j 4 LN vb BA AR en, A ple TANN + SET zel st sei ERA BEENS Ee zie tels AA MARGA ri ES westen verg | Le _VERHANDELINGEN. KONINKLIJKE) AKADEMIE WETENSCHAPPEN. LO TEEN DE DEEL MET PLATEN. AMSTERDAM, C. G. VAN DER POST. 1864. EN HOUD TIENDE DEEL. EE N. W. P. RAUWENHOFF. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA Draco L. P. Harting. BiprAGE TOT DE KENNIS DER MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE, NAAR AANLEIDING VAN EENIGE DOOR DIEPZEELOODINGEN VAN 990 ror 4000 VADEMEN UIT DIE ZEE OPGEBRAGTE GRONDEN. D. BIERENS DE Haar. SuperÉmeNt Aux Tagres D'INrécraues DÉrixies, QUI FORMENT LE TOME IV prs MÉuorres DE 1 ACADÉMIE. R. Logarro. MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION POUR LE CALCUL DES Rerrrs VIAGÈRES. G. J. VERDaMm. BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D’AÄLEMBERT, OVER- EENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. ee EE BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO DOOR A. W. P. RAUWENHOEFF. Uitgegeven door de Koninklijke Akademie van Wetenschappen. MET VIJF PLATEN. 6 Ae en AMSTERDAM, C. G. VAN DER POST, 1863. Ed ho MAA velen EVE 5u el bo zet BIJ DRAGEE TOT DE KENNIS VAN DRAGAENA DRAGO L. DOOR A. W.P. RAUWENHOFF. Sedert onheugelijke tijden worden exemplaren van Dracaena in de Akademi- sche kruidtuinen van Europa en in de kassen van vele particulieren gevonden, en aan belangstelling voor dit gewas heeft het niet ontbroken, al ware het alleen om den hoogen ouderdom, dien de plant kan bereiken; maar slechts zelden kan men haar zien bloeijen en het schijnt bovendien, dat diegenen, welke over Dracaena geschreven hebben, niet altijd over bloemen en vruch- ten hebben kunnen beschikken. Althans wanneer men zich bepaalt tot de jongste schrijvers over dit onderwerp, dan vindt men vooreerst bij Görperr (Beiträge zur Kenntnìss der Dracwneen, 1844) de species en varieteiten van Dracaena naauwkeurig onderscheiden naar den vorm der bladen en den ge- heelen habitus, maar van bloemen en vruchten wordt bijna niet gesproken, zoodat ik vermoed, dat Görperr deze niet gezien heeft. Ten anderen zegt Scnacur (Madeira und Teneriffe, 1858), die het vaderland van de Dracaena een geruimen tijd bezocht heeft, dat hij den boom niet heeft zien bloeijen. Ik heb het daarom niet overbodig geacht, om eens opzettelijk de voornaam- ste schrijvers over Dracaena Draco, voor zoover ik die heb kunnen bekomen, na te slaan, nu ik in de gelegenheid was, om de beschrijvingen met de na- tuur te vergelijken, daar een rijzige stam van D. Draco in den Hortus Bota- 1 NATUURK, VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X. 2 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L nicus te Rotterdam in de maand Mei van dit jaar voor het eerst gebloeid heeft. Uit dit onderzoek is mij gebleken, dat een aantal verschijnselen, door vroegere botanisten, vooral door BrerruerLor en Kunt zeer juist waargeno- men zijn, maar dat ten opzigte van sommige bijzonderheden de beschrij vin- gen en afbeeldingen nog wel iets te wenschen overlaten, terwijl aangaande de anatomie van D. Draco niets onderzocht is, dan het merkwaardige maak- sel van den stam, waaromtrent Uneer en pr MirneL het een en ander hebben medegedeeld. Over den hoogen ouderdom, dien deze plant bereiken kan, vooraf een enkel woord. De afmetingen van den beroemden. Drakenbloedboom te Orotava op Teneriffe, welke ons Arex. von Humsorpr in zijne Ansichten der Natur (35° Ausg. Bd. 1. S. 104) medegedeeld heeft, vindt men in de meeste beschrij- vingen van deze plant overgenomen, zoo als b. v. bij Berrueror (Nova Acta Acad. Leop. Carol. Nat. Curiosorum, XIII. p. 781, 1827), bij GöpPerT Beiträge zur Kenntniss der Dracaeneen. Breslau, 1854, S, 4) en bij Scmacur (Madeira und Teneriffe, S. 24). Volgens die opgaven had genoemde boom in 1799, verscheidene voeten boven den wortel, een omtrek van 45 Par. voet en bij den wortel, volgens eene meting van Lr Dru, een omtrek van 74 voet, terwijl de boom zelf niet veel hooger was dan 65 voet… Van den- zelfden boom deelt Scmacur ons eene latere meting mede, in 1845 verrigt (Madeira und Teneriffe, S. 24), volgens welke de boom aan zijne basis eene middellijn van ruim 58 Eng. voet zou bezitten. Deze opgave, aan wier juistheid Scmacar zelf schijnt te twijfelen, strookt echter volstrekt niet met de genoemde van von Hummrorpr. Dezelfde schrijver vermeldt nog een’ an- deren reusachtigen Drakenboom op Teneriffe, die in de geschiedenis van dat eiland niet vermeld schijnt en wiens stam 8 voet boven den grond nog een omtrek heeft van 9 meter. Terwijl de boom te Oratava, door stormen van zijne kruin beroofd en inwendig hol, zijn einde nabij is, heeft de boom te Icos de los Vinos een gezonden stam en eene ongeschonden kroon, met digt opeenstaande takken (t. a. pl. p. 25). Wanneer men nu bedenkt, dat de boomen, die zulk eenen omvang kun- nen verkrijgen, uiterst langzaam groeijen en gemiddeld slechts om de 50 à 50 jaren eene nieuwe vertakking maken, dan volgt hieruit, dat de genoemde planten een tal van eeuwen moeten geleefd hebben, zoodat de overlevering, volgens welke de Dracaena van Orotava in 1402 bij de eerste expeditie der Bérmencourt’s reeds nagenoeg even dik en hol zou geweest zijn als tijdens BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 3 v. Humsouprs bezoek, niets onwaarschijnlijks bevat. Met regt schrijft dan ook BerrueLor, de directeur van den Botanischen tuin te Orotava, in zijne fraaije verhandeling over den beroemden boom: pen comparant les jeunes »Dragonniers, voisins de l'arbre gigantesque, les calculs qu’on fait sur l'âge »de ce dernier, effraient imagination”. /. /. p. 781. Met deze reuzen der plantenwereld kunnen de exemplaren, welke in de Europesche kruidtuinen worden gevonden, zich niet meten. Maar toch be- vinden zich daaronder enkelen, die van den langen levensduur dier boomen getuigen kunnen. Merkwaardig is vooral in dit opzigt een exemplaar van Dracaena Draco, dat in 1759 in Berlijn gebloeid heeft en door GrepirtscuH beschreven, door R. Brarens (de Dracone arbore, 17710) afgebeeld is. Maser gaf later in 1796 nog eene uitvoeriger beschrijving hiervan (Mám. sur larbre du sang Dracon in Mém. de VAcad. royale de Berlin, 17196). Deze boom, toen reeds 57 voet hoog, en afkomstig van den Groot-keur- vorst, die hem van de Prinses van Oranje ten geschenke had ontvangen, moet, zoo hij thans nog in leven is (wat mij onbekend is), minstens 200 jaar oud zijn *, Een dergelijke Dracaena Draco heeft echter volgens BerrreLor eerst het tweede tijdperk zijns levens bereikt. Volgens hem kan men bij deze species drie levensperioden onderscheiden. In het Aste tijdperk, de jeugd, bestaat de drakenbloedboom uit een regten, cylindrischen, onverdeelden stam, aan zijn boveneinde met een kroon van bladeren voorzien. Aan den stam zijn dan zeer duidelijke halfringvormige lidteekenen van de aanhechtingspunten der afgevallen bladeren zigtbaar, die vooral aan het bovenste of jongste ge- deelte een steenrood, schubachtig voorkomen geven. Deze leeftijd kan kort, maar ook somwijlen zeer lang duren en de boom bereikt dan bijna zijne gansche hoogte, alvorens te bloeijen. Scmacur zag te St®-Cruz een achtja- rigen, uit zaad verkregen Dracaena Draco, die 8 voet hoog was en reeds voor de.eerste maal bloeide, terwijl zij in den regel in hun vaderland 20 voet hoog worden en 50 en meer jaren oud zijn, alvorens te bloeijen. In de Euro- pesche kassen wordt die tijdsruimte door langzamer groei nog veel grooter. Het tweede tijdperk, dat Berruevor met de viriliteit bij het menschelijk * Zie hierover Görperr in Regenb. Flora, 1853, S. 395, aan wien ik de genoemde bijzonderheid ontleend heb. 1* 1 4 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. geslacht vergelijkt, vangt aan, wanneer de boom bloem en vrucht voortbrengt, en duurt voort, zoolang de plant krachtig groeijen kan. De schors verkrijgt nu, vooral onder aan den stam, een meer leder- en korstachtig voorkomen en de lidteekenen van de afgevallen bladeren zijn verdwenen. Uit den top der as verheft zich de bloempluim, die eenigen tijd, nadat de vruchten rijp zijn geworden, afvalt, waarna zijdelings van de inplanting der bloemas, aan den top van den stam 2, 5 en meer spruiten ontstaan, die, elk met eene kroon van bladeren voorzien, tot takken worden en nu een grooter of kleiner aan- tal jaren blijven voortgroeijen, even als de stam in zijne jeugd, om dan, ge- lijk vroeger de hoofdas, te bloeijen en vervolgens zich in nieuwe takken te verdeelen, die na korter of-langer tijd hetzelfde proces zullen herhalen. Het derde levenstijdperk is de ouderdom. De schubben, die de schors van den stam en van de hoofdtakken vormen, worden dan steeds dikker en breeder. Tevens ontstaan dan soms luchtwortels, parasitische dracaena’s en wratachtige gezwellen, van welke merkwaardige verschijnselen BerrueLor de beschrijving en afbeelding geeft. Wat de luchtwortels betreft, zoo moet ik echter opmerken, dat deze niet altijd alleen aan den ouderdom der plant eigen zijn. Althans ik zag in den Hortus Botanicus te Leiden bij eene krach- tige plant van Dracaena Draco, 12 à 15 voet hoog, wier stam eens gebloeid en zich in drie takken verdeeld had, een minstens 5 centim. dikken en 1 centim. langen luchtwortel uit het midden van den stam gevormd. Evenzoo vertoont een ex. van Dr. Boerhaavii in den Kruidtuin te Utrecht, met nog onverdeelden stam, luchtwortels in ruimen getale aan den voet van de as, maar ook enkelen op het midden van den stam. Het is bovendien bekend, dat bij deze soort van planten, verwondingen soms aanleiding tot de vorming van luchtwortels kunnen geven, gelijk bij onze inlandsche Di- eotyledonen abnormale toestanden adventiefknoppen en wortels kunnen te voorschijn roepen. Bij de in de onderscheiden tuinen onder den naam van Dracaena Draco gekweekte planten heeft men, ten opzigte van den vorm en de grootte der bladeren, reeds vroeg eenige verschillen opgemerkt, zoodat de door onder- scheidene botanici gegeven beschrijvingen niet volkomen overeenstemmen. Terwijl nu vroegere auteurs die beschrijvingen eenvoudig overnamen en naast BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 5 elkander plaatsten, heeft Harre * daaruit aanleiding genomen om de species te splitsen in drie onderafdeelingen, als: a. strictifolia, 8. lavifolia, 7. pendu- lifolia. Het verschil tusschen de beide eersten scheen hem zoo aanzienlijk, dat misschien eene nadere beschouwing wel regt zou kunnen geven, om daarvan eene afzonderlijke soort te maken. Tot de eerste afdeeling a. stric- tifolia brengt hij de afbeeldingen van Cruusrus (1601), van BracKwELL en van VanpeLLIj tot 8. lavifolia, de afbeeldingen van Grantz (de duabus Dracaen. arbor.) en van Beurens (de Dracone arbore Clusii, 1710) ; eindelijk tot 7. pendulifolia, eene andere afbeelding van CrANtTz en Boermaavir Index alt. plant. hort. Lugdun. T. 1, p. 169. Met welk regt Harre deze ver- deeling gemaakt heeft, kan men uiteengezet vinden door Göpperr in Regensb, Flora, 1855, S. 594 en Beiträge zur Kenntniss der Dracaeneen, S. 6 en volgg. Görrerr sluit zich aan de onderscheiding, die Trrorr, de Directeur van den Napelschen plantentuin, twee jaren vóór Harre gemaakt heeft, en vol- gens welke onder den ouden naam van Dracaena Draco twee afzonderlijke species begrepen zijn, namelijk ééne met stijve, regt uitstaande kortere bla- den (Dracaena Draco L.) en ééne met langere, slappe, afhangende en on- gewapende bladen, door hem Dracaena Boerhaavii Tenore genoemd. De eerste species komt overeen met a. strictifolia; onder de tweede of D. Boerhaavit zijn begrepen #. laxifolia en 7. pendulifolia van Hayne en evenzoo eene vierde varieteit ò. angustifolia, door Römer en Scnuures aangenomen. Van beide species geeft nu Görprperr de volgende diagnosen: Dracaena Draco L. ex parte. Dr. arborea; apice ramosa, foliis sessilibus, semiamplexicaulibus linearibus, apiceem versus sensim attenuatis, apice ipso canaliculatis spinescentibus pla- nis, inferioribus arcuatim dependentibus, mediis patentibus, summis erectis; paniculis terminalibus ramosis foliaceo-bracteatis (ramis ternis patentissimis, floribus quaternis et quinis). Draco arbor Crustus, hist. pl. rar., 1. 4. p. 1. c. icone. Baun., Pinaz, p. 505. Brackw., herb, T. 558. Arbor Draconis, Draco * Getreue Darstellung u. Beschreib. der in der Arzneykunde gebräuchl. Gewächse. Bd. IX, T. 2. Berlin, 1825. x 6 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L: Yueccaeformis vel Dracaena. VanpeLrr, Dissert. in zaage Script. de plant. Hisp. Lusit. Bras, p. 57. T. 2. a. b. Stoerkia Draco CraNtz, de duab. Dracon. aki: pe MAaT dB Arbor Draconis latifolia Hortulan. fide Crantzii, p. 21. Yucca Draconis Horer, Amoenit. Acad. Linn, IL. p. 407. Ásparagus? Draco Linn., sp. pl, edit. 2. T. 1. p. 451. Dracaena Draco Linn, Syst. Nat, edit. 12. Il. p. 246. Wiro, sp., pl. II. p. 155. Haw., pl. succ., p. 50. Ej., syn. p. 67. Lam, Ene. Meth, IL, p. 325. Daum., Diss. praes. Thunb., p. 5. Grepirscu in Act. Acad. Scient. Berol; Brurens, Dissert.…, Götting. 1770. p. 56. T. 1, 2, 5. Maser in Món. de Acad. Royale de Berlin 1196 et Berlin 1799, p. 29—44 avec pl., Berrueror in Nova Act. Acad. Caes. Leop. Car. Nat. Cur., XIII. 2. (niet XV) p. 775. T. 55—59. Dracaena Draco, « strictifolia et # laxifolia Harse, Getreue Darst…, IX, T. 2. Röm. et Scmurr., Syst. veg, T. VIL 4. p. 57. Kunra, Enum, T. V‚, p. 5, waarbij ik nog voeg: Nees v. EsenBeck, Plant. med. Tab. 41 et 42. Dracaena Boerhaavii Tenore. Dr. arborea; apice ramosa, fol. sessilibus semiamplexicaulibus linearibus sensim attenuatis apice canaliculatis spinescentibus junioribus et adultis laxis flaceidis undulatis dependentibus; paniculis terminalibus erectis (floribus sub- campanulatis pedunculis geniculatis longioribus, filamentis medio crassiori- bus). Tenore, Atti della reale Acad. delle Science di Napoli, T. 5, p. 57 tav. 5, Ej., fl. neap. prodr. App. IV. Catal. del real orto botanico di Napoli, 1845, p. 85. Cordyline fol. inermibus, integerrimis, flaccidis. Royeni Lugd. Bat. p. 22. Palma foliis longissimis pendulis e caudice glabro enatis. Boerhaav. Lugd. Bat, 2. p. 160. Oedera dragonalis GrANTz. U. c. p. 50, F. 5. Arbor Draconis angustifolia Hortul. fide. Crantzii, p. 28. Dracaena Draco penduliformia. Harne, l.c. Römer et Scnuur. Syst., veg, T. VII. 1, p. 558. Kunru, Enum, T. V, p. 5. Dracaena Draco ò angustifolia, JacQ., Fragmenta, 2 p. 4 t, 2 F, 4. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 1 Met deze onderscheiding, die echter door Kurrm en anderen aanvankelijk niet aangenomen is, kan ik mij wel vereenigen. De planten, die ik in de Nederlandsche kruidtuinen gezien heb, schijnen mij toe tot de twee genoemde species terug te brengen te zijn. Maar — en daarom heb ik de diagnose van Göerpert geheel overgenomen — er schijnt in de onderscheidene Horti eene verwisseling der namen te bestaan. Men vindt planten die geheel over- eenkomen met de beschrijving door Görrperr voor Dr. Draco gegeven, ge- doopt met den naam van Dr, Boerhaavii en, omgekeerd, planten als Dr, Draco opgegeven, die door hare langere, smallere en slap afhangende bladeren ken- nelijk tot Dr. Boerhaavii moeten gebragt worden. De plant, die in den Hortus Botanicus te Rotterdam heeft gebloeid, en die de aanleiding is geweest tot dit onderzoek, behoort tot Dracaena Draco L. in den engeren zin. De regte, cylindervormige stam is tot aan de blader- kroon 2.74 met. hoog en van boven tot op een afstand van 1 met. van den grond met roodbruine schubben geteekend door de overgeblevene lidteekenen van vroeger afgevallen bladeren. Onmiddellijk onder de oudste bladeren is de kleur oranjerood. Lager aan den stam, dus in het oudere gedeelte, ziet men eene donkerbruine schors, die op enkele punten gespleten is. ‚De bladeren, die aan den top eene kroon vormen, welke ongeveer 1.2 met. hoog en in horizontale rigting 1.4 met. breed is, zijn stijf en regt. De jongste staan overeind, de middelste staan horizontaal regtuit, de onderste hangen een weinig golfvormig naar den stam gebogen, doch zoodanig, dat de top van alle bladeren nog ver van den stam verwijderd is, daar de lamina van het blad gewoonlijk nog een hoek van 60° ongeveer maakt met de lengteas van den stam. Men ziet dit afgebeeld in onze Pl. I, die den top van den bloeijenden boom op verkleinde schaal voorstelt. Hiermede komen ook het best overeen de figuren bij Maser in Móm. de l' Acad. de Berlin, 1796, Pl. Ll, fig. 1 en bij Görrerr Beiträge, Pl. IL, hoewel bij beiden schijnbaar de onderste bladen meer afhangen, omdat de oudere, reeds verdor- rende, doch nog niet afgevallen bladeren hierbij geteekend en in onze figuur weggelaten zijn. Men kan dit terstond herkennen, wanneer men die afbeel- dingen en onze figuur vergelijkt met de figuur van BerrueLor, l. c. Pl. XXXV. Daarentegen schijnen de teekeningen van Nees v. EsenBeekK, Plantae med. Tab. 41 en 42, en van Gauprcmaup, Voyage de la Bonite (althans zoo men oordeelen mag naar de daaraan ontleende en overigens zoo getrouwe af beel- dingen van ScunizLeins Jconographia, Pl. LV, c, fig. 21, want het werk 8 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. zelf heb ik niet in handen gehad), minder juist te zijn. De eerste laat de bladeren te veel uit één punt aan den stam ontspringen, de tweede geeft eene schets van de bloeijende plant, zoo als ik nergens elders gezien heb. Be- halve nog het aantal paniculae, dat vreemd voorkomt, zijn de afmetingen en de stand der bladeren, even als het aantal takken, dat uit één punt ont- springt, zoo geheel verschillend van alle andere beschrijvingen der plant, dat ik niet nalaten kan te vermoeden, dat de phantasiën van den schrij- ver der Recherches sur Vorganogénie des végétauv ook hier niet afwezig zijn geweest. De bladen van onzen Draco zijn ongesteeld, lijnvormig, stijf, aan de basis vleezig, aan den top langzaam in een punt uitloopende en door het omrollen van de beide bladranden aan de spits daar ter plaatse steviger, zoodat zij door sommige schrijvers spinescentia, door anderen subspinosa genoemd wor- den. Zij zijn echter volstrekt niet stekend, zoo als de bladeren van Yucca- soorten en anderen, waarom ik ze liever met Nees van EsENBECK apice involuto acuminata zou heeten. Aan de basis verbreedt zich het blad aan- zienlijk, terwijl het den stam half omvat; hier wordt het dik en vleezig en tot op 5 centim. afstand van de basis aan de bovenvlakte en 2 centim. aan de ondervlakte, is de groene kleur vervangen door eene bloedroode, die vooral aan de grens van het groen levendig is, en naar de basis toe meer naar het gele overhelt, hoewel niet overal gelijkmatig. De omtrek van het blad en de verbreeding en kleuring aan de basis zijn overigens juist afge- beeld in natuurlijke grootte bij Nees van EsenBeck, U. /., met uitzondering van het bruine gedeelte tusschen rood en groen, dat ik bij onze plant niet zoo gevonden heb. De afscheiding van het rood en groen en de gootvormige omkrulling der bladmassa aan de spits vindt men juist weergegeven bij Ma- JER, U. U, PI. II, fig. 7 en 8. De afmetingen van het volwassen blad zijn de volgende: lengte 64 centim., breedte aan de basis bij de aanhechting aan den stam 10 centim.; op 4 cent. afstand van daar 4 centim., in het midden op de breedste plaats 4.5 cent. - De bladen van jonge planten hebben denzelfden vorm en zijn even stijf, maar gewoonlijk zijn zij ligter groen gekleurd, en aan de basis, ter plaatse waar later de roode oppervlakte begint, eindigen zij in eene witte massa, hier en daar met donker-bloedroode plekken bezet. Bij eene 5 à 4jarige plant vond ik deze afmetingen bij de oudste bladen: lengte 51,5 cent, breedte aan de basis 5 cent, op 5 cent. afstand van daar 2,5 cent., id het shididen 5 cent. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 9 Vergelijkt men hiermede het blad van Dracaena Boerhaavii, dan ziet men een aanzienlijk verschil; het blad is niet alleen slap en neêrhangend, maar ook veel langer en smaller. Een blad afkomstig van eene 5 à 4 voet hooge plant (uit den Leidschen Kruidtuin) gaf mij de volgende cijfers: lengte 80 cent, breedte aan de basis 5 ct., op 5 ct. afstand van daar 1.8 cent, op } der lengte van het blad 2 cent, op £ der lengte 2,5 cent. Bloeiwijze. De genoemde plant heeft in de jongste maanden uit den top der as eene zamengestelde, herhaaldelijk vertakte panicula ontwikkeld, waar- aan een groot aantal kleine bloempjes gezeten waren. Het voorkomen dezer panicula vond ik in geene der mij bekende afbeeldingen volkomen uitgedrukt, waarom ik daarvan eene afteekening op Pl. [ hierbij voeg. De pluim was, even als Maser dit beschrijft, met de hoofdas een weinig naar het zuiden gebogen, en in het algemeen minder lang dan dit op de figuren bij Ber- THELOT en bij Nees vAn EsENBECK is voorgesteld. De as van de panicula, van onderen 5 cent. dik en van boven allengs dunner wordende, draagt op afstanden telkens drie zijtakken, die elk met een hoek van 80° van den top afstaan en elk weder herhaaldelijk op dezelfde wijze vertakt zijn, terwijl dan aan de kleinste takjes de talrijke bloemen gehecht zijn. Onder elk drietal zijtakken aan de hoofdas, bevindt zich eene bladvormige bractea, die geheel gelijkt op de bladeren van Dracaena en evenzoo stijf is en den stengel half omvat, maar slechts hoogstens de helft der grootte van de bladeren bereikt, geene roode vlek aan de basis vertoont en bij het eindigen van het bloeijen bruin wordt en afvalt. Aan de kleinere takjes der panicula zijn tot groe- pen van 5, 4 of 5 vereenigd (en niet, zoo als Maser, PI. 1, fig. 9, afbeeldt, tot 2 of 5 bijeen) de bloemen gehecht, die even als tak en hoofdas ligt geelgroen gekleurd, op gelede steeltjes gezeten en bij elk groepje nog van een klein, lijnvormig, weldra verdorrend schutblaadje voorzien zijn. Men ziet de afbeelding van een der kleinere takjes in natuurlijke grootte op Pl. II, fig 17; in deze takjes loopen de grootere takken uit, die soms 50 à 40 cen- timeters lang zijn én zich herhaaldelijk vertakken. , Hetgeen Scmacurt, die onlangs Madera en Teneriffe, het vaderland van den Drakenboom, geruimen tijd bezocht, doch nooit de levende bloemen der plant gezien heeft (Madeira und Teneriffe, 1859, p. 26), van de bloeiwijze berigt, schijnt mij onjuist toe, en komt noch met mijne waarnemingen noch met de berigten van anderen overeen. De zijtakken der panicula (door hem Traube genoemd) zijn niet, gelijk hij beweert, lang, afhangende en altijd | ten NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X. 10 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. onvertakt. Integendeel, zij vertakken zich veelvuldig en staan stijf uit onder een hoek van 80° met de hoofdas. De bloemen staan ook niet in groepjes van 7—10, maar van 5—5 bijeen, zoo als reeds gezegd is. De orde, waarin de bloemen zich openen, behoort tot de inflorescentia in- definita, zonder geheel regelmatig te zijn vooral bij de eerste bloemen, ter- wijl bovendien van elk groepje de eene bloem na de andere zich ontplooit. Elk der bloempjes is aan de bloeias gehecht door een steeltje, bijna van de lengte der bloem, dat in het midden geleed en knievormig gebogen is; 5 tot 5 zulke steeltjes ontspringen uit één punt der bloeias, van daar dat de bloemen tot het genoemde aantal in groepjes bijeen staan. Ter plaatse van de geleding breekt de bloemsteel zeer gemakkelijk af, en van de talrijke, weldra afvallende bloemen blijft alleen de onderste helft van den bloemsteel aan de as gehecht. Wat de bloemen zelve aangaat, deze zijn door Kunrm over het algemeen juist gedetermineerd, maar de afbeeldingen, die mij daarvan onder de oogen gekomen zijn, drukken nergens de natuur volkomen uit *. In Pl. IL heb ik getracht, zoo getrouw mogelijk de kenteekenen der bloem en harer deelen terug te geven. Het perigonium is buis- of klokvormig en tot over de helft ingesneden in 6 slippen, die in. den knop als dakpannen over elkander gelegd zijn. De slippen zijn langwerpig, alle even groot, bij de geopende bloem omgeslagen; op den rug hebben zij elk een uitpuilenden vaatbundel, waardoor de knop zich als met zes ribben vertoont. (Zie op Pl. II, fig. 5., den knop in natuurlijke grootte en fig. 17 de bovenste bloempjes.) Aan de binnenvlakte hebben zij, vooral ter plaatse waar zij zich ombui- gen, eene geringe gootvormige verdieping. De top der slippen is regelmatig naar binnen omgekruld. (Zie Pl. II, fig. 1 en 2.) Deze slippen openen zich des avonds en sluiten zich weder des morgens wanneer de zon schijnt, zoo als Berrnevor reeds heeft opgemerkt. Kurru heeft naar die beschrijving de bloemen teregt vespertini genoemd (Enum. V. 5). Aan de keel van het perigonium zijn 6 meeldraden ingeplant, die een * Eene der beste afbeeldingen, die ik gezien heb, is de vergroote teekening bij SCHNIZLEIN, Jconographia, Pl, 55 e, fig. 21, maar het buisvormige gedeelte van het perigonium is veel te lang en smal en te groot in verhouding tot de slippen. De figuren van BERTHELOT en van MAJER zijn in dit opzigt gebrekkig. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 1 weinig korter zijn dan de slippen (zie fig. 2). De helmdraden zijn platge- drukt, aan den top smal, naar het midden toe aanmerkelijk breeder, aan de basis bijna even breed als in het midden. Zij staan regt op en wijken dus van boven van de slippen. van het perigonium af‚ waaraan zij gehecht zijn. (Zie Pl. II, fig. 2, 4, en 5). Door het midden loopt één vaatbundel (ûg. 6). De helmknoppen, midden aan de achterzijde aan het zeer korte connectivum gehecht, zijn tweehokkig, langwerpig, van boven rond en in twee lobben ver- deeld, van onder meer puntig en uiteenwijkend. Zij springen met eene overlangsche spleet naar binnen open. De middelmatig groote pollenkorrels zijn, droog gezien, elliptisch met eene overlangsche spleet (zie fig. 8 a); in water opgezwollen, rond en ondoorschijnend (fig. 8 b). De antherae vertoonen als die der overige Liliaceën duidelijke spiraalbanden op de buitenste cel- lenrij (zie fig. 7). Midden in den grond der bloem staat de stamper, die slechts weinig bo- ven de stamina. uitreikt. Het bovenste deel van dezen, de stempel, is drie- lobbig, met ronde, korte lobben (zie fig. 1). De stijl is rolrond, glad, regt, op den top van het ovarium staande en strekt zich uit bijna tot de hoogte, waarop de slippen van het perigonium zich naar buiten omslaan. Het tissu conducteur vormt in het midden van den stijl een gang van drie in het mid- den met elkander communicerende spleten, zoodat men zich den stylus kan denken als uit de vergroeijing van drie stijlen ontstaan. Tegenover elk dezer spleten staat een vaatbundel b (zie fig. 9), die uit het ovarium komt. Het ovarium, dat geheel vrij staat in den grond der bloem, is op de lengtedoor- snede peervormig (zie fig. 10). Van bovenop gezien, vertoont het drie uit- puilende ribben. In het midden is het driehokkig’ en tegenover elk hokje bevinden zich drie vaatbundels (zie fig. 11). Bij een aantal van de eerste bloempjes heb ik het ovarium niet regelma- tig, driehokkig, maar onregelmatig, vier- en vijfhokkig gevonden; deze zijn echter alle geavorteerd. De latere vruchtbare ovaria waren alle normaal ontwikkeld. leder hokje bevat één eitje, onmiddellijk aan den binnensten hoek gehecht en omgekeerd (anatropum). De mikropyle van het ovulum is naar beneden gekeerd (zie fig. LO en 12). Endostomium en exostomium zijn beide duidelijk te herkennen. De onder- linge plaatsing der bloemdeelen kan men eindelijk herkennen uit PL, II, os 12 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L fig. 15, waar een diagram des bloemknops, dwars doorgesneden op de hoogte der antherae, is afgebeeld. Men ziet hieruit, hoe de slippen van het perigo- nium in den knop geplaatst zijn. Van deze in grooten getale gevormde bloempjes valt het meerendeel bij de minste aanraking af en laat dan altijd los bij de geleding van het bloem- steeltje. Een ander deel der bloemen schijnt bevrucht te zijn, althans de stamina verdorren en het ovarium, altijd door het overblijvend perigonium omgeven, neemt aanzienlijk in grootte toe, maar weldra wordt dit roodachtig geel en begint te verrotten, om dan even zoo bij de geringste beweging af te vallen. Slechts een zeer klein gedeelte van de gevormde bloemen ont- wikkelt zich tot vruchten; * zoo zijn van de duizenden bloempjes aan de panicula van onzen Dr. Draco niet meer dan een 50 à 40 tal overgebleven, die beloven zaad te zullen geven. Deze, hoewel aanmerkelijk in omvang toe- genomen, zijn nog levendig groen. De bloemstengel daarentegen is na het bloeijen alras bruin geworden, terwijl de bracteae reeds vroeger zijn afgevallen. Die menigte afvallende bloempjes verzamelt zich in de tusschenruimten tusschen de onderscheiden bladeren en tusschen deze en den bloemstengel. Zij vormen daar edhe compacte massa, die, wanneer zij niet in tijds wordt weg- genomen, alras tot rotting overgaat bij de planten die in kassen staan. In de vrije natuur, waar meer luchtverversching in die tusschenruimten is, zal dit niet zoo ligt plaats hebben, te meer, omdat het grootste deel der afgeval- len bloempjes alras weder daaruit waait. Maar het laat zich goed begrijpen, dat eenigen der rijpe vruchtjes daarin vallende een vochtigen bodem vinden, geschikt om de ontkieming te bevorderen, zoodat men dan verkrijgt hetgeen Berrueror als dragons parasites heeft beschreven, namelijk jonge plantjes, die eenigen tijd op de moederplant leven. Eenigen van deze, door Berrne- Lor in den grond overgebragt, groeiden welig voort (ll. p. 784). Als de vrucht van Dracaena Draco rijp geworden is, vormt zij eene een- zadige (zelden twee- en driezadige, zie Berruevor, p. 778), roodgekleurde. bes van de grootte eener kers, volgens de berigten van Marer, BERTHELOT, Gaupreraup en anderen. Eene dergelijke, hoewel nog groen gekleurde vrucht heeft de Rotterdamsche Dracaena Draco ook voortgebragt. Men vindt daar- * _Om dit te bevorderen, is het wenschelijk de bloemen kunstmatig te bevruchten, door met eene juist geopende bloem over de stempels der andere geopende te strijken, aangezien het pollen van Dracaena Draco even als van vele andere planten uit warmer gewesten in onze kassen niet stuift, _ BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 15 over en over het zaad de noodige bijzonderheden aan het slot van dit opstel. Ten slotte neem ik hier de diagnose van Kurrm over, met eenige wijzi- gingen, die ik daarin’ gebragt en door cursieve letters aangeduid heb. Dracaena Draco. Arborea; apice ramosa; foliis sessilibus, semi-amplexi- caulibus, linearibus, apice subacutis; crasso-subcarnosis; paniculis termina- libus, ramosis, foliaceo-bracteatis; ramis ternis patentissimis; floribus quater- nis vel quinis. Insulae Canarienses. Socotra (Whigt), introducta in India orientali. — Truneus elatus, subeilindrieus, 8—12 pedalis, crassus, apice subdichotomo- ramosus, ramis semiannulari-cicatrisatis, apice foliosis. Folia linearia, apice involuto-acuminata, integerrima, crassa, basi subcarnosa, striata, glabra, ima basi valde dilatata, semi-amplexicaulta, 64 centimelra longa, 4 lata, ima bast 10 lata. Paniculae terminales, ramosae, foliaceo-bracteatae; ramis patentis- sümis, per ternos congestis. Flores quaterni vel quini, pedicellati, polygami, similes floribus Asparagi officinalis; vespertini; pedicellis supra medium articu- latis subreflezis; parte superiore in fructu obconico incrassata. Perigonium tabulosum, persistens, profunde 6 fidum, albo-virescens, intus albidum; laci- nijs oblongis, obtusis, aequalibus uninerviis, nervo ad dorsum fwmescente, tubo duplo longioribus, patentibus vel reflezis apice recurvatis. Stamina 6, fauci perigonii inserla, lacinias longitudine subaequantia. Filamenta linearia, plana, membranacea, uninervia, apice angustata, basim versus vix angustiora. An-. therae biloculares, oblongae, apice bilobae, lobis obtusis, basi sagittato-bifidae, dorso medio affixae, flavae, loculis interne secundum longitudinem dehiscen- tibus. Ovarium liberum, subrotundum, in superiori parte costatum, versus medium triloculare ; ovula in locis solitaria, suboblonga, supra basin latera- liter et immediate affixa, anatropa, adseendentia; exostomio inferne spectante, endostomio ezostomium subaequante. Columna stylina terminalis erecta, cilin- drica, basin versus dilatata, stamina paulbum superans. Stigma trilobum, lobis rotundatis. Bacca globosa irregulariter trisulcata, carnoso-succulenta, plerumque abortu monosperma, flavescens (?) magnitudine cerasi. Semen pendulum, subglobosum, durum. Albumen albido-coriaceum. Embryo anti- tropus, rectus, in azilla seminis basi dilatatus, obtusus. Radicula infera. Truncus fundit humorem gummoso-resinosum, rubrum (sanguinem Draco- nis) in superficie citius indurescentem atro fere colore. 14 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. Aan de bovenstaande morphologische en systematische beschouwingen wensch ik eenige anatomische bijzonderheden vast te knoopen, die het onderzoek van Dracaena Draco mij heeft leeren kennen. Ook uit een anatomisch oogpunt is deze plant belangrijk. fi Wat vooreerst den stam betreft, deze is meermalen onderzocht geworden en heeft steeds de belangstelling der anatomen gewekt, omdat men hier even als bij Yucca en andere boomachtige Liliacëen, als het ware de kenmerken van den mono- en den dicotyledonen-stam vereenigd vindt. Gelijk bekend is, hebben de Aloïneën even als de overige éénlobbige ge- wassen, verspreide en gesloten vaatbundels, die aan den omtrek van den stam bijeen geplaatst zijn. Tevens bezitten zij echter een waren Cam- biumring (of verdikkingsring, zoo als Scnacur het noemt), die bij sommigen over een groot deel, bij Dracaena over den geheelen stam levend blijft en dus mogelijk maakt dat deze zulk eene groote dikte bereikt. Nieuwe deelen worden buiten tegen de bestaande aangelegd en zij zijn dus uitmuntende voorbeelden om Decanpoure’s hypothese van Endogenen en Exogenen te weêrleggen. À De schrijvers, die zich vooral met de anatomie van den stam van Dra- caena Draco hebben bezig gehouden, zijn pe Mirper, die reeds in 1802 bij dien boom eene dubbele groeiwijze onderscheidde (Journ. de Physique de “_fructidor an IX) en die in 1844 een nieuw onderzoek bekend maakte (Ann. des Sc. Nat. 3° Sér. III, p. 521) (1847); Unarr, die in zijne prijsverhande- ling over den Dicotyledonenstam ook over Dracaena vele bijzonderheden me- dedeelt (Ueber den Bau des Dicotyl. Stammes. Petersburg, 1840, p. 54) en Scuacur, die in den laatsten tijd het maaksel van den boom heeft nage- gaan (Anat. und Phys. d. Gew. 1. 529, II, 40). Hoewel in sommige punten de uitkomsten dezer onderzoekers overeenstem= men, zoo wijken zij echter in andere merkelijk van elkander af, Ik was daarom verheugd, door de goedheid van den Hoogl. Mrqveu in de ge- legenheid te zijn, een gedeelte van een onlangs in den Utrechtschen hortus gestorven exemplaar van een volwassen Dracaena Draco te kunnen onderzoe- ken. Deze stam, die zich reeds in drie takken verdeeld had, bezat op een afstand van 15 cent. onder die verdeeling eene middellijn van 11 cent. ; aan de oppervlakte waren de indrukken der bladaanhechting nog duidelijk te zien, maar niet meer rood gekleurd. Op de dwars-doorsnede ziet men ‚den stam grootendeels bestaande uit een net van vaatbundels, van elkander afgeschei- BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 15 den door parenehym. Naar den omtrek toe, hoopen deze vaatbundels zich digter opeen en vormen eindelijk een waren houtring, die uitwendig met een dunwandig parenchymweefsel van jonge cellen (verdikkingsring) en met eene kurklaag bedekt is. De dikte van den houtring met de zeer dunne schors bedraagt op de genoemde hoogte van den stam gemiddeld 7 mm. Dezelfde structuur vindt men ook meer onder aan den stam terug, maar de afmetin- gen zijn eenigzins verschillende, terwijl over het geheel de vaatbundels dik- ker zijn en minder elkander kruisen. Op 20 cent. boven den voet is de middellijn van den stam 8 cent.; oppervlakkig zijn de indrukken van de bladaanhechting verdwenen en men ziet eene gladde lederachtige schors met hier en daar uitzweeting van drakenbloed (waarover nader). Houtring en schorslaag zijn hier echter, niettegenstaande de stam dunner is, veel dikker. Beide lagen zijn in radiale rigting te zamen op de dunste plaats S,op de dikste 15 mm. dik, waarvan aan schors en kurk gemiddeld 5 millim. toekomt. In beide gedeelten, maar nog wel het duidelijkst in het jongere, vindt men: de merkwaardige kruising der vaatbundels terug, zoo als v. Mour, pe Mirner en anderen die bij een aantal Monocotyledonen hebben doen ken- nen. Wanneer men een stuk van den stam van Dracaena op eene drooge plaats nederlegt en later overlangs radiaal doorsnijdt, dan heeft men ook zonder maceratie een fraai beeld van den oop der vaatbundels. Scuacnr heeft dit reeds opgemerkt en ik heb dit verschijnsel, hetwelk ik van Yucca alöefolia reeds kende, bij Dracaena Draco bevestigd gevonden. Van het bin- nenste gedeelte van den houtring ziet men de vaatbundels zeer langzaam meer binnenwaarts loopen (wanneer men namelijk van onder naar boven den loop der vaatbundels vervolgt), en hier en daar zich onderling ver- takkende, maar toch meestal tamelijk evenwijdig aan elkander voortgaan. Wanneer zij aldus iets hooger of lager ongeveer het midden van den stam bereikt hebben, buigen zij zich buitenwaarts om, en gaan nu schuins op- waarts door de jongere binnenwaarts loopende vaatbundels, waarmede zij hier en daar zich vertakken of ten minste eng aaneensluiten, totdat zij aan den houtring genaderd zijn, welke zij dwars doorboren, om in de blade- ren over te gaan, en na het afvallen van deze als bruinroode stippen op de schors achter te blijven. Op eene overlangsche radiale doorsnede vertoont zich dus de stam van Dr. Draco als in Pl. V, fig. 2 is afgebeeld, wanneer men namelijk vooraf de genoemde drooging heeft in het werk gesteld. 16 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. De genoemde vaatbundels, die zich in radiale en tangentiale rigting ver- takken (anastomoseren), bestaan uit een hout- en een schorsligchaam, welk laatste steeds naar buiten gekeerd is. Het schorsligchaam is zamengesteld uit sterk verdikte bastcellen (zie PL, IL, fig. 1 en 2, a), die-op de dwars-doorsnede halvemaanvormig gegroepeerd zijn (fig. 1). Zij zijn zonder intercellulairruimten aaneengevoegd, en hare wan- den, die het licht sterk breken, zijn tot op- zekere diepte met stippelkanalen voorzien. Aan het bastligchaam van den vaatbundel slait zich, naar het centrum van den stam gekeerd, het houtligchaam. Dit bevat aan den bui- tenomtrek van den op de dwars-doorsnede meest cirkelronden of elliptischen vaatbundel, meer of min verdikte houtcellen met stippelkanalen, veel gelij- kende op de bastcellen (PL. III, fig. 2 d). Naar het midden van den vaat- bundel toe treft men een grooter of kleiner aantal vaten aan (zie PL. III, fig. 1 en 2 c). Deze zijn deels spiraalvaten met digt aaneensluitende windingen, deels gestreepte of laddervormige vaten, wier lange horizontale stippels zoo ver doorloopen als het vat met den wand van eene zelfde hout- of vaatcel in _ aanraking is; deels eindelijk gestippelde vaten. Deze laatsten zijn wijd, met tamelijk dikke wanden en hebben regelmatige spleetvormige hofstippels, wier spleten over het geheele vat in dezelfde rigting loopen en dus elkander krui- sen, wanneer bij eene overlangsche doorsnede de twee tegenoverliggende wanden van hetzelfde vat door elkander schemeren. Bij al deze deelen zijn de afmetingen tamelijk groot, gelijk men uit Pl. III, fig. 1 zien kan, die bij eene 150Omalige vergrooting geteekend is. Hetzelfde is het geval met het parenchym, dat de vaatbundels begrenst en uit eivormige cellen bestaat. Hier vindt men sterk lichtbrekende wanden, met een aantal stippels bezet, en bovendien vertoonen zich op de celwanden elliptische kringen, waarbin- nen soms weder stippels schijnen te zijn. Deze laatsten schemeren echter gewoonlijk van den onderliggenden wand door. Waar de cel doorgesneden en slechts een der wanden overgebleven is, daar vertoonen zich geene stjp- pels in de kringen. Hier en daar blijkt het, aan den omtrek in het afge- scheurde stuk, dat deze stippels werkelijke openingen in de cellen zijn, maar somwijlen ook schijnen zij slechts verdunde plaatsen van het celvlies. Misschien is het laatste een overgangstoestand tot het eerste. Eindelijk binnen in den vaatbundel ziet men nog eene groep van kleine langgestrekte, zeer dunwandige cellen, die algemeen onder den naam van cambium als een gedeelte van den vaatbundel worden onderscheiden. Zij BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 17 hebben ook werkelijk het voorkomen van zeer jeugdig te zijn, maar een naauwkeurig onderzoek leert toch, dat dit celweefsel, dat in al de vaatbun- dels, ook in de oudsten die lang hebben opgehouden te groeijen, evenzoo voorkomt, niet als cambium of teeltweefsel mag beschouwd worden. In zeer „dunne overlangsche en dwarse doorsneden bij behoorlijke vergrooting gezien, blijken zij die merkwaardige celvormen te bevatten, die Harrie en v. Mour in den jongsten tijd in het liber der dicotyledone boomen hebben aangewe- zen; het zijn ware Gittercellen, met uiterst fijne stippels op regelmatig over den lengtewand verdeelde plaatsen. Op de dwarssnede zijn zij geheel fijn gestippeld. Dit weefsel wordt van de vaten afgescheiden door eene rij langgestrekte cellen, met iets dikker wand en groote ronde poriën, doch zonder stippels. De genoemde gittercellen nemen nu merkwaardiger wijze niet alleen dezelfde plaatsen in als de gittercellen bij de Dicotyledonen, d. 1. on- middellijk binnen de laag bastbundels, maar ook in scheikundigen zin ver- toonen zij daarmede overeenkomst. Zij zijn namelijk het eenige weefsel van den volwassen vaatbundel, hetwelk door ChloorzinkJdoodkaliumJodium-oplossing blaauw gekleurd wordt. Dat deze cellen niet eerder in haren waren aard herkend zijn, moet wor- den toegeschreven aan de uiterst dunne en doorschijnende wanden, die slechts bij gunstige verlichting en aanzienlijke vergrooting eenige teekening vertoonen, Zelfs nadat ik bij Dracaena de gittercellen had leeren kemnen, heb ik bij Yucca aloefolia, bij Cordyline australis, en bij Asparagus officinalis (de beide eersten in droogen, de laatste plant in verschen toestand) de overeenkomstige cellen wel teruggevonden, maar het is mij nog niet gelukt, de Gitter duide- lijk te zien, hoewel de cellen voor die van Dracaena in grootte niet onder- doen. Ik aarzel echter niet om ook bij die planten, althans bij de twee eersten, de genoemde dunwandige cellen als gittercellen en niet als cambium te beschouwen. Welligt dat een nader onderzoek van de as der Monocotyledonen leeren zal, dat die celvormen algemeener voorkomen en van gewigtiger beteekenis zijn dan men gewoonlijk vermoedt *. Trouwens het blijvend aanwezig zijn * Na het eindigen van mijn onderzoek bespeur ik toevallig, dat v. Monr (Bot. Zeit, 1855, p. 895) bij Asparagus officinalis en bij Tamus Elephantipes in de vaatbuudels reeds dezelfde soort van cellen heeft gevonden, en aan het vermeende cambium van den Monocotyledonen vaatbundel de- zelfde duiding als boven heeft gegeven. Ik maak dus op prioriteit geen aanspraak, waar ik dat cambium met de dunwardige lagen van het liber der Dicotyledonen paralleliseer, maar ik heb het vroeger geschrevene onveranderd gelaten, omdat ik geheel onafhankelijk van v. Monu, tot dezelfde 3 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X. EA 18 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. van cambium, dat geene cellen meer vormt, en op, eene plaats waar geen celgroei meer kan plaats hebben, zoo als binnen in den volwassen monoeot. vaatbundel, komt wij zeer onwaarschijnlijk voor. Secuacur, die erkent, dat dit weefsel geene cellen meer voortbrengt, maar het toch nog cambium blijft noemen (Anat. und Phys, Il, p. 45), beweert, dat het gewis dient voor den sapstroom, die volgens v. Morr in den vaatbundel opstijgt en elders afdaalt. Het is mogelijk dat de genoemde cellen bijzondere diensten verrigten om de sappen in de plant te doen opstijgen, maar het tegendeel is evenzeer mo- gelijk. Bij den tegenwoordigen staat onzer kennis hebben wij, naar ik meen, geen regt, om hierin stellige uitspraak te doen. Alleen maak ik de op- merking, dat indien deze gittercellen het sap moesten opvoeren, zij hier de tegenovergestelde verrigting zouden moeten vervullen als in de Dicotyledonen, alwaar diezelfde gedeelten, volgens v. Monr en anderen, juist voor den zoo- genoemden nederdalenden stroom moeten dienen. Doch keeren wij tot Dracaena terug. De geschetste vaatbundels zijn niet over hunnen geheelen loop gelijk van zamenstelling. In het midden van den stam meer ontwikkeld, schijnen zij, waar zij zich naar buiten ombuigen, eenvoudiger van maaksel te zijn. Unaer heeft dit beschreven en afgebeeld (l. /. Pl. III, fig. 11—16), hoewel zijne figuur 11, die den vaatbundel uit het centrum moet voorstellen, niet juist is. Hij heeft in zijne teekening slechts dikwandige prosenchymcellen aangegeven, terwijl in werkelijkheid daar niet alleen bastcellen, maar ook vaten en hout- cellen aanwezig zijn. Zie onze fig. 1, PI. III. De tot nu toe beschouwde celvormen maken slechts een gedeelte van de as uit. De bundels, in het midden spaarzamer verdeeld en in vele rigtingen elkander kruisende, worden digter opeengehoopt en meer evenwijdig aan. elkander, naarmate men meer den omtrek nadert. Steeds blijven zij echter van elkander gescheiden door parenchymeellen, waarvan de wanden op boven- genoemde wijzen geteekend zijn en waartusschen zich een aantal cellen bevindt met een bundel raphiden bijna geheel gevuld. Deze kristallen treft men aan in alle deelen ‘der plant, maar vooral zijn zij opgehoopt in de schors besluiten ben gekomen. Deze eenstemmigheid met de uitkomsten van den grooten plantenphysioloog geeft mij grooten steun voor de juistheid mijner zienswijze. Misschien kan mijn onderzoek in het oog van anderen ook eene kleine bijdrage geven tot bevestiging van hetgeen v. Mour heeft betoogd. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L 19 en in de ovaria. Hunne plaatsing is echter niet regelmatig in twee rijen langs den vaatbundel, zoo als Mirger dit afbeeldt (Ann. des Sc. nat. 5° Sér. UI, PL. 15, fig. V, d), gelijk over het geheel zijne anatomische afbeeldingen van Draco veel te wenschen overlaten. Onderzoekt men nu het overige deel van den houtring van Dracaena, dan vindt men daarin een groot aantal vaatbundels, die een slingerend verloop hebben (hoewel allen in de rigting der lengteas van de plant zich uitbrei- den), die zich veelvuldig vertakken en slechts door zeer smalle strooken parenchym van elkander gescheiden zijn, zoodat op eene tangentiale over- langsche doorsnede het hout van Dracaena bij geringe vergrooting veel over- eenkomst heeft met eene bicotyledonen houtsoort met breede en groote mergstralen. Het parenchym is daar ook in de rigting van den radius uit- gerekt, of, wil men liever, in peripherische rigting zamengedrukt, doch bestaat overigens uit dezelfde soort van cellen als meer inwendig in den stam. Men ziet die cellen afgebeeld in Pl. III, fig. 5 en 4. Voor de ver- spreiding der vaatbundels en hun slingerend verloop zou ik kunnen verwij- zen naar de afbeelding bij Scmacur (Anat. und Phys, II, p. 41, fig. 105), met dien verstande dat men zich de vaatbundels veel digter opeengehoopt moet denken dan aldaar op de dwars-doorsnede voorgesteld is, terwijl boven- dien de dwars hierdoor loopende centrale vaatbundels ontbreken. Voor onzen Dracaena-stam vindt men dit afgebeeld Pl. V‚, fig. 5 en 4. In tig. 5 de dwars-doorsnede, in fig. 4 het voorkomen bij overl. tangentiale snede. Hier bespeurt men ook duidelijk, hoe de centrale vaatbundels v door de mazen van het net der peripherische bundels loopen, zonder, zoover ik kan nagaan, met deze in gemeenschap te komen. Die vaatbundels zelve echter zijn geheel anders gevormd dan de tot boven beschouwde, zoo als Scmacur reeds met een enkel woord heeft opgemerkt (4. 1.). Niet alleen zijn zij op de dwars-doorsnede elliptisch, terwijl die uit het binnenste van den stam cirkelrond waren, zij bestaan ook uit andere zamenstellende deelen, gelijk men reeds aanstonds zien kan, wanneer men op Pl. II, fig. 5 vergelijkt met fig. 1. De bastbundels zijn verdwenen en evenzoo de spiraal- en gestippelde vaten. In de plaats daarvan ziet men den vaatbundel bijna geheel gevormd uit zeer groote en zeer dikwandige prosenchymecellen, die, op de wijze der houtcellen van Coniferen en Cycadeën, het midden houden tusschen vaten en prosen- chymeellen en evenzoo als die der laatstgenoemden met groote spleetvormige 3% 20 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. hofstippels bedekt zijn. De genoemde spleetvormige stippels zijn tamelijk regelmatig geplaatst in spiralen om den omtrek en loopen over den geheelen - wand in dezelfde rigting, zoodat zij even als de spleetstippels der vaten elkander kruisen, waar twee wanden in de snede boven elkander liggen. Deze groote houtcellen met hare merkwaardige teekeningen ziet men afgebeeld op Pl. II, fig. 4. Omtrent den waren aard dier hofstippels is lang strijd ge- voerd en nog is men het daaromtrent niet eens. Zelfs in de jongste maanden zijn daarover nog stukken verschenen, die eene gewijzigde beschouwing van den aard en het ontstaan der hofstippels doen kennen. Het is hier de plaats niet, om een historisch overzigt te geven van de verschillende meeningen over de hofstippels, in vroeger en later tijd bekend gemaakt, en de titels daarvan te waarderen. Maar eenige opmerkingen over de jongste onderzoe- kingen mogen hier eene plaats vinden, te meer omdat het mikroskopisch en chemisch onderzoek der genoemde vaatbundels van Dracaena Draco mij bij- _zonderheden heeft doen kennen, die in vele opzigten afwijken van hetgeen men gewoonlijk heeft gevonden. Gelijk bekend is, ontstaat volgens v. Mour de hof door het plaatselijk uiteenwijken van den primairen wand van twee aangrenzende cellen, waar- door zich eene lensvormige ruimte vormt, die later met lucht gevuld is. Op deze ruimte loopt door de verdikkingslagen van elke der aangrenzende cellen een stippelkanaal uit. Beide kanalen staan echter niet in open gemeenschap _ met elkander of met de lensvormige ruimte, maar blijven van deze en van elkander door den primairen celwand gescheiden. Geheel verschillend van deze voorstelling is die van Harrie en van Scmacut, die beide meenen, dat de hofstippel nog met een eigen vlies (volgens Scmacur uit zuivere cellulose bestaande) bekleed is (Scracur, Anat. und Phys, 1, 225). In een later opstel heeft Scracur zijne meening in zoo%werre gewijzigd (Bot. Zeit. 1859, p. 258, en uitvoeriger Ann. d. Sc. Nat.), dat hij de hofstippels houdt voor poriën met een verbreeden grond. Aanvankelijk zijn de poriën der aan- grenzende cellen gesloten door een afscheidenden wand, die echter verdwijnt, zoodra de cellen sap verliezen, zoodat de hofstippels in ontwikkelden toestand van de gewone stippels slechts daardoor onderscheiden zijn, dat de eersten in onmiddellijke verbinding staan, terwijl de laatsten door de primaire wanden der cellen vaneen gescheiden blijven. Zijne meening aangaande het bekleed zijn van den hof door een vliesje: van cellulose heeft hij echter niet-herroepen. In de jongste maanden nu heeft Sanro (Bot. Zeit. 1 Junij, 1860. p. 195) BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 21 een nieuw onderzoek van de hofstippels bekend gemaakt, dat met de laatste uitkomsten van Scmacur in sommige opzigten overeenstemt, maar in andere daarvan afwijkt. Hij komt tot het besluit, dat de hofstippel ontstaat door partiëel uiteenwijken der primaire celwanden en dat de hierdoor ontstane holte den hof vormt; dat verder op dezen hof door de verdikkingslagen heen van weêrszijde een kanaal van trechtervormige gedaante uitloopt. Aanvan- kelijk is dit kanaal van den hof gescheiden door den primairen wand der aangrenzende cellen, maar na volkomen ontwikkeling der cel verdwijnt deze afsluiting en het stippelkanaal mondt onmiddellijk in den hof uit, zoodat de aangrenzende cellen met elkander in open gemeenschap staan. In hoeverre deze besluiten juist zijn, zullen wij voor het oogenblik daar- laten, maar al nemen wij dit aan, den blijft toch Saxro’s voorstelling van het ontstaan van den hof onnaauwkeurig en in strijd met erkende physiolo- gische begrippen. In de ruimte der hofstippels is, zegt SANro, a nannhalsk geene lucht, maar eene waterige vloeistof, en als bewijs hiervoor noemt hij in alcohol be- waarde jonge scheuten. Maar immers alcohol jaagt alle lucht uit de weef- sels en wordt zelfs bij mikroskopisch onderzoek opzettelijk daartoe gebezigd? Ook zoo er lucht in de hofstippels ware, zou die door den alcohol verdreven zijn, zoodat dit niet als bewijs kan aangenomen worden. Dat vocht, beweert Santo verder, moet, aangezien de wanden der cellen vroeger eng aaneensloten, uit de houtcellen daarin gekomen zijn. Het kan niet door het stippelkanaal zijn ingetreden, hetgeen toen nog niet bestond. Evenmin is osmose daarvan de oorzaak, dewijl bij vorming van den hof door uiteenwijking van de wanden het osmoserende vocht daarbinnen ontbreekt. Het vocht moet dus uit de omringende cellen door hare wanden heen inge- perst (hineingepresst) zijn. De oorzaak hiervan zoekt Santo in den bijzon- deren groei der wanden ter plaatse van den hofstippel. Hij neemt aan, dat de primaire wanden op die plaatsen door intussusceptie meer groeijen dan elders, en hieruit leidt hij af, dat zij, om ruimte te vinden, uiteenwijken en naar binnen buigen moeten, waardoor de hof gevormd wordt. Zal nu in dezen hof geen luchtledig ontstaan, dan moet door de gevormde drukking het cel- vocht der naburige cellen. door de wanden heen in den hof ingeperst worden. Tegen deze voorstelling van Sanro heb ik groote bezwaren. Vooreerst volgt uit het aannemen van een partiëlen groei ter plaatse van den toe- komstigen hof nog niet, dat de celwanden van twee aangrenzende cellen 22 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L zullen vaneenwijken. Zij kunnen dan aan elkander gehecht blijven en een eenigzins bogtig verloop nemen, gelijk men dit veelvuldig ziet bij de celwan- den der epidermis, terwijl mij daarentegen van dat vermeende uiteenwijken geen voorbeeld bekend is. Ten anderen kan ik niet aannemen, dat zich tusschen de weeke, buigzame en doordringbare vliezen eene luchtledige ruimte zoude vormen, waarin het vocht van buiten ingeperst moest worden. Immers de ervaring leert, gelijk ook Santo erkent, dat in zeer jeugdige cellen reeds de hof te zien is. De wanden zijn dan nog uiterst teeder en in plaats van onder vorming van een luchtledig vaneen te wijken, moeten zij veeleer tegen elkander aaneengedrukt worden of anders scheuren, wanneer er aanzienlijke drukking van buiten is. Wil men onderstellen, dat- de hof aanvankelijk gevormd wordt door het uiteenwijken der primaire celwanden, op welke wijze dan ook ontstaan, dan is het veel waarschijnlijker en veel meer in overeenstemming met gezonde begrippen van physiologie om aan te nemen, dat het celvocht, wanneer het osmotisch den jeugdigen wand doordringt, ook voor een klein gedeelte zich verzamelt tusschen de wanden van twee aangrenzende cellen, zoodra die wanden niet innig aaneengehecht zijn. Gaat men van deze onderstelling uit, dan laat het zich begrijpen, dat de celwanden, daar zij reeds door vocht gescheiden zijn, bij partiëlen groei nog meer uiteenwijken, terwijl, zoo lang het vocht in den hof blijft, de groei van den wand daar ter plaatse verze- kerd is. Bovendien kan dit vaneenwijken der primaire celwanden ook nog bevorderd worden, wanneer door osmose meer vocht tusschen beide wordt gebragt. Dit zijn, naar ik meen, de gevolgtrekkingen, die uit de resultaten van Sa- Nio kunnen opgemaakt worden, maar zij geven geen regt tot de onwaar- schijnlijke en stellig onjuiste voorstelling van de inpersing van sap in eene ledige ruimte. Dat echter die besluiten zelve nog niet algemeen als waar worden erkend, blijkt uit een uitvoerig opstel over de hofstippels in October 1860 verschenen (Bot. Zeit. 1860, N°. 41, S. 529—556), waarin eene geheel andere voorstelling wordt gehuldigd. Drerer (uit Idar), de schrijver dezer verhandeling, heeft zijne onderzoekingen vooral verrigt op hout en wortel van Pinus. sylvestris, alwaar, gelijk men weet, de hofstippels zoo bijzonder groot zijn. Maar be- halve dit heeft hij zijne uitkomsten ook getoetst aan hetgeen het onderzoek van andere Coniferen en van de vaten van loofhouten hem leerde. Hij laat BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 25 nu de oude meening van v. Mour omtrent het vaneenwijken der primaire wanden bij het ontstaan der hofstippels geheel varen en komt tot de vol- gende voorstelling, die ik hier, gedeeltelijk met zijne eigene woorden, me- dedeel: »De hofstippel is eigenlijk een stippel met verwijde basis en ontstaat door plooijing (Einfaltung) van den primairen celwand.” In den radialen wand van twee aangrenzende jonge houtcellen van Pinus sylvestris wordt eene kleine ringvormige verhevenheid gevormd door plooijing van het primaire vlies, zoodat in de houteellen twee aan elkander grenzende, maar door de beide primaire wanden geheel gescheiden lensvormige ruimten ontstaan. Aanvankelijk is deze plooijing gering, maar bij den verderen groei van den hofstippel wordt de ring, waardoor die lensvormige ruimte met het lumen der cel in open gemeenschap staat, steeds kleiner, deels door uitgroeijing dier plooijen zelve (durch sogenanntes Spitsenwachsthum}, deels door af- zetting der verdikkingslagen, die allengs in de cel ontstaan en die, gelijk bekend is, zich nimmer over den Tüpfel uitstrekken. Oorspronkelijk is dus de hofstippel altijd gehalveerd door de doorloopende innig verbonden primaire wanden, zoodat de doorgesneden hofstippel de gedaante vertoont als in figuur 14, (Pl. IV). (Namelijk a in jeugdigen toestand, b ouder en juist door het midden gesneden, c niet midden door den hofstippel gesneden). Maar zoodra de cellen lucht gaan bevatten, worden de primaire wanden in den stippel geresorbeerd en de cellen treden in open gemeenschap met elkander. Men verkrijgt dan de open hofstippels (fig. 14. d.). Daarentegen blijven die tusschenwanden bestaan bij alle cellen, die met vocht gevuld blijven; hier zijn de hofstippels steeds gesloten. Gelijk men ziet, is de voorstelling van Dieper geheel verschillend van die van Sanro en van de vroegere waarnemers, met uitzondering van Scmacur. Met Sarto komt hij eigenlijk slechts hierin overeen, dat beiden beweren, dat de hofstippels in de luchtvoerende cellen geheel open zijn. Alvorens nu de genoemde uitkomsten nader te beschouwen, voeg ik aan het bovenstaande nog toe de voorstelling van Tu. Harrie, zoo als hij die heeft bekend ge- maakt (nog later dan Drepeu’s verhandeling) in de jongste (10de) door hem bezorgde uitgaaf van het Lehrbuch für Förster van zijnen vader Dr. G. L. Harrie. Al zijn in dit nieuwste stuk geene nieuwe opzettelijke onderzoe- kingen over de hofstippels bekend gemaakt, wij mogen het echter niet met stilzwijgen voorbijgaan, daar Harrie hier beknoptelijk het resultaat zijner onderzoekingen mededeelt. En al zijn Harrre’s uitkomsten ook veelal af- DA BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. wijkend van hetgeen andere waarnemers vinden en ten gevolge zijner eigen omslagtige terminologie moeijelijk verstaanbaar en algemeen weinig gewaar- deerd, hij is een te goed waarnemer, dan dat wij ook niet rekenschap zouden houden van hetgeen hij meent gevonden te hebben. Harrre onderscheidt alle soorten van stippels in gelijkvormige en ongelijkvormige (l.l. p. 248), al naarmate de tot twee aangrenzende celwanden behoorende stippelkanalen gelijk of ongelijk zijn. Tot de laatste afdeeling brengt hij de hofstippels der houtcellen van Coniferen en der vaten van de loofhouten, welke hij linsenförmige Tipfelung noemt. Het stippelkanaal verwijdt zich hier naar buiten tot eene lensvormige ruimte, waarvan de buitenhelft buiten den om- trek der cel uitsteekt, terwijl het corresponderende stippelkanaal van de aangrenzende cel als een cilinder op het midden der lensvormige ruimte staat. De lensvormige ruimte is dus aan ééne zijde geopend, aan de an- dere zijde gesloten, waarvan men zich overtuigen kan, zoo men eene niet al te dunne tangentiale snede van droog dennenhout, met terpentijn-olie bevochtigd, onder het mikroskoop plaatst. Men ziet dan, zegt Harrie, steeds de lucht in de fensvormige ruimte aan den eenen kant in open ge- meenschap met den cel-inhoud, aan den anderen kant van de aangrenzende cel afgesloten (zie Pl. IV, fig. 15). Overigens neemt Harrie (in overeenstemming met de oudere waarne- mers) aan, dat niettegenstaande de verdikkingslagen ter plaatse der stippels ontbreken, de cellen toch overal een gesloten geheel vormen, zoodat het vlies dat de stippelkanalen der aangrenzende cellen vaneen scheidt, niet schijnt geresorbeerd te worden, dan alleen in enkele gevallen (zoo als bij de cellen van de bladen der Mossen en bij de dwarswanden van de vaten der loof hou- ten), alwaar dit gemakkelijk te herkennen is. Met geene der genoemde voorstellingen aangaande de hofstippels nu komt hetgeen ik bij Dracaena Draco gezien heb geheel overeen, en hoewel men vit één voorbeeld niet tot het geheel mag besluiten„zoo geloof ik echter, dat de juiste kennis van den toestand, die bij Dracaena voorkomt, licht kan ver- spreiden over de houtstructuur van de meeste andere boomachtige Liliaceën. Althans bij Yucca alöefolia, bij Cordyline australis en Dracaena paniculata heb ik dezelfde structuur terug gevonden, hoewel nergens zoo duidelijk ontwik- keld, nergens met zoo groote elementairorganen en met zoo scherp geteekende stippels als bij Dr. Draco. Voor de kennis der hofstippels bieden deze Liliaceën nog dit voordeel, dat niet, als bij de Coniferen en CGycadeën, de groote hof- BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRÁCO L. 25 stippels slechts aan bepaalde zijden der cel en in één vlak worden aange- troffen, maar aan alle kanten voorkomen, zoo als men ziet op de dwars- doorsnede PL. (IL, fig. 5. Dientengevolge heeft men bij ééne tangentiale of radiale doorsnede gelegenheid, om de hofstippels niet alleen van boven op en in dwars-doorsnede maar ook in alle tusschenrigtingen te zien, zoo als de overlangsche doorsnede van een der uitwendige bundels Pl. III, fig. 4 reeds de hofstippels in onderscheidene rigtingen vertoont. Beschouwt men ze naauwkeurig op de doorsnede, dan ziet men steeds eene lensvormige ruimte, aan alle zijden door eene scherpe lijn begrensd, en twee _ kanalen door de verdikkingslagen naar het midden dier ruimte toeloopende. Die kanalen vertoonen zich breed op de overlangsche, smal op de dwars- doorsnede van den stam, omdat zij spleetvormig zijn met de spleet in dezelfde rigting. Onder de honderden hofstippels, die ik van Dr. D. gezien heb, vond ik echter nooit een enkelen, die mij eene open doorloopende ruimte tus- schen de twee aangrenzende cellen vertoonde. Steeds waren de stippelkanalen van den hof door een duidelijk zigtbaar vlies afgescheiden. Dit deed mij twij- felen aan de juistheid der voorstelling van Santo, wat betreft de Dracaeneën. Die twijfel werd door de aanwending van scheikundige reagentiën bevestigd. Wanneer men de doorsneden met ClZnldk!d behandelt, wordt alles geel ge- kleurd, de verdikkingslagen worden bruiner dan de wanden der parenchym- cellen, maar overigens ziet men niets anders dan bij de in water of in glycerine gelegde snede. Zoo men echter de doorsneden eerst kookt in matig sterk NO°, of ze daarin bij de gewone temperatuur één à twee dagen laat liggen, en daarna met ClZnIdkId behandelt, dan worden bij de dikwandige cellen der laatstge- noemde vaatbundels al de verdikkingslagen zuiver blaauw gekleurd, met uit- zondering van het binnenste vliesje, dat als een uiterst dun geel streepje den — blaauwen wand begrenst, waar men dezen in doorsnede ziet; van boven op gezien, is het echter te dun om de blaauwe tint van het overige merkbaar te wijzigen. Behalve dit vliesje wordt evenzoo de primaire celwand der cel geel gekleurd (zie Pl. IV, fig. 8), maar dit membraantje is nog dunner en dus nog bleeker gekleurd dan het interne vlies. Ter plaatse waar zich de hofstippels bevinden, is dit echter anders. Daar schijnt het vlies aanmerkelijk dikker te zijn en wordt nu ook hooggeel. Van boven op gezien vertoont zich de celwand als in fig. 5, Pl. IV is afgebeeld. In den blaauw gekleurden wand. zijn even zoo veel ronde gele gedeelten als er hofstippels zijn. 4, NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X. 26 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. Vooral duidelijk is dit aan de grens der snede, zoo als de fig. aanwijst, die geheel naar de natuur geteekend is. De gele gedeelten (dz. de plaat- sen van het primaire vlies door den hof ingenomen) ziet men hier en daar van den secundairen wand afgescheiden aan de grens der snede (PI. IV, fig. 7). Enkele malen zelfs ziet men die stukken van het vlies geheel geïsoleerd als ronde gele schijfjes vrij in het vocht drijven (PL. IV, fig. 6). Dat echter die ronde schijfjes, schoon los met het primaire membraan zamenhangende en veel dikker dan dit, oorspronkelijk daarmede één geheel gevormd heb- ben, blijkt uit fig. 6, Pl. IV, alwaar ik heb afgebeeld een stukje van het primaire vlies, nagenoeg ongekleurd en waarin zich de gele schijfjes nog be- vonden, zoo als ik dit een paar malen heb gezien. Dat de stippel gesloten is, bespeurt men hieruit, dat genoemde gele schijfjes, overal waar de secundaire lagen niet daarboven of daaronder geplaatst zijn, zich geheel digt en homogeen vertoonen. Eerst zoo deze ze geheel of gedeeltelijk bedekken, vertoont zich de spleet. Al moge nu ook waar zijn hetgeen Sarto beweert, dat door de opzwelling der celwanden bij aanwending vàn zwavelzuur of chloorzink eene kleine opening gesloten wordt, welke in de levende plant geopend is, dan moet toch, vooral zoo de opening eene spleet is geweest, daarvan eenig spoor overblijven, omdat de tot elkander gebragte randen geen homogeen vlies vormen. Bovendien is bij gebruik van chloorzink die opzwelling zoo uiterst gering, dat het voorkomen van het praeparaat in de overige deelen geene verandering ondergaat. Ik kan dus voor Dracaena niet toegeven, - dat de hofstippels alleen in jeugdigen toestand gesloten zouden zijn, daar de door mij onderzochte gedeelten tot een reeds tamelijk oud weefsel behooren. Deze duiding van hetgeen het mikroskoop vertoont, wordt nog bevestigd door hetgeen men bij de dwars-doorsnede van den hofstippel waarneemt (PI. IV, fig. 9). Een groot voordeel is hierbij, dat ten gevolge der in- werking van N05 de dikwandige cellen dikwijls van zelf loslaten van elkan- der, zoodanig dat de primaire wanden vaneen wijken. Men ziet dan, zoo als fig. 7, PL. IV ook vertoont, ter plaatse van den hof in de blaauwe verdik- kingslagen eene komvormige uitholling aan de buitenzijde, die bedekt is door een hoog geel gekleurd vlies, dat, hoewel tusschen de stippels naauwelijks waarneembaar, over de uitgestrektheid van den hof in doorsnede duidelijke afmeting heeft. Van doorboring van dit gele vlies is nergens een spoor te zien. Wanneer men let op hetgeen Scuacut, Santo en Drrper aangaande de BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 27 hofstippels hebben opgeteekend, dan schijnt het van belang, om te consta- teren, dat de snede juist door het midden van den stippel is gegaan, omdat daar alleen scherp gezien kan worden, of de hofstippel een open kanaal vormt. Men gevoelt echter ligt, dat zoo de stippel gesloten is door een vlies, het voorkomen in geene rigting kan zijn, zoo als Dieper dit afbeeldt b. v._ Taf. VIII, Fig 2 f en 10. Altijd zal men eene lensvormige ruimte door een vlies van alle zijden omgeven zien, en alleen uit de relatieve grootte dier lensvormige ruimte zal men kunnen besluiten of de snede juist het midden van den hofstippel getroffen heeft. Dit heb ik dan ook bij de doorsneden van Dracaena steeds waargenomen en het bevestigt geheel de voorstelling, die men van de genoemde hofstippels verkrijgt, zoo men ze van boven op ziet, De beschreven bijzonderheden, die ik bij 250malige vergrooting met een _Ogeruäusen’s en een Nacnet’s mikroskoop had waargenomen, heb ik eenige maanden later nog nader kunnen toetsen, toen ik door de goedheid van Dr. Morrwarer in de gelegenheid was, de hofstippels van Dracaena bij meer dan 1000malige vergrooting door het voortreffelijke mikroskoop van Ross te zien. Ook hier vertoonden zich na behandeling met N 0° en Chloor- ZinkJoodKaliumJodium-oplossing de afsluitende vliezen der hofstippels als ondoorboorde ronde gele gedeelten, zoodra zij niet meer door de blaauw ge- kleurde verdikkingslagen bedekt waren. Eindelijk heb ik nog de dunne doorsneden van Dräcaena tweemaal 24 uren in een mengsel van alcohol en ether geplaatst en daarna op de gewone wijze met salpeterzuur en ChloorZinkJoodkaliumJodium behandeld, ten einde mij te overtuigen, dat de gevonden gele schijven niet konden bestaan uit een aanvankelijk nog ongekleurd harsachtig afscheidingsprodukt, welligt de grondstof van het welbekende Drakenbloed. Na genoemde behandeling ver- toonden zich echter de hofstippels volkomen zoo als boven beschreven is, en de gele schijven vooral waren niets veranderd. Deze reactie bewijst dus dat er geen grond bestaat voor het vermoeden als zou het laagje, dat den hof- stippel bekleedt, niet behooren tot den celwand, maar slechts eenig verhárd exsudaat of secreet zijn. Uit al het gezegde meen ik dus te mogen besluiten, dat de hofstippels van Dracaena Draco niet, zoo als de nieuwere onderzoekers bij Dicotyledonen gevonden hebben, eene open gemeenschap tusschen twee aangrenzende cellen vormen, maar dat zij, ook in de oudere weefsels, steeds door een tusschen= wand gesloten blijven. 4% 28 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. Dit groote verschil in uitkomst met hetgeen Santo en Dreper en anderen in den jongsten tijd bij Coniferen en andere Dicotyledonen gevonden heb- ben, heeft mij aanleiding gegeven, om ook de hofstippels van Pinus silves- tris een weinig nader te onderzoeken, ten einde te zien, in hoeverre deze met die van Dracaena overeenkomen. Ik heb daarbij het volgende gevonden: De bewering van Santo Il. S. 194, dat men op overlangsche doorsneden van zeer jonge houtcellen van Pinus silvestris duidelijk zien kan, dat de stippel met een vlies bekleed is, heb ik bevestigd gevonden. Tevens is dan de inhoud van de ruimte in den hof niet lucht, maar een vocht, dat met lodium, vooral met bi-Joduretum Zinci bruin en fijnkorrelig wordt. Weldra ech- ter, soms reeds in de 2% of 5de cellenrij van het Cambium afgerekend, is het stippelkanaal open, en men ziet op overlangsche doorsneden dan den hof- stippel als in Fig: 2, Taf. VI van Sanro’s verhandeling. Wordt de hofstippel schuins doorgesneden, dan ziet men den stippel als twee kringen, die elkander gedeeltelijk bedekken, maar geen vlies ver- toonen. Op de dwars-doorsnede ziet men nu en dan, gelijk Sanro en Dreper beide aangeven, den hof bij Pinus geheel geopend, zoodat ik met beide schrijvers geloof te kunnen aannemen, dat in de volwassen en niet meer vocht voerende houtcellen van- Pinus silvestris de hofstippels ware openingen vormen, waardoor de eene cel in onmiddellijke gemeenschap met de andere staat. Geheel in overeenstemming met de uitkomsten van beide schrijvers heb ik ook waargenomen, dat bij dwars-doorsneden van dennen- hout, overal waar de snede gedeeltelijk den stippel, gedeeltelijk den hof heeft blootgelegd, het den hofstippel begrenzende vlies niet onafgebroken voort- gaat, maar zich vertoont als door Sanro (Taf. VI. fig. 7) en Drerer (Taf. VIII, fig. 5—6) is afgebeeld. Scnacurt heeft beweerd, dat scheikundige reagentiën den hof blaauw kleu- ren. Dit heb ik echter evenmin als Sanro bevestigd gezien, doch ik ben het met beide schrijvers eens, dat bij de verkleuring door lodium teweeg ge- gebragt, de stippel zelf ongekleurd blijft, hetgeen"dus een nader bewijs is voor het open zijn dezer gedeelten. Vooral bij de aanwending van ClZnlIdK Id na voorafgaande behandeling met NO° ziet men groot verschil tusschen de hofstippels van Pinus en van Dracaena. Het zoude mij te ver van mijn eigenlijk onderwerp afleiden, zoo ik trach- ten wilde, den strijd tusschen Santo en Dreper over de wijze van ontstaan van den hofstippel bij Pinus en andere Dicotyledonen op te lossen, te meer BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 29 daar welligt de gevonden verklaring bij het groote verschil tusschen de hof- stippels van Pinus en van Dracaena, niet geheel op de laatste van toepas- sing zou kunnen zijn. Alleen nog ééne opmerking. Santo bestrijdt (ll. S. 197) de meening van Scuacur, dat de hofstippels eigenlijk niets anders zijn dan stippels met verwijden grond, die, aanvankelijk als andere stippels door de primaire wan- den der aangrenzende cellen van elkander gescheiden, later door het verdwij- nen van deze wanden in open gemeenschap met elkander komen. Santo beweert teregt, dat wanneer dit zoo ware, men bij jonge houtcellen eerst grootere en „allengs kleinere kringen in den hof zou moeten zien, doch hij heeft altijd in den hof slechts den kleinen kring van den stippel kunnen ontdek- ken van dezelfde grootte als later in de volwassen cellen. Met deze uitkomst is echter mijne ervaring in strijd. Ik heb bij de jongsfe houtcellen herhaal- delijk den stippel gezien als een ring in den hof geplaatst, en veel grooter dan later bij de volwassen cellen. En dit resultaat, vóór de verschijning van Drieper's opstel verkregen, is door zijn onderzoek geheel bevestigd, zoodat ik niet beter kan doen dan naar zijne figuren 14 en 16 (Taf. VIII) te ver- wijzen, die den toestand bij het Cambium-van Pinus silvestris geheel naar waarheid uitdrakken. Het argument door Sato tegen Scracur aangevoerd, vervalt dus hierdoor. Keeren wij na deze uitweiding tot de beschrijving van Dracaena Draco terug. | Behalve de genoemde dikwandige groote prosenchymeellen, die het midden houden tusschen vaten en cellen, bevatten deze vaatbundels enkele kleinere cellen, overeenkomende met de houtcellen der vaatbundels van het centrum, en verder ééne of meer groepen gittercellen. Deze laatsten zijn steeds in het midden tusschen de dikwandige cellen geplaatst en komen overigens met de gittercellen der centrale vaatbundels geheel overeen. Bij de kleinere vaat- bundels vindt men slechts ééne groep gittercellen, maar bij de grooteren (die hoewel op de dwars-doorsnede nog één afgesloten geheel uitmakende, ech- ter waarschijnlijk den aanvang vormen van eene vertakking van die vaatbun- dels) zijn er twee of drie op een afstand van elkander staande. De loop dezer vaatbundels (want ik behoud voor hen dezen naam, hoewel het eigenlijk cellen zijn, waaruit zij bestaan) is afwijkend van dien der straks genoemden, zij vertakken zich veelvuldig zoowel in radiale ais in tangentiale rigting, doeh op de dwarssnede van den stam breiden zij zich slechts over 50 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. een smallen ring uit. Zij vormen nagenoeg de hoofdmassa van den zooge- noemden houtring, dat is van het digte, vaste weefsel van den Dracaena- stam, maar zij buigen zich niet naar binnen, en waar de centrale vaatbun- dels zich naar buiten ombuigen en de peripherie in radiale rigting doorloopen om naar het blad te gaan, daar blijven zij geheel buiten aanraking met de laatstgenoemde vaatbundels. Men ziet dit terstond wanneer men bij geringe vergrooting eene tangentiale snede van het buitenste gedeelte van den hout- ring beschouwt. Zie Pl. V, fig. 4. Scracur vermoedt, dat de vaatbundels der peripherie gevormd worden, nadat de lengtegroei der as heeft opgehouden. Dit vermoeden heeft, geloof ik, veel waarschijnlijkheid. Deze voorstelling kan zich met die, welke ik mij van den groei van Dracaena gevormd heb, goed vereenigen, en men ziet dan ook, gelijk zoo Straks nog nader blijken zal, dat de later gevormde vaat- bundels, die de as dikker doen worden, alleen uit die der tweede soort bestaan. De centrale vaatbundels, die zich naar buiten ombuigen, houden waarschijnlijk in hunnen groei alleen in zoo verre gelijken tred met de later gevormde peripherische, als zij ook na het afvallen der bladeren met den verdikkingsring in aanraking zijn. Althans bij-het oudste door mij onderzochte stuk van Dracaena zag ik die centrale vaatbundels nog buiten aan den houtkrans dwars tusschen de mazen van het net der peripherische te voorschijn komen. Gaan wij met onze beschouwing van ‘den stam van Dracaena Draco voort, dan naderen wij nu tot den zoogenoemden verdikkingsring. Buiten om den houtring bevindt zich namelijk een krans van cellen, die het vermogen om zich te vermenigvuldigen betiouden hebben, een ware Cam- biumlaag, in plaats en verrigting overeenkomende met die der Dicotyledonen. Zoo ver die verdikkingslaag zich uitbreidt, zoo ver is voortgaande groei van den stam en vermeerdering van het aantal vaatbundels mogelijk. Over dit gedeelte heeft pe Miner vreemde zaken verhaald. Hooren wij hem zelf: »L'oeil à l'aide d'un puissant mieroscope, ne tarde pas à découvrir cà et là »dans la partie la plus excentrique de ce tissu générateur, la présence de » très-pelits espaces vagues et nébuleux; quelquefois aussi il semble qu'il y pait eu déformation d'utricules en certaines places où se produisent et s'ac- »eumulent confusément des phytospermes d'une extrème minceur. A ce chaos »mieroscopique succèdent bientôt l'ordre et la symétrie. Les phytospermes »se meuvent, s’agitent, se rencontrent, s’ajustent ensemble, comme s’ils étaient BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 51 panimés, et si je lose dire, bâtissent en commun des utricules régulières, »qui ne différent de celles qu'on voit ordinairement que parce que leurs pa- prois sont mamelonnées.” (Ann. des Sc. Nat. l. U. p. 551). Die zich bewe- gende phytospermes, waarschijnlijk in het leven geroepen door den gebrek- kigen toestand van pe Mrrger’s mikroskoop, zou de beroemde schrijver thans zelf niet meer aannemen. Zij zijn toch niet anders dan zeer jonge en kleine vaatbundels, die zich beginnen te vormen tegen den bestaanden krans aan. Zij vormen zich, zoo als Scracnr heeft beweerd, uit de reeds bestaande vaatbundels, die tegen de verdikkingslaag aanliggen, door vertakking, want zij blijven steeds door parenchym van elkander afgescheiden en kunnen dus niet als bij de Dicotyledonen een onmiddellijk vervolg of liever een integrerend deel van den bestaanden vaatbundelkrans uitmaken. In hoeverre deze voor- stelling van Seracar in bijzonderheden juist is, kan ik voor Dracaena Draco niet beslissen, aangezien het ter mijner beschikking gestelde stuk behoorde tot een reeds eenigen tijd overleden boom, waardoor dit gedeelte niet meer gezond genoeg was, om daarop resultaten te bouwen. Trouwens dit ontstaan van nieuwe vaatbundels, aanvankelijk met kleine, dunwandige cellen, onmid- dellijk buiten den bestaanden houtring en van de aangrenzende vaatbundels steeds door een laag parenchym afgescheiden, heeft reeds Unaer |. 1. aan- getoond. Hij noemt die parenchymlagen, die vooral in de rigting van den straal duidelijk zijn, mergstralen, aldus eerd op analogie met den Dico- tyledonenstam. Buiten den Cambiumring ligt bij den boom de schors. Ook bij Dr. Draco is dit het geval, maar gelijk bij alle andere Monocotyledonen is dit gedeelte hier zeer weinig ontwikkeld. Het bestaat uit dunwandig parenchymweefsel, waartusschen een groot aantal cellen met raphiden gevuld en uitwendig door kurkweefsel begrensd, zoo als wij in figg. 12 en 15, PI. IV afgebeeld zien. De kurklaag is gevormd uit polyedrische, groote, dikwandige cellen, die, gelijk overal, van buiten afsterven en inwendig aangroeijen door celverdeeling ten gevolge van tangentiale tusschenschotten. Waar de inhoud dezer cellen niet geheel verdwenen is, vindt men daarin een grooter of kleiner aantal niet of gewoonlijk ligt geel gekleurde olie- droppels (PI. IV. fig. 12, o}, die aanleiding geven tot de roode stukken hars, bier en daar in het kurkweefsel voorkomende (fig. 12, h). In onderscheidene Liliaceën, zoo als b. v. bij Yucca, vindt men in de schors afzonderlijke bastbundels uit groepen sterk verdikte bastcellen bestaande, 52 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. deze ontbreken echter bij Dr. Draco. Daarentegen is de kurklaag zelve zel- den zoo magtig als bij Dracaena, zoo als ook Scracar heeft opgemerkt. Dit ziet men echter eerst bij stammen van zekeren leeftijd. De jongere stam- men, of bij de ouderen de bovenste (d. i. de jongste) gedeelten, zijn met de bases der bladeren bedekt, waarvan de indrukken, ook na het afvallen van deze, een geruimen tijd zigtbaar blijven. Het uitwendig voorkomen van den stam is boven beschreven en er blijft dus alleen over, nog melding te maken van het merkwaardige produkt van onzen boom, waaraan hij zijnen naam verschuldigd is en dat vroeger ook in de geneeskunde werd aangewend; namelijk van de bloedroode hars, die op ‚ bepaalde pláatsen uit‘den stam te voorschijn komt. De bruinroode indruk, dien het blad achterlaat, wordt allengs smaller en min- der rood, terwijl het kurkweefsel der schors meer lederachtig wordt. Eindelijk blijven er alleen twee zeer fijne strepen over, die elk een halven cirkelomtrek vormend, en aan de uiteinden zamenvallend, maar in het midden ongeveer een duim uiteenwijkend, juist den omtrek der aanhechting van het vroegere blad aangeven. Ter plaatse nu, waar de bladsteel, indien deze ontwikkeld ware, zich bevonden zou hebben (nam. in het midden der bovenste lijn), ziet men de bruine streep aanzienlijk breeder en donkerder gekleurd, en in het midden van deze bruine vlek komt één groote vaatbundel te voorschijn. Onder deze bruine vlek heeft na korter of langer tijd afscheiding plaats van eene bloedroode hars, die allengs verhardt en nu tusschen schors en kurk, of tusschen de onderscheidene kurklagen eene laag vormt van zeer verschillende dikte. Scheurt de kurklaag open, dan schijnt de afscheiding veel overvloediger te zijn, en wanneer het parenchymweefsel der schors ver- loren is gegaan, schijnen ook de buitenste lagen van den houtring die stof te kunnen voortbrengen. Zoo plagt men, door insnijdingen in den stam, uit Dr. Draco-eene ruime hoeveelheid hars of zoogenaamd drakenbloed (sanguis Draconis) te verkrijgen, dat vanwege zijne scherpe bitterheid geneeskundig gebruik had gevonden. Thans zijn echter, gelijk bekend is, Calamus Draco en Calamus Rotang voor Dracaena in de plaats getreden en de boom, die geene winstgevende produkten meer afwerpt, wordt ook in zijn vaderland hoe langer hoe schaarscher. De roode hars vertoont onder het mikroskoop eene bladachtige, amorphe structuur. Zij schijnt voor den boom een afscheidingsprodukt te zijn, dat niet alleen in ziekelijken of gewonden, maar ook in normalen toestand gere- kh BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 55 geld wordt gevormd. Het Drakenbloed staat in innig verband met de kleur- looze oliedroppels, die men in het kurkweefsel en in de overige schors aan- treft. Wij zullen dit bij de bladeren bevestigd zien. Nergens echter ziet men dit duidelijker, dan juist aan die plaatsen, waar ook de buitenste vaatbundels van den houtring aan de bereiding van het Drakenbloed deelnemen, om dan allengs zelve onder te gaan. De dikwandige prosenchymeellen met hare merkwaardige hofstippels, welke, zoo als wij zagen, de hoofdmassa dier zoogenaamde vaatbundels uitmaken, schijnen dan vooral de dragers dezer hars te zijn. De inhoud dezer cellen, die anders ontbreekt of althans volkomen kleurloos en doorschijnend is, wordt dan gevormd door eene ligt bruin-gele stof, aanvankelijk in fijne korrels daarin opgehoopt, zoodat zij op de overl. doorsnede veel overeenkomst heb- ben met de melksapvaten van uitheemsche Euphorbia’s, waarin het melkvocht gecoaguleerd is. Weldra echter ziet men (hetzij als secundairen, hetzij als primairen toestand) den inhoud geheel ingenomen door eene glasheldere gele vloeistof, die in alle stippelkanalen indringt, en bij het verdroogen van den stam tot eene glasachtige hars schijnt te verharden. Komt men in een meer naar buiten gelegen vaatbundel, dan bespeurt men, dat deze stof meer en meer eene roode tint aanneemt en de stippelkanalen en den hof rood kleurt. Allengs wordt de geheele wand daarmede doordrongen, hetgeen echter eerst later geschiedt, zoodat men de wanden nog geel gekleurd ziet als de inhoud reeds rood is. Langzamerhand worden nu wand en inhoud bloedrood en hier- mede schijnt ook het leven in deze deelen te hebben opgehouden; de afzon= derlijke cellen, hoewel haar vorm bewarende, wijken vaneen en laten los. Eindelijk mengen hunne meer en meer vergane overblijfselen zich met de grootere stukken donkerbloedroode, tot bijna zwarte hars, die aan de opper- vlakte in overvloed voorkomt. De fijnkorrelige structuur der hars schijnt echter ook een blijvende toe- stand te kunnen zijn, althans nevens de dikwandige cellen met roode heldere, vroeger opgeloste hars gevuld, vindt men anderen, waar eene donkerroode fijnkorrelige maar geagglomereerde stof den inhoud geheel of grootendeels inneemt. Terwijl dit proces in de vaatbundels plaats grijpt, deelt het parenchym in die algemeene verstoring. Er ontstaan onregelmatige, grootere of kleinere bruinroode stukken in de cellen, de waterige inhoud is verdwenen, de cel- wanden worden bruinrood, eindelijk donker vuil bruin. Het weefsel verdort 5 NATUURK. VERH. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL X. 54 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. en wordt verscheurd, nog voor dat de zamenhang der vaatbundels verbroken is, zoodat de buitensten van deze los tusschen de uitgescheiden harsmassa liggen. Fig. 10, Pl. IV zal den geschetsten overgang nog duidelijker aan- toonen. Aan de beschouwing van de ontwikkeling van het Drakenbloed stuit zich die van de basis der bladeren. Zoo als boven beschreven is, is deze oranje- rood gekleurd, terwijl het blad zich aanmerkelijk verbreedt en dikker en vlee- ziger wordt Op deze plaats is ook de anatomische structuur eene andere dan op de overige gedeelten van het blad, met uitzondering van de vaatbundels, die hun regtlijnigen loop ook hier vervolgen, en alleen door eene grootere hoeveelheid parenchym omgeven worden. Zien wij vooreerst het blad zelf. De vaatbundels, die het blad evenwijdig aan zijne lengterigting doorloopen, bestaan uit de gewoonlijk voorkomende deelen, een bastligchaam, cambium, vaten (spiraal- en gestreepte of gestippelde vaten) en houtcellen. Zij bevinden zich meer in het midden van het blad- diachym, terwijl zoowel aan de onder- als bovenvlakte, op regelmatige af- standen, nagenoeg onmiddellijk onder de opperhuid, bastbundels of groepen van verdikte prosenchymeellen worden aangetroffen, die met de genoemde vaatbundels evenwijdig loopen. (Zie fig. 1, Pl. V.) In dit opzigt leveren de bladeren van Dracaena Draco niets afwijkends op. Men vindt dezelfde structuur bij een aantal andere vleezige Monoc. bladeren, b. v. van Yucca, Phormium, Dasylirium enz. Hetgeen Scmacnt (Anat. und Phys. d. Gew., 1, 527) beweert, dat men in het blad den zamenhang der bastbundels met de vaatbundels goed kan waarnemen, heb ik niet bevestigd gevonden. Evenzoo vertoont de epi- dermis, die voor beide oppervlakten dezelfde structuur heeft, niets vongewoons. Regelmatige parenchymeellen met een aantal stomata (in wier cellen zetmeel en chlorophyll) op die gedeelten waar geene bastbundels zijn, veel smaller en langgestrekte cellen zonder stomata boven de bastbundels, ziedaar wat men bij dergelijke bladeren telkens met kleine wijzigingen terug vindt, en waarvan Fig. 5, PL. IV eene afbeelding geeft. Alleenlijk verdient vermeld te worden, dat in al de opperhuidcellen, maar vooral in de meer zuiver parenchyma- teuse, kleurlooze oliedroppels gevonden worden, terwijl het onderliggend weefsel, gelijk bijna alle gedeelten van Dracaena, eene ruime hoeveelheid raphiden bevat. Zie Pl. IV, fig. 1, d. Wanneer men echter aan de basis van het blad komt, verkrijgt de opper- vlakte een geheel ander karakter. De opperhuidcellen worden eerst langer, BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 55 daarna korter in de lengterigting. De wanden worden aanmerkelijk verdikt en met ruime stippelkanalen voorzien, niet alleen de naar buiten toegekeerde maar vooral ook de zijwanden, waar de epidermiscellen met elkander in aan- raking zijn. De cuticula wordt evenzoo dikker en verkrijgt nog meer dan vroeger een fijn gekarteld of gestreept voorkomen. Aanvankelijk is de inhoud der opperhuidcellen licht geel of groen gekleurd, en het onderliggende, dunwandige chlorophyll-houdende parenchym is rijk aan kleurlooze oliedroppels (PL. IV, fig. 1), die meestal als één groote droppel in elke cel voorkomen. Doch ter plaatse waar de oranjeroode kleur van het blad aanvangt, ziet men diezelfde opperhuidcellen geheel gevuld met een bloedrood vocht, dat eerst den inhoud en de stippelkanalen, maar weldra ook de wanden kleurt. Zie figg. 1, 2 en 4, Pl. IV. Het onder de epidermis lig- gende weefsel bevat nu in de twee à drie buitenste cellenrijen onderschei- dene kleine donkerbloedroode bolletjes, terwijl tevens de celwand licht wijnrood gekleurd en het chlorophyll verdwenen is. In de meer binnenwaarts gelegen eerstvolgende cellenrijen komen diezelfde bolletjes nog in ruime mate voor, maar de celwanden zijn geheel ongekleurd. Allengs vermindert echter hun aantal en nu begint zich in deze cellen weder hier en daar de oliedroppel te vertoonen, die in het overige gedeelte van het blad zoo overvloedig voor- kwam. Nog meer binnen in het bladmoes zijn beide droppels verdwenen en in den celinhoud ziet men eene ruime hoeveelheid chlorophyll, als eene uiterst fijnkorrelige, vlokkige massa. Eindelijk de cellen, die het binnenste van het blad vormen, zijn veel grooter dan de zoo even genoemde. Zij heb- ben fijne stippels en bovendien groote ronde kringen, die hier en daar eene verdunning van den celwand, maar somwijlen ook ware openingen in den cel- wand schijnen te zijn, zoo als blijkt uit de half doorgesneden en met Id. of met ClznIdkid behandelde cellen (zie Pl. IV, fig. 9) en zoo als pe Mrirger reeds van de overeenkomstige cellen van den stam heeft medegedeeld. Voor de bladeren der jonge planten van Dracaena Draco moet de gegevene beschrijving eenigzins gewijzigd worden. Want hier loopt het blad wel aan de basis evenzeer in eene vleezige massa uit, maar deze ís gewoonlijk geheel ongekleurd en slechts hier en daar vindt men daarop eenige donkerbloedroode plekken, die bij mikroskopisch onderzoek blijken gevormd te zijn, niet door roode kleuring van den inhoud der hier veel minder verdikte epidermiscellen, evenmin door roode bolletjes in het onderliggend parenchym, maar door los buiten aanliggende stukjes hars of drakenbloed, zonder eenige celstructuur. 5% 56 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. ke Kan het ook zijn, dat het proces der verharsing, dat hier nog plaatselijk is, hier sneller voortgaat en de roode bolletjes van de bladeren der oudere Dra- caena’s dus als een tusschentoestand tusschen de kleurlooze oliedroppels en de uitgescheiden hars te beschouwen zijn? Eindelijk van de olieachtige droppels, die overal bijna in de plant voor- komen, mag ik niet afstappen, zonder melding te maken van de merkwaar- dige opeenhooping van die stof in de bloemsteeltjes en wel alleen ter plaatse, waar zich het knietje of de geleding bevindt en waar de zamenhang zoo los is, dat het meerendeel der bloemen hier bij de geringste aanraking afvalt, Die structuur is afgebeeld PI. II, fig. 14en 15. Zij vormen op de dwars-door- snede een breeden ring om de drie vaatbundels (die hier in plaats van uit spiraalvaten uit rozenkransvormige vaten bestaan) en zij breiden zich, ge- lijk men fig. 15 op de overlangsche doorsnede ziet, slechts weinig uit boven en beneden de geleding, maar zijn hier dan ook digter dan ergens elders opeengehoopt en volkomen kleurloos. Misschien is hunne rol deze, dat zij strekken om na het afvallen der bloem, de wonde aan het overblijvende steeltje spoedig te heelen, en door verharsing van de buitenlucht afte slui- ten. Overigens bevestigt deze waarneming weder geheel, hetgeen door v. Mounr voor weinige weken is opgemerkt, aangaande het loslaten van saprijke plantenorganen (Bot. Zeit, N°, 51, 5 Aug. 1860). Ook hier is geen spoor van periderma zigtbaar, de zamenhang der cellen alleen wordt losser en over de geheele oppervlakte valt zonder scheuren de bloem van den bloemsteel af, en heeft dan, tengevolge der zacht oneffen oppervlakte van de vrij ko- mende cellen, een fluweelachtig voorkomene Het aantal cellen is ter plaatse der geleding grooter en zij zijn zelve dus veel kleiner, hetgeen met de ver- schijnselen bij vele in het najaar afvallende bladeren overeenkomt. Waar- schijnlijk heeft in een vroeger stadium dan ik heb waargenomen, hier eene “bijzondere celvermenigvuldiging plaats gehad. Dit vermoeden wordt nog daar- door ondersteund, dat die physiologische verandering der cellen en de daar- mede gepaard gaande vorming van oliebolletjes vrij langzaam voortging, want reeds in den steel der bloemknop was zij even goed te zien als bij de ont- wikkelde bloem. Of echter hier de oliebolletjes dezelfde rol vervullen als het amylum, dat v. Mounr vond bij die afscheidingslagen, die zich langzaam ont= wikkelden, dan wel of de olie, aan de lucht verharsend, een natuurlijk kleed op de wonde vormt, durf ik niet te beslissen. De rijk bloeijende boom deed mij een aantal rijpe vruchten verwachten. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 51 Doch deze hoop heeft zich niet bevestigd. Na het bloeijen zijn een 50tal bevruchte ovaria daaraan gebleven, maar, hetzij door de weinige zonnewarmte van den verloopen zomer, hetzij om andere redenen, de gezette vruchtjes namen weinig of niet in grootte toe. Toen nu op den 20ster September 1860 de bloemstengel, die reeds inwendig verrot was, afgesneden werd, waren de vruchtjes nog groen en ongeveer even groot als twee maanden te voren. Doorgesneden bleek hun meerdere omvang dan die van het bevruchte ova- rium der bloem alleen ontstaan te zijn uit ontwikkeling der carpella. In- wendig waren zij vleezig en groen en vertoonden drie hokken, welke elk een grootendeels verdroogd en geaborteerd ovulum bevatteden, weinig grooter dan het onbevruchte ei en in geene verhouding staande tot de opening van het hokje. Te midden van die onrijpe vruchtjes, hier en daar aan de bloeias en hare takken verspreid, was er echter één aanmerkelijk grooter. Deze vrucht, hoewel nog groen, was nagenoeg rijp en bevatte één zaadje, hetgeen mij gele- genheid heeft gegeven, om ten opzigte van de structuur van vrucht en zaad de volgende bijzonderheden op te merken. Uitwendig is de vrucht nagenoeg kogelrond met eene middellijn van 15 mm. en dus ter grootte van eene kers, donkergroen en hier en daar. met roestkleurige vlekken bezet, die bij nader onderzoek bleken weder door vor- ming van de reeds meermalen genoemde hars ontstaan te zijn. Men ziet op de oppervlakte drie ribben, dezelfde die men ook bij de onrijpe vruchtjes bespeurt, maar hier eenigzins onregelmatig, omdat niet alle carpella zich ge- lijkmatig ontwikkeld hebben (zie Pl. V, fig. 5). Zij loopen alle van de plaats waar de stylus aangehecht is geweest tot aan de inplanting van het steeltje, twee punten die diametraal tegenover elkander staan, maar zij ver- deelen den bol in drie ongelijke segmenten. Ter plaatse dezer ribben, en midden tusschen deze in, dus ten getale van zes, ziet men ongeveer ter halver hoogte van den bol, kleine, ongekleurde, vleezige, driehoekige puntjes op de vrucht, met de basis aan het epicarpium verbonden. Deze gedeelten, die trouwens op de onrijpe vruchtjes nog duidelijker waar te nemen zijn, he- staan uit de overblijfselen van het uiteinde der slippen van het perigonium, dat na de bevruchting met het ovarium vergroeid is,en welke slippen in de ontwikkeling der vrucht niet gedeeld hebben. Inwendig is de vrucht vleezig en groen en gevormd uit dunwandig paren- chym met chlorophyllkorrels, terwijl uit het uiteinde der as vaatbundels zich 58 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. in de vergroeide carpella verspreiden. De epidermislaag, waarmede de vrucht bekleed is, bestaat op de groene plaatsen uit eenigzins verdikte cellen met tamelijk dikke cuticula. i Merkwaardig is de stevige aanhechting der vrucht aan de bloemas, vooral wanneer men daarmede vergelijkt het uiterst gemakkelijk afvallen van het meerendeel der bloempjes. De steel der kogelvormige vrucht, die aanmerkelijk verdikt is boven de geleding (zoodat hij hier bijna driemaal dikker middel- lijn heeft dan onder de articulatie), laat bij deze volstrekt niet van zelf los en de reden daarvan verklaart zich geheel bij nader anatomisch onderzoek. De talrijke oliedroppels in de vroeger uiterst dunwandige cellen der geleding zijn namelijk nagenoeg alle verdwenen en de celwanden zijn aanmerkelijk verdikt met talrijke stippelkanalen, zoodat het weefsel in den waren zin houtachtig is geworden. Dit weefsel, dat in den geheelen steel het centrale gedeelte uitmaakt, bestaat uit sterk verdikte parenchymecellen met stippelka- nalen. Zie Pl. V, fig. 12. Ter plaatse van de geleding hebben echter de vroeger dunwandige cellen zeer dikke wanden met stippels bekomen, zonder aanmerkelijk in omvang te veranderen. Men ziet dit weefsel afgebeeld op PI. V, fig. 11. Nog merkwaardiger wordt die vormsverandering, wanneer men daarmede vergelijkt de wijziging, welke de structuur der steeltjes heeft ondergaan bij de overige kleine onrijpe vruchtjes. Hier heeft ook verhouting, verdikking der celwanden plaats gegrepen, maar slechts boven en beneden de geleding. Op deze zelve is het weefsel dunwandig gebleven en de oliedroppels zijn nog als vroeger in menigte daarin aanwezig. Men ziet dit verschil duidelijk, wan- neer men op Pl. V fig. 9 en 10 vergelijkt, waarvan de eerste den steel. der onrijpe vrucht, de tweede dien der bijna rijpe, beide in overlangsche snede bij geringe vergrooting voorstelt. De geschaduwde gedeelten duiden de verdikte cellen aan, zoodat men met een oogopslag de plaats van dit weefsel zien kan. Wanneer men de rijpe vrucht overlangs midden doorsnijdt, dan verklaart zich de niet symmetrische plaatsing der ribben, waarover zoo even gespro= ken is. In de vrucht is namelijk slechts één zaad; slechts één van de drie ovula heeft zich ontwikkeld en wel ten koste van de overigen, die daardoor van bunne plaats gedrongen zijn, Men ziet dit afgebeeld op Pl. V, fig. 6, waaruit blijkt, hoe zelfs de as door den groei van het zaad geheel uit hare oorspronkelijke rigting gebragt is. Ook wijst de fig. nog een der rudimen- taire ovula «aan (b). Bij vergelijking van deze fig. met PL. Il, fig. 12 be- BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 59 speurt men tevens, dat het eitje bij zijne ontwikkeling zich niet meer om- gewend heeft, zoodat uit het ovulum anatropum een semen pendulum met embryo antitropus ontstaan is. Het zaad zelf was nagenoeg volwassen. Het had 7—8 mm. in middellijn, d. i. ongeveer de grootte bij Ners v. Esen- BECK, Plantae Med., Tab. 280. B. 8 opgegeven en afgebeeld. Alleen de testa, die volgens dien schrijver, bruin moet zijn, was nog ongekleurd. Ge- lijk men weet, is deze verkleuring echter een der laatste verschijnselen bij de rijpwording der zaden en overigens vond ik het zaad geheel ontwikkeld, zoodat ik regt meen te hebben, hiernaar de structuur te beschrijven. De vorm van het zaad is nagenoeg kogelrond, aan de mieropyle eene kleine bruine stip vertoonende, en overigens ongekleurd. Inwendig is het wit, bij doorsnijding van de vleezige besvrucht nog zacht, maar na drooging ingekrompen en hoornachtig hard. Het albumen, dat verreweg de grootste massa van het zaad vormt, bestaat uit eigenaardig verdikte cellen met olie en proteïne-meel (klebermehl) *, zonder spoor van amylum. Deze stoffen vindt men ook in de wijde stippelkanalen der doorschijnende celwanden opgehoopt, welke zich daardoor terstond doen herkennen, en aan de celmassa onder het mikroskoop groote overeenkomst geven met het voorkomen van de dikwan- dige cellen van iris- en palmzaden. Op PI. V, fig. S, zijn eenige cellen van het albumen afgebeeld te gelijk met de testa, die uit twee cellenrijen be- staat, waarvan de buitenste regelmatig verdikte wanden heeft, die duidelijke verdikkingslagen doen zien. Met chloorzinkjoodkaliumjodium-oplossing behandeld, worden de cellen der testa bruingeel; hieronder bevindt zich eene smalle streep (waarschijnlijk gevormd door uiterst smalle, verdikte en verlengde cellen), die bruin, en een tweede nog smaller gedeelte, dat zuiver blaauw gekleurd wordt. Dit laatste weefsel, dat waarschijnlijk uit verscheidene zeer dunwandige en zamengevallen cellen gevormd is en bij een aantal zaden voorkomt, hier nader te onder- zoeken, zou ons te ver afleiden. Wat echter de dikwandige cellen van het albumen zelf betreft, deze worden vuil bruinrood (dezelfde tint, die cellu- losewanden soms met bi-joduretum zinci aannemen), terwijl de omtrekken der celwanden en de talrijke wijde stippelkanalen minder scherp zich ver- * Zie over deze stof en haar voorkomen, mijn opstel if G.J. Murper, Scheik. Verhand. en On- derz., Dl. II, St. 2, bl, 192. 40 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. toonen. Daar men echter geene belangrijke opzwelling der wanden ziet, zoo worden door het genoemde reagens blijkbaar de celwanden van het albumen zoo niet opgelost, dan toch aanmerkelijk verweekt. Dit sluit zich dan aan het- geen men weet van den eigen toestand der celwanden in het albumen van Palmzaden, die in structuur met de genoemde cellen bij Dracaena zooveel overeenkomst hebben. Eindelijk waar in deze cellen de inhoud nog aanwezig is, daar wordt deze door het reagens bruingeel gekleurd. Men ziet dit het sterkste in en bij de stippelkanalen, alwaar de fijnkorrelige inhoud het langst aanwezig blijft. De kleine kiem, te midden van het overvloedige albumen gelegen in de as van het zaad, is regt, aan het naar beneden gekeerde worteleinde breed en stomp; de lengte der kiem is ongeveer & à 4# van de middellijn van het zaad. Het voorkomen van embryo met plumula, radicula, «en bree- den schildvormigen cotyledon ziet men bij 12malige vergrooting afgebeeld Pl. V, fig. 7. Het is overbodig te herinneren, dat de cellen van den em- bryo geen spoor van amylum bevatten maar opgevuld zijn, zoo als gewoonlijk, met uiterst fijnkorrelige proteïnestoffen, terwijl de vorm dezer cellen ook niets bijzonders vertoont. Naar de beschreven bijzonderheden is de boven (bl. 15) gegeven diagnose van het zaad opgemaakt. Ten slotte nog een woord over den wortel van-Dracaena Draco, waarvan ik zoowel lucht- als onderaardsche wortels ter mijner beschikking gehad heb. De vorming van luchtwortels beperkt zich bij Dracaena niet tot het 5° tijd- perk van BerrneLor (zie boven bl. 4). Ik heb, behalve in de bovenge- noemde gevallen herhaaldelijk gelegenheid gehad de vorming van luchtwortels bij nog krachtig groeijende planten, ja zelfs bij die met onverdeelden stam te zien. Ook de hier bloeijende boom heeft na het bloeijen een paar lucht- wortels ontwikkeld, één aan den voet, waar de stam in de hoofdwortels overgaat en één op een waren wortel, die op zijde uit eene scheur in de tobbe te voorschijn trad. In jongen toestand zijn de wortels aan de spits ongekleurd, hier en daar met onregelmatige stukken uitgescheiden hars be- zet; op ouderen leeftijd echter worden zij groenbruin gekleurd en hebben dan eene dergelijke lederachtige opperhuid als de jongere gedeelten van den stam. De oppervlakte van in den grond voorkomende wortels komt hiermede ge- deeltelijk overeen. De zeer dunne jeugdige wortelvezelen. namelijk zijn wit van buiten, de oudere wortels bruinrood, ten gevolge van bruinroode BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 41 kleuring der buitenste kurkcellen, gepaard met het voorkomen van meer of minder uitgescheiden drakenbloed. Let men echter op den graad van celverdikking, dan vindt men groot verschil tusschen lucht- en onderaardsche wortels. De eersten vertoonen’ namelijk bijna altijd een zeer dunwandig weefsel, zoowel van den vaat- bundel als van het omliggende parenchym, terwijl bij de laatsten, zelfs reeds tamelijk vroeg, de vaatbundels overdekte wanden doen zien, zoo als men dit ook in den stam kent. Overigens is de structuur van beide ta- melijk overeenkomstig, zoodat zij gelijktijdig beschreven kunnen worden. (Vergel. Pl. V, fig. 14 en 15.) De schors, die vooral bij de jongere wortels op de dwars-doorsnede eene groote uitgebreidheid heeft met betrekking tot het houtligchaam, bestaat uit dunwandig parenchym, zonder verdikte bastbundels (PI. V, fig. 14, a. b). Dit parenchym, dat bij de luchtwortels eene ruime hoeveelheid fijnkorrelig chlo- rophyll bevat, is buitenwaarts begrensd door eenige rijen van meer dikwan- dige en grootere cellen, eene soort van kurkeellen, waarvan de buitensten bruin en dood, maar de zeer kort onder de oppervlakte gelegenen nog levend zijn (fig. 14,4). In deze cellen komen, even zoo als in de overige deelen van Dracaena Draco, groote kleurlooze en kleine roodgekleurde bolletjes voor, terwijl bij sommigen dezer cellen ook de geheele inhoud ligt rood ge- kleurd is. Aan de oppervlakte der jeugdige luchtwortels zijn nergens stomata te vin- den, maar daarentegen bespeurt men een aantal wortelhaartjes, uit één of meer verlengde, dunwandige, ongekleurde cellen bestaande. Hetgeen gewoonlijk het houtligchaam heet en hier het centrale ge- deelte van den wortel uitmaakt, bestaat uit een grooter of kleiner aantal vaatbundels, steeds van elkander gescheiden door parenchym, maar aan den omtrek meer of mif regelmatig in een kring geplaatst en veel digter op een gehoopt dan in het midden (Fig. 14.c.d.). In het centrum schijnen plaats en aantal der vaatbundels veel minder regelmatig te zijn, hoewel dit aantal in dikker wortels grooter is. Zoo vond ik in een onderaardschen wortel v. 15 m.m. middellijn 12 vaatbundels binnen den kring geplaatst; in een dunneren één vaatbundel, en in een nog dunneren ontbraken zij geheel. In dit geval, wanneer slechts enkele of geen centrale vaatbundels gevonden wor- den, kan de wortel volkomen het maaksel van de as eener éénjarige dico- 6 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X. 42 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. tyledoneplant vertoonen. Men ziet dit uit fig. 14 Pl. V. Overigens blijft in denzelfden wortel het aantal der middelste vaatbundels over eene aanzienlijke lengte hetzelfde. Ten minste bij de drie genoemde wortels (allen onderaardsche), waarvan de grootste eene lengte van ongeveer 2 Ned. palm had, kon ik geene afwijking van dat aantal bespeuren. Waar één vaatbundel was, kon ik deze tot aan het cambium der de uiterste. wortelspits vervolgen. De genoemde vaatbundels bestaan steeds uit gestippelde en spiraalvaten, prosenchymcellen en eenig zoogenaamd cambium (grootendeels gittercellen, zie boven blz. 17). Bundels van groote houtcellen met dikke wanden en met hofstippels, zoo als in den stam worden gevonden, kwamen in de door mij onderzochte stukken niet voor. In de luchtwortels nu hebben deze deelen wel even groote afmetingen, maar steeds uiterst dunne wanden, zoodat deze wortels eene uitzondering maken op het overige der plant, alwaar overal zulk eene sterke neiging tot verhouting wordt gevonden. Daarentegen zijn bij in den grond levende wortels, ook bij zeer jonge, de zamenstellende deelen van den vaatbundel alras verhout. Ik zag dit zelfs bijzonder sterk bij de fijnere wortelvezelen aan den genoemden dikken wor- tel gehecht. Hier vond ik een aantal vaatbundels met geheel verhoute -ele- menten in het centrum en tevens was hier eene rij cellen in hooge mate verdikt, welke de binnenste grens van de sehors uitmaakt, en dus den verdik=- kingsring van buiten begrenst. Deze cellenrij (afgebeeld in Pl V, fig. 15 6) komt voor in alle wortels van Dracaena, zoowel in de-lucht- als grondwor- tels. Bij de eersten vormt zij nagenoeg de eenige verdikte cellen. Of zij ook: . in den stam wordt gevonden, kan ik bij gebrek aan geschikt materiaal niet beslissen. Ik meen dit echter te mogen betwijfelen, daar ik bij Gramineën, Cyperaceën, Zingiberaceën, Smilaceën in het rhizoma dezelfde laag terug- vond, maar die steeds in den bovenaardschen stengel zag ontbreken. Dezelfde laag is het, welke, door hare bijzonder verdikte celwanden, Scurerpen een middel heeft gegeven om de Honduras- en Vera Cruz-Salsaparille van elkan- der te onderscheiden. Scurerpen noemt ze kernschede. Ook Scmacur maakt van die laag melding (Anat. und Physiol.d. Gew., II, p. 170) en zegt, dat zij in den wortel gevonden wordt, maar in den stam ontbreekt. Welke echter daarvan de beteekenis zij, komt mij nog twijfelachtig voor. Kan die laag het analogon zijn van verdikte celgroepen in de schorslaag ? of wel, dient zij BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 45 tot beschutting van den verdikkingsring, zooals de eigenaardige plaatsing der secundaire lagen schijnt aan te duiden?. Zorgvuldig anatomisch onderzoek van die deelen bij verwante plantensoorten in onderscheidene ontwikkelings- toestanden kan hier alleen meer zekerheid geven. Eindelijk, ten opzigte van de vorming van vaatbundels buiten de reeds bestaande hebben de wortels mij in staat gesteld, om door eigen waarneming de uitkomst van Uneer, nr MirgeL en Scuacut te kunnen bevestigen. Men ziet namelijk bij alle wortels van Dracaena den krans van vaatbundels omgeven door een ring van jeugdige uiterst dunwandige cellen (verdikkings- ring, Scracur) en in dit weefsel, tusschen de op de dwars-doorsnede vooruit- stekende punten der vaatbundels, bespeurt men groepjes van uiterst kleine en dunwandige cellen, waarin reeds de rangschikking van de deelen van een jeugdigen vaatbundel te bespeuren is, hetgeen bij overlangsche doorsnede nog nader wordt bevestigd (zie Pl. V, fig. 15 c). Of echter, zoo als Scracur beweert, deze nieuwe vaatbundels (van de oude altijd door parenchym afge- scheiden) ontstaan uit vertakking der andere vaatbundels ter plaatse, waar deze aan den cambiumring grenzen, meen ik te moeten betwijfelen. Het is mij nooit mogen gelukken, zoodanige vertakking als de bron van den nieuwen vaatbundel aan te wijzen. Zonder nu de onmogelijkheid van der- gelijke groeiwijze als Scmacur zich voorstelt (en waartoe hem welligt de op tangentiale snede veelvuldige anastomosen der vaatbundels van den stam verleid hebben (Fig. 4, Pl. V)) te willen beweren, geloof ik toch te moe- ten wijzen, op de groote analogie in groeiwijze, tusschen de Asparageën en de Dicotyledonen, eene analogie, die door nieuwere onderzoekingen steeds meer aan het licht is gekomen. Wanneer nu bij de Dicotyledonen, zoo als Trécur door een aantal proeven getoond heeft, de nieuwe houtvorming geschiedt in den cambiumring op de plaats zelve, en onafhankelijk in zekere mate van de ove- rige deelen, waarom zou dan niet op dezelfde of dergelijke wijze de nieuwe vaatbundel bij Dracaena kunnen ontstaan onmiddellijk buiten den reeds ge- vormden, zonder juist altijd op zulk een bestaanden vaatbundel ingeplant te zijn ? Dat nieuwe celvormen kunnen ontstaan zonder onmiddellijk aan soortgelijke te grenzen, blijkt genoeg uit de schors der Dicotyledonen, alwaar soms een aantal vormen in geregelde opvolging in het liber wordt gevonden. Rotterdam, 1860. 6% 44 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. VERKLARING DER PLATEN. PLAAT IL. Afbeelding van de bloeiwijze, de bladerkroon en het bovenste deel van den stam van Dracaena Draco L, uit den Hortus te Rotterdam op „ der natuurlijke grootte. PLAAT IL Fig. 1. Eene bloem van Dracaena Draco L. met omgeslagen slippen, 5 m. vergroot. Fig. 2. De helft van het perigonium, uitgespreid en van binnen gezien, met de daarop in- geplante stamina, 5 m. vergroot. Fig. 3. Eene ongeopende bloem in natuurl. grootte. Fig. 4. Een der slippen van het perigonium, met den daarop ingeplanten meeldraad, om de aanhechting van dezen, de plooijing der slippen en de omkrulling aan den top te toonen. De slip in half geopenden stand, 5 m, vergroot. Fig. 5. Een meeldraad, 10 m. vergroot, van ter zijde gezien. Fig. 6. Dwars-doorsnede van het filamentum een weinig onder het midden, 10 m, vergroot. a, vaatbundel in het midden van het filamentum. Fig. 1. Dwars-doorsnede der antherae met het connectivum, 40 m. vergroot. a. ring van cellen met spiraalvezelen bekleed, 5. vaatbundel van het connectivum. Fig. 8. Pollenkorrel 250 maal vergroot, a. droog, b. in water gezien. Fig. 9. Dwars-doorsnede door het midden van den stijl, 40 m. vergroot, a. ductus polli naris, 5. vaatbundels. hd ' Fig. 10. Overlangsche doorsnede van den stamper, 7 maal vergroot. Van de drie hokjes ziet men er één midden doorgesneden en daarin het ovulum, aan de overzijde bevindt zich het vlies van de twee andere hokjes, waaronder het ovulum doorschemert. De zwarte lijnen duiden vaatbundels aan. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 45 Fig. 11. Dwars-doorsnede van het ovarium. De ovula zijn gehecht aan het midden der carpella, ieder in een der hokken. Tegenover elk der ovula bevinden zich in de cel- massa van het ovarium drie vaatbundels, 5. Dezelfde vergrooting als de vorige fig. Fig. 12. Niet bevrucht ovulum, 40 m. vergroot, a. chalaza, 5. raphe, c. exostomium, d. en= dostomium, e. kiemzak. Fig. 13. Diagram der bloemknop, ter hoogte van de antherae dwars doorgesneden. Fig. 14. Dwars-doorsnede door den bloemsteel ter plaatse waar de geleding is, 40 m. vergroot, b, b, b, drie vaatbundels regelmatig tegenover elkander geplaatst, a. niet scherp begrensde ring van cellen, waarin de oliedroppels. Fig. 15. Overlangsche radiale doorsnede van een deel van den bloemsteel ter plaatse van de geleding, 100 m. vergroot, a. ring van cellen met oliedroppels op de geleding, die met eene vernaauwing van den omtrek vergezeld gaat. De vaatbundel 5. uit spiraalva- ten bestaande, gaat op de geleding in rozenkransvormige vaten, d. over; c. verlengde pa- renchymcellen van den bloemsteel. Fig. 16. Kiemplant van Dracaena Draco, in den Hortus Botanicus te Amsterdam gegroeid, stengel en worteltje slechts ten deele afgebeeld; het zaad verticaal doorgesneden. a. kiem- wit, b. zaadlob, c. collum, d. worteltje, e. stengel. Nat. grootte. Fig. 17. Afbeelding van een der kleinere takjes van de panicula, met onderscheidene geslo- ‘ten, enkele geopende bloemen; met bevruchte bloemen onderaan en knoppen aan den top. Natuurlijke grootte. PLAAT III. Fig 1. Dwars-doorsnede van een vaatbundel van den stam van Dr, Draco uit het cen- tram, in de onmiddellijke nabijheid van den houtring. a. bastcellen van den vaatbundel, naar den omtrek gekeerd, 5. cambium en gittercellen, c. gestippelde en spiraalvaten, d. houtcellen. 180 m. vergroot. Fig. 2. Overlangsche doorsnede van denzelfden vaatbundel. De letters hebben dezelfde be- teekenis als in de vorige figuur. 250 maal vergroot. Fig. 8. Dwars-doorsnede van een bundel uit denzelfden stam van Dr. Draco, uit den houtring, a. groote dikwandige houtcellen met spleetvormige hofstippels, 5. gittercellen. . “180 m. vergroot. Fig. 4. Overlangsche doorsnede van denzelfden bundel. De letters even als in de vorige figuur. 250 m. vergroot. x 46 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. PLAAT IV. Fig. 1. Dwars-doorsnede van een stuk van het blad, evenwijdig aan de bladnerven, en ter plaatse, waar de roode verkleuring der basis aanvangt, a. dikwandige epidermiscellen en daaronder liggende cellen met chlorophyll en groote kleurlooze harsbolletjes; b. even- zeer dikwandige epidermiscellen, waarvan de inhoud met roode stof gevuld is, daaronder parenchym met een aantal kleine roode bolletjes; de buitenste cellenrij ook nog met een gekleurden inhoud, c. eene der stomacellen, d. groote cel met raphiden. 200 m. vergroot. Fig. 2. Dikwandige epidermiscellen aan de grens der roode verkleuring, van bovenop ge- zien. Onregelmatig verdikte wand met stippelkanalen, 200 m. vergröot. Fig. 3. Epidermis van het midden der lamina van het blad aan de ondervlakte; de lengteas van het blad in de rigting der pijl gelegen. a. epidermis boven de onmiddellijk onder de oppervlakte gelegen bastbundels, zonder stomata, b. epidermis boven het bladparen- chym; hierin alleen stomata, s. 200 m. vergroot, Fig. 4. Dwars-doorsnede van een stuk van het blad, loodregt op de lengteas, ter plaatse waar de roode verkleuring aanvangt; a. en b. hebben dezelfde beteekenis als in fig. 1. 200 maal vergroot. Fig. 5. Stuk van eene dikwandige houtcel uit den houtring van den stam, in salpeterzuur gekookt en daarna met chloorzink-joodkalium-joodoplossing behandeld. De verdikkings- lagen blaauw gekleurd, de primaire wand geel. Bij a. een stuk van den primairen wand ter plaatse der hofstippels. De hof is hier aanwezig zonder den stippel. 250 m. vergr. Fig. 6. Een stukje van het primaire vlies, behandeld als boven. De plaatsen der hofstip- pels kenmerken zich door meer gele kleur. 250 maal vergroot. Fig. 1. Eene zelfde houtcel met den hofstippel in doorsnede. Bij 5. wijken de wanden van twee aangrenzende cellen uiteen, e. regelmatig donkerder gekleurde strepen op den cel- wand. 250 maal vergroot. Fig. 8. De houtcellen in dwars-doorsnede, evenzoo behandeld. Gele verkleuring van het primaire vlies en desgelijks van de binnenvlakte van den wand. 250 maal vergroot. Fig. 9. Groote parenchymeellen uit den stam, evenzoo behandeld. Groote verdunde plaat- sen in den celwand. 250 maal vergroot. . Fig. 10. Dwars-doorsnede van den stam aan het ondergedeelte, waar de schors opengesple- ten is en het drakenbloed uitvloeit. Steeds toenemende verkleuring der bundels aan den omtrek, vooral ten opzigte van den inhoud der houtcellen. Buiten aan, massâ’s verhard bloed, gemengd met gedeeltelijk gedestrueerd weefsel, 88 m. vergroot. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 41 Fig. 11. Een gedeelte van een roodgekleurden houtvezel, Roode massa in den inhoud, Roode verkleuring van de hofstippels. 250 m. vergroot. Fig. 12 en 13. Dwars-doorsnede van de schors aan het jonger deel van den stam, waar de lidteekenen der afgevallen bladeren nog ongeschonden zijn, a—b. kurkweefsel, hier en daar met oliedroppels, een enkele maal met roode hars daarin, en aan de binnenvlakte aangroeijende. Fig. 12 en 13, b—c. parenchymcellen der schors, met chlorophyll en met een aantal cellen die bundels raphiden bevatten; c—d. plaats, waar de vermenigvuldiging door celverdeeling plaats heeft. 100m. vergr. Fig. 14. Hofstippels van het hout van Pinus silvestris op de dwars-doorsnede, naar DIPPEL in v. MomL’s Bot. Zeitung. 1860. Pl. VIIL, fig. 11, T—III. ° Fig. 15. Hofstippels van Pinus silvestris, volgens de voorstelling van TH. HARTIG, in G, L. HARTIG’s Lehrbuch für Förster. 10° Aufl. Bd. 1. S. 249. fig. 30. De zwart getee- kende gedeelten duiden aan hetgeen met lucht gevuld blijft, wanneer eene dunne ‚snede van dennenhout met terpentijnolie bevochtigd wordt. PLAAT V. Fig. 1. Dwars-doorsnede uit het midden der blad-lamina, loodregt op de lengteas, e. epi- dermiscellen, met tamelijk dikke cuticula, d. twee stoma-cellen met onderliggende lucht- holte, 5, bastbundels, onmiddellijk onder de oppervlakte gelegen, b’. bastgedeelte van den vaatbundel uit het midden der bladmassa, c.‚ cambium en gittercellen, v. vaten, gestip- pelde en spiraalvaten, A. houtcellen van den vaatbundel. 200 m. vergroot. Fig. 2. Overlangsche radiale doorsnede van een stuk van den stam, bovenaan, van den omtrek tot een weinig voorbij het centrum, na verdwijning van het parenchym door uit- drooging. Kruising en loop der vaatbundels. Nat. grootte. Fig. 3. Stuk van den stam, dwars doorgesneden, 6 m. vergroot. a. kurklaag, 5, schorsparen- chym met vele raphidencellen, c. eambium, c’‚ houtring, waarin een groot aantal bundels van houtcellen, d. aanvang der vaatbundels, op Pl, IL, fig. 1 en 2 afgebeeld, wv. een dergelijke vaatbundel in horizontale of schuins opstijgende rigting naar het blad gaande. Fig. 4. Tangentiale, overlangsche snede van het buitenste van den houtring van den stam. Vertakking der bundels van houtcellen A, en tusschen de mazen van dit net de dwars- doorsnede v der horizontaal naar het blad loopende vaatbundels. 25 m. vergroot. Fig. 5. Nagenoeg rijpe vrucht van boven op gezien. Nat. grootte. Fig. 6. Dezelfde, overlangsch midden doorgesneden. Plaats en rigting van zaad en em- bryo, met de overblijfselen van een der beide andere geavorteerde ovula, Nat. grootte. Fig. 7. Embryo van het zaad, overlangsch doorgesneden, a. testa, r. radicula, 12m. vergr. 48 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. . Fig. 8. Gedeelte van het-albumen en van de zaadhuid, 200m. vergroot. Higenaardige verdikking der celwanden; stippels, a, in "doorsnede, 5. van boven op gezien. Fig. 9. Overlangsche doorsnede van het steeltje der kleine onrijpe vruchtjes ter plaatse der geleding, d. verdikte cellen, o. cellen met oliedroppels, v. vaatbundels. 20maal vergroot. Fig. 10. Overlangsche doorsnede van het steeltje der nagenoeg rijpe vrucht aan de geleding. d. verdikte cellen, wv. vaatbundels. 20maal vergroot. … Fig. 11. Verdikte verlengde cellen uit den steel, stippelkanalen. 200maal vergroot. Fig. 12. Verdikte cellen op de geleding der bijna rijpe vrucht. 200maal vergroot. Fig. 13. Dwars-doorsnede van een klein deel van den wortel aan de buitengrens der bui- tenste vaatbundels (zie Fig. 14 c), a. dunwandige polyedrische parenchymeellen. der schors, b. laag van eenzijdig verdikte cellen, die als een koker den verdikkingsring om- geven (kernschede), e. jonge vaatbundel buiten den reeds gevormden e. ontstaan. 200m. vergroot. Fig. 14. Dwars-doorsnede van een stuk van den wortel, van den omtrek tot even voorbij het centrum, a. laag van bogtige, eenigzins dikwandige, geelgekleurde kurkcellen, 5. breede laag van dunwandig, polyedrisch schorsparenchym, c. stukje in Fig. 18 vergroot afgebeeld, k, lijn van eenzijdig verdikte cellen, d. kring van vaatbundels, reeds in dubbele rij staande en waartusschen aan den buitenomtrek nieuwe vaatbundels ontstaan, e. parenchym, binnen den kring der vaatbundels gelegen, f. vaatbundel uit het centrum. 1Omaal vergroot, Fig. 15. Overlangsche radiale doorsnede door het uiteinde van een luchtwortel, a. a, eerste vaten met lucht gevuld, 5. schorsligchaam, e. nog niet ontwikkelde vaatbundels van het centrum, in celtoestand, d. jeugdig en klein celweefsel, waarvan de tusschenruimten met lucht gevuld zijn, e. punctum vegetationis, alwaar de verdikkingsring zich reeds door eene smalle gebogen lijn als eene kegelvormige verlenging van het ouder weefsel doet kennen, J wortelmuts, inwendig uit jong celweefsel gevormd, dat zich aan de binnenzijde ver- menigvuldigt; uitwendig losse zamenhang der bruin, wordende cellen, die van buiten in grooter of kleiner bruine stukken loslaten, g. roodbruine plek op de lichtgroene opper- . ‚vlakte van den wortel, 6 maal vergroot, ; NWA RAUWENMHOEP, over Dracaena Draco b. PL 1. VERH D. KON. ACAD. V. WETENSCH. AFD. NATUURK. D. X W.Pvan Geldorp, f! Art Drukkerij v M.Miechielsen. Rot ahtogruospongoap ps Îtoypynag av NCO OMHAALVN COAV CHOISNELLIM A CAVV NOM 0 HHUAA 3 Bian. \ en MEE 6 D Ed 2 ee 5 F5 Or 2 aN sE Lo Tei) SAE GE 0) koos ESE Ee) Sm ei Win 5, ep, ej ) U, Re ST Xe ATA EE pe 200 DD En NWP RAUWENHOPE ovor-Dracacna Draco b. ett | n EN RE PT IT EEEN ett 1 Vr ht P Enne a ON mani rn so LLL DER DDO 87 SE PNA Sd DODE en Te ad De pC Te = mt, ORTE BE EENODEE an ER A E2, A1a0009909911000100009190900000000 112: aarpdoonnddno ij BABDOMBODDDADOOOONM DNA ADEN MDODO DOODDE ee VERH.D. KON, ACAD. V. WETENSCH. AFD. NATUURK., DX. Art Drukkerij vMMiechielsen Rott“ N.W.P, Rauwenhoff, ad.nat. del. * NWP RAUWENHOEFE over Dracaena Draco L. Art Drukkerij M Miechtelsen Rott 7 N.W.P. Rauwenhoff, ad.nat. del VERL D. KON. ACAD. V. WETENSCH, AFD. NATUURK. D. X. Nop vasprpa NK + Gaaspynag nv Peep JJ TMN NCO OMHAALVN AAV HOSNIELSEM A AVOV NOM OHHH \ AN A / 8 An STAN NLO A 'ë KS pe Bn goa von ve JAOUNAMAVH TMN ETEN PT Aad td KN dak “varied an ben ik Se acne BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 49 NASCHRIFT. Aangezien tusschen het opstellen van bovenstaande beschrijving en den druk ongeveer drie jaren verloopen zijn, zoo acht ik het noodig, die beschrij- ving met enkele bijzonderheden aan te vullen, ten einde ze op de hoogte van den tijd te houden. Ik maak van deze gelegenheid tevens gebruik tot inlassching van een paar bijzonderheden, die eerst later ter mijner kennis zijn gekomen. 1e. Bij de afbeeldingen van Dracaena Draco op bl. 6 opgenoemd, moe- ten nog gevoegd worden die in Curtis Bot. Mag. LXXVII. tab. 4571 _en de hieraan ontleende platen in v. Hourre, Flore des Serres et d, Jard. VL pl. 615 en in Lemarre Jardin Fleuriste. pl. 124. Behalve den be- roemden Dracaena van Orotava vindt men aldaar eene goede afbeelding van een der racemi uit de panicula in natuurlijke grootte, eene bloem ver- groot met stamen en pistillum afzonderlijk, en eindelijk eene tweezadige bes, dezelfde overlangs doorgesneden en het zaad. Bloemen en vrucht zijn beide juist afgebeeld, vooral de laatste, die volkomen het voorkomen teruggeeft van de. door mij (bl. 12 en 58) beschreven en op Pl. V, figg. 5 en 6 afge- beelde vrucht uit den Rotterdamschen Hortus. De bes is echter tweezadig, hetgeen overeenkomt met de beschrijving van BerrurLor en anderen, Dit schijnt werkelijk meermalen het geval te zijn. Intusschen heb ik ook bij eenige vruchtjes van een Dracaena Draco, die in 1861 in den Amsterdam- schen Hortus Botanicus gebloeid heeft, eenzadige bessen gevonden. Gelijk te verwachten is, gaat met de meer gelijkmatige ontwikkeling der ovula, ook éene meer evenmatige uitgroeijing {der carpella gepaard, zoodat de segmenten, waarin deze de kogelvormige bes verdeelen, niet meer onge- lijk, zoo als in Pl. V. fig. 5, maar nagenoeg gelijk van grootte zijn. Naar men mij te Amsterdam verzekerd heeft, waren de rijpe bessen aldaar rood ‚ 1 NATUURK, VERH. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL X,. 50 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. gekleurd, hetgeen overeenkomt met de beschrijvingen van vroegere waarne- mers (zie boven bl. 12). 2°. Eene belangrijke bijdrage tot bevestiging van hetgeen boven (bl. 4) opgemerkt is aangaande het ontstaan van luchtwortels, vindt men (bij vAn Hourre in Flore des Serres, VI. p. 259 en bij Lemarre, Jardin Fleuriste IH pl. 124), in de mededeeling van Dr. Mackay, Directeur van den Bota- nischen tuin te Dublin. Er bevond zich aldaar een fraai exemplaar van Dracaena Draco, gekweekt uit zaad, door hem op het eiland Madera gewon- nen en in 1810 uitgezaaid. Nadat de plant de laatste tien jaren in een pot bewaard was, werd zij in den vollen grond geplaatst; maar drie jaren later, in 1846, was zij zoodanig gegroeid, dat zij boven aan het dak van eene 20 voet hooge kas reikte. Nu was goede raad duur. Ten einde de plant te kunnen behouden zonder de kas uit te bouwen, kwam de Hortulanus Bain op de gedachte om van den stam een gedeelte weg te nemen. Ter hoogte van 4 voet boven den grond maakte hij in den stam eene horizon- tale insnijding over den halven omtrek ter diepte van 4 à Î duim, en be- smeerde de wonde met kalk, ten einde het uitvloeijen van sap te beletten. Na eenigen tijd maakte hij gedurig de insnijding dieper, zoodat eindelijk het bovenste geheel van het onderste was afgescheiden. Zes maanden later werd het verband geheel losgemaakt, en het bovenstuk bleef vrij hangen in de lucht aan de touwen die het in evenwigt hadden gehouden, terwijl het on- derstuk weggeworpen werd. In de acht volgende maanden, waarin de plant geheel droog werd gehouden, vormden zich aan het ondereinde van den stam talrijke dikke luchtwortels, waarna de plant in den grond gebragt, niet slechts welig groeide, maar achttien maanden later in rijken bloei stond. Deze bloemen (zegt de berigtgever) waren de eerste, die van Dracaena Draco in Groot-Brittannie levend gezien werden. Men heeft deze handelwijze zelfs aanbevolen, om het bloeijen van sommige planten te verhaasten. 35°. Bij het punt van waar de wortels van Dracaena Draco ontspringen, heb ik in mijn opstel niet uitvoerig stilgestaan, omdat ik hieraan niets buitenge- woons meende te bespeuren. Thans hierover nog een enkel woord, daar in de laatste jaren hierover verschil van meening is ontstaan bij onderscheiden kruidkundigen. Näeerr zegt (Beiträge zur wissensch. Botanik 1. 155), dat Calodracon lacquini Göpp. een onderaardschen stam, een ‘waren wortelstok met kleine schubvormige bladeren bezit, die als de bovenaardsche stengel een nn a nn haine BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 51 onbegrensden dikte-groei heeft. Deze wortelstok vormt eene kroon met on- derscheiden takken, waaraan adventiefknoppen, die tot ontwikkelde bebla- derde bovenaardsche stammen aanleiding geven, en waaraan zijdelings ware wortels ontstaan, die in maaksel en in groei grootendeels met de wortels der Palmen overeenkomen. Scuacnr daarentegen (Anat. und. Physiol. d. Gew. 1. 505) beweert, dat bij monocotyledonen, zelfs bij Dracaena, de werkzaamheid van den cambium- ring spoedig ophoudt in de wortelen, zoodat deze nooit eene aanzienlijke dikte bereiken. Dit geeft Näcrrr aanleiding om in eene noot (l. 1. p. 155) het vermoeden uit te spreken, dat Scmacur waarschijnlijk ware wortels heeft onderzocht, want zoo na verwante planten als Calodracon en Dracaena zullen ten opzigte van het rhizoma (den schijnbaren wortel) waarschijnlijk wel geen groot verschil vertoonen. Aan de gegrondheid van Näeeur's vermoeden aangaande den stam van Dracaena Draco meen ik te mogen twijfelen. Wat Calodracon betreft, hier vindt men een waren onderaardschen stam; bij Calodracon heliconiaefolius met knolachtige verdikkingen, die men scheuren, en daardoor de plant ver- _ menigvuldigen kan. Bij Dracaena Draco daarentegen splitst zich de bovenaardsche stam aan zijn voet in eenige hoofdwortels, op de wijze als dit bij Dicotyledonen plaats heeft. Zoo ver ik heb kunnen nagaan (hoewel ik de plant niet geheel heb opgegraven) ontstaan de wortels aan den voet van den bovenaardschen sten- gel, zoodat er waarschijnlijk geen onderaardsche stam aanwezig is. Ik heb ook nimmer gezien noch vernomen, dat Dracaena Draco zijscheuten of uit- loopers maakt, of door scheuren vermenigvuldigd kan worden. Geheel in overeenstemming hiermede, maar in strijd met Näerrr's vermoeden, is de uitkomst van een onlangs bekend gemaakt onderzoek van Casparv (Monats- bericht d. Kòn. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Juli 1862. p- 478), die zegt dat bij Dracaena Draco de wortel uit de basis van den bovenaardschen stam ontspringt en zich van boven verdikt. Bij Gordyline econgesta vond diezelfde natuurkundige (Ll. |. p. 477.) dunne, cilindrische wortels, die zich niet verdikken en uit den onderaardschen, loodregt neer- gaanden stam ontspruiten. 4°. Het zoo even genoemde opstel van Casparr tracht te betoogen dat een veel grooter getal planten, dan men gewoonlijk aanneemt, van vaten 7% 52 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L beroofd is, ten minste, wanneer men met v. Mour vaten noemt, open bui- zen uit de versmelting van boven elkander geplaatste cellen ontstaan, wier dwarswanden geheel of grootendeels verdwenen zijn. Wij zullen thans niet onderzoeken, of dit al of niet doorboord zijn der dwarswanden van zooveel beteekenis is als Caspary gelooft, hetgeen door sommigen betwijfeld wordt (men vergelijke b. v. de recensie van dit stuk in Nat. Hist. Review, Julij 1865. p. 566). Evenmin is het hier de plaats, om over des schrijvers be- schouwingen en over zijne eigene terminologie te spreken, zonder welker opzettelijke studie men zijn geschrift niet kan verstaan. Ik moet alleen opmerken, dat, zoover het nog aanwezige materiaal en mijne praeparaten mij toelieten, ik zijne aphoristische beschrijving van de structuur van Dracaena Draco getoetst heb, en die grootendeels juist heb gevonden. Bij den wortel heb ik zijne secundaire Leitbündel niet teruggevonden, (die misschien echter wel in oudere wortels dan ik onderzocht heb, kunnen voor- komen) en ik mis bij hem de beschrijving der kernschede. De Leitbündel in den stam zijn beschreven, overeenkomstig met hetgeen ik waargenomen en boven in mijne verhandeling aangeduid heb. Alleenlijk durf ik niet beslissen, of de spiraalvaten der primaire bundels (door CasParv Schraubencellen genoemd) altijd gesloten zijn, zoo als hij beweert. 59, Over de histologie der Coniferen verscheen in 1862 (Bot. Zeit. N°. 22. 50 Mai 1862. S. 169) een nader opstel van Drepeu (zie boven bl, 22), waarin echter over het maaksel der hofstippels geene nadere uitvoerige on- derzoekingen voorkomen. De schrijver houdt zich aan zijne in 1860 gege- ven voorstelling. In dat zelfde jaar is een hevige strijd ontstaan tusschen v. Mour en Scmacur over de verschillende structuur van stam- en wortel- hout en over de grootte der elementairorganen in deze deelen bij naald= en loofhouten (v. Mour in Bot. Zeit. 1862 S. 225, 255, 265, 277, 289, 515, 521 en 460. Semacur. Ibid. S. 409, 417, 1865 S. 46), maar over het maaksel der hofstippels, komt daarin niets voor, wat in verband met het bovengezegde nadere bespreking zou vereischen. Ook Tu. Harrie heeft nog nader over de hofstippels der Coniferen geschreven (Bot. Zeit. 1862. N°. 14 p. 105 en volgg.). Hij betoogt, dat Scnacur onregt heeft, door zich den hofstip- pel bij het volwassen weefsel geopend voor te stellen, en hij verdedigt nader zijne meening aangaande den aard dier hofstippels. (Zie boven bl. 25). Zijne argu- menten hebben echter mijne overtuiging nog niet aan het wankelen gebragt. BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. 55 Eene merkwaardige bevestiging van de uitkomst van mijn onderzoek van Dracaena, boven op bl, 27 vermeld, — dat bij deze soort en hare aanverwanten de hofstippels ook op rijper leeftijd door een vlies gesloten blijven — vindt men in het resultaat van Casparr (Monatber. d. Kön. Preuss. Akad. d. Wissensch. zu Berlin. Juli 1862. p. 462 en 465). Deze schrijver zegt na- melijk: «De poriën (zoo noemt hij de stippels) zijn dikwijls met een grooten hof voorzien, zoo als bij de Dracaenöen, maar ik vond den primairen wand steeds bewaard gebleven, hoewel die. dikwijls alleen onder de gun- stigste omstandigheden en met de beste lenzensystemen kon aangetoond worden.” 6°, Eindelijk nog een woord over de kieming onzer plant, nu ik door de goedheid van Prof. Oupemans te Amsterdam in de gelegenheid ben geko- men, om eene kiemplant te onderzoeken, die in 1861 in den Hortus Bota- nieus aldaar vrijwillig ontstaan en op houtazijn bewaard was. Gelijk men weet, heeft de kieming bij de Monocotyledonen op verschillende wijzen plaats, die door Rremarp onder drie hoofdafdeelingen gebragt zijn. Bij de Palmen vertoont zieh. het duidelijkst, wat Rrcmarp genoemd heeft germinatio admo- tiva. Hier verlengt zich het onderste gedeelte. der zaadlob tot een lang steel- — achtig ligchaam, en eerst daarna ontwikkelen zich radicula en _plumula, zoo- dat deze op eenigen afstand van het zaad gevonden worden, terwijl het grootste gedeelte van den cotyledon zelven in het zaad blijft en zich ten koste van het albumen vergroot. Hieraan verwant is de kieming van Dra- caena, hoewel het steelachtig ligchaam hier zeer kort is, zoodat bij Dra- caena zich als het ware een tusschentoestand vertoont tusschen de kiemings- wijze der Palmen en de germinatio immotiva der grassen, Groote overeen- komst is er met de kieming van Asparagus (zie Nees v. EsenBeEekK, Genera plantarum monoc. Vol. IL. Asparagus Fig. 20). — Bij het exemplaar, dat ik ter beschikking gehad heb, had zich een wortel van meer dan 10 cen- tim. lengte met eenige zijwortels gevormd, en twee knoopen waren boven het collam ontstaan op 2 en op 4 cent. van elkander verwijderd. Het col- lam zelf bevond zich op ongeveer £ cent. afstand van het zaad. De eerste blaadjes omvatteden elkander en den top der as kokervormig. Merkwaardig is de verandering die het zaad inwendig heeft ondergaan bij- de kieming. Wanneer men op Fig. 16 PI. II. (die een deel van deze kiem- plant voorstelt) het doorgesneden zaad vergelijkt met de doorsnede van het 54 BIJDRAGE TOT DE KENNIS VAN DRACAENA DRACO L. in de vrucht voorgestelde zaad op PI. V. Fig. 6, dan blijkt dit verschil duidelijk. De aanvankelijk kleine zaadlob heeft zich zoodanig vergroot, dat zij het grootste deel van het zaad heeft ingenomen (Pl. Il. Fig. 16 b) ten koste van het albumen, waarvan op de doorsnede niet meer dan de ring a aanwezig is. Zoover als deze verandering reikt, heeft ook eene aanzienlijke wijziging van celwand en inhoud plaats gehad. De dikwandige cellen met stippelkanalen, afgebeeld Pl. V. Fig. 8, worden alleen gevonden in den bui- tensten ring (Pl. IL. Fig. 16. a); over de geheele uitgestrektheid door b aangeduid, zijn zij vervangen door dunwandige cellen met fijnkorreligen inhoud. Over de wijze, waarop die verandering heeft plaats gehad, zal ik hier niet uitweiden, te meer niet, omdat, zoo ver ik bij het praeparaat heb kunnen nagaan, die verandering geheel overeenkomt met de verschijn- selen, onlangs door Jurrus Sacus beschreven voor de kieming van Phoenix dactylifera (Bot. Zeit. 1862. Ne. 51. p. 241 en volgg.) en aldaar afgebeeld op Pl. IX. Fig. 4. Ik meen hier naar te mogen verwijzen. In de vaatbundels van het asorgaan der jonge kiemplant worden spiraal en ringvaten, gestippelde vaten met schuine, spleetvormige stippels en uiterst kleine, maar toch hier en daar waarneembare gittercellen gevonden. Rotterdam 1863. GEEN ep vS Kad hi a e ‘ 4 es di dra et En jl oel & | ef BIJDRAGE TOT DE KENNIS BER MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE, NAAR AANLEIDING VAN EEN ONDERZOEK VAN EENIGE DOOR DIEPZEELOODINGEN VAN 990 ror 4000 VADEMEN UIT DIE ZER OPGEBRAGTE GRONDEN. DOOR P. HARTING. Uitgegeven door de Koninklijke Akademie van Wetenschappen MET DRIE PLATEN AMSTERDAM, C. G. VAN DER POST, 1863. AAT EN Ht nale | derde 4110 A20 BREA mrt DAE ran aas rete TENT HEE . , 4 El NIE baldir rd Ure ir in AE PEA aa . - Ë, 05 „ er 8 f k ä - £ a nd Kel gam k Fins Parthen BK UANE HEEE RDS :r7f 4 ges Ng ek A bites: ebeatreihe rhis den pehenhodes Bep gaf gn ies Cid 5 e Wi, rÀ U VER De d Lites 1e ee iel O4 | ieman ne) nne (er ad Hd WIR Nid rl En dia HE, TERCA aal: t : É ae REE, zit de E | } : ; el * ; 4 } E ak anehas WARE at à 1 7 / Kaf if $ N £ à an Pavel gum sk B ata ; fi HEAD RE he it ge An i AN: PARE 'é : dnf en jk we ú Ee EAS ape bro velt tray vate id nt oort ESR A0 Blans AR P\ ie n 4 / ts akrel D bid ‘ hi Park B É it É d NRD bes EE, ti Wd A en (2 5 j ni es Es: veins ie AAE AE overde BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE, NAAK AANLEIDING VAN EEN ONDERZOEK VAN EENIGE DOOR DIEPZEELOODINGEN VAN 990 ror 4000 VADEMEN UIT DIE ZEE OPGEBRAGTE GRONDEN *. DOOR P. HARTING. Het is bekend, dat in den loop der laatste jaren een aantal diepzeeloodin- gen in verschillende streken van den oceaan gedaan zijn, waardoor het ge- lukt is het relief van den zeebodem tot op diepten van verscheidene duizend ellen te leeren kennen. Bovendien is men er in geslaagd om, door aanwen- ding van den toestel van Brooke, zelfs uit zeer aanmerkelijke diepten ge- noegzame hoeveelheden van den grond naar boven te brengen, om deze aan een mikroskopisch onderzoek te onderwerpen en zoo de bestanddeelen, welke dien grond zamenstellen, te leeren kennen. Het eerste daartoe betrekkelijke onderzoek werd in 1844 gedaan door Ennensere j. Het betrof een grond, door Kapitein Sir James Ross op zijne gedenkwaardige zuid-poolreis in de zuidelijke IJszee gelood op 270 vademen diepte en door J. D. Hookenr, die, gelijk men weet, Ross op dien togt vergezelde, verzameld. * Voorgedragen in de zitting van 29 December 1860. t Monatsbericht der Berliner Akademie, 1844, p. 191, Mikrogeologie, T. XXXV A. 8 NATUURK, VERH. DER KONINKL. AKADEMIE DEEL X. 2 : BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER Het vruchtbaarst in dit opzigt zijn echter de loodingen in den Noorder Atlantischen oceaan geweest. Pourrarès * gaf een verslag betreffende die, verrigt nabij de oostelijke kusten der Vereenigde Staten, tot op diepten van 276 vademen. Eene uit- voerige beschrijving der bij deze loodingen opgebragte organismen werd gegeven door Barrer j. Gewigtiger nog waren de uitkomsten van het onderzoek der gronden op eenige punten van denzelfden oceaan, doch meerendeels ver verwijderd van de kust, uit diepten van 1080 tot 2000 vademen opgebragt, bij gelegenheid der loodingen, welke door Luitenant Berryman, op last der regering van de Vereenigde Staten, werden verrigt. Zoowel Barver S als EnrenBereG ** onderzochten deze’gronden mikroskopisch en gaven verslag van hunne be- vinding. Later hadden Barrer jj en EnrenBere SS nog gelegenheid eenige gron- den van denzelfden oceaan uit diepten van 410 tot 1950 vademen te on- derzoeken, welke bij de diepzeeloodingen tot opsporing van den meest ge- schikten weg voor het leggen van den íransatlantischen- telegraafkabel waren verkregen. Nog onlangs gaf G. CG. Warricm *** een beknopt verslag van zijne be- vinding aangaande den grond uit 4260 vademen opgebragt bij eene diepzee- looding halfweg tusschen Groenland en Terland, alsmede bij eene andere op 1915 vademen in denzelfden oceaan. % Proceedings of the American Association for the Advancement of Science, 1850. p. 84, en later in Report of U. 8. Coast Survey 1853, Appendix. p. 83. + Smithsonian Contributions to Knowledge, II. 1851. Art, II. $ American Journal of Science an Arte, March, p. 176 en Quart. Journal of Microsc. Science 1854, October, N° IX, p. 89. *& Monatsbericht der Berliner Akademie 1853. S. 782en 18548. bB4: Mikrogeologie, T. XXXV B. “+t Maury’s Sailing Directions, Sth Edit. Washington, 1858. Vol. T p. 168. $$ Monatsbericht d. Berl, Akad. 1857. S, 143. *&* Ann. a. Magaz. of Natural History, 83th Ser, Dec. 1860, Vol. VI. p. 457. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE, 5 Verders deelde EnrenxBere * ook de uitkomsten mede van zijn onderzoek der door Forges uit de Aegaeische zee op diepten van 17 tot 200 vademen opgehaalde gronden. Barver j onderzocht nog drie grondsoorten uit de zee van Kamschatka, op diepten van 900, 1700 en 2700 vademen, door Luitenant BrRoOKE ver- zameld; en eindelijk maakte dezelfde nog korten tijd vóór zijnen dood de hoofduitkomsten bekend van zijn onderzoek van den grond in de Koraal-zee op 15° Z. B. 162° O0. L., uit eene diepte van 2150 vademen S. De algemeene uitkomst van deze verschillende onderzoekingen is ge= weest, dat schier zonder uitzondering **, in alle de opgebragte gronden mikroskopische organismen gevonden zijn, hoofdzakelijk: Dintisein, Fora- miniferen. of Polythalamien, en Polycistinen, behalve de alleen door het mikroskoop herkenbare overblijfselen van andere grootere organismen, gelijk spons-spiculae enz. Op sommige plaatsen is het aantal der kleine kalk- en kiezelschalen zoo groot, dat deze in aanmerkelijke mate deel nemen aan de zamenstelling des bodems, zoodat thans zich aldaar nog krijtmergels vor- men, die geheel te vergelijken zijn bij die, welke, in voorwerelllijke perio- den, mede op den bodem der toenmalige zee ontstaan zijn, doch zich nu hoog boven hare oppervlakte verheffen. Het vinden dezer mikroskopische organismen op zoo anda ke diepten, dikwerf nog in geheel ongeschonden staat, zoodat zij zich schier als versch vertoonen, heeft aanleiding gegeven tot de vraag: of zij al dan niet, op de diepten, waar zij gevonden zijn, geleefd hebben? Deze vraag is door de beide bovengenoemde natuuronderzoekers, aan wie wij bijna uitsluitend de vermeerdering onzer kennis in deze rigting te danken hebben, in juist te- gengestelden zin beantwoord geworden. Straks zullen wij op dit nog onbe- sliste vraagstuk nader terugkomen en tevens de gronden uiteenzetten en kritisch beschouwen, welke daartoe leiden kunnen. % Monatsbericht 1854, S. 305. Mikrogeologie, T, XXXV A. f American Journal, July 1856. $ Maury’s Sail. Dir. Sth Ed, 1858, 1. p. 169, *&* Barry had alleen in den grond nabij New-Foundland op 75 vademen diepte geene organis- men gevonden, EngenBerG heeft echter later, bij een onderzoek van grond afkomstig van dezelfde plek, ook daarin eenige soorten waargenomen. Zie Monatsbericht 1854, S. 195. g* 4 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER Voorts heeft men ook reeds getracht uit de in het werk gestelde na= sporingen eenige algemeene gevolgtrekkingen af te leiden, betreffende de breedte- en diepteverspreiding der onderscheidene groepen dezer kleine we- zens, gevolgtrekkingen, die echter niet in allen deele onderling overeen- stemmend zijn, gelijk zich trouwens niet anders laat verwachten, wanneer men let op het geringe aantal der tot hiertoe waargenomen feiten en dit vergelijkt met de uitgestrektheid des bodems van den oceaan. Ik heb daarom gaarne gebruik gemaakt van de welkome gelegenheid om eenige door diepzeeloodingen verkregen gronden te onderzoeken, die afkom- stig zijn uit een gedeelte des oceaans, waaruit tot dusverre niets aangaande de zamenstelling des bodems bekend was *, en wel des te eerder omdat er onder de opgebragte gronden twee zijn uit zeer aanmerkelijke diepte, grooter dan die van eenigen grond, welke ooit aan mikroskopisch onderzoek onder- worpen werd. Gelijk reeds in het beknopte daaromtrent door de Commissie, waarvan ik de eer had lid te zijn, uitgebragte Verslag j vermeld is, zijn deze diepzee- loodingen, gedurende de maanden April, Mei en October, verrigt aan boord van Z. M. brik Cachelot, onder bevel van den Kapitein-Luitenant A. F. SIEDENBURG, en wel op de volgende plaatsen en diepten: L. 990 vademen, 5°51' Z.Br. 128°2}' O.L. II. 4200 « 449 «°° 1295 « had HI. 2050 « 552 « 128951 cc IV. 2700 « 6°40' « 12647 « V. 4000 « 4920’ « 129°26' « De onderzochte gronden zijn derhalve alle afkomstig uit de Banda-zee, * Voor zoover ik weet, is de eenige diepzeelooding, waardoor grond uit den Indischen oceaan is opgebragt, welke mikroskopisch onderzocht is, die verrigt door Kapitein PULLEN, op 5°37' Z. Br, en 61°33' O.L, ter diepte van 2200 vademen, derhalve in een geheel ander gedeelte van dien oceaan, ruim 78 aequator-graden verwijderd van het punt, waar de diepzeeloodingen gedaan zijn, welke de stof tot deze mededeeling hebben geleverd. Overigens is een uitvoerig onderzoek van dien grond mij niet bekend, maar alleen de optelling van eenige daarin gevonden soorten van. het geslacht Asterolampra door R. K, Grrviure, te vinden in het Quart. Journal of Microse. Science, April 1860, N° XXXI, p. 102. + Zie Verslagen en Mededeelingen, Afd. Natuurk, DI, XI. blz. 286, MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 5 ' Ne. II, HI en V in de lijn van Banda naar Amboina, N°. 1 iets westwaarts daarvan, ten zuiden van Ambon, N° IV daarentegen op vrij grooten afstand van die lijn in eene zuid-westelijke rigting verwijderd, op omstreeks 14 tot 2 mijlen van het vulkanisch eilandje Goenong Api. Opmerkelijk voorzeker is het, dat op eenen betrekkelijk zoo korten af- stand, als ‘die tusschen Banda en Amboina, eene zoo diepe zee wordt „aan- getroffen, waarvan het diepst geloode punt slechts weinig minder diep is dan de grootst bekende diepte van den Noorder Atlantischen oceaan, die Europa van Amerika scheidt. Evenzoo is het eenigermate onverwacht, nog in het gezigt van eenen uit de zee oprijzenden vulkaan eene diepte van 2700 va- demen te vinden. De voorzorgen echter, welke bij deze loodingen zijn in acht genomen, strekken ten waarborg, dat de daarbij verkregen uitkomsten niet ver bezijden de waarheid kunnen zijn, en wat bepaaldelijk de geloode diepte van 4000 vademen betreft, zoo is deze waarschijnlijk eer te laag dan te hoog geschat, daar bij deze looding in het geheel eene lijn van 5000 vademen was afgeloopen, maar alleen dat gedeelte, namelijk ten bedrage van 4000 vademen, hetwelk in volkomen geregeld klimmende tusschentijden af- ‚liep, als werkelijk de diepte aanwijzende is beschouwd. Overigens verwijzen wij dengene, die de bijzonderheden dezer diepzeeloodingen nader mogt wen- schen te kennen, naar het daaromtrent door den heer SrtepenBure zelven gegeven verslag, hetwelk gedrukt is in het door het Kon. Nederl. Meteor. Instituut uitgegeven Verslag, getiteld: Onderzoekingen met den zeethermometer, als witkomsten van wetenschap en ervaring, enz. 1861, bl. 160 en volg, hier alleen nog aanstippende, dat voor alle deze loodingen gebruik is gemaakt van de inrigting van Brooke, echter met eene kleine wijziging, welke daarin door den Heer SrepenBURG gemaakt en ter genoemde plaatse nader beschreven is. De verzamelde gronden waren, zoo als gewoonlijk, aan vet gehecht, en hunne hoeveelheid was bovendien zeer gering. Ik maak van deze omstandig- heden hier gewag, omdat het voor de volledigheid van het onderzoek inder- daad wenschelijk is eensdeels dat men over grootere hoeveelheden te be- schikken hebbe, anderdeels dat deze vrij zijn van het vet, welks geheele verwijdering steeds moeijelijk is. Dat daartoe, althans in sommige gevallen, de mogelijkheid bestaat, blijkt uit het medegedeelde in het Verslag over die diepzeeloodingen (bl. 165), alwaar omtrent die op 1200 vademen vermeld wordt: dat, toen de ijzeren toestel binnen boord gekomen was, deze geheel , 6 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER bedekt was met bijna witte modderachtige klei. Nu zal het, wel is waar, slechts zelden gebeuren, dat de grond op die wijze wordt boven gebragt, daar de aan den toestel los aanhangende deelen in den regel. zullen afge- spoeld zijn, alvorens deze de oppervlakte des waters bereikt heeft, maar, wanneer, gelijk in het onderhavige geval, zij werkelijk nog daaraan kleven, dan heeft men gelegenheid eene grootere hoeveelheid, niet verontreinigd door vet, daarvan in te zamelen, en het is wenschelijk dat die gelegenheid voor- taan niet meer onbenuttigd voorbij ga. Welligt is het ook mogelijk den grond op eene andere wijze naar boven te voeren dan door middel van vet. Reeds zijn twee inrigtingen beschreven, waarvan althans de eene mij voorkomt eene nadere toetsing te verdienen. Ik bedoel die van Warrrcu *, hoofdzakelijk bestaande uit een klein ver- gaarbakje, waarvan de opening door een klep gesloten is, die zich van zelf door drukking op eene veer opent, wanneer de toestel, den bodem bereikt, om zich weder te sluiten zoodra deze wordt opgehaald. Minder gepast en alleen bij ondiepe loodingen in de nabijheid der kust bruikbaar schijnt mij de zuigsonde toe, welke door Grar is uitgedacht en door Jon. Mürrer aanbevolen, tenzij men deze ook zoodanig inrigte, dat zij zich van zelf opent op het oogenblik, dat zij den bodem bereikt, en zich weder sluit, wanneer zij daarmede niet meer in aanraking is. Ik maak van deze voorslagen tot verbetering der wijze van verzameling des gronds slechts in het voorbijgaan gewag, ten einde er de aandacht der zeevaarders op te vestigen. Zij zelve kennen het best de eigendommelijke bezwaren, die aan diepzeeloodingen verbonden zijn, en zullen dus ook het best weten, in hoe verre het hun mogelijk is, zich de gegeven wenken ten nutte te maken en in praktijk te brengen. Eene opmerking zij mij hier nog veroorloofd; zij betreft de wijze van bewaring van den op deze of op de gewone wijze verzamelden grond, Voor het onderzoek is het namelijk wenschelijk, dat een gedeelte in gedroogden, een ander in vochtigen toe- stand bewaard worde, hetzij op rum, arak of eenig ander sterk alkoholisch vocht, of nog beter op het bewaarvocht van GoapBY, waarvan hieronder de zamenstelling is opgegeven $. * Quart. Journ, of Mierosc. Science, XXV, p. 1. Y Abhand. d. Berliner Akademie. 1858. p. 27. + $ Deze is: 8 med. onsen keukeuzout, & onsen aluin en 8 grein sublimaat, opgelost, in 9 kan MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 7 Omtrent de door mij gevolgde onderzoekingsmethode kan ik kort zijn. Zij was die, welke men gewoon is in alle dergelijke gevallen te bezigen. Al- leenlijk beb: ik, ter verwijdering van het vet, in plaats van den vroeger tot hetzelfde doel veelal gebruikelijken ether of terpenthijnolie, benzol aange- wend, omdat deze iets spoediger tot het doel leidt. Nadat het poeder hierdoor van het aanhangend vet bevrijd was, werd het op glasplaatjes verdeeld en er canadabalsem op gebragt, met een dekplaatje. Aldus werd een aantal praeparaten verkregen, die nu geschikt waren voor. het mikroskopisch onderzoek der daarin voorkomende vormbestanddeelen. Alvorens over te gaan tot de mededeeling der resultaten van dit onder- zoek, moet ik hier nog opmerken, dat van zeer vele der waargenomen kiezel- en kalkschalen slechts’ grootere of kleinere fragmenten voorhanden waren, zoodat in verscheidene gevallen eene volledige bepaling en beschrijving der soort niet uitvoerbaar waren. De bijgevoegde afbeeldingen, die alle gemaakt zijn bij doorvallend licht en bij eene 500malige vergrooting, zullen evenwel, naar ik vertrouw, voldoende zijn om later, wanneer door een grooter mate- riaal naauwkeuriger soortbepalingen mogelijk zijn geworden, de hier gevon- _den soorten te herkennen. N° 1. GROND VAN 990 VADEMEN. In het bovengenoemd verslag van den heer SrepeNBURG wordt deze grond genoemd: fijn grijs zand met gebroken schelpen. Deze benaming wordt niet bevestigd door het mikroskopisch onderzoek van het aan het vet klevende poeder. Dit vertoont zich veeleer als eene zeer fijne klei, roodbruin gekleurd door zeer talrijke, uiterst kleine ijzeroxyd-moleculen, waartusschen eenige weinige grootere scherphoekige fragmenten van verschillende niet nader be- paalbare mineralen verspreid liggen. Het gelukte mij niet daarin eenig spoor water. Ditzelfde vocht is ook zeer geschikt voor de bewaring van kwallen, polypen en weekdieren. Natuurlijk kan dit zoutmengsel ook in droogen toestand worden medegenomen, om, naar gelang men er behoefte aan heeft, daarvan een gedeelte, des noods in zeewater, op te lossen. Het laatste dient dan echter vooraf gefiltreerd te worden ter verwijdering der welligt daarin zwevende kleine organische wezens, wier overblijfselen anders onder de bestanddeelen van den grond gemengd zou- den geraken. 8 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER van organismen te vinden, noch van die welke alleen door het mikroskoop zigtbaar zijn, noch van schelpfragmenten, afkomstig van grootere weekdieren. Indien deze in den opgebragten grond geweest zijn, dan waren zij derhalve in elk geval daarin niet in fijn vergruisden toestand aanwezig. N° IL. GROND VAN 1200 VADEMEN. Blijkens het verslag duurde het uitloopen der lijn, alvorens de bodem bereikt werd, slechts 17 minuten en 19 seconden, terwijl daarentegen aan het inhalen meer dan 2; uur werd besteed, De oorzaak hiervan werd op- gehelderd bij het binnen boord komen van de stang met den nog daaraan bevestigden 60ponds kogel, beide bedekt met licht-grijze modderachtige klei. De heer StepenBurea besluit daaruit, dat de grond op dit punt zoo week was, dat de kogel niet van de stang heeft kunnen glijden, uit gebrek aan genoegzamen weêrstand. Bij mikroskopisch onderzoek blijkt, dat de minerale bestanddeelen groo- tendeels gevormd worden door een uiterst fijn moleculair gruis, waarvan de deeltjes onderling zijn zamengeklonterd, met weinige, daartusschen verspreid liggende, iets grootere fragmenten van rotsgesteenten, die alle scherpkantig zijn. Van alle de onderzochte gronden is deze de rijkste aan organismen. Deze maken meer dan de helft der geheele massa uit. DIATOMEËN. » 1. Coscinodiscus irradiatus He. fig. 1. Zeer na overeenstemmende met C. radiatus Enr., alleen met dit verschil, dat de polyëdrische vakjes niet tot aan den rand der klep gaan, maar dat zij daar begrensd worden door een smallen zoom, welke fijn gestreept is. 2. Coscinodiscus minor Eur. fig. 2. 3. Coscinodiscus radiopunctatus He. fig. 5. Deze soort komt in de teekening der kleppen nabij aan C. profundus Eur. (Mikrogeologie, T. XXXV B. fig. 8) uit de diepte van den Atlantischen oceaan, doch zij is minstens de helft kleiner (40 mmm), en de cellen of vakjes, die het middengedeelte der klep innemen, zijn veel kleiner en min- der digt opeengedrongen. In dit opzigt nadert zij meer tot C. subtilis Eur, waarvan zij zich alleen onderscheidt door de straalsgewijze zeer fijne streep- jes aan den rand der klep. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 9 Van alle drie deze soorten van Coscinodisci zijn verscheidene exemplaren waargenomen. 4. Amphora? tig. 4. Slechts een enkel exemplaar aangetroffen. FORAMINIFEREN. 5. Rotalia intermedia Hea. fig. 5. Slechts één voorwerp dezer soort is waargenomen. Ik heb haar dezen soortnaam gegeven, omdat zij het midden houdt tusschen R. lepida Eur. en R. Pandorae Eur. m de betrekkelijke grootte der verschillende kamers. 6. Ptygostomum spec. fig. 6. 1. Ptygostomum spec. fig. 7. 8. Globigerina spec. fig. 8. 9. Globigerina spec. fig. 9. Van deze vier soorten (6 tot 9) liggen talrijke grootere en kleinere frag- menten in de massa verspreid, Het is mij niet gelukt, deze met zekerheid tot reeds bekende soorten terug te brengen. De beide Ptygostomen herin- neren echter Ptygostonum Orphei Eur. van den bodem des Atlantischen Oeeaans (Mikrogeologie, T. XXXV, B. fig. 1 en 2). Het zoude kunnen wezen, dat de beide door mij afgebeelde, uit eenige kamers bestaande fragmenten ook van ééne soort afkomstig zijn, en dat het ontbreken of liever het on- duidelijk zijn der openingen in de kamerwanden der eene slechts het gevolg is van een langer verblijf op den bodem der zee na den dood van het dier. Reeds vroeger * heb ik op deze soort van verwering der oppervlakte, waar- door dezelfde soorten van Foraminiferen zich dan eens met dan weder zonder poriën vertoonen, opmerkzaam gemaakt. Eene der Globigerinen (N°. 9) nadert ook zeer tot G. tennata van den bodem deszelfden oceaans (Mikrogeologie, ibid., fig. 5 en 6). Alleenlijk zijn de eerstgevormde kamertjes in deze laatste iets grooïer. 10. Bulimina (?) ovulum He., fig. 10 a en b, in twee verschillende rig- tingen gezien. Drie exemplaren zijn waargenomen, waarvan er echter slechts een geheel ongeschonden scheen te zijn. De lengte-doormeter van dit voor- werp bedraagt 100 mmm. * Zie: De Bodem onder Amsterdam, Verband. der Eerste Klasse van het Kon. Ned. Instituut, 3de Reeks, 5de Deel. bl. 42. Î 9 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE DEEL X. 10 „ BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER Het is met eenigen schroom, dat ik deze soort tot het geslacht Bulimina van p'OrBrany breng; hare stelling daarin kan slechts als eene voorloo- pige beschouwd worden. 11. Grammastomum (Teztilaria) Falz Eur. fig. 11. Slechts eenmaal gevonden en zonder de laatste kamer. Naar de afbeel- ding te oordeelen, die EnrenBerG (Mikrogeologie, P. XXIII, fig, 15) van de species, welke in den Nummulitenkalk der pyramide van Gyzeh voor- komt, gegeven heeft, is deze daaraan in gedaante alsmede in het ontbreken van openingen gelijk, doch alleen iets grooter. Behalve deze mikroskopische Foraminiferen-schalen, bevinden zich in dezen grond nog een aantal fragmenten der schalen van grootere soorten uit de- zelfde afdeeling. Een dezer fragmenten is afgebeeld in fig. 12; daarin gaan van uit de openingen in de schaal stersgewijs kleine stralen uit, min of meer op de wijze als bij beencellen. In andere fragmenten zijn de openingen ech- ter zuiver rond. Vermoedelijk zijn het brokstukken van meer dan ééne soort. POLYCISTINEËN. 12. Haliomma nitidum He. fig. 15 en fig. 14. Van deze soort zijn alleen fragmenten gevonden. De grootere, gelijk die, welke afgebeeld zijn, duiden op eenen doormeter der schaal van 170 tot 180 mmm. Deze Haliomma nadert door de tamelijk regelmatige gedaante der mazen van de schaal tot MH, hezagonum Eur. van den bodem des Atlanti- schen Oceaans, doch de Indische soort is grooter, de mazen, waaruit de schaal bestaat, zijn talrijker, en ook zijn er meer stekels langs den rand der schaal geplaatst. Daar deze echter bij de onderzochte voorwerpen altijd ge- heel of ten deele afgebroken zijn, zoo is hun normaal aantal niet met zeker- heid te bepalen; het schijnt echter 10 te zijn. 15. Haliomma gracile He. fig. 15. Doormeter 68 mmm. Deze soort van Haliomma, waarvan slechts één exemplaar voorkwam, nadert zeer door de dunne kanten of balken tot H. spinulosum Müur. uit de Middellandsche zee *. De mazen zijn echter de helft kleiner, Ook was in het onderzochte voorwerp geen kern zigtbaar. * Abh. d, Berl, Akad. 1858, S. 39. T. IV, fig. 6 en 9. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 11 14. Haliomma lens He. tig. 16. Grootste doormeter 66 mmm. Eene kleine soort van eenigzins ellipsoïdi- sche gedaante, met rondachtige op rijen geplaatste mazen en twee fijne spi- eulae tegenover elkander in de lengte-as, die zich tot in het binnenste der schaal voortzetten. 15. Haliomma pyriforme He. fig. 17. Aan het eenige gevonden voorwerp ontbreekt nog ongeveer een derde dee schaal, welke uit zeer groote mazen bestaat, terwijl men door de eene opper- vlakte heen de andere ziet. De grootste doormeter bedraagt 160 mmm. Deze soort onderscheidt zich van alle andere van dit geslacht, door dat de schaal noch rond noch langwerpig rond, maar eenigzins peervormig is. Er zijn geen stekels noch spiculae aan zigtbaar. 16. Haliomma scutum He. fig. 18. Met eenigen twijfel breng ik dezen vorm tot het geslacht Haliomma. Twee exemplaren zijn daarvan gevonden. Beide hebben dezelfde langwerpig schild- vormige, aan het eene einde verbreede gedaante, met rondachtige op eenig- zins onregelmatige dwarse rijen geplaatste mazen, en in beide- vertoont zich, geheel op dezelfde wijs, het stelsel van schijnbare intercellulaire ka- nalen, gelijk dit in de figuur is afgebeeld. De lengte-doormeter bedraagt 120 mmm. * 17. Flustrella eyclica He. fig, 19. Vrij talrijk, im grootere en kleinere brokstukken. De celachtige mazen van het middengedeelte zijn tamelijk regelmatig zeshoekig, die van den bui- tenzoom kleiner en onregelmatiger. Rondom het middelpunt vertoonen zich een aantal (5 tot 8) cirkelronde, met lucht gevulde intercellulaire gangen. 18. Lithoeyclia reticulata He. fig. 20. 8 Nabijkomend aan Lithoeyclia Ocellus Eur, uit den Polycistinen-mergel van Barbados (Mikrogeologie, P. XXXVI, fig. 50), doch er van verschillend door den vierhoekigen vorm der straalsgewijs geplaatste mazen, die den rand- zoom daarstellen. * In Ne. 13, 14, 15 en 16 zijn geene kernen waargenomen. EareNBerG heeft de kernlooze Haliommen tot een afzonderlijk geslacht Cenosphaera vereenigd (Monatsbericht, 1854, S. 237). Wan- neer echter de schalen gebroken zijn, dan is het zeer moeijelijk te beslissen, of er een kern al dan niet aanwezig is geweest. Het is daarom dat ik de boven vermelde soorten voorloopig onder het geslacht Haliomma gerangschikt heb. ” g* 12 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER 19. Lithocampe corbula He. tig. 21. Lengte 150 mmm. Drie geledingen, de achterste half bolvormig, de beide andere bijna eylindrisch, met op dwarse rijen geplaatste kleine vierhoekige openingen. 20. Lithocampe sinuosum He. tig. 22. Lengte 96 mmm. Deze soort kenmerkt zich door een tamelijk breeden, doorschijnenden buitenzoom en den golvenden loop zoowel van dezen als vooral van den binnenwand. De gedaante is kegelvormig. Er zijn slechts twee le- den, die door eene scherpe insnijding, ook in den buitenzoom, gescheiden. zijn. De kleine vierkante openingen staan op dwarse rijen. 21. Kueyrtidium? fig. 25. 22. Podoeyrtis brevipes He. lig. 24, Lengte 120 mmm. Kegelvormig; drie geledingen, met ronde op onregel- matige dwarse rijen geplaatste openingen in de schaal; vier korte stekels aan den voorrand der opening. In de figuur zijn daarvan slechts drie zigtbaar. 25. Acanthodesmia arcuata He. fig. 25. Deze soort, waarvan verscheidene fragmenten voorhanden zijn, nadert in algemeene gedaante zeer tot A. vinculata Mürr, * uit de Middellandsche zee, doeh is meer dan dubbel zoo groot. Ook schijnt het aantal der kiezelbalken kleiner te zijn, voor zoo ver zich dit beoordeelen laat uit de aanwezige voorwerpen, waarvan er geen in zijn geheel is. 24. Acanthodesmia inermis He. tig. 26. Ook van deze soort zijn alleen fragmenten voorhanden, die zich van die der vorige soort onderscheiden door het ontbreken der puntige uitsteeksels, terwijl de kiezelbalken in het algemeen dikker zijn. 25. Lithoeircus? fig. 27. 26. Verscheidene fragmenten van eene niet nader bepaalbare soort, met op regelmatige rijen geplaatste groote openingen (zie fig. 28). Daar deze stukjes nagenoeg plat zijn, kunnen zij niet van eene Haliomma afkomstig zijn, waaraan anders hun maaksel het meest herinnert. SPICULAE EN ANDERE KIEZELLIGCHAAMPJES VAN SPONSEN. 27. Spongolithis acicularis Eur. ig. 29, 50 en 51. 28. Spongolithis gigas Eur. fig. 52. * Lc S, 30, T. L fig, 4—7. “ MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 15 29. Spongolithis cenocephala Eur. fig. 55 en 54. 50. Spongolithis Anchora Eur. fig. 55. 31. Spongolithis ? fig. 56. 52. Pollinula ovum He. fig. 57. Met dezen voorloopigen naam bestempel ik een ligchaampje van eironden vorm, 70 mmm. lang, uitwendig geheel bezet met digt. bijeenstaande, korte scherpe stekeltjes op regelmatige rijen. Vermoedelijk eene zoogenaamde gem- mula van eene of andere sponssoort. No. TIE. GROND VAN 2050 VADEMEN. In het verslag van den heer SrepeNBURG staat opgeteekend, dat deze grond zwarte zachte modder is, en dat, even als in het vorige geval, waar- schijnlijk alleen ten gevolge van de weekheid des bodems, de kogel aan den toestel was blijven hangen. Het mikroskopisch onderzoek leerde, dat de minerale bestanddeelen vol- komen dezelfde zijn als in N°. IL, doch dat daarentegen de organische in- … mengselen veel verschillen, zoodat slechts weinige soorten in beiden gemeen- schappelijk voorkomen, terwijl de Foraminiferen, welke in Ne. Il talrijk zijn, hier daarentegen geheel ontbreken, hetgeen voor een deel ook rekenschap geeft van het verschil in kleur der beide gronden. Overigens is het aantal der organische overblijfselen in dezen grond weinig minder groot, zoowel wat de soortenrijkheid als wat het aandeel, dat zij aan de gezamenlijke massa nemen, betreft. In de volgende optelling der waargenomen soorten, zijn die, welke ook in N°. If gevonden zijn, met een * aangeduid. DIATOMEEN. 1*. Coscinodiscus irradiatus He. Tamelijk talrijk. 2*. Coscinodiscus radiopunctatus He. Tamelijk talrijk. 3. Campylodiscus arachnoïdes He. fig. 58. Eene fraaije soort van dit geslacht waarvan slechts één goed bewaard exemplaar gevonden is. De schaal is nagenoeg cirkelrond en heeft een door- snede van 104 mmm. Tegen den buitenwand steunen ter weêrszijden straals- gewijs geplaatste vakjes met dubbele grenslijnen ; elk dezer vakjes, alleen met 14 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER uitzondering der kleineren nabij de beide pooleinden, is nog door een dwars tusschenschotje, afwisselend geplaatst met die in elk der aangrenzende vak- ken, in tweeën verdeeld. De grootte dezer vakken neemt in twee rigtingen af, en zoo omgeven deze eene groote elliptische middenruimte, aan welker beide einden zich twee tegenover elkander staande vrij groote, eironde krin=- gen of openingen vertoonen. In het midden der schaal is een veelhoekig vakje, waartegen aan andere vijf- of zeshoekige vakjes grenzen, die op hunne beurt weder door andere dergelijke vakjes begrensd worden. Al deze vakjes, welke de middenruimte innemen, hebben zeer dunne grenslijnen, en dit geheele ge- deelte herinnert eenigzins het webbe eener spin, hetgeen dan ook aanlei- ding tot de soortbenaming heeft gegeven. * 4. Grammataphora elongata He., lig. 59. Slechts één exemplaar, zich van de overige soorten van dit geslacht vooral onderscheidende door den grooten lengtedoormeter, die 160 mmm. bedraagt. De beide middenstrepen loopen regt, zonder andere bogten dan die ter plaatse waar zij, ombuigende, elkander ontmoeten. POLYCISTINEËN. 5. Haliomma polyacanthum He., fig. 40. Deze soort behoort tot de grootere van haar geslacht. Haar grootste door- meter bedraagt 190 mmm, dus bijna $ millim. De schaal is niet geheel rond maar eenigzins langwerpig rond. De mazen zijn groot, met tamelijk dikke balken, die onregelmatig ronde openingen begrenzen, van zeer ongelijke grootte. Ook in hare verdeeling is geen regelmaat herkenbaar. Langs de randen staan, mede onregelmatig verstrooid, talrijke korte stekels op drie of vier rijen. Eene voortzetting der stekels binnenwaarts in de schaal was niet waarneembaar. Het naast komt deze soort bij H. echinoïdes Müur. f uit de Middelland- * Naschrift. Sedert deze verhandeling is aangeboden, is een opstel van R. K. GREVILLE ver- schenen, getiteld: Descriptions of New and Rare Diatoms. Series IX (Quat, Journat of Microsco- pical Science, Julij 1868 p. 63), waarin. hij, onder andere, eenige vormen beschrijft, welke door hem gevonden zijn in aarde van Barbados, en met den boven beschreven Campylodiscus arachnoides in eenige hoofdpunten van het maaksel overeenstemmen. GrEviLLe heeft de door hem beschreven soorten tot een nieuw geslacht, Porodiscus, vereenigd, waaronder derhalve ook C. arachnoides kan gerangschikt worden. ï + L. ec. 8.36, T. V. fig. 3. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 15 sche zee, maar deze is een derde kleiner, bolrond en heeft een veel gerin- ger aantal stekels, die symmetrisch geplaatst zijn en waaronder grootere voorkomen, die zich in het binnenste der schaal naar de kern voortzetten. 6. Haliomma inermis He., fig. A1; in a de schaal van de oppervlakte, in b van binnen gezien. Slechts een enkel groot fragment, van 194 mmm. in middellijn, doch vol- ledig genoeg om daaruit tot het maaksel der soort te besluiten. De gedaante is nagenoeg kogelrond. Van uitwendige aanhangsels is geen spoor waarneembaar. De mazen zijn groot, zeshoekig en in regelmatige rijen geplaatst. Hare ruimten vertoonen zich fijn gestippeld, vermoedelijk omdat daarin eene fijnkorrelige stof bevat is, die eigenlijk aan de schaal vreemd is en niet anders is dan de allerfijnste tot moleculen vergruisde deeltjes, die tot de minerale bestanddeelen van den bodem behooren *. De in het midden der schaal geplaatste, door dunne spiculae daarmede verbonden bolronde kern bestaat uit twee concentrisch eene middencel om- gevende lagen van celachtige mazen, 7. Haliomma oblongum He., fig. 42. __Een enkel voorwerp van 196 mmm. lengte; bol, schildvormig, zeer lang- werpig (dubbel zoo lang als breed), met groote zeshoekige mazen in het midden der schaal, waar ook een kern doorschemert, en kleinere meer rond- achtige mazen naar de randen toe. Aan het eene smalle einde zijn een paar korte stekels; vermoedelijk zijn die aan het andere einde afgebroken. 8. Haliomma amphiaspis He., fig. 45. Lengte 54 mmm. Jeugdige toestand? Jon. Mürrer (l. c. p. 21) heeft bij de veel grootere H. amphidiscus uit de Middellandsche zee waargenomen, dat in den jeugdigen toestand de schaal aan den rand gespleten is, zoodat zij zich, van terzijde gezien, ongeveer in denzelfden vorm vertoont als die welke in fig. 45 is afgebeeld. Het is om die reden, dat ik meen ook deze voor eenen jeugdigen vorm van eene soort van dit geslacht te moeten houden. ï Mogt echter later blijken, dat deze vorm persisterend is, dan zoude de * Hetzelfde nam ik waar bij eenige andere Polycistineën, vooral bij de zoodanige, welker schaal zeer kleine openingen heeft, zoo als de Lithocampe-soorten. Het laat zich begrijpen, dat het moleculaire grais, eenmaal daarin gedrongen zijnde, er gemakkelijker in hangen blijft, dan wan- neer de mazen grooter zijn. 16 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER geslachtsnaam Amiphiaspis daaraan kunnen gegeven worden, als uitdrukkende de vereeniging van twee schildvormige plaatjes door eene commissuur ter weerszijde. 9*. Haliomma (P) scutum He. 10. Tetrapyle (?) polyacantha He, fig. 44. Alleen om geen nieuw geslacht op gebrekkige gegevens te gronden, zij deze soort, waarvan mede slechts één exemplaar gezien is, voorloopig gerang- schikt in het Mürrersche geslacht Tetrapyle. De algemeene gedaante her- innert daaraan. Doch terwijl bij Tetrapyle ter weerszijde in de schaal twee openingen (in het geheel dus vier) zijn, is er hier slechts ééne zigtbaar, waarvan het bovendien geenszins zeker is of zij niet het gevolg eener be- - leediging is. Ook de asymmetrie der stekels, waarvan er zes aan de eene en drie aan de andere zijde staan, kan daardoor veroorzaakt zijn, hoewel de _ plaatsen van afbreking niet meer te herkennen zijn. Opmerking verdient nog, da det randmazen veel dunner balken hebben, dan die welke het mid- den invemen. 11. Rhopalastrum bandaicum He. fig. 45. Grootste doormeter 254 mmm. Geen eigenlijke, door een bijzonder maak- sel van bet overige ligchaam onderscheiden kern, alleenlijk zijn de mazen in het middendeel het kleinst en nemen buitenwaarts in grootte toe. De rand is nergens gesloten, dan alleen ter weerszijde van elk der drie stralen of hoornen, waar zich een eenigszins bolle, verdikte kant bevindt. 12. Rhopalastrum ? Fig. 46. Een fragment, waarvan de stelling in dit geslacht zeer onzeker is. 15. Flustrella micromma He., fig. 47. Vrij talrijke exemplaren van onderscheiden grootte, de grootste 150 mmm. in middellijn. De min of meer straalsgewijs geplaatste openingen zijn klein. Rondom het middenpunt 5 tot 8, niet volkomen cirkelvormige, schijnbare in- tercellulaire gangen. 14. Cladospyris moluccanus He, fig. 48. Grootste doormeter 112 mmm. De beide helften der schaal, elk ruim drie vierde van een bol uitmakende, zijn door eene diepe insnijding gescheiden; hare wanden worden gevormd door weinige, meerendeels groote mazen van ongeregelde gedaante ‘en stelling, aan de oppervlakte staan talrijke stekels, waarvan sommige vorksgewijs verdeeld zijn; het midden wordt ingenomen door een ronde kern, bestaande uit eene middencel, omgeven door drie con- MIKROSKOPISCHE FAUNA tN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 17 centrische lagen van vierhoekige mazen met dunne balkjes, waarvan de bui- tenste het grootst zijn. 15*. Lithocampe corbula He. 16. Podoeyrtis micracanthus He, fig. 49. Lengte 100 mmm. Vier geledingen, waarvan het voorste of grootste bijna eylindrisch is. Aan beide uiteinden twee zeer korte stekeltjes. Rondachtige, op dwarse rijen geplaatste openingen in de schaal. 17”. Acanthodesmia inermis He. 18. Lithocircus annulus He, fig. 50. Dit voorwerp komt zoozeer overeen met L. annularis Mürr. uit de Mid- dellandsche zee bij Nizza (l. c.p. 29. T. 1. fig. 1), dat men beide voor dezelfde soort zoude houden. Het eenige verschil is, dat in het door Möür- LER afgebeelde voorwerp de kiezelring vijf en in dit zes vertakte uitsteek- sels heeft, terwijl daaraan bovendien nog een paar kleinere zigtbaar zijn. SPICULAE EN ANDERE KIEZELLIGCHAAMPJES VAN SPONSEN. 19*. Spongolithis acicularis Eun. 20". » gigas Eur. 21°, » cenocephala Kun. 22". » Anchora Eun. 25. Spongolithis? fig. 51. Welligt eene spicula van eene Polycistinee, waaronder er mede zijn, zoo als Haliomma longispinum Mürrer, die van zeer lange met plaatselijke pun- tige verdikkingen bezette stekels voorzien zijn. De gebogen vorm maakt het echter meer waarschijnlijk, dat dit ligchaampje eene. spons-spicula is. 24. Spongolithis stellatus He. (Lithasteriscus Enm.) fig. 52, 53. Dergelijke vormen als BowerBank (Philos. Transact. 1858, p. 507) onder den algemeenen naam van simple stellate spicula uit het inwendige van verschillende sponsen beschrijft. 25. Spongolithìs verticillatus He. fig. 54. Een vorm, naderende tot dien, welke BowerBank (l. c.p. 295) beschrijft als afkomstig van twee hem overigens niet bekende sponsen uit de West- Indische zee. Even als van de overige Spongolithen is de hier gegeven soort- naam slechts een voorloopige. De Spongolithen terug te brengen tot de soorten van sponsen, waarvan zij afkomstig zijn, is in zeer vele gevallen 10 NATUURK. VERH, DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, 18 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER onmogelijk, daar” bij onderscheidene soorten kiezelspiculae van bijna gelijke gedaante voorkomen, en deze bovendien in een en hetzelfde individu nog verschil opleveren. De volgende drie ligchaampjes, wederom onder het voorloopige geslacht __Pollinula gerangschikt, zijn vermoedelijk gemmulae van sponsen. 26. Pollinula reniformis He. fig. 55 a, in b een gedeelte sterker (700 maal) vergroot. Lengte-doormeter 52 mmm. De gedaante is niervormig. De uiterst kleine stekeltjes staan aan de oppervlakte op zeer digte evenwijdige rijen, die elkan- der kruisen, in dier voege dat het bij eene geringere vergrooting schijnt als- of twee stelsels van evenwijdige strepen elkander onder eenen stompen hoek snijden. 27. Pollinula hispida He. fig. 56. In vorm gelijkende op P. ovum (zie bl. 45), doch merkelijk kleiner, met een lengte-doormeter van 50 mmm., en de oppervlakte bezet met minder talrijke doch grootere stekeltjes. 28. Pollinula minuta He. fig. 57. Doormeter slechts 22 mmm. Bolrond; oppervlakte digt bezet met korte stekeltjes. N. IV. GROND VAN 2700 VADEMEN. Deze looding, welke, gelijk reeds is opgemerkt (bl. 5 }, op vrij grooten afstand van de overige, in een geheel ander gedeelte der Banda-zee geschied is, bragt, volgens het verslag van den heer SrepenBure, op : fijnen kleiach- tigen bruinen modder, met kleine bijna miet te onderscheiden schelpjes. In de achter het verslag gevoegde lijst der diepzeeloodingen wordt deze grond aan- geduid als: grijze fijne modder, koraal en kleine schelpjes. In de geringe, niet meer dan eenige milligrammen bedragende hoeveel- heid, die, aan het vet klevende, door mij ontvangen is, heb ik geen spoor noch van koralen, noch van schelpen kunnen ontdekken. De hoofdmassa bestaat uit hetzelfde zamengektonterde met ijzeroxyd-mole- eulen vermengde moleculaire gruis, dat ook in de vorige gronden de hoofd- massa uitmaakt. Echter is hier het aantal grootere fragmenten van verschil- lende mineralen aanmerkelijker. Alle zijn scherpkantig, zonder spoor van eenige afslijting door rolling. Daaronder komen brokstukjes voor, die gelij- ken op het gruis van painsteen en die vermoedelijk vulkanische asch zijn, MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 19 waarvan trouwens de nabijheid van den Goenong Api gereedelijk rekenschap geeft. Trouwens dergelijke brokstukjes, ofschoon minder talrijk en kleiner, komen ook in de overige gronden uit de Banda-zee voort. Om deze met zeker- heid van andere vergruisde rotsbestanddeelen te herkennen, zoude daaraan ech- ter eerst een onderzoek van de asch, door de vulkanen in deze streken uit- geworpen, moeten vooraf gaan. Aan mikroskopische organismen is deze grond veel minder rijk dan N°. II en II, De kleinere soorten van Foraminiferen ontbreken geheel; slechts een enkel fragment werd gezien, dat vermoedelijk afkomstig was van eene groote soort met dikwandige schaal. Van Diatomeën zag ik slechts een enkel exem- plaar van Coscinodiscus minor. lets talrijker zijn de overblijfselen van Polycistineën, doch meerendeels in eenen toestand, die elke nadere bepaling onmogelijk maakt. Met zeker- heid herkenbaar was alleen: Acanthodesmia arcuata, dezelfde die ook op 1200 vademen gevonden is. Andere fragmenten behoorden aan Rhopalastrum en Flu- strella, hoogst waarschijnlijk dezelfde soorten als reeds boven beschreven zijn. Van spons-spiculae zijn waargenomen: Spongolithis acicularis, S. gigas, en het in fig. 60 afgebeelde kiezelligchaampje, dat hier alleen is aangetroffen en in gedaante nadert tot de mede kransgewijs gedoornde spiculae door Bo- WERBANK (l. c. p. 295) beschreven en afgebeeld, welke afkomstig waren van een hem overigens onbekende spons uit de stille Zuidzee. N° V. GROND VAN 4000 VADEMEN. In-het verslag is deze genoemd: witte of lichtgrijze zachte modderachtige klei. Bij het mikroskopisch onderzoek blijkt, dat de massa grootendeels is za- mengesteld uit zeer fijn moleculair gruis, dat minder zamengeklonterd is dan in de andere onderzochte gronden, zoodat de kleine deeltjes zich, bij druk- king en zachte wrijving met het dekplaatje, gemakkelijk vaneen scheiden. Ook ontbreken hier de ijzeroxydmoleculen, die elders tusschen het moleculaire gruis verspreid liggen. Er komen daarin slechts weinige iets grootère, steeds scherpkantige fragmenten van mineralen voor. MFkfoskpische : organische overblijfselen zijn daarin uiterst spaarzaam, en diegene welke voorkomen zijn zoo vergruisd en afgesleten, dat zij moeijelijk tot eene bepaalde soort kunnen gebragt worden. Foraminiferen ontbreken. geheel. Van Diatomeën zijn er twee gezien, 10* 20 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER beide tot het geslacht Coscinodiscus behoorende (fig. 61, 62), doch de tee- kening aan de oppervlakte der kleppen is door afslijting bijna geheel ver- dwenen. De eene (fig. 61) is waarschijnlijk dezelfde, die ook in Ne. Il en III tamelijk menigvuldig aangetroffen en door mij Coscinodiscus radiopunctatus genoemd is. De andere is welligt C. irradiatus, waarvan de randen der cel- len op de eene helft geheel, op de andere grootendeels afgesleten zijn. Ook komen eenige zeer kleine fragmenten van Polycistineën voor. In een daarvan meen ik de kern eener Haliomma te herkennen, terwijl de andere (fig. 65) vermoedelijk lapjes van Flustrella of van Rhopalastrum zijn. Van Spongolithen zijn alleen een paar exemplaren van S. acicularis gezien. Het geheele getal der soorten van mikroskopische organismen, in deze gronden gevonden, bedraagt 52, welke aldus verdeeld zijn: Diepte. Diatomeën. Foraminiferen. Polycistineën. Spongiaceën. 1200 vadem. 4 7 14 6 2050 « 4 0 14 10 2700 « 1 EL ed 5 4000 « 2 0 2 1 Het overwigt der som, verkregen door bovenstaande cijfers bij elkander op te tellen, wordt verklaard door dat eenige soorten in twee of meer diep- ten zijn aangetroffen. radi Slechts één komt in alle vier de onderzochte gronden voor : het is Spongo= lithis acicularis. Men weet echter, dat onder dien naam de spiculae van een groot aantal soorten van sponsen worden zamengevat, zoodat uit de tegen- woordigheid van dezen vorm nog geenerlei besluit kan worden afgeleid aan- gaande de soort van spons, waaraan deze oorspronkelijk heeft toebehoord. Hetzelfde geldt, hoewel dan ook in geringere mate, van de overige Spongo- lithen die eene meer gekenmerkte gedaante hebben, en wij zullen derhalve geen harer in de rekening opnemen, maar ons alleen tot de Diatomeën, Foraminiferen en Polycistineën bepalen. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 2 Het getal der gevonden soorten uit deze afdeelingen bedroeg: Diatomeën: 6; daaïvan zijn 4 nieuw, 1 reeds van elders bekend, ter- wijl dit van Î onzeker is. Foraminiferen: 7; daarvan zijn twee soorten nieuw, Î reeds van elders be- kend; van de overige 4 soorten waren slechts fragmen- ten aanwezig, niet duidelijk genoeg gekenmerkt om deze tot eene bepaalde soort te brengen. Polycistineën: 25; allen nieuw. In het geheel derhalve 51 nieuwe vormen, waarvan verreweg het grootste gedeelte tot de groep der Polycistineën behoort. Gemeenschappelijk komen voor: op de diepte van 1200 en op die van 2050 vademen: 2 Diatomeën en 5 Poly- cistineën ; op de diepte van 1200 vademen en die van 2700 vademen: f Diatomee en 4 Polycistinee; op de diepte van 2050 vademen en 2700 vademen: 1 Polycistinee. Geene der soorten werd op alle drie deze diepten gevonden. De weinige soorten, uit de diepte van 4000 vademen opgebragt, laten geene vergelijking met die uit de minder diepe plaatsen toe, Alleen één der Diatomeën is vermoedelijk dezelfde soort, die ook op de diepte van 1200 en 2050 vad. is aangetroffen. Dit geringe getal van gemeenschappelijk in verschillende diepten gevonden soorten verdient opmerking. Wel is waar is het waarschijnlijk, dat dit ge- tal nog klimmen zoude, wanneer men eene grootere hoeveelheid van het te onderzoeken materiaal ter beschikking had; doch men mag aannemen, dat in dit geval ook nog meer soorten zouden gevonden worden, en ten slotte de verhouding dezelfde zoude blijven. Verders verdient ook opmerking: het geheel ontbreken der kleinere soor- ten van Foraminiferen in de grootere diepten, terwijl zij daarentegen op 1200 vademen zoo talrijk zijn, dat hare overblijfselen, hoewel van een minder ge- tal soorten afkomstig, nagenoeg in massa met die der Polycistineën gelijk staan. Dit resultaat is trouwens geheel in overeenstemming met hetgeen reeds door EnreNBeRG uit zijne onderzoekingen is getrokken. Hij bevond, dat in den Atlantischen Oceaan het getal der Foramimferen (zijne Polythalamiën) vrij geregeld afnam, naarmate de onderzochte grond van eene diepere plaats 22 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER afkomstig was, terwijl zij in die uit de grootste diepte geheel ontbraken *. Dat ook elders uit groote diepten alleen Diatomeën en Polycistineën maar geene Foraminiferen zijn opgebragt, leeren de onderzoekingen van den bo- dem der zee bij Kamschatka en van dien der koraalzee door Barrev, welke reeds boven vermeld zijn. Men mag aan dit resultaat uit een geologisch oogpunt in zooverre eenig gewigt hechten, als daaruit blijkt, dat vermoedelijk dan ook de krijtrotsen, die geheel of grootendeels door Foraminiferen ontstaan zijn, zich niet op zeer aanzienlijke diepten gevormd hebben, en dat ook die soorten van krijt- mergel, welke, behalve de kiezelschalen van Diatomeën en Polycistineën, ook de kalkschalen van Foraminiferen bevatten, niet ontstaan zijn in zoo groote diepten als in onzen tegenwoordigen oeeaan op sommige punten voorkomen. Wat de Diatomeën en de Polyecistineën aanbelangt, zoo zijn schalen of overblijfselen van schalen van soorten uit beide afdeelingen tot in de grootste diepte gevonden. Alleenlijk waren de fragmenten van Polycistineënschalen zoo klein, dat zij geheel onherkenbaar waren, terwijl daarentegen de beide hier aangetroffen Diatomeën althans nog tot het geslacht, waartoe zij behooren, konden worden terug gebragt. — Om rekenschap te geven van deze verschillende diepteverspreiding, kan men zich op tweederlei standpunt plaatsen. Vooreerst kan men haar toeschrijven aan den invloed van het verdere ver- voer der schalen, welke op grootere diepten gevonden zijn, daarbij uitgaande van de veronderstelling dat de tegenwoordige ligplaats dezer schalen meer of minder ver verwijderd is van de oorspronkelijke woonplaats der wezens, waaraan zij hebben toebehoord. Inderdaad laat het zich dan begrijpen, dat de overblijfselen van diegenen hunner, welker schalen het minst broos zijn, ook over den grootsten afstand door stroomen zullen kunnen worden mede- gesleept, zonder geheel onkenbaar te worden. In elk der drie hoofdgroepen van mikroskopische wezens, welke hier vooral in aanmerking komen: de Diatomeën, de Foraminiferen en Polycistineën, komen soorten met brozere en andere met minder broze schalen voor. Het laat zich derhalve niet in het algemeen als regel stellen, dat b. v. alle Foraminiferen zonder onder- scheid spoediger door vervoer verbrijzeld zullen worden dan alle soorten van * _Monatsbericht, 1857. S. 145. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 25 Diatomeën en Polycistineën, daar integendeel de grootere soorten van Fora- miniferen, welker schalen dikkere wanden hebben, nog wederstand zullen bieden aan mechanische werkingen, waartegen de schalen van vele soorten uit de beide andere afdeelingen niet bestand zijn. Doch wat de- schelpjes der kleine Foraminiferen, der Globigerinen b. v. betreft, wier aantal in de gronden, door diepzeeloodingen uit niet te groote diepte verkregen, steeds verreweg hel grootst is, mag men veilig aannemen, dat deze minder weer- stand kunnen bieden dan de kiezelschalen der meeste Diatomeën en Policis- tineën, terwijl het dan verder waarschijnlijk is dat, van deze beide laatste afdeelingen, de uit een traliewerk bestaande schalen der Polycistineën eerder verbrijzeld zullen worden dan die van zulke Diatomeën, zoo als het geslacht Coscinodiscus, waarvan de wand der schaal een zamenhangend geheel uitmaakt. Dat de boven medegedeelde uitkomsten van het onderzoek met deze be- schouwingen in overeenstemming zijn, is duidelijk. Ook worden deze nog bevestigd door de omstandigheid, dat spongolithen, die van alle deze ver- schillende kiezelligchaampjes de minst broze, en, zoo ook al gebroken, nog het gemakkelijkst herkenbaar zijn, op alle diepten voorkomen. In de tweede plaats echter zoude men, ter verklaring dezer verschillende __diepteverspreiding, ook met EnrerBera kunnen aannemen, dat de wezens, welker overblijfselen men in den grond vindt, die door het dieplood wordt opgebragt, werkelijk op die diepte geleefd hebben, en dat elke soort, even als zulks van andere in zee levende dieren en planten bekend is, zich bij voorkeur op tusschen bepaalde grenzen ingesloten diepten ophoudt. Bij eene oppervlakkige beschouwing schijnt het welligt ongerijmd de mo- gelijkheid te veronderstellen, dat organische wezens leven kunnen onder eene drukking van 500 en meer atmospheren. Wanneer men echter bedenkt, dat deze drukking niet plotselijk ondervonden wordt, maar dat de tegendrukking der gassen en vochten des ligchaams daarmede in evenwigt is, dan laat zich de mogelijkheid inzien van het bestaan van levende wezens op den bodem der diepste zee, even als andere dieren en planten leven op den bodem van den luchtoceaan. Moeijelijker is het zich een zoo rijk organisch leven voor te stellen op eene plaats waar nimmer licht doordringt. Daartegen laat zich echter aan- voeren, dat er verscheidene soorten van planten en dieren zijn, en daaronder sommige die op eenen veel hoogeren trap van organisatie staan, welke in grotten en andere onderaardsche ruimten in het volkomen duister leven. 24 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER Een ander bezwaar tegen deze voorstelling is gelegen in den verbazenden afstand des op zoo groote diepte gelegen zeebodems van de dampkringslucht. Wel is waar kan bij deze wezens, welker weeke massa enkel uit sarcode be- staat, geen sprake meer zijn van eene eigenlijke ademhaling, doch, voor zoo ver wij het organische leven in het algemeen kennen, is dit toch ondenk- baar zonder eene wisseling van gassen met die, welke in de omringende mid- denstof bevat zijn, en zulk eene wisseling kan niet plaats grijpen, zonder dat in die middenstof zélve ook eene gestadige wisseling van de daarin opgeloste gasbestanddeelen geschiedt. De atmospheer is de bron, waaruit de ver- bruikte zuurstof in het zeewater gestadig moet worden vernieuwd, en al kan deze ook door diffusie tot de diepste waterlagen doordringen, zoo kan het toch niet anders of deze wordt daardoor aanmerkelijk vertraagd. Men zoude echter deze bedenking kunnen weêrleggen door op te merken, dat het ten slotte geheel onverschillig is, of een deeltje zuurstof slechts eenige minuten of eenige dagen noodig heeft, om door diffusie eene zekere diepte te berei- ken, omdat die diffusie gestadig voortgaat en zoo de diepste waterlagen even rijk kunnen zijn aan dit gas als de oppervlakkige. Doch hiertegen laat zich aanvoeren, dat die zuurstof reeds voor een min of meer aanmerkelijk deel door de zich op den weg bevindende dieren verbruikt wordt, zoodat in elk ge- val slechts een klein gedeelte daarvan tot in de diepte kan doordringen. Hoe dit ook zijn moge, even als elders in de natuurwetenschap, zijn het alleen feiten die hier beslissen kunnen. Een enkel goed waargenomen feit werpt alle aprioristische redeneringen en daarop gegronde theoriën omver. De vraag is dus slechts: laten zich feiten aanvoeren, die het bestaan van or- ganisch leven op zoo groote diepten bewijzen? De bekende merkwaardige onderzoekingen van Forges in de Aegaeische zee hebben het bewijs geleverd, dat zelfs vrij groote, betrekkelijk hoog ge- organ seerde Mollusken nog leven kunnen tot op diepten van 180 en 220 vademen, waar zij dus aan eene drukking van 56—40 atmospheren zijn on= derworpen. De op die diepten voorkomende soorten onderscheiden zich geens- zins door schelpen met dikke, meer weêrstand biedende wanden. Integen- deel, er komen daaronder voor (b. v. Ligula profundissima), met zeer dunne, teedere schalen. Trouwens binnen die schelpen zijn, even als bij andere schelpdieren, de geheel weeke organen bevat. Ook kan dit minder verwon= deren, wanneer men bedenkt, dat op die groote diepte eene onafgebroken stilte heerscht, ongestoord door den golfslag, die alleen de bovenste lagen MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 25 der zee in beweging brengt. De schalen loopen derhalve aldaar veel minder gevaar van verbrijzeld te worden, dan die van andere weekdieren, welke zich op ondiepe plaatsen ophouden. Een voorbeeld van een dier, uit nog grootere diepte opgehaald, levert de merkwaardige Umbellularia Encrinus. Deze soort kent men tot hiertoe al- leen uit de twee exemplaren, die door Errrs * beschreven en afgebeeld zijn. Zij werden door kapitein Aprraansz., voerende het schip Brittannia, op de walvischvangst zijnde, in den zomer van 1755, op 79° N.Br. en 80 Eng. mijlen van de kust van Groenland, met het dieplood opgebragt uit eene diepte van 256 vademen. Nog opmerkelijker zoude in dit opzigt de vangst zijn van een anderen polyp uit dezelfde familie (Pennatulina), door mij Crinillum Siedenburgii genoemd í. indien men kon aannemen, dat dit dier, gelijk Kapitein Luitenant StepenBuRG heeft medegedeeld $, werkelijk uit de geweldige diepte van 2700 vademen was opgehaald, De aan die mededeeling door Luitenant Anprau toegevoegde opmerking, dat het niet waarschijnlijk is dat een dier, hetwelk zoo leven- dig gekleurd was als dit, op zoo groote diepte zoude geleefd hebben, maar dat men veeleer moet aannemen, dat het bij het nederdalen der lijn op ge- ringere diepte daarin verward is geraakt en toen- de reis heen en terug mede gedaan heeft, komt mij voor allezins gegrond te zijn. Ofschoon namelijk de Pennatulinen gewoonlijk met hunnen steel in den weeken bodem bevestigd staan, zoo kunnen zij toch daaruit, door het een of ander toeval, b. v. door den golfslag, los geraken en dus in de zee drijvende worden aangetroffen. Ook zoude het nog de vraag zijn, in hoeverre het hier gezegde ook toe- passelijk kon geacht worden te zijn op het zoo even aangevoerde voorbeeld der Umbellularia. Meer vertrouwen schijnen de volgende mededeelingen te verdienen, onlangs * Natuurlijke Historie van de koraalgewassen, enz. ’s Gravenhage, 1756, bl. 103, Pl, XXXVII. f Zie Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetensch, Afd, Natuurkunde, dl. XI bl. 287, $ Zie Onderzoekingen met den zeethermometer, enz. 1861. bl. 161. 11 NATUURK, VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, € 26 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER door G. C. Warrrcu * gedaan. Volgens hem werden bij eene dieptelooding, halfweg Groenland en Ierland, uit eene diepte van 1260 vademen, verschei- dene Ophiocomae nog levend opgebragt. Zij waren vastgehecht aan de laatste 50 vademen der lijn, en hij is van oordeel, dat er geen twijfel zijn kan, of zij waren werkelijk van de oppervlakte des bodems, waarover dit gedeelte der lijn gesleept had, opgehaald. Als bewijs daarvoor brengt hij bij, dat de tevens uit die diepte opgebragte grond voor 95 proc. uit Globigerinen was zamengesteld en dat diezelfde ook in de maag der zeester werden ge- vonden. Verders werden volgens denzelfden bij eene looding tot op 1915 vademen eenige kleine kokertjes opgebragt, die geheel bleken te bestaan uit zamen- gevoegde Globigerinen. Warricm houdt het er voor, dat deze kokertjes het werk zijn van Anneliden, welke op deze diepte leven. Deze mededeelingen verdienen voorzeker zeer de aandacht. Of zij echter zoo volkomen afdoende zijn als Warrrcm meent, komt mij nog eenigzins twijfelachtig voor. Dat de genoemde kokertjes door Anneliden gebouwd zijn is mogelijk maar geenszins zeker, evenmin dat zij noodzakelijk op die diepte moeten ontstaan zijn en niet uit geringere diepte daarheen gevoerd en zoo bezonken. En wat de Ophiocomae betreft, zoo is het wel is waar zeldzaam dieren uit de klasse der Echinodermen, die zich gewoonlijk kruipend langs de oppervlakte des bodems bewegen, zoover van de kust, midden in zee aan te treffen, doch men moet daarbij niet uit het oog verliezen, dat de Ophio- comae tot diegenen behooren, welke in het bezit zijn van betere bewegings- organen dan de meesten, en het derhalve geenszins onmogelijk is, dat zij eenen geruimen tijd zwemmende blijven en zich zoo op grooten afstand van de kust verwijderen. Het vinden van Globigerinen in hunne maag, is reeds daarom geen volkomen zeker bewijs, dat zij in gezelschap van deze op zoo aanzienlijke diepte zouden geleefd hebben, omdat de Globigerinen ook pelagisch nabij de oppervlakte der zee voorkomen en het dus ook deze kunnen zijn, die aan de gevangen Ophiocomae tot voedsel hebben ge- strekt. * In eenen brief aan de redactie van de Ann, a. Magaz. of Nat, Hist. Dee. 1860. 3de Ser, Vol. VI, p. 457. « MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 27 Wenschelijk is het ook, dat deze laatste naauwkeurig vergeleken worden met reeds bekende soorten, iets waarvan in de korte mededeeling van den heer Warrrcu geen gewag wordt gemaakt. Mogt het namelijk blijken, dat dezelfde soort ook op geringe diepten aangetroffen wordt, dan zoude het zeer onwaarschijnlijk zijn, dat zij ook op zoo groote diepte onder de zeeopper- vlakte leeft. Ik meende deze opmerkingen niet achterwege te mogen houden, zonder daarmede echter iets te willen beslissen. Naarmate echter een feit aanleiding kan geven tot gewigtiger gevolgtrekkingen, moet ook de daarvan gegeven verklaring des te volkomener aan de eischen eene zorgvuldige kritiek voldoen, zoodat ten slotte blijkt, dat geene andere verklaring dan de gegevene mogelijk is. Voor als nog schijnt mij die, welke Warrrcu van de boven medegedeelde feiten gegeven heeft, geene aanspraak te kun- nen maken op eenen hoogeren rang dan die eener niet geheel verwerpe- lijke hypothese. De redenen, die EnrenBerG er toegebragt hebben om aan te nemen, dat de van den bodem des Atlantischen Oceaans opgehaalde Diatomeën, Forami- niferen en Polycistineën aldaar werkelijk geleefd hebben, zijn: vooreerst de geheel ongeschonden toestand van vele der kleine schalen, en ten tweede en vooral: de omstandigheid, dat hij in vele dezer schalen nog de daarin bevatte weeke, organische ligchaamsdeelen waarnam, die hij, bij de Fora- miniferen, door behandeling met zoutzuur zelfs konde isoleren. Op het eerste dezer argumenten kan men niet zeer veel gewigt leggen. Gelijk wij reeds opmerkten, heerscht op eene betrekkelijk geringe diepte onder het zeeoppervlak eene door geen golfslag gestoorde rust. Alleen nog stroomen, die steeds in dezelfde rigting loopen, brengen daar het water in eene gelijkmatige beweging. Eenmaal op die diepte in ongeschonden toe- stand gekomen, bestaat er dus weinig gevaar meer voor hen om verbroken te worden, en al mogt door de wederkeerige wrijving van de zich op den bodem bevindende ligchaampjes een aantal hunner beschadiging ondergaan, zoo kan het toch niet verwonderen, dat andere een tijdlang daaraan geheel ontsnappen. Gewigtiger is het tweede argument. Het verdient dan ook dat wij er iets langer bij stil staan. Nemen wij voor een oogenblik aan, dat de stof, die ErrenBerG bij be- handeling met zoutzuur overhield, werkelijk eene organische massa was, — in. 28 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER waarbij wij echter moeten opmerken, dat dit alleen regtstreeks de Forami- niferen betreft en geenszins de beide andere groepen, welker kiezelschalen niet door zoutzuur kunnen verwijderd worden, — dan mogen wij daarbij niet over het hoofd zien, dat de omstandigheden, waaronder organische stof op den bodem eener diepe zee, en die waaronder dezelfde op de oppervlakte der aarde of slechts met eene dunne waterlaag bedekt voorkomt, geenszins gelijk zijn. Het eerste vereischte voor het ontstaan van verrotting is de toe- treding van zuurstof, en men mag wel aannemen, dat de hoeveelheid daarvan in het water met de diepte afneemt en op eene diepte van twee of driedui- zend vademen uiterst gering is. Hierbij komt de hoogst aanzienlijke drukking, waarvan men met veel waarschijnlijkheid vermoeden mag, dat zij de rotting, even als elke andere scheikundige omzetting, — b. v. de ontleding van koolzuren kalk door de hitte, — tegengaat. Ook het doortrokken zijn met zeewater kan reeds eene oorzaak zijn, waardoor de verrotting vertraagd wordt, al schijnt er geen grond te zijn om aan te nemen, dat het die- pere zeewater een veel grooter zoutgehalte heeft dan dat aan de opper- vlakte *. Dat die invloed bestaat, blijkt uit het door Maurv j aangehaalde voorbeeld. Hij zegt namelijk, dat men op de paketbooten tusschen Ame- rika en Europa gewoon is het vleesch te pekelen, door het eenvoudig tot op groote diepte over boord te laten zinken. Wordt het dan weder opge- haald, dan is het tot in zijn binnenste met zout doordrongen en zoo te- gen bederf bewaard. In elk geval laat zich de mogelijkheid inzien, dat de weeke ligchaamsdeelen, in de schalen bevat, dientengevolge eenigen tijd weerstand bieden, zoodat het zeer wel gebeuren kan, dat er zich onder die, welke het dieplood opbrengt, nog eenige bevinden, waarin deze weeke dee-_ len herkenbaar zijn. : Dat overigens, zelfs zonder bijzondere, de rotting verhinderende omstandig- heden, de organische stof der Foraminiferen geenszins spoedig verder gaat, blijkt uit hetgeen Max Scnurrze $ daaromtrent als zijne bevinding heeft * Men zie hierover de resultaten medegedeeld door de H.H, GuNNiNG en OeGterop in. de reeds aangehaalde Onderzoek. met den zeethermometer enz., blz. 113 en volg. tf Sailing Direct, 1, p. 176. $ Ueber den Organismus der Polythalamten. Leipzig, 1854. S, 36. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 29 aangeteekend, dat namelijk een verblijf van zes maanden te midden van rottende stoffen, nog weinig ontledend op haar gewerkt had. Eindelijk is er nog een punt, dat ik niet geheel met stilzwijgen mag voorbijgaan. Niet elke na de werking van het zoutzuur overblijvende massa is van organischen aard. Ik moet hierbij herinneren, dat bij dieren als de Foraminiferen, die alleen uit eene sarcode-achtige zelfstandigheid bestaan, geen sprake kan wezen van duidelijk herkenbare organen. Wat men na de behandeling met zoutzuur overhoudt, is eene structuurlooze massa, die alleen min of meer aan den vorm der schaal beantwoordt en ten deele zelve een bestanddeel der schaal heeft uitgemaakt. Evenzoo moet ik herinneren de ongunstige omstandigheid, dat de gronden, door diepzeeloodingen opgebragt, tot dusverre alleen in den gedroogden toestand hebben kunnen onderzocht worden. Indien er werkelijk binnen de daarin bevatte schalen nog organi- sche deelen voorkomen, dan zijn deze toch geheel verdroogd en verschrom- peld, en, al weeken zij, bij de behandeling met zoutzuur, weder op, dan laat zich bezwaarlijk verwachten, dat zij weder geheel tot den oorspronke- lijken vorm zullen terug keeren. Nu heb ik, zoowel in de gronden uit de Banda-zee, als in andere, vele Foraminiferenschelpjes ontmoet, welker holte grootendeels of geheel gevuld was met eene zeer fijn korrelige, zich bij doorvallend licht groen-bruinachtig vertoonende massa, die eenige oppervlak- kige gelijkenis heeft met eene in omzetting verkeerende organische stof en daarvoor ook ligtelijk zoude kunnen wahóaden worden, wanneer men zich alleen bepaalt bij eene behandeling met zoutzuur, waardoor zij niet aange- tast wordt, maar die in werkelijkheid bestaat uit het allerfijnste, zamenge- klonterde gruis van silicaten en andere mineralen, dat men ook buiten de schalen vrij waarneemt. Diezelfde massa vult ook zeer dikwijls de holte der schalen van Polycistineën, waarin zij door de kleine mazen van het tralie- werk, waaruit de schaal bestaat, is binnengedrongen. Dat deze massa niet van organischen oorsprong is, blijkt bij de gloeijing. Daardoor wordt zij niet zwart, om later bij sterker verhitting geheel te verdwijnen, maar zij neemt alleen eene donkerder bruine kleur aan, ten gevolge der hoogere oxyda- tie van het daarin bevatte ijzeroxydul. Of EurenBereG deze voorzorg heeft aangewend, om de zekerheid te erlangen, dat de na de behandeling met zoutzuur overblijvende stof van organischen oorsprong was, is mij niet ge- bleken. 50 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER Doch hoe dit zijn moge, zeker althans is het, dat de door mij in de gron- den der Banda-zee gevonden overblijfselen van organismen geen het minste blijk hebben opgeleverd van nog geleefd te hebben, toen het dieplood hen bereikte. Slechts eenige weinige der schalen vertoonen zich ongeschonden, maar van verreweg de meesten zijn niet anders dan grootere of kleinere fragmenten overig. Van daarin nog bevatte organische stof heb ik nergens een spoor kunnen ontdekken. fj De slotsom dezer beschouwingen is derhalve, dat er tot hiertoe geene overwegende redenen bestaan om aan te nemen, dat nog organisch leven be- staat op diepten die veel grooter zijn dan 500 vademen, dat is op diepten, die verre de grenzen overschrijden, welke daaraan op gezag, vooral der onder- zoekingen van ForBes, worden toegekend *. Er is echter nog een grond, die men dinevoor heeft aangevoerd, en welke, ofschoon van negativen aard, toch niet geheel mag worden over het hoofd gezien. Men beroept zich namelijk op het maaksel en de levenswijze dezer organische wezens; zij zouden uitsluitend kustbewoners zijn; hunne mid- delen tot plaatsbeweging, voor zoover zij deze bezitten, zouden hen onge- schikt maken zich in de hooge zee zwemmende te houden. Nu is bet waar, dat in het algemeen juist die soorten, welke als kustbewoners be- kend zijn, niet gevonden worden in den bodem op groote diepte; de daarin voorkomende schalen zijn dus niet door stroomen van de kust af daarheen gevoerd. Maar, indien dit niet het geval is, hoe kunnen zij dan * Naschrift. — Sedert het aanbieden dezer Verhandeling aan de Akademie verscheen het klas- sische werk van BE. Harcker, Die Radiolarien, Berlin 1862. Hij betoogt daarin (p. 172—189), ten deele op dezelfde gronden als de boven aangevoerde, de onwaarschijnlijkheid dat de Foramini- feren en Polycistineën op zoo groote diepten leven als ErreNBerG beweerd heeft. Echter is er in den laatsten tijd één feit bekend geworden, waaruit men besluiten mag, dat het organische leven zich in de zee nog tot grootere diepte uitstrekt dan daaraan door ForBes is aangewezen. ArPH, Mine Epwarps deelde namelijk aan de- Fransche Akademie, in hare zitting van 15 Julij 1861, mede, dat hij op een fragment van den telegraafkabel, die tusschen Sardinie en de kust van Al- gerie op eene diepte van 2000 tot 2800 meters (omstreeks 1000 tot 1400 vademen) gelegen had, verscheidene polyparien en schelpen van weekdieren had vastgehecht gevonden, die blijkbaar nog kort te voren hadden geleefd, daar de weeke deelen nog bewaard waren, terwijl hij uit de om- standigheid, dat hunne grondvlakte geheel beantwoordt aan den vorm en de oneffenheden des ka- bels waaraan zij gehecht waren, besloot dat zij zich op die plaats zelve ontwikkeld hadden. MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 51 daar gekomen zijn, indien men niet aanneemt, dat zij op die diepte zelve geleefd hebben? Eer wij deze vraag beantwoorden, hebben wij te onderzoeken, of de praemissen, waarop de redenering, die daartoe aanleiding geeft, steunt, inderdaad juist zijn. Het is in het algemeen waar, dat aan Diatomeën, die alle eigenlijke be- weegorganen missen, al bezitten ook sommige het vermogen tot eene lang- zame plaatsverandering, en desgelijks aan de Rhizopoden, waartoe Forami- niferen en Polycistineën behooren, wier beweegorganen hen eigenlijk alleen tot een zeer traag kruipen in staat stellen, de kust de meest geschikte woonplaats aanbiedt, niet enkel omdat daar het water minder diep is, maar vooral omdat in hare nabijheid zoo vele wieren groeijen, aan welker op- pervlakte zij zich vasthechten. Nu echter is het genoeg bekend, dat er ver- scheidene wiersoorten zijn, welke, tijdelijk vastgehecht, later drijvende wor- den, zoodat zij soms groote oppervlakten der zee bedekken. De zoogenaamde Kroos- of Sargasso-zee levert daarvan een voorbeeld *, Dit drijvend wier levert hun eene even geschikte woonplaats als datgene hetwelk nog vast- zittend is, en zoo kunnen zij derhalve door zeestroomen naar ‚plaatsen heengevoerd worden, waar de zee vele honderden vademen diep is, en zullen de schalen der afgestorven individus aldaar bezinkende den bodem bereiken. Het is inzonderheid voor de Diatomeën, dat dit verspreidingsmiddel schijnt te moeten worden ingeroepen. Wat toch de Foraminiferen en Polycistineën betreft, zoo laat het zich niet betwijfelen, of daaronder komen vele soorten voor, die, in weerwil harer gebrekkige middelen tot plaatsbeweging, toch zich drijvende nabij de oppervlakte der zee kunnen ophouden. Ten aanzien der Foraminiferen nam ErrenBere | dit reeds voor lang * Een aantal ontmoetingen van drijvend zeewier is vermeld in Onderzoek m. d. zeethermometer enz., bl, 113. In hetzelfde werk, bl. 169, bevindt zich ook een opstel van den hoogleeraar F. A. W. MrqveL over Macrocystis pyrifera, met aanwijzing harer verspreiding, deels in vastgehechten, deels in drijvenden toestand. f Abhandl. der Berl. Akad., 1839. S. 104; Monatsbericht, 1844, S. 187. 7 52 BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER * waar. Max Scnurrze * zag zelfs grootere soorten, Polystomella strigilata en Rotalia Veneta, langs de oppervlakte van het water kruipen. J. Denrs Macponarp j ontdekte nog levende Foraminiferen en daaronder Globigeri- nen in de maag van Salpen, die, gelijk men weet, pelagisch levende dieren zijn; en Jon. Müurer $ zag Orbulinen, jonge Rotalien en vooral talrijke Globigerinen aan de oppervlakte der zee, ver van de kust. En wat de Po- Iyeistineën betreft, zoo hebben de voortreffelijke onderzoekingen van laatst- genoemden over het maaksel en de levenswijze van vele soorten dezer klasse het bewijs geleverd, dat soorten derzelfde geslachten (Haliomma, Lithocampe, Acanthodesmia enz.), die ook de meeste vertegenwoordigers hebben in de gronden der diepte, in zeer grooten getale bij kalme zee, op tamelijk groo- ten afstand van de kust, vrij in het water leven. Met één woord: het is bewezen, dat dergelijke organische wezens als die zijn, welker overblijfselen gevonden worden in den grond, door diepzeeloo- dingen opgebragt, zich drijvende in de zee ophouden, zoodat men, al had het onderzoek der gronden dit niet werkelijk geleerd, reeds daaruit zoude kunnen voorspellen, dat hunne kalk- en kiezelschalen, na hunnen dood be- zinken zullen, en dat de bodem der zee hunne grafplaats zijn zal. De rede- nering omkeerende, geloof ik dan ook even veilig te mogen voorspellen, dat men eenmaal de soorten, van welker bestaan men thans nog alleen kennis draagt door hare overblijfselen in den bodem, ook terugvinden zal nabij de oppervlakte der zee, Daar nu in de natuurwetenschap de regel geldt, dat men ter verklaring der waargenomen verschijnselen geene nieuwe hypothesen moet inroepen, zoolang de bekende feiten tot dit doel toereikend zijn, zoo meen ik ook, dat de stelling van EnRENBERG, dat deze kleine organische wezens op de diep- ten, waaruit zij door het dieplood aan het licht gebragt zijn, geleefd heb- ben, als op geenerlei wezenlijke gronden rustende, voor als nog niet aan- neembaar is. an PAREN Pap f Ann. a Magaz. of Nat. Hist. 2de Ser, Vol. XX. p. 264, $ Abhandl. d. Berl. Akad., 1858. S. 25, led MIKROSKOPISCHE FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. 55 Voorzeker is het opmerkelijk en niet zoo gereedelijk te verklaren, dat dieren met kalk- en kiezelschalen, waardoor zij oogenschijnlijk soortelijk zwaarder zijn dan zeewater, daarin drijven kunnen. Het feit, dat zij dit doen, staat echter vast, en daarmede vervalt elke hieraan ontleende tegen- werping. Ook laten zich wel enkele gronden aanvoeren, die daarvan althans eenigzins rekenschap geven. Zoo heeft Jou. Mürrer in de weeke massa van sommigen vetdroppels gevonden *. Dat zij daardoor soortelijk ligter worden is duidelijk. Hij voegt er echter bij, dat dezelfde soorten, in een vat met-water geworpen, zinken, hoewel zij in de volle zee drijvende wer- den gevonden. Ik waag het hier nog eene andere oorzaak te noemen, die welligt in aanmerking kan komen, ofschoon haar bestaan eerst door het onderzoek van versche, levende voorwerpen kan worden uitgemaakt. Bij eenige soorten (zie bl. 11 en 14) namelijk nam ik, onder het traliewerk der schaal, ruimten en gangen waar, die bij dezelfde soort standvastig hetzelfde beloop hebben. Deze aan de intercellulaire kanalen der plantenweefsels herinnerende ‘gangen wa- ren met lacht gevuld. Of deze lucht ook voorhanden is in de niet gedroogde voorwerpen, laat zich thans niet beslissen, maar de meer of min analoge, hydrostatische toestellen van Porpita en Velella wettigen althans het ver- moeden, dat bij sommige Polycistineën het ligchaampje drijvende gehouden wordt door eene dergelijke afscheiding van lucht in daarvoor bestemde holten. Ten slotte doe ik nog opmerken, dat dit onderzoek wederom geleerd heeft, daf de lagere zee-bewonende organismen door gelijke of overeenkomstige vormen vertegenwoordigd worden op plaatsen der zee, welke zeer ver van elkander verwijderd zijn. De verschillen tusschen de Polycistineën, die de Middellandsche zee, en die, welke de bijna onder de linie gelegen Banda-zee bewonen, zijn inderdaad zoo gering, dat men in verzoeking komt sommige voor soortelijk identisch te houden en dat in elk geval er geen generisch onderscheid aanwijsbaar is. Ook in de betrekkelijke grootte, d.i. in de mate van ontwikkeling der individu’s, bestaat geen verschil. Wij zien ook * Lc. p. 28. 12 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X. 3Á _ BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER MIKROSK. FAUNA EN FLORA VAN DE BANDA-ZEE. . hier het algemeeme resultaat bevestigd, hetwelk men uit de beschouwing der dierenwereld in hare verspreiding over de aardoppervlakte en in hare op- eenvolging van vormen gedurende den loop der tijden trekken kan, dat na- melijk verschil van luchtstreek en van de uitwendige omstandigheden in het algemeen op de dierlijke bewerktuiging in des te mindere mate wijzigend inwerken, als deze eenen geringeren graad van betrekkelijke volkomenheid bereikt heeft. Utrecht, 14 December 1860. ek oh vaa waak: zij, Karl © PHarting. Bijdrage tot de kennis der mikroskopische flora en feuna der Banda — zee. PLt. Op 1240 Vademen diepte. Harting. at. nat. det. Steend. PW. v.d Weijer Utrecht Verh.d. Kon. Akhad. van Wetensch. DIX. L'Marting. Bijdrage tot de kennts der mikroskopische flora en fauna der Banda- zee P1:2 Fig. 26. oo eo22, 9000090 Op 1200 Vademen diepte. | Op 2050 Vademen dropte. ' | L Dt Ee Ee | Stoend.P W. v.d. Weijen Mrecht. Harting. ad. nat.del. Vert. d. Kon. Akad. van. Wetensch. DIT. 5 P Harting. Bijdrage tot de kennis der mikroskopische flora en fauna der Banda - zee. Pl. 3. | 0 „SS ot | | z Op 2700 Vademen diepte. _ Op 4000 Vademen diepte. 8 " Steend. PW v.d. Weijer. Utmecht. Harting. ad. nat. del. rd Verh. d. Kon. Akad. van Wetensch. DIX. er SUPPLEMENT AUX TABLES DINTEGRALES DEFINIES, QUI FORMENT LE TOME IV DES MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE. D. BIERENS DE HAAN. Poblié par PAcadémie Royale des Sciences à Amsterdam. AMSTERDAM, CG WAN DER POST: 1864. Take, ee arm Inn Ed zade NT EN eee rt Me DO etn de er SUPPLEMENT AUX TABLES D'INTEGRALES DEFINIES, QUI FORMENT LE TOME IV DES MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE. PRÉFACE. Depuis que les Tables d’Intégrales Définies ont été publiées, ou plutôt depuis l'année 1853, qui est en général la date des intégrales les plus récentes de ce recueil, le nombre „de ces formules s'est peu accru, si ce n'est par quelques Mémoires ou Notes, que j'avais écrits, et qui ont paru pendant ce laps de temps. Mais j'ai eu l'occasion depuis de parcou- rir encore divers Actes et Mémoires d'Académies, divers recueils, journaux, etc.; et par-là non seulement la bibliographie de cette partie de l'Analyse commence à se détacher plus distinctement entre la masse de Mémoires imprimés; mais encore les formules de plus ancienne date, si elles existaient, devaient ainsi nécessairement venir au jour. Or, il est assez remarquable qu’avec quelques exceptions c’étaient toujours les intégrales des Tables que je rencontrais *, soit celles, qui avaient été tirées des ouvrages d’autrui, soit celles que j'en avais déduites moi-même. Ainsi, comme je viens de le dire, j'avais construit une bibliographie de cette théorie; et quoïque certainement elle ne puisse aspirer au titre de perfection, pas même en ce sens que tous les mémoires, qui traitent de cette matière, y sont cités, — déjà, si je ne me trompe, l'ébauche d'une telle entreprise peut aider de beaucoup à l'arrondir et à la com- pléter. Les difficultés, que j'ai eu à surmonter à cet égard, depuis que j'ai commencé Vex- traction des formules pour les tables et mes travaux sur les intégrales définies, ne me lais- sent aucun doute que cette bibliographie ne soit d'un grand intérêt pour ceux, qui vou- t M. le Prof. Berravrris, (dans les Atti dell Instituto Veneto dì Science, lettere ed arti, Serie HL Vol. IV. p. 3. Marzo, 1859) en testifie autant, et quoiqu’il regrette dans la liste d'ouvra- ges consultés l'absence de plusieurs ouvrages italiens, il avoue qu'une recherche attentive ne lui a point fait trouver des résultats, qui ne se trouvaient dans mes Tables d’Intégrales Définies. 13 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, 2 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, draient s'occuper de la théorie des intégrales définies et de ce qui en dépend. C'est encore le seul moyen, je crois, de pouvoir un jour être à même d'écrire l'histoire des mathéma- tiques que de posséder en premier lieu une bonne bibliographie des mémoires Épars par-ci et par-là: et pour ce but j'espère que cette collection, qui se trouve dans ce supplément, pourra servir une fois, Il est encore une autre raison qui me porte à donner ce supplé- ment à présent, et je ne saurais l'exprimer d'une manière meilleure, qu'en me servant des mots prononcés par M. le rapporteur de l'Académie Impériale des Sciences, Belles- Lettres et Inscriptions de Toulouse, M. Enprès, lors du décernement de la médaille d’or aux Tables d'Intégrales Définies par cette Académie: „Ce recueil grandira peut-être au-delà des espó- rances et de Pambition de son auteur, si, comme il y a lieu de T'espérer, le rapprochement de résultats sì importants et si nombreux conduit les géomètres à établir des méthodes gé- nérales pour les démontrer et pour marcher à de nouvelles découvertes”” *, Le Volume VIII des Mémoires de notre Académie pourra servir de preuve, je lespère, que les prédictions du savant rapporteur ont déjà été dévancées, et commencent À se réaliser en partie %; et quoique je pense que jamais il n'en puisse résulter des méthodes générales directes, et qu’au contraire nous devrons bien nous contenter de méthodes indirectes, qui de temps à temps peuvent admettre quelque application, il s'en faut de beaucoup que nous semblions être épuisés de ce côtó-là. Bt si apparition des Tables “pourrait servir à rendre plus faciles et -À engendrer de nouveaux travaux dans cette voie, certainement mes peïnes seraient plus que recompensées, Depuis impression de mes Tables, je m’étais proposé de publier ce supplément, -et je croyais en outre devoir me charger alors d'une réplique aux diverses critiques, qu'elles au- raient eu À subir, soit pour réfuter ce que je ne pouvais accepter et reconnaìtre comme vrai ou utile, soit pour profiter des remarques que pourraient faire ceux, qui en avaient le droit. Mais, qu’il me soit permis de l'exprimer ici avec reconnaissance, — car Académie a tout aussi bien droit à la paternité des Tables d’Intégrales Définies, qui sans son aide désintéressé 2 Mémoires de V Académie Impériale des Sciences, Inseriptions et Belles Lettres de Toulouse, 5° Série, Tom, IV. page 396. - 3 A cette occasion je citerai quelques mots du „Katholische Literatur-Zeitung, 10 Nov. 1856, Jahrg. III. N°. 46. Wien” où il est question des Tables d’Intégrales Définies : „Eine woblgeordnete Darstellung jener Lehre (d. h. der bestimmten Integrale), welche zugleich alle allgemeinen wie be- sonderen Resultate enthielte, wäre eine überaus lohnende Arbeit; sie würde nicht nur den Reich- thum der Methoden, sinnreichen Künstgriffe und der einzelnen Ergebnisse erkennen lassen, sondern das Ganze erst zugänglich machen, was bis jetzt aus dem angeführten Grande für sehr Viele so gut wie unzugänglich ist. Ob sich jedoch ein Mathematiker einstmals dieser Arbeit unterziehen wird, steht dahin” Je ne saurai exprimer plus clairement l'objet de Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation et des méthodes d'évaluation des intégrales définies, du Tome VIII des Mémoires de l'Académie. bnn od ed nh et dn SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. — 5 n’auraient pu voir le jour *, -— il en a été tout autrement, que je ne pouvais penser ou espérer. De plusieurs côtés louvrage a été regu avec un empressement, avec une considé- ration et une approbation inespérées; et je crois que cet accueil, tout aussi bien que la demande continuée d'exemplaires, prouve qu'il satisfait à un besoin, qui se faisait sentir; qu'il a eu le mérite de PÀà propos. Quant aux remarques qui ont été faites et que je vais exposer en quelques mots, je suis heureux de pouvoir exprimer ici toute ma reconnaissance pour la manière prévenante et honorable à la fois, dont on a voulu poser ces observations et ces remarques. Flles ne m’é- taient pas moins bien-venues, quoiqu’en partie elles trouvent déjà leur réponse dans la „liste d'Observations et de Corrections en partie critiques,” insérées après la Préface des Tables: parmi les autres il'y en a de telle nature, que pour la plupart je pourrai en profiter pour une deuxième édition qu'on semble attendre. En général je dois faire observer d’abord, que les Tables en question étaient les premières en leur genre, ce dont tous ceux, que je nommerai tantôt, ont convenu; que par conséquent je n'avais pas d’ouvrage précédent, pour y renvoyer; que tout le matériel devait se trouver dans le volume même. En second lieu, que d'après ce qui a été annoncé À cet égard dans la Préface, on devait trouver dans les Tables tou- tes les sources, où les intégrales Étaient évaluées; et qu’ainsi il arrivait quelque fois que j'avais à admettre quelque intégrale sous diverses formes différentes, selon que l'auteur avait suivi telle ou telle voie, Voilà la réponse que j'ai À faire à M. BerrranD °, le rappor- teur de Académie des Sciences de Paris, qui s’étonne d’y rencontrer des formules si sim- _ples, à M., Currze 6 et à M. Berzavanis 7, le rapporteur de FInstitut des Sciences à Vénise, qui ne voudraient pas admettre les formules spéciales auprès des intégrales définies plus générales. Quant à une remarque de M. Berrranp ®% sur les intégrales évidemment impossibles et admises pourtant dans les Tables, je renvoie vers la Préface de l'ouvrage et vers la liste de corrections critiques; d'une part je pensais devoir faire mention de ces ré- sultats, d'autre part j'en ai noté après l'impossibilité, Le même auteur offre encore deux remarques sur les intégrales T 102, N 1 et T 19, N 12, qui coïncident parfaitement avec ce qui se trouve à leur égard dans les corrections critiques. Cette dernier liste d'ob- servations et de corrections en partie critiques a été approuvée spécialement par l'auteur du * Ceci a Élé très-justement exprimé par le savant O. TERQUEM (dans ses Nouvelles Annales de Mathé. matigues, T 18, Bulletin. 1859, p. 29—35), qui dit en parlant de ces tables: „C'est aus grandes Académies d'encourager de tels travaux en se chargeant des frais d’impression. Trois Académies, St. Pétersbourg, Berlin, Amsterdam, sont entrées dans cette voie et ont bien mérité de la science.” 5 Comptes Rendus des Séances de V.Académie des Sciences T. 47. N°. 11. 13 Septembre, 1858. Paris, p. 434, 435. ® GRUNERT's Archiv. Bd. 32, Heft 2, Literat, Bericht. N°. 126. 7 Ati del ir, Istituto veneto di science, lettere ed arti, Serie III. Vol IV. 13. Marzo 1859. p. 413—420. 8 Comptes Rendus, 1, c. 13% 4 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÁFINIES. rapport spirituel et intéressant dans le Journal anglais Athenaeum °%, qui le premier mit cet ouvrage sous les yeux du public, et que M. r’Ansí Moreno '° attribue au célèbre Mathématicien A. pr MorGaN; et encore par M. LaNDMANN '!. Quant À la notation des sources, d'où Yon pourrait tirer \'évaluation de chaque intégrale définie, M. SrerN '? a fait la remarque que plusieurs fois elle n'est que fortuite, lorsqu’on rencontre un tel renvoi auprès d'intégrales tròs-simples, que l'on trouverait presque dans tout livre sur le calcul intégral, et qui se déduisent d'intégrales indéfinies; aussi je ne crois pas que les auteurs cités s'en fassent une gloire spéciale, et c'est bien là le seul mal qui pût résulter de ces citations. Encore on aurait pu les laisser de côté avec les autres intégrales de ce genre, s’il n'y avait pas quelques objections, qui regardent en même temps les remarques précédentes. D'un côté elles me semblaient devoir entrer dans le cadre que je m’étais posé; d'autre part il n'est pas toujours si aisé de déterminer à priori, sì quelque intégrale peut s’óvaluer sous forme indéfinie ou non. Dans le premier cas, il importe encore de distinguer entre les cas de continuité et de discontinuité; il faut chercher les valeurs de la variable, pour lesquelles lintégrale devient discontinue, et calculer la correction nécessaire pour ces diverses valeurs; et ainsi la valeur finale, bien que toujours susceptible d'être calculée avec l'attention nécessaire, pourra servir utilement; ensuite la valeur de quel- que intégrale définie devient souvent d’une simplicité peu en rapport avec la formule in- définie compliquée; enfin j'en avais besoin quelques fois dans la déduction d'intégrales nouvelles pour la réduction nécessaire. Mais combien une distinction et une certitude suffisante àÀ l'égard des noms des inventeurs ou des auteurs, qui donnent telle intégrale définie, est difficile, c'est ce que prouve encore une remarque du célèbre analyste BerrranD '?. Il cite Yintégrale Table 1, N°, 11, com- me portant le nom de „CrsA pe Gresy” qui ne la pas trouvée, tandis qu'elle serait due à Gauss, qui Pa donnée dix ans plutôt: mais lorsqu’il tourne les feuilles jusqu’ à Table 10, N°. 1, qui est la même intégrale sous une forme plus générale, il verra que déjà Purer a devancé Gauss de beaucoup plus d’années. C'est ainsi que pour trouver l'inventeur d'une intégrale, il faudra en général remonter aux intégrales les plus générales. Passons Àà une autre partie de la rédaction, qui m'a coûté beaucoup de temps et bien du travail: c'est la division ordonnée des Sections et des Tables, du cadre, où doivent entrer des formules si dissemblables entre elles: la „dichotomie”” comme l'appelle Mr. Terqueu '*. Elle a été regue avec une approbation marquée: seulement M. Berravrrs 'S fait quel- 9 Athenaeum N°, 1607. August 14, 1858, p. 203. 10 Cosmos, Revue Hebdomadaire, 1° Année, 13° Volume, 10° Livraison. 3 Sept, 1858. p. 272. 11 Ofversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, Arg. 1860. N°. 6. 12 Goettingische gelehrte Anzeigen. 193°S Stück, 6 December, 1858. S. 1921—1928. 13 Comptes Rendus. 1. c. !h Nouvelles Annales de Mathématiques par TeRQqurM et GÉroxo. T. 18, Bulletin 1859. p. 29 —35. 15 Atti Ist, veneto, 1, c. EE SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. 5 ques réflexions À cet égard; mais les changements proposés auraient rendu, illusoires, je crois, les notes bibliographiques dans un premier recueil de ce genre; et la valeur de ces notes est bien incontestablement admise dans les rapports sur cet ouvrage. Une deuxième . édition au contraire, si elle serait nécessaire, un autre recueil de ce genre, pourraient peut- être en profiter en partie. Il proposait de ne pas admettre les limites comme argument de classification, et de réunir toutes les intégrales définies de même forme à différentes limites, sauf d'exprimer cette dernière circonstance en prenant une autre lettre pour la variable; encore n’approuve-t-il pas entièrement la distinction pour les fonctions algébriques entre les, formes entières et fractionnaires, rationnelles et irrationnelles. A la vérité, cette distinction, je Favais fait observer moi-même dans la Préface, n'est pas toujours assez naturelle, mais elle me semble indispensable pour ne pas accumuler trop de formules dans une même table, ce qui aurait fait perdre tous les avantages d'une telle division detaillée; et M. Beruavarrs reconnaît lui-même *® la facilité quelle offre pour la recherche des formules dont on a besoin. ú Enfin plusieurs des analystes nommés, M. Scmrömircu ' 7, SrerN '®, Terquem '° regret- tent absence des intégrales multiples définies, ou m’engagent à les ajouter dans une deuxième édition. Mais lorsqu’on fait attention au volume des tables, on préfèrera, je n'en doute guère, des tables séparées pour les intégrales définies multiples: j’espère pouvoir sa- tisfaire un jour à ce désir. Deventer, Mars, 1861. Cette bibliographie ne contient que des citations de Mémoires académiques et de Jour- naux scientifiques. On a laissé de côté tous les livres, où il peut avoir été traité des mêmes sujets, et encore toutes les monographies isolées correspondantes. Il n'aurait pas été pos- sible d'admettre les citations du premier genre; et pour avoir une bibliographie, tant soit peu complète, de monographies, quelque intérêt qu’elle puisse offrir, il m’aurait falla plus de temps, plus de ressources. \ Elle se divise eu neuf Sections. A. Intégrales définies — Théorie. E. Calcul des résidus. B. Intégrales définies — Évaluation. | F. Fonctions Eulériennes. C. Intégrales définies multiples. G. Fonctions Elliptiques. D. Évaluation par approximation. “| H.Fonctions Ultra-elliptiques (Abéliennes &c.). 16 Att Ist. veneto. 1. c, 17 Zeitschrift für Mathematik und Physik von Scnömimen und Wrirseneu, 4er Jahrg. 1859. Literatur-Zeitung, S. 54, 55. 18 Goett. gel, Anzeigen. 1. c. 19 Nouv. Ann. d. Mathém. l.c. 6 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. I. Logarithme intégral, Sinus intégral, Cosinus intégral, Fonction Bernoullienne. Elle est construite des données qu’offrait la Bibliothèque de l'Académie Royale des Sciences, très-riche en Mémoires de différentes Académies et de Sociétés Scientifiques, publiées dans le courant de ce siècle; pour quelques séries anciennes j'ai dû encore m’adresser à quelques autres _ bibliothèques. Quant aux Journaux scientifiques, que j'ai parcourus dans ce but, ils sont: J. v. Cr, Creu, Journal für die reine und angewandte Mathematik. Gr. Arch. Grunert, Archiv der Mathematik und Physik. J. d. L. Lrovviure, Journal de Mathématigues pures et appliquées. Ann. M. GERGONNE, Annales de mathématiques pures et appliquêes. J. Ee. Pol, Journal de U Ecole Polytechnique. Phil. Mag. Philosophical Magazine (les diverses séries). Astr. Nachr. ScHUMACHER, Astronomische Nachrichten. Schl. 4, Scrrömizon & Wrrsouer, Zeitschrift für die Mathematik und Physik. Baumg. Zeitschr. BAUMGARTNER & VON BrrinGsHAUsEN, Zeitschrift für Physik und 3 Mathematik. C. Math. Jour. Cambridge Mathematical Journal. C. & D. Math. Jour. Cambridge & Dublin Mathematical Journal. Quart. Jour. Quarterly Journal, Mathem. Mathematician. Dans la construction on a suivi Yordre des années; et pour chaque année spécialement, quant aux Mémoires et aux Actes, on s'est conformé à ordre, établi dans le catalogue de notre Bibliothèque: quant aux journaux, ils se suivent en général dans ordre où lon vient de les nommer. Chaque citation porte le nom de l'auteur en caractères saillants: puis le recueil cité avec indication du volume, de l'année, des pages (où toujours la dernière. page se trouve tout aussi bien notée que la première, pour qu'on puisse connaître l'étendue du ‘mémoire en question). En seconde ligne tout le titre se trouve transcrit: cette seconde ligne n'a pas été ajoutée, lorsque le même mémoire a déja été cité auparavant dans une des Sections prócé- dentes: seulement alors on est renvoyé vers telle Section, tel Numéro, où le titre entier se trouve transcrit. Vu que ces cas arrivent souvent, étendue de cette partie est ainsi restreinte de beaucoup; sans que pour cela l'usage en soit moins utile ou facile. _ Cette série de citations offre par suite un Tableau du développement de ce chapitre des sciences exactes, tant qu'il se trouve exprimé dans les Mémoires publiés par les Acadé- mies et les Sociétés Savantes et dans les journaux scientifiques cités. Il semblait préférable de prendre le temps pour argument de ce tableau: une dernière table par noms d’auteurs fera connaître la part, que chaque auteur a eue À la construction de cette partie de l'ana- lyse: on y verra bien des noms d’importance dans l'histoire des mathématiques. 10 BIBLIOGRAPHIE. À. INTÉGRALES DÉFINIES. — THÁÉORIE. L. Evrer, Misc. Ber. T, 7, A. 1743. p. 91—129. Theoremata circa reductionem formularum integralium ad circuli quadraturam. Misc. Ber. T. 7, A, 1743. p. 129—171. De inventione integralium, sì post integrationem variabili quantitati determinatus va= lor tribuatur. Viso. Rrocarr, Comm. Bonon. T. 5. P. 2. p. 432—445. A. 1767. De quadratura curvarum tradita per summas generales serierum. L. Evrer, N. Comm. Petr, T. 14. P. 1. A. 1769. p. 129—167. De summis serieram numeros Bernoullianos involventium. N. Comm. Petr. T. 16. A. 1771, p. 91—139. Evolutio formulae integralis Í af-\de(le)" integratione a valore #=0 ad #=l1l extensa. N. Comm. Petr. T, 17. A, 1772. p. 178—204. Exercitationes analyticae. N. Comm, Petr. T. 19. A. 1774. p. 3—29. gnl t- znm 1 De valore formulae integralis Í TER dz, casu quo post integrationem poni- tur == |. N, Comm. Petr. T. 19. A. 1774, p. 30—65. 2d He 2d dz TED (le), casu quo post integrationem po- De valore formulae integralis Í nitur e= 1. N. Comm. Petr. T. 19. A. 1774. p. 66—102. , Nova methodus quantitates integrales determinandi. N. Comm. Petr. T, 20, A. 1775. p‚ 59—79. Speculationes analyticae. 11 12 18 14 15 16 17 18 19 20 21 22 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. L. Eurer, Act. Petr. A. 1777. P. 2. p. 3—28. da la De integratione formulae TN abe—=0 adel extensa. Act. Petr. A. 1777. P. 2. p. 29—41. aal da (1—a?) (L—z) la lg” De valore formulae integralis Í a termino #==0 usque ad =—l extensae. Nrc. Fusz, Act. Petr. A. 1778. P. 2. p. 111134, _atlda veld U (lar) X | af ambo integralia a termino #==0 usque ad terminum #==l extenduntur. pe LA Prace, Mém. Paris. A. 1779. p. 207 —309. Mémoire sur les Suites. Niro. Fusz, Act. Petr. A. 1780. P. 2, p. 49—69. Exercit. analytico-geom. circa lineam curvam singulari proprietate praeditam; inest ge- dum Genuina methodus investigandi valorem producti mina determinatio formulae Í dey/ Sin. of, de ap= 0 Ter L. Eurrr, Act. Petr. A. 1781. P, 1. p. 3—47. Nova methodus integrandi formulas differentiales rationales sine subsidiis quantitatum imaginariarum. DE LA Prace, Mém. Paris. A. 1782. p. 1—88. Sur les approximations des Formules, qui sont fonctions de très-grands nombres. L. Eurer, N. Act. Petr. T. 3. A. 1785. p. 3—24, fr 4 das antp — 2 a” Cos. anp Methodus facilis inveniendi integrale hujus formulae ze whe 7 z Mn Zat Cos. + 1 casu quo post integrationem ponitur vel s=l vel == 00. N. Act. Petr. T, 3. A. 1785, p. 25—46. De summo usu calculi imaginariarum in Analysi. N. Act. Petr. T. 4. A. 1786. p. 3—16. 1 lr Evolutio formulae integralis Í ae | + ì % @ N. Act. Petr. T. 4. A. 1786. p. 17 —54. Uberior explicatio methodi singularis nuper expositae, integralia alias maxime abscondita investigandi. N. Act. Petr. T, 5. A. 1787. p. 8—26. Innumera theoremata circa formulas integrales, quorum demonstratio vires amalyseos superare videatur. ei a terminó s—=0 usque z=l extensae. 23 24 25 26 27 28 29 30 81 32 83 84 85 86 87 38 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. 9 L. Euvrer, N. Act. Petr. T. 5. A. 1787. p. 86—117. ap=lde Comparatio valorum formulae integralis Prep Ts vn p a termino #==0 usque ad x=—=l extensae, N. Act. Petr. T. 5. A. 1787. p. 118—129. Additamentum ad dissertationem praecedentem. N. Act. Petr. T. 7. A. 1789. p. 64—82, De iterata integratione formularum integralium dum aliquis exponens pro variabili assumitur. N. Act. Petr. T. 8. A. 1790. p. 15—31. 1 £ De vero valore formulae integralis | del)” a termino #=—=0 usque ad terminum z «== l extensae, M. A. Parsevar, Mém. Prés. à I'Inst. Paris. T. 1. p. 567—586. A. 1806. Méthode générale pour sommer, par le moyen des intégrales définies, la suite donnée par le théorème de M. LAGRANGE, au moyen de laquelle il trouve une valeur, qui satisfait à une équation algébrique ou transcendante. LrGENDRE, Mém. Inst. Paris. T. 10. p. 416—509. A. 1809. Recherches sur diverses sortes d'intégrales définies. N. Fuss, Mém. Pét. T, 4. A. 1811. p. 205—220. Demonstratio theorematum quorundam calculum integralem spectantium. Bipone, Mém. Torino. T. 20. A, 1811—13. p. 281—345. Mémoire sur diverses intégrales définies, Grüson, Abh. Berlin. A. 1812, 13. S. 31—44. Allgemeine Methode mittelst bestimmter Integralien die durch den Tuagrangischen Lehr- _satz gegebene Reihe zu summiren. Poisson, J. Ec, Pol. T, 9, Cah. 16. A. 1813. p. 215—246. Mémoire sur les intégrales définies. J. Ec. Pol. T, 10. Cah. 17. A. 1815. p. -612—631. Suite du Mémoire sur les intégrales définies. Prana, Mém. de Torino. T. 23. p. 7—49. A. 1818. Mémoire sur les intégrales définies. Cu. ve Nieveort, Nouv. Mém. Brux. T. 1. A. 1820. p. 3—38. Mémoire contenant l’Esquisse d'une Méthode Inverse des Formules Intégrales définies. Poisson, J. Ec. Pol. T. 11. Cah. 18. A. 1820. p. 295—341. Suite du Mémoire sur les intégrales définies. Crsa pe Grésy, Mém. de Torino. T. 26, p. 209—396. A. 1821. Mémoire sur les intégrales définies. H. G. Scumipren, A. M. T, 12. A. 1822. p. 205—222. Recherches sur les intégrales définies. 14 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X, 49 50 51 52 53 54 55 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. Sarrus, A. M. T. 12. A. 1822. p. 254 —257. Note sur les équations difiérentielles partielles et sur les intbgrales définies. Poisson, Mém. Acad Paris. T. 6. p. 571 —602. A 1823. Mémoire sur le calcul numérique des intégrales définies. A. Cavony, Mém. Acad. Paris. T. 6. p. 603—612. A. 1823. Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques. N. H. Aser, Magazin Christiania. Bd. 2. A. 1823. S, 55—69, 205—216. Oplösning af et Par Opgaver ved Hjilp af bestemte Integraler. ‚ Porsson, J. Ec. Pol. T. 12. Cah. 19. A. 1823. p. 404—509. Suite du Mémoire sur les intégrales définies et sur la sommation des séries. Cavcuy, J. Ec. Pol. T. 12. Cah. 19. A. 1823. p. 510—592. Mémoire sur Yintégration des équations linéaires aux différences partielles et à coefficiens constants, G. Lisri, Mém. de Torino. T. 28. p. 251—280. A. 1824. Mémoire sur divers points d’analyse. H. Verniem, A. M. T. 15. A. 1825. p. 165 —-188. „Recherches sur la sommation des termes de la série de Tayror et sur les intégrales définies. Geraonne, A. M. T. 15, A. 1825. p. 360—863. Note sur le Mémoire de M. Vernrer, p. 165. Cavcry, A. M. T. 16. A. 1826. p. 97—108. Mémoire sur les intégrales définies, où l'on donne une formule générale de laquelle se déduisent les valeurs de la plupart des intégrales définies déjà connues et celles d'un grand nombre d'autres. — —- Mém,. Prés, à l'Acad. Paris. T. 1. p. 1—812. A. 1827. __ Mémoire sur la théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant, d'une profondeur indéfinie. (avec 20 Notes). —__—___—— Mém. Prés. à Acad. Paris. T. 1. p. 599—799. A. 1827. Mémoire sur les intégrales définies (lu 22 Août 1814). Dirksen, Abh. Berlin. A. 1827. S, 85—114. UVeber die Darstellung beliebiger Functionen mittelst Reihen, die nach den Sinussen und Cosinussen der Vielfachen eines Winkels fortschreiten. N. H. Aser, Norske Vidensk. Skrift. Trondhjen. Bd. 2. P. 2.S. 177—208. A. 1827. Et lidet Bidrag til Laeren von adstillige transcendenten Functioner. J. v. Cr. B. 2. A. 1827. S. 22—80. Veber einige bestimmte Integrale. Cavcny, A. M. T. 17. A. 1827. p. 84-—127. Recherche d'une formule générale qui fournit la valeur de la plupart des intégrales définies connues, et celle d'un grand nombre d'autres. Mém. Acad, Paris, T. 8. p. 97 —129. A. 1829. Mémoire sur divers points d'analyse. 56 57 58 59 60 61 62 63 „64 65 66 67 68 69 70 71 12 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. 11 G. Leseune-Dimrcnzer, J. v. Cr. Bd. 4. A. 1829. S, 9498, Note sur les intégrales définies. J. v.-Cr. B. 4 ‘A. 1829. S. 157—169. Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données. A. L. Cavcny, Mém. Acad. Paris. T. 9. p. 97—103. A. 1830. Extrait du Mémoire sur l'intégration des Ééquations aux différences partielles. N. Fuss, Mém. Pét. T. 1l.eMém. posth. de L. Evrer, F. T. Sonuaerr et N. Fuss. A. 1830. p. 268—278. Démonstration d'un théorème général relatif au calcul intégral. C. G. J. Jacosi, J. v. Cr. Bd. 5. A. 1830. S. 344—364. Exercitatio algebraica circa discerptionem singularem fractionum, quae plures variabiles involvunt. Osrroerapsky, Mém. Pét. Sér, 6. T. 1. A. 1831. p. 117—122. Note sur les intégrales définies, G. Lisz, J. v. Cr. Bd. 7. A, 1831. S. 224—233. Mémoire sur les fonctions discontinues, Porsson, J. Ec. Pol. T. 13. Cah. 20. A. 1831. p. 222—248. Suite du Mémoire sur les intégrales définies et sur la sommation des séries. J. L. Raasre, Baumgartners Zeitschr. B. 10. A. 1831. S. 41—74. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen. A. F. Svangere, N. Act. Upsal. T. 10. A. 1832. S. 231—288. De Integralibus definitis disquisitiones. R. Murray, Cambr. Phil. Trans. Vol. 3. A. 1833. p. 429 —443, On the General Properties of Definite Integrals. Cambr, Phil. Trans. Vol. 4, A, 1833. p. 125—154, On the Resolution of Algebraical Equations. Cambr. Phil. Trans. Vol. 4. A. 1833. p. 353-—408. On the Inverse Method of Definite Integrals, with Physical Applications. G. Lrsrr, J. v. Cr. Bd. 12, A. 1834. S. 240—257. Mémoire sur les intégrales définies aux différences finies. R. Mvrruy, Cambr. Phil. Trans. Vol. 5. A. 1825. p. 113—148, 315—894. Second and third Memoir on the Inverse Method of Definite Integrals, — Analytical Table of Reference for the three Memoirs, LrseuNeE-Drirrcnzer, Abh. Berlin. A. 1835. S. 391 —407. Ueber eine neue Anwendang bestimmter Integrale auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen. Laovvmue, J. Ec. Pol. T, 15. Cah. 24, A. 1835. p. 55—60. Note sur la détermination d'une fonction arbitraire, placée sous un signe d’intégration définie. 14 * 12 13 74 15 16 71 78 79 80 81 82 83 84 85 86 81 88 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. C. G. J. Jacorr, J. v. Cr. Bd. 15. A. 1836, S. 1—26. Formula transformationis integralium definitorum. J. L. Raagr, J. v. Cr. Bd. 15. A. 1836. S. 355—364. Ueber die Summation periodischer Reihen und die Reduction des Integrals : Í p (Sin. az, Cos. ba) da. 0 C. G, J. Jacosr, J. de L. T. 1. A. 1836. p. 195, 496. Formule pour la transformation d'une classe d’intégrales définies. C. Ramus, Danske Afhandl. 4e Raekke. B. 6. A. 1837. S. 265—307. Undersögelse af en Classe af Integraler, beslaegtede med de elliptiske. Encke, Astron. Jahrb. A. 1887. S. 251—288. Ueber mechanische Quadratur. J. Lrouvire, Mém. Prés, à Acad. Paris. T. 5. p. 76—102, 103—151, A. 1838. Premier et Second Mémoire sur la détermination des intégrales, dont la valeur est algébrique. C. GUDERMANN, J. v. Cr. Bd. 18. A. 1838. S. 1—54, 220—258. Theorie der Modular-Fanctionen und der Modular-Integrale. A. EF. Svangere, J. v. Cr. Bd. 18. A. 1888. S. 55—68. Mémoire sur quelques intégrales définies. ——_N. Act. Upsal. T. 11. A. 1889. S. 1—28,. De seriebus periodicis adnotationes. J. Lrouvuamr, J. de L. T. 4. A. 1839. p. 225—235. Note sur quelques intégrales définies. A. L. Caveny, Mém. Acad. Paris. T, 17. p. 249—768, A. 1840. Mémoire sur la théorie des nombres. (avec 14 Notes). Osrroerapsky, Bull, Pétersbourg. T. 6. A. 1840, S. 161, 162. Mémoire sur les quadratures définies. E. B, Kuuxer, J. v. Cr. Bd. 20. A. 1840. S. 1—10. Sur quelques transformations générales des intégrales définies. J. L. Raasr, J. v. Cr. Bd. 20. A. 1840. 8. 178—117. Ueber den Fall wenn in den bestimmten Integrale | s ple)de die Function p(z) für a einen oder mehrere Werthe von z, welche innerhalb a und 5 liegen, unendlich grosz oder discontinuirlich wird. F. J. Rronezor, J. v. Cr. Bd. 21. A, 1840. S. 293—327. De integralibus quibusdam definitis, quorum summa ad quadraturam divisionemque circuli revocatur. O. Terquem, J. de L. T. 5. A. 1840. p. 37. Démonstration de deux propositions de M. Cavony. 89 90 91 op 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A, 15 J. Biner, J. de L. T. 5. A. 1840. p. 373 —379. Mémoire sur les inégalités séculaires des éléments des planètes. Note. A. Cavcuny. C. R. T. 12. A: 1841. p. 1145—1158. Sur la détermination et la transformation d’un grand nombre d’intégrales définies nouvelles. W. R. Hamrrron, Proc. Irish R‚ S, V. 1. A. 1841. p. 475—477. On Fluctuating Functions. H. Moszrey, Not. British ‘Assoc. A. 1841. p. 35—39. On a Machine for calculating the Numerical Values of Definite Integrals. Dirksen, Ber. Berlin. A. 1941. S. 4—14. Von den Integralen und deren Anwendung auf Fanktionen imaginärer Veränderlichen. Cum. JüRGENSEN, Danske Afhandl. 4e Raekke. B. 8. A. 1841. S, 1—17. Om Decompositionen af en Classe af Functioner. O. Scurömircr, Gr. Arch. B. 1. A. 1841. S. 263—268. Entwickelung einiger Formeln aus der Theorie der bestimmten Integrale. Gr. Arch. B. 1. A, 1841. S. 417—422, Zur Theorie der bestimmten Integrale. J. Lrovvrue, J. de L. T. 6 A. 1841. p. 69—78. Sur une formule de M. Jacopr. Cun. Deraunay, J. de L. T. 6. A. 1841. p. 209 —237. Thèse sur la distinction des maxima et des minima dans les questions, qui dépendent de la méthode des variations. Caveny. J. Ee. Pol. T. 17. Cah. 28. A, 1841. p. 147—248, ‘Mémoire sur diverses formules relatives à la théorie des intégrales définies, sur la con- version des différences finies des puissances en intégrales de cette espèce. A. Procn, Mém. Cour. Brux. T, 15. P. 2. A. 1841, 1842, p. 1—74. Mémoire sur les fonctions arbitraires exprimées par des intégrales doubles. E. H. Dirksen, Ber. Berlin. A. 1842. S. 20-29. Summation unendlicher Reihen, welche nach den Sinussen und Cosinussen von’ Win- keln fortschreiten, die Produkte von einer Veränderlichen in die Wurzeln einer transcendenten Gleichung und deren Coefficienten bestimmte Integrale bilden. J. L. Raagr, J. v. Cr. Bd. 28. A. 1842. S. 105—125. Veber die Summation der ohne Ende fortlaufend harmonisch-periodischen Reihen und É pe de. über die Reduction des Integrals Í p(Sin.az, Cos. be) net z 0 C. JürGENsEN, J. v. Cr. Bd. 23. A; 1842. S. 142—144. Note relative à un Mémoire de M. Rroreror sur quelques intégrales définies. C. Rauus, J. v. Cr. Bd, 24. A. 1842, S. 257—259. Démonstration d'un théorème sur quelques intégrales définies. 14 105 106 107 108 109 110 111 112 1138 114 115 116 117 118 Ld SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. J. A. Grunerrt, Gr. Arch. B. 2. A. 1842. S, 266—823. Ueber die neuesten Erfindungen in der Theorie der bestimmten Integrale. W. R. Hamrron, L, E. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 20. A. 1842. p. 288—294, On certain discontinuous Integrals, connected with the Development of the Radical which represents the Reciprocal of the Distance between two Points. A. Cavony, C. R. T. 16. A. 1843. p. 422—438. Mémoire sur la théorie des intégrales définies singulières appliquées gónéralement à la détermination des intégrales définies et en particulier à l'évolution des Intégra- les Eulériennes. C.R. T. 17. A. 1843. p. 719 —787. Mémoire sur les rapports entre les factorielles réciproques dont les bases varient pro- portionnellement, et sur la transformation des logarithmes de ces rapports en in- tégrales définies. Wanrrzer, C. R. T. 27. A. 1848. p. 1191—1194. Mémoire sur lintégration des équations différentielles linéaires au moyen des inté-_ grales définies. W. R. Hamrrron, Irish Trans. Vol. 19. A. 1843. p. 264-321. On fluctuating Functions. E. H. Dirksen, Ber. Berlin. A. 1843. S., 83—92. Summation unendlicher Reihen, deren Glieder nach den Zablenwerthen der Wurzeln transcendenter Gleichungen fortgehen. Ber. Berlin. A. 1843. S. 111—114. Entwickelung von (l—2at4a?)-t mittelst bestimmter Integrale. Barrz. Boncomraeni, J. v. Cr. Bd. 25. A. 1843. S. 714—96. Recherches sur les intégrales définies. J. L. Raasr, J. v. Cr. B. 25. A. 1843. S. 160—168. Ueber die Summation der ohne Ende fortlaufend harmonisch-periodischen Reihen und JE da über die Reduction des Integrals Í p (Sin. az, Cos. ba) — * Kij 0 C. G. J. Jacozr, J. v. Cr. Bd. 26. A. 1848. S, S1—87. Ueber die Entwicklung des Ausdrucks {aa—2aa' (Cos. w. Cos. p H Sin. Sin, p. Cos. (Ò—Ò')} + a'a'}*. O. Scrrömrren, Gr. Arch. B. 3. A. 1848. S. 278—283. Veber die Integration unendlicher Reihen. Ossran Bonner, J. de L. T. 8. A. 1848. p. 78—109. Note sur la convergence et la divergence des séries. J. Berrranp, J. de L. T, 8. A. 1843. p. 110—112, Ll dada Détermination de lintégrale définie [ pr 0 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. 15 G. Booze, C. Math. Journ. V. 3. A, 1848. p. 216—224, On the Transformation of definite integrals. Deraunay, J. Ec. Pol. T. 17. Cah. 29, A, 1843. p. 37—120. Mémoire sur le calcul des variations, A. Cavcuy, C. R. T. 18. A. 1844. p. 1072—1086. Mémoire sur la substitution des fonetions non-périodiques aux fonctions ‘périodiques dans les intégrales définies. C. R. T. 19. A. 1844. p. 1837 —1344, Mémoire sur quelques propositions fondamentales du calcul des résidus et sur la théo- . rie des intégrales singulières, C. J. Marusren, N. Act. Upsal. T, 12. A. 1844. S. 155 —176. d 4 m _ 1—pCos.te fr pSin.tz Mémoire sur les intégrales Í 1=2pCoste Hp? ple) de ef 12ploste tpi) 4 0 0 N, Act, Upsal. T. 12. A. 1844, S. 177—254. Mémoire sur les intégrales définies entre 2—=0 et 2—= oo. O. Senzömmen, Gr, Arch. B. 4, A. 1844, S. 71—75. Ueber einige bestimmte Integrale, deren Werthe durch doppelte Integration gefun- den werden. J. A. Grurerr, Gr. Arch. B. 4. A. 1844. S. 104—109. did (1 —2°)d Sin.iz Beweis der Gleichung ere re Tae (— 11 1.8.5....(2i—l) zi für z== Cos. z. Gr. Arch. B. 4. A. 1844. S, 118—126. UVeber die neuesten Erfindungen in.der Theorie der bestimmten Integrale. Zweite Abhandlung. O. Scrrömrzcn, Gr. Arch. B. 4, A. 1844. S. 316—329. Ueber die Zerlegung der bestimmten Integrale in andere von kleineren Integrations- Intervallen. Gr. Arch. B. 5. A. 1844. S. 152—155. Neues Theorem über eine gewisse Klasse periodischer Functionen. U. H. Meuer, Gr. Arch. B. 5. A. 1844. S. 216—219. Remarques faites Àà l'occasion du N° XIII T. 4, p. 113 de ce Journal, J. A. Serner, J. de L. T. 9. A. 1844. p. 193—216. Mémoire sur Yintégration d’une Équation différentielle à laide des différentielles à indices quelconques. A. Cavcry, C. R. T. 20. A. 1845. p. 481, 482, 552—554, 691—726. Mémoire sur les approximations des fonctions de très-grands nombres, J.R. Youre, L., E. et D. Phil. Mag. 34 Ser. V. 27. A. 1845. p. 362—366, 437442. On the Evaluation of the Sums of Neutral Series, 16 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÁGRALES DÉFINIES. A. B. Bronwin, Mathemat. V, 1. A. 1845, p. 197—208. On definite integrals. Mathemat. V. 1. A. 1845. p. 308—301. On the reduction of certain integrals to more simple forms. G. Boorr, C. Math. Journ, V. 4, A. 1845. p. 82—87. On the inverse Calculus of definite Integrals, Tormermans, Bull. Brux. T. 13. P. 1. A. 1846. p. 140 —151. Note sur la convergence des séries. Scraar, Bull, Brux. T. 13. P. 2. A. 1846. p. 30—42. Sur la transformation de quelques intégrales définies. A. Cavcny, C. R. T, 238. A. 1846. p. 251—255. Sur les intégrales qui s’étendent à tous les points d'une courbe fermée. C.R. T. 28, A. 1846. p. 382—394. Mémoire sur le changement de variables dans les ninae représentées par des intégrales définies et sur lintégration de certains systèmes d'équations différentielles. C. R. T. 23. A. 1846. p. 485 —487, 529—537. _ Mémoire sur la détermination complète des variables propres à vérifier un système d'équations différentielles. C. R. T. 23. A. 1846. p. 537, 557—562. Mémoire sur les intégrales dans lesquelles la fonction sous le signe Í change brus- quement de valeur. —_ 0. R. T, 23. A. 1846. p. 563—569. Mémoire sur les intégrales imaginaires des équations différentielles et sur les grands avantages que l'on peut retirer de la considération de ces intégrales, soit pour établir des formules nouvelles, soit pour éclaircir des difficultés, qui n’avaient pas été jusqu’ici complètement résolues. C. R‚ T. 23. A. 1846. p. 689—702. Considérations nouvelles sur les intégrales définies qui s’étendent à tous les points d'une courbe fermée et sur celles qui sont prises entre des limites imaginaires. - C.R. T. 28. A. 1846. p. 729 —740. Mémoire sur les diverses espèces d'intégrales d'un système d'équations différentielles, — C. R. T, 23. A, 1846. p. 7179—187. Sur les rapports et les différences qui existent entre les intégrales rectilignes d'un système d'équations différentielles et les intégrales complètes de ces mêmes équations. R. Rawson, Mem. Manchester. 2d Series. V. 7. A. 1846. p‚ 464—501. On the Summation of Series and on Definite Integration. C. Rauus, Danske Afhandl. (4° Raekke). T. 12. A. 1846, S. 111—184, Om Ellipsoiders Tiltraekning og om de ellipsoidiske Liger aegtifigurer af flydende Masser. 5 aes Aad 149 150 151 152 158 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. 17 O. Serrömmen, J. v. Cr. Bd. 33. A. 1846. S. 268280, Note sur la variation des constantes arbitraires d'une intégrale définie. J. A. Grureer, Gr. Arch. B. 7. A. 1846. S. 358—366. Ueber eine Anwendung des in der Abhandlung Th. 2. S. 266. $3 bewiesenen Haupt- satzes der Theorie der bestimmten Integrale. W. Rogerrts, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 210, 211. Démonstration d'un Théorème de Porsson. R. Moor, L. B. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V 28. A. 1846. p. 136—143. Reply to some Remarks contained in Prof. Youne’s recent Paper: On the Evaluation of the Sums of Neutral Series. J. R. Younes, L. E et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 28. A. 1846. p. 213—215. On Differentiation as applied to Periodic Series, with a few Remarks in Reply to Mr. Moon. ScHaaAr, Mém. Cour Brux. T. 22. A. 1846, 1847. p. 1—25. Mémoire sur les intégrales Eulériennes et sur la convergence d'une certaine classe de séries. Youre, Proceed. Irish R.S. V. 3. A. 1847. p. 27 —49. On Diverging Infinite Series and on certain Brrors connected with them. A. F. SvangerG, N. Act. Upsal. T. 13. A. 1847. S. 1—13. Observations sur la transformation des intégrales multiples N. G. pe Scuurren, Acta Fenn. Helsingfors. B. 2. A. 1847. p 317—846. Considérations sur la relation, qui existe dans quelques cas particuliers entre la valeur d'une fonction uniforme d'une seule variable et celle de son coefficient différentiel du premier ordre. O. Scrrömizen, Gr. Arch. B. 9. A. 1847. S, 379888. Allgemeine Reductionsformel für gewisse bestimmte Integrale. J. Dienecer, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 109. Aufgaben. O. Scurömmen, Gr. Arch. B. 10. A. 1847, S. 424—428. Veber einige arithmetische Sätze. — Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 440—449 „Algemeine Transformationsformeln für gewisse Integrale. F. W. Newman, Mathemat. V. 2. A. 1847. p. 28—31. On the general reduction of certain Integrals. B. Bronwin, Mathemat. V. 2. A. 1847. p. 75—79. On the reduction of certain definite integrals to more simple forms. A. Cayrey, C. et D. Math. Journ. V. 2. A. 1847, p. 122—128. On certain formulae for differentiation, with applications to the evaluation of definite integrals. E. Lamarze, J. de L. 1, 12. A. 1847. p. 305 — 342. Note sur la continuité considérée dans ses rapports avec la convergence des séries de Tavror et de Macraurin. 15 NATUURK. VERH., DER KONINKT,. AKADEMIE. DEEL X, 18 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 “177 178 179 180 181 182 185 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, A. B. Bronwin, L. E, et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 31. A. 1847. p. 12—20. On the Inverse Calculus of Definite Integrals. A. Cavcny, C, R. T, 26. A. 1848. p. 624 —627, 666—673. Mémoire sur les valeurs moyennes des fonctions d'une ou de plusieurs variables, et sur les fonctions isotropes. 0. RT. 27. A. 1848. p. 6—12. Mémoire sur les valeurs moyennes des fonctions et sur les fonctions isotropes. G. Boore, Irish Trans. Vol. 21. A. 1848. p. 124—139. On the Analysis of Discontinous Functions. J. AreNsteiN, Haidinger's Naturw. Abhandl. B. 2. A. 1848. S, 43 —115. Was sind die imaginären Grössen, und welcher ist ihr analytischer und geometrischer Sinn. J. L. Raasr, J. v. Cr. Bd. 37. A. 1848. S. 356—362. Veber den richtigen Gebrauch vieldeutiger Functionen bei der Prmittelung bestimmter Integrale. Dreneer, J. v. Cr, Bd. 37. A. 1848. S. 363—569. UVeber die bestimmten Integrale mit 1maginären Grenzen. O. SerrömircH, Gr. Arch. B. 11. A. 1848. S. 63—69. UVeber die singulären Werthe bestimmter Integrale. G. Boore, J, de L. T. 18. A. 1848. p. 111—112. Théorème général concernant lintégration définie. A. pe Moraan, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 182—208. On Divergent Series and various Points of Analysis connected with them. J. R. Youre, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 429 —440. On the Principle of Continuity in reference to certain Results of Analysis. G. G. Srokes, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 533—583. On the Critical Values of the Sums of Periodic Series. G. B, Arry, Cambr. Phil. Trans. Vol, 8. A. 1849. p. 595 —599, Supplement to a Paper on the Intensity of Light in the neighbourhood of a Caustie. E. G. Bsoerzine, Overs. Stoekholm. Forhandl. A. 1849. S. 172—179. de nn Samen Í a + bCos.r + ec Sin. w A. Steen, Danske Afhandl. (5e Raekke). T. 1. A. 1849, S. 333—353. Om dobbelte bestemte Integralen. Ossran Bonner, J. de L. T. 14, A. 1849, p. 249) —256. Remarque sur quelques intégrales définies. G. Booze, C. et D. Math. Journ. V. 4, A. 1849. p. 14 —20. On a general theorem in definite Integration. O. Bonner, Mém. Cour. Brux. T. 23. A. 1840 —1850. p. 1—116. Mémoire sur la théorie gónérale des séries. hd 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 „197 198 199 200 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. | 19 Scraar, Mém. Cour. Brux. T. 23. A. 1848—1850. p. 1—17. Mémoire sur une formule d’analyse. A. Cavory, Mém. Acad. Paris. T. 22. p. 39—180. A. 1850. Mémoire sur le calcul intégral (avec S Notes.) (Prés. 27 Déc. 1824). A. von ErriNGsHausEN, Sitz. Ber. Wien. B. 5. A. 1850. S. 31—34, Zur Nachweisung der Existenz der.Wurzeln algebraischer Gleichungen. C. F. LiNpMaNN, Stockholm Handlingar. A. 1850. S, 348—364. Om nâgra definite integraler. Ì J. Dieneer, Gr. Arch. B. 15. A. 1850. S. 119, 120. UVeber das Integral Í ze (re?i) e—nPids. 0 V. Purseux, J. de L. T. 15. A. 1850. p. 365 —485. Recherches sur les fonctions algébriques, A. Mever, Mém. Liège. T. 7. A. 1851. p. 1—510. Exposé élémentaire de la théorie des intégrales définies. A. Cavcuy, C. R. T. 32. A. 1851. p. 68—75. Mémoire sur les fonctions irrationnelles. C. R. T. 32. A. 1851. p. 126, 162—164. Suite des recherches sur les fonctions rationnelles et sur leurs intégrales définies. -_C. R. T. 32. A. 1851. p. 207—215, Mémoire sur l'application du calcul des résidus à plusieurs questions importantes d’analyse. Pursrux, C. R. T, 32. A. 1851. p. 276—284. (Rapport sur) Recherches sur les fonctions algébriques. A. Cavery, C. R. T. 32. A. 1851. p. 389—397. “Mémoire sur la sommation des termes de rang très-Éleré dans une série simple ou multiple. Herre, C.R. T. 32, A. 1851. p. 442—450. (Rapport sur) Mémoire relatif aux fonctions à double période. Lrovviire et Cavcny, C. R. T. 32. A. 1851. p. 450—454. Remarques à ce sujet. L. Raage, J. v. Cr. Bd. 41. A. 1851. S. 54—56. Ueber den Werth eines bestimmten Integrals aus den. unbestimmten Integralfunction gezogen, falls dieselbe von der Form Arctang f(z) ist: wo .f (z) eine eindeutige Function von z vorstellt. g Rrcneror, J. v. Cr. Bd, 42. A. 1851. S. 52-34. Auszug eines Schreibens des Herrn Prof. C, G. J. Jacosr. W. SMmAAsEN, J. v. Cr. Bd. 42. A. 1851. S. 222—235. Sur la sommation des suites infinies par des intégrales définies. 15* 20 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 218 214 215 216 217 218 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. A. Carrey, C. et D. Math, Journ. V. 6. A. 1851. p. 186— 140. On certain definite integrals. O. Werner, Gr. Arch, B. 18. A. 1852. S. 39—48. Die Differentiation unter dem Integralzeichen. O. Scnrömirca, Gr. Arch. B. 18. A. 1852. S, 391—399. Ueber die Substitution neuer Variabelen in unbestimmte und bestimmte Integrale. G. Drcuer, Gr. Arch. B. 19. A. 1852. S, 403—407. Veber den Einfluss, welchen die Ordnung in der Ausführung der Integrationen ge den Werth eines doppelten Integrals hat. R, L. E(rurs), C. et D. Math. Journ. V. 7. A. 1852. p. 103, 104. Solution of a Functional Equation. W. H. L. Russe, C. et D. Math. Journ. V. 8, A. 1853. p. 157—159. On definite integrals suggested by the theory of heat. Geroccenr, Bull. Brux. T, 21, P. 1, 1854. p. 64—95. Sur quelques particularités de formules d'analyse mathématique. A. Cavcuy, U. R. T, 59. A. 1854. p. 129 —135. Sur une formule de M. Ancer et sur d'autres formules analogues. —C. R. T. 39. A. 1854, p. 214—218. Sur les intégrales aux-différences finies. C. J. D. Hur, Stockholm Handlingar. 1854. S. 405—494, Om Arithmetick Quadratur. D. Brerens pr HAAN, J. v. Cr. B. 47. A. 1854. S. 221 —224. Ueber eine Sammlung von bestimmten Integralen. L. Raas, J. v. Cr. B. 48. A. 1854. S, 137 —142. Veber Producte und Potenzen bestimmter einfacher Integral-Ausdrücke durch mehr- fache dargestellt. —__ J. v. Cr. B. 48. A. 1854. S, 161 —166. Veber einen Hülfssatz zur Ausmittelung der Werthe bestimmter Integrale. J. v. Cr. Bd. 48. A. 1854. S. 178—189. Ueber den gegenseitigen Zusammenhang einiger Functionen. J. Toreurrz, Gr. Arch. B. 23. A. 1854. S. 241— 263. Die Theorie der periodischen Functionen, begründet durch die eem der Inte- grale zwischen imagináren Grenzen. W. H. L. Russerr, C. et D, Math. -Journ. V. 9. A. 1854. p. 104—112. On the Integration of linear differential equations. C. et D. Math. Journ. V. 9. A. 1854, p. 112—115. On the Integration of linear partial differential equations. D. Bierens pe Haan, Verh. Akad. Amst. Dl. 2. A, 1855. blz, 1—54, Note sur une méthode pour la réduction d'intégrales détinies et sur son application à quelques formules spéciales. 219 220 221 222 228. 224 225 226 227 228 229 230 231 232 238 234 235 236 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. 21 A. Caveury, C. R. T, 40. A. 1855. p. 330—835, 373—376, Note sur les conditions de convergence des séries qui représentent les intégrales gé- nérales d'un système d'équations différentielles. W. H. Resserz, Proceed, Phil. Trans. V. 7, A. 185455. p. 174, 175. On the Theory of Definite Integrals. Phil, Trans. 1855. P. 1. p. 157178. On the Theory of Definite Integrals. A. Winckrer, J. v. Cr. Bd. 50. A. 1855. S. 1—3l. Ueber die Reduction dreifacher Integrale auf Quadraturen. E. Heine, J. v. Cr. Bd. 50. A, 1855. S. 323, 324. Directer Beweis der Gleichheit zweier bestimmten Integrale. O. Werner, Gr. Arch. B. 24. A. 1855. S. 110, 111. Aufgaben. R. Carmrcnaer. L. E. et D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 9. A, 1855. p. 209814. Theorems on the Quadrature of Surfaces and the Rectification of Curves. D. Bierens pe HAAN, Verslagen Akad. Amst. D. 4. A. 1856. blz. 332-—353. Bijdragen tot de theorie der bepaalde Integralen. A. Cavcny, C. B. T, 42. A. 1856. p. 525530. Mémoire sur la réduction de classes très-Étendues d’'intégrales multiples. C.R. T. 43. A. 1856. p. 497—509. Sur lintégration définie d'un système d’équations différentielles. G. G. Srokrs, Cambr. Phil. Trans. Vol. 9. A. 1856. p. 166—186. On the Numerical Calculation of a Class of Definite Integrals and infinite Series. A. WincKrer, Sitz. Ber. Wien. Bd. 21. A. 1856. S. 389—427, Neue Theoreme zur Lehre von den bestimmten Integralen. A. Pororr, Mém. de Kasan. A. 1856. p. —156. Principes du Calcul des Intégrales. E. Here, J. v. Cr. Bd. 51. A. 1856. S, 382—401. Der Vebergang von den unbestimmten zu bestimmten Integralen. J. A. Grunerr, Gr, Arch. B. zb A. 1856. S. 362—364. abe das Integral ln 5 oan dedy. J. Lrovvirre, J. de L. 2e Ser. T, 1. A. 1856. p. 445 — 450. Démonstration nouvelle d'une formule de M. Wirrram T'romson. A. Cayzer, L. B. et D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 12. A. 1856. p. 354—361. Second Note on the Theory of Logarithms. D. Brerens pe Haan, Verh. Akad. Amst. D. 5. A. 1857. Re 1—116. E 3 É C d. Sin. Réduction des intégrales définies générales Í F(e)- A ed Mi ‚ et ap- plication de ces formules au cas, que F(x) a un facteur de j forme Sint # ou Cos.ax. 22 237 238 239 240 g4l 242 243 244, 245 246 247 248 249 250 251 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A, J. Gomes pr Souza, Proceed. Phil. Trans. V. 8. A. 1856, 57. p. 146—149, 376—379. On the Determination of Unknown Functions, which are involved under Definite Integrals. nas G. Boore, Proceed. Phil. Trans. V. 8. A. 1856, 57. p. 461, 462. On the Comparison of Transcendents, with certain Applications to the Theory of De- finite Integrals. ——— Phil. Trans. 1857. P. 8. p. 745 —804. On the Comparison of Transcendents, with certain Applications to the Theory of De- finite Integrals. Porov. Bull. Phys.-Math. Pétersbourg. T. 15. A. 1857. S. 307—313. Sur la valeur de Yintégrale définie Í eat ola? +be)i dn, 0 H. Scuerrrer, Gr. Arch. B. 28. A. 1857. S. 121 —162. Ueber das Wesen der Funktionen, insbesondere über Vieldeutigkeit, Unbestimmtheit, Veränderlichkeit, Differentiation und Stetigkeit. W. R. Hamirron, L. E.‚ et D. Phil. Mag. 4th Ser, V. 14, A. 1857. p. 375 —383. On the Calculation of the Numerical Values of a certain Class of Multiple and De- finite Integrals. H. ENNePER, Quart. Journ. V. 1. A. 1857. p. 272—216, Elementary Demonstration of an equation between two transcendental functions. D. Birrens pe Haan, Verh. Akad, Amst. D. 4. 1848. blz. T—_XXXIL, 1—572. Tables d'intégrales définies. N. C. Scnurr, Mém. Liège. T. 18. A. 1858. p. 289—327, Intégrales définies — Etudes faites à occasion de recherches sur les fonctions de Lreenpre et sur les fonctions de Lauf. Kinxerin, Mitth. Bern. 1858. S. 57—68. Veber Convergenz unendlicher Reihen. — —__— Mitth. Bern. A. 1858. S. 89—104. Veber einige unendliche Reihen. J. Drencer, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 250—260. Veber einige bestimmte Integrale. . G. Zreuruss, Gr. Arch. B. 31. A. 1858. S. 246 —248. Vebungsaufgaben. D. Bierens pr Haan, Verh. Akad. Amst. D. 7. A. 1859. blz. 1—52. Over eenige gevallen, bij de theorie van onstadige (discontinue) functien, waar men te onderscheiden heeft, of het oneindige van een even of oneven, van een geheelen of gebroken vorm zij. Seirzer, C. R. T. 48. A. 1859, p. 746—752. dr hed Note sur l'intégration des Ééqaations de la forme 2" in == ey par des intégrales dé- ee ee di > 252 253 254 255 256 257 258 „259 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. A. zr B. 25 finics, « désignant le nombre + 1, met n des nombres entiers et positifs, soumis à la condition m > n, Tu. Craussen, Bull. Pétersb. V. 1. A. 1859. p. 145 —147, Sur une faute dans les #Exercices de Mathématique par M. A. L. Cavcny, 2de Série. 1827. p. 141, 197” Tenesveuerr, Bull. Pétersb. V. 1. A. 1859. p. 193— 200. Sur le developpement des fonctions à une senle variable, J. Prana, Mem. Torino. Serie 22. T, 18, A. 1859. p. 499—503. Note sur les pages 68, 69, 75 du 2d Volame des Opuscula Analytica p'Évrer, publié en 1785. Bounrakowsky, Mém. S. Pétersb. Sér. 7. V. 1. A. 1859. p. 1—18. Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux diffé- rences finies. i Max. Marie, J. de L. 2e Sér. T, 4. A. 1859. p. 121-—152, 305— 328, 369 —388, Nouvelle théorie des fonctions de variables imaginaires. O. Senrömiren, Schlömilch’s Zeitschr. B. 4. A. 1859. S. 161 —163. Ueber die Discontinuität gewisser unendlicher Reihen S. Serrzer, Schlömilch’s Zeitschr. B. 4. A. 1859. S, 251 —264. Studien über Differentialgleichungen von der Form (me? +azt-p)y' +(qatr)y'+3y=0. O. Serzömren, Schlömilch's Zeitschr. B. 4. A. 1859. S. 433 —431. Veber eine transcendente Function. B. INTÉGRALES DÉFINIES. — EVALUATIONS. ‚ Hermannus, Act. Erud. A. 1719, p. 351—361. Solutio duorum problematum, quorum alterum integrale ex data quadam formula differentiali per arcus circulares et hyperbolicas exhibendum postulat: alterum vero curvam projectorum in medio resistente construendum proponit, Accedunt duo nova Problemata Geometris vicissim proposita. 2 Nrc. Bernouru, Io. Fm. Act. Erud, A. 1720. p. 269—279. Enodatio alicujus problematis Geometrici a cel. J. HerManNNo propositi atque de In- veniendis curvis algebraicis, ab eodem viro propositis, quae non sunt indefinite rectificabiles, habeant tamen aliquos arcus rectificationem admittentes. Act. Erud. A. 1720, p. 279—285. Responsio ad clar. TAyzorr querelas. Act. Erud, Suppl. T. 8. p. 372-389. A. 1724, Animadversiones in clar. J. HerMANN1 solutionem pro primo duorum problematum Geometricorum ab ipso propositorum, editam in Act. Frud. 1723, m. April. Et 24 2 10 tt 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. eorum communicatio Methodi curvas inveniendi Algebraicas indefinite non quadra- biles, habentes tamen datum numerum spatiorum absolute quadrabilium. î P. P. Ervrvs, Acta Upsal. T, 3. A. 1780—1784, p. 71—75. Theorema de oscillationibus penduloram in arcubus circularibus. L. Eure, Misc. Ber. T. 7, A. 1743. p. 91—129, =Á. |. — — — Misc. Ber. T. 7. A. 1748. p. 129—171, = 2, Misc. Taur. T. 3. P. 2. p. 146—178. A. 1762—1765. sl Bi « e . - ll . ° Observationes circa integralia formularum | ep=t da (l —«7)* _ posito post inte- grationem # == l. H. Sarapint, Comm. Bonon. T. 5. P. 2. p. 120—138. A. 1767. Methodus Bernoulliana de reducendis quadraturis transcendentibus ad longitudinam curvarum algebraicarum, a quibus inutilis saepe redditur, ivaginariis quantitatibus liberatur, atque ejusdem reductionis innumerae aliae viae indigitantur. Vinc. Rrcoarr, Comm. Bonon. T., 5. P, 2. p. 432445. A. 1767. De quadratura curvarum tradita per summas generales serierum. J. LANDEN, Phil. Trans. Vol. 58. p. 174—180. A. 1768. A specimen of a new Method of comparing curvilinear Areas; by which many such areas may be compared as have not yet appeared ‘to be comparable by any other Method. L. Eurer, N. Comm. Petr. T. 14. P. 1. A. 1769. p. 129—167. = A. 4. J. LanpeN, Phil. Trans. Vol. 60. p. 441 —443. A, 1770. Some new Theorems for computing the areas of certain Curve Lines. L. Evrer, N. Comm. Petr. T. 16. A. 1771. p. 91-139. =Â. 5. ——__—_— N. Comm. Petr. T. 17. A. 1772. p. 178—204. = Á. 6. De ra Graner, Misc. Taur. T. 5. P. 2. p. 167—232. A. 1770—1773. Mémoire sur l'utilité de la methode de prendre le milieu entre le résultat de plusieurs obser- vations, dans lequel ou examine les avantages de cette méthode par le calcul des proba- bilités, et où l'on résoud différents problèmes relatifs à cette matière. (ae f' ont ar de) 8 L. Euzer, N. Comm. Petr. T. 19. A. 1774. p. 3—29. = À. 7. N. Comm. Petr. T. 19. A. 1774. p. 30—65. — À. 8. —_—_— N. Comm. Petr. T. 19. A. 1774, p. 66—102. = Á. 9. ee — N. Comm. Petr. T. 20. A. 1775. p. 59—79. == A. 10. — Acta Petrop. A. 1777. P, 2. p. 3—28. = A. 11. — Acta Petrop. A. 1777. P, 2. p. 29—41. = A. 12. DE LA Prace, Mém. Paris. A. 1778. p. 227 — 382. Mémoire sur les Probabilités. 24 25 26 21 28 29 30 31 32 33 DE 35 36 87 38 89 40 41 42 43 44 45 46 47 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. 25 L. Eurer, Mém. Paris. A. 1778. p. 603—609. Extraits de différentes lettres à M. le Marquis pr CoNporcer. pE Conporcer, Mém. Paris. A. 1778. p. 609—614. Démonstration des théorèmes précédents de M. Buren. Nic. Fuss, Act. Petrop. A. 1778. p. 111—134. — Á 13. — Act. Petrop. A. 1780. P. 2. p. 49—69. — À 15. L. Evrer, Act. Petr. A. 1781. P. 1. p. 8—47. — Á 16. pe LA Prace, Mém. Paris. A. 1782. p. 1—88., — A 17. A. M. Lorena, Mem. Soc. Ital. Veronae. V. 1. A. 1782. p. 268—373. Nuova Investigazione della somma generale delle serie. Lreenpre, Mém. Paris, A. 1784, p. 370—389. Recherches sur la figure des Planètes. G. F. Marrarrr, Mem. Soc. Ital. Veronae. V. 2. A. 1784. p. 749—786. Delle formole differenziali, la sui integrazione dipende della rettificazione della se- zioni Coniche. L. Evrer, N. Act. Petrop. T. 3. A. 1785. p. 3—24. A 18. N. Act. Petrop. T. 3. A. 1785. p. 25 —46. À 19. N. Act. Petrop. T. 4. A. 1786. p. 3—16. — A 20. -__N. Act. Petrop. T. 4. A. 1786. p. 17—54. — A 21. M. Youre, Irish Trans. T. 1. A. 1787. p. 31—40. A Synthetical Demonstration of the Rule for the Quadrature of simple Curves per aequationes terminorum numero infinitas. Cuev. pe Lorena, Mém. Turin. A. 1786, 1787. p. 215—249. Méthode pour sommer les séries réciproques de sinus ou cosinus d’arcs en progression arithmétique. L. Evrer, N. Act. Petrop. T. 5. A. 1787. p. 8—26. — A 22. N. Act. Petrop. T. 5. A. 1787. p. 86 —117. — Á 23. —_—-N. Act. Petrop. T. 5. A. 1787. p. 118—129. — A 24. J. Moxrtriro pe Rocna, Mem. Acad. Lisboa. T. 1. A. 1787, 1788. p. 218—245. Additamentos á Regra de M. Fonrarne. Para resolver por approximagao os Problemas que se reduzem ás Quadraturas. M. J. Corerno pa Mara, Mem. Acad, Lisboa. T. 1. A. 1787, 1788. p. 503—525. Solugao de Problema proposto pela Academia sobra o Methodo de approximagaó de M. Fontaine. Marrarrr, Mém. Turin. A. 1788, 1789. Mém. prés. p. 53—112. Essai analytique sur lintégration de deux formules différentielles et sur la somme générale des séries harmoniques à termes rationels. L. Korer, N. Act. Petrop. T. 7. A. 1789, p. 64—82. — A 25. — N. Act, Petrop. T, 8. A. 1790. p. 15—81l. — A 26. 5. Ivory, Edinb. Phil. Trans. V. 4. p. 177—190. A. 1798. I 16 NATUURK. VERH. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL X, 2ö 48 49 50 51 52 53 54 55 56 51 58 59 60 61 62 63 64 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. A New Series for the Rectitication of the Ellipsis with Observations on the Evolution of a certain Algebraic Formula. G. S. Krücer, Hindenburgs Arch. B. 2. H. 5. S. 6067. A. 1798. Verschiedene arithmetische Zusammensetzungen des Kreises aus denselben Elementen. W. Warzace, Edinb. Phil. Trans, V. 5. p. 253—270. A. 1805. A New Method of expressing the Coefficients of the Developement of the Algebraic Formula (a? 4 b* —2abCos.y)" by Means of the Perimeters of two Ellipses, when n denotes the Half of any odd Number. M. A. Parsevar, Mém. Prés. à V'Inst. Paris. T. 1. p. 567—586. A. 1806. == A2 — Mém. Prés, à I'Inst. Paris. T. 1. p. 638—658. A. 1806. Mémoire sur les séries et sur lintégration complète d'une équation aux différences par- telles linéaires du second ordre à coefficiens constants. LarLace, Mém. Inst. Paris. T. 10. p. 353—415. A. 1809. Mémoire sur les approximations des formules, qui sont fonctions de très-grands nom- bres ef sur leur application aux probabilités. Lreeenpze, Mém. Inst. Paris. T. 10, p. 416—509. A. 1809. — A 28. Larracg, J. Ee. Pol. T. 8. Cah. 15. A. 1809. p. 229—265. Mémoire sur divers points d’analyse. — Sur les intégrales définies des équations à différences partielles. C. F. Kausrer, Mém. Pét. T, 3. A. 1809, 1810, p. 114 —136. De mutua integralium quorundam inter se relatione. Mém. Pét. T. 3. A. 1809, 1810, p. 137 —151. Summatio innumerabilium serieram ex principiis calculi integralis petita. Poisson, Mém. Inst. Paris. T. 12. p. 1—92, 183 —274, A. ISI1. Premier et second Mémoire sur la Distribution de I'flectricité à la surface des corps conducteurs. Brpone, Mem. Torino. T. 20. A. 1S8il—13, p. 231--345, —=  30. Fr. Carrani, Mém. Limp. Instit. Lombardo-Veneto. T. 1. A. 1812, 13. p. 167 —178. Sopra alcune funzioni exponenziali comprese nella formola ##”, C. F. Gauss, Comm. Rec. Gott. T 2. p. 1—46, A. 181) —1813. Disquitiones generales circa seriem infinitam | sf et zonde be haet 8 17 1 2 rard Porsson, J. Ec. Pol. T. 9. Cab. 16. A. 1813. p. 215-246. — A 32. L. Eurer, Mém: Pet. T. 6. A. 1813, 14. p… 30—55. dela Ven) Poisson, J. Ec. Pol. T, 10. Cab. 17. A. 1815, i 612—631. —=  53. Besse, Abh. Berlin. 1816, 17. S. 49 —56.. Analytische Auflösung der Kerrer’schen Anfgabe, ved etc De integralibus quibusdam inventu difficillimis 65 66 67 68 69 10 11 72 13 74 75 16 oi Al! 38 89 _90 « SUPPLÉMENT AUX TABLFS D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. 27 Prava, Mem. de Torino. T. 23. p. 7—49. A. 1818. — A 34. C. F. Gauss, Comm. Rec. Gott. T, 4. p. 21—48. A. 1816 —1818. Determinatio attractions, quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta, si ejus massa per totam orbitam, ratione temporis, quo sìngulae partes describuntur, uniformiter esset dispartita. Poisson, J. Ec. Pol. T. 11. Cah. 18. A. 1820. p. 295—34l. = Á 36. Cisa pe Grésy, Mem. de Torino. T. 26. p. 209 —396. A. 1821. —=  37. Sarrus, A. M. T. 12. A. 1822. p. 36—39. Recherches sur les intégrales définies. Poisson, Mém. Acad. Paris T. 6. p. 441l—570. A. 1823. Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement. —_—_—— Mém. Acad. Paris. T. 6. p. 571—602. A. 18523. — À 40. A. Caucuy, Mém. Acad. Paris. T. 6. p. 603—612. A. 1823. — À 4l. N. H. Aser, Magazin Christiania. B. 2. A. 1823. p. 55—69, 205—216, — A 42. Poisson, J. Ec. Pol. T, 12. Cah. 19. A. 1823. p. 404—509. — À 43. Cavcuy, J. Ec. Pol. T. 12. Cah. 19. A. 1823. p. 510—592. — A 44, Bresser, Abh. Berlin. A. 1524. S. 1—52. Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht. N. H. Aser, Magazin Cbristiania. B. 6. A. 1825. S. 182—190. Det endelige Integral Ey (e), udtrykt ved et enkelt bestemt Integral. H. Vernier, A. M. T: 15. A. 1825. p. 165—188. — A 46. A. L. Cavcry, A. M. T. 16. A. 1826. p. 97—108. — Á 48. ——_—___ Mém. Prés. Paris. T. 1. p. 1—812. A. 1827. — A 49. —_—__—_— Mém. Prés. Paris. T. |. p. 599—799. A. 1827. —= A 50. N. H. Ape, Norske Vidensk. Skrift, Trondhjen. B. 2. P.2. A. 1827. S.177—208. = Á 52. ed. v. Cr. B. 2. A. 1827. S 22—30. — A 58. Cavcuy, A. M. T. 17. A. 1827. p. 84 —127. =— Á 54. Paeaxi, Nouv. Mém. Brux. Vol. 5. A. 1829. p. 1—55. Mémoire sur le développement des fonctions arbitraires en séries dont les termes dóri- vent de la même fonction continue, en y faisant varier une constante ou paramètre. A. L. Cavcuy, Mém. Acad. Paris. T. 8. p. 97-—129. A. 1829. —= À 55. Mém. Acad. Paris. T, 8. p. 130—138, A. 1829. Mémoire sur le développement de f (&) suivant les puissances ascendantes de A, 5 étant une racine de l’équation S—a—hr (5) = 0. J. D. Poisson, Mém. Acad. Paris. T. 8. p. 357—570. A. 1829, Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques. Leseune-Dinronzer, J. v. Cr. B, 4. A. 1829. S. 94—98. — Á 56. N. Fuss, Mém. Pét. T, 11. Mém,. posth. de L, Evzer, F‚, T. Scuuserr et _N. Fuss. A. 1830. p 238—245. 16* 28 91 92 98 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B. De valore formularum Í anda eat Sin. B x et | ande e-** Cos. Pa si integralia aba — 0 ade == l usque extendantur. C. J. D. Hur, J. v. Cr. Bd. 7. A. 1831. S. 102—104. Theoremata et Problemata. Tr. CLAUSEN, J. v. Cr. Bd. 7. A. 1831. S. 309 —3183. Demonstrationes theorematum etsolutiones problematum quorundam a cel. Hir Vol. 7. p. 102 hujus operi propositorum. Poisson, J. Pc. Pol, T. 13. Cah. 20. A. 1831. p. 222—248. —  63. BesseL, Astr. Nachr. B. 9. A. 1831. N. 204. S. 221—236. Veber den Binfluss eines widerstehenden Mittels auf die Bewegung eines Pendels. A. F. Svangere, N. Act. Upsal. T. 10. A. 1832. S. 231—288, — A 65. J. A. Gruner, J. v. Cr. Bd. 8. A. 1832. S. 146—152. Ueber die höheren Differentiale der Function z — —, und über die Entwicke- A) el 03 lung einiger bestimmter Integrale. Lrouviire, J. Ec. Pol. T, 18. Cah. 21. A. 18382. p. 71 —162. Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques. A. SreRN, J. v. Cr. Bd. 10. A. 1833. S. 209—216. Veber Summirung gewisser Reihen. R. Lograrro, J. v. Cr. Bd. 11. A. 1834. S, 169—172. Note sur les différentielles partielles de la fonction — : en C. G. J. Jacoer, J. v. Cr. Bd. 12. A. 1834, S. 1 —69. De binis quibuslibet functionibus homogeneis secundi ordinis per “substitutiones li- neares in alias binas transformandis, quae solis quadratis variabilium constant: una cum variis theorematis de transformatione et determinatione integralium multipliciam. ed. v. Cr. Bd. 12. A. 1834, S. 346, 347. 00 De fractione continua, in quam integrale | ett da evolvere licet. 0 J. Lrouvure, J. v. Cr. Bd. 13. A. 1835. S. 93—11S. Mémoire sur Yintégration d'une classe de fonctions transcendantes. —_—__— J. v. Cr. Bd. 13. A. 1835. S, 219—232. Mémoire sur l'usage que l'on peut faire de la formule de Fourrer, dans le calcul des différentielles à indices quelconques. N. LoBarscnewsKY, Mém. Kasan. 1836. 1. p. 3—166. Application de la géométrie supposée sur quelques intégrales. C. G. J. Jacosi, J. v. Cr. B. 15. A. 1836. S. 1—26, — Á 78. Porsson, Conn. des Temps. A. 1836. p. 3—31. 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B. 29 Sur le développement des coordonnées d'une planète dans son mouvement elliptique et de la fonction perturbatrice de ce mouvement. Prana, Nouv. Mém. Brux. Vol. 10. A. 1837. Mém. Corr. p. 1—28. Mémoire sur trois intégrales définies. C. Ramus, Danske Afhandl. (4° Raekke). B. 6. A 1837. S. 265—307. — Á 76. Lrseune-Drrrcurer, J. v. Cr. Bd. 17. A. 1837. S. 57—67. Sur l'usage des intégrales définies dans la sommation des séries finies ou infinies. E. B. Kuuuer, J. v. Cr. Bd. 17. A. 1837. S. 210—227, 228— 242. De integralibus definitis et seriebus infnitis. LogarscHEwskY, J. v. Cr. Bd. 17. A. 1837. S. 295—320. Géométrie imaginaire. Porsson, J. de L. T. 2. A. 1837. p. 184—188. Note relative aa Mémoire précédent de M. Lamé sur les surfaces isothermes. Eede Te T. Be A,1837, p. 24-88. Remarques sur les intégrales des fractions rationelles. G. Liri, Mém. Prés. à Acad. Paris. T. 5. p. 1—75. A. 1838. Mémoire sur la théorie des nombres. G. Lamé, Mém. Prés. Àà Acad. Paris. T. 5. p. 174—214. A. 1838. Mémoire sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes en équilibre de température. Poisson, Mém. Prés. à Acad. Paris. T. 5. p. 215—219. A. 1838. Note relative au Mémoire précédent. J. L. Raage, J. v. Cr. Bd. 18. A. 1838. S. 75—99. Beiträge zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale nach der Methode der Quadraturen. Cu. Deraunay, J. de L. T. 3. A. 1838. p. 355, 356. Détermination de l'intégrale définie Í ee Cos. + a?) de. 0 NEUMANN, Astr. Nachr. B. 15. A. 1838. N. 355. S. 318—824. Veber eine neue Higenschaft der Larrace'schen Y@) und ihre Anwendung zur ana- Iytischen Darstellang derjenigen Phänomene, welche Funktionen der geographischen Länge und Breite sind. Lrouvure, C. RB. T, 8. A. 1839. p. 626. Note sur quelques intégrales définies. ‚A. F, Svangere, N. Act. Upsal. T., 11. A. 1889. p. 1—28. — À 81. ——_N. Act, Upsal. T. 11. A. 1889. p. 29—202. h Disquisitionum in Theoriam Refractionum Astronomicarum Pars 22, A. L. Caveny, Mém. Acad, Paris. T, 17. p. 249—768. A. 1840. —= A 83. Osrrocrapsky, Bulletin Pétersb. T. 7. A. 1840. p. 362 — 364. Sur une note relative aux intégrales définies déduites de la théorie des surfaces. 125 126 i A R 128 129 130 131 132 133 184 135 136 137 138 189 140 141 142 148 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. B, Cararan, J. de Tu. T, 5, A. 1840. p. 110—114, C d Note sur Yintégrale [ be rchrnegnlfl 0 R. Logatrro, J. de L. T. 5. A. 1840. p. 115—119. Note sur T'évaluation de laire de Vellipsoide à trois axes bd A. Cavcny, C. R. T. 12. A. 1841. p. 871—879. Mémoire sur des formules générales qui se déduisent du calcul des résidus et qui paraissent devoir concourir notablement aux. progrès de Fanalyse infinitésimale. —- C. BR, T, 12. A. 1841. p. 1145 —1158, = Á 90. H. Moserer, Not. British Assoc. A, 1841. p. 35—39. — À 92. C. J. MarusreN, Stockholm Handl. A, 1841. S, 65—74, Cos. ar de Om integralen ok 0 (tate O. Scnrömrrer, Gr. Arch. B, ll, A, 1841. S. 360—363. 0 Ueber Bernoullische Zahlen und die Secanten-Coefficienten. J. Lrouvuzer, J. de L. T. 6. A. 1841. p. 36. d TT Sur Fintégrale Í Cos. (u — « Sin. u) da. 0 OssraN Bonner, J. de L. T. 6. A. 1841. p. 238—240. \ aal dr Note sur lintégrale 5 Bk 1 0 E. Cararan, J. de L. T. 6. A, 1841, p. 419—440, Problèmes de calcul intégral. Cavcny, J. Ee. Pol. T. 17. Cah. 28. A. 1841. p. 147—248, —= À 99. R. L. E(rus), C. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. 232. TE À Note on the definite integral / Log. Sin, 0de. u : A. Procn, Mém. Cour. Brux. Vol. 15. P. 2, A. 1841, 1842, p‚ 1-74. ==  100. A. Cavcuy, U. R. T. 15. A. 1842. p. 554—556, 518—518. Note sur la diffraction de la lumière. LoBarscHewsKy, J. v. Cr. Bd, 24, A, 1842, S, 162 —17U. Probabilité des résultats moyens d'observations repetóées. J. A. Serrer, J. de L. T. 7. A. 1842. p. 114 —119. Note sur les intégrales eulériennes de secunde espèce. WR, Haururox, LE. et D. Phil. Mag. 3 Ser. V. 20, A. 1842, p. 288 —294, =  106, Irish Trans. Vol. 19. A. 1843. p. 264 —321. =  110, J. L. Raagse, J. v. Cr, Bd. 25, A, 1845, S, 147—159, Mtd 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 SUPPLÉMENT AUX TARLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. 51 Angenäherte Bestimmung der Factorenfolge 1.2.3...n=T(l + n)= Í etarde, wenn ” eine sehr grosse Zahl ist. Barn. Torrouni, J. v. Cr. Bd. 26. A. 1843. S, 277—287. Sur les transformations et les valeurs de plusieurs intégrales définies, qui se rappor- tent aux surfaces et aux solidités des volumes. O. Scrrömizcu, Gr. Arch. B. 3. A. 1843. S. 9—18. Veber die recurrirende Bestimmung der Bernoullischen Zahlen. J. A. Serrer, J. de L. T. 8. A. 1848. p. 1—22. Note sur quelques formules de calcul intégral. J. Berrranp, J. de L. T. 8. A. 1843. p. 110—112. —= Á 118. Cerrérrer, J. de L. T. 8. A. 1843. p. 255 —262. Note sur une classe particulière d'intégrales définies. J. A. Sermer, J. de L. T. 8. A. 1843. p. 489— 404. Sur quelques formules relatives à la théorie des intégrales eulériennes. W. R. Hamirron, L., E. et D. Phil. Mag 3d Ser. V. 23. A. 1843. p. 360—367. On an Expression for the Numbers of BerNourLy by means of a definite Integral: and on some connected Processes of Summation and Integration. P. Q. R., C. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 71—84. On the uniform motion of heat in homogeneous solid bodies and its connexion with the mathematical theory of elasticity. H. G., C. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 168, 169. On some definite integrals. R. L. Eris, C, Math. Journ. V. 3. A; 1843. p. 185 —189. Evaluation of certain definite integrals. G. Booze, C. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 216—224. — Á 119. G. Boore, Phil. Trans. 1844. P. 2. p. 225 —282. On a General Method in Analysis. C. J. Marasren, N. Acta Upsal. T. 12. A. 1844. p. 155 —176. N. Acta Upsal. T. 12. A. 1844. p. 177—254. = O. Scnrömmcu, Gr. Arch. B. 4. A. 1844, S. 23—38. | pb edad xo 2 se _Ueber einige durch bestimmte Integrale summirbare Reihen. ETT Gr, Arch. B. 5. A. 1844 S. 90—101. Analytische Aphorismen, N°. 5. Gr. Arch. B. 5. A. 1844. S. 204-212. Ueber einige merkwürdige bestimmte Integrale. J. A. Serrer, J. de L. T. 9. A. 1844. p. 436. $ La Lel, Note sur lIntégrale ik TEE da 0 B. Bronwin, L, E‚ et D. Phil. Mag. 34 Ser. V. 24. A. 1844, p. 491 —498. On some Definite Integrals. 52 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. A. Cavcory, C. R. T. 20. A. 1845. p. 481, 482, 552—554, 691126. — Â-132. —_—— C. B. T. 20. A. 1845. p. 907—927. Ménoik s sur la détermination approximative des fonctions représentées par des in- tégrales. Lrovvire, C. R. T. 20. A. 1845. p. 927. Remarques. A. Caveny, C. R. T. 20. A. 1845. p. 970—999. Note sur l'application des nouvelles formules à l’astronomie. C. R. T. 20. A. 1845. p. 1166—1180. Mémoire sur les séries nouvelles, que lon obtient quand on applique les mbtoa exposées dans les précédentes séances au développement de la fonction perturbatrice et à la détermination des inégalités périodiques des mouvements planétaires, G. Lavé, C, R‚ T. 21. A. 1845. p. 112117. Mémoire sur plusieurs théorèmes d’Analyse, démontrés par la théorie des surfaces orthogonales. F. Arnor, Gr. Arch. B. 6. A. 1845. S, 187 —194. Veber bestimmte Integrale und Summirung einiger Reihen. O. Senröxrreu, Gr. Arch. B. 6.:A. 1845. S. 200—205. Ueber einige Integrale, welche goniometrische Fnnctionen involviren, - Gr. Arch. B, 6. A. 1845. S, 213—222. | Ein Paar allgemeine Eigenschaften der Eurer’schen Integrale zweiter Art. F. Arnor, Gr. Arch. B. 6. A. 1845. S. 484 —4839, Ueber bestimmte Integrale. J. A. Grunerrt, Gr. Arch. B. 6. A. 1845. S, 448. Miscelle. W. Roperrs, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 453—455. Note sur une intégrale définie. ' J. R. Youre, L,‚, E. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 27. A. 1845. p. 362—366, 439451. — A 133. | A. Cayrry, i E. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 27. A. 1845. p. 424—427. On the Transformation of Elliptic Functions. e, C. Math. Journ. V. 4. A. 1845. p. 143, 144. Mathematical Note on Ë ded 14? 0 B. BronwinN, Mathem. V. 1, A. 1845. p. 197—203. — Á 134. TrumerMaNs, Bull. Brux. T. 13. P. 1. A. 1846. p. 140—151, —= A 137. ScHaar, Bull. Brux. T. 13. P. 1. A. 1846. p. 228-—233. Note sur les expressions des racines d'un nombre en produits infinis. —_—— Bull. Brux. T, 13. P. 2. A. 1846: p. 30 —42. = Á 138. A. Cavcny, C. R. T, 23. A. 1846. p. 271 —275. Mémoire sur les fonctions de variables imaginaires. rn ln df etn ond 188 184 185 186 187 188 189 „190 191 192 193 194 195 196 197 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. 53 A. L. Cavery, C. R. T. 23. A. 1846. p. 382—394. —= A 140. C. R. T. 23. A. 1846. p. 537, 557—562. — A 142, C. Raxus, Danske Afh. (4e Raekke) B. 12. A. 1846. S. 111—184, — A 148. ScHarFFER, J. v. Cr. Bd. 30. A. 1846. S, 277—295. xl 1 De integrali — | w6 ein BARN. te J. v. Cr. Bd. 31. A. 1846. S, 12—89, Nuove applicazioni -del Calcolo Integrale relative alla quadratura delle superficie curve e cubatura de solidi. C. G. J. Jacozr, J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846, S. 8—13. dp 1 — A Cos.p—=BSin.p 27 Ueber den Werth, welchen das bestimmte Integral Í für be- 0 liebige imaginäre Werthe von 4 und B annimmt. O. Scrrömrzcu, J. v. Cr. Bd. 33. A. 1846. S. 316 —3824. Note sur quelques intégrales définies. J. v. Cr. Bd. 33. A. 1846. S. 325 —328. Sur lintégrale définie Í — 07 Ú, dg 6? a? J. v. Cr. Bd. 38. A. 1846. S. 358—861. Développement de quelques intégrales définies renfermant des fonctions trigonométriques. Gr. Arch. B. 7. A. 1846. S. 88—45. Ueber das Integral Í ear Sin.m ode. 0 Gr. Arch. B. 7. A. 1846. S, 100, 101. Aufgaben N° 2, 3. STEGMANN, Gr. Arch. B. 7. A. 1846. S. 107, 108. Einige Bemerkungen über die Abhandlung Th. 6. S. 187. O. Scurömicn, Gr. Arch. B, 7. A. 1846. S. 270—273. ® Cos.b, ® Sin. Veber die Integrale Í zoe ; de und Í cima da. oe Fe pe 0 0 F. Lerorr, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 142—152. Expression numérique des intégrales définies qui se présentent, quand on cherche les termes généraux du développement des coordonnées d'une planète dans son mouve- ment elliptique. W. Roszrrs, J. de L. T. 11. A, 1846. p. 157—178. Sur évaluation de quelques intégrales définies. par des fonctions elliptiques. 17 NATUURK, VERH, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL X. 54 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B. A. F. Svangere, J. de L. T., 11. A. 1846. p. 197—200. Pe-Prgmlde f°Cospa.anlde (Sin, Ba.am1da Ida? 142? f Iz? W. Roperrs, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 343, 344, Extrait d'une lettre à M. Lrouvirre. J. Lrovvuar, J. de L, T., 11, A. 1846. p. 464, 465. Sur l'intégrale | é eta" de. 0 W. Rogerrs, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 471—476. ri® Log. (14-n Sin.* 4) V (l—k? Sin?) ze Sur les intégrales définies Í Sur Yintégrale définie J. R. Youne, L., B. et D. Phil. Mag. 34 Ser. V, 28. A. 1846. p. 213 —215. — A 158. Scraar, Mém. Cour. Brux. Vol. 22. A. 1846, 1847. p. 1—25. =— A 154. Youre, Proceed. Irish R. Soc V. 3. A. 1847. p. 27-49. =— Á 155. G. Boore, Proceed. Irish R. Soc. V 3. A. 1847. p. 182—184. On Discontinuous Functions. W. R. Hamrirron, Proceed. Irish R. Soc. V. 3. A. 1847, p. 305—308. On a Definite Integral. J. L. Raar, Neue Denkschr. Zürich. B. 8. A. 1847. S. 1—19. _m(m—l) (m2) … (mk 1) Veber die Factorielle Ei ze mit der complexen Basis m. Dieneer, J. v. Cr. Bd. 34. A. 1847. S, 75 —100. Die racrANGEsche Formel und die Reihensummirung durch dieselbe, BARN. Torrouini, J. v. Cr. Bd. 34, A. 1847. S. 101—121. Addizione alla Memoria intitolato: Nuove applicazioni del Calcolo Integrale relative alla quadratura delle superficie curve e cubatura de solidi, inscritta nel Tom. 31 di questo giornale pag. 12. Herne, J. v. Cr. Bd. 34. A. 1847. S. 285—328, Untersuchungen über die Reihe (Lg) P) Agt) (1E) (19P) 1 + ie 5 eas (lg) (1—g7) (lg) (lg?) : (109) (l-g7 EI ” L. Oerrineer, J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S. 18 —54. Untersuchungen über die analytischen Facultäten. C. J. MarusrenN, J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S. 55—82. h Bh? B, A* Sur la formule uz Ar Zeh Tg Aen gg get 218 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 221 228 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B, 55 O. Serrömren, Gr. Arch. B. 9. A. 1847. S. 215—219, Ueber die näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrales. —_— Gr. Arch. B. 9. A. 1847. S, 307—813. Zur Theorie des Integrallogarithmus. J. Dreneer, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 109. —= Á 159. F. Arnor, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S, 225—232, Ueber einige bestimmte Integrale. Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S, 233—240. Ueber einige bestimmte Integrale, welche sich auf die beiden Integrale Pe À | der | nd 2 de zurtckführen lassen. 2 LE ed Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S, 240 — 246. Ueber eine gewisse Klasse bestimmter Integrale, bei welchen die Function unter dem Integralzeichen für einen Werth der Veränderlichen zwischen dea Integrationsgren- zen unendlich wird. Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 241—250. 8 br d 0 ebr d Veber die Integrale j s < und [ ee sf wia? za? 0 Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 253—259. . 1 zal nat 1 Zwei Entwickelungen des bestimmten Integrales Í Fe a :) de. —t —t O. Scrrömmcu, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 340. Aufgaben. J. Drencer, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 341, 342. Aufgaben. W. Mösra, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S, 449—454, Bemerkungen über einige bestimmte Integrale. — Gr. Arch. B, 10. A. 1847. S, 455, Aufgaben. F. Arnprt, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 455, 456. Aufgaben N. 1—5, A. Cavrer, J. de L. T. 12. A, 1847. p. 231—240 Sur quelques formules du calcul intégral. W. Roserrs, J. de L. T, 12. A. 1847. p. 449 —456. Note sur quelques intégrales transcendantes. B. Bronwin, Mathem. V. 2, A. 1847. p. 75—79. — A 163. 1e 229 230 281 232 238 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 SUPPLÁMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B. F. W. Newman, Mathem. V. 2, A. 1847, p. 87—91. On the general reduction of certain integrals. B. BronwinN, Mathem. V. 2. A. 1847. p. 297—302. On certain definite integrals expressible by means of elliptic functions. F. W. Newman, C, et D. Math. Journ. V. 2. A. 1847. p. 75, 76. Has, Ee ne dg Investigation of the value of Í Sin.e—* AR à 0 A. Carrey, C. et D. Math. Journ. V. 2. A. 1847. p. 122—128. — À 164, SarRUS, Mém. Prés, à l'Acad. Paris. T. 10. p. 1—128. A. 1848. Recherches sur le calcul des variations. Cù. J. Harareave, Phil. Trans. A. 1848. P. 1. p. 31-54. On the Solution of Linear Differential Equations. G. Booze, Irish Trans. Vol. 21. A. 1848. p. 124—139. —= A 169. B. H. Dirksen, Ber. Berlin. A. 1848. S, 120 —127. Zur Transformation von D, —= (1 —2kCos.y +k*)—t in bestimmte Integrale. O. Serrömiron, J. v. Cr. Bd. 86. A. 1848. S. 268—2710. Nouvelle démonstration des théorèmes de M. Fourier. J. v. Cr. Bd. 36. A. 1848. S. 271—216. Transformation de quelques intégrales définies. SoHAEFER, J. v. Cr. Bd. 37. A. 1848. S. 127 —160. : 1 e led 2 Adnotationes ad seriem 1 + ee + aired pn verliefd, y geyl geyti.gt? J. L. Raasp, J. v. Cr. Bd. 37, A. 1848, S. 345—3855. Die Doppelintegrale fe 2} go J 0 j- 00 Í | p(aamdEbyr)ar-l yal dedy, Í | p(aambyr)arlyildedy, 0 “0 BEN ME) ihre gegenseitigen Beziehungen und die Reductionen derselben auf einfache be- stimmte Integral-Ausdrücke. F. Arnor, Gr. Arch. B. 11. A. 1848. S. 70 —88, Entwickelung bestimmter Integrale. À O. Scurömrzcn, Gr Arch. B. 11. A. 1848. S, 174—180, Ueber ein Paar Doppelintegrale. J. R. Youne, L., E. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 32. A. 1848. p. 11—15. d On the Integral Í ZL and on some consequences that have been deduced from it. 8 & N ANeam, Astr. Nachr. B. 29. A. 1848. N.-639. S. 239, 240. Schreiben. 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B. 57 H. WirBranam, C. et D. Math. Journ. V. 3. A. 1848. p. 198—201. On a certain periodic function. W. SmaaseN, Tijdschrift W. en N. Wetensch. Dl. 2. bl. 251—263. A. 1849. Bepaling van de waarde der Integraal Pra” rn RE a | d, 1 Sin. p dp nr EE lg gn kl Brede nl-nl 9 n—_2! p? gr gp” p a Meyer, Bull. Brux. T. 16. P. 1. A. 1849. p. 334 —338. Note sur quelques intégrales définies. A. pe Morean, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 182—203. =—= A 175. S. Barnsraw, Cambr. Phil, Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 255—268. On the Values of the Sine and Cosine of an Infinite Angle. J. R. Youre, Cambr. Phil, Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 429—440. — À 176, G. G. Srokes, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 533—583. — A 177.» G. B. Arry, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 595—599. — A 178. G. G. Srokes, Cambr. Phil. Trans. Vol. 8. A. 1849. p. 706 —735. Discussion of a Differential Equation relating to the breaking of Railway Bridges. E. G. Bsörzine, Overs. Stockholm Förhandl. A. 1849. S. 172—179. — A 179. GC. J. Marusten, J. v. Cr. Bd. 38. A. 1849. S. 1— 839. De integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis. L. Oerrincer, J. v. Cr. Bd. 38. A. 1849. S. 162—184, 216—240. Untersuchungen über die analytischen Facultäten. J. Dieneer, J. v. Cr. Bd. 38. A. 1849. S. 266—276, 331 —352. Anwendung der bestimmten Integrale zur Reihensummirung: nebst Bemerkungen über die unendlichen Reihen und die bestimmten Integrale überhaupt. Gr. Arch. B. 12. A. 1849, S. 97. Theoreme über bestimmte Integrale, N. 1—4. O. Scnröxirer, Gr. Arch. B. 12. A. 1849. S. 198—208. kn Ed, Ueber das Integral tn j r2 + 2r*zlos.u +? Gr. Arch. Bd. 12. A. 1849. S. 208, 209. Aufgaben aus der Integralrechnung. J. Dreneer, Gr. Arch, B. 12. A. 1849. S. 210. Aufgabe. Gr. Arch. B. 12. A. 1849. S. 409 —414. de Veber das Integral ve etene en c Sin. z Gr. Arch. B. 12, A. 1849. S, 416, 417. und ähnliche Formeln. Aufgabe, 58 264, 265 266 261 268 269 270 271 272 273 274 275 276 211 278 279 280 281 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. D. Bierens pe HAAN, Gr. Arch. B, 13. A. 1849, S. 198—221. Note sur lintégrale définie fa — Ur Cos. + r°) Cos.nad a. 0 J. Dreneer, Gr. Arch. B. 13. A, 1849. S. 424—433. Ueber die Bewegung eines galvanischen Drahtes unter den Einfluss des Erdmagnetismus- Reduktion einiger Integrale auf elliptische Functionen. Bersee, J. de L. T. 14. A. 1849. p. 31—32. Sur l'intégrale définie Í en du, 0 J. Lrouvuar, J. de, L. T. 14. A. 1849. p. 225—241. Remarques sur une classe d'équations différentielles. à occasion d'un Mémoire de M. Jacosr sur quelques séries elliptiques. Ossran Bonner, J. de L. T. 14. A. 1849. p. 249—256. — Á 181. Scraar, Nouv. Mém. Brux. Vol. 25. A. 1850. p. 1—20. Recherches sur la théorie des résidus quadratiques. O. Bonner, Mém. Cour. Brux. T. 23. A. 1848—1850. p. 1—116. — Á 183. Scnaam, Mém. Cour. Brux. T. 23. A. 1848—1850. p. 1—17. — Á 184. C. F. LiNDMANN, Stockholm Handl. A. 1850. S. 343—364. — À 187. Dieneer, J. v. Cr. Bd. 39. A. 1850. S. 62—66. Ableitung eines bestimmten Integrales aus den Formeln der Abhandlung N. 18 im g7ten Bande dieses Journals. R. Horer, J. v. Cr. Bd. 40. A. 1850. S. 139 —141. Transformation d'une intégrale définie. J. Dreneer, Gr. Arch. B. 14. A. 1850. S. 223. Aufgaben N. 1. A. Meyer, Mém. Liège. Vol. 7. A. 1851. p. 1—510. — A 190. Cavcry, C. R. T. 32. A. 1851. p. 889-397. — A 195. J. Dreneer, J. v. Cr. Bd. 4l. A. 1851. S. 137 —140. _Einige Reihensummirungen, vermittelt durch die bestimmten Integrale Í ear Cos. ba da und | eer Sin. ba da. O. Scnröxrcn, J. v. Cr. Bd. 42. A. 1851. S. 125—130, Développement de deux formules sommatoires, J. Dreneer, J. v. Cr. Bd. 42. A. 1851. S. 283 —286. Ueber das Integral / 5 ee eber das Integra (a — nz)r+l (1 —z)l-n zn , L. Raar, J. v. Cr. Bd. 42, A. 1851. S, 848—367. 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. 59 Zurückführung einiger Summen und bestimmter Integrale auf die Bernoullische Func- tionen. ; F. LiNDMANN, Gr. Arch. B. 16. A. 1851. S. 94—103. De Integralibus quibusdam definitis, —_—________ Gr. Arch. B. 17. A. 1851. S, 455—462. ® Sin. 2x De integrali definito Í 2 5 A. Carrey, C. et D. Math. Journ. V. 6. A. 1851. p. 136—140. — A 201. L. Raasr, J. v. Cr. Bd. 43. A. 1852. S. 283—293. .m—l.m 2. mk UVeber die Factorielle 5) rj dt ns = + ‚ in welcher die Ba- k 3 Je ores vee k sis m eine complexe Zahl von der Form p+qi und # die imaginäre Einheit ist, p und q aber reelle Zahlen bezeichnen; desgleichen über einige bestimmte Inte- grale, die mit denselben im Zusammenhange stehen. Tr. Loscnay, N. A. M. T. 11. A. 1852. p. 146—148. Démonstration d'une formule (181). A. Grrocenr, Mém. Cour. Bruxelles. T. 25. A. 1851—53. p. 1ö4. Note sur la théorie des résidus quadratiques. A. Cavcny, C. R. T. 36. A. 1853. p. 454—459. Note sur les séries convergentes, dont les deux termes sont des fonctions continues d'une variable réelle ou imaginaire, entre des limites données. C. R. T. 37. A. 1853. p. 150—162. Mémoire sur les coefficients limitateurs ou restricteurs. LINDMANN, Overs. Stoekholm Förhandl. A. 1853. S. 1—5. Om en definit integral. Overs. Stockholm Förhandl. A. 1853. S. 237—242. Om ellipsen. A. WincKrer, J. v. Cr. Bd. 45. A. 1853. S. 102—167. Ueber die Reduction doppelter Integrale auf Quadraturen. DepexinD, J. v. Cr. Bd. 45. A. 1853. S. 370—314. Ueber ein Eulersches Integral. J. Dieneer, J. v. Cr. Bd. 46. A. 1853. S. 119—144. Summen von Reihen, ausgedrickt durch bestimmte Integrale. Anwendungen dieser Sätze. E. G. Bsörrine, Gr. Arch. B. 21. A. 1853. S. 26—34. da Sur l'intégral 5 ren EEn en C. F. LixpMany, Gr. Arch. B. 21. A..1853. S, 113—116. De integrali quodam definito. 40 297 298 299 800 801 302 803 804 805 806 807 808 309 310 Sl 812 813 814 815 316 817 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. J. A. Grunerrt, Gr, Arch. Bd. 21. A. 1858. S. 359. Miscelle. W. H. L. Russerr, C. et D. Math. Journ. V. 8. A. 1858. p. 157—159, == À 206. Herve, Ber. Berlin. A. 1854. S, 564—572, Bestimmung des Potentials eines Kreises. A. Cavcry, C. R. T. 39. A. 1854. p. 129-135. — A 208. C. R. T. 39. A. 1854. p. 166—177. Sur linduction en analyse et sur emploi des formules symboliques. Scurärrrr, J. v. Cr. Bd. 48. A. 1854. S, 292— 800. Veber eine Function von drei Winkeln, deren erste Abgeleiteten ebenfalls als Winkel anzusehen und durch algebraische Relationen ihrer Cosinus zu denen der Unab- hängigen bestimmt sind. C. F. LinpManN, Gr. Arch. B. 23. A. 1854, S, 448—452. De aliquot integralibus definitis. Gr. Arch. B. 23. A. 1854. S, 471, 472, Aufgaben N. 2, 5. Gr. Arch. B. 23. A. 1854. S, 473 —475, Theoremata et Problemata N. 4. _W. H. L. Russerz, C. et D. Math. Journ. V. 9. A. 1854. p. 104—112. = À 216. D. Bierens pe HAAN, Verh. Akad. Amst. DI. 2. A. 1855. blz. 1—54, — À 218. Prarr, C. R. T. 24. A, 1855. p. 984—986. Note sur une propriété commune aux séries dont le terme général dépend des fonc- tions X„ de LeeeNpre ou des Cosinus et des Sinus des multiples de la variable, W. H. L. Russerr, Phil. Trans. A. 1855. P. 1. p. 157—178. — Á 221. C. Fr. LiNDMaNN, N. Acta Upsal. Ser. 82. T. 1, A. 1855. p. 137 —146, De functione quadam transcendente. A. WinckLer, J. v. Cr. Bd. 50. A. 1855. S. 1—81. Ueber die Reduction dreifacher Integrale auf Quadraturen. S. Sreirzer, Gr. Arch. B. 25. A. 1855. S. 187 —145. Verschiedene mathematische Bemerkungen. R. Carmrcnazr, L, E. et D. Phil. Mag. 4tb Ser. V. 9. A. 1855. p. 209— gla. —=A225. D. Bierens DE HAAN, Versl. en Meded. Amst. D. 4. A. 1856. bla. 882—853. — A 226. J. Lrouvrire, C., R. T, 42. A. 1856. p. 500—508. Détermination des valeurs d'une classe remarquable d'intégrales définies multiples, et démonstration nouvelle d'une célèbre formule de Gauss concernant les fonctions Gamma de M. LieGENDRE, E. Cararan, C. R. T. 43. A. 1856. p. 626—630, Note sur quelques points de la théorie des séries, G. G. Sroxrs, Cambr. Phil. Trans. Vol. 9. A. 1856. p. 166—186. — A 229, rend SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. 41 318 A. WixcxKrer, Sitz. Ber. Wien. Bd, 21. A. 1856. S. 389 —427. — A 220. 819 Buörune, Overs. Stockh. Förhandl. A. 1856. S. 181, 182. Bevis för formeln A: Ik U (2 A p)de= lr 4 plp—p. 0 320 CG. Sucksporrr, Acta Fenn. Helsingfors. T. 4. A. 1856. p. 121 —127. Note sur la quadrature de la surface courbe du cône. 321 - Acta Fenn, Helsingfors. T. 4. A. 1856. p. 617—621. Note sur les cÔnes quarrables. 322 B, Wemnzer, J. v. Cr. B. 5l. A. 1856. S. 105—198. Integration der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei, drei, vier und mehr Veränderlichen (mit neuen Hülfmitteln bearbeitet). 323 —___—____—— J. v. Cr. B. 51. A. 1856. S. 198208. Anhang. Ueber eine besondere Classe linearer Differentialgleichungen von der n ten Ordnung. 324 E, Herve, J. v. Cr. B. 51. A. 1856. S. 382401. — A 232, 325 S. Serrzer, Gr. Arch. B. 26. A. 1856. S. 57—74. Integration der Differentialgleichung zy() — y — 0. 326 R. Horre, Gr. Arch. B. 27. A. 1856. S. 55—62. __Auflösung einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung durch bestimmte Integrale. 827 J. A. Grunerr, Gr. Arch. B. 27. A. 1856. S. 99 —112. Veber die Rectification der Ellipse. 328 C.F. LiNDMANN, Gr. Arch. B, 27, A. 1856. S. 113. Uebungsaufgaben. 329 V. A. Lesesouw, J. de L. 2e Sér. T. 1. A. 1856. p. 377, 378. 1 1—q% » (1 Sur Fintégrale Í En ld 8 nr où «> 1. 0 330 J. Liouvure, J, de L. 2e Sér. T. 1. A. 1856. p. 421 —424. e(t Sur Pintégrale apum epen * 0 331 O, Scurömrrcn, Schlömilch’s Zeitschr. B. 1. A. 1856. S. 21—28. Veber eine besondere Gattung von Reihen. 332 — — ————— Schlömilch’s Zeitschr. B. 1. A. 1856. S. 186—188. ; » (ós. 2 pz Ueber das bestimmte Integral | ae ere de, 0 333 —_ —________—_— Schlömilch’s Zeitschr. B. 1. A. 1856. S, 245 —250. Veber die Functionen p (2) = shi und of a =p (—r). 0 0 . \ 18 NATUURK, VERI, DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, 42 334 335 336 337 338 339 840 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 851 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. B. D. Bierens ne HAAN, Verh, Akad. Amst. D, 5. A. 1857. blz. 1—116. —  236. G. Boore, Phil. Trans. A. 1857. P. 3. p. 745—804, — A 239. R. pe Grosso, Memor. R. Accad. Borbon. T. 2. A. 1856, 1857, p. 37—50, Sulla funzioni generatrici di alcune rimarchevoli serie trascendenti. Porov, Bulletin Pétersb. T, 15. A. 1857. p. 307—313. — A 240. R. Lirscurrz, J. v. Cr. B. 54. A. 1857. S. 313—328. Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe. O. Sonrömmren, J. de L. 2e Sér. T. 2. A. 1857. p. 43—46. Sur quelques intégrales Flliptiques. — J. de L. 2e Sér. T, 2. A. 1857. p. 47 —55. 1E (1 ted dt (ad bt — ct2)f Sur lintégrale / — Extrait d'une lettre de O. ScHröMILCH — 0 Extrait d'une lettre de M, A. Cayrey — Remarques de M, Lrouviue. J. Lrovvrus, J. de L. 2° Sér, T, 2. A. 1857. p. 219. Ì apt (1 —m)tl de ALI + gef} +20 0 A. Cayrey, L., E. et D. Phil. Mag. 4tb Ser. V. 13. A. 1857. p. 419 —428, On the Summation of a certain Factorial Expression. W. R. Haanzron, IL, E. et D. Phil. Mag. Ath Ser. V. 14, A. 1857. p. 375—388. — A 242. O. Scurömrron, Schlömilch’s Zeitschr. B. 2. A. 1857. S. 49 —56. Veber einige elliptische Integrale. Schlömilch’'s Zeitschr. B. 2. A. 1857. S. 67, 68. LW tj | (ad bt ctrl 0 … Sur Yintégrale définie Notiz über die Entwickelung des Integralcs Schlömilch's Zeitschr. B. 2. A. 1857. S. 1387 —165. Veber die Besser'sche Function. A. Geroccur, Schlömilch's Zeitschr, B. 2. A, 1857. S, 414—420. Ueber gewisse elliptische Integrale. A. ENNePer, Quart. Journ. V. 1, A. 1857. p. 276—279. ® Sint u um On the definite Integral Í du. 0 D. Bierens pe Haan, Verh, Akad. Amst. Dl. 4, A, 1858. blz, — XXXII, 1—572. — À 244. N. C. Scuuir, Méin, Liège. T. 13. A. 1858. p. 289—327, — A 245. J. Berrranp, C. R. T, 47. A, 1858. p. 434, 435. Rapport sur: Brenens pe Haan, Recueil d'intégrales définies. 352 353 354 355 356 857 358 359 360 361 362 363 364 365 366 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B. 45 “LINDMANN, Overs. Stockh. Förhandl. A. 1858. S. 457 —464. Om definite integraler. S. Sprrzer, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S, 81, 82. 1 Ll 1 Darstellung des uuendlichen Kettenbruchs — : … in zelde ets geschlossener Form nebst anderen Bemerkungen, T. Crausen, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 166 —170. Beweis des von Scrrömizcn, Archiv Bd. 12. N, 85 aufgestellten Lehrsatzes, — über die Ableitung des Differentials von Log. T &; und über eine allgemeine Aufgabe über die Functionen von ABEL. F. Minpine, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S, 171—184. ® Sin. om Ueber den Werth des Integrals Í „dz, wenn m und rn positive ganze Zahlen z 0. sind, und m > n oder m==n ist, J. Diexeer, Gr. Arch. B. 30. A. 1859. S. 250—260, —= À 248. S. Serirzer, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 331—534. 1 1 1 Darstellung des unendlichen Kettenbruches 2a +1 + zakö + Bakb + tart” in geschlossener Form, G. Zenruss, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 441. Einfache Herleitung des Gauss’schen Ausdrucks für r (z). —__—__—__— Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 465, 466. Verschiedene Sätze und Resultate, Gr. Arch, B. 30. A. 1858, S. 469, Aufgabe. EENS — Gr. Arch. B. 31. A. 1858. S, 246—248. — À 249. O. Scnrömiren, Schlömilch’s Zeitschr. B. 3. A. 1858. S, 180—187. Ueber eine unendliche Reihe. — —_— Schlömilch’s Zeitschr. B. 3. A. 1858. S. 115 —119. Transformation eines bestimmten Integrales. R. Horre, Schlömilch's Zeitschr. B. 3. A. 1858. S. 173 —175. Auflösung der algebraischen Gleichungen in Form bestimmter Integrale. S. Sprrzer, Schlömilch’s Zeitschr. B. 3. A. 1858. S. 178, 179. Aufstellung derjenigen linearen Differentialgleichung, welcher genügt wird durch folgendes particulare Integrale 2 | ve f] tete a (mj Lag nr) (a) (Pd D, Birrens pr HAAN, Verh. Akad. Amst. D. 7. A. 1859. blz. 1—52. — A 250. 18% AA 367 368 369 370 371 572 373 374 315 376 371 DP OO AR U WD ee 9 10 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, B er C. ScHröMiLcH, Ber. Sächsen. B. 11. A. 1859. S. 109-—138. Veber Facultäten-Reihen. G. Berravers, Atti Adun. Ist, Veneto. Ser. 32, T, 4. A. 1858, 1859, p. 413—420. Sulle Tavole d’ Integrali definiti compilati da D. Brerens pe Haan. R, Lrescurz, J. v. Cr. B. 56, A. 1859. S. 11—26. Veber die Darstellung gewisser Functionen durch die Eurer’sche Summenformel. C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S. 149—165. (Aus den hinterlassenen Papieren von) mitgetheilt durch E. Herve. Untersuchungen über die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe. R. Lrrscurz, J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S. 189—196. 4 Ö Key a Tt kedE Ueber ein Integral der Differentialgleichung — 4 — + I= 0. da? «dz C. F. LiNDMANN, Gr. Arch. B. 83. A. 1859. S. 486, 497. Problemata, Brser, J. de L. 2e Série, T, 4. A. 1859. p. 194. Sur les intégrales trinômes. S. Serrzer, Schlömilch’s Zeitschr. B. 4. A. 1859. S. 37—49. Studien über Integralgleichungen. ScuröMiLcH, Schlömileh’s Zeitschr. B. 4. A. 1859. S. 390—415. Veber Facultätenreihen. Tr. Cravsen, Bull. St. Pétersb. V. 1. A. 1859. p. 145—147. —= Á 252. TereBycnerr, Bull. St, Pétersb. V, 1. A. 1859. p. 193—200. — À 253. … __C, INTÉGRALES DÉFINIES MULTIPLES. L. Eurer, N. Comm. Petr. T, 16. A. 1771. p. 91—139. = Á 5. N. Act. Petr. T, 7. A. 1789. p. 64—82, — Á 25. Porsson, J. Ec. Pol. T., 12. Cah, 19. A. 1823. p. 404—509. — A 48. A. L. Caverry, J. Ee. Pol. T, 12, Cah. 19, A. 1823. p. 510—592, — A 44. —____ Mém. Prés. à l'Acad. Paris. T. 1. p. 1--812. A. 1827. — Á 49. A. 1830. p. 294 —304. Formularum quarundam integralium duplicatarum integratio. Poisson, Mén. Acad, Paris, T, 12, p. 223—332, A. 1833. Mémoire sur le calcul des variations, J. Lrouvmur, J. v. Cr. Bd. 13. A. 1835. S. 219—232. — B 103. C. G, J. Jacopr, J. v‚ Cr. Bd, 15. A. 1836. S. 1—26. — À 73. — Mém. Prés. à T'Acad, Paris. T. 1. p. 599—799. A. 1827, — A 50. N. Fuss, Mém. Pét. T, 11. Mém. posth. de L. Eurer, F. T. Scuugerrt et _N. Fuss. Weak 11 12 13 14 15 16 17 18 19 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. C. 45 J. Lrovvure, J. de L. T, 1. A. 1836. p. 102—105. Note sur une manière de généraliser la formule de M. Fourrer. J.de LT. 1. A. 1836. p. 197—210. Note sur le calcul des inégalités périodiques du mouvement des planètes. Lamé, J. de L. T. 2. A. 1837. p. 147—183. Mémoire sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes en équilibre de température. Porsson, J. de L. T. 2. A. 1837. p. 184—188. —= B 112. G. Lamé, Mém. Prés. à l'Acad. Paris. T. 5. p. 174—214. A. 1838. — B 115. Poisson, Mém. Prés. à l'Acad. Paris. T. 5. p. 215—219. A. 1838. — B 116. Crasres, J. de L. T. 3. A. 1838. p- 10—16. Démonstration géométrique de la formule intégrale bre w2—e?) dv. do 45 1 W wtb) (erv )(br eet") EN G. Lamé, J. de L. T. 3. A. 1838. p. 552—555. Note sur les intégrales définies, déduites de la théorie des surfaces orthogonales. Brassing, Mém. Toulouse. 2e Série, T. 5. P. 1. A. 1837 —1839. p. 139—142. Fragments d'un Mémoire sur l'intégration des Équations différentielles. J. G. Sruvesrer, L. et HB, Phil. Mag. 3'h Ser, V. 14. A. 1839, p. 298 — 300. Notes on Definite Double Integration, supplementary to a former Paper on the motion and rest of Fluids. Osrroerapsky, Bullet, St. Pétersbourg. T. 7. A. 1840. p. 362—364, — B 124. Prana, Bull. Bruxelles. T. 8. P. 2. A. 1841. p. 68—71, Note. A. Cavcay, C, R. T. 13. A. 1841. p. 38—40. Mémoire sur Pemploi de la transformation des coordonnées pour la détermination et la réduction des intégrales définies multiples. B. Cararan, J. de L. T, 6. A. 1841. p. 81 —84. Théorème sur la réduction d'une intégrale multiple. J.de L. T. 6. A. 1841. p. 340—8344. Problème de calcul intégral. Cavcuy, J. Ec. Pol. T, 17, Cah. 28. A. 1841. p. 147—248 — A 99. D. F. Grraorv, C. Math. Journ, V. 2. A. 1841. p. 215—223. On the Evaluation of a definite multiple Integral. Procu, Bull. Bruxelles. T. 9, P. 1. A. 1842. p. 296, 297. Note Mathématique (Rapport sur). Bull. Bruxelles, T. 10. P. 2. A. 1843. p. 94—96. Sur les fonctions arbitraires exprimées par des intégrales doubles. Prana, Bull. Bruxelles. T, 10. P. 2. A, 1848. p. 803—309. Note sur la formule d'Evuzer relative à la transformation des intégrales doubles. beim 50 51 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. C. W, R. Hamrvron, Irish Trans. V. 19, A, 1843. p. 264—321. — Á 110. R. Agsorr, Proceed. Phil. Trans. V. 4, A, 1837 —43. p. 42. On the Variation of a Triple Integral. Barn. Tortounr, J. v. Cr, Bd. 26. A 1848. S. 2717—287, = B 144. Teneziener, J. de L. T. 8. A, 1843. p. 235 — 238. Note sur une classe-d'intégrales définies multiples. H. Cararan, J. de L. T. 8. A, 1843, p. 239, 240. Note sur une formule relative aux intégrales multiples. Ceruériem, J. de L. T, S. A. 1843. p. 245 —254. Note sur la détermination d'une fonction arbitraire. A. Cayrey, C, Math. Journ. V. 8. A. 1843. p. 138—144, On certain definite integrals. G., Boore, C. Math. Journ. V. 3. A. 1843. p. 216—224, — A 119. —_——— C, Math. Journ. V, 8. A, 1843. p. 217—283, Remarks on a theorem of Mr. CATALAN. A. Cavcny, C. R. T. 19. A. 1844. p. 1337—1344. = À 122. G. Boore, Phil, Trans. A. 1844. P. 2. p. 225—282. — B 155. J. L. Raagr, J. v. Cr. Bd. 28. A. 1844, S. 19—27. Reductionen des p-fachen Integral-Ausdrucks go led ied fff veer hanne beregenen taped, de dep Ä in welchem a,,a,...ap, ,, 1,9» «-Npy Ps P'2ve++F'p, Constante Grössen, 2,,z,,.… ap die Integrations-Variabeln sind und p eine beliebige Function ist, auf ein einfaches, die- selbe Function p enthaltendes Integral. Á. F. Svangera, Overs. Stockh. Förhandl. A. 1845. S. 228—231. Om multiple integralers transformation. W. Tromson, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 137 —147. Démonstration d'un théorème d’analyse. R, IL. Erris, C. Math. Journ. V. 4, A. 1845. p. 17. On the evaluation of definite multiple integrals. G. Boore, C. Math. Journ. V. 4. A. 1845. p. 20—28. On the transformation of multiple integrals. R. Ie E(ruis), C. Math, Journ. V. 4. A, 1845. p. 64—66. Note on a definite multiple integral. —- C. Math. Journ. V. 4. A. 1845, p. 116—119. On a multiple definite integral. CararaN, Bull. Bruxelles. T. 18. P. 1. A. 1846. p. 534—555. Recherches sur les déterminants. C. Ramus, Danske Afhandl. (49 Raekke). B. 12. A. 1846. S. Ill—184, — À 148, U. H. Meyer, Gr. Arch. B. 7, A. 1846. S. 386—401. Applications des théoròmes relatifs à la théorie des fractions partielles, EE sl SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÚFINIES. C. Ai W. Rogerts, J. de L. T. 11, A. 1846. p. 201—209. Note sur quelques intégrales multiples. B. Broxwin, L., HK. et D. Phil. Mag. 8d Ser. V. 28. A. 1846. p. 373—379. On certain definite multiple integrals. G. Boore, Proceed. Irish R.S. V. 3. A. 1847. p. 182—184. —= B 205. Proceed. Irish R‚S. V. 3. A. 1847. p. 217, 218. On a certain Definite Multiple Integral. A. F. Svansere, N. Acta Upsal. T. 13. A. 1847. p: 1—13. —= Á 156. L. Oerriscer, J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S. 13—54, — B 211. A. Carrey, J. de L. T. 12. A. 1847. p. 231—240. — B 226. W. Tromson, J. de L. T. 12. A. 1847. p. 256—264, Extraits de deux lettres à M. Lrouviure. C. et D. Math. Journ. V. 2. A. 1847. p. 109—122. On certain definite integrals suggested by problems in the theory of electricity. A. Carrey, C. et D. Math. Journ. V. 2, A, 1847, p. 219—223. On a multiple integral connected with the theory of attraction. Scraar, Bull. Brux. T. 5. P. 2. A. 1848. p. 501 —506. Sur la réduction d'un intégrale multiple. Sarrus, Mém. Prés. à Acad. Paris. T. 10. p. 1—128. A. 1848. — B 235. _A. Cavcnr, C. R. T. 26. A. 1848. p. 624—627, 666—673. — A 167. C.R. T. 27. A. 1848. p. 6—12. — A 168. G. Boore, Irish Trans. V. 21, A. 1848. p. 140—150, On a certain Multiple Definite Integral, O. Senzöwmren, J. v. Cr. Bd. 36. A. 1848. S. 268—270. —= B 237. J. L. Raagse, J. v. Cr. Bd. 37. A. 1848. S. 345 —355. —= B 240. O. Serröxmcu, Gr. Arch, B. 11. A. 1848. S. 174—180. — B 242. A. Carrer, J. de L. T, 13. A. 1848. p. 245 —248. : Démonstration d'un théorème de M. Boore, concernant des intégrales multiples. G. G. Sroxrs, Cambr. Phil, Trans. Vol, 8, A. 1849. p. 533-583. — Á 177. A. Stres, Danske Afhandl. (5e Raekke). B. 1. A. 1849. S. 333—353. — A 180, L. Oermineer, J. v. Cr. Bd. 38. A. 1849. S. 162—184. — B 256. J. Diencer, Gr. Arch. B. 13. A. 1849. S. 286—296. Ableitung einiger bestimmten Doppelintegrale. Osstan Bonner, J. de L. T. 14. A. 1849. p. 249—256. — A 181. G. Boors, C. et D. Math. Journ. V. 4, A. 1849. p. 14—20. — À 182. A. Carrey, C. et D. Math. Journ. V. 4. A. 1849. p. 51—65. On the Attraction of an Hllipsoid. J. Drencer, J. v. Cr. B. 39. A. 1850. S. 62—66. — B 273. W. Rogznrts, J. de L. T. 15. A. 1850. p. 238—240. c fb Log.(u*—v°)da dv bl , p Sur lintégrale double | | Vet) (2 betr (02) 48 80 81 s5 SL 100 101 102 103 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. C. A. Meyer, Mém. Liège. T, 7. A. 1851. p. 1—510. == A 190. A. Cavcny, C. R. T. 32. A. 1851. p. 207—215. = Á 193. A. Cayrey, C. et D. Math. Journ. V. 6. A. 1851, p. 136—140. —=  201. B. Torrorinr, Atti Acad, Lincei Roma. T. 4, A, 1852. p. 53—11. Sul valore della curvatura totale di una superficie, e sull’ uso di questo valore nelle determinazione di alcuni integrali definiti duplicati, A. Mever, J. v. Cr. Bd. 43 A 1852. S, 60—87, Mémoire sur les fonctions arbitraires exprimées par des intégrales doubles et des sé- ries de quantités périodiques. L. Oerrtineer, J. v. Cr. Bd. 44. Á. 1852. S. 147 —180, Untersuchungen über die analytischen Facultäten. R. Carmicnaer, L., E. et D. Phil. Mag. 4th Ser, V. 3. A. 1852. p. 129 —l4l. On Homogeneous Functions and their Index Symbol. A. Cayrey, C. et D. Math. Journ. V. 7. A. 1852. p. 174—178. On certain multiple Integrals connected with the theory of Attractions. A. Cavcuy, C. R. T, 37. A. 1853. p. 150—162. — B 289. A. WincKrer, J. v. Cr. Bd, 45, A. 1853. S. 102—167. — B 292. J. v. Cr. Bd. 45. A. 1853. S. 168 —174, Transformation dreifacher Integrale durch Aenderung der Integrationsfolge. A. Cavcuy, C. R. T. 39. A. 1854. p. 166—177. —= B 301, L. Raasr, J. v. Cr. B. 48. A. 1854, S. 137—142. — Á 212. TJ. v.Cr. B. 48, A, 1854. S, 178—189. = A 214. G. Drcner, Gr. Arch. B. 22. B, 1854. S, 418—485. Ueber eine Klasse von Integralfunctionen zweier unabhängigen Veränderlichen, welche zwischen gewissen bestimmnten Grenzen verschiedene Werthe geben, wenn die Ord- nung in der Integration umgekehrt wird. d Prein, N. A. M. T. 13. A. 1854. p. 320—323, Question 257. W. H. L. Russerr, Phil. Trans. A. 1855. P. 1. p. 157—178. — À 221. A. Winckrer, J. v. Cr. Bd. 50. A. 1855. S. 1-81. — A 222. S. Sprrzer, Gr. Arch. B 25. A. 1855. S. 137—145. —= B 312. J. Lrouvuze, C. R. T. 42. A. 1856. p. 500—508. — B 315. C.R. T. 42. A. 1856. p. 525—530. Mémoire sur la réduction de classes très-Ótendues d’intégrales multiples. J. A. Grunerr, Gr. Arch. B. 27. A. 1856. S. 362—364, — A 233. J. Liovvmre, J. de L, 2e Sér. T, 1. A. 1856. p. 82—88. Détermination des valeurs d'une classe remarquable d'intégrales définies multiples, et démonstration nouvelle d'une célèbre formule de Gauss, concernant la fonction Gamma de LEGENDRE. r _J. de L. 2° Sér. T, 1, A. 1856. p. 389—294. Mémoire sur la réduction de classes très-btendues d'intégrales multiples. Nr Tp Pr RE a Pe en 1 ve SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÍGRALES DÉFINIES. C. 49 104 J. Lrouvmaze, J. de L. 2° Sér. T, 1. A. 1856. p. 445—450. — A 234. 105 Schlömilch’s Zeitschr. B. 1. A. 1856. S. 184—186. Ueber ein bestimmtes vielfaches Integral. 106 Schlömilch’s Zeitschr. B. 1. A. 1856. S. 256—263. UVeber die Reduction gewisser vielfacher Integrale. 107 G. Boorre, Phil. Trans. A. 1857. P. 8. p. 745—804. — A 239. 108 O. Semrömirver, Ber. Sachs. Gesellsch. B. 9. A. 1857. S. 67—73. Reduction eines vielfachen Integrals, 109 W. ScrerBrer, J. v. Cr. Bd. 54. A. 1857. S, 77-—81. Ueber das Flächenpotential. 110 O. Scurömmcn, J. de L. 2e Sér. T. 2. A. 1857. p. 206—212. Reduction d'une intégrale multiple. 111 W. R. Haxirron, L, E. et D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 14, A. 1857. p. 375—383. == À 242. 112 Scrrömren, Schlömileh’s Zeitschr. B. 2. A. 1857. S, 49—56. — B 344. 113 A. Enneeer, Quart. Journ. V. 1. A. 1857. p. 280 —288. A general theorem relating to multiple periodic series. 114 P. H. Brancuer, C. R. T. 46. A. 1858. p. 892, 893. Mémoire sur les intégrales multiples. 115 Marie, C. R. T. 46. A. 1858. p. 738—742. Note relative aux périodes d'une intégrale d'ordre quelconque. 116 E. Rovcné, C. R. T. 47. A. 1858. p. 917—921. _ Sur les fonctions X„ de LeGeEnDre. 117 DAHLANDER, Overs. Stoekh. Förhandl. A. 1858. S. 207, 208. Ellipsoidens conjugerade diametralplan. 118 DAHLANDER, Overs. Stockh. Förhandl. A. 1858. S. 49—54. Telfördelning efter minsta quadratmetoden. 119 F. Mrnpixe, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 171—184. ® Sin. z* UVeber den Werth des Integrals Í de, wenn m und „ positive ganze Zahlen Ren 0 sind, und m > oder m—=n ist. 120 J. Dreneer, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 250—260. — A 248. 121 G. Zeuruss, Gr. Arch. Bd. 31. A. 1858. S, 246—248. — A 249. 122 Beser, J. de L. 2e Série. T. 3. A. 1858. p. 324. Sur deux intégrales définies doubles. J. de L. 2e Série. T. 3. A. 1858. p. 416. Autre Égalité d'intégrales doubles. 124 Scrraerur, Quart, Journ. V. 2. A. 1858. p. 269—301. 123 n On the multiple integral f ddy de, whose limits arep, —a, # +b,y +…+ he > 0, Pa >0,...pn 0 and #° +4? +... He? Zl. 19 NATUURK, VERH., DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X, 50 125 126 127 128 129 -) 10 11 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÁFINIES. C er D. WincKrEr, Sitzungsber. Wien. B. 36. A. 1859. S. 454—469. Auszug aus der Abhandlung : Allgemeine Transformation der bestimmten Doppelintegrale, Max. Marie, J, de L. 2e Sér. T, 4, A. 1859. p. 121—152, 305—328, 369— 388. —= À 256. J. Lrouvuarr, J. de L, 2e Sér, T, 4. A. 1859, p. 155—160. Sur une intégrale définie multiple. A. Geroccui, Schlömilch’s Zeitschr. B. 4. A. 1859. S. 75, 76, Bemerkung über ein vielfaches Integral. O. Serrömrren, Schlömilch’s Zeitschr. B. 4. A. 1859. S, 390—415. —= B 375. D. ÉvALUATION APPROXIMATIVE DES INTÉGRALES. Acta Erud..A. 1707. p. 279—281. M. Carré, Methode pour la mesure des surfaces, la dimension des solides etc. (Par. 1700. 4°. Plag 16). Laeranee, N. Mém, Berlin, A. 1772. p. 185—221. Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l'intégration des quantités variables. J. Moxrerro pe Rocua, Mem. Lisboa. T. 1. A, 1787, 1788. p. 218—245. — B 42, M.J. Coerno pa Mara, Mem. Lisboa. T, 1. A. 1787, 1788. p. 503—525. — B 43. C. FP. Gauss, Comment. Rec. Gott. T. 8. p. 39—76. A. 1814, 1815. Methodus nova integralium valores par approximationem inveniendi. Kramp, A. M. T. 6. A. 1816. p. 281 —302. Formules nouvelles pour lintégration approchée de toute fonction différentielle d’une seule variable entre deux limites données quelcongues. GrreonNe, A. M. T. 6. A. 1816. p. 303—320. Reflexions sur la méthode qui sert de base au précédent mémoire et applications die verses de cette méthode. Kraur, A. M. T. 6. A. 1816. p. 872—387. Deuxième recueil de formules servant à intégrer toute différentielle quelconque proposée. Bérarp, A. M. T. 7. A. 1817. p. 101—116. Méthode nouvelle pour quarrer les courbes et intégrer entre des limites données toute fonction différentielle d'une seule variable. Kraur, A. M. T. 7. A. 1817. p. 241 —252. Sur la manière d'intégrer par approximation, entre deux limites données, toute fonction différentielle d'une seule variable. C. F. Gauss, Comment. Rec. Gott. T, 4. p. 21—48. A. 1816—1818. —= B 66. iik he Conn Se an lt a ns 12 18 14 15 16 17 18 19 20 ‚21 22 23 "24 25 26 27 28 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. D. _5t Servors, A. M. T. 8. A. 1818. p. 73—115. Mémoire sur les quadratures et les séries. Bérarp, A. M. T. 8. A. 1818. p. 117—124, Problème des quadratures. Rapport de M. Aurère. Kramr, A. M. T. 9. A. 1819. p. 373—896. Recherche des formules propres à intégrer par approximation, entre deux limites données queleonques, toute fonction différentielle d'une seule variable. —__—_ A. M. T. 10. A. 1820. p. 1—32. Essai d'une méthode générale, servant à intégrer avec une approximation illimitée toute équation différentielle à deux variables. Poisson, Mém. Acad. Paris. T. 6. p. 571—602. A. 1823. — Á 40. C. G. J. Jacogr, J. v. Cr. Bd. 1. A. 1826. S. 301—308. Ueber Gauss neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. F. Minprine, J. v. Cr. Bd. 6. A. 1830. S. 91—95. Ueber die Berechnung des Näherungswerthes doppelter Integrale. Tr. CravsenN, J. v. Cr. Bd. 6. A. 1830. S. 287—289, Veber mechanische Quadraturen. A. von ErrinesHauseN, Baumgartner's Zeitschr. B. 7. A. 1830. S. 429—444. Veber Gauss’s Methode zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale. Dirksen, Abh. Berl. A. 1831. S, 117—159. Veber die Methoden, den Werth eines bestinimten Integrals näherungsweise zu bestimmen. J. J. LöwensterN, Mém. Pét. Sav. Etr. T. 3. A. 1837. p. 279290. Anwendung der Gaussischen Integrations-Methode auf die vielfachen Integrale. ScHeLLBACH, J. v. Cr. Bd, 16. A. 1837. S. 192—195. Ueber die Gaussischen Formeln zur näherungsweisen Berechnung eines bestimmten Integrals. J. L. Raasr, J. v. Cr. Bd. 18. A. 1838. S, 75 —99. — B 117. Osrroerapsxy, Mém. Pét. Sér. 6. T. 4. P. 1. A. 1841. p. 309 — 336. Mémoire sur les quadratures définies. R., C. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. S1—84. On Frersrei’s method of finding by approximation the values of the definite Integrals 5 es Í da al af(e), where f (z) is any fonction of z expressible in a series of / ï a finite number of terms. H. T., C. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. 167 —169. Investigation of series for the approximate values of definite integrals. DE SAINT-VeNaANT, C. R. T., 17. A. 1843. p. 1108—1115. Mémoire sur une mode d’interpolation applicable à des questions relatives aux mou vements des eaux, et suppléant Àà l'intégration souvent impossible des équations aux dérivées partielles. ied 52 29 80 81 82 33 84 85 86: 87 88 89 40 41 42 48 44 45 46 47 48 49 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. D. Osrroerapsky, Bull. St. Pétersb. V. 1. A. 1843. p. 113—118. Sur les intégrales des fonctions algébriques. A. Cavcuy, U. R. T, 20. A. 1845. p. 907—927. — B 164. Lrovvnrer, OC. R. T. 20. A. 1845. p. 927. — B 165. A. Cavcny, C. R. T. 20. A. 1845. p. 970—999, — B 166. C.R T. 20. A. 1845. p. 1166—1180. —= B 167. Osrrocrapsky, Bull. St, Pétersb. V. 4. A. 1845. p. 145 —167, 286—306. De lintégration des fonctions rationnelles. A. Cavcay, C. R‚ T. 23. A. 1846. p. 563—569, —= A 145. C. R. T. 23. A. 1846. p. 617—619. Note sur lintégration d'un système d'équations différentielles et sur Vinversion de leurs intégrales. R. RAwson, Mem. Manchester. 2d, Ser. V. 7. A. 1846. p. 464—501. — Á 147. L. F. Mésasréa, Mem. de Torino. Serie 22, T. 8. p. 195—234. A. 1846. Mémoire sur les quadratures. ScHaar, Mém. Cour. Brux. T. 22. A. 1846, 1847. p. 1—25. “Mémoire sur les intégrales eulériennes et sur la convergence d'une certaine classe de séries. O. Serrömiven, Gr. Arch, B. 9. A. 1847. S. 215—219. — B 213. Aneer, Astr. Nachr. B. 29. A. 1848. N. 639. S. 239, 240. — B 244. G. P. Bonp, Mem. Am. Acad. Boston. New Ser. V. 4. A. 1849. p. 189—209. On some Applications of the Method of Mechanical Quadratures. S. GrrrarDi, Mem. Bonon. V, 2. A. 1850. p. 417—438. Brevi considerazione sui vantaggi del metodo d'integrazione per serie infinite anche nei casi di nota integrazione finita e sopra qualche altro argomento. G. Berzavrris, Atti Adun. Venet. Serie 22, Vol. 1. A. 1850, p. 74-76. Dimostrazione intorno all’ equazione cui conduce un problema risolto del Prof, Turassa val calcolo numerico degli integrali. J. A. Grunerr, Gr. Arch. B. 14. A. 1850. S. 225 —8117. Veber die näherungsweise Ermittelung der Werthe bestimmter Integrale. Tur. Hir, Proceed. Amer. Assoc. V. 5. A. 1851. p. 61, 62. On a new Method of Geometrically constructing the Integration of Quadratures. S. R. Mirror, Atti Adun. Venet. Ser. 2a, V. 8. A. 1852. p. 7—1l1. Sul calcolo degl’integrali definiti col methodo di Gauss, commentario, e sul metodo di Corrs perfecionato da GAuss, per calcolare per approssimazione il valore d'un integrale definito sunto del suddetto commentario. P. A. HANseN, Astr. Nachr. B, 34. A. 1852. N. 799. S. 101—116, N. 800. S. 117-132, N. 801, S. 1383—142. UVeber die Berechnung der Störungen durch mechanische Quadraturen. S, R. Mrvron, Atti Adun. Venet. Ser. 22 V., 4, A, 1853. p. 39—4l. ee Ee eds 50 51 52 58 54 55 56 57 58 59 60 SUPPLÁÍMENT AUX TABLES D'INTÚGRALES DÉFINIES. D er E. 53 Estenzione del metodo di Gauss al calcolo deglintegrali definiti di un ordine comunque elevato. f 3 C. J. D. Hir, Hand]. Stockholm. A. 1854. S. 405—494, — A 210. Zrcn, Astr. Nachr. B. 37. A. 1854. Nr. 881. S. 295—300, Ueber die Berechnung der Störungen durch mechanische Quadratur. P. A. HANsEN, Astr. Nachr. B. 37. A. 1854. N. 882. S. 301—808. UVeber die Berechnung der Störungen durch mechanische Quadraturen. D. Turassa, Mem. Imstit. Venet. V. 5. A. 1855. p. 277—299. Intorno all uso dei compartimenti diseguali nelle ricerca del valore numerico di un dato integrale. G. Berravrris, Mem. Instit. Venet. V. 6. A. 1856. p. 91—111. - Sul calcolo approssimato degli integrali d'ordine superiori. Hur, Overs. Forhandl. Stockholm. A. 1856. S. 15—37. Om Quadratur. Terqven, N. A. M. T. 15. A. 1856. p. 109—129. Méthode de quadrature de Côrrs. W. R. Hamirron, L, B. et D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 14. A. 1857. p. 375—8883. — À. 242. E. B. Carisrorrer, J. v. Cr. B. 55. A. 1858. S. 61—82. Ueber die Gaussische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben. Laeowsky; Gr. Arch. B. 32. A. 1859. S. 241 —249. Ueber die Inhaltsberechnung der Körper. StREHIKE, Gr. Arch. B. 32. A. 1859. S. 433—439. Ueber eine Aufgabe vom Schwerpunkte, über die Gauss’schen Auflösung des KEPLERr’ - schen Problems und über dessen Methode der Quadraturen. E. CALCUL DES RÉSIDUS. Baumgartner’s Zeitschr. B. 1. A. 1826. S. 342—859. Ueber einen neuen der Infinitesimal-Rechnung analogen Calcul, Baumgartner’s Zeitschr. B. 2. A. 1826. S. 359—374, UVeber die Anwendung des im vorhergehenden Aufsatzes vorgetragenen neuen Calculs auf die Summirung einiger Reihen. A. Cavouy, Mém. Acad. Paris. T. 7. p. 468—473. A. 1827. Second Mémoire sur lapplication du calcul des résidus aux questions de physique mathématique. 54 go 12 13 14 15 16 1e „18 19 20 21 42 SUPPLÉMENT AUX TABLES P'INTÉGRALES DÉFINIES. E. A. L. Cavony, Mém. Acad. Paris. T. 8. p. 130133. A. 1829. Mémoire sur le développement de f(&) suivant les puissances ascendantes de h, £ étant une racine de l'équation 5 —a—ha(l) — 0. Corrrns, Bulletin Pétersb. T, 1. A. 1836. p. 118 —115. Note sur la forme des résidus des polynômes entiers. D. F. G., C. Math. Journ. V. 1. A. 1839. p. 145—155. On the Residual Calculus. A. Cavcuy, C. R. T, 12. A. 1841. p. 871—819. Mémoire sur des formules générales qui se déduisent du calcul des résidus et qui paraissent devoir concourir notablement au progrès de l'analyse infinitésimale. G. Orrramare, C. R. T, 12. A. 1841. p. 953, 954. Recherches sur le calcul des résidus. C.R. T. 13. A. 1841. p. 296—298. (Rapport sur) Mémoire sur le calcul des résidus. A. Cavery, C. R. T. 15. A, 1842. p. 255—269. Théorie nouvelle des mouvements planétaires ou applications du calcul des résidus à Pastronomie. 0. RT. 15. A. 1842. p. 801—3803. Sur le nouveau développement de la fonction perturbatrice et sur diverses formules qui rendent plus facile l'application du calcul des résidus. C. R. T. 17. A. 1848. p. 312—381. Mémoire sur l'application du calcul des résidus ou développement des produits com- posés d'un nombre infini de facteurs. Rapike, J. v. Cr. Bd. 25. A. 1843. S. 216—239. Einige Bemerkungen über die Principien der Cavcuy’schen Residuenrechnung. A. Caverny, C. R. T. 19. A. 1844. p. 1387 —1344. — À 122, —____—_ C.R T. 23. A. 1846. p. 321338. Mémoire sur l'application du calcul des résidus à la recherche des propriétés géné- rales des intégrales dont les dérivées renferment des racines d’équations algébriques. C. R. T. 23. A. 1846. p. 382—394. == Á 140. Mém. Acad Paris. T. 22. p. 39—180. A. 1850. — A 185. d Meyer, Mém. Liège, T. 7. A. 1851. p. 1—510. — A 190. A. Cavery, C. R T. 32, A. 1851. p. 207—215. — À 198. C. R. T, 32. A. 1851. p. 267—276, 354 —357. Mémoire sur l'application du calcul des résidus à la décomposition des fonctions trans= eendantes en facteurs simples. -C. R. T. 32. A. 1851. p. 704, 705. Sur les principales formules du caleul des résidus. _—___ GC. R T. 38. A. 1854, p. 945 —952. Formules générales sur la transformation des fonctions implicites en fonctions explicites. 28 24 25 26 27 28 OO mt DD OT a CO 18 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. E er F. 55 A. Cavcny, C. R. T. 41. A. 1855. p. 41—43. Considérations sur les résidus. Arréerer, C. R. T. 48. A. 1856. p. 860—863. Théorèmes nouveaux relatifs à l'Algébre et à la théorie des nombres. Cavory, C. R. T. 44. A. 1857. p. 406—416. E Théorie nouvelle des résidus. G. Boorz, Phil. Trans. 1857. P. 8. p. 785—804. — A 239. J. Vremam, C. R. T. 49. A. 1859. p. 746—750. Note sur la décomposition des fractions rationnelles. E. Rovcué, C. R. T. 49. A. 1859. p. 863—865. Sur la déeomposition des fractions rationnelles et la théorie des résidus. F. FONCTIONS EULÉRIENNES. L. Eurer, Comm. Petr. T, 11. A. 1739 p. 3—21. De productis ex infinitis factoribus ortis. N. Comm. Petr. T. 6. A. 1756, 1757, p. 115—154. De expressione integralium per factores. Misc. Taur. T. 8. P. 2. p. 146—178. A. 1762-1765. — B 8. N. Comm. Petrop. T, 16. A. 1771. p. 91—139. —= Á 5, Lreenpre, Mém. Inst. Paris. T. 10. p. 416—509, A. 1809. — A 28. G. Broone, Mem. Torino. T., 20. A. 1811, 1812. p. 231—345. — Á 30. C. F. Gauss, Commentt. Rec. Gott. T. 2. p. 1—46. A. 1811 —1813. — B 60. Poisson, J. Ec. Pol. T, 11, Cah. 18. A. 1820, p. 417 —489. Sur la manière d'exprimer les fonctions par des séries de quantités périodiques et sur Yusage de cette transformation dans la résolution de différens problèmes. Cisa pe Grésy, Mem. de Torino. T. 26. p. 209—396. A. 1821. — A 37. Porsson, J. Ec. Pol. T. 12. Cah. 19. A. 1823. p. 404—509. — Á 48. Sturm, A. M. T. 14. A. 1824. p. 17—28. Deux théorèmes. A. L. Crerre, J. v. Cr. Bd. 7. A. 1831. S. 314 —880. Mémoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés ana- lytiques. C. G. J. Jacozi, J. v. Cr. Bd. 11. A. 1834. S. 807. Demonstratio formulae oo oo Í et aa-lde | etat dee 6 b _ r(a)r(®), 3 e | eat de etri 0 1 Í wal (lt) de — 0 56 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 24 25 26 21 28 29 30 SUPPLÁMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. F. G. Leseune-Dimrcnzer, J. v. Cr. Bd. 15. A, 1836. S. 258—263. Sur les intégrales Eulériennes. J. Prana, J. v. Cr. Bd. 17. A. 1837. S. 1-34, 168—202. Recherches analytiques sur les expressions du rapport de la circonférence au diamètre trouvées par M.M. Warris et Brounker; et sur la théorie de lintégrale Bulérienne 1 Í eplde (1 2%). 0 Paaìs, J. de L. T. 2. A. 1837. p. 437, 488 Note sur une propriété des sections coniques. B. Cararan, J. de L. T. 3. A. 1838. p. 508—516. Note sur une Équation aux différences finies. Biner, C. R. T. 9. A. 1839. p. 39—45. Mémoire sur les intégrales Bulériennes et sur leur application à la théorie des suites et à l'évaluation des fonctions de grands nombres. Laovvire, C. R. T. 9. A. 1889. p. 105—108. Note sur I'évaluation approchée du produit 1. 2...n. Biver, C. R. T. 9. A. 1839. p. 156 —159. Note sur lexpression du logarithme de lintégrale Eulérienne r (p). Brassing, Mém. Toulouse. 2e Série. T. 5. P. 1. A. 1837—1839. p. 189—142, — 0 19. J. Lrovvure, J. de L. T. 4. A. 1839. p. 317—822. Note sur Yévaluation approchée du produit 1. 2.8... Biner, J. Ec, Pol, T, 16. Cah. 27. A. 1839. p. 1238—343. Mémoire sur les intégrales définies Bulériennes et sur leur application à la théorie des suites ainsi qu'à \'évaluation des fonctions de grands nombres. S. S, C. Math. Journ. V. l. A. 1839, p. 11—21, 109117. On general differentiation. C. Math. Journ. V. 1. A. 1839. p. 94—96. Mathematical Notes. On differentiation. —Diagonal of a parallelopiped.— Ellipse — Bro blem.— Theorem. A. SrerN, J. v. Cr. Bd, 21. A. 1840. S. 377 —879. Remarques sur les intégrales Fulériennes. J. A. Grunerrt, Gr. Arch. B. 2. A. 1842. S. 266—323. —= A 105. J. A. Serrer, J. de L. pi 7. A. 1842. p. 114—119, = B 140. J. Biner, C. R. T. 16. A. 1843, p. 377—381. 1 Note sur la détermination de lintégrale Eulérienne binôme Í epldz (Ll —e)el 0 dans le cas où Yun des arguments p et q est un nombre rationnel. A. Cavcny, C, R. T, 16, A, 1843. p. 422433. — A 107. en hk en he an On So 31 82 33 34 35 36 31 38 39 40 41 42 43 4 45 46 47 48 49 50 51 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. F. 57 A. Cavcny, C.R. T. 17. A. 1843. p. 376, 3717. Recherches sur les intégrales eulériennes. J. L. Raagr, J. v. Cr. Bd. 25. A. 1843. S. 147—159. — B 143. J. A. Serrer, J. de L. T. S. A. 1843, p. 1—22. —= B 146. J. de L. T. 8. A. 1843. p. 489—494, — B 149. A. Cavcny, C. R. T. 19. A. 1844. p. 67—73. Note sur les intégrales eulériennes. J. L. Raarr, J. v. Cr. B. 28. A. 1844. S. 10—18. Angenäherte Bestimmung der Factorenfolge 1.2.3.….r =T(l +2) = Í snede wenn # eine sehr grosse Zahl ist. (Fortsetzung). O. ScurömircuH, Gr. Arch. B. 4. A, 1844, S. 167—174. Einiges über die Eulerische Integrale der zweiten Art. G. Marnarpr, Mem. Istit. Venet. T. 2. A. 1845. p. 401—424. F Sulla integrazione della formula EB essendo F, B, wp funzioni intere di ‚una me- W desima variabile. C. GUDERMANN, J. v. Cr. Bd. 29. A. 1845. S. 209—212. Additamentum ad functionis T (a) — Í den «al de theoriam. 0 Weppre, Mathem. V. 1. A. 1845. p. 143 —146. On the function T (w +1). O. Scurömircu, Gr. Arch. B. 6. A. 1845. S. 213—222. — B 171. A. Cavcuy, C. R. T. 23. A. 1846. p. 537, 557 —562. — Á 142. O. Scrrömrron, J. v. Cr. Bd. 33. A. 1846. S. 268—280. — Á 149. Gr. Arch. B. 7. A. 1846. S. 348—353. Ueber LeeeNpre's Theorie von den Eurer’schen Integralen zweiter Art. ScrHaar, Mém. Cour. Brux, T. 22. A. 1846, 1847. p. 1—25. — Á 154. E. E. Kummer, J. v. Cr. Bd. 85. A. 1847. S. 1—4. Beitrag zur Theorie der Function T (@) — Í et vrl de. 0 L. Orerrineer, J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S, 138—54, —= B 211. F. Arnpr, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 250—253. Ueber einen von Gauss gefundenen Ausdruck der Gammafunction. A. Carrey, J. de L. T. 12. A. 1847. p. 231-—240. —= B 226. M. Orm, J. v. Cr. Bd. 36. A. 1848. S. 277 —295. Ueber das Verhalten der Gamma-Functionen zu den Producten äquidifferenter Factoren, F. W. NewMann, OC. et D. Math, Journ, V. 3. A. 1848. p. 57—60. On T (a), especially when a is negative. 20 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X, SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. F er G. R. Horer, J. v. Cr. Bd. 40. A. 1850. S, 152—159. Remarques sur les réductions de la Fonction Gamma et sur la définition de cette fonction et des facultés analytiques par leurs propriétés. A. Meyer, Mém. Liège. T. 7. A. 1851. p. 1—510. —=  190. Lrovvure, C. R. T, 35. A. 1852, p. 317 —322. Note sur les fonctions Gamma. A. Geroccun1, Bull. Bruxelles. T. 20. P. 2. A. 1853. p. 392—391. Démonstration élémentaire d'une formule logarithmique de M. Brner. Depexanp, J. v. Cr. Bd. 45. A. 1853. S. 370—374. — B 293. GerNoccHr, Bull. Bruxelles, Vol, 21. P. 1, A. 1854. p. 64—95. == Á 207. A. Cavony, C. R. T. 39. A. 1854. p. 129—135. == Á 208. J. Lrouvmaer, C. R. T. 42. A. 1856. p. 500—508. —= B 315. B. G. Börrine, Overs. Stockholm Forhandl. A. 1856. S. 181, 182. — B 319. O. ScurömircH, Schlömilehs Zeitschr. B. 1. A. 1856. S. 118, 119. Zur Theorie der Gammafunction. J, Lrouvizue, J. d. L. 2e Série. T. 1. A. 1856. p. 445—450. — A 234. Jacosr, N. A. M. T, 15. A, 1856. p. 337—352. Sur la division du cercle et son application à la théorie des nombres. KinkeriN, Mittheil. Gesellsch. Bern. A. 1857. S. 1—1L. Die Fundamentalgleichungen der Function T (z). A. Enneeer, Quart. Journ. V. 1. A, 1857, p. 398—405. On the function T (w) with imaginary and complexe variable N. C. Scumrr, Mém. Liège T., 13. A. 1858. p. 289—327. — A 245. E. Cararan, C. R. T., 47. A. 1858. p. 545 —549, Sur une application de la formule du binôme aux intégrales eulériennes. O. Scurömrron, Schlömilch's Zeitschr. B. 3. A. 1858. S. 130 —132. Veber eine Eigenschaft gewisser Reihen. T. Crausen, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. S. 166—170. —= B 354. Zeunruvss, Gr. Arch. B. 30. A. 1858. 5. 441. — B 358. R. Lrescnrrz, J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S, 11—26. — B 369. O. ScrrömrircH, Schlömileh’s Zeitschr. B. 4, A. 1859. S, 431 —433. Entwickelung einer neuen Reihe für die Gammafunction. Zenruss, N. A. M. T. 18. A. 1859, p. 356. Déduction simple de lexpression T (w) de Gauss. G. FONCTIONS ELLIPTIQUES. L. Eurer, N. Comm. Petr. T, 8. A. 1760, 1761, p. 129—149, Consideratio formularum quarum integratio per arcus sectionum conicarum absolvi potest. an 2 13 14 15 16 17 18 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 59. L. Evrer, N. Comm. Petr. T, 10. A. 1764. p. 3—50. De reductione formularum integralium ad rectificationem Hllipsis ac Hyperbolae. D'ALEMBERT, Misc. Taur. T. 4. P. 2. p. 127—162. A. 1766—1769. Recherches mathématiques sur différents sujets. J. Lanpen, Phil. Trans. Vol. 61. p. 298—309. A. 1771. A Disquisition concerning certain Fluents, which are assignable by the Arcs of the Conic Sections, wherein are investigated some new and useful Theorems for com- puting such Fluents. De za Granee, Misc. Taur. T. 5. p. 123—166, A. 17701773, Sur la figure des colonnes. J. LANDEN, Phil. Frans. Vol. 65. p. 282—289. A. 1775. An investigation of a general Theorem for finding the Length of any Arc of a conic Hyperbola by means of two Elliptic Arcs, with some other new and useful Theo- remas deduced tberefrom. LANDENBECK, Schwed, Abh. (Kästner). B. 39. A. 1777. S. 188—148. Rectification elliptischer und hyperbolischer Bogen. A. J. Lexer, Act. Petr. A. 1778. P. 1. p. 58—101. De reductione formularum integralium ad rectificationem ellipseos et hyperbolae. Act. Petr. A. 1778. P. 2. p. 55—84. Ad dissertationem de reductione formularum integralium ad rectificationem ellipseos et hyperbolae additamentum. G. F. Marrarti, Mem. Societ. Ital. Veronae. V. 2. A. 1784. p. 749—786. — B 32. De za Graner, Mém. Turin. T. 7. P. 2. p. 208—290. A. 1784, 1785. Sur une nouvelle méthode de calcul intégral pour les différentielles affectées d'un radical carré sous lequel la variable ne passe’ pas le quatrième degré. Lreenpre, Mém. Paris. A. 1786. p. 616—643. Mémoire sur les Intégrations par arcs d'ellipse. Mém. Paris. A. 1786. p. 644—683. Second Mémoire sur les Integrations par arcs dellipse et sur la comparaison de ces Arcs. F. Prezzr, Mem. Societ. Ital. Veronae. V. 6. A. 1792. p. 256—309. Integrazioni in serie infinita della Formola etc. R. Woopgovse, Phil. Trans. A. 1804. p. 219—278, On the Integration of certain Differential Expressions with which Problems in physical Astronomy are connected. C. F. Gauss, Commentt. Rec. Gott. T. 2. p. 1—46. A. 1811—1813. — B 60. G. Brpone, Mem. de Torino. T. 23, p. 295—314. A. 1818. Mémoire sur les transcendantes elliptiques. — Mem. de Torino. T. 24. p. 255—274. A. 1820. Mémoire sur les transcendantes elliptiques. 2me Partie. / 20% 60 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 82 bp) 84 35 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. N. H. Agen, J. v. Cr. Bd. 2. A. 1827. S. 102—181. Recherches sur les fonctions elliptiques. C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. Bd. 3. A. 1828. S. 86. Addition au Mémoire de Mr. Aer sur les fonctions elliptiques inséré dans le Vol. 2 de ce Journal p. 101. N. H. Aser, J. v. Cr. B. 3. A. 1828. S. 160—190. Recherches sur les fonctions elliptiques (suite). C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. B. 8. A. 1828. S. 191. Note sur la décomposition d'un nombre donné en quatre quarrés. — J. v. Cr. Bd. 8. A. 1828. S. 192—195, 303—810, 408 —404. Notices sur les fonctions elliptiques (extraits de lettres à l'Éditeur). J. v. Cr. B. 3. A. 1828. S. 376—389. Ueber die Anwendung der elliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der BElementargeometrie. N. H. Apzr, J. v. Cr. Bd. 3. A. 1828. S. 394 —401. Sur le nombre de transformations différentes qu'on peut faire subir à une fonction elliptique par la substitution d'une fonction donnée de premier degré, zend. v. Cr. Bd. 3: A. 182858. 402 Théorème général sur la transformation des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisième espèce. C. G. J. Jacogr, Astr. Nachr. B. 6. A. 1828. N, 123. S. 53—38. Extrait de deux lettres. ee Astr. Nachr. B. 6. A. 1828. N. 127. S, 138—142, Demonstratio theorematis ad theoriam functionum ellipticarum spectantis. LecenDrE, Astr. Nachr. B. 6. A. 1828. N. 130. S. 201 —208. Note sur les nouvelles propriétés des fonctions elliptiques découvertes par Jacogr. N. H. Aser, Astr. Nachr. B. 6. A. 1828. N. 138. S. 365—880, N. 139. S, 381—388. Solution d'un problème général concernant la transformation des fonctions elliptiques. J. Prana, Mem. de Torino. T. 33. p. 333—356. A. 1829. Méthode élémentaire pour découvrir et démontrer la possibilité des nouveaux théorè- mes sur la théorie des transcendantes elliptiques, publiés par Mr. Jacopr dans le N. 123 du Journal Allemand intitulé Astronomische Nachrichten. N. H, Aser, J. v. Cr. Bd. 4. A. 1829. S. 85—93, Note sur quelques formules elliptiques. C. G. J. Jacogr, J. v. Cr. Bd 4. A. 1829. S. 185—193. Suite des Notices sur les fonctions elliptiques. N. H. Agen, J. v. Cr. Bd. 4. A. 1829. S. 194 —199. Théorème sur les fonctions elliptiques. -_J. v. Cr. Bd. 4. A. 1829. S. 236—277, 309—348. 36 87 38 39 40 41 42 48 4d 45 46 47 48 49 50 51 52 "53 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 61 Précis d'une théorie des fonctions elliptiques. C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. Bd. 4. A. 1829. S. 371—390. De functionibus ellipticis Commentatio, Gereorse, A. M. T. 19. A. 1829. p. 124—126. Note sur un symptôme d'existence de racines imaginaires dans les équations algébriques. N. H. Aser, Astr. Nachr. B. 7. A. 1829. N. 147. S. 33 —44. Addition au Mémoire sur les fonctions elliptiques. J. v. Cr. Bd. 5. A 1830. S. 336—343. Mathematische Bruchstücke aus seinen Briefen. V. J. v. Cr. Bd. 6. A. 1830. S. 73—80. Mathematische Bruchstücke aus seinen Briefen. GC. G. J. Jacori, J. v. Cr. Bd. 6. A. 1830. S, 397—403. De fanctionibus ellipticis commentatio altera. Porsson, Mém. Acad. Paris. T. 10. p. 73—118. A. 1831. Rapport sur ouvrage de M. Jacosr, intitulé: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (et Notes). J. Ivory, Phil. Trans. A. 1831. P. 2. p. 349—818. On the Theory of the Elliptic Transcendents. J. Mac Curraen, Irish Trans. V. 16. A. 1831. p. 79—88. Geometrical Theorems on the Rectification of the Conic Sections. C. G. J. Jacorr, J. v. Cr. B. 7. A. 1831. S. 41—48. Note sur une uouvelle application de T'analyse des fonctions elliptiques à l'algòbre. Poisson, J. Ee. Pol. T. 13. Cah. 20. A. 1831. p. 222—248. — Á 63. C. G. J. Jacozr, J. v. Cr. B. 8. A. 1832. S, 413 —417. Nachricht von LeGENDRE’s 3°5 Supplement zur Théorie des fonctions elliptiques. E. F. A. Minpine, J. v. Cr. B. 9. A. 1832. S. 295, 296. Théorème relatif à une certaine fonction transcendante. F. J. Rrcnezor, J. v. Cr. Bd. 9. A. 1832. S. 407, 408. Note sur le théorème relatif à une certaine fonction transcendante, démontré dans N° 22 du présent volume. Sounke, J. v. Cr. Bd. 10. A. 1833. S. 23—40. Motus corporum coelestium in medio resistente. G. Lasri, J. v. Cr. B. 10. A. 1833. S, 167—194. Mémoire sur la résolution des éqaations algébriques dont les racines ont entre elles un rapport donné et sur lintégration des Ééquations différentielles linéaires dont les intégrales particulières peuvent s’exprimer les unes par les autres. R. Logarro, J. v. Cr. Bd. 10. A. 1833. S. 280—287. dz Vet Haat det radd) Porsson, J. v. Cr. B. 10. A. 1833. S. 342—847. Sur Yintégration de la différentielle 62 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. Rapport sur deux Mémoires de M. J. Laouvruue. Lrovviuze, J. v. Cr. B. 10. A. 1833. S. 347 —359. Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique, J. de Ec. Polyt. T. 14. 1. Cah. 22. A. 1833. p. 124—148, 149 —193. Ler (prés. 7 Déc. 1832) et 2d Mem. (prés. 4 Févr. 1833) sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique. C. Gürsrarr, J. v. Cr. Bd. 12. A. 1834. S. 173—177. Aequatio modularis pro transformatione functionum ellipticarum septimi ordinis. L. A. Sonnke, J. v. Cr. Bd. 12. A. 1834. S, 178—180. Aequationes modulares pro ‘transformatione functionum ellipticarum et undecimi et decimi tertij et decimi septimi ordinis. C. GUDERMANN, J. v. Cr, Bd. 12. A. 1834. S. 362—364. Lehrsätze zu beweisen und Anmerkungen zu dem Aufsatze N°. 15 im 12te Bande dieses Journals. Lrouvuze, J. Ec. Pol. T. 14, Cah. 23. A. 1884. p. 37—83. Mémoire sur les transcendantes elliptiques de première et de seconde espèce considérées comme fonctions de leur amplitude. C. G. J. Jacorr, J. v. Cr. B. 18. A. 1835. S. 353 —855. De usu theoriae integralium ellipticorum integralium et Abelianorum in analysi Diophantea. J. Tu. Sanzio, J. v. Cr. Bd. 14. A. 1835. S. 1—50. De functionum ellipticarum multiplicatione et transformatione, quae ad numerum parem _ pertinet, commentatio. C. GUDERMANN, J. v. Cr. Bd. 14. A. 1835. S. 169—181, 185—235. Integralia elliptica tertiae speciei reducendi methodus simplicior, quae simul ad ipso- rum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit. Sectio= num conico-sphaericarum quadratura et rectificatio. J. Lrovvmw, C. R. T. 3. A. 1836. p. 41—48. Mémoire sur un nouvel usage des fonctions elliptiques dans les problèmes de Mécani- que céleste. Tarsor, Not. British Assoc. V. 5. A. 1836. p. 1—4, Brief Account of some Researches in the Integral Calculus. - Phil. Trans. A. 1836. P. 1. p. 177—215. Researches in the Integral Calculus. Part I. E. E. Kvumer, J. v. Cr. Bd. 15. A. 1836. S. 127 —172. Ueber die hypergeometrische Reihe 1 + wid © d ed dn 1.7 1.2 y.rtl J. L, Raagr, J. v. Cr. Bd. 15. A. 1836. S. 191, 192. Bemerkungen zum Principe der doppelten Substitution bei den elliptischen hijs C. G. J.-Jacoz1, J. v. Cr. Bd. 15 A. 1836. S, 199—204. ©? + etc. False Send 69 710 11 72 73 74 15 16 11 18 79 80 81 82 83 84 85 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 65 Formulae novae in theoria transcendentium ellipticarum fundamentales. J. Licuvure, J. de L. T. 1. A. 1836. p. 445—458. Mémoire sur un nouvel usage des fonctions elliptiques dans les zeoblknis de mécani- que céleste. J. Ivory, Proceed. Phil. Trans. V. 3. A. 1830 —1837. p. 60. On the Theory of Elliptic Transcendents. H. F. Tarsor, Proceed. Phil. Trans. V. 3. A. 1830—1837. p. 380—381, 417. Researches on the Integral Calculus. RE Sig Phil, Tens. Ax: 19875 Perhrep. al =15, Researches in the Integral Calculus. Part II. GC. Rauus, Danske Afhandlingar (4° Raekke). B. 6, A. 1837. S. 249—264. Reduction af en Classe af Integraler, beslaegtede med de elliptiske. Danske Afhandlingar (4® Raekke). B. 6. A. 1837. S. 265 —307. = Á 76. C. GUDERMANN, J. v. Cr. Bd, 16. A. 1837. S. 78, 79. Einige Bemerkungen über elliptische Functionen. L. A. Sounke, J. v. Cr. Bd. 16. A. 1837. S. 97 —130. Aequationes modulares pro transformatione functionum ellipticarum. Î … fBd. 16. A. 1837. S. 366—372. eo ie ded tan 17. A. 1837, S, 382—886. Series novae, quarum ope integralia elliptica primae et secundae speciei computantur simul ea, quorum moduli sunt conjugati, R. A. LuvcarerHANDT, J. v. Cr. B. 17. A. 1837. S. 248—256. da De transformatione expressionis in formam simpli- k VIE) 98) 97) 9d) 7 d Û ur ciorem adhibita substitutione # — might dns . My/ (1—az) (lx? ar)] 1b'yb'y? G. Lisri, Mém. prés. Paris. T. 5. A. 1838. p. 1-75. — B 114. J. Laouvmre, Mém. prés. à l'Acad. Paris. T. 5. p. 76—102, 103—151. A. 1838. nd A 78. G. Lauf, Mém. prés. à l'Acad. Paris. T. 5. p. 174—214. A. 1838, — B 115, C. GUDERMANN, J. v. Cr, B. 18, A. 1838. S. 154, 142175, 220258, 303364. Theorie der Modular-Functionen und Modular-Integrale. Veruuvzst, Bull. Brux. T. 6. P. 1. A. 1839. p. 2. Sur les fonctions elliptiques. —_ Bull. Brux. T. 6. P. 2. A. 1839. p. 424—426. Note. V. Frauri, Atti Acad. Borbonica. T. 4. A. 1839, p. 13—20. Su la rettificazione dell’ ellisse e st jntegmali che ne dipendono. Memoria, estratta de Mss. del fu N. Freraora, 64 86 87 88 89 90 91 92 95 94 95 96 97 98 99 100 101 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. C. GUDeRMANN, J. v. Cr. B, 19. A. 1839. S. 45—83, 119—184, 244—285. Theorie der Modular-Functionen und Modular-Integrale. (Fortsetzung). G. Lamé, J. de L. T. 4. A. 1839. p. 100—125. Mémoire sur les axes des surfaces isothermes du second degré considérés comme des fonctions de la température. Veruvisr, Bull. Brux. T. 7. P. 1. A. 1840. p. 322—328. Traité des éléments des fonctions elliptiques (Rapport sur). J. Lrouvmuar, C. R. T. 10. A. 1840. p. 24. Mémoire sur les transcendantes elliptiques de première et seconde espèce considérées comme fonctions de leur module. Bnn, 6: 40e hi 20. A. 1840. S. 62—87, 108 — 167. B. 21. A. 1840. S. 240—292. Theorie der Modular-Functionen und Modular-Integrale. (Fortsetzung). HARDENKAMP, J. v. Cr. B. 20. A. 1840. S. 97—100. 5 ú À dpd De transformatione integralis Í | VST 0 Sins® 9 Coa* W) J. Lrouvuue, J. de L. T. 5. A. 1840. p. 34 —36. Note sur les transcendantes elliptiques de première et de seconde espèce, considérées „comme fonctions de leur module. J.de LT. 5. A. 1840. p. 441 —464. Mémoire sur les transcendantes elliptiques de première et de seconde espèce consi- dérées comme fonctions de leur module. N. H. Aser, Mém. prés. à Acad. Paris, T. 7. p. 176—264, A. 1841. Mémoire sur une propriété générale d'une classe très-étendue de fonctions transcendantes. HAEDENKAMP, J. v. Cr. B. 22. A. 1841. S. 184—192, Ueber Transformation vielfacher Integrale. B. Bronwin, C. Math. Journ. V. 2. A. 1841. p. 263—267. On certain integral transformation. G. J. Verpam, Instituut. A. 1842. blz. 57—?79, 136—168. Over de tafelen van elliptische bogen, berekend door den Hoogleeraar ScuMipt, als- mede over de herleiding van eenige voorname algemeene en bijzondere integraal formulen. tot elliptische functien. C. GUDERMANN, J. v. Cr. B. 23. A. 1842. S. 201—258. Theorie der Modular-Functionen und Modular-Integrale. (Fortsetzung). Rauus, J. v. Cr. B. 24. A. 1842. S. 69 —79. De integralibus differentialium algebraicorum. CrauseN, Astron. Nachr. B. 19. A. 1842. N. 442. S, 177-178. Schreiben. —- Astron. Nachr. B. 19. A. 1852. N. 442. S, 181—184, Beitrag zur Theorie der elliptischen Transcendenten. et nne 7 102 103 104 105 106 107 108 109 110 ET 112 113 114 15 116 117 118 119 120 SUPPLÍMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G, 65 J. A. Serner, C, R. T. 16. A. 1848. p. 914—917. Sur les fonctions elliptiques de première espèce. Herurre, C. R. T. 17. A. 1843. p. 82. Mémoire sur la division des fonctions Abéliennes ou ultra-elliptiques. —_— C.R. T. 17. A. 1843. p. 292—295. (Rapport sur) Mémoire etc. Lrsrr et Lrovvrre, C. R. T. 17. A. 1843. p. 295, 296. Discussion. Liovvnae, C. R. T. 17. A. 1843. p. 327 — 334. Sur la division des fonctions elliptiques. Lrerr et Laovvuxe, C. R T. 17. A. 1843. p. 354, 335, 431 —449, 546—555. Remarque et réponses. A. Cavcuy, C. R. T. 17. A. 1843. p. 640—651. Mémoire sur une certaine classe de fonctions transcendantes liées entre elles par un système de formules, qui fournissent comme cas particuliers les développements des facteurs elliptiques en série. C.R. T. 17. A. 1843. p. 825-—837. Sur la réduction des rapports de factorielles réeiproques aux fonctions elliptiques. Crasres, C. R. T. 17. A. 1843. p. 838—844. Propriétés générales des ares d'une section conique dont la différence est rectifiable. C. GUDERMANN, J. v. Cr. B. 25. A. 1843. S. 281—394. Theorie der Modalar-Funktionen und Modular-Integrale. (Fortsetzung u. Beschlusz). C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. Bd. 26. A. 1843. S. 93 —114. Zur Theorie der elliptischen Functionen. R. Horre, Gr. Arch. B. 3. A. 1843. S. 265—268. Veber einen Reihenausdruck für den Umfang der Ellipse. J. A. Senner, J. de L. T, 8. A. 1843. p. 145—154. Note sur les fonctions elliptiques de première espèce. W. Roperrs, J. de L. T. 8. A. 1843. p. 263, 264. Sur une représentation géométrique des fonctions elliptiques de première espèce. J. A. Senrer, J. d. L. T. 8. A. 1843. p. 4J5—501. Propriétés géométriques relatives à la théorie des fonctions elliptiques. J. Lrouvuar, J. de L. T. 8. A. 1843. p. 507—512. Sur la division du périmètre de la lemniscate, le diviseur étant un nombre entier réel ou complexe quelconque. B. Bronwin, L, EK. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 22. A. 1843. p. 258— 262. On M. sacopr’s Theory of Elliptic Functions. A. Cavrey, L., B. et D, Phil. Mag. 3d Ser. V. 22. A. 1843. p. 358—3860. Remark on B. BronwiN’s Paper on M. Jacosr's Theory of Elliptic Functions. B. Bronwin, L., B. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 23. A. 1843. p. 89—92. Reply to Mr. Cayrey’s Remark. 21 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE DEEL. X, 66 121 122 123 124 125 186 137 138 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. B. Bronwin, C. Math. Journ. V. 8. A. 1843. p. 123—133. On Elliptic Functions. C. Math. Journ. V. 3. A. 18483. p. 197 —200. Mathematical Notes — Elliptic Integrals.— Geometrical Problem. Curasres, C. R. T. 19. A. 1844. p. 1230 —1261. Construction géométrique des amplitudes dans les fonctions elliptiques. Propriétés nouvelles des sections coniques. Lrovvmuam, C. R. T. 19. A. 1844, p. 1261—1263. Remarques. G. Ersensrein, J. v. Cr. Bd. 27. A. 1844. S. 75—79. Théorème sur les formes cubiques, et solution d'une équation du quatrième degré àÀ quatre déterminées. ne - J. v. Cr. Bd. 27. A. 1844. S. 185 —191. Bemerkungen zu den elliptischen und Abelschen Transcendenten. ee TJ. v. Cr B. 27. A. 1844. 8. 193 —197. Transformation remarquable de quelques séries. ee J. v. Cr. B. 27. A. 1844, S, 285—288. Elementare Ableitung einer merkwürdigen Relation zwischen zwei ungleichen Pro- dukten. —_— J. v. Cr. Bd. 28. A. 1844, S, 36 —40. Transformations remarquables de quelques séries. W. Roserrs, J. de L. T. 9. A. 1844. p. 155—160. Sur une représentation géométrique des trois fonctions elliptiques. J. A. Serrer, J de L. T, 9. A. 1844. p. 160. Note à Yoccasion du Mémoire précédent. J. Boorn, L., E. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 25. A. 1844. p. 18—39. On the Rectification and Quadrature of the Spherical Ellipse. A. Cavrey, L., E. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 25. A. 1844, p. 552—354. Investigation of the Transformation of certain Elliptic Functions. A. Cavcny, C. R. T. 20. A. 1845. p. 481, 482, 552—554, 691—726. —= A 132. ? J. A. Sermer, C. R. T. 21. A. 1845. p. 147 —149. Mémoire sur la représentation géométrique des fonctions elliptiques et ultra-ellip- tiques. Eed A0 Re TBL Ke 1845 pl SLR Mémoire (Rapport sur). Lrovviire, C. R. T. 21. A. 1845. p. 1255— 1264. Note sur un Mémoire de M. Serrer relatif à la représentation des fonctions ellip- tiques. Hermits, Mém. Nancy. Acad. Stanislas. A, 1845. p. 201211. Principaux théorèmes de l'analyse des fonctions elliptiques. en ld 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 - 149 150 151 152 153 154 155 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. G. Ersenster, J. v. Cr. B. 29. A. 1835. S. 96. Theorema. W. Rogerrs, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 177 —193. 67 Application de la théorie des transcendantes elliptiques à la rectification d'une classe étendue de courbes planes. J. A. Serrer, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 257 —286. Mémoire sur la représentation géométrique des fonctions elliptiques et ultra-ellip- tiques. J. de L. T. 10. A. 1845. p. 286 —290. Addition au Mémoire précédent. J. Lrovvuae, J. de L. T. 10. A. 1945. p. 290—293. Rapport sur le Mémoire de M. Serrer. J. de L. T. 10. A. 1845. p. 293—296. Note. W. Roperrs, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 297—315. Mémoire sur quelques propriétés géométriques relatives aux fonctions elliptiques. J. A. Sekner, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 351—863. Développements sur une classe d’équations relatives À la représentation géométrique des fonctions elliptiques. A. Carrey, J. de L. T, 10. A. 1845. p. 385 — 420. Mémoire sur les fonctions doublement périodiques. J. A. Serrer, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 421 —429. Note sur les courbes elliptiques de la première espèce. C G.J. Jacorr, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 435. Sur Vapplication des transcendantes elliptiques à un problème connu de la géométrie élémentaire. Ersensrein, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 445 —450. Rewarques sur les transcendantes elliptiques et abéliennes. J. Louvre, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 456—465. Sur un Mémoire de M. Serrer, relatif à la représentation des fonctions elliptiques. B. Bronwis, L., B. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. 75—77. On Jacosr’s Elliptic Functions. A. Carrey, L, B, et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 26. A. 1845. p. l4l—145. On certain Results relating to Quaternions. —_—_—_ L, B. et D. Phil. Mag. 3d Ser V. 26. A. 1845, p. 208—211. On Jacogrs Elliptic Functions in reply to Rev. B. BrRONwiN and on Quater- nions. B. Bronwin, L., B, et D. Phil. Mag. 3d Ser. V. 27. A. 1845. p. 42— 46. Reduction of the four Forms of w in Jaconr’s General Transformation of an Elliptic Function to one Form only. Zie 68 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 "173 174 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. A. Cayrey, L, E. et D. Phil, Mag. 3d Ser. V. 27. A. 1845. p. 424427, = B 176. B. Bronwin, C. Math. Journ. V. 4. A. 1845. p. 233—237. On certain integral transformation. A. Carrey, C. Math. Journ. V. 4 A. 1845. p. 257 —271. On the inverse elliptic functions. R. Logarro, N. Verh. Ned.-Inst. Dl. 12. bl. 119—166. A. 1846. Mémoire sur les fonctions Hlliptiques de première et de seconde espèce. A. Cavcuy, C. R‚ T. 23. A. 1846. p. 321—333. — E 15. C. R. T. 23. A. 1846. p. 382—394. A 140. 0. R. T. 23. A. 1846. p. 689—702. — A 144. R. L. Eruis, Reports British Assoc. A. 1846. p. 34 —90. On the recent Progress of Analysis.— Theory of the comparison of Transcendentals. C. Ramus, Danske Afhandlingar (4° Raekke). B. 12. A. 1846. S, 95 —110. Om nogle Curvens Rectification ved elliptiske functioner. G. Ersenstein, J. v. Cr. Bd. 30. A. 1846. S, 185—210. Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. 1 Ableitung des biquadratischen Fundamentaltheorems aus der Theorie der Luem- niscatenfunction nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformations- Formeln. —__—__ J. v. Cr. Bd. 30. A. 1846. S, 211 —214. Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. IL Neuer Beweis der Summationsformeln. C. G. J. Jacopr, J. v. Cr. Bd. 30. A. 1846. S. 269, 270. Ueber einige die elliptischen Functionen betreffenden Formeln. G. Ersenstein, J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846. S. 59—70. Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. III FPernere Bemerkungen zu den Transformationsformeln. C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846. S. 176 —181. Extrait d'une lettre adressée à M. Herurre. F. Rreueror, J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846. S. 219. Beweis eines Satzes über elliptische Functionen. J. de L. T. 11. A. 1846. p. 25—40. Application des transcendantes elliptiques aux polygones sphériques, qui sont inscrits à un petit cercle de la sphêre et circonscrits à un autre petit cercle, simultanément. J. A. Serrer, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 86-—95. Théorie géométrique de la lemniscate et des courbes elliptiques de la première classe. C. G. J. Jacopr, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 97—103. Extrait d'une lettre à M. Herurre. W. Roserrs, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 157—173. — B 197. ij „+ met A 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 69 W. Rosrers, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 343, 344. =— B 199. B. Bronwin, L., E. et D. Phil. Mag. 3d Ser. V, 28. A. 1846. p. 20—24. Equations for the Determination of the Motion of a disturbed Planet by Means of Mr. HanseN’s altered Time. Note. A. Cavzey, C. et D. Math. Journ. V. 1. A. 1846. p. 70—783. du vu J. A. Serrer, C. et D. Math. Journ. V. 1. A. 1846. p. 187—195. Sur la représentation géométrique des fonctions elliptiques de première espèce. W. Rogerrs, Proceed. Irish R.S. V. 3. A. 1847. p. 77—80. On some Geometrical Theorems relative to Elliptic Functions. Mac Curran, Proceed. Irish R.S. V. 3. A. 1847. p. 371—372. On the Rotation of a Solid Body. C. J. MarmsreN, Stockholm Handlingar. A. 1847. S. 71—80. Bidrag till theorien om elliptiske functioner. ee Oversigt Stockholm Förhandl. A. 1847. S. 295, 296. Om elliptiska functioners utveckling i continuerliga bräk. F. Rrcueror, J. v. Cr. Bd. 34. A. 1847. S. 1—29. Ueber die Substitutionen von der ersten Ordnung und die Umformung der ellipti- schen Integrale in die Normalform. G. Ersenstern, J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S, 137—146. Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. IV. Ueber einen allgemeinen Satz, welcher das Additionstheorem für elliptische Functionen als speziellen Fall enthält. e Jd. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S, 147 —152. Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. V. Veber die Differentialgleichungen, weichen der Zähler und der Nenner bei den elliptischen Transformationsformeln genügen. — J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S. 153 —184., Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. VL Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die ellip- tischen Functionen als Quotienten zusammengesetzt sind, und der mit ihnen On the reduction of ‚ when U is a function of the fourth order. zusammenhangenden Doppelreihen. J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S. 185—274, Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen. VII. Fortsetzung der vorigen Abhandlung. J. Dieneer, Gr. Arch. B. 9. A. 1847. S. 438—448. Veber die Rectification und Quadratur der Toroide. W. Rogerrs, J. de L. T. 12. A. 1847. p. 435—448. Note sur la rectification de quelques courbes. 70 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 190 W. Roperrs, J. de L. T. 12. A. 1847. p. 479, 480. Extrait d'une lettre à M. Serrer. 191 J. A, Serrer, J. de L. T. 12. A. 1847, p. 480 — 482. Note au sujet de cette lettre. 192 A. Cavrey, C. et D. Math. Journ. V. 2. A. 1847. p. 256 —266. On the Theory of elliptic functions. 193 B. BronwinN, Mathemat. V. 2. A. 1847. p. 297—302. On certain definite integrals expressible by means of elliptic functions. 194 J. Prana, J. v. Cr. Bd. 36. A. 1848. S. 1—74. Tde Nouvelles formules pour réduire lintégrale V == àÀ la forme trigonométrique v X des transcendantes elliptiques: les polynomes T et X ayant cette forme: hets s 0 H+ 1 -Alenkij t 2 T=GHG'24-G PTH KEK Ne IE KV De ‚X=et +ha? HA +Bz + D. 195 C. G.J. Jacosr, J. v. Cr. Bd. 36. A. 1848. S. 75—80. Veber die unmitteibare Verification einer Fundamentalformel der Theorie der dist schen Functionen. 196 —___—__—__———_—- J. v. Cr. Bd. 36. A. 1848. S. 81—88. Veber die partielle Differentialgleichung welcher die Zähler und Nenner der ellipti- schen Functionen Genüge leisten. 197 —__—__—_————— JF. v. Cr Bd. 36. A. 1848. S. 97 —112. Ueber die Differentialgleichung, welcher die Reihen 14 2q +27* + 2g° + etc, Ui gE ge +2 25 H etc. Genüge leisten. 198 A. Carrey, J. v. Cr. Bd. 37. A. 1848. S. 58 —60. Note sur les fonctions elliptiques. 199 C. O. Meyer, J. v. Cr. Bd. 37. A. 1848. S. 273—304, Entwicklung der elliptischen Function 2K 2K 2K T gK AFram— r. Cos.ds am —«. Sin. tam — @. | A? am —e. da TT Tt Tt TE 0 nach den Sinus und Cosinus der Vielfachen von z. 200 J. Dieneer, Gr. Arch. B. 11. A. 1848. S. 94-—96. Sin" p dp 1 —k Sin. ©) y/ (1 — hk? Sin.* o) 0 P Zurückführung des Integrals | auf elliptischen Funk- tionen. 201 —- Gr. Arch. Bd. 11. A. 1848. S. 395—418. Theorie der Modular- (elliptischen) Funktionen. 202 A. Cavrry, C. et D. Math. Journ. V. 3. A. 1848. p. 50, 51. On the Theory of Elliptic Functions. a” Ao nh 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 218 214 215 216 217 218 219 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 71 C. Herurre, C. et D. Math. Journ. V. 3. A. 1848. p. 54—56. Note sur la théorie des fonctions elliptiques. A. Cavyrey, C. et D. Math. Journ. V. 3. A. 1848. p. 286, 287. On integral transformation. Jacosr, C. R. T. 29. A. 1849 p. 97 —103. Rotation d'un corps. Dureyrovs, Mém. Dyon. A. 1849. p. 11—80. Premier Mémoire sur les fonctions elliptiques. E. W. Greze, Gr. Arch. B. 12. A 1849. S. 188—192. Geometrische Beweise zweier bekannten Sätze über die elliptischen Functionen der ersten Art. J. Drieneer, Gr. Arch. B. 13. A. 1849. S 1—35. Theorie der Modalar- (elliptischen) Funktionen,—Fortsetzung. 8 Gr. Arch. B. 13. A. 1849. S. 424—433. — B 265. C. G. J. Jacozi, J. de L. T. 14. A. 1849. p. 181 —200. Mémoire sur l'équation différentielle à laquelle satisfont les séries 14 2qg +29" +29 H.…. et 2 q HUE q +2 B. traduit par M. Puiseus. C. J. Marusren, C. et D. Math. Journ. V. 4. A. 1849. p. 286. Comparison of Expressions for circular and elliptic Functions in Continued Frac- tions. E. Brassine, Mém. Toulouse. 38° Série. T. 6. A. 1850. p. 252 —254. Sur les transformations ‘modulaires de LAGRANGE. J. Boorn, Proceed. London. V. 5. A. 1843—1850. p. 797 —800. On the Application of the Theory of Elliptic Fanctions to the Rotation of a Rigid Body round a Fixed Point. F. Peene, Haidinger's Abhandl. B. 4. A. 1850. S. 19 —125. Integration der elliptischen Functionen in geschlossener Form. Haidinger’s Berichte. B. 7. A. 1850. S. 25—27. Lösung der elliptischen Integrale in geschlossener Forin. A. Cayrey, J. v. Cr. Bd. 39. A. 1850. S. 16—22. Note sur quelques formules qui se rapportent à la multiplication des fonctions elliptiques. C. J. Marusren, J. v. Cr. Bd. 39. A. 1850. S. 116 —121. ‚Note sur les fonctions elliptiques. Heine, J. v. Cr. Bd. 39. A. 1850. S. 122—137. Abriss einer Theorie der elliptischen Functionen. L. Scrärmi, Gr. Arch. B. 14. A. 1850. S. 395—450. Ueber die Begründung der Theorie der elliptischen Functionen durch die Betrachtung unendlicher Doppelproducte. 72 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. W. Rosrers, J. de L T. 15. A. 1850. p. 209 — 214. Sur quelques applications géométriques du calcul intégral. A. Carrey, C. et D. Math. Journ. V. 5. A. 1850. p. 201—204. Note on elliptie functions. A. Carrey, C. et D. Math. Journ. V. 5. A. 1850. p. 204—206. On the Transformation of an elliptic integral. A. Meyer, Mém. Liège T. 7, A. 1851. p. 1—510. — À 190. A. Cavcur, C. R. T. 32. A. 1851. p. 267 — 276, 354—357. — E 20. Hermrrn, C. R. T. 32. A. 1851. p. 443-450. — A 196. Lrovvire et Cavcony, C. R. T. 82. A. 1851. p. 450—454. — A 197. J. A. Serrer, Mém. prés. à Acad. Paris. T. 11. p. 1038—160, A. 1851. Mémoire sur la représentation géométrique de fonctions elliptiques et ultra-elliptiques. G. RosennarN, Mém. prés. à Acad. Paris. T, 11. p 361—468. A. 1851. Mémoire sur les fonctions de deux variables et à quatre périodes, qui sont les in- verses des intégrales "ultra-elliptiques de la première classe. Somorr, Bull. phys. math. Pétersbourg. T. 9. A./1851. p. 97—100. Sur la rectification graphique de lellipse. A. Carrey, J. v. Cr. Bd. 41. A. 1851. S. 57 —65. Note sur l'addition des fonctions elliptiques. J. v. Cr. Bd. 4l. A. 1851 S 85—92. Note sur quelques formules, qui se rapportent À la multiplication des fonctions elliptiques. GUDERMANN, J. v. Cr. Bd. 4l. A. 1851. S. 93—186. Entwickelung der Modular-Integrale oder der elliptischen Transcendenten aller Arten, nach Potenzen des Moduls, nach Funectionen der Amplitude und nach neuen Functionen des Parameters; sammt einer Theorie dieser neuen Functionen. U. H. Meyer, Gr. Arch. B. 16. A. 1851. S. 365—408. Sur les fonctions elliptiques. —___—__—_______ Gr. Arch. B. 17. A. 1851. S. 85—120. Conséquences tirées des formules relatives à la transformation du module. J. A. Grunerr, Gr. Arch. B. 17. A. 1851. S. 313—328. Ueber die Quadratur elliptischer Sectoren. U. H. Meyer, Gr. Arch. B. 17. A. 1851. S. 426 —454. Sur les intégrales des fonctions circulaires du second ordre. J. Boorn, Phil. Trans. A. 1852. P. 2. p. 311—416. Researches on the Geometrical Properties of Elliptic Integrals. J. Somorr, Bull. phys. math. Pétersbourg. T. 10. A 1852. p. 65—72. Démonstration de quelques formules elliptiques de C. G. J. JacopI. Rrcneror. J. v. Cr. Bd. 44. A. 1852. S. 277—294. Einige Bemerkungen zum Eurew’schen Additionstheorem der elliptischen Integrale, J. A. Grunerr, Gr. Arch. B. 18. A. 1852. S. 241 —305. Erweiterungen der Integralrechnung. 241 242 243 244 245 246 241 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 73 N. W. Scuurze, Gr. Arch. B. 19. A. 1852. S. 181—196. Entwickelungen elliptischer Integrale in Reihen und der darauf gegrundeten Vere gleichungen derselben. O. Scnrömrren, Ber. Sächs. Gesellsch. B. 5. A. 1853. S. 25—27. Veber ein neues Verfahren zur Entwickelung der elliptischen Functionen. Rricueror, J. v. Cr. Bd. 45. A. 1858. S. 225—232. Darstellung einer beliebigen gegebenen Grösse durch Sin, am (a + w‚k). R. KrusemarckK, J. v. Cr. Bd. 46. A. 1853. S. 189—233. Zur Theorie der elliptischen Functionen. J. A. Grunerr, Gr. Arch. B. 20. A. 1853. S. 207—237. Ueber die Quadratur elliptischer Sectoren. Essen, Gr. Arch. B. 21. A. 1853. S. 241 —248. Ergänzung des ersten Jacorrschen Theorems von den elliptischen Functionen der ersten Art. — P. Burrer, Gr. Arch. B. 21. A. 1853. S. 342—845. Verschiedene Bemerkungen. Essen, Gr. Arch. B. 21. A. 1853. S. 418—422. Ergänzung des zweiten Jacorrschen Theorems über die elliptischen Functionen. — Fortsetzung einer früher veröffentlichten Ergänzung des ersten Theorems. J. Boorn, C. & D. Math. Journ. V. 8. A. 1853. p. 65—79. On the Trigonometry of the Parabola. F. W. NeEwMaANN, C. & D. Math. Journ. V. 8. A. 1853. p. 190—227. On the third elliptic integral. Gexrnocur, Bull. Brux. T. 21. P. 1. A. 1854. p. 64—95. — A 207. J. Boora, Proceed. London. V. 6. A. 1850—1854. p. 143—145. Researches on the geometrical Properties of Elliptic Integrals. Phil. Trans. A. 1854. P. 1. p. 53—70. Researches on the Geometrical Properties of Elliptic Integrals. Heine, Ber. Berlin. A. 1854. S. 564—572. — B 299. N. Trupr, Mem. Acc. Borbonica. T. 1, A. 1852— 1854, p. 63—100. Rappresentazione geometrica immediata dell’ equazione fondamentale nella teorica delle funzioni ellittiche, con diverse applicazioni. P. Tereyeuev, Bull. phys. math. Pétersbourg. T. 12. A. 1854. p. 315, 316. Sur Vintégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré. Souorr, J. v. Cr. B. 47. A. 1854, S. 269—288. Méthode du calcul des fonctions elliptiques de troisième espèce. H. HorrmanN, J. v. Cr. B. 48. A. 1854. S. 332—347. Multiplications-Formeln für die elliptischen Functionen mit complexen Vielfachen des Arguments, und dem Modal p/ 4. 22 NATUURK. VERH, DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X, 74 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 2170 271 272 278 274, 215 276 271 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÚFINIES. G. J. Dienerr, Gr. Arch. B. 22. A. 1854. S. 362, 368. E Berichtigung der Berichtigung im Archiv, Th. 21. S, 344. STREHLKE, Gr. Arch. B. 22. A. 1854. S. 444 —447. Bemerkungen über die Rectification der Ellipse. Essen, Gr. Arch. B. 22. A. 1854. S. 474, Schreiben an den Herausgeber. U. H. Meyer, Gr. Arch. B. 22. A. 1854. S. 474 —478. Schreiben an den Herausgeber. C. F. LiNDMANN, Gr. Arch. 23. A, 1854. S. 445 --448, Adnotationes quaedam de variis locis hujus Archivi. Boorn, L, E‚ & D, Phil. Mag. 4'b Ser. V. 7. A. 1854. p. 213—215. On a Particular Case of Elliptic Integrals whose Parameter are imaginary. Ta. Weppre, C. & D. Math. Journ. V. 9. A. 1854. p. 79, 80. Ona new and simple rule for approximating to the area of a figure by means of seven equidistant ordinates. A. Cayrey, C. & D. Math. Journ. V. 9. A. 1854. p. 163—165. On a Theorem of M. Lreseune Drrrcurer’s. Cu. Heruire, C. R. T, 40. A. 1855. p. 249—254, 304—309, 365—369, 427 —431, 485—489, 536—54I, 704—707, 184787. Sur la théorie de la transformation des fonctions abéliennes. Brior et Bougqver, U. R. T. 4l. A. 1855. p. 1229—1232, Mémoire sur l'intégration des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques. O0. Scrrömmrcr, Abh. Sächs. Gesellsch. B. 2. A. 1855. S. 395 —470. Veber einige allgemeine Reihenentwickelungen und deren Anwendung auf die ellip- schen Functionen. Ricneror, J. v. Cr. B. 50. A. 1855. S. 4l—51. f Veber eine merkwürdige Formel in der Theorie der elliptischen Transcendenten, und eine Ableitung des Fundamentaltheorems. C. Lorrrer, J. v. Cr. B. 50, A. 1855. S. 111 —125. Reduction der Bewegung eines schweren, um einen festen Punct rotirenden Revolu- tionskörpers, auf die elliptischen Transcendenten. C. G. J. Jacosr, Astr. Nachr. B. 41, A. 1855. N. 974. S. 209—226. Nouvelles formules de géodésie, communiquées par M. le Prof, Lurner. Sruru, C. R. T. 42. A. 1856. p. 988—990, Note sur les fonctions elliptiques. J. Liovvmre, C.-R. T. 42. A. 1856. p. 1084—1088. Sur la théorie générale des équations différentielles. C. Werersrrass, J. v. Cr. B. 52. A. 1856. S. 285 —380. Theorie der Agrr'schen Functionen. J. Lrouvue, J. d. L. 2e Sér. T. 1. A. 1856, p. 9238. = 6 102. 279 280 281 282 283 284 285 286 287 ‚ 288 289 291 292 293 294 295 296 297 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. 15 Sturm, J. de L. 2e Sér. T. 1. A. 1856. p. 231—2383. Sur les fonctions elliptiques. J. Lrovvuxr, J. de L. 2e Sér. T, 1, A. 1856. p. 289—294. — C 103. Brror et Bougver, Journ. de Ec. Pol. T. 21. 1. Cah. 36. A. 1856. p. 199—254. Mémoire sur l'intégration des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques. O. Senrömirea, Schlömilch’s Zeitschr. B. |l. A. 1856. S. 21—28. — B 331. Schlömilchs Zeitschr. B. 1, A. 1856. S. 372—874. Veber das Additions-Theorem für elliptische Integrale erster Gattung. C. G. J. Jacosr, Astr. Nachr. B. 42, A. 1856. N. 1006. S. 337—352, N. 1007: S. 353—358. Ableitung der iu seinem Aufsatze: Solution nouvelle d'un problème de géodésie fondamentale, enthaltenen Formeln: mitgeth. von B. Luruer. Laué, C. R. T. 44. A. 1857. p. 953, 954. Note. Kronecker, Ber. Berlin. A. 1857. S 455 —450. Ueber elliptische Fuuctionen, für welche complexe Multiplication Statt findet. P. Tenesyvcnev, Mém. St. Pétersb. 6e Série. V. 8. L. A. 1857. p. 203 —233. Sur lintégration des différentielles, qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du troisième ou quatrième degré. ee E. Herre, J. v. Cr. B. 53. A. 1857. S. 199 —230. Die Reduction der elliptischen Integrale in ihre kanonische Form. C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. B. 53. A. 1857. S. 335 —841. (Des manuscrits inédits de) par E. Lururr. Solution nouvelle d'un problème fondamental de Géodésie. E. Lurnemr, J. v. Cr. B. 58. A. 1857. S. 342—365. C. G. J. Jacosrs Ableitung der in seinem Aufsätze: Solution nouvelle d'un problème fondamental de Géodésie, enthaltenen Formeln. e ScrerLBacH, J. v. Cr. B. 54. A. 1857. S. 59 -—67. Mathematische Miscellen. X. Zur Theorie des Additionstheorems der elliptischen Integrale. GC. G. J. Jacorr, J. v. Cr. B. 54. A. 1857. S. 82—97, (Aus den hinterlassenen Papieren von) mitgetheilt durch C. W. BorcHaupr. Darstellung der elliptischen Functionen durch Potenzreihen. O. Scrrömireon, J. de Ls. 2° Série. T. 2. A. 1857. p. 49 —46. —= B 339. Schlömilchs Zeitschr. B. 2. A. 1857. S. 49—56. — B 344. A. ed Schlömilchs Zeitschr. B. 2. A. 1857. S. 414—420. — B 347. Terezicnere, Journ. de Liouv. 2e Série. T, 2. A. 1857. p. 1—42. Sur Pintégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré. Hermire, C. R. T. 46. A. 1858. p. 171 _—175, Sur quelques formules relatives à la transformation des fonctions elliptiques. 22 76 298 299 300 301 302 303 304 805 806 307 808 309 310 311 312 313 314 315 816 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. Heruire, C. R. T, 46. A. 1858. p. 508 —515. Sur la résolution de l'équation du cinquième degré. —_—__— C.R T. 46. A. 1858. p. 715 —7122. Sur la résolution de l'équation du cinquième degré. C.R. T. 46 A. 1858. p. 961—967. Sur quelques théorèmgs d’'Algèbre et la résolution de Péquation de quatrième degré. L. Kroneoker, C. R. T, 46. A. 1858. p. 1150—1152. Sur la résolution de l'équation du cinquième degré. Fr. Brioscur, C. R. T. 47. A. 1858. p. 337—341. Sur diverses Équations modulaires dans la théorie des fonctions elliptiques. C. J. D. Hir, Nova Acta Upsal. Ser. 33. T. 2. 2. A. 1858. p. 391 —405. Analysis aequationum aliquot functionalium quae partim in theoria ellipticarum, partimque logarithmicarum magni sunt usus. A. Carrey, J. v. Cr. B. 55. A. 1858.-S. 15—24. Sur quelques formules pour la transformation des intégrales elliptiques. C. Kurrrr, J. v. Cr. B. 55. A. 1858. S; 89 —98, Démonstration géométrique de cette proposition, que toute fonction elliptique de première espèce peut être remplacée par deux fonctions elliptiques de seconde espèce. Développement d'une formule relative à la rectification de l’hyperbole. Herurre, J. de L. 2e Série, T. 3. A. 1858. p. 26—36. Sur quelques formules relatives à la transformation des fonctions elliptiques. Scnröper, J. de L. 2° Série. T. 3. A. 1858. p. 258 —264. Lettre. Kronrcker, J. de L. 2e Série. T. 3. A. 1858. p. 265—2710. Sur les fonctions elliptiques et sur la théorie des nombres. V. A. LeBesever, J. de L. 2e Série. T. 5. A. 1858. p. 391—394. Note sur la résolution de \'équation du quatrième degré par les fonctions elliptiques. A. Cavrey, L, B. & D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 15. A. 1858. p. 363—365, On the Cubic Transformation of an Elliptic Function. C. W. MerririeLp, L., E‚ & D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 16. A. 1858, p. 198—209. On the Geometry of the Flliptic Equation. F. W. Newman, Proceed. Phil. Trans. London. V. 9. A. 1857, 1858. p. 704—708. The higher Theory of elliptic Integrals, treated from Jacopr's Functions as its Basis, Le P. Jousert, C. R. T. 48. A. 1859. p. 290—295. Note sur la résolution de Y'équation du cinquième degré. Herurre, C. R. T. 48. A. 1859. p. 940—948, 1079—1085, 1095—1102, Sur la théorie des Équations modulaires. —_—_ C.R. T, 49. A. 1859. p. 16—24, 110-118, 14l—144, Sur la théorie des équations modulaires. Rreneror, C, R. T, 49. A. 1859. p. 641 —645. 317 318 319 320 321 322 323 324 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G er H. 71 Sur la théorie des fonctions elliptiques et sur les équations différentielles du calcul des variations. Cu. W. MernrrieLp, Phil. Trans. V. 149. 1. A. 1859. p. 171—177. On the Comparison of Hyperbolic Arcs. ScuersNer, Ber. Sächs. B. 11. A. 1859. S, 159—161. Ueber zwei auf die Theorie der elliptischen Functionen bezügliche Sätze. G. Bervavrris, Atti Adun. Istit. Veneto. Ser, 32. T, 4. A. 1858, 1859. p. 1001—1003: Sol „System elliptischer Bogen berechnet von T. G, Somuipr. Berlin. 1842.” E. Herne, J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S. 79 —86. Auszug eines Schreibens über die LAmf-schen Functionen an den Herausgeber. J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S. 87—99. Einige Eigenschaften der Lamf-schen Functionen. O. Rörmie, J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S. 197—205. Ueber einige Gattungen elliptischer Integrale. C. O. Mever, J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S. 314—825. Ueber rationale Verbindungen der elliptischen Transcendenten. , G. F. W. Barur, Gr. Arch. B. 33. A. 1859. S. 354—368. Sur la transformation des fonctions elliptiqnes de première espèce. H. FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES. (ABÉLIENNES, ETC). 1 N.H. Aser, J. v. Cr. B. 1. A. 1826. S. 185—221. d. Ueber die Integration der Differentialformel of ‚wenn e und R ganze Functionen sind. JJ. v. Cr. Bd. 3. A. 1828. S. 313—323. Remarques sur quelques propriétés générales d'une certaine sorte de fonctions trans- cendantes. C. G. J. Jacosr, Astr. Nachr. B. 6. A. 1828, N. 123. S. 33—38. —= G 27. ee J. v. Cr. B. 9, A. 1832, S. 99. De Theoremate Abeliano observatio. J. v. Cr. Bd. 9. A. 1832. S. 394—408. Considerationes generales de transcendentibus Abelianis. G. Liri, J. v. Cr. B. 10. A. 1833. S. 167—194. — @ 51. F. Minpine, J. v. Cr. Bd. 10. A. 1838, S. 195—199. du Pp Ct Sur les intégrales de la forme „p et P étant deux polynômes entiers. 78 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 21 28 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES, H. R. Logarro, J. v. Cr. B. 10. A. 1833. S, 280—287. — G 52. F. Mrinpine, J. v. Cr. B. 10. A. 1833. S, 292. Addition à l'Artiele 12 précédent. Porsson, J. v. Cr, B. 10. A. 1833. S. 842—8347, — G 53. Lrouviure, J. v. Cr. B. 10. A. 1833. S. 347—359. — 54. — J. de Ec. Polyt. T. 14. 1. Cah. 22. A. 1833. p. 124—148, 149 — 193. = @ 55. Hur, J. v. Cr. B. Il. A. 1834. S. 198—197. Exemplum usus functionum iteratarum in theoria functionum integraliter transcenden- tium. Minpine, J. v. Cr. B. 11. A. 1834, S. 373—388. Recherches sur la sommation d'un certain nombre de fonctions transcendantes, dont les dérivées sont déterminées par des Équations algébriques du troisième degré. Porsson, J. v. Cr. B. 12. A. 1834. S, 89—104. Théorèmes relatifs aux intégrales des fonctions algébriques. F. J. Rreneror, J. v. Cr. Bd. 12.-A. 1834. S. 181—233. De integralibus Abelianis primi ordinis commentatio prima. C. G. J. Jacopr, J. v. Cr. Bd. 18. A. 1835. S. 55—78. De functionibus daorum variabilium quadruplieiter periodicis, quibus theoria trans- cendentium Abelianarum innititur. J. Lrouvire, J v. Cr. B. 13. A. 1835. S. 93 —118. Mémoire sur jet d'une classe de fonctions transcendantes, J C, G. J: Jacosr, J. v. Cr. B. 18. A. 1885. S. 358—855. — 6 60. J. W. Lusgocx, L. ë E. Phil. Mag. 3d Ser. V. 6. A. 1835. p. 116—125. On some elementary Application of Agzer's Theorem. F. Ricueror, C. R. T. 2. A. 1836. p. 622 —627. Essai sur une méthode générale pour déterminer la valeur des intégrales ultra-ellip- tiques, fondée sur des transformations remarquables de ces transcendantes. H. F. Tarsor, Phil. Trans. A. 1836. P. 1. p. 177—215. = G 65. C G. J. Jacosr, J. v. Cr. B. 15. A. 1836. S. 199—204. — G 68. F J Rreueror, Astr. Nachr. B. 13. A. 1836. N. 311. S. 361-—366. Ueber die auf wiederholten Transformationen beruhende Berechnung der ultraselliptischen Functionen. —_________ J. v. Cr. Bd. 16. A. 1837, S, 221—284, 285—84l. De transformatione integralium Abelianorum ptit ordinis commentatio. J. Lrovvmre, J de L. T. 2. A. 1837. p. 56 — 108. Mémoire sur la classification des transcendantes et sur impossibilité d'exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. G: Lisrr, Mém. prés. Paris. T. 5. A. 1838. p. 1—75. — B 114, J. Lrouvrrr, Mém. prés. Paris, T. 5. A. 1838. p. 76—102, 1038151. = À 78, 29 30 31 32 33 34, 35 36 37 38 39 40 det SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. H. 79 J. Lrovvrue, J. de L. T. 3. A. 1888, p. 523—546. Suite du Mémoire sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilité d’expri- mer les racines de certaines Équations en fonction finie explicite des coefficients. JürcenseN, J. v. Cr. B. 19. A. 1839. S. 113—116. Sur la sommation des transcendantes à différentielles algébriques. C. G. J. Jacopi, J. v. Cr. B. 19. A. 1839. S. 309—313. Note von der geodätischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiedenen Anwen- dungen einer merkwürdigen analytischen Substitution. E. C. Cararan, J. de L, T, 4. A. 1839. p. 323 —344. Sur la réduction d'une classe d'intégrales multiples. Mém. Cour. Brux. T. 14. P. 2. A. 1839, 1840. p 1—49. Mémoire couronné sur les transformations des variables dans les intégrales multiples. O. J. Brocu, J. v. Cr. B. 20. A. 1840. S. 178 —188. Sur quelques propriétés d'une certaine classe de fonctions transcendantes. N. H. Aser, Mém. prés. à Acad. Paris. T. 7. p. 176—264. A. 1841. —= G 94. Brocu, C. R. T. 12. A. 1841. p. 847 —850. (Rapport sur) Mémoire relatif à une certaine classe d'intégrales définies. HAEDENKAMP, J. v. Cr. B. 22. A. 1841. S. 184—192. — 6 95. Jacozi, J. de L. T. 6. A. 1841. p. 267 —272. De la ligne géodésique sur un ellipsoïde et des différents usages d'une transformation analytique remarquable. Cum. JüRGENSEN, J. v. Cr. Bd. 23. A. 1842. S. 126 —141. Remarques générales sur les transcendantes à différentielles algébriques. O. J. Brocu, J. v. Cr. B. 28. A. 1842. S. 145 —195, 201 —242. Mémoire sur les fonctions de la forme | oee (a?) (R(2P)) Fro de. F. Manpine, J. v. Cr. Bd. 23. A. 1842. S. 255 — 274. Propositiones quaedam de integralibus functionum algebraicarum unius variabilis, e principiis Abelianis derivatae. Rricneror, J. v. Cr. B. 33. A. 1842. S. 354—8369. Veber die Integration eines merkwürdigen Systems Differentialgleichungen. C. G. J. Jacogr, J. v. Cr. Bd. 24. A. 1842. S. 28—35. Demonstratio nova theorematis Abeliani. Rauus, J. v. Cr. B. 24. A, 1842. S, 69—79. == @ 99. Heruere, C. R. T. 17. A. 1843. p. 82. — @ 103. C.R. T. 17. A. 1848. p. 292295. — G 104. Laovvure, C. R. T, 17. A. 1848. p. 327—334. — 6 106. Lasrr et Lrouvnar, C. R‚, T. 17. A. 1843. p. 334, 335, 431—449, 546—555, == @ 107. A. Cavcuy, C. R. T, 17. A. 1843. p. 640-651. —= 6 108. 80 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 69 10 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. H, Rroneror, J. v. Cr. B. 25, A. 1843. S. 97 —118. Einige neue Integralgleichungen des JAcogpischen Systems Differentialgleichungen. HAEDENKAMP, J. v. Cr. Bd. 25. A. 1843. S. 178—183. UVeber Abelsche Integrale. J. Lrovvurs, À. de L. T. 8. A. 1843. p. 502—505. Rapport fait à l'Académie des Sciences de l'Institut au nom d'une Commission de M.M. Lamé et Lrouvrure, sur un Mémoire de M. Herurre, relatif à la division des fonctions abéliennes ou ultra-clliptiques. C. G. J. Jacopr, J. de L. T, 3. A. 1848. p. 505, 506. Lettre à M. Herurre. Hermie, C. R. T. 18. A. 1844. p. 1138—1148. Sur la théorie des transcendantes aux différentielles algébriques. C. G. J. Jacosr, Bull. Physic. Mathém. Pétersbourg. T. 2. A. 1844, p. 96. Note sur les fonctions abéliennes. G. Eisenstein, J. v. Cr. B. 27. A. 1844. S. 185 —191. — @ 126. D. G. Rosenaarn, J. v. Cr. Bd. 28. A. 1844. S, 249—278, Exercitationes analyticae in theorema Abelianum de integralibus functionum algebrai- carum. E Hermrre, J. de L. T. 9. A. 1844. p. 353—368, Sur la théorie des transcendantes à différentielles algébriques. J. A. Semrer, C. R. T., 21. A. 1845. p. 147—149, — 6 135. ee C. R. T. 21. A. 1845. p. 281—284. — G 136. D. G. Rosennarn, J. v. Cr. B. 29. A. 1845. S. 1—18. Exercitationes analyticae in theorema Abelianum de integralibus functionum algebrai- carum (Continuatio). F, J. Rroreror, J. v. Cr. Bd. 29. A. 1845. S. 281—332. Nova theoremata de functionum Abelianoram cujusque ordinis valoribus, quibus pro complementis argumentorum atque indicum dimidiis induuntur. J. A. Srrrer, J. de L. T. 10. A. 1845. p. 257—286, — 6 141. — J.de L. T. 10. A. 1845. p. 286-290. —= 6 142. Eisenstein, J. de L. T. 10, A. 1845. p. 445 —450. Remarques sur les transcendantes elliptiques et abéliennes. ZOT, J. de L. T. 10 A. 1845. p. 290-—293. == @ 143. — J.de L. T. 10. A. 1845. p. 456—465. — G 151. À. TO C.R. T. 23. A. 1846. p. 485—487, 529—587. Mémoire sur la détermination complète des variables propres à vérifier un système d'équations différentielles. R. L. Erzss, Report British Assoc. A. 1846. p. 34—90. — @ 163. C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. Bd. 30. A. 1846. S. 121 —126. Veber die Additionstheoreme der Abelschen Integrale zweiter und dritter Gattung. 11 72 73 74 75 16 11 78 79 „80 81 82 83 84 85 86 87 88 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. H. 81 C. G. J. Jacopr, J. v. Cr. Bd. 30. A. 1846. S, 183, 184. Note sur les fonctions Abéliennes, lue le 29 Mai 1843. J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846. S. 176—181. —= G 169. J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846. S. 185—196. Ueber die Vertäuschung von Parameter und Argument bei der dritten Gattung der Abelschen und höheren Transcendenten. J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846. S. 220—226. Ueber eine neue Methode zur Integration der hyperelliptischen Differentialgleichungen und über die rationale Form ihrer vollständigen algebraischen Integralgleichungen. Cu. Hermrire, J. v. Cr. Bd. 32. A. 1846. S. 277— 299. Extraits de deux lettres à Mr. C. G. J. Jacogr. C. G. J. Jacozr, J. de L. T. 11. A. 1846. p. 97—103. —= G 173. Carrey, C. & D. Math. Journ. V. 1. A. 1846. p. 70—73. — G 177. J. R. Minnrcu, Mem. Istit. Veneto. T. 3. A. 1847. p. 269 —329. Sugli integrali algebrici d'un sistema di equazioni differenziali, i cui termini sono in- tegrabili per mezzo di trascendenti abeliane, e sulla proprietà fondamentale di si- mili trascendenti. — Note. ee Atti Adun. Istit. Veneto. T. 6. A. 1847. p. 130—185. Sopra aleune nuove proposizioni relative alle trascendenti Abeliane. A. Göeer, J. v. Cr. Bd. 35. A. 1847. S. 277—312. Theoriae transcendentium Abelianarum primi ordinis adumbratio brevis. A. Cavrey, C. & D. Math. Journ. V. 2. A. 1847. p. 5l—54. Notes on the Abelian Integrals. — Jacopr's system of differential equations. Herurre, Mém. prés. à l'Acad. Paris. T, 10. A. 1848. p. 563—573. Sur la division des fonctions Abéliennes ou ultra-elliptiques. Jacos1, Ber. Berlin. 1848. S. 384, 414 —417, Ueber quadratische Formen und hyperelliptische Functionen. F. Prcue, Sitz. Ber. Wien. B. 1. St. 4. S. 127—182. A. 1848. Abhandlung über die Bestimmung der Integrale De gnd af etn de V(A + Be + Oet + De?) °° Jy (A+ Bet Cet + De? HBr)’ VON eine ganze Zabl vorstellt, in geschlossenen Formen. A. SrreN, Danske Selskabs Skrifter. 5e Raekke. B. 1. A. 1849, S. 323—358. Hovedsaetninger om de overelliptiske Functioner. J, Lrovviure, J. de L, T, 14. A. 1849. p. 257—299, Mémoire sur Vintégration des équations différentielles du mouvement d'un nombre quelconque de points matériels. W. Roprers, Proceed. Irish R.S. V. 4, A. 1850. p. 288—291. On different Applications of a Formula of M. Lrouviure, ROSENHAIN, J. v. Cr. Bd. 40. A. 1850. S, 319 —328, 335 —346, 347 —360. 23 … NATUURK, VERH, DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X. 82 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INFÉGRALES DÉFINIES. H. Auszug mehrerer Schreiben an Herrn Prof. C, G. J. Jacos1 über hyperelliptische Trans- cendenten. N°. I, II, IV, J. A. Serner, Mém. prés. à T'Acad. Paris. T, 11. A. 1851, p. 108—160. = G 227. G. RosenmarN, Mém. prés. à l'Acad. Paris. T, 11. A. 1851. p. 861—468. — 6 228. J. Dieneer, Gr. Arch. B. 16. A. 1851. S. 67—908. UVeber die Abelschen Functionen. G. Eisenstein, J. v. Cr. Bd. 44. A. 1852. S, 261—269. Auszug eines Schreiben von Herrn Prof. Rrensror. Rieneror, J. v. Cr. Bd. 44. A. 1852. S. 269—272. Schreiben von Herrn EISENSTEIN. A. Cayzey, L., E & D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 5. A. 1853. p. 281—285. Í de V(eta)letdle te) Le, E. & D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 6. A. 1853. p. 1038 —105. d. Note on the Integral eld V (me + a) +0) (a He) L., BE. & D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 6. A. 1853. p.-414—418. Geometrical Representation of an Abelian Integral. P. Tenrsycuev, Bull. Phys.-Math. Pétersbourg. T. 12. A, 1854, p. 5lò, 316. = G 256. C. Weierstrass, J. v. Or. Bd 47. A. 1851. S. 2389 —306. Zur Theorie der Ager’schen Functionen. C. A. BorcuHarpr, J: v. Cr. Bd. 48. A. 1854. S. 69—104. Application des transcendantes Abéliennes à la théorie des fractions continues. Cu. Hrrurrr, C. R. T. 40. A. 1855. p. 249—254, 304 —309, 365—369, 427—431, 485 —489, 536 —541, 704—707, 784—787. — B 267. Brror et Bougver, C. R. T. 40. A. 1855. p. 342—344, Recherches sur les fonctions doublement périodiques. Cavcuy, C. B. T. 40. A. 1855. p. 511—518. Sur la recherche des intégrales monodrômes et monogènes d'un système d’équations différentielles. C. Wererstrass, J. v. Cr. B. 52. A. 1856. S, 285—380. — 6 276. C. F. LinpManyN, Gr. Arch. B. 27. A. 1856. S. 1—12. De formal | î el e formula ZB LO De tE) a Borcuarpr, Ber. Berlin. A. 1857. S. 301—811. Eigenschaft der Potenzsummen ungerader Ordnung. P. Tonenvenev, Mém. St, Pétersb. 6° Série. V. 8. 1. A. 1857. p. 203—233. —= G 287. Note on the Geometrical Representation of the Integral ITG NN 107 108 109 110 111 112 Recherches sur la nature de la transcendante Í kc Eclaircissements sur la théorie de Tintégrale Í rea SUPPLÁMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. Herl. 88 B. RrEMANN, J. v. Cr. B. 54. A. 1857. S. 115 —155. Theorie der Agrrschen Functionen. Fr. Brroscur, C. R. T. 47. A. 1858. p. 310—313. Sur la théorie de la transformation des fonctions Abéliennes. C. G. J. Jacosr, J. v. Cr. B. 55. A. 1858. S, 1—14. (Aus der hinterlassenen Papiern von) mitgetheilt durch F. Rrousror. Ueber die Substitution (az? 2de He)y? Jar? +Abrteyyta' rt + Hb'a te’ =0, und über die Reduction der Ager’schen Integrale erster Ord- nung in die Normalforimn. Brroscur, J. v. Cr. B. 55. A. 1858. S. 56 —60. Sur l'intégration des équations ultra-elliptiques. Tur. Crausen, Gr. Arch. B. 30. A.-1858. S. 166 —170. Beweis des von Scnzömimcn Arch. Bd. 12. N°, 35 aufgestellten Lehrsatzes über die Ableitung des Differentials von Log. T #; und über eine algemeine Aufgabe ie die Functionen von Aser. C. NEWMANN, J. v. Cr. B. 56. A. 1859. S. 46—68. De problemate quodam mechanico quod ad prinum integralium ultra-ellipticorum classem revocatur. Ï. LOGARITHME INTÉGRAL, SINUS INTÉGRAL, COSINUS INTÉGRAL, FONCTION BERNOUILLIÈNE, ETC. G. Brpone, Mém. Turin. T, 16. Mém. Prés. p. 19—84, A. 1805—1808. dz Prana, A. M. T. 12. A. 1812. p. 145—257. A.M. T. 12. A. 1812. p. 865, 366. Note à Fappui d'une réflexion de M. Prana, p. 145. d C. F. Gauss, Comment. Rec. Gott. T, 3. p. 39—76. A. 1814, 1815. = D 5. C. A. BrErsCHNEIDER, J. v. Cr. Bd. 17. A. 1837. S. 257 —285. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova. —__—_ Or. Arch. B. 3. A. 1843. S. 27 —34. Berechnung der Grundzahl der natürlichen Logarithmen so wie mehrerer anderer mit ihr zusammenhängender Zahlwerthe. 28* 84 23 x SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DEFINIES. IL. O. Scurömrrcn, J. v. Cr. B. 33. A. 1846. S. 316—324. — B 189. n= Gr. Arch, B, -9. A. -1847..S, 6-—8; Bemerkung zur Theorie des Integrallogarithmus. —__—___ Gr. Arch. B. 9. A. 1847. S, 307 —818. —= B 214, F. Arnor, Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 225—232., — B 216. —_ Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 233—240. -= B 217. oe Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S, 240-246. — B 218. —— Gr. Arch. B. 10. A. 1847. S. 247 —250. —= B 219. =— Gr. Arch. B. 11. A. 1848. S. 815—828. Veber die numerische Bestimmung der Constante des Integrallogarithmus. O. Scnrömiren, Gr. Arch. B. 11. A. 1848. S. 399—395. Ueber den Integralsinas und den Integralcosinus. C. J. Harereave, L., EB, & D. Phil. Mag. 3d Ser, V. 35. A. 1849. p. 36 — 53. Analytical Researches concerning Numbers. “A. Meyer, Mém. Liège. T, 7. A. 1851. p. 1—510. == A 190. L. Raanr, J. v. Cr. B. 42. A. 1851. S. 348367. — B 281. R. Beez, Gr. Arch. B. 19. A. 1852. S. 419—441. Beiträge zur Theorie des Integrallogarithmus. C. J. Harerravo, L, B, & D. Phil. Mag. 4th Ser. V. 8, A. 1854. p. 114—123. On the Law of Prime Numbers. Herurre, C. & D. Math. Journ. V. 9. A. 1854. p. 172 —217. Sur la théorie des fonctions homogònes à deux indéterminges. ScurömiLcu, Schlömilch’s Zeitschr. B. 1. A. 1855. S. 193 —211. Veber die BerNovmzrsche Function und deren Gebrauch bei der Entwickelung halb- convergenter Reihen. C. F. LiNpManN, Gr. Arch. B. 29. A. 1857, S. 238—240. De vero valore constantis, quae in logarithmo integrali occurrit. TABLE DAUTEURS. R. Agnsorr, CG 32. N. H. Anr, À 42, 52, 53. — B 73, 77, 82, 83. — G 19, 21, 25, 26, 30, 32, 34, 85, 38, 39, 40, 94. — H 1, 2, 35. G. B. Army,  178. — B 252. p'AreMBerrt, G 3. Arrferer, E 24. C. T. Arcen, B 244. — D 41. J. ARENSTEIN,  170. F. Arnor, B 169, 172, 216, 217, 218, 219, 220, 225, 241. — FE 48. — 1 10, 11, 12, 13, 14. “G. F. W. Baenr, G 324. R. Bezz, Î 19. G. Berraviris, B 368. — D 44, 54. — G 319. BéÉrarp, D 9, 13. N. BerNoumur, B 2, 3, 4. J. BerrranD, A 118. — B 147, 351. Besee, B 266, 373. — OG 122, 123. F. W. Bessen, B 64, 76, 94. G. Bimone, A 30. — B 58. — F 6. — G 17, 18. — 11. J. Brver, A 39. — F 18, 20, 23, 29. E. G. Bsörrine, A 179. — B 254, 295, 319. — F 60. P. H. Braxncuer, 6 114. B. Boncomraeni,  113. G. P. Bonp, D 42. O. Bonner, A 117, 181, 183. — B 133, 268, 270. — C 75. G. Boor, A 119, 136, 169, 174, 182, 238, 239. — B 154, 155, 205, 235, 835. — CG 38, 39, 41, 46, 54, 55, 66, 76, 107. — E 26. J. Boors, G 132, 213, 237, 249, 252, 253, 264. C. A. Borcrarprt, H 99, 105. V. Bounrakowskr,  255. Bougver, 6 268, 231. — H 101. 86 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÚFINIES. B. Brassine, G 19. — F 21, — G 212. C. A. BrerscHNeIDEr, Í 5, 6. Fr. Brroscur, G 302. — H 108, 110. Brror, 6 268, 281. — H 101. O. J. Brocu, H 34, 36, 40. B. Bronwin, A 134, 185, 168, 166. — B 162, 178, 228, 230. — 6 53. — G 96, 118, 120, 121, 152, 155, 157, 176, 198. P. Burren, @ 247. Fr. Caruinr, B 59. R. Cararcnaer, A 225. — B 313. — 6 36. _ E. Cararan, B 125, 134, 816. — G 24, 25, 35, 49. — F 17, 67. — H 32, 33. A. L. Cavcur, A 4l, 44, 48, 49, 50, 54, 65, 58, 83, 90, 99, 107, 108, 121, 122, 132, 189, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 167, 168, 185, 191, 192, 193, 195, 197, 208, 209, 219, 227, 228. — B 72, 75, 79, 80, 81, 86, 87, 123, 127, 128, 135, 138, 163, 164, 166, 167, 182, 188, 184, 277, 288, 289, 300, 301. — C 4, 5, 6, 23, 26, 40, 64, 65, 81, 88, 91. — D 30, 32, 33, 35, 36. — E 8, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25. — F 30, 31, 35, 42, 58. — G 108, 109, 184, 160, 161, 162, 224, 226 — H 49, 68, 102. A. Carrey, A 164, 201, 285. — B 176, 226, 232, 284, 340, 342. — 0 37, 58, 61, 10, 77, 82, 87. — E 49. — G 119, 188, 147, 158, 154, 156, 158, 177, 192, 198, 202, 204, 216, 221, 222, 230, 231, 266, 304, 310. — H 77, 81, 94, 95, 96. Cerufrrer, B 148. — C 36. Curasres, 6 17. — G 110, 123. E. B. Carrsrorreu, D 58. Crsa pe Grúsy, A 37. — B 68. — F 9. Tu. Crausen, A 252. — B 92, 354, 876. — D 19. — EF 69. —G 100, 101. — H111, M. J. Corruo pa Mara, B 43. — D 4. J. Coruins, E 5. Der Conporcer, B 25. A. L. Creum, F 12. DaAnrANDER, 6 117, 118. G. Decuer, À 204, — OG 94. R. Depexinp, B 293. — F 56. Cu. Deravnay,  98, 120. — B 118. J. Dreneer, A 159, 172, 188, 248, — B 208, 215, 222, 257, 258, 261, 262, 265, 265, 273, 275, 278, 280, 294, 356. — 6. 74, 78, 120. — 6 188, 200, 201, 208, 209, 259. — H 91. E. H. Dirksen, A 51, 93, 101, 111, 112. — B 236, — D 21. SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. 87 Durryrous, 6 206. S. Earnsuaw, B 249. G. Eisenstein, G 125, 126, 127, 128, 129, 139, 150, 165, 166, 168, 184, 185 186, 187. — H 56, 65, 92. R. L. Erzs, A 205. — B 136, 158. — G 45, 47, 48, — G 168. — H 69. P. P. Euvrus, B 5. V. F. Excke, À 77. A, Enseren, Á 243. — B 348. — 0 113. — F 65. E. Essen, G 246, 248, 261. A. VON ErrINGsHAUsEN,  186. — D 20. L. Buren, A 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24, 25, 26. — B 6, 7, 8, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 28, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 4l, 45, 46, 62. — C 1,2. — F 1,2, 3,4. — G 1, 2. V. Fraurr, & 85. N. Fuss, A 18, 15, 29, 59. — B 26, 27, 90. — 6 7. el Gauss, B 60, 66. — D 5, 11. — F7. — 6 16. — 1 4. . Geroccur, A 207. — B 287, 347. — C 128. — EF 55, 57. — 6 251, 295. kos. A 47. —D 7. — & 37. S. Grrrarpr, D 48. J. Gourz pe Souza,  237. A. Görer, H 80. E. W. Geese, G 207. D. F. Grroory, 6 27. R. pe Grosso, B 336. J. A. Groveer, A 105, 126, 127, 150, 233. — B 96, 173, 297, 327. — CG 101. — D 45. — F 27. — 6 235, 240, 245. J. Pu. Grüson, A 31. C. GUDERMANN,  79. — F 39. — G 58, 62, 75, 717, 82, 86, 90, 98, 111, 232. C. Gürzrarr, G 56. D. Bierens pe Haan, A 211, 218, 226, 236, 244, 250. — B 264, 307, 314, 554, 849, 366. Häpenkaup, G 91, 95. — H 37, 51. W. R. Hauivron, A 91, 106, 110, 242. — B 141, 142, 150, 206, 348. — C 31, II. — D 567. à P. A. Hansen, D 48, 52. Cu. J. Harerzave, B 234. — Î 16, 20. 88 SUPPLÍMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. G. Herne, A 223, 232. — B 210, 299, 324. — G 218, 254, 288, 320, 321. J. Hermannus, B 1. Cu. Hermrre, A 196. — 6 103, 104, 188, 203, 225, 267, 297, 298, 299, 300, 306, 814, 315. — H 45, 46, 54, 58, 75, 82, 100. — 1 21. C. J. D. Hir, A 210. — B 91. — D 50, 55. — 6 308. il 18 Tu. Hur, D 46. H. Horrmann, G 258. R. Horrr, B 274, 326, 364. — F 52. — 6 113. J. Ivory, B 47. — G 43, 70. C. G. J Jacosr, A 60, 73, 75, 115. — B 100, 101, 105, 188, 870. — CG 10. — D 17. — F 13, 63. — G& 20, 22, 23, 24, 27, 28, 83, 36, Al, 45, 47, 60, 68, 112, 149, 167, 169, 173, 195, 196, 197, 205, 210, 273, 284, 289, 292, — H- 3, 4, b, 17, 19, 23, 31, 88, 43, 53, 55, 70, 71, 72, 78, 74, 76, 83, 109. Jouserr, G 313. Cur. JiürGENSEN, Á 94, 103. — H 30, 39, C. F, Kauvsrer, B 55, 56. H. Kinkerin, À 246, 247. — F 64. G. S. Krücrr, B 48, Kraur, D 6, 8, 10, 14, 15. L. Kronzcker, G 286, 8301, 308. R. Krusenmarck, G 244. EB. B. Kummer, A 85, — B 110. — F 46. — G 66. C. Kuverper, G 305. J. L. ve Laaraner, B 16. —D 2. — 6 5, 11. e E. Lamarie, A 165. G. Lauú, B 115, 168. — O 18, 15, 18. — G 81, 87, 285. — H 52. J. Lanpen, B 11, 18. — G 4, 6. LANDENBECK, G 7. P. S pre Larrace, À 14, 17. — B 28, 29, 52, 54. V. A. Lerrseur, B 329. — G 309. F. Lerorr, B 196. A. M. Lroenpen,  28, — B 81, 58. — F 5. — G 12, 18, 29. M. G. Leseune-Diriourer, À 56, 57, 71. — B 89, 109, — F 14. A. Lexerr, G 8, 9. a G. Liri, A 45, 62, 69. — B 114. — G 51, 79, 105, 107. — H 6, 27, 48. Lraowskr, D 59. - SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. 89 C. F. Linomaxn, A 187. — B 272, 282, 283, 290, 291, 296, 303, 304, 305, 810, 328, 352, 372. — G 263. — H 104. — Ì 23. J. Liovvram, A 72, 78, 82, 97, 197, 234. — B 97, 102, 103, 120, 132, 165, 200, 267, 315, 330, 340, 341. — CG 9, 11, 12, 99, 100, 102, 108, 104, 127. — D 31. — F 19, 22, 54, 59, 62. — G 54, 55, 59, 63, 69, 80, 89, 92, 93, 105, 106, 107, 117, 124, 137, 143, 144, 151, 226, 275, 277, 280. — H 11, 12, 18, 26, 28, 29, 47, 48, 52, 66, 67, 86. R. Larscurrz, B 338, 369, 371. — F 71. N. LosarscrewskKYy, B 104, 111, 139. R. Losarro, B 99, 126. — G 52, 159. — H 8. A. M. Lorena, B 30, 38. Tr. Loscuay, B 286. C. Lorrner, @ 272. J. S. LöwenstERN, D 22. J. W. Lussocx, H 20. R. A. LucHtERHANDT, @ 78. „ Lurner, G 290. E J. Maccurracu, G 44, 180. G. Marsaroi, F 38. G. F. Marrarrr, B 32, 44. — @ 10. C. J. Marxsren, A 123, 124. — B 130, 156, 157, 212, 255. — 6 181, 182, 211, 217. M. Marie, A 256. — OG 115, 126. L. F. Ménasréa, D 38. C. W. Merzirrerp, G 311, 317. A. Meyer, A 190. — B 247, 216. — CG 80, 84. — E18. —F 53. — tOM C. O. Meyer, 6 199, 323. U. H. Meyer, A 130. — C 51. — @ 233, 234, 236, 262. F. Minpine, B 355. — OG 119. — D 18. — G 48. — H 7, 9, 14, ál. S. R. Minicu, D 47, 49. — H 78, 79. J. Monrrrra DA Roca, B 42. — D 8. R. Moon,  152. A. pe Morcan,  175. — B 248. H. Mosrrer, A 92. — B 129. W. Mösra, B 223, 224. R. Mureny,  66, 67, 68, 70. Neumann, B 119. F.W. Nuwuann, Á 162. — B 229, 231. — F 51. — 6 250, 812. — H 112. C. F. pe Nieveorr,  35. L. Oerrincer, B 211, 256. — 0 57, 73, 85. — F 47. 24 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE DEEL, X, 90 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. M. Onm, F 50. G. Orrramare, E 8, 9. Osrroerapsky,  61, 84, — B 124. — OC 21. — D 25, 29, 34. Pacanr, B 85. Paaìs, F 16. M. A. Parsrvar, Á 27. — B 50, 51. F. Prcun, G 214, 215. — H 84. Peein, G 95. F. Pezar, G 14. Procu, À 100. — B 137. — 0 28, 29, J. Prana, A 34, 254. — B 65, 107. — OG 22, 80. — F 15. — 6 31, 194, — [ 2. Prarr, B 308. S. D. Porsson, A 32, 33, 36, 40, 43, 68. — B 57, 61, 63, 67, 70, 71, 74, 88, 93, 106, 112, 113, 116. — GC 3, 8, 14, 16. — D 16. — F 8, 10. — @ 42, 46, 53. — H 10, 15. A. Pororr,  231, 240. — B 337. V. Purseux,  189, 194, kh J. L. Raan, A 64, 74, 86, 102, 114, 171, 198, 212, 213, 214. — B 117, 148, 207, 240, 281, 285. — U 42, 68, 92, 93. — D 24. — F 32, 36. — G 67. — 118. Rapikx, E 18. C. Rauus, A 76, 108, 148. — B 108, 185. — 6 50. — G 73, 74, 99, 164, 182, — H 44. R. Rawson,  147. — D 37. V. Rroocarr,  3. — B 10. F.J. Rrcumzor, A 87, 199. — G 49, 170, 171, 183, 239, 243, 271, 316. — H 16, 21, 24, 25, 42, 50, 62, 93. B. Riemann, H 107. W. Roperrts, A 151. — B 174, 197, 199, 201, 227. — OG 52, 79. — @ 115, 130, 140, 145, 174, 175, 179, 189, 190, 220. — H 87. D. G. Rosennarn, G 228. — H 57, 61, 88, 90. O. Rörnio, 6 322. E. Rovonf, G 116. — E 28. W. H. L. Russerz, A 206, 216, 217, 220, 221. — B 298, 306, 309. — 0 96. De Sarnr-Venant, D 28. H. Sarapini, B 9. J. Tu. Sano, G 61. Sarrus, A 39. — B 69, 233. — U 68. ScHaar,  138, 154, 184. — B 180, 181, 203, 269, 271. — 0 62. — D 39. — F 45, SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. 91 Scnärrer, B 186, 239. L. Scuärri, 6 219. H. Scnerrrer,  241. W. Scuzinner, OG 109. — G 313. K. H. Scneursacu, D 23. — 6 291. Scurärria, B 302. — G 124. O. ScuLömircn, À 95, 96, 116, 125, 128, 129, 149, 158, 160, 161, 178, 203, 257, 259. — B 181, 145, 158, 159, 160, 170, 171, 189, 190, 191, 192, 193, 195, 213, 214, 221, 237, 238, 242, 259, 260, 279, 381, 332, 333, 339, 340, 344, 345, 346, 362, 363, 367, 315. — OC 67,69, 105, 106, 108, 110, 112, 129. — D 40. — F 37, 41, 43, 44, 61, 68, 72. — @ 242, 270, 232, 293, 294, — 17, 8, 9, 15, 22. ScHuipreN,  38. N. C. Scnurr, A 245. — B 350. — F 66. Scuröper, G 307. N. G. pe Scuurren, À 157. N. W. Scuuuze, @ 241. J. A. Serrer,  131. — B 140, 146, 149, 161. — F 28, 83, 34, — & 102, 114, 116, 131, 135, 136, 141, 142, 146, 148, 172, 178, 191, 227. — H 59, 60, 63, 64, 89. Servors, D 12. 7 W. SmaasEn,  200. — B 246. J. Somorr, G 229, 238, 257. L. A. Sonnke, 6 50, 57, 76. S. Semzèr, A 251, 258. — B 812, 825, 353, 357, 365, 374. — C 98. A. Steen, A 180. — C 72. — H 85. F. SreGMaNN, B 194. A. Stern, B 98. — F 26. G. G. Sroxzs, A 177, 229. — B 251, 253, 317. — C 71. Srreurke, D 60. — G 260. Sruru, F 11. — 6 274, 279. C. G. Suvcksporrr, B 320, 321. A. F. SvangerG, À 65, 80, 81, 156. — B 95, 121, 122, 198, — 6 43, 56. J. J. Syuvesren, CG 20. H. F. Tarsor, & 64, 65, 71, 72. — H 22. P. Tonresvonerr, A 258. — B 377. — 0 34. — G 256, 287, 296, — H 97, 106. O. Terquem, À 88. — D 56. W. Trouson, 6 44, 59, 60. TIMMERMANS,  187. — B 179. J. Törurrz, A 215. B. Torrorini, B 144, 187, 209. — CG 33, 88. 24 92 SUPPLÉMENT AUX TABLES D'INTÉGRALES DÉFINIES. N. Troor, @ 255. D. Turassa, D 58. G. J. Verpam, G 97. P. F. Veruurst, G 83, 84, 88. Vernier,  46. — B 78. J. Vreuzn, E 27. W. Warzace, B 49, “Wanrrzer,  109, Tu. Weppie, F 40. — G 265. Weierstrass, G 276. — H 98, 108. Werner, B 322, 823. Werner,  202, 224. ‚ Wirsranam, B 245. WincxKrer, À 222, 230. — B 292, 311, 318. — CG 39, 90, 97, 125. Woopnouse, 6 15. Pros J. R. Younes, A 188, 153, 155, 176. — B 175, 202, 204, 243, 250. M. Younes, B 37, oj Zrcu, D 51. G. Zruruss, A 249. — B 358, 359, 360, 361. — 6 121. — F 70, 78. D.F. GE 6. ; «B 177. Anonvuzs, D 1. — E 1, 2. — FE 25, — € 122, 283, — 13. ERRAT A. Page. Ne, au lieu de: lisez : 10 49 812 312 18 188 1840 1848 2 225 314 214 22 244 1848 1858 / MEMOIRE MÉTHODE D'APPROXIMATION CALCUL DES RENTES VIAGKÈERES. R. LOBATTO. Publië par lAeadémie Royale des Seienees à Amsterdam. AMSTERDAM, CG: G. VAN DER POST. 1864. MEMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION EN POUR LE nes CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. PAR RBR. LOBATT O0. De ede $ 1. Tous ceux qui se sont occupés de calculs relatifs aux assurances sur la vie, savent que lévaluation exacte du prix des rentes viagères, basée sur une table de mortalité adoptée à cet effet, implique des calculs assez prolixes. Parmi les diverses méthodes de calcul proposées depuis longtemps, celle qui fait dériver la valeur relative à l'âge a de celle relative à l'âge a +1, au moyen d'une formule assez simple due au géomêtre anglais Simpson *, doit, à mon avis, mériter la préférence, surtout lorsqu'il s'agit de cal- culer une table complète de la valeur des rentes viagères pour tous les âges depuis la naissance jusqu'à lextrémité de la vie. 7 La formule que nous venons de citer s'obtient de la manière suivante. Soient ‚12... vn le nombre des vivants existants, d'après la table de mortalité, aux âges a,a + 1,a + 2,...a + n. Désignons par A le prix ou la valeur actuelle d'une rente viagère égale à lunité monétaire, constituée sur * Voyez son ouvrage Doctrine of Annuities and reversions, 1142. ì 25 NATUURK, VERH, DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, 2 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION la tête d'un individu de l'âge a, et payable en son entier au bout de chaque année; par i le taux d'intérêt annuel du capital égal à l'unité, et posons pour simplifier 1 +i=r. La valeur de A s'exprimera, d'après les principes con- nus, par la série 1 P, Vv, Vs Val A LOR il RR en (1) a + a étant l'âge où finit la table de mortalité, de manière qu'on ait v, — 0. Soit A, le prix de la même rente pour un individu agé de a + 1 ans, on aura également j NEN 7 Vs Vall A, ao 5 Ae } T + ee a? vr r paal Done . vrA=v, (A, +1), é / | d'où Fon tre A=(A, +1) > vereen enen enne (2) formule propre à déduire la valeur A de celle A, Si le montant de la rente annuelle s'élevait à la somme s, il n'y aurait Ae } qu'à changer A et A, en zet et la formule (2) deviendrait dans ce cas A et A, désignant alors les valeurs d'une rente viagère s relatives aux âges aetattf. S 2. La série (1) qui exprime la valeur de A est susceptible d'être pré- sentée sous une autre forme, en y introduisant les déeroissements du nombre des vivants d'après la table de mortalité, ou en d'autres termes, les nombres des décês annuels à chaque âge. En effet, désignons ceux ci par Av, Av,, Av; … en sorte que Von a v;=v— Av, 12 =vi — Avis Svr: etc. Val = Va — Ävas O0 == var — Av Si Pon substitue ces valeurs dans la form. (1), celle-ci deviendra dert v ’, Vs, ve) nije ie BRE DE ng 1 Ri 1 ja: Av, Av, Ava a r E 2 hi r° ht aad | POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 5 ou bien Ld Avent Am AAD | 3 pe ei Ea de Ehr 1 1 d'où Pon déduit, en posant — — — =p, El r(Ar , Av, Avant | Amr lii, ep vennen: Je ee) RR (4) formule qu'on pourra écrire sous la forme simplifiée kie p (58 dm VTE ti (5) mrt la somme S s'étendant depuis z= 1, jusqu'a 7 —= a. En ecalculant la valeur de A à l'aide de cette derniere formule, on a l’avan- tage d'opérer sur des nombres plus petits que ceux qui entrent dans la formule (1). S 5. L’hypothèse la plus simple qui a dû se présenter d'abord pour ob- tenir une valeur approchée du prix des rentes viagères, consiste à supposer -qu’à partir d'une certaine époque de la vie, le nombre des décès annuels reste constant jusqu'à extinction de la vie, ou, ce qui revient au même, que le nombre des vivants décroit en progression arithmétique. Dans ce cas on a évidemment, Ar == Ar, = Ar: etc. v =aAv; a + a étant la limite de la vie pour un individu.agé de a ans. L’hypothèse dont il s'agit change la formule (5) en celle ci | où la quantité S= je désigue la valeur actuelle d'une annuité 1 payable pen- dant le terme de a années, el qu'on pourra remplacer au besoin par sa va- 1 leur connue p |1—— |, ce qui donnera ra Moivre fut le premier qui proposa cette hypothèse en fixant à 86 ans la limite de la vie, et la mortalité annuelle à 1, de sorte que le nombre a qui 25 *  MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D’APPROXIMATION entre dans la formule précédente, devient égal à 86—a, Soit par ex. lage 1 du rentier 56 ans, r —= 1,04, on aura a =50, S rn 21,48218. Donec A == 25 (1—0,0208 X 21,48218} =— 25 (l—0,44683) — 13,829. Suivant la table de mortalité de Kersseboom, qui se termine à l'âge de 96 ans, la valeur de A que nous venons de calculer répondrait à l'âge de 96—50—46 ans. La valeur exacte de A basée sur cette table s’élêve à 12,876, ce qui offre une différence d’environ une unité. Si l'on calcule d'après la même hypothèse une table des valeurs de A pour les divers àges de la vie, on reconnaîtra qu'en fixant à 100 ans la limite de la vie, ces vateurs s'écarteront sensiblement de celles qu’on trouverait en appliquant la méthode rigoureuse à une des tables de mortalité, et qu'elles. seront en général trop fortes d'une unité. Au reste, il était facile de prévoir le peu d'exactitude que doit comporter le procédé dont il s'agit, puisque Phypothèse d'un déeroissement uniforme changeant la courbe de mortalité en ligne droite, les ordonnées qui représentent les nombres des survivants aux divers âges, surpasseront en général celles de la courbe qui exprime plus exactement la-loi de mortalité; done la somme des termes de la série (1) sera nécessairement trop forte dans [hypothèse de Moivre. S 4. Simpson suppléa par une idée heureuse au défaut d'exactitude que nous venons de signaler. Ayant remarquêé que dans [hypothèse de Moivre, la quantité a ordinairement désignée par complêment de vie, est égal au dou= ble du nombre qui exprime la durée de la vie moyenne, il proposa, afin de se rapprocher davantage de la vraie mortalité, de remplacer dans la formule (6) le nombre a par le double de cette durée relative à l'âge donné et déduite de la table de mortalité. Pour calculer alors le prix de la rente qui se rapporte à l'âge de 46 ans, on prendra, en adoptant lordre de mortalité de Kersseboom, a — 45,48; on obtiendra de cette manière, r étant égal à 1,04. En í 25  TTT Ì 438, 48 — 26 + nn = z5,an (1748 + 4,7246) — 12,67 quantité qui se rapproche plus de la valeur exacte 12,876. POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES, 5 Si l'on avait fixé le taux d'interêt à 5 p$., on trouverait A= at 448,48 43,48 E (1,05 différant de 0,1125 de la valeur exacte de A — 11,6107. Quoique la modification apportée par Simpson au procédé de Moivre doive nécessairement tendre à rapprocher les résultats de ceux donnés par la mé- thode rigoureuse, on remarquera cependant qu'en lappliquant au calcul d'une table complète des valeurs des rentes viagères, l'accord entre les résultats obtenus par la méthode exacte et celle de Simpson est loin d'être aussi sa- tisfaisant qu’on pourrait lexiger dans la pratique des assurances sur la vie. C'est pourquoi nous avons cru faire une chose utile en exposant une nouvelle méthode d’approximation qui, ainsi qu'on va le voir, réunit à lavantage d'un calcul peu laborieux celui de fournir des résultats s’écarlant peu de ceux obtenus par un calcul rigoureux. Ce sera, ce nous semble, combler une la- cune qui existe jusqu'ici dans la théorie des assurances sur la vie, et dont les géomètres qui ont traité la matière, ne semblent pas s'être occupés spé= cialement, au moins pour autant qu’il soit parvenu à notre connaissance *. $ 5. Avant de procéder à Pexposition de notre méthode, nous allons en- treprendre une recherche qui en forme la base, et qui a pour but de déter- miner laccroissement que la valeur précédemment désignée par A va subir, lorsque la rente, au lieu d'être acquittée en son entier au bout de l'année, doit lêtre au bout d'intervalles plus petits, et seulement aux rentiers survi= vants à chaque époque de payement. Pour cela, considérons le cas général où Pannée se trouve partagée en n intervalles égaux, de sorte que le rentier touche au bout de chaque terme | — 11,4982 Kl | nd 3 de payement la rente js La table de mortalité ne donnant que les décès annuels, nous allons supposer que le décroissement pendant les divers inter- valles adoptés s’opère d'une manière uniforme. Dans cette hypothèse le nombre % Il est à remarquer que dans aucun des derniers ouvrages publiés sur cette matière, savoir celui de Mr. D. Jones, On the value of annuities and reversionary payments (dont Mr. R. HATTENDORF a donné en 1859 une traduction allemande) et celui de Mr, le Dr. A. Zruumer, Die mathematische Rechnungen bei Lebense und Renten-Versicherungen, 1861, il nest fait la moindre mention de quelque procédé pour simplifier les caleuls dont il s'agit. 6 t MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION de survivants qui touchent la rente aux » époques de payement, s'exprimera pour la première année par nl +| > 3 n n n—g2 1 jar. "+ jar abi HAP pour la seconde année par n—l n—? 1 “+ (55 jar, + ze) Av, «eVa tv, Va n n n et ainsi de suite. Faisons r = q",‚ les valeurs actuelles d'une somme 1 payable au bout de ehacun des n intervalles égaux, seront évidemment égales à Ul en résulte que les sommes à payer aux survivants dans la première année, auront pour valeurs actuelles, £ St ale tel ih NN on? on? 11 (e"—1 ze | (Lt 2e +30... + (n—l)g"=? mn, dS Av IN el n°? \ onl | Celles qui se rapportent à la seconde année auront pour valeur actuelle, 11 (or—l 1 k + Zo + 30°... ee Av, _ |en + fer or n r2 rt n° gr! r et ainsi de suite. Ajoutant toutes ces valeurs, et divisant la somme par le nombre des vi- vants v, on verra facilement que le prix de la rente aura pour expression As bad Ate ( Grip Sgr IS leen 4 n e—l n? or 1 u A glare ek keen | r Si lon observe maintenant que la série 1 42e 430? ...... + (n—l)g"? POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 1 pourra être remplacée par ale | Voi) dene + de en et que la série | 1 av Sat Saen | a pour valeur hiien 1—(e"—1)A, en vertu de la formule (4), p 5 on obtiendra 1 | 1 — 1) 0” —n ol 1 e—l Crea ou bien, toutes réductions faites, Pek hae Aa ebijet As hard PL abonne iten sl == A+ en tien (7) nie! \el ni (el)? @* formule qui fournira la valeur de A' à l'aide de celle de A calculée par une des méthodes rigoureuses. Il est aisé de s’'assurer que le coéfficient qui maltiplie A diffêrera peu de unité. En effet, posons e= 1 + ò, la fraction ò sera alors assez petite pour qu’il soit permis de négliger dans le résultat les puissancesäsupérieures à la seconde, On aura donc n(n— 1) n(n —1) (n—2) EN Pr Tent gr — 1 ie —l) (2 — jà n(e — lj Bel jet 2.8 tel sdk =lteat ((5 : eN ‚LED Dj Hete n+1 Ò3 + etc. | n—2 + Sala + etc. 7 jen» + etc. ltd | etl tet (5 5 EU end À Get : 8 Par conséquent la différence entre la quantité …— ($ al an et unité s’élè- ema del etn vera à une très pétite fraction. 8 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION Quant au second terme de la valeur de A’, on pourra la considérer comme une valeur approximative de l'augmention que le prix A de la rente 1 doit subir, en effectuant le payement en n parties égales au bout de chacun des n termes de l'année. Supposons actuellement que la rente annuelle s'élève à n, et désignons toujours par A le prix d'une telle rente payable annuellement, la formule (7) deviendra alors Nn n? Bet on VEE (nlet ni gtt 1 leien eenn Or, en examinant les diverses tables de mortalité publiées jusqu'ici, on remarquera qu'à partir de lage de 15 ans, les décès annuels n'offrent en général que de légêres différences pendant des périodes de peu d'étendue. On pourra donc sans crainte de trop s’écarter de la vérité, regarder comme uniformes les déeroissements pendant des périodes quinquennales. Cela posé, on supposera que la rente 1 au lieu d'être acquittée annuellement, le soit au bout de chacune de ces périodes, en une seule fois, mais au montant quintuple. On établira alors le calcul rigoureux par la méthode de dérivation fournie par la formule (5), en prenant pour base une table de mortalité où les nombres des vivants ne procèdent que par périodes de cinq ans, et en rêglant le taux d'interêt à r°—1, attendu que les capitaux se sont accrus pendant chaque période dans le rapport de 1 à r° par laccumulation des in- terêts composés.. Les résultats que l'on obtiendra de cette manière seront rigoureusement applicables au cas où les payements de la rente 5 s'effectuent en son entier au bout de chaque période quinquennale, et cela seulement aux rentiers qui existeront à ces époques. Mais, à l'aide de la formule (8), on pourra alors rendre applicables ces résultats au cas d'un payement annuel au montant Î ou par cinquièmes à effectuer aux rentiers survivants au bout de chaque année. Pour cela, il n'y aura qu'à faire n—5 et o=r; la valeur de A’ donnée par la formule (8) deviendra dans ces suppositions, En p? Ae): 4p p? 1 == rh, ot! en 1 te POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 9 En fixant le taux d'intérêt à 4 pê, on aura r — 1,04, p= pane de 25, et Pon trouvera par un calcul facile, A= 1,008 A J- 1,8505 ., nn ner. 5 LEN (E) On obtiendra de la même manière pour r =1,035, A= 1,002A + 1,8665..... «snert h0) pour r—= 1,03, A'—1,002A + 1,8860........…. (11) Si les valeurs précédentes sont mises sous la forme Am  Hd, il est évident que la correction ò ne sera pas une quantité constante, mais variera avec la valeur de A. Or, puisque le coëfficient de A dans la valeur générale de A’ diffêre peu de Punité, et que la quantité A est toujours infé- ” el ; 5 rieure à — — — P, la correction ò variera peu en passant d'une valeur de A Vd à une autre. La table suivante qui se rapporte à trois divers taux d’interêt, et où lon n'a évalué là correction qu'en centièmes de lunité, pourra faciliter Yapplication de la formule (8). bicdranhte Te (: | 8 {9 bad de 17 ek: 20 lait al : Ben bide enke hal soho 6 | 7 | | | tad 4 Wi | pdf Koe | vk |_| Valeurs de ò. | | Er r —= 1.08 1.891. 891 ‚891. EE ee en „901.911. SLLSI LOL ‚911. 021. 921.921. pel. SaR 98 r — 1.035 f: sn 871. 871.871. his, ig Bark: 881 881.891. ee BOL, ot son 901.901. 901.90 901.901.91 | == 1.04 1.851. 861. 861. 861.871. 871.871.87 1.881. 881.881. so1. 501501 voro oo OL Ten voer la bl el ek AR [| Nous n’avons pas jugé nécessaire d'étendre la table he à en valeurs de 7, le taux d'intérêt adopté dans la pratique des rentes viagères ne sortant pas en général des limites 5 et 4 po. S 6. Nous allons indiquer maintenant usage que l'on pourra faire de cette table pour parvenir à une évaluation approximative de la valeur des rentes viagères relatives aux divers âges de la vie. Prenons d'abord pour base de calcul la table de mortalité de Kersseboom. Il faudra commencer par arranger celle-ci de manière à ne procéder que par intervalles de cinq années, on obtiendra alors les nombres suivants. 26 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X. 10 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D’APPROXIMATION ij NOMBRE | AGE. DES LOGARITHMES. | DIFFÉRENCES. VIVANS, | OE DA PU EEE EA NE den 0 1400 814618 | 5 | 964 2.98408 | 0.16205 10 | 895 2.95182 | 0.08226 15 856 2.93247 | 0.01935 20 817 2.91222 | 0.02025 2 1,772 2.88762 | 0.02460 80 17 M 2.85187 0.03575 35 | 655 | 281624 | 0.03563 40 | 605 278176 | 0.04448 45 \ 560 2.74819 < 0.08357 50 | 507! 2.70501 | 0.04318 55 446 2.64933 \ 0.05563 60 382 2.58206 \ 0.06727 || 65 815 249831 | 0.08375 | 70 245 238917 | 0.10914 75 175 224304 | 0.14613 80 100 | 200000 | 0.24304 85 45 | 165321 | 0.54679 90 10 | 1.00000 | 0.65321 95 1 0.00000 | 1.00000 où nous avons ajouté les logarithmes des nombres des vivants ainsi que leurs différences, afin de faciliter l'application de la formule (5) qui devient ac- _ tuellement, AARD Xe ou bien, en effectuant le calcul à laide des logarithmes, Log. A= Log. (A, + 5) — {log.v — log. v; + 0,08517} .…..... . (12) Puisqu’'on doit commencer le calcul par l'âge de 95 ans qui est le plus avancé de la table, la valeur de A relative à cet âge sera évidemment égale a zéro, lextinction totale s’opérant déja avant l'âge de 100 ans. Done il viendra pour la valeur relative a l'âge de 90 ans, Log. A = 0,69897 — (1 + 0,08517) = 9,61380. d'où A — 0,4110. En substituant cette valeur à la place de A, la form. (12) fournira celle relative à l'âge de 85 ans, et ainsi de suite. Voici maintenant le tvpe du calcul Erie. POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. it complet pour tous les âges de la table précédente, tel qu'il peut être établi d'après la formule logarithmique exposée ei dessus. Nous avons cru utile de le reproduire en son entier, pourqu’on puisse comparer le travail exigé par notre méthode d’approximation à celui qu'il faudra exécuter, si l'on s’attache à lune des méthodes rigoureuses. AGES. 90 85 80 75 60 55 70 0.08517 \Log.5 —=0.69897 1 bn 1.08517 1.08517 | 9.61380 0.08517 0.73328 65321 13838 0.73838 9.99490 0.08517 0.77730 34679 43196 0.43196 0.34534 0.08517 0.35823 24304 32821 032821 | 0.53002 0.08517 0.92369 14613 23130 0.23130 0.69239 0.08517 0.99672 10914 19431 0.19431 0.30241 0.08517 1.05477 8375 16892 0.16892 0.88585 0.08517 1.10342 6727 15244 0.15244 0.95098 | 0.08517 1.14403 5568 14085 0.14085 1.00318 ‚ 0.08517 1.17821 4318 | __ 12835 0.12835 1.04986 Î AGES, 40 "20 15 10 14.2166 5 | 0.08517 1.20996 | 16.2166 3357 | 11874 011574 1.09122 ' 12.5572 5 0.08517 1.23898 | 17.3372 3443 11965 0.11965 1.11933 | 13.1620 5 0.08517 1.25917 ' 18.1620 3563 |_ _ 12080 _0.12080 113837 | 15.7522 5 7 0.08517 1.27305 | 18.1522 3575 12092 0.12092 1.15213 | 14.1950 5 | 0.08517 | 1.28318 | 19.1950 _ 2460 | _____ 10977 0.10977 1.17341 | 14.9076 5 0.08517 1.29902 { 19.9076 2025 10542 0.10542 |______ 1.19360 | 15.6171 5 0.08517 1.31423 | 20.6171 1935 10452 0.10452 1.20971 | 16.2074 5 0.08517 1.32649 | 21.2074 3226 11743 0.11743 1.20906 | 16.1850 5 0.08517 1.32599 | 21.1830 16205 24722 0.24722 107877 | 11.9886 26% 12 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION Les chiffres indiqués dans le calcul précédent en caractêres majuscules expriment pour les divers âges auxquels ils se rapportent, les valeurs exactes d'une rente viagère au montant 5, payable en son entier au bout de chaque période quinquennale. Ces valeurs devront maintenant être corrigées en y ajoutant la quantité ò dont les valeurs ont été données ci dessus, pour en déduire celles relatives à une rente 1 payable en son entier aux survivants au bout de chaque année. En effectuant cette correction, il suffira en effet dexprimer les valeurs de ò en centièmes de l'unité, les erreurs qui affectent ordinairement les tables de mortalité, et par suite les valeurs des rentes via- gêres rendant inutile de pousser plus loin lexactitude de ce calcul. S 7. Nous allons réunir dans la table suivante les valeurs des rentes ob- tenues ci dessus, et celles corrigées de la quantité ò, en y meltant en regard les valeurs exactes des rentes viagères calculées d'après le même procédé de dérivation, ainsi que les différences ou les écarts entre ces dernières valeurs. et celles fournies par notre méthode d'approximation, afin de mieux faire ressortir le degré d'exactitude dont elle est susceptible dans la pratique. ” VALEURS DES RENTES VIAGÈRES D'APRÙS L'ORDRE DE MORTALITÍ DE KERSSEBOOM. TAUX DINTÉRÊT — 4 Pg. VALEURS | TT VALEURS 4 AGES. NON 5 î \_ DIFFERENCES. CORRIGÉES. be derne ae a | 0 11.9886 | 13.8786 13.5326 | + 0.3460 5 16.1830 | 18.0830 18.0638 | + 0.0192 10 16.2074 | 18.1074 181109 | — 0.0035 15 15.6171 | 17.5171 175251 | — 0.0080 20 149076 | 16.8076 163070 | + 0.0006 25 141950 16.0850 16.0850 00000 30 18.7522 15.6422 15.6401 + 00021 || 85 13.1620 15.0520 15.0560 | — 00040 40 123372 | 142272 142282 | — 0.0010 45 112166 \ 13.0966 18.1042 | — 0.0076 50 10.0735 11.9535 119492 + + 00063 | 55 | _8.9326 10.8126 10.8041 + 00085 | 60 | _7.6887 9.5587 95473 \ + 0.0114 65 | _6.3447 82147 8.1803 + 0.0344 70 49248 6.7948 6.7363 + 0.0585 75 8.3886 5.2486 5.1569 + 0.0917 80 |‘ 22148 40748 38744 + 0.2004 85 0.9883 28383 25293 + 03090 90 0.41 10 12610 | © 1.6552 — 03941 En regardant la dernière colonne de la table précódente, on pourra s’'as- surer que les écarts des valeurs exactes sont en général assez faibles sur 10 N en Br et A Mere ET en PE % - is eK Del POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES, 15 une étendue de vie depuis l'âge de 5 ans jusqu'à celui de 65 ans, et que accord entre les deux résultats pourra pas conséquent être consideré comme satisfaisant sous le rapport de la pratique. On devait s’attendre à une moindre concordance pour les âges plus avancés, attendu que lhypothèse du décroissement uniforme, base de notre méthode, se vóérilie moins exactement dans cette dernière période de la vie, et il doit en être de même à l'égard des premières années de la vie, à cause des irre- gularités que présente alors la table de mortalité. Quant aux valeurs pour les âges intermédiaires non compris dans ha table, on pourra toujours les obtenir par voie d’interpolation ordinaire, et il est elair que les résultats offriront des écarts de même ordre de grandeur. Nous ne nous sommes pas borné à faire l'essai de notre méthode sur la table de Kersseboom, mais nous avons en autre appliquée à deux autres ordres de mortalité, savoir celui de Deparcieuz, et celui fourni par la table de Brune, basée sur lexpérience de la Caisse des veuves, établie à Berlin en 1776 *. Les résultats que nous avons obtenus par ces nouveaux calculs sont consignés dans les tableaux suivants. VALEURS DES RENTES VIAGÈRES, D'APRÈÙS L'ORDRE DE MORTALITÍ DE DEPARCIEUX. Taux d'intérêt à 3 pg. l VALEURS TTT VALEURS sn AGES, ee A Er a EXACTES. DIFFERENCES, OBSERVATIONS, 0 14,3443 16.2543 15.7117 + 0.4766 Les valeurs exactes don-| 5 20.7100 22.6400 22.6118 + 0,0282 | nées dans la quatrième co- 10 | 208640 | 227940 | 227842 | + 00098 | yprne ont Gé B pm 0: 15 | 201330 | 220630 | 220613 | + 00017 || °nYrege cité ci-dessous. 20 | 192637 | 211837 \ 211860 | — 0.0023 25 | 184725 | 203925 | 203916 | + 0.0009 30 { 176262 | 19.5462 195446 | + 0.0016 85 | 165758 | 184958 184942 | + 0.0016 40 | 152855 | 172055 172052 | + 0.0003 45 | 187700 { 156800 | 156859 | — 0.0059 50 | 12.0708 13.9808 | 139823 | — 0.0015 55 | 102767 12.1867 121738 | + 00129 60 85562 | 104462 | 10.4366 + 0.0196 65 6.8592 8.7592 87183 | + 0.0409 70 5.0630 6.9630 6.8958 | + 0.0672 75 8.3697 5.2597 5.1182 | + 0.1415 80 21153 4.0053 37644 | + 0.2409 85 1.0593 2.9793 25912 | + 0.3821 90 01617 2.0517 12063 | + 0.8454 * Cette table se trouve entre autres dans la traduction allemande de l'ouvrage de D. Jonzs, intitulé On the value of annuities and reversionary payments, dèja cité dans la note précédente. 14 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION VALEURS DES RENTES VIAGÈRES D'APRÈS L'ORDRE DE MORTALITÉ DE BRUNE. Taux d'intérêt à 4 pg. VALEURS VALEURS s ö AGES. Jr Es tKAOTES; DIFFÉRENCES. OBSERVATIONS, NON 7 CORRIGÉES. OLEN: NN AAROULIN: La table de M. BRUN 20 16.4470 18.3470 18.3574 — 0.0104 | ne commence pour le sex 25 | 15.6580 | 17.5580 | 17.5669 | — 0.0089 ee eld 21 30 14.7231 16.6231 16.6315 — 0.0084 | in qu'à làge de 16 aas. 35 13.654 15.5484 15.5621 — 0.0137 Tes verordend 40 12,.5090 143990 | 14,4068 — 0.0078 empruntées à l'ouvrage déj 45 11.2479 13.1379 | 13.1409 — 0.0030 | cité. 50 9.8744 11.?544 | 11.7582 | — 0.0038 55 8.3778 10.2578 | 10.2500 + _0.0078 60 6.8129 8.6829 8.6643 + 0.0186 65 5.3250 1.1950 | 7.1412 + 0.0538 70 3.8990 5.1590 | 56656 | + 0.0934 75 2.7602 4.6202 | 44327 | ++ 0.1875 80 1.6706 3.5306 ‚33094 ‚ + 02212 85 0.5401 23901 | 1.9254 + 0.4647 SEXE FÉMININ. 15 | 156804 | 175804 | 175700 | + 0.0104 20 | 15.6586 | 175536 | 17.545 | + 0.0061 25 | 15-3220 | 172220 | 172212 | + 00008 8 30 | 147597 | 16.6597 | 166586 | + 0.001 35 | 140620 | 159520 { 159598 | — 0.0078 40 | 18.1825 | 15.0725 | 150800 | — 0.0075 45 12.0270 13.9170 | 18.9256 | — 0.0066 En 50 | 10.6285 | 125085 | 125211 | — 00126 Ni: 55 9.0478 \ 109278 | 109298 | — 0.0020 ON 60 74448 | 9.3148 9.3085 + 0.0063 65 5.7185 7.6485 7.6150 | + 0.0335 70 4.3059 61659 6.0858 + 0.0801 75 3.1282 4.9882 48345 | + 01537 80 2.1030 | -3.9630 87484 | + 02146 85 1.4328 3.2828 2.9026 “+ 0.3802 90 0.6995 25495 | 2.1275 | + 0.4220 POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. VALEURS DES RENTES VIAGÈRES D'APRÈS L'ORDRE DE MORTALITÉ DE BRUNE. Taux d'intérêt à 35 p$- [ VALEURS. | Î AGS. [TTT grt DIFFÉRENCES. OBSERVATIONS. NON z | 4 cormigfrs, | CORRIGEES. | | | AERON Br BOE PEA Bets ho Í SEXE MASCULIN. 20 17.9488 | 198488 | 193679 | — 00191 : 25 17.0072 189072 | 189252 | — 00180 | 30 15-9130 17.8130 | 178299 \ — 0.0169 35 14.6855 16.5855 | 165981 | — 00126 40 13.3770 15.2670 | 152840 | — 0.0:70 | 45 ‘ _11.9615 138515 | 138637 | — 0.0122 50 10.4410 123310 123344 — 0.0034 55 8.8088 106888 |. 10.6905 — 0.0017 60 7.1249 90049 | 8.9856 + 0.0193 65 5.5405 74205 | 7.3662 + 0.0543 70 4,0586 5.9186 | 58147 + 0.1039 75 2.8465 47165 | 45286 + 0.1879 80 1.7154 3.5854 | 8.3639 + 02215 85 0.5533 | 14233 | 1.9476 — 0.5248 | “SEXE FÉMININ. 15 17.1891 19.0891 { 191319 | — 0.0428 20 | 171020 | 190020 | 190045 | — 0.0025 25 16.6731 18.5731 18.5813 | — 0.0082 80 15.9900 17.8900 178979 | — 0.0079 35 15.1590 17.0590 170659 | — 0.0069 40 14.1340 16.0240 16.0406 | — 0.0166 45 12.8206 14.7106 147269 \ — 0.0163 50 11.2634 13.1534 13.1654 — 0.0120 55 9.5324 114224 11.4239 — 0.0015 60 7.1992 9.6792 9.6724 + 0.0068 65 6.0230 7.9030 7 8688 + 0.0342 70 44682 6.3382 6.2576 + 0.0806 75 3.2336 5.1036 49494 + 0.1542 80 2.1675 40375 3.8223 + 0.2152 85 1.4722 3.3422 29508 + 03914 | 90 0.7166 2.5866 2.1536 + 04330 16 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION S 8. L'inspection des tableaux qui précédent suffit pour s’assurer que notre méthode d’'approximation conduit à des résultats assez satisfaisants pour pou- voir s'en servir dans la pratique, au moins jusqu’a l'âge de 60 ans. Quant aux valeurs des rentes relatives aux âges plus avancés, on aura remarqué qu'à partir de l'âge de 65 ans les résultats deviennent moins exacts, les écarts augmentant à mesure qu'on se rapproche de Pextrémité de la vie. Or, rien n’impêche d'obtenir par la même méthode, pour cette partie de la vie, des résultats qui s’écartent moins des valeurs exactes. A cet effet, il ne s'agira que de resserrer l'intervalle adopté de 5 ans, en le fixant à 5 ans, et de déterminer en conséquence les valeurs de la correction ò qui s'y rapporte. La formule (8) deviendra dans ce cas, sE 72 3 (r—l)?r? 1 1 (2 l (rant) ete r 8 lr „2 Fixant le taux d'intérêt à 4 p$, on trouvera facilement, A' == 1,001 A + 0,9492 d'où résulteront pour ò les valeurs suivantes, A=l1, 2, 3, 4, 5 Ass 6, 1.6 010 ò — 0,95, ò — 0,96. Appliquons ce second calcul à la table de Kersseboom, d'après laquelle a les chiffres qui suivent. 12rs rt HI LOGARITHMES LOGARITHMES AGE. la DIFFÉRENCES. AGE. OE DIFFÉRENCES. NOMBRES DES | NOMBRES DES VIVANS, | | À VIVANS, | ER 60 258206 | | 78 211394 0.12910 63 253529 0.04677 | 81 | 1.93952 017442 66 241857 0.05672 84 1.74036 019916 69 241330 0.06527 | 87 144716 0.29320 712 238646 0.07684 | 90 1.00000 0.447 16 16 224304 0.09342 | „93 047712 0.52288 | on POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 17 La formule de dérivation pour le calcul des rentes sera actuellement A= (A, an edn vr où lon mettra A, —0 pour l'âge de 95 ans. Voici le calcul en son entier tel qu'il est basé sur cette formule. AGES, AGES. 8.4245 43 0.05110 \Log.3 — 047712 0.05110 0.80784 | 6.4245 52288 57398 12910 18020 90 | 057398 9.90314 | 0.8001 | 75 | 0.18020 0.62764 | 4.2427 3 3 0.05110 0.57979 | 3.8001 0.05 110 0.85990 | 7.2427 44716 49826 9342 14452 87 | 0.49826 0.08153 « 1.2065 || 72\ 0.14452 0.71538 | 5.1925 ö 3 0.05110 0.62392 | 42065 0.05110 0.91342 | 8.1925 29320 34430 | |__7684| 12794 84 | 054430 027962 | 1.9058| 69 0.12794 | ___ 0.78548 | 6.1021 3 | 8 0.05110 0.69053 | 4.9038 0.05110 0.95915 | 9.1021 19916 25026 6527 11637 81 | 0.25026 044027 | 2.7559 || 66 0.11637 0.34278 | 6.9627 8 3 0.05110 0.76011 | 5.7559 0.05110 0.99838 | 9.9627 17442 22552 5672 10782 181 0.22552 0.53459 | 5.4245|| 65 0.10782 0.89056 | 7.11725 On déduira de ces résultats le tableau suivant. VALEURS | ee VALEURS | e Ur rk Eene ana EE Gek DIFFÉRENCES, EXACTES. NON À ORRIGÉES. corniczés. | C n 63 1.1125 8.7525 87174 66 6.9627 7.9227 7.9031 69 6.1021 1.0621 7.0367 72 5.1925 6.1425 6 1189 75 42427 5.1927 5.1569 18 34245 43745 43174 81 21559 3.7059 3.6315 84 1.9038 2.8538 2.7766 87 1.2065 2.1565 20595 90 0.8001 1.7501 1.6552 det en) 8 27 NATUURK, VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, 18 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION d'où lon voit que le plus grand écart reste encore inférieur à 0,1. On est done en droit d'en conclure qu'il est possible d'obtenir des valeurs suffisam- ment exactes des rentes viagères pour tous les âges de la vie. A cet effet on établira d'abord le calcul pour les âges avancés de manière à procéder par des intervalles de trois ans, et l'on poursuivra ensuite le calcul pour des inter- valles de cinq ans, en ayant égard aux corrections qui s'y rapportent respec- „tivement. Seulement dans le passage d'un calcul à lautre, il faudra avoir soin de réduire la dernière valeur donnée par le premier calcul à une valeur non corrigée qui puisse servir de base au second calcul, ainsi qu'il est aisé de comprendre d'aprés la nature de la méthode d'approximation exposée dans le présent mémoire. $ 9. L'avantage qu'offre notre méthode sous le rapport de la pratique ne e borne pas au calcul des rentes viagères, mais il s'étend en même tems évaluation approximative d'autres quantités qui se présentent dans la théorie mathématique des assurances sur la vie, et qui se trouvent directe- ment liées aux prix des rentes viagères. Telles sont les valeurs des rentes differées et temporaires; celles d'un capital payable au déeês de lassuré, etc. En effet, soit (Ä ) la valeur d'une rente annuelle f differée de # ans, ou payable seulement après cet intervalle, aux rentiers survivants au bout de chaque année, on aura, comme l'on sait, 1) = Or, en désignant par A, la valeur d'une rente ordinaire 1 relative a l'âge ’ 8 Î a + n, on parviendra facilement à la formule suivante, IS à Un+1 Vn 2 Ì | Ì pn+l zker + ete d | yv 1 vn (â) = Pei d'où il résulte qu'une erreur sur la valeur de A„ donnera lieu à une erreur , Î \ d'autant plus petite sur celle de (A) que le facteur ze 22 toujours <1, ex- Ki primera une quantité plus faible. il en sera de même de la valeur d'une rente temporaire, c'est à dire d'une rente touchée seulement pendant un nombre n d’'années, pourvu que le rentier ne meure pas avant l'expiration de ce terme. La valeur d'une telle rente relative à l'âge a aura évidemment pour expression la diftérence entre la PA en POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 19 valeur d'une rente ordinaire et celle d'une rente differeé de n ans; elle sera donc égale à —_—_—À A re 7 et pourra se calculer également par la méthode d’approximation. Considérons maintenant le cas d'une assurance sur la vie. Soit a l'âge de Vassuré, et 1 le capital exigible à son décès. Désignons par G la valeur ou le prix de cette assurance, on aura alors Si Pon compare cette valeur à celle de A donnée par la formule (5), savoir =p egte on en déduira 1mmédiatement, PENS ri pr p+1 p+1 Done, en désignant par AC lerreur que produira sur la valeur de C, une erreur AA sur la quantité A, on aura C 1 RE den d'où l'on voit qu'en prenant pour base un taux d'intérêt égal à 4 p$, lerreur sur C ne s'élèvera qu’au s; de celle sur A. On peut donc être certain que si Von calcule les valeurs de Cà l'aide de la formule (12), les résultats ne s’'écarteront presque pas de ceux déduits des valeurs exactes de A. S 10. Il ne sera pas inutile de faire remarquer encore que ['hypothése qui a servi de base à notre méthode d’approximation, s'applique avec le même succès au calcul de la durée de la vie moyenne aux divers âges, ainsi que nous allons lindiquer. En exprimant toujours par v, vs ven etc. les nombres des vivants d'après la table de mortalité, aux àges a, an, a +2n etc., nous pourrons, en adoptant I'hypothèse d'une mortalité uniforme pendant un intervalle de n années, poser pour les nombres des vivants au bout des années consécu- - lives Ae 20 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION n—l vv, v=—_-Av, v —-A'v heid Ne A'v n n n n % 3 n—l ! Un» Vn —-ÂA Un ; Un —-A' u, Un A! vs ee Un A' un n ” Nn k 8 n= l 1 Vans Van r Van, Van A Van Van — Avans: Vin A'van etc. etc. A'v etant égal à vun, A' vn Un Vins A Vijn Vjn==Ugzn « etc. Or, puisque la durée de la vie moyenne relative à l'âge a s’obtient en divi- sant la somme des survivants aux âges consécutifs à partir de l'âge a, par le nombre v, et diminuant le quotient d'une demi-année, il viendra en dé- notant cette durée par (a), celle relative à l'âge a+n par (a), et obser- vant que A'v + Alon + Aven + etc. = v, Re TP Van MRE m5) en Le Mad @= 5 v ou bien vt un J- van + ..« etc. 1 ot On aura de même pour l'âge a + n, 4 un + van + Van + «++ etc. 1 (a) =n Un 3 On déduit des deux formules précédentes, ke (@ pi 7) zen wl ko ien HEE) Un (ce) + ;) == n (un Van ze Un = etc.) Donec POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES, 4 | Faisant » —= 5, on aura la formule (@) = 25 + (@) + 25) 5, propre à dériver facilement la durée de la vie moyenne relative à un àge quelconque a, de celle relative a l'âge a + 5. Appliquons ce procédé à la table de Kersseboom, en commencant par l'âge de 95 ans pour lequel on pourra prendre la vie moyenne égale à une demi- année. Les différences logarithmiques du nombres des vivants aux intervalles quinquennaux, étant déja obtenuês au $ 6, nous pourrons utiliser les mêmes chiffres dans le calcul actuel, ainsi qu'il suit: AGE. AGE. 95 0.5 70 92470 2.5 2.5 30 Log. 0.47712 117470 — 1.06993 1 10914 0.3 “947712 91367, 0.96079 2.5 2.5 90 ES 65 11.6367 2.5 2.5 GES. — 072428 141367 — 115035 65321 8375 1.1781 0.07107 11.6570 1.06660 2.5 2.5 85 3.6781 60 _14.1570 2.5 2.5 61781 — 0.79085 166510 — 122159 34679 6727 2.7801 044406 14.2667 1.15482 2.5 2.5 80 52801 55 _16.7667 25 | 2.5 7.7501 — 0.89099 | 192667 — 1.28481 24304 5568 44458 0.64795 16.9484 _1.22913 2.5 2.5 715 6.9458 50 194484 2.5 2.5 "94458 — 0.97524 219484 — 1.34141 14613 4318 6.7470 0.82911 198715 129823 2.5 | 2.5 70 92470 45 223715 22 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION AGE. À AGE. 45 223715 20 _ 36.3361 2.5 2.5 248715 Log. 1.39571 388361 — 1.58924 3357 2025 23.0217 136214 37.0673 1.56899 2.5 25 40 255217 15 _39.5673 2.5 2.5 280217 — 144750 420673 — 162394 3448 1935 25.8835 1.41302 40.2336 1.60459 2.5 2.5 35 28.3835 10 _42.7336 2.5 2.5 308835 — 1.48973 452336 — 165547 8563 8226 284513 145410 41.9960 162321 2.5 2.5 350 _ 309513 5 444960 2.5 2.5 834518 — 1.52442 46.9960 — RO 8575 } 16205 30.8081 1.48867 82.3600 151001 2.5 2.5 25 _33.3081 - _ 0 348600 2.5 85.8081 — 1.55398 2460 83.8361 _1.52938 2.5 20 36.3361 Pour faire juger du degré d'exactitude de ce calcul, nous allons réunir R: les résultats dans le tableau suivant, en y joignant les valeurs exactes de — la vie moyenne, exprimées seulement en centièmes de l'année, ainsi que cela se pratique ordinairement. POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES 23 | VIE MOYENNE | AGES. Ì nne Nn js | DIFFÉRENCES. APPROCHÉE. EXACTE. | -— ET) TR Sacha. 0 34.86 34,47 + 0.39 5 44.50 | ° 4445 _|- + 0.05 10 42.13 42.71 | + 0.02 15 8957 | -8955 | + 0.02 20 | 86.34 - | _ 86.31 + 008 25 | 3881 | 83.28 + 0.03 30 | 3095 | 30.92 + 0.03 85 28.38 _ | _ 28.36 + 0.02 40 2552 | 25.49 + 0.03 45 22.817 - | 2284 + 0.03 50 19.45 | 1941 + 0.04 bh OL 16.77 | 16.72 + 0.05 60 | 1416 | 1410 + 0.06 65 ING be 21:56 + 008 70 9.25 | 9.15 | + 0.10 . FB nd 6.95 | 681 | + 0.14 BON il 5.28 5.04 | + 0.24 85 | 3.68 | 834 | +084 | | 90 | 2.80 | 2.30 | + 0.50 | : On voit qu'entre les limites 5 et 60 ans, les écarts sont assez faibles pour pouvoir être negligés dans la pratique; ils n'excèdent pas un + d’'année. Get écarts deviennent plus sensibles pour les àges avancés, ce qui tient à la même cause que celle dont il a été question au $ 7 relativement aux valeurs approchées des rentes viagères. Néanmoins si l'on désire obtenir des valeurs plus exactes pour les âges qui s'étendent au delà de 60 ans, on n'’aura qu’à resserrer |intervalle en prenant n— 5, la formule (15) donnera dans ce cas, (a) = 15 + (@ + 1,5) st L'application de cette formule à la même table de mortalité nous a fourni les résultats consignés dans le tableau comparatif qui suit. 4 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D’'APPROXIMATION VIE MOYENNE AGES. TT DIFFÉRENOES. APPROCHÉE | EXACTE. 60 14.10 | 14.10 0.00 63 12.55 | 12.54 + 0.01 66 11.09 | 11.07 + 0.02 69 9.64 | 9.68 + 0.01 12 822 | 8.20 + 0.02 15 6.83 | 6.81 + 0.02 78 5.68 | 5.65 + 0.03 81 4.74 | 4,12 + 0.02 84 s.0Hilt 4 3.65 — 0.02 87 , 2.73 | 2.79 — 0.06 90 1.95 | 2.30 — 0.35 | d'où il ressort qu'à l'exception des âges qui se rapprochent de l'extrémité de la vie, les erreurs sont du même ordre que celles obtenues dans Ig tableau précédent pour ce qui concerne les âges inférieurs à 60 ans, Bn: aux durées de la vie moyenne relative aux âges intermédiaires, on les calculera de même qu'il a été observé à l'égard des rentes viagères ($ 7). S 14. Les tables de mortalité renferment ordinairement une colonne indi- quant la vie moyenne aux divers àges. (Ges nombres n'ont servi jusqu’ici qu'à comparer entre eux les divers pays ou des classes d'individus sous le rapport de la mortalité. Personne cependant ne parait avoir remarqué encore qu'une table contenant seulement les chiffres de la vie moyenne est égale- ment propre à servir de base aux calculs qui se rattachent aux diverses assurances sur la vie. En effet, en vertu de la formule (15) les durées de la vie moyenne aux âges a et a +1 sont liées entre elles par P'équation 1 1 vi Set ten ( + 5) De même il existe entre les valeurs des rentes viagères aux âges a eta lp la relation vid Ame (A, +t I) nen r d'où l'on déduit immédiatement la formule POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 25 A L f(a) — 3 SAE pouvant servir à dériver le prix relatif à l'âge a de celui relatif à l'àge a + 1, à aide des durées de la vie moyenne qui se rapportent à ces deux àges. En commencant par l'âge le plus avancé de a table, pour lequel on a A, = 0, (4) — 3, on pourra calculerla valeur de A et continuer de la sorte pour les âges inférieurs. Rien n'empêche d'y appliquer en même tems la méthode d'approximation, en procédant par intervalles de trois et de cinq ans, et en se servant à cet effet de la formule n fora erg Aad Fn n, n{’ ble | où l'on fera successivement n —=3 et n=5 *, $ 12. Il ne sera pas inutile d'examiner en outre jusqu'à quel point la méthode d’'approximation précédemment exposée serait susceptible d'être ap- pliquée avec succés à l'évaluation des rentes viagères composées, c'est-à-dire des rentes constituées sur la vie jointe de deux individus. On ne pourra pas s'attendre alors à un égal degré d’approximation que dans le cas des rentes simples, traité ci dessus. En effet, en formant une table de mortalité basée sur un nombre N de couples d’individus existants aux âges donnés, et désignant par N,,N,... les nombres des couples sur- vivants au bout de 1.2... années, il est évident que [hypothèse d'un dé- croissement uniforme dans ces nombres pendant chaque intervalle quinquennal, se rapprochera moins de la verité, que lorsqu'il s'agit de Pextinction succes- sive d'un nombre N d'individus isolés. Nous allons communiquer encore dans les tableaux suivants, les résultats comparatifs que nous avons obtenus par l'application de notre méthode aux rentes relatives aux vies jointes de deux personnes A et B de même ou de différents âges, et en prenant pour bases de calcul deux tables de mortalité différentes, savoir celle de Kersseboom, et celles de Brune avec distinction de sexe, A désignant dans ce dernier cas la personne du sexe masculin et B celle du sexe féminin. * Il n’y a done pas lieu, contrairement à opinion émise par M. le Dr. Pa. FrscHer, à regarder comme inutiles les chiffres de la vie moyenne. Voyez son intéressant ouvrage publié en 1860 sous le titre Grundzüge des auf menschliche ‘Sterblichkeit gegründeten Versicherungswesens, pag. 19. 28 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X. 26 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION ORDRE DE MORTALITÉ D'APRÈS KERSSEBOOM; VALEURS DES RENTES VIAGDRES COMPOSÉES. Taux d'intérêt — 4 P$. ÂGE DE _ _VALEURS get aaan EN mee el hen a 7 began DIFFÉRENCES. A B NON CORRIGÉES. CORRIGÉES, 5 5 12.8135 14.7035 14.9503 — 0.2468 10 10 13.0867 149767 14.9683 + 0.0084 15 15 12.4060 14.2960 14.2969 — 0.0009 20 20 | 11.5692 13.4592 13.44381 + 0.0161 25 25 | 10.7640 12.6440 12.6194 + 0.0246 80 30 10.4395 12.3195 12.2908 + 0.0287 85 85 99662 11.8462 11.8283 + 0.0179 40 40 92124 11.0924 11.0692 + 0.0232 45 45 8.0822 99522 99321 + 0.0201 50 50 | 6.9967 | 8.8667 8.8215 + 0.0452 55 55 6.9996 | 1.8696 7.8166 + 0.0530 60 60 4.9501 6.8201 6.7408 + 0.0793 „65 65 8.8569 5.7169 5.6011 + 0.1158 70 70 21570 4,6170 4.44.98 + 0.1672 75 15 1.5744 84344 3.1730 + 02614 80 80 0.8662 2.1162 22595 + 04567 85 85 0.2046 20546 1.3360 + 0.7186 90 90 0.041 1 1.8911 0.8247 + 1.0664 | | kj 15 10 12.7341 14.6241 14.6208 + 0.0033 20 15 11.9724 13.8624 138.8548 + 00076 25 20 111511 13.0311 13.0152 + 0.0159 30 25 10.5593 12.4693 12.4423 + 0.0270 85 30 10.1850 12.0650 12.0414 + 0.0236 40 85 9.5622 11.4422 11.4221 + 0.0201 45 40 86074 10.4874 10.4614 + 0.0260 50 45 71.4966 9.3666 9.3846 + 0.0520 55 50 64525 83225 82787 + 0.0488 60 55 54194 1.2894 1.22382 + 0.0662 65 60 4.3356 6.1956 6.1030 + 0.0926 70 65 8.2245 5.0845 49438 + 01412 75 70 20615 8.9215 8.7089 + 0.2126 80 75 1.1452 29952 26394 + 0.3558 85 80 04185 22685 1.6894 + 0.5791 90 | 85 0.0913 | 1.9413 1.0258 + 09155 êr ek POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 27 ÂGE DE VALEURS TT | ied ee, DIFFÉRENCES. EXACTES. A B vn osn | enen / 20 10 12.2744 | 14.1644 14.1524 + 0.0120 25 15 115244 {134144 13.3978 + 0.0166 30 20 10.9512 | 12.8312 12.8138 + 0.0174 35 25 10.3057 | 12.1857 12.1647 + 0.0210 40 30 9.1394 | 116194 11.5937 + 0.0257 45 35 8.8964 „ 10.7764 10.7525 + 0.0239 50 40 7.9432 9.8132 9.7845 +4 0.0287 55 45 6 8688 8.7388 8.7022 + 0.0366 60 50 5.1769 7.6469 1.5847 + 0.0622 65 55 4.6891 6 5591 6.4697 + 0.0894 70 60 3.5687 5.4237 5.3063 + 0.1174 75 65 2.3612 42212 4.0355 + 0.1857 80 70 1.4639 8.3139 3.0055 + 0.3084 85 75 0.5412 2.3912 1.9086 + 04826 90 80 0.1849 2.0349 1.2340 + 0.8009 20 5 12-1160 14.0060 13.9717 + 0.0343 25 10 _1.8030 13.6930 13.6713 + 0.0217 80 15 11.3024 13.1824 13.1735 + 0.0089 85 20 10.6393 | _12.5193 12.5078 + 0.0115 40 25 9.8306 | 11.7106 11.6872 + 0.0234 45 30 9.0302 10.9102 10.8810 + 0.0292 50 35 8.1726 10.0426 10.0168 + 0.0258 55 40 1.2373 9.1073 9.0752 + 0.0321 60 45 6.1069 ‚1.9769 7.9278 + 0.0491 65 50 49523 6.8223 6.1377 + 0.0846 70 | 55 3.8064 5.6664 5.5625 + 0.1039 75 60 2.5697 44297 4.2686 + 0.1611 80 65 1.6348 3.4948 3.2044 d- 0.2904 85 70 0.6829 2.5329 2.1058 + 04271 90 75 0.2348 2.0849 13559 + 0.7289 28% 28 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION ÂGE DE VALEURS. 5 ae aen Ere enne een 0: ET beeren DIFFÉRENCES. A B__| NON conwroéns. coRzIGÉES. î 25 5 11.6368 18.5268 13.4853 + 00415 30 10 11.5582 13.4482 18.4274 +- 0.0208 35 15 10.9640 12.844,00 128410 + 0.0030 4,0 20 10.810 12 0110 11.9972 + 0.0138 45 25 9 0926 10.9726 10.9459 + 0.0267 50 30 82674 10.1374 10.1063 + 0.0311 55 85 1.4122 92822 92527 + 0.0295 60 4,0 6.3995 8.2693 8.2243 + 0.0450 65 45 5.2005 | 7.0705 6.9987 + 0.0718 10 50 8 9855 | 5.8455 5.7460 + 0.0995 75 55 27171 45771 44289 + 0.1482 80 60 1.7543 “86148 8.3466 + 02677 85 65 0.7520 26020 22019 + 04001 90 70 0.2935 21435 1.4556 + 0.6879 30 5 11.3880 13.2680 183.2315 + 00365 85 10 11.1995 13.0795 18.0712 + 0.0088 40 15 10.424 1 12.8041 122983 + 0.0058 45 20 93560 10.2360 11.2184 + 0.0176 50 25 8.3058 | 10.1758 10.1468 + 0.0295 55 80 1.4733 | 93433 9.3076 + 0.0357 60 85 6.5282 | 8.3932 8.3504 + 0.0428 65 40) 54197 1.2897 7.2220 + 0.0677 70 45 41591 -6.0191 5.9330 + 0.0861 15 50 28250 4,6850 4,5420 + 0.1430 80 55 1.8377 3.6977 83.4427 + 0.2550 85 60 0.8012 26512 221788 + 03784 90 65 0.3196 21696 1.5000 + 0.6696 85 5 11.0184 12.8984 12.8682 + 0.0302 40 10 10.6827 12:5427 12.5026 + 00101 45 15 96126 104926 11.4834 + 0.0092 50 20 8 5344 104144 10.8848 + 0.0296 55 25 7.4917 93617 93286 Je 0.0331 60 30 6.5549 84249 83768 + 0 0481 65 85 54981 1.38681 7.3030 + 0.0651 70 40 43111 61711 6.0896 + 0.0815 75 45 29384 47984 4,6639 + 0.1295 80 50 1.8985 81585 8.5084 + 02501 85 55 0.8352 26852 28202 + 0.3650 90 60 0.3389 | 2.1889 15856 + 06533 POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. ÂGE DE VALEURS — _ he a tT en png DIFFÉRENCES. A B NON CORRIGÉES. CORRIGÉES. | 40 5 10.4470 12.3270 122947 + 0.0323 45 10 9.7906 11.6706 116576 | + 0.0130 50 15 8.7566 10.6366 10.6160 + 0.0206 55 20 7.6893 95593 9,5363 L 0.0230 60 25 6.5592 84292 8.3832 + 0.0460 65 30 5.5080 7.3780 | 1.3075 + 0.0705 70 35 4.3526 6.2126 | 6.1336 - 0.0790 15 40 3.0266 4,8866 4.7621 + 0.1245 80 45 1.9622 8.8222 | 3.5856 + 0.2366 85 50 0.8599 27099 | 2.3508 + 0.3591 90 55 0.3520 22020 1.5571 + 0.6449 al, | dude | 45 5 9.6080 | 11.4880 11.4519 - 0 0361 50 10 8.9069 | 10.7869 10.7612 + 0.0257 55 15 7.8799 | 9.7499 91355 + 0.0144 60 20 67217 | 85977 ‘8.5618 + 0.0359 65 25 55050 7.38150 1.38065 + 0.0685 70 30 4,8502 6.2102 6.1250 + 0.0852 75 85 3.0434 49084 4.7807 + 0.1227 80 40 2.0152 8.8752 3.6439 | + 0.2813 85 45 0.8866 2.7366 23916 + 0.3450 90 50 0.3615 | 22115 1.5707 + 0.6408 ORDRE DE MORTALITÉ D'APRÈS BRUNE. VALEURS DES RENTES VIAGDRES COMPOSÉES. ei MME Taux d'intérêt — 83} pg. ÂGE DE VALEURS VALEURS mien arn kT nnn ad ee rr Een EXACTES, DIFFÉRENCES. A B NON CORRIGÉES. CORRIGÉES. 20 20 142326 16.1226 16.1215 + 0.0011 25 25 13.6207 15.5106 15.5159 — 0.0053 30 30 12.7530 14.6430 14.647 1 + 0.0041 35 85 11.7468 13.6368 13 6356 + 0.0012 40 40 10.6222 12.5122 12.5051 + 0.0071 45 45 92982 12.1782 111758 + 0.0024 50 50 1.8202 9.7002 96845 + 0.0157 55 55 6.2357 81157 8.0776 + 0.0381 60 60 4,7034 6.5834 6.5061 + 0.0773 65 65 3.2804 5.1504 5.0205 + 0.1299 70 70 2.0832 3.9532 3.7178 + 0.2354 75 15 1.2798 3.1498 27489 + 04009 80 80 0.6851 25051 20082 + 0.4969 85 85 0.1692 2.0392 1.1768 + 0.8624 50 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION ÂGE DE VALEURS a VALEURS Ne Er ane ESR N Ee vett ne enne eid” een sores; DIFFÉRENCES, A B NON CORRIGÉES, CORRIGÉES. 20 15 140945 15-9845 15.9793 + 0.0052 25 20 183.7090 13.5990 15.5991 — 0.0001 380 25 129876 148776 148820 — 0.0044 85 80 12.0303 13.92038 13.9202 + 0.0001 40 85 10.9805 12.8705 12.8635 + 0.0070 45 40 9.7967 11.6867 11.6746 + 0.0121 50 45 8.4256 10.3056 10.2941 + 0.0115 55 50 6.9016 8.7816 87542 J- 0.0274 60 55 5.3201 7.2001 7.1410 + 0.0591 65. 60 3.8980 5.7680 5.6655 + 0.1025 70 65 25618 4,4373 42578. + 0.1800 15 70 1.6020 84720 8.1424 + 03296 80 15 0.8640 2.7340 22969 + 04371 85 80 0.2201 20901 1.3550 + 0.7351 25 15 18.5462 154362 15.4315 + 0.0047 30 20 13.0830 14.9230 14.9220 + 0.0010 85 25 122036 140936 14.0939 +- 0.0008 40 80 111874 18.0774 13.0716 + 0.0058 45 85 10.0580 11.9480 11.9361 + 0.0119 50 40 8.7988 10.6788 10.6676 +- 0.0112 55 45 1.38555 92335 9.2100 + 0.0235 60 50 5.8105 7.6905 7.6421. J- 0.0484 65 55 4,38383 6.2083 6.1241 + 0.0842 70 60 8.0012 48712 4.7189 + 0.15238 75 65 1.9389 3.8089 8.5345 + 02744 80 10 1.0545 29245 2.5606 + 0.3639 85 15 0.2965 2.1665 1.4907 + 0.6758 30 15 12.8527 147427 14.7367 + 0.0060 35 20 12.2131 14.1081 14.0976 + 0.0055 40 25 11.8079 18.1979 15.1920 + 0.0059 45 80 10.1977 12.0877 12.0768 + 0.0109 50 85 8.9738 10.8538 10.8431 + 0.0107 55 40 1.6130 94930 94705 + 0.0225 60 45 6.1246 8.0046 7.9607 + 0.0439 65 50 46776 6.5576 6.4742 + 0.0834 70 55 3.2899 51599 5.0258 + 01341 15 60 22263 40968 8.8499 + 02464 80 65 _ 12501 8.1201 28115 + 0.8086 85 70. 0.5566 22206 1.6171 + 0.6035 POUR LE CALCUL DES RENTES VIAGÈRES. 51 ÂGE DE VALEURS Eielenzeal Daud WES Dad Me STAEN a on ed eis efen DIFFÉRENCES. A B NON CORRIGÉES. CORRIGÉES. 85 15 12.0246 13.9146 18.9050 + 0.0096 46 20 11.2903 13.1803 18.1692 + 0.0111 45 25 10.2755 12.1655 12.1549 + 0.0106 50 380 9.0600 10.9400 10.9304 + 0.0096 55 35 1.71938 95993 95771 + 0.0222 60 40 6.2921 8.1721 8.1288 + 0.0433 65 45 4,8822 6.7622 6.6833 + 0.0789 70 50 3.5069 5.3769 5.2538 + 0.1231 75 55 24020 42720 4,0437 + 0.2283 80 60 1.4064 32764 29962 + 0.2802 85 65 0.4180 2.2330 1.7295 + 0.5585 40 15 11.1036 12.9936 12.9780 + 0.0156 45 20 10.2421 12.1321 12.1160 + 0.0161 50 25 9.1080 10.9880 10.9782 + 0.0098 55 30 7.1679 96479 96264 + 0.0215 60 85 6.3496 8.2296 8.1864 + 0.0432 65 40 4,9833 6.8633 6.7848 + 0.0785 70 45 3.6304 5.5004 5.3818 + 0.1186 75 50 2.5336 44036 4.1S65 + 02171 80 55 1.4933 3.3633 8.1011 + 0.2622 85 60 _ 0.4650 23350 1.8041 + 0.5309 45 15 10.0660 11.9560 11.9350 + 0.0210 50 20 0.0680 10.9480 10.9324 + 0.0156 55 25 1.7969 96769 96548 + 0.0221 60 30 6.3755 8.2555 82121 - 0.0434 65 35 5.0102 6.8902 6.8122 + 0.0780 70 40 3.6865 5.5565 54387 +- 0.1178 15 45 26038 44788 42613 + 0.2125 80 50 1.5609 8.4309 8.1801 + 0.2508 85 55 04894 23594 1.8451 + 0.5143 52 MÉMOIRE SUR UNE MÉTHODE D'APPROXIMATION ÂGE DE VALEURS Re on LT er aranka We de genden DIFFÉRENCES. EN B NON CORRIGÉES, CORRIGÉES. _ 50 15 8.9076 10.7876 10.7690 + 0.0186 55 20 1.1558 96858 9.6090 + 0.0268 60 25 6.3912 82712 8.2289 + 0.0423 65 30 5.0220 6.9020 6.8245 + 0.0775 70 35 8.6965 5.5665 54487 + 0.1178 75 40 2.6325 4,5025 42908 + 02117 80 45 1.5933 3,4633 8:2179n + 0.2460 85 | 50 0.5093 23793 1.8763 + 0.5030 55 | 15 1.6201 9.5001 9.4690 + 0.0311 60 20 6.38551 82351 8.1876 + 0.0475 65 25 5.0323 6.9123 6 8351 + 0.0772 70 30 3.7018 55718 54548 + 01179 75 85 2.6846 4,5046 4,2929 t- 02117 80 40 1.6056 84756 3.2300 + 0.2456 “85 45 0.5180 | 23880 1.8893 + 04987 L'inspection des divers tableaux qui précédent montre que jusqu'à l'âge de 60 ans, relatif au plus âgé des deux conjoints, les différences sont encore de ordre de celles que l'on pourrait tolérer dans la pratique sans crainte de s’écarter trop des résultats exacts. Quant aux âges plus avancés, il est pres- que inutile d'ajouter, d'après ce qu'on a déjà vu à l'égard des rentes ordinai- res ($ 8), qu'en resserrant lintervalle jusqu'à trois ans, on est certain d'ob- tenir pour cette partie de la vie, des résultats beaucoup plus rapprochés de la vérité. Novembre 1861. BIJDRAGE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, REKENWIJZE VAN LAGRANGE, DOOR Gd. FERDAM. Uitgegeven door de Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. AMSTERDAM, pe C. G. VAN DER POST. 1864: grt ve edet Erg BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. DOOR G. IJ. VERDAM. De belangrijke leerstelling der Dynamica, bekend onder de benaming van het grondbeginsel van p'AremBerT of het algemeen beginsel van D'ALEMBERT, in verband gebragt met en uitgedrukt door het beginsel der virtuele snelheden, geeft eene betrekking, uit welke, naar een onveranderlijken regel, kunnen afgeleid worden de noodige vergelijkingen, ter ontbinding van elk voorstel aangaande de beweging, en de omstandigheden der beweging hetzij van een enkel stoffelijk punt, hetzij van eene groep van stoffelijke punten, die op eenige wijze verbonden zijn of gezamenlijk eenig geheel, — derhalve ook eene massa van zamenhangende stofdeelen, een ligchaam, of vereenigde lig- chamen, — uitmaken. En zulks voor elk geval, in elke vooronderstelling, zoowel bij het vrijelijk kunnen bewogen worden van dat punt of van deze groep vereenigde punten, als indien de beweging niet geheel vrij is, maar dat verandering van plaats slechts op bepaalde wijze, slechts voorwaar- delijk kan geschieden. Klaarblijkelijk moeten daartoe gegeven zijn én deze voorwaarden én de krachten, die op de punten werken en de beweging ver- oorzaken of ook wijzigen, terwijl, in het geval eener groep van vereenigde 29 NATUURK, VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X. 2 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, punten, de bepaalde wijze van onveranderlijk of veranderlijk verbonden zijn tot de voorwaarden behoort. LAGRANGE leerde ons het meer uitgestrekt gebruik van het beginsel der virtuele snelheden. Ook het toepassen der leerstelling van p'ArrmBerT door middel van dit beginsel is men aan hem verschuldigd. Hij gaf een eenvou- dig voorschrift, een onveranderlijken regel, of liever eene wijze van doen of te werk gaan, eene methode, bestaande in eene eenvormige rekenwijze om, uit eene algemeene vergelijking of formule, op het beginsel der virtuele snel- heden gegrond, en van het wezen van dit beginsel de analytische uitdrukking zijnde, alles af te leiden wat doel van eenig onderzoek of van eenige be- schouwing in de Statica kan zijn. Maar dat voorschrift kan dan ook onver- anderd gevolgd worden bij het zamennemen of verbinden van dit beginsel met dat van p'ÄLEMBERT, ten einde dit laatste toe te passen ter ontbinding van «eenig voorstel der Dynamica. De rekenwijze voert alsdan niet alleenlijk regtstreeks tot de differentiaal-vergelijkingen der beweging, maar zij doet bovendien bekend worden alle omstandigheden, die van de werking der krach- ten en van de beweging, zoo als deze plaats heeft, een gevolg zijn. Derhalve leert zij de bijzonderheden, die men zou kunnen verlangen te weten, of die men in eenig geval zou moeten nagaan, ten aanzien van drukking, spanning, wederstand, tegenwerking, als anderzins, uitgeoefend, veroorzaakt of teweeg- gebragt door de werkende krachten, door de traagheid der stof, door belem- meringen of beletsels, door voorwaardelijk verband, door gedwongene verplaat- sing, enz. En dan geeft zij ook het juiste oordeel over krachten, welke in de plaats van die wederstanden en voorwaarden zouden kunnen gedacht worden, ten einde, zoo zij met de gegevene krachten zamenwerkten op de groep van punten, deze te kunnen beschouwen als eene groep van geheel vrije punten zonder eenig verband. De eenvoudige en eenvormige wijze, waarop dit alles in eene zelfde berekening of ontwikkeling kan bepaald worden, werd door LAGRANGE zelven aangemerkt als bij uitnemendheid aan zijne methode eigen te zijn, gelijk een bijzonder voordeel, verbonden aan haar gebruik. De weg, dien men volgt bij het te werk gaan naar dit voorschrift, is ze- ker, doet niet falen. Alhoewel gemakkelijk en niet lang, is hij evenwel niet altijd de kortste. Men kan dan ook, bij het toepassen van het beginsel van D'ALEMBERT, wel afwijken van den regel van LAGRANGE, wel nalaten om zijne rekenwijze in eenig opzigt te volgen, waar zij minder gepast of minder kort mogt zijn of mogt schijnen. Maar het afwijken heeft dikwijls geen vol- OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 5 doenden grond; het gedeeltelijk volgen kan doen twijfelen omtrent het alge- meen zijn van de methode; het kan de meening doen ontstaan, dat hetgeen men zoekt, naar het loutere voorschrift niet regtstreeks of niet in allen deele zou kunnen gevonden worden. In de werken van voorname wiskundigen, in geschriften, bestemd om als leiddraad voor de ordelijke beoefening der Dynamica te verstrekken, trof mij meermalen eene onregelmatigheid, onbestendigheid of onvolledigheid in dat opzigt of in dien zin. Zelfs bij de behandeling van eenvoudige voorstellen wordt de rekenwijze van LAGRANGE niet altijd vollediglijk toegepast, en van haar gebruik, ter oplossing van minder eenvoudige vraagstukken, wordt niet gewaagd, alsof zij daartoe niet zou kunnen althans niet zou moeten gevolgd worden. Het niet moeten kon grond hebben in het somtijds minder korte. ‚Het niet kunnen mogt niet worden voorondersteld, of zou slechts schijn we- zen. Het niet gewagen kon te eerder bevreemden, omdat het nuttige en leer- zame, dat het volgen der rekenwijze van LAGRANGE aanbiedt, niet in twijfel getrokken zal worden. De opmerking van dit een en ander gaf mij eene stof ter ontwikkeling, namelijk het overeenkomstig de methode van LAGRANGE toepassen van het beginsel van p'ArrmBert, ter ontbinding van de twee in de Dynamica zeer gewigtige voorstellen, aangaande de beweging van een vast ligchaam hetzij om eene vasle as, hetzij om een vast punt, in de vooronderstelling dat het ligchaam op onveranderlijke wijze met die as of met dit punt is ver- bonden. Met toepassen ter ontbinding wordt hier bedoeld het door die toepassing verkrijgen of vormen van de differentiaal-vergelijkingen der beweging, en het bepalen der functiën, die het oordeel geven over den wederstand, welken de as of het vaste puft moet kunnen bieden aan hetgeen door de bewegende krachten wordt uitgewerkt en door de beweging wordt veroorzaakt. Meer geeft de toepassing van het beginsel van p'AremBeErT niet, en meer kan het niet geven. In de wijze van toepassen echter, in het middel om van het beginsel te komen tot die vergelijkingen en functiën, kan onderscheid be- staan; daarin kunnen de oplossingen der genoemde voorstellen ook verschil- len. In geene der mij bekende oplossingen is. daartoe eeniglijk en doorgaand gebruik gemaakt van de rekenwijze van LAGRANGE. Intusschen is de oplos- sing naar deze methode niet onbelangrijk. Welligt kan zij, met betrekking tot kortheid, geen voorrang hebben. Maar LAGRANGE gaf zijne methode ook 29 4 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, niet als een regel ter bekorting van de berekeningen. Moge zij dan geene kortere zijn, zij zal nogthans in andere opzigten vergelijking kunnen door- staan. is BEWEGING VAN EEN VAST LIGCHAAM OM EEN VASTE AS. 1. Zij eene vaste massa van bepaalde grootte en gedaante. Men kenne de plaats van hare punten of elementen door hunne coördinaten z, y, z of af- standen tot drie regthoekig op elkander gerigte en onbewegelijke coördinaten vlakken. Is m de grootte der massa, dan zal dm aanduiden de grootte van elk harer elementen of differentiaal-deelen. Is verder, voor de eenheid der massa, P de grootte eener beweegkracht, dan zal, voor de massa m, de overeenkomstige beweegkracht zijn Pm, en zij zal, voor het element òm, Pòm wezen. Onderscheidene zoodanige krachten kunnen op een zelfde element dm werken. Deze krachten kunnen ook andere grootte hebben voor andere en andere elementen, en men kan in het algemeen aannemen, dat P afhangt van eene functie der coördinaten van het element waarop de kracht Pòm werkt. Bij het gegeven zijn der krachten kent men zoowel rigting als grootte. Elke der krachten op een zelfde element kan gedacht worden . ontbonden te zijn evenwijdiglijk aan de coördinaten-assen. In de plaats van al de _ bij ontbinding verkregen krachten, welker rigtingen aan eene zelfde coördi- naten-as evenwijdig zijn, kan, bij zamenstelling, eene enkele kracht gesteld worden, het geval namelijk uitsluitende dat deze zamenstelling een koppel zou opleveren. Op deze wijze zullen dan de krachten, op eenig element òm werkende, herleid zijn tot drie krachten, evenwijdig aan de coördinaten-as- sen gerigt, en ten aanzien van grootte aangeduid kunnende worden door Xòm, Yòm, Zòm. Tot elk element behooren dergelijke krachten. Zijn nu de elementen niet vrij, dan zal er, volgens het beginsel van p'ALEMBERT, door het gegeven verband der elementen, en door de voorwaardelijke wijze van OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 5 hunne verplaatsing of beweging, evenwigt bestaan tusschen al deze beweeg- krachten en andere, gelijk en regtstreeks tegenovergesteld aan de beweeg- krachten, die op de elementen zouden moeten werken, om aan deze, zoo zij geheel vrij waren, dezelfde beweging te geven die zij, bij het vereenigd zijn en aan voorwaarden van verplaatsing onderworpen, werkelijk hebben of ontvan- gen. Dienvolgens moet, door het beginsel der virtuele snelheden, 2 2 2 zaam del dr + E rom zom} dy + Z [zom — oml dz —= 0 zijn. Bijaldien de elementen onmiddellijk en overal onafgebroken aan elkan- der sluiten, zoodat het geheel of vereenigde als één massa, — deze moge vast zijn of niet, — kan aangemerkt worden, dan gaan de uitgedrukte som- men over in integralen, betrekking hebbende tot de geheele massa, dat is uitgestrekt over de geheele massa, en men zal moeten hebben: dz dy dz (om — oml òx + pom gdel òy + (zom — Son) òz=0, Te EEE =0. (1) In, deze vergelijking, — welke is de onbepaalde vergelijking der virtuele momenten, — zijn òz, dy, dz de variatiën der coördinaten van de elementen der massa, — zij zijn symbolen der virtuele snelheden of der virtuele ver- plaatsingen van de elementen, — en de vergelijking is dán alleenlijk waar, indien men het verband of de betrekkingen in aanmerking neemt, tusschen deze variatiën moetende bestaan als de elementen niet volkomen vrij zijn, dat is zoo zij zijn verbonden en in wijze van beweging, als anderzins, door voorwaarden bepaald, 2. De behandeling der vorgelfijtelgen: (1) komt derhalve hierop neder, dat men vergelijkingen of functiën van de onbepaalde coördinaten #, y, z (onbepaald namelijk in het geval eener massa, welker elementen overal op dezelfde wijze aan elkander sluiten of zamenhangen, en dat er geene bijzon- dere of bepaalde punten zijn, waarop andere of bijzondere krachten werken, of ten opzigte van welke punten bijzondere voorwaarden moeten worden ver- 6 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, vuld) vorme, die de uitdrukkingen zijn van al de te vervullen voorwaar- den, — deze voorwaardes-vergelijkingen variëre, — en met deze geva- riëerde voorwaardes-vergelijkingen, of voorwaardes-vergelijkingen der vari- atiën van de coördinaten, uit de vergelijking (1) zoo vele variatiën eliminere als er voorwaardes-vergelijkingen zijn gegeven, kunnende het aantal van deze laatste nimmer overtreffen dat der onbepaalde of dat der“ onbepaalde en der bepaalde coördinaten. Op deze wijze komt men tot eene vergelijking, onafhankelijk van eenige voorwaarde; zij is de vergelijking der virtuele mo- menten bij welke al de voorwaarden zijn in rekening gebragt; derhalve de bepaalde, ofschoon vervormde, vergelijking der virtuele momenten. Zijn al de variatiën geëlimineerd, dan is deze verkregene vergelijking (zoo noodig, herleid zijnde) de eenige maar ook slechts de ééne noodzakelijke vergelijking der beweging. Zijn al de variatiën niet geëlimineerd, dan zijn de nog be- staande of overgeblevene onderling onafhankelijk en geheel onbepaald. Én aangezien nu aan de vergelijking voldaan moet worden, onafhankelijk van elke variatie der coördinaten, zal de som van alle termen, die eene zelfde variatie tot factor hebben, aan nul gelijk gesteld moeten worden. Er komen op deze wijze zoovele afzonderlijke vergelijkingen als er variatiën, in de bepaalde vergelijking der virtuele momenten, waren overgebleven, en deze zullen zijn of, bij herleiding, opleveren de vergelijkingen der beweging. 5. Het regtstreeksch elimineren der variatiën dz, òy, òz …. uit de vergelij- king (f) kan ingewikkelde berekeningen vereischen en moeijelijkheid ver- oorzaken. In de plaats hiervan stelde LAGRANGE eene rekenwijze, door hem genoemd méthode des multiplicateurs. Gelijk bekend is bestaat zij hierin, dat elke voorwaardes-vergelijking der variatiën, den vorm òL == 0 hebbende, met een onderscheiden doch onbepaalden factor à vermenigvuldigd, gevoegd worde (door optelling) bij de onbepaalde vergelijking der virtuele momenten, en dat daarna de sommen der termen, die eene zelfde variatie tot factor hebben, aan nul gelijk worden gesteld. Alsdan uit de komende vergelijkingen de onbepaalde factoren à wederom verdrijvende, zal men de begeerde diffe- rentiaal-vergelijkingen der beweging verkrijgen. Heeft de vergelijking der virtuele momenten betrekking tot de elementen eener massa, bestaat zij derhalve uit sommen van uitdrakkingen of uit eene som van integralen, of is zij eene integraal, en zijn bovendien de ver- gelijkingen òL==0 onbepaalde voorwaardes-vergelijkingen, dan moeten bij de vergelijking (1) niet gevoegd worden termen van den vorm àòL=0, OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 1 maar sommen of integralen van soortgelijke termen, hetgeen nederkomt op het bijvoegen van termen 4òL onder het integraal-teeken, Het aan nul ge- lijk stellen van sommen van termen, die met eene zelfde variatie worden vermenigvuldigd, heeft derhalve betrekking tot termen onder het integraal- teeken. Waren sommige vergelijkingen òL == 0 bepaald, hadden zij tot een enkel bepaald punt of tot enkele bijzondere punten der massa betrekking, dan zouden de overeenkomstige termen àò L moeten worden bijgevoegd bui- ten het integraal-teeken. Zoodanige termen buiten het integraal-teeken kun- nen ook uit onbepaalde voorwaardes-vergelijkingen ontstaan, indien deze namelijk geen betrekkingen zijn tusschen variatiën van coördinaten, maar van differentialen der coördinaten. Want in dit geval moeten de termen àòL, onder het integraal-teeken aanwezig, worden ontwikkeld, dat is, door het integreren bij gedeelten, afhankelijk worden gemaakt van loutere variatiën der coördinaten, zoodat er dan ook termen, vermenigvuldigd met variatiën en met differentialen van variatiën, buiten het integraal-teeken zullen tre- den. De regel van het aan nul gelijkstellen van de sommen der termen, die eene zelfde variatie tot factor hebben, zal dan eveneens moeten toege- past worden op de termen buiten het integraal-teeken. De vergelijkingen, welke hierdoor worden verkregen, moeten eensdeels dienen ter bepaling van de grenswaarden der ingevoerde onbepaalde vermenigvuldigers 4, anderdeels ter bepaling van standvastige grootheden, dewijl het kan gebeuren dat, voor het bovengenoemd elimineren dezer factoren 2, het integreren van vergelij- kingen moet voorgaan. 4, De differentiaal-vergelijkingen der beweging zijn gevormd uit vergelij- kingen, die van de factoren 4 afhangen. Heeft men de differentiaal-verge- lijkingen kunnen oplossen, dan zal men ook de uitdrukkingen van waarde der ingevoerde factoren à kunnen vinden. Deze geven, naar de beschou- wingen van LaGrANee, hel middel om de grootte van uitgeoefende druk- kingen, van gebodene wederstanden, als anderzins, te leeren kennen. Zijn b.v. Zi,Yi, #4 de coördinaten van een element of van een stoffelijk punt, dat bewogen wordt, of waarop zekere krachten vermogen uitoefenen, of dat we- derstand biedt, — moet ten opzigte van dit punt eene voorwaarde, uitge- drukt door eene functie L, =0 der coördinaten z,, y,, 2, worden vervuld, — en is door de zoo even aangeduide vergelijkingen bevonden, dat 4, is de waarde van den factor, waarmede ò L,==0 was vermenigvuldigd, dan zal de grootte der drukking, botsing, spanning enz., geleden op of ter plaatse van 8 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, dat punt, en voor zoo verre dit een gevolg is van of onmiddellijk in ver- band staat met de voorwaarde L,‚ == 0, bepaald worden door de uitdrukking ev (Re) + (5) +7) | hi Go moetende het onderste teeken genomen worden, als de gevondene waarde of uitdrukking der waarde à, is negatief. Zijn andere voorwaardes-vergelijkingen L,=0, L,=0 enz. mede van dezelfde coördinaten #,,y,,2,, gelijk van andere, afhankelijk, dan moeten ook met deze, doch alleenlijk met betrek- king tot hetzelfde genoemde punt, de overeenkomstige uitdrukkingen 4, U,, A, Us... worden opgemaakt, en deze zullen eveneens de grootte leeren van de drukking, op dit punt uitgeoefend, of van de belemmering, ter plaatse van het punt bestaande, ten gevolge van het voldaan zijn aan de voor- waarden L, =0, L, =0, enz. En kent men zoo de onderscheidene druk- kingen of wederstanden voor een zelfde punt, of de vele dergelijke uitwer- kingen voor verschillende punten van eene lijn, van een oppervlak enz., dan blijft nog overig het herleiden van deze alle tot één enkele of tot een kleinst aantal, om tot het juiste oordeel te komen over hetgeen eigenlijk wordt uit- gewerkt of teweeggebragt. Deze herleiding geschiedt naar geen bijzonder voorschrift, dat is naar geen voorschrift, door de rekenwijze gegeven, of uit- sluitend, gelijk een eigen deel, tot de rekenwijze behoorende; zij wordt op de gewone wijze volbragt door de regels voor het zamenstellen van krach- ten en van koppels. Maar voor deze herleiding is het noodig, dat men de rigting kenne, in welke drukking geleden of wederstand geboden wordt. Daartoe zij opgemerkt, dat de producten AL, in de vergelijking der virtuele momenten opgenomen, zelve den vorm hebben van een virtueel moment. Zij moeten er ook de voor- stelling van zijn, opdat deze vergelijking den zin behoude, dien zij uitslui- tend en eeniglijk moet hebben. Aangezien nu BL = AD p= 4D edet dd òL En de =D) Zie 2 + au) % Lay + UTD is, blijkt hieruit, dat AL inderdaad komt in de plaats van de som der za- menstellende virtuele momenten eener kracht of eener uitwerking (AU), uit- OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 9 geoefend op het punt, welks coördinaten zijn #, y, 2, en daar ter plaatse in eene rigting, normaal tegen een oppervlak, hebbende L=f(r, y, 2) =0 tot vergelijking. Dit oppervlak kan gedacht worden de voorwaarde L — 0 te vervangen. Het bepaalt de gedwongene beweging van het punt. De baan, door het punt beschreven, of waarin het punt wordt bewogen, moet op dit oppervlak zijn. Door het teeken van U kent men de streek der normale rig- ting, waarin het gedachte oppervlak of de baan van het punt (als ware zij eene stoffelijke baan) wederstand biedt, en de regtstreeks tegenovergestelde streek bepaalt de rigting, waarin de drukking, als anderzins, op het punt wordt uitgeoefend. De herinnering aan de hoofdpunten der rekenwijze van LAGRANGE is hier voorgegaan, ten einde te vermijden dat, bij het ontbinden der voorstellen over de beweging van een ligchaam om eene as of om een punt, de rede- neringen of berekeningen hier en daar zouden moeten worden afgebroken, om de te volgen of toe te passen deelen der rekenwijze te noemen en meer of minder in eenige bijzonderheden te verklaren. 5. Om de vergelijking der virtuele momenten te doen dienen, ter bepaling van de beweging en van de omstandigheden der beweging van een vast ligchaam om eene as, welke in de ruimte niet van plaats verandert en ook met het ligehaam onveranderlijk vereenigd is, merke men op, dat voor elk element der vaste massa drie voorwaarden moeten worden vervuld. Vooreerst heeft de beweging van elk element om de as in een cirkel plaats; elk element heeft derhalve of behoudt voortdurend een onveranderlijken afstand tot de as. Ten tweeden blijft elk element in een vlak, — het vlak van zijne cirkelvormige baan, — dat loodregt op de as is gerigt, of liever, indien door eenig punt van de as een vlak gedacht wordt, loodregt op de as gerigt, dan behoudt elk element ook voortdurend een onveranderlijken afstand tot dit vlak. Ten derden is de massa of het ligchaam vast, dat is de elementen slui- ten niet alleen onafgebroken aan elkander, zij hangen niet alleenlijk zamen, maar zij kunnen ook niet gerekt, ingedrukt noch om elkander gebogen wor- den; zij moeten derhalve onderling onveranderlijk van plaats zijn; zij moe- ten ten opzigte van elkander dezelfde afstanden behouden. De elementen van een volkomen hard ligchaam verkeeren dienvolgens in dit geval. Niettemin is de beschouwing ook toepasselijk op een week of veerkrachtig ligchaam, zoo lang of zoo dikwijls, hetzij door de werking der krachten, hetzij ten 30 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIR, DEEL X. 10 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, gevolge der beweging, geen de minste verandering in de onderlinge afstan- den der elementen wordt veroorzaakt. Dit onveranderlijk zijn der afstanden tusschen de elementen is voor een gedeelte reeds in de twee eerste voor- waarden; hetgeen nog aan het volstrektelijk onveranderlijk zijn ontbreekt, is dat elk element, in het vlak zijner beweging om de as, dezelfde plaats behoudt ten opzigte van de overige in dit zelfde vlak gelegene elementen *. Eenig punt der as van omwenteling worde als oorsprong der coördinaten van de elementen der massa aangenomen. De as zelve zij die der ordinaten z, waardoor dan tevens de stelling van het vlak der coördinaten z en y be- paald is. Is nu de afstand van eenig element tot de as van omwenteling = r, en de afstand van hetzelfde element tot het coördinaten-vlak zy, £, dan zullen, volgens de twee eerstgenoemde voorwaarden, r en £ voor een zelfde element standvastig moeten zijn gedurende de beweging. De voorwaardes- vergelijkingen, door welke dit wordt uitgedrukt, zullen dienvolgens zijn: * Deze Bijdrage, aan de Koninklijke Akademie van Wetenschappen aangeboden, was door Haar gesteld in handen van de Heeren LoBarro en SrAMKART, Leden der Akademie, ten einde over den inhoud verslag en oordeel uit te brengen. De verslagen dezer Heeren beoordeelaars behelsden ook eenige opmerkingen, welke aan den schrijver zijn medegedeeld geworden, opdat hij daarvan zoodanig gebruik zou kunnen maken als hem gepast zou voorkomen. Voor zoo ver dit niet geschied is om voorstelling, beschouwing of behandeling van enkele punten in de Bijdrage eenigzins te wijzigen, oordeelde de schrijver het voegzaam van de voornaamste der aanmerkingen en opmerkingen melding te maken, ter plaatse waar het behoort of waartoe zij betrekking hebben. Ten opzigte van de hier in den tekst genoemde voorwaarden is door den Heer STAMKART aangemerkt, „dat de derde voorwaarde, door welke zou worden uitgedrukt dat elk element, in het „vlak zijner beweging om de as, dezelfde plaats behoudt ten opzigte van de overige win dit zelfde vlak gelegene elementen, niet geheel voldoende scheen te zijn, want zouden „daarbij de verschillende vlakken met hunne elementen niet nog afzonderlijk om de as kun- „nen draaijen P”’ Indien men zich die vlakken afzonderlijk, op of tegen elkander geplaatst, wilde voorstellen, en er eene oneindig kleine tot zul naderende dikte aan toekennen, zouden toch de elementen in eenig vlak met die van het, aan de eene of andere zijde, daar tegen aansluitende in aanraking zijn. De in aanraking zijnde deelen of punten der elementen in het eene vlak en in het andere zouden dezelfde ordinaten z hebben. De vergelijking, welke het onveranderlijk geplaatst zijn dezer deelen in het eene vlak uitdrukt, zal dan ook gelden voor de overeenkomstige aansluitende deelen der elementen in het andere. Dienvolgens moeten deze deelen in het tweede vlak, en dan ook de elementen in dit vlak, onderling dezelfde plaatsen behouden als de overeenkomstige deelen en elementen in het eerste vlak, en dezelfde vergelijking, welke dit voor het eene der vlakken uit- drukt, sluit op deze wijze het onderling zamenhangen der beide vlakken in. Geen nieuwe voor- waardes-vergelijking is noodig; zij zou overtollig wezen en onbepaaldheid doen ontstaan. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 11 kante HRe 0, vrers: einaun ece fn ele (3) MRE tE zn OU Orres. leve or nine: verij (4) Hieruit de voorwaardes-vergelijkingen der variatiën van de coördinaten ORR B OE 0 Pir ee ne neer azen (5) EEE DE EEE Oi ai hade bn le LAD ormatie nde shae (6) De derde voorwaarde zal daardoor kunnen worden uitgedrukt, dat, terwijl de differentiaal-afstand òs van elke twee onmiddellijk aan elkander grenzende elementen, hebbende z, y, 2 en z + òz, y + dy, z tot coördinaten, standvastig blijft, de afstand van het tweede dezer elementen tot de as, even zoo als die van het eerste, geen verandering ondergaat of kan ondergaan. Derhalve moet de variatie van (4 de)? + (y + dy)? nul zijn, dat is Ul H Òe) (Öz + ÒÒz) + Ly + Òy) (Oy + ÒÒy) = 0. Hieruit, na ontwikkeling, en op òdr == dz, ddy — ddy lettende, (mdr + yòy) + LW (zòr + ydy) + 2(A2dÒr + dy d dy) == 0. Maar zòz +yòy, volgens (5), = 0 zijnde, is ook d(zòz + yòy) = 0; derhalve komt deze derde voorwaardes-vergelijking der variatiën van de coördinaten Oki eik OROE TS WOON SS U, eene onee e (7) welke ook onmiddellijk zou hebben kunnen zijn afgeleid geworden uit ds? —= de? + Ày* + de? = standvastig, in aanmerking nemende, dat z standvas- tig of dz —=0 is *. De voorste leden der vergelijkingen (5), (6), (7), elk met een onder- scheiden doch onbepaalden factor à,, 4, %, vermenigvuldigd, en de produc- ten over de geheele massa genomen zijnde, moeten de vergelijkingen, daaruit ontstaan, opgeteld worden Bij de onbepaalde vergelijking der virtuele mo- menten. De bij te voegen vergelijkingen zijn derhalve: |» (zòz + yòy) = 0, |= ed | (Ozddr + 4dÖy) = 0. Maar de laatste worde eerst, door integreren bij gedeelten, herleid, zoodat- * Zie de aanteekening, aan het einde dezer Bijdrage. 30 * 12 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, de termen onder het integraal-teeken eeniglijk van loutere variatiën der coör- dinaten afhangen. Daartoe aannemende, dat 4", à',, òz”, de’, dy”, 99’, òz”, dz’, dy’, dy’, zijn de waarden vän 4,, dz, dy, òr, òy aan de twee grenzen (einde en begin) der integraal, zal die laatste vergelijking overgaan in Om | 2Òrd(A da) — | 2Òyd(A,d9) +2 (Ag "dm")dn" HUN dy ")0y "(A ,da!)Öa — UA dy)’. Ofschoon het standvastig zijn der ordinaat z van eenig element, en het daarom nul zijn van hare variatie, vrijheid geeft om den derden term in het voorste lid der algemeene vergelijking (f) van de virtuele momenten te doen wegvallen, indien het alleenlijk te doen is om de differentiaal-vergelij- king der draaijende beweging van de massa te hebben, zal die derde term nog behouden worden, omdat hij later, ter bepaling van eene der uitgeoe- fende drukkingen, dienen moet. Nogtans kan, zonder dat de algemeenheid der berekening worde verminderd, het tweede gedeelte. van genoemden term, dat is ef Ds evenwijdig aan de as, is klaarblijkelijk nul, en daarom ook de versnelling worden opgeheven; want de zamenstellende snelheid S 2 — 0. Het optellen van de drie nu verkregene vergelijkingen bij de on- bepaalde vergelijking (1) der virtuele momenten, zal, na de termen, die met eene zelfde variatie vermenigvuldigd worden, te hebben vereenigd, deze be- paalde vergelijking der virtuele momenten (eeniglijk nu op het geval der beweging eener vaste massa om eene vaste as toepasselijk zijnde) geven: d? [le eg: ej Tee 20 da) bek [le iijer+ Uy 20 wl dy + | (zom +1} 82 HRM dede! H (M's A9") OY" — UN de) Ô — LN) =O... (8) In deze vergelijking zijn geen limieten van integralen aangeduid; zij moeten niettemin als bepaalde integralen worden beschouwd, als integralen over de geheele massa uitgestrekt, dat is tusschen de grenzen der massa genomen. De uitgedrukte variatiën, zoowel die in de termen buiten als die in de termen onder de integraalteekens, zijn thans als onderling onafhanke- lijke variatiën aan te merken. Derhalve wordt, overeenkomstig den regel, aan de vergelijking (8) voldaan door te stellen ES OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 15 iz (ie) òm + 2A,r—2d(Â, de) —=0, (9) dy (ri) gh ef 0 VA (10) A ER PAREL ARIA RES (LI) de =0, We! =0, Neder =0, NW =O... (12) De onbepaalde factor 2, komt alleenlijk voor in de vergelijkingen (9) en (10), en in geen van beide is de onbepaalde factor 4,. Daarom is de vergelij- king (11), waarin deze laatste vermenigvuldiger de eenige is, onnoodig ter behandeling van de twee eerstgenoemde, uit welke eene differentiaal-ver- gelijking moet kunnen afgeleid worden, die bevrijd zal zijn van, en à, om de differentiaal-vergelijking der beweging te kunnen wezen. Vooreerst den factor 4, regtstreeks eliminerende, komt: dt dt van welke vergelijking de onbepaalde integraal is 2 3 5 (ai) von (rz + {ad (As W)—d(A, de)) =0, dt Uit de vergelijkingen (12) volgt, dat de waarde van 4, aan de limieten der integraal nul is. Neemt men wijders-de gewone vooronderstelling aan, dat aan de eene der limieten de integraal verdwijnt, dan wordt G —= 0, en de voorgaande vergelijking, uitgestrekt zijnde over de geheele massa, zal deze bepaalde uitkomst geven: dy dz |l dt TI om — (erom —y xm) eres eds Je al dee (13) Deze is de bekende vergelijking der draaijende beweging eener vaste massa om eene onbewegelijke as, indien op de elementen dezer massa voortdurend krachten werken die, ontbonden zijnde in drie regthoekige rigtingen, van welke eene is evenwijdig aan de as, Xòm en Yòm tot sommen van zamen- stellende elementaire krächten, evenwijdig aan de beide andere rigtingen (met de as regte hoeken dkkadel zullen opleveren. 6, Daar de hoeksnelheid der draaijende beweging eene voorname grootheid is, welke men op eenig oogenblik der beweging moet kunnen weten, wordt Eran zò Ar Ke (Tm —X dm) H2UAy (edy de) =C...…. (a) & 14 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, het eerste lid der vergelijking (15) gemeenlijk tot een anderen vorm her- leid, zoodat het de hoek versnelling leert kennen, en dan verder, na het ten tweeden male integreren, de hoeksnelheid zelve. Deze herleiding kan op meer dan één wijze geschieden. Is b. v. @ de hoeksnelheid op eenig oogenblik, dan heeft een element der massa, op den afstand r(r?=z? +4*) van de as geplaatst of gelegen, de snelheid rw in zijne cirkelvormige baan, waaruit, door ontbinding, de zamenstellende snelheden, evenwijdig aan de assen der coördinaten z en y, Ki ER RP x xl en dan Ni òz eed Gevolgelijk, wegens het, voor een zelfde element, standvastig zijn van r, „4 dte „rdw or had han Ek, waarmede het voorste lid der vergelijking (15) overgaat in daf dm, dat is in efo dt omdat de integraal betrekking heeft tot al de elementen der massa, die, als ava zamenhangende, ook alle op een zelfde oogenblik dezelfde hoekversnelling 3 SP hebben. Dienvolgens komt de formule Sit n= (Yan —v xam), PE IE dt nt: (14) zijnde de bekende vergelijking, door welke de hoekversnelling > 3 wordt be- paald, waarmede dan verder de hoeksnelheid w in functie van t zal kunnen gevonden worden. 1. Klaarblijkelijk moet de vergelijking der beweging ook verkregen wor- den, door het regtstreeksch elimineren van zoo vele variatiën uit de vergelijking der virtuele momenten, als er voorwaardes-vergelijkingen der variatiën van de coördinaten gegeven zijn. Beschouwt men z als standvastig, dz =0, en den derden term uit de vergelijking der virtuele momenten afwezig, zoodat zij eenvoudiglijk is OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 15 d'r d°y oid [ie òm — ger dm) do + (rom Zom) 5} ci dan zijn er twee voorwaardes-vergelijkingen, aòzdyòy=0 en Amdòz d òyddy = 0, derhalve zoo vele vergelijkingen als variatiën. Van deze de uitdrukkingen der waarden uit de voorwaardes-vergelijkingen bepalende, en alsdan, na substitutie dezer waarden van òr en òy in de vergelijking der virtuele mo-_ menten, de uitdrukking onder het integraal-teeken aan nul gelijk stellende, zal de differentiaal-vergelijking der beweging moeten komen, of liever, men zal, eeniglijk door die substitutie, de uitgedrukte integraal van deze verge- lijking hebben. Om òz en òy uit de twee voorwaardes-vergelijkingen op te lossen, diffe- rentiëre men de eerste dezer vergelijkingen, en eliminere daarna òz en òòz door middel van de beide voorwaardes-vergelijkingen, dan komt òy he Ben ee Meli MOM en 0, dat is dy _ de dy Bijgevolg òy = Ce, en dan Nd Ae en ‘ dr = me me Hiermede gaat de vergelijking der virtuele momenten over in AN O4 noel | (on Tr om) Cy + (ram — NP om ol 05 welke, den standvastigen factor CG opheffende, na eenvoudige verschikking van termen juist de boven gevondene vergelijking (15) zal opleveren. 8. Zoo er geen krachten onafgebroken op de elementen der massa wer- ken, maar dat het ligchaam is in beweging gebragt door de onherhaalde botsing eener kracht, of ook door een koppel van krachten, dat slechts een enkel oogenblik heeft gewerkt, zal, gelijk bekend is, de draaijende beweging 16 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, eenparig zijn. De vergelijking (14) leert dit ook; want Xòm en Yòm nul zijnde, wordt deze vergelijking if om=0, aan welke alleenlijk kan worden voldaan door e= 0 te stellen, waardoor w standvastig wordt. Nog zou men tot deze zelfde uitkomst zijn gekomen, door het voorstel voor het thans gestelde bijzondere geval evenzoo op te lossen als voor het geval der meer algemeene vooronderstelling. Daartoe moet men dan deze vergelijking der virtuele momenten behandelen 2 kn Ell te Lomdy — Dr dmdel zz 0. Zij zal voeren, bij het eveneens te werk gaan als boven, tot dit stel van vergelijkingen 2g — dm + ZA, a —2Ò(À, Àe) = eloib salie een Bekenden, Ck A= 0. } En deze geven, door gelijkvormige berekening als in art. 5, dy dz [tr enk, frame k Alhoewel deze zelfde uitkomst, als welke de vergelijking (14) onmiddellijk geeft, te voorzien was, en daartoe dan ook het aanduiden der vergelijking van de virtuele momenten voor dit bijzonder geval, zoo mede dat der ver- gelijkingen, die er uit verkregen worden, geenszins noodig was, is dit nog=- tans niet nagelaten, omdat in een der volgende artikels op de vergelijkingen (15) wordt teruggekomen. Leert evenwel deze berekening, even zoo als de algemeene vergelijking (14), dat w standvastig is indien er geen krachten staande de beweging werkzaam blijven, zij leert ook niets meer. Noch zij, noch de vergelijking (14), of OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 17 doen de grootte van deze onveranderlijke hoeksnelheid kennen. Zij is die, welke bij den aanvang der beweging op eens of plotseling is medegedeeld door eene kracht, die slechts een oogenblik gewerkt heeft. Door deze andere vooronderstelling is de aard van het voorstel gewijzigd, en om het onbe- kende te vinden, moet worden uitgegaan van eene vergelijking der virtuele momenten, uitsluitend op deze bijzondere vooronderstelling gegrond. Hoedanig ook de beweging aan de massa zij medegedeeld, hetzij door de werking eener enkele kracht of van een enkel koppel, hetzij door gelijk- tijdige werking van meer krachten of koppels, hetzij door aanbotsing als anderzins, altijd zal de uitwerking kunnen worden teruggebragt tot die, welke plaats heeft in het geval eener mededeeling van de beweging door eene enkele kracht. Zij P de grootte van zoodanige kracht, welke door botsing, schok of stoot, of door eene ontwikkelde hoeveelheid beweging, veroorzaakt heeft, dat de massa m om de vaste as draait. Klaarblijkelijk moet daartoe de rigting der kracht niet door de as gaan, er moet afstand zijn tusschen de rigtingen der as en der beweegkracht. Zij ook aangenomen, dat de kracht hebbe gewerkt op of tegen een bepaald en bekend punt der massa (of al- thans in eene rigting, gaande door zoodanig punt), alsmede dat het vlak, gaande door dit punt loodregt op de as, zij het vlak der coördinaten z, y van de elementen der massa. De geheele massa, dat is al de elementen òm ge- zamenlijk, door de kracht P in beweging gebragt zijnde, kan men, alhoewel deze kracht slechts op of tegen een enkel punt van het ligchaam haar ver- mogen heeft uitgeoefend, aannemen, dat deze werking over al de elementen verdeeld was. De kracht P bijv. ontbonden zijnde in hare drie zamenstel- lende X, Y, Z, evenwijdig gerigt aan de coördinaten-assen, kan elke dezer, in evenwijdige rigtingen, gedacht worden gelijkelijk verdeeld of ontbonden te zijn over alle elementen der massa, zoodat dan op elk element, en even- wijdig aan de coördinaten-assen, drie krachten werken, die door òX, DY, 9Z kunnen worden aangeduid. Er zijn nu geen versnellende krachten; er worden hoeveelheden beweging medegedeeld, en deze moeten derhalve uitgedrukt worden door producten van massa en snelheid. De snelheid van beweging van eenig element, heb- bende z, y, z tot coördinaten, evenwijdig aan de coördinaten-assen ontbonden zijnde, zullen de zamenstellende snelheden worden uitgedrukt door de Wy de sere gt” 31 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X. 18 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Daarom zal nu de vergelijking der virtuele momenten deze moeten zijn: òz dy dz El f{(ex—em5) òz + (or om. a + (oz om. 2e | nd), Verbindende met deze, op dezelfde wijze als welke in art. 5 gevolgd is, de voorwaardes-vergelijkingen der variatiën van de coördinaten ZrdeHZydy =0 en 2Zdudòr +2dyddy =0, dan komt men tot deze vergelijkingen. \ X — om + UA, — (Ad) =0, | k Toafslisten ek 16 TV am + 24,y — As =O, (16) NZ HA, == 0. En hieruit, even zoo als de vergelijking (15) is verkregen, AP BE ES [(eZ-05) om = f (ex yòX). Is @ de hoeksnelheid, in het enkel oogenblik der werking van de kracht P aan de massa medegedeeld, dan zal altijd in == — 0 en dy ae dt ie DE zijn, en de integraal in het eerste lid der voorgaande vergelijking alleenlijk betrekking hebbende tot de massa, zal deze vergelijking overgaan in o from = for won = far fox. De integralen in het laatste lid zijn eigenlijk sommen van momenten, die, naar de aangenomene vooronderstelling, gelijk moeten zijn aan de momenten der onverdeelde zamenstellende krachten X en Y. Zoo derhalve, in het coördinaten-vlak zy, a en b zijn de coördinaten van het punt, waarop de kracht P heeft gewerkt, zal jror=er en joor ==bX zijn, en daarom + vz fram vert ee eene NR (17) In deze vergelijking is het tweede lid een verschil van twee momenten. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 19 In de plaats van dit verschil kan gesteld worden het moment der kracht QV (X2 +Y*). Is derhalve p de lengte der loodlijn, uit den oorsprong der coördinaten op de rigting der kracht Q getrokken (welke lengte p niet on- derscheiden is van den afstand tusschen de rigtingen van de vaste as en der kracht P), dan is Qp de grootte van het moment der kracht Q; het is ook het moment der kracht P, voor zoo veel zij draaijende beweging mededeelt of kan mededeelen. En hiermede wordt de laatste vergelijking vervangen door Deze is de vergelijking der beweging van een vast ligchaam om eene vaste as, bijaldien geen krachten op dit ligchaam werken of blijven werken, nadat het op een oogenblik is in beweging gebragt door eene kracht, heb- bende een vermogen Q, of door welke eene hoeveelheid beweging, aangeduid door Q, kan worden ontwikkeld of medegedeeld. De vergelijking geeft de bekende uitdrukking voor de grootte der medegedeelde hoeksnelheid w, waar- mede het ligchaam zal blijven draaijen, zoo lang de beweging niet wordt belemmerd, hetzij door vreemde krachten, hetzij door eenigen wederstand. 9. Laat nu worden overgegaan tot het bepalen der grootte van de druk- kingen, zoo bij de beweging, als ten gevolge van de werking der krachten, uitgeoefend op de elementen der massa, en dan ook geleden wordende door de as, die aan deze uitwerking wederstand moet bieden. Ofschoon, naar de orde van het tot hiertoe behandelde, eerst zou moeten gelet worden op het algemeen geval der veranderlijke beweging, teweeg- gebragt door een voortdurend werken van krachten op de elementen der massa, worde nogtans eerstelijk en afzonderlijk overwogen hetgeen er, ten aanzien van drukking of schok, wordt uitgewerkt, zoowel bij of onder de eenparige draaijende beweging eener massa, als op het oogenblik dat deze beweging door eenige kracht aan haar wordt medegedeeld. Bij de eenparige beweging der trage massa wordt, ten gevolge der bewe- ging zelve, drukking of spanning uitgeoefend op de elementen, en van deze op de as. Deze drukking moet bepaald worden door den factor 4, uit de vergelijkingen (15), welke geven 2 2 \ I= 1 born Om + 2d (4, 2) pa 5 tds dn Joad, |. 31% 20 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Maar (zie boven) de _ dy RTT en Pia ded derhalve de Y _ 2 dy nn e Di mier er en de SRE oy, en dan 1 1 bn 19de DAD) rg Pr AAD dy}. Deze waarde van 4, heeft slechts betrekking tot een enkel element òm, dat met onmiddellijk aangrenzende elementen zamenhangt. Met betrekking tot zoodanig element zal de uitgeoefende of geledene drukking, naar aanleiding van de algemeene formule (2), bekend worden door wr (+ (EI) dat is, uithoofde van L, ==? +y? —r? =0 (3), en verder lettende op het teeken van U, overeenkomstig het teeken der uitdrukking voor 4,, AU, =d, (20)? + (29)°} ZA Ale? Hy) =de == (ot dm — DA, òz)} = (dm — 294, 0) Deze drukking wordt uitgeoefend in eene normale rigting tegen de baan, door het element òm in de beweging gevolgd. En vermits deze baan is een cirkel, loodregt op de as van omwenteling gerigt en in deze as zijn middel- punt hebbende, zal de drukking uitgeoefend worden op het element in de rigling van den straal, van de as af naar het element. In deze zelfde rig- ting wordt dan de as gedrukt of getrokken, en in de tegenovergestelde rig- ting moet=-zij wederstand bieden, Duidt men deze elementaire drukking, lood- regt tegen de as uitgeoefend, door d, aan, dan is: | d = : {o? zòm — 2À (A, dz} =; (w* yòm — 2 (As d9)}- Denkt men deze drukking, in, de rigting van den straal r uitgeoefend wor- dende, ontbonden in twee drukkingen, evenwijdig aan de assen der coördi- naten es en 9, dan blijkt dat de twee uitdrukkingen voor d, juist die zijn, welke de zamengestelde drukking d, zouden geven door middel der uitdruk- OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 21 kingen voor de zamenstellende drukkingen d, en d,. Maar dan volgt daaruit wederom dat op eenig element, hebbende z, y, z (z onbepaald maar stand- vastig zijnde onder de beweging) tot coördinaten, drukkingen worden uitge- oefend evenwijdig aan de assen der coördinaten z en y, in grootte bepaald door de —= @? edm — 2À(À, Ò2), dy ==? y dm — 2O(A° dy). De integralen van deze vergelijkingen, uitgestrekt over de geheele massa, zullen de totale zamenstellende drukkingen geven, en elke dezer zal ook ge- lijk zijn aan de zamengestelde of enkele drukking loodregt tegen de as uit- geoefend, de eerste in het coördinatenvlak zz, de tweede in het coördinaten- vlak yz. Zoo dan deze drukkingen aangeduid worden door Dz en D,, en dat As, v en y aan de limieten der integralen zijn A',, 4, «"‚, «/‚, y' en y, zal Diez or f zom = 3 2, dz" —N', de] 7 D, = ef yam eld w, dy — Ns dy] zijn. Maar (zie boven de vergelijkingen (12)) de waarden van 4, aan de grenzen der integralen zijn nul; gevolgelijk D=" fzòn= wma, , D= fvan= emv | indien namelijk z,, y, zijn de coördinaten: der projectie op het vlak zy van het zwaartepunt der bewogene massa, en betrekking hebbende hetzij tot eene bepaalde betrekkelijke stelling van het ligchaam (eene stelling bijv. met be- trekking tot.die bij het begin der beweging), hetzij tot een bepaald oogen- blik des tijds eener geheele omwenteling der massa. De drukkingen de,d, worden oorspronkelijk uitgeoefend tegen of op het element òm. Denkt men ze overgebragt tegen de as in de coördinaten-vlak- ken zz en ye, dan ontstaan er tevens twee elementaire koppels, loodregt op de as van omwenteling (de as der ordinaten 2), welke te zamen het enkel koppel ke =d, — yd, geven. Er is derhalve ook een zamengesteld of totaal koppel K: loodregt op de as van omwenteling, maar de beweging om de as 22 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, onbelemmerd kunnende geschieden, zal dit zamengestelde koppel van drukkin- gen klaarblijkelijk nul zijn. De berekening leert dit ook. Want kon flea, —varzer f(eyam vzm) — 2 | (raa —voade) == UN, (Yde — dy"), (Y'Òz! — ay!) + afrovse -— [nae dy =2N, (g"dz" — 2 OE goe — 2d), dat is == nul omdat 4’, en N', nul zijn * Maar de elementaire drukkingen de en d, tegen de as in de vlakken zz en yz overgebragt zijnde, werken op de verschillende punten der as, en wel elk paar op den afstand 2 van den oorsprong Jer coördinaten, indien z is de afstand van het element dm, waartoe deze druxkingen behooren, tot het coör- dinaten-vlak zy. Door elke dezer drukkingen bestaat derhalve eene poging om de as van omwenteling te draaijen om d’; twee andere coördinaten-assen, en het vermoger daartoe is evenredig aan bet moment van die drukking ten opzigte van den oorsprong der coördinaten. De sommen dezer momenten moe- ten gelijk wezen aan de overeenkomstige momenten der totale zamenstellende drukkingen, en hieruit worden dan bekend de twee punten der as, waarop * Met betrekking tot het hier beschouwde koppel van drukkingen K‚ of k, merkte de Heer STAMKART aan, dat „daar d, eene drukking voorstelt in de rigting van den straal #, daaruit geen „koppel kan geboren worden.” Hiermede zal waarschijnlijk bedoeld zijn, dat het koppel K‚ of k„ uit den aard der zaak zw? is, of wel dat tot dit zw? zijn terstond mogt worden besloten; dat dienvolgens het geven van bewijs, door opzettelijke berekening, overbodig was. Inderdaad zou ook in dezen zin zijn besloten, indien alleenlijk ware geredeneerd over de normale drukkingen tegen de elementen der massa, en dat deze drakkingen langs de normale rigtingen of stralen 7# waren overgebragt tegen de as, vervolgens ont- bonden gedacht, enz. De schrijver stelde zich evenwel voor om het bewijs ook te geven uit de beschouwing der zamenstellende drukkingen op de elementen, voornamelijk om aan te toonen dat, overeenkomstig de strekking zijner Bijdrage, de naar de rekenwijze van LAGRANGE verkregene for- mulen, bij het gebruik maken van onbepaalde vermenigvuldigers, eveneens tot het besluit der waar- heid moeten voeren. : Verder is door den Heer SrTAMKART de juiste opmerking gemaakt, dat tot K‚,==0 korter kan worden besloten, onafhankelijk van de grenswaarden van àz. Want uit de boven gevondene twee uitdrukkingen voor d, volgt onmiddellijk 2y Ò (A,de)=2 wd (A,dy) of 2 f2dA,dy)—y ds do) =O. Dienvolgens is elke der twee termen in het derde lid der vergelijking K‚ == f (wd, —ydz) ==en aan zul gelijk, en daarom K‚,2==0. Het integreren bij gedeelten en het letten op de grenswaar- den van A; wordt daarbij onnoodig. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 25 deze totale drakkingen worden uitgeoefend. Zijn z' en 2’ de afstanden dezer punten tot den oorsprong der coördinaten, dan zal men hebben |= de |= d, 1 Ld 2 D, . De uitdrukkingen voor D-, D, en K, zijn uit die voor d, en d, gevonden, zonder-dat het. noodig was de algemeene waarde van 4, te kennen. Alleen- lijk moesten de bijzondere waarden van 4, aan de limieten der integralen - bekend zijn,.en men had 4’, =0 en 4, =0. Dit is evenwel ontoereikend ter bepaling van [za en [a Men vindt bijv. Pe frae=er [ozon 2 [zaan =ot | en — UN ze!! Dz!" N32 dz!) + fn, dede, dat is [zeeer | zen + 2 fa, aoer, weshalve 2, bekend moet wezen ter bepaling van Í ede, gelijk dit eveneens gevorderd wordt voor de bepaalde uitdrukkingen der waarden van de druk- kingen de, dy. De factor 4, wordt bepaald door de twee eerste vergelijkingen (15). Maar terstond heeft men uit de vergelijking (a), waaruit (15) is verkregen, door Xòm, Yòm en C nul te stellen, ey = [los Zoo lang de integraal onbepaald is, heeft 4, geen betrekking tot elementen, aan de limieten geplaatst of gelegen, maar tot eenig element der massa, Tot welk element echter de integraal ook uitgestrekt mogt zijn, altijd zal zij nul wezen, vermits C nul zijnde (zie art. 5, na de vergelijking (a)), de 2 uitdrukking onder het integraal-teeken steeds nul is. Immers Se == t dy 2 d en 5 =T e°y, en daarom ENG At : ri Vm Tite Het tweede lid der eerstvoorgaande vergelijking dan nul zijnde, moet elke 2 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, A, nul zijn, gelijk te verwachten was, dewijl 4, betrekking heeft tot de „voorwaarde van het onderling verband der elementen, en deze zamenhang - kan hier, even zoo bij de beweging der massa, als wanneer zij is in rust, niets toebrengen tot het meer of minder zijn van de drukking tegen de as. Deze dan onafhankelijk van 4, zijnde, komen vooreerst in de plaats der uit- drukkingen (19) deze twee andere geheel bepaalde de == w? 2m en d, =w?ydm, ei teidaital odette Ree Ken welke zijn de bekende formulen of uitdrukkingen voor de grootte der zamen- stellende drukkingen op eenig element, verbonden of niet verbonden met, maar sluitende aan de omringende elementen. In de tweede plaats heeft men nu ook, hetzij hiermede, hetzij regtstreeks door de uitdrukking voor 4, U,, bo- ven verkregen, de bekende uitdrukking voor de grootte der drukking op het element òm in de rigting van den overeenkomstigen straal r, dy a BPO STELE HNE ee (22) tevens zijnde de uitdrukking van de middelpuntsvliedende kracht, door de beweging van òm geboren en de genoemde drukking veroorzakende. En in de derde plaats zullen nu ook de momenten zd, en zd, volkomen bepaald zijn, en dan ook de punten der as van omwenteling, die de totale zamen- stellende drukkingen D-, D, lijden, of ter plaatse van welke de as in twee loodregte rigtingen gedrukt wordt (ten gevolge van de werking der ontwik- kelde middelpuntsvliedende krachten). Want de plaatsen dezer punten heeft men nu door deze twee insgelijks bekende formulen : f=az w? fe zom frzèm fyzom bien == zm: efen en = De, w*mo, ma, my, ere (23) Wordt 2’ ==2' bevonden, dan wordt de as ook op een enkel punt gedrukt. Gelijk blijkt uit de formule (20), zal dan de enkele of zamengestelde druk- king D, gerigt zijn in het vlak, gaande door de as en door het zwaartepunt, terwijl hare grootte zal bepaald worden door de formule D= om (re? Fy) =O ME jer en ole eee lek (24) De as wordt bijv. slechts op een enkel punt gedrukt, indien het ligchaam is eene stoffelijke schijf van zeer geringe dikte, zoodat zij als een stoffelijk plat vlak zou kunnen aangemerkt worden, en onder voorwaarde dat de as zij loodregt op dit vlak. Want alsdan hebben de ordinaten z van al de OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 25 elementen Òm zeer nabij eene zelfde grootte £, en de formulen (25) geven 2e =E, zoodat de enkele drukking w*mr, ook uitgeoefend wordt in de rigting der lijn #,, uit het zwaartepunt der schijf loodregt op de as ge- trokken. Is de as van omwenteling eene der drie hoofdassen van het ligchaam met betrekking tot den aangenomen oorsprong der coördinaten, — is derhalve het vlak der coördinaten z en y het vlak der beide andere hoofdassen, gaande door den oorsprong, dan worden 7 en 2’ nul, en de as wordt dan ook slechts _ in een enkel, punt, ter plaatse namelijk van den oorsprong der coördinaten, gedrukt. Ligt bovendien het zwaartepunt op de as (zoo deze is eene hoofdas), dan zal de draaijende beweging der massa geen drukking op deze hoofdas ver- oorzaken, omdat z, en y, nul zijn, en bijgevolg ook r, == 0. Is de as geen hoofdas, maar ligt het zwaartepunt ergens in de as, dan kunnen de voorgaande formulen niet regtstreeks worden toegepast. De coör- dinaten z, en y, nu nul zijnde, worden de zamenstellende drukkingen D, en Dy, (formulen (20)) nul. Dit nul zijn komt alsdan voort uit het bestaan van twee paren van gelijke en tegenovergestelde drukkingen, het eerste paar in het eoördinaten-vlak zz, het tweede in bet coördinaten-vlak yz, maar de drukkingen van elk paar worden tegen verschillende punten van de as uit- geoefend. Met andere woorden, er zijn alsdan twee koppels van drukkingen, die, tot een zelfden arm herleid, ook tot een enkel koppel kunnen zamen- gesteld worden. Het vlak van dit enkel koppel gaat door de as en maakt een hoek met de coördinaten-vlakken zz en yz, terwijl de punten der as, in welke zij door de twee krachten van het koppel worden gedrukt, elke twee verschillende punten der as kunnen zijn. De afstand toch dezer punten is de arm van het koppel, en van dezen kan de grootte willekeurig zijn, zoo slechts de grootte van het koppel, dat is het moment van het koppel, niet veran- derd wordt. De grootte derhalve zoowel als de plaats van één der twee gelijke drukkingen is volstrektelijk onbepaald, en het bepaalde, dat men zou kunnen verlangen te weten, hangt eeniglijk af van den vorm des ligchaams, van de betrekkelijke rigting der as waarop het zwaartepunt ligt, en van bij- “zondere gestelde voorwaarden. De derde vergelijking (15), — namelijk 4, — 0, — waarop nog niet is gelet, leert dat, onder de beweging en door de beweging, de elementen der massa, — en dan ook de massa zelve, — in de rigting evenwijdig aan de as geen drukking of spanning lijden. Derhalve wordt ook, bij de eenparige 32 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE DEEL X. 26 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, draaijende beweging der massa, de as in hare rigting niet gedrukt, gespan- nen of getrokken, zoo als uit den aard der zaak onmiddellijk kan worden opgemerkt. 10. De as wordt ook gedrukt of geschokt door de werking der kracht P, die de massa in beweging brengt, en door de tegenwerking der massa bij het ontvangen van den schok of stoot. Deze uitwerking heeft echter alleen- lijk plaats bij het begin der beweging; zij duurt niet voort. Ter bepaling van hare grootte moeten de vergelijkingen (16) dienen, en wel, in de eerste plaats, de twee eerste dezer vergelijkingen. Zij geven: dr l Ò, veg |X edm — 94, d0)| = — 5 jer — om 0, 2). Hierin — wy in plaats van 5 en +wr voor Ne stellende en daarna met U, = —2r vermenigvuldigende, komt AU, == {0X + oy dm — 2D (A, de)} =j CY — adm — 2Ò (As 9}. Hier zou nu wederom-dezelfde gang van rekenen als in art. 9 kunnen ge- volgd worden, ter verkrijging van de uitdrukkingen voor de grootte der zamenstellende totale drukkingen en der koppels van drukkingen, maar om de plaats der punten van de as, in welke deze gedrukt wordt, te vinden, is de bepaling van 4, noo, en het is korter dat deze bepaling vooraf geschiede. Op de wijze, in art. 5 gevolgd om de vergelijking (a) te verkrijgen uit de vergelijkingen (9) en (10), zal ook uit de twee eerste der vergelijkin- gen (16), — en lettende op e= — og, Ie +wze Jy =ri, — ge- vonden worden ZA, (ye — dy) —= jer òm — (2dY — 9 ÀX)}. De factor 4, heeft hier betrekking tot eenig element òm, en de integraal in het tweede lid dezer vergelijking is onbepaald. Zij kan gedacht worden uit- gestrekt te moeten worden tot dat element òm, wààr ook binnen de massa gelegen, en dan is de integraal zoowel nul voor het gedeelte als voor de geheele massa. Moest zij worden aangemerkt alleenlijk betrekking te hebben tot eenig element, tot een enkel element, ook dan zou zij nul zijn, omdat de uitdrukking onder het integraalteeken nul zou wezen. Immers OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 27 or dm z=adt —ydX is de vergelijking der drasijende beweging van een enkel vrij element. Daarom dan vr? dm — (2dY —ydX) = 0, en zoo dan, in elke vooronderstel- ling, 4, =0. Men zou kunnen aanmerken, dat dit nul zijn van 4, had kun- „nen aangenomen worden uit het hieromtrent reeds ontwikkelde in art. 9. Het kwam evenwel niet geheel overbodig voor, zulks ook af te leiden uit de vergelijkingen. (16), welke in het onderwerpelijk geval van beschouwing moes- ten worden behandeld. Meer bepaaldelijk is derhalve 1, U, =5 (AX + ay òm) = : (AY — ordm) LA (25) Deze uitdrukking geeft de grootte der drukking d,, op eenig element òm uit- geoefend in het vlak der beweging van dit element en in de rigting van den voerstraal r. Men heeft hieruit, of door soortgelijke overwegingen als in art. 9, de == dX + wydm, d, =dY —wedm....... (26) En dan, zoo z, en y, zijn de afstanden van het zwaartepunt des ligchaams tot de vlakken der coördinaten y, z en «, z, = fox Hef voma Xen, | =foref smeren: Indien men elke normale drukking d,, tegen de as uitgeoefend, ontbonden denkt in twee drukkingen de en d,, dan zijn de rigtingen van deze zamen- stellende drukkingen in de coördinatenvlakken ze en yz gelegen, en dan zijn Dr en D‚ ook de totale zamenstellende drukkingen tegen de as. De punten der as, waarop zij worden uitgeoefend, zijn dan nog onbekend. Om de plaats dezer punten evenwel op de meest algemeene wijze te bepalen, is het noo- dig eerst nog te letten op de drukkingen, welke evenwijdig aan de as op de elementen zouden worden uitgeoefend, indien men algemeen stelt dat de rigting der kracht P niet is evenwijdig aan het coördinaten-vlak zy, en dat deze kracht dienvolgens is ontbonden geworden in drie zamenstellende krach- ten X, Y, Z. De derde der vergelijkingen (16) geeft As =d. 32 28 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, De voorwaardes-vergelijking, waartoe 4, betrekking heeft, is Let =z=0; é derhalve 2 U de rt) sl de | Elk element ondervindt dienvolgens in de rigting, evenwijdig aan de as, eene drukking De gewone wijze van herleiden en zamenstellen nu volgende, kunnen de drie drukkingen op elk element vervangen worden door drie dergelijke drukkin- gen langs de overeenkomstige coördinaten-assen, en door drie koppels van drukkingen loodregt op deze assen. De som van alle drukkingen langs eene zelfde as zal de zamengestelde of totale drukking in de rigting van deze as geven. Deze zamenstelling geeft de drie drukkingen De, D,, Ds, in grootte door de formulen (27) en (29) reeds bepaald, maar zij worden nu uitge- oefend tegen den oorsprong der coördinaten en in de rigting van de drie coördinaten-assen. De koppels, loodregt op eene zelfde coördinaten-as, kun- nen mede tot een enkel totaal koppel, loodregt op dezelfde as, worden zamengesteld. Daaruit ontstaan drie koppels K-, K‚, K., loodregt op de assen der coördinaten z,y, 2. De beweging om de as der ordinaten z vrijelijk kunnende plaats hebben, zal het koppel K: geen drukking te weeg brengen; het zal, als koppel van drukkingen, nul zijn, en het aan nul gelijkstellen van de uitdrukking voor de grootte van dit koppel, zal de reeds gevondene vergelijking der draaijende beweging van de massa wederom te voorschijn brengen. Maar de koppels Kz en K‚ geen beweging ‘der massa om hunne assen (de assen der coördinaten z en y) kunnende veroorzaken, zullen de krachten dezer koppels, nadat de koppels zelve evenwijdiglijk zijn verplaatst in de eoördinaten-vlakken yz en zz, de as van omwenteling drukken. Het koppel K„ of de krachten of drukkingen van dit koppel dan zamenstellende met de drukking Dy, en eveneens de drukkingen van Ky met de drukking De, langs de as der abscissen «, komen op nieuw, als zamengestelde druk- kingen, de drukkingen D, en D, voort, maar nu tegen die punten der as, OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 29 ter plaatse van welke zij werkelijk uitgeoefend worden. En indien dan 2 en 2” zijn de afstanden van den oorsprong der coördinaten tot die punten der as van omwenteling, alwaar de drukkingen D- en D, worden geleden, zullen deze afstanden bekend zijn door de vergelijkingen 2'.D‚, — K, en 2’.D,= Voor een enkel element òm zouden de drie koppels van drukkingen ke, k,, ke zijn kr=yde_— ed), ky =de eds, kem erd, —yde, dat is, door de formulen (26) en (28), kr = YE — 2DY + wzedm, | ky = 2de Hwyzòm, \ . … (80) k, — 2dY — wr? dm — yd wy? dm =ardY — YX — or? Jm. De uitdrukkingen voor de grootte der zamengestelde koppels K-, K‚, K- zul- len zijn de integralen der tweede leden van deze drie vergelijkingen (50). Let men nu, bij het nemen der integralen over de geheele massa, op het- geen is aangemerkt in art. S bij het vormen der vergelijking (17), te we- ten dat feormer, frox —bX is, en stelt men bovendien, meer alge- meen dan in dat artikel, dat het werkpunt der kracht P niet gelegen zij in het coördinaten-vlak zy, maar op eene verwijdering c van dit vlak, zoodat jare en |aor=er zij, dan komt \ Ke Ye haf zem, Kym Kela tof sean, ME ORDE UE (31) Kem Yeke fr Òa , De uitdrukking voor K-, aan nul gelijk gesteld, geeft de vergelijking (17) der draaijende bewegiug, en met de uitdrukkingen voor K‚, en Ke zal men nu hebben: Db Ye fo f vrom kl Il | | y Y—ome, 30 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Bij het mededeelen der beweging, dat is bij het begin der beweging, als de massa met eene hoeksnelheid w zal aanvangen te draaijen, worden er dan, in het algemeen, drie drukkingen geleden. Eene, Ds, in de rigting der as, en twee andere loodregt tegen de as, te weten De in het coördinaten- vlak zz op een afstand 2’ van den oorsprong, en D, m het coördinaten-vlak ye op een afstand 2’ van den oorsprong der coördinaten. Onder de beweging zelve bestaan deze drukkingen niet. Echter kan het geval plaats hebben, dat het ligchaam, op eenig oogenblik der beweging, door eene kracht P' gebotst wordt en op nieuw in de eene of andere rigting een stoot ontvangt, zoodat de hoeksnelheid w positievelijk of negatievelijk zou veranderen. De drukkin- gen, hieruit ontstaande en op dat oogenblik komende bij die, welke de middelpuntvliedende krachten overeenkomstig de nog onveranderde. hoeksnel- heid w hebben te weeg gebragt (formulen (20)), worden eveneens door de voorgaande formulen bepaald, mits w dan zij de positieve of negatieve aan- groeijing der bestaande hoeksnelheid. Na den schok worden ook deze druk- kingen niet meer geleden; vermits evenwel de hoeksnelheid alsdan eene andere grootte heeft, zal de uitwerking der middelpuntsvliedende kracht in andere mate dan vóór dezen schok bestaan, zoodat ook de drukkingen, hier- door tegen de as veroorzaakt, eene andere grootte zullen hebben en tegen andere punten van de as zullen worden uitgeoefend. Indien de afstanden 7 en 2’ bevonden worden gelijk te zijn, zullen de twee drukkingen De en Dy, tot eene enkele drukking zamengesteld kunnen worden. Dit zal bijv. het geval zijn indien de vaste as is eene der drie hoofdassen van het ligchaam met betrekking tot den aangenomen oorsprong der coördinaten, en dat de kracht P is gerigt geweest in het vlak (zy) der beide andere hoofdassen. Want alsdan zijn de tellers der gebrokene uitdruk- kingen (52) nul, en daarom ook 2 =O en # =0. De enkele drukking zal worden geleden tegen het punt der as, dat als oorsprong der coördinaten is aangenomen. Gaat de vaste as tevens door het zwaartepunt, dan is De — X en Dy == Y, en de grootte der enkele zamengestelde drukking zal =P zijn, gelijk ook de rigting, waarin zij wordt uitgeoefend, evenwijdig zal wezen aan de rigting, waarin de kracht P heeft gewerkt. Eveneens zullen # en 2” gelijk worden en de twee drukkingen D, en D, tot eene enkele drukking herleidbaar zijn, bijaldien de vaste as is eene der drie hoofdassen, welke tot het zwaartepunt behooren, derhalve eene der drie voorname hoofdassen, en dat de kracht P heeft gewerkt in eenig vlak, lood» OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 51 regt op de as gerigt. Want zoodanige as is, gelijk men weet, hoofdas met betrekking tot elk van hare punten, en men behoeft daarom het aangeno- men coördinaten-vlak zy slecht evenwijdiglijk verplaatst te denken, zoodat het ga door het punt der as, alwaar deze door het pas genoemd loodregt vlak wordt gesneden, — of liever, zoodat het invalle met het vlak der kracht P, — om dit geval tot het voorgaande terug te brengen. Is de rigting der kracht in een vlak, loodregt op de as van omwenteling, en is deze as eene hoofdas van het ligchaam met betrekking tot het punt, waarin zij genoemd vlak snijdt, dan worden de beide drukkingen op dit zelfde enkele punt uitgeoefend en kunnen tot één drukking worden zamen- gesteld. Deze enkele drukking grooter en kleiner kunnende zijn, zou ook nul kunnen wezen. Maar dan zijn ook Dz en Dy, nul, en men heeft (27) X=—omy,, Yz= +ome,; weshalve OPEET 5 Hieruit volgt, dat de rigting der kracht loodregt moet zijn op die der lijn r,, vereenigende den oorsprong der coördinaten met de projectie van het zwaartepunt op het vlak zy (en gelijk zijnde aan den afstand van het zwaarte punt tot de as), waarin de kracht P heeft gewerkt. Derhalve moet de rig- ting der kracht loodregt zijn op het vlak, gaande door de as en het zwaarte- punt der massa. Bovendien zal uit vx: HY’) z=P=womr, en (18) epo fram from PS ar volgen voor den afstand tusschen de rigting der kracht en de as, opdat deze, en als de kracht de genoemde loodregte rigting heeft, bij het plotselijk mede- gedeeld worden der beweging, maar dan ook alleenlijk op dit oogenblik, noch gedrukt noch gebotst worde. De verkregene uitkomst is de bekende, ter bepaling van het zoogenaamd middelpunt van botsing. Indien, eindelijk, de beweging niet is medegedeeld door eene enkele kracht P, maar door een koppel, welks as is de vaste as, of evenwijdig aan 52 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, de vaste as, dan zijn X en Y nul, en de vaste as zal niet gedrakt worden als zij slechts door hef zwaartepunt gaat. 11. Dezelfde gang van rekenen moet gevolgd worden, ter bepaling van de grootte en de plaats van de drukkingen, welke tegen de vaste as wor- den uitgeoefend bij eene veranderlijke beweging der massa. De formulen (9) en (10) geven 2 2y h, =| SE 5) om — 20, elf = - dij om— eon) U, is, als boven, = — 2r, en daarom 2 / 2 AU, en (xt) om — 292, de) =s Ur dm — Ld (A, onl. Vermits 5 == — wy en ee + wa, zal, daar w veranderlijk is, Nd do dy en Of rd Ad VE _—y rant x®, en NT er oo y zijn; weshalve AU, Ee [acdm tad dm 5 — 200,df =| Ymen 5 — 2d Gao x Hieruit blijkt, dat, vermits de drukking 4, U, uitgeoefend wordt in eene rigling, normaal zijnde voor het overeenkomstig punt der baan, door het element om beschreven, dat is in de rigting des voerstraals » van de as naar het element, de zamenstellende drukkingen, evenwijdig aan de assen der coördinaten z en y zullen zijn dw de —= X dm 4 wad + yòm eben de / d, = Yom + otgdm — tòm — 20, 97). Integrerende over de geheele massa, dan komt, naar dezelfde gronden, waarop in art. 9 de formulen (20) uit (19) zijn kad nn achte Lg en sik | Ow D= f Lom tor my, ne u OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 55 En daar uit de vergelijking (14), art. 5, volgt 4, = — Zòm, zal, vermits U, = —l1 is, ' ER ne Se DOES en ere ed eten (35) en dan Das | OAT TE EEA (36) zijn. Deze laatste drukking is standvastig gedurende de beweging, indien, … gelijk voorondersteld is, dezelfde krachten op dezelfde elementen blijven werken. Maar de drukkingen D, en Dy veranderen van oogenblik tot oogen- blik. Zijn derhalve, voor eenig gesteld of gegeven oogenblik der beweging, de hoekversnelling en de hoeksnelheid door de formule (14) bepaald, dan zullen de formulen (54) de zamenstellende totale drukkingen voor dat oogen- blik doen bekend worden. Bij den aanvang der beweging kan de hoekver- snelling 5 aangemerkt worden te zijn de aanvankelijke hoeksnelheid; mid- delpuntvliedende krachten zijn er nog niet ontstaan, zoodat de termen w? ma, en my, alsdan niet in rekening komen, en de formulen (54) zullen dan ook met de in art. 10 verkregene formulen (27) overeenstemmen. Is de beweging eenparig, zijn X, Y en ee nul, dan gaan de formulen (54) over dt in de formulen (20). Om de punten der vaste as, ter plaatse van welke deze gedrukt wordt, te vinden, moeten wederom, als boven, de drukkingen op de elementen over- gebragt worden in de rigtingen der coördinaten-assen door middel of met tusschenkomst van koppels, loodregt op deze assen. Daartoe moeten de druk- kingen de en d, op de elementen nader worden bepaald, zoodat zij niet meer van Às afhangen. Op de wijze als in art. 10, zal uit de vergelijking (a), art. 5 (en van welke vergelijking het tweede lid nul moet zijn), afgeleid worden dat 4,, betrekking hebbende tot een enkel element, zamenhangende met de onmiddellijk aangrenzende elementen, nul is, zoodat dan de laatste termen der tweede leden van de vergelijkingen (55) wegvallen. Men kan nu de drukkingen de, d,, d, van het element, waarop zij worden uitgeoefend, overgebragt denken op den oorsprong der coördinaten en gerigt langs de assen der coördinaten z, y, 2, mits alsdan bijkomen drie koppels ke, ky, ke, loodregt op deze assen en in grootte bepaald door 83 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X. 54 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, \ . ke =de ely my Lm — Ym — ot gedm } erdm, ky = ede —' ad; == 2 X dm — adm + wo? zeèm +, „vedm, « … … (87) ke = ed, — yd, = 2 Y Jm — y X Òm Fe rige | Deze koppels, genomen over de geheele massa, geven de drie totale zamen- stellende koppels: Km for enamer fonte | sem, we (zX —2Z)dm Ho? fson+d Di fseom, Li EE (38) Kef ervan [rm ) Het laatste dezer koppels is, als koppel van drukkingen, nul, en de uit- drukking zijner grootte aan nul gelijk gesteld zijnde, geeft de vroeger reeds gevondene vergelijking (14) voor de draaijende beweging van het vaste lig- chaam om de vaste as. De drukking D. is, door het overgebragt zijn der drukkingen de in de rigting van de as der ordinaten z, de totale drukking langs de vaste as; zij ondergaat geene verandering. De drukkingen Dz en D, evenwel, nu langs de coördinaten-assen e en y uitgeoefend, kunnen met de koppels van drukkingen K‚ en Ke, loodregt op de assen der coördinaten, y en z of in de coördinaten-vlakken zz en ye werkende, zamengesteld wor-_ den, en daar noch de grootte dezer drukkingen, noch ook hare loodregte rigtingen tegen de as, verandering kunnen ondergaan, zal de plaats, waar zij worden geleden, veranderd worden. Zijn namelijk z' en 2" de afstanden van den oorsprong der coördinaten tot de twee punten der vaste as, ter plaatse van welke zij de drukkingen D„ en Dy moet ophouden, of alwaar zij eigenlijk gedrukt wordt, dan wórds de plaats van elk dezer punten be- kend door de formulen : A Olie giakned [oeom | : == = ’ : fxom Hot me, + my datt eN ge [olm et fy om + jp feeom Dy [Yom tot my. ek end Ö OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 55 Wanneer het oogenblik, voor hetwelk de uitgeoefende of geleden wordende drukkingen zullen bepaald worden, is dat van den aanvang der beweging, worden de termen, die w? tot coëfficiënt hebben, nul, en daar, voor dit dw dt heid, zullen de formulen (39) voor dit geval overeenstemmen met of den- zelfden vorm hebben als de formulen (52), in art. 10 gevonden. Is de vaste as eene der drie hoofdassen met betrekking tot den oorsprong der coördinaten, en zijn wijders de werkende krachten zoodanig gerigt en verdeeld, of is de massa van zoodanigen vorm en zoodanig door de coör- dinaten-vlakken gedeeld, dat de sommen der momenten 2Xòm en z Zòm, yZòm en zYòm gelijk zijn op eenig oogenblik, of ook dat elke dezer som- men nul ware, dan worden #’ en 2’ nul. De vaste as zal dan alleenlijk gedrukt worden ter plaatse van den oorsprong der coördinaten, en de twee drukkingen Dz en Dy zullen tot eene enkele drukking kunnen worden za- mengesteld. Ligt het zwaartepunt in den oorsprong of ook slechts ergens op de vaste as, en gebeurt het, door wijze van verdeeld zijn der krachten en door den eerste oogenblik aangemerkt moet worden als aanvankelijke hoeksnel- vorm van het ligchaam, dat de sommen of integralen foon en from re- kenkundig nul zijn, dan vinden de formulen (59) geen toepassing, dewijl dit nul zijn in het algemeen tot grond zal hebben het bestaan van twee koppels, die dan ook tot een enkel koppel zullen kunnen worden zamengesteld. Zijn evenwel deze sommen of integralen niet nul, en is derhalve, in het alge- meen, Dz — |= òm, D= von even zoo als in elk geval D, =| Z òm is, dan blijkt dat het bewogen worden der massa niets toebrengt tot het groo- ter of kleiner zijn der drukkingen tegen de vaste as. Deze zal in de rig- tingen, evenwijdig aan de assen der coördinaten z en y, bij de beweging evenveel gedrukt worden als wanneer er geen beweging plaats vond, maar’ dat niettemin dezelfde krachten op de elementen der massa werkzaam wa- ren. Maar de punten der as, op welke de drukkingen worden uitgeoefend, zullen in het eene geval niet dezelfde wezen als in het andere, tenzij de vaste as tevens eene hoofdas is. Want de termen, welke alsdan uit de tel- lers der gebrokene uitdrukkingen (59) zullen wegvallen, zijn de termen, die moeten ontbreken ter bepaling van <= en 2" als de massa niet draait of niet 33 * 36 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, zou kunnen draaijen, hetzij b. v. indien zij tegen de as zoo sterk ware aangeklemd, dat de werkende krachten niet zouden vermogen haar te bewe- gen, hetzij dat er, op andere wijze, eenig ander beletsel bestond. SII. BEWEGING VAN EEN VAST LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT. 1. Indien een vast ligchaam verbonden is met een vast punt, om hetwelk beweging van het ligchaam mogelijk is, kan men zich voorstellen de om- standigheden dezer beweging te bepalen, in de vooronderstelling dat zij plaats heeft ten gevolge eener onafgebrokene werking van krachten op de elementen van het ligchaam of der vaste massa, zoodat deze telkens, in ver- schillende rigtingen, nieuwe indrukken ontvangt, en genoodzaakt wordt snel- ler en minder snel, en meer of minder op- of neêrwaarts geneigd, om het vaste punt te draaijen, Het voorstel ter bepaling van deze draaiende beweging zal opgelost zijn, indien men voor elk oogenblik weet of kan aanwijzen de stelling der massa met betrekking tot drie onderling regthoekig gerigte coördinaten-vlakken of coördinaten-assen, welke door het vaste punt gaan en in de ruimte niet van streek veranderen. Het zou dan genoeg zijn op elk oogenblik de stel- ling te kennen van twee bepaalde punten der massa, die met het vaste punt niet in dezelfde regte lijn gelegen zijn. Het vlak, gaande door deze twee punten en door het vaste punt, is als ware het een coördinaten-vlak voor de punten der massa, en eene der twee lijnen, uit het vaste punt naar de twee gedachte punten getrokken, kan als eene coördinaten-as wor- _den aangemerkt. Kent men nu den stand, zoowel van deze lijn als van dat vlak, ten opzigte van de onveranderlijke coördinaten-vlakken, dan is hier- door de stelling van het bewogen ligchaam ganschelijk bepaald. Maar het is eenvoudiger drie onderling regthoekig gerigte lijnen te denken, gaande WE Anke je OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 37 door het vaste punt en binnen de massa, of ten opzigte van de elementen der massa, onveranderlijk gelegen zijnde. De vlakken der drie paren van deze lijnen kunnen als coördinaten-vlakken, en de lijnen zelve als de -coör- dinaten-assen van de elementen der massa aangenomen worden. Zij hebben met de bovengenoemde onbewegelijke coördinaten-assen het vaste punt, als oorsprong der coördinaten, gemeen, maar zij deelen in de beweging van het ligchaam en zullen hier heeten de coördinaten-assen der massa. Terwijl de elementen der massa onveranderlijk zamenhangen, behoudt elk element, bij de beweging van het ligchaam om het vaste punt, een onver- anderlijken afstand van dit punt. De baan derhalve, door eenig element ge- volgd of beschreven wordende, is voortdurend in het oppervlak vaneen zelf- den bol, wiens middelpunt is het vaste punt. Bij de voorwaarde van het onveranderlijk zamenhangen der elementen bestaat hierin de voorwaarde hun- ner gedwongene boweuide: De beweging der massa kan alleenlijk eene draaijende beweging zijn. Daarom moet er eene lijn wezen, gaande door het vaste punt, om welke, als om eene as, deze beweging geschiedt. Maar is deze as eene lijn, door eenig element der massa en door het vaste punt gaande, dan is het wel mogelijk dat de draaijende beweging om haar voortduurt, als om eene vaste as; doch ket geval, waarin dit kan plaats hebben, een zeer bijzonder geval zijnde, moet men in het algemeen stellen, dat deze as niet alleenlijk gedu- rig eene andere stelling ten opzigte van de vaste coördinaten-assen zal heb- ben, maar ook dat hare rigting ten aanzien van de coördinaten-assen der massa veranderlijk zal zijn. Is derhalve de lijn, door eenig element en het vaste punt getrokken, de as om welke, op zeker oogenblik, de massa eene draaijende beweging heeft, dan zullen, in de volgende oogenblikken, andere dergelijke lijnen, gerigt naar andere elementen, die opvolgend niet gelegen zijn in de rigting van een zelfden voerstraal, eveneens assen van omwente- ling zijn of kunnen zijn. Gevolgelijk is de as van omwenteling niet slechts eene lijn, welke met de massa om het vaste punt bewogen wordt, maar ook hare plaats of rigting ten opzigte van de elementen der massa is niet be- stendig. De beweging der massa is wel eene wentelende beweging om eene as, maar dit slechts, voor eene zelfde as, gedurende een differentiaal-oogen- blik. In een volgend dergelijk oogenblik draait het ligchaam om eene an- dere as, oneindig digt nevens de eerste gerigt. De draaijende beweging gaat als ware het onophoudelijk van de eene as op eene onmiddellijk vol- 58 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D’'ALEMBERT, gende over; de as van omwenteling is eene onbestendige as, eene as voor een ondeelbaar oogenblik. Bij de beweging van een ligchaam om eene as, — hoe kort ook de duur der beweging zij, of hoe klein het boogje, door eenig punt van dit ligchaam beschreven, — bestaat hoeksnelheid van beweging om de as, of hoeksnelheid met betrekking tot de as. Deze snelheid kan ontbonden gedacht worden; en zoo dan de rigting der onbestendige as bekend ware ten op- zigte van de coördinaten-assen der massa, zou de hoeksnelheid met betrek- king tot de onbestendige as ook gedacht kunnen worden vervangen te zijn, door betrekkelijke hoeksnelheden, dat is door die van zamenstellende bewe- gingen om de coördinaten-assen der massa, even zoo als dit ten opzigte van de onbewegelijke coördinaten-assen kan worden begrepen. Wederkeerig, zoo men, voor eenig oogenblik der beweging, kende de zamenstellende hoek- snelheden, hetzij met betrekking tot de vaste coördinaten-assen, hetzij ten aanzien van de coördinaten-assen der massa, zou uit deze besloten kunnen worden én tot de grootte van de hoeksnelheid der ware beweging om de onbestendige as, én te gelijk tot de rigting dezer as. Zoo eenige lijn, door het vaste punt getrokken, en zekere bepaalde stelling ten opzigte van de elementen der massa hebbende, voor een oogenblik as van beweging kan zijn, kan dit ook op elke der coördinaten-assen van de massa toegepast worden. En zoo dan elke dezer assen op hare beurt onbestendige as ware, zou er werkelijk beweging om deze as en hoeksnelheid ten opzigte van eene coördinaten-as der massa bestaan. Maar het is duidelijk dat de hoeksnelhe- den met betrekking tot de coördinaten-assen der massa niet in dezen bij- zonderen zin moeten gedacht worden, al ware het ook mogelijk dat eene dezer lijnen, onder de beweging, onbestendige as wierd. Van een anderen kant evenwel heeft de massa inderdaad beweging met betrekking tot hare coördinaten-assen. Deze assen toch worden met de massa bewogen, en als men de beweging nagaat gedurende den tijd àt, dân stelt men zich voor te onderzoeken, welke ligging of welken stand de assen der massa hebben op het einde van den tijd òt met betrekking tot dien, welken zij hadden bij den aanvang van dit oneindig klein tijdsdeel. De elementen der massa heb- ben na dezen differentiaal-tijd eene andere plaats, en alhoewel de coördina= ten der elementen met betrekking tot de coördinaten-assen der massa steeds dezelfde zijn, ondergaan zij niettemin verandering, als men de verandering in rigting der coördinaten-assen in aanmerking neemt, dat is als men let OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, / 59 op een volgenden stand met betrekking tot een onmiddellijk voorgaanden. Het is derhalve geoorloofd snelheid van beweging der elementen, verande- ring van snelheid of versnelling, verandering van de coördinaten der ele- menten of differentialen dezer coördinaten, te stellen of te rekenen met be- trekking tot de coördinaten-assen der massa. Maar bij het onderzoek der beweging van deze assen zelve moeten klaarblijkelijk de vaste assen der coördinaten als rigtingen ter vergelijking worden aangenomen. De differentiaal-beweging van de massa met betrekking tot hare coördi- naten-assen, en de differentiaalbeweging dezer assen met betrekking tot de vaste coördinaten-assen, zijn bewegingen die gelijktijdig plaats hebben; zij zijn in eene zelfde beweging begrepen. Zij hangen echter in dier voege zamen, dat de laatste bepaald is door de eerste, van welke dan ook de om- standigheden als die eener onafhankelijke beweging kunnen worden onder- zocht en gekend. Men zal namelijk de stelling van de coördinaten-assen der massa kunnen vinden op eenig oogenblik der beweging, zoodra bekend zijn geworden de _ fenetiën of uitdrukkingen, die, voor zoodanig oogenblik, de grootte geven van de hoeksnelheden der beweging van de massa met betrekking tot hare eoördinaten-assen. “Deze functiën worden verkregen uit de differentiaal-ver- gelijkingen der beweging van de massa met betrekking tot hare coördina- ten-assen. Het bepalen dezer differentiaal-vergelijkingen is een voornaamst gedeelte der oplossing van het voorstel der beweging van een vast ligchaam om een vast punt, en tot deze bepaling, door middel van het beginsel van D'ÁLEMBERT, wordt nu in de eerste plaats overgegaan. 2. Aannemende, dat op al de elementen der massa krachten werken, — dat deze ontbonden zijn in rigtingen evenwijdig aan de coördinaten-assen der massa, — en dat, zoo doende, gelijk in art. f van $ 1, de krachten op elk element vervangen zijn door drie krachten X dm, Y òm, Zòm, dan moet hier ook wederom worden uitgegaan van de algemeene vergelijking (1) der virtuele momenten. Om haar toe te passen, moeten de voorwaarden der variatiën van de onbepaalde coördinaten der elementen in rekening worden gebragt. Deze voorwaarden zijn die der gedwongene beweging van het lig- chaam om het vaste punt, — door welke elk element denzelfden afstand e tot het vaste punt (tot den oorsprong der coördinaten) behoudt, — en die van den onveranderlijken zamenhang der elementen van de massa, door 40 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, welk verband de onderlinge oneindig kleine afstanden tusschen opvolgende elementen dezelfde blijven. De eerste dezer voorwaarden wordt uitgedrukt door de vergelijking: kP ln el been ol nerd 4 BEREN EE (40) gevende deze eerste voorwaardes-vergelijking der variatiën van de coördinaten: ÒL, = 2de + 2ydy + 22Ö2=0..... Wer Ald . « … (41) Aangezien er slechts drie onbepaalde coördinaten #, y, z zijn, kan het aan- tal der voorwaardes-vergelijkingen niet meer dan drie bedragen. Moest alleenlijk de voorwaarde van zamenbang en onafgebrokene onveranderlijke op- volging of aansluiting der elementen in aanmerking komen, dan zouden daar- toe drie vergelijkingen kunnen worden gesteld, uitdrukkende dat de variatiën der drie afstanden tusschen vier, in eenige kromlijnige of veranderlijke rig= ting, onmiddellijk opvolgende punten nul zijn. Twee zoodanige vergelijkin- gen reiken hier echter toe, vermits reeds eene (41) van de drie noodige bestaat. Deze twee kunnen naar den genoemden grond gevormd worden, doch men kan ze ook vinden uit dezelfde voorwaarde, door welke de ver- gelijking (41) is verkregen. Zijn toch de afstanden van: drie onmiddellijk op elkander volgende elementen onveranderlijk, dan zullen ook de variatiën der afstanden van het tweede en derde dezer elementen tot het vaste punt, even zoo als de variatie van den afstand des eersten elements tot dit punt, nul zijn. Van drie opvolgende elementen of punten der massa zijn de coör- dinaten z,y,z; + Òe, y + Òy, 2 + Òe, wd Ue Hd, y Hy HÒ?y, 2 H Ue + d?2, en gelijk dan de vergelijking (41) is verkregen uit Ö la? dy? Je?) = 0, zullen de twee andere voorwaardes-vergelijkingen der variatiën van de coördinaten moeten voortkomen uit of ontwikkelingen en vervormingen moe- ten zijn van deze twee vergelijkingen : Ì B (et de)? Hy + Òy)* + (2 HÀ2)?} =0, d {e+ 2Òe HÒ?2)? 4 (y Hy HO)? H (2 + 2 + d2)?} =0. De eerste ontwikkeld zijnde gelijk de overeenkomstige, uit welke de ver- gelijking (7) in art. 5 $ 1 is afgeleid, zal geven: OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, At ÖL, = deden +Ldyddy + Ldeddez=0 (42) De tweede vergelijking wordt, bij ontwikkeling, O(h 2Òr HD) (Ja 4 LOÔr HD? da) + LY + Oy HD) (Oy + 2OÔy Hd" dy) + Dad We HÒ?2)(Öz H 2ÒÒe H D2Ò2) = (2 Òr + Wy Òy + 222) HL (Lr Òr + 2adder +2Òydy + 2yddy J2dedz H 2282) +2 (Ld Ôr + Ly ddy + 22 À de) HUAArdÖz 29° zÖr HLa2dOzAdyddyt 2d dy H2yd dy Adeddet-2d 20222) dz) + 2(W dz 4 2ded dert UI Yddy + 2Yd dy H 29229 dz H 2 dz dd) + 2(Izddz Hd yd Ôy + d2d?dz) —L, +20, +2AL, +29 ÒL, +20ÖL, Hd dz 4 2 yd? dy 4 2022) dz. Aangezien nu òL,=—=0, òL, —0 zijn, en daarom ook de differentialen de- zer variatiën gelijk nul, komt, als derde voorwaardes-vergelijking der varia- tiën van 7, y, z, * ÒL, = 2d od? Ör 4 2 yd? dy + 22de =0......... (43) Om de bepaalde vergelijking der virtuele momenten te heblen, moet de onbepaalde vergelijking (1) (S L, art. 1) zamengenomen worden met deze drie vergelijkingen jer, =|" (zòz + yòy + 2ò2) — 0, [ren =| 24 edt Hd + eedt, [on =|" (9229? dz Hd? Ôy + 229? dz) = 0. Vooraf echter kunnen de twee laatste, door het integreren bij gedeelten, worden herleid, zoodat de termen onder de integraal-teekens geen differen- tialen van de variatiën maar eeniglijk deze variatiën zelve tot factoren heb- ben. Daartoe, als vroeger, aannemende of stellende, dat 4’, 4,, 4’, 4, 4’, N,, de" de', dy” dy’, de” de’ enz. zijn de waarden van A,, A, As, de, dy, dz enz. aan de grenzen der integralen, zal de tweede der voorgaande vergelijkingen moe- ten vervangen worden door deze andere: * Zie de aanteekening, aan het einde dezer Bijdrage. ó 84 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X, 42 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, 1 Í (raed, de) + 2D, Ap) + LADA, de)] + 2 (3de!) — (0, 02) + 9 {a', 94”) 8" —(N, 29’) 4} + DJ {a”, dz’) òz!' RAS: (N, de!) dz} — 0. De laatste of derde van die vergelijkingen zal overgaan in: ig Í {ROD (AQd?2)H2Ôy (A44) H2Ô2D(A,d22)} — 2 (OAN O2") (A ,92)} gar {99 9( d's d? vd d's 32 4)} en) (829 (N', dte!) ir, KIC d? 2)} + UIA De") de" (A3 DP)! HA" 0 9) DÖ" — (N39)! } + 2, PED! — (A, 9 Z)D DZ}. En hiermede komt dan deze bepaalde vergelijking der virtuele momenten: 0 = f (tomen HRA, # — 2 (Às de) + 20° a, 9: 2) oe + [rom 3lom +29 — 2D, dy) + 29° (A 27) | + [rom Sprdm 2, #— Ò(A? d2) + 2D (A, d* 2) |òz | ne 2 {N' de" —ò( (A 922")} Ör"—2 , dz —d(N' 3 dz r )}ôz! HUN" 9? a"pÖz" (Nd z")d dz! + LN '— KIC HP Ie’ py — NY! —òÀ( , sd )}ôy' +2 (N'0°y In dy" — —_ UN ,0°y DNI HU{N! dE! —A! 22") O2 {Nd — Nod eljpde! HUN ,0P 2002 —2 N'd*2!)d dz. (44) De integraal, in deze vergelijking voorkomende, wordt gedacht over de geheele massa uitgestrekt te zijn; zij is derhalve, alhoewel zonder bepaalde aanduiding, eene bepaalde integraal. Maar in deze zelfde vergelijking zijn nu al de variatiën, zoowel de bepaalde (buiten de integraal) als de onbepaalde (in de integraal) onderling onafhankelijk. Daarom wordt aan de vergelijking — voldaan door den coëfficiënt van elke der variatiën gelijk nul te stellen. Derhalve zal men de navolgende vergelijkingen hebben: Komi mh DA, 2 BOA, dE) +29, =O; RAD: (45) dy Yòm je rt, =O (Ard) + 2D (AD =O; (46) Lori dm + BA, Bd (Ae dE) HL (A) DN OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 45 NDE AU! =O Mdd WDP =O; MDP" =O; MD! =O. Ny II) =O; MND) =O; MDG" =O; NI =O. Nd" Ad) =O; Adz dd) =O; A2 0; Wd ZO. | Wanneer uit de vergelijkingen (45), (46), (47), twee aan twee geno- men, de onbepaalde factor %, wordt geëlimineerd, zullen de onbepaalde in- tegralen der komende vergelijkingen, na herleiding door middel van het in- tegreren bij gedeelten, bevonden worden te zijn: dz òy " [vir —) òm—(yZòm— 2 Y dm) — 2 {As Ày — Ò(A, dg) + 2{Ar de — d(AgdP2)} y — 243 (À2 dy — dy d*2) = C,; 2 d? [Nei dn — (eXòm—eZàm)f — 2 {APD — (A, d? 2} H(A, de — (A, DP o)} 2 — UA, (Ard? 2 — dz de) — CO; | ‚ (48) . (6) Í (57 ir oe) om — (eam —4X2m) —2 {A dr —d(Ae d*2)} 4 +2 {A Òy — (As dy} a UA (Oy dr dd?) = Cs. De tweede leden C,, C,, C, dezer vergelijkingen zijn nul, vermits de in- tegralen, in de eerste leden aanwezig, aan de eerste van hare limieten verdwijnen, terwijl ook de overige termen van die eerste leden aan dezelfde eerste limiet nul zijn, op grond van de vergelijkingen (48). Deze termen vallen insgelijks weg aan de tweede limiet der integralen. Worden derhalve de vergelijkingen (b) uitgestrekt over de geheele massa, dan blijven in de eerste leden alleenlijk de integraal-uitdrukkingen met betrekking tot de ge- — heele massa, en er komen alzoo deze drie vergelijkingen, welke zijn de oor- spronkelijke of onherleide vergelijkingen der beweging van een vast ligchaam om een vast punt: CS MERE It à ONS le sb [van ie) om = f{yzon ram); dz dz Ie DE — ze) om = f(-xam—ezam); Pose (49) 5 dy de Menor eten 5. De vergelijkingen der beweging kunnen ook verkregen worden door : 34 ÁA _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, eerst de vergelijkingen (45), (46), (47) te integreren, alsdan uit de onbe- paalde integralen 4, te elimineren, en daarna, nogmaals integrerende, de integralen over de geheele massa te nemen; de factor à, zal daarbij weg- vallen. Uit de onbepaalde integralen van de vergelijkingen (45), (46), (47) zal volgen k dz } 2 {A Àm —Ò (A, d'2)} = f{xom— per mt 2, ‚l s dt) = front 2 |, OEE (50) 2 (A, de —Ò(A, d*2)} =| om — Lom + 21, | ) Aan de eerste limiet zijn de integralen nul, en volgens de vergelijkingen (48) zijn, voor deze limiet, ook de eerste leden dezer vergelijkingen nul; daarom behoeven geen standvastige termen of grootheden bijgevoegd te worden, of liever deze zijn nul. Strekt men de vergelijkingen (50) over de geheele massa uit, daarbij wederom op de vergelijkingen (48) lettende, dan heeft men deze andere vergelijkingen: floor ont he) 0, dt? [lami dm + 2A, ‚) =0, Ve sede vie a leze (51) Elimineert men nu 4, uit de vergelijkingen (50), twee aan twee geno- men, dan zullen er drie vergelijkingen komen, die men wederom zal kunnen integreren, en neemt men, op de drie zoo even verkregene vergelijkingen lettende, deze integralen over de geheele massa, dan zullen daaruit de ver- gelijkingen der beweging ontstaan. Het zij genoeg dit voor één dezer ver- gelijkingen aan te toonen. Men eliminere 4, b. v. uit de tweede en derde der vergelijkingen (50); dit zal geven 2 on (zomp) (om dam+2y)+00d dege D=, en, bij gedeelten integrerende, OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 45 v flansen, — [ren orter) fr (zonne) + |: (rom +20, v) +2, (pd2e — ded24) = 0. Het tweede lid is nul, omdat aan de eerste limiet der integralen het ge- heele eerste lid nul is; de integralen toch, in dit eerste lid aanwezig, zijn, bij die limiet, nul, en de 5e, 4e, 7e, 8e, 11e en 12e der vergelijkingen (48) leeren, dat à, zoowel aan de tweede als aan de eerste limiet nul is. Wordt nu de verkregene vergelijking met betrekking tot de getieele massa geno- men, dan vallen, op grond van de vergelijkingen (51), de twee eerste der integralen in het voorste lid weg; ook vervalt de term, die 4, tot coëfficiënt heeft, en er blijft, na omkeering der teekens, dz dy f(voomoigen+ 2, ve) fforam— Rr zi, el —z0, of dz dy flozon—erom— Vor Zom ten am) =0, waaruit dan, door afscheiding enz., de eerste der vergelijkingen (49) voort- komt, en dat de beide andere op gelijkvormige wijze verkregen worden, zal wel geen verklaring behoeven. 4. Worden alleenlijk de vergelijkingen (49) der beweging gevraagd en niet meer, dan kunnen deze ook, zonder tusschenkomst van onbepaalde ver- menigvuldigers, verkregen worden op de wijze, gevolgd in art. 7 van S I. Daartoe moeten, door middel van de voorwaardes-vergelijkingen der variatiën van de onbepaalde coördinaten, de algemeene waarden van òzr, dy, dz worden bepaald. Deze waarden gesubstitueerd zijnde in de vergelijking (1), zal de noodzakelijke betrekking, welke tusschen de onbepaalde variatiën moet be- staan, in rekening zijn gebragt, en de vergelijkingen der beweging zullen dan onmiddellijk moeten verkregen worden. Het aantal dezer vergelijkingen is drie; de vraag rijst derhalve, hoe deze drie uit de enkele vergelijking (1) ontstaan ? Men merke op dat, om òz, dy, òz te vinden, de vergelijkingen (42) en (45), in verband met (41), zullen moeten worden geïntegreerd. Hierdoor worden er willekeurige standvastige grootheden ingevoerd, die, van dezelfde orde moetende zijn als de te bepalen elementen òz, òy, òz, als varia- tiën, en wel als willekeurige en daarom onderling onafhankelijke variatiën, 46 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, zullen mogen en moeten beschouwd. worden. Het aantal dier willekeurige standvastige grootheden zal blijken drie te zijn. De vergelijking (1) zal dien- volgens, door de substitutie der waarden van òz, òy, dz, herleid worden tot eene andere vergelijking, niet meer van onderling zamenhangende, maar van willekeurige variatiën afhangende. Al de termen van die herleide verge- lijking (1) zullen eene zoodanige variatie tot factor hebben. Het vereenigen der termen, door eene zelfde willekeurige variatie vermenigvuldigd, zal drie sommen van termen opleveren. En de herleide vergelijking gelijk nul moe- tende zijn, onafhankelijk van elke waarde aan de willekeurige variatiën toe te kennen, zal er alleenlijk, met betrekking tot hetgeen men zoekt, voldaan kunnen worden door elke der drie sommen van termen gelijk nul te stellen; daaruit komen dan de drie vergelijkingen der beweging. Laat, tot meerdere eenvoudigheid en duidelijkheid, òz, òy, òz aangeduid en vervangen worden door u,v, w, dan zijn de vergelijkingen (41), (42), (45), ter bepaling van u, v, w‚, deze: eu- Fy ew == 0 ene Kete ee ROR òrdu Hr dy du Jr de dw 0, tee see ete de ee ee (8) 0u ded yd Dd mn 0de eee en EEN (7) De elementen, in deze vergelijkingen voorkomende, hebben alleenlijk be= trekking tot coördinaten van punten der massa. De differentiaal van den tijd, welke in de differentiaal-vergelijkingen der beweging het onafhankelijk ver- anderlijk element is, komt hier in geen aanmerking. Daarom zou, voor het meer gemakkelijk integreren, eene der eerste differentialen, b. v. òz, als standvastig mogen aangenomen worden. Dit worde evenwel niet gedaan, zoo- dat dan ook de vergelijkingen («), (8), (yr) den meer algemeenen vorm blijven behouden, onder welken zij ten opzigte van al hunne elementen z,g, 2, u,v, w‚, Àr, dy …. volkomen symmetrisch zijn. De differentiaal van de vergelijking («) is 2òu ude Hydedodyteawtwdeml. ere (©) Wederom differentiërende, en op de betrekking (#) lettende, komt: 2dtu Hud dydetrdytedwtwdte 0... (€) Uit (@), (B), (ò) w en dw eliminerende, zal verkregen worden: (ade — 2 Òe) (2 du — UÒz) + (Yde — 2dy) (2 dv — ev dz) == 0... « « « (6) Eveneens, door eliminatie van w en dw uit (e), (7), (©), — OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 41 (wd? 2d?) (2d?u —ud?e) + (yYd?2 edy) (2d? — ve) =0.... (6) Klaarblijkelijk hebben deze twee vergelijkingen (6) en (£) den vorm EE LOVE ETEN AT INE () ber Eg ig EE de dale () Zij hebben derhalve, ten opzigte van vier functiën, denzelfden vorm als de vergelijkingen («), (8), ten opzigte van zes elementen, zoodat van de drie symmetrische vergelijkingen («), (8), (r) met zes veranderlijke grootheden als - ware het is afgedaald tot twee symmetrische vergelijkingen met vier veran- derlijke functiën, en uit deze twee komt men nu eveneens tot enkele ver- gelijkingen met twee van die veranderlijke functiën. Want uit de differenti- aal van (+), dat is uit POQ + QAP + RIS + SIR == 0, en uit (&) en (#), S en ÀS eliminerende, komt R(PÒR — RÒP)IQ — Q(PAR — RIP)IR = 0, dat is (PÀR — RP) (ROQ — QÀR) == 0. Dienvolgens PQ AR te amel De of 2de de yd —zdy 2d u— ud?z ede — ede 4 yòe—2dy edu ude en dan ook zv — vd? 2 ade —edr zv—-vde oo Ordz— 2de == enz, welke vergelijkingen onmiddellijk kunnen worden geïntegreerd. Men heeft R b. v., uit ink Q = aR, dat is edu — ude —= — alzdy — Y À2), en van deze is de integraal moge hatelrd- bs of u—=—ay + be, e À id e zijnde a en b de willekeurige standvastige grootheden, door het integreren bijgekomen. Á8 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, _ Men zou nu wel eveneens verkrijgen v= —ce + dz, maar de willekeurige standvastige grootheden kunnen niet alle onderscheiden wezen, want er moet aan de vergelijkingen («) en (8) worden voldaan. Dit blijkt dan ook, van een anderen kant, door de gevondene eerste integraal (edu —ud2)=—a(z dy —y ò 2} dewijl, ingevolge deze, de vergelijking (6) overgaat in zv —vde mz — alde — 2d), van welke de integraal is vz=ar dez, zijnde c eene derde willekeurige standvastige grootheid, voor welke het ge- oorloofd is te stellen —c, opdat de vorm der uitdrukking van waarde voorv aan die voor u gelijk zij, hetgeen, op grond der symmetrie, in de gegevene vergelijkingen ten opzigte van al de elementen bestaande, gepast is. Met uz=—ay tbe, en v—ar—ez geeft de vergelijking (@, w—=—be Heg. De begeerde uitkomst zal derhalve zijn (indien a, 5, c gesteld worden onder den vorm van variatiën, b. v. òf, òg, ò,), Òz —= —yòf + zg, Òy —= eÒf —zòh, Òz = — #òg + yòh, en met deze waarden zal dan de bepaalde vergelijking der virtuele momen- ten zijn: e dz d2y f {Lexen + Vg dmteVdm es, mdf d'r dz. + [+ zX dm — EF Ran olòm + agr, òr] òg 9? d2z e + [Ym + ep òm Bak daens 01 om [or il In plaats van de enkele integraal van het geheele voorste lid dezer ver- gelijking, kan eene som van drie integralen van de drie termen, waaruit dat voorste lid onder het integraal-teeken bestaat, gesteld worden. Daar ver- der òf, òg, òh standvastig zijn en voor al de elementen der massa dezelfde waarde geacht mogen worden te hebben, zal het ook geoorloofd wezen deze grootheden vóór of buiten de integraal-uitdrukkingen te plaatsen. Alsdan zal aan de vervormde of gewijzigde vergelijking worden voldaan door de coëffi- ciënten van òf, òg, òh, dat is elke der drie bedoelde integralen, aan nul ge- lijk te stellen, en daaruit verkrijgt men dan terstond de drie begeerde ver= gelijkingen (49) der beweging. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 49 5. De eerste leden der vergelijkingen (49) kunnen worden vervormd en herleid, zoodat zij afhangen van de hoeksnelheden of differentiale hoekbe- wegingen der massa om hare coördinaten-assen. De integralen zullen daarbij meer ontwikkeld kunnen worden, en indien dan, als coördinaten-assen der massa, de hoofdassen der massa met betrekking tot het vaste punt worden genomen, zullen de vergelijkingen (49) tot den eenvoudigsten vorm zijn ge- bragt, en als eerste differentiaal-vergelijkingen der beweging van het lig- chaam om het vaste punt kunnen aangemerkt worden. Laten p, g, r in rangorde aanduiden de grootten der hoeksnelheden van beweging der massa om of met betrekking tot de assen der coördinaten z, y, = Eenig element hebbe tot de as der abseissen # een afstand s, zijnde s=V (y* +2*). Daar de hoeksnelheid met betrekking tot de as z is p, zal de volstrekte snelheid der draaijende beweging van het gedacht element ten opzigte van dezelfde as z zijn ps. De beweging van het element door een oneindig klein boogje van den cirkel, hebbende s tot straal, kan gedacht worden ontbonden te zijn in twee andere differentiaal-bewegingen, evenwij- dig aan de assen der coördinaten y en z. Deze zamenstellende bewegingen zullen in grootte zijn: … z evenwijdig aan de as van y‚,= —ps.— = — pz, 8 evenwijdig aan de as van z,=—= + ps. 5 == + py. Hierbij is aangenomen dat de rigting der draaijende beweging is opwaarts in het octant der positieve coördinaten z. y, 2, zoodat de ordinaat y kleiner, maar z grooter wordt, en de beweging geschiedt als ware het van de posi- tieve zijde der as y tot of naar de positieve rigting van de as z. Eveneens zal eene draaijende differentiaal-beweging qs om de coördina- ten-as y, en gerigt van de positieve rigting der as z naar de positieve zijde der as van de abscissen z, ontbonden gedacht kunnen worden in twee regt- lijnige differentiaal-bewegingen, evenwijdig aan de assen der coördinaten z en z, en van deze bewegingen zullen de grootten zijn: evenwijdig aan de as van x,— +gz, evenwijdig aan de as van z,—=—gs. En de cirkelvormige differentiaal-beweging rs’ van hetzelfde element met betrekking tot de as der ordinaten z, en gerigt van de positieve streek der 35 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, 50 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, as van e naar de positieve zijde van de as der ordinaten y, zal insgelijks twee zamenstellende regtlijnige differentiaal-bewegingen opleveren, te weten : de eene, evenwijdig aan de as van x,=—ry, de andere, evenwijdig aan de as van y,‚= +ra. Denkt men derhalve de draaijende differentiaal-beweging van eenig element der massa om de onbestendige as ontbonden in drie dergelijke bewegingen om de coördinaten-assen der massa, en elke dezer wederom in regtlijnige differentiaal-bewegingen evenwijdig aan de coördinaten-assen, dan zullen de totale zamenstellende regtlijnige bewegingen zijn: evenwijdig aan de as der abscissen x, — ge —rg, evenwijdig aan de as der ordinateny, = reps evenwijdig aan de as der ordinatenz, — py —q%. Maar deze zijn nu niet onderscheiden van de snelheden der beweging van het element met betrekking tot de genoemde assen, zoodat men mag stellen Ni Ò3 ò Te rhenen de De Pe RORE En (52) Hieruit zal volgen, dewijl al de bestanddeelen dezer vergelijkingen ver- anderlijk zijn, de Àg òr rrd ed kras een Ì ò7s Ò N) 4 ze gtr ge rp (op — ge), ( rad a Eat HOREN dz N j Dr SV Pp Fee) ger. : Deze uitdrukkingen moeten nu gesubstitueerd worden in de eerste leden der vergelijkingen (49). Laat dit b. v. geschieden in de eerste van die ver- gelijkingen, dan wordt zij yr SE en HOT Der (fen òt dt Òt + praydmn —pgezòm) — from — rom) De hoeksnelheden en hare veranderingen, dat is de hoekversnellingen, OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 51 zijn voor al de elementen der massa dezelfde, Derhalve moeten zij, bij het nemen der integraal of wel der integralen van de termen des eersten lids over de geheele massa, als standvastig worden aangemerkt. Neemt men tevens die lijnen als coördinaten-assen der massa, welke zijn de hoofdassen der massa voor of met betrekking tot het vaste punt, dan worden de inte- gralen der termen, die van de producten sy dm, zzd m, yz2 dm af hangen, nul, en de vergelijking gaat over in dr (y? terpen fer — y*) dm = [Lam — Yom) De grootte der momenten van traagheid der massa met betrekking tot de opgenoemde hoofdassen mag, even zoo als de plaats of ligging dezer hoofd- assen, als bekend of gegeven worden aangemerkt. Zijn A, B, C de grootten dezer momenten, genomen in de orde der coördinaten z.y,z, dan is fer remones fe +eon=s, je + y?)òm =C; — derhalve ook je — y?)òm = (B—C). Het tweede lid der onderwerpelijke vergelijking van de beweging der massa, drukt klaarblijkelijk uit het moment van een koppel van draaijende beweging om de as der abscissen zr, namelijk van een koppel gelijk aan de som van al de koppels, loodregt op de as van z, en ontstaan uit de werkingen der krach- ten Xòm, Ym, Zòm op de elementen der massa. Wordt de grootte of het moment van dit totale koppel aangeduid door L, dan zal de herleide eerste vergelijking der draaijende beweging van het vast ligchaam zijn De beide andere vergelijkingen kunnen op gelijkvormige wijze herleid wor- den, en wanneer M en N beteekenen de momenten der koppels, welke eene draaijende beweging aan het ligchaam om de coördinaten-assen 7 en z zou- den kunnen mededeelen, gelijk aan die welke al de op de elementen wer- kende krachten gezamenlijk pogen te doen ontstaan, — of ook, en juister, gelijk aan die, welke men zal moeten verkrijgen door het ontbinden der eigen- lijke koppels van beweging des ligchaams om de onbestendige as, — zullen 35% 352 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, in plaats van de drie vergelijkingen (49) deze drie andere herleide en meer eenvoudige vergelijkingen komen: At=@B- C) gr + L, \ p= Ots Apr griene le (54) Îr (A—B)pg + N. de ed ) Zij zijn de bekende vergelijkingen der beweging van een vast ligchaam em een vast punt; zij hebben den vorm van differentiaal-vergelijkingen van de eerste orde, die gelijktijdig bestaan, en zij zijn daarom eerste differen- tiaal-vergelijkingen der beweging van het ligchaam, Door het integreren wor- den p, q, » in functie van den tijd bekend, en drie andere vergelijkingen, welker afleiding of vorming niet tot het onderwerp dezer Bijdrage behoort, dienen daarna om, met de waarden van p, g, r voor „genig oogenblik, de stel ling der hoofdassen, gaande door het vaste punt, met betrekking tot de vaste coördinaten-assen te vinden. Daarmede zal het voorstel, voor zoo ver de be- weging aangaat, opgelost zijn. 6. Ter bepaling van de hoegrootheid der drukking, door de werking der krachten en ten gevolge der beweging op het vaste punt uitgeoefend, heeft men vooreerst uit de vergelijkingen (45), (46), (47), N= zE [kam om — 20 [. de — Dd (A ‚d))| == roms dn [a dy —d (A3 2) 2y 2 = k om òm — 2 [A, de =d (A, 2). Ten anderen is, door de vergelijking (40), eme (EJ [EJ Bien Derhalve komt voor de drukking 4,U, of do, uitgeoefend op het element dm in de normale rigting op de baan, door dit element om het vaste punt OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 53 beschreven, en dan ook uitgeoefend op het vaste punt zelve in de rigting van den voerstraal e, ef x om — dr òm — [4 de — d(A, d°e) 1 e ò’y Sg [rom — lom ke 2 òy —À (A, 2) it í dz sE ps Om — 2 [4 ds — d (As )}}. Hieruit onmiddellijk d, = == Kom Sr om ne 7 2d, Òz red RICH 9?) |, dy Eee nf SAE VON (55) 2 inie kn 2ò |A, de — d(A, d° A De drukking dp bodknt oorspronkelijk op het element 9m; vermits hare rigting is die van den voerstraal e, kan zij ook gedacht worden als uitge- oefend tegen het vaste punt, en dan zijn de, d,, d, de drukkingen (met be- trekking tot een enkel element, verbonden met de onmiddellijk aansluitende), uitgeoefend tegen het vaste punt in de rigting der coördinaten-assen. Men kan evenwel de drukking dp op eenig elemeut eerst, ter plaatse van dit ele- ment, ontbonden denken in de drukkingen ds, d,, d, evenwijdig aan de coör- dinaten-assen, en ze alsdan overbrengen op of langs deze assen, maar «lan ontstaan er tevens drie koppels ks, ky, ks, loodregt op de coördinaten-assen. De uitdrukkingen der momenten van deze koppels zijn: A ò? k, = yd, — edy == (yZòm — 2 Y òm) — (7 ve) òm — \ — yd {Ar dz (A3 DP 2)} H 220 (A, Oy —d (A, d° 9}, En qe Regi oe ky = zd, — ad, == (2 X òm — 2 Z dm) — (25e) òm — ) (66) — Zed {Ar drs dP 2)} 4 2d (Aa de — Ò(As d?2)}, ke = adj — yde = (we Ym — y Xòm) — (i- vj SE tad (hr Òy—d(A, DFH 2d (A, de —d(A, dta)}. | 54 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Deze koppels, voor al de elementen te zamen genomen, zouden zijn kop- pels van drukkingen, indien de beweging der massa om de coördinaten-assen niet kon plaats grijpen. Maar terwijl een zelfde punt der massa voorwaarde- lijk in het vaste punt blijft of van plaats niet verandert, is de beweging der massa om elke van hare coördinaten-assen onbelemmerd of niet meer belemmerd. Daarom zijn de genoemde totale koppels van drukkingen nul, en de integralen (over de geheele massa genomen) der tweede leden van de vergelijkingen (56) moeten dienvolgens, aan nul gelijk gesteld zijnde, we- derom de vergelijkingen (49) der beweging opleveren. Het zal voldoende zijn dit voor één der vergelijkingen (56) aan te toonen, b, v. voor de eerste dezer vergelijkingen. Bestonden in deze vergelijking de derde en vierde termen niet, dan zou de integraal, over de geheele massa uitgestrekt, en het eerste lid van de vergelijking gelijk nul gesteld, inderdaad van de eerste der vergelijkingen (49) niet onderscheiden zijn. Derhalve moet slechts blijken, dat de integraal der som van die derde en vierde termen nul is, als zij over de geheele massa wordt genomen. De onbepaalde integraal is free (isde (A, d22)} — 22 (As yd) —= 2y {hade —Ò (4, d22)} — tz (A, dy — (A3 00) + | LAY (Ag d?2) — ded (A, 93) Tusschen de limieten der massa genomen zijnde, zal de waarde van het eerste lid gelijk zijn aan den derden term van het tweede lid, tusschen de- zelfde grenzen genomen; want volgens de vergelijkingen (48) zullen, aan deze grenzen, de eerste en de tweede termen van het tweede lid nul wor- den. De ontwikkeling van den derden term geeft, zonder nog op de limie- ten te letten, 2 foot, — ded (A, dy} = 24, (Ay dte — ded) en vermits aan de limieten 4, gelijk nul is, (of eigenlijk 4, d’y = 0 en Ay d'e = 0, volgens (48)), zal de bepaalde integraal insgelijks nul zijn *. Worden de tweede leden van de vergelijkingen (55) over de geheele massa * Op het hier ontwikkelde is door den Heer STAMKART eene aanmerking gemaakt in denzelfden zin als op het behandelde in $ I, art. 9, en met aanduiding eener soortgelijke bekorting in de berekening. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 55 genomen (te weten door integreren), dan zullen, op grond van de vergelij- kingen (48), de integralen van de derde termen dier leden wegvallen, en voor de totale zamenstellende drukkingen tegen het vaste punt verkrijgt men 3 dz \ D, == f Xòm — Seè : | dy D, =| von it Di òm, ( Bied) oe eni ekk (c) D= f èn on, | hebbende de integralen, alhoewel zonder bepaalde aanduiding, betrekking tot de geheele massa. Integreert men nu in dezen zin de tweede leden van de vergelijkingen (55), en substitueert men de uitkomsten in de tweede leden van de pas verkregene vergelijkingen, dan zal er, als z,, y‚, z, zijn de coör- dinaten van het zwaartepunt der massa, komen: D= faonrar Hrt)maj pomp, prm, Hm, — me; 2 2 op òr D,= f YòmHp* +r ded OEE Lr Pd Al Ve Wear Pld (57) EEN ese 2 2 0g òp D; = | Zòm(p? +q NR NEP it ee ane | / Bijaldien derhalve geen krachten op de elementen van het ligchaan blij- ven werken, en dat het zwaartepunt is het vaste punt, zal dit punt gedu- rende de beweging niet gedrukt worden. Zijn twee der hoeksnelheden nul, b. v. p en 4, dan bestaat er slechts draaijende beweging om de as der ordinaten z, even alsof deze eene vaste as van omwenteling ware, en de vergelijkingen (57) zullen, gelijk behoort, overgaan in de vroeger verkregene vergelijkingen (54) en (56). 7. De vergelijkingen (57) kunnen tot een anderen vorm worden herleid, overeenkomende met dien van de vergelijkingen (54), en onder welken de termen der tweede leden eene meer bepaalde beteekenis hebben. Zij b. v. de eerste der vergelijkingen (57). Het vereenigde van de tweede, derde en vierde termen van het tweede lid kan aldus worden voorgesteld: (q* +r*)ma, —pqgmy,—prme, = (Pp? +97 Hr°)ma, pp, gy, Fre). 56 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, p,q,r zijn de hoeksnelheden der draaijende beweging met betrekking tot de coördinaten-assen der massa. Wordt de hoeksnelheid der werkelijke be- weging om de onbestendige as aangeduid door w, dan zal, gelijk bekend is, of hetgeen als bekend mag aangenomen worden (zoo noodig, zou het ook door middel van de vergelijkingen (52) ligtelijk blijken), p? + g° +7? =w? q we n . . ° zijn. Ook zullen 7 ’ Wezen de uitdrukkingen van grootte der cosinussen van de hoeken tusschen de rigtingen van de onbestendige as en der coör- dinaten-assen van de massa. Daarom zal dan de projectie van den voer- straal ev, des zwaartepunts op de onbestendige as eene grootte hebben = 5 2, + iv, + ze, } En deze projectie nu projecterende op de as der abscissen #, komt voor de abscis £, van het voetpunt der loodlijn, uit het zwaartepunt op de onbestendige as nedergelaten, 5, =E Ee, + Íy, 45e): @ \W Ld Ld zoodat dan pr? Hr)me,—p(pe, Hay, Hre)mzorme, om, =o me, —E,) zal zijn. Eveneens zal, indien 7, en €, zijn de twee andere coördinaten van het voetpunt der pasgenoemde loodlijn, gevonden worden, (pr Army, —gpme, gr me, zo m(Y, — Ii) (p? + q°)me, —rpme, —rgmy, =o?m(e, —E,)- De vergelijkingen (57) zullen dienvolgens overgaan in deze: NN ò \ p= |Xon Fom, —E,) + nsv: ie) S òp òr D, = fYòm Hw? my, — 7) Jm rid antie SOM AA a (58) : der ore ptn ta m (2, telde es): | Deze vergelijkingen hebben denzelfden vorm als de vergelijkingen (54), en de overeenkomstige termen der tweede leden hebben eene gelijke beteekenis. Elke term is de uitdrukking der grootte van een zeker gedeelte der uitge- oefende zamenstellende drukkingen. De eerste termen geven de aandeelen der drukkingen, te weeg gebragt door al de versnellende krachten. Door de OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 57 draaijende beweging van het ligchaam ontstaan middelpuntsvliedende krach- ten, die onophoudelijk in grootte veranderen; deze drukken de onbestendige as en veroorzaken hare gedurige zwenking; maar zij oefenen dan ook druk- king tegen het vaste punt uit; en van de grootte der hieruit afgeleide za- menstellende drukkingen zijn de tweede termen de uitdrukkingen. En de derde termen hebben betrekking tot de zamenstellende drukkingen, voortko- mende uit de verandering of aangroeijing der hoeveelheden beweging van de elementen der massa. Niet ongepast is het, hier ter plaatse op te merken of te herinneren, dat de termen van de differentiaal-vergelijkingen (54) der beweging, of die der uitdrukkingen van de aan nul gelijk gestelde totale koppels van drukkingen (uit de vergelijkingen (56) af te leiden), eene gelijkvormige beteekenis heb- ben. Terstond blijkt toch, dat de eerste leden, of de enkele termen die de eerste leden der vergelijkingen (54) zijn, als uitdrukkende producten van traagheidsmomenten en hoekversnellingen, gehouden kunnen worden te zijn rekenkundige voorstellingen van zamenstellende hoeveelheden versnellende beweging om de coördinaten-assen der massa; zij zijn dan ook uitdrukkin- gen der momenten van koppels van versnellende krachten, de zamenstellende zijnde van die, welke aan de elementen der massa, indien zij vrij waren, dezelfde differentiaal-beweging om de onbestendige as zouden mededeelen als die zij werkelijk hebben. Eveneens duiden de laatste termen der tweede leden de grootten of momenten aan van de zamenstellende koppels der wer- kende of versnellende krachten. En de zamenstellende koppels der ontwik- kelde middelpuntsvliedende krachten hebben eene grootte, van welke de eerste termen der tweede leden de uitdrukkingen zijn. Dit laatste blijkt wel niet bij een blootelijk inzien van de vergelijkingen (54), maar de berekening, die tot deze uitkomst voert, is niet ingewikkeld. Men denke namelijk uit eenig element òm eene loodlijn l op de onbestendige as, en noeme de coör- dinaten van het voetpunt dezer loodlijn & 4,5. De drukking tegen de onbe- stendige as, veroorzaakt door de middelpuntsvliedende kracht van òz, zal = òmlw? zijn. E, en E zijn bekend door uitdrukkingen, gelijkvormig aan die, welke hier boven voor &,, #,, &,, zijn gevonden of aangewezen. (@-£), (y—7), (e—£) zijn derhalve mede bekend, en men vindt dan ook de uitdruk- king voor !, van welke (z—8), (y—x), (2-5) de projectiën zijn. Hierdoor komt men tot de uitdrukkingen voor de zamenstellende drukkingen, even wij- dig aan de coördinaten-assen der massa. Verder tot die der koppels lood- 86 NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL X, 58 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, regt op deze assen. En deze koppels alsdan over de geheele massa nemende, tevens daarop lettende, dat de coördinaten-assen zijn hoofdassen, zullen de grootten der totale zamenstellende hier bedoelde koppels blijken te zijn : (BC) qr, (C—A) pr en (A—B) pg. Men kan ook vergelijken: Pornsor, Nouvelle Théorie de la rotation des corps, 2° partie, art. 75—76; en Brror, Thêse sur le mouvement d'un corps solide autour d'un point fize (Journal de. mathématiques pures et appliquées, par Lrouviuur, Tome VII, p. 74). De vergelijkingen (58) gaan wederom over in (54) als p en q nul zijn; want de hoofdas z alsdan omwentelings-as zijnde, worden £, en 7, nul, en daar &, alsdan = z, is, wordt ook (z,—6,) = 0. De enkele of zamengestelde drukking D‚ op het vaste punt zal nu, zoo in rigting als in grootte, uit de zamenstellende drukkingen Dz, D,, D, bekend zijn. De algemeene uitdrukking of formule, welke de waarde van D, geeft, is echter niet eenvoudig, en zij leert ook niets belangrijks. 8. Werken geen krachten onafgebroken op de elementen der massa, maar is het ligchaam in beweging gebragt door eene enkele kracht P', welke daarna heeft opgehouden te werken, dan kunnen grootte en rigting der drukking, hierbij op het vaste punt uitgeoefend, mede door de gevondene formulen worden bepaald. Want de beweegkracht P' in grootte, rigting en plaats van werking bekend zijnde, kent men ook de krachten X', Y', 2’, waarin P’, even- wijdig aan de coördinaten-assen der massa, is ontbonden, alsmede de kop- pels L/, M‚ N', loodregt op deze assen, en bij de krachten X', Y', Z' moetende komen, als deze gedacht worden in of langs de coördinaten-assen op het vaste punt te zijn overgebragt. Bij het begin der beweging zijn p, q. » nul, maar er worden hoeksnelheden geboren, er zijn aanvankelijke hoeksnelheden p', ', #/, en deze zijn- bepaald door de formulen Dit volgt niet alleenlijk uit het toepassen van den regel, welke de hoeksnel- heid der draaijende beweging eener massa leert vinden, als haar moment van traagheid ten opzigte van de omwentelings-as, gelijk ook het moment der bewegende kracht, of dat van het koppel bewegende krachten, met betrek- king tot dezelfde as, gegeven zijn, maar het volgt ook uit de differentiaal- vergelijkingen (54) der beweging, indien namelijk p, 9, » nul worden gesteld, OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 59 en L, M', N' in plaats van L, M, N. Want dan zullen ook de hoekversnel- cape de dt aanvankelijke hoeksnelheden p', g', #. De drukkingen, uitgeoefend op het vaste punt in de rigting der coördi- naten-assen op het oogenblik van de mededeeling der beweging, zullen der- halve bekend worden door de formulen (57) als men stelt p, g, » nul, of door de formulen (58) als w nul gesteld wordt, mits ook in deze of in gene formulen XY, 2’ substituerende in plaats van [zom from. fram en * r . . lingen Se niet onderscheiden wezen van de geboren wordende of ee op àg dr p, q, r* voor EE) Er komt dan D= X Hamry, — qe) | Dj Empe) pete ele ede (59) D= Z + m(ge, — py.) k Is de plaats van het vaste punt tevens die van het zwaartepunt der massa, dan zijn de zamenstellende drukkingen eeniglijk X’, Y’, Z', en de enkele of zamengestelde drukking is juist gelijk aan die, welke de beweegkracht P’ zou hebben uitgeoefend, indien zij, evenwijdig aan hare oorspronkelijke rig- ting, onmiddellijk op het vaste punt gewerkt hadde. De koppels van drukkingen moeten, gelijk onder de beweging, zoo ook bij den aanvang der beweging, nul zijn. Noemt men a, 5, e de coördinaten van het punt, waarop de kracht P’ onmiddellijk heeft gewerkt (alswan- neer L'=Zb Ye, M'=X'e—Za, N'=Y'a—X'b zal zijn), en neemt men, na in de vergelijking (56) de uitdrukkingen voor de tweede differentiaal-verhou=- dingen (55) te hebben gesubstitueerd, de integralen van de tweede leden dier vergelijkingen met betrekking tot den aanvang der beweging, — ter- wijl de eerste leden nul zijn, — dan zal er komen, zoo als behoort, O=Z=L'— Ap; Oz=M'-—Bg; 0zN' —Cr. 9. Is het zwaartepunt niet in het vaste punt, en werken er geen krach- ten op de elementen der massa, dan kan de beweging eene zoodanige we- zen, dat is medegedeeld door eene kracht, in zoodanige streek en op een zoodanig gelegen punt gewerkt hebbende, dat het vaste punt niet gedrukt noch gebotst is geworden, zoodat dan ook, als dit punt niet vast maar 36% 60 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, vrij ware, de aanvankelijke draaijende beweging van het ligchaam geen andere zou wezen dan die er werkelijk geboren wordt terwijl het punt vast is. Derhalve moeten, als dit plaats heeft of plaats zal hebben, de tweede leden der vergelijkingen (59) gelijk nul zijn, waaruit deze voorwaarden volgen: X' == m (qe, — ry), | Y'—_m(re, —pe,), nerts en ane ne ete one (60) L =mlpy, — 9e) Hieruit worden terstond deze vergelijkingen afgeleid: Xie, + Y! Ze, =0, te An Eee (61) X'p' ee Yg’ ne Ze =0, door welke blijkt, dat de rigting der kracht P' moet zijn én loodregt op de rigting van den voerstraal e des zwaartepunts van het ligchaam, én loodregt op de rigting der as om welke de beweging aanvangt, en daarom loodregt op het vlak, gaande door het zwaartepunt en de rigting der aanvankelijke omwentelings-as. Gevolgelijk moet deze as eene vrije as van omwenteling zijn, en inderdaad, als in de tweede der vergelijkingen (61) de waarden LM N 1 BO der hoeksnelheden ', q’, # worden gesubstitueerd, komt er XL’ YM’ ZN OA en zijnde de betrekking door welke de drie vergelijkingen (60) zamenhangen, maar tevens ook de uitdrukking der bekende voorwaarde voor het bestaan eener zoogenaamde vrijwillige omwentelings-as. De vergelijkingen (60) zijn vergelijkingen eener toit lijn, hebbende @i, Is Zo tOt doorloopende coördinaten van hare punten. Zij is de meetkun- dige plaats der punten, in welke of alwaar het zwaartepunt des ligchaams kan zijn, opdat het middelpunt van beweging (het vaste punt) geen druk- king noch schok lijde. En de lijn, evenwijdig aan de genoemde door het vaste punt gerigt, zal dan ook zijn de plaats der punten, die aangenomen kunnen worden als middelpunten van beweging, waarop, bij de mededeeling der beweging, geen drukking noch schok zal uitgeoefend worden. Deze lijn kan derhalve geen andere wezen dan de lijn of as, om welke de OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZB VAN LAGRANGE, 61 beweging aanvangt. De vergelijkingen dezer aanvankelijke as zijn klaar- blijkelijk ge—ry=0, re—pe=0, py —qger=0,........ (62) en zij zijn hier de vergelijkingen eener as, gaande door een middelpunt van beweging, dat niet vast behoeft te zijn. Maar zoo dit middelpunt gedrukt werd, en daarom niet vrij kon wezen, zouden deze vergelijkingen niettemin zijn de vergelijkingen der rigting van de omwentelings-as voor eenig oogen- blik. En werkelijk zijn ook de vergelijkingen der onbestendige assen van omwenteling, bij de beweging van een vast ligchaam om een vast punt, onder de vorenstaande vormen bekend. 10. Opdat dan het vaste punt niet gedrukt of gebotst worde, of opdat de aanvankelijke omwentelings-as geen drukking lijde, moet de rigting der kracht loodregt zijn op het vlak, gaande door deze aanvankelijke as en het zwaartepunt des ligchaams. Maar hiermede is noch de rigting der as be- kend, noch de rigting der kracht genoegzaam bepaald. Beide deze rigtingen moeten evenwel een regten hoek maken, en men kan stellen dat de rigting der kracht moet gelegen zijn in een vlak, loodregt op de rigting der as, dat is in het vlak, waarin ook gelegen is het element der baan, in het eer- ste oogenblik gevolgd door het punt, dat den indruk der kracht P' onmid- dellijk ontvangt. Daar verder geen der punten van de as wordt gedrukt, zal zij, als vrije of vrijwillige as, noodwendiglijk eene hoofdas moeten zijn. Zij kan echter geen hoofdas wezen met betrekking tot het vaste punt, tenzij hare rigting mogt invallen met die van eene der aangenomene coör- dinaten-assen, hetgeen niet wordt voorondersteld, gelijk ook voor als nog wordt uitgesloten de bijzondere vooronderstelling dat het zwaartepunt zou kunnen zijn, hetzij in het vaste punt, hetzij op eene der coördinaten-assen van de massa. Maar ingevolge hetgeen voor het geval eener vaste as, welke, bij den aanvang der beweging, door eene botsende kracht niet gedrukt of geschokt zal worden, besloten is in art. 10 van S I, zal men ook mogen stellen, dat in het onderwerpelijk geval van beschouwing, de ongedrukte as eene hoofdas zal moeten zijn met betrekking tot het punt van doorsnijding met het vlak, waarin de rigting der kracht is gelegen, De vraag is der- halve alleenlijk: kan er eene lijn aangewezen worden, getrokken door het _ vaste punt, en onderscheiden van elke der drie hoofdassen voor dit punt, welke eene hoofdas zal wezen met betrekking tot één van hare punten? 62 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Uit de theorie der hoofdassen van ligchamen kan men besluiten, dat de be- geerde lijn niet zal kunnen gaan door het zwaartepunt. Maar uit deze zelfde - theorie is ook bekend, dat elke lijn evenwijdig gerigt aan eene der hoofd- assen gaande door het zwaartepunt (voorname hoofdassen), eene hoofdas zal zijn voor het punt, waarin zij het vlak der beide andere voorname hoofdas- sen snijdt, zoodat dan ook in dit vlak de beide andere hoofdassen voor dat punt zullen gelegen zijn *. De rigtingen der voorname hoofdassen kunnen * De hier uitgedrukte stelling is onbeperkt waar. Wordt ergens in een der vlakken van de drie paren voorname hoofdassen (en, in het algemeen, niet in eene dezer assen zelve) een punt gedacht of gegeven, en wordt gevraagd, hoe de hoofdassen, tot dit punt behoorende, zullen gerigt zijn, dan is het altijd: waar, dat eene lijn, door het punt evenwijdig aan de derde hoofdas getrokken, de rig- ting eener hoofdas voor het gegeven punt zal wezen, en dat daarom de rigtingen der beide andere hoofdassen zullen zijn in het voorname hoofdvlak, waarin het punt ligt. ‘Niettemin is het juister of meer algemeen te stellen, dat eerstgenoemde lijn de rigting eener hoofdas voor het gegeven punt zal kunnen wezen, of als de rigting van eene der drie hoofdassen voor het punt Zan aan-" genomen worden. Want alhoewel met zoodanige lijn aan den eisch wordt voldaan, kan het ook gebeuren, dat andere lijnen, in andere rigtingen door het punt gaande, eveneens voldoen. Met andere woorden, de genoemde loodregte rigtiïg voldoet aan den eïsch, doch is niet altijd de nood- zakelijke rigting voor eene der drie begeerde hoofdassen. Is het vlak, waarin het punt is geno- men, dat der voorname hoofdassen van het kleinste en middelbare traagheidsmoment, dan liggen in dit vlak altijd {wee der hoofdassen voor het gegeven punt, en de derde hoofdas is noodzakelijk evenwijdig aan de derde voorname hoofdas. Maar zoo het punt ligt in een der twee andere voor= name hoofdvlakken (te weten, òf in dat der assen van het grootste en middelbare traagheidsmo- ment, òf in dat der assen van het grootste en kleinste traagheidsmoment, — deze momenten der= halve, in het algemeen, onderling ongelijk vooronderstellende), kan het onderscheidene bepaalde plaatsen hebben, voor welke slechts één der drie begeerde hoofdassen in dit vlak zal moeten lig- gen. De beide andere assen zullen dan assen van even groote traagheidsmomenten zijn, en alhoe- wel zij regthoekig op elkander moeten wezen, zal hare volstrekte stelling in het vlak, dat lood- regt op die bedoelde eerste of ééne hoofdas is, ganschelijk onbepaald zijn. Wel is er, onder de oneindig vele paren van assen, die alsdan tweede en derde hoofdassen kunnen zijn, één paar van hetwelk één der assen gerigt is in het vlak, waarin de eerste der drie hoofdassen ligt, — zoodat dan ook de tweede as van dit eenig paar is loodregtt op dat vlak of evenwijdig aan de derde voorname hoofdas, — maar dit is dan ook slechts een paar, dat kan, en niet een paar dat moef aangenomen worden. Wij weten dit uit de nasporingen van Binet (Mémoire sur la théorie des ares conjuguds et des moments d'inertie des corps; Journal de Pécole polytechnique, Cahier XVI) en van Ampòrre (Mémoire sur quelques nouvelles propriétés des ares permanents de ro- tation des corps; Mémoires de Institut, Tome V). Men kan ook raadplegen GascHrAu, Re- marques sur la theorie géométrigue des axes permanents de rotation (Journal de Mathématiques, par Taouviuue, le Série, Tome VI). Doch het belangrijkste hieromtrent is op de meest volledige wijze onderzocht en gegeven door den Heer BaApoN GuyBeN in het IIIde Deel van de Verhandelin= gen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Bij hetgene in den tekst wordt aangetoond, nopens de rigtingen van ongedrukte assen, behoeft op deze bijzondere gevallen, betrekkelijk de rig- OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 65 worden bepaald, en daarom als bekend aangemerkt, zoodra de plaats -van het zwaartepunt, door de coördinaten z,, 7,, 2,, bekend of gegeven is. Ge- volgelijk zal elke der drie lijnen, die door het vaste punt evenwijdig aan de drie voorname hoofdassen, of loodregt door de drie vlakken der paren van voorname hoofdassen, kunnen getrokken worden, eene lijn zijn welke aan het begeerde kan voldoen. Elke dezer lijnen zal namelijk eene hoofdas wezen met betrekking tot het punt, waarin zij het overeenkomstig vlak van twee der voorname hoofdassen (het vlak waarop zij loodregt is) snijdt. Het vlak, gebragt door de rigting der kracht en loodregt op de rigting der on- gedrukte as, zal derhalve van pasgenoemd vlak dier twee voorname hoofd- assen niet onderscheiden wezen, of ook, opdat eenige der drie lijnen door het vaste punt loodregt op de vlakken der paren van voorname hoofdassen getrokken, de rigting eener aanvankelijke en ongedrukte as zij, moet de botsende kracht hare rigting hebben in hetzelfde vlak der twee voorname hoofdassen, waarop de rigting der omwentelings-as loodregt is. Daar wij- ders de rigting der kracht loodregt moet zijn op het vlak, gaande door de aanvankelijke as en het zwaartepunt, zal zij ook loodregt moeten zijn op de lijn, volgens welke dit vlak en dat der bedoelde twee voorname hoofdassen elkander snijden. Er blijft dan slechts nog overig te bepalen de plaats van het punt, in hetwelk deze lijn gesneden wordt door de rigting der kracht, en deze plaats zal bekend zijn door den afstand, welken de rigting der kracht moet hebben van de aanvankelijke en ongedrukte omwentelings-as. 11. Het bepalen van dien afstand is niet moeijelijk. Uit de formulen (60) merkt men ligtelijk op, dat X, Y, Z, waarden hebben, gelijk aan de zamen- stellende aanvankelijke hoeveelheden beweging der geheele massa, vereenigd gedacht in haar zwaartepunt. Want naar aanleiding van de formulen (52) zijn de tweede leden der formulen (60) de producten van de massa @ en ‚ der zamenstellende volstrekte snelheden (bij het begin der beweging) van het zwaartepunt. Daarom zal ook P' gelijk zijn aan de aanvankelijke hoe- veelheid beweging der massa, vereenigd gedacht in haar zwaartepunt, dat is in het zwaartepunt des ligchaams. De afstand van dit zwaartepunt tot tingen der hoofdassen, niet gelet te worden; zelfs kan dit, in het algemeen, in geen aanmerking komen; maar het scheen niet ongepast hier, in eene noot, van die bijzonderheden met een enkel woord te gewagen. Men kan ze ook in het breede ontwikkeld vinden in eene latere Verhandeling van den schrijver dezer Bijdragen (zie Deel XIV van de Verslagen en Mededeelingen der Ko- ninklijke Akademie van Wetenschappen). 64 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, de aanvankelijke as zij = d. Deze afstand is op de lijn van doorsnijding der twee vlakken, die beide door het zwaartepunt gaan, het eerste door de on- gedrukte as, het tweede loodregt op deze as. De afstand van den oorsprong der coördinaten (het vaste punt) tot het laatstgenoemd vlak, — derhalve het gedeelte der aanvankelijke as, begrepen tusschen het vaste punt en het punt voor hetwelk deze as is eene hoofdas, — zij = ò, dan zal, vermits e is de voerstraal van het zwaartepunt, d* =2,?—ö? zijn. Ís nu w’ de hoeksnelheid om de aanvankelijke en ongedrukte as, dan zal @'d zijn de aan- vankelijke volstrekte snelheid van het zwaartepunt, en daarom wm (w'd) de aan- vankelijke hoeveelheid beweging der geheele massa, zoo deze, als een en- kel punt, in het zwaartepunt geplaatst ware. Gevolgelijk zal moeten zijn. De formulen (60) geven ook deze uitkomst. Let men namelijk daarop, dat de som der projectiën van de coördinaten #,, 7, 2, des zwaarte- punts op de ongedrukte as gelijk moet zijn aan ò, en dat men derhalve zal hebben U r' p q ò ==; = + % be ld B @ dan geven de formulen (60) prikt HZ Em? (de, ry) H (re, pe)? + py, —92,)°} =m pig r eye) pe ay 772)? =m? ole, tm?! ?d? == mo (e,? —Ò°)= mtd: Opdat nu de beweegkracht P' het ligchaam met eene aanvankelijke hoek- snelheid @' doe draaijen om de aanvankelijke as, zal altijd, hetzij deze as gedrukt worde hetzij niet, het moment der beweegkracht P' gelijk moeten zijn aan het product van hoeksnelheid en moment van traagheid der massa ten opzigte van de aanvankelijke as. Weshalve, zoo « is de grootte van dit . traagheidsmoment en / de afstand tusschen de rigting der kracht en die der aanvankelijke as, Plz! u moet zijn. Maar opdat de as niet gedrukt of gebotst worde, zal de betrek- king (65) P'= me'd in rekening moeten worden gebragt, en dan zal daaruit volgen ls Se ite lil AE eu 00) OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 65 zijnde, gelijk te verwachten was, de bekende formule ter bepaling der plaats van het zoogenaamd middelpunt van botsing, zoowel bij de beweging eener niet zware massa om eene vrijwillige as als om eene vaste as ($ l, art. 10). Alleenlijk is het, in deze gevallen eener geheel vrije of eener vaste as, ín het algemeen niet noodzakelijk, dat de rigting der kracht gelegen zij in een vlak van voorname hoofdassen, maar hierop wordt in art. 15 nader teruggekomen. 12. Het moment P! der beweegkracht kan ook begrepen worden in den zin van grootte of moment van een koppel, welks as is de aanvankelijke as. Maar indien L/,M',N' zijn, als hiervoren, de momenten der koppels, loodregt op de coördinaten-assen, ingevoerd door het ontbinden der kracht P, bij het overbrengen der zamenstellende krachten X',Y,Z op het vaste punt, geven deze een zamengesteld koppel loodregt op de aanvankelijke as, en- welks moment bepaald is door de uitdrukking | en w 0 Ld # ‚De uitwerking van dit koppel moet klaarblijkelijk aan die der beweegkracht gelijk zijn, en daarom zal men hebben: Lp My 4 Nr == Ap? + Bg? 4 Cr? = Pl = u? =mk?o? =m{ko')?,. (65) zijnde namelijk # de grootte van den arm van het traagheidsmoment «. Deze uitkomst geeft de grootte van-de som der levendige krachten van al de ele- menten der massa, in beweging gebragt door eene kracht, welke daarna heeft opgehouden te werken, en het is bekend dat deze som is onveranderlijk onder de beweging. Zij zal derhalve gedurende de beweging dezelfde grootte heb- ben als bij den aanvang der beweging. Gevolgelijk zal uo'? of m(kw)* eenc standvastige hoegrootheid zijn, dat is, op ket eenvoudigst, het product. Zw’ zal voortdurend eene zelfde grootte of waarde behouden. De beteekenis hier- van is deze. Op elk oogenblik der beweging, en welke ook de rigting der onbestendige as moge wezen, zijn er punten der massa, die eene zelfde vol- strekte snelheid hebben als andere punten van het ligchaam op andere oogen- blikken, en deze punten zijn gelegen op lijnen, evenwijdig aan de rigting der onbestendige as voor het gedacht oogenblik, en hebbende, in de eerste plaats, afstanden van de onbestendige as, gelijk aan de grootte van den arm van het traagheidsmoment der massa ten opzigte van deze zelfde onbestendige NATUURK, VERH, DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL X, il 66 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, as. Dienvolgens zijn het al de punten van het regte en cirkelvormige cy- lindervlak, hebbende de onbestendige as tot meetkundige as, en den genoem- den arm k van het traagheidsmoment tot straal van de regte doorsnede. Maar, in de tweede plaats, hebben dan ook, op eenig oogenblik der beweging, al die punten van het ligchaam eene zelfde volstrekte snelheid als andere punten op eenig ander oogenblik, welke, even zoo als deze andere punten, gelegen zijn in regte cirkelvormige eylindervlakken, binnen of buiten de eerst- genoemde (die k,,k,, k,... tot stralen van regte doorsneden hebben) beschre- ven, met deze dezelfde as hebbende, en alle evenveel, in meer of in minder, van deze verwijderd zijnde, zoodat de stralen der overeenkomstige cylinder- vlakken zullen moeten zijn óf alle —=k, +k, + ú hs + ö, …… óf alle ed A A ADE HE BANE Het standvastig zijn van het product kw gedurende de beweging van het ligechaam (en altijd in de vooronderstelling dat er geen versnellende krach- ten werkzaam zijn, noch ook dat het ligchaam, na in beweging te zijn ge- bragt, op eenig oogenblik wordt belemmerd of op nieuw gebotst, enz.) leert ook, dat de hoeksnelheden om de opvolgende onbestendige assen in de om- gekeerde reden zijn van de armen der traagheidsmomenten van de massa met betrekking tot deze assen. Wordt derhalve: door het vaste punt, in eenige rigting, eene lijn gedacht of getrokken, en kan men het traagheids- moment der massa met betrekking tot deze lijn bepalen of weten, dan zal men, kennende de grootte van k en w voor eenig oogenblik, of kennende slechts de grootte van het product kw, ook terstond weten hoe groot de hoek- snelheid der beweging zal zijn op het oogenblik dat de gedachte of gegevene lijn onbestendige as is of zou kunnen wezen. En zoo kunnen daaruit nog andere, alhoewel minder belangrijke, gevolgen worden afgeleid. Het zal ook naauwelijks herinnerd behoeven te worden, dat het een en ander, in dit ar- tikel opgemerkt of besloten, onafhankelijk is van het al of niet gebotst wor- den van de aanvankelijke omwentelingsas, zoodat het dan ook niet uitslui- tend zamenhangt met hetgeen in het voorgaande artikel is behandeld. 15. Bij de algemeene beschouwingen in art. 8—11 werd voorondersteld, dat de aanvankelijke as was geen der drie hoofdassen, gaande door het vaste punt, — dat de plaats van het zwaartepunt niet was die van het vaste punt, — dat het ook niet gelegen was op eene dier genoemde hoofdassen (coördina- ten-assen der massa), noch ook in de rigting van eene der lijnen, gaande door het vaste punt en loodregt op een der vlakken van twee voorname OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 67 hoofdassen. Aangaande deze bijzondere gevallen moeten nog kortelijk eenige opmerkingen worden gemaakt. Indien het zwaartepunt gelegen is op eene der loodlijnen, getrokken uit het vaste punt op de vlakken der paren van voorname hoofdassen, dan valt deze loodlijn klaarblijkelijk in met de rigting van de derde voorname hoofdas. De rigting van eene der voorname hoofdassen gaat derhalve door het vaste punt. Op grond van de bijzondere eigenschap, die aan de voorname hoofd- assen toekomt, zal dan ook de bedoelde voorname hoofdas eene hoofdas zijn voor het vaste punt, hetgeen alleenlijk kan indien het zwaartepunt, — niet in het vaste punt zijnde, — gelegen is op eene der hoofdassen van het vaste punt, dat is op eene der coördinaten-assen. Er schijnen nogtans twee ge- vallen van uitzondering te bestaan, indien namelijk de traagheidsmomenten A, BC óf alle gelijk zijn óf althans twee dezer momenten eene gelijke grootte hebben. Zijn namelijk A,B,C even groot, dan ligt het vaste punt noodwendiglijk op eene der voorname hoofdassen, en het zwaartepunt ligt dan wel op eene loodlijn, getrokken uit het vaste punt op een der drie vlak- ken van twee voorname hoofdassen, maar de rigting van’ deze loodlijn be- hoeft niet in te vallen met eene der drie hoofdassen voor het vaste punt, die men, uit de oneindig vele alsdan bestaande drieparen van hoofdassen, als coördinaten-assen zou hebben aangenomen. Hetzelfde heeft, ofschoon op meer beperkte wijze, plaats, indien voor twee der hoofdassen de traagheids- momenten gelijk zijn, en dat eene der voorname hoofdassen gelegen is in het vlak dezer twee assen van even groote traagheidsmomenten; want ook in dit geval moet die voorname hoofdas door het vaste punt gaan. Maar het is niet moeijelijk om in te zien, dat deze gevallen van uitzondering als zoo- danige slechts schijnbaar zijn, en dat hunne beschouwing ligtelijk terugge- bragt wordt tot die van het geval, waarin het zwaartepunt gelegen is op eene der coördinaten-assen, terwijl deze zijn hoofdassen van ongelijke traag- heidsmomenten. Zij b.v. het zwaartepunt gelegen op de as der ordinaten 2; deze is alsdan eene voorname hoofdas, en de coördinaten van het zwaarte- punt zijn 2, =0, y, =0, 2, = 6. Zal deze as eene aanvankelijke omwente- lingsas wezen, dan moeten, bij den aanvang der beweging, p/ en q' nul zijn. Maar de vergelijkingen (60) geven dan, voor de onderstelling eener onge- drukte as, X'=0, Y=0, Z= 0; gevolgelijk P'=0. Is nu de beweging medegedeeld door een schok, of liever door eene plotseling gewerkt hebbende kracht, dan moet deze wel gerigt zijn geweest in een vlak, loodregt op de 8 37% 68 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, as 2, en daarom zal Z’ werkelijk nul zijn, maar X: en Y’ kunnen niet nul wezen. De as zal dienvolgens ook geen ongedrukte as zijn, gelijk dit van elders bekend is en ook door de vergelijkingen (59) wordt bevestigd. De drukking, welke de as = lijdt, wordt uitgeoefend op het punt van doorsnij= ding dezer as met het loodregt vlak, waarin de kracht P= (X* 4 Y'?) werkt. Ware de as geen voorname hoofdas, ook -geen hoofdas voor het vaste punt, dan zou dit loodregt vlak door het zwaartepunt moeten gaan, bijaldien de as eene ongedrukte kon wezen. Nu deras z eene voorname hoofdas is, eene hoofdas voor al hare punten, is de plaats van genoemd loodregt vlak in zeker opzigt willekeurig. Denkt men dat het ga door het vaste punt of in te vallen met het vlak der coördinaten z en y, dan is de rigtng der kracht P' in dit coördinaten-vlak, en de drukking P' zal tegen het vaste punt worden uitgeoefend. De asz zal derhalve nog wel gedrukt worden, maar deze drukking kan niet meer uitwerken dat de rigting der as bij de draaijende beweging wordt veranderd. Zij zal eene bestendige as van omwenteling zijn, vooral indien zij is de as van het grootste of van het kleinste der drie traagheidsmomenten A, B,C, Het nul moeten zijn van P’, bijaldien de as z eene ongedrukte as kon wezen, wordt ook geleerd door de vergelijking (65); want d is nul zoo het zwaartepunt op de aanvankelijke as zelve ligt. Niettemin zijn de uitkomsten der formulen (60) en (65) juist, zoo lang er geen bepaling is gesteld, dat de beweging door de plotselinge werking eener enkele kracht P’ zij medegedeeld. Want zoo hiertoe werkte een koppel van krachten, en dat de as van dit koppel ware geweest de as z, of evenwijdig aan de as ze, zou werkelijk de zamengestelde kracht P' re- kenkundig nul zijn, en de as z zou inderdaad eene aanvankelijke ongedrukte as, en‚ onafhankelijk hiervan, altijd ook eene bestendige as zijn. Maar hetgeen, bij het in beweging brengen van het ligchaam door de plotselinge werking eener enkele kracht P’, niet mogelijk is ten aanzien van de as z, waarop het zwaartepunt voorondersteld wordt te liggen, kan volkomen plaats hebben ten opzigte van elke der beide andere coördinaten-assen. Opdat er toch eene ongedrukte as zij, moet het vlak, waarin de rigting der kracht ligt, loodregt zijn op een vlak, gaande door het vaste punt en het zwaar- tepunt, maar tevens door eene lijn, mede door het vaste punt gaande en welke eene hoofdas voor één van hare punten zal wezen. Hieraan voldoen de vlakken ez en yz, gaande door de assen rz en y, elke van welke eene hoofdas is voor het vaste punt. Zij b.v. de as y. Op deze as moet dan de Ld hl OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 69 rigting der kracht loodregt zijn, maar ook het vlak, waarin deze rigting be- hoort gedacht te worden; tevens moet dit vlak gaan door het punt der as. y, voor hetwelk deze as is hoofdas; dit punt is het vaste punt; en hieruit volgt dan dat de rigting der kracht moet zijn in het vlak zz en loodregt te- gen de as z, of evenwijdig aan de as z. Dit laatste leeren ook de formulen (60). Zal namelijk de coördinaten-as y eene aanvankelijke ongedrukte as wezen of kunnen wezen, dan moeten p: en #’ nul zijn, en dewijl #, en y, nul zijn, worden de vergelijkingen (60), X’= mg't, Y''= 0, 4 = 0, en daarom P'= X' = mg’ 5, welke waarde ook verkregen wordt door de for- mule (65), vermits w' en d hier zijn g' en £. De afstand van de rigting der kracht P' tot de as y of wel tot het vaste punt, zal, voor het doen plaats hebben van de begeerde of uitgedrukte omstandigheid, bepaald moeten wor- den door de formule (64), welke geeft 1 = de Eveneens zal de as z, bij dezelfde voorwaarden en vooronderstellingen, eene aanvankelijke as van beweging kunnen wezen, die nergens eenige druk- king, door het mededeelen der beweging, ondervindt. Maar de beweging aan- gevangen zijnde, hetzij om deze as, hetzij om de as y, zal om haar voortdu- ren, vermits zij is eene hoofdas voor het vaste punt; dit zal althans moe- ten gebeuren, zoo het traagheidsmoment der massa ten opzigte van deze coör- dinaten-as niet is het middelbare der drie traagheidsmomenten A, B, C. Ligt het zwaartepunt niet op eene der coördinaten-assen, maar in een der vlakken van twee coördinaten-assen, dan kan de derde eoördinaten-as, lood- regt op dit vlak, ongedrukte aanvankelijke as van omwenteling wezen. Daar- toe moet dan de rigting der botsende kracht mede in hetzelfde coördinaten- vlak zijn; maar het is niet noodzakelijk, dat eene der voorname hoofdassen zij loodregt op dit coördinaten-vlak of evenwijdig aan de derde eoördinaten-as. Ligt het zwaartepunt in een der twee andere coördinaten-vlakken, dan kan dezelfde pas bedoelde derde coördinaten-as nog eene aanvankelijke ongedrukte as van beweging zijn, maar dan is het noodzakelijk dat geen der voorname hoofdassen zij evenwijdig aan deze coördinaten-as. De bewegende kracht moet hare rigting hebben in het coördinaten-vlak, waarop de genoemde derde coördinaten-as loodregt is, en die rigting moet tevens loodregt zijn op ‘het coördinaten-vlak, waarin het zwaartepunt ligt. In dit geval zal derhalve het vlak van de rigting der kracht wiet gaan door het zwaartepunt, gelijk in de andere gevallen, tot hiertoe overwogen, bleek noodzakelijk te zijn. En zov- 10 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, danig geval van uitzondering bestaat ook, als het zwaartepunt heeft eene plaats naar welgevallen buiten de coördinaten-vlakken, mits de voorname hoofdassen niet zijn loodregt op de coördinaten-vlakken, hetgeen ook, zelfs voor eene enkele dezer hoofdassen, niet mogelijk is, bij eene geheel willekeurige stel- ling van het zwaartepunt. En zoo dan dit punt ergens buiten de coördinaten- vlakken is, zal elke der coördinaten-assen eene aanvankelijke en nergens gedrukte as van omwenteling kunnen wezen, indien de rigting der bewegende kracht is in het vlak der beide andere coördinaten-assen, loodregt op de lijn, getrokken door het vaste punt en door de projectie (op dat coördinaten-vlak) - van het zwaartepunt, en op den afstand van het vaste punt, welken de formule (64) zal doen kennen; — b. v., voor de coördinaten-as z‚l=Crmy/ (z,* +9, °)- Indien, eindelijk, het zwaartepunt is in het vaste punt,"en dat de voor- name traagheidsmomenten onderling ongelijk zijn, zullen de coördinaten-assen invallen met de voorname hoofdassen. De formulen (60) geven voor dit ge- val X'=0, Y'=0,Z!=0, en daarom P’ == 0, hetgeen -alleenlijk kan, zoo de beweging op eens is medegedeeld door een koppel, welks as is óf eene der coördinaten-assen, óf evenwijdig aan eene der coördinaten-assen. Deze as zal dan ongedrukte en bestendige as van beweging zijn. Is P eene botsende kracht, hebbende hare rigting in het vlak van twee der voorname hoofd- assen, dan zal er wel beweging aanvangen en voortduren om de derde hoofdas, maar de botsing zal, bij het begin der beweging, door het punt der as, dat tevens het vaste punt is, moeten geleden worden. 14. Alhoewel, voor hetgeen in art. 40 is besloten, toereikende gronden zijn aangevoerd, zal eene bevestiging door middel van eerst verkregene uit- komsten, en als ware het bij toets door berekening, niet overbodig mogen geacht worden. Zal er eene ongedrukte as wezen, om welke, bij of door het gewerkt heb- ben eener botsende kracht P’, de beweging van het ligchaam aanvangt, — vooronderstellende de plaats van het zwaartepunt willekeurig, en de rigting van de as der beweging in het algemeen onderscheiden van die eener hoofdas, gaande door het vaste punt, — dan is in art. 9 bewezen, dat daartoe de rig- ting der kracht een regten hoek moet maken met de rigting der as van omwenteling, dat ook deze rigting moet zijn in een vlak loodregt op de as, maar. bovendien, dat dezelfde rigting loodregt moet zijn op het vlak, gaande door de as en door het zwaartepunt, hetwelk voorondersteld moet worden buiten OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 71 de as gelegen te zijn. Wijders is het buiten twijfel, dat aan den eisch al- leenlijk zal kunnen worden voldaan door eene as, welke is eene hoofdas voor een van hare punten, onderscheiden van het vaste punt, En nog mag, even zoo als in art. 10, en op grond van hetgeen in $ 1 is gebleken, aangeno- men worden, dat het vlak van de rigting der kracht, terwijl het loodregt is op de rigting der as, tevens ook de as snijde in het punt, voor hetwelk zij hoofdas is. Is de plaats van dit punt, door zijn afstand van den oorsprong der coördinaten, bekend of bekend geworden, dan is daarmede ook de plaats van het vlak van de rigting der kracht gevonden, en hetgeen dan nog te be- palen overig blijft, zal mede gevonden kunnen worden. Maar in stede van regtstreeks de plaats van genoemd punt te zoeken op de lijn, die de rigting der begeerde as zal wezen, kan men eenige lijn, gaande door het vaste punt, als rigting der begeerde as aannemen, en onderzoeken of een vlak, loodregt op deze lijn, en hebbende eenige bepaalde of bijzondere plaats, aan den eisch voldoet, te weten, dat het de lijn snijdt in een punt, voor hetwelk de lijn, beschouwd als as, eene hoofdas zal zijn. Wordt dit waar of mogelijk be- vonden, dan zal, op grond van de waarheid, dat eenige willekeurig door het vaste punt gerigte lijn, zoo zij de rigting eener hoofdas kan wezen, slechts voor één enkel van hare punten hoofdas zal zijn, aan den hoofdeisch vol- daan zijn, en daarmede kan worden overgegaan om het overige, dat men nog meer bepaald zou moeten weten, te vinden. Het is deze tweede weg, welke nu, in de eerste plaats, zal worden ingeslagen. Het vlak, waarin de rigting der kracht moet gelegen zijn, en waaromtrent moet onderzocht worden of het aan den uitgedrukten eisch zal voldoen, hebbe die bijzondere of betrekkelijk bepaalde stelling, dat het ga door het zwaarte- punt des ligchaams. De vergelijkingen (62) zijn de vergelijkingen der aanvankelijke ongedrukte as van omwenteling. Wordt de voerstraal e,‚ van het zwaartepunt op deze as geprojecteerd, dan zal de grootte ò dezer projectie uitgedrukt worden door 1 or PN REDE Ts PD PEES . (a) De grootte dezer projectie is tevens die van den afstand van het vaste punt tot het vlak, gaande door het zwaartepunt loodregt op de aanvankelijke as. Derhalve zal de vergelijking van dit vlak zijn ’ ' r' BE LTE AN ele ee En (6) Le] Led (a 72 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, dat is plee) Hy) Ar (ez) == 0. (V) Men denke door het zwaartepunt eène lijn, loodregt op dit vlak (V), dat is evenwijdig aan de rigting der aanvankelijke as. Zoo deze lijn eene hoofdas is, zal zij eene voorname hoofdas wezen, en dan zulle de twee andere voor- name hoofdassen in dit vlak (V) moeten gelegen zijn. Maar dan zal ook de aanvankelijke as eene hoofdas wezen, en wel voor het punt, waarin zij het vlak (V) snijdt. Het vlak (V) zal dienvolgens het begeerde vlak zijn, het vlak door hetwelk de eisch vervuld wordt. Om te onderzoeken of de gedachte loodlijn eene hoofdas met betrekking tot het zwaartepunt is, moet de oorsprong der coördinaten in het zwaartepunt verplaatst gedacht worden. Verder moeten, in het vlak (V), twee lijnen, elkan- der regthoekig in het zwaartepunt snijdende, als assen der nieuwe of andere coördinaten z' en 4’ worden aangenomen. Ís daarbij de pas genoemde loodlijn de as der nieuwe of andere ordinaten 7, dan zal, zoo deze werkelijk is eene hoofdas, de waarheid moeten blijken van deze twee vergelijkingen | rzom=o, |vrm=e en dit blijk zal gegeven zijn, indien aan deze vergelijkingen voldaan wordt met of als zij werkelijk identisch 0 = 0 worden door de uitkomsten, in art, 8 en 9 verkregen. De assen der coördinaten #' en y’ zijn in het vlak (V). Het is hier on- verschillig hoe, in dit vlak, de as 2’ zij gerigt. Zonder hierop te letten, neme men aan dat e‚,a', «” beteekenen de cosinussen der hoeken, welke de as der abscissen z' maakt met de oorspronkelijke coördinaten-assen z, y, # der massa, Eveneens beteekenen 9,8’, 8’ de eosinussen der hoeken, tusschen de as der ordinaten 4’ en de eerste coördinaten-assen z, 4, z, en door 7, 7, 7” worden U 1 1 aangeduid de cosinussen —, —»— der hoeken, tusschen dezelfde oorspronke- 0 @ W lijke assen z,y,z en de as der ordinaten £'. Tusschen deze negen cosinussen bestaan bekende betrekkingen. Van deze worden hier alleenlijk gebruikt deze twee: aya day z=0, Br +0. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 75 De formulen, door welke de coördinaten #'’, y’, 2 bepaald worden uit de oorspronkelijke z, y, #, terwijl, met betrekking tot het vaste punt, z,,y,,z, zijn de coördinaten van den nieuwen oorsprong, zijn ezels) He (yy) + (e— 2), y=Ble en) HP (7) + B (2-2), e= yer) +7 yy) +7 (ee). Hiermede, voor het product z'z'òm, T'emmaye dm es ytdmta'y'2? dm — Zare, edm — Za yy, ydm— Za ye, 2 dm +lere,t Her y,t Her'z,*)dm (ar He'yeydm dar! Ha yaedm (ay Ha y)yzdm (ar! Her) {yam Hz, pm) + (ar He'7)e, y, òm — (er! Hay) {e, zòm Hz, 2m} H (ar Ha' pie, 2, òm (7! Fer) {epdm Hy, edm} Her He'r)y, 2, Òm. .…. (d) Van de termen des tweeden lids moeten nu de integralen, uitgestrekt over „de geheele massa, genomen worden, ten einde de juiste uitdrukking der waarde van de integraal des eersten lids, dat is van Í we dm, te verkrijgen. Daarbij worde gelet op het navolgende: 1e. z,,y,,2, Zijn, even zooalsu,e’ .....7', 7’, standvastig. rf | oon=ems fram=um, [onzen en Jonan d. | zvon =z0, | ezdme=0, jv-en == 0, vermits de coördinaten-assen der massa zijn hoofdassen. 4°, Als A, B, C aanduiden de grootten der momenten van traagheid met betrekking tot de oorspronkelijke coördinaten-assen of hoofdassen voor het vaste punt, kan de som der integralen van de drie eerste termen uitgedrukt worden door — Aay — Bu'/’—Cu'7”. Want er ftmzer ferraro fot + ty [eter +eramerd: 38 NATUURK. VERH. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL X, 1Á _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, eveneens En Í y'òm= er | (w° dy? H22)dm a's! B, en erf zen == erf (et Hy? 422)" f'C, waardoor dan, ingevolge de eerste der betrekkingen (c), de gestelde uitdrukking voor de som der integralen van de genoemde drie eerste termen der vergelijking (d) zal komen. De vergelijking (d) dan geïntegreerd wordende zal geven: fv =—Aay Bay —Ca'y" are, 2m—a'yy ma! ye, m —(ar! Here, py, mla" Haya, 2, mp" Ha yy, 2, m = Aar HB 40a'y)—m(az, Hey, eere, Hr, +r'en). Maar (zie (a)) va, dry, +7'e, =5e, +En Hoe = Ô; weshalve —f sram hert Ber HOE talen, Hey, Hee,)d (AB tm, et (BE tm det (ogtms,)e Ld w 0 Op dezelfde wijze zal gevonden worden Ds jr: Òn == (aEtme, o)s + (25 + m0) 8 + (c5 + mz, os le ” Zullen nu deze integralen nul zijn, dan moet, op grond der gevondene uit- komsten of betrekkingen, die bestaan als de aanvankelijke as van beweging geen drukking of botsing lijdt, de waarheid blijken van deze vergelijkingen: (Ap! Ho'ma, da + (Bq + o'my, da’ + (Cr Home, de =O, (Ap + o'ma, dB + (Bq + my, dB H (Cr + w'mz, d) B —= 0. Zijn a, b,e de coördinaten (met betrekking tot de coördinaten-assen der massa) van het punt in het vlak (V), dat gedacht kan worden den indruk der kracht P', gerigt in het vlak (V), onmiddellijk te ontvangen, dan volgt uit het behandelde en verkregene in art. 8 en 9, . (e) OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 15 L’ Lb Ye m î É ‚ pek Horner, + epe) 1 M' X'e—Z'a m ' t U ' q TRS TE SB? eer yep Ys +ag'e,), N' Ya-X'b _m , , ‚ "ZG RE TE geej ap dijn bye, +br'y,). Maar a, 5, c zijn coördinaten van een punt in het vlak (V); daarom moeten _ za, y=b, z==e voldoen aan de vergelijking (b), dat is men moet hebben patgbhrez=a'd, waaruit volgt bg Her! =o'd—ap', en hiermede wordt de vorenstaande uitdrukking voor e', m m p= bn Heze (ed —ap)e,} = (ars Hby, Hez)p ede}. Eveneens komt ) EE , ’ qe (ez: +by, +ez,)7 —w òy,} Pi 5 (es, +by, Heze)" —a'dz,}. Uit elke dezer uitdrukkingen kunnen wel waarden voor p', 9’, #°, door oplos- sing worden verkregen, maar het doel is hier eemiglijk eene voegzame ver- vorming der vergelijkingen (e), en deze heeft men door de verkregene uit- drukkingen terstond. Want zij geven Ap +e'mòz, =m. (az, +by, +eej)p!, =mo'(ar, + by, +ez,)r, Bg eo mòy, =me'(az, +by, +ez,)r!, Cr’ Ho'mòz, =mo' (ar, +by, +ez,)7'; zoodat hiermede de vergelijkingen (e) overgaan in deze: mo'(ar, +by, +ez)lar Hey Has) 0, mo(ar, +by, +ez,)(Pr HBr +7) =0, en op grond van de betrekkingen (c) zijn zij identisch 0 = 0, dat is zij zijn waar. Dit alleen moest bewezen worden. 38* 16 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT 15. Men zou ook, in de tweede plaats, den weg kunnen volgen, welke eerstelijk in art. 14 werd aangewezen, Hij schijnt meer regtstreeks tot het doel te voeren, maar is, alles wel overwogen en te zamen genomen, minder kort. De rigting der aanvankelijke as make, als boven, hoeken met de coördi- naten-assen der massa, welker cosinussen zijn 7, #', 7". Zal zij ongedrukte as wezen, dan moet zij hoofdas zijn voor één van hare punten, maar dan moet ook de kracht gewerkt hebben of werken in een vlak, loodregt op de as en gaande door dit punt, of ook de kracht moet daartoe hare rigting hebben in het vlak der beide andere hoofdassen. Alles zal derhalve bepaald zijn of gemakkelijk bepaald kunnen worden, zoodra de plaats van het be- doelde punt der aanvankelijke as zal gevonden zijn. Zij A de afstand van het vaste punt tot het begeerde punt: — derhalve een afstand, gerekend langs de aanvankelijke as — en laat dit begeerde punt worden aangeduid door Oo. Het vlak, gaande door O en loodregt zijnde op de aanvankelijke as, heeft tot vergelijking PrdgytremoA, of zet7/y tre, (W) en de coördinaten van O zullen zijn S= I=m=1'Â, Cmr A. Wordt de oorsprong der coördinaten verplaatst in O — wordt de rigting der aanvankelijke as van omwenteling aangenomen als die van de as der ordinaten 2’ — worden de assen der coördinaten ze’ en 7’ gedacht in het vlak (W), en maken zij met de coördinaten-assen der massa hoeken, welker cosinussen zijn a, e«’,«", B, @', B” (waarbij nogtans niet gedacht worde aan de hoeken, welker cosinussen in art. 14 mede door «,….9" zijn aangeduid), dan zijn de functiën voor de nieuwe coördinaten: z'mzalr—E) Heyn) +e'(z—t), y= Blei) + By) HP (2—t), =p) Hr (yn) + (ek) Zal de aanvankelijke as eene hoofdas voor het punt 5, #, 6, kunnen we- zen, dan zal voldaan moeten worden aan de vergelijkingen Jrvom= 0, fysam=o. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 11 Volgende nu hier denzelfden gang van rekenen als in art. 14, dan zal ge- vonden worden: — far’ Òm == + Aard Bay’ + Cay" +m(ersa, He'r'ny, He r'bej)j mars? Heyn? + ay'Ch) + mer He'r)je, +mlar + e'7)Ey, + mey" +a'y)z, + mla" Jay) Ez, + mesa r)Eg, +mle's' Hanz, — mlay! +a'y)En—mlar! Hari mla! da r)nE + Aar + Be'y' + Ce'7" + (rEtrgtr'les, Hey, Hee) + (aEenteb(re, +7 yv, tr e,)m — (EH te'r5 rj 7E) m. Maar (rz, +7'y, +7'z,) is de uitdrukking der grootte ò van de projectie des voerstraals e,‚ van het zwaartepunt des ligchaams op de rigting der aan- ‚ vankelijke as, en (78 +77 + 7'£) == A; derhalve — fe'z'òm ez +Aay + Bay! + Cay” dmAz,admAy,e +mAz,a” + m(al He' nt e'£)(ò—A) == (Ar tmAer je (B7 +mAy)e + (Cy! mAz)a” + m(e8 dant a'E)(ò— A). Eveneens — from (Ar + maen + Br + may)? HCH 4mAe)B A m(BEHBnt8'5)0 — A). 1 U U . Ene Dienvalgens zal, 2 2 — in plaats van 7, 7, 7” stellende, voldaan moeten worden aan de vergelijkingen (Ap Ho'mAa)a (Bq He'mAy)e + (Cr Jo'mAz)e' + o'm(a5 tante l)(Ö— A) = 0, (Ap! Ho'mAe,)B + (Bq +e'mAy,)B' + (Cr Fo'mAz,) fp” to m(B5 48u + B'E)(Ö— A) =0. | . (7) 18 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Wederom te werk gaande als in art. 14, mits hier a, b, c beteekenen de coördinaten van een punt in het vlak (W), en wel van eenig punt der rig- ting van de kracht P', zal gevonden worden Ap +wmAer, =mlar, +by, +ee,)o'7; | Bg +o'mAy, =mlar, +by, +ez,)o'y'; PR ne (9) Cr Ho'mAz, =mlar, +by, Fez) 7". ) De twee voorgaande vergelijkingen zullen dan, na door w'm te zijn gedeeld, worden: (az, +by, Hez)ler Her He's!) t(el Hey te'lj(Ö—A) =0, (az, + by, + ee, (Br 4-87 + B 7!) + (BEH B + B'5)Ö— A) = 0. Van deze vergelijkingen zijn de eerste termen nul, dewijl (ar + «7 + «'7') en (87 + 87 +87") nul zijn. Derhalve moeten ook de tweede termen zul zijn, waaraan voldaan wordt met A =d, zoodat de plaats van het begeerde punt O zal zijn het voetpunt der normaal, uit het zwaartepunt op de rigting der aanvankelijke as van omwenteling getrokken, en het vlak (W) zal door het zwaartepunt gaan. Men kan echter tegenwerpen, dat ook de genoemde tweede termen, onaf- hanikelijk van A=ò, nul zijn, omdat, b.v. alleenlijk op eene der vergelij- kingen lettende, «8 Ä endet zm(er Hey da y)A is. Deze moeijelijkheid, dit onbeslist blijven, schijnt alleenlijk op deze wijze opgeheven te kunnen worden. Omdat, in elk geval, («5 + ay + et) (ò—A) nul is, zal het eerste lid der vergelijking (f) ne 1 worden (Ap da'mAa)e + (Bj Ho'mAyi)e (Or HomAe)d'. Is nu werkelijk A==ò, dan zal deze uitdrukking bevonden moeten worden nul te zijn, indien ò in plaats van A wordt gesteld. Dit is wel waar, naar aanleiding. van hetgeen in art. 14 met betrekking tot de vergelijkingen (e) is aangetoond, maar in plaats van naar eene ontwikkeling, in het eerst ge- geven bewijs voorkomende, te verwijzen, zou het dan korter zijn op de vergelijkingen (g) terug te komen, welker tweede leden niet regtstreeks van A afhangen, en derhalve ook gelden als ò komt in plaats van A, mits dan ook de a, b, c in deze tweede leden gedacht worden te zijn coördinaten van OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 19 een punt in het vlak (W), gaande nu, overeenkomstig het stellen van A gelijk aan ò, door het zwaartepunt. Heeft men op deze wijze aangetoond dat A==ò aan den eisch voldoet, dan blijft nog overig te bewijzen dat het vlak (W), het vlak van twee der hoofdassen voor het punt O, tevens is een vlak van twee voorname hoofdassen. Hierin is wel geen bezwaar, door een- voudige verplaatsing van den oorsprong der coördinaten, in het vlak (W), van het punt O in het zwaartepunt, doch het een en het ander maakt dit meer regtstreeks zoeken en bepalen van het begeerde omslagtiger dan het volgen van den weg, die in art. 14, naar eene vooraf gemaakte vooronder- stelling, eerst gekozen werd. AANTEERKENING. De vergelijkingen (7), (42) en (43), verkregen in $ I, art. 5, en in $ II, art. 2, — en die de uitdrukkingen zijn der voorwaarde van het onveranderlijk zamenhangen der stof- deelen van de massa, dat is van het onveranderlijk zijn der onmiddellijke aansluiting en onderlinge betrekkelijke plaatsing der elementen van de massa, — kunnen langs korter weg worden gevonden. Omdat de afstand òs van een punt (der massa), welks coördinaten zijn z, y,‚ 2, tot eenig ander der onmiddellijk rondom gelegene punten, hebbende z+òz, y + òy, 2 + Òz tot coördinaten, onveranderlijk is bij eenige oneindig kleine variatie der coördinaten, zal uit de? Hy? H dz? == de? terstond volgen 2Ardder + 2yddy + Lede = 0, of 2òrddz + 2YdÒy + 2dz2ddz —= 0, zijnde de vergelijking (42), welke tevens de vergelijking (7) insluit. Voor den afstand ds' van laatstgenoemd punt tot een ander, dat wederom volgt of on- middellijk aansluit, en van hetwelk de cöordinaten zijn, + 2de + d'r, y + 2Udy + dy, zh 2de H Ò*z, heeft men de vergelijking (Oe + ÒP2)? H(A HOP) H (À2 H Ò*2)? = dS". Uit deze en uit de eerste der voorgaande vergelijkingen volgt 80 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, CC mdrdte df Pat FLY dy HO)? + Dded'e HQ) dt det, of (92e)? (92)? H(O*2)* H2Òsd?s — À3'* — Òe*. Omdat nu noch ds’ noch ds veranderen bij oneindig kleine variatie der coördinaten, zal men ook hebben 2d2ddd 2 Yddy 42 z2dde=0, dat is E 2d? dr + 2D yd? Òy + 2dP2d dz =O, en deze is de vergelijking (48). Gaat men zoo voort, dan blijkt ligtelijk dat, voor zoo vele opvolgende punten men zou willen, ook in het algemeen (Ore)? + (OP)? + (72)? geen variatie ondergaat bij het oneindig weinig variëren der coördinaten, en dat daaruit zal voortvloeijen de algemeene voorwaardes-vergelijking der variatie van de coördinaten 2radrde HI ydrdy JArzdrde == 0 * * De hier voorgedragene kortere manier, om de voorwaardes-vergelijkingen voor den onveranderlijken zamenhang der elementen van eene vaste massa te verkrijgen, is gevolgd naar eene opmerking van den Heer Lozrarro. De Heer SrAMKART evenwel kon zich noch met deze wijze van afleiden, noch met die, welke in S IL, art. 5, en in $ II, art. 2, de noodige vergelijkingen heeft opgeleverd, noch ook in elk opzigt met de wijze van beschouwen en rekenen van LAGRANGE vereenigen. Hetgeen ZEd. over een en ander heeft aangemerkt, is genoegzaam woordelijk het navolgende met „ aangehaalde. „De vergelijkingen (42) en (43), in welke ook (7) begrepen is, zijn gevonden door aan te nemen, dat „de variatiën van de uitdrukkingen m3 dede sd ss aen ene dien nde vee ce ven de (ze Ho)? H (yY H-Â9)? H(2 HZ)? se ee ee (ID), (a Hd HÒ?0)2 Hy HLO H 229)? H (ede HD)... (HD) „gelijk nul moeten zijn. Naar het mij voorkomt kunnen de vergelijkingen (42) en (43) hieruit niet „worden afgeleid. Wanneer toch de uitdrukkingen (II) en (III) iets anders zullen beteekenen dan (I), moeten Òr, Òy, dz, Pz, Ay, Ò?z als eindige grootheden beschouwd worden, zoo klein men wil, maar „or, Cy y ge g „toch als grootheden, en niet als oneindig kleinen. Want zou hier b. v. Òz oneindig klein zijn, dan is »(wHÒz) niets meer of minder dan z. Òx heeft geen beteekenis dan alleenlijk met betrekking tot eene „andere differentiaal.” De aanmerking is op zich zelve juist, maar de wijze waarop in den tekst is te werk gegaan, is geen af- wijking van hetgeen in de toepassingen der differentiaal-rekening meermalen geschiedt en als geoorloofd is aangenomen, te weten dat men, in plaats van eerst op eindige veranderingen opzettelijk te letten, deze als differentiën uit te drukken, en daarna, bij overgang tot de limieten, daarvoor in de plaats te stellen hetgeen behoort, onmiddellijk besluite tot dit laatste, en derhalve het eerste (het gebruik van eindige differentiën) nalate, daarbij slechts denkende hetgeen er bij gedacht moet worden. Wil men verder differentialen eeniglijk met betrekking tot andere beschouwen, dan kan men de differentiaal van eenige andere onafhankelijk veran- OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 81 Bij de oplossing der voorstellen over de beweging van een vast ligchaam om eene vaste as en om een vast punt, heeft men slechts te letten op drie onbepaalde variatiën dz, òy, Òz. Daarom zijn er ook niet meer dan drie voorwaardes-vergelijkingen van de variatiën der derlijke grootheid denken; zij behoeft niet genoemd of uitgedrukt te worden, gelijk dit b. v. somtijds wordt nagelaten in de variatie-rekening bij het variëren van eene integraal. „In de plaats van Òz komt dan Ax, voor Ò?4 komt A°z, enz, zoodat men zal hebben: Wrede et EP ar aprenelvans BREN (el h on aje (olie lorse' 547000) EE EE Ee AD, (eH2Az HA)? Hy d2Ay HA)? F2 H2AzHA?2) ...... (UID. „ Van deze uitdrukkingen moeten de variatiën nul zijn, De eerste geeft ZadrdydyhAzde=0.... eee ee ee ee ee (&1) „De tweede heeft tot variatie Ur HAx(dz HAT) H WUy + Ay)(dy HAY) Hz H A2) (Oz HAAZ) =0, „dat is, op (41) lettende, 2{AadedadArtAydydydAgy Arde HzdAz} + 2fazdArtAydAytAedAz}= OEsreoln st Kva NONE (A) „Worden nu Az, Ay, Az steeds kleiner en kleiner, dan worden de termen, die in deze vergelijking „als een tweede gedeelte van het eerste lid zijn genomen, en die van de derde orde zijn, steeds kleiner „met betrekking tot de termen van de eerste groep, en die van de tweede orde zijn, zoodat, tot de „limieten overgaande, alleenlijk blijft 2 drdr + adr Hy dy + yddr H dede H + 2de} = 0, „maar er volgt niet dat 2 {Ard dz HÒydy 4 de daz} = 0 zou zijn met betrekking tot de grens- „waarde eener grootheid it: de derde orde.” Maar (Òz dz Jade HÒydy Hyddy HÒzdz H2dd2) is niet onderscheiden van À (dx Hy dy +2d2). Derhalve zou de uitkomst alleenlijk leeren, dat ddr Hydy J2d2) =0 ware. Dit nul zijn echter behoeft niet bewezen te worden, daar het een gevolg is van hetgeen de vergelijking (41) uitdrukt. Bovendien zou dan door de ontwikkeling van (II) niet meer of niets anders geleerd worden dan reeds door (LI) bekend werd, terwijl er meer uit afgeleid moet kunnen worden. Zou niet het begeerde verkregen worden als men vooraf opmerkte, dat Azònd-adArdAydydydAydAede ede aan de limiet zal worden — ò(w dz + ydy + 2de), en daarom, op grond van (41), gelijk nul, zoodat dan, aan de limiet, de vergelijking (A) zal overgaan in 2 Adan Hdyddy Hdzddz} — 0? „Meetkundig beschouwd ‘geeft het ‘standvastig zijn van de uitdrukkingen (I), (II), (III) slechts te „kennen, dat drie punten op de oppervlakken van drie verschillende bollen moeten zijn. Het al of niet 39 NATUURK, VERH. DER KONINKL, AKADEMIE, DEEL X, 82 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, coördinaten noodig, en van deze hebben òf slechts één òf twee betrekking tot de voor- onderstelling van het vast zijn der bewogen-wordende massa. Beschouwt of neemt men de voorwaarde van dit vast zijn afgescheiden van andere voorwaarden, tot wijze van beweging „bij elkander geplaatst zijn dier punten wordt er niet door aangewezen. Twee dier punten kunnen „b. v. een afstand hebben = r +1’, r en r' de stralen van twee dier bollen zijn.” Maar bestaan de uitdrukkingen (I), (II), (III) dan niet uitslúitend onder de duidelijk genoemde en her- haaldelijk genoemde voorwaarde, dat zij alleenlijk betrekking hebben tot aan elkander grenzende of tot onmid- dellijk op elkander volgende elementen der massa? De coördinaten der punten duiden dit reeds aan. De onder- linge plaatsing en verwijdering der punten op de drie spherische vlakken zijn derhalve geenszins willekeurig, vooral niet als men in aanmerking neemt, dat aan bepaalde teekens, hetzij dan + hetzij —, vóór de differen- tialen van Z, 4, Z, moet gedacht worden. „De vergelijkingen (42) en (43) kunnen slechts afgeleid worden uit de overweging, dat de onderlinge „afstanden van eenig punt tot een tweede, van het eerste punt tot een derde, en van het tweede punt „tot het derde standvastig moeten zijn, dat is Az? 4 Ay? + Az? = standvastig, (2 Ard A?z)? H(2Ay H A2G)T H(2A2 HF A22)? = stando., (Az + Ao)? H(Ay + Ay)? H(A2 HF A22)? = stand, „waaruit dan (Ata)? H(A)? H (A22)? = stonde, „en uit deze en de eerste der drie voorgaande vergelijkingen zal dan volgen 2fAzdArdAydAytAzdAeje0, {Adr AgdA'y th Aint} =0, „gevende, bij overgang tot de limieten, de vergelijkingen (42) en (43).” Men wil de juistheid dezer wijze van beschouwen, om de voorwaarde van het onveranderlijk geplaatst zijn der elementen ontwijfelbaar uit te drukken, gaarne toegeven. Is zij echter niet in die van LAGRANGE begrepen? Er wordt hier bepaaldelijk gesteld of voorgeschreven, den afstand van het tweede tot het derde punt mede én rekening te brengen. LAGRANGE deed dit niet, of vond geene reden om het te noemen. Hij had geene drie voorwaardes-vergelijkingen noodig. Hij wilde er vele geven. Hij wilde ze alle geven, voor alle mogelijke afstanden tusschen paren van elementen, niet alleenlijk de afstanden van 1 tot 2, tot 3, tot 4, enz., maar, elk punt een eerste punt kunnende zijn, dan ook de afstanden van 2 tot 8, van 2 tot 4, enz. van 3 tot 4, enz. enze „Zelfs heb ik bedenking tegen de wijze, waarop deze vergelijkingen door LAGRANGE verkregen zijn. „Hij stelt (zie de vergelijkingen, in de Aanteekening der Bijdrage gemerkt (aa)) òz? + dy? Jd? =a, enz. .. enz. „Volgens mijne wijze van zien kunnen deze differentialen, zoo lang zij met ©, 4, 2, door optelling, „of aftrekking verbonden zijn, slechts als eindige differentiën beschouwd worden. Men moet derhalve, „LAGRANGE volgende, stellen : (AD? HAN HAA) =e, (A*2)? H(A?) H (Att =B. OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 85 als anderzins betrekking hebbende, — vraagt men derhalve alleenlijk voorwaardes-verge- lijkingen, die den onveranderlijken zamenhang der deelen van de massa zullen uitdrukken, dan moet het aantal dezer vergelijkingen drie zijn, wel te verstaan met opzigt tot de elementen der massa in het algemeen, dat is bij het onbepaald blijven der plaats van de elementen in de uitgebreidheid der massa. Behalve de vergelijkingen 2deddz + 2dyd dy + 2dzddz == 0, 2d dr +29 yd? dy H2dted dz = 0, behoeft men alsdan nog één vergelijking, welke, zoo als de tweede is gevonden door middel - van de eerste, ‘verkregen kan worden met de tweede en eerste vergelijkingen, en welke is 2d 2d Òz + 2D Dy + 2IP2dP dz — 0. Men kan eene vierde, eene vijfde dergelijke vergelijking vormen, enz. Alle zullen begrepen zijn in de hiervoren gestelde algemeene, namelijk 2de HLYÒy HL = 0. In het algemeen geval zijn er echter slechts drie dezer vergelijkingen noodig, voor zoo verre zij zijn onderling onafhankelijk. Want er zijn niet meer dan drie onbepaalde variatiën, en zoo men deze zou wijlen bepalen, dat is vinden hoe, bij het onbepaald blijven der coör- dinaten, de variatiën der coördinaten van de punten eener vaste massa zamenhangen met die coördinaten zelve, dan zouden daartoe drie zoodanige vergelijkingen toereiken. Al de overige gelijkvormige vergelijkingen zullen door dezelfde waarden der variatiën òr, òy, òz „Om nu te bewijzen dat de vartatie van 3 nul is, moet men hebben: CArHA?2)? H(2Ay HA) H(2AzH A*z)* = standvastig, dat is a{Az?)H(AG)t HAP JHM AT Ath aya gd Acte} (A) HAP) HAPE)? } == stande (B) „Maar nemende, volgens den regel, de differentie van «, dan komt, na met 2 vermenigvuldigd en met „4a vermeerderd te hebben, dat-2Aa=4{(A2) H(A) H(42)"} HAAT At TH Ar Ag dazate} + + L{(A* 22 H(A)? (A22), dat 2 Aa {(A? 2)? H(A°9)* H(A? 2)} = (B) == stando., ne +2 Aa— fg standv, „waarvoor bij LAGRANGE komt bad daf. „De uitkomst blijft nogtans dezelfde, namelijk deze: daar « standvastig is met betrekking tot de variatie „ò, is ook Aa in denzelfden zin standvastig; bij gevolg ook 9, en daarom de variatie van @ gelijk „ul. „Eene gelijksoortige opmerking geldt, naar het mij voorkomt, ook omtrent het bewijs, in de Aantee- kening gegeven, en naar eene mededeeling van den Heer LoBatro gevolgd.” „of „dat is 39 84 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, voldaan of identisch O == 0 worden, door welke eenig drietal wordt voldaan, of die uit eenig drietal mogten zijn afgeleid, en waartoe dan klaarblijkelijk voorkeur wordt gegeven aan de drie eerste vergelijkingen, als, door lagere orde, de eenvoudigste, Men is deze algemeene voorwaardes-vergelijkingen van het onveranderlijk verband der elementen van een vast ligchaam verschuldigd aan LacraNam, die er gebruik van gemaakt heeft om, naar zijne methode, de vergelijkingen te vinden voor het evenwigt van krachten, werkende op de elementen zoo van een onrekbaren en onbuigbaren draad, of eener massieve roede, als op die van een vast ligchaam (zie zijne Mgcanique Analytique, Première Partie, Sect. V, Chap. III, $ IV, et Chap. IV, page 159—173, Edit. 1811). LAGRANGE denkt eene menigte op elkander volgende punten, bepaald door de opvolgende coördinaten w, y, 2, =de, yd-dy, zHde, edm d-d?e, yy dy, 22d2Hd?2, enz. De uitdrukkingen voor de quadraten der afstanden van het eerste punt tot elk der vol- gende worden ligtelijk gevonden. Zij zullen zijn Aa + da + B, Ja H Ida + IP + 3d — 2) 4 IP +7, enz. enz. , indien namelijk gesteld wordt de? + Òy* He? — a, (OP)? + (974)? + (922)? =P, (OP)? H (90°)? H (Q%2) =7, eeste re daa se (GR De genoemde afstanden onveranderlijk moetende zijn, zullen de variatiën der tweede magten van de uitdrukkingen, door welke zij zijn bepaald, nul wezen, en daarom da =O; 4da Hdd HF = 0; 9Òa J 9Öda H 3ÒP +30) 4 3ÖÒP + Ôy = 0; enz. En hieruit leidt men gemakkelijk af, dat aan de voorwaarde van het onveranderlijk aan- sluitend zamenhangen of volkomen vast zijn der deelen van het ligchaam voldaan zal worden door de vergelijkingen da — 0, 3 = 0, Òy == 0, dat is door deze drie vergelijkingen Òz ddr + ydÒy + dedde =O, Dd? Öz Hd yd? Öy H d22dde =O, pre e ee (66) ded? Ör Hd yd dy H 92de == 0. Werken er derhalve op de elementen van een vast ligchaam krachten, die, ontbonden zijnde in rigtingen evenwijdig aan aangenomene coördinaten-assen, tot zamenstellende krachten hebben X dm, YÒm, Zm, dan zal, bij de onbepaalde vergelijking der virtuele momenten OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 85 voor het evenwigt dezer krachten, gevoegd moeten wordeu de som der sommen (integralen over de geheele uitgebreidheid van het ligchaam) van de voorgaande vergelijkingen (die elke slechts tot een enkel element betrekking hebben), elke vooraf met een onbepaalden factor A, u, v vermenigvuldigd zijnde. De voorwaarde van het vast zijn des ligchaams op deze wijze in rekening gebragt zijnde, heeft men de meer bepaalde vergelijking der vir- tuele momenten. Zij zal dienvolgens, onherleid, deze zijn : 0 = fe + Vòy + Zòe)dm + MOrd de + dyddy + ded d2) Hul d?rdt dr + d2yd?dy 4 ded de) H v(dtzd Öz Hd yd dy H 92 2%)| {ee} e * De vergelijking (ce) zou kunnen vervangen worden door eene andere, geen onbepaalde factoren ), ju, w bevattende. Deze andere komt, door, uit de vergelijkingen (bb), de waarden der variatiën Jz, dy, dz te bepa- len (in functie van de onbepaalde coördinaten #, 4, 7 en van willekeurige standvastige grootheden, die zelve als variatiën zijn aan te merken), en deze waarden alsdan in de onbepaalde algemeene vergelijking der virtuele momenten te substitueren. Dit is mede door LacrANGEe gedaan. Hij integreerde daartoe de vergelijkingen (bb), maar voor het meer eenvoudige der uitvoering nam hij aan dat Òz standvastig zij, en daarom ò?x — 0 en dr —0 (vergelijk, hiervoren, $ II, art. 4). LAGRANGE vond (zie Mécan. Anal. p. 169 de la Première Partie) Er= dl —YÔN + 20M, dy =dmrdN—zdL, M= n — a dM HydL, in welke dl, dm, dn, JL, OM, ÀN, zes willekeurige standvastige grootheden zijn, van dezelfde orde als dz, dy, dz. Deze eenvoudige formulen zijn de uitdrukkingen voor de variatiën der coördinaten van elk punt eener vaste massa, naar eenige voorwaarde bewogen of verplaatst kunnende worden. LAGRANGE noemt Eurer, als door wien deze formulen het eerst zouden gevonden zijn, ofschoon op andere en minder strikte wijze. Eurer gaf in het jaar 1750 (Mémoires de PAcadémie de Berlin) zijne belangrijke verhandeling, getiteld „Découverte d'un nouveau principe de Mécanique,„” ten doel hebbende om een nieuwen en beteren weg aan te wijzen, ter oplossing van het toen nog zoo moeijelijk en niet genoegzaam opgelost Problema der beweging van een vast ligchaam om een vast punt. En inderdaad heeft Eurer in deze verhandeling ook op het oog gehad om de voorwaarde van het vast zijn des ligchaams op bijzondere wijze in rekening te brengen. Ofschoon zich noch van de bewoording variatie noch van het teeken }, ter aanduiding van eenige variatie, bedienende, _ kwam hij toch, bijkans volgens hetzelfde daaraan te hechten begrip, tot de uitdrukkingen voor de veranderingen bij het verplaatst worden van eenig punt der massa, dat met een oneindig nabij gelegen punt op onverander- lijke wijze is verbonden. Hetgeen LAGRANGE kon noemen variatie werd door Eurer genoemd snelheid in den tijd ÀL. Zijn P, Q, R zoodanige snelheden, in de rigtingen der coördinaten-assen, dan komt Eurer tot deze betrekkingen Pr +Qy HRe =0, AP ze HAQ Òy HR Òz — 0, welke, als voorwaardes-vergelijkingen, volstrektelijk dezelfde zijn als de in deze Bijdrage gevondene verge- lijkingen (41) en (42), zoo slechts 2dr, 2dy, 2dz in plaats van P, Q, R worden gesteld. Eurer vindt evenwel slechts deze twee vergelijkingen. Eene derde, hoedanige de vergelijking (43) is, geeft hij niet, eu dit is minder streng of minder volledig. Nogtans vindt hij, ofschoon niet regtstreeks, maar door bijzondere voor- onderstellingen aan te nemen, 86 _ BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Herleidt men deze vergelijking door integreren bij gedeelten, zoodat alle termen onder het integraalteeken van loutere variatiën (geen differentialen van variatiën) afhangen, — en onderscheidt men de bestanddeelen der termen, buiten het integraalteeken gekomen en alleenlijk tot de beide limieten der integraal betrekking hebbende, door accenten (b. v. N' en N, u' en u'....e” en «', enz, naar gelang zij gelden voor de tweede grens of voor de eerste, en bij welke eerste grens al de integralen, die in de beschouwing voorkomen, verdwijnen of rul zijn), — dan komt deze ontwikkelde en herleide vergelijking: dû [ie dm — D(A de) HD (ndte) — d(r dta) [dz + [Yom — (AA) + Audi) — (00) 9 + [Zdm — DA dE) + Dd?) — 09°] | (HDP!) ("DP") Öz"— (ADa—'d 2!) (WD a!)} a! + (Hog!) DJ" (DD (0 HUD!" DE" WD} DE" {DMD 0D}! Fr {u da" "d 2") ("DD (da! — WDP!) OÖ! —(w'Ôt a!) Ôe! + (Oy "O2" H ("0") Ô"— (Dy — WG!) Oy —2'd*y Dd He {"DPE! WDZ") D0E" (WDZ! Di! {DPM} DIE! —(W'D*2!)D DA (dd) Lacranere behandelt deze vergelijking verder, gelijk men, ter aangehaalde plaats, kan na- gaan. Het is onnoodig daarvan hier meer te ontleenen of te geven voor hetgeen thans, tot besluit, nog zal worden bijgebragt als voorbeeld van toepassing dezer vergelijking, om het voorstel der beweging van een vast ligchaam om een vast punt op te lossen. Daartoe moeten vooreerst de onbepaaldelijk aangeduide krachten X òm, Y òm, Zòm, tusschen welke evenwigt zal bestaan, vervangen worden door die, welke, volgens het beginsel van D'ArrM- P(=dr)= Ay tBes Qed) = HC Az; R(ede)=— Be — Cy, in welke A, B, C willekeurige standvastige grootheden zijn (vergelijk de uitkomsten, door integreren ver- kregen in $ Il (art. 4) dezer Bijdrage). Het zijn deze vergelijkingen, welke LAGRANGE heeft kunnen bedoelen als het eerst door Eurer gevonden. In vorm zijn zij niet onderscheiden van de door LacranGe gegevene formulen. Deze zijn algemeen, als geen betrekking hebbende tot eenig bepaald geval van beweging eener vaste massa, terwijl Eurer zich had ten doel gesteld vergelijkingen of formulen te vinden, toepasselijk op het bijzonder geval of bepaald problema der beweging van een vast ligchaam om een vast punt; alsdan toch ver- vallen, bij het niet vrij zijn der massa, drie van de zes willekeurige standvastige grootheden, die in de formulen van LAGRANGE aanwezig zijn en moesten zijn. Eurer gewaagt ook van de krachten, aan welke men, bij het in rekening brengen der voorwaarde van den onveranderlijken zamenhang der elementen van de massa, kan denken. , Van een bepalen dezer kruchten kon geen sprake zijn, gelijk ook, het voorschrift van LAGRANGE volgende, zoodanige bepaling, door het bepalen der waarden van de factoren pg en v, uit den aard der zaak tot niets zou leiden. Eurer merkt hieromtrent een- voudiglijk op: „or il est à remarquer que les forces internes se détruisent mutuellement” OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE, 87 BERT, evenwigt moeten maken door middel van de betrekkelijk gedwongene stelling van het te bewegen ligchaam, dat is, in de plaats van de termen X dm, Y òm, Zòm komen deze andere 2 2 (om 2) (rom er 2e) (z om — de) Vermits nu in de vergelijking (dd) al de variatiën onder het integraalteeken, of in de integraal-aitdrakking, als onderling onafhankelijk kunnen worden voorondersteld, en de grootte van elke dezer variatiën, alhoewel ook oneindig klein, daardoor geheel onbepaald is en willekeurig, — daar verder aan de vergelijking, volgens den bekenden regel, voldaan wordt door én de integraal-uitdrukking, én de som der termen buiten de integraal, afzon- derlijk nul te stellen, — zal ook elke der drie integralen, die òz, òy, Òz tot factoren hebben, rul zijn. Hierdoor heeft men, daar ook de integraalteekens kunnen weggelaten worden, in de eerste plaats, deze drie vergelijkingen : 2 \ (ons 2) — (Ade) Hd? (wr d?z) — d (7d) = 0, dy (ram Ot) — AN) + DD — Ow OND eres (ee) 2 (zom ips dr) — AA) + AP (DP) 9 (eta) =0, De voorwaarde van het beperkt zijn der beweging bestaat in het verbonden zijn des ligchaams met een vast punt. Worden van dit punt af de coördinaten gerekend en ook (als beginpunt) de integralen, dan is, door deze laatste vooronderstelling, z' — 0, y' == 0, z' == 0, en dan ook òz' == 0, òy’ == 0, de, —= 0. Hierdoor vallen uit de vergelijking (dd) die termen weg, welke, buiten de integraal, met Òz', òy', Òz' vermenigvuldigd worden, en de variatiën aan de limieten der integraal nu verder aan geene bijzondere voorwaarden on- derworpen zijnde, kunnen de coëfficienten der onderscheidene variatiën en differentialen van variatiën, behoorende tot de termen buiten de integraal, alle gelijk zul worden gesteld. Daardoor komen, in de tweede plaats, deze tot de grenzen der integraal betrekking heb- bende vergelijkingen of voorwaarden : Wda! —Ò ("Dt") Hd? (0"d'2) = 0; Ny" — Ò ("OY") HDP Wd) = 0; Arde" — Òlu” d22"!) Hd (7'À32) = 0. wdd ("D "== 0; 4D" —d (WD) =O; "Dd (w"dte=0; 9. nde — Ò(' dz!) =O; wd! — dd) =O; wd? —Ò(w! dz) =0. vz" =O; "dy" =0; "DP" = 0; 9D = 0; »dy =0; #"D2 =0; dat is »" —= 0 en v' = 0. | 88 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT De eerste integralen van de vergelijkingen (ee) zijn: 3 p fen oe) — Ade 4d Lud? — Ò(w de} =D, [Croma 2) — Hiero nde edoan EE een 60 jw om — Som) — Ade Hd {ud?z — dd} =F. Aan de eerste limiet zijn de integralen, dat is de eerste termen van de voorste leden dezer vergelijkingen, nul; ook zijn, aan dezelfde limiet, de derde termen der voorste leden nul (zie (ff)); derhalve komt: NWD; N=, NZE. Ae oe (hk) ___Let men op de tweede limiet, dan hebben de integralen betrekking tot de geheele massa, en ingevolge de drie eerste vergelijkingen (ff) zullen de overige termen der voorste leden van de vergelijkingen (gg), te zamen genomen in elke vergelijking, nul zijn. Gevolgelijk zal men hebben met betrekking tot de geheele massa : | om — rom) = ; from) = =E, [lon er) =r - Door eliminatie van À uit de vergelijkingen (gg), twee aan twee genomen, kan men drie andere vergelijkingen vormen, die, wederom geïntegreerd zijnde (en zulks, waar het noodig of gepast is, bij gedeelten), deze tweede integralen zullen opleveren: | Xòm— Som — f(x on Lam) (omron BE dn Pee. | » dt dt? dt? dt? te {ud add 2)} Ay (ud yd) Ord (d°d 2d" y)=Dj Er GG; hd ME 2 me men EE : fen gron) efron som) | Xòm—2Zi om tegdm) al Huda dd? 2)}d2 — {ud ed) rv ne ee dy dte dy [vond ‚le Òm— adm) | frrem—szone Bron del HD? y— MWD") de {ude MWD? 2} Hv (D°2D yd dte)! Aan de eerste limiet der integralen zijn e=a'—=0, y=g" =0, ze =0, v=r! =0. De onbepaalde integralen zijn mede nul, gelijk ook, ingevolge de vergelijkingen (ff), de coëffi- cienten van Àz, dy, Òe in de termen buiten de integralen. En hiermede worden de wille- keurige standvastige grootheden G, H,‚ I gelijk nul. Voor de tweede limiet zuilen de vergelijkingen (kk) betrekking hebben tot de geheele massa; desgelijks de vergelijkingen (#2) Ee ni ke OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 89 Daarom zullen, b. v. van de eerste der vergelijkingen (kk), de twee eerste termen kunnen vervangen worden door #'D—z“E; maar zij worden dan opgeheven door de termen Dy" — Ez” in het tweede lid, en dit tweede lid wordt hierdoor nul. Daar verder ook vv" :=0, en eveneens de coëfficienten van dy en ÒZ aan de tweede limiet nul zijn (zie (Éf)), zal er alleenlijk, met betrekking tot de geheele massa, de derde term van het voorste lid overig blijven. Op dezelfde wijze komt dergelijk besluit voor de tweede en derde verge- lijkingen (kk). Zij worden derhalve herleid tot drie integralen, elke gelijk nul, en deze geven dan terstond de drie vergelijkingen der-beweging, namelijk de vergelijkingen (49), in art. 2 van $ II gevonden. Om de formulen voor de drukkingen tegen het vaste punt te verkrijgen, merke men op, - dat de eerste der voorwaardes-vergelijkingen (bb) voor de variatiën der coördinaten (en van welke al de termen eigenlijk nog 2 tot factor zouden moeten hebben), voortgekomen is uit de eerste der vergelijkingen (aa), zoodat hier de niet gevariëerde of oorspronkelijke voorwaardes-vergelijking is =de? + dy? He —az=0, zijnde eene functie, niet van coördinaten, maar van differentialen van coördinaten. Zij is de uitdrukking voor den afstand van eenig eerste punt der massa tot eenig onmiddellijk „ opvolgend tweede punt. Hiertoe heeft dan ook betrekking de onbepaalde factor 4, met „welken de eerste der gevariëerde voorwaardes-vergelijkingen, dat is de eerste der vergelij- kingen (bb), is vermenigvuldigd geworden. Het eerste punt, dat, ter bepaling van À, als eerste punt voor de geheele massa in aanmerking komt, is klaarblijkelijk het punt aan de eerste limiet der integralen, derhalve het vaste punt. De voorwaarde L —= « — enz. zal dienvolgens betrekking hebben tot een punt, onmiddellijk grenzende aan het vaste punt, en À' zal dan betrekking moeten hebben tot eene drukking, uitgeoefend tegen het vaste punt in de rigting van eenig regtlijnig differentiaal-element de’; de hoegrootheid der druk- king zelve zal &'U' tot uitdrukking hebben. Voor de waarde A! van A, ter plaatse van het vaste punt, geven de vergelijkingen (hh), als in deze 2À' gesteld wordt voor À', Verder is veer. 50 zi sed ton ) jet U {(Oe')H(')? H-(D2!)} = +28; weshalve de grootte der drukking, uitgeoefend tegen het vaste punt in eenige willekeurige rigting, zal bepaald zijn door ds’ ds’ ds’ AU SDE E.E. dz’ _Òy’ dz’ Hieruit is blijkbaar dat D, PE, F, kunnen aangemerkt worden als zijnde de grootten van 40 NATUURK, VERH, DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL X, . 4 e N en 90 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, ENZ. drukkingen, uitgeoefend tegen het vaste punt in de rigting der coördinaten-assen van de ä massa. Derhalve zal men voor de zamenstellende totale drukkingen hebben (zie (ú)): y era ò?z . D= f 2m foe em dd 5 dé? Deze uitdrukkingen zijn dezelfde als de uitdrakkingen of formulen (c), in art. 6 \ $ II gevonden, en uit welke, door het ontwikkelen der integralen, verkregen zijn de f mulen (57), die de nader bepaalde waarden voor de zamenstellende Ener doen 1 EE, worden. ke Leimen, 1860. Ev Li A} _ ® L BINDING SECT. MAY 2 81971 Q Akademie van Wetenschappen, 57 Amsterdam. Afdeèling voor A49 de Wis- ne Natuurkundige d1.10 Wetenschappen Verhandelingen Physical & Applied Sci. Serials PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY STORAGE tte AAE ni nij a SEM iN, 4 GARE DRE dNNS (Si B He Di bn ANNAE p ON epe Ee ONE EN in hid OE EA Ph, ; \ ik À ki d dek hiene KW B MAAN Hs MNI rds AA