•

lef] g' j

L.i

♦ -s';

» — -^ps.-"

-J3*-.

'• -

— i %

-""

__•__

^ssj

•. -

!^rw~^^

- C

* . ' ■_

■

-—-;-.

&«.

■

:•*

i^i

■— -

.-#.-

~ — -- ^

m

—•

"V,

:% . . # i

*

»•'

1

•i

' ■

"Sm

• j^

%

FOR THE PEOPLE

FOK EDVCATION

FOR SCIENCE

LIBRARY

OF

THE AMERICAN MUSEUM

OF

NATURAL HISTORY

VEEHANDELINGEN

KONINKLIJKE AKADEMIE

WETENSCHAPPEN.

ACHTTIENDE DEEL.

MET PLATEN.

't-O-t-

AMSTERDAM,
C. G. TAN DER POST.

1879.

OEDRCKT BIT DE BOETER - CRÜBER - BAKELS.

INHOUD

ACHTTIENDE DEEL.

; D. BIERENS DE HAAN, iets over zamenstelling van differentiaalvergelijkingen

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

H. A. LORENTZ, over het verband tusschen de voortplantingssnelheid van het licht

EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN.

4- \j"P. Bleeker, contribution a la faune ichthyologique de l'ïle MAURicE. (Avec tro/s Planches.)
D. BIERENS DE HAAN, over het differentieeren van eenige elliptische integralen

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

P. BLEEKER, sur quelques especes inédites ou peu connues de poissons de chine
appartenant au muséum de hambourg. (Avec deux Planches.)

V

1/

^. énumération des espèces de poissons actuellement connues du japon

\J kt description de trois espèciïs inÉüites. (Avec trois Planches.)

■ « <•'::: <: <c '

IETS OVER ZAMENSTELLING VAN

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

UIT EENE AANGENOMEN

INTEGRAALVERGELIJKING.

DOOR

D. BIERENS DE HAAN.

1. Onder de methoden tot behandeling van gewone differentiaalvergelijkingen met twee
veranderlijken behoort ook eene reeds lang bekende, maar toch zeer merkwaardige, wanneer
zij tot algemeene uitkomsten voert; die methode namelijk waarbij het geldt, uit eene aan-
genomen integraalvergelijking de overeenkomstige differentiaalvergelijkingen op te sporen.

In dit opstel zullen enkele zulke integralen worden behandeld, die bestaan uit het pro-
dukt van machten van veelledige stelkundige uitdrukkingen.

2. Neem voor de integraal aan

(* + a¥+ b)P (x + aty + b,)i = P (A).

Daaruit volgt

'S'

1 + « ƒ , 1 +6, f

v — ; -r<? — = o,

x -f- ay -f- b x -f- a, y -j- b,

of

[(P + q)® + (pai+qa)y + {pbt + ?i)] + [(a/> -\-atq)x + (p+q)aaiy +(pab1 + qa1b)]t/' = 0.

1

NATUURK. VKEH. DP,R KONINKL. AKAUEMIE. DEEL XVIII.

2 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Vergelijkt men dit met de differentiaalvergelijking

[Ax + By + C) + (Atx + BKy + C,)/ = 0, (I)

zoo is

A=p + q,B=pal + qa, C=pb, -f- qh, A, =ap + a,q, Bt={p+q)aat, Ct=pabl + qalb.

Daaruit vol<<t

o

«,-j, « + «> = — — - -j-, (1)

dus zijn a en a, de wortels der tweedemachtsvergelijking

Aa—(Al+B}a + Bl=0 (la)

Verder is

aC— Ct=qb{a — at), Ct — alC = pbl(a — at), aA — Al==q(a — a,),

A, — atA=p(a — «,), aA — B = p (a — «,), B — a,A — q(a — at);

waaruit volgt

A , — a , .4 a4 — B a A — A , B — a , A

a — at a — ai a — o, a — al

(1*)

aC—C. aC—C. C.—aC C.—aC „ ,

6 = L = L, b, = — = — — (lc)

aA—Ax B—a^A ' Al—alA aA — B

S. Deze oplossing gaat niet door, zoodra A = 0 wordt; alsdan is tevens

5, = 0 en A1 + B = 0 (E)

Er blijven dus over

B = {al—a)p, C={b,—b)p, Cx = [abl— a,*)p.

Dus

aC— C, a,C— C. .B

aC — Cj =65 en a,C — C =4,jB;dus b= — — — , <5,= — — ;enp= =-j;-(2)

ü B a , — a

wanneer men a en a, willekeurig aanneemt; of als men a en p willekeurig aanneemt,

aC— C, (JB+qp)C-C,;, 5

J=="^~' 6i- TP ' ai=P +°' q==~p (2)

4. Evenzeer worden naar (1*) p en q onbepaald, als a, =a is; dan volgt uit (1°)

{AJ + Bf = ^ABX, of ook (At— B)3 = 4(^5,-4, B) . . . . (UI')

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 3

De betrekkingen tusschen de coëfficiënten worden nu echter
A=p + q, B = (p+q)a, C = pbt+qb, A1 = (p + q)a, £,« (p + gja1. Cl = aC

A A

waardoor aan de bovenstaande vergeb'jkingen wordt voldaan. Verder wordt

B Al—G C-Ab,

waarbij de b en bt geheel willekeurig blijven.

5 . De oplossing van N°. 3 houdt op geldig te zijn, zoodra ook

£-0; (IV)

maar naar de laatste der vergelijkingen (2<*) wordt dan at = a, en komt men dan tot het
geval van N°. 4.
Men houdt dan over

C = (b,—b)p, Cl=a(b1-~b)p;
dus

C C
•—£-*. P = j7Zi = -«5 W

terwijl hier de b en i, onbepaald blijven; of als men b en p willekeurig aanneemt,

a== -£=«i, \ = b + - (4«)

6. Men neme vervolgens voor de integraalvergelijking aan

(** + 2axy + lf + Zcx + Uy + éf (ar2 + 1axxy + brf -f- %cxx + Uty + ex)l = P; . (B)

waaruit volgt

2(* + ajr + c) + l(ax + bi + d)/ 2 (x + o, y + c, ) + 2 (g, « + bx y + rf, ) y'

p -f- q — = Uj

x* -f- 2 axy ■+- #y2 -J- 2 c # -j- 2 dy -j- e « -j- 2 «j #y -f" ^i y" + 2 c, # + %dty + ei

of

p {x* + (2 «, + a)a*y + (5, + 2 ao.) *ƒ» + a by + (c + 2 c.) *» +

+(d, + flCi+ v)2*y + (S ««•,+ *,«)**+ (<?,+ 2«0 *+(«*!+ M)* + cei} +
+?{*»+ (8 a + o1)*,y + (b+ iaajxy* +alby* + (C] + 2C)*a +

+ (rf+ac, + aIc)a*jr + (2 «,i + *«?>* + (« + 8 cc,)* + («, e + 2<-,% +C,*} +
+y'|>{a«,+ (afl«1+i)«»y + (a61 + 2fl1J)*/ + ê5Iy» + (2ac1 + rf)*,+

-f (aa\ + a, ^ + 6c,)2*y + (28a7, + 5,%a + (a<?, + 2<v?)e + (èe, + ZddJy+deJ +
+q{alx*+(2aal + bl)xiy + {aib + 2ab1)xyi+bby+{2alc + d,)x* +

+ (a o", -f o,é?+ ö,c)2a;i/+(2ö1rf+ i«\)/ + (aje + ac«'1)ir + (J1e + aatfI)y+aV} ] =0.

1*

4 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Vergelijkt men deze uitkomst met de algemeene differentiaalvergelijking van denzelfden vorm

(Ax> + 3Bxy+ZCxy* + Df + Ex'- + %Fx.y + Gif + Xx + Ky+L)+
+(A,x* 4- SU.aty + ■AC.xf + Dy + Ey + %Fx*y + Gtf+H^+Kj+LW^Q; . (V)

A=p + q, 4i=pa + qav

SB = p(2a, -j- a) + tf (2 ff + a,), 32?, =#««, + i) + ?(2a«, + &,),

■ÓC = p (i, + 2Ml)+?(H2« «,), 3(7i = p (a \ + 2«, 4) + ? («, 6 + 2 a 6,),
D^pab^ + qa.b, Dx = pbb^ + qbbx,

E = ^ (o -f- 2c,) + 2 (e, + 2 c), E, = p (2 a cx + d) + q (2 ax <? + rf,) ,

jF = 7; (^ 4- ac, + «,e) + o (o* + «(?,+«,<?), Fl=p{adl-\- a, d+ 4 cj+r^a^a^+^c),
G = rfSaJ, + S,c) + q[t a^ + bcj, <?, = p (26a", 4- 6, d) 4- q (2 è, (i 4- bdx),

H= p (<?, 4- 2 cc,) + q{e+ 2cc,), 27, = p («ft 4- 2 e, a*) + $ (a, e + Serf,),

Jfir=a/,(«ei4-2c0'1)4-2(al(?4-2c10'), 2£, = p(óft 4" 20^,) 4" ?(*ie + 2<*<*i)>

L=pceI4-?c,e; Li = pde^ + qdxe.

Hieruit volgt vooreerst

3 2? + A A ....

« + «ï == — ^2 — ' * = "7'

en vervolgens uit

| (B—h) — («— «J (3— p), 3 (C— BJ = f6— ij (3— p), » (d— A = (a b.—a, b) {q-p),

daar

a ii — «! b = è (« — #i) — a (4 — 4i) = ix (a — aj — #! (ó — #i),

(JS— 4i)6— 2(<?-^i)a = Ci— 2> en (2J— ^i)Si— 2(0— A)«i = ft— -0»'

waarvan de som geeft, als men de waarde van a -\- ax invoert,

* , * (C-B1)('óB + A1)4-2(C1-D)A ,.b.

b + h = ïb^aTa ; (5)

en daaruit

1 |8(C+0i) .. , ..( Bt(8 J-^-tfl- A 4—2 A, C

(b + h)\ = n,p ,., ; • • • (5C)

a"1=^ A v ) 2(2?_4^

zoodat a en «i de wortels worden van de vergelijking

Bi (3 B—Ai) — (fr— A 4— 2 4X C ,_ A

24a»— (3B + 4,)«+-^ B_Ai ~. (5rf)

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

en b en b^ van de volgende

IC-BWB + AÜ + W-D^ + (5f)>

£ — >4i

Uit dezelfde vergelijkingen volgt verder

Ai — Au\ Aa — A1

p = , q =

waaruit } (^)-

3 Ax-B

p—q =

2 a — ai

Van de acht waarden A, B, C, D, Alt Blt d, Dlt zijn er nu zes gebruikt; er blijven daar-
tusschen dus nog twee betrekkingen over. Daartoe kan men de volgende gebruiken.
Vooreerst is

{b -f- h)a — Mi -j- c'ib) = (« — a-i)b en (b -J- ^i)^i — («^i + axb) — — (a — «1)^1 ;

SCi + B .

dus, daar a 6j -f- «ï 6 = is, geeft hun produkt

2 A

{b + hya«i— {a bx + fllS) (b + 4,){a + ax) -}- (aij + aibf= — bh {{a +„{}*— ia^}

na invoering der gevonden waarden

l„Bi{3B — Ai)—ZCAl—{Ci—B)A
i{[C-Bl){SBi-A1)-.HCl-B)Ay-^ (B-Jtf

— (3Gi + D){3B + AY) {(C-B1)[3B + Ai)—2{Ci—B) A) -f A(Z C1-\-B)t{B—Ai) +
+ r1[(8 5 + ^1){J5— ^)— S^{5i(35-A) — 2^iC— {Ci—. D)A}] = 0.. . («).

Ten tweede geven de reeds gebruikte vergelijkingen

Ci - B 3 Ca + D

abi — atf — — — —{b—h) en abx -f- «x 6 = — _

2(t? — Zïi) i5 4

Verhef deze beide tot de tweede macht ; clan geeft haar verschil
{A (3 £- ^) — 2 yll(; — (d — 2))A} =(3C, + Ö)J~

of wederom

8 Bi
B — Ai

iCi — B\'[l{C—B1){SB + A1) + l{C1—B)A\t

, — 4 ja! (*)•

C— A/ (\ 5 — 4,

6 IETS OVEE ZAMENSTELLETO VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Nu is verder

F -Ex G—F1

= d\ — d -f- axc -— a cv = a dx — a\d -4- b, o — b c\ ;

p — q p — q

en hieruit kan men d en d^ oplossen

vj F-Ei G-Fi F-Fa G-Fx

(ai-a)d= a -{- (b,-a a-,) c-(b-a') c,, (ai-a)di = ai- -j-(4i-«iJ)c-(5-aai)ci.

p-q p-q p-q p-q

Substitueert rnen deze d en d\ in de waarde van G\, zoo is

c{(P+2?)(V- ^A) + (^+9)(l>h-^b)\-Ci{(p + 2q)(bb1-a\) + (2p+q){b'-— a0lb)\ =

= ^G1(a-a1)-~ ^ZCi + C^±\(p + 2q)b1 + (2p + q)b\;
p—q p—q

of daar (p -f- Zqfa + (2 p + q)b = 3 ( C+ 2B1—2Aa a{) en (p+2q)ab1 + (2p + q)aJ = ZCx
is, als men de laatste der (5/) gebruikt,

c{(C+ 2B1— ZAaaüh — C,^} — c1{(C+ ZB1-iAaal)b—Cla} =

= z^2B) t~ Gl {Al~B>> ~(F-E1)2C1 + (G-F1)2(C+2Bl-2Aa 0l)].
Evenzoo geeft de waarde voor E

c(Ai + Aax — 2Aa) — c1(A1 + Aa — 2 Aa{) = — (a — a^:
en nu kan men c en Cj oplossen, daar

C+2B,-2Aaai=^ + B^-C^-DïA.

Ai—B

is, na substitutie der waarden gevonden voor en .

a- — ai a — #i

Sc[{(Ai+B)(Bl-C)—{Cl—D)A}{QBiBl-C)+A(C—D^} — ZBC1{Al-By] = -
^Z(Al—B)E[{{A1+B){B1—C)—{Cl — D)A}b—Cl{Al—B)a] +
+ (A1—2Aal+Aa)[{ — G1(A1 — B) + (F-E1)2C1}(Al — B) +
+ 2{G-Fl){{Al + Bi{B1-C) — {C1-D)A}\

Zci[{{^iJrB{Bl—C)—{C1—D)A) {6B(B,.— C)+A (C-A)} -ZBC^A^- £)']=
= 3 ( A, -B)E[ {{Ai+B) (B1—C) - (CT - D) A) bx — C1(A1-B) «j] +
+ (A1 — 2Aa + Aa1)[ {—G1[A1 — B) + (F—Ei)lC1}(Al — B) +
+ 2(G-Fl){(A1 + B)(B1-C)-(Ci — D)}A].

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

7

Substitueert men dit in de vergelijkingen voor d en a\, dan komt er, na invoering der

o—h ah — a^b

waarden voor , en (o -\- üi),

a — «i a — «i

Sd (Ai-B)[{(Ai+B)(Bi-C)-(C -D)A}{eB(Bl-C) + d{C-D1)}-3BC1{Al-By]=^
=2{(F—E1)a-(G—F1)}[(A1+B){B1—q—{C1-D)Al{6B(Bl-C)+A{C-Dl)}-

-ZBCi{Ai-Bt*]+?>E{Ai-B){Ci-D)[ {(A1+B)(B1-C)-A{C1-D)} a-Ci{A1-B)] +
+ [{-Gl(A1-B)+(F-E1)2Cl}(A1-B)+2{G-F1)[{A1+B)(Bl-C)-(C1-D)A}]l
[ { (A1—B-2B1+2C){SB+Al)+(C1—D)^A+A1)}a — \ZAl{C—Bi)+A{C1-D)}]\
3di(A1-B)[{(Al+B){Bl-C)-(Ci—D)A}{6B(Bi-C)+A(C-D1)}-^BCi(Aï-By] = l '
=2 {(F— Efa— {G— Fi)} [(41+B)(51-C)-((?i-27)^} { 6 B(Bi-C)+A(C-Di)}-\
— 'ÓBC1(A1-Bf]+ ïE(Ai-B) (Cx-B)[ \ (Ai + B) ( Bi-C)-A(Ci-B) \ ai-Ci{Ai-B)) +
+ [ {—G1(A1- B)+(F-E1)2C1} {Al-B)^{G~Fl){{A,+B) (Bi-C)-(Ci-D)A )] ^
[{(Al—B—ZBi+2C)(3B+Al)+(Cl-D)(4l A+Ai)}ai— {ZA^C-B^+AiCi-D)} ). ,'

De beide overige vergelijkingen, die behalve de a en b, slechts de c en d bevatten,

G = p (2 adi + &! c) + q (2 ax d + 6 cx) (c)

en

Ei — p (2 a a + d) + q (2 ax c + dj (d)

zijn dus wederom twee voorwaardensvergelijkingen.
Eindelijk volgt uit de waarden voor L en Li

1 Ldi — Lid .,.

e\ = ~ — T. l& '

p cdi — c'i a

1 Lic — Lcx ,5m

q cdi — ei d

waarin de noemer gevonden wordt uit de volgende vergelijking.

QQ'^^icdi-c^^SÏUAi-^BYBi-CHCi-DjA^i^iG-F^^Ai-B-^Bi + ZC^B+Ai)-!-
a — ai l

+ (Ci— D)(4 A+Ai)}—Z(F—Ei) [QB(Bi— C)+A{C—Di)}—SE(Ai— B)(d— D)]+
+ (Ai-B){-Gi(Ai-B) + {F-Ei)2C1}{{Ai-B-2Bi+2C){3B+Ai)-\-(Ci-D){4A+Ai)\ +
+ 6BCi(F-Ei) (Ai-Bf] X [ {{kAl+3\(Bl—C)-{,Cl—D)A} [E(Ci—D)+ZB(G—Fi)+
+B{—Q1(A1-B) + (F- Ei) 2 d} (Ai - B)] ] +

+ [2 {(Ai+B)(Bi—C)—(Ci—D)A}{G-F,){2(A—3B)(Bi—C)A- {C+Ci-D-Di)}—
-{Ai—B){—Gx{Ai~B) + (F-Ei) 2 Ci) [2Ai(C—Bi) + A(Ci-B)}+ 3 C^Ay-Bf
{2B(G-Fi)—E(Ci-D)}] X ['2{(Ai+B)(B1-C)-(Ci—D)A} {3E(Bi-C)-A(G-Fi)} +
+ A{Ai—B){—Gi{Ai—B) + [F— Ei) 2 Ci}— 3 Ci E {Ai— B)*],
waarin Q = {(Ai+B)(Bi— C)~ (Cl— D)A}{(\B(Bi— C) + A{C—Dl)}—3BCi{Ai—By is.

8 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Er blijven dus nog vier voorwaardensvergelijkingen over,

H = pei + qe+ iAeclt (e)

K = p{aei + icdj) -f jfae + Zc-lcI), (ƒ)

K—H1=2(p—^){cd1-c1d), (g)

K\= pbei -\- qbie -{- Addi (k).

7. Het vorige geldt niet, wanneer A = 0 is. Omdat in dat geval a -}- alt bbv abl-\-a1l
en b -\- bi -f- ^aaj niet oneindig mogen worden, is tegelijk

A = 0, 35 + Al = 0, Dj = 0, D + 3 d = 0, Ba + C = 0 . . . . (VI).

Omdat nu q == — p moet zijn, wordt het stel bruikbare vergelijkingen

SB = fa— a);;, G = {2{*?i— M) + (V— kï)}/>, *i = (*fr- Mi>>

8 C = (*i — «) p, H = (e1—e) p, Gl = (b d^—^ i) ;>,

D — (ab1—a1b)p, K — {{ae^— atf + tycdy— cxd) }p, H1={{ae1 — axe) — %(cdi — cxd)}p,

E = (ci—c) p, L = {ce-i—e^e) p, Kx = (b e1—b1 e) p,

F = (di—d) p, Ei= (2 (a ea— aj <?) -f- (rf— <*i) }j», ij = (d <?i — d\ e) p.

Hieruit volgt vooreerst

'6'

3 Ca -B = 3 B b, 3 Ea -F-F\ = è .Sc, 2 Fa-G-Fx=% Bd, 3Hi -K-Hx = 3 Be, I
SCaj-i^^SZièj, 3.Efa-.F-.£,1 = 3.Bc1, 2 Fai-G-Fi= 2,Bdlt èHt^-K-Hi =3#ei;j

(6)

en daaruit wederom

/\ = (i Cl— ij e) p = {3C (F + Ei) - 2 ££} : 4 fa— «)/>,
öj = (b d-i- b-ld)p= {3C{G + FJ — ZDFj-A fa— a) p,
Zi = (i ^ - 4a e) p = {3 C (JT + Hx) — 2 2> H) : 4 fa- «) p,
K—Hi = 4 (erf,— Cld)p _ {£(G + Fi)~F(F + ^)} : 4fa— «)/>,
L = (c <?!—£•! e)i) = {E(K + H{j — ZT(.F + E1}} : 4 fa— a) j>,
Li = {Aex-dxe)p= \F(K+Hi)—HKG -f *i) J : 4 fa— a;/>.

Als men nu in elk dezer zes vergelijkingen fa — a)p — 3B substitueert, ontstaan er
zes voorwaardensvergelijkingen. Derhalve blijven er slechts negen vergelijkingen over voor
de bepaling van de elf onbekende grootheden ; en het vraagstuk is derhalve onbepaald.

8. De uitkomsten van N°. 6 zijn evenzeer ongeldig, zoodra Ai = B is. Alsdan geeft b -f- b\

(C~-Bi) B + {Ci—B) A^O en p— q = »/, ^— ;

a — «i

dus omdat

{2>B+Aif (B—Ai)~8A{Bi ($B—Ai)—ZCAi —(Ci—B)A)

[a — ai)- = — ■ ■ — ,

V 4A'(B— Ai)

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 9

in den regel niet verdwijnt, moet p = q zijn. Dit geeft dadelijk

Al = B, *!=-<?, d — D, E1 = F, F1 = G1, H, = K,; .... (VII)
zoodat aan de eerst gevonden voorwaardensvergelijking wordt voldaan. Men houdt nu over

A = 2P, F = {d + d1 + 2aa + Za1c)p, D1 = Zbb1p,

B^Xa + aJp, 0— (2a«ii + 2M + &*i + *i«)P. G1 = 'ó(bd1 + b1d)p,

8C = (i + *1 + 4aa1)p, R={e + e, + ïccjp, K1 = {be1+b1e+ éddjp,

i>=(a61 + a16);;) K= (a* + axe +2cdx + %exd)p, ^=(^1+ d,e)p.

E=Z{c + cx)p, L = (cei + cie)p,

Vooreerst is

(a_ai) b = (4 + 4a) a — (a 6j + 3l 6) = [b + bx)a — — ,

%D
{ay— a)Ji = (ê + 4!)^— (aèi + a16) = (é + 4i)a1 — — ;

haar produkt geeft

(J + fc)» a aa— ^ (8 + 60 (a + ai) + ^-T -= - «1 {(« + «0' ~ 4 aaU >

of, als men „

BC IB lh A

4 -f b\ = — — 4aaj, o -f a, = -—-, 44j = ^

substitueert,

(-1-2aaiya1—ir^-j-2aal} + ~ + -{B-aalA). j

terwijl verder |'

6 C A 2 5.

6 + 4,=— —4 aai, 4*i = — , a + ai=— -is.
4 J .4

Bovendien is hier
Dit geeft ons

*E = d + rf, + 2 (acj + ax e), = 2 Ki + «ï'O + (5ci + bie)>

^ -4

waaruit volgt

F G

__ 2 (a_(llw= -4a! — 2- + (4 — 4a-)ci + (4i — iaa^c,
A A

F G

2(a—a1)<h = -4a!— 2 - + (4—400001 + (4i — 4a!2)c;

NATUÜIïK. VKHH. DRR KO.MNKL. AKAPEMIE. DEEL XVIII.

(7)

p = - A (7")

10 IETS O VEE ZAMENSTELLLNG VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

en hiermede seeft de waarde van G\,

&■■

^(o-aj) = — (b-by) + — (abr-aib) + (^i~*5 + 4a ai&-4a8*i)ci-(* «r-W + 4aa1i1-4!a1aè)c.

2.E . .

Nu kan men uit deze en de vergelijking — — = e + C\ de e en c, oplossen,

O 77" V

{(*—*!)' + 4 {a—ai){a Jj— .-7J 4)} e =— {8 (6— &i) + 4a (a^— ax ó) } +

4 0, 4.F %G „ , . I

+ — i(a— ai) — — (a ^i— ai i) — — (6— *i),

iA A A .... (7*)

-2Ü7
{(^-*i)a + *(o— «i)(«*i— «i*)}ei = -^-{*i(4 — /ji) + 4«i(«*i — ax&) — i

4G, 4/1 2fft n !

_ — — (a— ax) + — (aij— a^j + — — (6 — *i) ;

6A A A j

en hiermede worden de vorige vergelijkingen voor d en d\

2 {(b-btf- + 4 (a-fli) (a 6v-a1 b) \ (a-öl) d = ^— {b-h)* + 4 (»-ai) (a bi-ax b)} +

A

+ — (abl-alb)(a-a1)b+ {êa{a-^) — (b-b,)} {— (a-Oy) —-(abr-aj) — — (6-^)},!

lCc)
2 {(Ó-^)J -j- 4 (a-^X^i-ait;} (a-^) tfi = - — { (b-b,)1 + 4 (o-a1)(a6i-j1i)} — I

— (a&i-a^Xa-ai) ij— { 4a,(a-0])— (jb-h)} {— (a-ai)— -(aèi-aib)— — (S-^)} .

Verder leveren de waarden van Z en Li

2 Lic—Ld 2 Ldi—LiCj

.4 cdy—cid A. cd\ -exd

Derhalve blijven er over als voorwaardensvergelijkiugen

Ljjc—d) - Ljé—di)
cdi — cid

A = [- ^(c«i + t'idj, (éj)

e«i — Ci 0

^LVnh-M-Wey-bic) d^ (r0

cJ\ — c\d

UIT EENE AANGENOMEN INTEGKAAL VERGELIJKING. 11

9. Eindelijk heeft men nog het geval te onderzoeken, dat de vergelijking (hd) twee ge-
lijke wortels a = aï heeft : alsdan wordt de noemer in de waarden van p en q nnl. Uit
de waarde voor p — q, in de laatste der vergelijkingen {óf) gevonden, volgt dan

AX = B . . (VIII)

Verder zullen alsdan de waarden der wortels b en b1 der vergelijking (5e) rnede nul tot
noemer verkrijgen. Laat ons dus zien, wat de coëfficiënten ons geven bij onze onderstel-
ling ax = a.

A=p + q, Wi—pt + qh + b + q)**,

SB = 3a{p + q), 3 Ci = pa(bi + 2b] -f qa'.fi -f- 2h),

sc = vh + qh + [p + q)z«\ A = (p + qtfh,

D = (p bi + qb)a, Ei = 2 aKpcl -f- qe) + (pd + q>h),

E = p (c + 2 Ci) + q(ci + 2 e), Fi ={p+ q)a (d + dj + pbrl + q bx C,

F = pch + qd+ {/> + q]a(c + c{j, Gi=p{2bdi + bid) + q{2bid + bdi),

G = pebi -f- qbci -\- 2 a (/> dx + q ,1), Hi ~ a (p e i -f- q e) + 2 (p C! cl + qcdi),

H = p(e1 + 2ccx) + q(e + 2cCl), Ki=p(bei + 2ddx) + q{\e + 2ddi),

K — 2 (p c di -\- q ei d) -\- a (p ei -\- q e), Ll = p dei -\- q di e.
L =pc e\ -\-q Ci e.

Dadelijk verkrijgt men

en tevens

B
* = A> (8)

, AD „ AD
Ph+qb = —, ■óBl+ — = (ƒ> -f- q){b+ J,4-2«>) -=A{b + bi + 2a');

waaruit vol^t

6'

6 + ^-1* + *_»*

T A ^ B A*

A
Omdat nog bbi = — is, worden b en b\ bepaald als wortels der vergelijking

12 B1 :iBl D\ , D,

"+rF--T,-5/»+ï,-« (»•)

Verder is

D\ A ID \ A

2*

12 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

terwijl de vergelijkingen voor C en C\ de voorwaardensvergelijkingen geven

D AD 2F

3(7 +4.ïa«=— + — -, K)

a .o j4

3 Ci A ZAD^B2

-~ = 2A(b + b1) — D=öB1 + — — - Z>; (6J

en liiermede wordt voldaan aan de voorwaarde, die uit de vergelijking (5d) zoude volgen,

(SB + Atf^B — A{) — 8A{Bi[3B— Ar)~ (G -2?)^1 — 2JjC} =0,
of naar (VIII),

6ABB1 — 3A-{C1—D) — 6ABC = 0 (a*a)

Vervolgens is

G — ZFl + 2Eia=*c(pbi + ^a2q — Zqbx) -f Cl(<?J + <la'p — 2pb) ;

verbindt men deze met de waarde van E, zoo komt er

(%p + g)[G — ZFj + ZE^ — Ejqb -f ia-p — 2,pb) _ \

8(é—&,)M + (««• — b-bJZ tf—p*) ' =

2.4Z> 2Sn/ 52^ r / '^-D 82?' \ 452? „n

, JSBiD ZBD \ t4B> AD \(ZB' AD ,_

; (8«)

2?(pflx + 4a'g— gg^) — Qt> + 2q){G — 2 Fï + 8 2?i a)
fl— ^{b — b^pq +(2aJ-6 — M2(?2 — ?8)

SB^D 252? \ /JB- y7D \/2J52 ^/2)

8^-ë-- —-*) + *[-T-nr -**)[— +-T-**) i

Daarop geven F en Gi

A (hp — bq) — pq(b — bi)] d =

L 3(i — b1)pq-{-(Za2 — 5 — ^i)2(?'— ;;2) J

f^ii» — bq)—pq{b — 00]^ =

L 3((> — üj);;9+(2ö2 — ö — 6i)2(g3 — p2) J

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. i3

of na herleiding,

r- 6B1D AD2 4,BD-, / D\ 1/ AD 4.B»\, )

(3Bl D 2B2\( ZBEa 1/35! D 2B2\'QBX D SB2\ IDIZBï 2B2\ 2 DU

„ I2>B1D 2BD \ fêB2 AD „\i2B2 AD \

\ -^ £ ^2]j 1+ ,/ J+"l\ ^4~5 ,j»'\ ^+£~ 4 1 B\ A ~ A2I A )

a ISBiV 2BD \ liB2 AD „N/2.B" /fZ> \~~

en hierbij blijven als voorwaarden de vergelijkingen voor O en Bi

G=pbic -f göej + 2«(/;f/i + qd), (a3)

Ei=2a(qc + pei) + (pd + qdi) (6»)

Eindelijk volgt uit de vergelijkingen voor L en Lh

1 ii c — Zr ^ 1 L di — Z,j t!

e

*-;Tr-rri (8*;

5 cdi — cid p cd1 — ciil '

waarbij de vier voorwaardensvergelijkiugeu

H—pei + qe + 2 Acci, (c3)

K=2(pcdi + qci<l) + a(pei + qe) (d3)

Hi=a[pel + qe) + [pad + qcd{), (<?,)

Ki=pbei + qbie+ ZAddi; (ƒ,)

waar men ook voor de beide middelste stellen kan

K — Ha = 2(pcd1 -j- qc^d) — 2 Aacci, (#3)

K— Hi = (2p — q)cd1 + (2q — pfad (/i3).

10. Zij de integraalvergelijking

(x + ay + b)P [x + a,y + é,)ï [x + a^y + S,)r (, -j- a3y + èa)s = P; . ■ (C)

dan is

* + «J' + 6 * + ff, y + 6, « + a3>/ + b% T x -f fl|y + 63

14 IETS OVEK ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

of

+ (6, 8, + 4, ö3 + b2 i3) .« + (a, 52 èa + «2 J, 63 + «3*, V w + b, b2 J„]
+?(!■ +'7fy) L-*3 + (r'3 + fl2 + '')** y + («s ^2 + <?3 « + "2 a;#,?r + «3a aV/s + (!'s + b + b2)x- ■+■

+ fa 2 ^3 + ö2 ^ "h aS *2 4" °3 & 4~ ü b2 -}" " ^s) XV 4" fa2 "s'* 4" a2 a ^S 4" a3 a ^s).^* 4"
4" ( b2 &S 4" ^2 * + ^3 ^) 'r 4" fa 2 ^3 & 4" aS ^3 ^ 4" a ^2 ^8) '/ 4" ^3 6]

+r( i 4-«2/) |>3 4- («3 4- " 4- ",) &->j 4- ("s « 4- «3 «i 4- " "i ) •<'// 4- <7s ««1/ 4- (63 4- ^ 4- ^ï)^2 4-

4" («3 b 4- as6i f aSs4-«Jj+ a\ b3-\- axb) xy + [a%abx -\- a% ax b -\- axabz)f +
4" (*3 b 4- 63 &i 4" l> &i) * 4- («3 Wi 4 « &s 61 + "1 ^s b)y + bsb bx]

4-s(i4-tf3//>[>34-(a 4- 01 4- "2) *2// 4- (aai + aa°- 4-"i"2-''^2 4-a"ia2j'3 4- |^4-*i4-è2)*s4-

+ {abi + ab2 -\- axb ■+■ axb2 -\- a2b 4- a9bj)xy + (aaxb2 -\-aa2bi -\- ö,3ö1è)iy24-
-\-{bbx + bb2 -\-bib2)x -{- (abxb2 4" axbb2 + a2 bb\)y -\- bb\ba~].

Daar deze moet zijn van den vorm

{Axs 4- 3 B.c~,, 4- 3 Cx ,/ + Dy3 + Ex2+ ZFxy + Gy2 + Hx + Ky + L) dx
+ {Ai.rs+'6Bh,2 <{+3Ci*y*+l)1yS+Ei(i*+2F1a:y+Giya+Hix~s Kx,j + Lx)dy -= 0, . ,IX)

heeft men daartoe

A = p + q + r + ?,

SB = p(ai +ai+at) + q(a2 + az + o) +r(at + a + <>,) + s(a + a, +■ at),

3C =p(öiff34-fl)«3-j-(7!2«g) 4_ q ^a2a3 + a2a +osa) 4-''(a3 a + a8«,4-',a,) +>:{"a,+/'"i + a,ath
D = pal «o'Zj 4- qa2a3a -\- r aiaal -\- $aai a«,

E =p (6,+J, + ès) + q {bs 4- i8 4- b) 4- r (i8 4- 6 4- M 4- « (« + 6, + V-

2F =/j(a, b« 4- tf,Js 4- 036, 4- e/2 is 4- ^3^+a362)+ 'l !«2^3+«2 ^4-a3|,,2 4-a3 64-« *24"a ^s)4"

-\-r(azb -\- aibi-\- ab$ -\- abi -\-a\ 684-ai&) 4~ s i a io 4~ ö &24""i''4"ai ^2 + «2^4"tf2 ''2)1

G = p(atatba 4- ai 03 #2 4" «2 «3^1) 4" <?(«2a3^ 4" a2 a/*3 4" «3«^2) 4-r(a3^i4-a3ai^4-aai^3)4"

4" * (« <*! &2 +a«j ^'1 4" fll a2^)>

jET==/>(51634- bjg + bgba) + q{b2bs + b2b +bsb) + >-{bsb +bsl>1 + ll>i) + s^-^-bl^-j-b^),

K = /j(</i b2 bs 4- «2 ''s^s 4- «3^2) 4- ? («2 63 6 4- "3^ 4-a^2^s) 4" KaS^^l 4" "Ml + al V04-
+ s (aij 62 + ax 6 b2 -\- as i 61),

L — p /ij 62 ^s 4" ?^2 ^3 ^ 4- >" h b bx 4- * b bx b2,

A= pa + q ax 4- r a3 + s a3,

§B=pa{ax 4-ö24-as) 4-9a1(a24-a34-a) 4- r a2 (a3 -\- a -\- ax) -\- s a3(a -\- ax + as),

8Cj = pa (flj a2 4- 0l a3 4- a2 «3) 4" ? «1 («2 03 4" "2 a -\- as a) -\- r a2 (a3 a ■]- as ax -\- a a{j -\-

sa3{aai -\- aa2 4- axa2),

D, = p a axa2a3 -\- qaxa2a3a-\- r a2 asaa\-\- s a3 a ax «2,

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 15

Ex = p «(4i + é2 + Ss) + ? «i (*s + h + />) + >-«2 («i + * + &i) + «as (* + h + &ï),

_j_rasj(as6 + a3&x + a&3+a&1+a16s-r-ai&) +sas;a&1 + n6ï+oi6 + a1&ï + a26+aï6i),
(?, = pa(a1a86s +a1a3&3+a2a361J + qa1{aiasb + a2ab3+asab2)+ra<i{aS4bi-\-asaïb + aa-[bs) +

-f- s n3 (a aj è2 -f- " a2 &i + ai a2^)>
jyi = ?a(fe16a+616s+686s)+2ai(Ms+M+^)4-^M+&s6i + 66i)+*«s(&6i+6&2+Mï),
Kt --- pa{axbibs + ^V'j+asMï) + 9«i («2&s& + aS&g&-r-a&2&3) +rai{asiü1 + ahh + aibsb) +

-\-s as(abibo -f- aj bb2 -j- «2?'/'i),

Z, = p a l>i b% ^S + ? °1 ''2 ^3 & + r a2 ^3 ^ &1 + s ('3 & &1 &2'

Vooreerst volgt dadelijk

3 £ + ^1 C + Bi

= « + «1 + «2 + as, 3 =aai -f- ««2 + aa% + tfiff2 + aï°s 1 a2a3>

4 4

. • (9)

— a ai 03 ■+■ a a -L a3 -f- a a2 tf3 -4- a 1 «o a3, — = a ai a3 03 ;

A A

zoodat a,«i,a2,a8, de wortels zijn der vergelijking

Aa' — ^B + AüaS+iC+B^Za*— (Z>+3 6\)a + A = 0 (9a)

Vervolgens is achtereenvolgens

3 B~Ja = p ( — a + «i + «2 + a3) + '] («2 + as) + r («s + ai) + *(ai + °2)>
Aa" — 3 Ba -\- SC = p (aia2 + aia2 -f- a2a3 -f- a* — aa3 — aa%) + 0 a^a^ -\- r asai + s a^, /
^4a3-3 i? as -f- 3 C a-X) = p [ai a„ a -f- aa «3 a + a2 as « + a3~ai a2-«3 aJ-ag a2-ai a2 as) = l
= p (a — ai) (a—a2) (a — a3) ;

derhalve

Aa3— 2>Bai -\- 3 Ca — 1)

(a — ai) (a — a2) [a — as)
en evenzoo v, r§C)

Aais-t Baf + S Ca^'Ü Aa23-Ó 5a2s + 3Ca2-i5 .4a33-3 5a32 + 3 Cas-B

O ï^s f — ■ 5 ^s *

(oi-a) (aj-öü) («i-as) ' (ö-2-a) (a2-ai) (a2-a3) ' ("s-") (a8-«i) («s-ag)

Bij de beschouwing van ons twintigtal vergelijkingen, ziet men dat telkens, als men in
het algemeen voor eene letter X stellende, Xa — Xi neemt, de ;; geëlimineerd wordt ; even-
zoo bij Xai — A'i, Xa3 — A^, Xa3 — X^, worden de q, r, s geëlimineerd.

16 IETS OVEfi ZAÜtlENSTELLING VAN DIFFEKENTIAALVERGELIJEXNGEN

Nu is

•iai{Aa—Al)—Qa{Ba—Bl)—-6{Ca—Cl) = i\Aa3— {Ax f 2B)a2 + (2B^ + C)a— Ci] =
=y(a~ a .} (a2as-aa<i-aas -\- a°) -{- r [a—a^) {azay-aaz-aa^ -\- o2) -f- s (a-a3)(a1a2-aai-aa2 -\- a*)=s

= (<? -J- /" -f- *) (a — «i) (a — a2) (a — a3) = (A — p) (a — ai) (a— as) (a — a3) =
= ^(«Z — aj) (a — a2) (a — 03) — Aas 4- 3Ba- — 'dCa — I),

met toepassing van de uitkomst (9C). Evenzoo is

ai(Ea—El)—2a{Fa — FY) + (Ga—Gi) = q (a — ai) (a3as — a a°-—aa3 + a*)b +
-f- r(a — a2) {azci\ — aas— aai 4" a2)b -J- s(ö — o3) (óia2— aai — «"2 -|- a2)4 ;

en dit ajeeft nu

&*-

(9<0

1 Egt—jE! + 2 *)a2 + (2-Fi + G)a—G1
b ~ 3 ^6s_ (^ _|_ 2 5)aa _j_ (o Bi + C) «— C 1 '

op dezelfde wijze vindt men

l^!3-(£i + 2Fun2+(2I\ 4- g)ai-g] lJ?g,s-(.g1 + 2fjflg8+(2i;i+g)og-gi

1_ 3 An«-'4Ji+«.B)fl1,+ l8Bi + C)tfi-ft ' 8—3 ^38-(J14-2£>324-(2.S14-C)tf2-Ci,1

b = 1 -E>/83— (£1 4- g-W + (2^1 + g)^3— gi
'3 3 ^as3— (^ 4- 2.B)asa 4- (2-Bi + Cjas—C-y'

En hiermede zijn de twaalf grootheden «,<?!, e2, «3, p,q,r,s, b, L\, b2, i% gevonden. Er blij-
ven dus acht der twintig vergelijkingen, als voorwaardensvergelijkingen over. Deze zijn
vooreerst de niet gebruikte

H = , K=, L=, Hx=, Ki=, In = (at)

Maar bovendieu moeten er nog twee bestaan tusschen de gebruikte grootheden E,F,G.Ej,Fi.Gi.
Schrijven wij deze daartoe in den vorm

E = h (p 4- t 4- s) + l>» [p 4- q 4- s) 4- h (p + q + r) + b (9 + r -f- •),
2F = ij {;; («2 4- as) 4- ;-(c3 + «) + *(«+ 4)} + h {p («i + <?s) + 9 (*s + a) +s(a-\-a1)} +
+ *s{p(*i + °2) + q{"2+ o) 4- r(a+«i)} + 4{?(ös+ C3)4-'("3+öl)+*(«l + '?2)}»
ö = 6^ a2 og 4- jy/3 a 4- *Ja 02);+ è2 (p\a\a 3 -f- </ <?3 et 4" * « 01) 4" h (p aie* + 9 ö2« + »* ö ci) +

4-i1 (^ Ö2 °3 -f- >'fl"3öi 4" * "1 az)l

E\= h{/ "1 + a?2 + *"s) + h(pa + 5^1 + *"s) + /j3 ('I a + Sai + ' «2) + * (?"i + ^2 + * "3),

2i^= 41{/,4a24-«s)4-«/2^34-ö)4-M3(a4-ö2)}+èH/;ö(öl+02) + 9^3 + ö,+^s(''i4-tf)} +
4-i3j/ja(^14-a2)4-(/(i1(ö24-ö) + »,02;«+öi)}+^{9ai(''2-fö3)+?-ö3(ös+f'))+*ff3(ai4-'?2)},

Ö! .= 5j(r 4- r 4- s) aaMZ 4- ?2 f/J 4- q + «) ööi03 + h(p + q + r)aaia3 + 5(i' + r + *)aiOïOsJ

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

17

De eliminatie moet hier dus twee determinanten geven, beide gelijk nul. Vorm daartoe
de matrix

lste kolom

2de kolom.

p -\-r-\- s

P + 1 + *

p a2ü3 -\- r as a -\- s a a2

pa\Us -f- 9fl,3« 4- sa ai

p a + r a2 -f- * a3

pa + 5 ai + S(?3

(p + r + s)aa2as

(P + 1 + s) a a\ a3

p (a2 + «s) + r (as + a) +

s{a

+ **)

P (al + * s) + 1 (a» + a) + s (a + °i)

p a (a2 -f" as) -\-raz(as-\- a

) +

8 as (a

+ a2)

pa(ai+ as) + qai{as-\-a)+sas{a+a1)

3de kolom.

4de kolom.

5de kolom.

P + 9 + r

? 4~ r 4" s

— E

pa1a2-\- qa2a-{- ract\

? aZ a3 4" r a3 al 4" S al «o

-G

pa + qa-L + raz

(?ai + /a24-sas

-Ej

(P + Q + r)aaia2

(? + '' + *) «i a2 as

— 0!

p(ai+a2) + q(a<i + a) +

r(a

+ «i)

q (a3 + as) +r (a3 -f- öx) -f s {al 4- a2f

— 2F

pa(ai-\-a2) + qa1{a!t-\-a

) +

ra2(a

+ «i)

?«1(a!j4-«3)+>'Ö2^a3+ai)4-*a3(ai+fl!2)

— 2Fi

Tel alle drie eerste kolommen op bij de vierde, dan wordt deze

8(p-j- q + r + s) =8A,

P {a2a3-\-^ia3'\- Oia2) -j- q{a3a-\-a2a-\-a2as) -\- r (as a -f- a ax 4 a^as) -}- s(aa24ö(Jri4-aia2) ==3C,
3(/»« 4 qeti 4 r#2 4*ös) =3^,

pa(a2as -\- axas -\- a^) -\- qa\{aaz -f- aa2 -\- a2as) -j- ra2(aas -f- a«i 4- «ia3) 4- sas' 'aa2 4 aa,\ 4 a^) — 3 C\ ,
2/> (a! + a2 4 ö3) + 2 5/ (a2 4" a3 4" «) 4" 2 >' («3 4" a 4" ai 4- 2 * (o + «i 4" «2) =65,

2pa(a! 4- «2 4a3) 4"2$ai(«2 + a3 + a) -\-^raz{a3-\- « + «i) + 2 s a3 (a -\- aa 4 «2) =6l?i.

Vermenigvuldig de lste, 2',e en 3de kolom met ai,a2,a; tel dit alles op bij het produkt
van ö3 met de 3de kolom; dan wordt deze

P (ai 4- a3 4- a3) 4" ? (as 4" a3 + a) 4" r ("3 + <* 4 «1) 4- * (« + a-i + «s) =35,

3 (pain2as 4 qa2asa 4 r<?3«ai4- saa-ya^) ='d D,

Pa{ai + "2 4" "3) 4-<?«i(ö'2 4-as4-<:1!)4-?'a2((73 4-«4-ai) + sa3(a + ai + ^ — SA,

3 (^aajf/gas + jaj a3a3« 4- raf2«soö'1 + ««aa^ a2 =ZDi,

2{/'(ai^24-o1as4-a2a3)4-5(ff3(z34-a2a4-a3a) +r (a3a + a3a!14-aa1) + s(««14-aa24-(Zi02^ — 6 C'
2 {pa(«i«2 -f- aia3 -\-a2os)+Qai[a2as+a2a^-asa) +ra2('5'3«+a3a 1 +0^) -(-«^(a^+aaj-j-aiag) } = 6 Cu

Tel de l3te, 3de en 4de kolom bij het produkt van ( — 2) met de 2de kolom ; deze wordt
daardoor

NATUUKK. VERH. DER KONINK.I-. AKADEMIE. DEEL XVIII.

18 IETS OVEK ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Sr = 3 r,

p[aaas -f- aiaa — 2^03) + 9(a2a+a278 — 2a8a) -f- r{asa-\-aa\-\- aias)-^s{aai-\-aïa2 — 2a ax) ==

B — raa<a« SB Sri),
= 8C-3 — ■ = 3C— +

Aa/

a. a

■

Sra2 = 3 r as,

pa((taas-\-a1a2 — 2alas)-\-Qai(aa2-\-aaa3 — 2a$a)-\-rai(asa-\-aai-)ra-ia$)-)-sas{aai-{-aia2 — 2aai)=

= 3fr—3{A — r) -^1,

A<l2

p(2a2 — «3 — a-y) -\- <?(2a2 — a — as) -f- Ir [a -j- as + «1) + *(2ö2 — a — ax) =

= Saa(A—2r) — 3B + 3 r 3 ^ + ^\

j»«(2a8 — a8 — (7j) -f- $«i(2tf2 — 'a -(7s) + 2ra2(a -f- as + ai) "1" * «s (2 a2 — a — a{] =

3 £ + Ai
= 3ff2(^, — 2ro2) — SBi + Sra2 — -j .

A

Vermenigvuldig nog de 2de, 3de, 4tie kolommen met — 2a2, a3, a, en tel alles op bij
het produkt van a, met de eerste kolom, dan wordt deze

p(ai — %aa-\- as) -\- q ( — 2a2-|-a3-f-a) -\-r{a1-{-a3-\-a)-^-s(ai — 2a2-}-a) = 3 B — Saa{A — r),

A

3raaia8 = 3 r ,

Aa%
p (aaj — 2aa3 + aas) -\-q ( — Za-, a2+öi«78 -f-ajfl) -\-r (a271+a2«s-)-(?2a) + *(a3ai — 2a3«1-f-a3a)=

= 3 Bi — 3a2 (Ai — r a2),

Di

3 r a ai aa a8 = 2 r -^-,

P( — ai<J!s + Zajöig — «Vs)-!-^ — Vs — a«2_|-2aa3)-}-2r(a1as-(-aa1-)-a(;f8)-j-*(2aa1 — »ia2 — a^2)=

= _ 3 C- -V1 + — (A + r) + — \
r/2 - .4 a2 vl«2

^a(-a1«;2+2a178-a3i3) -j-9«i(-a2'7s-'?«2 + 2rta8) -j-2m2(rt'i?78-J-aa1-f-a(J3) -\-sas(2aai-iia2-aaa)=

3 7)] , 7; + 3 Ci

Nu is reeds alles tot «2 en r teruggebracht. Ter vereenvoudiging trekke men nog a2
maal de 2rle kolom van de lste af, dan wordt deze eindelijk

B — a2A,
—Caa + I),

Bi — a2Ai,

— Ci aa -f — ,
a.

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

19

»,, os. f-n 3jB+^i\ „ , D(<l + r)+SCi 2rA I „ 3B + AA

+ (8C-3fi,-g+/'6r)+sCr-^-;f+1'c-+0,^iir,

A a%A a<r

2rai

(A+,!5±4)+*..-.(a_,*±A*)

- a2
— a2'' ( A

-» ^ + aa\Bi—6r —

D + &CA A—Ir

»+*±*a,,_ia+aü=ïïI

A Aa2

wanneer men de vergelijking (9fl) toepast.

Om nu onze determinanten te verkrijgen, neme men de vier eerste regels en stelle
daarboven telkens den 5den en den 6den; dan vermenigvuldige men met ai om de breuken
te verdrijven; eindelijk telle men

en 2tf« —

— X den 2den regel bij den 3den en 5den regel,
A

— a2 x den 2den regel bij den 4den,
3 B + A2\

A

-]<V x den 2deu regel bij den l9'en;

en herhale dezelfde bewerking bij de tweede determinante. Op die wijze verkrijgt men

a2s(3AB -f SB + AJ + a,!
{8AC+9B1A—3B'+A1B+
{C+B1)6r}-a3{ZAD+8AC1 +
3 Ci— (-0+2 d) 3 r} + JA

(—Aaa + B)A,

A Ca2s + AD ai + ABl a2—BB1,
{Cai—{A1 + B)a2+Bi}A,

—ACai + AB1a2-{-{AB1—BBi),

en

{Aaa-B)a2\

(Ca2-B)a2,
0,
C\a2— Ai

a28 {3 A' + (3 5 + AJr) + ai (a2Aj-3A)

{6AB + AAY— (C+A) 6 r}

— «2{3 A C-l + ièB1-\-A1 B—

-{D+3Cj)6r} + AD@A—8r),

■Aa2-\- B)A, r,

ACai+ADai+AD^i—BD^ (a2C-B)a2,
\Cffa*—(A1 + B)at+B1}A1, 0,
—ACaf + ADiaa + lABi-BW, aad—Dlt

{2ABa2 —
(SB3+<4B-

*AC)}ai,

AB,

ADaf—BBi,
(-Bat+BJA,
{Aa2-B)Bl,

{2ABai —
-{ZB^+diB-
-lAC^ai,

AB,

ADai + BB,,

(-Baa+B^Ai,

(A1ar-B)D1,

{%A«a —
(SB+Ai)}

A,

Caa3—Bi,

-Aa2-\-A\,
Ci<za • • A,

{2 Aa2 -f-

- 2 A -
-(SB+AJ)

A,

Cai—Di,
-Aai+A-y,
C\ aa — Ai

{ïAEaa — \

{3BE+A1E-j
-%AF)}ai,i

=0,

AB,

AGai—B^E,

(-E,2+E1)A,
AGw—EDi,

{ZAEa2-\-
{3BE+AiE-
-ZAFtfai^

=0;

AE, /(<?«]

AL Qaf-DiE,
(-E^+EJA,
AGxa2-EDx,)
3*

20 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFEEKENTI AALVERGELIJKINGEN

waarbij ter wille van de duidelijkheid de regels door komma's en de kolommen door vertikale
lijnen zijn gescheiden, en verder ter herleiding der eerste gebruik is gemaakt van de herleiding

— 2 a*'A + «8!95 + 2.4! + r y—l\ + aA 2 C + 3^- J B~~^~ 6r) +

waarvoor weder van (9a) is gebruik gemaakt.

De determinanten (64) en (cj bevatten nu slechts de a3 en r, die later door middel
van substitutie uit (9") en (9C) verdwijnen.

11. Deze oplossing gaat niet door, wanneer A = 0 is. Tengevolge van de vergelijkin-
gen (9) moet dan ook

35 + 4 = 0, C + Bl = 0, D +• 3 Cj = 0, Z>! = 0

zijn; men kan dus J\, -Bi, Ci en Bl als afhankelijke betrekkingen beschouwen.

Gebruikt men dan de onderstelling A —0 = p + q + r -\- s om de* overal te elimi-
neeren, zoo behoudt men

3-B = p (<7S — a) -\- q (as — «i) + / (as — a2),

SC =fi(as- a) (ai +- a2) +• q (as — ai) (a +- a2) +■ / (as — a2)(a+-ai),
B =■ p(a3 — a)aia2 +■ q(as — a{jaa2 +■ r (as — a2)aai,

E =p (fa ■—*)+? (fo — h) + ' ü* — te),
ZF = p {(^3— «) (*i + h) + (*s— *)(«i + "2)} + ?{<«s— «i) (i + ^) + (*s-*i)(d + <*s)} +
+ f {(«s — «2) (6 + ^i) + (*» ~ *s) (« + öi) } >
G =p{(a3—a)(arbi + ash) + (ès—b)a1aa} + q{(os—(n)(afa + a2/j) +- (6S— b{\a as} +■

+ »-{('?8— 02)(«4l+ M) + (*S — J2)ö«i},

H = p(ös— b) (lx + ès) +■ 9 (is— M (i + *s) + r (is— ig)(& + h),

K = p{(h — l) (a^fa +- ff8Ji) +(«»—«) Mi} + 5 ((is— h) («*»+■ «2*) + («s— «i)*fc} +

+r{(bs — bz)(ab-y + <?i i) +- («s — «'s) llh) 1
L =p (bs —hfafa+q (fa — êi) 6 i2 +- r [fa — 5g) * *i»
E-L = j | 'a fa- as 6) — («8 — a) (^ +■ 6J } + ? { («1 *s — as h) — («3 — «1) (* + *«) } +

+ r{(asbs — o8 fa) — («8 — «2) v6 + Ji} } s
&F, = / { ■ is-asb)(a1+a!i)-(as-a)(a1bz+aib1)} Jtq{(«ifa">sfa){<* + <y2)— (a8-Oi)(aês + "s4)} +

+- r { (fls &s — cs i2) (« + öi) — (ff3 — °2) (a il + öl 5J ) '
Gi— p(ah— asb)aia3-\-g(a-ifa~- asbjacu +■ r(a3i3 — aibs)aau

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 21

A==P{(«*s— as*)(£i-M2) — (as— a)biba} + q {(a^s — a3 61) (6 + b2) — (as — ai) bh) +

+ r {{a3 b3 — «3 h) (b + *i) — (as- «2) & *i } ,
Kx = p(ab3 — «8*)(*i&g4-a2*i) + 9(ai&s — a3bx)(ab2 -J- a2S;. + r («3#3 — ag52)(aSi+ a^b),
Lx = p(ab3 — asb)bib2 -\-q(aiès — asb1)bb2 -}- r(a2b3 — asb2)bbi.

Hieruit volgt

Ea—Ex = p(o3 — a) fa + b2 + b) -f q { (a3 — ax) (6 + i2) + a bs — a *i — ^ 63 + a3h} +

+ '"|(as — «s){!)-\-h) + abs — ab2 — a3 bs -f- a3 b2) ,
2{Fa—Fi) = p(as — a) (a Si -f- a b2 -f- aj 5s + a2 Aj + at b + a2 &)+

+ ï {(as — ai)(«S+ 2a#2 -f- a2b) + (a-f- a2) (ab3 — aêi — ai Js-|-as*i)} +

4" ''{("3 — o3l(a5 + 2 aij -f- a-yb) -f- (a -f- <n)(a ès — a §2 — aafo + «3*2)} >
G a—Ö! =«Ka3-a)(aai4s +-a«sA +ai*28) 4-ga{(«s-ai) (ab2-\~a2b) -f(a 63-a&i-«ió3 +-«s^iW} +■

+ >'«{(as — «2)(aii -f- axb) 4- (abs — ab2 — a2b3 -f- a862)fli| ;

en verder

(Ea — Ei) a — 2 (Fa — Fx) - p (a3 — a) (a bi — ai b — a2b — aib2 — a2 b\) —

— 1 {(«s — ^i) (ab2-\- aib) + a2(ab3 — ab\ — «1*3+ ffs*i) } —

— f {(«s — a\)(a-bi -f- a-ib) -f- ai(ab% — ab2 — a2Js 4 «3 b2) },
{(Ea—Eiia~Z(Fa—Fl)} a-\-(Ga — Gi) =p(ai — a)(a*b — aa1b — aaib + a1aab) =

= p b(a3 — a) (a2 — a) (ai — a).

Maar ook is

3 (Ba — C) = p(as — a) (a— a2 — ax) — qa2(a3 — aj) — rai(a3 — a2),
(Ba — C)2>a -\- D = p(a3—a)(a- — ala —a2a -f- aia2);

zoodat men tot de beide uitkomsten geraakt

SBa' — SCa + D

p== ! (10)

(as — a) (a2 — a) (ax — a)

en

Ea»-(Ei-\-2F)a> +(2Fi+G)a ~ fr

b = (10«)

3Ba*—3Ca + D v '

Wegens de symetrie van onze vergelijkingen is het duidelijk, dat men hieruit bx, b2, bs
verkrijgt door a te veranderen in ax, a2, a3; evenzoo q, r en s door in den teller van ;;
dezelfde verandering te brengen, en dan voor den noemer te schrijven (03 — «i) (a2 — ax) (a — ai),
(a3 — a3) (ax — a^ (a — a2), [a2 — a3) (ai — a3) (a — as). Er blijft nu slechts over, om de a te
bepalen. Daartoe heeft men

3 (B a -(- C) = p (a3 — a) (a -j- ax -\- a2) -f q (as — ax) (a3 -f- 2 a) -\- r (as — a2) (ax -{- 2 a),

22 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Ka — Kx—p(as — a)'ai*25 -j-t^M+^W^-f-^^s — a{)abbi-\-(ab3-abi-a\b3-\-a3b\)(abi-\-aih)\-\.

+ r{(as — al)abbl-\-{abz — ab% — a2b3-\-a3b2)(abi+aib)},
La — Lx—pbx b2 b(a3 — a) -f- qbb%(ab3 — abi — a,\b3-\-a3b-i) + Tbb\{ab3 — ab2 — a2£s -f- asfa) ;

waardoor vervolgens

o

(Ea— Ei)— 3 B.%b=p {aa—a) (6X + 62_£)+?{(a3— ai) (b2—b) + a b3— a^— a^ + a^} +
+ f {(«8 — «2)(*i — 6) + ah — ah — «2*3 + asè2},

l{Fa — Fü — Z(Ba + C)b = p(a3 — a)(abl + aS2 + M» + a»^ — a&) +

+ 9 {(«3 — a1)(2aba— ab) -\- (a-\-a2)(ab3 — abi—aiba-\-a8bi)}-\-
+ '{(«s — at)(2abi — ab) + {a-\-ai){ab$ — ab3 — a2b3-}-a3ba)} ;

derhalve

— {{Ea— EJ— 6Bb} a-\-{2(Fa — F1) — (Ba + C)Sb) = p(a3 — a)(aib°. + a2h)-\-

+ q { («s — «i) a&s + a2(ab3 — abi — öj b3 + 03^)} -f-

+ r { (a3 «2) «*1 + «1 (a &S — a *2 a2*3 + a3 ^2)} J

en eindelijk

(Ka—Kl)-\-[{(Ea—E1)—6Bb}a—{-2(Fa — F1) — (Ba + C)'ób} \b = p(as— a)ahba+

a
4- qab2(ab3 — abx — a1b3 + a3bl) -f rab^ah — a*2 — a2*s + «3*2) = (La — Zj) -,

of rangschikkende naar b

'ó(Ba + C)b*—2{(Fa — F1) + 3Ba}b2+{(Ea-El)a+{Ka—Kl)}b—{La—L1)a^ 0,

dat is volgens (10a)

&(Ba + C)\Eas — (E1 + 2F)a> + (2Fl+ G)a— G^*—

—2{(Fa —Fx) + 3 B(l} (3 Ba2— 3Ca + L) {Ea,~(E1 + 2 F) a' + (2 fi+Ö)a— <?i}a -j-

+ {(Za— fOa— (ifa— /ri)}(35a2— 3Ca + 2J)a {(£V- (E1 + 2 F)a% + {2F1 + G) a—G,} +

+ (ia-i1)a(8 5aJ-3Ca + /)]1 = 0 (10*)

eene tiendemaehtsvergelijking voor a.

Er blijven hier, behalve de oorspronkelijke waarden

A = 0, i,=-3fi, £>! =—C, 8 <?! = — A A = ü, .... (o5)

nog de twee voorwaardensvergelij kingen

LT=, Hi=, (b5)

DIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 23

die nog niet gebruikt zijn. Er moet echter nog eene worden opgespoord, die men op de
volgende wijze vindt.

H- Eb = p{b3- b) (bx + b2-b) + q(b3- b,) b2 + / (b3 - ba) b»

L — {H—Eb) b=p {bs — b) (&i b2 — bïb — b2b — bs) = p(b3~b) (b2 _ b) (6, — b).

Derhalve

(3i?a2 -3<Sa + B){b3-b)(b2— b) (b^b) = (Eb*— H b + L) (a3 -a) (a2— a)(ai— a), . (cB)

waarin nu de gevonden waarden van de a en b te substitueeren zijn.

12. Evenmin geldt de oplossing van § 10, als a == ai is. Volgens de vergeüjkingen
(10) en (10a) is dan ook b = bu q=p, zoodat men heeft

A = 2o -f- r + f|

SB = 2 7 (aj -f- a2 + a3) + r(2«, -+- a3) -f- * (2 ai -f a2),

SC = 2^(aia2 -f ^as -f- a3as) -f r(aj2 -f 203^) + «(ai2 -)- 202^),

B = 2§,aia3a3 -f- »"«i2«8 -{- sai2 a2,

£ = 2q(h + h + 43) + r(ibi + b&) + «(2*! + J3),
2.F = 2j(ö!1S2+a1Js-}-a2J]+a258+a8*i+a3i2) + 2/-(ag51-j-aiJ8+ai*1) + 2.s(ai*i+a162+a36i),

G= 2 q (ai a2bs -f- a\a3b2 -f" a2asb^ -f- r(2aia3i1 -f- ais bs) -f s(2aia35i + ai3£s),

H = 2 9 (èi b, + «x A8 + &3 5S) + r (24j 53 + J,») + * (2 ^ », -f 6,2)>

K= 2q(a1b2b3 + a2bxb3 -f «3^62) + r^a^s -f atb^) + s^aiMs + a2&is),

L = 2qb1bsb3 + r 612 63 -f ^!2Z-2,

A\= 2qai + ra2 + sas,
3#i= 2? aj (aj + a3 -f- as) -f- ra3(2ai + as) + sag(2ai -f a2),
3<?i= 2ja1(a1a2 -f- ajas + a2as) -f ra2(2aia3 -f öj2) -f 2*a3(2a1a2 -f a^),

A= 1qa^a2as + »,fl18a3as -f- «a^aoflj,

Eï= 2qai {bx + 63 + bs) -f ra2(26i -f- b3) + sa3 (2e, + £3),
2Fi= 29a1(a1i3 -f a^s -f a^ +a2i3-f.a3è1 + a3b2) -f 2ra3(a361 -f ax bs + ai&i)+
+ 2 sas (a2bi -f ax fi2 + aj 6^,

Gi— 2ya1(a1o2^s + aiag63 + a2a8^i) + r a2(2aia3ói +ai8/)s) +sa3(2aia36i 4-ai262).
J?1= 2ja1(61J3 + Ms + ö36s) -f r 0,(2^63 + ^2) + *a3(2M3 + b*),
K1=2gal (ax b2 b3 + a3 6X b3 + as 0l 62) •+• r a2 (2 a, 61 b3 + a3 6^) -f * a3 (2 aj bY b2 + a2 &12),
i]== 2oai6i03Js -j- ra2bi*b3 + sasb^bo.

Men leidt nu achtereenvolgens af

24 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

3JS+J, „ 3(0 + 2*0

1 = 2 a, + a3 + a8) = a,* + 2aia + 2 ai as + 0203,

4 -4

2? + 3 d , , , , ffl A ,

=a,3as + a^a.3 + Zajaaös, — = a/ajag ;

-i «

dus

8 2? + 4i 3 (C + A)

— 2aj = a3 + a3, — a!2 = 2 a (ö2 + asi + a2ös>

2» + 3 d A

; — = «i (as + as) + 2 ai (a2ash i — : = «2 ö3-

4 .4tfl

Substitueert men de a% + ö3 en ö2 a3 uit de beide uiterste in de beide middelste vergelij-
kingen, zoo is

2Aa1*—(3B + Al)a1* + (D + SC1)ai — 2D1=0;\' 'K '

twee vergelijkingen, die beide kunnen dienen ter bepaling van a.\. Men kan ze echter door
eliminatie telkens herleiden, en verkrijgt dan

(3 2* + 4)ais — 6(C + Jïjjai» + 3 (Z> + 8 d ax — 4 A = 0,
4 4 ais — 3 (3 B + ^i)ai2 + 6 (C + Bx) a1— (D + 3 Cx) ~ 0,
{8A(C+B1)-{3B+A1y}Sali+{(*B + Al)(C+B1)-(D+-èC1)2J}6a1 +

+ 16^A-(329 + ^i)(2>+3Ca)=0, l

{164Z> — (329 + ^1)12) + 3C1)}a12+{(C+A)(2>+3A)— (3£+J1)2A}6öi+'

24 (C + Si) A — 3 (2? + 3 Cj)2 = 0 ;

[ {16 ^ 2? - (3 2J+^0 (2? +3 CO} {(9B+A{){C + B1)—{D + SCl)ZA}^ x

-S{8A(C+B1) — (8B+AJ)*\{[C-t-B1)(D+SC1) — @B-T-Ji)?.Dl}]6ai =
= [27{8^(C + 2?,)-(3 29 + i)s}{.S(Cf2i1)2?i— (J+8C0*} —

— { 16 iZ>- (32? + Ax) (i>+ 3 Cj)] [{16 JA — (35+ ^1(2? + 3 C{)} ),

[Z7{SA(C+B1)—(ZB + JlS°-}{*(C + B1)D1~(I>i-3Cly} —

— {I6AB— (8 2? + ^1)(2>+8C1)){l6^A — (3 23 + J0(-P+ 3 d)}]«i =
= [6{{C+B1)(D+3C1)- (ZB—AÜZD] {l6JD1-(iB+Al){D+SC-l)} —

— lS\(3B + A1)(C + B1)~(D+3C1itA}{S(C-\-Bi)n1—(D-\-&C1y-}].

Beide laatste vergelijkingen geven nu de a1} en daarenboven, na deeling, eene betrekking,
die er noodzakelijk tusschen de coëfficiënten bestaan moet. Heeten die vergebjkingen
P a\ = Q, Aai = Qi, zoo moet zijn

PQi = PiQ «)

(11»)

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 25

"Voor de a2 heeft men hier nog

Aa^ — (SB + 41)a88 + (C + .B1)3as»— (tf+SCOos + A^O. • • (llc)

en dezelfde geldt voor a3; terwijl ook de beide vergelijkingen (11) voor ax aan de (11*)
voldoen, zoo als behoorde, want deze geven daarvan de twee, thans dubbelen, wortel.

Verder is
6 B - 3 Aax = 2 q ( — ax + 2 a2 -f- 2 a3) -f r (ax -f 2 a3) -f- * {ax + 2 ö2),
3 Jai2 — 6Sa14-3C=2^(a12 — axa2 — ajOg -|- u2a3);

dus

2 (ar— a2)(ai — a3)

Nog is

85 — 4aa = 2j(ax 4-a3) + ?'(2aj — a2 + «3) + 2sax,

£a£ _ 3 i? a2 _|_ 3 C = 2 q ax a3 + r (a^ -f 2 «3 ax — 2 a2 aa -f- a2s — a2 a3) + s axz,
Aazs — 3Ba<? + 3 Ca2 — D = r (a^ +2a1a2«3-2a1 a22 + «2S — a22 a3 — «i2 <*s) =
= r[a2 — az){al — a2)2,

waaruit

^o2«— 3.Ba88+3<?as — 2> ... ^ 33— 3ga32 + 3C«3 — J>

r= — — ! * ; terwnl evenzoo s = — -z • • (Li )

(a2 — o3)(«i — »2)2 («3 — «a)K-«3)2

Nu moet nog de £x gezocht worden; daartoe heeft men

Aax — ^ = r (ai— a2) + s (ax — a3),

3 Bax — 8 jBx = r[ax — a2) (2 a2 + a3) + s{ax — a3) (2 ax •+• a2),

3 Cfll— 3 Cx = r (ax - a^2 -j- 2a3a1) -f s{ax — a3) (axa + 2 a^),
Ea1—El = r{a1 — az){1bl + b3) + s (0l - a3) (2 6X + b%\
Fax —F1 = r(a1 — a2) (azbx -f ax &3 + ax ^J +s(a1 — ai) (a^ + axb% + axbx),
Gax — Gx^r {ax — a2) (2 ax a3 bx + a^) -|- s (ax — a3) (2 ax a%bx -f- a^b2) ;

waaruit nu wordt afgeleid

(Eay-Ejay-^Fa^FJ ^r{ax~a2) {alb1—azbl)-\-s{a1—-a^{a1b-ir-a^bx)=r («i-fl#i(«i-03) +

+ «(«1— «3)6i(«i— «a),
f .4 ax — ^x) 3 ax — 3 (B ax — ^) = (r -|- s) (ax — az){ax — a3),

en dus, na deeling,

_1 Ea^-(E1 + Fia1 + Fl _ (1J/)

1==3 Jai2 — (Al + B)al + Bl

4

NATÜOKK. VKRH. DEE KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

26 IETS OVER ZAJIENSTELLIXG VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Evenzeer nog

(F^— i^Jöi— (örtj— ö1)==r(a1— o2Hai2*i — ai«3ti) + *(ai— a3)(ai2^i— aia2fti5»
8 iBai — B\)a\ — ip «1 — c\) = r (ax — «2) ("12 — «1 «3) + * (ai — "3) (ai2 — ai a2)>
en dus, als men deze op elkander deelt,

_1F^-(F1+G)a1+G1
1 3 ^a:2 -(iJj + C)oj + Cj l ''

Beide waarden voor ij leveren nog als voorwaardensvergelijking

BEa^ — (5 .Ei + J^+ ^£+ C£)a!s +

+ (-B/1! + B^i +5^ ( El + CF+ C} Ea^C^+^F+B^ +. eF^+GFj =

= ^ *V— (4 Fi + ^ G + Ax F + B F) a^ +

+ (AG1+A1F1+J1G+BF1+BG+BF,^-(A1G1+BGi+B1F+B1G)a1+B1G1,)

waaruit nu door eene der vergelijkingen (11) tot (11*) de ax moet worden geëlimineerd.
Voor £2 heeft men weder

1 Eaj - (E, + 2 F) a22 + (« '7'i + (?) "2 ~ <?!
3 Aa£ - (^1+25)o32 + (2^1+ C)a2— <V

h = ~ 'T—C, . . ■ „ t,, — o ■ ,, ^ ■ ^ 77» (U J

waaruit de bs wordt afgeleid door a.2 te vervangen door a3. Deze n2 en o3 moeten dan
later worden geëlimineerd.

Verder heeft men nog als voorwaardensvergelijkingen

H=, K = , L=, H^, K1=, Lx = . . (c8)

I (. Eindelijk kan nog a = «! (dus ook b = bl en p = q) en tegelijk a3 = a2 (dus ook
J3 = J2 en *• = /■) zijn; in dat geval heeft men

A=Z{q + r), 41=2?c1+2rffa,

35=2 7(0! + 2<jj) + 2/(2(7! -fffa), 3.51=2g'ff1(<714-2<r2' + 2r«2(2ff1 -f aa),

3C=2?(«2a-|- 2«1<7a) + 2r(p1*+2a1ai), 3Ca — 2 ?"i(»22+ 2öi"2) + 2r V'i2 + 2öi*2)>
2>=S?ff1ffs2-f- 2r(71a<7a, 2?1==2g-a1a«a2 + 2rfl1saaa,

#= 2 ? (61 + 2 A2) + 2 r (2 i2 + &a), ^=2 qa^bj + 2 &a) -f- 2 ™2 (2 6j + &a),

2F=4j(a16a+ö'ai14a8Ja)+4r(<7a61+a1i2-f-a151), 2f\=4.ja1(/71^2+2?)1+'-2?'2,+4w2(a2^1+?7152-H71J1),
G^2g(2a1aa6a4%s&1)+2r(2a1aa$1+a1a0a)) ff1=2grt1(2a1aa8a+aaa61)-i-2raa(2a1aa}1+a1aia),
ff=29(2 61èa4-6aa)-J-2/-(2i1Ja+51a), //1=2?«1 (2 ij 63 + &22) + 2rff2(2&162 + ^2),
j[=2()(fl1l»22+2ff3liitj]+2r(2«1ii1lij+öjli]s), A"1=2ga1(c1622+2t726162)+2ra2(2a161&2+a26i2),
£ = 2 q bx K} 4- 2 r V 62, ij =2 9 ax ij &22 + ra, b^ 68.

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 27

Alsnu is

SB + A-y = {ax + a%) 4(2 -f- r), 3(C+Bl) = 2(q+ r) (af + 4,^ a2 + af),

dus

»S + J1 3(g+Jg1) (3.8 + ^)»

i + s- ^- . "!«•— 77~- sj» ;' •■•«

derhalve zijn ax en a2 de wortels van de vergelijking

8^»«»— 44(3J3+,J1)« + {^^(C + 51)--(8JÏ + <41)a} -0 (12)

Verder is

L „ L L

-—=2^2+2^!, E— — =(*i+*8)2(9+»-) = {«i+«8)4 #— rr(*i+*i)=-8*i»i(ï+',)'!- *iM;

zoodat (J>i £2) en (ij ■+- £<j) de wortels worden van de vergelijkingen

(H - b, b2 A) ^ = If 2?- — j en j (^ + «^-Jfo +»>)+#} {J-^ fo+4,)}- 4Z,

of ^2 (*! ft9)8 — R A (^ i2)a + L E (I}1 &,) — L = 0 en j

^s(*i + *8)8— 2^^(Ai+i3)2+(^//— ^(ij + y — (#5 — AL)=~0\- • ■ ' <12")

Nog moeten q en ;• worden bepaald.

AH — A^ _Ay — Aa-L

2("a— «i)' 8fo— «i) l '

Hier komen voor als voorwaardensvergelijkingen, behalve de niet gebruikte,
D ,2F ,G=)Jg:=,3(71=,2?1=,^1=,Zi?'1=,Ö!1=,Z?1=B,iri=,i1=, . (aT)

nog twee andere, die men aldus vindt,

S-B-SJj-éfo-rX*,-*!), 8(C-51)=2(9-r)(«88— a^), Si?— SQ-éfeufXaj-a,)»!*!, ;

waaruit
(7—5

= „(« + «i)- ,, , — -r - = aia8= — ,..(*,)

B— AA 2 1; 4.4 5— Ay i " A 8A*

naar de vorige vergelijkingen (a).

14. Op dergelijke wijze kan men ook differentiaalvergelijkingen der tweede orde opsporen,
die eene gegeven integraalvergelijking zouden hebben.

4*

28 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFEEENTIAALVEEGELIJKINGEN

Stel deze bijv. als in § 2

(a + ayjf 6y> (a, + „^ + Jl)? = P (A)

dan is achtereenvolgens

P(* + tfiy + £i)(l +ay') +?(A--}-ay + i)(l+a1/)= 0,

(*> + ?)(! + «iy'j(l +«2/,)+»^+a1y + i1)«y''+?(* + ai/ + 6}öly" = 0,

of

(p + ?){1 + («+ ajy + ö«iy'2} + {/>a*1+ ?«i& + (P«+ 9 «0 * + (/; + <?)« «1^}/' = °-

Deze moet nu den vorm hebben

A4-By' + C?,z + (D + Ex + Fy)>," = 0: (X)

en daartoe moet zijn

A ^ p -{■ q, D = i ?aè1 + qa1b,

B /' + ?) (« + «i), E — p a + q alt

O = (p + ?) ««i, = -F = (P + 9) «*i-

Hieruit leidt men af

BC . „ „ '

a-\- ux = — ■, at^——. dus <? en aj de wortels van Aa~- — Bu-\-C=-0; . (

verder

E—Aa-, Aa- E
P = -, q = (13")

Nu blijft er alleen D over ter bepaling van de b en 6^ het vraagstuk is dus onbepaald.
Men vindt: echter korter

„ E— Aa-, , Aa — E Ea—C7 C — Eall

D = labi-\ bai = b1 + 1b (13*)

a — rtj a — <?j a — ffj « — r7j

1 5 . Deze oplossing gaat niet door, als a = «j. Men heeft dan

-A=-p + q, D = a(pb1 + qb),

B=-{p + q)Za, E={p + qia,

C~[p + q)a\ ^F = (p + q)«2.

Dus

25 5 = 2_C
" 4 " " 24 " " \B' { '

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 29

waaruit

ZE=B, A — — , . Ka»)

i C

als voorwaarden.

Maar D moet nu alleen p, q, ax en bx leveren, zoodat de onbepaaldheid van het vraag-
stuk in het oog springt. Maar nu wordt ook (X)

~ + BS + CS* + (2> + ~Bx + Gy)y" = 0, (XIj

eene volkomen differentiaal van de eerste integraalvergelijking

1 1 Bïx

= P (XII)

16. Neem verder als integraalvergelijking
(x*+2ax3+by*+Zcx + 2cly + e)P {^+2alzy + l1>i11+Z^x-\-2dll, + e1)<l =P . (B)

van § 6 ; en diffe:entieer deze tweemaal,

p{x* + %axxy + b1^ + 2c1#-|-2<Z1,y + ex) {(* -h ay + c) + (a« + by + rf) v'j +

-t- 3 {*s+ 2 a x v + ^2+ 2 c * + 2 d y + e) (fiC + a^ + c^ + (öl * "+" ^ y "*" Jl^' i ^ °'
2(jö + f){ai-h«1y + c1) + (a1a!-M1!/ + d1)y/} !(* + «</ + c) + («* + *» + *)/} +

of

[3 (p + ?) *'2 + {(p «i + 9 «) + (P + <?)(« + aj} 2 *y + { (p *i + 9 *) + ( P+ 9) 2 a ai} f +
_j_ {(pci + gc)-!-^ f?)(« + «i)}^+ {(M + ?<*) + (^ + ?)(«ci + aic)}22/ +

+ {G»*i + 9e) + (P+ <?)2cci}] + *'[{(/"* + 2«i) + (P+9)(" + a0} 2«s +
+ {(jB + ?)2aa1+(p+9)(2oa1+6 + J1)}2*y+{(p«6i+9aii) + (P+?)(aJiT«i*)}2jfs+
-{-{g^ac! -f 5«j ) + {p +9) («ei + axc -\- d + d{)}2x -f-
+{z(paaï+qa1d)+{p+q){ad1+a1d+bcl+blr,i}%i/+{ty^

-^[{(^J+^ + ^+^aaij^+ft^

+ \(pbc1+qb1c)+(p-\-q){ad1+a1d)}2x+{{pbd1+qb1d)+{p-\-q)(bd1+b1d)}2y+

+ {(pbe1+qb1e)+(p + q)2ddl}] + f[(pa+qal)x*+{{pb+qb1) + (p+q)2a*1}x\¥+

-f {p(aSj -f 2«xi) -f q (ai J -f- 2^i)}*/ + (? + ci)bh V3 +

+ {p[Zac1 + d) + q(Za1c-\-d1)}x*+{piadl + bc1 + ^d) -j- q(a1d+b1c+ad1)}2x//+

+ {p(lbd1 + bxd) +q{ïb1d + bdl)}f+ {p(ae1 + 2c1<ï) -f qfae + 2cdl)} x +

+ {p{b ex + 2 ddY) + q (h e + 2 rf^)}.? + (p dex + q ^ e)] = 0.

30 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Onze differentiaalvergelijking moet dus den vorm hebben

( Styfi+ïFjt y+Gsy*+2H3z+ 2 K3y+Ls) + 2/ (£„*»+ƒ 9**+ G^+H^+K^+Z^ + \

+ jr*fój» + <LFxxy + 8(?1?' + lHlX + 2A^y + J5X) + .(XIU)

+ y"(^as+ ^*2y + Cxf + 5/+ J?**4- iFxy + Gp+Hx+Ey+L) = 0;J

zoodat men heeft

A =pa-\-qau

3 =pb+qb1-\-(p + q)baa1,

C =pa1b-\-qab1+(p + q)(a61 + a1è),

2?= (? + ?)&*!,

j£ = 2 (p a cx + q ax c) + p d 4 <? rfx,
-^ pt>e1+qb1c+(p + q)(ad1+ald),
G = pbd1+qbld + fr+f)(K + M),
ÜT = p a eY 4 9 ai « + ^ (p q ^ + 1 c^l)>
2T = p b e1 4 ? b1 e -f (p + ?) '- ^ ^H
£ — p^j 4" qdle,

E2-={pa f 2 «J -f (p + 9) (a + ax)

i^ = p fll 5 + q a b1 + (p + 9) (a 6X -f- ax b) r= C,
Jffi=(p»c1+«*i«) + (P + ?)(«di+«ld)=-f.

=-(34+^3)3

#3 = {P «h + 1 ai b) + (p + l) ia h + a\ b)>

H% = b{pacl-\-qalc)-\-{p + q){acl^ralc+d+dl) =E-\-K3,

Kz= b(p a dx+q axd)+[p-\- q^ac^+a^l+bc-^+b-^c),

L2 =(pae1 + qale) + {p + q)(cd1 + cld),

#3=P+?>

F3=pa1-\-qa-\r(p+q)(a+a1),
G3 = pb1 + qb + (p+q)baalt
•S8=(pCi+?c)+(p+9)(«+<?i),

•^3= (P*rH44- CP+?)(fl«X+«V)i

^3 — (Pei + 9 «) + (p4 q)bccv

Vooreerst heeft men in dit geval de voorwaardensvergelijkingen

EX=B, F^C, (?1=J0, ff1=F, K1=Gt LX=K, EfJ-^A+F^, F^B+G3, H2=E+K3. . (*,)

Uit het voorgaande leidt men verder af

SA- Fs=b(p — q)(a~a1)J B - G3 = (p— q (b- bx), G2—C = (p—q)(ab1 — alb).

Maar

b(a — a-y) — a(b — b-i) = abi — itb, èj (a — a{) — ayb — ó1) = aè1 — alb, . . (a)

(3 A — F3) b - 2 [B _ Gs) o = 2 (ffs— 0), (SA—F3)è1~2{B—G3)a1 = b(G — C);

UIT EENE AANGENOMEN INTEGKAALVEKGELIJEING. 31

waarvan de som geeft

(8 A - Fs) (b + bj - 4 (G2 - C) = 2 (B - Gs) (a + aa) = (B - G3)^-^-s ;

dus

... 4^(g8— g)-K.B-g3)^+^8) 2? .

1 + 6l = i^-^3) -' teimjl ^ 6l = 2?3 " '

zoodat b en èj de wortels zijn der vergelijking

pA—P^Itf/F— { l.£3(G2 - C) + (B- GS)(A + Fs)} Ezft + D = ü . (15)

Wij gebruikten reeds

bovendien is

i? + g3

& -f- />i 4" 4aaj,

^3
waaruit volgt, naar de bovengevonden waarde van b -f- b±,

I/2H-0, ,,,,A g^tf8+^(^ — F8) — 2.E8(g8-^

a«i = - — ^ (0 + b-\ I == ■ ~ ;

zoodat a en aj de wortels zijn van

2E3(M—F,)^-iA+F3) (8A—F3)«+ {ZAGS+B(A-FS)-ZES(G2-C)} = 0. . (15*)
Uit de waarden voor A en F3 leidt men dan af

A — £sai Fsa—A

p = . q = < • • (15*)

a — ax a — ax

Tusschen de coëfficiënten A, B, C, 1), G2, F>3, Fs en 6r3, die ons gediend hebben voor
de betrekkingen (15) (15°), (15*), moeten mi nog twee voorwaard ensvergelijkingen bestaan.
Vooreerst vindt men, door substitutie van (a -f- a-y), aa^ en bly.

A „ . , , „ ~(A+FomA-Fo'-B(A-Fa) 4-2#3 G2-C)+2AG3

4A-F3)zja+,tl)*-4aai „f 3M 3 l 3' 3 2

2(«-É?s)J (&+&i)2-^i l 3J{4JE'3((?2-C)+(^-(?3)(J4-^3)}2-4^3(:^-JF3)2 "' 9)

Nog geven de identische vergelijkingen (a), na vermenigvuldiging met (^—9),

a(B — Gs) + (G2—C) = b<ZA~F3) en ^(5— G3) + f G2- C) = 6, (3J - F3) j

32 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

vermenigvuldigt men ze, en voert men de waarden van aa-^, a-f a1 en bb1 in, zoo komt
er, na vermenigvuldiging met 2 Es (3 d — F.6),

{B(A~Fs)—2 £8(<?3- O) + 2 ^ ^3} (B- <?3)2+ (8 4-F8) (4+^3) (B-GS)(G2- C) +
+ {$A—F%)(GZ—C)*=*1I){ZA—Fzf (bl0)

Om nu de volgende coëfficiënten te bepalen, vindt men

pd + qd1 = E — 2(pacl + qa1c), qd+pdl = K$ — (p -f- <ƒ) (a cx + aA c) ;

waaruit

lpZ — q2)d=--pE— Kzq + aCitf + pq—Zp^ + a^ü*— pq), ) ,

(P2-tfVl =P^3~ -Eï + ««1(P?-P2) -f" alC(2qZ-pq-p*).) U'

Men heeft hiermede

(p — g) [F—tybc! -f- g^c)] = {pi—q2)^d1 + (tld) = (Ksp—Eq)a + (Ep—£aq)ai +
acl(p~q){—pa+{2p + q)a1}+a1c{p-~q){{p + 2q)a — qal},

en

p— 2

Maar ook is

fl3«<:1(2p+?) + <•(/>+ 2 <?),

derhalve

y/_ (g.P-Jri« + (*P-g.d«i ^ , _ (J _ a9) + c ft _ ai%

p — q

Uit beide laatste vergelijkingen kan men e en cx oplossen.

,- (K^p-Eq)a+(Ep-Koq)a1-, „ „

[(gP+g^(fti-giaHp+gg)p(fr-«8J]^(gy+tfp- p_g ]-(*-*' 'P ff8

En nu eenmaal c en ca gevonden zijn, heeft men uit (b), omdat p-\- q = Ez is,

ji rfc^t_, (fH. , -1 dl ir*£=^eIp^1c(p+a,)-||. . (15-)

^3L P <? -J -O'S1" P — fl J

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 33

Behalve de coëfficiënten E, F, H„, K3, die ons gediend hebben, blijven er nog G en
ÜT3 over als voorwaardensvergelijkingen,

G = {2p+q)bd1+{p+2q)b1d, Ks = (3p+q)ad1+{p+^q)a1d+Es(bo1-\-b1c). . . [d9)

Ten slotte geven de coëfficiënten Ls — 2 E3 c q = p e1 + q e en L = dpel-\- dxqe

l[Ls—2EscCl)d~Z lL — (L3 — 2E3cc1)d1

e= , ex = . . . . {IW)

q d — «j p d — öj

Eindelijk houdt men nog als voorwaardensvergelijkingen over

ƒ/=, K=, L3=, (*9)

die nog nergens gebruikt werden.

17. Deze oplossing geldt nu wederom niet in het geval, dat Fs — 3 A is.

Maar dan is 3 A — Fs = 2(a — a{) (p — q). Dus is of a == alt of p = q\ omdat de eene
gelijkheid de andere niet ten gevolge heeft.

Stel dus vooreerst ax = a ; dan wordt

4 = (P + 9J o, G% = a (p bx + q b) + (/j + 9) « (6 -f bY),

B =pb + gh + (P + 9) 2«2. ^2 = 2"0^i+^J + 0J+2) W^i+'O + ^i + V} .

C = « {pb + q bj + (p + 9)fl (« -f b{), L2=a {Pel + qe)+{p + q) {cd1 + cxd),

D = (p + q) bbi, E3=p + q,

E — 2a{pc1 + qc) -\-pd + qdv G3 = p bx -{- q b + (p + q)2 d2,

F =pbc1+qblc + {p + q) a (d + dii, H3 = pcx+ q c + (p + q)(c + c1),

G = pbdx + q bvl -f (p + q) (bdx + brf), Ks=pdl + qd+(p + q) (c + cx) a,

H=a(pe1-\-qe)-\r %{pcxd + qcd1), Ls = pex + qe + (p + q)ll ccv

K = pbc1-\- ql^c -f- (p -\- q) 2d dx,

L = pdex-\- q di e,

Vooreerst is

A^

(16)

Daarna heeft men

C+G% C+Ga ,, D

— ^- — Ü» + S) (6 + h), dus i + 6X = JA'% ; en 6 bx - - ;

NATUURK. VKRH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

34 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

derhalve zijn b en b1 de wortels der vergelijking

SE/32 — (C + Gy E ft + 3 A D = 0 (16«)

Omdat

~ 8 = (p — o) (/> — 40 is, wordt p — q = — TT J maar p + q = - = -Ef,

a «(o — «i) a

dus

.& / C— G„\ ^3 / , C—G,

-:',

p = 7rAA+-T-Ti\> i

■IA \ b — b1 f' 2 IA \ b — lx

waarbij de twee voorwaardensvergelijkingen

'4J2 C+ff9\
B + É?3 = (? + 2)(4aa + 6 + S1) = ^3(^-+ -ff-)* ^o)

/-i ri

B—G3 = {p — q),b — h) = *. dus A[B—GS)=E3(C—G3)...(b10)

Verder is

2K3 -2H3a + E=2 {pdx + qd) +pd + qdl = [2,p + q) ^ + [p + %q)d,

en G = (2p + q)bch+(p + Zq)hd;

waaruit volgt

6_ (2JT3— ZH3a + E)b = (p + 2?) ft — »)* = ( - + jj ft — i)<* =

==J-f3jl-^^)(S1-ö)rf = ^-{C-Ga-3^(è-51)}^f

2<^ h~1^ 8JE» ) (16-)

IA \
G — {ZKa—2Hza + E)b1={Zp-\-q)(b — b1)d1=\-+p\(b~b1)d1=

-K(»^+iEf,)c-«*-n^°-*+"<»-«W'.

om de <£ eu ^ te bepalen. En nu kan men aldus voortgaan.

* + «i- rr-r {*s-(p<*i + <?<*)}, ?*i + ?c = r; {*-(/"» + «rfi)> '

(l> + q)aK Aa

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 35

dus

(p - q)c = -f- {Kz—(pdx + qd)} —— {E—{pd + qdx)} = '
= ^2{*KzP — E^ + {P — q)[pd-{*P+q)d{\},

Eindelijk is

dus

P«\ + qe = - {Lx — (p + <?) (c^ -f-c^)}, ptfCl + qdxe = L,

qe{d — dx) =-.{Ll — Ez{cdl + cxd)} — L,

p ex {d — dx) = L l {Lx — J>3 (c^ + Cl d) } ;

(16<0

2.4

1 r

waaruit c en q volgt. Men behoudt hierbij de twee voorwaardensvergelijkingen

F-> *i- (*io)

(160

waarbij nog als voorwaarden overblijven de vergelijkingen

ff=, £=, i1== (^o)

18. Zij ten tweede q = p; dan heeft men

B = p(b + bx) + 4pa0l, ^2 = 3p(«rf1+«1d) + 2p(3c1+5lC),

<? =3p(a*1 + ai5), L„=p{ael + ale) + Zp{cdl + cxd),

D = 1pbbx, ^3 = 2p,

^ = P (* cj -f- bx c) + 2p(a dx -f- ax d), H3 = 3 p (o + cx),

ff = W + M)> «'s— p(rf+ Jj) -f- 2p(aca +«lf),

H = p(aex + «je) -j- 2p(c1r/ -j- c^), 7,3 =p(e + ex) + épccj.

K-=p(bcx + ^0) + 4^^,

i = p(dex -j- r^e),

36 IETS OVER ZAMENSTELLING VAK DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Vooreerst hebbeu wij de voorwaardensvergelijkingen

G2 = C, L2 = H, G3 — B, E3 = E; (au)

en dan dadelijk

P = \^z (17)

Vervolgens is

C— 3 Bax = 3 p hx (a — aj) — lZpaaf, C— ^Bax + 6 E%aa-f = 3 p bx (a — ax). . (17a)
Derhalve

2(C— 35ff1-J-6J3«a12) = 3J,3ö1(a— aj, dus ook 2(C— 35^+6 Esaa-^)b.= 32?(a— ax).
Door hare substitutie in C geeft deze

4 6>— «^(C- 3^! + 6Zr3aül2)=4ö(C— 3^^4-6 £3««12)2+ 9 £35^ (a—^)2-
of, daar

2A = E3(a + ax), a=—- — a1, dus « — ax 2("F~~öi)>
door eliminatie van a
*C\ — —aA(C—ZBal + 12 Aa{~ — 6 J^8) =

eene zevende inachtsvergelijking om ax te vinden, die echter in eene zesde machtsvergelijking

i , i •• , 2^c*
overgaat, wegens het verdwijnen der termen .

^3

Daaruit volgt dan

• — -=-— «1. (17e)

terwijl de J en bx nu door middel van (17a) kunnen worden bepaald.
Vervolgens is

% F — £<!.— p{adi + a^d), dus adx-\- <ild=1 2 en öo*1 + è1a* = ;

-Cs 3 J1,

UIT EENE AANGENOMEN INTEGKAALVEKGELIJEING. 37

dus
(a1è—ab1)d^--{B(ZF—K2)b—Ga), (axb— ab{) dx=-^-{G a^Zb^ZF— £3)j. . (17«)

Maar ook is

2Z.-8F 2#8

2 Ag — 3F = p(bei + h c) dus §c1-|-61c = 2 en 0 + ^ = -—;

(ö-b1)c=—{bII3—S(2K!i — aF)}, (ó — h)ei=TFV>&Ks— *F)-hH3}, .(17*)

met de voorwaardensvergelijkingen

E = , K= («u)

Verder

2 = e + ex en — = ^ex + ^ e ,

^3 fi3

dus

2 2

(«? — d1)e = ~ {{l3 —2,Hscc{)d—L}, (d— d1)el=> — {L— (Z3— 2^'8ec1)rf1} .(17/)

^3 ^3

met de voorwaardeusvergelijking H '=.

19. Het aangevoerde moge volstaan. Er bleek daaruit wederom, dat eene kleine veran-
dering in de integraal-vergelijking eene grootere in de differentiaalvergelijking ten gevolge
kan hebben, evenzeer als dit verschijnsel ook omgekeerd plaats heeft.

OVER HET VERBAND

TUSSCHEN DE

VOORTPLANTJNGSSNELHEID VAN HET LICHT

DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEK MIDDENSTOFFEN.

H. A. L O R E N T Z.

De electromagnetische theorie van het licht, die in 1865 door maxwell * werd
opgesteld, heeft sedert, vooral door de proeven van verschillende natuurkundigen
over het specifiek induceerend vermogen der isolatoren, een hoogen graad van
waarschijnlijkheid verkregen. Ofschoon ik het zeer goed mogelijk acht, dat bij ver-
andering onzer begrippen omtrent de eleetrische verschijnselen ook de theorie van
maxwell eenigszins moet worden gewijzigd, geloof ik toch, dat het hoofdbegin-
sel er van, de onderstelling namelijk, dat de lichttrillingen bewegingen zijn van
denzelfden aard als de eleetrische stroomen, moeijelijk in twijfel kan worden ge-
trokken. Het kwam mij daarom wenschelijk voor, de gevolgen dezer theorie, die
nog slechts gedeeltelijk met de ervaring' zijn vergeleken, verder te onderzoeken.
Niet alleen zal men daardoor de waarde der theorie beter kunnen beoordeelen,
maar als deze juist is bestaat er ook kans, dat het onderzoek der lichtverschijn-
selen ons in de kennis der eleetrische werkingen iets verder kan brengen.

In de volgende bladzijden heb ik vooreerst, na een korte uiteenzetting der
theorie van maxwell, de lichtbeweging beschouwd in een isotroop medium met

* Maxwell, Phil. Trans, for 1865. Treatke on Electricity and Magnetism, II. p. 383.

6

NATUURK. VERH. DER K.ONINKL. AKADEMIE. DEEL XV11I.

z OVEB HET VERBAND TUSSCHEN DE VOOETPLANTINGSSNELHEID VAN HET

moleculaire structuur. Daardoor heb ik formules verkregen ter bepaling van
den samenhang tusschen de voortplantingssnelheid van het licht en de dichtheid
en samenstelling der iniddenstoffen en deze uitkomsten zijn vervolgens met de
metingen der brekingsindices vergeleken. Bovendien is bij dit onderzoek ook de
dispersie van het licht ter sprake gebracht.

I.

DE ELECTROMAGNETISCHE THEORIE VAN HET LICHT.

§ 1. Het uitgangspunt der theorie van maxwell is de onderstelling, dat onder
den invloed eener electromotorische kracht in de deeltjes van eiken isolator de
beide eleetriciteiten kunnen worden gescheiden. Dit verschijnsel draagt den
naam van diëlectrische polarisatie en kan wiskundig geheel op dezelfde wijze
behandeld worden als de magnetische polarisatie, die door een magnetiseerende
kracht wordt opgewekt.

Wanneer namelijk eenig deeltje aan de eene zijde positief, aan de andere ne-
gatief electrisch is, dan hangt de electrostatische werking, die het naar buiten,
op afstanden, die zeer groot zijn ten opzichte der afmetingen van het deeltje,
uitoefent, geheel af van zijn electrisch moment, waarbij dit laatste in richting
en grootte op dezelfde wijze bepaald wordt, als het magnetische moment van
een deeltje in de theorie van het magnetisme.

Wanneer verder diëlectrische polarisatie is opgewekt in een medium, dat als
volkomen doorloopend mag beschouwd worden, dan kunnen de electrische mo-
menten van een volume-element dr aan eenig punt P, in de richtingen van drie
(onderling loodrechte) assen der x, y, z worden voorgesteld door grfr, ^dr^dr,
waarbij §,>;,£ niet van dr afhangen. Men noemt deze laatste grootheden de
componenten der diëlectrische polarisatie in het punt P.

§ 2. Stelt men zich nu in een middenstof een willekeurige doorloopende di-
ëlectrische polarisatie voor, dan kan men de electromotorische kracht* bereke-
nen, die daardoor in een uitwendig punt wordt uitgeoefend. Men vindt dan,
dat, wat de werking naar buiten betreft, de diëlectrische polarisatie (£, ?;, £) kan
vervangen worden door eene gewone verdeeling van vrije electriciteit over de

D. w. z. de kracht, werkende op een eenheid positieve electriciteit.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 3

door den isolator ingenomen ruimte en over het grensvlak S daarvan *. Daarbij
moet de dichtheid over de bedoelde ruimte

-fê-'+^+M) m

en de vlaktedichtheid aan het grensvlak

— (a | + b ri + e £) (2)

zijn, wanneer wij onder a, b, c de richtingsconstanten verstaan der aan S naar
de zijde van het medium getrokken normaal, dat wil zeggen de cosinus der
hoeken, die deze normaal met de positieve assen vormt.

Ook bij de berekening der electromotorische kracht in een inwendig punt mag
men de diëlectrische polarisatie !£, rj, £) door de ladingen (1) en (2) vervangen,
wanneer men slechts voor zulk een punt aan de uitdrukking electromotorische
kracht een dergelijke beteekenis hecht als die, welke gewoonlijk aan de uitdruk-
king magnetiseerende kracht voor het inwendige van een gemagnetiseerd medium
wordt gegeven, en welke met de polaire definitie der magnetiseerende kracht van
thomson overeenkomt f.

§ 3. De theorie der diëlectrische polarisatie berust nu op de onderstelling, dat
voor een isotropen isolator de diëlectrische polarisatie in elk punt dezelfde rich-
ting heeft als de electromotorische kracht (X , Y, Z) en evenredig daaraan is, zoo-
dat men mag stellen

£ = «X, , = f7, y = tZ , (3)

waarbij e een van den aard der stof afhankelijke constante voorstelt.

Men heeft werkelijk aangetoond, dat door deze onderstelling de invloed kan
verklaard worden, dien de isolatoren bij de electrostatische verschijnselen uit-
oefenen. Tevens bleek daarbij, dat het specifiek induceerend vermogen K van
eenig medium M ten opzichte van het luchtledige § met de constante e verbon-
den is door de betrekking:

1 + 4 Tl €

K = — r— , 4)

1 + 4 ti e o

'6

* Verg. de overeenkomstige stelling voor de magnetische polarisatie (maxwell, Electr. and
Magji. II. §§ 385, 386).

f Verg. ïhomson, Papers on Electrostatics and Magnetism, §§ 479, 517 (en 't bijvoegsel brj
de laatste §), maxwell, Electr. and Magn., Jjij 395 — 400.

§ Het getal K geeft aan, hoeveelmaal grooter de capaciteit van esn condensator is, wanneer de
ruimte tnsschen de bekleedselen met het medium M is gevuld, dan wanneer zij luchtledig is.
(Hierbij is ondersteld, dat het eene bekleedsel het andere geheel omringt).

6*

4 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

als so de constante der diëlectrische polarisatie is voor den aether, die in de
luchtledige ruimte voorkomt. Daar men nu K proefondervindelijk kan bepalen,
kan men dus de verhouding der waarden leeren kennen, die 1 + 4 n e in ver-
schillende middenstoffen heeft, maar omtrent de waarde van s laten ons alle
electrostatische verschijnselen geheel in 't onzekere.

§. 4. Om thans de door maxwell omtrent den aard van het licht opgestelde
hypothese te leeren kennen, stellen wij ons voor, dat in de deeltjes van een
homogeen, isotroop, niet geleidend medium M door eenige oorzaak een di-
ëlectrische polarisatie is opgewekt en onderzoeken, hoe deze in den loop van den
tijd moet veranderen. Wij nemen daarbij aan, dat het medium M zich tot in
het oneindige uitstrekt, maar met 't oog op het volgende hoofdstuk zullen wij
ons voorstellen, dat er hier en daar holten in voorkomen. In de overigens
ledige ruimte binnen die holten kunnen dan nog deeltjes liggen, waarin even-
eens electrische momenten bestaan. Eindelijk onderstellen wij, dat de diëlec-
trische polarisatie in het medium M steeds doorloopend is.

Wanneer wij nu de vergelijkingen (3) ook nog voor een veranderlijke di-
ëlectrische polarisatie laten gelden, dan hebben wij daaraan nog slechts de be-
trekkingen toe te voegen, die X, Y, Z als afhankelijk van den toestand van het
medium voorstellen. De electromotorische kracht F bestaat echter uit verschil-
lende deelen, die wij achtereenvolgens zullen beschouwen.

§ 5. Een eerste deel dezer kracht (Xt , F, , Zt) is van electrostatischen oorsprong.
Bij de berekening er van kan men de diëlecti'ische polarisatie (g, jj, £) in het
medium M vervangen door de gewone electrische ladingen (1) en (2) over de
door het medium ingenomen ruimte en over de oppervlakken S der holten. Is
nu cfit de potentiaalfunctie voor deze ladingen, dan is in elk punt van M

J(fil =4 TT U— + -r— + r— .* (5)

\d 2 o y ö z I

in elk punt binnen een holte

AcPl =0 (6)

en aan een der oppervlakken S

ar^_(^yi+ftröJ^ . (7)

è» d- d"
A = — + —, + — •

d.r 0/ e*2

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 5

In de laatste vergelijking zijn de waarden der differentiaalquotienten aan de
binnenzijde van S door accenten van die aan de buitenzijde onderscheiden.

Is verder (pt de potentiaalfunctie voor de binnen de holten aanwezige elec-
trische momenten, dan is voor eenig punt van M

Z\ q>2 = 0 (8)

en men heeft

Y ölVi + Vi) v di<P,+<Pi) „ dig>,+9>i)

Ai — ~ ^ ) 1 1 : j ^, = — (9)

§ 6. Wanneer met den tijd t de diëlectrische polarisatie verandert en dus de
electriciteit in de deeltjes van het medium in beweging verkeert, dan zal uit de
verandering dier beweging in elk punt een elcctromotorische kracht der inductie
voortvloeien.

Laat vooreerst in eenige molecule de hoeveelheden electriciteit -f- e en — e be-
staan, ieder in een punt opeengehoopt en laat deze in de richting der «-as
over een afstand d van elkaar gescheiden worden, zoodat de positieve electrici-
teit zich aan de zijde der positieve x bevindt, dan is het electrisch moment van
het deeltje mx = e 8. Laat verder het positief electrische deeltje in de richting-
der positieve «-as de snelheid *>, het negatief electrische in de tegengestelde rich-
ting de snelheid v' hebben, dan is — = v + v' , dus — - = e (v-\- v'). Wij on-

d t dt

derstellen nu, dat het deeltje + e, ten gevolge van zijne beweging, dezelfde wer-
kingen uitoefent als een element da van een stroomgeleider in de richting der
«-as, waarvoor, als i de stroomsterkte is, (die wij hier en in 't vervolg in elec-
trostatische maat uitdrukken), ids = ev is. Evenzoo nemen wij aan, dat het
deeltje — e, ten gevolge van zijne snelheid v' , dezelfde werkingen uitoefent als
een stroomelement, waarvoor ids=.ev' is en dat dezelfde richting heeft, als het
zooeven genoemde *. Uit een en ander volgt, dat de beweging der beide elec-
triciteiten in de beschouwde molecule gelijk staat met een stroomelement, waar-

d mx

voor i d s ■= e {v + v) — is.

d t

* Dit ziju onderstellingen, daar zich misschien bij een gewonen electriachen stroom beide elec-
triciteiten bewegen en het niet geheel zeker is, dat de beweging van slechts ééne electriciteit de-
zelfde werkingen uitoefent. Intusscheu pleiten hiervoor de door helmholtz meegedeelde proeven
van rowland, Pogg. Ann. Bd. CLVIII.

6 OVER HET VERBAND TÜSSCHEN DE VOOKTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Gemakkelijk kan men het kier gezegde uitbreiden tot het geval, dat ook in
de richtingen der y — en 2 — as electrische momenten in de beschouwde mo-
lecule bestaan. Kortheidshalve zullen wij daarbij, als ds een element van een
stroomgeleider is, dat met de assen de hoeken a, ft, y vormt, en waarin de
stroomsterkte i is, de grootheden

i d s. cos a, i d s. cos ft, i d s. cos y

de componenten van het stroomelement noemen. Het blijkt dan, dat een deeltje,
waarin het veranderlijke electrische moment (mx) my) m2) bestaat, dezelfde wer-
kingen uitoefent als een stroomelement met de componenten

dmx dniy dmz

~dï' ~dt' ~dt (l0)

Hieruit volgt dan verder, dat de verandering der diëlectrische polarisatie
(£> Vi £) 'm ae^ medium M gelijk staat met een electrische strooming met de
componenten

ö! *v d£

!<= , V = , W ■= - — ( 1 J )

d * dt dt

§ 7. Om nu de hierdoor uitgeoefende inductie te berekenen moeten wij de
wet der inductie voor stroomelementen kennen, helmholtz, wiens onderzoek *
over de bewegingsvergelijkingen der electriciteit wij hier grootendeels volgen,
heeft aangetoond, dat men voor de electromotorische kracht der inductie in eenig
punt Q in de richting h, voortvloeiende uit een verandering der stroomsterkte i
in een element ds van een stroomgeleider, mag stellen

dt
wanneer

id 8 1 — k , ii2 r

q — cos (d s, h) +■ - - ids — (12)

r i y> h 0 8

is. Hierbij is r de afstand van eenig punt van ds tot Q, terwijl A en k con-
stante grootheden voorstellen. De eerste heeft men uit de waarnemingen afge-

* Helmholtz, Ueber die Bewegungsgleichungen der Eleclricilat in rullenden Leitern, Crelle's
Journal, 72 (1870)

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOPFEN. 7

leid, maar alle tot nog toe volbrachte proeven laten de waarde van k geheel
onbepaald.

§ 8. Zoeken wij thans de inductie in eenig punt Q (x,y,z), die het gevolg
is van de stroomverdeeling (11) in het medium M. Daartoe beschouwe men
k, v, zo als functiën der coördinaten x',y', z' en lette vooreerst alleen op de elec-
trische strooming binnen een element dx' dy' dz' = dr aan het punt P (V , y' , *'),
op een afstand r van Q liggende. Men kan die strooming vervangen door drie
stroomelementen, die de richtingen der coördinaatassen hebben. Berekent men
dan door de formules der vorige § voor elk dezer stroomelementen de electro-
motorische kracht der inductie in Q in de richtingen der assen, dan verkrijgt
men door optelling de werking van het element dr en vervolgens door inte-
gratie die van het geheele medium M.

Op deze wijze vindt men daarvoor de componenten

dl dl dl '

wanneer

U*=l I / \-l Z~ «^ - + » , + w ,\\dr- enz (14)

gesteld wordt. Men kan hierbij de integratie ook over de geheele ruimte uit-
strekken, daar toch binnen de holten u = v = w — 0 is.

§ 9. Bij de berekening van U, door middel van de vergelijking (14) denken
wij ons vooreerst rondom Q een gesloten oppervlak B geconstrueerd en zoeken
de waarde U', , die de integraal aanneemt, wanneer zij slechts over de buiten
dat oppervlak liggende ruimte A wordt genomen *. Wij zullen dit in het ver-
volg aanwijzen, door aan de integraalteekens den index (A) toe te voegen.

Stelt men nu

-•'-ƒƒƒ„""■ r--ifL['£+-ï?+'*)'«"-™

dan is klaarblijkelijk

L — idW '

"•'-«.'+ — sr w

* Bij eenige der volgende herleidingen moet men in 't oog houden, dat A de geheele ruimte
buiten B is, de holten er onder begrepen.

8 OVER HET VERBAND TÜSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

De grootheid W,' kart in drie integralen gesplitst worden, die men resp. naar
x' , y' , z' partieel kan integreeren. Men verkrijgt aldus voor 5"",' vooreerst een
integraal I over de ruimte A, ten tweede integralen over de oppervlakken S
en B en eindelijk dergelijke integralen over het „oneindig ver verwijderde grens-
vlak der ruimte." Wij zullen nu aannemen, dat de electrische bewegingen öf
alle op eindigen afstand plaats hebben, of althans bij vergrooting van r zoo
snel afnemen, dat de laatste integralen verdwijnen. Hebben nu de aan de op-
pervlakken S en B naar buiten getrokken normalen n en v resp. de ricktings-
eonstanten a, b, c en a ft, y, dan wordt

ryi,= ~llr[att + bv+c?o)dS—ljr(au + ftv-i-Yw)dB—I. . . . (17)
Hierin is

t fff I dn ?>v ~dw\

of, wanneer men van (11) en (5) gebruik maakt,

Men kan de hier voorkomende integraal nog transformeeren door een bekende
uit het theorema van green volgende stelling *. Men vindt dan, als men weel-
de integralen over het grensvlak der ruimte weglaat,

4 n d t J J LU»/ cuJ

Brengt men nu deze waarde in (17) over en let men daarbij op de betrek-
kingen (11) en (7), dan blijkt het, dat de integralen over de oppervlakken S

2
wegvallen. Neemt men verder in aanmerking, dat Ar = - is, dan verkrijgt

men V,' «= V," + F/", wanneer

*■--*! f L%-1?« ™

* Men /.ie b. v. grinwis, Wisk. theorie der wrijmngselectriciteit, p. 26, 3e Stelling.

en

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFPEN.

*'•'- -rJÜT, Ï7- nh)"-lf'0» *»*w

wordt gesteld.
Ten slotte wordt

<-±l>*ïL+>in (ll

£r>'-«>'+ — Tr+-»i-i- •(19)-

§ 10. Om nu de grootheid Ui te vinden hebben wij slechts de grens te
zoeken, waartoe (19) nadert, als de afmetingen van het oppervlak B onbepaald

afnemen. Daarbij blijkt het vooreerst, dat de grootheid — — *- 0 tot grens heeft *,

wanneer althans in het punt Q v, v, w, rp en de differentiaalquotienten er van
eindige waarden hebben. Ten tweede merken wij op, dat blijkens (18) W{' de
potentiaalfunctie is voor een (volgens de wet van newton werkende) massa,

die met de dichtheid — - - — over de ruimte A verspreid is. Derhalve is

2 n o t

— — ==- de door deze massa in Q in de richting der .r-as uitgeoefende attractie

en de grenswaarde van die grootheid zal de attractie zijn voor het geval, dat
niet alleen de ruimte A, maar de geheele ruimte met een massa van de ge-
noemde dichtheid gevuld is. Ook in dit geval kan men echter de attractie uit

de potentiaalfunctie afleiden. Is deze hier Wu dan is dus Lim. — — =

en, wanneer wij in 't vervolg de integralen weer over de geheele ruimte nemen,

*--£ƒƒƒ i?-;" <2»>-

Eindelijk heeft men

Lim. u1' = U1= f l[~dr (2l)

* Het gemakkelijkst is dit aan te toonen, wunneer men aan het oppervlak B den vorm van

een om Q als middelpunt beschreven bol toekent, waarvan de straal p tot 0 nadert. In elk der

■ Of,'" ,
termen, waaruit — - — bestaat, treedt dan een factor p of p1 op, vermenigvuldigd met oen groot-
d x

heid, die bij het afnemen van p eindig blijft, zoodat elke term 0 tct grens heeft.

7

.NATVJVJRK. VERU. DER KONINKL. AKADEM'E. DEEL XVIII.

10 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET
en stelt men evenzoo

%1 = jjhdT, W^Jjj^dT, (22)

dan wor dt

1-kïVj _ m ,1— «Vi ... I-Ad!?,

Natuurlijk gelden deze vergelijkingen zoowel binnen eenige holte als voor een
punt van liet medium M.

§.11. Daar blijkens het bovenstaande W^ , Ux , 2>i , S3i als de potentiaal-
funetiën kunnen beschouwd worden van massa's, die met de dichtheden

_ J_ ^l,», v, te verspreid zijn, volgt uit de vergelijking van poisson

2 7T dt

hWi = 2ll± (24)

o t

£_\\x = — ±jiu, A 23j = — 47Ti-, A28i = — 4«a' (25)

Verder kan men dan uit (23) afleiden, dat

AZ7 = — 4.t« + (1 — *) r-v;. A Tx = — Ittp + (1 — A-) ~,

L lf\ = - 4« + (1 -*) |% (26)

Eindelijk volgt nog uit (21), (22), (23) en (24)

Door integratie bij gedeelten gaat de laatste term na eenige herleiding over

in — — • Derhalve is
dt

Z 2

T-idT.

*J± + *l± + tI± = -k*-*± 1*7)

d-r by Ö2 df

§. 12. Evenals wij hier de inductie berekend hebben, die het gevolg is van

2ISHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOPFEN. 11

de veranderlijke diëlectrische polarisatie in het medium M, kunnen wij ook die
berekenen, welke uit een verandering der in de holten aanwezige electrische
momenten (§ 4) voortvloeit. Ziju daarbij U2 , V.2 , TT2 de functiën, die met
Ui , Vl , W\ overeenkomen, dan zijn de componenten dezer laatste inductie

...*»&. ... ***,.-*»-* m

bt bt bt

en voor elk punt van het medium M gelden de met (26) en (27) overeenko-
mende betrekkingen

ah-Ci-^*». Ar.-P-j)|«;. Ar.-Mf£ .. • ■ <m
ius tr, w, 4s^ (30)

ö x by bz bt

* Laat in het punt (x' , y' , z') van een der holten een molecule P geplaatst zijn met het
electrischs moment (mx , my , mz) en laat ij>j(P) de daarbij behoorende potentiaalfunctie in een punt
Q (x , y , z) op een afstand r van P zijn. Noemen wij eveneens U^) , V^) , W^t) de aan-

(dnix dm« dmA . «»».

— , -tt , —) m de molecule P(§ 6)

behooren. Dan is volgens (12)

dmx 1 1 — k b [<lmx br dmy br dmz b_r\

i(p) = ~7t'r + ~T~ fx \~dï'b^' + ~d7' b/ dt'b z')'

1 2

dus, daar £\ - = 0 en / r = — is,
r r

b \dmx \r) dmv \r) dm„ \r)

aua[p)-{i -k)^\dt ^ + dt • ly. + dt d/j

Nu is echter

>'~) •(;) %

\

dus

'lip) = mx -—— + my -— + mz
b x b "

A Uip) = {\-k)

b*>' by' bz'

b xbt

Zulk eene vergelijking vindt men ook voor elke andere molecule P en men vindt dan de eerste
van (29) door deze alle op te tellen. Ook de andere vergelijkingen (29) en (30) worden door
eene dergelijke beschouwing verkregen.

7*

12 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEtD VAN PET

Uit (13) en (28) volgt ten slotte voor de componenten van het tweede deel
der electroniotorische kracht

X*=~A* — ÏT~' }z=-A ïl ' Z*=~A *t (31)

§. 13. Er blijft thans nog een derde deel der electromotorische kracht ter be-
schouwing over. Het is namelijk mogelijk, dat onder den invloed der electrische
bewegingen in de binnen de holten liggende deeltjes magnetische momenten
(nu , mv , nu) worden opgewekt en eveneens in het medium M een magnetische
polarisatie. Zoodra dit het geval is zal de verandering van dezen magnetischen
toestand weer in elk punt een electromotorische kracht der inductie ten gevolge
hebben.

Zijn nu A , // , v de componenten der magnetische polarisatie (dus X d r,
ju d r , v d t de magnetische momenten van een volumeelement dr), L, M, N
die der magnetiseerende kracht, dan moet voor elk punt van het medium

X = & L, /u = &M, v = & N (32)

zijn, waarbij & een constante is.

§ 14. De magnetiseerende kracht G bestaat echter uit twee deelen. Het eerste
deel is een gevolg van den magnetischen toestand zelf en heeft tot componenten

j Mxi + X*) ,, *(X\ + Xi) N d (/Ti + Xt) ,„„,

Jj1 = — - , Jili= — - , J»i = — -. ,• ■ • (oo)

als x\ de magnetische potentiaalfunctie is, die bij de polarisatie X , n , v) in
het medium en x% die, welke bij de momenten (nu , t% , nu) behoort. Daarbij
is dan voor elk punt van M

/èA èu dv\ .

welke vergelijkingen met (5) en (8) overeenkomen.

§ 15. Ten tweede wordt door de boven beschouwde electrische bewegingen een
magnetiseerende kracht uitgeoefend, die men door middel van de bekende wet
van biot en savart kan berekenen. Volgens die wet is namelijk de magne-
tiseerende kracht Gp , die door een stroomelement d s (met de stoomsterkte i) aan
het punt P (x' , y' , z') in een punt Q [a , y , z) wordt uitgeoefend,

Aids sin (r , d s)
GP = li

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 13

Deze kracht is gericht volgens een loodlijn op het vlak, dat men door d s en r
kan brengen, terwijl men op bekende wijze kan aangeven, naar welke zijde van
dit vlak die loodlijn moet worden getrokken.

Om nu zonder dubbelzinnigheid de componenten van Gp op te stellen is het
noodig, de keus van ons coördinatenstelsel nader te bepalen. Wij stellen daar-
omtrent vast, dat een wenteling van de positieve * — naar de positieve y-as
(over een rechten hoek) in richting met de beweging der wijzers van een uurwerk
overeenstemt, wanneer de beschouwer zich aan de zijde der positieve z-as bevindt.
Zijn dan a , ft , y de hoeken, die d s met de positieve assen vormt, dan zijn de
componenten van Gp *

Aids\cosft± fy-cosy 1 (;)] = A(-A1 + *8) ,

»•*[«« y£ (;)--«« £(;)] -*<-* + *>■

(35)

wanneer

is.

h = — i ds cos 8 — [ - 1

enz.

§ 16. Passen wij nu het zoo even gevondene toe, om de magnetiseerende kracht
te berekenen, die door de stroomverdeeling (« , v , w) in het medium jlf in eenig
punt Q (x , n , z) wordt uitgeoefend. De electrische strooming binnen een element
dr aan het punt P (x' , y' , z') staat gelijk met een stroomelement met de com-
ponenten udr, vdr, wdr en de daardoor uitgeoefende magnetiseerende kracht kan
dus uit (35) onmiddellijk worden gevonden. Daarbij wordt dan ^ = ~vdr~ (-\

en deze grootheid is dus de attractie, die in G in de richting der *-as zou wor-
den uitgeoefend door het element d t, wanneer dit een stof met de dichtheid v
bevatte.

* Bij de berekening van deze grootheden kan men gebruik maken van de omstandigheid
dat -rds sin (r , ds) den inhoud vin den driehoek voorstelt, die ds tot basis en Q tot top
heeft, en dat men dus de componenten van Gp vindt, door de projectiën van dezen driehoek op
de coördinaatvlakken met — — te vermenigvuldigen.

14 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOOKTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Bij het iutegreeren over de geheele ruimte, zooals dit voor het zoeken der ge-
heele magnetiseerende kracht noodig is, levert dus £"i de attractie in Q in de
genoemde richting op voor het geval, dat een stof met de dichtheid u over de
geheele door het medium ingenomen ruimte verspreid is. Inu is echter voor deze
stof blijkens (22) 2?! de potentiaalfunctie, zoodat ^ bij de bedoelde integratie

— — — oplevert. Evenzoo geeft '2 bij de integratie — — — , zoodat de com-

ponent der gezochte magnetiseerende kracht m de richting der ■' -as A — — — ^-r- ,

of, blijkens (23), A \ — - — — l ] wordt. De andere componenten zijn A [— — 1 — ~ l

A l -— — — — I en als men nog op dezelfde wijze de magnetiseerende kracht be-
rekent, die door de electrische bewegingen binnen de holten wordt uitgeoefend,
dan vindt men voor de componenten van het tweede deel van G

Z8-.lja(ri+F8) — ?(/ri+r8)>, U% - A ? {Wl + Wè — * {Ul+ Ui)

dz dy )' | **

N*=A\ >r^--*rJl\ (:36)

§ 17. Om nu eindelijk de inductie te vinden, die uit een verandering van
den magnetischen toestand ontstaat, beschouwen wij vooreerst een deeltje P in
het punt (*' , y' , z') met het veranderlijke magnetische moment (nu , my , mJ. Bij
de berekening der daardoor uitgeoefende werking kan men het moment nu in
de richting der «-as vervangen door een oneindig kleinen eirkelstroom in een
vlak door P evenwijdig aan het y 2-vlak gebracht. Het middelpunt daarvan
moet in P liggen en tusschen den straal {y en de stroomsterkte i moet de be-
trekking

AinQ? = mx (37)

bestaan, terwijl eindelijk de richting van den stroom met die eener wenteling van
de positieve z- naar de positieve y-as moet overeenstemmen.

Om nu de werking van dezen stroom in een punt Q (<v,i/,z) in de richting
der y-as te vinden kan men van de formule (12) gebruik maken. Men berekene
namelijk (voor h de richting der y-as nemende) de grootheid q voor een element
van den eirkelstroom en integreere dan over de geheele uitgestrektheid daarvan.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 15

Daarbij levert de laatste term van (12) 0 op, daar hij een differentiaalqnotient
naar s is, zoodat men slechts de grootheid

i d s

— cos {ds,//) (38)

heeft te integreeren.

Wij trekken nu in het vlak van den stroom uit P een lijn evenwijdig aan
de *-as en bepalen de plaats van een punt F van den cirkel door den hoek co,
dien PP' met deze lijn vormt, waarbij een draaiing in de richting van den
stroom als positief beschouwd wordt. Dan is t/s = (jdco, cos (d 's , y) = cos co en,
daar de cirkelstroom oneindig klein is,

(j cos (o.

In de laatste vergelijking wijst de index p de waarden in het middelpunt aan.
Men substitueere de aangegeven waarden in (38) en integreere tusschen de
grenzen co = 0 en co = 2 n. De uitkomst is dan

of, wanneer men op (37) let en den index p verder weg iaat,

y-/">' -TT" = — T m* ~-
Stelt men dus kortheidshalve

dan wordt

r

A 9 z

lt> OVER HET VEKBAND TUSSCHEN DE VOOKTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

en de electromotorische kracht der inductie, door den cirkelstroom, of door het
moment m.f in Q in de richting der y-as uitgeoefend is

f> ?2
Evenzoo is de inductie in de richting der ^--as — A — — , terwijl die in de

richting der .'--as 0 wordt.

Op gelijke wijze kan men ook de inductie berekenen, die door de momenten
% en m2 wordt uitgeoefend en men vindt aldus voor de totale inductie, behoo-
rende bij het deeltje P, de componenten

waarbij nog 93ï = — , 3Ï = — - is gesteld. Hierbij valt nog op te merken,

dat 8 , 5SK , 9ï de potentiaalfunctiën in Q zijn voor massa's mx , my , mr in het
punt P geplaatst.

§. 18. Wanneer thans in het medium M de magnetische polarisatie (A , ii , j/)
bestaat en in de deeltjes binnen de holten de magnetische momenten m^. , my , m.-
zijn opgewekt, dan kunnen wij, om de daardoor in eenig punt (x , // , z) uitge-
oefende inductie te berekenen, op elk magnetisch deeltje de beschouwingen dei-
vorige § toepassen. Let men op de beteekenis van 2 , 5)? , 5R , dan kan men
de uitkomst onmiddellijk uit (39) afleiden.

Laat namelijk 2l , Wi , Sftj de potentiaalfunctiën zijn voor massa's, die over de
door het medium ingenomen ruimte resp. met de dichtheden A, ju, v zijn ver-
deeld, en laat evenzoo 22 , 9.V2 , ïïï2 de potentiaalfunctiën zijn voor het geval, dat
men aan elke molecule binnen de holten resp. de massa's m.r , m</ , ms toekent,
dan zijn de componenten van het derde deel der electromotorische kracht

a ja(Mi + SR8) a^+gffg)! . a ) aft + 9*) a0Ri+n*2)i

*3==AJ_ j^H-g^ajH^I m

d I, [ d x ö ij )

Uit de voor £j , S0?j , % , 22 , $ft.2 , % gegeven bepaling volgt nog voor elk
punt van het medium 31

A £j = — 4 n A , A 5J?i = — 4 n fi , A 9?i = — 4. jt v ,

A i?2 = 0 , A ?B?2 — 0 , A 3ïo = 0 , (U)

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOPPEN. 17

terwijl men bovendien gemakkelijk kan aantoonen, dat

is.

§ 19. Wij hebben thans de totale electromotorische en magnetiseerende kracht
leeren kennen en voor elk punt van het medium moet nu

- - x1 + xa + xs, ^ = rx + rz + r8, £ = ^ + z2 + z8, .

(43)

/" „. , ,, v

& - Lx + i2, _= ^ _j_ j^ ^ = iVi + ^ (44)

zijn.

Men kan intusschen uit de verkregen vergelijkingen nog andere meer een-
voudige afleiden. Vooreerst volgt uit (43)

*9 d* Ujr d* "** dy ^ + Öy~"è7j (45)

Nu is echter blijkens (9)

blijkens (31) en (36)

öy üz

Öy ÖZ "~ ö< '

en tengevolge van (40), (41), (42) en (43)

dy <)■? a<«U-

d(*i + £g' Wi + SWe) ^(SRt + SRgJi
d* èy + dz

. . . <u aii a^L

4- 4 Ti .4 — = ^4 — 1 -f- 4 Ti .4 —

. ota).ii-^8) aafj+agoji ^a

NATUÜRK. VERH. DER KON1NKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

18 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Substitueert men deze waarden in (45) en let men daarbij op de eerste der ver-
gelijkingen (44), dan komt er

dC ör»j 1 + 4 n & d l \

A e

)y <>z & dt'

en evenzoo is — — — = ^4 e — -, > (1)

è* ï)»/ d i>t' \

Op een dergelijke wijze kan men uit (43) een uitdrukking afleiden voor

< (- r~ + — , vcor welke grootheid wij kortheidshalve P zullen schrijven.

c>a' by bz J

Men neme daarbij in aanmerking, dat volgens (9), (5) en (8)

d« dy oz

volgens (31), (27) en (30)

en blijkens (40)

dX2 ÖF2 ÖZS ., Ö»fo>] + </>2)

— |— — J— J±.'m A.'

h-v by bz bt2

b Xq b Fo 0 -Z^

2 -f 2 + r § = |J

0.'' è«/ ö«

is. Men vindt dan, als men (px + cp2 - (p stelt,

|* + |S + ^__,A, + J,»,Ï| (II)

Even als hier met (43) kan men ook met (44) te werk gaan, waarbij men op
(33), (36), (26), (29), (27), (30), (11) moet letten. Er komt dan

bv bt* <(l/^ , b£\ H bv ,./ó> b>A

by bz \bxbt btj bz è.f \bybt btj

»_£_»* _^ (»!*_„,«) (II[)

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 19

ill« /f = /Tl + X* is-

Eindelijk is nog blijkens (5), (8) en (34)

i\cp =r.^7lP (IV)

Elimineert meu ^ uit de laatste vergelijking en (46), dan verkrijgt men

|_a |* + av 0 (V)

èx oy d-

en de vergelijkingen (I)— (V) bevatten nu nog slechts £, rj, £, A, //, f, qp.

§ 20. Wanneer liet medium M geheel doorloopend is, dan gelden deze ver-
gelijkingen in elk punt en zijn, zooals helmholtz heeft aangetoond, voldoende,
om §, t], £, l, f/, v en <-/> als functiën van plaats en tijd te bepalen, wanneer
men er nog de voorwaarde aan toevoegt, dat deze grootheden op oneindigen af-
stand verdwijnen.

Stelt men nu kortheidshalve

(l + 4w#)(l + 4jre)
47re(l +47T#Ma=ü!a, 1— - -^-^ =S (47)

dan kan men uit (I) — (V) nog de volgende vergelijkingen, die alleen |, »?, £
bevatten, afleiden:

0<~ o* o* o«/ o* ds

Hiervan wordt b. v, de eerste verkregen door de derde en tweede der verge-
lijkingen (I), naar y en z gedifferentieerd, van elkaar af te trekken en uit de
verkregen vergelijking eerst met behulp der eerste van (III) ,u en v en vervol-
gens door middel van (II) en (IV) <p te elimineeren.

§ 21. Nu hebben de vergelijkingen (48) volkomen denzelfden vorm als de
vergelijkingen, die de oneindig kleine verplaatsingen §, rj, £ der deeltjes van
een veerkrachtig vast lichaam als functiën van plaats en tijd bepalen, en hieruit
volgt, dat de electrische bewegingen in onzen isölator met de bewegingen der

8*

20 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

deeltjes van zulk een lichaam overeenkomen. Op dezelfde wijze dus, als zich in
veerkrachtige lichamen een verstoring van het evenwicht naar alle zijden met
eindige snelheid voortplant, moet dit ook in een diëlectrisch medium met een
verstoring van het electrische evenwicht het geval zijn. Verder is het bekend,
dat in elastische lichamen een regelmatige voortplanting van transversale en
longitudinale trillingen mogelijk is, en op dezelfde wijze moeten zich ook in
den isolator transversale en longitudinale electrische trillingen, d. w. z. periodieke
veranderingen der diëlectrische polarisatie, kunnen uitbreiden. Voor de voort-
plantingssnelheden dezer transversale en longitudinale trillingen vindt men dan resp.

R ^l/4;r£(l +4tf#) R A 47re£

Hierbij valt nog op te merken, dat bij de transversale electrische trillingen

overal P — 0, bij de longitudinale — — — = — = — — — = 0is. In

dy <)2 dz da: d-v dy

overeenstemming daarmede is dan ook (verg. (I) — (V)) bij de eerste trillingen
(p = 0, bij de laatste X = ft = v = 0.

§ 22. Wanneer men de waarde der in (49) voorkomende constante A uit
electromagnetische metingen wil afleiden, zou men deze eigenlijk in de volkomen
ledige ruimte moeten uitvoeren. Men verricht ze echter in de lucht en wanneer
nu deze voor diëlectrische en magnetische polarisatie vatbaar is, zal de werke-
lijke waarde A van de waargenomen waarde A' verschillen. Helmholtz heeft

aangetoond, dat dan

A'
A =

1/(1 + 4ffï„'l(l -f- 4,t#0')

is, wanneer eQ' en &Q' de voor de lucht geldende constanten zijn.

Wanneer echter in de lucht diëlectrische polarisatie kan opgewekt worden,
dan moeten ook in deze middenstof de boven besproken electrische bewegingen
kunnen plaats hebben. Om dan de voortplantingssnelheid V0' der transversale
trillingen in de lucht te verkrijgen, moet men in (49) e = s0', & = &0' stellen.
Let men bovendien op de boven aangegeven waarde van A, dan komt er

Vo'-^|/('l+-L7) (50)

^' l énen',
§ 23. Nu heeft men reeds lang opgemerkt, dat de grootheid j, op weinig

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 21

na overeenstemt met de voortplantingssnelheid van het licht. Deze overeenstem-
ming kan verklaard worden, wanneer men twee onderstellingen maakt, nl. ten
eerste, dat in werkelijkheid het licht uit transversale electrische trillingen be-
staat, en ten tweede, dat de constante e0' zoo groot is, dat men de omgekeerde
waarde er van ten opzichte van de eenheid mag verwaarloozen, waardoor (50)

in V0' = — - overgaat.
A'

Op de eerste hypothese berust de door maxwell opgestelde electromagneti-
sche theorie van het licht. Neemt men deze aan, dan wordt ook de bijonder-
stelling omtrent de waarde van e0' noodzakelijk. Nu is echter uit de metingen van

het specifiek induceerend vermogen (§ 3) gebleken, dat de verhouding -1 4~47Te

l-f-4:7r60

voor vaste lichamen en vloeistoffen aanmerkelijk grooter dan de eenheid, voor
gassen en voor den vrijen aether van de luchtledige ruimte zeer weinig van L
verschillend is. Daaruit, in verband met het omtrent s0 gezegde, volgt, dat voor
alle middenstoffen e zoo groot moet zijn, dat de omgekeerde waarde ten opzichte
van de eenheid mag verwaarloosd worden.

§ 24. Hieruit kan men een merkwaardig verband afleiden, dat er tusschen
den brekingsindex van een diëlectrisch medium en zijn specifiek induceerend
vermogen bestaan moet. Wanneer nl. n de absolute brekingsindex van eenig
medium (met de constanten e en &) is en wanneer men met V0, e0, #0 de
voortplantingssnelheid van het licht en de constanten der diëlectrische en mag-
netische polarisatie voor den vrijen aether aanduidt, dan is volgens (49)

«8 =

Vp2_ 6 1 + \nd-
V* ~£0 1 + 4««V

Wegens de groote waarden van e en e0 mag men nu - = * + ine stellen

«o 1 + 4 n e 0 '

welke laatste verhouding niet anders is dan het specifiek induceerend vermogen
K van het beschouwde medium met betrekking tot het luchtledige (§ 3). Ver-
der is het uit de waarnemingen gebleken, dat voor alle isolatoren j -f- 4tt#
zoo weinig van 1 4- 4.ji&0 verschilt, dat men voor de verhouding dezer groot-
heden gerustelijk 1 mag stellen. Wij verkrijgen dientengevolge de eenvoudige
betrekking

n2=*K. (51)

Uit deze vergelijking blijkt intusschen, dat de electromagnetische lichttheorie,

22 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

zooals zij hier is ontwikkeld, geen verklaring kan geven van de kleurschifting.
Maxwell, die het eerst de vergelijking (51) afleidde, is dan ook van meening,
dat deze slechts voor oneindig lange lichtgolven geldt, „because these are the
only waves whose motion can be compared with the slow processes by which
whe deterniine the eapacity of the dielectric."

Verscheidene natuurkundigen hebben werkelijk de waarde van K voor ver-
schillende isolatoren met die van n2 voor oneindig lange golven vergeleken en
daarbij de vergelijking (51) over het geheel bevestigd gevonden *.

II.

OVER DE LICHTBEWEGING IN EEN ISOTROPE MIDDENSTOF MET
MOLECULAIRE STRUCTUUR.

§ 1. In het voorgaande hebben wij ons het medium, waarin de lichtbewe-
ging plaats heeft, als volkomen homogeen en doorloopend voorgesteld. Voor den
lichtaether bestaat er tot heden geen grond, aan de juistheid dezer opvatting'
te twijfelen, maar bij alle andere middenstoffen moet men, om den invloed van
dichtheid en samenstelling te leeren kennen, met de moleculaire structuur re-
kening houden.

Wij zullen daarom thans de electrische bewegingen in een stelsel moleculen
beschouwen, maar ik moet hierbij reeds vooraf opmerken, dat het ons niet zal
gelukken, dit vraagstuk volledig op te lossen, maar dat wij ons met een eerste
benadering zullen moeten tevreden stellen. Niet alleen toch zijn wij bijna ge-
heel onbekend met het eigenlijke wezen der moleculen en van de electrische
bewegingen, die er in kunnen plaats hebben, maar het vraagstuk wordt nog
veel moeilijker door de omstandigheid, dat men de ruimte tusschen de moleculen
als met aether gevuld moet aanmerken, waarbij dan onze onbekendheid met de
wijze, waarop de moleculen in den aether liggen, nieuwe zwarigheden oplevert.

Dat werkelijk de aether tusschen de moleculen aanwezig is, zal men wel bij
de gassen niet kunnen betwijfelen, daar toch de eigenschappen dezer lichamen
bij toenemende verdunning geleidelijk in die van den vrijen aether overgaan.
Maar ook bij vaste lichamen en vloeistoffen zou men op moeilijkheden stuiten,

* Gibson en barclay, F/iil. Trans, 1871, p. 573; boltzmann, Pogg. Aitu., Bd. 151, 153, 155;
schillek, Pogg. Anti., Bd. 152; silow, Pogg. Ann., Bd. 15G, 158.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 23

wilde men de ruimte tusschen hunne deeltjes als ledig beschouwen. Het zou
dan moeilijk zijn in te zien, waarom de voortplantingssneiheid van het licht in
deze lichamen steeds kleiner is dan in het luchtledige en bovendien is het mij
gebleken, dat dan bij veranderingen in dichtheid de brekingsindex veel meer
zou moeten veranderen, dan het geval is. Eindelijk wijst ook de invloed, dien
de beweging der middenstoffen op de lichtverschijnselen uitoefent, op de aan-
wezigheid van den aether tusschen de moleculen der lichamen.

Of en op welke wijze de eigenschappen van den aether door de aanwezigheid
der moleculen veranderd worden, is ons geheel onbekend. Wij zullen hier de
zeer eenvoudige onderstelling maken, dat - - behalve misschien in de onmiddel-
lijke nabijheid der deeltjes - de eigenschappen van den aether dezelfde zijn,
als in het luchtledige, dat met name de constanten s en & de waarden hebben,
die wij vroeger met e0 en .9-0 hebben aangeduid. Zijn eerst de gevolgen dezer
onderstelling met de ervaring vergeleken, dan blijve het aan later onderzoek
overgelaten, te beslissen, of men misschien betere uitkomsten kan verkrijgen,
door aan den aether eenigszins andere eigenschappen toe te kennen.

§ 2. Wij kunnen ons nu rondom elke molecule een kleinen bol 8 gecon-
strueerd denken, zoodat daarbuiten de aether de bovengenoemde eigenschappen
bezit. Omtrent de eigenschappen der binnen dezen bol gelegen stof kan men
dan zeer verschillende onderstellingen maken.

Het eenvoudigst werd de zaak, wanneer men mocht aannemen, dat in het
middelpunt M van den overigens ledigen bol 8 een enkel deeltje geplaatst is,
en dat daarin door een electromotorische kracht (X, Y, Z) een electrisch mo-
ment (ro,, %, m,) in de richting van die kracht en evenredig daaraan en even-
zoo door een magnetiseerende kracht (L,M,N) een magnetisch moment im,, »%, nu)
wordt opgewekt. Als y. en x constanten zijn zou men dan mogen stellen

mx = y. X, my = y. F, mz = y Z, (I)

in, = xL, my = x'M, m, = x'N (2)

Om verder de werking van het deeltje naar buiten te leeren kennen, zou men
behalve de werking dezer momenten ook nog de inductie en de magnetiseerende
kracht moeten beschouwen, behoorende bij een stroomelement in M met de com-
ponenten

dmx dm „ dm:

dt ' ~ïT' ~dT W

Zooals wij later zullen zien komt ook bij andere onderstellingen omtrent den

24 OVEE HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOOETPLANTINGSSNELHEID VAN HET

inhoud van den bol S alles op hetzelfde neer, als wanneer in het middelpunt
een enkel deeltje geplaatst was. Wij zullen ons daarom voorloopig tot de be-
handeling van dit geval bepalen.

§ 3. In den onbegrensden aether hebben wij ons dus thans een aantal bol-
vormige holten S en in het middelpunt van elke daarvan een stoffelijk deeltje
(molecule) voor te stellen. Voorloopig zullen wij daarbij aannemen, dat al de
deeltjes en eveneens al de holten aan elkaar gelijk zijn.

Bovendien maken wij nog een onderstelling omtrent de magnetische eigen-
schappen der deeltjes. De ondervinding heeft geleerd, dat men slechts een zeer
kleine fout begaat, door voor elke isoleerende stof de vatbaarheid voor magne-
tische polarisatie gelijk aan die van den vrijen aether te stellen. In overeen-
stemming hiermede zullen wij aannemen, dat het moment, dat door een mag-
netiseerende kracht in eenig deeltje wordt opgewekt, gelijk is aan het moment,
dat daardoor in den bol S ontstaan zou, indien deze slechts aether bevatte.
Wanneer echter in dit laatste geval op den bol de uitwendige en over de ge-
heele uitgestrektheid van S even groote magnetiseerende kracht (L, M, N)
werkte, dan zou in elk punt van den bol een magnetische polarisatie ontstaan
met de componenten

,u ^— 31, v = ^—N*. ... (4)

1+g^O ï+3-^0 1+^0

en deze zou naar buiten dezelfde werking uitoefenen als een magnetisch moment
in het middelpunt met de componenten

r^3#o T7^3#o önV3&o

— -A M, 8 4 N,

l + -*tf0 1 + 7^^0 l+ö«*o

6 6 ó

waarbij q den straal van den bol voorstelt.

* Daar ook }, p, v over de geheele uitgestrektheid van den bol dezelfde waarden hebben,
oefent deze magnetische polarisatie dezelfde werking uit als een verdeeling van vrij magnetisme
over het boloppervlak met de dichtheid o> -f- bp -J- cv (a, b, c zijn de richtingsconstanten der
naar buiten getrokken normaal). De daardoor in een inwendig punt uitgeoefende magnetiseerende

kracht heeft echter de componenten tt>, — - np, rrv en voegt men hierbij L, M, N,

o o o

dan verkrijgt men, als men op (4) let, voor de componenten der totale magnetiseerende kracht

\ p V

o"' $T' ÖT' zooals bet geval moet zijn.

Jo «o ^0

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 25

"Wij zullen dus in het vervolg voor elk deeltje

4

*' - — T ' (6>

1 + 3^0

stellen.

§ 4. Wanneer nu in de deeltjes van het stelsel electrische bewegingen plaats
hebben, zullen zich ook van elke molecule uit dergelijke bewegingen in den
aether voortplanten, die aan de vergelijkingen (I)— (V) van het vorige hoofdstuk
voldoen, wanneer men daarin voor e en &, s0 en &0 stelt. Het is nu de vraag,
deze bewegingen en de terugwerking ervan op de in de holten geplaatste mole-
culen te onderzoeken.

Beschouwen wij daartoe vooreerst een enkel deeltje P, gelegen in de holte S
in den overigens doorloopenden aether en laat daarin een electrisch moment mx
in de richting der z-as bestaan. Laat verder de wijze, waarop dit moment met
den tijd verandert, worden aangegeven door de vergelijking

mx = dit) (6)

Trekken wij door P een lijn L evenwijdig aan de x-as, dan is het gemakkelijk
aan te toonen: vooreerst, dat de electromotorische kracht F, door het deeltje in
eenig punt Q van den aether uitgeoefend, overal een richting heeft, gelegen in
het vlak, dat men door Q en L kan brengen, terwijl de door P uitgeoefende
magnetiseerende kracht G loodrecht op dat vlak gericht is; ten tweede, dat in
twee punten Q en Q , die op een door P getrokken rechte lijn op gelijke af-
standen van P liggen, zoowel F als G gelijk zijn, maar dat F in Q en Q'
dezelfde, daarentegen G in de beide punten tegengestelde richting heeft; ein-
delijk, dat F en ff dezelfde waarden hebben voor alle punten van een om L
als as beschreven cirkel.

Het is nu waarschijnlijk, dat de diëlectrische en magnetische polarisatie, die
m den aether worden opgewekt, resp. dezelfde eigenschappen zullen bezitten,
als zooeven voor de electromotorische en magnetiseerende kracht werden aan-
gevoerd.

Verder ligt het voor de hand, aan te nemen, dat door het deeltje P zoowel
transversale als longitudinale trillingen in den aether worden opgewekt. Wij
zullen nu vooreerst twee dergelijke bewegingstoestanden zoeken, die tevens aan
de bovengenoemde voorwaarden voldoen.

9

MATDÜRK. VF.RH. DER KONINKI, AKADEMIE. DEEL XVIII.

26 OVER HET VERBAND TUSSCHEN ÜE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

§ 5. Bij transversale trillingen is (I, § 21) cp = 0, terwijl men uit de verge-
lijkingen (I), (III) en (V) van het vorige hoofdstuk gemakkelijk vindt

1 dn 1 ÖV 1 öV

AA==v^' A/'=^^' Av==v^' (7)

waarbij V0 wederom de voortplautingssnelheid der transversale trillingen in den
aether is. De eerste van deze vergelijkingen wordt verkregen door de tweede en
derde van (III), resp. naar z en y gedifferentieerd, van elkaar af te trekken en
daarbij (I) en (V) in aanmerking te nemen.

Zoeken wij nu vooreerst een functie tpx, die voldoet aan de vergelijking

1 d2u/i

A^ = v^ (8)

en slechts afhankelijk is van t en van den afstand r tot P. Dan is

ó2 vi 2dVi

0 r* r o t

zoodat (8) wordt

ó2 Vi ^ó_^i 1 a^i

of, na vermenigvuldiging met r,

ör2 r~ Voa d«2 '
Hieraan voldoet, gelijk men weet, als F een willekeurige functie is,

*'-*('-^;)' ot' ^=M'"~€) (9)

Uit deze oplossing der vergelijking (8) kan men dan verder door differentiatie
naar de coördinaten andere afleiden*. Derhalve voldoen aan de vergelijkingen
(7) de waarden

A = 0, ^ = — — -, v =

v„

» De oplossingen der vergelijking (8), die aldus verkregen worden, gaan voor V0 = oo over
de harmonische bolfunctiën, die aan de vergelijking A^,=0 voldoen en door differentiatie

m

uit — worden afgeleid.
r

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOPPEN. 27

die zoo gekozen zijn, dat aan de vergelijking (V) van het vorige hoofdstuk en
tevens aan de in de vorige § gestelde voorwaarden voldaan is.

Uit de vergelijkingen (III) volgt nu verder, daar <p = 0 gesteld is, wanneer
men met het teeken F een functie aanduidt, waarvan F de afgeleide is,

£ = -

4tt A&q \d>/ n üz°~) Lr \ V

71 ^A&^^y\-r'F\ V0jJ' ï-4nA&Qï^zL'F\t~^)~l'

welke waarden met die van A, //, v werkelijk een juiste oplossing van het
stelsel vergelijkingen (I)— (V) uitmaken.

Natuurlijk komt men tot een eveneens juiste oplossing, wanneer men al de
aangegeven waarden met een zelfden constanten factor vermenigvuldigt. Aldus
kan men de volgende waarden verkrijgen, waarbij 'F fx en dus F = f{ is
gesteld. Hier is /\ het functieteeken uit (6), ft de afgeleide functie van fx.

ö3
,? = « — -

o x dj/

Deze vergelijkingen, waarin « een voorloopig onbekende constante grootheid
is, stellen den eersten bewegingstoestand voor, dien wij zullen beschouwen.

§ 6. Bij longitudinale trillingen is (I, § 21) X = ft = „ = 0 en aan de ver-
gelijkingen (I), (III) en (IV) vau het vorige hoofdstuk wordt dan voldaan door

£ = J_ ^ ==J_<L^ L_dJL

4?r ö«' 4,ji dy ' 4ti d*'

De vergelijking (II) geeft dan verder, wanneer wij onder Vo de voortplantings-
snelheid der longitudinale trillingen in den aether verstaan,

Vo2 ö*2

^=^u-r-

Nu voldoet aan deze vergelijking de grootheid v = - f, (*- -M 0p dezelfde

9*

28 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

wijze als (9) aan (8) voldoet, terwijl ook hier door differentiatie naar de coördi-
naten juiste oplossingen worden verkregen. Aan de bewegingsvergelijkingen wordt
derhalve voldaan, wanneer wij stellen

^ = 4^/-[/i('-^T0)]'

*-'ëfcK)i '->&GaN-Ji °£=^KJ} ■ <B>

waarbij /? een constant getal is. Bij de keus van dezen tweeden bewegingstoe-
stand is wederom op de in § 4 gestelde voorwaarden gelet.

Wij zullen nu aantoonen, dat men werkelijk a en (3 zoo kan bepalen, dat
(A) en (B) te zanien den bewegingstoestand voorstellen, die door het deeltje P
in den omringenden aether wordt opgewekt.

§ 7. Verbeelden wij ons daartoe vooreerst den bewegingstoestand (A) uitge-
strekt over de geheele ruimte buiten den bol S en zoeken wij de electromotori-
sche en de magnetiseeren.de kracht, die ten gevolge daarvan in eenig punt
werken. Wij zullen daarbij de waarden (A) ter onderscheiding van (B) van den
index j voorzien en het middelpunt P van S tot oorsprong van ons coördina-
tenstelsel kiezen.

Zooals wij in het vorige hoofdstuk zagen is het ter berekening van de eleo
tromotorische en magnetiseerende kracht voldoende, de functiën g>v Uu 23i, 38i,
Vu 2i, SB?!, 3ïa, x\ — die wij hier door dezelfde letters zonder index zullen
aanduiden — te kennen.

Wat vooreerst cc (I, § 5) betreft, merken wij op, dat — -1 + — + — - = 0

1 da: dy dz

is en dat dus alleen aan het boloppervlak S vrije electriciteit optreedt. Wanneer
a, b, c de richtingsconstanten der aan dit oppervlak naar buiten getrokken nor-
maal zijn, dan is de vlaktedichtheid aan 't oppervlak o = — («^ + br\x + c£x),

of, volgens (A), wanneer wij kortheidshalve voor ft U — — j fx schrijven,

a = a UA— a-— — b — c — — 11— fi =a«A-« — , |~A \ = cca-~\ -f-,1

Stelt men dus aan 't boloppervlak — voor r = q —

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFPEN. 29

welke grootheid nog slechts t als veranderlijke bevat, dan is de vlaktedichtheid
aan dat oppervlak a = aaC. Wanneer echter vrije electriciteit met deze dicht-
heid over het boloppervlak verdeeld is, dan is de potentiaalfunctie buiten den bol

^^a-n^C- (11)

en er binnen

q> = a-7t Cx (12)

§ 8. De grootheid U (I, § 10) is de potentiaalfunctie voor een massa, die met
de dichtheid n = -^f over de ruimte buiten den bol S verspreid is. Daaruit
volgt, dat buiten den bol

AE = -4n^ (13)

en er binnen

AU = 0 (14)

moet zijn, terwijl overal, met name aan het boloppervlak, zoowel U als de eerste
differentiaalquotienten ervan doorloopend moeten zijn. Bovendien moet u op on-
eindigen afstand verdwijnen, wanneer, zooals wij steeds onderstellen, ook £ snel
genoeg afneemt bij aangroeiing van r.

Zij nu i^ (t) een functie, waarvan ft (f) de afgeleide is, dan wordt aan de
voorwaarde (13) voldaan door de functie

*-**-T'(&+£)[H-tP (,5)

Immers dan is

Stellen wij nu voor de werkelijke waarde van u buiten den bol U = U1-r-U2,
dan moet dus A U2 = 0 zijn. Bovendien moet u2 buiten S doorloopend zijn en
op oneindigen afstand verdwijnen, daar U en l^ deze eigenschappen bezitten.

30 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET
Men vindt gemakkelijk

Stelt men derhalve aan 't boloppervlak — voor r = y —

en

(r* r " V0 ór Vq- )

ö - ft' - 5'

o r

(16)

dan wordt aan dat oppervlak

U!=« J(l— 3«2) + «5.

Wanneer dan nu binnen den bol

Uj =a—A{r*— 3*2) + a £ (17)

wordt genomen, dan is Ui aan 't oppervlak doorloopend en, wanneer men ook
binnen den bol voor de totale waarde u = Ui -j- U2 schrijft, volgt uit de conti-
nuiteit vau U aan 't oppervlak ook die van Ua. Daar bovendien blijkens (17)
£. Uj = 0 is volgt uit (14) ook AU2=0.

Verder moet aan 't boloppervlak ook het differentiaal quotiënt van U naar de
normaal n doorloopend zijn. Daaruit volgt, wanneer wij de waarden der diffe-
rentiaalquotienten aan de binnenzijde van S door accenten van die aan de bui-
tenzijde onderscheiden.

ML2_/èu_2y==/öu_i\'

ö n \ dn J \ è n )

ÖU2\' _ /öUi\' èUi

en hier is het tweede lid uit (15) en (17) bekend.
Stelt men nu voor r = q

ö / rs rz V0 Zr V0^ )

H&i-*

• ri«)

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 31

dan verkrijgt men

èU2 /dU8V __(t

= tt\-A — A'\ (1 — Sa2) — ai3' (19)

De functie U2 moet dus zoowel binnen als buiten het boloppervlak aan de ver-
gelijking van laplace voldoen, en bovendien overal eindig en doorloopend en
op oneindigen afstand = 0 zijn, terwijl de eerste differentiaalquotienten aan de
vergelijking (19) zijn gebonden. Nu weet men echter, dat de eenige functie, die
aan deze voorwaarden voldoet, de potentiaalfunctie is voor een massa, die met
de vlaktedichtheid

SL (2A-a) (8.»- 1) + j-B' (20)

over het boloppervlak verdeeld is. Deze potentiaalfunctie kan gevonden worden
door middel van de uit de theorie der harmonische bolfunctiën bekende stelling,
dat de potentiaalfunctie voor een massa, die met de vlaktedichtheid c(3a2 — 1)
(c constant) over het boloppervlak verdeeld is, buiten den bol de waarde
4, / ,*} x% ] \ 4 1

-tto*c — -) en er binnen de waarde -n-< -(3*s — ra) heeft. Door hierin

5 v \ r5 ra ) 5 Q

c = — [-A—A'\ te substitueeren verkrijgt men de potentiaalfunctie, behoo-

rende bij den eersten term van (20). Die, welke bij den tweeden term behoort,
is gemakkelijk aan te geven, daar deze term over het boloppervlak constant is.
Voegt men bij de aldus voor U2 gevonden waarde die van U^ die reeds werd
aangegeven, dan vindt men, dat buiten den bol

en er binnen

1/3 \
U = « — - A -f- A' i (rS — 3 «») + a {B + B(j)

5f\C /

moet zijn.

Hierbij valt nog op te merken, dat wel is waar de functie F1 door het op p. 29
gezegde niet geheel bepaald is, maar dat toch de bovenstaande vergelijkingen
voor u volkomen bepaalde waarden opleveren. Want van twee functiën, die
beide fx tot afgeleide hebben moet het verschil constant zijn en men vindt ge-
makkelijk, als men op de waarden van A en A let, dat de waarden van U niet
veranderen, wanneer men aan F1 een constante grootheid toevoegt.

(22;

32 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

§ 9. Evenals wij hier U berekend hebben kan men ook de grootheden
25, 2B, !P, 2, 9ÏÏ, 9Ï, % bepalen, die blijkens het vorige hoofdstuk alle als poten-
tiaalfunctiën zijn te beschouwen. Daar de wijze van berekenen geheel dezelfde
is als de boven gevolgde zal ik mij tot het meêdeelen der uitkomsten bepalen.
Men vindt voor een punt buiten den bol

0 ïxüzlr *\ V0 jJ T 5 V \(> | r'

/• 5 r*

^ == _ « ^2 £' - -j- « - p* B' ~, (24)

(25)

g = o, x = o,

50? — «. 4* ^„.4» V - ("- JfL - -^-Y| + cc. 4nA&0 p3 ^-L

dzLr \ vo / r

en voor een inwendig punt

25 = — a — f - A + A' ) 3 aiv, *S = — «—(- A + A') 3 xz, . . . . (26)

¥ = — « — B' x (5 ^2 — r2), j . ; . (27)

f = 0, * = 0,
Sfl? = «. 2 Ti J #0 B*, 'R = — cc,2TiA&0By (28)

§ 10. De electromotorische kracht, die nu ten gevolge van den bewegings-
toestand (^l) optreedt, bestaat blijkens het vorige hoofdstuk uit vier deelen,
waarvan de componenten achtereenvolgens zijn

, cqp o<j> è<p

a; >. , — — > — — >

ox d y os

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 33

4l/w_m\ ,1/0Ê_Ö3Ï\ A±(^_±l

Ü) 0*Lv **)' dt\dz èW' dt\d,r }>y

Zoeken wij door middel van deze uitdrukkingen eerst de eleetromotorische kracht
in eenig punt van den aetker buiten den bol »S'. Wij zullen daarbij sommige
deelen dier kracht bepalen door electrische momenten en stroomelementen op te
geven, die dezelfde werking uitoefenen. Stilzwijgend wordt daarbij ondersteld,
dat die momenten en stroomelementen in het middelpunt P geplaatst en even-
wijdig aan de .r-as gericht zijn.

De vergelijking (11) geeft volgens a) een eleetromotorische kracht, gelijk aan
de electrostatische kracht, die zou belmoren bij een moment

* <i n
cc. - il (jó C / \)

b

Verder volgt blijkens b) uit de eerste termen van (21) en (23), daar
V02 = — is, een eleetromotorische kracht met de componenten

ê7l£Q{l + ê 71 J-0)A~

êi >h 'il lfj ,

£0(l + 47r#0)' £0(1 + 4^^)' S0(l-f ê7t&0)

De tweede termen van (21) en (23) geven een eleetromotorische kracht gelijk
aan de electrostatische werking van een moment

— a.~A*Q± —li A -A.') fa)

Eindelijk levert de derde term van (21) een eleetromotorische kracht op, gelijk
aan de inductie, die zou worden uitgeoefend door een stroomelement

« Q" B , [o]

wanneer men bij de berekening dier inductie door middel der vergelijking (12)
van het vorige hoofdstuk slechts het eerste deel van q in aanmerking nam.
Daarbij valt op te merken, dat dit eerste deel van q geen eleetromotorische
kracht in de richtingen der y- en z-as zou opleveren.

Verder geeft volgens c) de eerste term van (24) een eleetromotorische kracht,
gelijk aan die, welke men uit het tweede deel van q voor het stroomele-
ment (c) zou vinden, zoodat wij de inductie van dit stroomelement in haar ge-
heel hebben.

10

NATUUKK. VERH. DER K0N1XKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

34 OVEE HET VERBAND ÏUSSCHEN DE VOOUTPLANTTNGSSNELHEID VAN HET

De tweede term van (24) geeft echter een electroinotorische kracht gelijk aan
de electrostatische werking van een moment

1 -\ T>t

cc. ~A"~ (1 — i)«*. - — («„)

lü v ^ dl V 3

Eindelijk verkrijgt men nog uit de eerste termen van (25) volgens dj een elec-
tromotorische kracht met de componenten

4-T<9u ÏX&Q 4*fl0

e^l + ïj!^)51- eo(i+én&0)m' *0(1 + 4«#0) fel' ' ' ' ( '2'

en uit de laatste termen dier vergelijkingen een werking gelijk aan die van
een moment

— cc. 4 7i A~ d0. (j* — (a4)

§ 11. Vatten wij het gevondene samen, dan hebben wij dus ten gevolge van
den bewegingstoestand (A) in elk punt van den aether een electromotorische

kracht, die uit drie deelen bestaat.

'c y

Het eerste deel — (b{) en (b.-,) — heeft tot componenten -, — , — .

fH 'o fo

Het tweede deel is gelijk aan de electrostatische kracht, die zou worden uit-
geoefend door een moment I) in P, wanneer wij onder I) de som der groothe-
den ( i, (o3) en (w4) verstaan.

Het derde deel eindelijk is gelijk aan de inductie, die men zou hebben, wan-
neer in P een stroomelement « o- B bestond.

Daar verder blijkens § 9 % = iJ is, zijn de componenten der magnetiseerende
kracht (I, § 16)

Men vindt hieruit, dat deze kracht in elk punt van den aether uit twee deelen

). Il v

bestaat, waarvan het eene de componenten -— (= 0), — , —heeft, terwijl het

andere deel gelijk is aan de magnetiseerende kracht, die bij het stroomelement
(b) zou behoor en.

Uit het bovenstaande volgt, dat. wanneer wij thans in P in de richting der
ff-as een eiectrisch moment — D plaatsen (dat alleen electrostatische werking

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 35

uitoefent) en evenzoo een stroomelement — a (j~ B\ de componenten der totale

electromotorische kracht —,—,'- en die der magnetiseerende kracht — , — , —

«o fo f o Jo #o #o

worden, zoodat dan de bewegingstoestand (A) werkelijk bestaan kan. Met an-
dere woorden, om dezen bewegingstoestand te onderhouden is in P het moment
— D en het stroomelement — cc q'z B' noodig.

§ 12. Hetgeen wij tot nu toe gevonden hebben geldt in het algemeen, hoe
groot ook de straal q der holte S moge zijn. Wij zullen thans echter zien, wat
er van de grootheden — D en — a^2 B' wordt, wanneer wij dien straal zeer
klein stellen. Neemt men de waarden van C, A, A'. B, B' in aanmerking, dan
vindt men na ontwikkeling

10 3 \(j~ qY0 I \(JÓ (>-V0 ó(j\0- )

=«[ (ft+| {{) j ^r+4ff^Vo8(l+47r*o) +^"-1457r^V°3 ) 5(1+4^o)+(2-^) j +

V03 1 o -i

_ a e» .B'-a. !«(ƒ!• + :£ ft"
ü \ vo

in welke uitdrukkingen f\, f{, enz. de waarden van dy. — — , fx' \t — ^-j,

enz. voorstellen.

Deze functiën kunnen echter volgens het theorema van taylor in reeksen

naar de opklimmende machten van — ontwikkeld worden. Zoo is b. v,

h = h {') ~ £ h' Kt) + y^ h" (0 - enz.

vo * vo"J

en door deze waarden in de voor ■ — D en — a^fiB' gevonden vergelijkingen
over te brengen, verkrijgt men in de eerste termen met f\{t), ^T/i Wt enz->

in de tweede daarentegen termen met fi(l), ^rzf{"(t) enz. als factor.

10'

36 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLA.NTTNGSSNELHEID VAN HET

Nu mogen wij veilig aannemen, dat de straal (> dei- holte zoo klein is, dat

gedurende den tijd r = — -, dien de transversale trillingen noodig hebben, om

* o

in den aether den afstand g af te leggen, de functiën fr (/), f\ (t), enz. slechts

v„
fi (t) gedurende den tijd r voorstelt mag men die grootheid ten opzichte van

c

v„

uiterst weinig veranderen *. Daar dan echter - f{ (t) juist de aangroeiing van

v o

fi(t) verwaarloozen. Des te meer reden bestaat er om ook 7rzfi"(t) en de ter-

men met de hoogere differentiaalquotienten weg te laten, zoodat men in de uit-
drukking voor — D slechts de termen met /\ (t) behoeft te behouden. Evenzoo
blijft in — a y" B' slechts f\ (t) over. Neemt men bovendien in aanmerking, dat

f0(l -f- -I n&ü\ dl

is, dan wordt

/ 8 1 \ n S tl m ,

§ 13. Zoeken wij thans de electromotorische kracht, die tengevolge van den
bewegingstoestand (A) in eenig punt (r, y, z) der holte werkt. Vooreerst volgt
uit (12) een electromotorische kracht met de componenten

— cc. - n C, 0, 0.

Evenzoo verkrijgt men uit (22) en (26) de componenten

1 . .„ ö /3 . . ..\ 1 „ f8_d ƒ3

a. — . 3 a y A* — -A + A' ; «. — . 3 .r z ,43 — I - A -f- A'
De componenten der electromotorische kracht, die uit (27) volgt, zijn
«.7^-4»(*-l)^(2*»+!*-54»j; «.-i-^W-— 1)^-.2^; «.— -4»(t— ])— U«i

* Bij enkelvoudige trillingen is dit liet geval, wanneer p slechts zeer klein is vergeleken met
de golflengte.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOPFEN. 37

en eindelijk die, welke men uit (28) vindt

dB
— a . 4^i90.J2 , 0, 0.

Door middel van de waarden C, A, A', B, B' vindt men dus de componenten
der gezochte electromotorische kracht en wanneer men nu in aanmerking neemt,
dat (/ en dus binnen de holte ook x, y, z, r zeer kleiu zijn (verg. de vorige §),
dan kan men in de uitkomst een aautal termen verwaarloozen. Het blijkt dan,
dat men aan de electromotorische kracht in elk punt der holte de richting der
x as en de overal gelijke grootte

8 1
(x . - n . — mx (30)

. 1 cfinix

mag' toekennen. (Hierbij zijn termen verwaarloosd, die den factor a.——„——^

bevatten.)

Uit de in § 9 meegedeelde waarden volgt eindelijk nog voor de componenten
der magnetiseerende kracht in eenig punt der holte

4s dmx 4 >/ dm.r

0, a . - n A - • . — — , « . - n A — . — ^ 1 )

o gd at 3 (jA at

§ 14. Op dezelfde wijze, als wij hier met (A) zijn te werk gegaan, kan men
ook met den bewegingstoestand (B) handelen. Men vindt dan, dat men, om de-
zen te onderhouden, in P een electrisch moment

*>

«o
en een stroomelement

ft.l- n + - \mx (32)

r, 4 (l ui. r

"^•3^77 -....(33,

moet plaatsen. Bovendien werkt ook tengevolge van (B) in elk punt der holte
een electromotorische kracht in de richting der £-as en de grootte daarvan is

n S 1

/i.-n.-jmj- (34)

38 OVER HET VERBAND TÜSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET
(Bij de afleiding- van (82), (33) en (34) zijn grootheden weggelaten, die resp.

, „ , a V2 d*Mx (f d*mx 1 dïmx

de factoren p.— -—, ft. — ,-rr-, ft. ~—\ TT bevatten.)

De componenten der magnetiseerende kracht eindelijk, die door den bewegings-
toestand (B) in eenig punt der holte wordt uitgeoefend, zijn

4 z dmx , 4 » dm*

§ 15. Uit het thans gevondene blijkt, dat ter onderhouding van de bewegin-
gen (A) en (B) in het middelpunt P der holte het moment

(« + ft) [~7I + -

en het stroome! ement

d m

x

moeten geplaatst worden. De formules (A) en (B) zullen dus de door de molecule
P opgewekte bewegingen voorstellen, wanneer de zooeven aangegeven uitdruk-
kingen gelijk zijn aan het moment mx en het stroomelement — , die werkelijk
in het deeltje bestaan. Derhalve moet

(* + 0)U» + -) =1 en (2 a— /?).**= 1
zijn. Aan deze vergelijkingen windt voldaan door

1 + 4jF«n _ 1

« = " - 8 . I» = - g (36)

4tp(1+-w«0) 4 jï(1+-ït«o)

en hiermede zijn de electrische bewegingen, die zich van de molecule P uit in
den aether voortplanten, geheel bekend *.

* Laat men =0 tot 0 naderen, dan moet natuurlijk hetzelfde ook met de componenten der dië-
lectrische polarisatie in den aether het geval zijn. Toch naderen dan volgens (36) a en P niet

tot 0. Maar voor e0 = 0 wordt V0= Vo = °° en (lus *n fIe formules (A) en (15) fAt— —

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MTDDENSTOFPEN. 39

§ 16. Wij gaan thans over tot het geval (§ 3), dat in den aether een aantal
holten bestaan en dat in het middelpunt van elke daarvan een deeltje met een
electrisch moment (mz, my) m:) bestaat. De grootheden mr, m31 m: zijn daarbij
als afhankelijk van den tijd en van de plaats van het deeltje te beschouwen.

Elk deeltje zal nu weer, op de boven onderzochte wijze electrische bewegingen
in den aether opwekken, maar deze bewegingen zullen zich nu niet meer onge-
stoord voortplanten, maar herhaaldelijk door de grensvlakken der holten worden
teruggekaatst. Wij zullen intusschen in de volgende § § aantoonen, dat men,
wanneer de holten zeer klein zijn, de totale beweging in den aether op de vol-
gende eenvoudige wijze kan verkrijgen.

Men stelle zich 'voor, dat bij het moment mx van eenig deeltje P bewegingen
in den aether behooren, die nog steeds door de vergelijkingen (A) en (B) be-
paald worden. Eveneens verbeelde men zich, dat bij de momenten my en m: van
dit deeltje bewegingen behooren, die geheel met de zooeven genoemde overeen-
komen, zoodat in de uitdrukkingen daarvoor dezelfde constanten « en ft optre-
den. Zij P de geheele bewegingstoestand, die aldus bij het deeltje P behoort.
Om den totalen bewegingstoestand Q in den aether te verkrijgen heeft men
dan slechts aan te nemen, dat bij elke molecule bewegingen behooren, die n;et
P overeenkomen, en dat de constanten « en ft voor alle deeltjes dezelfde waar-
den hebben.

Hierbij valt op te merken, dat de bewegingen P in den aether, die bij eenig
deeltje behooren, nu niet meer geheel door dat deeltje worden opgewekt, maar
dat daaronder ook bewegingen begrepen zijn, die, van de andere moleculen af-
komstig, door het grensvlak der holte, waarin 't beschouwde deeltje ligt, zijn
teruggekaatst. Het gevolg daarvan zal dan ook zijn, dat de constanten « en ft
thans andere waarden dan (36) aannemen.

§ 17. Om nu de momenten en stroomelemeuten te vinden, die ter onderhou-
ding van den bewegingstoestand Q noodig zijn, en om tevens de terugwerking
van Q op de moleculen te leeren kennen, verbeelden wij ons vooreerst de bewe-

f (l — — --)=ƒ',(<). Verder is dan /_ f_/i(^) =0, zoodat raen voor de waarde van £ in (A) ook

"\2 "1 —i

kan schrijven a— ;| /', (t) \. Voegt raen nu de waarden (A) en (B) bij elkaar, dan komt er
o z~ [_ r J

en voor e0 = 0 verdwijnt ook de hier voorkomende factor a-f-^.

40 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

gingen P, die bij eene molecule P behooren, uitgestrekt over de geheele ruimte
buiten de holte, waarin dit deeltje ligt. Om dan deze bewegingen te onderhou-
den, is, zooals uit het in § 15 gezegde is af te leiden, in P een electrisch mo-
ment noodig met de componenten

i" + fl){ %" + - ] »*. (« + ,3) -JT + -) ■ (« 4- /?) li n 4- - ] mz ..(37)

en een stroomelement met de componenten

_ 4 <3/«r „4 ') «„ „ 4 0<w-

{ia—fi.-*-f, {Za—p).-n—Z, (8 «_#.-«— 5. . . .(38)

Zijn werkelijk dit moment en stroomelement in P aanwezig, dan zijn de com-
ponenten der electromotorische en magnetiseerende kracht in eenig punt van den

aether resp. --, ~, — , ~, '-^', — -, waarbij de index /> aanwijst, dat wij met
e0 e0 s0 «>0 »>0 #0

de bewegingen P te doen hebben.

Verder vindt men uit §§ 13 en 14 voor de componenten der electromotori-
sche en magnetiseerende kracht, die tengevolge van de bewegingen P in eenig
punt der holte werken, resp.

{a + 0).-n.—t (« + /?).7»5-{, (« + £).-».-;. • . . . (39)

O O' o ^d o ^°

en

. ^ 4 1 ƒ o '- bmv\ 4 1 / e»* d«*\

4 1/0 "'v 0 'V\

("+«-ï-M"^~'Tr) "J,)

§ 18. Laat nu al de bewegingen P, bij de verschillende deeltjes behoorende,
te gelijk bestaan en nemen wij vooreerst nog aan, dat de bij elk deeltje behoo-
rende beweging over de geheele ruimte buiten den bol S, waarin het ligt, is
uitgestrekt. Dan hebben wij ook binnen eiken bol S nog een diëlectrische en
een magnetische polarisatie, waarvan de componenten, die wij §', >/■ 'C', X', fx', v'
zullen noemen, verkregen worden door 2 §p, 2riP, 2 £p, 2XP, —,",, — vp te
nemen over de bewegingen P, die afkomstig zijn van al de deeltjes, met uit-
zondering van het in den beschouwden bol zelf geplaatste.

Om nu al de bewegingen P te onderhouden, zijn in het middelpunt van eiken

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 41

bol het electrisch moment (37) en het stroomelement (38) noodig. Wanneer deze
werkelijk bestaan, is het verder niet moeilijk de electromotorische en magneti-
seerende kracht aan te geven, die binnen eenigen bol S werken. De eerste
kracht bestaat uit het deel (39), afkomstig van de bewegingen P, die bij het
in S zelf geplaatste deeltje behooren en uit een tweede deel met de componenten

— , — -, dat afkomstig is van de bewegingen, die bij de overige trillingsmid-

f0 f0 £0

delpunten behooren, en van de in die punten geplaatste momenten en stroom-
elementen (37) en (38). De componenten der electromotorische kracht, die uit
deze oorzaken te zamen voortvloeit, zijn dus

{„+/»**.% + *, («+0.!*.=5+3:, («+i«).£,.2+£..:(4i)

6 (r «o <* r £o s e* f0

Evenzoo vindt men voor die der magnetiseerende kracht

„4 1 / j) tnv è nix\ v'

("+")-s^yb7-*T7)+F0 •- <4Ï>

§ 19. Om eindelijk den bewegingstoestand Q (§ 16) te verkrijgen heeft men
nog slechts de binnen de bollen S voorkomende diëlectrische en magnetische
polarisatie (£', tj', £'), (*', p', v') weg te laten.

Zooals ons later zal blijken mag men aan de componenten daarvan over de
geheele uitgestrektheid vau eenigen bol S dezelfde waarden toekennen. Het ge-
volg daarvan is, dat men gemakkelijk voor de binnen 8 voorkomende diëlectri-
sche polarisatie, stroomverdeeling — , — , — ) en magnetische polarisatie de

grootheden <p, U, 95, 9B, enz. kan berekenen, waaruit men dan, zoo voor een
uitwendig als voor een inwendig punt de door den bol uitgeoefende electromo-
torische en magnetiseerende kracht kan afleiden. Men vindt op deze wijze, dat
de werking, door den bol naar buiten uitgeoefend, ook zou kunnen verkregen
worden, wanneer slechts in het middelpunt een electrisch moment m', een stroom-
element s' en een magnetisch moment m' geplaatst waren. De componenten dezer
drie grootheden zijn resp.

-ènQH' + ^(l-Jc)nQ^A^ (43)

11

NATUURK VfiRH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

42 O VEE HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOOETPLANTINGSSNELHEID VAN HET

4 ,dr 4 W 4 ȣ'
— 7i od — s -nu6 — , —nu6 ,

4 4 4.

-TT^U', -JT^V. -7I(>3J",

waarbij uog valt op te merken, dat men, wegens de kleine waarde van q (verg.
§12) voor (43) ook eenvoudig de grootheden

4, 4 4

mag stellen.

Wanneer wij thans den hier beschouwden bewegingstoestand binnen de bollen
S weglaten, maar tevens in het middelpunt van eiken bol de momenten m', m'
en het stroomelement s' plaatsen, dan ondergaan de electromotorisehe en de
magnetiseerende kracht, die in eenig punt van den aether werken, geen veran-
dering. Voegt men derhalve bij m' en s' nog de grootheden (37) en (38),
dan kent men voor elke ho'te het electrische moment, het stroomelement en
het magnetische moment, die in het middelpunt geplaatst moeten worden, om
den bewegingstoestand Q te onderhouden. Zal dan deze laatste kunnen bestaan,
dan moeten de aldus berekende grootheden gelijk zijn aan het electrische mo-

) ^mx ö% Of'h\
ment (mx, ms, m,), het stroomelement l— , — , — I en het magnetische mo-
ment (m,, i%, m2), die werkelijk in het middelpunt aanwezig zijn. Dit is het
geval, wanneer voor elk deeltje

(« + ft) (|« + j\»* + ~™ ^3 ÏÏ =

mx.

(* + fl) ( 3 » + ~ K + g » ? n' — %j / («)

/ 8 1 \ 4

(« + ft) ( ö * ^ ] m* + g n u6 £' = mt,

(z a — 3) .- Ti - — n u" — = ,

4 i) mu 4 „ d >/ ö «»

(2a-/?)-37IT7 + 37r^3i7 = T7'

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFEEN. 43

4 4 4

-n^k' — mx, -n(»V' = %» ~w^8v'«=m, (44)

ö ö ö

is.

§ 20. Beschouwen wij ten slotte nog de electromotorische en de magnetisee-
rende kracht (X, F, if') en (L', 3f , V), die binnen eenige holte S door al,
wat er buiten ligt, worden uitgeoefend. Wanneer wij vooreerst den bewegings-
toestand (£', rj', £', A', /*', ï'') binnen alle bollen, behalve den beschouwden, door
de in de vorige § aangegeven electrische en magnetische momenten en stroom-
elementen in de middelpunten vervangen, dan heeft dit op de in § 1 8 beschouwde
electromotorische en magnetiseerende kracht binnen 8 geen iD vloed. Bovendien
hebben wij dan, tengevolge van («), (/?) en (44) den invloed door de werkelijk
in die bollen geplaatste momenten en stroomelementen uitgeoefend, behoorlijk in
rekening gebracht. Om derhalve de krachten (X', F, Z\ (L', M', N') te ver-
krijgen hebben wij nog slechts van (41) en (42) de electromotorische en de mag-
netiseerende kracht (X", F", Z") en [L", M', N") af te trekken, die door den
bewegingstoestand (£', y', £', A', //', v') binnen den beschouwden bol zelf voor-
komende, worden uitgeoefend.

§ 21. Nu vindt men op de iu § 19 aangegeven wijze

Z^--^|'+ïï.^0-3-3(/)y|' + ^(^-l)-^[(--5^)|| +

Daar (j en dus ook r, x, y, z zeer klein zijn (verg. § 12) mag men echter van
de vier termen, waaruit X" bestaat, den tweeden en den derden ten opzichte
van den eersten verwaarloozen, zoodat

en eveneens

4 4 / èv' dA'\ „ * .., , 4 / ÖA' è/A

wordt. Verder vindt men

11*

*" — ï^+ï^raT- f"d<y

44 OVER HET VEKBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

en volgens het in de vorige § gezegde wordt eindelijk

„ 8 mx F 4 4 / üu' öj/'\

r=^^3^n+r^1^-^)' enz (45)

In het middelpunt der holte (voor x = y = z = 0) worden deze uitdrukkingen

«o

*' 4

I», = (« + /?). -w-^ + - + -w|', enz.

L„ = — n a , enz.

§ 22. Nu wij aldus de electromotorische en de magnetiseerende kracht gevon-
den hebben, die tengevolge van de beschouwde electrische bewegingen op een
der in 't middelpunt der holten geplaatste deeltjes werkt, kunnen wij de laatste
vergelijkingen opstellen, waaraan de beschouwde bewegingen voldoen moeten.
Blijkens het in § § 2 en 3 gezegde moet nl. voor elk deeltje

en

r, . a. o mx c * -,

L ó ^ f0 «3 J

*[(« + ,?). |^+^' + ^']=%, ^ (y)

L 3 ^ e0 3 -1 .'

4 4

/ A 4 \ o hu 4

-+-7rA' =mi, hr+öff<" =%-

4

~T— U + s*" =mz (47>

zijn.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEK MIDDENSTOFFEN. 45

De laatste vergelijkingen drukken echter dezelfde voorwaarde uit als (44).
Daaruit volgt, dat aan alle voorwaarden van het vraagstuk voldaan wordt, wan-
neer men slechts mr, %, mz zoodanig als functiën van de coördinaten en den
tijd en cc en ft als constanten bepalen kan, dat aan («), (ft) en (y) voldaan is.
Immers, dan zijn door middel van de vergelijkingen (A) en (B) en de andere
daarbij behoorende ook A', ^', v' bekend en (44) en (47) leveren dan dezelfde
waarden van m*, i%, nu op.

§ 23. Wij zullen nu bewijzen, dat aan de vergelijkingen («), (/?), (/) werke-
lijk voldaan kan worden, wanneer zich in het stelsel moleculen transversale
electrische trillingen voortplanten. Daaronder verstaan wij in het algemeen eiken
bewegingstoestand, die voldoet aan de vergelijkingen

~r + t^ + v~ = ° '

ox dy dz

A 1 dV, / 1 &*, 1 d*mz '

Hierbij hebben wij ons den oorsprong der coördinaten in een willekeurig ge-
kozen punt voor te stellen, terwijl V de voorloopig onbekende voortplantings-
snelheid der transversale trillingen is.

>»x = h ('r>y» *, t), >*>!) =h fay, z, 0. ■»■ = /'s (tf.y, *,t) (**)

eenig stel waarden, dat aan de vergelijkingen (C) voldoet, waarbij wij zullen
aannemen, dat fu f\2l f3 doorloopende fuuctiën zijn, die of alleen op eindigen
afstand een van 0 verschillende waarde hebben, of althans bij toenemenden af-
stand zeer snel afnemen. Trachten wij dan de waarden van £', >?', £' te bere-
kenen binnen eenige holte S, waarvan 't middelpunt P de coördinaten x', y, s>
heeft en noemen wij «laarbij &», 9l', £,' de waarden, die men verkrijgt, door al-
leen de transversale trillingen in rekening te brengen, die in den aether worden
opgewekt, evenzoo bV, %', £,' de waarden, die uit de longitudinale trillingen
voortvloeien.

Wij zullen bij deze berekening nog aannemen, dat bij den overgang van mo-
lecule tot molecule de electrische momenten mx, mg, mz slechts uiterst langzaam
veranderen, hetgeen klaarblijkelijk bij de lichtbeweging het geval zal zijn, wan-
neer de golflengte l, vergeleken met den ouderlingen afstand der deeltjes, zeer groot
«. Men kan dan om het punt P als middelpunt een bol B met een straal R
beschrijven, die zeer groot is vergeleken met den onderlingen afstand der deel-

46 OVER HET VERBAND TÜSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

tjes, maar toch zoo klein, dat voor de binnen B gelegen moleculen de momen-
ten mx, %, mz slechts zeer weinig van die van het deeltje P verschillen. De
grootheid li' bestaat dan uit twee deelen, waarvan het eene §i'ia) afkomstig is
van de buiten I?, het andere Si\s) van de daarbinnen gelegen moleculen. Het-
zelfde geldt van ifo', £1', la'i 'te'* £2'-

§ 24. Om nu vooreerst !/(„) te berekenen merken wij op, dat de straal y
der liolte £ zeer klein is ten opzichte van den afstand van P tot alle buiten B
gelegen deeltjes, zoodat wij ^{a) over de geheele uitgestrektheid van 8 even
groot kunnen stellen en dus slechts de waarde in het middelpunt P (x', y', z')
hebben te zoeken.

Is dan Q eene molecule, die op een afstand r van P in het punt (x, y, z)
ligt, dan vindt men door middel van de formules (A) het aandeel, dat het mo-
ment mx dezer molecule voor £i\a), Vi\a), £/(«) oplevert. Door letterverwisseling
worden ook de aandeelen gevonden, die bij de momenten %, ms van Q behoo-
ren en men verkrijgt aldus voor het deel van Sua), dat bij het deeltje Q behoort,

(19)

Hierbij m A' - £ + ~ + ~, terwijl wij A - ^ + ^ + ^ zullen

stellen.

Om nu uit (49) £i'(a), »h'(«)> fi'(«) af te leiden moet men over al de buiten B
gelegen moleculen Q sommeeren. In plaats daarvan kan men echter ook over
de ruimte A buiten B integreeren. Men kan nl. deze ruimte in een aautal even
groote geheel gesloten vakken verdeeleu ; zoodat in elk daarvan eene molecule

lio-t. De inhoud van elk vak is dan - , als p het aantal deeltjes in de ruimte-

eenheid voorstelt. Verder mag men, tengevolge van het in § 23 gezegde, de
fuuctiën f1; f2, fs, r over de geheele uitgestrektheid van eenig vak als constant
beschouwen, zoodat hetzelfde ook met de functie F het geval is, die het tweede
lid van (49) uitmaakt. Daaruit volgt, dat men door over eenig vak de integraal

pi ƒ I F dr te nemen (cZr ^-=dxdy dz) juist de grootheid !/(,;) voor de in dat

vak geplaatste molecule verkrijgt. Daar hetzelfde ook voor de andere vakken

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFPEN. 47

geldt, verkrijgt men voor ^'{a) p J J J ^F cl r, waarbij de index {A) aanwijst,

dat de integraal over de geheele ruimte A buiten den bol B moet genomen
worden. Derhalve is

§ 25. Om lx te vinden kan men van de volgende beschouwing gebruik ma-
ken. In de grootheid - fi l .v, y, z,t — ^-J komt x op twee wijzen voor, nl. voor-
eerst in r en ten tweede daarbuiten. Wanneer wij nu onder — fi aH het wer-

kelijke differentiaalquotient naar x verstaan, onder (~) [- /J daarentegen het

differentiaalquotient, dat men verkrijgt, door r als standvastig te beschouwen,
dan is

dus

Men vermenigvuldige deze vergelijking met d r en integreere over de ruimte A.
Daarbij kan men in de laatste integraal van het tweede lid de integratie naar

,v uitvoeren, zoodat deze term (daar - fx op oneindigen afstand verdwijnt) slechts

een integraal over het boloppervlak B oplevert. Wanneer a', b\ c' de richtings-
constanten zijn der aan dit oppervlak naar buiten getrokken normaal, dan vindt
men op deze wijze

Even als wij hier een vergelijking gevonden hebben voor het eerste deel van ƒ,

48 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOOKTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

kunnen wij ook met het tweede en derde deel te werk gaan en wij verkrijgen
dan door optelling

^ffi,m^M^Hm^fi^

+ >Sh+c,fs)dB..(52)

Nu is echter bij de eerste integraal de functie onder het integraalteeken niet

, , , . .. 1 /Ji»f èm,, dm.\ . r

anders dan de waarde, die — — +~rJl + - — voor den üid t — — aanneemt,

r \ ox oy oz } v0

en daar nu de eerste der vergelijkingen (C) overal en ten allen tijde moet gel-
den, is de eerste integraal in (52) = 0.

In de tweede integraal van die formule kan men wegens de kleine waarde van den

straal R van B de functiën f} U,y,z,t—~), fz [x,y,z,t — — j, fsiv,if,z,t—~\

Y

in reeksen naar de opklimmende machten van — ontwikkelen. Uit het theorema

> o

van tatlor volgt b. v.

/ r\ r d«* , ?* ö2 »ix

ti[+*«t-~T0rm'"0iï + ïv^ - enz'

dus

1 / r \ 1 1 d»/x , r }>2mx

r \ v0/ r V0 }>t 2V02 è*2

Op deze wijze verkrijgt men

Zijn nu x, y, z de coördinaten van eenig punt van het boloppervlak ten opzichte
van assen, door P evenwijdig aan de oorspronkelijke gebracht, en duiden wij de
waarden in P door den index p aan, dan is in (53)

mx = (mx)p + x — + y I — + z — - i + enz.,
\ d m jp \ d i \ dz lp

terwijl men ook m,n mz in dergelijke reeksen kan ontwikkelen. Bij de
integratie verdwijnen nu de termen met de eerste differentiaalquotienten van

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFEEN. 49

mx, ?%, mz. Wegens het in § 23 over R gezegde mag men ook de termen met
de tweede differentiaalquotienten verwaarloozen. Bij enkelvoudige lichttrillingen

zijn nl. die termen van de orde (-- ten opzichte van die, welke (mr)p enz.

X V 7

zelf bevatten. Ten slotte wordt dus, daar «' = -, b' = -, c' = — -en, in het mid-

ti K R

delpunt p' 77" = ¥ is'

*i = h i {vu)pj j x2 d B + {mv)p j j x y d B + {mz)p f I xzdBl

of

Hl 4

§ 26. De integraal I2 in (50) kan men op twee wijzeu transformeeren. Voor-
eerst kan men op i^ — ][-f1L;,}/,z,t—~U dezelfde redeneering toepassen, die

wij boven voor -fx \x,y,z, t-~ — J bezigden. Men verkrijgt daardoor

terwijl men, door (51) naar x' te differentieeren, de betrekking
d" rl -1 ^/AU1 1 y rl -i

vindt. Telt men beide vergelijkingen bij elkaar op, dan komt er na omzetting

en hieruit volgt

12

NATUURK. VERH. DER KON1NKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

50 OVEE HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOOETPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Op dezelfde wijze kan men nog twee vergelijkingen opstellen, waarbij in
plaats van de differentiaalquotienten naar x en x' resp. die naar y en y\ z en z'
voorkomen. Telt men vervolgens de drie verkregen vergelijkingen bij elkaar op,
dan komt er in 't eerste lid juist J2; men heeft dus

W//-l(£)+(&M5)|i>-+

In de eerste integraal is de functie onder bet integraalteeken voor eenig punt

1 r

Q klaarblijkelijk niets anders als de waarde, die -Lm* voor den tijd t — —

r *o

in dat punt aanneemt. Men mag er dus blijkens (C) de waarde voor stellen, die

-^ — ~ in dat punt op hetzelfde oogenblik heeft en deze is — — -f±[x, y, z, t — — I

zoodat de eerste integraal in (55)

hffLMr>(-°- '-f>-

wordt.

Bij de berekening van de beide laatste integralen in (55) kan men op een
dergelijke wijze te werk gaan als bij de behandeling der in de vorige § voor-
komende integraal over het boloppervlak B. Het blijkt dan, dat men in de
laatste integraal van (55) voor fx Unx)P in de plaats mag stellen, zoodat deze

integraal den vorm

aanneemt. Deze grootheid is echter = 4 n (mx)p. Eindelijk kan men aantoonen,

* In het bijzondere geval, dat /', lx, y, z, t — — I als een product van twee factoren kan wor-

T

den voorgesteld, waarvan de eene slechts x, y, z, de andere slechts t — — - bevat, gaat de verge-

lijking (55) in een vorm over, dien men ook uit liet theorema van green kan afleiden. De be-
werking, waardoor wij (51) verkregen, verandert dan in de gewone partieele integratie.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 51

dat de eerste der in (55) voorkomende integralen over het boloppervlak ten op-
zichte hiervan kan verwaarloosd worden, zoodat men voor (55) verkrijgt

T2 = T*fffu)^rfl[X'y'*'t-Vj]dT + 4tn{m*)p (56)

Men kan in de tweede plaats J3 transformeeren door middel van de vergelijking

(verg. de formules (8) en (9)). Hierdoor wordt

en men kan deze vergelijking bezigen om uit (56) de nog voorkomende integraal
te doen verdwijnen. Dan wordt

4 n {mx)p 4 n (wx)p

-4 — 1

waarbij n — — den absoluten brekingsindex van het medium voorstelt. Substi-
tueert men eindelijk de voor I2 en — gevonden waarden in (50), dan ver-
krijgt men

Si («) = «-ri P (»<*)/> + « • — i — = a.-np (mx)p . - -. . . . (57)

§ 27. Beschouwen wij thans de grootheid %{(b) , die afkomstig is van de bin-
nen den bol B gelegen deeltjes. Daarbij valt op te merken, dat als Q een dezer
deeltjes is, de straal q der holte S (§ 23) misschien niet meer mag verwaarloosd
worden ten opzichte van den afstand P Q. Het gevolg daarvan is, dat de waarde
van het aandeel l/^ , dat Q voor l/^) oplevert, niet meer over de geheele uit-
gestrektheid van S dezelfde is. Zoolang intusschen (j niet al te groot is, zal
men voor eenig punt P' binnen de holte kunnen stellen

SlW = [h\9)]p + x' [^£l'(?)Jp + t \_fj, h\g)]p + *' L^< Si'wjji + enz. ,

12*

52 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

waarbij de index p de waarden in P aanduidt, terwijl x', y', z' de coördinaten
zijn van F ten opzichte van assen, door P evenwijdig aan de oorspronkelijke
gebracht. Blijkens (49) is dus

a i>x2]-r J dv ^y lr J d# dzvr J Lr

waarbij voor alle differentiaalquotienten de waarde in P moet genomen worden.
Deze uitdrukking moet men dan verder sommeeren over al de moleculen Q,

die binnen B liggen. Hierbij kan men nu op -f\, - f2, —fs dezelfde ontwikke-
ling als in § 25 toepassen en het blijkt dan, dat men, als in de uitkomst ter-
men verwaarloosd worden, die ten opzichte van (57) van de orde I - ) zijn, in

(58) voor fl7 f2, f3 de grootheden {mx)p, (ms)p, {»i2\j in de plaats mag stellen.
Het komt er dus slechts op aan, in het algemeen de som

$ = 2 — 7 ■ " (59)

dx df ö2 \rj

te bepalen, waarbij «, 6, c willekeurige getallen zijn. Daarbij maken wij gebruik
van de omstandigheid, dat de moleculen isotroop verdeeld zijn. Is dit het geval,
dan moet de grootheid S niet veranderen, wanneer men aan de assen andere
richtingen geeft, of, wat op hetzelfde neerkomt, wanneer men de assen onver-
anderd laat, maar aan al de deeltjes Q, met behoud van hun relatieven stand
een wenteling geeft om een door P getrokken as. Geeft men op deze wijze aan
de deeltjes /; verschillende standen, dan zal S ook gelijk moeten zijn aan de

grootheid, die men verkrijgt door in (59) voor elk deeltje - te vervangen door

-2-, waarbij dit somteeken betrekking heeft op de verschillende standen van

dit deeltje. Men neme uu h zeer groot en zorge, dat de verschillende standen
van elk deeltje Q gelijkmatig over een om P als middelpunt beschreven bolop-
pervlak verspreid zijn. Dan gaat - 2 - voor dat deeltje over in de potentiaal-
functie van een massa, die met overal gelijke dichtheid over het zooeven ge-

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 53

noemde boloppervlak verdeeld is. Daar nu de differentiaalquotienten dier poten-
tiaalfunctie in P 0 zijn, is ook 8 = 0 en L'(4, = 0. In (57) hebben wij der-
halve de totale waarde van §{.

§ 28. Het bovenstaande onderzoek wordt eenvoudiger, wanneer men mag aan-
nemen, dat ook voor elk deeltje Q, dat biuneu B ligt, de afstand P Q zeer
groot is, vergeleken met y. Dan wordt nl. (58)

a 0 .' - '- '' J ,)•<-' iV L/' J u«d«1-»' Lr j

of, wanneer men weer voor fu f2, /'3 (mx)p, (mv)p, (mz)p stelt,

1 3x3\ 3 xy 3xz
~„3 + — + ~r--T + m- — (6°)

waarbij x, y, z de coördinaten van Q zijn met betrekkiug tot de door P ge-
brachte assen.

Nu levert de vergelijking (60) bij het sommeeren 0 op, niet alleen, wanneer
de middenstof ten opzichte van alle richtingen, maar zelfs, wanneer zij slechts
met betrekking tot drie onderling loodrechte hoofdrichtingen dezelfde eigenschap-
pen bezit, zooals dit bij de kristallen van het regelmatige stelsel het geval is.
Kiest men nl. de assen evenwijdig aan de hoofdrichtingen, dan moet

xy xz

en dus. =0 zijn, daar de som dezer drie uitdrukkingen 0 is. Dat ook .2— =2 — = 0

is behoeft wel niet nader te worden aangewezen.

Wanneer dus de afmetingen der deeltjes vergeleken met hun ouderlingen af-
stand kleiu zijn, dan moeten de kristallen van het regelmatige stelsel dezelfde
optische eigenschappen bezitten als de volkomen isotrope lichamen.

§ 29. Op dezelfde wijze als §{ kan men ook £2> berekenen. Hier is volgens
de vergelijkingen (B)

!.'(,) -^

A[LAL,J,,>(_^j]+A[!^,,?,;,(_iJ]+A[i^,,Ai__lJ]j

en men vindt hieruit door beschouwingen, die geheel met de in § 25 meege-
deelde overeenkomen,

54 OVER HET VEKBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHKID VAN HET
terwijl weer Sz\t) = 0 wordt. Ten slotte is dus

4 / w2 _i_ 2 \

F — 11' + 5j'=-ipWf «"^ [ + /?)» enz.,

of, wanneer rnen

4 / «2 +2 \

Ïï^(a^~ + /?H l61)

stelt en den thans overtolligen index p weglaat,

g' = q mx, t]' — qmy, £' = qmg (62)

§ 30. Substitueert men nu deze waarden in de vergelijkingen (a), dan volgt
uit elke daarvan, wanneer men resp. door mr, w%} »»« deelt

l' + Afc + ^+t***-'1-

(63)

Evenzoo verkrijgt men uit (/?) en (y) de betrekkingen

(2 a — (i).^n+-n^q = \ (64)

en

8 / 4 1 \ os

3 \3 e0/ x

(65)

Daar wij dus drie vergelijkingen hebben tusschen a. /? en q (uit welke groot-
heden men dan door middel van (61) n en dus V kan bepalen) kan werkelijk
de onderstelde bewegingstoestand bestaan, terwijl tevens alle nog onbekende
grootheden berekend kunnen worden.
Men vindt bij die berekening

'8

■j3

g-2 £_£/_£ a= V d ,, _£L_..(66)

waaruit vooreerst blijkt, daar toch e0 een zeer groot getal is (I, § 23), dat de
amplitudo der in den aether opgewekte longitudinale trillingen vergeleken met
die der transversale uiterst klein is.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MDDENSTOFFEN. 55

Uit (61) volgt nu verder

n2 + 2

]

ï2— 1 I + 4 Tl f0

Tl CC p

en daar uu althans grooter dan 1 is, mag men hier de breuk - — ■

n% — 1 1 -+■ 4/rf0

verwaarloozen en dus schrijven
«2 + 2 q

12

-M

1 +-

>fl— i

-jr«^ -^p (1 + 4-7Tf0) 4^f0 11— — ]

4 Tl f Q

Stelt men nog den hier voorkomenden factor ; — ;— r- ~ = h dan wordt

1 -f 4 n e

«2—l

1

0

\x o6 x

4 I Q

-rep 4>ite0\l— — )

(67)

Is nu (l de dichtheid van het medium en m de massa van een der deeltjes,
d
ia

dan is p = ; en uit de zoo even verkregen vergelijking volgt

«3—l

(«2 -J- 2) d

= k,

(D)

wanneer men kortheidshalve

k =

4 „ (J

- Tl (JS (3 + 4 7T «o) 4 TT f0 . -

3

(68)

(3 + 8 Ti e0) . - — 8 n e0

/f

stelt.

Wanneer de dichtheid der stof verandert, maar de deeltjes daarbij dezelfde
eigenschappen behouden, dan blijft blijkens (68) ook k onveranderd. Derhalve

«2-1

moet dan volgens de hier gegeven theorie het quotiënt

(»2 + 2)rf

constant blijven.

56 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

§ 31. De constante *, die in de verkregen formules voorkomt, moet steeds
een zoodanige waarde hebben, dat n > 1 en dus k positief wordt.
Nu kan men voor (68) schrijven

4 3 + 4 n 1 0 03

- 71 Q6

3 4 n s0 4 n e 0 y

m 3 + 8 7r f 0 qz 8 n s0

y 3 -f- 8 n e0

en daar nu

3 -)- 4 /r e0 87i60

^ Q

4 7i «o 3 + 8 jt «o

is, kan k slechts positief zijn, wanneer

3 + 4"t.o > ^ > - S7Tf°- (69)

4 jt e0 * 3 -{- 8 ji e0

is en dus teller en noemer in (68) positief zijn. Daaruit volgt dan, dat wanneer
y toeneemt (al het overige gelijk blijvende) ook k grooter wordt.
Tengevolge van (D) is echter

n

2

1 + %Yd
\ — \d '

(70)

zoodat vooreerst k cl < 1 moet zijn en bij toeneming van y en k hetzelfde ook
met n moet gebeuren.

3
Eindelijk volgt nog uit (69) en (66), dat a tusschen 0 en — moet liggen.

§ 32. Bij al het voorgaande werd de in § 2 gemaakte onderstelling volge-
houden, dat in het middelpunt van elke holte S een enkel deeltje aanwezig is.
Wij hebben thans nog aan te toonen, dat de verkregen resultaten ook door-
gaan, wanneer men omtrent de stof binnen de bollen S andere onderstellingen
maakt.

Men zou b.v. kunnen aannemen, dat elke holte S geheel gevuld is met een
homogene stof, waarvoor de constante Sj der diëlectrische polarisatie een andere
waarde heeft dan voor den aether, terwijl de constante der magnetische polari-
satie nog steeds &Q is (verg. § 3). Wanneer nu buiten den bol S alles hetzelfde
is gebleven als bij het voorgaande onderzoek, dan zijn de componenten der uit-
wendige electromotorische en magnetiseerende kracht, die op den bol werken,

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEK MIDDENSTOFFEN. 57

door de formules (45) en (46) bepaald (waarbij weer het middelpunt P van S
tot oorsprong van het coördinatenstelsel moet gekozen worden). Verwaarloozen
wij nu vooreerst die deelen van deze krachten, die niet over de geheele uitge-
strektheid van S dezelfde grootte en richting hebben, dan mogen wij voor die
componenten in elk punt van S de waarden stellen, die zij in het middelpunt
hebben, en die wij vroeger met Xp', Yp, Zp', enz hebben aangeduid.

Veranderden nu deze grootheden niet met den tijd, dan zouden binnen den
bol een diëlectrische en een magnetische polarisatie worden opgewekt met de
componenten

§ = - -~ - Z,\ v = S-\ Tp', £ = 5j Zp, . . . (71)

1 + gwcl i + ^fi ! + -rc*i

*- *° V. M *—*,'• r- — T— V' ■ ■ ™

Stellen wij ons voor, dat deze polarisatiën ook nog bestaan, wanneer, zooals bij
ons vraagstuk het geval is, Xp', Yp', Zp', Lp', Mp', Np' met den tijd veranderen
en zoeken wij de totale electromotorische en magnetiseerende kracht, die dan in
eenig punt binnen S werken. Wij hebben daartoe slechts aan (Xp', Yp, Zp'),
{Lp, Mp', Np') de electromotorische en magnetiseerende kracht toe te voegen, die
tengevolge van (71) en (72) zelf werken. De componenten der eerste kracht zijn
echter (verg. § 21)

4 4 / d/u dv\ 4 4 / dv dX

— Ti c -\ — n A\z — — y — , n ri -\ — n A \ x — - — 2 —

3 3 \ dl y dl ) ;3 o \ dl dt

4 * 4 l dX du\

-z^ + znAV7t-x1l) (73)

en die der laatste

4,4 / dl drA 4 4 / d\ d£\

— ttT X -\ — n A \y — — z — 1 , — — n u A — n A\ z — — x — I ,
3 T3 Y dl dij' 3 PT3 \ dt dl)'

4 4 / dn dg\

-ï"+rT^"^l (74)

Laten wij dus voorloopig ook hier de krachten weg, die niet over de geheele
uitgestrektheid van 8 dezelfde waarden hebben, dan worden de componenten

13

NATUURK VEBH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

58 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

4
3

4 „, 4 „ , „, 4 , , r . 4 „ 4

der totale electromotorische en magnetiseerende kracht resp. — — n 1 4- -X/,

— - « j? 4- F/, — -TT £ + Z/, - -TT A + Lp', — - nfi + 3/,;, — - n v + Np', of,

!; t] £ X fi v

als men op (71) en (72) let, - -, — , — , — , — , —, zoodat dan de door (71) en

Sl Sl «x f/0 iTq tt0

(72) voorgestelde toestand werkelijk binnen den bol bestaan kan.

Deze polarisatiën oefenen echter (verg. § 19) naar buiten dezelfde werking
uit als een electrisch moment, een stroomelement en eeu magnetisch moment in
het middelpunt P met de componenten

4 / 4 \ 4

^e3*i A I Q-Tc3fi ~ti^&

X,;, enz., —

g-v -0

X>' j, enz., Lp', enz.

4 4

4 '" ' dt^

l+3«*i V+.J71'! l+8»-*o

Het is gemakkelijk, hieruit af te leiden, dat alles op hetzelfde zal neerkomen,
als wanneer in het middelpunt een enkel deeltje geplaatst was. Voor dat deeltje
moet dan echter

4 3
g n (T e ï

*- — r (75)

1 + 3-,

ziju, terwijl bovendien de reeds vroeger aangenomen vergelijking (5) moet gelden.

§ 33. Wij moeten intusschen, voor wij hiervan zeker zijn, nog onderzoeken
of de electromotorische en de magnetiseerende krachten, die wij verwaarloosd
hebben, een merkbaren invloed kunnen uitoefeuen. Daartoe zullen wij nagaan,
welke toestand door deze krachten binnen den bol S wordt opgewekt en ver-
volgens de werking, die de bol ten gevolge van dien toestand uitoefent, verge-
lijken met die der in de vorige § beschouwde polarisatiën.

Nu volgt uit (45), (46), (73) en (74) voor de componenten der verwaarloosde
electromotorische en magnetiseerende kracht

4 / d ii' dt''\ 4 / du dv\

-JnA[zTt-'J^) +ï"AXTt-'7i} enz' i76)

, -i l / d/,iz dm„\ 4 I dL' d ty\ 4 / dL dr\\

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 59

Blijkens (72) en de in § 21 aangegeven waarden van Lp', Mp', Np' is h = X',

4
fi = fi, v = v', zoodat de componenten (76) verdwijnen. Verder is mx = - n (j3 £,

4 4

m„= -n()sr}, mz = -n{fi'Q en let men bovendien op de vergelijkingen (62), dan
3 3

kan men voor de eerste der componenten (77) schrijven

1 i 4 „4 } I dm~ dm*

of, volgens (64)

dm, dmv\

a I dmz dmv\

Hieruit volgt voor de componenten der magnetische polarisatie, die door de
magnetiseerende kracht (77) binnen den bol S wordt opgewekt,

a I dm, dm,,\ a f dmx dmt\ al dm dmx\

w*0vb7-*è7J' *wd**'f\Tt-aïï\ *"A**'f\m"~~9T*)'{ ]

en het is nu alleen de vraag, welke werking hierdoor wordt uitgeoefend.

Nu ontstaat uit de gevonden polarisatie geenerlei magnetische werking, maar
slechts een inductie. Om de electromotorische kracht daarvan te zoeken kan
men weer de bij (78) behoorende grootheden 2, SK, ÏÏ (I, § 18) berekenen. Men
vindt dan, dat de bedoelde electromotorische kracht in een punt buiten 8 gelijk
is aan de electrostatische kracht, behoorende bij een electrisch moment in P
met de componenten

-n-«"*-^ -n"V-*-i?' -*"«"*•£

Let men nu op de waarde van cc (§ 31), dan is het gemakkelijk in te zien,

dat dit moment uiterst klein [van de orde f-j J is, vergeleken met het moment

(mx, wiy, mz). Daar men evenzoo kan aantoonen, dat de door (78) in een punt
van den bol zelf uitgeoefende electromotorische kracht ten opzichte van Xp',
Yp\ Zp' zeer klein is, zijn werkelijk de in de vorige § buiten beschouwing ge-
laten krachten zonder merkbaren invloed.

13*

60 OVEE HET VERBAND TUSSCHEN DE VOOKTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

§ 34. Uit (75), in verband met (67), verkrijgen wij thans

n2— 1 __ 4 3 4 n {ex — c0)

n2 + 2 ~~ 3 'T ^ P' 3 + 4 re («j + 2 *„)"

Was nu «x = «o, dan kwam men klaarblijkelijk tot het geval van den doorloo-
penden aether terug en werkelijk wordt dan ook n = 1. Stelde men daarente-
gen «! = oo , dan zou men den brekingsindex verkrijgen voor het geval, dat de
deeltjes als volkomen geleidende bollen met den straal ^ mochten beschouwd
worden. Men zou dan vinden

k3 — 1 4

■ = - 7t (J6 p

n2 + % 3

en hier stelt het tweede lid het gezamenlijke volume voor der in de ruimte-
eenheid aanwezige moleculen.

§ 35. Wij zullen eindelijk nog het geval behandelen, dat de geheele bol S
o-evuld is met aether, die dezelfde eigenschappen bezit als buiten den bol, maar
dat daarin nabij het middelpunt P eenige deeltjes geplaatst zijn, die met vrije
electriciteit zijn voorzien en door een uitwendige electromotorische kracht kun-
nen worden verschoven.

Nemen wij ter vereenvoudiging aan, dat slechts een dezer deeltjes A ver-
plaatst kan worden en dat de andere (b. v. tengevolge van hunne zeer groote
massa) als onbewegelijk beschouwd kunnen worden. Laat het deeltje A met een
hoeveelheid electriciteit + e zijn toegerust en laat de algebraïsche som van de
ladingen e der andere deeltjes A' - e zijn. Laat eindelijk, wanneer men deze
ladingen als massa's beschouwt, het zwaartepunt der laatste deeltjes in het punt
P ligo-en en zij dit tevens de evenwichtsstand van A.

Wanneer dan nu de electromotorische kracht Xp' (verg. § 32) in de richting
der .r-as op den bol werkt, dan ontstaat vooreerst in den aether een diëlectri-
sche polarisatie en tengevolge daarvan treedt vrije electriciteit op aan het op-
pervlak van S en in de onmiddellijke nabijheid der electrische deeltjes. Zij Xx
de electromotorische kracht, in de richting der .T-as door de eerstgenoemde vrije
electriciteit in P uitgeoefend en stellen wij dat A in de genoemde richting ver-
plaatst wordt en wel over een afstand c (Xp' + Xa), waarbij c een constante
is. Wij onderstellen hierbij, dat die afstand vergeleken met y zeer klein is en
dat hetzelfde ook geldt van de afstanden, waarop zich de deeltjes A' van het
middelpunt bevinden. Dan kan men aantoonen, dat tengevolge van de electro-
motorische kracht Xp' als zij constant is de volgende toestand in den bol ontstaat..

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFEEN. 61

Het deeltje A wordt verschoven over den afstand

(1+4» Co) e _

/ 4 \ ce 8

I 1 + g n co) (1 + 4 » £o) + -3 • 3 » fo

In de onmiddellijke nabijheid van ^4 treedt tengevolge van de diëlectrische po-

... 4 Ti e0

larisatie in den aether een hoeveelheid electneiteit - — e, evenzoo in

1 -+- 4 7i e0

4 71 £0

de nabijheid van een der deeltjes A' een hoeveelheid — e op. De

1 —j~ t? TT £ q

totale vrije electriciteit in A en A' bedraagt dus

— en — - (80)

1 + 4 71 £0 1 + 4 71 «0

Evenzoo ontstaat tengevolge der diëlectrische polarisatie in den aether aan het
buitenoppervlak van S vrije electriciteit met de vlaktedichtheid

e. e
e0 (1 + 4 n e0) + — . 2 g0
o
a o = a Xp' (8i)

/ 4 \ ce 8

I l + tó n «ol (1 + 4 ™ «o) + 1 • 3 n fo

Door deze laatste wordt in elk punt binnen den bol een electromotorische kracht

4
in de richting der a?-as uitgeoefend met de grootte Xx = — - n o. Bovendien

oefent de vrije electriciteit (80) in elk punt een electromotorische kracht (X, Y, Z)
uit. De diëlectrische polarisatie in eenig punt van den bol wordt dan bepaald
door de vergelijkingen

l = e0 (X, + X\ + X), ><=-e()Y, £=e0Z (82)

Om aan te toonen, dat werkelijk de hier beschreven toestand door Xp' wordt
opgewekt, merken wij vooreerst op, dat, als men uit (82) voor eenig punt aan
het boloppervlak de diëlectrische polarisatie loodrecht op dat oppervlak afleidt,
daarvoor juist a o gevonden wordt, zooals het geval moet zijn. Verder vindt
men gemakkelijk, dat ook aan de voorwaarde d = c (Xp' + Xi) voldaan is.

Werken ook de electromotorische krachten Yp' en Zp' in de richtingen der
y- en z-as, dan ontstaan ook hierdoor dergelijke toestanden in den bol, als de
boven beschouwde.

62 OVER HET VERBANU TÜSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAX HET

Warmeer eindelijk ook nog de constante magnetiseerende kracht (Lp', Mp', N/)
werkt, dan ontstaat weer de magnetische polarisatie (72).

Door dergelijke beschouwingen als in § 33 werden gebezigd kan men weer
bewijzen, dat het hier gezegde ook doorgaat als Xp', enz. met den tijd veran-
deren en dat ook hier de verwaarloosde deelen van (45) en (46) zonder merk-
baren invloed zijn.

§ 36. Beschouwen wij thans de werking van den bol naar buiten. De elec-
trostatische werking behoorende bij den door Xp' opgewekten toestand hangt af
van de electriciteit (80) en van de lading (81) ; zij is dus gelijk aan de wer-
king van een electrisch moment

l+4uf()T3 v
in P in de richting der x-as. Stelt men derhalve

4 / 8 \

~7iQ?s0(l + 4,ne0) + ce\l+-7if0\

*=T~~X7 — ^r~' m

(1 + 3 i *o H1 + 4 n fo) + 1 • 3 ™ «o

dan werkt de door de kracht (Xp\ Yp\ Z}!) opgewekte verdeeling van electri-
citeit op dezelfde wijze als een electrisch moment in P met de componenten

mx = •/. Xp', ffij — x Yp', mz = x ZJ.

Bij de berekening van de inductie en de magnetiseerende kracht, die door de
electrische bewegingen binnen den bol worden uitgeoefend, splitse men de diëlec-
trische polarisatie (82) in de beide deelen S\ = e0 (Xp + Xj) en £2 = £0X,

% = eo Y, £2 = f o Z. Nu is de werking van de strooming — — dezelfde als die

t) t

van een stroomelement

4 bh

r^^jf i">

in P in de richting der .c-as. Om verder de werking der strooming f — — , — - -, — 2 1

p & \ i) t d t è t )

te leeren kennen construeere men om P als middelpunt een bol S', zoo groot,

dat hij alle electrische deeltjes bevat, maar toch zeer klein ten opzichte van S

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFPEN. ' 63

(verg. de vorige §). Voor de ruimte tusschen S en S' kan men dan £3, %, £2
voor elk punt aangeven en dus ook de gezochte werking berekenen. Daar die
berekening vrij omslachtig is, vermelden wij alleen, dat zij tot het resultaat
voert, dat de bedoelde werking mag verwaarloosd worden, als S zeer klein is.

— , — , ~^2 ) binnen S',
dt d t ï>t I

alsmede de werking, die uit de beweging van A voortspruit. Nu is het wel

moeilijk, in de onmiddellijke nabijheid van het deeltje A, dat zich door den

aether heen beweegt, de electrische strooming aan te geven, maar dit levert

geen bezwaar op, daar de straal van S' zeer klein is ten opzichte van den

afstand tot elk buiten S gelegen punt. Zijn al. x, y, z de coördinaten van

eenig electiïsck deeltje e binnen S', dan werkt dit als een stroomelement

/ dx dy dz\

1 e ~dt' ti ~di' e 7/ ) en men ma§ ^ s^oomelement zonder merkbare fout in het

middelpunt P plaatsen. Derhalve werkt de geheele bol S' als een stroomelement

n , d d d

m P met de componenten -Ie/, — Sty, -2e:. Men berekene nu de hier

dt dt dt

voorkomende sommen voor de vrije electriciteit (80) en voor die, welke tenge-
volge der polarisatie £2> <7a> £2 binnen 5" aan dat oppervlak optreedt, en voege
het aldus verkregen stroomelement bij (84).

Past men dergelijke berekeningen ook toe op de bij F/, Zp' behoorende elec-
trische bewegingen, dan vindt men ten slotte, dat de electrische strooming binnen

S dezelfde werking uitoefent als een stroomelement -^, -^, ' - ] in P.

\ dt dt dt)

Daar eindelijk de magnetische polarisatie binnen den bol dezelfde werking
uitoefent als in § 32, komt ook uu weer alles op hetzelfde neer als wanneer in
P een enkel deeltje geplaatst was, mits men daarvoor de vergelijking (83) laat
gelden.

Door substitutie in (67) wordt nu verder

w — 1

— Tip .

?fi -j- 2 3 l \ + 4> n e„
waarvoor men ook wegens de groote waarde van eQ mag schrijven

m2 — 1 pee

= (85)

Het is ons dus gebleken, dat bij twee zeer verschillende onderstellingen omtrent

64 OVEE HET VERBAND TUSSCHEN DE VOOKTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

de binnen de holten S gelegen stof de resultaten van § 30 geldig blijven en
ik acht het zeer waarschijnlijk, dat hetzelfde ook bij andere onderstellingen het
geval zal zijn.

§ 37. Keeren wij dan thans weer terug tot de onderstelling van § 2 en ma-
ken wij daarvan gebruik om den brekingsindex voor een mengsel van twee
stoffen te bepalen. Laat voor een deeltje der eerste stof Qi, x\, »».r(i)) %(i), »z(i)
de grootheden voorstellen, die wij vroeger (j, x, mx, my, mz noemden, terwijl voor
de deeltjes der tweede soort ^2, *s> mA^h my&)i M«(2) een overeenkomstige betee-
kenis hebben. Laat verder in de ruimteeenheid p1 deeltjes der eerste en p2 deel-
tjes der tweede soort voorkomen en nemen wij aan, dat de functiën m^i), m^i),
enz. overal vo'doen aan de betrekkingen

mxp) = smX(\), «V(2, = sm9(i), m.{-2) = 8mz(l),

waarbij s een voorloopig onbekend standvastig' getal voorstelt. Verbeelden wij
ons eindelijk, dat alle deeltjes bewegingen in den aether opwekken- en laat deze
voor de deeltjes der eerste soort door de constanten «i en /?!, voor die der
tweede soort door de constanten a2 en /?2 bepaald worden.

Op dezelfde wijze, als wij vroeger de vergelijkingen («) gevonden hebben, ver-
krijgen wij thans voor een deeltje der eerste of tweede stof resp. de vergelijkingen

(S 1 \ 4

/ 8 1 \ 4

(«o -f- /?2) I - n + - j m.r{2) + ~ n QZ3 g' = mx{2),

terwijl aan (/?) en (y) de vergelijkingen

(«o

{(*•)

en

o \o s0l Xx

(Of3+/?2). -7r«2r(2-f ( ~ ^ + ~ | ft»8^™ ~ m*<?)
3 \3 f0/ *2

0")

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 65

beantwoorden. Hier is telkens van de drie vergelijkingen, die op de x-, y en
2-as betrekking hebben, slechts de eerste neergeschreven.

Wanneer nu zoowel »r(i), my{\), «^(i) als mX[i), wy(2), mz@) aan de vergelijkin-
gen (C) voldoen, dan vindt men binnen eenige holte, onverschillig of daarin
een deeltje der eerste of een der tweede stof geplaatst is,

£ = Q,mx(\), enz.,
als

4 / »2 + 2 \ 4 / n~ -f 2 a \

gesteld wordt. Door substitutie in («'), (/?) en (/') verkrijgt men dan de vol-
gende zes vergelijkingen ter bepaling der onbekenden ccX) ft^ «2, /?2, s en ra.

(«i + fti) (l n + ^J + J* ^3 Q - 1, («6)

„ /8 1\ 4 Q

«3 + #>.) öw + ~ )+-;*» 3- = i. (86')

\3 e0/ .3 s
(2«i-/?i)-*"+!^i3C>= L («7)

(2«a— A)4» + -Jwft»--i. (s7')

o o «

(«1 + Al) • |» + (~w +i) Cl3 Q = — (38)

S / 4 1 v O «o3

3 \è e0l s *2

§ 38. De oplossing dezer vergelijkingen kan zeer eenvoudig worden aangegeven.

Verbeelden wij ons nl. dat de deeltjes der tweede stof werden weggenomen en
dus in de ruimteeenheid alleen/^ deeltjes der eerste stof overbleven, en noemen wij
«i', fti de constanten, waardoor dan de bewegingen in den aether bepaald zouden

worden, nx den brekingsindex en stellen wij verder npAa^'-^ — - + ft\ )=<?i,

3 \ nf — l I

dan zouden de grootheden a{, (5{, q} aan vergelijkingen voldoen, die met (63),

14

NA.TUURK. VERH. DER KON1NKL. AKADEMIE. DEEL XVI I [ .

66 OVEE HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

(64) en (65) overeenkomen. Vergelijkt men echter die vergelijkingen met (86),
(87) en (88), dan blijkt het, dat

ccx = «j', fa = (3,', Q = 5l (89)

moet zijn.

Laat evenzoo «2\ /?z', w3 betrekking hebben op het geval, dat de ruimteeen-

heid slechts p* deeltjes der tweede stof bevatte en zij rn p° («2'— 0 + /?2')=</2>

dan volgt uit de vergelijking van (86), (87'), (88') met de drie betrekkingen,
die ter bepaling' van a2', fa', q.2 zouden dienen,

«o = «,', fa = fa, -=q* (90)

8

Daar nu door de formules van § 30 a{, ft{, qlt «2 , fa', q„ bekend zijn, is het-
zelfde ook met «1, fti, or2, /?2, s, Q (en dus n) het geval.

Wegens de groote waarde van f0 en de daaruit volgende kleine waarde der

/? ' 3 ' S 8
verhoudingen — :, -— , — , - - mag men voor Q, q-, en o2 stellen
0 ax «2' «] a2 -1

4 «» + 2 4 «3 + 2

Q = -• 3i pj «j' . — + -np.2s a2' . -,

o n' — 1 o nr — 1

4 «!» + 2 4 , »22 + 2

r/i == q ^ /Ji »i • 7^ — T' ^ =" 3 n P* a* ' w s _

Hieruit volgt, als men op (89) en (90) let,

- 1 /»!- ~ 1 , "g8 1\ >

«2 + 2 ^ Wl3 + '2 'J ' nJ +r" \«j2 + 2 »32 + 2
dus

,2 4. 2 " «,2 + 2 T «,2 + 2

Bij deze vergelijking moet men in 't oog houden, dat ti, en n2 de brekings-
indices der gemengde stoffen zijn bij de dichtheden, die zij in het mengsel heb-
ben. Deze zijn echter ax d en a2 d, wanneer d de dichtheid van het mengsel is
en wanneer de gewichtseenheid daarvan uit de hoeveelheden ax en a2 der beide-

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 67

stoffen bestaat. Wanneer wij de constante k, die in § 30 werd ingevoerd, voor

«!*— 1

de beide stoffen met ki en k„ aanduiden, dan is dus, blijkens (D), - — «iki^»

n\ T *•

n 2 1

~ ^=aok»d, zoodat (91) wordt

*2 + a

ffi — 1

= a, k, -\- a» k2.

w2 l

Derhalve moet ook voor het mengsel , B , -, , — k bij veranderingen van d

[n* -f- &j »

constant blijven en men heeft de eenvoudige betrekking

k = ax kj + ^2 k2 (E)

Het is niet moeilijk, dit resultaat tot mengsels van meer dan twee stoffen uit
te breiden. Wanneer k1; k2, k3, enz. op de met elkaar gemengde stoffen betrek-
king hebben en ah a2, a3 enz. de hoeveelheden dier stoffen zijn, die in de ge-
wichtseenheid van het mengsel voorkomen, dan is in het algemeen voor het
meng-sel

*5

k = <?! k, -f- ffo k3 -+- s3 k3 + enz (E')

Men kan hieruit bovendien afleiden, dat de verkregen formules ook doorgaan,
wanneer de met elkaar gemengde stoffen zelve mengsels zijn.

§ 39. Het verdient ten slotte opgemerkt te worden, dat de in dit hoofdstuk
verkregen resultaten in verband met die, waartoe men geraakt bij een bereke-
ning van het specifiek induceerend vermogen van een medium met moleculaire
structuur, weer de vergelijking (51) van het vorige hoofdstuk bevestigen. Men
had dan ook, van deze laatste uitgaande, de formules (D) en (E) eenvoudiger
kunnen afleiden. Daar echter de bedoelde vergelijking in het vorige hoofdstuk
slechts voor volkomen homogene middenstoffen is bewezen, kwam mij de hier
gevolgde handelwijze strenger voor.

Wij hebben daardoor niet alleen het aandeel leeren kennen, dat bij de licht-
beweging aan de moleculen en aan den aether toekomt, maar wij zijn ook in
staat gesteld, om den invloed der moleculaire discontinuïteit te beoordeelen. (Men
zie het volgende hoofdstuk.) Bovendien schijnt mij de hier ingeslagen weg ook
te kunnen leiden tot een theorie van den invloed, dien de beweging der mid-
denstoffen op de beschouwde electrische bewegingen uitoefent.

14*

68 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANT1NGSSNELHEID VAN HET

III.

DE DISPERSIE TAN HET LICHT.

§ 1. De in liet vorige hoofdstuk afgeleide resultaten konden alleen verkregen
worden in de onderstelling, dat zoowel de straal y der holten, alsook de onder-
linge afstand S der moleculen zeer klein zijn ten opzichte van de golflengte /,

zoodat termen van de orde l \ en U konden worden verwaarloosd. Strikt

genomen zullen dus onze uitk msten alleen voor oneindig lange golven kunnen

gelden en zullen zij voor eindige golven nog een correctie moeten ondergaan.

Daar nu deze correctie afhankelijk van de golflengte wordt, zou men kunnen

verwachten, langs dezen weg tot een verklaring der dispersie van het licht te

kunnen geraken.

Om na te gaan, of dit het geval is, zullen wij thans den invloed onderzoeken,

i A\ -
dien de termen van de orde ( - i op de verkregen uitkomsten hebben, waarbij

wij ter vereenvoudiging zullen aannemen, dat y zeer klein is ten opzichte van

ö en /, zoodat wij de termen van de orde (-] mogen blijven verwaarloozen.

Verder zullen wij onderstellen, dat de moleculen van het medium even ver van
elkaar verwijderd zijn, als dit bij de gassen onder de normale omstandigheden
van temperatuur en drukking het geval is. Kent men aan de gasdeeltjes een
cubische rangschikking toe, dan is volgens van der Waals * hun gemiddelde
afstand onder die omstandigheden ongeveer 0,0000025 m.M. Stelt men nu voor
de golflengte (in 't luchtledige) 0,0003 m.M. (wat ten naastebij voor de lijn R
in het ultraviolette spectrum het geval is), dan zouden op een golflengte nog
ongeveer 120 deeltjes liggen en dit aantal zal natuurlijk bij vaste lichamen en

vloeistoffen nog aanmerkelijk grooter worden. Hieruit blijkt, dat de breuk -

steeds zeer klein is en tengevolge daarvan neemt, zooals wij zullen zien, ook
de boven besproken correctie slechts een zeer gering bedrag aan.

§ 2. De boven omtrent (j gemaakte onderstelling heeft tengevolge, dat het
geheele onderzoek der §§ 1—22 van het vorige hoofdstuk onveranderd kan
blijven. Wij hebben dus slechts §', rj', £' te berekenen en om deze grootheden

* Van dek Waals, i Ivcï ile continuïteit van den gas- en vloeistoftoestand, p. 105.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEK MIDDENSTOPPEN. 69

binnen eenige holte S te vinden is het wederom voldoende voor elke molecule
Q de waarde te zoeken, die zij in 't middelpunt P (x', y', z') dier holte ople-
vert en vervolgens over al de moleculen Q te sommeeren.

In het vorige hoofdstuk vonden wij voor het aandeel, dat Q in Si oplevert

+ £[\f*('**><-^)]\ -^'Ca(.^.M-^-)] (1)

en het bleek dan verder, dat men, althans voor die deelen van het medium,

die niet te dicht bij P zijn gelegen, ^ Si\g) door een integraal kon vervangen.

Daartoe verdeelden wij de ruimte in een aantal even groote gesloten vakken,

die elk eene molecule bevatten. Wij konden dan het tweede lid van (1), dat

wij in 't vervolg door F zullen aanduiden, over de geheele uitgestrektheid van

eenig vak als constant beschouwen en daaruit volgde, dat men Si't9) kon ver-

f f f
vangen door de integraal p j j jFdxdi/dz, genomen over het vak Cs, waarin

de molecule Q geplaatst is.

Zoodra wij nu echter 3 en dus ook de afmetingen van liet vak Cq niet meer
ten opzichte van l verwaarloozen, zal men, zelfs als P Q zeer groot is, de groot-
heid F niet meer over het geheele vak als constant mogen beschouwen. Toch
is het ook dan nog mogelijk 2ëüq) door een integraal te vervangen.

§ 3. Onderstellen wij daartoe, dat de deeltjes van het medium een regelma-
tige cubische rangschikking bezitten, zoodat bij behoorlijke keuze der coördinaat-
assen, in elk punt met de coördinaten a 3, b 3, c 3 een deeltje ligt, wanneer
slechts a, b, c geheele getallen zijn. Wij kunnen dan voor Cq een kleinen cubus
nemen, die om Q als middelpunt met de ribben evenwijdig aan de coördinaat-
assen beschreven is, en waarvan de ribbe de lengte 3 heeft.

Duiden wij dan de waarde van eenige veranderlijke in Q door den index q
aan en stellen wij voor eenig punt binnen Cq kortheidshalve

X — - Xq = X , y — j/q = y , Z _ Zq = Z ,

dan verkrijgt men door toepassing van het theorema van taylor

W*/* UWl \<W? T 2 \d**)t * \ öj» /

1 J&F\ I }>2F\ I &F \ i &F\

+r [^jq + ** [ïiïïïL + yz Wii)9 + zx [^\ + enz-

9

70 O VEE HET VERBAND ÏUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Men vermenigvuldige deze vergelijking met -^ d xd y dz = -p dr en integreere

over den cubus Cq. Daarbij vallen alle termen weg, die een oneven macht van
x, y, of z bevatten en men verkrijgt, als men ook die weglaat, waarin de zesde
en hoogere differeutiaalquotienten van F en de factoren S6, Ss, enz. voorkomen,

hfff

dr=Fq + ^SHAF)9 + ^ 8*{A*F)t -j—S^L.F), . . (2)

Hierbij wijst het teeken AA aan, dat de bewerking, die door A wordt aangewezen,

ö4 è4 ö4
tweemaal achtereenvolgens op F moet worden toegepast, terwijl ^2 = — t+ri+ri

is gesteld.

Geheel op dezelfde wijze verkrijgt men ook, als wederom de zesde en hoo-
gere differeutiaalquotienten van F worden weggelaten

* ƒ f J i\Fdr = ^ {ilFh + I^i :(AA/^ (3)

S i\i LLFdT = 8i{Ll\Fh (4)

en

f)

Hf

5 ƒ / ƒ A2 Fd t = d* (A2 fj? (5)

Elimineert men nu uit (2), (3), (4) en (5) de grootheden (&F)q, (£ LF)q, {L^F)q,
dan verkrijgt men

fc'»-V-y///«^.J|//A«. + ^*///(»AAF+tA,^

.(6)

In het tweede lid staan hier slechts de drie eerste termen der oneindig voort-
loopende reeks, die men door voortgezette ontwikkeling voor Fq verkrijgt. Van
die reeks zijn ook de volgende termen integralen over den cubus Cq; zij bevat-
ten achtereenvolgens de zesde en hoogere differeutiaalquotienten van F en de
factoren S3, S°, enz.

§ 4. Denken wij ons om P als middelpunt een cubus geconstrueerd met de
ribben evenwijdig aan de coördinaatassen en zoeken wij ^ èi\q) = §i'(«) voor a^e
moleculen Q, die buiten dezen cubus liggen. Wij hebben daartoe slechts voor

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 71

elk dezer deeltjes eene vergelijking op te stellen, die met (6) overeenkomt en
vervolgens op te tellen.
Wij verkrijgen dan

K«-*IILH' - h-ljl IjJt^ü?\ f f j^'^^vr^, . m

Hier moeten de integralen, zoo als door den index wordt aangewezen, genomen
worden over de ruimte A. die uit al de vakken Cq bestaat. Klaarblijkelijk is
dit juist de geheele ruimte buiten een eubus jB, die om P als middelpunt met
de ribben evenwijdig aan de coördinaatassen beschreven is. Voor de halve ribbe
van B heelt men dan

— (-+ï)*

(8)

waarbij m eenig geheel getal voorstelt.

Om nu de tweede en volgende integralen in de vergelijking (7) te vinden,
kan men gebruik maken van de omstandigheid, dat bij elk dezer grootheden
de functie onder het integraalteeken uit een som van differentiaalquotienten be-
staat, zoodat men (daar F en de differentiaalquotienten ervan op oneindigen
afstand verdwijnen) door partieele integratie de integralen over de ruimte A
kan herleiden tot andere, die over het oppervlak van den cubus B moe-
ten genomen worden. Voor dat oppervlak kan men echter, als het getal m
niet te groot is, gebruik maken van de in § 25 van het vorige hoofdstuk voor

- fx ( .v, y,z,t — — - I , - f% ( x, y, z, t — — j , - /3 f w, y,z,t— — J aangegeven reeksont-
wikkeling, waarbij men slechts de termen behoeft te behouden, die de tweede

- j
opleveren. Op deze wijze heb ik gevonden

III

A F dr = « — 6,34 — ~ + 0,43 Ara, + 5,05 — — 8,34 . — —ƒ!,

waarbij voor de differentiaalquotienten de waarde in P moet genomen worden.
Ook de grootheid

&*

III

(5AAF+2 A2 F) d t

72 OVEE HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOOETPLAïiTINGSSNELHEID VAN HET

heb ik op dezelfde wijze berekend. Het is hier echter niet noodig de uitkomst
geheel meê te deelen, maar wij kunnen volstaan met de opmerking, dat deze

grootheid den vorm — G aanneemt, waarbij G de tweede differentiaalquotienten

van Hij-, My, >»■ bevat en onafhankelijk van c is.
Door substitutie in (7) verkrijgen wij thans

1 fff „ ar d2mx , %P 1 d~mxi
+ \-~. ^ G' + enz-> (9)

waarbij van G' hetzelfde geldt, wat boven omtrent G werd opgemerkt. De ter-
men der reeks, die hier niet zijn neergeschreven, bevatten in den noemer ïnach-

1
ten van m +

■i

a 1

§ 5. Het is nu duidelijk, dat in (9) de term -s • - tt; O' en alle volgende

des te grooter worden, naarmate men voor m een kleiner getal neemt. Dit kan
ons ook niet verwonderen, wanneer wij op het ontstaan dezer termen letten.

a 1

De grootheid ■% . — -2 G' b. v. is afkomstig van die termen in de ontwikke-

m -\-

ling van § 3, die de vierde differentiaalquotienten van F en de vierde macht
van 8 bevatten. En als men op de waarde (1) van F let, dan is het gemak-
kelijk in te zien, dat deze termen (vergeleken met de voorgaande) een des te
grooter bedrag aannemen, naarmate de afstand P Q kleiner wordt.

Het zal nu altijd mogelijk zijn, m zoo groot te kiezen, dat in (9) de term

cc 1

— G' en de daarop volgende mogen worden verwaarloosd. Om te on-

m + »)

derzoeken, hoe groot m daarvoor zijn moet, kan men van de volgende beschou-
wing gebruik maken.

Wanneer wij achtereenvolgens m = 0, 1 , 2, 3, enz. stellen, dan verkrijgen
wij een aantal cubi B, door wier oppervlakken de ruimte in cubische lagen
verdeeld wordt, zoodat de ,ude cubische laag van P af gerekend bet verschil is

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER HIDDENST01TEN. 73

van twee cubi, waarvoor resp. m = ft — 1 en m - /u is. Past men dan de ver-
gelijking (9) achtereenvolgens toe op de ruimte buiten deze beide lichamen, dan
verkrijgt men door aftrekking

1 f I f « 2 u

waarbij de integraal over de beschouwde cubische laag en eveneens 2 Si(q) over
de daarin aanwezige moleculen moet genomen worden.

Men kan echter voor de eerste cubische lagen £§uS) en / / jFdv ook door

rechtstreeksche berekening vinden, waarbij de reeksontwikkeling van § 25 van
het vorige hoofdstuk wederom goede diensten bewijst. Ik vind op deze wijze
voor de eerste, tweede en derde cubische laag resp.

1 fff ar tfm* })P „ 1 ö3«.n

^&-^/j^,==^[l,35— -0)27A^-ü,53--0,05.-_ ];.(!!)

*&'« = " [- LH» ^~ Mo A *, + 8,37 ^ _ .5,39 . -L ^f],
Ifff ar tfmx dP 1 o2»i^

1 / /" /" «r è2M. ÖP 1 è2»Vl

^^-^jj/^ = |[0,O2^-O)00A^-O501--0,0O.-— }.(12)

„ «r tl2»«j Ö ^ 1 Ö2»2^"l

^/(?) = ^[-2,85 — -3,24 ZU. + 1 2,56 _-_ 38,08 .- —],

1 fff «r &2«* ^ i ö2«n

^///"*-j[-».8«^-8,B4A^+lWT~-»8,08:-— 1

1 /' /' f a r h'~ mr <) P 1 ö3 m*~\

^^)-^///^- = ^[0.01^-0,00A^-0,01-_0,00.-— i.(13)

Vergelijkt men deze uitkomsten met (10), dan blijkt het, dat reeds voor de

15

NATUURK VEfiH. DER KOMNKI . AKADEMIE. DEEL XVIII.

74 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET
tweede en derde cubische laag de term met G' en de daarop volgende zonder

re ■ ^mx

invloed zijn, wanneer men in de coëfficiënten van — — , enz. slechts een nauw-

keurigheid tot in de eerste decimaal verlangt. Daaruit kan men besluiten, dat
hetzelfde van de overeenkomstige termen in de vergelijking (9) geldt, wanneer
men deze toepast voor de ruimte buiten de derde cubische laag en dus m = 3

cc

stelt. Want de coëfficiënten van -r G' en eveneens die van de volgende termen

o

worden dan in (9) slechts weinig grooter of aanmerkelijk kleiner dan in (10)

voor de tweede of derde cubische laag. Voor de laatste wordt b. v. in (10) de

cc 96

coëfficiënt van „(?' rr^r, terwijl de overeenkomstige coëfficiënt in (9) voor m = 3
o 122o

— = - - wordt. De daarop volgende coëfficiënten worden in (9) alle kleiner,
49 1225 t

dan in (10 .

Ten overvloede heb ik mij nog door rechtstreekscke berekening overtuigd, dat

et 1

de term t. . - G' in (9) voor m = 3 mag verwaarloosd worden

o I IV

m -\-

2;

Wij hebben derhalve voor de geheele ruimte buiten de derde der beschouwde
lagen :

^^)-^J/^-=^[0^6^-O,02AOT^0,2l- + O,35.-— J..(14,

Binnen de eerste dezer lagen blijft nog een kleine ruimte over, in welke geen

enkel deeltje Q geplaatst is. Berekent men echter de waarde van — ƒ ƒ IFdr,

wanneer de integratie wordt uitgestrekt over deze ruimte met uitzondering van
een oneindig kleinen om P als middelpunt beschreven bol B', dan verkrijgt men

l f f f « r o3 mx „ è P 1 ö2 mx-\

zoodat voor de bedoelde ruimte

x|1>)-i///«,=|[o.1^ + o.1a^-o,68|f + 1.69.i^]..(i6,

IS.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 75

§ 6. Door de vergelijkingen (11) — (15) bij elkaar op te tellen verkrijgen wij
in het eerste lid

''-*ƒƒƒ"■

waarbij de integraal over de geheele ruimte buiten den bol B' moet genomen
worden. Voldoen nu de electrische trillingen wederom aan de vergelijkingen (C)
van het vorige hoofdstuk, dan kan men bij de berekening van deze integraal
denzelfden weg volgen als in § § 24 — 26 van dat hoofdstuk en men verkrijgt

dan ook, daar — = p is, dezelfde uitkomst. Dus is

en uit de samenteliing van (11) — (15) volgt ten slotte

* w2 -1- 2 ar ü2mx ÜP 1 tY2^r-i

&' - a. -nVmx. -p-~ + -, [l,76^-f- 0,16 A *, - M8^- + 1,89. -±- ^1.

Daar, zooals wij in het vorige hoofdstuk zagen, £2' zelf reeds uiterst klein is ten
opzichte van Ij', kunnen wij de kleine correctie, die de vroeger voor £/ gevonden
waarde zou moeten ondergaan, gerustelijk buiten rekening laten. Wij vinden dus

„, 4 / m2 + 2 ,\ ar &mx ^P 1 hzmxi

è =^np[a-^—Jr(i\mx^-J\>n — ^—0,16 A««,-l,28^- + 1,89.-^1 . . (16)

en dergelijke uitdrukkingen zijn nu ook gemakkelijk voor tf en '£ op te stellen.
§ 7. Laat thans den bewegingstoestand bepaald worden door de vergelijkingen

2ji! ij

mx = a cos — it — - + pj, my =-- 0, mz = 0,

waarbij T den oscillatietijd voorstelt en a en p constanten van bekende betee-
kenis zijn.

Substitueert men deze waarden in de vergelijkingen voor | ',»?',£', dan blijkt het,
dat de betrekkingen (62) van het vorige hoofdstuk nog gelden, wanneer men slechts

q = 7np \a~ - + /?— a.Sji — (1,89 - 0,16 ^

stelt.

15

76 OVËE HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

In de uitkomsten, die wij in § 30 van het vorige hoofdstuk verkregen heb-
ben, heeft men dus slechts V—T door — 8 n— (1,89 — 0,16 n2) te ver-

vannen en hieruit volgt, wanneer wij het tweede lid der vergelijking (67), dat
onafhankelijk van de golflengte is, kortheidshalve door C aanduiden

»2 4-2 <52

i-±^ — Sff^r (1,89 — 0,1 8 «») — C (17)

tl* - 1 l~

Stellen wij nu, dar vuur oneindig lange golven de brekingsindex van het be-
schouwde medium n0 = 1,5 is, dan moet.

Tic? + 2

»o — [

zijn Met behulp van deze waarde kan men dan uit (17) den brekingsindex

d 1 3
voor eindige golflengten bepalen. Stelt men daarbij (§ 1) - = — , dan verkrijgt

men ongeveer n = 1,5 — 0,0002.

Het blijkt dus, dat de brekingsindex met afnemende golflengte een weinig
kleiner zou moeten worden, zoodat men uit de hier medegedeelde beschouwingen
in geen geval de waargenomen dispersie zal kunnen afleiden. Maar bovendien
valt de invloed der moleculaire discontinuïteit zoo klein uit, dat hij gerustelijk
buiten rekening mag worden gelaten. Immers, de boven gevonden uitkomst wil
zeggen dat, tengevolge dier discontinuïteit, bij een medium, waarvan de deeltjes
zoover van elkaar verwijderd zijn, als bij een gas, en waarvoor toch ongeveer
n==15 is, de brekingsindex voor oneindig lange golven en die voor de lijn R
in het ultraviolette spectrum eerst in de vierde decimaal zouden verschillen. Ik
besluit hieruit, dat men bij de lichtbeweging de moleculaire discontinuïteit mag
verwaarloozen, zooals wij dit in het vorige hoofdstuk gedaan hebben.

§ 8. Er is nog eene omstandigheid, die voor deze zienswijze pleit. Wanneer
de moleculaire discontinuïteit werkelijk aanmerkelijke wijzigingen in de uitkom-
sten van het vorige hoofdstuk noodzakelijk maakte, dan zou uit de boven afge-
leide formules volgen, dat die wijzigingen niet voor elke voortplantings- en
trillino-srichting hetzelfde bedrag zouden moeten hebben. Zoo zouden zich b. v.
transversale trillingen in de richting, die den hoek tusschen de x- en y-as mid-
den door deelt, met verschillende snelheid moeten voortplanten, al naarmate de
trillingen evenwijdig aan de z-as of loodrecht daarop waren gericht. Het medium
zou dan een eigenaardige duld iele breking moeten vertoonen.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEK MIDDENSTOFFEN. 77

Nu kan men een regelmatige cubische rangschikking der deeltjes verwachten
bij de kristallen van het regelmatige stelsel; de inwendige structuur is daar
althans zoo, dat deze lichamen niet in alle richtingen, maar slechts met betrek-
king tot drie onderling loodrechte, dezelfde eigenschappen bezitten *. Deze kristal-
len mag men echter althans met groote benadering als optisch isotroop beschou-
wen en wanneer er een regelmatige dubbele breking van de boven bedoelde soort
bestaat is zij stellig zeer zwak f.

Het verdient nog opgemerkt te worden, dat in de vroeger aangenomen undu-
latietheorie de moleculaire discontinuïteit - hetzij men deze wil opvatten als
een discontinuïteit van den aether zelven, of als afwisselingen in de dichtheid,
naarmate men een punt beschouwt, dat op grooteren of kleineren afstand van
eene in den aether geplaatste molecule gelegen is — zeer goed van invloed kon
zijn. Want die theorie neemt aan, dat de op eenig aetherdeeltje werkende kracht
uitgaat van de andere deeltjes, die er het naast bij zijn gelegen en dan kan
men verwachten, dat elk gemis aan continuïteit of homogeneiteit in den aether
zich in de voortplantingssnelheid van het licht en wel het meest bij kleine
golflengten moet doen gevoelen. Het komt mij echter voor, dat deze theorie
moeilijk zal kunnen verklaren, waarom de kristallen van het regelmatige stelsel
optisch isotroop zijn.

§ 9. Wanneer wij intusschen de electromagnetische theorie van het licht aan.
nemen, dan blijft er, naar 't mij voorkomt, niets anders over, dan de oorzaak
der dispersie in de moleculen zelve van het medium te zoeken. En men kan
inderdaad tot formules geraken, waaruit een kleurschifting volgt, wanneer men
uitgaat van de onderstellino- dat in zulk een molecule, zoodra er een electrisch
moment in wordt opgewekt, tevens een zekere massa in beweging wordt ge-
bracht.

* Tengevolge daarvan hebben deze lichamen ook niet in alle richtingen denzelfden elastici-
teitscoëfficient. Men zie hierover Woldemau Voigï, Besiinwiung der Elasticitatscondante des Stein-
aalzes, Pogg. Ann. Erganzungsband VII, p. 214.

f Men heeft wel bij kristallen van het regelmatige stelsel afwijkingen van de isotropie aange-
troffen, maar deze schenen dan verklaard te kunnen worden uit een niet volkomen regelmatigen
bouw. Of er dns misschien een uiterst zwakke dubbele breking, zooals de in den tekst bedoelde,
bestaat, is nog niet beslist. De proeven van Bravais, waardoor bewezen werd, dat in een richting
loodrecht op de octaëdervlakken der kristallen geen merkbaar verschil in de voortplantingssnel-
heid van stralen met verschillende trillingsrichtingen bestaat (Comptes rendus, Tomé 32, p. 112 )
leeren hieromtrent niets, daar juist in die richting volgens de boven ontwikkelde theorie dat
verschil 0 moet zijn.

78 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Nemen wij, om dit te doen zien, vooreerst wederom aan, dat elke molecule
in het middelpunt eener overigens ledige holte S in den aether ligt. Wij hebben
vroeger ondersteld, dat het moment (mx, »t,i} »>.), dat in zulk een deeltje door
een electromotorische kracht (X, Y, Z) wordt opgewekt, steeds wordt bepaald
door de vergelijkingen

lllX = ■/. X, llly = x Y, mz = v. Z (1^)

Thans zullen wij echter beproeven, ons een voorstelling te vormen van hetgeen
er eigenlijk in de molecule plaats heeft.

Verbeelden wij ons daartoe in de molecule eenige deeltjes, die met vrije elec-
triciteit zijn toegerust en door een uitwendige electromotorische kracht onderling
verplaatst kunnen worden. Laat eenvoudigheidshalve slechts een dezer deeltjes
A, dat van een lading + e voorzien is, bewegelijk zijn, en laat de evenwichts-
stand van A samenvallen met het zwaartepunt der andere deeltjes, wanneer
men de electrische ladingen daarvan als massa's beschouwd. (De algebraïsche
som dezer ladingen is natuurlijk — e.) Bevindt zich dan A in zijn evenwichts-
stand, dan is het electrisch moment der molecule 0. Zoodra echter A in de
richtingen der assen de verplaatsingen .'\ //, z heeft, bestaat in de molecule een
moment met de componenten mx = e x, my = e //, mz = v : .

Wij zullen nu aannemen, dat, als A verplaatst is, de andere deelen der mo-
lecule een kracht op A uitoefenen, die steeds naar den evenwichtsstand ge-
richt en evenredig aan de verplaatsing is. De componenten dier kracht kunnen
dan door — g a?, — g y7 — (j z worden voorgesteld, waarbij y een positieve con-
stante is. Werkt bovendien de constante uitwendige electromotorische kracht
(X, Y1 Z), dus op A een kracht (e X, e F, e Z), dan zal er evenwicht bestaan,

6 & C

zoodra j = - X, y = - Y, z -= - Z is. Het moment, dat dan in het deeltje is

9 9 9

opgewekt, wordt dus bepaald door de vergelijkingen (18), wanneer men slechts

9

stelt.

Laat echter thans de kracht (X, Y, Z) veranderlijk zijn en het deeltje A in
beweging verkeeren, zooals dit bij de lichtverschijnselen het geval is. Dan is
de totale kracht, die op eenig oogenblik op A werkt,

eX — gx, eY—gy, eZ—gz

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 79

en als fi de massa van het deeltje is, dan wordt zijne beweging bepaald door
de vergelijkingen

d2ai v d*y dïz

Beschouwen wij nu alleen een periodieke beweging met den oscillatietijd T.
Dan kan men stellen

2 n In 'In

x = a1cos— {( + pi), y = "2CJos—(t + p2), z = ascos—{t + ps),

(1 V "+ TT

waarbij al7 a2> a3, jp1? p^ pz onafhankelijk van / zijn. Daar dan -— = — ~^r#>

cl t 1

dïy 4ti3 cPz 4tt2

Jfi==~^^' J^2 = ~ ^2 Z 1S ^B't Ult (19)

e

y

y —
ff

e

4 7TZ jU

e

9-

g-

4w3 f.i

7'2

Stelt men dus

* - - -7-5- (2°)

J 2®

welke grootheid onafhankelijk van t is, dan gelden nog steeds de betrekkingen (18).
Het geheele onderzoek van het vorige hoofdstuk blijft nu verder onveranderd,
maar men zal blijkens (20) voor x een des te grootere waarde in rekening moe-
ten brengen, naarmate T kleiner wordt (zoo lang ten minste ff > — ;=— is).

Daar echter, zooals wij zagen (II, § 31), n des te grooter wordt, naarmate x
toeneemt, moet dan de brekingsindex toenemen, als T kleiner wordt, zoodat
men werkelijk een kleurschifting verkrijgt, zooals die is waargenomen. De for-

* Wanneer op het deeltje A ook een weerstand werkt, die afhankelijk is van zijn snelheid,

j , ,-., . , dx dij dz „ , . ,. „

dan treden m deze vergelijkingen ook termen met — , — -, -p op. Men kan dan uit die for-

d t dt dt

mules een absorptie van het licht afleiden en in verband daarmee wordt ook de wet der dispersie

gewijzigd.

80 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

mule daarvoor vindt men door de waarde van x (20) in de vergelijking (07)
van het vorige hoofdstuk te substitueeren ; aldus wordt

«- + 2

B

«■ — 1

>*

(21)

waarbij A, B: C} D constanten voorstellen en l de golflengte in het lucht-
ledige is.

§ 10. Tot een dergelijke uitkomst geraakt men ook, wanneer men van de on-
derstelling uitgaat, dat ook de bollen S met aether gevuld zijn en dat nabij
het middelpunt eenige electrische deeltjes geplaatst zijn, waarvan er zich een
door den aether heen kan bewegen. In § 35 van het vorige hoofdstuk werd
dan alles bepaald door de grootheid c, maar men kan nu door een dergelijke
redeneering als boven werd gebezigd aantoonen, dat c afhankelijk van den
oscillatietijd moet worden, zoodra het bewegelijke electrische deeltje aan een
zekere massa u is gebonden. Men verkrijgt dan weer

-1.7- U

9 ■

en substitueert men deze waarde in de vergelijking (85) van bet vorige hoofd-
stuk, dan neemt deze den vorm

»2— 1 1

= ii)

4-2 Q

aan, waarbij P en Q onafhankelijk van de golflengte zijn. Dit schijnt wel de
eenvoudigste dispersieformule te zijn, die men uit de electromagnetische licht-
theorie kan afleiden.

Het is niet onwaarschijnlijk, dat zich in een molecule meer dan één bewe-
gelijk electrisch deeltje bevindt en men kan ook omtrent de krachten, waardoor
deze deeltjes naar hun evenwichtsstand terug worden gedreven, nog verschillende
onderstellingen maken. Het boven gezegde maakt het echter waarschijnlijk, dat
ook bij andere onderstellingen de in het vorige hoofdstuk ingevoerde constante
y. en dus ook n des te grooter zullen zijn, naarmate T en l afnemen. Welken
vorm de betrekking tusschen n en / aanneemt hangt van de onderstellingen af,

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 81

die men omtrent den aard der moleculen maakt. De vergelijkingen (21) en (22)
zijn slechts een paar voorbeelden der betrekkingen, die men op deze wijze kan
verkrijgen.

§ 11. Wat intusschen vooral dient opgemerkt te worden is dit, dat, zoolang
men sleclits licht van een bepaalden trillingstijd beschouwt, de grootheid y. als
constant mag worden aangemerkt en dat dan ook de uitkomsten van het vorige
hoofdstuk geldig blijven. Voor elke waarde van T moet dus bij veranderingen

o -i

in dichtheid constant blijven en evenzoo moeten de betrekkingen tus-

(n2 -f 2)d J ö

schen den brekingsindex van een mengsel en die der bestanddeelen ervan on-
veranderd blijven bestaan, wanneer men slechts al deze brekingsindices voor
dezelfde lijn van het spectrum neemt.

Ten gevolge van dit laatste kan men nu ook de dispersieformule van een
mengsel uit die der bestanddeelen afleiden. Wanneer wij b. v. voor enkelvou-
dige stoffen de formule (22) toepassen, dan volgt voor een mengsel van twee
stoffen uit de vergelijking (91) van het vorige hoofdstuk

;-,- — 1 1 1

+ 77 (23)

en evenzoo verkrijgt men voor een mengsel van meer dan twee stoffen de formule

n3 — l 1

= 2 (24)

u* + ~ ;,

P

Daar, zooals wij later zullen zien, de brekingsindex van sommige scheikun-
dige verbindingen bij een ruwe benadering op dezelfde wijze uit die der be-
standdeelen kan berekend worden, als wanneer deze met elkaar vermengd zijn,
wordt ook voor verbindingen een dergelijke formule als (24) waarschijnlijk.
Dat men overigens die formule ook door een andere kan vervangen, die b. v.
uit (21) is afgeleid, behoeft wel nauwelijks vermeld te worden.

§ 12. In de onderstaande tabellen vindt men eenige uitkomsten vereenigd,
die ik bij de vergelijking der formules (22) en (23) met de ervaring verkre-
gen heb.

De eerste formule kan eigenlijk alleen voor enkelvoudige stoffen gelden. Maar
wanneer voor een samengesteld lichaam de dispersie niet te groot is, mag men
zonder groote fout de formule (24) door (22) vervangen. Ik heb nu deze laatste

16

NATUÜRK. VERH. DER K0N1XKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

82 OVEE HET VEEBAND TUSSCHES DE VOOETPLANTIKGSSNELHEID VAN HET

toegepast op eenige lichamen, wier brekingsindices ook door Christoffel en
Kettelee zijn berekend. Cheistoffel bezigde daarbij de bekende formule

"o

Vl

M' + ^ + I/^-t)'

Ketteler daarentegen de vergelijking

n — 1 = a

1 —

U

(25)

Hierin zijn « en ft constanten, terwijl / en / de golflengten in den vrijen
aether en in het medium zelf voorstellen.

In de volgende tabellen vindt men onder N, nc en »* de brekingsindices,
zooals zij waargenomen en door Chkistoffel en Ketteler berekend zijn *.
Verder is n' de brekingsindex, berekend naar de formule (22), waarbij de stra-
len B en G voor de bepaling der constanten zijn gebezigd. Voor de golf-
lengten heb ik gebruik gemaakt van de door van der Willigen in de Archi-
ves du Musée Teyler, Vol. III. tegenover p. 70, meegedeelde tabel, waarin als
eenheid der golflengte 10_ï m.M. is aangenomen.

Phenylhydraat (Dale en Gladstoxe).

n0: i/2 =

= 1.5220

1 + a

- 1,52197

P = 3,2823

K =

= 0,07966 f

,1 =

= 0,03894 f

%£ = 6,68710

N

ne

X-

m

A- nk

n'

N—n

B

1,5416

—

—

—

C

1,5433

1,5436

— 3

1.5436

— 3

1,5437

— 4

D

1,5488

1.5492

— 4

1 .'.491

— 3

1,5493

— 5

E

1,5564

1,5566

— 2

1,5566

— 2

1,5569

— 5

F

1,5639

1,5634

+ 5

1,5633

+ 6

1,5635

+ 4

G

1,5763

—

—

—

II

1,5886

1,5880

+ 6

1,5877

+ 9

1,5874

+ 15

* Al deze waarden zijn ontleend aan Ketteler, Beobachtungen iïber die Tarbenzerstreuung der
Gase, p. 86.

f Uitgedrukt in tienduizendste Par. duimen.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEK MTDDENSTOFFEN.

83

Water (van der Willigen) Temperatuur 16u,58 C.

n0: \/ 2 =

= 1,32445

1 + « -

= 1,32447

P =

= 4,9798

K =

= 0,04874

P~-

= 0,030075

log Q =

= 6,61010

N

nc

N—nc

m

N—na

■n'

N—n1

B

1,3306

—

—

—

C

1,3314

—

1,3312

+ 2

1,3312

+ 2

D

1,3333

1,3330

+ 3

1,3329

+ 4

1,3329

+ 4

E

1,3355

—

1,3351

+ 4

1,3352

+ 3

F

1,3374

1,3371

+ 3

1,3371

+ 3

1,3371

+ 3

G

1,3408

—

—

—

H

1,3436

—

1,3439

— 3

1,3439

— 3

Terpentijr

i (Fraunhofer).

>h • V 2 =

= 1,4599

1 + « =

= 1,459911

P =

= 3,6530

X, -

= 0,06035

ft =

= 0,031420

log Q =

= 6,53235

B

1,4705

—

—

—

C

1,4715

1,4716

— 1

1,4715

0

1,4716

— 1

D

1,4744

1,4745

— 1

1,4744

0

1,4745

— 1

E

1,4784

1,4783

+ 1

1,4783

+ 1

1,4784

0

F

1,4817

1,4818

— 1

1,4817

0

1,4818

— 1

G

1,4882

—

—

—

H

1,4939

1,4938

+ 1

1,4937

+ 2

1,4937

+ 2

Flii

ïtglas No.

13 (Frauni

iofer).

n0:\/~2 =

1,6092

1 -f « =

= 1,608935

p =

= 2,8908

A0 =

0,07570

/? =

0,034461

log Q =

= 6,53157

B

1,6277

—

—

—

C

1,6297

1,6297

0

1,6296

+ 1

1,6296

+ 1

D

1,6350

1,6349

+ 1

1,6349

+ 1

1,6350

0

E

1,6420

1,6419

+ 1

1,6419

4- 1

1,6421

— 1

F

1,6483

1,6482

+ 1

1,6482

+ 1

1,6484

— 1

G

1,6603

—

—

—

H

1,6711

1,6711

0

1,6708

+ 3

1,6706

+ 5

16*

*4 O VEE HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOOETPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Het blijkt uit deze uitkomsten, dat de afwijkingen bij de formule (22) wel
iets grooter zijn dan bij de beide andere, maar toch klein genoeg, om bij een
eerste benadering (22) te mogen toepassen.

Bij de gassen gaat (22) over in de vergelijking (25), die door Ketteler juist
naar aanleiding van zijne metingen voor deze lichamen werd opgesteld. "Want
daar hier n slechts zeer weinig van de eenheid verschilt, zoodat men de tweede
en hoogere machten van n — 1 mag verwaarloozen, kan men voor het eerste

lid van (22) - [n

1) schrijven, terwijl aan den anderen kant in (25) het

product XI door de tweede macht der golflengte in het luchtledige mag vervan-
gen worden.

Ook de formule (23) heb ik op een enkel geval toegepast, nl. op de brekings-
indices van zwavelkoolstof, zooals ze door van der Willigen bepaald zijn *.
Men vindt in de volgende tabel onder I verschillende lijnen van Fratjnhofer
aangegeven naar de notatie van van der Willigen, onder II den waargenomen
brekingsindex n voor 18°,75 C, onder III de verschillen n' — «, waarbij n' door
van der Willigen berekend werd met behulp van de formule

»' 1,583671 + 1483490A-- + 786867 (10)öA-J + 79422900(10)12A-«,

en eindelijk onder IV de verschillen n" — n, waarbij u" berekend is door de
formule (23) met de constanten

Pj = 3,19972 ; P2 = 44,6870,

log Qx - 6,703390; log Qz = 8,487845.

Om deze constanten te bepalen heb ik evenals van der Willigen de stra-
len 1 /:?, 14 «, 40 en 51 « gebezigd, waarbij alleen, om een betere aansluiting-
te verkrijgen, de waargenomen brekingsindex van 40 met 0,00011 werd ver-
minderd. Ik moet intusschen doen opmerken, dat men de vier constanten niet
scherp bepalen kan, want bij een voorloopige berekening, waarbij de brekings-
index van 40 niet was gewijzigd vond ik Pi = 3,48363; P^ = 20,8700;
log Q1 = 6,657048; log Q, = 8,065316.

IV.

—11

+ 5
— 4

ff

0

1.

11.

!II

IV.

I.

11.

III.

IV.

l-

II.

III.

¥

1,60995

— 1

-{- 1

I4«

1,62885

0

0

40

1,67818

— 5

3«

1,61316

+ 8

+ 8

22a

1,64174

+ *

+ 5

«{;

1,68011

+ 11

4|S
5
11

1,61615
1,61945
1,62508

+ 5

+ 5
2

+ 4
+ 4

o

27a

34

36(*

1,64440
1,65379
1,66697

— 1

— 1
—15

+ 2
+ 1
—16

43
46
51a

1,63295
1,69115
1,70112

+ 3
— 1

+ 1

Archives du Musve Teyler, Vol. III, Tabel A, tegenover p. 62.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOPFEN. 85

Ten slotte zij nog opgemerkt, dat de formule (23) in het gebruik zoo lastig
5 o , * df n al8 hai'e tWtis<Ae juistheid bewezen was (wat volgens
bb «-Il met het geval is), de formule van Caucht als een veel gemakkelij-
ker interpolatieformule kon behouden blijven.

IV.

OVER DE BETREKKINGEN TUSSCHEN DE BREKINGSINDICES EN DE
DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN.

§ 1. De formules, die ons het theoretisch onderzoek voor den samenhang
tusschen den brekingsindex en de dichtheid heeft opgeleverd, moeten thans nog
met de ervaring worden vergeleken. Wij zullen daarbij tevens over een paar
andere formules spreken, die men heeft gebezigd, om dien samenhang uit te
drukken. De eerste is de bekende vergelijking

"" ; — = const.

(A)

die het eerst uit de emissietheorie werd afgeleid, maar, zooals Hoek heeft aan
getoond, ook uit de vroeger aangenomen undulatietheorie kan verkregen worden
De tweede der bedoelde formules, nl.

n — j.

= const

d = COnsU' (B)

die in de meeste gevallen beter met de werkelijkheid overeenstemt dan (A) is
voor zoover mij bekend is, nooit langs theoretischen weg verkregen

By de gassen is het verschil n-l zoo klein, dat men, althans bij de nauw-
stt ; 1 men> geW00nhJk iü de ^^ing van den brekingsindex bereikt
üeett, de tweede en hoogere machten ervan mag verwaarloozen. Dientengevolge

wordt m2— 1 = 2(«— n Pn u" ~~ 1 2 , ,, , ± , n „

; «s + 2 = 3 (» — 1), zoodat zoowel de formule (A)

als onze formule

«3__i
^+^d = cmst (C)

86 OVER HET VEEBAND TÜSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

in de vergelijking (B) overgaan. Gelijk men weet is echter uit de metingen
van Biot en Arago de juistheid dier vergelijking gebleken, terwijl Ketteler *
heeft aangetoond, dat zij voor elke bepaalde golflengte doorgaat.

In den laatsten tijd heeft Mascart f de vergelijking (B) aan een uitvoerig
onderzoek onderworpen. Hij leidde uit zijne proeven af, dat de betrekking, die
er bij constante temperatuur tusschen den brekingsindex en de drukking H
bestaat, bij elk gas kan worden voorgesteld door de vergelijking

n_l = CS (1 + BH), (1)

waarbij C en B constanten zijn. Aan den anderen kant mag men naar de
proeven van Regnault stellen

d= C'H [l + B'H)

(C en B' constant). Volgens (B) zou dus

B= B'

moeten zijn. Het volgende tafeltje bevat voor een aantal gassen de uit de proeven
van Regnault en Mascart volgende waarden van B' . 104 en B . 10*, waarbij
als eenheid van drukking die van een kwikkolom ter hoogte van 1 M. is aan-
genomen.

B.'IQ*
.B.104

Lucht.
+ 12,0
+ 7,2

x.
+ 7,2

+ 8,5

o.
+ 16,5
+ 11,1

H.

CO.

cos.

N20.

NO.

OjNj.

so3.

— 4,S

+ 38

+ 81

+ Sü

+ 20

+ 316

+ 3:33

— 8,6

+ 8,9

+ rz

+ 88

+ 7

+ 277

+ 250

Mascart gelooft de afwijkingen (met uitzondering van kooloxyde en stikstof-
oxyde) aan de waarnemingsfouten te mogen toeschrijven.

Het verdient hierbij opgemerkt te worden, dat, zoodra de metingen nauwkeu-
rig genoeg zijn, om de grootheid B te leeren kennen, ook de tweede macht van
»— 1 niet meer verwaarloosd mag worden en dus de formules (A), (B) (C) niet
meer in elkaar overgaan.

Kettei.ek, Beobachtimgen über die JParbenzerstreuung der Gase, p. 44.
f Annahs de l'Ecole normale 2e Série, VI. Pogg. Ann., 153, p. 149 en Beiblaiter, 1, p. 257.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEK MIDDENSTOEFEN. 87

Wanneer wii de termen B C Hz en C% H2 behouden, maar de termen B C2 jH3
enz. verwaarloozen, dan volgt uit (1)

1 2

- CE

n" -f- 2

zoodat volgens onze formule (C)

1 + {B -~C)H

B' = B ~ -C
6

zou moeten zijn. Nu is -CIO* bij de meeste der onderzochte gassen iets klei-
ner dan 1, bij een enkel (b. v. C2NZ) bijna 2 en wanneer men dus.B. 10* door

(B C) 104 vervangt, wordt de afwijking van B' . 10* bij de meeste gassen

6

iets, hoewel zeer weinig, grooter.

Eindelijk zij nog opgemerkt, dat de afwijkingen (met uitzondering van iVen N2 O)
dien zin hebben, dat de brekingsindex bij samendrukking iets minder toeneemt,
dan volgens (C) het geval zou moeten zijn.

Mascart heeft ook den invloed onderzocht, dien een temperatuursverhooging
op den brekingsindex uitoefent. Hij besluit uit zijne proeven, dat bij lucht,
H, N, Nz O, C02, S 03 en C2 N2 de brekingsindex bij verwarming sneller af-
neemt, dan de formule (B) aangeeft. Berekent men b. v. door middel van die
formule uit de verandering van n den uitzettingscoëfficient, dan vindt men voor
lucht 0,00382 in plaats van 0.00367.

Voor de lucht komt echter V. v. Lang * tot een tegengesteld resultaat. Neemt
men voor den brekingsindex der lucht bij 0° C 1,0002945, dan volgt uit (B),
wanneer men voor den uitzettingscoëfficient 0,00367 stelt, voor 100° n = 1,000215,
terwijl dan volgens v. Lang ra= 1,000228 is. Men ziet, hoe volgens dezen na-
tuurkundige de brekingsindex bij verhitting iets minder afneemt, dan uit
de formule zou volgen.

§ 2. Men heeft slechts voor een enkele vloeistof, namelijk voor water de toe-
neming van den brekingsindex door samendrukking onderzocht, maar des te
grooter is het aantal bepalingen omtrent den samenhang tusschen den brekings-
index en de temperatuur. Wij zullen eenige dier bepalingen met de formule (C)
vergelijken, maar moeten daarbij al dadelijk opmerken, dat men geen volkomen
overeenstemming zal mogen verwachten. Yooreerst toch is bij de afleiding dier

* Poffg. Ann., 153, p. 448.

88 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOORTPLAKTINGSSNELHEID VAN HET

formule aangenomen, dat, al verandert de dichtheid, de moleculen zelve onver-
anderd blijven, maar dit is niet zeer waarschijnlijk. Ten tweede hebben wij on-
dersteld, dat de aether tusschen de moleculen dezelfde eigenschappen heeft, als
in het luchtledige, maar dit is misschien, als de deeltjes een groot deel der
ruimte opvullen, niet meer het geval. Verder is het mogelijk, dat de gewone
wetten voor de electrische werkingen op afstanden, zoo klein als die der vloei-
stofdeeltjes, niet meer doorgaan. Eindelijk kan men zich nog voorstellen, dat de
kracht, die zich tegen het scheiden der electriciteiten in eenig deeltje verzet,
niet meer geheel van dit deeltje zelf, maar ook gedeeltelijk van de omringende
uitgaat en zoodra dit het geval is moet de grootheid k (II, § 30) die wij tot nu
toe als constant beschouwden, van de dichtheid afhankelijk worden.

§ 3. Ik heb vooreerst de uitkomsten onderzocht, die Wüllner * voor een
aantal vloeistoffen en mengsels ervan verkregen heeft. Hij bepaalde voor ver-
schillende temperaturen, die gewoonlijk beneden 40° C. bleven, de dichtheid d
en de brekingsindices naing,ny voor de drie lijnen H„Hp,H van het water-
stofspectrum. Het bleek daarbij, dat binnen de gekozen temperatuurgrenzen
d., n», //p, >ty als lineaire functiën van de temperatuur T konden worden voorge-
steld. In tabel I. vindt men <7, nx, ny op deze wijze aangegeven en tevens den
constanten term A der dispersieformule van Catjcht. Wüll>*er bezigde voor de
15 eerste vloeistoffen deze formule met twee, voor de overige niet drie termen.

Glycerine a

1 Water; 3,7 glycerine»...

] « ; 1 «

1 „ ; 0,5

Water

Glycerine b

1 Alcohol a; 4 glycerine*

1 „ ; 2 «

1 u ; 0,998

1 ■■ ; 0,4997 «

Alcohol a

Verzadigde oplossing van I . ,

chloorzink f . ,

I Water; 3,997 verz.-i

chloorzinkoplossing. ƒ

1 Water; 1,990 vtiv.-i

chloorzinkoplossing. J

1 Water; 0,9998 verz.\

chloorzinkoplossing. ƒ

Zwavelkoolstof

sl)

koolstof 3

; 2,12836

Alcohol b.,

1,03111 «

1.23454-
1,18598-
1,11500-
1,07549-

d

-0,000830 T.
-0,000557
-0,000444
-0,000365

1,25073
1,14155
1,07420

0,9'J74S
0,93710
0.81281.

■0,000635
0,000660
0,000725
0,000750
0,000805
■0,00085

L96S16— 0,001153

1,68519-

1,52457-

1,36623-
1,29366-
1,14913-
1,08013-

[0.S132S-

■0,000992

-0,000793

-0,001506

■0,001373

-0,001294
0.00117S
■0.000S5

",

1,453177-
1,426172-
1,389760-
1,369609-
1,333138-

1,442453-

1.42S029-
1,411538-
1,398365-

■0,000265 T,

31
-0,000 1S5 o
-0,000154 .

■0,000292 »
•0,000305 »
-0,000330 »

0.000389

1,509257—0,000288

1,460379-

0,000882 - 1,433093

1,404593-

1,634066-

1,551274-

1,512477-
1,465695-

l,3Ga431-

-0,000266
-0,0002öS

-0,000250

■0.0007S0
■0,000678

1,417494-
1,692149-
1,594015-
0,000626 f/ 1,547691-

■0,000389 »|l,37S153-

"7

-0,000267 T.
-0,000233 »
-0,000187 -
-0,000150 »
-0,000099 «
-0,000272
-0,000206
-0,000310
-0,000336 »
-0,000363 i,
-0,000395

1,465064-
1,437604-
1,400239-
1,379567-
1,342290-
1,475732-
1,454235-
1,439160-
1,422213-
1,408843-
1,378158-

1.52S169— 0,000291
1,476405—0,000268 »
1,447507-0,000261 «

-0,000252 //

-0,000850 «

-0,000750 -

•0,000680 «
-0,000590 »
0,000395 «

1,443978-
1,417306-
1,381627-
1,361916-
1,326067-
1,454262-
1,433283-
1,419385-
1,403238-
1,390209-
1,360860-

1,494538-

-0,000263 T.

-0,000229 ,/

-0,000183 //

-0,000152 -/

-0,000099 .

-0,000268 .

-0,000289 ,t

■0,000301 »

■0,000325 .

•0,000350 »

-0,000384 .

•0,0002S6 //

1,447911-0,000205
1,421859—0,000256

1,394583-

1,601500-

1,526409-

1,491031-
1,449166-
1,361141-

-0,000249

■0,000754

-0,000646

■0,0C0593
0,000544 ,
'I, 13-9

Pogff. Ann., 133, p. 1.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 89

§ 4. Gewoonlijk past men de formules (A) en (B) alleen voor den brekings-
index A van stralen met oneindige golflengte toe en ik heb daarom vooreerst
de boven voor die grootheid aangegeven waarden met de formules (A), (B), (C)
vergeleken. Daarbij heb ik den volgenden weg ingeslagen.

Wanneer voor eenige temperatuur T0 de dichtheid d0 en de bedoelde con-
stante A0 is, dan zou volgens de formule (C) voor elke andere temperatuur T

A^—l J(?—l cl A0Z-

\V~bT-TA

A* + 2 V+l <*0 V +
moeten zijn, waarbij q de vermindering in dichtheid voor een tempera tuurs ver-
hooging van 1° C. voorstelt. Is nu T — T0 niet te groot, dan kan men uit
deze vergelijking A afleiden in den vorm eener reeks, die naar de opklimmende

q
machten van ~ (T — T0) is gerangschikt. De eerste termen daarvan zijn

W-])W + 2) a W-l)»(34,*-g)(4,»+2) q*

Nu is de grootste waarde, die A0 in tabel I ooit aanneemt, 1,6015 en dan

q%
wordt de coëfficiënt van j- (T — T0f 0,215, terwijl voor alle kleinere waarden

«o

van A0 ook die breuk kleiner wordt. Verder is bij alle onderzochte stoffen

q

— < 0,0012. Wanneer wij nu bij elke stof voor T0 de gemiddelde temperatuur

«o

nemen, die bij de proeven van Wüllner voorkomt, dan is T — T0 nooit groo-

ter dan 12°. Uit een en ander volgt, dat de laatste term in (2) steeds minder

dan 0,215 X (0,0012)2 x 122, of minder dan 0,00005 moet bedragen. Daar men

nu bij de proeven van Wüllner toch alleen van de vierde decimaal geheel

zeker is * kunnen wij gerustelijk in (2) den laatsten term weglaten en dus A

als een lineaire functie van T beschouwen. De vermindering van A voor een

tempera tuurs verhooging van 1° C. zou dan volgens de formule (C)

(,V— I) W + 2) q_

6 A0 d0

moeten zijn en kan dus uit de waargenomen waarden van A0, q en d0 berekend

worden f. Evenzoo kan men die vermindering ook uit de formules (A) en (B)

* Wüllner, t. a. p., p. 30.

t Eigenlijk kan de formule (C) slechts voor de aösolute brekingsindiees gelden, maar ik heb
mij overtuigd, dat men, door bij vaste lichamen en vloeistoffen de formule toe te passen op de
brekingsindiees ten opzichte van de lucht in de berekende vermindering daarvan slechts fouten
verkrijgt, die gerustelijk verwaarloosd mogen worden.

17

MATUÜRK VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

90 OVER HET VEKBANÜ TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

berek(!uen. In tabel II vindt meu naast de waargenomen waarde der bedoelde
vermindering ook de aldus berekende waarden. Ik heb daarbij alleen in de
eerste kolom de getallen voluit opgegeven en in de volgende het decimaaltee-
ken en de nullen weggelaten. Bij elke stof is tusschen haakjes de voor TQ
genomen temperatuur aangegeven; het zou overigens slechts een klein verschil
maken, als men eenvoudig T0 = 0° had gesteld.

II.

Waargenomen.

Bere-
kend
volgens

(A)

Waarn
ber.

Bere-
kend
volgens
(B).

Waarn
ber.

Bere-
kend
volgens
(O).

Waarn.
— ber.

Glycerine a ^20°j! 0,000263

Water; 3,7 glycerine a. . . . (20°) 0,000229

» ; 1 u .... (20°) j 0,000183

n ; 0,5 // .... (:20°j 0,000152

Glycerine b (20°) 0.00026S

Alcohol u; 4 glycerine b . (20°) 0,000289

ii ; 2 // . (20°) 0,000301

; 0,998 // . (20°) 0,000325

// ; 0,4997 // . (20°) 0,000350

Alcohol a r20°j 0,000384

Verzadigde opl. van chloorzink (30°) 0,000286

Water; 3,997 » » „ (25°) 0,000264

// ; 1,996 // // // (25°) 0,000256

ii ; 0,9998// // ,/ (25°j 0,000249

Zwavelkoolstof (15°, 0,000 754

Alcohol 4; 3,955 zwavelkoolstof (20°; 0,000640

; 2,12836 „ (20°) 0,000593

; 1,03111 ,/ (20°) 0,000544

192
167
181

107
195
213
241
260
288
328
242
223
208
197
509
522
493
450

71
62
52
45

73
76
60
65
62
56
44
41
48
52
85
124
100
94

227
196
152
123
23 1
251
283
303
335
377
290
264
244
229
700
629
588
532

36
33
31
29
37
38
18
22
15

7
-4

0
12
20
54
17

5
12

260
223
170
136
266
286
322
342
376
419
340
303
278
258
S60
746
688
611

3

6

13

16

2

3

21

17

26

35

54

39

22

9

106

100

95

67

Daar de dichtheid van water niet door een lineaire functie
tuur kan worden voorgesteld kon voor deze vloeistof de boven

van de tempera-
aangegeven weg

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN.

91

niet worden gevolgd. Ik heb daarom uit de voor 10° -waargenomen waarde
van A die voor 20° en 30° berekend, waarbij voor de dichtheid de bepalingen
van Kopp zijn gebezigd. Men vindt de uitkomsten in tabel III.

III.

A.

T.

Waargenomen.

Berekend
volgens (A).

Waarn.
— ber

Berekend
volgens (B).

Waarn.
— ber.

Berekend
volgens (C).

Waarn.
— ber.

10u

1,32508

20"

1,3-24.09

1,32467

— 58

1,32461

— 52

1,32456

— 47

30°

1,32310

1,32396

— 86

], 32380

— 70

1,32368

— 58

Bij de beoordeeling van bovenstaande uitkomsten moet men in 't oog houden,
dat de metingen den brekingsindex stellig tot in vier decimalen nauwkeurig
geven. Nu treden echter in tabel II bij elk der drie formules (A), (B) en (C)
tusschen de waargenomen en berekende vermindering van A voor 1 ° C. ver-
schillen op, die grooter zijn dan 0,1)0001. Daaruit volgt, dat, wanneer men
uit de waarde van A voor een bepaalde temperatuur de waarde afleidt voor een
temperatuur, die slechts 10° C. hooger is, deze van de waargenomen waarde
reeds in de vierde decimaal zal afwijken. Dergelijke verschillen vindt men
ook in tabel III. Wij kunnen dus besluiten, dat geen der drie formules in
volkomen overeenstemming is met de werkelijkheid.

De formule (A) voert steeds tot een te kleine verandering van den brekings-
index en wijkt meer van de waarheid af, dan de beide andere vergelijkingen.
De afwijkingen klimmen bij (A) zelfs tot 29 pCt. van de waargenomen ver-
andering van A (bij de mengsels van glycerine en water). Van de formules
(B) en (C) is voor glycerine en water de laatste, voor alcohol, chloorzinkoplossing
en zwavelkoolstof de eerste het best met de ervaring in overeenstemming. In
procenten van de waargenomen verandering van A uitgedrukt, is de grootste
afwijking in tabel II bij beide formules 19 pCt. ; zij komt voor bij het laatste
mengsel van water en glycerine voor de eerste, bij de verzadigde chloorzink-
oplossing voor de laatste formule.

Bij zwavelkoolstof geeft de formule (C) bij een temperatuursverhooging van
10° C reeds verschillen in de derde decimaal ; bij de andere vloeistoffen kan zij,
evenals de formule (B) bij een eerste benadering worden aangenomen, wanneer
men slechts voor een klein temperatuurinterval een overeenstemming tot in de
derde decimaal verlangt.

17x"

92 OVEE HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Bij alcohol, ehloorzinkoplossing en zwavelkoolstof wijken de waargenomen waar-
den van de door de formule (C) berekende in dien zin af, dat de brekingsindex
minder verandert dan volgens de formule het geval zou moeten zijn. Bij het
water is het tegengestelde het geval. In het vervolg zullen wij kortheidshalve
een afwijking' in den eersten zin negatief, die bij het water positief noemen.

In overeenstemming met het bij deze laatste vloeistof opgemerkte vindt men
ook bij de mengsels daarvan met glycerine een positieve afwijking, die met het
watergehalte toeneemt. Evenzoo openbaart zich de invloed van het water hierin,
dat de negatieve afwijkingen bij de chloorzinkoplossingen des te kleiner worden,
naarmate zij meer verdund zijn.

§ 5. Volgens de in het vorige hoofdstuk meegedeelde beschouwingen moet
onze formule (C) voor elke bepaalde golflengte gelden. In tabel IV heb ik naast
de waargenomen vermindering van na en ny voor 1° C. de vermindering aan-
gegeven, die aan de formule (C) zou beantwoorden. Bij de berekening daarvan
is steeds voor T0 dezelfde temperatuur genomen als in tabel II.

Evenzoo vindt men in tabel Y voor het water de waargenomen waarden van
n« en ny voor 20° en 30° vergeleken met die, welke uit den brekingsindex
voor 10° door de formule (C) zijn berekend.

IY.

YEEMIl

(DEEISG

Waargeuo •
men.

VOOR

Bereke-
ning.

1» C. V A N

■Waarneming i Waargeno-
— berekening. men

Uy

Bereke-
ning.

Waarneming
— berek.

0,000265
0,00

0,0001*5
0,000154

0,01) !

0,00

n 000305

0,0003 0

0,000356

0,000389

0,00028S

0,000266

0,000258

0,000250

0,0007SU

0,000678

0,000626

0,000560

267
228

174
140
273
293
330
350
386

353
314
287

265

920
7 90
72 1
03'S

+

+
+

2

3

11

14

3

1

25

20

30

40

65

48

29

i5

140

112

98

78

0,000267
0,000233

0,000187
0,000] 56
0,00 027 -
0,000296
0,000310
0,00033i;
0,000368
0,000395
0,000 291
0,00026S
0,000261
0,000252
0,000850
0,000750
0,000680
0,000590

275
235
180
144
2S1
303
340
361
397
442
369
327
298
275
1032
867
786
682

— 8

1 " ; 1 "
1 // ; 0,5 //

•

— 2
+ 7

+ 12

— 9

1 Alcohol u; 4 glyeeriue b.
1 // : 2 //
1 // • 0,998 //
1 * ; 0,4997 //

• •

— 7

— 30

— 25

— 34

— 47

Verzadigde chloorziukoplossiug.
1 Water ; 3,997 veiz. chloorzinkopl.
1 '/ ; 1,996 // //
1 // ; 0,9998 // //

— 78

— 59

— 37

— 23

— 182

1 Alcohol & ; 3,955 zwavelkool
1 ir ; 2,12836 //
1 // ; 1,03111 »

st

of.

— 117

— ïoo

— 92

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFPEN.

93

V.

WATER.

T.

Waargenomen.

Berekend.

Waarneming
— berekening.

Waargenomen.

Berekend.

Waarneming
— berekening.

10°
20°
30°

1,33215
1,33116
1,33017

], 33162
1,33071

— 54

— 54

1,34130
1,34031
1,33932

1,34076
1,33982

— 45

— 50

§ 6. Yoor die vloeistoffen, welke in tabel II een negatieve afwijking ver-
toonden, blijkt hetzelfde ook uit tabel IV. Vergelijkt men echter de verschillen
waarneming— berekening, die wij voor A, ua en ny gevonden hebben, dan blijkt
het, dat de bedoelde negatieve afwijkingen des te grooter worden, naarmate men
den brekingsindex voor een kleinere golflengte beschouwt. In overeenstemming
hiermede vertoont ook glycerine in II een zeer kleine positieve, maar in IV een
negatieve afwijking. Wij besluiten dus, dat bij glycerine, alcohol, chloorzink-
oplossing en zwavelkoolstof oorzaken bestaan, waardoor de brekingsindex bij
verwarming minder afneemt dan volgens de vergelijking (C) het geval zou moeten
zijn en dat deze oorzaken bij de meest breekbare stralen den grootsten invloed hebben.

Maar zelfs bij het water schijnen dezelfde oorzaken te bestaan. Want de af-
wijking bij deze vloeistof is wel ook in tabel V positief gebleven, maar wordt
des te kleiner naarmate de golflengte afneemt.

Het verdient hierbij opgemerkt te worden, dat de afwijking bij het water wer-
kelijk negatief wordt, wanneer men de verandering beschouwt, die de brekings-
index door samendrukking ondergaat. Jamin * kwam tot het resultaat, dat die
verandering de formule (A) volgt. Wanneer hij namelijk uit de waargenomen
verandering van n door die formule den coëfficiënt van samendrukbaarheid /u
(voor 1 atmospheer) afleidde, verkreeg hij voor gewoon gedestilleerd water
fi = 0,0000500, voor luchtvrij water // = 0,0000511, terwijl volgens Grassi
voor 0° C. ft = 0,0000504 is. Intusschen doet Mascart f, die de proeven van
Jamin herhaald heeft, opmerken, dat de temperatuur bij die proeven waarschijn-
lijk ongeveer 15° is geweest en dan is volgens Grassi /< = 0,0000471. Mas-
cart vindt voor de genoemde temperatuur uit zijne optische proeven door middel

* Ann. de cJdm. et de phys. 3 Série, T. 52, p. 163.
f Pogg. Ann., 153, p. 154.

94 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

van (A) ju = 0,0000518, door (B) p == 0,0000453, terwijl de formule (C), op
die proeven toegepast, f/ = 0,0000401 oplevert. Men ziet hieruit, hoe in elk
geval bij sameudrukking de brekingsindex minder varieert, dan volgens onze
formule het geval zou moeten zijn.

Terwijl dus het water in negatieve richting van de formule (C) afwijkt, wan-
neer de dichtheid bij constante temperatuur verandert, schijnt het, dat de posi-
tieve afwijking, die wij in de tabellen III en V opmerkten, op rekening van de
temperatuursverandering moet gesteld worden. Ik bedoel daarmee, dat waar-
schijnlijk die afwijkingen niet rechtstreeks aan een verandering in dichtheid
zijn toe te schrijven, maar veeleer aan een verandering, die de moleculen bij
temperatuursverhooging ondergaan, in dien zin, dat de grootheid •/. (II, § 2) voor
eene molecule niet constant is, maar bij verwarming afneemt. Voor deze op-
vatting pleit ook het gedrag van water beneden 4° C. Jajiin * heeft aange-
toond, dat ook dan de brekingsindex afneemt bij verwarming, ofschoon deze hier
van een inkrimping vergezeld gaat. Nu kan men zich zeer goed voorstellen,
dat de boven bedoelde verandering der moleculen ook beneden 4° plaats heeft,
zoodat ook dan y. hij verwarming afneemt. Het is dan verder zeer goed moge-
lijk, dat deze omstandigheid van meer invloed op den brekingsindex is dan de
inkrimping, en zoodra dit het geval is zal bij verwarming, ondanks die inkrim-
ping, de brekingsindex afnemen.

Eindelijk merken wij nog op, dat de positieve afwijking bij het water boven
20° bijna ophoudt, zooals hieruit blijkt, dat in de tabellen III en V de ver-
schillen waarneming — h n h ning voor 30° slechts weinig grooter zijn dan voor 20°.

§ 7. Verschillende natuurkundigen hebben een zoo groot aantal bepalingen
der brekingsindices van vloeistoffen verricht, dat wij nog slechts eenige dier
metingen als voorbeeld kunnen aanvoeren. Men vindt in tabel VI de uitkom-
sten van eenige berekeningen naar aanleiding van metingen van Hoek en
Oudemans f, Dale en Gladstoxe § en Landolt **. In de eerste kolom is be-
halve de naam der vloeistof ook die der waarnemers en tusschen haakjes de lijn
van het spectrum aangegeven. De als berekend opgegeven waarden van den
brekingsindex zijn door de formule (C) afgeleid uit den brekingsindex voor de
laagste der opgegeven temperaturen. Bij die afleiding is gebruik gemaakt van
de door Kopp ff bepaalde dichtheden.

* Comptes rendus, 43, p. 1191.

t Hoek et Oodemans, Recherches sur la quantitè d' ether cordenue dans les liquides, p. 66.

§ Dale en Gladstone, Phil. Trans. 1863.

** Landolt, Pogg. Ann. 117, p. 353; 122, p. 545.

ff Wüllner, Experintentalphysik, Btl. III, p. 79 (derde uitgave).

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN.

VI.

95

T.

Breki
Waargen.

ïgsindex.
Ber.

Waarn.
— ber.

T.

brekÏDgsindex.
Waargen. Ber.

Waarn.
— ber.

Azijnzuur

100

1,8776

18«

1,3854

\>

aethyl
H en 0

40°

1 1,362]

1,360É

» 18

(Ha)

24°

1,3830 1,382C

4

(D)

70°

1,3465

1,3432

32

Propionzuur
L

28°

1,3814

1,3807

7

Benzoëzuur

10°

1,5107

18°

1,3960

aethyl
H en 0

50°

1,4921

1,4904

17

(Hy)

240

1,8936

1,3931

5

(D)

100°

1,4688

1,4641

47

28°

1,3920

1,3911

9

Zuringzuur

10°

1,4151

16°

1,4073

aethyl
H en 0

600

1,3927

1,3904

23

(Ha)

20°

1,4057

1,4056

1

(Dj

1100

1,3697

1,3646

51

Amylalcohol
L

260

1,4034

1,4030

4

22°

1,3540

16°

1,4186

(A)

310

1,3500

1,3491

9

(H7)

20°

1,4169

1,4108

1

Mierenzuur

aethyl

D en G

40°

1,3456

1,3441

15

26°

1,4143

1,4142

1

22°

1,3694

60

1,3379

(H)

31°

1,3652

1,3642

10

(H«)

12°

1,3344

1.3343

1

40°

1,3608

1,3590

18

Aldehyde
L

20°
6°

1,3298

1,3293

5

23°,5

1,5003

1,3480

<A)

36°

1,4918

1,4915

3

(H7)

12°

1,3443

1,3442

1

Joodaethyl

48°

1,4841

1,4828

13

20°

16°

1,3394

1,3391

3

D en G

23°,5

1,5420

1,5412

(H)

36°

1,5326

1,5323

3

(Ha)

20°

1,5392

1,5388

4

48°

1,5250

1,5227

23

Bittere

amandelolie

L

26°
J6°

1,5361

1,5353

8

1 00,5

1,4879

1,5796

(A)

23°

1,4806

1,4794

12

(H7)

20°

1,5775

1,5770

5

Benzol

39°

1,4703

1,4686

17

26°

1,5742

1,5732

10

D en G

10°,5

1,5305

(H)

23°
39°

1,5225
1,5108

1,5211
1,5091

14
17

96 O VEE HET VEKBANU TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Men ziet, hoe ook bij al deze vloeistoffen de brekingsindex bij verwarming
minder afneemt, dan volgens de formule (C) het geval zou moeten zijn. Met
uitzondering van amylalcohol en aldehyde zijn ook weer die negatieve afwijkin-
gen des te grooter, naarmate de golflengte kleiner wordt.

Wij moeten eindelijk nog over het gedrag der vaste lichamen spreken. Fl-
zeau * was de eerste, die de veranderingen bepaalde, welke de brekingsindex
daarvan door verwarming ondergaat. Hij vond, dat bij glas van St. Gobain,
bij gewoon en zwaar flintglas de brekingsindex voor het natriamlicht bij ver-
warming toeneemt. Bij vloeispaath neemt de brekingsindex bij een tempera-
tuursverhooging af, terwijl die van kroonglas zoo weinig verandert, dat het
niet is uit te maken, of hij af- of toeneemt. De uitkomsten van Fizeau zijn
uit de waarneming der interferentiestreepen (ringen van Newton) bij dikke
platen afgeleid, maar zij zijn later ook door rechtstreeksche metingen, o. a. door
van der Willigen f bevestigd. Het meest uitgebreide onderzoek echter, dat
mij over dit onderwerp bekend is, is dat van Baille §). Deze natuurkundige
bepaalde rechtstreeks den brekingsindex voor verschillende lijnen van het spec-
trum bij ver uiteenliggende temperaturen. Van alle onderzochte lichamen ver-
toonden alleen vloeispaath, kalialuin en klipzout voor alle lichtstralen een bre-
kingsindex, die bij temperatuursverhooging afneemt, op dezelfde wijze als dit
bij de vloeistoffen het geval is.

Beschouwen wij vooreerst het vloeispaath. Baille verkreeg voor dit lichaam
de volgende brekingsindices:

Lijn van het spectrum. 14°. 99°. Verschil.

Li (a) (in de nabijheid van B)
Htt (samenvallende met C)
Na ( „ „ D)

H? ( „F)

Lijn van 't koperspectrum nabij Gr

Volgens Baille bedraagt de fout in de brekingsindices hoogstens 5 eenheden
der laatste decimaal. Hoe groot de fout in de bepaling der hoogste tempera-
tuur kan geweest zijn is moeilijk aan te geven. De vergelijking van de hier
meegedeelde uitkomsten met die van Fizeau valt vrij bevredigend uit. Voor

1,432575

1,431559

— 1016

1,432651

1,431639

- 1012

1,433272

1,432288

- 984

1,436033

1,435175

— 858

1,438994

1,438287

— 707

* Fizeau, Pogg. Ann. 119, p. 87.

t Van der Willigen, Archives du Musée Teyler, Vol. 1, p. 68, Vol. Il, pp. 191, 192, 195
197, 198.

S Baille, Recherches sur les indices de réfraction {These prés. a la Fac. des Sc. de Paris, 1867).

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 97

de natriumlijn is volgens Baille de vermindering' van den brekingsindex voor
1° 0,0000120. Fizeau vond voor die vermindering uit zijne eerste proeven
0,000013G en, zooals Baille opgeeft, uit latere proeven 0,0000110.

Daar volgens Kopp de lineaire uitzettingscoëfficiënt van vloeispaath 0,0000207
is *, kan men uit den brekingsindex voor 14° dien voor 99° door middel der
formule (C) berekenen. Dit geeft voor de vijf gebezigde lichtstralen de vol-
gende uitkomsten :

Waargenomen.

Berekend.

Waarneming— berekening,

Li*

1,43156

1,42997

159

Ha

1,43164

1,43004

160

Na

1,43229

1,43066

163

%

1,43518

1,43340

178

Cu

1,43829

1,43634

195

De afwijkingen zijn dus weer negatief, evenals wij dit bij alle vloeistoffen
met uitzondering van water gevonden hebben en zij zijn ook weer des te grooter,
naarmate de golflengte kleiner wordt. Evenals bij de vloeistoffen moeten dus
ook bij het vloeispaath oorzaken bestaan, die, alleen werkende, den brekings-
index bij vermindering van dichtheid zouden doen toenemen en die des te meer
invloed uitoefenen, naarmate men licht van een kleinere golflengte beschouwt.
Deze oorzaken worden ook nog bij het vloeispaath overwogen door die, welke
bij de afleiding der formule (C) in rekening zijn gebracht, zoodat de brekings-
index nog steeds bij verwarming afneemt, maar toch zijn de negatieve afwij-
kingen, vergeleken met de waargenomen verandering van ra, grooter geworden
(zoodat zij zelfs die verandering overtreffen). Dit blijkt ook uit de volgende
beschouwing. Volgens de formule (C) zou de brekingsindex voor de meest breek-
bare stralen het meest moeten afnemen. Dit is bij de vloeistoffen ook het geval,
ondanks de negatieve afwijkingen, die juist voor die stralen het grootst worden.
Maar bij vloeispaath zijn de afwijkingen reeds zoo groot geworden, dat de bre-
kingsindex voor de meest breekbare stralen juist het minst afneemt.

Dit laatste is volgens de metingen van Baille ook voor kalialuin en klipzout
het geval. Ik vermoed daarom, dat voor deze lichamen ook al het voor vloei-
spaath gezegde geldt, maar kan dit niet op de proef stellen, daar mij de uit-
zettingscoëfficient niet bekend is.

Men kan zich nu zeer goed voorstellen, dat de oorzaken, die, alleen werkende,

* Ik heb deze opgave ontleend aan Fizeau, t. a. p., p. 111.

IS

NATUURK. VERH. DER KON1NKL. AKADEMIE. DEEL XVT1I.

98 O VEE HET VERBAND TUSSCHEN DE VOOKTPLANTTNGSSNELHELD VAN HET

den brekingsindex bij een vermindering in dichtheid zouden doen toenemen,
geheel de overhand verkrijgen. Werkelijk neemt volgens Fizeau, van der
Willigen en Baille bij verschillende soorten van flintglas en volgens den
laatsten natuurkundige ook bij kiezelrijk kroonglas (crown chargé de silice),
diamant, blende en senarmontiet de brekingsindex bij verwarming toe. Daarbij
verdient opgemerkt te worden, dat van der Willigen en Baille gevonden
hebben, dat die aangroeiing des te grooter is, naarmate de golflengte kleiner
wordt. Nu zouden volgens de formule (C) de indices moeten afnemen en wel
het meest voor de kleinste golflengten. Voor deze zijn dus wederom de afwij-
kingen het grootst, geheel in overeenstemming met hetgeen wij bij de vloei-
stoffen gevonden hebben.

Eindelijk vindt Baille voor gewoon en zinkhoudend kroonglas (crown de
ziuc), dat de brekingsindex voor groote golflengten bij verwarming afneemt,
maar dat deze afneming des te kleiner wordt, naarmate men kleinere golf-
lengten beschouwt, om eindelijk in een aangroeiiug over te gaan, die dan verder
naar de violette zijde van het spectrum toeneemt. Het zal wel overbodig zijn
aan te wijzen, hoe ook hier de afwijkingen, wat de richting en de afhankelijk-
heid van de golflengte betreft, met die bij de vroeger besproken lichamen over-
eenstemmen.

Juist deze omstandigheid, dat de formule (C) zoowel bij vloeistoffen als bij
vaste lichamen op dezelfde wijze van de ervaring afwijkt, schijnt mij er voor
te pleiten, dat door die formule het vraagstuk van den samenhang tusschen
n en cl gedeeltelijk juist is opgelost. Maar bij de afleiding van (C) moeten nog
omstandigheden zijn verwaarloosd, die op den brekingsindex den reeds meer-
malen vermelden invloed hebben. Eenige omstandigheden, die hierbij misschien
in aanmerking kunnen komen, heb ik in § 2 aangewezen, maar ik zal het thans
niet wagen, deze aan een nader onderzoek te onderwerpen.

§ 9. Wij kunnen de formule (C) ook nog op de proef stellen door den bre-
kino-sindex van eenige stoffen in vloeibaren en gasvormigen toestand te verge-
lijken. Ik heb daartoe uit den brekingsindex voor het natriumlicht in den
eersten toestand door middel van de formule dien voor den tweeden toestand af-
geleid voor het geval, dat de drukking 760 mM. en de temperatuur 0° bedraagt.
(Voor die dampen, waarbij dit geval niet te verwezenlijken is, hebben de op-
gegeven brekingsindiees de beteekeuis, dat men er door (A), (B) of (C) in de
onderstelling, dat de wetten van Boyle en Gay-Lvjssac gelden, den brekings-
index voor werkelijk voorkomende gevallen uit kan afleiden). Zie hier de ver-
kregen uitkomsten.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN.

99

Vloeibaar

Water

Zwavelkoolstof

Aether

Zwavelzuur .

Dichtheid

1 (4")

1,2702(15,6)

0,7166(20°)

0,48:2!

Dichtheid
ten opzichte
der lucht

1,3345 (4°; Wüllner j 0,622

1,6308(1 5" ,6) Baden Powell j 2,644
1 3529 (20°) Landolt 2,580

1 3384 Ketteler f

2,216

Gasvormig

n
Waargenomen.

1,000261 Jamin *
1,00150 Dulong

1,00153 »

1,000665 »
1,000G86Ketteler

Berekend.

1,000249
1,00144
1,00151
1,000605

Ook bij den overgang van don vloeibaren tot den gasvormigen toestand neemt
de brekingsindex hier dus minder af, dan volgens de formule (C) het geval zou
moeten zijn.

§ 10. Eindelijk kan men nog voor zwavel en phosphorus de brekingsindices
in den vasten toestand vergelijken met die van den damp, welke laatste door
Le Roux § bepaald zijn.

Voor vaste zwavel is de brekingsindex (voor roode stralen) 2,053, de dicht-
heid 2,065. Daar nu voor zwaveldamp de dichtheid (ten opzichte van de lucht)
6,617 is, volgt uit de formule (C) voor den brekingsindex van den damp (bij
0° en 760 m.M.) 1,0032. Evenzoo vindt men voor phosphorusdamp 1,0020,
waarbij voor de dichtheid in vasten toestand 1,823, voor den brekingsindex
2,106 en voor de dichtheid van den damp 4,355 is gesteld.

Le Roux vindt voor zwavel- en phosphorusdamp resp. n ^= 1,001629 en
n = 1,001364, zoodat wij hier afwijkingen van de formule (C) zouden hebben
in tegengestelde richting als bij de vroeger onderzochte lichamen.

Het komt mij echter voor, dat de uitkomsten van Le Roux een belangrijke
correctie moeten ondergaan. Bij zijne proeven bevond zich nl. binneu een
prisma de damp der onderzochte stof, daarbuiten atmospherische lucht, terwijl
zoo binnen als buiten atmospherische drukking en dezelfde hooge temperatuur
t heerschten. De proeven leverden nu onmiddellijk den brekingsindex N van
den ingesloten damp met betrekking tot de omringende lucht op. Le Roux
stelt nu, dat die brekingsindex onafhankelijk van t is, en dus de gevonden
waarde ook geldt voor het geval, dat zoowel de lucht als de damp bij een tem-
peratuur van 0° en een drukking van 760 m.M. genomen worden. Door dan

* Jamin, Ann. de clüui. et de pjiys. 3e Série, T. 52, p. 171.
f Ketteler, Beobachütngen über die Farbeiizerstreuung der Gase.
§ Le Roux, Anti. de chim. et de phys. üe Série, T. 61, p. 385.

18*

100 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTENGSSNELHEID VAN HET

de bedoelde waarde met 1,000294 (absolute brekingsindex der lucht voor 0°en
7G0 m.M.) te vermenigvuldigen werd het boven opgegeven getal verkregen.

Nu is echter de hier gemaakte onderstelling niet juist. Integendeel kan men
uit de formule (B) gemakkelijk afleiden, dat de onderlirjge brekingsindex van
twee gassen bij een temperatuursverhooging (als de drukking onveranderd blijft)
moet afnemen. Ik geloof dan ook, dat men uit de proeven van Le Roux den
gezochten absoluten brekingsindex n0 van den damp voor 0° en 760 m.M. op de
volgende wijze moet afleiden.

Zij nt deze brekingsindex voor t° en 760 m.M., n't de absolute brekings-
index van de lucht onder dezelfde omstandigheden, dan is

in

— = N .
n t

Verder is, als a den uitzettingscoëfficient van de lucht voorstelt, die bij deze
berekening ook voor den damp wordt aangenomen, volgens de formule (B) —
of een der formules (A) en (C) —

0,0002 04
-l -+- at

nt = 1 -J- -0

' 1 + a t

dus, daar de hier voorkomende breuken zeer klein zijn

N = 1 +

n0— 1,000294

1 + at
«0 = 1,000294, + (A7— 1)(1 + at).

De door Le Roux berekende waarde is echter

n'0 = 1,000294 N= 1,000294 + (A7 — 1),

zoodat

»0 — 1,000294 = (/(0— 1,000294) (l + « /)

moet zijn. Stelt men uu, bij gemis aan andere opgaven omtrent de temperatuur,
voor t het kookpunt der onderzochte stoffen (resp. 400° en 290°), dan vindt men
uit de door Le Roux opgegeven waarden van ri0 voor zwavel «0 = 1,00359 en

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFPEN. 101

voor phosphorus n0 = 1,00250. De afwijkingen van de door de formule (C) uit
den brekingsindex in den vasten toestand berekende waarden hebben derhalve
weder dezelfde richting verkregen als bij de vroeger onderzochte lichamen.

Overigens zal men ook op de aldus berekende waarden van n0 niet te veel
moeten vertrouwen, daar het mij twijfelachtig voorkomt, of bij de proeven van
Le Roux wel alle lucht in het prisma door damp was vervangen. Hierdoor
kau intusschen n0 slechts te klein uitvallen, zoodat de afwijkingen van onze
formule de zooeven gevonden richting behouden.

§ 11. Wij hebben eindelijk nog na te gaan, in hoeverre de formule, die wij in
de vorige hoofdstukken voor den brekingsindex van mengsels hebben opgesteld,
met de werkelijkheid in overeenstemming is. Die formule kan in den volgenden
vorm worden geschreven. Wanneer van twee stoffen de brekingsindices n\ en nz,
de dichtheden dx en d2 zijn en wanneer voor een mengsel, waarvan de gewichts-
eenheid uit de hoeveelheden ax en a* dezer stoffen bestaat, de brekingsindex
n en de dichtheid d is, dan is

n^ — Y , «22 — l

2

"2 /p.\

Evenals deze vergelijking bij (C) behoort, behooren bij (A) en (B) de formules
m2 — 1

en

d

n—Y
d

"\

l

1

«22 —

1

«1

*1

+

"2

d2

»,

^__

1

n% —

1

«1

dl

+

a2

d2

(A')

= «1 ~ + a2 (B')

Voor gasmengsels zijn wa , na en n zoo weinig van de eenheid verschillend,
dat de beide eerste formules in de derde overgaan, die, gelijk men weet, door
de metingen van Biot en Arago bewezen is.

Anders is het met de vloeistoffen gesteld. Wij zullen zien, dat daar de
drie formules tot verschillende uitkomsten voeren, die intusschen geen van alle
volkomen juist zijn.

Hierbij valt nog iets op te merken. De in de vorige § § onderzochte veran-
deringen in den brekingsindex gingen, met een enkele uitzondering, van een
temperatuursverhooging vergezeld. Men zou daarom de afwijkingen, die wij
tusschen de formule (C) en de ervaring gevonden hebben, aan een verandering-
der moleculen met de temperatuur kunnen toeschrijven. Was dit juist, dan
zou er kans bestaau, dat de formule (C) doorging, wanneer men slechts

102 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

»j , % en n , di , rf2 en d alle bij dezelfde temperatuur nam. Blijkt het nu, dat
ook dan nog afwijkingen voorkomen, dan is het tevens waarschijnlijk gemaakt,
dat men, om tot een geheel juiste theorie te geraken, nog iets anders dan een
verandering der moleculen met de temperatuur in rekening zal moeten brengen.
Yoor het water blijkt dit trouwens reeds uit de proeven over de verandering
van den brekingsindex door samendrukking.

§ 12. Ik heb de drie formules (A'), (B'), (C), vooreerst weer vergeleken met
de metingen van Wüllneb, waarvan de uitkomsten in tabel I zijn vereenigd.
In tabel VII vindt men naast de waargenomen waarde van A voor 20° C. voor
elk mengsel die aangegeven, welke uit de waarde van A (bij dezelfde tempe-
ratuur) voor de beide gemengde stoffen door middel van de formules (A'), (B'), (C)
zijn afgeleid.

VIL

Berekend

Berekend

1

Berekend

volgens |

volgeus

volgens

Waar-
genomen.

... i Waarn,
<A,)- - ber.

(B')

Waarn.
— ber.

(O).

Waarn,
— ber.

1,4387

1 Water; 3,7 glycerine a . . . .

1,4127

1,4136

— 9

1,4133

—

6

1,4127

0

1 // ; 1 » ....

1,3780

1,3790

— 10

1,3782

—

2

1,3773

+ 7

1 // ; 0,5 // ....

1,3589

1,3598

— 9

1,3591

2

1,3583

+ 6

Water

1,3241
1,4489

1 Alcohol a ; 4 glycerine b .

1,4275

1,4273

+ 2

1,4275

0

1,4276

— 1

1 // ; 2 </

1,4134

1,4129

+ 5

1,4130

+

4

1,4129

4- 5

1 „ ; 0,998 •>

1,3967

1,3962

+ 5

1,3962*

+

5

1,3961

+ 6

1 // ; 0,4997 //

1,3832

1,3834

— 2

1,3838

—

6

1,3841

— 9

Alcohol ei

1,3532
1,4888

Verzadigde oploss. van chloorzink .

1 Water; 3,997 verz. oplossing)
van chloorzink )

1,4426

1,4438

— 12

1,4430

—

4

1,4420

+ 6

1 // ; 1,996 verz. oplossing )
van chloorzink j

1,4167

1,4 1G8

— 1

1,1155

+

12

1,4142

+ 25

1 // ; 0,9998 verz. oplossing |
van chloorzink j

1,3896

1,3901

— 5

1,3889

+

7

1,3878

+ 18

1,5*64.

1 Alcohol b ; 3,955 zwavelkoolstof •

1,5135

1,5202

— 67

1,5160

25

1,5111

+ 24

1 // ; 2,12836 //

1,4792

1,4876

— 84

1,4824

32

1,4768

+ 24

l </ j 1,03111

1,4383

1,4463

— 80

1,4413

—

30

1,4361

+ 22

1,3534

Wüllneb. geeft hiervoor 1,3966 op.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DEE MIDDENSTOFFEN. 103

Tabel VIII levert op dezelfde wijze een vergelijking van de formule (C) met
de metingen voor de stralen Ha en Hy.

VIII.

Glycerine a

1 Water; 3,7 glycerine.
1 " : 1 "

1 n ; 0,5 «

Water

Glycerine b . . . .

glycerine.

1 Alcohol ; 4
1 // ; 2 // ....

1 // ; 0,998 // ....

1 // ; 0,4997 // ....

Alcohol (« eu 5)

Verzadigde chloorzinkoplossing.
1 Water; 3,997 verz. chloorzinkopl.
1 ii ■ 1,996 i> >i

) 'i ; 0,9998 // «

Zwavelkoolstof

1 Alcohol

1

1

3,955 zwavelkoolstof.
2,12836 //

], 03111

Waar-
genomen.

1,4479

1,4216
1,3861
1,3665
1,3312
1,4583
1,4366
1,4219
1,4049
1,3912
1,3607
1,5035
1,4551
1,4279
1,3996
1,6185
1,5377
1,5000
1,4545

Berekend.

1,4214
1,3853
1,3660

1,4365
1,4216
1,4044
1,3922

1,4543
1,4252
1,3976

1,5348
1,4969
1,4519

Waarn.
— ber.

Waar-
genomen.

+ 2
+ 8
+ 5

+ 1
+ 3
+ 5
— 10

+ s

-f 27

-4- 20

-f 29

+ 31

-f 20

1,4597
1,4329
1,3965
1,3764
1,3403
1,4703
1,4483
1,4330
1,4155
1,4016
1,3703
1,5224
1,4710
1,4423
1,4125
1,6752
1,5790
1,5341
1,4804

Berekend-

1,4327
1,3957
1,3759

1,4480
1,4327
1,4152
1,4027

1,4700
1,4393
1,4101

1,5754
1,5304

1,4773

Waarn.
— ber.

+ 2
+ 8
+ 5

+ 3
+ 3

+ 3
— 11

+ 10
+ 30
+ 24

-f 36
+ 37
+ :*1

Uit tabel VII blijkt, zooals reeds werd opgemerkt, dat geen der drie gebezigde
formules geheel juist is, daar toch tusschen den waargenomen en den berekenden
brekingsindex voor de mengsels in de vierde, soms reeds in de derde decimaal
verschillen optreden. Alleen bij een ruwe benadering kan men, zooals ver-

104 OVER HET VEEBAND TUSSCHEN DE VOOETPLANTLNGSSNELHEID VAN HET

schillende natuurkundigen dit gedaan hebben, de empirische formule (B) aan-
nemen, maar men kan dan ook nagenoeg even goed onze theoretische formule
(C) laten gelden en dat zoowel voor oneindig lange ais voor kleinere golf-
lengten.

De afwijkingen, die de formule (C) van de werkelijkheid vertoont, zijn niet
meer aan zulk een eenvoudigen regel onderworpen, als die, welke wij vroeger
bij het bespreken der formule (C) aantroffen en men kon dit ook niet verwach-
ten, daar de vermenging van twee stoffen een veel ingewikkelder verschijnsel
is, dan de dichtheidsverandering van ééne stof. Intusschen verdient het op-
merking, dat, blijkens de tabellen YII en VIII de afwijkingen des te grooter
worden, naarmate men lichtstralen met een kleinere golflengte beschouwt. (Alleen
een paar mengsels van alcohol en glycerine maken hierop een uitzondering, maar
men kan misschien op de kleine veranderingen, die de bedoelde afwijkingen hier
bij verandering der golflengte ondergaan, slechts weinig staat maken). En deze
omstandigheid geeft eenigen steun aan het vermoeden, dat de afwijkingen, die zich
bij de formule voor de mengsels voordoen, aan dezelfde of dergelijke oorzaken
moeten worden toegeschreven, als de vroeger besproken negatieve afwijkingen
van de formule (C).

§ 13. Eindelijk heb ik de formule (C') nog vergeleken met eenige bepalingen van
van dek Willigen voor mengsels van zwavelzuur en water, alcohol en water
en voor oplossingen van chloorcalcium, chloor natrium en chloorammonium. Ik
heb daartoe door middel van de genoemde formule uit den brekingsindex van
water en van het mengsel met het grootste gehalte aan zwavelzuur, alcohol, enz.,

«2 1

dien der andere mengsels afgeleid. Stelt men b. v. de grootheid — voor

6 ° ö (n2 + 2} d

water door ki , voor watervrij SOé H2 door kz en voor eenig mengsel van beide
stoften door /,• voor, dan is, volgens (C), wanneer dit mengsel _/> pCt. S04H3 bevat

\ 100/

[l —rk) h + ^ h -il + Cp , (3)

wanneer men — — C stelt. Deze grootheid heeft nu voor alle mengsels

100 ° °

van zwavelzuur en water dezelfde waarde. Om die te bepalen kan men gebruik

maken van den brekingsindex voor het mengsel met het grootste gehalte aan

S04H;> en men kan vervolgeus uit de aldus bepaalde waarde van C voor de

mengsels k en n afleiden. Op dezelfde wijze kan men ook te werk gaan bij

de overige bovengenoemde stoften. Men vindt in de tabellen IX — XIII de

uitkomsten dezer berekeningen voor de lijnen D en H van Fbaunhofer.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 105

Bij de mengsels van zwavelzuur en water doet zich nog een eigenaardigheid
voor. Wanneer men, met water te beginnen, het gehalte aan S04H2 grooter
laat worden, dan nemen de brekingsindices eerst toe, om voor een gehalte van
84 a 85 pCt. een maximum te bereiken en vervolgeus af te nemen. Ofschoon
nu de formule (O) weer niet volkomen juist blijkt te zijn, voert zij toch, zooals
uit tabel IX blijkt, tot een dergelijk verloop van de brekingsindices, hoewel de
dichtheid d geen maximum vertoont, maar steeds bij toeneming van p grooter

*» — 1
wordt. Het bedoelde verschijnsel hangt hiermee samen, dat de grootheid

voor het mengsel met het grootste gehalte kleiner is dan voor water. Het ge-
volg daarvan is, dat de constante O in de vergelijking (3) negatief wordt, en

l + 2/cd
dat dus k bij toeneming van p steeds afneemt. Nu is echter «2 = -, _-Ad •

Neemt dan, bij toeneming van p, k af en d toe, dan is het mogelijk, dat voor
een bepaalde waarde van p het product k d en daarmede n een maximum wordt.
Dit zou natuurlijk nooit kunnen plaats hebben, wanneer k en d in gelijken zin
veranderden.

Ook bij de mengsels van alcohol en water heeft iets dergelijks plaats, als bij
die van zwavelzuur en water. Hier is k des te grooter, naarmate het alcohol-
gehalte toeneemt, maar d neemt daarbij af, zoodat beide grootheden ook hier
in tegengestelden zin veranderen.

Overigens moet niet verzwegen worden, dat ook de formules (A) en (B') tot
een dergelijk verloop van den brekingsindex voeren, als het hier besprokene.

IX.

MENGSELS VAN ZWAVELZUUE

. EN WATER. T = 18°,3.

Gehalte aan
S04 H.

Dichtheid.

Straal D.
n

Straal H.
n

Waar-
genomen.

Ber.

Waarii.
— ber.

Waar-
genomen.

Ber.

Waarii.
— ber.

0

0,9987

] ,33327

], 34377

4,46 o/0

1,0284

1,3386

1,3386

0

1,3494

1,8493

+ 1

23,29 //

1,1669

1,3620

1,3623

— 3

1,3732

1,87,55

— 3

38,78 //

1,2920

1,3S08

1,3808

0

1,3924

1,3924

0

56,25 n

1,4588

1,4031

1,4042

— 11

1,4151

1,4162

— 11

71,97 //

1,6343

1,4247

1,4266

— 19

1,4370

1,1390

— 20

81,41 //

1,7450

1,4360

1,4384

— 24

1,4484

1,4509

— 25

85,94 //

i,7S77

1,4381

1,4400

— 19

1,4504

1,4525

— 21

88,97 //

1,8123

1,4367

1,4398

— 31

1,4186

1,4522

— 34

94,72 //

1,8324

1,43163

1,44347

19

NATÜUBK VF.RH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

106 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

De brekingsindices zijn ontleend aan de Archives du Musée Teyler, Vol. I, Ta-
bel BB tusschen p. 116 en 117.

De dichtheden zijn berekend uit de gegevens van Tabel C, in hetzelfde deel,
tegenover p. 116. Bij die berekening is het gemiddelde genomen van de dicht-
heden, die elk mengsel bezat vóór en nadat het tot de proeven over de breking
gediend had. Alle dichtheden zijn aangegeven met betrekking tot die van wa-
ter bij 0° C. als eenheid. In de volgende tabellen echter is als eenheid de
dichtheid van water bij 4° C. genomen. Voor de dichtheid van het water zelf
is, zoo in Tabel IX, als in alle volgende, gebruik gemaakt van de opgaven
van Jolly (V\tüllner, ExperimentalphijsH- III, p. 72).

X.

MENGSELS VAN ALCOHOL EX WATER. T = 23°,0.

(Archives du Musée Teyler, Vol. II, Tabel B, tegenover p. 208).

Gehalte aan
alcohol.

Dichtheid.

Waar-
genomen.

Straal D.
n

Ber.

Waaru.
— ber.

Waar-
genomen.

Straal H.
n

Ber.

Waarn.
— ber.

0

0,9976

1,33273

1,34319

38,8 o/0

0,9352

1,3569

1,3577

— 8

1,3680

1,3694

— 14

53,9 v

0,9033

1.3613

1,3623

— 10

1,3725

1,3743

— 18

86,8 //

0,8243

1,3634

1,3634

0

1,3747

1,3756

— 9

98,9 //

0,7909

1,36070

1,37193

XI.

OPLOSSINGEN VAN CHLOORCALCIÜM

. T = 24°,0.

Gehalte aan
Ca Cla.

i
Dichtheid. j

Straal D.

Straal H.

Waar-
genomen.

Ber-

Waarn.
— ber.

Waar-
genomen.

Ber.

Waarn.
— ber.

0

0,9974

1,33264

1,34309

16,75 o/0

1,1435

1,3739

1,3729

+ io

1,3870

1,3856

+ 14

24,38 //

1,2241

1,3963

1,3956

+ r

1,4106

1,4095

+ 11

81,79 //

1,2970

1,4161

1,4150

+ n

1,4318

1,4302

+ 16

40,64 »

1,3995

1,44313

1,46035

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN. 107

De dichtheid en brekingsindices der zoutoplossingen, die in deze tabel en in
de beide volgende voorkomen, vindt men in de Archives du Mus. Teyler, Vol. II,
Tabel E, tegenover p. 236. De brekingsindices van bet water zijn ontleend aan
de Archives, Vol. I, Tabel V (kolom IV), tegenover p. 238.

XII.

OPLOSSINGEN VAN CHLOORNATRIUM. T = 25°,75.

Gehalte aan
Na Cl.

Dichtheid

Waar-
genomen.

Straal D.
n

Ber.

Waarn.
— ber.

Waar-
genomen.

Straal 11.
n

Ber.

Waarn.
— ber.

0

0,99697

1,33248

1,34293

8,65 o/o

1,05794

1,3470

1,3470

0

1,3585

1,3585

0

15,85 »

1,11194

1,3598

1,3597

+ 1

1,3722

1,3721

+ 1

16,61 >/

1,11745

1,3612

1,3609

+ 3

1,3738

1,3735

+ 3

20,73 //

1,15019

1,3687

1,3685

+ 2

1,3818

1,3817

+ 1

21,69 //

1,15785

1,3705

1,3703

+ 2

1,3836

1,3836

0

22,78 n

1,16731

1,3726

1,3725

+ 1

1,3862

1,3860

h 2

26,58 u

1,19845

1,37963

1,39365

XIII.

OPLOSSINGEN VAN CHLOORAMMONIUM T = 26°,30.

Gehalte aan
NH4 Cl.

Dichtheid.

Waar-
genomen.

Straal D.
n

Ber.

Waarn.
— ber.

"Waar-
genomen.

Straal H.
n

Ber.

Waarn.
— ber.

0

0,99684

1,33243

1,34288

9,72 o,0

1,02597

1,3510

1,3509

+ 1

1,3629

1,3627

+ 2

11,79 //

1,03202

1,3550

1,3549

+ 1

1,3672

1,3669

+ 3

14,51 //

1,04004

1,3602

1,3601

+ 1

1,3727

1,3726

+ 1

19,58 //

1,05364

1,3695

1 -IJ 96

— 1

1,3827

1,3828

— 1

19,68 //

1,05399

1,3698

1,3698

0

1,3830

1,3830

0

24,83 //

1,06757

1,37947

1,39347

19*

108 OVEE HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Ook in deze tabellen ziet men de afwijkingen tusscken den waargenomen en
den berekenden brekingsindex, zoodra ten minste het bedrag ervan eenigszins
aanmerkelijk is, voor de meest breekbare lichtstralen de grootste waarde aanne-
men, geheel in overeenstemming met het in 't laatst der vorige § uitgesproken
vermoeden. Dit vermoeden wordt ook nog hierdoor bevestigd, dat in Tabel IX
de berekende waarde van het maximum van den brekingsindex te hoog is, want
dit strookt geheel met het vroeger verkregen resultaat, dat de brekingsindex bij
vermeerdering der dichtheid minder toeneemt, dan volgens onze theorie het geval
zou moeten zijn. Ook bij de mengsels van alcohol en water treden afwijkin-
gen in denzelfden zin op als bij die van zwavelzuur en water, ofschoon in tabel
X juist het mengsel met den grootsten brekingsindex geene afwijking voor den
straal D vertoont.

Tot dergelijke uitkomsten komt men ook, wanneer men uit de gegevens van
tabel XII door middel van de formule (C) den brekingsindex van vast chloor-
natrium berekent. Ook voor de oplossingen dezer stof geldt nl. een vergelijking
van den vorm (3) en men heeft daarin slechts p = 100 te stellen, om de groot-
heid k voor watervrij chloornatrium te vinden. Kent men dan nog d voor het
vaste keukenzout, dan kan men n berekenen. Nu is volgens Hoek en Oüde-
maxs * bij 15° C. voor het klipzout cl =^ 2,162 en ik vind hieruit voor den
straal D n = 1,596. Volgens de metingen der genoemde natuurkundigen is
echter n = 1,544, zoodat ook hier de theorie een te groote waarde oplevert,
wanneer men uit den brekingsindex eener stof in den eenen toestand den bre-
kingsindex voor een anderen, dichteren toestand afleidt.

§ 14. Door verschillende natuurkundigen is aangetoond, dat men den bre-
kingsindex van een aantal scheikundige verbindingen op dezelfde wijze uit de
samenstelling berekenen kan, als dit bij mengsels mogelijk is. Zoo is b. v. door
Schrauf eene met (A') overeenkomstige formule, door Landolt en Dale en
Gladstone eene vergelijking, die als een uitbreiding van (B' ) is te beschouwen,
op verbindingen toegepast. Iets dergelijks kan men nu ook met de formule (E')
van het tweede hoofdstuk beproeven, ofschoon men, nu deze reeds voor mengsels
niet geheel juist is, ook bij verbindingen wel in geen geval iets anders dan een
ruwe benadering kan verwachten. Ik heb daarom slechts de brekingsindices
van een aantal verbindingen van koolstof, waterstof en zuurstof', die door
Landolt f onderzocht zijn, met de bedoelde formule vergeleken. Men vindt in

* Hoek et Oudemans, Recherches sur la quantitê d' ether contenue dans les liquides, p. 31.
t Landolt, Pogy. Ann. Bil. 122, p. 545 en Bel. 123, p. 595.

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOPFEN. 109

tabel XIV naast de door Landolt gemeten brekingsindices voor de lijn a van
het waterstofspectrum die aangegeven, welke door de formule berekend zijn.
Daarbij ben ik op de volgende wijze te werk gegaan. Wanneer de con-

w2 1

stante — -, voor koolstof, waterstof en zuurstof resp. door kh «2 en k5

(m2 -f- 2)ffl

wordt voorgesteld, dan is volgens de formule (E') van het tweede hoofdstuk

voor een verbinding, waarvan de gewichtseenheid de hoeveelheden aXl a2, a3

der drie elementen bevat,

n2 — 1

= «i kx + a» i2 + asA3 (4)

(n2 -f- 2)d

Bestaat nu de molecule dezer verbinding uit px atomen C, p^, atomen H, 2h
atomen O, dan is het moleculair gewicht

P=nPl +Piï+ 16p3

en men heeft

ai p > «c — p> H-— p ■

Stelt men dus 12^ = lq &3 = In en 16&3 — lo, dan gaat de formule (4) over in

n2 — 1 _ Pi lc + Pz Ih + Ps, h
(n2 + Z)d P {0)

Ter bepaling van lc, Ir en lo leveren nu de waarden van n en cl voor elke
der onderzochte stoffen een vergelijking op en ik heb de waarden van lc, ///en
lo bepaald, die het best aan al die vergelijkingen voldoen. Die waarden zijn

lc=. 3,045; l/j= 0,796; l0 = 1,830

en deze hebben dan verder voor de berekening van n gediend.

Ter vergelijking bevat de laatste kolom van tabel XIV de waarden, die door
Landolt berekend zijn. Hij bezigde daarbij de formule

» — 1 P\l'c + Pil'n+ p-il'o

d P

die als een uitbreiding van (B') kan beschouwd worden en waarin

/'c=5,00; /'Jg=l,30; V 0 == 3,00

gesteld werd.

(6)

110 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID VAN HET

Tabel XIV.

Formule.

Dichtheid.

Waar-
genomen.

Brekingsindex

Ber.

door (5).

Ber.
door (6).

Methylalcohol ....

Aethylalcohol

Propylalcohol

Butylalcohol

Amylalcohol

Mierenzuur

Azijnzuur

Propionzuur

Boterzuur. ......

Valeriaanzuur ....

Capronzuur

Oenanthylzuur ....

Azijnzuur methyl . .
Mierenzuur aethyl . .
Azijnzuur aethyl . . .
Boterzuur methyl . .
Mierenzuur amyl. . .
Boterzuur aethyl . . .
Valeriaanzuur methyl
Valeriaanzuur aethyl.
Valeriaanzuur amyl .

Aldehyde

Aceton

Valera!

Aethylaether

Azijnzuur anhydride .
Aethyleenalcohol. . .

Glycerine

Melkzuur

C H4 O

C2 H6 O*

C3 H8 O

C4 Hjo O

C5 H120

C H3 02

C2 H4 02

C3 H6 02

C4 H§ 02

C5 H10 02

C6 H12 02

C7 Hu 02

C3 Hc 02

C4 H8 02

C5 H10 03

C6 Hi2 02

C7 H14 02

Cio H20 02

C2 H4 O

C3 H6 O

C5 H10 O

C4 H10 O

C4 HG 03

C2 H6 02

C3 H8 ü3

C3 H6 03

0,7964
0,8011
0,8042
0,8074
0,8135

1,2211
1,0514
0,9963
0,9610
0,9313
0,9252
0,9175

0,9053
0,9078
0,9021
0,8976
0,8816
0,8906
0,8809
0,8674
0,8581

0,7810
0,7931
0,7995
0,7166
1,0836
1,1092
1,2615
1,2427

1,328
1,361
1,379
1,394
1,406

1,369
1,370
1,385
1,396
1,402
1,412
1,419

1,359
1,358
1,371
1,387
1,396
1,394
1,393
1,395
1,410

1,330
1,357
1,386
1,351
1,388
1,425
1,471
1,439

1,324
1,361
1,381
1,395
1,407

1,359
1,371
1,389
1,400
1,405
1,416
1,423

1,350
1,351
1,373
1,388
1,394
1,399
1,394
1,397
1,413

1,318
1,350
1,382
1,346
1,393
1,433
1,488
1,448

1,328
1,362
1,381
1,393
1,403

1,361
1,371
1,388
1,397
1,402
1,412
1,418

1,352
1,353
1,373
1,387
1,392
1,396
1,392
1,395
1,409

1,326
1,353
1,381
1,349
1,391
1,426
1,471
1,439

LICHT EN DE DICHTHEID EN SAMENSTELLING DER MIDDENSTOFFEN Hl

In deze tabel vertoonen de door (5) berekende waarden groote afwijkin-
gen van de waargenomene, zoo groote zelfs, dat de empirische formule 6) tot
betere uitkomsten voert. De richting der afwijkingen komt intusschen wederom
met die overeen, welke wij vroeger in verschillende gevallen gevonden*hebben.
Want over het geheel levert onze formule in tabel XIV de kleine indices nog
te klein en de groote te groot op, hetgeen overeenstemt met de omstandigheid,
dat onze theorie bij verandering van dichtheid tot een te groote verandering
van den brekingsindex voert.

Men kan eindelijk nog beproeven, uit de brekingsindices der verbindingen die
van de elementen C, H en O in vrijen toestand af te leiden. Zoo zou b. v.
volgens de hier ontwikkelde theorie voor koolstof, als d de dichtheid is,

1 + \lcd

T~yrd

moeten zijn. Berekent men nu op deze wijze den brekings-

index van diamant, dan leidt men uit den brekingsindex van koolstof bij dicht-
heden, zooals zij die in de onderzochte verbindingen heeft, dien in een dichteren
toestand af, zoodat als de afwijkingen ook hier dezelfde richting als boven zullen
hebben de berekende waarde te hoog moet uitvallen. Berekent men daarentegen
uit de waarden van Is en lo den brekingsindex van vrije waterstof en zuur-
stof, dan zal men in dat geval te kleine uitkomsten moeten verkrijgen. Wer-
kelijk is een en ander het geval, zooals blijkt uit de volgende getallen.

Dichtheid.

Brekingsindex.
Waargenomen.

Berekend.

Diamant .

. 3,55

2,43 (Schrauf)

5,3

Waterstof. .

. 0,06927 : 773

1,000138 (Dulong)

1,000107

Zuurstof . .

. 1,10561:773

1,000272

1,000246

Hoewel er dus nog zeer veel ontbreekt aan onze kennis van den samenhang
tusschen den brekingsindex en de scheikundige samenstelling geeft de richting
der gevonden afwijkingen toch eenigen steun aan het vermoeden, dat, zoodra
de oorzaken dier afwijkingen bekend zijn bij de dichtheidsveranderingen van
ééne stof en bij de vermenging van meerdere stoffen ook de brekingsindices
van de hier onderzochte verbindingen nauwkeuriger zullen kunnen berekend
worden.

Bleek het op deze wijze, dat werkelijk de brekingsindex dezer verbindingen
op dezelfde wijze uit de samenstelling berekend kan worden als dit bij een
mengsel het geval is, dan zou men dit het best kunnen verklaren door aan te
nemen, dat evenals in elk deeltje van twee met elkaar gemengde stoffen, zoo ook

112 OVER HET VERBAND TUSSCHEN DE VOORTPLANTINGSSNELHEID, ENZ.

in elk atoom eener scheikundige verbinding een electrisch moment kan worden
opgewekt.

Het mag intusschen niet verzwegen worden, dat zich bij sommige verbindin-
gen afwijkingen van onze formules voordoen, zooals zij bij mengsels niet wor-
den aangetroffen. Zoo kan men bij gasmengsels de brekingsindices door een
der samenvallende formules (A'), (B'), (C) berekenen, maar dit is niet meer
mogelijk bij een aantal verbindingen van gassen, al zijn zij ook zelve gasvormig.

Trouwens, al neemt men aan, dat in elk atoom eener verbinding een elec-
trisch moment kan worden opgewekt, dan behoeft nog de brekingsindex van
zulk een lichaam niet dezelfde te zijn, alsof de atomen eenvoudig met elkaar
vermengd waren. Het eerst laat zich dit verwachten in die gevallen, waar de
atomen eener molecule vrij ver van elkander staan, op afstanden niet veel
kleiner dan de onderlinge afstand der moleculen. Maar zoodra de atomen op zeer
kleinen afstand van elkaar geplaatst zijn, zal men waarschijnlijk eene correctie
in rekening moeten brengen, die uit de onderlinge werking der bestanddeelen
eener molecule voortvloeit, en natuurlijk met de structuur der laatste ten
nauwste moet samenhangen.

Eindelijk is het nog mogelijk, dat ook positieve of negatieve electiïciteit van
het eene atoom op het andere kan overgaan, of dat de reeds met positieve of
negatieve electriciteit toegeruste atomen (men denke aan de theorie der electro-
lyse) ten opzichte van elkaar verplaatst worden, en men zal dan ook hiermede
bij het onderzoek der lichtbeweging rekening moeten houden.

CONTRIBÜTION

A LA ÏAUNE ICHTHYOLOüIQUE

DE L'ILE MAURICE.

(Avec 3 fiyures).

PAR

F. B L E E K E R.

Parmi les poissons, dont 1'Administration du Museum de Hambourg a bien
youIu me confier la détermmation, j'ai trouvé 38 espèces provenant des mers de
1'ile Maurice, savoir:

* Scyllium africauum MH.

* „ pantherinum Smith.

* „ variegatum Smitb.

* Pseudoscarus aeruginosus Blkr.

* „ spilonotus Kuer.
Cheilinus chlorurus Blkr.

„ trilobatus Lac.
Anampses coeruleopuuctatus Rüpp.
Platyglossus (Hemitantoga) centriqua-

drus Blkr.

* Epinephelus Playfairi Blkr.

Epinephelus fasciatus Blkr.
„ merra BI.

* Seolopsides persouatus CV.

* Lutjanus marginatus Blkr.
Sparus laticeps Blkr.

* Cantharus emarginatus CV.
Tetragonoptrus (Linopbora) auriga

Blkr.

„ (Linophora) Mertensii Blkr.

(Rabdophorus) trifasciatus

Blkr.

20

NATUURK. VERH. DEK KONINKL. AKADEMJE. DEEL XVIII.

CONTEIBÜTION A LA FAUNE ICHTHTOLOGIQUE DE L'ILE MAUEICE.

Tetragonoptrus (Chaetodontops) fas-

ciatus Blkr.

„ (Lepidochaetodon) unima-

culatus Blkr.

* Parupeneus niacronema Blkr.
Eupomacentrus ater Blkr.
Pseudomonopterus (Pterois) vdlitans

Blkr.

* Agriopus melanosoma Blkr.

* Echeneis rernora L.
Caraugus melampygus CV.

Gnathanodon speciosus Blkr.
Rhombotides matoides Blkr.
„ triostegus Blkr.

Acanthurus strigcsus Benn.
Balistes (Balistapus) aculeatu.-
Platophrys pantherinus Blkr.
Hemirhamphus far Rüpp.
Carassius auratus Blkr.
Saurida nebulosa Val.

* Paradiodon maculifer Blkr.

* Tetraodon Houckenii BI.

Blki

Les quatorze espèces, marquées d'un asterisque, sont nouvelles pour la con-
naissance de la faune de Maurice. J'en décris ici quatre; FEpiuephelus Play-
fayri, qui me paraït identique avec Ie Serranus Sonueratii Playf. (nee CV); Ie
Pseudoscarus spilouotus Ivner, qui n'était conuu jusqu'ici que des iles Viti ;
FEupomacentrus ater, qui probablemeut ne diffère pas du Pomaeentrus ater
Lién., enrégistré daus Ie Catalogue of Fislies parmi les espèces douteuses; et
enfin F Agriopus melanosoma, la seule des espèces qui me paraït inédite. J'ajoute
encore la figure des trois dernières espèces, et Fénumération de toutes les espèces
de poissons actuellement connues de File Maurice, au nombre de 471.

Epinephelus Playfayri Blkr.

Epinepli. corpore oblongo eompresso, altitudiue 3| eire. in ejus longitudine
absque, 4^ eire. iu ejus longitudine cum pinna caudali ; latitudine corporis 2
eire. in ejus altitudiue; capite 3 eire. in longitudine corporis absque, 3 1 eire. in
longitudine corporis cum pinna caudali ; altitudine capitis 1 \ eire, latitudine
capitis 2f eire. in ejus longitudine ; oculis diametro 5 eire. in longitudine ca-
pitis, diametro f eire. distantibus; linea rostro-frontali convexhiBcula ; rostro et
ossibus suborbitalibus minutissime squamulatis; maxilla antice utroque latere
canino curvato, intermaxillari mandibulari longiore; maxilla superiore post ocu-
lum desinente, postice leviter squamulato, souamulis A'ix conspicuis ; praeoper-
culo rotundato margine posteriore non emarginato denticulis numerosis angula-
ribus ceteris non majoribus; suboperculo interoperculoque leviter denticulatis;
opereulo spinis 3 media ceteris subaequalibus longiore ; linea laterali mediocriter
et regulariter curvato apice curvaturae anterioris spinae dorsi 8ae opposita; squa-

CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. 3

mis eorpore ciliatis, angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin
pinnae caudalis supra lineain lateraleni in series 100 eire. infra lineam latera-
lem in series 90 eire. transversas dispositis ; squamis 45 eire. in serie transversa
basin pinnae ventralis inter et pinnam dorsalem, 8 vel 9 lineam lateralem inter
et spinam dorsi 6m vel 7m; squamis regione seapulo-postaxillari squamis mediis
lateribus paulo majoribus; cauda parte libera paulo breviore quam postice alta;
pinna dorsali spinosa spinis mediocribus validis anterioribus 2 eeteris breviori-
bus sequentibus postrorsum longitudine vix accrescentibus posticis 2^ eire. in
altitudine corporis, membrana inter singulas spinas sat profunde incisa non lo-
bata ; dorsali radiosa dorsali spinosa altiore radiis longissimis 2 et paulo in al-
titudine corporis; pectoralibus obtusis capite absque rostro paulo brevioribus sat
longe ante analem desinentibus ; ventralibus acutiuscule rotundatis capitis parte
postoculari paulo brevioribus, caudali obtusa rotundata pectoralibus paulo bre-
viore ; anali spina media spina postica conspicue fortiore et longiore oculo duplo
fere longiore, parte radiosa dorsali radiosa non bumiliore; colore eorpore fusces-
cente-rubro vel fusco ; capite lateribus ocellis parvis confertissimis aureis quasi
reticulato pinnis nigro marginatis ; ventralibus aurantiacis dimidio apicali fuscis ;
pinnis eeteris fuscis ; dorsali spinosa superue dilutiore ; dorsali radiosa et anali
ocellis sat numerosis aureis et vitta extramarginali auriantiaca.
B. 7. D. 9/15 vel 9/16. P. 2/16. V. 1/5. A.. 3/9 vel 3/10. C. 1/15 let lat brev.
Syn. Serranus Sonnerati Playf., Fish. Zanzib. p. 3 tab. 3 fig. 1? (nee CV.

nee. Day).
Hab. Mauritius.
Longitudo speciminis descripti 152'".

Rem. Par la physionomie et par la couleur du fond du corps et des nageoires
1'espèce est voisine de 1'Epinephelus argus, mais elle a Ie corps moins trapu, Ie
profil plus convexe, la ligne laterale moins fortement et plus régulièrement cour-
bée, les petits ocelles de la tête beaucoup plus nombreuses. Je n'y vois pas
de vestiges des ocelles bleus qui ornent dans 1'argus Ie corps, les nageoires
paires et la caudale.

Si Ie Serranus Sonneratii des Fishes of Zanzibar est en effèt de la même
espèee, il est a noter que la description de M. Playfair ne parle que de 85
écailles dans la ligne laterale et d'un bord préoperculaire faiblement échancré.
Il y est dit aussi que Ie sousopercule et 1'interopercule sont „entire" que les
pectorales atteignent 1'anale, que la 2e épine anale n'est que „scarcely stronger"
epie la troisième, etc. — La figure montre un poisson a corps plus trapu et
a profil moins convexe mais va au reste assezbien a 1'individu que j'ai devant moi.

20*

4 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQÜE DE L'ILE MAUBICE.

Fseudoscarus spilonotus Kner, Ueb. n. Fisch. Mus. Godeffr.,
Sitzb. K. Ak. Wiss. LVIII p 31; IVFolg. n. Fisch. Mus. Godeffr.
ib. p. 352 tab. 9 fig. 26. — Fig.

Pseudoscar. corpore oblongo compresso, altitudine 3 4 eire. in ejus longitudine;
latitudine 2^ eire. in ejus altitudine ; eapite acutiusculo 4 eire. in longitudine
corporis ; altitudine capitis 1 et paulo, latitudine eapite 2 fere in ejus longitu-
dine ; oculis superis, diametro 5£ eire. in longitudine capitis, diametro | eire.
a linea frontali remotis, diametris 2 eire. distantibus ; linea rostro-dorsali, ore
clauso, vertice et rostro convexa, ante oculos concava; rostro convexo absque
maxilla superiore oculo minus duplo longiore ; naribus distantibus parum con-
spicuis parvis subaequünagnis ; maxillis roseis superficie laevibus margine libero
pluricrenulatis angulo oris dente unieo mediocri extrorsum spectante, superiore,
tota fere, inferiore dimidio basali tantum labiis obtectis ; labio superiore interno
symphysin versus cum labio externo (rostrali) coalito; squamis genis triseriatis
serie superiore ceteris majoribus serie media 7, serie inferiore 4 vel 5 limbum
praeoperculi inferiorem tegentibus ; squamis lateribus 25 in serie longitudinali ;
linea laterali singulis squamis maxime arborescente ; pinna dorsali spinis flexi-
libus subaequiiongis corpore plus triplo humilioribus, parte radiosa parte spinosa
paulo altiore postice angulata ; pectoralibus acute rotundatis eapite absque maxilla
superiore non vel vix brevioribus ; ventralibus acute rotundatis eapite absque
rostro brevioribus ; anali dorsali non bumiliore postice angulata ; caudali eapite
absque rostro paulo longiore, truncatiuscula angulis acuta; colore corpore su-
perne olivascente lateribus dilutiore, inferne roseo-vel livide-margaritaceo ; iride
purpurascente margine pupillari aurea ; labio rostrali, genis et praeoperculo pul-
chre viridibus, rostro superne regione interoculari et fronte fusco-violaceis ; vit-
tula interoculari margaritaceo convexitate antrorsum spectante ; squamis dorso
antice et lateribus antice singulis guttulis 2 ad 5 parvis rubris; pinnis impari-
bus roseis, dorsali superne et anali inferne late coeruleo marginatis ; dorsali
media altitudine vitta longitudinali viridescente postice ex ocellis contiguis coni-
posita, basi spinae 4ae macula nigro-violacea ; caudali superne et inferne late
violascente vel coerulescente marginata : pectoralibus violascentibus superne pro-
fundioribus ; ventralibus pallide roseis.

B. 5. D. 9/10 vel 9|11. P. 212. V. 1|5. A. 3 9 vel 340. C. 1/11/1 et lat. brev.
ïïab. Mauritius.
Longitudo sspeciminu descripti 225'.

Rem. Cette espèce appartient au groupe du genre a machoires roses armées

CONTRIBÜTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAUEICE. 5

de dents latérales et couvertes en grande partie par les lèvres, aécailles desjoues
trisériales et a épines dorsales égales. Je ne puis la rapporter a aucune des
espèces connues. Elle se fait aisément reconnaitre par les ramifications nom-
breuses de la ligne laterale, par son marque rostro-frontal noiratre, par les gout-
telettes rouges des écailles de la partie antérieure du tronc, par les joues d'un
beau vert, par la bandelette médiane de la dorsale, et la tache noiratre sur
1'écaille recouvrant la base de sa quatrième épine, etc. L'espèce n'était connue
jusqu'ici que de la mer de Candavu.

Eupomacentrus (Brachypomacentrus) ater Blkr. (Fig.)

Eupomac. (Brachypom.) corpore oblongo compresso, altudinine 2 eire. in ejus
longitudine absque, 2§ eire. in ejus longitudine cuni pinna caudali; capite 4£
eire. in longitudine corporis ; linea rostro-frontali ante oculos convexiuscula ;
oculis diametro 3 et paulo in longitudine capitis; squamis capite superne usque
ante nares extensis; ossibus suborbitalibus conspicue serratis posterioribus squa-
matis ; osse praeorbitali incisura nulla ab ossibus suborbitalibus ceteris distiucto,
oculi diametro minus duplo humiliore, inferne non emarginato ; dentibus maxillis
compressis truncato-submarginatis apice contiguis vel subcontiguis ; dentibus
pharyngealibus multiseriatis apice quam basi non gracilioribus oblique compres-
sis vel rotundatis non curvatis, inferioribus in thurmam triangularem lateribus
non emarginatam dispositis, serie posteriore apice obtusis rotundatis; praeoper-
culo margine posteriore conspicue serrato, limbo posteriore et inferiore alepidoto,
supra limbum inferiorem squamis longitudinaliter triseriatis serie superiore ceteris
minoribus; operculo spinis 2 parvis distantibus inferiore superiore fortiore; sub-
operculo edentulo; squamis trunco 28 eire. in serie longitudinale 13 vel 14 in
serie transversa quarum 3 (2§) supra lineam lateralem; linea laterali sub dimi-
dio dorsalis radiosa posteriore interrupta; pinna dorsali dense squamata dorsali
spinosa dorsali radiosa minus duplo longiore, spinis postrorsum longitudine sen-
sim accrescentibus posteriore capitis parte postoculari longiore, membrana inter-
spinali mediocriter incisa; dorsali radiosa dorsali spinosa multo altiore obtusius-
cule rotundata radiis 6° et 7° ceteris longioribus : pectoralibus obtusiuscule rotun-
datis, capite vix brevioribus ; ventralibus paulo post basin pectoralium insertis
acutis, radio l°,producto capite longiore; anali dense squamata spina 2a valida
capitis parte postoculari longiore, parte radiosa dorsali radiosa forma et longi-
tudine subaequali sed ea paulo humiliore obtuse rotundata radiis mediis ceteris
longioribus ; caudali tota fere squamata sat profunde emarginata lobo superiore

6 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE.

acutiusculo inferiore acutiuscule rotuudato longiore eapite non breviore; colore
corpore pinnisque nigrieaute ; iride fusea vel profunde violacea ; vittulis vel gut-
tulis corpore pinnisque conspicuis nullis.

B. 6. D. 12/16 vel 12/1". P. 2/17. V. 1/5. A. 2/13 vel 2/14. C. 1/13,1 et lat brev.
Syn. Pomaceutrus citer (Pomacmtre noir) Lién., Dix. Rapp. Soc. Hist. nat. Mau-

rit. p. 34.
Hab. Mauritius.
Longitudo specirainis unici 120".

Rem. Ne pouvant pas consulter Ie Rapport cité, je ne puis que supposer que
1'espèce décrite doive être celle publiée par Liénard et trouvée a la même loca-
lité. M. Güntlier la place parrai les espèces douteuses, niais 1'individu que j'ai
devant moi est une forme bien distincte, voisine de rEupomacentrus (Brachy-
pomacentrus) albifasciatus.

Agriopus melanosoma Blkr. (Fig.)

A.griop. corpore oblongo coinpresso, altitudine maxima (spinam ventralem inter
et spinam dorsi T?) 2| ad 2| in ejus longitudine absque, 3 et paulo in ejus
longitudine cum pinna caudali; latitudine corporis 2| eire. in ejus altitudine;
eapite acuto 3| ad 3j in longitudine corporis absque, 3f eire. in longitudine
corporis cum pinna caudali ; altitudine capitis 1' eire, latitudine capitis 2{-
cire. in ejus longitudine; oculis diametro 4| eire. in longitudine capitis, dia-
metro 1 fere distantibus ; orbita superne granulosa inferne antice spinula vix
conspicua; suborbitalibus regione temporali et suprascapulari granulosis; linea
rostro-frontali valde concava ; nanbus oculi diametro \ eire. distantibus patulis
rotundis inferioribus superioribus conspicue majoribus; rostro acuto oculo lon-
giore; osse praeorbitali oculi diametro altiore, multo altiore quam lato postice
grauuloso; maxillis subaequalibus, superiore valde protractili, sat longe ante
oculum desinente; dentibus maxillis bene conspicuis pluriseriatis gracilibus acu-
tis leviter curvatis ; praeoperculo obtuse rotuudato dimidio superiore magna parte
granuloso, dimidio inferiore radiatim rugoso; operculo subradiatim rugoso ; cute
trunco spinulis vel granulis nullis sed transversim dense rugosulo-striata ; aper-
tura branchiali sat longe supra basin pinnae pectoralis desinente; linea laterali
parum curvata e tubulis simplicibus distantibus composita ; cauda parte libera
duplo eire. longiore quam postice alta; pinna dorsali partem spinosam inter et
radiosam sat profunde emargiiiata; dorsali spinosa dorsali radiosa triplo eire.

CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'JLE MAURICE. 7

longiore, spinis anterioribus praesertim validis, 4a, 5a et 6a ceteris longioribus al-
titudine corporis vix plus duplo capitis parte postoculari non brevioribus, spinis
2 anticis subaequilongis oculo duplo vel plus duplo longioribus, spinis 2 posti-
cis spina la duplo et spina 5a triplo eire. brevioribus ; dorsali radiosa duplo eire.
longiore quam alta, obtuse rotundata; pectoralibus et ventralibus acutiuscule
rotundatis, pectoralibus ventralibus paulo longioribus capite absque operculo non
brevioribus; anali aeque alto eire. ac longa obtuse rotundata, dorsali radiosa
paulo altiore sed multo breviore radio 1° spina rigida oculo breviore; cau-
dali capite duplo eire. breviore; caudali capite duplo eire. breviore, emarginata
angulis rotundata; colore corpore pinnisque nigricante-vel violaceo-fusco ; iride
violascente-fusca raargine pupillari aurea ; genis et operculis et regione scapulari
maculis aliquot distantibus polymorphis albidis.
B. 5. D. 18 12 vel 18/13 (bind.).* P. 9 (omn. simpl.) V. 1/5 (bind.). A. 3/5 bifid./l.

C. 1/10 bifid./l etlat. brev.
Hab. Mauritius.
Longitudo speciminis unici 285'".

Rem. L'Agriopus de 1'ile Maurice est Ie plus voisin de 1'Agriopus leueopoe-
cilus Rich., mais dans cette dernière espèce Ie corps est plus régulièrement
ovalaire et Ie tronc varié de taches blanchatres et foncées, les nageoires n'y
sont pas non plus uniformément coloriées, la première épine dorsale n'est pas
plus longue que 1'oeil et mésure deux fois dans la seconde épine, les épines
dorsales postérieures sont relativement plus hautes, les pectorales composées de
huit rayons, 1'anale sans épine osseuse, etc.

Les Agriopus doivent former, dans la familie des Scorpénoïdes, une sous-
familie, caractérisée par la fente branchiale ne s'étendant pas jusqu'a la base
de la pectorale et separée par conséquent par un isthme tres large de celle du
cöté opposé. La diagnose de la familie doit donc être modifiée par rapport a la
nature de 1'orifice branchial.

La sousfamille ne comprend que les espèces, au nombre de huit, décrites
jusqu'ici comme des Agriopus, mais qui probablement appartiennent a deux ou
trois genres.

Le genre Gnathanacanthus me parait Ie plus voisin des Agriopus, mais ap-
partient aux vrais Scorpéniformes par sa fente branchiale se continuant sous
la gorge.

8 CONTRIBUTION A LA PAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE.

EnuméraMon des espèces de poissons actuellement connues de

Vile Maurice.

Carcharioidei.

1 . Cynocephalus (Scoliodon) acutus Blkr = Carcharias (Scoliodon) acutus MH.

2. Triaenodon obesus MH.

Lamnoidei.

3. Alopecias vulpes Bp.

Scyllioidei.

4. Scyllium africauimi MH.

5. „ pantherinum Smith = Scyllium africauum var. pantherina Günth.

6. „ variegatum Smith = Scyllium africanum var. variegata Güntb.

Centrophoroidei.

7. Euprotomicrus Labordii Gill.. Günth. = Laemargus Labordii. MH.

8. Tristius brasiliensis Gill, Günth. = Scymnus brasiliensis QG = Leius fe-
rox Kner.

Torpedinoidei.

9. Narcacion marmoratus Blkr = Torpedo marmorata Rud.

10. n fuscomaculatus Blkr = Torpedo fuscomaculata Pet.

itajoidei

11. Dasybatis asterias Blkr = Raja asterias L.

12. Leiobatis polylepis Blkr = Trygon polylepis Blkr.

13. Taeniura Meyeni MH.

ifiyliobatidoidei.

14. Aetobatis narinari MH.

15. Dicerobatis Kuhlii Günth. = Cephaloptera Kuhli MH.

Scaroidei.

16. Scarichthys auritus Blkr. = Scarus naevius CV.

17. „ coeruleo-punctatus Blkr.

18. Callyodon viridescens Rüpp.

19 Pseudoscarus ghobban Günth. = Scarus ghobban Forsk.

20. „ aeruginosus Blkr = Scarus aeruginosus CV.

21. „ maculiceps Peters.

22. „ capitaneus Günth. = Scarus capitaneus CV.

23. „ caudofasciatus Günth.

24. „ cyanescens Blkr = Scarus maculosus Lac.

CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQÜE DE L'ILE HAUKICE. 9

25. Pseudoscarus raaculosus Giinth. = Scarus maculosus Lac.

26. „ harid Günth = Pseudoscarus mastax Blkr.

27. „ pyrrhostethus Blkr = Scarus pyrrkostetkus Rick.

28. fi pulckellus Blkr = Scarus pulckellus Rüpp.

29. „ scaker Blkr. = Scarus scaker CV.

30. „ spilonotus Kner.

31. „ kimkaweusis Blkr? -= Scarus erytkrodon CV.

32. „ taeniurus Blkr = Scarus taeniurus CV.

33. „ variegatus Blkr = Scarus variegatus CV.

34. „ venosus Blkr. — Scarus venosus CV.

Labroidei.

35. Ckoerops rokustus Blkr. = Xiphochilus robustus Günth.

36. Pteragogus taeniops Pet.

37. Trockocopus opercularis Güntk.

38. Cossyphus axillaris CV. == Lakrus axillaris Beun.

39. „ atrolunibus CV.

40. „ antkioides Güntk. = Crenilabrus antkioides Benn. = Cossypkus zos-

teropkorus Blkr.

41. „ bikmulatus CV.

42. „ diana CV.

43. „ leucosticticus Güntk. = Labrus leucosticticus Benn.

44. „ macrurus Güntk. = Lakrus spilonotus Benn. = Cossypkus maldat CV.

45. Hemigymnus fasciatus Güntk. --= Tautoga fasciata CV.

46. „ nielapterus Günth.

47. Anampses coeruleopunctatus Rüpp.

48. „ diadematus Rüpp. = Anampses lineolatus Beun.

49. „ geograpkicus CV.

50. „ viridis CV.

51. Gompkosus coeruleus Lac.

52. „ varius Lac. ^ Gompkosus fuscus CV.

53. Stetkojulis strigiventer Güntk. = Julis strigiventer Benn.

54. Julis Abkortani CV.

55. „ Commersonii CV. = Julis bicolor CV.

56. „ dorsalis QG = Julis semifasciatus. CV.

57. „ Lamarrii CV.

58. „ trilobata CV. = Julis formosus, quadricolor, aeruginosus CV. = Ju-

lis bicatenatus Benn.

59. „ Mattkaei CV.

21

NATUURK. VBEH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

10 OONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAÜRICE.

60. Julis unibrostignia Rüpp. = Julis Souleyeti CV.

61. Platyglossus (Platyglossus) marginatus Blkr = Julis annularis K.V.H.

62. „ (Gimtkeria) scapularis Blkr = Julis scapularis Benn. = Julis Lesche-

naulti CV.

63. „ (Hemitautoga) centiquadra Blkr = Julis hortulanus, decussatus CV.

64. „ (Halichoeres) chloropterus Blkr = Halichoeres chloropterus Blkr.

65. Hemicoris caudimacula Blkr = Julis caudimacula QG. = Ceris caudimacula

Günth.

66. „ cingulum Blkr = Julis cingulum CV.

67. Coris aygula Lac. = Julis coris CV.

68. „ Cuvieri Güntk. = Julis Cuvieri Benn. = Julis stellatus CV.

69. „ erytkropterus Blkr = Jidis erythropterus CV.

70. Hologymnosus semipartitus Blki' = Coris semipartita Günth.

71. „ fasciatus Lac. = Julis annulatus et doliatus CV.

72. Cymolutes praetextatus Günth. = Julis praetextatus Günth.

73. Anampsodax Lienardi Blkr.

74. Labroides dimidiatus Blkr.

75. Cheilio inermis Rieh. = Cheilio auratus, cyanochloris, iüscus CV.

76. Cheiliopsis bivittatus Steind.

77. Novaculichthys taeniurus Blkr = Xyrichthys taeniurus CV.

78. Hemipteronotus immaculatus Blkr = Novacula imraaculata Val.

79. „ tessellatus Blkr = Novacula tessalata CV.

80. Xyrichthys pavo CV = Xyrichthys pavoninus CV.

81. Epibulus insidiator Cuv.

82. Cheilinus arenatus CV.

83. „ chlorurus Blkr = Cheilinus decacanthus, guttatus Blkr.

84. „ punctatus Benn. = Cheilinus punchilatus CV.

85. „ fasciatus CV.

86. „ radiatus Blkr = Cheilinus Commersonii Benn •= Cheilinus diagram-

mus CV.

87. „ trilobatus Lac. = Cheilinus sinuosus QG.

Percoiflei.

88. Priacanthus carolinus CV.

89. .. hanirur CV. = Priacanthus fax CV.

90. Odontanthias borbonicus Blkr = Anthias borbonius CV. = Serranus ïelfairi
Benn.

92. Aulacocephalus Schlegeli Blkr.

93. Centropristes savonaceus Val.

CONTRIBUTIOSfA LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAUEICE. H

94. Serranus filanientosus CY. = Serranus mitis Benn. = Anthias filamentosus

Günth.

95. Variola louti Blkr. == Serranus punctulatus CV.

96. Epinephelus argus Blkr = Serranus myriaster CV. — Serranus guttatus Pet.

97. ' angularis Blkr = Serranus angularis CV. = Serranus celebicus Blkr.

98. miniatus Blkr = Serranus miniatus.

99. B multinotatus Blkr. = Serranus multinotatus Pet.

100. „ mystacinus Blkr = Serranus mystacinus Poey, Günth.

101. cylindricus Bik = Serranus cylindricus Günth.

102. „ erythraeus Blkr = Serranus erythraeus CV.

103. „ fasciatus Blkr = Serranus marginalis, oceanicus CV.

104. „ flavo-coeruleus Blkr = Perca flavopurpurea Benn. = Serranus bor-

bonicus QG.

105. „ formosus Blkr ■= Serranus formosus CV.

106. „ leopardus Blkr = Serranus spilurus CV. = Serranus zanana CV.

107. „ lutra Blkr = Serranus lutra CV.

108. „ merra Blkr = Serranus faveatus, hexagonatus CV.

109. „ morrhua Blkr = Serranus morrhua CV.

110. „ Playfayri Blkr = Serranus Sonnerati Playf. nee CV.

111. „ Retouti Blkr.

112. „ rivulatus Blkr = Serranus rivulatus CV.

113. n salmonoides Blkr = Serranus salrnonoides CV.

114. „ unicolor Blkr = Serranus unicolor Lién.

115. „ variolosus Blkr. = Serranus variolosus.

116. Paracanthistius maculatus Blkr = Plectropoma maculatum CV.

117. „ melanoleucus Blkr = Plectropoma melanoleucum CV.

118. Grammistes ocellatus Blkr = Gramrnistes compressus Lich.

119. „ orientalis Bl.Sch.

120. Therapon (Datnia) farna Blkr = ïherapon servus CV.

121. Moronopsis caudavittatus Blkr = Dules caudavittatus CV.

122. „ fuscus Blkr = Dules fuscus CV.

123. „ rupestris Blkr =■ Dules rupestris CV.

124. Amia aurita Blkr = Apogon auritus CV.

125. „ frenata Blkr = Apogon frenatus CV. = Apogon vittiger Benn.

126. „ taeniopterus Blkr = Apogon taeniopterus Benn.

127. „ variegata Blkr = Apogon variegatus Val.

128. „ semiornata Blkr = Apogon semiornatus Pet.

129. Paramia macrodon Blkr = Cheilodipterus octovittatus CV.

21*

12 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAUEICE.

130. Poinadesys hasta Blkr = Pristipoma hasta, Cornmersoni CV.

131. „ argyreus Blkr = Pristipoma argyreum CV.

132. „ punctulatus Blkr = Pristipoma punctulatum Rüpp.

133. Plectorhynchus crassispina Blkr. = Diagramma crassispinum Rüpp.

134. „ gaterina Blkr = Diagramma gaterina CV.

135. „ griseus Blkr. = Diagramma griseum CV.

136. „ orientalis Swns. = Diagramma pica CV.

137. Scolopsis frenatus CV.

138. „ personatus CV.

139. „ pliacops Benn.

140. Etelis carbunculus CV.

141. Lutjanus analis Blkr == Diacope analis CV.

142. „ bengalensis Blkr — Diacope octovittata CV.

143. „ duodecimlineatus Blkr = Diacope duodecimlineata CV.

144. „ coeruleovittatus Blkr. = Diacope coeruleovittata CV = Diacope

angulus Benn.

145. „ fulviflamma Blkr = Diacope fulviflamma, monostigma CV.

146. „ marginatus Blkr = Mesoprion marginatus CV.

147. „ octovittatus Blkr = Labrus octovittatus Lac.

148. Aphareus furcatus Günth. = Aphareus coerulescens, rutilans CV.

149. Latilus argentatus CV.

150. Gnatodentex aurolineatus Blkr — -•- Pentapus aurolineatus CV = Dentex ly-
cogenis Benn.

151. Gymnocranius griseus Blkr = Dentex griseus Schl.

152. „ rivulatus Klunz. = Dentex rivulatus Büpp.

153. Dentex fLamentosus = Dentex (Heterognathodon) filamentosus Steind.

154. Letlirinus nebulosus CV = Lethrinus centurio, esculentus CV.

155. „ mabsena CV.

156. Sparus bifasciatus Blkr = Chrysophrys bifasciata CV.

157. „ coracinus Blkr = Chrysojmi^s coracinus CV.

158. „ sarba Forsk ^= Chrysophrys sarba, chrysargyra CV.

159. „ filamentosus Blkr = Pagrus filamentosus CV.

160. „ laticeps Blkr = Chrysophrys laticeps CV. = Pagrus laticeps Steind.

161. Sargus auriventris Pet.

162. Cantharus emarginatus CV.

163. Caesio coerulaureus Lac.

164. Diapterus oyena Blkr = Gerres oyena CV.

165. „ filamentosus Blkr = Gerres filamentosus CV.

CONTEIBÜTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. 13

Hogodoidei

166. Ambassis Commersoni CV. =■ Ambassis macranthus Blkr.

167. „ gymnocephalus Blkr = Ambassis Dussumieri CV.

CirrhitoideL

168. Cirrbites marmoratus Blkr = Cirrhites maculosus Benn = Cirrhitichthys
maculatus Güntb.

169. Paracirrhites arcatus Blkr = Cirrbites arcatus CV.

170. cinctus Blkr = Cirrbites fasciatus Benn. (nee CV.) Cirrbites einctus
Günth.

171. Forsteri Blkr — Cirrbites pantberinus C V = Cirrhites Forsten Güntb.

172. ? Cirrbites Lién.

173. Cirrbites punctatus CV.

174. Oxy cirrbites typus Blkr.

Chaetodontoidei-

175. Pimelepterus cinerascens Day == Pimelepterus altipinnis CV. = Pinielepte-
rus tahmel.

176. Platax terra Cuv. = Platax arthriticus, orbicularis CV.

177. vespertilio Cuv. = Platax Blochii, Ebrenbergii, guttulatus CV.

178. Tetragonoptrus (Linopbora) auriga Blkr = Cbaetodon auriga Forsk. = Chae-

todon setifer BI.
179_ ( „ ) Mertensi Blkr Tetragonoptrus cbrysurus

Blkr = Chaetodon cbrysurus Desj.

180. ( „ ) vagabundus Blkr = Cbaetodon vagabuudus L.

181. „ (Rabdopborus) Blackburni Blkr =■ Chaetodon Blackburni Dess.

182. ( , ) trifasciatus Blkr = Chaet. trifasciatusM. Park. ==

Chaet. vittatus Cuv. = Tetragon. vittatus BI.

183. „ (Chaetodontops) rnelanotus Blkr = Chaetod. dorsalis Rwdt. =

Tetragon. dorsalis Blkr.

184. ( „ ) fasciatus Blkr = Chaet. lunula CV. = Tetra-

gonoptrus lunula Blkr.

185. ( „ ?? ) pulcber Blkr = Chelmo pulcher Steind.

186. „ (Oxychaetodon) falcula Blkr? = Chaet. dizoster CV. = Tetragon.

dizoster Blkr.

187. n ( „ ) lineolatus Blkr. = Cbaetodon lineolatus CV.

188. „ (Lepidochaetodon) Kleini Blkr = Chaet. Kleini BI. = Chaet. vi-

rescens CV. = Chaet. flavescens Benn.

189. ( „ ) unimaculatus Blkr Chaet. unimaculatus BI.

190. „ (Tetragonoptrus) mitratus Blkr = Chaetodon mitratus Günth.

14 CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE LTLE MAURICE.

191. Tetragonoptrus (Tetragonoptrus)miliarisBlkr=Cliaetodonguttatissimus Benn.

192. Coradionmerlangus Blkr?=Chaet.festivusDesj.=Tetragonoptrus festivus Blkr.

193. Megaprotodon strigangulus Blkr = Chaet. strigangulus Sol. = Tetragon. stri-
gangulus BI.

194. Hemitaurichthys zoster Blkr = Chaetodon zoster Benn. = Tetragon. zoster
Blkr ; an. = Hemitaur. polylepis Blkr ?

195. Taurichthys macrolepidotus Blkr = Heniockus macropelidotus CV.

196. „ monoceros Blkr = Heniockus monoceros CV.

197. Chelmon rostratus Cuv.

198. Prognathodus longirostris Blkr = Chelmon rostratus CV.

199. Holacanthus .... Lién.

200. „ diacanthus Günth. = Holacanthus dux Lac.

201. „ trimaculatus Lac.

202. „ caudovittatus Günth. = Genieanthus caudovittatus Blkr.

203. Acanthochaetodon imperator Blkr = Holacanthus imperator Lac.

204. „ nicobariensis Blkr = Holacanthus nicobariensis BI.

205. Zanclus cornutus CV.

Pempheridoidei.

206. Pempheris mangula CV. = Pempheris nerogallica CV.

Pseufiochromidoidei

207. Plesiops nigricans Rüpp.

Sciaenoidei.

208. Pseudosciaena? aurataBlkr = Pogonathe doréComm. = Sciaena?aurata Blkr.

Silliiyiitotdei

209. Sillago sihama Rüpp. = Sillago acuta Cuv.

Mulloidei

210. Upeneus sulphureus CV.

211. „ vittatus CV. = Upeneus bitaeniatus Benn.

212. Mulloides mauritianus Blkr = Upeneus mauritianus Benn.

213. „ flavolineatus Blkr = Upeneus flavolineatus CV.

214. Parupeneus bifasciatus Blkr = Mullus bifasciatus Lac.

215. cherserydros Blkr = Mullus cher sery dros Lac. = Upeneus oxyce-
phalus BI.

216. „ cyclostomus Blkr = Upeneus cyclostomus CV. = Upeneus immacu-

latus Benn?

217. „ cyprinoides Blkr = Upeneus cyprinoides CV.

218. „ luteus Blkr = Upeneus luteus CV.

CONTRIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAUKICE. 15

219. Parupeneus macronema Blkr = Upeueus macronema CV.

220. „ pleurostigma Blkr. = Upeueus pleurostigma Benu. = Upeueus Bran-

desii Blkr.

221. „ multifasciatus Blkr = Upeueus trifasciatus.

Osphromenoidei.

222. Osphroinenus olfax Comm. (introd.).

Cichloidei.

223. Tilapia mossambica Blkr = Chromis mossambicus Pet.

Pomacentrodei.

224. Prochilus chrysogaster Blkr == Amphiprion chrysogaster CV.

225. „ fusciventer Blkr = Amphipriou fusciventer Beuu.

226. „ polymuus Blkr = Amphiprion xanthurus CV. — Prochilus xanthu-

rus Blkr.

227. Pouiaceutrus (Pomacentrus) pavo Lac.

228. „ ( „ ) coeruleus QG. au. = Pomacreutrus pavo Lac. ?

229. Eupomacentrus (Eupomaceutrus) lividus Blkr = Pomacentrus puuctatus, sco-

lopsis QG. = Pomacentrus taeniops, pristiger CV.

230. „ (Brachypomacentrus) ater Blkr = Pomocentrus ater Lién.

231. Tetradracbmum arcuatum Cant. = Dascyllus aruanus CV,

232. ,. trimaculatum Blkr = Dascyllus unicolor Benn.

233. „ reticulatum Blkr = Pomacentre gros-yeux Lién . = Tetrades et Das-

cyllus xanthosoma Blkr.

234. Glyphidodon (Glyphidodon) coelestinus CV. = Labrus sexfasciatus Lac.

235. „ ( „ ) septemfasciatus CV.

236. „ ( „ ) sordidus Rüpp. = Glyphidodon gigas Lién.

237. „ ( „ ) sparoides CV.

238. „ (Hegastes) Dickii Blkr = Glyphisodon Dickii Lién.

239. Glyphidodontops antjerius Blkr = Glyphidodon antjerius K.V.H.

240. Chromis axillaris Blkr = Heliases axillaris CV.

Herycoidei.

241. Beryx lineatus CV.

242. Holocentrum aurolineatum Lac.

243. „ diadema Lac.

244. „ diploxiphus Günth.

245. „ macropus Günth.

246. „ rubrum Rüpp.

247. „ sammana CV.

16 CONÏEIBÜTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'LLE MAURICE.

248. Holocentrum spiniferum Rüpp. = Holocentrum leo CV.

249. Myripristis axillaris CY.

250. „ hexagonus CY.

251. „ japonicus CV.

252. „ kuntee CV.

253. „ Una CV.

254. „ seycbellensis CV.

255. „ vittatus CV.

Scoi'paenoidei.

256? Sebasticbtbys nematopbtbalraus Blkr = Sebastes neinatopbtbahuus Günth.

257. Parascorpaena mauritiana Blkr = Scorpaena mauritiana CV.

258. Scorpaenopsis gibbosus Blkr — Scorpaena nesogallica CV. = Scorpaenopsis

uesogallica Heek.

259. Pseudomonopterus (Pterois) antennatus Blkr — Pterois antennata CV.

260. „ ( » ) kodipuugi Blkr == Pterois kodipungi Beun.

261. „ ( „ ) volitaus Blkr — Pterois volitans CV.

262. „ (Dendrochirus) zebra Blkr = Pterois zebra CV.

263. Amblyapistus taenianotus Blkr = Apistus taeuianotus CV. = Tetrarogetae-

nianotus Grünth

264. Minous monodactylus CV.

265. Agriopus rnelanosoma Blkr.

Crossofl-erma toide i.

266. Caracanthus unipinna Blkr — Micropus unipiuna Cr.

Synanceioidei.

267. Pelor filameutosurn CV.

268. Synanceia verrucosa Bl.Schu. = Synanceia brachio CV.

Trigloidei.

269. Corystion oriëntale Blkr = Dactylopterus orientalis CV.

Sjjnfftmëhoidei.

270. Hippocampus coines Cant.

271. „ Camelopardalus Biane.

272. „ guttulatus Cuv. — Hippocampus moluccensis Blkr.

273. „ ramulosus Leacb. — Hippocampus filamentosus H. Clocq.

274. Doryichthys Valenciennii Güutb. = Doryichthys bracbysoma Blkr — Cboe-
roichthys ^aleuciennei Kp. == Choeroicbthys bracbysoma A. Dum.

275. .. excisus Kp.

276. Syngnatbus conspicillatus Jeu. — Syuguathus fasciatus Gr. = Syugnathus
haematopterus Blkr.

CONTRIBUTION A LA FAÜNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAUEICE. 17

277. Syngnathus pelagicus Osb.

278. Solenognatkus polyprion Blkr.

Solenostomatoidei

279. Solenostomatichthys paradoxus Blkr Solenostoma paradoxum Lac.

280. „ Bleekeri = Soleuostomus Bleekeri A Dum.

Parapercioidei.

281. Parapercis punctulata Blkr = Percis pimctulata CV.

282. Caulolatilus? doliatus Blkr - Latilus doliatus CV.

283. Malacantkus Iioedti Blkr.

284. „ latovittatus QGL = Malacanthus taeniatus CV.

Gobioidei.

285. Culius fuscus Blkr = Eleotris Mauritianus Beun. = Eleotris nigra CV.

286. Sicyopterus lagocepkalus Blkr = Sicydium lagocephalus CV.

287. Euchoristopus Koelreuteri Gill. = Periophthalmus Koelreuteri CV.

288. Glossogobius giuris Blkr = Gobius giuris HB.

289. , nlosus Blkr = Gobius filosus CV.

290. Awavus personatus Blkr = Gobius personatus, grammepomus Blkr.

291. „ ocellaris Blkr = Gobius oeellaris Brouss.

292. „ pallidus Blkr = Gobius pallidus CV.

293. „ ? Lienardi Blkr = Gobius coeruleus Lién. ■= Gobius Lienardi Blkr.

294. „ ? Commersoni Blkr = Gobius niger Lac. = Gobius Commersoni CV.

295. Paragobiodon echinocephalus Blkr ^= Gobius echinocephalus Rüpp.

296. Gobiodon rivulatus Günth. = Gobius rivulatus Rüpp.

297. Bathygobius coalitus Blkr = Gobius coalitus Benn.

298. „ punctillatus Blkr ■- Gobius punctillatus, fuscus Rüpp. = Gobius

nebulopunctatus CV.
299? „ soporator Blkr = Gobius soporator CV. (habit. maurit. vera?)
300. Amblygobius sernicinctus Blkr = Gobius semicinctus Benn. = Gobius pa-

pilio, phalaena CV.

301 Gobius rubrotaeniatus Lién. — Gen.?

302 Eucboristopus Koelreuteri Gill. — Perioplitbalmus Koelreuteri CV.

303. Sicyopterus lagocephalus Gill. = Sicydium lagocephalus CV.

Potynematoidei

304. Trichidiou paradiseus Blkr = Polynemus paradiseus L. (nee. BI.)

305. „ indicus Blkr = Polynemus indicus Shaw.

306. „ plebejus Blkr = Polynemus plebejus Brouss. = Polynemus lineatus Lac.

307. „ sexfilis Blkr. = Polymus sexfilis CV.

NATDDHK. VKRH. DER KONINKT,. AKADEjMIE. DEEL XVIII.

1 8 CONTEIBUTION A LA FAUNE ICHTHTOLOGIQUE DE LTLE MAUEICE.

Mugiloidei.

308. Mugil axillaris CV.

309. „ coeruleornaculatus Lac.

310. Agonostoma dobuloides Güntli. — Nestis dobuloides CV.

311. „ Telfairi Benn. = Nestis cyprinoides CV.

Atherinoidei

312. Atherina pinguis Lac. = Atherina aflmis Benn. = Atherina pectoralis CV.

313. „ puuctata Beun.

Sphyraenoiflei.

314. Sphyraena Coinniersonii CV.

315. „ Dussumieri CV.

316. „ obtusata CV.

Scomberoidei.

317. Cybium Commersonii CV.

Xiphoide»

3 IS. Histiophorus gladius Lac. = Histiophorus indicus CV.

Carani/oidei.

319. Caranx crurnenophthalnius Lac. = Caranx inauritianus QGr.

320. Caraugus carangus Blkr = Caranx xanthopygus CV.

321. „ melampygus Blkr = Caranx melampygus CV.

322. „ sansum Blkr = Caranx sansum Rüpp.

323. Gnathanodon speciosus Blkr = Caranx speciosus CV.

324?Nomeus Gronovii Günth. = Nomeus ManritiiCV. = Nomeus maculatu? Val.

Coryphaenoiitei-

325. Coryphaena bippurus L. =Coryphaena chrvsurus Lac.

Echeneoidei-

326. Echeneis remora L.

Lichioidei

327. Sconiberoides sancti Petri Blkr == Chorinemus mauritianus, moadetta, sancti
Petri CV.

328. Tracbynotus Bailloni CV = Tracbynotus quadripunctatus CV.

Psettoidei.

329. Monodactylus argenteus Blkr = Psettus rhombeus CV.

Equuloidei

330. Leiognatbus edentulus Blkr = Equula ensifera CV.

331. „ fasciatus Blkr = Equula fasciata CV.

CONTEIBUTION A LA FAÜNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAÜRICE. 19

332. Leiognathus parviceps Blkr = Equula parviceps CV.

333. „ spleudens Blkr = Equula splendens, gomarah CV.

334. „ Gazza minuta Blkr = Equula dentex CV.

Aulostomatoidei

335. „ Aulostoma ckinense Lac.

Teuthioidei

336. Teuthis Abhortani Günth. = Amphacanthus Abhortani CV.

337. „ nebulosa Güntli. = Amphacanthus nebulosus QG.

338. „ vermioulata Günth. = Amphacanthus vermiculatus CV.

Acanthuroidei

339. Acanthurus strigosus Benn.

340. Rhombotides Dussumieri Blkr = Acanthurus Dussumieri CV.

341. „ guttatus Blkr = Acanthurus guttatus Bl.Schn.

342. „ Lamarrii Blkr = Acanthurus Lamarrii CV.

343. „ gahm Blkr = Acanthurus gahm CV.

344. „ leucosternon Blkr = Acanthurus leucosternon Benn. = Acanthu-

rus Delisianus CV.

345. „ matoides Blkr = Acanthurus Blochii, annularis CV. = Acanthurus

xanthopterus CV?

triostegus Blkr = Acanthurus triostegus Bl.Schn.
an Harpurus? lunulatus = Acanthurus lunulatus Lién.
= Acanthurus plagiatus Pet.
349. Harpurus Desjardini Blkr = Acanthurus Desjardinii Benn.
gemmatus Blkr = Acanthurus gemmatus CV.
rhombeus Blkr = Acanthurus rhombeus KM. = Acanthurus Haves-
cens Benn. — Acanthurus scopas, altivelis CV.
suillus Blkr = Acanthurus suillus CV.

Rüppelli Blkr = Acanthurus velifer CV. ■= Acanthurus Rüppelli
Günth.

brevirostris CV.
lituratus CV.

tubcr Comm. = Naseus Vlaraingii CV.
unicolor Lién. = Axiuurus dipeltis Val?
unicornis Günth = N;is<jus fronticornis CV.
punctulatus CV.

Ratisteoidei

360. Balistes lima Benn.

22*

346.

n

347.

?

n •

348.

n •

349.

Harpur

350.

»

351.

n

352.

n

353.

n

354.

Naseus

355.

n

356.

1)

357.

n

358.

n

359.

n

362.

V

(

363.

V

(Cs

364.

■n

(B

365.

n

(

366.

-

(

367.

»

(

368.

V

(

369.

n

(

370.

T)

(

20 CONTKIBTJTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGlqUE DE L'ILE MAUBICE

361. Balistes (Parabalistes) fuscus Blkr = Balistes fuscus Lac. = Balistt's reticu-

latus Hols. = Balistes (Pseudobalistes) chrysospilus Blkr.
„ ) viridescens Blkr = Balistes viridescens Lac.

(Cantkidermis) auromarginatus Blkr = Balistes auromarginatus Berin.
(Balistapus) aculeatus Blkr = Balistes aculeatus L.
„ ) bursa Blkr = Balistes bursa Lac.
„ ) cinereus Blkr = Balistes cinereus Benn. = Balistes arcu-
atus BI. Scbn.
) cinctus Blkr = Balistes rectangulus Bl.Schn.
„ ) conspicillum Blkr = Balistes conspiciUum Bl.Schn.

) 1'reuatus Blkr = Balistes mitis Benn.
„ ) niger Blkr = Balistes niger du Park = Balistes arma-
tus Lae.

371. » ( » ) verrucosus Blkr = Balistes verrucosus L.

372. Erythrodon niger Rüpp. Balistes niger Lae.

373. Leiurus stellatus Blkr = Balistes stellatus Lac.

374. Anianses scopas Blkr = Monacanthus scopas Cuv.

375. Liomonacanthus pardalis Blkr = Monacanthus pardalis Rüpp.
376? Monacanthus Dumerili Holl.

377. „ Freycineti Holl. = Balistes Freycineti Cuv.

378. Pseudomonacanthus hippocrepis Blkr = Monacanthus hippocrepis Holl.

379. ÜxYmonacanthus longirostris Blkr = Monacanthus longirostris Cuv.

380. Pseudaluteres nasicornis Blkr = Aluteres rhinoceros Holl.

Chironecteolflei.

381. Antennarius bigibbus Günth. = Chironectes tuberosus Cuv. = Anteunarius

unieornis Benn.

382. „ coccineus Günth. - Chironectes coccineus Less. Garn.

383. „ Conimersonii Cant. - Chironectes Comrnersonii CV.

384. „ hispidus Cant. = Chironectes liphotes CV.

385. „ histrio Günth. = Chironectes scaber Cuv.
386 „ maculatus Desj.

387. „ marmoratus Günth. = Chironectes nesogallicus CV.

388. „ pinniceps Comni.

iitennioidei.

389. Petroskirtes barbatus Pet? = Blennechis a dorsale élevée ién.

390. „ marmoratus Blkr = Blennechis marbré Lién.

391. Salaiïas arenatus Blkr ? = Salarias striatus QG, CV.

392. _ castaneus CV.

CONTBIBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAURICE. 21

393. Salarias quadricomis CV.

394. „ Dussumieri CV.

395. „ striatomaculatus Kner.

396. Tripterygion elegans Peters.

Ophioidei.

397. Fierasfer parvipinnis Kp.

398. „ acus Brüm.

Pleuronecteoidei.

399. Platoplnys (Platophrys) pantheriims Blkr = Rhombus parviinanus Benn.

400. „ ( „ ) pavo Blkr.

401. Aehirus marmoratus Lac. = Pardacherus marmoratus Güntli.

402. Solea tubifera Pet.

Chacoidei.

403. Plotosus arab Blkr = Plotosua lineatus CV.

Cyprinoidei-

404. Carassius auratua Blkr = Carassius thoracatus CY. = Cyprinus mauritius
Benn. = Cyprinus Maillardi Guich. (introduct).

405. Gen? — Leuciscus nesogallicus CV.

Saurifioidei.

406. Synodus myops Blkr. = Saurus myops Cuv.

407. Saurida (vel Saurus) Saurus a galon rouge Lién.

408. .. nebulosa CV. = Saurus a bandes et tacbes Lién.

409. „ tumbil Val.

410. Synodus varius Blkr. = Saurus synodus Val.

411. Myctopbum bians Ricb. = Scopelus rotatus Les.

Scombrcsocioiilei.

412. Scomberesox saurus Flem. = Scomberesox scutellatus Les. CV.

413. Mastaccembelus cboram Blkr = Belone crocodilus Les. Cuv.
414? „ platurus Blkr = Belone platura Rüpp.

415. Hemirhampbus ei'ythrorbynchus Les CV.

416. „ far Rüpp. = Hemirhamphus Commersonii CV.

417. „ Georgi CV.

418. „ unifasciatus Rang.

419. Exocoetus evolans L.

420. „ speculiger CV.

22 CONTBEBUTION A LA FAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'LLE MiüRICE.

Pseudoclupeoidei.

421. Chanos salmoneus CV. = Chanos arabicus Lac. = Chanos mento CV. =

Lutodeira chanos Rüpp.

422. „ Lubma CV.

423. Conorhynchus glossodon Blkr. = Albula bananus CV. = Butirinus glosso-

dontus Rüpp.

424. Elops saurus L. = Elops maclmata Forsk.

425. Megalops cyprinoides Blkr. = Elops cyprinoides Cm.

Ctupeoidei

426. Chirocentrus dorab CV.

427. Spratelloides delicatulus Günth. = Clupea delicatula Benu.
42S. Stolephorus Commerrianus Lac. = Engraulis Brownii CV.

429. Engraulis brelama CV. = Engraulis nesogallicus Benu.

430. Clupea? mauritiaua Benn.

431. Clupea (Hareugula) Jussieui Blkr = Clupeouia Jussieui CV.

432. Alosa argyrocbloris CV.

Anguilloidei.

433. Muraena mauritiaua Blkr = Anguilla mauritiaua Beun. = Anguilla Johan-

nae Günth.

434. .. labiata Blkr = Anguilla labiata Pet.

Congeroidei.

435. Conger marginatus Val. = Couger altipinnis Kp.

Ophisuroidei.

436. Leiurauus colubrinus Blkr — Liuranus semicinctus Günth.

437. Pisoodonophis cancrivorus Kp. ? = Conger flavipinnatus Benu.

438. Brachysomopbis crocodilinus Blkr = Opbisurus crocodilinus Beun.

Gymnothoraeoidei.

439. Gymnothorax ? aulopterus Blkr = Muraena auloptera De Pil.

440. „ fimbriatus Blkr = Muraeua fimbriata Benn. = Gymnothorax isin-

gleenoides Blkr.

441. „ flavimarginatus Blkr = Muraena flavimarginata, bilineata Rüpp.

442. ., isingleena Blkr = Muraena isingleena Rich.

443. B meleagris Blkr= Muraena meleagris Sh. = Tbyrroidea meleagris.

444. „ mauritianus Blkr = Muraena mauritiaua Kp. = Muraena flavi-

marginata Kp.

445. B pardalis Blkr = Muraena pardalis Schl.

446. „ Petelli Blkr = Muraena nubila Rich. (specim. Maurit.).

CONÏEIBUÏION A LA PAUNE ICHTHYOLOGIQUE DE L'ILE MAUEICE. 23

447. Gymnothorax pseudothyrsoidea Blkr = Muraena pseudothyrsoidea Blkr.

448. „ Reevesii Blkr = Muraena Reevesii Rick.

449. „ tagenodeta Blkr == Muraena tagenodeta Rick.

450. „ tessellatus Blkr. = Muranae python Kp.

451. Eehidna variegata Fost. = Muraena nebulosa Aki. = Muraena variegata Rick.

452. „ zebra Blkr = Gymnornuraena zebra Skaw = Muraena molendina-

ris Benn.

453. Gymnornuraena concolor Blkr = Uropterygius concolor Rüpp.

454. „ tigrina Blkr = Ichthyophis tigrinus.

O rthagoriscoidei.

455. Ortkagoriscus lanceolatus Lién.

Triodontoidet

456. Triodon bursarius Reinw.

Tetraodontoidei-

457?Dicotylicktkys punctulatus Kp.

458. Paradiodon kystrix Blkr = Diodon kystrix L.

459. „ maculifer Blkr = Diodon maculifer Kp.

460. Cantkagaster Valentyni Blkr? - Rkynckotus Gronovii Blkr.

461. Crayracion hispidus Blkr — Tetrodon kispidus Lac.

462. „ immaculatus Blkr = Tetrodon immaculatus Lac. == Tetrodon sor-

didus Rüpp.

463. „ lineatus Blkr = Tetrodon lineatus BI.

464. „ nigropunctatus Blkr = Tetrodon nigropunctatus Bl.Sckn.

465. „ stellatus Blkr = Tetrodon calamara Rüpp.

466. Tetrodon lagocepkalus. L.

467. „ Honckenii BI.

Ostracinoidei.

468. Ostracion (Acantkostracion) arcus Blkr = Ostracion cornutus BI. (nee L.).

469. „ ( „ ) Fornarini Blkr = Ostracion Fornarini Bianc.

470. „ ( Osti-acion ) punctatus Lac.

471. M ( „ ) tetragonus L. = Ostracion cubicus L.

La Haye, Novembre 1877.

g

es

es

—

v

1

I

>x

Si

^

KATUURK.VERH.D.KOH AKAD. DEEL XVIII.

pi.n.

EBleeker.dir

L SpeMer, del.

ChromoliÜi vEninkcVBiri.jn' HaarTai

<?/

/f/sns////r< // //'//■; ( \^0^fZO^2^?^/ia€e^^C^y^^

£%>A

■/'

X.

NATlTükYHUI I) KuN UiAD DEEL XVUi

OVER HET DIFFERENTIEEREN

TAK EEKIGE

ELLIPTISCHE INTEGRALEN

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

D. BIEREN S DE HAAN.

1. Wanneer men een onderzoek wil beginnen over de eigenschappen van eenige
integraal, hetzij bepaalde, hetzij ook onbepaalde; of evenzeer, wanneer men in
beide gevallen de bepaling dor waarde op het oog heeft; altijd behoort tot de
meest bruikbare methoden, die, waarbij de integraal wordt gedifferentieerd naar
eene standvastige, die in de functie onder het integraalteeken voorkomt. Som-
tijds is het mogelijk, daarbij eene uitdrukking te vinden voor eene herhaalde
differentiatie, hetzij in rechtstreekschen, hetzij in wederkeerigen vorm ; en dan zijn
de stellingen voor herhaald differentieeren van veel belang, die echter slechts
voor enkele eenvoudige functiën gelden. Voor de elliptische integralen waren
zulke uitkomsten nog niet bekend; hetzij wat de eerste differentiatie, hetzij wat
het herhaald differentieeren betreft naar den modulus, die daarin voorkomt. Een
ander onderzoek voerde mij tot de behandeling van deze vraag voor de eenvou-
dige integralen, waarin de j/i — j^shfix voorkomt, en verder voor de overeen-
komstige, die |/l -}- p2 sin2 x bevatten.

23

NATUURK. VERH. DER KON1NKL. AKADEM1E. DEEL XV111.

4 OVER HET DIPPEEENTIBERBN VAN LENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

waaruit blijkt, dat men zijn doel heeft bereikt. De eerste herleiding (/?) toch geeft,
als men naar x tusschen de grenzen 0 en x integreert, en de laatste integraal
in het tweede lid oplost, omdat de gedifferentieerde grootheid in het eerste lid
voor x = 0 verdwijnt,

ƒ'

sin-*- l x . cos x

Sin-".ed.r 1 r Sin-" •■ x . cos x

(1— p>sinix)b+\ " (1— p*)(2è — 1)L~ (l—p% sin xf-l

+

0

fz si>t2a :>■ J j f* siniaxdx -i

+ i ,J-p (J-1H1-/W " . . . +(2<7-36+3 ƒ , , e ], .(I)

1 J 'l — psmx)0 * J (I — psinx)0 h-i

o o

werkelijk eene herleidingsformule, waarin de veranderlijke parameter, hier de
exponent in den noemer, telkens met de eenheid verminderd wordt.

Evenzoo kan men de tweede herleiding (■/) gebruiken. Omdat echter de in-
tegraal, die de hoogste macht van sin-x bevat, hier tot factor onder het in-
tegraalteekën zoude hebben sin2a+ix, moet men eerst de a door a — 2 vervan-
gen ; dan integreeren tusschen de grenzen 0 en x van x, waarbij weder de term
in het eerste lid voor x = 0 verdwijnt; en vervolgens de laatste integraal in het
tweede lid oplossen. Langs dien weg verkrijgt men

ƒ

* sin-". r ds: 1 r-sin2a~s x . cos x

(l—ï/sin\if + ï ~ (2a-Zl—l)ir L(l— p3sm2*)*-i +
o

, fx sin?a—zxdx f* si/iia~ixdx -i

+{a+P-)(. + i)-^>«J o.^w-h -(»-87 (I-^^rJ • • (II)

o o

wederom eene herleidingsformule, waarin nu echter de parameter, die telkens
met twee afneemt, hier de exponent van den teller is.

De eerste formule (I) heeft tot eindintegralen, voor 6=1,

/••* f* s/u2"

ƒ sin*axdx\/\—p*sintx en ƒ —=====..
f l I |/1— p*sin*x

o ö

Wilde men deze door de andere formule (II) bepalen, zoo heeft men als eind-
integralen voor a = 1 en a = 0,

/ sin- xdx{\ — p' sin" x)±l en / d x 1 — f sin" x)±i.

NAAE DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAAKVAN.
En hiervan vindt men dadelijk

('dje\/i-.p* sin- x= E[? .*), 0)

o

f, *' = F(p.x). («)

J l/l — p'siv'i
0

[* sin>xdx ._ip-(l-y^Ja = I[f.[p,^.E(p,4 . . . (3)

J \/\—tfsir?x P'J \/l—fsiri,x P

o o

Ten einde nu nog de vierde te vinden, gebruike men de herleidingsformule
(II) voor « = 2, en voere daarbij de waarde van de integraal (3) in; zoo wordt

f "***** ■ = ±- \p"sm.c.coS.Yi^si^.v+^+F)F(p..v)-2(l+fr)E(p.^ . (4)
] j/i—pW* 3p* l' vi

o

en daarmede wordt dan

ƒ* fT 1 — p2sin2x .

m*xdxi/l—f?sm*x = \ -nn~xdx =

J V 1 — p sin x

-O o

— _L | __p» Sin d: . cos x j/ Y—f shf .<■ + ( l — p1) /-'(p • ■'•) - (1 —2 P'1) E (p . x)] . ... (5)
3P

Voor de eerste formulen aan het hoofd dezer paragraaf geeft nog de herlei-
dingsformule (I) voor a = 1, b — 1

/* sirfxdx 1 r sirëx.cosx f* siifxdx f . „ -,

v/i-r5»r/ i-p'L i/i-^rfn1* J i/i-//««v ; J

o o

of, door middel der integralen (3) en (5),

= L-. |"_ — i^( * ~?r) """ •'" p» sin x . cos x — i\ -f) F (p . x) + (p ■ x)]. ... (6)

p2(l — p") 1^1 — p" sin" x

3. Deze uitkomsten zijn nu voldoende, om de eerste formulen van de vo-

6 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

rige paragraaf nader uit te rekenen; zij geven toch, door middel der integra-
len (3) en (6)

^■)EiP.X)=~[E^.,)-P{l,,)}, {a)

W)F(p-x) = m=iï !>'• *>-(1 ~p,) F(p-x)- iyÈqtt**m ■ eos *]; • (6)

of indien wij de symbolische notatie der achtereenvolgende bewerkingen invoe-
ren, hetgeen hier zeer eenvoudig aangaat,

[!-*?—]£&.*) = F(P.*), (e)

\l + 2P877k] Fb>'*) = ,— , [e<p.*)~ ^^^' V «*»*•"** j («0

l a\p y 1 — p l y\ — p sin x J

4. Op dezelfde wijze kan men de integralen behandelen, die onder het integraal-
teeken de functie j/l -f- p* «V .-» bevat; dan beginne men het onderzoek bij de twee
eenvoudigste vormen

d

d(f)

ƒ* d ix dx

dxW\jL.p>sin'x en — -= ƒ ,,
T/ rf(p)y l/l +pJ««

Daartoe stelle men in de herleidingsformulen (I) en (II) — p2 in de plaats van
p2; zoo worden deze

/* siti2axdx 1 r- sin2a + ix .cosx

(1 +p'sin3x)t>+l = (26— l)(l+p") L (1 + p»«V .v)*-i +

.[-

o

(2 « — 2 6 — 1) p2 L (1+p* sta8 x)b~i

t , ,> / , ..-»/"* sin2*— 2xdx fx si>i2a-ixdx -i

o o

NAAK DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 1

waartoe dan verder behooren de volgende eindintegralen. waarbij voor de her-
leiding, waar noodig, de substitutie x = - — y is gebruikt,

dx[/\ _j_ p'sin-x — ƒ dy)/\ + p,cos'y = ƒ dnV{\ + ?'') — p3**nV =

0 \T— X \Tt—X

=•!+?ƒ "^l/7TZ~;=,,i+?[^^)_«(p^=."-.)]. . m

|T_,

j \/\+p>sin\r- ] X/l+pCos'y~\/TTrt I [/, f ""

= -i— i>(— g— )-f( -jl=.- —X\ (»)

ƒ* siifxdx 1 /"(l -l-p'sin1;!-) — 1 lrf ƒ* d# -,

^1 -fp'W.r Ps_/ l/l+p!«!ï ?'eLJ K T^ J l/l+pWa-1

0 0 0 0

of, na invoering dezer integralen (7) en (8),

pVl+p*LV ^ Wl+tfl) Wl+pZZ )\ l \l/l+p^ \v/l+p32 jjJ W

Ten einde te kunnen voortgaan met liet opsporen van de volgende integralen,
wende men zich tot de herleidingsformule (IV), en stelle daarin a = 2, b = 0 ;
dan verkrijgt men, na invoering der integralen (8) en (9),

/x sinïxdx ] r (* sitflxdx f* dx -.

j/l+pW.r 3psL Mt?" k *'] [/1+pWz J l/ï+p^U

0 0 0

1 r

= 3^L/r+-^ l p2 *"'•'' ■ cos-r »/ ! + ?2 j/i + p2 «»2 • +

Thans is men in staat gesteld, om de waarde te bepalen der integraal

p2/ (l/l+p2 2 jj V ' '| ll/l-t-p2/ ll/l+p22 /H

8 OVEE HET DIFFERENTIEEEEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

Cxsin% x -f- p2 sin4' x

f* ■

j sin" .r

J x\/\ -j- p2 sin2 .

/xsin% i

=^+pi-t'

■ sin .ï.cos x

+ 0 ■ o
pz sin- x

1/ 1+pW* _ 1 f( — g— W-d
17 i + p2 I Vu-?2' \»/i

£-•11 +

S 2

+

(iH^?Mi/£

+ p2 2 / » J

-p

(1.1)

waarbij de overbrenging der integralen (9) eu (10) den factor (1 -\- f) invoerde,
die derhalve uit de grootheid tusschen de haakjes konde verwijderd worden.
Daarop geeft de herleidingsformule (III) voor a = 1 en b = 1

J n 0

die weder door de invoering der pas gevonden integralen (9) en (11) overgaat in

r* sin* x dm 1 r__ 1 +(1 + p3)*i"2*' Pzsinx.cosx

j VI -: p»«n»*3""pVr+?L l/l 4-p»««sa? l/I + P*

5. Deze uitkomsten kunnen nu strekken tot het vinden der gezochte differen-
tiaalformulen voor de integralen, die hier met de elliptische integralen overeenkomen.
Men verkrijgt toch naar de uitkomsten (7) en (8), wanneer men naderhand van
de integralen (9) en (12) gebruik maakt,

y}lVL+p\ \i/i+p3/ Vi+p22 IH ¥J l\/\+Phin~.r

= — - — fo+p8)

c/(p'

2pa|/l+P2

E

.U_£

ü?, |/OT2 i | (l/l+p2 ]/l+p22 |iJ

|/l+/

-rP
P

d (p») V 1 + p» I \|/ 1 + p2/ \i/ 1 -f- p2

+.p> 2

Hp-j K 1+p*

i=— r—

J <*{p*)J V\

-\- pl stn-

I p siffixdx 1 rl + (1 + P") m» ■*-' P" ■»'" ■>' • cos ■' ,

= — * / i/ï+yró??' _ 2pai/r+72 L i/i+P»*»»* i/öTp^t

+*(iJry-*fe-ï--H(i^+'te-Hi-w

I?)

NAAK DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAAKVAN.
waaruit men besluit tot den symbolischen vorm

L d(p*JLy '^; 1 \[/l+p*J Vt/l+p» 2 /(J

= — L-ry(— p— \_y(_£_.;_aA-i

waarbij eene zekere overeenkomst met de vorige symbolische formulen (e) en (d)
niet te miskennen is.

Wanneer men echter ter bekorting stelt

\l/l +P2/ Wl+P2 ^ / ^

^UjUt-.ï-.U*. (.)

l/l+p8/ Vl+Ï

en daarop de differentiaalquotienten in de eerste leden van de formulen (e) en
(ƒ), als die van een produkt uitwerkt, verkrijgt men achtereenvolgens

derhalve

d „ 1 „i „ d „ 1

'^«W^iJvf?^*-'* '«^vif^l^l' ' W

Evenzeer

1 d

j/TT?rf(P8)

derhalve

^/i+p23 2^Vl+p2«- l/l +p» «»»*■ Kl+p8 J

] rf 1 rlJ.(l+4)sf„ï,f

-— =T -~T- Fj = ■ f Tl ^/ ^ - n2 „■„ ., . e0, irt/IX^2+( l -|-p2) tf f 1

l/l+^rffp9) 2pVl+pa3L l/l+p»,»», * K 1?T,Tni J

24

NATUURK. VERH. DER KONINKl,. AKADEMIE DEEL XVIII.

'" OVER HET DIFFERENTIEERE!* VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

Of

En hieruit besluit uien wederom tot den symbolischen vorm der formulen

[l-%f{\+f)-^T~\Ex = F^ (9l)

L (-Hf1)-! V i -f- pz sin- .r

die schijnbaar eenvoudiger zijn dau de vorige symbolische differentiaalformulen
(</) en (/?), en mede eenige overeenkomst vertoonen met de formulen (c) en (d)
van § 3.

6. De bewerking j~] — 2P2J7~i~l °P de elliptische integraal der tweede soort

toegepast, levert eene integraal der eerste; en de bewerking [l + 2 p2 — -J
toegepast op de integraal der eerste soort, levert wederom eeue integraal dei-
tweede, afgezien van een factor ■ 2 en een goniometrischen term; dit volgt

uit de symbolischen formulen (c) en (d) van § 3. Het ligt nu al dadelijk voor
de hand om op de elliptische integraal van iedere soort zoodanige bewerking
toe te passen, dat er wederom eene elliptische integraal van dezelfde soort ont-
staat; hierin slaagt men op de volgende wijze, wanneer men de symbolische
bewerkingen (c) en (d) van § 3 achtereenvolgens toepast,

[d -ir d -i sin" .i I

"(p ) "(/> i vl-frtitPx]

-E[P.x)—8mx.cosx [~(1 — p*i[/l —ptiiu** + , ; (*)

wanneer men hierbij acht geeft op het ontstaan van den goniometrischen term in
de formule (d;, dat is op de integraal (6) in § 2. Zoodra men toch eenige wet wil
opsporen, is het meestal nuttig van de latere herleidingen af te zien, en op te
klimmen tot don oorspronkelijken vorm; en ook hier zal blijken, dat deze oor-

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

11

spronkelijke vorm voor de volgende bewerkingen liet meest geschikt is. Uit deze
(i) volgt nu verder

1 sin^.i )

— 2 |/i _pa tin2x -\- - — 3 —

|/1 — p'5 sjft-* .); V 1 — p-iin- » )

( l+p2 1 )

^ ' ( ' \Zl—p*sin?x V 1 — p*stn*x )

en wederom

f 4(lV)+«»3s 2+/>2 8«*»« )

=.E(p *;-p»«ïiiar^0MJ (7-8pV l-pa,,»*** , , „ - . . 2 3+,yi , .75 =

v' ( y\ — p'&in-x yl-p2sin.v y\-pisinix )

l+4p3-+p* (S+pgjCl-p») 0 1-p8 ...

' ' ' l' l-p-sw'.e Kl-p*si«zar V Y-pi*ini%

waarbij nu de bewerkingen op de elliptische integraal der tweede soort toege-
past, hetzij eene integraal van dezelfde, hetzij eene der eerste soort voortbrengen,
afgezien van den goniometrischen vorm, die hier telkens bestaat uit eenen factor
p* sinas. cosx, en eenen anderen, die functie is van j/1 — p*siu9x.

Hetzelfde kan men even zoo goed bewerkstelligen ten opzichte van de ellip-
tische integraal der eerste soort, en verkrijgt alsdan achtereenvolgens

[1-p2] [l +2 p2 — J P(p . x) = E(p . *)-p* sin x . cos,- \y | -^a*-)- -==. J=
= E{p . x) - sin .«■ . cos x {- ( 1 - p2) V 1 -P3 sin» x + ^ ^jj^=} ' •••-••• W

— F{p. x) — */n .r . co.« .*• — 2 p2 1/ ï— p2«m2.e + ,, . ^ — , . . 0 ■ F"a | > • <k)

" ' ( r r l/l — pzsmzx V 1 — jrsitPx )

[!_„>] [1 + V;^] [1- V ~] [i -rl [■ + Vs^fr-l =

( . _ l+lp2-tp* (3+pa;(l-p3) . I -p'3 | ,, .

=F(p.J*-sim:cosx -(l-7pa+8p*)l/ 1-/A?' A-+ 7 ===P+ ~~, — r~3+ . " -, — —^5 '[/''1 '
' | ' 1 1 -p2 vj„-.c 1 l-p^rAe I' ï-p^sm^x }

24*

12 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

Het is niet moeielijk, uit deze verkregen formulen tot meer algemeene uit-
komsten te geraken. Noem daartoe de bewerkingen

en zij in het algemeen <& (x) eene rationeele functie van de wortelgrootkeid
V 1 — p2sin2x; dan volgt rechtstreeks uit de formulen (ï), (i\) en (/3), ((?), (k) en (kj,

IQ.P.Q . . . Q.P.Q]E(p.x)=F(p.x) +8i»x.cogx.$(x)i (?8)

[P.Q.P . . . QP.Q] E(p.x) = E(p.. r) + siu.i .COS X.$(x) (;4)

[P.QP . . . P.Q.P]F(p.x) = E(p.x) + sinx.cosx $(*), (*a)

[Q.P.Q . . . P.Q.P]F(p.x)=Flp.x)+sinx.coax.${x) (*3)

Maar langs dezen weg ziet men niet in, wat de algemeene vorm van de functie
$(z) worden zal, en de vergelijking dier functiën zoo als zij in de formulen (/j),
(/3), (k), (k{) voorkomen, geeft hier geen licht; ook niet, wanneer bij het uit-
werken der bewerkingen, de gelijknamige termen niet bij elkander telt, zoo als
hier boven is geschied, maar ze gescheiden houdt, onder gedurige toepassing der
duidelijke herleidingsformule

y*sin~x 1— (1— p*sin*x) l 1

2*+x — ,/ï „a.,.a«*-H — . /i . a •« J*+l ~" . 7\ _«..•.«_«*-"

|/1— fmfix'"*1 \/l—p*sin*x^1 |/1— f"»»*»"*1"1 |/l-p««/.8

V<?)

ten einde de grootheid tusschen de vierkante haakjes, in het tweede lid, telkens
tot functie van alleen y/\ — jfishfix te herleiden.

Zoodra men echter later overgaat tot compleete elliptische integralen, dus tus-
schen de grenzen 0 en ju genomen; dan wordt dit bezwaar geheel opgeheven,
omdat alsdan de $ (x) in het geheel niet meer voorkomt. Zij zelve kan toch nimmer
oneindig groot worden, en de factor sin x. cos x wordt gelijk aan nul, zoowel voor
x = 0, als voor x = \ n ; vandaar dat die laatste term in de vorige formulen ge-
heel verdwijnt.

7. Wanneer men nu dezelfde beschouwingen wil toepassen op de diflerentiaal-
formulen, die in § 5 voorkomen, stelle men eerst ter bekorting

\'\

+7 lW-^==) -*(-=?==.£-.)

= E2 ' . (.)

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 13

(*)

dan verkrijgen de formulen (g) en (A) den von

[l-%*Éiï**°"- (rt

= .Eg + sin x.cosx [(1 +p*J J/ 1 +p8 sin3 x — z~\=Ei+8inx.cosxW(x), . (A')

waar de S* (x) uitdrukt eene rationeele functie van de wortelgrootheid y'l+^sitfix.
Past men deze bewerkingen, vice versa, nog eenmaal toe, zoo verkrijgt men

[1 +*»][! +2p»^][l — 2^j^-]JSi = J^ + m«.«»i»y(«)f (f)

[1~8^J^C1 + ^j[1 + aP*^j]'f = ',» + «fi«*.«»»5,(*) (»)

Wanneer men toch de aangewezene bewerkingen ten uitvoer brengt, en overal,
waar noodig, de herleidingsformule

p'sin2* (l+p*sin*x)—l _ 1 1

oepast, dan verkrijgt men telkens in het tweede lid een goniometrischen term,
die sin x.cosx tot factor heeft en waarvan de andere factor een rationeele vorm
van l/l +p*sin2x, dat is eene ¥ (x) is.

Maar nu kan men ook doorgaan met de achtereenvolgende toepassing der vo-

ige bewerkingen; voeren wij daarbij gemakshalve wederom symbolen in, dan
kan men de Q uit (i?) behouden, maar moet de P uit (£) vervangen worden door

[l+^][l + 2^] = P1 Ou)

Op die wijze verkrijgt men dan hier

[iYQPi • • • Q,Pl.Q]Ea = Elt + »m*.c<u*¥p), (y

14 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

IQ.Pi.Q . . . Q.P1.Q]Ei = Fi + sinx.cosxW(x), (/s)

[Q.P^Q . . . P1.Q.Pl]F2 = F2-\-Sinx.co.sJV(x), (Wl)

[Pi-Q.Pi . . . P1.Q.P1]F2 = E2 + sh,x.csxV(x) (m2)

Ook de formulen {gx) en {h{) geven gereede aanleiding voor eene overeenkom-
stige behandeling; maar daarbij heeft men dan andere bewerkingssymbolen noo-
dig. Noem deze hier

[!_*,*(!+""> -£sj] = B, M

Ci^^ + W+^l^M (l)

dan heeft men vooreerst

[R]E1 = Fl, fa)

_ */n x . cos x | 1 i

=Bl+7Pr^=r (1+^)l/i + ps*»8*+t=====f =£i+»»^»«^M;. (*i)

wanneer men onder ï* (#), even als boven, wederom eene rationeele functie van
l/l +/)as»i2.r verstaat. Bij de herhaalde toepassing dezer bewerkingen, over en
weder, komt er daarop vooreerst

[S.K] Ey = L\ + sin x. cos x ¥*(#), • («}

[R.S]F1 = F1 + sin x.cos. V (ar); (o)

en vervolgens, geheel algemeen,

[S.R.S . . . R.S.R] E1 = E1 + amx.cosx¥(x), («J

[fl.S.ff . . . R.S.R] E^ = Fx + «fuccwcVl*), (»2)

{R.S.R . . . S.R.S] Fi = ^ + si» *. cos #¥*(*), fa)

[<S.i2.S . . . S..RS] Fi = /;x + sinx.eosxW(x) fa)

Een groot bezwaar van al de formulen in deze paragraaf, is, dat zij allen
eene zekere functie W (■'■) van i/l ■\-p2siu2 .e bevatten, waarvan de wet vooralsnog

NAAK DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 15

onbekend is. Zoodra men echter later tot de grenzen 0 en ^ overgaat, zoodat

de elliptische integralen compleete worden met den modulus ( . A wordt

dit bezwaar weggenomen, omdat dan die functiën van onbekende zamenstelling
niet meer voorkomen wegens den factor sinx.cosx, die evenzeer voor x = 0,
als voor x = in verdwijnt.

8. Men kan echter tot geheel andere, niet minder belangrijke, uitkomsten ge-
raken, door de vergelijking («) nog eens naar p2 te differentieeren ; en daarbij
gebruik te maken van de reeds gevonden eerste differentialen naar de formulen
(o) en (b). Aldus verkrijgt men

d? — 1 1 ,_ l 1

f l/l — pzSt?f.r J

1 g(i_p8)+p8 1 + (1— p*)ain*x sin x. cos x

=wH?-x)—ï7v^WE{v-x) + T^^Vfi^' " • ' (F)

en verder, door middel van de formule (a), ten einde de overgebleven F{jj.x) te
elimineeren,

2 — p2 \ 1-f fl — p2)sin".v sin. r. cos. r

p2 1 — |— (X — p2) sinz x sin x . cos x

E(p.x) +

*P4C— P8) l/l— p8«»8ir' 4p2(l— p«j'

en hieruit volgt ten slotte

r „ „ d2 r/ -, 1 + (1 — p")sirfix

L a(p2) d(pzj -1 j/1— p*sin?x

[ sitfi x

~ l/l S ~ + ^ 1 — P2 -v»'2 *

\V 1 — p-sin-1 ,r

SM .r , cus ./•;

(PW

waarbij met voordacht is afgezien van de nadere herleiding van den goniometri-
schen tenn, zooals die in de formule (i) is toegepast. Want nu kan men ge-
makkelijk n — 2 maal differentieeren, het eerste lid volgens het theorema van
leibnitz, en het tweede lid naar de bekende formulen (zie o. a. mijn Overzicht
der Dififer. Rekening, bladz. 33, 34).

16 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

W1 -pi)ïïk< +{n~2) 4(1-^2)4¥^+K""2K"_8)4(~2)^F^

+ Ml—/»8) ,, ,„ ,+(» — g)4( — 1)

tf(p2j»-l

+

1

^«-2

d"-A — siifix

'T , /_».__• 1

E(p.x)=

= s?8 a . cos x sini x - — — — + ■ k

= sin3 # . cos x\

d*-2

J»-3

<* (p2;»-2 v/ 1 _ p2 MKa x d (pa )«-« j/ i_p8,/„s.l.

=1'

of wel, na herleiding,

((_l)»-2 l»-*8(_»»»ar)»-S (_ l)»-3 l«-3/2(_ ,5^2^,-3
= sin? x . cos x \ , „„ „.„... _3/ — *

2»-2(i— p»«fAB)«-v,

— siifi"—^ x . cos x 1 «—3/2

(1 — p*8inrai)n '» 2"—'= J

2"-3(l—j>2s;n2 .,.)»-»/,

(?)

Ten einde voorts de vergelijking (&) op dezelfde wijze te behandelen, schrijve
men haar kortheidshalve

d{p

d-F(P .x) = E—~ F(p . •) + — -? rE(p.*),

|2j 2p~ 2p"(l— p~)

(*)

waar dus

R = —

1 -J- (1 — p2) sin2 x sin x . cos x

l/i — /.2 «f,* ff 2(1— p2)

genomen werd ; dan verkrijgt men, door nog eens naar p2 te differentieeren,

i

i

d3 „ dR 1 1— 2p2

rf(p2)

</(p2) ' 2p4

2p2(l-p2)

£(/>•■<•) +

rfK

2p2(l— p2) 2p

(2p*
2— '3 p2

==—- — -22+F(p.a') { +- — S +Ei>.a-) 1- — —

rf(p») 2p2 u 'Up* 4p* ép*(l-p2) v/ ; 2p\'l-p2)2 4p*(l-p2j 4p*(l-p2)

R-i -

dip2) 2p2 4p*(l— p2)

;*{?■»,■

) 1-2 p2

Ti

1 -2p2

2p*(l— p2)2

E(p.T),

(?)

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 17

— sin x . cos x

_ {(l_pa)_(8_4 fft—p*) (l-f <«»*)+ 8 (l-/'3)2 (1-p2 si'«a .r)2} +

4/j*(1 -p2)'Vl-p2«».2.<'

2— 3»a 1— 2p2 „,
+ '--rF(p.x) — — E(v.x). . . fa)

Gebruikt men nu de formule (b) weder, om uit (r) de E{p.a) te elimineeren,
zoo verkrijgt men

U(p2)2+^(l-p2) rf(p2)J (p-'l)-rf(^)+jff| 2p8 V(1^)|+^P,T)|4^(1^S)~ 2p*(l-ps)j~

dR 1— 3p2 „ p2 „, %

= + Ï-—R4 F(p.x):

J{}?) T 2p2(l — ;-2) T4^(l-,2) ^ '•

waaruit wederom wordt afgeleid

Mn # . cos «

[1 —(1 + p2) (1— fsirPx) + 2/>2(l — p8*»8^)8] =

?Vl —p»rin*a?

sin x . cos x

= — 3[«a8,i-— (1 ~pasma;») + 2(l— pasma.r)a] (^)

|/1 — p2 sin2 x

Bij deze herleidingen is in de laatste vergelijking (r2), even als bij (r{), gebruik
gemaakt van de volgende uitkomst

d , . 1+(1 — p2)sin2x l — si»aï — 1 , — sirfix )

d {p2) (1 — p*) 1/ 1 _ p2 sinz ,, 1 1 + ( 1 _ p2)sinh; l — p8 " 1— p*aM

, . 1 + ( 1 — p2) sw2 x 2 + ( 1 — 3 p2) sm8 .e + ( 1 — p2)2 sin* x

=z — A sin x . cos x — — — — -=

(1 — p2) j/1 _p2^„2 .<, 2 (1 — p2) (1 — p»«iii»*) { 1 + (1— p2).Sm2.r (

— n'n x . cos x
= ^==3 {(I-P2 --(2— 8p»-^)(l-^«i» «) +(l-pa)8(l-j?«*)8} •

En nu kan men er toe overgaan, om de vergelijking (r2) n — 2 maal te differen-
tieeren met behulp van het theorema van leibmtz bij het eerste lid, en der
boven aangehaalde formulen bij het tweede lid; deze bewerking levert ons dan
het volgende

25

NA1ÜÜRK. VERH. DER KON1XKL. AKADEMIE. DEEL XVTI1.

18 OVER HET DIFFEEENTIEEEEX VAX EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

d«— l </"-2

+ 4(1 — 2pa)

<*(P2)

2\«-l

+ (« — 8)4(— 2)

(/»-2

--ƒ>..=

d—8

=r si« ./■ . ''0.s .'

:=&inx.C08X \ 2

?2

]

j/l — pa«'«

1

j-ö-3

1/ (p2)""

'- a . v 1 '- -1* ■>■ '

l/l — p2 sin- .c

+ 2 l/l— pa«»aarj

f/«-2

+ 27~

<P»-3

?/7J-

.'.

■=.sinx.cc

\ ~dd'-)-X V 1 -pW5* #!)-Y] — p3 «n2* d p2)»-3 ,/ 1_^«„2 j '
waaruit men na herleiding' verkrijgt

(_l)«-ll»-V\-,-/«--- ■ "-1 (-l)»"2l»-ae(-«asar)»-2 (_i)«-3i«-3 2 _s^2.,

'/- ■— —sinrw

2«— l£l_ p*sinzx)*— i 2»— 2(1 — pasi>iaa!)»- 2' ~3( l-p2«V2 ar)»— %

-~S2W /■ CO« r' i in2^11 — 2ln — **/2
= ^ ", " v ' , T {-s'«2.r(2"-3;(2n-5 ï+ (2n-b) (l-p*tm*s) + 2(1-/Ai,l2.,)2 } =

2»— 2 ( 1 — p2 g,n2 j-)a— i

=- — : '-— rr(2«— 3)+{(2n— 3)(2«— 5)— (2«— l)p3}«Maar4-a»*«'»*j!]. . (s)

(l-past»aa:)*-ï 2»-2LV '^u n ' K n ' rF J w

9. Laat ons trachten, dergelijke algemeene differentiaalformulen af te leiden
voor de overeenkomstige integralen van § 5; beginnen wij daartoe met den
laatsten vorm der uitkomsten (e{) en (/\). Differentieeren wij de vergelijking (e{)
nog eens naar pz, zoo komt er

(T-

1

1 + 2/-

1

-f.

d

d

1+2/'

zPHi+P*/El ^^ïpM+p^idif)^ ■/y)Fl 2P\i+p*rl1 Fl)~

'^-Fj)- y ^ ' p*sinx.cosx\/ ï^2_F1+(l+p2)Jg1 1=

l + 2p

Daar nu de -f'j uit den tweeden term van het tweede lid verdwenen is, en al-
leen voorkomt in den eersten term aldaar; en daar die eerste term naar de
vergelijking («3) zelve juist

NAAK DEN MODULUS, OP EENE FUNCTIE DAARVAN.

L9

1 + SP1 d R

"f-(l+p>)d(P°-) l

tot waarde heeft, zoo geeft het overbrengen daarvan in het eerste lid

cP

1 + 2p2 d

.& H J— E-, = — E-, + — -phinx.cos.n/ 1 + «2 ;

?>2(L+P2)d(p2i 1 4p"(l+jB»j»L * i/l+p»»»"* T/ -1

d(p2)2

waaruit dadelijk volgt

d(p*f

d(p8)

= — si» a: . cos .i' |/ 1 -}-

|/l + p2 «ft2 a

+ \/\ -|- p2 si»2 a' | j

(<l)

eene uitkomst, die men nu weder gereedelijk n — 2 maal naar p2 kan differen-
tieeren; bij welke bewerking eenerzijds het theorema van leibnitz, anderzijds
de boven aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren te gebruiken zijn.
Langs dien weg komt men tot deze uitkomst

1 flM

+- (n-2/(M-8)(n-4)4.8.

~d(p2f-3
+«-£)(-*) 4.4. ^_g

2\k-2

d(P2)_

als P het tweede lid van de vergelijking (t{) voorstelt, dus

ISl'ttM SS
——===== + l/l +.p2««2a-
K 1 + pMsinix

Ten einde van deze uitdrukking het n — 2 differentiaalquotient ten opzichte van
p2 te bepalen, is men gedwongen, zijn toevlucht te nemen tot het theorema van
leibnitz; en daartoe vindt men achtereenvolgens

25*

20 OV£E HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN
dk T •*"'" , y s 5— 1

(1+p»™»**)*4"* 2* U ' 2*(l+paswAe)*+i'

<#»-*- 2 J«— i-i 1 ( — 1)»-A— 3 1»-*— S/2

rf(p«^— *-s • 1/ 1 -f- ^2 = i rf:ps)»_*_3 (/r+p = * 2»-*-3 (1 - p*)— *-*i'

zoodat nu algemeen is

(pi--2 *=«-2/n_2\(_l'v*-l*ma*a;.l*-1/2, , . , (_|)«-i-3l*-*-3/2

d(pa)«— 2 *-o\ * /2*(l+p8«n8a0*+ï 'jj«-*-a^ij.p8j»-*-8j

*=«-2 /„ 21 1*- V2 in- i-si/aain^Har.coia; 1 + (1 — 2 A: -f p2)s//<2.,-

~ ^0(_^"_1\ £ j :>»-2 (1 _|_ p2,„_i—2i (1 + p2 «sa *)*+*

en hierdoor wordt de vergelijking- («) na eenige herleiding

+ { 1 + 4 (_») [« (2 + 3 f) - (8 + o p«d ] } -^^ + 4 («-*)= («-3) ^J ^ =

+ (1+4 (—8 [(»-^P* + (2"-3)(I+P*)]}rf-^^+*C»-8)\^S)^5]^==

i=»-2 fM 2\ 1*— 1/21»— *— ?/2*/«2*+1*. eosx 1 + (1 — % Je -\- /fi) siifi x

= S(— I)»-1 , 1 — a,, , ^«-4-2» n +«*«v.^*+* ' ' ' " lWl)

4=0

\ i ' 2»-2fl4./)»-*-2i (l+p2«»2ar)*+* ''

waarin de tweede vorming van het eerste lid geschied is met het oog op de straks
af te leiden algemeene differentiaalformule (w{) voor de andere functie Fx : op
die wijze toch wordt eerst het verband tusschen beide formulen zichtbaar.

Ten einde uu de overeenkomstige vergelijking (f{) op dezelfde wijze te kunnen
behandelen, schrijve men haar eerst in den volgenden vorm

d • ' r ■'"''•'-' / s—l * ; * v it \

F, = — ... — + Ht ps*m2 x + — j^i — „ -,-, i sx-^i' • (h)

NAAK DEN MODULUS, OF EENE PUNCTIE DAARVAN.

21

rlan komt er, wanneer men, even als boven, nog eens ten opzichte van jö3 dif-
ferentieert,

■ sin x . cos ./■

i(pYl 2.21/ j

ü3

sinx.nosx\

, . . =+Vi. +p*sin2;r + .- = j -2 ,-

[/ l+p'sitv.v ^ \ Zl/l+p-l VI

sin4' x , sin2 x

i , i

+pssin*x

i + 2p2

1 d

V'l+p'sin'.v
d

2 p*-®1 + 2 p* ( 1 + // Fl + 2p*d (f) 1 2 f (1 + ps) d (p2)

-swx.coax{, . sirfix , s«ra2 a- . 1

, 1 + p) s— p' „=^ + l/l -j-p**'" * —

* t/i + / r Vi + p*«v: • vi + p «'» * '

*1=

-««

!« o; . CO-S X (

4p8l !+/<

2p^1 + 2p*(i+r)2 lT4,p*(l+?T *

sm2a , ) 1 1 _

1 1+»W* L )-4p*(l+/r) 4fXl+p )

— ,S»l.('.t'0,-',('l „ .*///'.('

P',7

5-3'

- +p

sin' X

-(1-p)— ==="+' 1+/V

4/r' l+p2f l/l+p4s«M3a v 1 +pisinix

.1 (i+W+PVi . w

2// 1 4p4 1 +/-'2/

Ten einde hieruit nog de overgebleven 1^ te elimineeren, telle men naar de
formule (/\) bij

1 d

f"l= — ]

ipi/l+pK

1 D 2(1 +p2),

sur ,i ) i „ » ( ï -f- p- t

j/l+pWa; ) 2p* 4>p\l+p')

sin a

1

p"^(z/> 4pV 'i+f/

dan komt er, na herleiding,
e/2 1 rf —sinx.cosx

waaruit verder dadelijk volgt

d3 . d 1 „

1 F —

[V(i + p2) 771^+ 4/(1 + P2) ^r + * J y/)

L d(p;- d(p») -J

_( sur x

Sin' x

= —p sinx.cosx\/l+p'~}p m 3- (l+ps)— =====— |/l+p*«V* • • (»i)

Hierbij valt reeds dadelijk op te merken, dat de symbolische bewerking van het
eerste lid overgaat in die bij de vergelijking (t{) wanneer men in (v{) de p* en
l[p! onderling verwisselt; men ziet dadelijk dat eene dergelijke verwisseling,
dat is van ]f en 1 — [f, bij de vorige overeenkomstige vergelijkingen (^x) en (rO
niet opgaat. Wil men nu uit deze differentiaalformule van de tweede orde eene

22 OVER HET DIFFERENTIEEKEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

algeineene differentiaalformule afleiden, dan moet men eerst het tweede lid dei-
vorige vergelijking (v{), wat betreft den factor tusschen de haakjes, in een an-
deren vorm brengen, meer geschikt voor het algemeene differentieeren naar p2;
men vindt alzoo achtereenvolgens

l/(l + p2sm2xf
I sin2 x

-(1+r)

[/ 1 -j- p' sin' x
sin" x sin2 x

V '\+p2sin2xz \Z(l+p'sin-x)j [/l+p2sin2x \\/l+p2sin2i

— l/l + p'2 sin1 x =

I 1

—V- 1+p* sin2x,-\/ 1 +p2sin2x=

1

^3-3

■2\/l+p2i

V 1 + p- sin* w° ' [/ 1 + p' sin2 x
Differentieer nu n — 2 maal naar (p2), zoo wordt
d" dn~l

iH)

dn-2

1

6
l

l(p2)~

+

4(«-2)(*-3)(«-4). 4.6.^3

|(n-2)(n-3) .4.2

+

dip2)"-*
d{pl)»-2

waarbij Q het tweede lid der vergelijking (v{) voorstelt, en wel zoo, dat de
tweede factor tusschen de haakjes den vorm (vz) heeft verkregen. Men heeft dus

Q=.—sinx.cosx-

B-2

d(p*)" *L '\ \/ l+p'-sitSx yl^-p-i r /J

d(p')

Ten einde deze door middel van het theorema van leibnitz te bepalen, heeft
men eerst

dk d* f/*"1 (_l)i-llA:-l/2 (_l)*-2l*-2/2

(_lU-2l*-2/2 r_n*-2l*— 2/2

^{i-k-yr-i

2* (J. + p2;*-S

NAAR DEN MODULUS, OP EENE FUNCTIE DAARVAN. 23

d«—*—2 I — aiifix 1

d(p2)»-A-z\l/l+/>2*ma* \/l+p*sm*x I

jn-k-l i rf*-*-2 1 . „ d"-k-s 1

— gj ___ | SfllTl ff ~~ ' ?> ■■ — - — — —

^l\H-k-\\^k-\/2^in--x\v-k-\ {-\)>i-k-1\n-k-2/>^;tl\vyn-k-i > (_l)»-fe-3la-^-3/2(giVa;)«-fc-3

— » o I ___ — ^-^ — s/m"ï ~ ■ ~ ~~ '

2»-W( 1 -j_p2 s^2 3.)„-*-i T 28-i-2( ! +p2 sj„2 ^n-A-'/j ' %»-k-\\ -J-p* si«2 A-)«-*-5/3

/.J »-A-2 l»-fr-3'2/s.;w2,pw.i-2

■i»-i-2(l_|_p2i,^2,l,)K-4-34 IV A ^ V A J

zoodat eindelijk wordt

d»-2 fc=»-2/n_2\l»-*-3/2lA-2/2(_l)«(siM2a;)»-A-2

^pjQ = -«.*^^ 4 j g.-.(i +p»)*-*(l +PW,)-^-* <" " (2 * - 5; ^ } X
[i2n— 2£— 3)— {(2n— 2£— 3) (2n— 2/fc— 5)+(2ra - 2&— l)p2}*ms«+2pésm4a;];

A

*\ =

*"l =

en hiermede verkrijgen wij ten slotte voor onze differentiaalformule ito)

l/,1(1+p2)^+4^^("+^2)~(3+s^)}c7|i^i +

+ [l+4{«_a){„(l + 3p2)_(2 + 7^)}]^^2 + 4(«-2)(n-3/J^^

4p* (1 +p2) ^ + **" {{%n~m +p2) + {n~2) pi} d$y^ +

+ [1 + 4(«-8) {(»-2)(l +p2) + (&•-%»} ]j^i+ *(«~2) («-3)2(-^_3

£=0\ « /2M— ^(1 -|-p*)*— *(1 -\-p*sin~ x)n " 4
— {(2rc— 2/1-3)(2m-2/c 5) + (2m— 2£-5)p2}.wA« 4-2p4smé.t']; (^)

waarbij wederom het eerste lid door eene kleine herleiding zoo veranderd is,
dat de straks vermelde overeenkomst met de formule (%) gemakkelijker in het
oog springt.

10. De schijnbaar meer zamengestelde vergelijkingen (e) en (ƒ) kan men op
dezelfde wijze behandelen ; zoo als men zien zal, geven zij tot meer eenvoudige
uitkomsten aanleiding. Schrijven wij ze daartoe in den volgenden vorm

24 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAX BENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

:BZ = ^-(EZ— Fj (-')

d

F„ = — — - — p2 .111/ x . cosx — ( 1 + p2) Fn f E .-,) =

d(^2) ' 2^3(1 +^2;| \Zl+p*dn*

.i-.cosxl sin2.! \ 1 1

2(1 -rp2)\\/ l +p2sni2.r ƒ 2p^ 2 p~(l +• pl)

waarbij nu de vormen E2 en _F2 vau de formulen (/) en (k) zijn ingevoerd ;
zoodat die beide vergelijkingen in dezen vorm met de andere vergelijkingen (e) en
((/) tamelijk wel overeenkomen. Differentieert men nu deze vergelijkingen nog
eenmaal naar ^>a, en voert men daarna dezelfde vergelijkingen wederom in, zoo
komt er achtereenvolgens voor de eerste

sinx.cosxl sin2 .r \ 1 1 )-,

2p2L2p

+ArA(£»-^)

omdat nu bij den term tusschen de vierkante haakjes in het tweede lid, de

term r— = F2 geheel verdwijnt, behoeft de F2 alleen uit den eersten term van
2p~

dat tweede lid te worden geëlimineerd. Dit geschiedt zeer eenvoudig door middel

van de vergelijking (e); telt men toch bij

1 d „ 1

-— VEZ-—{E%~ Fz),

zoo komt er
r/i 1 d (1 -4-p2) — 1 sinx.cosxl sin2x ^ \

of, na eene aangewezen herleiding,

NAAK DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

25

waaruit verder, wanneer men deze vergelijking n — 2 maal naar p2 differentieert,
de algemeene differentiaalformule volgt

4.1.

+ 4(1 + /;2)J^ + (*~2)

^(p2)»-2
^»-2

d(/>8)»-8

& =

:= — s?« ;t' . COS .T *W X

dn-2

T j/.a.„_a 2 .

'tf(ps)»-Vl+p8«s8.r rf(p8;»-83l/l+P8m9a:'

dat is

d"-z

[*^a+rt^+M(^i)+(»^8)^>5^+^(^)^1>i^il* =

(_l)»-2 1"-2/2(«h2^)"-2 (_l)»-3 l«-3/2(g;Wa,c)«-3

2«-2(i -[-^sw2.»-)»-3/. 2 2»-3(l +p2.sm2.c)K-5/s

(—-l)Bsin2K-1tf'.eo*.r l»-3/2 .

— - — -fl — (2w — 5— pa)*i»2.r}

w

Ten einde verder op dezelfde wijze de functie i^2 te behandelen, noeme men
kortheidshalve den eersten term in het tweede lid van de vergelijking (f)

sin x . cos x I sin2 x

mi +P>)Wi+p»,i^+i/l+!/i •'""■';

\ = s=

, eosx 1 + (1 + p1) sin2 x

2(1 +p2) l/l+p2*m2.c

en differentieere vervolgens die vergelijking (ƒ') nog eenmaal naar (p2), zoo ver-
krijgt men

Daar nu echter in den eersten term van het tweede lid is

1 +(' + p2)sin2x

d

d(p2)

R = ^ *'?' * • «w *

(i-fWr+7

■'wn,ix

sin' x

1 Wi~ X

5 :

1 + ( 1 +p2) «»2 e 1 -f f 1 +?» -nn2 x

— sin x. cos x „ „ . n.n.^i

• ——-3 2 + (1 + 3 p2)sin> x + (1 + p»)»««**} =

4,(1 +^2)-j/l J-„2S„,2,,.

■ s«'n ,r . cos ,t

'====s{Q+p>— {*+*&— p*J(H-p9«"8*)+U+P*)9i1+P8««,*)8)i

l+p2si«2a;

NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII

26

26 OVER HET DIFEERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN
en dus, na substitutie in de vorige vergelijking,

d'2 n j, ( X l * 1 I 1 + 2//2 1 I

<P (11 11 /

d(p*f - *lzp*'4p* 4p*(l+-p2)( *\Zp*(l+jP)* >lp*(l+p*) V(l - /<2)

~^(i^VT^P?{(^

Daar in de coëfficiënt van 2£a de beide laatste termen elkander opheffen, moet
slechts de eerste term worden verdreven, om de E.2 geheel te elimineeren. Tot
dat einde telle men bij de vorige vergelijking (z)

1 + 2 f d 1 -f 2 p* l+2p2 1 + 2 pa

p2(l+P2)d(^) *-ip*(l+p*)»Es~2p*(l+p*) * + ?(\+f) '

zoodat men verkrijgt

dij?) F% + p2(l+p2) ^(p2) * a \ 2 P4 4, P4 ~ 4>(l+p2) ~~ 27W)J +

f d / 1 1+2»-)

Mrf(p>) T l 2p2 V(i+psV

en hieruit leidt men verder af'

4p*(l+P8) W) 2p2(]+p2)'

!(p2)2 ■
sin .e . cos ,j;

">M+p*H/l+pW*

sin af. oo«.r

Fs {-(i +p2H 0—^(1 +p3«»2.0+(1+^)2/'3(i+ps«'»M2) =

p2j/l -f pa«fc2;

ïi« ./' . COS .)

s {- 1 + (i - p3) (i + r •"■«2 ») + &p2(i + p2 «»2*)a} =

=Z5 {W/, 2. e— (1 + />*«Baar) + Z(l-\-p~siu~.r)*} (*s)

l/ 1 •+- p2 sin- ./■

Thans kan men overgaan, om deze differentiaalformule n — 2 maal te differen-
tieeren, waarbij men weder gebruik heeft te maken van het theorema van leib-
nitz, en van de reeds vroeger aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren.
Langs dien weg komt men dan tot de volgende uitkomst

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 27

d{pl)n «(p-j"—1 d(p2j"-2

</»-l rf»-2

+ 4(1 + 2/>2) r+ (n— 2) 4.2.- ^ -F2 =

dip2)» -2

=***-eoM , -2-—^--, . ,. . . . . -., _,,. o .,, . „ . „ + 2 -

s«n2 .e

l <i(/>2f-i |/i+p»«i»« d(pV-8 \/i+phinh d{fy~* 2 1/1+^3,^,2., j '

waaruit verder na herleiding volgt

[VMl+P2)^ + ("-l)Ml+2p^^+[4(«-l)(u-2) + l}^2]/^

(_])»-ll«-l/2(w-„2,,^-l (_l)»-2l»-2/2(OT«2a!)*-2 . (-l)'"-3l»-3/2^/w2u,)»-3)
2»-l(l+p2sïV2*)»-i 2» -8(l+-p*«ns*)«-*/t ' 2«-»(l+/>a«7i2a;)n-%j —
(-l)"-'isinx.cosx(si/t2x n-1\n-Zl2
= »M(i+^mi,yH (-(2»-3)(an-5).m^+(2n-5)ll+p^^)+a(l+gW;s)2}=

(-1)"— lsin2"— sx.cosx \n— 3/2
=VT7^F^ ^^f(^-3)+{(2"-3H^^) + i2«-l)p2}^2., + 2pW.j..(,a)

11. Laat ons ter toepassing van enkele der vorige formulen, nog het derde
differentiaalquotient ten opzichte van p2, afleiden van de beide elliptische integra-
len der eerste en tweede soort. Zij daartoe in de vergelijking (q) n = 3, zoo is

[„ ds d% d -1 „ sin6 x . cos x

4^<i-^^+i<2-n^-3«]£i^''»=-l7ï^i^»(i-(i+^»A«}.

Daarbij volgt uit de vergelijkingen (j>) en (o), overeenkomstig,

„ d2 „ (1 2 — »2 sin x. cos x l-f-( \-tP\sirfix

-4 2-3p2) — -£(®.*;=-4(2~V2) i^(p..r)— — ^—Elp.x)-\ ^l p >

K L U{f) w l ^ Jl^4 " ' 4/AH?2) ^ ^ 1/'1-P2s/A' 4p2(l— p2)

8-^5-^(p.») = -^-s{^(p.«) — Fip.x)}.

«(p^) 2 pz

"Wanneer men deze bij de eerste optelt, en dan door 4p2 (1 — p2) deelt, verkrijgt men
d3 „, , 3 + 5p2 — 16p* + 6/ „ 4 — 3p2

d(p2)3 'r ' 8p*(l— ff ""' 8p*(l— /;2)

sin x. cos x j cos2 x 7 -\- p2 — 5 sin2

8-7ö=^iPö^^?- ^ï^pw7 +s<8-^)i/i-^«»"-|- • • M)

26

*

28 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN

Vervolgens neme men n = 3 in de vergelijking (s), dan is

r d3 tfi r]

sin3 x . co* .<•
= - r, è {— Sm»* + (1— p*sm*x) + 2(1 — ,»»««»*)»}.

Evenzeer volgt nu uit de vergelijkingen (r) en (è) achtereenvolgens

- 8(1- 2p2) — F(p.*)=z —8(1— 2p2) — F(p..v)— 1 E p.s ~

1 'd(ff U ' K L JL4/;1(1— p2) lP ^ 2p*(l — p2)2 /

*?'« a' . ces * -i

- — — - j^— ===— {(l-p9)-(3-4p2-p*, (I-p»**»»*) +2(i-P»)»(iy«,*)>)}
*P l1-P J y l—p^sin^ar -1

9^)f^-*) = V^I-'1-f')^*>+£(''-')-',l^S{»,*+(1-Pw*»!]-

Door middel van deze vergelijkingen verdwijnen de twee laatste termen uit het
eerste lid; wanneer men daarop door 4p2(l — />2) deelt, komt er

d3 ^_S— 23/;2 + 23p4 a+2pa— 3p* sin*. cos* j 3 (1 — p~f

d{p*)* {P-}"'Z 8p6(l- p2)3 -(/'"r,~8pö(l— ps)s ^ 'r,_ 8?«(1 -p2)3 V l_pW;/ +

(3 + pg)(l-^) 9-42p2+ 32 p* + V ^^ ^^j

+ , ,, o • o -T + ,, . , , - : — (!— PV(*>— Sr)[/1— p8«»»* • • («c)

12. Wat betreft de elliptische integralen van de derde soort, bedenke men,
dat zij slechts van die der eerste soort verschillen door den factor (1 — nsiirx)—1
onder het integraal teeken ; daar deze factor geene p bevat, hebben de bewerkin-
gen van de vorige paragrafen daarop geen invloed ; en is men derhalve voor deze
integralen der derde soort teruggevoerd tot de vergelijkingen voor de functie F(p.x).

Vervolgens kunnen wij nog het integreeren ten opzichte van de standvastige
l? beproeven, maar dan verkrijgen wij, door verwisseling in de orde van het
integreeren, hetgeen hier geoorloofd is,

jd(p*)E(p.z)= j *,. Lr ƒ tf(pVï=pW*= j '**~y ÏI^^-^l'VT^pJ^r3—

o o o

/ d&)F\p.*)= I 'd, I J(p*j \ = r<te=£|/i_p8m*r=-2 /V ï=p

J ƒ / t l-p2sm2.r J -Wi~x r J

>$sin"j~

sin~.r

NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN.

Beide uitkomsten zijn ondoorloopencle integralen, omdat de functie onder het
integraalteeken voor de benedenste grens n = 0 een eindigen teller bezit, terwijl
daarentegen de noemer, sm3x, nul wordt. Langs dezen weg kan men dus niet
tot bruikbare uitkomsten geraken.

13. Veel eenvoudiger worden de vorige uitkomsten, wanneer men de integralen
tusschen de grenzen 0 en § n neemt, waardoor zij tot bepaalde integralen worden.

In dat geval toch worden de vergelijkingen (a) en (b), (c) en (d)

35Sj*W = . "?(*«-'«> (A)

ïS*'w=i-;i^s{*w-<i-rf'w>. ,B)

Bij de vergelijkingen (e) en (ƒ), (g) en (h) wordt
1 | \|/l + />3' \i/i+p» * /!

:+*(-7=£=....(»l)

i-K^H7éHHir-+'(*v-w

zoodat zij leveren

(E)

r 1 A-±—W= l- — \eI-z—\-f(-£—)1 . . (F)

Vl+/>s \i/i+/>s/J 2pVi+fM \i/i+p'/ \l/l+p2/)

P-V^KH^I =^fH^) (Gi

il+**'wtiïmF{Mi\= ^'b&p)' (H)

30 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN
terwijl verder uit de volgende vergelijkingen (e{) en (fi), (f^) en (h{) wordt afgeleid

[I_w+rt_^],(_^_)=^_^_) (Gl)

[i + «• (i + rtj±j] * (^p) = a + * * (j^) ma

Behouden wij de notatiën voor de bewerkingen

p -^ [i + Zp>-^ = P, . . . ^ en [1-2^] = Q; (,)

dan geven de vergelijkingen (/3) en (*é), (kz) en (A:3)

[Q.P.Q . . . Q.P.Q] E(p) = F(p), (I3)

[P.Q.P . . . Q.P.Q] E(p) = E(P), (I4)

[P.Q.P . . . P.Q.P] F(p) = E(p), (Kg)

[Q.P.Q . . . P.Q.P] F(p) = F(P); (K3)

terwijl bij het behoud der notatie

[1+^][1 + ^^ = Pl M

de vergelijkingen (/{) en (72), (m{) en (m2) geven, omdat hier wordt,

^ = 1/T+7£(tït?)' M

1/1+ p* \l/l+p»/

[P..Ö.P, . . . Q.P..Q] |y 1 + 73 £ [-^p = ^ E (p^p), . (L.)

NAAK DEN MODULUS, OP EENE FUNCTIE DAARVAN. 31

4/i + p« li/i + p2i-l rï li/i+W l 3'

En eindelijk, indien men de bewerkingsnotatiën

[i-W + p3)~>«, M

behoudt, leidt men uit de vergelijkingen (mx) en (%), (oj) en (o2) af

[fl.-S.i2 . . . fl.&fl] E ( P ) = f( P V fN %

[S.R.S . . . S.R.S] F l—E=) = sl-J=) (02)

U/l +P3/ ll/l+p2/ l 2;

Verder leveren de vergelijkingen (p) en (p^, (/■) en (r{)

d* i

'«2£(p) = 47Yi -^){2(1_^)^)~(2_p3)£(/;)} (P)

[W_rt^+4(1_^+1],w=0f (P1)

rf^^)=ï^n^iifa-s^)jS,(p)-2(1--8p")^(p)}.- •••(»)

[V(W)_^_ + 4(1_ ap^-i]^^ (Rl)

32 OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN
en de meer algemeene differentiaalformulen (q) en (s)

[V(W">;^+M(»-i>- (*^)^}^=^+{i-*(»-*)»}j^l^W = Of.(Q)

[4p2(H>2)^ + 4(»-i)(i-2ps)j^

Vervolgens genaderd tot de vergelijkingen (/) en (Yj), (e) en (rj), komt er naar
de formulen (8^ en (s{)

-*-k[-J— \= , 1 _ |a(i+V)F(-£— U+¥|iJ-JL. U, f,.

^w Vi/r+^; *p*<i+ps)i \i/r+?/ U/r+?

[W+^ + Va+^ + i]^^)^; (V,,

en naar de meer algemeene differentiaalformulen (») en (>r)

[*P2d+P2)3^ + 4(1 + P*) {(«»-3)p» + („_ i)(i +p2)) _*=L_ +

+ {l+4(«-»)[(.-l)p> + (*.-8)(l+rt]|^Jjï(p^]=0f..(D)

+ {1 + 4(. - 2) [(.-.) (1 + f) + (£ . - 5)pa]}-^]i^_JL_) =0. . . (W)

Even zoo geven de volgende vergelijkingen (ai) en (a^), (z) en (z{), wanneer men
de formulen (c{) en (x{) gebruikt,

rf^i" -»-/ Wi+WJ wi+^i \i/i+W \i/i+W)

NAAR DEN MODULUS, OP EENE PUNCTIE DAARVAN. 33

L+p"

,-(Z)

en do meer algemeene differentiaalformulen (//) en {act)

\yT^E[vh^^ (Y)

[-rd +,.J^+4(.-l)(l+«p.,J^ï + {4(.-l) (n-2) f 1} -^]

r— i— W— g-Vi = o (AA)

4/1 + p« Wi+rV

Ten slotte geven de waarden (ab) en (ac) nog hier

d3 1

^^P)=:8^(l-y)8[3 +6^-1 6p*+ 6pfi)E{p) — (l-^) (4-3p8)^(p)], . (AB)

J^75F('l') = „ a , / ^ [(8-23 y3 + 2:j /'*) -E(/') — (2 + a;>«- 3 /,*) f»]. . . . (AC)

<ï(P-)J -VU — PT

Men had alle formulen van deze paragraaf, ook rechtstreeks, en op zich zelve
beschouwd, veel gemakkelijker kunnen vinden, als men de integralen (1) tot (12)
tusschen de grenzen 0 en \n neemt, en deze als punt van uitgang neemt voor
de volgende beschouwingen.

27

NATUURK. VBRH. DER KON1XKL. AKADEMIE. DEEL XVTII.

SUR

QUELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE

POISSONS DE CHINE

APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG,

P. B L E E E £ S.

act

Depuis Ie dernier recensement des espèces de poissons de Chine *, d'après le-
quel leur chiffre ne montait pas encore a 900, plus de cent espèces ont été ajou-
tées a cette faune, résultat qu'on doit surtout aux recherches de MM. Günther
et Sauvage.

Tout récemment, dans un envoi de poissons indéterminés, faisant partie des
collections du Muséum Zoologique de Hambourg, je trouvai 72 espèces recueil-
lies en Chine, dont 21 sont nouvelles pour sa faune. Par eet envoi je suis a
mêrae de porter Ie nombre des espèces actuellement connues de Chine a plus
de 1030.

Les espèces du Muséum de Hambourg sont les suivantes. Celles marquées d'un
astérisque, n'étaient pas connues jusqu'ici de Chine. Je n'en trouve indiquées les
localités precises que pour une vingtaine, presque toutes d'eau douce et trouvées
a Shanghai. Cinq seulement me paraissent inédites, sav. Pseudosciaena polyactis,

* Mémoire sur la faune ichthyologique <le Chine; et Addition a ce Mémoire. Nederl. Tijschr.
Dierkunde 1872. IV p. 113 et 232.

28

NATUURK. VKRH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

2 SUK QÜELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE

Acanthocepola oxylepis, Cyclocheilichthys sinensis, Salmo leptosoma et Salmo
pomatops.

Cynocephalus (Scoliodon) macrorhynchus Blkr = Trygon zugei MH.

* Pseudoscarus aeruginosus Blkr.

* „ rivulatus Blkr.

* Julis melanochir Blkr
Epinephelus fasciatus Blkr.

„ merra Blkr.

Siuiperca chuatsi Grill. — Hab. Shanghai.
Lateolabrax japonicus Blkr.
Caesio coerulaureus Lac.
Scolopsis margaritifer CV.

Synagris hypselosoma Blkr. — Hab. Shanghai.
Lutjanus chirtah Blkr.

* „ chrysotaenia Blkr.

* Pseudosciaena polyactis Blkr. — Hab. Shanghai.
Upeneus tragula Rich.

Parupeneus multifasciatus Blkr.
Grlyphidodon coelestinus CV.

* Hemiglyphidodon plagiometopon Blkr.
Pseudosphromenus opercularis Blkr. — Hab. Shanghai.
Ophiocephalus striatus Blkr.

* „ lucius K. V. H. — Hab. Shanghai.
Scomber janesaba Blkr.

* Caranx crumenophthalmus Lac.

* Selaroides leptolepis Blkr.

Grempylus coluber CV. — Hab. Shanghai.

* Trichiurus japonicus Blkr.

* Acanthocepola oxylepus Blkr.
Theuthis virgata Günth.

Balistes (Canthiderrais) oculatus Blkr.
Mugil eephalotus CV.

„ ceramensis Blkr.

„ haematochilus Schl.
Solenostomus serratus Gill = Fistularia serrata Günth.
Polycaulus elongatus Günth.
Lepidotricha Burgeri (iünth.
Bostrychus sinensis Lac.

POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG. 3

Odontobutis obscura Blkr. — Hab. Shanghai.
Glossogobius giuris Blkr = Gobius giuris HB.
Actinogobius ommaturus Blkr.
Boleophthalmus pectinirostris Rich.

* Pseudorhombus polyspilus Blkr.

* Achirus pavoninus Lac.

Pelteobagrus calvarius Blkr. — Hab. Shanghai.

Plotosus arab Blkr.

Clarias rnagur CY.

Misgurnus anguillicaudatus Günth.

Carassius auratus Blkr. — Hab. Shanghai.

* Cyclocheilichthys (Cyclocheilichthys) sinensis Blkr.
Sarcocheilichthys sinensis Blkr. — Hab. Shanghai.
Pseudogobio rivularis Blkr. — Hab. Shanghai.
Saurogobio Durnerili Blkr.

Rhodeus sinensis Günth. — Hab. Shanghai.
Acanthorhodeus taenianalis Günth. — Hab. Shanghai.
Leuciscus idellus Val. — Hab. Shanghai.
Parabramis bramuia Blkr. — Hab. Shanghai.
Culter brevicauda Günth. — Hab. Shanghai.

Hypophthalmichthys molitrix Blkr (nee. Blkr Mém. Cypr. Chin.) * Hab.

Shanghai,
nobilis Blkr (nee Blkr, Mém. Cypr. Chin. — Hab.
Shanghai.

* Saurida nebulosa Val.

* Salmo leptosoma Blkr.

* v pomatops Blkr.
Dussumieria acuta Val.

* Clupea (Harengula) fimbriata Blkr.

Coilia clupeoides Günth. — Hab. Shanghai.

* Exocoetus bahiensis Rang. — Hab. Shanghai.

„ obtusirostris Günth. — Hab. Shanghai.

* Parexocoetus mento Blkr.

* Après avoir pu examiner les vrais Hypophthalmichthys molitrix et uobilis, je suis d'avis, que
les especes, déciites et figurées sous ces norns dans Ie „Mémoire sur les Cypnuoules de Chine ^
sont des espèces distinctes, qui méritent de reprendre les noms que leur avait deja apphque
Guichenot, Ie molitrix du dit mémoire étant Ie Dabryi Guich. et Ie nobibs Ie Simom Guich.

28*

SUR QUELQUES ESPÈCES TNEDTTES OU PEU CONNUES DE

Muraena japonica Blkr = Anguilla bostoniensis Les. sec. Günth.

Pisoodonophis eancrivorus HG.

Monopterus javanensis Lac.

Chonerhinos * naritus Blkr = Xenopterus auritus Günth.

Tetraodon oeellatus Günth.

Siniperca Muatsi Gill, Proc. Ac. Phil. 1862 p. 16; Kner, Zool.
Reiz. Novara, Fisch p. 15 tab. 1, fig. 3.

rfiniperca corpore oblongo compresso, altitudine 3 fere ad 3| in ejus longitudine
absque, 3f ad 4 et paulo ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine corpo-
ris 2 ad 2| in ejus altitudine; capite acuto 2| ad 3 fere in longitudine
corporis absque, 3 ad 3| in longitudine corporis cum pinna caudali ; altitudine
capitis 1§ ad 1|, latitudine capitis 2| ad 3 j in ejus longitudine ; oculis
diametro 4§, 5 ad 6 in longitudine capitis, diametro i ad | distantibus; linea
rostro-frontali rostro convexa vel convexiuscula, fronte concava ; rostro acuto
absque maxilla oculo paulo breviore; naribus ante pupillam perforatis anterioribus
valvula elevata claudendis ; maxilla superiore maxilla inferiore conspicue
breviore, post oculi marginem posteriorem desinente, 2£ eire. in longitudine
capitis ; dentibus parvis, intermaxillaribus symphysialibus ceteris longioribus,
vomerinis in thurmam triangularem, palatinis utroque latere in vittam elongatam
antice quam postice latiorem dispositis; squamulis capite regione pösttemporali,
operculo et suboperculo tantum ; praeoperculo postice conspicue serrato, angulo
et inferne spinis 4 inferioribus 2 ceteris fortioribus deorsum et paulo antrorsum
directis; operculo spinis 2, superiore obtusa, inferiore pungente; linea laterali
va lde curvata; squamis angulum aperturae branchialis superiorem inter et ba-
sin pinnae caudalis supra lineam lateralem in series 130 eire, infra lineam
lateralem in series 120 eire. transversas dispositis; squamis serie transversa

* Le nom générique n'a pas été adopté dans Ie „Catalogue of Fishes, puisque, selon 1'auteur, Ie
genre, bien que le premier nommé par moi, n'aurait pas été décrit ou caractérisé. Le fait est que,
en 1'an 1854 déja (Natuurk. Tijdschr. Ned. Ind. VII p. 259), j'ai iudiqué le genre Chonerhinos-
dans les termes suivants : „trechtervormige verdieping ter plaatse der neusopeningen, met verheven
randen ; lange rug- en aarsvinnen ; zichtbare zijlijn ; ongekielde rug" (loco narium depressio in-
fundibuliformis marginibus elevatis ; pinnae dorsalis et analis elongatae; linea lateralis conspicua;
dorsum uon carinatum).

POISSONS DE CHINE APPAETENANT AU MUSÉUM DE HAMBOUEG. 5

85 eire. spinam ventralem inter et spiaam dorsi anteriorem, 25 eire. apicem
curvaturae lineae lateralis inter et spinas dorsi medias; pinna dorsali : parte spinosa
dorsali radiosa duplo eire. longiore, alepidota, spinis validis mediis ceteris longioribus
oculo duplo eire. longioribus, postica radio 1° duplo eire. breviore ; dorsali
radiosa basi squamata, dorsali spinosa paulo altiore, obtuse rotundata; pectora-
libus obtuse rotundatis capitis parte postoculari paulo brevioribus; ventralibus
pectoralibus paulo brevioribus acutiuscule rotundatis, spina valida sulcata oculo
paulo longiore; anali basi squamata, spina media ceteris et oculo sat multo
longiore, parte radiosa vix humiliore obtuse rotundata ; eaudali obtuse rotundata
capitis parte postoculari vix ad non breviore ; colore corpore superne violascente-
viridi vel olivascente, lateribus aureo-argenteo ; iride viridi-violascente margine
pupillari aurea ; vitta oculo supra operculo-dorsali nigricante ; spinas dorsales
praemedianas attingente trunco maculis magnis nigricante-fuscis irregularibus
et inaequimagnis ex parte vittas vel fascias transversas efficientibus ; pinnis
flavis, imparibus maculis et guttis nigris irregulariter pluriseriatis.
B. 7. D. 12/14 vel 12/15. P. 2/14 vel 2/15. v. 1/5. et 3/9 ad 3/11. C. 1/15/1

et lat. brev.
Syn. Perca chuatsi Basil, Ichth. Chin. bor., Nouv. mém. Soc. impér. Natur.
Mosc, X. Ichth. Chin. bor. p. 218 Tab. ] fig. 1 ; Canestr. Syst. Percoid.
Verh. 2.6. Ges. W. X. p. 30 cubi gen. nov. indic.

Perca chuantsi Basil., ib. p. 218 tab. 2 fig. 1.

Siniperca chuantsi Gill., Proc. Ac. Phil. 1862 p. 16.

Plectroperca Berendtii Pet., N. Percoidgatt, Monatsb. k. pr. Ak. wis.,
1864 p. 121.

Siniperca matraki Guich.
Hab. China (Shanghaij ; Japonia.
Lougitudo -4 speciminum 208"' ad 340.'"

Rem. Ler Siniperca chuatsi et chuantsi ne torment qu'une seule espèce, Ie
chuantsi ne représentant qu'une variété ou variation a corps moins raccourci et
a dos moins élevé. J'ai devant moi quatre individus, deux du chuatsi de 235" et
340'" et deux du chuantsi de 208'" et 314 " de long, mais je ne puis y
découvrir aucun caractère essentiel qui justifiait leur séparation spécifique.

Fseudosciaena polyactis Blkr. — Tab. 1 fig. 1.

Pseudosciaena corpore oblongo compresso, altitudine 4 eire. in ejus longitudine
absque, 5 eire. in ejus longitudine cum pinna eaudali ; latitudine corporis

6 SUE QÜELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONKUES DE

1^ circ. in ejus altitudine, capite obtusiusculo 3ï eire. in longitudine corporis
absque, 4i eire. in longitudine corporis cum pinna caudali; altitudine capitis
li circ., latitudine capitis 2 eire. in ejus longitudine; oculis oblongiusculis,
diametro 3j> circ. in longitudine capitis, diametro 1 B circ. distantibus ; linea
rostro-frontali rostro convexa fronte convexiuscula ; linea interoculari convexa ;
naribus ante pupillam perforatis, rostro convexo obtusiusculo oculo paulo breviore,
apiee ante pupillae partem inferiorem sito, non ante os prominente, margine
libero incisura et apice poris conspicuis nullis ; maxillis subaequalibus, superiore
inferiore vix breviore, sub oculi margine posteriore desinente, minus quam 2
in longitudine capitis; maxilla inferiore utroque latere symphysin versus poro
parvo conspicuo : dentibus maxillis antice pluriseriatis lateribus pluri-ad biseriatis,
dentibus intermaxillaribus serie vel seriebus internis minimis, serie externa
mediocribus couieis distantibus portrorsum longitudine sensim decrescentibus
anticis subcaninoideis ; dentibus mandibularibus serie vel seriebus externis
minimis, serie interna conicis mediocribus distantibus inaequilougis postrorsum
longitudine accressentibus posterioribus intermaxillaribus serie externa poste-
rioribus non brevioribus symphysin dente curvato subcaninoideo ; rictu valde
obliquo; osse praeorbitali sub medio oculo oculi diametro longitudinali duplo
circ. humiliore ; praeoperculo limbo oculi diametro vix graciliore, margine libero
postice et inferne leviter denticulato ; operculo spinis 2 debilibus non vel vix
pungentibus ; lobo suprascapulari lato conspicue dentato-fimbriato ; linea laterali
parum curvata, singulis squamis tubulo postice valde arborescente notata ;
cauda parte libera aeque longa circ. ac postice alta; squamis capite ex parte
cycloideis, trunco ctenoideis; squamis angulum aperturae brancbialis superiorem
inter et basin pinnae caudalis 60 circ. in linea laterali, supra lineam lateralem
in series 70 circ. infra lineam lateralem in series 60 circ. transversas dispositis;
squamis serie transversa 29 circ. basin pinnae veutralis inter et dorsalem
spinosam, 5 vel 6 circ. lineam lateralem inter et spinas dorsales auteriores et
medias; pinna dorsali partem spinosam inter et radiosam usque ad basin fere
incisa; dorsali spinosa corpore plus duplo humiliore, sat m .Ito longiore
quam alta, spinis gracillimis rigidiusculis 3° et 4° ceteris longioribus capitis
parte postoculari brevioribus ; dorsali radiosa dorsali spinosa triplo circ, longiore
et non vel vix humiliore, basi tantum squamata; pinnis pectoralibus acutis et
caudali romboideo-acuta capite non vel vix brevioribus ; ventralibus acutis
capite absque rostro brevioribus; anali obtusiuscula convexe basi squamata
dorsali radiosa altiore et corpore paulo minus duplo humiliore, longitudine plus
quam 5 in longitudine dorsalis radiosae, spinis gracilibus 2a. oculo breviore
radio ln. triplo circ. breviore; colore corpore superne grisea vel coerulescente-

POISSONS DE CHINE APP ABTEN ANT AU MUSÉUM DE HAMBOUBG. 7

viridi, lateribus et inferne argenteo: iride flavescente, pinnis flavescentibus,

imparibus fusco plus minusve arenatis.

B. 7. D. 9—1/36 vel 9 - 1/37. P. 2 14. v. 1/5. et 2/9 vel 2/w. C. 1/15/1 et

lat. brev.
Hab. China (Shanghai).
Longitudo speciminis unici 280 ' .

Rem. Cette espèce est voisine du Pseudosciaena amblyceps Blkr. d'Amoy
(Ned. T. Dierk. I. p. 143) mais dans 1'amblyceps, décrit sur 6 individus de
126'" jusqu'a 295'", la dorsale n'est soutenue que par 33 rayons, les pectorales
et 1'anale y ont uu rayon de moins et la tête y mesure presque 5 fois dans la
longueur totale. J'y trouve encore Ie museau plus court et muni d'un grand
pore, 55 écailles dans la ligne laterale, 75 rangeés transverses d'écailles au
dessus de la ligne laterale, huif rangées d'écailles entre la ligne laterale et les
épiues dorsales antérieures, etc.

Hemiglyphidodon Blkr.

Dentes: maxillis biseriati, serie externa compressi, incisivi truncati, pharyngeales
minutissimi superiores in thurmas oblongo rotundatas, inferiores in thurmam trans-
versam oblongo-quadratiusculam dispositi. Os pharyngeale inferius quadrangulare
margiue posteriore convexo. Corpus oblongum. Rostrum superne squamatum. Ossa
suborbitalia et praeoperculum scabriuscula, operculum angulo spinula unica. Squa-
mae trunco 28 eire. in serie longitudinali. Pinnae: impares radiis productis nul-
lis, dorsalis spinis 13 et radiis 13 ad 15, parte spinosa parte radiosa plus duplo
longiore membrana inter singulas spinas profunde incisa; analis radiosa dorsalis
radiosa longior, radiis 14 ad 16; caudalis leviter emarginata.

Rem. Le type, établi comme sousgenre de Glyphidodon, mérite une place comme
genre distinct. Les dents aux deux machoires, décrites comme unisériales, sont
en effet bisériales, mais celles de la rangée interne tres grêles, pointues, beaucoup
plus courtes que celles de la rangée externe et intercalées entre ces derniéres, ne
s'observent qu'a 1'aide d'une loupe. La scabrosité des os sousorbitaire et du preo-
percule iudiquent sou affinité avec les Pomacentres, mais le type est éminem-
ment caractérisé par la dentiticn pharyngienne, par 1'os pharyngien inférieur
quadrangulaire a branches latérales très-raccourcies et élévées, par les dents pha-
ryngiennes très-petites et innombrables formant un velours très-fin. Le type a
sa place naturelle a cóté du genre Dischistodus, dont il se distingue par la den-

ö SUR QUELQUES ESPÉÜES 1NEDITES OU PEU OONNUES DE

tion pharyngienne, par la tête plus haute que longue, par 1'écaillure du museau,
et par les échaucrures de la raembrane de la dorsale épineuse. La seule espèce
connue est assez voisine du Dischistodus prosopataenia.

Hemiglyphidodon plagiometopon Blkr. Mém. Pomac. Ind. arch. Ind.
p. II; Atl. Ichth. tab. 410. Pomac. tab. II, fig. 4.

Les deux individus de Chine mésurant 135" et 158"', se distinguent de ceux
de rinsulinde par uu rayon de moins a la dorsale et aux pectorales. Ils ont Ie
préorbitaire fort raboteux, les scabrosités du bord des sousorbitaires et du préo-
percule assez prononcées et la 2e épine auale plus faible.

L'anale molle est uu peu plus longue que la dorsale molle, mais je retrouve
ce caractère aussi dans les individus indo-archipélagiques.

Acanthocepola Blkr. — Tab. 2, fig. 1.

Acanthocepola, corpore elongato vakle corapresso altidunine Ik, eire. in ejus lon-
gitudiue absque, 81 eire. in ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine cor-
poris antice 2 fere iu ejus altitudine, usque ad apicem caudae sensim diminuente;
capite obtuso convexo 11 eire. in longitudine corporis absque, 8^ eire. in longi-
tudine corporis cum pinna caudali ; duplo fere altiore quam lato, paulo longiore
quara alto; oculis diametro 3| eire. in longitudine capitis, diametro | eire. dis-
tantibus ; linea interoculari rectiuscula; rostro convexo oculo plus duplo breviore,
apice ante pupillam sito ; naribus ante mediam pupillam perforatis ; maxillis subae-
quilongis ; superiore usque ante oculum adscendente et sub pupillae parte poste-
riore desinente; dentibus maxillis distanti bus inaequilongis conicis obtusis ca-
ninis vel caninoideis uullis, intermaxillaribus utroque latere 16 eire, mandibula-
ribus utroque latere 10 eire.; rictu vakle obliquo; praeoperculo obtuse rotundato,
limbo sat lato alepidoto, ante limbum squamis in series 9 eire. transversas dispo-
sitis, margine libero superne crenulato, angulo et inferne dentato, dentibus spi-
naeformibus inferioribus distautibus deorsum spectantibus ; operculo superne squa-
mulis deciduis; squamis capite superne nullis, trunco sessilibus non ciliatis sed
margine posteriore libero acutaugulis et medias lateribus praesertim incisuris
tri-ad septem-partitis; seriebus squamarum regularibus, longitudinalibus subhori-
zoutalibus, trausversis obliipiis antrorsum desceudentibus ; squamis angulum aper-
turae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis in series 160 eire.
transversas dispositis; squamis 40 eire, in serie transversa initium pinnae analis

POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG.

inter et pinnam dorsalem ; linae laterali usque sub radio dorsali 4° vel 5» valde
adscendente, porro lineae dorsali maxime approximata ; pinnis imparibus conti-
nuis; pinna dorsali supra angulum operculi incipiente corpore plus duplo humi-
liore postrorsum altitudine sensim accresceute ; pectoralibus obtusis capite absque
rostro brevioribus; ventralibus ante basin pectoralium insertis pectoralibus bre-
vioribus, acutis radio 1° subfiligero; anali sub apice pectoralium et sub radio
dorsali 9° eire. incipiente dorsali paulo humiliore; caudali acuta capite non vel
vix breviore; colore corpore pulchre roseo maculis vel fasciis conspicuis nullis;
iride flavescente; pinnis roseis vel flavescente-roseis, verticalibus fusco vel nigri-
cante marginatis, maculis distinctis nullis.
B. 6. D. 78 + A. 70 f A. 12 = D.A.C. 160 eire. omn. simpl. P. 2/16 apice

fiss. V. 1/5 fiss.
Hab. Cbina.
Longitudo speciminis descripti 145".

Rem. L'espèce tient Ie milieu, par ses formes, entre 1'Acanthocepola abbreviata
et 1' Acanthocepola Krusensterni. Elle est remarquable par les dents obtuses plus
ou moins tronquées ou arrondies aux deux machoires et par la forme des écail-
les, qui ont Ie bord postérieur divisé en trois jusqu'a sept points dont la mé-
diane est toujours la plus forte. L' Acanthocepola Krusensterni a Ie corps plus
allongé (hauteur 10 a 11 fois dans la longueur totale), la tête plus petite (10 a
11 fois dans la longueur totale), les dents acérées et les intermaxillaires plus
nombreuses, Ie bord libre des écailles indivisé, etc. L'oxylepis ne peut pas être
non plus confondu avec Vabbreviata *, oü les dents sont aussi plus longues, plus
pointues et plus nombreuses, les épines préoperculaires plus fortes et les écailles

arrondies.

L'espèce de Chine indiquée par Swainson (Nat. hist. Fish. II. p. 402), sous
Ie nom de Cepola variegata, ne peut pas être non plus l'oxylepis, puisqu'il en
est dit dans la description, du reste trop superficielle, que la forme du corps

* Le Cepola abbreviata CV. est établi sur deux dessins, laisse's par Mertens et Kuhl et Van
Hasselt, et qui probablement ont rapport a deux espèces distinctes, puis qu'il en est dit que les
nombres comptés par Mertens sont = D. 156. A. 76. P. 18; nombres qui sont traduits sur^ le
dessin original de Kuhl et Van Hasselt = D. 72. A. 68. P. 12. - J'entends, sous le nom d ab-
breviata, l'espèce figure'e sous les yeux des derniers naturalistes, et dont je possède uu individu
trop mal conservé et trop mutilé pour permettre une comparaison rigoureuse avec roxylepls. C est
probablement aussi cette espèce publiée par Cantor sous le nom de Cepola abbreviata (Cat. Mal.

Fish. p. 178.)

* 29

NATUDRK. VERH. DEK KO.NINK1, AKADEMIE. DEEL XV UT.

10 SUR QUELQUES ESPÈCES INÉÜITES Oü PEU CONNUES DE

n'y présente pas „d'obvious difFerence from the Cepola rubescens", ce qui fait
penser que cette espèce doit être plus voisine du Cepola Schlegeli que de 1'Acan-
thoeepola abbreviata auquel la rapporte Cantor. Une autre espèce de Chine,
Ie Cepola hungta Rich., n'est connue que par une figure et parait plus voisine
de 1'Acanthocepola Krusensterni Blkr que de 1'oxylepis. Le Cepola abbreviata
Day (Fish. Ind. p. 324 tab. 68 fig. 4) enfin me paraït distinct tant de 1'abbre-
viata CV. que de 1'oxylepis, ayant le corps plus allongé et la tête plus courte *
M. Day en donne la formule des rayons = D. 67—74. P. 19. A. 67—74,
mais ni celle des dents ni celle des écailles et ni aussi la forme des dents et
des écailles.

Il parait que les espèces de la familie des Cépoloïdes sont assez nombreuses.
Celles qu'on trouve dans les auteurs sont généralement encore mal connues, et
les descriptions dressées souvent sur des individus uniques et d'une conservation
imparfaite laissent beaucoup a désirer.

Une révision des espèces sera nécessaire dès qu'on pourra disposer de
matériaux plus nombreux et bien conservés.

Cyclocheilichthys (Cyclocheilichthys) sinensis Blkr Tab. 1 fig. '2.

Cycloch. (Cycloch.) Corpore oblongo compresso, altitudine 3 et paulo in ejus
longitudine absque, 4 eire. in ejus longitudine cum pinna caudali ; latitudine cor-
poris 2| eire. in ejus altitudine; capite acuto 3f eire. in longitudine corporis
absque, 4 j eire. in longitudine corporis cum pinna caudali ; altitudine capitis 1|
eire., latitudine capitis 2 fere in ejus longitudine; linea rostro-dorsali nucham
inter et frontem rectiuscula vel concaviuscula, nucba leviter convexa ; oculis dia-
metro 3? eire. in longitudine capitis, paulo plus diametro 1 distantibus ; diametro
lï eire. in capitis parte postoculari; membrana palpebrali iridis partem externam
tantum tegente; antice et superne quam postice latiore; distantia rostri apicem
inter et nucham 2 in distantia occiput inter et radium dorsalem posticum ; fronte
inter oculos depressiuscula ; rostro conico acutiusculo oeulo breviore vix ante os
prominente; naribus ante pupillae partem superiorem perforatis orbitae multo
magis quam rostri apici approximatis, posteiïoribus anterioribus majoribus valvula

* La discription dit „length of heatl 6 to 7 in the total length", mais la figure représente la
tête beaucoup plus courte et mesurant presque 9 fois dans la longueur totale. La description de
M. Day est prise peut-être sur uue espèce différente de celle qui a servi de modèle a la figure
publiée et qu'on pourrait nommer provisoirement Acanthocepola Dayi.

POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOUEG. 11

subclaudendis; osse praeorbitali oblongo-trigono. minus duplo longiore quam alto,
margine posteriore subverticali convexo, apice acutiusculo antrorsum spectante,
dimidio inferiore crista longitudinali subborizoutali percurso ; osse suborbitali 2°
oblongo-tetragono antice quam postice altiore, duplo eire. longiore quam alto, osse
praeorbitali duplo eire. bumiliore; maxilla superiore maxilla inferiore longiore
verticaliter deorsum valde protractili, vix ante oculum vel sub oculi margine an-
teriore desinente, 3é eire. in longitudine capitis; rictu parum obliquo ; cirris gra-
cilibus supramaxillaribus quam rostralibus longioribus oculo duplo eire. brevio-
ribus; maxilla inferiore symphysi tuberculo conico obtuso; labiis mediocribus
teretibus, transversim rugosis; operculo latitudine 1§ eire. in ejus altitudine, mar-
gine inferiore rectiusculo ; apertura branchiali sub praeoperculi margine posteriore
desinente; dentibus pharyngealibus uncinato-subcochleariformibus 2.3.5/4.3.2, in-
ternis 2 vel 1 serie majore conicis apice acuminatis facie masticatoria concava
nulla ; osse scapulari trigono apice leviter rotundato ; dorso elevato angulato venti'e
altiore; ventre post pinnas ventrales rotundato non cariuato; cauda altitudine
minima plus quam 2 in longitudine capitis ; squamis dimidio libero et vulgo etiam
dimidio basali longitudmaliter striatis, 35 vel 36 in linea laterali, 1 1 in serie
transversa dorsalem inter et ventrales infimis quarum 5 vel b\ supra, 3é infra
lineam lateralem, 10 vel 11 in serie longitudinali occiput inter et pinnam dor-
salem, ventre infiino longitudmaliter triseriatis serie media postrorsum magnitu-
dine sensim accrescentibus posticis iis seriebus lateralibus majoribus linea laterali
vix curvata antice tantum parum declivi vix infra lineam rostro-caudalem descen-
dente, singulis squamis tubulo simplice notata; pinna dorsali supra basin ven-
tralium incipiente acuta emarginata corpore paulo bumiliore, minus duplo altiore
quam basi longa, spina crassa postice dentibus valde conspicuis serrata capite non
longiore 3| eire. in longitudine corporis absque pinna caudali; pectoralibus et
ventralibus acutis subaequilongis capite absque rostro paulo brevioribus, pectora-
libus ventrales subattingentibus, ventrales aualem non attingentibus ; anali acuta
emarginata, dorsali minus duplo bumiliore, duplo eire. altiore quam basi longo
radio simplice tertio gracili basi tantum ossea; pinna caudali basi tantum squa-
mata, profunde incisa lobis acutis capite non brevioribus ? (mutilatis) ; colore cor-
pore superne viridi, iuferne argenteo; iride flavescente; pinnis flavescentibus ;
dorsali superne et caudali postice fusco arenatis.

B. 3. D. 4/8 vel 4/9. P. 1/17. V. 1/9. A. 3/5 vel 3/6. C. 7/17/6 eire,
Hab. China.
Longitudo speciminis descripti 150" eire.

Rem. Cette espèce est fort voisine du Cyclocheilichthys (Cyclocheiliclithys) ar-

29*

12 SÜK QUELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE

matus Blkr mais bien distincte par les cinq rangées longitudinales d'écailles au
dessus de la ligne laterale, par sa tête qui est relativement plus longue, par sa
queue moins haute, etc. C'est la seule espèce du genre, jusqu'ici connue, de Chine.

Pseudogobio rivularis Blkr, Mém. Cyprin. Chin. p. 23 tab. 8 fig. 1.
Syn. Gobio rivularis Bas., Ichth. Chin. bor., Nouv. Mém. Soc. Nat. Mosc. X
p. 231.
Tylognathus sinensis Kner, Zool. Novara Fisch. p. 354 tab. 15 fig. 5.
Pseudogobio sinensis Grünth., Cat. Fish. VII p. 175; Rep. Coll. Fish.
Chin. Ann. n. h. 4h ser. XII p. 247.

Rem. Dans ma description citée il s'est glissé une erreur d'impression, Ie
nombre des écailles y étant donné „ = 55 ou 56" ce qui doit être lu 35 ou 36.
La longueur de 1'individu décrit n'était aussi que de 75"' et non de 175 '" comme
1'a fait 1'imprimeur.

J'ai devant moi un individu parfaitement conservé de 125"' de long. J'y trouve
Ie corps un peu plus haut, la tête et Ie corps couverts par des taches foncées
plus nombreuses et la dorsale plus régulièrement arrondie. On n'y voit plus rien
de la tache caudale noiratre. Ces particularités ont été aussi trouvées sur les
adultes par M. Günther.

Acanthorhodeus taenianalis Günth., Rep. Coll. Fish. China, Ann.
nat. hist. 4me sér. XII p. 247. — Tab. 1 fig. 3.

Acanthorh. corpore subrhomboideo compresso, altitudine 2| eire. in ejus lon-
gitudine absque pinna caudali; latitudine corporis 3h eire. in ejus altitudine;
capite obtuso 4è eire. in longitudine corporis absque pinna caudali; altitudine
capitis 1 et paulo, latitudine capitis 1| fere in ejus longitudine; oculis diametro
3 eire. in longitudine capitis, diametro IJ eire. distantibus, diametro Ij eire.
in capitis parte postoculari ; linea rostro-dorsali rostro truncatiuscula, supra oculos
concava, uucha valde convexa ; linea interoculari convexiuscula ; naribus ante pu-
pillae partem superiorem perforatis posterioribus anterioribus majoribus valvula
claudendis; rostro obtuso truncato, apice ante oculi partem inferiorem sito, oculo
breviore, non ante os prominente, antice verruculoso; osse praeorbitali subpen-
tagono apice sursum spectante angulis antero-inferiore et posteriore rotundatis;
osse suborbitali 2° quadrangulari duplo eire. longiore quam alto; osse suborbi-
tali 3° osse suborbitali 2° multo latiore minus duplo longiore quam alto mar-

POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG. !•>

gine inferiore valde convexo; maxilla superiore vix ante maxillam inferiorem
prominente, mediocriter oblique antrorsum protractili, ante oculum desinente, 4
eire. in longitudine capitis; maxilla inferiore cochleariformi symphysi tuberculo
nullo; rictu parvo obliquo; cirro supramaxillari rudimentario vix conspicuo ; labiis
mediocribus; sulco infralabiali symphysin attingente; operculo laevi multo minus
duplo altiore quam lato, margine inferiore convexo ; dentibus pbaryngealibus uni-
seriatis 5/5 compressis leviter uncinatis margine interno pluricrenulatis ; osse sca-
pulari obtuse rotundato ; dorso elevato angulato ; cauda parte libera paulo lon-
giore quam postice alta; squamis 35 vel 36 in serie longitudinali, 13 in serie
transversa spinam dorsalem inter et pinnam ventralem quarum 6 (50 supra
lineam lateralem, 15 in serie longitudinali occiput inter et pinnam dorsalem;
linea laterali vix curvata singulis squamis tubulo simplice notata; ano medio
piunas ventrales inter et analem perforato; pinna dorsali basi eaudalis triplo
magis quam apici rostri approximata radio postico radiis analibus subposticis
oppositis, spinis medio eire apicem rostri inter et basin eaudalis insertis, basi
2i in longitudine corporis absque pinna caudali, plus duplo longiore quam alta,
corpore triplo eire. humiliore, antice quam postice multo minus duplo altiore,
obtusa, convexa, spinis anteriore rudimentaria, 2a et 3a membrana gracili inter-
media, 2a gracili spina 3a non multo breviore, 3a valida ossea capite absque
rostro non multo breviore; pinnis pectoralibus acutis capite absque rostro non
vel vix brevioribus ventrales non attingentibus ; ventralibus paulo ante dorsalem
insertis, acutiusculis, pectoralibus non brevioribus, analem non attingentibus;
anali sub medio pinnae dorsalis incipiente, capite longiore, dorsali bumiliore,
duplo eire. longiore quam antice alta, acutangula, vix emarginata, spina la ru-
dimentaria occulta, spina 2a gracili spina 3a non multo breviore, spina 3a ossea
valida spina dorsi 3a paulo breviore ; caudali (mutilata) ; colore corpore superne
viridescente, inferne argenteo; iride flavescente; pinnis flavescentibus vel roseo-
hvalinis, imparibus plus minusve fusco arenatis, anali arenam fuscam inter macu-
lis dilutioribus longitudinaliter biseriatis, margine inferiore alba, vitta intramar-
giuali fusca profundiore.
B. 3. D. 3/17 vel 3/18. P. 1/11. V. 2/7. A. 3/14 vel 3/15. C. 1/17/1 et

lat. brev.
Hab Sliangai.
Longitudo speciminis unici absque pinna caudali (?).

Rem. Cette espèce est voisine, par la formule de 1'écaillure et de la nageoire
dorsale, de l'Acanthorhodeus macropterus Blkr, mais Ie dernier est bien distinct
par Ie profil rostro-nuchal qui n'est point concave, par Ie museau non tronqué,

14 SUR QUELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE

par la forme moins raccourcie du tronc, par la tête relativement plus petite, par
deux rayons de moins a 1'anale, et deux de plus aux pectorales, etc.

Le taenianalis est remarquable par la membrane entre la 2e et 3e épines dor-
sales, qui, bien que peu large, permet la divergence des épines.

Salmo (Sa lm o) leptosoma. — Tab. 2, fig. 3.

Salm. (Salni.) Corpore subelongato compresso, altitudine 5 eire. in ejus longi-
tudine absque, 5| eire. in ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine corpo-
ris 2| eire. in ejus altitudine; capite compresso 4| eire. in longitudine corporis
absque, 5 et paulo in longitudine corporis cum pinna caudali ; altitudine capitis
li eire, latitudine capitis 2| eire. in ejus longitudine; oculis diametro 41 eire.
in capitis parte postoculari, diametro 1 ' eire. distantibus ; carina rostro-occipitali
conspicua ; linea rostro-dorsali nucba et rostro convexa fronte et vertice rectius-
cula ; linea mandibulo-ventrali rectiuscula ; linea interoculari convexa ; naribus
ante pupillam perforatis subaeguimagnis ; rostro oculo non longiore apice non
emarginato ante oculi partem inferiorem sito convexo obtusiusculo ; maxillis aequi-
longis non hamatis, superiore sub oculi margine posteriore desinente, 2 et paulo
in longitudine capitis; osse supramaxillari quadruplo eire. longiore quam lato
postice oblique ovatim rotundato; dentibus mediocribus, intermaxillaribus utroque
latere 4 yel 5 postrorsum longitudine paulo accreseentibus, supramaxillaribus pos-
terioribus quam anterioribus majoribus mediis quam ceteris brevioribus, mandi-
bularibus inaequilongis anterioribus quam ceteris majoribus et magis distantibus ;
vomere capite brevissimo latiore quam longo bidentato, corpore dentibus irregu-
lariter subbiseriatis ; dentibus palatinis postrorsum longitudine vix decrescentibus,
utroque latere 15 eire. ; dentibus lingualibus utroque latere 3 distantibus sub-
aequimagnis curvatis ; dentibus basi linguae nullis ; dentibus pharyngealibus pau-
ciseriatis conicis acutis curvatis ossibus suborbitalibus posterrioribus oculi dia-
metro paulo gracilioribus ; praeoperculo irregulariter sublunariter rotundato, limbo
inferiore conspieuo nullo; operculo latitudine maxima 1| eire. in ejus altitudine,
angulo posteriore angulo suboperculi antero-inferiori quam angulo operculi supe-
riore propiore; suboperculo vix post operculum prominente triplo eire. longiore
quam alto; squamis caudalibus squamis medio lateribus paulo majoribus; squa-
mis angulum aperturae branchialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra
lineam lateralem in series 135 eire. infra lineam lateralem in series 120 eire.
transversas dispositis ; squamis serie transversa 40 eire. pinnam dorsalem inter et
ventrales, 20 eire. initium pinnae dorsalis inter et lineam lateralem, 10 eire. dor-

POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOURG. 15

sum caudae mox post adiposam inter et lineam lateralem ; squamis 65 eire. in
serie longitudine occiput inter et pinnam dorsalem; linea laterali recta singulis
squamis tubulo simplice notata ; cauda parte libera duplo fere longiore quam pos-
tice alta; pinna dorsali radiosa medio oculi marginem anteriorem inter et basin
pinnae caudalis posita, radio 1° apici rostri quam basi caudalis, adiposae autem
quam apice rostri propiore, paulo altiore quam longa, capitis parte postoculari
paulo breviore, acuta, vix emarginata; dorsali adiposa post analem inserta, plus
capitis longitudine a dorsali radiosa remota multo altiore quam basi longa;
pectoralibus et ventralibus acutis, pectoralibus capitis parte postoculari paulo lon-
gioribus apice totae pinnae longitudinis a ventralibus remotis ; ventralibus mox
post medium dorsalis radiosae insertis capitis parte postoculari non longioribus,
apice anali quam earum basi propioribus ; anali dorsali radiosa paulo breviore sed
non humiliore, altiore quam longa, acuta, emarginata ; caudali capite absque rostro
non breviore, radiis mediis quam angulaiïbus duplo fere brevioribus, extensa la-
tiore quam longa leviter emarginata angulis acuta ; colore superne chalybeo-
viridi vel fuscescente-viridi, inferne argenteo maculis nullis ; iride flavescente-
aurea ; pinnis dilute violascentibus fusco plus-minusve dense arenatis ; dorsali
radiosa membrana maculis aliquot sparsis profundioribus.

B. 11. D. 3/10 vel 3/11. P. 1/12. V. 2/8. A. 3/8 vel 3'9. C, 1/17/1 et lat. brev.
Hab. China.
Longitudo speciminis descripti 345'".

Rem. Je ne retrouve pas cette espèce dans les auteurs. Elle appartient au
groupe a 120 a 140 rangées transversales d'écailles, a une vingtaine de rangées
d'écailles entre la première dorsale et la ligne laterale et a 10 a 12 de ces ran-
gées entre la base postérieure et la ligne laterale. Elle se fait remarquer par la
forme très-comprimée du tronc et de la tête, par la forme convexe du museau
et par son profil inférieur presque droit, et sa diagnose est facilitée par les pro-
portions de la tête, de la machoire supérieure, de 1'opercule et du sousopercule,
des pectorales, de la dorsale et de 1'anale, etc.

Salmo (Sahno) pomatops Blkr. — Tab. 2 fig 2.

Salm. (Salm.) corpore subelongato compresso, altitudine 4^ eire. in ejus lon-
gitudine absque, 5'3 eire. in ejus longitudine cum pinna caudali; latitudine cor-
poris 2 et paulo in ejus altitudine ; capite compresso, 4 et paulo in longitudine
corporis absque, 5 et paulo in longitudine corporis cum pinna caudali ; altitudine
capitis 1] eire, latitudine capitis 2\ ad 2\ in ejus longitudine; oculis diametro

16 SUR QUELQUES ESPÈCES INÉDITES OU PEU CONNUES DE

3| in longitudine capitis, 2 eire. iii capitis parte postoculari, diametro 1 iere
distantibus ; carina rostro-oecipitali nulla ; linea rostro-dorsali nucha, fronte et
rostro convexa vertice tantum rectiuscula; linea mandibulo-ventrali convexa;
linea interoculari rectiuscula; naribus ante pupillam perforatis subaequimagnis;
rostro oculo breviore apice non emarginato ante oculi partem inferiorem sito,
convexo obtusiusculo ; maxillis non hamatis, superiore inferiore paulo longiore,
ante oeuli marginem posteriorem desinente, 2£ eire. in longitudine eapitis; osse
supramaxillari minus triplo longiore quam lato, postice obtuse rotundato; den-
tibus mediocribus, intermaxillaribus utroque latere 6 vel 7 postrorsum longitu-
dine paulo aecrescentibus, supramaxillaribus posterioribus quam anterioribus paulo
majoribus mediis quam eeteris brevioribus, mandibularibus inaequilongis anterio-
ribus quam eeteris majoribus et magis distantibus ; vomere capite brevissimo la-
tiore quam longo, corpore dentibus irregulariter subbiseriatis ; dentibus palatinis
utroque latere plus quam 20 anterioribus subbiseriatis ; dentibus lingualibus utro-
que latere 3 distantibus subaequimagnis curvatis ; dentibus basi linguae nullis ;
ossibus suborbitalibus posterioribus oculi diametro duplo eire. gracilioribus ; prae-
operculo regulariter obtuse rotundato, limbo inferiore conspicuo; operculo latitu-
dine maxima 1 et paulo tantum in ejus altitudine, angulo posteriore ab angulo
ejus superiore et ab angulo suboperculi antero-inferiore aequidistante ; suboperculo
post operculum prominente triplo fere longiore quam alto ; squamis caudalibus
squamis mediis lateribus vix majoribus ; squamis angulum aperturae branchialis
superiorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam lateralem in series 140
infra lineam lateralem in series 130 eire. transversas dispositis; squamis serie
transversa 43 eire. pinnam dorsalem inter et ventrales, 22 eire. initium piDnae
dorsalis inter lineam lateralem, 10 vel 11 dorsum caudae mox post adiposam
inter et lineam lateralem ; squamis 70 eire. in serie longitudinali occiput inter
et pinnam dorsalem; linea laterali vix curvata singulis squamis tubulo simplice
notata; cauda parte libera multo minus duplo longiore quam postice alta; pin na
dorsali radiosa medio oeuli marginem anteriorem inter et basin pinnae caudalis
posita, radio 1° apici rostri quam basi caudalis adiposae quam apici rostri
propiore, paulo altiore quam longa, eapitis parte postoculari non breviore, acuta,
leviter emarginata ; dorsali adiposa post analem inserta multo altiore quam basi
longa; pectoralibus acutis capite absque rostro paulo longioribus apice multo
minus totius pinnae longitudinis a ventralibus remoto; ventralibus acutiuscule
rotundatis sub radiis dorsalibus posticis insertis capitis parte postoculari vix lon-
gioribus apice anali quam earum basi duplo eire. propioribus; anali dorsali ra-
diosa breviore et huniiliore, altiore quam longa, acuta, emarginata; eaudali capite
absque rostro non breviore, sat profunde emarginata lobis acutis, radiis mediis

POISSONS DE CHINE APPARTENANT AU MUSÉUM DE HAMBOUEG. 17

quam radiis angularibus duplo eire. brevioribus ; colore corpore superne ehalybeo

viridi inferne argenteo ; iride flavescente, margine orbitali fusca ; operculo angu-

lum posteriorem versus macula rotuuda fusca; trunco maculis conspicuis nullis;

piunis flavescentibus vel aurantiacis, imparibus fusco plus ruinusve arenatis, dor-

sali radiosa dimidio inferiore maculis parcis fuscis biseriatis, caudali postice le-

viter fusco emarginata.

B. 11 vel 12. D. 3/9 vel 3/10. P. 1/13. V. 2/8. A. 3/8 vel 3/9. C. 1/17/1 et lat. brev.

Hab. China?

Longitudo speciminis descripti 160".

Rem. Cette espèce aussi me parait inédite. Elle appartient au même groupe
que la précédente, présentant les mêmes formes et environ la même formule des
écailles, qui cependant sont un peu plus nombreuses. L'individu décrit ne mesu-
rant en longueur que presque la moitié de celle de celui du leptosoma, plusieure
différences peut-être ne tiennent qu'a 1'age. Il est a noter cependant que dans
Ie pomatops Ie corps est plus trapu et moins comprimé, les yeux plus grands,
la machoire supérieure plus courte, Ie maxillaire plus large, les postorbitaires
moins larges, 1'opercule plus large, les ventrales implantées plus en arrière
sous la dorsale, la caudale beaucoup plus échancrée, etc. J'y trouve encore un
rayon de moins a la dorsale et un de plus aux pectorales, et une tache ronde
et brune vers 1'angle postérieur de 1'opercule, tache qui pourrait bien être carac-
téristique pour 1'espèce. Je trouve cette tache sur une figure (Notes on Some Fig.
of Japanese Fishes, Jap. exped. tab. 10 fig. 3) publiée par M. Brevoort sous Ie
nom de Salmo leucomaenis, mais qui doit être fort différent du leucomaenis de
Pallas, au-moins si Ie poisson rapporté par M. Günther a cette espèce (Cat. Fish.
VI p. 145 fig. capit.) est en effet identique avec 1'espèce de Pallas. Je trouve
cependant tant de différences entre la figure publiée par Brevoort et l'individu
décrit ci-dessus, que si au-moins la figure est un peu exacte, elle ne peut pas
représenter 1'espèce actuelle. J'y trouve Ie corps plus allongé, la tête plus petite,
la machoire supérieure plus longue, les yeux plus petits, la première dorsale im-
plantée plus en avant et convexe, les ventrales insérées sous Ie milieu de la pre-
mière dorsale, etc.

Le poisson faisait partie d'un envoi de poissons de Chine, mais il n'y est pas
indiqué positivement, que la Chine est sa véritable patrie.

La Haye, Nov.-Déc. 1877.

30
Satüürk. veeh. dek koninkl. akademje. ueel XVIII.

BLEEKER, POISS(

Fia.1.

ly e.

E Bii'

7~ y /

VE.RHAND. KON. AKAD. DE

111. hl Kin. l'OIS.SOXS DE l II I N I .

.H, |

' '

'

-v.. -/, f--

.-■-..'■■ '

HK

-■'■,:-

§31

%//■ aWL'.

VIRHAND.

■4#fr/'-J- o///:~ >v : C/< /, ,/„//t,-////M,'/y, /.,*,,;„/,//,</.. , //,/,/'."'.;■ /'///■

"/ '/'

■/,</..

BLEEKER, POISSCöTS DE

Fm /

. Fit/ l '!.

'""■ a

■JM

RBleeto dir

VERMAND. KON. AKAD. DEEL XVII

KEK POISSUXS D! I MINI-,

Tab II

m

:;.■ ■

N

/.

'

»,«.'.■/ «v.-

.

-

■

■ ■ ■

/■„„//,.,,/>,/„, ,;//,/„.,. ///Ss-, /., g . /,/,„,. /„.„/„/ytj, ////,■ ■'. , /, /,/„,,- /pf/,vr/ss« . %//,:

VE.RHAND. KON AKAD DEEL XVIII

ENUMERATION

DES ESPECES DE POISSONS ACTUELLEMENT

CONNUES DU JAPON

ET DESCKIPTION DE TROIS ESPECES INEDITES.

PAR

P. BLEEEEB,

L'énumératicra suivante est Ie résultat d'uii recensement nouveau des espèces
euregistrées jusqu'ici comme appartenant a la faune ichthyologique du Japon.

Dans la liste, publiée en 1860*, Ie nombre des espèces de poissons du Japon
fut porté a 461, ou, abstraction faite de celles reconnues depuis n'étre que des
doubles emplois, a 447. Depuis cette époque plusieurs auteurs, Kaup, Kner et
MM. Gill, Brevoort, Steindachner et Günther, ont fait connaitre beaucoup d'autres
espèces du Japon. Moi-même aussi j'ai pu y ajouter quelques unes, et tout
ï'écemment encore je trouvai quelques espèces nouvelles pour la même faune
parmi les poissons, dont rAdministration du Musée Zoologique de Hambourg a
bien voulu me confier la détermination f. Par toutes ces recherches des derniers
temps, Ie chiffre total des espèces actuellement connues de 1'empire du Japon

* Zesde bijdrage tot de kennis der ichthyologische fauna van Japan iu Act. Soe. Scieut. Intl.
Neerl. VII.

| Les espèces japonaises trouvéss dans 1'envoi du dit Muséum sont au nombre de 13, dont. six
sont nouvelles pour la faune du Japon et trois inédites. La description et la iigure de ces trois
espèces font partie de eet article.

81

NATUTRK. VKRH. DER KONJNKI-. AKADEMIE, DEEL XVIII.

2 ÉNUMÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

monte a presque 550. J'aurais pu augmenter encore ce nombre en y comptant
plusieurs espèces, figurées dans 1'ouvrage japonais de Kurimoto * intitulé Kwoo-wa
gio-bu (Description des poissons de 1'illustre Japon) dont je ne connais que la
première partie qui traite des poissons d'eau douce, mais bien que j'aie pu y
reconnaitre plus de vingt espèces, ce qui indique que leurs figures méritent
quelque confiance, j'y trouve une trentaine d'autres, fort imparfaitement repré-
sentées dont la détermination rigoureuse n'est pas possible et que par conséquent
il serait hasardé d'introduire dans la science.

La liste suivante énumère les espèces sous les dénominations que j'ai cru
adopter comme conformes a 1'état actuel de la science, et je n'y ai ajouté que
les synonymes sous lesquels elles figurent dans les ouvrages et les mémoires
publiés sur Ie même sujet. Des espèces saus indication d'habitat la localité japo-
naise n'a pas été notée par les auteurs.

La connaissance de la distribution des espèces dans l'empire Japonais laisse
encore beaucoup a désirer, et d'un grand nombre on ne connait ni la localité pré-
cise ni même 1'ile. On sait cependant que les cötes de la partie septentrionale
de Nippon et celles de Jezo nourrissent beaucoup d'espèces qui n'habitent pas
les latitudes méridionales de l'empire et qui appartiennent a des genres et même
a des families qui nc se retrouvent pas sur les cötes de Sikok et de Kiusiu,
dont la faune icbtbyologique marine porte encore une empreinte tropique fort
prononcée. Les parties méridionales de l'empire sont beaucoup mieux connues que
ses latitudes boréales, et bien qu'il n'y aurait pas lieu de s'étonner si les re-
cherches ultérieures aux différentes iles tripleraient Ie nombre des espèces con-
nues, il est probable qu'on trouvera les formes nouvelles les plus nombreuses
et les plus remarquables k Nippon et a Jezo.

* Cité clans la „Neuvième notice sur la faune ichthyologïque du Japon, Versl. Kon Ak. Wet.
Afd. Natuurk., 2de Rks, III, p. 237—252." Je dois a M. Ie professeur J. Hoffmann a Leide,
une traduction de eet ouvrage. Les descriptions n'out aucune valeur réelle et ne peuvent pas aider
a faire reconnaitre les espèces figurées, mats elles en indiquent les noms japonais, les localités et
les usages. J'apprends par cette traduction que 1'espèce d'Ophiocephalus, cité dans la notice susdite,
n'habite pas les iles du Japon et que Kurimoto n'en avait vu que quelques individu» rapportés
vivants de Chine.

CONNUES DU JAPON ET DESCEIPÏION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES.

SPECIES PISCIUM JAPONICAE HUCUSQUE COGNITAE.

Carcharioidei.

1. Cynocephalus (Prionace) japonicus Blkr = Carcharias (Priouodon) japoni-

cus Schl.

2. „ ( » ) melanopterus Blkr = Carcharias melanopterus QG.—

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

3. Triakis scyllium MH. -- Hab. Sikok (Simoda).

4. Mustelus manazo Blkr = Mustelus vulgaris Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

5. Galeus japonicus MH.

6. Cestracion malleus Grill. = Zygaena malleus Risso. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Scyllioidei.

7. Scyllium Bürgeri MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

8. Crossorhinus barbatus MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Lamuoidei.

9. Oxyrhiua glauca MH.

10. Isurus cornubicus Gr. = Lamna cornubiea Fleru.

Heterodontoidci.

11. Heterodontus zebra Gr. = Cestracion Philippi MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ;
Sikok (Simoda).

Notidanoidei.

12. Heptanchus indicus MH.

Spliiacoidei.

13. Spinax acanthias Flem. = Acanthias vulgaris Risso. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

14. Ceutrophorus squamulosus Günth. — Hab. Inosima.

15. „ foliaceus Günth. — Hab. Inosima.

Squatinoidei.

16. Rhina japonica Blkr = Squatina japonica Blkr = Squatina vulgaris Schl. —
Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Prisüophoroidei.

17. Pristiophorus serratus MH. = Pristiophorus cirratus MH. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki).

4 ËNUMÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

Rhinobatidoidei.

18. Rhynchobatus rljeddensis Cant. = Rhynchobatus laevis MH.

19. Rhinobatus (Syrrhina) annulatus MH. = Rhinobatus (Syrrhina) polyophthal-

mus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

20. „ (Rhinobatus) Sehlegelii MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Torpedinoitlci.

21. Narcine tinilei MH.

22. Astrape japonica Schl. = Torpedo (Astrape) japonica Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

Bajoiilci.

23. Dasybatis kenojei Blkr = Raja kenojei Burg. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

24. „ Meerdervoorti Blkr = Raja Meerdervoortii Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

25. „ isotrachys Blkr = Raja isotrachys Günth. — - Hab. Japonia me-
ridionalis.

Trygonoidei.

26. Leiobatus akajei Blkr = Trygon akajei MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

27. „ Kukli Blkr = Trygon Kukli MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

28. „ Zugei Blkr = Trygon zugei MH. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

29. „ nuda Blkr = Trygon nuda Gunth. — Hab. Japonia.

30. Urolophus cruciatus Gunth = Urolophus aurantiacus MH.

31. Platyrhina sinensis MH.

32. Pteroplatea japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Myliobatidoidei.

33. Myliobatis tobijei Blkr = Myliobatis aquila Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

34. Dicerobatis japonica Blkr = Cephaloptera japonica MH.

Chimaeroidei.

35. Chimaera monstrosa L. — Hab. Goto, Jezo.

Scaroidei.

36. Pseudoscarus ovifrons Blkr = Scarus ovifrons Schl. — Hab. Kiusiu (Naga-
saki) ; Nippon (Jedo).

37. Callyodon japonicus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Labroidei.

38. Cirrhilabrus Temminckii Schl. = Cirrhilabrus Schl.

CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPECES INEDITES. O

39. Duymaeria japonica Blkr. = Crenilabrus flagellifer Schl.

40. „ spilogaster Blkr = Crenilabrus spilogaster Blkr. — Hab.
Kiusiu (Nagasaki).

41. Novaeula dea Blkr = Xyrichthys dea Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

42. Cheilio inermis Rich? = Cheilio ramosus Jen. — Hab. Lew-Chew.

43. Pseudolabrus rubiginosus Blkr = Labrus rubiginosus Schl.

44. Hemigymnus fasciatus Günth. = Tautoga fasciata Cv. — Hab. Japonia ?

45. Gompherus fuscus Val. — Hab. Lew-Chew.

46. Julis cupido Schl.

47. „ quadricolor Less. — Hab. Sikok (Simoda).

48. „ lunaris Val. = Julis lutescens Brev. — Hab. Napha, Lew-Chew.

49. Platyglossus (Parajulis) poecilopterus Blkr = Julis poecilopterus Schl. =
Halichoeres poecilopterus Blkr - - Hab. Kiusiu (Simabara).

50. Platyglossus (Parajulis) pyrrhogramma Blkr = Julis pyrrhogramma Schl. =
Halichoeres pyrrhogramma Blkr.

51. Harpe oxycephalus Blkr = Cossyphus oxycephalus Blkr.

52. Semicossyphus reticulatus Schl. = Cossyphus reticulatus Cv. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki).

53. Choerops japonicus Blkr = Cossyphus japonicus Blkr = Labrus japonicus Cv.
— Hab. Kiusiu (Nagasaki).

54. Choerops anchorago Pet. = Choerops macrodon Blkr.

Percoidei.

55. Priacanthus benmebari Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

56. „ dubius Schl.

57. „ japonicus Schl.

58. Pseudopriaeanthus niphonius Blkr = Priacanthus niphonius Cv. — Hab
Kiusiu (Nagasaki ; Nippon (Jedo).

59. Caprodon Schlegeli Blkr = Caprodon Schl.

60. Glaucosoma Bürgeri Rich.

61. Siniperca chuatsi Gill = Plectroperca Berendti Pet.

62. Aulacocephalus Temmincki Blkr = Aulacocephalus Schl

63. Centropristes hirundinaceus Cv. - - Hab. Kiusiu (Nagasaki).

64. Epinephelus aka-ava Blkr. = Serranus aka-ava Schl. — Hab. Kiusiu (Naga-

saki) ; Nippon (Osaka).

65. „ ura Blkr = Serranus ura Cv? = Serranus ara Schl.

66. „ areolatus Blkr = Serranus areolatus japonicus Schl.

i,7. awoara Blkr = Serranus awoara Schl. — Hab. Japonia ; Lew Chew.

6 ÉNUMÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

68. Epinephelus dermopterus Blkr = Serranus dermopterus Schl.

69. „ diacanthus Blkr = Serranus diacanthus Cv = Serranus tri-

maculatus Blkr (nee Cv) — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

70. „ epistictus Blkr = Serranus epistictus Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

71. „ ? Kawamebari Blkr = Serranus Kawamebari Schl.

72. „ fasciatus Blkr = Serranus margïnalis Cv. — Hab. Sikok (Simoda).

73. „ latifasciatus Blkr = Serranus latifasciatus Schl.

74. „ nebulosus Blkr = Serranus moara Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

75. n poecilonotus Blkr = Serranus poecilonotus Schl. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

76. „ semipunctatus Blkr = Serranus semipunctatus Cv = Perca

septemfasciata Thunb. ?

77. n susuki Blkr = Plectropoma susuki Cv = Serranus octocinetus

Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Susuki).

78. „ fasciato-maculatus Pet. = Serranus trimaculatus Cv = Epine-

phelus japonicus Krus. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

79. „ triremenara Blkr = Serranus tiïremenara Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki); Bonin ins. Prst Lloyd).

80. „ urodelus Blkr = Serranus urodelus Cv. — Hab. Lew-Cbcw.

81. Paracanthistius leopardinus Blkr = Plectropoma leopardinum Cv.

82. Diploprion bifasciatum K. Y. H. — Hab. Kiusiu (Nagasaki, Simabara).

83. Amia lineata Blkr = Apogon lineatus Schl.

84. „ nigripinnis Blkr = Apogon nigripinnis Schl.

85. „ fasciata Gill. = Apogon novemfesciatus Cv.

86. ,, Schlegeli Blkr = Apogon novemfasciatus Schl. (nee Cv.)

87. „ serailineata Blkr = Apogon seniilineatus Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

88. „ quadrifasciata Blkr = Apogon quadrifasciatus Cv. - - Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

89. „ carinata Blkr = Apogon carinatus Schl. = Apogonichthys carinatus

Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

90. „ glaga Blkr = Apogon et Apogonichthys glaga Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

91. Acropoma apogonoides Blkr = Acropoma Schl.

92. Lateolabrax japonicus Blkr = Labrax japonicus Cv. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki) ; Sikok (Simoda).

93. Niphon spinosus Cv. — Hab. Jesso (Jeso).

CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TBOIS ESPÈCES INÉDITES. 7

94. Therapon (Datuia) oxyrhyuchus Blkr = Therapon oxyrhynchus Schl. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki; Sikok (Simoda).

95. n (Pelates) quadrilineatus Blkr = Pelates quadriliueatus Cv

96. Histiopterus acutirostris Schl.

97. „ typus Schl.

98. Hapalogenys maculatus Rich. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

99. nigripinnis Rich. = Pogonias nigripinnis Schl. Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

100. Plectorhynchus cinctus Blkr = Diagramma cinctum Schl. --Hab. Kiusiu

(Nagasaki); Sikok (Simoda).

101. „ pictus Blkr ■= Diagramma punctatum Cv = Diagramma

poecilopterus Cv. -- Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Jedo).

102. „ pertusus Blkr = Perca pertusa Thuub. = Diagramma

Thuubergii Cv.

103. Parapristipoma trilineatum Blkr = Perca trilineata Thumb. = Pristipoma

japonicum Cv = Diagramma japonicum Blkr. — Hab.
Kiusiu (Nagasaki).

104. Etelis oculatus Blkr = Serranus oculatus Cv = Blastoma oculatum Swns.

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

105. Aprion Sieboldi Blkr - Chaetopterus Sieboldi Blkr.

106. Lutjanus christat Blkr = Mesopriou aumüaris Cv. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

107. „ bengalensis Blkr = Diacope octoliueata Cv Schl. Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

108. „ malabaricus Blkr = Diacope Calveti Cv. Schl. — Hab. Japonica.

109. „ sparus Blkr = Mesopriou sparus Schl.

110. „ Russelli Blkr = Mesopriou Russelli Blkr. Hab. Kiusiu

(Nagasaki).
Hl. vitta Blkr = Diacope vitta Schl. = Mesopriou Ophuijsenii

Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

112. Baujos typus Blkr = Auoplus banjos Rich. = Auoplus Schl.

113. Syuagris hypselosoma Blkr = Deutex hypselosoma Blkr. - Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

114. „ Thuubergii Blkr == Dentex Thuubergii Cv.

115. Gymnocranius griseus Blkr = Deutex griseus Schl. Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

116. Deutex sinensis Blkr - Deutex setigcrus Cv. - - Hab. Kiusiu (Nagasaki).

117. Latilus argentatus Cv. - Hab. Kiusiu (Nagasaki).

8 ÉNUMÉEATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

118. Scolopsis kurita CV.

119. „ inermis Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

120. Lethrinus choerorhynchus CV. — Hab. Japonia?

121. „ Güntheri Blkr — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

122. „ haematopterus Scbl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Lew-Chew.

123. „ nematacanthus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

124. Sparus aries Blkr = Chrysophrys aries Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki.)

125. „ cardiualis Blkr = Chrysophrys cardinalis CV. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

126. „ major Blkr = Chrysophrys major Schl.

127. „ Schlegeli Blkr = Chrysophris Schlegeli Blkr ex parte. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

128. „ datnia Blkr = Chrysophris Schlegeli Blkr. ex parte. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

129. „ tumifrous Blkr •= Chrysophrys tumifrons Schl.

130. Emmelichthys Schlegelii Rich = Erythrichthys Schl.

131. Hoplegnathus fasciatus Rich. = Scarodon fasciatus Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki) ; Sikok (Simoda) ; Nippou (Kaminoseki).

132. „ punctatus Rich. = Karodon punctatus Schl.

133. Diapterus equula Blkr = Gerres equula Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

134. „ japonieus Blkr = Gerres japonicus Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

Embiotocoidei.

135. Ditrema Temmincki Blkr = Ditrema Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki);

Jesso (Hakodadi).

Chaetodontoidei.

136. Pimelepterus cinerascens Day = Pimelepterus indicus K. V. H.

137. Girella melanichthys Blkr = Melanichthys Schl. = Melanichthys crenidens

Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

138. Microcanthus strigatus Swus. = Chaetodon strigatus Laupd. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki); Nippou (Kaminoseki).

139. Atypichthys strigatus Günth. = Helotosoma servus Kp.

140. Caeriosoma Sieboldi Kp. = Caeriosoma Kp.

141. Taurichthys macrolepidotus Blkr = Heniochus macrolepidotus CV. — Hal».
Kiusiu (Nagasaki) ; Lew-chew.

142. Tetragonopterus (Tetragonopterus) aureus Blkr = Chaetodon aureus Schl.

(nee BI.) — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

CONNUES DU JAPON ET DESCEIPTION DE TEOIS ESPÈCES INÉDITES.

143. Tetragonoptrus (Linophora) auriga Blkr = Chaetodon nesogallicus Cv. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

144. „ (Rabdophorus) modestus Blkr = Chaetodon modestus Schl. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Kaminoseki).

145. Chaetodoutoplus septentrionalis Blkr = Holacanthus septentrionalis Schl, —
Hab. Kiusius (Nagasaki).

146. Platax teira Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

147. „ vespertilio Cv.

Hypsinotoidei.

148. Hypsinotus beuhatatate Blkr = Hypsinotus Schl. — Hab. Kiusiu (Omura).

Pempheridoidei.

149. Pempheris moluca Cv.

150. Parapriacanthus Ransonneti Stend. - - Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Cirrhiteoidei.

151. Cirrhitichthys aureus Blkr = Cirrhites aureus Schl.— Hab. Kiusiu (Nagasaki).

152. Cheilodactylus (Goniistius) zonatus Blkr = Cheilodactylus zonatus Cv. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

153. „ ( „ ) quadricornis Blkr = Cheilodactylus quadricor-

nis Günth.

Sciaenoidei.

154. Pseudosciaena ? japonica Schl. = Sciaena japonica Schl.

155. „ Schlegeli Blkr = Corvina sina Schl. (nee Cv.) — Hab.

Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Jedo).

156. „ cuja Blkr = Corvina cuja Cv.

157. „ (Bairdiella) acanthodes Blkr. Mus. Hamburg.

Sillaginoidei.

158. Sillago japonica Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Scombropiformes.

159. Scombrops cheilodipteroides Blkr = Scombrops Schl.— Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Mulloidei.

160. Upeneus dubius Rich. = Mullus dubius Schl.

161. „ bensasi Rich. = Mullus bensasi Schl. = Upeneoides bensasi Blkr. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

32

NATDURK. VERH. DER KOXINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

10 ÉNUMÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

162. Upeneas subvittatus Blkr = Mullus subvittatus Sclü = Upeneoides sub-

vittatus Blkr.

163. „ sulphureus Cv. = Upeneoides sulphureus Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).
.164. „ vittatusCv. = Upeneoides vittatus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

165. Mulloides japonicus Blkr = Upeneus japonicus Cv.

166. „ pinnivittatus Steind.

167. Upeneichthys ? cbrysopleuron Blkr Mullus cbrysopleuron Scbl. — Hab.
Kiusiu (Nagasaki).

168. Parupeneus pleurospilus Blkr = Upeneus pleurospilos Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

169. „ spilurus Blkr = Upeneus spilurus Blkr.— Hab. Kiusiu (Nagasaki).

170. „ indicus Blkr = Upeneus Kusselli Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

I's, udockromidoidei.

171. Cichlops cyclopbtbalmus M.Tr. = Cichlops japonicus Grill.

Pomacentroidd.

172. Prochilus polymnus Blkr = Amphiprion japonicus Scbl. = Amphiprion

chrysargyrus Bieb. = Amphiprion chrysopterus Cv.

173. „ frenatus Blkr = Amphiprion frenatus Brev. = Prochilus ma-

crostoma Blkr?? — Hab. Lew-chew.
17-1 Pomacentrus (Pseudopomacentrus) trilineatus Blkr? = Pomaceutrus dorsa-
lis Gill.

175. Glyphidodon (Amblyglyphidodon) trifasciatus Blkr = Glyphidodon smaragdi-

nus Brev. — Hab. Lew-chew.

176. „ (Glyphidodon) coelestinus Cv.

177. Paraglyphidodon melas Blkr? = Glyphisodon violaceus Brev. — Hab.
Lew-chew.

178. Chromis notatus Blkr = Heliases notatus Schl.

Berycoidei.

179. Holocentrum rubrum Rüpp = Holocentrum albo-rubrum Lac.

180. „ spinosissimum Schl. — Hab. Japonia ; Lew-Chew.

181. Myripristis japonicus Cv. = Ostichthys aureus Lacep. d. ap. Cv. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

Monocentrioidei.
L82 Monocentris japonicus BI. Schn. = Gasterosteus japonicus Houtt. =

CONNUES DU JAPON ET DESCEIPTION DE TR0I8 ESPÈCES INÉDIÏES. 11

Scinaena japonica Thunb. == Monocentris carinata Cv. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki) ; Sikok (Simoda) ; Nippon (Kaminoseki}.

Cottoidei.

183. Cottus pollux Gimth. — Hab. Japonia (Otarranai).

184. Centridermichthys japonicus Steind. - - Hab. Kiusiu (Nagasaki).

185. „ iutermedius Gir. == Cottus intermedius Scbl. — Hab.

Jesso (Jeso).

186. „ unciuatus Ger. = Cottus uncinatus Scbl.

187. Hemilepidotus Tilesii Cv. = Cottus hemilepidotus Tiles. - - Hab. Kuril,

Sagalien.

188. Pseudoblennius anahaze Blkr Pseudoblenuius pseudoclinus Scbl. =
Pseudoblennius percoides Gimth. — Hab. Kiusiu (Omura).

Chiroidei.

189. Agrammus Schlegelii Gimth. --= Labrax agrammus Schl. = Chirus agram-

mus Rich.

190. Chirus hexagrammus Cv. = Labrax hexagrammus Pall. - Hab. Kiusiu
(Nagasaki) ; Nippon (Jedo).

191. Grammatopleurus lagocephalus Gill. = Chirus lagocephalus Pall.— Hab. Kuril.

192. Octograrnmus Pallasi Blkr = Labrus octogrammus Pall. = Chirus octo-

grammus Güntb. — Hab. Kuril.

193. Labracoglossa argenteiventris Peters (an hujus loei?) — Hab. Yokohama.

Scorpaenoidei.

194. Scorpaena (Parascorpaena ?) miostoma = Scorpaena miostoma Gimth. —

Hab. Yokohama.

195. Sebastichthys marmoratus Blkr = Sebastes marmoratus et albofasciatus Cv.

- Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Sikok (Simoda).
195. n iuermis Blkr = Sebastes inermis Schl. Hab. Jesso

(Hakodadi) ; Nippon (Jedo).

197. „ pachycephalus Blkr = Sebastes pachycephalus Schl. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

198. „ ventricosus Blkr == Sebastes ventricosus Schl. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

199. „ oblongus Blkr = Sebastes oblongus Günth. - - Hab. maria

interiora.

200. Sebastichthys macrochir Blkr = Sebastes macrochir Gimth. — Hab. maria
interiora.

32*

12 ÉNUMÉKATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEJIENT

201. Scorpaenopsis cirrhosus Blkr = Scorpaena cirrhosa Cv. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

202. „ ? neglectus Blkr = Scorpaena neglecta Schl.

203. Pseudomonopterus (Pterois) lunulatus Blkr = Pterois lunulata Schl. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Sikok (Simoda) ;
Nippou Kaminoseki).

204. „ ( „ ) volitans Blkr = Pterois volitans Cv.

205. Apistus alatus Cv. = Pterichthys alatus Swns. — Hab. Kiusiu (Xagasaki) ;
Sikok (Simoda).

206. Prosopodasys depressifrons Blkr = Apistus depressifrons Rieh.

207. Amblyapistus taenianotus Blkr = Apistus taenianotus Cv.

208. Gymnapistus rubripinuis Grill. = Apistus rubripinnis Schl. — Hab.
Kiusiu (Nagasaki] ; Sikok (Simoda).

209. Minaus pusillus Schl. = Aploactis pusillus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

210. Aploactis aspera Rich. = Aploactis Scbl. = Synanceia (Aploactis) aspera
Rick. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Synanceioidei.

211. Pelor aurantiacum Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), Omura.

212. ,, japonicum Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda).

213. Synanchia erosa Swns. = Synanceia erosa Lacep. Cv. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki); Xippon (Haminoseki).

Platycephaloidei.

214. Platycephalus asper Cv.

215. „ 1'uscus Cv.

216. „ guttatus Cv. = Platycephalus crococlilus Voy. Krusenst. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

217. „ indicus Blkr — Platycephalus insidiator Blkr, Schn. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Jedo).

japonicus Tiles. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

macrolepis Blkr. — Hab. Kiusiu ( „ ).

Meerdervoortii Blkr. Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon

(Jedo).

punctatus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

rudis üünth. — Hab. Yokohama.

spinosus Schl. ■ — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

224. Bembras japonicus Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

225. Parabembras curtus Blkr = Bembras curtus Cv.

218.

J!

219.

r>

220.

V

221.

V

222.

n

223.

V

CONNUES DU JAPON ET DESCEIPTION DE TROTS ESPÈCES TNÉDITES. 13

226. Bembrops caudimacula Stnd.

227. Hoplichthys pusillus Blkr = Hoplichthys Langsdorsfii Cv. = Aspidophorus
pusillus Langsd. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Trigloidei.

228. Trigla kuniu Less. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

229. „ hemisticha Schl.

230. Lepidotrigla Bürgeri Günth. = Trigla Bürgeri Schl. Hab. Kiusiu
(Nagasaki); Sikok (Simoda).

231. Lepidotrigla stonuchü Stnd.

232. Priouotus japonicus Blkr. — Hab. Kiusiu 'Nagasaki).

233. Corystion orientalis Blkr = Dactylopterus orientalis Schl. = Dactylopterus
japouicus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

234. Peristedion oriëntale Schl. — Hab. Nippon (Jedo).

Asjridophoroidei .

235. Hippocephalus japonicus Swns. = Cottus japonicus Pall. — Hab. Japon.,
Kuril., Sagalien.

236. Brachyopsis rostratus Gill. = Agonus rostratus Tiles. — Hab. Japon.,
Kuril., Sagalien.

237. Agonus laevigatus Tiles. = Aspidophorus laevigatus Cv. — Hab. Japonia,
Sagalien.

Syngnathoidei.

238. Hippocampus antiquorum Leach? = Hippocampus brevirostris Schl. —

Hippocampus japonicus Kp.

239. „ longirostris Schl.

240. „ coronatus Schl. — Hab. Nippon (Jedo).

241. „ Mohnikei Blkr. — Hab. Nippon (Kaminoseki).

242. „ hystrix Kp.

243. Acentronura gracillima Kp. = Hippocampus gracilissimus Schl.

244. Gastrotokeus biaculeatus Heek.

245. Halicampus koilomatodon Blkr = Syngnathus Koilomatodon Blkr. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo).

246. Trachyrhamphus serratus Kp. = Syngnathus serratus Schl. — Hab.

Kiusiu 'Nagasaki).

247. „ intermedius Kp. = Syngnathus intermedius Günth. —

Hab. Japonica?

248. Syngnathus Schlegeli Kp. = Syngnathus tenuirostris Schl. (nee Rathke).

14 ÉNUMÉKATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

Macrorhamphoidei.

249. Centriscus japonicus Günth.

Aulostomatoidei.

250. Aulostoina chinense Cv. = Fistularia chinensis Schl.

Fistularioidei .

251. Solenostomus serratus Gill. = Fistularia serrata = Fistularia imraaculata
Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki ; Nippon (Kaminoseki).

Gasterosteoidi'i.

252. Aulichthys japonicus Brev.

253. Grasterosteus obolarius Cv? = vide figur. japon. — Hab. Jezo; Jetsigo;
Lac. Biwako ; sec. Kurimoto.

Carangoidei.

254. Caranx tracburus Lac. <= Selar japonicus Blkr = Caranx trachurus ja-

pouicus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

255. „ torvus Jen. = Selar torvus Blkr. - - Hab. Kiusiu (Nagasaki'.

256. Decapterus maruadsi Blkr = Caranx maruadsi Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

257. „ muroadsi Blkr — Caranx muroadsi Schl. — Hab Kiusiu

(Nagasaki).

258. Carangus carangus Cv. = Caranx mala Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

259. „ hippos Blkr? = Caranx hippos Günth ?= Caranx flavocoeruleus Schl.

260. Citula ciliaris Blkr = Blepharus indicus Cv. Schl. = Carangoides ciliaris

Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

261. „ annata Rüpp. = Caranx ciliaris Cv. Schl. -= Carangoides annatus

Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki'.

262. „ equula Blkr = Caranx equula Schl. = Carangoides equula Schl. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Serioloidei.

263. Seriola aureovittata Schl.

264. „ intermedia Schl.

265. „ quinqueradiata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

266. „ purpurascens Schl. = Seriola Dumerilii Russ. sec. Günth. — Hab»
Kiusiu (Nagasaki).

Scomberoidei.

267. Scomber auratus Houtt. Cv. (spec. dub.).

CONNÜES DU JAPON ET ÜESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITE8. 15

268. Scomber japonicus Houtt. Cv. (spec. dub.).

269. „ janesaba Blkr = Scomber pueumatophorus minor Schl. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

270. „ saba Blkr = Scomber pneumatopborus major Schl, — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

271. „ scombrus (japonicus) Schl.

272. „ tapeinocephalus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

273. Auxis tapeinosoma Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

274. Pelamys thunninus Blkr = Thynnus thunnina Cv.

275. „ pelamys Blkr = Thynnus pelamys Cv.

276. „ japonicus Blkr = Thynnus orientalis Schl

277. „ sibi Blkr = Thynnus sibi Schl.

278. „ macropterus Blkr = Thynnus macropterus Schl.

279. Sarda orientalis Blkr = Pelamys orientalis Schl.

280. Cybium chinense Cv.

281. „ niphonium Cv. — Hab. Nippon.

282. Acanthocybium sara Gill. = Cybium sara Benn. — Hab. Lew-Chew.

283. Lepidopus tennis Günth. — Hab. Imosima.

Trkhiuroidei.

284. Trichiurus japonicus Blkr = Trichiurus lepturus japonicus Schl. — Hab.
Kiusiu (Nagasaki).

Xiphioidei.

285. Histiophorus orientalis Schl. — Hab. Japonia austro-occidentalis.

Echeneoidei.

286. Leptecheneis naucrates Gill. — Echeneis naucrates L. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki).

287. Echeneis albescens Schl.

288. „ brachyptera Lowe = Echeneis pallida Schl.

Lichioidei.

289. Elacate nigra Günth. = Elacate mottah Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

290. Naucrates ductor Cv. = Naucrates indicus Cv.

291. Scomberoides Sancti Petri Blkr = Chorinemus Sancti Petri Cv. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

292. „ tol Blkr = Chorinemus tol Cv. ^= Chorinemus orientalis
Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

293. Psenopsis anomalus Gill. = Trachinotus anomolus Schl. = Psenes anoma-
lus Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

16 ÉNU1IÉRATI0N DES E3PÈCE3 DE POISSONS ACTUELLEMENT

Psettoidei.

294. Apolectus niger Cv. = Stromateus niger BI. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

295. Stromateoides aculeatus Blkr = Stromateus punctatissimus Schl. — Hab.
Kiusiu (Nagasaki).

Coryphaenoidei.

296. Coryphaena hippurus L. = Coryphaena japonica Schl. — Hab. Japouia
austro-occidentalis .

Veliferoidei.

297. ATelifer hypselopterus Blkr = Velifer Schl.

Zeoidei.

298. Zeus japonicus Cv. = Zeus faber japouicus Schl. — Hab. Kiusiu 'Naga-
saki) ; Sikok (Simoda).

299. Zeuopsis nebulosus Grill. = Zeus nebulosus Schl.

Eqiiuloidei.

300. Leiognatbus nuchalus Blkr = Equula nuchalis Schl. — Hab. Kiusiu (Na-

gasaki).

301. „ rivulatus Blkr = Equula rivulata Schl. — Hab. Kiusiu (Na-
gasaki).

Lampridoidei.

302. Mene Anna-caroliua Lac. -= Meue maculata Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Teuthioidei.

303. Teuthis aurautiaca Blkr = Amphacauthus aurantiacus Schl. au var. spec.

sequent. ?

304. „ fuscescens Blkr = Centrogaster fuscescens Houtt. = Amphacanthus

fuscescens Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

305. „ albopunctata Blkr = Amphacauthus albopuuctatus Schl. - - Hab.

Kiusiu ^Nagasaki).

Acanthuroidei.

306'. Rhombotides fumosus Blkr = Etsgilus fumosus Biev. — Hab. Lew-Chew.

307. Nascus scalprum Blkr = Priouurus scalprum Cv. — ■ Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

308. „ unicornis Güuth. = Naseus fronticornis Comm.

CONNUES DU JAPON ET DESCKIPTION DE TEOIS ESPÈCES INÉDITES. 17

Triacantkoidei. .

309. Triacanthodes anomalus Blkr - Triacanthus anomalus Schl. - Hab. Kiusiu

(Nagasaki). .

310. Triacanthus brevirostris Val. - Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Balisteoidei. . ,

311. Balistes (Balistapus) conspicillum Blkr - Balistes conspicillum Cuv. -

Hab. Goota.

( ) undulatus Blkr = Balistes liueatus Bl.Scbn.

' (Balistes) capriscus Gm. L. - - Hab. Japonia (Mus. [Tamburg',

314 Mon'kcanthus komuki Blkr. - Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon V*™»**-

cirrhifer Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Sikok (Simoda).
o1fi japonicus Cuv. - Balistes japonicus Tiles.

317'. Paramonacanius Broekii Blkr Monacanthus Broekii Blkr. - Hab.

Kiusiu (.Nagasaki).
318> n oblougus Blkr = Monacanthus oblongus Schl. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).
319 m modestus Blkr =- Monacanthus modestus Günth. — Hab.

maria interiora.
320> b trachyderma Blkr = Monacanthus trachyderma Blkr.—

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

321. Pseudaluteres nasicornis Blkr = Alutera uasicornis Schl.

n„ AlnHriimBerardiLess. = Alutera cmerea Schl.

322. Aluteres monoceros Cuv. = Alutanus uerarui ojch».

Polynematoidei. „ i v ■

323. Trichklion plebejus Blkr = Polynemus plebejus Bronss. - - Hab. Kiusiu

(Nagasaki) .

Sphyraenoidei.

324 Sphyraena japonica Schl. - Hab. Kiusiu (Nagasaki).
325, n jello Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

326 „ nigripinnis Schl.

327* ',', obtusata Cv. - Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Atherinoidei. „ . tt ,

328. Atherina Bleekeri Günth. = Atherina japonica Blkr (nee Houtt). -Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

Mugiloidei. _

329 Muo-il haematocheilus Schl. - Hab. Kiusiu (Nagasaki)
330." ' „ japonicus Schl. - Hab. Kiusiu (Nagasaki, Simabara). ^

KATÜURK. VKRH. DE.1 KONIMU-. AKAfiEMlE, DEEL XVIII.

18 ÉNDMÉKATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

Cepoloidei.

331. Cepola Schlegeli Blkr = Cepola Krusensternii Schl. fig. nee descr. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

332. „ ? marginata = Cepola marginata Cv.

333. „ ? limbata = Cepola limbata Cv.

33 i. Acanthocepola Krusensterni Blkr = Cepola Krusensternii Blkr (Scbl. ex
parte). — Hab. Kiusiu (Nagasaki).)

335. „ mesoprion Blkr = Cepola mesoprion Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

Lophoteoidei.

336. Lophotes Capellei Scbl.

Uranoscopoidei.

337. Uranoscopus asper Scbl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Sinioda).

338. „ oligolepis Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

339. „ bicinctus Scbl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

340. Guathagnus elongatus Gill = Uranoscopus elongatus Scbl. = Ichthysco-

pus elongatus Blkr.

341. Icbtbyscopus inerniis Swns. = Uranoscopus inermis Cv.

Parapercioidei.

342. Parapercis pulchella Blkr = Percis pulchella Scbl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

343. „ sexfasciata Blkr = Percis sexfasciata Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki) ; Nippon (Jedo).

Cattionymoidei.

344. Callionvmus altovelis Schl. — Hab. Kiusiu (Obomura).

345. „ Huguenini Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

346. „ longeeaudatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

347. „ lunatus Schl.

348. „ Reevesii Rich. — Hab. Kiusiu (Nagasaki'.

349. „ Richardsonii Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

350. „ valencienneri Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo).

351. „ Variegatus Schl.

352. „ inframundus Gill spec. ?

Gobioidei.

353. Odoutobutis obscura Blkr = Eleotris obscura Schl. — Hab. Kiusiu (Na-
gasaki), in fluviis.

CONNUES DU JAPON ET DESCEIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 19

354. Culius oxycephalus Blkr = Eleotris oxycephalus Schl. - Hab. Nippon
(Oomi in keu Biwako) sec. Kurimoto.

355. Gymnogobius macroguathus Gill = Gobius macrognathus Blkr. — Hab.
Nippon (Jedo); in fluviis.

356. Glossogobius brunneus Gill = Gobius brunneus Schl. — Hab. Kmsm

(Nagasaki), in ostiis fluviorum.

357. b olivaceus Blkr = Gobius olivaceus Schl. — Hab. Nippon

(Jedo), in mari.

358. Ctenogobius gymnauchen Blkr = Gobius gymnauchen Blkr. — Hab. Nip-
pon (Jedo), in iiuviis.

359. Arentrogobius Pflaumi Blkr = Gobius Pflaumi Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki), iu mari.

360. „ Yokohamae Blkr = Gobius Yokohamae Günth. — Hab.

Yokohania.

361. Cryptocentrus Kuutteli Blkr = Gobius Knutteli Blkr. - - Hab. Kiusiu

(Nagasaki), in mari.

362. „ ? castaneus Blkr = Gobius castaneus O'thangness. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

363. Acanthogobius flavimanus Gill = Gobius flavimanus Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki), Nippon (Jedo); in mari et ostiis fluviorum.

364. Synechogobius basta Gill = Gobius hasta Schl.

365. Chaenogobius annularis Gill. — Hab. Jesso (sin. Hakodadi).

366. Rhinogobius similis Gill.

367. Pterogobius elapoides Blkr = Gobius elapoides Günth.

368. „ virgo Gill = Gobius virgo Schl. - - Hab. Kiusiu (Nagasaki),

in mari.

369. Amblychaeturichthys hexanema Blkr = Chaeturichthys hcxanema Blkr. —
Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon orientalis.

370. Parachaeturichthys polynema Blkr = Chaeturichthys polynema Blkr —
Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; in mari.

371. Tiïdentiger obscurus Gill = Sicydium obscurum Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki), in fluviis.

372. Periophthalmodon modestus Blkr = Periophthalmus modestus Schl. —
Hab. Kiusiu (Nagasaki), in aquis fluvio-marinis (et Jedo sec. Kurimoto'.

373. Boleophthalmus pectinirostris Rich. = Boleophthalmus Boddaerti Schl. (nee

Cv.). — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in aquis fluvio-marinis.

374. B Boddaerti Cv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki), in aquis fluvio-

marinis.

33*

20 ÉNUMÉEATIOK DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

375. Odontainblyopus Lacepedii Blkr = Amblyopus Lacepedii Schl. — Hab.
Kiusiu (Fizen, Omura).

376. Luciogobius guttatus Gill.

Blennioidei.

377. Petroskirtes japonicus Blkr. — Hab. Nippon (Jedo).

378. n elegans Stnd.

Cmtroblennioidei.

379. Clinus polyactoeephalus Brev. = Blennius polyactocephalus Pall. —Hab.
Jezo (Hakodadi).

380. Eumesogrammus hexagrammus Gill = Stichaeus hexagrammus Scbl. —
Hab. Kiusiu (Simabara).

381. Centronotus crassispinis Gill = Gunnellus crassispina Scbl.

382. v nebulosus Gill = Gunnellus nebulosus Scbl. — Hab. Kiusiu

(Sin. Mogi).

383. „ subfrenatus Gill.

384. v dolicbogaster Gill = Blenuius dolichogaster Pall. — Hab.

Jezo (Hakodadi).

385. Dictyosoma Bürgeri v. d. Hoev. = Dictyosorna Scbl. — Hab. Kiusiu (Si-
mabara) ; Nippon (Kamiuosaki).

( 'hironecteoidei.

386. Antennarius marmoratus Güntb. = Chironectes marmoratus Cv. = An-

tennarius raninus Cant. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

387. „ tridens Blkr = Chironectes tridens Scbl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

Lojahioidei.

388. Lophius setigerus Wahl. — Hab. Kiusiu(Nagasaki).

Maliheoidei.

389. Halieutea stellata Cuy. = Lopbius stellatus Wahl. — Hab. Kiusiu (Na-
gasaki) ; Nippon (Kaniinoseki).

Brotuloidi i,

390. Brotula multibarbata Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

391. Sirembo imberbis Blkr = Brotula imberbis Schl. — Hab. Kiusiu (Naga-

saki, Omura); sec. Kurimoto etiam Nippon (Osaka).

392. „ grandis Günth. — Hab. Nippon (or. merid. Jedo).

393. Brotella armata Kp. = Brotula armata Schl.

CONNUES DU JAPON ET DESCPJPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 21

Gadoidei.

394. Motella pacifica Scbl.

395. Lotella phycis Blkr — Lota phycis Schl. = Lotella Schlegelii Kp.

Macruroidei.

396. Oxymacrurus japonicus Blkr = Macrourus japonicus Schl. = Oxycephas

japonicus Kp. — Hab. Kiusiu (Omura, Simabara).
397 ? macrocbir = Macrurus macrocbir Günth. — Hab. Inosima.

398- ? parallelus = Macrurus parallelus Günth. — Hab. Inosima.

399. Macruroplus? leptolepis = Corypbaeuoides leptolepis Günth.

400. Corypbaeuoides longifilis Günth. - - Hab. Nippon (or. mer. Jedo).

401. n altipiunis Günth. - Hab. Nippon (or. mer. Jedo).

402. nasutus Günth. — Hab. Nippon (or. mer. Jedo).

403. „ asper Güutb.

404. Lepidorynchus villosus = Coryphaenoides villosus Günth. — Hab. Nippon

(or. mer. Jedo).

Ateleopoidei.

405. Ateleopus japonicus Blkr = Ateleopus Schl. - - Hab. Kiusiu (Omura).

Halosauroidei.

406. Halosaurus affiuis Günth. — Hab. Japon, meridion.

Pleuronecteoidei.

407. Chaenopsetta olivacea = Hippoglossus olivaceus Schl. — Hab. Kiusiu (Na-

gasaki) ; Nippon (Osaka, Jedo).

408. „ Wolffi Blkr = Bhombus AVolffi Blkr. - ■ Hab. Kiusiu (Na-

gasaki .

409. Pseudorhombus cinnamomeus Blkr = Bhombus cinnamomeus Schl. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

410. „ oligodon Blkr = Bhombus oligodon Blkr. - - Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

411. 8 oligolepis Blkr. = Rhombus oligolepis Blkr. —Hab. Kiu-

siu (Nagasaki).

412. Platophrys (Platophrys) myriaster Blkr = Bhombus myriaster Schl. =

Rhomboidichthys myriaster Blkr.
413_ „ ( „ ) grandisquama Blkr = Rhombus grandisquama Schl.

414. HeteroprosoPon cornutus Blkr = Platessa cornuta Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki).

415. Clidodermo asperrimum Blkr = Platessa asperrima Schl.

22 ÉNÜMÉEATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

416. Pleuronectes Yokohamae Günth. — Hab. sin. Yokohama.

417. „ variegatus Günth. = Platessa variegatus Schl.

Soleoidei.

418. Brachirus japonicus Blkr = Aesopia japonica Blkr. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

419. „ zebra Swns. = Aesopia zebra Kp. — Hab. Kiusiu (Nagasaki);

Sikok (Sirnoda).

420. Achirus japonicus Schl. = Solea japonica Günth.

421. Paraplagusia japonica Blkr = Plagusia japonica Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki) ; Sikok (Simoda).

422. „ marmorata Blkr = Plagusia marmorata Blkr.

423. Aphoristia orientalis Blkr, Mus Hamburg.

Chacoidei.

424. Plotosus arab Blkr = Plotosius lineatus Scbl. ------ Plotosus anguillaris

Lac. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Süuroidei.

425. Leiocassis longirostris = Liocassis longirostris Günth.

426. Pseudobagrus aurantiacus Blkr = Bagrus aurantiacus Schl. — Hab. Kiusiu
(Satzuma, Higo, Kuruma); Nippon (Jedo), in fluviis.

427. Arius ocellatus Blkr = Silurus maeulatus Thuub. (an = Arius arius Val.?).

428. Parasilurus japonicus Schl. = Silurus japonicus Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki, Satzuma, Higo); Nippon (Jedo); in fluviis.

Gonorhynchoidei

429. Gonorhynchus abbreviatus Schl.

Cobitioidei.

430. Botia curta Günth. = Cobitis curta Schl. = Hymenophysa curta Blkr.

431. Cobitis taenia L. = Cobitis taenia japonica Schl. — Hab. Nippon (Jedo)
sec. Kurimoto.

432. Misgurnus dichachrous Günth. = Cobitichthys dichachrous Blkr. - Hab.

Nippon (Jedo).

433. „ enalios Blkr = Cobiihychthys enalios Blkr. - - Hab. Nippon

(Kaminoseki, Jedo).

434. „ anguillicaudatus Günth. = Cobitis rubripinnis et maculata

Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

435. „ polynema Günth. = Cobitichthys polynema Blkr. — Hab.

Nippon (Jedo).

CONNUES DU JAPON ET DESCEIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 23

Cyprlnoidei.

436. Carpio vulgaris Rapp. = Cyprinus conirostris, haematopterus, melanotus
Schl. = C. flavipinnis K. V. K. (sec. Günth.) — Hab. Kiusiu Nippon (Jedo).

437. Carassius auratus Blkr == Carassius Cuvieri, Bürgeri, grandoculis, Langs-
dorfii Schl. (sec. Günth.). — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Jedo).

438. Pseudogobio esocinus Blkr = Gobio esocinus Schl. - Hab. Nippon (Oomi
in lacu Biwako) sec. Kurimoto.

439. Acheilognathus intermedius Blkr = Capoëta intermedia Schl. - — Hab.

Nippon (Bizan) sec. Kurimoto.

440. „ melanogaster Blkr an = Acheilognathus lanceolatus

Blkr? — Hab. Nippon (Jedo).

441. „ lanceolatus Blkr = Capoëta lanceolata Schl.

442. „ limbatus Blkr == Capoëta limbata Schl.

443. Paracheilognathus rhombeus Blkr = Capoëta rhombea Schl. — Hab. Nip-
pon (Jedo, Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto.

444. Hemibarbus barbus Blkr = Gobio barbus Schl. — Hab. Nippon (Osaka),
sec. Kurimoto.

445. Gnathopogon elongatus Blkr = Capoëta elongata Schl. = Rasbora (Ben-

gala1 elongata Blkr.

446. „ gracilis Blkr = Capoëta gracilis Schl. == Rasbora (Bengala)

gracilis Blkr.

447. Sarcocheilichthys variegatus Blkr — Leueiscus variegatus Schl.

448. Pseudorasbora parva Blkr •= Leueiscus parvus Schl. — Hab. Nippon,

fluviis omnibus sec. Kurimoto.

449. „ pusilla Blkr = Leueiscus pusillus Schl. — Hab. Nippon (Jedo).

450. Leueiscus hakuensis Grill. — Hab. Lacus Hakou.

451. Barilius minor Blkr = Leueiscus minor Schl. = Opsarius minor Blkr ; sec.

Gthr ead. spec. ac seq. — Hab. Nippon (Jedo) Oomi in lacu Biwako.

452. „ macropus Blkr = Leueiscus macropus Schl. = Opsarius macro-

pus Blkr; sec. Gthr ead. spec. ac seq. — Hab. Nippon (Provinc.
Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto.

453. „ platypus Blkr = Leueiscus platypus Sehl. = Opsarius platypus

Blkr. — Hab. Nippon \Jedo), sec. Kurimoto.

454. „ ? coreënsis Blkr = Leueiscus coreënsis Yal. = Opsarius? co-

reënsis Blkr. = Hab. Japonia?; Korea?

455. „ Sieboldi Blkr = Leueiscus Sieboldi Schl. = Opsarius Sieboldi Blkr.

456. „ Temmincki Blkr = Leueiscus Temmincki Schl. = Opsarius Tem-

mincki Blkr.' — Hab. Nippon (Oomi in lacu Biwako) sec. Kurimoto.

24 ÉNUHÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMENT

457. Opsariichthys uucirostris Blkr = Leuciscus uncirostris Schl. = Opsarius
uncirostris Blkr.

458. Pseudoperilampus typus Blkr. — Hab. Nippon (Jedo).

Cy ijroHodoiitoidei.

459. Aplocheilus latipes Blkr = Poecilia latipes Sckl. — Hab. Nippon (Jedo),
fluviis et orizetis.

460. Fimdulichthys virescens Blkr = Fundulus virescens Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki) ; in fluviis.

Scombresocioidei.

461. Scorubresox saira Brev. — Hab. Sikok (Simoda).

462. Mastaccembelus annulatus Blkr = Belone o-immtea Schl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki) ; Lew-Chew.

463. „ sehisinatorhynchus Blkr = Belone gracilis Schl. - - Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

464. Hemiramphus sajori Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

465. „ occipitalis Grill, an = Hemiramphus Gernaerti Val?

466. „ japonicus Brev. — Hab. Lew-Chew.

467. Exocoetus agoo Schl. Exocoetus oligolepis Blkr ? — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Sauridoidei.

468. Syuodus Synodus BI. Schn. = Saurus lucius Schl. — Hab. Kiusiu (Si-

mabara).

469. „ myops Blkr = Saurus trachinus Schl.

470. Saurida tumbil Val. = Aulopus elongatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

471. Aulopus japonicus Günth. Hab. Yokohama.

472. Salangichthys microdou Blkr = Salanx microdon Blkr. — Hab. Nippon
(Jedo), in fluviis.

Salmonoidei.

473. Salmo orientalis PalL? — Hab. Jezo (Hakodadi).

474. „ Perryi Brev., sp. dub. — Hab. Jezo (Hakodadi).

475. „ leucomaenis Pall.? — Hab. Jezo (Hakodadi).

476. „ spec? Brev. Exp. Jap. Fish. p. 277 tab. 10 fig. 1. — Hab. Jezo

(Hakodadi).

477. „ macrostoma Günth. — Hab. Yokohama.

478. Plecoglossus altivelis = Salmo (Plecoglossus) altivelis Schl.

479. Hypomerus olidus Günth. = Osmerus japonicus Brev. — Hab. Lezo
(Hakodadi); Japonia orientalis, sec. Kurimoto.

CONNUES DU JAPON ET DESCRIPÏION DE TEOIS ESPÈCES INÉDITES. 25

Pseudo-clupeo idei.

480. Conorhynchus glossoclon Blkr = Albula bananus Cv.

481. Elops saurus L. — Hab. Kiusiu (Nagasaki*.

Clupeoidei,

482. Chirocentrus dorab Cuv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

483. Etrumeus micropus Blkr = Clupea micropus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

484. Spratelloides gracilis Blkr = Clupea gracilis Schl. — Hab. Jap. austro-
occidentalis.

485. Clupea (Harengula) melanosticta Blkr = Clupea melanosticta Schl. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

486. „ (Harengula) zunasi Blkr = Clupea korval Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki); Nippou (Jedo ; in mari et fluviis.

487. Ilisha elongata Blkr = Clupea melastoma Schl. = Pellona Schlegelii Blkr. —
Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Nippon (Jedo).

488. Engraulis riugens Jen.? = Engraulis japonicus Schl., Blkr al. — Hab.
Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Jedo).

489. Stolephorus japonicus Blkr = Engraulis japonica Günth.

490. „ indicus Blkr = Engraulis Busselli Blkr.

491. Coilia nasus Günth. = Collia nasus Schl.

492. Dorosoma nasus Blkr = Chatoessus nasus Val.

493. „ punctatum Blkr = Chatoessus punctatus Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki); Nippon (Jedo).

Bathythrissoidei.

494. Bathythryssa dorsalis Günth. — Hab. Inosime.

Anguilloidei.

495. Muraena bostoniensis Les. = Anguilla japonica Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki); Nippon (Jedo), in fluviis.

Synaphobranchoide'L

496. Synaphobranchus bathybius Günth. — Hab. Nippon (or. mer. Jedo).

497. Synaphobranchus affinis Günth. — Hab. Inosima.

Cong 'rolde i.

498. Conger vulgaris Cuv. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

499. „ japonicus Blkr (Mus. Hamburg).

500. Ophisoma anago Blkr = Conger anago Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

34.

NATUÜBK. VERH. DER KONINKI, AKADEMIE. DEEL XVIII.

26 ÉNUMÉRATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTUELLEMEXT

501. Muraenesox bagio Pet. = Conger hamo Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ;
Sikok (Siinoda); Nippon (Osaka).

502. Nettastoma parviceps Günth. — Hab. Nippon (or. Jed. mer.).

503. Ophisoma? myriaster Blkr = Anguilla myriaster Brev. — Hab. Hakodadi.

504. „ heteroguathus Blkr = Myrophis heterognath'us Blkr. - - Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

505. ,. megastoma Blkr = Congromuraena megastoma Güntb. — Hab.

Inosima.

506. Myrus uropterus Giiuth. = Conger uropterus Scbl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Ophisuroidei.

507. Leptorbyncbus serpens Blkr — Opbisurus serpens Lac. = Opbisurus ma-
crorhyncbos Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki) ; Sokok (Simoda) ; Nippon
(Kanrinoseki).

508. Mystriopbis rostellatus Kp. = Opbisurus porpbyreus Schl.
'509. Ophisarus colubrinus Rich. = Muraena annulata Schl.

510. Opbichtbys cepbalozona Blkr.

511. „ urolopbus Güntb. = Conger urolophus Schl.

512. „ stenopterus Cope.

513. Gvmnotborax albimarginatus Blkr = Muraena albimarginata Scbl. —

Hab. Kiusiu (Nagasaki).

514. . Kidako Blkr = Muraena Kidako Scbl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki); Sikok (Simoda)?

515. „ pardalis Blkr = Muraena pardalis Scbl. — Hab. Kiusiu

(Nagasaki).

516. „ similis Blkr = Muraena sinvilis Rich.

517. Priodonophis reticularis Blkr = Muraena minor Scbl. = Priodonophis
minor Blkr. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

Orthagoriscoidei.

518. Orthagoriscus mola BI. Scbn.

519. . truncatus Flem. = Orthagoriscus oblongus Scbu.

Tetraodontoidt i.

520. Diodon tigrinus Cuv., Schl.

521. Paradiodon novemmaculatus Blkr = Diodon novemmaculatus Scbl. — Hab.
Kiusiu (Omura) ; Sikok (Simoda).

CONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE ÏEOIS ESPÈCES INÉDITES. 27

522. Crayracion firmamentum Blkr = Tetraodon firniarnentum Schl. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

523. „ lineatus Blkr = Tetraodon lineatus Schl.

524. Tetraodon alboplumbeus Rich.

525. „ sceleratus Forst Gm. L. = Tetraodon argenteus Lac. = Te-

traodon bicolorBrev. — Hab. Kiusiu (Nagasaki- Sikok (Simoda).

526. „ inennis Schl. — Hab. Kiusiu (Simabara).

527. „ brunneus Brev. — Hab. Sikok (Simoda).

528. „ lunaris Cuv. — Hab. Japonia austro-occident.

529. „ ocellatus Osb. Rich.

530. „ pardalis Scbl.

531. oblongus BI. = Tetraodon poecilonotus Schl. = Tetraodon ni-
veatus Brev. — Hab. Sikok (Simoda).

532. „ porphyreus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

533. rubripes Schl. = Tetraodon xanthopterus Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki).

534. „ stictonotus Schl. — Hab Kiusiu (Nagasaki).

535. B yermiculatus Schl. — Hab. Kiusiu (Nagasaki).

536. Canthogaster grammatocephalus Blkr = Tetraodon grammatocephalus Schl.

537. rivulatus Blkr = Tetraodon rivulatus Schl. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki).

Ostracionoidei.

538. Ostracion (Acanthostracion) arcus Blkr = Ostracion cornutus L. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki).

539. ^ ( n ) concatenatus Blkr = Ostracion concatenatus BI.

540. ( „ ) cornutus Blkr = Ostracion cornutus L. =

Ostracion diaphanus BI. Schn. — Hab. Kiusiu
(Nagasaki).
541 (' ) o-ibbosus Blkr = Ostracion turritus Forst. —

Hab. Nippon (Kaminoseki).

542. „ (Ostracion) tetragonus L. = Ostracion cubicus BI. — Hab.

Kiusiu (Nagasaki); Sikok (Simoda).

543. Aracana aculeata Günth. = Ostracion aculeatus Houtt. = Ostracion stic-
tonotus Schl. = Hab. Kiusiu (Nagasaki); Nippon (Kaminoseki, Jedo).

Polyodontoidei.
544. Psephurus gladius Günth. = Spatulana angustifolium Kp.

34*

28 ÉNUilÉKATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTÜELLEMENT

Myxineoidei.

545. Bdellostoma Bürgeri Gir. = Heptatrema cirrbatum Schl. — Hab. Kiusiu
(Simabara).

Petromyzontoidei.

546. Petromyzon japonicus V. Mart. — Hab. Nippon (Jetzigo) sec. Kurimoto.

Caprodon Schlegeli Blkr, Verh. Bat. Gen. XXV. Nal. Icht.
Jap p 12: Kp Bemerk, über Caprodon. en Ned. T. Dierk. lp. 19.

Syn. Caprodon Schl. Faun. Jap. Poiss. p. 64 tab. 30.
Anthias Schlegelii Günth. Cat. Fisb. I p. 92.

Je trouve un individu de 295'" de long parmi les poissons du Museum de
Hambourg, mais trop mal conservé pour en donner une description détaillée.
On ne connait jusqu'ici cette espèce que par la description et la belle figure
qu'en a publiées M. Scblegel et par quelques notices de Kaup.

La dentition intermaxillaire et mandibulaire est bien rendue sur la figure de
la Faune du Japon et celle de la boucbe interne bien indiquée par Kaup.

Sur 1'individu du Museum de Hambourg je trouve neuf rangées transversales
d'écailles au devant du limbe préoperculaire. La moitié basale de toute la dor-
sale et de 1'anale est couverte d'une dense couche d'écailles. Les écailles du
tronc sont fort obliques et j'en compte environ 56 rangées transversales tant
au-dessus qu'au-dessous de la ligne laterale. La figure de la Faune du Japon
les représente trop nombreuses tant au-dessus qu'au-dessous do la ligne laterale.

Le groupe des dents vomériennes est pyriforme a pointe dirigée en arrière;
ceux des dents palatines et pterygoidiennes ont presque la même forme que ce-
lui des dents vomériennes mais sont moins larges et plus pointus, les palatins,
du doublé environ plus grands que les pterygoidiens ayant leur pointe dirigée
en arrière et les pterygoidiens leur pointe dirigée en avant; le groupe des dents
linguales, présentant un ovale oblong, occupe presque toute la langue. Les dents
pliaryngiennes sont minces et pointues.

L'oesopbage est large et se continue dans un estomac cylindrique sans renflement.

Tout l'oesopbage et la plus grande moitié autérieure de 1'estomac ont la mu-
queuse densément couverte de longues villosités un peu raides et pluriclivisées

CONNUES DU JAPON ET DESCEIPTION DE TROK ESPÈCES INÉDITES. 29

a divisions coniques très-pointues et inégales. La plupart de ces villosités ont
environ la longueur d'un demi diamètre de 1'oeil, mais elles deviennent plus
courtes ver= Ie milieu de 1'estomac. Dans la moitié postérieure de 1'estomac
les villosités sout remplacées par de larges plis longitudinaux et élevés qui
s'éteutlent jusqu'au pylore. Je ne trouve pas même de vestige d'appendices
pyloriques, orgaues mauifestement superflus par 1'immense surface muqueuse re-
préséntée par les plis et les villosités oesophago-stomacales.

Je trouve comme formule des rayons: B. 7. D. 10/20 vel 10/21 P. 1/15.
V. 1/5. A. 3 8 ou 3/9. C. 1/15/1 et kt. brev.

Fseudosciaena acanthodes Blkr. Tab. 1.

Pseudosc. corpore oblongo compresso, altitudine Bh eire. in ejus longitudine
absque, 4^ eire. in ejus longitudine cum pinna caudali ; latitudine corporis 2 fere
in ejus altitudine; capite acutiusculo 3| eire. in longitudine corporis absque,
4J eire. in longitudine corporis cum pinna caudali; altitudine capitis let paulo,
latitudine capitis 2 fere in ejus longitudine; oculis circularibus diametro 4 et
paulo in longitudine capitis, diametro 1 eire. distantibus ; linea rostro-frontali
rostro convexa fronte rectiuscula; naribus ante pupillae partem superiorem per-
foratis; rostro oculo breviore, acutiusculo, apice convexiusculo ante pupillam sito,
non ante os prominente, utroque latere et antice medio interne incisura brevi,
antice medio supra incisuram marginalem poro vel fovea parva parum conspi-
cua; maxilla superiore maxilla inferiore paulo longiore, sub oculi dimidio poste-
riore desinente, 2J eire, in longitudine capitis; maxilla inferiore symphysin ver-
sus poris 4 bene conspicuis ; dentibus maxillis antice pluriseriatis lateribus pluri-
ad biseriatis; dentibus intermaxillaribus serie vel seriebus internis valde parvis
serie externa conieis mediocribus distantibus postrorsum longitudine sensim de-
crescentibus caninoideis nullis ; dentibus mandibularibus serie vel seriebus exter-
nis valde parvis confertis, serie interna conieis mediocribus distantibus inaequi-
longis dentibus intermaxillaribus serie externe brevioribus symphysin versus den-
tibus 2 ad 4 paulo majoribus et magis curvatis ; dentibus pharyngealibus conieis
acutis, inferioribus serie interna ceteris multo longioribus; rictu valde obliquo;
osse praeorbitali sub oculo oculi diametro plus duplo bumiliore; praeoperculo
iimbo bene distincto oculi diametro duplo eire. graciliore, margine posteriore
denticulis serrato angulo dentibus 2 vel 3 majoribus validis spinaeformibus in-
feriore ceteris longiore deorsum spectante; operculo angulo spinulis 2 debilibus
vix pungentibus ; osse suprascapulari denticulato ; lobo suprascapulari membranaceo
ciliato nullo, linea laterali mediocriter curvata singulis squamis tubulo vulgo

30 ÉKÜMËKATION DES ESPÈCES DE POISSONS ACTÜELLEMENT

simplice notata ; cauda parte libera aeque longa eire. ac postice alta ; squamis
rostro genis operculisque cycloideis, capite superne et trunco ctenoideis, prae-
operculo ante limbum sat regulariter transversim 6- vel 7-seriatis, opercularibus
superioribus opercularibus ceteris conspicue minoribus, uucbalibus et dorsalibus
anterioribus lateralibus et caudalibus minoribus, lateralibus mediis quam latera-
libus anterioribus et caudalibus minoribus ; seriebus squamarum trunco longitu-
dinalibus subborizontalibus, transversis subverticalibus ; squarnis angulum aper-
turae brancbialis superiorem inter et basin pinnae caudalis supra lineam latera-
lem in series 63 eire, infra lineam lateralem in series 53 eire. transversas dis-
positis ; squamis serie transversa 24 eire. basin pinnae ventralis inter et pinnam
dorsalem. 8 vel 9 lineam lateralem inter et spinas dorsales medias ; pinna dor-
sali partem spinosam inter et radiosam usque ad basin incisa; dorsali spinosa
vix longiore quam alta spinis gracilibus rigidis ex parte pungentibus 3° et 4° ce-
teris longioribus lè eire. in altitudine corporis et eapitis parte postoculari con-
spicue longioribus; dorsali radiosa dorsali spinosa lé eire. tantum longiore dor-
sali spinosa humiliore basi tantum squamata, antice quam postice bumiliore
corpore duplo eire. bumiliore ; pectoralibus et ventralibus acutis et caudali trun-
cata subaequilongis capite absque rostro non ad vix brevioribus ; anali non con-
vexa acutangula dimidio basali squamata dorsali radiosa triplo circiter breviore,
spina 2a validissima capite absque rostro vix breviore radio 1° et spina dorsi
longissima non vel vix breviore ; colore corpore superne griseo-vel coerulescente-
viridi, lateribus et inferne argenteo ; iride flava margine orbitali fuscescente ;
pinnis flavescentibus, imparibus fusco plus minusve.
B. 7. D. 10—1/24 vel 10—1/25. P. 2/14. Y. 1/5. A. 2/8 vel 2 9. C. 1/15/1 et

lat. brev.
Hab. Japonia.
Longitudo speciminis imici 225'".

Eem. L'espèce appartient au groupe pour lequel M. Gill a proposé Ie nom de
Bairdiella et doit être voisine du Corvina roncbus Cv. des cötes Atlantiques de
1'Amérique, mais celui-ci a les yeux plus petits, Ie museau notablement plus
long, la seconde épine anale plus eourte, 1'espace interoculaire plus large, etc.
Le Bairdiella armata Gill des cötes pacifiques de 1'Amérique centrale en paralt plus
voisin encore, mais il en est dit que la 4e épine dorsale mesure environ deux
fois dans la longueur de la tête et il présente en outre des formules un peu
différentes.

CONNÜES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TROIS ESPÈCES INÉDITES. 31

Aphoris tia orientalis Blkr, Tab. 2 fig. 1.

Aphor. corpore lanceolato, altitudine 3f eire. in ejus longitudine; ca pite linea
anteriore obtusiusculo rotundato ; 5£ eire. in longitudine corporis, vix altiore
quam longo; oculis sinistris contiguis, diametro 8 eire. in longitudiue capitis,
superiore conspicue ante inferiorem prominente, inferiore supra angnlum oris
sito ; rostro 5 eire. in longitudine capitie, unco brevissimo subnullo parum cur-
vato longe ante oculos desinente ; naribus latere oculari posterioribus superioi-
bus regione prae-interoeulari perforatis membrana elevata lata claudendis, ante-
rioribus inferioribus tubulatis; naribus latere anoplithalmo distantibus foramini-
formibus posterioribus anterioribus majoribus membrana elevata claudendis ; angulo
oris rostri apici quam angulo operculi plus duplo magis approximato ; labiis nee
fimbriatis nee crenulatis ; squamis utroque latere etenoideis, latere sinistro oculum
inter et angulum operculi in series 25 transversas oblique anteversum descenden-
tes dispositis; 90 eire. in serie longitudinali angulum aperturae branchialis
superiorem inter et basin pinnae caudalis, 40 eire. in serie transversa initium
pinnae analis inter et pinnam dorsalem ; squamis mediis lateribus squamis ce-
teris paulo majoribus ; pinnis dorsali et anali corpore quintuplo ad sextuplo
humilioribus, dorsali sat longe post apicem rostri supra oculum anteriorem in-
cipiente; ventrali unica, non cum anali unita; caudali obtusiuscula rotundata,
capite duplo eire. breviore ; colore corpore latere oculari fuscescente viridi ; regione
operculari medio fascia diffusa transversa fusca; trunco fusco profundiore diffuse
nebulato et transversim subfasciato ; pinnis fuscis, ventrali tantum flavescente;
iride viridi-aurea ; colore latere anoplithalmo albido, pinnis dimidio libero fus-
cescente.

B. 6. D. 100 + C. 12 + A. 80 = D. C. A. 198. V. 4.
Hab. Japonia.
Longitudo speciminis unici 188'".

Rem. L'Aphoristia du Japon doit être voisin de 1'ornata des Antilles, mais
il a la tête plus longue, Ie museau relativement plus court et se distingue aussi
par la ventrale libre non réunie a 1'anale. La formule de 1'ornata est donnée
uu peu diiféremment (D. 96. C. 10. A. 80. - - L. lat. 93) mais cette différence
a elle seule peut bien n'avoir pas de valeur spécifique. Je trouve les narines
bien développées. Les supérieures de la region préinteroculaire sont assez lar-
ges, mais entourées d'une large membrane au milieu de laquelle on arrive, par
un examen attentif, a trouver une ouverture assez large. Les narines inférieures.

32 ÉNUMÉBATION DES ESPÈCES DE POI?SONS ACTUELLEMENT

du cöté oculaire sont assez distantes du bord maxillaire et prolongées en tube
simple. Les narines du cöté aveugle sont de simples trous dont cependant Ie
postérieur est beaucoup plus grand que 1'antérieur.

Les deux espèces sont congénériques avec 1'espèce type du genre Plagusia
de Browne, Ie noni de Plagusia devrait reprendre droits sur celui ses d'Apboristie.

Conger japonicus Blkr. Tab. 2 fig. 2.

Cong. corpore elongato antiee cylindraceo postiee compresso, altitudine 22 eire.
in ejus longitudine; capite acuto 8 eire. in longitudiue corporis aeque alto eire.
ac lato, triplo eire. longiore quam alto; rostro acutiusculo convexo apice parum
carnoso, 4i ad \\ in longitudine capitis, aeque longo eire. ac basi lato; oculis
diametro 6| eire. in longitudine capitis; naiïbus posterioribus ante medium ocu-
lum perforatis patulis, anterioribus rostri apici approximatis brevitubulatis; osse
supramaxillari subhorizontaliter expansili triangulari, sub oculi margine anteriore
desinente; labiis mediocribus parum carnosis; rictu sub oculi dimidio posteriore
desinente, 3 eire. in longitudine capitis; maxilla superiore maxilla inferiore sat
multo longiore ; dentibus maxillis parvis confertis conicis obtusiusculis, nasalibus
et vomerinis conicis acutis leviter curvatis, maxilla superiore antiee tantum bi-
seriatis serie interne rudimentariis medio et postiee uniseriatis aequilongis;
maxilla inferiore dentibus biseriatis serie interna quam serie externa multo bre-
vioribus, serie externa subaequilongis ; dentibus nasalibus triseriatis dentibus ce-
teris longioribus; dentibus vomerinis antiee 4- ad 5- seriatis in thurmam trian-
gularem oculo non longiorem dentibus nasalibus contiguam postrorsum graciles-
centem dispositis; apertura brauchiali semilunari oculi diametro longiore, in
dimidio corporis inferiore sita ; trunco pinnam analem inter et aperturam bran-
cbialem capite duplo longiore et 2| eire. in longitudine caudae; cauda media
ejus longitudine trunco antiee vix bumiliore postrorsum sensim gracilescente ;
linea laterali tubulis simplicibus subcontinuis notata; pinna dorsali antiee et
medio corpore duplo circiter postiee corpore minus duplo humiliore vix ante
apicem pectoralis incipiente; pectoralibus capite duplo eire. brevioribus obtuse
rotundatis ; anali antiee in 3a quinta totius corporis parte incipiente, dorsali
bumiliore; caudali oculo breviore; colore corpore superne olivascente, inferne
dilutiore ; iride flava ; pinnis flarescentibus.

B. 8. D. 260 eire. C. 12 eire. A. 170 eire. = D. C. A. 442 eire. P. 15.
Hab. Japonia.
Longitudo specimiuis unici 336'".

OONNUES DU JAPON ET DESCRIPTION DE TEOIS ESPÈOES INÉDITES. 33

Rem. Cette espèce est bien caractérisée par sa dcntition, par son profil
rostro-frontal convexe, par la longueur relative de la tête et de la partie préa-
nale du tronc, par la longueur des pectorales, par la largeur des orifices bran-
chiaux, etc.

Leiobatis (Trygon) nuda Blkr, Tab. 3

Leiobat. corpore disciformi, disco latiore quam longo (longitudine Ij eire. in
cjus latitudine), antice acuto, linea rostro-pectorali convexiuscula antice tantum
concaviuscula ; pinna pectorali angulo posteriore obtuse rotundata ; capite longi-
tudine 3^ eire. in latitudine disci maxima; rostro acutiusculo 4f eire. in lati-
tudine disci superne medio sulco longïtudinali gracili; oculis diametro 5 eire. in
longitudine rostri, diametris 3 eire. distantibus ; foramine temporali subtrian-
gulari oeulo multo majore; valvula nasali anteriore rictum non attingente, non
ciliata; rictu sinuoso latitudine 2 eire. in longitudine rostri praeorali ; velo post-
maxillari superiore fimbriato ; fundo cavitatis oris papillis conspicuis nullis;
dentibus maxillis obtusis planis ; disco ubique laevi granulis plane nullis ; cauda
disco multo minus duplo longïore laevi, granulis vel spinulis nullis, membrana
libera nulla, parte postspinali anteriore interne utroque latere carinata, postice
in tertia ejus parte anteriore, spina rostro longiore; appendicibus genitalibus
ventrales non superantibus, conicis, non valvatis ; colore corpore superne pro-
f'unde olivaceo, infeme albido marginem disci versus aurantiaco ; cauda antice
superne olivaceo-fusca interne albida, postice tota fusca.
Syn. Tri/gon nuda Günth., Cat. Fish. VIII p. 476 (nee syn).
Hab. Japonia.
Latitudo speciminis masculini descripti 198'.

Rem. L'individu décrit répond tres bien a la diagnose du Trygon nuda. M.
Günther y rapporte Ie Tenkee tbioidraki de Russell (Fish. Corom. fig. 5) et la
figure que Muller et Henle ont publiée sous Ie nom de Trygon walga, mais il
me parait fort douteux que ces figures aient rapport a la même espèce puis-
qu'elles représentent une forme a disque plus long que large et a bord antérieur
fort concave et une queue notablement plus courte. Il parait qu'il y a plus
d'une espèce du genre a disque parfaitement lisse. - - Si les individus cités par
M. Günther sont en effet de la même espèce, el Ie habite aussi les cötes de Sin-
gapore et de 1'Inde.

Hagae Comitis Calendis, Norcmbris 1877.

35

NATÜURK, VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

H

C

f}

èMè

"■■■ y"-- ^r- i^-^s

/

^
^

Si

\l

\

>

X

—

O

IE
CC

M

^

=S

\

^

\

t

NS

QJ

P-i

>

EO

\

•

\

\

\

\

\

V

1 ^

k

V

•>

^

1

■&

.. V

; v

\

\i

VJf

3

'/)

O
c/2

W

ffi

**J||fP

•

«ffi

#N

-N"'-

cc

^2

2

c.

-■3

1=

*■-«

<:

r—

to

■

co

O 3
t-1 CU

«o

CD

s

NO
OS

- -- '-• -,

"

&

-

40

■

.•

^'

r ,

#1

■^'

' I -

«

*J

^i

' g>

-

—

■ '

p

I;1

4

■ ■ .

-

v

^M:-'^

- -4^,(

p ■

•

S~\