto parce spinuloso-dentatis, basi reflexis; fructu ter-
minali; perianthio involuero longiori obovato-campanulato, margine antico
alato (ala lata apice dentata), ore compresso repando truncato ciliato.

Habitat Javam. Herb. June.

Gracilis, fusco-lutescens, flexuosa, 0,05—0,08 longa, dichotomo-ramosa. Rami superiores
subfasciculati ; ramus primarius erecto-adseendens, basi subaphyllus, cum folis 0,003 latus.
Folia laxe imbricata vel contigua, semiverticalia, patentia, dimidiato-ovata, plana; margo dor-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 7

salis strictiuseulus deeurrens, anguste reflexus aut planus, integerrimus ; ventralis subrectus
parce spinuloso-denticulatus, subserratus, ad basin patulo-reflexus, denticulatus vel integerrimus ;
apex truncato-emarginatus, dentibus 2—3 reliquis longioribus. Cellulae parvae, ovali-rotun-
dae, limitibus subcontiguis. Fructus terminalis, rarius ob ramum novellum, lateralis. Folia
involucralia perianthio adpressa eique breviora, acuta, margine ventrali dentato-ciliata, basì et
margine dorsali latius reflexa. Perianthium obovato-campanulatum, lateribus compressum,
dorso toto alatum, ala lata versus apicem denticulata vel dentieulato-ciliata, os undulato-

repandum truncatum, eiliatum.
Proxima videtur Plagiochilae Salacensi Gorrscue, cujus specimina authentica non vidi.
A Pl. patula N. et M. differt statura gracili, ramis pluries dichotomis, foliis densius textis,

perianthio non fisso, ala longiore et latiore.

TABULA IL.

Fig. A. Planta naturali magnitudine; f. 2. rami pars a dorso visa, decies et _quinquis
aucta; f. 3. ramus a ventre, oeties auctus; f. 4. folium caulinum a ventre, decies el
quinquies auctum; f. 5. teztura folù, centies aucta; f. 6. folium involucrale, decies
et quinquies auctum; f. 7. perianthium, dectes el quinquies auctum.

12. PLAGIOCHILA ARBUSCULA Len. et L. in Lore. Spec. Hep. p. 25.
t.4. Caule repente; ramis erectis dendroideo-ramosis, ramulis erecto-patulis;
foliis imbricatis dimidiato-ovatis acuminatis patenti-divergentibus, margine
ventrali apiceque parce dentatis, dente apicali singulo subspiniformi; fructu in
ramulis terminali et e dichotomia; perianthio oblongo, longe exserto, ore
compresso bilabiato, labiis acutis ciliato-denticulatis. Syn. Hepat. p. 27.

Habitat Javam. Syn. Hep.

$. 2. Distichae. Folia patenti-divergentia, oblique ovata vel antrorsum arcuata basique
infera cuneata, vel subaegualia, denticulato-ciliata, rarius subintegerrima.

15. PLAGIOCHILA JAVANICA N. ab E‚ et Mont. in Ann, des sc. nat, V.
p.52. Caule repente; ramis erectis irregulariter pinnatis; foliis subverticalibus
imbrieatis semicordatis apice angustioribus et obtusis ibidemque inaequaliter
denticulatis subdeeurvis, margine ventrali repando-crenatis basique reflexa
suberistatis, fructu in ramis terminali; perianthio exserto oblongo, ore com-
presso truncato dentato-lacero. Syn. Hepat. p. 29.

Habitat Javam. Syn. Hep. (TuunBere.)

Inter dubias Javae indigenas censet Vir Clar. Nees ab E. In collectionibus Hepaticarum
Javanicarum, quas inspicere potui, frustra quoque eam quaesivi. Crescit autem in Neelgherries
et in Mauritii insula. Quum Java cum hae et Borboniae insula plures Hepaticas communes
habeat, monente ípso auctore, quodque ex nostris investigationibus iterum confirmatur, haud
improbabile videtur Plagiochilam Javanicam N. et M. in Javae insula adhuc detectum iri.

8 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

14. PLAGIOCHILA SIMPLEX Livpse. Spec. Hep. p. 54. t. 9. Caule
vepente; ramis erectis simplicibus vel prolifero-divisis; foliis dissitiusculis sub-
verticalibus obovato-oblongis patentibus obtusis basi cuncatis, margine ventrali
apiceque spinuloso-serratis; fructu terminalis perianthio ovato, ore compresso
dentato-ciliato. Syn. Hep. p. 50.

«. minor; simplicior, foliis angustioribus apiee solo dentato-serratis, vel
rarius dente uno alterove ante apicem instructis. l.c.

Habitat Javam. Tevsm. in Herb. Dz. et Mb.

15. PLAGIOCHILA PROPINQUA v. p. Sp. Le. in Dozy Nederl. Kruidk,
Arch. IV. p. 95. Dozr Plagiochila Sandei p. 5. Gaule repente; ramis erectis,
dichotomo-dendroideis; foliis adproximatis patentibus semiverticalibus ovato-
oblongis deeurrentibus, margine dorsali reflexis integerrimis, ventrali versus
apieem apiceque obtuso vel acuto spinuloso-dentatis; fructu in dichotomia ra-
morum et lateralis perianthio compresso ovato, ore truncato dentato-ciliato.

Habitat Javam. Tersa. in Herb. Dz, et Mp, In montosis Salak. Goll. pl,
Jav. Zourineer sub n°. 5560 d. (pl. mascula).

Caulis repens, ramosus. Rami erecti circiter 0,05 longi, dichotomo-ramosi, in plantis mas-
culis dendroidei; ramus primarius, basi nudus, eum foliis 0,004 latus. Folia fusca, opaca, semi-
verticalia, inferiora laxe imbricata, ovato-oblonga, obtusa; margo dorsalis strictiuscule breviterque
decurrens, reflexus, integerrimus; ventralis rotundatus, a medio inde versus apicem et ipso
apice spinuloso-dentatus; folia ramulorum magis adproximata, obovata, longius decurrentia, apice
inaequaliter spinuloso-dentata, ob dentem unum longiorem subacuta; ramulorum innovantium
folia parva, distantia, obovata, parce denticulata, vel apice solo emarginato-bi-tridentata. Tex-
tura densa, cellulae subeontiguae, ovali-rotundae. Fructus in dichotomia et lateralis, Folia
involueralia erecta, oblonga, margine ventrali apiceque ciliato-dentata, dorsali late reflexa,
versus apicem dentata. Perianthium, involucro brevius, obovatum, compressum, non fissum,
ore truncatum, dentieulato-ciliatum. Spica mascula terminalis, aut apice iterum foliosa, ovato-
lanceolata 0,0025 longa, e 6—S paribus foliorum constans. Folia perigonialia densa, ovata,
basi inflata, apice patula, obtusa, denticulata.

Differt a Plagiochila simplici Lunpse. statura robustiori, elongata, ramificatione dichotoma,
foliis semiverticalibus, decurrentibus eorumque ut et involucri forma et denticulatione. Pla-
giochila frondescens N. ab E. tengior est, foliis gaudet pallidis, nitidulis, remotiusculis, an-
gustioribus, texturae magis pellucidae; perianthium etiam differt. Plagiochilta Moritziana
Lose. et G, quae proxima, differt colore, ramis elongatis, laxis, foliis angustioribus, margini-
bus siccitate magis minusve revolutis, perianthio subrotundo.

TABULA I.

Fig. 1. Plantae naturali magnitudine; f. 2. folia rami primarii a dorso; f. 3. eadem
a ventre visa, decies et quinguies aucta; f. 4. folia rami tenuworis a dorso, decies

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 9

el quinguies aucta; f. 5. textura folit, quinguagies aucta; f. 6. areolae foli, centies
el guinquagies auctae; f. T. folium involucrale eum pistillidiis, decies el quinqwies
auclum; f. S. pertanthium cum folio involuerali, vicies auctum; f. 9. spica mascula,
decies el guingwies aucta; f. 10. folium perigoniale, tricies auctum.

16. PLAGIOCHILA FRONDESCENS N. ab E. in LinpBe. Spec. Hep. p.
92. et p. 159. t. 9. et t. 51. Caule repente diviso; ramis erectis dichotomis
divarieatis rigidulis; foliis dissitiusculis subverticalibus oblongis acutis patentibus
nitidis longe decurrentibus, margime dorsali reflexis integerrimis, ventrali ad api-
eem apieeque (vel apice solo) spinuloso-dentatis; fructu lateral; perianthio cam-
panulsto-pyriformi, margine membranaceo, ore longe dentato-ciliato, hine fisso.
Syn. Hep. p. 51.

«. tenerrima; caule filiformi implexo; foliis distantibus cuneiformibus, apice
triesexdenticutatis. |, c.

B. diffusa; ramis laxe dichotomis, in planta mascula subdendroideis; folis
dissitiusculis oblongis, apice denticulatis. |, c.

z. rigida; ramis ramulisque rigidis, basi sunplicibus, apice dichotomo-ra-
mostissimis dendroideis fastigiatis. lc,

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «‚ Herb. Juren. Var. g. Herb. Jureu. In
montosis Salak, Zorriver coll. n. 5560 ex p. Tersu. in Herb. Dz. et Ms.
Var. 7. ad eraterem Tjiwidei. Herb. Jurau. Herb. Dz. et Mp. Herb. v. D.
Boscu. — In monte Klabat insulae Celebes, Herb. Rervwarpr.

17. PLAGIOCHILA GRACILIS Lipase. el G. Syn. Hep. p. 652. Gaule re-
pente ; ramis ereetis dichotomo-prohferis; foliis subdistantibus verticalibus di-
suche patentibus euneatis, margine integerrimis, apice inaequaliter bilobis den-
tato-spinos!s; fructu in ramulis apicali vel in dichotomia; perianthio involucrum
superante obovato, ore rotundato ciliato, dorso alato, ala integerrima. Syn, Hep, l.c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

18. PLAGIOCHILA RUTILANS LixpBe. Spec. Hep. p. 47. et p. 157. t.
Jt. IL et t. 51. Caule repente; ramis erectis parce ramosis; foliis dissitius-
culis patentibus divergenti-reclinatisque subverticalibus oblongis, utroque mar-
gme basi reflexis integerrimis, versus apicem planis apiceque ipso denticulatis,
supremis angustioribus convolutis; fractu terminali ; perianthio obovato=tetragono,
margine anguste alato (ala nuda), ore bilabiato, labiis brevibus spinuloso-den-
latis. Syn. Hep. p. 55.

B. lara; ramulis patentissimis, apice subinflexis; foliis magis distantibus,
supremis convolutis sphacelatis, 1. c.

to

WIS- EN NATUURK, VERI. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL V.

10 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Habitat Javam. Herb. Dz. et Mp. Var. 8. Herb. Jureu. erb. Dz. et Mp.

19. PLAGIOCHILA SEGURIFOLIA N. ab KE, in Lixpre. Spec. Hep. p. 59.
et _p. 160. t. 10. Gaule repente; ramis erectis subsimplieibus; foliis subim-
bricatis subverticalibus securiformi-oblongis subacque-latis arcualis deflexis sub-
mtegerrimis, apice truncato-obtusis emarginato-biequadriedenticulatis, margine
dorsali toto, ventralt bast recurvis; fructu e dichotomia; perianthio brevi sub-
rotundo involucroque eiliatis. Syn. Hep. p. 54.

Habitat Javam. Texrsm. in Herb. Dz, et Me.

20. PLAGIOGHILA DIGHOTOMA N. ab E. in Lixpge. Spec. Hep. p. 66. et
p. 160. t. 15. et t. 17. Gaule repente; ramis ereclis iterato-dichotomis; foliis
subsemiverticalibus approximatis patentibus obovato-lingulatis longe decurrenti-
bus convexis, margine dorsalt reflexis oblusis, ventralt apicem versus apiceque
obtuso minute denticulatis; fractu terminal axillariqgue; perianthio campanulato
dorso alato (ala serrato-denticulata), ore compresso denticulato-ciliato. Syn.
Hep. p. 55.

B. folis, praesertim inferioribus, ob margines dorsales magis deflexos paulo
angustioribus, apice evidentius denticulatis decurvis. |. c.

Habitat Javam. (var. #.) Herb. Jurem. — In monte Klabat insulae Gelebes.
Herb. REiNwARDT.

21. PLAGIOCHILA UNGARANGANA v. p. Sp. Le. Caule repente ramoso ;
ramis simplieibus dichotomisque; foliis laxe imbricatis semiverlicalibus paten-
tibus semiovalis, apice angustioribus, bast utrinque decurrentibus, margine dor-
sali reflexis integerrimis, ventrali ante apicem obtusum apiceque ipso (vel hoc
solo) argute denticulatis; fructu...

Habitat Javam, in monte Ungarang, altit. 5000 —5000'. Herb. Jusen.

Caulis repens, foliolis minutis, distantibus, ovatis, apice bidentatis vestitus. Rami erecti
simplices vel apice furcati 0,035 longi. Folia inferiora parva, reliqua majora, cum ramo et folijs
oppositis 0,0023 lata, imbricata, apice libera, semiverticalia, patentia et‚ in ramis robustioribus,
patenti-subdivergentia, oblonga vel semiovata. Margo dorsalis reflexus, integerrimus, strictus,
decurrens, sub apice paulo rotundatus; ventralis rectiusculus, imtegerrimus vel ante apicem
denticulo uno alteriove instructus; basì reflexus, in medium caulem Jonge decurrens; apex
obtusus vel subtruncatus, denticulis vulgo tribus, marginalibus similibus munitus. Spica mas-
cula medium ramum cingens, ovato-lanceolata. 0,0035 longa, e foliorum paribus 6—9 com-
posita. Folia perigonialia imbricata, ovata, basi inflata, apice obtusiuscula, patula, denticulata.

A. Plagiochila dichotoma p. diftert statura minori, ramis subsimplicibus, foliis apice atte-
nuatis; a Plagiochila concava N. ab B. foliis magis planis, apice latioribus et parcius
denticulatis.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANLCARUM. 44

TABULA II

Fig 1. Planta naturali magnitudine; f. 2. Caulis cum basi rami, decies auctus; f. 5.
pars rami a dorso; f. 4 pars rami a venlre visa, vicies auctaes f. 5. lextura
folit, centies aucta: f. 6. spica mascula, victes aucla.

22. PLAGIOCHILA TEREBRANS N. ab EK. in Linpse. Spec. Hep. p. 98.
t. 20. Caule subdiviso subrecurvo; ramis erectis strictis dichotomo-subpinnatis;
foliis approximatis subverticalibus divergentibus decurviusculis longe decurren-
bus, margine basi ulrinque reflexis dimidiato-ovatis cuneiformi angustatis
convexis subintegerrimis, apice emarginato maequaliter dentatis, dentibus argu-
tis; fructu in ramulis terminali; perianthio obliquo triangulari-campanulato, apice
compresso, ore undulato-dentato, dorso alato, ala integerrima, basi latiore. Syn.
Hep. p. 56.

Habitat Javam, in monte Ungarang, altit. 5000'—5000'. Herb. Junen.

Forma tenerior est, folis dissitiusculis.
Sect. IL. ADIANTOIDEAEL.

Rami erecti, dichotomi, parcius divisi vel dendroidei. Folia dimidiata,
cordato-ovata, oblonga, rarius lanceolata, magis minusve dentato-ciliata. Peri-
anthia involucrum aequantia vel dimidio longiora.

S. 1. Planifoliae. Folia horizontalia, subplana basi ventrali non dilatata.

25. PLAGIOCHILA SCIOPHILA N. ab E. in Schedis. Linpaa. Spec. Hep.
p. 100. t. 21. Caule dichotomo-faseieulato ramisque proeumbentibus repentibus;
foliis approximatis horizontalibus patentibus planis ovatis obovatisve emarginato-
bidentatis, margine ventrali parce dentato-ciliatis, dorsali subintegerrimis ;
fructu... Syn. Hep. p. 57.

Habitat Javam. Tersm. in Herb. Dz. et Ma. Buitenzorg (pl. mascula).
Herb. Mrg.

Foliorum margo ventralis basi tantum, dorsalis saepe totus reflexus. Fructus terminalis, in
dichotomia et lateralis. Folia involueralia duo, erecta, majora, latiora imprimis, ovata ; margo
ventralis totus subduplicato-dentato-ciliatus, dorsalis late reflexus, serrato-ciliatus. Perianthium
involucro brevius, urceolato-campanulatum, ore compressum, truncatum, longe inciso-ciliatum,
Spica mascula incompleta visa: Folia perigonialia imbricata, ovata, obtusa, basi inflata, mar-
gine antico versus apicem patulum ciliata, ciliis apicalibus longioribus, sinu lato disjunctis.
Foliorum cellulae majusculae.

Aka

12 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM,

8. 2. Dimidiatae. Folia subopposita, basi ventralt dilatata, non vero in cristam conni=
ventia, arcte dentato-ciliata. _Perianthium involucrum aequans vel paulo superans.

24. PLAGIOCHILA TEYSMANNI v. p. Sp. Le. in Dozy Plagiochila San-
dei p. 6. Caule repente; ramis ereetis dichotomis; foliis semiverticalibus laxe
imbricatis ovatis oblusis, margine dorsalt reflexis integerrimis, ventrali apieeque
arete ciliato-denticulatis; fructu terminali et in dichotomia ; pertanthio triangu-
lari-campanulato, dorso alato (ala latiuscula, vel tota vel apice solo ciliala),
ore compresso truucato dentato-ciliato.

Mabitat Javam. Tersmanr in Herb. Dz. et Mp.

Caulis repens. Rami 0,05—0,07 longi, subdichotomi; ramuli patentes vel erectiusculi, cum
foliis 0,0035 lati. Folia rigidula, olivaceo-fuscescentia, inferiora parva, distantia, subrotunda,
denticulata; superiora majora, alterna, subhorizontalia, laxe imbricata, patenti-divergentia, rotun-
dato-ovata; margo dorsalis, reflexus, decurrens, integerrimus vel ante apicem subserratus ; margo
ventralis rotundior, cum apice obtuso arcte denticulato-ciliatus, basis ipsius caulem quodam-
modo obtegens, plana vel subreflexa, integerrima. Textura densa; arcolae ovali-rotundae, limi-
tibus contiguis, Fructus terminalis et in dichotomia. Folia involucralia semirotunda, erecta;
margo dorsalis late reflexus, serrato-ciliatus; ventralis inaequaliter subduplicatoque dentato-
ciliatus. Perianthium involucrum subaequans, campanulatum, aeque longum ac latum; ala
latiuscula vel tota vel apice solummodo ciliata; ore compresso, longe dentato-ciliato.

Diftert a Plagiochila laetevirente Lpae., quae proxima, ramifieatione simpliciore, foliis rigi-
dulis, densius textis et perianthio; a Plagiochila obtusa Lope. folüs basi ventrali integer-
rimis, non in eristam conniventibus, perianthio campanulato.

TABULA

Fig. 1. Planta naturali magnitudine; f. 2. ramus a dorso, decies auctus; f. 3. folia a
ventre visa, decies et quinquies aucta: f. 4. teztura foli, quinguagies aucta;
f. 5. areolae folii, centies el quinguagies auctae; f. 6. folium involucrale, decies ct
quinguies auctum; f. 7. perianthium, decies et quinquies auctum.

25. PLAGIOCHILA FLACCIDA Lipase. Spec. Hep. p. 78. t. 16. Caule
procumbente; ramis adscendentibus elongatis, apiee divisis, ramulis deflexis
subradicantibus; foliss subimbricatis subverticalibus patenti-divergentibus semi-
cordato-ovatis obtusis dentato-ciliatis, basi ventrali dilatatis subreflexis, dor-
sali reflexis subintegerrimis. Syn. Hep. p. 58.

Habitat Javam. Herb. Juren.

26. PLAGIOCHILA SEMI-ALATA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Arch.
IV. p. 95. Dozr Plagiochila Sandei p. 6. Caule repente; ramis adscenden-
tibus dichotomo-ramosis; foliis basi imbricatis semiverticalibus patenti-diver-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 15

gentibus, dimidiato-ovatis obtusis, margine dorsali reflexis integerrimis, ven-
Wali apiceque spinuloso-dentatis; fructu terminal et laterali; perianthio oblique
campanulato, dorso a basi ad medium alato (ala lata, apice ciliata), ore
truncato dentato-ciliato.

Habitat Javam. Herb. Jura.

Caulis repens, fusco-nigricans. Rami erecti, circiter 0,045 longi, adscendentes, cum foliis
0,006 lati, a medio inde dichotomo-ramosi, ramuli patentes, subcurvati. Innovationes tenues
subdivergentes. Folia fuscescentia, basi laxe imbricata, semiverticalia, alterna, dimidiato-
ovata; margo dorsalis reflexus, integerrimus, decurrens; ventralis rotundatus, spinoso-dentatus,
basi dilatatus, planus, integerrimus, paullo decurrens, basi folii oppositi contiguus; apex obtu-
sus vel acutiusculus spinoso-dentatus, vulgo ob dentes binos remotiores subemarginatus. Folia
innovationum parva, remota, obovata, margine ventrali parce denticulata, apice emarginata.
Textura densa, cellulae parvae, subrotundae vel ovali-rotundae. Fructus terminalis et lateralis.
Folia involucralia acutiuscula, margine dorsali reflexa, repando-dentata, ventrali duplicato-
spinosa. Perianthium involuerum paulo superans, oblique obovato-campanulatum, compressum,
dorso alatum, ala lata a basi ad medium dorsum vel paullo ultra protensa; versus apicem
ciliata, vel nuda et apice emarginato-spinosa, ore compresso, longe ciliato.

Differt a Plagiochila macrostachya Lpsa, foliis magis alternis et decurrentibus, apice
subemarginatis et perianthio. — Rectius forsan in Sect. TL. collocanda.

TABULA II.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. ramus a dorso, decies auctus; f. 3. ramus a
ventre wisus, decies auctus; f. A. folia ramt innovantis, decies aucta; f. 5. textura
foli, quinguagies aucta; f. 6. cellulae folit, centies et quinquagies auctae; f. 7.
folium involuerale, decies auctum; f. S. perianthium, decies auctum.

27. PLAGIOCHILA GYMNOCLADA v. p. Sp. Le. in Nederl, Kruidk.
Archief IV. p. 95. Dozy Plagiochila Sandei p. 6. Caule repente; ramis ad-
seendentibus, innovando ramosis, innovationibus flagelliformibus erectis suba-
pbylliss foliis contiguis vel adproximatis semiverticalibus patentibus oblique
ovalis, margine dorsali reflexis, versus apicem serratis, ventrali apiceque
emarginato spinuloso-ciliatis; fructu terminali et laterali; perianthio campanu-
lato-pyriformi, dorso alato, (ala angusta, versus apicem spinuloso-dentata), ore
truncato dentato-ciliato.

Habitat Javam. Herb. Jurn. Treysa. in Herb. Dz. et Ms.

Caulis repens. Rami adscendentes, 0,05—0,07 longi, cum foliis 0,005 lati; rami secun-
darii plures, dichotomi, elongati, erecti, e latere et sub involuero ramulos emittentes flagelli-
formes, erectos, tenues, subfiliformes, 0,015 longos, ob folia decidua subdenudatos, cicatricosos.

14 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Folia viridia, rami primarii contigua, subhorizontalia, patentia, oblique ovata; margo dorsalis
reflexus, integerrimus, versus apieem serratus, basi decurrens; ventralis eum apiee emarginato
spinuloso-ciliatus; bases dilatatae imbricatim tectae, planae, integerrimae vel subdenticulatac,
Folia innovationum parva, distantia, obovata vel obovato-elliptica, parce dentata apiceque
distinetius emarginato-bidentata. Cellulae minutae, subrotundae, versus basin folit magis elon-
gatae. Fructus terminalis et lateralis. Folia involucralia duo, erecta, late ovata, circumcirca
ciliata. Perianthium involucrum aequans, campanulatum, compressum, medio inflatum; dorsi
ala angusta, apice dentata; os truncatum, brevius dentato-ciliatum, ciliis subdenticulatis.

Foliis minoribus, contiguis, innovationibus denudatis, perianthii cilüs denticulatis, a reli-
quis hujus $. distinguitur. Plagiochila brevicalycina Lipno, et G. differt ramificatione et
perianthio non alato.

TABULA DI.

Planta naturali magnitudine; f. 2. pars rami fortioris a dorso, decies aucta ;
f. 3. ejusdem a ventre visa, decies aucta; f. 4. ramus innovans, quinquies auctus :

f 5. tertura folü, centies aucta; f. 6. folium involuerate, decies auctum; f. 7.
perianthium, decies auctum.

Fig. 1.

$.3. Cucullatae. Folia basi ventralt refleva et pleraque in cucullum convoluta, ciliata.

28. PLAGIOCHILA BLEPHAROPHORA N. ab E. in LrxpBe. Spec. Heop.
p. 102. t. 21. Caule repente flagellifero ; ramis adscendentibus divaricatis elon-
gatis subsimplieibus; foliis imbricatis horizontaliter patentibus ovato-oblongis
obtusis, circa apicem margineque ventrali dentato-ciliatis, basi utraque integer-
rimis, margine dorsalt anguste reflexo-complicatis; fructu e dichotomia; pe-
rianthio brevi obovato subeampanulato inflato, ore oblique truncato dentato-
eiliato. Syn. Hep. p. 59.

Habitat Javam. Syn. ep. Herb. Juren. Buitenzorg, erb. Mrg. Herb.
Dz. et Me. Herb. v. p. Bosen. In mont. Salak. Zorriseer, Coll. n. 5560.
d. ex p. — Ternate. Herb. Rervw.

29. PLAGIOCHILA BANTAMENSIS N. ab E. in Linpre. Spec. Hep. p.
104. t. 22. Caule repente flagellifero diviso; ramis adscendentibus furcatis;
foltis imbricatis patenti-divergentibus semiovato-oblongis subtruncatis, bast
ventralt subtus reflexo-cucullatis amphigastriisque subquadrifidis longe dentato-
ciliatis; fructu terminali; perianthio ovato, ore truncato bifido dentato-ciliato.
Syn. Hep. p. 59.

8. minor; paulo minor; perianthiis lateralibus brevioribus campanulatis com-
pressis, dorso convexiusculis, ore oblique truncato ciliolato. l.c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Horre in Herb. Dz. et Mp. Var.
8. Horre in Herb. Dz. et Mp.

[ej

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 1

Spicae masculae terminales, solitariae aut fasciculatae (2— 5); spicae (rarius iterum bifidae)
lineares, 0,02 longae, 0,001 latae, in Var. . minores, e paribus foliorum 20 pluriumve
compositae. Folia perigonialia dense imbricata, ovata, basi inflata, apice obtuso vel acutius-
culo patente, integerrima.

50. PLAGIOCHILA SANDE[ Dz. in Nederl. Kruidk. Arch. IV. p. 92.
Dozr Plagiochila Sandei, icone illustrata p. 5. Plagiochila superba Morks.
Mspt. Caule repente; ramis erectis strictis dichotomo-ramosis; foliis imbricalis
patenti-divergentibus semiovatis subarcuatis obtusis, margine ventrali rotun-
dato apieeque ciliatis, basi reflexo-cucullatis, dorsali reflexis serrato-ciliatis;
fructu terminalt et lateralis perianthio obeonieo elongato compresso, ore trun-
cato breviter ciliato.

Habitat Javam. Herb. Juve. Herb. Buse. Prope Gadok. Herb. Dz. et Ma.,
communicavit Cl. v. Harr.

Caulis repens, flexuosus, validus, fusco-nigricans, uti basis ramorum primariorum nudus
vel foliorum vetustorum reliquiis vestitus. Rami primarii distantes, clati, 0,07—0,085 longs,
eum foliis 0,007—0,008S lati, apice praesertim dichotomi, breviter subfasciculato-ramulosi.
Folia tenuia, mollia, luteo-fuscescentia, subpellucida, plana, semiverticalia, imbricata, patenti-
divergentia, oblique ovata, subfalcata; margo ventralis rotundatus, totus ciliatus, basi reflexus
et in eucullum revolutus; margo dorsalis arcuatim reflexus, totus vel apicem versus serrato-
ciliatus; apex planus, obtusus, ciliatus. Folia involucralia erecta, dorso stricta, obtusa, lon-
gius ciliata. Textura foliorum e cellulis parvis, sexangularibus. Perianthium involuero longius,
terminale et laterale, obeonieum, elongatum, curvatum, subcernuum. _Spicae masculae termi-
nales, simplices vel 2—4 in fasciculum econgestae, quandoque iterum ramosae et proliferae,
lineares, 0,01—0,02 longae, 0,002—0,0025 latae. Folia perigonii imbricata, rotunda!o-
obovata, obtusa, integerrima, basi inflata, apice patentia.

Differt a Plagiochila Bantamensi N. ab B. praeter magnitudinem, amphigastriorum defectu,
foliis subarcuatis et perianthio longiori; a Plagiochila superba N. ab B. foliis basi eucullatis
et perianthio elongato, non alato.

TABULA IV.

Fig. 1. Planta naturali maguitudine; f. 2. folia rami primarù a dorso, oclies aucla ;
f. 3. folia rami primarij a ventre, octies aucta; f. 4. arcolalio foli, quadragtes
aucta; f. 5. perianthium cum folio involucrali el capsula in quatuor valvas dehiscenle,
guater auctum; f. 6. e'ater, ducenties auctus; f. 7. ramus plantae masculae un
spieis fasciculatis florens, nal. magn.; f. S. spica bifida planl. mascul. nat. magn ;
f. 9. pars spicae masculae, octies aucta; f. 10. folium perigonii, tricies auclum ;
f. 1. antheridium evacuatum, in basi foliù perigoniali reconditum, quingquagies
auclum.

16 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

$. 4. Cristatae. Folia basi ventrali dilatata et vel omnia vel plerague in cristam bila-
mellatam conniventia, denticulata. Pertanthia involucro longrora.

51. PLAGIOCHILA OBTUSA Linxpse. Spec. Hep. p. 42. t. 8. Caule re-
pente; ramis ereclis iterato-dichotomis subfastigiatiss foliis dense imbricatis
divergentibus semicordato-ovatis subrotundisque obtusis, margine ventralt api-
ceque inaequaliter ciliato-dentatis, subtus in eristam longius ciliatam reflexis,
dorsali fere toto reflexis serrato-dentatis; fructu terminali et in dichotomia;
perianthio obligue obovato, ante apicem ineurviusculo, antieo margine alato,
ala lata ciliato-dentata, ore compresso plicato oblique rotundato ciliato. Syn.
Hep. p. 42.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jureun. Herb. v. p. Boscu.

52. PLAGIOCHILA CALVA N. ab E. in Linpse. Spec. Hep. p. 27. t.5.
Caule repente foliato; ramis erectis subpinnatis, ramulis patenti-divergentibus;
folits imbricatis semiovato-oblongis obtusis, margine ventrali apiceque minute
serrato-denticulatis, subtus basi dilatata in eristam bilamellatam nudam conni-
ventibus; fructu terminali et e dichotomia, perianthio imvoluerum non supe-
rante obovato alato (ala angusta obsolete denticulata), ore obliquo dentato-
ciliato. Syn. Hep. p. 49.

Habitat Javam. Syn. Hep.

55. PLAGIOCHILA REPANDA Lippe. Spec. Hep. p. 62. et p. 160. t. 12.
Caule repente diviso; ramis erectis laxis simplicibus, apice dichotomo-proliferis ;
foliis arete imbricatis plano-distichis patenti-divergentibus, semiovato-oblongis
obtusis integerrimis, margine ventrali basi latiore repandis, dorsali subplanis;
fructu laterali; perianthio oblongo, margine postico repando, ore truncato- bi-
labiato dentieulato. Syn. Hep. p. 45.

Habitat Javam. Tersm. in Herb. Dz. et Me.

B. Madagascar adest in Herb. doct. Buse. Plantas masculas legit doct. Korrnars in
Venezuela. Spicae, ramum medium cingentes, ovato-lanceolatae, ex S—10 paribus foliorum
compositae. Folia perigonialia dense imbricata, valde inflata, ovato-rotunda, integerrima, apice
patula.

$ 5. Dendroideae. Rami basi integri apice dichotomo-dendrotdei.

54. PLAGIOCHILA BELANGERIANA Linpse. Spec. Hep. p. 109. t. 19.
Caule repente; ramis erectis apicem versus dendroideo-ramosis; foliis 1mbri-
catis_divergentibus, basi utrinque breviter decurrentibus reflexis dimidiato-
ovatis oblusis (supremis patentibus ovato-ellipticis subacutis) denticulato-spi-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 17

nulosìs; fructu laterali; perianthio subrotundo compresso, ore truncato inciso-
ciliato. Syn. Hep. p. 47.

Habitat Javam. Syn. Hep. In monte Slamat, alit. 4000—6000'. Herb.
Juxeu. Tersa. in Herb. Dz. et Mp. Ad rupes mont. Salak. Zorrineer, coll.
n. 5125. Herb. v. p. Bosen. Prope Gadok, altit. 1500. Herb. Dz. et Ma.,
communicavit Cl. v. Harr.

Sect. TIL. ASPLENIOIDEAE.

Rami adscendentes vel erectiusculi vage ramosi. Folia subrotunda, integer-
rima vel minute dentato-ciliata. Perianthia (in pluribus ignota) praelonga.

5. 1. Molüs subintegerrimis.

55. PLAGIOCHILA COMATA N. ab E. in Lixpga. Spec. Hep. p. 60. t. 8.
Caule repente diviso; ramis adscendentibus dichotomo-proliferis alatis; foliis
subimbricatis semiverticalibus subrotundis ovato-falcatisque obtusis subinteger-
rimis, dorso deeurrentibus, ex axillis inferis longissime fasciculato-barbatis ;
fructu dichotomiae innato; perianthio... Syn. Hep. p. 48.

Habitat Javam. Syn. Hep. — In insula Ternate. Herb. ReiNwanpr.

$. 2. Polüs denticulato-ciliatis, perianthiis elongatis.

56. PLAGIOCHILA ASPLENIOIDES M. et N. in Linpsa. Spec. Hep. p. 110.
t. 25. Caule repente flagellifero; ramis erectis vel adscendentibus vage ramo-
sis foliis subimbricatis oblique patentibus decurvis obovato-rotundatis inte-
gerrimis denticulatisque, margine dorsali reflexo; fructu terminalis perianthio
oblongo, apice dilatato compressoque deeurvo, involuerum multo superante, ore
truncato dentato-ciltato. Syn. lep. p. 49.

B. confertior; magis ramosa; foliis imbrieatis ovato-oblongis deflexiusculis
denticulatis subintegerrimisque. LinpBe. |. c.

Habitat (Var. 6.) Javam. Syn. Hep.

57. PLAGIOCHILA TRAPEZOIDEA Linpre. Spec. Hep. p. 112. t. 22.
Caule repente fiagellifero; ramis adscendenti-erectis, apice recurvis prolifero-
subramosis; foliis_approximatis subverticalibus patenti-divergentibus, saepe he-
teromallis, ovato-trapezoideis duplicato-serrato-ciliatis longe decurrentibus, mar-
gine dorsali basi reflexis subintegerrimis; fructu terminali et e dichotomia;
perianthio oblongo-elavato, ore truncato dentato-ciliato, involuerum multo su-
perante. Syn. Hep. p. 50.

B. tenera; implexa; foliis distantibus obovatis, apice ciliato-serratis. L. c.

B)

WIS- EN NATUURK, VERH., DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL NÀ

18 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM,

Pz. major; laxa at firmula; foliis longissime decurrentibus, toto ambitu ser-
rato-ciliatis magis rotundatis. 1. c.
Habitat Javam. Syn. Hep. Var. g. etiam in Ternate. 1. c.
Ô Pp

Sect. IV. METEROMALLAE.

Rami subsimplices, arcuati, rarius dichotomo-fasciculati vel pinnati. Folia
heteromalla. Perianthia elongata.

$. 1. Conjugatae. Folia opposita erecto-adpressa basi coadunata.

98. PLAGIOCHILA BRAUNIANA N. ab E. in LinpBe. Spec. Hep. p. 117.
t. 24. Caule repente; ramis adscendentibus flexuosis, apice innovando-ramosis;
foliis approximatis verticalibus orbiculato-reniformibus oppositis connatis paten-
tbus integerrimis; fructu terminalis perianthio obovato compresso reflexo, ore
truncato denticulato. Syn. Hep. p. 51.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren.

59. PLAGIOCHILA OPPOSITA N. ab E. in LixpBe. Spec. Hep. p. 121.
t. 25. Caule repente; ramis adscendenti-erectis prolifero-divisis stoloniferis;
foluis subimbricatis verticalibus erecto-patulis oppositis coadunatis rotundato-
cuneatis spinuloso-dentatis; fructu terminalis perianthio tubuloso-urceolato re-
curvo, ore compresso truncato ciliato-dentato. Syn, Hep. p. 51.

g. falcata; ramis falcaus. |. c.

rz. filiformis; folus distantibus verticaliter patentibus obovato-orbieulatis, apice
parce dentato-spinulosis. |. c.

Habitat Javam. Syn. ep. Herb. Jurn. Tersm. in Herb. Dz. et Ma. In
mont. Salak, Zorr. n°. 5560 et 5560 d. ex p. Herb. v. p. Bosen. Herb.
Reinwarprt. Vor. 6. Herb. Jurn. — Ternate. Herb. Rervwarpr. Var. 7.
Tersa. in Herb. Dz. et Ma.

$. 2. Secundae. Folia patentia vel divergenti-decurva retrofleza, margine plana.

40. PLAGIOCHILA VARIEGATA Lixpse. Spec. Hep. p. 155. t. 55. Caule
repente adscendente innovando subramoso; foliis per paria approximatis verti=
calibus oblongis patenti-divergentibus obtusis, margine utroque deflexis, apice
subplanis integerrimis; fructu terminali lateralique; foliüis involucralibus inte-
gris ieregulariter dentatis; perianthio obovato, apice plicato, ore breviter den-
tato-ciliato. Syn. Hep. p. 54.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jurem. Tersm. in Herb. Dz. et Mp. Bui-
tenzorg. Herb. Mrq.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM, 19

Spicae masculae plures in eodem ramo, interrupte foliosae, ovatae, e 5 foliorum paribus com-
positae. Folia perigonialia rotundo-ovata, obtusa, basi inflata, apice patentia, repanda.

41. PLAGIOCHILA VARIABILIS v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Archief
IL p. 416. Dozr Plagiochila Sandei p. 6. Caule repente adscendente sub-
simplicis foliis per paria approximatis verticalibus oblongis patenti-divergen-
tibus, marginibus planis, oblique truncatis vel emarginato-bidentatis; fructu
ob mmnovationem laterali; foliis imvolucralibus oblongo-ovatis, apice denticula-
tis; perianthio oblongo-clavato, apice obsolete plicato, ore denticulato.

Habitat Javam. Herb, Jurer. Buitenzorg. Herb. Mig. Herb. v‚ p. Bosc.

Caespitosa. Caulis radieulis albidis e foliorum axillis repens, adscendens, 0,025 longus,
eum foliis 0,003 latus, simplex aut sub involucro inmovans. Folia per paria adproximata,
verticalia, patenti-divergentia, in plantis robustis retroflexa, oblonga, linguaeformia, subaequi-
lata, plana, basi convexa, dorso vix deeurrentia, apice rotundata, obtusa, integerrima, trun-
cato-acuta, retusa, repando-bierenata et emarginato-bidenticulata. Cellulae parvae, rotundae,
contiguae. Folia involucralia erecto-patula, oblonga, apice denticulata. Perianthium involuerum
superans, eylindrico-clavatum, apice leviter plicatum, ore denticulato, dentibus conniventibus.
Spica mascula ramum cingens, ovato-lanceolata, e paribus foliorum 4 constans. Folia peri-
gonialia imbricata, e basi convexa ovato-lanceolata, margine dorsali unidentata, dente recto
vel curvato, apice patula, truncato-bidentula.

Statura tenuiore, foliis magis planis, apice polymorphis, perianthiis longioribus et foliis peri-
gonialibus a Plagiochila variegata Lanpse. diversa.

TABULA IV.

Fig. 1. Plantae nataralh magnitudine; f. 2. planta a dorso cum pertanthio, decies aucta :
f. 3. pars caulis a dorso, decies el quinquies aucta; f. 4. caulis a ventre visus,
decies auctus; f. 5. pars caulis a ventre, decies el quinquies aucta; f. 6. tertura
folii, centies aucta; f. 7. spica mascula, vicies aucta.

42. PLAGIOCHILA SUBINTEGERRIMA N. ab E‚ in Livpge. Spec. Hep.
p. 129. t. 28. Caule repente adscendente ramoso; foliis per paria approxi-
matis subverticelibus _patenti-divergentibus deflexisque, convexis obovato-
obfongis subintegerrimis; fructu ob innovationes dorsali; perianthio obovato
clavato, basi ineurvo, ore truncato ciliato. Syn. Hep. p. 54.

«‚ oblongifolia; caule laxo simplici vel bifido; foliis semiverticalibus sub-
oppositis basique per paria subconnatis patentibus dissitis oblongis obtusis
integerrimis. |. c.

8. major; caule majore prolifero-diviso; foliis latis obovatis recurvatis, apice
subdenticulatis. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. #. Herb. Bus.
3%

20 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANIGARUM.

43. PLAGIOCHIEA KORTIIALSIANA Morks. Mspt. v. p. Sp, Le, in Ne-
derl. Kruidk. Archief. Ul. p. 416. Dozr Plagiochila Sandei p. 6. Caule re-
pente; ramis erectis apiee curvatis; foliis semiverticalibus ereeto-patulis re-
troflexis ovatis obovatisve obtusis et acutiuseulis, margine dorsali_ reflexis
integerrimis, ventrali apiceque denticulatis; fructu terminalt et lateralis perian-
thio compresso ovato oblongove nutante, ore truncato denticulato,

8. robustior; olivacea, magis prolifero-divisa, foliis secundis; perianthiis cre-
brioribus.

Habitat Javam. Tersu. in Herb. Dz. et Ms. Var. g. Herb. Juneu. Herb.
v. D. Bosen.

Caulis repens. Rami erecti, subsimplices, eurvati, 0,025 longi, 0,002 lati. Folia inferiora parva,
distantia, rotundo-obovata, subintegerrima ; superiora majora, subimbricata, semiverticalia, erecto-
patula, ovata vel obovata; margo dorsalis integerrimus, reflexus, paullo decurrens; ventralis
cum apice obtuso vel acutiuseulo dentieulatus, basi planus, integerrimus.

Var. B. coloris obscurioris. Rami proliferi. Folia subsecunda, margine utroque deflexa. Textura
foliorum spissa, cellulae parvae, ovali-rotundae. Fructus terminalis et lateralis. Folia invo-
lueralia erecta, conformia. Perianthium nutans, compressum, ovatum vel ovato-oblongum, ore
truncatum, denticulatum. Spicae masculae apice iterum foliosae, lineares. Folia perigonialia
imbricata, subretroflexa, ovata, obtusa, basi inflata, apice erecto-patula, margintbus reflexis den-
ticulatisque.

Proxima est Plagiochila asplenioides Var. B. conferlior, a qua differt foliis acutiusculis
perianthio breviore, ore tantum dentieulato, spicis masculis linearibus.

Speciei nomen tribuit vir Doct: Morkennorer amici sui integerrimi Doct. P. W. Korrnars,
Naturae scrutatoris celeberrimi.

TABULA:

Var. «. Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars rami a dorso, duodecies aucta;
f. 3. ramus a ventre visus, seplies auctus; f. 4. folium, decies et quinguies au-
ctum; f. 5. tertura foliù, quinquagies aucta; f. 6. folium mvolucrale, decies el quin-
guies auclum; f. 7. perranthium, septies auctum.

Var. B. f. S. planta maguitudine naturali: f. 9. ramus fructifer, seplies auctus; f. 10.

spica mascula, septies aucta: f. 11. folium perigoniale, vicies auctum.

44. PLAGIOCHILA GENICULATA LrvpBe. Spec. Mep. p. 161. t. 27.
Caule repente; ramis adscendentibus prolifero-ramosis divaricatis; folius di-
stantibus verticalibus divergentibus subrotundo-obovatis, margine utroque re-
flexis, dorsali strietiuseulis integerrimis, ventralt subareuatis denticulato-spi-
nulosis, apicee oblique emarginato-bidentatis; fructu lateralis perianthio obliquo
semirotundo, ore truncato inciso-ciliato. Syn. Hep. p. 55.

Habitat Javam, in monte Ungarang, altit. 5000—5000'. Herb, Juneu.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 21

45. PLAGIOCHILA' RENITENS N. ab E. in LivpBa. Spec. Mep. p. 90.
t. 17. Caule repente; ramis subsimplicibus arcuatim flexuosis; foliis imbrica-
tis subsemiverticalibus erecto-patulis subsecundis obligue ovatis obovatisque
convexis, margine dorsali reflexis strictiusculis integerrimis, margine ventrali
apieeque minute dentieulato-ciliatis; fractu lateralis; perianthio obovato com-
presso, ore truncato denticulato, Syn. Hep. p. 55.

Habitat Javam. Syn. Hep.

46. PLAGIOCHILA FUSCA v. p. Sp. Le. in Nederl, Kruidk. Archief HJ.
p. 417. Dozr Plagiochila Sandei p. 6. Caule repente; ramis erectis apice
ecurvatis; foliis subverticalibus patenti-divergentibus, saepe heteromallis, semi-
ovatis decurrentibus, apice angustatis obtusis, margine dorsali strictis inte-
gerrimis reflexis, ventrali apiceque dentato-ciliatis; fructu terminali vel accc-
dente innovatione lateralis perianthio oblongo compresso, ore truncato ciliato-
denticulato.

Habitat Javam. Herb. Juren.

Caulis repens, fusco-nigricans,. Rami erecti vel adseendentes, 0,04 longi, apice curvatì, sim-
plices vel ramosi, ramis erectis vel divaricatis. Folia inferiora parva, distantia, obovata; supe-
riora, majora, fusca, imbricata, semiverticalia et subverticalia, patenti-divergentia, semiovata, cum
caule et folio opposito 0,00S lata, plano-disticha vel heteromalla; margo dorsalis late reflexus,
strictus, integerrimus, decurrens, sub apice serratus; ventralis rotundatus, cum apiee obtuso den-
tato-ciliatus; eorum bases imbricatim tectae, planae, integerrimae, in heteromallis reflexae. Folio-
rum cellulae parvae, subrotundae. Fructus terminalis et ad speciem lateralis. Folia involucralia
erecta, conformia. Perianthium involuerum superans, oblongum, compressum, ore truncatum,
eiliato-denticulatum.

Differt a Plagiochila arcuata Lunpge, foliis basi strietis obtusis, perianthio non alato; a
Plagiochila heteromalla Lope, foliis longe dentato-ciliatis; a Plagiochila trapezoidea Ipse.
recedit foliis simpliciter et longe dentato-ciliatis et perianthio breviore.

TABULA V.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars rami a dorso visa, decies aucta; f. 3.
ejusdem a ventre visa, decies aucla; f. A, ramus cum foliis secundis, octtes au-
clus; f. 5. teztura foli, vicies el quingutes aucta; f. 6. pertanthium eum folio in-
volucrali, quingwies auctum.

In Herb Dz. et Ms. adest Plagiochilae specimen unicum maseulume Java, quod P/. arcu-
atae Lpe. accedit. Differt autem ramulis divaricatis, foliorum margine dorsali non integer-
rimo, sed saepe toto denticulato, apice angustato obtuso, nec bispinoso. Spicae masculae soli-
tariae, terminales, lineares. Folia perigonialia, e paribus 10—16, dense imbricata, subro-
tunda, eireumeirea dentata, apice patula.

22 SYNOPSIS HIEPATICARUM JAVANICARUM.

47. PLAGIOCHILA HETEROMALLA Leum. et Lose. in LivpBe. Spec.
Hep. p. 85. t. 18. Caule repente ramisque adscendentibus simplieibus bifidisve
arcuatis subdivaricatiss foliis subverticalibus divergenti-deflexis heteromallis
semicordato-oblongis convexis, margine reflexis, margine ventrali apiceque mi-
nute denticulato-ciliatis; fructu in ramulis terminali; perianthio elongato-pyri-
formi, apice compresso, ore truncato ciliato. Syn. Hep. p. 56.

Habitat Javam. Herb. Jurem. Teysm. in Herb. Dz, et Mp.

48. PLAGIOCHILA ABIETINA N. ab E. in LinpBe. Spec. Hep. p. 154.
t. 29. Caule repente adseendente ramisque pinnato-ramosis hirsutis, ramulis
attenuatis decurvis; fois subverticalibus erecto-patulis subimbricatis dimidiato-
ovalis acutiusculis spinuloso-dentatis, margine dorsali reflexis, caulinis deflexis
convexis; fructu in ramis terminal; perianthio campanulato compresso, ore
truneato ineiso-ciliato. Syn. Hep. p. 57.

Ö. gracilenta; fusco-lutescens elongata tenuis; ramulis foliisque subexpla-
nalis laxioribus.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Tersu. in Herb. Dz. et Ma. Var.
ê. In monte Ungarang. Herb. Juren.

Spicae masculae apicales vel ramulum ex apice continuatum medio eïingentes, ovato-lanceo-
latae. Folia perigonialia imbricata, ovata, apice patula, obtusa, dentata.
Verietas @. habitum referre videtur Plagiochilae defleziramae Tayr. Haec tamen forma

perianthii, quodque involvcco est immersum, discrepat.
Sect. V. CONNATAE.

Omnes amphigastriatae. Folia cum amphigastriis subeonnata. Perianthia tri-
angularia angulis eiliatis.

49. PLAGIOCHILA CILIOLATA N. ab E, in Livpse. Spec. Hep. p. 145.
t. 50. Caule simplicissimo furcatove erecto; foliis approximatis patulis lanceolatis,
marginibus reflexis, ventrali apiceque ciliato-dentatis; amphigastriis imbricatis
ovato-orbiculatis denticulatis, basi cam foliis connatis; fructu terminali; pe-
rianthio pyramidali angulis oreque ciliatis. Syn. Hep. p. 60.

Habitat Javam. Syn. Hep. In monte Wayang, alti. 7000’. Herb. Juren.
Tersa. in Herb. Dz. et Ms.

50. PLAGIOCHILA COSTATA N, ab E. in Lixpse. Spec. Hep. p. 145.
t. 26. Caule proeumbente, apice adseendente diehotomo; foliis arcte imbrica-
tis dimidiato-cordatis, margine dorsali reflexo recto-nudo, ventrali amphigas-
Wiisque imbricatis cordato-ovatis acutis dentato-ciliatis; fructu dichotomiae im-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 25

posito; perianthio pyramidali-triangulo, angulis oreque truncato dentato-ciliatis.
Syn. Hep. p. 61.
Habitat Javam. Syn. Hep.

Sect. VL. DENDROIDEAEL.

Rami basi flagelliformes, apice dendroidei. Folia oblongo-elliptica, integer-
rima oblique bifida.

51. PLAGIOCHILA DENDROIDES N. ab E. in LispBe. Spec. Hep. p. 146.
t. 50, Caule horizontali interrupte ramoso flagilliferoque; ramis fasciculatis
deeurvis; folis subhorizontalibus distiche patulis oblongo-ellipticis acutis obli-
que bidentatis integerrimis; fructu in ramis terminalis perianthio ovali margi=
nato, ore bilabiato ciliato. Syn. Hep. p. 61.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb, Jurem. Treysa. in Herb. Dz. et Mp. In
montosis Salak. ZorLINGER n°. 5560 et 5560 d. ex. p. Herb. v. p. Boscn.

V. SCAPANIA LINDBG.

52. SCAPANIA NEMOROSA N. ab E. Hep. Eur. HL p. 524. Folus ciliato-
dentatis, lobo utroque convexo obtuso, ventrali obovato obliquo, dorsali duplo
minori incumbente; surculis dorso convexis rigidulis. Syn. Hep. p. 68.

Habitat Javam. Syn. Hep.

55. SCAPANIA RIGIDA N. ab E. Syn. Hep. p. 69. Foliis apicem versus
dentatis, lobo ventrali oblique obovato convexo decurvo acutiusculo, dorsali
minori ovato-subquadrato muecronato-acuto convexo; perianthio compresso, ore
truncato reflexo. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juxen. Tersm. in Herb. Dz. et Mp.

54. SCAPANIA JAVANICA Gorrsenr in Natuurk. Tijdschr. v. Nederl.
Indie 1855. p. 515. Zorrineer Systemat. Verzeichn. 1. p. 20. et 21, Caule
adscendente flexuoso simplici; foliis bilobis argute dentieulatis, lobo dorsalt
convexo cordiformi-trapezoideo, ventrali ovali reflexo-patente duplo majore
apiceque plerumque obtuso (in foliis summis capituli, cellulis gemmiparis non
laxis, aeuto); perianthio elongato compresso oblique reflexo, ore denticulato;
foluis involueralibus conformibus. Gorrscue |. c.

Habitat Javam. Cum Jungermannia retusa Gortrscue, ad rupes catarrhacta-
rum montis Prabakti, ZorLinger, coll. sub n°. 5502. Herb. Jureu. Herb.
v. D. Boscu. Treysa. in Herb. Dz. et Mp.

DN/ SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

55. SCAPANIA FERRUGINEA Lerum, et LpBa. in Syn. Hep. p. 72. Folus
dense ciliatis dissitiusculis inaequaliter bilobis obtusis, lobo ventrali ovato, dor-
sali cordato; perianthio teretiusculo, ore inciso-ciliato eonnivente. Syn. Hep, |. c.

Habitat Javam. In monte Mangalawangie. Herb. Jurem. Tersm. in Herb.
Dz. et Mp.

VL JUNGERMANNIA LINN, (Char. em.)
S. 1. Homomallae.

Folia subseeunda, concava, aut integra, aut bidentula, basi dorsali antror-
sum conversa. Amphigastria nulla. Perianthium in caule terminale, tri-qua-
drangulare, apice attenuatum, ore lacimulato.

56. JUNGERMANNIA CONTRACTA N. ab E. R. et Bl. Hep. Jav. in Act.
Acad. Nat. Cur. XIL. 4. p. 255. Caule procumbente flexuoso arhizo, apice in-
novante; foliis semiverticalibus adscendentibus, apice recurvis ovalis cuspidulato-
mueronatis integerrimis, margine supero subrepando; periantbio oblongo plicato,
ore eiliato; foliis imvolueralibus trifidis vel plurifidis dentatis. Syn. Hep. p. 79.

B. foliis margine supero non repandis, l.c.

7. statura teneriori. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var, «. Herb. Juren. Herb. Dz. et Mp.

57. JUNGERMANNIA PILIGERA N. ab E‚ R. et Bl. Hep. Jav. in Act.
Acad, Nat. Cur. XII. 1. p. 414. n°. 16 b. Caule ramoso, ramis reclinalis
subsimplicibus; foliis succubo-imbricatis verbicalibus adseendentibus compli-
cato-bifidis, laciniis subaequalibus concavis subintegerrimis, apice setigeris
fructu terminali; perianthiis pyramidato-quadrangulis, ore lacero-ciliatis. Syn.
ep. p. 81.

«. major; foliis dense succubo-imbricatis adscendentibus; perianthiis lon-
gioribus. |. c.

. minor; foliis ut in praecedente; perianthio breviori ovato mueronato pli-
cato-striato (ob innovationem infra apicem ortam dorsali). |. c.

7. tenerrima; caule laxo subulis folus distantibus patulis non tam eviden-
ter verbicalibus, laciniis acutis mucronulo piliformt plerumque destitutis. Lc.

Habitat Javam. Syn. Mep. Var. «. Herb. Jonen. Tersa. in Îlerb. Dz. et Ma.
Var, 8. Herb. Juven. Var. 7. Tersa. in Herb. Dz. et Mg. Cum perianthiis.

S. 2. Communes.

Folia semiverticalia aut subverticalia, vel oblique explanata, vel sursum con-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUI. 35

niventia, integra, bi-pluridentata, bi-trifida, aut setaceo-pluripartita, raro in
ambitu denticulata serratave. Amphigastria vel desunt, vel ubt adsunt, foliis
sunt aut econformia et aequalia vel diversiformia et minora, in latere ventrali
caulis disticho-alterna. Perianthium in caule primario (saepe infra hoe inno-
vante) terminale, subeylindrieum, subelavatum, oblongum, ovatumve aut sub-
globosum (paucis elongato-pyramidale, tri-quadrangulare), plus minus, saltem
ad os, plicatum. Involueri folia et amphigastria pauca, plerumque caulinis
majora, magisque divisa, saepius dentata.
A. Integrifoliae.
Folia integra, plurimis et integerrima.
+ _Amphigastriatae.

58. JUNGERMANNIA SUCCULENTA Rrem. Mspt. L. et LivpBe. in Lena.
Pugill. IV. p. 45. Caule repente stupaceo-radiculoso ramosiusculo; foliis ver=
ticalibus ovato-orbieulatis, apice reflexis leviter emarginatis; amphigastriis trian-
gularibus, basi caulem amplectentibus, apice patentibus; perianthio obovato parvo,
foliis involucralibus paene immerso, bilabiato, apice truncato, oris margine
laevi. Syn. Hep. p. 84.

Habitat Javam. Ad craterem Tjrwidei. Herb. Juren.

tt Examphigastriatae.

59. JUNGERMANNIA FLEXICAULIS N. ab E. ia Linn. VL. p. 604. Caule
prostrato flexuoso nudo, e ventre subflagellifero proligeroque; foliis subvertica-
libus erecto-conniventibus cordato-orbiculatis obliquis rotundatis integerrimis;
fructu terminalis involucri foliis integris; perianthio ovato oblongove, apicem
versus quadriplicato. Syn. Hep. p. 87.

B. mierophylla; caule filiformi lineari angusto; foluis minoribus late amplec-
tentibus; perianthio subeylindrieo. 1, c.

7. decipiens; caule innovationibus laxis diviso; foltis plerisque patulis viren-
tibus. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. Herb. Jureu. Tersm. in Herb. Dz. et
Ms. Herb. v. p. Boscu.

60. JUNGERMANNIA JUNGHUHNIANA N. ab E. Syn. Hep. p. 87. Caule
flagellifero, radieulis densis longis (pupureis) arctissime repente, infra apicem
innovante; foliis dense imbricatis deelivi-semiverticalibus oblique ovatis obtu-

sis integerrimis, margine dorsali concaviusculo anguste reflexo; involuer1 foliis

4
WIS- EN NATUURK, VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL V,

26 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

integris, apice patulis repandis; perianthio anguste pyramidali triangulari pli-
catulo, involuero dimidio longiore. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Dz. ct Mp. Buitenzorg. Herb. Mr.

61. JUNGERMANNIA RETUSA Gorrsene in Natuurk. Tijdschr. v. Nederl.
Indië. 1855. p. 575. Zorrineer System. Verzeichn. 1. p. 19, et 21. Amphi-
gastrijs nullis; caule adscendente subflexuoso radiculoso flagellifero, infra
apieem innovante (novellis grandifoltis), surculis gracilibus erectis; foliis semi-
verticalibus distantibus obovatis patulis margine repandis; perianthio terminali
exserto eylindrico-quadrangulari, apiee laevi plicato; foliis involucralibus con-
formibus adpressis, apice patenti-recurvis. Gortrscue. |. c.

Habitat Javam. Ad rupes catarractarum Prabakti, cum Scapania javanica
Gorrscne. ZOorLINGEr coll. n°. 5502. Herb. Juren.

62. JUNGERMANNIA ARIADNE Tarr. in Hb. Greville. Leun. Puy. pl.
VIIL p. 9. Caule procumbente, sub involucro innovante, paullum ramoso ra-
diculoso; foliis horizontalibus ovato-ellipticis subintegerrimis vel margine re-
pandis; perianthio semi-immerso quadrangulari-prismatico, ore truncato. Syn.
Hep. p. 674.

Habitat Javam. Ad pedem montis Prabakti, —+& altit. 4000’. Zorrincer.
callen 1581Ea.

65. JUNGERMANNIA TETRAGONA Lrspae. Hepat. Jav. in Bot. Zeitung.
VL. 1848. p. 462. Zorriveen. System. Verzeichn. 1. p. 19. Caule flagelli-
fero adseendente radiculis basi repente innovando subramoso; foliis semiverti-
calibus remotiuseulis ovato-rotundatis integerrimis; perianthio exserto cylin-
drieo-quadrangulari, ore bilabiato obsolete dentato. Linpsa. |. c.

Habitat Javam. Ad pedem montis Prabakti. Zorrineer. coll. n°. 1581. b.

J. Junghuhnianae N. ab BE. et J. polyrrhizae Hook. proxima, praeprimis diversa pe-
rianthio longiore angusto quadriplicato bilabiato. (Linpgs.)

64. JUNGERMANNIA POLYRHIZA Hook. Mspt. Lenm. el LoBa. Pug. VI.
p. 54. Caule procumbente subsimplice flagellifero; foltis semiverticalibus im-
bricatis ovato-rotundatis subundulatis integerrimis; perianthiis perichaetio se-
mi-immersis ovato-cylindricis subarcuatis plicatis, ore truncatis denticulatis.
Syn. Hep. p. 88.

[abitat Javam. Herb. Dz, et Ms.

65. JUNGERMANNIA TRUNCATA N. ab E. Syn. Hep. p. 89. Gaule pro-

cumbente flexuoso radiculoso, e prona parte prolifero-subramoso; foliis disti-

mmniet tn eeb d en de

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 27

cho-patentibus ovatis truncato-obtusatis; involucralibus duobus conformibus,
basi perianthio adnatis patulis; perianthio ovali laevi, ore lacero-inciso.
Syn. Hep. l.c.

g. tenerrima; filiformis; foliis minutis distantibus. |. &

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. @. Tersm. in Herb. Dz. et. Me.

B. Bidentes.

Folia apiee saltem bidentata .……… …- Cava vel plana.

66. JUNGERMANNIA PUNIGEA N, ab E. Enum. plant. crypt. Jav. 1. Pp.
52, Caule brevi ramoso arcuato rigidulo, ramorum apicibus attenuatis flagel-
hisque erassis repente, apice adseendente; foliis semiverticalibus subrotundis
imbricatis concavis emarginato-bifidis, dentibus acutiusculis conniventibus ;
foliis involucralibus majoribus patulis dentatis, basi connatis; perlanthio tri-
gono-pyramidali plicato, ore dentato. Syn. Hep. p. 97.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jonen.

67. JUNGERMANNIA RECURVIFOLIA N. ab E. Enum. plant. erypt. Jav. 1.
p. 52. Caule repente Hlagellifero ramoso, ramis ereetis; foliis verticalibus
patenti-recurvis subquadratis late emarginatis, apicem versus inaequaliter den-
tato-ciliatis; foliis involueralibus binis dentato-laceris; perianthio oblongo sub-
compresso, ore connivente lacero-ciliato. Syn. Hep. p. 98.

Habitat Javam. Syn. Hep.

C. Barbatae.

Foliis bi-pluridentatis fissisve rigidulis, plus minus evidenter plieatis, plicis
tot quot dentibus praedita sunt. Amphigastria, ubi adsunt, foliis haud multo
minora, at teneriora, bifida, in ambitu saepe ciliato-incisa, cauli arcte adpressa.

68. JUNGERMANNIA ARMATA N. ab E. Syn. Hep. p. 129. Caule erecto
ramoso ; foliis arcte imbricatis ovato-truncatis subeonduplieatis duplieato-den-
talis, apice bis-bifidis vel quadrifidis; amphigastriis magnis ovatis duplicato-
dentatis bifidis; perianthio tereti attenuato incurvo; foliis involucralibus parvis
conformibus. Syn. Hep. p. 129.

8. elongata; caule gracilis foliis laxis, denticulatis.

Habitat Javam. Var. «. Syn. Hep. Herb. Dz. et Mp. Var. 8. Herb. Dz.
et MB.

69. JUNGERMANNIA HIRTELLA Weger. Prodr. p. 50. Caule erecto
simplici vel dichotomo; foliis densissime eonfertis subverticalibus tripartitis,
laciniis oblongo-lanceolatis sexfariam patenti-recurvis, marginibus reflexis ci-

4

28 SYNOPSIS UHEPATICARUM JAVANICARUM.

lats; amphigastrus folio multo minoribus biparutis, lacinüis lanceolatis diva-
ricatis; perianthio terminali plicato-angulato. Syn. Mep. p. 150.

B. tenera; foliis laxis subseeundis. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Mangalawangie, Wayang. Herb. Juwau. Herb. Dz.
et Mp. Var. 2. Herb. Junen.

70. JUNGERMANNIA SETIGERA Livo. Syn. Hep. p. 151. Caule repente
flagellifero ramoso flexuoso; foliis verticalibus patenti-divergentibus vel sub-
reflexis subrotundis, margine fissis in lacinias 2—6 capillares articulatas, bast
folii indivisa duplo triplove longiores inaequales divaricatas, nonnumquam basi
cilio uno alterove praeditas; amphigastriis conformibus, sed brevioribus, apice
patulis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Repens in Scapania ferruginea L. et L. Herb. Junen.

$. 3. Bicuspides.

Folia semiverticalia, pleraque bidentata, rarius tridentata, ample reticulata,
plerisque parva, unde habitus gracilis. Fructificatio in ramulo proprio, steri-
libus utplurimum breviori at erassiori, terminalis. Involucerum polyphyllum
imbricatum, foliis interioribus majoribus profundiusque divisis et dentatis. Pe-
riantbum plerisque angustum, tenue, acutangulum ore lacero. Capsula num-
quam globosa.

*_Amphigastriatae.

71. JUNGERMANNIA BOSCHIANA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Arch.
HIL. p. 521. Dozr Plagiochila Sandei. p. 7. Amphigastriata, flagellari-radi-
cosa; caule ramoso, ramis adscendentibus; foliis subimbricatis crassiusculis
concavis ovatis, apice oblusis acutisque rarius emarginatis; amphigastriis ova-
tis integeis; trunco fructifero abbreviato; foliis involueri ovalis indivisis, apice
denticulatis; perianthio ovato-oblongo plicato, ore dentato.

Habitat Javam. Ad terram eum Jungermannia bicuspidata Linn. et Sym-
phyogyna podophylla M. et N. Herb. Junen.

Caespites pallide rubelli. Caulis flagellis rhizomatoideis, erassis, albis repens, nudis aut squa-
mulis minutis foliosis. Rami 0,005 longi et breviores, adscendentes, crassi, simplices aut parce
ramosi. Folia concava, crassiuscula, ramo latiora, ovata, obtusa vel acuta, apice plana vel ineur-
viuscula, integra, rarissime emarginato-bidenticulata; in ramis robustioribus imbricata, semi- et
subverticalia, patentia, vel erecto-adscendentia. Amphigastria distantia, minuta, adpressa, ovata,
obtusa, integerrima. Textura foliorum e cellulis amplis rotundo-quadratis, limitibus subtilibus
intertitiisque angustis. Caulis fructifer brevissimus, subaphyllus, radiculis tenerrimis vestjtus.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 29

Folia involueralia majora, ovata, adpressa vel patula, indivisa; superiora magna, apice denticu-
lata. Perianthium magnum, ovato-oblongum, plicato-trigonum, ore dentato.

Proximae sunt Jungermannia heteromorpha Lieum. et Lose. et Jungermannia Francisct
Hook. Prior differt caule simplici, foliis rotundis; posterior foliis, amphigastriis et involucro
bifidis,

Nomen dedi Viri amicissimi Doct. R. B. vaN DEN Bosen, de Flora Patriae summe meriti,
qui conjunetis studs cum Cel. Monraereo Luchenes Javanicos illustravit.

TABULA VI
Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars rami a dorso, tricies aucta; f. 3. pars
rami a ventre visa, tricies aucta; f. 4. folium singulum, vicies et qguinquies auclum ;
f. 5. teztura folit, centies aucta; f. 6. planta cum perianthio,decies aucta ; f. 1. fo-
lium involucrale internum, vicies et quinguies auclum.

* %* _Pxamphigastriatac.

72. JUNGERMANNIA BICUSPIDATA Lans, N. ab E, Hep. Eur. IL. p. 251.
Amphigastriis nullis; ramo florifero brevi aut longiusculo; caule procumbente
plerumque laxiusculo; ramis sterilibus procumbentibus repentibusque aut ad-
scendentibus subarhizis; foliis diametro caulis plerumque latioribus distantibus,
aut imbricatis semiverticalibus ovato-orbiculatis, magis minusve concavis ad-
scendentibusque, usque ad medium fere bifidis, sinu obtuso lacinis acutis magis
minusve conniventibus; retis maculis amplis pellucidis interstitiis grossis ; fo-
lis involucralibus plurifariis, apice plerumque patulis bi-quinquefidis repandis
serrulatisve, laciniis lanceolatis; perianthio tenui lineari, apicem versus com-
plicato-triangulari, ore denticulato; capsula oblonga rufo-fusca. Syn. Hep. p. 158.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juven. Treysa. in Herb. Dz. et Ms.

Specimina nostra referenda sunt ad Formam Aa. vulgarem N. ab E.

15. JUNGERMANNIA TRICUSPIDATA N. ab E. Hep. Jav. p. 51. Gaule
procumbente pinnatim ramoso; foliis dissittuscu!is subhorizontalibus pellucidis
late cuneiformibus profunde bi-trifidis, laciniis divergentibus angustis acutis;
fractu... Syn. Hep. p. 144.

Habitat Javam. Syn. Hep.

VIT. LOPHOCOLEA N. as E.

8. 1. Amphigastriis in folia decurrentibus.

74, LOPHOGOLEA HASKARLIANA Gorrscre. Syn. Hep, p. 155. Caule
repente ramoso; foliis cuneato-oblongis laxis convexo-patulis, margine ventrali

—

50 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

apiceque vel apice tantum serrato-dentatis, margine dorsali reflexis; amphiga-
striis 2—Á dentatis, dentibus mediis majoribus, utroque vel altero tantum la-
tere in folium subjacens descendentibus; perianthio parvo triquetro late alato, ore
alaque dentato; foliis involucralibus conformibus magis dentatis. Syn. Hep. p. 155.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Tersm. in Herb. Dz, et Ma. Bui-

tenzorg, Herb. Mr. — In monte Klabat insulae Gelebes. Herb. Rerxwarprt.
$. 2. Amphigastrüs discrelis.
* Fols integerrimis distincte bidentatis.

75. LOPHOCOLEA MOLLIS N. ab E. Syn. Hep. p. 158. Caule procum-
bente ramoso; foliis semiverticalibus amphigastriisque patentibus liberis ovalis
emarginato-bidentatis, dentibus subulatis patulis; fructu terminali; foltis amphi-
gastrijsque magnis convolutis bidentatis; perianthio prismatico, angulis angus-
tissime alato, ala uno alterove dente praedito, ore lacinato-dentato. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

76. LOPHOCOLEA BIDENTATA N. ab E. Hep. Eur. II. p. 527. Caule
clongato parce ramoso; foltis ovato-triangularibus explanatis laxis pallidis, sinu
sublunato, dentibus subobliquis acutis; ampbigastriis folio multo minoribus li-
beris distantibus bipartitis, laciniis profunde bifidis lineari-angustis integerri-
mis aut ineiso-dentatis; perianthio mox laterali subsessili, angulis ala nulla, ore
laciniato-dentato; involueri foliis subeonformibus acute bilidis subdentats. Syn.
Hep. p. 159.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jure.

*% Fols dentatis.

77. LOPHOCOLEA HORRIDULA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk, Arch.
UL. p. 417. Dozr Plagiochila Sandei p. 7. Caule repente radiculoso ramoso;
foliis adproximatis subhorizontalibus subquadrato-ovatis spinuloso-eiliatis, dorso
muricatis, apice integris et bidentatis, laciniis acutis; ampbigastriis bidentatis
liberis; fructu terminalis perianthio clavato-cylindrico, tota superficie muricato,
apiee subplicato, ore 5-fido.

Habitat Javam. Herb. Jurer. Tersu, in Hb. Dz. et Mp. Buitenzorg. Mrq.

Plantula olivacea, ramosa, subdichotoma, 0,015 longa, 0,001 lata et angustior, radiculas
fasciculatas, longas, albidas e caule trudens. Folia subhorizontalia, contigua et laxe imbricata,
quadrato-ovata, bidentata, dentibus acutis, vel etiam indivisa, circumcirca spinuloso-ciliata, Am-
phigastria minutissima, libera, ovata, bidentata, laciniis acutis, ciliatis. Textura foliorum e
cellulis parvis constans, ovalibus quadratisque, interstitiis angustis discretis; dorsum papillis

kes

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 51

elevatis eonieis, opacis, 1—?2-cellularibus munitur, in ventre deficientibus. Fructus in ramulo
terminalis. Imvoluerum e paribus foliorum tribus compositum; folia reliquis majora, subver-
ticalia, profunde bidentata; margines utrinque deflexi. Amphigastria involucralia tria, oblongo-
ovata, bidentata. Perianthium 0,002 longum, densius longiusque muricatum, tereti-clavatum,
apice obsolete plicatum, ore quinquefido, laciniis rectis, lanceolatis, ciliatis. Spica mascula in
planta fructifera, linearis; folia perigonialia imbricata, ovata, basi inflata, dorso glabra, apice
bidentata, dentibus acutis, ciliatis, patenti-reflexis.

Proxima Lophocoleae muricatae N. ab B, Differt nostra planta: caule repente, foliis magis
ovatis, perianthio eylindrico, toto muricato.

TABULA VI.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, quadragies aucta; f. 3.
a ventre, quadragies auctas f. A. teztura folü a dorso visa, centies et _quinguagies
aucta; f. 5. amphigastrium caulinum, ducenties auctum; f. 6. ramus fructifer,
seragies auctus:s f. T. ramus cum spica mascula, sevagies auctus.

In Herb. Dz. et Mg. asservantur frustula Lophocoleae, colore flavo, foliis subhorizontali-
bus, imbricatis, ovatis, apiee rotundis, margine toto longe ciliatis, ciliis 4— 5-cellularibus,
articulatis, margine dorsali in caulem paulisper descendentibus, ventrali basi rotundatis. Tex-
tura e cellulis amplis sexangulari-rotundis, limitibus contiguis. Amphigastria, a radicellis aegre
distinguenda, libera videntur et ciliata. — Lophocolea Orbigniana M. et N. ab hac differt
foliis brevioribus et amphigastriis.

VIIL. CHILOSCYPHUS CORD. DUM. N, ag B.
S. Amphigastriis in folia deeurrentibus (coadunati).

a. Perfoliati, foliis suboppositis margine dorsali basi connalis.

78. CHILOSCYPHUS DECURRENS N. ab E. Syn. Hep. p. 175. Caule
proeumbente subramoso; foliis ovatis obtusis subintegerrimis subrepandisve
splendentibus, margine dorsali basi in dorso caulis cum folio opposito limbo
tenui connato; amphigastriis imbricatis orbiculato-quadratis denticulatis (den-
tibus mediis majoribus, sinu rotundiusculo diseretis) utrinque eum foliis sub-
jeetis connatis; perianthio campanulato, ore longe laciniato; foliis involucrali-
bus apiee subbidentatis, toto margine lacinulato-dentatis; amphigastrio involucralt
ovali bidentato, altero latere tantum cum folio usque ad medium fere connato.
Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Junen. Treysa. in Herb, Dz. et Ma. — In
monte Batu Lanté insulae Sumbawa, altit. + 4500’. Zourineem, coll. n°, 5400.

79. CHILOSCYPHUS BADUINUS N. ab E. Syx. Hep. p. 174, Gaul» pro-
eumbente simplici flexuoso; foliis horizontalibus euneatis, margine ventrali ar-

92 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

cuato per leviorem sinum in apicem emarginato-bidentatum abeuntibus, mar=
gine dorsali rectiusculo, basi in dorso caulis medio cum folio opposito limbo
saccato connatis; amphigastriis imbricatis transversalibus cum foliis subjacen-
tubus angusta projeetura utringue econnatis, margine dentato-ciliatis, dentibus
(utroque margine 8 recurvis) binis mediis majoribus, sinu rotundiusculo dis-
eretis; fructu... Syn. Hep. l.c.

8. foluis integerrimis. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

80. CHILOSCYPHUS SUCCGULENTUS Gortrscuer. Muscor, Hepat. Species
nov. Javan, in Natuurk. Tijdschr. v. Nederl. Indië. 1855. p. 576. Zourin-
GER. System. Verzeichn. L. p. 19 et p. 21. Gaule procumbente subramoso;
foliis horizontalibus explanatis vel paulo assurgentibus, cellulis prominentibus
turgidis, obeuneatis, margine ventralt recto, apice truncato vel bidentulo (an-
gulo utroque in denticulum producto), margine dorsali recto, cum basi dorsali
folit alterius lateris limbo tenui subconnato; amphigastriis contiguis transver-
salibus quadratis, cum foliis subjacentibus tenui projectura utrinque conuatis,
apice sinu lunato-emarginato bidentato, margine laterali 2—5 dentibus recur=
vis magnis praeditis,. GorrscuHe |. c.

Habitat Javam. Ad arbores putridas montis Prabakti. Zorrineen coll. n°, 5515.
Buitenzorg. Herb. Mig. Tersa. in Herb. Dz, et Ms.

B. foliorum bases dorsales discretae.

81. CHILOSCYPHUS ASELLIFORMIS N. ab E. Syn. Hep. p. 176. Caule
prostrato subdichotomo apiceque innovantes folmis obliqne decurrentibus erecto-
eurvatis oblique orbiculaus, sulco longitudinali sinuosis, margine ventrali curvo,
dorsali repando-reflexo (interdum dentato), apice bi=tri-dentato-ciliato; amphi-
gastriis imbricalis, utrinque angusto limbo connatis, orbiculato-transversalibus
bidentatis; perianthio ovato-campanulato sinuoso, ore aperto laciniato; foliis
involueralibus in perichaetium monophyllum alte eonnatis. Syn, Hep. |. c.

Formae variantes inveniuntur :

«. margine dorsali foliorum reflexo integerrimo; ventrali integerrimo, apice
binis dentibus majoribus, uno alterove denticulo parvo secutis. 1. c.

B. margine dorsalt reflexo, 9—10 ciliis et dentibus armato, ventrali interdum
denticulis nonnullis, apice 4-dentato, dentibus longioribus ciliiformibus. |. c.

7. folis subdentatis. 1. c.

Ò. amphigastriis dentibus obsoletis. 1. c.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. Tij

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juneau. Tersm. in Herb. Dz. et Mr. —
Var. e. In monte Batu Lanté insulae Sumbawa, altit. + 4500’. ZOLLINGER
coll. n°. 5400.

82. CHILOSCYPHUS TRAPEZIOIDES v, p. Sp. Lc. in Nederl. Kruidk. Arch.
HL p. 417. Dozr Plagiochila Sandei. p. 7, Gaule rigidulo repente, vage ramoso
adseendente flexuoso; foliis semiverticalibus conniventibus imbricatis ovato-
trapezioideis, apice obtuso integerrimo, margine dorsali rectiusculis, basi undu=
latis, ventrali arcuatis, basi 2—5 dentatis; amphigastriis subimbricatis ovato-
rotundis sexangulari-dentatis, marginibus et apice inter dentes aequaliter sinua-
ts, basi altero latere folio connatis; foliis involucralibus bilobis; fructu...

Habitat Javam. Herb. Juren. Tevsm. in Herb. Dz. et Mer.

Rigidulus, fusco-rubellus, subteres, 0,045 longus, ex amphigastriorum dorso radiculis sim-
plieibus vel fasciculatis, brevibus, albidis repens, cum foliis 0,0025 latus. Rami vagi aut
fasciculati, adscendentes, reeurvati. Folia dense imbricata, semiverticalia, convexiuscula, con-
niventia vel apicibus foliorum oppositorum imbricata (unde forma teretiuscula); margo dor-
salis rectiusculus, integerrimus, basi undulatus; ventralis arcuatus, basi integerrimus vel 1—2
dentatus; apex obtusus, integerrimus. Amphigastria magna, adpressa, contigua vel imbricata,
ovali-rotunda, angulis vel dentibus vulgo sex, sinulis aequalibus ubivis diseretis; basis decur-
rens ct altero latere cum basi ventrali folii subjacentis connata. Woliorum compages fragilis;
cellulae parvae, poriformes, distantes, Involucrum subsessile, Folia involucralia quadrato-oblonga,
apice biloba.

Chiloscyphus hexagonus N. ab B. proximus, differt caule prostrato, foliis orbiculatis.

TABULA vif

Fig. 1. Planta magmitudine naturali; f. 2. pars rami a latere visa, decies aucta; f. 3.
folia erplanata a dorso visa, decies et quingqutes aucta; f. 4. rami pars a ventre
visa, decies el quinguies aucta; f. 5. amphigastrium, tricies auctum; f. 6. teztura
amphigastrii, sevagies aucta; f. 1. folium involucrale, trictes auctum.

85. CHILOSCYPHUS TJIWIDEIËNSIS v. p. Sp. Le, in Nederl. Kruidk.
Archief. HI. p. 418. Dozr Plagiochila Sandei. p. 7. Caule repente vage ra-
moso; foliis subhorizontalibus ovatis, apice obtuso plano integerrimo, mar-
gine dorsali longe decurrentibus, ventralt basi integris vel subdentatis; amphi-
gastriis adproximatis ovatis, utrinque subtridentatis, apice sinu angulari bifidis,
laciniis subineurvis acutis, basi altero latere cum folio subjacente connatis;
fructu.….

Habitat Javam. Ad craterem Tjiwidei. Herb. Juneu.

WIS- EN NATUURK, VERI. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL V.

oÁ SYNOPSIS HEPATICAREM JAVANICARUM.

Caulis 0,04 circiter longus, flexuosus, subsimplex aut parce ramosus, radicularum fasciculis
longis, purpureis, e caule pullulantibus, repens. Folia planiuscula, subimbricata, horizontalia,
ovata, obtusa, conniventia; margo dorsalis arcuatus, longe in caulem decurrens, integerrimus;
ventralis rotundatus, integerrimus vel basi subdenticulatus. Amphigastria adproximata, patula,
ovata, utrinque subtridentata, apice sinu obtuso, angulari, bifida, lacintis subacuminatis, incur-
vis; basis decurrens, altero latere eum folio connata. Textura foliorum e cellulis eonstat satis
magnis, rotundis, limitibus subtilibus, fere contiguis.

A praecedente foliis decurrentibus et amphigastriorum forma satis distinctus.

TABULA VII

Fig. 1. Planta magmitudine naturali; f. 2. pars caulis a latere visa, decies el quinquies
aucla; f. 3. pars caulis eum foliis evplanatis a dorso, tricies el _quinquies aucta;
f. A. pars eaulis eum foliüs eeplanatis a venlre visa, lricies aucta; f. 5. tertura
folit, seragies aucta; f. 6. amphigastria a latere visa, vicies et quingutes aucta.

84. CHILOSCYPHUS CGOALITUS N. ab. E. Syn, Hep. p. 180. Caule re-
pente vage ramoso; foliis horizontalibus ovato-quadratis truncato=bidentatis,
dentibus subulatis; amphigastriis in folit marginem ventralem utrinque late
decurrentibus quadri-sexdentatis; perianthio obovato, ore quadridentato; calyp-
tra demum longe exserta. Syn. Hep. |. c.

B. affinis; folus brevioribus fere quadratis, dentibus minoribus; amphigas-
triis transversalibas quadridentatis. 1. ec,

7. tener; foliis ecuneiformibus subulato-bidentatis; amphigastriis subquadri-
dentatis, scilieet dentibus late®alibus brevissimis. |. c.

Habitat Javam (Var. @. et 7.). Syn. Hep. Herb. Jurem. Buitenzorg,
Herb. Mrg. Tersu. in Herb. Dz. et MB. — In monte Klabat insulae Gelebes.
Herb. Rerxwarpt. Var. 7. In monte Salak, Zorrineer coll. n°. 5560.
dier p:

85. CHILOSCYPHUS COMBINATUS N. ab E. Syn. Hep. p. 182. Gaule
repente subramoso; folits horizontalibus ovato-cuneiformibus planis, apice emar-
ginato-tridentatis; amphigastriis in folii marginem anguste deeurrentibus bifi-
dis, laciniis incisis(plerumque) tridentatis; fructu... Syn. Hep, 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. — Specimina pauca.

86. CHILOSCYPHUS ARGUTUS N. ab E. Syn. Hep. p. 185. Caule re-
pente subramoso; foliis subimbricatis horizontalibus subquadratis vel elongato-
quadratis, apice rotundo acute plari- (5-7-9) dentatis; amphigastriis altero
latere eum folio connatis parvis distantibus bipartitis, lacinüs subulatis, basi

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 55

extrorsum unidentatis; perianthio eylindrico=triquetro, ore trilobo eiliato-dentato,
Syn. Hep. p. 185.

g- (9). amphigastriis obsoletis. 1. c.

y. (s). subtilis; status junior et rami novelli laxius folis obsiti. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. Herb. Juren. Buitenzorg. Herb. Mrq. Teysm.
Herb. Dz. et Ma. Var. 7. in monte Salak. Zorrineer coll. n°. 5560 d. ex p.

S 2. Amphigastrüs in folia non decurrentibus (liberis).

87. CHILOSCYPHUS ZOLLINGERI (?). Gorrscur in Natuurk. Tijdschr.
voor Nederl. Indië. 1855. p. 516. Zorrineer. Systemat. Verzeichn. 1. p. 19.
et p. 21. Caule repente subramoso; foliis subimbricatis horizontalibus subova-
tis vel ovato-quadratis, apice rotundato bi, tri-spinulosis (inter dentes retusis) ;
amphigastriis hiberis parvis distantibus bipartitis, lacinijs subulato-acutis, mar-
gine laterali uni- (raro bi) dentatis; fructu... Gorrscue. |, c.

Habitat Javam. Ad rupes flum. Tjidurian prope Tjikoya in planitie. Zor-
LINGER coll, n°, 541,

Differt a Ch. arguto et Endlicheriano, quibus proximus, foliorum forma breviori et latiori
et denticulatione, praesertim autem amphigastriis hiberis, in folium non decurrentibus (Gorrtscue).

88. CHILOSCYPHUS RIGIDULUS N. ab E. Syn. Hep. p. 187. Caule re-
pente ramoso rigidulo; foliis subhorizontalibus ovatis plano-adscendentibus
emarginato-bidentatis subrepandis; amphigastriüs liberis distantibus ovatis pro-
funde bifidis, laciniis acutis; fructu... Syn. Mep. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Junen. Tersm. in Herb. Dz. et. Ms.

89. CHILOSCYPHUS PALLESCENS N. ab BE. Hep. Eur. IL. p. 569. Caule
procumbente repente divaricato-ramoso; foliis explanatis ovato-subquadratis re-
tusis obtusisve pallidis, retis limitibus subtilibus; amphigastriis hberis distan-
tubus ovatis bifidis subintegerrimis; involueri foliis binis bidentatis; perianthio
profunde trifido, laciniis spinoso-dentatis; calyptra conspicua, perianthio plerum-
que longiore. Syn. Hep. p. 187.

Habitat Javam. Syn. Hep.

90. CHILOSCYPHUS STYGIUS N. ab E. Syn. Hep. p. 189. Gaule subra-
moso flaccido repente subalato; foliis mollissimis, basi longe deeurrentibus
ovato-subrotundis obtusis retusisve, marginibus deorsum involutis; amphigastriis
indistinctis; fructu... Syn. Hep. | c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

56 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

SUBTRIBUS 4.
TRICHOMANOIDEAE N. as E,

IX. CALYPOGEIA RADDI.

91. CALYPOGEIA BIDENTULA N. ab E. Syn. Hep. p. 199. Caule re-
pente ramoso; foliis horizontalibus arcte imbricatis oblique ovatis, apice con-
tracto obtuse bidentatis integrisve; amphigastriis distantibus subrotundis obtuse
bilobis; fructu... (flagellis ventralibus nullis). Syn. Hep. 1. c,

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Dz. et Ms.

X. LEPIDOZIA N. as E, LET G,

KE. Microphyllas.

Folia amphigastriaque minutissima, illa obsolete quadridentata, quadrifida et
quadripartito-palmata, amphigastria bis bifida. Perianthium dentatum.

92. LEPIDOZIA SUBINTEGRA Lispse. Syn. Hep. p. 201. Caule erecto
regulariter pinnattm ecomposito decompositove arhizo; ramis decurvis dichoto-
mis, apice capillaribus arhizis; foliis caulinis distantibus appressis cordato-tri-
angularibus concavis squamaeformibus, rameis erecto-patentibus, omnibus sub-
integerrimis , obsolete 2-5-dentatis; amphigastriis similibus; involueri foliis
apiee denticulatis, margine subintegerrimis; perianthio... LINDENBERG et
Gorrscre Species Hepaticarum. p. 10. t‚ 1.

[Habitat Javam. Syn. Hep. Merb. Juren. Tersa. in Herb. Dz. et Me.

95. LEPIDOZIA SUPRADEGOMPOSITA Lrispse. Syn. Mep. p. 202. Caule
repente pinnatim supradeeomposito arhizo, ramis decurvis descendentibus, apice
capillaribus radicellatis; foliis remotiusculis subverticalibus elongatis oblongo-
quadratis brevioribusque oblique ovatis patulis, acute bi-quadridentatis; am-
phigastriis minutis appressis quadratis obsolete quadridentato-erenatis subinte-
gerrimisque; perianthio subrecto eylindrieo; foliis involueralibus ovatis, ad
quartam partem bifidis. Spec. Hep. p. 14. t. 2.

B. Haskarliana; foliis margtne dorsali gibboso-arcuatis, apice magis incurvis. l.c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «, Herb. Jurea. Var. #. Ad craterem Tji-
widei, Herb. Juxen. Tersm. in Herb. Dz. et MB.

94. LEPIDOZIA TRICHODES N. ab. E. Syn. Hep. p. 205. Caule erecto
regulariter alternatim pinnatim ecomposito arhizo; ramis subsimplieibus decur-
vis; apice attenuatis; foliis distantibus subquadratis amphigastriisque late

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 51

quadratis inaequahter quadrifidis; imvolueri foltis erinitis; perianthio pyrami-
dali triquetro subreeto, ore denticulato. Spec. Hep. p. 19. t. 5.
Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren.

IE. Communes,

Folia et amphigastria vel quadridentata vel quinquefida, integerrima, rarius
paucidentata. Perianthium dentatum.

95. LEPIDOZIA WALLICHIANA Gorrscre. Syn. Mep. p. 204. Caule
procumbente regulariter subsimpliciter pinnato; ramis patentibus decurviuscu-
lis, apice attenuatis flagelhiferis; foliis caulinis distantibus oblongo-quadratis
tri-quadripartitis, rameis approximatis elongatis 2-5-fidis, dentibus subulatis;
amphigastriis minutis patentissimis subquadratis tri-quadrifidis; perianthio...
Spec. Hep. p. 27. t. 4.

B. gracilis; 0,045 longa, ramis foliisque magis distantibus et decurvis.

Habitat Javam. Tersm. in Herb. Dz. et MB. Buitenzorg. Herb. Mro. Herb.
Juren. Var. $. Ad eraterem Tjiwidei. Herb. Juwar.

Folia involucralia ovata, inciso-ciliata. Perianthium eylindrieum, subarcuatum, apice attenua-
tum, plicatum, ore ciliato-dentato.

96. LEPIDOZIA REPTANS N. ab E. Syn. ep. p. 205. Caule repente
pinnatim eomposito decompositove; ramis saepe flagellaribus; foliis decurvis
subquadratis acute (bi-) tri-quadridentatis; amphigastriis subquadratis bi-tri-
quadrifidis; foliis involueralibus ovatis truncatis inaequaliter 4-denticulatis ; peri-
anthio incurvo, ore dentato. Spec. Hep. p. 51. t. 5.

B. (9) tenera; gracilis subpinnata; ramulis attenuatss capillaceis; foliis distan-
bus amphigastriisque acute 2-5-fidis, flagellorum subulatis bifidisque. |, c,

Habitat (Var. @.) Javam. Syn. Hep.

97. LEPIDOZIA CORDATA Linpra. Syn. Hep. p. 207. Caule proeum-
bente simpliciter pinnato; ramis decurvis, apice capillaceo-attenuatis; foltis
vertieatibus oblique cordato-ovatis convexis integerrimis, apice quadrifidis, la-
einiis brevioribus latis obtusiusculis; amphigastriis magnis subimbrieatis cor=
datis convexis, margine subangulatis, apice angustato breviter quadrifidis, la-
cinijs subinaequalibus subinflexis; fractu... Spec. Mep. p. 40. t. 7.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juwen.

98, LEPIDOZIA OUADRIDENS N. ab E. Syn. Hep. p. 209, Caule erecto
simplieiter pinnato, apice incrassato; ramis brevibus, inferiorum nonnullis apice
attenuatis; foliis semiverticalibus late rotundo-quadratis convexis amphigastrtis-

58 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

que subquadratis quadrifidis; laciniis acutis incurvis, exterioribus extrorsum
subunidentatis; foliorum ovatis, amphigastriorum laneeolatis; fructu,.. Spec.
Hep. p. 51. t. 8.

Habitat Javam. Syn. Hep. Ad craterem Tjiwidei. Herb. Juwau.

III. Imcisne.

Folia et _amphigastria inaequaliter (nonnullis obsolete) quadrifida, laciniae
et margines serrato-ciliatae. Perianthium denticulatum.

99. LEPIDOZIA GLADORHIZA N. ab E. Syn. Hep. p. 210. Gaule erecto
pinnato; ramis subsimplieibus deflexis attenuatis, apice radicantibus; foliis laxe
imbricatis semiverticalibus ovato-falcatis subcomplicatis _ciliato-denticulatis,
acumine _subbidentato; amphigastrijs cordato-triangularibus dentato-ciliatis;
fructu... Spec. Hep. p. 54. t. 9.

Habitat Javam. Syn. Hep.

100. LEPIDOZIA HOLORHIZA N. ab E. Syn, Hep. p. 210. Caule pro-
strato pinnato; ramis subsimplicibus, apice filiformi radicantibus; foliis verti-
calibus imbricatis subcomplicatis amphigastriisque reniformi-transversalibus
inciso-ciliatis; fructu,.. Spec, Hep. p. 55. t. 9.

Ê, laza; caule filiformi, longo, tenero. 1. c.

Habitat Javam, Syn. Hep. Ad eraterem Tjiwidei. Herb. June. Herb. Dz. et Mo.
Celebes, Herb. Rerxw.

Folia involucralia ovata, obtusa, denticulata. Perianthium rectum, eylindrieum, apice pli-
catum, ore dentato.

It. Capillares.

Folia et_amphigastria profunde 5-6-S-partita; laciniae capillares. Perian-
rum laciniato-ciliatum,

101. LEPIDOZIA NEESIL Linpse. Syn, Hep. p. 212. Caule repente bi-
pinnato supradecompositove, ramulis patentibus; foliis subverticalibus imbrica-
tis obovato-quadratis 5-6-partitis, laciniis angustis capillaribus acutis articulatis,
apiee 1mcurvis; amphigastriis ovato-rotundis, ad basin 5-6-partitis; involucri
foliis intimis connatis perianthiique ore laceris. Spec. Hep. p. 64. t. 12.

Habitat Javam. Syn. Mep. Horre, Tersm. in Herb, Dz. et Mp. Buitenzorg.
Herb. Mrg.

102. LEPIDOZIA GONYOTRICHA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Ar-
chief. HL. p. 521. Dozy Plagiochila Sandei. p. 7. Caule prostrato bipinnatim
ramoso; foliis verticalibus tripartitis, laeiniis capillaribus obtusis articulatis, c

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 59

basi geniculata patenti-erectis substrictis; foliis ramorum imbricatis; amphi-
gastriis subbipartitis; involucri foliis liberis ovatis inciso-ciliatis; perianthio
eylindrieo arcuato, versus apicem attenuato plicato, ore ciliato.

Habitat Javam. In ligno putrido cum _Lepidozia Wallichiana Gortscne et
Chiloseypho rigidulo N. ab E‚ Herb. Junen.

Caespitosa. Caulis 0,005 longus, eum foliis 0,0001 latus, prostratus, bipinnatim vel inor-
dinate pinnatim ramosus. Ramuli patentes, obtusi, rarius attenuati. Folia verticalia, caulina
dissitiuscula, ambitu obovato-quadrata, tripartita, laciniis e basi geniculata substrictis, capilla-
ribus, articulatis, obtusis, e serie simplici cellularum 8—4 contiguarum compositis. Amphi-
gastria foliorum longitudinem aequantia, bipartita. Folia et amphigastria ramorum obtusorum
magis imbricata, in ramis attenuatis dissita, saepe indivisa, capillaria. Fuctus lateralis, sessilis.
Folia involucralia libera, ovata, inciso-ciliata; ciliis versus apicem longioribus, hie illie sub-
denticulatis. Perianthium pro plantula magnum, eylindrieum, arcuatum, versus apicem atte-
nuatum, plicatum, angulis obtusis, ore cilíato.

Differt a Lepidozia Neesit Lose. minutie, foliorum amphigastriorumque laciniis paucioribus,
strietiuseulis, quadri-cellularibus; foliis involucralibus liberis.

TABULA VI.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars rami a dorso visa, cenlies aucta; f. 8.
folium singulum, tricenties auctum; f. 4. ramus cum perianthio, decies et quinquies
auctus; f. 5. folium involuerale internum, quinquagies auctum; f. 6. perianthium
cum foliis involueralibus, vicies el quinqwes auctum.

XL. MASTIGOBRYUM. N. as E, L. er G.
A. Folia integra,

105. MASTIGOBRYUM DISTANS N. ab E. Syn. Hep. p. 216. Caule ho-
rizontali dichotomo; foliis subdistantibus imbricatisve subhorizontalibus sub-
explanatis oblongo-orbiculatis oblongisve obtusis, apice incurvis, minute cre-
nulatis; amphigastriis dissitis reniformibus patulis integris, apice reflexis minute
erenulatis basive hastatis vel denticulo uno alterove instractis; perianthio
Linpse. Spec. Hep. p. 4. t. 1.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren.

104. MASTIGOBRYUM ALTERNIFOLIUM N. ab E. Ms. Syn, Hep. p. 216.
Caule fibrillis longissimis repente subsimplice laxo subeflagellari; folus distan-
tibus horizontalibus convexiuseulis ovato-oblongis et subrotundis decurrentibus
integerrimis obsoleteve emarginatis; amphigastriis remotis patulis reniformi-
rotundis integerrimis; fructu... Spec. Hep. p. 5. t. 2.

40 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

B. confertius; fuscescens, flagelliferum. |. c.
Habitat Javam (Var. g.). Syn. Hep. Tersm. in Herb. Dz. et Mp. Herb.
v. p. Boscu.

Folia vel integerrima vel toto ambitu erenulato-denticulata, qua nota adpropinquant Mas-
tigobryo celluloso Luone. Var. Ô.

105. MASTIGOBRYUM VITTATUM Gorrscne. Syn. Hep. p. 216. Caule
repente subramoso parce flagellifero; foliis approximatis horizontalibus oblongis
divergentibus integerrimis obtusis, apice rotundatis truncatis vel retusis, raro
subacutis, basi media linea eellularum elongatarum viltatis; amphigastriis re-
motis ovatis arcte appressis, apice rotundis integerrimis; perianthio... Spec.
Hep. p. 6. t. 2.

Habitat Javam. Syn. Hep. Ad craterem Tjiwidei. Herb, Juwaen. In Filice
quadam. Zorrineen. Treysa. in Herb. Dz. et Me. Herb. v. p. Boscn.

Haud raro occurrit foliis apice bi-tridenticulatis, cujusmodi specimina etiam vidi ex insulis
Mauritii, Borboniae, Madagascar et e Promont. Bon. Spei in Herb. v. p. Bosen.

106. MASTIGOBRYUM LORICATUM N. ab E. Syn. Hep. p. 217. Caule
horizontali dichotomo divaricato; foliis subhorizontalibus arcte imbricalis con-
vexis oblique cordato-ovatis obtusis denticulatis; amphigastriis imbricalis reni-
formibus suberenulatis; fructu... Spec. Hep. p. 12. t. 4.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juxen. Treysa. in Herb. Dz. ct Ms.

B. Folia bifida.
107. MASTIGOBRYUM DIVARICATUM N. ab E. Syn. Hep. p. 219. Caule

horizontali dichotomo-divaricato; foliis subdistantibus horizontalibus explanatis
oblongo-obeuneatis oblique bidentatis integerrimis, dentibus divergentibus acu-
tis; amphigastrijs minutis distantibus orbiculato-quadratis appressis integerri-
mis obtuse tridentatisque; fructu... Spee. Hep. p. 19, t. 5.

Habitat Javam, Syn. Hep. Herb. Juvxen. Tersm. in Herb. Dz. el Ms.
Specimina pauca.

CG. Folia tridenticulata.
a. Amphigastria integerrima.

108. MASTIGOBRYUM DENSUM v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Arch,
IL. p. 418. Dozy Plagiochila Sandei. p. 8. Gaule proeumbente dichotomo;
foliis dense imbricatis ovato-oblongis planiusculis, apice S-dentatis, dentibus-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. A1

que brevibus integerrimis; amphigastriis adproximatis parvis semictrcularibus
convexis patulis, apice reflexis integris; fructu...

Habitat Javam. Herb. Juren. Tevsm. in Herb. Dz. et Ma.

Caespitosum, lutescens. Caulis procumbens, 0,017 longus, cum foliis 0,0023 latus, ob fo-
lia decidua hic illie saepe denudatus. Rami dichotomi, patenti-divaricati. Flagella longius-
cula, simplicia vel bifida, foliolis minutissimis, distantibus, adpressis vestita. Folia explanata
planiuseula, dense imbricata, semiverticalia, ovato-oblonga; margo ventralis rectiusculus vel
subarcuatus, basi vix aut non dilatatus; margo dorsalis rotundior; apex rotundatus, tridenta-
tus, dentibus brevibus, acutis, integerrimis. Textura foliorum e cellulis parvis, acqualibus,
ovali-quadratis. Amphigastria parva, subdistantia, caulis latitudinem aequantia, quandoque cum
folio proximo basi connata, patula, semirotunda vel paulo longiora, medio convexa, margini-
bus subrecurvis, apice magis reflexo, subintegerrimo.

Foliis densius imbricatis, aequaliter textis, amphigastriis apice reflexis a Mastigobryo (ri-
dente Gortscne et LpB6, cui proximum est, differt.

TABULA VI,

Fig. 1. Planta magmtudine naturali; f. 2. pars plantae a dorso, decies aucta; f. 3. pars
plantae a ventre visa, decies aucta; f. 4. folium singulum, quadragies auctum; f. 5.
tevtura folit, centies aucta; f. 6. amphigastrium, quinquagies auctum.

b. Amphigastria crenato-denticulata.

109. MASTIGOBRYUM PRAERUPTUM N. ab E. Syn. Hep. p. 224. Caule
horizontali dichotomo; foliis dense imbricatis praerupte deflexis oblique ovatis
subfalcatis subulato-tridentatis, dentibusque integerrimis; amphigastriis imbri-
catis cordato-orbiculatis, basi lobo brevi utrinque cauli adnato semiperfoliatis
integerrimis retusis crenulato-denticulatisque; perianthiis eylindrieo-oblongis,
apice plicatis, ore inciso-dentatis, laciniis conniventibus. Spec. Hep. p. 58. t. 10.

. obliguatwm; flagellis brevioribus; folis oblique truncato- 5-dentatis, dente
anteriore recto. l. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juwen. Trersm. in Herb. Dz. et Ms.

110. MASTIGOBRYUM LINGUAEFORME v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidh.
Archief. IV. p. 95. Dozv Plagiochila Sandei. p. 8. Caule adscendente dicho-
tomo; foliis imbricatis deflexis ovatis, margine ventrali arcuatis, basi dilatatis,
apice tridentatis, dentibus parvis spinaeformibus integerrimis; amphigastriis
dense imbricatis ovato-linguaeformibus, medio convexis, margine recurvis,
apice planis dentatisque; fructu...

Habitat Javam. Treysa. in Herb. Dz. et Ms.

WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL V.

42 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Olivaceum, adscendens, 0,04 longum. Rami dichotomi, apice curvati. Flagella erebras
breviora, crassiuscula, foliolis patulis, ovatis, convexis, apice bidenticulatis vestita. Polia
imbricata, deflexa, ovata et oblongo-ovata, convexa; margo dorsalis rotundatus; ventralis ar-
cuatus, subinflexus, basi valde dilatatus; apex obtusus, rotundatus, integerrimus vel tridentatus,
dentibus spinaeformibus, integerrimis. Textura folioram e cellulis parvis, ovali-rotundis,
subeontiguis. Amphigastria foliis duplo minora, caule duplo latiora, imbricata, ovato-lin-
guaeformia, medio gibboso-convexa, marginibus reflexis, subintegerrimis; basis integra vel
dentibus longiusculis instructa; apex planus, inaequaliter denticulatus.

Affinia sunt Mastigobryum cordistipulum Lpao. Mastigobryum arcuatum G. et Ts. atque
e Javanicis Mastigobryum praeruptum N. ab E. et Mastigobryum Zollingeri L. et G., sed
a cunctis recidit amphigastriis.

TABULA VII

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, vicies aucla; f. 3.

ramus a venlre visus, decies auctus; f. 4. folium singulum a ventre, quadragies
auctum; f. 5. teztura folü, centies aucta; f. 6. amphigastrium, quadragies auclum.

111. MASTIGOBRYUM JAVANIGUM v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk.
Archief. HI. p. 418. Dozr Plagiochila Sandei. p. 8. Caule gracili procum-
bente ramoso; flagellis longis capillaribus; foliis disticho-patentibus adproxi-
matis ovatis planiusculis, margine ventrali basi rectis, apice angustatis, oblique
truncato- S-dentatis, dentibusque acutis integerrimis; amphigastris distantibus
parvis patulis planis rotundo- vel subquadrato-ovatis integerrimis retusove
erenulatis; foliis involucralibus ovatis obtusis, apiee denticulatis; perianthio…

Habitat Javam. Herb. Juveu. Herb. v. p. Boscu.

Pallide fuscum, gracile, procumbens, 0,03—0,05 longum, parce dichotomum. Flagella ca-
pillaria, 0,02 longa, simplicia vel ramosa, foliolis dissitis, minutis, ovatis vestita. Folia ex-
planata, planiuscula, adproximata et subdistantia, ovata, subobliqua; margo dorsalis rotundatus;
ventralis rectiusculus nee basi subito dilatatus: apex oblique truncatus, dentibus 3 acutis inte-
gerrimis. Amphigastria foliis fere triplo minora, distantia, plana, patula, caule paullo latiora,
rotundato-ovata, vix longiora quam lata, integra vel apice repando-crenulata. Textura foliorum
et amphigastriorum eadem: cellulae aequales, majusculae, ovali-rotundae, subeontiguae. Flores
feminei adproximati. Folia involucralia ovata, obtusiuscula; exteriora mimora, subintegerrima ;
interiora apice minute denticulata.

Differt a Mastigobryo praerupto N. a B. statura gracili, foliis adplanatis, amphigastriis
minoribus; a Mastigobryo serpentino N. ab B. foliis non falcatis, amphigastriis planis; ab
utroque foliis subdistantibus. Proximum Mastigobryo scutigero Lpe6.; recedit vero nostra
planta foliis basi aequalibus, amphigastriis subrotundis.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 45

TABULA VL

Fig. 1. Plantae magnitudine naturalis f. 2. pars caulis a dorso visa, vicies aucta; f. 3.
ramus a ventre visus, decies auctus; f. 4. folium singulum, wicies et quinquies au-
clum; f. 5. textura foli, centies aucta; f. 6. amphigastrium, sepluagies etl _quin-

quies auctum: f. 7. folium involucrale, tricies auctum: f. 8. pistillidium, centies
auctum.

112. MASTIGOBRYUM TRIDENS N. ab E. Syn. Hep. p. 227. n. 58, Var. «
Caule proceumbente subflexuoso dichotomo; foltis imbricatis ovato-oblongis,
basi convexis, apice explanatis truncato-tridentatis, dentibusque integerrimis;
amphigastriis approximatis quadratis truncatis subintegerrimis; fructu in caulc
principali et in flagellis obvio; perianthiis conicis ventricosis plicalis, ore
denticulatis. Spec. Hep. p. 81. t. 14.

Habitat Javam. Syn. Hep. Tersm. in Herb. Dz. et Ma.

115. MASTIGOBRYUM INTERMEDIUM Gorrscne et Lora. Spec. Hep.
p. 82. t. 22. Caule procumbente dichotomo-ramoso; ramis divartcatis; foliis
imbricatis ovato-oblongis distichis, margine dorsali arcuatis, ventrali descen-
denti sinuatis, apice tridentatis, dentibus acutis eroso-denticulatis; amphigas-
triis contiguis ovato-quadratis, apice crenulato-denticulatis vel subintegerrimis ;
perianthiis pyramidalibus incurvis, apice triplicato, ore ciliato. Spec, Hep. 1. c.

Habitat Javam. Spec. Hep. Herb. Juren. Buitenzorg. Herb. Mig. Tersm.
in erb. Dz. et Ma. Herb. v. p. Boscu.

114. MASTIGOBRYUM PECTINATUM Lpra. et G. Spec. Hep. p. 84. t.
14. Mastigobryum tridens Var. @. Syn. Hep. p. 227. Caule procumbente ra-
moso vel dichotomo ramoso; ramis divarieatiss foliis basi subimbricatis di-
stichis linearibus oblongis angustis, margine dorsali subreetis, apice plerumque
oblique truncatis 5- vel 2-dentatis, dentibus integerrimis subdivergentibus;
amphigastriis parvis remotis semicircularibus vel subquadratis, apice interdum
crenato; fructu... Spec. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juneau. Tersm. in Herb. Dz. et Mo.

115. MASTIGOBRYUM REINWARDTI v. p. Sp. Le. in pe Vriese Plant.
Ind. Bat. Reinwardtian. p. 22. Caule procumbente dichotomo-ramoso; ramis
divaricatis; foliis imbricatis ovato-lanceolatis subfalcatisque, apice tridentatis,
dentibus acutis integerrimis; amphigastriis adproximatis vel contiguis planis
ovato-quadratis, marginibus apiceque repando-crenatis; fructu... |. c.

6%

4 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Mabitat in monte Klabat insulae Celebes, inter Hypnum spiniforme. Herb,
RerxwaARDr.

Caulis viridi-lutescens, procumbens, 0,02 circiter longus. cum foliis 0,003 latus, dichoto-
mus, ramis divaricatis, obtusis. Flagella erebra, tenuia, foliolis distantibus, patulis obsessa.
Folia imbricata, basi convexiuscula, ovato-lanceolata, subfalcata; margo dorsalis rotundatus;
ventralis parum arcuatus, versus basin latescens; apex suboblique truncatus, tridentatus, denti-
bus acutis, integerrimis, medio aliquando majori. Amphigastria adproximata vel contigua,
caulis latitudinem aequantia vel eo latiora, plana vel apice vix patula, ovato-subquadrata, mar-
ginibus et apice repando-crenata. Textura foliorum e cellulis parvis, sexangulari-ovalibus
constat, limitibus subcontiguis, intercalaribus distinctis. Cellulae versus marginem folii dor-
salem reliquis minores.

Proxima sunt Mastigobryum tridens N. ab B. et Mastigobryum serpentinum N. ab BE, A
priori diftert foliis falcatis, amphigastriis margine toto repando-erenatis. A posteriori colore
diluto, caule magis ramoso, foliis minus falcatis et amphigastriis.

Dico Viro Clar. Reinwarprt, qui cum Clar. Nees ab Eseneck et Brume fandamenta posuit
notionis Hepaticarum Javanicarum.

116. MASTIGOBRYUM ZOLLINGERI Lixpse. in Meissn. Bot. Zeitung.
VL 1848. p. 462. Caule procumbente dichotome ramoso; ramis divaricatis;
foliis statu sieco circum caulem fere convolutis, statu madido arcte imbrica-
tis ovato-ellipticis subfalcatis, basi utrinque dilatatis integerrimis, apice trun-
cato-emarginatis vel obsolete tridentatis, vel rarius integris; amphigastriis
dissitiusculis minutis transversalibus rotundo-quadratis, apice anguste subre-
flexis obsolete erenulatis, cum foliorum basi subeoufluentibus; fructu in caule
prineipali in ramis atque in flagellis obvio; perianthiis ovato=triquetris plica-
tis eurvatis, ore contracto ciliatis. Spec. Hep. p. 90.

Habitat Javam. Zorrineer. coll. n°. 815. z. Ad montem Salak (in Herb.
v. p. Bosen) et coll. n°. 541. Ad rupes fl. Tjidurian prope Tjikoya in pla-
nitie (Lorriveer Systemat. Verzeichn. L. p. 19).

117. MASTIGOBRYUM COMMUTATUM Lpee. et G. Spec. Hep. p. 97.
t. 22. Caule subdichotomo inordinate multiramoso; ramis incurvis; foliis arcte
imbricatis oblique obovato-cordatis devexis, margine dorsali subfalcato, ven-
trali sinuato, in basin ampliatam convexiuseulam deseendente, apice angustato
tnaequali bi-tri-quadridenticulato; amphigastriis imbricatis ovatis, ob marginem
subreflexum concavis, apice repando-denticulatis; fructu... Spec. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Spec. Hep.

118. MASTIGOBRYUM EROSUM N. ab E. Syn. Hep. p. 229. Caule hori-

zontali dichotomo; ramis divaricatis, apice dilatatis; foltis dense imbricatis,

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. A5

basi convexis ovato-falcatis, ad apicem serrulatis, apice ipso praemorso-triden-
tatis; amphigastriis subimbricatis semicircularibus repando-crenatis; perian-
thiis... Spec. Hep. p. 99. t. 16.

«. Foliis ad apieem serrulatis, apice argute duplicato-dentatis; amphigastriis
majoribus appressis. |. c.

8. Foliis margine subintegerrimis, apice praemorso-tridentatis, dentibus mi-
nute rariusque denticulatis; amphigastriis minoribus approximatis, apice patu-
lis Eme:

7. Fols longioribus angustis magis falcatis, margine integerrimis, dentibus
obsoiete denticulatis; amphigastriis minoribus subdistantibus, apice patulo-
reflexis. |, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. Herb. Juren. Buitenzorg. Herb.
Mig. Herb. Dz. et Ma. Herb. v. p. Boscu. Herb. Buse. Var. @. Herb.
Dz. et Ma.

118. MASTIGOBRYUM INDICUM Lpra. et G. Syn. Hep. p. 250. Caule
procumbente subsimplice flexuoso; foliis imbricatis cordato-ovatis, margine
ventrali ineurviusculis, basi dilatatis rotundatis crenulatis, apice acutis integris
emarginato- 2-5-dentatisve, dentibusque serrulatis; amphigastrijs approximatis
transverse rotundis patulo-reflexis subrepandis; perianthiüis…. Spec. Hep.
p:-402-itrr 4,9

Habitat Javam. Herb. Jurem. — Specimina paucula.

119. MASTIGOBRYUM GIBBUM v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Archief.
IV. p. 94. Dozr Plagiochila Sandei. p. 8. Caule adseendente flexuoso dicho-
tomo; foliis imbricatis patentibus deflexis ovatis integerrimis, apice tridentatis,
dentibus acutis integerrimis; amphigastriis adproximatis parvis quadratis, medio
convexis, marginibus apiceque reflexo erenulato-dentatis; fructu...

Habitat Javam. Herb, Juren.

Caulis luteo-fuscescens, adsendens, flexuosus, 0,02—0,025 longus, eum foliis 0,0025 latus,
iterato-dichotomus. Rami patenti-divaricati, apicibus curvatis. Flagella simplicia vel ramosa,
subradicantia, foliolis dissitiusculis, parvis, ovatis vestita. Folia imbricata, convexa (sicca
ob marginem utrumque contractum teretiuscula), deflexa, ovata et ovato-lanceolata; margo dor-
salis rotundatus, basi ovatus; ventralis versus basin sensim vel subito latior, planus vel sinulo
excavatus; apex rotundatus, 3-vel 2-dentatus, dentibus brevibus, acutis, integerrimis. Amphi-
gastria adproximata, caule paulo latiora, quadrata, patula, toto ambitu erenulato-dentata, me-
dio gibba, marginibus recurviusculis, apice patentissimo. Textura foliorum et amphigastriorum
_e cellulis minutis, ovali-rotundis, subcontiguis.

Differt a Mastigobryo serpentino N. ab B, cui vicinum est, colore dilutiori, caule magis

AG SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

ramoso, foliis non falcatis et amphigastriis quadratis, cireumcirca crenulato-dentatis. Mast:
gobryum Reinwardt vecedit foliis falcatis et amphigastriis planis.

TABULA IX.

Fig. A. Planta magnitudine naturalis f. 2. pars caulis eum foliis a dorso, decies et
guinquies aucla; f. 3. ramus dichotomus eum flagellis a ventre, decies auctus; f. 4.
folium singulum, tricies auctum; f. 5. tertura folii, centies aucta; f. 6. amphigas-
truum, trictes auctum.

120. MASTIGOBRYUM SERPENTINUM N. ab E. Syn. Hep. p. 255. Gaule
angusto adscendente flexuoso subsimpliee vel apice dichotomo-prolifero ; foliis
imbricatis valde deflexis ovato-falcatis, apiee angustis obliquis tridentatis bi-
dentatisve, dentibusque integerrimis; amphigastriis parvis semiorbiculatis con-
vexis patenti-rellexis, margine integerrimis, apice suberenatis; perianthiis.…
Spec. Hep. p. A11. t‚ 19.

Habitat Javam. Syn. Hep. Tersm. in Herb. Dz, et Ma. Herb, Juneau.

Folia involucralia ovata, adpressa; exteriora obtusissima, subintegerrima; interiora acuta,

apiee profunde dentata. Perianthium rectum, cylindricum, apice attenuatum, 3-plicatum, hinc
fissum, ore inciso-dentato.

121. MASTIGOBRYUM UNCIGERUM N. ab E. Syn. Hep. p. 255. Caule
adseendente dichotomo; foliis basi imbricatis oblique deflexis, e basi latiore
conieo-linearibus subfalcatis, apice inaequaliter acute tridentatis bidentatisve,
dentibusque integerrimis; amphigastrijs subimbricatis ovato-quadratis inciso-
serratis, serraturis uneinato-ineurvis; foliis involueralibus ineiso- multifidis;
perianthiis ovatis plicatis, ore ciliatis. Spec. Hep. p. 112. t. 19.

#. Caule angustiore dichotomo-divaricato; foliis saepe magis explanats, |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «‚ Treysa. in Herb. Dz. et Mp. Buitenzorg.
Herb. Mrg. Var. #. Herb. Dz. et Mp. Herb. v. p. Boscn.

122. MASTIGOBRYUM PARADOXUM v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk.
Archief. HL. p. 419. Dozr Plagiochila Sandei. p. 8. Caule dichotomo-ramoso
mnovante; flagellis brevioribus erebris; foliis imbricatis deflexis semiovato-
conicis, margine repandis, apice truncato- 5-dentatis, dentibusque acutis sub-
denticulatis; amphigastriis imbricatis adpressis, caule multo latioribus, e bast
cordata quadrato-ovatis, basi incisis vel multifidis, laciniüs curvatis, margine
apieeque truncato inciso-dentatis, laciniis dentibusque denticulatis.

Habitat Javam. Herb. Juwen. Tersm. in Herb. Dz. et Ms.

„En
—_Ì

SYNOPSIS IIEPATICARUM JAVANICARUM.

Planta olivaceo-fusca, rigidula, adscendens, 0,05 longa, cum foliis 0,005 lata, dichotomo-
ramosa. Rami subdivaricati, quandoque apice innovantes. Flagella erebra, breviora, foliolis
distantibus, patulis, minutis, ovatis, apice bidenticulatis, instructa, Folia imbricata, planiuscula,
patenti-divergentia, arcuata, subdeflexa, semiovata et semiovato-conica; marginibus repando-cre-
nulata; margo dorsalis rotundatus, basi convexiusculus; ventralis rectior, versus basin dilata-
tus; apex truncatus, 3-dentatus, dentibus longis, acutis, subdenticulatis. Amphigastria dense
imbricata, adpressa, plana aut medio leniter convexa, caule duplo latiora, quadrato-ovata, basi
biloba, lobis ineisis, laciniis lanceolatis subdentieulatisque curvatis, margine reliquo et apice
varie incisis dentatisque, laciniis iterum denticulatis; ramorum tenuiorum amphigastria margine
apieeque simpliciter serrato-dentata; innovationum ovata, dissitiuscula, versus apicem solum-
modo denticulata. Textura foliorum e cellulis parvis, ovalibus; amphigastriorum minutissimis.
Folia involucralia ovato-lanceolata, margine inciso-ciliata, ciliis apicalibus longissimis.

Colore obscuro, statura robustiori, foliis latioribus eorumque dentibus denticulatis, amphi-
gastrijs magnis densissimisque et foliorum involueralium forma a Mastigobryo uncigero N.
ab E., quod proximum est et a Mastigobryo trilobato N. ab B. quoque, abunde diftert.

TABULA IX.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. caulis pars a dorso, septies aucta; f. 3. ram
pars eum innovalione a ventre, seplies aucta; f. A. folium singulum, decies el
guinquies auctum; f. 5. texlura foli, quinquagies aucta; f. 6. amphigastrium cau-
Linum, vicies auctum; f. 7. amphigastrium rami tenuioris, decies et quinguies au-

ctum; f. 8. flos femineus, decies et quinquies auctus; f. 9. folium involucrale vn-
ternum, tricies auctum.

XII. MICROPTERYGIUM LDBG., N. an E. er G.

125. MICROPTERYGIUM VULGARE N, ab E., L.et G. Syn. Hep. p. 254.
Foltis crenato=serrulatis; amphigastriis rotundo-ovatis integerrimis crenulatisve,
apiee emarginato- 5-4-dentatis. Spec. Hep. p. 114. t. 24.

#. Fols elongatis acuminatis toto ambitu laminaque ovata erenulato-denti-
culatis; amphigastriis subrotundis, margine suberenulatis. |. c,

Habitat Javam (Var. @.). Herb. v. p. Boscn.

Statura minori, colore subfusco, specimina haec Javanica a Surinamensibus reeedunt.
XIII. PHYSIOTIUM N. agr B.

124. PHYSIOTIUM SPHAGNOIDES N. ab. E‚ Hep. Eur. HI. p. 85. Fo-
liorum lobo dorsali ovato attenuato, apice integro, marginibus incurvis undu-
latis, aurieula lanceolato-subulata. Syn. Hep. p. 255.

Habitat Javam. Syn. Hep, Herb. Jonen. Teysm. in Herb. Dz. et Ms.

AS SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

SUBTRIBUS 5.
PTILIDIEAE N, as E.

XIV. TRICHOCOLEA DUMORT.

125. TRICHOCOLEA TOMENTELLA N. ab E. Hep. Eur. UL, p. 105. Caule
furcato bi-tripinnatim ramoso; foliis bipartitis, laciniis biparúlis capillari-
multifidis, ventrali minore, antrorsum inclinata; amphigastriis subquadrato-
transversalibus profunde quadripartitis setaceo-multifidis. Syn. Hep. p. 257.

B (7). javanica; caule laxo irregulariter bi-tripinnato; ramis terminalibus
divaricatis. 1. c.

y (0). Pluma; caule irregulariter bipinnato valide, pinnis dense pinnatis
oblongis acuminatis. 1. c.

Ò (&). subsimplex; caule tenero, laxe et dissite subpinnato; foliis laxe dis-
positis dissitis. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Teysm., Horre in Herb. Dz. et Mp,

XV. SENDTNERA ENDL.

Sect. L. SCHISMA Dvumorr.

Fructus in ramo elongato terminalis. Involucri folia interiora perianthio
sexangulari basi et secum connata.

126. SENDTNERA JUNIPERINA N. ab E. Hep. Eur. III. p. 575. Folus
amphigastriisque oblongis, illis ultra medium, his ad medium fere bifidis, sinu
obtuso, lacinüs lanceolatis acuminatis rectis subdivergentibus. Syn. Hep. p. 259.

. foliis amphigastriisque secundis. 1. c.

Habitat Javam (#). Syn. Hep. Herb. Jurem. Tevsm. in Herb. Dz. et Me.

127. SENDTNERA DICRANA Tarror in Schedis. Syn. Hep. p. 259. Caule
flexuoso filiformi fasciculatim ramoso; foliis oblongis, basi convoluto-imbrica-
tis, ultra medium bifidis, laciniis erecto-patentibus vel patulo-reflexis nervosis,
sinu lato divergentibus integerrimis; fructu... Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Herb. Junen.

128. SENDTNERA OCHROLEUCA N. ab E. Syn. Hep. p. 240. Folis
amphigastriisque tri-quinquefidis, basi ciliatis, lacintis amphigastriorum cana-
heulatis; perianthio campanulato (ad speciem ramentaceo-hirsuto). Syn. Hep. 1. c.

, tenerior; ramis plerisque obtusis. J. c.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 49

y. nana; subsimplex tenera, ramis attenuatis repens; foliis amphigastriisque
trifidis. 1. c.

ò. viridis; amphigastriis planis, 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jurxeu. Tersm. in Herb. Dz. et Mp,

Sect. 2. MASTIGOPHORA,

Fruetus in ramulis brevibus laterales. Involueri folia hibera. Perianthium
basi ventriceosum triangulare, profunde quadrifidum, laciniis involucrum sub-
aequantibus angustis bifidis,

129. SENDTNERA DIGLADOS Enpr. Syn. Hep. p. 241. Caule erecto,
apiee diviso, pinnatim ramoso; ramalis dichotomis attenuatis; foliis arcte im-
bricatis profunde trifidis, basi calcare instructis, dorso incumbente, lacinis
lanceolatis, acutis subintegerrimis; amphigastriis profunde bifidis, lacinüs an-
gustis, margine revolutis; involucris clavatis. Syn. Hep, |. c.

«. scorpioides; caule elongato, apice parcius fisso; ramis saepe heteromallis ;
foliis profunde trifidis, calcare dorsali minuto subulato laciniisque lanceolatis
integerrimis; involueris majoribus solitariis. |. c.

«”“. major; colore fusco; amphigastriis basi nudis. |. c.

«**. tenerior; foliis ferrugineis plerisque bifidis distinete papillosis; amphi-
gastriis basi calcaratis. |. c.

ê. calcarata; caule apice fastigiatim subdiviso ramulisque supremis pluri-
mis apiee obtusis; foliis ferrugineis tripartitis, calcare baseos uncinato sub-
dentato, laciniis oblongis, basi et apice attenuatis, margine subrepandis;
amphigastriis bipartitis, basi utrinque calcaratis; involucris minoribus subge-
minatis. |. c.

Formae sunt:

B“. conferta; minor; ramulis omnibus brevibus valde adproximatis parum
attenuatis obtusisve. |. c.

B** rhizobola; subsimpliciter pinnata; ramis omnibus attenuatis plurimisque
radicantibus. |. c.

8**. nana; vix semipolliearis, repens; omnibus ramis (per se quidem bre-
vibus) longo processu solum penetrantibus; foliis bifidis, caleare tamen dis-
tincto. |. c.

Habitat Javam, Syn. Hep. Herb. Joran. Teysm. in Herb. Dz. et Ms.

150. SENDTNERA FISSA N. ab E. Syn. Hep. p. 245. Caule subramoso,
7
WIS- EN NATUURK, VERH, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL Ne

50 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

ramisque attenuatis serpentinis; foliis ampbigastriisque dissitiusculis patulis
ovalis, ad medium usque bifidis integerrimis, laciniis acuminatiss fructu.…
Syn, Hep. 1. c.

8. tenuis et laxior. l.c,

Habitat (9) Javam. Syn. Hep.

XVL PTILIDIUM N. as E.
151, PTILIDIUM SCIUREUM N. ab E. Syn. Hep. p. 251. Foliis compli-

cato-bilobis, lobo superiori deltoideo acuto, inferiori majori quadrifido-laciniato,
laciniis truncatis longissime ciliatis; amphigastriis imbricatis ovatis pinnatifido-
laciniatis eiliatis; fructu... Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

SUBTRIBUS 6.

PLATEPETELAEN Tab
XVIL. RADULA N. an E.

152. RADULA JAVANICA Gorrsene. Syn. Hep. p. 257. Caule proeum-
bente pinnatim decomposito rigido; foliis alternatim adproximatis subimbricatis
suborbiculatis obtusis integerrimis, basi decurrentiscomplicatis, lobulo magno
plano rotundo-ovato vel quadrato, superne supra caulem protracto (in ramulis
minore caulem non tegente subinflato) acutiuseulo; fructu ramulo laterali brevi
imposito; perianthio eyathiformi truncato laevi, ore compresso subrepando.
Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juven. Tersu. in Herb. Dz. et Mg. Herb.
v. p. Bosen. Gadok, v. Harr. in Herb. Dz. et Me.

155. RADULA MIQUELIANA Tarror. Nov. Hep. in Lond. Journ. of Bot.
1846. p. 577. Caule implexo procumbente debili pinnato; foliis laxius imbri-
catis _patentibus oblongo-ovatis obtusis planiusculis, lobulo caulem amplexante,
apice obtusiuseulo patenti-recurvo; perianthio axillari lineari-oblongo, ore trun-
cato. Syn. Hep. p. 728.

Habitat Javam. Syn. Hep. Buitenzorg. Herb. Mrqver. Herb. Junan. Herb.
v. D. Boscr.

Perianthium basi utrinque obsolete convexo-uniplicatum, adeoque tetragonum. Capsula
oblongo-ovalis.

154. RADULA CAMPANIGERA Moxrere in Lond. Journ. of Bot. 1844.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. ol

p. 654. Caule prostrato elongato distiche subpinnatim ramoso; foliis ovato-
orbieulatis, subtus ad basin complicatis, lobulo oblongo minore, angulis rotun-
datis; perianthio apice dilatato campaniformi. Syn. Hep. p. 729.

Habitat Javam. Syn. Hep. Tersu. in Herb. Dz. et Ma. Buitenzorg. Herb. Mrq.

Caulis validus, bipinnatus; pinnae laxae, elongatae, subdivergentes. Folia caulma dissitiuscula,
ramorum laxe imbricata; margo dorsalis rotundatus, ventralis statu sieco subinflexus, ante lo-
bulum sinuatus; lobulus vix decurrens, subquadratus, obtusus, folio adpressus, planus, bast
saccatus; margo internus medium caulem non attingens, adnatus. Perianthia ad latera caulis
in ramulo brevi, fere sessilia.

Radulae Javanicae Gortrsenm magis, quam Radulae lingulatae Gortscne affinis; cum
neutra tamen confundi potest.

155. RADULA FORMOSA N. ab E. Syn, Hep. p. 258. Gaule prostrato
ramoso ; foliis subhorizontalibus imbricatis ovato-orbiculatis obtusis, apice in-
flexis integerrimis, basi emarginato-complicatis, lobulo inflexo truncato, extror-
sum acuto plano (ramulis masculis cum foliis alternantibus brevissimis oblon-
gis pronis spiciformibus); fructu... Syn. Hep. 1. c.

B. ramulis nonnullis ultra folia progredientibus triplo majoribus, foltis simili
minorum ratione imbricatis. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb, Juwen. Tersa. in Herb. Dz. et Mp. — Su-
matram, in mont. Lubu Radja. Herb, Juwen. Var. £. Treysa. in Herb. Dz, et Mo.

Stirps monoica. Fructus rarus, axillaris. Perianthium cyathiforme, 0,002 longum, laeve, com-
pressum, ore truncato, subrepando. Seta 0,0015 longa. Capsula cinnamomea, valvulis limeari-
oblongis.

156. RADULA CAVIFOLIA Hamre. Syn. Hep. p. 259. Gaule proeumbente
pinnatim ecomposito flaccido; foliis verticalibus adproximatis rotundis valde
convexis, margine ventrali toto in lobulum involutis angustiorem, vel in folium
transeuntem, vel apice acute excisum; fructu... Syn. Hep. p. 259.

Habitat Javam. Syn. Hep. Repens in Lejeunia vanthocarpa L, et Lose.
Herb. Juwen. In Plagiochila abietina N. ab E. et Frullania Hutchinsiae
N. ab E. Tersa. in Herb. Dz. et MB.

Fructus axillaris. Perianthium eochleariforme, scilicet a basi ad medium usque lineari-cylin-
drieum, dein subito dilatatum, compressum, laeve, ore truncato. Capsula vix emergens, ovali-
globosa, purpurascens. Spica mascula subsessilis, oblonga, e 7 paribus foliorum composita.
Folia perigonialia dense imbricata, semi-globosa, subeompressa, apice emarginato-biloba.

157. RADULA PROTENSA Lrvxpae. Merssn. Hep. Jav. in Dot. Zeitung.

1848. p. 462. Caule repente flaccido pinnatim ramoso3 foliis imbricatis ova-
7%

52 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM,

tis obtusis integerrimis, margine ventrali basi decurrente in lobulum compli-
catis cauli adnatum, apice oblique in acumen longum oblongo-lanceolatum

hberum excurrentem. Lora. |. c.
Habitat in foliiss ad Hittus Javae austro-orientalis. Prope Malang. Zorris-

red

GER, coll. n°. 577.

Liobuli folii forma ab omnibus diversa (Lppo.).

158. RADULA LINGULATA Gorrscur. Syn. Hep. p. 260. Caule repente
rigidulo laxe ramoso; foltis anguste imbricâtis oblongis obtusis integerrimis,
margine ventrali rectiusculo, basi non decurrente, lobulatis; lobulo adpresso
oblongo linguaeformi, margine interno a medio adnato, externo cauli parallelo,
apice rotundo libero; fructu... Syn. Hep. p. 260.

Habitat Javam. Syn. Hep. Buitenzorg. Herb, Mrg. Inter Mypnum cymbifo-
lium. Herb, Juren.

159. RADULA ANGEPS v. p. Sp. Lc. in Nederl. Kruidk. Archief. III.
p. 419. Dozr Plagiochila Sandei. p. 8. Caule repente bipinnatim ramoso;
foliis imbricatis oblique ovalis acutis, margine dorsali apiceque profunde den-
tatis, basi decurrente eomplicatis, lobulo quadrato, basi saccato, margine in-
terno cauli aduato, apice obtuso inflexo; fructu axillari et laterali; perianthio….

Habitat Javam. Buitenzorg, repens in Plagiochila blepharophora N. ab E.
Herb. Mro. In Plagiochila Bantamensi N. ab E‚ et in Muscis. Herb. Juren.
Horre in Herb. Dz. et Me.

Olivacea, repens, 0,02 longa. Caulis cum foliis 0,001 fere latus, simpliciter et 2-3-pinna-
tus, ramulis confertis. Folia subhorizontalia, imbricata, oblique ovata; margo dorsalis rotun-
datus, profunde et spinuloso-dentatus, ventralis rectior, subdecurrens, sub apice quandoque
dentatus, ceterum integerrimus; apex acutus, vel, ob dentem apicalem longiorem, acuminatus;
lobulus quadratus, obtusus, integerrimus, tumidus, vel basi sola saccatus; margine interno
cauli adnatus, parte libera inflexa, ita ut lobulus triangulari-ovatus adpareat. Textura e cel-
lulis parvis, inaequalibus, ovali-rotundis, quadratisque constat. Fructus terminalis, axillaris et
lateralis. Folia involucralia biloba, exteriora longiora; lobus dorsalis apice subdeflexus, spi-
nuloso-dentatus, ventralis oblongo-quadratus, adplanatus; interiora imaequaliter biloba, lobis
subrotundatis. Pistillidia fusca, circiter triginta. Perianthium non visum. An hujus generis ?

A reliquis Radulis differt foliis dentatis.

TABULA X5

Fig. 1. Planta magnitudine naturalis f. 2. pars caulis a dorso, vicies aucta; f. 3. pars
plantae a ventre, vicies aucta; f. 4. folium, quingquagies auctum; f. 5. teztura folit,
cenlies aucla; f.6. folium involucrale externum, vicies auctum; f.1. folium involucrale
internum cum _pistillidiis, quadragies auctum; f, S. pistillidia, centies aucta.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 55

XVIII. MADOTHEGA DUMORT.

140. MADOTHECA ACUTIFOLIA L. et Lpra. in Leum. Pugill. pl. VI.
1858. p. 8. Caule repente; ramis erectis bipinnatis; foliiss subhorizontalibus
oblique ovatis acuminatis apiculato-denticulatisve, apice recurvis, lobulo ligu-
lato lanceolatove obtuso plano; amphigastriis oblongo-quadratis subadpressis,
interdum apiculatis (maxime versus summitatem plantae); fructu in ramulis
lateral; foliis involueralibus conformibus; perianthii (juvenilis tantum visi) ore
laciniato-dentato. Syn. Hep. p. 266.

Habitat Javam. Herb. Juxem. Prope Gadok, altit. 1500’. Herb. Dz. et Me.,
communicata a Cl. v. Harr.

SUBTRIBUS 7.

JUBULEAE N. as E.
XIX. BRYOPTERIS LDBG.

141. BRYOPTERIS FILIGINA N. ab E. Syn. Hep. p. 284. Caule repente;
ramis erectis pinnatim ramosis, ramulis strictis; foliis arcte imbricatis ovatis
acutis serratis, subtus complicatis, lobulo rotundato integerrimo; amphigastrus
foliis parum minoribus imbricatis subrectangulis truncatis, apice dentatis.
Syn. Hep. |. c.

B. arguta; foliis margine dorsali et ventrali argutius serratis. 1. c.

Habitat Javam (Var. 8). Syn. Hep.

142. BRYOPTERIS FRUTICOSA Lpaa. et G. Syn. Hep. p. 757. Caule
repente; ramis erectis bipinnatim fasciculatis, ramulis patulis; foliis imbri-
catis ovalis acutis, apice inaequaliter subserratis, subtus complicatis; lobulo
oblongo-quadrato integerrimo, apice plano acuto; amphigastriis patulis ovali-
bus, margine reflexis, apice serrato-dentatis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

XX. THYSANANTHUS LDBG.

145. THYSANANTHUS PLANUS v. p. Sp. Lic. in Nederl. Kruidk. Archief.
IL p. 419. Dozv Plagiochila Sandei. p. 9. Caule repente; ramis dichotomis
erectiusculis fastigiatis pinnatisve; foliis subhorizontalibus disticho-planis ova-
tis acutis vel obtusis integerrimis apiceve serratis, medio cellulis longioribus

54 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

vittatis, lobulo planiusculo; amphigastriis subimbricatis rotundo-quadratis vel
obovatis retusis adpressis patulisve integerrimis, fructu in dichotomia et ter-
minali; foliis involucralibus acutis, apice serratis, ampbigastrio involucrali
magno ovato profunde bifido, laciniis acutis utrinque serratis; perianthio tri-
quetro, angulis denticulatis.

Habitat Javam. Herb. Juren. Tersm. in Herb. Dz. et M. Herb. v. p. Boscu.
Buitenzorg. Herb. Mre. Ad montem Salak. Zorriveer. coll, sub n°. 5560.

Fuscus, repens, 0,015—0,025 longus. Rami adseendentes vel ereetiusculi, simplices, pin-
nato- vel dichotomo-ramosi, cum foliis 0,002 lati, ramuli patentes vel divergentes. Folia
subhorizontalia, patenti divergentia, imbricata, subplana, ovata, nonnulla obtusa, vulgo acuta,
acuminata vel cuspidulata, integerrima vel versus apicem, praesertim in ramis fructiferis, serru-
lata; lobulus plicaeformis vel ovatus, aut oblongus, in folium transiens, aut subtruncatus.
Ampbhigastria apice patula, subimbricata, quadrato-subrotunda vel obovata, integerrima, medio
carinato-convexa, retusa. Textura foliorum e cellulis minutis, jsubrotundis, sub medio folio
majoribus, oblongis, vittam longitudinalem mentientibus; amphigastriorum textura aequalis,
densa. Fructus in dichotomia et terminalis vel etiam lateralis. Folia involucralia caulinis
subacqualia, ovata, acuta, versus apicem serrata; margine ventrali anguste plicata, plica line-
arì in marginem transeunte vel apice truncata, acuta. Amphigastrium involucrale caulinis
duplo triplove majus, ovatum, dorso medio convexo-complicatum, ad medium usque bifidum,
laciniis acuminatis, utrinque serratis. Perianthium oblongo-triquetrum, marginibus deflexis,
ventre late uni-carinatum, marginibus carinaque apice denticulatis. Spicae masculae plures in
eodem ramo, interrupte foliosae. Folia perigonialia reliquis paullo densius imbricata et minora,
biloba; lobus ventralis oblongus, tumidus, truncatus, acutus vel cuspidatus, subtilissime serru-
latus. Amphigastria caulinis similia.

. ‘
Differt a Thysanantho spalhulistipo Lose, foliis magis planis, subintegerrimis, vitta magis
minusve distincta notatis et amphigastriis caulinis subrotundis, integerrimis.

TABULA X.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars rami a dorso visa, decies et quïnguies
aucta: f. 3. pars rami a ventre, decies auctas f. 4. folium, trieies auclum; f. 5.
tertura foliù, septuagies et quinquies aucta; f. 6. amphigastraum caulinum, quinqua-
gies auctum; f. 7. perianthium cum amphigastrio et foliis involueralibus, vicies et
quinquies aucta; f. S. perianthium a dorso, vicies el quinquies auclum; f. 9. spica
mascula, decies et quinquies aucta; f. 10. folium perigomiale, tricies auctum.

144. THYSANANTHUS SPATHULISTIPUS Lispse. Syn. Hep. p. 287. Caule
dichotomo-fastigiato pinnatoves folus subverticalibus ovatis aculis, margine
infero complicato-involutis, apice explanatis eroso-serratis; amphigastriis spa-

GE

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 5

thulatis truncatis, apice denticulatis planiusculis; perianthii angulis spinuloso-
dentatis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juveu. Tersm. in Herb. Dz. et Ms. Herb.
v. p. Boscn.

145. THYSANANTHUS CONVOLUTUS Lixpse. Syn. Hep. p. 288. Caule
subfastigiato; foliis verticalibus oblique rotundis concavis, margine supero
apiceque inflexis integerrimis apiculatisve, infero plicato-involutis, sub apice
planis dentieulatis; amphigastriis spathulatis truncalis serratis, margine revo=
lutis; perianthiis margine carinaque subdenticulatis. Syx. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Svn. Hep. Herb. Junen. Tevsm. in Herb. Dz, et Ma. Bui-
tenzorg, Herb. Mig.

XXI. PTYCHANTHUS N. an E.

146. PTYCHANTHUS INTERMEDIUS Gorrscne. Muscor. Hep. Spec. Nov.
Javan. in Natuurk. Tijdschr. voor Nederl. Indië. 2 Serie. 1. 1855. p. 576.
Zorrincer System. Verzeichn. L. p. 19 et. p. 20. Gaule procumbente bi-
(rarius tri-) pinnato, ramis elongatis horizontalibus iterum pinnatis; foliis sub-
imbricatis, patenti-divergentibus (in vetustis apicibus interdum sursum flexis)
ovali-obovatis, apice oblique acuto denticulatis, margine ventrali inflexo, lo-
bulo basali parvo inflexo vel complicato sublibero, extrorsum emarginato-uni=
dentato, vel in novellis fere nullo; amphigastriis contiguis ovali-subquadratis
erecto-patentibus, apice rotundato emarginato truncatove denticulatis; perian=
thiis cylindrieis, apice et basi angustatis, 10—11 plicatis. Gorrscur, |. c.

Habitat Javam. In monte Salak. Zorrineer, coll. n°. 5560. ce. Herb. Junan.
Treysa. in Herb. Dz. et Mp. Buitenzorg. Herb. Mrg. Herb. v. p. Boscu.
Prope Gadok; communicavit Cl. v. Harr. Herb. Dz. et Mr.

Inter Ptychanthum Wightii et Javanicum intermedius, tamen Pt. Wighti propior et for-
san ejus varietas. (GOTTSCHe).

147. PTYCHANTHUS JAVANICUS Gorrsene. Syn. Hep. p. 291. Caule
erecto striato subpinnato; foliis imbricatis patenti-divergentibus obovatis acu-
minatis acutisque, apice serrato-dentatis, margine infero anguste subinflexis,
lobulo basali_ parvo inflexo; amphigastriis imbricatis quadratis, margine sub-
reflexis, apice truncato-excisis inaequaliter dentato-serratis; perianthiis obova=
Us, margine latiore compressis, anguste carinatis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

56 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

148. PTYCHANTHUS SULCATUS N. ab KE. Hep. Eur. HI. p. 215. Caule
proeumbente dichotomo, ramis subfastigiatis; foliis semivertiealibus imbricatis
oblongo-ovatis apiculatis integerrimis, basi subtus complicatis, lobulo rotun-
dato; amphigastriis subimbricatis folio minoribus reniformi-rotundatis subinte-
gerrimisj fructibus secundis in amphigastriorum angulis originem ducentibus
ad dichotomiam et in ramulorum extremorum apice adproximatis; perianthiis
eylindrieis suleato-striatis,. Syn. Hoep. p. 291.

«‚ amphigastriis minoribus, apice retusis. |, c.

- amphigastriis majoribus rotundatis (neque vero folia adaequantibus). 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Mrg. (Buitenzorg.). et Herb. v. p. Bosen.
Frustula tantum adsunt.

149. PTYCHANTHUS RETUSUS N. ab E. Hep. Eur. III. p. 212. Caule
repente; ramis dichotomis erectiusculis rariusve pinnatis proeumbentibus; fo-
lis subhorizontalibus disticho-planis oblique ovatis acutis integerrimis, lobulo
adplanato minimo vel plicaeformi; amphigastriis subimbricatis orbiculato-qua-
dratis retusis; fructibus e dichotomia adproximatis; perianthiis plicatis. Syn.
Hep. p. 292.

«. caule subfasciculatim ramoso; ramis inordinate pinnatis proeumbentibus;
foliis vetustioribus obtusis; amphigastriis imbricatis fere orbiculatis retusis
patulis. Sterilis. 1. c.

£. caule ramisque dichotomis subfastigiatis, his adscendentibus; amphigas-
trits subimbricatis vel tantum adproximatis orbiculato-quadratis retusis minus
patulis. Fructfera. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

Species ista, qualem deseripsit Clar. auctor, in herbariis, quae vidi, desideratur. Plantam
rarìorem vocat,

XXI. PHRAGMICOMA DUMORT.

S. 1. Ptychanthoides. Perianthium a latere compressum, carina dorsali
una, binisque ventralibus instructum. Pedicellus capsulae internodiis (post
exsiccationem) tuberosa-geniculatus.

150. PHRAMICOMA FERTILIS N. ab E. Syn. Hep. p. 299. Caule re-
pente subpinnatim ramoso; foliis verticalibus confertis patenttbus oblique
ovato-rotundis subsquarrosis integerrimis, margine infero basi complicatis, lo-
bulo subplano rotundato erenulato; amphigastriis imbricatis orbiculato-quadra-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 5y1

tis transversalibus planis integerrimis; fructu in ramulo brevi terminalis pe-
rianthio exserto obovato plicato, marginibus compressis. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Tevsa. in Herb. Dz. et Ms.

151. PHRAGMICOMA HASKARLIANA Gorrscue, Syn, Hep. p. 299. Caule
repente subsimpliciter pinnato; ramis maequalibus erecto-patulis; foliis sub-
verticalibus arcte imbricatis oblique ovato-rotundis squarrosis integerrimis un-
dulatis, marge infero inflexis basique complicatis, lobulo convoluto, apice
introrsum exstante plano bidentato; amphigastriis imbricatis obovato-quadratis,
margine reflexis, apice emarginato-repandis; fructu in ramulis terminal; perian-
thio subexserto obovato compresso, dorso uniearinato, apice trifido, Syn. Hep. 1. c-

Habitat Javam. Syn. Hep.

152. PHRAGMICOMA HUMILIS Gorrscne. Syn. Mep. p. 299, Caule re-
pente vage subpinnatimve ramoso, basi subflagellifero ; foliis verticalibus con-
fertis patentibus oblique ovato-rotundis integerrimis, margine infero basi com-
plicatis, lobulo subplano: rotundato integerrimo, eum folio confluente; am-
phigastriis imbricatis transverse rotundo-cuneatis integerrimis subretusis patu-
lis; perianthijs e dichotomia obovatis eompressis, dorso sulcatis, ventre uni-
carinatis. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Tersm., Horre in Herb. Dz. et Mo.

155. PHRAGMICOMA TUMIDA N. et M. Syn. Hep. p. 500. Gaule pinna-
tim subramoso, ramulis brevibus; foliis verticalibus confertis suborbiculatis
obtusissimis integerrimis, margine infero toto inflexis repandis, lobulo subin-
distineto; amphigastriis rotundo-reniformibus adproximatis, apiee retusis breviter
reflexis; fructu... Syn, Hep. L c.

Habitat Javam. Herb. Juneau. Tersax. in Herb. Dz. et Ms. Herb. Mr. Herb.
v. p. Bosc.

Perianthium involuerum subsuperans, ovatum, apice quinque-plicatum, plicis obtusis.

154. PHRAGMICOMA ARGUATA N. ab E‚ Syn. Hep. p. 500. Caule re-
pente simpliciter sparsim pinnato, vel ramulis elongatis iterum divisis bipin-
nato; ramulis subdecurvis; foliis verticalibus patentibus ovatis obtusis et acu-
tis, basi longe decurrente complicato-saccatis, lobulo in folium desinente inflato
oblique truncato, apice introrsum subbidentato; amphigastriis imbricatis qua-
drato-oblongis planis integerrimis; fructu... Syn. Hep. Ll. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Tersm. in Herb, Dz. et Me.

155. PHRAGMICOMA RENILOBA Gorrsene. Syn. Hep. p. 501. Caulc
subsimplici; foliis semiverticalibus, basi imbricatis, oblique ovatis acutis, mar-

Ss
WIS- EN NATUURK. VERE. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL V.

IJ8 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

gine angulatis, basi subtus complicatis, lobulo ovali convoluto integerrimo in
folium desinente; amphigastriis adproximatis orbiculatis obeordatisque relusis,
apice undulato-erenatis planis margineque. reflexis. Syn. Heop, 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

$. 2. Species ad Ptychanthum et Thysananthum genus aberrantes. Fructus
e dichotomia revera terminalis, ramificatione igitur eentrifuga.

156. PHRAGMICOMA POLYMORPHA v. p. Sp. Le, in Nederl. Kruidk.
Archief. Ul. p. 420. Dozy Plagiochila Sandei. p. 9, Caule repente; ramis
dichotomis adseendentibus fastigiatis pinnatisve; foliis semiverticalibus imbri-
catis oblique ovatis obtusis acutisve, margine dorsali integerrimis planis, ven-
tali inflexis undulatis eum apice plano denticulatis, vel planis integerrimis,
lobulo tumido subtruncato; ampbigastriis subimbricatis rotundo-obovatis undu-
latis, apiee truncato-denticulatis patenti-divergentibus vel subintegris retusis
patulisve; fructibus e dichotomia lateralibus adproximatis et tammahualine:

perianthio oblongo valde compresso laevi, dorso et ventre triplicato, plicis
dorsalibus obsoleis.

Duae Formae potissimum sunt distinguendae:

«. undulifolia; foliis amphigastriisque undulatis dentatis; perianthiis ad-
proximatis.

g. planifolia; foliis amphigastriisque non undulatis subdenticulatis integrisve ;
perianthiis dissitiusculis.

Habitat Javam. Form. «. [lerb. Juren. Tevsm. in Herb. Dz. et Mp. Herb.
v. p. Bosen. Form. #. Ad montem Salak. ZorriNGer, coll. sub n°. 5560
(pl. feminea). Herb. v. p. Bosen (pl. maseula).

Caulis repens, 0,03 fere longus, cum folüis 0,003 latus. Rami adseendentes, irregulariter
ramosi, dichotomi vel pinnati. Folia Form. «. imbricata, semiverticalia, patentia, ovata;
margo dorsalis rotundatus, planus, integerrimus; ventralis in medio vulgo dilatatus, inflexus,

eripato-undulatus, repando-denticulatus; apex obtusus vel acutus, dentieulatus; lobulus tumidus

vel margine subplanus, apice subtruncatus. Amphigastria foliis triplo quadruplove minora,

subimbricata vel eontigua, patenti-reflexa vel patula, rotundo-obovata, versus apicem apiceque
truncato ipso inaequaliter dentata. Textura foliorum e cellulis rotundis, versus basin laxioribus.
Fructus in dichotomia, ad latus internum adproximati et terminales.

Folia involucralia con-
formia; lobulus planus, acutus.

Amphizastria involucralia caulinis longiora, oblongo-spathu-
lata, apice denticulata, truncata, subemarginata vel emarginato-bidentata. Perianthium oblon-
gum, compressum, marginibus tenuibus, dorso et ventre triplicatum, plicis ventralibus elevatis.

Folia Form. @. margine ventrali subintegerrima, reflexa, plana, apice subdenticulata vel in-
tegra. Amphigastria patula aut apice subreflexa, plana, minute denticulata, raro integerrima.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 59

Perianthia magis in ramis dispersa, oblongo-obovata. Spicae masculae lineares, e paribus folio-
rum 6—12 compositae, ramum medium eingentes, solitariae vel plures in eodem ramo dis-
positae, foliis caulinis interruptae. Folia perigonialia caulinis minora densiusque imbricata,
biloba; lobus ventralis inflatus, ovato-oblongus, truncatus, obtusus vel acutus. Amphigastria
perigonialia patenti-reflexa.

Affinis Phragmicomae semirepandae N. ab E. Statura minore, mollitie, textura laxiorì, am-
phigastriis minoribus laxiusque imbricatis et perianthio nostra planta diseernitur.

A Thysanantho plano, cui Form. B. subsimilis est, prater generis notas diftert: foliis la-
tioribus, laxius et aequaliter textis, amphigastriis magis minusve denticulatis.

TABULA XI,

Form. «. undulifolia. Fig. 1. Plantae magnitudine naturali; f. 2. pars rami a dorso;
f. 3. ramus fructifer a ventre, decies auctus; f. 4. folium, tricies auctum; f. 5.
teztura folii, centies aucta; f. 6. amphigastrium caulinum, vicies auctum; f. 1. perian-
thium a dorso; f. S. perianthium a ventre cum amphigastrio involucrali, vicies aucta,

Form. @. planifolia. Fig. 1. Planta magnitudine naturalis f. 2. pars caulis a dorso
visa, decies aucta; f. 3. ramus cum perianthiis a ventre visus, decies auclus; f. 4.
teztura folii, centies aucta; f. 5. amphigastrium caulinum, oetogies auctum ; f. 6. fo-
lium involuerale, guadragies auctum ; f.T.amphigastrium involucrale, guadragies auctum ;
f. S. perianthium a dorso visum, vicies auctum; f. 9. perianthium a ventre cum amphut-
gastrio involucrali et fructu, vicies aucta; f. 10. spica mascula, decies et quinguies aucta,

157. PHRAGMICOMA SEMIREPANDA N. ab E. Syn. Hep. p. 502. Gaule
procumbente ramoso; ramis subfastigiatis subpinnulatis; foliis subhorizontalibus
patentibus oblique ovatis aeutiusculis, apice dentato-serratis, basi compli-
catis, margine postico repando undulato; amphbigastriis dense imbricatis orbi-
culatis integerrimis; fructu in dichotomia et terminali; perianthiis oblongo-
ovatis laevibus, carina ventrali triplicata (rarius biplicata), dorso eoncaviusculo
unicarinato. Syn. Hep. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Tersm. in Herb. Dz. et Ms. Herb. v. p. Boscn.

XXIII. OMPHALANTHUS LDBG. er N. an B,

158. OMPIALANTHUS UMBILICATUS N. ab E. Syn. Hep. p. 505. Caule
proeumbente repente vage ramoso; foliis horizontalibus dense imbricatis cor-
dato-orbiculatis integerrimis, basi subdeeurrente minutissime complicatis; am-
pbigastriis foliis minoribus distantibus vel contiguis orbiculatis bifidis; fructi-
bus in ramulo proprio terminalibus saepe adgregatis; calvcibus turbinato-
obeonieis laevibus truneatis umbilicatisque. Syn. Hep, 1. c.

Sg

60 ____SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

B. eaule magis elongato; ramis raris brevibus; amphigastriis majoribus ma-
gis adproximatis, laciniis acutiusculis vel obtusis, |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. Tersm. in Herb. Dz. el Mp, — Ternate.
Herb. Rerxwaror.

159. OMPHALANTHUS LUMBRICOIDES Syn. Hep. p. 748. Caule pro-
strato; foliis semiverticalibus dense imbricatis cauli circumvolutis orbiculatis
obtusis integerrimis, basi sinu excisis eomplicatisque, lobulo parvo truncato
introrsum rotundato; amphigastriis paulo minoribus subeontiguis cordato-ova-
ts ad medium usque bifidis, dentibus obtustuseulis, sinu angusto ; fruetu in ra-
mulis lateralibus seriatim dispositis; perianthio sessili, in superiore parte tetra-
gono, angulis crenulatis, ventre bicarinato, dorso econcaviusculo, angulis late-
ralibus adscendentibus, Syn. Hep. p. 542. (Lresrunra.).

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juven. Herb. v. p. Bosem. In monte
Salak. ZorLiveer, coll. sub n°. 5560 (frustulum). Tersu. in Herb. Dz. et Me.

XXIV. LEJEUNIA GOTTSCHE er LDBG.

9. 1. Prracmcomorpear. Perianthium a tergo compressum, ventre con-
vexo, dorso depresso vel concaviusculo laevi, ore bilabiato marginibusque
ciliatis, eristatis alatisve. Integristipulae,

a. Perianthio eristis et cilits ornalo.

160. LEJEUNIA ADPLANATA N. ab EB. Syn. Mep. p. 514. Caule repente
vage pinnatimque ramoso gracilis foliis subimbricatis ovato-oblongis obtusis
acutisque, apice deflexis subintegerrimis, margine infero in lobulum eomplica-
us subsaccatum, basi ventricosum subdentieulatum tectum; amphigastriis sub-
imbricatis cordato-reniformibus folia fere aequantibus, margine subreflexis;
fructu in ramulis brevibus terminalis foliis involucralibus ovatus serratis, mar-
gine mfero in Jobulum planum angustum acutum complicatis; perianthio ro-
tundo-obovato, dorso subcarinato, ventre biplicato, marginibus angulisque
superne cristato-incisis. Syn. Hep. 1. c.

«. foliis plerisque acuminatis, ad apieem saepe denticulatis; involueralibus
acutis argute serralis, lobulo longiore acuttusculo. 1. c.

8. foliis obtusis integerrimis; lobulo foliorum involucralium saepe indis-
uneto. 1, ce.

* foliis amphigastriisque subundulatis. 1. c.

**_ nigricans; amphigastriis maximis folia fere aequantibus. |. c.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 61

Habitat Javam. Syn. Hep. Tersm. in Herb. Dz, et Ma.

161, LEJEUNIA SUBEUSCA N. ab E‚ Syn. Hep. p. 515. Caule repente
vage pinnatimque ramoso gracilis; foliis adproximatis ovato-rotundis obtusis
integerrimis, margine infero sinuato-complicatis, lobulo subsaccato, basi ven-
tricoso subintegerrimo; amphigastriis parvis distantibus subrotundis planis;
fructu in ramulis terminalis; foliis involucralibus obovatis minute denticulato-
serratis, margine infero in lobulum longiorem planum ecomplicatis; perianthio
obovato-pyriformi compresso, ventre bicarinato, marginibus angulisque superne
eristato-incisis. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Herb. Dz. et Ms.

162. LEJEUNIA NIGRICANS Lpg. Syn. Hep. p. 516, Caule repente
intricato pinnatim decomposito, ramis subfasciculatis; foliis imbricatis ovato-
rotundis subplanis obtusis acuminatis apiculatisve integerrimis, basi complica-
tis, lobulo subsaccato inflato-ventricoso, in ramulorum foliis supremis maximo;
amphigastriis parvis dissitis reniformi-rotundis; fructu in ramulo proprio brev1;
folus involueralibus obovatis obtusis acutisve serratis, bast in lobulum parvum
saepe obsoletum complicatis; perianthio obovato compresso, ventre biplicato,
marginibus angulisque eristato-incisis. Syn. Hep. |. c.

ê. monstrosa; caule nano prolifero-cristato. |, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. Tersm. in Herb. Dz. et Mp. Frustula.

165. LEJEUNIA INTERMEDIA Lpaa. Syn. Hep. p. 516. Gaule repente
vage pinnatimque ramoso gracilis foliis subimbricatis ovatis acuminatis inte-
gerrimis apiceve oblique truncato-subdenticulatis explanatis, in lobulum com-
plicatis, bast inflatum; amphigastriis remotis rotundo-reniformibus adpressis,
foliis minoribus; fructu in ramulis propriis terminalis foliis involueralibus
ovalis subacuminatis denticulatis, margine infero in lobulum complicatis lon-
giorem angustum acutum; perianthio... Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Mep. Teysa. in Herb. Dz. et Ma.

b. _Perianthiù margine el angulis asperrumis.

164. LEJEUNIA JAVANICA N. ab E. Syn, Hep. p. 520, Caule repente
vage pinnatimque ramoso; foltis subimbricatis ovato-orbiculatis obtusis inte-
gerrimis, margine infero recto, basi in plicam parvam truncatam integerrimam
inflexis; amphigastriis parvis distantibus rotundo-reniformibus integerrimis;
fructu in ramulis lateralibus terminalis foliis involucralibus integerrimis, lobo

62 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

minuto vel obsoleto; perianthio obovato, ventre bicarinato, marginibus cari-
nisque tuberculatis. Syn. Hep. 1. c.
Habitat Javam. Syn. Hep.

c. _Perianthio alato.

165. LEJEUNIA FLOCCOSA L. et Lora. Syn. Hep. p. 524. Caule re-
pente adpresso parce ramoso; foliis imbricatis semiverticalibus subcordatis
obtusis hyalinis, medio serie cellularum longiorum instructis, integerrimis, basi
subtus eomplicatis, lobulo planiusculo, margine folio suo adnato, apice emar-
ginato-unidentato; amphigastriis subnullis; fructu laterali sessili ; foliis in volucra-
libus conformibus perianthium subaequantibus; perianthio brevi lato-obcordato
compresso laevi. Syn. Hep. 1. c.

[abitat Javam. Syn. Hep. Im fronde Hymenophylli. Herb. Juren.

9. 2. Trpicar. Periantbium ambitu teretiusculo, ventre lateribus tergo-
que etiam carinatis, hinc varie angulatis.

A. Entegristipulae.
j Perianthio suberistato.

166. LEJEUNIA RECURVISTIPULA Gortrscuer. Syn. Hep. p. 526. Caule
repente subbipinnatim ramoso flaceido; ramis elongatis, apice ineurvis; foliis
imbricatis oblongo-ovatis, superioribus subfalcatis acutis obtusisve, margine
dorsali suberenatis, ad apicem apiceve ipso serrato-dentatis, ventrali integer-
rimis, lobulo ovato convoluto confluente integerrimo; amphigastriis rotundo-
obovatis obcuneatisve truncato-retusis, inferioribus planis integerrimis vel apice
obsolete crenato-dentatis, supremis maximis gibbo dorsali laeinula bifida eristatis
margineque (praesertim ad apicem) undulato-reflexis dentato-spinosis; perianthiis
terminalibus obovatis, margine compressis, dorso ventreque carinatis, angulis
dentato-spinulosis; involueri foliis perianthium superantibus, apice patentibus
serratis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Herb. Jure.

+} f Perianthio laevi.
167. LEJEUNIA XANTHOCARPA L. et Lose. Syn. Hep. p. 550. Caule

repente ramoso; ramulis brevibus subfastigiatis; foltis arcte imbrieatis subver-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 65

ticalibus rotundis eonvexis integerrimis, margine ventrali toto apiceque inflexis,
basi complicatis, lobulo majort apiculato minorique ventricoso-convolutis; am-
phigastriis rotundo-reniformibus contiguis integerrimis; perianthiis lateralibus
obovatis, dorso uni-, ventre bicarinatis, angulis lateralibus ventrem versus de-
vexis. Syn. Hep. l.c.

Habitat Javam. Herb. Juxen. Buitenzorg. Herb. Mig. Trrsa. in Herb.
Dz. et Ms.

168. LEJEUNIA CONFERTA Merssn. Syn. Hep. p. 555. Caule repente
pinnato, ramulis supremis elongatis, subfasciculato; foliis arcte imbricatis ovato-
subrotundis integerrimis, basi sinuato-inflexis, plerisque in lobulum complica-
tis magnum, sinu diseretum rotundatum, basi inflatum ; amphigastriis adproxi-
matis obovato-cuneatis reniformibusve integerrimis; perianthüs lateralibus ro-
tundo-obovatis, margine compressis, ventre bicarinatis, dorso ad apicem carina
angusta instructis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

169. LEJEUNIA LINDENBERGIL Gorrscue. Syn. Hep. p. 556. Caule re-
pente subramoso, ramulis brevibus; foliis contiguis distichis ovatis obtusis
decurvis, dorso ante plicam curvaturae margineque cellulis prominentibus as-
perulis, basi sinuato-complicatis, lobulo parvo inflato in folium transeunte;
amphigastriis foliis minoribus econtiguis reniformibus, apice subretuso-repandis,
margine integerrimis suberenulatisve; perianthiüs lateralibus obovatis compres-
sis, dorso uni-, ventre bicarinatis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Herb. Jurem. Herb. v. p. Boscm. Tersa. in Herb. Dz. et Me.

B. Amphigastriis vel bifidis vel nullis.

a. Perianthits obeordatis depressis ciliatis denticulatisve.

170. LEJEUNIA DOZYANA v. p. Sp. Lc. in Nederl. Kruidk. Archief.
II. p. 522. Dozr Plagiochila Sandei. p. 9. Caule repente subramoso; foliis
imbricatis obovato-spathulatis parce denticulatis, lobulo convexo, apice trun-
cato dentato; amphigastriis nullis; fructu in ramulo laterali; perianthio invo-
lucrum subaequante obovato compresso, ventre versus apicem bicarinato, mar-
ginibus carinisque alaeformibus, apice erenulato-denticulatis.

Habitat Javam. Ad frondem Hymenophylli. Herb. Dz. et Mp. In folis Pa-
ratropiae rigidae Var. venosae Mig. Herb. Juneau.

64 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Plantula subramosa, 0,003— 0,005 longa, eum foliis 0,0018 lata, patellis suctoriis repens.
Folia semiverticalia, laxe imbricata, obovato-spathulata, apice latissima, rotunda, denticulata, sub
apice saepe dente longiore armata, versus basin utrinque attenuata; lobulus eonvexus, ova-
tus, apice truncato et denticulato. Textura foliorum e cellulis parvis, ovali-rotundis, aequali-
bus. Amphigastria nulla. Fructus in ramulo terminalis. Folia involucralia angustiora. Pe-
rianthium involuerum subaequans, obovatum, compressum, apice erenulato-denticulatum, marginibus
tenuibus; ventris carinae versus apicem binae, alaeformes. Spica mascula in planta fructi-
fera, subsessilis. Folia perigonialia e 4 paribus, orbieulata, lobulo involuto.

Foliorum forma proxima Lejeuniae floccosae Ls. et Lipna. sed eorum textura et perianthio
longe reeedit. Lejeunita pellucida Meissn. foliis orbiculatis et amphigastriis gaudet, nee non
perianthiis pentagonis, integerrimis.

Dicavi speciem Viro amicissimo Doct. F, Dozy. Conjunctis studiis cum amico suo Doct. Mor-
KENBOER inchoavit illustrationem Mlorae Bryologicae Javanicae et post hujus mortem per bien-
nium continuavit. Morbo gravi afllictus, in damnum scientiae eheu! hísee diebus extra Pa-
triam succubuit. Merita in Botanicen horaum Duumvirorum laudibus meis sunt superiora.

TABULA XI

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. caulis a dorso visus, vicies auclus; f.

caulis cum spicis masculis a ventre, vicies auctus; f. 4. folium singulum, quadragies
auctum; f. 5. tertura foli, centies aucta; f. 6. perianthium a dorso, quadragies
auctum; f. 7. perianthium cum foliis involucralibus a ventre, quadragies aucta.

171. LEJEUNIA VENUSTA v. p. Sp. Le. in Nederl, Kruidk. Archief,
IL. p. 420. Dozr Plagiochila Sandei. p. 9. Caule repente ramoso; foliis
contiguis semiverticalibus ovalis obtusis, supra muricatis, margine dentato-ci-
hatis, lobulo ovato tumido truncato-dentato; amphigastriis nullis; fructu late-
rali sessili; perianthio obovato compresso, tota superficie muricato, ventre
bialato, marginibus alisque dentato-ciliatis.

Habitat Javam. Ad frondem Hymenophylli, cum Lejeunia Dozyana. Herb.
Dz. et MB.

Caulis radieibus longiusculis repens, 0,005 longus, eum foliis 0,0008 latus, subramosus.
Folia contigua, oblique et semiovata, obtusa, dentato-ciliata; margo dorsalis rotundatus ; ventralis
rectior; dorsum papillis conicis, elongatis exasperatum; lobulus ovatus, tumidus, apice truncato,
denticulato. Textura foliorum e cellulis parvis, quadratis et rhomboideis, versus basin majoribus.
Amphigastria nulla. Fructus lateralis, sessilis. Folia involueralia conformia. Perianthium in-
voluerum superans, obovatum, compressum, totum muricatum, ventre bicarinatum, carinis mar-
ginibusque alaeformibus, dentato-ciliatis. }

Lejeunia Haskarliana Gorrsene. proxima, foliorum et perianthii forma diversa est.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 65

TABULA ZI,

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a venlre visa, quadragies aucta;
f. 3. folium singulum a dorso, octogies auctum; f. 4. idem a ventre, octogies
auctum; f. 5. tevtura foliù a dorso, ducenties aucta; f. 6. perianthium cum foliis
involucralibus a dorso, sewagies aucta ; f. 7. eadem a ventre, seragies aucta.

b. Perianthio superne acute pentagono angulis crliatis, dentatis vel crenatis.

172. LEJEUNIA INCHOATA Merssn. Syn. Hep. p. 545. Caule repente
vage ramoso; foliis remotiusculis subverticalibus divergentibus sursumque ver-
sis semiovato-rhomboideis acuminatis, margine dentato-spinulosis, subtus si-
nuato-complicatis, lobulo inflato; amphigastriis minutis distantibus ovato-
triangularibus profunde bifidis, laciniis divergentibus; fructu laterali; perianthio
cyathiformi, superne quinquangulari cristato-laciniato. Syn. Hep. |, c.

Habitat Javam. Ad frondem Pilicum et folia Paratroptae rigidae Var. ve-
nosae Mig. Herb. Juraum. Ad folia coriacea. Herb. Dz. et Mp. In folius Po-
doearpi. Herb. Reimvw. — Celebes. In foliis Cyrtandrae Sandei pr Vriese.
Herb. Reryw. Var. $ javanica. In Java legit Zourineer, coll. n°. 5558.

175. LEJEUNIA HASKARLIANA Gorrscue. Syn. Hep, p. 546 Caule re-
pente ramoso; foliis verticalibus ovato-lanceolatis, dorso areolis conicis muri-
eatis, lobulo magno convoluto-inflexo, toto ambitu cellulis conicis serrulatis;
_amphigastriis nullis; perianthio parvo obovato-clavato, tota superficie echinato.
Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juven.

c._Perianthio superne pentagono, ore demum in 4 lacinias subulatas fisso, angulis integerrimis.

174. LEJEUNIA TERNATENSIS Gorrscue. Syn. Hep. p. 541, Gaule re-
pente vage ramoso; foliis subimbricatis e basi semicordata longe acuminatis
ovato-lanceolatisque, margine repandis, apice deflexis, basi decurrente subtus
complicatis, lobulo magno inflato; amphigastriis parvis distantibus profunde
bifidis, laciniis subulatis divergentibus; fractu laterali in basi ramorum sessili;
foliis involucralibus inaequaliter serrato-spinulosis; perianthio obovato superne
acute pentagono, angulis integerrimis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Ternate. Syn. Hep.

175. LEJEUNIA TRIDACTYLA Gorrscur. Syn. Hep. p. 947. Caule re-
pente ramoso5 foliis distantibus, basi dorsali longe solutis, margine dorsalt

dentibus tribus trifido, subtus lobulo complicato (singulis arcolis mamillatis,
9
WIS- EN NATUURK, VERH, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL Vé

66 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

ut cujusvis plicae margo et lobulorum et foliorum, si margines a latere con-
spicias, tuberculatus videatur, — quam texturam singularem etiam amphigastria
participant); amphigastriis bifidis, laciniis subulatis; fructu laterali sessili,
innovationibus sub involucro praesentibus; perianthiis obovatis pentagonis,
carina dorsali simplice, ventralibus binis; foliis involucralibus majoribus bilo-
bis, lobis margine 5—4 dentibus ornatis; amphigastrio involucrali alteri folio
perichaetiali connato. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren.

176. LEJEUNIA MURICATA Gorrscue. Syn. Hep. p. 548. Caule repente
filiformi simpliciuscalo; foliis adproximatis verticalibus adscendenti-erectis ova=
Us, margine reflexis pinnatifidis, segmentis inciso-fimbriatis, basi complicatis,
lobulo subsaccato; amphigastriis remotiusculis bifidis, laciniis margine subre-
flexis inciso-fimbriatis; fructu... Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

d. Perianthio laevi, dorso et ventre (rarius ventre solo) carinato, plerumgue pentagono.

* Acutifoliae. Polis acuminatis, acutis vel cuspidatis.

177. LEJEUNIA MOLKENBOERIANA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk.
Archief. HI. p. 421. Dozr Plagiochila Sandei, p. 9. Caule repente vage
ramoso; foltis imbricatis semiverticalibus cordato-ovatis acutis, apice inflexis ,
integerrimis, basi exciso-complicatis, lobulo inflato ovato; amphigastriis imbricatis
folia subaequantibus cordato-ovatis, ad medium usque bifidis, laciniis acuminatis;
fructu in ramulo brevi lateralis perianthio obovato, dorso uni-, ventre bicarinato.

Habitat Javam. In fronde Filicum, Herb. Juven. Tersa. in Herb. Dz. et Ms.

Pallescens. Caulis repens, 0,02—0,03 longus, cum foliis 0,001 latus, ramosus, ramis bre-
viter ramulosis. Folia basi imbricata, semiverticalia, integerrima, cordato-ovata, acuta, cuspidata
et acuminata, apice subinflexa; margo dorsalis planus, basi cordatus et ultra caulem produc-
tus; ventralis basi exciso-lobatus, lobulus inflatus, ovatus, apice rotundato-truncatus. Amphi-
gastria folia aequantia vel paulo minora, contigua, adpressa, cordato-ovata, ad medium et ultra
medium bifida, laciniis ovato-lanceolatis, acuminatis. Textura folioram e cellulis ovali-rotun-
dis, in medio folio versus caulem amplioribus. Fructus lateralis, subsessilis. Folia involucralia
conformia, lobulus planus, ovatus, acutus. Amphigastrium involucrale reliquis majus, ovatum,
brevius bifidum, laciniis acutis. Perianthium obovatum, dorso uni-, ventre bicarinatum, mar-
ginibus carinisque ventralibus latis, compressis. Spica mascula in planta fuctifera, sessilis, ovata,
e foliorum paribus 6 composita.

A Lejeunia conformi Mont. cui proxima, differt foliis cordato-ovatis, inaequaliter textis et
amphigastriis majoribus, laciniis acuminatis.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM, 67

Sacram esse velim memoriae Viri amicissimi Doct. J. H. MorkeNgoeR, praematura morte,
quam omnes lugent, e vita sublati,

TABULA ZI

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, vicies et quinquies aucta :
f. 3. pars caulis a ventre visa, vicies el quinquies aucta. f. A. folium singulum,
guinguagies auctum; f. 5. textura foli, septuagies et quinquies aucta; f. 6. am-

- phigastrium ecaulinum, quinguagies auctum; f. 7. perianthium cum involucro, qua-
dragies aucla.

178. LEJEUNIA APICULATA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Archief.
MI. p. 421. Dozr Plagiochila Sandei. p. 10. Caule repente bipinnato-ramo-
so; foliis eontiguis subhorizontalibus ovato-ellipticis, apice planis acutis et
cuspidulatis integerrimis, basi subsinuato-complicatis, lobulo tumido ovato
emarginato-unidentato; amphigastris minutis distantibus ovatis, ad medium us-
que bifidis, lacinüs rectis acutis; fructu in ramulo laterali subsessili; perianthio
obovato, dorso uni-, ventre bicarinato.

Habitat Javam. Tersm. in Herb. Dz. et MB. In monte Salak. Zorrincer
coll. sub. n°. 5560. Herb. Juren.

Pallescens, repens. Caulis 0,01 longus, eum foliis 0,0006 latus, subbipinnatim ramosus,
ramulis patentibus, versus apicem saepe angustioribus, laxifoliis. Folia subhorizontalia, adproxi-
mata, ovata, elliptica, integerrima; margo dorsalis rotundatus; ventralis rectior, ante lobulum
subsinuatus; apex brevi-cuspidatus, planus; lobulus vix decurrens, inflatus, ovatus, apice emar-
ginato-umidentatus. Textura foliorum e cellulis subrotundis, versus imargines minutis. Am-
phigastria minuta, distantia, ovata, ultra medium bifida, laciniis lanceolato-subulatis. Fructus
saepe adproximati, subsessiles. Folia involucralia biloba; lobus ventralis planus, edentulus. Am-
phigastrium involucrale reliquis majus. Perianthium obovatum, dorso uni-, ventre bicarinatum,
carinis angustis. Spica mascula in planta fructifera, e foliorum paribus 6.

TABULA XI.

Fig. 1. Planta magmitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, quadragies aucta; f. 3.
pars caulis cum spica mascula a ventre, quadragies auctaes f. A. folium singulum,
centies auclum; f. 5. amphigastrium caulinum, centies auctum: f. 6. perianthium
eum involucro et fruclu, quadragies aucta.

*% Macrolobae. Folüs obtusis, lobulo magno vel margine fere toto inflezo.

179. LEJEUNIA FALSINERVIS v. p. Sp. Lc. in Nederl. Kruidh. Ar-
chief. UL. p. 421. Dozy Plagiochila Sandei. p. 9. Caule repente ramoso,
ramis elongatis; foliis semiverticalibus contiguis oblongo-cultratis repandis

obtusis, medio linea pellucida cellularum majorum notatis, apice subinflexis,
g#

68 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

lobulo plano oblongo, apice emarginato-unidentato; amphigastriis distantibus, e
basi subdecurrente ovalibus bifidis, laciniis acutis; fructu in ramulo lateral;
perianthio obovato-pyriformi, dorso uni-, ventre bicarinato.

Habitat Javam. Herb. Juven.

Caulis repens, ex amphigastriorum dorso radicans, circiter 0,035 longus, cum foliis 0,001
latus. Rami vagi, elongati, ramulis iterum obsessi. Folia subhorizontalia, adproximata et
contigua, oblongo-subfalcata, obtusa et acutiuscula, subdeflexa; margo ventralis subrepandus,
rotundatus; ventralis subarcuatus, breviter deeurrens; lobulus planus, oblongus, ad medium
folij marginem et ultra productus, apice emarginato-unidentatus. Pextura foliorum e cellulis
parvis, ovalibus; cellulae mediae majores, oblongae, serie subsimplici dispositae, vittam simulantes,
ante apicem evanidam. Amphigastria distantia, ovalia, subdeeurrentia, bifida, laciniis acutis,
Fructus in ramulo lateralis. Folia involucralia acutiuscula. Amphigastrium caulinis majus,
ovatum. Perianthium obovato-pyriforme, dorso uni-, ventre binarinatum, carinis parum elevatis.

Cum nulla speeie commutari potest. — Medium tenet inter Lejeunias Acutifolias el
Macrolobas.

TABULA ZI,

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, vicies aucta; f. 3. ra-
mulus a ventre, vicies auctus; f. 4. folium singulum, guinguagies auclum; f. 5.
textura apicis folii, centies et quinguagies aucta; f. 6. amphigastrium caulinum, quin-
quagies auctum; f. 7. ramus fructifer a ventre, tricies auclus.

180. LEJEUNIA TRAPEZIA N. ab E. Syn. Hep. p. 557. Caule repente
subsimplicis foliis subhorizontglibus dense imbricatis explanatis trapezoideo-
subovatis orbiculatisve integerrimis, basi subtus complicatis, lobulo oblongo
angusto truncato; amphigastriis subdistantibus foliis quadruplo minoribus or-
biculatis acute bifidis, laemiüs subeontiguis acutiusculis; fructu laterali sessili ;
involueri foliis duobus conformibus paulo minoribus; amphigastrio obovato;
perianthio obovato truncato, dorso plano bicostulato, ventre medio obtuso ca-
rinato. Syn. Hep. 1. c.

B. minor; magis conferta. 1. c.

Habitat Javam. Svn. Hep. Var. «. Buitenzorg. Herb. Mra. Herb. Dz. et Ma.

Caulis in nostris est pinnatim ramosus
181. LEJEUNIA IMBRICATA N. ab E. Syn. Hep. p. 559. Caule repente
laxe ramoso; folis arcte imbricatis oblongis obtusissimis integerrimis, mar=-

gine dorsali bast rotundatis, ventrali sub apice sinuato-complicatis, lobulo
oblongo angusto obliquo, extrorsum truncato vel in brevem dentem excurrente;

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 69

amphigastriuis remotis ovalibus bifidis, laciniüs acuminatis subconniventibus;
fructu... Syn. Hep. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Tersm. in Herb. Dz. et Ma.

182. LEJEUNIA INCISA Gorrsenr. Syn. Hep. p. 560. Gaule repente ramo-
so; foliis imbricatis ovatis convexis integerrimis obtusis, apice oblique deflexis;
margine ventrali complicatis, lobulo oblongo, apice extrorsum truncato vel in
folium transeunte; amphigastris triplo minoribus contiguis subrotundis decur-
rentibus, breviter angusteque emarginato-incisis, dentibus acutis; fructu in
axillis sessili; perianthio obovato subpentagono, angulis lateralibus latis com-
pressis. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Tersa. in Herb. Dz. et MB. —
Borneo. Herb. Dz. et Mp.

185. LEJEUNIA DISCRETA Lrvpra. Syn. Hep. p. 561. Gaule repente
vage ramoso; foltis imbricatis subverticalibus convexis ovato-orbiculatis, apice
deflexis, margine ventrali sinuato-complicatis, lobulo magno involuto ventri-
eoso; amphigastriis distantibus ovatis convexis ad medium acute bifidis, laci-
nijs subeonniventibus acutis; fructu... Syn. Hep. Ll. c. ’

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Junan. Tersu. in Herb. Dz. et Ma.

Amphigastria in speciminibus nostris plana. Perianthium obovatum, pentagonum, tubo longo
coronatum.

KK Contiguae. KFoliis ovatis, amphigastriis arcte imbricatis majusculis.

184. LEJEUNIA TRIFARIA N. ab E. Syn. Hep. p. 561. Caule repente
dichotomo; foltis horizontalibus arcte imbricatis orbiculatis integerrimis de-
flexiusculis, basi in lobulum saccatum decurrentibus; amphigastrüs imbricatis
subquadratis acute bifidis; fructu laterali; foliis involucralibus elongatis, lobulo
oblongo ovato explanato; perianthiis brevibus obovatis quinqueplicatis, angulis
compressis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn, Hep.

185. LEJEUNIA HETEROPHYLLA v, p. Sp. Lc. in pe Vriese. Plant.
Ind. Batav. Reinwardtian. p. 24. Caule repente elongato inordinate pinnato;
foltis imbricatis semiverticalibus rotundis ovatisve integerrimis, apice deflexis,
basi sinuato-complicatis, lobulo decurrente parvo convexo emarginato-uniden-
tato; amphigastrus folia subaequantibus imbricatis orbiculato-subtransversis
convexis, sinu brevi aperto bifidis, laeiniis acutis; fructu in ramulo brevi; in=
volueri foliis ovatis acutis; perianthio obovato quinquangulari.

70 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Habitat Javam. Herb. Juxen. Herb. Dz. et Mp. — Ternate. Herb. Rrrnw.

Fusco-lutescens, 0,02—0,025 longa, Caulis cum foliis 0,001 fere latus, pinnatim ramosus,
pinnis divaricatis, irregularibus, inaequalibus. Folia laxe imbricata, semiverticalia, integerrima,
planiuscula, sed apice deflexa, rotunda vel ovata, obtusa, raro nonnulla acutiuscula, basi ven-
trali sinuato-complicata; lobulus decurrens, parvus, ovato-triangularis, convexiusculus, apice
emarginato-unidentatus. Amphigastria folia subacquantia, laxe imbricata, orbiculata, subtrans-
versa, convexa, integerrima, apice ad quartum partem fissa, sinu acuto, aperto laciniisque acu-
tis. Textura foliorum e cellulis parvis, acqualibus, rotundis. Fructus in ramulo brevi, latera-
lis. Folia involucralia ovata, integerrima, acuta; lobulus elongatus, planus, obtusiusculus. Am-
phigastrium involucrale ovatum, integerrimum, profundius bifidum, laciniis acutis. Perianthium
obovatum, quinquangulare, angulis elevatis, acutis.

Accedit Lejeuntae tereliusculae Lunpoa. et Lejeuniae opacae Gortscue; huie tamen ma-
gis, quam ili est affinis. A priori differt statura robustiori, foliis minus convexis, et. amphigas-
trijs laxius imbricatis; a posteriori foliis apiee deflexis et amphigastriis subtransversis; ab _utra-
que recedit foliis magis minusve ovatis. Lejeunia Lindenbergiü Gortsenr amphigastriis
indivisis gaudet.

186. LEJEUNIA TERETIUSCULA Lpae. Syn, Hep. p. 564, Caule repente
filiformi rigidulo vage ramoso; foliis imbricatis semiverticalibus orbiculatis
convexis inflexis integerrimis, basi subtus sinuato-complicatis, lobulo inflexo
tumidulo trancato-unidentato; amphigastriis folia subaequantibus imbricatis
reniformi-orbiculatis integerrimis breviter incisis, sinu laciniisque aculis, his
conniventibus; fructu laterali sessili; perianthio obovato compresso quinquan-
gulari, angulis latis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb, Junen. Trxsm. in Herb. Dz. et Me.

187. LEJEUNIA SORDIDA N. ab E. Syn. Hep. p. 567. Caule repente
vage ramoso; foliis subimbricatis ovalibus integerrimis, subtus basi lobulo
parvo complicatis; amphigastriis folia aequantibus vel superantibus transversa-
hibus subeordatis, sinu parvo ineisis, lobis acutis; fructu in ramulis laterali
sessili; foliis involucralibus diversiformibus inaequaliter bifidis; perianthio
oblongo-obovato compressiuseulo quinquangulari. Syn. Hep. L. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Junen. Tersm. in Herb. Dz. et Mo.
KKK Obtusifoliae. Polis oblongo-rotundis rarius ovatis, lobulo parvo, amphigastrüs

distantibus parvis.

188. LEJEUNIA APTYCTA Gorrscue. Syn. Hep. p. 569. Caule repente
subpinnatim ramosissimo, foliis imbricatis ovatis convexis, versus apicem, prae-
sertim in ramis junioribus, deflexis vel circa caulem imbricato-convolutis,
decurrenti-complicatis, lobulo parvo convoluto; amphigastriis rotundatis bifi-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 11

dis, sinu aperto, laciniis acutis, paullo decurrentibus; fructu lateral sessili
in ramis; perianthio laevissimo (absque ulla plica) elliptico, dorso ventreque
convexo; foliis involueralibus eonformibus, lobulo parvo acuminato; amphigas-
trio involucrali ovali bifido. Syn. Hep. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

189. LEJEUNIA LINEATA L. et Lpaa. Syn. Hep. p. 571. Caule repente
vage ramoso; foliis semiverticalibus imbricatis ovatis elongatis, apice deflexis
integerrimis vel subrepandis, basi sinuato-complicatis, lobulo majusculo ven-
tricoso; amphigastriis ovato-rotundatis acute bifidis, laciniis ovatis aculis erec-
tis; fructu laterali saepe in serie disposito; perianthio eylindrico-compresso
ineurviuseulo laevi, ad apieem carina dorsali et ventrali obtusa obsoleta sub-
distantibus, quadrangulato. Syn. Hep, 1. c.

Habitat Javam. Tersm. in Herb. Dz. et Me.

KRAK KR Serpyllifoliae.

190. LEJEUNIA THYMIFOLIA N. ab E. Syn. Hep. p. 572. Caule repente
subdichotomo subpinnatove; foliis imbricatis ovalibus, apicem versus angusta-
tis, obtusis integerrimis amoene luteis, subtus convoluto-complicatis, lobulo
rotundato, extrorsum truncato; amphigastriis magnis imbricatis cordato-ovatis
bifidis, lobis rectis acutis integerrimis, lobulos foliorum omnino tegentibus;
fructu terminali et laterali ad basin ramorum; perianthio obovato acute pen-
tagono, involuero subimmerso; foliis involucralibus ovato-lanceolatis obtusis,
lobulo linguaeformi; amphigastrio magno oblongo-cordato, ad medium bifido.
Syn. Hep. 1. c.

B. indica; foliis minus arcte imbricatis, lobulo minori; amphigastriis mino-
ribus profundius incisis; perianthiis elongatis. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb, Juxeu. Tersm. in Herb. Dz, et Ms.

191. LEJEUNIA SERPYLLIFOLIA Lrrert. Dumorr. Comm. Bot. p. 111.
Caule vage ramoso laxo gracili subfasciculato; foliis ovato-subrotundis (oblon-
gisve) obtusis convexiusculis, basi subsinuato-complicatis, pliea saccata oblique
ovata, folio suo plus duplo breviori; amphigastriis folio triplo (duplove) mino-
ribus subrotundis bifidis, laciniis obtusiusculis; perianthio in ramulo brevis-
simo laterali (terminalive) obovato clavatove, sursum acute quinquangulari,
ore muecronato. Syn Hep. p. 574.

Habitat Javam. Horre in Herb. Dz. et Mg.

192. LEJEUNIA LAXA Lrvpae. Syn. Hep. p. 578. Caule intricato mor-

12 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

dinate ramoso flexuoso; foliis distantibus flaccidis obovatis, margine dorsali
rotundatis, ventrali rectiusculis, basi angustata decurrente minute complicatis,
lobulo nonnumquam obsoleto; amphigastriis remotis parvis rotundo-ovatis pa-
tulis profunde bifidis, laciniis acuminatis; fructu in ramulorum bast sessili ;
foliis involucralibus conformibus obtusis; perianthio involuerum duplo super-
ante obovato acute pentagono. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jusen. Tevsa. in Herb. Dz. et Ma. Bui-
tenzorg. Herb. Mrg.

In Herb. Dz. et Mo. asservatur planta e Java Lejeuniae lazae Ipne. subsimilis, sed diversa
colore amoene luteo et amphigastriis margine utroque extus medio uni-dentatis. Perianthium deest.

1935. LEJEUNIA ALOBA v. p. Sp. Le. in Dozr Plagiochila Sandei. p.
10. Caule repente parce ramosoj foliis subhorizontalibus imbricatis planis
ovato-rotundis obtusis integerrimis, basi ventrali rectiusculis, plica subnulla;
amphigastriis distantibus, foliis quadruplo minoribus ovatis bifidis, laciniis ob-
tusis; fructu...

Habitat Javam. Tevsa. in Herb. Dz. et Ms.

Caespitosa, pallida. Caulis repens, 0,03 longus, cum foliis 0,001 latus, magis minusve
ramosus. Folia subhorizontalia, imbricata, patentia, plana, integerrima, ovali-rotunda, obtusa,
basi subrecta, plica parva, triquetra aut nulla. Amphigastria distantia, patula, parva, caule
paulo latiora, integerrima, subrotunda, bifida, laciniis ovatis, obtusis et acutiusculis. Textura
foliorum laxior, e cellulis subrotundis, limitibus subtilibus, contiguis. Reliqua non visa.

Distinguitur a Lejeunia serpyllifolia Li, eui vicina, foliis majoribus, subrotundis, cellulis
paullo amplioribus, limitibus subtilibus, subcontiguis, plica basilari subnulla, amphigastriis

minoribus.

TABULA XII.

Fig. 1. Planta magnitudine naturalis f. 2. pars caulis a dorso, guadragies aucta; f. 5.

_

ramus a ventre, tricies auctus; f. 4. teztura folit, centies aucta; f. 5. amphigas-
trium caulinum, ecenties auctum.

194. LEJEUNIA DECURSIVA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Archief.
UI. p. 522. Dozr Plagiochila Sandei. p. 10. Caule repente pinnato, pinnis
inaequalibus; foliis adproximatis semi-subverticalibus patentibus rotundo-oblon-
gis obovatisve integerrimis, basi sinuato-complicatis longe decurrentibus,
lobulo tumido ovato, apiee obtuso in folii marginem transeunte; amphigastriis
distantibus patulis rotundo-ovatis bifidis, laciniis obtusis; fructu ad basin

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM, 15

ramorum subsessili ; involueri foliis econformibus; perianthio obovato, dorso
uni=, ventre bicarinato.
Habitat Javam. Herb. Juren. Tersa. in Herb. Dz, et Mp.

Olivacea, rigidula, repens. Caulis 0,005 longus, cum foliis 0,0004 latus, pinnatim ra-
mosus; pinuis patentibus, inaequalibus, apice angustioribus. Folia adproximata, verticaliter
patentia, rotundo-oblonga vel obovata, obtusa, integerrima, margine ventrali profunde sinuata,
longe decurrentia; lobulus folio suo dimidio brevior, ovatus, tumidus, apice truncato-rotundatus.
Amphigastria parva, caulis latitudinem aequantia, distantia, patula, rotundo-ovata, bifida, laci-
nijs obtusis. Textura foliorum e cellulis parvis, subrotundis, limitibus diseretis. Fructus ad
basin ramorum sessilis. Folia involucralia biloba; lobi dorsales aequales, obtusi; ventrales ad-
planati, truncati. Amphigastrium involucrale caulinis conforme, majus. Perianthium obovatum,
apice pentagonum, angulis latiusculis, acutis.

Differt a Lejeunia serpyllifolia Lus. et Lejeuma aloba foliis longe decurrentibus, densius
textis; a Lejeunia laxa Lose. insuper amphigastriis obtusis.

TABULA XIV.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, quadragies aucta;
f. 3. ramus a ventre visus, quadragies auctus;: f. 4. folium, septuagies el quinquies
auctum: f. 5. teztura folii, centies et quinquagies aucta; f. 6. amphigastrium cau-
linum, centies auctum; f. 7. perianthium cum _foliis involucralibus a dorso, tricies
aucta; f. S. perianthium et involucrum a ventre, tricies aucta.

195. LEJEUNIA CUCGULLATA N. ab E. Syn. Hep. p. 599. Caule pusillo
filiformi subpinnato repente parasitante; foliis verticalibus orbiculato-oblongis
integerrimis vel basi ventrali cellulis prominentibus crenulatis, basi producta
cucullata inflata, laevi sinu a lobo subjecto subaequali divisa; amphigastriis
distantibus, foliis multo minoribus, ovalibus bifidts; fructu in ramis brevibus
terminali vel in ramulorum basi sessilij foliis involucralibus conformibus pla-
niuseulis; perianthio emerso obovato compresso, dorso obtuse carinato, ventre
convexo, ad apicem acute bicarinato. Syn. Hep. Lc.

«. major; caule filiformi subpinnato semipollicari et majori; foltis adproxi-
matis, saepe contiguis, lobulo suo vix dimidio majoribus rotundatis, lobulo
ad sinum unidentato, |. c.

B. ezilis; tenerrima, nudo oculo vix pereipienda; foliis remotissimis, lobulis
foliorum (fe. folio lobuloque) subaequalibus rotundatis, interjectis hine inde
inter folia majora aliis minoribus subulatis, modo cum isdem alternantibus,
modo binis pluribusve ab eodem latere ordine suo sequentibus. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juxen. Herb. Dz. et Ma. Herb. Mrq. Zorr.

10

WIS- EN NATUURK, VERI. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL V.

7á SYNOPSIS HEPATIGARUM JAVANICARUM.,

196. LEJEUNIA TENUIS N. ab E. Syn. Mep. p. 590. Caule pusillo fili-
formi_subpinnato repente parasitantes foliis distantibus ereecbtusculis oblique
ovato-lanceolatis subfalcatisve, apice subinflexis, vel oblongis acuminatis inte-
gerrimis et margine subrepandis, vel cellulis prominentibus muricatis, lobulo
angustiore in folit marginem transeunte; amphigastriis minutis distantibus bi-
partitis, laciniis subulatis ereetis vel divergentibus, saepe dimidiatis aut obso-
letis; fructu in ramulis,terminali et ad basin ramorum sessili; foltis involu-
cralibus perianthium aequantibus planis bilobis, apice subulatis; perianthio
clavato, ad apicem acute quinquangulari. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jureu. Teysa. in Herb. Dz. et Mp.

KKK Duplicatae. Amphigastrüs vel duplicatis vel nullis.

197. LEJEUNIA PELLUCIDA Mersss. Syn. Hep. p, 595. Caule repente
adpresso, vage parceque ramoso; foliis imbricatis cordato-ovatis integerrimis,
basì subtus complicatis, lobulo ovato inflato, margine unidentato, dente su-
bulato; amphigastriis duplicatis distantibus biparútis, laeiniis divergenti-divari-
catis lanceolatis; fructu laterali sessili; foliis involacralibus minoribus confor-
mibus, lobulo lanceolato acuto; perianthio obovato acute pentagono. Syn.
Hep. 1. c.

Habitat Javam. Herb. Dz. et Ms. — Sumatram. Herb. Juren.

198. LEJEUNIA VESICARIA v. p. Sp. Lc. Gaule repente subramoso bre-
viterque pinnato; foliis imbricatis subhorizontalibus orbiculatis convexis inte-
gerrimis, apice deflexis, basi subsinuato-complicatis, lobulo magno inflato ovato-
elliptico, apice bidentato, dentibus subulatis subineurvis; amphigastris obso-
letis; fructu...

Habitat Sumatram. In monte Lubu Radja, altit. 5000'—5800’, repens

in ramis Leptospermi floribundi Form. Swmatrana Mig, eum Radula formosa
N. ab E. Herb. Juren.

Caulis radieulis sparsis, filiformibus, repens, 0,01 longus, cum fokis 0,003 latus, parce
ramosus. Rami elongati, vel pinnae sub foliis caulinis reconditae. Folia imbricata, subhori-
zontalia, orbiculata et ovato-orbiculata, convexiuscula, apice deflexa, integerrima; lobulus
saepe folii longitudinem et dimidiam latitudinem aequans, inflatus, ovato-ellipticus, apice trun-
cato-bidentatus, dentibus subulatis, ineurvis, superiore longiori. Textura foliorum spissa; cel
lulae aequales, parvae, subrotundae. Amphigastria nulla, eorum loco squamulae difformes.

Spica mascula in caule sesssilis, ovata, e paribus foliorum 6 composita. Folia perigonialia
arcte imbricata.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 15

Differt a Lejeunia marginata L. et Lose. foliis horizontalibus, apice deflexis, textura ae-
quali et lobulis inflatis.

TABULA XIV.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, decies et quinguies
aucta; f. 3. planta a ventre visa, decies et quinguies aucta; f. 4. folium singulum,

vieies el quingwes aucltum; f. 5. textura foli, sevagies aucta.

S. 5. CERATANTHAE. Calyx apice plus minus cornutus.

a. Genuinae. Amphigastriis subrotundis bifidis, foliorum lobulis nonnullis maximis cucullatis.

199. LEJEUNIA BELANGERIANA Gorrscre. Syn. Hep. p. 598. Caule
repente rigidulo, irregulariter iterum diviso; foltis subimbricatis oblongis inte-
gerrimis obtusis et acutiusculis, nonnullis emarginato-inaequaliter-bidentatis,
lobulo nullo vel parvo; ampbigastrijs subdistantibus rotundo-ovatis, basi sub-
decurrentibus, ad medium usque acute bifidis; fructu in ramulorum basi ses-
sil; foliis involucralibus serratis; perianthio obovato elongato quadricorni,
cornibus longis erectis divergentibusque subflexuosis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juven.

b. Aberrantes. Amphigastriis bipartitis, laciniis subulatis divergenlibus, nonnumgquam obsoletis.

200. LEJEUNIA VITREA N. ab E. Syn. Hep. p. 402. Caule repente
pinnatim decomposito; foliis explanatis sursumve adscendenti-conniventibus
subimbricatis elliptico-obovatis subtruncatis rotundatis et acutiusculis, margine
muricato-denticulatis, basi attenuatis, subtus complicatis, lobulo subinflato;
amphbigastriis minutis distantibus profunde bifidis, laeimiis subulatis divergen-
tibus; fructu laterali sessili; perianthio parvo obovato quadri-quinquecorni,
cornibus compresstusculis divergentibus. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. „Hep. Ad folia in monte Prabakti. Zorrincer, coll.
n°. 5505. In foliis Paratropiae. Herb. Jureu.

201. LEJEUNIA ELLIPTICA Leun. et Lose. Syn. Hep. p. 405. Caule arcte
repente inordinate ramoso; foliis subhorizontalibus subdistantibus ellipticis
planis integerrimis, basi attenuata subtus breviter complicatis perforatis, lobulo
subinflato saepe obsoleto; amphigastriis distantibus profunde biparttis, laci-
nis subulatis subdivergentibus integrisve; fructu laterali sessili; foliis involu-
eralibus elongatis integerrimis; perianthio obovato superne 4-5-alato, alis
pleramque in cornu elongatis. Syn. Hep. p. 405.

10%

76 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

«. conferta; brevior, foliis adproximatis subplanis latioribus, ubique perfora-
tis; amphigastriis obsoletis. |, c.

Habitat Javam. In folio quodam. Teysm. in Herb. Dz. etl Mo.

202. LEJEUNIA GERATOPHORA N. ab E. Syn. Hep. p. 405. Exigua;
caule_divergenti-ramoso repente, foliis adproximatis patenti-adscendentibus
oblongis, inferne subtus parallele convolutis, hine apiee cucullato-dilatatis
cuspidato-cornutis; ampbigastriis bifidis, lacinüs divergentibus subulatis; fru-
ctu... Syn, Hep. 1e.

Habitat Javam. Zorvineer, coll. n°. 586 A. In folus. Herb. Dz. et Mp.

Folia apice eucullato-dilatata, nec cornuta; involucralía parva, plana. F'ructus lateralis, sessilis.
Perianthium elongatum, clavato-prismaticum, tricornc; cornibus compressis, divergentibus.

Planta, quam memorat Synopsis Hepatiearum \. c. in Adnotattone, hujus nominis haud videtur.

XXV. FRULLANIA RADDI.

E. Auriculae foliorum galcatae eucullateve rotundae.

1. Appendiculatae, foliis basi subtus complicatis in lobulum longiorem, apice
in cucullum vel galeam abeuntibus.

a. _Perianthium cylindrieum laeve.

205. FRULLANIA TERES v. p. Sp. Le. Caule repente bipinnatim ra-
moso ; foliis imbricatis convexis ovato-orbiculatis integerrimis, margine, prae-
sertim apice, inflexo-involutis, auriculis parvis tectis lunalis, appendiculo
producto integerrimo planiusculo; amphigastriis imbricatis rotundo-transversis
integerrimis, margine inflexis, sinu obtuso emarginato-bidentatis ; fructu sessilt
vel in ramulo terminalis foliis involucralibus breviter bilidis, lacinis ventrali-
bus amphigastrioque involucrali margine inciso-serratis; perianthio involucrum
subsuperante cylindrico laevi, ore obsolete plicato.

Habitat Javam. In monte Ungarang. Herb. Juren. Tersm. in Herb. Dz.
et Ma. Herb. v. p. Boscn.

Caulis rigidulus, fuscus, repens, irregulariter bipinnatimgque ramosus, 0,05 longus, basi aphyl-
las, eum foliis 0,003 latus. Folia dense imbricata, semiverticalia, convexa, integerrima, ovato-
orbiculata, apice vel etiam marginibus inflexo-involuta; auriculac parvac, tectae, lunatae et
subrostratae; appendiculus productus, integerrimus, planus vel subinflexus. Amphigastria
imbricata, rotundo-transversa, dorso radieulosa, integerrima, margine inflexa (rarius rcflexa),
sinu obtusiusculo emarginato-bidentata. Textura foliorum e cellulis medioeribus quadrato-

ll
_l

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.,

ovalibus. Fructus sessilis vel in ramulo elongato terminalis. Folia involucralia perianthium
ampleetentia, convexa, breviter bifida; lacinia dorsalis late ovata, obtusiuscula; ventralis lan-
ceolata, acuta, margine externo incìso- serrata. Amphigastria involucralia magna, couvexa, ovata,
inciso-serrata, apice bifida, laciniis cuspidato-acutis. Perianthium involucro paullo emersum,
teres, laeve, ore solo obsolete sulcato vel prorsus laevi. Spica mascula ovata.

A confinibus distinguitur foliis amphigastriisque late inflexis et periantho. Notis quibus-
dam accedit Frullaniae ornithocephalae N. ab E, sed appeudiculis obviis et perianthii forma
facile distinguenda.

TABULA XV.

Fig. 1. Plantae magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, decies aucta:;
f. 3. pars plantae cum fructificatione a ventre visa, septies aucta; f. 4. pars
caulis a ventre, amphigastriis sublatis, ul auriculae et appendiculi conspici possint,
decies aucta; f. 5. folium singulum a ventre, vicies auctum; f. 6. teztura folu,
centies et quinguagies aucta: f. 7. amphigastrium caulinum, vicies auctum; f. S.
folium involucrale, decies auctum; f. 9. amphigastrium involucrale, vicies auctum ;
{. 10. perianthium, decies auctum; f. 11. elater, quingquagies auctus.

b. Perianihtum costato-carinatum.

204. FRULLANIA SEBASTIANOPOLITANA Lpae. Syn, Mep. p. 412.
Digyna; caule repente pinnatim decomposito; foliis imbricatis suborbiculatis
integerrimis, auricula galeiformi lunata in rostrum longius producta, appendi-
culo ovato-rotundo deorsum producto integerrimo; amphigastrius folis duplo
minoribus rotundis integerrimis breviter emarginatis, sinu acuto obtusove, den-
tibus acutis; fructu in ramulis lateralibus; foliis involucralibus perianthium
subaequantibus bifidis acutis integerrimis (rarissime subserratis); perianthio
oblongo dorso uni-, ventre bicarinato, carina dorsali superne bi-triplicato.
Syn. Hep. Lc.

8. galeata; minus ramosa; auriculis foliorum majoribus confertis, appen-
diculo breviori; amphigastriis nonnullis indivisis vel obsolete emarginatis. |, €.

Habitat Javam (Var. @). Syn. Hep.

205. FRULLANIA HIANS Leau. et LoBe. Syn. Hep. p. 41á. Digyna; caule
pinnatim decomposito; foliis imbricatis rotundis integerrimis, margine ventrali
subundulatis, auricula fornicata lunata, appendiculo magno undulato-crispo;
amphigastriis contiguis orbiculatis magnis, margme undulato-crenulatis, sinu
obtuso brevissime emarginato-bidentatis; fructu in ramis ramulisque terminalt;
foliis mvolueralibus eum amphigastrio connatis bifidis, laciniis inciso-serratis,

78 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

ventrali longe acuminato-subulato, margine reflexo; perianthio vix involucrum
superante oblongo, dorso et ventre pluricarinato. Syn. Hep. 1. c.

8. Javanica; tetragyna, obscure fusca; auriculace appendiculo angulato-den-
tato; amphigastriis valde undulato-crispis; foliis involucralibus arctius ser-
ralis, |. c.

Habitat Javam (Var. 9). Syn. Hep. Herb, Junau.

2. Aurieulae non appendiculatae, in nonnullis plures evolutac.

*__Perianthia aspera ciliatave.
a. _Amphigastriis emarginato-bifidis.

206. FRULLANIA LACINIOSA Gorrscue. Lenm. Pugill. Pl VII p. 18.
Digvna; caule repente bi-tripinnato fasciculatove; foliis ovatis vel oblongo-
ovalis patenti=squarrosis integerrimis, margine ventrali_ sinuato-emarginatis,
auriculis galeatis campanulato-compressiusculis; amphigastriis subrotundis, sinu
parvo bifidis, toro radieillarum gibbosis; perianthio oblongo prismatico, dorso
trisulcato, ventre unicarinato, basin ad usque a medio lacinüs triangularibus
densissime villoso. Syn. Hep. p. 415.

Habitat Javam. Syn. Hep.

207, FRULLANIA SQUARROSA N. ab E. Syn. Hep. p. 416. Digvyna;
caule procumbente pinnatim ramoso decompositoque; foliis subverticalibus con-
fertis squarroso-patulis suborbiculatis obtusis integerrimis, auriculis obovato-
cuecullatis aut galeatis compressiusculis (rarius in lobulum ovato-lanceolatum
evolutis), profunde diserelis; amphigastriis cordatis rotundisve sinuato-subden-
tatis breviter emarginato-bifidis, laciniis acutis subconniventibus; fructu in
ramulo lateral: brevij involucri lobulo amphigastriisque subdentato-lacinulatis;
perianthio oblongo prismatico-triquetro, dorso convexo, medio leviter sulcato,
ventre alte unicarinato, carina angulisque papillis conicis tuberculato. Syn.
Hep. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juwen. Herb. v. p. Boscu. Tersm., Horre
m Herb. Dz. et Me.

208. FRULLANIA ERICOIDES N. ab E. Syn. Hep. p. 417. Digyna; caule
proeumbente pinnatim ramoso decompositoque; foliis imbricatis subverticalibus
sqquarroso-patulis ovato-oblongis, auriculis plerisque in lobulum ovalem aut
ovato-lanceolatum evolutis, marginibus reflexis; amphigastriis ovatis vel obo-
valis, margine angulato-dentatis, usque ad medium acute bifidis; fructu in

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 1

ramulo brevis foliorum involucralitum lobulo ventrali amphigastrioque margine
dentatis; perianthio oblongo tuberculato, ventre leviter carinato. Syn, Hep. l.c.

8. laza; folis superioribus acutiusculis dissitiuseulis, maxime squarrosis. |. c.

Habitat Javam. Herb. v. p. Bosca. Var. 8. Syn. Hep.

Frullania aeolotis N. ab HE. forsitan Javae est indigena. Frustula obvia diagnosi vix
sufficiunt.

209. FRULLANIA DIPTERA Lemm. et LpBa. Syn. Hep. p. 420. Digyna;
caule procumbente bipinnatim ramoso; foliis imbricatis horizontalibus oblique
rotundis obtusis integerrimis, auricula fornicata lunata disereta vel lacinia
oblonga explanata; amphigastrijs ovatis bilidis, laciniis acutis conniventibus,
margine anguloso-dentatis; perianthiis in ramulis lateralibus oblongis compres-
sis, carina ventralt 5-costata, costis elevatis et cum angulis lateralibus cre-
nulato-erispatis. Syn. Hep. |, c.

Habitat Javam. Herb. v. p. Boscu.

210. FRULLANIA GLOMERATA Lerum. et Lose. Syn. Hep. p. 421.
Tetragyna; caule repente apicem versus innovante inordinate pinnatimque de-
eomposito; ramis supremis adproximatis confertis fastigiatis; foliis orbiculatis
concavis arcte imbricatis, margine subreflexo integerrimis, saepe squarrosis,
auricula cucullata magna truncata a caule subdistante ; involucralibus longiori-
bus bilobis, lobis sibimet conniventi=incumbentibus, altero suborbiculato inte-
gerrimo, altero ovato-lanceolato denticulato, uno alterove eilio praedito ; amphi=
gastriis caulinis ex obovato-subcuneatis ad 4 part. bifidis, sinu laciniisque acu-
tis, margine repando-dentato; fructu in ramulis terminali; perianthio obeordato,
ventre carinato, margine carinaque ciliatis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Herb. v. p. Boscn.

211, FRULLANIA SEMIVILLOSA Lose. et G. Syn. Hep. p. 774. Tetra-
gyna; caule repente inordinate ramoso; ramis brevibus tterum pinnatis fasci-
eulatis; foliis ovatis concavis arcte imbricatis integerrimis, auriculis galeatis
conico-oblongis subeompressis (floralibus tantum evolutis); amphigastriis ovato-
quadratis bifidis, margine angulato-crenatis subunidentatisve (floralibus ciliato-
dentatis); perianthio semi=immerso triangulari, angulis carinaque ciliis recur-
vatis gaudente, ventre semivilloso; foliis involucralibus bilobis, dorsali lobo
ovali, lobulo ovato-laneeolato, intus lacinula denticulata aucto subdentato; am-
phigastrio involucrali laciniato-dentato. Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Herb. Juxem. Herb. v. p. Boscn.

80 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

b. _Amphigastriüs indivisis.

212. FRULLANIA REFLEXISTIPULA v. p. Sp. Lc. in Nederl. Kruidk.
Archief. HL. p. 422. Dozr Plagiochila Sandei. p. 10. Caule repente sub-
pinnatim ramoso; ramulis inaequatibus flexuosis; foliis imbricatis semiverli-
calibus squarrosulis aut planis orbiculatis, margine recurvis integerrimis,
aurieculis galeatis compressis; amphigastriis imbricatis transversis indivisis,
margine reflexis integerrimis; fructu laterali subsessili; amphigastriis involu-
eralibus bifidis lobulisque involueralibus ineiso-eiliatis; perianthio obovato villoso,
dorso convexo, ventre late unicarinato, marginibus carinaque compressis eroso-
dentatis ciltatisque.

Habitat Javam. Herb. Joven. Tersm. in Herb. Dz, et Ma.

Caulis flexuosus, 0,03 longus, cum folis 0,002 latus, repens, vage pinnatimque ramosus.
Folia squarrosula vel plana, subhorizontalia, imbricata, orbiculata, latiora, quam longa, margine
sursum flexa, integerrima; auriculae cauli subcontiguae, tectae, semigloboso-galeatae, sub-
compressae, basi truneatae. Textura e cellulis parvis, rotundis, contiguis. Amphigastria magni-
tudine folia subaequantia, imbricata vel contigua, transversalia, dorso saepe radiculosa, indivisa,
margine toto reflexa, integerrima. Involucri folia e 8 paribus, biloba; lobi dorsales ovati, acutt
vel obtusi, subintegerrimi; ventrales lanceolato-acuminati, marginibus reflexis, serrato-incisis cilia-
tisque. Amphigastrium involucrale externum oblongum, apice retusum, integerrimum; interiora
apice bifida, margine in lacinias lanccolato-lineares fissa. Perianthium ovatum vel obova-
tum, compressum, basi imprimis villosum, dorso convexulum; ventre late carinatum, margi-
nibus carinaque eroso-dentatis ciliatisque. Spica mascula oblongo-ovata. Folia perigonialia
biloba, lobis obtusis.

Proxima Frullaniae glomeratae L et L., sed ab hac et omnibus PFrullantüs amphigastrio-
rum forma, vel sterilis dignosci potest.

T ABU LAP

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. caulìs a dorso visus, vicies auctus; f. 3. fo-
lium, vicies auctum; f. 4. teztura foli, centies aucta; f. 5. ramt pars, amphiga-
strüs sublatis, a venlre, vicies aucta; f. 6. amphigastrium caulinum, vicies auctum;
f.1. perianthium cum involucro a dorso,dectes auctum; f. 8. pertanthium cum involuero
a ventre, decies auclum; f. 3. folium involucrale, decies aucltum; f. 10. amphiga-
strium involuerale internum, vicies auctum; f. 11. spica mascula, decies el guinqutes
aucta; f. 12. folium perigoniale, vicies et quinquies auctum: f. 13. antheridium,
ducenties auctum.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 81

*% _Perianthia ventre carinata ceteroquin laevia. Auriculae vel cucullatae vel galeato-
conchaeformes.

215. FRULLANIA FALCILOBA Tarror. Hep. antarct. in Lond. Journ.
of Bot. 1844. p. 581. Digyna; caule repente ramoso; ramis irregulariter pin-
natis; foliis imbricatis ovatis vel ovali-rotundis integerrimis, apice paulum in-
curvatis; auriculis magnis galeiformibus, sed (a ventre visis) sinu medio quo-
dammodo falcato-truncatis; amphigastriis ovali-rotundis, sinu parvo bilobis;
pertanthio ventre unicarinato;s foliis involueralibus bilobis, lobulo ventrali ca-
naliculato plurilaciniato; amphigastrio involucrali magno bifido, utroque mar-
gine unidentato. Syn. Hep. p. 425.

Habitat Javam. Herb. v. p. Boscm. — Sine perianthiis.

214. FRULLANIA ORNITHOCEPHALA N. ab E. Syn. Hep. p. 425.
Digyna; caule repente dichotomo-ramoso; foliis dense imbricatis deflexis
ovato-orbiculatis obtusis integerrimis; auricula fornicata lunata, basi plica cum
folio conjuncta; amphigastris orbiculatis acute emarginato-bifidis; fructu in
ramulo proprio terminalis foliis involucralibus plicatis, auriculis bifidis acumi-
natis lacinusque amphigastrii serratis; perianthiis longitudine involueri trian-
gularibus obtusis laevibus. Syn. Hep. 1. c.

«‚ minor; amphigastriis undulatis, versus summitatem utrinque angulatis vel
unidentatis, aurieula majori, apice subulata; folioram involmeralium lobo su-
periori acuminato serrato; colore fusco. |. c.

B. major; amphigastriis in ambitu integerrimis basi complicato-contractis,
auricula apicee obtusa revoluta; foliorum involucralium lobo superiori obtuso
integerrimo; perianthio longitudine involueri triangulari obtuso laevi; colorc
olivaceo. Ramificatio hujus omnino, qualis Frullaniae ornithocephalae Var. «.
Ampbigastria involucralia maxima, oblonga, bifida, inciso-serrata, |, c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

215. FRULLANIA HUTCHINSIAE N. ab E. Hep. Eur. IL. p. 240. Di-
gyna; subpinnatim ramosa, sub fructu divergenti-furcata; foliis ovatis aculis
dentato-serratis (subintegerrimisve), auricula marginali ovata externe calcarata,
involucralibus bifidis serratis; amphigastriis subrotundis planis bifidis subser-
ratis; perianthio, ob innovationes supervenientes, ad speciem dichotomiae im-
posito oblongo compresso, ventre unicarinato laevi. Syn. Hep. p. 426.

«. Foliis valide serratis. |. c.

8. Foliis subintegerrimis, aurieulis plerisque ecalcaratis, modo distinctis,

modo obsoletis. |. c.
Je:

WIS- EN NATUURK, VERH, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL NE

892 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Habitat Javam. Var. « Herb, Juren. Tevsm. in Herb. Dz. et Mp. Herb.
v. p. Bosen. Var g. Svn. Hep. In tisdem Herbariis.

216. FRULLANIA GAMPANULATA ‘v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk.
Archief UL. p. 422. Dozv Plagiochila Sandei. p. 11. Caule repente inordi-
nate ramoso composito; foliis semiverticalibus laxe imbricatis subrotundis ob-
tusis integerrimis, auriculis cauli_contiguis denudatis ovato-galeatis subcom-
pressis, margine externo basi dilatatis; amphigastriis distantibus obovatis bifi-
dis laciniisque obtusiusculis, extus anguloso-unidentatis; fructu sessili ; foliorum
mvolueralium lobulo basi lacinulato; perianthio brevi subeompresso dorso uni-,
ventre bicarinato.

Habitat Javam. Jurxen. in Herb. v. p. Boscu.

Caulis repens, 0,03 circiter longus, cum foliis 0,01 latus, imordinate ramosus, compositus.
Folia laxe imbricata, semiverticalia, ovato-subrotunda, obtusa, integerrima; auriculae nudae,
majusculae, cauli contiguae, ovato-campanulatae, basi truncatae, subeompressae. Foliorum tex-
tura e ecellulis mimutis, rhomboideis, limitibus flexuosis, contiguis. Amphigastria parva, distan-
tia, obovata, subeuneata, ad medium fere bifida, laciniis obtusiusculis, extus utrinque uniden-
tatis. Folia involucralia integerrima, biloba; lobus ventralis late ovatus; ventralis angustior,
acutus, marginibus reflexis, basi lacinula praeditus. Amphigastrium involucrale majus, profun-
dius bifidum. Perianthium obovato-elliptieum, laeve, subeompressum, dorso uni-, ventre bicari-
natum, carinis ventralibus latioribus, acutis, versus perianthij margines vergentibus.

Frullaniae aeolotidt N. ab E. pluribus notis affinis, at differt perianthio prorsus laevi.

TABULA XIV.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, vicies el _quinguies
aucta; f. 3. ramus a ventre, vicies el _quingquies auctus; f. 4. folium singulum,
guinguagies auctum; f. 5. tevtura folii, ducenties aucta; f. 6. cellulae folit magis
auctae; f. 7. amphigastrium caulinum, septuagies el quinquies auctum ; f. S. ramus
fructifer a ventre, vicies auctus; f. 9. folium involucrale eum gemmis, tricies au-
ctum; f. 10. perianthium cum foliis involucralibus a dorso visa, vicies aucta.

5. Aurieulae non appendiculatae, vel omnes evolutae vel nonnullae cucul-

latae aut parvae comicae.

217, FRULLANIA GRANDISTIPULA Lrispse. Syn. Hep. p. 450. Caule
repente flexuoso simpliciter pinnato; ramis inaequalibus; foliis adproximatis
oblique subrotundis integerrimis subhyalinis, auriculis cucullatis galeatove-co-
nieis, caulinis tectis, rameis subdenudatis; amphigastriis magnis rotundis sub-
transversis ; caulinis margine subangulatis planis adpressis lunatim emargina-
tis, laeiniis eonniventibus acutis; fructu... Syn. Hep. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Junen.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 85
IE. Auriculae oblongo-cylindricae vel clavatae.

1.) Secundiflorae. Fructibus seeundis, aurieulis replicatis, in paucis erectis
parallelis.
a. _Amphigastriis integris.

218. FRULLANIA INTEGRISTIPULA N, ab E. Syn. Hep. p. 451. Te-
tragynas caule diviso pinnatim ramoso; ramulis recurvis attenuatis; folis
imbrieatis orbiculatis obtusis convexis integerrimis, auricula minuta clavata
reflexa tecta, maculis tumidulis ambitu crenata; amphigastrijs imbricatis ova-
tis, medio plicatis obtusis integerrimis (in ramulo fructigero ad ultimum bili-
dis), margine reflexis; fructu lateral; foltis involueralibus longioribus, ven-
trem versus inflexis bilobis, lobis angustioribus, lobulo ventrali acutbiori lon-
giore; amphigastrio involucrali bifido, lacinüis angustatis acutis, Syn. Hep. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren, Tersu, im Herb, Dz. et Me,

b. _Amphigastriis emarginato-bifidis.

* __Auriculis replicatis.

219. FRULLANIA FALLAX Gorrscue, Syn, Hep. p. 452. Tetragyna;
caule diviso pinnatim ramoso; ramulis recurvis attenuatis; foliis imbricatis
orbieulatis obtusis integerrimis, apice inflexis, auricula minuta clavata inte
gerrima reflexa tecta; amphigastriis cordato-ovatis imbricatis retusis emargi-
nato-bifidisque, medio plicatis, margine reflexis; fructu laterali, Syn. Hep. 1. c,

[Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jurn,

Specimina, quae coram habeo, recedunt a diagnosi foliis quibusdam acntis et auriculis ambitu
erenauIs.

220. FRULLANIA NODULOSA N. ab E. Syn. Hep, p. 455. Tetragyna;
caule repente pinnatim supradeeomposito inaequalt; foliis imbricatis orbicu-
latis obtusis, margine ventrali et apice deflexis integerrimis, auricula minuta
replicato-conchaeformi ; amphigastriis imbricatis orbiculatis emarginato-bifidis,
basi utrinque late decurrentibus, medio gibbis, margine inflexis; fructibus
in ramulis lateralibus subseeundis; auriculis amphigastrioque involucralibus
serralis; perianthiis parvis, margine supero anguloso-scabris obovato-Lrigonis,
mucronulo nullo vel brevissimo. Syn. Hep, 1, c.

Habitat Javam, Syn. Hep. Prope Gadok. v. Harz in Herb. Dz. el Me.

ZouLiNGer, coll. n°. 1554.

221. FRULLANIA INTERMEDIA N, ab E. Syn. Hep. p. 454. Caule pin-
11%

84 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

natim composito; ramis recurvis; foliis imbricatis ovato-orbiculatis obtusis in-
tegerrimis, auricula parva clavata, foliorum inferiorum reflexa, superiorum
erecta; amphigastriis adproximatis orbiculatis planis bidentatis integerrimis,
rameis convexis, laciniis acuminatis inflexis; fructu... Syn. Hep. |, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Zorrineen, coll. n°. 444.

Specimina haecce, quae hujus loci censeo, foliis gaudent quibusdam apiculatis, auriculis crenu-
latis et amphigastriis plicatis.

An Frullania integristipula N. ab E, F. fallar Gorrtsaur et F. intermedia N. ab B.
speeifice diversae sunt? Perianthia nostris quoque deficiunt.

** ___Aurieulis erectis cauli parallelis.

922. FRULLANIA RECURVATA L. et Lose. in Lemm. Pugill. Pl. VII
p. 12. d. Caule procumbente pinnatim composito decompositoque rigido; ra-
mulis patentirecurvis, apice radicantibus; foliis arcte imbricatis late ovatis
obtusis integerrimis, basi sinuatim-productis, auricula parva oblonga cauli
contigua tecta; amphigastriis imbricatis orbiculatis anguste bifidis, laciniis bre-
vibus aecutis; fructu... Syn. Hep. p. 456.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juweu. Tersm. in Herb. Dz. et Me.

2.) Fructibus sparsis.

A. Famariscineae, foliis linea moniliformi notatis,

225. FRULLANIA MONILIATA N. ab. E. Syn, Hep. p. 440. Digyna;
caule proceumbente subpinnatim ramoso; foliis horizontalibus imbricatis ovalis
mueronulatis integerrimis, linea media moniliformi notatis, auriculis oblongis
explicatisve lanceolato-canaliculatis, stylo vel lobulo fornicato interjecto; am-
phigastris distautibus ovato-rotundis patulis, margine superne subreflexis, ad
1 partem bifidis, sinu obtuso; involuero serrato; perianthiis oblongis, dorso
sulcatis, ventre unicarinatis laevibus. Syn. Hep. |. c.

8. Lobo folu involucralis dorsali minus serrato. |, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jureu. Tersm., Zouvineer in Herb. Dz.
et Ma. Herb. v. p. Boscu. Herb. Buse. — In monte Batu Lanté insulae
Sumbawa, altit. == 4500. Zorrineer, coll. sub. n°. 5400.

B. TFextura foliorum conformi.

a. Aurieulis e folit margine oriundis, recto angulo vel obligue a caule distantibus, lacinia
parva interjecta.

224. FRULLANIA RAMULIGERA N. ab BE. Syn. Hep. p. 442. Caule

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 85

proeumbente bipinnatim ecomposito; ramulis brevibus creberrimis; foliis remo-
tiuseulis subamplexicaulibus orbiculatis convexis integerrimis, auriculis cylin-
drieis remotis, ramulorum oblongis confertis, e margine foliù oritundis, a caule
oblique distantibus, pliea indistincta vel lobulo minuto subuliformi interjecto,
ambitu cellulis prominulis erenulatis; amphigastriis distantibus suborbiculatis
bifidis integerrimis; involucro serrato; perianthiis obovato-pyriformibus qua-
drangularibus, dorso ventreque obtuse carinatis. Syn. Hep. 1, c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

225. FRULLANIA REPANDISTIPULA v. p. Sp. Le. in Nederl, Kruidk.
Archief. ML, p. 422. Dozr Plagiochila Sandei. p. 11. Caule repente ramo-
so; ramis breviter pinnatis; foliis semiverticalibus ovatis, caulinis contiguis
obtusis, ramulorum imbricatis acutiusculis, auriculis obovato-oblongis denuda-
tis fortiter papillosis, lacinia parva interjecta, caulinis horizontalibus, ramulo-
rum confertis subobliquis; amphigastrius obovato-cuneatis repandis bifidis,
laeiniis obtusiusculis, ramulorum imbricatis; fruetu in ramulo brevi Jaterali;
involuero subdentato; perianthio oblongo, dorso sulcato, ventre unicarinato,
carina acuta.

Habitat Javam, Herb. Jureu. Teysm. in Herb, Dz, et Ms.

Caulis ferrugineo-rufus, repens, 0,04 fere longus, 0,008 cum foliis latus, vage ramosus.
Rami elongati, patentes, laxe pinnati; ramulis angustis, brevibus. Folia semiverticalia, ova-
ta, integerrima, apice subinflexa; caulina contigua, obtusa, ramulorum minora, imbricata, suba-
cuta; auriculae denudatae, oblongae vel subpyriformes, papillis conieis, obtusis, longis, ob-
sitae ; caulinae subhorizontales, ramulorum subobliquae, confertae, lacinia dentiformi interjecta.
Textura e cellulis parvis, subrotundis. Amphigastria caule latiora, obovato-cuneata, ad medium
bifida, lacinüs obtusis vel acutiusculis, circumcirca repando-crenulata. Folia involucralia
biloba, lobis acutis, apice denticulatis. Amphigastrium involucrale caulinis majus, profundius
bifidum, laciniüs acutis, denticulatis. Perianthium elliptico-oblongum, dorso sulcatum, ventre
uni-carinatum, carina acuta. Spica mascula globosa.

Proxima HFrullaniae ramuligerae N. ab B. Differt nostra foliis ovatis, ramulorum acutis,
amphigastriis obovato-cuneatis, repando-crenulatis et perianthio.

TABULA XVI.

Fig. 1. Planta magmitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, wicies aucta; f. 3.
ramus a ventre, vicies auctus; f. 4. folium caulinum, quadragies auctum; f. 5. fo-
lium pinnulae, octogies auctum; f. 6. teatura foli, centies aucta; f. 7. amphiga-
strium caulinum, octogies auctum; f. S. perianthium cum _folis involucralibus,
vicies aucta.

86 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

226. FRULLANIA PINNULATA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Arch.
UL p. 425, Dozr Plagiochila Sandei. p. 11. Gaule repente ; ramis elonga-
Us ereelis subpinnatis, pinnis brevissimis microphyllis; foliis semiverticalibus
mbricatis ovatis obtusis integerrimis, ramulorum acutis, auriculis eylindraceis
papillosis denudatis, lacinia parva interjeeta, caulinis subhorizontalibus, ramu-
lorum obliquis confertis; amphigastriis obovatis integerrimis bifidis, ramulorum
confertis oblongis, laciniis acutis; lobis ventralibus involucri amphigastrioque
dentatis, dorsalibus subintegris acutisz perianthio oblongo, costa ventrali in=
flato-bicarinata,

Habitat Javam, Juren. Tersm. in Herb, Dz. et Ma. Herb. v. p. Boscu,

Planta subfusca, repens, ramulos arborum denso strato arcte includens. Caulis 0,035—
0,05 longus, eum foliis 0,002 latus, ramosus. Rami patenti-ereeti, subbipinnati; pinnulis bre-
vibus, oblongis linearibusve sub fois caulinis et ramorum fortiorum reconditis, aut iis vix ses-
cuplo longioribus. Folia semiverticalia, adproximata et contigua, orbiculato-ovata, integer-
rima, obtusa, apice plana vel snbinflexa; pinnularum minuta, imbricata, subacuta, auriculis
prorsus obtecta. fextura foliorum e cellulis parvis, subrotundis; auriculae horizontales, cy-
lindricae, verruculis obsessae; pinnularum obliquae, confertae, lacinia parva, styliformi inter-
posita. Amphigastria obovato-cuneata, plana, integerrima vel extus prominentiá angulari prae-
dita, ad medium bifida, laciniis obtusis vel acutis; pinnularum subimbricata, oblongo-cuneata,
laciniis linearibus, obtusis vel lancoolatis. Fructus sessilis. Folia involucralia biloba; lobus
dorsalis ovatus, acutus et cuspidatus, inflexus, subintegerrimus; ventralis lanceolatus, versus
apicem dentatus. Amphigastrium involucrale bifidum, laciniis lineari-lanceolatis, dentatis.
Perianthium obovato-oblongum, dorso sulcatum, ventre inflato-carinatum vel, carinâ in medio
collabente, bicarinatum.

Statura robustiori, habitu alieno, auriculis eylindricis, amphigastriis integris et perianthio,
a _Frullania repandistipula, cui proxima, distat.

TABULA XVI,

fig. 1. Plantae magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, decies aucta f.3. pars
caulis eum pinnulis a ventre, decies aucta. f. 4. folium caulinum, vicies auctum :
f. 5. testura foli, centies aucta ; f. 6. amphigastrium caulinum, quinguagies auctum;
f. 1. perianthium cum involucro et fructu a ventre, vicies aucta.

227. FRULLANIA JUNGHUHNIANA Gorrscue. Syn. Hep, p. 444. Caule
repente pinnatim ramoso; ramis brevibus subdecurvis; foliis adproximatis, su-
premis imbricatis, subverticalibus orbiculatis obtusis, nonnullis ovalis, margine
ventrali basi sinuatis et in laminam minutam triangularem ecomplicatis, auri-
eula elavato-cylindrica, margini foli oblique adnata; amphigastriis parvis ovatis,

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 87

basi deeurrentibns, laciniis obtusiusculis foliisque involueralibus integerrimis;
2 | te)
perianthiis oblongis dorso sulcatis, ventre acute unicarinatis. Syn. Hep. |. c.
Habitat Javam. Syn. Hep.

228. FRULLANIA SINUATA v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Archief.
UL. p. 424. Dozv Plagiochila Sandei. p. 11. Caule repente; ramulis regu-
lariter subbipinnatis; foliis semi-subverticalibus, caulinis adproximatis obovato-
rotundis, pinnarum minoribus imbricatis ovatis, apice obtuso acuto vel apicu-
lato inflexis, ibidemque in dorso sinulo excavatis, lacinia parva interjecta,
aurieulis denudatis subobliquis oblongo-cylindricis, ramulorum confertis; am-
phigastriis distantibus ovatis bifidis, versus apicem angulato-repandis; amphi-
gastriis ramulorum imbricatis, laciniis subeanaliculatis, apice incurvis; fructu
subsessili; foliis involueralibus amphigastrioque bifidis, laciniis acutis serratis;
perianthio oblongo, ventre unicarinato.

8. tenella. FRULLANIA TENELLA v. D. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Archief.
MI. p. 425. Dozr Plagiochila Sandei. p. 14. Caule irregulariter pinnato
composito; foliis aeque magnis adproximatis, apice planis, auriculis crassis
obovatis laevibus aut papillosis, lacinia notabili triangulari-ovata interposila;
amphigastriis involucroque integerrimis.

Habitat Javam. Var. «. Herb. Dz. et Ma. — Sumatram, in monte Lubu Radja.
Herb. Juxen. Var. g. lisdem in loeis et Herbariis. Megalawangie, Herb, Junen.

Planta gracilis, fusco-nigricans, humectata fusco-rubella, repens, 0,025 circiter longus, cum
foliis 0,0008 latus, regulariter pinnatim ramosus, ramulis confertis iterum pinnulatis. Folia
subverticalia, integerrima; caulina caulì incumbentia, semi-amplexantia, adproximata, orbieulato-
obovata, basi ventrali sinulo excavata aut plana, apice sinuato-inflexa obtusa, vel acuta; pin-
nularum minora, dense imbricata, ovata, obtusa, acuta vel cuspidulata, apice inflexa et sub
apice sinulo excavato notata; aurieulae nudae, subobliquae, laeves, cylindricae et_oblongo-
eylindricae, lamina minutissima interposita. Textura foliorum e cellulis parvis, ovalibus, sub-
flexuosis. Amphigastria caulina distantia, caule paulo latiora, adpressa, e basi subdecurrente
subquadrato-ovata, margine subreflexa, versus apicem angulato-repanda, ante medium bifida,
laciniis obtusis vel acutis; pinnularum imbricata, ovata, subrepanda vel integerrima, laciniis
lanceolatis, canaliculatis, subincurvis. Fructus sessilis. Folia involucralia amphigastriumque
bifida, lacinis acutis, serratis. Perianthium (apice mutilatum visum) oblongum, ventre nni-
carinatum. Spica mascuia globosa. Gradatim nascitur:

p. tenella. Ramificatio irregularis. Folia minora, magnitudine aequalia, adproximata, ovata,
subacuta; auriculae foliorum longitudinem saepe acquantes et ijs dimidio angustiores, obovatae,
crassae, laeves aut papillosae, lacinia magna, triangulari-ovata interposita. Amphigastria parva,

88 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

plana, ovata, bifida, laciniis obtusiusculis, integerrimis. Involucrum integerrimum. Spica mascula
ovata vel oblonga, sicuti perianthia pro plantula magna. Textura foliorum paullo laxior.

Species pluribus formis ludens et hinc fallax. Num HFrullania Junghuhniana Gorrscue,
quam non vidi, hujus loci ?

TABULA XVII.

Fig. 1. Plantae magnitudine naturali; f. 2. pars caulis cum pinnulis a dorso, decies et
quinquies aucta; f. 3. eadem a ventre, vicies el quinguies aucta; f. 4. pinnula,
quinguagies aucta: f. 5. folium caulinum, tricies auctum; f. 6. folium pinnulae,
nonagies auctum; f. T. tertura foli, centies el qguinguagies aucla; f. 8. amphiga-
strium caulinum, septuagies el quinguies auctum.

Var. B. tenella. f. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, quadragies
auctas f. 8. folium singulum, quinquagies auctum; f. 4. teztura foli, ducenties
aucta; f. 5. amphigastrium caulinum, sepluagies el quinguies auctum; f. 6. ramus
fructifer a ventre, vicies el quinguies auctus; f. 1. spica mascula, vicies el quinquies
aucta; f. S. folium perigoniale, quinquagies auctum ; f. 9. folia auriculis papillosis,
guadragies aucta.

229. FRULLANIA TRICARINATA v. p. Sp. Le. in Dozr Plagiochila
Sandei. p. 10, Caule repente subbipinnato; foliis imbricatis semiverticalibus
ovatis obtusis (superiorum quibusdam acutatis), auriculis oblongis laevibus
obliquis, lacinia minuta aut nulla interposita; amphigastriis subdecurrentibus
obovatis integerrimis, sinu brevi bifidis, ramulorum contiguis, ad medium bi-
fidis, laeinijs acutis; fructu lateralis foliis involucralibus ovatis acutis, apice
subdentatis, lobi auricularis amphigastriique bifidi laciniis lanceolatis; perian=
thio oblongo, dorso sulcato, ventre tricarinato.

Habitat Javam. Herb. v. p. Bosen.

Fusca, repens. Caulis 0,015 longus, cum foliis 0,001 latus, subbipinnatus; pinnulae con-
fertae. Folia semiverticalia, imbricata, obtusa, integerrima; pinnularum minora, quaedem
acuta; aurieulae parvae, oblongae, laeves, obliquae, lacinia minuta aut nulla interposita.
Rete folioram densum; areolae parvae, subrotundae. Amphigastria caulina rotundo-obovata,
subdecurrentia, integerrima vel obsolete angulata, breviter fissa, sinu laciniüisque acutis; ramu-
lorum minora, obovata, conferta, laciniis longioribus, magis angustatis. Fructus sessilis. Folia
involueralia biloba; lobus dorsalis ovatus, acutus, apice inflexo, subdentato; ventralis lanceolatus,
subintegerrimus. Amphigastrium involucrale majus, ovatum, profunde bifidum, lacintis lineari-

lanceolatis, acuminatis, integerrimis. Perianthium oblongo-semicylindrieum, dorso impressum,
ventre tricarinatum.

Differt a Frullania repandistipula, cuì affinis est, auriculis laevibus, amphigastriis latio-
ribus, caulinis breviter fissis et perianthio.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 89

TABULA XVII,

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso, tricies aucta; f. 3. pars
caulis cum pinnulis a ventre, vicies aucta; f. A. folium singulum, sexagies auclum ;
f. 5. tezlura foli, centies et quinguagies auctas f. 6. amphigastrium caulinum, seza-
gies auctum: f. 7. amphigastrium pinnulae, sexagies auctum ; f. 8. folium involucrale,
tricies auctum; f. perianthium et involucrum a ventre visa, tricies aucta; f. 10.
perianthium a dorso, tricies auctum.

b. Auriculis cauli parallelis et subeontiguis, rarius stylo subuliformi interjecto.
+. Fols patenti-divergentibus. (Perianthia dorso sulcata, ventre unicarinata.)

250. FRULLANIA APICULATA N. ab E. Syn. Hep. p. 452. Tetragyna;
caule repente pinnatim ramoso; foliis imbricatis contiguisve ovatis integerrimis
plerisque acute muecronatis, auriculis subeylindrieis obliquis denudatis vel in la-
cinias explicatis; amphigastriis remotiusculis planis subrotundis acute bifidis
integerrimis; fructibus in ramulis terminalibus fastigiatis; perianthiis oblongis
prismatico-trigonis laevibus, dorso sulcatis, ventre unicarinatis; foliis involucra-
libus bilobis, lobulo dorsali ovato-laneeolato, lobulo ventrali lanceolato acuto
amphigastrioque integerrimis. Syn. Hep. 1. c.

g. laza; foliis eontiguis, apiculo validiore; { amphigastriis latioribus; ra-
mulis brevibus nodulosa. 1. c.

7. obscura; ramulorum foliis longe apiculatis; amphigastriis minoribus. |, c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. Herb. Joven. Tersu. in Herb. Dz. et Ms.
Herb. v. p. Boscu. Herb. Buse. Var. #. Herb. Jurea.

251. FRULLANIA MINOR v. p. Sp. Le. in Nederl. Kruidk. Archief. UL
p- 424. Dozy Plagiochila Sandei. p. 1. Caule repente pinnatim composito;
foliis semiverticalibus rotundatis, pinnarum imbricatis late ovatis aculis, auri-
culis denudatis obliquis oblongis vel evolutis; amphigastriis distantibus planis
acute bifidis, ramulorum confertis; fructibus sparsis subsessilibus; involucro
inciso-dentato; foliis involucralibus bilobis, margine undulato-reflexis, lobo
dorsali late ovato, ventrali lanceolato-ovato; perianthio obovato, dorso con-
vexo, ventre unicarinato, carina lata obtusa.

Habitat Javam. Herb. Juwen. Herb. v. p. Bosen.

Fusco-nigricans, repens. Caulis circiter 0,015 longus, cum foliis 0,008 latus, pinnatim

ramosus, compositus; ramulis confertis. Folia semiverticalia, ovata, integerrima; caulina ct
12
WIS- EN NATUURK, VERH. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL V,

90 SYNOPSIS UHEPATICARUM JAVANICARUM.

ramorum fortiorum adproximata, obtusa; pinnularum minora, acuta, subinflexa; auriculae
denudatae obliquae, laeves, oblongae:; caulinae in lacinias lanceolatas, canaliculatas evolutae.
Textura foliorum e cellulis mediocribus, subrotundis. Amphigastria ovata, plana, integerrima,
bifida, laciniis acutis; caulina distantia; pinnularum subimbricata, minora. Fructus lateralis,
sessilis. Polia involueralia biloba; lobus dorsalis late ovatus, acutus, subintegerrimus; ven-
tralis ovato-lanceolatus, marginibus reflexis, undulatis, inciso-dentatis. Amphigastrium invo-
luerale caulinis majus, profande bifidum, laciniis lanceolatis, marginibus reflexo-undulatis,

meiso-dentatis. Perianthium obovatum, dorso plano-convexum, ventre unicarinatum, carina
lata, obtusa.

Diftert a Fruilania apiculata N. ab EB. cui aflinis est, ramificatione, fructibus sparsis, in-
voluero ineiso-dentato et perianthio breviore; a Frullania gracili N ab E, amphigastriis cau-
linis distantibus, foliis quibusdam acutis et perianthio obovato.

TABULA XVII

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars plantae a dorso visa, vicies aucta; f. 3.
pars plantae a ventre visa, vicies aucta; f. A. folium caulinum, quadragies auctum;
f. 5. folium pinnae, quadragies auctum; f. 6. folium pinnulae, quadragies auctum
f. 1. textura foli, centies et quinguagies aucta; f. 8. amphigastrium caulinum,
guadragies auctum; f. 9. folium involucrale, vicies el quinquies auctum; f. 10. pe-
rianthium et folia involucralia a ventre visa, tricies aucta.

252. FRULLANIA GRACILIS N. ab E. Syn. Hep. p. 452, Caule repente
pinnatim ramoso subbipinnato; foliis imbricatis orbieulatis obtusis integerrimis,
auriculis obovatis obliquis denudatis; amphigastriis imbricatis planis subro-
tundis bifidis integerrimis, laciniüis conniventibus; fructu in ramis brevibus
terminalt; foliis et amphigastriis involucraltbus inciso-serratis; perianthus tri-
gonis prismaticis laevibus, dorso 1mpresso, ventre unicarinato. Syn. Hep. Lc.

Habitat Javam. Syn. Hep.

255. FRULLANIA HASKARLIANA Livpse. Syn. Hep. p. 455. Gaule in-
ordinate bipinnato; ramis elongatis divaricatis, ramulis patenti-deflexis; foliis
imbricatis oblique rotundo-ovatis deflexis obtusis, ramulorum nonnullis apieu-
latis, aurieulis parvis oblongis cault oblique subadproximatis, plerisque tectis;
ampbigastriis _adproximatis rotundo-ovatis, margine incrassato-subreflexis, ad
apieem planiuseulis repando-erenulatis acute bifidis; foliis involueralibns am-
phigastrioque inciso-serratis; perianthio involucrum subaequante oblongo, dorso
concavo, ventre unicarinato. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Herb. Dz. et Me.

254. FRULLANIA SERRATA Gorrscur. Syn. Hep. p. 455. Tetragyna;

SYNOPSIS IEPATICARUM JAVANICARUM. 91

caule repente bipinnato pinnatim decompositove; foliis imbricatis ovatis, apice
subinflexis longius apiculatis, auriculis oblongo-cylindricis elongatis, a caule
lamina triangulari vel subuliformi interjecta distantibus teetis, ramulorum confertis
denudatis; amphigastriis imbricatis cordato-rotundis magnis, margine reflexis
bifidis, lacintis obtusis (in ramulis minoribus oblongis acute bifidis); perian-
(hits subsecundis pyriformibus, dorso impressis, ventre unicarinatis; foliis in-
volucralibus amphigastrioque, margine varie incisis duplicatoque serratis. Syn.
Hep. de.

Ö. pertenuis; caule ramosissimo; foliis pluribus obtusis; involucro perian-
thium subaequante; foliis involucralibus inciso-serratis, lacinulis longioribus
subulatis, |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. Herb, Juen. Herb. v. n. Bosen. Teysu.
m [erb. Dz. et Ms.

255. FRULLANIA CORDISTIPULA N. ab B. Syn. Hep. p. 454. Tetra-
gyna; caule repente pinnatim ramoso, ramis horizontalibus iterum pinnatis;
foluis imbricatis ovatis apice inflexis integerrimis apiculatis (ramulorum ovato-
lanceolato-acuminatis), auriculis oblongis, stylo subulato interjecto a caule sub-
distantibus; amphigastriis imbricatis subrotundis integerrimis, sinu angusto ad
medium fere bifidis, margine reflexis (rameis oblongioribus); perianthiis pris-
matico-triangularibus basi attenuatis dorso sulcatis, ventre unicarinatis; foliis
amphigastrioque involucralibus inciso-serratis. Syn. Hep. l.c.

Ê. mutica; foliis involucralibus, aeque ac amphigastrio involuerali subinte-
gerrimis, vel uno alterove dente tantum armatis. |. c.

1. regularis; foluis laxius dispositis. 1. c.

Habitat Javam, Syn. Hep. Var. «. Tersm. in Herb. Dz. et MB. Zorrincer,
coll. n°. 1745.

256. FRULLANIA NIGRICAULIS N. ab E. Syn. Hep. p. 457. Caule
proeumbente subramoso elongato, ramis sparsis; foliis horizontalibus alternis
subimbricatis cordato-orbiculatis obtusis integerrimis, aurieulis cault_parallelis
teetis parvis oblongo-subeylindrieis, basi truncatis, stylo interjeeto subulato;
amphigastriis magnitudine foliorum, reniformi-orbiculatis emarginatis bifidisve,
laciniis conniventibus remotiusculis; fructu... Syn. Hep. Lì c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

257. FRULLANIA ORIENTALIS v. p. Sp. Le. in Dozr Plagiochila San-
dei. p. 10. Caule procumbente elongàto pinnatim ramoso; foliis adproximatis

semiverlicalibus planis ovatis acutis integerrimis, ramulorum laxe imbricatis,
12%

92 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

auriculis econieis cauli contiguis et parallelis teetis, amphigastriis adpressis
cordato-ellipticis integerrimis bifidis, laciniis acutis; fruetu in ramulis sessili ;
foliis involueralibus amphigastrioque bifdis, lacinis lanceolato-acuminatis in-
tegerrimis; perianthio

Habitat Javam. Tersa. in Herb. Dz. et Mp.

Caulis proeumbens, inferne denudatus, 0,15 longus, eum foliis 0,0025 latus, subbipinnatus;
pinnis remotis, patenti-divergentibus. Folia caulina subhorizontalia, distantia, alterna, plana,
ovata, acuta; ramulorum contigua; auriculae parvae, cauli contiguae, tectae, conico-cylindri-
cae. Textura foliorum e cellulis parvis, rotundo-quadratis, limitibus flexuosis, subcontiguis.
Amphigastria foliis parum minora; caulina distantia, adpressa, e basi cordata elliptica, integer-
rima, bifida, sinu laciniisque acutis; ramulorum contigua, minora. Fructus in ramulis lateralis,
sessilis. Folia involucralia et amphigastrium bifida, laciniis aequalibus, lanceolatis, acuminatis,
integerrimis.

Habitus Frullaniae vaginatae N. ab B, et Frullaniae Ternatensis Gortscue, sed multo ro-
bustior, foliisque planis primo obtuitu distinguenda.

TABULA XIX,

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. folia a dorso visa, decies et quinquies aucta ;
f- 3. pars caulis cum pinna a ventre, decies aucta; f. 4. folium singulum, tricies
auctum; f. 5. teztura foli, quinguagies aucta; f. 6. cellulae foli, centies et quin-
quagies auctae: f. 7. folium involucrale, quadragies auctum.

tj ft. Fols cauli circumvolutis.

258. FRULLANIA VAGINATA N. ab E. Syn. Hep. p. 465. Tetragyna;
caule_proeumbente alternatim subbipinnato divarieato; foliis semiverticalibus
squarrosis oblique ovatis vel ovato-cordatis, margine dorsali grosse serratis
acutis, auriculis minutis oblongis adproximatis parallelis; amphigastrijs remo-
tusculis oblongis patulis acute bifidis, basi sinuato-subdentatis; foliis amphi-
gastrioque involucralibus bifidis ciltato-serratis; perianthiis triquetris, dorso
suleatis, ventre unicarinatis. Syn. Hep. |. c.

Ê. nigricans; amphigastriis basi integerrimis. |. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Tersm. in Herb. Dz. et Mp. Herb. v. p. Boscu.

259. FRULLANIA TERNATENSIS Gorrscne. Syn. Hep. p. 465. Tetra-
gyna; caule proeumbente filiformi pinnatim ramoso;. foliis imbricatis oblique
ovalis, margine ventrali inflexis acutis et obtusis integerrimis, auriculis parvis
oblongis cauli_ contiguis et parallelis tectis; amphigastriis oblongis bifidis,
margine incrassato-subreflexis patulis; foliis amphigastrioque involueralibus

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 95

bilobis, lobis serrato-dentatis; perianthio semi-emerso oblongo prismatico tri-
quetro, dorso convexiusculo, ventre acute unicarinato. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Tersa. in Herb. Dz. et Ma. Herb.
v. p. Boscm. — Ternate. Syn. Hep. — Sumatram, in monte Lubu Radja.
Herb. Jureu.

HH. FRONDOSAE.

SUBTRIBUS 1.

DIPLOMITRIEAE ENDLICH.
XXVI. BLYTTIA ENDL.

240. BLYTTIA LYELLII Expr. Syn. Hep. p. 475. Fronde sessili oblonga
hinearive crenulata aut subserrata ; involueri lacintis ciliato-laceris. Syn, Hep. |. c.

Habitat Javam. ZoLLiNGer. coll. n°. 1854. Sterilis in Herb. Dz. et Me.

241. BLYTTIA RADICULOSA v. p. Sp. Le. Fronde sessili lineari prae-
longa, margine undulata, integerrima, costa subtus tomentoso-radiculosa; in-
volucro campanulato ciliato-lacero; perianthiis linearibus elongatis; calyptra
inclusa.

Habitat Javam. Teysm. in Herb. Dz. et Me.

Laxe caespitosa, intense viridis. Frons limearis, 0,055 longa, primaria 0,004 lata, simplex
et parce. dichotomo-divisa, divisionibus patentibus, nonnunquam e costa ventris inmovationes
divaricatas emittens; margines subundulafi, integerrimi; apex latus, obtusus vel sensim angus-
tatus; costa crassa, subtus tomentoso-radiculosa, radiculis ferrugineo-fuscis. Textura foliorum
e cellulis sexangulari-ovalibus et subrotundis, limitibus contiguis. Pructus crebri in eadem
fronde, dorso medio dispositi. Involucrum campanulatum, margine ciliato-lacero. Perianthium an-
gustum, lineari-cylindrieum, 0,008 longum, ore denticulato ; calyptra inclusa. Planta mascula deest.

Affinis Blyttiae Lyelliù Var. Hibernicae N, ab E. et Blyttiae crispatae N. ab B. Ab
utraque diversa fronde integerrima, costa subtus tomentosa et perianthio longissimo.

242. BLYTTIA PIYLLANTHUS N, ab E. Syn. Hep. p. 478. Frondibus
in rhizomate repente filiformi stipitatis oblongo-lanceolatis simplicibus obtusis
integerrimis; fructu e dorso frondis basin versus oriente ; involuero multfido,
lacinis dentatis imbricatis; perianthio involucro multo longiori; calyptra inclusa
subechinata. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Herb. Dz. et Mp.

DA SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.
SUBTRIBUS 2.
HAPLOLAENEAE N. as E.

XXVII. SYMPHYOGYNA. M. er N.

245. SYMPHYOGYNA PODOPHYLLLA M. et _N. Syn. Hep. p. 481. Rhi-
zomate repente filiformi ramoso; frondibus erectis bis bifidis nervosis, laci-
niis subpetiolatis, margine integris planis subserratis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Herb. Juren. Treysa. in Herb. Dz. et Mp. In monte Pan-
gerango. ZOLLINGER, coll. n°. 2129.

244.? SYMPHYOGYNA ULVOIDES N. ab E. Syn. Hep. p. 487. Fronde
parva lineari-dichotoma pellucida costata marginata spinoso-dentata purpurea;
fructu... Syn. Hep. l.c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

XXVIII. BLASIA MICH,

245. BLASIA JAVANICA v. p. Sp. Le. Fronde obovato-cuneata sinuato-
lobata undulata, subtus tota fere superficie dense radiculosa, costa effusa;
sacco gemmifero conico-elongato, e tubo brevi receptaculi longe emergente.

Habitat Javam. Horre in Herb. Dz. et Me,

Frondes obovato-cuneatae, in rosulas obscure virides, 0,025 diametri, radiatim expansae;
ambitus sinuato-lobatus et undulatus, subadscendens; costa effusa et reliqua superficies inferior,
apiee excepto, radiculis densis, brevibus, fuscis obsessa. Textura frondis e cellulis hexagono-
rotundis, subdiseretis, apicalibus minoribus. Receptacula intra frondis parenchyma gemina
vel solitaria, extra frondem tubo viridi, brevi, adseendente terminata, extus squamulis foliaceis
obsesso. Superficies interna receptaculi et tubi (excretorium quem vocant) membrana vestitur,
saccum efformante, statu juvenili ovoideum, progrediente aetate in formam comi e tubo lacero
longe emergentem. Saccus iste gemmifer fronde pallidior est et pellucidus laxiusque reti-
eulatus, e cellulis majoribus, elongatis, discretis constans; apex pertusus, quo gemmae sacco
contentae foras propellantur. Gemmae compactae, flavescentes, minus polyedrae et minores,
quam Blasiae pusillae Linn. Reliqua non visa.

A Blasta pusilla Linn. adparatu gemmifero valde distincta species.

Planta memorabilis, quae genus Blasiam in regionibus tropicis repraesentat, antea Buropae
solum et Americae boreali proprium habitum.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 95

TABULA XIX.

Fig. 1. Planta in rosulam expansa, magnitudine naturali; f. 2. frons a dorso, series
aucta; f. 3. eadem a ventre visa, sexies aucta; f. 4. tezxtura frondis Blasiae java-
nicae, centies aucta; f. 5. textura frondis Blasiae pusillae, centies aucta; f. 6. tubus
ezcrelorùus cum sacco gemmifero, vieies auclus; f. 7. tubus ezecrelorius dorso lace-
rus, wicies auctuss f. S. pars sacci gemmiferi, tricies aucta: f. 9. tezxtura sacci
gemmiferi, ducenties auctas f. 10. sectio transversa frondis, ut saccus gemmiferus,
receplaculum investiens, in conspeclum prodeat: f. 11. gemmae Blasiae Javanicae;
f. 12. eaedem Blasiae pusillae, centies auctae.

SUBTRIBUS 3.

ANEUREAE N. as E.

XXIX. ANEURA DUM.

246. ANEURA PINGUIS Dvxorr. N. ab E‚ Hep. Eur. IL. p. 427. La-
cero-divisa aut simplex radiculosa sublinearis, marginibus aut lobulatis un-
dulatisque aut denticulatis; calyptra laevi puberula. Syn. Hep. p. 495.

Habitat Javam. Treysa. in Herb. Dz. et MB.

Specimina Javanica pertinent ad Var. «. 3. tenuem N. ab DH. et colore et textura Euro-
paeis sunt similia. Alia specimina ejusdem herbarii sunt fusco-nigricantia, coriacea, densis-
sime radiculosa, radiculis rufis; calyptra strigosa. Propria species videtur.

247. ANEURA PINNATIFIDA N. ab E. Hep. Eur. IL. p. 442. Pinnatim
divisa aut subsimplex, plana aut subeanaliculata, subtus convexula; ramis ho-
rizontalibus, apice (angustissimas formas, si excipis) latioribus bipinnatfidis
dentatisve obtusis; calyptra laevi puberula. Syn. Hep. p. 495.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juve. Herb. Mrg. Dz, et Mp. v. pn. Boscn.

Referenda sunt ad Formam «. 1. «. nigricantem N. ab B.

248. ANEURA MULTIFIDA Dum. Comm. Bot. p. 115. Pinnatim multifida
decomposita et supradecomposita; trunco- primario biconvexo rigidulo; ramis
horizontalibus, ramulis pectinatim pinnatis, lacinulis lineari-angustissimis ; in-
novationum tenuioribus linearibus obtusis; fructu in trunco ramisque lateral;
involucro turbinato carnoso; calyptra tuberculata. Syn. Hep. p. 496.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jureu.

96 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

249.? ANEURA CANALICULATA N, ab E. Syn, Hep. p. 500. Fronde
proeumbente undulata laciniato-pinnatifida, laciniis linearibus truncatis con-
voluto-canaliculatis; fructu... Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

SUBTRIBUS 4.

METZGERIEAE N. as E,
XXX. METZGERIA RADDI.

250. METZGERIA FURCATA N. ab E. Hep. Eur. IIL p. 485. Furca-
tim prolifero-divisa linearis glabra, margine costaque subtus setulosis nudisve.
Syn. Hep. p. 502.

«. extensa; major, parce furcatim divisa, laciniis elongatis, inferne sub-
simplex aut alternatim ramosa. l.c.

8. communis; furcatim subalternatimve divisa, laciniis brevibus obtusissimis. l.c.

1. major; uneialis et major; subfastigiatim aequiterque furcata, 1. c.

2. minor; confertius divisa, laciniis als furcatis, aliis simplicibus. 1. c.
Habitat Javam. Syn. Mep. Herb. Juren. Herb. Dz. et MB, ZorLLINGER.
251. METZGERIA FUCOIDES M. et N. in p'OrBranv. Voyage. p. 60.

Pinnatim divisa; caudice compresso glabro adscendente; pinnis alternis sub-
oppositisve palmatifido-pinnatifidis bipinnatifidisve, lacinulis linearibus obtusis
glabris costatis; calyptra subaxillari eylindracea glabra. Syn. Hep. p. 506.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juraum. Herb. Dz. et Mp. In monte Sa-
lak. ZorriNGer, coll. ne. 816 Z. ex p.

Inflorescentia mascula hujus speciei eadem, ac Metzgeriae eriocaulae Hook. Antheridia

nempe in lacinulis frondium propriis, utrinsecus costam a tergo sunt immersa. Folia peri-
gonialia nulla.

Metzgeriae species, quae sub $. 2. in Synopsi Hepaticarum deseribuntur, praeter inflores-
centiam masculinam etiam habitu, compage, calyptrae situ, caet. a Metzgerüs $. 1.1. c. ita
recedunt, ut characteres sufficientes largiantur, quibus illae separari et proprium genus alius
familiae constituere possent.

(de)
_l

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.
Mak BS IL

MONOCLEAE. N. as E.

XXXI. CALOBRYUM N. an E.

252. CALOBRYUM BLUMIL N. ab E.‚ Syn. Hep. p. 507. Foliis obovalis
integerrimis. Syn. Hep. |. c.
Habitat Javam. Syn. Hep.

RSB er LI

MARCHANTIEAE. N. an E.

XXXII. MARCHANTIA LINN,

$. 1. Stellatae. Pedunculo femineo ecentrali. Receptaculo in plerisque radiato
(masculo peltato).

255. MARCHANTIA POLYMORPHA Livs. Hep. Eur. IV. p. 61. Recep-
taculis femineis stellatis, radiis teretibus ; involucris contiguis pleiocarpis, mar-
gine laciniis obtusis eiliato-dentatis fimbriatis; fronde dichotomo-lobata cana-
lieulata, subtus plieato-venulosa squamulosaque. Syn. Hep. p. 522.

Habitat Javam. Syn. Hep.

Pertinent specimina ad Formam «. 2. (communem denticulatam N. ab B.)

Speciem Marchantiae tabulari N. ab E. affinem at incompletam, in monte Pangerango
Javae insulae, legit ZoLLINGER. Coll. n°. 1943.

S. 2. Chlamydium. Cpa. Peduneulo communi vel excentrico vel lateral
(receptaculo masculo in nonnullis palmatilobo vel palmatifido.).

254. MARCHANTIA EMARGINATA N. ab E. R. et Bl. Hep. Jav. in
Nov. Act. Nat. Cur. XI. p. 192 et 409. Receptaculo femineo dimidiato

masculoque palmato-radiatis, radiis feminei 7 distantibus, apice dilatatis mar-
13
WIS- EN NATUURK, VERI, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL V£

8 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

ginatis, masculi 5 integris; fructuum involueris margine erenulato-denticula-
Us; fronde lato-lineari obtusa bifida dichotomaque. Syn. Hep. p. 528.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juven. Horre, Teysu. in Herb. Dz. et
Ms. Buitenzorg, Herb. Mrg.

255. MARCHANTIA PALMATA N. ab E. R. et Bl. Mep. Jav. in Nov.
Act. Nat. Cur. XIL p. 195. Reeceptaculo femineo dimidiato septemfido-pal-
malo, radiis distantibus, basi attenuatis, apice dilatatis retusis emarginalisve,
masculis semieireularibus acute decem-(H-) lobis; fronde Lineari-dichotoma,
subtus ad ecostam squamosa, squamis suborbiculatis obtusis pallidis. Syn.
Hep. p. 529.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Jurn. Im prov. Bandong, ZoLLINGER,
coll. n°. 1805. Buitenzorg, Herb. Mig.

256. MARGHANTIA NITIDA L. et Lppe. in Lerum. Pug. Pl. IV. p. AL.
Receptaculo femineo exeentrico 8—10O-radiato convexo papillato, radius sub-
contiguis, extrorsum dilatatis explanatisque imberbibus, superne costalis; in-
volueris margine laciniato-ciliatis (ciliis purpurascentibus); pedunculo basi
paleis stipato; fronde lineari- dichotoma viridi. Syn. Hep. p. 552.

Habitat Javam. Tersm. in Herb. Dz. et Ms.

Exemplaria nostra ambigua. Receptacula feminea (juvenilia tantum visa) Marchantiae nili-
dae L. et Lipno, frondis autem forma et compages Marchantiae squamosae Rapp. magis con-
gruunt. Reeeptacula masculina in diversa planta, pedicellata, peltata, octo-loba. Scyphi pate-
riformes, hmbo dentato, dentibus dentato-ciliatis.

257. MARCHANTIA GEMINATA N. ab E. R. et Bl. Mep. Jav. in Nov.
Act. Nat. Cur. XIL. p. 194. Receptaculo femineo dimidiato umbonato, bast
prolixe barbato quadrifido, radiis oblongis apice sulcato-subbifidis, juvenilibus
inflexis, adultioribus pleraumque palmatim explanatis et divergentibus; involu-
eris tubulosis, ore apicali erenulato-denticulatis; pedunculis terminalibus gemi-
nis pilosis; fronde lineari dichotoma, supra canaliculata. Syn. Hep. p. 554.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juwen. Buitenzorg, Herb. Mre. Herb. Dz.
et Ma. Gadok, v. Harr in Herb. Dz. et Ma.

XXXIII. DUMORTIERA R, BL. er N. ap E.

258. DUMORTIERA HIRSUTA R. Bl. et _N. Hep. Jav. in Nov. Act. Nat.
Cur. XIL. p. 410. Receptaculo femineo (polycarpo) convexo setulis insperso,
margine involuerisque hirsutissimis, subtus circa pedunculum barbato; fronde
dichotoma erenulato-undulata, subtus hirsuta. Syn. Hep. p. 545.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 4)

«. latior: fronde apice dilatata, 4—6 lin. lata dichotoma continua; recep-
taculo setuloso. |. c.

Habitat Javam (Var. «.). Syn. Hep. In montibus Slamat, Ungarang. Herb.
Suren. Buitenzorg, Herb. Mrg. Gadok, v. Harr in Herb. Dz. et Mr. Horre,
Tersa. in Herb, Dz. et MB. Bogor, ZorLinGer, coll. n°. 5477. — Suma-
tram in regione Battarum, Angkola superiore. Herb. Juren.

Nomen Javameum Lumut Kalie.

XXXIV. REBOULIA N. ar E.
259. REBOULIA JAVANICA N, ab E. Syn. Hep. p. 549. Frondibus di-

ehotomis longo tractu continuis, articulationibus raris, extremitatibus bifidis
saepe canaliculato-convolutis, supra viridibus, subtus purpureis; receptaculorum
barba angusta. Syn. Hep. 1. c.

B. angustior; frondibus longioribus, totis fere convolutis (d.).

Habitat Javam. Syn. Hep. Var. «. In monte Ungarang (Medinie), alt.
5000 —5000', m. April —Jun. Herb. Juren.

Nomen Javanicum Djen Gotjongot.

XXXV. FIMBRIARIA N. ápn E.

260. FIMBRIARIA BLUMEANA N. ab E. Syn. Mep. p. 564. Fronde li-
neari-angusta, apiee bilobo erenulata, subtus purpurea; pedunculo glabro; re-
ceptaculo femineo convexo subumbonato papillato-tuberculoso, subtus nudo,
margine loborum papilloso-cerenulato non attenuato; perianthiis oblongis 8-
12-fidis, lacinits planis strictis. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep, In casuarinetis M. Idjeng. Zorrineer, coll. n°,
2845. (ex parte?).

261. FIMBRIARIA VENOSA L. et LpBe. in Lena. Pug. Pl. IV. p. 29.
Fronde obovata oblongave biloba tenerrima venosa; pedunculo glabro; recepta-
eculo femineo convexiusculo crenulato, subtus breviter barbato; perianthio conico
longe lateque rimoso, disei marginem haud longe superante. Syn. Hep. p. 570.

Habitat Javam. Ad terram in casuarinetis Javae orientalis. ZoLLINGER, coll.
n°, 2845 et System. Verzeichn. L. p. 18. (ex parte?).

Specimina Zollingeriana, hoc numero et nomine autographo insignita et obvia in herb. v. .
Bosc, absque dubio ad praecedentem speciem pertinent. An forte sub eodem numero duae
eaeque diversae species sunt distributae?

18%

100 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

TRIMS LK

ANTHOCEROTEAE. N. an E.

XXXVI. DENDROCEROS N. as E.

262. DENDROCEROS JAVANICUS N. ab E. Syn. Hep. p. 582. Fronde
costata dichotoma, laciniis pinnatifido-lobatis, lobis rotundatis undulato-crispis ;
calyce dimidiato. Syn. Hep, 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep. Herb. Juren. Buitenzorg, Herb. Mrq. Herb. v.
pn. Bosen. Tersm. in Herb. Dz. et Mp.

XXXVIL. ANTHOCEROS MICH.

265. ANTHOCEROS GLANDULOSUS L. et Lope. in Lena. Pug. Pl. IV.
p. 26. Fronde ineiso-lobata Iimeari-latiuscula pulvinatim conferta, supra mar-
gineque vesiculoso-papulosa, verruculis simplicibus ramosisve turbinatis; invo-
luero cylindrico papuloso-muricato. Syn. Hep. p. 585,

Habitat Javam. Syn. Hep. Tersm. in Herb. Dz. et Me.

264. ANTHOGEROS LAEVIS Lins. Spec. Pl, II. p. 1606. Fronde enervi
plana subradiatim dissecta crenata laeviuscula; involuero eylindrico, ore obli-
que truncato late scarioso, Syn. Hep. p. 586.

Habitat Javam. ZOLLINGER, coll. n°. 1605 et 2510. (System. Verzeichn.
1. p. 18.)

265. ANTHOGEROS FALSINERVIUS LixpBe. in Mersss. Hep. Jav. m
Bot, Zeitung. VI. 1848. p. 465. Zorriseer System. Verzeichn. 1. p. 18.
Fronde obovato-lineari venosa pinnatifida incisa, venis in media fronde con-
densatis nervum mentientibus; involucro tubuloso, apice subbifido; capsula mn-
voluerum longe excedente. Lose. |. c.

8, lyratus;: major, lobulis minus venosis. Gorrscae in Natuurk. Tijdschr.
v. Nederl. Indië. 1855. p. 575.

Habitat Javam. ZorLiNGeEr, coll. n°. 2510. Var. ?, Eadem coll, n°. 5505. X.

SYNOPSIS IIEPATICARUM JAVANICARUM. 101

REB U SM:

RICGCIEAE., LINDBG.

XXXVIIL. RICGIA MICH.

266. RICCIA BILLARDIERIL M. et N. Syn. Hep. p. 602. Fronde sim-
pliei bifidave lineart serpentina profunde angusteque canaliculata, apice emar-
ginato-bifida, margine membranaceo subhorizontali repando-undulato, subtus
nigro=violaceo. Syn. Hep. 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

267. RICCIA JUNGHUHNIANA N. ab B. et Lpae. Syn. Hep. p. 609.
Fronde apicem versus cavernosa carnosa, margine membranacea dichotoma sul-
cata viridi, lacintis linearibus, apice dilatato subemarginatis, subtus obsolete pur-
purascentibus. Syn, Hep, 1. c.

Habitat Javam. Syn. Hep.

Conspectum tradere nisus sum Muscorum Hepaticorum Florae Javanicae,
quotquot in diversis scriptis herbariisque, quae praesto erant, inveniuntur.
Ast vero terra Javanica cum insulis circumjectis, innumeras plantas et formas alit
hujus familiae, nondum descriptas ac prorsus ignotas. Nam Florae hujus co-
gnitio, licet operibus Naturae serutatorum in dies paene inerescat et magis ma-
gisque perficiatur, multum tamen etiamnune restabit operis et serutationis.

De cryptogamis, in alüs orbis terrarum regionibus adhue latitantibus, prae-
fati sunt Viri Doet. Dozy et MorkenBoer in Prodromo Florae Bryologicae
Surinamensis: qwidguid Muscorum frondosorum, Hepaticorum, Lichenum,

102 SINOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Fungorum et Algarum in regionibus e@tra-Europaeanis collectum sit, id ne
millesimam forsitan partem effieit eryplogamorum, quae istae regiones profe-
runt. Et nimirum, quod attinet Hepaticas, ulteriorem Archipelagi Indiae
ortentalis indagationem, eximia scientiae augmenta esse adlaturam, jam potest
mtelligi e_speeiminibus Javae pluribus mancis et frustulis, quae continent
herbaria, singuloram quorum expositio futilis, quin temeraria forel, Hacc ilaque
silentio praeterire cogor atque sepono.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 105

MANTISS A.

HEPATICARUM SPECIES QOUAEDAM NOVAE, EXTRA
FLORAE JAVANICAE DITIONEM LECTAE.

TL. PLAGIOGHILA NEES er MONT.

1. PLAGIOCHILA SURINAMENSIS Morkp. Mspt. Caule repente; ramis
adsecendentibus innovando-ramosis; folus dissitiusculis semi= subverticalibus ova-
tis subobovatisque, margine dorsali reflexis integerrimis, ventralt apiceque obtuso
vel acutiusculo eroso-dentatis; fructu terminali et lateralis perianthio ovato,
ore compresso truncato eiliato, cilits noduloso-articulats.

Habitat Surinamum, in consortio Plagiochilae Miguelianae Lose. Herb. Dz.
et Ma.

Caespites croceo-rubelli. Caulis repens. Rami circiter 0,03 longi, eum foliis 0,003 lati, ad-
seendentes, imprimis sub involucro, innovando-ramosi; ramuli patenti-divergentes, subeurvati.
Folia adproximata, in ramulis dissitiuscula, semi-subverticalia, ovata et obovata; margo dorsalis
reflexus, integerrimus, in caulem vix decurrens; ventralis apiceque obtuso, rarius acutiusculo,
eroso-dentatus, dentibus truncatis et quasi diruptis. Compages foliorum fragilis; cellulae par-
vae, ovali-rotundae. Fructus terminalis et lateralis. Folia involucralia utplurimum longius den-
tata, subciliata, acutiuscula. Perianthium ovatum, ore compresso, truncato, ciliato, ciliis longis,
flaccidulis, noduloso-articulatis.

A Plagiochila Miqueliana Lope. et affinibus, folüs erosis et perianthio distat.

TABULA XX,

Fig. 1. Planta magmitudine naturali; f. 2. folia a dorso visa, vicies aucta; f. 3. folia
a ventre visa, vicies aucta; f. 4. textura folii, centies aucta; f. 5. folium uwvolucrale,
vicies auclum; f. 6. perianthium, vicies auctum; f. 1. cilium perianthii, centies auctum-

2. PLAGIOCHILA DREPANOPHYLLA v. p. Sp. Le. Caule repente ; ramis

erectis divaricato-ramosis; folis basi imbricatis semiverticalibus patenti-diver=

104 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

gentibus e basi ovata laneeolatis longe decurrentibus, margine dorsali arcuatis re-
flexis integerrimis, ventrali rectiusculis parce spinuloso-dentatis, basi integer-
rimis subreflexis, apice angustato in lacinias 2—5 ciliformes fissas; fructu
terminalt et lateralis perianthio ovato-semigloboso truncato subbipartito, ore
ventreque ineiso-ciliato.

Habitat insulam Borboniae. Herb. v. p. Bosc.

Caulis repens. Rami erecti, 0,03 longi, cum foliis 0,0038 lati, versus apicem imprimis di-
varicato-ramosi, Folia laxe imbricata, apice libera, semiverticalia, patenti-divergentia, e basi
ovata lanceolata; margo dorsalis longe deeurrens, arcuatus, reflexus, integerrimus; ventralis
paulo rotundatus, hie illie denticulo spinaeformi parce armatus, basi subintegerrima reflexus;
apex angustior, fissus in lacinias 2—3 ciliformes, rectas vel subflexuosas et divergentes,
Textura foliorum e cellulis ovalibus, subcontiguis. Fructus terminalis et lateralis. Folia invo-
lucralia margine ventrali toto spinulosa. Perianthium ovato-globosum, ore truncatum, margine
dorsali bifidum, integrum; ventrali bipartitum, aeque ac os ciliatum, Pistillidia 12—16.

Proximae sunt Plagiochila gymnocalyeina M. et N. et Plagiochila bursata Lipno; ab utra-
que discernitur foliis lanceolatis, longe decurrentibus et perianthio.

Suppar est perianthii conformatio Plagiochilae parvifoliae Lune.

TABULA XE

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars plantae a dorso visa, decies aucta;
f. 3. pars rami a ventre visa, decies aucta; f. 4. teztura foli, centies aucta;
f. 5. perianthium, a dorso apertum, cum pistillidiis, vicies aucta.

IL. MASTIGOBRYUM N. an E., LDBG. er G.

5. MASTIGOBRYUM VENEZUELANUM Morks. Mspt. Caule procumbente
diehotomo; flagellis erebris subramosis; foliis imbricatis ovato-oblongis, bast
convexiusculis, apiee rotundato tridenticulatis, dentibus acutis integerrimis bre-
vibus, subobsoletis aut nullis; ampbigastriis imbricatis planis quadratis sub-
wansversisque integerrimis vel apice rarius tricrenatis; perianthiis ovato-cylin-
dricis, apice attenuatis plicatis, ore inciso-dentato.

Habitat Venezuelam. Herb. Dz. et MB. Communieatum a Viro Nob. van
LANSBERGE.

Caulis rigidulus, proeumbens, 0,05 longus, cum foliis 0,004 latus, dichotomus ; rami paten-
tes, obtusi. Flagella crebra, erassiuscula, simplicia vel ramosa et apice radicantia, foliis et _am-
phigastriis parvis vestita. Folia subhorizontalia, imbricata, explanata, patentià et patenti-diver-

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 105

gentia, planiuscula, ovato-oblonga, integerrima; margo dorsalis rotundatus; ventralis subrectus,
basi paulisper dilatatus; apex rotundatus, integerrimus vel repando-tridenticulatus, vel denti-
bus majoribus munitus, e basi lata brevibus, acutis, integerrimis. Amphigastria caule duplo
latiora, imbricata, plana, quadrata, quandoque latiora, quam longa, integerrima vel quaedam
apice tricrenata. Textura foliorum cellulas exhibet parvas, ovali-rotundas; amphigastriorum
laxiores et magis pellucidas. Fructus subseriati. Folia involucralia ovata; exteriora obtusa, in-
tegerrima; interiora longiora, acuta, versus apicem denticulata. Perianthium ovato-cylindricum,
versus apicem attenuatum, plicatum, ore inciso-dentato, fisso, dentibus subtilissime denticulatis.

Mastigobryum Breutelianum Lose. et Gorrtsene proximum, differt foliis convexis, apice
eroso-tridenticulatis dentibusque suberenulatis, amphigastriis crenatis, quorum in planta nostra
plurima sunt integra.

TABULA XXI,

Fig. 1. Planta magntudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, decies aucta; f. 5.
ramus fructifer a ventre visus, septies auctus; f. 4. folium singulum, quindecies
auctum; f. 5. tertura foli, octogies aucta; f. 6. a el b. amphigastria, vicies aucta ;
f. 71. teztura amphigastriù, octogies aucta; f. S. flos femineus, decies auctus; f. 9.
folium involucrale internum, victes auctum; f. 10. perianthium cum involucro, de-
cies aucta.

HI MADOTHECGA DUMORT.

4. MADOTHECA JAPONICA v. p. Sp. Lc. Gaule repente; ramis inordi-
nate dichotomo-pinnatis compositis; foliis imbricatis ovatis obtusis, apice 2—4
dentatis, lobulis ligulatis planis obtusis integerrimis dentatisve vel apice solo
subdentatis, basi raro caudatis ; amphigastriis ovato-linguaeformibus planis obtusis
denticulato-ciliatis vel subintegerrimis et apice solo bidentatis; fructu laterali;
folis involucralibus bilobis, lobis ovatis acutis, margine dorsali et ventrali den-
tato=spinosis; perianthio…

Habitat Japoniam, cum Frullania Tamarisci N. ab E., Frullania Hutchin-
siae Var. 8 N. ab E. et Chiloscypho arguto N. ab E. Herb. Dz. et Me.

Planta quibuslibet partibus in eodem specimine admodum polymorpha. Caulis repens, basi
aphyllus, 0,05 ecirciter longus, cum foliis 0,003 latus, irregulariter dichotomo-pinnatus, com-
positus. Ramuli terminales patentes, breves, obtusi. Folia explanata, horizontalia, imbricata,
ovata, plana; margo ventralis subrectus; dorsalis arcuatus; apex ob dentem unicum acutus,
obtusus, integerrimus, repando-dentatus vel plerumque 2—4 dentatus. Lobulus planus, ligula-

14
WIS- EN NATUURK. VERI. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL V.

106 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

tus, acutus vel obtusus, basi rarius caudatus, integerrimus vel repando-dentatus ciliatusque ;
apex integerrimus, obtusus vel bidentatus. Textura foliorum e cellulis parvis, rotundis, con-
tiguis. Amphigastria plana vel medio gibba, imbricata vel remota, subdeeurrentia, ovata, ovato-
triangularia vel linguaeformia; apice obtusa, integerrima vel uni- bi- pluri-dentata aut bicu-
spidata; margines vel integerrimì vel repando-dentati et dentato-ciliati. Fructus in ramulo brevi
lateralis. Folia involucralia biloba, ovata, acuta, margine utroque dentata aut ciliata; ventralis
minor, quandogue obtusus, Amphigastrium involuerale ovatum, subdentatum, apice cuspidato
bidentatum.

Aflinis Madothecae nilgherrienst Mort. Recedit vero ramificatione et foliis magis dentatis.

TABULA XXI.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, quindecies aucta;
f. 3. ramus florifer a ventre visus, decies auctus; f. 4. folium singulum, wicies
auctum; f. 5. testura folii, septuagies et quinquies aucta; f. 6. a, b, c‚ amphigastria
varia, quinguagies aucta; f. 7. involuerum, vicies auctum; f. 8. amphigastrium
involucrale, qguinquagies auctum; f. 9. folium involucrale cum _pistillidiïs, quadra-
gies aucla.

IV. LEJEUNIA GOTTSCHE er LINDBG.

5. LEJEUNIA MUCGRONATA v. p. Sp. Le. Caule repente vage pinnatim-
que ramoso, foliis imbricatis ovatis, dorso areolis protuberantibus tuberculo-
sis, marginibus denticulatis, apice muerone piliformi subincurvo praeditis, bast
sinuato-complicatis, lobulo tumido ovato, apice emarginato-unidentato; amphi-
gastriis distantibus ovatis denticulato-ciltatisque, ultra medium bifidis, sinu
obtuso, laciniis laneeolatis acuminatis rectis; fructu laterali sessili; foliis in-
volucralibus margine dorsali spinuloso-ciliatis; perianthio obeordato compresso,
ventre carinato-convexo, apice ciliato.

Habitat Venezuelam. In Hepatieis repentem legit Doct. Korruars. Herb.
Dz. et Mp. In plantis Venezuelanis coll. Funck et Scurrm sub n°. 260, cum
perianthis in Herb. v. p. Boscu.

Viridula, repens, vage pinnatimque ramosa, ramulis inaequalibus, patentibus, 0,002—0,003
longa. Caulis cum folis 0,0005 latus. Folia semiverticalia, magis minusve imbricata, patentia,
convexiuscula, ovata, acuta et orbiculato-ovata, apice muecrone piliformi, subincurvo terminata;
margo totus ob cellulas eminentes, conicas, alias breviores alias longiores, denticulatus cilia-
tusque, basi sinuato-complicatus; lobulus ovatus, inflatus, apice emargimato-unidentatus; folia

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM. 107

ìn ramorum apice plica saepe parva aut nulla instructa. Textura foliorum densa, e cellulis
minutis, subrotundis, contiguis, circum lobulum majoribus et planis; in dorso foli et lobuli
prominentibus, quasi tuberculatis. Prominentiae istae in amphigastriis minus conspicuae, in
perianthiis defieere videntur. Amphigastria distantia, adpressa, plana, ovata, marginibus den-
ticulatis, ciliis hie illie interjectis; sinus latus, obtusus, ultra medium bifidus, laciniis lan-
ceolatis, acuminatis, rectis. Fructus lateralis, sessilis. Folia involucralia biloba; lobus dorsalis
spinuloso-ciliatus; ventralis planus, quadrato-ovatus, obtusus. Amphigastrium involucrale
caulinis majus, brevius fissum. Perianthium obcordatum, compressum, dorso planiusculum,
ventre medio carinato-convexum, apice ciliato.

Valdopere affinis Lejeuniae diversitextae Her et Gorrsenr Linn. XXV. p. 357. Diftert
vero nostra: foliis mucronatis, dorso tuberculosis, amphigastriüis ovatis aeque ac folia inaequali-
ter ciliato-dentatis. Lejeunia arguta N. ab B. foliis laevibus, laxe reticulatis gaudet.

TABULA XXI,

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, servagies aucta;
f. 3. pars caulis fructiferi a ventre, quadragies auctas f. 4. folium singuhum, octo-
gies aucltum; f. 5. teztura foli a dorso, centies et quinquagies auctum; f. 6.
amphigastrium caulinum, centies auctum; f. 7. perianthium cum foliüs involucralibus
a dorso, quadragies aucta.

6. LEJEUNIA DESCISCENS v. p. Sp. Le. Caule repente vage pinnatim-
que ramoso; foliis imbricatis semiverticalibus rotundo-oblongis, apice obtusis-
simo subinflexis integerrimis, basi sinuato-complicatis, lobulo ovali-quadrato
oblique truncato; amphigastriis dissitiusculis orbiculatis indivisis integerrimis;
fructu laterali; perianthio ovato quadricorni, cornibus erectis.

Habitat Surinamum. Focke in Herb. Mrquer.

Planta fusca, repens. Caulis 0,02 longus, eum foliis, 0,0012 latus, vage pinnatimque ra-
mosus; ramulis brevibus, patentibus. Folia imbricata, semiverticalia, rotundo-oblonga et ovato-
oblonga, integerrima, apice rotunda, plana et subdeflexa, basi ventrali sinuato -complicata ; lobulus
planiuseulus, ovalí-quadratus, oblique truncatus, integer vel umidenticulatus, denticulus rectus.
Amphigastria foliis quadruplo fere mimora, plana, adpressa, orbiculata, in speeimiuibus fortio-
ribus subdecurrentia marginibusque reflexa. Rete foliorum e cellulis laxis, subrotundis, con-
tiguis compositum, cireum lobulum amplioribus. Fructus in ramulo lateralis. Folia involucra-
lia conformia, biloba; lobus ventralis planus, ovatus, obtusus. Amphigastrium involucrale cau-
linis majus, suborbiculatum, indivisum, integerrimum. Perianthium ovatum, quadricorne, cor-
nibus erectis, versus apicem introrsum canaliculatis, margine apicali obtuso, reflexo.

Species insignis inter Cerafanthaceas ob amphigastria indivisa, quae in reliquis bifida esse
solent. Planta sterilis magnam similitudinem habet Lejeuniae uncilobae Loes. Hacc vero paullo

108 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

latior est; folia apiee habet plana, texturae aequalis, spissioris, minus pellucidac ; amphigastria
contigua, paullo majora, quandoque transversa, foliorum lobulos uncinatim dentatos magis quo-
que obtegunt.

TABULA XXII.

Fig. 1. Planta magnitudine naturali; f. 2. pars caulis a dorso visa, quadragies ancta;
f. 3. ramus cum perianthio a ventre visus, quadragies auctus; f. A. teztura folit,
centies aucta; f. > amphigastrium involuerale, octogies auctum.

Aliecularia Cord, .
Hasskarliana N. ab E..
scalaris Cord.

Aneura Dum. ;
? canaliculata N. ab E.
multifida Dum.
pinguis Dum. .
pinnatifida N. ab E.

Anthoceros Mich.
falsinervius Lidbg.
glandulosus Lehm. et L. .
laevis Linn.

Blasia Mich. .
Javanica v. d. Sd. Le.

Blyttia Endl.

Lyellii Endl, .
Phyllanthus N, ab E‚ .
radiculosa v. d. Sd. Le,

Bryopteris Ldbg.
filieina N. ab E. .
fruticosa Lidbg. et G.

Calobryum N. ab E.
Blumii N. ab E..

Calypogeia Radd.
bidentula N. ab E. .

Chilosecyphus Cord.
argutus N. ab E.
aselliformis N. ab E.
baduinus N. ab E. .
coalitus N. ab E.
combinatus N., ab E.
decurrens N. ab E.
pallescens N, ab E,
rigidulus N, ab EK. .
stygius N. ab E.
succulentus Gottsche.

Tjiwideiënsis v. d. Sd. Lc.

trapeziofdes v. d. Sd. Le .
? Zollingeri Ldbg. et G. .

GENERUM ET

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Pag.

INDEX

Tab.

XIX.

VI.
VII

SPECGIERUM.
Pag.
Dendroceros N. ab KE. „ 100.
Javanicus N. ab E. . kee #2 100:
Dumortiera N. ab E., R. et Bl. 98.
hirsuta R., Bl. et N. ab E. . 98.
| Fimbriaria N. ab E. 99.
Blumeana N. ab E. O9:
venosa Lehm. et Ldbg. 99;
Fpullania Radd. . . 76.
apiculata N. ab E. . 89.
campanulata v. d. Sd. Lc. 82.
cordistipula N. ab E. Oi
diptera Lehm. et Ldbg. do8
ericoides N. ab E. 78.
falciloba Tayl. 81.
fallax Gottsche. ee 85.
glomerata Lehm. et Ldbg. 79.
gracilis N. ab E. 90.
grandistipula Ldbg. . 82.
Hasskarliana Ldbg. 8 90.
hians Lehm. et Ldbg. . UU
Hutchinsiae N. ab E. sl.

integristipula N. ab E. . . . . . 88.

intermedia N. ab E. 83.
Juneghuhniana Gottsche, 86.
laciniosa Gottsche. 78.
minor v. d. Sd. Le. 89.
moniliata N. ab E. . 84.
nigricaulis N. ab E. 91.
nodulosa N. ab E. . 83.
orientalis v. d. Sd. Lc. 91.
ornithocephala N. ab E. sl.
pinnulata v. d. Sd. Le. 86.
ramuligera N. ab E. 84.
recurvata Lehm. et Lidbg. st.
reflexistipula v. d. Sd. Le. 80.
repandistipula v, d. Sd, Le. 85.
Sebastianopolitana Ldbg. . ids
semivillosa Ldbg. et G. ZE
serrata Gottsche . 90.

109

Tab.

XVI.

DXOVE:

NE
XVI.

110 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Pag. Tab. | Pag. Tab.
sinuate.v. d. Sd. Le. .… …anlt rod set8ren Sv Als distretandidbgie nn aten weed MOD:
squarrosa N.abE.. . . …... 78 | Doôzyänwev. d. Sd. Le. A nm „Paren OB AE
tenella v‚rd. Sd, Le. . wert eert MEE | elliptica Lehm. et Ldbg.. . . . … 75
teres v.d. Sd, Tos … … … oere MO: AV. faleinerwig cv, fd, 54% Lo. nde MOTEN
Ternatensis Gottsche. . . . . . . 92. floccosa Lehm. et Ldbg. . … . . . 62.
tricarinatav. d. Sd. Le: … nt SB VA, vk Haaskarliana Gottschens. % te A M0ot
vaginatayN. ab,Bì … … tn hom mde heterophylla v. d. Sd. Le. . … … «69.

Gottschea N. ab E.. … -……….-&% JavarickheN: ab B: … „/arbt Ae ordt lk
aligera N. ab E.. 4 ME TIGHEEN vab Bs tl OH
Blumii N. ab E.. 5 inchoatarMeisgn. se. … „ee Mer AE

JavanicanteN. ab. B. at ttn oraateentent 0e incisa Ghbtisches … "On wat en JO

Neesii Montgne, an dar Bie: | intermedie Ldbp,s … à 5 on moe
Philippinensis N. et ML ER A laxa Ldbg. re or ek REE
Reinwardti N. ab E. 4 Lindenbergii Bobtech& bt oant MODE
Gymnomitrium N. ab E. 3. lineatu, Lehm, et Ldbe. … … 4 Sd
Belangerianum Gerne. Lin Betje Molkenboeriana v. d. Sd. Le. . . . 66. XII,
Jungermannia Linn. « . . . 24. mucronatä’ v. d,iSd= Le. … 1 ER vene OOP
Ariadne Tayl. vd cn ee Tk WEG | muricata. Gottsche. . . … . . … . 66.
armataaNksabs Bs … … Mint Me [f wmigricansnLdbg.. nt … ME A pe0EE
bicuspidata Linn. . . .. « « … 29. [8 SpellucidakMerssninn. 4 en NeRe ID
Boschiana v. d. Sd. Le. 28. MT. recurvistipula Gottsche. . . . . . 62.
contracta N. ab E. . 24. | serpyllifoliaslibert: …e sn Se en gel
flexicaulis N. ab E. Dj | sordida Ne abe «eeen Strat DE
hirtella Web. É 24 SubfuscasN abe © eten et OIE
Junghuhniana N.ab E. 25L tenuis. Nitab Bs Aes nst OET OENE
piligera N. ab E, 24. teretjusenla Tdbon Se REN 0E
polyrrhiza Hook . 26. it \Ternatensis-Gottsche. „a MEE ENHGD!
punicea-N. ab E, 27. ChymafoltanN eb Ei, 00 KR TE
recurvifolia N. ab E. . … 27. | steapezianN:, vab te 4 ARENO
retusa Gottsche. 26. | tridactylanGottschen.. „at MOMERMERNGD:
setigera Ludbg. art 28. |o trifariaëNE ab... ee RAE NE SN
succulenta Lehm. et be BNP: 25. venustanvs d. Sd. Tue, ant eN MEEENGHS err:
tetragona Lidbg. 26. vesicariafw.-d.. Sd Le — „vr MEER A BEREDING
tricuspidata N. ab E. . 29. ike vibreasiNBiab Es <— e » Phohdendede hed
truncata N. ab E. atd 426% cl xanthocarpa Lehm. et De Gr ArGD
Lejeumia G. et Ldbg. . . . 60 . 106. | Lepidozia N. ab E.. oen soeken BMG:
adplanata N. ab E. aten AO er 60 | cladorhizw Ne: absis Sen se RS SE
aloba vagd. Sd, Tic. nete MEZZ scordatambdbe sn: bd riten
apiculatajv. d. Sd, Le, nt GS gonyotricha v. d. Sd. Le eek 388 Mik
aptyctas Gottsche. …— … en EO} | _ holorhizamNesabs BS en er oet EERS SE
Belangeriana Gottsche. … : ….……. 75 | NEE EDEN oe oren vegen ROSE
ceratophora N. abs But zee Je GE | quadridens N. ab E. . … .nr on 94:
confertamMeissne ne tt GS |} TeptansuNt abn. tn nnen eee
cucullatapN. ab En eN | gubintegrapidbe. «tn ee:
decursiva v.d. Sd, Tic: As tnt EV. supradeeomposita Lidbg. . . …. … …. 86.
desciscensrv. d Sd: Le OTE trichodegtiN: «ab. EB, %. ve tt mirtranS 6:

Wallichiana Gottsche. .

Lophoecoleca N. ab E. .

bidentata N. ab E. .
Hasskarliana Gottsche
horridula v. d. Sd. Lc.
mollis N, ab E. .
Madotheca Dum.

acutifolia Lehm. et Lidbg.

Japonica v. d. Sd. Le.
Marchantia Linn.

emarginata N. ab E.

geminata N. ab E..

? nitida Lehm. et Ldbg.

palmata N. ab E..

polymorpha Linn.

Mastigobryum ‚N. ab

alternifolium N. ab E..
commutatum Lab et G.
densum v. d. Sd. Le.
distans N. ab E.
divaricatum N. ab E.
erosum N. ab E.
gibbum v. d. Sd. Le.

Javanieum v. d. Sd. Le. .

Indieum Ldbg. et G.

intermedium G. et Ldbg..
linguaeforme v. d. Sd. Le.

loricatum N ab E.
paradoxum v. d. Sd. Le.
peetinatum Ldbg. et G.
praeruptum N. ab E.

reinwardti v. d. Sd. Le. .

serpentinum N. ab E..
tridens N. ab K,
uncigerum N. ab KE.

SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

flens ME -H2OE

98.

eh Ponente
E. … 39.104:
tn AT OE

Venezuelanum Molkb. Mspt . . . . 104,

vittatum Gottsche.
Zollingeri Ldbg. et G.
Metzgeria Radd. .
fucoides Mont. et _N.
furcata N.ab BE. . «

Mieropterygium L., N. et en 2 Ai

vulgare Syn. Hep.
Monoclea N. ab E. .

Blumii N. ab E.. :
Omphalanthus Ldbg.

SEN: el de vak):

Tab.

VI.

VII.

IX.
VAT:

VARIT:

IX.

XXI.

lumbricoïides Syn. Hep..
umbilicatus N. ab E.

Phragmicoma Dum. .

arcuata N. ab E.

fertilis N. ab E.
Hasskarliana Gottsche,
humilis Gottsche. aid
polymorpha v. d. Sd. Le.
reniloba Gottsche.
semirepanda N. ab E..
tumida N, et Mont.

Physiotium N. ab E. .

sphagnoides N, ab E.

Plagiochila N. et M. .

abietina N. ab E.
arbuscula Lehm. et L.
asplenioides Mont. et _N,
Bantamensis N. ab E‚.
Belangeriana Ldbg.
blepharophora N. ab E.
Brauniana N. ab E.
calva N. ab E.
ciliolata N. ab E.
comata N. ab E.
costata N. ab KE.
dendroides N. ab E.
dichotoma N, ab E,

drepanophylla v. d. Sd. Es

flaccida Ldbg. 3d
frondescens N. ab E. . .
fusca v. d. Sd. Le. .
geniculata Lidbg. .

gracilis Ldbg. et G.
gymnoeclada v. d. Sd. Le .
heteromalla Lehm. et L. .
Javanica N. et Mont.

Junghuhniana v. d, Sd. Le. .

Korthalsiana Molkb. Mspt.
obtusa Lidbg.

opposita N. ab E.
propinqua v. d, Sd. Le.
repanda Ldbg. 5
renitens N. ab EB. . ..
rutilans Ldbg.. .
Salacensis Gottsche .
Sandei-Dozy. … … … … «

111

Tab.

XX.

1/5

II.

AVE

112 SYNOPSIS HEPATICARUM JAVANICARUM.

Pag. Tab. Pag. Tab,
SCrOPDIWIN. ab Bie ee eersel protensd- Gottsche, … … … ntt bl
SeCUFOLB IN) Tab 1E. a Reboulia N.abE. . . . . . . 99.
semielata' v.d: Sdkeliasr wrd sieeever rip; UI. Javanica INsiabe Bes Son, Verende DDS
simplex Ldbg. r- 8. | Mieeta Mich, Sn „oe nt Dis
subintegerrima .N. ab E. . . . . . 19. | Billardierù Mont.-et.N‚ oh Seher
Surinamensis Molkb. Mspt. . . . . 103. XX. Junghuhniana N. et Ldbg. . . . . 101.
terebransENBBbel > ner ei Scapania Ldbe. . . . . . … . 28.
Leysmannmvd Sd. eit ee MEDE EE ferruginea Lehm. et L.. . . „ … . 24,
trapezoidea Ldbg. . . ..... MM. Javanica” Gotteche. … … san A28:
Ungarangana v.d. Sd, Le. . . . . 10. NB nemorosa N. ab E. . . . … . : . 23,
variabiekvsd. iSd. ess 5 on ER 10: BVE midas NS ab: etten nnee A2
variegata Ldbe. … de IS, Sendtnera End. . ..... 48.
Ptilidium N.abE. . . .. . . 50. dielados" Bodt. … v7 vaten En 0
sciureum iN. ab EE … == Weer. 50: dierana Wämker 204 leon RRD JES
Ptychanthus N.abE. . . . . 55. BEBEENE ABE Or ee
Javanieus Gottsche . . . . « … … 55. juniperina N. ab EB,’ A4 r48
intermedius Gottsche. 0D. ochroleúda N.:ab B. „5 A A8:
retusus N. ab E. 56. Symphvyvogvna Met N. … . . 9d.
sulcatus N. ab KE. 56. podophylla M.setaN … Getrnen de
Fadula N. ab K. 50. P ulvordes.N.ab B. 4 nn vat RES
anceps v. d. Sd. Le. 52. X. Fhysananthus Ldbg. en AE Ue IIS

campanigera Montgne. . . . . . . 50.

|. _‘conwolutus Ldbgi. oe 5 eat. Pe WAS
cavifolianHampen. … … … De | Plants vr SE. Leen … omhdt HB
formosa N.abE. ...... - öL |_ spathulistipus Ldbg. . ..... 54
Javanica. Gottsche. „ .…. … …… 50. | Trichocolea Dum. «. «. « . -. 48.
hingulater Gottsche.… … >, ok Mep | _‘TomentellaëNiab. B. … oh tn VSR
Miquehana' Tayl, oen oe SRD: |

i

en nl,

EMENDAND A.

Pag. 10. lin. 7. ab infer. alteriove lege: alterove

» 18. „ 13: — ep DJ Hep.

) 19 > 15, — naturali » natural:

’ 28. » 8. a super. flagillifero D) flagellifero

28. _» 18. ab infer. perianthum » perianthium

De SR we: —- S » Sels

ne Adan ent: — N. ab B. » N. ab E.
DDO ML — PHRAMICOMA » PHRAGMICOMA
» 68. » 7. « super. ventralis » dorsalis
ned0 onde —- quartum » guartam
Sn — ventralis late » dorsalis late
Tab. _ IV. fig. 7, Folia suprema rami spicigeri P. Sandei, supra

basin spicarum sunt insculpta; finge retro eandem.
» XXII. LIJEUNIA lege: LEJEUNIA.

PLAGTOCHILA Zal.

JUNGHUHNIANA

Aad Koawels, del.z hitn PROPINGUA.

VERIL ID. KON. AKAD. VAN WETENSCH. D.V.

PLAGIOCHILA VLAD

A.J Kouwels. ál. Lith TEYSMANNI.

Mer & C° Amst 1mpr

vr TR
VERH.D

_KON-AKAD.VAN WETENSCH DV

hg 8, “, 5 me
CAed SANDEIACOSTE Sen Hap Joven.
en Deh PLAGIOCHILA. PAT

u, e)

Nn
|

SS
wi)

il

A.J. Kouwels del. Iith GYMNOCLADA. Meijer & C° Amst impr

D,KON AKAD VAN WETENSCH D.V.

Te

br El Tide

u x
fi € r :
ï N
t y ï
" =
RE
ee
GN |
ot
% {
Le =
4 |
ES
à ‘ Tek
pe ny
‚a
n
\ i, A „ h
AN in
Nt
Î
Í N
-
5 \
ï
rr pn Ll EN

PLAGIOCHILA. Tib IN.

De An \ \ ì ie k } f Ù JL ge

on

DN

p
ON

ard

VARIABILIS. Meijer AC? Amst impr

CMv-d.SANDE LACOSTE Syn. Hep. Jvan.

PLAGLOCHILA. Jab. N.

AJ Kouwels del % Lith EUSCA.

__ VERILD.KON AKAD VAN WETENSUILDV,

hen |
olet

en

TNI.

hf

jk

CA SANDE LACOSTE Son er Javan— vogGERMANNIA.LOPHOCOLEA. LEPIDOZIA.

(a

Sh

Ir

Meijer & Of Amst. ampr

GONYOTRICHA .

A.J Kouwels del & héh.
_ VERE D.KON AKAD VAN WETENSCH.DV.

iN in es
lee iik

3

é k É RN ee Aen wise WET Els
_ ; IE IE ed 8 dl

bt er
ij CMrd.SANDELACOSTE Sen Hop, Java cyrrLOSCYPHUS. MASTIGOBRYUM. ie

TRAPEZIOIDES.

Ds

N\

DENSUM Meijer &C5 Amst-umpr

A.J. Kouwels del % lith.

VERH.D.KON-AKAD VAN WETEN SCH.DV,

MASTIGOBRYUM . Tab, VUL.

AJ Kouwels del & hith. JAVANICUM. Meijer& C5 Amst. impr.

VERH.D.KON. AKAD VAN WETENSCH.DN.

CA-d.SANDE LACOSTE Sven Hop. Javan. B

A JKouwels del. & hth PARADOXUM. Meijer C° Amst uapr

VERILD.KON.AKAD VAN WETENS CH. DV.

à ú S Sd : Kd
CM yd SANDE LACOSTE Svr Hep Jasar.

RADULA. THYSANANTIHUS , Mb 1.

GE
ke

CROS

A5
LES _l

Aannnnsk

A.J. Kouwels del %lith PLANUS.

Meijer & C5 Amst. pr

VERE.D.KON.AKAD VAN WETENSCH DV

L AN uit, j
re) ie ver
ef Ke

ee ker DD Te

Te
CM vd SANDE LACONSTD Syr Mep Jasar. PHRAGMICOMA. PN

Y

A AS
EN, W ' 07 NAP en
Ny tlg

AJ Kouwels del. & hth POLYMORPHA P PLANIFOLIA . Mezjer 405 Amst arapr

VERH.D KON. AKAD. VAN WETENSCH DV.

ri NN

| CAI v-d. SANDE LACOSTE Syn Hep. Javan. LEJEUNIA. Zb NIL

DOZYANA.

UAL
Ms Ü te,
ú de

ded Kouwels del 4 Lith MOLKENBOERIANA.

VERILD KON AKAD VAN WETENSCH.DV.

Jab. XL.

LEJEUNIA.

CMLd SANDE LACOSTE Syn Mep Javan.

APICULATA.

FALSINERVIS :

Á

gie
/

\ ej,

Amst.1mpr.

Meter &C%

ALOBA.

Leth

dl
de,

A 3) Kouwels

VERH.D.KON AKAD VAN WETENSCH.D V.

LEJEUNIA.

Tab. XIV.

DECURSIVA.

A JXouwels del. lith VE SICARIA.- Meijer & C° Amstmmpr

VERH.D.KON.AKAD.VAN WETENSCH DV.

CM v.d. SANDE LACOSTE Syn Hep. Javan. EFRULLANIA. Kub. XV.

AJ.Kouwels del. & lit REFLEXISTIPULA. Meyer &C? Amst mpr.

VERILD.KON AKAD VAN WETENSCH.D V.

CHLvd SAND] 3
vd. SANDE LACOSTE Svn. Hep. Javan FRULLANIA. ib. XVL

Â_J Kouwels del 4 lzth PINNULATA . Meijer de CP Amst Apr-

VERH.D.KON.AKAD. VAN WETENSCHD V

CM. d. SANDE LACOSTE Syn Hep. Javan. Tab. XVI

FRULLANIA.

j ne
e ESS
X REN

en

EvS
ee

SINUATA.

A.J.Kouwels del.Zlith. SINUAT A }P TENELLA Meyer& C? Amst. impr-

VERH D.KON AKAD VAN WETENSCH.D.V.

4 5
H
3 :
ft

FRULLANIA.
MINOR.

TRICARINATA

S.
EK,
s
S
5 le!
| -|
5 Z
S Ë
hos
= E
: d 8
ad E 5
: 5 5
ie 8 8
8 EN:
in

K 5
SS 5 h N eN pin | ä
7
e =
eel ie
. Z
hl
3 ES SV
É EE 5
= 5 ii
=
==
=
5 4
_ _
5 8
S kon
E 5
5 ,
et al
El le)
el
2 =
5) A
Ees}
E E
e 8
Le Ee
= Eed
> e=
EN:

CMv.d. SANDE LACOSTE Svr Hep Javan. PLAGTOCHILA. Tub. XX.

Wens) a
> AGN Gi a

u ‘|

pn Ul A
an ul
ER:

/
\

eN
WJ Ay
Pd Goes Ò /
WW Er) J |
PS en 5 FN |
= == Ma
N EN N 7 SS
\
en, IJ

À.JKouwels del. &lit
e es DREPANOPHYLLA.

VERH.D.KON. AKAD. VAN WETENSCH D.V.

Pe rtV.

ES:

"amar TEN

ad
‘
# À k
De
Es
DN '
'
ze
_ N

CM v-d. SANDE LACOSTE Syn Hep. Javan. MASTIGOBRYUM. MADOTHECA. Tab. XXI.

AJ Kouwels del &lith JAPONICA. Meyer 4 C° Amstampr.

VERHD.KON AKAD VAN WETENSCH.DV.

LIJEUNIA .

MUCRONATA.

A.J.Kouwels del.& th DESCISCENS. Meijer & C? Amst apr.

VERH.D.KON AKAD VAN WETEN S CH_D.V

RÉDUCTION

INTEGRALES DEFINIES GENERALES

ze Cos.pada Sin. pad
jn Re JN F (x)
6 ge dte

ET APPLICATION DE CES FORMULES AU CAS,
QUE F (x) A UN FACTEUR DE LA FORME Sint & ou Cost «.

D. BIERENS DE HAAN.

Publie par Académie Royale des Sciences à Amsterdam.

AMSTERDAM,
CH Go WVAN DER POS T:
1857.

gp HA (nt nare

NED VP Ne

D Ari PM eon Dr

Esse U aub
TES 6418

II. $ 14, 15.

IN asl

SOMMAIRE

Démonstration de quelques (15) théorèmes généraux.

Application de ces théorèmes, lorsqu’on prend Cost z, Cosa v, Sina wr,

z Sint pour F (e). — Valeurs de quelques intégrales définies.

Démonstration de quelques (4) théorèmes généraux, pour les cas, où FE (z)
2

est une fraction, qui ait la fonction 1 — 2 p Cos. e + p* pour dénomi-
nateur. — Applications de ces théorèmes: valeurs de quelques intégrales

définies.

Démonstration de quelques (10) théorèmes généraux sur les intégrales

défimies générales:

Í P(r) Cost «‚ Cos. po En Í Fe) Cost zm. Sin. p ej,

ee Ne
o g* + D o q a &

oo ) ” De 2 Si ar an WN:
ij fr | Pa) Si,
ö destr d £ dai t

Applications de ces derniers théorèmes. Valeurs de quelques intégrales

définies.

ee

Pe ì l4ht vedo 8, r
ne a soutien ft

et hes Tien i

dj ’
gemin dele margo jak

brhniangee tte Hallie „man

. ed AED: (5 vaa
= vond ERN wnd,

DR. ereen ni MEN

Ge att A wise ni ei

lk LN al le

remar S if oki mdr

veras di Buley:

® AR er sE

REDUCTION

DES

INTEGRALES DEFINIES GENERALES

| Mg, | Peeter,
q j-z* g? +?

ET APPLICATION DE CES FORMULES AU CAS,
QUE F (@) A UN FACTEUR DE LA FORME Sinar ou Cosax.

PAR

D. BIERENSMDE HAAN,

nd de Da nn msn

IL. DÉMONSTRATION DE QUELQUES THÉORÈMES GENÉRAUX.

1. Parmi toutes les méthodes différentes, que l'on a imaginées et appliquées
à Pévaluation des intégrales définies, il y en a auxquelles le développement
en série sert de base: et parmi celles-ci de nouveau, l'on distingue la sui-
vante, qui est assez connue.

Aprés avoir développé un facteur quelconque de la fonction à intégrer dans
une série, cette fonction se trouve elle-mème développée dans une telle série;
lorsque done on prend l'intégrale de cette fonction, on aura une série d'in-
tégrales partielles, au lieu de lintégrale de la série elle-même, comme un
des premiers théorèmes de la théorie des fonctions nous lapprend. Dans le
cas que toutes ces intégrales partielles, qui en général se trouveront être
pour la plupart ou même toutes d'une même forme, sont connues, on connait
par suite aussi l'intégrale cherchée; mais cette valeur a en général la forme
d'une série, etl ne se présente sous forme finie que dans quelques cas spé-
ciaux; néanmoins la première forme peut aussi offrir ses avantages particuliers.

15

WIS- EN NATUURK. VERI. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V,

2 REDUCTION DES INTEGRALES DEFINIES GENÈRALES.
On peut appliquer cette méthode à Vintégrale dêfinie générale

"b
= | {@) rade,
a
lorsqu’une des fonctions, par exemple 9 (£), est développable dans une série,
dont les termes dépendent des Cosinus ou des Sinus des multiples successifs
de la variable, c'est-à-dire, lorsqu'on a:

c E

gp, (er) — Ag + FS AnCos.nsx ou rp, (2) = ZB,Sin nez; *) .... (a)
1

Á=

EN

car alors Vintégrale L consiste dans une série de termes, qui auront la forme
b b
[ro Cos.nsrdz ou | (z) Sin.n sadz;
a a

et Fon a, en désignant notre intégrale dans les deux cas précédents par l,
et 1, correspondantes à la forme @, (x) ou », (z) dans les formules (a),

= Í feeste -|

b

6 Bonn
f(e)de ik o + EA Counsel == „frmaerzanf pe Cos.nsedr, (A)
1 ent)

a a a
b b :
| fe (ode f () de = Bj Sin.nsz == = B, [ persinnszar (B)
5 . 1 1

Mais ces deux formules générales donnent lieu à quelques observations.
En premier lieu, c peut être un nombre fini, de sorte que la série d'inté-
grales dans ces formules est elle-mème finie, alors les formules (a), (A) et
(B) valent toujours sans aucune restriction. Au contraire cela n'a pas tou-
jours lieu, quand e devient infini, que la série dans ces formules se prolonge
à Finfini elle-même: il faut alors, que les séries (a) soient convergentes pour
toutes les valeurs de z, situées entre les limites a et b de lintégration; et
encore faut-il que les séries (A) et (B) soient convergentes, lorsque les in-
tégrations ont été effectuées. Ces conditions sont évidentes: or, la première

c
*) Le signe de sommation (2)
I
désigne ici, et par la suite, la série f (1) + f(2) + /(3) + -.---.-. f (ce);

où lon voit que la lettre n représente l'argument qui parcourt la suite des nombres naturels de
n=l Àà n=—=e, et où c doit toujours être un nombre entier.

RÉDUCTION DES INTEGRALES DEFINIES GENERALES. >

est nécessaire lorsqu'on veut intégrer cees séries entre les limites a et b, car
les équations (a) ne seraient plus toujours identiques dans le cas contraire et
ne donneraient plus de relation entre la série et la fonction, qu'elle doit re-
présenter: il n'est plus permis de substituer identiquement les séries aux
fonctions, et tout le raisonnement, qui a conduit aux formules (A) et (B),
perd son exactitude, Pour les limites a et b elles-mêmes pourtant cette con-
dition n'est pas de rigueur, car il arrive fréquemment, qu’aprés Vintégration
le résultat, c'est-à-dire les intégrales
b

[ren Cos.nsrdx ou [re Sin.nseda,

a a
obtiennent néanmoins une valeur parfaitement définie, el alors les équations
(A) et (B) ne eessent de subsister, Mais en second lieu ces séries-ci doi-
vent être convergentes elles-mêmes après lintégralion, ce qui est bien clair;
puisqu’autrement elles manqueraient de somme, el que dès-lors cette somme
ne saurait être représentée par les intégrales définies [, ou L,.

Quant à usage de ces formules générales (A) et (B), Fon s'apercoil aisé-
ment que la fonction RE) doit avoir une telle forme, que les trois intégrales

5

b b
[ro da , | f(e)Cosnsrdr et fs SOU F5 0 BEL (b)
a a “a

obtiennent une valeur finie et connue. Mais alors aussi les derniers membres
de ces formules sont des séries, qui dépendent seulement des constantes, que
on trouve dans Vintégrale cherchée; et ces séries donnent lieu à des résul-
lats d'une classe dilférente, selon qu'elles peuvent être regardées ou non comme
les développements d'une fonction connue quelconque. Dans le premier cas,
on obtient une valeur finie pour Vintégrale détinie correspondante et l'on a
effectué une évaluation proprement dite; au cas contraire, que la série ne peut
pas se réduire au développement d'une fonction connue, et en outre quelle
est infinie — car une série finie retomberait sous la catégorie des fonclions
linies — lon acquiert une relation entre une intégrale définie d'un côté et une
série infinie de lautre; une de ces relations, qui souvent sont d'un grand intérêt
tant pour la theorie des intégrales définies, que pour celle des séries infinies.

2. Pour notre but actuel, soit a — 0, b — 2 et prenons f (©) — pet’

les intégrales (b) deviendront:

Û

Á RÉDUCTION DES INTÉGRALES DEFINIES GENERALES.

gde mn f”qCos.nsede a ®gSin.nsrde
gehe? 2
o

ä mm ENIS, jd À
gta: 3 qe

0

d

Pour f(x) =-

au contraire les mêmes intégrales donnent:

gert
ee Ordre l ® y Cos. d 1 hs
| rme | EE fer Binon dee Bi(na0),
BAE belen ct k qd? 2
Pe Sin. nsrda mr
Er ne Cr kendo Ardin beren be (d)
g+? 2

Observons que ces six formules d'intégrales définies se trouvent dans mes
Tables d'Intégrales Définies etc. (Voir Tome IV de ces Mémoires, respectivement
à la T. 19. N°. 2, T. 205. N°. 5, T. 205. N°. 10, comme somme de T. 5.
N°.9 (pour p—=g=1) et de T. 51, N°. 15, à la T. 205. N°. 14, et T. 205.
N°. 6, où Von pourra consulter la litérature, ce qui nous épargnera la peine
de les déduire ici. *)

Il résulte des formules (c) et (d) que la supposition f (2) = B Ee
est possible dans les formules (A) et (B) toutes deux, tandis que l'autre
» TL
ld tere
tendu que dans la formule (A) elle conduirait à un résultat infini. On par-
vient donc au moyen des équations générales (A) et (B) aux formules sui-
vantes :

n'est en général permise que dans la seule formule (B), at-

En (v en == jen EA == BN (Ca GEEN EPSON ORS Die (C)
3 q° te? 2 21 2 o
[e (z) nn —= 5 An [eros Ei. (nqs) — eas Ei. (—nqs)] teek a (D)
0 ej 21
|» jEEE gron chor), otd he Aengenent a (B)
À gd?

ie, HU me n 5
Í P. (z) ED 255 EN, ee (F)

*) Tei la fonction E? (a), PExponentielle intégrale, désigne Yintégrale:

Ei (@) = Í erde

&

— 6

1
met Bingse Bil —ngs)]- (°)

REDUCTION DES INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES. 5

Dans la formule (C) on a compris le premier terme détaché A, sous le
signe de sommation; et cela est permis puisque le terme général Areas n'est
pour n= 0 rien d'autre que A. Au lieu de la formule (E), qui est peu
utile sous cette forme-là, on pourra aisément obtenir une autre intégrale plus
convenable; prenons au lieu de #, (x) la fonction

c
P, (@)— ri! (2),oùp,'(z) == Ag! HE An’ Cos.ne' z.
1
Aussitòt que A,’ devient égal à A,, comme nous l'admettons ici, Pon a
c en
Pi @)—p,'(e) —= FE Anlosnso — E An Cos.ns'r;........ (e)
1 1

et lorsqu'à présent on fait usage de la formule générale (A), le premier terme,
qui était infini comme facteur de A, s'évanouit, et Von a:

xda liet ,

En [eros Ei. (—ngqs) + engs Ei, nas)

| es er Pal) ln 25

Jee
+ zg TA [eres Ei (—ngqs') + engs Ei. (ngs')] ‚(E‚)
1

9. Mais si nous considérons les formules (c) et (d) plus attentivement,
elles nous apprennent, que la fonction f(z) peut encore contenir comme fac-
teurs les fonctions circulaires direetes Sin.pa et Cos.pa, sans que pour
cela les intégrales (b) changent de nature. Supposons en effet en premier
lieu:

Sin. pa q Cos.px
fa) = et fo) ES,
gE qe
alors les formules (b) deviennent:

PgSin.prde We,
| Teen == 7 le PE (pq) — Pl Bi (—p4)} |
nen ine gde Sin. (wp + ns) r} + Sin. ((p—n sz}

2 „2 TE 2 2 5 7
A q4e EBEN 2 Ee
„en de _ (°_gde Cos ((p —n 3) z} — Oos. [(p + ns)o}

gta? OAN aen 2 f

je [ gde Cos. (ns —p)e}— Cos. (as + p)al}
q° ie oo 9, /

6 RÉDUCTION DES INTEGRALES DEFINLES GENERALES.

EQ Cos.pade
| fi ved Ü Hij id AE \
bee ij dee Rf 2
in q Cos.p xr. Cos.nsad jn hels w Cos. (p—ns)a} + Cos. |(p + n3) 1}
get p: Je q* + Pua TER) RO pgr TE WES ze
0
: bien ij
| 4 de _ Cos. {ns — p) mj Cos. (ns + p)e}
ger 2
ne Cos.p aw. Sin.nsrda gd Sin, {pH n8)a} — Sin. ((p— ns) z} |
ge He? Ei qa? 2 i

"0

“Dans les formules de troisième, einquième el sixième, on a déjà
transformé un facteur sous le signe d'intégration, qui était un produit de deux
fonctions circulaires directes, dans une somme ou une différence de deux fonc-
tions semblables, selon les règles connues de la Gontométrie: de sorte que
ces intégrales définies seraient partagées en deux autres, dont les valeurs
sont déjà données par les formules (c). Mais ici il ne faut absolument pas per-
dre de vue, que la seconde de ces intégrales (c) ne vaut que pour le cosinus
d'un arc positif, Or, dans les intégrales, dont il est question maintenant,
Parc (p+ns)r est toujours positif; mais dans l'autre are (p—ns)a le
signe dépend du coefficient p— ns: et comme dans les sommations des équa-
lions générales (A) et (B) » doit parcourir la suite des nombres naturels
depuis 1 jusqu'à ce, p— ns est positif aussi longtemps que ns est plus petit

que p ou bien ”n plus petit que £, mais s’évanouit lorsque ”s est égal à p

D A À . .
‚ et même devient négatif lorsque ns devient plus grand que

S

ou ” égal à

p : Mee zak
p ou bien » plus grand que =. Il sensuit, qu'en général lon doit décom-
s

poser les sommations qui dépendent de cette deuxième intégrale (c), au lieu
de les prendre depuis n= 1 à n=e: et cela bien dans deux autres somma-
tions, dont Pune va de 1 à d, et lautre de d +1 à ce, pourvu que d repré-

3 . B 1
sente le plus grand nombre entier, qui soit contenu dans —, de sorte que
8

bongait p—=dst pps d 0
C'est seulement dans le cas que ns reste toujours plus petit que p et que
sa plus grande valeur cs est encore moindre que p‚ que la seconde de ces

REDUCTION DES INTEGRALES DEFINIES GENERALES. Í

sommations n'a plus lieu, et que Von garde la forme originelle, puisqu’alors
p— ns reste constamment positif entre les limites de la sommation.

Mais aussitôt que Ë est un nombre entier, c'est-à-dire que lon a p= ds
S

el p'—0, les intégrales (b) acquièrent une autre valeur spéciale pour n—d,
car alors on a:

li qSin.pe.Sin.nsede | Sin. px. Sin.padx là q Sin. 2 pede ade zl

En: 2 2 En
Og +e NET EEE:
gn HS Zen 1 — Cos. Up we dar EN Es A) ‚ns —= pi
te? 2 22 22
(g}
enn [eeretmerde Ik glos*pade
Je qe He? À ge te g+?
2 qde 14 Cos.2Upe Wier: An zijne 7 3
en — — eTEP zE == —2pg
| q2 4e? 2 ET ke ki

où de nouveau lon a fait usage des deux premières intégrales (c) *). Ll n'y

done pas lieu de les employer aussi longtemps que cs est plus grand que
p; mais aussitòt que es devient égal à p‚ il faut sommer les premières ex-
pressions des formules (f) depuis n= 1 à n=ec— tl, et prendre ensuite
pour n= ce, la valeur correspondante dans les formules (g). Lorsque dans le
même cas ns était plus grand que p‚ Fon doit prendre les premières expres-
sions dans les formules (f), depuis n —1 jusqu'à n — d — 1, celle de l'équa-
ton (y) pour n—d, et sommer ensuite les secondes valeurs dans les for-
mules (f) depuis n=d41 àn=c.

Ce que lon vient d'observer à l'égard des mtégrales, qui dépendent de la
deuxième des intégrales (c), n'a pas d'inftuence auprès des deux autres for-
mules de (f), qui dépendent au contraire de la troisième de ces intégrales (c),
et cela puisque celle-ci vaut tout de même pour le Sinus d'un arc négatif,
comme la réduction le prouve facilement. Car on a généralement

*) On trouve ces deux intégrales (9) dans mes « Tables d'Intégrales définies.” T. 205. N°. 21.
(dans le cas de p=l) et T. 205. N°. 23

8 RÉDUCTION DES INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

PgSin.(—rx) de 1 9
| - 7 5 == z [e7 Bi (—rq) — erm Ei. (r9)] =

Ü

1 , Po Sin. rx)de
== — [eri Ei, (rq) — et Ei(—r 1] en 1 ikk
2 2 2
2 Á qg He
lei done il n'importe pas, que r soit représenté par p— ns ou bien par
ns—p, c'est-à-dire le résultat est exact, soit que p— ns soit positif, ou
qu'il soit négatif,
L'on peut done à présent rassembler les cas discutés et les résultats des
diverses observations dans les formules suivantes:

Og Sin.pede 1 : % \
Í re En nin (er? Ei (pq) — er? Ei (—p 1]

0

qSin.px.Cos.nsade _ 1
| oe 5 en = did {glptns)} —ertnsa Ei. (—g (pus) |+

0

1
oe 7 [e-Prd1 Ei {q (p ns} — erna Ei {— q (pn 2} ]

— 5 eva [erst Ei (q(p—ns)} Hera Ei {q (p +n3)}] —
1 :
> jet [est Ei {—q(p Ans} Hera Ei {gprs}
(1)
| gers Sede Zeer Letra — Lem (e”SI — E75) ‚ns Z p;
Lo gtr 4 fi 4 Ar Hi

TE TT
Ezi a ke

fi (eP1 —ePI) ETNA ‚ns > Pp;

TT DER
ig berk A00) VER

== — 6 P1

| eee: 7
gede 2

ve EEN ad
2 sE eg (pns en (pt-ns)qg —= —e=pglens ns :
) qe Ar a’ ri rid ilk wanne van oe

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES. 9

\
| qCos.pa.Cos.nsade £ ZE espg HL e(rstr)a ke (epa He-Pl)e-nsd, ns > Pp;
k qe Fe? 4 4 4
TE
mh (er) ‚ns==p;
® qCos.prx.Sin.nsedn 1
| Le D ee zeeen (q(p-tns)} —rtron Ei (aptn)}
Ee
vj ()

— 7 mn Ei (qlp—n s)} — pna Ei. {— q(p—n s)} |
= — era [erst Ei {q(p—ns)} —e "Ei {q pF n3)} | —

L
ie [ess Ei {—g(p dns} —e ra Ei {— q(p—ns)} |
Dans le cas, que E est un nombre entier, c'est-à-dire que p est égal à

p , . Pp
ns, il se trouve auprês de la sommation pour cette valeur de »n arti

terme, qui dépend de la troisième valeur pour la troisième et la cinquième
des intégrales (kh); mais quand on met chaque fois ns =p dans les deux
premières valeurs pour les mêmes intégrales (pour „ns moindre et plus grand
que p), Fon retrouve des résultats tout-à-fait égaux à cette troisième valeur.
Done on n'a pas besoin de tenir un compte à part de ce terme, mais on peul
Vadmettre soit dans la sommation pour ”s plus petit que p‚ soit dans celle,
où ns est plus grand que p.

Il suffit done de ces formules (k) pour décider de ce que les formules gé-
qSin.pa qCos.pz
glee

nérales (A) et (B) deviennent, lorsqu’on y prend successivement

pour f(x). On obtient alors:

ie qgSin.prde 1 c EN \
| 7, (2) ERE DN [erst Ei {q(p—ns)} + ernst Ei (q(pns)} ]

E c
— zE Àn [estEil gps} Het Ei {—g (prs) |] - (G)
ij

5 qSin.prde 7 6 u

== — == ed > nsq …— e—NS 2

0 Pa (©) q: Hz? Akten 1) ‚p Zes; (H‚)
16

WIS- EN NATUURK. VERI. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V,

10 RÉDUCTION D'INTÊGRALES DEFINIES GENERALES.

5 (e qSin.pede ett B (eer ij Je Ae \
Ta —==em EB, (e* — e—159) 4 — eP1—e-PI) EX B, e-n0
sn ge tet d I 4 Ie p=detp! ’
' 3 pe,
DE e= Aijen 5 Bheri en B, eren foer —Pq Bpel ‚ensq de; egt (H,)
d 0 4 0 0
jk janse ze e ï ne eg [
, x == CID n(ensq - e—-nsg C85 .
RAN eea end ek
mT d e
— Zer e-PE A, ensq He—nsg end -Fe-Pi) E Ap e"s0
gent CtpemtjdOTHP) E An qe,
d Pp 5 De
Tr
= jerferj> 5 Ano ZZ An Eeen Lenen dell
0 0
ao
qCos.pade 1
| Pa (2) e ETE =— rd =D, ensq Ei {q(p—ns )}— emnag Ei, { U (prs) |
To

1 c
ant epa > B, [Lens Ei —q (pns)}— era Ei. {—49 (p—ns}] kiten (IK
0

L'on doit remarquer ie1 à l'égard de la transformation des sommations pré-
cédentes, que dans la formule (G) le premier terme, qui est fourni par l'é-
quation générale (A), c'est-à-dire

de A fer? Ei (pq) — er? Ei (— ro]
se trouve être la même chose, que ce qui provient des deux sommations, lors-
qu'on y prend » égal à zéro: done, puisque ces sommations étaient prises depuis
1 jusques à ec, 1l faut les prendre de o à c‚ pour y admettre le terme mentionné.
De même dans la formule (K) on a pris les sommations depuis o jusques à
ec, au lieu de les prendre de 1 à ec, parceque pour la valeur zéro de »n les
deux termes s'évanouissent séparément, et que par suite ce changement de
mites ne change en rien la valeur de V'intégrale elle-même. Dans l'équa-
tion (L,) on a admis le premier terme, qui provient de l’équation générale (A),

« N . 7E .
c'est-à-dire ae; dans la sommation, qui commence alors avec la valeur

zéro de n au lieu de Vunité, tout comme il a été justifië à l'occasion de la
formule (G): dans (H,) au contraire, par la même raison que dans la for-
mule (K), on a changé la limite inférieure de la sommation, unité, dans
zéro. Dans la formule (H.) la sonmation de d +1 à ce est réduite à la dif-
férence de deux autres sommations, Vune depuis o jusques à c, l'autre de o
à d; et de même dans ['équation (L). Mais en outre dans cette dernière (L,)

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. Mi

on a pris pour l'autre sommation depuis f jusques à d, une autre de o à d,

et cela pour y admettre le premier terme détache — e?4, qui est fourni par

"or

V'équation générale (A), et qui coincide avee la fonction à sommer, lorsqu’on y
prend le zéro pour n: tandis que dans la formule (H,) la sommation de 1 à d est
encore changée dans une autre de o à d, puisque le terme ajouté de la sorte pour
la valeur zéro de n est nul lui-même, de sorte qu'il ne change rien au résultat.
Il s'ensuit que toutes les sommations commeneent à présent avec zéro;
cela a été effectué, d'une part afin d'avoir des formules d'une forme sembla-
ble, d'autre part puisqu’alors les sommations elles-mêmes deviennent en gé-
néral plus faciles dans les cas spéciaux.
4. Passons aux substitutions analogues
ie Zeer pe
gta? q te?
alors on trouve par l'intermédiaire des formules (b):

ErSin.pardrz Tr
ii: e—P4

ID) ==

TR 2
f'raerrdaneed: LA fe ede Sin {(p+ns)a} + Sin. {(p—ns) er}
£ ge He? pn 2 a? 2
EL | ade Sin. {(ns + p)ax}— Sin. {(ns— p)r}
út q° Hat 2
[zg ‚pe. Sin.nsade Ik ELEN Cos. |(p — ns)a} — Cos. {(p + ns) 2}
Nn Ca di ae 7
mCos.prda 1 k „ ;
| Ee == mma pa Ei(pq}
Ni z Oos. ck Cos.nsad en a adr Cos. {p—ns)e} + Cos. {(p + ns)a a}
Er qe Het 2
ie teen Sin.nsrde — | adr Sin. ((p Anso} — Sin. ((p— ns) den
8 ge? qe? 2
2 ede Sin. {(ns 4 p)z} + Sin. \(ns —p) vj
HARE 2

Ges équations donnent lieu aux mêmes observations que les équations du
paragraphe précédent, en tant au moins qu'il sy présente un produit de fonc-
16%

12 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

tons circulaires direetes comme facteur sous le signe d'intégration; ce pro-
duit est déjà décomposé dans une somme ou une différence de fonctions sem-
blables, d'après les règles connues de la Goniométrie. Mais ici la valeur
ie ter de lintégrale, qui se trouve parmi les formules (d) donne lieu

\ Péquation
« Cos.(—ra)de 1 Palos.(Hra)da
2 > sl ged == — zg [e7Eilgr) + err Ei (—qr)] — | EE Gre)
RA ge He? 2 J gee
de sorte que lon n'a pas besoin auprès de la troisième et de la cinquième
des formules précédentes d'observer si p— ns soit positif ou bien négatif.
Ceci ne vaut plus à l'égard de la deuxième et sixième de ces intégrales;
car dans la transformation de ces formules on a l'intégrale
[== (p—ns} ade [= (ns—p)} da
er iS ef ide NCA
2 m2 2 T°
ke dsl. A dr
et iet Pon doit prendre la première ou la seconde forme, selon que p est
plus grand ou plus petit que ns, afin que le coeflicient de z sous le signe
Sinus reste constamment positif, comme il est de rigueur: la valeur de ces

deux intégrales devient done respectivement

’

TE e(p=ns)g er E e—(ns—P)g,
2 2

Si lon a égard à ces observations, on acquiert à l'aide des intégrales (d)
les formules suivantes
Is xSin.padr 7

— == g PY

Pre 72

ib vSin.pa.Cos.nsx da
0

get

7 IT
e(ptas)g getenn rn ePI(ensd Henst) ,ns Z p;

7
4
7 7 Tr
—= — e(nstplg …— zi e-s-PI —= 7 (ePl — ePI) e-754 ‚ns > p;
4 4

I
|

Ie xSin.pa. Sin.nsxd.e

Ì er |
Ee 2 [elr=ron Ei{—g(p—ns)} jers Ei {q (p—n s)}] ()

0
+ 5 [elrtr Ei{—q (ptns)} Je Ptrda Ei, {q (pn s)}]
= zen [erst Ei {a (pn s)} — ent Ei {—q(p—ns)} |

1
Rr [est Li {q (p—ns)} — ens Bi. {q (p + 5)}]

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 15

Prlos.peda 1 £
Í a == {er Ei (—pg) +e-Pt Ei. (p9)}
2 2 g |
BANE a
“® rCos.pr.Cos.nsada 1
| nn geeen (pj eve (gem)

1
ET [ern Ei {— q (p-Fns)} HerWotnsg Ei (a (pdns)} |
= — zen [et Ei {—g(pAns)}—er rt Ei {—q (pn s)}] 0;

1
nn [enso Ei {q(p ns) }— erna Fi {q(p 4 ns)}]

fenn
q° + z?

7 7E N 7E
== — ET (Pr) — gr (PAS —= — EPI (eT NSA — PI) ‚ns > P;
0 E t 4

zt : zt zt
= Beek - 7 ESP —= 7 (epa HePI) AA ,ns Zp;

k k ok z Sin. pz
Voilà les formules nécessaires pour les suppositions f(x) = gran CU
x Cos. pr p dje jé Ì
f.(£) Sar dans les équations générales (A) et (B). Seulement il faut

faire attention en employant les deux valeurs de la deuxième et sixième de
ces formules (i); car dans les sommations, qui se trouvent dans les formules
(A) et (B) Pargument n commence à [unité et parcourt ensuite la série des
nombres naturels jusques à c; done il faut avoir recours aux premières seu-
lement des valeurs correspondantes, autant que es est plus petit que py tan-
dis que pour cs plus grand que p‚ de sorte que l'on ait p=ds + p', p <s,
d<e, lon doit déeomposer les sommations dans deux autres, dont Pune
parcourt la suite des nombres naturels depuis unité jusques à d, la seconde
de d +1 à c; pour ces deux sommations les deux valeurs des intégrales cor-
respondantes des formules (i) valent done respectivement.

Il se peut encore, que p soit exactement un multiple de s, c'est-à-dire
égal à ds (où done p' est zéro); alors, pour n —d, on a une autre forme
pour les intégrales en question, qui deviennent pour ee eas spécial:

| eeetegeede ferret: | ee Dern

a pn = ze == ef == ep

Ë qe Hz? qe Hat Gl BD han me 2 |n=r
en ade Ned te zen (l)
f ge Hat qe 4e? 2) gt He? 2

14 RÉDUCTION D'INTEGRALES DELINIES GENERALES.

Dans ce cas-ci cette valeur pour „sp dillère essentiellement des deux
autres valeurs, que fourniraient les óquations (7) (pour les cas de ns plus
petit ou plus grand que p) et qui seraient ici

kid 7
4 (1 He -?P4) et zi (1 — e—2P1);

de sorte que le cas actuel ne peut se déduire aucunement des deux autres,
comme il arrivait précédemment. El n'est done pas permis ici, d'admettre le
terme correspondant à la valeur 5 de n dans Vune ou Vautre des deux som-
mations, où „”s reste constamment moindre ou plus grand que p‚ mais on
se trouve obligé de tenir compte de ce terme à part. lei done première
ment Fon doit sommer la première fonction, qui se trouve dans les équations
correspondantes (i), de » — 1 jusques àn —d — f, ensuite vienne un terme
_pour ns =d, tiré des formules (%), et enfin pour la seconde sommation de-
puis d +1 à ce, il faut avoir recours à la seconde valeur dans les formules (#).

Encore si p était exactement égal à es, il faudrait prendre la sommation
de n= 1 jusques à n —e—t à l'égard des premières valeurs, qui se lrou-
vent dans les équations (i), et ajouter ensuite pour ne la valeur, qui est
fournie par la formule (4),

A présent les équations générales (A) et (B) nous donnent, lorsqu'on a
égard à toutes les observations précédentes, les formules:

® °_ rSimn pede ” c
Í pr) PEEL Zep An (erst 4 e-r2d) Pp ess oel)
J eh bie atd 4 0

c—l

mr
== zen XE Alert Henst) + za e- 27 HD EE or (lb)
0

mr PIN tk in ( nsq 7 DE pa P1) SA ns)
== EPE rt imi ee € Emis —(e P1—eP! Ee f
2 hd 0 4 dan „p=dstp',

mT c 7 d mr d ER I
== ri — ePU) DE Apen ä era ZT Arent + zn > An €759 ( 13)
, 0 0 0

Ze-PiAg He HEK (ens? ns4) ZA opa 4 Pa —eP1) SA Tr
== —eTP? ei e e—5q Ade d AGL A == Ae”
5 Dn il n zis 27 d 4 Bi ‚p=ds,

d—1 dl mr T

TE TE . 1

PIE Arens Je PI EZ Ane”! + — Ad (us)
0 4 o 4

7 5
—= — (e-P2 — PI) DE An ers —
ij ) ehn He

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES. 15

fe xt Sin.pad 1 e
| Ta en ze nend [ers Ei {—g(pns)} —ertsa Ei {—q(p—ns)} |

1 c
— ien B, [er Ei. {q (p—ns)} — erst Ei. {q (p-rns)}] (M)
o

5 zOos.padz 1 Gi ee, k
Fro geridderd

1 c
— zE An [erst Ei {q(p—ns)} Herst Ei {q(ptns} | (N)
0

8 @) xv Cos.peda cn Sn (erst ns) De, (O,)
Ee dt: ra an de am ede ee
5 gede 5 0
Pr cl 7
Errik er Em dn ln En ‚pes; (O,)
zt “B g Ni
= —e-DE e=nsq — ensq — (eP2 He) > B, ers? !
4 hi Wa hakt? Pda
; 5 p<s,d<e; 5
Tr c TE e TL eagen
== —(ePI JH e-P1) > Bj ernst — — PIE Bj est — —eTP1 3E B, | ihk
4 0 4. 0 4 0 /
dE ER (e-n50 n NEZ 2 HE (eP1 + Pa) SB hl
== EP en 15) Bge PPH (PIH eP1) E Boe
7 ï n 4, 4, deel ke HOE
DEC
zE € zr dl 7E dl Tt e, (
= — (eP1 He PIE Brest — —ePI E Brest eP1 E Brett Ba \ whas
de 0 4. 0 4 0 4

Dans ces formules les sommations ont subi diverses transformations afin
de rendre le zéro leur point de départ commun. Dans les équations (L,),
(L), (L), (L‚) et (N) le premier terme détaché, qui est fourni par l'équa-
tion générale (A), et qui est respectivement

7 1 a
250 e—P1 et — Et [ere Eil—pg) + eP? Es. pal

peut être eensé comme étant produit par la valeur que prennent, lorsque n de=
vient égal à zéro, la sommation dans les formules (L,), (L.), (L), (L‚) et. les deux
sommations de l'équation (N), et dès-lors il est admis dans ces _sommations
en les faisant commeneer à la limite inférieure zéro au lieu de la limite l'u-
nité. Dans les formules (M), (O,) et (0) et dans les premiers termes des
formules (O0), (O,) au lieu de unité le zéro est pris pour limite inférieure

16 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

de la sommation, puisque le terme à ajouter respectivement pour »” égal à
zéro est identiquement nul, et n'a donc aucune influence sur la valeur de
Vintégrale. De plus, dans les équations (L‚), (O,) les sommations qui s'étendent
de d +1 jusques à c ont été décompostes dans la différence de deux autres,
qui vont respectivement depuis o à e et depuis o à d; tandis que dans les
formules (L,), (O,) ces mèmes sommations de dT à c sont réduites à
trois parties, savoir une sommation de o à ec, à laquelle il faut soustraire une
autre sommation de o à d—f, et puis encore le terme correspondant à la
valeur d de ». La nécessité d'une telle division dans le cas actuel, n’a plus
besoin de preuve, après ce qui a élé observé à ce sujet dans les discutions
préeédentes,

önfin à égard de ces mèmes formules (L,), (O,) indiquons que ce ter-
5 5 . . 7 7 Á erge
me détaché, qui est respectivement > A, ou ld B, peut être accueilli dans

chaque sommation sans distinction, pourvu que on étende la sommation re-
spective de zéro à d, au lieu de la prendre depuis zéro jusques à d— 1.

5. Ces vingt-lrois formules (A) à (O,) constituent autant de théorèmes
différents à Paide desquels le problème concernant la réduction de cette classe
d'intégrales définies est complètement résolu, et par lesquels il est subvenu
convenablement aux divers cas qui peuvent s'offriv auprès des suppositions
speciales. Mais ces cas, comme il arrive aisément, ont été bien des fois per-
dus de vue, quoiqu'iei pourtant les résultats différents entre eux nous lappren-
nent, qu'en général il faut bien discerner ces cas divers, bienqu’il puisse
arriver aussi qu'une telle distinction exacte des cas spéciaux n’ait pas toujours
d'influenee; de cette dernière observation les formules précédentes (C) à (G),
(K) (M) et (N) tÉmoignent par éxemple.,

Les théorêmes trouvés sont donc très-propres pour évaluation des inté-
grales définjes qui sont tellement constituées qu'elles peuvent se réduire à
quelqu'une des formes précédentes.

IL. APPLICATION DE CES THÉORÈMES LORSQU'ON PREND
Cost, © Cos*x, Sintr, @ Sintz POUR F (+).

6. Nous appliquerons à présent les théorèmes trouvés à l'étude des inte-
grales definies mentionnées, c'est-à-dire où HF (z) est de la forme trés-
simple, Cos“, z Cos“ zv, Sin“x, # Sinr. A cet effet nous poserons en
premier lieu:

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES. 17
alfa
Pi (rx) == Cos.Ar.Cosar —= Za 4 ae ) CaiBns)

qa (2) — Costv. Sinar — ge E (;) Sin. Un

1 \x é
où (5) est la dénotation connue du n ième coefficient du binòme élevé à la
puissance « ième. Puisque c est Sgal ici à a et que donc il reste fini, toutes les
séries dans (a), (A) et (B) et dans les formules, que Fon en a déduites, sont
linies aussi, et il n'y a pas lieu d'instituer une recherche particuliere à l'égard
de la convergence de ces séries. En employant les équations générales (A) et (B)
on voit de suite que

HE ti |) JAn = 2e;

Nn
et dès-lors les formules (C), (D), (E), (E‚), et (F) donnent, lorsqu'on prend
P',(e) = Cosal z. Cos. ((a — 1) «}
dans l'équation (E‚):

® Cos. x. Cos.ardz n ala 7 Á
ED Ee == A eReader (1)
qd 2q o\r q
P® Coste. Sin,aada Zal a (a
Í 5 Er 2, {en Ei. (2nq) — 2m Ei. (—2n Gt sep ennen (3)
o Ke 1 hadt
ie Cos. zv, Cos.ar
a AE © Gero. goh oe ond Tee RER 8 (3)
gta?
P2Cos.ax. Cosa — Cos.a1z, Oos. {(a—1)x}

a a
= lode 2E an Ei.(—2
gra rde Ge gel nq) +

alfa — 1\ fe? Ei, (—2ng)
mie ( ) - 3
etnEi(2ng)} +2 ed | n Ni e-?m Ei (2nq

"0
La)
|
Cosa r. Sin.a x &
ge te?

La formule (4) peut être réduite à une forme plus simple: car on a pre-
mièrement
2 Cost wo, Cos, aa — Cosa1 z. Cos. ((a—1)} — Cost-l «. Cos. {(a + De},

et encore
À (7) oi Al _ (al
\7 n dk | en

WIS- EN NATUURK, VERH, DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V,

ade = es ( Veen = Z-alnf1ld(l era}... (5)
1

n
/

17

18 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

de sorte qu'on obtient:

za J gal yv, . ( )
Í zalde, ED 4e == — 2e (can Bi. — Zag) Het Hi.(Z ag)
iz d

Ki)
az (1 5 ì
—_ gan i {e2na Ei.(—2ng) Jem kEi(2ng)}.. (6)
rn
L'emploi de la formule goniométrique préeédente auprès de V'intégrale (1)
donne encore:
se mA Ó td:
Í Cos. «. Cos. {((at-1)w} der —= Jarl Ek + ea — Zat! all + e—2jal
ge pet 2q 2q

o
mi BDE gr Jeje No rdnda nn dens Ad (1)
De même l'on a ’
Cogal x. Sin, {(at1)e} — 2 Oost, Sin, ax — Cos.t=l zv. Sin. ((a— De};

et les formules (2) et (5) donnent à Faide de cette formule de réduction:

0 ll @ x\ da Dr af
| Kn en EE 5) (ero Bi, (Un q)— ML Ei (— 219);
pS 1

k gta q n

gaal De
en be Ik |) Sen? Ei.(2nq)—e?m Bi.(—2ng)}
q 1 n
2e 27e 1 =
= à {e-?ar Ei(2aq) — 241 Eil — 2ag)} + = bat, {e2n0Ei.(2nq)—e*"tEi(—2ng)} (3)

® Oos.alr. Sin. £ \a
| Cos En an aaf En 2ar{—l H(Ler2je} —_— gal sdk (lherzijj
qs t

“0
Eiteren. Ne agate ete RR (9)
7. Lorsqu’on substitue les fonctions @, (@) en 7 (x) des équations (!) dans

les formules (G) jusques à (K), ces substitutions donnent lieu successivement
aux formules suivantes:

® Cos.tr.Cos.ar.Sinpede —a—? a /
Í os eene ai pa de 2 ( [emi Lq(p—2n)} He-2m0 Bi {q(pt2n)} |
tee me

en ME Á [eraEi{—o(p2n)} He-PrBi {—g(p—?n) }]-40)
o \x

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES. 19

à Cosa, EU Sin.pede oib; AMG ä (ein — ej
ge He? 47 o \z

a

ne
q

gd
Ja?

em {(Lpetijt (lei) ree eet (lat 11 H et x
/

|

mr a fa 7E dla TE dla
Za (Pe PIE) jena epiEl jenna epEl je Wp
dg n du, n 4 o\x

9 Jagte p<2,d<a
p 7 d d
=ga(eP— e-PY(1 Hete k ent eee nae geese ol (UES)
q go VM OL) aa
Û Cosa ee Cos. L za Pp ee de —= Za Le e=P1 S en (e2m + e—?n1) | ne
} q: He? dq o \z ‚pe;
B 2 —9 MT 3 5 (13
== ZAT PI {a Hett (1 Hea} — Za? ep? (etan 1) (L-He-20e
q q /

a d l \
=2e (ep) He-PI)E 5 em 2e sl ema emS 5) e2ao =d p'
Aj o\x 4 “oo \z 4 o\r lep

4 1 P 1 0 pda;
L .

Rt (Pd HPI Heye 2 PE 3 omge E 5 eng... (14)
q had Kad md î id

d
q o\% q 0

® Cos.ar Sin.ax.Cos.parda Za? a
Í T EE Beh Á emerge) —e aki (g(p-F2n)}}
d q LC q o\z

0

— zl) [em Ei. Lip 2n)} — en Ei, (p= ?2n)} |. (15)
q 0
En prenant la somme et la différence de (15) et de (10) on obtient:

5 5
Cosa xv. Sin. (a + p)al dr in S(2 Ie Es
Í U p) | Ë: ePE | e—2n2 Ei {a (p Q n)}
1

HA gr q 0
gyal a fa) '
rn Satie)
® Cost a. Sin. {(a—p)e} da gal EMG Ke 2E
Í = =: a a Rt en e—p1 rl 5 e2na Ei {q(p—?2n)} +

“0

0

Zal a a)
eni Ei) —gq(p—2n)
W Nt ij
Il s'ensuit de la seconde expression, que la première vaut encore pour une
valeur négative de p. Prenons done dans cette intégrale a + p=r, p=,
17*

20 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

alors on a pour chaque valeur positive de r (la valeur a exceptée), puisque p
est tout-à-fait arbitraire pourvu qu'il soit plus grand que zéro:

® Cosa. Sin.r ada gal OE É
Í 5 LE RE an d ela—r)g ne (\) eng Ei. (q(r —a + 2n)}
gal a fa
== elr—a)g 5 ( | eng Ei {q(a—r—2n)} (16)
q o\x

Lorsqu'on suppose ici successivement r = 2aetr=5a, on a

0

® Cosa v. Sin. 2 al Le
[ Cos. ae inZaxdr ELS 2 e—ag ZS 1) e—2ng Ei. {q (a +2n)}
e qe +? q o \%
gal a /a
— ea = jen Ei. {—glat2n)}......... (17)
q o\z
® Cos.a z. Sin. ns
Í Cos ED Jard 2 Za Wagen ee (24 (a + »)}
E ge Het q o\r
gal a la
Ln e2ag dl | etna Ei {—2g(atn)}......... (18)
q o\”

Quand on prend aussi la somme et la différence des formules (15) et (11),
et de même des formules (14) et (12), il vient:

| Cost x. oen, {la + p)e} da LE (LH ee open
hen qd

0
NL —= dtp!
== Zal epi (1 Hee „P, ’
mep ae. pedal!

| Cos.” a {e md —= 2—-a-l dd e—Pa e2ag (1 + ea \
g +2 q
0 PZ 2 a; enen (710)

gel el2ap (L He)
q

d
— Zal dt ePa(l He-20e— gal id er1 D 5 e—2ng
q ‚p=2dtp',

q vo \%

TE d la p'<2,da;
+ Zal ep FE e2ng )

q o \z

La première et troisième de ces équations donnent pour p — 2 a — car
pour cette valeur de p elles seules valent, tandis que les autres ne permettent

pas une telle supposition —

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES. 21

ie Cost. Cos.3axde
: 0 ij zi id

Í ® Cost #. Cos.arda

q° - T?

On a déjà trouvé cette dernière formule, dans nos recherches antérieures,
form. (1).

Pour p= a au contraire les deuxième et quatrième des formules (mm) valent
seulement avec exclusion des autres valeurs. On a directement

= RT eta (Lerend ann (19)

TE
== Zal (1 -- e=20)e :
D q

pour 2 d=a, elp=—0s
U 2Zd=al,etp=l:
pe Coster. Cos.Zaxda
Á ge te?
en
q° Hz?

se Pa EPE Ai oder KREE enen (2,0)
q

d d
== gal de ea (1 Jeje gal sd ea S 1) e—2ng - gal de ea ES # e2ng,
Jo di q OR q on
. . . a a . .
Mais puisque toujours == on a Ici:
n an
d d ad ad
e—a ES # e2nq —= EA FS ) eg—(a—n)2g — ea FS ( e | e—2ng —= U 5 7) e—?2na
n n an n

0 0 a a
et

dla a [ a fa ala
NE je EN jena E | jen etl He Pjeten FE eng,
o\z o \z dd \n di \n

et done aussi:

Í de == gal gag iP (;) e—2nq + S ) ez) S
ar glam 2 ad \2

Si Fon a à présent 2 da, ou 2d=a—l, il s’ensuit respectivement:

a a ad” 2d 2d
Ds ) ern 5) eng —= XS E) ml) gn —= Wi e—?2dg + vS E) e—2ng,
n d\n d

dl ad d-1 \% d--1 \2
dl (a 2dH1 /a 2d /q
ou == 5 eng + Dy ( eng == SE ge 2ng,
dl \2 d41 \2 dl \Z

Les résultats différent done essentiellement, selon que 2d est égal à a ou à
att, doù a=2doua= 2d +1, c'est-à-dire selon que a est pair ou impair;
on a done dans ces deux cas:

22 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES.

® Costarda 2a (2
Í En E == Q-2a—l Pag C 7) ea gens em)
q +2 q a at1\ %

La

‘ 2
== ma er L g- 2u Pag sl k Hd e—?2ng
g\a q al
ga 4
== 9—-2a-l… ale 7) +2 Eden > zl jetemen
q q al
= 2 anis |t 22 dl aA jen A Tr IENS Ja (21)
q gr \nta
C Val yd —l ed
| er ee me
Ti, q a n

2a—l (9 a —]

Ee Gm 5 ( zn
q a

eg (2n—2atl)g — Zal
1 o\nta
Ensuite les deux premières des équations (m) nous apprennent, que pour
apr la valeur de Vintégrale ne change pas pour chaque r, qui soit plus
grand que a: tandis que la dernière de ces mèmes équations pour a—p =r
nous fournit la valeur de l'intégrale aussi-longtemps que r reste plus petit
” € Û ! ’ : ir
que a: alors on a 2d pp —=(a—r) —p, c'est-à-dire que d est le
plus grand nombre entier qui soit compris dans 5 (a— rr), où done p' peut
être une quantité positive, toujours moindre que deux, mais qui peut très-bien
aussi dans quelque cas spécial se réduire à zéro. Cela nous fournit les
formules:

[ Costr.Cos.rada

) eent1g , (22)

n

—= gal Tetra (leje = Ze! Zerg (e1 He) ‚r>a;. (25)
q

2 2
L He q

1E 7E dla 7E dla

== lelar)g(1 JePe Zalla rg DE eng Zal gar) SE e2ng
q q o\ q o\z
TL 7 d fa dla

=Alle (el J ete Zal lar) ( e—2ng En ga er de zl e2ng TG; (24)
q q 0

où d est le plus grand nombre dans 5 (a—r).

Si Fon veut prendre p —=Â dans les équations (m), il faut faire usage de
la deuxième et quatrième de ces formules, où alors d est zêro et p' unité;
par suite:

[== Cos. (a + 1)a} da

TE
nn el a UE eerden nk ad 25
EE Ade) (25)

0

REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES 25

en ((a—l)z}de

gere
Prenons dans Lintégrale (1) 2a pour a, dans (25) 2a— f pour a, ct dans

(26) 2a +1 pour a, Von a:

Í 5 Cos?ar.Oos.Zazde rr u ® Cos.2a=1x.Cos.Zarde 5

20

alg-a(l-e pant,
q

. tale jk,
qr? q gehe?
0 ia RE De me (Lt e=?
te q

0

Lorsqu’on combine celles-ci respectivement avec les formules (21) (22) et
(22) (pour a+1 au lieu de Zal) par voie d'addition et de soustraction on trouve:
neat Cost arde

att Za hans Aa wb '
el Ds tate 27)? vele . (27)

Ig Cos‚2ag, Sin'arde DE: ri) (LH e-2p tel, gl zl (23)
DT 4 a—2 == e—2gj2a e—?n ‚ (28
0 ilk Fat 77 nja ;
% Cos2aly Cos.* aarde Val |
to —1(1 —29\2a—1 2E —(2n-H1)gb
ha ate aen Aer,

0

| nr zl ene Je at eea). a
rr ad A, 60)

0

0 Oos al 2 q
fs Cos.2a T. Cos. ardz ne Zaat nel 2 at 1 go  (31)
q F Per q n+atl
G 2a+l ) 1
He ostarla.Sin? ande neat Tape perla Zat 1 —(2n--1)g
Pr jr a q nati)

0

Afin d'obtenir encore les formules, qui sont analogues aux intégrales (25)
et (26), il faut supposer successivement r — a +1 et r— a—l duf Péquation
(16), d'où résultent les deux suivantes:

Í Oos. e et ele == En rl, je {7 (2 + 1} —

Zal a [a
LS | em Ei {—g(2nH1)}.... (33)
q o\%,

“0

24 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

B Cosa z, Sin. {(a— 1) x} dx gal
À ge tet q
gal

adi” e= = W 2m Ei {—q(2n lj... (34)
o\%

tie 5 (5) eng Ei, {q (2n—1)} nd

8. Encore les formules (L) jusques à (O) donnent pour la même suppo-
sition (l):

wo a B
Í « Cost x. Cos. ax. Sin.pode EN S 7) (evin fr 0-20)
A ge Hz? o\z

gare ((1 Het H(1He-20)e} —= Varel Hetan(t Hee ‚pta; .

I

ij

d d
Za (eren, jee ga nPE 5 | enja ng PE k
ol n

d fa
Zare ePI(L Hee 2 nere () en peen,
0

daf

tandis que que l'on a pour p= 24:

es ef ) —l
Í « Cos.tx.Cos.ar.Sin. Zande kiss WS a (et porta) hr Brat elan
N ge o\z
—= Za e—2aq {a He20ja — g2a0 + (1 Hete e= Zag} Ja? 7 etag
me ZA ((L HetPar(l He-Bal}..... eneen een (38)

Ensuite:

® #Cos.tx.Sin.aa.Sin.prde a fa) 8
Í q ate? 7 A rd Ä [er Ei. {—g(p + 2n)} —e—2ng Ei. (eg p— 2n)} ]

Zat ep? > (í) [ei {q(p—2n)}— em Ei {q(p + 2n)} |. (39)

fa vCosta.Cos.aa.Cospada

qe eetl, | [LP Eil apt han {—gp—2n)} |

eten ) [em Bi {q(p— 2n)} Het Ei (q(p + 2n)}]. (40)

„(35)
en p=tdtp’,
p<2da,

k - (96)

d< a;

a dl
== Are PPE (jee ementen >= We ng J-ZA rep ij jen ‚p= 2d,
o\ 0 n
Jeen (O0)

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES 25

5 8
a Cos.tx. Sinar. Cos.pada la a (em — 1) A
qe He? op la ‚p>2a;

0
(ere (Aal)
== ZA? 7 e-P0 {a JePe (1 He20a} —= ZA re PI(L — €220) (1 Hee

| ala dla dla 5 \
Za nete PIE mdm emg Zane PIE || pd p',
0% n

0 o\% p'<2,da;
d ra dla 5
RN GA on aan PT ier e2ng_ Zane PIE ganes „i. (42)
o\ o\%,
a la dl (a d (a 5 \
—=ZaAn(ePlHePIE eng Zanen S en Zaan DE en |p—=2d,
o \% 0 \2 o\2 da;
AE a d a 5 13
trente Pil jee tte E | jemen | jr „ (43)
fi) n 0

mais pour le cas de p — 2a, on a de nouveau:

oo . 3 5 » a—
Í xv Cos.tx. Sin. ax.Cos. ard MEN Ne 5 âl (e-2g— 2m) HQ ar erta0
h ak OV
—= Q-a-2nre- 27 {a + e—2ja Sj (1 - €21) ap e?a0} + Za? ng da)
Etn {(—l He Pel Heel}... Werd (44)

La somme et la différence des deux intégrales (40) et (59) nous fournissent
encore :

jy z Cost. Cos. (ad p)a) de

Lela
= — eten Jeez {—q(p + 2n)} —
n

J ge 4e ê
— Zalen XE ) etna Ei {q (pt 2n)}
o \2/
Í x0os.2 z. Cos. {(a—p) } de 7 > UN ne Ei. L- qp—?2n)} ==
0 gta? en

— gal en Z 5) eam Ki (q (p— 2n)}
Puisque la seconde expression devient identiguement égale à la première,
lorsqu'on y suppose — p au lieu dep, cette première vaut aussi pour des valeurs
négatives de p. Prenons done a + p= r,p =r — a, alors pour une valeur
positive quelconque de r (sauf la valeur a parceque p doit toujours rester
plus grand que zéro) on aura en général, puisque p est tout-a-fait arbitraire:
18
WIS- EN NATUURK, VERH, DER KONINKL, AKADENIE, DEEL V.

26 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

a

| ® vCos.ar. Cosreda

4
= Erger 5
g+? 0

| ern Ei {q(a—r — 2n)}
n
0

a

a
— Zal gla=r)g E ( | etna Ei {q (r—aHln)} (45)
o

n
Mettez-y successivement r =O et r —= 2a, alors il vient:

Cr Cos.arda a fa
Í 7 maj == — Zal eg-ag à 8 e2na Ei. {q (a — 2 n)}

— Zal gag 2) ent Hi, Jg (Bl JRE srad le eend ad (46)
o \N

a

Û x Cosa z. Cos. 2 ard
ge Hz?

= — Zal | jes Ei. {—q (a +2n)}
0

n
0

— Zal g—ag ES ) e—2ng Ei. {a (a + 2n)} REP (47)
0 \N

équations, dont la somme et la différence donnent:

|= Cosa x. Cos. axrde
q? -- x?

Ja? -a2lf) fe Ei {q (a + 2n)} H Am Ei {q(a —2n)}]. (45)

= 0E í) [EMEi{— gla H2n)} Je -2MEif —g(a—2n)}|
o\
0

|’ Cosax. Sin? ardea

gr de? == 2 ttl) [era Ei {—g(a42n)} — em Ei {—q(a—2n)} ]

0
whe, EA () [em Bi, {q (a+ 2n)} — 2m Ei {q(a —2n)}]. (49)
0

L'on aurait pu déduire ces intégrales directement en supposant p — a dans
les formules (40) et (59).

Encore Péquation (45) donne pour les suppositions r =5a,r=a— 1, et
r =d + 1, successivement:

| «Cost. Cos.3aaxda uE tarn Pa S a etna Ei gil: ag E
gta? o\

— geelgmE ) ema Bi {2q(atn)} (50)

0

0

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES. 27

[= Cos.ax. Cos. {(a—1l)x} da

tsp Er dE Nl NE el PROUE
tet 2 e 12) 1 Ei {—q (2n—1))

0

0

a
— Zal el TE 5) e2n Ei, {q(2n—1)} .….. (51)
n

® z Cos.tx.Cos. {(a + 1)z}dz Me ld
EE B, 2n An
| EP 2 er ie e?na Ei, {—q (2n + 1}
— Zale DS) 5) eng Ei {g(2nt1)} (52)
o\

et en prenant la somme et la différence des intégrales (58) et (44):

Í EN (53)
5 Ve

| snee Gnande nae staet}

 ek 75

dont la dernière intégrale a déjà été déduite précédemment sous la formule (5).
De même la combinaison des formules (41) et (55), (42) et (56), (45)
et (57) par voie d'addition et de soustraction nous fournit:
Pz Cos.ar. Sin. {(a-p)e}daz
Í pe se ee en) ‚p>2as
g+?
0

Na EE 2) ‚p=2ddp',
Op En Cee penn

it Arn mie (llen 2e „P=d,d Zar

One a VN Eee \
Í zC 08. E, Sin. (e= p)ejde Sale pd e2ag (1 - Ge

ge Ha?

0

d
— Zal zen) jen
Ô

| a
== Jarl Fe Ware Inet 5 ( log:
or

dn „p=2ddZa;
— ZA Vire PI e2ng
0

1e

28 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

Afin de pouvoir prendre le p égal à a, il faut employer la deuxième ou la
troisième valeur de chaque intégrale dans les formules (n), et cela selon que
a est impair ou pair; car dans le premier cas on doit avoir Punité pour p',
dans le second cas p' doit être zéro. En premier lieu les deuxième el troisième
de ces équations (n) donnent chacune:

Dv Costa. Sin. Yards
er te De NEE (54)

J ge tet

Si l'on suppose p égal à a dans la cinquième des formules (xn), on doit
avoir Funité pour p’‚ de sorte que a ou p devienne 2d +1, c'est-à-dire im-
pair. Au contraire I'équation sixième peut s'employer pour p égal à a; alors
a ou p devient 2d, un nombre pair. L'on trouve done dans ces deux cas
pour la valeur des intégrales qui correspondent à la valeur a de p‚ lorsqu’on
lui òte le facteur commun 2! zr, qui se trouve auprès de tous les Lermes:

d la\ d (
ea (1 + er) ed SS en} — el FS e2nq 5
je 0 \2 0 Na

dl (aq d (a
ea (1 Hea en FE eme TE eene
o \% o\z

Dans la première forme on a

d va d la ad a ad q
eq 3 e2ng —= EU XE e—(a—n)2g —= EM 5 eng —= U FE em;
o \ ox a \a—-n a \

lorsqu’on tient compte de l'identité ( = (. k ‚„} mais ici a est égal à 2d +1,
n _—

done a—d à d +1, de sorte que les deux sommations, qui se trouvent dans
cette formule, deviennent

d la d+-1 a a fa
a E Jenner E (Veau zen (°Vemi — — el Hee.
o\% a n o \R

Lorsqu'on y ajoute le premier terme, la valeur totale s'évanouit, comme il
doit être nécessairement, car pour la valeur a de p le facteur sous le signe
d'intégration Sin. ((a—p)e} devient zéro, de sorte que Vintégrale s'annullit
elle-même. La même chose aura done lieu aussi pour la forme seconde, où a
est supposé être pair: là on a de même

e—a0 BS E) E29 —= € 5 ) E20;

o\% a \%

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÊFINIES GENERALES. 29

mais ici on a a=—= 2d, done a—d =d; et par suite les deux sommations, qui
entrent dans cette forme, donneront:

dla dla) ala),
— en > eam — en DE nl ei e-M == — eU(l Hea,

0 5) a 5) 0 W
comme il doit être, afin que le terme entier puisse s'évanouir: ceci est done
une vérifieation des deux formules discutées.

Des trois premières de ces équations (n) il s'ensuit à présent, que pour
apr, p=r—d, leur valeur reste la même pour chaque r,‚ qui reste
plus grand que a. Si au contraire on prend a—p=r, p=a—r, et done r
moindre que a, il faut avoir recours à la sixième ou à la cinquième de ces
mêmes formules, et cela selon que r est un nombre entier ou non. On aura
donc:

Pe Costr.Sin.rade PE 5
ne alde ra (le a — Zele (ele De, r> a; (55)
q° | c2

0

dl d 8
—=g—a=-l er (1 + ee — ela=r)a > H e—?nq — elr—ag ES ) eon} ‚1 <a ’(56)
n

o \r 5 entier;

ij

din de ‚Za;
Zal nm fee (1 - €24) _— gla—r)g 5 | e—2ng — elr—a)q S Jee) fraction- (5 7)
0 n

n :
/ 0 naire.

où d est le plus grand nombre entier dans 5 (a — r).
Si Pon veut prendre r égal à a +1 ou a— 1, il faut employer respecti-

vement les intégrales (55) et (56), et puisque d est zéro, cela nous fournit
les suivantes:

|= Cos.ax. Sin. ((a + De} de

0 qe Hz? == QA ele Dalen Jetje 2 Alte 1 He 20)0. (59)
Pr Cost rx Sin. ((a—l)a}da
—_ Dea Mn MNS Kel (59)
He MijtPi

9. Dans les paragraphes (6) à (8) nous venons de traiter les quatre premières
des intégrales mentionnées en tête de cette partie deuxième, et nous en avons
discuté chaque fois les cas spéciaux, qui donnaient lieu à quelque observa-
tion. La petite table ci-jointe peut servir à offrir un coup d'oeuil sur les ré-
sultats acquis; on ya noté les formules qui contiennent chaque cas spécial:

50 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

pour r=r, = 0, —= a, = Za, == da, = al, == al, =ah2,
“Cosa, Cos.rade ,
_— 23, 24 21, "22 1 20 19 26 25 1
gtr?
Û
® Cosas. Sin. rada
- 16 Ce 17 18 34 83 8,
qe He?
0
Ox Cosa. Cos. rade
ne 45 46 Bh 41 50 al 52 6,
o 8 +e'
Ev Cos.Ar. Sin. redo
net 55, 106,0 5 54 53 59 58 9.
geha

0

10. Lorsqu'on prend dans les formules (l) 5 pour z, Fon a

Sint z. Cos. | É Ee ‚)| Rrk Ë + > (;) (—1)r Ca2nal É

n

pd

a
Sina x. Sin. fe dE —e)| =—gaS ) (—1)" Sin. nz.
pe 1 n

Prenons ensuite 2 a ct 2a + 1 successivement comme valeurs de a, il
vient :

p‚(z) — Sin?ax.Cos.Zax — (—1)t2-2a f + z (— 1)” pa il Cos. na)

2at1 Za1
ou — Sin,2at la. Sin. {(ZaH-1)a} —(—l)e2 Pat en 5 (—1 cos ana)
1 n
(o)
f : 2a Zia)
Plv) == Sin?ar. Sin.Zaz == (—1)e2 Pa TE (—1)r | Sin. 2nz
1 n

‘ 2atl Zakl\
ou =Sin?atl z.Cos. ((Lat-1)e} =(—lel2-tal FE (—1)r Sin. Una
1 n

Les deux premières formes se trouvent désignées ici par la fonction g, (z),
les deux dernières au contraire par la fonction #, (z), parcequ’elles pourront
satisfaire la définition respective, qui est contenue dans les équations (a).
Dans Fapplication des formules générales (A) et (B) lon voit que sa ici
partout la valeur 2, et puisque on a respectivement:

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES. at

2
EC ip 8 ‚ À, =(—1)2-2;
n

Zal
n

= Zal, An = (— 1)? 221 arl ) A, = (—1)22-2a-l;

n

ga
=— 2a „AB pete IE

—= Zal, B, = (—l)e-! gti);

iezl

les formules (C), (D), (E), (E‚) — auprès de la dernière les deux formes
de f,‚ (ez) peuvent être tres-bien combinées iei d'une telle manière, que les
deux termes A, deviennent égaux et que par suite il se détruisent mutuelle-
ment — et (F) fournissent done ici:

DC Zar A 2 9
Í Sin.2a pv. Cos. Yard Loaf Br Deg-iES (—17 Ka bf
go n

0 q Ei ze
ER ej ETD tE P (60)
q
i “Sin2atlz, Sin, (ee +I)e} de ze (— 12 EN (—1)" i Ba | e—2n0
4 gees go Z
== (- eZ PE (le Hdarl (61)
”Sin.2ar.Si ede 12e 2
| DE En n ee 21 7 El (e-2naEi.(2ng)—c?n0 Bi(—2nq)}. (62)
[a x. Cos. {(2 at1l)e}de (jie EEn B: E a 1
A gede? q o n
{e-2ng Ei (2nq) — 271 Bi.(—2ng)}............ (63)
PrSin?er. Cos. Zaxde
= On et NS We DN EREN VERRE ET (64)
0 1 $
Ea Sin2atla, Sin. (Za 4 1)e} de 38
7 He? OO erde g eitteijbe tel velderger leker sei (er tes ome em ti el eg (cwia Ma (65)
ij
|= Sin?a zo. Cos. Zar — 2 z. Sin?etle, Sin. {(2a 41) 2} 2
LL ==
gt?

(— le 22al > (—1)" end (e2na Ei.(—2nq) 4 eta Ei (2n9)}
1

n

2at-1 lÁ
JF (—1e-1g- tal E (—Ir be ie ’) {etna Ei. (—2ng) Je Ei(2ng)} . (66)
1

52 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

js 2 rv Sin?a xm. Cos. Zar + wv. SinZal z, Sin. {(2a — 1) z} à
DE - ee - e=
get

0

2a

2
(— la 2-ta FT (—1)" ( sl {e2na Ei.(— 2nq) Je?1 Ei (2nq)}
1

2a—l

F(— lela FE (—1) in ' {e2na Ei. (— 2nq) je MEi(2nq)) . (67)
1 n

0 Sin,2a in. Zar 2a
[ «Sin.2a xv. Sin. Zaxda (Ie ttl (1 pt Lang
1 n

00e re

$ gn

= (—1e3-al ((L—e Pa}. (63)
ie Siesta Die = (—1)t-! ptn E (1) akal e—?ng
5 q° En a. 1 n

= (— 1ja-12-2a Lr ES epe 1) .. (69)

De ces formules les intégrales (66) et (67) donnent en premier lieu après

la réduction des fonctions goniométriques qui se trouvent sous le signe d'inté-
gration:

® x Sin.2a x. Cos. {(2 xd:
| zSin?ax.Cos. (Zat 2e} de = (— 1) 2-2al [reen r (—2g(2a 41}
gede!

0

2a lain

2
He-UtatiIEi(2g(2aH1)} EI | | ij) (em Ei 2nq)+e 2m Ei(2ng)} [2 0)
1

n

9 Sin al Sin. 2de
« Sin z.Sin. {(2aH1)e} dz —= (—1ye2-% [ee Ei. (— Aaq) +e=*Ei.(4ag)
g+?

0

2a—l Onl
Ee (7) an. kik IJ {etna Ei{—2nq) He Ei-(2n9)) |. re
1 d
En appliquant les mêmes équations goniométriques dont on a fait usage ici,
c'est-à-dire
Sin.2a x. Cos. Zar — 2 Sin?atl ze. Sin. ((Ra 4 1) 2} — Stn2ea. Cos. ((Za + 2)z},
2 Sin2ax. Cos. Zar J Sin2alo. Sin. (Za — 1e} —Sin?41r. Sin. (Za + 1)e},

l'on peut encore tirer des équations (60) et (61) les suivantes:

0 Sin,2a 9
Í in?ar. Cos. {(ZaH2)z}de Ee In ON
lak q

0

== (— 1e 2-2al 5 e-U(l—e-ZPa, (72)

ke |
el

RÉDUCTION D'INTÊGRALES DEFINIES GENÉRALES.

Ë Sin al. Sin ((Latl)e}da

qe? nn {A — e-2Pe — (1 — eM)dal}

0

= (— le! 2-20 D e-0 (lm e-MPal. (73)

De même on a encore les formules goniométriques analogues:
Sin?ax. Sin. Zar} 2 Sin?atlz. Oos. (Za + 1)e} — Sin?ea. Sin. ((Za + 2)a},
— 2 Sin?az, Sin, Zar J Sin2alz. Cos. ((Za — 1)e} — SinPal z, Cos. {(Za + 1)a};
et lorsqu'on les applique respectivement aux intégrales (62) et (65), (68) et
(69), on trouve les formules suivantes:
Ie Sin2arSin. ((Zat-2e}de (—l)e

2a 2 :
Zal (1) ( 7) (era. (2nq)— e?n Ei. — ng) }
1 n

k gtr q
2at1
— 2 (—1)f diet |geen (2nq)— e2n1 Ei (— 2n4)} |
1

GEDE sgoe

_ pete [oat Ei, (29(la 1} — Geta Ei {—2q (Za +1}
q
2a Zal 2
— 2-1) i Ti | — fj feter Bi (Eng) ME (— 2n0)}] (74)
1

ig Sin?a1lr.Oos.{(Za+-1e}dz ne

q? + m2 ni 3 [E- 1) ni een (2ng)—e2"9 Ei(—2ng)}

0

2a—l Hal
Ee me ee a Meme pag em zino]

(— dal
== eres 2—?a [oer Ei (dag) — eta Bi (— 4 ag)

FS (ap je Bers) (em Bi (eng) — em Bi (—2no)}]. 15)

n
| « Sin.2a rv. Sin. WBate) )a}da

(—1)e 2-2al 7 {(l—e-20)2a —l—(l—e?atl. 1}

/ ge?
o
= (—1E2Banlg eN (1 eta - (76)
Pe Sin2a1x.Cos.{(ZaH1)e}da 4
| en == (le 2tanf (Lee 11e 1}
= (—1e2-tame NU (1—e-2al, . (77)
19

WIS- EN NATUURK, VERI. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V.

RDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

zi
en

11. A présent il nous faut substituer les valeurs de ©, (z) et de q, (w)
des équations (o) dans les formules générales (G) à (K), et cette substitution
nous fournit successivement:

® Sinta z. Cos. Za. Sin.pe) kk HE za D
| Sine 7 Cos, 2 avon. pr desen Gd tete “rees {q(p—2n)}

0 n

8 dt, q
Jem Ei. (q(p+2n)}]
el 2a 2 fi
Pd lt teef remi —a(ot20) he 2ng Ei {—g(p—=?2m)} |. (73)
q 0 n
0 Sin. Lata Sin, (8 » i rr en DY Zal
fr sensoren eo Bay emit)
Á qe q 0 de
Femi. {q (p + 2n))]
— je 2al Zal B
EDE g—a—sepg Ez) vel kn |fenmi(taa) verta dot}.
q o \ 2
jee Wet tat z (ijn 4 (ema — e=) \
gtr q 0 /
0 ‚pta;

== (— Ie g—2a27 e—P1 (a Med e21)22 pen (1 En e—20)2a}
} .. (80)

== (— 1)e g—2a2l e—P? (etaa Es 1) (1 a e—?)?a
q

7 2a Za d 2a \
== (—l)?2 242 Zere) El)" eni et DE (—1)r e—2ng
q 0 n 0 n

2

Tr d Za
— (—1e2- ar [er e-P0) (1 — e-20Pa — PE (— 1)"
q

[== z.Cos. {(2aH1)ef.Sinperde
ri rk En

0
2at-1
—= (1e 22e ep jn iens "ee ere ‚potat?;
q o n En

= (—le! g-2a—3 7 e=P1 {a — EPA (1 — ezel}
q

== (— 1e 248 E e=P1 (e2a1)2g + 1) (1 e—2)zat!
q

el |
fe,

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES

je Sin2atl x. Cos. {(2a 4 1)e}.Sin.peda \
k geet i
7 aat za 1)
—(— le! ms | PI == eN (=S Al eng 5
( |, Eel sg La
d 2 1 d 2 q pda tl;
ai gk enen pl gen ee]
0 & o Rnd AMI al RAe en (83)

== Gell gres [e: — e-PI) (1 — e-22Zat!
q

d 2 )L d 2 1
ai) ins jemen Gn er)
n

0 o n

P Sin2agr. Cos. Zar. Cos.prda zE
[ nst DE aa Con pear == (—1)t 22? TenE (—1)” 2a (e2raHe-?n0)
gee? q q >

5 ‚p>áa;
== (— Ie ark pq {a ne e21)?a -L (1 == e—20)2a} \

| .. (84)
== (etat gpa (cat HJ 1) (1 — 0-20)
q /
TI 2a
== teert em be eten Sm jee
q n
2
heli 2) el] eu] ‚p=2dtp',
C p'<2,d<2a;
—= (—l)23— ar [ere HeT P1) (l—e-?0)Pa — EPI 2 (— 1)? ze BE WE oe (85)
Za
Je P? zi, (— 1)? bi | dl
% Sin2atl,Sin. (Za + 1)a}.Cos.pada
0 4 dh z' je
5 2at1 Za +
— (— 12? ia en il (MF eBe)f ‚pat?
( \ 9} 9 dE 9 ) ( S6
—= (—le dee e=Pt ((L— 202 H(L—e-2oparij | (86)
— (tl gta Dept (el2at1) U — 1) (1 — e-2)Patl
q

19%

56 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

[== z.Sin. ((2a +1) x}.Cos.prde
q° +0* ka
2at-l 2
mf 1} DEN dd [er + €-P1) re (—1)® Ks en |) e=—2nq
d 9 É 1 d pra p=2ddp',
En (— 1)" Û An en (— we: ’) en] p' A d<2a+ 1;
0 n
EER (37)
— (—l)e 2228 [eer + e=PI) (1 — eat!
q

d 2 1 d 2 1
—as RE jemen Bi ee]
0 n 0 n

® Sinta rv. Sin. Yar. Cos.pardz

qz?
0
en ee den (— 1 ) 24) ad Ei {alp—?2n)} — e-2ng Ei, {a (p+-2n)} |
q 0 £ )
Geen 2a ga é
de gta (In |E —q(p Hr) Jena bi {—g(p—n)} (88)
q 0 de
je Sin?atl a. Cos. (lat l)e}.Cospeade é
5 qe a? Ta
ee Kr 2a4-1 9
El) agr 3 =( een en ie jee 2na Ei {q(p—2n)} —emEi {q(p+2n)} |
q o
dd aal f2at1
GN g-2a-3Pt ZE ( Es hi 2n2 Ei {—q(p+2n)} —e MEI —g(p—2n) RAK (S9)
zl

Mais ces formules (78) ai à (89) donnent hieu de nouveau aux obser-
vations suivantes. En premier lieu, lorsqu’on combine les équations (88) et
(78), (79) et (89) par voie d'addition et de soustraction, on obtient succes-
sivement:

® Sin.2a z. Sin. {2 ap) z} dez (— 1e hed 2a 2a
3 == Zal g— DiN —2 t. 2
Í alg HEI jet Ei (a(pt2n)}

0 qe te? 1 8
—_ 1e
be: en ml), Jamz Galpt2n)},
q
0 Cr Lan Sy Te stijd Zj
Í Sunnie Po EE ee ie jen Ei (q(p—2n)}
0 qe? 1 k é

+ DE gaan eP2 S (— Dl) e—2na Ei. Lg (p—=2 x)} .
q 0 d

RÉDUCTION D'INTÊGRALES DÉFINIES GENERALES. 37

® Sin 2alp. Ss ed; —] al 2a1
| el beLlde N tekst e IS la em Ei {q(p+-2e)
0 qiend: 1 E

RIN 2a+-1 2 \
+ ee 2—2a2 PI 5 tal en e?ra Ei, {—q (p+-2n)}.

Á Sin24lp,Oos {((Za1—p)e}de Gel

qz? q

a 2at-l

2-2adgr1 E (—1)r Kaa em Eil g(p—?2n)}
IJ 0 n

0

— l)e-l 2a+1 G
En en 224 Bep =S (Sn k Ea em Ei {—q(p—2n)},
q 0 n

Or la dernière et la quatrième de ces équations rentrent respectivement dans
les formules, qui les précèdent directement, lorsqu'on prend — p au lieu de
p: ainsi dans ces dernières, c'est-à-dire la première et la troisième de ces
formules, il est permis de supposer p négatif. Prenons alors dans la première
intégrale 2a + p—r,p=r— a, et dans la troisième au contraire 2a tl 4pe=r,
p=r—da—Â; alors— puisque p est tout-à-fait arbitraire, et seulement supposé
plus grand que zéro, de sorte que dans les fonctions Sin. ((a + p) ax} et
Cos. (a p) z} la distinction entre des valeurs paires ou impaires de a doit
être supprimée entièrement — alors il vient pour un r queleonque (exceptées
la valeur 2a et 2a4A de r respectivement) les intégrales suivantes généra-
lement valables:

P Sin2e ze. Sin.rade (— le 2a Za
al el2a—r)g in —2na Ei, r_— 2
| EE 8 e zl ) 1) Ei {qG a+ 2n)}
— [el 2a 2
+ Eee e(r—2a)g S (— 1)» }) e2na Ei. {q (2 TA 2n)} 4 (90)
q 0 Nn
®Sin2atlp.Cosrzde (—ljet ih Â
Í Sina z.Cosrade ( le ptadltarh S (Ir Zal et Bi(q(r-2a— 14-21)
J 1 en a q 0 n
0
TING 2a-1 9 1
a 8 Gl) emi da IMG Di lj Jeen (fear) (O1)
q 0 2

La supposition des valeurs 4a et 6a pour r dans Vintégrale (90), ainsi que
des valeurs 0 et Za pour r dans l'autre formule (91), nous donne:
is Sinar. Sin. daard (— 1)?
derd q

2a

DJ
9 2al [oe (ip ( ;) etna Ei, (29 (as-n)}
0 n

0

2a 2a\
ta (1 | eam Ei. {—2q(a + DD RoR NE (92)
0 nj)

58 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

D Sina xv. Sin. Gar es a Q
| Sin?ax.Sin. Garda AR Ie per eri Ojee. falla m)}
0 n

DTR 1
2a [Za
da E(— ijn) em Bi. (2 (lat DA krin AG: (93)
0 \z
_Sin2aHl xd: —l ja 2a+1 5
| not leds, SU ed feeen = (— Ir ant e=2m Ei {q (2 n—2a—1)}
D gt? q 0- n
2a+1 9
— ellae © (—1)" 0 e2na Ei, {q (Za + 1 2)}| sta se 04)
0 n
|= Sin?atlz, Cos. Zardz NG me [LE ip 4 te jem (aan—)}
d gtr q 0 n
2at-1 2 1
ni tal cn | em zi. a (L—2n)j| ed)
0 n

L'on peut prendre encore la somme et la différence des deux dernières
mtégrales (94) et (95) pour obtenir les suivantes:

@ Gin Latl ze. Oos.tard Anet 2a+1 2
| nRa 5 o aade (le 2-03 E (— 1)" (Aes al reen 2 Ei. {q (Un Zal}
aan 1 o

Jet Bi {q (2n—1)}]

0

IN Zal 1
gases XE (—1 les 0 Je (an)2a Bi, (q(Zat 1—2n)} Jeri {g(l—2n }]- @6)
q 0
® Sin2atle.Sin.*aade Cn 2e Zatl :
| qe 4e? mk q ce 0 5 url eN | [etar)2s Bi, (q (2n—Za—1)}
— e-?ni Ei. {q (2n —1)}]
—e 2at-1 2 1
Danse PD rl En festen {q(2at1l—2n)} — em Ei {4(l—?2n)} | (97)
q 0

Prenons ensuite dans l'intégrale (91) r—=4at2 en r=bat5, alors:

[rent x}de lj
ger? q

a Ne ben d e2niEi{q (Za 12n)}
ij 0 le
. 2atl SA ed Ne
— etat 5 Cr 5 eme: ant 2at1)}] ‚ (98)

Toernee 3a}da AE el 2a+t1 2a-1
fi gr det ó zoeen 20 Zi Dl Jema (2g(la1n)}

0
gal

— g{2a+-1)2g z (—1)r CO )emnzi eatza | RO)

REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 59

Et combinons enfin les intégrales (94) et (98) tant en les additionnant, qu'ausst
en les soustrayant, pour acquérir les formules:

hel 2 1 (2 peel —l 2al (2
Í Sin2atly, Cos.” { Zal) )ejde nk 23 (2a41)0 S Ee ar lem: (q2n4-2a+1)}
6 pz dl 0 \

— e2n1 Ei. {a (2 at 1l—2x)}|

(le! aal 2a +1 |
2 2algldatle E (—1) [eEi{q2n- Zal} ME {— q(2n+2a+1,}}(100)
4/ 0
9 Sin 2alr.Sin.? {(2 e\de Re 2at1 2
| Sinse en {6 atlejde ( El REE (—I ZL fe 2naEi. {g(2n+2a+1)}
gta q 0
cra En {gqlZa dln }
(le! 2e ikk
etat E (1 ak: [eli {glAn— Zal} ij — gn Zat 1) 11: (101)
q 0

Retournons aux équations (78) à (89) et prenons la somme et la différence -
des intégrales (84) et (80), de (85) et (81), de (86) et (82) et de (87) et
(85) respectivement, nous aurons:
là Sin?ar, Cos. (Zat pe} de
} g+?

0

—= (—lj4 2241 Zep (l—e-2)Pa‚p > ha; |
q ==

‚p=2d p',
== (—1)? Zal de e—P? (l—e-?0)2a Pp zi Pp
q Pda;

= (—1e2-tel er ete ‚p > ha

is Sin?az. Cos. {(Za—p)e} de
ge?

== ag al ad — e—-29)2a ) 5 n Za —2n
—= (—1)?2 eP1 (1 —e—20Pa— ep EF (—1) Gre)
q 0 n

0

Dh

Ep;
denten

d 2
Hem S(—Ijn ( 7) gna
0 n

Í Sin2atle.Sin. {(2a1l—p)r) de
ge?

d 2
(2 EZ (1—e-?9)2atl — PI 5 (—1)" ' ae
1 9 dj ‚p=2ddp',
á at ) [Sannn
e2ng
n

rdt (LBH, pr Aat 2;

d
ep! TE (—1)r
0

jp Sin 2at1r,Sin. {(2aH 1p)e}dr

TT
—(—l jag 2e ep 1—e—-27)2at1 e
ror (Gl) ik (lere) ‚pda g;

=(— Ing2ad g-p(1 —e -202al p=2ddp;,
q PdL Lat;

40 RÉDUCTION DINTEGRALES DEFINIES GENERALES.

Supposons dans la première et la troisième de ces formules (p) que p
devienne 4 a, ear pour cette valeur de p elles valent seulement à l'exception
des autres formules correspondantes; il vient:

®Sin2a v. Cos. Garde mT
| e= (1e 2 al eta (1 — e-g. e. (102)

q

0

[® Sin2a x. Cos.Zaade mT 7
| en med Es ( 1e Zal — g—4ag (1—e?0)?a == (—1l)e dal (1 — 0 ?20)?a,
(

VR 1 U

dont la dernière a été déduite précédemment dans la formule (60).

De même lorsqu'on suppose dans les équations cinquième et septième des
formules (p) que p devienne 4a+2, et pour cette valeur les autres formules
correspondantes ne valent plus, tandis que chez celles-là cette supposition est
permise, on a
ae Sin. |(2a 4 1)a} de

TAP q° J- xr? 5

== (— tel 92a2 TE e=(4at-2)g (1 — €21)2a tl
q
0

—= (— le rd (1 — e-21)2atl

là Sin?atle Sin.{(Za H1)3elde
ijk qe at

dont la première est de nouveau la même formule que l'intégrale (61) trouvée
antérieurement.

Afin de pouvoir prendre 2a pour la valeur de p, il faut au contraire em-
ployer la deuxième et la quatrième des équations (p), car c'est seulement dans
celles-là qu'une telle supposition est permise: soit done d = a et p' zéro,
alors :

Wes x.Cos. Aarde
J gtr:

DQ 9 e
Í En ee zie == (— Ie gal pi | en (1 e e”2)2a —- e2a1 DS (— 1) k fl e=—?2ng
ge q

—=,(—lje g2a2 L g—(dat2)0 (L— e-2jtatl . (103)
d

== (ltteer (l—e-HL (104)
q

0
— e—2a0 > (— In k ij eu |
0 n

a

(Ue eren eu El 1 rr) en alike (5) en). (L05)

0 n

La somme et la différence des intégrales (60) et (105) fournissent:

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES. 4A

jie Sina rv. Cos? aad

TT E Za 5
7 mn 5 ambt apa (eran en EI 4 | e— 24

7
0

a 2
In lll | en] vrt erkend (106)
0 n
ii Sin?er.Sin.tarda

7 g "(Za
—=(— 242 Zag — e=202a —— e2a0 dT —2ng
ET (—1je2-2a | 1) (Le) e el rn)

0
9

a \ 4
gemis) en] Berle) 4 ER 07

et de même la somme et la différence des intégrales (105) et (104) encore:
| ® Sin2ax.Cos.* Zardr

a 2
=(— Ijeg-2a-2? [eert ea) le?) gan (—1)” \ e—?nq
dn 0

TK: 5 :
d 2a
term je] ent ele td (108)
Q n
jr dane : Ee Rd [: kad zer zjza aar S{ je K ke
iS (122-202 P(e2a0— Par (1— ea E(— Er
Ä ge Hz? q 0 2
q Za
bemi Je RN, DEN (109)
0 n

Lorsqu'on veut donner la valeur Za +1 à p‚ il faut prendre les équations
sixième et huitième des formules (p), puisque cette supposition est seulement
permise dans ces valeurs-là: alors d est plus petit que 2a, et p' est égal à
Punité. La première de ces intégrales ge réduit à zero, après les transforma-
tions nécessaires des sommations, et cela s'ensuit aussi de la nature de lin-
tégrale elle-même: la dernière au contraire fournit ici:

Í ® Sin, al x, Sin. [(2aH1) 22} de
q° +2?

Après avoir considéré ces quelques cas spéciaux, retournons vers les équa-
tions plus générales (p), pour en déduire à présent quelques corollaires géné-
rales. En premier lieu il s’ensuit des deux premières de ces formules, lorsque
r a la valeur 2a + p‚ et done qu'il est plus grand que 2 a, qu'alors Vintégrale
correspondante garde toujours la même valeur; tout de même les deux dernières
de ces formules (p) nous apprennent que lintégrale correspondante ne change
pas de valeur, quelle que soit la valeur de r égale à 2a + 1 + p‚ done pourvu que
r soit plus grand que 2a +1. Lorsqu'ensuite on suppose dans la quatrième

des équations (p) que r soit égal à 2a— p, on obtient la valeur de la première
20

== (— IE a2 E (ta (1 —e-Patt .. (110)
q
0

WIS- EN NATUURK, VERI. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL Vv.

42 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

intégrale, tant que r reste moindre que 2a, tandis que la supposition de égal
à Za 4 1—p, dans la sixième de ces mêmes équations (p) nous fournit la valeur
de la seconde intégrale pour un » quelconque, pourvu qu'il soit moindre que
2a1. Tout cela on peut le réunir dans les formules suivantes:
® Sin?a a. Cos.rada mr
val da — == (1e Rtl — el2arg (1 — 0-22
gta? q

= (— Ie 2-21 pen (er — ema ras Cy

d
En (— Da Y—2a—l el em (1 hed e—29)2a — el2a—r)g S (— 1 ) Za e—2ng
q 0 n
/

où d est le plus grand nombre entier dans a —;r;
je Sin2al, Sin.radz
q° — x°

=> (—1)e ,—2a2 Zelan) (1— 0 20)Pat
o q
LE (ega E gra (el — Pat ‚r>tatl;.. (113)
q
Zal Ere
n ral

eentemniijnf ed) -… … (114)
0 n

‚où d est le plus grand nombre entier dans 3 (2a +1 —r).

Prenons dans les intégrales (112) et (114) 2a— 1 et 2a respectivement pour
la valeur spéciale de r; alors dans les deux cas d devient zéro, de sorte que
les sommations que lon rencontre dans ces formules s’évanouissent: il nous

d
—=(—1lje Ja? 5 fer: (et—etPatl — el2atl—r)g E11)"
q 0

reste donc:
fi Sin?a x. Cos. ((Za— l)a}de
2
5 git #2
ke Sin.2atl z. Sin. Larde
ge?

= (jetta fer (lea Hei] (115)
q

== (—Ieg-tar fell — e-2IPetl — er He]. (116)
q

0

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 45

La même chose a lieu, lorsque dans les intégrales (112) et (114) on donne
à r respectivement les valeurs 2a—p et Za +1 —p, où p doit être plus petit
que 2, de sorte que
® Sin.2ax.Cos. ((La—p)z}de
RE
ln (Zatl—p\r}de
ge Het

== (— 1e telf epa(1—e 2e ep tervi],p<?;. (117)
q

(Ie Pe2 opd l—eHjPeHIPeM1 PK (118)
q

a

12. [l nous reste à présent encore à substituer les mêmes valeurs de @, (z)
et de p, (z) des équations (o) dans les formules générales (L) à (O). Alors
les théorèmes (L,) (L.) et (L‚) nous donnent:
Í PaSin?ax. Cos.Zac.Sin.pede

Tie ca

Ees ib 222 rep? Sel eere) ‚pda;

— (— 1) 2 Par e-pt {(1 — €20)22 HJ (1 — e-)2a} (119)

0
= (— le ZB Pr e-pi(1 H eta) (1 — e-2)?a
== (—1)2 2-2a-2 en D) El, jet mE ii In ( Dem
— en > (—I” 1) el en] p=2dtp',

pda:

== (— le Z-2a 27 (er: — €P1) (1 — e—29)2a Fers )” & Erkan (120)
dn Ey feel el)
d 2a \
eter enief eers —l)" jm
d 2
tens (4) elpzaace
(12)

=(— legan [e- P1— €P1) (le 2)2a J eP1 5 (— 1)” f } Gades

Jep? > (— 1)" ( À em]
0

AÂ RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

|” Sin2at1e, Sin. ((2a +1) z}. Sin.pe de
ö q° Jo? |
2a+1 Zat 1 ‚p>tah2;
—= (—1)t2-2a-SrePt TE (— Dl Jem Je 2n0)
d B) on ffe IE Ree (122)
—= (—1)e 2-2aBr e-P? {(L — e2a)Patrt + (1 — #-20)2at1}
= (—1)e 22e oP (1 — €221) (1 — e-2Pett
ad _ en „att mm 4D
=(— 1e? mtd (C PQ — eP1) zc led: 2ng +\
rens?) em pens int en [rosern,
0 n 0 ze ] pedal;
— (— 1) 22-37 [er epi) (1 — e-20)Patl | Ree MEN (123)
+ eP? E- dijn k bes ) eng + E (—1)" ks ee]
0 n o n |

2a+-l 2 1
—= (Ien (er — en E nr ef Jem
0 n
dl

Zal d Zal
gern) n emee n jee] ppd dat;

—= (—1l)e 2223 7 [en erbij l ete eren (124)

dl 2 d 2 1
Jer ay dt dl en He PIE (—1)" ( yv: | ema}
0 Lo 0

tandis que la formule (L,), qui ne vaut que pour p=4a et p—4at 2 res-
peetivement, devient ici:

0, Qs 2an: „Ss 5, aal 5
Í « Sin.2ax.Cos.Zaa SinAarde__yag-aa-enferter S pl eneentesel
0 n :

Ä ge tet
—= (—1)t2- Pr [eter {( L— e?ojza — gtag H (1 —e-2da — e=4ag} ae e—8aa]
— (—1)e 22e [(L Heta)(l—ePpel| oo (125)
| Sin2atla. Sin. {(2a41)a}. Sin. ((Za +1)2a} de
6 q? — z?
20 Zadl\,
=—= (—1)e2- Sr er = (— 1)" ( 8 | (e2na He2ng) + e-Gtoa]

(lezende) (1e ela (e(t) He(Bat04]

— (deler (1 — ete (1e fi... PPN

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES. 45

Ensuite l'application des équations générales (M) et (N) donne dans ce
cas-Cl :

(en r.Sin.Zae. Sin padz

Za
q° 4? == (—= bez 2a—2 977 Ey id lev: {—g (p-2n)}

0
— en Ei {—qp—2 n)} |
F(—lje-l2r 2-20 nl k “reve: {alp—2n) } —e2na Ei {q(p + 2n)} |. (127)

“rp Sintatlz. Cos. {(Zal)e}.Sin.pede
g° + z°

0

== (— 1)a-1 2203 or (1 fn |re 2m Bi {—q(p +2) j —e ME {—q(p—2n)} |

HF (— 122 ES ln mf ij [rz Ei {gp 2n)j em Big (pt? n)} |.128)

Ik Sin ?a.n. Cos.Zax.Cos.pede

ET =(— la etten —]l) ‚1e re n Ei {—gpt2n)}

0

Fem Ei {—g (p—2n)}|

JH (—1)e-12- 20? em —l Je re mEi{g(p—2n)} em Ei {q(p2n)} |.(129)

CNN PS \x\.Cos.prde 2at-] 2
Í Sin 2e ee Cos.prda (1e 12-20 Sep = (1 ( eet n)
q TL

0

+ eMEi {—g(p—2 n)} |
En

Ja
(Ie 12 tas ePt Z ( mes Je ang Bi{qlp—2n)} Hen Ei. {qpd2n)} (130
0

Enfin par lintermédiaire des formules générales 0, O,, 0, on obtient ier:

; ‚ f jk 2
® p Sin?ar.Sin.Zax.Cos.pedz iik gta tn (1 Za (e=210— 210)
gede? } 0 7 pda;

0
= (— Iet Prep (1 — era — (1 0E) 131)

—= (—1)22-2a2 ar ePI (1 — eÂ01) (1 — e—?1)?a

Ab REDUCTION D'INTÊGRALES DEFINIES GENERALES.

| ® vSin?ax.Sin.Zaxr.Cos.peda

te egte ijn (en

“0

d 2a d Za
mens jemen (7) emfpvat:

d
= dente [(ert Herri) (1 — ett — omt E(—1y ál e=2m\ ... (132)
0 n

d Za
— eN E(— Del Jee)

0 (À

Il

2a Za d—1 9,

(—1ja2— veter Jeet stp (
0 n 0
2

d
— EPT (—1)r
0

dl 2a)\ É
= (—1 pete [em + e-P0(1 ener | e-2| ««-« (133)

n
d Za
— PE (—1)" | eva]
0 n
[== x. Cos. (Za + 1)x}.Cos.pardu
° gatje
2at1 |
—= (— le! 32a Se P1 = (— 1)" lii + ) (ea — 210) ‚p>tat2;
0 n
EEL (134)

— (—l)el 2-23 7 PI {(L e—2a)arl me, (1 == e?22)2at1 }

= (Ie ta mept (1 Helder) (1 — earl |
2at-1
= (— le Z-2a3 [ez Jep) = (— Ir we ij ki eng
0 n

d 2 ij d 2
EC ad | men hi ea] ‚p= 2d + p',
0 n 0 n pd RZatl;
>

= (et 2e (en Hem) (negen |... (135)

d
ME (—1) Us zh Kl eta et (1 27 Fl ) em]
0 n 0 Vn

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 47

janet (Rat 1)z}.Cospede \
4 gere A |

= (lenta fen + em) E (- In d bid ) eng

p=2ddZatl;

dl Yadl d 2
— eP1 X (—1)" ie jemen rl fi: "ee
0 ” 0 n

—= (— Ie! 243 7 Doeve + e-PIj(1 == edel
dl 2 1 d 2 1
— EPI 2 (— Ie ld jen — er 3 (— wl Rr | ea]
0 n 0 n

tandis que enfin la formule (O,) nous fournit les suivantes:

| eitje 2 ol enteren tere

= (— De Zr [eter {A — e-2Pa — tag — (1 — ePr)Pa etar} J e—8as

(IE mente (L terra A Jongeling. vitus. st (187)

[: Sin2atle. Cos. {(Za H 1)e}. Cos. (Za + 1)2w}de
q° + rt

0

0
2a 2 1
En (— tal Z—2a3 zeer (—- 1)” se sie | (e2na zet. e2n4) En eters}
0 n

=(—1je12 Za Se {data (L—e Pati gat) (12 el2at1)20) elBat4lg
== (— le 22e [(L Jela) (1 — epa HIJ... (138)
Et ces formules diverses offrent une nouvelle oecasion pour quelques obser-
vations et particularisations suivantes. Én premier lieu on peut prendre la somme
et la différence des intégrales (129) et (127) et des autres (150) et (123):
de cette manière lon acquiert les formules:
DEE CO red 2n Za\
zSin?ex.Cos((Ratp)ajde (la 2-21 PE (—I ( ‚) e2ma Bi, {—q (pn)
qe? 0 2
0

2a

2
d (—lje-l Zal eni je Ei {a(p4-2n)!
0 n

©; Sin.2a we. Cos. {(Ra—p)e}d 2a /2
| Ee CED Pe}da royals talen (1 Sema Bi —q(p- 2m)
g+? 0 n

0

ze Za
d- (—l)e-1 Za! en À Jeen (pn \

AS RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

2 rSin.2atlviSin. (Za 1l4-ple\ da: Zal Zal
Í e é 7 A an +p)z) da (le 12 ta Perg 3, rl zn jen Ei { q(p+-2n)}
® o n û

2a kl al
+ (—lje-l2-2ae mn TE arl 4 Jem {a (p+2n)}
0 n

PeSin2atlr.Sin. ((2a+1—p)e}de 2at1 2a+1
- a —=(—l 412 -2a-2ePg FS (—1)" —_2n Eil — —2n)
Í EUT rrl)galt mz (SSL N Je {—alp—2n)}

"a
at

2a+1 2 al
+ (—ljel Zapp FE (—1)r cj | e2ng Ei. {q (p — 2n)}
o

ler la deuxième et la quatrième de ces équations se laissent aisément trans-
former dans eelles qu les précèdent respectivement: de sorte que celles-ci,
c'est-à-dire la première et la troisième, valent aussi pour des p négatifs. Prenons
dans la première 2atp=r, done p=r—?2a, et de même dans la troisième
Zal 4p=r, done p=r— Zal, de sorte que r devient tout-à-fait arbitraire
dans les deux équations et peut acquérir toute valeur possible, exceptée la valeur
Za dans la première et 2a #1 dans autre. La première propriëté est évidente
tout de suite, puisque p est tout-à-fait arbitraire, et que dès-lors dans les
quantités 2atp et 2at1 Hp le caractère distinctif de parité ou d'imparité
se perd totalement: et quant à la dernière propriété, pour ces valeurs spé-
ciales de r, p devrait être nul, tandis qu'il doit toujours rester plus grand que
zéro. Fout cela nous eonduit à ces formules, qui valent génératement:

De 2
| mSin?e x‚ Cos. rade ee are ETE De (el gna Di (q(Ra— 2n—1)}

7 2
q HT a

0

f 2a za À
(1e 2-2al dart FS (— Dl etn Bi {q(2n— Zar} .. (139)
0 n

® Sin 2atlr.Sin rade 2at1 Za+-1
(lege gra ES nl Eilq(Za dl —2n—
Í gr Ek, í d 1) 3, |e (al2a + n—r)}
— | el 9 —2a-2 e(2a en ei DT Zal —2ng K', D) On
+ (—ljel2 e@arl=r)g T (—1) e?raBr (q(2n—Za—l+r)}.(140)
0 n

De ces formules on déduit pour les valeurs spéciales 4a et Ga de r dans
la formule (159), et pour les valeurs 4a+2 et Gat5 de r dans la formule
(140), les cas suivants:
jn xSin?ax Cos. Aarda

' 2a a :
ET 2 == (— and Dr t [es — en B | e2na Et. {24 (ad n)}

En ns (— 1 | 7) e2n Ei. {2 (n + a} se bloede (141)
0 \

n

REDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES. 49

í> in,2a x Ni 2a
| 2 Sinta ». Oos Gaade = (— 1e gal [e= (— 1 dl etn Ei, {—2q (2aFn)}
fi) Nn

o lins a
2a Za p
Fem STEE (142)
0
Twin 2atl,Sin, (Aat 2a}da î : 2a- l2a1 ief kl
| EE =(—lje! gta fzo, an (— Del Ô |e 1Ei{—q(2at 12 )}

En ellen ES (— In 6 u ) e2ni Bi (q(2n dat 1} . (145)
0 n

ú oSin2etla.Sin. (Ga +3 1x}de
qe ta? ee

Zalk Zal J
(lela 2e S ay at emi eaf Le)
0 n

0

He Cat1j2a En In Ie jemen {2g(n Hat Dj (144)
0

Soit encore zéro la valeur de r dans Vintégrale (159), laquelle supposition
v est permise; on trouve:

Pr Sin2ards 2a Dia
rn = (— l)e-l Z-2a-1 Fear S (— In 2ng Ei, A
Í qe? ( ) |: q zl ) 1) Ei {2q(a n)}
2a 2a
+ an) Jee Ei, (24 —a)}] SAMET MAN 0 (145)
0 n

Lorsqu'on prend la somme et la différence de la formule (64) et de cette
dernière, Fon obtient

| Pr Sinar. Cos. aarda
ij 2 + Tt 3

Pr Sin2ar.Sintarde

0

2 Lg?
0 ge

tandis que la somme et la différence de cette même integrale (145) avec la
formule (140) nous fournissent les suivantes:

Pr Sinar. Cos.*Zaarde 2a Za
es == 5 B nd YZ —2a—2 p—2ag RL —_2ng Ky So hk
| Ee = (—l) e a ) Ue 1E {2q(a 4 n)}

+ e2n Ei, (24 (a —n)}]

Fe (—l)e1 2202207 Zu (5) [err ki. (2glatn)} Hemi. (2(n—a)} „Ja48)

21
WIS- EN NATUURK. VERH, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL V,

50 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

Py Sin2az. Sin. Zaade 5 nn } 2a 2a /
| h, q° d- c: a (Eje g Dg as a (— wijn ki [enz Et. {2 q (a — n)}

—e?n0 Ei, (2q (a + n)} |
J (— 1e 2-22 247 Ee ‚b ree (-2g(atn)}— em Ei {2q(n—a) )}}- (149)

Ensuite lon peut meiss encore la somme et la différence des formules
spéciales (125) et (157) afin d'acquérir les suivantes:
feel
o q* — a?
|= Sin2ax. Sin. tarda

q° - xv?

Cette dernière intégrale était déjà trouvée plus haut dans la formule (68).
De la même manière les intégrales (158) et (126) conduisent aux formules:
[= Cos. {(Za +1)3r} da

0

—= (— lea etar (1 —e- Pa (150)

= (— 1e 2-2alar ((1 — e-Pe1|.

0

== (—lje1 2-20? re (da2)0 (L— 2,241, (151)

Á q° Ja?
® xv Sin.2atl z. Cos. {(2 Ie} d
Í un © 5 { at )z} 2 —= (— Ie-1 Zar {a —e?Patl_ 1},
ge tat

0
dont aussi la dernière se trouve déjà déduite préeédemment dans l'intégrale (69).
Ensuite on peut encore combiner les autres intégrales de la série 119 à 158

par voie d'addition et de soustraction, c'est-à-dire Vintégrale Ae avec (119),
(152) avec (120), (155) avec (121), (154) avec (122), ( 155) avec (125)
et (156) avec (124). De cette manière Fon parvient aux intégrales:

® »Sin.2ax. Sin. ((Za 4 p)x}da
q° Jz?
(1e 22e rep (l— ea pd pp Ld Ra;
(—lje2 tale pile Pa,p=2d,d<2a;
ijk z Sin2er. Sin. „{(2 a El z}e da

|

= (—1)e2-2a-lre-pi(l —e-2ta ,p > 44;

I

el ne AE ENE

kij q ijs
d Za \
== (— je J—2a-l 7 [e (1 == Eed) — epa 5 (— Ir e—2nq N (7)
o n ‚p=tddp, {
d 2 P<2,d<taj
—eP E(—1yr ( ij enal |
0
dl Za
== (—1)12-2a-l zr [ere (1 — e-1) en =S (—1 | eng
H ‚p=2d,d&ra

le
pn

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

fe zSin2atlg.Cos. {(Lat14-p)ede
ge Het

= (—l)a-12-2a-rePi(l—e Parl, peld pp <2,d2atl1;
= (Nel 2e (1 — ep == dd Za F1;

[ zSin2alr Cos. {(Zat-1—p)e}de
kn

—=(—1)a-1 2-2 Prg Pale etl, dat 1;
p

o

== (— la 2-22 e-pg e!daH)I (1 — e-20Pat1
== (— lea 2rePI(1— e2D)Parl ‚pda;

d
== (—l)e! gta er1 —eT2IZal _PLE(—1)" hat: Ens
Ù 4 ‚p=2dtp;,
Zal pedal
)

d
— em E(—1) em}

0
d—1 9
Iet evil er 24, Zal er ES (— jz Et je
0 n

NL
d 2 d<2adl;
— er TE (—1)? del kj eem]
0 n

Lorsqu’on voudrait donner la valeur 2 a à p dans la sixième de ces formules,
Pintégrale acquiert une valeur nulle, après les réductions nécessaires des somma-
tions pour d==a, comme la valeur qui suit de la supposition pour p: et cela
doit être ainsi, parce que pour cette valeur de p la fonction {$in.(2a—p)a}
sous le signe d'intégration s'évanouit elle-même. Prenons au contraire dans la
troisième de ces intégrales (r) 2a pour valeur de p‚ d'où s’ensuit d =a et
de même dans la huitième et onzième de ces mêmes formules 2a+f pour
valeur de p‚ de sorte que d soit égal à a et p'à Punité; alors viennent les
intégrales suivantes:
ne z.Sin.Aaxdz

ge te?

== (— 1e 2-talre tage (152)

9 1 IJ © 7
is x Sin Zal z, Cos. En + 1)2 zj dr = (—l)e! Z2a2 rr e(2atl)g (1—e-%)Zat1,(153)
q° T
2
[ae sne dE — (— 1e 2 tar [eeen (1 — e—20)2a +1
5 q° ger

a 2, a
— etat TE (— 1)" Ge 1) en — etat TE (—1)r k A ee
0 n 0 n

ZI

52 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

Mais
e(2a+-1)g 5 (= In Za ei R 1 en? —= e=-(2atl)? > (— 1 za + 1 e=Un—2a—1)û
0 n 0 n
at-l 2 at |
—= e{2atlje SS (— Ijn=l ad l e2NQ —= —e-(2atl 5 (— In val e2 na,
2a1 Zal—n al n

7 Hé : , © ; Zal Zal
lorsqu'on fat attention qu'on a identiguement = :
rsq y ] I diek 5 comme

précédemment. La somme des deux sommations devient donc:

2at-l 2 | a ©
eef = al a Kahte lont WD ez]
al n n

0
2at1 Zat1 a 2 1
—= ge l2at1)g | 5 (— In de jen + 2 ie Ir wl | oml

— e-(2a+1 [- (1 — e?oPatl } 2 > (— 1)" we Ae d een]
0 n

et par suite enfin:

[ae Lja-12—2a—2 aa 2a2al (1 — Pat 1 El Zatl) ,
=z=l—- mn |) — ne” mT zZa == 2q Ja —_g 2 \n D, „if
karavaan 7 leder (1 —e%) EIN je

== (—lje-! gta eea Def (1—ef2aueej(1 —e-Hpatl 2 E(—1) bn emfasn
0 n

De cette dernière intégrale et de la formule (155) on déduit par la somma-
tion et la soustraction:

jee 2 {(2atI)r}de

— Igaz Dof (2—el2at100(1 etat!

É qe?
8 2
De el en} Ee rav VE (155)
0 ”
@ » Sin, Zat n.? 5
ij Sintra. Sin” (Ze + I)e} de lie 13 am Z—2a3 ng (2at1)7 la fe S e29)2a1
ge He?

0

le. We kn (156)
0

Quand nous regardons les équations (r) de plus près, on voit que les trois
premières nous apprennent que l'intégrale correspondante garde la même valeur
peur un 7 queleonque, plus grand que 24, si lon y suppose r=2a+p. De
même i} suit des neuvième, dixième et onzième de ces équations, que l'in-

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GÉNÈRALES. 5

tégrale, dont elles expriment la valeur, ne change pour aucun r, pourvu qu il
surpasse 2a +1, lorsqu'on y prend 2a41 +p=r. Encore peut-on conclure
de la cinquième et sixième de ces formules, quand on y suppose Zap=r,
done p—2a—r, que leur valeur pour un r queleonque moindre que Za est
différente, selon que rest entier on non: dans le premier cas on doit se servir
de la sixième formule, dans le second cas au contraire de la cinquième ; dans
les deux cas pourtant on a 2d=p=2Za—r et 2d = pp =2a—r—p,
done toujours d le plus grand nombre entier, qui soit contenu dans a — ! r.
De même les onzième et douzième des équations (r) nous apprennent, lorsqu’on
prend 2a +41 —p=r, done p= Zat 1 —r, que leur valeur dépend de la
circonstance, que r soit un nombre entier ou non. Quand r est un nombre
entier, alors il faut employer la formule douzième; dans ce eas Ton a
2d=p=Za tlr; au contraire la formule onzième nous peut servir, lorsque
r est une fraction: alors on a 2d=p—p'=2at 1 — rp’. Done dans tous
les cas aussi on trouve ici que d est le plus grand nombre entier qui se trouve
dans £(2a+4—r). On a done:

Pe Sin2a rv. Sin.rade nne EN an)?
= (— LOT rn A Art rl
ged? ) ( NMR oe oo (OUD)
== (— le 2 —2a-l 7 erg (en — e-0)2a

0

/ del 0 CN
= (— legal [eeens (L— e-2)Pa — el?a—r)g E (— Ie eg—?2ng
0 n

d (2
— elr—2an E(— Ie | k en] ‚Ta,
0 n

en PN r entier;
= (—1je2- al [er e1 — e71)Pa — (tart X (— Ir e—2ng ElaN
El mr ( ) ( ) A . (158)

— eran E(—1)

0

‚na,

— elr—2aig

d Za
== (— De —2a—l meern (1 ed e—2)2a — el2a—r)g S (— In | e—2ng
0 (Ô
d
Ee
ej ‚ r fraction-

|
d Za / Anes
inbe | (el —erj?a — el2a—r)g E (— Ir | gang) Haie;
\ ie (159)

d Za
Sekel)
0 n,

où d le plus grand nombre entier dans (a—}r).

nj RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

Dr Sin2atl xv, Cos.rarde
pn (ele lett (1 ej > dak,

u Ee (0 U
== (—l)e! Y—ta2 re-rq (el — e—9)Patl ( od

dl Zal
zt 10 "2-20 er —2a— Na 12021 gl2a-H lr) E (—1Y —2
ben arr: nf Ee en il n | “ral,

Ei entier ;
d C
— Er—2alt FT (— Ir 5 + il | -… » (161)
n

Lj

d Zal
—=(— 14-12 202 [er Dale, J-La el 2a HI E17 ent ral,
0 n fraction-

d 1 naire;
zt elr—2al}t 5 (— 1)” ga em}. beddhd (162)
0 n
où d est le plus grand nombre entier contenu dans 3 (2a +1 —r).
Prenons r égal à 2a— tl dans l'intégrale (158) et égal à 2a dans l'autre
: D D te)
ntégrale (161), alors, puisque dans ces deux cas on sait que d est zéro, il
s'ensuit que:
® x Sin,2a wv. Sin. {(Za —1l) el de
— { SR —= (He tal 17 [et (L— eZ) — 1]

q' - a?

0

= (—1je2-Pelrer (1 —e-PPe—1} ... (163)

Ie «Sin 2atl p. Cos. Zarda
2 2
q +

= (— le Za? or [el (1 — etat — e-1]
0
== (— lettre ((L—e-Patl 1} (164)
De même donnez à r les valeurs 2a—p et 2a 41 —p dans les intégrales
(159) et (162) respectivement: de sorte que dans ces deux cas d doit êtrc
zéro, aussi longtemps que p reste moindre que 2: sous cette réstriclion on
trouve:
[ xv Sina zp. Sin. ((2a—p)a}da

== (le tel rr (ePI (1e )Pa — ePU — e-P0}. (165)

2 2
Jo qe He
2 Sin 2atle.Cos.) (Zat-1l—-p)r}d.e
Í ale pe) =(— 102 Par (eP( leet ePL— PI }.(166)
“0 me

15. Dans les trois paragraphes précédents (10) à (12) on a étudié les
quatre dernières intégrales, dont nous nous étions proposé la discussion; ct
on en a traité divers cas spéciaux. Tout comme au paragraphe 9, la table
suivante peut servir à acquérir un coup d'oeuil général sur les résultats, que

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 55

Pon a trouvés: chaque fois on y a annoté les formules, où ces valeurs spé-
eiales ont été déduites. Cette table est diviste en deux parties, selon qu'il se
trouve sous le signe d'intégration la fonction Sin*z ou bien Sin?! z: du
reste il est entièrement analogue à la table préeédente.

pour r =r, == =p Sti ESH el
P Sin2au.Cos.rada '
EN Tr Ten, 105 60 104 102 72 115
4 Aa nl
[® Sin2ax. Sin.rade E
90 62 92 93 14
0 Dr
Pr Sinar. Cos.raedz
Ee 139 ende ei 70
“0 ge:
Dy Sin?ar Sin.rede
5 5 151, 158,-1'59 65 152 150 16 163
“u Zie ain
pour Pik —0, arl, 442,64, Sad =d:
® Sin 2at-l a. Cos.r adt
rset 91 94 63 98 99 75
ö ge
®Sin2atl rv. Sin.r es dr
5 = 113, 114 61 110 1035 73 116
ge
0
Pr Sin.2atle.Oos.raede
> 160s 161 169 TSA n 69e 153 «Tal “71 164
qd?
PyrSin2aHl a. Sin.rede
5 > 140 65 143 144. 71
gtt

0

De ces cent-soixante-six intégrales il y a soixante quatre, qui ne con-
tiennent aucune sommation, et ont ainsi des valeurs très-simples: mais aussi
les autres sont composées de sommations finies, et de nature bien simple, de
sorte qu'elles peuvent être aisément développées dans chaque cas spécial. Lon
trouve confirmé ici, ce qui ressortait de la théorie, c'est-à-dire, que la dé-
composition des sommations dans un tel sens, que la fonction p—ns reslàt
toujours positive, est nécessaire dans bien des cas: néanmoins il y faut ajouter,
que cette obligation s'annulle quelquefois, comme par éxemple dans les deux
premières des formules (m), dans les trois premières des intégrales (n), dans
les deux premières, la septième et la huitième des équations (p) et dans les
trois premières, la septième, la huitième et la neuvième des formules (r).

ot RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

LT. DÉMONSTRATION DP QUELQUES THÉORÈMES
GÉNÉRAUX POUR LES CAS, OÙ F (e) EST UNE FRACTION QUI AIT LA
FONCTION 1— 2 p Cos. s 2 + p? POUR DÉNOMINATEUR. —
APPLICATIONS DE CES TIHÉORÈMES.

14. Trois des intégrales trouvées donnent lieu à l'application d'une méthode,
qui, bien que totalement indirecte, peut quelque fois faire naître des résultats
intéressants. Car si l'on connait une intégrale

franas (1

et si la constante c est entièrement libre, c'est-à-dire qu'elle n'est pas assu-
jettie à des limites de maximum et de minimum, alors on peut donner à c
des valeurs différentes, et additionner toutes les équations qui résultent de cette
substitution: et même quand ec est compris entre certaines limites, celle
méthode continue de subsister, pourvu qu’alors on ne surpasse pas ces li-
mites. Lorsque on donne done successivement à la constante ec les valeurs
gg l,gH2,gt5...h (et que ces valeurs de e ne sont pas contraires aux
conditions, auxquelles il est soumis) alors on peut exprimer la somme des
expressions, que lon obtient par cette méthode, de la manière suivante:

ch beh e=h
RN ACR JEE (ol) EN EG) EE EE (s
Cg sE 7 CY Cg

Auprès de cette méthode il importe done de deux points capitaux: pre-
mièrement et surtout, que la sommation des intégrales puisse se réduire à la
sommation d'un seul facteur, et que cette dernière sommation de nouveau
puisse être exprimée par une fonction finie — et en second lieu, que dans le
second membre de l'équation précédente la sommation puisse se faire vérita-
blement, c'est-à-dire donner lieu à une fonetion fermée: lorsque cette der-
nière condition ne se trouve pas remplie, l'intégrale définie est réduite à une
sommation, c'est-à-dire à une série, et l'on acquiert un de ces résultats dont
on a déjà parlé au paragraphe premier.

Pour en venir à Papplication, que je me proposais ici, il faut employer les séries

l —yCos.z — yr Cos. az Hye tl Oos. {(a — 1e} al |

- : XE yr Cos.nz
l—2yCos.z e y* 0

FE rn Sin.n:

y Sin > — yr S nazt yet! Sin. {le — De} oe zl
l— 2y Cos.e or y* N

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEÉFINIES GENERALES. 57

Ces séries sont connues, mais on peut aisément se convaincre de liden-
tité de ces formules: on n'a besoin que de développer actuellement la som-
mation et de multiplier ce développement par le dénominateur de la fonction
respective; dans la première équation on obtient des produits de deux cosinus,
que l'on peut réduire à la somme de deux cosinus, comme dans la seconde
il faut décomposer le produit d'une sinus avee une cosinus dans la somme
de deux sinus. En tous cas les formules deviennent identiques.

Lorsqu'on sait en outre que la valeur de y est comprise entre — et +1,
les fonctions y* et y*+! s'annullent, lorsque « diverge vers [infini, et lon
obtient dans ce cas de Lim. « = oo:

1 — y Cos.z Bn6 y Sin.z On ne
es == aa yi GOosnz s Eni == nsmn.nz, pour y a((z
1 —2yCos.e Hy? ad 5 1 —2y Cos.z Hy? ie rn.

Lorsqu'on prend la différence de ces dernières équations avee les formules
(£) il reste:

y“Cos. zat Cos. ((a—1)e} Ker Sj snee Cos. et Cos. {(a—1)z ge tek
1—2yCos.zt-y* a ’ — 2yCos.z Hy" ks En
1 . ). (©)
y*Sin. az y+1 Sin. {(a—1l)j2} a Senn: en Ne Sin. {ae} a 1 Eyrsimne\
1— 24 Cos.2 Hy? « 4 1— 2yCos.2 Hy? Ye a |

Et d'iei Von déduit facilement pour == sr et y =p les équations Stek

| 1—p Cos. sx
12 plos.sa Hp?

b
oo

\
f(x) ann f peaeSrenne= Sr | f(a le a 5 le (EN)

he p: Sin. ST d 7 1 A S; E 8 b Ss; : | >
TE TTE TL DE %)a zp” ‚NSL =S am U . veder... (B
RPT _f(«)da f(e)da sR in.nsa Oe, f(«)Sin.nsede (B)

//

| PN | d 0 CA W
12 plos.st + p? fla)da= | fe) E, ‚Pp O8.NST „Ep f(v)Cos.nsrdr |... (C/)
- ‚pe <L:
Sin.ast—pS —l)
| EE 2E a)d ed = A sf f(«)Sin.nsede iks (D’)
/

Le premier couple de ces formules peut donc servir lorsqu’'on sait, que s
se trouve entre les limites zéro et linfini, mais l'autre seulement lorsque s
n'est pas situé hors des limites « et linfini: dans toutes la valeur numérique
de p doit rester moindre que l'unité.

vo
to

WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL We

58 RÉDUCTION DINTEGRALES DEFINIES GENÈRALES.

15. Lorsqu’à présent on considère l'intégrale (25), on s'apercoit qu'elle est
très-propre à être sommée suivant les valeurs successives des r, pourvu que r
soit plus grand que a: mais de Vintégrale (l) il s'ensuit que la même valeur vaut
eneore pour r =a. Prenons done dans l'équation (C') « =a, et ns = r‚ on aura

® Cos. asa—plos.{ (als z} Cos.arde l ® Costedr 1
pr __g Cosnsr= — 5 zp” 2 al gens el Het

| Hplossrtpt gar pal) dte? pra 4
] ag(l—a)sg
_l gal. Zere û prent ere fe inde arten er a me Ladd sl, (167)
pe q pe q —p q en — p
mz (lHe-)a
et done —= Zal — ef E 5 LOD er Bid nn B arke a (168)
gjt ESP

où Ton a transformé Ies sommations de la manière suivante:

bi
2» on en 1 l—( Û gie ( e—sqje Wa: lc) Je

Epre-nsl = Z(pe1)"— ZT (pe 4" = ve Tj
ec 0 0

l—pet 1 per 1 är 1 pest el—p w)

ce qui est permis ici, puisqu’on a p plus petit que Punité, et done d'autant
plus pe"? —p:e® plus petit que unité.
D'aprés la formule goniométrique

2 [Cos (a+ 1)e} —p Cosa] Cos.atle— [Cos.ar —p Cos. {(a — 1x} | Costx —
— [Cos. {(a+2) 2} —p Cos. ((a +1) zo} | Cos.” z
on déduit encore de cette intégrale (168) la suivante
("Sale +2) a} —p Cos. (at 1) 2} ZEE ee Ai (Ae mel) en!
1 — Wp Cos. Jp? ge He? q l—p

0

Si de mème on prend en considération Vintégrale (157), on voit qu'elle
permet la même sommation à égard de r: et tout de même encore [inté-
grale (160). Mais dans la première il faut que r surpasse 2a, et dans la
seconde que z soit plus grand que 2a + 1, tandis que les intégrales se chan-
gent respectivement dans les autres (68) et (69), qui sont trouvées préeé-
demment, aussitôt que r atteint ces limites. Soit done de nouveau xs égal
à r dans les formules (C°) et (D') et puis dans I'équation (D') 2a et dans
(C) 2a +1 la valeur de «. A present il faut distinguer les deux cas, que s
soit égal à Funité ou qu'il soit plus grand, Dans le premier cas où s est unité,
il faut diviser la sommation dans la formule (D') depuis 2a jusques à V'infin:
dans deux parties: premièrement le terme pour n égal à 2a, pour lequel il
faut employer l'intégrale (68), et ensuite la sommation depuis a +1 à linfini,

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES. 5)
où alors la formule (157) doit nous servir. Quant à la sommation dans la
formule (C'), qui va de 2a + 1 à Finfini, elle est de nouveau égale à un
terme détaché pour la valeur 2a + 1 de #, pour lequel vaut l'intégrale (69),
et puis à une sommation depuis 2a + 2 jusques à l'infini, où il faut em-
ployer la formule (160). Lorsque au contraire s est plus grand que l'unité, il n'y
a pas lieu de diviser ainsi la sommation, pour laquelle vaillent dès-lors seulement
les intégrales (157) et (160). D'après tout ee qui vient d'être observé, on a

[ete Zase—p Sin. {(2a—l) sx) ein. deon je 1 ES fes A
p2t za

= SU. NSL
4 1—2plos.sr +p° ger? K gede? \
1 EA
nn - eT 2e 14 dl
2a
—=(—1l)42- 2al 7 ((L—e-21)2a 4 tal or (el —e0)?a 5 pres ie Dat
aal (170)
(e7 == ea p? 2at-l g—2ag.
—= (— J je 3-21 Lee |
1) ArNe ale Pi
(1 — e—20)2a)
—= (—])e 2-2! (a PN
( ) 7 \ 0 ren p í
Epen hne eller ette 2a— 1yr{ (er 0=0)Pa pre 180
poe aa p?a De „gels
1 2ap(1—2a)sq on — ej?
—— (—1)22— talen epa mn (171)
pw el — p en —p /
® Cos{(2ah Isr }—pCos.Zase «Sin 2atlz SE D #SinLatlede
ii ar ee „dr = Nn ne
5 1—2pCos.st +p g+ p2aHloat1 g+
ee adrie mann
le
+ Ee pr" (— le! Ya 7 ens) (er ee enten] sl;
2a4-2
a
(Ie 1g tale 4 ) lake (ed e- gal 5 pre=nsq (172)
p?ar! 2a+2

(CA— eat) prat? e(2at11g
== (— ]je=l 9—2a—2 Lis 2q)2aH1l —_ Ee
1 ddr re eN

mcl 1e Rr seen - hel Ear eerd

(lijd)

60 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.
b Cos.{((2at1)sr}—pCos.Zase «Sin. eta tn 5 8 „[ mSin.2atl za Eidarlag elks
1—2p Cos.sr + p? gede? p2e+ laa q° Hat

s>1;

== Ì (— le! g—2a — zr (e? — e—9)Zatl 5 elk s—nsb
(173)

paar 1 2at-1
1 pe Zal are

En (=1lje=12Z2a: zm (el — 071 paal

ae} p? p2a+1 en — p

(er—e=0)2al

0
= — oe > p" (— Ie 1 Z2ad 7 es (en — ET 2)2at1
pt 2at-1

== (— le! da? 7 e—-2asq
en — p

où Von a fait usage de la formule de réduction (w).
A présent on a les équations goniométriques:
[Sin 2 aa — p Sin. {(la—l)z} | SinFz2 (Cos. ((lat1)e} — pCos.2 ax} Sintatls =
== [Sin { {(2a 4 2e} — p Sin. ((2a +1) x} | Sin?er,
—2[ Sin (( (Rae) — pSin. (Za +1)z} |Sin. 2a+2z + [ Cos. {( {(2a1)e} — pOos. Zar | Sin 2atlp —
= [ Cos. {( Za 3)a} —pCos. {(2a 42 )x} | Sin2er1 JR
et si Fon emploie iei les formules (170) et (172) il vient:

@ Sin. {(2 RT ze} zSin?e 1—e-20)?a
fleet) pSin {(2at1)e} z Sin De 10B tale e=) (174)

J, 1 — 2pCos.x + p* qe de? en —p
0
À 2 NA (2 zSin.2a+1 1—e—-27j2a1
Í Cos. {(2a+3)} —plos.((2a+2)e} r ie a Tel Ue e—) (175)
Zo l—2plos.atp* ge 4e? el —

Mais on peut tout-de-même faire usage des théorèmes (A) et (B) auprès
des mêmes intégrales (25), (157) et (160), sans avoir aucunément besoin
des théorèmes suivants: et ceci est d'une grande importance, parce que celles-
ci contiennent de nouveau des sommations, dont les limites ne sont pas indé-
pendantes de argument, suivant lequel la sommation doit avoir lieu, et qu
par eonséquence ne sauraient servir ici, Pour cela en premier lieu il faut décom-
poser la sommation de zéro jusques à linfini dans un terme détaché, qui vaut
pour » égal à zéro, et dans une sommation, qui procêde de unité à Vinfini.
Ensuite afin de satisfaire aux formules mentionnées, on ne doit pas perdre de
vue, qu'elles ne valent que pour des valeurs de r plus grandes que a, que 2a,
ou que Za +4 1 respectivement, de sorte qu'il n'est permis d'en faire usage,

pn

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 61

qu'autant que lon suppose s plus grand que a, que Za et que 2a + 1 res-
peetivement. Eu égard à ees observations diverses, on acquiert par les
théorèmes (A) et (B):

2__1—plos.sr Cost z 5 PCosands
UTD NN nf COSTS
1—2pCos.sr dp? q tet 0 qe te?

43 Ii Cos. ede as Spee Tee) e}= If Gre, garde Spren|
q l
0

2u? gat
®Cosardaz mT p
== MERE. gal ee q id Mn nn ii Gee ater oen er veekken sorkiethern en ej ie Tt
Wier + nnee Kef @
0
ee ) d nar Ee] 2e
| ___pSin.sa zSin. tan IE: Erf” sn Aarde _Erf’ r Sin. ee Ee
1 2plos.setp?g? +? en qe dz? 4 qe 4e
== Ss p" (— 1e 2—2a—l 7 e—NSI (er — ea ze (== 1e Zal 7 (ee EK e—)?a pr e= SY
1 1
= (— pept (et— et ER ed A Pach Ed Ed Ke (176)
ed
6 1 — pCos.sx a Sin 2etl z eo °Sin2atlad,
Í Ee 7 drm Zp" LEE Gos.nse
ie 1—2pCos.sa + p? gede ed qe Hat
Pr Sin2atlpda » ® xp Sin2atl zdr
== Í = nr pn Ek Cos.ns a]
gehe? A ee ca

a 2 1
== yette een (Lette jet ad Jeen) +
0 n

+ Ep (— ljal QZ—2a2 7 ens (ea atd Ra
1

a 9 1
Dl at

—(— La! 2-tatnfeGatie paer in —eT2Patl__(—
0

ph

nn

— (e? ET gyal DS 3 Ep ad

—=(— 12-12-20 aje st gee
0 Jie
p
— earl OA Te iten als )
F (el — 0-90 get 3 (177

où Féquation de réduction (w) était nécessaire, ainsi que V'intégrale (54) en-

62 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

core auprès de la dernière. Lorsqu'encore on soustrait le double de la formule

(177) de Vintégrale (154) on obtient:

hi Wel Je @Sin2atl y
L — 2 p Cos. sa Hp? ge He?

de ==

za

a 2 }
ee (— alg =ta-anfe-tatin nad 2a+1)2 (1e 2jZatl LE If ad jee -
0

(e? en e—9)2a+tl

HOB orig [sid Arne ner „terhrti (178)

ELD
L'on n'a pas encore transformé la formule (@), parce que L'intégrale dans le
second membre de cette équation acquiert une valeur différente, selon que
«soit pair ou impair, comme il est évident d'après les formules (21) et (22).
Avant eependant que nous passons à cette substitution, nous diminuerons le
double de cette intégrale (©) de lintégrale

EE Cost z 5 fitramaete, Cosaada
qe 4e? A 1—2plos.ser dp? q° +e*

cesl-à-dire:

ie Ln Costa, 2 Costad uv
En rs net
| 1 2p Cos.sr hp? q zet ad ee: nn (er +e ke

>.)
ke p

Donnons à présent dans les formules (z) et (y) à a sucecessivement les
valeurs 2a et Za +1; il vient

ie 1 — p Cos. sr Cos.2a 1 rl p 1 /2a
p= 92 — (el —q)2a =
eneen de ld ) a til) +
af?
BE àl jemla ee seh (179)
1 \n ta
he lp? Cos,2a 7 1 /2a
; —= 2Z-2a— K(e? nd) nn
1—2 p Cos.sa Hp? q: Te k del ast ) ee +
d Za
Dj —2ng Penn len 150
u Amd. |.s> jé CL

fs _ Ip Cos.sr Cos.2a+l

(d
hd —2 MES —0\ 2,
1—2pCossr pt qa? de Zi IE (er He-2)2a DE

el —
Ô 1 P

aib Laet eenma, s> 2atl;. (181)
0

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 65

El j p? Cos 2al p mr p
a dy = Zal ce Ferial
1—_2pCos.sr dp? q° Hr? q nt

edel
oe

Analoguement aux intégrales (25), (157) et (160) Fon a trouvé encore les
formules (45), (90) et (91): mais à ces dernières Fon ne peut pas appliquer
cette méthode-ci, vu qu'il s'y trouve des sommations de fonctions d'Intégrales
Exponentielles, et que lon serait conduit à des sommations doubles, parce que
dans [état actuel de [analyse lon ne possède pas encore des formules pour
Paddition de ees fonctions.

Du reste il ne faut pas perdre de vue, que dans toutes les formules de ce
paragraphe, la valeur numérique de p ne doit pas surpasser V'unité, ou que
p? doit rester moindre que Vunité. Mais il s'ensuit de là que le dénominateur
dans toutes ces intégrales peut très-bien devenir

eneen onzer We (182

0

14 2pCos. srt p au lieu de 1 — 2 p Cos. sa + p

puisque il n'y a qu'à prendre p négatif: dans ee cas dans les valeurs des in-
tégrales p? deviendra (— p)* et e“—p de même e“ + p. Toujours alors on
garderait la condition: p* plus petit que lunité.

Et cette condition que p? doit rester au dessous de l'unité, se laisse chan-
ger facilement dans la condition contraire, que p? doit toujours surpasser [unité
Il faut seulement supposer p= E alors les dénominateurs sous le signe
d'intégration gardent la même forme: car

E 2 | 1 E
It 2plorsrjp* — lt loser — Ep Cossrt pj;
p' p* (8)
les puissances de p doivent être prises négativement, car _p“ — (p')“, el
enfin le dénominateur, qui se présente quelquefois dans les valeurs des m-

, 5 1 le ed ' en :
tégrales, e°9 + p devient e? + Ta (pe? 1). Il n'y a done aucune difficulté

pour quadrupler le nombre des intégrales (167) à (182) pour p =p, ——
1

1 :
zie Aker et nous laisserons cela au lecteur.

64 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

IV. DÉMONSTRATION DE QUELQUES THÉORÈMES GÉNÍRAUX SUR
LES INTÉGRALES DÛFINIES GÉNÉRAILES

"ea 0 80. Cos. It oa Cos.x.Sin.pa ea Sin.ax.Cos.px ® Sinte Sin.pe
| F) c 08.) af Pe) on 7, aaf ek n. CORE En af Fie) in a Gp A
gtr ger! qe Ha? ge

0 0 0 0

16, Les mèmes intégrales, qui ont servi dans le paragraphe 14, à déduire
les théorèmes (A) à (D'), peuvent être employées aussi en application des
formules générales (A) et (B). A cet effet il faut considérer, que l'on a trouvé
dans les intégrales (21), (22) et (25):

® Cos2ax n/2a TEEN
dy —= 9-2a-l — -H Ya NS e—2ng
9 2 id hd sed 5 E
q - Nij I/i a / q 1\% - a,

“® Cos,2a x. Cos.n sx mr à
A 5 dae = 2-2a-l=(elJe-4PBen4 ns Za;
RES q <=
el
® Cos,2a+-1 (0 5
os.2arl g 7 2a
| de = al E EL | tent,
qe 42° q o\ndakl
)
Cos2at1 x, Cos.n sv ”
| dae == Za? (et Fedzatlg nl ns at 15
heter 0 5

et de cees deux paires de formules on peut déduire à présent, d'après le théo-
rème (A), les équations suivantes:

a, Cos.2a z Za af 2a \ c
ee — 9 —2a-l 2 —2n END „engs (PR
| npt lt ig +2 Àlete) BERG eend

5 Costa: Zad-1 c
—___d; —2a—2_ ZA,Z De e—(2n1)g q —q)2atl SA „engs 5 .
|» GE Al dh an me ee

Encore a=t-on d'après les formules (157) et (68)
Ce) en Oan Sr pn
Í z Sin?a x, Sin.ns dr —= (— We 9—2a—l zr (e1 de e1j2a e=nsq À ns > DJ a;

2?
Jo
== (— 1e 2 Panl {1 — ee — 1) NR =S

done le théorème général (B) nous fournit ici:

(8 EN == (SN (CS ed 2E Biene KAF Rt tee (R )
Ya gee? Ea 2 5 -

C
== (—1)2 2-21 „B (Ll —ePapa 1} + (eter S B, e- va] BE

“0

a tn nn

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 65
Enfin ou trouve par Vintermédiaire des formules (154), (160) et (69):
| Sin2atl ede

le) û Ea e E
ed) S (— Ir BEE in l Zana
n

0

(— Jel a re (2utl)g fa == el2a+t1)2g) (1 zE Gri)

Pz Sin Zal pe. Cos.nsad e
nmr an wam yr)! 2E ar (le rijBal gens nis ta dl;
8 ge He

(APS nat Zal
et Fon en déduit, par application de Péquation générale (A), les formules:

ie ‚tSim2atl ede (— 1e1 22e? [A (2a+1) {n (2120) (1 oq\2a-1
ri (@) — mil A2 —Gar lg (L—el2atl)2g) (1— e—29)2ar
palma ) [Ao eet etch (1 e=)
a Zal Ì E N
—_ 2E (—l)” Gi en eel NE EER al (e)))
1

0

Ö n

a 6
—(— elan IK gear Dg la — 2120 (1—e0Pat LEI ee el
0 n

HA, (letter IJ f(t — etl ZE Ap Cetin] e= tat; (Sa)
2

L'on peut ensuite satisfaire au théorème général (A) avec les mêmes in-

légrales à [aide des suppositions suivantes:
lm EE,
GEE gta? ge He?

et de même au théorème général (B) lorsqu'on fait usage des suppositions

Ë Cost. Sin. pz mv Sin.2a . Cos. pa x Sin2al #. Sin. p z
fe) rn SO dj
1 te grt er qe
Alors on obtient d’abord:
Fe Costa. Cos.prda [ie Cosa x. Cos.pede \
q T 5 ET 2 hi ze LEEN P 1] Hi 05 3
ez” gta Bk gta?
ira: | Spore CSLms=p)e} Cos (nst p)e}
9 1 5 q? + T°
E: Ds Cos.ax. SER elf 1 Re paf “cornet. Cos. (s—p)e} zhe sJ-p) z} b,
gta? ans ge (2)

li ‚Sinar Sin. perdre |= Sin?ax. Sin. padr
AE am ee
5 en 8 k ge 4x

7 = OEP ml
falen Í me (ern keE Del
2 k qe +?
) /

WIS- EN NATUURK. VERA. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL Vs

66 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

IK } vSin2aa.Cospade — Lid B 5 vedvabelt Sin, | (ns-Fp)e} +Sin. {(ns =p)e} |
b 2 q te? jen Ö gez?
he « Sin.2atl wv. Cos. pad Pa SinFatl m. Cos. pa dz
f Pi (xe) q sik in | A q ne A
e "ao a) : (8
EE PED Ee ((re—p)a} + Cos (ns + p)a}
- 5 kei dn LAU. vd. E re 2
Ei 0 1 i
Sr at la S ' c 0 td eet \
[» 5 Sf ne ps, (ns pe) De
k qe Het EE gtr |

lei done de nouveau, comme dans la première partie, il faut principalc-
ment faire attention à la valeur de »s—p, et dans la suite de notre discus-
sion on s’apereevra bientôt que ce n'est que cette valeur dont il faut tenir
compte, à propos des limites, que nous devrons prendre pour cette diflé-
rence ns—p.

Auprès des intégrales (25), (157) et (160), dont on aura à faire usage
ici, leur valeur est la plus simple, quand „s—p reste supérieur à a,2a, el Za 1
respectivement (où encore dans le premier cas il peut atteindre cette limite
minimum de a): autrement pourtant, les formules suivantes, qui expriment la
valeur de ces mêmes intégrales pour le cas, que ns—p devienne inférieur
à a, 2a, et 2a +1 respectivement, introduiraient des sommations, dont les
limites dépendraient de la fonction ns—p elle-même: ee qui donnerait lieu à
des résultats, en général bien embarrassants. Afin qu'en effet Fon ne se trouve
pas conduit à ces formules plus compliquées, il faut et il suffit, que les iné-
quations précédentes vaillent pour la plus petite valeur de n, c'est-à-dire
pour n égal à Punité: d'où il résulte pour ns—p plus grand que ou égal à a,
plus grand que 2a et que 2a + 1 les inéquations correspondantes; p plus
grand que ou égal à s + a, plus grand que s—2a et que s—2a—l. Lors-
que cependant on veut faire usage encore des intúgrales (68) et (69), les
deux dernières inéquations se changent en telle sorte, que p peut atteindre
Jes limites inférieures respeclives s—2a el s—2a—l, quand les inéquations,
qui coneernent ns—p, subissent le même changement, c'est-à-dire que cette
fonction peut devenir égale à ses limites inférieures 2a ct 2a +1 respecti-
vement. Dans ce cas on doit évaluer le seul terme correspondant de la som-
mation d'après ces dernières intégrales; on ne doit pourtant pas oublier,
d'y ajouter le terme restant sous le signe de sommation pour unité comme

E
.

Dl

pnt ante,

Dn

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES. 67

valeur de », où done ns + p est respectivement égal à Zp, 2a et à
2p + Zal, el cela en se servant des intégrales (157) et (160). DE lors-
qu'on se contente de ces valeurs de s—p, es formules (z) acquiérent la forme:

Ik 3 jee Ee ERN ‚7 pa (et Eer N
(B (xe) s zr neer ie AC ele
J, gtr 1
L c
-H 5 = An sl AG 1 + ee [enso + e—(us+p a} IIs a,s>2a; E (B)
Le |
Nn aid 7e Je)" [A en J (er? ES Cmt bike 2 An enal |

/

d fa d la Ì
—= al ‚| AN ( - Ed) 2 eTPA — ela—p;g ST ( e—2ng EE epa) 5 | gra
’ n n

0
Tse

(el Het)e (er? H e—71) NCT EPR (1)
“1

ou p<a,2p<s, el dle plus grand nombre entier contenu dans £ 5 (ap);

DA
Cos.*x. Sin. dr nee }
| Pa (z) ads PD) —a=l (ere-a [e- (ns—P)q ee ns+p ) |
Je 1 q° dert Zi q ‚psa
TL ese
—= Ya (e? - eT ja (era en eTP1) EE B ens} | (U)
q 2 )
[2 zSin2ag. Sin. pede $ \
Pe ee = Á,(—1)e2 Pal repa(e— ega |
$ Oi + LT
aen ‚p>Za,e>4a;
J Ze An (— 1e al (01 =— e—4)za [ets dp) e{ns—p)al] )
AN Mk Ap ERK thi Lorie “Zuider ak Gter mAH ale zand ebsa d (V‚)
1
Ie
== (— 1)eZ el or (el— ega IE er + (EPI — ePI) 5 Ar e—ns4 |
Ree) | /
f dl Za \
—= (—l agtatrfA eTPI(el— ea glta—p)g ES —l) e=?2ng \ ,
(—l) o\ ) d (=l) 1 PS2a,2pSs,
; p entier;
q a\ 1
— elp—2ú)g > zi (— 1) gis ) en) (er — e— )) 2a (TPN — Pt 2 S TN el| OMEN FITC (Vs)
1 /
d Za \
== (—l)t2-2a-l „A ep? (el—e-4)Pa— el2a—p)g FE (—1jn | | e—?ng 4
( 0 ( ) 5 ( ) zi BEAR
fractionnaire;
d PD) Pp
/ : : a
— ep) SS (— lr 5 jeerl - (eL—e— gj2a( er — SU DE A» e— ij orn WS (Vas
0 /

68 REDUCTION D'INTEGRALES DEFINLES GENERALES.

Peet ar Sin.parde Kg (== Ie tal \
PR (0) Jaen 3 = Ap legal mr gPd (et S ef)?
5 g+
FA, (—=lje! gta [ (11 —e Pal} e=(2p-2a)0 100 — enja}
4 ‚p=8—tZa,
J (—1ljegtel or (el — e-U)Pa (e AE en, a E An ennen) PAS
2
Weke (NER)

—= (— le 2-2 Ee zA, ((L —e0)(1— ee — 1}

Í

1 (
et — 0-00 JA g e-P H (e-M — 11) E Ane-rl
+ ( ) [ie + (e ent 1,

== aal — 2, (2 5 ae \
—= (— eral |A, jep (el — eta — tap E (— 1)" e—2na
0 n

‚p==8—2a,
ed Za 2P&s<Aa;
En etn A Ir | 8 | cel p ek
1 Hee TT
men Del {a Je?P0) (1 —e Pa 1} + (et— ea ein Zane)
Ta 9—-2a—l gi Za
(ien nfA jemen tr Ei jee) a
d b 2p<s<4a;
— elp—2a)g E (—1)" 2a eenal SP fraction-
0 n naire.

1 l €
gr (ler wa)(le da Hette —e0)_E An a IA (Ve)

Dans ces formules d est le plus grand nombre entier contenu dans (a—öp).
Í ® @Sin.?ax.Cos.prxde
q

Jee \
SAMET =S Bal 1e tan (tere elee lj eter]

‚p<s— ta;

4 1 £ …(W‚)
=—= (—l)e2-2alr(er — eta (EP? J- e-PI) 5 > Br et
1

N
= B, [(—-da2tal a {(l—e20Pa 1} (1e Lal 7 (Pp t2a)0 (01 — 0-12 |
Jd (— 1e 2-Lal (el — e-1)Pa (er H e-P0)

| (W)
|
Iet ten B, {(L Hele 2Pa 1} Hete tPe(ert Je-P?) „Eberrei] f

2 /

REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 6

ie: zSin?arl pg, Cos.perde
r, (+)

\
NS an Aj dad epi (ere apar
Ïij ig lzeen
ies s>4ad-2:
zi zo) > Ar ( TE IAN 22e? 7 (er —z et 1 [eAns-tp)o JE esp) | Del de ,
21
— (—lja-12-2a2 Ae mn o CTP + (ePI + en ens} |
/

dl Zare N
== (—]je-l2—2a2 —e=-3latl —_ ol2 l— n o—2r
(— 1e ne ie pq (er— eat ga de L À | ee pal,

d Fa 1 ì LSD
— epa} 5 es In Jeen} SE (ei — er oat (er? an en) EA, eral entier ;. (2)
n

Ü

== (—l)4-! IN (ep (ete-tjtert — gta 5 Dy Aan JDA gak pL2 a-tl,
| 2p<Zs ‚Pp
nae

/

Äis
4 ‚ d ka J- 5 Ì 1

— elp2al) nl (— 1)" | 4 | eng i + (€? — e-1)2atl (ep H e-PI) — a EA, el ie

=Ag(— 1212 Ume Pete, PEA) a—1—2a— of (A —e 2)? tal)

—(2p+2a+1) (el —e2Patl (1e 12 2e e- 2)2at 1e’ 1 ), EA de A Dll
Pp s>4a-2

(eigne tn [A, (AH etmiengin ijf Be)

1

(el — eetl | oet + (eP1 + EA Cell /

dl
== (lea ale Ap ereen — ET 1Patl — gl2atl-plg 5 (— l) le

l 0

d 2 L =S Gn
„ee e{p—2a—1l)g nr (— In EN) e? li AP hat
o n i entier; (XJ

+ — A, 1e2paj (1 — ePjPatl_ 1} Hea —e at (epa He-pa 7EA eg
)

/

d Zat 1 \

= (—l)e12-2a-2 rf A, lere — er ttatl — gl2at1—p)g zl + he
L 0 n

=S Za—l,
d _ (Zal Ups 4at2,
— e{p—2a- a (WE ( ” | e ij (p fractionnaire;
î Mtb plek (Xe)
+5A, {LH e-2p0) (l—0-20Zatl 1} H (et — etat ET An er
2

7) REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

let Fon a d le plus grand nombre entier contenu dans } (2a + 1—p).

be vSin2atle.Sinprde 1 Ce Nat nf der '
Ts &) oi =S B(—1)— 12 Zaar el — 120 Flens e(netp d
ge 2 |

dj

c
= (— | je! 2—2a2 Pr (et—et)?a 1-1 (er1 er, e=?) B 5 B, er)

Bf /—lje! Za r((1 —e Pat | Je VLA g pta) egal

lc
FG Neeleman (er — erde (er — e=) Bere

l
= (— 141 2-22 le? {a — € 20) (1 — e-PyParl — 1}

c

2, Ba e=

t (er— ea Herer gs

A Fégard des limites pour les constantes, qui se trouvent dans ces formules,
et entre lesquelles seulement ces formules valent, on les a déduites d'après
les_considérations suivantes. Dans l'intégrale (T,) le coeflicient de A, a été
déduit de la formule (25) où p doit être > a; done, parce qu'aussi p est
S Sd, on a encore Zas > 0: dans lintégrale (T) on a fait usage de
(24) dans le même but; et puisque p y doit rester moindre que a, on com-
binera cette inéquation avec l'autre p <s—a, pour en tirer 2p<s.

Pour la formule (U) il n'y a que la eondition p <s—a, qui y est nécessaire.

Auprès des intégrales (V‚) et (V‚) le coefficient de A, est déterminé d'après
la formule (157), comme auprès des intégrales (Va) et (Vs) d'après l'équa-
bon (158) et pour les formules (V) et (V‚) d'après Fintégrale (159): de
serte que dans ces deux dernières intégrales (Vs) et (V‚) p est fractionnaire,
landis que p est entier dans les deux précédentes (V.) et (Vs). De plus, dans
Vintégrale (V‚) on sait que p est plus grand que 2a, donc, si l'on a égard
à la condition que p est plus petit que s—2a, il s'ensuit que s doit être plus
grand que 4a: pour les intégrales (V,) et (V‚) on a p plus petit que 2a,
done, puisque aussi p est moindre que s—2a, on a 2p plus petit que s: dans
la formule (V‚) p doit rester au dessus de 2a et être en même temps égal
às—2a, de sorte que Von a 2p plus grand que s, et 4a plus grand que s;
pour les intégrales (Vs) et (Vo) enfin on a la eondition que p reste au dessous
de Za, mais encore on sait que p est égal à s—2a, done il s'ensuit que 2p
soit moindre que s et que s soit moindre que Áa.

P<s-la-l;

et

}
1/

ps Zal;

rr GR

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFIMES GENERALES. j 1

Les intégrales (W‚) et (Ws) valent respectivement pour p plus petit que
s—2a et p égal à s—2a.

Dans les intégrales (X,) et (X,) la formule (160) est employée pour trouver
le coefficient de A,; de même la formule (161) dans les intégrales (X.) et (X.)
et la formule (162) dans les intégrales (X,) et (X‚): il s'ensuit que les deux
dernières (X‚) et (X,) supposent p fractionnaire, celles qui préeedent, c'est-à
dire (X.) et (X;) au contraire éxigent que p soit entier. Ensuite dans inté-
grale (X‚)on a p plus grand que 2a + 1 et encore p moindre que s—2a—l,
de sorte que s doit surpasser 4a +2; dans les imtégrales (XN) etl (X,) p doit
être plus petit que 2a +1 et encore plus petit que s—2a—l; done 2p
doit être inférieur à s; dans Vintégrale (X,) on a p plus grand que Za +1,
mais on a aussi p égal à s—2 a—l, done par conséquence encore 2 p plus grand
que sets plus pelit que Aa +2; auprès des intégrales (X%) et (X,) enfin on
a la condition que p soit plus petite que 2a + 1, mais en même temps p est égal
as—2a—l, done il faut que s surpasse 2p, et que s reste inférieur à Aa + 2.

En dernier hieu les intégrales (Y,) el (Y) valent pour p moindre que s—2a—tl
et pour p égal à s—2a—t respectivement,

Ces diverses conditions, auxquelles les quantités p et s sont assujellies
mutuellement et à l'égard de la troisième a, néeessitent, d'ápres des diseus-
sions antérieures, qu'auprés des intégrales V‚,, Vs, V‚, Wo, X,. X5, X, et Yo la sonr-
mation depuis Vunité jusques à c doit être décomposte dans une sommatiou
depuis 2 à e et dans le seul terme détaché, qui vaille pour la valeur de »
unité: et ee terme acquiert chaque fois une valeur spéciale, comme coelfi-
cient de A, ou de B, respectivement.

Ces vingt-trois équations (P) à (Y) constituent de nouveau autant de théorè-
mes différents, qui ont la suppesiton (a) pour base commune avec les thúoré-
mes, que lon a déduits aux paragraphes 2 à 4 de la première partie. Elles
pourvoient à chaque eas spécial, où Fon doit en faire usage, selon qu'il en est
éxigé dans les applications, Lon s'apercoit qwelles ne dépendent que de la

sommation bien simple veras
L

Mais il est rémarquable que, lorsqu’on suppose des autres équations de eondi-
ton entre les éléments p‚ s el a mutuellement, ces mêmes intégrales, qui se trou-
vent iet dans les formules (P) à (Y), dependent de sommations doubles, extrême-
ment compliquées, en ce que la forme de Pune sommation, dépend des limites
de lautre, landis que le terme qui doit être sommé, est fonetion de V'Intégrale Ex-

12 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

ponentielle, Gette remarque met en évidenee, il me semble, la nécessite de
la marche plus ou moins indirecte de cette méthode, que nous avons suivie
dans les parties première et troisième, d'où il résulte que la valeur d'une inté-
geale définie peut differer de beaucoup quand les circonstances changent à
égard de la dépendance mutuelle des constantes, quelle renferme.

V. APPLICATIONS DE CES DERNIERS PHÉORÈMES.

17. Pour Fapplication des formules générales (P) à (Y) nous pouvons supposer
en premier lieu

1 —r Cos.sx

keel 0D
Pr ar a r'Couner. == là 1" Gosa
‚ (2) 1 —2r Cos. sr Hr? o + Ì ;
ou plutôt
1} 1 —l 2 EA \
FE) == == zt X pr Cos.nsr \
l—2rCos.sr Hr? lr? lr? |
„2 ;
Cos. sr l —l Ilr? » rk ea
== nn nd En OS. TSE
l—2rlos.satr? rl—r? nlt reke ter el RN (aa)
B Sin.s le, Se
Fat) =S > te == rr n.N ST /
l—2rCos.sr +r? ra. /

On a déjà traité de ces formules au paragraphe 14: voyez-là les équations (u).
ler done on a respectivement:

1 l —l1
A
lr? rl—r*
Ane 1l4r?
nT ad
Donec puisque
ER r ries
DES ==, pe RAM E zr (46)
1 els —r 2 eis — 1

par Vintermédiaire des équations genérales (P), (Q), (R) et (S) :

(fen Cos.2a z do 2217 (2a “ til 2a Á ta 5

— = — == == Ae eni er HeT )sa | Za;
| ll 2rCos.se +r° qz? lr? | a 1 lett ter) els—r as ú
0

® Cos2ar.Cossx de 22e ple? |( Za GRI Ì Ir 2
Ee =, S | HE, etn H(elenja |" 220(188)

—_ÁI . 2 n 2 „2 5 9
12rCos.sr r° q2tz? —r° gk 7 a | 1 na) ess—ri S=

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 15

Û Cos2atle dr rd NEE A EN pan
5 = — nt gt (e1 ga 2 2
, L-2rlossetr? gd? lr? aen In al i zaan) 2 Ged
PCostatleCos.sr dx 22a2r L/Za 2 ;
| Ede es ze En
, Lerfossatr2 gede lr? q nat] els— rk ... (184)
Í ®__Sin?ar, Sins BNG 0 1e 2 À 5
— Lr —= (== je 2—-2a— IQ mm 2 Q)2a e= Da:
1 2rClos.srdr:g° zr? 3 ( ) al ga LE na

LÔ)
reT?ag
A ne ie el mr ard

(el — e”0)Pa aren (0:S 5)
an en
2 Gn al 7 7»
Í EE LE 4E = (—Ije-1g- ar ereen la — (22110) (1 — PP
l_2rClossrtr? gg? +? lr?
5 2 1 2r
— zip ar Jel Hernen, learn
0 n Í ens r

mT A d Zal
= Cipetaeree Eeten (ader egpenaiyf k jee} ne

—(2aH1
+ 2r{(l — earl 1} HF (el — e-02al Ean 5
el2aHDg — r SS Aa
a 1 a
== ( Wel2— 22 % je eene [o-etemgnepet eef Jeen + . (186)
n

(er — ete

nee —i|
u e(2arDg —
I Sin2atl ge, Cos.sx_ dx EP:

Ss = (— tjd Z—2a-2 [rees ia Ls el2a+t 120) (1 en e—?gParl__

; Ll — Ur Oos.sadr° q aa? en?
{
e Zatl Ì 14r?
EN Ze n 2n _—_ e—q\2at1
Te 8 IE is „peet: (187)

7 a
(| ja-12- ta re end 1—el2a+-1)20)( 1 — e—29)2atl__ Sj
(—I) Tr: Í \ ) ) a )

je

(lr?) re (2at1)g
Er?) —29\2a-H1 rn el men EE
erde {a a 1} rai nde el2at1)g — p

\
el — e= 2atl N
jz ze) nes; nete Bs
/

en Ee ae mad (6 ar c2arg er gl

a 2) 1
re (2at1)g a (Le Pipa 2 E(— Di at jet]
| 0 n

24.

i

WIS- EN NATUURK. VERI. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL V,

7Á RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

Des quatre intégrales non numérotées, la première est déjà déduite dans la
formule (180), la seconde dans la formule (182), la troisième dans la formule
(176) et la quatrième dans la formule (178).

Ensuite les équations générales (T) à (N) nous fournissent les suivantes,
lorsque nous employons les mêmes suppositions (aa) et les mêmes formules
de réduction (ab) pour les sommations, qui se présentent ici.

je Cosax.Cos.pe da eend.
1—2rCos.satr? ged? Bi

reage [ereen de pags:

gal | 7
is zeten Oe | a (189)
l— Sr
gal
== 1e q n = [er Hete Pl —e redt Jee L ens Jet
aps:
+ (ed Hete (EPI H e-P?) l FO
cn . (190)
gal ep d
ee a eren dem |ermarnf, Jee]
lr? q es r o \x
® Cos.tx.Cos.pr.Cos. oe
Í os.tr.Cos.prv.Cossr da Zrenerngare-ma-Henterjgn | ‚pags
8 1—2r Cos. sant? geet lr? g (191)
Za 2n
TCR Teretenrem eem) |t eraf je ‚tapes:
1 2
reren eo Ee les EE)
GE

Dans les intégrales (190) et (192) d est le plus grand nombre entier con-
tenu dans } (ap).
[22 Sin.pex.Sin.se dz

l—2rCos.sn +r*gqe der?

1
tet eter VPE) es Sm (193)

I8 Sin.2a z. Sín.p z x
EE GEE TRE da
d 1—2rlos.srtr? q° 42°

r

é à 2p>tags;
Er (et — e-1)Pa leer Herer, Kg jj (194)

—= (— dje g—2a-l

els-P)q — r ePQ

— (— If Bte a (et — eit
_— fr

ens —r

-

_]
[ebi

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

Í ®__Sin?ag. Sin.pz Big
1—2rClos.sr dr? q° He? d

dl
== (— 1) 2-2a-1 5 [ere (—etPa— eta) TE B
l—r* 0 n

d ga s>ap<ia,
— ep? E (—1)” | eng H(A — e-2)2e (e-PI — €P1) p entier;
0 n ens —r
. (195)

Tr els—p)q — r ePQ
[er SN
lr? ens — r

= (ijn tel

dl bi) d
— el?a-p)g Z (—1)t | PN etn — pan E (— 1)” zie en]
0 n 0 n

els—P)a— rera

—=(—1)12-2a— en [een

els —r

d 2
—eta PE)" Slate ‚s>2pda,
0 n p fraction-
naire;

d Za
NE nel ) eed eren (196)
n

— (— 12! TE ler Á { 1 —e-2P0) (1 — 2)? al} +
R ‚p=s—Za,
en (el — e—1)2a fees - (eP1— em) 2p>s>4a;
eds r
TE epa — e—PY 607)
== (—] je Z—-2a-l Q——e—q)2a Gp
1) or eene jen» ea
7E dl Za
== (—])2 23-241 e—PQ (el—e—-i)j2a — elta-pdt S (—]l) — 2
reste meneer reen
d Za
— e(p—2a)0 5 (— Del | ern rr { 1 — e-°P0) (1 —e-*4jfa —1l} en
0 n ‚p=s—2a,
r2g-3s 2psda,
F (e? — e-?)Pa (e- PV — EPI) Er zodl p entier;
iK ‚» Ì ePI — eTP1 s 198
—= (—] 22-21 el — eta le-PQ — Eme | rj ( )
ri —r? [’ ) je T ep+2ag— rf oh
dl 2 d
+ r—eta-pll > (— 1e ij) e2na — e(p- 201 D (— ijn Ô “a
0 n 0 n
TE epl — eTP1 == 9
—= (—]je2- Zal (et — 0 za Í nn en Ue ren
er) lr? ri U i ep+2ajt_—_r | nj aps ta,

p fraction-

/
d 6 \ 1
— r— el2a--p)g FE (— 1)” Á ’) eg 2nl — elp—2adn S > ae In Ke je jee
0 7
24

\ (199)

76 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GEÉNÉRALES.

® Sin.2a x. Sin. p «. Cos.
Í Sina x npt Caan Bl == (— 1)? 2-2a-2 (er — erat [2 rem +
1 2rCos.srdr? qz? lr?
lr?
+ (e-P1— e?4) de | ‚pas, ... (200)
ens rr
mr lr? |
= (— —2a-2 — e79)a (e-P4 — ePI Jg q — eTIa eg PI —
(— 1e 2-22 Tr [e paer tn Her (A — er)

dl Za d Za ,
—elta—p)i EF rf jemen pf jerfle>ercsan entier; . (201)
0 n 0 n

1e?
[er makan) ad Cam hok Der

=S (— 1e Z—2a-2

5 +2r le — eT1)Pa EPI —
_

d 2a d 2a
EI emt em) ] ‚s>2p<4a,pfract.;. (202)
0 n n

0

TE

[arg (ae epe 1) +

—= (—]jeg=-2al-
/ lr

+ (el —e-1)Pa Vrepa 4 (eer— em0) u ee ‚p=s—?a,

2 et—rf | psa;
aa Ee 072 Í ame VO RS ee vele. 203
ant ge [ee enja [reet (203)
Ea
(PIET) lr?
Se ann er )
Ee A 5
wo, ENA | PI (PVP » PSS da,
—=(—1)e2 2a Er [e epa 2UreTP1 (er e eee zie P=s— ta,
BA: ’ 5 p entier,
= a 9, n 4 n
+2 Adr) Br elfen arl L je arden EI) Ë | e i] aA
7 5 Ven » 2p<s<4a,
ET In Wee lere — (epa — €—P?) Ee p=8— Za,

pfractionnaire;

d Za d Za
(rt) Bret ED e= — 2 rp?) E (— 1)” Ë em] eee (205)
0 n 0

Dans les intégrales (195) à (205) d est le plus grand nombre entier contenu
dans (a — tp).

®Sin2ar.Cos.pr.Sinse z 1 ‚p&s—2a;
== — 42 2e (el —e -1Zal ep) —p1
Í 1—2r Cos.sa Hr? (rs me Clari an OE Es .. . (206)

li
_l

REDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

®Sin2az.Cos.pz.Sinse 7 EE
Des == 2 -2a-l_f —2, a — 202 eend
Í 1 2r Cos. dr? gtr? Ta „borta+e POE Er nad

+ (e2 — e-0)Pa (EPI He-P1)—

lr Le ‚p=s—Za:
DOPEN ee (OUT

—= (10-202 AE 2 pj
—= (—1lye2-2a a IC eta (ep? Je TE 1]

Û Sin?atl g, Cos.p z ”
5 1 2r Cos.sr dr? q° Het

Ë 4 5, potas:
e (— Wet Za? 5 (el —etPatl ler + (eP2 He-P1) ]

TD ENGEN, (208)
beefden

In es —r

(sp) pa d—1 P
—=(—lel2? me & fem pq (let) En +rE Zal p)a ES (—1)" Zal Ae
I= ens — r 0 1

ä Zal}
a grtn (| gie jen] ‚s>ap<tat2,pentier; .. (209)
0 n

€ ham 2 rep?

eis — 7

d 2 \
hm kl ig 6 zfjerter—erjtet br etn ECD ET en En
—j 0 n

)
’ 4 Zal) , MA
— dp Pal E(—1)r 3 emf,s>2p<4a-t2,pfractionnaire; .. (210}
7

2pg) (1 en earl Ht, 1} + |

== enen ir
„Ups Aar2,
2 gs ED TS
rn a (tet + e-P0) beras Et il pi dal
e

Sr
RN: (211)
—=(— 14-13 —2a—2 ie lere) 2a1 eed e—P?) L |
==(—l) mk aj ept2atijg rl A/
tend nt
—r
(9 Ea
Ps da2,
/ \ En \ Zal —_2n 4 2] 1 g Zal 2 hm el,
== rn (— Ir Apon Ten LT dj EEn +) p entier:

Hr {(Le-?P0) (1 —ePatl 1 } (ele t)datl (epa H- epe) En

2e (Ppd-2a+1)g
elp+-2at-1)a )

78 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES.

[ Sin?atlx.Cospe © Mid
det 2 r Cos.se + a+ qe Het Ape hat2,
—=(—1)e 12-22 e Úrer—erzerr e-Home Ent ee Oe: apr:
lr? EPH2atlo_r | 5
, ld 5 ke EER VONE l (212)
— el2atl-p)a ES (—1)” fh ) e?ng — e(p—2al ET (— 1)" gr ' em},
0 n o n
__1)a=19—20—2 Q—e-Ua +1 Jer? Ge ‚ps at2,
=—=(— 14-12-20 DE Zale €?) | Het He Er En pied ant,
fractionnaire ;
d zal d zal P f
— el2atl—-pt E(—1l)? —2ng — e(p—2al ES (— 1)” ang
emi Eem eeneme (Pef (15)

de — (—1lje-! pet 5 7 (et — ette [erer sE
—r

® Sin2atlw.Cos.pa.Cos.sr
1—2r0los.sr tr? qe Hz
+ rem). 2p>4at2<s; .. (214)

14 r?

dd = [ee — et)Pat! (er? He?) —_ + 2r jer (e — e)zatl —
es ers r

dl Zal en d Zal) , s>p<4at 2,
— d2atl—p)e eind | ED Jeremie ii, | ie | p entier; . . (215)

=S a—l Y—2a3
1) 1

Lr?

Na 2 U)2atl (EP! He P1 2 —p (el — gal
[ce ee) (er He ak et ‚|, (el — 071)

d Zad1 d Zal Eed 4a J- 2,
— {2atl-p)t FE (—1j" a enmet nf N3 jer) p Beilen due)
0 0 da:

ae Y,—2a3
( ) lr?

—=(— 1e! ERP (U Hr?) ((1 HPP) (Le Patl — 1 +
=—=s—2a—l,
End (al — etat IE rep) (ePt DE er) ( ae ein ll El Sil Ip>s>Aat?;

en EDE BEND VEEL (217)
gts eregper arem(r ee (er
=—=(—l)4— 12-20 je ge are D(L eme )
Ee om et \
mr Zr [eee [aren telgen pete,
z lont ot Ml ie ns gal) Zer
(Lr!) Fr je PRN (le PEI gla (EIT en pp entier ;
0

s d 5 zal) EE (219)
ser ij |e }],

_l
De

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

Í ®Sin2atlz.Cos.pr.Cosse ede

\
7E [e- er njdact! [areert \
L—_2rOos.sn dr? gede? ne

== ( je 12 2a8
1 p=s—la—l,

2 Beel 1 2 2 rdep2aljn (lea ‚p fractionnaire ;
eu VTE Te hak Hr) erje =,

d >) d 1 eee ed
merten Eeten Ek |e al]
0 n 0
Dans ces intégrales (209) jusques à (219) d est le plus grand nombre entier

eontenu dans 4 (2a +1 —p).

[= Zal zp, Sin. pz. Sin. sr @
1 —2rCos.sa Hr? gee

de ==

== (—lje-1 22e (el — er? ‚p<s—Za—l; . (220)

li

1

= (— mast a | r{(L—e?e1) (le Pat — 1} gee
ru2

‚p=s—Za—l;

q —0j2at1 ol Ef ° ]
Toi in terde) (AEN GE (221)

(et — et) er 1

= (—Ia-1 gun [e — epa
e{p+2atljg — rp

De ce dernier groupe d'intégrales (189) à (221) on peut déduire encore
des résultats remarquables, en combinant quelques unes de ces intégrales, entre
lesquelles il existe une certaine analogie, par voie d'addition et de sous-

straction.
Ainsi la somme et la différence des intégrales (191) et (192) avec (195)

nous fournissent:

Í ® Cos.tx.Cos.f (s4-p)e el DE k ET
l—2r Cos.sa dr? q* Hz? je

telt, en HE

ran [rl ne es.

dn

= Ee (el == «{ pi L ef | ==
= — Ket He Oe =- er
gu ) es r p ens r

lr?

d d
—4mz(,) e2m epa E ) en] ‚pP<SS—a,Za>2Zpgs;
0 n 0 n == ==

Í ® Cos.ar.Cos. {(e—p)e} de _ Z-alr sp Jep?

1—2rCos.sn Hr? gee 1E ndi” en ask P Se ES

80 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

en y Mi
Cost rv. Cos. L(s—p) der el; rels-p)a + CPI
Í __ zie { ze } - man leren van in
L—_2rCos.sr hr? qe Hz? Lr? q err
u
d a d la
— ela-ph FE | en} Pd en] ‚p<S<s—a,Za>p<s;
o\r 0 \% == ==

Dans ces formules d est le plus grand nombre entier contenu dans
} (a — p).

Loesqu'on prend t pour sp dans les deux premières formules, ainsi que
pour s—p dans les deux dernières, alors les intégrales elles-mêmes acquiè-
rent bien la même forme, mais les résultats diffêrent à raison des inéqualions,
auxquelles f,s et a sont assujettis, et qui les lient entre eux mutuellement;
ces conditions peuvent facilement s’établir à aide des inéquations qui ont
lieu entre p‚ s et a, et Fon y a ajouté la premiére, qui est quelque fois une
conséquenee nécessaire des deux autres, afin de montrer plus clairement la
différence, qui y existe. Il vient:

[®__ Cosax.Cos.tr do Zal 7 í - 1
= = 5 Gr drh Gr an + T Ee

LÂ 1 2r Cos. sr Hr? qe Ha? lr er
2
JH ets) 5 | Usa, sa tsta. (222)
es — rr == == ==
gal í ) 1 r2
== —____—— (et gtje J els—t)a Dd r elis NN —
lr? q [ u ) ki me | E el
d la diftar
— date |C em hets ES en] et Ak Lln (223)
fi n 0 ny

où d est le plus grand nombre contenu dans 4 (a +s—t),t< 2s—a,
2t<5s, tLsha.

Jm rel + els—tig
Srl ej rt at Cn Ene eee
lr? q ens — IS —
gal ret Hels d la
nn (Gad are — elatt—s)g 5 | |gen —
lr? ens r o \x
d fa\
H els——a)g © 8 end ND MD NEU tE 0 (225)
0 En

où d est le plus grand nombre contenu dans ; (a + t— 5).
La somme et la différence des intégrales (200), (201) et (202) avec (206),
et de même des intégrales (205), (204) et (205) avec (207) nous donnent:

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 81

En
4 pr. 3
els—r
r?2erd \

EA, ‚psa 2potagzs;
r

Ge dan Gin f À
Í Sin 2ax.Sin. Ust-p)e} ede eh mr (ermee fem
1—2rlos.sn dr? geta? lr?

els

(— eta kk 1 joa Ve=pa ] vl Â& en
TT mennen Ie Ed) AE PIN en il
lr Ea eel es —r ‚p<s-—2a,
dl d JN s>2p<ta,
— rr el2a—57)g = (— I» 7 ’) e—?2ng — pr elp—2a)g 5 (1 Û pl eea] p entier;
0 n

7 1 r* ep?
il AE [ el — e-9)Pa lem 1d en Sas
) lr? ) | sept eis—r ‚P<S<S—2a,
N 5 s>2p<4a,
— rel2ea—p)g 5 (— 1)» q eng — reP—2a)g 5 en w{} 5) u] P fractionnaire;
0 n
er era p=s—2a
—= (—l] a gal (el — —q ‚ PI —= 2 p d
l—= me | di [re est —r zE en 2pD>s>4a;
== (— Ie Ia! id [ee e_4)2a ij e—P4 ger che \ Jr?
lr? k | ens —r ets — r| ‚p=s—2a,
dl Za d 2 2p E s 0 da,
— rel2a-p)g FS (— I | eng — pr elP—2a0 E (—1)r ) en] p entier;
0 n 0 n
(Sr era
—= (— le 22a-l le — aaf po \ IE
( ) == ( es ) Ii 6 els rr Clr sik) ‚P =S Ra,
5 Ap<s<ta,
en 2a fd 2a p fractionnaire;
r el Pu ES (— 1)” e—2ng — relp gE (— 1)” e2ng
0 n 0 n
lk Sin 2axSin{(s—pja} rde hate e ne PU—rdsPI ‚ps —2a,
== AT Omen Cm ER
1 2rCos.sar? q° 4e? ) lr? k sr WPtags

= (— 1e EE Ti

PA—r els—P)4 dl
je Hr el2a—p)g =S ( Eee In i i en +
_— n

d 12
+ relp2a) E (— 1)” \ el gal ‚PSS Va,s>2p<4a,pentier;
0 ú q

ePA— r els—P)q

d Za
p q)2a Dg - re (2a—p)q Dj (— Dl | e—?2ng -
0 n

—= (—1)t 2-21
Ì es —r

+ velp Ey rl’ fi e2ng dE psa, > 2Up<4a, pfractionnaire;
25

WIS- EN NATUURK, VERH, DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V.

82 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÊFINIES GENERALES.

WO On 9, Ò en 3 E
| Sin?er.Sin. ((s—p)a} mda (je pedet ij | eere le: 1 sd jd
1 2rCos.srn dr? gede? Lr? ens—r

a

r* eP1
Le aard _ | ‚p=s—a pe Aa;
7 1 rt ePg
Els o=dl pe — EE fe, Ee
( le2 5 nlt e 1) jer Pm ’ els — | l + ‚p=s—2a,

Ll 9 d 2 PZ $ Z da,
4 reta E (1) ( Jem freon Z (— 1)" 8 \ ld
0 n 0 n

í 1 rè eP1
ss (== })a9=2al Tm 0712 — EE ==
( )e2 elit e za je pa Bet r EE l + psa,
p bj 5 5 2p<s<4a,
+ r a er (— In k jen + rep—2a)a a el 5 eng {pfrzctionnaire

Dans ces intégrales d est le plus grand nombre entier contenu dans (ap).

Lorsque nous prenons dans les six premières de ces équations ! pour s + p,
de même f pour s—p dans les six dernières, alors la fonction intégrée devient
de même forme, tandis que les inéquations différentes entre elles en in-
diquent les divers cas, pour lesquels chaque valeur spéciale peut exister. Ainsi
Von a:

| ® Sin2ar.Sin.ta ade rn El SSS
mm == ile ad me GLA st En
12 Oos. sar? ge dr? ri lr? iel |- Em, d
r2 elt—s)g
eS Een kl ed Ren (226)
7 { 1 n° elt—s)a 2438
== (— 1e 2a-l Q— ea; emo eN d
) rm IG ) ke ze) | t<2(s—a),
dl 9) d 9) ien Er 8 Se
— rel2ats-da SS (—] nl e—2ng — relt-s ar ES (ll) ir „2nq Ar En
a As Vn
7 rp? elt—s)g | Zits
== (—} jag al 100 za) (s—=t)q }
(ee) le e1) d Pd per eri 142 Ús —a),

Is -H2a,
t—s fraction-

1) 2 a) —2ng —s—2a\g BS Ir nd 2n
ps sh ) je ge 1 et en ) eid | naire; . (228)

gs elt—s)g ‚t—=2(s—a), s>4a;
(iten Sfeer reerd L Ee "| er. e Ki bea

eis. r Er

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 85

[ Sin?a zo. Sin. tx ede
E 1—2UrCos.sa tr? q° 4x?

ger elt—ela ‚t—=2(s—a),
—= (—1)e 2-2a-l 5 eee | ele -ta“ 2 SE : stats
IE An nele. —r| entier ;. (230)

dl 2a d Za
Hr? _— r e(2ats—t)2 DS (—l)” gn relt—s—2alg > (—1l)” | en]
0 n n

0
ISD (L—s) q

—= (—1)e2-2a-! 7 id 5 leren [raemor® 5 2 be í J- „t—=Z(s—a),

—_r? eis — r es—r é

sda,t—s

d Za d ga fractionnaire;

dri related) ET (—1)r 4 jerre ay u | em] va er (201)
0

Dans les formules (226) à (251) d est le plus grand nombre entier con-
tenu dans & (Za + s—t).

E 7E sn — rel?
== (— 142 2e | (el —eT1)2e MEE vi (>RZa,s da, t&s— Za;
_— pe ed hi
Ot el? dl Ya
== (— le RET on (eene neemd + r e(2att—s)g Di (—l)" e—2n4 —
CIS — 7 fi) n

d

Za
+ relst2a}1 X (— Del , u] ‚tra, lts ts Za, t—sentier; (282)
0

els)? — rp ef4

d
si [er—erpe ee Trd2attee ES (— 1) ik v

n

== (— le YJ —2a—l

els —r

| e—2na —

+ rels—t—2a) 2 (—l)” Ë il eem], ED Za, UD>S > s— Za, t—sfractionnaire; (233)

[eere gee |e t—s)a te

7 í Wieder „2 al
3 (er —e-1) 2a ef
Ei L Ee ‚ta, da,

dl 2 t—s entier; (235)
À a 2a
— l+4rel2atts ET — In ) eanadr det NE sf je
0 n 0 n

Tr í 1 r2elsti
[eere e(t—s)1 EN ee rie
—r? els—r eIs—r NEI ANSA

t—sfractionnaire;

d 5 d
—l 4 rde Eef “ette eentmaan neeen Eeke (236)
0 n 0 n

TE
—=(— | 29-241
CI) me

r2els—t)2 - 1 ] ‚t—=2a, s>4a;

sr | er) A... (234)

ded
ie

—= (— 142-241
) ï

== (—] je 2-—-2a—l
1)

84 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

Dans les intégrales (252) à (256) d est le plus grand nombre entier con-
tenu dans & (2a + t—s).

L'équation non numérotée, qui se trouve entre les deux intégrales (251)
et (252) a déjà été déduite dans la formule (194). Lorsqu'on compare ces
résultats des formules (226) à (256) avec les autres déjà trouvés précédem-
ment dans les formules (194) à (199) pour la même intégrale, on voit qu'elle
est évaluée par conséquence dans dix-sept cas différens, qui dépendent de
relations mutuelles très-variées entre les élémens t‚ s et a. Voilà certaine-
ment un exemple bien remarquable, de quelle importance les valeurs spéciales
des econstantes sous le signe d'intégration peuvent être quelquefois à l'égard
de la valeur d'une intégrale définie, et combien on a besoin de circonspection,
lorsqu’on veut décider précisement pour quelles limites d'une constante quel-
conque une intégrale définie acquierre une valeur donnée; nos théorèmes of-
frent des mesures de précaution à cet effet, que Von n'a parfois que trop né-
ghigées. Un second exemple pour l'application de ces observations se trouve
encore dans lintégrale suivante.

Lorsqu'on combine les intégrales (220) avec les autres (214), (215) et (216)
par la voie d'addition et de soustraction, et encore de même lintégrale (221)
avec les autres (217), (218) et (219), Fon obtient:

D Sin 2at1 f le Sea
Í Sin2atlx.Cos.{(s4p)a} rvd Sf legt
1 2r0os.sr dr? ger?

1 on [er en ) te

0
ek Re

Ie Ps Zu—l,2pdat2s:

En:

7 1 r? eP?
=( —l)e-l2—2a-2 | | e=PA| r I=
(el) De [e €) Ik k then pe Ja,
s>2p<4a 2,

d1 9 d [9

N laars ga

— rel2at1—p)g fn jee relp=2a—l Er +1 | eva] p entier;
0 ” 0 n

Ï | 1 r°epa
— (—1 alg ta | Ae? EEN DEN : 2 De
rt) Ir (el —e22a | pa BERT: KEE Eon
s>2pStat2,
Zal u] p fractionnaire;
n

d \ d
—retatlpE(—1)" Ben en rela E(—1)"
a Ó , 0
== EEN TE r? era e-Pî ‚p=s—Za—l,
== (—le 1 2 2a—2 ld ei)zatl | e-Pl-h tn ED

_

epi

Ë

REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 85

je e.Cos.{(s+p)e} ede
1—2rlos.se dr? q° Hz?

pq | Pps Zal,
== (—1)4 12242 ag ete [rend ZE, 2_ps<dar2,
lr p entier;
dl d 5
— rel2atl—pg EF ap ij Jerrel De) a U Jee]
0 n 0 n

v> ep? JH e-PI ij
ge he
Ups Aad2,
d d
—r eten _ef At Jem dte | Be 1 La] p fractionnaire:
0 n 0 Nn

—= (— let J—2a-2

2 E Weren il brem
—r

iS Sin2atl r, Cos. (s—p)e} ade
L—2rlossedr? q2 Hr?

== (—lje" Z—2a-2 resp) HP

ner 2a-pl ‚PSS—Zal,2p Das:

els r

res=P)4HeP4 dl a
feet E(—1 aal Dj
els r 0 n

—( once ENE

d 2 1
rete SC van | ee] ‚PSS Za—l,s>2Zp<4ad 2, p entier:
n

0

rels—ptept

—=(— 1e 12—2a2 le = eije
Jr? ers —

Zal)
re BHE Ir Zan Jen
n

d 2at1
— relp—2al} 5 (— 1)" 4E | em] ‚PSSs-Za—l, S>Lptat2, p fractionnaire
0 n
== (— Ie 1 gta [e— e= 0Pa Hear IJ Ne
lr? els —r Zp date;

‚! rlr rels-—p\g

els r

dl Za-
— (—1)4—12—2a2 E Fee Zat — 1l—rel2al—p)g 5 arl Zed Jee
r° 0 dn

d Zat1 é
— relptal)g 5 (— 1)" en] ‚p=sZa—l,2p<s<4at2;p entier:
fi) n
(s— d
== (—1l)a-12—2a2 fe )- zal —— Sede Er ren
ens — r 0 n

d Zal AO
— relpta1g FS (—1)r een] ‚p=sta—l,Zp<s< dat 2,p fractionnaire:
0 n

s6 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

lei d est le plus grand nombre entier contenu dans + (2a + 1—p).
Lorsqu'on prend de nouveau { pour s +4 p dans les six premières formules
et de même t pour s—p dans les six dernières, l'on obtient ainsi douze expres-
sions différentes pour la même intégrale, qui valent respectivement pour des
valeurs différentes de ft, c'est-à-dire :
| ee Costa vd

ZE —= (—1)e-1g—2a2

1
(el— eat! ri kl Fem: zr d st

1—2r0os.sa dr? q 2? lr?
rella) d
EAR „ta t8,s>4at2tsLladtl ... (237)
els r

1 Pelt s)q
ll ee ee (Cl lenlnt eel 38u,

ieden teal,
dt Zal d zal tet 2arl,
— rel2atlds-t)g 5 ap) po Jetten Ef gr | e°nq Ht —sentier;(258)
0 n 0 n
7 r? elt—s)a EN
— (— ] el 2-20-2 — e—)2al Lels—)g ff — 4
(—1) EE je e—1)2a lee É te) SE IDEE | oan

4 4 Lst2Zatl,
| zal Zal t—s fraction-
EEE) er —2ng_r elt—s—2a—l =— 5 3
rel2atl+s zl hi N | WERT AAS el n | “UF naire;.… (239)

2 olt— —t) EE q
—(—1)4—12—2a2 kl [e- e-ijPa [reso Pee fil ‚t=Zs— Zal,

ir els —r s<4at2;. (240)

rieltsdat ge n
eqs —r í jen 1e Zal,
je b s4at-2,t—s
mm | E « À
NE rl etri E(— hin at ) en] entier; . (241)
0 n 0

== (—]je-1 Z—2a—2
Cy) À

ld E [e — e71)Patl \ els +
=S

== (—1)e! ZP? rt, ts Zal,

s<4a 2,

d 2 d Sal t— s fraction-
— rel2atltst)g TS (—1)" ( zak Jem ets 2ta IE (— Dl de je naire;. . (242)
0 \ n o n

2 g{t—s)q (stg
: 7 eener elsDa ee
NRD:

els —r

Dans les formules (257) à (242) d est le plus grand nombre entier con-
tenu dans + (Za 1 + s—t).

Beel ers ta P
nä (el—e1)2ar es „Uta 1, stadt s—Ral;

== (—-])e—l Z—2a-2 5
==

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 87

id Sin2atrlg. Costa ada
1—2rCos.sn Hr? qe Ha?

== (—lje! a

1 _pels-01 Hast Za 1
1 ereen: mies —rel2al+Ht—s)g 5 pl at jee
lr? eis —r 0 n

Î ed Zal Pii
— relst-2a- lg E (—1)" eu] U>Zat 12e, > s— Za — 1, t—sentier; (243)
0 n

7E

reld Hels—10

el—e-I)2atl
E ) Hil

== (—lje-! Za 2

d ;
—rel2atlHt=s)g DE (—1)” enne \ eng
0

n |

/

lr?
4 Zat 1
— rels-t2a lg E (— wf Jee] „otatl,2 Es, sal, t—sfractionnaire; (244)
0 n
e (stg + reld

eis r

== (—lje! ,—2a—2

ä fen —if,t=ta tista? . (245)

1—r

—l—rel2atl+Ht—s)g 5 (—=1)"
ens r 0

e—2ng

á \

m els H r eld dl Zal

lj (et—edjzat1 ar si
lr? n

d

Zal
renten Epe ke | enif,t=Zatl,s<dadt2,t—sentier;. .... (246)
0 n

—(—]e-1— 22 7 el —e—T)2atl
GI) ‚N{ )

mm Ì — rel 2al Ht—s) LE)
ee

elst)g LH reld d sa)
en e-
e1s—r fi)

n
Zal

d
— pels-t-2a-l)g 5 (— 1)”
0 n

| eu] „t—=ladl,s< dad 2,t—s fractionnaire; . (247)

où dans les intégrales (245) à (247) d est le plus grand nombre entier

contenu dans 5 (2a + 1—s+{).

Lorsqu'on compare ces formules avec les intégrales précédemment déduites
(208) à (215), on voit en premier lieu, que Vintégrale non numérotée ici
(qui est placée entre les formules (242) et (245)) est identique avec la
formule (208): encore voit-on que la fonction sous le signe d'intégration est
la même, de sorte que les formules (208) à (215) conjointement avec ces
dernières (257) à (247) nous fournissent dix-sept valeurs distinctes pour autant
de supposttions différentes à égard de la dépendance mutuelle des constantes
t‚ set a, tout comme il a été annoneé antérieurement.

Dans toutes les intégrales (185) à (247) a doit être entier, tandis que
Pp, q,s et t sont absolument arbitraires, en tant qu'ils ne sont liés chaque fois
par des conditions spéciales: la valeur numérique de r au contraire est
assujettie à la condition de rester toujours moindre que unité, puisque dans
le eas contraire les formules (aa) ne vaudraient plus; mais par conséquence r

38 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

peut devenir négatif, et dans ce cas-là le dénominateur acquiert la forme cor-
respondante
1 + 2rCos. sxt 4 r°
avee la même équation de condition que 7° doit rester au dessous de l'unité,
Cela nous offre une occasion convenable, de prendre la somme ou la différence
de deux intégrales semblables, qui ne diffèrent que par leurs dénominateurs
respectifs, et d'en acquêrir ainsi des nouvelles, qui ne contiennent plus des
sommations à l'égard de a ou de d dans leurs valeurs correspondantes.
18, Car lorsqu'on a évalué une intégrale de la forme

| F(e)de f Ages
: T == ‚ 0 :
J 1—2rCos.sr dr° hs Sap

on a de même encore:

E. F (z)dz k
| DEN = fr et <1;

2UrClos.sr dr?

et par conséquence

js F(e)de Al F(o)de ei f F (ede |
fl —r)= r Ee
À 1 2rbos.sr-r? 1—4-2rCos.sur° Jord and ark ear k 1—2r?0os.2sa-r* |

ac
| r CT Ee „f" F(w) Cos.sade | )
1—2rCos.sor? K 1-+-2rCos.s Jr? nae 5 1—2r*Cos.2en Ar* |

Si Pon considêre qu'en général on a

1 1 2r fl IL 1 2m
== €
mr mr mr? mr mhr m?—r?’
r —r 2mr 7 5: —r Pint
mr mr m?—r? mr mr mr?’
les intégrales (185), (184), (185), (187), (188) nous fournissent les suivantes:
hi Cos.2a x. Cos.s dx Zal 7 N es B \
Er (ed edt EE A0,
En 1_2r? Cos.Lsrdri qed? lr? 5e Ee e2as — rr: 2 i |
‚ (248)
8 Cos.2at1l z. Cos.s x dx De Ee 0 aal
= — (el He-7)Fe „sa :
1—2r*os.2srtri geha? lr? 7 dee e2as—r? 2 i

4
Á
Id
p,

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 89

so in2ar.Sin. da
| Sin 2ar Sins eu (— 122 En (el—e-1)?a
r

qs
ns 2a;(249
—r

l—_2r°Cos.2se rig? +? €215
e2a
(ll gom ins el — eT4 geef el Sl 5 250
( ) Lr? ( ) tag Ber 2 a; C (2 )
® Sin?atlgCos.sr zdo (iep mt (ser es ‚stal;
1—_2r°Cos.Zsedr* qe Hr? lr? k eiser? ... (251)
e1s
Sin Wer — eraa In s= Zat 1;.(252)

Les intégrales non numérotées là, ainsi que lintégrale (186), auraient con-
duit aux mêmes résultats: les deux valeurs de l'intégrale (248) nous montre
quite la distinetion entre la parité et Pimparité de a s’évanouit. De même
manière les intégrales (189) et (190), tout comme les autres (191) et (192),
les intégrales (195), (194) à (199), tout comme les autres (200) à (205), les
intégrales (206) et (207), (208) à (215), tout comme les formules (214) à (219),
les intégrales enfin (220), (221) nous fourniront :

He Cos. ao. Cos.pa. Cosse da 2aPrn A kf sd eds Ô pags)
ma be Ze (2
5 l—2r° Cos. Rertr* gra? heil —r? dq ar es — rr? ou ga>2pgs;l
%Cosr.Sin.pr.Sinsr dx Zan els
BEV ae 5 ì 5 5 == a (ellen DELI) en LS (254)
1 2r?Cos2Zsar* getart 1Ar*g eis —r =
[ 2a z. Sin.pz.Cos.sr ado
1 — 2r? Cos.2 Zsrtrt g° Jet?
NGO REE ek, 2a (e-PI— PI) — En Ee Ze 2 P >t ags, 95
—= (—1)42 (7 e—1)2a (e-P1— E21) = (255)
lr? Lets r? ous>LpL4a;
ze ‚p=s—ta
=— (—1l)e 222 Leers (e-P1— EPI) — Tren meu 1 et 2p>s>4a,(.(256)
AS EEE ouZp<s<da;

fe Cos.pe.Sin.sr ada
12e? Cos.Zsr Hr 7 tr?

0
s

—= (— 1,4 2-2a-?2 en — (€? —eTtja(ert + e-PI) PS s—Za;s. (251
( Dn oP

/ e2as —

== (—l)e22a? [eere eP1) EI re ‚pP=Ss—RZa;. (258)
eg“ U

l4-r?
26
WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL AKADEMIE, DEEL V

90 REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

® Sin2atlr.Cos.pa.Cos.sr ado
1 —2r? Cos. Zsn drs g* Hv?
0

(259)

| ja! g—2a-3

ens UpD>tadtZZs
eis r? ou Spat)

7 ers ‚p=s—la—l
et nt mnd ee Nma md Sami — 1 Jet 2 ps >dat-2, (260)
lr? e2ns—r? )
ou ape dat2;\

lr?

® Sin2atla.Sin.pr.Sin.srn ade
: 1— 2r° Cos.Zerd-r* qe Ha?

es

zP<s—2a—l;.(261)

ile Y—2a-3 E — (e? — € 12e (er7 en E e=)
5 ì 1 + r? k es —r

ar Ln — Za—1;.(262)
r

18 lid
ee (—lje! —2a-3 + En Le e—q)ea+rl (eP4—eP1) qe

lei les cas auparavant distincts tombent pour la plupart ensemble: ainst
Vintégrale (255) est devenue la valeur commune de deux intégrales, comme les
intégrales (255), (256), (259) et (260) même de trois autres. Les résultats
sont devenus bien simples, en ce qu’ils ne contiennent plus de sommations,
L'on pourrait prendre partout ici r° pour r*, parce que sous le signe d'intégra-
tion r ne se trouve que d'une puissance paire et cela est devenu le cas de
même dans les valeurs correspondantes. Or, puisque la valeur numérique de
r doit rester moindre que unité, #° serait lui-même assujetti à la même con=
dition, et ne saurait devenir négatif.

Mais tout comme au paragraphe 15, l'on pourrait très=bien évaluer toutes
les intégrales (185) à (262) pour le cas où r* devrait toujours surpasser ['unité.

p 8 4 1 : E mA fi
On n'aurait qu'à prendre _ au lieu de 7, dont s'ensuivrait une même forme pour
5
les fonctions sous le signe d'intégration, pufsque

2 1
1E 2r Cos.sr tr =lt— Cos.sa + zg (LtE2r Coson dr),
r r r

et que c'est seulement dans ce dénominateur que r entre dans Ja fonction en
question. Les valeurs aussi changeraient peu elles mêmes, parce que les puis-
sances de r deviendraient négatives et que les dénominateurs Î +7’ ete“ —r

5 Là 1 1 1 r
seraient remplacés par les nouveaux — (7* & 1) et, — (1 e““— 1).
r r

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 91

19. La supposition suivante nous donne encore une application tmportante
des formules (P) à (Y):

co y \
p, (z) = er Cos.sr Cos. (r Sin. sx) =— an Tan Cos. iel

AP rt OR EAN BOE EN (ad)

myn
>, (2) — erCos.sr Sin. (r Sin.sx) = F Sin.nsa
q 2 (z) 4 ( ) ii 12/1 }

Lorsqu'on les compare avec les formules (a) du paragraphe premier, on
trouve que
yi pr

Ar = l , An = 17/1 Sn == 17/1

SDE Ee

Pour les sommations correspondantes on a toujours auprès de cette application :

oo oo o pi oo (res) oo (reg Sqn ze \
Z Anet =S Beni > em) AES eneen
1 11 1 I 12/1 0 11
(ae)
4 ë (rem (ren |
> Ape" =—= >Bje == 5 =_—_l—=re sq Dn (0 —l—res4
2 2 Orel. eej /

Et ee sont les seules sommations qui se présentent, outre celles qui dépen-
dent de a et qui par conséquence sont entièêrement indépendantes de la for-
me des fonctions p, () et 9» (z).

Afin d'être plus courts nous employerons tout de suite les résultats des
formules (ae), lorsqu'on substitue les suppositions (ad) dans les théorèmes
généraux (P)aà(S). De telle sorte nous sommes conduits aux résultats, qui
sumvent:

22 2 a
| erCos.sz (os. (r Sin. sz) — EE —= gal 5) 2E er Jer +
q a 1 \n ta

k qe te + Tr?
tk (et Hear — D|.s zen Bachelekide (263)
| Oe AN Den an nur
6 q° — xx
(el Heart (er "1 ik s>takl . (264)

z Sinead

o Ld
erCos.sz Sin, (r Sin.sz)
| 1 ì ij 5 4

)

== (—1)22-2al 7 (ef —e1)2a (er —1),S>2a;.(265)

26%

92 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

oo in.?
4 Be \ «Sin?ardo
er Cos.sx Sin, (r Sin. sx) 3 i
q° 4 we.

Hete gr PA Ireteoy feta Inf (ete tjPafers 71 r,s=2a; (266)

—= (—1)e2-Pal [” La — e-2Pa — 1} +

men,

o z Sin2at-ly
| er Cos.sr Cos. (r/Sin, sx) tat == (—l)e-1 2202 zeeer (elzen) (l—e2gj2al
Ä tet |
z 2 1 ] if
im Hp ) el Pltmerntarge ” ijf „s>2arl; (267)
0 n

a X
(1e 12e etat (aeteeng eet (En | el
0 n

de pe {el 4e ezel ne 1} 5 (ea Lat earl fer rear) s=ta kl;

El

ettertjes ejeert ain a) ‚ (268)
0 n

+ (e1 — e-7Patl (ere PD —l)— ‚Ì

Tout de même il vient par l'intermédiaire des théorèmes (T) à (Y):

Gn k Cos.t x. Cos.paedz 7
| erCosse Cos. (r Sin. s ©) es Ne E (er + e—9)2 |: el +
0
HF (epa He-Pa) (ere P — | Pease tek (269)

a

d \ d
— Jarl |: le Herd)a PI — clap E ( | eng H epa E í) ea} +
q 0 o \%

n

S

+ (et Hema (opt Hemi) (“ijf paps. (270)

où d est le plus grand nombre entier contenu dans +(a— p).

ee ) f Cos.ar.Sin.ped. — 4;
er Cos.se, Sin (rSin.se) EE pa (et e-Ie(ePt- e-Pi(ee “YI PS i
£ gta 0 (@71)
ie Sin? a. Sin. p rde
erCos.sr ©, 4 Ee PU DO, EEE og = =
; erCos.sz Cos. (r Sin.s z) ge = (—1)tZ-2a2 7 (el — e-1Pa [> PI +

Heer ere “ijf, p>ras>ta. (272)

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 95

xSin?ax.Sin.pude

oo
| grCos.sx Cos, (r Sin. st) Ee

0 g° -L xm?
dl 2 Za, 2 s,
(lenten zere (ere jte ata E (— 1 ( dl et Horte. (215)
0 n he )
3 5 ii 5 QS «
me hen 4 mT ml) Ce |
0
g Za
lar? |: PI (el—eA2a— 2 talg SE (—1r B
Ei) zij ZePI (el—e 1) 2e en (—1l) Ie | nq EE
5 2 p fractionnaire;
a
RAT ( | e2nq HJ (el — eTI)Pa (e-Pt — PI) (ere ì] EREN: (274)
0 n jp
1
== (— 1)? 2-21 p= 5 {a — E20) (1 — ePIjta — 1} 48 \
MIT 2a
) Ee Ups >da:
en — e—0)2a EE EPA — EPI) — (ere q nde Alie p
+ ( ) Ì Lr ( ) 2 ( re | geta ne
(Ie 2 teen ((et—e-0)Pa [epi } (ePt—ePt)(er Y—1)} +r]/
== (—1leZ tan (et — ea (Ze-P4 H (e-P — ePI (ere EN nen Dia
[ Ü ) } ei
Ss 5 5 2 entier ;
Heer | ij B Á al Tee
0 n 0
=— (— 142-227 [er era [Repti H(ePt—eP)(e 1} JP =S Ra,
Ups <ta,
5 d 2 fractionnair s
+ r— Zelda-p) E (— In Ë 7) en — Zelp—2a)g E (— DE ( il ema} ki a
0 n 5 a
le: d est le plus grand nombre entier contenu dans (4a— 4 p).
p'us 5 p
a A |
as Sin (insooy Dede 4
ae
0
tr eneen er EI, p Le A (Ee)

— (— 1e 2 Ee {A He (l— ea} +
H (Cl—e-0Pa (opt + e-P0) : (rent SW e-te+aa))} ee

= (tete (et — eta (et Hempje tr] ps — as. (219)

04 REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.

RA « Sin2atl v, Cos.padx
erCos.sr Cos, (r Sin. sx) EE 3 Eee ‚ptatl,
J, es eZ Aat;
ah EO (230)
= (— l)a-l Z-2a-3 7 (Ee? — e-1aa+l [2 ep + (eP1 H+ e-Pij (ee * — 1D]
dl Za 1
nn —12—2a3 ark 2 e-PI( et — e—-2atl — V e(2a+-1—p) Ben Ing
aten epen Eem en,
5 | ì NEE
— Velp ta E (— 1" ie ii | MF (el etet (at He) (rt — 1] pentier;. (281)
0 n
d Zal
NER == PQ (el— e—-MPatlZ el2a1—p)g SE (— —2ng —
(entente fe ever egte eltetie ( Def il | miran
2 ps, p frac-

d 2 1 Et, dea ne
== Bert (1 eg |rt (et — e—Q)2at1 (pt Jep?) (er — D| dere
0 n

= (—la-l 2-22 - {a H e-°PI) (1 — ePIZatrl — 1} -E
8 ‚p=s—la—l,
2pire4att:

(eg — e=7)Patl jers + (er? + e-P0) Ee — lr eter) ] breid, (253)

= (—ljel ta Br (et —e-tLatl (Ze-pt H(ePaHe-Pay(ers YI} rt]

= (— le! gta a [er — er) jpatl{2epa + (ePI HJ er1) (ere Di —1}— ptn Zal

NS 3 p<s<tat2,

zn bj 5

EE neen zeten En he al | 5 nj en . (284)
0 Nn 0 n

= (Ie g-20-8 zere) perl (geent Here 1 patat,
Up<s<tat2,

d 5 d 9 E eg
— r—Zel2atlp)g (lr re e=2ng — Q elp—2a-1g FS (lr ki es fractionnaire;.(285)
0 n o n

Dans ces formules d est le plus grand nombre entier contenu dans 4 (2a + 1 —p).
| erCos.sr Sin, (r Sin. sz) 1 en X. SDE de ne
o Jie ed

== (— 1 ja! Z—2a3 nr (e2 ent e—12atl (era ns e-P?) (ere

PIP sal; . (286)
= (— 1e Zar [Ar (1 —e-2P0) (1 — e-2Patl 1} À)
Heije (ere Ht eej LT

= (—l)e-1 22e [eea (ePt—e-P0) (re IJ) —]

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 95

L'on pourrait encore déduire de ees divers résultats par leur addition et
leur soustraction les intégrales suivantes:

f Cosard a el ‚ Ä; x Sinead
Í er Cos.sr Cos, (p + r Sin. sx) En 9 erCos.se Sin, (p + r Sin. sx) Eer
Jo gede e qe

5 wv Sin2arl de

if er0os.sz Cos. (p= r Sin.s «) TONE

5 Jaint
mais nous passerons outre, parce qu'elles ne donnent pas lieu à des résultats
aussi intéressants qu’au paragraphe 17.

Lorsqu'au contraire on prend en considération que ces formules (265) à (287)
valent pour toutes les valeurs possibles de r, puisqu'il n'est assujetti qu’aux
limites Finfini positif et négatif, il s’ensuit que l'on peut rendre r négatif;
cette supposition changera le facteur er sous le signe d'intégration en
err; et à présent Fon peut combiner les intégrales correspondantes par
voie d'addition et de soustraction, où il peut arriver que les sommations s’an=
nulent, qui dépendent de a ou de d; et ee sont seulement les résultats de ce
genre là, que lon transerira ici:

5 N " Cosa ade
(erCossr — g—r0os.sr) Cos. (Sin. se) — —

qr Fe

|

7 mn, ==
— Q-2al (el H 8-0) (ere Pere f) sr
q ==

oo Cos,2a-1 à
5 ES ae os,2arl rd Kij
| (erCes.se — er Cos.sz) Cos. (r Sin. ST) ==

ged?

kij
nere 7E 5 —qs „QS
== Brda (el JeDa (ere * gr heated;
1] md

f' o3 Ye 5
: ; À Be vSin erde
(ertos.sz — er Cos.sr) Sin, (r Sin. sx) — ==
g+at

nt dm dem a mt A EEN a CH AN
el .
5 8 d « Sin2atl ada
| (ertossr — g—rCossz) Oos, (rr Sin. sx) ==
g Ha?

= (— 1412 2a 2 (ef — g-0)Zatl Rs s>tatl; .. (290)

0

0

= (lt 2 Aaen (te t)tat lere Pere U) Ar}, sat 1; (291)

6 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES.

RK Cost x.Cos.pada
(erCos sx — g—rCos.sr) Cos. (r Sin. sx) En Dn ==
mr B, EEEN pas >. a;
= ns ant ge eer es ‚ (292)

Se 2 Ì \ Cost xe. Sin.p xda
(eCos.sr — g—rCos.sz) Sin. (r Sin. sa) — =

g+et
0
B) a T nt 4 —q$ P
—= Za (el Hete (ePt—ePaj(er ° Jett U) ,Pp ea. (293)
q ==
0 A …n 2a .
Í (erCossr — g-rCur se) Oos, (r Sin. sx) vSin?aa. Sin. pede -
IJ q° + x?
0
/ Te , Le, rr AEN Za,s<da; ;
—=(—1jf2 a Inet —ePale Piere —eTTt Adr ‚ (294)
2 ‚p=s—ta,)
— (le 2-2 or (eea [(e-Pi—ert(ere Verre Baret 2 p>s>4a, (4205)
ou 2 p<s<a;\
P x Sin2ax.Cos.pad
Í (er Cos-sz =S er Cos.sx) Pp Sin. (rSin.sx) GN ==
0
= (IER (ete) (erte-Ptj(ere “Here 12), ps—Za; . (296)
kl n 2al
(er Cos.sr — er Cos.sz) Cos. (r Sin.s z) z Sin. gd z. Cos. pede =e
dada

= =gs Zat 1e 4a42;)
(1012 Brel — eat er He-Pt(ere “ere? Pz 4 1297)
/ ( / ( + ‚( Jou pta l2pgsif /
4 £ ‚p=s— Zal,
== Ije 1220 Sn (el —erI)Pat (ep? +e-Pi(ere Vere jar Jet pe da}? |,298)
ou2p<s<4a +2; |
[2 « Sin2arlz. Sin.p xda
| (erCossz — e—7Cos.sz) Sin. (r Sin. sx) - E RE: [ Z ne
À q +2

—= (—1)e 22e Sr (el — ega ePt— ere Pt ene) ‚pSs—Va—l; (299)

Dans la déduction de ces intégrales, on s'est apercu que plusieurs fois les
valeurs dans deux ou trois cas spéciaux, qui auparavant étaient distinctes,
coincident ici, de sorte que les valeurs correspondantes deviennent les mêmes
pour d'autres rélations mutuelles entre les éléments s, p el a. Dans ces inté-
grales (288) à (299) on a dù prendre les conditions, qui étaient communes
à ces valeurs coincidentes, et ne pas admettre naturellement les autres con-

rens

REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 97

ditions, qui n’étaient valables que pour chaque cas à part, Encore il faut
remarquer que lintégrale (288) recoit la même valeur ici, soit pour a pair,
soit pour a impair, de sorte que cette distinction s’annulle auprès de cette
intégrale, mais aussi auprès delle seulement.

Le facteur erCesst— erCosst, qui se présente partout ici sous le signe d'in-
tégration, n'est rien d'autre que la sinus hyperbolique, que Gudermann a in-
ode dans Analyse, et qui est représentée d'ordinaire par le signe Sin hp;
de sorte que le facteur mentionné deviendrait ici Sin hp. (r Cos. sz).

Dans toutes les formules de ce paragraphe la valeur de r est entierement
arbitraire.

20. On pourrait encore aequêrir des intégrales, qui correspondent au groupe
précédent, lorsqu’on fait usage des suppositions :

‚py (a)=(erSinst He—rSinst)Cos.(rCos.sr)=2E —— (— 1)" Cos. Ans

DS
ei 2n,l
ze o pan+l
27, (2) (eins HerSin.sr)Sin.(rCos.sr)=2 Teri (—1)"Cos. {(2n + Isz}
0
a: roo ;-(af)
; Ne ed de isin {(2nH1)sa}
2n
2, (z)=(erSinsr— g—rSin.sr) Sin (rCos.st) =— 2 ET (—1)" Sin. 2nsa.

Ces formes donnent par la comparáison avec la formule (a) du paragraphe
second les rélations respectives:

MANO Aare dOr, An = am es |
p2n=1
OAN An in In, „Aon = 0;
pan
Dt Ed
p2n
‚B, = 0, „Bani = 0 ; „Ban ==

landis que Von verra aisément n’avoir besoin que des sommations dude
pondantes

En a 2) rn 0 (— jn \
—2ns5q — — ES Dr eT2NSY — $ In Insteie »eg—sg)j2n
KE a Wen I abengjink Ar EA DN 2E jan 12n/1 CT (ag)
=— 2 {Cos (re-1) —1}
27

WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL \ lk

98 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINITIES GENERALES.

el en oo, r2n—l
4 2 Áon—1 e\2n=ljsg — SS À Ban e{2n—ljsg —= — QS Leni (— Ì )n e—2n —I)sg EN
1 1 147
vj ES 1 n
= 2E rek (or esn RS (1e S0)
1 2n—/1
1
„2
Dsl — INsC NS B — 2nsr, 9E Jk 1 np=2nsg — ND l ng D 80 ( 18 1 (ag)
TZ, Aone sq =D , Bane I= teh Cr Jeng, zr 25q + Cos.(re”S1)— í
2 3 2 d
2n—l
oo E2 NK '
Aon (2104) St Bone bid =n S iN 1) on (2n-ljsg, ==
2 D) 9 12n- 1/1

|

=— 2 {Sin. (re 20) — re} |
sauf les autres sommations paturellement, qui dépendent de a seulement et
qui sont par conséquence tout-ä-fait indépendantes de la forme des fonctions
gn ou . Eu égard à toutes les observations précédentes on tire en premier
lieu des théorèmes (P) à (5):

En en Cos,2a a d ze
(erSin.sr Jh g—rSinst) Oos. (r Cos. st) —r —
q 2 } r 2

—=2 ati ‘) H8E 5 | e 2d + (el Hed) (Cos. re) —1} |, s > 2a;. (300)
q a n a ==

ie ze ee 5 C Cos.2al pd
erSin.se J g—rSin.sz) Cos. (r Cos.s &) ==
rest )Oon(r Ooa) en

Nep ef Zat 1
— 9-2alo 5 ent H(etHe1Pal{Cos.(re—st)—1l} À‚s > Za + 15. (301
1 da lhe DE OR Ee n
3 Cos2aad |
| (erSin.st Je—rStn.sz) Sin(rlossr) agr — g—?2a 5 [o (1 + ea Sin, (r ea}, s 2 DE
fe Cos2atladz mT (808)
| (erSinseerSinse)Sin.(rCos.sa) — 5 == al [OHeltetatLSin (res) |,s>2a1;
0 nn, 1 ni /
oo vSin.2erd: Iq:
| (Sinse rinse) Cos (rossa) ne (Ittre Sinfre 0)"
f gede? . (303)
= (— Der Pan fr ((L— eze — 1} HJ (1 —eIPe (Sin (re 1) — rest} | —
—= (— Wegter [(et —e-9Pa Sin. (re-t)—r| „sta; (304)
ao »Sin.2
(erSin.so == e—"Sûnsz) Sin. (r Cos. s ) wind ==
Á gated
= (— el 2 Lar (el — eta {Cos (ret) —1} ,s>RZaj....s ne (305) 4

== (legal [OH (et eta (rte HOos.(re-s1)—1} |, s—= Za; (306)

in Dr ne

Ge

RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES. 99

xSin2atl pda

Kes
Í (ersen.sz + e- nsin.sr) Cos. (r Cos. 82)

geet
o
a 2
—=(—lje! getal e2atis la ee e2atl)2g(1—e20Zatl_E( en + 1 jeend E
0 n

(el — e-1Zatl Cos. (rest) — 1} }, s> Za H1;.(307)
Ì

5
En petite —el2aH1A(1— 0-22 E(—1 en ens) SE
0 n

1
+ 0 H (07 — earl 5 2 e-?s1 Oos. (rest) — 1] EE TRS Se (8058)
Ee } 4 p Sin2aHl pda
| (erStn.sz + e—rSin.sz) Sin. (r Cos. 8x) e 2 E ee ad
(
Wer OE (eden (rosae > Hai eN. (309)

eter Or (era) (ee 0)Pat Sin (re=stj—re=s1)} |=

= (—1 12 Pal fr (el — e-I)PAH Sin. (re=s0)] ‚e= Zat 1; ;.. (810)

Par les mêmes substitutions les théorèmes (T) à (Y) nous fournissent:
Cost o. Cos.p a da

riSin.sr —rSun.sz) Cos. (r Cos. =
| (e Je ) Cos. (r Cos. s #) RTE

en Zal Z(erde-te [2ert H (er + e-Pt) {Cos (re-0)—1} |, p >a,s> Za; (311)
q hmmm ==

0

d d
— hdd dd Í 2 Veren e-PA— lap) E (“) eng Hepar S 5) sari ==
q o \,/ Í

0 \7/
He (el Hee (epy H e-p9) (Oos. re=s1) —1} | POI rn (312)
où d est le plus grand nombre entier contenu dans + (a—p).
7 erSinsz } g—rSin.sz) Sin. (rr Cos.s z) Ee, en Ì
Zn

0

== Delen Here [OH (et dem) Sin. (re-s0)| ‚P>as>2a;) «….. (313)

— Pall [o (€? Hr e-2,4 (eP1 + e-P0) Sin. (r e=) ] ‚PSA pSs)
q in

Als 5 5 Cost wo. Sin.p ada
(ersin.st — g—riSin sz) Cos. (r Cos.sx)

ge dz?

== Beale He (PU — ePI) Sin, (re) pia. (314)
q ==

“0

100 RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

Cos. wv. Sin. pa da

»
[ (erSin.sz en e"Sin.sz) Sin. (r Cos.s x) sal

qe
0
— gal Zen e0)t (e-P2 — eP?) {Oos. (re=s0) — 1 ON EBEN ACERA Dd oe (315)
q =d
pe 8, of G C x Sin.2a . Sin. px da
RN. ST rit. SC s.(r SS 4 mmm be bf
(er Je ) Cos. (r Cos. s x) ET

—=(—l)e2 tal (el — e—t)Paf Zep H(e-P1—eP1) {Cos.(re—0)—1} Lp>2a,s>a; (316)

dl 2u
== (—1l)22- al | e-PQ (el — e-1Pa — ZelZa-p)t E (—1)" en} — ‚P<S2a,
0 n

Ups

d Za p entier;

— Zerp2al FE (—1)" | 27 H (e? — e-7)Pa (PI — eP1) (Cos. (1 0-51) — 1] ‚ (817)
0 n

kl Za
== (—1)?2-2el 7 |: ep (el—e—1)?a — 2 el2a—pg en 1)" \ z | gn — d pta pes,
p fractionnaire;

d 2 IE RE
reet pl é (815)
0 n

Jen (el—e 1)? e-PI1— CPI) (Cos (re=0)—1}|
U ef
== (— 1e ZZ Lo + (el — e”1)Pa je e-P1 J- (e-P1 — el; rie?

+ Cos. (r E51) — 1 ‚p=s—Za,Up>s>4a;... (319)

dl 2 d
== (—1)22 2! „jz ePl(el—e Pa el2ap)1 ZE (— Def ‘) en Zer Pai (—1I)" E eng
0 n 0 n

1
HOH (eg—e IPA (e-P1—eP1) br eta Oos(rej 1 Ì ‚p==s—2a,2p<s<ta, pentier;. (320)

d 2 d P)
— (—1)eg tal „lr e-Pl(el— eta Zeta pT (—1)" ( je — Zep 2E — Del ë e2ng
0 n

n 0
F0 F-(el—e 1240 PI—eP1) (ir? e 21 Cos.(re=i)—1}| ‚ps 2a,2ps< da, pfractionnaire;.(321)

d est ici le plus grand nombre entier contenu dans (a— ;} p).

ee Sin2a zp. Sin. d \

| (erSin.sz — e—rSin.sr) Sin. (r Cos.sx) en |
0

== (—1je2-tal rr (el — 040 [o H (e-P1 — eP1) Sin. (1 e—1)] ‚pas > 4u;

(322)
=| — 122-210 F(el—e Pale PI — PI) Sin (re=s1)] ‚p<Ra,2p<s,parbitraire; |

_ = ann

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 101

| E (erSinse } erSinse) Sin. (r Cos. +7) vSin2a x. Sin. pa dz Ke
0 ge Het
— (—1)22- Pal — r Dn — CPPI (1 —e-— 1} +
(eea {O H (et — eP1) [Sin (rest) — re }}}
= (1)e2 Pan rh(er—e1)Pa(e pa —eP1 Sin (re=0)|.p == 8— Za, Up >s>4a; (323)
= (—Ije2 tal [Or (1 — PPI (1— epa 1} +

+ (el — e-1)?a (e-P1 — eP1) (Sin. (re-s1) — r e—1]}]

Drag

== —2a— 5 on Te . ie ‚p=s—Za, Ups da, |
meen entel esin ere Eh dik 4 )

| h (erStn.sr == g—rSin.sz) Cos. (r Cos.s z) z Sine. Cos.pade en
0 q a e.
— (—l)e2 tal (el — eta (Pd J e-PI) Sin. (re) ,pLs—Ras..... (324)
= (—le2-tal nr [r (LH e-20) (1 e-Bjta— 1} + |
+ (el —e1)?e (epa Hent) (Sin. (rest) — rest} ] > … (325)
= (— leaf rd (el — 01) (pt H e-P0) Sin. (r et] .p=s—2a;!|
| (erSin.sz en erSin.sz) Sin. (r Cos. 8 ©) esin” ee gas Bn Ë 4 ==
£ en

— (Ie! 2 Aal (B — e4)PA (PI J e—PI) (Cos. (ret) — 1}, p Ls— Za; . (826)

=(— 12e O—(e1—e0)2alepd Je-Pd) rt e?s1 J Cos.(re-s0)—1} |p=s—24;(321)

eel

zin ?atlp, Cos. pede
Í (erSinse L g—rSin.sz) Cos. (r Cos.sx) — in EZ =
À ge te?

=(—lje12 Laet 1)Pat1 [2e-ra H(eP1He-P1){Cos.(ret)—1 1] EP (528)

dl q
== egte emee j2atl__Zel2atl—pi S nde. pal,
0 Nn D) p ZZ 8,

1 p entier;
PE 1” 1) | e2na (eea l(ep4 He P1) CCosre)—ij| … (329)

d Zal
—= (—l)4-12-2a-r Ze-palel—e-1)2al_Zel2atl—p)g E(— 1)" —2ng___
HI) slaeremennpent ete man em vat
2 De 2p SS, pfrac-
terp À Jelmer reen {Oosre=j=} tionnaire;.(330)
0

102 REDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES.

ud wSin2atlg, Cos.pado

(erSinsz J g—rSinsr) Cos. (r Cos. 8x) ==

jk get
== (—1l)e-l J—2a2 [o + (e? — e-1)2at1 {2 ePI H (CPI H e-P1) L: rte? H
JL Cos.(re-50) —1}}] „pes RU, Vp ed UI reerd Me BE (331)

dl € 1
Dn (—lje-! J-La? Kia (e? ee et)2atl — Z el2atl—p)g FS (— In KE | gn —
o n

d 2 1
==) elp2a1)g ES (— oel a sn | e2nq - 0 + (e! es e— jaat! (epa Je-P1) {t pr? e—2s0 En
0 N
+ Cos. (r e=?) — 1] ‚p=s—Za—l,p<sZthat2,pentier; ...... (332)
== (—1)e 12 Aas [2 e-PI (el — e-1)2atl — 2 e(2atl—p)g pn ile en —

d

9
— 2 elr2ali E(— 1)" p= LE ) e2na HO H (el — e“UPat (epa ePij (Art est H
a n

+ Cos. (re—1) — y| ‚p=s—RZa—l,2p<s<dad2,p fractionnaire;. . (333)
dans ces intégrales d est le plus grand nombre entier contenu dans £ (2a + 1 —p).
xSin2atl z. Cos. pade

qz?
prat 1,
(lela ret eta [OH (eP1 H 0-71) Sin. (res) | keten (334)

oo
Í (erSin. ST d- e—rSin. 52) Si Sin n.(r Cos. s z)

En

= (—lelg2a 20 Hete Zat ep He—P1)Sin (rest) | ‚pZ2at1l,2p<s,

p arbitraire;
== (— le 22e? 7 [r {UL dep (L — e-20jPatl — 1} +
Fet — eZ {OH (eP? HeP4) (Sin, (re 20) — re 1}} |

‚p=s—?a—l,
psa;

= (— Ie gat [0 Hr (1 He 0-20) (Le Pa 1} +
+ (et — e-tPatl (ep Je-P0) (Sin. (nest) — re—0)} |

— (le 2 Par [rt (et etPatl (ep He —P0)Sin.(re 50) ]

,(335)

p=s—a—l,
= me me amd een 4 (ele) (ers He—P0) Sin, (re=s1)] OR |
parbitraire;

ea maid

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 105

zt Lg 5 # Sin2atl p. Sin. pad z
(erSun.sz Eer e— TSS) Cos. (r Cos. S x) Se gE AE

0

== (—lya!2 Pan (el — eat (ef — eP1) Sin. (re-%)‚p Gs —Za— l; … (336)
== EL Za? 7 [r {a — € 2P0) (1 — e-2Parl — 1} LD
Fet — ette (apt — epa) (Sin. (rsi) — rei}
—(—lje! gta nf —rh(et TIPA (EPA ETI) Sin(re1)] ‚p=s— Zal;
Í (erSinst — e—rSin.sz) Sin. (r Cos. s «) - Ee nn Haen ==
0

— (— 12 22e (el —e 02e (eP1—eP1) (Cos. (rers1)—1l} ‚p <8 — Za — 1;.(338

— (— Ie! 2-27 [o — (el — e-IPatl (eri — e=P1) (irt ets
+ Oos. (rr e”51) — 1} | ‚p=s—Za—l;..(339)

On a ici partout r*<eo, de sorte que r est absolument arbitraire. Ainsi
auprès de ces intégrales le ces se présente souvent que la différence s'évanouit
entre les valeurs qui éxistent pour les différentes rélations mutuelles entre
les éléments p‚s et a: on ne garde dans ces cas que les conditions qui étaient
communes aux divers cas coincidents. Ensuite la formule (502) nous indique
qu'iei encore il n'y a plus lieu de distinguer entre un a pair et un a impair;
mais c'est aussi la seule formule qui jouit de cette généralité. Tei tout comme
au paragraphe précédent, le facteur e"S®t— psst ost la Sinhp. (rSin. se).

21. Supposons encore

d Si je j 0
p, (e) = (142 Cos. sadr°)tbCos. | Arctang. en == sl,

rn Cos.nse
1 dr Cos.sr |

; an (a/)
"Sin. st b
ga (z) = (LH2rCos.sadr°)2b Sin. (Arean ek == ll | Sin.nsr
n

En comparant ces sommations à celles qui se présentent dans les équations
générales (a), on en conclut qu'il faut prendre

En outre il se présente seulement les sommations suivantes dans Vappli-
eation des formules précédentes:

104 RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES.
PA EA n, b o (b
ZS Are" = SB, =S Je El s/ Ver etn == (L4-ret)b —1
1 \2 ”)
1 1 1 fi (a
En % » /b
zn eq —= B, eis == s/ | rie NA —= (1 En reT qs)b —_1l— bres \
2 2 2 \%
Des théorèmes (P) à (S) on déduit en conséquence:
[a De NY les f rSin.s | Cos2aad
2 r Cos.s r 05. rctan s =
5 en eh PT Hr Oos.en ee ol
Tr 2a a Za d
—= J-La Í +23 enof (erdee {(ltre-ts—1} |, s>2a;. (340)
qL\a 1 \nta ==

ie. rSin.sx bnn
han er Veder ge Ht

[ (1 HQ Cos.sa Jr*)Pb Cos. |

0
—entfs z| id
0

nat1 pjetter {ú trom} » spat 1; (341)

E Vann absint Lead rSin.sx vn
"Cos.sa + r°)P Sin, rctan
bnn iN WT ger?
—= (—lja2Zalr (el —etPa {(l Jretb—l} „824; + es -« (342)
== (— legt [br( (lea 1 (tea (Ltrerts} MRE
—= (— le Zal [— br F (el — eta {(l Fres) —1 1] ‚ (343)

o rSin.s a Sin2erl pda
(1 4 2r Cos. sa r°)tó Cos. jb Arctang. B: ne?
q

— (—l)e-12— seat de 2a+-1)20) (1 et 2E (—lIr HE eel+

(1 — eat (at rempijfs>tatts. . (344)
Zat1
== (—ljel gta (eeen (ette K leef
0

br (edet — IJ (eet (U vertijk 1 bree)

a Zal Ì
en (— Iig toene (tate [aeeevagejtea Jijee Jef ==

Q n

br (et — el (1 Hert — 1] vie u ANR 0. (345)

et tout de même des théorèmes (T) à (Y):

dn

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENÉRALES. 105

rSin. sz | Cost z. Cos. p 1 3

| (1 4-2 r Cos. sa + r°)Hb Cos. ÚoAretang 1 + r Cos.s qe 4et

—= 3 sE (el + e=9)2 [ers + (ep + 72) : (Anet 5]
e(t Here [let — Pt) +} (apt Hert) (1remt] pro s>ra; « (840)

aí. d la d fa
nds [cs He 0)teP1— ela-p)q eng H elp—a)g 5 etna H
q o\

o \z
1
= ereen leer MER 9] hal En en (347)

où d est le plus grand nombre entier contenu dans 4 (a — p).

Í (LH 2rCos sr 41°) Sin. dean dE | Ge Oes
| 1 + rCos.sa ge He?

0

= elle HeT)" (PI — e—P2) : {A + re-gsb— IJ ‚Pesa; (348)

Iretang LS-SE } 2Sin?ee. Sin. pda
f BT + r Cos. saf qe Hz? ==

| (L 4 2r Cos. sz 4 r°)W Cos. le
0

= (— 1e 2-2al or (el — e-1)?a [er H (e-P1 — eP1) 5 {LH rerge)b — y|
= (—1)A2 a (et —e-0)Paf(e-PtHePt)H(e-P1—ePI(1 Fre) ‚p>>2a,s>>4a;. (349)

== (—] ja 2a-l (pQ_ p—q\2a 2a—y ee n Za —2n (p—2u 2 n za 2ng
—= (—l)e2 npe Pl(el— eZ eta) TE (—1) gang elptu)g SE (—1) eng 4
0 n 0 n

1
+ (el — eTMPa (e-P — „Un {LH re-tsb — Dl] „Za 2pepentiers re. (35)

d Za d 2
== (— 1,4 2-2al zever ett — tar Dj of Jemen 1 eert
0 n 0 n

(et —e-0)?a (epe); {A + re-asb— u] ‚PS 2a,2p<&s,pfractionnaire; .. (351)
l
= (— Ie 2-2 |- zör (Al —et(l— ek} +
+ (e1—eTjPa lers + (e-PI— e?1) 5 [a + resp —1—b ree)

p= Sa,

‘2 4a;
= (— lata [or Heren f(empr Hert) 4 (et — 01) (LH re} 5 hen

28
WIS- EN NATUURK, VERI, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL V.

KU RÉDUCTION D'INTEGRALES DÉFINIES GENERALES.

==

là „ 8 rSinse | © Sine. Sin.pudu
(1 4 2rCos.sa Hr ) Cos, jb Arctang. Paré | alt ps’ AN
r Cos.s q x

“0

On 2 P del Za AN d Za 4
—= (— lege. „ft r— Zelda DE (— 1)” eng Zepto DE (— II) en Je
” u

0 0 L

‚psa, Ups da,
Html (leet hert) (eet re) Biter: LS 355)

d 2 d Za
— (—l)4 J-La nf br —Zelta-plg © (— 1? ie e{p—2u ZE (— Ir erna
0 n| 0 D

11 — e—=-q\2a (ope ) _— Eper | ‚psa, 2p<s<ta,
+ (e?— e=0)?a ((e-P1 HPI) H (e-PI— PI (1 Fre 5} p fractionnaire: . . . (55 t)
lei d est le plus grand nombre entier contenu dans (a— ! p).

rSin.se \e Sin2aw.Cos.pade
1 + r Cos.szf qe 4?

| (1 427 Cos. sa + 7) Sin. (0 tretang.
0

1
— (— 1e 2Z-2al or (21 — e-4)PA (PI + ade l(lro ee dp ZIE Wa lS

-

55)

I

1
(— De gal 7 | br {a + e—2P1) (1 En ea — 8 +

1
(el —e1j2a (PI H- e-70) 5 {AL 4 resp 1l—br ee} |

(—lje2 at mf —brH(et—e1)2a (eP2 He?) {ltr eis) —1 }] ‚p=s—2a;.(356)
"Sinse jr Sin2att z. Cos. pad z
Hr Cos. s af gede?

| (LH 2rCos.aa + r° B Cos. oaren. ==

u

Ì
== (— la! Za? 7 (EU — e-0)2atl Were H (CPU H 0771) 5 {AL + rens — B

(1e 1220 net — ea [epa—erjt (epaePI(1H ar eene (857)

Nen E al nd Zal
== (— le 2 2a2 ar fePi(er— etat eltatlp)}g ZE (— 1)" en ‚PLRZatl,
n 3

el 2p<s,
d Jad-1 il entier ;
wt eme zi enteren (erd HeP1) 5 {a - 5 Dr Bi ( (353)
0 n 8

d Zal
== (—lje-l gtt [eva (ee) 141 g(2at-1 PN E(—1)r ä jen 5 Pa + 15
0 n 2pZs,
p fraetionnaire:

== ent Ader eng (eea ep? RN ‚1 lsb 1
0 n ren tn Je € rh relikee 1 Mika (359)

| (1 4 Ur Cos.saJ r°)ib Cos. [0 Arctang.
0

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 107

ABI
(je 122 fibr {(L de en3Pe) (1 epe 1} +
F (el—e tzr Geref (apt 4 e-P0)t [(L Hrerts)l—1 —bres]}]

rSin.se j re Sin2atlg. Cos. pedo
l4r a

ijl
— (lt! 2 2a Bn brt (ee oP tt {lea — er7) Harte PI) (LH-re-95)t} r> 2e datz:
8 . (360
dl Zal 4 d (Zal)
—( —il ja1g—2a— a "_— Zel2atl—-p)g S (—1)® enge ZeptalgE(—1lj ) eng
0 n 0 1

5 # ; , À ‚p=s—Za—l,2ps<idadt2,
elen (et (eik erde re10)7} | PULS oneens) EE (8361)

/ 1 5
{ a—-12—9, 3 (2a1 ze n Zal — ng 9 dln? 1)o Sf \n 2apl On 1
—=(—l)e 12e Sf br —Zel2atl pIE il 1) een ZepPp del E(—1) ern
n 0 ”

vaut p=s—Z2a—l,2p<s<tat2,
ern Go, hin a al Ea ‚08 A pfrachionnare meteen. (362

lei d est le plus grand nombre entier contenu dans # (2a + fl —p).

rSin.se \ Sintia Sin.prda

Í (1 H2rCos.sa 4 r°)tP Sin. Í, Arctang. —— EEE ==

“0

| 1 r Cos.sf zr?

== Il Zadel — 0 APAH! (eP1— e—P9) ((1 HreIs)pl ps Zal; s((&

(eN)
lep)
()

= (— ler zee trbr (A — ete 1 +

1
Ir er LETS {U regt — 1 hr es} ]
‚p==s— Zal;
AN (364)
Lorsqu'à présent on compare les intégrales (546), (547) avec la formule (548),

lndhdid

—=(—lje-12- el br (el —e-)PatePt —e—P0) {ren 45)jb— 1} |

les intégrales (549), (550), (551) avee la formule (555), les intégrales (552),
(555), (554) avec la formule (556), les intégrales (557), (558), (559) avec la
formule (565), et les mtégrales (560), (561), (562) avec la formule (564), 1l est

év

ident, que les fonctions sons le signe d'in!égration ne diffêrent que dans les

deux facteurs, qui sont respectivement une Sinus ou une Cosinus des deux formes:

rSin.st
1 Hr Oos.s a

La combination de ces intégrales correspondantes par voie d'addition et de
28%

b Arctang. et pr.

108 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

soustraction en produit de nouvelles, qui auront respectivement sous le signe
d'intégration la Sinus ou la Cosinus de cette autre forme:

r Sin.s ©

“14 r0os. st

pee b Arctang =p

Mais celle-ci peut être réduite de la manière suivante, Prenons p, qui est
tout-à-fait arbitraire, égal à bt, où t reste arbitraire de même; de telle ma-
nière nous pourrons représenter la somme mentionnée par un Arclang.: car

—= btr + b Arctang. DE, == ‚|. Arctang. (Tang. t «) + Arctang. PS J ==
1 + r Oos. s 14 r Cos. sr
rSinsr \
eng. dg lr Cos. ‚|
— b Arctang. —)

nr } r Sin. ST
ang.tu É
\ ij ps +7 Cos.s: vf
is en Sin.te(lr0os. sx) rSin sa.Cos.ta Senate Sinte 4rSin. ((t+ s)r} (ale)
Costa +rCos. (td s)a}

Cost (L+4-rCos.sr) rSin.sc. Sint

Puisque t est arbitraire, nous-rendrons cette forme encore plus symmétri-
que, en posant u :s au lieu de ft, car alors ts acquiert la valeur u #3 s
et u reste tout aussi arbitraire, que létaient auparavant {et p. Ainsi la va-
leur de p devient:

p — b Arctang.

Sin. {ur 1s)a} + r Sin. ((u + Je) a}
Cos. \(u ze 3) 2} + r Oos. {(u + B

Lorsqu’encore on développe les Sinus et les Cosinus, tant dans le numé-
rateur que dans le dénominateur de cette fraction, et que lon réunit les ter-
mes, qui sont homogènes à l'égard de Félément r, on obtient par la division
commune avec Cos. uw. Cos. sz, une autre valeur de p:

(LH 7) Tang.ux z (1 — r) Tang. sr

— b Arctang.
9 (L Hr) (Ll —r) Tang. ux. Tang. } se

Quelle valeur de lare g, que Von veuille choisir, il sera toujours aisé d'ob-
tenir à l'aide des intégrales mentionnées les valeurs des intégrales suivantes:

Een

Í (LH 21 Cos. sa + r°) Cos. p 7

5)

xv Sin2arde

gf Areromsetreptne” p DAAD
En in2aHl ed.

1 ai te

8 qd?

RÊDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES. 109

Encore il faut observer, qu'il est permis de prendre b négatif. Dans ce
cas-là le facteur (1 + 2r Cos. sz + 1°)® sous le signe d'intégration se change
en (L+2r Cos. sa + r°)"®: tandis que la Cosinus de arc b Arclang. TS rboee
qui devient négatif en eonséquent, ne change pas de valeur et que la Sinus
du même arc devient négative. En prenant dans le premier cas, où les inté-
grales contiennent une Cosinus de L'arc mentionné, la différence des deux
intégrales correspondantes à bet — b respectivement, tandis qu'il en faut prendre
la somme, quand c'est la Sinus de cet arc, qui entre sous le signe d'inté-
gration, — alors dans la valeur des nouvelles intégrales toutes les sommations
s'annullent, parce quelies ne dépendent que de la quantité d, c'est-à-dire en
dernière analyse de F'élément a, et qu'ainsi elles sont parfaitement indépen-
dantes de hb. Non-seulement alors les expressions deviennent plus simples,
mais encore il se présente ici le phénomène déjà observé antérieurement, que
les divers cas spéciaux, qui auparavant élaient à distinguer entre eux, vien-
nent à coincider.

Sous le signe d'intégration on obtiendra le facteur:

(LH 2 Cos.sa H r°)P + (1 +2r Cos. sz + 1°)"* au lieu de (1 4 2r Cos. sz + 1"),
el dans la valeur de lintégrale la fonction
(LH resp (LH ret)? au lieu de (1 4 ret) —l.

De plus on a partout ici la condition, que la valeur numérique de r doit
rester an dessous de [unité. On pourrait changer cette condition dans l'autre,
que r° reste toujours plus grande que unité, par la supposition de r égal à

—_: mais alors les fonctions sous le signe d'intégration changeraient de forme.
k

22, Enfin les résultats ne manqueront pas d'importance, que l'on acquiert
en supposant dans les formules générales (P) à (Y):
o

p, (rz) = l(l + 2rCos.srdr?) = — „Et dE Cos.ns
roo RE BE en NC
en r Sin. 87 ES (—r)" si Te
Pp. y= ATGEANG INT e d
kde dd 1 + r Cos.sa ien B |
En premier lieu substituons p, (#) dans les théorèmes (P), (Q), (S), (Ì), (V)
et (X), et nous aurons ici A, = 0, A, Sid ; donc puisque

110

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES.

Ee E _— rr) of —qs)n \
= Anet —= Saug erp 3E me == 2L(1 4 re)
| 1 n 1 n
‚… (ao)
F Apes ==} rens Dy al) —= — Ure — U(L 4 re15)} |
9 n

les théorèmes mentionnés nous donnent:

Costarxda
ge tet
Cos. aat led

| LL + 2r Cos. se J-r*

ULH2rCossafr*) — Pien

|”
“0
ks xSin 2atledw
UI +2rCos.sr r°)——
)

== 9-1 (el Heze (LH re4s),S >al; |
q ==

= gar (e1 He-dPal(l Jre-48) ‚s> ij
q ze
(365)

Ware

lelie — e)P (LH re00)" 7 0366)

== (1)e= ala fr (A —eZajerl 1} (ete Least (Lregs)) |
— (—l)e-l2 ae (er — e-gPatl L(1 J re-05)} ‚s=zZatl; . (361)
n, A. Cos. pad
| ia oord Pe) \
g° He?

df)

== Del (et Hett (0 FerP)L(L rent) ‚p > a,s > Ra; (368)
q =S == Se
= Pal (er Herda(en He-Pi)lil fre), p Carp s:
je xSin?aa.Sin.prde
| U(L +27 Cos.sa + r°) =
Á qe?
ú K (369)
(lj deme nn (e-PA— PI) L(L ret) ‚pas > tail

—=(—l) gtalafrt (ete ?Pa(e PI er U(1 + re=s)]

(—lje2 tal (el —e-da(e-PI— PI) U(1Hre1s) ‚p2a,2p Ss, parbitraire: ;
(142 ta In [— r{(1 — €-2P0) (1 —
He (et — era (eri — PI) (1 H rees) — res

(— 1)e 2-2al 7 [r + (el — eta (e-Pt — eP9) U(1 + re-0s)|)

‚p==s —RZa,

epa 1} + \
] Ups da;

(370)

‚p=s—?a, 2p<s<da;

fra d2QrCos.sr + r?)

0)

(letter (et ete

p arbitraire; /
x Sin 2atla. Cos. padg \
geet re |
al 9—2a—2 _— e= 1)2a-l — s ere (371)
(— 1) mn (e? — e-!)? (er1 J e-P1) (1 4 re?) S>4at2;
‚Pal, ps,

Fl (ept H e=PiJ (Lp re=t)

p arbitraire;

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. Il

re \
2rCos.so-r° == —=
"o drartkenn
= (— Iel Z2a 2 7 [r {a + e—?p0) (1 — epe — 1} si
\ KE
+ (ee —eretl(erd He-pi) {— reis H U(L Hrerss 15 psa? (372)
—{—l pel af ret — et ee POU1 vel
=S Zal,
mores tan rh (tete Mert Fev) H res)! ie Stat? |
p arbitraire; )

Daprès les Cquations (an) ces intégrales jouissent des valeurs trouvées
autant que r reste entre les limites ien Punité négative et de Funité positive,
de sorte que r peut devenir négalif; dans ce cas le facteur logarithmique
de + 2r Cos. sar) sous le signe d’ tere devient ici (1—2 r Cos. sar eN

t Fon prend la somme de deux intégrales correspondantes, on trouve sous le
signe d'intégration le facteur:

UL +2rlos.andr?) + l( L2rCossadr*)=l((L4-r°)? — Ar? Oos. ts} =U{ Lr? Oos. Lsr Is
de sorte que Pintégrale ainsi déduite ne diffëre de la précédente qu'en ee qu'on a
ret 2s au lieu de r et de s, et ne donne rien de nouveau. Au contraire la diff

renee des deux intégrales nous fournit de nouveaux résultats, et on aura ainsi :
jn yi? Cos. sE+r* Cos2arda 7 8 14 reg: \

== Za ed e—=7)2a | ‚s Va \
l2rCos.satr? gg? rk ij ) 1 — reggs Ze u
(
(373
l2rCos.srr? Cos. Zat ladi 7 1d re=gs \
ie : gta (ortemijdatij + WOE
1—2rCos.str qz? q 1 reds ee
a
ee 5 . 2 Sin 2atl p—=qS
14-2rlos.sn tr? eSin.2a ade me Bt rlr —erijtaij En en
l—2rCos.satr? g° He? Te ; )
a
— ET IS
— je 2—2a-1 Ls 2 (et— q aai} | Ë 5 e
=N( ) ” Ir (et—e1)? vele s ad 1;.(375
0 2rCos.sz rC ap.Cos ade ltrenús, 2a,}
Í az 088 ain 08. T.Co0 pe C —= Q—al er Heert ne e-Pal ne — pa, ze “Leze
IJ 1—2rlos.sa +r? q re? q l—=re 1s ou p 4,27 DZS
0 ==
He ien 2r Cos.s s En ex Sin.2a p, Sin. p rde
2rCos.se + r° rat?
— res
=— (—lje! tat (el—e1)Pe (e nen PZ 2, s>da,oupg? UP 85. (377

ner 18 Id t2 dic
Wes —_l—2al mr) lol p= 4) ) ed nT =$ ae P>s> ol
( —1je-12 2e | Urtlel—e=1Pae pt end per tee lie

112 RÉDUCTION D'INTÉGRALES DÉFINIES GENERALES.

[1 + Ur Cos.sn Jr° a Sin tal m,Cos.pada
L—2Urlos.sr +r° qe He?

l—rets 2 1 4 9

== (——]ja 9-—24--2 a — p—)2al (op —p heben eld a+ s$ a 2,

(— 1e 2-2 ze (e e—t)Pal (ePI He MU Ere worp tat l,2ps-(379)

dl ‚p=s—Za-letUposrdah2,
res ouZp<s<4ah2;... (380)

Dans cette réduction de nouveau, il y a plusieurs des cas spéciaux, qui
coineident et dont la différence disparait: mais cela a lieu ici d'une autre
manière qu’auparavant. De plus les intégrales (565) et (575) valent tant pour des
« pairs que pour des a impairs. Partout ici la valeur numérique de r doit res-
ter au dessous de l'unité, mais on peut aisément déduire les valeurs de ces
intégrales pour le cas contraire, où r° soit plus grand que Funité: on posera
1
r
valeurs requises, sans que la forme de la fonction intégrée change aucune-
ment. Il n'en est pas ainsi des intégrales précédentes; mais puisque

1
— (jeton arp(er—erttenl (erterijl,

pour cela r —=—. Les formules (575) à (580) donneront immédiatement les

2 1
LUL + 2rCos.sn dr?) = lr? + [a + > Cos. sz + dl
be T

on n'aura qu'à soustraire de leurs valeurs respectives le produit de 2 Lr par
la valeur des intégrales (21), (22), (pour a +1 au lieu de a) (154), (25) et
(24), (157) à (159) et (160) à (162) pour acquêrir des intégrales de forme
identique aux intégrales (565) à (572).

25. Íl nous reste encore à introduire la supposition qe (z) des équations (an)

dans les théorèmes (R),‚(U),‚(Wjet (Y). Alors B, devient ee el par conséquent;

ao e) ; 0 (— res)
2 Boe = Srei El Hre gs),
Si (ap)
È B ergs == — nets + Br ens —= U(l Hrerds)—rets,...
2 1

A l'aide de ces deux réductions les formules mentionnées nous donnent:

( } rSin.sr #Sin2ardr (We2- ta (et gel (1 ar 9 581
retang. == (—1)je2-2a- — 1)? res), Darl
bie lrbossr q° 4x? ) me dean aant es BED

—=(— let a [r{(L eel} Ho (et — ete (Ur ett) — re} | =
== (— 1e 2-tal or [(et —etjtal(l Jrerde)—rf,s= ta; (382)

RÉDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES GENERALES. 115

kb ar.Sin.ped. ; —4;
/ 0 rSin.sr Cos.tr.Sin.pz Ege (ene 0)(ert —e-vajl(d ret) Rt, k
8 l4rbossr q? Hz? q En (383)
|: $ rSinst w«Sin?rospede
„ dr Jet + r Cos.sz qe 4e? Eu
o
= (— le 2-22 (01 — eta (PV HePIJU(L Hrs) ,p<s—Za;... (384)
=(—1e22a Anr (Le A(L— eta 1} (Ole) HePI) (UL Hrets)— re 45} |=
—= (—1)22-2a2 7 [ee —e1)Pa (ePI HJ e-PI (1 H res) — r] PPS a. (385
je "Sinse aSin2atlg Sinpade
Arctang. ET ==
1 + rCos.sz ged?
Er de Te (PLP (Lr) pe sa le (386)

=(—1Ie1 22e Bnr ((L—e20(l— etajPatl 1 }H(et—e Pat Mept__eP(U(Lress J—=res} |=
== (—l)al 2-23 [(e TIP (eP1— EPI) U(L H ret) — "| ‚pP=s—Za—l; . (387)

Quoique dans ces formules il n'y a plus de sommations, on peut pourtant,
tout comme au numéro précédent, combiner ces intégrales par voie d'addition
et de soustraction avec les intégrales correspondantes, que Pon obtient en ren-
dant r négalif: ce qui est permis, puisque r est compris entre — 1 et + 1.
De telle sorte on obtiendra des résultats très-simples, lorsqu’on se sert des
transformations suivantes:

1 4-r0os.sa 1—r0os.sa
On pourra appliquer la seconde de ces formules à toutes les intégrales (581)
à (587), mais l'application de la première auprès des intégrales (581), (585).
(584), (586) ne nous fournira rien de nouveau, tandis qu'au contraire son
usage auprès des intégrales (582), (585) et (587) nous donnera bien des nou-
veaux résultats, où l'on peut prendre s au lieu de 2s. Alors il vient:
Í r? Sin.sa #Sin?arde
Arctg
1l—r?los.se q° He?

r Sin. sa —r Sin. ST \
Per r Sin.sz as —r Sin. sn EE, la-rCos.sr 1—rCosse — r? Sin. 2sT |
Nen rctg.l |= Arctg. É 5 = ET
de 1+-rCos.sz J 1l—rCos.s J rSin.st —rSin.st 1=rCnaf
1+-r0os.sa 1—r0os.sie
; 8 b(ag)
r Sin.s —r Sin.s
r Sin. sz —r Sin. sr Ì RENE 5 2r Sin. sa
Arctg. EEA MNN men Arelg. ele Ke L "008.85 =— Arctg. EE
LrOos.sr | 1— rossa r$nsr —r Sin. sa tn
F

= (—1)e 12 tale —e—0Pal(l—r tes), s=—=a; (383)
0

29
WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V.

114 REDUCTION D'INTEGRALES DÊFINIES GENERALES.

is r*Sin.se _« Sin2ax, Cos. prada
Arctang ee — —
— r? Cos. sr ge daz?
— (—lja-l 2-2a2 rr (e1 — e-4Pa (eP1 J e-PIJ U (1 — rt eds) ,p=ts—Za;. (389)
| r? Sinse «Sin?atle, Sin.pado
Arctang. her
1 — #2 Cos.sa ge

“0

== (— 12 Par (el — eIPatl (epa — e-PI) U(L—rt 015) ‚p= s—Za—l;. . (390)

ij 2rDi Si 2axd l4-re-ds
| belang, nn EE (la 7 (eter Gal E -, s>2a;. (391)
ä et ge? Imar?
)
ni
| — a J—2a—l ] q 2a | — eg == es 3 2
(dl) zr [es WT Rn „|, 2a;.(392)
Ed Do) Jos.a d 7 e— 48
Í Arctg. ereen GOD nk Cn Cem amd) aars en Sed „(593)
J hl WE q
0
oe 2r Sinse ov Sinar, Cos.pada
Ar cang Tr 5 nr =
)
3 ze rl
— (—1)2 et or ee ne en Pp<s—2Za;. (394)
— re
Cms
—= (— 1e gta | (el — e—1)2a dt u er an =S Za;. (395)
zen
le 2rSin.se rSin?atle.Sin.pede
Arctonoe ee.
er qe a?
0
1 Hregs R
== (—l)e-l 2-23 or (27 — e-1Patl (EPI — e—P1)Ì Er rd PpZs—Za—l;.(396)
re-
jee res
es _—l 92 e= 1 Dep. ee == EEn LO
(— 1)e-1 22 sar [er e—4)2atl (eP1— e—PI) U nn arl» s—Za—l;.(397)

Dans toutes ces formules la valeur numérique de # est assujettie à rester
: ju 5 Hee
au-dessous de l'umté. Lorsqu’on prend — au lieu de 7, la valeur numérique de
T

r_ reste toujours au-dessus de l'unité: dans ce cas les quatre dernières inté-
grales (591) à (597) ne changent pas quant à la fonction sous le signe d'in-
tégration, ce qui arrive bien auprès des trois premières (588) à (590).

24. Toutes les intégrales déduites ici sont nouvelles, autant que je sache,
et elles sont des exemples frappants de Vinfluence qu'une valeur spéciale d'une
constante sous le signe d'intégration peut avoir sur la valeur de l'intégrale

RÉDUCTION D'INTÉGRALES DEFINIES GENERALES. 115

elle-même; elles montrent d’ailleurs comment cette influence peut être diflé-
rente auprès d'intégrales, dont la forme a d'une autre part une grande analogie.

Elles démontrent done la nécessité des cas spéciaux, que nous avons admis
auprès des théorèmes dans la partie première et troisième: ces théorèmes eux-
mêmes ne sont peut-être pas seulement nouveaux en ce qu'ils s'occupent en
particulier de chaque cas spécial.

Partout ici a désigne un nombre entier, p, q, 7, St, au contraire, désignent
des quantités positives en général, mais tout-à-fait arbitraires, tant au moins
qu’ils ne sont pas liés quelquefois entre eux par des équations de condition.

Parmi les résultats obtenus il y a 210 sans aucune sommation, et 187 qui
contiennent une sommation, mais de telle nature qu'elle peut être très-aisé-
ment évaluée pour chaque valeur spéciale de d ou de a. Én effet ce sont des
sommations, qui consistent d'un nombre de termes fini: seulement elles ne
pouvaient être réduites à des formes fermées.

CORREGTIONS.

Page. Ligne. au lieu de: lisez:
24 14 e+2ag & 2ad
44 11 | pe
51 6, 8 (nti eP1
21 e—(2at1jg el2a+1)q
54 3, 5 OG rd
20 {le P1 {epa
68 8 (1 4 e-?P1) MS)
D o
12 Las Le > Dj)
Ì 0
Ì —l 7
16 Ef
rlr? Lr?
22 id jd
ra l
13 1 2, —2a—l ga?
16 105 tre 2 (Lr?)
78 7 (eP1 — eP1) (eP1 H e-P1)

De

Page.

16

wd
te

AT

CORREOCTTOENSS
DE MA
NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA REDUCTION D'INTEGRALES DEFINIES
Er sur
SON APPLICATION à QUELQUES FORMULES SPÉCIALES.

Publice dans les Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen. — Deel II,

Ligne. au lieu de: lisez: Page. _ Ligne. au lieu de: lizez:
6 de de = | 22 23 Us p Uc
» » | 24 Va Viet p Ve, Uri
a | 23 4 Ug +2)? qe):
er ri | 29 14 Lh2 Ap
6 a 0 80 7 h k
20 Ansp" An + öp* 32 9 ph ad
25 le) h | 35 5(bis) kH2 hk 1
km k —m 38 14 hE AZ
5 nulles. nulles. De même 40 22 (4) (11)
9 hej 14/: 44 18(bis) + +
5 e-pr e+pr | 45 17 (2 —q*) (rg
7 mettez le facteur (p #° + 2az—p’g*) AGZ Ik Far
au dénominateur. 48 5 re rg
15 plat(@h-) plek | et ae Eee
TE HO an tn CEE hat — hakt
15 (10p*g? +(10p? g? 4 (bis) erPz pr
m Akg' Akq’ 15 ed eel
(ei) den 51 20 ==
22 lj: pir 53 6 — pe = — pé

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN

EEEN EEBOLAGES LNUS EUS.

LA AND OL Di LE

Uitgegeven door de Koninklijke Akademie van Wetenschappen.

MET ZES PLATEN.

AMSTERDAM,
C, G. VAN DER POST,
1857.

ANABOLE

ei ae

‘ ak El, 4 Li „ks u Kedde
erik rror Hoo zeh ur MER

al DN a 4 PR en wr deed

TOT MEERN ERA „.
« ïy { +1 dan LG be aun irr hl k
% dt vadis
' ‘ i} ú ie 4 Î Öx, id pe En a vern Á ek
LWD E AREN OD ve rene aren Psn hot É
PA be dt Ae, an
KE dekt OR A bk Ajit kers MEN eddie EP:
2 Andorslonpterk:ofkeari afke er 7
ke Otte ole ary U (ers erica: n ais
be bnr Breen obd
sian ede WTR MOTIE TAR VIE
diie ad Û et
keeg 3 varen rr Í En N zt „ak weze Â
A jp betrtenkeen <t0 Dn zieh Alb 7
LP TEN ri en ere
' lk 3 EREA
AU ik 20 1e 7 ese Et bij, mj
AN ATW Ü Al
N 7 me „Vhs je web, Ad

ee ON} | si gebbad /

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN

OMTRENT

DENDROLAGUS INUSTUS.

POOoOR

WE ROSH.

oee Kn

Sedert weinige jaren kent men, door de zorg onzer Nederlandsche Natura-
sten, waarin wij vooral den ijver te prijzen hebben van ons medelid Scureeer
en van den Heer S. Murrer, een zonderling geslacht van Kengoeroes, waar-
aan men den naam gaf van Dendrolagus *. — Bestemd om op boomen te
leven, en dus ook om die te beklimmen, moesten zij, ten einde daartoe in
staat te zijn, eene wijziging ondergaan in hunnen ligchaamsbouw en vooral
in de gesteldheid hunner ledematen. Deze wijziging is intusschen gerin-
ger, dan men vooraf zoude vooronderstellen, en gaat niet veel verder dan de
onderlinge verhouding der pooten, de vorm en de grootte der nagels, —
De voorpooten namelijk zijn, in verhouding tot hetgene bij de gewone Ken-
goeroes plaats heeft, betrekkelijk veel langer en krachtiger, de achterpooten
daarentegen, of liever de schenkels en de voeten, veel korter, De nagels zijn
sterker gekromd, en die der voorpooten tevens veel langer dan bij de overige
Kengoeroes; de staart is daarbij steviger en overal gelijkmatig behaard, zoo-
dat hij minder bestemd is, om het dier bij het zitten en springen te onder-

* H ScnLreeEL en S. Murren. Over drie Buideldieren uit de familie der Kengoeroes. In Verh,
over de Natuurl. Geschiedenis der Nederl. Overzeesche Bezittingen, uitgegeven door C.J. TeMMinck.
Leiden 1839—1844,

30
3VIS- EN NATUURK. VERH, DER KONINK, AKADEMIE, DEEL V.

2 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

steunen, dan wel bij het klimmen in evenwigt te houden. — Behalve deze
kenmerken, worden door de H.H. H. Senreeer en S, Murrer genoemd langer
en stugger haar, korter en dikker snuit, langer staart, kleiner ooren, en eene
zeer eigenaardige kleur,

Het tandenstelsel dezer dieren, welke men onder den Hollandschen naam
van Boom-kengoeroes kan te zamen vatten, wijkt slechts in enkele opzigten
van dat der overige Kengoeroes af. Het getal stemt, volgens de H.l. Murren
en SCHLEGEL, volmaakt overeen met dat der Kengoeroes met hoektanden

(Dorcopsis, Bettongia, Hypsiprymnus): er zijn namelijk z Snijtanden, 1 +

boven hoektanden, > Es maaltanden, De H.H. Murver en ScureGerL geven
L +1 Ee KEN
FT hoektanden op; zij tellen derhalve ook hoektanden in de onderkaak,
welke zij intusschen niet afbeelden, zoodat ik daaromtrent eene schrijf- of
drukfout vermoed. De vorm der kiezen en hare kroonen is volmaakt dezelfde
als bij de overige Kengoeroes. Even als bij deze, worden de twee voorste
kiezen eerst bij het doorbreken van de achterste kies vernieuwd, en hare
plaats door eene grootere kies vervangen. Door deze inrigung blijft het ge-
tal der kiezen, voor en na het uitkomen van de achterste kies, gelijk, De
voorste melkkies is, als gewoonlijk, bijkans niet grooter dan de daarop vol-
gende kiezen; maar de nieuwe, blijvende kies, welke de plaats van de eerste
en tweede vervangt, is bijkans eens zoo groot als de volgende kiezen. De
hoektanden zijn, even als bij Dorcopsis, naar evenredigheid kleiner dan bij
de Nieuw-Hollandsche Kengoeroes met hoektanden (Hypsiprymnus, Bettongia).
Hetzelfde heeft plaats met de verhouding der vier buitenste snijtanden der
bovenkaak tot de beide middelste, welke bij Dendrolagus naar evenredigheid
weinig kleiner zijn dan bij de Kengoeroes van Nieuw-Holland. Ook de snij-
tanden der onderkaak zijn naar evenredigheid smaller dan bij laatstgenoemde
Kengoeroes, De Heer R. Owen heeft aan de buitenzijde van den hoektand in
een der schedels van ’s Rijks museum te Leiden eene groef herkend, welke
echter geen standvastig verschijnsel blijkt te zijn.

Er zijn tot heden twee soorten van dit geslacht bekend: D. ursinus en D.
mustus. De D. ursinus bereikt niet geheel de grootte van Dorcopsis Bruni;
maar Is veel krachtiger gebouwd. Oude voorwerpen hebben omstreeks de grootte
van een haas, De kop is vrij dik en sterk, en de snuit niet zeer Jang en stomp.

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 5)

D esnuit is, van de spleet der bovenlip, over zijne geheele voor- en bovenzijde
met zeer fijne, enkele haartjes begroeid, welke overal de naakte huid laten
doorschijnen, maar naar het voorhoofd allengs talrijker en langer worden. De
haren der bovenlip en der zijden van den snuit staan digter bijeen en zijn
langer dan die der overige deelen van den snuit. De mondopening strekt zich
omstreeks tot aan de helft der lengte van den snuit uit. De oogen zijn niet
zeer groot en liggen tamelijk hoog ter zijde van den kop, op de helft zijner
lengte. De ooren zijn niet zeer groot, en hunne lengte bedraagt ongeveer een
derde van die des geheelen kops. Zij loopen van boven in eene flaauw afge-
ronde punt uit, zijn lansvormig van gedaante, maar zoo digt met haar be-
kieed, voornamelijk van achteren en van binnen langs den bovenrand, dat hun
eigenlijke vorm eerst bij nader onderzoek in het oog valt, en zij, daar deze
haren bijkans ter halver lengte over hen heenreiken, veel grooter schijnen dan
zij wezenlijk zijn. De oogleden zijn, inzonderheid het bovenste, op hunne ach-
terste helft met borstelharen bezet. Diergelijke langere haren bevinden zich
boven het oog en op den snuit. De pooten zijn krachtig, en de achterste naar
evenredigheid kort, De nagels zijn buitengewoon sterk ontwikkeld, meer ge-
kromd dan gewoonlijk, van onderen uitgehoold, en aan de punt afgerond. Die
der voorpooten zijn, naar evenredigheid, veel grooter dan bij alle overige Ken-
goeroes, maar hunne onderlinge grootte wijkt niet van den gewonen regel af.
Van onderen zijn de handen, of voorste voeten, tot aan het gewricht toe naakt,
en deze naakte huid is, even als de geheele naakte ondervlakte van de eigen-
lijke of achterste voeten, in schubachtige strooken verdeeld, De nagels der
achterste voeten zijn naar evenredigheid veel minder ontwikkeld dan die der
voorste, en veel smaller en slanker dan bij de overige Keagoeroes, weshalve
men hen ook, zoowel om deze redenen als uit hoofde van hunnen gekromden
vorm, niet wel met hoeven kan vergelijken, waarmede zij toch bij de overige
Kengoeroes hoofdzakelijk overeenkomen, De nagel van den buitensten teen
is slechts weinig klemer dan die van den derden, en daar deze teen korter
is dan gewoonlijk, zoo strekt zich ook de punt van den nagel des buitensten
teens tot over de helft der lengte van den nagel des derden teens uit. De
twee binnenste, zamengegroeide teenen zijn met kleine, niet zeer sterk ge-
kromde nagels voorzien, waarvan de punten ongeveer op dezelfde lijn staan
als de punt van den nagel des buitensten teens. De staart is een weinig
langer dan het geheele overige ligchaam, en neemt naar de punt allengs, maar
met zeer veel, in dikte af.
50%

A ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

Het haar is op de bovendeelen, aan de zijden van het lijf, op den staart
en de pooten, lang, regt en stug. Op den kop en aan de onderdeelen is het
veel korter en meer wolachtig. Boven op den rug, achter de schouders,
vormt het haar eene soort van kring, van waar het naar alle kanten, als uit
een middelpunt, straalvormig heenloopt. Hierdoor gaat het haar der ach-
terdeelen van den hals naar boven, en stuit het, tusschen de ooren, tegen
het naar achteren gerigte kortere haar des kops aan, waardoor eene soort
van kam gevormd wordt, welke zich dwars over het achterhoofd, van het
eene oor tot het andere uitstrekt.

De hoofdkleur dezer soort is bruinachtig- in het purperroode overgaande,
glanzend zwart. De kop, de onderdeelen van den romp en de binnenzijde
der pooten zijn vaal hehtbruin, min of meer in het roestkleurige overgaande.
De haren, welke den boven- en onderrand van het binnenvlak der ooren be-
kleeden, zijn rood bruin, en ook de haren des staarts hebben van boven,
aan zijn wortel, eenen roestbruinen tint, De iris der tamelijk kleine en
eenigzins diep in den kop liggende oogen is graauwachtig bruin; de neus
en de voetzolen zijn roetzwart.

De Heer Murrer vond deze soort in het district Lobo van de kust van
Nieuw Guinea, alwaar zij door de Papoea's Wangoerie wordt geheeten. Zij
bewoont er vooral het bergachtig gedeelte der kuststreek, alwaar zij zich be-
vindt op de kroonen van het hoog geboomte. De bewegingen van deze Ken-
goeroes zijn traag en vrij langzaam, zoowel in het klauteren als op den
grond, waarover zij op de vier pooten heen huppelen. Zij schijnen derhalve,
even als de Koeskoes en de Luiaards, hun heil te moeten zoeken in het ge-
boomte. Murrer en zijne reisgenooten hebben er zeer lang een wijfje levend
van gehouden, dat zeer mak en vertrouwelijk was, ongeveer als een huishond.
Het bewoog zich geheel vrij, in en rondsom de woning, en hield zich op
Fimor voornamelijk in een paar vijgenboomen op. welke digt bij de woning
stonden. Het voedde zich uitsluitend met de vruchten en de jonge bladen
van deze. Terwijl het sliep, zat het steeds zeer klein ineengedrongen, met
den kop meer of min tusschen de voorpooten verscholen. Bij het eten zette
het zich altoos, als een Eekhoren, overeind, terwijl het door middel van een
der voorpooten het voedsel naar den mond bragt. Het kaauwde alles zeer
langzaam en met de meeste bedaardheid. Nimmer werd eenig ander stem-
geluid dan een zacht gebrom van dit dier vernomen.

De tweede soort, D. inustus, komt geheel met de vorige overeen, is

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 5

slechts een weinig grooter en wijkt van haar af, doordien de ooren van
boven sterker afgerond zijn, en het haar, waarmede zij bekleed zijn, veel
korter is en regelmatiger verdeeld, De derde teen der achterste voeten is
langer, en de punt des nagels van den buitensten teen reikt dien ten ge-
volge slechts tot aan of digt bij den wortel des nagels van voornoemden
langsten teen. De staart is een weinig langer, overal van gelijke dikte, en
derhalve tegen de punt met langer haar bezet. Het haar, dat van den haarkring
boven de schouders, langs den achterhals naar voren loopt, blijft die rigting
tot op het midden van den kop behouden, en stoot hier aan het naar ach-
teren gerigte haar des snuits; aldus op de bovenvlakte van het hoofd eene lijn
vormende, welke zich in eene halfeirkelvormige bogt tot aan den boven-voorhoek
van het oor uitstrekt. Eindelijk is ook de kleur van het geheele dier verschil-
lend. Het haar namelijk is slechts van den wortel tot op het midden zwartach-
tig, en wordt aan de punten vuil geelachtig wit. Op de pooten en vooral aan
de ondervlakte des ligehaams, neemt deze lichte kleur de bovenhand, terwijl
zij op de kruin van het hoofd in het bruinachtige overgaat; de staart, waar
de haren aan den wortel, in stede van zwart, donkerbruin zijn, is eenigzins
valer dan al de overige deelen van het dier. De Papoea's in het distrikt
Lobo noemen deze soort Wakera. Zij leeft ook in het hoog geboomte en
voedt zich met wilde vruchten en bladeren, vooral met vijgen. Van deze laat-
ste soort heeft gedurende korten tijd een exemplaar in onzen Zoölogischen tuin
geleefd. Het kwam er in zeer gebrekkigen toestand, zoodat er niet veel ge-
legenheid geweest is, om waarnemingen omtrent dezen vrouwelijken Dendro-
lagus ivustus te doen.

Een ander exemplaar heeft eenige jaren geleefd in den Zoölogischen tuin
van Regents-Park te Londen. Gourp * teekent er van op, dat dit dier in zijne
zeden en gewoonten trager en minder levendig was dan de gewone Kengoeroes,
welke hij terrestrial noemt. Het kon uren achtereen blijven zitten op den
tak van den boom, welke in zijn hok stond, met den staart gerold rondsom zijn
ligehaam, in eene dommelige houding. Somtijds echter was hij meer levendig,
en zat hij regt op, met den staart naar beneden hangende.

Na den dood van gezegden D. inustus had het Bestuur van het Zoölogisch
Genootschap Natura artis magistra de goedheid, er mij de ontleding van toe
te staan, onder verbindtenis dat het geraamte later tot het uitmuntend museum

* J. GouLp. The Mammals of Australia, P. VIII, London 1856.

5 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

des genootschaps zoude terugkeeren. Het was mij aangenaam, dat tot der-
gelijken arbeid mij de gelegenheid werd gegeven, en ik zeg het Bestuur, dat
zoo dikwerf reeds mijne werkzaamheid steunde, daarvoor opentlijk dank. Voor
zoo verre mij bekend is, kent men omtrent het maaksel dezer belangrijke dier-
soort slechts enkele bijzonderheden, door de Nederlandsche Natuuronderzoekers
en door R. Ower * medegedeeld. Ik achtte daarom eene zoötomische mono-
graphie er over niet geheel overbodig, en neem de vrijheid, haar der Koninklijke
Akademie ter plaatsing in hare werken aan te bieden.

BEENSTELSEL.

Hoe groot de verscheidenheid overigens moge wezen, welke het beenstelsel
der Marsupialiën aanbiedt, is er echter een algemeen karakter in uitgedrukt,
dat aan al de verschillende groepen eigen is. Behalve in den vorm des bek-
kens en in de buidelbeenderen, is dit algemeene kenmerk, gelijk Owen zulks
het eerst leerde, gelegen in de openingen van het verhemelte on in het bin-
nenwaarts uitspringen van den hoek der onderkaak, In vroeger uitgegeven op-
merkingen over den Sarcophilus ursinus heb ik daaraan toegevoegd , dat in
alle Marsupialiën de schedel voorwaarts meer of min de gedaante heeft van
eenen stompen kegel, met eene platte en regtstandige achtervlakte en eene
platte bovenvlakte $. In de groep der vleeschetende Marsupialiën of Sarco-
pbagen komt daarbij eene sterk ontwikkelde overlangsche kam, welke in de
groep der vruchtetende of Poëphagen, waartoe de Dendrolagus behoort, ont-
breekt. Hierdoor geeft de schedel van dezen ons bijna geheel het beeld terug
eener vierzijdige pyramide. De jukbeensboog puilt niet sterk naar buiten
uit, en bestaat uit een krachtig, vrij hoog jukbeensuitsteeksel des slaapbeens,
waartegen zich een lang en achterwaarts puntig uitloopend jukbeen aan-
voegt. De gedaante van den jukbeensboog verschilt derhalve zeer van die bij
Thylacinus, Dasyurus en Sarcophilus, en nadert tot die van Hypsiprymnus,
Macropus en Halmaturus. In gene is het karakter uitgedrukt van een vleesch
etend, mm deze van een vruchtetend dier. Hetgeen er van het aangezigt voor

* Proceedings of the Zoological Society of London, 1852, N°. CCXLIV, pag. 103.

+ W. Vrorik. Ontleedkundige opmerkingen over den Dasyurus (Sarcophilus) ursinus. In Tijdschr.
voor de wis- en natuurkundige wetenschappen, uitgegeven door de Perste Klasse van het Konink-
lijk Nederlandseh Instituut enz. D. IV. bl. 153. Amsterdam 1851.

$ Zie voor al de bijzonderheden, het geraamte betreffende, Pl, 1.

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 7

deze jukbeensbogen overblijft, is niet zoo kort, breed en ineengedrongen als in
Sarcophilus, maar ook niet zoo lang en spits uitloopende als in Perameles, of
ook in Halmaturus en Hypsiprymnus. Het nadert eenigzins meer tot den
vorm van Phalangista, en heeft een stomp, schuins afgesneden voorst
uiteinde,

Even als in de schedels van al de overige Marsupialiën komen uit de grond-
vlakte van de zijstukken des achterhoofdbeens, of uit de zoogenaamde evocci-
pitalia van Owen, meer of min stompe jugulair uitsteeksels, welke in spier-
aanhechting met de tepelachtige uitsteeksels van den mensch overeenkomen.
Zij zijn mm den Dendrolagus, even als in de overige Kengoeroes zeer lang.

Gelijk Owen zulks reeds voor vele Marsupialiën opgaf, zijn het schub-steen-
achtig en tympanisch gedeelte van het slaapbeen nog duidelijk door naden van
elkander gescheiden, en is zelfs in het tympanisch gedeelte nog meer of min
de trommelvliesring zigtbaar. Dit is duidelijk terugblijven op eenen vroegeren
foetalen vorm van den mensch. Er is niets zigtbaar van de beenige trommel-
blaas, welke men bij de Knaagdieren vindt, en waarvan ik nog eene aandui-
ding aantrof bij den Sarcophilus ursinus.

De geledingskuil voor de onderkaak, welke ik in Sarcophilus, even als in
de vleeschetende zoogdieren, dwars vond, heeft in Dendrolagus eene over-
langse en schuins naar buiten gaande rigting. De achterste geledingsknob-
bel is daarom naar buiten gelegen. Naar voren wordt deze geledingskuil be
grensd door het jukbeen, dat zich aldaar door een duidelijken naad afbakent.
Met uitzondering van de Petauri wordt deze geledingskuil in al de Marsu-
praliën miet uitsluitend door het slaapbeen, maar ook door het jukbeen gevormd.

Even als bij de Kengeroes, den Koala en den Wombat, stuit de groote
vleugel van het wiggebeen tegen het wandbeen aan. De zwaardswijze uit-
steeksels zijn een paar smalle beenplaten, die naar voren zich met de oog-
kasplaten van de voorhoofdsbeenderen en met het zeefbeen verbinden. In
plaats van Turksehen zadel vindt men eene onbegrensde beenachtige ruimte,
welke achterwaarts, zonder clivus, grenst aan het breede en platte grond-
stuk des achterhoofdbeens. Achter de zwaardvormige uitsteeksels en aan
weerszijde der plaat, die den Turkschen zadel vervangt, vindt men eene groote
en wijde spleet, die de plaats vervangt van gezigtszenuwgaten, van bovenste
oogkuilspleet en van ronde gaten des wiggebeens. Daarachter zitten de
kleine en smalle eironde gaten. Even als ik zulks in Sarcophilus ursinus
opmerkte, doorboren de carotidenkanalen het ligchaam van het wiggebeen en

S ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

komen zij aan de grondvlakte des schedels te voorschijn, vlak achter de
plaat, die de plaats van Turkschen zadel vervangt. Boven den inwendigen
gehoorgang is, even gelijk ik dit vroeger voor Sarcophilus opteekende, eene
vrij diepe kuil, waarin zich het zijdelings aanhangsel der kleine hersenen
plaatst. Gescheurd gat en voorts knokkelgat zijn duidelijk.

De wandbeenderen komen aan de bovenvlakte des schodels met een dui-
delijken pijlnaad te zamen. Aan weêrszijden van den pijlnaad is eene smalle
en platte oppervlakte, die zich achterwaarts voortzet in de breedere even zoo
platte oppervlakte van het tusschenwandbeen, en voorwaarts overgaat in de
schuins gerigte bovenvlakte der voorhoofdsbeenderen. Deze eigenaardige vrij
smalle platte bovenvlakte des schedels grenst zijwaarts aan de halvemaans-
wijze lijn, die de gewelfde slaapgroeve omlijst, en verbindt zich achterwaarts
bijna regthoekig met de schier regt opstaande en platte schub van het achter-
hoofdsbeen. Even als bij de Marsupialiën in het algemeen onderscheiden de
voorhoofdsbeenderen zich door eene aanmerkelijke uitgebreidheid en door het
groote deel, dat zij hebben aan de vorming der neusholte, Zij zijn echter
niel, zoo als bij Thylacinus en Sarcophilus van het overige bekkeneelsruim
door eene insnoering gescheiden. Evenmin als bij Halmaturus en Hypsiprym-
nus is er eenige aanduiding van buitenst of achterst oogkas-uitsteeksel. Er
is dus achterwaarts geen spoor van afscheiding voor de oogkas. Het traan-
been breidt zich uit over de voorvlakte van het aangezigt, en is aldaar met
twee openingen doorboord. Dat dit gemis van insluiting des traanbeens in
de oogkas een bewijs is van mindere volmaaktheid, werd te regt door Owex
opgegeven.

De neusbeenderen zijn lang en smal, maar verbreeden zich achterwaarts.
Van de tusschenkaakbeenderen valt niet veel meer te zeggen dan dat zij
eenen grooten omvang hebben, en dat elk van hen drie snijtanden bevat.
Hun aangezigtsnaad is dutdelijk zigtbaar. De kleine bovenhoektand zit vlak
achter dezen naad. De aangezigtsoppervlakte der opperkaakbeenderen is op
verre na niet zoo gewelfd als in den Sarcaphilus, maar ook niet zoo inge-
deukt als in Hypsiprymnus en Halmaturus. Het onderoogkuilsgat staat door
zijn geringen omvang sterk tegenover den grooten omvang dezer opening
bij Sarcophilus. In de verhemelte oppervlakte der opperkaak- en der verhemel-
tebeenderen, vindt men slechts enkele sporen der onvolkomen beenwording,
waarvan vele andere Marsupialiën, vooral Perameles lagotis bewijs geven, en
welke het onvolkomen verhemelte der Vogels in het geheugen terugroept. —

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 9

Zeer eigenaardig is de wijze, waarop het beenig verhemelte achterwaarts in
eene verheven, eenigzins omgekrulde halvemaanswijze beenige lijst uitloopt,
welke buitenwaarts uitspringt en aan weêrszijden in de vleugelgroeve over-
gaat. Hierdoor krijgt de achterste neusopening eenen grooten omvang. De
vleugelgroeve is aan weêrszijden zeer diep.

In de onderkaak is het kroonswijze uitsteeksel kort en breed, heeft de ge-
ledingsknobbel eene schuinsche rigting van buiten naar binnen, en vertoont
zich eene bij vele Marsupialiën voorkomende, scherpkantige en diepe kuil aan
de buitenvlakte van elken vleugel der onderkaak voor den masseter. In den
bodem dier kuil is eene groote en scherprandige opening. Bij dat alles voegt
zich het eigenaardig kenmerk van de onderkaak der Marsupialiën, gelegen in
het naar binnen uitspringen van haren hoek, onder de gedaante van een stomp-
puntig uitsteeksel. Dit geeft aan hunne onderkaak eene zonderlinge, ‘hielvor-
mige achterwaartse verbreeding. In de wervelkolom is er weinig, dat het
geraamte van den Dendrolagus doet verschillen van dat der overige Viervoe-
tige zoogdieren. Men vergelijke voor hetgeen ik daaromtrent zeg, de eerste
plaat, welke den Dendrolagus inustus voorstelt op de helft van zijne natuur-
lijke grootte. Er zijn zeven halswervelen. Hunne bovenste en onderste dwarse
uitsteeksels (diapophysen en parapophysen) zijn aan den wortel meengesmol-
ten, en laten slechts eene zeer kleine opening over, tot doorlating van de
wervelslagader, welke derhalve, gelijk zich ook uit den geringen omvang der
hersenen laat afleiden, zeer dun moet wezen. Deze opening is ter naauwer-
nood zigtbaar in den zevenden halswervel. De eerste en tweede halswervel
missen de opening ten eenen male. In den eersten halswervel of atlas zijn
de diapophyse en de parapophyse tot een zwaar uitsteeksel zamengesmolten,
dat in eenen knobbel uitloopt. Het doornwijze uitsteeksel van den tweeden
halswervel is in al zijne doormetingen zeer sterk ontwikkeld, gelijk dit mm de
meerderheid der Viervoetige zoogdieren plaats heeft. Het heeft eene bijnt
vierzijdige gedaante, maar loopt naar achteren en naar voren in eene stompe
punt uit. De onderste dwarse uitsteeksels der 5de, Ate, 5ie en 6te halswer-
velen gaan in scherp uitspringende kanten over, welke, vooral in den zesden
halswervel, zeer sterk ontwikkeld zijn, even gelijk men zulks in zoovele
andere Viervoetige zoogdieren ziet geschieden. De doornwijze uitsteeksels der
drie achterste halswervelen zijn naar voren gerigt, dat van den zevenden hals-
wervel is zeer lang. De rugwervelen zijn dertien ten getale, Hunne doorn-
wijze uitsteeksels nemen regelmatig van voren naar achteren in lengte af;

s1

NATCURE, VERB. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL V,

10 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

die van de drie achterste rugwervelen hebben eene meer vierzijdige gedaante.
Er zijn zes lendenwervelen, waarin de voorste schuinse uitsteeksels sterk uit-
springen en zich met breede uiteinden naar voren verlengen. Uit den achter-
and der wortels van deze voorste schuinse uitsteeksels komen zeer korte
bijkomende stijlvormige uitsteeksels; zoodat de vorksgewijze splijting der ach-
terste sehuinse uitsteeksels en de invatting der voorste veel zwakker is dan
bij vele andere Viervoetige zoogdieren, vooral dan bij de Carnivoren, De
dwarse uitsteeksels der lendenwervelen nemen regelmatig in lengte toe van
voren naar achteren; hun vorm is vierzijdig. KEvenzoo zijn vierzijdig de
doornwijze uitsteeksels, die, even gelijk dit bij zoo vele andere Viervoetige
zoogdieren plaats heeft, zich naar voren rigten; zoodat er eene duidelijke
tegenoverstelling plaats heeft tusschen de doornwijze uitsteeksels der rug- en
der lendenwervelen. De ligchamen der lertdenwervelen verbreeden en verster-
ken zich regelmatig achterwaarts; eene gesteldheid, gevorderd, gelijk ik dit
elders reeds voor den gewonen Kengoeroe opmerkte, voor een dier, dat den
romp opgerigt moet houden.

Het heiligbeen bestaat uit twee wervelen, waarvan de voorste de breedste
ss en het grootste deel uitmaakt van de heilig- en darmbeensvereeniging.
De ligchamen dezer heiligbeenswervelen zijn vrij smal; maar de dwarse uit-
steeksels zijn zwaar en springen vleugelsgewijze zijwaarts uit. De darmbeen-
deren zijn in eenen hoek verbonden met het heiligbeen, zoodat ook de as
des bekkens eenen hoek moet maken met de as van de wervelkolom. Er
zijn zeventig staartwervelen, op verre na niet zoo stevig en zwaar als in de
gewone Kengoeroes. Zij bieden de gewone kenmerken aan der staartwerve-
len van de Viervoetige zoogdieren; d.i. dat de voorste door hunne dwarse en
sehuinse uitsteeksels nog de kenmerken blijven behouden van lenden- en
heiligbeenswervelen, terwijl achterwaarts de verlengde ligchamen der staart-
wervelen door eenvoudige geledingsvlakten zieh met elkander verbinden, on-
geveer even als vingerleden, en meer of min puntige knobbels de plaats der
uitsteeksels vervangen. Zeer sterk ontwikkeld zijn de onderste V-vormige uit-
steeksels of de bloedapophysen van Owen, die van voren naar achteren regel-
matig in grootte en gaafheid afnemen; maar, met uitzondering van de vier
achterste, aan alle staartwervelen voorkomen.

Hetzelfde getal hals-, rug-, lenden- en heiligbeenswervelen werd door
de H.H. Senrpeer en Murren bij Dendrolagus opgemerkt. Het schijnt stand-
vaslig in de onderscheidene vormen van Kengoeroes. De bovengenoemde

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 11

natuurkundigen vermelden zulks althans voor Halmaturus, Dorcopsis en Den-
drolagus, waarbij ik, volgens mijne bevinding, kan voegen Macropus en Sar-
eophilus.

Van het borstbeen valt niet veel meer te zeggen, dan dat het uit zes lang-
werpige segmenten of sternebrae bestaat, waarvan het voorste den vorm heeft
van een handvat, en het achterste van een zwaardswijze uitsteeksel. Met twee
schuins gerigte geledingsvlakten van het handvat geleden zich de sleutelbeen-
deren, en met het zwaardswijze uitsteeksel verbindt zich een plat kraakbeen.
Zoo als de regel zulks medebrengt, zijn er even zooveel ware ribben als seg-
menten in het borstbeen; derhalve zes ware en zeven onware ribben.

De borstkas is lang en smal en herinnert geheel die der overige Viervoe-
tige zoogdieren; zoo men slechts uitzondert, dat, even als ik dit ook voor den
gewonen Kengoeroe elders opteekende, het eerste ribbenpaar zich onderscheidt
door zijne kortheid, zijne breedte en zijne dwarse rigting. Deze overeen-
komst met den menschelijken vorm is ongetwijfeld in verband te brengen met
de opgerigte houding van den romp.

Het bekken heeft den vorm, welke met geringe wijzigingen aan alle Mar-
supialiën eigen is. Zijne gedaante is in de lengte uitgerekt; de darmbeen-
deren zijn smal, de schaambeensvereeniging heeft eene aanmerkelijke lengte,
de eironde gaten hebben eenen grooten omvang, de schaambeensboog is door
een bijzonder beenstuk aangevuld; de eminentia ileo-pectinea puilt sterk uit,
en de buidelbeenderen zijn lang en stevig. Op welke wijze vele dezer bijzon-
derheden in verband moeten gebragt worden met de spieraanhechting zal
nader blijken, en wat hare verhouding aangaat tot de eigenaardige voortplan-
ting der Marsupialiën, acht ik het onnoodig te herhalen, hetgeen elders door
mij gezegd is. De ledematen hebben den vorm der Kengoeroes, maar de on-
evenredigheid der voor- en achterpooten is veel geringer dan bij hen. De
voorste ledematen zijn betrekkelijk veel zwaarder en langer dan bij Halma-
turus en Macropus. Er zijn twee krachtige, flaauw gebogen sleutelbeenderen,
waarvan het aeromiaal uiteinde niet tot aan het acromion reikt, maar er door
eenen band mede vereenigd is, In het schouderblad is de groeve boven de
graat niet zoo ruim als in vele Viervoetige zoogdieren, welke zich op hunne
voorste ledematen steunen; het ravenbekswijze uitsteeksel wordt door een
kleinen beenknop vervangen. Het opperarmbeen is vrij zwaar; sterk ontwik-
keld is vooral zijn buitenste of groote knobbel, en zeer diep is de goot voor

de tweehoofdige armspier. De sterk uitspringende binnenste knokkel is, even
31%

12 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

als bij zoovele andere Zoogdieren, doorboord. Spaakbeen en ellepijp zijn
beide vrij zwaar; vooral verbreedt het spaakbeen zich op belangrijke wijze
benedenwaarts.

In den handwortel tel ik drie beenderen in de bovenste rij : een groot been
met gewelfde bovenvlakte, dat zich met het spaakbeen geleedt en dat eigen-
lijk uit het scheepswijze been en uit het halvemaanswijze been is zamenge-
smolten; daar naast zit een vrij zwaar driekantig been, en achter dit het
erwtebeen. In de tweede rij tel ik vier beenderen: twee veelhoekige, een
gehoofd en een haaksgewijs been. Het onderste uiteinde der ellepijp eindigt
in eenen knop, welke ingevat is in eene gewrichtskom van het driekantig
been. Het driekantig been is door middel van eenen band vereenigd met het
halvemaanswijze been. Bij de pronatie en supinatie van de hand zal derhalve
het driekantig been als over eene spil, door de ellepijp gevormd, heenglij-
den, hetgeen aan de omkanteling der hand eene groote mate van vrijheid
moet geven, Tusschen het uit het halvemaanswijze en scheepswijze zamen-
gesmolten en het groot veelhoekig been ligt een klein kogelrond zaadbeentje.
De vijf metacarpaal-beenderen zijn in eene rij naast elkander geplaatst, zoo-
dat de duim niet tegenstelbaar is. De duim bestaat uit twee leden; al de
overige vingers hebben er drie,

De nagelbeenderen zijn zwaar en sterk haakvormig. Aan de onderste lede-
maten is vooral opmerkelijk, dat de onevenredigheid van dij en schenkel,
waarop de meerdere lengte der achterste ledematen, en dus de eigenaardige
bewegigswijze der eigentlijke Kengoeroes berust, bij Dendrolagus geheel
wegvalt.

Terwijl bijv., volgens ScurreeL en Murrer, het scheenbeen bij Halma-
turus bijkans een derde, bij Dorcopsis een vierde langer is dan het dijbeen,
zijn deze beenderen schier even lang bij Dendrolagus. Het gevolg hiervan
is, dat de stand en de gang van Dendrolagus ten eenenmale verschillen van
die der eigentlijke Kengoeroes. Het is deze wijziging, welke hem een klim-
mend, in plaats van een zich met geweldige sprongen voortbewegend dier
doet worden. Maar dit verschil daargelaten, komen de onderste ledematen
geheel met die der gewone Kengoeroes overeen, zoo zelfs, dat ik de beschrij-
ving, welke ik vroeger van deze gaf, nu geheel op die van Dendrolagus
zoude kunnen toepassen. Van het dijbeen valt niets anders op te merken,
dan dat het vrij dik en zwaar is. Het kuitbeen is aanvankelijk op vrij
grooten afstand van het scheenbeen verwijderd, maar voegt er zich beneden-

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 15

waarts zeer digt aan; deze aanvoeging geschiedt iets lager dan bij de eigent-
lijke Kengoeroes. Het scheenbeen heeft van boven eene driehoekige ge-
daante, en loopt aldaar in een naar voren uitspringenden kam uit, welke in-
tusschen niet zoo scherp is als bij Halmaturus en Macropus. Er is, even zoo
als ik dat vroeger reeds bij Macropus waarnam, geene knieschijf; maar wel,
zoo als ook bij vele andere Marsupialiën, in den zijdelingschen band van de
buitenzijde des kniegewrigts een halvemaanswijs beenstuk.

In den voetwortel merk ik vooreerst het kootbeen en het hielbeen op. Het
kootbeen heeft eene breede en sterk gewelfde bovenvlakte, waarmede zich de
beide beenderen des schenkels geleden. Aan de binnenzijde gaat er langs heen
de binnenste enklaauw, gevormd door het scheenbeen, en aan de buitenzijde
de buitenste enklaauw, gevormd door het kuitbeen. Het onderste uiteinde des
kuitbeens rust dan verder op een naar buiten uitspringend gedeelte van het
hielbeen. Deze inrigting verschilt ten eenenmale van diegene, welke ik
vroeger bij Macropus opteekende. Zij is ongetwijfeld in verband met de
behoefte, om eene breede en stevige grondvlakte te verschaffen, waarop het
ligechaam kan rusten, als de Dendrolagus op eenen tak nederhurkt. Om de-
zelfde reden vormt het hielbeen geen langen en smallen hefboom tot het te
weeg brengen van sprongen, gelijk mm Halmaturus en Macropus; maar ver-
breedt het zich aan zijne ondervlakte, en splitst het zich dan voorwaarts in
tweeën, om zich te geleden met de beide overige beenderen van den voet-
wortel, welke derhalve de drie wigvormige beenderen en het teerlingbeen ver-
tegenwoordigen. Het buitenste dezer voorste beenderen des voetwortels heeft
twee geledingsoppervlakten, om zich te verbinden met de twee korte, breede
en zware metatarsaalbeenderen van de beide buitenste teenen; het binnenste
heeft evenzoo twee, maar kleinere voorste gewrigtsoppervlakten, om zich te
geleden met de lange, maar tengere metatarsaalbeenderen van de beide bin-
nenste teenen, Daar tegen aan ligt een vijfde zeer kort en puntig uitloo-
pend metatarsaalbeen, dat geheel op zich zelf staat, en niet veel verder
reikt dan het achterste uiteinde van de binnenste tengere metatarsaalbeen-
deren. Met de twee buitenste metatarsaalbeenderen zijn breede, platte en ste-
vige, — met de binnenste smalle en tengere teenen geleed. Elke teen bestaat
uit drie leden, Tusschen de knoppen der metatarsaalbeenderen en de achterste
leden der buitenste teenen bevinden zich zware zaadbeenderen, paarsgewijze
aldaar geplaatst. “Het blijkt derhalve, dat de inrigting van den voet is even
als bij de eigentlijke Kengoeroes, met dat verschil slechts, dat in de beide

Mi ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

buitenste teenen, de beenderen, in plaats van in de lengte uitgerekt te wezen,
kort en breed zijn, waaruit eene geheel andere bewegingswijze moet voortvloeijen.

Ik acht het niet ongepast, aan deze beschrijving van het geraamte eene
opgave te voegen van de hoofdafmetingen der ledematen.

BOVENSTE OF VOORSTE LEDEMATEN.

Lengte van het schouderblad, van den knobbel, die de plaats vervangt van
het ravenbekswijze uitsteeksel, tot aan den achtersten of ondersten hoek 0,078.

Grootste breedte of hoogte des schouderblads 0,044.

Lengte van het sleutelbeen 0,045.

Lengte van het opperarmbeen, van de bovenvlakte van het hoofd tot aan
den buitensten knokkel 0,105.

Lengte van de ellepijp 0,156.

Lengte van het spaakbeen 0,114.

Lengte van de hand, van den onderrand van het spaakbeen tot aan den
top van den middelsten vinger 0,095.

ONDERSTE OF ACHTERSTE LEDEMATEN,

Lengte van het heupbeen, genomen van het midden van den kam tot aan

den zitbeensknobbel 0,142,
Afstand van den eenen tot aan den anderen voorbovensten knobbel des

darmbeens 0,098.
Afstand van den eenen tot aan den anderen zitbeensknobbel 0,071.

Lengte der schaambeensyereeniging 0,045.

Lengte der buidelbeenderen 0,066.

Lengte van het dijbeen, van den grooten draaijer tot aan den buitensten
knokkel 0,15.

Lengte van het scheenbeen, van zijnen kam tot aan den binnensten en-
klaauw 0,158.

Lengte van het kuitbeen, van zijnen bovensten knop tot aan den buitensten
enklaauw 0,146,

Lengte van den voet, van den hielbeensknobbel tot aan de punt van den mid-
delsten of langsten teen 0,156,

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 15

SPIERSTELSEL.

Kaauwspieren. Van de kaauwspieren valt niet veel meer op te teekenen, dan
dat de slaap- en kaauwspier (M. temporalis en masseter) zeer sterk ontwik-
keld zijn. De masseter hecht zich vast met eene stevige peesachtige uitbrei-
ding aan den voorsten wortel van den jukbeensboog, d. 1. aan het jukbeens-
uitsteeksel van het opperkaakbeen. Z. Pl. HI, b, Tusschen de beide tak-
ken der onderkaak ligt de M. mylohyoideus, die van het grondstuk des
tongbeens afkomt en zich hecht aan den onderrand van het voorste gedeelte
der beide helften van de onderkaak en aan hare kinvoeg. Z. PI. IL, a, a. Hij
vormt derhalve op de gewone wijze den bodem der mondholte.

De tweebuikige kaakspier (M, digastrieus maxillae inferioris) ligt aan
weerszijden der binnenvlakte van de onderkaak. Zij is, zoo als bij al de Zoog-
dieren van lageren rang dan de Quadrumanen, eene eenbuikige spier, welke
als afvoerder der onderkaak achter den oorsprong van den sterno-cleidomas-
toideus afkomt van het jugulair uitsteeksel van het achterhoofdsbeen, en
zieh naar voren aan den onderrand van elke helft der onderkaak vasthecht.
Z. PL IL, ce. e. Door vergelijking met hetgeen ik vroeger van den Sarco-
philus opteekende, blijkt dat de tweebuikige kaakspier van dezen vrij wat
krachtiger is dan van den Dendrolagus.

Van den geniohyoideus en genioglossus teeken ik alleen op, dat zij aanwezig ziju.

Spieren van den hals. De sterno-hyoideus en sterno-thyreoideus zijn zeer
lang. PI. IL. b. b. e. €.

De omohyoideus is eene lange, smalle en platte spier, zonder intermediatre
pees, gaande van het tongbeen naar het schouderblad. Pl, IL, d. d.

De sterno-cleidomastoideus komt van het jugulair uitsteeksel van het ach-
terhoofd, en gaat in schuinse rigting met twee bundels naar voren, waarvan
de een, M. sterno-mastoideus zich hecht aan het voorste uiteinde van het
borstbeen, de andere M. eleido-mastoideus aan het borstbeensuiteinde van
het sleutelbeen. Zoo men deze beschrijving vergelijkt met hetgeen ik van
den Sarcophilus opteekende, blijkt, dat de eleidomastoideus bij dezen veel
zwakker is, hetgeen ook met zijn zwakker sleutelbeen overeenstemt. PL HL
fps

Naast de inplanting van den cleidomastoideus aan het sleutelbeen, hecht
zich daaraan vast de M. aecromio-basilaris, die met eene scherp peesachtige
strook van het dwarse uitsteeksel van den eersten halswervel komt, bijkomen-

16 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

de spierhoofden ontvangt van de dwarse uitsteeksels der voorste halswervelen,
zich achterwaarts verbreedt, en zich dan inplant aan het acromion des sehou-
derblads en aan het aeromial uiteinde des sleutelbeens. PI. IL, g. g.

De M. masto-humeralis, waarvan ik nog eene aanduiding vond bij Sarcoplni-
lus, ontbreekt.

Spieren van den rug. De trapezius 1s eene breede spier, die van voren
afkomt van den kam des achterhoofds en van den nekband, met dwars ge-
rigte vezels, welke in eene peesplaat overgaan, die de onderliggende nek-
spieren bedekt. Naar achteren toe ontvangt hij zijne spiervezelen van de
doornwijze uitsteeksels der achterste hals- en der voorste rugwervelen. In
de streek des schouderblads komen al de spiervezelen te zamen, om zich vast
te hechten aan zijne graat en aan het aeromial uiteinde des sleutelbeens.
Pl HI, d. d.d.

De breede rugspier (M. latissimus dorsi) neemt achterwaarts oorsprong van
eene lange en breede peesplaat, die eene schede vormt voor het achterste
gedeelte van de lange rugspier en van de heiligbeens-lendenspier (M. longis-
simus dorst en _sacrolumbaris), en tot op het midden van den rug reikt.
Hare spiervezelen vormen eene driehoekige breede plaat, waarvan een deel
zich vasthecht aan de beenachtige gedeelten der achterste ribben. Van vo-
ren versmalt zij zich, wordt gedeeltelijk bedekt door den trapezius en hecht
zich vast aan de binnenste, scherpe lijn van het opperarmbeen. Van de
plaats dier aanhechting gaat, gelijk dit reeds voor zoovele zoogdieren door
mij, en onlangs ook voor den mensch door ons medelid HarBERTSMA opge-
leekend werd, een bundel af‚ welke langs het lange hoofd van de driehoof-
dige armspier heengaat, en zich peesachtig inplant aan den binnensten knok-
kel van het opperarmbeen en aan het ellebooguitsteeksel. Pl. HI, h. h.h. h”.

De groote gemeenschappelijke strekspier der ruggegraat, bestaat, zooals
gewoonlijk bij de Zoogdieren geschiedt, uit drie zware bundels, waarvan de
eene, tegen de doornwijze uitsteeksels aan liggende, is de M. spinalis dorsi,
de tweede of middelste de M. longissimus dorsi, en de derde of buitenste
de M. sacrolumbaris. Deze laatste is de zwakste en smelt ineen met de
vierkante lendenspier.

De splenius capitis et colli is eene zware spier, die van den achterhoofds-
kam en van het dwarse uitsteeksel van den eersten halswervel afkomt, om met
schuins naar achteren gaande spiervezelbundels zich vast te hechten aan de
doornwijze uitsteeksels der halswervelen en der drie voorste rugwervelen.

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 17

Naast den splenius bevindt zich de opligter van den hoek des schouder-
blads, die van de dwarse uitsteeksels der halswervelen komt, en zich aan
den voorsten hoek van den bovenrand des schouderblads gaat vasthechten.

De biventer cervicis met den complexus is eene zeer zware spier, die van
de achterhoofdsgraat afkomt, als ook van de dwarse uitsteeksels der halswer-
velen, om zich vast te hechten aan de doornwijze uitsteeksels der voorste
rugwervelen. Hij is met eene menigte van peesstrooken doorsneden. Zeer zwaar
is ook de spinalis cervicis. Het, blijkt derhalve, dat sterk ontwikkeld zijn
de spieren, waardoor de oprigting van den hals wordt te weeg gebragt, gelijk
zulks bij een klimmend zoogdier gevorderd wordt.

De rhomboïdeus is daarentegen zeer zwak.

De vierkante lendenspier is eene zware spier, uit twee duidelijk geschet-
den hoofdbundels bestaande, een smallen achtersten en een breeden voorsten.
De smalle achterste komt van de schuinse uitsteeksels der lendenwervelen,
vult de goot tusschen deze en de dwarse uitsteeksels, smelt aldaar ineen
met den sacrolumbaris en plant zich in aan het achterste gedeelte van den
kam des darmbeens. De voorste breedere bundel komt van de dwarse uit-
steeksels der lendenwervelen, en plant zich in aan de onderste rib en aan
de voorvlakte van den kam des darmbeens met dwars gerigte en eenigzins
waaijerswijze uitgebreide spiervezelen. Er komt een derde bundel bij, die
afkomt van de achtervlakte van het wervel-uiteinde van de drie onderste
ribben, langs de voorste strook heengaat, en er zich zijwaarts door eene inter-
mediaire pees mede verbindt, om zich in te planten aan het darmbeen. (PI. IV.
a,a,b,b.) Het blijkt derhalve, dat de vierkante lendenspier zeer zwaar is,
even gelijk dit vroeger van den Macropus door mij werd opgeteekend.

In de psoasspier vertoont zich de verhouding, welke ik vroeger bij den
Macropus waarnam en ook bij den Sarcophilus opteekende, De psoas minor
is namelijk eene zware spier, die zieh vasthecht aan de eminentia 1leo-
pectinea. De psoas major slaat zich over den horizontalen schaambeenstak
heen, om met de binnenste darmbeensspier ineen te smelten, en zich daar-
mede in te planten aan den kleinen draaijer van het dijbeen. Even als bij
Macropus en Sarcophilus gaan aan weerszijden, tusschen de beide psoas-
spieren, de dijvaten heen, om zich in de dij te verspreiden. (PL. IV. c‚c, d, d.)
Ik zal niet behoeven te herhalen hetgeen ik in mijne aanteekeningen over
Macropus meer in het breede vermeldde, dat genoemde inplanting van psoas
minor een krachtig middel is tot optillen der achterste ligchaamshelft, en dat

Ö2
WIS- EN NATUURK. VERI. VER KONINK, AKADEMIE, DEEL V.

18 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

de doorgang der dijvaten tusschen de peesachtige gedeelten van psoas major
en minor deze vaten behoedt voor drukking bij de zamentrekking dezer spieren.

De iliacus internus gaat van de binnenvlakte van het darmbeen regt naar
beneden, om zich met psoas major in te planten aan den kleinen draaijer van
het dijbeen (PL, IV. e.).

Buikspieren. In de buikspieren vind ik de gesteldheid, welke, blijkens mijne
aanteekeningen bij Macropus en Sarcophilus, voor de Marsupialiën typisch blijkt
te zijn. Zooals PI. IL aantoont, komt de buitenste schuinse buikspier met
schuins gerigte spiervezelen van de achterste ribben af. Deze spiervezel-
bundels gaan gedeeltelijk in eene peesplaat over, welke den voorwand vormt
van de schede der regte buikspier; gedeeltelijk verliezen zij zich in den dij-
boog en voor een derde deel hechten zij zich aan den buitenrand van het
marsupiaalbeen (PL. IL. z, z.).

De regte buikspier hecht zich binnenwaarts aan de witte lijn, en plant zich,
even gelijk ik zulks ook bij Macropus en Sarcophilus opmerkte, aan den knop
en aan den binnenrand in van het marsupiaalbeen (PI. II. y, #, 9, 95 Yo 4-)-
Noeh im de buitenste schuinse, noch in de regte buikspier vond ik peesachtige
mschrij vingen.

De pyramidaalspier komt mij nog sterker ontwikkeld voor dan in Macropus.
Dit is niet ongewigtig; vermits ik, zoowel bij Dasyurus macrourus als bij Sar-
cophilus ursinus, — Marsupialiën met zoo geheel andere bewegingswijze —, de
pyramidaalspier zag ontbreken. Bij den Dendrolagus, gelijk PI. II. z, z aantoont,
wordt de pyramidaalspier door de regte buikspier bedekt, en beslaat zij de
geheele ruimte tusschen het borstbeen en de schaambeensvereeniging. Zij
hecht zich aan de witte lijn en slaat zich achter het marsupiaalbeen om, ten
einde zich te verenigen met de peesplaat van den M. obliquus internus en
transversus. Deze aanmerkelijke uitbreiding en krachtvolle ontwikkeling der
pyramidaalspier is belangrijk. Zij strekt vermoedelijk, om de achterste lig-
chaamshelft met meerdere kracht en met meer gemak op te ligten. De bin-
nenste schuinse en de dwarse buikspier hechten zich niet aan het marsupi-
aalbeen.

Staartspieren. Het laat zich gemakkelijk begrijpen, dat de staartspieren van den
Dendrolagus zeer sterk ontwikkeld moeten zijn. Maar uit hetgeen J. F. Mecxer *

* J. F. Mercken System d. Vergl. Anat. Th. IIT p. 430. Halle 1828,

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 19

zegt omtrent de staartspieren van den Kengoeroe blijkt mij, dat zij daarmede
hoofdzakelijk overeenkomen.

Tegen de doornwijze uitsteeksels der lendenwervelen aan ligt eene ge-
meenschappelijke spiermassa, waaraan Mreker den naam geeft van buiten-
sten opligter van den staart. Zij komt van de doornwijze uitsteeksels der len-
denwervelen, en gaat met afzonderlijke spierhoofden en pezen naar de schuin-
sche uitsteeksels. Meer achterwaarts, aan den staart zelven, bestaat deze bin-
nenste opligter van den staart uit eene opvolgende reeks van spiertongetjes,
die elk op zich zelve afkomen van de doornwijze uitsteeksels en zich inplanten
aan de schuinsche uitsteeksels van een volgenden wervel (z. Pl. V fig. 6, a).

Er naast ligt de buitenste opligter van den staart, die veel zwaarder is,
en in de goot ligt, gevormd tusschen de schuinse en dwarse uitsteeksels. Hij
bestaat aanvankelijk uit eene gemeenschappelijke spiermassa, die het lenden-
deel der spier uitmaakt, en zich spoedig splitst in eene menigte van allengs
dunner en langer wordende spiervezelbundels, die in zeer lange en dunne
pezen overgaan, welke zich vasthechten aan de schuinse uitsteeksels der
staartwervelen of aan de knobbels, die de plaats daarvan vervangen. Deze pe-
zen zetten zich voort tot aan de punt van den staart (Pl. V fig. 6, b, b, b.).

Voor de zijdelingse buiging van den staart dienen de M. M. intertransver-
sarii, die tusschen de dwarse uitsteeksels liggen. Voorts is naar buiten ge=
plaatst een M, isehio-coccygeus, die van den achtersten rand van het darmbeen
afkomt, als ook van het zitbeen, en, met op zich zelve staande bundels en pe-
zen, zich vasthecht aan de dwarse uitsteeksels der voorste staartwervelen. Hij
ts ineengesmolten met het spierhoofd, dat zich voegt aan de buigspier van de
dij, en daarvan een bijkomend spierhoofd uitmaakt (z. PL, V. fig. 6,c, fig. 7, a, a, a.).

Aan de onder- of buikvlakte van den staart vertoont zich de volgende spier-
verhouding. Tegen den achterwand van het bekken, dat is tegen de heilig-
beenswervelen aan, liggen drie spierbundels vlak bij elkander. De eene komt
van de binnenvlakte van het eironde gat, en gaat zich met gescheiden bundels
en pezen inplanten aan de onderste V-vormige uitsteeksels der staartwervelen
(z. Pl. V fig. 7 b‚b.).

Daar naast zit een spierbundel, die van de binnenvlakte van het darmbeen
afkomt, op de hoogte der sleuf, die van voren door de eminentia ileo-peetinea
begrensd wordt, en lange, dunne pezen afgeeft, welke zich vasthechten aan de
onderste V-vormige uitsteeksels van den staart (z. Pl. V fig. 7,e, e‚c.). Ach-
terwaarts komen er van de staartwervelen zelve spierhoofden bij, die van de

32%

20 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS,

dwarse uitsteeksels dier wervelen afkomen, en in pezen overgaan, die zich vast-
hechten aan de onderste V-vormige uitsteeksels tot aan den laatsten staart-
wervel toe.

gene derde spier kom van den achtersten lendenwervel en van de voor-
vlakte van het heiligbeen met afzonderlijke spierhoofden, en gaat met lange
en dunne pezen naar de dwarse uitsteeksels der staartwervelen (z. PI. Vfig. 7d,d.).

Spieren der voorste extremiteit. De groote borstspier (z. Pl. IL, h.) is zeer
zwaar. Zij bedekt de geheele voorvlakte van de borstkas, komt van het sleu-
telbeen en van het borstbeen, en plant zich in aan de buitenste scherpe lijn
van het opperarmbeen, tegen de inplanting aan den deltaspier.

Onder haar ligt de kleine borstspier (z. PL. IL, ú). Zij is breed, plat en
driehoekig, komt van de geheele voorvlakte van het borstbeen, en plant zich
in, niet zooals bij den mensch, aan het schouderblad, maar met eene breede
pees aan het bovenste einde van het opperarmbeen.

De ondersleutelbeenspier komt van het handvat des borstbeens en van het
kraakbeen der eerste rib, om zich aan het sleutelbeen in te planten.

De groote voorste gezaagde spier (M. serratus antieus major z. Pl, IL, w.)
bestaat uit twee gedeelten, een voorst en een achterst. Het achterste komt
met vijf hoofden van de derde tot aan de achtste rib, en hecht zich vast aan
den achtersten hoek des schouderblads. Het voorste gedeelte is van het ach-
terste gescheiden, en komt met vijf spierhoofden van de dwarse uitsteeksels
der drie achterste halswervelen en van de eerste en tweede rib, Het hecht
zich vast aan den bovenrand des schouderblads, alwaar zijne inplanting grenst
aan die van den opligter van den hoek des schouderblads. Eigentlijk zoude,
zoo als elders door mij gezegd werd, de opligter van den hoek des schou-
derblads (M. levator anguli scapulae) bij de Viervoetige zoogdieren beschouwd
moeten worden, als eene uitbreiding van de groote voorste gezaagde spier.
Dat deze merkwaardige en sterke ontwikkeling van de groote voorste gezaagde
spier, bij den Boom-kengoeroe in verband moet gebragt worden met de me-
nigvuldige bewegingen der voorste extremiteit, tet het klimmen gevorderd, zal
wel geen betoog behoeven. Bij eene wippende beweging van den schouder-
top, zal het schouderblad er tevens door naar voren geschoven worden.

De deltaspier (z. Pl. HI, e; PL. IL, Z‚ h.) is vrij zwaar. Zij komt van het
sleutelbeen, van het acromion en van de graat van het schouderblad, smelt
achterwaarts gedeeltelijk ineen met den M. infra-spinatus (z. Pl. HIL, f.) en
gaat zich inplanten aan de buitenste scherpe lijn van het opperarmbeen.

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 21

De M. infra-spinatus (PL. HI, f.) is eene zeer zware spier, die zich met eene
krachtige pees hecht aan den buitensten of grooten knobbel van het opperarmbeen.

De teres minor is eene zeer kleine spier, die schier geheel door den M.
infra spinatus overvleugeld wordt.

De teres major is daarentegen zeer zwaar (Pl, IL, g,); hij komt als schou-
derbladshoofd der breede rugspier van het schouderblad, en verbreedt zich aan-
merkelijk, om zich aan de binnenste scherpe lijn van het opperarmbeen vast
te hechten. Van de onderschouderbladspier valt niet veel meer op te merken,
dan dat zij eene zeer zware spier is.

Even gelijk bij zoovele andere Viervoetige zoogdieren, bestaat de tweehoof-
dige armspier slechts uit één hoofd, dat van den bovenrand van het schou-
dergewrigt afkomt, langs de voorvlakte van den bovenarm heengaat, en zich
benedenwaarts in twee spierbundels splijt, welke vóór elkander zijn gelegen.
De voorste of zwaarste hecht zich aan den knobbel van het spaakbeen; de
achterste aan het bovenste uiteinde der voorvlakte van de ellepijp , alwaar hij
met de binnenste armspier (M. brachialis internus) ineensmelt (zaPl. Als n.).

De binnenste armspier komt van de buitenvlakte van het opperarmbeen, be-
staat slechts uit een spierhoofd en hecht zich vast aan de ellepijp (z. Pl. ILL, /.).

De coraco-brachialis is eene zeer zwakke spier, die van boven ineensmelt
met de pees der tweehoofdige armspier en zich inplant aan het bovenste ge-
deelte der binnenste scherpe lijn van het opperarmbeen.

De antagonist der beide vrij krachtige genoemde buigspieren van den voor-
arm is de driehoofdige of de strekspier van den voorarm. Haar lang hoofd
is zeer zwaar en komt van den onder- of voorrand des schouderblads, tus-
schen de beide ronde spieren (z. Pl. HI, ú.). Het buitenste hoofd vult de ge-
heele buitenvlakte van het opperarmbeen (z. PI. III, kh). Het binnenste hoofd
is veel zwakker en reikt bovenwaarts niet verder dan tot aan de inplanting
der breede rugspier. De pees, waarin deze drie hoofden uitloopen, hecht zich
vast aan het ellebooguitsteeksel. Aldus wordt eene krachtige strekspier van
den voorarm gevormd, waarvan de sterkte nog vermeerderd wordt door den
bundel van de breede rugspier, welke, gelijk ik hierboven opgaf, langs het
lange hoofd van de driehoofdige armspier heengaat.

Aan den voorarm is de ronde vooroverbuiger (M. pronator teres), eene zware
spier, welke van den binnensten knokkel van het opperarmbeen afkomt, en
zich in schuinse rigting aanmerkelijk verbreedt, om zich vast te hechten aan
het spaakbeen (z. Pl. 1, p.).

22 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

Naast den ronden vooroverbuiger ligt de spaakbeensbuigspier van de hand
(M. flexor carpi radialis), die zich hecht aan het achterste uiteinde van het me-
tacarpaalbeen van den duim (z. PI. IL, r‚ r).

De lange handpalmspier (M. palmaris longus) is zeer zwak en verliest zich
in de peesplaat van de handpalm (PL. IL, s, s.). Daarnaast ligt de ellepijpsbuig-
spier van de hand (M. flexor carpi ulnaris), die van den binnensten knokkel
van het opperarmbeen komt, en zich over het erwtebeentje heen inplant
aan het achterste uiteinde van het metacarpaalbeen van den pink of vijfden
vinger (PL. IL, f, 4).

Ongeveer, zooals ik zulks vroeger voor Macropus en Sarcophilus opteekende,
is er voor de buiging der vingers eene spier, zaamgesteld uit drie hoofden,
de diepliggende en de oppervlakkige buigspier vervangende. Haar eene hoofd
komt van den binnensten knokkel van het opperarmbeen, het tweede van het
spaakbeen, het derde van de ellepijp. Deze gesteldheid herinnert eenigzins die
van den solaeus bij den mensch. De drie hoofden eindigen in eene breede en
platte pees, die zich in den handpalm in vijf smalle pezen splitst voor de vijf
vingers, waaraan zij zich hechten. Zij zijn stevig en breed voor den tweeden,
derden en vierden vinger, zeer tenger voor den duim en voor den pink, vooral voor
den duim. Er is derhalve geene scheiding merkbaar in oppervlakkige en dieplig-
gende buigspier, noch ook eenig bewijs van doorboring (z. PL. IL, u, u‚u‚u,u‚u‚u, u).
Ditzelfde werd voor vele jaren ook in Macropus door mij opgemerkt, ter-
wijl ik in Sarcophilus nog eene scheiding opteekende in twee lagen, waarvan
de buitenste in even zooveel strooken gesplitst is als er vingers zijn. Deze
strooken splijten zich in tweeën om de pezen door te laten van de diepere laag,
welke den flexor profundus voorstelt. Bij Sarcophilus is derhalve de gesteld-
heid der buigspieren eenigzins meer gecompliceerd en nadert zij tot hetgeen
ik elders van den Leeuw opteekende.

Van het handpalmsgedeelte der pezen komen drie wormwijze spieren af
(z. PL IE, vw, v‚ vw).

De vierkante vooroverbuiger (M. pronator quadratus) is zeer zwak.

De lange achteroverbuiger (M. supinator longus) is smal en zwak. Hare
lange en smalle pees hecht zich vast aan de rugvlakte van het spaakbeen, vlak
boven het stijlvormig uitsteeksel (PL. IL, g.).

De strekspieren van de hand en van de vingers vertoonen de volgende ver-
houding. Er zijn eene lange en eene korte spaakbeensstrekspier (M. extensor
carpt radialis longus et brevis). De smalle pees van de lange strekspier is

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 25

ingeplant aan het metacarpaalbeen van den wijsvinger (z. PI, III, », n.); de
breede van de korte strekspier aan het metacarpaalbeen van den middelsten
vinger (z. PI. ILL, o, o.). De pezen dezer strekspieren worden oversneden door eene
zware, breede strekspier van den duim, die van den tusschenbeensband afkomt
en in eene pees overgaat, die zich aan den duim inplant (z. PL. HIL, p.). Zij ver-
vangt de korte strekspier en de lange afvoerende spier van den duim bij den mensch.
Deze zelfde vereenvoudiging werd vroeger door mij opgeteekend bij Macropus.

Aan de ellepijpszijde ligt eene ellepijpsstrekspier der hand (M. extensor
carpi ulnaris), die zich aan het metacarpaalbeen van den vijfden vinger vast-
hecht (z. Pl. HI, g.).

Voor de uitstrekking der vingers dienen vooreerst drie oppervlakkig gele-
gen spieren, waarvan de eene, naast de ellepijpstrekspier van de hand gelegen,
zich inplant aan den vijfden vinger (z. Pl. HI, r.), de tweede aan den vierden
vinger (PL. HIL, s,), de derde aan den middelsten vinger (PI. IL, t…). Achter
deze verborgen, liggen twee andere smallere strekspieren, waarvan de eene
met eene smallere pees naar den wijsvinger gaat (PL. II, w.), en de tweede
eene pees afgeeft, die zich tusschen de achterste leden van den wijsvinger
en van den duim in tweeën splitst, om zich met elken dezer vingers te ver-
binden (PL. UI, w.). Deze laatste vervangt derhalve zoowel de strekspier van
den wijsvinger (M. indicator) als de lange strekspier van den duim. Bij de
inplanting van al deze pezen valt op te merken, dat zij alle verlengsels
afgeven ook aan de naastbij gelegen vingers, zoodat zij gecombineerd moeten
werken op al de vingers.

Spieren der achterste ledematen. De spieren der achterste ledematen zijn
zeer krachtig, hoewel toch niet zoo sterk ontwikkeld als ik ze vroeger bij
Macropus vond. De groote bilspier (M. glutaeus maximus) is eene smalle spier-
strook, die peesachtig afkomt van de dwarse uitsteeksels der heiligbeens-
wervelen, zich over de middelste bilspier heenslaat, en zich peesachtig hecht
aan den grooten draaijer (PL. III, z.).

De middelste bilspier (M. glataeus medius) is eene veel zwaardere spier,
die de geheele buitenvlakte van het darmbeen bedekt, van den kam van het
darmbeen en van den rand van het heiligbeen afkomt, eene waaijerswijze ge=
daante heeft, en zich benedenwaarts versmalt, om zich peesachtig vast te
hechten aan den grooten draaijer (PI. UL, 1j.).

De kleine bilspier (M. glutaeus minimus) is eigentlijk maar eene dieper ge-
legen spierstrook van de middelste bilspier. Zij is er althans van boven geheel

ZA ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

mede ineengesmolten, maar hecht zich benedenwaarts met eene gescheiden
pees vast aan den grooten draaijer.

Daaronder ligt eene spier, die den tensor fasciae latae schijnt te vervan-
gen. Zij komt van den voorbovensten doorn van het darmbeen, van den
onderrand en voor een deel van de buitenvlakte van het darmbeen, en gaat
met een waaijerswijzen bundel langs de achtervlakte van de heupkom,
en met een tweeden overlangschen bundel naar den grooten draaijer van
het dijbeen, om zich aan zijne buitenvlakte en aan zijn scherpen kant vast te
hechten.

De pyriformis, de gemelli, die de pees van den obturator internus tus-
schen zich nemen, hebben de gewone gesteldheid en planten zich in aan de
achterste groeve tusschen de draaijers (fovea intertrochanterica posterior).
Onder hen ligt eene zeer zware vierkante dijspier, die van den zitbeensknob-
bel en van den oprijzenden zitbeens-tak afkomt en zich vasthecht aan de bui-
tenste scherpe lijn van het dijbeen.

Van de doornwijze uitsteeksels der staartwervelen komt eene zware lang-
werpige spier met drie bundels, die benedenwaarts in eene gemeenschappelijke
pees uitloopen. De pees gaat, naast de groote buitenste dijspier (M. vastus
externus) naar beneden, om zich gemeenschappelijk met haar vast te hechten
aan de buitenste scherpe lijn van het dijbeen (Pl. III, z.).

De tweehoofdige dijspier (M. biceps femoris) bestaat slechts uit een spier-
hoofd, even gelijk ik dit vroeger bij Macropus en bij Sarcophilus opmerkte. Het
komt van den zitbeensknobbel af‚ gaat langs de groote buitenste dijspier
naar beneden, verbreedt zich alsdan waaijerswijze en hecht zich, langs den
gastroenemius heengaande, aan den scherpen kant van het scheenbeen en
aan de zijvlakte van het kniegewrigt (PL. III, ee).

Even als bij Sarcophilus vond ik een semitendinosus en semimembranosus.
De semitendinosus komt van den zitbeensknobbel, is veel zwakker dan de
biceps, slaat zich heen langs de binnenvlakte van den gastrocenemius, en
hecht zich vast aan de binnenvlakte van het bovenste uiteinde van het scheen-
been (PL II, ff). De semimembranosus komt van den oprijzenden zitbeens-
tak, gaat langs de binnenvlakte der dij, onder de driehoofdige dijspier, naar
de binnenvlakte van het bovenste uiteinde van het scheenbeen, om zich daar
m te planten, Even gelijk ik dit vroeger van den Kengoeroe opteekende, gaat
de gastroenemius derhalve door tusschen de breede peesplaten, waarmede de
buigspieren zich aan den schenkel vasthechten. Dat de hierdoor te weeg gen

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 25

bragte drukking eene aanmerkelijke krachtvermeerdering levert voor de kuit-
spieren, laat zich gemakkelijk begrijpen.

De snijderspier (M. sartorius) is eene lange en smalle spier, die, zooals
gewoonlijk bij de Zoogdieren, niet zooals bij den mensch naar beneden
wegduikt, maar regt naar beneden weggaat, om zich te vereenigen met de
pees van de vierhoofdige dijspier (M. quadriceps femoris) en zich vast te
hechten aan de knieschijf. De snijderspier komt derhalve van den voorboven-
sten darmbeensdoorn af, en gaat langs de voorvlakte van de dij heen (PL.
[-—HL aa. PL. IV Ah, hb).

De tengere dijspier (M. gracilis) is, zooals gewoonlijk bij de Zoogdieren
plaats heeft, eene platte en breede spier,-die van den geheelen nederdalenden
schaambeenstak afkomt, grootendeels de binnenvlakte van de dij bedekt, en
zich vasthecht aan het bovenste gedeelte der binnenvlakte van het scheen-
been (PL. H, ee. PI. IV, n, n.).

In den oorsprong van de kamspier (M. pectinaeus) merk ik dezelfde bij-
zonderheid op, welke ik vroeger van den Sarcophilus ursinus en van den Da-
svurus macrourus opteekende, Zij komt namelijk met een bundel van den ho-
rizontalen tak des schaambeens en met een anderen van het bekkenuiteinde
van het marsupiaalbeen. Beiden komen te zamen, om zich vast te hechten
aan de binnenste scherpe lijn der dij, alwaar deze inplanting ineensmelt met
die van den triceps (PI, IV, f, f.). Het lange hoofd van den triceps komt
evenzeer van het marsupiaalbeen af (z. Pl. IL, bb, cc.). Zoo men nu daarbij in
overweging neemt, hoe het marsupiaalbeen verbonden is met de buikspieren,
blijkt dat het een hefboom wordt, die zoowel door de buikspieren als door
de dijspieren, maar met een verschillend uitwerksel in beweging kan gebragt
worden. Door de werking der dijspieren wordt het vermoedelijk vastgezet,
opdat de buikspieren beter en met meer kracht op zijn bovenst uiteinde en
op zijne beide randen zouden kunnen werken tot opligting des bekkens.

Dadelijk onder de snijderspier ligt het lange hoofd van de regte dijspier,
dat iets lager dan de snijderspier afkomt van den voorbovensten doorn van
het darmbeen, oorspronkelijk verre verwijderd is van het tweede hoofd der
regte dijspier, maar er naderhand mede ineensmelt. Het tweede hoofd der
regte dijspier is zeer zwaar, komt van den bovenrand der heupkom, gaat dan
als eene regt opstaande spierbuik langs de voorvlakte der dij heen, en ver-
bindt zich met den eruralis en met den vastusinternus en externus tot vor-
mirg der pees van den quadriceps femoris (PI. UI, bb, cc. PL. IV, 9, 9").

33

NATUURK, VERIL DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL V.

26 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

De driehoofdige dijspier heeft drie zware spierhoofden en plant zich daar-
mede in aan de binnenste scherpe lijn van het dijbeen, tot aan de achter-
vlakte van zijn binnensten knokkel (PI. IV, 7, om.). Het blijkt uit deze
beschrijving, maar vooral uit de beschouwing der afbeeldingen, dat de spie-
ren, zoowel van de heup- als van de dijstreek zeer krachtig ontwikkeld zijn,
gelijk de behoefte der klimmende beweging zulks medebrengt.

In de spieren aan den schenkel ontdek ik zoowel eenige vereenvoudiging,
uit de inrigting van den voet te verklaren, als eene eigenaardige complicatie,
uit de noodwendigheid eener krachtige strekking van den voet af te leiden.

Aan de buitenvlakte van het scheenbeen ligt de voorste scheenbeenspier
(M. tibialis antieus), waarvan de pees zich inplant aan het achterste uiteinde
van het metatarsaalbeen van de beide binnenste teenen (PL. 1, f. PL. HI, hh.).

Er naast, meer naar buiten, ligt de gemeenschappelijke lange strekspier
der teenen; zij gaat in eene pees over, welke zich op den rug van den voet in
tweeën splitst, om zich in te planten aan de beide buitenste teenen (PI. TIL, ii, di.)

Tusschen de voorste scheenbeenspier en de lange strekspier der teenen, is
een klein spierbuikje met eene lange en smalle pees, welke zich beneden-
waarts in tweeën splitst, om zich in te planten aan de beide binnenste in-
eengesmolten teenen, Deze spier vervangt derhalve de lange strekspier van
den grooten teen, en strekt de beide binnenste teenen (Pl. IL, nn, nn.)

Er zijn twee kuitbeenspieren, die beide op het kuitbeen liggen. De korte
plant zich met eene smalle pees in aan het voorste uiteinde van het meta-
tarsaalbeen van den buitensten teen (z. Pl. III, Zh, kh). De lange slaat zich
om den buitensten enklaauw, gaat in schuinsche rigting over de ondervlakte
van den voetwortel heen, en plant zich in aan het metatarsaalbeen van de
berde binnenste ineengesmolten teenen (z. Pl. III, U, U.). Deze beide be-
dekken eene derde kuitbeenspier, die een zeer kort spierbuikje en eene zeer
lange en smalle pees heeft, welke op den rug van den voet zich in tweeën
splitst, om zich in te planten aan den middelsten en buitensten teen, waar-
voor zij derhalve eene strekspier is (Pl. HIL, mom.). Het blijkt dus, dat er
zwakke buigspieren van den voet, en zwakke strekspieren der teenen zijn.
Daar tegenover staat de krachtige ontwikkeling der strekspieren van den voet,
en der buigspieren van de teenen. De strekspier van den voet wordt zoo-
als gewoonlijk door den gastroenemius en solaeus gevormd. De gastrocne-
mius bestaat eigentlijk uit drie spierhoofden, even gelijk ik zulks bij Ma-
cropus opmerkte. De twee oppervlakkige komen van de achtervlakten der

_l

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS, 4

beide knokkels van het dijbeen; zij verbreeden zich aan de achtervlakte van
den schenkel en gaan te zamen in eene pees over, die langs de pees van
den solaeus wegduikt, en zich daarmede overkruist, om zich in te planten aan
bet hielbeen. Er komt een derde hoofd bij, dat van den knop van het kuit-
been afkomt, smal en langwerpig is, en zich in de pees van het buitenste
hoofd verliest, Er wordt dus door den gastrocnemius alleen reeds veel spier-
kracht aangewend tot strekking van den voet ais Blo, Ms BEigsel,razs ass d,
Fig. 2, a, a“). Daarbij komt nu de solaeus, die van de achtervlakte van den
buitensten knokkel van het dijbeen afkomt, zich aldaar vereenigt met het er
aanwezig zaadbeentje en in eene pees overgaat, welke op zichzelve, zonder
zich te verbinden met de pees van den gastrocnemius, zich over de onder-
vlakte van het hielbeen voortzet, en zich aldaar verbreedt, om over te gaan
in eene peesplaat, welke zich verliest in de schede der buigspieren van den
middelsten of zwaarsten teen. De solaeus werkt derhalve geheel op zichzelve,
en is vooral spanspier voor de schede der buigspier, waarbij het hielbeen
dan als eene katrol werkt (z. Pl. VL. Fig. 2, b, b, hb). Dit gescheiden
blijven der pezen van den gastroenemius en solaeus werd vroeger ook bij
Macropus door mij opgemerkt,

Er is eene zware kniekuilspier (M. poplitaeus) (z. Pl. VL. Fig. 5. a, a).
Even als ik dit vroeger bij Macropus opmerkte, wordt de plaats van ach-
terste scheenbeenspier, van lange buigspier van den grooten teen, en van
lange gemeenschappelijke buigspier van de vier teenen vervangen door eene
zware spier, die van den knop van het kuitbeen afkomt, langs de achter-
vlakte van den schenkel heengaat, en van weerszijden korte naar achteren
gaande spiervezelen ontvangt van kuitbeen en scheenbeen. Deze verbinden zich
met de voorvlakte van den grooteren, middelsten bundel, ongeveer zooals dit
in den solaeus bij den mensch plaats heeft, en alle te zamen gaan zij In eene
pees over, die langs den binnensten enklaauw naar de voetzool gaat, en aldaar
zich splitst in drie pezen: eene zware middelste voor den zwaren middelsten
teen, en twee smallere zijdelingsche voor de overige teenen (z. PL. Ví. Fig. 5,
b, b, b, b.). Van de voetzooloppervlakte der pees, voordat de splijting geschiedt,
komen twee spierhoofden, die de plaats van korte buigspier vervangen, en mel
lange en smalle pezen zich vasthechten aan het achterste lid van den middelsten
teen (z. PI. VL Fig. 5, c‚c.). In de bifurcatie der pees voor den middelsten en
buitensten teen komen van de pees der buigspier van de teenen drie wormswijze
spieren, waarvan twee naar den middelsten, en eene naar den buitensten teen
gaan. (z. PI. VL Fig.5, dd). Er is derhalve eene krachtige spierverhouding voor

3 *

28 ONTEEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

de buiging der teenen, waaraan zich tegen de ondervlakte van den metatar-
sus twee buigspieren (z. PL. VL, Fig 5, e, e.) voegen voor den buitensten teen,
voorts een aanvoeder voor den buitensten teen en tusschenbeenige spieren.

HERSENEN EN ZENUWSTELSEL.

De hersenen van den Dendrolagus bevestigen volkomen de voorstelling, welke
R. OwenN van de onvolmaaktheid der hersenen gaf bij de Marsupialiën, waar-
omtrent ik meer in het breede uitweidde mm mijne ontleedkundige nasporingen
van den Sarcopbilus ursinus. De halfronden der groote hersenen zijn van
boven geheel glad, zonder aanduiding van kronkels; het eenige wat men er
in ziet (PL. V, fig, 2.) zijn de indrukken der slagaders. Even als in de Vo-
gels en in de laagste Zoogdiervormen zijn hunne voorkwabben zeer smal, ter
naauwernood 0,022 breed; bij de achterkwabben verbreeden zij zich zoozeer,
dat hunne dwarse doormeting aldaar wordt 0,054; im het midden wijken zij
uiteen, en elk halfrond eindigt aldaar met eenen schuins naar buiten gaande
rand; de lengte van elk halfrond, van de meest naar voren tot de meest naar
achteren gaande punt, bedraagt 0,057. Door deze geringe lengte, en door het
in het midden uiteenwijken der halfronden, liggen de vrij breede en betrekke-
lijk groote kleine hersenen geheel bloot (z. Pl. V, fig. 2en 5.). Even als bij
de Vogels en bij de lage vormen van Zoogdieren, bestaan de kleine hersenen
grootstendeels uit den vermis en zeer kleine haemispheriën. De lengte van
den vermis superior bedraagt 0,020; de breedte 0,025. De volle breedte
der kleine hersenen aan de bovenvlakte bedraagt 0,029. Er blijven dus aan
elke zijde slechts 2 m.m. over voor de balfronden. Aan den vermis su-
pertor is duidelijk herkenbaar de centrale kwab met de vleugels. Zijwaarts zijn
daaraan toegevoegd breede, dwarse en evenwijdige kronkels, Die der half-
ronden zijn eenigzins meer ingewikkeld. Zijwaarts gaat elk halfrond der
kleine hersenen in eene zijkwab, als ware het een flocculus over, welke bevat
is in eenen daartoe bestemden kuil van het steenachtige gedeelte des slaap-
beens (z. Pl, V fig. 1 en 2).

Aan de grondvlakte der halfronden van de groote hersenen is ter naau-
wernood eenige scheiding zigtbaar in voorste en middelste kwab. De groeve
van SyLvrus is zeer ondiep, en alleenlijk van binnen eenigzius aangeduid (z.
PL. V, fig. 1). Tegen den ondiepen bodem aan der groeve van Syuvrus ligt
de voorste zeefplaat, waarin ik de takken zag dringen der slagader van de
groeve van SrLvrus,. Daartegen aan liggen de wortels der breede reukze-
nuwen, welke schier de geheele ondervlakte van de voorste kwabben vullen

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS, 29

(z. Pl. V, fig. 1). Zij zijn aan den wortel breed 0,008, vlak bij den bol 0,006.

Langs de ondervlakte van elk halfrond gaat eene diepe en gebogen sleuf
vrij symmetrisch van den rand des wortels der reukzenuw naar den achter-
rand des halfronds (z. Pl. V, fig. 1). De brug van Varorrus is zeer weinig
gewelfd, en aan den achterrand alleen te onderscheiden door den oorsprong der
N. N. abdueentes. De vrij zware hersenschenkels liggen vlak bijeen; tusschen
hen vindt men slechts eene zeer smalle middelste zeefplaat. Op de plaats,
waar de diep liggende hersenslagaders zich verbinden met de inwendige ca-
rotiden, ontstaat eene vrij ingewikkelde wondervlecht. In plaats van twee
corpora candicantia is er, zooals gewoonlijk bij de lagere Zoogdieren, slechts
eene enkelvoudige kwab. Aan een dutidelijken en smallen trechter zit verbonden
eene vrij zware slijmklier, Het zeer zware en breede verlengde merg heeft,
door de aanmerkelijke breedte van zijn voorst gedeelte, eene pyramiedvor-
mige gedaante. Aan elke zijde van de middelste sleuf zit een zeer smal pyra-
miedvormig ligchaam, en daar naast een vrij zwaar olijfvormig ligehaam. Bij
de verticale doorsnede is zeer opmerkelijk de geringe hoogte van elk half-
rond, als gevolg van het volslagen gemis van kronkels van de derde orde van
Fovirre, bij den aanmerkelijken omvang van hetgeen Fovmrr noemt den
zenuwstam der hersenen (troncon nerveux z. Pl, VI fig. 4.). Van het eelt-
achtig ligehaam bestaat eigentlijk niets anders dan de knie (z. PI. VL, fig. 4).
Hierdoôr ligt de gezigtsbedding geheel onbedekt. Niet minder belangrijk is
de groote omvang van de voorste commissuur, welke vlak onder het rudi-
ment van eeltachtig ligehaam ligt. Dat deze bijzonderheden eene toenade-
ring zijn tol de gesteldheid der hersenen in de Vogels, werd vroeger reeds
door den Heer Ower gezegd en door mij in Sarcophilus bevestigd. De ge-
zigtsbedding is sterk gewelfd; tusschen haar en de vierlingkwabben is eene
diepe sleuf. De pijnappelklier is zeer klein (z. Pl. V, fig. 4). De vierling-
kwabben (C.C. quadrigemina z. Pl. V, fig. 4.) zijn sterk gewelfd; de voorste
vooral zijn zeer zwaar. Het gestreepte ligchaam is zeer zwaar (z. PI. V, fig. 5.).

Zoo men al deze bijzonderheden vergelijkt met diegene welke ik vroeger
van den Sarcophilus opteekende, en met diegene welke Owen van de overige
Marsupialiën opgaf, blijkt, dat de Dendrolagus daarmede overeenstemt, en der-
halve de onvolmaaktheid van hersenen aanbiedt, welke de Marsupialiën ken-
merkt en hen tot de eijerleggende dieren doet naderen, waarmede zij toch
ook door hunne voortplantingswijze gedeeltelijk overeenkomen.

Van het overige zenuwstelsel heb ik niets bijzonders op te merken.

20 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

HART EN BLOEDVATEN.

[et hart is eivormig van gedaante; zijne spitse punt heeft geene de min-
ste insnijding. Beide ooren hebben schier denzelfden omvang, hetgeen ik vroe-
ger ook reeds bij Sarcopluilus opmerkte, en dat ongetwijfeld een bewijs is
van terugblijven op minder volkomen vorm. Er zijn, even als bij al de tot
heden onderzochte Marsupialiën en bij eenige andere Zoogdieren, twee voor-
ste holle aderen, waarvan de eene regts, de andere links van de basis van het
hart gelegen 1s. Dat de linker de linker vena azygos opneemt, en dat het be-
slaan dezer beide voorste holle aderen een terugblijven is op een foetaal le-
venstijdperk van den mensch, heb ik, in verband met de voortreffelijke na-
sporingen van Raruke, Jonv Marsnarr, BARDELEBEN Cn SEBASTIAN, In mijn
betoog over Sarcophilus aangetoond. De achterste holle ader 1s zeer wijd.
Uit den boog der aorta komen slechts twee vaatstammen, eene ongenaamde
slagader, die eene regter ondersteutelbeensslagader en twee carotiden afgeeft,
en eene linker ondersleutelbeensslagader. In het maaksel van het hart ont-
moet ik de verhouding welke aan de Marsupialiën eigen is. Er is geen spoor
zgtbaar van eironde groeven; derhalve ook niet van klapvlies van Boraruts,
noch ook van klapvlies van Eusracnrus. Opmerkelijk kwam mij voor de
geringe uitgebreidheid der regterstrook van het driepuntig klapvlies en de
tengerheid en kortheid zijner peesachtige draden. De twee andere strooken
daarentegen zijn zeer zwaar. In de valvulae mitralis en semilunares is geene
afwijking van de gesteldheid der zoogdieren.

TONG, TONGBEEN, STROTTEHOOFD, LUCHTPIJP EN LONGEN.

De tong (z. Pl. VL, fig. 4.) heeft aan haren wortel drie in een driehoek
geplaatste kuiltjes, in elk van welke zich eene papilla vallata bevindt. Over
het midden der tong gaat naar voren eene vrij diepe sleuf heen, bezet met zeer
spaarzame, puntig uitloopende kegelvormige tepels. Overigens is de geheele tong
bezet met digt aaneengevoegde kegelvormige tepels, die vooral aan de randen
der tong scherppuntig zijn. Aan weerszijden der sleuf puilen in vrij regelmatige
reeks eenige papillae fungiformes uit. Het epithelium der tong is zeer dik.

Het grondstuk van het tongbeen (z. Pl. VI, fig. 5.) is een vierzijdig been-
stukje, verbonden met de groote horens van het tongbeen, die in schuinse
rigting naar achteren gaan, en zich vasthechten aan de oprijzende horens van
het schildswijze kraakbeen. Evenwijdig met hen gaan de kleine horens, die

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 5l

elk in twee met elkander gelede beenstukken verdeeld zijn. Vooreerst zit
aan elke zijde een plat en breed beenstuk vereenigd met het voorste uiteinde
van het grondstuk, en dit geleedt zich met een smal en langer beenstuk, dat
zieh aan de grondvlakte des schedels hecht.

Het schild des strottehoofds bestaat uit twee beenstukken, die in het mid-
den eene kraakbeenige plaat tusschen zich hebben. De achterste plaat van
het ringvormig kraakbeen is lang en ringvormig en van boven uitgesneden,
waardoor zij tusschen zich en de bekervormige kraakbeenderen eene ruimte
overlaat, met een vlies gevuld. De bekervormige kraakbeenderen zijn zeer
zwaars de stemspleet is wijd; de strotteklep kort en breed; de luchtpijprin-
gen zijn van achteren afgebroken en met een vlies aangevuld.

De regterlong is door eene kleine, dwarse, niet doorgaande insnijding op
onvolkomen wijze in twee kwabben verdeeld, waarbij achter- en beneden-
waarts eene kleine, derde kwab komt. De linker long is geheel onverdeeld.

WERKTUIGEN TOT DE SPIJSVERTERING.

De speekselklieren zijn zeer sterk ontwikkeld, Vooral geldt zulks van de
oorktier, die zich over den geheelen hals uitbreidt (z. Pl. HL). De onderkaak-
klier is evenzeer zwaar.

De lever is verdeeld in drie hoofdkwabben, waarvan de regter de kleinste
is en achterwaarts eene kleine insnijding heeft; de middelste is grooter en
heeft naar voren eene diepere insnijding, waarin de bodem der galblaas uit-
puilt; de derde of linker is de grootste van allen. Aan de grondvlakte der
lever bevindt zich een duidelijk gescheiden kwabje van SptGer, als ware
het ingesloten in den buidel, welke het kleine net vormt. Met de bolle vlakte
der middelste kwab is de kroonwijze band vereenigd. Er is geene aandui-
ding te vinden, noch van naveladeren, noch van aderlijke buis van ARANTIUS.
De poortader dringt tusschen de regter en middelste kwab in de lever en
verspreidt zich daarin. De galblaas heeft eene langwerpig ronde gedaante
en gaat, zonder ombuiging, in eene galblaasbuis over, die zeer lang is en zich
in den twaalfvingerigen darm inmondt, Deze galblaasbuis verbindt zich reeds in de
dwarse levergroef met de leverbuis, en vervangt aldus den ductus choledochus.

De maag heeft den vorm, aan Halmaturus en Macropus eigen, d. t. gelijkt
zeer veel op een karteldarm. De dunne en lange slokdarm gaat over in
eenen blinden zak, welke zich naar voren ombuigt en blind uitloopt. Er zijn
drie strooken van overlangse spiervezelen, waardoor, even als in den kartel-
darm van den mensch, de rijen van cellen gevormd worden, welke aan de

52 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

maag der Kengoeroes eene zoo zonderlinge gedaante geven. Bij den poortier
vormt de maag eene tweede krultrek, die gladder en minder in cellen ver-
deeld is, en met eene insnoering overgaat in den twaalfvingerigen darm. De
geheele vorm der maag is derhalve gelijk te stellen met een spiraalswijs
omgewonden karteldarm.

Tegen den achterwand der maag aan ligt de milt, die, even als in Macro-
pus eene T-vormige gedaante heeft. De smalle en_gekwabde alvleeschklier
ligt tegen de milt aan. De dunne darmen zijn lang en sterk gekronkeld.
Owen kent er eene lengte aan toe van 6 voet, en zegt dat de karteldarm
5 voet lang is. De blinde darm is, even als in Macropus, glad van opper-
vlakte, even zoo ook de karteldarm, zonder eenige verdeeling in cellen.

URINWEGEN EN VROUWELIJKE GESLACHTSDEELEN.

De nieren hebben hare gewone, langwerpig ronde gedaante, en eene gladde
oppervlakte. Zij zijn derhalve niet in kwabben verdeeld. De er uit voortko-
mende pisleiders openen zich in den hals der urinblaas, met twee vlak bij
elkander liggende monden, achter eene halvemaanswijze plooi van het slijm-
vlies. De bijnieren zijn zeer klein.

Wat de vrouwelijke voortplantingswerktuigen betreft, deze beantwoorden ten
eenen male aan de beschrijving, welke ik bij Macropus daarvan voor vele
jaren gaf. De middelste schede eindigt duidelijk in eenen blinden zak, zonder
eenig spoor van de opening, welke Ower en Porrman * daarin vonden bij
Halmaturus Bennerrti. Later werd deze opening ook door mij gevonden bij
Halmaturus Bruvarprerir. Het blijkt derhalve, dat Macropus en Dendrolagus
in dat punt verschillen van Halmaturus.

Overigens blijkt uit mijne geheele beschrijving, — zoo men haar gaat vergelij-
ken met het bekende maaksel van Macropus, — dat er tusschen Macropus en
Dendrolagus geen ander verschil bestaat, dan datgene wat in den vorm en in de
proportie der ledematen gelegen is, waardoor de een geschikt wordt, om langs
een horizontaal vlak zich met geweldige sprongen voort te bewegen, de ander
om langs een vertikaal vlak op te klimmen, de een derhalve om op den grond, de
ander om op de boomen te wonen. Ik durf mij vleijen, dat hetgeen ik tot nadere
kennis van dezen belangrijken en slechts sedert weinige jaren bekenden dier-
vorm bijdroeg, den dierkundigen niet geheel onwelkom zal wezen.

* Bulletins de U Acad:mie royale de Belgique. Tom. XVIII, pag. 599.

Va!

VERKLARING DER AFBEELDINGEN.

PLAAT I.

Geraamte van den Dendrolagus inustus, behoorende tot het museum van

het genootschap Natura Artis Magistra te Amsterdam. Op de helft der
natuurlijke grootte.

PLAAT II.

Spieren der onder-voor vlakte des ligehaams. Op de helft der natuurlijke grootte.

a, ad. _M. mylo-hyoideus.

b, b. M. sterno-hyoideus.

c‚ € M. digastricus maxillae inferioris.
d, d. M. omo-hyoideus.

e, ec. _M. sterno-thyreoideus.

f.f.Af-M. sterno-cleidomastoideus.

7, 9. M. aeromio-basilaris.

g*.‚g*. M. masseter.
b. M. pectoralis major.
. M. pectoralis minor.

k, k. M. deltoideus.
l, M. biceps.

n. M. brachialis internus.

o. Bundel van den latissimus dorsi, welke zich vasthecht aan het elleboog-uitsteeksel,
p. M. pronator teres.

q. M. supinator longus.

JET M. radialis internus.

SS M. palmaris longus.

ds M. ulnaris internus,

5 ed M. flexor digitorum.

U, U, U

PE DE M. M. lumbricales.

w. M. serratus anticus major,

sir Es M. obliquus externus abdominis.
ii ij. M. rectus abdominis.

ZZ M. pyramidalis.

aa. M. sartorius.

bb.

CC,

| M. pectinaeus.

34
NATUURK. VERH. DER KONINEL. AKADEMIE. DEEL V.

ad ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS.

ded. M. trieeps-femoris.
ee. _M. gracilis.

jj. M. tibialis anticus.
7g. M, gastroenemius.

PLAAT III.

Voorstelling der spieren aan de rug- en zijvlakte des ligehaams. Op de
helft der natuurlijke grootte.

d, M. temporalis.
b. M. masseter.
c. M. digastricus maxillae inferioris.

d‚d,d. M. trapezius s. cucullaris.

e. M. deltoideus.

di M. infraspinatus.

g. M. teres major.

h, h. M. latissimus dorsi. 4*. Bundel van de breede rugspier, welke langs de drie-
hoofdige strekspier van den voorarm heengaat, en zich inplant aan den binnensten knokkel
van het opperarmbeen en aan het ellebooguitsteeksel.

lang hoofd

k, _buitenst hoofd

|. __M. brachialis internus.

m. M. biceps brachü.

„. M. extensor carpi radialis longus.

o. M. extensor carpi radialis brevis.

p. _M. abduector longus en extensor brevis polltcis.

7. M. extensor carpi ulnaris.

| van den triceps brachii.

mr 8,5 tt Drie oppervlakkige strekspieren der vingers.
u,v. Diepliggende strekspieren der vingers.
w._M. obliquus externus abdominis.
. _M. glutaeus maximus.
j. M. glutaeus medius.
Spier van den staart afkomende en zich aan de dij inplantende.
ua. _M. sartorius.
bb. Lang hoofd
ce. Kort hoofd
dd. __M. vastus externus.
ce. _M. flexor biceps femoris.
Wijf M. semitendinosus.
gg. M. gastrocnemius.
hh.__M. tibialis anticus.
ü, ü. M. extensor communis digitorum pedis.
kk, kk, M. peronaeus brevis.
U, Ul. M. peronaeus longus.
mm. _M. peronaeus tertius.

| van de regter dijespier (M. rectus femoris).

ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS. 55

PLAAT IV

geeft voorstelling van enkele dijspieren. Op de helft der natuurlijke grootte.

a, a, a, a. Voorste bundel
b, b, b, b. Achterste bundel
c‚ c,‚ c‚ c. M. psoas minor.
d, d. M. psoas major.
Cc, €. M. iliacus internus.

Hede M. pectinaeus.

7, g*. De beide hoofden van M. rectus femoris.
h‚ h. Sartorius.

6S M. vastus externus.

L M. vastus internus.

| van de vierkante lendenspier.

| Tusschen deze beiden door gaan de dijvaten.

m, m. M. triceps femoris.
n,n. M. gracilis.
PLAAT V
is gewijd aan de spieren van den staart en aan de hersenen.
Fig. 1. _Grondvlakte der hersenen,
Fig. 2. Bovenvlakte der hersenen,
Fig. 5. Buitenvlakte der doorsnede van de hersenen.
Fig. 4. _Binnenvlakte der doorsnede van de hersenen.
Fig. 5. Horizontale doorsnede van het linker halfrond der groote herse-
nen. — Fig. 1—5 zijn ter natuurlijke grootte.
Fig. 6. Spieren aan de bovenvlakte van den staart.
a. Een klein gedeelte van den binnensten opligter van den staart.
hb, b, bh. Stroken van den buitensten opligter van den staart.
c. _M. ischio-coccygeus.
Fig. 7. Spieren aan de ondervlakte van den staart.
a, a, a. M. ischio-coccygeus.
b, b.
c‚ c, c. ) Buigspieren van den staart.
ded:
Fig. 6 en 7 zijn op de helft der natuurlijke grootte.
PLAAT VI
geeft voorstelling van de spieren aan de achtervlakte van den schenkel, van
de tong en van het strottehoofd.
Fig. A. Eerste laag der spieren aan de achtervlakte van den schenkel.

a, a,a. M. gastroenemius.
b, b. M. solaeus.

„6 ONTLEEDKUNDIGE NASPORINGEN OMTRENT DENDROLAGUS INUSTUS,

Fig. 2. Eerste en tweede laag der spieren aan de achtervlakte van den
schenkel.

«1. _Doorgesneden bovenst uiteinde van den gastroenemius, waarin zich a* verliest het
spierhoofd dat van het kuitbeen afkomt.

b, b, b. M. solaeus.

Spier, die de plaats vervangt van achterste scheenbeenspier, van lange buigspier van
de*groote teenen, en van lange gemeenschappelijke buigspier der teenen,

d, d. M. poplitacus.

Fig. 5. Derde laag der spieren van de achtervlakte van den schenkel.

a, a. M. poplitacus.

hb, b, b, bh. Gemeenschappelijke buigspier der teenen.

e‚ c. Twee smalle spierbundels, die van de pees der gemeenschappelijke spier afkomen
en aldaar de plaats van korte buigspieren vervangen.

d, d. Wormwijze spieren.

e, e. __Buigspieren van den buitensten teen.

Fig. A. Tong, met de eigenaardige sleuf, waarin zich de kegelvormige
tepels bevinden.

Fig. 5. Strottehoofd en tongbeen, vooral opdat blijke hoe, volgens bl. 51,
het schild des strottehoofds gevormd wordt door twee beenige platen, verbon-
den met een kraakbeen, hetwelk uit dat van het schild’swijze en van het
ring 'swijze kraakbeen is zaàmgesmolten.

Fig. 1, 2 en 5 zijn op de helft der natuurlijke grootte.

Fig. 4 en 5 stellen de natuurlijke grootte voor,

nr

a , : KN

\

OVER DE
DRAAIJENDE BEWEGING

LIGGHAAM OM EEN VAST PUNT,

EN DE

BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT,

DOoR

G. F.W. BAEHR.

Uitgegeven door de Koninklijke Akademie van Wetenschappen.

AMSTERDAM,
C. G. VAN DER POST.
1857,

: 1
f

EE Herd dr

en
er EEN pr vl:

A dhl haet 4à < is
Pre ne eenanierden

re
Í ei j ge
PE
ZN RD

vk jk BA des
LT EESTE EEN wad
PV 7, WA WON ARUTD

Et fi : dik ee N 8 hole
ser ari and HAC 5
his A

EN en eN
| k REI Ee mi KA
As
# Melde Je ‘is
Pinson 04 (OREN
vj a hin lk 5
: vet mhd NS
< a bast

bg pmm ú en) mer n
ur 4 Bat: A bast ode

EEN vab al Seef in
gee oee vip li vijf
nt, AA zene. il RS Hek Rl

EE Rie A a 5 A4 ONE AN
in MT
DE EE d ad Pd rué 5) AES wakepal en

ae, ú EN í Gaai owagrafd

Tan

DE

basel cad aaie aman) rad

OVER DE

DRAAIJENDE BEWEGING

LIGGHAAM OM EEN VAST PUNT,
BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT,

G. F. W. BAEHR.

neo

Het verdient opmerking, dat men de drie vergelijkingen, welke den stand
in de ruimte bepalen van een ligchaam, dat om een vast punt draait, niet
langs den synthetischen weg, althans onmiddellijk uit de leer van de zamen-
stelling en ontbinding der draaijende bewegingen, afgeleid vindt. Porsson
geeft bij herhaling van een van die vergelijkingen eene meetkunstige verkla-
ring, doch doet niet opmerken, dat alle drie, zonder eenige analysis, uit de
beschouwing der figuur zeer gemakkelijk gevonden kunnen worden,

Vooraf zij gezegd, om de te vinden formulen met die van Porsson te doen
overeenstemmen, dat eene positieve rotatie zulk eene is, die plaats heeft van
de regter naar de lmker hand, als men zich met de voeten in den oorsprong,
en met het hoofd in de rigting stelt van de lijn, die bij den oorsprong be-
ginnende als rotatie-as wordt aangewezen; en dat, even als bij hem, een
stelsel van drie onderling loodregte assen, Ox, Oy, Oz, door opvolgende
letters aangeduid, altijd zoo genomen moet worden, dat door eene positieve
rotatie om de eerste, tweede of derde as de tweede, derde of eerste op de
derde, eerste of tweede komt, als de doorgeloopen hoek een regten bedraagt.

85

NATUURK. VERI. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL \V.

Li hi # \ Í Di
DE f n j
ted
Ò ij
’ ER
i® KEE (
ne

”

ha

ver

Blandin ole:

N 7 uit ard A

Ps: "
08 Pig EN

reirtde

TMN wr

vans
rl A rade heen he
ke OA | Li 5
ke p r ikk N
i ae: RE M

5 Ai

| Md 1
le A í n de
RE eh halte ke pen
id.
eer háf he | Í f

ds De

1 dr 3 5 N
| dj rds at knee in,
LAN 2. à osn
8 Ni fe Bed ns ke
Lik 1 ker”, N

BEEM

hd ti ®

nak GM) ve
bat ven de ae
dd Jij eh Le
vide Al je
at
van ain ital Knel
ne Jeita Un

tart begr’ Ie ì Aal

eik (ijiedde

OVER DE

DRAAIJENDE BEWEGING

LIGGHAAM OM EEN VAST PUNT,
BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT,

G. BP. PP BAEHR.

TOR

Het verdient opmerking, dat men de drie vergelijkingen, welke den stand
in de ruimte bepalen van een ligchaam, dat om een vast punt draait, niet
langs den synthetischen weg, althans onmiddellijk uit de leer van de zamen-
stelling en ontbinding der draaijende bewegingen, afgeleid vindt. Porssox
geeft bij herhaling van een van die vergelijkingen eene meetkunstige verkla-
ring, doch doet niet opmerken, dat alle drie, zonder eenige analysis, uit de
beschouwing der figuur zeer gemakkelijk gevonden kunnen worden,

Vooraf zij gezegd, om de te vinden formulen met die van Porssox te doen
overeenstemmen, dat eene positieve rotatie zulk eene is, die plaats heeft van
de regter naar de Imker hand, als men zich met de voeten in den oorsprong,
en met het hoofd in de rigting stelt van de lijn, die bij den oorsprong be-
ginnende als rotatie-as wordt aangewezen; en dat, even als bij hem, een
stelsel van drie onderling loodregte assen, Oz, Oy, Oz, door opvolgende
letters aangeduid, altijd zoo genomen moet worden, dat door eene positieve
rotatie om de eerste, tweede of derde as de tweede, derde of eerste op de
derde, eerste of tweede komt, als de doorgeloopen hoek een regten bedraagt.

35
NATUURK. VERH, DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL \V.

2 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

Is dan het ligehaam onwrikbaar verbonden met een beweeglijk assenstelsel,
OE, On, OE, dat met een vast assenstelsel, Om, Oy, Oz, het draaipunt 0 tot
gemeenschappelijken oorsprong heeft, zoo wordt zijn stand in de ruimte be-
paald door: 1°, den hoek , dien de doorsnede der £/ en zy vlakken met
de as + Oz maakt; 2, de helling van deze vlakken of den hoek tusschen
OE en +0z; en 5°. den hoek p, dien + 0 £ maakt met gezegde doorsnede.
Uit de beschouwing der figuur blijkt, dat, als w, o en p op zeker oogenblik
bekend zijn, het stelsel, O£, O7, O&, in den vereischten stand komt door
het oorspronkelijk met het vaste stelsel te doen overeenkomen, zoodanig dat
+ 0OEop + 0z,+0yop +0y valle, waardoor dan van zelf + OGop + 0z
komt, en daarna het beweeglijk stelsel achtereenvolgens te geven: 1°. eene
rotatie — w om + 0z; 2°. eene rotatie — 9 om + 0E, die op dit oogenblik
nog in het zy vlak ligt; en 5° eene rotatie + vo om + 05.

Als dus de opgenoemde hoeken, naar de rigting van hunne telling, met
hunne differentialen aangroeijen, dan heeft er plaats:

1°. eene rotatie — diy om + Oz. Daar 9de hoek is tusschen + Oz en +0E,
zoo herleidt zich die rotatie tot twee andere:

— dw Cos. 6 om + 0E
— dw Sin.9 7 het verlengde der projectie van + Oz op het £y vlak;
de hoeken tusschen deze verlengde projectie en + 05, en + Os zijn 90° + en
180° + ©, zoodat de laatste rotatie wederom herleid wordt tot twee andere:
— d w Sin. 0 Cos. (90° + y) = Sin. 0 Sin. pdw om + 0E,
— dw Sin. 0 Cos. (18004 op) == Sin. g Cos. pdw np + Oy;

2’. eene rotatie — do om de doorsnede der £7 en zy vlakken, die met
Os en Oy de hoeken — pen — (p + 90°) maakt, zoodat zij zich herleidt tot
twee andere:

— dô Cos. p om + 0E,
— db Sin.p n + 07;

93°. eene rotatie dp om + 0£,

In den tijd dt echter, waarin de hoeken met hunne differentialen aangroei-
jen, zijn ook de rotatieën om de assen, 05, On, Ot, als p‚ q, r‚ de hoek-
snelheden om deze assen voorstellen:

pdt, gdt, rdt;
zoodat men door de rotatieën, die om dezelfde as plaats hebben, bij elkander

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. >

te tellen en de som aan hare overeenkomstige uitdrukkingen gelijk te stel-
len, de bekende vergelijkingen:

pdt = Sin. Sin. pdy—Cos.pdd, . . . ….- « (1)
gdt = Sin, 9 Cos. p d w — Sin. p d0,
rdt —= dp — Cos. 0d w,
verkrijgt.
À

Ook de drie andere vergelijkingen, welke nog vereischt worden om de zes
grootheden, w, 9, ©, p‚ q, r‚ in functie van den tijd t te bepalen, kunnen
op eene meer eenvoudige wijze dan gewoonlijk verkregen worden.

Volgens eene algemeene dynamische eigenschap, die onmiddellijk voortvloeit
uit het grondbeginsel van p'ALEMBERT, zijn, wanneer op eenig zamenstei
geene uitwendige krachten werken, de momenten der hoeveelheden van be-
weging onveranderlijk voor elk willekeurig regthoekig assenstelsel, dat vas!
is in de ruimte. Die momenten zijn wel verschillend, naarmate de rigting der
vaste assen anders genomen wordt, maar hun resulteerend moment, dat on-
afhankelijk is van die rigting, is eene volstrekte standvastige grootheid, en
de rigng van zijne as is onveranderlijk.

Neemt men deze vaste rigting voor de as + Oz, dan kan men gemakkelijk
de momenten der hoeveelheden van beweging berekenen ten opzigte van de
drie onderling loodregte rigtingen, waarmede op zeker oogenblik der beweging
het aan het ligchaam verbonden beweeglijk stelsel te zamenvalt. Zij namelijk
k de grootte van het standvastige resulteerende moment, dan herleidt zich dit
tot twee andere:

k Cos. 6 om de vaste lijn in de rigting der + 0 Zas,
kSin.o n 7 nn mp n__n nm verlengde projectie van + Oz op het 7 vlak;

en dit laatste wordt wederom herleid tot twee andere:

k Sin. 6 Cos. (900 Hg) —= — k Sin. 0 Sin. p om de vaste lijn in de rigting van +08,
k Sin. 0 Cos. (1800 + g)==— k Sin. Cos.p nn nme ” ng.

Laten nu op dit oogenblik p‚ q, r de hoeksnelheden zijn om O£, 07, 07,
dus ook om de vaste lijnen in die rigtingen; en stel, dat L£, ln, 1E de
loodlijnen zijn, die uit eenig punt (£, 7,6) op deze assen worden getrokken,
dan is de snelheid van dit punt de resulteerende van drie andere: p x lS,

35%

Á___OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

qX ln, r X LE, die respectievelijk evenwijdig zijn aan de 7E, E5 en £% vlakken.
De cosinussen der hoeken, die hare rigtingen met de assen, O£, 0, 0£,
maken, zijn:

É 5 1)
voor p Xl: On AE En
5 5
Ü Ë
„ qgXxln: TEN. OS KT
1) Ë
naasdalbs ATEN ri 0;
dede E IE

de snelheden, evenwijdig aan de vaste rigtingen, zijn dus:

IXIXG, Ar XIEX Ayman,

18
€ Is 5 ’
PXEX Tg Hr XIX Te tnebe:
7) 3
DAE Arai de mare mid

door deze snelheden met de massa dm van het punt te vermenigvuldigen
en de producten, of hoeveelheden van beweging, als krachten te behandelen,
vindt men voor de momenten van die hoeveelheden van beweging:

[Arona tri pij} dm,
[CE at—em Elen —08)} dm,
[LErs—vij rt — rn} dm;

waarin de integralen over het geheele ligchaam moeten uitgebreid worden.
Zijn dus O8, On, OE hoofdassen, en stelt men, als naar gewoonte,

|arttam=a, [C+ ân=B, JE Hr)dm=C,
dan worden die momenten respectievelijk :
Ap, Bg, Giza

en verkrijgt men door dezelve aan hare vroeger gevondene waarden gelijk te
stellen :

Ap==kSinoSin.g, Bq =—kSin.0Cos.p, Cr==kCos?; . . . (2)

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. E)

welke vergelijkingen nu tijdens den geheelen duur der beweging gelden, om-
dat bij de voorgaande beschouwing de vaste rigtingen willekeurig zijn geno-
men, en O£, 0x, 0£ elk oogenblik met zulk een assenstelsel te zamen vallen.
Uit de vergelijkingen (2) heeft men nog:
kmh? pt Bq HO

ke

Ind

IJ.
Door uit de vergelijkingen (1) en (2) de hoeken, 9, gen w, te elimineeren,
moet men vergelijkingen verkrijgen, die p,‚ q, r in functie van t bepalen.
Elimineert men daartoe eerst uit (1) den hoek w, dan heeft men:
p Cos.adt — Sin. Sin. p (dq — rdt) — Cos. Cos. p do,
q Cos.9dt — Sin. 0 Cos. p (dp — rdt) + Cos.6 Sin. pd0;

en hieruit met behulp van (2) Cos.5, Sin. Sin. p, Sin. Cos.p verdrijvende:

(C—A)prdt = —Apdp—kCos.0Cos.pds, . . . . . . (a)
(C—B)grdt = —Bgdp + kCos.6 Sin. gp do.
Differentieert men de twee eerste (2), dan komt er:
—Adp=—Bgdept-kCos.6Sin.pde, . . . . . … . (6)
Bdg = — Apdp—k Cos.0 Cos.p d 5;

elimineert men nog w uit de twee eerste (1), dan heeft men:
(qSin,p— p Cos.y)dt —= do,
en dit in de differentiaal der derde van (2), namelijk in
Cdr == —kSin.odo,
overbrengende:
Cdr = —k {q Sin.0 Sin.p — p Sin. 9 Cosy} dt;
stelt men hierin ook voor Sin.6Sin.p en Sin.0Cos.p de waarden uit (2), en
voorts voor de tweede leden der vergelijkingen (a) de waarden, zoo als die
uit (b) volgen, dan verkrijgt men, voor het geval dat er geene uitwendige
krachten werken, de vergelijkingen :

d

d
BE
dt

CEE 4 pilB A) —0

+ rp(â— 0) = 0,

6 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

Á.

Als er uitwendige krachten werken, dan kunnen de algemeene vergelijkin-
gen, die uit het grondbeginsel van p'ArEmBERT voortvloeijen, ook op de vol-
gende wijze in woorden overgebragt worden: voor elke as van een vast
assenstelsel is het differentiaal-quotient, ten opzigte van den tijd, van de som
der momenten van de hoeveelheden van beweging gelijk aan het koppel, dat
loodregt op die as komt, als men de versnellende koppels herleidt tot drie andere,
welke loodregt zijn op de vaste assen.

Indien nu, zoo als gewoonlijk, a, a’, a” de eosinussen voorstellen van de
hoeken, die de hoofdas 0£ met de vaste assen, Oz, Oy, Oz, maakt, terwijl die
grootheden voor Ox door b, b', b“ en voor O5 door e‚ c'‚ c* voorgesteld wor-
den, en P, Q, R de versnellende koppels aanduiden, die tijdens de beweging
loodregt op de hoofdassen, 08, 07,0 £, werken, dan is, volgens de theorie van
de zamenstelling en ontbinding der momenten of koppels, en dewijl de momen-
ten der hoeveelheden van beweging ten opzigte van drie vaste assen in de
rigtingen der hoofdassen altijd Ap, Bg, Cr zijn, de som der gezegde momenten

ten opzigte van de vaste as Or —= Apa + Bqb + Crc,
” v n „ À ” Oy == Apa' 4 Bqb + Orc’,
” ” ” „ ” „ Qz= Ap a’ + Bgb' + Cre”,

terwijl de drie versnellende koppels, P, Q, B, herleid worden tot

een koppel loodregt op Or —=aPHbQHe RR,
7 ” / ” Oy =a PHbQ Fe KR,
n „ Vi „ Oz == zp —— bQ =P ear:

Men heeft dus, volgens gezegd beginsel, onmiddellijk de volgende verge-
dn

de

Pym toes HAD ek Bagr +075 aPHbQ Hek,

d da’ db’
kee Ap: + Bg geste wk Apu gee) Aen
dt dt di

& dh" de!

a’P +b'Q + ec’ RB;

da
aag Buel doesn Ape + Barr + Oren

AR als men zich de bekende betrekkingen

neer edn: paraat zo rn magd vna 5

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. f

at Hat Har? ab rab af alD'i ene. valea (ar os (C)
be Hb Hb == ac + a'c' + a'c' = 0
oil le e= ene Biton belast-hich —=r0

|

|
en]
…

Ì

"

herinnert, door dezelve in rangorde met a, a’, a', met b, b’, b'en met c, c/‚ c
te vermenigvuldigen en de som der producten te nemen, volgt:

A dp B d5 ‚dn „40 @ de ‚de „de P (dì
Ee ER dn de
dq da da’ da" c de de”
B niesen je
zt tel ze mnl 1e) + er Hd ut El Rt
fd Lr
Henah UT add AE Deen nen Tj al
De grootheden, a, a’, 4',....…. moeten bepaalde functiën zijn van de drie

hoeken, ;, 5, w‚ omdat deze alleen voldoende zijn om den stand van het he-
weeglijk assenstelsel vast te stellen. Die functiën zullen identiek aan de be-
trekkingen (c) voldoen, dewijl anders g, wen o niet onderling onafhankelijk
zouden zijn. Men moet dus met behulp van de negen vergelijkingen, dre

NR nf in functie van g, w en 9 bepalen, en van de drie vergelij-
kingen (1), vooreerst de hoeken, @, w en g, kunnen elimineeren, en daarna
tT zelve in functie van p,‚ q, r kunnen uitdrukken, om alzoo

die grootheden wit de vergelijkingen (d} te verdrijven.

Begint men de toepassing van deze algemeene beschouwing met de een-
voudigste functiën, dan bevindt men, dat de beoogde eind-eliminatie zeer ge-
makkelijk afloopt. Men vindt namelijk uit de figuur bijna onmiddellijk

u

a" == — Sin.bSin.p , b'—= — Sin.gCos.p , C' == Cos.b,

en elimineert nu uit de vergelijkingen (1) den hoek , niet door de eerste
met Cos. p, de tweede met Sin. p te vermenigvuldigen, en het verschil der
producten te nemen, hetgeen voldoende zou zijn, maar door dat verschil te
nemen, nadat men de eerste met hb’ en de tweede met a” heeft vermenig-
vuldigd; men heeft dan aanstonds:

dô de

a'gl'p = Sin er

waarin men klaarblijkelijk a”, b', c* met a’, b’, c° en met a, b, ce mag ver-
wisselen. Om zulks in te zien, behoeft men slechts de namen der vaste assen

S OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

te verwisselen, zoodat Ow, Oy, Oz in de rigtingen komen, die nu Oz, Oz, Oy
hebben, waardoor a’, b',c' de hoeken worden, die de derde vaste as met de
hoofdassen maakt, terwijl deze hoeken a,b, c worden, als men de Ox as
neemt in de rigting, die nu Oy heeft, en waarbij dan Oy en Oz in de rig-
tingen komen, die nu Oz en Oy hebben.
Men heeft dus onmiddellijk de drie betrekkingen :
de 4 b de! pe de!
ARP Fijn B mT a Wm? re NRE)
Laat men de benamingen der vaste assen onveranderd, maar verwisselt
men die der beweeglijke, zoodat men de rigting, die nu Oz heeft, voor die
van 05 neemt, waardoor O£ en Oes overgaan in Oy en O£, dan worden
b, bt’, b* de cosinussen der hoeken, die 0 & met de vaste assen maakt, terwijl
die hoeken voor de assen Ox en 08 worden e‚c'‚e* en a, a’, a”. Men moet
dan in de laatst gevondene vergelijkingen a in ben p in q; b ineeng inr;
en eimdelijk e in a en r in p veranderen, waardoor men verkrijgt:
da k da' ’ da! N
br ek Dire Mink air: el se enheid)
door eene tweede circulaire substitutie vindt men eveneens:

db db db”

ES Ei „. gn e . ed EET Redt
De rt Cp—ar= Cp—ar= een elec

dt

ES
ne

Vermenigvuldigt men nu de vergelijkingen (q) in rangorde met a, a’, a“,
en neemt men, lettende op de betrekkingen (c}, de som der producten; han-
delt men evenzoo met de vergelijkingen (e), dan vindt men, dat de tweede
en derde termen in de eerste der vergelijkimgen (d) vervangen kunnen wor-
den door qr (C—B), terwijl men, op eene overeenkomstige wiize, voor die
termen in de beide andere vergelijkingen (d) rp (A—C), pq (BA) vindt,
zoodat dan die vergelijkingen worden :

de Ber z
A rt qr(C—B)=P, 5)
d
B + rp (A-0)=Q,

dr
Cm LB

emg dee Sn

en

:EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 9

9d.

In de vergelijkingen (4) kan men altijd onderstellen:
A> B> 0,

zoodat B, wat de grootte betreft, het middelste der momenten van traagheid is.

Stelt men dan in die vergelijkingen:

p=eplos.h „ in CO8 me ME PICO Ne or ar Verte oe (4)
waarin „de positieve tweedemagtswortel uit de som der tweedemagten van
Pp, q, r voorstelt, en waaruit volgt:
Cost À H Cos? u + Cosy —= 1,
Sin. À Cos. Àd À + Sin. u Cos. u du + Sin.v Cos.ydv = 0,

dan worden zij:

— ArSinh Se Ep Aon LHC B)io* Cos.u Cosy —= 0, . … … (B)
en + (A — C)o? Cos. À Cos. v = 0,

— Op Sins 57 EF Clor l + (B A) p° Cos. A Cos.u = 0;

door deze in ee met BC Cos. ,C A Cos. u, A B Cos.v te vermenigvuldigen,
en de som der hrbdneten te nemen, verkrijgt men:
ABCde + {BC(C—B) + CA (A —C) + AB(B— A)} e? Cos. A Cos. Cos.v — 0,
of, kortheidshalven
ABC
(A — B) (A — 0) (B— 0)
stellende, zoodat M eene positieve grootheid is:
do

p? Cos. A Cos. osn — Me Rd tn sne enal (6)

Hierdoor heeft men, de fe ee Û met ? Cos. 4 banan

— A

— Ap? Sin. À Cos. nor + Anet ho ‚+ M(C— Ber
of
Ad. p? Cos? —= M (B — C) d. os
terwijl men, door de tweede (b) met ‚ Cos. «, en de derde met , Cos. » te ver-
menigvuldigen, evenzoo vindt:
96
NATUURK. VERI. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL V.

10 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

Bd.p? Cos. = — M(A —C)d. pt,
Cd.p? Cosy —= _ M(A —B)d. 2;
door de drie laatste vergelijkingen te integreeren heeft men dus:
M(B—C
p = pCos.h = ern 20, 44PE 6 Mikael)
M(A—C
q = pOos.u = U u Ee (b° — p°),
M(A—B
"== plosrv == Eeen — e°);

waarin a? b?, c° de constanten der integratie zijn, die echter niet alle drie
willekeurig genomen kunnen worden, dewijl zij voldoen moeten aan de be-
trekking:
en 4
A B
welke men verkrijgt door de som der tweede magten van (d) te nemen, waar-
door tevens in het oog valt, dat
M(B—C) _ M(A—C) , M(A—B)

À B C

arie. NE le)

IS.

Stelt men, ten einde de constanten nader te beoordeelen, de aanvankelijke
hoeksnelheden, aan welke alle mogelijke willekeurige waarden toegekend kun-
nen worden, door p‚, qo, #' voor, waaruit dan de aanvankelijke waarde £, van
e volgt, zoo heeft men uit (d):

re pos Apo’ : b? er Bao Ni
M (B —0) M (A —C)
die aan (e) voldoen, en nu tevens doen zien, dat b' altijd de grootste is,
terwijl a? >= of < c* kan zijn.
Neemt men aan dat

hl 2
Cin

2 2 pan Sqn
M (A —B)’

0

O0
is, dan zal, blijkens (d), altijd
gn ra? sen of Zelk
moeten blijven.
Het product der vergelijkingen (d) geeft, ingevolge (c), en lettende op de
waarde van M:

gm

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 11

p= (es —a°)(b2 —p°) (7 — 61),
of
dp?
AN: |

=d Alane ch oi are)

men stelle nu, volgens hetgeen opgemerkt is ten opzigte van de waarden
die » kan hebben,

pr =at H-(b*—a?)Cos.? 0, . . « « « « « « (9)

/

Zoodat de aanvankelijke waarde, we, van w, in het 1° quadrant genomen kan

worden, en dus @ aanvankelijk moet afnemen als e aanvankelijk aangroeit, en
omgekeerd, dan volgt daaruit:

er —at —=(b? —a°) Cos.* w,

bt — ? = (b? — a?) Sin? o,

pct = (bt —e?)— (bt —a*) Sin.? w,
en dus door substitutie in (f):

d. w a
{DE — et) (b* —a?) Sin?)

()

waarin het bovenste teeken genomen moet worden, als w na den aanvang
der beweging moet afnemen, en het benedenste in het tegengestelde geval.
Daar nu a? > e* is gesteld, en dus b>— a? <b-—c* is, mag men stellen:

== 2 2
be Ti m°, m2 <1,
waardoor (k) verandert in:

d. w

eeens 2e) dt À
(Ll —m? Sin. w) ed ) u
en dus, als men de constante
el 1
: a Ly (6? — c°)

rv (Lm? Sin.) kf
stelt:

re reiden ber getto (À)

waarin gelijktijdig de bovenste of onderste teekens genomen moeten worden.
86%

12 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

Stelt men nu ter bekorting:
POPE EED) SS u LIANA DEET, OEE
dan is, volgens de voorgaande vergelijking, w de amplitude der elliptische
functie van de eerste soort, die u tot waarde heeft, en waarvan m de modulus
is, dus:
v == amp. u 1 — m? Sin? w = A. amp. u,
en volgens (9):
ot = a? + (hb? —a?) Cos? amp.u,
en dit in (d) overbrengende:
M (B —C)
enen

k

p= —— Sin. Sin.p = 1 (b? —a*) Cos. amp.u . . … (U)
A B
k ile

q= — pi0Cos.p == nele (6? — a°) Sin. amp. u,

Pe 5 Con) = ‚AD Lv (b?—e?) A. amp. u,

Uit de aanvankelijke waarden van p‚ q, r zal men, door (c), kunnen zien
of e aanvankelijk aangroeit of afneemt. Is namelijk aanvankelijk het eerste
lid van die vergelijking positief, dan groeit p aan; in het tegengestelde ge-
val neemt e af, In het eerste geval moet men in (k), en dus ook in (i), het
bovenste teeken nemen; in het tweede geval het benedenste. Hierdoor is ook
het teeken in u (£) bepaald; en uit de aanvankelijke waarden van p, q, r
bepaalt men dan eindelijk de teekens der in de vergelijkingen (l) voorkomende
wortels.

Dewijl r nooit nul wordt, kan hare waarde ook niet van teeken veranderen,
zoodat zij tijdens den geheelen duur der beweging hetzelfde teeken behoudt,
terwijl dat van p en q te gelijk met dat van Cos. amp. u en Sin. amp. u
omkeert.

Zijn de de aanvankelijke waarden van p,‚ q, r zoodanig, dat niet a° > c?,
maar c? >a' is, dan behoeft men in de vergelijkingen (!) slechts p met r en
« met e te verwisselen; p krijgt dan den vorm van r,‚ en r dien van p,
terwijl de vorm van q onveranderd blijft.

Men kan de vergelijkingen (!) ook nog onder de volgende gedaante schrij-
ven, waarbij dan Cos. amp. u, — Cos. wo, is,

p___ Cos. amp.u q Sin. amp.u r _ A.amp.u

AnDit PPN or NE ’
Po _Cos.amp. u, 9, Sin. amp.u, 17° A. amp. u,

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 15

Om de standvastige k in de constanten der integratie uit te drukken, kan
men in de vergelijkingen (!) aan w eene willekeurige waarde geven; stelt
men dan Cos. amp. u = 1, en dus Sin. amp. u == 0, A amp. u-==1l, dan heeft
men onmiddelijk :

kt —= A M (B—C) (b*—a?) + C M (A—B) (b2—c?),
of, lettende op de waarden van M en m,

AB ABC 4)
Dn 1 Kee: ant WEE 2 2
(A=C) (BC) Tere ed ar,
en, door dit in (!) over te brengen, zijn dus ook » en 9 in functie van f
bepaald.

De derde vergelijking (1) geeft ter bepaling van w:

Oe

OI NE LN oen REN 27)

maar uit de twee eerste (l) vindt men:

A (B—C)
B (A—C)
waarin het bovenste of onderste teeken moet genomen worden, naarmate de
aanvankelijke waarden van p en q gelijke of ongelijke teekens hebben.
Hieruit volgt dan, met inachtneming van hetzelfde betrekkelijk de teekens:
Lr AB(A—0)(B—C). d. amp. u

dp= EIT a aast Leal)
didi (A—C) Sin? amp. u + A (B—C) Cos? amp. u

Tang. p= Cotang. amp. u,

de derde (l) geeft:

% k {p)
Coson
zoodat r en cos.9 altijd gelijke teekens hebben, en
C B
el, omeor & AB aur, dalers) Avanipiu 0900 (GK

kull 0
IS,

Hierbij moet nu opgemerkt worden, dat als p en q aanvankelijk gelijke
teekens hebben, ingevolge (c), r =e Cos.r het teeken + moet hebben, naar-
mate p aanvankelijk aangroeit of afneemt. Dus is dit ook zoo met Cos. 6, en
dewijl in dit geval de het teeken — heeft, verkrijgt de eerste term in (1),
namelijk dp: Cos. 9, het teeken —. Hebben p en q aanvankelijk ongelijke

14 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

teekens, dan moet, volgens (c), r —e? Cos.rv het teeken z hebben, naarmate
e aanvankelijk aangroeit of afneemt, maar dewijl nu in dat geval dv het
teeken + heeft, verkrijgt wederom de eerste term in (1m), namelijk d #: Cos. 9,
het teeken —.

Door substitutie van (n), (p) en (q) in (wm) verkrijgt men dus, hetzij pen q
aanvankelijk al of niet gelijke teekens hebben

ole (A L—0) (BC) d. amp. u
dl C) Sin.? 2 amp. ut A(B —C0) Cos.* amp. u (be?) )Aamp.u

—ad (2)

waarin het bovenste teeken genomen moet worden, als e aanvankelijk aan-
groeit. Substitueert men hierin voor dt de waarde uit (£), namelijk:

du d. amp. u
GEN ns a nt el,
Lr (b-—c*) Er (h*—e*). A. amp.u
en stelt men ook voor A hare waarde, dan wordt (r): n
dljtetj ee Bnserglj lEn C) „el (A—C) (B—C) dampt jl.
(A-CY(B-C) LF C(A-B) f | A(B-C)+O(A-—B)Sin.tamp.u Aamp.u Í

het blijkt hieruit, dat w, behalve van eene elliptische functie van de eerste
soort, ook nog afhankelijk is, van zulk eene functie van de derde soort, met
circulaire parameter. De eerste term van den laatsten factor namelijk, zal,
als men de positieve grootheid

C (A—B)
ATB Cen

stelt, aanleiding geven tot de integraal:

lm eli ve
“lan? Sin? (lm? Sin® wo)

De verdere herleiding der gevonden integralen zoude nu op dezelfde wijze
kunnen geschieden als dit gedaan is door Jacopr, in zijne verhandeling
»Sur la rotation d'un corps” (Crelle, 59° Band). De herleide formulen doen
zich wel onder een zeer eenvoudigen vorm voor, maar zij hebben het nadeel,
dat de constanten der integratie op nieuw verbonden worden met de stand-
vastige gegevens van het vraagstuk. Wilde men op die formulen de methode
van het variëren der constanten in toepassing trachten te brengen, dan zou-

ee

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 15

den, als eerste zwarigheid, de uitdrukkingen van hare variatiën uiterst inge-
wikkeld worden.

De in het voorgaande gegeven formulen komen overigens overeen met die
van onzen landgenoot RvegB, in zijne academische dissertatie »de motu gy-
ratorio corporis rigidi nulla vi acceleratrice sollicitatt” en met die van Ja-
cor, met dit onderscheid echter, dat de constanten der integratie, zoo veel
als mogelijk, als op zich zelve staande factoren voorkomen, waardoor hare
variatiën, met betrekking tot die constanten, meer eenvoudig zijn. Even-
wel blijft de toepassing der genoemde methode, op de juiste integralen
der bewegingsvergelijkingen (Ll) en (5), aan groote zwarigheden onder-
hevig, en-is men, voor het geval dat er uitwendige krachten werken, ge-
noodzaakt om van benaderende integralen gebruik te maken, Zie Porsson,
Mémoire sur le mouvement de la terre autour de son centre de gravitt.
Tome VH der » Mémoires de Vacad. roy. des sciences de Vinstit. de France,
bladz. 499.

Bij de beweging echter van de aarde om haar zwaartepunt, kan men het
gebruik der gezegde methode geheel ontwijken, en komt men dan zelfs langs
een meer eenvoudigen weg tot de formulen, welke Porsson, in de aange
haalde verhandeling, voor de praeccessie en nultatie gegeven heeft. Hierbij,
even als hij, uitgaande van de stelling, dat de verplaatsingen van de om-
wentelingspolen der aarde, over haar oppervlak uiterst gering moeten zijn,
omdat de waarnemimgen die, tot nu toe, nog niet hebben doen kennen; waaruit
noodzakelijk volgt, dat de as van omwenteling nagenoeg te zamen valt met
eene hoofdas, die de as moet zijn van haar grootste moment van traagheid,
omdat de aarde aan hare omwentelingspolen ts afgeplat.

6.

Om de vergelijkingen voor de draaijende beweging om een vast punt toe
te passen op de beweging der aarde om haar zwaartepunt, onder den invloed
der aantrekking van eenig hemelligehaam, beginnen wij met de versnellende
koppels te berekenen, welke die aantrekking oplevert loodregt op de hoofd-
assen der aarde.

Mierbij mag men het aantrekkend ligehaam als een enkel massief punt
beschouwen, dewijl de aldus berekende aantrekking in reden is tot de groot-
heid, die alsdan buiten rekening blijft, als de tweede magt van den afstand

16 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGHAAM OM EEN VAST PUNT,

tusschen zijn zwaartepunt en dat der aarde tot de tweede magt van zijn
straal.

Laten dan «, g, 7 de coördinaten zijn van het zwaartepunt van het aan-
trekkend ligehaam, evenwijdig met de hoofdassen, O£, 0», Ot, die door het
zwaartepunt der aarde gaan; ò en r de afstanden van dat punt tot aan het
zwaartepunt der aarde, en tot aan eene van hare moleculen dm, die £, 7, € tot
coördinaten heeft, zoodat:

hete al din ok oe NM on am enh neler Van Seef AGM, 1
is5 dan zijn, als L een nader te bepalen standvastig getal voorstelt,

Ô Ldm a—8
NM EE

Ldm Bn , dm pl
a Ae
De r ns r r

’
2 Tr

de composanten der attractie op de molecule dim, in de veronderstelling, dat
die attractie evenredig aan de massa, en omgekeerd evenredig aan de tweede
magt van den afstand is, De differentialen der versnellende koppels, P, Q, R,
zijn derhalven;

Ld

Ne Waf), en Md TOG
Ld

LQEX EL (eter),
Ld

AREN Xe (Ee)

Nu volgt uit (1):

et: n lak BnH76), Eart ETt
mrt = Sen h
ARNE Ie k ; Ene Ik
dat is, als men vooreerst de tweede magten der quolienten 55 welke
zeer klein zijn, in vergelijking van oe Ë, SD wier waarden gelijk 1 kunnen
zijn, buiten berekening laat:
m3 — Ò-3 MN AAN EEn (3)

Substitueert men deze waarden in (2), en neemt men in aanmerking, dat
fam frame ftan=o, en ook, [rtam=ftsamefsram=0

is, als de integralen over de geheele massa der aarde worden uitgebreid, dan
vindt men:

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT, 17

5 L
pep fijn,

ò L
e raf(t—ejam,

Q=

8 TL.

Banis Oi EAA ADE EDE DRE)
s L

UE (A —0) ye,
5)

res ed

welke waarden nu naauwkeurig zijn tot aan de vierde magten der zeer kleine

€ je
quotienten 5 E, a Als men namelijk de ontwikkeling van r-® tot de tweede

magten van die grootheden voortzet, dan zijn de termen, die men daardoor
in (2) verkrijgt, allen ten opzigte van &, 7, & van den derden graad, terwijl
bij het integreren de integralen van den vorm

[seam, fs-nam, fentam,. EE A A

verdwijnen als zij over het geheele ligchaam worden uitgebreid, wanneer dit
uit homogene lagen bestaat, die ten opzigte van de coördinaten-vlakken symetriek
gelegen zijn. Want, dan wordt er voor elke molecule, waarvoor 5%, En, &£,
zekere waarden hebben, eene overeenkomstige molecule gevonden, waarvoor
die waarden, op het teeken na, gelijk zijn; zoodat elk der gezegde integra-
len eene som is van termen, die elkander twee aan twee vernietigen. fn

het algemeen zal voor zulk een ligchaam, eenige integraal [ee 15 dm ver-

dwijnen, als niet alle exponenten p,q,r even zijn.

Zet men echter de ontwikkeling van #-?® voort tot de derde magten van
NNS 5 fi 6 . :
5’ pp en substitueert men die ontwikkeling in (2), dan behoudt men, na
de termen die elkander vernietigen en de integralen die van zelfs verdwij-

nen, nog integralen over waarin slechts positieve elementen voorkomen, om-
37
NATUURK. VERIJ, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL V,

IS OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

dat daarin alle exponenten even zijn, en die dus niet verdwijnen. Haar in-
vloed op de waarden van P‚, Q en Ris echter zeer gering, daar zij ten
opzigte van ò van twee graden lager zijn dan de nu berekende. Voor de maan

ê ° 3 El 1 A3
als aantrekkend ligchaam is het maximum van 5 — en dus 5 << 0000005

1 arr

4
) <o.o0o00o0sz voor de zon zijn die waarden nog veel minder.

Bij de berekening der versnellende koppels is het geoorloofd de aarde als
een geheel vast ligchaam te beschouwen; in de Mécanique Céleste is bewe-
zen, dat de draaijende beweging van eene spheroïde, die bedekt is met eene
laag vloeistof, wier dikte naar eene willekeurige wet verandert, dezelfde
blijft, als die laag in den vasten toestand overgaat.

De standvastige L in de formulen (4) is gelijk aan het product der
massa van het aantrekkende ligchaam met de versnelling, die in de eenheid
van massa wordt voortgebragt door eene andere eenheid, welke van de
eerste op de eenheid van afstand is verwijderd, waarbij men zieh de beide
eenheden van massa als enkel massieve punten moet voorstellen. Laat f
deze versnelling zijn, en stel dat M en M' de massa zijn van twee hemel-
ligehamen, wier massa in hun zwaartepunt vereenigd gedacht wordt, en
waarvan M' eene elliptische beweging heeft om M,‚ (gesteld dat men deze
beweging kent, zoo als zij zonder den invloed der storende krachten plaats
zoude hebben), dan is f (M + M) de relatieve versnelling, voor de een-
heid van afstand, die M op M' uitoefent. Maar als a de halve groote as
is der ellips die M' om M beschrijft, en T de omloopstijd voorstelt, dan
wordt die versnelling ook uitgedrukt door 4z?a?:T?, zoodat men heeft:

N 1 Antat
[We aren

Als dus M de massa der aarde, M’ die van het aantrekkende ligchaam, en
ma: T, de middelbare hoeksnelheid in de ongestoorde loopbaan voorstelt,
dan moet in de formulen (4)

M' a? m*
Lr Eg 0 SAE WENN)
M + M
genomen worden.

Men weet dat de gedaante der aarde weinig afwijkt van die van het lig-

chaam, dat voortgebragt wordt door de omwenteling van eene ellips om hare

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 15

kleine as; onderstelt men nog dat zij uit homogene lagen bestaat, wier digí-
heid naar zekere wet verandert, dan zal het verschil der hoofdmomenten van
traagheid, wier assen in het vlak van den evenaar liggen, zeer gering zijn,
en als men de as der omwentelings-ellipsoïde voor O £as aanneemt, is dan

AB ens On An,

waardoor men voor de bewegings-vergelijkingen om het zwaartepunt, met bij-
voeging van de versnellende koppels der attractie, heeft:

nds etn P. (6)
+ En Li ba td oeh LEN eeh ds ded 6)
Be ) 9

dq
A — — (C—A) pr =Q,

dt

dr
Oe

dt

waarin nu P en _Q uit de som van zoo veel gelijksoortige termen bestaan
als er aantrekkende hemelligchamen beschouwd worden. Hiervoor komen
alleen in aanmerking de zon, wegens hare aanzienlijke massa, en de maan
wegens haren geringen afstand, iterwitl de overige planeten, wegens hare
geringe massa en groote afstanden, van geen merkbaren invloed zijn.

Bij die A erelnsen moeten nog geroerd worden, als men kortheids-
halven de differentiaal-quotienten ten opzigte vanden tijd door dw sne
voorstelt:

A
lt

p — Sin. 9 Sin. p d‚p — Cos. p df
q — Sin. 9 Cos. pdw + Sin. p d0
r == dp — Coso dw

Wordt nu het vlak, dat op zeker tijdstip het vlak der ecliptica is, voor vast
vyy vlak aangenomen, dan is w de lengte van de lijn der nachteveningen,
geteld in de tegengestelde rigting van de jaarlijksche beweging der aarde,
van af zekere vaste lijn in het zy vlak, en 4 de helling van a evenaar op
de vaste ecliptica of de schuinsheid der „ecliptica.
Uit de derde vergelijking (6) volgt onmiddellijk
— Constant = n,

dat is, de hoeksnelheid der aarde om de as van haar grootste moment van
traagheid is onveranderlijk. Daar blijkens de waarnemingen deze as nage-

noeg te zamen valt met de as der dagelijksche beweging, zal n, op eene
an

20 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

zeer kleine grootheid na, gelijk zijn aan de hoeksnelheid van die beweging,
zoodat dan door deze waarde van r in de twee eerste vergelijkingen (6) over
te brengen, uit die vergelijkingen volgt, dat p en q zeer kleine grootheden
moeten zijn, van dezelfde orde als de storende krachten, die de versnellende
koppels P en Q hebben opgeleverd.

Uit de vergelijkingen (7) volgt dan, dat d‚w en d van dezelfde orde zijn,
hetgeen eveneens door de waarnemingen wordt bevestigd, alzoo hier dw
den teruggang van de lijn der nachteveningen en de de verandering voor-
stelt, die de schuinsheid der gezegde ecliptica ondergaat. Buitendien leeren
die waarnemingen, dat d‚w en do, althans voor een zeer ruim tijdsverloop en
gerekend op de vaste ecliptica, nagenoeg standvastig zijn. Laat men dus
de termen, die ten opzigte van deze reeds zeer kleine grootheden van de
tweede orde zijn, buiten berekening, dan mag men stellen:

dyp=di =dwyde=0, d*y=0, d?0=0,
Uit de vergelijkingen (7) volgt dan :
dp — Sin. 9 Cos. p d‚p dp + Sin. p dp do,
dg —— Sin. 9 Sin. o dp d‚w + Cos. p dp df,
en
pr ==n Sin. 0 Sin. p d‚y — n Cos. p df,
qr == n Sin. 9 Cos. pdw + n Sin. p d0;
dit in de twee eerste (6) overbrengende, in aanmerking nemende dat
dw (dp — n) — Cos.Id,p* =0, dA(dp —n) —= Cos. Ady do —=0
is, verkrijgt men:
C nu Sin. 6 Cos. g dp + Cn Sin. p dl =P,
— Cn Sin. 9 Sin. p dw + Cn Cos.e dd =Q,
waaruit :

1
1 op) PS. + A00. | ite Blerk WALE ot Ait (8)
Cn Sin. 9
Brengt men in deze formulen voor P en Q hare waarden wit (4), daarbij
m aanmerking nemende dat A= B is, en stelt men kortheidshalve
3L(C — A)
Cn

dw = Pe Cos.p—Q Sina)

EPE AA ee TEN

dan worden zij:

D
A er Ee zh Ne veele bense E ier COD)
duy= D 3 C Sin.g);
TNG 7 (B Cos.y Ha Sin.g);

waarin «, geny de coördinaten zijn van het zwaartepunt van het aantrekkende
ligchaam, ten opzigte van de hoofdassen der aarde. Zijn v‚ y en z de coördi-
naten van dat punt ten opzigte van de vaste assen, waarvan er twee in
het vaste vlak liggen, dat op zeker tijdstip overeenkwam met het vlak der
ecliptica, terwijl de oz as loodregt op dat vlak staat en naar de zijde van de
noordpool der aarde is gerigt, dan heeft men volgens de bekende formulen
voor de verandering van coördinaten:
e=—=r(Cos.9 Sin. w Sin. pt Cos. w Cos. p) Hy (Cos.5 Cos. w Sin. p— Sin. w Cos, p) — z Sin. 9 Sin. p,
B=z(Cos. 9 Sin. w Cos. — Cosy Sin. q) Hy (Cos. Cos. p Cos. g+ Sin. w Sin. p) — z Sin. 9 Cos. r,
y=z Sin. 9 Sin. w + y Sin. 9 Cos. + 2 Cos. B,
waaruit volgt:

B Sin. p — a Cos. p= — xv Cosy + y Sin. pw,
B Cos. p + a Sin. p — Cos. Sin. p + y Cos. Cos. py — z Sin. 0;

is verder ò' de projectie op het zy vlak van den verstraal ò van het
aantrekkende punt, en v’ de lengte van dat punt, gerekend in gezegd vlak
van de as der z af aan, dan heeft men:

zr — ò' Cos. v', y= ò' Sin.v!,

waardoor men verkrijgt:

B Sin. p — a Cos. p = — Ù' Cos. (v' + w),
B Cos.p Ha Sin. p= _ Ò' Cos.6 Sin. (w' + w) — 2 Sin, 9,
y= _Ò'Sin.o Sin. (v' + w) + 2 Cos.9,
en dus, dit mm (10) overbrengende :
D
dô = rl ò'2 Sin. 0 Sin. 2 (v' Hw) H Ò'z Cos. Cos. w' + vw) | CAERE ()
Df WERO NNT 2 / 3 / Cos. 26 .
dp = 5 Ik Sin? (v! + wp) — 22] Coso + À'z Sin. (wv Hv) Sin |

Men heeft echter als s de breedte voorstelt van het aantrekkende punt,
en die breedte zoo gering is, dat hare derde magten buiten berekening
kunnen blijven:

22 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

d'=d(l Hs°)i=Ö (lls?), zede,
en dus ook

Ò'z=dis, OA (ISR

ee do p d
waardoor men verkrijgt, voor dô en d‚p nu rs Er schrijvende:

ls? )
di=—iD WSS (v' Hw) + 5 Cos, 9 Cos. (v' + w) bar, er (12)
l—_3s? 1—s? Us Cos. 29
dy} | Er — erf Cos. 2 (v' + w) | Cos. 0 + ri Sin. (v' 4-4) Gin 6 | dt.

Verder heeft men uit de theorie der elliptische beweging, als a de halve
groote as der elliptische baan, e de excentriciteit, mt +e, de middelbare
lengte van het aantrekkende punt in zijne baan, @ de lengte van het pe-
rigeum, l de lengte van den klimmenden knoop, en @ de helling der
baan op de vaste ecliptica voorstellen, wanneer men de termen, die ten op-
zigte van de zeer kleine grootheden % en e van de derde orde zijn, buiten
rekening laat:

Ò —=all 4 He? —e Cos. (mt + e—w) —te? Cos. 2 (mt 4 €—)]
v=mttefZe Sin. (mt He — ww) Hie? Sin. U (mite —w) —} A? Sin, 2 (mt Hel)

s == Â Sin. (mt 4 e—l) HÀe(...... )5
dus als men

v—=mt dede
stelt:

Sin.o=o=2esSin. (mt Je—w) + 3e? Sin. 2 (mt He —o)— HM? Sin. U(mt +e—l),
Cos.c=l— jat =l—e? He? Cos. U(mt Het),
Sin. Zo Zo de Sin. (mt d e—w) Hie? Sin. 2 (mt + E—w) AM? Sin. (mt Hel),
Cos.2a=l 2e? =de? 4 4e? Cos. 2 (mt He — 0);
waaruit verder volgt:
Ò-3=a3[l Hie? + 3e Cos. (mt + e—w) + Fe? Cos. 2 (mt H e—W)],
ls? =l—iA? H&A? Cos. 2 (mt Hel),
1—3s* 1 £A2 HEA Cos. (mt He —l);

TA
5 2 ad liet A2 43e Cos. (mtte- a) Fe? Cos.U(mt He) HA? Co8,2 (m tHe—l)]

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 25

ls?
De =—=a3[l Hier ihk... ]
nente Belt 176? Cos. 2(mt LA? Cos.2 (nttel)
je C0s-to—a [liet —}A?3elos.(mtte—w) He? Cos. UmtHe—) 4} Â* Cos.2(mttel)]
ls? ° . Ad
Te Sinte a3 [4e Sin. (mt 4e—w) + LT e? Sin. 2 (mt Jew) — À* Sin (mt + e—l)]
s
Te a3Â[ Sin, (mt He —l) 4 3e Sin. (mt + e —l) Cos. (mt J £—w)]
s s
Fr Cos. 5 —= Er

s Ce en Ye n
re Sin.o = as de. 2 Sin. (mt 4 € — U) Sin. (mt 4 € — w).

Nu is

—s ls? 5
Sin. 2 (' dy) = an (Sin. 2 (mt Het) Cos. 2 6 H Cos2 (mt He J-w) Sin. Zo

Ò3

als men hier in de waarden van den eersten factor, van Cos. 25 en Sin. 25
overbrengt: de producten van sinussen en cosinussen tot sommen en ver-
schillen herleidt, en van de periodieke termen, die het argument mt te
hebben, alleen die behoudt, welke noch 4 noch e tot factor hebben, omdat
die termen na de integratie den factor mm in den noemer krijgen, dan blijft
er van den eersten term alleen
Sin. Amt Hed u) + LT e? Sin. (yr 4) + 44° Sin. Uw HD),
en van den laatsten term slechts
— Le? Sin. (w F0) + HA Sin. Up HD);
zoodat dan:
ls? ‚ $
re Sin 2w'J-w) —=aT3[ Sin. (mt He Hw) 1 À2 Sin, 2 (w Al)
wordt.
Even zoo is
2e 28 } à
ET Cos. + w) Tr {Cos.(mt He + w) Cos. a — Sin. (mt + € + w) Sin.o} ,
waarvan op dezelfde wijze gevonden wordt, dat de tweede term geheel en
al buiten rekening blijft, terwijl de eerste alleen geeft

24 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

0

en Cos. (v° +) = — aT3Â Sin. (w + U).
Verder is
es

53

2 er!
- Cos. 2 (w'H- yi) = nt U(mt He +) Cos. 2 5 — Sin, L(mlHe Hp) Sin.20},
8:

waarvan de eerste term zich herleidt tot
Oos. U (mt + edw)t Le? Cos. 2 (wt Hw) + FA? Cos. Uy HU),
en de tweede tot
LT €} Cos. 2 (w Hw) — } A? Cos. 2 (wl),
zoodat
Iz 2
EE Cos. 2 (v' + w) — ar3 (Oos. 2 (m tte dy) 4 A? Cos. 2 (wt-l)}
wordt.
Eindelijk vindt men nog

2
eN Sin. (v' + w) = a-3 Â Cos. (w + U).
{
Door substitutie van al die waardne in (12) verkrijgt men dan:

d5 zn — [Sin U (mt Heu) 442 Sin. 2 (wl)] Sin.0 Hà Sin. (wl) Cos. ol . (13)
Cos. 2 6

Sin. 0

Dm gn [Ate — BAE) Cot HAC (u

— [Cos.2 (mt + e+ w) + zÀ Cos. 2 (wp +-1)] Oos |

Het verdient opmerking, dat uit deze formulen de lengte w van het pe-
rigeum verdwenen is. Men kan nu nog in dezelve, even als zulks bij
Poisson geschiedt, in plaats van de helling X op de vaste ecliptica, de
helling 4 op de beweeglijke invoeren, welke laatste voor de maan nagenoeg
onveranderlijk is.

“Is namelijk 4, de lengte van den klimmenden knoop der zon op de vaste
ecliptica, Az de helling van hare baan, en neemt men in het vlak der
baan van de maan een punt, dat op de eenheid van afstand van de aarde
is verwijderd, en waarvan v de lengte is op de vaste ecliptica, dan zijn, met
dezelfde naauwkeurigheid van benadermg als in de voorgaande berekeningen,

À Sin. v —l) en À/ Sin, (vl)
de afstanden van dat punt tot aan de vaste en de beweegbare ecliptica,

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 25

welke afstanden gerekend kunnen worden langs elkander te vallen; het ge-
deelte van die loodlijn, dat tusschen beide ecliptica ligt, zal dan tot waarde
hebben

15m vl),
en daar dit gedeelte gelijk is aan het verschil der beide voorgaande af-
standen zal dus
h,Sin. wv —l) = (A —À') Sin, v—l)

moeten zijn voor alle waarden van v. Stelt men hierin achtervolgends v — Ò
en v —= 90°, dan vindt men de beide betrekkingen:

À Sin.l —= À'Sin.l + À, Sin.l,,

À Cos.l = N' Cos. l + A, Cos. l;

als men nu, wegens de geringe waarde van 4, en daar reeds 2 niet groot
is, 22, en het product à, 4, buiten berekening laat, dan vindt men door de
som der vierk. van de laatste vergelijkingen te nemen:

An

en verder:
À Sin. (w + U) = N' Sin. (w + U) + A, Sin. (w + l.),
% Cos. (w +1) = N Cos. (w +1) + A, Cos. (w + l.);

zoodat men door substitutie dezer waarden in de formulen (15) verkrijgt:
D
de = DT Ín, Sin. (w + Le) 4 N' Sin. (w + U] Cos. 0

EWE Sin (DH Sin (nt HF Sin) dt REN)

D ín Be 8 1/2 G vC ] Cos. 20
Za? u minnie Ed ] Cos.9 + [Àz ‚08, (w +1) zin os. (w + )] Sin.9

— [1A'* Cos. Uy HI) + Cos. 2 (mt He + 4] Cos. dl dt

De overeenkomst van deze formulen met die van Poisson valt in het
oog, als men in aanmerking neemt, dat elk derzelve uit de som van
twee deelen bestaat, welke men verkrijgt, door daarin voor D en de ove-
rige grootheden achtervolgends de waarden te substituëeren, welke op de

zon en de maan betrekking hebben. Stelt men dan de verhouding van de
38
NATUURK. VERII. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL V.

26 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN

werking der maan tot die der zon door w voor, dan kunnen zij onder den-
zelfden vorm geschreven worden. Er is alleen dit verschil, dat in plaats van

YC—A—-B. C—
den factor ai na hier de factor

À ,
gevonden wordt; het verschil

tusschen A en B is echter zoo gering, dat dit geen invloed op de getallen-
waarden der formulen kan hebben, en de twee factoren als dezelfde be-
schouwd mogen worden, terwijl ook later Porsson bij eene berekening, in
dien factor, A = B neemt.

di

Uit de formulen (14), welke betrekking hebben op de vaste ecliptica, kan
men nu een ander stelsel vinden, dat, hoewel met een geringeren graad van
benadering, toch vrij naauwkeurig de beweging van de aarde om haar
zwaartepunt voorstelt.

Voor de zon mag men in de waarde van L (5), M':M + M’— 1 nemen,
omdat de massa M der aarde zeer gering is in vergelijking van die der zon;
stelt men de massa der aarde gelijk aan @ maal die der maan, dan heeft men
voor de zon en voor de maan, als men bij deze laatste de overeenkomstige
grootheden door accenten aanduidt:

Dre (CA) tn hed GE)
Cn 4 EE Cn
Verder is voor de zon de helling der baan op de beweeglijke ecliptica
1/= 0; verwaarloost men dan de helling 2 van de beweeglijke op de vaste
ecliptica, en de periodieke termen, in wier argument de coëfficient m der
middelbare beweging in de baan voorkomt, en voor de maan nog de periodieke
termen, die met de tweede magt van de helling 4 op de beweeglijke eclip-
tica zijn vermenigvuldigd, dan zijn de formulen, welke de werking der zon
zullen geven:
Ee nge Gn Een essent er, Mr (15)

en die, welke de werking der maan bepalen:
Ennn 3m? (C— A) Cos.6
2(L +w)Cn

ZEN 2 N Cos. 26
Wa (le) Cn [are — at) Catt rg Cos +] dt;

V' Sin. (y + U). dt,

ll

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. =

zoodat men voor de gezamentlijke werking van die hemelligchamen heeft:
do =de, +dos, , dy=dy, dy. :

In deze formulen is 4 eene standvastige: l, de lengte van den knoop der
maan, eene functie van den tijd: en wel, als k de nagenoeg eenparige snel-
heid voorstelt waarmede die lengte afneemt, dan heeft men:

l=—ktte,

« zekere standvastige zijnde. Bij het integreeren derzelve mag men vooreerst,
wegens de zeer kleine veranderingen van de schuinsheid der ecliptica, het-
geen ook door de periodieke waarde van do, wordt aangeduid, den hoek 9 in
het tweede lid standvastig stellen, en daarvoor nemen eene waarde #, die
tusschen het maximum en het minimum van dezen hoek ligt. Ook mag men,
als de formulen over geen al te groot tijdsverloop worden uitgestrekt, de
waarde van w in het tweede lid als eene standvastige beschouwen. Neemt
men de aanvankelijke waarde van w=0, zoo verdwijnt deze hoek uit de
tweede leden, en de waarde van w, die men nu door de integratie verkrijgt,
geeft dan de verplaatsing van de lijn der nachteveningen langs de vaste
ecliptica.
Men vindt aldus door integratie der vergelijkingen (15):
Sm? (C — A) Cos. g!
2Cn

Br — Consts, Uy =

(ORTE et er (LNG

3 C zE » Cos. (— kt He)
0, — Const. 4 - TTE

2(1 Hw) Cn k ï

8m’? (C— A)
Tr alen

96}! Á
[a Be? — 312) Cos 0. t— kn AE Get el
waaruit blijkt, dat de zon alleen geene merkbare verandering in de schuins-
heid der ecliptica kan voortbrengen; en, dat de lijn der nachteveningen zich
in teruggaande rigting beweegt, omdat w geteld wordt in de tegengestelde
rigting van de jaarlijksche beweging, en altijd eene positieve waarde heeft,
dewijl de term, die evenredig is aan den tijd, altijd grooter is dan de perio-
dieke term.

Om de naauwkeurigheid van die formulen aan te toonen, zullen wij met
dezelve den jaarlijkschen teruggang van de lijn der nachteveningen bereke-

nen, waarvoor de waarnemingen op andere verschijnselen de noodige getal-
38

28 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT,

lenwaarden opleveren. Wij onderstellen daarbij, volgens de Mécanique cé-
leste, Livre XI, no. 5,

C—A

RR: 0.00326 , Log. 0.00326 == 7.5132176 —10,
welke grootheid afhankelijk is van de gedaante der aarde en de wet van
hare digtheid.

Laat dan het jultaansche jaar, dat zeer weinig van het sterrejaar verschilt,

en 365,25 middelbare zonnedagen bevat, voor éénheid van tijd aangenomen
worden, dan is in deze tijdseenheid:

m == 860° == 1296000, Log. m = 6.1126050,

en
D= SE XxX 1296000", Log. m' — 1.2386986
27.821 à

365.25
“_ _6793.29

omdat de siderale omloopstijd der maan nagenoeg 27,521, en die van de lijn
van hare knoopen 6795,29 middelbare zonnedagen bedraagt. Daar verder de
sterredag 86164,1 secunden middelbare zonnetijd heeft, en in dien tijd de
aarde één maal om hare as wentelt, zoo is in de aangenomene tijdseenheid

365.25 X 24 X 60 X 60
Zo ‚n =— 6,6763825.
n EE X 1296000”, Log.n =— 8,6763825

X 1296000", Log. k = 4,8431150,

De gemiddelde helling van de baan der maan op de beweeglijke ecliptica is :
N= 5°8'41"9 — 18527"9 Log. A' == 42678262.

Verder nemen wij de gemiddelde schuinsheid der ecliptica

0 — 23 27'80” Log. Cos, 6' == 9.9625350 — 10;
de massa der aarde gelijk aan 81 maal die der maan, dus
w=—= 81,
en nog voor de beide benoodigde excentriciteiten,
e= 0.0168 €! —= 0.0548,
waaruit dan verder volgt, » in deelen van den straal overbrengende,
14 3e? =1.0004234, Log. (1 4 }e*) = 0.0001838,

13e? —31? =0.9924015, Log.(l 4 Fe? 3 — A?) —=9.9966874—10;

EN DE BEWEGING DER AARDE OM HAAR ZWAARTEPUNT. 23

zoodat men verkrijgt, voor de werking der zon:

pw, =15’87,
en voor die der maan, als men alleen den term neemt, die met den tijd aan-
groeit:

wa — 34"33;
men vindt dus voor den totalen teruggang van de lijn der nachteveningen m
één jaar,

p= 5020,

hetgeen vrij naauwkeurig met de waarnemingen overeenkomt.

Voor het maximum der periodieke verandering van de helling der vaste
ecliptica, dat is voor de nutatie der aardas, Cos. (—kt +e)= 1 stellende ,
vindt men:

920,
terwijl de waarnemingen daarvoor 9”65 geven.

Uit de onveranderlijkheid der aardrijkskundige breedten volgt, dat de po-
len der aarde niet merkbaar over haar oppervlak verplaatst worden; hierop
waren de voorgaande beschouwingen gegrond. Dus wordt ook de as van om-
wenteling niet merkbaar in het ligchaam der aarde verplaatst, en kan men
de hoofdas van haar grootste moment van traagheid als de ware as van om-
wenteling beschouwen. In dat geval volgt uit de formulen (16), dat de he-
weging van die as, ten opzigte van eene vaste ecliptica, door de volgende
vergelijkingen is bepaald:

w=pt—aSin (—ktHe), o=0 HbClos(—ktHe), - - (li)
waarin p‚9', a en b standvastig zijn, en

a Cos. 2 6'
EAV EO Eee Tartt (18)
b _Sin.9'Cos.6'
is; dus ziet men, dat de ware omwentelings-as periodiek te zamen valt met
eene gemiddelde as, wier beweging voorgesteld wordt door:

wept, 9 —= 0' —= Const,
en die dus met eene eenparige snelheid een regt cirkelvormig kegelvlak be-
schrijft om de as der ecliptica, in de tegengestelde rigting van de jaarlijk-
sche beweging. Beschrijft men om het zwaartepunt der aarde een bolvormig
oppervlak, en noemt men de doorsnijdingspunten der assen met dit vlak de
polen van die assen, dan is de zeer kleine hoek, welke begrepen is tusschen

30 OVER DE DRAAIJENDE BEWEGING VAN EEN LIGIAAM OM EEN VAST PUNT, ENZ.

de bogen, die de pool der ecliptica met de ware en gemiddelde pool ver-
eenigen, gelijk aan a Sin. (—kt He), blijkens de eerste vergelijking (17), die
ook aanwijst, dat die hoek geteld moet worden in de tegengestelde rigting
van w‚, dus in de tegengestelde rigting van de beweging der gemiddelde
pool, Het zeer kleine boogje, dat uit de ware pool loodregt wordt getrokken
op den boog, die de pool der ecliptica met de gemiddelde pool vereenigt
is, met weglating der grootheden van de derde orde, a Sin. (—kht + «) X Sin. 6’;
en, de afstand van de gemiddelde pool tot aan het voetpunt van dat boogje
is, op dezelfde wijze, gelijk aan het verschil der boogen, die het genoemde
kleine hoekje insluiten, dus gelijk b Cos. (—kt + «), blijkens de tweede ver-
gelijking (17).
ev =bCos (—kt He) en y=—=a Sin. (—kt + e) X Sin. 6'

zijn dus twee spherische onderling loodregte coördinaten, waarvan de oor-
sprong in de gemiddelde pool ligt, terwijl de eerste geteld wordt langs den
boog, die elk oogenblik de gemiddelde pool met de pool der ecliptica ver-
cenigt, en de tweede loodregt op die rigting. Daar nu uit dezelve volgt:

a y.

b: a? En 0! Ti
en uit (18), omdat #' een scherpe hoek is: b > a Sin. 9', zoo toont deze ver-
gelijking aan, dat de ware pool om de gemiddelde pool als middelpunt eene
ellips beschrijft, wier groote as naar de pool der ecliptica is gerigt. Zij be-
weegt zich, langs die ellips, in de tegengestelde rigting van de beweging
der gemiddelde pool, om de pool der ecliptica, en hare periode is dezelfde
als die van den hoek — kt ts, welke telkens als de knooplijn der maan
eene omwenteling heeft volbragt, met 560° is aangegroeid, zoodat gezegde
periode ongeveer 18% jaar bedraagt.

Men moet wel in aanmerking nemen, dat de voorgaande beschouwingen
alleen betrekking hebben op de ware beweging van de aarde om haar zwaar-
tepunt, en niet op de schijnbare beweging, welke ontstaat met de verplaat-
sing van het vlak der ecliptica, door de onderlinge aantrekking ook der ove=
rige hemelligchamen.

Q Akademie van Wetenschappen,

57 Amsterdam. Afdeeling voor

A49 de Wis- ne Natuurkundige

d1.5 Wetenschappen
Verhandelingen

Physical &

Applied Sei.

Serials

PLEASE DO NOT REMOVE
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET

UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY

a
G
PTI

Ô

uh)