VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN BERSTE SECTIE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen) À DEEL VI MET 13 PLATEN EN EEN PORTRET AMSTERDAM — JOHANNES MULLER Augustus 1899 EERSTE SECTIE 5 RONDE skun de - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - 6 Weerkunde en Ingenieurswetenschappen) ia DEEL VI MET 13 PLATEN EN EEN PORTRET AMSTERDAM — JOHANNES MULLER Augustus 1899 Gedrukt bij Jom. Exsonepé EN ZONEN. — Haarlem. Pare? UD: 1. E. Murper. Over het peroxy-salpeterzuur zilver en een zilverbioxyde (4 verhandeling). 2. L. Houwink. Onderzoek omtrent den bouw en de eigenschappen van het zoogenaamde hardglas. (Met 9 platen). 8, L. Aronsrermy en S. H. MeruuizeN. Onderzoekingen over het molecu- lairgewicht van de zwavel, volgens de kookpuntsmethode. (Met 1 plaat). 4, I. H. AgersoN. De isomerie van ’t appelzuur. 5. E. Murper. Over peroxy-zwavelzuur zilver (5° verhandeling). 6. N. L. W. A. Graveraar. John Napier's Werken. (Met portret en 3 platen). 7. K. Bes. Théorie générale de l’élimination, d’après la methode Bezovr, suivant un nouveau procédé, * lerzuur zilver en een zilverbioxyde, 4 Ar 4 1 . (Wierde Verhandeling). DOOR E. MULDER. ‘ Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. DE Vis Z a NED il ve , À 4 a if FE. ; (EERSTE SECTIE) é DEEL VI. N°. 1. à € 4 d oo % . “AMSTERDAMS, Re de JOHANNES MÜLLER November 1897. 7 LS “ ea) al CHR. 7 Mi en een zilverbioxyde, Vierde Verhandeling). DOOR © Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE) DEEL VI. N°. 1. AMSTERDAM , JOHANNES MÜLLER | 1897. 3 peroxy-salpelerzuur zilver amd dana ae 7 df Î 4 p fl À Al F À TIME NT he: £ oe lan k i LC eae 5 44 [RC THE LES > … ; A : 1: a4 à hike if is 1 LE ; IN N wet Ll A 7 . à p 7 | 2 ‘4 » - ‘ re 4 4 14 r > à 5 y a À ‘ : > . y Se | 4 a.) ; LE ° ré’ Ps ik ; LE a. Fa ‘ 4 = 7 h © NE Le € ME .F) abe DE GH ZE AR RAE di 5 À = A f Cy À 4 A ‘ aA = ; , hed à , pr Er Ge dl ie - à A P= F rin 5 Ber k * à LE Re | id Ad F7 j ° , +, were Tt 8 ; “a ‘ Si | F ROMA à: Klk DRE TU: ‘ Se fear en id FEE A + 40397) DU \ i 7” . A À RE Over het peroxy-salpeterzuur zilver en een zilverbioxyde. DOOR EK. MULDER. (Vierde Verhandeling). In de volgende bladzijden zijn eenige uitkomsten medegedeeld der voortgezette studie met betrekking tot het peroxy-salpeterzuur zilver MN Ag, O,,, het zilverbioxyde Ay, O, daarvan afgeleid; en het dioxy-salpeterzuur zilver WO, Ag, dat wordt geacht een deel uit te maken van het peroxy-salpeterzuur zilver, beschouwd als een moleculaire verbinding, namelijk als zijnde: V Ag, O,, = 3 Ags Og. NO, Ag. En wel zal in de eerste plaats worden gehandeld over een proef, die ten doel had, 1 O te elimineeren van het mole- cuul WV Ag, O,, (en behandeling daarna van het terugblijvende met water), met het oog op een nadere kennis der structuur van het peroxy-salpeterzuur zilver. Over het product (zijnde Ag; Oo), na uitdrijven van 1 O op N Ag, O,, (peroæy-salpeterzuur zilver), en behandeling van het terug- blijvende met water (bij gewone temperatuur). Men wenschte na te gaan, of de reactie: NO; 4g = NO; Ay + 0 0, is een sommaire reactie of niet, in het eerste geval dan aldus te splitsen : NO, Ag + OO N O, Ag + 00. ha — or k ~—~ ~ OS Ww 4 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER Tot dit doel werd aanvankelijk 1 O geëlimineerd op. WV 4g, O4 (geacht te zijn — 3 Ag, O,. N O, Ag), en daarna de massa be- handeld met water (bij gewone temperatuur). In geval toch de reactie verloopt in één phase, moet een deel van het WO; Ag onontleed terugblijven (aangezien slechts 1 O werd vrijgemaakt op 1 N Ag, O,,, of OO op 2 N Ag, O,,), en het elimineeren van het zilvernitraat zou veel meer tijd vereischen, zeer waarschijnlijk ten minste, daar WV dg, O,, door water uiterst langzaam wordt ontleed (namelijk bij gewone temperatuur). Er werd uitgegaan van het product van Bereiding N° 26 (zie deze Verhandeling pag. 31), waarvan werd genomen 2,0008 gr, gedaan in de V-buis van den toestel (zie de vorige Verhandeling). Maar dit product had ongeveer een jaar gestaan, en 6.0178 gr. had (6.0178 gr. — 5.9986 gr. =) 0.0192 gr. aan gewicht verloren (zie de Tabel pag. 31). Gezegde hoeveelheid van 2:0008 gr. beant- woordt derhalve aan 2.0072 gr. der oorspronkelijke stof, te weten van stof niet ontleed ten deele (5.9986 : 2.0008 — 6.0178 : a; zijnde # == 2.0072 gr.) Dus wordt verondersteld, dat de proef is gedaan met 2.0072 gr. stof, en dat deze hoeveelheid stof reeds (vóór de proef) had verloren 0.0064 gr. „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (oxygène excédant), zijnde 2.0072 gr. — 2.0008 gr. = (1.0064 gr. Zal deze hoeveelheid stof, namelijk 2.0072 gr., 1 O ver- liezen op 1 molecuul (1 O op NW Ag, O,,), dan is daartoe noodig een verlies van 0,0339 gr. zuurstof, waarvan dan reeds 0.0064 gr. was geëlimineerd. ; De volgende tabel geeft ons het overzicht van het achtereen- volgens uitgedreven worden van 1 O op het molecuul. De letters hebben dezelfde beteekenis als b. v. in de proef met eliminatie van 20 (zie de vorige Verhandeling). Er blijkt opnieuw uit, dat de ontledings-methode zeer goed valt te regelen (als altijd binnen zekere grenzen). os ef EN EEN ZILVERBIOXYDE. 5 Tabel der proef met Bereiding N° 26 en 2.0072 gr. stof, waar- van 1 O op het molecuul N Ag, O,, werd uitgedreven (zie de voor- gaande Verhandeling). a b € d e f gew. ongev. 1 temp. | één jaar 0.0064 gr. 0.0064 gr. 2 45° 1 uur 0.0013 0.0077 3 A6 i 0 0.0077 4 47 Ì 0.0003 0.008 D 48 1 0.0004 0.0084 6 49 I 0.0001 0.0085 7 50 I 0 0.0085 8 52 I 0.0004 0.0089 9 53 1 0.0005 0 0094 10 D4. E 0.0006 0.01 LL 55 I 0.0009 0.0109 12 56 1 0.0011 0.012 13 57 1 0.001 0.013 [4 59 I 0.0026 0.0156 15 59) 1 0.0023 0.0179 16 59 1 0.0021 0.02 7 60 I 0.0026 0.0226 18 60 ut 0.0025 0.0251 19 60 I 0.0015 0.0266 20 60 1 0.0014 0.028 21 60 ] 0.0017 6.0297 22 60 1 0.001] 0.0308 23 60 1 0.0014 0.0322 24 60 I 0.001 0.0332 1 0.0015 0.0347 LO. 25 60 | | De opgave kan aanleiding geven tot eenige opmerkingen , vooral wat betreft de eerste phase der gedeeltelijke ontleding. namelijk blijkt, is de regelmatigheid in den aanvang geringer dan later, wel toe te schrijven aan het lang bewaard zijn gebleven van het product, dat betrekkelijk veel tijd vereischte, om bij verhitting een betrekkelijk evenwicht te verkrijgen. Meer kan hiervan niet gezegd worden; maar overigens is het een feit, dat zich ook in eenige vroegere proeven voordeed, alhoewel in een minder sterken graad, trouwens na een betrekkelijk korteren rusttijd. Zooals 6 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER De proef zou meer tijd vorderen dan diegene, waarin 2 O wer- den uitgedreven, te weten wat betreft het eerste atoom zuurstof. Bij vergelijking der ontledings-snelheid bij verschillende temperaturen van verschillende reeksen (zie b.v. de voorgaande verhandeling dienaangaande), ontmoet men belangrijke verschillen, die men meent te kunnen toeschrijven aan het indringen van buiten van sporen water. Maar het moet ook gezegd, dat de V-buis niet juist op dezelfde wijze is geplaatst in het bad van kopervijlsel, bij verschillende proeven tegenover thermometer en regulator; en tal van kleine verschillen kunnen zich voordoen, dat trouwens miets heeft te maken met het doel, dat men zich nu voor oogen stelt. Het terugblijvende, na uitdrijven van 1 Q op het molecuul N Ag, O,,, werd behandeld met water (bij gewone temperatuur), om er het zi/vernitraat uit te verwijderen. Hierbij kwam gas vrij, en wel in een dusdanige hoeveelheid, dat het gevuld zijn van de poriën der massa (na uitdrijven van 1 O) met gas, dit niet zou kun- nen verklaren. Daar het van belang is den tijd te kennen, vereischt tot het elimineeren van het zilvernitraat, met ’t oog op de al of niet afwezigheid der oorspronkelijke verbinding (W 4g, O,,), wordt in de navolgende tabel het noodige dienaangaande medegedeeld. Maar voegen wij er bij, dat wat van de zwarte stof mechanisch werd mede- gevoerd, zoodat de toename in gewicht van het zilvernitraat niet wordt herleid tot nul (zie later). Kr is gegeven onder: a. het aantal malen, dat werd uitgetrokken; 6. het aantal dagen voor iederen keer; c. de toename in gewicht van het zilvernitraat, dat is uitge- trokken (+ een kleine hoeveelheid medegevoerde zwarte stof); d. de totale hoeveelheid uitgetrokken; e. deze hoeveelheid berekend op 100 gew. d. der oorspron- kelijke stof. ~ EN EEN ZILVERBIOXYDE. { Opgave ten doel hebbende, de snelheid der verwijdering te leeren kennen van het zilvermtraat door water, bij gewone tempe- ratuur, na eliminatie van 1O op NAg,O,,. Bereiding N° 26; 2.0072 gr. slof. a b € d e al a 0.2333 gr. 0.2333 gr. 11.62 p. 2 I 0.0432 0.2765 Eset 3 I 0.021 0.2975 14.82 4 1 0.0122 0.3097 19.42 5 2 0.0144 0.3241 | 16.14 B) 0.007. 0.3311 16.49 EC) 0.0102 0.3413 | 17 8 4 0.0131 0.3544 17.65 9 4 0.0073 0.3617 18 10 4 0.0047 | 0.3664. 18.25 LT 4 0.0034 0.3698 18.42 12 4 0.0017 0:8715 18.5 18 5 0.002 0.3735 | 18.6 14 4 | 0.001 0.3745 | 18.65. De hoeveelheid van 0,3745 gr. (zilvernitraat + medegevoerde zwarte stof) werd bij gewone temperatuur behandeld met water, en de oplossing ingedampt. Er bleef terug 0.3648 gr. zilvernitraat, nog deeltjes medegevoerde zwarte stof bevattende. Er werd derhalve aanvankelijk medegevoerd 0.3745 gr. — 0.3648 gr. = 0.0097 gr. (waarbij dan nog zou te voegen zijn de uiterst geringe hoeveelheid zwarte stof, waarvan zoo even sprake was). De hoeveelheid van 0.3648 gr. beantwoordt aan 18.17 p. c. (V4g,0,, vordert 17.98 p. c. zil- vernitraat WO, dy). Door directe weging werd verkregen voor de hoeveelheid medegevoerde stof 0.01 gr., dus een verschil gevende van 0.01 gr. —.0.0097 gr. = 0.0003 gr. Behandeld met abs. alcohol werd de hoeveelheid van 0.3648 gr. herleid tot 0.3605 gr., overeenkomende met 17.96 pet. zilvernitraat (terwijl de formule eischt 17.98 pet.) Bij gevolg is het besluit, dat het zilvernitraat betrekkelijk gemakkelijk is te elimineeren met water bij gewone temperatuur, indien aanvankelijk 1 O is uitgedreven op het molecuul N Ag, O,, van het peroay-salpeterzuur zilver. Over het residu in de N-buis. Eerst werd uitgedreven 0.0347 gr. gemakkelijk vrijkomende zuurstof van 2.0072 gr. der oorspronke- lijke stof (zie pag. 5), dus bleef terug: es OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER 2.0072 gr. 0.0347 1.9725 gr. Zooals vroeger gezegd, werd het terugblijvende behandeld met water. Wat betreft het atoom zuurstof, dat werd geëlimineerd, zoo zal daarvoor in het vervolg worden genomen de theoretische hoeveelheid, zijnde deze 0.0339 gr. (dat derhalve een verschil geeft van 0.0347 gr. — 0.0339 gr. = 0.0008 gr), zoodat men heeft: 2.0072 gr. 0.0339 „ voor 1 O uitgedreven. 1.9733 gr. residu. 0.8745 ,, zilvermitraat +- zwarte stof medegevoerd 1.5988 er., Cc dus vertegenwoordigende de hoeveelheid residu, die zich zou moe- ten bevinden in de V-buis, ingeval namelijk de behandeling met water geen zuurstof had doen vrijkomen (later zal blijken, dat dit wel het geval is). Na plaatsing in een vacuum- exsiccator (met zwavelzuur) en te hebben uitgepompt, werd droge lucht toegelaten en gewogen. Deze bewerkingen driemaal herhalende, werd achter- eenvolgens voor het gewicht van het residu gevonden: eerste maal 15778 gr. tweede ,„ 155615 derde _,, Don en bijgevolg heeft men voor het gewicht van het terugblijvende na aanvankelijk uitdrijven van 10 op het molecuul, en behandeling daarna van de massa met water bij gewone temperatuur, dat van 1.5673 gr. Bijgevolg is het verschil: 1.5988 gr. 125080 0.0315.gr. Het uitdrijven van 10 op het molecuul WAg,0,,, eischt 0.0339 gr. zuurstof, berekend op 2.0072 gr. stof, dus een ver- schil met de theorie van: 0.0339 er. 0.0815 0.0024 gr. gevende. LE] aa) at (hu, EN EEN ZILVERBIOXYDE. 9 Er doet zich dus voor, een kleine overmaat in plaats van een te kort voor de geëlimineerde zuurstof, bij behandeling der massa (na aan- vankelijk uitdrijven van 1 O) met water, bij gewone temperatuur. Dus zouden nagenoeg 2 O zijn uitgedreven op het molecuul WV dy, O En aangezien het zilvernitraat WV O, 4g door het water is verwijderd (tegelijk met het tweede atoom zuurstof), kan er dus in de V-buis zilverbioxyde Ay, O, zijn teruggebleven (zijnde N Ay, O,, = 204 NO; Ay + 3 Ag Où). De V-buis met het residu (bedragende 1.5673 gr.) werd geplaatst in den toestel en het bad met kopervijlsel, en langzamerhand verhit bij stijgende temperaturen tot het gewicht constant bleef; of anders gezegd „ tot het zilverbioxyde 47, O, (verondersteld aanwezig te zijn) is omgezet in gewoon zilveroxyde 4y, 0. De volgende Tabel kan ons daaromtrent inlichten. Onder a, 4, e, d, e en f zijn achtereen- volgens gegeven het aantal dagen, de temperatuur, het aantal uren, de vermindering in gewicht telkenmale, de totale vermindering, en opmerkingen (zie de vorige Verhandeling 1. Vervolg van de tabel op pag. 5, betreffende de proef met Be- reiding N° 26 en 2.0072 gr. stof, zijnde thans 1 O op N Ag, O, _witgedreven, het terugblijvende behandeld met water bij gewone tem- peratuur, en daarna gedroogd, terwijl in de N-buis terugbleef 1.5673 gr. a b c d | e FA | 7e | L 26 60° 1 0 | 0 27 90 1 | 0.0006 gr. 0.0006 gr. 28 100 1 0.0008 | 0.0014 29 110 1 0.0035 | 0.0049 30 120 1 0.051 | 0.0559 31 130 1 0.0265 | 0.0824. 32 150 2 0.0156 | 0.098 33 200 ek 0.0033 | 0.1013 34 210 1 0.0009 | 0.1022 35 215 1 0.0002 0.1024. 36 220 1 0.0003 0.1027 37 295 1 0.0002 0.1029 38 230 | | 0.0004 | 0.1038 39 235 ] —0.0002 | 0.1031 40 240 1 | 0.0002 | 0.1033 *) Verhand. d. Kon. Akad. v. W. t. A. Eerste Serie. Deel V. N° 5, p. 35. 10 OVER HET PAROXY-SALPETERZUUR ZILVER Aangezien de twee laatste waarden elkander opheffen, werd de proef geeindigd. De hoeveelheid zuurstof door verhitten vrijgekomen, is bijgevolg 0.1033 gr., zoodat in de buis terugblijft 1.464 gr. gewoon zilver- oxyde, want men heeit: 1.5673 gew. residu, 0.1033 zuurstof vrijgemaakt 1.464 gr. zilveroxyde dg, O, dat op 100 gewone zilver-peroxyde beantwoordt aan: gevonden : Ag, 0, = Ag, SO tercht uitgedreven zuurstof 6.59 6.46 zilveroxyde (4g, 0) 93.41 93.54 100. 100, Dit lichaam is derhalve zi/verbioryde Ag, Oy. Zooals vroeger werd opgemerkt (pag. 8), is er een klein „te veel” van 0.0024 gr; en zooals nu blijkt, is de gevonden zuurstof wat hooger dan de theorische hoeveelheid. Men laat daar, in hoeverre hier is te den- ken aan de vorming van een weinig dg, O,, of, dat er alleen sprake is van eenige onzuiverheid (onder den vorm van water, enz.). In ieder geval is het besluit, dat, bij elimineeren van 1 O in den aanvang, behandeling daarna der massa met water (bij ge- wone temperatuur), de terugblijvende massa (na uitdrijven van het water) is zilverbiowyde Ag, Os. Maar zelfs yermag deze uitkomst met toe te laten, het besluit op te maken, dat bij aanvankelijk elimineeren van 1 0, in het residu zich bevindt monoxy-salpeterzuur zilver NO, Ag (zie pag. 3). Het doel der proef was, de reactie in dezen zin te vervolgen. De vraag herleidt zich tot de wetenschap, of, na uitdrijven van 10 op het molecuul WV dg, O,,, terugblift : N Ag, 0, = 0 4-3 As Oor WOE of, dat de reactie aldus verloopt: N Ag, O5 = 2 0 + 3 Ag, 0, + NO, Ag. In het laatste geval moet dan in het residu peroxy-salpeter- zuur zilver WV Ag; O,, zijn teruggebleven, want 1 WV 4g, O,, geeft EN BEN ZILVERBIOXYDE. 11 20, dus blijft bij uitdrijven van 1 O de helft onontleed terug. Om deze zaak ten deele te kunnen oplossen, moet b.v. bekend zijn de tijd noodig ter ontleding met water van de verbinding N Ag, O,,, in de gegeven omstandigheden. Nu is vroeger geble- ken, dat veel tijd daartoe wordt gevorderd, zelfs waanden, zonder nog het einde daarvan te zien. Maar er dient op gelet, dat er nog al ver- schil bestaat, of het lichaam onaangetast is, of in een poreuse massa is omgezet als gevolg van het uitdrijven van 1 O, zoodat het water capil- lair kan worden opgezogen. Daarom wil men liever den tijd vergelijken ter eliminatie met water van het zilvernitraat na uitdrijven van 1 O aan- vankelijk, met het geval van het uitdrijven in den aanvang van 2 O (gegeven in de vorige Verhandeling +). In dit laatste geval (name- lijk na uitdrijven van 2 0), heeft het water slechts het aanwezige zilvernitraat VO, Ag op te lossen. Maar in geval aanvankelijk slechts 10 werd vrijgemaakt, dan moet door het water worden geelimi- neerd hetzij WV O, Ag (zie boven), hetzij M O, Ag, ontstaan door ont- leding van MN 4g, O,, (dus wel van NO, dg, zijnde dit verbon- den met 3 dy, 0). Hieronder wordt het overzicht gegeven, wat betreft de snelheid van uittrekken van het zilvernitraat VO, dg, ingeval aanvankelijk 20 zijn verwijderd (in de vorige Verhandeling werd alleen het verkregen resultaat medegedeeld, dat toen voldoende was). Deze opgave is bijgevolg te vergelijken met die op pag. 7, welke be- trekking heeft op de snelheid van verwijderen van het zilvermitraat NO, Ag na aanvankelijk verwijderen van 1 0. Opgave betreffende de snelheid van uittrekken van het zilvernitraat NO, Ag, met water bij gewone temperatuur, na aanvankelijke eli- ce ae D we ORK minatie van 20 op N Ag, OU... a b | c d e A 02372 gr. | 0.2372gr. | 17 proc. 2 1 0.0336 0.2708 19.39 3 1 0.0077 0.2786 19.9 4 1 0.003 1 0.2817 20.18 5 1 0.0015 0.28382 20.29 , 6 2 0.0017 0.2749 20.41 7 i} 0.0029 0.2878 20.62 12 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER Zooals blijkt 1) is het verschil in tijd zeer duidelijk, maar dat kon wel niet anders (zie boven). Want er is tijd noodig ingeval van ontstaan van WV O, Ag, waarschijnlijk verbonden met 3 47, Os, om NO, Ag vrij te maken; en dan volgt de reactie 2 NO, 4g = OO + 2 NO, Ag, die eveneens tijd vordert. In aanmerking genomen, dat de zwarte kristallijne verbinding W4y, 0,, een betrekkelijk oneindig lange tijdruimte vordert, om het zoo uit te drukken, ter verwijdering van het VO, Ag; en dat er veel tijd toe wordt ge- vorderd, zooals weldra zal blijken, om zelfs bij ongeveer 100° dit NO; Ag met water te elimineeren (zie later), bestaat er wel kans voor de vorming van monoxy-salpeterzuur zilver VO, Ag (altijd uitgaande van de mol. formule N49, O,,, en de structuurformule 3 Ag, O,. NO; Ag). Maar wat betreft een aanname der vorming van NO, Ag, deze zou voorbarig wezen, en bijgevolg geen betee- kenis hebben. Vorming van zilverbioryde Ag, O,, door verhitten van peroay- salpeterzuur zilver NAg, O,, met water. Er werd uitgegaan van 2.0482 gr. stof van bereiding N° 26 (terwijl rekening werd gehouden met de hoeveelheid zuurstof ge- elimineerd bij staan; zie later over Bereiding n° 26), zijnde deze stof gedaan in de V-buis (gewogen met de stof, als volgens ge- woonte) van den toestel (zie vroeger). Er werd water bij gedaan en boven de open vlam verhit tot de kooktemperatuur (zij dit onge- veer een uur); hierbij kwam zuurstof vrij. Den volgenden dag werd de oplossing afgeschonken in een klein reservoir (vooraf gewogen) en ingedampt. Er werd opnieuw water bij gedaan, ongeveer even lang verhit, afgeschonken, enz., terwijl deze bewerkingen werden herhaald, tot de hoeveelheid zilvermtraat JV O, Ag ongeveer con- stant was (een kleine hoeveelheid der zwarte stof werd medege- voerd). De volgende opgave bevat de uitkomst. a b c d e | | | 0.2463 er. 0.2463 gr. 12.02 proc. a ee OEL 75 0.3688 LES 16 zh D 0.0095 0.3738 18.22 | Eee 0.0021 0.3754 18.32 Bid 0.0016 0874 18.41 6 | 0.0015 0.3785 18.45 Î | 0.0033 0.3818 18.65 ) Er wordt altijd wat van de zwarte stof meégevoerd (zie 1. c.). EN EEN ZILVERBIOXYDE. 13 De hoeveelheid van 0.3818 gr. (zilvernitraat medegevoerde zwarte stof) werd tweemaal behandeld met abs. alcohol (telkens één dag aan zichzelf overgelaten); er werd uitgetrokken 0.369 gr. (constant blijvende bij herhaald uittrekken), dat beantwoordt aan 18.01 pet. zilvernitraat N O, 4g (de formule N Ag, O,, = 3 Ag, Og. NO, Ag eischt 17.98 pct). Hetgeen onopgelost terugbleef, werd direct bepaald en gevonden 0.0124 gr., zijnde 0.3818 gr. — 0.369 gr. = 0.0128 gr. (dus een verschil gevende van 0.0128 gr. — 0.0124 gr. = 0.0004 gr.) Het in de V-buis terugblijvende, werd gedroogd in een vacuum- exsiccator, en gevonden 1.6021 gr.. Nu heeft men: 2.0482 gr. de oorspronkelijke stof: 0.3818 „ zilvernitraat + medegevoerde zwarte stof; verschil 1.6664 ,, \ En in de V-buis bleef terug 1.6021 gr. (zie boven), dus wordt gevonden: 1.6664 gr. 1.6021 „ 0.0643 „ verschil, dat betrekking heeft op de zuurstof die is uitgedreven bij het ver- Mtten der stof met water. Het uitdrijven van 1 O op het molecuul vordert voor 2.0482 gr. der oorspronkelijke stof een hoeveelheid van 0.0346 gr. zuur- stof (uitgaande van de formule MN 4g, O,,), bijgevolg makende voor 2 O op W Ay, O,, een hoeveelheid zuurstof van 2 XX 0.0346 gr. — 0.0692 gr. Dus is er een verschil met de theoretische hoe- veelheid zuurstof van 0.0692 gr. — 0.0643 gr. = 0.0049 gr; of anders gezegd, het gewicht van het residu, zijnde dat van 1.6021, is wat te hoog. Dit residu werd overgebracht in de V-buis van den toestel, en daardoor herleid tot 1.5921 gr. De buizen met chloorcalcium werden gewogen, met ’t oog op een mogelijk gehalte van het residu aan wafer, alhoewel deze bepaling bijkans overbodig zou kunnen geacht worden te zijn. Er werd langzamer- hand verhit tot en bij meer en meer hoogere temperaturen, en bepaald tevens de vermindering in gewicht van de V-buis. In de volgende Tabel bevindt zich onder d, a, 6, cen f achtereenvolgens: de temperatuur, de vermeerdering in gewicht van de buis met chloor- 14 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER calcium links en rechts geplaatst (van de V-buis); de vermindering in gewicht van de V-buis telken male en de totale vermindering (zie in verband met deze Tabel: de Tweede Verhandeling in de Verhand. d. Kon. v. W. t. A.). Tabel, betrekking hebbende op de ontleding van het residu, ont- staan door MN Ag, O,,, peroxy-salpeterzuur zilver, te behandelen met warm water, zijnde 1.5921 gr. d a b c VA 60° | 0.0003 gr. | —0.0003 er. 0 0 100 0.0008 —().0004 0.0007 gr. 0.0007 gr. 110 0.0002 —0.0003 0.002 0.0027 120 0.0002 0.0004 0.003 0.0057 130 0.0001 0.0008 0.0107 0.0164 L40 0.0003 0.00038 0.0726 0.089 150 | —0.0004 0.0003 0.004 0.093 200 0.0002 0.0003 0.0078 0.1008 210 0.0001 0.0002 0.0015 0.1023 220 0.0002 0.0008 0.0002 0.1025 240 0.00038 0.0002 0.0006 0.1031 250 0.0002 0.0008 0.0005 0.1036 260 0.000] 0.0002 0 0.1036. Vroeger werd in deze Verhandeling een overeenkomstige proef medegedeeld (zie pag. 9), maar toen werden de buizen met chloor- calcium niet gewogen. De kleine anomalién in het gewicht der buizen met chloorcaleium zijn wel het gevolg van het vochtige weder (veranderd op den dag bij verhitten tot en bij 200°), maar dit belet geenszins, om te besluiten tot de afwezigheid van water in het residu; een resultaat van eenige waarde, daar het een contrôle uitmaakt voor de bepaling der „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”. De Tabel doet zien, dat bij 150° betrekkelijk veel minder zuurstof is vrijgekomen dan den volgenden dag bij 200°. De reden hiervan is wel deze, dat den voorgaanden dag te weinig lucht was door- gegaan, om de vrijgeworden zuurstof behoorlijk te kunnen uitdrij- ven; de vermindering in gewicht van de V-buis moest dus te laag EN EEN ZILVERBIOXYDE. 15 uitvallen. Zooals reeds vroeger werd gezegd in meer of min overeen- komstige gevallen, is het doel in geenen deele, om de ontledings- temperatuur te leeren kennen van het zilverbioxvde; de getallen- waarden toch hebben meer een betrekkelijke waarde. Toch laat zich 00 ongeveer de ontledingstemperatuur van het zilverperoxyde kennen; en ook uit deze Tabel blijkt duidelijk, dat dit lichaam betrekkelijk vrij standvastig is, zoodat het wel bij gewone temperatuur niet ontleed zal worden, een eigenschap, die zal toekomen aan den rest NO; Ag van de verbinding N 4g, 0,, (—3 Ag, O,. NO; Ag). Dat het residu is zilverbioxyde dy, O,, volgt reeds uit de Tabel met groote waarschijnlijkheid. Het gewicht bedroeg (zie pag. 14), na in de V-buis te zijn overgebracht 1.5921 gr., terwijl bij ver- hitting een hoeveelheid zuurstof vrijkwam van 0.1036 gr. . Dit geeft: 1.5921 gr. residu 0.1036 „ vrijgekomen zuurstof. 1.4885 gr. zilveroxyde dg, 0. of berekend op 100 gew. d. zilverbioxyde, heeft men: gevonden:- Ag, 0, = Ag, O + O eischt: » gemakkelijk vrijkomende zuurstof ,, 6.5 6.46 zilveroxyde (Ag, 0) 93.5 93.54 100 gew. d. 100 gew. d. ~ De samenstelling van het residu beantwoordt dus zeer wel aan hetgeen de theorie verlangt voor de formule Ag, 0; alleen vertoont zich eenig gevonden surplus, zij het dan ook zeer gering (zie pag. 10). Gelukkig is men dan van nu af in ’t bezit van een geschikte methode, om zich zilverbioxyde dg, O, in zuiveren staat te verschaffen. Dit bioxyde is wel het eerste zilverperoxyde, hetwelk zich grondig zal laten bestudeeren, dat een bepaald voordeel aan- biedt ook voor de studie van het zilveroxyde Ag, O, tevens in verband met het zilver, met ’t oog op de at.-vol. en vele andere physische eigenschappen; alsmede in verband met chemische eigenschappen dezer lichamen, enz. Daarom wenschte men een betrekkelijk een- voudige methode te geven, die zou toelaten, dit lichaam meer in ‘t groot te maken en tevens zuiver, in werkelijkheid te bereiken bij het volgen van den, in de hieronder beschreven proef, gevolg- den weg. 16 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER Tweede proef genomen met het doel, een praktische methode te vinden ter bereiding van het zilverbiowyde Ag, O,. Er werd uitgegaan van Bereiding N°. 29 (behandeld als naar gewoonte, zie hierover vooral de Eerste Verhandeling), versch bereid (dat trouwens geen vereischte is; alleen dient men door wegingen de hoeveelheid zuurstof te kennen, die bij staan is vrijgekomen), en wel van een hoeveelheid van 9.8693 gr., dus betrekkelijk van veel materiaal. Dit werd gedaan in een groote reageerbuis, en water toegevoegd. Aangezien de buis later moest gewogen worden met het zilverbioxyde, aanvankelijk vochtig, dus te drogen in een gedeelte lijk luchtledig, werd de buis vooraf onder die omstandigheden ge- droogd en daarna gewogen. Thans werd opgespoord de laagste temperatuur waarbij de ontleding van het peroxy-salpeterzuur zilver (WV Ag, Où = 3 A93 02. N O; Ag) betrekkelijk gemakkelijk geschiedt, want het geldt hier meer een zaak van tijd (daar het lichaam onderhevig is aan zelfontleding), en er werd daartoe als geschikt bevonden de temperatuur aanvankelijk van 60°— 70°, daarna die van 70°—80°, en later die van 80°, ten minste voor z00- verre schijnt gebleken te zijn. De ontleding gaat dan merkwaar- dig regelmatig (de buis is geplaatst in een waterbad, met een thermometer in het bad). Op de buis wordt geplaatst een uitge- trokken en toegesmolten trechtertje, om een verlies te voorkomen aan zilvernitraat, als gevolg van een spatten door de ontwikkeling der zuurstof (en dit trechtertje later gewasschen). Er wordt een groot aantal uren verhit (zij dit drie dagen, en iederen dag ongeveer vijf uren), ten einde de ontleding volledig zij (en geen gas zich meer vertoont); te weten, uitgaande van genoemde hoeveelheid. Is deze bewerking afgeloopen, dan wordt de oplossing gedecanteerd, in een gewogen schaaltje ingedampt, en in de buis op nieuw water ge- daan (de buis wordt voorzien van een caoutchouc-ring, waaraan een stukje papier is gehecht, ten einde aan dezelfde zijde te kun- nen afschenken); en deze bewerking wordt herhaald, totdat het gewicht aan zilvernitraat VO, Ag genoegzaam constant is. Er werd gevonden (zie pag. 12): a b c d e ] 1 1.5139 gr. 1.5139 er 15.33 proc. 2 | 0.2236 1.7375 17.6 3 1 0.0445 1.782 18.05 4 | 0.0059 1.7879 sag 5 | 0.000] 1.7988 18.11 Fr re EN EEN ZILVERBIOXYDE. 17 Men ziet met een oogopslag, dat het water niets anders heeft te doen dan het zilvernitraat, hetwelk was gevormd, te verwijderen; en dat bij gevolg de ontleding van het dioxy-salpeterzuur zilver NO, Ag (zij N Ag, O,, = 349, O,. NO; Ag) volkomen is. Ook is de waterige oplossing kleurloos (en geen waarneembare hoeveel- heid van zwarte stof in surpensie werd medegevoerd), en tevens het zilvernitraat na indampen terugblijvende. Alleen wordt de op- lossing, die aanvankelijk volkomen helder is, later een weinig troe- bel. Uit de bovenstaande opgave blijkt, dat de hoeveelheid zilver- nitraat genoegzaam beantwoordt aan hetgeen de theorie verlangt, zijnde een gehalte van 17.98 pct. aan zilvernitraat. Hieruit volgt tevens in mindere of meerdere mate, dat het zilverbioxyde Ag, O, onoplosbaar is (wel te verstaan bijna onoplosbaar is) in water. La- ter zal blijken, dat het zilverbioxyde Ay, O,, alhoewel zeer weinig, iets oplosbaar is in water (ten minste zoo schijnt het geval te zijn; er zou een weinig zilverbioxyde kunnen ontleed worden en zilver- oxyde Ag, O gevormd). Deze oplosbaarheid zou het kleine ver- schil kunnen verklaren, of ten deele, met de theorie, zij dit van 18.11 — 17.98 = 0.13 proc De buis met het residu (vochtig, als gevolg der behandeling met water), werd vervolgens geplaatst in een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur). Na verloop van twee dagen werd droge lucht toegelaten , en de buis gewogen; daarna opnieuw geplaatst onder den exsiccator , en zoo vervolgens, tot het gewicht constant bleef (de bewerking be- hoefde trouwens slechts eenmaal te worden herhaald). Het gewicht van het residu was 7.7521 gr., dat zilverbioxyde Ag, O, moet zijn, afge- maakt de som uit van het zi/vernitraat en de „gemakkelijk vrij- komende zuurstof” (oxygène excédant’’) van het peroxy-salpeterzuur zilver (zij W Ag, O,, = 3 Ag, O,. NO, 49 — 3 490 + NO; Ag + 2 O). En door hiervan af te trekken de hoeveelheid zilver- nitraat, mj deze 1.788 gr. (zie pag. 16), blijft over: 2.1172 gr. — 1.788 gr. = 0.3292 gr., vertegenwoordigende de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (oxygène excédant”), van het WO; Ag (dioxy-salpeterzuur zilver), terwijl de theorie eischt 0.333 gr., dus een verschil gevende van 0.333 — 0.329 — 0.004 gr. (langs indireeten weg gevonden). Het zilvernitraat VO, 47 was iets te hoog, en waarschijnlijk wel tengevolge van de oplosbaarheid (ten minsten ten deele), alhoewel in hooge mate beperkt, van het zilver- bioxyde (4g, O,) in water (zie later), dat in de voorgaande bere- kening het zilverbioxyde (47, Op) te laag geeft, maar niet direct 3 Verhand, Kon, Akad. v. Wetensch. (1e Sectie). Dl. VI. A 2 18 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER van invloed is op de hoeveelheid ,,gemakkelijk vrijkomende zuur- stof”, indirect bepaald. Door berekening op 100 gew. d. peroxy- salpeterzuur zilver zal de uitkomst winnen in duidelijkheid. Men heeft op 100 gew. d. (zie Verhand. Kon. Akad. v. W. Deel III, nrd. Rl) zilveroxyde 73.56 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 8.46 zilvernitraat 17.95 mooste) Deze 8.46 gew. d. „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” vertegen- woordigen de 5 O (NV Ag, 0,, = 3 49, On. NO, Ag = 3 Ag, 0. 8 0: NO, Ag. 2:0 = 3 Ag, O=- NO, Ag —- HRO tana mi ines onderhavige geval komen slechts 2 O vrij (der 5 O), zoodat van „ 8.46 Dee 8.46 men heeft: -— ey ‚terwijl 1.692 X 2 — 3.384 gew. d. 5 zuurstof zijn (afkomstig van VO, dg = NO, Ag + 2 0); zij dit 3.38 gew. d. Het verschil van 8.46— 3.38 — 5.08 vormt dus met 73.56 gew. d. zilveroxyde de hoeveelheid op 100 gew. d. zitver- dioxyde (Ag, O + O = Ag, Oy), zoodat men heeft: zilverbioxyde 78.64 (73.56 + 5.08) „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 3.38 zilvernitraat 17.98 100 gew. d. Nu werd gevonden 7.7521 gr. zilverbioxyde 49, Os of 78.54 proc., en derhalve met de theorie gevonden een verschil van 78.64— 75.54 = 0.1 proc. Voor zilvernitraat daarentegen was gevonden 18,11 proc., dus een verschil gevende van 18.11—17.98 = 0.13 proc. in tegengestelden zin. Dus heeft men op 100 gew. d.: gevonden: theoret. hoev.: zilverbioxyde 78.54 18.64 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 3.30 3.38 zilvernitraat 18.11 17.98 100 gew. d. 100 gew. d. EN EEN ZILVERBIOXYDE. 19 De 3.35 proc. „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” zijn indirect bepaald (zij dit = 100—78.54—18.11). Er doet zich slechts voor een verschil van 3.38—3.35 — 0.03 proc. met de theorie. Het is dus geoorloofd te zeggen, dat de gevolgde methode toelaat, om zich het zilverbioxyde te verschaffen in zuiveren staat (zie vroeger de gedane analysen). Maar er volgt uit, en dit is van meer be- lang, dat in het molecuul WV dg, O,,, werkelijk is aan te nemen, ten minste voor ‘t oogenblik: WV dg, O,, = 3 Ag, O,. N O, Ag, de aanwezigheid van twee endo-thermische resten (Ag, O, en NO, Ag), door verhitten met water zeer duidelijk te scheiden. Derde proef, betrekking hebbende op de bereidingswijze van zilver- bioæyde Ag,O,, Ken hoeveelheid van 8.0513 gr. peroxy-salpeterzuur zilver (W Ag, O,, = 3 Ag, O,. N O; Ag) werd met water verhit in een groote reageerbuis, geplaatst in een waterbad, aanvankelijk. bij 60°— 70° gedurende ongeveer zes uur, vervolgens bij 70°—80° de drie volgende dagen, iederen keer ongeveer eenzelfden tijd, totdat er hoegenaamd geen gas vrijkwam, en daarna nog eenige uren verhit. Den daarop volgenden dag werd afgeschonken, op nieuw water toege- voegd, afgeschonken en zoo vervolgens (bij gewone temperatuur), tot- dat de afgeschonken vloeistof een zeer zwakke reactie geeft b.v. met verdund zoutzuur. De buis werd, na afschenken der vloeistof, geplaatst in een vacuum-exsiccator. Later let men dan droge lucht intreden, en werd de buis gewogen. Na herhaling dezer be- werkingen, werd voor het constant gewicht gevonden 6.321 gr. van het terugblijvende, overeenkomende met 78.5 proc. zilverbioxyde, terwijl de formule vordert 78.64 proc., dat derhalve een verschil geeft van 0,14 proc. Alle hoeveelheden der afgeschonken vloeistof werden bij elkander gedaan, en toen zette zich zeer weinig af van het peroxyde, mechanisch medegevoerd , terwijl dit oxyde wellicht tevens een weinig oplosbaar is in water (zie pag. 17), zoodat gemeld klein verschil met de theorie, een verklaring zou kunnen vinden. Over de structuur van perovy-salpeterzuur zilver. In verband vooral met de laatst verkregen uitkomst, is de verdeeling der 5 atomen „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” in 5 O = 3 O + 2 0 meer een feit geworden, zijnde in overeenstemming met de vroeger verkregen uitkomst 5) (toen werd evenwel het peroxy-salpeterzuur zilver verhit in een zeer langzamen stroom van droge lucht). Bij gevolg stemt hiermede ook overeen de structuurformule MN dg, 0, = 3 dg. 0, NO, Ag, en door eerstgenoemd resultaat met des te meer recht, aangezien de verbinding 4g, O, terugblijft. Met water scheidt als 1) Zie de vorige Verhandeling. bo A 20 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER = 7 a '¢ ware de twee endothermische resten Ag, O, en NO, Ag. En men zou kunnen veronderstellen, dat er bij het verhitten met water dissociatie intreedt van de verbinding dezer resten, als gevolg waar- van een zekere hoeveelheid dioxy-salpeterzuur zilver A O; dg in oplossing treedt, en onder die omstandigheden intreedt de ontleding : NO, 4g = N O, Ag +2 0. Bij verhitten zonder water (in een zeer langzamen stroom van droge lucht) ontmoet men (bij het aanvankelijk elimineeren van 2 0, of liever bij de poging om dit te doen) waarschijnlijk een secon- daire reactie '), zooals vroeger werd aangetoond. Dit doet zich niet voor bij verhitten met water, en de boven gegeven verklaring moge dit eenigermate toelichten. Over eenige scheikundige eigenschappen van zilverbronyde Ag, O,. Het peroxyde is oplosbaar in sterk salpeterzuur en tevens in zwavel- zuur, met Arwine kleur. Deze oplossing blijft vrij lang gekleurd, uitgaande van deze zuren in geconcentreerden toestand , daarentegen bevordert aanwezigheid van water de snelheid van ontleding, en te meer, naarmate de hoeveelheid hiervan grooter is, aldus: vo Ag, O, + 4 NO). OH = 4(N 0,.049) +2 H, O+ 00 en ww Ags 0, + 2 S0,. 2 OH = 2 S0,.2 0.49 2 H, O + OO. Peroay-salpeterzuur zilver N dg, O,, (aij dit: 3 Ag, O,. N O, Ag) vertoont dezelfde eigenschap, vroeger ten onrechte beschouwd als te zijn zilverbioxyde dy, O,, dat nog al verschilt met de waarheid, tegenover zuren als VO, H en SO, H; en het blijkt thans duide- lijk, dat dit peroxy-salpeterzuur zilver slechts een moleculaire ver- binding is, waarin de rest 3 47, 0, zich bijkans even duidelijk vertoont als uitgaande van het peroxyde als zoodanig; van daar, ten minste ten deele, die verwarring in de chemische litteratuur, wat dit onderwerp betreft. Azijnzuur schijnt het peroxyde niet op te lossen. In bijzijn van water wordt het alzoo ontleed: 2 Ag, Où + A(C Hy O. OH) = A(C H, 0.0 Ap) +2 HO + 00. Over eenige physische eigenschappen van zilverbioryde Ags Ce be- nevens N Ag, O,, en NO; Ag. Er is reden te vermoeden, dat ailverbioxyde betrekkelijk een vrij goede geleider is voor electriciteit , EN EEN ZILVERBIOXYDE. 21 zooals dit het geval is met het peroxy-salpeterzuur zilver N dg, O,, (aj dit: 3 dg, O,. NO, Ag). In de eerste plaats toch maakt zilverbioxyde er het grootste deel van uit; en de andere rest NO, Ag zal wel een tamelijk slechte geleider zijn voor electri- citeit. Aangenomen, dat dit zoo is, zou het peroxyde betrekkelijk een betere geleider zijn voor electriciteit dan het geval is met het peroxy-salpeterzuur zilver (V Ag, O,,). De kleur van zilverbioxyde Ag, O, (gemaakt door verhitten van N Ag, O,, met water) is ongeveer die van graphiet (terwijl de kleur van peroxy-salpeterzuur zilver eerder die is met zwart bestempeld) met meer of minder glans, maar niet in een dusdanige mate, als dit zich voordoet bij peroxy-salpeterzuur zilver. Maar bij elimi- neeren, zonder gebruik te maken van water, zelfs van 2 O (dus op het molecuul „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” N Ay, O,,), handhaaft zich bijkans geheel de oorspronkelijke kleur van het product (zij dit WV Ag, O,,); zie hierover de vorige verhandeling. De behan- deling der massa met wafer (ter verwijdering van het zilvernitraat N Os, Ag) laat echter veeleer de kleur naderen tot die van graphiet. Er volgt uit met eenige waarschijnlijkheid, dat de kleur van dg, O, in den grond genoegzaam dezelfde zal zijn als die van MN Ag. O,,, dat wel zijn kleur heeft te danken aan het zilverbioxyde 4g, O,. Men besluit er daarenboven uit, dat het dioxy-salpeterzuur zilver N O, Ag als zoodanig, kleurloos zal blijken te zijn. Over het zilveroayde Ag, O afgeleid van Ag, O. Het mag geacht worden van belang te zijn, een zelfde physische constante van lichamen te bepalen, of een physisch-chemische constante, die groote verwantschap bevatten. In zekere gevallen kan het zijn belang hebben, dat deze stoffen van elkander zijn afgeleid. Men heeft hier bv. op het oog dy, Ag. O, Ag, O, en N Ag, O,,. Ook laat zich, wanmeer b.v. 4g, O, thermo-chemisch is nagegaan, door een studie in dien zin van WV dg, O,,, indirect VO; Ag thermo-chemisch ken- nen , daar men heeft: WV Ag, O,,— 3 dy, O, = N O, Ag (tot nog toe onbekend). Het zilveroxyde 49, O, afgeleid van het zilverbioxyde Ags Oz, door uitdrijven van 1 O, schijnt op ’t oog een eenigszins ander lichaam dan het gewoon zilveroxvde dg, O. Maar dit moet worden nagegaan. Wat de kleur betreft is Zafer opgemerkt, dat deze een meer of min brwine tint vertoont, die doet denken aan de kleur van zilver- bioxyde Ag, O, opgelost in salpeterzuur (of zwavelzuur). Niet on- waarschijnlijk zal dit. oxyde een tamelijk goede geleider zijn voor electriciteit, alhoewel misschien in een mindere mate dan het ge- val is met genoemd peroxyde. Een vergelijking van het electrisch geleidendvermogen dezer twee oxyden in verband met het zilver iw to OVER HET PEROXY-SALPLTERZUUR ZILVER daarvan afgeleid, zou zeker belangrijk kunnen zijn; en wel vooral in verband met dat van het peroxy-salpeterzuur zilver (W dg, O14), het dioxy-salpeterzuur zilver, enz. '). à ; Over de oplosbaarheid van zilverbioayde in water. Laat men dit peroxyde langen tijd in aanraking met water, en ter vergelijking evenzoo gewoon zilveroxyde (47, 0), en wel beide onder genoeg- zaam dezelfde omstandigheden (b.v. hoeveelheid stof en water dezelfde zijnde), dan kan men er zich van overtuigen, dat beide (4, O is afgeleid van Ag, O,) een weinig oplosbaar zijn in dit oplossingsmiddel of juister uitgedrukt, dat deze twee oxyden de reactie geven van zilver met verdund zoutzuur, dat piet hetzelfde is; zie beneden. Aanvankelijk verkreeg men den indruk, dat het zilverbioxyde de reactie veel zwakker geeft dan gewoon zilveroxyde. Daarna werd het bioxyde nog langen tijd verhit met water bij ongeveer 80°, ten einde zeker te zijn, dat de stof geen sporen meer bevat van per- oxy-salpeterzuur zilver (V 4g, O,,), want dat zou eenig zilvernitraat geven in oplossing, en dus de uitkomst onzeker maken. Het water werd afgeschonken en opnieuw water toegevoegd; en toen scheen de reactie op zilver sterker te zijn van het peroxyde en het verschil geringer met het gewone oxyde, bij ververschen van het water, steeds na minstens een dag te hebben gestaan bij gewone tempe- ratuur. Op dit oogenblik laat zich niet zeggen, of het bioxyde een weinig oplosbaar is in water (te weten in een waarneembare mate), of wel, dat een geringe hoeveelheid wordt ontleed, b.v. alzoo: Ag, 0, + H, 0 = Ag, O +- H, O, (me overigens. later): Dit zou een bijzondere studie vorderen, die tamelijk samenge- steld kan zijn, bij vergelijking der gegevens met zilveroxyde. Over de verschillende peroxyden van zilver in de scheikundige iitteratuur, en de bestaande verwarring dienaangaande. Met ’t oog vooral op deze verwarring, wenschte men in ’t kort een overzicht te geven van onze tegenwoordige kennis aangaande dit onderwerp. Peroxyden van zilver laten zich vormen, of werden en zijn geacht te worden gevormd onder de volgende omstandigheden: \° Bij electrolyse van zilvernitraat. Dit zou trouwens reeds tot de geschiedenis behooren, ware het niet, dat men deze dwaling nog dikwerf in de chemische litteratuur aantreft. In ieder geval is aangetoond, dat het lichaam van Ritter zich, tenminste thans, laat teruggeven door de formule WV dy, O,,, die vrij veel verschilt van ') Zie de vorige Verhandeling. EN EEN ZILVERBIOXYDE. 23 Ag, O,. Dit molecuul kan overigens worden teruggegeven, met ’t oog op de bekende feiten, als te zijn: N dy, O,, = 3 Ag, O,. NO, Ay; b.v. heeft men slechts peroxy-salpeterzuur zilver (A Ag, O,,) te ver- hitten met water, om zuiver zilverbioxyde Ay, O, te zien optreden als residu |). 2° Bij electrolyse van zwavelzuur zilver. In deze richting werd slechts één proef gedaan door Fischer ?), die echter zijn verkregen product miet onderwierp aan analyse. Deze scheikundige veronder- stelt, dat de samenstelling der zwarte stof (die wordt afgescheiden aan de anode, zooals in het vorige geval) overeenkomstig zal zijn met het product der electrolyse van zilvernitraat (zie hierboven), waarvoor deze scheikundige aannam de formule: 2 dg, 0,.N 0, 4y. HO (maar deze is: WV dg, O,, = 3 Ag, 0,. NO, Ag). Dit onder- werp zal later uitvoerig worden behandeld, en het zij voldoende, hier te doen opmerken, dat dit lichaam bij verhitten met water als residu geeft zilverbioxyde dg, O,. Het lichaam waarvan sprake is, zal waarschijnlijk wezen een peroxv-zwavelzuur zilver van ana- loge structuur als het peroxy-salpeterzuur zilver (V Ag, O,,, zie hierboven); het geeft dan ook bij verwarming met wafer, zuurstof (zie de volgende Verhandeling) zooals dit geschiedt met het afge- leide van zilvernitraat door electrolyse, dat tevens als residu geeft zilverbioxyde Ag, O, (zie deze Verhandeling vroeger). 3° Ælectrolyse van verdund zwavelzuur met zilver als anode. Naar tschijnt het eerst gedaan door Wohler *), die een zwarte amorphe massa zag gevormd worden. Deze scheikundige hield zijn lichaam voor identisch met dat van Ritter, welke verbinding toen vrij algemeen werd beschouwd als een zilverperoxyde (of, wat het- zelfde is, als een zilversuperoxyde). Wohler deed geen analyse van zijn product, maar is geneigd aan te nemen, dat dit een zilver- superoxyde is (zie boven), zooals dit, naar W. aanneemt, het ge- val zou zijn met het lichaam van Ritter (zie boven), en een pro- duct verkregen door Schönbein (zie onder 4°). De kans schijnt zeer groot, dat het lichaam van Wohler als essentiëel bestanddeel bevat peroxy-zwavelzuur zilver (zie onder 2°), want er ontstaat zeker zwavelzuur zilver (SO, dg.) aan de anode, en dit zout zal worden omgezet in peroxy-zwavelzuur zilver, zooals het geval zou zijn uitgaande van zwavelzuur zilver SO, dg, als zoodanig (bij welke electrolyse vrij zwavelzuur optreedt). ") Zie deze Verhandeling pag. 12, 16, 19. *) J. 1. pr. Ch. Bd. 33 S. 240, 245 (1844). *) Ann. de Ch. u. Pz. Bd, 146 S. 263 (1868). 24 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER \° Peroxyde van zilver van Marschall!) Een oplossing van per- zwavelzure potasch (aan welke verbinding Guido Moeller ?) de formule S O, K, geeft, zie de volgende Verhandeling) zou met een oplossing van zilvernitraat WO, dg een zwart lichaam vormen, naar gemelden onderzoeker zijnde een peroxyde van zilver (zie de volgende Ver- handeling over de electrolyse van zwavelzuur zilver). Maar ook van dit product werd geen analyse gedaan. Mogelijk is (maar op dit oogenblik laat zich dit niet bepaald zeggen), dat dit neér- slag is peroxy-salpeterzuur zilver (W Ag, O,,), of veeleer een peroxy- zwavelzuur zilver; maar waarschijnlijk is het geen zilverperoxyde als zoodanig. In ieder geval ontbreekt de analyse. 5° Het zilverperoeyde van Malvern Iles *). Door inwerking van kiezelzuur op zilvernitraat zou een rood gekleurd lichaam ont- staan, en dit een peroxyde van zilver wezen der formule dg, O,. Maar, zooals men reeds deed opmerken ®, is het bestaan dezer stof onder zulke omstandigheden bezwaarlijk aan te nemen. 6°. Over de verbinding ontstaan door ozon en zilver. Deze reactie schijnt het eerst te zijn verricht door Schönbein °), die ons mede- deelt, dat op die wijze zilverbioxyde dy, O, (nieuwe formule) in zuiveren staat is te maken. Maar deze wel bekende scheikundige, deed geen analyse van zijn verbinding, dat des te meer te be- jammeren is, omdat ook hij zilverbioxyde verwart met het lichaam van Ritter (zijnde dit MN dg, O,,), trouwens toenmaals genoegzaam algemeen beschouwd als te zijn een zilverperoxyde (slechts een weinig s/ifstof bevattende, en wel in den vorm van zilvernitraat, maar als bijmengsel; zooals andere scheikundigen, was ook Schönbein deze meening toegedaan). Het lichaam van Schönbein is in ieder geval nog te determineeren, want, gelijk reeds gezegd, werd het door hem miet geanalyseerd, en na hem hield men er zich miet mede onledig. Deze scheikundige maakt wel melding van de eigenschap zijner verbinding van in salpeterzuur te worden opgelost met bruine kleur (een eigenschap die het zilverbioxyde Ag, O, als zoodanig toekomt, afgeleid van het peroxy-salpeterzuur zilver of het lichaam van Ritter, en het lichaam van Ritter zelf); maar dit bewijst niets met betrekking tot de verbinding waarvan sprake is, ‘) Journ. of the Chem. Soc. 1891. p. 771. *) Z.f. Phys. Chem. XII. S. 555. ‘) Dict. de Wurtz, Supplém. II, p. 362. ‘) Zie Verhand. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam. (Eerste Sectie, D, V. W°. 5 p. 36 (1897). *) J. f. pr. Ch. Bd, 74, S, 322 (1858), / EN EEN ZILVERBIOXYDE. 25 want een ander peroxyde van zilver zou eveneens deze eigenschap kunnen bezitten. 4. Verbinding gemaakt door ozon en zulveroayde Ag, O. Deze reactie werd ten uitvoergebracht door Schiel 5, die hiervan slechts mededeelt, dat geozonificeerde zuurstof geleid over droog zilver- oxyde doet ontstaan zilversuperoxyde (Ag, O,). Maar ook deze schei- kundige analyseerde zijn product niet, zoodat iedere bespreking omoodig is; en er behoeft alleen te worden gezegd, dat dit lichaam onderzoek vereischt. 8°. Verbinding gevormd door inwerking van ozon op een waterige oplossing van zilvernitraat. Er staat opgeteekend ?), dat ozon met zilvernitraat (er wordt verondersteld, dat hier is bedoeld „in oplos- sing’) een néerslag geeft met blauwachtig zwarte kleur, dat zilver- peroxyde zou wezen (Ag, O,). 9°. Over een lichaam ontstaan door waterstofbioryde 11, O, en zilveroayde Ag, O. Ken zeer wetenswaardige studie werd van deze reactie verricht door Berthelot. Volgens dezen natuuronderzoeker is het scheikundig proces door de volgende vergelijking terug te geven: BRE 0; 3 49, O3 H,OH3 0+ Ay, Os + Ago. Dit zilverperoxyde zou weinig standvastig zijn, zelfs bij gewone temperatuur (en geplaatst zijnde onder een exsiccator), en niet in watervrijen toestand kunnen optreden, maar alleen als hydraat. In een artikel # over ,,zilver’’, geredigeerd door Willm, komt voor, dat dit peroxyde zonder twijfel hetzelfde is als dat verkregen met ozon en zilver. Wat de samenstelling betreft (de structuur wordt geheel ter zijde gelaten), kan het peroxyde van Berthelot aldus worden beschouwd: Ag, O3 = Ag, O+ Ag Os. Om dit lichaam beter te leeren kennen, zou een vergelijkende studie met het zilverbioxyde 4g, O,, waarvan sprake is in deze en de vorige Verhandeling ®), zeer gewenscht zijn. *) Ann. Ch. u. Ph. Bd. 132.-S. 322 (1864). *) N. Handw. d. Ch. v. Fehling-Hell, Bd. VI. S. 1319. 3) Ann. Ch. et de Phys. Sér. 5. T. 21, p. 167; 1. c. Sér. 7. T. 11, 217 (1897); Zie Dict. d. Ch. de Wurtz. Suppl. IL, p. 362. A Dict. de Wurtz 1. ec: p. 262. *) Zie „Verhand. d. K. Akad. v. W. te Amsterdam” (Eerste Sectie), Deel V. N° 5, p. 35; en deze Verhand. p. 1—25. 26 OVER HET PAROXY-SALPETERZUUR ZILVER Directe bepaling der „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van dioæy- salpeterzuur zilver NO; Ag (deel witmakende van het peroxy-salpeter- zuur zilver: N Ag, 0, = 3 Ag, 0,. NO; Ag). Daarvan uitgaande, dat de ontleding van peroxy-salpeterzuur zilver bij verhitting met water geschiedt volgens de vergelijking: 30490; N'Ordg = 3 Ags Osis MO AT ee aoe zou men een poging kunnen wagen, om de „gemakkelijk vrijko- mende zuurstof”, die wordt geacht hierbij optetreden (zij deze 2 0) langs directen weg te bepalen. Voor ’t oogenblik worden twee bepalingen medegedeeld, om in een volgende Verhandeling of later op dit onderwerp terug te komen, dat van betrekkelijk gewicht is, daar het hier wellicht betreft een nieuw zuur van stikstof, en in dat geval in meer dan één opzicht van beteekenis. Toestel ter bepaling der gemakkelijk vrijkomende zuurstof van NO, Ag, en bewerkingen, die zich daar aansluiten. De stof (V Ag, O,,) bevindt zich met water in een #/ein glazen buisje (gemaakt van een gedeelte eener verbrandingsbuis voor elementair- analyse), dat is witgetrokken, terwijl het witgetrokken gedeelte is omgebogen, teneinde de vrijkomende zuurstof te kunnen doen gaan in een in c.c. verdeelde buis (gelijk aan die gebruikt bij een stikstof- bepaling naar Dumas), welke gevuld is met wafer en geplaatst in een klein (glazen) schaaltje, tevens met water gevuld. De bewer- kingen in acht te nemen zijn de volgende. De kleine uitgetrokken en omgebogen buis is in de eerste plaats met water te vullen, daarna te verhitten bij de kooktemperatuur, om de opgeloste lucht te verdrijven (men begint liefst met te verhitten in een waterbad). Is de buis afgekoeld, dan wordt die aangevuld met water (zoodat de buis geheel en al met water is gevuld), en thans laat men er de stof invallen, gebruik makende van een klein (glazen) trechtertje, en cen caoutchouchuisje. Ten slotte wordt een weinig water gedaan in het trechtertje, en met een platinadraad laat men zooveel moge- lijk de drijvende deeltjes vallen op den bodem van het kleine buisje. Is dit gedaan, dan wordt het trechtertje verwijderd (in het uitge- trokken en omgebogen gedeelte weder een weinig water gedaan, als dit blijkt noodig te zijn), en dan het uitgetrokken einde van het buisje geplaatst in het water van het schaaltje, zoodat het uiteinde zich bevindt onder de verdeelde buis (die water bevat, dat niet is bevrijd van lucht); terwijl de kleine buis, waarin de stof zich bevindt, wordt geplaatst in een waterbad. Het is raadzaam eerst te verhitten bij ongeveer 60°—70°, vervolgens bij 70°—80° EN EEN ZILVERBIOXYDE. 27 en bij 80° (in het waterbad bevindt zich een thermometer). De bepaling vereischt eenige uren (ten minste, als men bijkans alle zuurstof wil doen ontwijken, waarvan sprake is). Ingeval het volumen aan zuurstof niet noemenswaardig meer toeneemt, wordt het water- bad weggenomen, en daarna het buisje eenige oogenblikken verhit boven de vlam, om de zuurstof, in dit buisje zijnde, door wat stoom te brengen in de verdeelde buis (er is een thermometer geplaatst dicht bij deze buis). En zoodra het volumen niet meer merkbaar verandert, wordt dit afgelezen, zoomede het verschil in waterniveau, en tevens thermometer met barometer. Kerste bepaling. Ven hoeveelheid _peroxy-salpeterzuur zilver (MAg, O,,) van 1.0366 gr. gaf 24.7 c.c. zuurstof bij 24.7°, met een verschil in waterniveau van 300 mm. bij 24.7°, terwijl de barometer aanwees 764.7 (bij 24.7°). Tweede bepaling. Er werd uitgegaan van 2.616 gr. peroxy- salpeterzuur zilver afkomstig van dezelfde bereiding. De hoeveelheid vrijkomende zuurstof bedroeg 62.2 c. c. bij 23° en 758.2 bar. (bij 22.5°); terwijl het verschil in waterniveau bedroeg 202.5 mm. bij 23°. Berekend op | gr. stof, was bij staan aan zuurstof geëlimineerd 0.00056 gr. (zie Bereiding N° 27 later), dat beantwoordt aan 0.4 c. c. zuurstof (bij 0° en 768 mm). Hierbij zij tevens opgegeven, dat uitgaande van de formule V dg, O,,, het uitdrijven van 2 O (van NO, Ag) overeenkomt met 23.54 c.c. (bij 0° en 760°) voor 1 gr. peroxy-salpeterzuur zilver. In de Tabel hieronder bevindt zich achtereenvolgens opgegeven: a. de hoeveelheid peroxy-salpeterzuur zilver, waarvan werd uit- gegaan ; b. het aantal e.c. zuurstof; c. de temperatuur der zuurstof; d. de waarde van H—H'—H", zij dit de barometrische druk, verschil in waterniveau, en spanning van den waterdamp, alles in mm. kwik van 0°; e. de hoeveelheid zuurstof in c.c. bij 0° en 750 mm. f. deze berekend op 1 gr. der stof, medegerekend de kleine aan te brengen correctie (zie boven); 28 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER 4. de theoretische hoeveelheid zuurstof voor 1 gr. stof; h. de gevonden zuurstof uitgedrukt in atomen en gedeelten; i. de theoretische hoeveelheid in atomen. De opgave hiernevens geeft dit alles weder, voor de eerste en tweede bepaling (I en ID: a b c d e vA g h l L 1.03866. 24.7 ° 9427: 7 VOM ATEA 215) 28 0 Aer ey NRS, IL 2.616 62.2 23 1198 DAS len, 1.79 In plaats van twee atomen zuurstof (2 0), is bijgevolg gevonden ongeveer 1.8 O, dus 0.2 minder dan vereischt wordt door de theorie (NO, dg = 2 0- NO, Ag). In de eerste plaats moet er de aan- dacht op worden gevestigd, dat de analyse van het residu getal- lenwaarden heeft gegeven (zie deze Verhandeling), die geheel beant- woorden aan hetgeen zilverbioxyde dg, O, vordert (V dg, O,, = 3 Ag, O3 + N 0, Ag +2 0); en dat de analyse van peroxy-salpeter- zuur zilver (W Ag, O,,) bij verhitten zonder water heeft gegeven 5 O voor het totale gehalte van „gemakkelijk vrijkomende zuurstof.” 2D Hieruit volgt derhalve, dat dit tekort van 0.2 O redenen moet hebben, die onafhankelijk zijn van de reactie als zoodanig, maar te zoeken in bronnen van fouten, die zich voordoen. En, het valt niet moeielijk eenige er van te leeren kennen, die vrij duidelijk zijn; daarenboven is niet buitengesloten, dat een of meer neven- reacties optreden (onafhankelijk van het zilverbioxyde Ag, O,, dat er wel geen deel aanneemt, en dat als residu wat zuiverheid be- treft boven iedere verdenking staat; zie vroeger deze Verhandeling over de analytische gegevens). Als bronnen van fouten kunnen b.v. de volgende worden gere- kend, of zouden deze gerekend kunnen worden. 1° Wanneer de stof in aanraking komt met het water bij gewone temperatuur, dan komt een weinig gas vrij; en, naar het voor- komt meer, ingeval de stof vrij langen tijd is bewaard geworden. Dit doet zich niet voor, ten minste niet merkbaar, dadelijk na de bereiding, als de massa nog vochtig is (na wasschen met water). 2° Er drijven altijd eenige deeltjes der verbinding op het wa- ter, die den bodem van het buisje niet kunnen bereiken als gevolg van gasbelletjes die deze deeltjes dragen, zelfs als men ze tracht met een platinadraad los te krijgen (zie een weinig vroeger). 3° Een kleine hoeveelheid stof gaat drijven (door dezelfde oor- zaak als opgegeven onder 2°), na zich aanvankelijk te hebben be- vonden op den bodem van het buisje; en bevindt zich een vol- EN EEN ZILVERBIOXYDE. 29 CA doende hoeveelheid gas in het gebogen gedeelte, dan valt gezegde hoeveelheid stof ten deele in het schaaltje (waarin de verdeelde buis is), terwijl een ander gedeelte daar blijft, en het overige andermaal valt op den bodem van het buisje (bij het verhitten). 4° Zooals bekend, is zuurstof oplosbaarder in water dan stikstof, en het water der verdeelde buis was verzadigd met dampkrings- lucht. Daarin zou trouwens ook kunnen worden voorzien, en wel- lieht zal dit bij latere bepalingen geschieden. 5° Ben kleine hoeveelheid zuurstof blijft in het residu, omdat niet al het peroxy-salpeterzuur zilver wordt ontleed, aangezien dit te veel tijd zou vorderen. 6° Ten slotte is na te gaan, of er ook soms een nevenreactie (of reacties) plaats heeft (b.v. vorming van //, O.). Nog vele directe zuurstofbepalingen zullen worden verricht van het dioxy-salpeterzuur zilver VO; Ag (als deel optredende van het peroxy-salpeterzuur zilver WV Ag, O,,, zij dit: 3 dg, O,. NO; Ag), en wel in de eerste plaats uitgaande van een grootere hoeveelheid stof, terwijl in de methode van analyse eenige wijzigingen zullen aange- bracht worden. Ook zal men trachten na te gaan, of zich ook se- condaire reacties voordoen. Het onderwerp verdient wel de aan- dacht, want een verbinding meer met zuurstof van een element als de stikstof, dat een zoo groote rol heeft te vervullen, kan wel niet nalaten gevolgen te hebben (die thans niet te voorzien zijn), en dat wel vooral, omdat den oxyden van stikstof een uitgestrekt veld voor arbeid is toegewezen. Het peroxy-salpeterzuur zilver in het gedeeltelijk luchtledig. Met het doel, zich zilverbioxyde 4g, O, te verschaften, had men in een groote reageerbuis gedaan peroxy-salpeterzuur zilver (W 49, 0,,) versch bereid, maar droog (zijnde Bereiding N°. 29, zie pag. 16), en wafer toegevoegd. Aangezien een kleine hoeveelheid stof in zweving was (als gevolg van eenig vrijgekomen gas, zich hechtende aan eenige deeltjes der stof), wilde men trachten deze op den bodem der buis te verzamelen (met ’t oog op een directe zuurstofbepaling van NO, Ag, deel uitmakende van W Ag, O,, = 3 Ag: 2. N O, Ag), door eerst een gedeeltelijk luchtledig te maken, en vervolgens lucht te doen toetreden (in een vacuum-exsiccator), maar deze bewer- king gelukte niet. Daarentegen kon men er zich van overtuigen, dat een herleiding van den gewonen atmospherischen druk tot slechts eenige millimeters, zeer weinig invloed schijnt te hebben op de ontledings-snelheid van peroxy-salpeterzuur zilver (of liever van dioxy- 30 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER salpeterzuur zilver WV O; Ag, dat er deel van uitmaakt; het zilver- bioxyde Ag, O, had toch wel genoegzaam bewezen, van onder zulke omstandigheden vrij standvastig te blijven, zie vroeger). Maar het moet gezegd, de kans daartoe is niet groot, met ’t oog op de beperkte ontledings-snelheid van het peroxy-salpeterzuur zilver bij gewone temperatuur, en den tijd vereischt ter ontleding van het peroxy- salpeterzuur zilver bij verhitten met water, of liever van het bioxy- salpeterzuur zilver N 0; Ag, daarvan deel uitmakende (W dg, O,, = 3 Ag, Os. NO; Ag); zie vroeger. Over zelfontleding van peroay-salpeterzuur zilver N Ag, O,, (= 3 Ag, Os. N Os Ag). Men heeft thans tot zijn beschikking de uit- komsten hierop betrekking hebbende van twee Bereidingen , namelijk die van N° 25 en N° 26, welke miet minder dan 12 maanden en zelfs nog daarenboven hadden gestaan, en wel onder een exsic- cator (met zwavelzuur), terwijl de stof was vervat in een buisje (met glazen stopje, ziet ingeslepen). De opgaven zijn verstrekt in denzelfden vorm als zulks geschiedde in de twee eerste Verhande- lingen 1. Nemen we b.v. de opgave betreffende Bereiding N° 25, De Tabel doet ons zien onder y, dat de hoeveelheid stof, die nog een weinig vochtig was (korten tijd na het wasschen) aanvankelijk bedroeg 5.7582 gr., en na drogen (op een horologieglas) 5.7857 gr. (zijnde 5.7882 gr. — 0.0025 gr). Na overgebracht te zijn in een buisje (zie boven), was de hoeveelheid herleid tot 5.7658 gr. (er had dus dientengevolge een verlies plaats van 0.0199 gr.). Na bewaard te zijn gebleven van 28 Nov, 1895 tot 15 Dec. 1896 (in het buisje, zie boven), is er aan zuurstof vrijgekomen 0.0166 gr., dat, be- rekend op 1 gr. stof in 7 dagen, geeft een hoeveelheid van 0.00005 gr., dus van 0,05 milligr. De volgende ‘Tabel geeft voor Bereiding N° 26 een aanvankelijk verlies van 0.00006 gr., later herleid tot de helft, namelijk van 0.00003 gr. op 1 gr. stof in 7 dagen (en dat, onder overeenkomstige omstandigheden als bij Bereiding N° 25). Hen eenvoudige berekening leert, dat uitgaande van het verlies van 0.00005 gr. zuurstof per week op 1 gr, stof, er voor een ver- lies van 2 O op het molecuul WV dg, O,,, der 5 O („gemakkelijk vrijkomende zuurstof”), zij dit 0.03384 gr, zuurstof op 1 gr. stof, niet minder dan ongeveer 13 jaren zouden vereischt worden (altijd verondersteld , dat de zelfontleding bleef plaats hebben met dezelfde snelheid, dat noodwendig niet het geval zal wezen). De temperatuur was genoegzaam de gemiddelde jaarlijksche voor ") Zie: „Verhand. d. Kon, Akad, y, W. te Amsterdam,” Eerste Sectie, Deel III, N° 1, p. 14. EN EEN ZILVERBIOXYDE. 31 de kamer in questie, aangezien er in den winter slechts korten tijd en zeer matig werd gestookt. Laat hier aan worden toegevoegd, dat de producten, die zóó- lang hadden gestaan, niets vertoonden op ‘toog van een gedeelte- lijke ontleding, noch wat de kleur aangaat, noch wat betreft den glans of zelfs den kristalvorm. Integendeel gaf de massa den indruk van in ’tgeheel niet te zijn veranderd, zóó goed was het uiterlijk gebleven. Hetzelfde zou ook kunnen gezegd worden van Bereiding N° 27, zie de Tabel. waard gebleven. Dit product was trouwens niet zóólang be- c d | e if g h i j N° 25 | 200 gr. | 25 Nov. | 25 Nov. | 5.7882 gr. — = 1895 |26 — — 0.0024 er. 27 —- — 0.0001 - 28 5.7658 0 : 15 Dee. | 5.7492 — - 0.0166 er. 0.00005 gr. 1896 N° 26 | 200 gr. | 27 Nov. | 27 Nov. | 6.9282 gr. — — 1895 | 28 — — 0.0238 er. 29 — -— 0,0002 == 30 6.0178 0 trou 15 Dec. | 5.9986 — — 0 0192 gr. | — 0.00006 gr. 1896 |3.9899 *) zh = | = FA 3.9883 —- — 0.0016 | — 0,00003 29 Mrt. | 1.941 ") À Sa | 8 1897 ” | N°27 | 200 gr. |23 Dec.| 23 Dec. | 4.2796 gr. 1896 |24 — — 0.0012 gr. 28 — — 0.0002 29 — — 0,0002 30 — — 0,0002 31 -- 0 4 Jan.| 4.2676 0 1897 | 4.2676 = 0.0024 er. 0.00003 gr. 22 Mei | aangew. = niet waar- 16 Junij voor neembaar. proeven. | Over het aantal atomen zuurstof, die waarschijnlijk worden vrij gemaakt bij zelfontleding van N Ag, 0,1. Daarvan uitgaande, met toog op de gegevens die zijn medegedeeld in de voorgaande Ver- handeling, dat van de 5 Q „gemakkelijk vrijkomende zuurstol”, 2 O betrekkelijk gemakkelijk worden gedreven uit het molecuul 8 49,0. 3 O. NO, Ag. 2 0), dat NV Ag, O,, (= 3 Ag, 0: NO; Ag ') De hoeveelheid teruggebleven na uitname voor proeven. 32 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER in volkomen overeenstemming is met de uitkomsten in deze Ver- handeling vroeger blootgelegd, zou men daaruit eenig besluit kun- nen trekken met betrekking tot de zuurstof, die bij spontane ont- leding optreedt. De kans toch schijnt betrekkelijk nog al groot te wezen, dat de eigenschap van peroxy-salpeterzuur zilver MN Ag, Og. van onderhevig te zijn aan zelf-ontleding toekomt aan het bioxy- salpeterzuur zilver VO; dg, dat daarvan een bestanddeel uitmaakt; en dat wel vooral, omdat het zilverbioxyde 47, O, zich deed kennen, ten minste tot nog toe, als een vrij standvastig lichaam (zie vroe- ger). In dat geval zou de reactie bij gewone temperatuur (de zelf- ontleding) door de volgende vergelijking zijn terug te geven: NOL MOA ee. Toch is mogelijk, dat „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van zilverbioxyde (3 Ags Os) reageert op de zuurstof van dioxy-salpeter- zuur zilver (NM 0; dg), ten minste voor een deel, en wel vooral door medewerking van het zilvernitraat (WV O, Ag), dat wel invloed uitoefent op de ontledingssnelheid van het peroxy-salpeterzuur zil- ver (zie het eerste gedeelte der voorgaande Verhandeling) bij ver- hitten (zonder water). Bij verhitten met water, vertoont zich deze secondaire reactie overigens niet (zie deze Verhandeling), terwijl dan het zilvernitraat in het water wordt opgelost. Over de wijze van ontstaan der resten N O, Ag en Ag, Oo, en de volgorde van ontstaan. Uitgaande van de structuur-formule 3 44, Os. N O; Ag (= N Ag, O,,) voor het peroxy-salpeterzuur zilver, als ’t ware gegeven door de bekende feiten, wenschte men meer of min te weten, hoe deze twee resten VO, dg en dg, O, waarschijnlijk zijn gevormd, en welk dezer resten het eerst zal ontstaan. Wat be- treft de wijze van gevormd worden, daaromtrent had men zich reeds meer of min ingelaten in de Eerste Verhandeling D, maar toch vooral wat aangaat de vorming van het molecuul als zoodanig WV dy, O,,, langs electrolytischen weg *), en later is ook wel het een en ander gezegd over de vorming der twee resten en de volgorde waarin zij optreden; maar thans wil men trachten, wat dieper te dringen in het mechanisme der reactie. En, zooals later zal blijken, is het vrij waarschijnlijk, dat deze twee resten wiet gelijktijdig ontstaan, maar dat de een optreedt na en door de andere, als gevolg eener secondaire reactie, om zich zoo uit te drukken. Ten slotte zijn het tonen zuurstof (zuurstof op ’t oogenblik van vrijworden), die den ) Zie Verh, d. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam, Eerste Sectie, deel IIT, No. 5 pag. 53 en 34, lc, Deel V, No. 5, pag. 13 en 24. EN EEN ZILVERBIOXYDE. 33 stoot geven tot het gevormd worden der twee resten, of beter ge- zegd van een dezer twee resten. Zij: AO; 49149 NO,. 6. 2%NO, + H,,0 = 2 N O0, H + 0. Deze zuurstof nu werpt zich op het zilvernitraat, en de twee endothermische resten kwuzer onmiddellijk worden gemaakt : 0-0 0-0 A : Nd 1 N— 0 4g--2 O= N— Og, en Le DS 0-0 0-0 ed N—O—WN-+ 0 — A, EN | drones AUS 47. De eerste reactie 1s terug te brengen tot een additie, de tweede reactie daarentegen is betrekkelijk samengesteld. In ieder geval zal de tweede reactie wel meer tijd vereischen dan de eerste. Ook zal reactie 2 worden gevolgd door deze: 0-0 0-0 0-0 per we NZ DD NN H,0— 2 N— OH. Maar deze twee resten VO; 4g en Ag, O, vereenigen zich in de verhouding van 3 Ag, O,. N O, Ag (er is namelijk verondersteld, dat men heeft te doen met een moleculaire verbinding). Dit is een fac- tor, waarmede rekening moet worden gehouden (zie iets later). Ter vorming van WV O, Ag zijn noodig 2 atomen zuurstof (2 0), en voor 3 4g, O, worden vereischt 3 atomen (3 O), dus: NV O, Ag vordert 2 O | zie boven. 3490, , 80 | 3 Ag, 0, NO; Ag. Lettende op het aantal atomen zuurstof, zou men kunnen aan- e nemen, dat van deze twee resten, die van M O, dg de meeste kans heeft van het eerst te worden gemaakt. Maar wat hier wel- licht zwaarder weegt, is wel, dat reactie 2 veel ingewikkelder is en meer tijd zal vereischen, en dat reactie 1 slechts bestaat in - het verzadigen van het atoom MN (zij dit NM); terwijl de ontstane verbinding overigens zeer instabiel is. Ook volgt uit het voorgaande Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. VI. A 3 34 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER wel met eenige waarschijnlijkheid (zie de betrekkelijke meerdere samengesteldheid van reactie 2), dat de rest VO; dg rijker aan eigen energie zal wezen dan de rest Ag, O, (en wellicht bestaat er dienaangaande eenige aequivalentie tusschen W 0, dg en 3 Ag, O,). Daarvan uitgaande, dat deze twee resten niet gelijktijdig optreden , hetgeen mogelijk is (maar ook het tegendeel), is wel de grootste kans aan de zijde van VO, dg, om het eerst gevormd te worden, daar deze rest vermag te ontstaan eenvoudig door additie van zuurstof- ionen , met verzadiging van het atoom MN; en deze rest een maxi- mum zal bezitten aan energie. Maar men zal terecht doen opmerken, dat de stof in ’talgemeen neiging vertoont naar een minimum van energie (zij dit veeleer tot „vermeerdering in entropie”). Evenwel heeft men hier op ’t oog de eerste phase der reactie met de ionen zuurstof, ontstaan als gevolg der electrolyse, dus als gevolg van energie, verstrekt bij den aanvang van het proces. Beschouwt men de zaak uit een algemeen oogpunt, dan is mogelijk, dat de resten VO; Ag en dg, O, tegelijkertijd optreden (zie vroeger); of, dat b.v. de rest dy, O, ontstaat ten koste van WO, 4g; of beide gevallen zouden tegelijk kunnen samentreffen. De omzetting van de rest NO, Ag in Ag, O, laat zich teruggeven door de volgende ver- gelijkingen: 0-0 0-0 Wy Sis a. N— 0 44 = N— 0 43 +20; AN O-O 0-0 0-0 Ay — 0 | NUE NA | b. IN O04 LE 0 2N ON age 0-0 gevolgd door de reactie: Os O2 0-0 0-0 “7 A SA Metend oke N— OH. Dit wil ten slotte zeggen, dat de verbinding NO, Ag in bijzijn van zilvernitraat VO, Ag wellicht zal trachten te doen ontstaan Ag, O,, dat minder eigen energie zal bezitten dan NO; 4g, ten minste is dit hoogst wassat. Er zijn evenwel nog andere EN EEN ZILVERBIOXYDE. 35 reacties, die zich kunnen voordoen, te weten de vorming van V O, Ag (onbekend): 0-0 0-0 x Wi N— O0 49 +2N— 0 43 = N— 0 4g TaN A 0-0 0-0 0 ae RO —N LX Lao 0-0 0-0 Het laatst gezegde komt op hetzelfde neder als dat vroeger op- gemerkt; alleen wordt verondersteld, dat tevens ontstaat de ver- binding MN O, Ag (het monoxy-salpeterzuur zilver). Deze laatste toch kan 1 O vastleggen, om opnieuw te worden dioxy-salpeterzuur zilver NO, Ag: 0-0 0-0 4 Ww N—O Ag + 0O=N— O Ag. | a O 0-0 Inderdaad is de reactie, vroeger gegeven, een reactie die zich aan- sluit bij hetgeen in den regel geschiedt, te weten, dat een lichaam op- treedt met minder eigen energie (of liever, dat er plaats heeft ver- meerdering van het totale gehalte aan entropie). Men zou zich kunnen voorstellen , dat N O, 44 (hetwelk wel in water oplosbaar zal zijn, gelijk dit het geval zal wezen met WV 0, 49), als N O, Ag een verbinding kan vormen met dg, O,, en dat aanvankelijk NO, dg een moleculaire verbinding aangaat met 3 dy, O,, dus: 3 Ag. O,, NO, Ag, die dan wordt omgezet in: 3 Ag, Oy, NO, Ag + O= 8 Ag, Os. NO; Ag. De volgorde van (genoegzaam) alle reacties zou bijgevolg wezen: i: NO Aga NO; Je Ag; 2. 2N0, + H,O=2N0,0H-+ 0; 36 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER 0-0 0-0 NA Nr 3 N— O0 Ag +20—=N— 0 Ag; PAIN 0-0 0-0 020 74 NA 4. N— O4gt2N— 043 = N-— 0 4 a aN 0-0 0-0 O Ae Ag, Oy = WV Oe LIN 0-0 0-0 5 NONE 0 2 ee UN VON. VN. 0-0 0-0 0-0 6. 3 An O, + NO, Ag = 3 Ags Os. NO, Ap; = 3 Ag, O,. NO, Ag E 08 Ag OE NO, Ag. Daarenboven zou men het bestaan moeten aannemen van vele verbindingen van VO, 4g en NO, Ag met dg, O,, maar men zal daarbij voor ’t oogenblik niet blijven stilstaan (zie een weinig lager). Er zij nog opgemerkt, dat de octaédrische kristalvorm wel zal bepaald worden door de grootste massa van het molecuul N Ag, O,, (= 3 Ag, O,. NO, Ag), zijnde deze 3 Ag, OL. Naar hetgeen boven is gezegd, zou eerst moeten ontstaan Aq, O, . NO, Ag, dat zich kan omzetten in 4g,0,.NO, Ag; en 1 O van de rest NO, Ag zou opnieuw met NO. O Ay doen ontstaan: Ag, Os, zoodat kan optreden: 2 dg, O,.NO, Ag, dat wordt omgezet in 2 Ag, O,. NO, Ag, dat door 1 O een nieuw molecuul 4g, O, vormt, dus kan worden gevormd 3 4g, 0,.N 0, dg, omgezet wordende in 3 Ag, O,.NO; Ag (in evenwicht zijnde met zijn medium op het oogenblik der electrolyse). Alvorens optreedt VO; dy, heeft er vorming plaats van VO, Ag, maar dit vermag niets vóór de omzetting in VO, Ag; want als- dan doet 1 O (van NO, Ag) gevormd worden Ag, O,, enz. Het dioxy-salpeterzuur zilver NO. O0 Ag zou dus dienst doen als over- drager van O ter vorming van Ag, O,, dat dus zou ontstaan ten- gevolge eener, te noemen, secondaire reactie. Om eerst de vorming aan te nemen van Ag, O,, dat onoplosbaar is in water, zou, 700 EN EEN ZILVERBIOXYDE, 37 schijnt het, te veel bezwaren hebben als punt van uitgang ; daarentegen zal WO, dy wel oplosbaar wezen in water, en (zie boven) een in water onoplosbare verbinding doen ontstaan met Ag, O, (aanvankelijk 47,0,. NO, Ag). Ook verbindt Ay, O, zich niet met MOLA, anders zou men kunnen aannemen, na eerst Ag, O, te laten optreden, de vorming van 3 4, O,.NO, Ag, wordende deze dan omgezet in 3 4g, O,. NO, Ag (voor een oogenblik daargelaten de argumenten, die deze aanname minder aannemelijk maken). Voegen we hieraan toe, dat de verbinding met zilverbioxyde Ay, O, (zij deze aanvankelijk dy, O,. NO, Ag; zie boven) waarschijnlijk wordt opge- lost in het salpeterzuur, dat wordt vrijgemaakt 1!) door de electrolyse, zoodat het lichaam 3 dy, O,. NO, Ag im oplossing zou kunnen ontstaan, en uit de oplossing kristalliseeren door de diffusie met de eigenlijke oplossing, waardoor het onoplosbaar wordt. Het ontstaan van 3 47, O,. NO, Ay zou dus wellicht aldus zijn te verklaren, door aan te nemen, dat aanvankelijk wordt gevormd bioxy-salpeterzuur zilver MV O, dg, dat reageerende op zilvernitraat N O, Ag, eerst doet ontstaan Ay, O,. N O, Ag, omgezet wordende met O en NO, 4g achtereenvolgens, in: 49,0. NO, Ag 2 49,0. NO, Ag 2 Ag,0,.NO; Ag 3 Ag,0,.NO, Ay 3 Ag,0,.NO; Ag, de laatste van welke zich afzet, naar deze wijze van opvatting, van den oplosbaren staat in kristallen, die, als zijnde een vrij goede ge- leider der electriciteit, in grootte kunnen toenemen, door de rol te vervullen van anode. Kenge opmerkingen naar aanleiding van de verhouding der resten NO, Ag en Ag, O, van het molecuul N Ag, O,,. Uitgaande van de verhouding 3 4g, 0,. NO, Ag voor de verbinding MN dg, O,,, en verondersteld, dat deze een moleculaire verbinding is, heeft men bijgevolg als verhouding der resten die van 3 : 1. Men zou kun- nen aannemen, en zoo ook in overeenkomstige gevallen, dat ieder dezer twee resten als ’t ware een afzonderlijk lichaam uitmaakt, zooals b.v. in H, O het geval is met O en /7; en men zou kun- nen spreken van moleculaire affiniteiten (bij moleculaire verbindin- gen), als van atomistische affiniteiten. Aldus opgevat, zou de rest *) Zie Verhand. K. Akad. v. W. te Amsterdam. Eerste Sectie Deel III, N° 8, pag. 27 en 28. 38 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER NO; Ag driewaardig zijn tegenover Ay, O, als eenwaardig geheel hier genomen. De rest NO, 4g zou zich dan meer of min zoo verhouden als veelal het geval is met het atoom iV (alhoewel meer toevalliger wijze): 3 (Ag, 0). (W O, Ag)™. Zulk soort van beschouwingen bezitten voor ’t oogenblik zeer weinig waarde, dit moet erkend worden, maar wellicht komt de tijd, dat men zich meer zal moeten inlaten met zoogenaamde mole- culaire verbindingen, en het beginsel van affiniteiten voor atomen (en van samengestelde resten, met vrije affiniteiten), zal later wel van toepassing kunnen zijn op resten van moleculaire verbindingen. Want eigenlijk gezegd, heeft men in den grond eenig recht, om aan deze soort resten affiniteiten toe te kennen (altijd, zich plaat- sende op een zuiver speculatief gebied), ingeval wordt aangenomen, dat ook de atomen verbindingen zijn. Zelfs zou men geneigd we- zen nog verder te gaan, en willen aannemen, dat deze atomen van atomen op hunne beurt samengesteld zijn, en zoo tot in het oueiz- dige. Er is hier noodwendig alleen sprake van een afgetrokken denkbeeld, dat namelijk de samenstelling der stof nimmer tot de uiterste grens zal te vervolgen zijn, om reden, dat de stof onein- dig samengesteld is, in den zin als medegedeeld. Van welken aard de stof ook moge zijn, hetzij direct toegankelijk voor onze zintui- gen of indirect, of niet toegankelijk (dus van theoretische natuur), het schijnt, dat men zich heeft voor te stellen, dat alle stof im den grond oneindig samengesteld is, of anders gezegd, dat er in zake materie geen einde is. Over het oversalpeterzuur. Teneinde meer of min aantevullen, wat met betrekking tot dit onderwerp vroeger in een der Verhandelingen 1) werd medegedeeld, zij opgemerkt, dat aan dit lichaam ook de volgende structuurformule is toegekend: OO De MD zooals de formule O, N— O — NO, (zijnde het atoom O direct gebonden aan de twee atomen stikstof). Voor ’t oogenblik ten minste zal hierop niet worden ingegaan, maar in ieder geval zouden minstens twee isomeren der moleculairformule W, QO, kunnen bestaan. ') Zie: Verhand. K. Akad. v. W. te Amsterdam. Eerste Reeks. Deel V, No. 5, pag. 31 N. Handb. d. Chem. v. Fehling u. Hell, Bd. VI S. 1329 (1897). EN EEN ZILVERBIOXYDE. 39 De proeven, die beschreven zijn in deze Verhandeling, en de be- schouwingen, veeleer van theoretischen aard, schijnen, in ’t kort medegedeeld, op het volgende neêr te komen. Besluit 1. Bij elimineeren van één atoom zuurstof (1 O) van het molecuul van peroxy-salpeterzuur zilver N Ay, O,, (zij dit: 3 Ag, Os. NV O; Ag), en behandelen van het terugblijvende met water (bij gewone temperatuur), blijft er zilverbioxyde terug!) 49, 0,, en wel 3 dg, 0, op 1 NO, Ag, door het water uitgetrokken. Aange- zien het zilvernitraat betrekkelijk in weinig tijd wordt uitgetrokken, zou men daarin wellicht een argument kunnen vinden voor het ontstaan van een verbinding ?) der formule M O, Ag, monoxy-salpe- terzuur zilver, (als gevolg van het aanvankelijk uitgedreven worden van 10). En omdat er 3 4g, O, terugblijft (op WV Ay, O0, = 3 Ag, O,.N O; Ag), kan er een argument van beteekenis uit worden geput voor de structuurformule 3 dy, O,. N O, Ag van het peroxy- salpeterzuur zilver. 2. Met ’t oog op eenige eigenschappen van zilverbioxyde dy, O,, vooral wat aangaat de betrekkelijk groote stabiliteit van dit oxyde, werd peroxy-salpeterzuur zilver V dg, O,, (zij dit: 3 49,0. NO, Ag) verhit met water 3). Salpeterzuur zilver treedt dan in oplossing, zuur- stof komt vrij, en er blijft terug zilverbioxyde (dy, 0), en wel 3 Ag, O, op het molecuul WV dg, O,, (zij dit: 3 dg, O,. NO; Ag) van peroxy-salpeterzuur zilver. Dit is wel een nog krachtiger argument voor de structuur-formule reeds vroeger voorloopig gegeven, zoodat deze thans wel kan worden beschouwd als te zijn gegrondvest op genoegzaam positieve feiten. De laatste uitkomsten vooral bieden een uitstekende contrôle aan voor diegene, verkregen betreffende de relatieve snelheid, waarmede de 5 O („gemakkelijk vrijkomende zuurstof”) worden uitgedreven; uitkomsten, die het meer of minder waarschijnlijk maakten, dat deze 5 OQ dienaangaande in twee groe- pen * zijn te splitsen, te weten die van 3 0 +2 0(3 49, Oa. NO Ag = 3 Ag, 0.3 O. N Os Ag. 2 O). 3. Op gemelde eigenschap van peroxy-salpeterzuur zilver (N 49, O,,, = 3 Ag, Où. N O; Ag), van te worden ontleed door verhitten met water (zie boven onder 2.), is een bereidingswijze gebaseerd van zilverbioxyde Ag, O,, die gelegenheid geeft, zich op een betrek- *) Zie deze Verhandeling pag. 3. alee. pags JO; bc pan nl? *) Zie Verhand. d. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam, (Eerste Sectie), deel V, N°. 5. pag. 9—21. 40 OVER HET PEROXY-SALPETERZUUR ZILVER kelijk eenvoudige wijze een groote hoeveelheid van dit lichaam te verschaffen 4). 4. Dank zij gemelde eigenschap van het peroxy-salpeterzuur zilver (zie onder 2.) heeft men getracht, de „gemakkelijk vrij- komende zuurstof” van het diowy-salpeterzuur zilver N O; Ag (daar- van deel uitmakende) langs directen weg te bepalen ?). In plaats van 2 0, gelijk de theorie verlangt, is evenwel ongeveer 1.8 O ge- vonden. Latere bepalingen zullen echter wellicht dit verschil (zij dit nagenoeg 0.2 O) geringer doen zijn. 5. De studie is vervolgd van het peroxy-salpeterzuur zilver N Ag, O,,; (= 3 Ag, 0, N O; Ag), b.v. met betrekking tot de eigen- schap van onderhevig te zijn aan zelfontleding *), zoo ook in het gedeeltelijk luchtledig *), en wat aangaat het aantal °) atomen zuur- stof, die worden uitgedreven bij zelfontleding. 6. Er werd ter sprake gebracht, de wijze van ontstaan en de volgorde der resten NO, Ag en Ag, O, (van het molecuul WV Ag, O,,). Waarschijnlijk treedt eerst op MV O, 4g, en dan Ag, O, (door inwerking van 1 O van NO, dg op NO; Ag), en van de twee endothermi- sche resten wordt diegene met meer (eigen) energie ten deele om- gezet in de rest met minder energie 6). Tevens is gehandeld over de verhouding waarin de twee resten zich bevinden in het molecuul (zij die van 3 : 1), dat aanleiding gaf tot eenige theoretische be- schouwingen van de stof als zoodanig "). 1. Eenige eigenschappen van zilverbioxyde Ag, O, zijn mede- gedeeld 5), van dioxy-salpeterzuur zilver VO, dg (een theoretisch lichaam), van peroxy-salpeterzuur zilver MN Ag, O,, (= 3 Ags Os. NO; Ag), en van het zilveroxyde 4g, O, dat er van afstamt. Er is melding gemaakt van een structuurformule toegekend aan het over- salpeterzuur °). 8. Een afzonderlijk hoofdstuk is gewijd aan verschillende peroryden van zilver, en de groote verwarring aangeduid 1°) met betrekking tot dit onderwerp in de scheikundige Litteratuur. Zie deze Verhandeling pag. 16. l.c. pag. 26. l.c. pag. 30. .C. pag. 29. .C. pag. dl. » e a ss, & wes SS TT St ] | l.c. pag. 35. lc. pag. 37. l.c. pag. 20. l.c. pag. 38. l.c. pag. 22, © « ~ N en es S EN EEN ZILVERBIOXYDE. 4] In een volgende Verhandeling zal vooral het peroxy-zwavelzuur zilver een ruime plaats innemen, waarvan de studie veel meer be- zwaren oplevert dan het geval is met het peroxy-salpeterzuur zilver (vooral wat de bereiding betreft, als gevolg van de betrekkelijke geringe oplosbaarheid in water van het zwavelzuur zilver). In plaats van een gedeelte te behandelen van het onderwerp, wenschte men duidelijkshalve het voornaamste te gelijk te geven; en om die reden zijn de uitkomsten dezer studie, welke thans zouden zijn opgenomen, zooals vroeger werd aangekondigd, uitgesteld tot de volgende Verhandeling. Urrecut, 25 September 1897. (27 November 1897). Se Ex ATO ARS f Te yi bait ENE Bones Or MAMI OT TIT © SIND ETE rs Tea ‘ C7] Ke A 1% 2x. A i " Mis Tihs Tu Af JIJ re £ ‘ phe i x * { erie 2 24 4 PANETTIERE À A PES ne À ? nif y “4 . : . 4 CA i } D: 7 (3 | : 1 Hi afi j 4 ITM 8 f - NE SE 9a Cr i fi » | 7 1 Et \ - Ld 7 LE j kN m i 1 het zoogenaamde Hardglas. VAN fe OU WINE. ° | Stud. Sasol Sth. te-Delft. Write |" ie 2 . a k demie van Wetenschappen te Amsterdam. Be red (Met 9 platen) Re AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. == Maart 1898. | ant den bouw en de eigenschappen ‘ Pen ‘he ed ‘ à = ih A a RCE 0) A Se aie Onderzoek omtrent, den bouw en de eigenschappen van het zoogenaamde Hardglas. L. HOU WINK. Stud. a. d. Pol. Sch. te Delft. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel YI. ‘N°. 2, (Met 9 platen.) AMSTERDAM , JOHANNES MÜLLER. 1898. RAP AE EREN Ne tarn MOI LE NE Aa LAN dr ks on a LPO PE rt Re De ART ne Bitten fy SA BC AN Sy is. PR rt ea Poh Ln he eM es a g vastheid tee MET gS Od sit ARTE ALIEN 1 foal OL ote lr - Hardheid Zn re Ee MEEK Chemisch DRA A Hee ch a ars D ddl te oons eeen vene > Vergelijking van Hardglas en andere stoffen ............ a3 19 Verklaring der afbeeldingen … NS IES Ek - INLEIDING. In 1874 kon men in de „Zeitung für Lothringen’” en even later in de Glashütte” in n° 44 een bericht lezen van A. de la Bastie in Richmond over eene soort glas, dat hij gemaakt had. Het was buitengewoon bestand tegen stoot, slag en snelle tempe- ratuursveranderingen. Im Bourg verrees voor het vervaardigen van dat glas eene fabriek, die later te gronde ging. Max Pilatti 5 bepaalde de dichtheid, welke 2,522 was en de hardheid 5, verder vond hij dat het een gewoon alkali-kalk- glas was ?). Carl Pieper, Civiel Ingenieur in Dresden, deelde toen mede, dat ook hij een dergelijk soort glas gemaakt had. Bauer *) onderzocht het verder en vond overeenkomst met de reeds lang bekende glastranen. Verder werden nu en dan door dezen en genen proeven ge- nomen over het springen van glastranen, over het draagvermogen, over polarisatie en lichtbreking van hardglas (in het vervolg aan- gehaald), maar onvolledig en onsamenhangend *). Bezig zijnde met een onderzoek naar de oorzaken der vatbaarheid van sommige stoffen voor harding, werd ik door den Heer Professor Behrens attent gemaakt op het zoogenaamde hardglas, omdat dit 1) Polytechn. Centraiblatt 1875 blz. 515. 2) Glashütte 1875 n° 2. 5) Polytechn. Centralblatt, 1875 blz. 516. ) H. J. Violle. Cours de Physique I blz. 460. Henrivaux, Verre et Verrerie blz. 32. 1 BiA doorzichtig is en dus geschikt voor optisch onderzoek met behulp van polarisatie-verschijnselen. Veel heb ik te danken gehad gedurende de maanden Novem- ber, December 1895, en Januari, Februari 1896, waarin dit onderzoek aan de Polytechnische school te Delft plaats vond, aan zijne steeds verleende hulp en raadgevingen, waarom ik een woord van dank hier niet wil weglaten. Gewoon glas: d. w. z. glas, dat langzaam bekoeld is, is amorph, en niet polariseerend. Koelt men zulk glas echter plotseling af, dan treden inwendige spanningen op en deze verraden zich door de zoogenaamde spanningspolarisatie. Een voornaam deel van het onderzoek was gewijd aan het maken van het hardglas. Zeer bekend zijn de glastranen (verkregen door een druppel vloeibaar glas in koud water te laten vallen). Ze springen, als men alleen de punt afbreekt, in grof gruis. Ook weet men, dat in de hardglasfabrieken bet glas roodgloeiend in baden van be- paalde temperatuur gedompeld wordt, om daarin af te koelen. De firma Siemens in Dresden bezit voorzeker eene der meest bekende hardglasfabrieken. Daar perst men het vloeibare glas in vormen en laat het hierin bekoelen. Zoo worden er vensterglas, dakpannen, traptreden enz. gemaakt. Ook kan men volgens hunne opgaven het hardglas zeer goed boren en slijpen, maar niet met den diamant snijden. De firma in Dresden was zoo vriendelijk op aanvrage een doosje met monsters te sturen, om de eigenschappen hiervan met hier vervaardigd hardglas te kunnen vergelijken. Il. Harden. De wijze van het harden of beter gezegd van het afkoelen na het verhitten is van het meeste belang om goed materieel te krijgen. Men moet of direct koelen of koelen en tevens in vormen persen. Eene der eerste vragen is nu natuurlijk, welk materiaal moet men als grondstof nemen en de tweede, waarin moet gekoeld worden? De grondstof, die gebruikt werd, was nog al witeenloopend, want het waren: a. glazen staven (kali-natronglas), b. reepen gewoon vensterglas, c. reepen spiegelglas, d. door cobalt blauw gekleurd glas. Verder werden er nog een paar proeven gedaan om organische, niet polariseerende stoffen, zooals hars en schellak, dubbelbrekende te maken. Dit gelukte ook. De koelbaden bestonden uit: a. olie (gekookte lijnolie), b. water met 5 “ie zwavelzuur, c. kwik, d. geconcentreerde oplossing van chloorcalciun. De geperste stukken werden verkregen met: a. een platte smidstang, h. een fitterstang, e. een bak met chamottepoeder, d. twee vuurvaste steenen, e. twee ijzeren blokken. Later bleek, dat ook lucht harding kan teweeg brengen. Deze stoffen waren zoo gekozen, wegens hun hoog kookpunt of wegens hunne verschillende geleidingscoëfficiënten voor de warmte. Met de fitterstang kreeg men prismatische stukken met gekar- telden omtrek. De smidstang gaf geen ander resultaat als grof gruis. Na iets afgekoeld te zijn vlogen de stukken met een hevigen slag wit elkaar, soms met zooveel geweld, dat de brokken 4 à 5 meter verspreid werden. Met de andere hardingsmiddelen was de uitslag min of meer gunstig. Van de vloeibare hardingsmiddelen gedroeg zich de chloorcalcium- oplossing even slecht als de smidstang, zelfs tot kokens toe verhit gaf zij slechte resultaten. Kwik gaf na verwarming zeer goede stukken, welke in geen enkel opzicht voor de in olie geharden onderdeden. Verdund (5 °/,) zwavelzuur gaf twee goede stukken, de meeste stukken waren geknapt. Alle vloeibare middelen konden zich even- wel niet met gekookte olie vergelijken. Hierbij was de speelruimte, wat de temperatuur betreft, zoowel van de olie als van het glas het grootst. Het maximum van harding werd bereikt met dik vloeibaar glas, te bij verwarming tot donkere roodgloeihitte is de harding wel min- der sterk dan wanneer men het glas tot begin van smelting ver- hit, maar toeh duidelijk waar te nemen. Geharde stukken. — De in vloeistoffen gekoelde stukken bevatten allen in min of meerdere mate holten, welke vermoedelijk gevuld zijn met alcalische dampen. Daar bij de latere nauwkeurige beschrijving deze holten uitvoe- rig behandeld zullen worden zal ik er nu maar van afstappen. Een groote factor bij het koelen is de wijze waarop men de staven in de vloeistof dompelt. Brengt men ze plotseling vertikaal in het bad, dan kan men meestal een goed product verwachten. Heeft men een helling aan de staven gegeven dan bestaat kans, om plotseling in den bak eene hevige beweging, gepaard met een knal, waar te nemen. Gebeurt dit, dan vindt men van de staaf slechts gruis. Bewaren. — Het bewaren levert bij gewone temperatuur geen bezwaar op. Bij zeer lage temperatuur wordt de kans van springen daarentegen zeer groot. Een aantal monsters hardglas, in verschil- lende bakjes gesorteerd, werd in eene kamer bewaard, waar over- nacht niet gestookt werd. Na eenen nacht met strenge vorst waren vele stukken gesprongen, en lag het gruis over de tafel verspreid. Hl. Opüsch onderzoek. Nadat op de bovenstaande wijze een behoorlijke voorraad glas gekoeld was, werd een aanvang gemaakt met optisch onderzoek. Het uitgangspunt was het bekende verschijnsel, dat een amorph niet gespannen lichaam niet polariseert, maar dat het polariseerende wordt, als spanningen daarin optreden. Het is immers bekend, dat men een glazen bolletje door middel van klemschroeven dubbel brekende kan maken, en dat het alsdan een fraai polarisatiekruis vertoont. De intensiteit van het verschijnsel neemt toe met den druk; of het door uitwendigen druk, of door spanningen in het materieel teweeg gebracht wordt, doet miets ter zake. Heeft men een doorschijnend materiaal, dan kan men de spanningen dus nagaan, door het materiaal tusschen gekruiste nicols te brengen. Ook zonder i dit middel kan men reeds aan de wijze van breken de vermoedelijke richting der spanningen nagaan. Bij de gebroken staven, waren enkele stukken, die nog in ver- band gebleven waren. Men kan zich dergelijke preparaten met zekerheid verschaffen, door de stukken hardglas in met water aan- gemengde gips te leggen, zoodanig, dat een hoekje buiten de gips uitsteekt, en na het verharden der gips het uitstekende puntje af te breken. Hierbij krijgt het hardglas vele scheuren, intusschen blijven alle brokken op hun plaats. Door verwijdering der gips legt men vervolgens de preparaten bloot. Kenvoudiger in de uitvoering, maar een zorgvuldigere behandeling vereischende, is de volgende methode. Men omwikkelt de staaf geheel nauwsluitend met filtreerpapier en slaat nu aan het einde met een korten, zwaren slag, het glas stuk. Wanneer men nu de staaf met de noodige voorzichtigheid van het papier ontdoet. kan men het uiteenvallen der brokstukken voorkomen. Heeft men dergelijke gesprongen stukken op de een of andere wijze verkregen dan zal men met eene loupe of eene zwakke vergrooting van het microskoop de scheuren zeer nauwkeurig kunnen nagaan. Dit doende bemerkt men bij ronde staven het volgende: De breukvlakken van ronde staven hardglas zijn steeds kegel- vlakken. Aan vierkantige staven treden piramidale breukvlakken op. Al naar de plaats der breuk zijn de kegelvormige scheuren over de geheele lengte der staaf parallel of zij hebben tegengestelde richtingen aan weerszijden der breuk. Het geval fig. 5 Plaat I heeft steeds plaats, als de staaf gebroken wordt op een zoo grooten afstand van de uiteinden, dat deze door haar spanning geen invloed meer op de breuk uitoefenen. Im dit geval is aan weerszijden der breuk evenwicht. Oefent het uiteinde wel invloed wit, dan zal steeds de top naar dit witeinde gekeerd zijn. Uit dit alles blijkt dus, dat er spanmng in de lengterichting heerscht en wel aan den omtrek het meest. Bij het stukslaan schuiven de buitenste lagen over de binnenste evenwijdig met de lengteas van de staaf en doen zoo de zeer goed waar te nemen dakpanstructuur ontstaan. — 10 — Hen vierkante staaf hardglas werd aan een der einden verwarmd, met het gevolg dat dit einde vergruisde. Het overblijvende stuk vertoonde een breukvlak van veelzijdigen piramidalen vorm. Wij hebben hier eenen overgang van den vierkanten vorm tot den ronden. Stukken spiegelglas, die tusschen twee ijzeren platen afgekoeld waren, vertoonden een dakvormige breuk en bijzondere neiging tot gruis uiteen te vallen. Uit de genoemde verschijnselen zou men de gevolgtrekking kunnen afleiden, dat de vlakken van gelijke spanning evenwijdig loopen aan de afkoelingsvlakken en dat de spanning van buiten naar binnen afneemt. Dat dit vermoeden juist is, zal uit het volgende blijken. Bij het vervaardigen van preparaten voor optisch onderzoek van hardglas dient de voorzorgsmaatregel in acht genomen te worden, het glas vóór het harden in den gewenschten vorm te brengen. Door zagen, slijpen en polijsten van gehard glas worden belangrijke veranderingen van spanning en polarisatie teweeggebracht, die aller- hande dwalingen kunnen veroorzaken. De afbeelding I op plaat I D geeft een overzicht der polarisatie- verschijnselen van een vierkant stuk hardglas, dat in dier voege tusschen gekruiste nicols geplaatst is, dat het beeldvlak te lood staat op de beide vlakken, die door stukken ijzer gekoeld waren. In het midden vertoont zich een flauw getint veld, dat op som- mige plaatsen breeder wordt en daar tevens van kleur verandert. Bij nader toezien neemt men waar, dat op deze plaatsen het glas een bewerking ondergaan heeft, of dat daar een schilfer van den rand afgesprongen is. Om dit middenveld loopen gekleurde lijnen, en wel verandert de kleur in de volgorde van den regenboog. Dit gebeurt tot den rand toe, alleen is op te merken, dat de banden smaller worden en dat een daarvan, zwart van kleur, omgeven is door twee witte banden. Hier is dus de spanning nul. De zwarte lijn zal voortaan als nullijn aangeduid worden. Aan de einden ziet men pauwstaartachtige figuren (waarschijnlijk veroorzaakt door afspringen der hoeken). Plaat IIT afbeelding IT geeft eene voorstelling van hetzelfde stuk, op een der afkoelingsvlakken liggende. In het middenveld vertoont zich ') De afbeeldingen zijn vervaardigd met behulp van eenen Seibert’schen teekenspiegel. — 1] weder een flauwe tint, daaromheen de nullijn, die weer elke ver- andering in het glas door eene afwijking uit hare richting aan wijst. Voor de einden geldt hetzelfde als bij afb. 1. Dat hier dezelfde verschijnselen, ofschoon in zeer verminderde mate optreden als boven, ligt aan de wijze van koelen. Nemen we nevenstaande figuur, dan zal de IJzer laag a, a, het sterkst gekoeld worden en dus M, En Ld . kK 7 7 4 van mg naar 4, eene vermeerdering van af koe- bef ZEN ling plaats grijpen. Hoewel in mindere mate, ch ail zal datzelfde van m, naar a, plaats grijpen en wel omdat aan de buitenzijde van a, meer ijzer, | dat een goede warmtegeleider is, aanwezig is, Wezer dan bij #.. Uit het bovenstaande volgt, dat in de standen van plaat IT uit- dooving moet plaats hebben, wanneer de lengteas van het preparaat met een der polarisatievlakken samenvalt. Plaat IV. Afbeelding IIE geeft een afbeelding van den rand van het stuk, zoodanig genomen, dat de nullijn juist door het centrum van het veld loopt. Om de helderste tinten te krijgen, is de optische as van het preparaat onder 45° ten opzichte der polarisatievlakken georiënteerd. Aan weerszijden der nullijn doet zich wit der eerste orde voor, en daarbuiten gekleurde banden, naar den rand smaller en helderder wordende. Om de verdeeling der spanningen te weten te komen werd een gipsplaatje (rood eerste orde) op het oculair gelegd. Is de optische middellijn der gipsplaat evenwijdig aan de lengte- richting van het glas (afbeelding VI) dan verplaatst zich de nullijn naar den buitenkant. Staan de genoemde lijnen loodrecht op elkaar (afbeelding V) Plaat V dan verplaatst de nullijn zich naar binnen en wel in beide gevallen naar de plaats waar een rood eerste orde was. In het eene geval hebben wij subtractie en in het andere additie. Hieruit volgt dan, dat aan de buitenzijde naar binnen gerichte spanningen optreden tot aan de nullijn, verder dat het centrum der staaf op de nullijn eene spanning uitoefent die van buiten naar het centrum gericht is. Plaat V. Afbeelding VI. Vergrootte afbeelding der scheur a op plaat IIT. De invloed der vrij ondiepe scheur, die onder het harden ont- staan was en die hier in een vlak loodrecht op hare lengterichting afgebeeld is, kan duidelijk aan de polarisatieverschijnselen nagegaan ee worden. De gekleurde banden loopen naar den rand toe, evenzoo de nullijn. Op het eerste gezicht zou men zeggen, dat juist voor - het diepste gedeelte der scheur in het wit der eerste orde een nieuw gedeelte der nullijn ontstaan ware. Bij een sterkere vergrooting ziet men, dat men hier niet met eene zwarte lijn te doen heeft, maar met een bundel van nauw opeengedrongene blauwe en roode strepen. Om te onderzoeken of deze kleurverschijnselen eenige ophel- dering over den invloed van scheuren op de spanning zouden kunnen geven, maakte ik op eene andere plaats van het prae- paraat, met een vijl, een groefje. Afbeelding VIT geeft hiervan eene af beelding. Hier zijn de verschijnselen niet zoo nauw opeengedrongen als in afbeelding VI, maar zij zijn allen in dezelfde volgorde aanwezig, ook het bewuste donkerkleurige plekje, dat het aanzijn te danken heeft aan het optreden van miet parallele spanningen in de omgeving an scheuren en inkeepingen. Invloed van slijpen enz. — Bepaalt men van een stukje hard- glas de polarisatiekleuren, slijpt men daarna het stukje dunner, zoo zal men zien, dat de dubbele breking door het afslijpen verminderd is. Slijpt men een stukje met nullijnen tot een wig, zoodanig dat de nullijnen evenwijdig aan de objecttafel blijven, dan zal men zien, dat de dubbelbreking naar het dunne einde afneemt. De nul- lijnen loopen hier te niet. Heeft men door voorzichtig stukslaan een schilfer van den om- trek der staaf verkregen, dan ziet men dat deze slechts weinig of in het geheel miet polariseert. Het grof gruis van een geknapte staaf polariseert bijna in het geheel miet. Uit andere proeven bleek, dat in welke richting men ook slijpt, steeds het slijpen verplaatsing der polarisatiebanden en over het algemeen ook achteruitgang der dubbelbreking tengevolge heeft. Sprekend wordt dit verschijnsel, zoodra men een glasbolletje van niet te grooten diameter hardt. Tusschen gekruiste vicols vertoont dit bolletje wit 1° orde, met een polarisatiekruis. f Pas heeft men van dit bolletje een segment of een schijfje ge- slepen, ziet men het witte veld omgeven door eene reeks van ge- kleurde concentrische cirkels. Daartusschen ziet men geen nullijn, maar dit kan ook niet, daar door den geringen diameter en door het gevaar van springen, de dikte van de schijf gewoonlijk miet zoo gering gemaakt kan wor- 13 — den, dat men het stukje van den bol, waarop de punten der nul- lijn liggen, als een cilinder kan beschouwen, wiens beschrijvende lijn loodrecht op de objecttafel staat. Nu is er steeds door den bolvorm in zulke cilindervlakken dubbelbreking. Gelukt het eene zeer dunne schijf te slijpen, dan verdwijnen de kleuren weer, maar de nullijn treedt op. Plaat VI afbeelding VIII geeft de afbeelding der polarisatieverschijn- selen in de omgeving van eene holte. Bij het afkoelen van het glas, gebeurt het meermalen, dat in het oorspronkelijk geheel gave stuk holten ontstaan (waarschijnlijk met zeer verdunde alkalidampen gevuld). Beziet men deze holten onder het polariseerend microscoop, tus- schen gekruiste nicols, dan vertoonen zich om de dan bijna zwarte holte gekleurde randen en bij zeer nauwkeurig onderzoek, aan de in de asrichting gelegen uiteinden zwarte driehoekjes, liggende in wit eerste orde. Er heeft dus in de lengterichting vereffening van spanning plaats gehad. De holte dankt dus haar ontstaan aan verbreking van den samenhang onder de contractie van het glas, waarvan het binnenste gedeelte nog in zachten toestand verkeerde. Opmerkelijk is nu: I. Dat een stuk hardglas langs de nullijn kan doorgezaagd worden zonder te breken. Im elk der stukken vormen zich weer twee nullijnen, maar de kleuren zijn zwakker. IL. Im de richting loodrecht op de nullijnen kan men de staaf alleen dan doorzagen, als men om den geheelen omtrek, dus sym- metrisch ten opzichte der as, inkeept, en wel zeer voorzichtig, want neemt men ergens. te veel weg dan springt de staaf. II. Is een staaf vrijwel bewerkt, dan laat ze hoe langer hoe meer bewerking toe. Dit laatste strookt met het verschijnsel, dat de polarisatie achter- uit gaat. IV. Im richtingen, evenwijdig aan de nullijn kan men de staaf. alleen met veelvuldige lange rusttijden doorzagen. In den rusttijd wordt de spanning waarschijnlijk vereffend. V. Im richtingen loodrecht op de nullijn kan men voorzichtig met groote rustpoozen inzagen totdat de zaagsnede even de plaats gepasseerd heeft waar zich oorspronkelijk de nullijn bevond. De afstand wordt grooter door meerdere rusttijden. IV. Ontlaten. Evenals men gehard staal kan ontlaten, kan men dit ook met hardglas doen. Hoewel bij alle soorten goed waar te nemen, doet het verschijnsel zich bij de in kwik geharde staven het zuiverst voor, omdat bij deze de dubbelbreking het hoogst opgevoerd is, en omdat deze staven het rijkst aan holten zijn. Nu was: Polarisatiekleur bij het ontlaten. Temperatuur. Kleur. Gewoon. | Blauw. 10080. | Rood I. 500° ©. | Wit 1. Rood gloeihitte. | Bijna met meer. Wit gloeihitte (begin smelten). | Gewoon glas. Daar de holten ontstaan zijn door spanningen zouden ze theore- tisch weer moeten verdwijnen, als de spanningen opgeheven worden. Dit is dan ook het geval, behalve dat ze als een lijntje (micros- copisch fijn) zichtbaar blijven, omdat de samenhang niet geheel hersteld wordt. Zulk een stuk, opnieuw gehard, vertoont de holten op de oor- spronkelijke plaatsen, maar daar de samenhang eens verbroken was, zijn de bellen nu grooter geworden. Bij het ontlaten moet men veer voorzichtig zijn, daar men anders kans heeft van springen. Omgekeerd loopt de dubbele breking omhoog als men de stukken in koudmakende mengsels afkoelt, bijv. tot — 20°. Hierbij bestaat echter veel kans van springen. V. Beschouwing omtrent de vorming van het hardglas. Men zou met de verklaring van bovenstaande verschijnselen een eind op weg komen, als men de volgende onderstellingen maakt. Zooals men weet, zet ieder lichaam bij verwarming uit, en krimpt bij afkoeling weder in. Brengt men nu het glas op hooge tem- peratuur en dompelt het plotseling in een afkoelend mengsel, dan zal de buitenste sterk afgekoelde laag plotseling willen inkrimpen. Glas is een slechte warmtegeleider, dus koelt het middengedeelte weinig af. Door het inkrimpen van de buitenste laag oefent deze nu een drukking uit op de meer naar binnen gelegen gedeelten, maar door den grooten weerstand, dien zij hier ontmoet, komt deze buitenste laag niet op de plaats, waar ze na een gewone afkoeling zou komen te staan. Dus blijft het glas een grooter volume houden. Nu bekoelen de middelste gedeelten en daar deze door krimping de oorspronkelijke plaats niet kunnen bereiken, zullen spanningen van den omtrek naar het centrum ontstaan. Waar de zwarte lijn waargenomen wordt, gaat de compressie van den omtrek over in de naar binnen gerichte spanning van het middengedeelte. Vermoe- delijk zal dus de soortelijke massa van een aan den omtrek gelegen deel kleiner zijn dan die van het centrum en zal de dichtheid aan den omtrek grooter en in het midden kleiner zijn dan van ge- woon glas. Hiermede in overeenstemming zijn de reeds genoemde en nog te vermelde verschijnselen. Hoe warmer de staaf vóór het afkoelen en hoe beter de koel- middelen de warmte geleiden, des te sprekender zullen de verschil lende kenmerken van hardglas optreden. VL Soortelijk gewicht. De voorgaande resultaten, uit het optisch onderzoek verkregen, doen een sterk vermoeden ontstaan, dat het soortelijke gewicht een ander en wel kleiner zal zijn, dan van gewoon glas. Gaan we uit van de onderstelling, dat het glas tot + S00° C. verhit is, dan zou het volume bij deze temperatuur zijn: oe (ha ot) Nemen we nu aan: {— 800 mb Gente dan zou dus, als na de plotselinge afkoeling het glas het volume bleef houden, dat het bij S00° had, de verhouding zijn Vi Ze EN) 006544. Vo Dit getal zou dan tevens de verhouding uitdrukken van het soortelijk gewicht van gewoon en het soortelijk gewicht van hardglas. Bij de bepaling der soortelijke gewichten werd elk stuk glas vóór het harden in minstens drie stukken verdeeld. Het eene stuk werd met etiket afzonderlijk im een doosje bewaard. De andere stukken werden zooveel mogelijk op een en dezelfde wijze gehard. Vier verschillende hardglassoorten werden onderzocht, verkregen door ijzer-, chamotte-, olie- en kwikharding. Daarvoor werd van elk stuk gewoon glas het soortelijk gewicht bepaald en van de twee daarbij behoorende stukken hardglas. Dat deze soms in de laatste decimaal kleme verschillen vertoonen is vermoedelijk aan meer of minder volkomene harding toe te schrijven. Uit vroegere waarnemingen bleek reeds, dat de te voren genoemde holten geen invloed uitoefenden, dus een reden te meer om aan te nemen, dat de buitenste laag nagenoeg op de plaats blijft, waar ze zich vóór het afkoelen bevond. De in het begin van dit hoofdstuk uit theoretische beschouwingen afgeleide verhouding der soort. gewichten werd daarna berekend, om eene vergelijking in de tabel der verschillende soorten van hardglas te kunnen opmaken. KE Soort. gew. | Soort. gew. | Verhouding gewoon glas. hardglas. 1 INTER ol a RS here O L “2D 1,0061 Oe M.S cet. ree een 2D DOL Ich 1,0059 Laérplant ; a ee eRe 4) 60 6002: "| 226016 1,0029 Chamotte. . . Te 2,6092 | 2,6042 1,0020 Olieglas (maar nu het grove | poeder van het stuk- | springen) ech | 0026 DEA 2,5541 fijn gewreven. … ‚… 25561 2,5559 Hieruit blijkt overeenstemming der op grond van de boven ont- er — ~ wikkelde hypothese berekende met de waargenomene verhoudingen. Ook blijkt, dat men de soortelijke gewichten der verschillende lagen van een stuk hardglas niet afzonderlijk zal kunnen bepalen, daar onder het doorzagen of vergruizen vereffening der spanningen zou optreden. Bij het onderzoek van stukken met en zonder holten, door har- ding derzelfde soort glas verkregen, bleek dat deze holten geen invloed op het soortelijk gewicht hadden. Reeds Riche ') vond hetzelfde. Hij vond voor het soortelijk ge- wicht van: engen Snel Ou afgekoeld. | afgekoeld. | TN aen Kristalglas. eens ESS 4109, 2132109 eee... . . ,. |‘ 3,610 3,602 3,605 BENDES OO : . .| 2,561 2,544 2,551 VIL. Brekingsindex. Om dezen te bepalen werden van gewoon en van in chamotte gehard glas prisma’s geslepen, hiervan de vlakken zoo zuiver moge- lijk gepolijst. De te gebruiken stukken hadden reeds, om groote veranderingen in de spanningen bij het slijpen te voorkomen, ten naasten bij den prismavorm. Met den goniometer van Fuess werd daarna de hoek van het te gebruiken prisma gemeten. Afgelegen werd: Nonius |. Nonius IL. EE | A ERE | 1° vlak. | 2° vlak. 1° vlak. 2° vlak. | Gewoon. zl 226°25 94°47’ 16°94, 974°46 Hardglas . . .| 224°33' 83°17’ 14.°32° 263°] *) Zie Polyt. Journ. 214, 308. B 2 Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VI. BES ya Dus de brekende hoek van gewoon glas 48°,22’, hardglas 38°44’. Verder zijn de kijker en collimator in elkaars verlengde als: nonius I 224°21' nonius II 44°20’ De waarnemingen voor het minimum van deviatie waren nu: Ribbe rechts. Ribbe links. Nonius I. | Nonius II. | Nonius I. ! Nonius II. Hadeln re DORIS 2 946°19' 66°18" Gewoon glas .. 195°30’ 15°29° DATE ME MP Te Pa as Nu werd de brekingsindex bepaald door het minimum van deviatie bij natriumlicht met behulp der vergelijking : sin Is @ + 9) UC SL 9 IN ZZ Na instelling op het minimum van deviatie werd, zooals uit de structuur der stukken te onderstellen was, een duidelijk beeld waar- genomen en daaraan sluitende eene onafgebroken reeks van minder scherpe beelden der spleet. Na instelling op het scherpe beeld leverden de metingen de volgende cijfers: Gewoon: Hardglas: hoek A == 1 48°29 38°44 J == 28h 1 21°58" a à L as ” ’ fis = 38°36'30 SUS . are os a 7 log sin au = 9,79518 970853 : a ; ; log sin “= 9,61242 9,52063 log x = 0.18276 0.18290 7 15282 1,5237 — 19 Hieruit volgt dat het scherpe beeld door den normaal gebroken straal gevormd wordt. VITE Buigvastheid. Bijgaande diagrammen zijn een copie van de met den dynamo- meter van Leuner verkregen diagrammen der buigvastheid van het hardglas: en van het daarbij behoorende gewone glas. Evenals bij alle in dit verslag genoemde onderzoekingen ben ik vergelijkenderwijze te werk gegaan met de bij elk stuk behoorende grondstof. De dynamometer was eigenlijk ingericht voor trekproeven. Door eene kleine wijziging der kleminrichting werd hij voor de beoogde buigproeven geschikt gemaakt. De afstand der steunpunten was 2 cM., terwijl de druk in het midden aangreep. Het gebruik van dezen toestel, thuis behoorende in de afdeeling van mechanische technologie, werd mij welwillend toegestaan door den heer P. van der Burg, hoogleeraar in dat vak aan de Polyt. school. Voor de draagkracht werden de volgende getallen gevonden: Koelmiddel. | Gewoon. | Hardglas. | | | Olie sh 100 KG: 115 KG ieee OBB 325 BROER . .. . . «~ : »| 290 ,, 520 Pee Oe ot | 195 „ 225 Ne Ten Us A ‘95 130 Wat ons dadelijk treft is de overeenkomst in volgorde met de uitkomsten der soortelijke massa’s en dubbele breking. De automatische opteekening van het diagram was niet nauw- keurig genoeg om de geringe buiging aan te geven tegenover deze kolossale drukkingen. — 20 — Daarom werden, en vooral omdat in het door F. Connert 4) ge- schreven stuk, over de buigvastheid van het Siemensche hardglas wel degelijk buigingen aangegeven worden, deze proeven op andere wijze herhaald. Connert gebruikte staven van 90 cM. lengte en ik had slechts kortere, dus moest mijne wijze van observeeren nauwkeuriger worden. Ik maakte voor het microskoop een ijzeren voetplaat, waarop in het midden een stalen stuk bevestigd was. Van boven was dit stuk uitgewerkt, zoodat er twee wiggen op 2 cM. afstand ontstonden. Op deze wiggen rustte de staaf. Een derde wig werd im het midden op de staaf gelegd. Deze was van boven met een uiterst fijn merk voor microskopische in- stelling voorzien. Aan deze wig waren twee stangen bevestigd die door- gaten in de plaat naar beneden gingen en waaraan gewichten gehangen meterschroef van het microskoop, terwijl ik werden. De doorbuigingen las vergrooting scherp instelde op het bovengenoemde merk. Nu was de uitslag: Hardelas. ik nu af op de micro- telkens met 900-voudige Gewoon glas. ee Uitwijking. itwijking. DE Afmetin- = ee ; Afmetin- Pas Sen. | Berekend. oe Sen. | Berekend. std microm. microm. () Rond. S5 Rond. 49 6 16 D 91 65 6 | 16 10 d = 6,21 | | 97 |d=7,26| 81 | 7 15 15 (10)4 mm 96 i 16 20 (pa | (Le 6 17 | 25 (117 (1)29 31 8] 0 KG. (1)48 (2)10 Berek. op 5 K° + 6 | Berek. op 5 K° + 16] Zie Civiel Ingenieur XXXIV le en 2e Heft. 21 De gang der schroef is 0.5 mM. De kop is verdeeld in 100 deelen. De doorbuiging is nagenoeg 3-maal kleiner dan van ge- woon glas. IN. Hardheid. Zooals men uit den naam van hardglas zou afleiden moest dit glas harder zijn dan gewoon glas. Vat men de hardheid op in den zin der mineralogen, dan is dit evenwel in het geheel niet het geval. Men kan, als men op hunne wijze de hardheid bepaalt, zoowel het glas door het hardglas, als het hardglas door het ge- wone glas krassen. Dus is de hardheid ten naastenbij gelijk. Bepaalt men evenwel de mate van afschuring van een stuk hard- glas op een stuk gewoon glas of omgekeerd, dan merkt men, dat steeds het hardglas het meest afgeschuurd wordt. Dit is zelfs zoo sterk, dat het mij gelukte een hardglazen staaf met een gewoon glazen staaf af te zagen. De gewone staaf was dof mat, dus bijna niet aangetast. Bij andere proeven werd er, voor gezorgd, dat het afgeschuurde oppervlak op het gewone glas kleiner was dan op het harde. Niet- tegenstaande was de uitslag dezelfde. Dit is te verklaren uit de groote mate van brokkeligheid van het hardglas. Is er eens een splintertje afgesprongen, dan vormt het steeds weer scherpe kanten, welke door de matte oppervlakte van het gewoon glas steeds losgerukt worden en zoodoende slijt het gewone glas minder af dan het hardglas. Het afgeschuurde poeder werd microskopisch onderzocht. Het was bij geringe vergrooting meelachtig; maar bij meerdere vergroo- ting werd het poeder verdeeld tot scherpe stukjes van ongeveer (bij 900-voudige vergrooting met homogene immersie) 0.7 — 16.6 micron; zie plaat VIT. Wat de hardheid aangaat, die men uit de mate van polijsten enz. kan afleiden, deze is bijna dezelfde; beide polijsten evengoed. Hardglas en gewoon glas worden op dezelfde wijze door een veldspaatkristal aangetast, dus de hardheid is kleiner dan 6. Door veldspaat werden ook op het dikke einde van tranen, die ingekit waren, duidelijke krassen gemaakt, zonder dat de traan sprong. X. Chemisch gedrag. Fluorwaterstofzuur tastte beide soorten van glas hevig aan. Waar men een traan ook liet aantasten, telkens was het springen een gevolg !). Zoutzuur trekt uit gewoon glas alkalién uit, dit is ook met hardglas het geval, maar zooals wit de onderstaande cijfers blijkt, is de tijd van inwerking verschillend. Zet men een drup geconcentreerd zout- zuur op een gewone en een dergelijken drup op een hardglazen plaat, laat beiden 24 uren staan, dan zal bij indampen van de druppels de rand bij gewoon glas dikker zijn dan bij hardglas. Toen dit opgemerkt was, werden twee stukken glas van gelijken vorm, nl. een stuk hardglas en een stuk gewoon glas in dezelfde kolf met geconcentreerd zoutzuur gebracht, na vooraf gewogen en microskopisch onderzocht te zijn. Na eenigen tijd werd de weging en het microskopisch onderzoek herhaald. Het gewone glas werd regelmatig aangetast, het hardglas na langeren tijd, maar het werd alsdan geheel ruw met scherpe scheurtjes en kantjes. Het gewone glas ging gewoon verder, het hardglas werd veel ruwer, zie plaat VII] en plaat IX. De gewichten waren: Hard. Gewoon. ING Lanier me re Bro, De Daz 1,8847 Gr. 2.9 A 5 Gr A Ope A NEN em TR 1883275" 294198: DN MEN en Ls 18820) A ROOM DOr ie, OU ee en. 1,886 wx; SAUT ODD i Aar 10 LET BE rr TS. | Daaruit blijkt, dat eerst het gewone glas heviger aangetast wordt, daarna als dit aan de oppervlakte alle alcali afgestaan heeft, min- der, terwijl het aantasten van het hardglas blijft doorgaan. Tevens ondergaat dit meer verlies door het afspringen van uiterst kleine mikroskopische splinters, waarop ook het voorkomen van het aangetaste oppervlak wijst. 1) Dit is verschillend van de proeven door M. de Luynes beschreven. Henrivaux Verre et Verrerie pag. 34. Behalve het grootere weerstandsvermogen tegen zuren enz. is het hardglas beter bestand tegen groote temperatuurswisselingen. Blaast men een gewoon glazen bol en laat men dien niet in de vlam, maar in de lucht afkoelen, dan kan men hem meermalen plotse- ling in de vlam van eenen Hugershoffschen brander houden, zonder dat hij springt. Een bol, die in de vlam gekoeld is, doet dit veel lichter. Zelfs al zijn de wanden zeer ongelijk van dikte, dan zal het hardglas het nog uithouden. In het dagelijksch leven is het heel blijven van lampenglazen bij het aansteken en uitdoen der vlam aan luchtharding toe te schrijven. Bij in olie gekoelde voorwerpen treden deze eigenschappen nog meer op den voorgrond. NI. Siemens glas. Zooals reeds te voren gemeld is, was de firma Siemens in Dres- den zoo vriendelijk, hardglas en gewoon glas ter beschikking te stellen. Hiermede werden de voormelde uitkomsten vergeleken en gevonden, dat het optisch gedrag geheel overeenstemde. | Verder was het ontlaten ook hetzelfde. Het soortelijk gewicht was van: Gewoon glas 2,5316. Hardglas 2,5274, Verhouding der soortelijke gewichten dus 1 : 1,002 ©. Brekingsindex: Nonius I. | Nonius IL. = lal a | Ä at A 1° vlak. | 9° vlak. vlak. 2° vlak. Gewoon,.. . «| 171°32 23°12 soko 130841 Hardglas NOM en 96, 7 347°33 205° 6’ | Evenals bij de eerste bepalingen werd voor het scherpe beeld de brekingsindex van gewoon spiegelglas gevonden. 1) Verhouding voor harding in kwik: 1,0061. Gewoon. hoek A == d = atd 2 PSE og sm —, ~ NC log sin — == 2 log n= wt: nonius I 224°21’ Sy ae 31°40’ 18° 4’ 24°52" 9.62377 943591 nonius II 44°20’ Hardglas. 37°33" 21°57" 29°45 9,69567 9,50765 0.18S02 1,5419 Ribbe rechts. Ribbe links. Nontus | : | Nonius LE. | Nonius I. | Nonius IE. Gewoon aw subite 00 Li. Hardglas. Dus overeenkomende. | 62°24" 66 14% Hardglas. Gewoon glas. Belast. : i : in Afmetingen : Afmetingen : KG. Fe 3 | Dikte. | Breedte. | Uitwijking. | Dikte. | Breedte. Uitwijking. | | Afgel. | Afgel. oO 4.55 mM. 11 45mM. 79 |4,42 mM. 10, 14mM. | 54 | Les | 9 D x 85 | st Fe | 63 6 | | 9 10 5 ANAS 91 à lg 72 if | 9 15 : AE 98 p= |, An) 81 | 5 | | 10 20 dl CCE CONS ob LA rie | 91 1, 8 | 12 25 re | (LOWS aid deed (10)3 31 A4 | 50 7 : ——| (1)40 2 | (1)47 gemidd. ‚+ 6 | + 9 | De afstand der wiggen was weer 20 mM. Daar Siemens glas weinig gehard is, springt het onder den hamer in groote brokken en niet tot gruis, dit komt met zijn ge- drag bij de buigproeven overeen. Hardheid. Verschijnselen dezelfde als onder IX. XIL Vergelijking van Hardglas en andere stoffen. In de eerste plaats werd gewoon hars beproefd. Een in warm water verhit stuk hars werd tusschen glasplaten in koud water gedompeld. Door een zorgvuldig onderzoek was vooraf uitgemaakt, dat langzaam gekoeld hars in het geheel niet dubbel- brekende was. Na snelle afkoeling werden van de verhitte stukken zwak dubbel- brekende platen verkregen, die wel is waar geene kleuren, maar duidelijke uitdooving vertoonden. Overeenkomende resultaten werden met platen van schellak verkregen. Om de donkere kleur moet men hier met uiterst dunne plaatjes werken, en verkrijgt dientengevolge zeer zwakke dubbelbreking, die nog verminderd wordt, door dat de temperatuurverschillen tusschen de hoogste verhitting en de koelvloeistof gering zijn. Frappant is de overeenkomst in het gedrag van het hardglas en het door M. M. H. Moissan en G. Harpy onderzocht gedrag van Boriumstaal 5. Zij merkten bij het harden van dit materiaal wel een grootere mate van vastheid op, maar bijna geene vermeerdering van hardheid. Het gewone staal heeft eene soortgelijke vermindering in soortelijke massa als het hardglas, maar het heeft buitendien de eigenschap, dat door plotseling afkoelen de hardheid toeneemt en zelfs iets boven 5,5 kan komen. Vermoedelijk zal dit een gecombineerd verschijnsel zijn, nl. van physischen aard, zooals bij het hardglas, en van chemischen aard, in zooverre door plotselinge afkoeling harde carbides kunnen gesta- biliseerd worden. Dikwijls is op te merken, dat er verkeerde meeningen over het hardglas heerschen. Zoo schrijft Fridolin Reiser ®, dat Karmarsch mededeelt, dat - hardglas niet met den diamant gesneden kan worden, dat het grooten weerstand tegen slag, stoot enz. biedt. Dit is goed; maar dat volgens Leger in Lyon de dichtheid van hardglas grooter zou zijn dan die van gewoon glas, omdat de soortelijke massa grooter en dus het volume kleiner is, kan op grond van het voorgaande stellig worden tegengesproken. | 1) Zie Comptes rendus N° 3. Jan. 21 1895 pag. 133. *) Zie: Das Härten des Stahles in Theorie und Praxis. Fridolin Reiser (blz. 53). L. Houwixx. Verklaring der afbeeldingen. Plaat I. 5-voud. vergrooting. Afbeeldingen van gesprongen hardglas, waarvan de stukken nog op hunne oorspronkelijke plaats zijn. Fig. 1. Traan, aan de punt gebroken. Fig. 2. Traan, in het midden gebroken. Fig. 3. Middengedeelte van een staaf. Staaf, nabij een der uitemden doorgebroken. Staaf, op de halve lengte gebroken. Gesprongen prismatisch stuk. Fig. 7. Gesprongen prismatisch stuk, maar waarvan het niet aan- wezige stuk vergruisd is. In fig. 2 en 5 ziet men aan de breuk twee tegengestelde kegels. D In fig os ss ein dee oo à en Cy ~e g. 3 en 4 zijn deze kegels gelijk gericht. Plaat IT. Diagram voor de breukbelasting. De ordinaten geven de belastingen aan, waarbij het glas doorbrak. By de niet-onderstreepte breukbelastingen was de gebruikte veer berekend op 400 KG., bij de onderstreepte op 600 KG. Polarisatie-verschijnselen bij gekruiste Nicols. Plaat III. Afbeelding I. Tweevoud. vergrooting. stelt de polarisatiekleuren voor van een staaf wier afgekoelde vlakken loodrecht op het vlak van teekening staan. SEE Bij « is eene natuurlijke scheur in de staaf. Bij 4 is eene inkeeping in de staaf gemaakt. Bij c is een gat geboord. Alle drie veranderingen zijn gekenmerkt door onregelmatigheden in de volgorde der kleuren. Plaat IIT. Afbeelding II. Tweevoud. vergrooting. geeft de polarisatiekleuren van dezelfde staaf, maar nu is het beeld- vlak het vlak van afkoeling. De opmerkingen bi afbeelding I gelden ook hier. Plaat IV. Afbeelding Il. 40-voud. vergrooting. stelt de kleuren van den rand van de staaf van afbeelding I, maar veel vergroot in regelmatige volgorde voor. 0 0 is de nullijn. Plaat IV, Afbeelding IV. 40-voud. vergrooting. is hetzelfde deel van de staaf als afbeelding III, maar nu is er onder den analysator een gipsplaatje rood I° orde, wiens as even- wijdig de kleurenstrepen ligt. De nullijn (0 0) is naar den buiten- kant verschoven. Plaat V. Afbeelding V. 40-voud. vergrooting. hetzelfde beeld als afbeelding IV, maar nu is het gipsplaatje 90° gedraaid. De nullijn is nu naar het midden verplaatst. Plaat V. Afbeelding VI. 40-voud. vergrooting. is een vergroot beeld der scheur a van afbeelding I. Aan het einde der scheur ziet men een zwarte plek, die evenwel bestaat uit vele nauw aaneengesloten donker gekleurde lijnen. Alle kleurenstrepen, ook de nullijnen, buigen zich naar den omtrek, ter weerszijden van de scheur. Plaat VI. Afbeelding VIT. 40-voud. vergrooting. een beeld der inkeeping 4, geeft aanleiding tot dezelfde opmerkingen als afbeelding VI. Plaat VI. Afbeelding VIIT. 40-voud. vergrooting. geeft eene holte in een hardglazen staaf te zien. ab is de lengte-as, de bel is zwart en omgeven door gekleurde banden. Aan de einden der holte, in de lengte-as van de staaf ziet men een zwart drie- hoekje in wit van de Is’ orde. Plaat VII. Fig. 1. Afgeslepen poeder van hardglas, 40-voudige vergrooting. Fig. 2. Afgeslepen poeder van hardglas, 900-voudige vergrooting. Grenzen der korrels 0,7 — 16,6 micron. Plaat VILL. 26-voud. vergrooting. Fig. 1. Gewoon glas na 168 uren uittrekken met zoutzuur. Fig. 2. Hardglas na 168 uren uittrekken met zoutzuur. Plaat IX. 26-voud. vergrooting. Fig. 1. Hardglas na 336 uren uittrekken met zoutzuur. (15 Maart 1896). HOUWINK: ONDERZOEK OMTRENT HET ZOOGENAAMDE VERHANDELINGEN KON. AKAD. V. WETENSCH. AFD. NATUURK + . (x POY AUR. OAT UE M LR RÉ CAE ÉMIS L. HOUWINK: ONDERZOEK OMTRENT HET ZOOGENAAMDE HARDGLAS AFB. I. AFB. Il. VERHANDELINGEN KON. AKAD. Vv WETENSCH. AFD NATUURK "y IE. HOUWINK: ONDERZOEK OMTRENT HET ZOOGENAAMDE HARDGLAS AFB. III. AFB. IV. 12 Sectie DL. VI VERHANDELINGEN KON. AKAD. V WETENSCH. AFD. NATUURK. a ei L. HOUWINK: ONDERZOEK OMTRENT HET ZOOGENAAMDE HARDGLAS. AFB: V ARB... VI. VERHANDELINGEN KON. AKAD. V WETENSCH. AFD. NATUURK. 1e Sectie DL. VI L. HOUWINK: ONDERZOEK OMTRENT HET ZOOGENAAMDE HARDGLAS AFB. VII. AFB. VIII. VERHANDELINGEN KON. AKAD. v. WETENSCH. AFD. NATUURK 1 Sectie DL.VI. 4 ! L. HOUWINK: ONDERZOEK OMTRENT HET ZOOGENAAMDE HARDGLAS. FIGE BIG VERHANDELINGEN KON. AKAD. V. WETENSCH. AFD. NATUI RK. Ie Sectie PL. VOL L. HOUWINK: ONDERZOEK OMTRENT HET ZOOGENAAMDE HARDGLAS. UTP Nn maten “7% SO Stan ann Py ee a en enne OR Se manne FIG FIG. Il. VERHANDELINGEN KON. AKAD. V. WETENSCH. AFD. NATUURK. Ie Sectie DL. VI. ————— van de zwavel volgens de kookpuntsmethode, ARONSTEIN zn S. H. MEIHUIZEN. . A hie ate HAE Er nes (Met één plaat.) / se AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. Kees Jali: 1898. | a over het moleculairgewicht van de zwavel : gens de kookpuntsmethode, VAN | ARONSTEIN EN S. H. MEIHUIZEN. (EERSTE SECTIE). Deel VI. N°. 3. (Met één plaat.) AMSTERDAM , JOHANNES MÜLLER. E 1898. | “ + wt, Of Onderzoekingen over het moleculairgewicht van de zwavel volgens de kookpuntsmethode VAN L. ARONSTEIN ex S. H. METHUIZEN. In Maart 1896 verscheen in het American Chemical Journal Vol. 18, n° 3, eene verhandeling over het moleculairgewicht van de zwavel van W. R. Orxporrr en G. L. Terrasse. Door deze beide scheikundigen was een uitgebreid experimenteel onderzoek verricht met het doel om door toepassing van de kookpunts- en de vriespuntsmethode het moleculairgewicht van dit element te bepalen bij zeer uiteenloopende temperaturen en in zeer verschillende op- lossingen. Om dienzelfden tijd was de eene van ons bezig met een derge- lijk onderzoek, dat echter hem resultaten gegeven had, die afweken van die door Ornporrr en ‘Terrasse gepubliceerd. Wij besloten derhalve, te meer daar de resultaten van OrNporer en TERRASSE ook afwijken van die verkregen door BrekmanN (Zeitschr. Phys. Chem. 4, p. 266), en evenzoo van die van SaKumrar (Journ. Chem. Society 61, 989), en die van Herer (Zeitschr. Phys. Chem. 12, 196), het onderzoek voort te zetten en de bepalingen met gebruikmaking van alle voorzorgsmaatregelen te herhalen. De uitkomsten van dit onderzoek deelen we mede, vooral omdat zij geheel verschillen van de merkwaardigste resultaten van ORNDORFF en Terrasse: dat nl. het moleculairgewicht van de zwavel bij tem- peraturen beneden haar smeltpunt door de moleculairformule Sj, en boven haar smeltpunt door de moleculairformule A, moet wor- den uitgedrukt en dat het moleculairgewicht van de zwavel, C 1% 4 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT wanneer men zwavelmonochlorid als oplossingsmiddel gebruikt, zou moeten beantwoorden aan de formule 4g. Wij meenen er ook in geslaagd te zijn om, al is het niet overal, toch in vele gevallen de oorzaken te hebben gevonden van de af- wijkende uitkomsten van Ornporrr en TERRASSE. Het gebruikte toestel. We waren begonnen onze bepalingen uit te voeren met het be- kende toestel van Beckmann, waar de kookende vloeistof omgeven is door een dampmantel We maakten daarmede een reeks van bepalingen en wel met gebruikmaking van zwavelkoolstof als op- lossingsmiddel. In de volgende tabellen 1 en 2 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen, waarbij de procenten zwavel als abscissen en de uit de kookpuntsverhooging berekende molecu- lairgewichten als ordinaten zijn aangenomen, zijn eenige uitkomsten dezer proeven weergegeven, om als voorbeeld te dienen voor hun onregelmatig verloop en om aan te toonen dat, volgens deze proe- ven, het moleculairgewicht voor oneindige verdunning afwisselt tus- schen de grenzen 270 en 250. 1. Zwavel in zwavelkoolstof. (Kpt. 46,40—46,50 bij 764 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 32,0. Moleculaire verhooging: 23,75. arava i a RO a EEE EE EE DE AAE NO! 290 Totale Totale Berekend 280 BEE TEE LEEN °/o temp. molecul. 270 ere A ee TT 7 zwavel. verhooging. | gewicht. Ms ETE 4 EE | TPTK SA RN 260 BEAN EK 0 ae 0,055 233.9 SAT AAE En a hE 1050 0,098 267,8 Cen RE RU RE 10056 | olas Ines IE e100). 6.200 2624 MEL RD AES RE 2 8600 0,244 278,4 ON ha A EE DE GE lh 3.5280 | 0,295 284,0 BRE EEE EE KL IER DAS ROSE ET 0,340 281,4 BREE RA BARD 5 6 Fig. 1. 220 — VAN DE ZWAVEL. 5 2. Zwavel in zwavelkoolstof (kpt. 46,40—46,50 bij 764 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 27,25. Moleculaire verhooging: 23,75. Totale ‘Totale Berekend 5 temp. molecul. zwavel. verhooging. | gewicht. 0 rt zn 1,1126 0,094. 281,1 2,1013 0,177 281,1 3,1305 0,273 272,3 4,2260 0,372 269,4 5,3185 0,458 276,3 6,5000 0,554 278,6 7,6267 0,646 280,4 8,6659 0,728 282,7 9,7740 0,814 285,2 10,8710 0,902 ” 286,2 Fig. 2. Ééne oorzaak voor de onregelmatigheid was dadelijk duidelijk. Wanneer men te doen heeft met eene stof, waarvan het moleculair- gewicht zoo hoog is als dat van de zwavel en waarbij dus de kook- puntsverhooging een betrekkelijk gering bedrag heeft, zijn kleine fouten van grooten invloed op het resultaat. Nu was een bron van fouten, waarvan de invloed althans in ons klimaat niet onderschat mag worden, de soms belangrijk afwisselende barometerstand. Herhaaldelijk werden verschillen in barometerstand bij het begin 6 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT en het einde van een reeks waarnemingen van 4 mm. waargenomen, terwijl dikwijls de veranderingen van den barometerstand. ook niet gelijkmatig, maar bij afwisseling stijgend en vallend plaats grepen. Een verschil in barometerstand van 4 mm. kwikzilver beantwoordt echter aan een verschil in ‚kookpunt van 0,16 graden, een bedrag dat bij de zwavel althans een grooten invloed hebben kan op het resultaat. Wij besloten derhalve ons van een tweede Brockmann, die met het oplossingsmiddel alleen was gevuld, als een controletoestel te bedienen en telkens den stand van den thermometer in beide toe- stellen af te lezen en het verschil van die aflezingen als grondslag te gebruiken voor de berekeningen. Met zwavelkoolstof werden nog twee reeksen van bepalingen op deze wijze gemaakt. Hunne resultaten zijn medegedeeld in tabel 3 en 4 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen. 3. Zwavel in zwavelkoolstof (kpt. 46,40— 46,50 bij 764 mm). Grammen oplossingsmiddel: 34,0. Moleculaire verhooging: 23,75. Totale Temp. Temp. Totale Berekend ALES Eerste Controle- temp. molecul. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht: 0 0,980 4,588 — zt 0,868 1,043 4,580 0,071 290,8 1,748 101 4,576 0,133 312,1 2,676 1,156 4,543 0,221 287,6 3,572 1,232 4,532 0,308 275,4 4,363 1,303 4,533 0,378 274,1 5,280 1,375 4,921 0,462 271,4 6,211 1,450 4,517. 0,541 272,1 7,092 1,522 4,517 0,613 274,8 7,973 1,592 4,512 0,688 275,2 8,896 1,658 4,505 0,761 211,6 10,623 1,79] 4,495 0,904 Re as E 12,419 1,930 4,490 1,084 281,4 14,190 2,056 4,482 1,182 285,1 16,026 2 198 4,491 1,315 289 4 17,794 2,318 4,497 1,435 294,5 19,595 2,446 4,487 1,567 297,0 21,378 2,558 4,478 1,688 300,7 ns rn ir nd VAN DE ZWAVEL. 7 4. Zwavel in zwavelkoolstof, (kpt. 46,40—50 bij 764 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 38,25. Moleculaire verhooging: 23,75. Totale Temp. Temp. Totale Berekend Se Eerste Controle- temp. molecul. zwavel. toestel. toestel. verhooging- gewicht. 0 0,950 4,513 — — 0,506 1,018 4,508 0,073 262,1 1,600 1,064 4,488 0,139 273,4 2,411 1,130 4,479 0,214 267,5 3,140 1,195 4,478 0,280 266,3 3,957 1,270 | 4,480 0,353 266,2 5,605 1,407 4,470 0,500 266,2 1,183 1,558 4,478 0,643 265,3 8,780 1,689 4,484 0,768 271,5 10,430 1,823 4,483 0,903 274,4 11,860 1,947 4,497 1,013 278,1 13,470 2,069 4,492 1,140 280,7 15,830 2,238 4,490 1,311 286,8 8 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT Ofschoon beide tabellen en de graphische voorstellingen tot een moleculairgewicht bij oneindige verdunning leiden, dat dicht bij 256 gelegen is, waren de afwijkingen, vooral in het begin bij zeer verdunde oplossingen, toch nog zeer belangrijk. lets dergelijks von- den wij ook bij de moleculairgewichtshepalingen van zwavel in benzol, waarvan wij de resultaten niet uitvoerig mededeelen. Alleen willen wij vermelden, dat niet alleen de uitkomsten van één proef bij verschillende concentraties groote afwijkingen ver- toonen, maar dat ook verschillen in het eindresultaat voor het moleculairgewicht bij oneindige verdunning voorkomen (het wis- selde af tusschen 240 en 280), waardoor duidelijk werd, dat ook nu nog belangrijke fouten bij de proefnemingen storend moeten hebben gewerkt. Wij gingen er derhalve toe over gebruik te maken van de door BuckMANN in nieuweren tijd bijzonder aanbevolen methode (Zeitschr. Phys. Chem. Band 21 p. 245) om in plaats van een dampmantel een luchtmantel te gebruiken en als vulling van het kooktoestel ons te bedienen van de eveneens door hem aanbevolen platinatetraëders. Intusschen meenden wij nog een gebrek der toestellen te kun- nen verhelpen, dat daarin bestond, dat de in den koeler geconden- seerde vloeistof bij terugvloeiing den thermometer raakte en zoo- doende onregelmatigheden kon veroorzaken. Van hetzelfde denkbeeld uitgaande heeft Harry C. Jones (American Chemical Journal Juli 1897) den thermometer door een platinamantel voor den invloed van het terugvloeiende oplossingsmiddel beschut. Wij meenen echter dat door onze reeds in 1896 aan het toestel gebrachte wijzi- gingen het doel eenvoudiger en goedkooper wordt bereikt. Tegelijkertijd wenschten we ons toestel bruikbaar te maken voor zulke vloeistoffen, die de kurk aantasten, zooals zwavelmonochlorid, en zijne constructie zoodanig te vereenvoudigen, dat het gemakkelijk in het laboratorium zelf kon worden vervaardigd; en wij gaven verder, het voorbeeld volgende van Ornporre en CAMERON (Zeitschr. Phys. Chem. 17, p. 637), aan het kooktoestel eene groote lengte, maar nog grooter dan zij, zoodat de thermometer alleen maar met zijn metalen boveneinde buiten het toestel uitstak. Bijgevoegde teekening op de plaat geeft eene af beelding van het door ons gebruikte toestel. Wij hebben den brander weggelaten. Als lucht- mantel bedienden we ons meestal, zooals op de teekening door de letters a en 4 is aangegeven, van twee in elkander geschoven glazen cylinders; soms ook, vooral bij de proeven met zwavelmonochlorid, werd slechts van één cylinder gebruik gemaakt en dan de tus- schenruimte tusschen cylinder en kookvat met asbestvezels gevuld. VAN DE ZWAVEL, 9 Het kookvat 4 was 520 mm. lang; zijn cylindrisch gedeelte had eene inwendige middellijn van 32 mm. en de aangeblazen bol was 38 mm. wijd. Bij ¢ was zijdelings eene buis Z aangezet op een afstand van ongeveer 200 mm. van den bodem van het toestel. Deze zijbuis was 450 mm. lang en had eene inwendige middel- lijn van 15 mm. Zij werd omgeven door een glazen Liebigschen koeler #. In het kookvat werd eene glazen cylinder B gebracht en met behulp van een kurk d, die zoo noodig, om niet door dampen te worden aangetast, van een asbestbekleeding was voor- zien, daarin bevestigd. Deze cylinder, die tot beneden het kwikvat van den thermometer in de vloeistof dompelde, was voorzien van eenige uitpuilingen, zoowel naar binnen als naar buiten. De uitpuilingen naar buiten e dienden om den rechten stand van den eylinder in het kookvat te verzekeren. De uitpuilingen naar binnen f hadden hetzelfde doel voor den thermometer C. Deze was met behulp van eene eveneens zoo noodig met eene asbestomhulling voorziene kurk in B bevestigd. Buitendien waren in den cylinder op twee plaatsen openingen g geblazen, zoodat gemeenschap bestond tusschen de dampruimte in cylinder en kook- vat. Het geheele kooktoestel stond op een gewonen ring 4. Op dien ring werd een koperen ring van een waterbad 7 gelegd en daarop een draadnet van nikkelgaas 4, dat den bol van het kook- toestel van onderen bedekte. Op dat draadnet van nikkelgaas lag eene van eene ronde opening voorziene asbestplaat /, die den bol van het kookvat juist doorliet, terwijl die bol door een klein asbestplaatje o werd bedekt. Op de asbestplaat / lag een op gelijke wijze van eene opening voorzien stuk koperdraadnet # en daarop weer eene asbestplaat x. Deze platen dienden tot steun voor de luchtmantels; zij moesten buitendien beletten dat de verbrandingsgassen in den luchtmantel opstegen. Het inbrengen van de stof in de vloeistof geschiedde met be- hulp van een platinalepeltje p, dat door insmelten aan eene lange glazen buis g was bevestigd. Door dit lepeltje in de zijbuis in te voeren kon men de stof tot ¢ brengen en door omkeeren van het lepeltje in de vloeistof laten vallen. Op deze wijze kon worden tegengegaan, dat stof in de zijbuis blijft hangen en eerst na eenigen tijd door de terugvloeiende vloeistof in het kooktoestel werd ge- bracht. Voor het aflezen bedienden we ons van eene loupe. De ervaring heeft ons geleerd dat dit even nauwkeurig en veel sneller kan geschieden, dan wanneer men van een kijker gebruik maakt. Ook het door Ornporrr en CAMERON aanbevolen electrische hamertje, om op den thermometer te tikken, achten we eene onnoodige com- plicatie; een paar tikken met een mes op den metalen kop van LO ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT den thermometer onmiddellijk vóór het aflezen doen dezelfde dien- sten. De thermometer was de bekende Beckmannsche. Als vulmiddel bedienden wij ons van de door BECKMANN aanbe- volen platinatetraëders, waarvan we gewoonlijk 20 gram bezigden, terwijl daarbij gevoegd werden nog 20 gram platina in den vorm van onregelmatige dunne plaatjes. Bij alle bepalingen is gebruik gemaakt van zwavel, die op het zorgvuldigst gezuiverd was. Alle oplossingsmiddelen werden even- eens aan eene zorgvuldige zuivering onderworpen en werd, wanneer niet iets anders is vermeld, alleen het constant overgaande ge- deelte voor de bepalingen gebruikt. Om de bruikbaarheid van het toestel te beproeven maakten wij eene bepaling van het moleculairgewicht van stilben met toluol als oplossingsmiddel. De uitkomsten vermeld in tabel 5 en in de bijgevoegde graphische voorstelling zijn alleszins bevredigend. 5. Stilben in toluol, (kpt. 110,3—110.4 bij 756 mm). Grammen oplossingsmiddel: 42,95. Moleculaire verhooging: 85. Totale Temp. Temp. Totale Berekend va Eerste Controle- temp. mol. stilben. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 0,518 1,718 a — 1,045 0,714 1,719 0,195 187,6 1,859 0,869 Liat 0,348 186,9 2,656 1016 1,728 0,492 189,0 3,855 1,224 1,724 0,700 192,7 5,097 1,448 12 790 0,918 194,3 6,205 1,685 SL 1,104 196,6 OST 1,864 Le 1,331 198,2 Het moleculairgewicht van stilben is — 180. VAN DE ZWAVEL. 11 Het toestel heeft gedurende den loop van onze onderzoekingen in alle opzichten aan onze verwachtingen beantwoord; alleen wil- len wij vermelden, dat het langeren tijd duurt, voordat constante aflezmgen worden verkregen, dan bij het oude Beckmannsche toestel. Zwavel in zwavelkoolstof. Met dit toestel, onder gebruik van een controletoestel, zijn nieuwe bepalingen gemaakt met eene oplossing van zwavel in zwavelkool- stof. De resultaten daarvan zijn neergelegd in de tabellen 6 en 7 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen. De uitkomst is, dat het moleculair gewicht van de zwavel. bij oneindige verdunning gelijk 254 en 256 gevonden werd; dus be- antwoordende aan de moleculairformule $,, en in overeenstemming met de oudere vroeger vermelde onderzoekingen van BECKMANN en SAKURAI. Alleen moeten wij de aandacht vestigen op het feit, dat de bepalingen, gemaakt bij geringe concentratie, een te hoog moleculairgewicht geven; eene opmerking, die ook bij vroegere resultaten met het Beckmannsche toestel kon worden gemaakt. 6. Zwavel in zwavelkoolstof, (kpt. 45,7—45,8 bij 750 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 63,36. Moleculaire verhooging: 23,75. Totale Temp. Temp. Totale Berekend A Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 0,990 0,530 =. ed 0,681 1,050 0,530 0,060 269,4 1,359 1,103 0,527 0,116 278,2 2,011 PVG? 0,528 0,179 266,9 2,971 1,260 0,530 0,270 261,8 3,962 1,350 0,530 0,360 261,4 4,968 1,450 0,540 0,450 262,2 5,881 1,523 0,533 0,530 263,5 6,842 1,610 0,534 0,616 | 263,8 8,181 1,720 ORE 7101727 267,3 10,250 1,884 0,530 | 0,894 272,2 13,670 Bapa nk 05801 | + 1,160 219,9 12 ONDERZOEKINGEN VAN HET MOLECULAIRGEWICHT 7. Zwavel in zwavelkoolstof, (kpt. 45,7—45,8 bij 750 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 63,4. Moleculaire verhooging: 23,75. Totale Temp. Temp. Totale Berekend fe Eerste Controle- | temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. Al ligt het voor de hand dat de fouten bij de bepaling van het kookpunt, om welke oorzaak dan ook gemaakt, het zwaarst in het gewicht moeten vallen bij oplossingen van geringe concentratie, zoo was het toch opvallend, dat die afwijkingen steeds in dezelfde rich- ting plaats hadden, dat de kookpuntsverhooging steeds te klein en dus het moleculairgewicht te groot werd gevonden. Wij ver- moedden derhalve dat hier eene storing in het spel was en dat die storing misschien daarin bestond, dat niettegenstaande het kook- . VAN DE ZWAVEL. 13 toestel gevuld was met 40 gram platina toch nog eene vertraging van het kooken van het zuivere oplossingsmiddel en van de weinig gecon- centreerde oplossing plaats had, terwijl die vertraging ophield, zooals aan het schuimen van de kookende vloeistof zichtbaar was, wanneer deze eene genoegzame hoeveelheid zwavel opgelost bevatte. Die vertraging kon misschien te voorschijn worden geroepen door de glazen wanden van het toestel en wij stelden derhalve een poging in het. werk om haar op te heffen door het aanbrengen van een roerder, die uit dikke platinadraad was vervaardigd en die langs de wanden op en neer kon worden bewogen. 8. Zwavel in zwavelkoolstof, (kpt. 46,3—46,3 bij 766 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 63,71. Moleculaire verhooging: 23,75. Totale Temp. Temp. Totale Berekend Temp. le Eerste | Controle- | temp. mol. verschil. % zwavel. | toestel. | toestel. verhooging. | gewicht. 0 1,108 0,721 0,387 0,742 1,180 0,725 0,455 0,068 259,2 1,458 1,238 0,724 0,514. 0,127 272,7 2,456 1,331 0,726 0,605 0,218 267,5 5,731 1,630 0,729 0,901 0,514 264,8 7,325 1,770 0,728 1,042 0,659 265,6 9,805 1,978 0,728 1,250 0,863 269,8 13,510. 2,267 0,732 1,535 1,148 279,6 17,140 2,542 0,741 1,801 1,414 287,8 14 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT Sa. Zwavel in zwavelkoolstof. » Livres ie De in deze tabel. vermelde temperaturen zoowel van het eerste’ als van het controle toestel zijn afgelezen direct na het roeren in het eerste toestel. Totale | Temp. Temp. Totale Berekend Temp. se Eerste | Controle- temp. mol. verschil. : : zwavel. toestel. toestel. verhooging. | gewicht. | 0 1,100 0,725 0,375 — — 0,742 172 0,725 0,447 0,072 244,8 1,458 1,232 0,720 0,510 0,135 256,5 2,456 331 0,726 0,605 0,230 253,5 5,731 1,629 0,728 0,901 0,526 258,8 1,325 ‘rd 0,729 1,041 0,666 261,2 9,805 1,978 6,728 1,250 0,875 266,1 13,510 2,267 0,732 1,535 1,160 276,7 17,140 2,542 0,741 1,801 1,426 285,4 Zooals uit de tabellen 8 en Sa en de daarbij behoorende gra- phische voorstellingen blijkt, had inderdaad dit roeren het ge- wenschte gevolg. Het kookpunt daalde bij zuivere zwavelkoolstof, . wanneer men roerde, 0,012 graad, terwijl de daling na het in- brengen van de eerste portie zwavel slechts 0,008° bedroeg en in het geheel geene verandering van het kookpunt meer plaats had, zoodra de hoeveelheid. zwavel meer dan 2°/, bedroeg. Deze ver- schijnselen zijn talrijke malen geconstateerd en telkens werd gevon- den, dat gedurende het roeren van de zuivere zwavelkoolstof of de zeer verdunde zwaveloplossing het kookpunt daalde, dat daarentegen, zoodra men met roeren ophield, de thermometer langzaam zijn vroe- geren stand terug verkreeg. Dat men hier niet met eene door het VAN DE ZWAVEL. 15 roeren met platina voortgebrachte afkoeling te doen had, bleek vooral daaruit dat geen temperatuursverandering werd waargenomen in eene meer geconcentreerde oplossing. Wij willen hier echter dadelijk opmerken, dat bij toluol, hetwelk niet dezelfde soort sto- ringen toonde, door roeren eene wel is waar zeer geringe, slechts 0,002 à 0,003° bedragende kookpuntsverhooging werd voortge- bracht. Waaraan deze moet worden toegeschreven kunnen wij niet gissen. Al verdwijnt, wanneer men den invloed van het roeren in rekening brengt, de onregelmatigheid niet geheel en al, zij wordt toch, zooals uit tabel 8a- blijkt, tot een veel geringer bedrag teruggebracht. Ornporrr en Terrasse schijnen die moeielijkheden bij hunne onderzoekingen eveneens te hebben ondervonden. Zij trachtten haar uit den weg te gaan, door dadelijk met groote concentraties te beginnen en wel bij hunne eerste bepaling met eene concen- tratie van 3,36 °/,, bij hunne tweede van 4,71 °/, en bij de derde van 7,50 0/,. Bij de waarnemingen in tabel 7 neergelegd hebben wij hun voorbeeld gevolgd maar ook daar waren onze resultaten zooals ook bij de overige proeven gemiddeld 32 atoomgewichtseenheden lager. Wij vestigen de aandacht er op dat bij deze proeven eene concen- tratie bereikt werd van 26 °/, zwavel en dat tot aan die concen- tratie toe de lijn, welke de proeven voorstelt, een regelmatig ver- loop heeft. Zwavel in benzol. Met ons toestel zijn 4 waarnemingen gedaan waarvan de resul- taten zijn neergelegd in de tabellen 9, 10, 11 en 12 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen. Als moleculairgewicht bij oneindige verdunning werden achtereenvolgens verkregen 256, 266, 256 en 246. 16 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT 9. Zwavel in benzol, (kpt. 78,9— 79,0 bij 747 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 43,8. Moleculaire verhooging: 26,7. Totale Temp. Temp. Totale Berekend ne Jerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 0,761 1,719 0 — 0,600 - 0,813 1,700 0,071 225,6 1,700 0,903 1,689 0,172 263,9 2,854 0,999 1,677 0,280 272,1 3,955 1,088 1,666 0,380 217,9 5,128 1,184 1,663 0,479 285,8 6,202 1,272 1,662 0,568 291,5 7,308 1,372 1,670 0,660 295,7 8,413 1,470 1,688 0,740 303,6 9,564 1,569 1,703 0,824 309,9 10,703 1,680 1,732 0,906 315,4 11,865 1,812 1,787 0,983 322,3 13,500 1,945 1,841 1,062 340,1 15,645 1,962 1,85 = ae HS tte mm éd in à à VAN DE ZWAVEL. 17 10. Zwavel in benzol, (kpt. 78,9— 79,0 bij 747 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 43,8. Moleculaire verhooging: 26,7. nn Totale Temp. Temp. Totale Berekend as Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 1,260 2,240 man = Us 1,156 1,360 2,239 0,101 305,6 2,289 1,485 2,948 0,217 280,7 3,408 1,591 2,252 0,319 285,2 5,104 1,746 2,257 0,469 290,6 6,696 1,885 2,262 0,603 296,5 8,571 2,081 2,264 0,747 306,3 10,270 2,153 2,265 0,868 316,0 11,880 2,270 2212 0,978 324,3 13,530 2,360 2,281 1,059 341,0 Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VI. C 2 15 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT 11. Zwavel in benzol, (kpt. 78,9—79,0 bij 747 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 43,77. Moleculaire verhooging: 26,7, Totale Temp. Temp. Totale Berekend JA Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 1,603 2,582 nr = 1,187 1,722 2,586 0,115 275,1 2,343 1,841 2,587 0,233 268,5 3,509 1,957 2,593 0,343 273,2 4,814 2,076 2,599 0,456 281,9 6,571 2,231 2,600 0,610 287,6 8,311 2,371 2,607 0,749 296,3 9,921 2,512 2,613 0,878 301,7 11,695 2,600 2,615 0,964 324,0 VAN DE ZWAVEL. 19 12. Zwavel in benzol, (kpt. 78,9—79,0 bij 747 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 44,01. Moleculaire verhooging: 26,7. Totale Temp. Temp. Totale Berekend Th Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. an Spe TEE à an He ae oi 0 1,395 2,417 — | — 0,961 1,499 2,422 0,099 | 259,2 1,968 1,610 2,427 0,205 256,3 3,395 1,747 2,426 0,343 264,3 4,908 1,893 2,431 0,454 270,7 6,277 25019 2,437 0,604 277,5 1,674 2,140 2,443 0,719 285,0 9,029 2,250 2,445 0,827 291,5 1 2 3 4 Ed 7 8 BORE EEL od EENES Ae JEAN tl AGE AEN 4 oy el ay al EEE BE An B EEE 250 if ee AR SN 2 ad el D ON A Fig. 12. | Bree | | | | ae. ol La Door ORNDoRFF en TERRASSE zijn 5 reeksen van waarne- nemingen gedaan, waarvan de uitkomsten geheel verschillend zijn van de onze, Zooals uit de bijgevoegde graphische voorstellingen I, U, UI, IV en V (blz. 187 van hunne verhandeling) vooral duidelijk blijkt, wijken hunne resultaten ook onderling zeer sterk van elkander af. Dat desniettegenstaande de einduitkomst van het moleculairgewicht van de zwavel voor oneindige verdun- ning bij alle proeven overeenstemt met de formule Sy is wel in hoofdzaak daaraan toe te schrijven, dat de lijnen getrokken worden op eene wijze, die zeker niet van willekeur is vrij te pleiten. Dit (Ci oF 20 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT wie SE Ge Sie RE EN TR ER 320 FREE ERRaET Ie BRIE 310 ED BAE gras El el ER Ba a ial VAN DE ZWAVEL. 21 komt duidelijk voor den dag, wanneer men in plaats van alle 5 waarnemingen in ééne graphische voorstelling te vereenigen, elke reeks van waarnemingen afzonderlijk graphisch voorstelt, zooals als voorbeeld in de bijgevoegde figuren is geschied. Zwavel in toluol. Met zwavel en toluol werden twee reeksen van waarnemingen gedaan. Zij zijn neergelegd in de tabellen 13 en 14 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen. De uitkomsten, op zichzelf aan regelmatigheid niets te wenschen overlatende, zijn in zoover be- vreemdend, als voor het moleculairgewicht bij oneindige verdunning verkregen werd 218 en 228, welke moleculairgewichten eerder voor S, dan voor 4, pleiten. Ofschoon het kookpunt van toluol gelegen is boven het over- gangspunt van de rhombische in monoklinische zwavel en ofschoon, zooals straks zal blijken, met xylol overeenkomstige resultaten wer- den verkregen, houden wij het toch voor gewaagd, vooral in ver- band met de resultaten in naphtalin verkregen, hieruit het besluit te trekken, dat die overgang gepaard zou gaan met de vorming van moleculen Sz. 13. Zwavel in toluol, (kpt. 110,3— 110,4 bij 756 mm.) Grammen oplossingsmiddel: 43,16. Moleculaire verhooging: 35. Totale Temp. Temp. Totale Berekend pe Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 — 0,046 1,141 a me 0,394. + 0,016 1,141 0,062 222,2 0,765 0,061 1,128 0,120 223,0 1,744 0,208 1,127 0,268 227,1 2,666 0,320 1,110 0,397 235,1 3,671 0,429 1,088 0,528 243,3 4,658 0,545 1,089 0,643 253.5 5,600 0,641 1,072 0,796 259,3 6,420 0,721 1,059 0,849 264,7 1,887 0,826 1,055 0,958 269,9 8,898 Dora 1,046 1,116 279,1 11,530 1,225 1,040 1,372 294,1 oo ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT | eet ed = lere PEER A pt no mms EEP IT FR MENACE ET | OS _9 ED | EE VAN DE ZWAVEL. 23 14. Zwavel in toluol, (kpt. 111,0—111,2 bij 766 mm.) Grammen oplossingsmiddel: 43,05. Moleculaire verhooging: 35. Totale Temp. Temp. Totale Berekend a Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 0,519 pto — 1,006 0,670 1,710 0,151 | 233,2 1,947 0,810 1,715 0,286 | 238,3 2,900 0,934 1,715 0,410 247,5 3,867 1,057 PTE 0,535 258,0 4,848 NET 1,714 0,654. 259,4 5,815 1,289 Lis 0,762 267,1 7,287 1,452 ke 10 0,924 275,0 9,362 ~ 1,666 eile 1,145 286,2 12,030 1,925 1 1,405 299,7 Geheel afwijkende uitkomsten verkregen OrNporer en TERRASSE. Hunne uitkomsten zijn weder zeer onregelmatig en stemmen onder- ling volstrekt niet overeen. Door hunne lijnen vrij willekeurig te trekken komen zij tot het resultaat dat de zwavel ook bij de kook- temperatuur van toluol, die nog beneden het smeltpunt van zwavel ligt, de moleculairformule S, moet hebben. Uit hunne graphische voorstelling (1. ce. p. 183) blijkt, vooral wanneer zij in drieën ge- splitst wordt, het zeker vreemde verschijnsel, dat de toenemende concentratie bij twee van de drie proeven het omgekeerde gevolg heeft als hetgeen gewoonlijk wordt waargenomen, dat nl. met het klimmen van die concentratie het moleculairgewicht kleiner in plaats van grooter gevonden wordt en de getrokken lijnen dalen in plaats van te klimmen. Had men zooals bij de zwavelkoolstof de oplossingen van geringe concentratie niet in rekening gebracht, dan zou men althans bij twee van de drie waarnemingen een moleculairgewicht verkregen hebben, dat meer overeenkomt met de formule As. Zwavel in metaxylol. De drie reeksen van waarnemingen, uitgevoerd met eene oplossing van zwavel in metaxylol, zijn medegedeeld in de tabellen 15, 16 en 17 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen. 24 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT 15. Zwavel in metaxylol, (kpt. 139— 139,5 bij 762 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 43,03. Moleculaire verhooging: 43,2. Totale Temp. Temp. Totale Berekend ae Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0) 1,853 1,752 —— — 0,998 2,041 1,762 0,178 237,3 2,041 2,232 1,472 0,359 245,6 3,048 2,412 l, #19 0,532 247,5 4,476 2,642 1,803 0,738 262,0 5,880 2,861 1,816 0,944 269,1 8,522 3,230 1,840 1,289 285,6 16. Zwavel in metaxylol, (kpt. 139—139,5 by 762 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 43,11. Moleculaire verhooging: 43,2. Totale Temp. Temp. Totale Berekend Pha Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 2,057 1,932 = 0,980 2,226 1,929 DIS 246,2 1,967 2,392 1,930 0,337 252,2 3,009 2,560 1,930 0,505 257,4 4,030 2,719 1,932 0,662 265,0 5,030 2 860 1,932 0,803 270,6 5,985 2,996 1,932 0,939 279,3 7,392 LOT. 1,934 1,128 283,1 8,933 3 388 1,935 1,328 290,6 11,360 3,680 1,937 1,618 303,2 14,110 3,993 1,937 1,93] 315,7 VAN DE ZWAVEL. 25 er eee Leer 5 OA si Jer 2a ON lea EEE Ee aa ce cen DL LT RE NL. met lot eA COLE EE CEE EE CCE ET “TENOREN RNA NE Eer Fig. 15. Je Me eli ie AREN IR SEE If de A | ie eae | el sp an HE ed a Bee AAA 26 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT 17. Zwavel in metaxylol, (kpt. 139— 139,5 bij 762 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 43,35. Moleculaire verhooging: 48,2. Totale Temp. Temp. Totale Berekend rs Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 2,582 2,495 — — 1,088 2,782 2,497 0,198 237,3 2,162 2,962 2,498 0,377 247,1 3,241 3,131 2,498 0,546 256,4 4,303 3,300 2,498 0,715 260,0 5,389 3,458 2,498 0,873 266,7 6,541 3,621 2,499 1,035 218,0 7,625 3,770 2,500 1,183 278,4 Zooals hieruit blijkt hadden de bepalingen een regelmatig ver- loop en waren de uitkomsten voor oneindige verdunning 231, 235 en 242, dus liggende tusschen hetgeen de formules S, en 4, eischen. Het mag echter niet onvermeld blijven dat bij het kooken van zwavel in xylol eene al is het ook zeer geringe ontwikkeling van zwavelwaterstof plaats heeft. Hen loodacetaatpapiertje, aan het uiteinde van den koeler gehouden, werd na eenige minuten licht- bruin gekleurd. Wij gelooven echter niet dat deze inwerking een merkbaar storenden invloed op de bepalingen heeft uitgeoefend. De heeren OrNporrr en Terrasse komen door hunne bepalingen tot het besluit dat het moleculairgewicht van de zwavel in oplos- sing in metaxylol bij oneindige verdunning beantwoordt aan de formule Sg. Zij achten dit belangrijk, omdat het kookpunt van het xylol boven het smeltpunt van de zwavel is gelegen en zij meenen te mogen besluiten dat er een essentieel verschil bestaat tusschen de. moleculen van vaste zwavel, waaraan de formule S, en de mole- culen van gesmolten zwavel, waaraan de formule Sg toekomen moet. Vergelijkt men hunne graphische voorstellingen van deze waar- nemingen (I. e. p. 194) met de vroeger vermelde, dan valt het op, dat hier in plaats van rechte lijnen kromme worden getrokken. Had men ook hier zooals bij de zwavelkoolstof slechts gelet op VAN DE ZWAVEL. 27 de uitkomsten verkregen bij hoogere concentratie, dan zou het eind- resultaat ook bij xylol de formule S, geweest zijn. Zwavel in naphtalin. Met een oplossing van zwavel in naphtalin zijn drie reeksen van waarnemingen gedaan, waarvan de resultaten zijn medegedeeld in de tabellen 18, 19 en 20 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen. Voor het moleculairgewicht van zwavel bij onein- dige verdunning verkrijgt men dan de waarden 237,5; 251,5 en 252,5. Wij moeten echter opmerken dat zwavel op naphtalin sterker in- werkt dan op xylol, merkbaar aan de meer duidelijke reactie op lood- acetaatpapier. De inwerking achten we echter niet zoo krachtig dat zij een grooten invloed op de resultaten heeft kunnen uitoefenen. Ook door Ornporrr en Terrasse zijn drie reeksen van waarnemingen gedaan met ditzelfde oplossingsmiddel, waaruit door hen werden afgeleid de moleculairgewichten voor oneindige verdunning 262, 252 en 256,5. Dat echter ook hierbij de graphische voorstelling, nu weder met rechte lijnen, aan willekeur doet denken, leert een blik op pag. 191 van hunne verhandeling. 18. Zwavel in naphtalin, (kpt. 214—214,5 by Grammen oplossingsmiddel: 47,39. Moleculaire verhooging: 60,7. Totale Temp. Temp. Totale | Berekend Ge Eerste Controle- temp. | mol. zwavel. toestel. toestel. | verhooging. gewicht. 0 4,013 2,207 -- | —- 1,005 4,258 2,208 0,344 | 252,4 9028 | 4518 2,209 0,498 247,2 2,997 4,137 2,210 0,721 252,3 3,906 4,942 2,210 0,926 256,0 4,720 DULG 2,211 1,099 260,7 6,015 | 5,395 2,212 1,377 265,1 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT FLAT Enr de ereen RATE NEA ARE À REE BR eee z Ee SaaS AE Elen VAN DE ZWAVEL. 29 19. Zwavel in naphtalin, (kpt. 214—214,5 bij 772 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 49,67. Moleculaire verhooging: 60,7. Totale Temp. Temp. Totale Berekend En Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. gewicht. 0 3,631 2,280 — — 1,022 3,870 2,279 0,240 258,5 BOSE 4,086 2,278 0,457 263,2 2,960 4,509 2,277 0,681 263,9 3,893 4,509 2,277 0,881 268,2 4,873 4,719 2,280 1,088 271,9 5,775 4,902 2,282 1,269 276,2 6,733 5,105 2,283 1,471 278,0 7,666 5,293 2,282 1,660 | 280,3 8,499 5,451 2,280 1,820 | 283,5 20. Zwavel in naphtalin, (kpt. Grammen oplossingsmiddel: Moleculaire verhooging: 60,7. 214—214,5 bij 772 mm.). 53,47. Totale Temp. Temp. Totale Berekend Ja Eerste Controle- temp. mol. zwavel. toestel. toestel. verhooging. | gewicht. 0 3,936 3,520 ane — 0,973 4,166 2 521 0,229 257,8 1,908 4,390 2,527 0,447 259,1 2,892 4,619 2,531 0,672 260,7 3,952 4,854 2,536 0,902 265,9 4,875 br052 2,538 1,098 269,7 5,658 5,223 2,546 1,261 272,4 Ofschoon het gemiddelde van onze waarnemingen iets beneden : : FI ok ee het gemiddelde van de waarnemingen van OrNporrr en TERRASSE 30) ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT ligt, gelooven wij echter ook uit onze proeven het besluit te mogen trekken dat het moleculairgewicht van de zwavel bij het kookpunt van naphtalin aan S, beantwoordt. Zwavel in phenol. OrNporrr en Terrasse, die met dit oplossingsmiddel evenals wij twee reeksen van waarnemingen hebben gedaan, vermelden dat bij lang kooken van die oplossing slechts een kleine spoor zwavel- waterstof wordt ontwikkeld en dat dit oplossingsmiddel wegens het langzame aangroeien van het moleculairgewicht bij toenemende con- centratie bijzonder geschikt is voor de bepaling van het moleculair- gewicht. Onze ervaringen stemmen zooals uit de tabellen 21 en 22 en de daarbij behoorende graphische voorstellingen blijkt daar- mede niet overeen. Het verloop der lijnen in beide reeksen van waarnemingen toont tusschen deze weinig overeenstemming, hetgeen ons niet verwonderde, daar gedurende het kooken eene zwavelwater- stofontwikkeling plaats had, die we in vergelijking met die, bij xylol en naphtalin opgemerkt, sterk moeten noemen. Aan de verkregen waarden voor oneindige verdunning 218 en 194 meenen wij der- halve ook geen beteekenis te mogen hechten. De verkregen eind- resultaten van ORNDORFF en TERRASSE stemmen daarentegen voor- treffelijk overeen met hetgeen door de formule 8, wordt vereischt. 21. Zwavel in phenol, (kpt. 180°—180,3 bij 781,5 mm.). Grammen oplossingsmiddel: 53,12. Moleculaire verhooging: 30,4. Totale Totale Berekend GA temp. mol. zwavel. verhooging. | gewicht. 0 = as 0,910 0,124 228,1 1,752 0,241 220,9 2,544 0,354 218,4 3,383 0,467 220.9 4,201 0,569 294 4 5,168 0,682 230,4 9 6,163 0,810 22: Zwavel in phenol, (kpt. 180,0—180,3 bij 781,5 mm.). VAN DE ZWAVEL. Grammen oplossingsmiddel: 51,87. Moleculaire verhooging: 30,4. Totale Totale Berekend ie temp. mol. zwavel. verhooging. | gewicht. 0 =F b= 0,949 0,153 188,5 1,900 0,278 207,7 2,847 0,399 216,9 3,811 0,521 222,3 4,124 0,633 226,9 5,692 0,752 280,1 6,608 0,857 234,4 4,927 0,974 234,9 ITS SSSR RMS eae eee Leet 31 32 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT Door Ornporrr en TERRASSE zijn ook waarnemingen met phene- tol gedaan en daarbij eveneens resultaten verkregen, die ook voor dit oplossingsmiddel met het kookpunt 168,3 aan de moleculair- formule Sg goed beantwoorden. Daar echter bij voorloopige proe- ven bleek dat phenetol met zwavel krachtig zwavelwaterstof ont- wikkelde, hebben wij van proefnemingen met dit oplossingsmiddel afgezien. Ons zoeken naar andere oplossingsmiddelen, met een kookpunt tusschen dat van xylol en naphtalin en hooger dan naph- talin gelegen, hadden een ongunstigen uitslag. De talrijke door ons onderzochte organische verbindingen uit zeer verschillende klassen ontwikkelden alle met zwavel zooveel zwavelwaterstof, dat ze onbruik- baar bleeken. Zwavel in zwavelmonochlorid. Het merkwaardigste resultaat van de onderzoekingen van Orn- DORFF en ‘T'rrrasse is zeker, dat het zwavelmolecule in zwavel- monochloridoplossing bij het kookpunt van die oplossing zoodanig wordt gedissocieerd, dat zijne formule door #, moet worden uitgedrukt. De beide onderzoekers vestigen de aandacht op de moeielijk- heden, die het werken met dit oplossingsmiddel aanbiedt en op bronnen van fouten, daarin gelegen, dat kurk en caoutchouk even- als waterdamp door zwavelmonochlorid worden aangetast en er dus voortdurend gevaar bestaat voor de verontreiniging van het zwavel- monochlorid door die ontledingsproducten. Wij gelooven met ons toestel deze moeielijkheden te hebben overwonnen. De kurken waren reeds door den grooten afstand van de kokende vloeistof beter beschut tegen de dampen, ter- wijl de asbestbekleeding die beschutting zoo volledig maakte, dat nooit door ons een aantasting van de kurk is waargenomen. Caoutchoukverbindingen werden bij ons toestel niet gebruikt en tegen de inwerking van den waterdamp der lucht was gewaakt door het einde der zijbuis te verbinden met eene chloorcalciumbuis, die slechts voor oogenblikken verwijderd werd, wanneer nieuwe stof in het toestel moest worden gebracht. De koeler werkte verder zoo krachtig, dat zelfs bij langdurig koken niet eens de reuk van zwa- velmonochlorid was waar te nemen. Van het aangrijpen der slijmvliezen van oogen en neus, waarover de heeren ORrNporrr en Terrasse klagen, was nog minder sprake. Gedurende het gefractioneerde distilleeren werd door ons de op- merking gemaakt, die later nader zal worden besproken, dat het VAN DE ZWAVEL. 33 ondoenlijk was een volkomen constant kookpunt te verkrijgen. Het gelukte ons echter voor onze proeven voldoende hoeveelheden te verkrijgen, die bij 760 mm. tusschen 135,8 en 136,2 overgingen en deze werden voor onze eerste onderzoekingen gebruikt. Wij vonden het noodig om te beginnen met de beproeving van de geschiktheid van de vloeistof voor zulke bepalingen, en ge- bruikten hiervoor dezelfde stof, het triphenylmethan, die ook Orxporrr en Terrasse voor hetzelfde doel had gediend. Bij de uitvoering deed zich al dadelijk de moeielijkheid voor, dat het oplossings- middel in zuiveren staat niet constant kookte. Ofschoon ook afwij- kingen in tegenovergestelden zin voorkwamen, was over het alge- meen op te merken, dat op den duur het kookpunt des te meer steeg, hoe langer er gekookt was. Als voorbeeld voor de talrijke ervaringen in dat opzicht gemaakt, dient de volgende tabel, waarin in de eerste kolom de tijd is opgegeven van de waarneming, in de tweede kolom het kookpunt van het zwavelmonochlorid, in de derde kolom het kookpunt van toluol in een tweede toestel, dat diende om den invloed van den wisselenden barometerstand na te gaan en in de vierde kolom de verschillen tusschen die twee thermometer- standen, die bij een constant kokende vloeistof constant hadden moeten zijn. Zooals men ziet klimmen de verschillen, ofschoon vol- strekt niet regelmatig, van — 0,735 tot + 0,541 gedurende den 34 uren durenden waarnemingstijd. Paus 9 0,960 1,695 | 0,735 Lou: 0' 0,960 1,697 OET 19 18 0,900 1,697 0,797 teu 20° 0,972 | 1,697 0,725 Mu 56: 1,450 rev1.697 0,247 du] 600° "2697 0,097 Ju. BO 1,875 1,694 L. 0.181 2 u. 40’ RGO TEL 695 L 0,267 9 u. 42 1.990 |. 1,693 +. 0,297 vu. 47 1,960 1,695 0,265 > u. 49° 1,989 | 1,695 0,294 9 uw. 54 2,048 bre | 697 0,351 Beuk (P 210 1,690 0,414 Sue 2, 2559 1,696 0,456 8: ur & 2071 1,696 0,375 3 wi FO’ 2,085 1,696 0,3S9 3 u. 1? 2180 | 1,696 0,434 ED: A 4 4 2,258 | 1,696 0,562 Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° sectie). DI. VI. 34 ONDERZOEKINGEN VAN HET MOLECULAIRGEWICHT 819! 2,256 1,696 0,557 : 3 u. 23 2,172 1,699 0,473 3 u. 25’ 2,212 1,700 0,512 3 u. 29° 2,220 1,700 0,520 un We 2,233 1,700 0,533 Buu: 239 2,247 1,700 0,547 Su: 34 2,260 1,700 0,560 a. 35 2237 1,700 0,537 3 u. 36! 2,24] 1,700 0,541 Bij eene dergelijke vloeistof kan men slechts dan eenigszins ver- trouwbare cijfers verkrijgen, wanneer men den waarnemingstijd zoo kort mogelijk laat duren. Deze ook door ORrNporrr en TERRASSE aanbevolen wijze van werken hebben wij gevolgd en daarbij de de resultaten verkregen, die in tabel 23 zijn medegedeeld. De resultaten waren nu bij triphenylmethan zoo afwijkend van die, welke het moleculairgewicht 244 deed verwachten, dat een nader onderzoek naar de oorzaken van dit verschijnsel noodig bleek. Wij vermoedden reeds dadelijk dat de oorzaak moest worden ge- zocht in eene inwerking van S, C/, op triphenylmethan. 23. ‘Triphenylmethan in zwavelmonochlorid. Grammen oplossingsmiddel: 84,34. Moleculaire verhooging: 52,8. Totale °/, Totale Berekend Triphenyl- temp. mol. methan. | verhooging. | gewicht. () — —— 0,146 0,140 55,05 1,395 0,857 85,92 2,667 1,887 14,63 3,881 2,663 16,94 Deze inwerking moest blijken, wanneer het triphenylmethan uit de oplossing teruggewonnen werd. Voor dit doel werd het groot- ste gedeelte van het zwavelmonochlorid afgedistilleerd en de terug- tn nd en VAN DE ZWAVEL. 35 blijvende geconcentreerde oplossing gegoten in eene verdunde op- lossing van soda. De zich afscheidende stof onderscheidde zich zoowel door zijn uitwendig aanzien als ook doordat zij niet meer in kookend water smolt van het triphenyimethan. Door herhaalde- lijk omkristalliseeren uit alkohol konden daaruit kristallen verkregen worden, die het smeltpunt 160,5 hadden. Daar dit het smelt- punt is van triphenylearbinol, zoo was door de inwerking van het A5 Cl, op triphenylmethan het triphenylmethanchlorid ontstaan, dat zooals bekend door kooken met water en ook door behandeling met verdunde sodaoplossing in triphenylcarbinol wordt omgezet. Waarom door Ornporre en Terrasse juiste cijfers wenden ver- kregen en zij blijkbaar dergelijke inwerking niet hebben opgemerkt, weten we natuurlijk niet. Niettegenstaande deze uitkomsten niet bemoedigend waren voor het gebruik van zwavelmonochlorid als oplossingsmiddel voor de moleculairgewichtsbepaling van de zwavel, zijn wij er toch toe overgegaan deze door Ornvorrr en Terrasse uitgevoerde onder- zoekingen te herhalen, vooral daar het zoo dadelijk niet in te zien was, hoe eene scheikundige inwerking van zwavelmonochlorid op zwavel zou kunnen plaats hebben. De uitkomsten dezer bepalingen zijn neergelegd in de tabellen 24, 25, 26, 27, 28 en 29. Het moleculairgewicht van de zwavel bij oneindige verdunning leverde ons, zooals uit de graphische voorstellingen blijkt, resultaten op, die nog merkwaardiger waren dan die van OmrNporrr en 'T'rr- RASSE. In de opgegeven volgorde verkregen wij toch 22,5; 15; 8: 20: 147,7 en 14. 24. Zwavel in zwavelmonochlorid, (kpt. 135,8—-136,2 bij 760 mm.) Grammen oplossingsmiddel: 83,16. En Moleculaire verhooging: 52, Totale Totale | Berekend “Jo | temp. | mol. zwavel. | verhooging. | gewicht. (0) | 0,527 | 1,058 26,31 0,818 | 1,462 29,55 1,104 1,786 32,63 2,755 3,093 17,03 36 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT 25. Zwavel in zwavelmonochlorid, (kpt. 135,5—136,2 bij 760 mm.) Grammen oplossingsmiddel: 83,71. Moleculaire verhooging: 52,8. Totale Totale Berekend oe temp. mol. zwavel. verhooging. | gewicht. 0 Le pes 0,185 0,670 14,57 0,415 1,250 LED 0,652 1,630 21,11 0,863 1,945 23,47 2,074 3,065 35,78 2,779 8,515 41,80 26. Zwavel in zwavelmonochlorid. Grammen oplossingsmiddel: 83,59. Moleculaire verhooging: 52,8. Totale Totale Berekend Je temp. mol. zwavel. verhooging. | gewicht. 0 ae ie 0,238 1,340 9,37 | 0,464 2,181 11,23 cia EE aa 0,921 3,171 15,34 oid 3,185 5,257 31,99 Fig. 96. 27. Zwavel in zwavelmonochlorid. Grammen oplossingsmiddel: 83,67. Moleculaire verhooging: 52,8. Totale 0 lo zwavel. 0 0,258 0,558 24,42 219 1,700 7,88 | | | | | | verhooging. Totale temp. Berekend mol. gewicht. VAN DE ZWAVEL. 37 28. Zwavel in zwavelmonochlorid. Grammen oplossingsmiddel: 83,96. Moleculaire verhooging: 52,8. eg ‘Temp. Berekend | Gemiddeld a ae caer mol. mol. zwavel. ie gewicht. | gewicht. 4,264 —- | 1,155 0,587 103,9 1,208 0,540 118,2 1,683 0,848 137,1 A 1,611 0,585 145,5 wae 1,594 0,528 159,4 1,456 0,472 1 62,8 3,313 0,955 183,1 1,588 0,488 171,8 Hierbij dient nog te worden opgemerkt dat bij de waarnemin- gen, die in tabel 28 zijn vermeld, de weg is gevolgd door Ory- porrr en ‘I'prrasse opgegeven, door eerst zwavel in zwavelmono- chlorid op te lossen en zonder inachtneming van de reeds opgeloste zwavel hieruit het moleculairgewicht af te leiden, terwijl in tabel 99 diezelfde resultaten zijn medegedeeld onder gebruikmaking van de resultaten van tabel 25. De kookpuntsverhooging voor de aanvankelijk toegevoegde zwavel was uit tabel 25 door extrapoleeren gevonden. 38 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULATRGEWICHT 29. Zwavel in zwavelmonochlorid. Grammen oplossingsmiddel: 83,96. Molculaire verhooging: 52,5. Totale Totale Berekend oe temp. mol. zwavel. verhooging. | gewicht. 0 —- — 4,264 4,057 55,50. 5,419 4,644 61,61 6,627 5,184 67,50 8,310 5,832 15,24 9,921 6,417 81,64 11,520 6,945 87,55 12,970 1,417 92,88 16,280 8,372 10977 17,870 8,860) Ones Je ip TBE Fig. 29. De heeren Ornvorrr en Terrasse berekenen hunne resultaten op geheel afwijkende wijze door telkens bij toevoeging van eene nieuwe portie zwavel aan de oplossing eene concentratie toe te kennen als ware de voorafgaande hoeveelheid zwavel er niet aan toegevoegd en de telkens verkregen kookpuntsverhooging te gebrui- ken voor de berekening van het moleculairgewicht van de zwavel, daarbij aannemende dat de moleculaire kookpuntsverhooging voor het zwavel opgelost bevattend zwavelmonochlorid door die opgeloste zwavel miet wordt gewijzigd. Zij nemen dan verder het gemiddelde VAN DE ZWAVEL. 39 wit al de berekende moleculairgewichten en komen zoo tot het moleculairgewicht 62. Alleen bij die reeks van waarnemingen, waar zij vooraf 13,3588 gram zwavel in 210,37 gram S, C/, (I. c. p. 201) hebben opge- lost, voordat zij hunne bepalingen van het moleculairgewicht in die vloeistof beginnen en waar zij, op dezelfde wijze berekend, tot een gemiddeld moleculairgewicht 140 komen, meenen zij, wegens het snel aangroeien van het moleculairgewicht met de toenemende con- centratie, als de ware waarde te moeten beschouwen het moleculair- gewicht bij oneindige verdunning, waarvoor zij het getal 55 ver- krijgen. Op welke wijze zij tot dit getal komen wordt ons niet nader duidelijk gemaakt. In de volgende tabellen 30, 31, 32, 33 en 34 zijn de resul- taten van onze proefnemingen op gelijke wijze omgerekend, ofschoon wij deze wijze van moleculairgewichts-bepaling onjuist vinden. 30. Zwavel in zwavelmonochlorid. Onze resultaten van tabel 24 berekend volgens de wijze, zooals door OrNporrr en TERRASSE is geschied. Berekend Toegev. on Gemiddeld 0 l'emp. / : mol. mol. 0 verhooging. Mae zwavel. 9 9° | gewicht. gewicht. 2 0 LT: erat 0,527 1,058 26,31 0,291 0,404 35,04 44,4 0,286 0,324 46,57 1,651 Fr 1,307 66,70 31. Zwavel in zwavelmonochlorid. Onze resultaten van tabel 25 berekend volgens de wijze, zooals door OrNporrr en Terrasse is geschied. Woegeve Ie 1; Berekend | Gemiddeld 5 | Temp. | Ge a LINE mol. mol. RANG hy ws 22% L ‘gewicht. gewicht. 0) — 0,185 0,670 14,57 0,230 0,580 20,91 0.287 | 0,380 32,95 40,6 0,211 Fe 0315 35,36 1,211 1420 57,10 0,705 0,450 82,70 40 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT 32. Y“wavel in zwavelmonochlorid. Onze resultaten van tabel 26 berekend volgens de wijze, zooals door OrNporrr en TERRASSE is geschied. Toegev. end Berekend | Gemiddeld 5 Temp. Dis GEEN mol. mol. zwavel. Sl OMAGH gewicht. 0 de as 0,238 1,340 9,37 0,226 0,841 14,18 26,3 0,458 0,990 24,41 | 2,264 | 2,086 Gi, 004 tou 33. ZGwavel in zwavelmonochlorid. Onze resultaten van tabel 27 berekend volgens de wijze, zooals door OrNporrr en TERRASSE is geschied. | Toegev. : Berekend | Gemiddeld 07 Temp. | i ARR mol. | mol. zwavel. o 9 | gewicht. |. „gewicht. | | = E 0 | —— a 0,258 | 0,558 24,41 | 34,48 0,961 “SS e148 MAB Omgekeerd hebben wij de resultaten van Ornporre en TEr- RASSE in de tabellen 34, 35 en 36 berekend en graphisch voor- gesteld op de maar ons inzien alleen juiste wijze; het was ons echter onmogelijk de tabel op p. 201 van hunne verhandeling op dezelfde wijze te berekenen, daar deze geen gegevens daarvoor bevatte. Dat de uitkomsten voor oneindige verdunning 59, 48 en 46 ook niet met het aangenomen moleculairgewicht 62 overeen- stemmen was te voorzien. on VAN DE ZWAVEL. 4] 34. Zwavel in zwavelmonochlorid. Resultaten van OrNporrr en Terrasse omgerekend volgens de gewone methode. Totale Totale Berekend dl temp. mol. zwavel. verhooging. | gewicht. 35. Zwavel in zwavelmonochlorid. Resultaten van Ornporrr en TrRRasse omgerekend vol- gens de gewone methode. Totale Totale Berekend a temp. mol. zwavel. verhooging. — gewicht. 0,4483 | 0,455 51,44 0,8578 - | 0,795 56,97 L.wooo | 1,140 59,42 1,6799 1,430 62,03 2,0140 1,681 63,26 36. Zwavel in zwavelmonochlorid. Resultaten van ORNDORFF en gens de gewone methode. Totale Totale Berekend oe temp. mol. zwavel. | verhooging. | gewicht. 0,4866 0,504. 50,98 0,9007 0,881 53,98 1,3554 1,250 57,25 1,7393 1,533 59,89 2,1350 1,827 61,54 Terrasse omgerekend vol- 12 ~ ONDERZOEKINGEN.OVER HET MOLECULAIRGEWICHT Er bleef ons nu nog over de oorzaken na te gaan, waardoor zwavelmonochlorid onbruikbaar wordt als oplossingsmiddel voor kookpuntsbepalingen. Wanneer er een scheikundige inwerking van zwavelmonochlorid op zwavel plaats had, dan zou dit kunnen geschieden door de vor- ming van verbindingen S, C/, S, Cl, enz. op dergelijke wijze als men aanneemt, dat de verbindingen A, 5, A, S,, Ky 8, Ky Si, en K, 8, bestaan. Het was echter ook mogelijk dat S, C/ bij zijn kookpunt niet geheel bestendig maar gedeeltelijk gedissocieerd was. Deze laatste veronderstelling scheen uitgesloten door de dampdichtsheidbepalingen van S, C/, gemaakt door Marcuanp (Journ. für Prakt. Chem. van ERDMANN en Marcuand Band 22 p. 507) en Dumas (Annales de Chem. et de Phys. Tom 49 p. 205). Deze onderzoekers vonden 4,77 en 4,70; 4,72 en 4,76 en wel werd door Marcuanp de be- paling bij 166° en door Dumas bij eene niet opgegeven tempera- tuur verricht. De theoretische dampdichtheid bedraagt 4,67. Dat de gevonden dampdichtheid, bepaald bij eene temperatuur, althans bij MARrcHanNp, zoo weinig boven het kookpunt gelegen iets grooter was dan de berekende, behoefde geen verwondering te wekken. Toen wij de oorspronkelijke verhandeling van Dumas ter hand namen, trokken echter de volgende zinsneden onze aandacht: „La densité de sa vapeur est égale a 4,70; c’est le résultat le plus faible qu’on ait observé. Deux experiences ont donné 4,72 et 4,75; mais, en général, il retient quelques traces de soufre qui tendent a élever la densité de sa vapeur et qui deviennent sensi- bles, obligé comme on lest d'en évaporer d’assez grandes quan- tités pour expulser l'air des ballons.” Die zwavel kon onder de veronderstelling dat men van zuivere stof was uitgegaan, hetgeen uit de medegedeelde analyse blijkt, slechts ontstaan zijn door eene ontleding, die wel is waar ook door vochtigheid kon zijn voortgebracht. Wij zullen later gelegenheid hebben op dat verschijnsel terug te komen. Had er echter eene dissociatie plaats gehad in vrij chloor en een polysulfide van chloor, hetzij dat door de formule 8, C4, S, Cl, of A; Ul, zou moeten worden uitgedrukt, dan ging deze niet ge- paard met eene verandering van het aantal moleculen en moest zij dus voor de dampdichtheid het normale getal opleveren. Wij vochten derhalve naar middelen om de dissociatie, die ook wegens het niet constante kookpunt ons waarschijnlijk geworden was, op andere wijze aan te toonen. Nu had reeds bij het fractioneeren van het S, CZ, het feit onze aandacht getrokken, dat telkens bij het nn VAN DE ZWAVEL. 45 hernieuwd distilleeren, van welke fractie dan ook, de eerst over- gaande fracties donker gekleurd waren, terwijl de laatste in de retort gebleven aandeelen een lichtgele kleur hadden. Daar ver- der het feit bekend is dat zwavelmonochlorid door een overmaat van chloor donker, door een overmaat van zwavel hchtgeel ge- kleurd wordt, vonden wij in deze verschijnselen aanleiding, om door een onderzoek naar de samenstelling van de fracties, ver- kregen bij de gefractioneerde distillatie, eene plaats hebbende dis- sociatie te constateeren. Wij begonnen met ongeveer 3,5 KG. chloorzwavel, die wij zelf hadden bereid, te fractioneeren. | De vloeistof begon bij 118° te koken; er werden de volgende fracties verkregen: fractie I kpt. 118 —135,6 680 gram. Ies, 135,6— 136,5 10062.*, HI :, 136,5—137,5 988 3 IV „ 187,5—138,5 450 Het residu, dat boven 138,5 kookte, bedroeg 305 gram. De barometerstand gedurende het fractioneeren wisselde af tusschen 162,4 en 762,8 mm. Het residu werd bewaard en het overige opnieuw gefractioneerd. Wij verkregen: fractie I kpt. tot 135,6 840 gram. 15 5 135,6—136,5 CET eee I „ 186,5—137,5 UPS RS" BV seas 137,5—138,5 DU <> en een boven 138,5 kokend residu van ongeveer 300 gram. De barometerstand was 765,7 mm. De derde fractioneering zonder het het residu gaf: fractie I kpt. tot 135,5 710 gram. UE, 135,5—136,5 176 ML, 136,6—137,5 373 BN 137,5—138,5 244 Het residu boven 138,5 overgaande bedroeg 315 gram. Door 44 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT een verzuim is de barometerstand gedurende deze distillatie niet opgenomen. Bi de vierde keer fractioneeren van de voorgaande vloeistof zonder het residu verkregen wij: fractie I kpt. tot. 19020 825 gram. i ae 159 bets 055 289 3: | epe 156 1010 ad VK 1575 ZIE — We) os Het residu boven 138,5 kokende bedroeg 180 gram; de baro- meterstand was 758,8. Bij de 5% keer fractioneeren begon de vloeistof reeds bij 80 graden over te gaan. Wij verkregen: fractie I kpt. 80—135,5 762 gram Il ,, 135,5—136,5 DD Die TER 00 1 56515 VES Es IVe 18158 PAST ICE oe Het residu boven 138,5 overgaande bedroeg 163 gram. De verschillende fracties van deze laatste distillatie zijn geanalyseerd. De methode door MarcHAND, |. c. aangegeven, om de hoeveel- heid zwavel te bepalen met behulp van koud rookend salpeterzuur, gaf ons onvoldoende resultaten. Eveneens was het niet mogelijk chloorbepalingen met voldoende zekerheid te maken, wanneer men het zwavelmonochlorid met verdunde sodaoplossing samenbracht en in de verkregen vloeistof, die naast chloornatrium, zwaveligzuurnatrium en zwavelnatrium bevatte, het chloorgehalte met zilvernitraat be- paalde, daar de scheidingsmethoden te omslachtig bleken. Wij gebruikten derhalve de methode van Carrus om het zwavel- monochlorid met behulp van salpeterzuur in toegesmolten buizen te behandelen en in de verkregen vloeistof de zwavel als barium- sulfaat en het chloor als chloorzilver tot weging te brengen. Bij de eerste analyses zijn chloor en zwavel in dezelfde buis be- paald; later echter vonden wij het doelmatiger die bepalingen in twee verschillende buizen uit te voeren, omdat het dan mogelijk was, het salpeterzuur voor de zwavelzuurbepaling en ook voor de bepaling van het chloorgehalte door uitdampen te verwijderen. VAN DE ZWAVEL. 45 Gevonden. Gevonden. 0/, Chloor. 0/, Zwavel. fractie I. 58,48 10,96 58,62 11,15 gemiddeld 58,55 41,06 Il. 59:21 46,40 53,00 47,03 gemiddeld 53,26 46,72 LEE. 53,05 46,92 52,94 16,36 gemiddeld 53,00 46,64 IV. 52,85 47,34 52,81 41,52 gemiddeld 52,83 17,43 residu 46,45 54,67 4) 46,75 52,95 gemiddeld 46,60 53,81 Daar zuiver S, C/, bevatten moet 52,59 °/, chloor en 47,41 ®/, zwavel, bleek alleen de tusschen 137,5 en 138,5 overgaande vloeistof, dus de vierde fractie, zuiver zwavelmonochlorid te zijn ; terwijl de fractie L een veel te groote hoeveelheid chloor en ook de fracties If en IIL nog meer chloor bevatten, dan aan de samen- stelling S, CZ, beantwoordt. Nu werd de IV® fractie nog eens gefractioneerd en bij het fractioneeren de volgende resultaten verkregen: fractie IV, kpt. 130,0—135 (ongeveer 20 gram). lol à PS » 135 —137,8 200 gram. baat! a is » 188 —138,3 circa 15 gram. Hiervan werd geanalyscerd fr. LV. fo) A (1) Gevonden ®/, Chloor. Gevonden °/, Zwavel. fractie IV, 54,09 16,35 54,48 15,65 Gemiddeld 54,24 16,00 *) Waarschijnlijk door niet behoorlijk verwijderen van salpeterzuur te hoog uitge- vallen. 46 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT Het residu van fractie IV werd verder gedistilleerd totdat slechts eene kleine hoeveelheid vloeistof in het kolfje overbleef, waaruit bij het afkoelen vrije zwavel kristalliseerde. Hierdoor was het bewijs geleverd dat zwavelmonochlorid, volgens de analyse beant- woordende aan de formule S, C4, bij het distilleeren gescheiden werd in een product, dat meer chloor bevatte dan S, C/, en in een residu, dat vrije zwavel bij het koud worden liet uitkristalli- seeren. Daar uit de voorgaande proeven gebleken was dat geen enkele van de fracties, die waren overgegaan, eene overmaat van zwavel bevatte, trachtten wij ons eene nieuwe hoeveelheid volkomen zuiver dus geen vrij chloor bevattend zwavelmonochlorid te berei- den, om met behulp daarvan opnieuw eene moleculairgewichtsbe- paling van het triphenylmethan te maken, daar het mogelijk geweest was dat het reeds in de chloorzwavel opgelost vrij chloor de oor- zaak van het chloreeren van het triphenylmethan was geweest. Voor dit doel werd in 500 gram chloorzwavel veel zwavel opgelost en deze oplossing opnieuw gefractioneerd. Wij vingen drie frac- ties op: fractie I kpt. 135—139 » I „ 139—140 „ II ,, 140—142,5 In de kolf bleef eene verzadigde oplossing, die zwavel begon af te scheiden. Fractie IIL werd geanalyseerd; er werden alleen zwavelbepalingen van gemaakt. Zij gaven 46, 57 en 46, 50 0/, zwavel; dus niettegenstaande de groote overmaat van zwavel in de oorspronkelijke vloeistof 1 °/, zwavel te weinig. Wij trachtten ons nu eene genoegzame hoeveelheid zwavelmono- chlorid te bereiden door de distillatie van zwavelmonochlorid, dat veel zwavel opgelost bevatte, in het vacuum (23 mm. druk) te doen plaats hebben. Doch ook hier werden de eerste fracties bruin gekleurd en eerst de 5% en 6% fractie fraai geel. Eene analyse van deze fractie gaf een gehalte van 47,23 °/, swavel, dus nage- noeg de aan het zuivere A, C/, toekomende waarde. Wij herhaalden hiermede de moleculairgewichtsbepaling van tri- phenylmethan; de uitslag van deze proefnemingen is vermeld in tabel 37, zooals men ziet met resultaten, die aan de vroegere analoog waren. Ook het onderzoek van het triphenylmethan, dat voor deze proeven gediend had, op dezelfde wijze als vroeger be- schreven geschied, toonde aan dat het in het chloride was veran- RO Le EE Te UT +, VAN DE ZWAVEL. 47 derd geweest, daar het ons gelukte daaruit het carbinol met het Juste smeltpunt te bereiden. 37. Triphenylmethan in zwavelmonochlorid. Grammen oplossingsmiddel: 76,61. Moleculaire verhooging : 52,8. De analyse van het gebruikte zwavelmonochlorid gaf 47,23 0/, zwavel. Totale di 6 Totale Berekend 10 N triphenyl- 4 AAE 3 5 ed wen erhooging. gewicht. 0 | és | ns 0,140 | 0,205 | 36,01 1,059 | 0,567 | 98,57 3099 ral OSG eae ENDE 2,998 | 1,265 | 125,1 | | Wanneer het nu ook bewezen was dat A, CZ, bij het kookpunt geen bestendig lichaam is en dat één van zijne dissociatieproducten chloor is, zoo was de aard van het andere dissociatieproduct, of dit nl. vrije zwavel was, die dan natuurlijk bij die temperatuur niet dampvormig maar vloeibaar moest zijn, of dat het bestond uit eene vluchtige en meer zwavel dan S, C/, bevattende chloorverbinding, niet uitgemaakt. Waarschijnlijk was het laatste niet, daar het nooit gelukt was in het distillaat producten te verkrijgen, die meer zwavel bevatten dan S, CZ. Toch zijn er door ons pogingen in 48 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT het werk gesteld om dergelijke verbindingen, wanneer ze aanwezig waren, te isoleeren. Wij trachtten eerst eene verbinding Sj, CZ, synthetisch te berei- den. In 135 gram zuivere chloorzwavel werden 54 gram zwavel gebracht en die zwavel door verwarming in een waterbad op onge- veer 50° opgelost. Bij het afkoelen kristalliseerde uit de gele op- lossing direct zwavel wt en de overgebleven vloeistof gaf in een koudmakend mengsel geplaatst mets dan zwavelkristallen. Deze proef werd nu herhaald, terwijl de oplossing aan een terugvloei- koeler tot koken werd gebracht. Het was opvallend dat hierbij eene sterke kleursverandering plaats had en wel van geel tot don- kerrood. Bij afkoeling werd de kleur weer lichter maar bleef toch belangrijk donkerder dan de oplossing, die bij 50 graden was be- reid geworden. ‘Loen zij de gewone temperatuur bereikt had en in tegenstelling met de bij 50 graden verkregen oplossing geen vrijwillig uitkristalliseeren van zwavel plaats had, werd zoowel rhom- bische als ook monoklinische zwavel in de vloeistof geworpen, maar ook hierdoor werd geen uitkristalliseeren van zwavel bewerkstelligd. Eerst na langen tijd (24 uren) staan kristalliseerde ook uit deze vloeistof gewone zwavel. Daar het mogelijk was dat wij te doen hadden met eene scheti- kundige verbinding, die bestendig was bij de kooktemperatuur van het zwavelmonochlorid, echter bij lagere temperatuur onbestendig, hebben wij nog eene poging in het werk gesteld om ook deze hypothese te toetsen. Wij hadden met zwavel verzadigd zwavel- monochlorid in het vacuum gedistilleerd en van de verschillende fracties analyses gemaakt. De eerste fracties bevatten te veel chloor en later ging zwavelmonochlorid over van de juiste samenstelling en ook de laatste fractie, die overging, terwijl de thermometer in de vloeistof tot 165° gestegen was, bevatte geen overmaat van zwavel. Bij het afkoelen van de distilleerkolf werd de geheele massa vast en bestond uit zwavel nog doortrokken met wat zwavel- monochlorid. Hierdoor was aangetoond dat zwavelverbindingen van de chloor, die meer zwavel bevatten dan het S, Ci, wanneer zij bestonden, in het vacuum bij eene temperatuur van 165 graden niet overdistilleerden. Steunende op de uitkomsten van deze proef werd nog de vol- gende proef uitgevoerd. Wij distilleerden zuiver zwavelmonochlorid in het vacuum. Bij een druk van 24 mm. was de kooktempera- tuur ongeveer 47°. De dampen werden nu geleid door eene. U- buis, die in een luchtbad op 165 graden was verhit. Had nu dissociatie plaats van S, C/, in een polysulfide van de VAN DE ZWAVEL. 49 chloor en in chloor, dan had zich dit polysulfide, als niet vluchtig bij die temperatuur, in de U-buis moeten condenseeren. Zulke condensatie werd niet waargenomen; echter ook niet de afscheiding van zwavel. Waarschijnlijk was de snelheid, waarmede de dampen de U-buis passeerden, te groot, zoodat zij de tempe- ratuur van het luchtbad niet hadden aangenomen. ‘Ten slotte hebben wij ook nog onder gewonen druk zwavelmono- chlorid aan distillatie onderworpen Die distillatie werd uitgevoerd in een zwavelzuurbad, dat ten slotte de temperatuur van 180 gra- den had aangenomen. De verhitting werd nog een uur lang voortgezet, nadat de laatste druppel over was gegaan. Im het kolfje bleef eene kleine hoeveelheid vloeistof terug, die geanalv- seerd werd. Ofschoon de analyse een zwavelgehalte van 63,88 0/, gaf dat met het zwavelgehalte van de verbinding S, C/,, die 64,3 0/, zwa- vel moest bevatten, merkwaardig goed overeenstemt, gelooven wij toch niet, aan dit resultaat de beteekenis te moeten hechten dat daarmede het bestaan eener verbinding S, Cl, is aangetoond, te meer niet, daar bij eene herhaling der proef, waarbij eene droge ‚ luchtstroom door de distilleerende vloeistof werd geleid, wel is waar ook eene vloeistof achter bleef, die echter bij het koud wor- den na eenig staan zwavel deed uitkristalliseeren in zulke hoeveel- heid, dat aan eene verbinding #, C/, met meer te denken viel. Wij gelooven derhalve dat A, CZ, dissocieert bij de kooktempe- ratuur in vrij chloor en vrije zwavel. Met het oog op het reeds door Dumas opgemerkte verschijnsel, dat zwavel wordt afgescheiden bij dampdichtheidsbepalingen, hebben wij van eene herhaling van deze voorloopig afgezien. De voornaamste resultaten van bovenstaande proeven resumeeren we in het kort. 1). Er is geen verschul met zekerheid geconstateerd tusschen het moleculairgewicht beneden het overgangspunt van de rhombische in monoklinische zwavel en boven het overgangspunt. Aan de omstandigheid dat de bepalingen van het moleculairge- wicht in toluol met de formule S, overeenstemmen en dat die in xylol waarden hebben opgeleverd die tusschen A, en A, ingelegen zijn, wenschen wij voorshands geen te groote beteekenis te hechten, te meer niet, daar de bepalingen in naphtalin weder cijfers ge- geven hebben, die beter met het moleculairgewicht A, overeen- komen. Wij vermoeden dat hier chemische oorzaken in het spel zijn, die wij later zullen trachten op te sporen. 2): No g veel minder kon een verschil geconstateerd worden Le 50 ONDERZOEKINGEN OVER HET MOLECULAIRGEWICHT, ENZ. tusschen het moleculairgewicht van de zwavel beneden en boven haar smeltpunt, daar de bepalingen in toluol beneden dat smelt- punt met de bepalingen in xylol boven dat smeltpunt vrij goed overeenstemmen. 3). Het moleculairgewicht bepaald in zwavelkoolstof en benzol stemt goed overeen met dat, door de formule S, geéischt en be- antwoordt niet zooals ORNporrr en ‘TrrRAss® meenen gevonden te hebben aan de formule Aj. 4). Zwavelmonochlorid is eene vloeistof, die bij haar kookpunt gedeeltelijk is gedissocieerd en derhalve voor moleculairgewichtsbe- palingen geheel ongeschikt is. De door Ornporrr en TrrRasse ge- vonden waarde 64 voor het moleculairgewicht van de zwavel is onjuist. Met zekerheid kon als een van de dissociatieproducten chloor worden aangewezen, het andere is hoogst waarschijnlijk zwavel. Het ontstaan van polysulfiden van de chloor is niet gebleken. | Chemisch laboratorium der Polytechnische School. Delft, Maart 1898. (30 Juli 1898). L. ARoONSTEN en S. H. Metnvizen. Moleculairgewicht van de zwavel. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VI. SOMERIE VAK T APPELUUR te : DOOR i - : teat fd rf ÿ - : nd u 1e P 278 ‘ = . “ re Po os t i { SEE - or’ ~ . i k acs Le Re d : | P 1 le KL 14 } +" wr ve ‘ eee « A te ©, a x j 1 eve ‘ 4 - , ~ À N € ) D —————— i . 7 = . = à 4 * ™ 14 > En / 7 À { _: hé vi ' ' « | | ¥ ll * . a à er ingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam ' D 4 | (ŒERSTE SECTIE) sé À . if ; 7 o / x ; » 5 Dl. VI. N°. 4. ve: : @ en 8 RTE, | JOHANNES MULLER. HUE fe : anis 1698. DE ISOMERIE VAN T APPELZUUR, DOOR J. H. ABERSON. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (EERSTE SECTIE). Dl. VI. N°. 4. Ee AMSTERDAM , JOHANNES MÜLLER. 1898. DE ISOMERIE VAN T APPELZUUR, J, H. ABE RSON. Nadat Songeze *t appelzuur ontdekt had, beschreef Braconnor !) een zuur, door hem uit de huislook (Sempervivum tectorium) bereid. Hij trekt wit zijne onderzoekingen de conclusie, dat dit zuur identisch is met het lijsterbessen-appelzuur, Hij bouwt zijn conclusie op de zouten en op het ontstaan van fumaarzuur (acide pyromalique). A. Mayer?) onderzocht de assimilatie van verschillende planten, onder andere ook van de crassulaceén. Bij deze plantenfamilie ont- dekte hij een merkwaardige afwijking van de andere planten en leidt uit zijn onderzoek af, dat dit veroorzaakt wordt door het in die plantenfamilie aanwezige appelzuur. Mayer toonde eenige ver- schillen aan van dit zuur met ’t lijsterbessenzuur, vooral in de eigen- schappen der zouten en in ’t draaiend vermogen. Hij komt bij de vergelijking der verschillen van ‘t crassulaceén appelzuur met dat uit lijsterbessen tot de volgende resultaten : Verschiedenheit. der Saüren. Gewöhntiche Aepfelsaüre. Bryophillum Naüre. Das neutrale Kalksalz. Scheidet sich in der Siedehitze Giebt mehr amorphe nieder- kristallinisch ab. schläge, die sich beim abkühlen rasch lösen. ") Annales de chemie et physique [2] 8. 249. *) Landwirthschaftl. Versuchstationen 1878--298. 4 DE ISOMERIE VAN 'T APPELZUUR. Das saure Kalksalz. Krystallisirt leicht. Kein einziges Mahl Krystal- | linisch erhalten. Freie Saure. Ist in freien Zustande kry- Krystallisirt unter gleichen stallinisch zu erhalten. Polarisirt Umständen nicht. nach links. Polarisirt nach rechts Eenige jaren later onderzoekt B. Scumrpr') eveneens het zuur. Hij komt tot besluit, dat Braconnor zich vergist heeft in ’t kristal- water van ’t zure calciumzout; dat het zilverzout 5 mol. kristal- water bezit; dat het zuur links draait evenals ’t lijsterbessenzuur, en dat ’t geen fumaar en maleïnezuur geeft. Als opmerkelijk feit: vindt hij, dat het zure calciumzout uit het zuur van planten, die die in ‘tlicht gestaan hebben wief, van planten, die in het donker stonden we/ kristalliseerde. Hij meent evenals Marèr dat het een isomeer van ’t gewone zuur zou kunnen zijn, doch kan de isomerie niet ophelderen. Het laatste onderzoek over dit zuur is van E. Augerr ®, die volgens de methode van DRAGENDoRFF door een qualitatief onder- zoek tot het besluit komt, dat het gewoon appelzuur is. De groote tegenstrijdigheden, het vermoeden dat het een isomeer van appelzuur zou zijn en de belangrijkheid uit een botanisch oog- punt, deden mij besluiten nogmaals een nauwkeurig onderzoek naar dat zuur in te stellen. Exvperimenteel gedeelte. Het experimenteele gedeelte van het onderzoek laat ik voor- afgaan. Ik meende in de eerste plaats te moeten aantoonen, dat het „aur. werkelijk beantwoordde aan de samenstelling van ’t appelzuur. Daarvoor heb ik verschillende gekristalliseerde verbindingen trachten te verkrijgen, wat niet altijd met succes werd bekroond. ‘) Archiev. f. Pharmacie [3] 24—535. *) Revue générale de botanique 1890 pag. 369. DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR, D Bereiding van ’t zuur en van de zouten. De verschillende crassulaceën, die ik voor mijn onderzoek ge- bruikte, waren: I. Bryophyllum calycinum. IL. Echivera secunda glauca. III. Cotyledon. IV. Sempervivum tectorium. V. Sedem purpurescens. VI. Sedem acre. N°. I geeft de beste resultaten, doch is alleen in een warme kas goed te kweeken. N°. IL") en V heb ik het meest gebruikt, daar ze als sierplanten gekweekt worden en daardoor in voldoende hoeveelheid bij de bloemisten te verkrijgen zijn. Alle vetplanten leveren hetzelfde zuur. Het zuur komt in de Crassulaceeën als vrij zuur en als zuur calciumzout voor. Voor de bereiding van ’t zuur worden de planten met water gekookt, na afkoeling wordt de massa in linnen zakken uitgeperst en de rest nog tweemaal op dezelfde wijze behandeld. Na dat zand en kleine zwevende plantendeeltjes bezonken zijn, wordt de vloeistof tot een klein volume ingedampt en na filtreering met loodacetaat in geringe overmaat vermengd. Het neerslag wordt op een -zuigfilter van de vloeistof gescheiden en met water afgewas- schen. Het loodzout wordt door //? S ontleed, het PAS verwijderd en de vloeistof tot een dikke stroop ingedampt. Deze stroop wordt in een kolf gebracht en eenige uren met absoluten alkohol gekookt. Het appelzuur lost op, waardoor het gemakkelijk van pectin en andere in alkohol onoplosbare verbin- dingen gescheiden kan worden. Van de alkoholische oplossing wordt de alkohol verdampt, het zuur in water opgelost en met kalkwater vermengd om sporen oxaalzuur te verwijderen. Na filtreering van ’t calciumoxalaat wordt met kalkmelk geneu- traliseerd; ’t calciumzout met alkohol neergeslagen en gefiltreerd. *) 15 KG. bladeren leverden 35 gr. zuur. 6 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Het gevormde Ca-zout is gemakkelijk in water oplosbaar; deze op- lossing wordt met loodacetaat neergeslagen, *t neerslag door AH, 8 ontleed, de oplossing zoo noodig door dierlijke kool ontkleurd, waarna het zuur meestal zuiver is; mocht het nog niet vrij zijn van vreemde bijmengsels, dan wordt nog eens dezelfde weg gevolgd. Na indamping vormt het zuur een kleurlooze dikke stroop. Het zuur kristalliseert niet; wanneer ’t zeer lang in een vacuum- exsiccator staat, vertoont het wel eenige aanduiding van kristallisatie, doch zooals later zal blijken is het dan geen appelzuur meer. Om zeker te zijn heb ik zooveel mogelijk gelijktijdig dezelfde experimenten met het appelzuur uit lijsterbessen verricht. Eerst heb ik eene analyse gemaakt van het vrije zuur. Het werd in een droogstoof bij 110° gedroogd tot constant gewicht. I 0.1742 gr. zuur leverde 0.2734 gr. CO, en 0.059 gr. 1,0. II 0.2030 gr. leverde 0.3096 gr. CO, en 0.068 gr. H,0; waar- uit volgt: Gevonden. Berekend. Tie IT. TTT OLY) aa G 4253 41.6 35.82 41.4 HS 86 8.65 4.47 3.45 Het gelijktijdig behandelde lijsterbessenzuur leverde: [0.316 gr, zuur — 0.4121 CO, en 0.1812%er) #0. Gevonden. Berekend. CAES 581 35.82 AGL 4.47 De analyse van ’t crassulaceén-zuur stemde geheel met fumaar en maleinezuur overeen; de rest van het gedroogde zuur had geen enkele eigenschap van één dier beide bovengenoemde verbindingen. Zooals later zal blijken had de waterafsplitsing op eene andere wijze plaats gehad. Het Calciumzout. Daar het vrije zuur geen uitkomst gaf, beproefde ik gekristal- liseerde zouten te verkrijgen. Braconnor beschrijft ’t zure calcium- zout, dat hij bereidt door bij het uitgeperste plantensap zwavel- DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 4 zuur te voegen, ’t gips door filtreeren te verwijderen en daarna kristalliseerde naast gips ’tzure zout uit; wat door uitlezen van de kristallen gemakkelijk was te zuiveren. Ik heb dezelfde proef herhaald, doch zonder resultaat, wat naar alle waarschijnlijkheid veroorzaakt werd door de groote onzuiver- heid van ’t plantensap. Daarna heb ik de methode toegepast, die gevolgd wordt bij € lijsterbessenzuur. In ’t eerst droogde de oplossing tot een gomachtige massa in; na het volkomen zuivere calciumzout genomen te hebben, kreeg ik bij langzame verdamping boven zwavelzuur prachtige kristallen. Daar de hoeveelheid salpeterzuur nog al groot was, ontstond er op ‘tlaatst NO, als gevolg van oxydatie van ’t zuur. Het kristallografisch onderzoek der kristallen werd door Prof. SCHRÖDER VAN DER Kork en Dr. SreGER verricht, waarvoor ik deze heeren mijn oprechten dank betuig. Het verslag van ’t onderzoek luidt: Optisch onderzoek: De kristallen waren regulair. Geometrisch onderzoek : Octäeder: Gemeten heek 109° 13° 307 70° 25° — Andere zone 71° 12° 13° LOO 1307 Volgens Hagen !) is het gewone zure calciummalaat een rhom- bische octaëder. Uit ‘toptisch onderzoek blijkt zeker ’t regulaire stelsel. 0,2460 gr. zuur-calciumzout leverde met loodchromaat verbrand: 0,2074 gr. CO, en 0,1241 gr. HO 0.2249 gr. gaf bij verbranding 0,0309 gr. Ca 0. Gevonden. Berekend voor: ie Il. (C,H,0;), Ca 6 H,O C 23.0 — 23.18 8 H 5.6 a 5.31 Ca — 9,8 9.66 1) Liebigs Annalen XXXVII (1841). CO DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Het Bariumzout. Het normale Ba-zout verkreeg ik toevallig in prachtige gekristal- liseerde naalden, doordat eene kleine hoeveelheid oplossing van het Ba-zout in een exsiccator was blijven staan. Door bij 110° C. te drogen verloor het niet aan gewicht: ’t bevat derhalve geen kris- talwater. 0.2545 gr. leverde 0.1668 gr. CO, en 0.039 gr. HO 0.2000 „ sf 0.1740 gr. Ba SO, Gevonden. Berekend. i: We (CO Ba. C MoT — 17.84 vee 1.5 =— 1.35 Ba — 50.92 50.93 Het Zilverzout. Het zilverzout heb ik alleen in mikro-kristallijnen toestand kun- nen verkrijgen. Om het te bereiden wordt het zuur met KOM bijna geneutra- liseerd, met overmaat van dg NO, neergeslagen, ‘+ neerslag op een zuigfilter gebracht, eerst met water en daarna met alkohol en aether uitgewasschen en in een exsiccator gedroogd, E. Scumipr Ì) vindt in ’t 4g-zout 5 mol. kristalwater; ik heb dit niet kunnen vinden; steeds was ’t kristalwatervrij, ook wanneer ’t met met alkohol en aether afgewasschen en aan de lucht ge- droogd werd. 0.3376 gr. Ag-zout gaf 0.1719 gr. CO, 0.0340 gr. AZO en 0.2096 gr. Ag. 0.4684 gr. Ag-zout gat 0.2340 gr. CO, en 0.0498 gr. HO 0.2736 0.1796 gr. Ag. 0.1753 gr. Ag-zout gaf 0.0890 gr. CO,, 0.0188 gr. H,O en 0.1108 gr. Ag. 3 ") Archiev f. Pharmacie [3] 24—535. DE ISOMERIE VAN 'T APPELZUUR. 9 Gevonden. Berekend. I. IT IT. C,H,0,) Ag. € 13.88 13 64 13.86 13.78 ie 1.12 LAT 1.20 1.15 4g 6211 6235 632 62.07 Het loodzout. Braconnot geeft op, dat het loodzout gemakkelijk kristalliseert. Twee keer heb ik prachtige zijdeglanzende plaatjes verkregen. Ik vermengde een oplossing van ongeveer 20 gr. appelzuur in 500 M* water met een kleine overmaat loodacetaat. De temperatuur van zuur en loodacetaat was ongeveer 80° C. Het gevormde neerslag van appelzuurlood werd afgezogen en het filtraat bleef eenige dagen op een rustige plaats staan. Er vormden zich dan aan de wanden hoopjes van prachtige zijde- glanzende naalden. 0.7400 gr. loodzout gaf bij 110° C. 0.0965 gr. water, dus 13.1 0/0. Voor Pb (C,H,O;), 3 H,O berekend, is het 13.7 °/,—0.2730 gr. watervrij loodzout gaf na oplossing in NO, en afdamping met H, SO, 0.2438 gr. Pb SO, = 0.1665 gr. Pb. 0.2501 gr. watervrij Pb-zout gaf 0.1359 gr. CO, en 0.0270 er. 4,0: Gevonden. Berekend. I. IL. (C,H,0;) Pb. C 14.8 — 14.16 Jug 1.2 — re Pb — 61.0 61.04 Afgezien van de afwijking in de analyse van het zuur, stem- men de analyses van de zouten volkomen overeen met de procen- tische samenstelling voor de appelzure verbindingen berekend. Eene enkele uitzondering doet zich voor bij ’t Ba-zout, dat van gewoon appelzuur met | mol. water kristalliseert ; ‘t is echter moge- lijk, dat dit zout bij toeval watervrij is geworden, doordat het gevormd werd bij indamping in een zwavelzuur-exsiccator. Van belang is zonder twijfel ook de kristallogr. afwijking, die ’tzure calciumzout vertoont. Volgens de onderzoeking van Hagen kristalliseert ’t zure zout in rhombische octaëders, moest derhalve optisch actief zijn, wat vol- gens het onderzoek van de heeren Scuröper van DER Kork en 10 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Srncer niet ’t geval is met het zure zout van ’t Crassulaceénzuur. Het zure ammoniumzout is van gewoon appelzuur zeer gemak- kelijk te verkrijgen, zoowel door kristallisatie in een exsiccator als door oplossing van ’tzuur in alkohol en praecipitatie door een ge- titreerde alkoholische ammoniakoplossing. Beide methoden heb ik herhaalde malen beproefd; im den exsiccator droogt “t tot een gom- achtige massa in, met alkohol ontstaat er bij gebruik van 96 ®/, spiritus een vloeibare massa, bij gebruik van absoluten alkohol ont- staat er een wit vlokkig amorf neerslag, dat niet te analyseeren is door zijn bijzonder groote hygroscopiteit. IL. Het draaiend vermogen van het zuur en van zijn afgeleiden. Marer geeft als afwijking van het gewone appelzuur op, dat het crassulaceënzuur rechts draait. Scnmipr vindt eene /iz/s-draaung. Geen van beide onderzoekers bepaalt de grootte der draaiing. Bekend is het feit, dat lijsterbessen-appelzuur in verdunde oplos- singen links draait, doch in zijn geconcentr. oplossing een rechtsche draaiing bezit. Het was derhalve mogelijk, hoewel niet waarschijnlijk, dat Mayer een zeer geconcentreerde oplossing en Scumipr een verdunde had gebruikt. Uit persoonlijke mededeeling van Prof. Mayer, bleek mij het tegendeel. Het was nu nog mogelijk, dat ik te doen had met het rechtsdraatende zuur van Bremer !); hoewel BREMER een zeer gemakkelijk kristalliseerend ammoniumzout beschrijft en ook het zuur zelf kristalliseert, waardoor ’t dus geheel van ’t crassulaceén- zuur afwijkt. Nadat ik een voldoende hoeveelheid zuur zuiver had verkregen, heb ik ’tdraaiend vermogen bepaald. De draaung werd zooveel mogelijk bij 15° C. in een halfschaduw- apparaat van LaureNr bepaald. Voor de berekening werd het ge- middelde van 10 aflezingen genomen. Het zuurgehalte werd door titreeren met Ba (O/),-oplossing bepaald. Door van een verdunde oplossing uit te gaan werd door indam- pen de oplossing geconcentreerd. — 7.30 gram appelzuur was in 519 gram oplossing aanwezig; ’t soortelijke gewicht van de oplos- sing bij 15° C. was 1.0073. ") Recueil des Trav. Chem, des Pays-Bas IV 180. DE ISOMERIE VAN 'T APPELZUUR. [1 De draaïng was in een buis van 5 dM. 0.°63 rechts, 549 X 0.63 is EDA UT EINE ij 223.96 gr. dezer oplossing wordt ingedampt tot 47.3 gr.; na afkoeling tot 15° C. draait de oplossing in een buis van 4 dM. 42,76 rechts; ’t soortelijk gewicht is bij 15° C. 1.0723 waaruit 47.8 X 4.75 Dre DDC LUN 1.072 Vervolgens werd de oplossing ingedampt tot een dikke stroop en daarna in water opgelost. In een 2 dM. buis draait de op- lossing 2°,0 inks. Het soortel. gewicht is 1.0735 bij 15° C., dus [el = —6.1. Nadat de buis één dag in den polarisator gelegen had, draaide de oplossing 0°.96 links, dus dat is [2], — 2.9. Na nog vier dagen is de draaiing —0.2, dus [e), — —0.7 Hieruit blijkt, dat het zuur door staan met water wel ren toch was het na vier dagen nog linksdraaiend; zelfs na acht bleek het nog iets linksdraaiend te zijn. Om de overgang in de rechtsdraating te bespoedigen, heb ik een hoeveelheid van de vorige oplossing overeenkomende met 5 gram zuur aan een koeler gedurende tien uur gekookt met ongeveer 100 cM? water, daarna werd tot 100 cM? opgevuld en gepo- lariseerd. In een buis van 5 dM. draaide deze oplossing 1°,99 rechts. QC NE) 5 X 5 De oorspronkelijke draaiing vindt men terug door ’t zuur met KOH te koken, met loodacetaat neer te slaan en wit het loodzout het zuur af te scheiden door 4/,$. hieruit volgt [a], = volgt [a], Ken andere appelzuur-oplossing, waarvan 6.450 gr. 71.07 eM* 1/, u. Ba (OH), neutraliseert, heeft een soortelijk gewicht van 1.0818 bij 15° C. Deze oplossing draait in een buis van 4 dM. 3.0 3.01 rechts, dus [a] = ESE neutraliseert 71.07 cM3. 1/, M. Ba (OH), dus is er in aan- wezig 71.07 X 0,0067 = 0.4762 gram zuur. 100 X 1.0318 X 0.4762 6,450 = + 9.8; want 6.45 gr. In 100 cM® oplossing is aanwezig ==. 7.62 gram. Van deze oplosssing wordt 74.370 gram bevattende 5.5 gram 12 DE ISOMERIE VAN ‘T APPELZUUR. zuur in vacuum ingedampt tot 31.238 gram. Nadat de oplossing eenige dagen gestaan had, werd ze gepolariseerd. Het soortelijk gewicht is 1.0559 bij 15° de draaiing is in een 2 dM. buis 3°.66 31.238 3.66 ase XD) 1.0559 De draating was derhalve constant gebleven. 30.228 gr. hiervan wordt tot ongeveer de helft ingedampt en vervolgens gedurende 14 dagen in een vacuum-exsiccator boven zwavelzuur geplaatst. Toen woog de rest 5.86 gr. de berekende hoeveelheid zuur (op appelzuur gerekend) was 5.322 gr. De rest wordt in aceton opgelost. De oplossing weegt 45.760 gr. “tS. g. by 15 °C. was 0.8582. In een 5 dM. buis wordt het polarisatie- vlak 2° 1’ links gedraaid, dus aangenomen, dat het nog appelzuur was, zou de specifieke draaiing —4.2 zijn. Na verdamping van de aceton, wordt de rest bij 100° C. ge- droogd tot constant gewicht. De massa is eenigszins bruin gewor- den. Bij 110° is het een taaivloeibare massa, bij gewone tempe- ratuur is het hard; het gewicht bedraagt 4 825 gram. Bij verwarming lost het in aceton op. De aceton-oplossing weegt 38.585 gr. met een soortelijk gewicht van 0.8589 bij 15° C. In een 2 dM. buis draait deze oplossing 8°.5 links, hieruit volgt voor 85058080 ean _395 4.825 K 2 X 0.8589 ve Uit de draaiing van ’t polarisatievlak volgt ten duidelijkste, dat het noch het gewone appelzuur, noch het zuur van Bremer is. Deze zuren hebben een specifieke draaiing van 5.8 volgens LANpoLr, Gure en Bremer. Een groote bizonderheid is de overgang van rechtdraaiend zuur in eene zéér sterk linksdraaiende verbinding. Deze laatste is zonder twijfel de verbinding, die bij de elemen- tair-analyse een uitkomst overeenkomende met C,M,0, gaf, dus een anhydrid van ’t appelzuur; later zal blijken, hoe dat voorge- steld moet worden. rechts, dus [al = de specifieke draaiing [a |), Jen overeenkomstig geval vinden we in ’t klassieke onderzoek van Wisricenus over ’t rechtsdraaiend melkzuur, ’t welk in verdunde oplossing rechts draait. doch bij uitdamping in ’t linksdraaiend an- hydrid overgaat. De kalium- en natrium-zouten van het zuur zijn zeer gemakke- lijk in water oplosbaar. Ze draaien ’t polarisatievlak sterk links. Doordat ik ze niet in kristallijnen toestand kon verkrijgen, heb ik de specifieke draaiing niet kunnen bepalen. Tot een verder onderzoek van het zuur kon niet overgegaan worden voordat het moleculairgewicht der verbinding bepaald was: DE [SOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 13 ten einde te beslissen tusschen de formules C,/,0, of C,H, GO, daar de laatste formule zooals later blijken zal, niet uitgeslote n was. De wegen, die openstonden waren de moleculaire gewichts- bepaling van ’t zuur en de bepaling der geleidbaarheid van ’t Ma- zout, om te beoordeelen of het een twee- dan wel een vierbasisch zuur is. Zooals uit *t voorgaande onderzoek gebleken is, verliest ‘tzuur bij indampen water en ‘t was dus onmogelijk om de quan- titeit van ’tzuur te bepalen door weging. Ik heb de moleculaire gewichtsbepaling verricht volgens de vries- puntsverlagingsmethode in water; daarbij uitgaande van een tame- lijk geconcentreerde oplossing, waarvan de sterkte door titreeren bepaald was. De bepaling werd op de volgende wijze verricht: In het apparaat van Beckmann werd 16.3180 gram water ge- wogen en ’t vriespunt er van bepaald. en werd er met een pipet 1.6952 gr. van de zuuroplossing ingebracht en weer *t vriespunt bepaald; dan werd een nieuwe hoeveelheid zuur-oplos- sing toegevoegd en vervolgens weer ’t vriespunt bepaald; deze zelfde bewerking werd nog eenmaal herhaald. 7216 gr. van de zuuroplossing werd verzadigd door 82.56 cM* 1/0 n. Ba (OH); dit is dus 0.0067 82,56 = 0.55315 gr. appelzuur: derhalve in 1 gr. oplossing van ’tzuur zit 0.20324 er. PP 8E. Of 8 8 appelzuur. Water. | Zuuroplossing — water + zuur. | chy | En NAT | M. 116,3180gr.| 1,6952 gr. 1,3507 gr. + 0,3445 | 17,6687 gr. | 1,95 [0,265 | 139 = | 1 | 1116,3180gr.| 34202 gr. = 2,725 gr. + 0,6951 | 1 9,0431 = | 22, 3,65 | 0.470 146 11116,3180¢r.| 7,3134 gr. — 5,8277 gr. + 1,4866 r. | 6,71 [0,850 02 9S JS Het gevonden moleculairgewicht is te hoog. Voor C,//,0; rekend is ’t 134. De restant van ’tzuur werd gepolariseerd; de specifieke draaiing was + 9.2, terwijl ’t zuur in verdunde oplos- sing + 9.8 aanwijst. Er was dus reeds anhydrid gevormd, waar- door eene verhooging verklaard kon worden. Ook is ’tde vraag of ’t water, dat voor het maken van de oplossing gebruikt was, hetzelfde vriespunt had, als hetgeen in den toestel gebracht werd. Met het eigenaardige gedrag van ’t zuur was ‘took mogelijk, dat het neutralisatiepunt lag voor den overgang van ‘t phenolphta- lein van kleurloos in rose, zoodat de O//-groep eveneens werd aangetast. Hierdoor zou het gehalte aan zuur te groot zijn gevonden, dus ’t moleculaire gewicht te klein, zoodat de mogelijkheid van het 14 DE ISOMERIE VAN ‘T APPELZUUR. mur CH,,0, , nog niet uitgesloten was. Daarom werd een afge- wogen hoeveelheid van ’t zuur geneutraliseerd met Va OH, inge- dampt en in een stoof gedroogd bij 110° C. tot constant gewicht. Eene kleine hoeveelheid van ’t Va-zout in een druppel water op- gelost reageerde volkomen neutraal. Van dit MNa-zout werd een elementair analyse en een JVa-bepa- lng gemaakt. I 0.2901 gr. Na-zout gaf in een zuurstofstroom ('t schuitje ge- vuld met K,Cr,0,) 0.0657 gr, H,O en 0.2882 gr. CO. Il 0,2935 er. MNa-zout werd met iets meer dan de berekende hoeveelheid 4,$O, ingedampt daarna op een asbestplaat verkoold en na verbranding van de koolstof met zwavelzuur drooggedampt. Na afrooken van ’t zwavelzuur woog ’t Na, SO, 0.2346 gr. HT 0.3652 gaf op dezelfde wijze als IT behandeld, doch met meer H,SO, 0.2887 gr. Na,S0O,. Gevonden. Berekend voor: 1: LL Tit: CHONG, G Ol = == 26.99 HB 2.5 == en Diy Na == 25.9 25.6 95.85 Hieruit blijkt dus, dat de H van de O//-groep niet door Wa was vervangen. Voor de bepaling van de electrische geleidbaarheid van ’t Na- zout werd dit zout op dezelfde wijze als boven beschreven bereid. Dr. E. Conny te Amsterdam was zoo welwillend deze bepaling voor mij te verrichten. Voor de bereiding der oplossing 1/4, acq. normaal moest 4. 178.14 : ds X — 19 8 Na-sout per 100 cM? = 0.2783 gr. worden afgewogen. Daar ’t zout zeer hygroscopisch is, werd uit ’t weeg- buisje snel een zekere hoeveelheid ad visum in een ander (gesloten) buisje gebracht en gewogen. Weegbuisje + Wa-zout = 17.4622 gr. 17.1846 gr. Na-zout = 0.2876 er. | Weegbuisje DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 15 Om dit tot 1/,, aeq. norm. te maken moet het gebracht wor- den op een volume van: 0.2876 Bt : GRO eM? — 103,34 cM. 0.2783 x Het kolfje werd in een thermostaat op temp. gebracht, tot 100 ¢M® aangevuld en vervolgens uit een buret 3.34 cM* //,0 toegevoegd. II. Bereiding der oplossing —; aeq. normaal, 25 cM* der onder I bereide oplossing werd in een kolf van 800 cM? gebracht. In thermostaat tot streep met water aangevuld, zoodat aldus ont- stond een oplossing 2% X slo = 557 aeq. norm. Electrische meting. De geleidbaarheidsbepaling geschiedde op de gewone wijze vol- gens KorrrAuscn met wisselstroom en telephoon. De konstante van het toestel werd bepaald met 1/,, n. A CV, dat met alkohol geprecipiteerd en bij 120° gedroogd was. Gevonden werd À = 221.5. De 1/,, aeq. normaal van het natriumzout gaf U, = 79.98. Voor de geleidbaarheidsbepaling van de 1/54 deq. norm. van ’t Na-zout werd eerst die van ’t water bepaald = 2.18 X 107°. Gevonden voor U, 34, 101.02—2.18 = 98.84. De metingen geven dus: U pou Uig = 98,84—79.98 = 18.86 Dita 1886 7 og 9.5 9.5 Voor een tweebasisch zuur is het 2, dus is het zuur /wee- basisch. Reductie tot barnsteenzuur. 5 gram zuur wordt met joodwaterstofzuur, jodium en roode phosphorus in een buis ingesmolten en gedurende 100 uren in een waterbad verhit. De buisinhoud wordt tot eene kleine volume in- 16 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. gedampt en gefiltreerd. Het filtraat wordt met water verdund en met kalkmelk geneutraliseerd. Na verwijdering van het caletum- phosphaat wordt het filtraat tot droog toe ingedampt. Na toevoe- ging van zoutzuur scheidde zich weinig barnsteenzuur af; de kristallen werden afgezogen, met water afgewasschen en opgelost in kokend water om ze te kristalliseeren. Er ontstaat na indamping een kleine hoeveelheid eener witte kristalmassa. Deze wordt op filtreerpapier gebracht en onder een klok naast een schoteltje met water geplaatst. Een kleine hoeveelheid zuur vervloeide en trok in 't filtreerpapier, de rest vormde een droge kristallijne massa. De kristallen begonnen bij 110° gedeeltelijk te vervloeien, ge- heel vloeibaar werden ze bij 178° C. De kristallen werden eenige keeren met weinig aether afgewas- schen, waarvan ’t smeltpunt na drogen 186° is. Een elementair analyse van deze kristallen gaf de volgende uitkomst: 0.1230 gram gaf 0.1812 gr. CO, en 0.0601 Berekend voor: Gevonden. C,H, 0, vil Ce 6 40.1 ae 5.5 Door deze reductie is ’t bewijs geleverd, dat het zuur een rechte keten vormt. De reductie gaat moeielijker dan van gewoon appelzuur. Verandering van ‘t Crassulaceenzuur in de inactieve verbinding. 10 Gram zuur wordt met 60 gram Na OH gedurende 20 uren in een kolf gekookt. Na neutralisatie met azijnzuur, wordt het zuur door loodacetaat neergeslagen. Na ontleding met 44, S wordt de oplossing van ’t zuur ingedampt en tot constant gewicht gedroogd. De oplossing had een sp. gew. van 0.8935 bij 15° C.; bevatte volgens titratie 0.711 er. zuur in 9,959 gr. oplossing. Deze oplossing draaide in een buis van 5 dM. lengte 9.959 K 2.1 5 X 0.711 X 0.8935 *t polarisatievlak 2°.1 links; dus [a]? = — 6.5. DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. ] ~ Voor de verhitting draaide eene alkoholische oplossing van ’t zuur, waarvan 1.243 gr. in 20.4 cM? aanwezig was, in een buis van 5 dM. ’t polarisatievlak 11.9° links, waaruit volgt br 204 X 11.9 af er ge 6 89-1. Verhitting van + zuur met Na OM in een blikken bus gedurende 100 uren in een waterbad verminderde het draaiend vermogen wel, doch geheele opheffing was niet te verkrijgen, evenmin als door koken met Wa OH. Het Amid. Van het amid van het gewone appelzuur is weinig bekend; wat hoogst waarschijnlijk moet toegeschreven worden aan de moeilijkheid om de esters te verkrijgen. Een kleine hoeveelheid methylester van t Crassulaceënzuur (3.3 gram) wordt in absoluten alkohol opgelost, bijv. O° C met NH, verzadigd en de buis vervolgens dichtgesmolten. Vif dagen na ’t dichtsmelten hadden zich nog geen kristallen gevormd; de buis werd toen gedurende eenige uren in een waterbad verhit en vervolgens op een koele plek gezet; den volgenden dag hadden zich kleine glinsterende kristallen aan de wanden afgezet, die langzamerhand vermeerderden. Na drie weken was er ruim 3 gram amid gevormd. De in een exsiccator gedroogde kristallen gaven de volgende analyse : 0.1844 gr. amid leverde 0.245 gr. CO, en 0.1010 gr. AO. 0.1678 gr. amid gaf volgens Ksunpann 25.4 cM°1/,,n NH, = 39.54 mgr. JV. Gevonden Berekend I IT Ci Hs Oy (WE) C 362 — 36.36 H 6.1 — 6.06 N — 21.18 21.21 Het amid is gemakkelijk oplosbaar in water, moeilijk in absoluten alkohol. — ’t Smeltpunt is niet scherp, ’t ligt tusschen 174—178° C. III Esterificatie van ’t Zuur. De aethylester. y Voor de esterificatie wordt de oplossing van het zuur in ’t vacuum ingedampt en gedroogd bij 110°C. tot constant gewicht. Vervolgens wordt het in absoluten aethylalkohol opgelost en met zoutzuur volgens de methode van Axscuürz geéstrificeerd. Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (4¢ Sectie). Dl. VI. D 2 18 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Na verdrijving van de grootste hoeveelheid zoutzuur door een drogen luchtstroom, wordt de alkoholische oplossing in ijswater uitgegoten en vervolgens herhaalde malen met sterk afgekoelde aether uitgeschud. De oplossing in aether wordt met chloorcalium gedroogd en daarna de aether verdampt. De rest wordt im vacuum gedestilleerd. By 30 m/m druk destilleert bijna de geheele vloeistof over tusschen 220°—250° C. Het destillaat is een dikke iets geel gekleurde vloeistof. Na rectificatie wordt de fractie, die bij 30 mM. druk tusschen 245° en 250° overgaat, voor het onderzoek gebruikt. 0.2882 gr. stof gaf 0.1426 gr. H, O en 0.5283 gr. CO, OLB TO: hs, AU DS TO", 5 en 0-29 70E O:2842 EN EOD Die, „en Oro Hieruit volgt Berekend Gevonden voor voor voor pele C,H, 0; CoH — C,H, O5( Co Hoo LC He O,)o(G, Hs )o C 50.0 50.1 50.38 44.7 50.5 50.0 Bt 5.0" DeOu Ome 6.2 7.4 5.5 Het waterstofcijfer stemt in de drie analysen zeer goed overeen, zoodat het de normale aethylaether C, M, O; (C, H) niet kan geweest zijn. De gevonden waarde stemt overeen met de empirische samen- stellmg C, H, O,. De stof voor n°. III was verkregen door de rest van den ester nog eenmaal te destilleeren; door geringe ont- leding was de overgegane vloeistof geler gekleurd. Door de hooge kooktemperatuur heb ik het moleculair gewicht volgens de vries- puntsverlagingsmethode bepaald. 0.2919 gr. ester verlaagde het vriespunt in 12.15 gr. benzol 0.419° C. OUT end: 3 5 5 DO > NMOMS SE DST APR MAN. ,1504: DUR Opener eee, 15.04, OE dus het moleculair gewicht van den ester wordt if II II IV (G A, Od BOE 280: 22822290: :292. 288. Zooals later zal blijken is het de diaethylaether van het zuur Cs Hg Og, waarvoor vroeger de specifieke draaiing [a] = —89.1 werd gevonden. Dat dit zuur geen fümaar of maleinezuur is, werd op de vol- gende wijze bewezen. Ongeveer 0.8 gr. ester werd aan een opstijgenden koeler met water langdurig gekookt, daarna het gevormde zuur met K, CO; geneutraliseerd en het koken zoolang voortgezet tot eene kleine hoe- DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 19 veelheid A, CO, in overmaat na een kwartier koken nog een al- kalische reactie veroorzaakte. De alkohol werd toen afgedestilleerd en met de jodoform-reactie aangetoond. De oplossing van het kaliumzout werd met een paar druppels azijn- zuur zwak zuur gemaakt en met lood-acetaat in ’t loodzout om- gezet. Het volumineuze neerslag woog na droging slechts 0.275 gram, het filtraat werd daarom tot een klein volume ingedampt en met alkohol neergeslagen. Deze twee loodzouten werden afzonderlijk onderzocht. I 0.2745 gr. loodzout van het 1° neerslag leverde bij 100° C. gedroogd 0.036 gr. H, O en 0.1420 gr. C O, en 0.1802 gr. PbO. IL 0.2440 gr. loodzout met alkohol neergeslagen leverde 0.030 1 gr. H, O en 0.1264 gr. C O.. UI. 0.2500 gr. van ’t zelfde loodzout geeft 0.2271 gr. Ph SO gs 4 Gevonden Berekend voor I IT UI appelzuurlood (C, H, O;) Pb. Cie Tay) 14.1 — 14.1 Jb 1.4 1.3 — 1.2 Pb. 61.0 — 62.0 61.07 Uit deze analyse blijkt, dat het door verzeeping gevormde zuur appelzuur is. De verzeeping heeft zooveel mogelijk door water plaats gevonden, om een mogelijke overgang van fumaar of maleïnezuur in appelzuur door koking met een basis geheel uit te sluiten. Dit appelzuur moet derhalve gevormd zijn wit het zuur C, //, Os door opneming van 2 mol water C, H, 0, + 2H, O = 20, H, 0,. 1.0185 gr. van den diaethylester (C ZZ, O,) (CG, MH), wordt in 40.6664 gr. benzol opgelost; deze oplossing heeft een soortelijk gewicht van 0.8918 en draait in een buis van 5 d.M. ’t polart- satievlak 3°.37 links, temperatuur 18° C. 3.37 X 41.685 5 X 1.018 X 0.8918 — dus [a], = — — 30 Een kleine hoeveelheid van den diaethylester wordt met 50 cM*. DES 90 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. water gedurende 10 uur aan een koeler gekookt; de oplossing wordt tot 100 cM3. gebracht en in een buis van 5 dM. de draai- ing van 2°,01 rechts gevonden. Door titreering wordt het gehalte aan appelzuur op 5,0 gram bepaald, waaruit volgt, dat de speci- fieke draaiing is 1.00 X 2.01 [a], = 5 X 5 RER Derhalve reeds bijna de vroeger voor het zuur gevonden waarde terug. De op boven beschreven wijze verkregen aethylester is dikwijls tengevolge van slechte droging, of waterhoudende alkohol een meng- sel van verschillende stoffen, die door gefractioneerde destillatie niet te scheiden zijn. De methylester. Daar de estrificatie met aethylalkohol eenige keeren mislukte, trachtte ik de dikwijls beter rendement gevende methylester te verkrijgen. Een voorloopige proef met 4 gram zuur gaf een kleine hoeveel- heid kristalnaalden ; daarom werd de proef met meer zuur her- haald. 30 gr. zuur wordt tot constant gewicht bij 110° C. in ’t lucht- ledige gedroogd, vervolgens in absoluten methyl-alkohol opgelost en met /ZC7 verzadigd. Na 24 uur staan werd de grootste hoeveelheid zoutzuur door een drogen luchtstroom verwijderd, de rest werd in zeer fijn ge- stooten ijs uitgegooten en vervolgens met afgekoelden aether eenige ‘keeren geëxtraheerd. Na verwijdering van de laatste sporen zoutzuur met gegloeid A, CO, wordt de oplossing in aether door chloor- calium gedroogd. Door verdamping van den aether bleef er 20 gram van een geel gekleurde olie over, nadat verwijdering van den methylalkohol bij 25 "/, druk en 80° C. had plaats gehad. Bij + 100° C. (paraffinebad 140°) sublimeeren in den hals van het destillatiekolfje prachtige naalden; de geheele hoeveelheid be- droeg slechts 0.141 gram. De naalden smelten bij 102° C.; bij verzeeping met KOH en aanzuren met zoutzuur kristalliseeren de karakteristieke kristallen van fumaarzuur uit; de oplossing van deze kristallen geeft met DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 21 Ag NO, onmiddellijk een neerslag, de kristallen smelten niet, doch bij 200° C. ongeveer worden ze bruingrijs en vervluchtigen zonder smelting; — bromium wordt door de kristallen geaddeerd. Al deze reacties wijzen zonder eenigen twijfel fumaarzuur aan; de naalden bestonden dus uit fumaarzure . dimethylester, wat met het smelt- punt geheel overeenkomt. Na verwijdering van de kristallen werd het bad sterker verhit. Bij 161° C. (paraffinebad 190° C.) druk 24 "/, destilleerde een gele olie (8 gram) over. Vervolgens steeg de temperatuur snel tot 250° C. Bij 210° (bad temperatuur 230°) en 25mM. druk destil- leerde een dikke, taaie vloeistof over, die spoedig vast werd (in ’t geheel 11 gram). De gele bij 161° C. destilleerende olie werd nog eenmaal ge- fractioneerd. De vloeistof die bij 192° en 25 mM. overging werd voor een elementair analyse gebruikt. 0.1784 gr. leverde 0-1030 gr. H, O en 0.2878 gr. CO. Hieruit volgt: Gevonden : Berekend voor: 0 CH,— O— C—C_, C—C— 0—CH, || AA OTF O On A4.1 44.3 H — 6,3 6.1 Dit is dus de dimethylester van het appelzuur. De verbinding, die bij 210° destilleerde werd uit absoluten al- kohol omgekristalliseerd. Bij afkoeling vormden zich prachtige lange naalden. Ze lossen zeer gemakkelijk in kokenden aethylalkohol op, zeer moeilijk in kouden alkohol, zeer weinig in aether. Het smeltpunt ligt bij 102° C., dus hetzelfde smeltpunt als de dimethylester van fumaarzuur. Een estrificatie met zwavelzuur gaf minder goede resultaten. De naalden uit aethylalkohol omgekristalliseerd werden geanaly- seerd. Het materiaal was van drie verschillende bereidingen af- komstig. 0.2928 gr. ester leverde 0.1324 gr. H,O en 0.4962 gr. CO, 0.2654 , :, eee OL AO yy 5, 0.4470 0.2012 ,, 7 d ODO, Sy 0840 BAT Db vss tig Ber GOB), 4 0.4192 OBB. 20%, nw O0944,, |, » 0.3694 ue 22 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Gevonden: Berekend: L Il. HI. IV: NN Co Hi On C 4622: 46.0. 46.4 46:2 46.0 46.15 H 5,08 4,8 4,97. 4.85 4.8 4.62 De ester voor Il, IV en V zijn bij 110° gedroogd, I en HI zijn exsiccator droog. Het moleculair gewicht werd bepaald uit de kookpuntsver- hoogingen van een acetonoplossing en éénmaal uit de vriespunt- verlaging van benzol. De oplosbaarheid in benzol is echter zoo, dat deze uitkomst slecht was: 0.1584 gr. ester verlaagde van 17.625 gr. benzol ’t vriespunt 0.230° C., waaruit volgt M == 202. Daarna werd nog 0.7782 gr. in de warmte opgelost, bij afkoeling kristalliseerde een groot deel reeds uit, zoodat deze methode niet te gebruiken was. Moleculair gewichtsbepaling in aceton volgens de kookpuntsverhooging. ND 12.05 gr. aceton. Gram. ester °/, stof Verhooging Molecul. gew. 0.2012 1.68 0.111 252 0.4162 3.47 0.231 260 0.8614 7.18 0.420 264 0.9826 8.19 0.507 270 De samenstelling ©, 9 Og vereischt als moleculair gewicht 260. Daar ’t uiterlijk zeer veel en ’t smeltpunt geheel met dat van den dimethylester van fumaarzuur overeenstemde, heb ik voor controle deze ester op dezelfde wijze als boven beschreven bereid. Na kristallisatie uit alkohol verkreeg ik C — 49.9 in plaats van 50,0 IH — 5.6 ,, rr FRS OA) Moleculairgewicht 144 en 148 in plaats van 144. Om te onderzoeken of de methylester ook dubbelgebonden kool- stofatomen bevatte, werd de volgende proef genomen: | Gram ester wordt na oplossing in water met 1 gr. Bromium 24 uur in ’t zonlicht geplaatst. Na dezen tijd was er nog 0.96 gr Bromium aanwezig, dus is in de verbinding CQ Mis Og geen dubbele binding aanwezig. Mb st à DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 23 Voor een onderzoek naar mogelijke hydroxylgroepen werden de volgende proeven genomen: 1 Gram ester wordt met 2 gr. acetylchloride op een waterbad aan een koeler met een chloorcaliumbuis verhit; de ester lost op, doch er treedt geen zoutzuur op. Na eenigen tijd werd het acetylchloride door destillatie verwijderd ; de ester kristalliseerde bij afkoeling uit; na oplossing in kokenden alkohol ontstaan er prachtige naalden, die bij 102° C smelten. De stof was derhalve niet veranderd. Dezelfde proef werd voor alle zekerheid herhaald met benzoyl- chloride. Eerst werd op een waterbad verhit, vervolgens de tem- peratuur tot 160° C verhoogd. Na afkoeling werden de kristallen door afwasschen met aether van benzoylchloride bevrijd; de rest uit alkohol omgekristalliseerd, leverde 0.9 gr. zuivere verbinding met een smeltpunt van 102° C. — Zonder twijfel zijn in de verbinding geen hydroxyl groepen aanwezig. Verschillende reactie's op aldehyd- of ketongroepen, als alka- lische zilveroplossing, fuchsinenoplossing, paradiazobenzolsulfonzuur en Na, phenylhydrazin, hydroxylamin leverden allen negatieve resul- taten, zoodat de absentie van carbonylgroepen zeker is. Verzeeping van de dimethylester leverde ’t volgende resultaat: 1 Gram ester werd gedurende verscheidene uren met een overmaat van KOH gekookt. Na neutralisatie met azijnzuur werd met loodacetaat vermengd ‘+ loodzout afgewasschen en door //, S ontleed. Het gevormde zuur werd na verwijdering van ’t PbS met een basis bijna verzadigd en met Ag NO, in ’t Ag-zout omgezet. Dit zout in een exsiccator boven //, SO, gedroogd, werd geanalyseerd 0.2288 gr. Ag zout leverde 0.1642 gr. CO, en 0.0350 gr. A 0. 0.3686 gr. -» 35 0.3285 gr. dg. Gevonden Berekend voor li is C, HH, Op Ag, ¢ 1363 a 13.78 Vas eo] — 1:15 Ag 6202 62.07 Door verzeeping was dus de dimethylester C, MZ, Og (CH) omgezet in ’t appelzuur; evenals dit met de diaethylester is aan- getoond. Dat het een ester was, bleek bij de verzeeping door ’t optreden van alkohol in den koeler. Wil men de ester overvoeren in appelzuur, dan is ’t noodzakelijk geruimen tijd met loog te koken. Wordt dit niet gedaan, zoo 24 DE ISOMERIE VAN ‘TT APPELZUUR. ontstaat er een andere verbinding. Dit blijkt b.v. uit het volgende onderzoek: Een gram ester wordt met water op een waterbad verwarmd met kleine hoeveelheden KOM tot de vloeistof zwak alkalisch bleef. Door zwak aanzuren met een druppel ZZ NO, en neerslaan met Ag NO, ontstaat een wit neerslag, waarvan na droging bij 110° C 0.3072 gr. bij verbranding 0.1751 gr. of 56.9°/, Ag leverde. Het zilverzout kristalliseert na oplossing in kokend water in fijne mikroskopische naaldjes uit. De elementair-analyse hiervan leverde de volgende uitkomst op: 0.2935 gr. dg zout gaf 0.0485 gr. H, O 0.1850 CO, in 0.1670 gr. Ap. Gevonden Berekend voor Cs Hz O, Ags C — 172 — 16.8 DA PI RS. 1.2 Ag — 569 — DGA Wanneer ’t zuur uit ’t loodzout werd vrij gemaakt, vormde het na indamping een volkomen kleurlooze stroop, die na 8 maanden in een vacuum-exsicator boven JZ, SO, gestaan te hebben voor een groot deel was overgegaan in een kristalmassa. De kristallen waren van de aanklevende stroop door geen op- lossingsmiddel te bevrijden, daar elke stof, waarin de stroop op- losbaar is, ook de kristallen oplost. Om een denkbeeld van de samenstelling der kristallen te krijgen, heb ik ze op een poreuze plaat zooveel mogelijk van de stroop bevrijd, ze daarna geanalyseerd. __ 0.1546 gr. leverde 0.0610 gr. H, O en 0.2286 gr. CO, waaruit: Gevonden Berekend voor (oO, C 40.4 41.4 IT 4.4 3.45 De analyse wijst op ’t zuur Cy Ms Os, doch de koolstof is te laag, de waterstof te hoog, wat de aanwezigheid van water aanduidt. Was dit zoo, dan moest bij een moleculaire gewichtsbepaling volgens de kookpuntsverhooging het moleculairgewicht te laag uitvallen. Aceton Zuur Verhooging Moleculair gew. 1.774 0.0820 gr. 0.090° C 195. : 0.1854 , 0.220 ,, 183. DE ISOMERIE VAN ‘T APPELZUUR. — 25 Van ( Hs Og is ’t moleculairgewicht 232. Dit is derhalve geheel in overeenstemming met de elementairanalyse. Van de oplossing voor de moleculairgewichtsbepaling gebruikt, liet ik de aceton bij gewone temperatuur verdampen; een deel van het zuur werd in een verbrandingsschuitje in vacuum gedroogd tot constant gewicht; nu leverde dit zuur ’t volgende resultaat: 0.1930 gr. stof gaf 0.066 gr. H, O en 0.2912 gr. CO, Gevonden Berekend Cee Hs Où GC 41.1 41.4 H 3.8 3.45 Een zilverzout werd op de volgende wijze van dit zuur gemaakt. Eén gram van het strooperige zuur werd in ’t luchtledige ge- droogd bij 100° tot constant gewicht. Het eenigszins bruin gekleurde zuur werd in absoluten alkohol opgelost. De oplossing werd met 2.5 gram zilvernitraat, in absoluten alkohol opgelost, vermengd. Er ontstond bijna geen neerslag, ver- volgens werd zooveel ammoniak in absoluten alkohol toegevoegd, als noodig was om al ’t zuur wit ’t dy NO, te neutraliseeren. Het zware witte neerslag wordt op een zuigfilter gebracht, af- gewasschen eerst met verdunden, later met sterken alkohol en in een vacuumexsiccator gedroogd. De elementair analyse leverde deze uitkomsten: 0.2388 gr. Ag zout leverde 0.1160 gr. Ag. D2718 bs i‘ 0.2166 gr. CO, en 0.0351 gr. H, O ŒOULS *; à 0.3887 gr. CO, en 0.0656 gr. H, O 0.2084 „ is x 0.1002 gr. Ay Gevonden Berekend i Il Ill IV C, Hy, 0; Ags Ce PP 2 NI = 21.52 RER A 1.4 — 1.32 Ag 48.5 — — 48.1 48.65 Lijsterbessen appelzuur werd op dezelfde wijze behandeld; ’t leverde eveneens een mooi wit zilverzout. 0.5165 gr. zilverzout geeft 0.3162 gr. Ag of 61.2. Was er een anhuvrid gevormd, zooals bij ’t Crassulaceenzuur, dan zou ’t zilverzout 48.65 °/, Ag hebben moeten opleveren. Het zilverzout van het niet geanhudvriseerde zuur bevat 62.07°/, Ag. 26 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Er blijkt dus uit, dat er geen anhydriedvorming bij ’t lijster- bessenzuur heeft plaats gehad. Het drogen tot constant gewicht en het oplossen in absoluten alkohol is noodzakelijk, daar anders een mengsel van verschillende verbindiugen ontstaat. Wordt b.v. ’t zuur op een waterbad ingedampt, in een droog- stoof eenigen tijd gedroogd bij 100° C., daarna in weinig water (koud) opgelost met 47 NO, vermengd en met VZ, geneutraliseerd, dan ontstaat er een wit neerslag. Na filtreeren kan hieruit door omkristalliseeren uit kokend water een zilverzout verkregen worden, dat in fijne naaldjes kristalliseert, dat de volgende analyse leverde: 0.1870 gr. Ag-zout leverde 0.1158 gr. CO, en 0.0210 gr. Hz O OE RE ae - 0.1166 „ Ag Gevonden Berekend il 1a C, H, 09 Ags Cin 626 == 16.81 V4 4 1,2 — 1.22 Ag — 56.8 56.74 Het zuur, waarvan hier een zilverzout gevonden wordt, zal in ‘t theoretische gedeelte nader worden behandeld De verkregen resultaten wijzen allen op een zuur van de empi- rische samenstelling C, 1, O,. Het was echter evengoed mogelijk, dat ’t zuur de samenstelling Cs Hg Oo had, b.v. met de volgende structuur Tall) CO _H COR H H Oer | LH /OH 0 eo 6 OOR HO ee Oe. OH. De waterstofatomen zijn daar wel 2 minder, doch daar ’t zuur niet kristallijn te verkrijgen is, was dit niet een onoverkomelijk bezwaar, aangezien de M-bepaling toch steeds te hoog uitvalt. De vorming van ’t anhydried zou dan een laktonvorming zijn. DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 27 In de procentische samenstelling der zouten zou wel veel afwijking komen b.v. voor ’t P5-zout Ca He Oo Pb, wordt H = 0.9 os ter wijl gevonden is voor ’t gekristalliseerde P4-zout 1.3°/ H. Door de moleculairgewichtsbepaling is dit zuur echter uitgesloten. Droge destillatie van ’t zuur. Ken belangrijk punt van vergelijking leverde de droge destil- latie. Van de vroegere onderzoekers zegt Scaminr ’t volgende: „Durch erhitzen auf 170—180° C. wurde die Säure unter Braunfirbung zersetzt: Fumarsäure konnte unter den Zersetzungsproducten nicht nachgewiesen werden.” Bij Mayer staat niets over de ontleding door verhitting ver- meld. Braconnor baseert voor ’t grootste gedeelte zijn identiteitsbewijs van + Crassulaceén-zuur met ’t lijsterbessen-appelzuur op de droge destillatie produkten. Hij beschrijft op de volgende wijze de ont- leding: ,,Destillé dans une petite cornue de verre il a commencé par se fondre, il a passé d’abord une liquide incolore, acide, très- caustique, communiquant aux parties de la bouche, où il avait été mis en contact, une couleur blafarde et une constriction fort des- agréable. Ce liquide n’a pas tardé à cristalliser par Vevaporation spontanné a lair. En augmentant la chaleur de la cornue prèsque tout l’acide s’est transformé dans un sublimé blanc, formé de cris- taux aciculaires, moins soluble dans l’eau que lacide non sublimé et qu’ ont plus facilement cristalliser que lui en petites spheres par levaporation. Il n’est resté dans la cornue qu’ une très-petite quantité de charbon.” Na nog eenige zouten opgenoemd te hebben zegt BrRACONNoOT : „Il serait, je pense, d’insister d’avantage sur les propriétés de cet acide, car on voit assez clairement qu’ elles ne peuvent appar- tenir qu’ à l’acide sorbique.” Zooals bekend is gaat het gewone appelzuur bij verhittmg op 140° C. geheel over in fumaarzuur. Bij plotselinge verhitting op 180° gaat ongeveer 80 °/, over in fumaarzuur en 20 ®/, in maleine- zuur. 1) Scumipr vindt bij de destillatieproducten wel geen fumaarzuur; of er ook geen maleïnezuur in voorkwam wordt niet medegedeeld. Verder geeft hij geen enkele aanwijzing welke stoffen er dan wel in voorkwamen. *) H. J. van 'r Horr, Academisch proefschrift. 28 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Om dit punt op te helderen heb ik eerst de proef van Bracoy- Nor herhaald, voor zoover ’t uit zijn beschrijving is af te leiden. In een retort werd 5 gram Crassulaceën appelzuur gebracht en de temperatuur langzamerhand verhoogd, zorg dragende, dat de ver- hitting regelmatig geschiedde. De waargenomen verschijnselen stem- men in veel opzichten met die van Braconnor overeen. Eerst komt er een vloeistof over, bij hoogere temperatuur kris- tallen, doch weinig. De vloeistof geeft bij vrijwillige verdamping eveneens kristallen, toch vormt het grootste deel een niet kristalliseerende stroop. De kristallen, die in den hals van de retort zaten waren van fumaar- zuur (te herkennen door de moeilijke oplosbaarheid in water; ’t vervluchtigen zonder smelting bij 200°, ’t zeer moeilijk oplosbare zilverzout). Het stroopvormige destillaat werd weer in water op- gelost, met A O geneutraliseerd en met dg NO, vermengd; ’t amorfe neerslag was geen maleïnezuur-zilver, omdat dat zout onder dezelfde omstandigheden overgaat in een prachtig gekristalliseerd zilverzout. ’t Zilvercijfer voor maleinezuur-zilver is 65.5, voor ’t amorfe neerslag was het 55.7. Door oplossen van ’t neerslag in verdund // NO, en neerslaan met JV //, veranderde het niet van samenstelling. Het destillaat bestond dus zeker niet uit maleïnezuur; misschien waren de enkele kristallen in de stroopvormige massa aanwezig maleïnezuur. De hoeveelheid was zóó gering, dat een nader onder- zoek onmogelijk was. Het residu in de retort bestond bijna geheel uit koolstof en be- droeg 0.24 gram. Om de veranderingen beter te kunnen nagaan heb ik ’t zuur in een destillatiekolfje op constante temperaturen verhit. De verhit- ting vond eerst plaats in een luchtbad volgens Vicror Meyer. Ten einde de zuurstof af te sluiten — daar ik meende, dat het bruin worden van ’t zuur daardoor veroorzaakt werd — voerde ik een stroom van droge waterstof door den toestel. Als verhittings- vloeistof werd xylol (kp. 136° C.) gebruikt. Er ging een kleurlooze, bijna neutraal reageerende vloeistof over, wat bij onderzoek water bleek te zijn. Toen er niets meer overging werd de xylol vervangen door ani- line (kp. 180°). Er ontstonden in de afvoerbuis prachtige naalden en er destil- leerde een gele vloeistof over. Na één dag verhitten was van 4.6 gr. zuur 3.2 gr. overgegaan, dus ongeveer 70 0/,. De waterstof die uit den toestel kwam, bevatte CO. DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 29 Het destillaat, bij 180° verkregen, wordt met chloroform ge- schud, de stroopige vloeistof lost op, de kristallen niet. Na verdrijving van de chloroform wordt het zuur in water op- gelost en met een dy NO, oplossing vermengd. ’t Gele zilverzout leverde de volgende uitkomst: 0.3234 gr. geeft 0.1615 gr. dg; 0.0519 gr. H,O en 0.2503 gr. CO, dus 50.4°/, 4g; 1.7 H en 21.1 C. Voor maleïnzuur-zilver zou ’t zijn: C 14.5, H 0.6; Ag 654. De kristallen niet in chloroform oplosbaar, wogen 0,123 gram. Ze vervluchtingen onder lichte bruinkleuring tusschen 200—220°, zonder vooraf te smelten. Ze geven een zeer moeilijk oplosbaar Ag-zout. Bij een elementair analyse leverden 0.0995 gr. kristal- len 0.0340 gr. H,O en 0.1513 gr. CO, dus: Gewoon. Berekend. CH, O, a 41.37 41.38 id 9,10 3.45 De gesublimeerde kristallen bestonden derhalve uit fumaarzuur. De rest in ’t destillatiekolfje reageerde na oplossing in water nog zeer sterk zuur, doch de vloeistof was zoo sterk gekleurd, dat het niet mogelijk was, hieruit een zuivere verbinding af te zonderen. Bij een nieuwe destillatie werden de noodige toestellen ingelast om het CO, te kunnen bepalen. 3.3 gram zuur werd eerst in xyloldamp verhit. Het leverde water, doch geen CO. Na vervanging van de xylol door aniline destilleerde een olie vermengd met kristallen over. Na één dag verhitten was er 0.222 gr. CO, ontstaan of 6.7 0/,. Na nog één dag verhitten nog 0.065 gr. in ’t geheel dus 0.287 ary of BMO Het destillaat ging door breking van den toestel verloren. Van het zuur was nog 1.4 gr. in ’t destillatiekolfje over. Bij voortgezette verhitting destilleerde nog steeds een dikke vloei- stof over, tevens ontstond er nog CO. Ten einde te onderzoeken, wat de rest in ’t kolfje en wat de vloeibare massa van ’t destillaat was, nam ik meer zuur voor een nieuwe proef. 30 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 6.33 gr. gedroogd zuur, leverde in een dag 0.405 gr. CO, of 6.40/,; er was toen 52°/, van ’tzuur overgegaan. De rest in ‘tkolfje werd in water opgelost en gedeeltelijk met Ba (OH), ge- neutraliseerd. Na filtreering werd de oplossing, die nog licht geel gekleurd was met Ba (OH), gekookt en na neutralisatie met 77 VO, omge- zet In een zilverzout. Het neerslag was eenigszins geel gekleurd. Het bij 110° C. gedroogde neerslag werd geanalyseerd. gr. leverde 0.0890 gr. CO, en 0.0188 gr. Æ0 Pr es) ee Ose tor er... Ag. Gevonden. Berekend. ca Ci Hy Os Ags T. IL. C 13.86 ae 18.82 H 1.2 en 1.15 Ay ee 62.5 62.07 Bij verhitting gedurende een dag op 180° C. was nog bijna de helft van het zuur als appelzuur aanwezig. Het destillaat werd tot droog toe ingedampt, daarna de rest met chloroform uitgeschud. Na verdrijving van de chloroform was de stroop nog vermengd met kleme naaldvormige kristallen, zoodat de scheiding onvolledig had plaats gehad. De kristallen, die in chlo- roform niet opgelost waren, werden wit aether omgekristalliseerd. Er ontstonden mooie kristallen, die na droging bij 100° C. de volgende elementairanalyse leverden: 0.2582 gr. gaf 0.0905 gr. A, O en 0.3031 gr. CO, Gevonden. Berekend. ge EON C 41.38 41.38 H 8.87 3.45 De kristallen waren zeer gemakkelijk in water oplosbaar, smolten bij 130° C., leverden een oplosbaar zilverzout en een moeilijk op- losbaar Ba-zout. Het was zonder twijfel maleinezuur. (Wellicht DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 31 ontstaan door omzetting van fumaarzuur in maleïnezuur anhydrid, omdat er bijna geen fumaarzeer-kristallen gevormd waren). Bij de vorige destillaties meende ik aldehyd door den reuk her- kend te hebben. Ik stelde daarom een onderzoek er naar in; daarvoor werd de waterstof door een oplossing van Na HS 0, geleid. Na afloop der verhitting werd het Na 17S O, met CO, Na, verwarmd; het destillaat werd in water opgevangen. Een paar druppels leverden met een alkalische zilveroplossing onmiddellijk een zilverspiegel. De rest werd met Cr O, en H, SO, aan een opstijgende koeler geoxydeerd. Het overgedestilleerde zuur werd mikroskopisch met Uranyl-magnesium nitraat als azijnzuur herkend. Het CO, en ’t acet-aldehyd zijn zonder twijfel door de ontleding ontstaan, b.v. doordat er eerst melkzuur gevormd werd, dat CO afsplitste en acet-aldehyd overliet. Bij een mieuwe destillatie werden de destillatie-producten door een drogen CO, stroom medegevoerd, voor ’t CO was een zout- zure oplossing van Cu, Cl, aanwezig. Na uitkoken kon 30 cM*. gas opgevangen worden. Het gas was brandbaar, doch de vlam had een zwak blauwe kleur, minder dan zuiver CO. Gebrek aan materiaal verhinderde mij de proef met meer zuur te herhalen. Ten einde in ’t destillaat de stroopvormige massa nader te onderzoeken, moest ik het van het fumaar- en maleïnezuur scheiden. Ik heb daarvoor met ’t beste gevolg de methode van Tanatar !) gebruikt. Het geheele destillaat van de vorige proef werd in wei- nig water opgelost met Cw CO, gekookt tot er geen opbruising meer plaats vond. Fumaar- en maleïnezuur vormen na afkoeling de onoplosbare koperzouten. ’t Neerslag bestond voornamelijk uit de prachtig blauwe kristallen van maleïnezuur-koper. Het filtraat, dat donkergroen gekleurd was, werd in 2 deelen verdeeld. ’t Bene deel werd in een exsiccator langzaam ingedampt, dit leverde lange naaldvormige groene kristallen. Het andere deel werd met //, 8 van koper bevrijd, ’t filtraat van ’t zwavelkoper werd ingedampt, met A OH geneutraliseerd en in het 4g-zout omgezet. Dit gaf 59.6 °/, Ag. De rest van ’t Ag-zout werk in warm water opge- lost en met alkohol neergeslagen. De exsiccator-droge verbinding gaf de volgende uitkomst: 0.1448 gr. Ag-zout leverde 0.0204 gr. H, O en 0.0729 gr. CO, 0.1801 gr. Ag-zout gaf 0.1115 gr. Ag. +) B. B. 27—1365. 82 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Gevonden Berekening I Il C, Hi Os Ags C 13.7 — 13.8 H 1.5 — 1.15 Ag — 61.9 62.07 Hieruit volgt derhalve. dat het appelzuur overdestilleert. De vervluchtiging van het appelzuur trachtte ik te vergemakkelijken door de destillatie in ’t luchtledige te verrichten. Ik smolt aan een destillatiekolfje een groote U-vormige buis, deze werd in ijswater geplaatst, om ’t condenseeren te vergemakkelijken. Nadat een vacuum van 14 mM. verkregen was, werd het kolfje in ’t parraffinebad van 220° C gebracht. Onmiddellijk begon de destillatie, de producten condenseerden vrij goed in de U-buis, toch was de condensatie niet volledig. Herst ontstonden prachtige naalden; waarschijnlijk maleïnezuur anhydried; toen een gele olie, die een taai vloeibare massa vormde, op ’t eind de karakteristieke kristallen van fumaarzuur. De druk kon gedurende de destillatie door voortdurend pompen op 18 mM. gehouden worden. De geheele destillatie van 7 gram zuur had in 15 minuten plaats. Hen klein deel van het dikvloeibare gedeelte werd met KOH gekookt; geneutraliseerd met MVO, en als 4g-zout neergeslagen. 0.1688 gr. zout leverde 0.1037 gr. Ag of 61.7°/, in plaats van 62.07 voor appelzuurzilver. Dus was ’t appelzuur gedestilleerd. Het maleinezuur werd als Cu-zout afgescheiden, dit leverde na ontleding met ZZ, S ongeveer 1 gram zuur. Dit is de eenige keer geweest, dat er zooveel was ontstaan. Aangetoond door het smeltpunt - van 131° C. In ’t destillatiekolfje was nog 0.2 gram kool over. Aangezien ’t. fumaar- en maleïnezuur slechts in kleine hoeveel- heden optreedt, is het mogelijk, dat het ontstaat uit gewoon appel- zuur, dat in de Crassulaceén naast het isomèrezuur aanwezig kan zijn; ook zou het kunnen ontstaan door omzetting van Crassulaceën- zuur in ’t gewone. Het was naodzakelijk na te gaan of gewoon appelzuur, onder volkomen dezelfde omstandigheden gedestilleerd, zich gedroeg als bij verhitting onder gewonen druk. Om hierover zekerheid te ver- krijgen werd 10.5 gr. lijsterbessenzuur in een kolfje bij 100° C in vacuum gedroogd. Na soldeering aan de U-buis werd het kolfje bij 13 mM. druk in ’t paraffinebad van 210° gedompeld. DE ISOMERIE VAN °T APPELZUUR. 33 De waterstraal-luchtpomp werd afgesloten, om het ontstaan van gassen te kunnen aantoonen. In ’t begin steeg de manometer iets, daarop. destilleerde water, vervolgens maleïnezuur anhydrid, dat vast werd. Na 12 minuten ging er niets meer over, in ’t kolfje was de rest vast en begon in den hals te sublimeeren; ’t paraffinebad was 230° bij ’t einde der proef. — Na volledige afkoeling was de druk van den manometer weer 13 mM. Bij deze destillatie van gewoon appelzuur ontstaan dus geen gassen. De rest in ’t kolfje woog 7 gram en bestond uit fumaarzuur. Theoretisch zou er ontstaan moeten 9.1 gram aan fumaarzuur en maleïnezuur. Er was gevormd 7 gr. fumaarzuur of 77°/, der theorie, derhalve als de rest maleinezuur was, zou ’t 23°/, bedragen. Dit zou geheel in overeenstemming zijn met de onderzoekingen van H. J. van “r Horr }). Het destillaat wordt met Cw CO, gekookt, prachtige kristallen van maleïnezuur-koper. Na afkoeling was het filtraat bijna kleurloos; het koper werd verwijderd, de vloeistof ingedampt, er bleef een vaste massa over (geer gering); onder ’t mikroskoop werden weer de blauwe kristallen verkregen met Cw CO. Onder deze omstandig- heden destilleert derhalve het gewoon appelzuur niet over. Het crassulaceënzuur zal zonder twijfel over destilleeren im den vorm van het anhydrid Cy MH, Og ’t zelfde, dat verkregen wordt door ’t zuur in vacuum bij 100°C te drogen. Daar ik geen ander scheidingsmiddel van fumaar- en maleïnezuur vinden kon als Cw CO, is dit punt niet nader opgehelderd kunnen worden. Resumé. Uit dit experimenteel onderzoek volgt zonder twijfel, dat het een zuur is, beantwoordende aan de empirische samenstelling C, H, O;, evenals ’t gewone appelzuur. Het is echter een isomeer en wel om de volgende reden: Deze vallen ’t best in “t oog, wanneer het Crassulaceénzuur met het lijsterbessen appelzuur vergeleken wordt. Lijsterbessenzuur. Crassulaceënzuur. [. Kan in kristallen verkregen Kristalliseert niet. worden. 1) Academisch proefschrift. Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VI D3 34 DE ISOMERIE VAN °’T APPELZUUR. Il. Geeft gemakkelijk een ge- kristalliseerd zuur Ca-zout. Kristalvorm zuur Ca-zout, rhombische-Octaéder. Ill. Geeft een gemakkelijk kris- talliseerend zuur ammo- niumzout. IV. Gaat bij estrificatie zeer gemakkelijk over in fu- maarzure ester (ANSCHÜTZ). V. Draait in verdunde oplos- sing “t polarisatievlak naar links. Na indamping en oplossen in aceton behoudt het de- zelfde draaiing. De meeste zouten draaien rechts. VI. Het zuur anhydriden. vormt geen VIL Bij droge destillatie ont- staat alleen fumaar- en maleinezuur. VIL. Het normale Ca-zout slaat bij koken kristallijn neer en lost bij afkoeling niet weer op. IX. Door reductie met /// wordt het in barnsteen- zuur veranderd. Geeft zeer moeilijk een gekristal- liseerd zuur Ca-zout. Kristalvorm zuur Ca-zout-Oc- taëder. Geeft geen zuur ammoniumzout. Geeft zeer gemakkelijk appelzure esters en wel twee verschillende, doch geen fumaarzure ester. Draait in verdunde oplossing naar rechts. Na indamping en oplossen in aceton draait “t sterk naar links. De zouten draaien links. Het zuur vormt twee anhydriden; op dezelfde wijze als melkzuur. Bij droge destillatie ontstaat een Kleine hoeveelheid fumaar- en maleinezuur; het grootste deel destilleert onveranderd over; er wordt CO, aldehyd en CO gevormd. Het normale Ca-zout slaat bij koken amorf neer, lost bij af- koeling gemakkelijk weer op. Le) Door reductie met /// wordt het in barnsteenzuur veranderd. Theoretische beschouwing. Uit het experimenteele gedeelte volgt, dat het zuur der Crassu- laceën de empirische samenstelling C, //, O, bezit. DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 35 De atomen kunnen op drie verschillende wijzen worden verbonden. 1° de combinatie aangenomen voor ’t gewone appelzuur . 4 pra i Ne OR a 00 SCE PR OH 2° het #—isoappelzuur ent, C—OH inde HE Gilg — 011 3° het 2—isoappelzuur IL, ns Ze — OH eat... “on Scumipr zegt over de structuur van ‘t zuur ’t volgende; „Wenn die untersuchte Säure wirklich als eine Aepfelsäure anzusprechen ist, wie man wohl veranlasst sein sollte aus der Zu- sammensetzung des Calciumsalzes und aus der Zusammensetzung des bezüglichen Silbersalzes zu vermuthen, so stimmt dieselbe mit keiner der bisher bekannten Aepfelsäuren der ‚0 CH, -— COH | CH — OOOH OH gew. Aepfelsäure, und ue OT CH, — C— COOH Isoaepfelsäure überein. COOH OH Die dritte Aepfelsäure CZ, — CH — COOH : COOH LB — Isoaepfelsäure is bisher nicht bekannt. Volgens de tegenwoordige beschouwing kan alleen de eerste com- binatie in aanmerking komen, omdat alléén hierin een asymetrisch C-atoom voorkomt. 36 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. Van het gewone appelzuur waren drie isomeeren bekend: nl. ’t linksdraaiende lijsterbessen-appelzuur ; ‘t daarmede correspondeerende rechtsdraaiende zuur van BREMER, ’'t Inactieve zuur, dat in verscheiden gevallen gesplitst is in de twee voorgaande zuren. Deze isomeeren zijn geheel in overeenstemming met de stereo- chemische voorstelling door v. ’r Horr gegeven. v. ’r Horr en Wisricenus nemen bi de verklaring van de isomeriën en van de verschillende veranderingen der koolstofverbin- dingen aan, ten eerste: dat de twee koolstofatomen bij enkelvou- dige verbinding om de verbindingsas vrij roteeren kunnen; ten tweede, dat de groepen, waardoor de valentiés der C-atomen ver- zadigd zijn, op elkander nog een intramoleculaire werking uit- oefenen. We zouden kuunen spreken van elkander aantrekkende en af- stootende groepen en elementen; hierdoor zouden de eersten z00 dicht mogelijk bij, de laatsten zoover mogelijk van elkander trach- ten te komen. Het molecuul, waarin aan deze voorwaarde voldaan is, is de sta- bielste combinatie of zooals WrstrceNus zegt: de ,,bevorzugte con- figuration.” Door de intramoleculaire beweging sterk te vergrooten zal een draaiing om de verbindingsas van twee C-atomen verkregen kunnen worden, waardoor een minder stabiele verbinding of „ein weniger bevorzugte Lage” te voorschijn treedt. Wanneer de invloed, waar- door de draaiing ontstaan is, ophoudt, keert het molecule weer in zijn stabielen stand terug. Vreror Meyer meende, dat de veronderstelling van v. ’r Horr en Wisricexus omtrent de vrije rotatie niet altijd doorging. Voor de verklaring der isomeere monoximen werd door hem een vaste stand van de C-atomen aangenomen |). Ook A. Bayer ?), Auwers, V. Mryrr ®) en Brraman 4) trekken de vrije rotatie om de verbindingsas der C-atomen in twijfel. Voor de voorstanders der vrije rotatie leverde het appelzuur een mooi voorbeeld : De meest begunstigde configuratie stelt volgens Wisticenus fig. | ') Later heeft V. Meyer een andere verklaring gegeven. *) Ann, 258. 180. ) Ber. 23. 2079. ‘) Ztschr. f, Physik, Chem, 5, 408, hé. cie n. DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 37 voor, omdat deze samenstelling bij verhitting op 150° C. uitslui- Door plotselinge verhitting op 180° wordt de intramoleculaire beweging 700 groot, dat een deel der moleculen de min- der begunstigde stand inneemt, waardoor naast fumaarzuur, ook maleinezuur op- treedt. Opmerkelijk is het, dat H. J. v. ‘y Horr bij lijsterbessenzuur eene rende- ment aan maleinezuur van 23°/ vindt, terwijl het inactieve appelzuur nooit meer 20. tend fumaarzuur levert. Hon “OH, Os nor’ H H à Fig. I. dan ruim 2°/, opleverde. Behalve fig. II zou bij deze snelle verhitting evengoed de con- figuratie van fig. [IL kunnen ontstaan, waaruit geen onverzadigde verbinding kan gevormd worden. Ook fig. [IL is een minder be- gunstigde stand volgens WisLiCENUS. Hec? In de literatuur, die over de verhitting tert OR x ‘0-H 4 van ’tappelzuur handelt, worden als ont- ledingsproducten alleen fumaar en maleine- zuur opgegeven. Ook bij de door mij voor dat doel opzettelijk verrichte proef ch kon ik alleen een mengsel van fumaar en y maleïnezuur aantoonen. | . ie 19 N Voor de verklaring van de feiten uit ’t / \ experimenteel gedeelte moet een keuze tus- 77/ \ 20 : LEN schen de drie configuraties gedaan worden. = : Ee, 1 Fig. | en IL leveren bij verhitting on- Fig. IL verzadigde zuren, zoodat alleen fig. II] overschiet. Uit de beschouwingen van v. ’r Horr en Wrsrrerxvs volgt, dat mochten de configuraties Il en II onstaan, ze door de intramoleculaire wer- kingen weer in den stabielsten vorm fig. I zouden overgaan, wanneer de oorzaak ophield, waardoor ze den min- der gunstigen stand innamen. Im alle ge- val in blijvenden toestand worden de fig. II en III niet voor mogelijk gehouden. Alleen onder bizondere omstandigheden, b.v. bij acetylappelzuuranhydrid werd de gespannen toestand van fig. LL mogelijk geacht, omdat een draaiing niet kon plaats vinden door de verbinding van ’t zuurstofatoom. 38 DE ISOMERIE VAN 'T APPELZUUR. Bij dezen stand kan de OM-groep niet als water uittreden onder vorming van een onverzadigde verbinding. Dit verklaart het feit, dat het Crassulaceënzuur destilleert en geen fumaar of maleinezuur bij verhitting op 180° C. vormt. Volgens deze voorstelling is er slechts één stabiele vorm. Het crassulaceën-appelzuur vertegenwoordigt een appelzuur, dat zeer stabiel is. Hen verhitting op 180° en hooger gedurende verscheiden uren verandert het niet. Verhitting op 170° met water in een buis, brengt geen verandering te weeg. Een overgang van ’t Crassula- ceénzuur in ‘+ gewone appelzuur heb ik niet positief kunnen aan- toonen. Misschien is ’t optreden van kleine hoeveelheden fumaar en maleïnezuur een aanwijzing; deze laatste zuren kunnen ook uit gewoon appelzuur ontstaan zijn. Als noodzakelijk gevolg van deze stabiliteit volgt, dat, òf de vrije rotatie om de verbindingsas, òf de intramoleculaire werking der groepen niet bestaat, waardoor elk van de drie configuraties stabiel is, daar ’t crassulaceënzuur niet voorgesteld kan worden door de als stabielste vorm beschouwde configuratie I, want dan moest het geheel in fumaarzuur overgaan. | De anhydrid-vorming bij langdurige verhitting wordt eveneens ongedwongen verklaard. De stereochemische voorstellingen van zuur en anhydrid stellen fig. IV en V voor: DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. 39 Bij verhitting wordt er wel een anhidrid gevormd, doch zooals uit ’t onderzoek op bladz. 6 en 25—27 blijkt, ontstaat er geen onverzadigde verbinding, er moet dus een anhydriseering tusschen de twee moleculen plaats hebben zooals fig. V voorstelt. Door wa- teropname gaat het anhydrid over in appelzuur, zie bladz. 24. Het uittreden van water uit de twee hydroxylgroepen in één mo- lecule zou een sterke spanning in ’t molecule tengevolge hebben, zoodat dit niet mogelijk is. Uit twee moleculen, geplaatst als fig. V, kan zeer gemakkelijk water uittreden, zonder eenige spanning in ’t molecule te doen ontstaan. In de gevormde verbinding ontstaat een ring van vier C-atomen, op de helft verbonden door twee zuurstofatomen. Dat de twee moleculen zóó verbonden zijn, dat de carboxylgroep van ’t eene molecule de alkoholgroep van ’t andere molecule estri- ficeert, blijkt ten eerste, uit de betrekkelijk gemakkelijke verzeeping. Wanneer het een anhydriseering was tusschen de twee alkohol- groepen, zou die ether-verbinding veel moeilijker op te heffen zijn; ten tweede zou dan bij verzeeping van de binding tusschen de twee carboxylgroepen een vierbasisch zuur ontstaan, terwijl slechts een zilverzout van een driebasisch zuur wordt verkregen. Dit zuur zal dus tot constitutie hebben: Pau CZ oH C= H, ee fe odio 0 OD OH OH | C= H, | ine ee OH Dat g-oxyzuren geen anhydriseering hebben in één molecule is een bekende zaak. Zoowel glycol- als melkzuur geven anhydriden door samenwerking van twee moleculen. 40 DE ISOMERIE VAN °T APPELZUUR. In veel opzichten zijn de veranderingen van ’t crassulaceën appel- zuur analoog aan die van het door Wisticunus onderzochte d-melk- zuur. Uit de volgende tabel blijkt dit duidelijk. Appelzuur. Is in oplossing rechtsdraaiend. Wordt bi concentreering linksdraaiend, door de vorming van een anhydrid uit twee mo- leculen zuur. Bij langdurige verwarming verliest het twee moleculenwater d- Melkzuur. Is in oplossing rechtsdraaiend. Wordt linksdraaiend bij con- centreering door anhydrid-vor- ming uit twee moleculen zuur. Bij verhitting gaat het over in ’t laktid. en gaat over in de verbinding } CAR al: Cs 1,0, ; ’t malid 0 HOE HD j HO gee CH; G20 Dn Oe ie, | CGR O0 H COOH EN GP Où H De zouten draaien links. De zouten draaien links. Bij de droge destillatie zal zonder twijfel ’t malid overdestillee- ren; dit kon echter niet geconstateerd worden, omdat de eenige scheiding van ’t maleine- en fumaarzuur door koken in water met Cu CO, kon plaats vinden. Hierdoor gaat het malid over in ’t appel- zuurkoper. Het optreden van twee esters bij de aethyl en methylester-be- reiding is gemakkelijk te verklaren door de gedeeltelijke verzeeping van het malid door het water, dat bij de estrificeering gevormd wordt. Alle feiten in ’t experimenteele gedeelte verkregen kunnen onge- dwongen verklaard worden door de configuratie IIIT voor ’t Cras- DE ISOMERIE VAN °T APPELZUUR. | 41 sulaceën-zuur aan te nemen. De vrije draaïmg om de verbindingsas der’ Catomen- moet verworpen worden, want er is geen enkele reden, waarom-configuratie [IE dan niet onmiddellijk in I zou over- gaan. st Alles blijft in ’t molecule hetzelfde, alleen de relatieve stand van de groepen van 't eene C-atoom ten opzichte van die van ’t andere maakt het verschil en door de vrije rotatie zouden die groepen steeds de meest begunstigde stand fig. I innemen. De verandering in de draaiing van het polarisatievlak zou geheel in overeenstemming zijn met de theorie van Gure; door de anhy- driseering zal nl. ’t zwaartepunt van ’t nieuwe molecule aan den anderen kant van ’t symmetrie-vlak vallen en derhalve de draaiing omkeeren. Bij de droge destillatie ontstaat CO, en tevens een kleine hoe- veelheid aldehyd en CO. Deze feiten zijn zoo te verklaren, dat een klein deel van ’t gevormde malid, CO, afsplitst waardoor ’t over- gaat in ’t laktid, en dat zij dit bij de hooge temperatuur uiteen- valt in CO en C, H, O. ¥0 es AE CH, CH, CH, oi Bon. | GG BED C 0.200, 200200 | | «ie ae AO 00 H OF Re | CSF, CH, [OH (=0 Alles samennemende kom ik tot de volgende conclusie: Het appelzuur kan voorkomen in drie stereoisomeere vormen. Hiervan zijn er twee bekend: ’t lijsterbessenzuur en ’t crassulaceën- zuur. Het derde isomeer is nog niet verkregen, naar alle waar- schijnlijkheid ontstaat het bij plotselinge verhitting van het lijster- bessenzuur. Onder deze omstandigheden verliest het onmiddellijk water en gaat over in maleinezuur. De appelzuren worden derhalve door de volgende configuraties voorgesteld. Het lijsterbessenzuur door fig. I, ’t onbekende zuur waaruit ma- 42 DE ISOMERIE VAN ’T APPELZUUR. leïnezuur ontstaat door fig. II, ’t Crassulaceénzuur door fig. IT. Ter onderscheiding noem ik fig. I het g-zuur, fig. IL ’t B-zuur, fig. III ’t y-zuur. Het lijsterbessenzuur is dan Z—g-appelzuur; het zuur van BREMER d—a-appelzuur en het crassuleënzuur d—-ap- pelzuur. 40 20 2 H Cc H CETTE 20 OH OH Con OH o-r x Ber ke H 20 OH Fig. I. Fig. I. Fig. II. a-appelzuur. £-appelzuur. y-appelzuur. Wageningen Scheikundig Laboratorium der hijkslandbouwschool (18 Jum 1898). Dl. VI. N°. 5. 4 ga AMSTERDAM , y ay | f Augustus 1898. À % EERSTE SECTIE). JOHANNE S MÜLLER. er Wte End "a AT: À niv Lin, SE LT: (ver peroxy-Zwavelzuur zilver (Vijfde Verhandeling), DOOR EE. MULDER. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DI. VI. N°, 5. AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. 1898. Over peroxy-zwavelzuur zilver. DOOR E. MULDER. (Vijfde Verhandeling). Zooals de studie van de verbinding verkregen door electrolyse van een waterige oplossing van salpeterzuur zilver, het bestaan waarschijnlijk maakte van een tot nog toe onbekend zuur der for- mule NO, M (dat meer of minder het bestaan insluit van een zuur NO, H, te plaatsen tusschen VO, Men NO, 17), zou zeer wel de studie van het product van electrolyse van zwavelzuur zilver, een tot heden onbekend zuur kunnen doen kennen van zwave/. Want men kon er zich gemakkelijk van overtuigen, zelfs met eenige weinige centigr., dat de structuur dezer laatste stof analoog zal zijn met die van eerstgenoemd lichaam, dus ook zeer waarschijnlijk is een molecu- Lure verbinding van zilverbioxyde (47, O,) met een oxy-2wavelzuur zilver (S' Oy. 2 0. Ag). Als zoodanig zou dit -van belang zijn, en tevens, lettende op de voorname plaats, die de zwavel inneemt als technisch lichaam, en vooral niet te vergeten in het organische rijk (al is die rol betrekkelijk van minder ingrijpenden aard dan van de stikstof). Overigens is er sprake van een geheele reefs van verbin- dingen van zilverbioxyde met het zilverzout van oxy-zuren, dat het te behandelen onderwerp niet minder belangrijk maakt. Ook om die redenen is de studie dezer verbinding met veel zorg geschied. Rt A OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. Zoo zal onder anderen blijken, dat een geheel speciale inrichting 1s getroffen, ten einde het doel te kunnen bereiken, dat men zich voorstelde (en tevens in andere dergelijke gevallen). Maar alvorens over te gaan tot mededeeling van de uitkomsten, waartoe het on- derzoek heeft geleid, wilde men aanvankelijk geven het weinige be- kende omtrent dit lichaam verkregen bij een zeer voorloopige studie, welke blijkbaar miet toeliet deze te vervolgen, door de groote be- zwaren, die zich voordeden bij de bereiding er van, te weten in een toestand van voldoende zuiverheid ter analyse. Deze bezwaren hebben als eerste oorzaak de betrekkelijk gerige oplosbaarbeid van zwavelzuur zilver in water. Dit heeft al dadelijk ten gevolge een betrekkelijk gering geleidingsvermogen, en daardoor een mindere opbrengst van het lichaam waarvan sprake is; en nog andere zeer storende gevolgen (zie later in deze Verhandeling). Na het geschiedkundig gedeelte te hebben behandeld, dat zeer arm is aan materie, zooals weldra zal blijken, wenschte men eerst een overzicht te geven der uitkomsten van de voorloopige studie, gevorderd voor de meer ernstige studie, die het voornaamste ge- deelte uitmaakt dezer Verhandeling. Geschiedkundig gedeelte der electrolyse cener waterige oplossing van zwavelzuur zilver (SO, 47). De electrolyse van zilvernitraat gaf als van zelf aanleiding tot die van zilversulfaat; en Fiscaer +) was de eerste, die een proef deed in deze richting. Maar deze was in ieder opzicht een voorloopige proef, en op die wijze verricht, dat zij geen uitkomst van waarde zou kunnen opleveren (zie later). Salpeterzuur zilver (VO, dg) leverde reeds zóóveel bezwaar op (zie vroeger het geschiedkundig gedeelte dienaangaande), en dat, niet- tegenstaande zijn zeer groote oplosbaarheid in water te stade komt bij de electrolyse; en het is duidelijk, dat het zwavelzuur zilver (SO, Ags) met zijn zeer begrensde oplosbaarheid, veel meer bezwa- ren aanbiedt. Gaan we maar eens na, met salpeterzuur zilver laat zich gemakkelijk vele grammen van het zwarte kristallijne lichaam bereiden door electrolyse; maar met zwavelzuur zilver is men al tevreden, bij den aanvang der studie, als men eenige centigr. van het product van electrolyse is machtig kunnen worden. Ook ver- krijgt men in ’t begin den indruk, dat een ernstige en doorgezette studie bijkans onuitvoerbaar zal zijn. Fiscner werd, naar ’t schijnt, door deze eerste vluchtige proef dan ook afgeschrikt, omdat zij S. 108 (1844); 1. c. 33, S. 240, 249, 245 (1844). OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 5 weinig goeds beloofde; en dat mag tevens de oorzaak geweest zijn, dat dit onderwerp, van betrekkelijk veel gewicht, tot nog toe geen onderzoekers mocht vinden. Wat Fiscner toch met betrekking tot deze stof mededeelt, is van ondergeschikt belang, en weinig tevens, dat ons aanleiding geeft alles te zeggen, ook om hem alle recht te doen weêrvaren. Want, zooals later zal blijken, is hier sprake van een belangrijk onderwerp, daar een nieuw zuurstof houdend zuur van zwavel een der uitkomsten kan uitmaken van het onder- zoek, in ieder geval van groote waarde. Fisoner !) dan zegt (de uitkomst der zuiver voorbereidende proef gevende): „Sehr gering hin- gegen (te weten, vergelijkenderwijze met de electrolyse van zilver- nitraat) war die Ausbeute beim Schwefelsauren Silberoxyd, da die gesättigte Auflösung nur 1/,, des Salzes auflöst und das ausge- schiedene Superoxyd (zie een weinig later) sehr leicht in der freien Schwefelsaüre auflöslich ist”. Blijkbaar wil Fiscnkr zeggen, dat het lichaam in questie ontleed wordt door verdund zwavelzuur. Gelijk later zal worden medegedeeld, moet men een verzadigde oplossing van zwavelzuur zilver ontgaan; en zich tevreden stellen met een meer verdunde oplossing (ten minste bij een werken onder zekere omstandigheden), en hiervan is het gevolg, dat de bezwaren nog grooter worden. Men zou, uit hetgeen door Fiscuur wordt gezegd (zie boven), kunnen besluiten, dat naar hem het zwarte lichaam (aan de anode afgezet) een superoxyde is van zilver, en toch is dit zoo niet; want in dezelfde Verhandeling doet de schrijver opmerken: „Analog diesem (er was gehandeld over het zwarte product door electrolyse van zilvernitraat, volgens hem 47 O. NO, + 4 Ag O, + Aggy, of in de thans gebruikelijke waarden: iV O, 4g + 2 Ag, O, + Ag) ist wohl das Schwefelsaure Superoxyd zusammengesetzt, nämlich aus | Mgn. Schwefelsaurem Silberoxyd und 4 Mgn. superoxyd, was ich jedoch noch nicht untersucht habe, theils des geringen Quantität wegen, welche ich mich bis jetzt davon habe bereiten können, besonders aber der Wirkung des Wassers wegen, die es hier noch unsicherer als beim sulpetersauren macht, den Punct zu bestimmen, bis zu welchem das Aussiissen fortgesetzt werden müss”’. Evenals bij de studie van het product van electrolyse met zilver- nitraat, is Fiscumr hier onder den invloed van een louter opgevatte meening, die niet door het experiment was gegeven. Het geldt c hier de aanwezigheid van vrij zwavelzuur, dat het zwarte lichaam Le. S. 240. 6 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. (en dan nog onder zekere omstandigheden) doet ontleed worden; en water als zoodanig vervult hierbij wellicht een zeer ondergeschikte rol (zie de Verhandelingen over het electrolytisch product met zilver- nitraat). Het wasschen van het product der electrolyse (met zwavel- zuur zilver), levert volstrekt geen bezwaar op, naar ’t schijnt; en is het lichaam gemaakt onder gunstige omstandigheden, dan blijkt niets van kleine gasbellen (zooals dit meer of minder het geval is met het product van electrolyse van zilvermitraat). Een product aldus gevormd, valt dadelijk op den bodem van het vat om daar te blijven, verondersteld altijd bij gewone temperatuur. Is verhit bijv. bij 60°—70° en daarna afgekoeld, ook dan doen zich geen gasbellen voor, wanneer het lichaam aanvankelijk ten deele was ontleed (wat betreft „de gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxy-zwavelzuur zilver). Voorloopige studie. Ken voorbereidende studie werd bepaald vereischt, zoo vele waren de bezwaren, te overwinnen met betrekking tot de bereiding, vooral van een genoegzaam zuiver product. In de eerste plaats gold het de vraag, waarvan uit te gaan, namelijk wat de concentratie be- treft. Een verzadigde oplossing van zwavelzuur zilver zou zeer wel hare schaduwzijde kunnen hebben; want stel, dat een deel van het (electrolytisch) gevormde lichaam wordt ontleed onder den invloed van het zwavelzuur (door electrolyse vrij gekomen), dan zou er veel kans wezen, aan het einde der bereiding te doen te hebben met een mengsel van het lichaam in questie en zwavelzuur zilver als zoodanig. Maar daartegenover staat, dat de oplosbaarheid van zwavelzuur zilver reeds zóó beperkt is (zie daaromtrent vroeger en ook later), dat men er zich toch, eerst van wilde overtuigen, wat een verzadigde oplossing oplevert, inplaats van reeds dadelijk een stap te doen in de verkeerde richting, die misschien de be- reiding er van onmogelijk zou maken in een hoeveelheid, noodig voor een nauwkeurige en uitgewerkte analyse. _ Daarom werd uit- gegaan van een verzadigde oplossing van zwavelzuur zilver, gemaakt met koolzuur zilver en verdund zwavelzuur. Toestel. Er werd gebruik gemaakt van dezelfde platinaschaal, en dezelfde electrische batterij, als bij de studie van het product OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 7 van electrolyse met zilvernitraat. ') Bijgevolg werd uitgegaan van een groote hoeveelheid der oplossing van zwavelzuur zilver ter electrolyse en wel ongeveer van één liter; daarentegen was de stroom van zelf betrekkelijk zwakker (zie vroeger over de concentratie). Als anode werd evenzoo een platinadraad genomen (niet te dun), en geplaatst op den bodem van het kleine glazen schaaltje (ongeveer in ’t midden; op zijn beurt ongeveer geplaatst in ’t midden der groote platina- schaal (zie boven, eener capaciteit van ongeveer één liter), en als kathode diende de platinaschaal (in contact gebracht met de nega- tieve electrode door een stuk platinablik (betrekkelijk groot), en een platinadraad. In de voorloopige studie was ’t geheel bijkans zóó ingericht als het geval was bij vorige proeven; nader evenwel zal een beschrijving worden gegeven van later aangebrachte verande- ringen, gedaan om het voorgestelde doel te kunnen bereiken. Kenge Tabellen, betrekking hebbende op de zelfontleding van perowy-zwavelzuur zilver; voorloopige uitkomsten. Het zwarte product door electrolyse van zwavelzuur zilver verkregen, zal genoemd wor- den peroay-zwavelzuur zilver, gelijk dat met salpeterzuur zilver werd geheeten (ook voorloopig) perory-salpeterzuur zilver. De gegevens in de volgende Tabellen, zijn in eenzelfden zin als die met betrekking tot het product van electrolyse van salpeterzuur zilver, vroeger mede- gedeeld. De producten evenwel, waarmede in den aanvang der studie werd gewerkt, zijn niet scheikundig zuiver. In de Tabellen is in de eerste plaats opgegeven, of de bereiding geschiedde zonder of met neutralisatie (te weten met koolzuur zil- ver); tevens, of de oplossing van tijd tot tijd werd ververscht (dit wil zeggen, dat de oplossing, die werd gebruikt, uit de platina- schaal met een pipette werd verwijderd, terwijl vervolgens de oplossing uit het kleine glazen reservoir werd afgeschonken, en ten slotte het geheel met een versche oplossing gevuld). De thermo-electrische batterij bleef veelal achtereenvolgens in functie, dat wil zeggen dag en nacht. Bij een der bereidingen werd uitgegaan van een grootere hoeveelheid oplossing, en zulks, door het platina-reservoir te plaatsen in een porceleinen vat van grootere afmetingen, evenzoo gevuld met de oplossing van zwavelzuur zilver (met ’t oog op het vrijkomen van zwavelzuur). Aanvankelijk werd gewerkt met verzadigde oplossingen, maar later met een Aalfverzadigde oplossing van zwavelzuur zilver (dat *) Zie Verh. d. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie). Deel III N° 8, pag. 5; 1. ce. DI, VAN 1) pagal, 5 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. wil zeggen, dat bij een oplossing, verzadigd bij gewone tempera- tuur, ongeveer een gelijke maat water werd gedaan). Onder €, d, e, f, g, 4, à en j worden overeenkomstige gegevens medegedeeld, als het geval was b.v. in de tweede Verhandeling 5. De stof werd eerst op een horlogeglas gedaan, en daarna in een reageerbuis, zoo- als dit tevens geschiedde met het peroxy-salpeterzuur zilver. De neutralisatie, waarvan in dit geval (N° 1) sprake is, had plaats door een weinig koolzuur zilver te doen in het kleine glazen vat, en later de zwarte stof gescheiden door wasschen met water. Product door electrolyse van zwavelzuur zilver in waterige oplossing, met neutralisatie, zonder verversching. Gemaakt in twee dagen (dag en nacht). c d e iA g h a J N° 1. | verzadigde | van 26 tot | 29 Jan. (0.8123 or. | oplossing.| 28 Jan. | 30 „ == + 0.0003 gr. | 1897. 1 Febr. = — 0:0001 , Bg Teil ONE ER Re Dn Aes == — 0.0003: Dale = + 0.0001 ,, Wess ies oes 0 | 10 , |0.8066 . 0 = | 5, PAS — -- — 0,0011 gr. — 0.00066 gr. | 11 Maart) — us — 0.0006 ”,, |— 0.00037 5, | oe eee — 0.0003 ,, |— 0.00018 , | ‚_8 April — — — 0.0003 „ |— 0.00018 „ | | | Overeenkomstig product, zonder neutralisatie, met verversching iederen dag der oplossing. Gemaakt in vier dagen (dag en nacht). N° 2.| verzadigde | van 15—19 | 20 Febr. /1.0362 gr. — oplossing. | Febr.1897| 22 „ = — 0.0002 gr. Bp tn, = — 0.0002 SUR | 450 UD 25 y kn + 0.0003 „(bij gevolg niet geheel constant) ZOE ene IL O2E — 11 Maart — — | — 0.0008 gr. |— 0.00039 gr. 25 En => 3 0 0 8 April — — 0.0002 ,, — 0.00009 er. ) Zie Verhand. d. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie). Dl. V, No. 1, pag. 14 (1896). OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 9 Overeenkomstig product, zonder neutralisatie, met een grootere hoe- veelheid oplossing. Gemaakt in één dag (dag en nacht). c d e h D He J N° 3.| verzadigde | van 22—23 oplossing. | Febr. 1897 24 Febr.|1.273 gr. D et 5 TM a t en. ee 0.0064 aar — = — 0.0064 er. 20. on — = —0,0067. „ D AD — — 0.0026 + 0.0003 gr-(bij gevolg niet geheelconstant) — 0.0025 gr. — 0.0026 — 0.001 ” n Overeenkomstig product, zonder neutralisatie, met verversching der oplossing. Gemaakt in vier dagen (dag en nacht). 9 h D N° 4. | verzadigde | van 15—19 ‚oplossing. | Mrt. 1897 | | 24 Maart |1.2405 gr. ® 28 Sy 23 | — 0.0002 gr. | + 0.0001 n Overeenkomstig product, zonder neutralisatie, maar met verversching iederen dag van de oplossing. emaakt in vier dagen. G kt lag c d e A g h i J N° 5.| verzadigde | van 22—26 | 27 Maart |0.8787 er. — oplossing.| Maart. | 29 , — . |—0.0001 gr. | F1 = 0 80 „ (0.8668 , 5 | Overeenkomstig product, zonder neutralisatie (in vier dagen). | RSS d d e ra g h | è | J = = - — ZE —— — = N° 6.| verzadigde | van29Mrt| 3 April 11.1528 gr. | 5 =< | oplossing. | tot2 April - 0.0002 gr. J ” B a = —0.0001 „ 7 — 0 wee 1486". | - 14 < 0.0031 er. „11-1405 „| = | 10 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. Analyse van Bereiding N°. A (zonder neutralisatie). Het product werd gemaakt onder verversching der oplossing iederen dag, en ge- durende vier opvolgende dagen (dag en nacht), terwijl de oplossing ongeveer was verzadigd. Na wasschen met water, werd de stof gedaan in een reageerbuisje), gedroogd in een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur) op een horlogeglas, en daarna overgebracht in een stof buisje. Ter analyse werd uitgegaan van 1.2291 gr. stof. Hierbij werd water gevoegd, en onder verwarming van tijd tot tijd eenig salpeterzuur gedaan, tot de stof was opgelost, waarbij zuurstof vrijkwam. De oplossing werd neêrgeslagen met zoutzuur in geringe overmaat, en in het filtraat het zwavelzuur bepaald als zwavelzuur baryum. Dit gaf 1.141 gr. chloorzilver, overeenkomende met 0.8588 gr. zilver, en 0.861 gr. zwavelzuur baryum beantwoordende aan 0.1173 gr. zwavel. Dat maakt op 100 gew.-d. stof: zilver 69.87 zwavel 9.54. Veronderstelt men, dat het lichaam, waarvan sprake is, geen water bevat, dus geen waterstof, dan wordt voor de zuurstof ge- vonden: 100 — 69.87 — 9.54 = 100 — 79.41 = 20.59 gew.-d. En de samenstelling van Bereiding N°. 4 zou bijgevolg zijn op 100 gew.-d.: zilver 69.87 zwavel 9.54 zuurstof 20.59 Maar daaraan beantwoordt bijkans de samenstelling van zwavel- zuur zilver SO, Ag, (zij 4g = 107.66; S — 31.98; O= 14.96), zilver 69.2 zwavel 10:92 zuurstof 20.6 LOO. Iieruit volgt derhalve met een groote mate van waarschijnlijk- heid, dat het product verre verwijderd is van zuiver te zijn, en in hoofdzaak bestaat uit zwavelzuur zilver (SO, Ag) als zoodanig (dus OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 1] niet als deel uitmakende der zwarte stof). En het is zeer wel mogelijk, dat de geringe hoeveelheid stof, die Fiscuer vermocht machtig te worden, grootendeels bestond uit zwavelzuur zilver, slechts, om zoo te zeggen, zwart gekleurd door de oorspronkelijke stof (zie overigens later over de wijze van ontleding). Analyse van Bereiding N°. 6 zonder neutralisatie, door te verhit- ten met water. Er werd uitgegaan van 1.14 gr. stof (zie de abel voor N°. 6); maar daar het product had gestaan eenigen tijd en in gewicht was afgenomen, wordt dit 1.14 gr. + 0.0031 gr. — 1.1431 gr. De electrolyse was verricht met een verzadigde oplossing van zwavelzuur zilver, en wel in vier dagen (dag en nacht). Er werd boven de open vlam verhit, terwijl de stof zich bevond met het water in een reageerbuisje; daarna werd afgeschonken, gefil- treerd door een klein filtrum (vooraf gewogen), en het filtraat in- gedampt. Door deze bewerkingen te herhalen, werd achtereenvolgens gevonden: Te zamen. 1° maal 0.3599 gr. 0.3599 er. 2 0.4593 0.8192 5 0.1969 1.0161 4 0.0152 1.0313 5 0.002 1.0333 6 0.0018 20851 it 0.0018 1.0369 8 0.0019 1.0388 9 0.0018 1.0406. Wat het filtrum betreft, dit werd met warm water gewasschen, de gefiltreerde vloeistof ingedampt in hetzelfde vat als boven, ach- tereenvolgens cen vermeerdering gevende van: Te zamen. 1° maal 0.0016 gr. 1.0422 gr. 2 0.0023 1. O445 à 0.001 1.0455 4 0.0009 L. 0464 D 0.0015 1.0479 6 0.0011 1.049 7 0.0021 1.0511 12 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. le zamen. 8° maal 0.0011 gr. 1.0522 or. 5, 0.0018 1.0535 10 0.001 1.0545 In .de reageeerbuis bleef 0.0639 gr. en op het filtrum 0.0201 er., dus te zamen: 0.0639 gr. + 0.0201 gr. = 0.084 gr., name- lijk zilverbioxyde (dg, O,). Dit maakt met 1.0545 gr. zwavelzuur zilver (SO, Aga) de som van 1.1385 gr. bioxyde en zwavelzuur zilver, derhalve gevende een verschil in gewicht met de oorspron- kelijke hoeveelheid stof van: 1.1431 gr. stof 1.1385 zie boven 0.0046 gr. Dit verschil van 0.0046 gr. zou kunnen beantwoorden aan de zuurstof vrijgekomen uit 8 O,. z O. 47,, namelijk van oxy-zwavelzuur zilver. Overigens zal later blijken, dat het lichaam, waarvan sprake is, verre verwijderd is van zuiver te zijn. Hetgeen terugbleef in het reageerbuisje werd behandeld met sal- peterzuur, na aanvankelijk toevoeging van water, en verwarmd (de buis was geplaatst in een waterbad). Hierbij komt zuurstof vrij, en salpeterzuur zilver treedt in oplossing. Bij neêrslaan met verdund zoutzuur werd verkregen 0.0739 gr. chloorzilver (CZ dg), en zulks van 0.0639 gr. superoxyde (zie boven), beantwoordende aan 0.05562 gr. zilver of 87.04 proc. Bijgevolg is de uitkomst deze: gevonden: Ag, O, vordert: zilver 87.04 87.09 zuurstof 12.96 12.91 (indirect bepaald). 100. FOOT, Zooals blijkt, is dit lichaam zilverbioxyde (dg, O,). Het filtraat van chloorzilver (gie boven), gaf geen neérslag met baryumchloride, waaruit de afwezigheid volgt van zwavelzuur, of anders gezegd, heeft men hierin een contrôle voor de zuiverheid van het zilver- bioxyde (dg, 0). OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 13 Gedeeltelijke analyse van Bereiding N° 7 (gemaakt zonder neu- tralisatie), door verhitting in de V-bwis van den toestel (zie de vorige Verhandelingen). De hoeveelheid stof bedroeg 0.6091 gr. (gedroogd in de V-buis, onder een vacuum-exsiccator), gemaakt door één dag van electrolyse (dag en nacht). In de volgende Tabel is gegeven onder: a het aantal dagen; 6 de temperatuur tot welke werd verhit; ce de vermindering in gewicht der V-buis; d de toename in gewicht der twee buizen met calciumchloride, rechts (d) en links (c) van de V-buis geplaatst. Yen zeer langzame stroom van droge lucht ging door den toe- stel, zijnde van links naar rechts (zich plaatsende vóór den toestel, terwijl de gashouder links is geplaatst). a b c d e 1 | LOOT Hees OL + er. 0.0005 gr. 0.0005 gr. 2 200 0.0094 | 0.0014 0.0006 3 210 0.0005 0.0005 0 4 220 0.0009 0.001 0.0006 5 230 —0.0002 0.0014 | 0.0008 | | Analyse van Bereiding N° 8, met neutralisatie. Van de op- lossing nabij de azode werd gedurende de electrolyse van tijd tot tijd (ongeveer met dezelfde snelheid wat de hoeveelheid betreft), gebracht op een filtrum, bevattende koolzuur zilver, en de geneutrali- seerde en gefiltreerde vloeistof in het reservoir gedaan bij de ka/hode, en dat twee uur achtereenvolgens. Het product van electrolyse werd gebracht in een reageerbuisje, daarin gewasschen met water, totdat geen zilverzout meer aanwezig was, en vervolgens de buis geplaatst in een vacuum-exsiccator. De hoeveelheid stof bedroeg 0.0332 gr. (er was uitgegaan van een half verzadigde oplossing). Er werd water toegevoegd, verhit boven de open vlam, men liet afzetten (onge- 14 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. veer een uur); er werd gefiltreerd op een klein filtrum (vooraf ge- wogen), en tweemaal gewasschen met warm water (telken male). Het filtraat werd ingedampt, en het terugblijvende gewogen. Deze bewerkingen werden herhaald, totdat het gewicht nagenoeg niet meer veranderde, zijnde dit achtereenvolgens: te zamen 1 dag 0.0113 gr. 0.0113 er. 2 0.0011 0.0124. 3 0.0012 0.0136 4 0.0004 0.014 5 0 0.014 6 = 0.0002 0.0142. De massa was gekleurd; zie later. Hetgeen op het kleine filtrum terugbleef, liet zich miet quantitief bepalen, zóó gering als dit was. In de reageerbuis bleef 0.0179 gr. terug, namelijk aan zilver- bioxyde (4g, O,). Bij het gekleurde zwavelzuur zilver (zij dit 0.0142 gr., zie boven), werd water gedaan, verhit, een weinig salpeterzuur toegevoegd en ingedampt. Aangezien de massa nog een weinig gekleurd was, werden deze bewerkingen herhaald, tot de ontkleuring volkomen was. De waterige oplossing werd neêr- geslagen met zoutzuur, en zwavelzuur bepaald in het filtraat met baryumchoride. Er werd 0.0101 gr. gevonden aan baryum- sulfaat (beantwoordende aan 0.0001376 gr. zwavel), overeenkomende met 0.0134 gr. zwavelzuur zilver (SO, Ag). Langs directen weg was voor.zwavelzuur zilver gevonden 0.0 142 gr. (zie boven), hetwelk dus een verschil geeft van 0.0142 gr. — 0.0134 gr. = 0.0008 gr, dat de kleine hoeveelheid zilverbioxyde wellicht zou kunnen ver- tegenwoordigen in oplossing getreden. De zilverbepaling leidde tot 0.0123 gr. chloorzilver, bevattende 0.00925 gr. zilver (in deze bepaling is misschien een fout gekomen; zie later). Het is overigens duidelijk, dat deze voorloopige gegevens ons den te volgen weg moeten doen kennen, en slechts ten deele ten doel hebben den weg te leeren kennen, die is gevolgd. Neemt men 0.0134 gr. zwavelzuur zilver als uitdrukkende de hoeveelheid van dit zout, dan geeft dit een verschil met de oorspronkelijke hoeveelheid stof van: stof 0.0332 er. zwavelzuur zilver 0.0 142 0.019 gr OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 15 dat dus (namelijk 0.019 gr.) gelijk moet zijn aan de som van zilverbioxyde (Ag, O,) en „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oxy-zwavelzuur zilver (zij dit S O,. 20. Ag). In de reageerbuis bleef 0.0171 gr. zilverbioxyde, waarbij dan te voegen zou zijn 0.0008 gr. (zie vroeger), te zamen uitmakende de som van 0.0 171 gr. + 0.0008 gr. = 0.0179 gr. zilverbioxyde. Hieruit zou dan volgen, dat voor „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oxy-zwavel- zuur zilver ($ O,. z O. Ag) overblijft: bioxyde +- gezegde zuurstof 0.019 gr. bioxyde 0.0179 gezegde zuurstof 0.0011 gr. En derhalve zou de samenstelling wezen van het product van o electrolyse van zwaxelzuur zilver naar deze gegevens: zilverbioxyde 0.0179 or. gemakkelijk vrijkomende zuurstof 0.00 11 zwavelzuur zilver 0.0142 0.0332 gr. 7 9 ‘AT > Ie a » à TA à é » Hetgeen hieronder volgt, is veeleer gegeven met ’t oog op de gevolgde wijze van berekenen, om daarop later te verwijzen. B.v. wordt gevonden voor de verhouding van zilverbioxyde dg, O, en de z 0 van SO, 4g, (uijnde Ag, O, = 247.24 en O = 15.96): bioxyde zuurstof ORN ADE DT A 0: 001: z alzoo æ = 15.2, of anders gezegd, op 1 Ag, 0, ongeveer 1 O betrekking hebbende op de 20 van S0,.20. Ag, (aij: © Ags Os. y (S Oy. 2 O. Ago). En veronderstellende, dat de verhouding van bioxyde en zwavelzuur zilver (SO, Ag, = 311.14) die is van 2 Ag, Oy en SO, 4, wordt gevonden : gevonden : theorie : 0.0179 494.48 2 mn = es Oia es": a KE Ts deren, OVER PEROXY-ZW AVELZUUR ZILVER. dat zou kunnen doen denken aan de formule voor het product van electrolyse, zijnde deze: 2 Ag, O,. S O,. 2 0. Ag. De zuurstof is evenwel te laag voor 2 O, als deze te hoog is voor 1 O (0.0142: 811.14 = 0.0011 :z; «= 25.43; en 2 O — 31.92). Maar de hoeveelheid stof laat niet toe, in gemelde uitkomsten het noo- dige vertrouwen te stellen. Daarbij komt, dat de kans al zeer gering is, van een zuiver product in handen te hebben (zie later). De verkregen uitkomsten zijn evenwel miet zonder beteekenis, zooals later zal blijken; het beoogde doel kan ook alleen „langzamerhand worden bereikt. Laat nog worden opgemerkt, dat werd veronder- steld aanwezig te zijn SO, Ag, (en Ags, Og); dit zou b.v. kunnen ayn SO, Ay. Over een toestel ingericht met het doel, de oplossing te neutrahsee- ren (dag en nacht) gedurende de electrolyse. Zooals meer of min uit het medegedeelde volgt, is het genoegzaam onmogelijk of eenvoudig onmogelijk, om zich een voldoende zuiver product te verschaffen, tenzij de oplossing gedurende de electrolyse worde geneutraliseerd, ten minste van tijd tot tijd. Maar het is duidelijk, dat een per- manent neutraliseeren is te verkiezen. En dat te meer, omdat de opbrengst zeer beperkt is, zijnde ongeveer 0.03 gr. in twee uur (met een halfverzadigde oplossing), terwijl de thermo-electrische batterij dag en nacht kan werken. Wilde men de oplossing neutraliseeren zonder een toestel tot dit doel ingericht, dan zou men b.v. een deel der oplossing moeten pipetteeren gedurende de electrolyse, vervolgens filtreeren door zilvercarbonaat (C O, Ag), en dat bij herhaling, b. v. ieder uur. Nu heeft men minstens noodig een electrolyse van 24 uur of één dag (dag en nacht) of zelfs van vijf dagen en meer, zal men over een voldoende hoeveelheid stof kunnen beschikken, die tevens genoegzaam zuiver is. De electrolyse moet dus dag en nacht aanhouden, en zoo ook het neutraliseeren der zuur geworden oplossing. En daartoe is een toestel ingericht, beantwoordende aan het volgende, dat: 1°. de oplossing, die zuur is geworden door electrolyse, kan worden geneutraliseerd door namelijk te gaan door een filtrum met koolzuur zilver, om 2°. terug te keeren in de groote platinaschaal. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 17 Maar de oplossing zou dezen kringloop niet kunnen volbrengen zonder arbeid te verrichten, en een motor brengt een kleine pomp in beweging, die voortdurend een deel der oplossing opvoert (zie hieronder alles meer uitvoerig beschreven). Beschrijving van den toestel. De twee hoofddeelen zijn: een schroef van Archimedes en een motor. a. Schroef van Archimedes. In plaats van een gewone pomp, vond men het beter, om zich te bedienen van een kleine schroef van Archimedes, ten einde zoo weinig wrijving mogelijk te hebben, dat in het onderhavige geval een zaak is van be- lang. Nu moet nagenoeg alles van glas zijn, en daarom is aan de schroef de vorm gegeven van een spiraalvormig omgebogen buis (aldus ingericht door den Heer J. A. Harrine, instrumentmaker te Utrecht). De schroef is zóó geplaatst, dat de hoek van helling (binnen zekere grenzen) kan worden geregeld, om den arbeid (in de tijdseenheid) tot een minimum te herleiden. De schroef bevindt zich aan het eene einde nabij de anode, dus vooral dáár, waar zich zwavelzuur ophoopt; en betrekkelijk digt bij den bodem van het kleine glazen vat (waarin de zwarte stof wordt afgezet), terwijl dit is geplaatst nagenoeg in ’t midden van de groote platinaschaal (zijnde beiden gevuld met de oplossing ter electrolyse). b. De motor. Aangezien deze motor dag en nacht moet wer- ken, en men zooveel mogelijk eenig ongeval wenschte te vermijden, dat zich zou kunnen voordoen door zich te bedienen van een gas- motor, of een motor door water of electriciteit enz. in werking gesteld, als bronnen tot levende kracht, werd hiervoor genomen een uurwerk. De inrichting tot dit doeleinde was overigens niet zoo eenvoudig als men wellicht veronderstelt, en vorderde overwegingen van verschillenden aard en langen duur. De uitslag was, dat het uurwerk in beweging wordt gebracht door een gewicht van 50 Kilogr., langs een weg van ongeveer 5 Meter (bestaande uit een houten koker, gaande van de werkzaal naar den kelder van het Laboratortum). De motor kan zonder afbreking langer dan 24 uur werken, terwijl in 2 uur ongeveer | liter oplossing wordt opge- voerd (voor een deel overigens afhankelijk van den hoek van helling der schroef van Archimedes). Het gewicht moet dus b.v. iederen dag worden opgewonden, daar de bereiding eenige dagen ver- eischt, terwijl een stalen draad wordt gerold op den cylinder van het uurwerk. De snelheid is overigens te regelen met windvleugels, zóódanig, dat deze ongeveer het dubbele kan bedragen, wat betreft minimum en maximum. Verh, Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VI. E bo 18 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. c. Het filtreeren door koolzuur zilver. De vloeistof, door electrolyse zuur geworden, wordt dan, zooals gezegd, met de schroef van Archimedes opgepompt, waarna zij komt te vallen in een filtrum, bevattende koolzuur zilver, over het filtrum goed ver- deeld. Ook worden aanvankelijk drie dunne glazen staafjes geplaatst op den trechter, met het doel, den weêrstand bij het filtreeren voor een deel op te heffen, daar het filtrum dan rust op die glazen staafjes, dus niet geplakt zit op den trechter. Het is duidelijk, dat de snelheid van filtreeren iets grooter moet zijn dan die, waarmede de oplossing op het filtrum wordt gebracht door de schroef van Archimedes. Het filtraat wordt geleid door een glazen buis (gesmolten aan den trechter) in de platinaschaal, en wel nabij den wand of de kathode (zie over dit punt later). d. De oorspronkelijke oplossing is ongeveer half verzadigd, en wel, om zooveel mogelijk te ontgaan de aanwezigheid als zoodanig van zwavelzuur zilver (SO, 4g.) in het product, waarvan sprake is. Als kathode doet dienst de platinaschaal, en als axode een platina- draad, die betrekkelijk dun is, gelijk in de proeven der electrolyse van zilvernitraat. Ook werd van dezelfde thermo-electrische batterij gebruik gemaakt. Analysen van Bereidingen met den neutralisatie-toestel, zoo even beschreven. Over Bereiding N°. 9 (de eerste dezer categorie). De toestel werkte ongeveer 24 uur (achtereenvolgens, als gezegd). De zwarte stof werd driemaal gewasschen in het kleine glazen schaaltje (bij de bereiding geplaatst nabij de anode), daarna met water over- gebracht in een reageerbuis, en daarin verder gewasschen, tot zilver- nitraat in de oplossing niet meer werd aangetroffen. De reageerbuis werd vervolgens geplaatst onder een vacuum-exsiccator (met zwavel- zuur). Daarna werd gewogen, en de bewerking herhaald tot het gewicht constant was, terwijl telkenmale in den exsiccator droge lucht werd toegelaten. Er was in de reageerbuis een hoeveelheid zwarte stof, bedragende 0.2342 gr. (een deel gaat, vooral bij was- schen, verloren). Er werd eenig wafer toegevoegd, daarna geplaatst in een glazen vat met water (en thermometer), terwijl de temperatuur gedurende ongeveer twee uur werd gehouden op 55°—65°. Zuur- stof kwam vrij, en wel vooral het eerste uur van verwarming, om OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 19 na die twee uur bijkans geheel te eindigen. Men liet vervolgens de buis afkoelen in hetzelfde bad, waarin zij was geplaatst, filtreerde den volgenden dag door een klein filtrum (vooraf gewogen), om dit daarna te wasschen, en vervolgens het filtraat in een gewogen vat op een waterbad te doen indampen. Er werd opnieuw water gedaan in de reageerbuis en aanvankelijk verhit bij 70°—80°, maar zon- der dat er gas vrijkwam. Men zou er uit kunnen besluiten, dat peroxy-zwavelzuur zilver zijn „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” wat spoediger verliest dan het geval is met peroxy-salpeterzuur zilver (zie de voorgaande Verhandeling), maar dit besluit zou voorbarig zijn (zie later). Men liet de massa bekoelen, zooals de eerste maal, om daarna te filtreeren en het filtraat te doen verdampen, en zoo vervolgens, totdat de hoeveelheid zwavelzuur zilver niet noemens- waardig meer veranderde. De hoeveelheid bedroeg achtereenvolgens : zwavelzuur zilver. te zamen. 1 maal 0.0427 gr. 0.0427 gr. 2 0.0259 0.0686 où 0.01 0.0786 4 0.0015 0.0801 5 0.0011 0.0812 6 0.0008 0.082 iz 0.0005 0.0825 8 0.0014 0.0839 9 0.0015 0.0854 10 0.001 0.0864 kl 0.0006 0.087 12 0.0011 0.0881 rs 0.001 0.0891 Het terugblijvende was de eerste dagen genoegzaam kleurloos (bij behandeling der massa met water en indamping), maar later werd de massa meer en meer gekleurd. Men veronderstelt, dat een weinig zilverbioxyde (Ag, O,) wordt opgelost (zie de vorige Ver- handeling over dit onderwerp), ingeval namelijk geen dissociatie intreedt van dit oxyde en niet ontstaat zilveroxyde (4g, 0). In de reageerbuis bleef terug (na staan onder een vacuum- exsiccator) 0.1354 gr. zilverbioxyde (Ag, 0), en op het kleine filtrum bevond zich 0.0007 gr., dat te zamen maakt 0.1354 gr. + 0.0007 = 0.1361 gr. zilverbioxyde. Bij gevolg bedraagt de som aan bioxyde en zwavelzuur zilver: E 2* 90 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. zilverbioxyde 0.1361 zwavelzuur zilver 0.0891] qe F3 0.2252 gr. zijnde de som van + dg, O, + y S/O, Ag, van het product van electrolyse, dat is voor te stellen door de formule: + 4g9 Oo, y (S O4. 2 0. Ay). En door het verschil te nemen van deze hoe- veelheid en die der oorspronkelijke stof: 0.2342 gr. der stof aanvankelijk ‘ 0.2952 zilverbioxyde + zwavelzuur zalver 0.009 gr. moet dit naar de gegeven formule de hoeveelheid „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” voorstellen (zij dit 3.84 p.c.) van het oxy- zwavelzuur zilver: SO,. 20. 47,, verondersteld altijd, dat water geen bestanddeel Bek van de oorspronkelijke stof (namelijk van het peroxy- zwavelzuur zilver); zie later. Het is duidelijk, dat de som van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver met genoemde zuurstof zamen uitmaken de oorspronkelijke stof, namelijk: # dg, O,. y (S' O4. 2 O. A7). Alleen zou de aanwe- zigheid van water leiden tot een ander besluit, en wel in de eerste plaats met betrekking tot de waarde van den coëfficient z, van z O. Om de ontstane produkten zooveel mogelijk te volgen, werd de hoeveelheid van 0.0891 gr. (zie vroeger) met water behandeld 677 gewone temperatuur, ten einde zoo weinig mogelijk zilverbioxyde op te lossen, en dientengevolge de bepaling van zwavelzuur zilver nauw- keuriger te doen zijn. Achtereenvolgens werd thans gevonden: zwavelzuur zilver. te zamen. 1° maal 0.0854 gr. 0.0854 gr. 2 0.003 0.0884 3 0.0004 0.0888 4 0 0.0888 De massa vertoonde hier en daar zwarte stippen, maar meer niet, wel als gevolg der aanwezigheid van zilverbioxyde, in oplossing ge- treden, en dat vooral, toen er weinig zwavelzuur zilver in oplossing kwam; daardoor was de massa aanvankelijk om zoo te zeggen, kleur- OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 21 loos. Er is verondersteld, dat het zilverbioxyde niet ten deele was omgezet in monoxyde dg, O, dat trouwens eerst zou kunnen blijken door een bijzondere studie in dien zin. Maar, zooals men ziet, is het verschil zeer gering, namelijk bedraagt dit 0.0891 gr. — 0.0888 gr. = 0.0003 gr. en dit verschil zou ten deele een verklaring kunnen vinden in de geringe hoeveelheid aan een zwarte stof (zij deze 0.0006 gr), die hechtte aan den wand van het vat, en door water bij gewone temperatuur niet was te verwijderen (zie een weinig vroeger). Ten einde de ontledingsprodukten nog meer te volgen, werd gezegde massa van zwavelzuur zilver behandeld met zeer verdund salpeter- zuur (aanvankelijk werd water bijgedaan, en vervolgens een weinig van dit zuur), en op een waterbad ingedampt. Er bleef thans terug 0.0897 gr., dus een verschil gevende van 0.0009 gr. en de bewerking herhalende, werd gevonden 0.0898 gr., of een verschil van slechts 0.0001 er Na oxydatie van de geringe hoeveelheid zwarte stof die aan den wand hechtte, namelijk die van 0.0006 gr, met verdund salpeterzuur, bleef na verdampen terug 0.0009 gr. en de bewerking herhalende 0.001 gr., dat noodwendig salpeterzuur zilver was. Het eerste verschil boven gegeven, zij dit van 0.0009 gr. + 0.0001 gr. = 0.001 gr., heeft betrekking op de omzetting van zilver-bioxyde (mogelijk is het lichaam Ag, O) in zilvernitraat (2 NO, dg). De natuur der zwarte stof die hechtte aan den wand, namelijk in hoeveelheid bedragende 0.0006 gr., is onbekend. Om zich eenig denkbeeld te vormen met betrekking tot de samen- stelling van het zwarte product van electrolyse, namelijk van het peroxy-zwavelzuur zilver, kan men beginnen met aan te nemen, dat: 0.2342 gr. oorspronkelijke stof 0.009 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het SO,. 20 4. 0.2252 gr. zilverbioxyde + zwavelzuur zilver (ver- ondersteld afwezigheid van SO; dg, enz.). Neemt men 0.0888 gr. voor het zwavelzuur zilver (dat, alhoewel zeer weinig, lets te hoog zal zijn), dan wordt verkregen voor z7/ver- bioayde 0.2252 gr. — 0.0888 er. = 0.1364 gr. (dat dus een weinig te laag zal zjn Bij berekening der verhouding van zwavelzuur zilver en de zO van $O,. 20. 47,, wordt gevonden (SO, 4g, = 311.14): vo to OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 0.0888 : 311.14 — 0.009 : >; voor a = 31.53, terwijl 15,96 X 2 — 31.92 (O = 15.96). Of hetzelfde verrichtende met betrekking tot zilverbioxyde (Ag, O, — 247.24) heeft men 0.1364 : 247.24 — 0.009: a; zijnde æ& — 16.31 (inplaats van 15.96). Dus zouden er zijn 20 op SO, Ags, en derhalve het oxy-zwavelzuur zilver zijn SO,. 2 0. Ag; en er zou wezen 1 O op 47, Og, namelijk gemakke- lijk vrijkomende zuurstof” van oxy-zwavelzuur zilver (S'O,. 2 O. Aga), zoodat de formule van peroxy-zwavelzuur zilver (@ 47, O,, y (SO, 20. Ag) zou zijn 2 Ag, O,. SO, 2 O. Ag, (want 1 G op Ag, Op maakt 2 dg, O, voor 2 0). Dit komt overeen met het quotient, dat ontstaat bij deeling van de hoeveelheid zilverbioxyde door die van zwavelzuur zilver zij dit: 0.1364 0.0888 2 X 247.24 311.14 — 1.55, terwijl de verhouding: = 1.59 is (SO, Ag, = 311.14; Ay, O, = 247.24). Overigens zal later blijken, dat de hoeveelheid „gemakkelijk vrij- komende zuurstof’ grooter is dan in het geval, hetwelk ons bezighoudt. Tevens zullen de uitkomsten worden gegeven der analyse van Bereiding N° 10, alhoewel van minder beteekenis, en dat wel, ten einde den weg te leeren kennen, die moet worden gevolgd, zal men een meer zuiver product bekomen. En toch werd onder genoegzaam dezelfde omstandigheden gewerkt. Zoo werd uitgegaan van een half-verzadigde oplossing; de oplossing werd op dezelfde manier geneutraliseerd, enz. De duur der bereiding was die van Één dag (dag en nacht), en achtereenvolgens; maar dat nam niet weg, dat de neutralisatie te wenschen overliet, zoodat men dit in een volgende bereiding trachtte te verbeteren. Het product werd overigens op dezelfde wijze gewasschen enz. De hoeveelheid bedroeg die van 0.2186 gr., zich bevindende in een reageerbuisje. Water werd toegevoegd, aanvankelijk verhit bij 45°, daarna bij 55°—65°, en eindelijk bij 70°—80°, bij welke temperatuur geen zuurstof meer vrijkwam, zijnde alles te zamen ongeveer twee uur. Er bleef terug 0.2124 gr. aan stof (mengsel), dit geeft voor de zuurstof van het SO,. 20. Ag, : 0.2186 gr. — 0:2124 gr. = 0.0062 gr. (altijd ver- ondersteld, dat de oorspronkelijke stof geen water bevat), dus minder dan in Bereiding N° 9. De hoeveelheid van 0.2124 gr., te beschouwen als een mengsel van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver (zie vroeger), werd behandeld met water, verhit op een waterbad, en eenig salpeterzuur toege- OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 23 voegd (de reageerbuis is, als naar gewoonte voorzien van een trechtertje aan het einde toegesmolten). Er komt zuurstof vrij, en ten slotte wordt de buis geplaatst in een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur en ongebluschte kalk); bleef terug 0.2666 gr., namelijk van een mengsel van ziwerzitraat en zwavelzuur zilver. Het is duidelijk, dat de hoeveelheid zwavelzuur zilver dezelfde moet wezen in 0.2666 gr. als in 0.2124 gr. (zie vroeger), omdat aanvankelijk alleen zuurstof was vrij gemaakt van SO,. 20. Ag, (er wordt veronder- steld, dat SO,. 20. 47, wordt ontleed tot SO, 495), dus heeft men: 0.2666 gr. zwavelzuur zilver + salpeterzuur zilver 0.2124 zwavelzuur zilver + zilverbioxyde 0.0542 gr. als verschil ten gevolge der omzetting van zilverbioryde in salpeterzuur zilver. Hieruit nu laat zich berekenen de hoeveelheid zilverbioxyde, want men heeft de vergelijking: | 4g, 0, 2 NO, H= 2 NO, 4g + H, 0 + 0, en bij gevolg: 2 NO, 4g — Ayo O = 2 X 169.55 — 247.24 = 339.1— 247.24 = 91.86 en in ons geval: verschil zilverbioxyde 91.86 : 0.0542 — 247.24: 2, dat geeft # = 0.1458 gr. voor het zilverbioxyde aanwezig in het mengsel van 0.2124 gr., zoodat de hoeveelheid zwavelzuur zilver bedraagt 0.2124 gr. — 0.1458 gr. = 0.0666 gr. of: 0.1458 gr. zilverbioxyde 0.0666 zwavelzuur zilver 0.2124 gr. En de samenstelling in haar geheel zou dan zijn: 0.1458 gr. zilverbioxyde 0.0666 zwavelzuur zilver 0.0062 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 0.2186 gr. der oorspronkelijke stof. 24 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER, Maar het gehalte aan zilverbioxyde is tevens langs een meer directen weg bepaald, door bepaling van zilvernitraat (en van het zwavelzuur zilver) van gezegd mengsel, het behandelende met abs. alcohol, dat achtereenvolgens gaf: salpeterzuur zilver. te zamen. IS emaal) 089 er: 0.089 gr. 2 0.0597 0.1487 3 0.0401 0.1888 | 0.0041 0.1929 5 0.0002 0.1931 6 0.0002 0.1933 en zulks van 0.2666 gr. van het mengsel; dus blijft 0.2666 gr. — 0.1933 gr. = 0.0733 gr. in de reageerbuis (zooals bleek het geval te zijn) aan zwavelzuur zilver. Berekent men wt het gevonden salpeterzuur zilver (zie boven) het zilverbioxyde, daarmede overeenkomende, dan wordt gevonden (2 WO, Ag = 2 X 169.55 = 339.1; Ag, O, = 247.24): salpeterzuur zilver. zilverbioxyde. 839.1:0.19338 — 247.24 :x voor æ— 0.1409 gr. bioxyde, dat dus een verschil oplevert van 0.1458 gr. — 0.1409 gr. = 0.0049 gr. met de eerst medegedeelde berekening, uitgaande namelijk van het verschil in gewicht vóór en na behandeling met salpeterzuur (zie vroeger). Men kan niet veronder- stellen, dat eenig bioxyde is herleid tot oxyde (4g, 0), en daardoor dit verschil betrekkelijk zoo groot is, want dit zou te weinig bioxyde geven in plaats van te veel. In ieder geval kan voor 0.1409 gr. een wijziging gebracht worden in de zuurstof, die dientengevolge wordt 0.0044 gr.. En de samenstelling zou derhalve zijn: 0.1409 gr. zilverbioxyde 0.0733 zwavelzuur zilver 0.0044 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof’ van het SO, z 0. Ag, 0.2186 IS 5S Men kan zich nog niet uitlaten op dit oogenblik wat betreft de scheiding met alcohol, daar tot nog toe alleen de bepaling van OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. vo 5 zilvernitraat als zoodanig met alcohol is nagegaan. De bepaling van gezegd’ verschil vóór en na behandeling met salpeterzuur is trouwens hoogst waarschijnlijk zeer nauwkeurig, en een gedeeltelijke ontleding van zilverbioxyde in oxyde ook in strijd met hetgeen het peroxy- salpeterzuur zilver leerde. Voor ’t oogenblik ten minste heeft men meer vertrouwen in gezegd verschil in gewicht, ook omdat de hoe- veelheid stof betrekkelijk te gering was, en om andere redenen, thans niet te behandelen. En in dat geval wordt gevonden voor de verhouding van SO, 4g, en O van SO,. 20. Ag, (SO, Ay, = 811.14): 0.0666: 0.0062 — 311.14: z, dus 2 = 28.96. De hoeveelheid zuurstof verschilt dan van 2 O, zij dit 31.92 (2 0) — 28.96 = 2.96. Bijzonderheden betreffende de analyse der stof zullen overigens later uitvoerig worden behandeld. De uitkomst is bijgevolg, dat de verhouding van O en SO, 49, veeleer die is van 20 en SO, Ag, dan van 1 O en SO, Ags, zooals dit zelfs het geval is met Bereiding N°. S, terwijl die van N°. 9 genoegzaam daaraan beantwoordt. Overigens zal later blijken, dat daarmede nog niet het maximum is bereikt, hetwelk de „ge- makkelijk vrijkomende zuurstof” van het SO,. 20. dg, kan hebben. Uit de analyse der laatste produkten volgt vrij duidelijk, dat de zuiverheid te wenschen overlaat, en de oorzaak daarvan is blijkbaar te zoeken in het feit, dat de oplossing bij electrolyse te veel vrij zuur bevat, en daarop vooral dient gelet te worden. Het groote bezwaar is gelegen, zooals reeds gezegd, in de betrekkelijke geringe oplosbaarheid van zwavelzuur zilver, en dan is men nog genood- zaakt, de verzadigde oplossing te verdunnen met een gelijke maat water, ten einde het afzetten van zwavelzuur zilver als zoodanig te voorkomen in het product van electrolyse. En in de produkten tot nog toe onderzocht, is dit desniettegenstaande toch nog wel- licht het geval, en het zal bezwaarlijk gaan, dit geheel te ontgaan, aangezien een half verzadigde oplossing betrekkelijk meer vrij zuur kan doen ontstaan, dat juist aanleiding geeft tot de vorming van zwavelzuur zilver uit het product van electrolyse (om niet te gewagen van de zelfontleding, waaraan het product onder- hevig is). Meer afdoende uitkomsten. Uit het medegedeelde blijkt met eenige waarschijnlijkheid, dat 26 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. peroey-zwavelzuur zilver is samengesteld uit zilverbioxyde (dg, Oa) met een oxy-zwavelzuur zilver, zij dit SO,. 20, 4g,, bijgevolg terug te geven door de formule: @ Ag, Où. y (SO, 2 O. Aga). Laat men voor ’t oogenblik ter zijde de waarden van + en van y (volgens de analyse van Bereiding N°. 8, maar vooral die van N°. 9, zou de verhouding van &:7 die zijn van 2:1; naar de analyse van N°. 10 veeleer die van 5: 2), zoo schijnt het oay- zwavelzuur zilver als waarde voor z te hebben als minimum 2, en in dat geval derhalve terug te geven door: SO,. 2 O. Ag, en dien- tengevolge aan te nemen het bestaan van een zuur $O,. 2 0. 2 OH (= SO,,2 OH), zij dit een diory-ewavelzuur. Later zal blijken, dat de waarde 2 voor z wiet is te beschouwen als het maximum uit te drukken, zooals reeds gezegd. Uit het medegedeelde volgt daarenboven, dat een meer afdoende neutralisatie zeer waarschijnlijk aanleiding zou geven tot een zuiver- der electrolytisch product. Ook wordt een grootere hoeveelheid stof vereischt ter analyse, dat meer tijd vordert voor iedere bereiding. En eindelijk moet gewerkt worden onder meer of min verschillende omstandigheden, vooral wat de concentrate der oplossing aangaat, ten einde eenige contrôle te hebben betreffende de samenstelling van het product als chemisch individu. Daarom heeft men de be- reiding één dag (dag en nacht) langer laten duren dan de vorige, tot een zekere grens, dat een verschil te weegbrengt in de concentratie, hetwelk evenwel betrekkelijk niet zeer groot is (in z00- verre, als de grootste hoeveelheid stof zich in de twee eerste dagen heeft afgezet). Voegen we er nog bij, dat men zich heeft laten leiden door de gedachte, die zich als van zelve voordoet, dat een maaimum van „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oxy-zwavelzuur zilver SO, 20. Ag, beantwoordt aan een maaimum van zuiverheid. Het lichaam toch in questie, namelijk het peroxy-zwavelzuur zilver, is onderhevig aan zelfontleding; en aangezien er nog al kans is, dat het electro- lytisch product een weinig zwavelzuur zilver bevat (als onzuiverheid), is er dus tweevoudige aanleiding, om de genoemde „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” tot een minimum te herleiden. Over een wyziging gebracht in de bereiding van het electro- lytische lichaam. Deze is van hoogst eenvoudige natuur, maar toch van betrekkelijk veel invloed op de samenstelling van het OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 27 product, wat betreft de scheikundige zuiverheid (zie de analysen). Zij bestaat slechts daarin, dat een Aleine trechter wordt geplaatst in den grooten trechter op een glazen driehoek, gezet op het filtrum van den grooten trechter (ten deele gevuld met koolzuur zilver). Het doel er van kan duidelijk wezen, en bestaat daarin, de oplossing (die zuur is geworden door electrolyse) te noodzaken zooveel mogelijk, in aanraking te komen met koolzuur zilver ten einde geneutratiseerd te worden, welk zilverzout vooral het onderste gedeelte vult van het filtrum van den grooten trechter; en de kleine trechter staat van onderen geheel in het koolzuur zilver (terwijl de zure oplossing uit. de kleine schroef van Archi- medes komt te vallen in den kleinen trechter). Maar in den regel is de weêrstand in ’t begin te groot voor de zure oplossing (die in de groote platinaschaal moet terugvloeien), en dientengevolge zou de kleine trechter overloopen en vervolgens de groote trechter; door evenwel den kleinen trechter bij den aanvang nu en dan een weinig op te ligten, wordt dit bezwaar ontgaan (zekerheidshalve wordt onder den grooten trechter een reservoir geplaatst). Het is overigens duidelijk, dat de snelheid van het uurwerk binnen zekere grenzen is te regelen met de windvleugels (zie pag. 17). Ken tweede wijziging, die meer betrekking heeft op de methode van analyseeren, is deze, dat het product van electrolyse na wasschen (in het glazen schaaltje, waarin het was afgezet), wordt overgebracht op een /orologeglas, om daarna geplaatst te worden onder een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur en natrium), en ten slotte ge- wogen onder bekende omstandigheden (met een ander horologeglas er op, gebruik makende van een koperen klem); en eindelijk onder een gewonen exsiccator wordt gezet (met zwavelzuur en natrium). Als het gewicht onveranderd is, wordt de stof overgedaan in een reageerbuis. In ’t begin werd gebruik gemaakt van een ge- wone reageerbuis, later van een dergelijke buis van groote afme- tingen, in alle gevallen voorzien van een kleinen trechter bij den hals toegesmolten, en vóór de weging geruimen tijd te plaatsen in de gewone atmospherische omgeving (daarenboven omgeven met fil- treerpapier, ten einde het geheel te vrijwaren voor stof). Uitkomsten der analysen van de Bereidingen Pe WON te. DOI oy ee ED A 16, N° 17 en N° 18. Analyse van Bereiding N° 11. Nadat het gewicht der stof op het horo- logeglas was gebleken constant te zijn, bedroeg dit 0.8854 gr., zijnde een product van fwee dagen electrolyse (dag en nacht), dus betrekkelijk veel meer dan dit bedraagt voor één dag (dag en nacht); 28 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. te verklaren door het feit, dat het lichaam aan de anode afgezet, zelf de rol vervult van anode, die dus in grootte toeneemt, naar- mate het afzetsel vermeerdert, aangezien dit een vrij goede geleider is van electriciteit. De stof werd overgebracht in een kleine reageerbuis, deze ge- plaatst in een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur en natrium), en gewogen, terwijl deze bewerkingen werden herhaald, tot het gewicht constant was, dat der stof bedragende 0.8398 gr. Vervolgens werd water toegevoegd, verhit in een waterbad, cerst bij 60°— 70° (en wel zoolang als nog zuurstof vrijkwam), daarna bij 70°—80°, ten einde zeker te kunnen zijn van een volkomen ontleding, te weten van het oxy-zwavelzuur zilver SO,. 20. 49, dat eenige dagen vordert. Na geplaatst te zijn geweest in een vacuum-exsiccator, bedroeg het terugblijvende 0.8006 gr., bij gevolg een verlies gevende met de oorspronkelijke stof van 0.8398 gr. — 0.5006 gr. = 0.0392 gr. of 4.67 proc. (eigentlijk 4.667 p. c.). Behandeld met water en een weinig salpeterzuur (dit laatste van tijd tot tijd bijgevoegd), eerst verhit bij 60°—70°, daarna bij 70°—80° en 80°—90° (en dat gedurende vele dagen), werd de buis geplaatst in een vacuum- exsiccator (met zwavelzuur en kalk). Er bleef terug 0.9941 gr., bij gevolg is het verschil in gewicht vóór en na behandeling met salpeterzuur: 0.9941 gr. — 0.8006 gr. = 0.1935 gr. Het ge- halte van zilverbioxyde (47, O,) naar dit verschil berekend (zie pag. 23), beantwoordt aan: verschil bioxyde 91.86 : 0.1955 — 247.24 : z, zij æ — 0.5208 gr. zilverbioxyde (dy, O,). Nu bestaat de hoeveel- heid van 0.8006 gr. (zie boven) uit een mengsel van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver (altijd verondersteld, dat alle „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxy-zwavelzuur zilver SO, z0. 44, is uitgedreven), dus zou het gehalte wezen aan zwavelzuur zilver: 0.8006 gr. — 0.5208 gr. = 0.2798 gr. En de samenstelling zou dan naar deze gegevens zijn: 0.0392 gr. „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 0.5208 zilverbioxyde 0.2798 zwavelzuur zilver 0.8398 gr. oorspronkelijke stof. Voor de verhouding van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver, vindt men bij gevolg : OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. vo =, L 2 0.5208 i —____ == 1.86, dat dus doet denken aan de verhouding: 0.2798 | LE) eel 1.98. Het product. vs 2 SO, My Bo oi) IA TO: ec proc uc Vall electrolyse kan zeer wel een weinig vrij zwavelzuur zilver bevatten (en dat zonder vrij zilverbioxyde), in welk geval het quotient kleiner wordt dan met de theorie overeenkomt. Wat betreft de aanwezigheid van vrij zilverbioxyde, de kans daartoe is betrekkelijk gering, in aanmerking genomen, dat het zeer gemakkelijk wordt ontleed in een oplossing, die betrekkelijk arm is aan vrij zwavel- zuur, daarentegen wordt het zwavelzuur zilver moeielijk geëlimi- neerd, als gevolg der geringe oplosbaarheid. De verhouding zou derhalve die zijn van: 5 Ay, Op. 2 SO, Ago. En er blijft dan over, de verhouding te bepalen tusschen SO, Ag, en 20 van het oxy-zwavelzuur zilver: SO,. 20. 4g,. Nu heeft men (SO, Ag, = 311.14): zwavelzuur zilver „gemakkelijk vrijkomende zuurstof ” 0.2798 : 311.14 a= 0.0392 : > æ — 43.08 zuurstof op 1 8 O, 4g, = 311.14. En men heeft RO, en 15.96 X°3 — 47.88 — 80, ter- wijl 43.58 — 81.92 — 10.66, en 47,88 — 43.58 — 4.3, derhalve nadert de waarde meer tot z = 3 dan tot z = 2; of anders gezegd, is de formule veel meer SO,. 3 O. Ag, dan SO,. 2 O. Ag. En de geheele formule zou kunnen zijn: 5 Ag, O,. 2 (S'O,. 3 O. Ag), of wat hetzelfde is: 5 Ag, Os. 2 SO, Ag. Maar, zooals reeds gezegd, is het gehalte aan zwavelzuur zilver waarschijnlijk wat te hoog aangeslagen, dat van invloed zal zijn op de verhouding tusschen zwavelzuur zilver en „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van SO, 20. Ag). En om dien invloed te leeren kennen, is de waarde berekend van in: 0.5208 ——— == 1.98 (gie hierboven), gevende a = 0.263, terwijl men heeft: wv awavelzuur zilver „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 0.263 : 311.14 En 0.0392 : > 30 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. æ— 47.13 zuurstof, inplaats van 47.88, gelijk de theorie ver- langt voor 3 0. Of anders uitgedrukt, berekent men het zwavel- zuur zilver op het zlwerbiowyde voor de verhouding 5 Ag, Os. 2 SO, Ag, dan stemt de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” genoeg- zaam overeen met de formule: £0,. 8 O. Ag. Mogelijk bevat het electrolytische produkt zwavelzuur zilver en zilverbioxyde, hetzij het eerste of het laatste, hetzij beiden te ge- lijk. En in geval van vrij zilverbioxyde, zou daarvan het gevolg geen ander kunnen zijn, dan den coéfficient # van het bioxyde grooter te maken, het zij van: ® Ago Oy. y (SO, 20. Aga) en dan is tevens het verschil grooter in gewicht vóór en na be- handeling met salpeterzuur (zie vroeger). In ieder geval is het mogelijk, dat æ is bijv. 4 in plaats van 5, zoodat de formule wordt: 4 Ag, O,. 2 (SO,. 3 O, Age), dat hetzelfde is als: 2 Ag, O,. SO,. 3 0. Ag, dat zeerveel eenvoudiger zou wezen; maar de verkregen nume- rique waarden beantwoorden daaraan nu eenmaal niet, en daar- mede is alles gezegd. Ter contrôle der berekening zou de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het SO,.z 0. 47, kunnen bepaald worden (zij dit langs mdirecten weg) met betrekking tot zilverbioxyde (Ag, 09); ook, om te weten, of er vrij zilverbioxyde voorhanden is (dus als verontreiniging), ten minste met meer of minder waarschijnlijkheid. Schrijven we daartoe de verhouding: zilverbioxyde „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 0.5208 : 247.24 = 0.039 :> dat geeft « = 18.6 (O = 15,96), dus is er te veel zuurstof voor de formule: 2 Ag, Os. SO,. 2 O. Ags en te weinig zuurstof voor de formule: OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 31 2 Az Où. SO,. 3 O. Ago, dat leidt tot de formule (op pag. 30 is in hoofdzaak hetzelfde gezegd): 5 Ag, O, 2 (S O,. 3 O. Ay), want er is gevonden: „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” — theoret. samenstelling (van SO,.20. 4g,) 4.67 4.90 zilverbioxyde 62.01 63.26 zwavelzuur zilver 59339 31.84 100 100 Voegen we er aan toe ter vergelijking de samenstelling, die overeenkomt met de formule 5 Ag, O,. 2 (SO,. 2 O. Age): „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van SO,. 20. 44) 3.32 zilverbioxyde 64.30 zwavelzuur zilver 22-00 100 Er wordt aangenomen, als overeenkomende met de werkelijkheid, dat het maximum aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” beant- woordt aan een maatmum van zuiverheid van het peroxy-zwavelzuur- zilver (zij dit z Ag, Os. y (SO,. 20. Ag). In de eerste plaats toch, is dit lichaam onderhevig aan zelfontleding, en de aanwezigheid zoowel van zwavelzuur zilver als van zilverbioxyde, als bijkomende bestanddeelen van het electrolytische product, doet dit verminderen. En wit de numerique uitkomsten volgt meer of min (zij deze ver- kregen langs indirecten of directen weg), dat het product van Be- reiding N° 11 een weinig zwavelzuur zilver bevat als verontreiniging, zonder zilverbioxyde (zie overigens later). Maar men wil nog andere gegevens doen kennen van Bereiding N° 11. Vooraf evenwel, wenschte men nog even te doen opmerken, dat is aangenomen, dat de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oxy-zwavelzuur zilver (SO,. 20. Ag), niet reageert op de zuurstof van het zilverbioxyde, namelijk bij verhitting met wafer. Men steunt dienaangaande op 32 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. de analyse 4) van zilverbioxyde (afgeleid van paroxy-zwavelzuur zilver), en op de ervaring opgedaan met betrekking tot de zuiver- heid van het zilverbioxyde afgeleid van peroxy-salpeterzuur zilver (zij dit: 3 4g, O,. NO, Ag). De analytische gegevens van Bereiding N°. 11 werden thans vermeerderd, door het mengsel van salpeterzuur en zwavelzuur zilver (zie hierboven, de hoeveelheid van 0.8006 gr.) te behandelen met abs. alcohol (bij gewone temperatuur), dat achtereenvolgens gaf: salpeterzuur zilver. te zamen : 1° maal: 01213 ver. 0 1213 er 2 0.0789 0.2002 3 0.0875 0287 4 0.0876 0 3753 5 007183 0.4466 6 ORDE 0.5356 7 0.084 0.6196 8 0.0566 0.6762 9 0.0365 OE BN 10 0.00385 0.7162 jen 00001 0.7161 Na geplaatst te zijn geweest in een vacuum-exsiccator, werd dit herleid tot 0.7155 gr. (in plaats van 0.7161 gr.), zoodat het ge- halte aan zwavelzuur zilver dan wordt: 0.9941 gr. — 0.7155 gr. = 0.2786 gr. zwavelzuur zilver, in plaats van 0.2798 gr. (vroeger gevonden door uit te gaan van het verschil in gewicht, voor en na behandeling met verdund salpeterzuur), dus een verschil gevende van 0.2798 gr. — 0.2786 gr. = 0.0012 gr. Uit deze overeenstem- ming volgt wel met genoegzame zekerheid, dat gezegd mengsel van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver geen noemenswaardige hoeveelheid zlveroxyde (Ag, O) zal bevatten; dit toch zou een te Zaag gehalte aan zilverbioxyde hebben opgeleverd, en bij gevolg een fe hoog gehalte aan zwavelzuur zilver (zie de berekening vroeger, uitgaande van het verschil in gewicht, vóór en na behandeling met sal- peterzuur). Het terugblijvende (zie boven, na behandeling met alkohol) be- droeg 0.282 gr, zij dit zwavelzuur zilver, dus thans bepaald op 1) Zie deze Verhandeling pag. 12. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 33 directen weg, dat 33.57 proc. geeft in plaats van 33.22 proc. (langs indirecten weg). Men heeft daarenboven: gevonden langs directen weg: salpeterzuur zilver 0.7155 zwavelzuur zilver 0.282 som 0.9975 gr. in plaats van 0.9941 gr. (zie boven). Het geringe surplus toont voldoende aan, dat van het een of ander moet zijn teruggehouden, aangezien de som een verschil aangeeft, dat veeleer in omgekeerden zin had moeten uitvallen (te weten, dat de som wat minder be- droeg). Het salpeterzuur zilver, namelijk de hoeveelheid van 0.7155 gr., werd, gekleurd zijnde, behandeld met verdund salpeter- zuur, waarbij evenwel het gewicht onveranderd bleef (derhalve 0.7155 gr.) De uitkomst der bepalingen, en tevens van beschouwingen van verschillenden aard, is bijgevolg in ’t belang der directe methode van analyse (door de stof namelijk eerst te verhitten met water, en daarna met verdund salpeterzuur), die bij uitnemendheid eenvoudig is, en waarschijnlijk in dezelfde mate nauwkeurig. Voegen we hieraan ten slotte toe, dat in de bepalingen gebruik werd gemaakt van vacuum-exsiccatoren (hetzij met zwavelzuur, of ook met kalk, of natrium, al naar het geval, dat zich voordeed). Bereiding N°. 12. De hoeveelheid stof bedroeg 0.97 gr., zijnde de opbrengst van drie dagen electrolyse (dag en nacht), niet mede- gerekend de hoeveelheid, die bij wasschen met water verloren gaat. Dezelfde weg werd ongeveer gevolgd, als zulks het geval was met Bereiding N°. 11 (zie pag. 27). Na behandeling met water onder verwarming, en verwijdering van het water door verdampen, bleef terug 0.9247 gr, zij dus 0.97 gr. — 0.9247 gr. = 0.0453 gr. aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”. Vervolgens behandeld met ver- dund salpeterzuur bleef na verdampen terug 1.1495 gr., dat der- halve een vermeerdering in gewicht doet kennen van 1.1495 gr. — 0.9247 gr. — 0.2248 gr. En hieruit berekenende het gehalte aan zìlverbioxyde, leidt dit tot 0.6049 gr. zilverbioxyde, waaruit dan volgt 0.9247 gr. — 0.6049 gr. = 0.3198 gr. voor het gehalte aan zwavelzuur zilver. Op 100 gew-d. der zwarte stof geeft dit derhalve: Verh. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VI. E 34 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 5 Aga Où, 2 (80,4. 3 O Age) „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 4. 67 4.90 zilverbioxyde 62.36 63.26 zwavelzuur zilver 82.97 31.84 100. 100. Voor de verhouding van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver wordt gevonden : 0.6049 — 0 3198 — 1.89 (zie Bereiding No. 11). Het mengsel van salpeterzuur en zwavelzuur zilver werd behan- deld met abs. aleohol, en achtereenvolgens gevonden: salpeterzuur zilver. te zamen: 1*° maal 0.1325 gr. 0.1325 er. 2 021137 0.2452 3 0.0876 0.3328 A 0.0887 0.4215 5 0.1086 0.53801 6 0.091] 0.6212 1 0.086 01042 8 0.0686 0.7758 9 0.03838 0.814] 10 OVO? 0.8261 LE 0.0012 0.8273 12 0 0.8273 Na geplaatst te zijn geweest onder een vacuum-exsiccator werd dit 0.8272 gr. (in plaats van 0.8273 gr.), dat, gekleurd zijnde, ter ontkleuring met salpeterzuur behandeld, werd herleid tot 0.8259 gr. (zijnde 0.8272 gr. — 0.8259 gr. = 0.0013 gr). Er bleef aan zwavel- zuur zilver terug 0.3256 gr. (dus langs directen weg gevonden). Bij gevolg is gevonden: gevonden. salpeterzuur zilver 0.8259 gr. zwavelzuur zilver 0.3256 som 1.1515 er. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 55 dat een te veel oplevert (zie Bereiding N°. 11, pag. 27) van: 1.1515 gr. (som) 1.1495 (zie vroeger) 0.002 gr.. Genoemde hoeveelheid van 0.3256 gr. zwavelzuur zilver (langs directen weg bepaald) komt overeen met 33.56 p.c. (zie vroeger 32.97 p.6. langs indirecten weg, zoowel gevonden als tevens berekend). Uitgaande van het verschil in gewicht vóór en na behandeling met salpeterzuur, en hieruit berekenende het gehalte aan zi/ver- biowyde, laat mch zwavelzuur zilver indirect bepalen, zij dit 0.3198 gr. (zie pag. 38), dat op zijn beurt kan geven voor het salpeterzuur zilver (zie vroeger over het mengsel): 1.1495 gr. — 0.3198 gr. = 0.8297 gr. (zij dit gevonden en tevens berekend), hetgeen bij gevolg een verschil oplevert met het langs directen weg gevondene van: 0.8297 gr. — 0.8259 gr. (langs directen weg) = 0.0038 gr. Het meeste vertrouwen blijft men nog schenken aan de uitkom- sten langs indirecten weg gevonden, gecontroleerd, als vroeger, door uitkomsten langs directen weg verkregen, ten einde genoegzaam zeker te zijn van de beginselen, waarvan werd uitgegaan. Bereiding N° 13. Dezelfde weg werd gevolgd, alleen verschilde de duur der electrolyse, die aanvankelijk vier dagen zou bedragen, maar ten slotte ongeveer vijf dagen innam (dag en nacht). Er had namelijk een interruptie plaats van ongeveer S—10 uur, in den nacht tusschen den tweeden en derden dag, doordien het uurwerk ditmaal in gebreke was (uit het aantal windingen aan staal- draad op den cylinder teruggebleven, laat zich ongeveer die tijd opmaken). Maar toch zou deze Bereiding, te beschouwen als te zijn mislukt, een leerzaam voorbeeld kunnen wezen, om den in- vloed te leeren kennen van een oxzvoldoende neutralisatie op de samenstelling van het product van electrolyse (de reactie als zoo- danig doet vrij zwavelzuur optreden). Daarom werd op de gewone wijze (zie analyse van N° 11 en N° 12) te werk gegaan, en de zwarte stof met water verhit, om daarna het water te laten ver- dampen, dat een verschil opleverde met de oorspronkelijke hoeveel- heid stof, zij deze 1.2087 gr., van 0.0473 gr. of 3.91 proc. aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxy-zwavelzuur zilver (SO,. 20. Ay), dat dan verschilt met N° 11 en N° 12:4.67 - 3.91 — 0.76 proc. aan deze zuurstof. Maar desniettegenstaande E 3% 36 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. overtreft deze hoeveelheid zuuïstof nog verre diegene, welke be- antwoordt aan de formule : 5 4, 0. 2 (S0,. 2 O. Ag) die slechts 3.32 proc. bedraagt. Bereiding N° 14. De wijze van bereiding was nog steeds de- zelfde, terwijl de electrolyse vijf dagen achtereenvolgens (dag en nacht) aanhield. De hoeveelheid stof, na in een reageerbuisje te zijn gebracht, bedroeg 1.7048 gr. Water werd toegevoegd, verhit,en het water verdampt (als altijd in een vacuum-exsiccator), waarna terugbleef 1.6271 gr. (van het mengsel van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver) en bijgevolg werd uitgedreven 0.0777 gr. of 4.55 proc. aan „ge- makkelijk vrijkomende zuurstof” (van het oxy-zwavelzuur zilver SO,. 2 0. Ag). Deze massa nu werd met water behandeld bij ge- wone temperatuur, terwijl de oplossing (telkens werd ongeveer 10 c.c. water toegevoegd) werd ingedampt onder een vacuum- exsiccator, en achtereenvolgens gevonden : zwavelzuur zilver te zamen { maal | 2 OT der: 0.1173 gr. 4 5 0.1207 0.238 6 0.2093 0.4473 Er 0.0567 0.534 17 0.0627 0.5967 Te vervolgen, Bereiding N° 15. De electrolyse hield zes dagen aan (dag en nacht), en bij gevolg ook ditmaal één dag langer dan de voorgaande Bereiding (zie Bereiding N° 11, N° 12 en N° 14), en dat met opzet (vie pag. 26). Er werd een kleine wijziging aangebracht, OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 37 daarin bestaande, dat de te onderzoeken stof werd gedaan in een groote reageerbuis (met het doel, de stof met meer water te behandelen bij het verhitten, dat invloed zou kunnen uitoefenen op de wijze van ontleding. Het gewicht der stof bedroeg 1.8807 gr De concentratie 1) der oplossing vóór en na electrolyse werd be- paald, ten einde zich een juist denkbeeld te kunnen vormen met betrekking tot de vermindering in concentratie als gevolg der elec- trolyse, ook met ’t oog op andere Bereidingen. Die concentratie bedroeg 3.26 gr. op één liter der oplossing vóór de electrolyse en 2.34 gr. na electrolyse, namelijk aan zwavelzuur zilver. Na toc- voeging van water bij de stof (in de groote buis), verwarming en vervolgens indamping (in een vacuum-exsiccator), bleef terug 1.7997 gr. van het mengsel (zie bijv. N°. 14), dus bedraagt de verminde- ring in gewicht 0.081 gr. of 4.3 proc. „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”. Men veronderstelt, dat de langere duur der electrolyse zich in omgekeerden zin begint te doen gelden (zie N° 11, N° 12 en N° 14). Het terugblijvende werd met water behandeld bij gewone tem- peratuur (iedere maal met ongeveer 25 €. c.), terwijl na verdampen achtereenvolgens terug bleef aan zwavelzuur zilver: zwavelzuur zilver te zamen 1° maal 0.1097 gr. 0.1097 gr. 0.4009 0.5106 oO Fe Ww to 7 0 1718 0.6924 S On sl 0.7245 9 0.0034 0.7279 10 0.0024 0.7303 II 0.0017 (Tes 12 0.0028 0.7348 13 0.002 0.7368 14 0.0017 Oe Loon 15 0.0024 0.7409 16 0.0027 0.7436 ap 0.0021 01454 18 0.0031 0.7488 Te vervolgen. 1) Zie de „Dict. Chim, Wurtz,” art. ,Argent” p. 371. 358 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILV ER. Zie Bereiding N° 14 (pag. 36), N° 9 fe 18) en N° 6 (pag. 11). Gaat men uit van de formule 5 dg, O,. 2 (SO,. 8 O. Ay) voor ‘t oogenblik, dan kan berekend En ba is gegeven het gehalte aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (zij dit 43 proc. voor het #0,. 3 O. Ag,), het betrekkelijk gehalte aan zilverbioxyde en zwavelzuur zilver, in dit geval dan bedragende : „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 4.8 (gie pag. 37) zilverbioxyde 55.51 zwavelzuur zilver 27.98 87.49 Dit afgetrokken van 100 geeft 100 — 87.79 = 12.21 proe. En veronderstellende, dat de oorspronkelijke stof geen vrij AR bevat, maar alleen vrij zwavelzuur zilver (y dit 12.21 proc.), zou dit voor het totale gehalte aan zwavelzuur zilver bedragen: 27.98 ac 12.21 = 40.19 proc., dat, in geval de formule juist is, dan moet beantwoorden aan het zwavelzuur zilver langs directen weg ge- vonden (zie pag. 37). Zooals blijkt, en trouwens duidelijk is, heen een betrekkelijk klein verschil in gehalte aan „gemakkelijk vrij- komende zuurstof” een betrekkelijk grooten invloed op het gehalte aan zilverbioxyde en zwavelzuur zilver tevens. Over eenige wijzigingen gebracht in den toestel 5. Aangezien het was gebleken, dat de cylinder niet volkomen loodrecht geplaatst was op het uurwerk, werd deze opnieuw geplaatst en wel op een meer correcte wijze; vandaar een meer regelmatige beweging van den toestel, zoodat deze met een minimum van snelheid kon werken (namelijk met opstaande windvleugels). Onder die omstandigheden kan in 8 uur ongeveer 1 liter aan oplossing worden opgeheven, terwijl de toestel nagenoeg drie dagen achtereen (dag en nacht) vermag te werken. Een andere wijziging van den toestel bestond daarin, om dezen voor het grootste gedeelte te omgeven met een kast (in hoofdzaak van glas, voor een klein deel van hout), waardoor de electroden konden gebracht worden; en dat, onder anderen, om stof te ont- gaan van buiten (aangezien de proef vele dagen achtereenvolgens werd voortgezet). ") Zie deze Verhandeling, pag. 17. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 39 Wijziging in de bereiding. Bij wijze van proefneming, liet men de geneutraliseerde oplossing terugvloeien dicht bij de anode (in- plaats van bij de kathode), met het doel, de grootste hoeveel- heid van. het zwavelzuur te neutraliseeren, vrijgemaakt (door elec- trolyse) bij de anode (waar het lichaam in questie wordt afgezet, en, als zijnde een goede geleider voor electriciteit de rol mede vervult van anode). Bereiding N° 16. Deze geschiedde in den zoo even aangeduiden zin (zie boven), terwijl de electrolyse vier dagen werd aangehouden (dag en nacht), met een minimum van snelheid van den toestel. De bewerkingen waren overigens dezelfde (zie b. v. N° 15). De hoeveelheid stof ter analyse (gedaan in een groote reageerbuis), be- droeg 1.3153 gr. Na verhitten met water en vervolgens verdam- pen van het water, bleef terug 1.2558 gr., dus een verschil gevende van 0.0595 gr., beantwoordende aan 4.52 proc. „gemakkelijk vrij- komende zuurstof” van het oxy-zwavelzure zilver (SO,. 20. Ag,). Bereiding N° 17. Opnieuw werd bij de electrolyse de vroegere weg ingeslagen (zie b.v. N° 11), te weten, die, waarbij de ge- neutraliseerde oplossing terugkomt bij de kathode (in plaats van nabij de anode als in Bereiding N° 15) en dat met een snelheid van neutralisatie als het minimum beschouwd. Het product van elec- trolyse (van vier dagen) werd op de gewone wijze gewasschen, alleen werd betrekkelijk meer fijne stof daarbij verwijderd, zoodat het ter analyse terugblijvende bestond uit beter gevormde kristallen, en met schooner glans. Na te zijn gedroogd, werd de stof gedaan in een V-buis, vooraf gewogen, terwijl de hoeveelheid stof bedroeg 1.3585 gr. Gezegde buis maakt deel uit van den toestel, waarvan in vroegere Verhan- delingen uitvoerig sprake was, met betrekking tot het product van electrolyse met zilvernitraat, b.v. met ’t oog op de aanwezigheid of afwezigheid van water. Het was volstrekt noodig, hetzelfde te doen met het product van electrolyse van zwavelzuur zilver; want zonder die kennis, zou men bijkans altijd aarzelen met eenige formule aan te nemen. De uitkomsten zijn gegeven in denzelfden vorm als zulks vroeger 1) geschiedde. ") Zie de tweede Verh. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie). Dl. V. N°. 1, pag. 4. 40 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. Opgave der getalwaarden van de proef met Bereiding N°. 17, betrekkelijk de aanwezigheid of afwezigheid van water, en het totale gehalte aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (namelijk van oxy- zwavelzuur zilver SO,.zO. Ags, en zilverbioxyde Ay, Oy). Hoeveel- heid stof 1.3588 gr. a b G d 15% dag 0 0.0004 gr. 0 verhit. tot 42° 2 0 0.0009 | 0.0036 gr. 47° 3 0.0008 0.0008 0.0058 63° 4. 0.0004 0.0015 0.0965 1¢0° Snelle ontleding, een weinig stof medegevoerd. 5 0.0002 0.0008 0.0026 130° 6 —— — 0.0008 150° 7 — — 0.0007 200° 8 — -— 0.0013 2 10° 9 = 0.0026 220° 10 a == 0.0005 230° 11 — a 0.0015 240° 12 — Er 0.0008 250° 13 _- — 0.0003 |bij 250° 5 uur 14 —- — 0.0006 bij. 250° 1 uur 15 — = 0 by 250° 1 uur 16 --- — A) by 260° 1 uur 0.1176 gr. „gemakkelijk vrij- komende zuurstof” (alles te zamen). Zooals blijkt onder 4 en a, is de hoeveelheid water niet noemens- waardig (al had de toename van het buisje met chloorcalcium, vooral onder 4, kleiner kunnen zijn). Want, zooals reeds werd opgemerkt, was de ontleding bij ongeveer 100° meer die, naderende tot een ontploffing, en werd een weinig stof medegevoerd, zij dit ongeveer 0.001 gr. (zie den 4"°" dag). Maar zelfs met die hoeveelheid mede- gerekend, is het besluit, a/wezigheid van water als werkelijk be- standdeel van het zwarte lichaam. De formule toch: 5 Ags, Op, 2 (SO. 2 0. Ag) +2, O (dus 20 genomen in den vorm van water: 2 I, O), in plaats van 5 Ag, Os, 2 (SO,, 3 O, Ag,), eischt 1.54 proc. water, of voor 1 gr. stof 0.0184 gr., dus voor 1.3888 gr. bedragende 0.025 gr. Dit zou dus zijn voor 1 mol. water OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 41 0.0125 gr., veel meer bedragende dan de proef geeft onder 4. Want men heeft alleen de vermeerdering onder 4 te nemen, en daarvan af te trekken de hoeveelheid medegevoerde stof, en de waarschijnlijke fout der proef, beiden evenwel onbekend; maar alles bij elkander genomen, zou dit naar ’t schijnt zoo ongeveer 0.003 gr. geven op rekening van water der stof. Het geheel aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”, namelijk der som dienaangaande van SO,. 20. Ag, en Ag, O, is 0.1176 gr. of 8.53 proc. De formule 5 4, O. 2 (S0,. 3 O. Ag) eischt 8.98 proc., dus maakt dit uit een verschil van 8.98 — 8.53 — 0.45 proc., dat te veel is; maar in aanmerking genomen de bezwaren, die te overwinnen waren, bestaat er waarlijk reden, voor het oogen- blik tevreden te zijn. Bereiding N°. 18. Wat de wijze betreft van bereiding, werd dezelfde weg gevolgd als met N°, 17, en tevens wat de methode aangaat ter analyse. In de groote reageerbuis bevond zich 1.2748 gr. stof, die, na verhitten met water in een waterbad, en indampen onder een vacuum-exsiccator, terugliet 1.2145 gr., overeenkomende met 4.73 proc. aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oxy- zwavelzuur zilver (SO,. z O. Ag). Korte mededeeling van de methoden gevolgd ter quantitatieve be- paling, met toog op de samenstelling van het peroay-zwavelzuur zilver & Ag, Où. y (SO,. z 0. Ago), en van de verkregen uitkomsten, ook van theoretischen aard. De leidende gedachte hierbij was deze, dat het wenschelijk voor- kwam (vooral bij een lichaam, waarvan de zuiverheid waarschijnlijk wat te wenschen overlaat), zooveel mogelijk samengestelde resten te bepalen, die het geheel uitmaken; tevens, om des te beter de structuur van het te onderzoeken lichaam te leeren kennen. Een bepaling b. v. van zilverbioxyde dy, O, en zwavelzuur zilver SO, 4ÿ» werd in de eerste plaats als van zelve aan de hand gedaan. Directe bepaling van zilverbioryde (Ag, Oy) en van zwavelzuur zilver (SO, Ago). Laat de ontleding van het zwarte lichaam bij verhitten met water, aldus worden teruggegeven: OÙ e Ag, Oo. y(S 0,20. Ago) = 2 Ag, Où + y SO, Agg + y. 2. U. 42 OVER PEROXY ZWAVELZUUR ZILVER. Na ontleding wordt het geheel geplaatst onder een vacuum- exsiccator (zij het verschil in gewicht voor en na behandeling met water, uitgedrukt door 4); er blijft dan een mengsel terug van zilverbioryde en zwavelzuur zilver, door water bij gewone tempera- tuur te scheiden. Indirecte bepaling van zilverbioayde en zwavelzuur zilver door be- rekening. Wordt gezegd mengsel behandeld met verdund sa/peter- zuur, en na ontleding het geheel geplaatst onder een vacuum- exsiccator (met zwavelzuur en kalk), dan blijft een mengsel terug van salpeterzuur zilver en zwavelzuur zilver. Laat het verschil in gewicht voor en na deze reactie zijn B, dan laat zich het gehalte aan zilverbioxyde berekenen (zie b.v. pag. 28). En kennende de hoe- veelheid van het mengsel van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver (namelijk van dat vóór de behandeling met salpeterzuur), zoo volgt er uit, de kennis aangaande het gehalte aan zwavelzuur zilver. Directe bepaling van zwavelzuur zilver (andere methode, zie boven), en directe bepaling, door berekening, van zitverbioryde. By behan- deling van het laatste mengsel met abs. alcohol, blijft het zwavel- zuur zilver terug, en wordt het salpeterzuur zilver opgelost, dat dus langs directen weg is te bepalen; en daaruit laat zich het zilverbioryde berekenen (om die reden wordt dit genoemd, directe bepaling door berekening). Indirecte bepaling van „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oay-zwavelzuur zilver (S O,. 2 O. Ag). Dit geschiedt door de hoe- veelheid boven aangeduid met 4. Deze zuurstof kan ook langs directen weg worden bepaald (zie de vorige Verhandeling, wat dit onderwerp aangaat, betrekking hebbende op WV O,. 2 O. 4g), maar deze methode is, zoo goed als zeker, veel minder nauwkeurig. Directe bepaling van water. De afwezigheid van water werd be- wezen door gebruik te maken van denzelfden toestel als vroeger bij een dergelijke bepaling met betrekking tot peroxy-salpeterzuur zilver (zie de vorige Verhandelingen). Bepaling van alle „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”. Gebruik makende van denzelfden toestel. Andere methoden ter bepaling aangewend. Zie daaromtrent bij de analysen. gn OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 43 Het schijnt niet gewaagd aan te nemen, dat zoowel de hoe- veelheid A als die van B, met de grootste nauwkeurigheid zijn te bepalen, b. v. met *t oog daarop, dat het geheel plaats heeft in een reageerbuis (en dan nog met de noodige voorzorgen). Aangezien de hoeveelheid B leert kennen het gehalte aan z//verbioryde, en dien- tengevolge dat aan zwavelzuur zilver, en de hoeveelheid A doet kennen het gehalte aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxy-zwavelzuur zilver (wiet van het zilverbioxyde), en deze drie resten te zamen het geheel uitmaken; zoo volgt er uit, dat vooral deze weg: zal moeten worden ingeslagen, om genoegzaam zeker te zijn van geer nauwkeurige numerique uitkomsten. Maar het is dui- delijk, dat zelfs de meest nauwgezette methode niet tegemoet kan komen aan eenige onzuiverheden van het product, en dat schijnt tot nog toe waarschijnlijk zich voor te doen in het geval, dat ons bezighoudt. Analytische gegevens (zie vroeger over nadere bijzonderheden). Er zal hier alleen sprake wezen van producten, waarvan de bereiding genoegzaam vertrouwen verdient, wat betreft den graad van zuiver- heid; dit wil in de eerste plaats zeggen, dat deze zijn gemaakt onder gewone omstandigheden (namelijk verondersteld, dat in de wijze van bereiding’ de voornaamste verbeteringen zijn aangebracht, in deze Verhandeling beschreven). Overigens werd daarvan uitge- gaan, dai een maximum aan „gemakhelijk vrijkomende zuurstof” (hetzij de totale hoeveelheid, maar vooral die van het oxy-zwavelzuur zilver S O,. 2 O. Ag) overeenstemt met een maximum aan zwiverheid van het product, dat trouwens eigentlijk van zelf spreekt. In dien zim uitgekozen, gaven analysen !) de volgende uitkomsten: N°11 Nowe IN LA: N° EG-N°,L7 N? 18 „gemakkelijk vrij- komende _zuur- stof”” (van oxy- zwavelzuur zilver) 4.67 (veeleer 4.67 4.55 4.52 4.73 — | 4.667) zilverbioxyde 62.01 62.36 — ee — zwavelzuur zilver 33.32 82.97 100. 100. Totaal gehalte van „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 8.53. *) Zie deze Verhandeling pag. 27, 33, 36, 39, 41. 4A ; OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. De formule 5 Ay, Os. 2 (S 0,. 3 O. Ago) = 5 Agg Og. 2 8 O, Ago vordert: „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 4.90 (van oxy-zwavelzuur zilver) zilverbioxyde 63.26 zwavelzuur zilver 31.84 100. Totaal gehalte aan ,,gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 8.98. Over de formule. Volgens deze gegevens en genoemde formule, die daaraan betrekkelijk voldoende beantwoordt, bevat het product van electrolyse wat te weinig aan „gemakkelijk vrijkomende zuur- stof” maar daarentegen wat te veel zwavelzuur zilver (zie iets ver- der over zilverbioxyde in dit opzicht). De zaak komt hierop neder, dat de electrolyse wel vrij zwavelzuur doet ontstaan, maar dat boven een zekere grens, het vrije zwavelzuur het zwarte lichaam ontleedt, en de reactie in tegengestelden zin verloopt: Dg, Oraal AP os O, HT == 18) lg ora le at by HO Het is duidelijk, dat de kans nog al groot is, dat het product van electrolyse meer of minder vrij zwavelzuur zilver bevat, in aanmerking genomen, dat dit zout in water betrekkelijk weinig oplosbaar is. En alleen door een voortdurend neutraliseeren, is dit bezwaar meer of minder te ontgaan. De analysen duiden, naar ’t schijnt, op een te laag gehalte aan zilverbioxyde, maar berekent men zilverbioxyde en zwavelzuur zilver volgens de (ten minste voor ’t oogenblik) aangenomen formule op 4.67 proc. „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van het oxy- awavelzuur zilver: S'O,. 3 O. Ag), dan vindt men de verhouding: „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 4.67 zilverbioxyde 60.29 Ans ie 1ouding zwavelzuur zilver 30.34 se theoretische ver- waaruit zou kunnen worden besloten, dat Bereiding N° 11 en “a $ N° 12 niet alleen eenig vrij zwavelzuur zilver maar tevens wat vrij zilverbioxyde bevatten. Maar men zal hierbij niet langer blijven OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 45 stilstaan, vooral wat betreft de aanwezigheid van vrij zilverbioxyde, om dit punt later onder handen te nemen. Alleen zij nog opgemerkt, dat zelfontleding aanleiding geeft tot de aanwezigheid dezer twee stoffen, waarvan het zilverbioxyde door vrij zwavelzuur slechts ten deele zou kunnen ontleed zijn. Door de som te nemen van 4.67 + 60.29 + 30.34 = 94.3, en dit af te trekken van 100, geeft dit: 100 — 94.3 = 5.7 proc. voor het zwavelzuur zilver en het zilverbioxyde. Een betrekkelijk gering verschil in gehalte aan „„gemakkelijk vrijkomende zuurstof” heeft dus grooten invloed op het gehalte van het zwarte lichaam aan zwavelzuur zilver en zilverbioxyde. In geval vrij zwavelzuur niet tusschenbeiden treedt of in geringe mate, kan de formule zeer wel worden bepaald; maar dit punt is nog nader te onderzoeken. In- derdaad bestaat er aanleiding te veronderstellen, dat de grootste hoeveelheid zwavelzuur zilver en tevens het zilverbioxyde (beiden vr te nemen), ingeval aanwezig, het resultaat zijn van zelfont- leding, aangezien de neutralisatie bij voortduring geschiedde (evenwel nog vatbaar voor verbetering), en de reactie per se toelaat de aan- wezigheid van een zekere hoeveelheid vrij zwavelzuur. Dit zoo zijnde, zal de gevonden verhouding van zilverbioxyde en zwavelzuur zilver wel zoo ongeveer kunnen beschouwd worden de werkelijke verhou- ding uit te drukken; in ieder geval kan men niet anders dan zich houden aan de gegevens der quantitatieve analysen. En die uit- komsten beantwoorden betrekkelijk voldoende aan de formule: 5 Ayo Oy. 2 (8 O,. 3 O. Ag), dat niet het geval is b.v. met de formule: 6 Ay, Os. 2 (8 O,. O03. Ag), of wat hetzelfde is: 8 Ag, O,. SO,. Où. Ago, in welk geval de verhouding voor zilverbioxyde en zwavelzuur zilver is: 3 Ag, O 5 Ags Où 22 — 2.38, dat te veel verschilt van tome, OS S'O, Ag, à 2 SO, Ag» (gevonden werd b.v. voor N° 11 de waarde van 1.86); terwijl het r = 2 Ar 9 oO; fa quotiënt voor 4 dg, O, en 2 SO, Ag, of Ja “2 __ 1 59, SO, Ady tevens van 1.98 te veel afwijkt. Over de formule nader in bijzonderheden. Voor peroxy-salpeter- zuur zilver was aangenomen de formule 3 47, O,. NO, Ag (vie de vorige Verhandelingen), en dezelfde argumenten kunnen gelden wat 46 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. betreft de formule 5 dg, O,, 2 (8° 0,. 3 O. Ag) van peroxy-awavel- zuur zilver, namelijk in zóóverre, als beide lichamen worden be- schouwd te zijn moleculaire verbindingen van zilverbioxyde en van, oxy-zwavelzuur zilver en oxy-salpeterzuur zilver. De overeenkomst dezer twee lichamen, wat betreft vorming en ontleding, is merk- waardig groot. Zoo geven deze twee lichamen bij verhitten met water zilverbioxyde, dat terug blijft, terwijl salpeterzuur zilver of zwavel- zuur zilver in oplossing treden, en zuurstof vrijkomt van het oxy- salpeterzuur of oxy-zwavelzuur zilver: 349,0. NO, Ag —349, 0, + NO; Ag +. 00 DAs 05.25 O, Ag, — 5 Ag, O52 OG En De verhouding van 5 : 2 zou bevreemding kunnen verwekken in verband met die van het andere lichaam, zijnde deze 3 : 1; maar, zooals reeds gezegd, de analytische gegevens laten geen andere verhouding toe. Om zich een meer eenvoudig denkbeeld te vormen van de structuur, zou men zich kunnen voorstellen van te doen te hebben met: 5 Ay, Os. 28 Of. 8 O. A9) = 5 Ag, O,. 2 SO A95 SS Ag, O03: SO; Aga + 2 Ay, Oy. SO, Ag, een verbinding dezer twee mole- culaire verbindingen. Maar deze wijze van de zaak op te vatten, bezit niet veel waarde, daar zij willekeurig is. Dan is beter aan ‚te nemen, dat de 2(8 0, 3 O. Ag.) = 2 SO, Ag, uitmaken één rest, zij deze b.v. S, O,, 49, = 28 0, Ag,, vereenigd met twee atomen zuurstof (2 0), aldus: Ag, Og 8 — O— O— 8 Og Ag. Het is duidelijk, wanneer de formule in werkelijkheid die is van 5 Ag, O,.2 8 O, Ag, de kans betrekkelijk groot is, dat de 28 met elkander zijn vereenigd. Wat de structuur betreft van den rest SO, H, (zie 2 8 Og Ags daaraan beantwoordende), zoo zou kunnen worden aangenomen b.v. de volgende: O—0O ard H O—0—0—S—0 H. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 47 De structuur van SO, H, (zie SO, Ag,) als zoodanig zou dan zijn: O—O / H O—0—0—S—O H. \\ O Maar uit een theoretisch oogpunt zal veel meer de structuur zijn (aie Sy O4 Ay): O Ca / | ¥ Bs vA H O—O—O—S—0 H / on YO HO 00 8-0 H LOR O0 zij dit zuur: OA = SO Hs; of zwavelzuur beschouwende als symmetrisch te zijn opgebouwd, O—O iA (b. v... als A O—S—O H): es M0 0 NT HO—S—0 H ER Tax HO—S—O H aa 00 AS OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER, De studie der electrolyse eener waterige oplossing van zwavelzuur zilver heeft gegevens verschaft van analytischen aard, en gaf aanleiding tot theoretische beschouwingen, dat alles schijnt te kunnen zamen gevat worden in hetgeen hieronder volgt. 1°. De electrolyse eener waterige oplossing van zwavelzuur zilver biedt vele bezwaren aan, als gevolg der geringe oplosbaarheid van dit zout. En dan meende men nog de concentratie eener verzadigde oplossing tot de helft 4) te moeten terug brengen (ten einde de aanwezigheid van vrij zwavelzuur zilver in het product van electrolyse zooveel mogenlijk te ontgaan). Het resultaat is, dat de concentratie zoo ongeveer Monderd maal geringer is dan die der oplossing van zilvernitraat (waarmede vroeger werd gewerkt); en men kan begrij- pen, met welke bezwaren hier valt te strijden. Vooral is het vrije zwavelzuur, bij electrolyse ontstaan, te verwijderen, want boven zekere grens tracht dit de reactie ten deele te doen omkeeren, zóó- danig, dat het zwarte product opnieuw wordt omgezet in zwavel- zuur zilver. 2°. Zal men dit bezwaar meer of min ontgaan, dan moet de oplossing b.v. tijdens de electrolyse bij voortduring worden geneutrali- seerd, terwijl de electrolyse eenige dagen vordert (dag en nacht) zal men een hoeveelheid stof hebben, voldoende voor een goede analyse. En daartoe werd een toestel ingericht, die toelaat de op- lossing te doen filtreeren door koolzuur zilver, en dat door middel van een schroef van Archimedes, in beweging gebracht door een uurwerk (op zijn beurt in beweging gebracht door een gewicht van 50 kilogr.), welke schroef zich meester maakt van een deel der op- lossing (door electrolyse zuur geworden), en wel nabij de anode, om haar te werpen op een filtrum met koolzuur zilver, en, meer of min geneutraliseerd, terug le doen keeren nabij de kathode; en zoo steeds voortgaande. Hen reeks van opeenvolgende wijzigingen 2) was noodig, ten einde het doel te bereiken, dat men nastreefde, en is nog niet afgesloten. 3°. Het lichaam in questie is #ristallijn, als het geval is met peroxy-salpeterzuur zilver, maar de kleur van het eerste is minder zwart dan die van het andere product. De kristallen (welke oogen- schijnlijk denzelfden vorm hebben als die met salpeterzuur zilver) zijn eveneens slechts met een microscoop waar te nemen en vereenigd tot een soort naalden (en deze meer of min vertakt), terwijl ook dit lichaam ') Zie deze Verhandeling, pag. 18, 37. 1), Lees 26 ROB Tens OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 49 een vrij goede geleider is voor electriciteit (en als gevolg daarvan bij electrolyse de rol vervallende van anode). | Bij verhitten met water, blijft terug zi/verbiowyde ') Ag, O (gelijk dit het geval is met het peroxy-salpeterzuur zilver). 42, De verbinding, voorloopig genoemd peroay-zwavelzuur zilver, heeft veel analogie met perory-salpeterzuur zilver. Zoo is de for- mule van de laatste terug te geven door: a Ag, O,. y (N Og. z 0. Ag) en die der eerste door: # Ag, O, y (S O,. 20. Ay), zich vooral baseerende op het feit, dat bij verhitten met wafer zilverbioxyde terugblijft, zuurstof vrijkomt, terwijl salpeterzuur of zwavelzuur zilver in oplossing treden. Wat betreft de waarden der coëfficienten æ,y en z, zoo schijnen de analysen ?) te leiden tot de formule 5 Ags Oo, 2 (8S 0,3 O, Ago), of 2= 5, y= 2 enz = 3, dus 5 Ag, 0,2 SO, Ag. Maar het is mogelijk, dat latere analysen er toe 2 leiden, im deze formule eenige verandering te brengen, daar het product van electrolyse nog niet voldoende zuiver is verkregen (wel- licht kan die graad van zuiverheid niet worden bereikt). Voor ’t oogenblik moet men zich in ieder geval aan deze formule houden, en dan bestaat er aanleiding het bestaan aan te nemen van een zuur ®) S, 0, H, = 8 0,5. 4 0H, en dat wel eerder dan die van SO, H, =SO;, 20 M. Het lichaam is overigens vrij van water f), zooals werd aangetoond met denzelfden toestel van vroeger. Het bezwaar, waarmede men te kampen heeft, is gelegen in den aard van ’t lichaam, van onderhevig te zijn aan ze/fontleding, en ? D % A ‘ tevens ontleed te kunnen worden door vrij zwavelzuur, als gevolg der electrolyse ontstaan. En het is juist de combinatie dezer twee bronnen van afwijking, gepaard met de beperkte oplosbaarheid, die iedere redeneering zou kunnen doen falen, gegrondvest op gege- vens van analytischen aard. Waarschijnlijk zou het geheel ook te kort schieten, indien het product in questie niet een vrij goede geleider was voor electriciteit, als gevolg van welke eigenschap het electro- lytische” afzetsel de rol vervult van azode; en er bestaat grond voor het vermoeden, dat wat ontleed wordt zich herstelt, ten minste ten deele, aangezien met reden wordt verondersteld, dat zich overal elec- trolytische vrije zuurstof bevindt, waar zich bevindt genoemd afzetsel als electrolytisch product. Overigens is aangenomen, dat een maximum aan „gemakkelijk = » Ss So No 50 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. vrijkomende zuurstof” (van het oxy-zwavelzuur zilver, zij dit SO, 2 0. 47,) beantwoordt aan een maximum van zuiverheid; terwijl analysen met betrekking weinig „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” zijn ter zijde gelaten. Volgens genoemde formule zou 1 molecuul van het lichaam 11 O „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” geven, alles te zamen genomen. Berekend op 100 gew. d. verschilt deze hoeveelheid betrekkelijk weinig van die geleverd door peroxy-salpeterzuur zilver (8.98 en S.46). De verhouding der „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oxy-zwavelzuur zilver en zilverbioxyde in het peroxy-zwavelzuur zilver en peroxy-salpeterzuur zilver, zou zijn die van 6:5 en 2:3 (of 6: 9). 5. De wijze van analyse van het product is gegeven 5. De in t algemeen gevolgde weg is in hooge mate eenvoudig, en ook daardoor aangewezen, van zeer nauwkeurige analytische uitkomsten te kunnen geven, namelijk wit het oogpunt van analyse. Nadat de stof eerst is behandeld met water, en daarna met salpeterzuur, terwijl in beide gevallen wordt verwarmd (in een reageerbuis), om later het vloeibaar gedeelte te doen verdampen (in een vacuum- exsiccator), verkrijgt men twee getalwaarden, zij deze A en B, waarvan À voorstelt „de gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxy-zwavelzuur zilver ($ 0, z O. Ágs), terwijl door middel van B kan berekend worden het gehalte aan zzlverbioayde, dat op zijn beurt leert kennen het gehalte aan zwavelzuur zilver (want het terug- blijvende, na verhitten met water en indampen, is een mengsel dezer twee stoffen), terwijl deze drie lichamen zamen de oorspron- kelijke stof vormen. Directe bepalingen, vooral van zwavelzuur zilver, strekken ter contrôle van de gevolgde methode. Terwijl men de studie van het peroxy-zwavelzuur zilver hoopt te vervolgen, is het voornemen in de eerste plaats, daarvan nog ver- scheiden analysen te doen; terwijl de omstandigheden, waaronder het wordt gemaakt, zooveel mogelijk zullen gewijzigd worden, en dat ter contrôle, voor zooverre betreft de samenstelling van dit product. Het bestaan toch van een zuur der formule SO, 1, of Li ) 1.0. pag. sat: OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER, 51 S, O4 H, = 280, H, (het overzwavelzuur ') zou tot formule hebben #, Og Hy) verdient wel een genoegzaam strenge studie. Ook handelt het hier om een reeks van verbindingen van zilver- bioxyde met een zilverzout van oxy-zuren (belangrijk in tweeërlei opzicht, en als zóódanig, maar vooral met ’toog op de oxy-zuren), wier gebied (namelijk van gemelde reeks) zich zonder twijfel tevens uitstrekt tot de scheikunde der koolstofverbindingen, en ook in die richting zal gearbeid worden. Utrecht, 25 Juni 1898. (6 Augustus 1898). *) Zie de volgende Verhandeling. ae AE BEI ee ie te D re “(EERSTE SECTIE.) 4 Deel VI. N°. 6 st (Met Portret en 3 Platen.) pe : AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. April 1899. Ket y aa HN NAPIERS WERKEN A. GRAVELAAR. ŒERSTE SECTIE.) Deel VI. N°. 6. (Met Portret en 3 Platen.) 4 AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. 1899. 1 eae curieux de connaître la marche souvent indirecte et pénible des inven- s pas, qu'ils ont faits pour parvenir au but, et combien on est rede- cer véritables bienfaiteurs des hommes. Cette connaissance d’ailleurs n’est pas riosité: elle peut servir à guider dans des recherches semblables, et elle sert andre une plus grande lumière sur les objets, dont on s’occupe. LE L < 20 Lagrange. F 1% | v y Gs ak | hrs wep dr Bar Laye INLEIDING. John Napier ') was de oudste zoon van den nauwelijks, zestien jaar ouderen Archibald Napier en Janet Bothwell. Hij werd in 1550 te Merchiston bij Edinburgh geboren. Zijn achterbetover- grootvader en naamgenoot John Napier was gehuwd met een achter- kleindochter van den in 1425 onthoofden graaf van Levenax, Duncan VIII, met wien Jacobus VI, koning van Schotland, zoon van Maria Stuart, door zijn vader Darnley in denzelfden graad verwant was. Naar luid van een familielegende verwierf zich in de veertiende eeuw de stamvader der Napier’s, Donald, tweede zoon van den graaf van Lennox, door zijn ongeëvenaarde dapperheid op het slag- veld, van David II, koning der Schotten, aanzienlijke bezittingen en den eernaam van Na-Peer, den Weergalooze, dien hij als familie- naam aannam. John Napier zou zich dien eernaam waardig betoonen. Op dertienjarigen leeftijd, twee maanden vóór den dood van zijn moeder, die den 20%" December 1563 overleed, werd ,,Johan- nes Neaper” ingeschreven als student aan St-Salvator’s College te St-Andrews, waar zijn naam evenwel onder die der baccalaurei van 1566 miet meer voorkomt. ") Napier zelf spelt zijn naam: 1) Jhone Neper en Jhone Nepair, zeldzamer John Napeir en Jo. Nepar, in brieven, akten, enz.; 2) Joannes Neperus in zijn Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614), Rabdologia (1617) en Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (1619); 3) Joannes Naperus in een onvoltooid MS over algebra; 4) John Napeir in zijn A Plaine Discovery of the whole Revelation of St John (1593, 1594 en 1611), alsmede in de Fransche uitgaven van dit werk (1602, 1605, 1605 en 1607), ,reueue par lui-mesme”’; 5) John Nepair in Wright's vertaling van de Descriptio (1616 en 1618), „perused and approued by the Author”. Verder vindt men den naam gespeld als: Naipper, Napar. Napare, De Napeier, Naper, Napier, Napper, Neaper, Nepeir, Nepier en Nepper. De oudste vorm, Neper, komt reeds in de vijftiende eeuw voor; de jongste, Napier, de tegenwoordige familienaam, o. a. in den vijfden druk van A Plaine Discovery (1645), 6 JOHN NAPIER'S WERKEN. Vermoedelijk verliet hij St-Andrews, om zijn studiën aan de universiteit te Parijs voort te zetten: reeds in 1560 had zijn oom Adam Bothwell aan zijn vader geschreven : „IL pray vou, Schir, to send your sone Jhone to the schuyllis; oyer to France or Flan- daris; for he can leyr na guid at hame, nor get na proffeit in this maist perullus wordle”. In 1571, toen zijn huwelijk met Elizabeth Stirlmg werd voor- bereid, bevond Napier zich weer in Schotland 4). Einde 1572 had de huwelijksvoltrekking plaats. In 1574 werd er voor hem een fraai slot opgetrokken aan de Endrick. Aan de overzijde van de rivier lag een vlasmolen. Men verhaalt, dat Napier, om in zijn wetenschappelijke overpeinzingen niet gestoord te worden, den molenaar meermalen liet verzoeken, den molen stil te doen staan ?). In 1579 overleed Napier’s echtgenoote, na hem een zoon, Archi- bald, die in 1627 met den titel lord Napier in den adelstand werd verheven, en een dochter, Janet, geschonken te hebben. John Napier zelf was geen edelman; als landheer teekent hij zich Laird of Marchistoun en Baro Merchistoniü, als leenman van zijn vader Fear of Marchistoun °). Éenige jaren na den dood van zijn eerste vrouw trad Napier in het huwelijk met Agnes Chisholm, die hem overleefde. Zij schonk hem vijf zoons en. vijf dochters, van wie de tweede zoon, Robert, zich door de uitgaaf van zijn vaders litteraire nalatenschap de meeste bekendheid heeft verworven. Na den dood van zijn vader, in 160$, betrok Napier Merchiston Castle. Op rijper leeftijd schijnt hij aan jicht geleden te hebben 4). Bij nagenoeg alle gebeurtenissen, waaraan de geschiedenis van Schotland in de tweede helft van de zestiende eeuw onder de regeering van Maria Stuart en Jacobus VI zoo rijk is geweest, waren aanverwanten van Napier betrokken. In 1571/72 tijdens de „King and Queen’s Wars” werd Mer- chiston Castle zelfs meermalen, schoon vruchteloos, door de ,,Queen’s men” belegerd. ") Het is mij. niet bekend, uit welke bron Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2ter Band, Leipzig 1892, p. 643, zijn mededeeling heeft geput, „dass er [Napier] als ganz junger Mann eine Reise durch Deutschland, Frankreich und Italien machte, von der er 1571 wieder nach Schottland zurückkehrte, welches er nie wieder verliess”, *) Cajori, A History of Elementary Mathematics with Hints on Methods of Teaching, New York and London 1896, p. 155. *) In den vijfden druk van A Plaine Discovery (1645) luidt de onderteekening van de opdracht abusievelijk: John Napier, „Peer! of Marchiston. “) Hume, Traité de la Trigonometrie, Paris 1636, 1ste Deel, p. 116. ~ INLEIDING. De mislukte aanslag van Philips Il op de onafhankelijkheid van Engeland, Schotland en de Nederlanden in 1588 en diens onaf- gebroken pogingen, om na den ondergang van de Onoverwinnelijke Vloot met de Katholieke edelen in Schotland verbintenissen aan te knoopen, deden Napier, als vurig Calvinist, zijn rol van lijdelijk toeschouwer verwisselen met die van wakker kampvechter voor de zaak der Hervorming. In 1588 koos de kerkeraad van Edinburgh hem tot een van zijn afgevaardigden naar de Algemeene Vergadering. Im October 1593 behoorde hij tot een deputatie van zes leden, die bij Jaco- bus VI moest aandringen op de bestraffing der ,,Popish rebels”, waarvan Napier’s schoonvader, Sir James Chisholm of Cromlix, er een was. En de opdracht aan Jacobus VI van zijn eerstlings- arbeid, A Plaine Discovery of the whole Revelation of St John, neergesteld, opdat „hereby the simple of this Hand may be instructed, the godly confirmed, and the proud and foolish expectations of the wicked beaten downe’’, dateert van den 295% Januari 159% 4). Therefore, Sir’, zoo richt Napier zich vrijmoedig tot den koning, „let it be your M. continuall study (as called and charged there- unto by God) to reforme the vniuersall enormities of your country, and first (taking example of the princely Prophet Dauid) to begin at your M. owne house, familie and court, and purge the same of all suspicion of Papists, and Atheists or Newtrals, wherof this Reuelation foretelleth, that the number shall greatly increase in these latter daies. For shall any Prince be able to be one of the destroiers of that great seate, and a purger of the world from Antichristianisme, who purgeth not his owne countrie? shal he purge his whole country, who purgeth not his owne house? or shal hee purge his house, who is not purged himselfe by priuate medi- tations with his God? I say therefore, as God hath mercifully be- gunne the first degree of that great worke in your inward minde, by purging the same from all apparant spot of Antichristianisme, as that fruitfull meditation vpon the 7. 8. 9. and 10. verses of the 20. Chapter of the Reuelation, which your highnes hath both godly and learnedly set forth, doth beare plaine testimony, to your M. high praise and honour: So also wee beseeche your M. (hauing consideration of the treasonable practises in these present daies, attempted both against Gods trueth, your authoritie, and the common wealth of this countrie,) to proceede to the other degrees of that reformation, seuen orderly from your M. owne persone till *) 1593 OS, 1594 NS. Onder OS begon in Schotland het jaar den 25sten Maart. 8 JOHN NAPIER'S WERKEN. your highnes familie, and from your family to your court. Til at last, your M. whol country stand reformed in the feare of God ready waiting for that great day, in the which it shall please God to call your M. or yours after you, among other reformed Prin- ces, to that greate and vniuersall reformation, and destruction of that Antichristian seat and citie Rome, according to the wordes prophecied, Apoc. 17. saying: The ten horns are ten Kings, &c. These are they that shall hate that harlot, and shall make her desolate and naked, and shall eate vp her flesh and burne herselfe with fire.” | Van den 7% Juni 1596 eindelijk dagteekenen Napier’s „Secrett inuentions, proffitable & necessary in theis dayes for defence of this [land & withstanding of strangers enemies of Gods truth & relegion” 1), waaromtrent evenwel niets naders bekend is. Wanneer evenwel noch zijn maatschappelijke positie noch zijn godsdienstige overtuiging hem dwongen, om zich met de publieke zaak in te laten, dan wijdde hij zich uitsluitend aan de administratie der bezittingen van zijn familie, hem door zijn vader toevertrouwd, aan de verbetering van den landbouw, die toenmaals in Schotland nog op een zeer lagen trap van ontwikkeling stond, en aan de 3) Anno Dm 1596 the 7 of June Secrett inuentions, profitable & necessary in theis dayes for defence of this lland & withstanding of strangers enemies of Gods truth & relegio. First the inuentio proofe & perfect demonstratio geometricall & alegebricall of a burning mirrour which receuing the dispersed beames of the sonne doth reflex the same beames alltogether united & concurring priselie in one mathematical] point. In the which point most necessarelie it ingendreth fier, with an euident demonstration of their error who affirmeth this to be made a parabolik sectio. The use of this inuentid serveth for burning of the ennemis shipps at whatsoeuer appointed distance. Secondlie the inuentid & sure demonstratiö of an other mirrour which receuing the dispersed beames of any materiall fier or flame yealdeth allsoe the former effect, & serueth for the like use. Thirdlie the inuentio & visible demonstration of a peice of Artillery, which shott pas- seth not linallie through the armie distroying onlie those that stand on the randon thereof, & fra them furth flying idly as others doe but passeth superficially ranging abrode within the whole appointed place, & not departing furth of the place till it hath executed his whole strength by distroying those that be within the bounds of the said place. The use hereof not onlie serueth greatlie against the Armie of the Enemy on land but allsoe by sea it serueth to destroy & cut downe & one shott the whole masts & tackling of so many shippes as be within the appointed bounds as well abried as in large so long as any strength at all remayneth. Fourthlie the inuentid of a round chariot of mettle made of the proofe of dooble muskett which motio shall be by those that be within the same more easie more light & more spedie by much then so manie armed men would be otherways. The use hereof as well in mouing serueth to breake the array of the enemis battle INLEIDING. 9 studie van zijn lievelingswetenschappen, de theologie en de mathe- matiek, waarbij voornamelijk de vraag naar een duidelijke ver- klaring van de Openbaring van Johannes en die naar hulpmiddelen ter bekorting van de omslachtige becijferingen der spherische astro- nomie zijn geest bezig hielden. Met de meeste oudere en nieuwere werken over wiskunde was Napier bekend; uitdrukkelijk vermeldt hij Euclides, Regiomontanus, Coppernieus, Reinhold, Stevin, Van Lansberge, Pitiscus en Adriaen Metius. Als wiskunstenaar had hij zich onder zijn landgenooten reeds naam gemaakt lang vóór zijn uitvinding van de logarithmen, zooals blijkt uit Skene’s De Verborum Significatione, Edinburgh 1597, waar men bij de verklaring van ,,particata vel perticata terra’”’ o. a. vindt aangeteekend: „But it is necessare, that the measurers of land, called landimers, in Latin agrimensores, obserue. and keep, ane just relation, betwixt the length and the bredth of the measures quhilk they vse in measuring of landes, quhairanent I finde na mention in the lawes and register of this realme, albeit ane ordinance the- reanent be maid be king Edward the first, King of England, the 33. zeir of his reigne: and because the knawledge of this mater is very necessare, in measuring of lands, dayly vsed in this realme, I thought gud to propone certaine questions, to Iohn Naper, fear of Merchistoun, ane gentleman of singuler judgement and lear- ning, specially in the Mathematicque sciences. The tenour quhairof, and his answeres maide thereto followis.”’ 4) & to make passage as allsoe in staying & abiding within the enemis battle, it serueth to destroy the environed enemy by cotinuall charge & shott of harquebush through small hoalls. The Enemy in the meane time being abased & alltogether uncertaine what defence or pursuit to use against a mouing mouth of mettle. These inuentions beside deuises of sayling under the water with diuers other deuises & strategems for harming of the enemyes by the grace of God & worke of exspert craftesmen I hope to perform. Jo Nepar fear of Marchistoun. *) Napier’s antwoorden luiden: „First, be quhat rule sall we vnderstande the length and bredth of the fall? It is answered: There is twa sortes of falles, the ane lineall, the vther superficiall: the lineall fall, is ane met-wand, rod, or raip, of sex elnes Jang, quhair be, length and bredth, are seuerally met. Ane superficiall fall of lande, is sa meikle boundis of landes, as squairly conteinis ane lineall fall of bredth, and ane lineal] fall of length, quhairof followis, that be the lineall fall, lande is measured, and be the superficial] fall, lande is rekned. Nowe quhair it is inquired be quhat rule the length and bredth of ane fall sall be vnderstand. I answer, That quhen-so-euer the elnes of bredth being multiplied be the elnes of jength, do produce 36. elnes: the number product, is ane superficiall fall: and the saide bredth and length, are the just bredth and length that makis ane fall. Swa 36. elnes lang, of ane elne broad, are ane fal of land. Item, auchtene elns lang, twa elnes broad, are the like: alswa, twelue elnes lang, of three elnes broad, Or nine elnes lang of foure 10 JOHN NAPIERS WERKEN. ~ Een onverwelkbaren roem evenwel verwierf Napier zich pas door zijn Wonderbaren Canon der Logarithmen: als den „King of Num- bers’ nam het dankbare nageslacht hem op onder de Heroén der Wetenschap. De inspanning, aan de samenstelling van den Canon Logarith- morum verbonden, schijnt Napier’s gezondheid ondermijnd te heb- ben. Nauwelijks drie jaren na de voltooiing, den 4%" April 1617, overleed hij 5); zijn stoffelijk overschot werd in de sedert vernieuwde eines broad, are ane fall. Lastly, sex elnes alwayis, that is to say, sex elnes lang, and sex elnes broad, makis ane fall. To this fall the little ruid, or ruid of warke, or of buirdes, or of maisone or sklait warke, is equal, quhilk is maist properly the ruid, as after followis. Secondly, how mony kindes of ruids are in vse? Answer, Twa, quhair-of the ane is proper, the vther improper. The ruid properly, is ane superficiall fall, and conteinis threttie sex squair elnes: Ane squair elne, being the boundes of ane elne in breadth, and ane elne in length, squarely inclused. The vther vulgare and improper ruide of lande, conteinis fourtie of thir former ruides, or superficiall fallis, and is the quarter of ane aiker of lande, because foure of thir ruides makis ane aiker as saide is. Thridly, be quhat rule may the just measure of ane aiker in length and breadth be vnderstand? It is answered, Multiply be Arithmeticall multiplication, the number of the falles that ar in the length of the land, be the number of fallis that are in _the bredth thereof: Euerie aucht-score fallis of the number produced, and resulting of the said multiplication, is ane aiker: and therefore aucht-score fallis of length, and ane fall of bredth, makis ane aiker: and foure-score fallis of length, and twa fallis of bredth, makis ane aiker. Item fourtie fallis of length, and foure fallis in bredth makis ane aiker. Alswa twentie fallis in length, and aucht fallis in bredth, makis ane aiker. Lastly, ten fallis in bredth, and sextene fallis in length makis ane aiker. Fourtly, seing there is ane kinde of measuring of land be Rod, and raip: quhat is the forme thereof? And gif there be ony maa forms; how are they called? and quhat is the forme and maner of the samin? It is answered. There be knawin to expert Mathematiciens, mony and diuers wayes to mette land, all agreand togidder in ane, bot of the vulgar people there is bot ane forme of metting vsed and vnderstand, to wit, be rod and raip, that is to say, be ane rod or gade of sex elnes Jang: Or be ane string or coard, of sex elnes lang, stented betwixt twa staues. The coarde being ane schaft length abone the pykes, or nether endes of the staues. The said rod or raip, or either of them, is called ane fall: to wit, the lineall fall foresaid. With these fallis, ilke square piece of lande, is met ouer the middis, quhat fallis and elnes it hes of length, and thereafter is met croceouer the middis, quhat fallis and elnes it hes of bredth. Thereafter the fallis and elnes of the length on the ane pairt, and the fallis and elnes of the bredth, on the vther pairt, are multiplied togidder, and the producte schawis the number of the aikers, ruides, elnes, quhilk the said piece of land conteinis. As for example, gif the piece of land be 51. fal, three elnis of length, and 10. fallis 2. elnis - = ihe ig : 1 : F AG . of bredth: multiply 51. fallis 3. elnis. or 51>. fallis to be 10. fallis 2. elnis: Or be 1 ° > Ee : : c à . ‘ 105, fallis; The product will amount to 532 5: fallis: Or 532. fallis, 6. elnis: quhair- of euery aucht-score fallis ar ane aiker. Swa 532. fallis 6. elnis, are three aikers and ane quarter, 12. fallis, and 6. elnis of met land.” !) Soms vindt men 1616 en 1618 als Napier’s sterfjaar opgegeven, wiens testament evenwel spreekt van „the rycht honorabill Jon Naipper of Merchinstoun... quha deceist upon the fourt day of Appryle the yeir of God im vie and sevinteine yeiris”. INLEIDING, 11 St-Cuthbert’s kerk buiten de West Port van Edinburgh bijgezet }). Voor uitvoeriger inlichtingen omtrent Napier verwijs ik den lezer naar: Mark Napier, Memoirs of John Napier of Merchiston, his Lineage, Life, and ‘Times, with a History of the Invention of Logarithms, Edinburgh and London 1834, 4°. 534 pp., waaraan de medegedeelde levensbijzonderheden meerendeels ont- leend zijn. Naar tijdsorde van hun verschijnen gerangschikt, schreef Napier: 1) Een duidelijke verklaring van de gansche Openbaring van Johannes (A Plame Discovery of the whole Revelation of St John), Edinburgh 1593, waarin o. a. de aanvang van den Dag des Oor- deels tusschen 1688 en 1700 n. Chr. wordt gesteld. 2) Beschrijving van den wonderbaren Canon der Logarithmen (Mirifict Logarithmorum Canonis Descriptio), Edinburgh 1614, met toepassing op de driehoeksmeting. 3) Roerekening (Rabdologia), Edinburgh 1617, met een aan- hangsel over de Voorraadkamer der Vermenigvuldiging (Promptua- rium Multiplicationis) en een over de Plaatselijke Rekenkunde (Arithmetica Localis). 4) Samenstelling van den wonderbaren Canon der Logarithmen (Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), Edinburgh 1619, met een aanhangsel Over de berekening van een ander en beter soort van logarithmen (De alia eñque preestantiore Logarithmorum condenda), met Toelichtingen (Lucubrationes) van Briggs, den ,,Sa- tellite of Napier”, en een over Stellingen voor de oplossing der boldriehoeken volgens een gemakkelijker methode (Propositiones ad triangula sphærica faciliore calculo resolvenda), met Aanteekeningen (Annotationes), eveneens van Briggs. Dit werk werd twee jaren na Napier’s dood uitgegeven door diens zoon Robert. 5) Rekenkunde (Ars Logistica), een onvoltooid MS, en Algebra, eveneens een onvoltooid MS, van een Inleiding voorzien en samen uitgegeven door Mark Napier onder den titel: De Arte Logistica, Edinburgi 1539. Van A Plaine Discovery of the whole Revelation of St John verschenen in de Engelsche, Fransche, Duitsche en Nederlandsche taal onderscheiden uitgaven als zooveel bewijzen, hoezeer dit werk, *) Il mourut l'an 1616. & fut enterré hors la porte Occidentale d’Edinbourg, dans l'Eglise de Sainet Cudbert. Hume, Traité de la Trigonometrie, Paris 1636, 1ste Deel, p. 116. 12 JOHN NAPIER’S WERKEN. waarin de Paus voor den Antichrist werd verklaard, in den smaak viel van de Protestanten dier dagen. Van de Rabdologia zagen drie Latijnsche, een Italiaansche en een Nederlandsche editie het licht; de virgulæ numeratrices vonden als Napier’s bones, speaking-rods, künstliche Rechenstäblein, Nepper’s Rechenstäbchen, bâtons népériens, telroetjes en rekenstaafjes op vele rekenscholen in Schotland, Engeland, Frankrijk, Duitschland en de Nederlanden ingang. Minder succes hebben de werken gehad, waaraan Napier zijn wetenschappelijken roem verschuldigd is, zijn Mirifici Logarithmorum : Canonis Descriptio en Constructio. Dit verschijnsel vindt zijn ver- klaring in de omstandigheid, dat de logarithmen van den Canon Mirificus spoedig hebben moeten wijken voor een bruikbaarder soort, waaraan meestal, met voorbijgang van Napier’s aandeel in de aangebrachte verbetering, uitsluitend de naam van Briggs, den samensteller van de Arithmetica Logarithmica, Londini 1624, wordt verbonden. Buitendien waren reeds vijf jaren vroeger verschenen Speidell’s New Logarithmes, the First inuention whereof, was, by the Honourable Lo: Iohn Nepair Baron of Marchiston, and Printed at Edinburg in Scotland, Anno: 1614, [Londen] 1619, onze natuur- lijke logarithmen met e = 2,7182818284... als grondtal, die niet wezenlijk van Napier’s logarithmen verschillen, aangezien de Canon Mirificus, als men numeri en logarithmen door tien millioen deelt, overgaat in een tafel met 1/e = 0,3678794412... als grondtal. Misleid door deze overeenkomst, hebben zelfs historieschrijvers van naam, o. a. Montucla 5, zonder de bronnen te raadplegen, Napier’s logarithmen zonder meer met die van Speidell vereenzel- vigd, „obgleich die letzteren mit jenen nicht so ganz einerley sind”, zooals reeds Karsten *) noodig vond op te merken ®). *) On n’a cependant pas entièrement rejeté la forme des logarithmes de Neper pour les nombres naturels. Ils ont leur usage dans la géométrie transcendante; car ils repré- sentent les aires de hyperbole équilatère entre les asymptotes, l’unité étant la valeur da carré inscrit; c'est pourquoi on les nomme hyperboliques. Montucla, Histoire des Mathématiques, Paris 1799, p. 21 (de eerste druk ver- scheen in 1758). *) Karsten, Lehrbegriff der gesammten Mathematik, 2ter Theil, 1ster Abtheilung, Greifswald 1786, p. 194. *) Niettemin vindt men Montucla’s dwaling o. a. terug bij: Callet, Tables portatives de Logarithmes, Paris 1795, p. IV. De Montferrier, Dictionnaire des Sciences Mathématiques pures et appliquées, Tome II, Paris 1836, p. 186. Duhamel, Des Méthodes dans les Sciences de Raisonnement, 2ième Partie, Paris 1866, p. 282. INLEIDING. 13 „On devrait s’attendre’’, mocht Biot 1), die over Montucla’s handel- wijze in scherpe woorden den staf breekt, niet zonder grond oor- deelen, „à en trouver une plus juste estime dans l'Histoire de l’astro- nomie par Delambre ?), à qui ne manquait ni la connaissance des méthodes logarithmiques actuelles, ni Pamour de la vérité. Mais, par un défaut de philosophie qui se fait trop remarquer dans son ouvrage, il n’emploie pas seulement la simplicité de nos formules modernes pour mettre au grand jour les idées de Napier, ce qui serait leur véritable usage, il traduit imparfaitement ces idées en formules modernes, leur donne ainsi pour base une approxima- tion empirique qu'elles n’ont point et qui est positivement opposée à Vesprit de Napier. Puis, ainsi défiguré, il Pexamine, lui demande compte d’inexactitudes qu'il n'a pas commises, de fautes qu’il lui attribue par sa propre erreur, après quoi il en porte un jugement qui, pour être bienveillant et approbatif, n’en est pas moins faux.” „Si je parviens”, zoo besluit hij de inleiding van zijn Analyse et restitution de l'ouvrage original de Napier, „à le retirer ainsi du tombeau où lont enseveli les commentateurs..., je croirai avoir donné un sujet de satisfaction véritable aux savants éclairés qui aiment la gloire de leurs prédécesseurs comme leur héritage, et se trouvent heureux de pouvoir rendre un juste hommage à leurs travaux.” 5) Briot, Leçons d’Algébre, 2ième Partie, Paris 1868, p. 113. De Comberousse, Cours d’Algébre Supériere, lière Partie, Paris 1887, p. 415. Baltzer, Die Elemente der Mathematik, 1ster Band, Leipzig 1868, p. 117. Brockhaus’ Konversations-Lexikon, 11ter Band, Leipzig, Berlin und Wien 1894, p. 253. Humblin Smith, Elementary Algebra, London 1885, p. 337. Halland Knight, Higher Algebra, London and New York 1888, p. 190. Van Swinden, Grondbeginselen der Meetkunde, Amsterdam 1790, p. 134. De Gelder, Wiskundige Lessen, 2de Cursus, Den Haag 1809, p. 356. Amelse, Lessen over de Algebra of Stelkunst, Leyden 1829, p. 350. Smaasen-Bierens de Haan, Gronden der Hoogere Algebra, Amsterdam 1855, p. 89. Winkler Prins, Geïllustreerde Encyelopædie, 10de Deel, Rotterdam 1886, p. 308. Bos, Leerboek der Algebra, 3de Deel, Nijmegen 1887, p. 10. Van Laar, Leerboek der Algebra, 2de Deel, Leiden 1889, p. 32. Landré, Algebraïsche Hoofdstukken, Utrecht 1891, p. 225. Lobatto-Rahusen, Lessen over de Hoogere Algebra, Sneek 1892, pp. 375 en 381. Jaeger, Aphorismen en Curiosa, Haarlem [1894], p. 67. Van Leeuwen, Het een en ander over de logarithmen der getallen, in: Archimedes, Tijdschrift voor Lagere Wiskunde, 6de Jaargang, Zutphen [1897], pp. 65 en 98, *) Biot, Memoirs of John Napier of Merchiston, etc.; Analyse et restitution de l'ou- vrage original de Napier, intitulé: Mirifici logarithmorum canonis constructio, in: Jour- nal des Savants, Année 1835, Paris 1835, p. 209. . *) Delambre, Histoire de l’Astronomie moderne, Tome I, Paris 1821, p. 491. 5); Biot; t. a. p., pi 2616 14 JOHN NAPIER’S WERKEN. Sedert hebben Bernhardt 5, Wackerbarth 7), Günther %) e. a., schoon minder welsprekend, opnieuw pogingen in het werk meenen te moeten stellen, om Napier’s arbeid recht te doen wedervaren: Die Geschichte ist in Wahrheit die Wissenschaft der Pietät. A. Dove. 2 ) Bernhardt, Die Neper’schen Logarithmen, Wittenberg 1842. *) Wackerbarth, Logarithmes hyperboliques et logarithmes népériens, in: Les Mondes, Tome XXVI, Paris 1871, p. 626. *) Günther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissen- schaften, Leipzig 1876, p. 271. ONDERWERPEN EN PUNTEN, DIE IN NAPIER’S WISKUNDIGE WERKEN BIJZONDER DE AANDACHT VERDIENEN. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. 1) De verklaring van den aard en de eigenschappen der loga- rithmen van den Canon Mirificus. 2) De beschrijving van de inrichting van den Canon Mirificus. 3) Het opzoeken in den Canon Mirificus van de logarithmen bij de numeri, en omgekeerd. 4) De verklaring van den Regel van Napier voor de oplossing van den rechthoekigen en den rechtzijdigen boldriehoek. 5) De regels voor de berekening der hoeken van een boldrie- hoek uit de drie zijden: sin + À = V {sin (s — 6) sin (s — c)/sin b sin cj; cos + À = V {sin s sin (s — a)/sin b sin c}; tang À à : tang À (6 +- c) = tang $ (6 — cc): tang }(b + ©), waar 6 en c de projecties van 6 en ¢ op a aanduiden. Rabdologia. 1) De instrumentale hulpmiddelen bij de uitvoering van ver- menigvuldigingen, deelingen en worteltrekkingen. 2) De uitvoering van een deeling tot in drie decimalen onder vermelding van Stevin’s Arithmetica Decimalis. 3) Een voorbeeld van een verkorte vermenigvuldiging. 4) Het voorkomen van de komma als decimaalteeken in de voorbeelden, onder 2) en 3) bedoeld. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio. 1) De verklaring van de schrijfwijze der tiendeelige breuken met de stip als decimaalteeken. 2) De bepaling van grenzen voor sommen, producten, verschillen en quotienten van tiendeelige benaderde waarden. 16 JOHN NAPIER'S WERKEN. 3) De bewijzen voor de eigenschappen, uitgedrukt door de formules: 107 — u < Nap log # < 107 (107 — w)/u; 107 (U — u)/U < Nap log # — Nap log U < 107 (U — w)/u. 4) De wijze van samenstelling der Tabula Radicalis. 5) De wijze, waarop uit de Tabula Radicalis de logarithmen berekend worden bij de sinussen der hoeken: a) van 90° tot 60°; b) van 60° tot 0°. 6) De methoden voor de benadering van logarithmen met 10 en met 1/10 als grondtal. 1) De regels voor de berekening bij den boldriehoek: a) van de basis uit de beenen en den tophoek; b) van den tophoek uit de beenen en de basis. 8) De Analogieën van Napier, die zonder bewijs op pp. 61 en 62 worden medegedeeld — een niet-overtollige bijvoeging: Men kent en vindt haar standplaats zelfs niet meer. Ps. 103, vs. 8. 9) De aanteekeningen van Briggs bij de Analogieën van Napier. Ars Logistica. 1) De uiteenzetting van den aard en den samenhang der zeven rekenkundige bewerkingen. 2) De regel voor de oplossing van vraagstukken over de even- redige afhankelijkheid van grootheden. 3) De regel voor de aftrekking van tiendeelige getallen. 4) De vereenvoudigingen, in de uitvoering van vermenigvuldi- gingen en-deelingen van tiendeelige getallen aangebracht. 5) De beschrijving van de Tabula Supplementorum, Pascal’s Triangle Arithmétique. 6) De verklaring van de worteltrekking uit tiendeelige getallen voor willekeurige waarden van de wortelexponenten. : 7) De regels voor de benadering van wortels. 8) Een voorbeeld van een verkorte vermenigvuldiging. 9) De invoering van een eenvoudiger notatie voor wortels. 4 as ER, UT = pm ” ASE AT D APR é = a. Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (t° Sectie). Dl. VI. F 2 A PLAINE DISCOVERY OF THE WHOLE REVELATION OF ST JOHN. A Plaine Dis- | couery of the whole Reue- | lation of Saint John: set] downe in two treatises: The | one searching and prouing the] true interpretation thereof: The o-| ther applying the same paraphrasti- | cally and Historically to the teat. | Set Foorth By | lohn Napeir L. of | Marchistoun younger. | Wherevuto Are | annexed certaine Oracles lof Sibylla, agreeing with | the Reuelalion and other places | of Scripture. | Kdinborgh | Printed By Ro- | ye Walde-graue, prin- | ter to the Kings Ma-/jestie. 1593./ Cum Priwilegio Regali. | 4°. 184 & 1341 cM. Alt de signatuur: A. Al? wit. A 24, Titel. A 2?, Wapens van Schotland en Denemarken (Jacobus VI van Schotland was gehuwd met Anna, tweede dochter van Frede- rik IT van Denemarken, den vriend en weldoener van Tycho Brahe); onderaan: Ju vaine are all earthlie conivnctions, vnles vve be heires together, and of one bodie, and fellovv partakers of the promises of God im Christ, by the Hvangell. A3!—A5}1, 5 pp.: Zo The Right Excellent, High And Mightie Prince, lames The Sixt, King of Scottes, Grace And Peace, &c., onderteekend: At Mar- chistoun the 29 daye of lanuar, 1593 (1593 OS, 1594 NS).... John Napeir, Fear of Marchstoun. A 5?—A 12 5 pp.: Zo the Godly and Christian Reader. À St: The booke this bill sends to the Beast, | Crauing amendment now in heast, | enz, 28 regels; dan: Faults escaped., \6 regels. A 8?: A Table of the Conclusions intro- ductiue to the Reuelation, and proued in the first Treatise. B 1'—F 31, pp. 1—69: The Kirst And Introdvctory Treatise, conteining a sear- ching of the true meaning of the Reuelation, beginning the discouerie thereof at the places most easie, and most ewidentlie knowne, and so proceeding from the knowne, to the proouing of the vnknowne, valill finallie, the whole groundes thereof bee brought to light, after the manner of Propositions., 36 Propositions met Conclusion. F 32, | | A PLAINE DISCOVERY OF THE WHOLE REVELATION OF ST JOHN. 19 p. 70: À Table Definitive And Divisiue of the whole Revelation. F 41 pp. 71—269: Te Second And Principal Treatis, wherein (by the former grounds) the whole Apocalyps or Reuelation of A. John, 8 paraphrasticallie expounded, historicallie applied, and temporalhe dated, with notes on euery difficultie, and argu- ments on each Chapter.; elk hoofdstuk bestaat uit: 1) Ze Argument.; 2) The Text., Paraphrastical eaposition., Anno Christi. en Historical application., in vier kolommen naast elkander gedrukt; 3) Notes, Reasons, and Amplifications. ST*—S 8?, 3 pp.: 70 the misliking Reader whosoeuer. Ù 11—T 41, 8 pp.: Hereafter Followeth Cer- laine Notable Prophecies agreable to our purpose, extract out of the books of Sibylla, whose authorities neither being so authentik, that hitherto vve could cite any of them in matters of scriptures, neither so prophane that altogether we could omit them: Whe haue there- Jore thought very meet, seuerally and apart to insert the same here, after the end of this worke of holy scripture, because of the fa- mous antigwitie, approued veritie, and harmonicall consentment there- of with the scriptures of God, and specially with the \8. chapter of this holy Revelation. 296 pp. Van dit werk verschenen vif uitgaven in het Engelsch: Edin- burgh 1593, 1594, 1611 en 1645, Londen 1611; — twee in het Nederlandsch: Middelburg 1600 en 1607; — zes in het Fransch: La Rochelle 1602, 1602, 1603, 1605, 1607 en 1607; — ‚vier in het Duitsch: Gera 1611 en 1612, Frankfort a/M 1615 en 1627. Een exemplaar bezit in ons land de bibliotheek van de Maat- schappij der Nederlandsche Letterkunde te Leiden (Middelburg 1607). OVER DEN INHOUD De troon Gods in den hemel (O. IV, 2), de vier en twintig ouderlingen, gezeten rondom dien troon, met gouden kronen op hun hoofden en bekleed met witte kleederen (O. IV, 4), de vier dieren, een leeuw, een kalf, een mensch en een vliegenden arend gelijk, ieder met zes vleugelen en vol oogen van voren, van achteren en van binnen (O. IV, 6, 7, 8), de twee getuigen, die zullen profeteeren duizend twee honderd en zestig dagen (O. XI, 3), de tempel Gods (O. XI, 19) en de vrouw, bekleed met de zon, de maan onder haar voeten en een kroon van twaalf sterren op haar hoofd (O. XII, 1), zijn de ware religie, de vier en twintig boeken van het oude testament, de vier evangeliën, de twee testamenten F 2% 20 JOHN NAPIER'S WERKEN. en hun belijders, Gods kerk op aarde en de ware kerk Gods. Het beest met de twee hoornen, opgekomen uit de aarde (O. XIII, 11), verbeeldt den antichrist, den paus en diens rijk, en dat met de zeven hoofden en tien hoornen, opgekomen uit de zee, met tien koninklijke hoeden op zijn hoornen en een naam van godslastering op zijn hoofden (O. XIII, 1), beteekent het Latijnsche d. i. Romeinsche rijk, waarvan dat van den antichrist een deel uitmaakt, met Rome als hoofdstad, het groote Babylon, de hoer, die zit op vele wateren en met wie de koningen der aarde gehoereerd hebben, de vrouw, dronken van het bloed der heiligen en der getuigen van Jezus, gezeten op een scharlakenrood beest, vol van namen der godslastering, met zeven hoofden en tien hoornen (O. XVII, 1 vv). Het beeld van het beest (O. XIII, 15) vormen de onwaardige Romeinsche keizers, onder wie het rijk verviel, en de Roomsche keizers, van wie Karel de Groote de eerste geweest is; zijn merkteeken (O. XIII, 16, 17) is de eed van gehoorzaamheid der onderdanen, later onder de pausen zichtbaar door yp. en door kruisen van verschillenden vorm op voorhoofd en rechterhand uitgedrukt; zijn naam (O. XIII, 17) zarewos, d. 1. het Latijnsche rijk, en zijn getal zes honderd en zes en zestig (O. XIII, 18), de som van de waarden, door de letters van zijn naam aangeduid 5). Met de zeven bazuinen (O. VIII, IX, XI) wordt hetzelfde be- doeld als met de zeven fiolen (O. XVI), met de zeven donder- slagen (O. X, 3, 4) hetzelfde als met de zeven engelen (O. XIV). De ster, gevallen uit den hemel op de aarde, aan welke de sleutel | van den put des afgronds werd gegeven, waaruit een wolk van sprinkhanen opsteeg, die nederdaalde op de aarde (O. IX, 1 vv), verbeeldt den vorst der Turken met zijn legerscharen, wiens heer- schappij omstreeks 1051 n. Chr. begon; de vier engelen, die gebonden liggen aan den Euphraat (O. IX, 14), en de koningen, die van den opgang der zon komen zullen (O. XVI, 12), zijn de vier Mohammedaansche volkeren, de ‘lurken, ‘Tataren, Saracenen en Arabieren, wier rijk omstreeks 1296 n. Chr. door Osman ge- *) De Grieken bedienden zich van de vier en twintig letters van hun alphabet en van de drie hulpteekens stigma (©), koppa (@) en sampi (72), om getallen te schrij ven: met a, f, y, 9, €, stigma, &, # en & duidden zij 1, 2, 3,... 8 en 9 aan; met 4, x, A, #, v, §&, 0, m en koppa 10, 20, 30,... 80 en 90; met p, c, +, v, ®, %, Ÿ, w en sampi 100, 200, 300, ... 800 en 900; om 1000, 2000, 3000, ... 8000 en 9000 voor te stellen, plaatsten zij een accent onder 2, 8, y, à, e, stigma, €, 4 en 9; tienduizendtal- len, myriaden, werden aangeduid door een M onder hun aantal te schrijven; bv.: a 2 dé M= 10000, M = 2000, M = 30000, enz. A PLAINE DISCOVERY OF THE WHOLE REVELATION OF ST JOHN. 21 grondvest werd. Gog en Magog (O. XX, 8) zijn de paus en de vorst der Turken; hun heirscharen, vermeld in de zesde bazuin (O. IX, 13 vv.) en de zesde fiool (O. XVI, 12 vv), de Papisten en de Mohammedanen. d Met een profetischen dag wordt een jaar bedoeld, met cen week zeven jaren, met een maand dertig jaren en met een jaar drie honderd en zestig jaren. De vijfde bazuin (O. IX, 1 vv.) en de vijfde fiool (O. XVI, 10, 11) loopen van 1051 n. Chr., toen de Turken hun heerschappij begonnen, tot de grondvesting van het rijk der Osmanen in 1296 n. Chr., waarmede de zesde bazuin en de zesde fiool een aanvang nemen. Elke bazuin en elke fiool omvat dus twee honderd en vijf en veertig jaren, zoodat de eerste bazuin (O. VIII, 7) en de eerste fiool (O. XVI, 2) in 71 n. Chr. begon. In hetzelfde jaar werd het zevende zegel (O. VIII, 1) geopend. En daar het eerste zegel (O. VI, 1) geopend werd in 29 n. Chr., toen Jezus zijn prediking begon, omvat elk zegel zeven jaren. De zevende bazuin (O. XI, 15) en de zevende fiool (O. XVI, 17) begonnen twee honderd en vijf en veertig jaren na 1296 n. Chr., dus in 1541 n. Chr., met den eersten van de zeven donderslagen (O. X, 3) en behooren twee honderd en vijf en veertig jaren later, dus in 1786 n. Chr., te eindigen. leder van de drie eerste donderende engelen (O. XIV) duidt een tijd- perk van negen en veertig jaren aan en daar de dag des oordeels de vier laatste donderende engelen omvat, moet deze driemaal negen en veertig jaren na 1541 n. Chr. beginnen, waarschijnlijk tusschen 1688 en 1700 n. Chr. | De duizend jaren, gedurende welke satan gebonden lag (0. XX, 1, 2), beteekenen een tijdperk van vrede en begonnen omstreeks 300 n. Chr., evenals de duizend twee honderd en zestig jaren der heerschappij van den antichrist (O. XIII, 5). OPMERKINGEN. : In de opdracht „To the Godly and Christian Reader” zegt Napier: „In my tender yeares, and barneage in Sanct Androis”, waar bij van 1563 tot waarschijnlijk 1566 studeerde, „at the Schooles, hauing on the one parte contracted a louing familiaritie with a certaine Gentleman &c., a Papist: And on the other part, being attentiue to the Sermons of that worthie man of God, Maister Christopher Goodman, teaching vpon the Apocalyps, | was so moo- ued in admiration, against the blindnes of Papists, that could not most euidently see their seuen-hilled citie Rome, painted out there 22 JOHN NAPIER’S WERKEN. so liuely by Saint lohn, as the mother of all spirituall whoredome, that not onely bursted I out in continual reasoning against my said familiar, but also from thenceforth, I determined with my selfe (by the assistance of Gods spirit) to employ my studie and diligence to search out the remanent mysteries of that holy book: as to this houre (praised be the Lorde) I haue bin doing at al such times, as conveniently I might haue occasion.... After the which, although (greatly rejoycing in the Lord) I began to write thereof in Latine: yet, I purposed not to haue set out the same suddenly, and far lesse to haue written the same also in English, til that of late, this new insolencie of Papists arising about the 1588 year of God, and dayly incresing within this Hand doth so pitie our hearts, seeing them put more trust in lesuites and seminarie Priests, then in the true scripturs of God, and in the Pope and King of Spaine, then in the King of Kings: that, to preuent the same, I was constrained of compassion, leauing the Latine, to haste out in English this present worke, almost vnripe, that hereby, the simple of this [land may be instructed, the godly confirmed, and the proud and foolish expectations of the wicked beaten downe, [pur- posing hereafter (Godwilling) to publish shortly, the other latin editid hereof, to the publike vtilitie of the whol church.] What- soeuer therfore through hast, is here rudely and in base language set downe, I doubt not to be pardoned thereof by all good men.” In de uitgaaf van 1611 zijn de woorden tusschen de vierkante haken vervangen door: „And where as after the first edition of this booke in our English or Scottish tongue, I thought to haue published shortlie the same in Latine (as vet Godwillmg I minde to doe) to the publike vtilitie of the whole Church. But vnderstanding on the one part, that this work is now imprinted, & set out diuerse times in the French & Dutch tongs, (beside these our English editions) & therby made publik to manie. As on the other part being aduertised that our papistical, adversaries wer to write larglie against the said editions that are alreadie set out. Herefore I haue as yet deferred the Latine edition, till hauing first seene the aduersaries obiections, I may insert in the Latin edition an apologie of that which is rightly done, and an amends of whatsoeuer is amisse.”’ Napier was dus in 1611 nog van plan, een Latijnsche uitgaaf van zijn werk te bezorgen Waarschijnlijk heeft hij zijn voornemen moeten opgeven, omdat de samenstelling van zijn Wonderbaren Canon der Logarithmen al zijn vrijen tijd in beslag nam. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. Miri ficr | Logarithmorum / Canonis descriptio, / Ejusgue usus, in utrague | Trigonometria; ut etiam in | omni Lo- gistica Mathematica, | Amplissimi, Facillimi, & | expe- ditissimi eaplicatio. | Authore ac Inventore, | loanne Ne- pero, | Barone Merchistonii, | &ec. Scoto. | Edinborgi, | Ex officind Andree Hart | Bibliopile, DIOPDE LEY. | 4°, 19 K 144 cM. Al}, Vitel. Al?, wit. A2, 2 pp.: Jllustrissimo, & optima spei Principi Carolo, Potentissimi, § Invictissimi, Lacobi D. G. magne Britanne, Francie, § Hibernia Regis, filio unico, Wallie Principi, Duci Kboraci, & Rothesaie, magno Scotie Sene- scallo, ac Insularum Domino, Se. D. D. D., onderteekend: Joan- nes Nepervs. A31: Jn Mirificom Logarithmorum Canonem Pre fatio. A3? — A42, 3 pp., Verzen, t. w.: Ad Lectorem Trigonometria studiosum., 12 regels, onderteekend: Patricius SandQus.; In Loga- rithnos D. I, Neperi., 10 regels, met onderteekend en eindigende met de woordspeling: Womine sic Nepar, Parili fit § omine Non Par, | Quum non hac habeat Nepar in arte Parem. |; Aliud., 6 regels, niet onderteekend; 4d Lectorem., 4 regels, onderteekend : Andreas Ivnivs Philosophie Professor in Academia Kdinburgena. ; In Logarithmos., A regels, niet onderteekend. B1! — D2?, pp. 1—20: Mirifies Logarithmorum canonis descriptio, eiusgue usus in utraque Trigonometria, ut etiam in omni Logistica mathematica, amplissini, facil- limi, § ewpeditissimi eaplicatio. Liber I. D31-— 11! pp. 21-57: Liber Secvndvs. De canonis mirificc Logarithnorum preclaro usu in Trigonometrit.; op p. 57 volgen op de Conclvsio. de Ærrala ante lectionem emendanda., 7 regels, en onderaan: Sequitur Tabula seu canon Logarithmorum. 11? en al!—mlt, 90 pp., De Tafel. m1?, wit, in sommige exemplaren: Admonitio. 156 pp. Van dit werk verschenen zes uitgaven in het Latijn: Edinburgh 24 JOHN NAPIERS WERKEN. 1614 en 1619 (met de Constructio als bijband), Lyon 1619, 1620 en 1658 (telkens met de Constructio als bijband), Londen 1807 (in deel VI van de Scriptores Logarithmici); — drie in het Engelsch : Londen 1616 en 1618, Edinburgh 1857. Een exemplaar bezitten in ons land de bibliotheken der Rijks- universiteiten te Groningen (Edinburgh 1614; Lyon 1658), Leiden (Edinburgh 1614) en Utrecht (Lyon 1620). OVER DEN INHOUD. a) De Canon Mirificus. 4) Mirifici Logarithmorum canonis descriptio, erusque usus in utrd- que Trigonometria, ut etiam in omni Logistica mathematica, amplis- sim, facillim, S eapeditissimi explicatio. Liber I. 20 pp. Capot. I. De Definitionibus. 1. Def. Linea æqualiter crescere dicitur, quum punctus eam deseribens, æquali- bus momentis per equalia intervalla progreditur. Corollarium. Vnde hoe ineremento quantitates æqui-differentes temporibus æqui- differentibus produci est necesse. 2. Def. Linea proportionaliter in breviorem decrescere dicitur, quum punctus eam transeurrens æqualibus momentis, segmenta abscindit ejusdem continuo rationis ad lineas à quibus abscinduntur. Cor. Vnde hoe æqualibus momentis decremento, ejusdem etiam rationis proportio- nales lineas relinqui est necesse. 6. def. Logarithmus ergò cujusque sinus, est numerus quim proximè definiens lineam, quæ æqualiter crevit intereà dum sinus totius linea proportionaliter in sinum illum deerevit, existente utroque motu synchrono, atque initio æquiveloce. Cor. Vnde sinus totius 10000000. nullum seu 0 est logarithmus: & per conse- quens, numerorum majorum sinu toto logarithmi sunt nihilo minores. Itaque logarithmos sinuum, qui semper majores nihilo sunt, abundantes vocamus, & hoe signo +, aut nullo prænotamus. Logarithmos autem minores nihilo defectivos vocamus, prænotantes eis hoe signi. —. Admonitio. Frat quidem initio liberum cuilibet sinui, aut quantitati nullum seu 0, pro logarithmo attribuisse: sed præstat id pre ceteris sinui toti accommodasse: ne unquam in posterum vel minimam molestiam parturiret nobis additio & substractio ejus logarithmi in omni caleulo frequentissimi. Cetertim etiam quia sinuum & numerorum sinu toto minorum frequentior est usus: eorum igitur logarithmos abundantes ponimus: aliorum vero defectivos, etsi contra fecisse initio liberum erat. Cap. IT. De Logarithm. propositionibus. Propos. 1. Proportionalium numerorum, aut quantitatum, equi-differentes sunt Logarithm, ") Aan de bespreking van elk onderdeel gaan de verdeeling in hoofdstukken en, zoo noodig, eenige uittreksels vooraf. - hd \ | MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 29 Propos. 2. Ex trium proportionalium Logarithmis, duplum secundi seu medii minutum primo, æquatur tertio. 3. Ex trium proportionalium logarithmis, duplum secundi seu medii Propos. æquatur aggregato extremorum. Propos. 4. Ex quatuor proportionalium logarithmis, aggregatum secundi & tertii minutum primo equatur quarto. 5. Ex quatuor (secundi, scilicet, & tertii) æquatur aggregato extremorum, primi videlicet, & quarti. Propos. mediorum æquatur aggregato extremi remoti, & dupli vicini. Cap. III. Deseriptionem complectens tabula logarithmorum, §- septem ejus columnarum. Propos. proportionaliam logarithmis aggregatum med iorum 6. Ex quatuor continué proportionalium logarithmis triplum alterutrius Twee pp. uit Napier’s Canon Mirificus. +|— oe Sinus. | | Logarithmi | Differentisæ | logarithmi | Sinus 0 0 Infinitum Infinitum 0 10000000 60 I 2909 81425681 | 81425680 1 10000000 | 59 2 5818 14494213 | 74494211 | 2 | | 9999998 | 58 3 8727 70439564 | 70439560 4 9999996 | 57 4 11636 67562746 | 67562739 7 9999993 | 56 5 14544 | | 65331315 | 65331304 11 9999989 55 6 17453 63508099 | 63508083 16 | | 9999986 | 54 1 20362 61966595 | 61966573 22 9999980 | 53 8 | 23271 || 60631284 | 60631256 28 9999974 | 52 9 26180 59453453 | 59453418 35 9999967 |. 51 10 29088 58399857 | 58399814 43 9999959 | 50 ad 31997 57446759 | 57446707 52 9999950 | 49 12 34906 56576646 | 56576584 62 9999940 | AS 13 31815 55776222 | 55776149 73 9999928 | 47 14 40724 55035148 | 55035064 84 || 9999917 16 15 43632 54345225 | 54345129 96 || 9999905 | 45 16 46541 53699843 | 53699734 109 || 9999892 | 44 17 49450 53093600 | 53093577 123 9999878 | 43 18 52359 52522019 | 52521881 138 9999863 12 19 55268 51981356 | 51981202 154 9999847 1 al ato Ya 51468431 | 51468361 170 9999831 40 21 61086 50980537 | 50980450 187 9999813 | 39 22 63995 50515342 | 50515137 205 9999795 | 38 23 | 66904 50070827 | 50070603 224 9999776 | 37 24 69813 49645239 | 49644995 244 9999756 | 36 25 12721 49237030 | 49236765 265 9999736 | 35 26 15630 48844826 | 48844539 287 || 9999714 | 34 21 18539 48467431 | 48467122 309 9999692 | 33 28 S1448 48103763 45103431 332 9999668 32 29 | 84357 47752859 | 47752503 | 356 | | 9999644 31 30 | 87265 47413852 | 47413471 381 || 9999619 | 30 | | | =p Lid | 26 JOHN NAPIERS WERKEN. Gr. 29 29 ain TE Sinus Logarithmi | Differentiz | logarithmi Sinus 30 4924235 1084158 5695625 1388533 8703557 30 31 4926767 | | 7079018 5688839 1390179 8702124 29 32 4929298 7073882 5682056 1391826 8700691 28 33 4931829 1068749 |. 5675275 1393474 8699257 27 34 4934359 1065620 5668496 1395124 8697822 26 35 4936889 7058494 5661719 1396775 8696586 25 36 4939418 | 7053372 5654945 1398427 8694949 24 31 4941947 1048253 5648173 1400080 8693512 23 38 4944476 | 7043138 5641404 1401734 8692074 22 39 4947004 _ 7038026 5634637 1403389 8690656 21 40 | 4949532 7032918 5627873 | 14955045 8689197 20 41 4952059 1027814 5621111 1406703 8687757 19 42 4954586 7022713 5614351 1408362 8686316 18 43 4957113 1017615 5607593 1410022 8684873 17 44 4959639 7012521 5600838 | 1411683 8683431 16 45 4962165 7007430 5594085 1413345 8681988 15 46 4964690 7002342 5587334 1415008 8680544 14 AT 4967215 6997258 5580586 1416672 8679100 13 48 4969740 6992177 5573840 1418337 8677655 12 49 4972264 6987099 5567095 1420004 8676209 Jl 50 4974788 6982025 5560353 1421672 8674762 10 51 4977311 65576954 5553613 1423341 8673314 9 52 4979834 6971886 5546875 1425011 8671866 8 53 4982356 6966822 5540140 1426682 8670417 7 54 4984878 6961761 5533407 1428354 8668968 6 55 4987399 6956704 5526677 1430027 8667518 5 56 4989920 6951650 5519949 1431701 8666067 4 57 4992441 | 6946600 5513224 1433376 8664615 3 58 4994961 6941553 5506500 1435053 8665162 2 59 4997481 6936509 5499778 1436731 8661708 il 60 5000000 | 6931469 5493059 1438410 8660254 0 | gra. | 60 60 h2?) Cap. IV. De usu tabula, $- numerorum eins. Sectio. 1. Sinuum, tangentium, & secantium præcisè in tabulis suis repertorum, Logarithmos non minus præcisè dare. 2. Numerorum datorum, & in tabulis sinuum, tangentium, & secantium non repertorum, logarithmos æstimare. 13. Logarithmorum datorum, in tabula nostra non repertorum numerales valores æstimare. 1) Een drukfout. *) De signatuur. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. ww ~ Admonitio. Pro hac sectione, & secunda hujus monitum volumus, numerorum datorum loga- rithmos, & contra logarithmorum datorum numerales valores (ubi non reperiuntur in tabula) omnium accuratissimè exhiberi per modum ipsum quo creantur, aut resolvun- tur logarithmi, qui est, ut à sinu dato per media Geometricè proportionalia descendas, donec in proximè minorem sinum tabulatum perveneris : similiter ab hujus logarithmo tabulato descendas etiam per totidem media Arithmetica congrua, & horum ultimus erit illorum primi logarithmus: & contra per resolutionem, ut à logarithmo dato per media Arithmetica in Logarithmum tabulatum proximè minorem descendas, & ab hujus valore tabulato similiter etiam descendas per totidem media Geometrica & congrua: & horum ultimus erit numeralis valor illoram Logarithmorum primi. Verùm quæ æqui-differentia Arithmetica cuique continuatæ proportioni Geometricze conveniat & sit congrua, exquirere non est mediocris ingenii. Quare de his (Deo aspirante) ubi de Logarithmis condendis & creandis agetur, amplius aliquando diffe- remus. Cap. V. De amplissimo Logarithmorum usu, $ expedita per cos praxi. Na eenige inleidende verklaringen definieert Napier in zijn Miri- fici Logarithmorum Canonis Descriptio, &e. (Beschrijving van den wonderbaren Canon der Logarithmen, enz.) zijn logarithmen aldus: „De logarithme van elken sinus is het getal, dat zoo nauwkeurig mogelijk de lengte van de lijn aangeeft, die gelijkmatig is toege- nomen, terwijl de lijn van den sinus totus, d. i. de sinus van 90°, evenredig is afgenomen tot de lengte van dien sinus; beide be- wegingen hebben gelijktijdig plaats, terwijl de beginsnelheid de- zelfde is.” Ter toelichting van deze bepaling stelle men zich voor, dat zich langs de naar den kant van 4 onbegrensde rechte lijn ab (Fig. 1) een punt p met eenparige snelheid voortbeweegt en langs de be- grensde rechte lijn AB in de richting van 4 naar B een punt ? met een snelheid, evenredig met den afstand PB, en dat p en P gelijktijdig en met dezelfde beginsnelheid van a en 4 vertrekken. Bevinden zich dan p en P bv. na verloop van 1/z, 2/n, 3/n,... sec. in a, en 4,, in a, en 4,, in a, en 4,,..., dan zijn de wegen aa,, M49, dods,..., die door p in de opeenvolgende tijdsverloopen van 1/2 sec. worden afgelegd, onderling even groot, terwijl de wegen 44,, 4,4, 4,4,,..., die door P in dezelfde tijdsverloopen worden afgelegd, des te nauwkeuriger evenredig zijn met de af- standen 4B, 4,B, 4,B,..., naarmate het tijdsverloop van 1 /z sec. kleiner wordt genomen. En in die zelfde mate verschilt de verhou- ding van aa, en AA, des te minder van één, daar de beginsnel- heid van p en P dezelfde is. Beschouwt men eindelijk de afstanden 4B, 4,B, 4,B,... als de sinuslijnen van middelpuntshoeken in een cirkel beschreven met den straal 4B, in het bijzonder dus 42 als den sinus van 90°, 28 JOHN NAPIERS WERKEN, den sinus totus, dan is het thans duidelijk, wat Napier bedoelt, als hij de getalwaarden van aa,, aag, aa,,... de logarithmen noemt van de getalwaarden der sinuslijnen 4,4, 4,8, As Bre algemeen ap = Nap log PB. Napier stelt den sinus totus 4B — 10000000 en voegt aan zijn bepaling de opmerking toe, dat de logarithme van 10000000 = 0 is en dat de logarithmen van de getallen grooter dan 10000000 negatief zijn. Uit Napier’s bepaling volgt onmiddellijk de hoofdeigenschap van zijn logarithmen, dat van evenredige getallen het verschil der loga- rithmen standvastig is, m. a. w. dat log a — log 6 = log c — logde als ged ee" Trekt men namelijk in-de evenredigheid: AAD A Aa AB = A, An AB ieder der redens van één af, dan komt er dB ABS Hob: AB == A,B: A, B= Hieruit blijkt, dat 4B, 4,8, A,B, A,B,... termen zijn van een meetkundige reeks, zoodat bv. : A,B: AB = Ay,B: A,B. Nu zijn aas, aa, aa, en aa,; de logarithmen van 4,8, A,B, Áo en A,B. Em daar aa, — aa, — a,0, = dj pts — a0,, — dip is, zal dus ook het verschil der logarithmen van 4,8 en 4,B gelijk zijn aan dat der logarithmen van 4,;B en HB Ook de keuze van den naam logarithme — aantal der verhou- dingen (Gr. Adyoo — verhouding en 4pdudr — aantal) laat zich ver- klaren uit de omstandigheid, dat de logarithmen een opklimmende rekenkundige reeks uitmaken, als de sinussen een meetkundige reeks VORDEN Walaa, == a, — 2,0, == |: de lengte-denheid am zijn de logarithmen van 46, 4,B, 4,B,... 4,B,... = 0,1,2, .-. k,.... En daar men AB n-maal na elkander de verhouding van AB tot A, B moet verkleinen om 4,8 te krijgen, wijst de loga- rithme van een sinus dus aan, hoe dike ijls na elkander men den sinus totus in een zelfde verhouding moct verkleinen, om dien sinus te krijgen: de logarithme telt m. a. w. het aantal dier verhou- dingen. Zij de snelheid, waarmede de punten p en P van a en A ver- trekken — v, eenheden van snelheid, de snelheid van P na ver- loop van ¢ sec. =v eenheden van snelheid, en de afstand van P <æ MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 29 AR tot B op dit tijdstip = w lengte-eenheden, dan volgt uit Napier’s bepaling onmiddellijk : gy ROES es en. Nap log u = 0 fr. Nu is: vd (107 — w) / df — — du / df. Men vindt dus na elkander: Dis 107 = — du / dé: u, dus: v, dt / 107 = — du / u, dus: MTA [, dé — --- jan du / u, want aan /— 0 beantwoordt # — 107; e 1/e dus : DR IOT log (4) 10") = log (u / 107), 1/e dus : (Naprlóar a) (0% == toe @ | Open 2: (1), waaruit blijkt, dat men een logarithmenstelsel krijgt met: l/e = 0,3678794412... als grondtal ‘), wanneer men bij Napier numeri en logarithmen door tien millioen deelt ?). *) Bij Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2ter Band, Leipzig 1892, p. 672, vindt men 9999997 als grondtal opgegeven. Bedoelt de schrijver met „srondtal’ den numerus, waarvan in Napier’s stelsel, zonder er eenige verandering in aan te brengen, de logarithme — 1 is, zooals ik vermoed, dan moet dit antwoord luiden: N— 107 / el? — 9999999,00000 00499... *) Montucla, Histoire des Mathématiques, Tome II, Paris 1799, p. 16, beschrijft Napier’s logarithmen aldus: “ ,Imaginons avec Neper un point se mouvoir le long de la ligne indéfinie PA E (Fig. 2), avec une vitesse tellement tempérée qu’elle soit toujours proportionnelle à sa distance au terme fixe P. Cette supposition est facile à entendre. Le mobile à une distance double de P, aura une vitesse double; à une distance de moitié, cette vitesse ne sera que la moitié de la première; ainsi cette vitesse ne sera la même dans aucum point de la ligne PAE, mais toujours plus grande ou moindre à proportion que le mobile sera plus loin ou plus près de P. Oril est facile de démontrer que si PA, PB, PC, PD, sont en pro- gression continue, leurs différences AB, BC, CD, le seront également, et conséquemment seront parcourues dans des temps égaux. Car quand les vitesses sont comme les espaces parcourus ou à parcourir, les temps employés à le faire sont égaux. Supposons maintenant que V soit la vitesse du mobile quand il est en A, et qu’ en vertu de cette vitesse, conservée sans augmentation ni diminution, un autre mobile partant du point A’ eût parcouru l’espace A’B’ sur la ligne indefinie F'A°F", dans le méme temps que le premier a parcouru AB. Nous aurons de cette maniére deux points, dont l'un sera porté d'un mouvement accéléré ou retardé de A vers e, et l’autre d’un mouvement uniforme de A’ vers E’ ou e’. Ainsi, pendant que AB, BC, CD, DE, EF, etc. seront continûment proportionnelles, A’B’, 5'C', C'D', D'E', seront égales; et pen- 30 JOHN NAPIER’S WERKEN. Men kan de gevonden formule ook aldus bewijzen: Laat het punt p in / sec. een afstand van 10%/z lengte-eenheden doorloopen en de snelheid van het punt P na verloop van 0, 4, 2¢, 3¢,... sec. evenredig zijn met den afstand PB, maar gedurende elk tijdsverloop van ¢ sec. onveranderd blijven. Omdat de beginsnelheid van de punten p en P dezelfde is, legt het punt P in de eerste tsec. 107/n lengte-eenheden af, evenals het punt p. Na verloop van ¢ sec. bevindt zich het punt P dus op een afstand P,B — 107 — 10/7 d.i. 10% —1/n) lengte-eenheden van B. Zijn afstand tot B is dus (1 — 1/z)-maal zoo groot geworden; zijn snelheid zal dus even- eens (1 — 1/#)-maal zoo groot moeten worden: in de tweede # sec. legt P dus (1 —1/n).107/u d.i. 1071 — 1/x)/x lengte-eenheden dant que PB, PC, PD, PE, croîtront géométriquement, AB, A’C’, A'D', A’E’, etc. croitront arithmétiquement: c'est pourquoi ces dernières seront les logarithmes des premières respectivement. Enfin le logarithme d’une quantité quelconque PS, sera la ligne A/S’ parcourue, d’un mouvement uniforme, depuis le terme A’, tandis que AS l’a Stem dun Mouvement calendar e-mesbe bi drove «shi eral NN Après s'être formé cette idée des logarithmes, et en avoir démontré les principales propriétés, il restoit à Neper a trouver ces nombres, et cela n’étoit pas le moins difficile. Il y parvint par un moyen dont il convient de donner une esquisse, et dont voici l’es- prit. Supposons qu’ entre PB et PA, on ait pris une si grande quantité de moyennes proportionnelles, que la première qui excède PA, ne l’excède que d'une quantité Aa, comme infiniment petite: par exemple, mo de l'unité, ou en fractions décimales, 0,0000001. Il en résultera que l’on pourra regarder Aa comme parcouru d’un mouvement uniforme; et si l’on prend sur la ligne parcourue d'un mouvement uniforme la particule A’a’ égale à Aa, il y en aura autant dans A’b’ qu’ il y a entre PA et PB de moyennes proportionnelles. Supposant done PA = 1, et PB = 2, Neper trouvoit que pour que Aa m'exédât pas 0,9000001 ou une cent millionnième, il falloit intercaler entre 1 et 2, 6931472 moyennes proportionnelles, ce qui se trouve par une extraction successive de racines carrées entre 1 et 2; c'est-à-dire, d’abord la racine carrée de 2, ou la moyenne proportionnelle entre 1 et 2, ensuite la racine de cette racine, ou la moyenne entre 1 et la première moyenne déjà trouvée, et ainsi successivement. Tl trouvoit, par un semblable procédé, qu’ entre 1 et 10, il y avoit 23025850 de ces moyennes proportionnelles; il ne restoit done qu’ à multiplier Aa ou A’a’ = 0,0000001 par 6931472, et le produit devoit donner AB pour le logarithme de 2. Le produit est 0,6931472; ainsi c'est là le logarithme de 2; et si l’on multiplie la même fraction 0,0000001 par 22025850, le produit, qui est 2,3025850, donne le logarithme de 10,” De punten passeeren gelijktijdig A en A’ met de snelheid V en bevinden zich na verloop van ¢ sec. in Sen S’. Stelt men PA = 1 en PS = u, dan is A’S’ = Ve en de snelheid in S = Vu, dus Vi = Nap log u en du/dt = Vu, 1 ‘u 4 dus: if Vadis f du/u en Vi = log u, Jo da e dus: Nap log u = log u, Volgens Montucla zouden de logarithmen van den Canon Mirificus dus natuurlijke lovarithmen wezen en berekend zijn naar een methode, die, zooals later blijken zal, met a « ’ Napier’s handelwijze al zeer weinig gelijkenis vertoont. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 31 af. Na verloop van 2¢ sec. bevindt zich het punt P dus op een afstand P,B — 101 — 1/2) — 10%1 —1/n)/n d. i. 10%1 — 1/n)? lengte-eenheden van Z. Zijn afstand tot B is dus weer (1—1/n)- maal zoo groot geworden; zijn snelheid zal dus eveneens weer (1—1/n)-maal zoo groot moeten worden: in de derde ¢ sec. legt P dus (1 — 1/m). 107 (1 —1/n)/n d. i. 107 (1 — 1/n)?/n lengte-eenheden af. Na verloop van 34 sec. bevindt zich het punt P dus op een afstand P,5 = 107 (1 — 1/m)? — 10° (1 — 1/2) / n d. i. 107 (1 — 1/z)® lengte-eenheden van B. Zoo voortgaande blijkt, dat het punt P zich na verloop van #{ sec. op een afstand P,B = 10° (1 — 1/n)" lengte-eenheden van B bevindt. En op dit tijdstip bevindt zich het punt p op een afstand ap, = 107%/x lengte-eenheden van a. Stelt men: 107 kin =e Ouse == wd LOT dan wordt: 107 (1 — 1/2)" == ONT Un} 107 LCI — If tj UO, Laat men thans xz onbegrensd toenemen, zonder evenwel d te veranderen, dan is: lim (1. ln)" == 0, dus: dare fC aN faye ET == 107 ea”, Zijn de beginsnelheden van de punten p en P standvastig en laat men 2 onbegrensd toenemen, dan nemen dus de tijdsverloopen van 4 sec, waarin het punt p een afstand van 10%/x lengte-een- heden doorloopt, onbegrensd af: de beweging van P nadert dus meer en meer tot een grenstoestand, waarin zijn snelheid steeds evenredig is met zijn afstand van B. Buitendien nadert de afstand, waarop P van B verwijderd is, als p zich d lengte-eenheden van a bevindt, zooals boven gebleken is, tot een grenswaarde van 107 er U lengte-cenheden. Volgens Napier’s bepaling is dus: Napslogs Oe te Sd. Stelt men eindelijk: 107 er 210 — 4, dan is: 1/e > JO log (u / 107); '/e 3 dus: (Np slop POV log: (u / 10°) eit Bee EM 32 JOHN NAPIERS WERKEN. Het waren overwegingen van practischen aard, die Napier aan- leiding gaven, om de logarithmen te doen toenemen, als de numeri (sinussen) kleiner worden, en omgekeerd, een eigenaardigheid van zijn stelsel, die weinig navolging gevonden heeft. „Wel is waar staat het vrij’, zegt hij in een opmerking aan het slot van het eerste hoofdstuk, ,,nul als logarithme aan een willekeurigen sinus toe te kennen, maar aangezien de logarithme van den sinus totus zeer dikwijls moet orden td en afgetrokken, schijnt het bijzonder doelmatig, juist de logarithme van dezen sinus — 0 te stellen, daar zulks bij Ben den minsten last veroorzaakt. Buitendien worden het meest sinussen en numeri gebruikt, die kleiner zijn dan de sinus totus; om die reden heb ik de loga- rithmen van deze positief en die van de andere negatief genomen; men kan evenwel ook een tegengestelde keuze doen.” Het stellen van den sinus totus — 107 eindelijk had geen ander doel dan om, met vermijding van breuken, benaderde waarden voor de logarithmen te vinden, waarvan de betrekkelijke fout zeer klein was. Zelfs beveelt Napier in zijn Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, Edinburgi 1619, de samenstelling van een nauwkeu- riger tafel aan met 108 als sinus totus. Uit de hoofdeigenschap van zijn logarithmen: 1) dat van evenredige getallen het int) der logarithmen stand- vastig is; leidt Napier af: 2) dat, wanneer drie getallen gedurig evenredig zijn, tweemaal de logarithme van het middelste verminderd met die van het eerste gelijk is aan die van het derde (volgens 1); 3) dat, wanneer drie getallen gedurig evenredig zijn, tweemaal de logarithme van het middelste gelijk is aan de som der loga- rithmen van de uiterste (volgens 2); 4) dat, wanneer vier getallen evenredig zijn, de som dee logarith- men van de middelste verminderd met de logarithme van het eerste gelijk is aan die van het vierde (volgens 1); 5) dat, wanneer vier getallen evenredig zijn, de som der logarith- men van de middelste gelijk is aan die der logarithmen van de uiterste (volgens 4) ; 6) dat, wanneer vier getallen een meetkundige reeks uitmaken, driemaal de logarithme van een middelsten term gelijk is aan de logarithme van den afliggenden uitersten term verminderd met twee- maal die van den aanliggenden uitersten term (volgens 2 en 3). Vervolgens gaat Napier tot de beschrijving van zijn tafel over. Om een denkbeeld te geven van haar inrichting, heb ik er een MIRIFICL LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 33 linker- en een rechterbladzijde uit overgenomen !), die evenwel niet op elkander volgen. Voor de hoeken van 0 tot 45 graden loopt de tafel van voren naar achteren en van boven naar beneden; het aantal graden staat links-boven aan de bladzijde, het aantal minuten in de kolom aan de linkerhand. Voor de hoeken van 45 tot 90 graden loopt de tafel van achteren naar voren en van beneden naar boven; het aantal graden staat rechts-beneden aan de bladzijde, het aantal minuten in de kolom aan de rechterhand. In de tweede kolom vindt men de sinussen (cosinussen) en in de derde kolom de logarithmen der sinussen (cosinussen) van de hoeken in de eerste (zevende) kolom; in de zesde kolom de sinussen (cosmussen) en in de vijfde kolom de logarithmen der sinussen (eosinussen) van de hoeken in de zevende (eerste) kolom. De loga- rithmen der sinussen noemt Napier meestal kortweg ,,logarithmen”’, die der cosinussen „antilogarithmen”. De vierde kolom eindelijk bevat de verschillen tusschen de logarithmen in de derde en de vijfde kolom, dus de logarithmen der tangenten (cotangenten) van de hoeken in de eerste (zevende) kolom, als men ze positief neemt, en van de hoeken in de zevende (eerste) kolom, als men ze negatief neemt, zooals boven de kolom door de teekens + en — wordt aangewezen. Uit de evenredigheid: tangens : straal — sinus : cosinus volgt namelijk, daar het verschil der logarithmen van evenredige getallen standvastig en de logarithme van den straal = 0 is: log tang — log straal — log sin — log cos, dus: log tang — log sin — log cos. Evenzoo volgt uit de evenredigheid : secans : straal — straal : cosinus, dat log see = — log cos is, zoodat de tafel ook de logarithmen der secanten (cosecanten) doet kennen. Van cotangenten en cosecanten maakt Napier geen melding; ook den naam cosinus, hoewel omstreeks dezen tijd ontstaan, vond ik nergens gebruikt. 1) Zie pp. 25 en 26. Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (fe Sectie). Dl. VI. F 3 34 JOHN NAPIER'S WERKEN. Omtrent de wijze, waarop Napier zich van zijn tafel bedient, zal ik wat meer in bijzonderheden moeten treden. Komt het getal, waarvan de logarithme verlangd wordt, in de kolom der sinussen voor, dan vindt men zijn logarithme er on- middellijk naast. Zoo is log 46541 — 53699843 en log 8680544 — 1415008. Komt het getal niet in de kolom der sinussen voor, dan zoeke men in een afzonderlijke tangententafel den hoek op, waarvan dit getal de tangens is; de log tang van dezen hoek, die in de middelste kolom der tafel gevonden wordt, is dan de verlangde logarithme. Zoo is 2186448 = tang 12°20’ en log tang 12° 20° = 15203064, dus ook log 2186448 — 15203064; evenzoo 45736291 = tang 77°40 en log tang 77° 40’ — — 15203064, dus ook log 45736291 == — 15208064. Komt het getal ook niet in de tangententafel voor en is het grooter dan 10000000, dan neme men zijn toevlucht tot een af- zonderlijke secantentafel. Zoo is 18118009 = sec 56° 30’ en log sec 56° 30° — — log cos 56° 30’ = — antilog 56° 30’ — — 5943212, dus ook log 18118009 — — 5943212. Is eindelijk het getal noch de sinus noch de tangens noch de secans van een hoek, die in de tafels voorkomt, dan neemt Napier, die geen benadering door evenredige deelen kent, er zich althans nergens yan bedient, eenvoudig de logarithme van het getal, dat er in de tafel het dichtst by komt. Buitendien maakt hij nog van een kunstgreep gebruik, om de logarithmen zoo nauwkeurig mogelijk te vinden. Voor de logarithme van 49638 kan men bv. die van 49450 nemen, dat in de: tafel voorkomt; nauwkeuriger evenwel is het, die van 4964690 te nemen, mits men zich naderhand herinnere, dat dit getal ongeveer 100- maal te groot is. Om het geheugen te hulp te komen, bedient Napier zich van de schrijfwijze: log 49638 = 7002342 — 00, waarmede hij wil uitdrukken, dat van het getal (4964690), waar- van 7002342 de logarithme is, de twee cijfers aan de rechterhand moeten worden weggelaten. Evenzoo beteekent: log 493 = 7073882 — 0000, dat van het getal (4929298), waarvan 7073882 de logarithme is, MIRIFICL LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 39 de vier cijfers aan de rechterhand moeten worden weggelaten, en: log 232702 = 60631284 + 0, dat achter het getal (23271), waarvan 60631284 de logarithme Is, een nul geplaatst moet worden. Vervolgens geeft Napier regels voor de optelling en de aftrek- king van logarithmen; bv. : | — 73495 plus — 56312 = — 129807; + 5392 plus 4216 — 9608; 4360 — 000 plus 3219 — 00 = 7579 — 00000; 832 plus — 210 = + 122; 192 plus — 210 — — 18; 332 — 00 plus — 210 + 000 — 122 + 0; 00 pins 210 = 000 = "18 2 0; | — 73495 min 56312 = — 73495 plus — 56312 — — 129807; — 73495 — 000 min 56312 + 00 — — 73495 — 000 plus — 56312 — 00 = — 129807 — 00000: | + 5392 min — 4216 = 5392 plus 4216 = 9608; 5392 + 0 min — 4216 + 00 = | 5392 + 0 plus 4216 — 00 — 9608 — 0. En eindelijk toont hij aan, dat men een logarithme mag ver- meerderen en verminderen met: 23025842 + 0, 46051684 + 00, 69077527 + 000, 92103369 + 0000, Om dit in te zien, merke men op, dat volgens de hoofdeigen- schap van Napier’s logarithmen het verschil tusschen de logarithme van eenig getal en die van zijn tienvoud standvastig is en dat dit standvastige verschil 23025842 bedraagt, daar bv.: log 996092 = 23064998 en log 9960920 — 39156. Een getal wordt dus met 10 vermenigvuldigd: 1) als men van zijn logarithme 23025542 aftrekt; 2) als men bij zijn logarithme + 0 optelt; en door 10 gedeeld: 1) als men bij zijn logarithme 23025842 optelt; 2) als men van zijn logarithme + 0 aftrekt. 36 JOHN NAPIER’S WERKEN. Telt men bij een logarithme dus 23025842 + 0 op, d.w. z. telt men er na elkander 23025842 en + 0 bij op, dan wordt het bijbehoorende getal na elkander door 10 gedeeld en met 10 ver- menigvuldigd en verandert dus miet. Enz. Men kan zich van de aangehaalde eigenschappen o. a. bedienen, ‘om achtergevoegde nullen te verdrijven en om negatieve logarith- men tot positieve te herleiden. Zoo verandert: 39156 — 0 door optelling van 23025842 + 0 in 23064998; 63584468 + 00 door aftrekking van 46051684 + 00 m 17532784; — 28595270 — 0000 door optelling van 46051684 + 00 in 17456414 — 00. Maar bovenal is de eigenschap van belang ter bepaling van het getal, dat bij een gegeven logarithme behoort, wanneer deze niet met een voldoenden graad van nauwkeurigheid in een van de drie middelste kolommen der tafel aangetroffen wordt. Moet men bv. het getal bepalen, waarvan 23149721 + 0 de logarithme is, dan vindt men in de tafel voor de naastbijliggende logarithme 23152560, die bij het getal 987408 behoort. Voor het verlangde getal vindt men zoodoende 9874050. Trekt men daarentegen van de gegeven logarithme 23025842 + 0 af, waardoor het bijbehoorende getal geen verandering onder- gaat, dan blijft er 123879 over. En daar in de tafel de logarithme 123881 voorkomt, die bij het getal 9876883 behoort, vindt men op deze wijze voor het verlangde getal. de meer nauwkeurige waarde 9876888. Zooals men ziet, moest Napier zich, wanneer de getallen en de logarithmen miet in de tafel voorkwamen, dikwijls tevreden stel- len met een vrij ruwe benadering van de logarithmen en de ge- tallen, die er bij behooren. Wel was hij in staat nauwkeuriger waarden te vinden, maar op omslachtige en daardoor practisch onbruikbare wijze. „Bij deze en de tweede afdeeling van dit hoofdstuk’, zegt hij in een opmerking aan het slot, „willen wij er aan herinneren, dat men van gegeven getallen de logarithmen en omgekeerd van ge- geven logarithmen de getallen zoo nauwkeurig kan bepalen, als men verkiest (ook wanneer de gegevens niet in de tafel voorkomen), door op dezelfde wijze te werk te gaan, als waarop de logarith- men berekend worden, d. w. z. men laat den gegeven sinus meet- kundig evenredig afnemen, totdat men zoo dicht mogelijk bij den naastkleineren sinus gekomen is, die in de tafel gevonden wordt; evenzoo laat men de logarithme van dezen sinus op overeenkomstige MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 37 wijze rekenkundig evenredig afnemen: de laatste term van de re- kenkundige reeks is dan de logarithme van den eersten term van de meetkundige reeks; omgekeerd laat men de gegeven logarithme rekenkundig evenredig afnemen, totdat men zoo dicht mogelijk bij de naastklemere logarithme gekomen is, die in de tafel gevonden wordt; evenzoo laat men het getal, dat bij deze logarithme behoort, op overeenkomstige wijze meetkundig evenredig afnemen : de laatste term van de meetkundige reeks is dan het getal, dat den eersten term van de rekenkundige reeks tot logarithme heeft. Er behoort evenwel geen geringe mate van scherpzinnigheid toe, om uit te vinden, welke term van de rekenkundige reeks aan elken term van de meetkundige reeks beantwoordt. Om die reden zullen wij (met Gods hulp) uitvoerig op deze quaestie terugkomen bij gelegen- heid, dat over de enne der logarithmen zal worden gehandeld.” De door Napier Pie handelwijze komt neer op de toepassing van de benaderingsformule : Nap log « — Nap log U — 10° (U —w)/ U, waarvan hij zich bij de samenstelling van zijn Canon bedient en die des te nauwkeuriger uitkomsten oplevert, naarmate U en wv grooter zijn en minder verschillen. Buitendien berekent Napier bij de toepassing van zijn logarithmen op de driehoeksmeting de hoeken niet zelden in seconden nauw- keurig, hoewel ze in zijn Canon met minuten opklimmen. Zoo vindt hij: 1) 31°65” voor den hoek, waarvan de log sin— 6605746 is (p. 47); volgens zijn tafel heeft men: log sin 31°6’ = 6606150 en log sin 31°7’ = 6601329; 2) 34°1921” voor den hoek, waarvan de log cos = 1913082 is (p. 37); volgens zijn tafel heeft men: log cos 34°19" = 1912400 en log cos 34°20’ = 1914386; 3) 16°24'27” voor den hoek, waarvan de log tang = 12226180 is (p. 36); volgens zijn tafel heeft men: log tang 16°24° — 12231010 en log tang16°25’ == 12220275; 4) ja zelfs, hoewel minder nauwkeurig, 60°12"244" voor den hoek, waarvan de log sin = 1417665 is (p. 52); volgens zijn tafel heeft men: log sin 60°12’ = 1418337 en log sin 60°13’ = 1416672. r¢ gel Napier vermeldt nergens, op welke wijze hij bij deze benadering 38 JOHN NAPIER’S WERKEN. te werk is gegaan; vermoedelijk heeft hij zich van de ,,regula falsi”? bediend, die, zooals Apianus zich uitdrukt, „nit darum falsi (heisst) dass sie falsch vnd vnrecht wehr, sunder, dass sie auss zweyen falschen vnd vnwahrhaftigen zalen, vnd zweven lügen die wahr- haftige vnd begehrte zal finden lernt”. Volgens dezen regel vindt men namelijk, als /(a), /(4) en fle) de waarden zijn, die f(z) voor «=a, « — b en x = c aanneemt, uit de twee „falsche zalen’ « en 6 en de twee „lügen”’ /(a)—/(e) en /(4)—/f(c) door oplossing van de evenredigheid: (ao) : be) = {f@—fo} : (LOOF voor de ,,wahrhaftige zal” c: LAD — fo} — a LAD) — fo}. AND ons FO) b= AO) Oeren > „nym”’, zegt Adam Riese, de Willem Bartjens onzer Oostelijke buren, „ein Liigen von der andern, was do bleybet behalt für dei- nen teyler, multiplicir danach ym Kreutz eine falsche zal mit der andern liigen, nym eins vom andern, vnd das do bleybet teyl ab mit fürgemachten teyler, so kommt berichtigung der frag”. Zoo vindt men voor den hoek, waarvan log sin = 6605746 is (p. 47), uit a = 31°6', 6 = 31°7', f(a) = 6606150, 76) = 6601329 en /(e) = 6605746, evenals bij Napier, de benaderde waarde 31°6/5”. In den grond der zaak komt de toepassing van de „regula falsi” hier blijkbaar neer op een benadering door evenredige deelen. Om eindelijk de voordeelen in het licht te stellen, die het ge- bruik van logarithmen bij de uitvoering van berekeningen oplevert, worden door Napier in het vijfde hoofdstuk ‘een achttal vraag- stukken door middel van logarithmen opgelost: 1) De derde evenredige te bepalen tot 10000000 en 7071068. Antw. 5000000. 2) De derde evenredige te bepalen tot 10562556 en 7660445. Antw. 5555702. 3) De middelevenredige te bepalen tusschen 10000000 en 5000000. Antw. 7071068. 4) De middelevenredige te bepalen tusschen 10562556 en 5555702. Antw. 7660445. 5) De vierde evenredige te bepalen tot 7660445, 9848078 en 5000000. Antw. 6427876. 6) Den hoek te bepalen, waarvan de sinus de vierde evenredige is tot tang 43°, sin 57° en tang 35°. Antw. 39°2’. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 39 7) Twee middelevenredigen te bepalen tusschen 4029246 en 10562556. Antw. 5555702 en 7660445. 8) Twee middelevenredigen te bepalen tusschen 14142135 en 5000000. Antw. 10000000 en 7071068. Uitgebreider toepassing vinden de logarithmen in de vlakke- en bol-driehoeksmeting, die in het Tweede Boek behandeld worden. b) Vlakke- en Bol-driehoeksmeting. Liber Secvndvs. De canonis mirifici Logarithmorum preclaro usu in Trigonometria. 37 pp. Cap. I. De rectilineis. Prop. 2. In rectangulo Logarithmus cruris equatur aggregato ex Logarithmo anguli ei oppositi, & Logarithmo hypotenuse. Prop. 3. In rectangulo Logarithmus cujusvis cruris, est æqualis aggregato ex differentiali oppositi anguli, & Logarithmo reliqui cruris. Cap. IT. De triangulis rectilineis presertim obliquangulis. Prop. 4. In omni triangulo, aggregatum ex Logarithmis anguli cujusvis, & lateris cum ambientis, aquatur aggregato ex Logarithmis lateris, & anguli eis oppositorum. Prop. 5. In obliquangulis, Logarithmus aggregati crurum subductus à summa facta ex Logarithmo differentiee crurum, & differentiali semi-aggregati suorum oppositorum angulorum, relinquit differentialem semi-differentiæ eorundem. Prop. 6. In obliquangulis summa Logarithmorum aggregati & differentiæ crurum, est æqualis summe Logarithmorum basium, vere, & alternæ. Cap. IIT. De Triangulis Sphericis. Cap. IV. De simplicibus Quadrantalibus. 8. Logarithmus intermediæ æquatur differentialibus circumpositarù extremarù, seu antilogarithmis oppositarü extremarü. Cap. V. De non quadrantalibus mixtis. Cap. VI. De non Quadrantalibus puris. 3. In triangulis Sphæricis primò summa ex Logarithmis erurum subducta à summa ex Logarithmis aggregati & differentie semibasis & semidifferentiæ crurum, relinquit duplum Logarithmi dimidii anguli verticalis. 4. Secundo, Summa ex Logarithmis erurum snbducta à summa ex Logarithmis aggregati & differentia semibasis & semiaggregati crurum, relinquit duplum anti- logarithmi dimidii anguli verticalis. 6. Tertiò differentialis semibasis verse date, subductus ex summa differentialium semiaggregato & semidifferentiæ erurum, relinquit differentialem semibasis alternæ. 11. In omni triangulo spherico mutari possunt latera in angulos, & anguli in latera: assumptis tamen prius pro unico quovis angulo, & suo subtendente latere suis ad semicirculum reliquis. In dit Tweede Boek past Napier de logarithmen toe bij de oplossing van den vlakken en den boldriehoek. De stellingen, waarvan hij zich bedient, worden meerendeels in logarithmenvorm uitgesproken en, op twee uitzonderingen na, 40 JOHN NAPIERS WERKEN. zonder bewijs medegedeeld, waarvoor naar de bronnen verwezen wordt 5. Bij de oplossing van den rechthoekigen vlakken driehoek (trian- gulum rectilineum rectangulum) past Napier slechts de bepalingen van sinus en tangens toe, bij die van den scheef hoekigen vlakken driehoek (triangulum rectilineum obliquangulum) maakt hij van den sinus- en den tangensregel gebruik, alsmede van de stelling, dat in een driehoek de basis staat tot de som van de opstaande zijden als het verschil van de opstaande zijden staat tot het verschil (resp. de som) van de projecties der opstaande zijden op de basis. Zijn belangrijke beschouwingen over den boldriehoek met één element van 90° (triangulum sphericum quadrantale simplex) knoopt Napier vast aan de driehoeken SBP en SPZ (Fig. 3), die de zon S, als deze zich in den horizon bevindt, het noordpunt (cardo borealis) B, de pool P en het toppunt Z tot hoekpunten hebben, en waarin de hoek B en de zijde ZS recht zijn. De twee elementen, die aan dat van 90° grenzen, en de complementen, absoluut genomen, van de drie elementen, die er tegenover staan, noemt Napier de vijf circulaire deelen (quinque circulares partes) van een rechthoekigen en een rechtzijdigen bol- driehoek. Zoo zijn de vijf circulaire deelen van den rechthoekigen driehoek SBP: BP, 90° — / BPS, 90° — PS, 90° — / PSB, SB, en die van den rechtzijdigen driehoek SPZ: Z° ZSP, 90° — SP, / SPZ— 90°, 90° — PZ, / PAS, als men ze neemt in de richting, waarin de wijzers van een uur- werk draaien, met het complement van het element tegenover dat van 90° in het midden. NUE: BP = 90° — PZ... de poolshoogte van de plaats; o à 1 1 90° — XZ BPS = / SPZ— 90°... het ascensionaalverschil *) Quum ex Trigonometriæ principiis pateat, .... p. 22. Quum ex vulgari doctrina triangulorum constet, .... p. 23. (pro ut ex vulgaribus demonstrationibus Trigonometriæ patet.) p. 34. (quod fusius à Regiomontano, Copernico, Lansbergio, Pitisco, & aliis demostratur, quam ut brevi hac epitome repetendum sit.) p. 34. Quia docent Regiomontanus libro 5. cap. 2. de triangulis, & alii, .... p. 48. Cujus rei demonstrationem exhibent Bartholomæus Pitiscus, Adrianus Metius, & alii. Kam igitur hac epitome minimé repetendam censeo. p. 56. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 41 van de zon, d. i. het tijdsverloop tusschen zonsop- resp. zonsonder- gang en zes uur; 90° — PS = 90° — SP... de declinatie van de zon; 90° — / PSB= Z ZSP... de positie- d. i. de parallactische hoek van de zon; SB— 7 PZS... de streek, d. 1. het azimuth van de zon, van het noordpunt afgerekend. De driehoeken SBP en SPZ hebben dus dezelfde circulaire deelen. Uit P en WS als polen beschrijft Napier groote cirkels, die de wijden BP, PS en SB van A SBP in D, F en O en in Z, C en /7,-en elkander in Q snijden; de punten P en Q, Q en S, Sen Z, Zen O en O en P vereenigt hij door bogen van groote cirkels. De meridiaan BD van de plaats, de horizon £B, de groote cirkel CZ met de zon als pool, de meridiaan #C van de zon en de equator FD snijden elkander dan in B, 2, C, F en D onder rechte en in Z, P, S, O en Q onder scheeve hoeken; de bogen PQ, QS, SZ, ZO en OP zijn cirkelquadranten, maar de bogen PZ, ZQ, Q0, OS en SP niet. De vif driehoeken SBP, OFS, QHO, ZDQ en PCZ zijn dus rechthoekig en de driehoeken ZQO, PZQ, SPZ, OSP en QOS rechtzijdig. Hun circulaire deelen zijn, voor de rechthoekige van links naar rechts en voor de rechtzijdige van rechts naar links te lezen: A SBP: BP, 90°— / BPS, 90° — PS, 90°—/ PSB, SB: A ZQO; A OFS: 90° — PS, 90°— Z PSB, SB, BP, 90°—Z BPS: A PZQ; A QHO: SB, BP, 90°— Z BPS, 90°— PS, 90°— 7 PSB: a SPZ; A ZDQ: 90°— / BPS, 90° — PS, 90°— 7 PSB, SB, BP: A OSP; A PCZ: 90° — 7 PSB, SB, BP, 90°— / BPS, 90°— PS: a QOS. Voor die van A OFS by. vindt men: P90" PS 90° / FSO — 90° — / PSB, To Se 00 — / SOF — / POS — BP, (f= ors — 90° — / BPS. Zooals men ziet, zijn de circulaire deelen van de tien driehoeken dezelfde, nl. de poolshoogte van de plaats, het ascensionaalverschil, de declinatie, de positiehoek en de streek van de zon: die van de rechthoekige kunnen door cyclische verwisseling uit elkander worden afgeleid, mits men telkens bij het middelste deel beginne; evenzoo die van de rechtzijdige; — eindelijk kunnen die van de vijf recht- 42 JOHN NAPIERS WERKEN. zijdige uit die van de vijf rechthoekige en die van de vijf recht- hoekige uit die van de vijf rechtzijdige door omkeering van de volgorde gevonden worden. Nu is in een rechthoekigen boldriehoek de cosinus van de schuine zijde gelijk aan het product van de cotangenten van de scherpe hoeken en aan dat van de cosinussen van de rechtshoekszijden, m. a. w. de sinus van het middelste circulaire deel (pars interme- dia) is gelijk aan het product van de tangenten van de aanliggende (partes extremee vicinæ aut circumposite) en aan dat van de co- sinussen van de afliggende (partes extremæ remote aut opposite) circulaire deelen. En daar ieder van de vijf circulaire deelen beurtelings als com- plement van het element tegenover dat van 90°, dus als middelste circulair deel in een van de vijf rechthoekige en in een van de vijf rechtzijdige driehoeken voorkomt, kan men den regel formuleeren : Als men in een rechthoekigen en in een rechtzijdigen driehoek het element van 90° weglaat en de drie elementen, die er tegen- over staan, door hun complementen vervangt, dan is de sinus van ieder van deze circulaire deelen gelijk aan het product van de tangenten van de aanliggende en aan dat van de cosinussen van de afliggende circulaire deelen ; die door Napier in logarithmenvorm aldus wordt uitgedrukt: „Logarithmus intermediæ æquatur differentialibus circumpositarü extremarü, seu antilogarithmis oppositarü extremart.” p. 33. Door toepassing van dezen Regel van Napier kan men van een rechthoekigen en een rechtzijdigen boldriehoek ieder van drie elemen- ten (triplicitas) uit de twee overige berekenen; want als men de twee gegeven en het gevraagde element door de overeenkomstige circulaire deelen vervangt, dan krijgt men drie circulaire deelen, waarop Napier’s regel van toepassing is, omdat steeds twee van deze drie deelen hetzij aanliggende hetzij afliggende deelen zijn ten aanzien van het derde als middelste deel. De naam „triplicitas’”’, waarvan Napier zich bedient, om een drietal elementen van een rechthoekigen en een rechtzijdigen bol- driehoek aan te duiden, herinnert aan Torporley’s Diclides Cœlo- metricæ seu Valvæ Astronomicæ universales, Londini 1602, waarin bij de oplossing van den rechthoekigen boldriehoek zes „triplicita- tes” behandeld worden, die naar de figuren, waaraan ze eenigszins doen denken, de namen dragen van: carcer (gevangenis: de drie zijden), hasta (speer: de schuine zijde en de scheeve hoeken), forfex (schaar: de schuine zijde, een rechthoekszijde en de aanliggende MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 43 scheeve hoek), sipho (hevel: de schuine zijde, een rechthoekszijde en de overstaande hoek), corvus (enterhaak: de rechthoekszijden en een overstaande hoek) en funda (slingerriem: de scheeve hoeken en een overstaande zijde). Uit twee van de zes tripliciteiten kunnen de vier overige worden afgeleid; ieder van de twee moeders heeft twee dochters: corvus bracht hasta en forfex voort, en sipho carcer en funda. Torporley vereenigt elke moeder met haar dochters tot een mitra (bisschops- muts), waarin (Fig. 4) FR = JR < 90°, de hoeken bij /, / en R recht en de bogen #0, RO, RW, Lh, FM en LF quadranten zijn. Zoo beantwoorden aan de elementen ZM, TR en 7 MTR van A MTR als corvus in A 7'0C als hasta: 770 — 90° — TR, 7 CTO = Z MTR en / TOC = 90° — RM, en in A PLM als forfex: ZM = 90° — RM, PE = 90° — Z MTRen Z PEM = 90° — TR; evenzoo aan de elementen ML, TR en / RMT van A MTR als sipho in A POC als carcer: 70 — 90° — TR, CT = 90° — MT en OC = 90° — Z RMT, en in A PLM als funda: / ZMP = Z RMT, MP = 90° — MT en / PEM = 90° — TR. Van links naar rechts langs de vóór- en de achterzijde van de mitra rondgaande, vindt men dus: hasta, corvus en forfex; funda, sipho en carcer: „Hasta prior proles corvi sed postera forfex , Et sequitur carcer, siphonem, funda præibit.” »Torporley then gives rules for the reduction of either daughter to the mother, and discovers the necessity for using the comple- ments of the data. He points out in the last chapter that the same formule will apply to all the cases of each triplicity, and his two formule resemble, of course, those of Napier in their struc- ture. But Torporley has not accomplished the same amount either of symmetry or abbreviation which appears in the rules of Napier. The reduction of all the six cases to two, and the first exhibition of an organized mechanical mode of reducing each of the six cases to its primitive, belongs to him: Napier afterwards did the latter in a better manner, without the necessity of mnemonical verses.” 1) Hoewel Napier den naam van Torporley nergens vermeldt, wettigt de keuze van den term ,,triplicitas’’ De Morgan’s vermoeden, dat Napier met de Diclides Cœlometricæ bekend is geweest en bij zijn onderzoek naar de oplossing van den rechthoekigen boldriehoek *) De Morgan, On the Invention of the Circular Parts, in: Philosophical Magazine, London 1843, Vol. XII, p. 350. 44 JOHN NAPIERS WERKEN. de door Torporley aangewezen richting, maar met gunstiger uitslag heeft ingeslagen. Maar diens bewering, dat vóór Torporley niemand de noodzakelijkheid, om de complementen der elementen van een boldriehoek in te voeren, zou hebben ingezien en dat aan dezen de herleiding van de zes gevallen tot twee te danken zou zijn, kan den toets van een nauwgezet en onpartijdig onderzoek niet door- staan. Regiomontanus, Coppernicus, Van Lansberge, Pitiscus e. a. zijn ‘Torporley voorgegaan in het gebruik van de complementen der elementen van een boldriehoek, terwijl met name Van Lans- berge en Pitiscus vóór hem de oplossing van den rechthoekigen boldriehoek tot de toepassing van twee stellingen hebben teruggebracht. In Pitiscus’ Trigonometria, Auguste Vindelicorum 1600 4, wordt de bol-driehoeksmeting in vier ,,axiomata proportionum”’ samenge- vat, die voor den rechthoekigen boldriehoek aldus luiden: In twee rechthoekige boldriehoeken met een even grooten scherpen grondhoek zijn: 1) de sinussen van de schuine zijden evenredig met de sinussen van de hoogten; 2) de sinussen van de grondlijnen evenredig met de tangenten van de hoogten. Past men deze stellingen toe op Fig. 5, die aan de Trigonome- tria ontleend is en waarin 4 en B polen zijn van be GD£EF en bg GM/, dan vindt men: æ) uit A ABC en A AEP: sina —sinesin 4* en tang a = sin tang 4; 8) uit A BDF en A CDF: COS € = COS a cos D en cot c = cot 6 cos À: y) uit A ABC en a BHT: 5) uit A DGH en HG: sina = sinc sin 4* en tang a = tang c cos B; e) uit A BDE en a BHT: cos A = cos 4 sin B en cot 4 — cos c tang B; 6) wt ADGH en A CDF: 1 ) Pitiscus, Trigonometria: Sive De Solvtione Triangvlorvm Tractatus breuis & perspicuus, als aanhangsel bij Scultetus, Libri Sphæricorum, Heidelberge 1595. Pitiscus, Trigonometriæ Siue De dimensione Triangulor. Libri Qvinqve, etc, waarvan de 1ste druk in 1600 te Augsburg, de 2de druk in 1608 eveneens te Augsburg en de 3de druk in 1612 te Frankfort a/M & verscheen. (Zie mijn opstel over Pitiscus’ Trigonome- tria, in: Nieuw Archief voor Wiskunde, 2de Reeks, 3de Deel, Amsterdam 1898, p. 253.) MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 45 d.z., als men de twee gemerkte herhalingen niet mederekent, juist de bekende tien formules voor den rechthoekigen boldriehoek, die evenwel bij Pitiscus niet voorkomen. En de behandeling der driehoeksmeting in Van Lansberge’s Triangulorum Geometriæ Libri Quatuor, Lugduni Batavorum 1591, stemt in hoofdzaak met die in Pitiscus’ Trigonometria overeen. Pitiscus vermeldt trouwens de Geometria Triangulorum als een van zijn bronnen. In het bijzonder vindt men de twee axioma’s, waarop Pitiscus’ oplossing van den rechthoekigen boldriehoek berust, als theorema’s bij Van Lansberge terug, en de figuren bij dezen zijn nagenoeg dezelfde, maar vollediger en fraaier uitgevoerd, als bij genen. Waar evenwel Van Lansberge uit zijn theorema’s voor de op- lossing van een rechthoekszijde zes, van de schuine zijde vier en van een scherpen hoek zes regels afleidt, die, ieder op vier manie- ren in woorden uitgedrukt, in den vorm van evenredigheden worden medegedeeld, daar openbaart zich Pitiscus’ streven naar bekorting in de rechtstreeksche toepassing van zijn axioma’s op Fig. 5, waar- door afzonderlijke regels voor de verschillende gevallen overbodig worden. Torporley’s Diclides Cœlometricæ bevat dus op eenige niet zeer gelukkig gekozen termen en overtollige neologismen, alsmede ette- lijke soms vrij duistere „mnemonical verses” na, weinig nieuws; zelfs de Mitra was Torporley’s eigendom niet, maar gemeengoed van alle toenmalige mathematici, zooals bij vergelijking met Fig. 5 van Pitiscus en Fig. 6 van Lansbergius onmiddellijk in het oog valt. De ,,Discoverer of the whole Revelation of Saint John”, Napier, vond dus bij den keurpaltsischen hofprediker Pitiscus en diens Goes’schen ambtsbroeder Van Lansberge, naar wier werken hij verwijst, voor zijn trigonometrische studiën ,, Anregung”’ genoeg, om desnoods de voorlichting te kunnen missen van den „Vicar of Salwarp” (Shropshire), Nathaniel Torporley. Na de rechthoekige en de rechtzijdige boldriehoeken behandelt Napier den boldriehoek, waarin geen element van 90° voorkomt (triangulum sphæricum non quadrantale). De drie gegeven elementen kunnen zijn van verschillende soort (miscellaneæ, mixtæ) : a) twee zijden en een hoek; b) twee hoeken en een zijde; en van dezelfde soort (puree): a) de drie zijden; b) de drie hoeken. Zijn de gegeven elementen van verschillende soort, dan wordt 46 JOHN NAPIERS WERKEN, in ieder van de vier mogelijke gevallen de oplossing teruggebracht tot die van twee rechthoekige driehoeken, door uit een hoekpunt de loodlijn neer te laten op de overstaande zijde, alsmede tot die van twee rechtzijdige driehoeken, door uit een hoekpunt als middel- punt met een straal van 90° een cirkelboog te beschrijven, die de overstaande zijde ontmoet. Om de hoeken wt de zijden te berekenen, bedient Napier zich van een der stellingen : 1) sin + 4 = V {sin (s—4) sin (s—c) / sin à sin c} ; 2) cos à À — V {sin s sin (s—a) / sin b sin c} ; 3) tang La : tang + (6+-c) = tang + (b—c) : tang + (8 tc), waar 4’ en c° de projecties van 6 en c op a aanduiden. Voor de eerste stelling verwijst Napier naar Regiomontanus’ De Triangulis Planis et Spheericis Libri Quinque, una cum Tabulis Sinuum, Basileæ [1561], p. 119, waar men ze (natuurlijk in woorden) aldus vindt uitgedrukt: sin vers À — {sin vers a — sin vers (6—c)} / sin b sin c. Om de stelling te bewijzen, redeneert Regiomontanus aldus: Zij A abc (Fig. 7*) een boldriehoek, a de pool van den grooten cirkel df en van den kleinen cirkel 4, die door c gaat, 6 die van den grooten cirkel gd en van den kleinen cirkel op, die eveneens door: c gaat, enz. Laat Fig. 7° de projectie van Fig. 7* voorstellen op het vlak van den grooten cirkel ab, dan is: av = sinab; ky = sin ak — sin ac; bg = sin vers bf = sin vers (af— ab) — sin vers (ac— ab); br — sin vers bo — sin vers Ac; kt = qr = br—bq = sin vers be — sin vers (ac—ab) ; dz = sin vers d/, daar z de projectie van 4 is. sin vers / bac. Nu volgt uit A Als» A ave: ks : kt = aa : av. Ook is: dar vhs deer hy: MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 47 Vermenigvuldigt men de overeenkomstige termen van deze even- redigheden, dan komt er, omdat ax — dv = de straal van den bol is: de : kt=straal? : Ay. av, dus: sin vers / bac : {sin vers he — sin vers (ac—ab)} = straal? : sin ac sin ah, enz. De tweede stelling, die aldus kan worden uitgedrukt: cos vers À = { sin vers(b + €) — sin vers a } / sin b sin c, komt bij Regiomontanus niet voor. Zij kan door Napier, van wien zij afkomstig schijnt, maar die haar zonder bewijs mededeelt, aldus gevonden zijn: Trekt men in Fig. 7° uit » de loodlijnen zw en nw op op en be, dan is: ny = Sin an sin ac; sin vers bu sin vers (az + ab) sin vers (ac + ab); wr bw — br sin vers (ac + ab) — sin vers be; cos vers d/ cos vers / bac. Nu volgt uit A zus © A ave: lw nu Jz |e Ge INST NS : NU — ax: av. Ook is: Saas == fai: ny. ermenigvuldigt men de overeenkomstige termen van deze even- V Idigt d komstige terme 1 redigheden, dan komt er, omdat ax = fx = de straal van den bol is: fz : nu = straal *: ny.av, dus : cos vers / bac: { sin vers (ac + ab) — sin vers bc } = straal 2: sin ae sin ab, enz. De derde stelling eindelijk, die aan de bekende eigenschap be- “antwoordt, dat in een vlakken driehoek de basis staat tot de som van de opstaande zijden als het verschil van de opstaande zijden staat tot het verschil (resp. de som) van de projecties der opstaande zijden op de basis, wordt door Napier, van wien zij afkomstig is, aldus bewezen : 48 JOHN NAPIER’S WERKEN. Op den bol AFPG (Fig. 8) zijn twee groote cirkels, 42P en AP, getrokken, die elkander in de tegenpunten 4 en P snijden. Uit een punt x van een dier cirkels als middelpunt is een kleine cirkel beschreven, die 4uP in 3 en > en A,P in 5 en « snijdt. Vereenigt men „ met 3 en >, dan ontstaan er twee boldriehoeken, 46 en Aya, met à als top, 48 en Ay als bases, opstaande zijden en 4d als verschil en de als som dier opstaande zijden. Trekt men de hoogtelijn zu, dan zijn 4x, Be en yu de projecties van de opstaande zijden dier driehoeken op de bases. De rechte lijnen, die men uit P door 6, y, à en « kan trekken, ont- moeten het vlak H/KQ, dat den bol in 4 raakt, in 6, ec, d ene, van welke punten zoowel 4 en cals d en e met 4 in één rechte lijn liggen. Omdat 4P loodrecht op het vlak H/KQ staat, zijn Ab, Ac, Ad en Ae nee met de tangenten van / APD — abe AB, 7 APe = 4 bg Ay, £ APd= 1 bg 43 en / APe = + bg de. Nu liggen 4, c, d en e op den omtrek van den cirkel, die de stereographische projectie vormt van cirkel 37de wit P als centrum op H/KQ als projectievlak: „Omnis enim circuli in superficie Sphere descripti’, zegt Napier op p. 51, „umbra à lucido in eadem superficie, quod non est in eirculi peripheria procedens circulum facit perfectè rotundum in plano orthogono ad rectam, que à lucido per centrum Sphæræ progreditur, ut ex Opticis, & astrolabii 1) fabrica patet.” , Omdat 4, c, d en e op den omtrek van een cirkel liggen, heeft men 4b. Ac = Ad. 4e, dus tang À AB. tang 4 os = tang 4 Ad. tang 4 de. enz. *). Om de zijden uit de hoeken te berekenen, bedient Napier zich van de stelling, dat men van een boldriehoek de zijden in hoeken en de hoeken in zijden mag veranderen, mits een der zijden en de overstaande hoek door hun supplementen vervangen worden, zooals kan blijken uit Fig. 9, die aan Pitiscus’ Trigonometria, ‘) Wolf, Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur, Ster Halbband, Zürich 1892, p. 70. *) Eenvoudiger kan men de stelling aldus bewijzen: Trekt men in A ABC de hoog- telijn CD op AB, dan is: cos AC = cos CD cos AD en cos BC — cos CD cos BD, dus : cos AC: cos BC = cos AD: cos BD, (cos AG ov cos BC) : (cos AC + cos BC) = (cos AD ov cos BD): (cos AD + cos BD), tang + (AC + BC). tang } (AG ~ BC) = tang 3 (AD + BD) . tang 3 (AD © BD). Hieruit volgt, als D tusschen A en B valt en dus AD + BD= AB is: tang à AB: tang }(AC + BC) = tang $ (AC © BC): tang 3 (AD & BD), en als D niet tusschen A en B valt en dus AD ~ BD = AB is: tang } AB: tang } (AC + BC) = tang } (AC © BG): tang 3 (AD + BD). MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 49 Auguste Vindelicorum 1600, ontleend is: de driehoeken ABC en KLM zijn elkanders pooldriehoeken ; maar doordien niet steeds die pool van een zijde genomen is, die hetzij aan denzelfden hetzij aan den tegengestelden kant dier zijde higt als het overstaande hoek- punt, zijn de zijden van den een miet de supplementen der hoeken van. dén ander, maar is / 4 — KL, / B — 180°—LM, / C MK AB=/ 1; BC=Z M en CA. — 180° — / K. Regiomontanus berekent de zijden wit de hoeken door toepassing van de stelling : In een boldriehoek zijn de sinussen van de hoeken, die twee zijden vormen met de hoogtelijn op de derde zijde, evenredig met de cosinussen van de hoeken, die zij vormen met de derde zijde ; en oplossing van het vraagstuk: Twee hoeken te bepalen, als hun som (resp. hun verschil) en de verhouding van hun sinussen gegeven zijn. OPMERKINGEN. Hoewel de Descriptio pas in 1614 verscheen, schijnt Napier’s uitvinding van de logarithmen reeds van vóór 1594 te dateeren. Immers uit een schrijven van Kepler aan den Danziger wiskun- stenaar Crüger, ged. Linz den 9°°" September 1624, blijkt, dat Tycho Brahe, wiens assistent Kepler van 1600 tot diens dood in 1601 te Praag was, in 1594 een brief uit Schotland ontving, waarin de verschijning van Napier’s Wonderbaren Canon in uitzicht werd ge- steld 5. Vermoedelijk was de schrijver van dien brief de lijfarts van koning Jacobus VI van Schotland, Napier’s vriend Craig, die reeds in 1588 briefwisseling met ‘Tycho Brahe onderhield en dezen in 1590 persoonlijk leerde kennen bi gelegenheid van een bezoek, dat Jacobus VI aan den Deenschen astronoom bracht op diens wereldberoemde sterrenwacht Uraniborg (op Hveen in de Sont). Kepler kreeg pas in 1617 te Praag een exemplaar van Napier’s Descriptio onder de oogen, maar vond geen gelegenheid, om van den inhoud kennis te nemen. Vandaar, dat hij in een brief aan zijn vriend Schickard, ged. 11 Maart 1618, nog van Napier kon spreken als van een Schotschen Baron, wiens naam hem ontgaan was, maar die een hulpmiddel had uitgedacht, om de vermenig- *) Nihil autem supra Neperianam rationem esse puto: etsi quidem Scotus quidam literis ad Tychonem a. CIOIOXCIV scriptis jam spem fecit Canonis illius mirifici. Keppleri Aliorumque Epistolæ Mutuæ, ed. Hansch, Lipsiæ 1718, Epist. CCXCIL, p. 460. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VI. F 4 50 JOHN NAPIER’S WERKEN. vuldigingen en deelingen in de trigonometrie om te zetten in op- tellingen en aftrekkingen, onder opmerking evenwel, dat deze op- tellingen en aftrekkingen wegens haar verscheidenheid, menigvul- digheid en moeilijkheid soms meer arbeid vorderden dan de ver- menigvuldigingen en deelingen, die ze vervingen 4). Hij leerde Napier’s vinding pas waardeeren, nadat hem Ursinus’ Cursus Mathematici Practici Volumen Primum continens I[llustr. & Generosi DN. Johannis Neperi Baronis Merchistonij &e. Scoti. Trigonometriam Logarithmicam Usibus discentium accomodatam , Colonize [ — Keulen a. d. Spree = Berlin] 1618, in handen was gekomen , een uittreksel uit Napier’s Descriptio met diens Canon n twee cijfers minder dan in de uitgaaf van 1614. De toepassing op één voorbeeld was thans voldoende, om hem te doen inzien, welk onschatbaar hulpmiddel de logarithmen van Napier vormden bij de uitvoering van omslachtige berekeningen, hoe hij er zich met vrucht van zou kunnen bedienen bij de samen- stelling van zijn Planetentafels, die trots jarenlangen volhardenden ijver niet dan uiterst langzaam vorderden. Onmiddellijk zette hij een van zijn leerlingen aan den arbeid, om zich van de nauwkeurigheid van Ursinus’ Canon te vergewissen; overeenkomstig Napier’s definitie, maar eenigszins anders ingericht dan diens Canon, werd cen logarithmentafel berekend, en — last not least — werden de Planetentafels, om ze voor het gebruik van logarithmen geschikt te maken, naar een nieuw plan omge- werkt. Een en ander vindt men medegedeeld in een uitvoerig en zeer waardeerend schrijven van Kepler aan Napier, ged. Linz den 28°" Juli 1619, dat voorkomt in diens Ephemeriden voor het jaar 1620 *). 1) Extitit Scotus Baro, cujus nomen mihi excidit, qui præclari quid præstitit, ne- cessitate omni multiplicationum & divisionum in meras additiones & subtractiones com- mutata, nec sinibus utitur: At tamen opus est ipsi Tangentium Canone: & varietas, crebritas, difficultasque additionum subtractionumque alicubi laborem multiplicandi & di- videndi superat. : Keppleri Aliorumque Epistole Mutuæ, ed. Hansch, Lipsiæ 1718, Epist. CCCCLI, p. 672. 5) Illustri et Generoso D. D. Joanni Nepero, Baroni Merchistonii, Scoto. SP. D; Capi superioribus annis in vestibulis Ephemeridum lectores de Tabularum Rudolphi- narum statu certiores reddere causasque explicare morarum, quas illi crebris et literis et publicis scriptis increpabant. Hae vice Te, Illustris Baro, compello, seorsim quidem a ceteris, quia sic postulat res ipsa et liber tuus, cui titulus ,,Mirificus Logarithmoram Canon”; publice tamen, quia que tecum confero, illa ad omnium lectorum notitiam pertinent. Quod igitur moris meis rursum unus accessit annus, preter generales illas, que hactenus me impedierunt, singulares etiam in hune annum cause concurrerunt, quarum aliquas fama MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 51 Napier was echter reeds twee jaren te voren, den 4%* April 1617, ten grave gedaald. Kepler’s Planetentafels, waarvoor Tycho Brahe het waarnemings- materiaal had bijeengebracht, verschenen eindelijk in 1627, na een arbeid van vijf en twintig jaren, nauwelijks zes jaren vóór den dood van den samensteller, te Ulm onder den titel van Tabulæ Rudolphine, publica loquitur, bella et cometas, aliquas prædixi aut tetigi in vestibulis Ephemeridum in annos 1617 et 1619, que anno 1618 prodierunt: scilicet editionem librorum V Har- monices Mundi, que sola editio (ut non adnumerem præcedentem illorum elucubrationem) me per annum solidum tenuit occupatum; absoluta tamen est favente supremo mundi totius Harmosta, nequicquam fremente et infrendente et horride admodum interstrepente Bellona cum bombardis, tubis et taratantaris suis, ut nisi nos etiamnum vel hee diva obsederit domi forisve, vel Mercurialium tergiversationes destituerint (ut accidit in altera parte Epitomes seu doctrina theorica, in qua typi, non ultra primam paginam progressi, conquieverunt hactenus), exemplaria tam Harmonicorum quam descriptionis Cometarum (que jam in tertiam mensem hæret Auguste) his autumnalibus nundinis Francofurto habere possint ii, quibus cordi est, opera manuum Dei mentis lumine col- lustrata penitus intueri. Princeps vero causa, que progressibus meis in condendis tabulis hoe anno intercurrit, est nova plane sed felix calamitas tabularum partis a me jam dudum perfecte, liber scilicet ille tuus, Illustris Baro, quem Edimburgi in Scotia impressum ante annos 5 primum vidi Prage ante biennium, perlegere tamen non potui, donec superiori anno, nactus libellum Benjaminis Ursini, mei dudum domestici, nunc astronomi Marchici ‘quo ille rei summam ex tuo libro transscriptam verbis brevissimis comprehendit), quid rei esset cognoscerem. Vix autem uno tentato exemplo deprehendi magna gratulatione, generale factum abs te exercitium illud numerorum, cujus ego particulam exiguam jam a multis annis in usu habebam tabularumque partem facere proposueram, præcipue in negotio parallaxium et scrupulorum durationis et more in eclipsibus, cujus methodi exemplum heec ipsa Ephemeris exhibet. Sciebam equidem, illi mee methodo locum non esse, nisi ubi arcus a rectis nihil sensibile differrent, at illud ignorabam, ex secantium excessibus fieri posse logarithmos, qui methodum hane universalem faciant per omnem arcuum longitudinem. Satagebat igitur animus ante omnia videre, num etiam exquisiti essent in Ursini libello logarithmi. Usus igitur opera Jani Gringalleti Sabaudi, domes- tici mei, jussi millesimam sinus totius auferre a residuo rursum millesimam idque plus quam bis millies, donee de sinu toto restaret pars decima circiter; sinus vero, qui ami- sisset millesimam totius, logarithmum curiosissime constitui, orsus ab unitate divisionis illius, qua Pitiscus utitur numerosissima, quippe 12 ordinum; hune sic constitutum logarithmum adnumeravi residuis omnium subtractionum ex equo. Itaque deprehensum est, ad rei summam nihil illis deesse logarithmis, errores vero incidisse pauculos vel typi vel in distributione illa minuta logarithmorum maximorum circa principium quadrantis. Hee te orbiter scire volui, ut quibus tu methodis incesseris, quas non dubito et pluri- mas et ingeniosissimas tibi in promptu esse, eas publici juris fieri, mihi saltem (puto et ceteris) scires fore gratissimum eoque percepto, tua promissa folio 57 in debitum ceci- disse intelligeres. Nune ad tabulas propius. Vix tandem enim hoc ipso Julio mense Lincium allato exemplari libri tui, ut ad folium 28 legendo perveni, considerare coepi occasione tui con- silii, num fortasse sufficiant sole epoche et deductiones motuum mediorum et magni- tudines eccentricitatum semidiametrorumque et tui logarithmi, æquationum vero tabule penitus possint omitti, quippe que meris additionibus vel subtractionibus facilime perficiantur? Atqui res habet paulo aliter. Primum non omnis molestia cum multipli- catione et divisione sinuum sublata est: restat etiamnum attentio et cautele varie, F 4* Le 22 JOHN NAPIER’S WERKEN. als een hulde aan de nagedachtenis van keizer Rudolf IT en een lauwer te meer om de slapen van den grooten astronoom, den Wetgever des Hemels. circa usum additionum et divisionum, que succedunt sublatis, ubi non tantum hebetiores, sed etiam ingeniosissimos interdum contingit hallucinari, quibus utrisque tam ad sub- levandam memoriam, quam ad redimendum tempus succurrendum est per tabulas æqua- tionum, que summam ejus, quod logarithmorum tractationibus elicitur, proximis numeris debitam, statim ad primum intuitum exhibeant. Sane quo consilio logarithmos ipsos in libello communicamus, cum possent illi computari ab unoquolibet modum edocto idque longe facilius quam sinus, eodem consilio et tabulas condimus æquationum. Dein- de cum (due sint classes, prior eccentri æquationum, posterior orbis magni (seu Ptolemæo epicycli) neutrobique neque eccentricitates neque semidiametri, quod tu præsupponis, constantem tuentur magnitudinem; frustra hic respectamus antiquam formam ; Braheanæ nos observationes aliud docuerunt. Vera quidem itineris planetarii eccentricitas constans est, at æquantis (veteribus dicti) eccentricitas, si quis hac potius quam mea forma “computandi velit uti, variabilis erit perpetuo, aut non exacta nec nature vestigiis insistens prodibit altera pars æquationis. Rursum, semper quidem est eadem maxima orbite planetariæ diameter, at non omnes diametri per omnem ambitum sunt æquales, quippe orbite planetarum sunt elliptice. Quod vero attinet classem æquationum alteram, ibi neque orbis magni neque epicycli Ptolemaici semidiameter constans usurpari potest, hoc est, ut ad formam loquar astronomie reformatæ, variabilis est distantia Solis a Terra, variabilis est distantia planets a Sole, nec potest pro Sole punctum aliquod Soli vicinum eligi, quod semper distet a Terra æqualiter, nisi motum ejus circa Terram inæquabilem velimus admittere majore incommodo. Itaque in triangulo inter Terram, Solem et planetam latera duo data sunt utraque variabilia. Qua de causa ratio talis mihi fuit ineunda hactenus, ut due essent pro unoquolibet planeta tabule, altera indicis (intellige indicem proportionis, datorum laterum summe ad differentiam) altera anguli (elongationis a Sole), cum indice et anomalia commutationis excerpendi. Hee illa pars est tabularum ad tuos logarithmos reformanda. Nam si meos exhibeam indices, non poterunt ii servire volenti computare per ipsa triangula, nisi is multiplicaverit indicem in tangentem di- midiæ anomalie commutationis. At si pro indicibus ponam logarithmos, ii tantummodo adduntur ad ejusdem dimidiæ anomalie medium logarithmicum. Indices igitur conver- tendi sunt in logarithmos, ut quod singuli sæpissime facere deberent, detrahere scilicet logarithmum summe laterum a logarithmo differentia, id a me uno semel fiat. Anguli vero tabula de nova est condenda et accommodande areæ seu elongationes a Sole ad æquales saltus logarithmorum, que prius respondebant æqualibus saltibus indicum. Qua ratione et responsus utrinque æquabilior et tota tabula anguli brevior multo fieri poterit, manebitque forma cruciformis ingressus et correctio per partem proportionalem usitata hactenus, pro iis, qui ea volent esse contenti. At cum omnis cruciformis excerptio ob multiplicationem logisticam duplicem sit tædiosa et cerebrosa, logista illam effugere poterit per tractionem logarithmorum expeditissimam, quippe accuratis logarithmis opus erit minime, nihiloque minus tabula anguli, summan quæsitæ proximam ob oculos statuens, logistam in usu logarithmorum non patietur aberrare. Multo vero maxima sollicitudine circa latitudines me liberant tui logarithmi; absque his enim si fuisset, duorum alterum necessarium fuisset, aut ut logistam ad parallacticam meam remitterem, insertam mee Astronomie Parti Optic, imperato duplici quadrato ingressu, verius duplici cruce, nec id satis accurato successu, aut certe ut duas insuper pro quolibet planeta conderem tabu- las latitudinis «que prolixas prioribus, unam indicis latitudinarii, alteram latitudinis ipsius. Opus ipsum longissimi temporis et fastidiosi laboris, usus ejus intricatus fuisset. At nune melius est: facile per data duos excerpemus logarithmos eorumque differentiam addemus medio logarithmico inclinationis locorum eccentri, quod exhibebitur ex tabula ed MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO. 53 Op de fraaie titelplaat, die Uraniborg verbeeldt, treft men onder andere allegorieën een vrouwenfiguur aan met de logarithme van den halven straal als heiligenschijn. cujusque planete; summa confecta ut medium logarithmicum ex canone exhibebit latitudinem. Serupulosis logarithmis opus erit rarissime. Et ne quis dubitet, hoc equidem artificio Ephemeris ista confecia est, eoque Tibi, Ilustris Baro, jure inscribitur. Ita logarithmi tui necessario pars fient Tabularum Rudolphi, prius tamen in officina mea recusi, eritque cur sibi gratulentur astronomi de moris meis. Tu si quid commodius habes, ejus me queso participem primo quoque tempore facito, quod item et astronomiæ professores, ut dudum privatis literis aliquos, sic nunc publice universos rogatos volo. Vale Illustris Baro et hanc compellationem ab inferioris conditionis homine ex usu communium studiorum estima. Lentiis ad Istrum. V. Cal. Sextiles anno 1619. Nl. Gen. Tue observantissimus, Joannes Kepplerus. RAP DOLOGIA. Rabdologie, | Sev Nomerationis | Per Virgulas | Libri Dvo: | Cum Appendice de expeditis- | simo Moltipli- cationis | Promptvario. | Quibus accessit § Arithmetice | Localis Liber Vnos. | Authore & Inventore Loanne | Nepero, Barone Mer- | chistonii, Sc. | Scoto. | Edinborgi, | Excudebat Andreas Hart, 1617. / 12°. 144 X 81 cM. ns Titel. ue wit. Ne — ae 5 pp.: Lllustrissimo Viro Alexandro Selonio Fermelinoduni Comiti, Fyvar, $ Vrqvharti Domino, Se. Supremo Regni Scotie Cancellario. S., . onderteekend: Joannes Neperus Merchistonu Baro. 942, Verzen, t. w.: AR. er en? Oe. wie en eae Het ontwikkelde zijoppervlak van het derde balkje vindt men mm Wig. 10 afgebeeld. *) Unger, Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart nach den Originalquellen bear- beitet, Leipzig 1888, p. 77. Qt ~ RABDOLOGIA. Napier’s rekenbalkjes dienen uitsluitend, om geheel werktuiglijk een willekeurig getal te vermenigvuldigen met een getal van één cijfer. Moet men bv. het product 6 > 7859 berekenen, dan legt men de balkjes, waarop de veelvouden van 7, 8, 5 en 9 gevonden worden (het tweede, eerste, vierde en derde bv.) zóó naast elkan- der, dat de cijfers 7, 8, 5 en 9, die in de bovenste vierkanten staan, in één ry komen en het getal 7859 vormen. Uit de zesde rij vierkanten kan men dan onmiddellijk het verlangde product 47154 aflezen, door in de richting der diagonaal van rechts-boven naar links-beneden de tientallen van elk gedeeltelijk product op te tellen bij de ééntallen van het gedeeltelijk product, dat er aan de linkerhand naast staat (Pig. 11). : Napier heeft zorg gedragen, dat men met de cijfers in de boven- ste vierkanten van zijn tien rekenbalkjes een zeer groot aantal ge- tallen kan vormen, t. w. alle getallen kleiner dan 11 111, alsmede alle getallen, kleiner dan 101%, die met hun overstaanden geen cijfer vijfmaal, geen twee cijfers samen achtmaal en geen drie cij- fers samen tienmaal bevatten. Met twee stellen van deze reken- balkjes kan men alle getallen kleiner dan 111 111 111 vormen, alsmede alle getallen, kleiner dan 1020, die met hun overstaanden geen cijfer negenmaal, geen twee cijfers samen vijftienmaal en geen drie cijfers samen negentienmaal bevatten. Enz. By de vermenigvuldiging van twee willekeurige getallen gaat men op de gewone wijze te werk; alleen worden de producten van het vermenigvuldigtal met de afzonderlijke cijfers van den ver- menigvuldiger van de rekenbalkjes afgelezen. Om de proef op een vermenigvuldiging te maken, handelt Napier aldus: Is bv. het pro- duct van 1615 met 365 gevonden, dan keert hij de tafel, door de vier balkjes gevormd, om, vermenigvuldigt het getal 8384, dat in de bovenste rij vierkanten staat en waarvan de cijfers met de cijfers van dezelfde betrekkelijke waarde in 1615 telkens negen tot som geven, eveneens met 365, telt 365 bij dit product op en trekt deze som van 3650000 af, d. i. van den vermenigvuldiger, gevolgd door zooveel nullen, als er rekenbalkjes zijn; de rest, die men overhoudt, moet blijkbaar = 365 X 1615 wezen. By de deeling bedient men zich van de rekenbalkjes, om de grootste veelvouden van den deeler te bepalen, die men na elkander moet aftrekken. Bij de worteltrekking komt, behalve de rekenbalkjes, een reken- plaatje (lamina) te pas, even lang en dik als de balkjes, maar drie- à viermaal zoo breed. Aan de eene zijde, die men bij de vier- kantsworteltrekking gebruikt, staan de getallen kleiner dan tien, 58 JOHN NAPIERS WERKEN. hun tweevouden en hun tweedemachten (Fig. 12%); aan de andere zijde, waarvan men zich bij de kubiekworteltrekking bedient, vindt men de getallen kleiner dan tien, hun tweede- en hun derde- machten (Fig. 12”). De vierkantsworteltrekking uit 117716237694 en de kubiek- worteltrekking uit 22022635627 worden aldus uitgevoerd: 90 5 48 95 67 21 070 2 14 e716 28, 16294" 22.022.635.627. AREAS: SONORE Ie ema de tt 9 8 2 56 13 952 20 49 70 635 627 61 74 SI 5 48 95 04 De wortel wordt tusschen twee horizontale strepen onmiddellijk onder het getal geschreven, waaruit hij getrokken wordt; de af- trekkers komen onder en de resten boven deze twee getallen te staan; de vakken van twee en drie cijfers worden niet bijgehaald. Om bij de vierkantsworteltrekking in het aangehaalde voorbeeld het cijfer der ééntallen te vinden, neemt men 2 X 34309 — 68618 en legt, van links naar rechts voortgaande, de rekenbalkjes, waarop de veelvouden van 6, 8, 6, 1 en 8 voorkomen, en het rekenplaatje voor de vierkantsworteltrekking naast elkander. Men vindt dan, diagonaalsgewijze optellende, in de horizontale rijen, van boven afgerekend, de producten 686181 X 1, 686182 X 2, 686183 X 3, enz., waaronder het grootste, dat van de rest 5459594 kan worden afgetrokken, het verlangde cijfer doet kennen. En om bij de kubiekworteltrekking in het aangehaalde voorbeeld het cijfer der honderdtallen te vinden, neemt men 3 X 27 = 12 (2 is het cijfer der duizendtallen in den wortel) en legt, van links naar rechts voortgaande, de rekenbalkjes, waarop de veelvouden van 1 en 2 voorkomen, en het rekenplaatje voor de kubiekwortel- trekking naast elkander. Men vindt dan, diagonaalsgewijze optel- lende, in de horizontale rijen, van boven af gerekend, de sommen: 3 X 202 X 1 + 15, 8 MOED De 2, 2 s 2 |: | 23 +117 8 X 20° X 8 + 5°, enz, RABDOLOGTA. 59 waaronder de grootste, die van de rest 14022 kan worden afge- trokken, de vermoedelijke waarde van het verlangde cijfer doet kennen; hier 9. Van 14022 moet evenwel niet 3 XC 20° X 9 + 93, maar 3 > 202 X 9 + 3 X 20 X 92 + 93 kunnen worden afge- trokken, d. i. 3 X 20 X 92 meer. Nu is 3 X 20 = 60 en 9? = Sl; men legt daarom het rekenbalkje, waarop de veelvouden van 6 voorkomen, rechts van het rekenplaatje, leest er de produc- ten 1 X 6 = 6 en 8 X 6 = 48 van af, en telt 6 en 48, resp. één en twee cijfers inspringende, bij 11529 — 3 X 20? X 9 + 93 op; aldus: 11529 6 48 16389 Daar 16389 niet van de rest 14022 kan worden afgetrokken, is 9 echter te groot; enz. Het product 3 X 282%, dat men vervolgens ter bepaling van het cijfer der tientallen noodig heeft, wordt aldus berekend: ICS RNCS CS 160, d. 1. 2 X 8 met een nul er achter. S00, d. 1. de helft van 160 met een nul er achter. 1200, d.1. 3 X 2* met twee nullen er achter. Ten gerieve van den gebruiker worden de regels van bewerking telkens in verzen samengevat; bv. : [Pro Multiplicatione. | „Majorem tabules; & obliquè hine mutipla scribas (ue minor ipse monet; quæsitum hæc addita præstant. Aut tabulam invertas; & obliquè hine multipla scribas (ua minor ipse monet, directé his adde minorem: Hancque minori aufer summam tot inanibus aucto, In tabula quot sunt Virgæ, & prodibit id ipsum.” p. 18. „Pro Vulgari. Multipla quanta potes sectoris quotque secando Tolle decussatim; quotumique dabunt quotientem.” p. ww w 60 JOHN NAPIERS WERKEN. „Pro Decimali. Multipla quanta potes sectoris, quotque secando Tolle decussatim cyphris iam quotlibet aucto. Horum tum quotumi decimalem dant quotientem.” p. 22. wat naar de vertaling van Adriaen Vlack in De Decker’s Eerste Deel vande Nieuwe 'Telkonst, Ter Goude 1626, zeggen wil: (Voor de vermenigvuldiging. | „Tafleert het grootst’, en schuyns al het Veelvuldigh stelt, Dat ’tcleynste wijst: *tbegheerd’ comt, die zijnd’ opghetelt: Oft keert de Tafel om, end’ de Veelvuldigh’ al, Die ’teleynste wijst, schrijft schuyns, ’tcleynst recht men (bydoe sal, En trect die Som van ’tcleynst, soo veel nullen ghedaen Daer by, als Roetjes zijn, comt dan uyt als voor aen.” p. 17. „Voor de Ghemeene Deelingh. Het Menighfout, soo groot en dicwils als mach wesen, Des Deelers trect schuyns af van ’t bovenste ghetal, En schrijft de Werven 5) al, dieder zijn uyt gheresen, Die zijnde dan vergaert, de Mael *) uytcomen sal.” p. 21. „Voor de Thiende Deelingh. Soo groot en diewils als het doenelijcken zy Des Deelers Menichfout trect van ’t bovenst ghetal, Soo veel nullen ghestelt, alsmen begheert, daer by, De Thiende Mael dan uyt de Werven comen sal.” p. 21. Nog moet worden opgemerkt, om er later op terug te komen: 1) dat in Hoofdstuk 1V bij een deeling *), onder vermelding van Stevin’s Thiende, Leyden 1585, waarvan in 1608 een Engelsche vertaling verscheen, en in Hoofdstuk IX bij een verkorte vermenig- vuldiging +) een komma als decimaalteeken dienst doet ter vereen- voudiging van Stevin’s omslachtige notatie: LI1@OD3DO0D 4 @ = 941,304, 9 ) De cijfers van het quotient. *) Het quotient. ) Zie p. 55. ") Zie p. 56. RABDOLOGIA. 61 éénmaal zelfs met weglating van de aanwijzers, die Romeinsche cijfers verbeelden: an dar nara 2) dat in Hoofdstuk IX bij de berekening van den omtrek van een cirkel, waarvan de middellijn gegeven is}, voor de eerste maal in een gedrukt werk een verkorte vermenigvuldiging wordt aangetroffen. Dy bare Es: Rabdologie Liber Secondvs De usu Virgularum Numeratricium in Geometricis § Mechanicis officio Tabularum. AS pp. Capvt I. Dé deseriptione Tabularum sequentiun. Capot IT. De inventione laterum, § quadratricum polygonorum per primam Tabulam. Capot III. De inventione quadratricum § diametrorum polygonorum per Tabulam secundam. Capot IV. De inventione diametrorum § laterum polygonorum per tertiam Tabulam. Capot V. De lateribus §- cubatricibus quinque corporum regularium inveniendis per quartam Tabvlam. Capot VI. De inventione cubatricum § diametrorum regularium corporum, & sphere per quintam Tabvlam. Capot VII. De diametris § lateribus quinque corporum regularium per sextam Tabulam invenendis. , Capot VIII. De ponderibus, §- magnitudinibus Metallorum | §- lapidi\ tnveniendis. In dit Tweede Boek vindt men uiteengezet, hoe men met be- hulp van tafels wit elkander kan afleiden: 1) de zijden, de vierkantswortels (der oppervlakten) en de mid- dellijnen (der omgeschreven cirkels) van de regelmatige drie-, vier-, negen- en tienhocken ; 2) de ribben, de kubiekwortels (der inhouden) en de middel- lijnen (der omgeschreven bollen) van de vijf regelmatige veelvlakken ; 3) de volumina en de gewichten van eenige metalen en steen- soorten. De tafels zijn in x X x vierkanten verdeeld en de getallen in de vierkanten der diagonaalrijen van links-boven naar rechts-beneden — 1000 gesteld. Vandaar, dat de oplossing der vraagstukken door middel van den regel van drieën, behalve een deeling door 1000, slechts een vermenigvuldiging vereischt, die met behulp van de rekenbalkjes en op verkorte wijze kan worden uitgevoerd. *) Zie p. 55. 62 JOHN NAPIER’S WERKEN. e) Het Promptuarium Multiplicationis. De Expeditissimo Multiplicationis Promptvario Appendix. 22 pp. Capvt I. De lamellarum promptuart fabrica. Capet IL. De Pyxidis, pro continendis lamellis Structura. Cupot LIL. De facili per promptuarium Multiplicatione. Cupot IV. De divisione per promptuarium, § Tabulas. Het Promptuarium Multiplicationis (Voorraadkamer der Vermenig- vuldiging) berust op hetzelfde beginsel als de rekenbalkjes en dient, om zeer groote vermenigvuldigingen uit te voeren. Het bestaat wit honderd dikke en honderd dunne linialen (la- mellæ), ieder ongeveer lang 2 dM., breed 2 cM. en dik de dikke (Fig. 13) + cM. en de dunne (Fig. 14) } cM. Op elke liniaal is een der zijvlakken van 2 cM. breedte verdeeld in tien vier- kanten en twee rechthoeken, één aan het boveneinde en één, half zoo breed, aan het ondereinde. De vierkanten zijn weer verdeeld in driehoeken, op de dikke linialen door de diagonalen van rechts- boven naar links-beneden en op de dunne door die van links-boven naar rechts-beneden. Op den breeden bovenrand zijn zoowel de dikke als de dunne linialen, telkens bij tienen, met de cijfers 0, 1, 2,... 8 en 9 gemerkt. Verder zijn de dikke linialen met cijfers beschreven en vertoonen de dunne driehoekige openingen. Om deze cijfers en openingen behoorlijk aan te brengen, moet men de vier- kanten op de linialen, die met de cijfers 1, 2,... 8 en 9 ge- merkt zijn (de linialen met de nullen vereischen geen verdere be- werking) door hulplijnen, die later weer uitgewischt worden, ieder in negen kleiner vierkanten verdeelen en elk vierkantje door de diagonaal, evenwijdig aan de reeds getrokken diagonaal, in twee driehoekjes. Vervolgens moet men zich voorstellen, dat in de acht- tien driehoekjes van elk groot vierkant de letters a, 6, c, d, e, f, g, h en à zijn ingevuld op de wijze, als in Fig. 15 is aangeduid. Op de dikke linialen moet dan in de driehoekjes met de letter a éénmaal, m die met de letter 6 tweemaal, in die met de letter € driemaal,... en in die met de letter 7 negenmaal de waarde komen te staan van het cijfer, waarmede de liniaal gemerkt is; bij de veelvouden van twee cijfers wordt het cijfer der ééntallen aan de rechterhand en dat der tientallen aan de linkerhand van de diagonaal in de groote vierkanten geschreven. En van de dunne linialen met het cijfer 1 moeten de drie- hoekjes worden uitgesneden, waarin de letter a staat, van die met het cijfer 2 de driehoekjes, waarin de letter 4 staat, van die met RABDOLOGTA. 63 het cijfer 3 de driehoekjes, waarin de letter ¢ staat,... en van dic met het cijfer 9 de driehoekjes, waarin de letter 7 staat. Legt men nu een dunne op een dikke liniaal, 260 dat de dia- gonalen van twee groote vierkanten samenvallen, dan kan men door de openingen in de dunne liniaal de cijfers aflezen, die het product vormen van de getallen, waarmede de linialen gemerkt zijn. Zoo zouden de afgebeelde linialen, behoorlijk op elkander ge- legd, het product 7 X 4 — 28 opleveren. De twee honderd limalen worden geborgen in een uitsluitend voor dit doel ingericht kastje (pyxis), gerangschikt, met de beschre- ven zijde naar boven, in lagen van tien, die van boven naar be- neden met de cijfers 0, 1, 2, ... S en 9 zijn gemerkt, en wel beurtelings een laag dikke met den breeden bovenrand naar achteren en, dwars er over, een laag dunne met den breeden bovenrand naar rechts. Wil men met behulp van het promptuarium het product van 8795036412 met 3586290741 bv. berekenen, dan legt men op het bovenvlak van het kastje, dat aan de beneden- en aan de linkerzijde van een opstaanden rand voorzien is, de dikke linialen, ue met de cijfers 8, 7, 9, 5, 0, 3, 6, 4, 1 en 2 gemerkt zijn, van links naar rechts naast elkander, met deze cijfers aan de boven- zijde van het bord, en dwars er over van boven naar bene- den, met de cijfers aan de rechterzijde van het bord, de dunne linialen die met de cifers 3, 5, 8, 6, 2, 9, 0, 7, 4 en 1 ge- merkt zijn. Men vindt dan blijkbaar het verlangde product 31541557651113461292, als men de zichtbare cijfers op de ge- wone wijze, te beginnen aan den rechter-benedenhoek van het bord, kolomsgewijze optelt, waarbij de cijfers op een zelfde strook tus- schen twee diagonalen een kolom uitmaken. Wil men zich by de deeling van het promptuarium bedienen, dan moet men de bewerking in een vermenigvuldiging veranderen, door den deeler om te keeren met behulp van een goniometrische tafel, waarin immers de straal middelevenredig is tusschen sinus en cosecans, cosinus en secans, tangens en cotangens. d) De Arithmetica Localis. Arithmetice Locals, que in Scacchiæ abaco exercetur, Liber Unus. A2 pp. Capvt primem. De descriptione Pertice pro lineali locatione. Capet II. De Translatione vulgarium numerorum in locales. Capot III. De reductione localium numerorum ad vulgures. Cupvt IV. De abbreviatione $ exlensione. 64 JOHN NAPIERS WERKEN. Capot V. De additione, § substractione, cum translationis ac reductionis compendio. Capot VI. De deseriptione abaci, vel alvei, pro locatione areali. Capvt VII. De motu areali caleulorum in abaco. Capot VIII. De Axiomatis § consectartis utriusque motus in abaco. Capot IX. Dé multiplicatione. Capot X. De Divisione. Capvt XI. De extractione quadrata. De Arithmetica Localis (Plaatselijke Rekenkunde) bestaat in niets anders dan in de uitvoering van berekeningen in het tweetallig talstelsel, waarbij de termen van de schaal, dus de machten van twee, door rekenschijven (calculi) worden aangewezen, die men bij de optelling en de aftrekking op een rekenstaaf (pertica) (Fig. 16) en bij de vermenigvuldiging, de deeling en de vierkantsworteltrek- king op een als een schaakbord in vakken verdeeld rekenbord (abacus) plaatst en verplaatst; schriftelijk worden zij door de letters van het alphabet aangeduid: «à — 1,6=—2,¢c=4,d—8)e=— 16; enz. Vandaar de naam van ,,numeri locales seu literales’? en van ,,Arithmetica Localis’’. De herleiding der getallen van het tientallig naar het tweetallig stelsel en omgekeerd wordt op de bekende wijzen uitgevoerd. Men vindt bv.: 1611 =14+248-+ 64 + 512 + 1024 — abdghi en plaatst nu, als men van de rekenstaaf gebruik wil maken, een rekenschijf in elk der vakken, die met dé letters a, 4, d, g, k en / gemerkt zijn. Bij de optelling worden alle letters, die in de verschillende ter- men voorkomen, in alphabetische orde naast elkander geschreven, waarna men de wtkomst zoo mogelijk gaat verkorten (abbreviare), door, te beginnen aan de linkerhand, telkens voor twee gelijke let- ters de volgende letter van het alphabet in de plaats te stellen. Moet men bv. acdeh bij befgh optellen, dan begint men met voor de som te schrijven abeedefghh, en deze uitkomst verkort men aldus: abecdefghh = abddefghh = abeefghh = abffghh = abgghh = abhhh = abhi. Bij de aftrekking worden uit het aftrektal de letters weggelaten, die in den aftrekker voorkomen. Om dit te kunnen doen, zorgt men, dat er in het aftrektal geen letters ontbreken, die in het alphabet voorafgaan aan de letter aan de rechterhand, waartoe men zoo noodig het aftrektal gaat verlengen (extendere), door, te beginnen aan de rechterhand, telkens voor een letter tweemaal de voorafgaande letter van het alphabet in de plaats te stellen. Moet RABDOLOGIA. 65 men by. acdeh van abd aftrekken, dan begint men met het af- trektal, waarin letters ontbreken, te verlengen; aldus: abla == abhhh = abgghh == abffghh = abeefyhh = abddefghh = abeedefyhh. Uit het aftrektal in dezen vorm laat men de letters a, €, d, e en A van den aftrekker weg en houdt dan #c/yh als rest over. Met behulp van de rekenstaaf gaat men op overeenkomstige wijze te werk. Men kan zich van de optelling en de aftrekking der ,,numeri locales” bedienen, om de herleidingen van het tientallig naar het tweetallig stelsel te vereenvoudigen, door gebruik te maken van een tafel, waarin de herleiding voor de negen eerste veelvouden van de termen der schaal van het tientallig stelsel is uitge- voerd; aldus: 1 10 |; 100 | 1000 | 10000; 100000 1000000 l a | bd | cfg | dfghk | eiklo Shkiqr |. gkprstv 2 | 6 | ce | dgh | eghikl | fkinp gilmrs 3 | ab | bede | cdfi \deflikm efilnop| fghikngt By de bewerkingen, die thans aan de beurt zijn, komt het rekenbord (Fig. 17) te pas, dat in een aantal vakken verdeeld moet worden, groot genoeg, om er alle voorkomende berekeningen op te kunnen uitvoeren. Het bord doet dienst als een tafel van verme- nigvuldiging met dubbelen ingang: een schijf, op een der vakken geplaatst, wijst het product aan van de twee factoren, die op den benedenrand in dezelfde kolom en op den rechterzijrand in dezelfde rij staan en met Latijnsche letters zijn aangeduid. De vakken im de diagonaalrij al, die van den rechter-beneden- naar den linker- bovenhoek loopt, vertegenwoordigen de tweedemachten van de getallen a,b, e, d, enz. Twee vakken, die symmetrisch liggen ten aanzien van de diagonaalrij a}, wijzen producten van dezelfde factoren aan, genomen in omgekeerde orde. In de vakken in een schuine rij evenwijdig aan de diagonaalrij & &, die van den lin- ker-beneden- naar den rechter-bovenhoek loopt, staan producten van Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VI. Kb 66 JOHN NAPIER’S WERKEN. dezelfde waarde, die men in de figuur aan weerskanten van de rij schuin naast den rand geschreven vindt. Zoo staan de producten: al 6e; eg Tr. Jy Gt, hadith Lo in de schuine rij, die van / op den benedenrand naar / op den rechterzijrand loopt; hun waarde is / == 1024. Evenzoo de producten: 8.7, 1.2, V.Y, era yv, et, T.8 in de schuine rij, die van + op den linkerzijrand naar p op den bovenrand loopt; hun waarde is p = 1099511627776. Moet men nu by. 1206 = bee fl vermenigvuldigen met 604 = cdegk, dan plaatst men rekenschijven op de vakken, die de rijen b,c,e, f, hen / van het vermemigvuldigtal gemeen hebben met de kolommen c, d, e, g en # van den vermenigvuldiger, en telt de af- zonderlijke producten, door de schijven aangewezen, samen. Hier- toe verschuift men de schijven in de richting van de diagonaal g & naar den rand van het bord, hetzij naar den rechterzij- en den bovenrand, hetzij naar den beneden- en den linkerzijrand, en ver- vangt telkens twee schijven, die naast een zelfde vak staan, door een schijf, die één vak hooger wordt geplaatst, enz. Men vindt zoodoende: 604 XX 1206 = cdegk X beef hl =deeffyghhhiiikklllmmmnooopprrv =adfffgghhhiiikkllimmmnooopprre = dfgtlmursv = 128424. Moet men omgekeerd 728424 — dfgilmursv deelen door 604 = cdegk, dan plaatst men aan den rechterzij- en den boven- rand rekenschijven naast de vakken d, f, g, 2, 2, m, n, 7, s en v van het deeltal en merkt aan den benedenrand de kolommen ec, d, e, g en A van den deeler. Nu zoekt men, daar v in het deeltal en # in den deeler den term van de hoogste orde aanwijst, het vak, dat de schuine rij vv met de kolom # gemeen heeft, en plaatst in de rij /, waarin dit vak gevonden wordt, rekenschijven in de kolommen c, d, e, g en # van den deeler. Het product x0prpv, door deze schijven voorgesteld, trekt men yan het deeltal af, door rekenschijven van den rand van het bord weg te nemen; de rest is dfgilmogr. Was het product noprv grooter geweest dan het deeltal, dan zou men de rekenschijven een rij lager hebben moeten RABDOLOGIA. 67 plaatsen. Vervolgens zoekt men het vak, dat de schuine rij rr met de kolom #% gemeen heeft, enz. Is eindelijk de rest, die men over- houdt, kleiner dan de deeler, dan wijzen de rijen, waarin de af- trekkers staan, op den rechterzijrand de termen #4, €, e, f, 4 en / aan, waarvan het quotient de som is. De tweedemacht van eenig getal, bv. van xpgtv, wordt op het rekenbord voorgesteld door een vierkant van rekenschijven, dat door de diagonaal al in twee symmetrische helften verdeeld wordt. Men kan zich de schijven van zulk een vierkant haaksgewijze ge- rangschikt denken ; aldus: 1) de schijf v.v in den linker-bovenhoek van het vierkant, die de tweedemacht van » voorstelt; 2) de drie schijven fv, ft en v.f, die met de vorige een vier- kant vormen, dat de tweedemacht van ¢v voorstelt; 8) de vijf schijven g.v, gt, 9.9, tg en vg, die met de vier vorige een vierkant vormen, dat de tweedemacht van g ¢ v voorstelt; 4) de zeven schijven pv, p.t, p.q, pp, gp, tp en vp, die met de negen vorige een vierkant vormen, dat de tweedemacht van pg tv voorstelt; 5) de negen schijven zv, nt, mg, n.p, nn, p.m, q.n, tn en v.n, die met de zestien vorige een vierkant vormen, dat de tweede- macht van xpgtv voorstelt. De rekenschijven onder 2), 3), 4) en 5), die men telkens bij een tweedemacht moet voegen, om weer een tweedemacht te krij- gen, vormen, wat Napier een winkelhaak (gnomon) noemt. De schijf v.v heet het hoofd van de winkelhaken (caput gnomonum). Moet men nu omgekeerd uit eenig getal, bv. uit 49:2Ë€7, d. i. de tweedemacht van #pg/v, den vierkantswortel trekken, dan plaatst men rekenschijven langs den rand van het bord naast de vakken 2, D, ¢ AE en 7, en begint met het hoofd van de winkelhaken te bepalen, d. i. de rekenschijf van de grootste waarde in de diagonaalrij ad, die van «#d3¢a&m kan worden afgetrokken, hier v.v. Nadat men de schijven langs den rand van het bord met v.v verminderd heeft, bepaalt men den grootsten winkelhaak, die van de rest æ252Ë£0o kan worden afgetrokken. Napier noemt dezen grootsten winkelhaak den passenden winkelhaak (congruus gnomon) en merkt op, dat zijn uiteinden één a twee schuine rijen lager komen te vallen dan die, aangewezen door de grootste schijf aan den rand van het bord. In ons voorbeeld vormen de schijven £v, tt en v.é den eersten passenden winkelhaak. Nadat men er de schijven aan den rand van het bord mede verminderd heeft, be- paalt men den grootsten winkelhaak, die van de rest 2d¢ayv kan F 5% 68 JOHN NAPIERS WERKEN. worden afgetrokken. Hier vormen de schijven ¢.v, 9.4, 9.9, t.g en v.g den tweeden passenden winkelhaak. Enz. Zoo gaat men voort, totdat men minder dan elken kleinsten winkelhaak overhoudt. Van het door de rekenschijven voorgestelde grootste vierkant, dat in het getal begrepen is, waaruit de wortel getrokken moest worden, wijzen dan de rijen op den rechterzij- rand van het bord de termen aan, waarvan de wortel de som is. OPMERKINGEN. Van de instrumentale hulpmiddelen in de Rabdologia beschreven en door Napier uitgedacht ten behoeye van hen, die liever niet met logarithmen werkten 5), hebben de virgulæ numeratrices, in 5) Opdracht der Rabdologia. Ilustrissimo Viro Alexandro Setonio Fermelinoduni Comiti, Fyvæi, & Vrqvharti Domino, &c. Supremo Regni Scotiæ Cancellario. S. Difficultatem & prolixitatem calculi (Vir Illustrissime) cujus tedium plurimos à studio Mathematum deterrere solet, ego semper pro viribus, & ingenii modulo conatus sum é medio tollere. Atque hoc mihi fine proposito, Logarithmorum canonem à me longo tem. pore elaboratum superioribus annis edendum curayi, qui rejectis naturalibus numeris, & operationibus que per eos fiunt, difficilioribus, alios substituit idem præstantes per faciles additiones, substractiones, bipartitiones, & tripartitiones. Quorum quidem Logarithmorum speciem aliam multò præstantiorem nunc etiam invenimus, & creandi methodem, una cum eorum usu (si Deus longiorem vite & valetudinis usuram concesserit) evulgare statuimus: ipsam autem novi canonis supputationem, ob infirmam corporis nostri vale- tudinem, viris in hoc studii genere versatis relinquimus: imprimis verd doctissimo viro D. Henrico Briggio Londini publico Geometrie Professori, & amico mihi longé charis- simo. Intereà tamen in gratiam eorum qui per ipsos numeros naturales oblatos operari maluerint, tria alia calculi compendia excogitavimus: quorum primum est per virgulas numeratrices, quod Rabdologiam vocamus: alterum verò quod omnium pro multiplicatione expeditissimum est, per lamellas in pyxide dispositas, quam ob id, Multiplicationis promptuarium non immeritò appellabimus. Tertium denique per Arithmeticam localem, quæ in Scacchiæ abaco exercetur. Ut autem libellum de Fabrica & vsv virgularum publici juris facerem, hoc imprimis impulit, quod eas non solum viderem permultis ita placuisse, ut jam ferè sint vulgares, & in exteras etiam regiones deferantur: sed perlatum quoque sit ad aures meas huma- nitatem tuam mihi consuluisse ut id ipsum facerem, ne forsan illis alieno nomine editis, cum Virgilio canere cogerer, Hos ego versiculos feci, &c.. Atque hoc tue amplitudinis amantissimum consilium apud me maximum pondus habere debuit: & certè sine eo vix unquam hoe de virgulis opusculum (cui reliqua duo adjunximus compendia) in lucem prodiisset, Si que igitur gratie 4 Mathematum cultoribus ob hos libellos debentur, eas omnes (tu Vir Clarissime) tuo tibi jure vendicas, ad quem non modò ut patronum, sed potius ut alterum parentem liberé transvolant: præsertim quum exploratum habeam te meas illas virgulas tanti fecisse, ut non ex vulgari materia, sed ex argento fieri curaveris. RABDOLOGIA. 69 Schotland en Engeland in de wandeling Napier’s bones genoemd, den meesten opgang gemaakt. Ze waren reeds algemeen in gebruik gekomen en zelfs in den vreemde bekend geworden, voordat Napier zijn Rabdologia had uitgegeven; de Grootkanselier van Schotland, aan wien Napier zijn arbeid later opdroeg, was er zoozeer mede ingenomen, dat hij zich een stel van zilver had laten vervaardigen. En hoezeer ze in den smaak vielen van de rekenmeesters dier dagen en zelfs boven de logarithmen de voorkeur genoten, kan blijken uit de woorden, waarmede Ezechiël de Decker de Nederlandsche uitgaaf van de Rabdologia in zijn Eerste Deel vande Nieuwe Telkonst, Ter Goude 1626, aankondigt. „Terwijl ick”, zegt hij in de Voor-reden tot den Goetwilligen ende Konstlievenden Leser, „inde Vermaerde Stadt Gouda Professie doende vande Meetkonst ende Rekenkonst bevondt, dat vele Leerlingen grooten schrick ende afkeericheydt hadden vande Konsten, door de groote ende verdrietighe Rekeninghen die inde selfde voorkomen, alsoo dat de selfde by haer in verachtinghe zijn in plaets van die te beminnen, ende ooe bevont dat ick selfs veel tijdts moste besteden int solveren van eenighe questien die mij daghelijex voorquamen, ben ick seer begheerich geweest om eenighe remedie daer toe te konnen vinden, ende als ic alle nieuwe werken vande Wiskonsten met vlijte ondersocht, is my onder andre ter hant gekomen een Boecxken Joannis Neperi Heer van Merchistoun, int Latijn be- schreven, ende ghenaemt Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, waer in ick sach een wonderlick gebruye der Platte ende Clootsche Driehoecken: Doch also ick inde Latijnsche sprake onervaren was, badt ic den Konstlievenden Tonghman Adriaen Vlac, (die hem doenmael met grooten yver inde Meetkonst oeffende) dat hy ’tselfde wilde im Nederduyts overschrijven, ’twelek hy tot mijn groot contentement dede, ende hoewel my ’tselfde sonderlingh behaechde, nochtans bevindende dat het dingen waren die voor de gemeene Luyden, die haer inde Wiskonsten niet en oeffenen, on- dienstigh waren, heeft het mijn wenschen t'eenemael niet konnen voldoen. Korts daer nae toonde my den yoornoemden Adriaen Vlack, een ander Boecxkens des selfden loannis Neperi int Latijn Accipe igitur æquo animo (Vir Illustrissime) hoc opusculum qualecunque: ejusque licet tanto Mæcenate indigni, ut tui tamen fœtus patrocinium suscipe: Sicut & te Iustitia æquitatisque patronum diu nobis & Reipublicw incolumem servari enixè à Deo optamus. Amplitudini tuæ meritò addictissimus loannes Neperus Merchistonii Baro. 70 JOHN NAPIERS. WERKEN. beschreven ende ghenaemt Rabdologia, &c. het welck hy mede in Duyts oversettede door mijn versoeck, waer in ick bevont het ghene mijn begheeren volkomen voldede, alsoo int selfde konstigh gheleert wort, alle voorvallende sware ende langhe Menighvuldigingen, Dee- lingen, Wttreckinghen der Vierkante ende Teerlinexse Wortels, &c. met besondere lichticheydt af veerdighen door het ghebruyck van eenighe Roetjes vanden Autheur daer toe gheordonneert, ende andre manieren als hier nae sal blijcken.”’ Neemt men de jaartallen, waarvan Napier zich als voorbeelden bedient, als die der samenstelling aan, dan dagteekent de Arith- metica Localis van 16117) en de Rabdologia van 1615 2); het Promptuarium werd door Napier, die zijn leven lang in zijn vrijen tijd naar hulpmiddelen bleef zoeken, om de uitvoering van bereke- ningen te vergemakkelijken %), na de Plaatselijke Telkunst en de Roerekening gevonden *). 1) Vt sit numerus anni Domini 1611. notis nostris localibus exprimendus. p. 118. *) Proponatur annus Domini 1615. in tabulam debitè cum suis multiplis collocandus. p. 10. 2) Dvm in his calculi compendiis (quoties per otium licuerat) investigandis operam aliquando darem, & quibus modis labor & molestia caleuli tolleretur, inquirerem: incidi (preter Logarithmos, Rabdologiam, Promptvarivm Multiplicationis, & alia) in tabularem quandam Arithmeticam, que (quum omnia graviora Arithmetice vulgaris opera in abaco seu area Scacchiæ perficiat) meritò Indus, non labor dicenda est: per hanc enim fit additio, substractio, multiplicatio, divisio, imo & radicum extractio, solo caleulorum hue, illucque motu. p. 119. “) Qvamvis omnium ultimò à nobis inventum sit hoe Multiplicationis promptuarium : non tamen postremum huius operis locum meretur. p. 91. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. Mirifici | Logarithmo- | rom Canonis | Descriptio, | Ejus- que usus, in utraque Trigonome- / tria; vt etiam in omni Logistica Ma- / thematica, amplissimi, facillimi, / S expe- ditissimi eaplicatio. | Accesservnt Opera Posthvma; | Primo, Mirifici ipsius canonis constructio, & Logarith- | morum ad naturales ipsorum numeros habitudines. | Secundò, Ap- pendia de alia, edque prestantiore Loga- | rithmorum specie construenda. | Tertio, Propositiones quedam eminentissime, ad Trian- | gula spherica mird facilitate resolvenda. | Autore ac Inventore loanue Nepero, | Barone Merchistonii, Se. Scoto. Edinborgi, | Excvdebat Andreas Hart. | Anno 1619. / [Deze titel dient, om dien van de Descriptio te vervangen, als Descriptio en Constructio in één band worden gebonden. | Mirifici | Logarithmorvm | Canonis Con- | strvctio; | Lt eorum ad naturales ipsorum habitudines; | Vnà Com | Appendice, de alid edgue prestantiore Loga- | rithmorum specie condenda. | Qvibvs Accessere | Propositiones ad triangula spherica faciliore calculo resolvenda: | Vnà cum Annotationibus aliquot doctissimi D. Henrici | Briggii, in eas & memoratam appendicem. | Authore & Inventore Loanne Nepero, Barone | Merchistonii, &c. Scoto. | Edinborgi, / FEFaecudebat Andreas Hart. / Anno Domini 1619. / aoe TA PRON ASR Titel. “A TE, wit. A 2, 2 pp.: Lee- tori Matheseos Studioso S., onderteekend: Robertvs Nepervs, F. À 31 —E 41, pp. 5—39: Mirifies Logarithmorvin Canonis Constrvctio; (Qui Ht Tabola Artificialis ab autore deinceps appellatur) eorumque ad naturales ipsorum numeros habitudines. & 42—F 3', pp. 40—45: Appendix, bevattende: De alia eaque prastantiore Logarithnorvm specie construenda; in qua scilicet, vnitatis Logarithnus est 0.; Alius modus facile creandi Logarithnos numerorum compositorum, ex datis 12 JOHN NAPIERS WERKEN. Logarithmis suorum primorum.; Habitudines Logarithmorvem & suorum naturalium numerorum invicem. F 3*—G 31, pp. 46—53: Lvevbra- tiones Aliqvot Doctissimi D.Henrict Bric gu In Appendicem premissam. G 32H 3, pp. 5462: Propositiones Quedam Eminentissine ad triangula spherica, mird facilitate resolvenda., bevattende: Triangulum sphericum resolvere, absque eiusdem divisione in duo quadrantalia aut rectangula.; De semi-sinuum versorum prestantia & vsu. HALT 2}, pp. 63—67: Annotationes Alqvot Doctissim D. Henrici Briggù In Propositiones Premissas. 127, wit. 68 pp. Van dit werk verschenen vijf uitgaven in het Latijn: Edinburgh 1619 (afzonderlijk en als bijband van de Deseriptio), Lyon 1619, 1620 en 1658 (telkens als bijband van de Descriptio), Parijs 1895 (facsimile der Lyonsche uitgaaf van 1620; prijs 8 fr.); — één in het Engelsch: Edinburgh en Londen 1589 (prijs 15 s.). Een exemplaar bezitten in ons land de bibliotheken der Rijks- universiteiten te Groningen (Lyon 1658), Leiden (Edinburgh en Londen 1889) en Utrecht (Lyon 1620) en de Koninklijke Biblio- theek te ’s-Gravenhage (Edinburgh en Londen 1889). OVER DEN INHOUD. a) Samenstelling van den Canon Mirificus. Mirifiei Logarithmorom Canoms Constrocho; (Qui Ht Tabula Artificialis ab autore deinceps appellatur) eorumque ad naturales ipsorum numeros habitudines. 35 pp. 5. Im numeris periodo sic in se distinctis, quicquid post periodum notatur fractio est, cujus denominator est vnitas cum tot cyphris post se, quot sunt figuree post periodum. 4 , 4 a : Vt 10000000.04, valet idem, quod 10000000 200: Item 25.803. idem 3 . 502 quod 25 zoop Item 9999998.0005021, idem valet quod 9999998 one & sic de ceteris. 8. Adduntur bini alicuius quantitatis termini ad binos terminos alterius, quum minor illius minori huius, & maior illius maiori huius additur. 9. Multiplicantur bini alicuius quantitatis termini per binos terminos alterius, quam minor illius in minorem huius, & maior illius in maiorem huius ducitur. 10. Terminorum substractio fit, terminum maiorem minoris quantitatis à minore maioris, & minorem minoris à maiore maioris auferendo. 11. Divisio fit, partiendo terminum maiorem dividendi per minorem divisoris, & minorem dividendi per maiorem divisoris. 12. Rudes terminorum fractiones delende sunt addita vnitate ad tenninum maiorem. 23. Arithmetice crescere, est æqualibus temporibus æquali semper quantitate augeri. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 13 24. Geometric decrescere, est æqualibus temporibus quantitatem primo totam, inde aliam atque aliam ejus partem superstitem, simili semper proportionali parte diminui. 25. Vnde punctus mobilis Geometricè ad fixum accedens, velocitates suas prout distantias, à fixo proportionatas habet. 26. Numerus artificialis (Logarithmus) sinus dati, est qui Arithmeticè crevit tanta semper velocitate, quanti sinus totus incepit Geometrice decrescere, tantoque tempore, quanto sinus totus in sinum illum datum decrevit. 27. Vnde sinus totius nihil est pro artificiali. 28. Hine etiam sequitur, quod cujuslibet dati sinus numerus artificialis, major est differentia inter sinum totum, & sinum datum; & minor differentiâ que est inter sinum totum, & quantitatem eo majorem in eadem ratione, quie est sinus totius ad datum. Atque he differentia dicuntur ided termini artificialis. 30. Vnde prime Tabule primum proportionale, quod est 9999999, habet suum artificialem numerum inter terminos 1.0000001 & 1.0000000. 39. Duorum artificialium differentia, est inter duos terminos, ad quorum maiorem se habet sinus totus, vt eorum artificialium minor sinus ad sinuum differentiam: & ad minorem terminum se habet sinus totus, vt artificialium sinus maior ad sinuum differentiam. 47. Radicalis Tabvlæ. Columna prima. Columna secunda. Naturales. Artificiales. Naturales. Artificiales. 10000000.0000 .0 9900000.0000 100503.3 9995000.0000 5001.2 9895050.0000 105504.6 9990002.5000 10002.5 9890102.4750 110505.8 9985007.4987 15003.7 9885157.4237 115507.1 9980014.9950 20005.0 9880214.8451 120508.3 F 5 gi = : a a 2 z ie = Ê 4 ® ® © * 2 = = 2 = À ES 9900473.57 80 100025.0 9801468.8423 200528.2 Columna 692, Naturales. Artificiales. a 5048858.8900 6834225.8 = 5046334.4605 6839227.1 5 5043811.2932 68442253 = 5041289.3879 6849229.6 ty 50387687435 6854230.8 2 ze = 2 es e 4998609.4034 6934250.8 51. Omnes sinus in proportione dupla, habent 6931469.22 pro differentia suorum artificialium. 52. Omnes sinus in proportione decupla, habent 23025842.54 pro differentia suorum artificialium, 74 JOHN NAPIER’S WERKEN. 57. Aggregatum ex artificiali dimidii sinus totius, & artificiali cuiusque arcus, æquatur aggregato artificialium dimidii ejus arcus, & complementi hujus dimidii. Vnde artificialis huius dimidii arcus haberi potest, cæterorum trium artificialibus datis. Epitome Tabule artificialis aliter condende. Kunstgetallen (numeri artificiales) en Kunsttafel (tabula artificialis) noemt Napier in de Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (Samenstelling van den wonderbaren Canon der Logarithmen) de Logarithmi en den Canon Logarithmorum; de naam Logarithmen, die blijkens Robert Napier’s voorrede pas na de bewerking der Constructio werd uitgedacht, vindt men evenwel telkens aan den rand der bladzijde met een verwijzingsteeken naast dien van Nume- rus Artificialis vermeld. Bij de berekening van zijn logarithmen bedient Napier zich uit- sluitend van decimale breuken, niet met de komma, zooals eenige malen in de Rabdologia, maar met de stip als decimaalteeken en zonder “aanwijzers; ontbreken de geheelen, dan wordt er geen nul vóór de stip geschreven, een gebruik, dat tot op heden met name onder Engelsche schrijvers navolging vindt: 25.803; 9999998.0005021; 49997122; .0004950. In den Canon Mirificus komen de logarithmen voor zonder decimalen, afgerond in geheelen. Evenals in de Constructio vindt men de stip als decimaalteeken gebruikt in Wright's vertaling van de Descrip- tio, die van 1616 dateert en waarvan Napier de kopij heeft door- gezien 1): in de bijbehoorende tafel zijn de logarithmen in één cijfer minder opgegeven dan in den Canon van 1614 met uitzon- dering van die der sinussen van 89°—90°, waarin dit cijfer door een stip van de overige cijfers gescheiden 1s. Uit het voorkomen van de komma als decimaalteeken in de Rab- dologia, Edinburgi 1617, en van de stip als zoodanig in de Con- structio, Edinburgi 1619, waarvan de samenstelling echter van vóór 1614 dagteekent, alsmede in Wright's Engelsche bewerking van de Descriptio, London 1616, „perused and approued by the Author”, meen ik te mogen besluiten, dat wij onze hedendaagsche schrijfwijze der decimale breuken aan Napier te danken hebben en ") But now some of our countrymen in this Island, well affected to these studies, and the more publique good, procured a most learned mathematician to translate the same into our vulgar English tongue; who, after he had finished it, sent the coppy of it to me, to bee seene and considered on by myself. I having most willingly and gladly done the same, finde it to bee most exact and precisely conformable to my minde and the original]. Therefore it may please you, who are inclined to these studies, to receive it from me and the Translator, with as much good will as we recommend it unto you. Uit „The Authors Preface to the Admirable Table of Logarithmes”. MIRIFICL LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 75 niet aan Bürgi, Pitiscus of Kepler, zooals van Duitsche zijde niet zelden beweerd wordt *). Na de verklaring van de notatie der tiendeelige breuken leert Napier twee grenzen bepalen voor de som, het product, het verschil en het quotient van twee getallen, als van ieder dier getallen twee grenzen gegeven zijn. Een gewone breuk wordt bij de benedenste grens weggelaten en bij de bovenste grens vervangen door een eenheid van dezelfde orde. Ligt bv. het deeltal tusschen 33.774432 en 33.757500 en de deeler tusschen 3.216 en 3.215, dan vervangt Napier de grenzen : 857 ; 482 : 3.2 == : 35.1744382 : 3.215 10.505 3915 kde og 2364 waartusschen het quotient gelegen is, door 10.506 en 10.496. De bepaling, die Napier in de Constructio van zijn logarithmen geeft, verschilt miet wezenlijk van die in de Descriptio, Stelt men zich voor: 1) dat men de lengte van den straal meetkundig tot die van een zekeren sinus laat afnemen, m. a. w. dat men den straal met zijn »%-deel vermindert, het stuk, dat er overblijft, eveneens met zijn x°°-deel, enz, totdat men een stuk overhoudt even lang als een zekere sinus; 2) dat men gelijktijdig een lijn van nul af rekenkundig met de- zelfde snelheid laat toenemen, waarmede de straal begonnen is af te nemen, m. a. w. dat men het stuk, waarmede men den straal den eersten keer vermindert, zijn »%-deel alzoo, even dikwijls ver- veelvoudigt, als men van den straal een stuk afsnijdt; dan noemt Napier dit veelvoud van het v"°-deel van den straal de logarithme van dien sinus, mits # oneindig groot zij en de ver- mindering van den straal dus continu geschiede. Uit deze bepaling leidt Napier vervolgens o. m. de twee belang- rijke stellingen af, waarop de berekening van zijn logarithmen in hoofdzaak berust: *) Wolf,, Astronomische Mittheilungen XXXI, in : Vierteljahrsschrift der Naturfor- schenden Gesellschaft in Zürich, 17ter Jahrgang, Zürich 1872, p. 252, en: Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur, 1ster Halbband, Zürich 1890, p. 63. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2ter Band, Leipzig 1892, pp. 555, 567 en 568. Unger, Methodik der praktischen Arithmetik, Leipzig 1888, p. 104. (Zie mijn opstel over De Notatie der Decimale Breuken, in: Nieuw Archief voor Wiskunde, 2de Reeks, 4de Deel, Amsterdam 1900, p. 54.) 76 JOHN NAPIER’S WERKEN. 1) De logarithme van een sinus is grooter dan het verschil tus- schen den straal en dien sinus, en kleiner dan dat tusschen den straal en een lijn, die zich tot den straal verhoudt als deze staat tot dien sinus. 2) Het verschil der logarithmen van twee sinussen ligt tusschen twee grenzen, waarvan de grootste tot den straal staat als het ver- schil dier sinussen tot den kleinsten, en de kleinste zich tot den straal verhoudt als het verschil dier sinussen tot den grootsten. Napier stelt den straal == 107. Duidt men den sinus, onder 1) bedoeld, met # aan, dan vindt men voor de lijn, die tot den straal staat als de straal tot dien sinus, m. a. w. voor de derde even- redige tot dien sinus en den straal, L0*/w. Nu is # < 10%, dus 10 /w > 107 Men moet dus aantoonen: 107 — x < Naplogu < 10% /u — 107 = 107 (107 —w) / w. En duidt men de sinussen, onder 2) bedoeld, met U en # <— U aan, dan vindt men voor de grootste der genoemde grenzen 107 (U — w) / w en voor de kleinste 107 (U — x) / U. Nu is uw < U, dus Nap log w > Nap log U. Men moet dus aantoonen: 107 (U — w) / U < Nap log u — Nap log U < 107 (U — w) | u. Napier’s bewijzen luiden naar hun wezenlijken inhoud aldus: De punten pen P (p. 27) bezitten in a en À even groote snel- heden; de snelheid van yp verandert niet, maar die van P neemt met den afstand van P tot B en in dezelfde mate af. Van het oogenblik afgerekend, waarop p en P zich in a en 4 bevinden, legt p dus in zeker tijdsverloop een grooter weg af dan P, m. a. w.: ap > AP = AB — PB, dus: Nap log PB > AB — PB of: Nap log # > 107 — u. En deze formule geldt zoowel vóór- als nadat p en P de punten aen À gepasseerd zijn, m. a. w. zoowel voor w > 107, als voor u << 107, mits men, als w > 107 is, Nap log # als negatief in rekening brenge. Is # < 107 en w > 107 de derde evenredige tot w en 107, dus: u: 107 = 107 : wv, dan is: (LOF denn za O0, dus: u — 107 = 107 (107 — wu) / u, en: Nap log # — Nap log 107 — Nap log 107 -— Nap log w’, dus, daar Nap log 107 = 0 is: “MIRIFICL LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. ie Nap log # = -- Nap log u. Uit: Nap log # > 107 —w volgt dan: Nap log w < 107 (107 — 4) /w. Voor w < 107 zijn dus 107 — y en 107 (107 — w) /u twee gren- zen, waartusschen Nap log w inligt: 107 — y << Nap logu << 107(107—w) /u..... (2). Isu< U < 107 en uw’ < 107 de vierde evenredige tot U, w en 107, dus: U:u— 107: yx’, dan is: (U —y): U=(10'— 7%: 107, . dus: 107 — w = 107(U — y) /U; (T= 4b)“ (NOL) : #7, dus: (107 — u) /u’ = (U — 4) /u, en: Nap log U — Nap log w = Nap log 107 — Nap log w’, dus: Nap log w — Nap log w — Naplog U........ (3). Uit: 107 — u’ < Nap log u’ < 107 (107 — x’) /u' volgt dan: 107 (U — 4) /U < Nap log u — Nap log U < 107 (U — u) fu. .(A). Wij kunnen thans overgaan tot de beschrijving van de wijze, waarop Napier bij de samenstelling van zijn logarithmentafel te werk is gegaan. Hij begint met te berekenen: 1) in zeven decimalen 101 termen van een meetkundige reeks, waarvan 10000000 de 1s en 9999999 de 2% term is en die dus kan worden voortgezet, door elken term met 1/10000000 van zijn bedrag te verminderen: Tafel I. 10000000.0000000 9999999.0000000 9999998.0000001 9999900.0004950; 18 JOHN NAPIER’S WERKEN. 2) in zes decimalen 51 termen van een meetkundige reeks, waarvan 10000000 de 1*° en 9999900, d. 1. nagenoeg de 101% term van de reeks onder 1), de 2% term is en die dus kan wor- den voortgezet, door elken term met 1/100000 van zijn bedrag te verminderen: Tafel IT. 10000000 . 000000 9999900 .000000 9999800 .001000 sia Gal ie) Tete nie wer etre Velma) je 9995001.222927; 3) in vijf decimalen 21 termen van een meetkundige reeks, waarvan 10000000 de 1°® en 9995000, d. 1. nagenoeg de 51 term van de reeks onder 2), de 2% term is en die dus kan wor- den voortgezet, door elken term met 1/2000 van zijn bedrag te verminderen : Tafel III, kolom 1. 10000000 .00000 9995000 .00000 9990002 .50000 9900473 .57808; 4) in vier decimalen 69 termen van een meetkundige reeks, waarvan 10000000 de 1° en 9900000, d. i. nagenoeg de 21% term van de reeks onder 3), de 2% term is en die dus kan worden voortgezet, door elken term met 1/100 van zijn bedrag te ver- minderen: 10000000 .0000 9900000 . 0030 9801000 .0000 5048858 .8900; 5) im vier decimalen telkens 21 termen van 69 meetkundige reeksen, waarvan de 69 termen van de reeks onder 4) de 1° termen, uitmaken en die, evenals de reeks onder 3) — na weg- lating van één decimaal de eerste van deze 69 reeksen — kunnen worden voortgezet, door elken term met 1/2000 van zijn bedrag te verminderen : MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 79 Tafel LIL. Kolom 1. Kolom 2. 10000000 . 0000 | 9900000 0000 9995000 .0000 9895050 .0000 9990002 .5000 9890102 .4750 9900473 .5780 9801468 .8423 Kolom 3. Kolom 69. 9501000 .0000 5048858 .8900 9796099 .5000 5046334 .4605 re OA ORE HOND Si le ARS de ph 5043811 .2932 9703454 .15389 4998609 .4034 Napier benadert vervolgens de logarithmen van de getallen in de verschillende tafels; aldus: 1) Stelt men in form. (2) # — 9999999, d.i. de 2% term van tafel I, dan vindt men: 1 << Nap log 9999999 < 1.00000010000001. seedy *) Uit form. (1) (p. 29) volgt, daar : 5 1 Kelten Fate Led. {—1<«#<+1} Nap log 9999999 — — 107 log (1 — 107) SEA ae eee et ty eee a: = 1 . 00000 00500 00003 33333 35833 33353 33333 50000 00142 85715 10-" +4 Orne es en, daar: = Tin num Nap log 1 = 10’ e 1 1 = D Or, 107 20. 2 6 = 9999999 . 00000 00499 99998 33333 33749 99999 16666 66805 55555 35714 50 JOHN NAPIERS WERKEN. Napier, die zich tot zeven decimalen bepaalt, neemt: 1.0000000 < Nap log 9999999 < 1.0000001 met de bijvoeging evenwel: „of 1.00000010000001, als gy grooter nauwkeurigheid verlangt’ 3). Voor de logarithmen van den 3%", 499, 5den, en 101%* term bepaalt Napier daarna twee grenzen, door die voor de logarithme van den 2°" term met 2, 3, 4,... en 100 te vermenigvuldigen; voor de logarithme van den 101%" term bv. neemt hij: 100.0000000 < Nap log 9999900.0004950 < 100.0000100. 2) Stelt men in form. (4) U =, 9999900.0004950, d. 1. de 101% term van tafel I, en w — 9999900, d. i. de 2% term van tafel II, dan vindt men: 0.00049500495002499... < Nap log w — Nap log U < 0.00049500495004950.... Napier neemt: Nap log vw — Nap log U = 0.0004950 en vindt dus, daar Nap log U tusschen 100.0000000 en 100.0000100 ligt: 100.0000000 + 0.0004950 = 100.0004950 < Nap log 9999900 < 100.0000100 +- 0.0004950 = 100.0005050. Op dezelfde wijze kunnen twee grenzen gevonden worden voor de logarithme van elk getal, dat weinig verschilt van een der ter- 5 5 5 men in tafel I. Voor de logarithmen van den 39", 49°, 5den . en 515%" term te > ? van tafel IL bepaalt Napier daarna twee grenzen, door die voor de logarithme van den 2°" term met 2, 3, 4,... en 50 te ver- menigvuldigen; voor de logarithme van den 51°" term neemt hij: 5000.0247500 < Nap log 9995001.222927 < 5000.0252500. Inderdaad ligt Nap log 9999999 dus tusschen de grenzen 1 .0000000 en 1 , 0000001, zooals door Napier, maar zonder voldoenden grond, wordt aangenomen. En één is in Napier's stelsel de logarithme van 9999999 . 00000 00499. .., zooals trouwens reeds op p. 29, noot *), is medegedeeld. ') sive (si majorem accurationem requiris) 1.00000010000001. p. 17. MIRIFICL LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 81 3) Voor de vierde evenredige tot U = 9995001.222927, d. 1. de 51°*° term van tafel I], # = 9995000, d. i. de 2% term van tafel III, kolom 1, en 107 vindt Napier: u = 9999998.7764614. en met behulp van tafel [ als grenzen voor Nap log w’: 1.2285386 en 1.2235387. Volgens form. (3) is dus: 1.2235386 < Nap log i en Nap log U < 1.2235387 en, daar Nap log U tusschen 5000.0247500 en 5000 .0252500 ligt, neemt Napier: 5000 .0247500 + 1.2235386 — 5001. 2482886 < Nap log 9995000 < 5000 .0252500 + 1.2235387 = 5001 .2487888 (sic). Op dezelfde wijze kunnen twee grenzen gevonden worden voor de logarithme van elk getal, dat weinig verschilt van een der ter- men in tafel I. Voor de logarithmen van den 39°”, Aden, 59°")... en 21ter term van tafel III, kolom 1, bepaalt Napier daarna twee grenzen, door die voor de logarithme van den 2%" term met 2, 3, 4,... en 20 te vermenigvuldigen ; voor de logarithme van den 21°" term neemt hij : 100024.9657720 < Nap log 9900473.57808 < 100024.9757760. 4) Voor de vierde evenredige tot U = 9900473.57808, d. i. de 21° term van tafel III, kolom 1, wu — 9900000, d. i. de 1s term van tafel ILI], kolom 2, en 107 vindt Napier: u — 9999521 .6611850 en met behulp van tafel If als grenzen voor Nap log w’: A478 .3502290 en 478 .3502812. Volgens form. (3) is dus: 478 .3502290 < Nap log # — Nap log U < 478 .3502812 en, daar Nap log U tusschen 100024.9657720 en 100024.9757760 ligt, neemt Napier: 100024 .9657720 + 478. 3502290 — 100503 .3160010 < Nap log 9900000 < 100024 .9757760 + 478 .3502812 = 1005038 .3260572. 5) Napier neemt vervolgens voor de logarithme van den. 2°" Verhand. Kon. Akad. v. Wetenseh, (1° Sectie). DI. VI. F 6 82 JOHN NAPIERS WERKEN. term in kolom 1 en voor die van den 1°" term in kolom 2 van tafel III de halve som van de onder 3) en 4) gevonden grenzen, t. w.: Nap log 9995000 — 5001.2485887 en Nap log 9900000 = 100503.3210291, berekent de logarithmen van de 1*° termen in de 3%, 4%, 5%... en 69“® kolom, door die van den 1°" term in de 2% kolom met 2, 3, 4,... en 68 te vermenigvuldigen, en bepaalt eindelijk de logarithmen van alle termen in tafel IIT: a) door die van de 1°® termen in de 69 kolommen 20-maal na elkander met 5001.2485387 te vermeerderen; b) door die van de 21 termen in de 1*° kolom 68-maal na elkander met 100503.3210291 te vermeerderen. Al deze logarithmen worden ten slotte in Één decimaal afgerond en met de getailen, waarbij ze behooren, in een zoogenaamde grond- tafel (tabula radicalis) 5 vereenigd. Bij de afronding merkt Napier op: a) dat wegens de vermenigvuldigingen, die men moet uitvoeren, de logarithmen in de grondtafel niet nauwkeurig genoeg zouden uitvallen, als men begon met die van de getallen in de vooraf- gaande tafels tot in één decimaal te benaderen; b) dat men de tiendedeelen met één moet vermeerderen, als er meer dan vier honderdstedeelen op volgen ?). Na de samenstelling van zijn grondtafel gaat Napier over tot de berekening van de logarithmen der sinussen, die binnen de gren- zen dier tafel vallen, t. w. de sinussen der hoeken van 90° tot 60°. Hij bedient zich voor dit doel van form. (4), maar verlicht zich den arbeid, door op te merken, dat de grenzen 107 (U — x) / U en 107 (U — w) fu, waartusschen Nap log # — Nap log U ge- legen is, zoo weinig verschillen, dat men, in plaats van door U enw te deelen, een willekeurigen deeler tusschen U en w mag nemen. Vervolgens merkt Napier op: 1) dat, daar Nap log 10000000 — 0 en Nap log 5000000 *) Zie p. 73. *) Duobus tamen (compendii, gratia) animadversis: Primò, quod illis omnibus arti- ficialibus, unam post punctum relinqui figuram satis sit, ceteris sex novissimis jam rejectis: quas tamen si initio neglexisses: error inde frequenti multiplicatione priorum tabularum, accrevisset in hac tertia intollerabilis. Secundd, si secunda post punetü figura excedat quaternarium: figura prima, que sola post punctum relinquitur, est unitate augeda. Vt pro 1000248, &c. rectius est ponere 10002.5, quam 10002.4: & pro 1000,35001, aptiùs ponimus 1000.4, quam 1000.3. p. 29, bs ne sy MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 83 = 6931469.22 is, de logarithmen van de sinussen met 6931469.22 opklimmen, als de sinussen tweemaal zoo klein worden ; 2) dat, daar Nap log 10000000 = 0 en Nap log 8000000 == 2231434.68, dus Nap log 1000000 = 2231434.68 + 3 X 6931469.22 — 23025842.34 is, de logarithmen van de sinussen met 23025842.34 opklimmen, als de sinussen tienmaal zoo klein worden; waaruit volgt, dat de logarithmen der sinussen, die buiten de grenzen der grondtafel vallen, t. w. de sinussen der hoeken van 60° tot 0°, uit die van de sinussen der hoeken van 90° tot 60° afgeleid kunnen worden door optelling van veelvouden van 6931469.22 en 23025842.34. Buitendien kunnen door toepassing van de evenredigheid: 1 ~ eye . +4 1 —- 1 1 . 1 + straal : sin + a = sin (90 — ta): sin a de logarithmen der sinussen van 0° tot 45° uit die der sinussen van 45° tot 90° worden afgeleid !). 1) Marie, Histoire des Sciences Mathématiques et Physiques, Tome III, Paris 1884, p. 87, beschrijft den aard van Napier’s logarithmen en de samenstelling van diens tafel aldus: »Voici le procédé qu'employa Neper pour former la progression géométrique dont les termes devaient occuper l’une des colonnes de sa table. La raison de cette progression, qu'il faisait décroissante, étant supposé 1 — 1/n, chaque terme devait être égal au précédent, diminué de sa nième partie; le calcul n’exigeait done que de simples soustrac- tions. Les progressions de Neper sont: dn a EU TUD To Aen pour la progression par différence, et Ls 7 il 7 1 2 a 107, 10 G — ip) 10 € B a) etc. pour la progression par quotient, de sorte que le logarithme décroissait quand le nombre augmentait. On voit que le module du système était, à peu près, — 1. Pour former la table des logarithmes sinus, Neper démontrait que log sin A est com- pris entre (1 — sin A) et (coséc A — 1). En conséquence, pour calculer log sin A, il prenait les moyennes arithmétique et géométrique entre (1 — sin A) et (coséc A — 1), pour s’assurer qu'elles différaient peu l’une de l’autre, et gardait dans ce cas la moyeune géométrique pour la valeur de log sin A. Cette moyenne géométrique est 1 — sin A Vsin A ? elle n’exigeait done pas un calcul bien long.” Afgezien van de verandering, die Marie zich veroorlooft, waar hij Napier’s logarithmen door tien millioen deelt, stemmen zijn reeksen niet overeen met dic, waarvan Napier zich bedient. Inderdaad stelt Napier de logarithme van 107 (1 — 1/10’) — 9999999 niet — 1, maar toont aan, dat deze logarithme tusschen de grenzen 1 en 1.0000001 gelegen is, wat trouwens, voor sin A — 1 — 1/10’, onmiddellijk volgt uit Marie's formule: F 6* 54 JOHN NAPIER’S WERKEN. In zijn artikelen over Napier in het Journal des Savants, Année 1835, wijst Biot op een fout in Napier’s tafel Il, waarin de 51“ term 9995001.222927 in 9995001.224804 veranderd moet wor- den. Als een gevolg van deze vergissing zijn Napier’s logarithmen meerendeels te klein uitgevallen. Zoo moet volgens Biot de 69° kolom van Napier’s grondtafel aldus gewijzigd worden: Numeri. Logarithmen. 5048838 .8879 6834228 .4 5046334. 4584 6839229 .6 5043811.2912 6844230 .9 5041289.3856 6849232.1 5038768 .7409 6854233 .4 5001109.9568 | 6929252.1 4998609 .4019 6934253 .4 Terwijl Napier in zijn logarithmentafel (p. 26) opgeeft: Nap log 5000000 = 6931469, vind ik door toepassing van form. (4), dus volgens Napier’s methode, met behulp van: Nap log 5001109. 9568 — 6929252.1 wit de verbeterde grondtafel : | Nap log 5000000 = 6931472 tot op + E nauwkeurig, daar volgens form. (1): 2 Nap log 5000000 — 107 log 2 = 6931471.8055994530 ... is. De mindere nauwkeurigheid van Napier’s logarithmentafel moet dus niet aan diens benaderingsmethode worden geweten, maar uit- sluitend aan de rekenfout(en) in tafel IT. 1 — sin A < log sin A < cosec A — 1, die aan onze form. (2) beantwoordt. Ook is de modulus van Napier’s stelsel niet „à peu près”, maar naar de opvatting van den ontwerper, als men de sinussen en de logarithmen beide door tien millioen deelt, juist = — 1, terwijl eindelijk de formule : , i sin A log sin A = — Vsin A . niet nauwkeurig de wijze weergeeft, waarop Napier bij de berekening van zijn loga- rithmen te werk is gegaan. MIRIFICL LOGARITILMORUM CANONIS CONSTRUCTIO, 59 Trouwens Napier zelf verwacht niet, dat zijn logarithmentatel zonder reken- en drukfouten zal zijn, en vreest buitendien, dat de benaderingen door hem niet ver genoeg zijn voortgezet, om op de cijfers aan de rechterhand in zijn logarithmen te kunnen rekenen. Hij verontschuldigt zich, door te wijzen op zijn gemis aan hulp, zijn zwakke gezondheid en zijn gewichtiger bezigheden, en tracht zieh te troosten met het denkbeeld, dat niets van den beginne af volmaakt is !). b) Gewone logarithmen. Appendix De aha eaque prestantiore Logarithmorvm specie construenda ; in qua scilicet, vaitatis Logarithmus est 0. 6 pp. Inter varios Logarithmorum progressus, is est præstantior, qui cyphram pro Logarithmo vnitatis statuit, & 10,000,000,000 pro Logarithmo denarii seu decupli .instituit: eæterorum autem omnium Logarithmi, ex his stabilitis necessario conse- quentur, & modus inveniendi eos varius est, quorum primus sic se habet. Hujus autem operis præcipua difficultas, est in denis proportionalibus duodecim figurarù @ sexaginta figuris supersolido more extrahendis: sed quanto major hæc difficultas, tanto exactior est hic modus in Logarithmis proportionalium, & Logarith- morum proportionalibus inveniendis. Alius modus facile creandi Logarithmos numerorum compositorum, ex datis Loga- rithmis suorum primorum. Si duo numeri datorum Logarithmorum, invicem multiplicati componunt tertium; eorum Logarithmorum ageregatum erit tertii Logarithmus. Item si numerus per numerum divisus producit tertium, ¢ primi Logarithmo secundi substractus, relinquit tertii Logarithmun. Si ex numero in se quadratè, cubicè, supersolidè, &e. ducto, producitur alter quivis ; ex primi Logarithmo duplato, triplato, aut quintuplato, producitur illius alterius Logarithmus. Item si ex dato per extractionem quadratam, cubicam, supersolidam, &e. extra- *) Quia nonnunquam artificiales per 54 inuenti, differunt ab artificialibus per 58 inuentis; vt hujus sinus 378064, numerus artificialis per illam cst 382752756, per hanc verd est 32752741; arguitur quibusdam in locis Tabula sinuum vitiosa esse. Qua propter consulo eruditis (quibus forsan discipulorum & computistarum copia sit) vt Tabulam sinuum extractiorem & maioris numeri edant, vtpote cuius sinus totus sit 100000000, scilicet octo cyphrarum preter vnitatis figuram, chm prior sinus totus septem tantum constet. Constructio, p. 38. Admonitio. Qvum hujus Tabule calculus, qui plurimorum Logistarum ope & diligentia perfici debuisset, unius tantüm opera & industria absolutus sit, non mirum est si plurimi errores in eam irrepserint. Hisce isiur sive a Logietæ lassitudine, sive Typographi incuria profectis ignoscant, obsecro, benevoli Lectores: me enim tum infirma valetudo, tum rerum graviorum cura præpedivit, quo minus secundam his curam adhiberem. Verùm si huius inventi usum eruditis gratum fore intellexero, dabo fortasse brevi (Deo aspirante) rationem ac methodum aut hune canonem emendandi, aut emendatiorem de novo condendi, ut ita plurium Logistarum diligentia limatior tandem & accuratior, quam anius opera fieri potuit, in lucem prodeat. Nihil in ortu perfectum. In sommige exemplaren van de Descriptio onmiddellijk achter de tafel. 56 JOHN NAPIERS WERKEN. hatur radix; datique Logarithmus bisecetur, trisecetur, aut per quinque secetur, producetur Logarithmus ejusdem radicis. Denique quicunque numerus vulgaris ex vulgaribus componitur per multiplicati- onem, divisionem, [machtsverheffing], aut extractionem [van een wortel}: ejus Logarithmus componitur respective per additionem, substractionem, duplationem, seu triplationem, &e. [of deeling door twee, drie, enz.] suorum Logarithmorum. Vnde sola difficultas est in numerorum primorum Logarithmis inveniendis; qui hac sequenti arte generali inveniuntur. Habitudines Logarithmorom § suorum naturalium numerorum invicem. 1. Dentur duo sinus & sui Logarithmi. Si totidem numeri æquales sinui minori in se ducantur, quot sunt vnitates in majoris Logarithmo: & contra, totidem æquales sinui majori in se ducantur, quot sunt vnitates in minoris Logarithmo; erunt duo producta «qualia, & producti sinus Logarithmus, erit numerus factus ex ambobus Logarithmis invicem multiplicatis. 2. Vt sinus major ad minorem; Ita velocitas incrementi, aut decrementi Logarithmorum apud minorem, ad velocitatem inerementi aut decrementi Logarith- morum apud majorem. 3. Duo sinús in ratione duplicata, triplicata, quadruplicata, Ke. habent suos Logarithmos in ratione dupla, tripla, quadrupla, &c. 4. Et duo sinus in ratione vt ordo ad ordinem, (id est vt triplicatum ad quintuplicatum, vel eubus ad supersolidum) habent suos Logarithmos, in ratione vt eorundem ordinum indices, id est, vt 3 ad 5. 5. Si primus sinus in secundum ductus producit tertium; Logarithmus primi additus seeundi Logarithmo producit tertii Logarithmum. Sie in divisione, divisoris Logarithmus ex dividendi Logarithmo subductus, relinquit quotientis Logarithmum. 6. Et si quot æquales primo, invicem ducti producunt secundum; totidem æquales primi Logarithmo, simul additi producunt Logarithmum secundi. 7. Medium quodvis Geometricum inter duos sinus, habet suum Logarithmum medium tale Arithmeticum imter smuum Logarithmos. 8. Sinus primus dividit tertium, quoties sunt vnitates in A; numerus secundus dividit eundem tertium, quoties sunt vnitates in B: Item idem primus dividit quartum, quoties sunt vnitates in C; & idem secundus dividit eundem quartum, quoties sunt vnitates in D. Dico, quæ est ratio A ad B, eadem est C ad D, &_ Logarithmi secundi ad Logarithmum primi. 9. Hine fit quod numeri oblati Logarithmus, est numerus locorum seu figurarum, quas comprehendit factum ex oblato toties in se ducto quoties sunt vnitates in 10,000,000,000. 10. Item si index ordinis’ sit Logarithmus denarii, numerus figurarum (vnà demptà) ordinis scilicet multipli, erit Logarithmus radicis. Lweobrationes Aliqvot Doctissimi D. Henrici Briggu In Appen- dicem pramissam. S pp. „Over de berekening van cen ander en beter soort van logarith- men, waarbij nul de logarithme van de eenheid is”, zoo luidt de titel van dit onvoltooid gebleven, maar belangrijk Aanhangsel van de Constructio, dat door Briggs van ophelderende aanteekeningen voorzien 1s. Als erondtal — om mij van de thans eganebare uitdrukking te o d ol o Oo bedienen — noemt Napier in het bijzonder 1/10 en 10, waarvan hij de logarithme == 10! stelt. Hij bepaalt zich evenwel tot het Lee J MIRIFICL LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 87 grondtal 10, zoodat — en dit verdient uitdrukkelijke vermelding — met zijn: „ander en beter soort van logarithmen” onze „gewone logarithmen”” in tien deeimalen bedoeld worden met weglating van de komma. Voor de berekening van de nieuwe logarithmen worden drie methoden aangegeven, waarvan de eerste aldus luidt: Trek wit het grondtal den vijfdemachtswortel, uit dezen wortel weer den vijfdemachtswortel, enz., tienmaal na elkander; trek uit den laatstgevonden wortel den tweedemachtswortel, uit dezen wortel weer den tweedemachtswortel, enz., eveneens tienmaal na elkander. De logarithmen van deze wortels vindt men uit die van het grondtal, t. w. 1010, door tienmaal na elkander door vijf en ver- volgens tienmaal na elkander door 2 te deelen: de logarithme van den laatsten wortel is = 1. Men kent zoodoende van een en twintig getallen de logarithmen. Een willekeurig getal kan door vermenigvuldiging van getallen uit deze hulptafel gevonden worden; zijn logarithme vindt men door optelling van de overeenkomstige logarithmen der factoren. De groote moeilijkheid van deze methode, die een hoogen graad van nauwkeurigheid in de uitkomsten belooft, bestaat volgens Napier in het trekken van de vijfdemachtswortels in twaalf cijfers telkens uit zestig cijfers, een bewerking evenwel, waarmede Napier blijkens diens Ars Logistica volkomen vertrouwd was. Napier’s tweede methode, aan welker beschrijving een opsom- ming in woorden en zonder bewijzen van de eigenschappen der logarithmen van producten, quotienten, machten en wortels voor- afgaat, bestaat in de benadering van de logarithmen der ondeel- bare getallen door interpolatie van meetkundig middelevenredigen tusschen de getallen en van rekenkundig middelevenredigen tus- schen hun logarithmen. Toegepast ter bepaling van de logarithme van vijf gemakshalve met 107 in plaats van 1010 als logarithme van het grondtal tien, komt de bewerking aldus te staan : 88 JOHN NAPIERS WERKEN. Numeri. Logarithmen. Aves 1.000000 | a — 0 BS 0000000 jb r= 10000000 C = VWAB, 3162277) | ¢ = (a 41h) = 5000000 D = VBC = 5.623413 | d =4(b+ c)= 7500000 E = VCD =, 4216965 Je = Hete d= 6250000 EDE, 4809675 [A dee Bir GELD G = VDE = 523 2 — (dE 1e; er pod H = VG. — 5.046066 | he LEE, 0) AUS LD LOVE — 4.998068, a —2(f + by "60541525 Ks RL 5.002864 | k = $+ i) = 6992187 b= VIK. — 4.980416) 1464 bi GOTEN MV KL "4.999627 "| Mm Ak DE 6982408 N = VKM = 4.997243 |'n = 4(k-+-1n) = 6987304 O'= VEN = ''5.000052 jee = + (k + n= "6989746 P = VNO => 4.998647 | p =+4@-+-.0)= 69885625 Q ae HOP == 4099350 | q = t(o-4) p)= 6989135 R =, VOQ = 4.999702) Lr 4(-+ 1q)=.6989440 BS OR =) A 9908 Chie ie Oc Nie GOS T= VOSS :;—. 4.999965 |t == Alo s)= 6989669 V = VOT = 5.000009 | v = Hod t)= 6989707 W = VIG =. 4, 999987) wi 2G vj 6980086 KS VW 4.999008. x = Fv Wi 0289098 Y VNA - 5.000008") Pt ra dis boss LV RD. 0OOOOO ais a Ne KOS Bij Napier vindt men dit zelfde voorbeeld begonnen; nadat twee meetkundig middelevenredigen in elf decimalen benaderd zijn, t. w. 316227766017 562341325191 3 A x . $ y oo © Topos Wordt de bewerking, evenwel niet, verder voortgezet. Napier’s derde methode eindelijk berust op de stelling : Neemt men als exponent van een macht de logarithme van tien, dan vindt men de logarithme van het grondtal der macht, door het aantal der cijfers van de macht met één te verminderen. Immers, als bv. log 10 — 10,000,000,000 is en a tot de 10,000,000,000°-macht een (tiendeelig) getal oplevert met x cijfers in de geheelen, dan is: 10 7 =": er a 19,000,000,000 es 10 nm. dus: (2 — 1) log 10 < 10,000,000,000 log a < x log 10, dus: n— 1 4050. 9—10) Is log 10 =p en wordt a” in het tientallig stelsel met a eijfers geschreven, dan is log a == x —— 1. Het zijn de stellingen 1), 8), 9) en 10), die door Briggs in zijn Lucubrationes met voorbeelden worden toegelicht: 9) en 10), die op hetzelfde neerkomen, volgen onmiddellijk uit 8). Nog zij opgemerkt: 1) dat Napier in dit Aanhangsel op weg schijnt te wezen, om de logarithmen als exponenten op te vatten, zooals Euler bijna twee eeuwen later het eerst heeft gedaan |); 2) dat hij onder snelheid van toe- of afname (velocitas incrementi aut decrementi, in St. 2) ongeveer hetzelfde verstaat, wat men tegenwoordig differentiaalquotient en afgeleide functie noemt; 3) dat Briggs zich in zijn Arithmetica Logarithmica, Londini 1624, ") Quemadmodum autem, dato numero a, ex quovis valore ipsius z reperiri potest valor ipsius y, ita vicissim, dato valore quocunque affirmativo ipsius y, conveniens dabitur valor ipsius z, ut sit a? —= y; iste autem valor ipsius z, quatenus tanquam Functio ipsius 4 spectatur, vocari solet Logarithmus ipsius y. Supponit ergo doctrina Logarithmorum numerum certum constantem loco a substituendum, qui propterea vocatur 5 je! basis Logarithmorum; qua assumta erit Logarithmus cujusque numeri y Exponens Le] 1 1 o J 1 y Potestatis az, ita ut ipsa Potestas a? æqualis sit numero illi y; indicari autem Logarith- 1 | y 1 5 mus numeri y solet hoc modo ly. Quod si ergo fuerit a? = y, erit = = ly: ex quo intelligitur, basin Logarithmorum, etiamsi ab arbitrio nostro pendeat, tamen esse debere numerum unitate majorem: hincque nonnisi numerorum affirmativorum Logarithmos realiter exhiberi posse. Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, Tomus I, Lausanne 1798, p. 73, ? J 1 1 a] 90 JOHN NAPIERS WERKEN. van Napier’s tweede stelling, dat twee sinussen omgekeerd even- redig zijn met de snelheden, waarmede hun logarithmen toe- en afnemen, bedient, waar hij bij de benadering van log w de formule: log u = (Pu — 1)/ 0% 10 — 1) toepast, die onmiddellijk volgt uit de omstandigheid, dat de snel- heid, waarmede log | aangroeit, voor willekeurige waarden van # = Ir Nl nN (log % wu — log 1) / ( uw — 1) kan worden gesteld, mits # zoo groot worde genomen, dat 1” w weinig van één verschilt. 0). De, Analogieën van Napier: Propositiones Qvadam Kininentissine ad triangula spherica, mird facilitate resolvenda. 9 pp. Triangulum sphericum resolvere, absque eiusdem divisione in duo quadrantalia aut rectangula. De semi-sinuum versorum prestantia § vsu. Ex quinque partibus trianguli sphærici, quarum tres mediæ dantur, duas extremas vno opere invenire. Aut alias, datis duobus angulis apud basin cum basi, vtrum’g; crus sic habetur. ‘Angulorum apud basin aggregatum, semi-aggregatum, differentiam, & semi-differentiam, una cum suis Logarithmis nota. Inde Logarithmos semi- aggregati & differentiæ, & differentialem semi-basis adde: & hine subducito Logarithmum ageregati, & Logarithmum semi-differentiæ; & producetur differentialis, qui est primum inventum. Deinde Logarithmum semi- differentiæ, & differentialem semi-basis adde: hine aufer Logarithmum, semi- ageregati, & producetur differentialis, qui est inventum secundum. Inven- tos hos differentiales, quia veri sunt, quære inter numeros differentiales : eorum arcus adde, & habebis crus maius; similiter minorem à maiore sub- strahe, & habebis erus minus. Aliter pro cruribus inveniendis. Angulorum apud basin Logarithmum semi-aggregati, antilogarithmum semi- differentie, & differentialem semi-basis adde: & aufer Logarithmum ageregati & 693147, & fiet primum inventum. Deinde Logarithmum semi-differentiæ, _anti-logarithmum semi-aggregati, & differentialem semi-basis adde: & hine aufer Logarithmü agereeati & 693147, & fiet inventum secundum. Cum inventis age ut supra, & habebis crura. Idem aliter. Secantem complementi aggregati angulorum apud basin, duc per tangentem semi-basis: productum due primo per sinum anguli maioris apud basin, & fit inventum primum. Secundd duc per sinum minoris anguli, & fit inven- tum secundum. Hos ergo inventos divisos per quadratum sinus totius adde, & fit tangens semi-aggregati crurum: similiter maiorem à minore substrahe, & fiet tangens semi-differentiæ crurum. Korum ergo arcuum utrumque adde, & fiet crus maius: similiter minorem arcum a maiore aufer, & fiet crus minus. Quinque partium proximarum Trianguli spheerici datis tribus mediis, vtramque extremam vno opere, & abs’g, casuum observatione inquirere. Angulorum apud basin, ut sinus semi-differentiæ, ad sinum semi-aggregati: Ita sinus differentia, ad quartum quod est aggregatum sinuum. Ht ut sinus ad MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO, 91 agerezati, ad hoc aggregatum sinuum: [ta tangens semi-basis, ad tangentem semi-ageregati crurum. Inde ut sinus semi-aggregati angulorum, ad sinum semi-differentiæ : [ta tangens semi-basis, ad tangentem semi-differentiæ crurum. Horum inventorum tangentium arcus, à Tabula tangentium extractos adde, & prodibit crus maius: sie minorem à maiore substrahe, & prodibit crus minus. Annotationes Aligvot Doctissima D. Henrici Briggiù In Proposi- tiones Pramissas. 5 pp. Dit tweede aanhangsel van de Constructio bevat: 1) regels voor de oplossing van den scheef hoekigen boldriehoek, als gegeven zijn: a) twee zijden en een hoek; b) twee hoeken en een zijde; | 2) regels, om door middel van den halven sinus versus bij een scheef hoekigen boldriehoek a) uit twee zijden en den ingesloten hoek de derde zijde, b) uit de drie zijden een hoek te berekenen; 3) twee van de vier Analogieën (= evenredigheden), die Napier’s naam dragen, t. w. die, waardoor uit een zijde en de twee aanlig- gende hoeken de twee andere zijden bepaald kunnen worden. Al deze regels worden in woorden en zonder bewijs medegedeeld ; van die onder 2) worden er een paar naar aanleiding van een voor- beeld, met toepassing van logarithmen, verklaard. ‘Trouwens Napier heeft, blijkens mededeeling van zijn zoon in de voorrede, geen gevolg meer kunnen geven aan zijn voornemen, om de stellingen in dit aanhangsel, dat „zijn laatsten arbeid” (ultimus ejus labor) vormt, behoorlijk te rangschikken en van bewijzen te voorzien. De regels, onder 1) bedoeld, zijn niet eigenlijk oplossingen van den scheefhoekigen boldriehoek, zonder dezen te verdeelen in twee driehoeken met een element van 90° (absque eiusdem divisione in duo quadrantalia aut rectangula); de weg, dien Napier inslaat, is dezelfde als in de Descriptio, maar de regels worden thans niet naar aanleiding van voorbeelden verklaard, maar in woorden uit- gedrukt. Om bv. / 4 van A ABD uit AD, / B en /D te bepalen, trekt Napier de hoogtelijn AC en zegt: „Deel cos AD door cot D, dan vindt ge cot CAD, dus / CAD; vermenigvuldig cos B met sin CAD en deel dit product door cos 2, dan vindt BE 0s 7 bac. en nu 15 /-CAD +.,/ BAC = Z BAD”. Napier laat dus de opmerking weg, dat cos D: sin CAD = cos AC 1s. De regels, onder 2) bedoeld, waarbij van den halven sinus ver- sus gebruik wordt gemaakt, zijn zeer waarschijnlijk door Napier aldus gevonden: 92 JOHN NAPIERS WERKEN. Uit de formule: : gn {dg anh hide ILE ol (6—c)} sin (3 a 1 (b—0)} sin 4 sinc die in de Descriptio wordt toegepast (Lib. IT, Cap. VI, 3), volgt onmiddellijk, daar sin (p + 9) sin (9 — g) = sin? p — sin? ¢ is: ERO Dn. 21 (4 sin? La sind (be © Mid) 2 GE Shane (1) sin 4 Since. n, door oplossing van sin + a: zi st gas 19 HO \ € sia YV {sinbsmesm 4 sn FD eN Ak (2). Nu is: sin versp = 1 — cosy = 2 sin? tp, dus: sinpsing = À cos (p — g) — À cos (p 7 9) — + sin vers (p++ 9) — 2 sin vers (p — 9) = sin? + (p + 9) — sin? 4 (p— 9). De formules (1) en (2) kunnen dus geschreven worden in den Vorm: Deer ee B ) sin vers a — + sin vers (d — € dsm vers 4 — ——* Bil lead hu NO) 4 sin versi(6 Jc) 4 & €) L sin vers a = {+ sin vers (6 + c) — + sin vers (b — c)} XL sin vers A + À sin vers (b — €). . (4). Stelt men in form. (1): sin? + a —snmæ en sin? + (6 — c) — sin y; dan vindt men: Sin @ — sin y © sinésine 9 gin dr — 7 ; 1 ij game we peasy (@ ay am lap nn (5). sin à sin € Stelt men in form. (2): sin 4 sin ç sin? + À — sine en sin? 4 (6 — c) = sin y, dan vindt men: sin + a = V/(sin æ -+ sin y) VZ SI te 7) costs) a (6) sin (æ — y) sin À (x + 7) EE dn dn (7). sin + (@ — y) MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 93 En stelt men in form. (4): L sin vers (6 + c) — + sin vers (6-—c) — sin a en + sin vers 4 = siny, dan vindt men: + sin vers a = sin a sin y + + sin vers (4 — €) == + sin vers (w + y) — À sin vers (x — y) enal vers (BW): hd to wa. ee os (8). Het zijn de regels, uitgedrukt door de formules (3)—(8), die Napier mededeelt, onder bijvoeging, dat aan de regels (3) en (4) soortgelijke beantwoorden voor de berekening a) van een hoek uit de overstaande zijde en de twee aanliggende hoeken, b) van een zijde uit de drie hoeken. Briggs herleidt in zijn Aanteekeningen bij dit aanhangsel de formules (1) en (2) tot den vorm: : sin vers a — sin vers (6 — €) sin vers À = En ; (9), sin 4 sin € sin vers 4 = sin 6 sin ¢ sin vers À +- sin vers (6 — €)... (10). De twee Analogieën eindelijk, onder 3) bedoeld, worden door Napier medegedeeld in de vier vormen: sin + (4 SE B) ) sin (A — + P) OU) — Eh es ian ear 19) sin d + B) sin 4 (A — B) ne 4(4—B tang + (a — 6) = Sn AE (ENE sain end de (12°); sin À (4 + B) 2 sin À y (A + B) cos À (4 B) A EA tang À (a + à) = - AE B) € — tang ce. .(11°), 2 si 4 — B L (4 + B EE sin À (4 DE zt ane Li gs (1): 3 sin 4 sin A cosec (4 + B)tang Jc + tang À (a hie APR PAS ER LE Eil “10 4) sin B cosec 4 + B) tang 4 € Ohi Re ee il eh OORD iA A) tang. oc — 19°): nee en sin Bcosec(A4 + B)tangde es aol L snd sn 8 1, 114 tang $ (a + 6) = EA ORTON ENDE. (43 0 Le) À 1 (A4 — B) ano 1 i= 2 el tang + (a — 4) = LAH B) tang 4 2 Briggs Ake vermeldt in zijn Aanteekeningen de vier” Analogieën van Napier, eveneens in woorden en zonder bewijs, de thans gebruikelijke vormen: 94. JOHN NAPIERS WERKEN. cos L(A; 8) Mt Aen PMR tang Jc.. ...(13), sin + (A — B) tang (a = 5) = a CS ei eae 14), 52 sin + (4 + B) A Gey À à cos + (a — 6) ee tang + (4 + B) coy ER) CORE Binnen (15), ain Lo de tang $ (4 — B) = — 2 BS De oe (16), sind (@.5-) 8) en past ze toe bij de oplossing van twee boldriehoeken, waarvan gegeven zijn: a) een zijde — 69° en de twee aanliggende hoeken — 42° 29’ 59” en 31° 6/5” (voor de twee andere zijden vindt Briggs 47° en 34°); b) een hoek = = 47° en de twee omliggende zijden — 59° 35° 11” en 31° 6° 5” (voor de twee andere hoeken vindt Briggs 111° en 34°). Niet zonder eenigen grond zou men dus aan de derde en de vierde Analogie, die vermoedelijk door middel van den pooldriehoek (p. 48) uit de eerste en de tweede zijn afgeleid, den naam van Briggs kunnen verbinden. Tot mijn bevreemding vond ik de Analogieën van Napier, die zonder eenigen twijfel aan Delambre, Mollweide en Gauss bij de afleiding der formules: sin + (4 + Be __ cost(a—b) sin} dS jn sin + (ab) cos 2 i (5 cos es ge cos ke ze Rn cos} (4 Seco __ cos; gta +) eos jd en ale sin + (a sede sind C cos Le sin } G sin 1 € tot voorbeeld hebben gediend, door Hume 5, Mark Nies 2), Baltzer *) en Cantor # naar Bk. II, Hfdst. VI, van de Descriptio verwezen, dat, zooals we gezien hebben, over de oplossing van den boldriehoek uit de drie zijden en de drie hoeken handelt en waar ze derhalve niet op haar plaats zouden zijn. *) Hume, Traité de la Trigonometrie, pour resoudre tous les Triangles Rectilignes et Spheriques. Avec les Demonstrations des deux celebres Propositions du Baron de Mer- chiston, non encores demonstrees, Paris 1636, 2de Deel, pp. 140 en 145. *) Mark Napier, Memoirs of John Napier of Merchiston, Edinburgh and London 1834, p. 203. j ) Baltzer, Die Elemente der Mathematik, 2ter Band, Leipzig 1883, p. 321. *) Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2ter Band, Leipzig 1892, p. 644, MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 95 Hume houdt de stellingen: sin + 4 = V {sin (s — 6) sin (s — c) / sind sinc}, cos + À = V {sins sin (s — a) | sin b sinc} voor de twee „celebres propositions du Baron de Merchiston, non encores demonstrees”, hoewel Napier zelf voor het bewijs van de eerste stelling naar Regiomontanus De Triangulus Planis et Sphee- ricis Libri Quinque, Basileæ [1561], Lib. V, Cap. II, verwijst. » Voila”, zegt Hume, „des Propositions lesquelles il semble que depuis vingt ans que le Baron de Merchiston est mort, personne n’a lamais sçeu demonstrer: Car le sieur Bridges B), dans son grand Liure des Logarymes n’en dit mot; & dans ses Annotations sur le Liure du Baron de Merchiston, il dit qu’elles sont tres-veritables ?), sans rien demonstrer, quoy qu'elles soient de tres-grande conse- quence & vtilité dans la Trigonometrie. Henrion dit que Gunter a mis ces deux Propositions dans son Liure; c'est pourquoy ie lay cherché par tout: mais ie way trouué que les Tables sans aucun discours: il y a de l'apparence pourtant qu'il n'a rien demonstré, car si il Veust fait, Henrion n’eust pas manqué de traduire ses demonstrations en François, selon sa coustume. Le sieur Morin monstre assez de n'en auoir pas sceu trouuer les demonstrations non plus que les autres.” Mark Napier daarentegen vereenzelvigt de Analogieën met de stelling: tang Ja : tang À (6 + ¢) = tang} (6 — c) : tang} (8 + ©’, waarvan ik het bewijs op p. 48 heb medegedeeld en dat in de Memoirs wordt voorafgegaan door de woorden: „The rules alluded to, generally termed Napier’s Analogies, are well known to mathe- maticians. One of his demonstrations is characterized by peculiar elegance and originality. In the optical illustration, we may observe an indication of those habits and acquisitions which led him to revive the lost catoptrics of Archimedes, whose history is given in the memoirs. I shall adopt here the abridgement of it by Dr Minto, referring the reader to the Canon Mirificus for the original.” Baltzer bepaalt zich tot de opmerking: „Die aus den Gauss’schen Gleichungen folgenden Werthe von tang À (a— 2), tang 4 (a + B), tang } (a—4), tang à (a + 4) sind seit längerer Zeit im Gebrauch. Sie wurden von Neper, dem *) Men vindt den naam van Briggs gespeld als: Bridges, Brigge, Brigges, Briggius, Briggs en Brigs. *) Hee propositio verissima est, vt & proxime antecedens. Constructio, p. 67. 96 JOHN NAPIERS WERKEN. Erfinder der natürlichen Logarithmen; angegeben (Mirifiei logarith- morum canonis descriptio 1614. If, 6) und in Proportionen aus- gesprochen, welche die Neper’schen Analogien heissen.” Wat eindelijk Cantor, „the prince of mathematical historians of this century’ !, betreft, moet aan een dier onbegrijpelijke vergis- singen gedacht worden, die te betreuren, maar, naar het schijnt, niet te vermijden zijn en waarvan ieder schrijver op zijn beurt het slachtoffer wordt. Hij zegt: „Die zweite Leistung ist von grösserer Wichtigkeit und grösserer Selbständigkeit der Erfindung. Ausgehend von dem 2. Satzeim V. Buche von Regiomontans 'Trigonometrie, dass unter Bezeichnung der Winkel und der demselben gegenüberliegenden Bögen im sphä- rischen Dreiecke durch 4, B, C, a, 6, ¢ die Gleichung sin a. sin 6 = sin vers. (4— 6) : : a stattfinde, welche wegen sin vers. C = 1-—cos C u.s. w. überführbar ist in die Form cos c« = cos a. cos 6 + sin a.sin’.cosC, gelangt Neper zu denjemgen Gleichungen (Neper, Descriptio pag. 48 sqq.), welche man gegenwärtig die Neper- schen Analogien nennt, und welche man in moderner. Schreibweise a +0 A — B a — b . A—B ing — COS the Ak pee A+ B ea A+ B NE COS no TN 2 7 2 2 Dg 2 a—b . a—b COS = £ dB ÿ 7 2 L A — B 4 2 no — - — 5 ne ee ATD: _—_ — re Hse me a + b DATE Fe „atb COS = SIN - dec © 2 schreibt. Auf diese letzteren Formeln, deren praktischer Wichtig- keit Neper selbst den grössten Werth beilegte, kam er alsdann in seiner Constructio von 1619 zurück (Neper, Constructio, ed. Mac- donald, pag. 68 sqq.).” In Wallis, Opera Mathematica, Vol. IL, Oxoniæ 1693, p. 876 sqq., geeft Caswell een synthetisch en Baker een analytisch bewijs voor de Analogieën van: Napier. Oudere bewijzen zijn mij miet bekend. Cagnoli deelt in zijn 'Trigonometria Piana e Sferica, Pa- 1) Cajori, A History of Klementary Mathematics, New York and London 1896, p. 5. 4 à TORRES de MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 97 rigi 1786, Baker's bewijs mede zonder vermelding van zijn bron. Bewijs van Caswell. Zijn A, Wen G (Fig. 18) de rechterpolen van de groote-cirkel- bogen DB, DC en BC, dan zijn A BCD en A ALG elkanders pooldriehoeken (p. 45): / Bee ae aD) rade DE DL), he BiG == 7.0, Z E = 180° — be DC, be 4G = 180° — ZB, / G== bg BC. Neemt men bg HO = bg HG = bg MP en bepaalt men de stereographische projectie van GAO“P uit het tegenpunt van 4 als centrum op het raakvlak in 4 als projectievlak (verg. Fig. S) dan heeft men: AH = tang + bg Av — tang À D, AG = tang + bg AG = cot } B, AO = tang + (bg AV — bg AG) = tang + (D — 0), ( AP = tang } (bg AL + bg HG) — tang 4 > Op den bol liggen O, G en P in den omtrek van een kleinen cirkel met W als pool; in de projectiefiguur liggen O, G en P dus eveneens in den omtrek van een cirkel met een punt # van OP als middelpunt. Trekt men de middellijn 2Z in den kleinen cirkel met B tot pool, die door C gaat, de middellijnen BE en Dd in den cirkel BDB, DK || Be |] F9, 201 D3, enz, dan is: bg Ba = bg BC = bg BL, dus: bg Da=bg BC + bg BD en bg DL — bg BC be BD = he o> — be BF, be BD; dus: bg DL = bg FA; DRA RL Be Adem Py aL dus: ma = nl = sin BC, nH — mK = sin BD, AK = sin BC + sin BD, AM = sm BC — sin BD, Da = 2 sin + (BC + BD), DL = 2 sin 4 (BC — BD), da = 2 cos} (BC + BD), 5L = 2 cos 4 (BC — BD). Nu is A Ay © A Diy en A DLK ~ A dda, dus: Ly : dy = (DL : à) = LK : dw, dus: Ls |] Ko. Omdat 7 30, = 7 HA = 90° is, liggen 3, w, H en à in den omtrek van een cirkel, zoodat men heeft: enne (ZA — Z LD) = 7 Kay, dus: Z KoH = 7 yor == 90°, dus: mit = mo = mK. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VI. E 7 98 JOHN NAPIERS WERKEN. Uit: sn BC: sm BD = sin D: sin C volet: sa BC + sin BD) : (sin BC— sin BD) = { (sin D + sin C) : (sin D — sin 0) } = tang i (D + C): tang } (D — C) of: Me AH = AP: 10. dus: + (AK + aH): 4 (aK — A) Re AO):4 (AP — AO) of: am: ma — An: nG. Nu is B de pool zoowel van den grooten cirkel, die door 4 en G gaat, als van den kleinen cirkel met ~Z als middellijn: de vlakken dier cirkels zijn dus evenwijdig; buitendien loopt het vlak, dat den bol in 4 raakt, evenwijdig met dat van cirkel 203 en is dus AZ // AG. Evenzoo is aw // dn en dus / maw = GAn. Dit: nr mens, Z maw = £ GAnen Z wma + Z AnG miet = 180° volgt, dat A amw ~ A AnG is, zoodat men heeft: am: An = mo :nG = rw: AG, dus: (Am + mo) : 0 == (An + nl): AG of: WIE A AL AG ee ned: ae (1), en: (am — me): Aw — (An — nG@): AG of : ALE Noe LOS AG el EE (2). Nu is A ZH & A daw, dus: LH (Sr == DA RENE (3), en À DLK À Daw, dus: LK = AH): dw ADI PEES (4). Uit (1) en (3) volgt: AP : AG =403L:4 da of: tang$(D-+ C): cot} B= cost (BC—BD):cos4(BC-+ BD).. (5), en uit (2) en (4): AO: AG = & DZ: + Da of: tang} (D—C): cot} B— sin 1( (BC—BD):sin} (BC+ BD) ...(6), waarmede twee van de vier Analogieén bewezen zijn. Past men ze op den pooldriehoek AG toe, dan vindt men de twee overige, t. w.: tang} (BC+ BD): tang - tang} (BC— BD): tang + - DC = cos (D—C): cost (D + OQ)... (7), DC = sin} (D—C): sin + (D + ©) ...(8). Bewijs van Baker. Laat in ABPD (Fig. 19) het voetpunt 4 van de hoogtelijn PA op BD tusschen B en D vallen, dan heeft men: sin BPV WES sin’ Diem B © Pe ea (1), tang BP: tang WP —=%os APD:.cos APB. ens (2) > MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 99 gone) eos bh "sind PY: sin APB yon yO, (3), REEN EB en AD or en: (4), cos BP: cos DP = cos AB: cos AD RS ie bs) Uit (1) volgt: (sin BP + sin DP): (sin BP sin DP)— (sin DH sin B): (sin Devsin B), dus: tang $ (BP + DP): tang 1 (BPA DP) = RE 4(D-+ B): ae (Jha Le... (6), cot (BP + DP): cot 1 ee DP) = LE NPD ane rt 02. (TX. Uit (2) volgt: (tang BP + tang DP): (tang BPxtang DP) = (cos APD + cos APB): (cos AP De cos APB), dus: sin (BP + DP):sin( BP DP) cot} P:tang (APDNAPB)..… (8). Uit (3) volgt: (cos Dsvcos B): (cos D + cos B) = (sin AP DS sin APB): (sin APD + sin APB), dus: tang 4 (D + B). tang } (DB) = cot } P.tang}(APD~ APB), dus: tang (DHB): tang $(4PD~ APA) = cot $ P:tang 4 ei RE (9), tang 4 (DB): tang $(APD~ APB) cot} P. tang i dan Perel). Vermenigvuldigt men de overeenkomstige termen van de even- redigheden (6), (8) en (9), dan komt er na eenige herleiding, als men opmerkt, dat 1 sin ®. tang} o — sin? 1 is: sin 4 (BP + DP): sind (BP~DP)= cot 4 P: tang}(D~B)...(11). En vermenigvuldigt men de overeenkomstige termen van de evenredigheden (7), (8) en (10), dan komt er na eenige herleiding, als men opmerkt, dat 4 sin @ . cot > = cos? 1 ois: cos + (BP + DP): cos}(BP~DP) = cot} P: tang} (D + B)...(12), waarmede twee Analogieën gevonden zijn. De twee overige Analogieën : sin + (D + B): sin } (DB) = tang + BD: tang } (BP ~ DP). (13), cos + (D + B): cos $(D~B) = tang } BD: tang 4 (BP DP). (14) F 7 ie 100 JOHN NAPIER’S WERKEN. kan men op dezelfde wijze uit de formules (1), (4) en (5) aflei- den. Ook kan men ze bewijzen door toepassing van (11) en (12) op den pooldriehoek van ABP D. Men vindt dezelfde formules (11), (12), (13) en (14), als: in ABPD het voetpunt 4 van de hoogtelijn PA op BD met tusschen B en D valt. OPMERKINGEN. In zijn Mirifiei Logarithmorum Canonis Descriptio zegt Napier: „Tot nog toe hebben wij het ontstaan en de eigenschappen der logarithmen verklaard; wij zouden thans moeten uiteenzetten, hoe zij berekend worden. Maar omdat wij de geheele tafel zelf en al haar logarithmen met haar sinussen voor elke minuut van het qua- drant mededeelen, stellen wij de theorie van haar samenstelling tot een gelegener tijdstip uit en gaan over tot haar gebruik, opdat, als eerst haar gebruik en haar nut gekend worden, het des te aangenamer zal wezen, als daarna de rest in het licht verschijnt, of het althans minder jammer zal worden gevonden, als deze aan de vergetelheid mocht worden prijsgegeven. Want ik zal het oordeel en de critiek der geleerden over dit gedeelte afwachten, voordat ik het overige zoo maar aan de geringschatting van benijders ga blootstellen.” 1 Elders: „Zoo zijt gij volgens belofte in het bezit van den won- derbaren canon der logarithmen met zijn veelzijdig gebruik, en mocht mij uit uw mededeelingen blijken, dat zulks aan de meer geleerden onder u aangenaam zou wezen, dan zal mij dit moed geven, om ook de methode der samenstelling van de tafel bekend te maken.” ?) à Admonitio. Hve usque logarithmorum genesin & symptomata explicavimus: quo verd calculo, quave logisticæ methodo habeantur, hoc loco explicandum foret. Sed quia ipsum canonem integrum, ejusque logarithmos omnes cum suis sinibus ad singulas quadrantis minutias primas exhibemus, ideo in tempus magis idoneum doctrinam constructionis logarithmorum transilientes, ad eorum usum properamus, ut prælibatis prius usu, & rei utilitate, cetera aut magis placeant posthac edenda, aut minus saltem displiceant silentio sepulta. Præstolor enim eruditorum de his judicium & censuram, priusquam cetera in lucem temerè prolata lividorum detrectationi exponantur. p. 7. =) Conclvsio. Satis ergo jam ostensum est quod sint, quid sint, & cuius usus sint Logarithmi: Korum enim beneficio absque multiplicationis, divisionis, aut radicum extractionis mo- lestia, omnis Geometric quæstionis solutionem logisticam promptissimè exhiberi, tum apodeicticè demonstravimus, tum exemplis utriusque Trigonometriæ docuimus. Promis- sum itaque mirificum Logarithmorum canonem habetis, eiusque amplissimum usum: que si vobis eruditioribus grata fore ex rescriptis vestris intellexero, animus mihi addetur, ad tabula condendæ methodum in lucem etiam proferendam. Interim hoe brevi opus- culo fruamini, Deoque opifici summo, omniumque operum bonorum opitulatori laudem summam & gloriam tribuite. p. 57. ieee MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 101 En: „Maar als ik merk, dat deze uitvinding in den smaak van de geleerden valt, dan zal ik (met Gods hulp) misschien binnenkort theorie en methode doen kennen, om dezen canon te verbeteren of een beteren opnieuw te berekenen.” 1) Eindelijk in 1619, twee jaren na Napier’s dood, werd de Mirifiet Logarithmorum Canonis Constructio door zijn zoon Robert ?) onder medewerking van Briggs in het licht gegeven. „Voor eenige jaren, Lezer, Liefhebber der Wiskunde”, schrijft Robert Napier in de voorrede, ,,maakte mijn vader — eere zij 1) Zie de noot op p. 85, alsmede het slot van de Admonitio op p. 27. *) Lectori Matheseos Stvdioso. S. Ante aliquot annos (Lector Philomathes) Mirifici Logarithmorum Canonis vsum, memorie semper colendæ parens publici Iuris fecerat; ejus verd syntaxin ac creandi methodum, vt ipse monuit. Pag. 72. & vltimâ Logarithmorum, certo consilio Typis committere noluit; donec quodnam esset eorum, qui in hoc doctrine genere versati sunt, de hoe Canone Iudicium ac censura exploratum habuisset. Mihi verd, post ipsius ex hac vitâ commigrationem certis tecmeriis constat, Mathematicarum disciplinarum peritissimos novum hoe Inventum plurimi facere; & nihil iis gratius accidere posse, quam si Mirifici hujus Canonis constructio, aut ea saltem, que ipsi aliquid lucis afferre possint, publicæ vtilitatis gratia in lucem prodeant. Quamvis igitur mihi probé perspectum sit, ipsum authorem huic opusculo extremam manum non imposuisse; feci tamen quantum in me fuit, vt horum honestissimo desiderio satisfieret, eorumqué studiis præsertim qui imbecilliores suut, & in ipso limine hærere solent, hac in parte consu- leretur. Nec dubito, quin hoc opus posthumum multò perfectius ac elimatius in lucem prodiisset, si ipsi authori patri charissimo (in quo, ex optimorum hominum sententiâ, inter alia præclara hoc eximii eminebat, res difficillimas methodo certà & facili, quam paucissimis expedire) Deus longiorem vite vsuram concessisset. Habes igitur (Lector benevole) in hoc libello, doctrinam constructionis Logarithmorum (quos hic numeros artificiales appellat; hune enim tractatü, ante inventam Logarithmorum vocem, apud se per aliquot annos conscriptum habuerat) copiosissime explicatam ; in qua eorum natura, symptomata, ac varie ad naturales eorum numeros habitudines perspicue demonstrantur. Visum est etiam ipsi syntaxi subnectere Appendicem quandam, de alia Logarithmorum specie multo prestautiore condenda, (cujus, ipse Inventor in Epistola Rabdologiæ suæ præfixa meminit) & in qua Logarithmus vnitatis est 0. Hane loco vltimo vltimus ejus labor excipit, ad vlteriorem Trigonometriæ suze Logarithmic perfectionem spectans; nempe propositiones quedam eminentissimæ, in Triangulis sphæricis non quadrantalibus resolvendis, absque eorum in quadrantalia aut rectangula divisione, & absque casuum observatione: quas quidem Propositiones in ordinem redigere, & ordine demonstrare statuerat, nisi nobis morte præproperà præreptus fuisset. Lucubrationes etiam aliquot, Mathematici excellentissimi D. Henrici Briggii publici apud Londinenses Professoris, in memoratas Propositiones, & novam hane Logarithmorum speciem, Typis mandari curavimus; qui novi hujus Canonis supputandi laborem gravissimum, pro singulari amicitià que illi cum Patre meo L. M. intercessit, animo libentissimo in se suscepit; ereandi methodo, & vsuum explanatione Inventori relictis. Nunc autem ipso ex hae vitâ evocato, totius negotii onus doctissimi Briggii humeris incumbere, & Sparta hiec ornanda illi sorte quadam obtigisse videtur. Hisce interim (Lector) laboribus quibus- cunque fruere, & pro humanitate tua boni consulito. Vale. Robertvs Nepervs, F. 102 JOHN NAPIER’S WERKEN. immer zijner nagedachtenis — het gebruik bekend van den Won- derbaren Canon der Logarithmen; maar het was, zooals hij op de zevende en op de laatste bladzijde der Logarithmen mededeelt, zijn vast voornemen, de samenstelling en de wijze van berekening niet aan den druk toe te vertrouwen, voordat hij het oordeel en de critiek van hen, die in dit vak van wetenschap bedreven zijn, over dezen Canon had witgevorscht. Maar na zijn heengaan uit dit leven staat het voor mij vast op grond van betrouwbare getuigenissen, dat de kenners der wis- kundige wetenschappen deze nieuwe uitvinding zeer hoog schatten en niets hun liever zal zijn, dan dat de samenstelling van dezen Wonderbaren Canon of althans zooveel, als ter opheldering kan dienen, ten algemeenen nutte in het licht verschijnt. Om die reden echter heb ik, hoewel het mij bekend is, dat de schrijver van dit werkje er niet de laatste hand aan gelegd heeft, gedaan wat ik kon, om aan dit zeer vereerend verlangen te voldoen en voornamelijk aan hen eenige hulp te verleenen, die minder ver zijn gevorderd in zulk soort van studiën en niet gewoon er diep in door te dringen. Ook ben ik overtuigd, dat dit nagelaten werk veel volmaakter en beter afgewerkt het licht zou hebben gezien, als God een lan- ger gebruik van het leven had vergund aan mijn dierbaren vader, die naar de meening van de voortreffelijkste mannen, behalve door andere heerlijke gaven, in het bijzonder uitmuntte door de zeker- heid en de gemakkelijkheid, waarmede hij in weinig woorden de moeielijkste quaestiën wist uiteen te zetten.” Buitendien vernemen we uit de voorrede, dat Napier de Con- structio, waarin, zooals we reeds hebben opgemerkt, de logarithmen „kunstgetallen”” (numeri artificiales) heeten, schreef, vóórdat de naam „logarithmen”’, die in de Descriptio uitsluitend gebruikt wordt, nog was uitgedacht. „Ook heb ik gemeend”, vervolgt Robert Napier, „aan de theo- rie der samenstelling van den canon een aanhangsel toe te moeten voegen over een ander en veel beter soort van logarithmen, waarbij de logarithine van de eenheid nul is en waarvan de uitvinder mel- ding heeft gemaakt in de opdracht vóór zijn Rabdologia.” Omtrent de vraag, in hoeverre Napier als uitvinder mag gelden van de logarithmen, die hier bedoeld worden en waaraan wij ge- woon zijn uitsluitend den naam van Briggs te verbinden, meenen Wij in eenige bijzonderheden te moeten treden. Toen in 1614 Napier’s Deseriptio verscheen, was Henry Briggs (1556—16380) professor in de meetkunde aan de Gresham Stich- MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 103 ting te Londen. Napier’s werk bracht hem zoozeer in verrukking, dat hij besloot den schrijver te bezoeken. ,,Naper, lord of Mar- kinston, hath set my head and hands at work with his new and admirable logarithms’’, zegt hij in een brief aan den lateren aarts- bisschop Usher. „L hope to see him this summer, if it please God; for I never saw a book which pleased me better, and made me more wonder.” !) Briggs wensch werd vervuld: hij bezocht Napier in den zomer van 1615 op Merchiston Castle, waar hij een maand lang diens gast was; een tweede bezoek had plaats in 1616, een derde zou in 1617 gevolgd zijn, ware Napier miet den 4° April van dat jaar overleden. Omtrent deze bezoeken deelt Briggs een en ander mede in de voorrede. van zijn Arithmetica Logarithmica, die in 1624, zeven jaren na Napier’s dood, verscheen en waarin de logarithmen der getallen van 1 tot 20000 en van 90000 tot 100000 (in sommige exemplaren tot 101000) in veertien decimalen met de wijzers en tusschengevoegde verschillen worden aangetroffen. „Het bevreemde u niet’, zegt hij o.a. „dat deze logarithmen verschillen van die, welke de beroemde Baron van Merchiston in zijn Wonderbaren Canon bekend gemaakt heeft. Want toen ik in het openbaar de theorie van deze logarithmen aan mijn toehoorders in Gresham Col- lege te Londen ree oda heb ik de opmerking gemaakt, dat het fl doelmatiger zou zijn, als voor de logarithme van den straal nul werd behouden (evenals in den Canon Mirificus), maar dat de logarithme van het tiendedeel van dien zelfden straal, d. 1. de sinus van 5° 44°21”, 10000000000 ware. Ik heb hierover terstond aan den samensteller geschreven en ben, zoodra het jaargetijde en mijn ambtsplichten zulks toelieten, naar Edinburgh getrokken, waar ik vriendelijk door hem ontvangen en een geheele maand gebleven ben. Toen echter door ons over een wijziging van zijn logarithmen gesproken werd, zeide hij, dat hij dit zelf reeds voor lang ingezien en gewenscht had, maar toch de verschenene, die reeds berekend waren, had uitgegeven, tot hij, als zijn bezigheden en de staat van zijn Bede ie toelieten, andere en doelmatiger bewerkt zou Reisen: Maar hij was van meening, dat die wijziging zóó aange- bracht moest worden, dat nul de logarithme van de eenheid 10000000000 die van den straal werd, wat ik niet kon ontken- nen, dat verreweg het doelmatigste was. Zoo begon ik op zijn aanraden, met terzijdestelling van wat ik *) Usher’s Letters, p. 38. 104. JOHN NAPIERS WERKEN. al gereed had, ernstig over de berekening van deze te denken, en toen ik den volgenden zomer weer naar Edinburgh was gegaan, liet ik de voornaamste zien van die, welke ik hier laat verschijnen, en had den derden zomer hetzelfde willen doen, als het Gode behaagd had, hem zoolang voor ons te sparen.” 1) Onafhankelijk van elkander schijnen Napier en Briggs dus te hebben ingezien, dat een wijziging in de logarithmen van den Canon Mirifieus wenschelijk was; maar terwijl de verandering, die Briggs op het oog had, neerkwam op de keuze van 1/10 als grond- tal, meende Napier als zoodanig aan 10 de voorkeur te moeten geven, omdat aan een stelsel met 10 als grondtal niet alleen dezelfde voordeelen verbonden zijn, die 1/10 als zoodanig aanbiedt, maar in dat stelsel buitendien aan een grooter numerus een grooter loga- rithme beantwoordt en niet als voor 1/10 de logarithmen toenemen, als de numeri kleiner worden. Napier zelf vermeldt nergens de bijzonderheden, die Briggs in zijn Arithmetica Logarithmica mededeelt, evenmin als zijn zoon Robert. Trouwens Napier had reeds voor lang de wenschelijkheid inge- zien van de verandering, waarop Briggs zijn aandacht gevestigd had, zooals hij dezen tijdens hun samenzijn in 1615 mededeelde, een mededeeling, die bevestigd wordt door de opmerking onmid- dellijk achter de tafel in sommige exemplaren van de Descriptio ”), waarin Napier bij gebleken belangstelling in zijn werk belooft, „misschien binnenkort theorie en methode te doen kennen, om den uitgegeven canon te verbeteren of een beteren opnieuw te berekenen’, verondersteld, dat deze noot niet na ontvangst van Briggs’ schrifte- *) Quod Logarithmi isti diuersi sunt ab iis, quos Clarissimus vir Baro Merchistonii in suo’ edidit Canone mirifico, non est quod mireris. Ego enim cum meis auditoribus Londini, publice in Collegio Greshamensi, horum doctrinam explicarem; animaduerti multo futurum commodius, si Logarithmus Sinus totius seruaretur 0 (vt in Canone miri- fico) Logarithmus autem partis decimæ eiusdem sinus totius, nempe sinus 5 graduum, 44,m. 21,s. esset 10000000000. atque ea de re scripsi statim ad ipsnm authorem, et quamprimum per anni tempus, et vacationem a publico docendi munere licuit, profectus sum Edinburgum; vbi humanissime ab eo acceptus hæsi per integrum mensem. Cum autem inter nos de horum mutatione sermo haberetur; ille se idem dudum sensisse, et cupivisse dicebat: veruntamen istos, quos iam parauerat edendos curasse, donec alios, si per negotia et valetudinem liceret, magis commodos confecisset. Istam autè mutationé ita facienda censebat, vt O esset Logarithmus ynitatis, et 10000000000 sinus totius: quod ego longe commodissimum esse non potui non agnoscere. Capi igitur eius hortatu, reiectis illis quos ante’ paraueram, de horum calculo serio cogitare: et sequenti æstate profectus Edinburgum, horum quos hic exhibeo precipuos, illi ostendi. idem etiam tertia state libentissime facturus, si Devs illum nobis tamdiu superstitem esse voluisset. Briges, Arithmetica Logarithmica, Londini 1624, Præfatio ad Lectorem. *) Zie de moot op p. 85. MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 105 lijke mededeeling is aangebracht. Want onwillekeurig vraagt men zich af, waarom Napier, wanneer hij inderdaad, zooals hij aan Briggs te kennen gaf, zijn tafel heeft uitgegeven in den vorm, waarin zij verschenen is, omdat zijn bezigheden en de staat van zijn gezond- heid niet toelieten ze om te werken en hij zich niettemin de eer der uitvinding van de logarithmen wilde verzekeren, waarom Napier niet reeds in de voorrede van de Descriptio van deze omstandig- heid melding maakt. | Nadere mededeelingen van Napier en diens zoon Robert over de nieuwe logarithmen, alle evenwel van later dagteekening dan zijn kennismaking met Briggs, vindt men : 1) in Wright’s vertaling van de Descriptio : A / Description / Of The Admirable / Table Of Loga- / rithmes: / With / A Declaration Of / The Most Plentifvl, Easy, / and speedy vse thereof in both kindes / of Trigonometrie, as also in all / Mathematicall calculations. / Invented And Pvbli- / shed In Latin By That / Honorable L John Nepair, Ba- / ron of Marchiston, and translated into / English by the late learned and / famous Mathe- matician / Edward Wright. / With an Addition of an Instrumen- tall Table / to finde the part proportional, inuented by / the Trans- lator, and described in the end / of the Booke by Henry Brigs / Geometry-reader at Gresham- / house in London. / All perused and approued by the Author, & pub- / lished since the death of the Translator. / London, / Printed by Nicholas Okes. / 1616. / 12°. 210 pp. Aan Hoofdstuk IV van Boek I voegt Napier, die de vertaling „doorgezien en goedgekeurd” had 5, de opmerking toe, dat hij bij een herdruk van zijn Descriptio voornemens is, zich van zoodanige logarithmen te bedienen, dat de getallen 23025842, 46051654, enz. ?) door tiendeelige, zooals 100000000, 200000000, enz., vervangen worden, wat neerkomt op de keuze van 1/10, misschien van 10, als grondtal 3); — 2) m de Opdracht van Napier’s Rabdologia, waar hij zegt: „Van welke logarithmen wij nu ook een ander en veel beter soort wtgevonden hebben, waarvan wij voornemens zijn, als God ons een 1) Zie de noot op p. 74. 2) Zie p. 35. 3) An Admonition. Bvt because the addition and subtraction of these former numbers may seeme some- what painfull, I intend (if it shall please God) in a second Edition, to set out such Logarithmes as shal make those numbers aboue written to fall upon decimal numbers, such as 100,000,000, 200,000,000, 300,000,000, &e., which are easie to bee added or” abated to or from any other number. p. 19. 106 JOHN NAPIER’S WERKEN. langer gebruik van leven en gezondheid toestaat, de wijze van samenstelling en het gebruik bekend te maken; maar wij laten de berekening van den nieuwen canon zelf wegens onze lichaamszwakte over aan hen, die in deze soort van arbeid bedreven zijn, met name aan mijn dierbaarsten vriend, den zeer geleerden Henry Briggs, openbaar professor in de meetkunde te Londen” 5; — 3) in het Aanhangsel van de Constructio „Over de berekening van een ander en beter soort van logarithmen, waarbij nul de logarithme van de eenheid is’, en waarin Napier onder de ver- schillende verbeteringen van de logarithmen die de belangrijkste acht, waarbij nul als de logarithme van de eenheid en 10000000000 als die van 1/10 of van 10 aangenomen wordt 7); — 4) in de voorrede van dit zelfde werk, waar Robert Napier zegt: „Ook hebben wij zorg gedragen bij bovengenoemde stellin- gen en bij deze nieuwe soort van logarithmen eenige Toelichtingen te doen drukken van den zeer uitstekenden wiskunstenaar Henry Briggs, openbaar professor te Londen, die, wegens de bijzondere vriendschap, die tusschen hem en mijn vader, roemrijker gedachte- nis, bestond, met de meeste bereidwilligheid de zware taak op zich heeft genomen, om dezen nieuwen canon te berekenen; de wijze der samenstelling en de verklaring van het gebruik zou aan den uitvinder verblijven. Nu deze evenwel wit dit leven is weggeroepen, schijnt de last der geheele onderneming neer te komen op de schouders van den zeer geleerden Briggs en dien door het lot de taak ten deel gevallen te zijn, dit Sparta te versieren’’ °). Nergens vindt men in Napier’s werken Briggs’ bewering omtrent zijn aandeel in de verbetering van de logarithmen bevestigd. Briggs uitvoerder van Napier’s denkbeelden, zoo wordt ons beider ver- houding geschetst; Briggs de samensteller van de tafel, Napier de bewerker van de theorie der mieuwe logarithmen in een gemeen- schappelijk uit te geven werk. Napier’s dood verijdelde dit plan; Briggs zette den aangevangen arbeid alleen voort, gaf in 1617 zijn Logarithmorum Chilias Prima 4) en in 1624 zijn Arithmetica Lo- ) Zie de noot op p. 68. 2) Zien. SD: *) Zie noot *) op p. 101. ) Logarithmorvm / Chilias Prima. / 8°. 16 pp. Bevat de gewone logarithmen der getallen van 1 tot 1000 in veertien decimalen en verscheen in 1617 te Londen zonder naam van den schrijver, van de plaats van her- komst en datum van uitgaaf. Wegens de aan onvindbaarheid grenzende zeldzaamheid van deze oudste gewone- “logarithmentafel moge de korte voorrede hier een plaats vinden: „Quam autor typis excudendam curauit, non eo concilio, vt publici iuris fieret; sed MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 107 garithmica sive Logarithmorum Chiliades Triginta, pro numeris naturali serie crescentibus ab unitate ad 20,000: et a 90,000 ad 100,000 4) uit, en was met de berekening van de logarithmen der ontbrekende getallen van 20000 tot 90000 bijna gereed *), toen in 1628 bij Pieter Rammaseyn, „Boekverkooper in de corte Groe- nendal, int Vergult ABC” te Gouda, als tweede vermeerderde druk van zijn Arithmetica Logarithmica, bewerkt door den „konstlieven- den” chef dier uitgeversfirma, Adriaen Vlack, de eerste volledige tafel van de gewone logarithmen der getallen van 1 tot 100000 9) in tien decimalen verscheen. partim, vt quorundam suorum necessariorum desiderio priuatim satisfaceret partim, vt eius adiumento, non solum Chiliadas aliquot insequentes; sed etiam integrum Logarith- morum Canonem, omnium Triangulorum calculo inseruientem commodius absolueret. Habet enim Canonem Sinuum, à seipso, ante Decennium, per æquationes Algebraicas, & differentias, ipsis Sinubus proportionales, pro singulis Gradibus & graduü centesimis, à primis fundamentis accurate extructi: quem vna cum Logarithmis adjynctis, volente Deo, in lucem sedaturum sperat, quam primum commode licuerit. Quod autem hi Logarithmi, diversi sint ab ijs, quos Clarissimus inuentor, memoria semper colendæ, in suo edidit Canone Mirifico; sperandum, eius libri: posthumum, abunde nobis propediem satisfacturum. Qui autori (cum eum domi sux, Edinburgi, bis inuiseret, & apud eum humanissime exceptus, per aliquot septimanas libentissime mansisset; eique horum partem precipuam quam tum absoluerat ostendisset) suadere non destitit, vt hune in se laborem susciperet. Cui ille non inuitus morem gessit. In tenui; sed non tenuis fructusve laborve.” *) Arithmetica / Logarithmica / Sive / Logarithmorvm / Chiliades Triginta, Pro / numeris naturali serie crescentibus ab vnitate ad | 26,000: et a 90,000 ad 100,000. Quorum ope multa / perficiuntur Arithmetica problemata / et Geometrica. } Hos Nvmeros Primvs / Invenit Clarissimvs Vir Iohannes / Nepervs Baro Merchistonij: eos autem ex eiusdem sententia / mutavit, eorumque ortum et vsum illustravit Henricvs Briggivs, / in celeberrima Academia Oxoniensi Geometrie | professor Savilianvs. / Devs Nobis Vsvram Vite Dedit / Et Ingenii, Tanqvam Pecvniæ, | Nvlla Prestitvta Die. Londini, / Excudebat Gvlielmvs / Tones. 1624. | 2°. 394 pp. *) In een brief van den 25sten October 1628 aan zijn vriend Pell zegt Briggs: „My desire was to have those Chiliades that are wantinge betwixt 20 and 90 calculated and printed, and I had done them all almost by my selfe, and by some frendes whom my rules had sufficiently informed, and by agreement the busines was conveniently parted amongst us; but I am eased of that charge and care by one Adrian Vlacque, an Hollander, who hathe done all the whole hundred chiliades and printed them in Latin, Dutche, and Frenche, 1000 bookes in these 3 languages, and hathe sould them almost all. But he hathe cutt of 4 of my figures throughout; and hathe left out my Dedication, and to the reader, and two chapters the 12 and 13, in the rest he hathe not varied from me at all.” Glaisher, On Early Logarithmic Tables, and their Calculators, in: Philo- sophical Magazine, London 1873, Vol. XLV, p. 380, *) Arithmetica / Logarithmica, / Sive / Logarithmorvm / Chiliades Centym, Pro / Numeris naturali serie crescentibus / ab Vnitate ad 100000. / Vna Cvm / Canone Tri- angvlorvm / Sev Tabvla Artificialivm / Sinuum, Tangentium & Secantium, / Ad Radium 10,00000,00000. & ad singula / Serupula Prima Quadrantis. / Qvibvs Novvm Tradityr Compendivm Qvo Nvl- / lum nee admirabilius, nee utilius solvendi pleraque Proble- / mata Arithmetica & Geometrica. / Hos Nvmeros Primvs Invenit / Clarissimus Vir 108 JOHN NAPIER’S WERKEN. Wat mag wel de reden geweest zijn, dat Briggs zich niet reeds tijdens Napier’s leven zijn aandeel in de eer der verbetering van de logarithmen heeft verzekerd? Waarom gewacht tot zeven jaren na Napier’s dood, hoewel zich reeds tweemaal eerder ongezocht de gelegenheid er voor had aangeboden? Wel is waar beweert Hutton, de lofredenaar van Briggs, die zich miet ontziet een smet te wer- pen op Napiers karakter, waar hij voor de aanspraken van zijn Engelschen stamgenoot in de bres springt, — wel beweert Hut- ton, dat Briggs zich reeds in de voorrede van diens Logarithmorum Chilias Prima, die in 1617 blijkens de uitdrukking „ejus librum posthumum”’ 1) na Napier’s dood verscheen, een bescheiden toespe- ling veroorlooft op zijn aandeel in de wijziging van Napier’s loga- rithmen, als hij zegt: „Why these logarithms differ from those set forth by their most illustrious inventor, of ever respectful memory, in his Canon Mirificus, it is to be hoped his posthumous work will shortly make appear” 7), maar o.1. drukken de woorden: ,,speran- dum, ejus librum posthumum, abunde nobis propediem satisfactu- rum” +) alleen maar de verwachting uit, dat Napier’s nagelaten Constructio binnenkort wel uitvoerig zou verklaren, waarom de logarithmen in de Logarithmorum Chilias Prima verschillen van die m den Canon Mirificus, zonder meer. Hoe diep de vereering, die Briggs voor Napier koesterde, geweest moge zijn, en hoe warm de vriendschap, die hem aan diens zoon Robert verbond, %) had hij lohannes Nepervs Baro / Merchistonij: eos autem ex ejusdem sententiâ mutavit, eorum- / que ortum & usum illustravit Henricvs Briggivs, / in celeberrimâ Academia Oxonien- si Geome- / trie Professor Savilianus. / Editio Secunda aucta per Adrianvm Vlacq Goudanum. / Devs Nobis Vsvram Vitae Dedit Et Ingenii, / Tanqvam Pecvniae, Nvlla / Praestitvta Die. / Govdae, | Excudebat Petrus Rammasenius. / M. DC. XXVIII. / Cum Privilegio Ilust. Ord. Generalium. / 2°. 838 pp. ") Zie noot “) op p. 106. *) Hutton, Mathematical Tables, London 1785, Introduction p. 35. *) There is very interesting evidence still extant that the most perfect cordiality prevailed betwixt Robert Napier and Briggs long after our philosopher’s death; and that the Savilian professor, in the progress of his great work, continued to call to his aid as much of the genius of the master he had lost as he could command. Napier left a mass of papers, including his mathematical treatises and notes, all of which came into the possession of Robert as his father’s literary executor. When the house of Napier of Culcreugh was burnt |omstreeks 1800], these papers perished, with only two excep- tions that I have been able to discover. The one is the manuscript treatise on Alchemy by Robert Napier himself; but the other is a far more valuable manuscript, being entitled, „The Baron of Merchiston, his booke of Arithmeticke, and Algebra; for Mr Henrie Briggs, Professor of Geometrie at Oxforde”. This very curious work was presented to Francis V. Lord Napier, by the then Napier of Culereugh, probably at the time his Lordship contemplated writing a life of his great ancestor [vóór 1780], and it has lain in the Merchiston charter-chest ever since unknown to the world..... MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS CONSTRUCTIO. 109 zich werkelijk miskend gevoeld, hij zou in de Constructio Napier’s artikel over de nieuwe logarithmen, waarin men den naam van Briggs te vergeefs zal zoeken, niet van toelichtingen hebben voorzien, zon- der ook maar te zinspelen op zijn eigen aandeel in de volmaking van Napier’s vinding }). Moeten wij dus na vermelding van alle feiten, die op de onder- havige quaestie betrekking hebben, de vraag onbeantwoord laten, van wien het denkbeeld, om de logarithmen van den Canon Mirificus door gewone logarithmen te vervangen, is uitgegaan, en deze niet onbelangrijke verbetering waarschijnlijk beschouwen als een uitvloeisel der gedachtenwisseling tusschen Napier en Briggs, beiden hebben zich door hun arbeid een welverdienden roem bij tijdgenoot en na- geslacht verworven en een blijvende plaats verzekerd in de ge- schiedboeken der wetenschap; want Napier’s genie en Briggs’ taaie volharding hebben voor de toepassing der wiskundige wetenschap- pen een hulpmiddel geschapen, nauwelijks van minder beteekenis dan de tiendeelige schrijfwijze der getallen, die wij aan de Indiërs en Arabieren hebben dank te weten. it is of great length, beautifully written in the hand of his son, who mentions the fact, that it is copied from such of his father’s notes as the transcriber considered „orderlie sett doun”. It is material to observe in reference to what we have been considering, that it bears expressly to have been written out by Robert Napier for Henry Briggs, and after the latter had been appointed to the Savilian chair, which appointment took place in the year 1619. It seems not unlikely that it had been sent to Briggs while he was in the progress of his great work,.... But we have thus unquestionable evidence, that from the time when Briggs first expounded the Canon Mirificus to his scholars at Gresham House, to the period when he published the Arithmetica Logarithmica, he continued to regard our philosopher as his guide, and no cloud but that of death ever past betwixt them. Mark Napier, Memoirs of John Napier of Merchiston, Edinburgh and London 1834, p. 419. *) Bij Hume, Traité de la Trigonometrie, Paris 1636, 1ste Deel, p. 116, leest men: „L'inuenteur estoit vn Seigneur de grande condition, & duquel la posterité est auiourd'huy en possession de grandes dignitez dans le Royaume, qui estant sur l’aage, & grandement trauaillé des gouttes ne pouuoit faire autre chose que de s’adonner aux sciences, & principalement aux Mathematiques & à la Logistique, 4 quoy il se plaisoit infiniment, & auec estrange peine, a construict ses Tables des Logarymes imprimees à Edimbourg en l'an 1614. qui tout aussitost donnerent vn estonnement à tous les Mathematiciens de l'Europe, & emporterét le sieur Bigges Professeur à Oxford, d'Angleterre en Escosse, pour apprendre de luy cette admirable inuention, de construire les logarymes, & l'ayant enseigné à construire vne nouuelle espece de logaryme, luy laissa ceste charge pour les faire apres sa mort, ce qu’ il fit comme on les voit auiourd’huy par toutes les boutiques de Libraires: I] mourut l’an 1616. & fut enterré hors Ja porte Occidentale d'Edinbourg, dans l'Eglise de Sainct Cudbert.” Aan de bewering van Hume, dat Napier Briggs „vne nouuelle espece de logaryme” zou hebben leeren berekenen, mag m. i. evenwel niet meer waarde worden gehecht dan aan Hutton’s partij kiezen voor Briggs. DE ARTE LOGISTICA. De Arte Logistica [Joannis Naperij Merchistonii Baronis/ Libri Qui Supersunt. | Impressum Edinburgi |M.DCCC.XXXIX./ 4. 284 X 224 cM. 8 pp. zonder signatuur en niet gepagineerd : pp. 1—2, wit; p. 3, de regel: De Arte Logistica.; p. 4, wit; p. 5, Titel; p. 6, wit; p. 7, de opdracht: Zo The Right Honourable Francis Lord Napier of Merchiston, Bte. Bte. Bte, onderteekend: Mark Napier, gedateerd: Ldinburgh, November 1, 1839. p. 8, wit. al}, het woord: Zutroduction. a 1?, wit. a2! — m 3?, pp. ii — xciv, Jutroduction., onderteekend: Mark Napier, November T Peso: m 4l, de regel: De Arte Logistica. m 4, wit. A 11, de titel: The | Baron Of Merchiston | His Booke Of Arithmeticke | And Al- gebra. | For Mr Henrie Briggs | Professor Of Geometrie | At Ox- forde. | Al*, wit. A2! — D1?, pp. 3—26: Liber Primus. De Com- putationibus Quantitatum Omnibus Logistice Speciebus Communium. D2!— LI}, pp. 27—81: Liber Secundus. De Logistica Arithmetica. L12, wit. L2! — L4?, pp. 88—88: Liber Tertius. De Logistica Geometrica. MIL de titel: Algebra Joannis Naperi | Merchistonii Baronis. | M1?, wit. M 21 P2!, pp. 91—115: Lnber Primus. De Nominata Algebre Parte. P2?, wit. P31--X12, pp. 117—162: Liber Secundus. De Positiva Swe Cossica Algebra Parte. X2, wit. 268 pp. Twee kopergravuren: Napier op zes-en-zestigjarigen leeftijd en Merchiston Castle. In ons land bezit de bibliotheek der Rijksuniversiteit te Leiden een exemplaar van dit werk, dat Napier’s onvoltooid gebleven „booke of Arithmeticke and Algebra” bevat, zijn Ars Logistica en zijn Algebra, waarvan in noot % op p. 108 melding wordt ge- maakt, van een inleiding voorzien en uitgegeven door Mark Napier in 1839. DE ARTE LOGISTICA. 111 De Algebra, blijkens den inhoud van ouder dagteekening dan de Ars Logistica, bestaat uit twee boeken, die handelen : 1) over de herleiding van wortelvormen (De Nominata Algebra Parte); 2) over de algemeene rekenkunde en de oplossing van vergelij- kingen (De Positiva Sive Cossica Algebra Parte); de vergelijkingen ontbreken evenwel op eenige inleidende beschouwingen na. De Ars Logistica, d.i. de kunst, om wel te rekenen, zou waar- schijnlijk de rekenkunde en de algebra tot en met de oplossing der vergelijkingen van den vierden graad omvatten en wit vier boeken bestaan: 1) over de bepalingen van de zeven bewerkingen der rekenkunde, de evenredigheid van grootheden, de positieve en negatieve getallen en de gewone breuken (De Computationibus Quantitatum Omnibus Logisticæ Speciebus Communium) ; 2) over de tiendeelige schrijfwijze der getallen en de zeven be- werkingen der rekenkunde met geheele getallen, geschreven in het tientallig stelsel, en met gewone breuken (De Logistica Arithmetica) ; 3) over de wortelvormen (De Logistica Geometrica) ; 4) over de algemeene rekenkunde en, vermoedelijk, over de op- lossing van vergelijkingen. Het vierde boek ontbreekt; van het derde boek zijn niet meer dan eenige bladzijden gereed gekomen. OVER DEN INHOUD DER ARS Loarsrica. a) Overzicht der Rekenkunde. Liber Primus. De Computationibus Quantitatum Omnibus Logistica Speciebus Communium. 24 pp. Caput I. De Computationibus Primis. Logistica est ars bene computandi. Computatio est actio seu operatio que ex pluribus quantitatibus, et quantitatum proprietatibus datis, queesita invenit. Dantur autem aut vocali nominatione, aut graphicâ notatione. Unde in omni Logisticé primo procedunt nominatio et notatio; mox cum eis succedit computatio. Computatio autem est simplex vel composita. Simplex est computatio, que ex duabus datis tertiam unicâ aut unimoda opera- tione invenit. Simplex computatio vel est prima vel orta. Prima est computatio, que quantitatem cum quantitate semel tantum computat. Heee autem vel est additio vel substractio. Additio est computatio prima qué plures quantitates adduntur, et producitur tota. 112 JOHN NAPIER’S WERKEN. Substractio est computatio prima qui substrahendum à minuendo aufertur, et producitur residuum. Substractio aut est æqualium, et nihil remanet, aut inæqualium. Inæqualium verd est aut quantitatis minoris à majore, et remanet quantitas major nihilo, aut quantitatis majoris à minore, et residuum erit minus nihilo. Ex his ergo constat defectivas quantitates hinc originem trahere, ex substractione nimirum majoris à minore: De quibus suo loco agetur. Ex premissis clarum est additionem et substractionem relata esse; atque ideo alteram alterius examen. Examina enim definimus ea tantummodo que tum omnibus tum solis recte com- putatis conveniunt. Est et preter heee aliud examen substractionis in se, substrahendo nimirum resi- duum ex minuendo ut relinquatur prius substrahendum. Habes itaque ex totius, partis, et residue, duabus quibuscunque datis, tertiam, per additionem et substractionem. Caput II. De Computationibus Ortis Fx Ipsis Primis. Ortæ sunt quae quantitatem cum quantitate pluries computant. Atque he ex prioribus aliquoties continuatis naturalem originem ducunt. - Ortæ item vel ex primis, vel ex primo ortis continuatione oriuntur. Ortæ ex primis sunt, que ex totius, partis, et partem cognominantis, duabus quibuscunque datis, tertiam inveniunt. Exemplis mox patebunt heec. Orte autem ex primis sunt multiplicatio ex continuatà additione, et partitio ex continuatà substractione. Est ergo Multiplicatio, alterutrius datarum toties continuata additio quoties est in alterà unitas; et quod producitur multiplum dicitur. In his se habet unitas ad multiplicantis et multiplicandi alterutrum, ut alterum ad multiplum. Partitio est partientis à partiendo substractio in nihilum usque continuata; et numerus substractionum est quotus quæsitus. In his se habet unitas ad quoti et partientis altcrutrum, ut alterum ad partiendum. Partitio aut est æqualium, et producitur unitas, aut inæqualium. Inæqualium vero aut est minoris per majorem, et quotus est fractio, seu fracta quantitas unitate minor; aut majoris per minorem, et fit quotus unitate major. Partitio rursus majoris per minorem, aut est perfecta aut imperfecta. Perfecta, ubi nullæ sunt reliquiæ. In his quotus est integrorum. Imperfecta, vero, quæ reliquias impartitas relinquit. Ex his ergo constat tam ex partitione minoris per majorem, quam ex imperfecta partitione majoris per minorem, fractiones originem trahere: De quibus suo loco. Ex præmissis constat multiplicationem et perfectam partitionem relata esse; atque alteram alterius examen. Est et præter hee aliud partitionis examen in se, nimirum partiendo partiendum per quotum, ut pristinus inde redeat partitor. Habes itaque ex totius, partis, et partem cognominantis, duabus quibuscunque datis, tertiam per multiplicationem et partitionem. Caput III. De Computationibus Ortis Ex Primo Ortis: Radicalis Multiplicatio El Partitio. Ortæ ex primò ortis sunt computationes, quae ex radicati, indicis, et radicis, duabus quibuscunque datis, tertiam inveniunt. Radicatum est quod aliquoties partitum per quantitatem aliquam in unitatem redit; et quotus ille partitionum index dicitur; quantitas autem partiens est ipsa radix. Ortæ autem ex primo ortis aut sunt radicalis multiplicatio ex continuatà multi- plicatione; aut radicalis partitio, et radicis extractio, ex continuatà partitione. Radicalis Multiplicatio est radicis oblate toties continuata multiplicatio quoties est in indice unitas; et producitur radicatum quæsitum. DE ARTE LOGISTICA. 113 Radicalis Partitio est radicati per radicem partitio in unitatem usque continuata, et numerus partitionum est index quæsitus. Caput IV. De Radicali Brtractione. Radicis Extractio, dato indice, est inventio quantitatis que datum radicatum radicali multiplicatione restituit; idemque radicali partitione dividit. Radicis extractio aut est perfecta aut imperfecta. Perfecta, ubi nullæ supersunt reliquiæ. Inperfecta verd, ubi aliquæ supersunt reliquiæ irresolubiles. Quod ex imperfectà extractione provenit est minor terminus, cui si unitatem adjeceris erit major terminus, inter quos vera et perfecta continetur et latet radix. Verùm Geometrie, majoris accurationis studiosi, ipsum radicatum signo indicis prenotare malunt, quam radicem inter terminos includere. Hie numeri Geometrici seu concreti, quos irrationales et surdos vocant, ortum habent. Ex preemissis colligitur radicalis multiplicationis, partitionis, et extractionis singulas, duo habere examina; nimirum multiplicatio probatur vel partitione vel extractione ; partitio probatur vel multiplicatione vel extractione; extractio, vel multiplicatione vel partitione. Habes itaque ex radicati, indicis, et radicis, duabus quibuscunque datis, tertiam per radicales multiplicationem, partitionem, et extractionem. Caput V. De Computationibus Compositis. Composita est computatio que ex pluribus quantitatibus datis, atque pluribus et diversimodis operationibus, quæsitam producit. Composite computationes, seu regulæ, vel sunt proportionalium, vel dispro- portionalium. Regule proportionalium sunt, quae per solas computationes simplices proportio- natas, scilicet multiplicationes et partitiones, quantitatem quæsitam ex pluribus datis inveniunt. In his spectantur situs et operatio. Situs quatuor præcepta sunt. Primum, ut ductà lined, quantitati quæsitæ cum suis collateralibus præparetur sub linea. locus. Secundum, ut due quantitates, quarum alterà crescente altera decrescit, ex eodem latere lineæ collaterales statuantur. Tertium, ut duæ quantitates, simul crescentes vel simul decrescentes, ex adversis lineæ lateribus statuantur, Quartum, ut binæ quantitates cognomines lined illa semper sejungantur. His observatis, ad omnium ejusmodi queestionum solutionem unicum inserviet generale hoe operationis preeceptum : Multiplica quantitates superiores invicem, item et inferiores invicem, deinde multiplum superiorum partire per multiplum inferiorum, et quotus erit quæsitum quæstioni satisfaciens. Bv.: Si sex boves nutriantur tribus mensuris fœni quatuor diebus, quæra- turque quot boves nutriri possunt quinque mensuris fœni duobus diebus ? 6 bo. 5 mens. 4 dieb. quot bo. 3 mens. 2 dieb. Multiplica superiores 6, 5, et 4 invicem, et fient 120; inde multiplica 3 per 2, fient 6; per quæ partire 120, producentur 20, numerus boum satis- faciens quæstioni. Itaque omnes species regularum proportionalium unicà generali methodo, et opera- tione, comprehendimus. De hâc doctrinà infinitas, — ut regulæ trium seu aureæ, simplicis, dupli- cis, quinque quantitatum, sex quantitatum, directæ, inversæ, &e., — species Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl, VI. FS 114 JOHN NAPIER’S WERKEN. x et formas tradunt authores; nec tamen triplices, aut alias ejus multiplices formas attigerunt, quas omnes hic breviter habes. Atque hee sunt proportionalium; sequerentur disproportionalium regulæ: Sed quia hee, preter computationes proportionatas, additiones etiam et substractiones, et alias computationes proportionem disturbantes immistas habent, has ideo omnes missas facimus, quod unica pro eis omnibus inserviet nobis Algebra. Ut sunt potissima pars omnium arithmeticarum regularum, alligationis, societatis, falsi, simpli, dupli, et aliarum plurimarum, itemque Geometricarum propositionum, problematum, theorematum, &c. qua, confusa tum varietate tum multitudine, memoriam disturbant; — has ergo relinquimus, Algebram tractaturi. Caput VI. De Quantitatibus Abundantibus Bt Defectivis. Abundantes sunt quantitates majores nihilo, et augmentum pre se ferunt. Hee, aut nullo, aut hoe signo +, quod copula augmenti dicitur, prænotantur. Defectivæ sunt quantitates minores nihilo, et minutionem pre se ferunt. Hee, semper hoe signo —, quod minutionis copula dicitur, preenotantur. Defectivarum ortum et originem superius ex substractione majoris à minore provenire ostendimus. Adduntur abundantes et defectivæ, si copula sunt similes, aggregato eorum præponendo communem copulam. Adduntur vero, si copule sunt dissimiles, eorum differentiæ præponendo copulam majoris quantitatis. Substrahuntur autem, si substrahendi copulam mutaveris, eamque ad alteram datarum addideris per præcedentes regulas. Abundantes et defectives multiplicantur et partiuntur, si copulæ sint similes, præponendo multiplo vel quoto copulam pluris; et si copulæ sint dissimiles, prænotando copulam minutionis. Radices, tam abundantes quàm defectivæ, pari indice multiplicatæ, producunt radicatum abundans. Hine sequitur, radicati abundantis indice pari duas esse radices, alteram abun- dantem, alteram defectivam; deficientis verd radicati, nullam. Radices abundantes indice impari reddunt (multiplicatione radicali) radicata abundantia, et defectivæ, defectiva. Simili modo hine sequitur, quod radicatum impari indice radicem habeat unicam tantum ; abundans, abundantem; et defectivum, defectivam. Caput VII. De Quantitatibus Fractis. Caput VIII, De Computationibus Quantitatum Fractarum. Napier verdeelt de bewerkingen der rekenkunde in eenvoudige (computationes simplices) en samengestelde (computationes composite). De eenvoudige bewerkingen zijn: de optelling, de aftrekking, de vermenigvuldiging, de deeling, de wortelvermenigvuldiging (== machts- verheffing), de worteldeeling (= logarithmeneming) en de wortel- trekking. De optelling (additio) is de bewerking, waardoor eenige hoeveel- heden (partes) bijeengevoegd en het geheel (tota) verkregen wordt. De aftrekking (substractio) is de bewerking, waardoor de af- trekker (substrahendum) van het aftrektal (minuendum) afgenomen en de rest (residuum) verkregen wordt. na elkander, De vermenigvuldiging (multiplicatio) is de optelling, van de eene van twee gegeven hoeveelheden (multiplicandum), zoo nr TTR DE ARTE LOGISTICA. 115 dikwijls als er eenheden zijn in de andere (multiplicans); de uit- komst wordt veelvoud (multiplum) genoemd. De deeling (partitio) is de aftrekking van den deeler (partiens) van het deeltal (partiendum), voortgezet tot er niets overblijft; het aantal der aftrekkingen is het gezochte quotient (quotus). De wortelvermenigvuldiging (radicalis multiplicatio) is de ver- menigvuldiging, na elkander, van den gegeven wortel (radix, — grond- tal), zoo dikwijls als er eenheden zijn in den aanwijzer (index, — exponent 5); de uitkomst is het gezochte worteltal (radicatum, — macht). De worteldeeling (radicalis partitio) is de deeling van het worteltal (radicatum) door den wortel (radix), voortgezet tot er de eenheid ') Den naam exponent vindt men voor de eerste maal in Stifel’s Arithmetica Integra, Norimbergæ 1544, gebruikt: „De inuentione denominationum cossicarum. Notum est ex ijs que libro primo dixi, circa progression Geometricarum expositiones, ut progressio numerorum naturaliter progredientium, exponat terminos progressionum Geometricarum. Quemadmodum igitur series numerorum naturalis, exponit singulas pro- gressides geometricas, ita etiam cossicam progressionem exponit. Eam uero expositioné sufficit subindicare sequenti dispositione. 0. de. 2. 3. 4. 5 6. 7 Petes enh. tit sd CEA LL Barwa Gey: EO Et sic deinceps in infinitum. Quemadmodum autem hic uides, quemlibet terminù progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 12 habet 1. 1 y habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, seruat exponentem sue denominationis implicite, qui ei seruiat & utilis sit, potissimt in multiplicatione & diuisione, ut paulo inferius dicam.” fol. 235 verso. „Regula multiplicationis & diuisionis signorum Cossicorum. Exponentes signorum, in multiplicatione adde, in diuisione subtrahe, tune fit exponens signi fiendi.” fol. 236. verso. »Qualiacung facit progressio Geometrica multiplicado & diuidendo, talia facit progressio Arithmetica addendo & subtrahendo. Exemplum. Sicut 4 multiplicata in 64, facit 8. Sic — 3 additum ad 6, facit 3. Est autem — 3 exponens ipsius +, sicut 6 est exponens numeri 64, & 3 est exponens numeri 8. Item sicut + diuidens 64, facit 512: sie — 3 subtractum de 6 facit 9. Est autem 9 exponens numeri huius 512. Item sicut 64 diuidens 4 facit sty. sic 6 subtracta de — 3 relinquit — 9. Est autem — 9 exponens fractionis huius ‚7. fol. 249 verso. Stevin bedient zich in zijn Arithmétique, Leyde 1585, van den naam „(dé-) nomina- teur ou dignité de quantité”: F 8* L16 JOHN NAPIERS WERKEN. komt; het aantal der deelingen is de gezochte aanwijzer (index). De worteltrekking (radicis extractio) is de bepaling van de hoe- veelheid (radix), die, bij gegeven aanwijzer (index), door wortelver- menigvuldiging het gegeven worteltal (radicatum) oplevert, waarop ze bij worteldeeling deelbaar is. De zeven eenvoudige bewerkingen vormen drie groepen: De op- telling en de aftrekking zijn de oorspronkelijke bewerkingen (com- putationes prime); door herhaling zijn uit de optelling de verme- nigvuldiging en uit de aftrekking de deeling ontstaan (computationes orte ex primis); evenzoo door herhaling uit de vermenigvuldiging de wortelvermenigvuldiging en uit de deeling de worteldeeling en de worteltrekking (computationes ortæ ex primis ortis). De bewerkingen, die tot een zelfde groep behooren, zijn elkan- ders omkeeringen, zoodat de eene als proef (examen) op de andere kan dienen; van de drie hoeveelheden, die er bij te pas komen, zijn telkens twee. gegeven en moet de derde bepaald worden, bij de derde groep bv. het worteltal door wortelvermenigvuldiging uit wortel en aanwijzer, de aanwijzer door worteldeeling uit worteltal en wortel, en de wortel door worteltrekking uit worteltal en aanwijzer. Houdt een omgekeerde bewerking op uitvoerbaar te zijn, dan ontstaan nieuwe soorten van getallen: bij de aftrekking de negatieve (quantitates defectivæ), die kleiner dan nul (minores nihilo) zijn, in tegenstelling met de positieve (quantitates abundantes), die groo- ter dan nul (majores nihilo) zijn; bij de deeling de gebroken (quan- titates fractæ) en bij de worteltrekking de onmeetbare (quantitates concrete) en de imaginaire (quantitates nugaces). Napier overtreft in zijn overzicht van de zeven bewerkingen der rekenkunde niet alleen zeer verre zijn voorgangers en tijdgenooten, maar zelfs de meeste schrijvers van den tegenwoordigen tijd. In „Le nombre Arithmetique devant la marque de quantité, s'appelle nombre de multi- tude des quantitez; & dedans la marque, denominateur, ou dignité de quantité: mais derriere la marque, valeur de quantité. Par exemple, 3 (2) 12 |= 3 X 12°, c'est à dire trois secondes quantitez vallans douze, de sorte que le 3 est nombre de multitude des quantitez, & 2 denominateur de quantité, mais 12 valeur des quantitez.” p. 10. »Quantité algebraique multipliée par quantité algebraique, donner produict quantité, de laquelle le nominateur est egal, à la somme des nominateurs de la quantité à multi- plier, & du multiplicateur.” p. 53. Girard, Oeuvres Mathématiques de Stevin, Leyde 1634, Vol. I. In bet voorbijgaan zij opgemerkt, wat minder bekend schijnt te wezen, dat Stevin de eerste geweest is, die zich van den naam macht in zijn tegenwoordige algemeene beteekenis bedient: „Foute quantité s'appelle la potence de sa racine.” Girard, te neppe luke 1 _— DE ARTE LOGISTICA. 117 de keuze van de namen radix, index en radicatum, radicalis multi- plicatio, radicalis partitio en radicis extractio is hij bijzonder ge- lukkig geweest. De identiteit van indices en logarithmen, van radicalis partitio en logarithmeneming schijnt evenwel niet door hem opgemerkt te zijn. De samengestelde bewerkingen worden onderscheiden in regels voor evenredige grootheden (regulæ proportionalium), waarbij alleen vermenigvuldigingen en deelingen te pas komen, en regels voor niet-evenredige grootheden (regulæ disproportionalium). Bi de oplossing van vraagstukken over evenredige grootheden schrijft Napier de bekenden en de onbekende aan weerskanten van een zelfde horizontale streep: 1) twee grootheden, die recht even- redig zijn, aan verschillende zijden; 2) twee grootheden, die om- gekeerd evenredig zijn, aan dezelfde zijde; 3) twee gelijknamige grootheden onder elkander aan verschillende zijden. De uitkomst wordt gevonden, door het product van de getallen, die met de on- bekende aan denzelfden kant van de streep staan (aan den bene- denkant bij Napier), te deelen op dat van de getallen, die aan den anderen kant staan. Napier verwijst de regulæ disproportionalium naar de Algebra in een opmerking, die aan Stifel’s Arithmetica Integra, Norimbergæ 1544, herinnert, waar (fol. 227) de regulæ æqualitatis, separationis, transversionis, commixtionis, positionis, legis, augmenti, pluris, residui, collectionis en m. d. met even belachelijke namen (ridicula nomina) als menschenplageri] (vexationes populi) gequalificeerd en door dien beroemden regel der Algebra (famosa illa regula Algebræ) vervangen worden, die in de oplossing van vraagstukken door mid- del van vergelijkingen bestaat. Een opgaaf van de verschillende technische uitdrukkingen, waar- van Napier zich in zijn werken bij de optelling, aftrekking, enz. bedient, moge dit overzicht der Computationes Omnibus Logisticæ Speciebus Communium besluiten. 1) Optellen: addere, augere. — Optelling: additio. — Som: aggregatum, summa, tota. — Termen: partes. 2) Aftrekken: auferre, minuere, subducere, sub(s)trahere. — Over- blijven : relinquere, remanere, restare. — Aftrekking: substractio. — Verschil: differentia. — Aftrektal: minuendum. — Aftrekker: auferendum. 3) Vermenigvuldigen: ducere, multiplicare; i. h. b. duplare, triplare, quadruplare, quintuplare, etc. — Vermenigvuldiging : multi- plicatio; 1. h. b. duplatio, ete. — Product: multiplum; 1. h. b. duplum, ete. (Productum heet de uitkomst van elke bewerking). 118 JOHN NAPIERS WERKEN. Vermenigvuldigtal: multiplicandum; i. h. b. duplandum, etc. — Vermenigvuldiger: multiplicans. 4) Deelen: dividere, partire, secare; i. h. b. bipartire, tripartire, quadripartire, quintupartire, etc.; bisecare, etc. — Deeling: divisio, partitio; 1. h. b. bipartitio, etc. -— Quotient: quoties, quotiens, quotus; 1. h. b. pars dimidia, tertia, quarta, quinta, etc. — Deeltal : dividendum, partiendum, secandum; 1. h. b. bipartiendum, etc. — Deeler: divisor, partiens, partitor, sector. 5) Machtsverheffen: radicaliter multiplicare; 1. h. b. radicaliter multiplicare bis, ter, quater, quinquies, ... ad aliquem indicem; duplicare, triplicare, quadruplicare, quintuplicare, etc.; in se (qua- draté), cubicé, quadrati quadratè, supersolidè, ... ad aliquem ordinem ducere, multiplicare. — Machtsverheffing: radicalis multi- plicatio; i. h. b. duplicatio, ete. — Macht: radicatum; 1. h. b. duplicatum, ete.; quadratum, cubus, quadrati quadratum, super- solidus, etc. 6) Logarithmenemen: radicatum per radicem partire. — Loga- rithmeneming: radicalis partitio. — Exponent: index, numerus indicis, qualitas radicis. (Logarithme in den zin van Napier: nume- rus artificialis, logarithmus). 7) Worteltrekken: radicem extrahere; 1. h. b. radicem bipartien- tem, tripartientem, quadripartientem, quintupartientem, etc. extra- here; radicem quadratam, cubicam, quadrati quadratam, supersoli- dam, etc. extrahere. — Worteltrekking: radic(al)is extractio; 1. h. b. extractio radicis bipartientis, etc. ; extractio radicis quadratæ, etc. — Wortel: radix; 1. h. b. radix bipartiens, etc. ; radix quadrata, cubica, quadrati quadrata, supersolida, etc. Behalve de wortelteckens in zijn Ars Logistica en de macht- en wortelteekens in zijn Algebra treft men bij Napier geen andere teekens van bewerking aan dan plus- en minteekens. De Cade tk upd: Liber Secundus. De Logistica Arithmetica. 55 pp. Caput I. De Integrorum Nominatione El Notatione. Tertio, itaque, computationes vel sunt verinomiarum, vel fictinomiarum seu . hypotheticarum quantitatum. Unde Logistica vel est verinomiarum, de quibus Lib. Il. et IIL.; vel fictinomiarum seu algebraicarum, de quibus Lib. IV. agetur. Verinomiæ sunt quantitates veris nominibus definite, quibus, quote sint multitudine, vel quantæ sint magnitudine, explicatur. Verinomie aut sunt discretæ numero discreto, aut concretæ numero concreto nominate. Unde, Logistica verinomiarum vel est discretarum quantitatum, quae Arithmetica dicitur, de qui hoe Lib. IL; vel concretarum, quae Geometrica, de qua Lib, II. agetur, DE ARTE LOGISTICA. 119 Arithmetica, ergo, est Logistica quantitatum discretarum per numeros discretos. Numerus discretus est, quem suum unicum individuum numeratum metitur. Numerus discretus aut est integer, aut fractus; unde Arithmetica est integrorum et fractorum. Integri sunt, quos individua unitas numerata metitur. Caput IT. De Additione Et Substractione Integrorum. Caput IIT. De Multiplicatione Integrorum. Caput IV. De Partitione Integrorum. Caput V. De Multiplicationis Et Partitionis Compendiis Miscellaneis. Caput VI. De Radical Multiplicatione Et Partitione Integrorum. Caput VII. De Inveniendis Regulis Extractionum Radicalium. Regula quæque extractionis consistit in resolutione radicati in sua supplementa. Supplementum est, differentia duorum radicatorum ejusdem speciei. Regulas, autem, inveniendi omnium radicatorum et radicum supplementa, docet Tabella nostra triangularis [Fig. 20], areolis hexagonis referta, dextrorsum inscriptis unitate solà, sinistrorsum verò numeris ab unitate unitatis incremento crescentibus, et à vertice descendentibus; et quae introrsum habet singularum areolarum numerum, quemque æqualem duobus numeris proxime superpositis. Sit triangulum ABC, angulos, A sinistrum, B verticalem, et C dextrum, habens. Quot autem radicum species desideras tabellam comprehendere, per bis tot partes, plus uni, dividatur quodque latus; v. g., ad duodecim extractionum species continendum, dividatur quodque latus in 25 æquales partes; et, incipiendo a basi AC, per singula alterna puncta laterum ducantur, intra triangulum, lineæ duodecim basi parallele; simili modo incipies à latere 4B, et ei duodecim parallelas, à singulis alternis punctis basis, per singula alterna puncta lateris BC, ‘tam intra triangulum quàm ultra lineam BC, digiti spatio extendes; eodem prorsus modo, lateri BO, duodecim parallelas à singulis alternis punctis basis, et per singula alterna puncta lateris BA, ultra triangulum digiti spatio extendes. Hine habes triangulum areolis hexagonis refertum, quarum 12 dextimæ, et lineæ BC proximæ, 12 unitatibus sigillatum inscribuntur; sinistimæ verò numeris 1, 2, 3, 4, 5, etc., usque ad 13, ordine, à vertice B ad angulum sinistrum 4 descendentibus, inscribuntur; deinde hexagonum quodque interius vacuum inscribatur aggregato duorum numerorum ei proxime superpositorum; ut sub 2 et 1 scribantur 3; sub 3 et 3, 6; sub 3 et 1, 4; et ita in calcem usque tabulæ. Tandem, ascribantur tituli sinistrorsum, ‘preecedentis’, supra secun- dum hexagonum 2; supra tertium 3 scribe, ‘duplicatum præcedentis ; supra quartum scribe, ‘triplicatum precedentis’; et sic de cæteris radicatis præce- dentis usque ad duodecuplicatum: dextrorsum verò scribe supra primum hexagonum ‘succedens’; supra secundum, ‘duplicatum succedentis’; supra tertium, ‘triplicatum succedentis’; et sic de reliquis radicatis succedentis, usque ad tredecuplicatum, prout in tabellæ ipsius diagrammate subscripto habes. Cuique supplemento respondent duce partes radicis: alterà constante una vel plu- ribus figuris sinistimis jam inventis, que præcedens dicitur; alterà constante unica dextrà figurà jam proxime inveniendà, quæ succedens nuncupatur Quecritur, è tabulà, regula inveniendi supplementum quintuplic ationis, vel extractionis radicis quinquepartientis: In quintà lineà reperies quinque nu- meros hos, 5, 10, 10, 5, 1, qui, cum suis titulis, indicant supplementum quintuplicationis, aut quintupartientis radicis, quinque constare partibus; quarum prima est quadruplicati præcedentis quintuplum ductum per succedens ; secunda est, triplicati præcedentis decuplum ductum per duplicatum succe- dentis; tertia est, duplicati præcedentis decuplum ductum per triplicatum succedentis; quarta est, præcedentis quintuplum ductum in quadruplicatum succedentis ; quinta est, ipsum quintuplicatum succedentis. JOHN NAPIER’S WERKEN. Caput VIII. De Radicum Extractione. Exemplum extractionis tripartientis radicis. Sit extrahenda radix tripartiens è 12977875 : punctis et situ collocentur ut à margine; inde, maximum triplicatum tabulare!) non excedens 12, scilicet 8, ex 12 aufer, et supersunt 4, superscribenda, deletis 12; octonarii Due 875 autem radix tripartiens, scilicet 2, prime periodi loco statuatur, — et 20 sunt jam præcedens; cujus succedens, cum suo supple- 9 mento, sie quæratur: supplementum tripartientis radicis (ex prima — tabuli?)) constat tribus partibus, quarum prima fit ex triplo 5 duplicati præcedentis multiplicato per succedentem ; unde sequitur, si 4977, suprascripta, dividerentur per triplum duplicati præcedentis, scilicet per triplum 400, quod est 1200, de succedente dabit quotus conjecturam ; succedens enim plerumque est aut huie quoto æqualis, aut unitate eo minor; si itaque 4977 per 1200 partirentur, 4 foret quotus et succedens; at quater- narii supplementum est 5824, que excedunt 4977; rejecto ergo 4, eligamus 3, quorum supplementum est 4167 (nam 1200 ducta per 3, et ter 3 ducta per ter 20, et triplicatum 3, aggregata faciunt 4167); his ex 4977 ablatis, supersunt hic 810, et in periodum tertiam 810875, et 230 jam sunt figure preecedentis. 20 20 400 20 3 3 3 3 3 3 3600 4810 1200 6S MG 9 540 12977875 3 9 3 27 a, ES 3600. Prima 540. Secunda 27. Tertia 4167.Totum 2 3 pars prioris pars prioris pars prioris prius supple- 8 supplementi. supplementi. supplementi. mentum. 4167 Quærenda restat succedens in dextimum punctum locanda: ea, simili modo quo præmissa, invenietur; estque 5, cujus supplementum est 810875 (nam triplum duplicati 230 ductum per 5, scilicet 793500, et triplum 230 ductum in 25, videlicet 17250, et triplicatum 5, quod est 125, fiunt 810875); his ergo ex superpositis eis æqualibus ablatis, nihil superest; et radix tri- partiens quæsita, 235, perfecta et integra, oblati triplicati 12977875, pro- ducitur. 230 250 69 230 5 46 3 5 52900 690 25 5 len ane 5 793500 4810 158700 345 25 17250 12977875 5 138 5 125 5 793500. Prima 17250. Secun- 125.Tertia 810875. To- _2 3 5 pars posteri- da pars pos- _ pars poste- tum poste- 8 oris supple- terioris sup- rioris sup- rius supple- ALOT menti. plementi. plementi. mentum. 810875 Atque ita in omnibus extractionibus radicum, ubi indices sunt primi et incompositi, ut quintupartientis, et sextupartientis [lees: septupartientis], &c., operaberis. Tabula Radicatorum et Radicum, waarin de 2de-, 3de., ,,. 11de- en 12de- machten 1 1 1 2, 3, ... 8 en 9 vereenigd zijn. Tabula Supplementorum (Fig. 20). DE ARTE LOGISTICA. 121 Caput IX. De Ratione Emendandi Extractiones Imperfectas. Prior est, post radicem imperfectam ducendo lineam, supra quam seribantur reli- quiz, infra verò supplementum unitatis, integer pro minore termino, et unitate minutus pro majore; inter hos enim terminos latet vera quantitas radicis, que numero nulli definiri possit. Posterior modus est, ut totum radicatum proposite speciei oblatum per cujusvis electi numeri radicatum ejusdem speciei multiplicetur; producti autem radix ejusdem speciei (spretis reliquiis) per numerum illum electum partiatur. Nam quotus, cum suis fragmentis lined distinctis, erit minor terminus; et si ad eorundem fragmentorum numeratorem addideris unitatem, erit major terminus, inter quos continetur vera radix, Caput X. De Regulis Proportionis Integrorum. Particularia tamen numerorum exempla specialia habent compendia, quibus ex- pediantur: Si enim in majusculis numeris, partitor aliquot habeat versus dextram cireulos, poteris, compendii grati, tot fere multipli loca dextrorsum à figuris vacua, aut cireulis referta relinquere, multiplicationem à sinistris ordiendo. Ut (exemplo à sinibus) si 10000000 dederint 9925461, quantum dabunt 1986354? At quia hee omnes fere figuras complectitur, ideo, per cap. 5 0992546111 Lib. IL. compendiose multiplicentur 9925461 per 1985092212 singulas novem figuras, ut in tabulâ à margine factum 2917638313 est; deinde sub singulà figura multiplicantis 7986354 3970184404 incipiat, et inde procedat 7986354 4962730515 numerus tabule figuræ ili 69478227 5955276616 respondens, neglectis tamen 8932914. 6947822717 et omissis sex dextimo- 794036 .. 1940368588 rum locorum figuris omnibus, 59552... 8932914919 propterea quod septem cir- 2977 .... 99254610 Decupl. euli partitoris 10000000 eas 496. .... abscinderent, si exprimerentur et non omissæ 39...... zl fuissent: Hee igitur particularia multipla, preter 79268241... sua sex loca dextima vacua, in unum addita fiunt 10000000 79268241 ...... à quibus, tam locis quim figuris dextimis, si abscindantur septem circulorum partitoris otiosa loca (ut partitionis compendium exigit), restabunt 7926824, responsum quesitum. Ubi ergo 10000000 dant 9925461, sequetur, quod 7986354 dabunt 7926824. Que autem, in hujus compendii multiplis, omittuntur figure versus dextram, etiamsi omnes novenariæ essent, non vel unicà unitate augerent responsum. Merito igitur ea omnes negligi possunt in his majusculis numeris in quibus ne unitatis quidem, totius et integri, error est sensibilis. Esto enim quod vacua illa puncta, à margine posita, novenariæ essent (quod supra possibilitatem est), nihilominus ad 5888889 tantum accrescerent, que ad 79268241...... addita facerent 79268246888889, quibus per 10000000 partitis proveniunt ad 6888889 IRQODz LR summum 7926824 OR VAE superius productum unitate exuperant. In maximis itaque numeris, 5888889 maxima laude dignum est hoe compendium regulæ trium. Caput XI. De Fractionibus, Seu Numeris Fractis. | Fractio, seu numerus fractus, est quem minima et individua pars, unica scilicet unitatis numerata, metitur. | Caput XII. De Multiplicationibus Et Partitionibus Simplicibus Lt Radicalibus | quæ non extenduntur ad 7926825, nec Fractorum Numerorum. Caput XIII. De Extractione Radicum B Numerorum Fractionibus. Caput XIV. De Regulis Proportionis Fractionum. Caput XV. De Fractionibus Physics. 122 JOHN NAPIER'S WERKEN. Physicas vocant partem aut partes integri partiti per statutum et vulgò receptum partitorem, denominatoris loco, à suis authoribus impositum. Ut monetariis nostratibus placuit monetæ libram non in quotvis sed in 20 partes dividere, eisque denominationem solidi imponere; et solidum in 12 partes subdividere, quas denarios denominant. Sie medici, ponderis libram in partes 12, quas uncias nominant, et unciam in 8 drachmas, et drachmam in 3 serupulos, ete., partiuntur. Chronologi, annum in 12 menses, mensem in 30 (aut id ERE) dies, diem in 24 horas, &e., distribuunt. Astronomi, gradum in 60 serupula prima, seu minutias primas, primam in 60 secundas, secundam in 60 tertias, et ita deinceps, partiuntur. In fractionibus physicis, hoc cum vulgaribus commune est, quod quoties ultra suum denominatorem accreverint, superiorem locum unitate augent; et quoties major fractio à minore subducenda sit, præstanda est ei superioris loci unitas ad defectum supplendum. [Volgen voorbeelden van optellingen en aftrekkingen van physische breuken. Est enim omnium, tam fractorum quam integrorum, par ratio et respectus ad suas denominationes, tam ascendendo quam descendendo. Ut integrorum unitatum ad suas denas, centenas, et millenas superiores ; et ad suas decimas, centesimas, et millesimas inferiores. Sic, scupulorum primorum ad suos sexagenos (qui gradus sunt), et sexagenos gradus (qui duo signa sunt), ascendendo; et ad suas sexagesimas partes (quæ scrupula secunda sunt), et scrupulorum secundorum sexagesimas descendendo (que serupula tertia sunt). Item, solidi ad sua vigecupla ascendendo (que libre dicuntur), et ad suas duodecimas descendendo (quæ denarii dicuntur). Par est respectus, et computationis similitudo, in omnibus. Hine fit quod otiosum et superfluum foret, hisce particularem caleulum texere, cum harum computatio facilius expediatur per vulgares integros et fractos numeros, quim per suas particulares formas calculi, preesertim astronomici, ad quem etiam tabula prolixa sexagenaria requiritur, una cum molestià duplicium figurarum uni- cuique denominationi subjectarum, ubi arithmetica vulgaris requirit tantum unicam figuram unicuique loco. Ut patet expertis: Nam facilius et citius astronomicum thema vulgato more arithmetico computatur, et resolvitur, quim ipso astronomico caleulo; preter etiam tabulæ præfatæ, et duplicium figurarum, sub quâque denominatione, tædium. Namque vulgaris arithmetica loco primo unitatum, et loco secundo denorum, et loco tertio centenorum, et reliquorum singulorum unicam tan- tum figuram in singulis locis constituit. Astronomicus autem calculus in singulis suis loeis, tam ascendendo quam descendendo, sic notatis,’ ” 7" 77, etc. binas plerumque figuras subjectas complectitur, quae omnia confusionem pariunt. Unde, omnibus fractionibus præter jam expositas vulgares omissis, huic Arithme- ticee Logisticee finem imponimus. De bewerkingen kunnen met bepaalde grootheden (quantitates verinomiæ) en met onbepaalde (quantitates fictinomiæ, hypotheticæ, algebraicæ) worden uitgevoerd; de bepaalde onderscheidt Napier in discrete, aangeduid door meetbare, en concrete, aangeduid door onmeetbare getallen, in het bijzonder door wortelvormen. Over de discrete grootheden handelt de Logistica Arithmetica (Bk. ID, over de concrete de Logistica Geometrica (Bk. III) en over de onbepaalde de Algebra (Bk. IV). Wat de telling betreft, zij opgemerkt, dat Napier de cijfers DE ARTE LOGISTICA. 123 figure (Eng. figures) en de nul circulus noemt; in zijn andere werken heet de nul soms nullum, maar meestal cyphra (Eng. cipher). Groote getallen verdeelt hij door stippen in vakken van drie cijfers en spreekt bv. 4.734.986.205.048.205 aldus uit: „quatuor mil- lies mille millena millia millium, septingenta triginta quatuor mil- lies millena millia millium, nongenta octoginta sex millena millia millium, ducenta quinque millia millium, quadraginta octo millia, ducenta et quinque”. p. 29. Bij de optelling vindt Napier, dat er volgens Genesis V van de Schepping der Wereld tot den Zondvloed 1656 jaren verliepen. De gegevens worden evenals tegenwoordig opgeschreven met de uitkomst er onder. Bij de aftrekking daarentegen komt de rest boven het aftrektal te staan. Buitendien past Napier bij deze be- werking een regel toe, dien ik nergens elders heb aangetroffen. Hij bepaalt de cijfers van de rest, door die van den aftrekker af te trekken van die van het aftrektal, na deze, als ze kleiner zijn, met tien vermeerderd te hebben; vertegenwoordigen evenwel de cijfers aan den rechterkant van de twee, die worden afgetrokken, in den aftrekker een grooter bedrag dan in het aftrektal, dan vermindert hij het cijfer, dat er overblijft, zoo dit geen nul is, met één, maar verandert de nul in een negen. Zoo levert in Napier’s voorbeeld: 2690997393 2788154098 47156705 de 6 in den aftrekker, van de 4 + 10 — 14 in het aftrektal afgetrokken, een 8 op; maar omdat 705, rechts van de 6, meer is dan 098, rechts van de 4, moet in de rest niet 8, maar 8 — 1 — 7 worden genomen. Bij toepassing van dezen regel, zegt Napier, kan men de bewerking even goed aan den linker- als aan den rechter- kant beginnen. De tafel van vermenigvuldiging komt bij Napier, evenals bij Chuquet 5, Widmann 2 en Recorde *), voor in den vorm van een driehoek (lig. 21), dien Beutel *) later in een dubbele trap 1) Chuquet, Le Triparty en la Science des Nombres, 1484, in: Boncompagni, Bullet- tino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche, Tomo XIII, Roma 1880, p. 555. *) Widmann, Behende und hubsche Rechenung auff allen kauffmanschafit, Leipzig 1489. “) Recorde, The Ground of Arts, teaching the perfect Work and Practice of Arith- meticke, ete, London 1549. ‘) Beutel, Arithmetica, 1658. 124 JOHN NAPIER’S WERKEN. zou veranderen, met dit bijschrift: ,,Gleichwie man einen Thurm durch Staffeln muss ersteigen, so muss das Einmaleins den Weg im Rechnen zeigen’. Bij de vermenigvuldiging van twee getallen tusschen vijf en tien wordt de complementaire vermenigvuldiging toegepast, waarbij men het cijfer der ééntallen in het product bepaalt, door de comple- menten der factoren, d. z. de resten, die er overblijven, als men de factoren van tien aftrekt, te vermenigvuldigen, en dat der tien- tallen, door van den eenen factor het complement van den anderen af te trekken. Voor 7 8 komt de bewerking aldus te staan: 8. 2 1X3 5 6 2 en 3 zijn de complementen van 8 en 7; hun product 6 levert het cijfer der ééntallen en éen der verschillen 8 — 3 = 7 — 2 = 5 dat der tientallen in de uitkomst op. Le Paige !) vermoedt, dat de schrijfwijze der complementaire vermenigvuldiging Oughtred 7) aanleiding gegeven heeft tot de keuze van ons tegenwoordig maalteeken, een onderstelling, die m. 1. aan waarschijnlijkheid wint, als men niet uitsluitend let op de vrij zeldzame complementaire vermenigvuldiging, maar op alle gevallen, waarin men „ins Creutz multiplicirte”, bij optellingen, aftrekkingen en deelingen van breuken, de veelvuldig toegepaste regula falsi met haar telkens terugkeerend imperatief: ,,multiplica per crucem sive alternatim, positionem primam per falsitatem secundam, & posi- tionem secundam per falsitatem primam, etc.” %), niet te vergeten 4). *) Le Paige, Sur l’Origine de certains Signes d’Opération. (Mémoire lu à la Séance de la Première Section de la Société Scientifique de Bruxelles le 28 janvier 1892.) *) Oughtred zelf Jaat zich over den oorsprong van zijn maalteeken niet uit, maar bepaalt zich in zijn Clavis Mathematicæ, Editio tertia anctior & emendatior, Oxoniæ 1652, p. 10, waarvan de iste druk in 1631 verscheen, tot de mededeeling: „Multiplicatio speciosa connectit utramque magnitudinem propositam cum nota in vel X: vel ple- rumque absque nota, si magnitudines denotentur unica litera”. *) Pitiscus, Trigonometria, Francofurti 1612, p. 178. In de uitgaven van 1600 en 1608 wordt de regula falsi niet behandeld en evenmin toegepast, “) Voorbeelden van bewerkingen met breuken, ontleend aan: Stifel, Arithmetica Integra, Norimberge 1544: ite 2 3 SE Sin 0 rs ve 7 facit 5 & ‘3° 2 4158 Vnde = & 4 o a. NU he 5 » faciunt 72" id est 1 Oh —- ree er DE ARTE LOGISTICA. 125 De vermenigvuldiging van 865091372 met 92105 als verme- nigvuldiger wordt in tweeërlei vorm uitgevoerd : 865091372 865091372(92105 92105 7785822348 4325456860 1730182744 865091372 865091372 1730182744 4325456860 1185522348 796792408 18060 796792408 18060 de tweede manier als voorbereiding voor de verkorte vermenig- vuldiging. 2 3 ; Suotractæ autem - à —- relinquunt dn Rr: fol. 5 verso. D + 6 1 > - „Vt > in ++ Facit 7. seu ut infra dicam.” fol. 6 recto. „Vt uolo diuidere + per 5 Sie stabit exemplum ad regulam. HE facit = quo- tientem.”’ fol. 6 recto. b. Girard, Invention nouvelle en l’Algebre, Amsterdam 1629: „Soyent proposez + & = Addition | Soubstraction LOW 522) a2 ——— a 22 3 2 2~ A Somme = Difference ‚5 D ee = a ou Ì = car 10 de 12 reste 2” 15 fol. A 4 recto. “Notez qu’en la multiplication & division, on abrege bien deux nombres qui ne sont pas en mesme ligne (ces lignes sont les paralleles de la multiplication, ou la croix de bourgoigne en la division:) la division se fait done par la croix aussi bien que l’addi- tion & soubstractio; posant les nombres de solution sur le dividende, & non pas sur le diviseur.... Ces lignes dont il a esté dit, sont croiseés és trois conjugaisons, & sont paralleles en la multiplication; elles servent à monstrer quels nombres il faut multi- plier ensemble.” fol. A 4 recto. Zooals men ziet, bedient Stifel zich bij de deeling niet van het „kruis van Bourgondië”, maar keert den deeler om en „fait des paralleles”. [Bourgondië voert het St-Andries- kruis, dat den vorm van een X heeft, in zijn wapen.| Voorbeeld van de oplossing van een vraagstuk door middel van de regula falsi, ont- leend aan Stifel, Arithmetica Integra, Norimbergæ 1544, fol. 96 recto: »Queratur numerus, à cuius dimidio, subtractæ partes tertia & quarta, relinquant 300. Recipio primo 24, qui numerus ideo mihi hoc loco placet, quod dimidium eius habet partes in pronunciatione nominatas, id est, tertiam & quartam partes, sine fractione 126 JOHN NAPIERS WERKEN. Bij de verklaring van den regel voor de deeling bedient Napier zich o.a. van hetzelfde voorbeeld, dat met een onbeduidende ver- andering in den vorm voorkomt in zijn Rabdologia, Edinburgi 1617: Ars Logistica, p. 38: Rabdologia, p. 20; 118 118 LAd 141 A 02 402 429 429 861094 861094(199311$ 432(199314$ 432 43 2 3888 3888 3888 3888 1296 1296 aliqua. Laboriosior atqg magis tædiosa est operatio per fracta, quam per integra, ideo fracta deuito ubi deuitari possunt. Secundo recipio duplum prioris numeri, id est 48, sic enim expeditius operor: unde figura exempli huius sic stabit. 72.00 | 24 SS a 4§ Minus. Oe Cn Minus. 295 290 Wer vans Primo examino primum numerum receptum, id est, 24. cuius dimidiù est 12, de quo pars tertia est 4, & pars quarta est 3. Has partes aggregatas (id est, 7) subtraho de 12, remanent 5, que deberent esse (iuxta pronunciationem exempli) 300. Fallit ergo numerus receptus per 295, & est minus, Secundo examino alterum receptum numerum, id est, 48. Huius dimidium est 24. Dimidij illius partes tertia & quarta, faciunt 14, que subtracte de 24, relinquunt 10, que deberent esse 360. Itaqz numerus ille receptus, fallit per 290, & est etiam minus. Quare subtraho 290 de 295, relinquuntur 5. i. diuisor. Deinde multiplico in cruce, uideli- cet 290 in 24, & fiunt 6960: & 295 multiplico in 48, fiunt’q 14160. Subtraho igitur 6960 de 14160, & remanent 7200 diuidenda per 5. Itaq3 1440 est numerus uerus quem querebam. Nam eius dimidium facit 720, cuius partes tertia & quarta simul faciunt 420, que ambe de 720 subtractæ, relinquunt 300. Et sic ueritas prouenit, & nulla fal- sitas, hoc loco.” Pitiscus bedient zich bij de toepassing van de regula falsi noch van een kruis noch van eenig ander teeken. Voorbeeld van een kruis bij vermenigvuldigingen, die dienen om twee meetkundig middelevenredigen tusschen twee derdemachten te vinden, ontleend aan Chuquet, Le Triparty en la Science des Nombres, 1484, fol. 54 verso: DE ARTE LOGISTICA. 127 Napier voert de bewerking eenigszins anders uit, dan men in zijn tijd en zelfs tot in de achttiende eeuw gewoon was. Evenals in nevensstaand voorbeeld, dat aan Clavius’ Opera Mathematica, 4 Tomus II, Moguntiæ 1611, ontleend is, 631 ging men algemeen aldus te werk: Men ALP schreef den deeler 469 onder dat deel aan DDP. ) > ps ur 1832487 3907 104 de linkerhand van het deeltal 1832487, B B re mener maar geen tien- 469999 men So Re ah ani 4666 maal begrepen is, onder 1832 dus, en be- 44 paalde het cijfer aan de linkerhand in het quotient, hier 3. In plaats van 469 op de gewone wijze met 3 te vermenigvuldigen en dit product van 1832 af te trekken, begon men de vermenigvuldigmg aan de linkerhand en zei: 3 X 4 = 12, 18 — 12 — 6, schrijf de 6 boven de 8 en schrap de 4 in den deeler en de 1 en de 8 in het deeltal; 3 X 6 = 18, 63 — 18 = 45, schrijf de 4 boven de 6 en de 5 boven de 3 en schrap de 6 in den deeler en de 6 en de 3 in het deeltal; 3 X 9 = 27, 452 — 27 = 425, schrijf de 2 boven de 5 en de 5 boven de 2 en schrap de 9 in den deeler en de 5 en de 2 in het deeltal; — schrijf den deeler 469 opnieuw op, de 4 onder de 6, de 6 onder de 9 en de 9 rechts van de 9 en deel 4254 door 469, enz. Achtereenvolgens kreeg men dus: a) 6 b) 4 1832487(3 65 469 183248 7(3 469 c) 42 d) 6 655 42 1832487(3 655 169 183248 7(39 4699 46 enz. Men schreef den deeler dus onder het deeltal en schoof dien, telkens als weer een cijfer in het quotient bepaald moest worden, één plaats naar rechts; bij de vermenigvuldiging van den deeler „Aussi entre deux cubicz prochains ou non prochains Il y a deux moyens proporcionalz 8 27 cestassauoir le maieur moyen et le mineur moyen. le maieur moyen vient Din 3 de la multiplicacion de la racine du moindre cubic par le quarre du D es maieur. Le moindre moyen vient de la multiplicacion de la racine du Es 7 9 maieur cubic par le quarre du moindre ainsi comme Il appert en marge es 18. de .8. et de 27. dont le mineur moyen proporcional est .12. et le maieur est .18.” 128 JOHN NAPIER’S WERKEN. met een cijfer. van het quotient begon men aan de linkerhand en trok de afzonderlijke producten na elkander uit het hoofd van de overeenkomstige deelen van het deeltal af, waar men de cijfers van de resten boven schreef; de cijfers eindelijk, die niet meer gebruikt werden, schrapte men. „Es wäre dem thatsächlichen Hergange nicht entsprechend, wollte man behaupten, jene Methode sei in ihrer wunderlichen Missge- stalt erfunden worden; sie ist vielmehr die treue graphische Wiedergabe der indischen Rechnungsweise auf der Sandtafel. Auf dieser wurde mit emem Griffel in Sand geschrieben, alle Ziffern der Zwischenrechnungen beseitigte man durch Einebnung des San- des, sobald man ihrer nicht mehr bedurfte, sodass das Schema sich in grosser Einfachheit darstellt. Man sieht in jedem Stadium der Ausrechnung nur die nothwendigen Zahlen: den Dividend in der Mitte, darunter den Divisor, darüber den Partialdividend resp. Rest, rechts den Quotient.... Mit der Verwendung von Tinte und Papier wurde die spurlose Tilgung der Ziffern unmöglich, ihre Haufung war die natiirliche Folge; zur Erleichterung der Ubersicht nahm man seme Zuflucht zur Durchstreichung der verbrauchten Zaffern.” 1) Onder de vele wijzigingen, door verschillende schrijvers in de uitvoering der deeling aangebracht, behoort die van Napier, waarbij de aftrekkers onder en de resten boven het deeltal kwamen te staan, tot de meest bruikbare. Geen dier veranderingen vond voor- loopig evenwel ingang, zelfs miet onze tegenwoordige handelwijze, die men naast de toenmaals meest gangbare reeds in Paciuolo’s Summa de Arithmetica, Geometria, Proportion: et Proportionalita, Venetia 1494, vermeld vindt. Napier behandelt afzonderlijk: 1) de vermenigvuldiging met en de deeling door 10, 100, 1000, eng. ; 2) de vermenigvuldiging met en de deeling door een veelvoud van 10, 100, 1000, enz.; 3) de deeling door 2; 4) de vermenigvuldiging met en de deeling door 5 = 10: 2; 5) de vermenigvuldiging met 9 = 10 — 1,4—5—1,6—5+1, 2=14+1,3=—=2-+4 1 bv, 7=9 —2 bv. en 8 = 6 + 2 by. Bij vermenigvuldigingen en deelingen met een groot aantal cij- fers in vermenigvuldiger en quotient berekent Napier vooraf de ) Unger, Die Methodik der praktischen Arithmetik, Leipzig 1888, p. 79. DE ARTE LOGISTICA. 129 producten van vermenigvuldigtal en deeler met 1, 2, 3,... Sen 9, „sive per præmissa compendia [onder 4) en 5) vermeld), sive per additionem continuatam, sive, omnium facillime, per ossa Rhabdo- logiæ nostre’’. p. 42. Zoo komen op p. 43 de vermenigvuldiging van 92105 met 8650913872 als vermenigvuldiger en de deeling van het product door 92105 aldus te staan: 092105) Simplum 184210, Duplum 276315) Triplum 865091372 368420) 4” | 136540276315 460595! 5™ = 26: 73! Be 552630|644735 644.735) -7™ 4.60525)184210 736840 gm 828945 9 828945 9m Phe ee | 79679240818060 921050, Decuplum, examinis gratia. 66315 34263 12636 84158 468 94 0 59952 18421 79679 240818060 92105)865091372 736840 644735 552630 184210 460 525 828945 092105 276315 De worteltrekking wordt door Napier uitvoerig behandeld. Hij begint met de opmerking, dat de bewerking berust op de verdee- ling van een macht in haar supplementen, d. w. z. in verschillen van gelijknamige machten. De bedoeling is, dat de worteltrekking wordt uitgevoerd volgens de formule: Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VI. F 9 130 JOHN NAPIER’S WERKEN. (a Oo Ser sd asi tt) Bie) Qi vite ON mene ie a ++" td Ee Ga PE Dad DEE) GBT A see waar a, 6, €, d, ... de... duizendtallen, honderdtallen, tientallen en ééntallen van den wortel voorstellen en de kolommen I, IT, III, de supplementen (a + 6)" — a", (a + 6 + o” (a + by", +6-+c¢+ dad)" — (a+b+c)", ... vormen, die Napier bedoelt. Om deze supplementen te berekenen, bedient Napier zich van zijn Tabula Supplementorum (Fig. 20), die de binomiaalcoétficienten tot en met die van de twaalfdemacht bevat. In minder fraaien vorm treft men zulk een driehoek, waarvan de geheimen door Pascal in zijn ‘Traité du Triangle Arithmétique, Paris 1665, zijn ontsluierd, reeds bij Stifel 1), Tartaglia ?) en Stevin 3) aan. Men vindt in Napier s driehoek im ieder van de cellen langs BC den coëfficient 1 geschreven, in die langs Bd de coëfficienten 1, 2, 3,... 11 en 12, en in de overige telkens de som van de twee coëfficienten, die er onmiddellijk boven staan. De rijen even- wijdig aan BC, te beginnen bij de tweede, dragen de opschriften : voorgaande term, tweedemacht van den voorgaanden term, enz, en die evenwijdig aan BA de opschriften: volgende term, tweede- macht van den volgenden term, enz., waar onder den voorgaanden term (præcedens) het deel aan de linkerhand van den wortel moet worden verstaan, dat reeds gevonden is, en onder den volgenden term (succedens) het cijfer, dat onmiddellijk aan de rechterhand van dit deel staat. Om bv. bij een vijfdemachtsworteltrekking de supplementen te berekenen, moet men de som nemen der producten van elken coéfficient in de vijfde horizontale rij met de twee facto- ren, die worden aangeduid door de opschriften van de rijen even- wijdig aan BC en BA, waarin de cel met dien coëtticient voor- komt. Voor de wijze van uitvoering der worteltrekking vergelijke men de aangehaalde kubiekworteltrekking uit 12977875 (p. 120), waarbij Napier opmerkt, dat alle worteltrekkingen met ondeelbare wortel- *) Stifel, Arithmetica Integra, Norimbergæ 1544, *) Tartaglia, General Trattato dé Numeri e Misure, Venetia 1556 —1560, *) Stevin, Arithmétique, Leyde 1585. hef: LE DE ARTE LOGISTICA. 131 exponenten evenzoo kunnen worden uitgevoerd als vierkants- en kubiekworteltrekkingen, en dat de worteltrekkingen met deelbare wortelexponenten tot die met ondeelbare wortelexponenten terugge- bracht kunnen worden. Voorbeelden van vijfdemachtsworteltrekkin- gen, zooals men die in Stevin’s Arithmétique, Leyde 1585, aantreft, behandelt Napier niet. Van onmeetbare wortels bepaalt Napier op twee manieren be- paderde waarden: 1) door de geheelen van den wortel te vermeerderen met een breuk, waarvan de rest der worteltrekking de teller is en de noe- mer: a) het supplement, dat aan een vermeerdering van de gehee- len van den wortel met één beantwoordt; b) dit supplement ver- minderd met één; 2) door den wortel met een willekeurigen factor te vermenigvul- digen en van dit product: a) de geheelen; b) de geheelen, vermeer- derd met één, door dien factor te deelen. Volgens 1) vindt Napier 928% en 926$ als benaderde waarden van B998, daar P'998 — 9, ..., de rest der worteltrekking — 269 en het supplement, dat aan een vermeerdering van 9 met één beantwoordt — 3. 9° + 3. 9 + 1 = 271 is. En volgens 2) vindt hij 9% en 10 als benaderde waarden van denzelfden wortel, daar 100 B 995 — B-998000000 — 999, ... is; eveneens volgens 2) vindt hij bij de worteltrekking uit breuken 553$ en 333 als bena- derde waarden van V 2). De benaderingsformules : A me V Ava oe ai, il Qart+partet ee (a+ 1 in n WV 4 © a + pt TANN REN onder 1) bedoeld, zijn van Arabischen oorsprong; in Fibonaci’s Liber Abaci, 1202, en in De Ortega’s Conpusicion de la Arte de la Arismetica y Juntamente de Geometria, Barcelona 1512, vindt men ze reeds bij de vierkants- en de kubiekworteltrekking toege- past. Overigens vergist Napier zich, waar hij meent, dat de tweede van deze formules steeds een benaderde waarde oplevert, die te groot is. }) Onder den naam van „compendium regulæ trium”’ bedient Napier zich van een verkorte vermenigvuldiging bij de oplossing van vraag- *) inter hos enim terminos latet vera quantitas radicis, que numero nulli definiri possit. p. 59. F 9# 132 JOHN NAPIERS WERKEN. stukken met groote getallen door middel van den regel van drieën, in zijn Rabdologia +) bij de berekening van den omtrek van een cirkel met een middellijn van 635, als de omtrek van een cirkel met een straal van 10000 op 31416 wordt gesteld, en in zijn Ars Logistica *) bij de berekening van den sinus der zijde, die in een rechthoekigen boldriehoek met een hypotenusa van 83° [sin 83° == 9925461, als de straal — 10000000 is] staat tegenover een hoek van 53° [sin 53° = 7986354]. Omdat er in den vermenigvuldiger 1986354 zeven verschillende cijfers voorkomen, bepaalt Napier de producten van het vermenigvuldigtal 9925461 met 1, 2, 3, 8, 9 en 10 afzonderlijk. Vervolgens begint hij de verkorte verme- nigvuldiging, evenals tegenwoordig gebruikelijk is, bij het cijfer aan de linkerhand van den vermenigvuldiger en schrijft de gedeel- telijke producten in één cijfer meer op dan er in de uitkomst verlangd worden. Na weglating van het cijfer aan de rechterhand in de som dier producten vindt hij dan een benaderde waarde 7926824 van dien sinus, die, zooals wordt aangetoond, zelfs dan nog minder dan een ééntal te klein zou zijn, als alle verwaarloosde cijfers negens waren geweest. „In maximis numeris’’, meent Napier, „hoe compendium regule trium maxima laude dignum est.” p. 65. Een waarschijnlijk *) ouder voorbeeld van een verkorte vermenig- vuldiging wordt gevonden in een door Rudolf Wolf beschreven MS, de Arithmetica Byrgii 4), dat zich in de bibliotheek der sterren- wacht te Pulkowa bij St-Petersburg bevindt en door den genialen Zwitserschen uurwerkmaker Joost Bürgi (1552— 1652) vermoedelijk in 1592/93 is samengesteld. Afzonderlijk behandeld vindt men verkorte vermenigvuldigingen en deelingen voor de eerste maal in Oughtred, Clavis Mathematicee, Editio tertia auctior & emendatior, Oxoniee 1652, pp. 8 en 14, waarvan de eerste druk, dien ik evenwel niet heb kunnen raad- plegen, in 1681 verscheen. Bürgi en Napier schijnen ieder voor zich de verkorte vermenig- vuldiging zelfstandig te hebben uitgedacht en toegepast. Het ver- haal, op gezag van Frisch °) in vele leerboeken vermeld, dat Kepler in 1623 de verkorte bewerkingen van Pretorius te Altorf geleerd *) Zie p. 55. ye Lie ps Lal, *) Waarschijnlijk; want de Ars Logistica dagteckent wellicht van vóór 1594. ‘) Wolf, Astronomische Mittheilungen XXXI, in: Vierteljahrsschrift der Natur- forschenden Gesellschaft in Zürich, 17ter Jahrgang, Zürich 1872, p. 244, *) Frisch, Ueber Kepler’s Logarithmen und einige Briefe von Kepler, in: Archiv der Mathematik und Physik, 24ter Theil, Leipzig 1859, p. 296. 1 DE ARTE LOGISTICA. 133 zou hebben, wordt genoegzaam door de opmerking van Wolf 4) weerlegd, dat Praetorius reeds in 1616 overleed. Evenals zijn voorgangers en tijdgenooten onderscheidt. Napier de breuken in gewone, die willekeurige noemers kunnen hebben, bv.: 4, 2, 4, enz., en physische, waarbij zekere algemeen aangenomen deelers de noemers vervangen: zoo wordt het jaar verdeeld in 12 maanden, de maand in omstreeks 30 dagen en de dag in 24 uren; de graad in 60 minuten, de minuut in 60 seconden, de seconde in 60 tertiën, enz. Tot de physische breuken behooren ook de decimale, waarvan men evenwel in de Ars Logistica geen melding vindt gemaakt, al komen ze in den vorm van gewone met een macht van tien tot noemer bij de deeling en de worteltrekking voor: 8650913-T% en 86509137275 583570 resp. bij de deeling van 865091372 door 100 en van 8650913720000089 door 10000000; lbh en T7060 als benaderde waarden van w 50; 9 en 9182 — 10 als benaderde waarden van B~ 998; 100 818. en T4. als benaderde waarden van B 2. Ook merkt Napier op, dat bij de eset breuken de eenhe- den meestal in een zelfde verhouding opklimmen en afdalen, zooals de ééntallen, tientallen, honderdtallen en duizendtallen, de ééntal- len, tiendedeelen, honderdstedeelen en duizendstedeelen 7), uit welk voorbeeld blijkt, dat de decimale breuken hem niet vreemd zijn, al ontbreekt een afzonderlijke notatie. Trouwens alle andere dan de gewone breuken worden door Napier met stilzwijgen voorbijgegaan *), omdat men ze door geheele getal- len en gewone breuken kan vervangen, waarmede de bewerkingen zich gemakkelijker laten uitvoeren, en een afzonderlijke behandeling dus overtollig mag heeten #). Napier definieert de vermenigvuldiging van breuken als de her- leiding van „breuken van breuken,” zooals 2 van %, # van 2 van 4» 4 3 4, enz., tot breuken 5). Om „breuken van breuken” aan te duiden, bedient hij zich van SIO tapen *) Ut integrorum unitatum ad suas denas, centenas, et millenas superiores; et ad suas decimas, centesimas, et millesimas inferiores. p. 80. 3) Unde, omnibus fractionibus preter jam expositas vulgares omissis, huic Arithme- tice Logistic finem imponimus. p. 81. “) Hine fit quod otiosum et superfluum foret, hisce particularem caleulum texere, cum harum computatio facilius expediatur per vulgares integros et fractos numeros, quam per suas particulares formas caleuli. p. 81. *) Hac multiplicatione fractiones fractionum, imo, et fractiones fractionum iterum atque iterum fraetarum, ad simplices fractiones reducuntur. p. 24. 134 JOHN NAPIERS WERKEN. de notatie: 2 ex 3, $ ex 2 ex À, enz., onder opmerking evenwel, dat door anderen !) de breuken zonder meer naast elkander wor- den geschreven met weglating van de breukstrepen op die in de breuk aan de linkerhand na ?); aldus: 2 $, $ 2 3, enz. ce) Wortelvormen. Liber Tertius. De Logistica Geometrica. 6 pp. Caput I. De Notatione Et Nominatione Concretorum. Geometrica ergo dicitur Logistica quantitatum concretarum per numeros concretos. Concretus dicitur omnis numerus quatenus quantitatem concretam et continuam referat. Ut 3 a, si tres lineas digitales referat sic , est numerus discretus: Quum autem tridigitalem lineam concretam et continuam refert, hoe modo 1 ' , dicitur numerus concretus, sed hoc improprie et ratione subjecti. Proprie autem, et per se, concretos numeros dicimus radices numerorum quie nullo numero (sive integro sive fracto) mensurari possunt. Ut radix bipartiens, seu quadrata, septenarii major est binario, minor ternario, et nulli fracto, in universa fractorum numerorum essentià, æqualis aut commensurabilis reperietur; dicitur ergo concretus numerus proprie. Sic radix tripartiens, seu cubica, denarii numeri, non est numerus discretus, nec numero commensurabilis, sed concretus; et aliæ infinite numerorum radices, quas vulgò surdos et irrationales vocant. Horum concretorum ortus habetur extrahendo è numeris radices eis non insitas. Ut cap. 4 Lib. I. et cap. 9 Lib. IL. monuimus. Geometrici numeri ed quod quantitatem potius nominent quam numerent, ideo vulgò nomina dicuntur. Nominum alia sunt unius nominis, ut uninomia; alia plurium. Uninomium est idem quod concretus numerus unicus, sive proprie, sive improprie dictus. Unde sequitur quod uninomium vel est numerus unicus simplex, vel unici numeri simplicis radix aliquæ. Cumque ita radicatum uninomium sit vel abundantis vel defectivi numeri radix, ejusque index vel par vel impar, — quadrifario hoe casu sequetur, quædam uni- nomia esse abundantia, queedam defectiva, quædam et abundantia et defectiva, que gemina dicimus; quædam tandem nec sunt abundantia nec defectiva, que nugacia vocamus. Hujus arcani magni algebraici fundamentum superius Lib. I. cap. 6, je- cimus: quod (quamvis à nemine quod sciam revelatum sit) quantum tamen emolumenti adferat huic arti, et ceteris mathematicis, postea patebit. In uninomiis abundantibus et defectivis, non multum refert an debita copula præponatur an interponatur; præstat tamen eam præponere. In uninomiis autem geminis et nugacibus, copula debita est semper interponenda. Primi casus exemplum est [ 10, seu (quod per cap. 6 Lib. I. idem est) | + 10, est (per cap. 6 Lib. I.) uninomium abundans. Secundi casus 1 ) Tonstall, De Arte Supputandi Libri Quatuor, Londini 1522. *) Sunt et quædam improprie fractiones, que non sunt unitatis pars, aut partes, expresse, sed sunt partes fractionum; et he fractiones fractionum nominantur; quas nos notamus interposita particulâ ‘ex’, alii notant per omissionem posterioris lineæ, aut line- arum. p. 68. PTT. + DE ARTE LOGISTICA. 135 exemplum, |_ — 10, est uninomium defectivum (cap. eodem). Tertii casus exemplum est | | 10, seu | | + 10 (que, ut supra, eadem sunt), significat tam quantitatem abundantem, quæ in se ducta facit + 10, quàm defectivam quæ in se ducta facit etiam — 10: Veluti, lucidioris exempli gratia, | | 9, seu | | + 9, est tam + 3 quam 3; ut superius Lib. I. cap. 6 demon- stravimus. Ultimi casus exemplum est | ] — 9, quod ex meris nugacibus est, nec quicquam significat quod vel abundet vel deficiat; nam novenarius defectivus nullam habet radicem bipartientem, ut Lib. [. cap. 6 patet. In nugacibus summopere cavendum est ne copula — minutionis, interponenda, preeponatur. Ut si, pro |_]— 9 (que est radix bipartiens minuti novenarii, et absurdum atque impossibile infert), sumpseris — (_|9, que quantitatem minutam radice bipartiente novenarii significat, longe aberrabis: Radix enim bipartiens novenarii hic abundantis (scilicet [ ]9) gemina est, scilicet + 3 et — 3, id est, ternarius abundans et ternarius defectivus; et ita quantitas his geminis + 3 et — 3, minuta gemina erit; qui itaque pro [ } — 9 ponit —— {| ]9, pro absurdo et impossibili, et quantitate nugaci et nihil significante, profert quantitatem geminæ seu duplicis significationis; ab hoc ergo, in quo plurimi errarunt, cavendum. In ceteris uninomiis (significativis scilicet) idem est copulam inter signum radis cale et numerum interponere, sive utrique præponere: Nec in uninomiis illis valo- rem mutat, primo vel medio etiam loco vacuo (per cap. 6 Lib. I.) copulam + inserere. Ut []9, et _J+9, et +[]9, et +[J+-9, idem prorsus significat, videlicet tam + 3 quam — 3; item { 27, seu [_' + 27, seu + | 27, seu + | + 27, idem valent quod —+- 3 tantummodo; item | — 27, seu + [_— 27, seu —|_ 27, seu —|_ + 27, idem valent quod — 3 tantum- modo; item in nugantibus idem est | |— 9, et +-|_]—9, scilicet eandem impossibilitatem implicant; sed cave ne pro ipsis posueris —[_|9, seu —[ | +9, ut precedente sectione monuimus. Atque hee sunt affectiones uninomiorum in se; sequuntur uninomiorum ad invi- cem affectiones. Sunt itaque uninomia bina, aut invicem commensurabilia aut incommensurabilia. Commensurabilia sunt, quæ se habent ad invicem ut numeri discreti, seu absoluti. Cetera omnia uninomia ad heee irreducibilia, incommensurabilia esse constat, Napier behandelt in dit Derde Boek de onmeetbare wortels, toenmaals meestal numeri irrationales, surdi en mediales (middel- evenredigen) genoemd, maar door hem numeri geometrici en concreti geheeten wegens hun veelvuldig optreden in de meet- kunde, waarbij hij aanteekent, dat drie een numerus discretus is, wanneer er drie lijnen van één vinger breed door worden aangeduid, en een numerus concretus, maar in oneigenlijken zin, wanneer er één lijn van drie vingers breed mede bedoeld wordt. Eigenlijke numeri concreti zijn uitsluitend de onmeetbare wortels, die zoo min door een geheel als door een gebroken getal uitge- drukt kunnen worden. Napier begint de behandeling van zijn onderwerp met de invoe- ring van een nieuwe schrijfwijze voor de wortels. Hij kiest de negen gemakkelijk te onthouden teekens van Fig. 22, om er de cijfers 1, 2, 3, ... 8 en 9 mede aan te duiden, en plaatst de 136 JOHN NAPIER'S WERKEN. wortelexponenten, op de gewone wijze, maar met de nieuwe cijfers en de nul, die hij behoudt, als tiendeelige getallen geschreven, nu en dan evenwel met een kleine wijziging in den vorm, onmiddellijk vóór de radicandi. Zoo zijn: ALERTE PEL RRQ A TE je MAG A Of he A RIT te erfde DE Ad Vargas) edt Leger a@benaledjdotbaamzard de wortelteekens, die aan de exponenten 2, 3, 4, ... 23, 24, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 en 100 beantwoorden. Ook de namen der wortels (en machten) in Napier’s Ars Logi- stica verschillen aanmerkelijk van de in zijn tijd meest gebruikelijke, zooals men die bv. in zijn overige werken, zijn Algebra er onder begrepen, en in Stifel’s Arithmetica Integra, Norimberge 1544, aantreft: Stifel, Arithmetica Integra, Lib. IT, Cap. IV: Vx (numerus) medialis quadrate Vee à 5 cubice Vx = ns zensizensice vj aren , surdesolide Vv xce 8 is zensicubice Vb - , bsurdesolide V XXX d 5 zensizenzensice Vee ik - cubicubici Ook bedient Stifel zich, maar minder vaak, van de uitdrukkin- gen: radix quadrata, cubica, zensizensica, etc. Napier, Algebra, Lib. I, Cap. I: Vee radix quadrata Ve » . Cubica Vee » quadrati quadrata Vp , supersolida Vee , quadrati cubica V Sp „secunda supersolida Veeg , quadrati quadrati quadrata VEER , _eubi cubica DE ARTE LOGISTICA. 137 Napier, Ars Logistica, Lib. IIT, Cap. I: radix bipartiens , tripartiens , quadrupartiens » quintupartiens sextupartiens » Septupartiens , octupartiens » honcupartiens Pel seer ge estida te er weta rs votes ata le? « Omdat de numeri concreti de grootheden meer noemen dan tellen, worden ze door Napier nomina geheeten en in uninomia (ééntermen), bv.: 10, Vv 10, BS 12, # 26, enz., en plurinomia (veel- termen) onderscheiden. Van de uninomia zijn sommige positief (abundantia), bv. B~ + 10, sommige negatief (defectiva), bv. B~ — 10, sommige positief en negatief (gemina), bv. W + 10, en sommige positief noch negatief (nugacia), bv. W — 10, al naarmate de radicandi positief of ne- gatief en de exponenten even of oneven zijn. Bij de imaginaire wortels (uninomia nugacia) mag men het tee- ken —, dat onder het wortelteeken staat, er niet vóór plaatsen en dus bv. /— 9 niet door —V 9 vervangen; want, daar y 9 — + 3, dus — V 9 = + 3 is, zou men zoodoende voor een onbestaanbare grootheid een tweewaardige (pro absurdo et impos- sibili, et quantitate nugaci et nihil significante quantitatem gemine seu duplicis significationis) in de plaats stellen. Bij de reëele wortels (uninomia significativa) daarentegen mag men de teekens + en — zoowel vóór als onder het wortelteeken plaatsen; buitendien mag men bij alle wortels desverkiezende vóór en onder het wortelteeken + schrijven, als er nog geen voorteeken staat; bv. : Sy ee VUE y Lo Se, A PE og Sy L 97 8, PN 07 D 1 07 — — 8, ÿ—9 — EL y — 9, maar niet = —V 9 — —y + 9. Van het gewicht dezer opmerkingen was Napier zich ten volle bewust. „Wij hebben”, zegt hij, „in Bk. I, Hfdst. 6, den grond- slag gelegd van dit groot algebraïsch geheim (magnum arcanum algebraicum), waarvan, hoewel door niemand, zoover ik weet, ont- huld (quamvis à nemine quod sciam revelatum sit), nochtans later 138 JOHN NAPIERS WERKEN. zal blijken, hoezeer het aan deze kunst en de overige deelen der wiskunde ten voordeele strekt (quantum emolumenti adferat huic arti et cæteris mathematicis).”’ Welk geheim bedoelt Napier? Welk voordeel verwacht hij van zijn ontdekking voor de wiskundige wetenschappen? Wij moeten ons bij de beantwoording van deze vragen tot gis- singen bepalen; want het MS van de Ars Logistica breekt na een paar opmerkingen over onderling meetbare en onderling onmeetbare wortels af met een „Et caetera’’ en de mededeeling van Robert Napier aan Briggs, die het ter inzage ontving, dat er van dit Derde Boek niet meer was te vinden: „1 could find no more of this Geome tricall pairt amongst all his fragments.” p. 88. Na lezing en herlezing van Napier’s woorden in verband met wat hij omtrent de oplossing van vergelijkingen door worteltrekking in zijn Algebra, Lib. II, Cap. X, Prop. 20, vermeldt, acht ik dit de meest waarschijnlijke conjectuur, dat Napier de tweewaardigheid der evenmachtswortels en haar toepassing bij de analytische behan- deling der vierkantsvergelijkingen op het oog heeft gehad. De leer der vergelijkingen berustte in Napier’s dagen uitsluitend op meetkundigen grondslag, zoowel de oplossing der vierkantsver- gelijkingen, die toen reeds bijna acht eeuwen, zooals ze door Mu- hammed ibn Mûsà Alchwarizmi, een Arabisch wiskundige uit de eerste helft der negende eeuw, was overgeleverd, als voorbeeld had gediend, waarvan niet werd afgeweken, als de nauwelijks een halve eeuw oude oplossing der derde- en vierdemachtsvergelijkingen door Del Ferro, Tartaglia, Cardano en Ferrari. Om de beteekenis van Napier’s ontdekking, zooals ik die begrijp, te kunnen waardeeren, moet men de toenmalige verklaring van de oplossing der vierkantsvergelijkingen kennen. Men onderscheidde drie hoofdvormen, naar onze tegenwoordige notatie : | De +pa—=g Da +g—pa, He —pa +, die ieder een afzonderlijke behandeling vereischten. Daar voor peng uitsluitend volstrekte waarden genomen werden en negatieve en onbestaanbare wortels niet in aanmerking kwamen, waren vergelijkingen van den vorm #? +-pa-+-qg = 0 uitge- sloten. De vergelijking 1) bezit één wortel, waaromtrent niets te zeggen valt ; de vergelijking 2) bezit geen enkelen wortel, als DE ARTE LOGISTICA. 139 Lp? q is; van deze twee wortels is de eene blijkbaar kleiner en de andere grooter dan $y, zoodat er voor de verklaring van de oplossing twee figuren noodig waren; men bepaalde zich evenwel meestal tot het bewijs van den regel voor den kleinsten wortel: in Stifel’s Arithmetica Integra, Norimberge 1544, en in Cardano’s Ars Magna, Norimbergæ 1545, vindt men den regel voor de bepa- ling van beide wortels toegelicht; — de vergelijking 3) eindelijk bezit één wortel, die grooter dan is. We laten thans de bedoelde synthetische oplossingen van de drie vergelijkingen zoo beknopt mogelijk volgen: 1) Zij (Fig. 23) 4B = BC = x en Al — CG — 1 p, dan is vk. ABCD = x°, rh. ADLI = rh. CGKD = 1 pe en vk. DKHL = 1p, dus vk. BGHI = vk. ABCD + rh. ADLI + rh. CGKD + vk. DKHL = a + pe + 1p? = q + 4 p?, daar c? + pe nn Gis. Voor BG vindt men dus V (¢ + 1%), zoodat x = BC = BG — CG =VQG+4H")— FP. eije (ig 24) AB ss BO 2, BE == pen BI = BG = Lp, dan is vk. ABCD = a”, rh. BEFA = pe, rh. ABGK = th. BOLI = 4 pe en vk. BGHI = Xp}, dus rh. CHFD = rh. ABEF — rh. ABCD = pe — x? en dus = g. Nu is rh. CHFD = rh. GEFK + rh. CGKD, + in Fig. 24° en — in Fig. 24° — rh. ABGK + rh. ADL = vk. BGHI — vk. DKHL, dus vk. DKHL = vk. BGHI — rh. CHFD = 1 p? — y. Voor DK = CG vindt men dus V (4 p? — q), zoodat x — BC = BG + CG=tpt+v(ip?—g)is. 3) Zij (Fig. 25) AB = BC — », BE=p, GE= GH == ip eG GO dan ieevke ABCD = 4°,erh, ABEF — pe en vk. HGHI = 1 p?, dus rh. CAPD = 4? — px en dus = g. Nu is vk. CGKL = vk. HGH + rh. CEML + rh" JHKM = vk. AGH + rh. CEML + rh. LMFD = vk. EGHI + rh. CEFD = 1p? + ¢ Voor CG vindt men dus V (1 p° +- 9), zoodat «= BC— BG J0G=ipt VA is. Napier verving deze drie afzonderlijke synthetische oplossingen door één enkele analytische, die een bijzonder geval uitmaakt van een eveneens op sommige vergelijkingen van hoogeren graad en met meer onbekenden toepasselijke handelwijze, die hij aan het einde van zijn onvoltooid gebleven Algebra mededeelt. Hoewel Napier zijn methode niet met een voorbeeld toelicht, is zijn be- doeling niettemin volkomen duidelijk, zooals bij de bespreking dier 140 JOHN NAPIERS WERKEN. Algebra nader zal blijken: Nadat de vierkantsvergelijking tot den vorm 2 + p æ + g = 0 herleid is, trekt Napier den vier- kantswortel uit haar eerste lid, waarvoor hij æ + + p vindt, terwijl er g — + p° als rest overblijft. Uit deze rest met omge- keerd teeken trekt hij den vierkantswortel, waaraan hij — en dit is zijn „arcanum algebree”, zooals zijn logarithmen zijn. „arcanum arithmetice’’ uitmaken —- een positieve en een negatieve waarde toekent; eindelijk vermindert hij « + + p met ieder van deze waarden en krijgt zoodoende twee vergelijkingen van den eersten graad, waarvan de wortels die der oorspronkelijke vierkantsverge- lijkmg vormen. Nu werden door Napier, voor zoover dit uit zijn onvolledig - MS valt op te maken, de negatieve waarden, die aan een vergelij- king voldoen, als wortels medegeteld; zoo geeft hij — 7 op als wortel van de vergelijking æ — — 7 en spreekt de eigenschap uit, dat elke vergelijking, die niet valsch is, minstens één positieven of negatieven wortel bezit; maar onbestaanbare waarden werden door hem niet als wortels medegerekend, evenmin als nul: de ver- gelijkingen a == 4æ— 5 en x — 3 noemt hij valsch; eveneens was het begrip veelvoudige wortel hem vreemd: hij vervangt zonder meer de vergelijking æ — V 36 2 + 9 = 0 door Wot Napier vond dus voor de vergelijking æ? +- pe + g = 0 twee wortels, als 1 p? — g > 0, één, als + p? — g = 0, en geen, als tp? —gq <0 is: in dit geval noemt hij de vergelijking valsch. Zijn inzicht in de tweewaardigheid van evenmachtswortels stelde hem dus in staat, een analytische oplossing te ontdekken, die op vierkantsvergelijkingen van willekeurigen vorm kon worden toege- past en waardoor over den aard der wortels een helder licht werd verspreid. Niet zonder reden dus mocht Napier dit „arcanum algebra” een belangrijke vondst achten. Het kon hem niet bekend zijn, dat een Indisch astronoom, Bhäskara, de Geleerde (Âcârya) geheeten, reeds omstreeks het midden van de twaalfde eeuw de tweewaardigheid en de onbestaanbaarheid der quadraatwortels geleeraard en bij de oplossing der vierkantsvergelijkingen toegepast had. Ook hebben van zijn tijdgenooten Vieta en Stevin denkbeelden uitgesproken, die in hoofdzaak met de zijne overeenstemmen, maar Vieta’s De Aiqua- tionum Recognitione et Emendatione Tractatus Duo, hoewel misschien reeds in 1591 persklaar, verscheen pas in 1615, twaalf jaren na den dood van den schrijver, in druk, en met Stevin’s Arithmétique, waarin o. a. de oplossing der vergelijkingen uitvoerig behandeld DE ARTE LOGISTICA. 14] wordt 1), en diens Pratique d’Arithmétique, die in 1585 te Leiden in één band het licht zagen, schijnt Napier tijdens de bewerking der Ars Logistica niet bekend te zijn geweest, anders zou hij de tiendeelige breuken wel miet onvermeld hebben gelaten, waarover Stevin’s Disme handelt, een vertaling van diens Thiende, Leyden 1585, opgenomen in de Pratique d’Arithmétique. *) Ik kan niet nalaten, Stevin’s oplossing der vierkantsvergelijkingen, waarvan de eer meestal aan Vieta wordt toegekend, aan te halen als proeve van diens betoogtrant en stijl: „Nous avons amplement faict aux constructions precedentes leurs demonstrations, tant Geometriques, qu’ Arithmetiques; Mais encore n'est pas notoire par icelles l'occasion qui a faict inventer à Mahomet [Muhammed ibn Mûsâ Alchwarizmi] telle reigle. A fin doncques que la chose soit entendue parfaictement, nous la declarerons par ses causes comme s’ensuit. Quand (2) est egale à G) @) |d. w. z. z* = pa + q], nous la pouvons reduire en G), egale à (0), & alors est la valeur de 1 (1) notoire par le precedent 67 probleme, & de telle reduction est colligée la maniere de ladicte construction, comme apparoistra. Soit par exemple: 1 © egale a — 6 (G) + 16. Qui sont le premier & second terme, de la premiere construction, de la seconde diffe- rence; Et ajoustons à chasque partie 6 (),& seront 1@ + 6 M egales à 16. Reste maintenant de ‘trouver quelque (0), qui ajousté à (2) +6), tel trinomie aie racine, qui soit 1 (1) + quelque (©). Or pour trouver tel nombre, il ne faut que mul- tiplier la moitie de 6 (des 6@)) qui est 3, en soy, faict 9, & on l'aura (la raison pour- quoy le quarré de la moitie du nombre de (2) , est tousiours le (o), qu'il faut ajouster à tel binomie, & par cela manifeste, que le produict du nombre de (2), qui est icy unité, multiplié par le (©), est tousiours egal au quarré de la moitie du nombre (1); Et qui encore veut sçavoir pourquoy tel produict est tousiours egal au quarré, de la moitie du nombre de (Qi); Qu'il multiplie 1 (1) + quelque (©), en soy, & facilement verra la cause, es nombres procedens de l’operation de telle multiplication). Ajoustons doncques 9, à chascune des egales parties, & seront 1 @) +6 1) + 9, egales à 25. Puis extrayons de chasque partie racine quarrée, & seront: 1 @) + 3, egales à 5. Puis soubstrayons de chascune partie 3, & sera 1 G) egale, ou vaudra pour solution 2. Et par ceste maniere, nous pourrions solver tous semblables exemples; Mais à fin que telle invention de valeur de 1(), soit plus commode, on l’a redigé en ordre, & on en a faict une reigle; considerant d’ou nous procede tel 2, valeur de 1 (©), & nous voyons apertement, qu’ on ajouste tousiours le quarré du nombre de (1), au @), & que nous extrayons de la somme racine quarrée, & que de telle racine on soubstraict encore la moitie du nom- bre de () ; & pourtant est-ce, qu’on applique ces choses ainsi en reigle de ladicte con- struction. Et par les choses dessus dictes est assés notoire l'origine des autres deux differences, toutesfois parce que nous avons dict, qu'en l'origine appert pourquoy la troisiesme 142 JOHN NAPIER’S WERKEN. Met Stevin’s Arithmetica Decimalis, die Napier in zijn Rabdo- logia aanhaalt 4), zal toch de Engelsche uitgaaf van De Thiende wel bedoeld zijn, door Norton in 1608 bezorgd. Buitendien hebben wij geen reden, om Napier te wantrouwen, waar hij ons verzekert, dat dit „magnum arcanum algebre’’, voor zoover hij wist, nog door niemand was onthuld. Ik heb de veronderstelling uitgesproken en aannemelijk trachten te maken, dat Napier de tweewaardigheid der evenmachtswortels en haar toepassing bij de oplossing der vierkantsvergelijkingen be- doelt, waar hij van een „geheim der algebra’ gewaagt. Mark Napier, Napier’s biograaf, is een andere meening toege- daan en vermoedt, dat zijn groote voorzaat de invoering der ima- ginaire getallen in de algebra op het oog heeft gehad 2). Mij komt deze veronderstelling onhoudbaar voor; want Napier verklaart de uninomia nugacia uitdrukkelijk voor ongerijmd, onmo- gelijk, onnut en niets beduidend (absurda, impossibilia, nugacia et nihil significantia), noemt een vierkantsvergelijking met onbestaan- bare wortels valsch (illusiva) en kan niet onbekend zijn gebleven met Cardano’s en Bombelli’s werken, waarin met imaginaire vormen herleidingen worden uitgevoerd, wat met zijn ,,quamvis à nemine quod sciam revelatum sit” in strijd zou wezen. Buitendien kon er difference a deux solutions, nous la declarerons. Soit 1 @), egale à 6 G@) — 5, qui sont le premier & second terme de l’exemple de la troisiesme difference, & soubstrayons de chascune partie 6 (1), & sera 1 @ — 6 @), egale à — 5. Reste maintenant de trouver quelque (©), qui ajousté à 1 @) — 6 (), le trinomie aie racine, qui soit 1 G@) & quelque (©), le mesme pour les raisons que dessus sera 9 (à scavoir le quarré de — 3 moitie de — 6 des —6 ().) Aioustons doncques à chascune partie 9, & seront 1 @ — 6 (D + 9, egales à 4. Puis extrayons de chascune partie racine quarrée, & sera 1 @ — 3, egale à 2. ou autrement — 1 (0) + 3, egale à 2. Car autant 1 (1) — 3, comme — 1 (1) + 3, est racine de 1 @) — 6 MO +9; quand doncques nous posons pour racine 1 @) — 3 egale à 2, il faut ajouster à chascune partie 3, & 1 () sera egale, ou vaudra 5. Mais si nous posons pour racine — 1 (1) + 3, egale à 2, il faudra soubstraire de chasque partie 2, & restera —1 (1) + 1, egale à 0; Et ajoustant à chascune partie 1 G), alors sera 1(2) egale ou vallant 1. Et est la cause de la double solution à ladicte troisiesme difference si manifeste, qu’ il n’est mestier d'en sonner plus mot.” Girard, Oeuvres Mathématiques de Stevin, Leyde 1634, Vol. I, p. 69. *) Zie p. 55. *) Introduction, p. Ixxxii. DE ARTE LOGISTICA. 143 in een tijd, toen de algebra nog aan den leiband van de meet- kunde liep, zelfs voor een Napier bezwaarlijk sprake zijn van een helder inzicht in den aard van een symbool als /— 4, waarvan de zin pas kan worden vastgesteld, nadat zijn nut als hulpmiddel in de zuivere analysis onmiskenbaar gebleken is, — in een tijd, toen een man als Cardano nog tot het besluit kon komen, dat plus maal plus plus, maar min maal min, min maal plus en plus maal min steeds min zou opleveren 5, en onze Stevin, helderziend als immer, omtrent de behandeling van den casus irreductibilis door Bombelli, die dit onherleidbare geval „solve par diction de plus de moins & moins de moins” — Bombelli leest 4 + v — 11 en A — y — 11 aldus: 4 plus di minus 11 en 4 minus di minus 11 — dit getuigenis moest afleggen: „Quant à moy, j'estime inutile d'en escripre icy de semblables; La raison est, que ce qui ne se peut trouver par certaine reigle, semble indigne d’avoir lieu entre les propositions legitimes. D’autre part, que de ce qui se solve en telle maniere, la Fortune en merite autant d'honneur, comme | 'effi- cient. Au tiers, qu’ il y a assez de matiere legitime, voire en infini, pour s’en exercer, sans s’occuper, & perdre le temps, en les incertaines: pourtant nous les passerons oultre. Ceux ausquels plai- ront tels exemples, ils en pourront faire à leur plaisir”. ?) OVER DEN INHOUD DER ALGEBRA. a) Wortelvormen. Jaber Primus. De Nominata Algebre Parte. 25 pp. Caput I. De Definitionibus Et Divisionibus Partium, Et De Vocabulis Artis. 1. Algebra Scientia est de quæstionibus quanti, et quoti, solvendis tractans. 2. Estque ea duplex, — altera nominatorum, altera positivorum. 3. Nominata sunt, quæ à numeris rationalibus, aut irrationalibus, nomen habent. 4. Rationales sunt numeri absoluti, aut numeri partes; de quibus tractat etiam Arithmetica. 5. Irrationales sunt radices numerorum rationalium non habentes radices inter numeros. 6. Atque hee (quòd quantitates sunt) in Geometriam etiam spectant. 7. Positiva Algebræ pars est, quæ quantitates et numeros latentes per suppositiones fictitias prodit; de qui Libro IL. tractabimus. ") In Cap. XXII. De contemplatione p : & m: & quod m: in m: facit m : & de causis horum iuxta veritatem, van zijn Regula Aliza, Basile 1570, zegt Cardano 0.a.: „igitur m:in m:seu alienum in alienum, & m:in p: seu p:in m: seu quod est in alienum, seu alienum in id quod est, producunt m : solum, seu alienum quod erat demonstran- dum”. p. 45. *) Girard, Oeuvres Mathématiques de Stevin, Leyde 1634, Vol. I, p. 72. 144 JOHN NAPIERS WERKEN. 8. Priorem autem Algebræ partem, de numeris et quantitatibus nominatis, hoc Libro I. docebimus. 9. Suntque nominatorum tres species: Uninomia, plurinomia, et universalia; de quibus ordine agetur. 10. Unimomia sunt, numerus unicus simplex, aut numeri simplicis radix aliqua. Caput IT. De Uninomiorum Additione. — Caput IIT, De Uninomiorum Substractione, Caput IV. De Extractione Radicum Ex Uninomnis. Caput V. De Reductione Ad Idem Radicale. Caput VI. De Multiplicatione Et Divisione Uninomiorum. Caput VII. De Plurinomiis. 1. Plurinomia sunt, que pluribus uninomiis copulatis constant. 3. Plurinomia infima sunt ea, quorum uninomia omnia sunt quadratæ numerorum radices, cum numero vel sine numero. 4. Ceetera omnia plurinomia dicuntur superiora. Caput VIII. De Additione Plurinomiorum. Caput IX. De Substractione Plurinomiorum. Caput X. De Multiplicatione Plurinonnorum. Caput XI. De Divisione Plurinomiorum. Caput XII. De Extractione Radicum Ex Plurinomiis. 1. Plurinomiorum quædam radices perspicue sunt, quedam obscure. Perspicuas dicimus, que non sunt magis plurinomia quam ea quorum sunt radices. 2. Obscuras autem radices appellamus, que plurimis uninomiis et radicibus plu- rinomiorum confuse plerumque scatent. | 5. Radices autem obscure non aliter extrahuntur quam præponendo signum radi- cale radicis cum periodo ante plurinomium oblatum, idque radicale, cum periodo sequente, universalis radicis signum dicitur; indicat enim universi plurinomii sequentis radicem. Caput XIII. De Fractionibus Irrationalibus. Caput XIV. De Universalium Radicum Additione Et Substractione. Caput XV. De Universalium Diversorum Ad Idem Signum Reductione. Caput XVI. De Multiplicatione Et Divisione Universalium. Caput XVII. De Radicum Universalium Extractione. 2. Si ex pluribus universalibus copulatis, aut ex universalibus copulatis cum uni- nomiis radicem extraxeris, ea dicetur universalium universale; totique debet signum universale radicis extrahendæ præponi, lineaque per totum duci. 3. Hine sequitur in universalibus effectum universalis signi tantum extendi quan- tum linea protracta; et si nulla ducatur linea effectus universalis signi in sequens universale signum desinit ab eâque intercipitur. Hee de irrationalibus dicta sufficiunt, licet et aliæ sint irrationalium species: Ut enim per extractionem radicum ex numeris non habentibus radices oriuntur uninomia (que prima parte hujus docuimus), et ex additione et substractione uninomiorum incommensurabilium oriuntur plurinomia (de quibus secunda parte hujus tractavimus), et per extractionem radicum obscurarum ex plurinomiis oriuntur universalia. (de quibus hâc tertià et ultima parte hujus tractavimus). Sic etiam ex universalibus oriuntur universalium universalia, et ex his rursus alia ad infinitum universalissima : Quorum artem si aliquando in usum cadat, quod rarissime accidit, facillime ex preecedentibus colliges. De Algebra behandelt de oplossing van vraagstukken over groot- heden en hoeveelheden en omvat de leer der wortelgrootheden (nominata pars algebra) en de algemeene rekenkunde, de oplos- sing van vergelijkingen er onder begrepen (positiva pars algebra). — wn Ie DE ARTE LOGISTICA. 145 Van de bepaalde getallen (nominata) behooren de meetbare (nu- meri rationales) in de rekenkunde te huis, maar de onmeetbare (numeri irrationales), met name de wortelgrootheden, in de algebra, hoewel men ze, daar ze grootheden zijn, ook in de meetkunde ontmoet. Napier verdeelt de nominata in engeren zin, d. w. z. de wortel- vormen, waarin evenwel uitsluitend bepaalde getallen voorkomen, in uninomia, plurinomia en universalia. Uninomia zijn bepaalde enkelvoudige getallen en wortels uit zoodanige getallen (de notatie, waarvan Napier zich in zijn Algebra bij de wortels bedient, hebben wij reeds leeren kennen); plurino- mia zijn sommen en verschillen van uninomia en worden verdeeld in plurinomia infima, waarin alleen vierkantswortels voorkomen, en plurinomia superiora; universalia eindelijk zijn de miet tot pluri- nomia te herleiden wortels (radices obscure, in tegenstelling met radices perspicuæ) uit plurinomia. Om zulk een radix universalis aan te duiden, wordt het wortelteeken eenvoudig vóór den radicandus geschreven met een stip er tusschen; bv.: Yq.¥q48+Vq28=—VVWV 48 + v 28); VeVes+tvq2--l=vrws+tv2—1)). Elk signum radicis universalis reikt tot aan het onmiddellijk vol- gende, tenzij door onderstreping zijn bereik vergroot wordt, zooals bij de universalia universalium; by. : Vg lO+Vq2—Vq.8—Vq3 =VY (10+ Vv 2)— v (8 — v 9); Yqg.5+V¥ce2%—V q 3 — Vq2 — V(5 + 2 — (3 — 1 2)). Bij de vergelijkingen in Bk. TL vindt men voorzichtigheidshalve soms twee wortelstrepen gebruikt; bv.: ¥Y qs.3-+YVq.28—]=—=rv(8+ Vv (22— 1)). Overigens stemt Napier’s behandeling van de wortelvormen vrij- wel met die van den tegenwoordigen tijd overeen. Paciuolo en Cardano bedienen zich van den naam „radix uni- versalis’’, evenals Napier, maar van de notatie RV; Bombelli ver- kiest de uitdrukking „radix legata’” boven die van radix univer- salis en plaatst den radicandus tusschen een L en haar spiegelbeeld; Chuquet spreekt van „racine lyee” en onderstreept den radicandus, evenals Napier; Stevin maakt van de benamingen „racine d’un binomie, trinomie, quadrinomie,... multinomie” gebruik; van Gi rard eindelijk zijn de haken afkomstig. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (de Sectie). Dl. VI. 8 F 10 146 JOHN NAPIERS WERKEN. Chuquet. B913.p.m210. th. RAR? 6. im. 2. — vb (13 HV 10) — & (y OD BR 2192.p.R22352.M.62. =V(V 192 + 2352 Be Pactuolo. RV 40 Mg 320 = 1 (40 — V 320). Cardano. RV : cu. Be 108 p:10m:%V: cu. B 108m: 10 — B (Vv 108 + 10) — BW 108 — 10). Bombelli. rel4pdimgglldpgeL4mdim gg lid (Ar a Ne CS ne Bq LR ec eee = V (B (VY 68+ 2 3” (y 68 — 2)). Stifel. We: Ba Ve 10 — vx 200. = » (8 + B 10 — y 200); Vx.6+yVx8.4+.Ve.Vvx%20—2. = V (6 +y 8)+ B (1 20 — 2). Stevin. 2—vV5+Vbino. 7—V 514 =2—vV5+v(7—V5I1)); V tymo.V383-+V2—V5=VV3+V2—Y 5); V @ bmo. V 108 + 10 —V © bino. V 108 — 10 = D" (v 108 + 10) — B (VV 108 — 10). Girard. @ (72 + v 5120) = B (72 + y 5120); V (24 --V 34) — V (24 —V 8E). b) Algemeene Rekenkunde. Vergelijkingen. Liber Secundus. De Positiva Sive Cossica Algebra Parte. A6 pp: Caput T. De Definitionibus Lt Divisionibus Partium, Et De Vocabulis Artis. 1. Positivam Algebree partem, per suppositiones fictas, veram quantitatem verum- que numerum quæsitum patefacere diximus, Lib. L. cap. 1, sect. 7. 2. Positiones etiam, sive suppositiones, sunt notulæ queedam fietse unitate notatæ, quas loco ac vice quantitatum ac numerorum ignotorum addimus, substrahimus, multiplieamus aut dividimus. DE ARTE LOGISTICA. 147 3. Positiones autem, et positionum notulæ, tot sunt diversæ et dissimiles quot diver- sos, dissimiles, ignotosque numeros aut quantitates complectitur quzestio. Quarum, exempli gratiâ, figure et nomina sunt 1 R, quæ una prima positio dicitur, 1 a, que unum #, sive una secunda positio dicitur; 1 4, unum 4, sive uma tertia positio; le, unum €, sive una quarta positio; et sie per alphabetum. 4. Hee positionum notule (eo quod pro omnis rei numero et mensurà incognito ponuntur) vulgari nomine Res dicuntur, suntque primæ ordine. | 5. Quadratum est productum ortum ex harum rerum aliquâ in se ductâ, estque secundum ordine, Ut 1R in se ducta facit unum primum quadratum, quod sie seribitur 1 q. Item, 14 in se ductum facit 14q, quod unum 4 quadratum dicitur. Item, la per la ductum facit 1 aq, quod unum a quadratum dicitur ; et sie de ceteris. 6. Cubus est qui est ductu rei cujusvis in suum quadratum oritur; estque ordine tertius. Ut 1 ducta in Iq facit unum eubum, qui sic scribitur le. Item, 1 a per laq ductum facit lac, qui pronuntiatur sie, unus a cubus. Item, 1 4 per 14q ductum facit 14e, etc. 10. Positivi dicuntur numeri quicunque rationales, vel irrationales, signis positi- vorum ordinum notantur. Ut 6 RB, vel 5a, vel 74e, vel ~q646, vel v/e 7 aq, positivi numeri dicuntur. Interdum etiam nomen positivi pro numero quovis capitur. 11.- Simplex dicitur quivis numerus positivus unicus solus, aut solitarie sumptus. 12. Compositus dicitur qui ex pluribus simplicibus qui signis pluris vel minoris copulantur constat. ; 13. Purus dicitur simplex qui, post unicum uninomium habet wnius tantum posi- tionis signum conscriptum. 14. Mistus dicitur simplex qui post unicum uninomium, habet diversarum posi- tionum signa conscripta. Caput II. De Additione Bt Substractione Positivorum. Caput IIT, De Radicum Br Simplieibus Ertractione. Caput IV. De Simplicium In Se Multiplicatione, Et De Reductione. Caput V. De Fosilivorum Multiplicatione Generali. Caput VI. De Situ Et Collocatione Simplicium Compositi. Caput VII. De Divisione. Caput VIII. De Radicum Ex Compositis Exrtractione. 5. Patet itaque ex præmissis quod aliquæ extractionum reliquiæ nulla habent signa positiva, et hee reliquiæ tote formales dicuntur; aliæ reliquiæ habent, et hee totæ informales dicuntur. Informalium reliquiarum quædam sunt formabiles, quædam reformabiles, quædam prorsus deformes et irreformabiles. 6. Formabiles sunt reliquiæ eum quibus secunda pars regulæ extractionis exerceri possit, reliquias inde nullas, aut prioribus minus informales reddentes. Lpsumque opus secundæ partis regulæ extractionis Conformatio dicitur. 7. Reformabiles sunt reliquiæ quas si diviseris per compositum aliquod æquale nihilo (seu per æquationem ad 0), et hine extantes recentiores reliquias per aliam atque aliam ad 0 sequationem, si opus sit, diviseris; extabunt tandem reliquiæ ant nullæ, aut formales, aut formabiles, illeeque æquationes Reformatrices vocabuntur, et ipsum opus dividendi Reformatio dicetur. 8. Ut igitur reliquiæ informales fiant formales, conformabiles conformabis (per 6 prop. hujus); et reformabiles (per 7,) reformabis, et reliquias omnium novissimas notabis, que si aut nullæ aut formales fuerint, bene est, tune enim quotientes omnes conformationum copulande et abbreviandæ sunt, et erunt radix proxima reformata; quotientes vero reformationum inutiles semper, et spernendæ sunt. F 10% 148 JOHN NAPIERS WERKEN. 9. At si defectu reformatricium post ultimam conformationem exstent reliquiæ informales, hee deformes aut irreformabiles appellantur. 10. Deformium reliquiarum et suarum radicum due sunt species, singulares et plurales, quarum singulares sunt eze deformes que habent unum aliquod simplex et purum positivum, aut mixti positivi particulam unam in radice, seu quotiente cui non fuerit aliud simile vel ejusdem positionis, nec in quotiente seu radice nec inter reliquias. 11. Plurales dicuntur radices suæque reliquiæ, quam uniuscujusque positionis plures simplices in radice vel inter reliquias reperiuntur. 12. Sunt itaque radicum quatuor forme. Prima est verarum radicum, secunda est formalium, tertia singularium, quarta pluralium; quarum extrahendarum usum inferius docebimus. Caput IX. De Æquationibus Et Suis Eaponentibus. 1. Æquatio est positivorum incertorum valorum cum aliis sibi æqualibus collatio, ex qua positionis valor quæritur. Ut si quis pro numero quæsito aut quantitate quæsità ponens 1 R-, ejus valorem ignorans, postea per hypothesin quæstionis deprehendens 3 R: æquari ad 21, conserat tres res cum suis æqualibus 21, ea æqualitatis collatio dicitur æquatio ; et hine infertur rem unam seu unam positionem valere 7. 2. Inter æquationis partes invicem æquales interjicitur linea duplex, quæ signum æquationis dicitur. Ut 3 R — 21, que sic pronuntiantur, tres res æquales viginti uni. Item 1 R = 7, que pronuntiantur, una res æqualis ad septem. 3. Æquationum aliee unius tantum sunt positionis, alie plurium positionum. 4. Item æquationum aliæ rudes, quæ ad minores terminos, magisque perspicuos et succinctos reduci possunt, aliæ perfectissimæ dicuntur, que è contra sunt maxime perspicuæ et succinctæ. 5. [tem æquationum aliæ simplices, aliæ quadratæ, aliæ cubicæ, aliæ superiores : quarum simplices sunt quæ duobus ordinibus tantum constant. 6. Simplicium æquationum aliæ sunt reales, que sunt rerum æqualium ad nume- rum; alie radicales, que sunt quorundam quadratorum, cuborum, vel aliorum supe- riorum ad numerum æquationes. 7. Æquatio quadrata est quæ tribus proportionalibus ordinibus constat. 8. Æquatio cubica est quæ quatuor proportionalibus ordinibus constat. 9. Æquatio quadrati quadrata est que quinque; supersolida, que sex; quadrati cubica, quæ septem, proportionalibus ordinibus constant: Et sic de reliquis superio- ribus in infinitum. 10. Æquatio illusiva est ea quæ impossibile asserit, et siquis impossibile queerit in æquationem illusivam cadet ejus responsum. p Ut 1 B == 3 RB est æquatio illudens, siquidem impossibile est quicquam suo triplo equari. [tem 1 q == 4 R— 5 est æquatio illudens, siquidem nullum quadratum possit equati quatuor rebus seu radicibus suis, ablatis quinque ; ut inferius patebit. 11. Expositio est reductio rudis æquationis ad perfectissimam et realem æqua- tionem, et pars æquationis realis que uni rei æquatur dicitur Exponens, eaque quæstionem solvit. 12. Omnis æquatio præter illusivam habet saltem unicum exponens, validum sive invalidum. Hoe postea docebimus, hie præmonuisse suficit. 13. Exponentia valida sunt ea quæ per se posita copulà + notantur, et semper sunt majora nihilo. Exponentia verd invalida sunt que per se posita copulâ — notantur, et heee minora sunt nihilo. Ut in hae æquatione 1 R == 7, septem sint exponens validum, quia (per prop. 1 cap. 6 Lib. L) copulé + notari subintelligitur. At in hie reali DE ARTE LOGISTICA. 149 æquatione 1R—-—7, exponens contrariâ ratione invalidum dicitur, quia copulâ — notatur sic, — 7, estque nihilo minus. 14. Exponentium alia et numero solo et quantitate soli, alia tantum numero solo, alia tantum quantitate sola, alia partim hâc partim illo, alia neutro, exprimi possunt. De his, suisque exemplis, latius per ordinem, capitibus 11, 12, 13, dicetur. Caput X. De Generali Aquatiounm Preparatione. 1. Præparatio est reductio æquationum rudium ad perfectiores, quas postea ad perfectissimas reales reducit expositio. 2. Præparantur et perspicuæ redduntur æquationes rudes quinque modis; trans- positione, abbreviatione, divisione, multiplicatione, et extractione. 17. Kisdem propositionibus quibus universales deleri dictum est, possunt et sim- plices irrationales inter rationales transponi, multiplicari, et tandem deleri. Ut sit æquatio 12 — p/ q 1 BR — 1 B, per prop. 9 separentur, sic, 12 — 1k == gq 1k, et multiplicentur quadrate latera, fientque | | | | lq — 24 8 + 144 = 1 B, sive 1 q 25 & + 144 — 0, que prorsus rationales sunt. Quæ itaque, propositionibus 9, 10, 11, 12, 13, 14 E: et 15, dicuntur de universalibus, eadem de simplicibus radicatis etiam dici intelligantur. 18. Que aliter præparari possunt æquationes, per propositionem ne præparentur preemissam ; multiplicatio enim irrationalium simplicium plerumque plura exponentia debito exhibet. Ut præcedens exemplum 12 —j7q ll R = 1R, per præmissam multipli- catum, reddit æquationem 1 q — 25 & + 144 == 0, quæ duo habet valida exponentia, viz. 16 et 9, cum revera ipsa principalis æquatio, 12 — 1/ q R= 1 R, habeat unicum exponens tantum, viz. 9, ut postea patebit. Illa igitur æquatio principalis per prop. 17 ne præparetur, dummodo eadem per prop. 20 subsequentem melius et simplicius præparari possit, ut ibidem dicetur. 19. Si æquationis ad 0 extrahatur radix aliqua vera (viz. relicto nihilo), radix illa erit magis succincta, et ad 0 æquatio. Ut ex æquatione 1 c—6q +128 — 80 extrahe radicem cubicam veram, viz, 1 RB: —2=0, que erit abbreviata et succincta æquatio. Item æquationis 1 R:— )/ q 36 R + 9 — 0 radicem quadratam extrahe, eaque erit vera (per cap. 8). viz. MW q 1 R—3—0, que est magis succincta | æquatio. 20. Si æquationis ad 0 extracta radix aliqua sit, aut formalis aut (per prop. S cap. 8 hujus) reformata; reliquiarum copulam converte, et earundem radices qua- dratas vel cubicas, ete. quales ex reliquo extrahe; has radices (conversis copulis) cum radice proximâ et formali copulato, fient æquationes, et unica, non quadrati- nomia vel due quadratinomiæ, ad 0 magis succinctæ, priorisque æquationis expo- nentia complectentes. | Et cætera. De naam Algebra is ontstaan uit Aldschebr Walmukabala, den titel van een werk, waarin o. a. de zes soorten van vergelijkingen worden opgelost, die wij thans schrijven in den vorm: aa — bo, az” = c, ba = ¢, a + br = 0, à He = ba, à = be He, en dat van Muhammed ibn Mûsà Alchwarizmi (Muhammed, de zoon van Mûsâ, uit de Perzische provincie Chwarizm) af komsug is, een Arabisch wiskunstenaar uit de eerste helft der negende eeuw, naar wien een regel van bewerking nog steeds een algorithmus 150 JOHN NAPLER'S WERKEN. wordt geheeten 5. Alchwarizmi noemt de onbekende, die in de vergelijking voorkomt, schai (= zaak) en dschidr (= wortel), haar quadraat mal (== vermogen) en den bekenden term dirham (= getal); onder dschebr (= herstelling) verstaat hij een zoodanige rangschik- king van de termen der vergelijking, dat er in de twee leden slechts positieve termen voorkomen, en onder mukäbala (= tegen- stelling) de herleiding, die ten doel heeft, de gelijksoortige termen zooveel mogelijk tegen elkander te laten wegvallen. Muhammed ibn Misa’s Aldschebr Walmukabala is o. a. de voornaamste bron geweest, waaruit Leonardo van Pisa, meer bekend onder den naam van Fibonaci (Filius Bonacii, de zoon van den Goedige), zijn Algebra et Almuchabala heeft geput, dat een onder- deel uitmaakt van diens Liber Abaci, 1202, een werk, waaraan meer dan aan eenig ander de snelle vorderingen zijn te danken, die de nieuwe wetenschap met name in Italië maakte. De benamingen res en radix voor de onbekende, die in de ver- gelijking voorkomt, census voor haar quadraat en numerus voor den bekenden term, waarvan Fibonaci en zijn onmiddellijke navolgers zich bedienen, zijn mets anders dan vertalingen van de overeen- komstige Arabische termen schai, dschidr, mal en dirham. Later kwamen buitendien voor de onbekende de namen positio, latus en numerus, in Italië cosa (— zaak), quantita en tanto, in Frankrijk chose en premier, in Duitschland coss (van cosa), sum, dingk en facit in gebruik, en voor haar vierkant quadratum, in Italië censo, quadrato, quadrato censo en potenza, in Frankrijk champ en second, in Duitschland zensus. De naam Algebra et Almuchabala, die de leer der vergelijkin- gen aanvankelijk droeg, ging langzamerhand in Algebra en Regula Algebræ (Ital. Regola en Arte della cosa; Fr. Regle de la chose; Duitsch Regel Cosse en Coss zonder meer; Eng. Cossic art; Lat. Regula cose en Ars cossica) over; ook sprak men van Ars rei et censi en, in tegenstelling met de rekenkunde, van Ars magna (Ital. Arte maggiore). Bij Chuquet heet de algebra Rigle des pre- miers, en Stevin eindelijk noemt de oplossing der vergelijkingen Reigle de trois algebraique en Invention du quatriesme proportionel des *) Alchwarizmi schijnt zijn landgenooten met de rekenwijzen der Indiërs bekend te hebben gemaakt in een werk van jonger datum dan zijn Aldschebr Walmukabala, waarvan alleen een Latijnsche vertaling onder den titel: Alchwarizmî, Over het Getal der Indiërs (Algoritmi de Numero Indorum) tot ons is gekomen, die waarschijnlijk uit de eerste helft der twaalfde eeuw dagteekent, en waarin worden behandeld: de schrijfwijze der getallen, de vier hoofdbewerkingen en de zestigdeelige breuken. DE ARTE LOGISTICA. 151 quantitez, daar hij de wortels beschouwt als vierde evenredigen tot de twee leden en de onbekende : 1° lid v/d. verg. : 2° lid v/d. verg. = onbekende : wortel. Als voorbeelden van notatie vermeld ik: Alkalsadi, een Moorsch wiskunstenaar wit de vijftiende eeuw. 63 of US, dw. 2:3 @ = 122+ 63, 7 “ B arr i waar jh #4, 4 en j = vel beeldt. Chuquet. 87,.p. 165. egaulxa. 28.4, d.w.z: 8a? + 16 2° — 21 zb; 28°. p.21 egaulx a. 480. 1-®, d. w. z. : 28 +2 > = 480 a. Regiomontanus. 16 census et 2000 æquales 680 rebus, d. w. z. : 16 «7 + 2000 — 680 z. Cardano. cub’ p: 6 reb” ædlis 20, d. w. z.: a3 + 6a = 20; | qd’ quad. p : 6 quad. p : 36 «qualia 60 pos., d. w. z.: a* + 62° + 36 = 60 x. Stifel. ances, 6 2 d'merb tr = 19116 a: | juatus 72 6 | Stevin. 4) egale a — 2 @ AO), dwz ca — aen ee 5: l ® egal ) 8 | , a 4 | @ egale à 3 © Msec. © + 2 sec. O,d.w.z.:e7= 3 ay +2 y. Napier. 2 SQ — 28 e+ 142 Q = 308 B — 240, d.w. 2. : 2° — 98 à° 142 2 = 808 æ — 240; Lage gaf+2ae28—G6ae+lag=—la+ 6, d.w.z.:7 — B +2y¥—6/7—Y=y4+ 6. Vieta. 1 C—8 Q + 16 N æqu. 40, d. w. z.: 2 — Sa? + 16 x — 40; A cubus + B plano 3 in A, æquari Z solido 2, d.w.z: 413 BP 4 — 2/7; klinkers stellen onbekenden, medeklinkers bekenden voor. Harriot. aaa —- 9 bbd = ccc, diw:7.: 0 — 30 a= 9 C°. 152 JOHN NAPIERS WERKEN. Descartes. est + yertgo00,dw.z:a+petg—0; . vS gs ly +8 g* 00, d.w.z: pt — 8 ÿ— + 8y =0; de coëfficient 1 staat nooit voor den eersten term; tweedemachten worden steeds als producten geschreven; sterretjes duiden ontbre- kende termen aan; het gelijkteeken is door vervorming en omkee- ring uit „ee ontstaan. Napier, die in afwijking van zijn voorgangers onder den naam Algebra ook de behandeling der wortelvormen als „pars nominata”? begrijpt, omschrijft de „pars positiva sive cossica’’ als dat deel der algebra, dat onbekende grootheden en getallen (quantitates et numeri latentes) leert bepalen door verdichte veronderstellingen (suppositio- nes fictas). De onbekenden (positiones, suppositiones) duidt Napier aan met 1 2 (una prima positio), la (unum a, una secunda positio), 1 6 (unum 4, una tertia positio), et sic per alphabetum. Deze positiones, meestal Res geheeten, zijn de eerste in de rij (primæ ordine); dan komen de tweedemachten (secundæ ordine): 1 q (unum primum quadratum), 1 a q (unum « quadratum), enz.; daarna de derde- machten (tertia ordine): le (unus cubus), 1 ae (unus « cubus), enz. De teekens voor de verschillende machten van de onbekenden worden eindelijk met voorbeelden er naast in een tafel vereenigd (Fig. 26). Stifel bedient zich in zijn Arithmetica Integra, Norimbergæ 1544, van de ,,signa cossica”’: 2b, Ns CE UM ID MCE OLC waaronder 2e een vervorming van den naam res schijnt te wezen; 1 2 heet 1 cossa, 1 radix, 1 summa unitatum. Bij meer onbeken- den duidt Stifel de ,,secunde, tertiæ, etc. radices’’, evenals Napier, door bijvoeging van de letters van het alphabet aan, waarvoor hij evenwel hoofdletters neemt: 1 A (id est, 1 42), 1 dAy,...;1 B (id “est; 1° Do): I Bae, En in Stevin’s Arithmétique, Leyde 1585, vindt men een bepaald getal met @ en de machten van de onbekende met @, ©, ©, enz. aangeduid. Bij meer onbekenden onderscheidt Stevin ,,quantitez Bert. premierement posées ou positives’ en „quantitez postpostes” met name ,,secondement, tiercement, etc. posées” (onze y, z, enz.) en duidt deze met de voorvoegsels „sec, ter, etc.” aan. Zoo schrijft hij voor a, z*, y, 42, ay en 5 a*2° resp.: @, @, 1 sec. Ds; 4 ter ©," 1° @ sec Gen 6 @ ter ®. DE ARTE LOGISTICA. 153 Positivi noemt Napier alle meetbare en onmeetbare getallen, die door middel van de teekens der gestelde orden (signa positivorum ordinum) worden aangeduid, bv. : 6 2, 5a, 7b¢,V q6b6,Vv e7 aq; zij worden onderscheiden in ééntermen (simplices), bv.: 6 a, Vq 3c, Vp lab, en veeltermen (compositi), bv.: 6a + V q 3 c, 5 R—2q,V q 30 c + 3 «x — 4 Rb, de Ééntermen o. a. in zuivere (simplices puri), waarin één onbekende voorkomt, bv.: 5 aq, 3 c, V q2cc, en gemengde (simplices misti), met meer onbekenden er in, bv.: 5qac, 2 Rac, Vqlab, Velagbsse. De herleidingen worden door Napier nagenoeg op dezelfde wijze als tegenwoordig uitgevoerd. De deeling van 1 qq + 71 q4- 120 — 1542 — 4c door 64-1 q — 5 2 by. komt na rangschikking der veeltermen (collocatio simplicium compositorum) aldus te staan : + 20 q 2509 1684-00 À bog 140+ 72 q — thd BT 120 (199 8 + 20 Meee ee) tes eG A SE ARS ni ike out De deeler wordt onder het deeltal geschreven en telkens, als weer een term in het quotient bepaald moet worden, naar rechts verschoven; de resten komen boven het deeltal te staan; de termen van deeltal, resten en deeler, die gebruikt zijn, worden niet, zooals de cijfers bij de deeling in de rekenkunde, doorgehaald, maar onderstreept. De vierkantsworteltrekking uit Vv q 4e 1q — v q 576 À + 144—23 R wordt aldus witgevoerd : a) Men rangschikt den veelterm, trekt den vierkantswortel uit den eersten term, d. i. 1 q, vindt als eersten term van den wortel 1 À en houdt +-V q 4¢ — 23 R—V q 576 À + 144 als rest over: lq+Vq4e — 23R—V q 5768 + 144 (1 À b) Men deelt 2-maal den eersten term van den wortel op den eersten term van de rest, di. 2 À — y q 4 q op Vq 4c, vindt V q1 À als tweeden term van den wortel en houdt — 23 X V 4576 À als rest over, waarvan na aftrek van de tweedemacht van V ql À als rest — 24 2 — v q 576 2 + 144 overblijft: — 24 R lqtvVqa4e—23hR—vVq5i6R + 144 (18 HV al +V¥q4q 154 JOHN NAPIERS WERKEN. c) Men deelt 2-maal de som van den eersten en den tweeden term van den wortel op de som van den eersten en den tweeden term van de rest, d.i. 2 À + v q 4 & op— 24 R—V q 576 B, vindt — 12 als derden term van den wortel en houdt + 144 als rest over, waarvan na aftrek van de tweedemacht van — 12 nul als rest overblijft: — 24 R la Va 46 SSSR V/d NERI a ey al Ro Gea eme 2R+Vq4k à De gezochte wortel is dus 1 À + y q 1 À — 12. Om een willekeurigen coëfficient aan te duiden, bedient Napier zich van een nul. Bv.: „Sie 0 6 ductum per 0 be, facit 0 6 qq.” p. 129, d. w. z.: zooveel z X zooveel 2? — zooveel 2". „Item 0 q per 0 ss fiet 0 sss.” p. 129. „Item, 0 aq per 0 c non produit 0 a qe sed 0 ¢ a q, preeposito signo primee positionis; quod quidem 0 € « q sic pronunciatur, tot seu null cubi primæ positionis ducti in unum quadratum secundæ.” p. 129. „Item 0 ss per 0 ¢ fit quotiens 0 q, vel © 1.2? p. 135, d. w. z.: zooveel x°: zooveel x? — zooveel x? of zooveel * zooveel „Item Oe per 0 ss divisum facit quotientem = pe. bee „Ut sit O0 ae per 0 q dividendum, fit quotiens Te p. 135. De oplossing van de vierkantsvergelijkingen met één onbekende schijnt bij Napier groote verwachtingen te hebben opgewekt omtrent de vruchtbaarheid der toepassing van de vierkantsworteltrekking bij de oplossing van vergelijkingen van den tweeden graad met meer onbekenden en van de worteltrekking in het algemeen bij de op- lossing van willekeurige vergelijkingen. Vandaar, dat hij uitvoerig bij de worteltrekking uit veeltermen stilstaat en uit de rest, die er overblijft, steeds de letters (signa positivorum ordinum) zoekt te verdrijven, waartoe hij aldus te werk gaat: De vierkantsworteltrekking uit a + y® — a + y — 18, om ons van de tegenwoordige notatie te bedienen, levert (Napier) & — y — + als wortel en 2 ay — 184 als rest op. Was nu by. ay + x — y — 10 = 0 gegeven, dan zou men de rest 2. ay — 181 door vay + # — y — 10 kunnen deelen, waarna er — 2a + 2 y + 14 zou overblijven. Daar de waarde van de rest niet veranderd is, kan de worteltrekking met — 2 x + 2y + 14 worden voortgezet; men vindt — 1 als vierden term in den wortel en — 1 als rest. In de onderstelling, dat vy + # — y 10 = 0 is, kan men dus # — y — 14 als benaderden vier- DE ARTE LOGISTICA. 155 kantswortel (radix quadrata proxima) uit 4° + y? — x + y — 18 aannemen, en houdt dan een rest — + over, waarin geen letters meer voorkomen. Moet men, zoo zal Napier’s gedachtengang geweest zijn, de waarden van a en y oplossen uit de vergelijkingen: w+ y— x +y—18 — 0 enay Hey 10 — 0, dan kan men de eerste vergelijking met behulp van de tweede herleiden tot den vorm (# — y — 14) — } == 0, waaruit «—y — lt == +4 gevonden wordt: de oplossing van de twee verge- lijkingen van den tweeden graad met twee onbekenden wordt op deze wijze teruggebracht tot die van een vergelijkimg van den tweeden en een van den eersten graad, t.w.: aye ig = 10 Oren z =p ls + 5. Evenzoo levert de vierkantsworteltrekking wit 4° + 4 ay + y — Awe—4yz+42+4a+4y—82z --— 61 als wortel 2 + y — 2.2 + 2 en als rest 2 ey — 65 op. Was nu bv. ay — yz — z 5 — 0 gegeven, dan zou men de rest 2 ay — 65 door ay — yz — z—5 kunnen deelen, waarna er 2 yz + 2 2 — 55 zou overblijven. Met deze rest kan de worteltrekking evenwel niet worden voort- gezet. Maar was bv. ook nog 2 yz —3a—3y-+ 8: — 21 — 0 gegeven, dan zou de deeling van 2 yz + 2 2— 55 door 2 yz — 3@—3y-+ 8z— 21 de rest 3x + 3y — 6 2 — 34 overlaten, die 14 als vifden term in den wortel en — 421 als rest zou opleveren. De vergelijkingen, die de herleiding (reformatio) der rest van een worteltrekking, waarin letters voorkomen (reliquiæ informates) tot een rest zonder letters (reliquiæ formales) mogelijk maken, worden door Napier „reformatrices”” genoemd. Opnieuw hebben we dus misschien reden, om het te betreuren, dat Napier zijn theorie der vergelijkingen onvoltooid heeft gelaten, waartoe de aanleiding evenwel ook in de omstandigheid kan hebben bestaan, dat de verwachtingen omtrent de vruchtbaarheid van zijn denkbeeld ijdel bleken te wezen. Van enkele bijzonderheden uit deze theorie moeten wij nochtans melding maken. Onder een vergelijking (æquatio) verstaat Napier twee stelkundige vormen, die aan elkander gelijk zijn en ter bepaling van de waarde der onbekende bijeen worden gebracht. Uitsluitend bij de vergelij- kingen bedient hij zich van ons tegenwoordig gelijkteeken, dat door Recorde in de algebra werd ingevoerd, om de wtdrukking „is equal to” te vervangen en door dezen gekozen werd, „omdat geen 156 JOHN NAPIERS WERKEN. twee dingen elkander in meer opzichten kunnen gelijken dan een paar evenwijdige lijnen van dezelfde lengte”. 1 Zuivere vergelijkingen heeten ,,zequationes simplices’, bv.: 3 £ = 27, 56q = 20; zijn ze van den eersten graad, dan worden ze „equationes reales’ genoemd, bv.: la= 38, 2R=>=Vq3—1; anders ,,æquationes radicales”, bv.: 2 q = 8, 8 c = 24, lass= veg. Vergelijkingen, die uit drie, vier, vijf, enz. termen bestaan, waarin de exponenten der onbekenden met een zelfde bedrag op- klimmen, heeten ,,æquationes quadratæ, cubicæ, quadrati quadratæ, etc.””, bv.:2q +8 —4,laqc+0aqq—2aq— 4, enz. ,, Hquationes illusivee’’? eindelijk zijn valsche vergelijkingen, zooals LR=3 Rk, 1q—4R— 5. De herleiding van een ruwe vergelijking (æquatio rudis) tot een vergelijking van den vorm: onbekende — bepaalde waarde (æquatio realis), wordt „expositio’”” genoemd; de bepaalde waarde, waaraan de onbekende gelijk is, heet de wortel (exponens) van de vergelij- king en kan positief (exponens validum) en negatief (exponens invalidum) zijn. | Onder den naam van ,præparatio” behandelt Napier vervolgens uitvoerig de herleiding der vergelijkingen door ,,transpositio”, abbreviatio”, ,,divisio”, ,,multiplicatio” en „extractio’’, waaronder men de overbrenging van termen van het eene naar het andere lid, met name de herleiding op nul, de vereeniging van gelijk- soortige termen, de deeling door den coéfficient van de hoogste macht der onbekende en, zoo mogelijk, door de onbekende zelf, de verdrijving van breuken en wortels door vermenigvuldiging en machtsverheffing, en de toepassing der worteltrekking bij de oplos- sing van vergelijkingen moet verstaan. Bij de verdrijving van wortels door machtsverheffing komt Napier tot een ontdekking, die voor zijn tijd alleszins merkwaardig mag heeten: die der invoering van wortels (multiplicatio irrationalium simplietum plerumque plura exponentia debito exhibet). Zoo gaat de vergelijking 12 —VqlR=1R in 1 q — 25 À + 144 —0 over, die twee positieve wortels, 16 en 9, bezit, waarvan 16 even- wel niet aan de vergelijking 12 — y q 1 À — 1 À voldoet. Om die reden geeft Napier aan de herleiding van de vergelijking 12 — *) ... and to avoid the tediouse repetition of these woordes, is equal to, I will sette, as I doe often in woorke use, a paire of paralleles, or gemowe lines of ane lengthe, thus ==, bicause noe 2 thynges can be moare equalle. Recorde, The Whetstone of Witte, which is the Second Part of Arithmeticke, containing Extraction of Roods, ete., London 1557. ay! DE ARTE LOGISTICA. 157 VqlR=lR door worteltrekking de voorkeur, waaronder de oplossing als vierkantsvergelijking met V q 1 / als onbekende moet worden verstaan. Door worteltrekking kan men een vergelijking, waarvan het tweede lid nul is (æquatio ad nihil) tot eenvoudiger vorm herleiden: }) als het eerste lid een volkomen macht is. Zoo gaat de verge- lijking 1e—6q-+ 12 2 — 8 — 0 door kubiekworteltrekking in ] R—2 = 0 en de vergelijking 1 le Vq3s6R+9=0 nee vierkantswor r 2) als het eerste lid wel is waar geen AR macht is, maar er bij worteltrekking, zoo noodig met behulp van andere gegeven vergelijkingen (reformatrices), een rest overblijft, waarin geen onbe- kende voorkomt. Uit deze rest met omgekeerd voorteeken trekke men, zegt Napier, den gelijknamigen wortel en telle dien, na om- keering van zijn voorteeken, bij den benaderden wortel uit het eerste lid van de vergelijking op; men krijgt dan, als de wortel- exponent oneven is, één en anders twee vergelijkingen, die dezelfde wortels bezitten als de oorspronkelijke. Trekt men bv. uit het eerste lid van de vergelijking 2 — 6a + 7 — 0 den vierkantswortel, dan komt er « — 3 en er blijft — 2 als rest over; men kan de verge- lijking daarom vervangen door de twee vergelijkingen a — 3 —v 2 — 0 en æ — 3 + y 2 — 0. Evenzoo vindt men, den vier- kantswortel uit het eerste lid van de vergelijking zt — 10 # + 35e — 50@ + 24 — 0 trekkende, #° — 5x + 5 als wortel en — Ì als rest, zoodat men deze vergelijking kan vervangen door de twee vergelijkingen #— 5 & + 5 — 1 —0 en a&’—-5v+5+ 1 — 0. En trekt men den kubiekwortel uit het eerste lid van de vergelijking a + 34? + 3e + 5 — 0, dan blijkt, dat ze tot den vorm # + 1+ BS 4= 0 kan worden teruggebracht. Napier zelf licht zijn regel, waarnaar wij reeds bij de bespreking van zijn „arcanum algebre’’ verwezen hebben, niet met voorbeel- den toe; zijn MS eindigt hier met de mededeeling van Robert Napier aan Briggs, dat er van deze Algebra niet meer ordelijk was nedergesteld: , There is no more of this Algebra orderlie sett doun.” p. 162. OPMERKINGEN. Wanneer zijn de Ars Logistica en de Algebra opgesteld? Napier’s uitvinding van de logarithmen dateert van vóór 1594 5. D o De samenstelling van den Canon Mirificus en van de Descriptio en 1) Zie p. 49. 158 JOHN NAPIERS WERKEN. de Constructio — deze vóór gene ') — moet gedurende vele jaren Napier’s beschikbaren tijd in beslag hebben genomen (à me longo tempore elaboratum ?)). Op de uitgaaf van de Descriptio m 1614 volgt die van de Rab- dologia in 1617, kort voor Napier’s dood (4 April 1617). De Arithmetica Localis werd misschien reeds in 1611 neergeschreven en de Rabdologia in 1615: het Promptuarium Multiplicationis werd later uitgedacht ®). Tusschen 1614 en 1617 valt Napier’s kennismaking met Briggs 4) en werd het plan gevormd voor de uitgaaf van de Arithmetica Logarithmica, waarvoor Napier het theoretische deel zou bewerken: de berekening van de tafel zou wegens Napier’s zwakke gezond- heid aan Briggs worden overgelaten D. Misschien moet het onvol- tooid gebleven aanhangsel bij de Constructio, De alia eaque præ- stantiore Logarithmorum eonstruenda, als een voorloopig ontwerp van de theorie der nieuwe logarithmen en Briggs’ Logarithmorum Chilias Prima, [Londen 1617], als een proeve van bewerking der tafel worden aangemerkt. Het aanhangsel van de Constructio, Pro- positiones ad triangula sphærica faciliore caleulo resolvenda, vormt Napier’s laatsten arbeid '). Dit alles in aanmerking genomen, valt de samenstelling van de Ars Logistica en de Algebra waarschijnlijk vóór 1594, verscheiden jaren vroeger wellicht, daar de bewerking van A Plaine Discovery of the whole Revelation of St John, die in 159% het licht zag, Napier geruimen tijd moet hebben beziggehouden. En dit vermoeden wordt versterkt door de omstandigheid, dat Napier in zijn Ars Logistica nergens zijn logarithmen vermeldt, zelfs niet, waar hij de bekortingen bij de uitvoering van vermenig- vuldigingen en deelingen behandelt °), en evenmin van de notatie der decimale breuken rept, waarvan hij zich, onder verwijzing naar Stevin’s Arithmetiea Decimalis, in zijn Rabdologia bedient ©). Tegen deze gevolgtrekking zou de uitdrukking „sive, omnium facillime, per ossa Rhabdologie nostra’ op p. 42 van de Ars Logistica ?) pleiten, als ze miet, blijkens mededeeling van Mark Napier 5), in het MS met een verwijzingsteeken op den rand der ‘) Voorbericht der Constructio. Zie noot *) op p. 101. *) Voorbericht der Rabdologia. Zie de noot op p. 68. *) Zie noot “) op p. 70. “ Voorbericht der Arithmetica Logarithmica. Zie noot *) op p. 104. *) Zie p. 128. Zie p. 55. 2) Zes A2; Introduction, p. Xvid. DE ARTE LOGISTICA. 159 bladzijde voorkwam en dus waarschijnlijk misschien door Napier zelf, misschien door zijn zoon Robert later was bijgevoegd. Evenwel meen ik miet te mogen verhelen, dat de Ars Logistica, naar inhoud en vorm een meesterwerk, niet den indruk maakt van door een pasbeginnend schrijver te zijn opgesteld. Napier’s Algebra eindelijk is zonder eenigen twijfel van ouder datum dan zijn Ars Logistica. Dat dit MS niet mag worden aangemerkt als het vierde boek van de Ars Logistica, waarvan Napier in het tweede boek melding maakt, blijkt: 1) uit den titel: Algebra Joannis Naperi Merchistonii Baronis, die anders by. Liber Quartus. De Logistica Algebraica Sive Cossica had moeten luiden; 2) uit de verdeeling in twee boeken; 3) uit de verdeeling der hoofdstukken in „sectiones’”’, die in de Ars Logistica ontbreekt ; 4) uit de aanduiding van de deeling met ,,divisio”, waar in de Ars Logistica steeds van ,,partitio” gesproken wordt. Dat het vóór de Ars Logistica moet zijn opgesteld, laat zich af- leiden uit twee omstandigheden: 1) beroept Napier zich in zijn Algebra eenige malen op de rekenkunde, zonder zijn Ars Logistica aan te halen, hoewel overigens zeer dikwijls naar voren en zelfs naar Euclides wordt verwezen; 2) wordt in de Algebra de in Napier’s tijd meest gangbare wortelnotatie toegepast en niet de eenvoudiger schrijfwijze, die men in de Ars Logistica verklaard vindt. Misschien is Napier bij de bewerking van zijn Algebra tot het inzicht gekomen, dat de uitgaaf van een volledige Ars Logistica een dankbaarder taak zou wezen, om ten slotte de voltooling van dit werk voor een nog verdienstelijker arbeid te laten varen, de samenstelling van den Canon Mirificus. (21 April 1899). EN ELO UD). Inleiding. PA EB. a Onderwerpen en Punten, wiskundige werken bijzonder de wbrddenens A Plaine Diseegsy of St John. Over den inhoud. Opmerkingen Mirifici Rs no Ci Comte Desens Over den inhoud. a) De Canon Mirificus die in Napier’s aandacht of the whole Revelation b) Vlakke- en Bol-driehoeksmeting Opmerkingen Rabdologia . Over den inhoud. a) De Virgulæ Numeratrices b) Tafels . c) Het Promptuarium d) De Arithmetica Localis . Multiplicationis Opmerkingen Sk Mirifici iat ee um Canda endet Over den inhoud. a) Samenstelling van den Canon Mirificus . b) Gewone logarithmen . e) De Analogieën van Napier . Opmerkingen De Arte Logistica Over den inhoud der a) Overzicht der Rekenkunde b) Cijferkunde c) Wortelvormen. Over a) Wortelvormen Ars Logistica lob: a. den inhoud der b) Algemeene Rekenkunde. Vergelijkingen Opmerkingen Inhoud. Bladz. 5—14 15—17 18—22 19—21 21—22 24—49 24—39 39—49 49—53 54—70 55—68 55-—61 61—61 62—63 63—68 68—70 71—109 72—100 72-—85 85—90 90— 100 100—109 110—159 li — 43 111—118 118-2194 1384—143 1452154 143-—-146 146---157 157—159 160—160 VERBETERINGEN. EN mel du ve ©. staat: Adyeo en dede ie Ayo en ae ____NL.WA. GRAVELAAR, John Napier's Werken. se | Ur Fig1. Fig. 2. a 2 Aa B a D E s en “8 ! a aa dM EE ND SNN NN ptt tt au \ A A, SR ET B P AAB C' DES Fig 124 Fig 12? pro quadrata. | pro cubica. | - 0 7 2 1 1 1 7. 4 2 ; : 4 2 15 5 6 3 9 207 9 3 We LT \ EN \ eo \ N @ isa aS | ~~ A EN CA iy LS 10 25 N v \ n Cy oO 36 te 5 5 = to [eN IDS N Q Je & \ mi Bn EN] a \ EN NE 49 N \ I | NS © es Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie ). DI VT. TBèrtel lth. PI Muléenimm Leiden 7 = es > hd _ ns EL À Ne NN NE" ; > =" De a 7 N a _NL WA CRAVELAAR. John Napier's Werken. &c. 9. 32768 Je 16384 o. 8192 72. 4096 = . à mm. 2048 El 3 EN @ | © | 2 3 à 2 a § Ÿ x Be zoz zó EAN Eep Ch OOO! I= 2 ee B NEG Cr SG PS k. 512 < ied A | ld: a BY 4 6 LC NO LG 8 RS DN / + L 256 a OC © 12 *, LA $ 9 6} ae à © 5% ZOEK 70 5 1 > & h. 128 IE 2) Gee Ÿ Ÿ BE SE 4 EN &/ 3 | Sy le) RENE NE dE ES ON A NE VS 64 Te & \ à $/ zl O oy 3, 5 | ZAND AAS 7 Va V 35 Ÿ 35 Ÿ 21 7 1 © é 5 fs 32 © 4 ee à, | Ê x ©) Le 2 Sn fos 8 WV 28 V 56 VW 70 W 5e Y 28 8 1 = & S e. 16 EC a g S a 3 SIS ee Io S à, FRANS 9 Ÿ 36 Ÿ 8% YX 126 Ÿ 126 Ÿ 84 X 56 Ÿ 9 1 S & ÿ ; AR NAS Aa Ns YA x e à Ÿ 5 7 AL «y os os EN © X 10 Was Ÿ 120 V 210 Y 252 Ÿ 210 ¥ 120 Kas Vaio Ÿ 1 & £ 2 Gl 7 A] và, © ih 2 $ Yu Wss Kies 330 Ÿ 462 ¥ 462 Y 330 165 Ÿ 55 Vui ey = 2 12 Was Ÿ 220 V 495 W 702 V 024 W 702 V'195 W 220 Wee Waz W 1 A Cc Verhand. Kon. Akad v. Wetensch. (1° Sectie). DI VI. NIWA. GRAVELAAR. John Napier's Werken. PL HI K D F je Ë 8 Fig 25. B G E (el hig 242 B (el G E I A L K M L I L H A F D ig. 26. Numer1 | Characteres et exempla | Characteres et exempla | Characteres et exempla ordinum ordinum prime ordinum secunde ordinum tertia &c. o positionis . positionis. | positions . 1 1 3 | 14 2 |1b 4 + + 2 152 9 | 1aYÿ 4 |1b$ P 16 3 1e 27 | 1at 8 |1bT 64 4 1£P 81 | zapp 16 | 1b¥¥9 256 5 is 243 | 146 32 |1bf5 1024 6 TAC 729 | 1aÿT 64 [ib TC 4096 ie L 7 ifs 2187 | 1affs 128 |1b ff5 16384 |&c. 8 18°F 6561 | 1a PPP 256 | 1b PPE 65536 9 WAC 19683 | 14 CT 512 |1b TTC 262144 10 18/8 59049 |1a ff 1024 |1b PB 1048576 11 ifs 177147 | 1afffs 2048 | 1b [ffs 4194304 . 12 TAG 531441 |1a PPT 4096 |1b PPE 16777216 13 | IJ 1594323 | 1a f/f 8192 | 1b ff ffs 67108864 = ——| &c. &c. &c. bass ; Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1°Sectie ) DI VT. J Bytel th. PI Malder url eider. tas > 22 mu à Ne 3 £ EER 25 ART pale € RS 1 ee NN . | | 1e à: Jur 4 1 , {| af | ne) À s ) UNIL UGA EN AL GEEN d après la méthode Bezout, suivant un nouveau procédé, ty 7 “ 3 ‘ Hee us { ns 8 PAR pe) ‘ >. EE BES! MA x pi Be Fa ù y | Professeur à l'école moyenne de l'Etat „Willem II” à Tilbourg. der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, ei (EERSTE SECTIE). ot ee Deel VI. N° 7, AMSTERDAM, en _ JOHANNES MULLER. : Septembre 1899. THEORIE GENERALE DE LELIMINATION d’après la méthode Bezout, suivant un nouveau procédé, PAR K. BES, Professeur à l'école moyenne de l'Etat „Willem II” à Tilbourg. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. EERSTE SECTIE). Deel VI. N° 7. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. Septembre 1899. TABLE DES MATIÈRES. Supplement. dur Premier Chapitre #0. ...,.....::.... ee Ar EE EEE Avertissement ........ Je OCIS Set a rn | Chapitre I. Théorie des assemblants appliquée à un sys- tème d’équations linéaires homogènes ............... Chapitre IL. Elimination entre deux équations homogènes NEUE VARIDDIOS Tee deu deu à TE eee BOR ODE ha oe rods vet an sac ventie za din Ha Evaluation de la solution commune .................. Conditions pour l’existence de deux solutions communes . Conditions pour l'existence de trois solutions communes... Evaluation de deux solutions communes, .............. Evaluation de trois, quatre, etc. solutions communes Chapitre II]. Elimination entre trois équations homogènes à trois variables ..... EEN a LL MT ae? Evaluation de deux solutions communes........... MA Evaluation de trois, quatre, etc. solutions communes Chapitre IV. Elimination entre x2 équations homogènes à 20 vamableswis soe nn DEMER ARMBANDEN eo a RS LC LET EN PE eter NE GEE de A RER a al Ws UD et lig. deli eee cite Ad ge se see ça ATEN TN el SO aa i ae Sa ee nea Nater dre PN se OEE nes is SUPPLEMENT DU PREMIER CHAPITRE. $ 56%, Nous’ terminerons ce chapitre en mentionnant encore les deux théorèmes suivants, qui découlent immédiatement du théo- rème du $ 53: Quand il existe pour un système de m équations linéaires homogè- nes à ” variables, où u < ”, — 1, mais pas plus de » — m systèmes de racines indépendants entre eux, les équations de ce système sont indépendantes entre elles. Quand il existe pour un système de m équations linéaires homo- gènes a » variables, où m < n, en tout # — m + k systèmes de racines indépendants entre eux, les équations de ce système sont liées par hk relations linéaires indépendantes entre elles. Supposant qu'on puisse satisfaire à un système de # équations linéaires homogènes à z variables en tout par 4, systèmes de racines indépendants entre eux, et que ces équations soient liées par # relations linéaires indépendantes entre elles, on déduit du théorème précédent la relation suivante: BR == MOS oo ie oe TOC d’où Pon peut tirer quelques conclusions qui serviront dans la suite de ce mémoire. BRR A T A. Page 26, ligne 6, au lieu de: est, lisez: a été. AOS Oe SOA ls, eae TE, NE pasos ot ee a dedmit, & ., : déduit. rose tO, ohh nn kaye tonemens,, -~. : fonctions. A De eal to ER AE Did ee Y RO, a EE RER TD D ROO ee (62) : (69) D ed 4,3 (0U des colonnes) supérieur à celui des colonnes (ou des lignes), lisez: inférieur à celui des colonnes. eee en ere Oe Ui ni Dj 0, — etc, lisez : v — v, + v, — v, = — etc. „ 65, ,, 16, au lieu de: une seule, lisez: une. EP (ES 0) 0, — etc, lisez: v — (wy — v3) + vz = etc. „ 67, ,, 13, au lieu de: v, = En D In = D + sat se, 2 Rep __ (—1)7 (am — 1) m (n—1)n isen: v, — à +- 5 L mae. (4—m—n-+-1)(k—m—n-+2) __ 1 5) GES de blauen de: £: herte ne ER 2 bd » 14, ,, 19, au lieu de: à, lisez: ¥. dE: Va == (el 1-1) (k—l—m—n--2) == gE mnd Bes Se » 86, ,, 19, au lieu de: à une près, lisez: à une ligne quelconque près. 5 90, En 3, TETE TES JT 5 lisez : Di25: » 100, „ 24, , „ „ij—andl, , :yta—l. cod ly eee [ee AE RON PE Te LE Ute Pao ee ey (1 roiled AY etd Mp et AD 2 it RPT we eh fl te A) OE Ae en Le) ry Gian) à 0 AVERTISSEMENT. L’auteur de ce traité tient à rappeler au lecteur que le théo- rème du § 24, lequel est d’une si haute importance dans cette dissertation, se trouve déjà dans louvrage de Paur, Gorpan, inti- tulé Vorlesungen über Invariantentheorie. C’est aussi le cas de quelques autres théorèmes, qui, du reste, sont d’une notoriété plus grande encore. Au lieu de renvoyer à ces ouvrages, il a préféré démontrer ces théorèmes d’une manière conforme aux autres démonstrations. Le nom de ,,assemblant” qu’il a donné à une quantité de déter- minants comme (1) du § 1, remplace le terme de ,, Matrix” dont M. Paur Gorpan s’est servi. Il ne croit que l’emploi de ce mot nouveau donne lieu à confusion. DR in 2 ¢ I. Théorie des assemblants appliquée à un système d'équations linéaires homogènes. $ 1. On appelle assemblant m lignes de x éléments, écrits en forme de rectangle. Comme dans un déterminant, on peut désigner dans un assem- blant la place des éléments par des indices doubles, p. ex.: DAT Ean PROS CANON nd Pi en PE pee ee pe me OS RP RE (1). Una Ume ns +--+ - ann § 2. Pour » — 2, l’assemblant se change en un déterminant du degré ». Pour m << u, le nombre des déterminants du degré m contenus dans l’assemblant, est égal au nombre des combinaisons, m à m, de » éléments, ou à (£). Pour m > x, le nombre des déterminants du degré x contenus dans Vassemblant, est égal au nombre des combinaisons, # à x, de m n° m éléments, ou à ( Les déterminants ainsi obtenus sont nommés déterminants de l'assemblant. On peut les représenter par une lettre, accompagnée des indices qui désignent les colonnes ou les lignes qu'il faut supprimer de Vassemblant pour obtenir le déterminant proposé. Leur degré est égal au plus petit des deux nombres m ou x. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VL G 1 vo THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. En supprimant d’un assemblant m—/: lignes et n— / colonnes quelconques, on obtient un déterminant du degré 4, nommé dé- terminant mineur, qu'on peut représenter d’une manière analogue. $ 3. Les déterminants d’un assemblant conservent leurs valeurs, quand leurs lignes deviennent colonnes et que leurs colonnes devien- nent lignes; leur nombre aussi ne varie pas. Il résulte de là: Un assemblant ne varie pas, quand ses lignes deviennent colon- nes et que ses colonnes deviennent lignes. $ 4 Multipliant les éléments de chaque ligne respectivement par les z variables x, 7, v3,.... æ,, et ajoutant les produits, on obtient le système de m fonctions linéaires homogènes : Oy = dy & Hai Bod Gy Bj so ain Ops ee jen eae) ann e/s tg. bie pile dea) chiots high y ent fe Pret ove elie ce = 6, == CAM d'A + TE) U —- Ans dz + CLEO ae Ann&n ? De méme, les colonnes donnent, en introduisant les arbitraires Pas Pas P3s----Pms le système de x fonctions linéaires homogènes: = kele tor Po > da Pae - or Cpa Ome Cr Di = Gen Po A Aap Date vhn re Wars | Le == Org Pi A Bag Do À dag Pg rel Amal |t eene (3). ee te Ve a ste) 0) neha eo hr e else (eva ee eier le leaf) Berre se om Ca = din Pi si don Po + ln P3 + CAR AE == Urn P nv Pour simplifier la notation, on peut représenter les deux systè- mes de fonctions linéaires homogènes § et & avec l’assemblant de la manière suivante: Ti Lo Lg D Pi di; Ui dia Tve. sa a, n Po do Apo Host Cire don rh Ae i AE SENAO RER TS (4). Pa [431 go gg... .. As» Pin Anny Ayo Uns ED Ayn THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 3 Tl est clair que les deux systèmes de fonctions d et £ se changent l’un en l’autre, quand les lignes de l’assemblant deviennent colon- nes et que les colonnes deviennent lignes. $ 5. Les deux systèmes de fonctions § et £ qui se rapportent à un assemblant, sont liés par l'identité suivante: Pi 9, + Pe bg + Pa 63 ik rer tee Om ==, Sy rés spw 27: B DEES. nahe ORR, (5). En effet, le développement des deux membres conduit à des résultats identiques. En désignant ce résultat par 4, l'équation F— o exprime que les deux membres de la formule (5) s’évanouis- sent simultanément. $ 6. Remarquons, avant de tirer des conclusions de la formule (5), que chaque fonction homogène s’évanouit, si l’on prend des zéros pour toutes les variables. De cette manière on peut done toujours satisfaire à un système d’équations homogènes, mais il y a souvent pour les variables d’au- tres valeurs qui satisfont & ces équations. Ces valeurs forment un système de racines ou une solution des équations homogènes pro- posées. Il est évident que les valeurs zéro ne peuvent être considérées comme un système de racines. Dans le cas particulier où les équa- tions sont linéaires, on a donc: Un système de racines d’un système d'équations linéaires ho- mogènes ne peut se composer de zéros seuls. $ 7. Quand on égale à zéro les deux systèmes de fonctions § et £ qui se rapportent à un assemblant, on obtient deux systèmes d'équations linéaires homogènes. Si Dj, Pas Pas... .p, forment un système de racines des équa- tions £, le second membre de la formule (5) s’annulera pour toutes les valeurs des variables +. En ce cas l’équation (5) devient en .... + p,0,=0 er. (6), formule qui fait connaître une relation linéaire de dépendance entre les fonctions 6. Réciproquement, si l'identité (6) est remplie pour toutes les va- G 1* 4 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. leurs des variables +, il résulte du second membre de l’équation (5) que toutes les fonctions ¢ sont nulles. Donc les arbitraires p constituent en ce cas un système de racines des équations £. Les considérations précédentes conduisent aux théorèmes suivants: Chaque système de racines pour l’un des deux systèmes d’équa- tions linéaires homogènes qui se rapportent à un assemblant, forme un système de coefficients d’une relation linéaire entre les équations de l’autre système; et réciproquement, les coefficients d’une relation linéaire entre les équations de l’un forment un système de racines pour l’autre système. S'il n'existe aucun système de racines pour l’un des deux systè- mes d’équations linéaires homogènes qui se rapportent à un assem- blant, les équations de l’autre sont indépendantes entre elles; et réciproquement, si les équations de l’un des deux systèmes sont indépendantes entre elles, il n'existe pas de système de racines pour l’autre. $ 8. Si les fonctions linéaires homogènes qu’on peut former des lignes ou des colonnes d’un assemblant sont indépendantes entre elles, on dit que les lignes ou les colonnes de l’assemblant sont elles-mêmes indépendantes entre elles. Cela conduit au théorème suivant: Les lignes (ou les colonnes) d’un assemblant sont indépen- dantes entre elles, s’il n'existe aucun système de racines pour le système d'équations linéaires homogènes, formées par les colon- nes (ou les lignes). $ 9. Relativement aux deux systèmes d'équations linéaires homo- gènes § et £ qui se rapportent à un assemblant, les trois cas suivants peuvent se présenter : 1. on ne peut satisfaire m à l’un ni à l’autre des deux systè- mes d'équations ; 2. on peut satisfaire à l’un, mais non à l’autre des deux systèmes d'équations ; 3. on peut satisfaire à l’un et à l’autre des deux systèmes d'équations. THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION, ) PREMIER CAS. $ 10, Ce cas ne se présente que, si m = 2. L’assemblant (1) devient le déterminant: ay 2 A). edere take ts lin dy Us U53 ee Ur el, ket Ay, act? hag ae DEN ALAA 0! Oe MOOD aA EL A (7), By Ang An. - - +. Ann les équations § se changent dans les z équations: an dpt die di + digg dor oe + ay, Un = Ant y Ars Wy A dae = +... À Aon Un = 0, Aar Li Aap À gg ds +... AS = UN RGA (8), DRE Te OS Eee nega) Os are Kelsi pF is eyes pre prate ts ee ete stie et les équations @ dans les # équations: Ay, Py + an Po aat Ps +. + On Pn = 0, A. Py + Ax Po + dx P3 aii Je 5h» Fe Ang Pn = 0, Uig Pi + os Pa + Ass P3 + es EENS + Us Pn == 0, eaten dte sets (9). En multipliant successivement les équations (S) par les déterminants mineurs A, 4, Aa... A,, des éléments d’une colonne quel- conque du déterminant (7), et en ajoutant les résultats, on obtient l'équation RO NN U hit... ere (10), dans laquelle D représente la valeur du déterminant (7). En donnant à toutes les valeurs de 1 ax, on trouve les équations De Give! 0", DD) ei ON, LENE ase NETS NS IE Te EN (11) 6 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. Un système de racines. des équations (8) doit aussi satisfaire aux équations (11). Il est impossible de satisfaire aux équations a) par des valeurs JET, AD ee 4, qui ne sont pas toutes nulles, si l’on n’a pas D = 0. | Cette équation exprime la condition pour qu’on puisse satis- faire aux équations (8). Elle exprime aussi la condition pour qu’on puisse satisfaire aux équations (9), ce qu’on peut trouver d'une manière analogue. Les considérations précédentes mènent aux deux théorèmes suivants, dont les réciproques sont aussi vraies : Si le déterminant des coefficients n’est pas nul, il n'existe aucun système de racines pour le système de m équations linéaires ho- mogènes à » variables, et ces équations sont indépendantes entre elles. Au contraire, si le déterminant des coefficients est nul, il existe un système de racines pour le système de n équations linéaires homogènes à 2 variables, et ces équations sont liées entre elles par une relation linéaire. $ 11. Si le déterminant (7) est nul, tandis que les déterminants mineurs du premier ordre de ce déterminant ne sont pas tous nuls, / x ‘ . 7 . > peut évaluer le système de racines des équations (8). Pour cela, supprimons Pune quelconque des équations (8), par exemple la #£°"°, et multiplions les autres successivement par les déterminants mineurs des éléments d’une colonne quelconque, par exemple, de la j °° du déterminant du aio ra tee Ay 1-4 Qi eae eens Dis, doi Ayo Asa es ns ok a2, ae | Gy 144 ayes verten je Un Aar U35 U33 enke et ew ds, l—1 qz ‘J +1 ECI LC act a in (12), Ag_1,1 Ora, 2 U1,3+-+ +. Ort, 14 par 2 Uyan Bye 34.14 2442 Uier1,3t + - Orta tr Oral see: UH, n Bins Ano Oee 2 re Gia Or raak RS das qui est le déterminant mineur de [élément a, du déterminant (7). En ajoutant ces produits, on trouve |’équation THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 7 @ Ay Ha Aj =O ent, US, à SLED ula eM OREN (13), a. L NE ie sn ete ken hn are (14), A,,; Ay, dans laquelle 4; et 4, représentent les déterminants mineurs des éléments a; et 4, du déterminant (7). Pour les valeurs de 7, de 1 à ~, Véquation (14) donne le sys- tème de racines des équations (8), si lon a D = o: CAN a; Vs æ un A (15) A A2 Aj An Ces racines sont proportionnelles aux déterminants mineurs des éléments d’une ligne quelconque du déterminant (7). $ 12. De la même manière on arrive à l'égalité: qui représente les coefficients de la relation linéaire existant entre les équations (8), si l’on a D = 0. Ces coefficients sont proportionnels aux déterminants mineurs des éléments d’une colonne quelconque du déterminant (7). Si tous les déterminants mineurs du premier ordre du détermi- nant (7) sont nuls, on peut satisfaire aux équations (8), comme aux équations (9), par deux systèmes de racines. L’explication de ce fait ressort du troisième cas. DEUXIÈME CAS. $ 13. Le deuxième cas, mentionné au $ 9, savoir, qu'on peut satisfaire à l’un des deux systèmes d'équations 4 et € qui se rap- portent à un assemblant, et non à l'autre, se présente, si les déterminants de l’assemblant ne sont pas tous nuls. En supposant m < u, on ne peut satisfaire dans ce cas aux équations €, tandis que les équations § sont indépendantes entre elles. Dans cette condition il existe pour les équations 8 en tout 8 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. n— m systèmes de racines, indépendants entre eux, comme il sera démontré ci-dessous. § 14. Si les £ systèmes de racines, contenus dans les lignes de l’assemblant dy 1 a 9, vy 3 reds Ve Ae a Ba Cy n Ton ro Bog Ton Lan Lan Das DENN ek te ON el ed cso (Lia: Tia Pro Lrg Lien satisfont aux équations §, et que l’on prenne , pour à, la valeur g, #4 go dx + 9g Lay +. He ie Vias » Bas on Ya Br + Go da + Ya Pan --- > À In dis 2 V3 2 EE) VA V3 SI {Jo Vo == 13 U33 = CC à Qu —- Vk V3) ede (18), cite Kove: Pe Pe lallerte + uly opdiaken prak spikeN etn ele Je s Mer «jor wr Ase u sene an oet zo) (ol eee » ns» >> ga Vin + Ya Lon, =a Y3 Van si ARTE zi In Vien > dans lesquelles g,, 92, 43,.... 4, sont des coefficients indéterminés, le système de valeurs (18) satisfait aussi aux équations 6. Le système de racines (18) est lié aux systèmes de racines (17) par une relation linéaire. $ 15. S'il existe pour les indéterminées g des valeurs qui satisfont aux équations 91 Lu + Yo En Ha Zn +... + Ie Li = 0, G1 Via + Yo En À A3 Up +... À In Vin = 0, VA V3 + q2 Los +. 13 33 + ON + Ve V3 NC) a EN chee ee (19), Jr Lin =e VOREN + 73 V3n + Cr iT VK Lin = 9; | les systèmes de racines (17) sont liés entre eux par une relation linéaire. S'il est impossible de satisfaire aux équations (19) par d’autres valeurs que des zéros seuls, les systèmes de racines (17) sont indé- pendants entre eux. Adoptant # < 2, la condition pour que ces systèmes de racines soient indépendants entre eux, est ($ 10) que les déterminants de Passemblant (17) ne soient pas tous nuls. THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 9 De la on déduit le théoréme suivant: Si les déterminants de l’assemblant de Æ systèmes de racines d'un système d’équations linéaires homogènes à # variables, où k < n, ne sont pas tous nuls, les À systèmes de racines sont indé- pendants entre eux. $ 16. Posons que les # systèmes de racines (17) soient indé- pendants entre eux, on peut trouver % quantités 7 satisfaisant aux k—1 équations linéaires homogènes : We, Fet 143%, HH Ae = Gite Hate + te À... Ure = 0, W%3 + %o%3 sas +. 2s = Qi Va, wr + Loto, na + 93 Papa À «FID = 9, Ces Æ quantités g sont proportionnellement déterminées (§ 11) par les équations (20). De la le théorème suivant: On peut déduire de & systèmes de racines, indépendants entre eux, d’un système d’équations linéaires homogènes un autre système de racines dont #1 éléments déterminés sont nuls. $ 17. En général, il est impossible de déterminer # quantités ¢ qui, sans être nuls, satisfont aux # équations linéaires homogènes : Ya Tu = Jo Ban ar Ga Dal rime + 9, Ta =O, | da Va À Ya fo + 93 Pa +... + Gi: do =O, di Vie de dart ds Vg se te a — Oso (AI). | ll av. 1 4 dy 1 Car aaa) un fette) io vy 1 a 2 39 @: 32 OV er A ne L k 2 — ), TEEN ijl EN NEN oc (22). 10 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. On obtient donc le théorème suivant: On ne peut déduire en général de k systèmes de racines, indé- pendants entre eux, d'un système d'équations linéaires homogènes, un autre système de racines qui renferme % zéros; à cet effet, il faudrait que l’assemblant de ces & systèmes de racines renfermât un déterminant qui fût nul. $ 18. Ce qui précède suffit pour expliquer le théorème: Quand il existe pour un système d'équations linéaires homo- gènes k systèmes de racines, indépendants entre eux, et de plus un système de racines qui renferme k Zéros, ce système-ci est indépendant des premiers, pourvu que le déterminant, formé par les Kk? éléments qui correspondent à ces Æ zéros ne soit pas nul. $ 19. Les # systèmes de racines (17), indépendants entre eux, des équations 6 peuvent être remplacés par #Æ autres systèmes de racines, indépendants entre eux. Pour cela, on peut prendre diffé- rents systèmes de valeurs pour les quantités g dans les expressions SPREEK: 1. g, arbitraire) ditiérent de zéro; y= qr" MS 0; 2. g, et go arbitraires, différents dezero, 93 = 4, 4 HN à 3. VAE 72 ety, LE) 22 32 on Yr SS Ses Yr = 0, kl. 9, Q».... 94 1 arbitraires, différents de zéro, g, = 0, k. 4, 2... Gras Yr arbitraires, différents de zéro. Ces systèmes de valeurs g sont renfermés dans les lignes de l’assemblant : Qu 0 0 0 0 Jon Yoo 0 0 0 a 732 733 0 0 PTS ete à SR at (23), Gt, Jr1,2 Teja +++ Prana 9 Tra 712 Gps = sare) Oi, re Tike THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 11 et les systèmes de racines qui remplacent les / systèmes de racines (17), dans les lignes de lassemblant : Yu Vas Vas - - ++: Yin rn, Gos Hoaf en Yon ) Yor 32 4 eee aie i] Dr Nees de Siena: re ee eee es elie (24) Yra Sne Yrxr + + - +. Wien Les éléments des assemblants (17), (23) et (24) se trouvent être réunis par l'équation Yi — Tin Vy + (ja dy —- 753 V3) + etai <0. Vers + Jj Vit Oia to OE (25). Prenant pour 7 les valeurs de 1 à 4 et pour / des valeurs de 1 à 2, on peut déterminer les 4x symboles 7, par l'équation (25). Les systèmes de racines (24) sont indépendants entre eux et peuvent done remplacer les systèmes de racines (17). Du reste, il est aisé de voir, comment les systèmes de racines (17) se déduisent des systèmes de racines (24). $ 20. Il est possible de remplacer un assemblant de / systèmes de racines, indépendants entre eux, par un assemblant de Æ systèmes de racines qui contient un déterminant, dont tous les éléments sont nuls, excepté ceux de la diagonale. Pour cela, on prend de lassemblant (17) un déterminant qui ne soit pas nul. Par le théorème du $ 16 on peut déduire des / systèmes de racines (17) un autre système de racines dont #—1 éléments qui correspondent à #—1 colonnes du déterminant susdit, sont nuls. Cela peut se faire de #Æ manières, c'est-à-dire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons, /—1 à #—1, de # éléments. Les / nouveaux systèmes de racines qui en procèdent, forment un assemblant qui contient un déterminant, qui a la propriété susdite. Les systèmes de racines, contenus dans les lignes de cet assemblant sont indépendants entre eux, puisque cet assemblant contient un déterminant qui n’est pas nul. 12 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. § 21. Soient, pour fixer les idées, » — 4 et 2 — 7; les équations 4 deviennent dans ce cas les suivantes: : ; eel sa =: da MF Mo do À jg ds À Ga Va + M5 % GG % Te A17 Pr zi day T1 À 99 Lo + Ags Xs + dog Lg À dos ds + gg Te — a7 %7 = 0, gy © + Ago Lo + A33 Vg À da Uy + 435 Xs + 436 % + 37 17 = 0, dy © + do Lo + Us &3 + day da + gs ds — 436 % ++ Ag 7 =O, Les n— m — 3 systèmes de racines des équations (26) qui sont ontenus dans les lignes de l’assemblant cont dans les lignes de | Hy, Ue Mg ia 5 dé ir Vo Lo9 Lo Voy Nos lof Von CICR ON CET et FD So miles RE ec Por peuvent être indépendants entre eux. Pour le démontrer, on peut substituer aux variables les systèmes de racines (27) dans les équa- tions (26), et on trouvera a X31 + Go Lg: day dr + ag io + gg yx À dou Va + os dis À 26 216 + dog 417 Qu Taj + dag Lag À dag dog À day d'os + Mas Las + ag Tog + Cor Lo day X31 À dog X39 J Ugg Las + Con La À Ags X35 + dag X35 + Cor Lay day du Aga do + Aggy dis HU Pia + M35 Pis + Ag Pio + 37 Lr 31 Taj + Agq Fog À A33 dos À Usa Log À A35 d'os + 43 Tag + 437 Lan 31 3) À Bo Aga À ns agg + a gg + A35 35 + M36 L3o + U37 37 da En Fe Go Xo H Up Mig gy Cia À Gas M5 À Mag Mg À ag Ur = Uy Tor À do Log + Gus dog À My, a4 À das dos H 4g Pag + ar a7 4) U3 + yo Lao + Ags 433 À M44 La + Uys das + duc La 4 Ay7 Lan où les équations sont rangées en groupes de trois. éliminer entre les équations (28) les éléments de colonnes quelconques de Vassemblant 12 + 43 3 + a Tja + Gs 5 + G6 M16 + 7 M7 = 0; My Yar My Pag + Us Los + Ay 4 Log + Ys dos + M6 Lag + Mr do = 0, 32 + 413 733 + G4 X34 + dis 35 + O16 Tag À 7 X37 = 0, | I Il | Puis, on peut n—m—] = 2 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 13 Cite Gs As Mat Ds. Ge ir Mop oo Gog, os Gos Gog | Cor (29) > A31 439 43g sy, 435 Ugg 37 pat Odder Orel OAD Cag dar Ze Ce par exemple, les éléments a,,, 45, dan» day Ct ae, Gog, ae, Gus: Pour atteindre ce but, multiplions les équations de chaque groupe respectivement par les déterminants NEE aa ECS dd (30) NPN tar ent. RENE Pee 5 Tag Lan U36 Yar Log Lo7 et ajoutons; ainsi on obtient les équations 1): M1 Xazas + aja X1345 + %43 X245 + 4 Xj 235 + a5 Xio34 EE | My) 345 + 499 Xisus À 423 Xj045 + dos 955 + 425 EEN Sah Madden! (31) a3) À2345 + agg Xyg45 + 433 Aass + 34 M235 + 435 Nass SS), | à ty) Nosas + Go Xyga5 + Gas Nous + dus Moss Has Nio34 — 0, dans lesquelles les variables sont des déterminants de l’assemblant (27). À ces m = 4 équations linéaires homogènes am + 1 = 5 variables on peut satisfaire ($ 10) par un système de racines. Il s'ensuit que les wm = 3 systèmes de racines (27) peuvent être indépendants entre eux. S'il y avait outre les systèmes de racines (27) encore un système de racines pour les équations (26), ce système-ci serait lié aux autres par une relation linéaire. Pour le démontrer, éliminons entre les équations (26) et (28) les éléments de x—m — 3 colonnes quelconques de l’assemblant (29), par exemple, a5, 2. Ugg dig; ir Go52 Aass Mani 26> dogs dogs Uig: *) Les indices ont la signification, mentionnée au § 2. 14. THÉORIE GÉNÉRALE DE L/ ELIMINATION, Pour cela, rangeons les! équations (26) et (28) en groupes de quatre de la manière suivante : 1% Hot + 3% Hat Hast Hat +4777 =O, | da On + MQ Ue + G3 dis + Gy Oa + Ys Mis + No Lio + Gr M17 =O, | M4 Xo + Mo Too + Ga dog À Oy 4 Log 45 Vos + UG Lag Fr A17 Var 0, du ta + Go Aq + Ms Lg + M14 734+ M5 M35 + Gi La + Gr %37 =» 2% + Ags tg Flos ta “Hd Hot — Maz U =O, 2 Ma + dag Pig + ou Pia TH das M5 + M06 216 + ay M7 =O» 2 99 À dog dog + Ang Toy À dos Los + dag og + dog Log =O, 9 2 Tao + A33 das À Go Tag À dos ®35 + dag Lag À Mar day = 0, Mg) ® + god + Ags U3 duty das ts + Ugg tg À 37 U =O, sy ®y + Co Mio À gs Cg + gs dns + 5 X15 + M36 16 + 7 7 Os G3) Taj À Ago doo + Ugg d'os Agy dos + das dos + ag Log + M37 da =O, 3) dax À Ugg Wo + Ugg das À Asa dog À us das À Ugg La À Ua Lay SO» (38). yy ®t Myo Uy yy ty yy My Hz 5 Mg ag dy 7 =O, Uy En Mp do + M43 M3 À Ca ra + Us A15 se Piet egy By eo Mg, Ton + yo dag H Uig Los À gy Tog À Cas Los À Cac Tag + day A37 =O, du 31 + Myq za À yg 33 À ag dog À Ups 35 À Aug X36 À Mar M37 = » J Multipliant les équations de chaque groupe successivement par les déterminants ‘ Dn died TOREN derde Le fi, ees ae dog Los Lag |» — |La3 os Lag | » | dis dis Mig | dis Us %16| (34), Ve Var Tag Lao Lo V6 Las CET Ve6 Vo Vor, Log et ajoutant, on obtient les équations 1: di ae + Ue À ao — G4 Xy97 — Un di = loi ver + 499 À — dgg X197 — Gon À Ga Áoar À Gan Aar — Yaa Aron — 497 A; aar Lost T Go Ájar — Aaa Aion — Uy Áiu = = bo - PS NO Es SSS © PTS vo or ~- dans lesquelles les variables sont des déterminants de Vassemblant Dj” NT et OC CO By “yp yp ? pp mm yp yy La Mg: Hia 5 Hie di ke EE Te (36). Vo, Log og Log os og : Lon Lay Lg Ugg aa es sg ar ") Les indices ont la signification, mentionnée au § 2. ~ THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 15 Comme on peut choisir arbitrairement les »—m — 3 colonnes d'éléments de l’assemblant qui doivent être éliminés entre les équa- tions (26) et (28) pour trouver les équations (35), le déterminant des coefficients des équations (35) est un quelconque des détermi- nants de Vassemblant (29). D’après la supposition, ces déterminants ne sont pas tous nuls; ainsi, on ne peut satisfaire en général aux équations (35) qu’en prenant des zéros pour tous les variables. Les déterminants de lassemblant (36) sont done tous nuls, d’où l’on conclut que les systèmes de racines (27) et (32) sont liés entre eux par une relation linéaire. De ce qui précède on obtient les deux théorèmes suivants: Si mn, il existe n— 1, mais pas plus de n—m systèmes de racines, indépendants entre eux, qui satisfont à un système de m équations linéaires homogènes, indépendantes entre elles à n variables. S'il existe plus de 2—m systèmes de racines, indépendants entre eux, qui satisfont à un système de m équations linéaires homogènes à » variables, en supposant m N D diviseur que g,, on a P= y. | $ 27. Quand on peut satisfaire aux équations (26), outre par les trois systèmes de racines (27), par plus de systèmes de Q . “7 XX c ù . . Farley racines liés aux systèmes (27) par des relations linéaires, on peut toujours trouver un commun diviseur des déterminants de lassem- blant (27). Pour ie démontrer, supposons que les trois systèmes de racines (27), et de même les deux systèmes satisfassent aux équations (26), et que les systèmes (44) soient liés aux systèmes (27) par les deux relations linéaires Qui Lu À ag Pan À Ing Lan À G14 Van À Ais Lan = 0, | (45) Yor Lun + Gog Van À G03 Can À Jo Pin À Yo5 Vin = 0, § On peut satisfaire à ces deux équations linéaires homogènes par les systèmes de racines, contenus dans les lignes de Passemblant THEORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 19 qui est constitué par la combinaison des assemblants (27) et (44) en intervertissant les lignes et les colonnes. Trois lignes quelconques de Fassemblant (46) forment un assem- blant supplémentaire de M1 Ae 13 Na A5 Yar Yoo Y23 Yea os D'après le théorème du $ 24, on a done l'égalité: Le Cale Vil: Ue Ll Vils Ee Le Vale Eike T2 UZ — | dy V3, Tal Uit CBL Lal —| di, Lay Val Ei V2 X31 25) UZi Lai UE U3i Voi Lyi Lai Lj ri 2j d3i sO — EE - — = == ERE (48). fu 5 13 15 Ns, Ns 123 25 Jos 25 Ne Ns | Yaa as. 721 925 Soit Q le plus grand commun diviseur des déterminants de Vassemblant (47), on voit que le déterminant Mp Lx Ui Ne Jia 5 24, Ly La | est divisible par Qs 724 os En donnant à 4, /, 7 les différentes valeurs de 1 à 2 — 7, on conclut que chaque déterminant de l’assemblant (27) est divisible g ix par Jia 715 : Yan Jos VEV 415 20 a 725 > Si ces déterminants n’ont d'autre commun diviseur que on a Ds Wa M5 | EE eee (49). Jon 5 30 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. Cette valeur de P doit être substituée dans la formule (40) pour évaluer la valeur de 2. Le même raisonnement s'applique à plusieurs systèmes de racines liés entre eux par des relations linéaires, satisfaisant au système d'équations (26). $ 28. Il se peut qu'il existe pour les équations (26) plusieurs systèmes de racines liés entre eux par des relations linéaires, qui sont à leur tour dépendantes entre elles. En effet, posons qu'on puisse satisfaire au système d’équations (26) par les systèmes de racines (27) et (44) liés entre eux par les relations 11 Vir À Ne ®x À Dis x A ia Par À 15 Un = % | den Eni Goo Cit ing LS Ton Let on la, =O GN Gay dn jedan Die danke Ger Lai Yes Cas SO | qui sont de nouveau liées par l’équation linéaire Pian ee TE ONE IL RSA EE ioe OÙ 71, 7,73 sont premiers entre eux. Dans ce cas les déterminants de Vassemblant (47) sont divisibles par 74. Si ces déterminants n’ont d’autre commun diviseur que 7, on a Q =r,. Pour Vévaluation de & d'après la formule (40), on a donc Jia 15 24 Vos § 29. Sil arrive qu'on puisse satisfaire à un système de m équations linéaires homogènes, indépendantes entre elles, à 2 variables, par plus de 2—wm systèmes de racines, liés entre eux par des rela- tions linéaires qui sont à leur tour liées entre elles par des relations linéaires (particularité qui peut se répéter), il existe entre les nombres de ces systèmes d'équations une relation remarquable. Posons, pour fixer les idées, qu’on puisse satisfaire aux me équations § indépendantes entre elles, à x variables, par 2, systèmes de racines, liés entre eux par x, relations linéaires qui sont de nouveau liées par zz et celles-ci par #, relations linéaires, on en conclut que ces u, systèmes de racines sont équivalents à 2, — 2, + 2,— 7», Systèmes de racines indépendants entre eux. THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. D. | Comme le plus grand nombre pour cela est en même temps x — mn, on obtient l'équation PRE —— Mg hg —— hg su. ....1...,.... ees (53). Si la condition (53) est remplie, on peut conclure que les x, systèmes de racines avec leurs relations de dépendance représentent précisément tous les #—» systèmes de racines indépendants entre eux, qui sont possibles. $ 30. Reste encore à résoudre la question comment on peut déterminer pour les équations 6 2 — m systèmes de racines, indé- pendants entre eux. Un tel système de racines peut renfermer en général (§ 16 et § 17) n — m— | uéros. Cette remarque conduit à la solution de la question. Prenant des zéros pour # — 7» — 1 des variables, les équations §se changent en un système de m équations linéaires homogènes a m —+- 1 variables, d'où l’on peut évaluer les autres termes du système cherché. Ce système de racines se compose de # + 1 déterminants de Vassemblant (1) et de 2—m— 1 zéros. De cette manière on peut obtenir en tout (,,",) systèmes de racines des équations 6. Comme ce nombre, étant le nombre des combinaisons, m 1 à m + 1, de » éléments, est supérieur à x — », les systèmes de racines ainsi obtenus ne peuvent done être indé- pendants entre eux. On peut choisir, comme au $ 20, 2 — » systèmes de racines indépendants entre eux. Prenant alternativement des Zéros pour 7 —»— 1 des variables æ qui correspondent à n—m— 1 des #—» colonnes d'un déterminant qui n’est pas nul, on trouve ainsi 7 — m systèmes de racines indépendants entre eux, puisque leur assemblant contient un déterminant dont tous les éléments sont nuls, excepté ceux de la diagonale. $ 31. Pour éclaircir ce qui a été dit au paragraphe précédent, prenons les équations (26), où m == 4 et » = 7. Nous représenterons comme il a été dit au $ 2, les déterminants de l’assemblant (29) par la lettre 4, accompagnée des indices. Supposant que 4,93 ne soit pas zéro, les #—1» — 3 systèmes de racines, indépendants entre eux, contenus dans les lignes de l’assemblant 0, 0, A93 ve À 94 A95 EX A56 A7 (54) DEN, 3 ene DATE EU bce avi 54 0, A23 9 , A341 — Ajg35, A, 36» A 37| : Aj 93; Orne UA Ags, — Aosz¢, Ag 37 satisfont aux équations (26), co THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. On peut déduire ($ 19) de ces systèmes de racines d’autres sys- tèmes qui sont indépendants entre eux, et qui ne renferment pas de zéros. § 32. Supposant les déterminants de l’assemblant (29) différents de zéro, on peut trouver comme au paragraphe précédent pour les équations (26) en tout (,% 1) = (2) = 21 systèmes de racines dont chacun renferme x—m—1 = 2 zéros. Sauf les trois systèmes de racines (54), on trouve dans ce cas encore les dix-huit suivants: I. eee Ay A gs» Nae ag Ay 45 Ay sg A4 2. Ay 94 0 — Aggy, 0 , Aus Agár Ay 47 3. — Aisa, Ao34 0, Or Ain Apap ame Ass 4. VERS Ai 35 Ay 45» 0 — Ais, À 57 D. | — Aias 0, _Aag5o— Agus» 0, Ag5g— Aopr 6. Aj 353— A935 0, As45, Oe 356? Ags, 7.|— Ara . Ao45,— Agus, ie 0, Aie — Aus 8. 0, Ajog,— 4536 À 46 — Ay 565 0, Arey 9.) — Ayo, 0, Aug Jose Anso 0 — Aggy (55). 10. Ai 36— 4936 0, Asgygs— 4356 0, Aser RÉ À 46° Ao 4g — 4346» 0, A456, Ome A ge 12. À 565 — 4,56 A356 À 156: 0, 0, Aser 13. 0 — Arp Arg Aram Ay 573— A7 0 14. Ao 0 — Azn Agar Hoor Aoor 0 15.|— Ajs,, Aggq; 0 — Azn — -A357,— Ager, 0 16. Aar dor Agam 0 Ass Aser 0 IE Ay 575 Ags — Ass A575 lee dion 0 18. Agri Ager, Agro A 4675 Ase On; 0 § 33. Chacun des systèmes de racines (55) est lié aux systèmes de racines (54) par une relation linéaire, dont il est facile d’indi- quer les coefficients. De cette manière on obtient les relations importantes qui existent entre les déterminants d’un assemblant !). Prenons en premier lieu les systèmes de racines (54) et le pre- mier des systèmes (55). Il existe entre ces systèmes de racines la relation linéaire dont les coefficients sont Aie + Agnes Ond Appliquant cette relation. aux systèmes cités, on obtient les équations : *) Comparer: G. Salmon, Leçons d'Algèbre Supérieure, n° 28, 7. THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 23 Ai3s A15 Aaa Argo A Atos Aya, = 0, Ay34 Ayog TF Atze 4136 — A123 Aras = Of OT. Ay34 Aror — Arza 4137 À Aj23 Aru = 0, En deuxième lieu, prenons les systèmes de racines (54) et le septième des systèmes (55). Il existe entre ces systèmes de racines la relation linéaire dont les coefficients sont TE EN EEE (58). En appliquant cette relation aux systèmes cités, on trouve les équations : Aass Ara as Ag 45 Aj 34 — Aias 4934 = 0, vcs Au KZ A945 A35 ie A, 45 2285 — 0 9 |. (59). As 45 A36 ai 345 se Te A, 45° ~ 236 GE A, 12917490 00 Hi As 45 Aj oq Fe Ay, À too + Ay 45 Ao37 — A, 123 + ay AN MAT. — 0 En continuant de la même manière, nous trouverons plusieurs relations entre les déterminants de l’assemblant (29). Elles se rédui- sent à deux espèces: celles qui renferment trois, et celles qui ren- ferment quatre termes. Les équations de la première espèce expriment des relations entre les déterminants contenus dans „ +- 2 = 6 colonnes déterminées de l’assemblant (29); les équations de la deuxième espèce, de même entre les déterminants contenus dans m + 3 — 7 colonnes déter- minées de l’assemblant (29). La première espèce de ces relations a été déjà remarquée par Jacobi dans son mémoire „De formatione et proprietatibus deter- minantium”” (Journal de Crelle, t. 22), et était déjà connue à Bezout. Les formules (57) et (59) ne représentent qu'un petit échantil- lon des exemples, que l’on peut augmenter à volonté. Dans le cas où l'on am —4 et 7 — 7, il n'y a que les deux espèces de relations susdites, mais pour d’autres valeurs de m et x il est possible qu'il existe des relations entre » + 4, m + 5, etc. colonnes déterminées de Vassemblant (1). Ces relations renferment alors cinq, six, etc. termes. La suite de ce mémoire ne demande pas plus de détails. Nous croyons avoir suffisamment indiqué les moyens d’obtenir ces relations. Du reste, il est clair qu'on peut déduire plusieurs autres relations d’un 24 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. caractère plus compliqué, quand on élimine une ou plusieurs des grandeurs A entre les équations (57) et (59). $ 34. Il est remarquable que les relations (57) et (59) peuvent être déduites du théorème du $ 24, exprimé par l'équation (39). Appliquant ce théorème aux systèmes de racines (54), on trouve, par exemple: | 0 2 "Ape, Aias hs EET | , | OF ORALE AE OS AL aes NC A23 — Aosy, Aga Bias OP ie ss se «à (60), A, 45 A93 ou Arsa Ais =a Asn, Ais: + AS A, = O0 .... OA dette ONE THON (6 1) ; ce qui est précisément la première des équations (57). En prenant le premier des ‘systèmes (54), le septième et le dixième des systèmes (55), on a trois systèmes de racines, indé- pendants entre eux. Le théorème du $ 24 donne entre autres: Ai 93» — Ajog, Aron | 0 64100 eren KN A345 Asp Ass | Ay 45, Ay 45;— Ag 45 ire 0, Aser | A135, — Agzg, 0 = ROTE ee ee (62), Agen A ios ou — A345 A26 1 Aass 4136 — A145 Ago À A123 Aue =O (63), ce qui est précisément la troisième des équations (59). TROISIÈME CAS. § 35. Le troisième cas du $ 9, savoir, qu'on peut satisfaire à Pun et à l’autre des deux systèmes d’équations linéaires homo- genes 6 et £ qui se rapportent à un assemblant, ne se présente que, si les déterminants de Vassemblant sont tous nuls. Supposons de nouveau m < 2. Comme il existe un système de racines pour les équations €, il est nécessaire ($ 10) que les déter- minants de Vassemblant (1) soient tous nuls. Réciproquement, si w or THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. tous les déterminants de l’assemblant (1) sont nuls, on peut satis- faire aux équations É au moins par un système de racines. § 36. Ayant pour un système de # équations linéaires homo- gènes à # variables, où m << u, n — mt systèmes de racines indé- pendants entre eux, il existe un rapport constant entre les détermi- nants supplémentaires des deux assemblants qui se rapportent à ce système d'équations. En démontrant ce théorème, comme au $ 24, nous avons sup- posé que les déterminants de l’assemblant des coefficients ne soient pas tous nuls. Il s’agit de savoir ce que devient ce théorème, si tous les déter- minants de cet assemblant sont nuls. Pour résoudre cette question, on écrit l’équation (40) de la manière suivante: li cs Ase P Ar Elle conduit aux remarques suivantes. Quand Pun des déterminants de Passemblant (29) est divisible par le déterminant supplémentaire de Vassemblant (27), tous les déter- minants de Vassemblant (29) sont divisibles par leurs déterminants supplémentaires de Passemblant (27). P est done un facteur de 22. Si deux déterminants de Vassemblant (27) sont premiers entre eux, on a P= 1]. Dans ce cas le plus grand commun diviseur 2 des déterminants de Vassemblant (29) s'obtient en divisant l’un de ces déterminants par son déterminant supplémentaire de Passemblant (27). Si P west pas égal à l'unité, on trouve Z par la formule (40). P ne peut pas être nul, car pour P = o les systèmes de racines (27) ne seraient pas indépendants entre eux. Si l’un des déterminants de Vassemblant (27) est nul, le déter- minant supplémentaire de l’assemblant (29) est aussi nul. Si l’un des déterminants de Vassemblaut (29) est nul, tandis que le déterminant supplémentaire de Vassemblant (27) west pas nul, OP le —"0; Pour R=o, tous les déterminants de l’assemblant (29) sont nuls, et l'égalité (64) se trouve affermie. $ 37. Les remarques du paragraphe précédent donnent le moyen d’énoncer ce qui est traité au $ 35, de la manière suivante: Pour qu’il existe une relation linéaire entre am équations linéaires homogènes à # variables, où a < n, il faut et il suffit que le plus grand commun diviseur des déterminants de l’assemblant des coef- ficients soit nul, 26 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. $ 38. Supposons d’abord qu'il n'existe qu’une seule relation linéaire entre les équations §. Pour déterminer les coefficients de cette relation, on peut prendre m — 1 des équations ¢ indépen- dantes entre elles. Elles forment un système de # — 1 équations linéaires homogènes, independantes entre elles, à # variables, dont la résolution est donnée au $ 11. Il est possible qu’un ou plusieurs des coefficients de la relation linéaire entre les équations § soient nuls. Dans ce cas il existe une relation linéaire entre celles des équations § dont les coefficients dans la relation ne sont pas nuls. De là le théorème: Quand m équations linéaires homogènes à » variables, où u < n, sont liées entre elles par une relation linéaire dont quelques-uns des coefficients sont nuls, et qu’on prend de ces équations celles qui se rapportent aux coefficients qui ne sont pas nuls, le plus grand commun diviseur des déterminants de l’assemblant des coefficients de ces équations est nul. $ 39. Pour l'évaluation des coefficients de la seule relation linéaire entre les équations 4 le choix des w — 1 équations € indé- pendantes entre elles, n’a aucune influence; on trouve toujours le même résultat. à le théorème suivant: De là le théorèr vant Quand u équations linéaires homogènes a » variables, où m ss COND Ng On les calcule en résolvant trois quelconques des équations a Py À don Pa À 431 Pg À Aar Pa =O, He ST OPEN CP A ed Oo 13 Py À og Pa À A33 Ps À Uig Pa =O, Ara Dy Ar Co Pa RAR Pi 10, os MERS ee (66). 215 Zi, A Sop Pa ta Aes bn aaa 1621 Hr Coe Po ay toe se PAT 9, Re Le fer Po Pd eral THÉORIE GENERALE DE LV’ ELIMINATION, 27 Prenant dans ce but les 2”, 7e et iere, on trouve: 2, UZi Wi di U3i Ci arj daj Chi Uti dj 43; daj dj ahj | —| aj a3) aj aj daj daj | — Oyj 42) 43; dak 43h Wk Uik Whe Ahk Uk Uk Ahk Bk Uk 43e | (6 7) Pu Pig P13 Pis Les numérateurs de ces fractions sont tous divisibles par les dénominateurs. En prenant pour 7, 7 et 4 les valeurs de lan = 7, on trouve le théorème suivant : Quand m équations linéaires homogènes à » variables, où m équations § sont liées entre elles par # re- lations linéaires indépendantes entre elles, il existe ($ 48) une re- lation linéaire entre toutes m—/ + 1 de ces équations. Supprimons une de ces #-—# + 1 équations dont le coefficient dans la relation linéaire ne soit pas nul, les équations restantes forment un système de m—s équations linéaires homogènes, indépendantes entre elles, à x variables. A ces équations on peut satisfaire en tout par n—m +- # systèmes de racines, indépendants entre eux. De là résulte le théorème suivant: Quand 1 équations linéaires homogènes à # variables, où m md u—l, le nombre des lignes est inférieur au nombre des colonnes, ou v < »,. Pour 4 2. $-59, Si l'on a LES ds Nr re oye NP NE RE En (5), les deux membres de l'identité (3) deviennent nuls. Puisque tous les coefficients des fonctions @ et X ne peuvent s'évanouir, on ne peut satisfaire à l’équation (5) que des deux manières suivantes : — | x [pas ae > % 2 2. par gp = oet y = 0. De la première manière on satisfait à l'équation (5) mdépen- damment des valeurs des variables v et y; de la seconde manière, indépendamment des valeurs des indéterminées s. G 3% 36 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. § 60. Indépendamment des valeurs des variables 2 et y on peut satisfaire à l'équation (5), sil existe un système de racines s’ pour les équations 6. Sans qu'une relation entre les coefficients des équations (1) soit nécessaire, il existe au moins un système de racines pour les équations 6, si l'on avm+u—l. Comme # est arbitraire, 1l est aisé de remplir cette condition. Si les déterminants de l’assemblant de la fonction # ne sont pas tous nuls, il existe pour les équations § en tout v,—v systèmes de racines, indépendants entre eux ($ 21). $ 61. La forme de la fonction # donne le moyen de trouver, sans résolution directe des équations 4, les v,—v systèmes de raci- nes de ces équations. Kerivant l'équation (5) dans la forme Re PAM UE X y les deux membres qui sont du degré 4—m—n, deviennent égaux pour toutes les valeurs des variables » et y, si l’on pose De EEEN DE (7), où f est une fonction homogène du degré 4 — m— x des variables æ et y. A ces équations on peut satisfaire de v, = # — 7» — n + 1 manières, c'est-à-dire d’autant de manières que la fonction f a de termes. Pour Péclaircir, on peut écrire les fonctions ® et X des », manières suivantes : 11, —1À We 1 : 2 es r \ P @ Yi + DP, 5 307 Pi —- X; A 0, —2 : Vs — PP CN ET y De Xoo Vo—3 Va —3 : Q p eying DU KS we” y Xa alu tits (5), dans lesquelles Pio Por Pg, +++» Py, représentent des fonctions homogènes du degré om par rapport aux variables æ et y, Las Hos Kw +++ Av, de même, des fonctions homogènes du degré x par rapport aux mêmes variables, THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 37 tandis que ®,, D, ....®,, X,, X,, .... X,, représentent les termes restants des fonctions ® et X. En posant successivement UE KNS 4 =0,X So, X2 En À ’ Po === (UNE ®, Sl 2 x, == OS he ee (9); ete KT 0 , on trouve v, systèmes de valeurs s qui satisfont, indépendamment des valeurs des variables a et y, à Véquation (5) et qui fournissent ainsi v, systèmes de racines s des équations 6. § 62. Ces wv, systèmes de racines s_ sont indépendants entre eux. Pour le’ démontrer, multiplions-les respectivement par les arbitraires 4, 4, 4, .... ¢,, et ajoutons-les; les fonctions linéaires homogènes ainsi obtenues, égalées à zéro, forment v, équations linéaires homogènes ¢, auxquelles on devrait pouvoir satisfaire par un système de racines /, si les systèmes de racines s’ n'étaient pas indépendants entre eux. $ 63. Les v, équations ¢ peuvent se réduire à deux groupes, savoir: Groupe I, se composant de a, équations dont les coefficients ne renferment pas d’éléments a; Groupe Il, se composant de a, équations dont les coefficients ne renferment pas d'éléments 6. Nous multiplions les équations de chaque groupe successivement par les arguments d’une fonction homogène, respectivement des degrés #— 1» et k— u des deux variables v et y, où wet y sont des grandeurs arbitraires, et nous ajoutons les résultats de chaque groupe; ainsi on trouve les deux équations: Ty — 0 et AVES cea | EGY OAR RENE SN Aa ARTE a (10), dans lesquelles la grandeur T représente une fontion homogène du degré 4 — » — n des deux variables zet y, ayant pour coefficients les v, arbitraires 7. $ 64. Si Pon peut satisfaire aux équations linéaires homogènes { par un système de racines 4, celui-ci satisfait aussi aux équations 2 (10) indépendamment des valeurs des variables @ et 7. 38 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIM NATION. Comme on ne peut satisfaire aux équations (10) indépendam- ment des valeurs des variables 2 et 7, qu'en prenant pour les arbitraires ¢ des zéros, il n'existe pas de système de racines pour les équations ¢. Par conséquent, les v, systèmes de racines s sont indépendants entre eux. § 65. Les déterminants de l’assemblant des systèmes de racines s sont proportionnels ($ 24) aux déterminants supplémentaires de Passemblant de la fonction F. Les déterminants de Vassemblant des systèmes de racines s’ sont premiers entre eux. En effet, s'ils avaient un commun diviseur qui fût une fonction des coefficients des fonctions » et x, il existerait dans le cas où les coefficients avaient des valeurs qui réduisent ce commun divi- seur à zéro, au moins un système de racines / pour les équa- tions £. C’est impossible, comme il a été démontré au paragraphe pré- cédent, done il est aussi impossible que les déterminants de Passem- blant des systèmes de racines s aient un commun diviseur qui est une fonction des coefficients des fonctions p et %. $ 66. En substituant les valeurs U — hk: + il > | Vn a ne ee RIDE | u == hk — "M Bae ls | dans la forme v—v, + vg, on vérifie aisément la relation v — 0 + Vo ZS lor “ab re BEN A 0 enr la fe (12), qui doit être remplie d'après $ 29. $ 67. Le plus grand commun diviseur des déterminants de Vassemblant de la fonction # s'obtient ($ 26) en divisant lun de ces déterminants par le déterminant supplémentaire de lassemblant des systèmes de racines s°. On peut l’exprimer par l'équation 1: D Re et RER (13) Dy. 1) Les indices v et v, n’ont pas ici la signification du $ 2, mais indiquent seule- ment le degré des déterminants, représentés par les symboles Dy et Do, THÉORIE GENERALE DE L’ ELIMINATION. 39 § 68. Sil existe pour les équations (1) une solution commune (@,,7,), on peut satisfaire à l’équation (5) indépendamment des indéterminées s. Substituant à + et y les valeurs +, et y, toutes . les fonctions € s’évanouissent, et l’équation (3) se transforme en Deen a oe ae Yn Ya ss Hi bu == OO . AD. Cette équation indique que les fonctions § sont liées entre elles par une relation linéaire dont les coefficients sont: k-1, k—2,, 2 Te UR DE NEE Y Chaque solution commune des équations (1) conduit à une rela- tion linéaire entre les fonctions 0. Pour obtenir le résultant, il suffit de supposer qu’il n’existe qu'une seule solution commune des équations (1). Les fonctions § sont en ce cas liées entre elles par une seule relation linéaire. k à Dies By $ 69. Quand on pose le degré # de la fonction # tel que le nombre des fonctions 6 ne soit pas supérieur à celui des indéter- minées s, l’existence d’une relation linéaire entre ces fonctions exige que le plus grand commun diviseur des déterminants de l’assemblant de la fonction / soit nul. Ce plus grand commun diviseur est donc le résultant des équa- tions (1). L’équation (13) en est l’expression. $ 70. En considérant l’équation (13), on trouve que le résul- tant est une fonction homogène des coefficients des fonctions p et ré x du degré PRES GER ON EEE (16). Par rapport aux coefficients a de la fonction ¢ il est du degré Et bn ret MI Dn Se (17), et par rapport aux coefficients 6 de la fonction x du degré te — UV, = ER — | —(k—m—n+1) —= m»m ....(18). On démontre les formules (17) et (18) en prenant pour D, un déterminant qui renferme seulement des éléments a, ou un déter- minant qui contient seulement des éléments 4. $ 71. Bezout, au lieu de donner au degré de la fonction F une valeur arbitraire, posa: Dine We ee ee, Ee (19). 40 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. On a pour cette valeur de # les valeurs suivantes: ÙU — mA, = Ml Cee Pee en ld en NT da (20), 0 > S > pen et le résultant $ 72. Quand on augmente la valeur adoptée par Bezout de A unités, on obtient les valeurs suivantes: k=mt+a—l+a É en eine == © - A à a =k nl m+ À (22). vi = 4 dd mn+aà, DRE m +- n + 22, NN ES TEE À À | | | Pour A — 0, on a v, — 0 et v = v,; dans ce cas, il n'existe pas de système de racines s. L’expression du résultant devient pour cette valeur de A la plus simple, mais toute autre valeur positive de A conduit aussi au résultant. Il reste encore à démontrer que les valeurs négatives de A ne conduisent pas au résultant. | Lé raisonnement qui nous révéla l’existence de wv, systèmes de racines s indépendants entre ‘eux, nous fait voir en même temps que ces systèmes de racines existent seulement, si #Æ n’est pas inférieur à m- %. Pour # < mn ou À <1, il n'y a pas de tels systèmes de racines. Pour À = 0, on a Ve = 0 Ch v= ús exis tence d'une relation linéaire entre les fonctions § exige dans ce cas que le déterminant des coefficients soit nul. Pour A < 0, vy est négatif; de l'équation (12) il s'ensuit v — v, = — vy. Le nombre v des équa- tions 8 est de —v, unités supérieur au nombre v, des indéterminées s: les équations @ sont alors liées entre elles par — v, relations linéaires, sans qu'une condition entre les coefficients soit de rigueur. Donc, les valeurs négatives de À ne conduisent pas au résultant. La plus petite valeur de A qui conduit au résultant est donc A — 0, et la plus petite valeur pour # est la valeur choisie par bezout. THEORIE GENERALE DE L’ELIMINATION. 41 $ 73. Pour éclaircir la théorie générale qui précède, nous déter- minerons le résultant des équations : PE ae + ay ay + af + a ay? + a5 9 = 0, | (23), Kent +b y tbe y+ by =o, Suse où l’ona m — 4 et x= 3. Pour # — 11, on obtient les valeurs suivantes: bne ader Poor idd! == 9, PEER PME RS EENS (24) G, = & + a = 17, D =k mnl LS On a ensuite: @ = 5 aT + by aby + 8, 0% y? + 84 ah y3 da a8 yt + 56 wy? + 87 rpl 897, X Sq af 810 yen pt + 549 2° YF Hagerty Ht Hs 2° y6 3D): Fo 29 + 79%, F=—%q+Xxy, d'où Von déduit l’assemblant !): | Tea pl DO een 0 OR Suda Sis) Spares: fie 7 fesse! ay by mo — ir CERTA by by DEN TUE Az Ug dj ba ba 6, D, — voy? Us Ag Ay Ay b, b, by br A Az y Mg Ag Ay by by by b ne dz dy Az Uy dj b, bs by by ces : . (26). jp LI Us y Ux Ug Ay b, b, by by Ps — xty7 Us Ay Ag My dy : by bs by by Py = ty? ds Uy dz A : b, bs ba bi Py vy? Chea es | by bs by Pu = vy"? A5 as : by 4s Ma ds 64 *) Ici et dans la suite, le lecteur est prié d'ajouter mentalement des zéros aux vides des assemblants, 4,9 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. On peut écrire les fonctions ® et X de DEN manières : ® wt (5) a8 + 55 2° y + 9g wy? + syy?) + 85 a y4 derge + 87 wyS Hoy! ay (82 28-53 ay se + $5 y9)-+ 507 Hey dere? Hey] , 22 y? (33 a8 + 8,0? y ss cg sg) 8 27 sy a8y 4-87 0y® sey" wy? (5428 + 5; ay say og) Hana Hay Hey + sy”, Y* (85 BB 8 wy 87 wy? Esp) + 8 aT Hse Heyse, x: EE et (8) etsen ey Heats 515344) Het Henst pt Hse Hert ey (moeten yder? Dsg a sy says, so yes en dsg 2 Hot y 1629-9179 & poseren yesse sn deg 8 10279 81 0 98179 8 sta y ss 22 oep sang) 0 08 sy sn yo, / De là on deduit les v, — 5 systèmes de racines s, contenus ev dans les lignes de lassemblant : Bi ee ES ees D OSE Mei a B Soro ALT, #10, SUB Aue peg esa tlb —b, —b, —b, | dj Ug Ag Uy Us ty —b, — 3 —b3 —by | dj Ag Az y Og ty —b, —b, —bz —b, dj dg dg My As (28), te —b, —b, —b3 —by dj dg dz My dg Ús —b, —be, —b3 —b4 My Wy Az Ay Gs dont les colonnes contiennent les coefficients des fonctions linéaires 4. Les deux groupes formés par les équations 7, se distinguent nette- ment dans le tableau (28). Dans les 8 premières équations on ne trouve pas les coefficients a, mi dans les 9 suivantes les coefficients 4. La fonction homogène indiquée au $ 63 par T, est dans ce cas ib baden goes el, BY? A= de en aa (29). L’équation (13) nous fait trouver le résultant des équations (23) en divisant l’un des déterminants de l’assemblant (26) par le déter- minant supplémentaire de Passemblant (28): THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 43 ay by lo dj by by dy My Ay bs bg bj Uy, Mx Ag Ay by bg by az dy Ag Ag Ay by bs, al Ms Uy dg My ay by Ms dy, Ag Ug dj dz Ay dg Ug as Uy, as § 74. Quand on prend dans l’exemple précédent pour # la valeur adoptée par Bezout, on trouve: k=mda—l 6 ahem + 1 kt) gk A — DRE | RC en Oe hi RENE Ee lr SI NE | On a ensuite F= (8, 2° + 8 wy + 83 y?) (ay at dy wy Hag a? y? + as x y + as y*) + (aast ss ay + 56 ry? Hay) (6, bgg +b ry Hb 93). (32), d'où l’on déduit Vassemblant Spies, ~My) dE po 2 a oid, FES RACE” AT EYE Gee Og Ay oO 20, OS UE MR OS A NU ARE el gal NCS a, x b, pee y° CAR? Dre 9 2 as et le résultant 44, THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. ay b, dd OA Bs EC Ds LE 1) DD ee a (34) ds Ay Gs ODD a, ay 4 Va de, b A .$ 75. Dans Véquation (30) nous avons choisi à dessein un déterminant de l’assemblant (26) qui, divisé par le déterminant supplémentaire de Vassemblant (28), fournit immédiatement le dé- terminant (34). Si l’on avait pris un autre déterminant de l’assem- blant (26), il n'aurait pas été si évident que les expressions (30) et (34) sont identiques. On peut déduire de l’équation (3) que toute valeur de # qui n'est pas inférieure à mw + # — 1, conduit au même résultant. Re- marquons, pour le démontrer, que des 2, + a, indéterminées s qui se trouvent dans les équations 4, les premières @, sont les coefficients de la fonction ® et les suivantes &, les coefficients de la fonction X, et appliquons le théorème suivant : Quand un système de racines s’ dont les éléments correspondant aux © derniers coefficients de la fonction X sont nuls, satisfait aux équations 0, les éléments qui correspondent aux ? derniers coefficients de la fonction p sont aussi nuls. En même temps les à dernières équations 0 disparaissent. Pour démontrer ce théorème, observons que les deux membres de Pidentité (3) deviennent nuls pour les valeurs des indéterminées s qui satisfont aux équations §. Pour «v=o, le premier membre de l’équation (8) se réduit à y" 6,4, et le second membre ay“ (a, + 1 eat De More a) De là on conclut que, si s4 +, —0. En introduisant ces valeurs dans l'équation (3), et en divisant == 0, on a aussise — 0 et, à les deux membres par a, on trouve que, Si Sy, + «u, —1 — 0, On aura aussi .-1—=0 et 0, —=0, et ainsi de suite. Quand il existe pour les équations § un système de racines s’ Se dont les 7 derniers éléments sont nuls, il existe aussi un système de racines pour les #7 équations linéaires homogènes restantes, quand on supprime les # dernières équations 9, ainsi que les 27 indéterminées s qui forment les # derniers coefficients des fonc- tions ® et X. Introduisant un tel système de racines s dans l'équation (3), et divisant les deux membres par a’, l'équation THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 45 qu'on obtient est précisément la même que celle qui s'ensuit de la fonction /, quand on diminue le degré # de 7 unités. Pour les v— équations à restantes il existe encore un système de racines. Dans le cas où les fonctions 4 sont indépendantes entre elles, cela se démontre en prenant pour 7 la plus grande valeur possible. Les équations 8 ont en ce cas tout au plus Dy == 0, —v systèmes de racines, ae entre eux. La plus grande valeur de est donc ae —1, le nombre des équations 4 restantes est» — 7 = Dr a A A Ll = m + x + 1, tandis que le nombre a en restantes est v, — 22 — v, — 2 (wv, — 1) =m + n+ 2a— 2A+ 2=m-+n- 2. Nous avons vu qu'on peut satisfaire à ces équations par un seul système de racines. $ 76. Passons maintenant au cas d’une seule relation linéaire entre les fonctions 6; ce cas se présente lorsqu'il n'existe qu’une seule solution commune des équations (1). On peut alors satisfaire aux équations § en tout par v, + 1 systèmes de racines, indépen- dants entre eux, d’où s’ensuit que v, est la plus grande valeur pour 7 Pour cette valeur de 7 les équations 4 se réduisent v—v, — Mm + x équations linéaires homogènes avec v, — 2 0, = m +- x indéterminées, savoir: les 7 premiers coefficients de la fonc- tion ® et les m premiers coefficients de la fonction X. Un autre système de valeurs pourra encore satisfaire à ces équations, d’où Pon déduit que le déterminant des coefficients est nul. Il en résulte donc que la forme générale (13) du résultant se réduit à la forme particulière (21), comme dans Vexemple du $ 73. ÉVALUATION DE LA SOLUTION COMMUNE 5. $ 77. La théorie précédente donne le moyen de trouver le système de racines des équations (1), si le résultant est nul. Evaluant ($ 38) la relation linéaire qui existe dans ce cas entre les équations 6, et la confrontant avec la relation linéaire (15) qui doit exister (§68) entre ces fonctions, on voit que deux coeffi- cients successifs de cette relation forment un système de racines pour les équations (1). ") Abel a donné une autre méthode pour déterminer la solution commune de deux équations dont le résultant est nul, dans les Annales de Mathématiques de Gergonne, tome XVII. Voir: J. A. Serret, Cours d’Algébre Supérieure. 46 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. Les coefficients de cette relation se déterminent par la résolution de »— 1 équations ¢, indépendantes entre elles. Ils sont propor- tionnels aux déterminants contenus dans v — 1 colonnes indépen- dantes entre elles de l’assemblant de la fonction #. La solution commune des équations (1) s'exprime done par un système de deux déterminants du degré #, se réduisant au degré m + # — 1 pour la valeur de # qui est fixée par Bezout pour trouver le résultant. $ 78. Au moyen de l'identité (3) on peut diminuer encore le degré de ces déterminants d'une unité. Quand il n'existe qu'un seul système de racines pour les équa- tions (1), il ne peut exister entre les équations § qu'une seule relation linéaire, quelle que soit la valeur de #. La plus petite valeur de Æ s'obtient dans ce cas en posant v, == — 1, exprimant (§ 72) qu'il existe entre les équations § au moins une relation linéaire. On a dans ce cas À = — 1, tandis que les équations (22) donnent les valeurs suivantes: hk =d n 2, \ mnl 4o = m— | , ae iat DESK Gn CUT KOPEN uric (35) v0 =m+n—l, ab ae oe Ak mt ey Mens O On eo ET od, tig, == à m Ao ti =), En résolvant v — 11) des équations ¢, indépendantes entre elles, on trouve les valeurs de a et de y sous la forme de déterminants du degré v—1]1==m-+n— 2, lequel est de deux unités inférieur au degré du résultant, $ 79. Appliquons la théorie précédente aux équations (23), en supposant le résultant de ces équations nul, on aura m — 4 et n — 3, et les valeurs suivantes: k =m--n—2 == gee te iam Ih = Du do —= k — nr +] — D, A a ' ARE ROPES aie tomes OP. OO hy (36), DRE Sed = 67, 4 ae ses 5 vy = a tay = 5, Do =k—mum—at+l=—], | tandis que la fonction ') Dans ce cas particulier toutes les équations &, car on a v—1—=v,. THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. P= (nr + 49 y) (a at + ag 23 y + ag 2? y? + a, x y La, y*) + (8, tds, ay Hs y?) (by v3 +- by ay + by vy? + 4, 7°) conduit à l’assemblant CCC RE TN, MP get Mile ar by LE 2 b DIT OY. Et a ine TPS Pz = wy? | az az bz by by NERO A Pa = Uy” | 4, Gg b, bg bo HE 4 Pe det, b, 6, ee 5 Beh ied as b, De là résulte que la relation linéaire qui existe tions 6, est exprimée par Pi da dj bg Cy ay dg dg Og by by As, Ag bx ba by ty ds by bs bo by Os by —| a, 43 Oy, bg Og b, bs by ty Oy ds Us a nl a; Des deux premiers membres de légalité P3 entre les fonc- Pa Ay dg dy by by dj dy 43 O4 bs Va by, bs by As Uy, ay solution commune des équations (23) : — etc. (39). am fy Ug My by by —| 48 da bg ba by by bs by Ur Uy, a- o (39) on obtient pour la di N nt De (40). Go a; by b, a, b, 43 A9 b, Os b, As, ENEN PNR A, as b, ba by aa: By b3 by ds a, b, bs a. a, b, ba as, by as, by On trouve par la théorie des polynômes entiers que les fonctions p et x sont divisibles, à un facteur constant pres, par ay, — ay, ou dans le cas en question par ay b, Ba Ob | Ux ag 03 by b a, a, bs bo 0, GG MOO Oy em Oe: 04 Dg Do Herent en (41). ana, ALLE GQ. a) bi 0% ds b, de b, 50 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. EVALUATION DE DEUX SOLUTIONS COMMUNES. $ 83. Après ce qui précède nous ne nous arrêterons pas aux conditions nécessaires et suffisantes, pour que les équations (1) aient plus de trois solutions communes, indépendantes entre elles, pas plus qu'à la recherche de ces conditions. Il est plus important de faire voir de quelle manière la théorie précédente donne le moyen d’évaluer ces solutions communes. Pour y arriver, supposons d’abord le cas où il y a en tout deux systèmes de racines indépendants entre eux pour les équations (1). Dans ce cas tous les déterminants de l’assemblant de la fonction # doivent être nuls en prenant 4 — » + 2 — 2. Pour évaluer les deux systèmes de racines on prendra 4 == m + n — 3, alors on obt'endra les valeurs suivantes : kk =m+a—3 ; PRESENT? ; as — m — 2 ‘ 2 5 EME EL OR (45) Des hr =m t+n— 2, Dn — 7h + n — À, | TN: m ant+1l=—2 , | Comme v, — —2, les fonctiens 6 sont dans ce cas liées entre elles précisément par deux relations linéaires. L’assemblant de la fonction Æ contient v = » + n— 2 lignes et vy, =m-+2— 4 colonnes, de sorte que les coefficients de ces deux relations linéaires A Zi 7 5 . Mint peuvent ètre trouvés en résolvant v, = m + x — 4 équations linéaires homogènes € avec v = m Ju — 2 arbitraires p. On trouve deux systèmes de racines p’, indépendants entre eux, en posant alternativement Pune de deux arbitraires successives égale a zéro. Les autres éléments de ces deux systèmes de racines ont la forme de déterminants du degré m + 2 — 4. Pour fixer les idées, supposons que ces deux systèmes de racines soient contenus dans les lignes de lassemblant : Pi Pa Pa Pr DE TRE Pe 7 0! 3, an Dm RE | eee (46), q» ze Pin, 10 PB ek, PS ae Pe | THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 51 où les indices ont la signification du $ 2, indiquant les lignes de l’assemblant des coefficients qui doivent être supprimées pour obtenir le déterminant représenté par le symbole. Ni l’un ni l’autre des deux systèmes de racines (46) n’est con- forme au système de valeurs (15), indiquant les coefficients d’une relation linéaire qui doit exister entre les fonctions 6. Pour trouver un tel système, on peut déduire des systèmes (46), comme au $ 14, un autre système de racines dont aucun élément n’est égal à zéro. En multipliant, à cet effet, les lignes de l’assemblant (46) succes- sivement par 7, et gy, et en ajoutant les produits, on trouve un système de valeurs qui peut être conforme au système (15). Ainsi on obtient l'égalité suivante, en supprimant les indices de a et 7: gk ahl y ak—2 y? ak=3 43 yk 7) — Goo HAs —HPst%Pes NPu—GoPu Yi Plu — Po Des deux premiers membres de cette égalité on déduit: o Es ENE (48), eG) VA par laquelle légalité (47) se réduit à æi—1 Meg ak—2 2 ee Lt Le en ee yk en (49) Pie — M3 Y— Past Puy + Pas” PY He ter Les deux premiers membres de légalité (49) fournissent l’équa- tion du second degré: P23 a + Pis vy + Poy — 0 eene ae hek et ester dette Co: 2 ee ALT eee (50), dont les racines représentent les deux solutions communes des équations (1). Au moyen de la théorie des polynômes entiers on trouve que les fonctions p et x sont divisibles, à un facteur constant près, par 5 ‘. dia JIRA ROR MS NII Mar ihe) oe oe rere, EN (51). Remarque. Si l’on avait pris deux autres membres de l'égalité (49), par exemple le deuxième et le troisième, on aurait obtenu, au lieu de Péquation (50), la suivante: pee yy BBE YE wig Y= QE an eee (52). 52 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. Les coefficients des équations (50) et (52) sont proportionnels, done Be Se a SR. re En (53), P23 Pas Pr d’où Pon peut déduire les équations: PiePis — P1323 = LE Sia M en de en aac Un eee (54), Pos <= P2314, — Pisa = 0, auxquelles on en pourrait ajouter d’autres obtenues de la même manière; elles expriment des propriétés particulières de Passemblant, dont elles dérivent. L’étendue de ce mémoire ne permet pas d'entrer dans des détails sur cette question. $ 84. Appliquons ce qui précède aux équations (23). On satis- fera à ces équations par deux systèmes de racines indépendants entre eux, si tous les déterminants de Vassemblant (38) sont nuls. Si cette condition est remplie, l’assemblant (44) donne les coeffi- cients de l'équation (50) du second degré, dont les racines repré- sentent les valeurs du rapport de @ par y. On trouve pour ces coefficients : a; 03 D Pi GE Oy, b, b, as b, ds ban 0, Ps — Ay b, Ds 5 . Yo, Dre ati iva ase wg eel broden BAN Vee (55); a; b, deb} Fa a b, D ; as by de sorte que dans ce cas les premiers membres des équations (23) sont divisibles, à un facteur constant près, par THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 53 A ay. 0 Gs. Oy 05 ds & Bril | a, 6, 6 Lay + a, Ge voyage... (56): a. b, 72 b, 72 b, J Les deux solutions communes des équations (23) s’obtiennent donc par la résolution de l'équation du second degré que Von ob- tient, quand on égale la forme (56) à zéro. ÉVALUATION DE TROIS, QUATRE, ETC. SOLUTIONS COMMUNES. $ S5. Quand il existe en tout trois systèmes de racines indé- pendants entre eux pour les équations (1), tous les déterminants de Vassemblant de la fonction #, en prenant # = m —+- u — 3, sont nuls. Pour déterminer ces trois solutions communes, donnons à 4 une valeur telle que les fonctions § soient liées entre elles en tout par trois relations linéaires. Cela exige que l’on ait v, = — 3 ou À = — 3, de sorte qu’on obtient les valeurs suivantes: k = m+n— 4 , Hi hm n= 8 , oi ae he ESET tet (57). D = k + 1 = m—+n— 3, U — a+ 4} he he 6, = k—--m—n+1=>=—3 , Pour cette valeur de / Vassemblant de la fonction se compose de v=—m--2— 3. lignes et de v, =m + # — 6 colonnes.. On * peut done trouver les coefficients de trois relations linéaires entre les équations § par la résolution de v, =m + x — 6 équations linéaires homogènes € avec v = m-+-2— 3 arbitraires y. Pour / | 5 N , ‘ A PS cela, égalons alternativement à zéro deux des trois arbitraires succes- sives, et calculons les autres éléments de ces trois systèmes de racines par la résolution des équations £. 54 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. Posons, pour fixer les idées, que ces trois systèmes de racines p soient contenus dans les lignes de l’assemblant : Pi Po Ps Pa DR ue Pp, 1 OF a OT Ne Posner Pass » - - : Le Pw (58) 2 nth RP Bis VB ON Sf fos NO ae motes ARS 6 re = Map Ys Pas > OO 0 , ou) Pour Ae Hei, où les indices ont la signification du § 2. On peut déduire des trois systèmes de racines (58) un système de coefficients d’une relation linéaire entre les fonctions 4 qui est conforme au système (15). A cet effet, multiplions les lignes de l’assemblant (58) successivement par les indéterminées 4, 95, 93, et ajoutons-les. En confrontant ce nouveau système avec le système (15), on trouve, en supprimant les indices de x et y, Végalité: gk ely ak 2 y? ak=3 43 73 P123 mu? 7198 11 123 — a Piss À de Piss — 43 Pass De ae y" 28) 1 er + En “ (59) A Pias — de Piss +43 Pass G1 Pon — 92 Pr3v + 93 Paso 6 Des trois premiers membres de cette égalité on déduit: ne yp g 4 2 er ee eee (60), VE — 9 VA et par là on trouve l'égalité: rk? ak=3 43 kt ft P123 — Pa — Pisa Poza” Pros Y? + Piss ©Y Pass OT EE MARE PNR ie zt Nn dec re MSN 1120 Y? + pago & y + pago à? Les deux premiers membres de légalité (61) fournissent l’équa- tion du troisième degré: Dat Fit BY Dr 1 Day =O wen (62), dont les racines représentent les trois solutions communes des équa- tions (1). D'après la théorie des polynômes entiers on conclut que les fonc- tions p et % sont divisibles, à un facteur constant près, par 5 Dag, Bott ra OY Die IE Prag Wt ee ee IIORE (63). Or Or THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. Remarque. En prenant deux autres membres de léquation (61), on obtient pour l'équation (62) une autre forme. De cette manière on trouve, comme dans la remarque du $ 83, des propriétés par- ticulières des déterminants de l’assemblant de la fonction 4. $ 86. Appliquons ce qui précède aux équations (23). Si l’on peut satisfaire à ces équations par trois systèmes de racines, indé- pendants entre eux, tous les déterminants de lassemblant (44) sont nuls. Pour déterminer ces solutions communes, on prend A = 3. Nous obtiendrons les valeurs suivantes: EL =m +n — 4 = D & =k — m+ ] = Oe a, — hk ae + ] —— 1! : AE RE ee RE (64), (2 = k —— i == 4 y= 4+ &3 SS mr, Bm—=k -—m—nT+ Poza = Bi 5. | par lesquelles la forme (63) se réduit a 56 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINA TION. be” de behe NEA. Wetser HEURES (68), la fonction y même. Donc, dans ce cas les premiers membres des équations (23) sont divisibles, à un facteur constant pres, par la fonction 7%, comme il était facile à prévoir. § 87. La théorie précédente permet de trouver pour les équa- tions (1) les solutions communes, s’il y en a plus de trois. Ce qui précède nous dispense d’une plus ample digression sur cette question. Eclaircissons seulement la théorie d'élimination entre deux équations homogènes à deux variables, en choisissant encore comme exemple les équations: part a a8 y ag vty? + ay 0 y3 + a5 et age +a y=, | (ey = by wt + by a8 y + bg a? y? + by wy? + bs yo, Oe) où m=6 et 7 — 4. Formons les assemblants suivants : ay b, : Lis 104 0: i fy Ay Qy bs 05 0; Wy Ox. Ax Di Op 20s 108 0 Os Gj, As Oo Os Di 03002010 (a) # ee EE oe Coe 4), lg Gs al Qe 0: 0, beeb De a, Us ds Un b; b, bz bs GO; Ge Gz 0370, 05 HET bz Or a; bs, ay b, ly 4 by b 4 ÿ PE 2 "1 & a Un 6 ly Ug Ay bs be b ey lace eee 3 pe KES dg Aa bg bg by a (le Uy 0 ‘ o U Abe be 4 %3 Va 1 j ly Als Un bs ba by : Ue Uy Gg Ue vba Vg Oy Oy nnn (0), ek hd ee (c), 5 ¥ 5 4 8 ) lg Us Uy bs by bg bo Be + tre 4 Bh ay, a bs by 03 de Uy Os bs by bg bis ee ; 3 dy dg bs by Us Un i] ) i 6 4 (ly b. dy b, } 5 | THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 97 ab db Dy, b, “sbs b, b, bs bi GEO de ER VTM Ose Ast pel Je RP (e), mb bi Os | b, 03 a b; by b; b, A; b. | Bal dont le premier est un déterminant du degré w + 2 = 10, tandis que chaque assemblant suivant compte deux colonnes déterminées de moins que le précédent. Sil n’y a qu'un seul système de racines pour les équations (69), le déterminant (a) est nul, et la solution commune se déduit de l'équation : D OP SOLER TEE AAS LA Li Lui (70), dans laquelle les coefficients sont des déterminants, empruntés à l’assemblant (4). S'il y a deux systèmes de racines indépendants entre eux pour les équations (69), tous les déterminants de Vassemblant (4) sont nuls, et les solutions communes se trouvent en résolvant Péquation du second degré : BN A NO = Om al A a Ze (71), dont les coefficients sont empruntés aux déterminants de lassem- blant (c). S'il y a trois systèmes de racines indépendants entre eux pour les équations (69),. tous les déterminants de lassemblant (c) sont nuls, et les solutions communes se trouvent par la résolution de l'équation du troisième degré: Diet Dey wy Da Din y — 0 .......:1:.. (72), dont les coefficients sont empruntés aux déterminants de lassem- blant (d). Si les équations (69) admettent quatre systèmes de racines indé- pendants entre eux, tous les déterminants de Fassemblant (d) sont nuls, et les solutions communes s’obtiennent en résolvant l'équation du quatrième degré: Bass 2 + Bygys ty H Bogs 229? + Biggs er? + Zigga =O. (73), It 8 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. dont les coefficients sont empruntés aux déterminants de Vassem- blant (e). L'équation (73) se réduit, après division par 4,, à bie Ebay + b ay? EE bag + bs y = Ort taarten (74), comme il était à prévoir. IL Elimination entre trois équations homogènes à trois variables. ÉVALUATION DU RESULTANT. $ SS. Pour déterminer le résultant des trois équations homo- gènes des degrés /, m et x à trois variables: © pep, 2) =a at + ay al y + ag al—1 ar olp? Has alty + AG al-2 22 + aq al—3 yp + ag al—3 Ve 2 +h. 5 + Ql +4) (l 4-2) a A 2 % (Gd A 2) == xm + by, vn y | bz ami z | by, am—2 y? | bs emd yz + + 6 am—2 72 +b; am—3 3 + dg ens y? z+. é + bon +1) On +2) zm—p9, CI 3} w (v, y, 2) =a at + eg oh y Cals Gy at 2 es ate - + eg #2 22 oz an 8 y3 Log an 38 y? z+, . en +1) (n +2) 2" =, >) Bezout a pris une fonction exprimée par F=bdp XXL Den RAN NE RARE SERRES (2), où ®, X, YP sont des fonctions homogènes à coefficients indéter- minés s. Le degré de la fonction # est arbitraire. Si # est du degré 4, les fonctions ®, X et Ÿ sont respectivement des degrés 4—7, h—m et An. Le nombre des termes d’une fonction homogène du degré # à trois variables est égal à la somme de la progression arithmétique HDi. He ve & + 1, c’est-à-dire, à v = CENTER THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 59 Les fonctions ®, X, Y contiennent donc respectivement __ (k—1+1) (k--l +2) _.. (Mt 1) tk — m + 2) __ (k—n+1)(k—n +2) nie 2 “led JE hed: Mer 2 => termes aux coefficients indéterminés s,, 5, #3,.... 8,. à « 1 La fonction / peut être développée de deux manières: 1. suivant les arguments consécutifs d’une fonction homogène des variables x, y et z; 2. suivant les indéterminées MT 8 De là on déduit l'identité: 3, etc. ak 04 + ak—-1 y 09 + ak-tz 03 + wk—2 GO, Lak-2y 205 H.H 0, 34 al, tsp okt ‚pag hell zp J.J sa, 21, p oe, ah. à 82,4 90k—-M—1y, psa pgo Az gd. se pa, EM, + ga apie, y Hsu para 26-04 y, psa page nt 2 pt... sa pa pa, eet. yp... (3). Les grandeurs § du premier membre de cette identité sont des fonctions linéaires homogènes des indéterminées s, dont l'assem- blant des coefficients contient ¢e = “*“** Tignes de D =4 +a +43 éléments, représentés en partie par des coefficients des équations (1), en partie par des zéros. Quand on donne à Véquation (3) la forme: PI On + p2 05 + ps 03 +. É + py Ü, = $s cy + 52 Go + 53 C3 +. 7 + sa, Ca, — 3a +1 ba +1 + eeen + Sa HAA, Ca Had, TOO EEE ee (4), il est évident qu'il existe entre Videntité (3) et cet assemblant le même rapport qu'entre la formule (5) du $ 5 et lassemblant (1) dus: 1. Par conséquent, la fonction # donne lieu à former pour toute valeur du degré / un assemblant qui contient » lignes et v, = a, + a -+ 23 colonnes. Les æ, premières colonnes renferment seulement des coefficients de la fonction p et des zéros, les a, suivantes seulement des coefh- cients de la fonction x et des zéros, les a, dernières seulement des coefficients de la fonction W et des zéros. Quand on donne différentes valeurs à #, la nature de cet assem- blant reste la même, quoique le nombre des lignes ainsi que celui des colonnes varie. En général, #% n'admet pas de valeur pour laquelle Passemblant se change en déterminant; 4 n’admet pas non plus de valeur, fonc- tion de /, m et x, dont on peut être assuré qu'elle rend le nombre des lignes (ou des colonnes) supérieur a celui des colonnes (ou des lignes). 60 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. La différence entre le nombre des colonnes et celui des lignes s'exprime par l'égalité Djerv eene (5), qui devient par la substitution des valeurs de @ réduction fate, 1» Yo, be CURE seg De cette équation on peut tirer les conclusions suivantes: 1. quand # > 7 Em + » — 2, le nombre des colonnes est toujours supérieur au nombre des lignes, car la plus petite valeur de Z, m et x est unité; 2: UAC En 2.) On a) Z (ZI m (ml i Al y : =A \ Dei EE es ai er à cette valeur étant supe- 2 . . A \ Z vieure ou au MOINS égale a Zero; 3. quand &#< /-+m-+un 2, par exemple pour 4 = 7 + a == U 2 — À, on trouve, après réduction: v, — v = ARA Yi mle (RADE A+ DH 220-41) — - 4 cette valeur pouvant être supérieure, égale ou inférieure à zéro. $ 89. Si l’on peut satisfaire d’une manière quelconque a l'équation les deux membres de léquation (3) s’évanouissent. Cela est possible de deux manières : 1. indépendamment des valeurs des variables +, y et z; 2. indépendamment des valeurs des indéterminées s. $ 90. Indé pendamment des valeurs des variables &, y et z on peut satisfaire à léquation (7), sil existe un système dé racines $° pour les équations 6. Sans qu'une relation entre les coefficients des équations (1) soit nécessaire, ce cas se produit, si l’on a v, > v. Il est facile de remplir cette condition, car # est arbitraire. On peut dans ce cas supposer que les déterminants de lassem- blant de la fonction # ne soient pas tous nuls. Les équations 9 ont donc en tout v, — v systèmes de racines s indépendants 1 entre eux. THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 61 La forme de la fonction F fait trouver, sans résolution directe des équations 8, au moins v, — v systèmes de racines de ces équations. On voit aisément qu'on peut satisfaire à l'équation (7), indépen- damment des valeurs des variables æ, y et z, des trois manières suivantes : xX — Pp \ Pe oo 02 1 == En Y x À LA a 2. Â=0, — = - NE end ad ON 8). 5 i (5) a. YY =o, base = es : X dd Comme les identités de la seconde rangée sont respeetivement du degré 4 —m n, & ln et k—/—wm, on peut conclure que les trois manières susdites fournissent respectivement : eN VIND | ie se LG la première £, ok sel ite i iret Mt i ~ (4&—l—a+t lk >» 4 l—n +2) la deuxième 2, = Lx jee, WEE HR re hide d la troisième 2, = manen zi Lm + c'est un total de v, = 2, + P, + By systèmes de racines s’ pour les Équations 6. $ 91. Ces », systèmes de racines ne sont pas en général indépendants (4—l—m—n + 1) (A—l—m—an + 2) .) entre eux, mais liés par v, = relations linéaires. Pour le démontrer, multiplions ces #, systèmes de racines s/ respectivement par les indéterminées fi to, a NE et Bjoutons les produits; les polynômes ainsi obtenus, égalés à zéro, forment v, équations linéaires homogènes /, auxquelles on devra pouvoir satisfaire par des systèmes de racines 4 qui ne se composent pas de zéros seuls. $ 92. Ces équations se subdivisent dans les trois groupes suivants : 69 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. groupe I, se composant de a, équations dont les coefficients ne renferment pas d'éléments a, groupe II, se composant de a, équations dont les coefficients ne renferment pas d'éléments 4, groupe III, se composant de a, équations dont les coefficients ne renferment pas d'éléments c. Multiplions les équations du groupe I respectivement par les arguments consécutifs d’une fonction homogène du degré #—7 des trois variables +, y et z; les équations du groupe II de même, par les arguments consécutifs d’une fonction homogène du degré #—» des mêmes variables; les équations du groupe HI de même, par les arguments consécutifs d’une fonction homogène du degré #—» des mêmes variables, 7, y et z étant des grandeurs arbitraires, et ajoutons les résultats de chaque groupe; on obtiendra les trois équations: AEN cee VE € | S dans lesquelles les grandeurs T représentent des fonctions homo- genes des trois variables a, y et z: T, du degré 4—m—n, ayant pour coefficients les 6, premières indéterminées 7, T, du degré 4—/—n, ayant pour coefficients les (2, indétermi- nées ¢ qui viennent ensuite, T, du degré 4—/—m, ayant pour coefficients les (2, dernières indéterminées 4. Si les systèmes de racines s sont liés entre eux par une ou plusieurs relations linéaires, on peut satisfaire aux équations (9), indépendamment des valeurs des variables +, y et z, par les systèmes de racines / des équations 4. Réciproquement, si l’on peut satisfaire aux équations (9), +, y et 2 ayant des valeurs arbitraires, par un système de valeurs 4, celui-ci satisfait aussi aux équations 4: les systèmes de racines s sont donc liés entre eux par des relations linéaires. $ 93. Aux équations (9) on peut satisfaire en posant THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 63 On peut remplir cette condition d’autant de manières qu'il y a de termes dans une fonction homogène du degré 4—/—m—an à ; ‘ ; k—l—m—a + 1)\(4—l—m— n + 2 trois variables, savoir de v, = Ga _ ze — - F st ~ on ve : : / “7 manières. Les systèmes de racines s sont donc liés entre eux par v, relations linéaires. § 94. Les vz systèmes de racines / sont indépendants entre eux. Pour le démontrer, ajoutons-les après les avoir multipliés par les indéterminées u,, uy, %,.... u,,3 les résultats, égalés à zéro, forment v, équations linéaires homogènes, qui devraient être vérifiées par un système de racines 7, ne se composant pas de zéros seuls, si les systèmes de racines ¢ étaient liés par des re- lations linéaires. Ces équations w peuvent se réduire aux trois groupes suivants: groupe I, se composant de f, équations dont les coefficients sont seulement des éléments a; groupe II, se composant de (2, équations dont les coefficients sont seulement des éléments 5; groupe III, se composant de (2, équations dont les coefficients sont seulement des éléments c. Multiplions les équations du groupe I respectivement par les arguments consécutifs d’une fonction homogène du degré Am — 7» des trois variables », y et z; les équations du groupe IL par les arguments consécutifs d’une fonction homogène du degré *—-/--x des mêmes variables; les équations du groupe HI par les arguments consécutifs d’une fonction homogène du degré 4—/—m des mêmes variables 2, y et z, ces grandeurs étant arbitraires, et ajoutons les résultats de chaque groupe; on obtient les trois équations: Wir RENE MENU TEEN GE Dans ces équations U représente une fonction homogène des variables +, y et 2, du degré 4—/—m—n, ayant pour coefficients les v, indéterminées #. Si les systèmes de racines # n'étaient pas indépendants entre eux, il faudrait pouvoir satisfaire aux équations (11), w, y et z ayant des valeurs arbitraires, par un système de valeurs #, ne se composant pas de zéros seuls. Comme c'est impossible, les syste- mes de racines { sont indépendants entre eux. $ 95. Les déterminants de l’assemblant des systèmes de racines sont premiers entre eux. 64 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. it de fait, s'ils avaient un commun diviseur, fonction des coeffi- cients des fonctions y, x et W, il existerait, en donnant aux coeffi- cients des valeurs qui en: ce commun diviseur à zéro, au moins un système de racines w’ pour les équations #. C'est impossible, comme nous avons démontré au paragraphe précédent; done il est aussi impossible que les déterminants de l’assemblant des systè- mes de racines / aient un commun diviseur. Il reste encore à démontrer que les déterminants contenus dans v,—v, lignes quelconques de Vassemblant des systèmes de racines s, mont pas d'autre commun diviseur que le déterminant supplémentaire de Vassemblant des systèmes de racines 7. Si leur plus grand commun diviseur contenait un autre facteur, on pourrait encore satisfaire aux équations (10) par d’autres valeurs que les vj systèmes de racines / susdits, les coefficients ayant des valeurs qui réduisent ce facteur à zéro. Cela serait seulement pos- sible dans le cas particulier où les fonctions 4, x et / auraient un commun diviseur, et si elles pouvaient être réduites ainsi à un degré inférieur. Il est clair que ce cas reste ici hors de considération. $ 96. En substituant les valeurs G+1)(G +2) == 3 > MN sut niet RR: (k 1) (4 2 2 + 3 (2 m2 n°? alde pm SELS Eed, me pp, De du —n+1) (h ne seh willl 2 19 Bte nl 2) (EE se oe (KAA) (+2) 2 3. 2 (1+m+n). > 9 (k& —1l—m—n-+ 1) (k—l—m—n4 Cues PI | ( ( | DER je Ma + (ln)? Ati, | (he + 1) (4 + 2) 2k+3 (+ m+n) NN ENT 2 — (LH m + )— | on trouve Ve dans la forme v—v, + vj— 03, erty emi den bede) Fen) a à ear Us =0.(1 B) conformément au $ 29. § 97. Nous avons considéré dans ce qui précède trois assemblants: \ THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 65 1. celui de la fonction #; 2. celui des systèmes de racines s'; 3. celui des systèmes de racines 7. Pour déterminer le plus grand commun diviseur des déterminants de Vassemblant de la fonction 4, on emprunte d’abord de l’assem- blant des systèmes de racines # un déterminant D, qui ne soit pas nul identiquement; puis, de v,—v, colonnes quelconques de l’assemblant des systèmes de racines s le déterminant DES Sp plémentaire à D,; ensuite, de l’assemblant de la fonction # le déterminant D, supplémentaire a D, _,. Le plus grand commun diviseur des déterminants de l’assem- blant de la fonction # s’obtient done par la formule 1): § 98. On pourrait encore satisfaire à l’équation (7) d’une autre manière, et cela, indépendamment des valeurs des indéterminées s. Dans ce cas une seule solution commune (7,, 7,, 2,) existe pour les équations (1). En substituant les valeurs des racines communes dans l'équation (3), elle se réduit à ay® 0, alt yy 0, + ayh—t a Og 4 ayh-2y2, 04 Hak yy 2 04h 0 =0 (15), indiquant que les fonctions § sont liées entre elles par une relation linéaire, dont les coefficients sont : mi, HET 2 yp k—2 7,2. oi k—-2 ~ | mk, ay! hp ay! 1z,, ay! >> ay Ma: 1 Chaque solution commune des équations (1) donne une telle relation linéaire entre les fonctions 9. Pour trouver le résultant il suffit de supposer qu’il n'existe qu'une seule solution commune pour les équations (1). Les fonctions § ne sont donc liées entre elles que par une seule relation linéaire. $ 99. En supposant le degré # de la fonction # tel que le nombre des fonctions 4 ne soit pas supérieur à celui des indéter- minées s, il faut que le plus grand commun diviseur des détermi- nants de l’assemblant de la fonction / soit nul, pour qu'il existe une relation linéaire entre les fonctions 9. Ce plus grand commun diviseur doit donc être le résultant des équations (1). L’équation (14) en est l'expression. *) Les indices indiquent ici le degré des déterminants représentés par les symboles, Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. VL Gr) 66 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. $ 100. Quand on considère l’équation (14), il est évident que le résultant est une fonction homogène des coefticients des fonctions y, get WP du degré — (vz — v3) + 03 = 0 — vg + 2 03 = 01 — 2 vg + 303 — 2 + m2 + x (m + nP + (LH ny? + (2 + my , Um du)? 5 2. tE RETIRE, ; MI RN IE ENE ET. de re tiga EEE CL cela se trouve en remplaçant les symboles v par leurs valeurs (12). En prenant pour J), un déterminant qui contient seulement des éléments a, on peut prendre pour D,_, un déterminant qui renferme 2, + 2, lignes d'éléments a, tandis que le déterminant D, contient a, colonnes d’éléments a. Par rapport aux coefficients a de la fonction g, le résultant est done du degré 411) (47-09 7 LNG eels ar — (Bo + Ba) +05 = | en le me nj 8 1-2) (k—l—m-+1) (hl) (hm) (A—l—in—n-+-2) 2 ie 2 Ex (L—1-+1)(k—1-2) 9 DE Lara NL ce (un —n—m). 5 JS wm 5 (nn) TEA) lg ende Gas Bot ENE ENE me Me ae Ne EN ENEN (LS): De la même manière on trouve que le résultant est par rapport aux coefficients 6 de la fonction y du degré og — (83 + By) + 23 = (k—m-+-1) (Am) (dm) (4 m2) 2 mx) NEVE GAT (k—m—n-+1) (k—m—n-+-2) |: (k—l—m—n-+1) (k—l—im—un-}2) in WE ps ese Plu? — (ln)? (Lee ; et par rapport aux coefficients e de la fonction U du degré BA = SEPANG 9) Amen (R— In + 1)(4—7 AN 2 | ee aa —n + 1)(k—1—m—n- 2) = Tas ty AO kee 2 Oe i 5 EEDE atm Jm) EEE 12+ m2 (lm)? (lts À THÉORIE GENERALE DE L’ELIMINATION. 67 $ 101. Dans le cas particulier où les fonctions 9, x et Ÿ sont du même degré 2, on trouve les valeurs A ee or He er?) RC) Die De ES ne: SF RCE (21), ; __ (4— 3n + 1)(4—3n + 2) LMI nr 2 AT 719 =(3)- 2 Je tandis que le degré du résultant devient 372. $ 102. Bezout assigna à la fonction # le degré On a pour cette valeur: (mn —1)(+ mm xn) — = ; Vv 5 EEE md me) DR TORE Dauer id, AOS), nin La oer Dine = Ly; Ug = 0 > et dans le cas special de /=m=n: (3 2— 1). 3x \ Ve , 2 See sx & Paid: 2n ze) Can? DE (24), HÉROS ER By 2 Vz — 0 , tandis que le résultant se réduit en ce cas à D R= ae ne ne se por (25) $ 103. Quand on prend pour # une valeur qui est d’une unité supérieure à celle posée par Bezout, on trouve dans le cas où /, m et n sont inégaux les résultats suivants: G 5* GS THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. aera) (Cb meat à) D — D} 5) ee (m + 1) Sort 1) bi (+) ts n + 1) EE Ee nner ht ne It tae 1) ae te D LPO) Vg = 0, Dy Re De: § 104. Le degré de la fonction Æ ayant une plus grande valeur que celle posée par Bezout, on trouve en prenant # = A + 7 +- mn — 2: (A+ mtu—)) (AFL) ti 2 À Audi) (Amu) (ARL I(AHU Hu) , (A4+¢4+-m—1) (+ 74m) cae CERN + CE a (27) (A+2—1) (+40), (At+m—1)(A4+m) , (A+u—1)(1+») A—1).4 Pe = 5 | Pour A= 0 ou A= 1, on trouve vj — 0: les v, systèmes de racines s sont indépendants entre eux, et l’expression du résul- tant ne renferme que deux déterminants. Le résultant aura la forme la plus simple, quand on prend A — 0, mais toute valeur positive de A conduit de méme au résultant, qui prend alors une forme plus compliquée. Il reste encore à démontrer que les valeurs négatives de A ne conduisent pas au résultant. Auparavant il importe de remarquer que l'équation (14), qui s'est trouvée être l’expression du résultant, a été déduite en par- tant de la supposition que les équations # soient indépendantes entre elles. A ces équations on peut dans ce cas satisfaire en tout par v,—v systèmes de racines indépendants entre eux. Les vj systèmes de racines s, liés entre eux par les », relations linéaires dont les coefficients sont représentés par les valeurs 7, sont équi- valents à v,—v systèmes de racines indépendants entre eux, d'après la condition (13). IL s'ensuit du raisonnement par lequel on a trouvé entre les v, systèmes de racines s les vj relations linéaires, que ces relations existent seulement, si £ n'est pas inférieur à ZH + x. sn THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 69 Pour 4 {+ m + n ou à <2, il n'existe pas de telles rela- tions entre les systèmes de racines s’. Four ale pour, A0, on av, — 0 et v, == vv; les v, systèmes de racines s° représentent dans ces cas précisément les v, — v systèmes de racines indépendants entre eux, qui peu- vent se produire. Pour À < 0, vj est positif. Les v équations linéaires homogènes § aux vw, variables s peuvent se vérifier dans ce cas par vy = v, —v-t vz systèmes de racines s indépendants entre eux. Comme ce nombre est de v, unités supérieur à v, — v, les équations 6 sont liées entre elles par wv, relations linéaires, sans qu'une relation entre les coefficients soit exigée. Donc, les valeurs négatives de A ne conduisent pas au résultant. La plus petite valeur de À qui conduit au résultant est donc A=0, et cette valeur pour # est 4 = /+-m-+n—2, préci- sément la valeur posée par Bezout 1. \ *) Qu'on nous permette de signaler ici une erreur de M. le Chevalier Francois Faà de Bruno dans sa Théorie générale de l'élimination, Paris 1859. Il croit pouvoir trouver le résultant dans quelques cas en prenant pour le degré de la fonction Æ une valeur inférieure à /-+ m + n — 2. Il applique cette idée fausse à trois équations dont deux sont du troisième et une du deuxième degré, et trouve vingt et une équations linéaires entre vingt-deux arbitraires 2, &,,....4,,, mais il n’a pas remarqué que les colonnes de son assemblant (voyez les pages 136 et 137 de son ouvrage) sont liées entre elles par deux relations linéaires dont les coefficients sont compris dans les lignes du tableau: | a, a, a, a, a, ae a, &, Lo yo Sy di, dia Zin din ae Lin Lin Lia Zs Los Boy 0 0000 0 a” Wc" de” ff" —a —U' —c -—d' —e' —f' —g' —h'—k’ —l' | | —a"—b"—c"—d"—-e"—f" 0 0 0 0 a a a b g d e fi g h kk l | de sorte qu'il y a réellement vingt et une équations entre vingt arbitraires, d'où l’on ne peut pas déduire le résultant. De même, ce mathématicien croit à tort que la recherche du résultant se simplifie, quand on laisse de côté quelques termes des polynômes multiplicateurs. Comme applica- tion il donne l’exemple de trois équations du second degré (voyez les pages 137 et 138). Tl trouve un déterminant qui est nul identiquement (sans parler de la faute d'impression qui s’est glissée dans cet assemblant). En effet, le déterminant trouvé par lui pour le résultant, doit être divisible par le déterminant PEACE —f" o f | qui est identiquement nul. Pec à 0 De même, les conclusions des pages 133 jusqu'à 136 et des pages 186 et 187 sont inexactes. 70 THÉORIE GENERALE DE L’ELIMINATION. § 105. Pour éclaircir la théorie générale qui précède, détermi- nons en premier lieu le résultant des équations: QS fy Ys A = | X= ba + y +z —= 0, MOEN ET (28), y =¢2? + cay + eae + egy? Heyz + ge = 0, | DU ON a LA le Pour A = 2, on trouve les valeurs suivantes: k=a-+/l+m+n—2 ie pe PT) 9 en (4 — 7 + su l+2) se | je (am + ut + 2) en: k — DA — 7 2 oo eas = 6, (k —m—n Wh mn 2) ae tu ED zal En) PRO B 5 er ae (4 —l—m + 1) (k — Ll — am + 2) 2; Te 2 4 y 0 k + (A 2 , = AHUE+® ae D= U + ay + a — 26, ee B, + Be + Be = 12, | (4 — l—m—n + 1) (kl m—n + 2) L Us ee ce MEME LC AR eT CT ie ; Les fonctions ®, X, ¥ et / sont dans ce cas: D = 8,03 + 227 + gate + 5,0y? + sayz +8 22? Hony + bgy22 + 8992? + 892°, X = 503 +5, 902y +5, 3072 +8 ry? +8) 502+) 602? +8) 7 +5) 9922 +8) 9427 +8 992%, (30) sata + sagaz + 8944? + 82592 + S62", | FZDP + Xy + FW, d'où l’on déduit Vassemblant —— THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. $1 8 83 54 85 SG 87 88:89 810 811 Sia 913 Sia E15 %16 *17 418 *19 $20 21 Saa S23 % Pit Pa =p a) — UZ Py =2Y° D; —1?yz py 272 p=? Pg =1y?2 Po — 12? moe? Pu=y* Po —Y°2 As Psy? Pis=2" Uy Des équations (8) on par les systèmes de Vassemblant : by Ci by by Cy Cy Cy C5 CG ia Cz (a C3 déduit qu'on peut satisfaire aux équations racines s° contenus dans les lignes de § 8 83 Sy 55 SG 87 83 Sp 819 811 S129 $13 S14 S15 S16 917 S18 S19 S20 S21 S22 S23 S24 S25 S26 (31). aT b ts ty | -Ci Ca -C3 -C4 -C5 “Co ls C1 Cn, C3 =C4 C5 CG le C1 Cy =C3 =C4, =C5 =CG tr | 4, do bs ty by by ds, ty by by bs, ho by by bg Ay 4 b, Os te by by Og De l'égalité (10) se Ey Cy Cg Cy Cz Cg -b, -by -bs Cy Ca Cg Cy C5 Cf -b; -by -b, € Co € an Cin web bi ~by -bs a My 43 ay dj 43 ay My as € “la 3 =d -@ lg =d -lly =13 dj ly -U3 hid | i) -43 =d “Ay -d3 déduit le système de racines /, représen- 72 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. tant les coefficients de la relation linéaire qui existe entre les systèmes de racines s: Uy ty | aQ lo | Wa ts | 43 bi it, Gy ees | EUA EER ea rae EN Eee (33). by NC; bai to C3 bol Cy Éal GC ll € Par la formule (14) on trouve ensuite le résultant: nr DCR THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION 73 Gi ea 6 Cz al Ce Fa Ei Corte & ij! % C3 ait C4 Co oe re Gg. Gs C3 oy | % C3 C4 ia EAN ES ued GC % (34). aa CNRC À 6 € a ; ; a À == CD = 0g Jon =t; —¢; ate Ne ‘ lt —C3 —C3 ie Op Ce à bs a nny a Ee i . Ors mls —ay 3 ned, huis ee! a, 41 b, A b, Opis | Ce résultant est du degré v — v, + 20, = 15 — 12 +2 —5, u 20 + By = 26 — 24 + 3 = 5, ou m+h+m= Rn 74 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. $ 106. Si l’on avait choisi au $ 105 pour le degré de la fonc- tion # la valeur fixée par Bezout, on aurait obtenu les valeurs suivantes : NEN k= l+tmu+tu—2 = ee | k —l+ l1)(k#—/4 2 2 (A —m + 1) (hk —m + 2) Cras 3 == 3 > (4 —n-+ 1) (4—a- 2) a; == 5 == i 5 gen ( — m — n + oN HAS en it 2 TS (k —l—n 1)4%—7— 7» 2) ne + DEI tD Lo. (& —m—n-+ 1) (k—m—n + 2) ge re se a EP i ; +. 2 ij ‚GEDULD ne 1 = a + & Ja; = 1, u = B, + B + Bs — |, bis 0 et les fonctions getagd se, À = & w 8; 4 86 2, WEA ee (36), a S57 ; F = Op+X%y+'¥, d'où Von aurait déduit Vassemblant : THÉORIE GÉNÉRALE DE L’ ELIMINATION. 15 Nrd Sx Se Ss Sa 97 p= |a, b, Ci Pa = 2) | 4 „da De bs c 142 |G djb G, ¢ € zi 3 Re NEPELA 1 (37) FT à Ay b, Ci Ps = y? & a bs by os 2 VY Se as bs CG On pourrait alors satisfaire aux équations § par le système de racines #': | 6 Ee CE CE t, |6, 0, 63 -a -@& -@ a tandis que la formule (25) donnerait pour le résultant la forme la plus simple, laquelle est du degré 5: b ay ene} Gs a, 6, bre ihe fa “yay te. | Ae pale ln RENE (39) d b, Ch ds da Oye Onan. Ge § 107. Pour donner encore un autre exemple, choisissons les équations : P =a 2? Haay + agez + ayy? + agyz + 22 — 0, | % Hb, a? + bgay + bgaz + byy? + boyz + bye? — 0, .. (40), p= erster yhezrtedeytHeseyetegre dept dep °2+ 072 + 10220, | ou = 2, m—2et7— 3. Prenons la valeur fixée par Bezout: 4 = 7 + m + n— 2 =5. Ainsi on trouve les valeurs; 16 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. C= Eig a) | = 5 == Ts, hk — : 1) (4 — 2 ee ( m + x m + 2) Seine ) (A —n-+ 1) (4—a- 2) ; Ag == ¢ : TE 6 : 3 — (k —m—n l(k&—m n +2 a ae EE a 2 klm) &—t— mH 2) 3 ¢ 2 mae k 1) (4 2 EEE EN D= HU J- 4) | %» = Bi + B + Bs Dr ON ) et les fonctions D= 23 +3, w2y+5, 22e, ry? Hes ayz ts 22° +57 Y>+53 Y22 Heg Y2? +02, Xanthe gheen FS) 5Y 218 62? 157 +8) 87248 992" T S992", (42) 2 P= 591274 000) +Sq3t2 +894 Y? +595 Y2tSo6 2%, v=op + Xy + PU, tandis que l’assemblant de la fonction # est: THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 11 5) Sa 83 84 S5 SG $7 8g So S19 41) S12 S13 S14 S15 S16 417 19 S19 S20 San S22 S23 S24 S25 Sa ay by Cy dy Ay b, by Cy © a api bg b cg Aya, ay by ba b, C4 © Cy As Ug dy 4 bs bg dy b, Cs Ca Ca Cy a ds ay be bs bj. CA C3 Cy Kar abl Zi by by by C7 Ca Cg Az Uy dg Ag ay bs by bg bg b, CAN CE Cy Ca Cs dg Us dg Ag a bg bs bs dg bi Cy Ca Cs C3 C % és de be bz by Co 6% C3 ay a by bo 67 Ca (43). | Pro = T° ds 4, 3 dz bs by bs bg Cg CG Cy | | Pis = Uy? Mg Uy dy A3 Ug be db by bs by Co Cg Cg Cy Cy Pis = 2? ag a5 Us a be 4s bs bo “10 C9 “6 % Pis = 224 a ds be be, C10 CG Pe —=Y° ay by C7 Pr = y*2 ds My bs bs Carey Pig —=y 2 ag Us dy, be Os by Co Cg Cy Po =I"2? Ug a; dy be bs by Gro, Fo Ca Pao = y2" Ag As bg bs C19 C9 Pn = 2° 4 bg C10 Les systèmes de racines s° qui résultent de l’équation (8) sont contenus dans les lignes de l’assemblant : Sr a 45 $4 95 Se 87 Sa % S10 411 Fig Pis 814 815 F6 917 218 Ho tao Lan Saa Sas S24 Sos S26 | 4 Cy Ca Cg C4 5 Cg C7 Cy Cy Cobi — Og a -b5 Do by | -Cj-C3-Cz-C4 =C5 -Cg -C7 -C3 C9 -C10 dj Ag Ag Ay A; Gy ty | br bo bg dy bs bo lly Uy lg Ag Us - Ug, . (44). ty by by ba by bs bg =4j “Ag Az Ag Us -UG t, b, by lg by bs Oy “Gd, “lg ~~, Ug, . N . ’ . 73 Puisqu’on a v, — 0, ces systèmes de racines s sont indépen- dants entre eux, et les déterminants de l’assemblant (44) ont l'unité pour leur plus grand commun diviseur. Par la formule (25) on trouve pour le résultant : 78 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. Uy Uy dj ds a a ay Uy a b, Cy U; 3 Mp ay b Cy Cy a, 43 ay by Ca Cy a, ay ay by b, Cy Us My Ag Ag ay bs by by Cy Cz Cy ag Us x da ay bs Lo b, Cs C3 Cy ds ZA ay be, b, GG C3, U, Ay bs by Cy ds Uy, dg dg bs by bs by Cy C5 C4 flg As Uy A Ug be bs by bs Vo Ca Cg Cs Cy a as dx Ay bg bs bs Va Cy Cg Cs a a bg bs C19 CG dy, by Ci de Uy bs ba C3 C7 Ag a; dg bg Os Og Cy Cg Cy ag Us My be bs by Co C Cs Aen de bs bs “10 C9 % bs “10 k= ra (45), €] Ca C8 hi bo dj dy =d} =d -U3 =a) ll lequel résultant est du degré » — mn — 4 + 6 + 6 — 16. v, = 21 -— 5 = 16 ou Wu + U + § 108. Pour compléter la théorie précédente, il faut démontrer que les formes que le résultant prend pour les valeurs différentes du degré # de la fonction #, sont au fond les mêmes. En suivant le même raisonnement qu'au § 75, il résulte de l'équation (3) que l’on a 8, 42,42, = 0 et 0, = 0, si l’on peut satisfaire aux équations § par un système de racines s dont sz, THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 79 ets, +2, sont nuls. Cette propriété est dans le cas en question plus générale et s’énonce : Quand on emprunte d'un système de racines appartenant aux équations 0 les trois groupes d'éléments: 1. les éléments qui correspondent aux —/ +1 derniers coefficients de la fonction , 2. les éléments qui correspondent aux Æ — m + 1 derniers coefficients de la fonction X, 3. les éléments qui correspondent aux & — + 1 derniers coefficients de la fonction Y, et que le cas se présente que tous les éléments de deux de ces groupes sont nuls, tous les éléments du troisième groupe sont aussi nuls. En même temps les k + 1 dernières équations 0 disparaissent. Afin de démontrer ce théorème, posons dans lPéquation (3) dO: Il faut qu'on puisse satisfaire à V’équation restante pour toutes valeurs de y et de z. En tenant compte de cette observation on démontre facilement de la manière connue le théorème proposé. En introduisant un tel système de racines s’ dans |’équation (3) et en divisant les deux membres par +, l’équation qu’on ob- tient est précisément celle qui se déduit de la fonction #, quand on diminue le degré # d’une unité. Parmi les systèmes de racines s’ qui résultent des identités (8), il y en a un ou plusieurs qui ont la propriété proposée, si / rem- plit l’une des conditions: OER RDS ES OR EN en EEE EEEN (46). Si /, m et x ne sont pas tous égaux à l’unité, l’une des con- ditions (46) est assurément remplie, quand on a Nr een Re a eee ee (47). La forme du résultant, en supposant # > / + m+ n — 2, se réduit donc à celle que l’on obtient, quand on diminue la valeur de & d’une unité. Il s'ensuit que les formes diverses du résultant, obtenues pour des valeurs différentes de #, supérieures à / +- m + x — 2, sont égales à celle obtenue pour 4 = / + m + n — 2. 80 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. ÉVALUATION DE LA SOLUTION COMMUNE. $ 109. La théorie précédente donne le moyen de trouver le système de racines des équations (1), si le résultant de ces équa- tions est nul. En évaluant ($ 38) la relation linéaire qui existe dans ce cas entre les équations 6, et en la comparant à la relation qui doit exister entre ces fonctions ($ 98), on voit que les trois premiers coefficients de cette relation forment un systéme de racines pour les équa- tions (1). S'il n'existe qu'une seule solution commune, les fonctions § ne sont liées entre elles que par une seule relation linéaire. Supposons pour la trouver, le degré # de la fonction £ d’une unité infé- rieur au degré que Bezout fixa pour déterminer le résultant. C’est à la fois la plus petite valeur pour # qu’on puisse prendre. On obtient alors: k=lt+m+u—3 , 7 us (k—m + 1) (hm + 2) # (k—1I+1)(4—1+2) __(m+u—2)(m+n—1) > 2 a 2 Da _ (d+u—2) (lul) —\ 5 ARE 2 eS ae rel ae m—2) (LH m lt F3 2 2 (k—m—n + 1) (h—m—n + 2) (L—2) G1) Bi vie ei dre (48) gen (ln + 2) (m2) (m—1 NUS. DE AT JU AU 9 HT" EN 8 (i: —l—m + D (4 —l—wm + 2) (u—-2) (a —1) Po 9 EN ER 5 „UD +2) MAR 0, =, + do + ag 5 To By + Ba is 3 ’ 03 =(k __ C+ ma+n—2) (UF Ful) — DOME DR : 2 l—m—n + 1) (A—l—m—n+2)—1, La valeur v, — 1 montre que les équations § sont dans ce cas liées entre elles au moins par une relation linéaire, tandis qu'il existe vs =v, —(v— 1) systèmes de racines indépendants entre eux pour les équations 6. Ces v, systèmes de racines s sont, sans résolution directe des équations §, faciles à déterminer par les identités (8). L’assemblant de la fonction / a la propriété (§ 46) que les déterminants qui sont contenus dans # — | colonnes quelconques, J'ITÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. Si sont tous divisibles par le même déterminant supplémentaire de l’assemblant des systèmes de racines s’. On peut obtenir les coefficients de la relation linéaire qui existe entre les équations 6, en résolvant v — 1 des équations ¢, indépen- dantes entre elles. Ainsi on trouve les valeurs des variables a, y et z satisfaisant aux équations (1), sous la forme de déterminants du degré ù— 1 == v,— vg. Comme ces déterminants sont tous divisibles par un déterminant du degré v,, les valeurs des variables +, y et z se réduisent donc au degré Mt Vr 8 85) — Sj — ln +— In An = 3 ee en (49), lequel est de trois unités inférieur à celui du résultant. $ 110. Appliquons en premier lieu la théorie du paragraphe précédent à l'exemple du $ 107 où l'on a /=2, m= 2, n — 8, et supposons le résultant de ces équations nul. Pour trouver la solution commune posons # = /-+- » + n — 3 = 4, ce qui donne les valeurs: Ves) Boa ae) | ad == 5 = 0, ~ SS, ae 2 Ee) a, = 2 — 0 5 k— 1) (4 — 2 en ( n + À Uae ) PE nn Vk mn RE 2), 0 —| = = T9 a = = =— ~ B, = (Be aig el AR ee \ RE LANE (50), 2 3 oy (k —l—m-+ 1) (4—l—m- 2) SE A dé, b+ DEL fi (3) ZET D : == os D= +4, + @; = 15, vn, = B, + B + Bs et V3 =1, é et les fonctions Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (fe Sectie). Dl. VI. G 6 89 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. D = 82 say tsar tsg 4+ sy2+- 52, X — 5, 2° + say + 822+ S94? + Su 7 2+ See (1) WS sis Huy + 2 BDP = Tey rn NP L’assemblant de la fonction # est donc: S&S. 83 Sa 85 SG 87 SB So So Sau Sto Sig Sax Si5 Die PAU by Ci Do, aaa, b, by Cray Qe = ae ae af bals C3 cu Di UN aig ide | a bib; b, CC LUE 2 VENDO RO erg) bebe verb GEEN De BE ds abs AWG, bre €3 D} = ay a Ay De 03 CERTA M == a TRE ee be Oi by Bo Cy, be Go| aes Es Og us lana: Ue nis ON NEE Po = 2 Xs as bs bs Co CG Pai A, b, C Po = Je ds di b; by Cg C7 Ps = YS de 02 be OE, ETS Pu = YF ag 45 bs 0; Cio Ca Pas = À Us De Cio et le système de racines s': Si So 83 Sn S5 SG $7 Sa So Sin Su Sao S43 Su S45 | NES EE A0 tL, |b, bo bs On 65 b,-a,-a,-a,;-a,-a,-a, 0 0 0 J Quand on supprime de Vassemblant (52) la sixième colonne, les déterminants contenus dans les colonnes restantes sont tous divisi- bles par 4. Par la résolution des équations ¢ on trouve ensuite les valeurs des coefficients p,, p, et pz. La solution commune des équations (40) s'écrit donc: THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 83 CS by. by Gie ds a b; b, Ca Ci Bids Ay (ME b, Gh: 5 Ge dar 9 ay B Oy 6 b, eh Oy bs ds As bs b; b, CG C3 di ay Un b, Gr Cy Ws U Ag dj aR est ae Ge U 3 LL == . be . (544), a as as bs bs bz b, Cy © G5 a bs bs co CG ay, by C7 de ds se De Gai Cs bd ds d- be bz b, Cy Cg ds bs bs Cio Co 3 bs Co 4 3 a b, Cy as ay bs b C3 Cy GG Ay AZ bs b, Cha Os ) ad, U3 a ay bz UR b, b, C5 C3 Cy 4 a tty b, UN Gry Gedy, Og Be eG hab, DEN ; YU == £ b,.(540), 7 ds ds ZA (EN DEMO Ci CE) G2 di bs bs Cy OG bel ded, be D, Cs Cy de «45 M ER Gy nes de be Os Cig Co be C10 G 6* 84 THÉORIE GENERALE DE L’ELIMINATION. a b, C, Ay | ay bs Os Cy Ch esas Ay birds b, BE ús Nas 3 Oy es 305 b, CAC a as bs bs b, & Cs a, Ay b, b, Ci"), | GF Ge ds. 1G, DE Dee Dye 205 CSC RE : bg. (540). a 4s a3 by bs bs by Cy C Cs Ms bo Ö3 Ci CG a, b, €; ey, bz be CC, Gen de DEL 0205 Cy “Og A bo bs Cio Ca bs C10 Remarque. Si Von avait choisi pour 4 une valeur supérieure à LS min 3, on aurait obtenu le même résultat, mais sous une forme plus compliquée. En prenant # = / + m + u —2, et en supprimant de l’assemblant (43) de Jac fonction les 6e OSs. | Qi DA A) SLE GEE colonnes, on aurait obtenu dans exemple en question pour a, y et z des déterminants du degré 20, tous divisibles par le facteur du 7i%e degré: dr b, he ihe De ue de. ws Det on a Ba Sa N° UT bs SA creo ice eee ee (55) EO tae ae EE NE en ea Ran Le f ds be bs by bs b; bs de sorte que les résultats auraient été du 13°" degré, ce qui s'accorde avec la théorie. THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 85 § 111. Comme second exemple prenons les équations (28) du S05, sO. kontak, ml, #== 2. Si le résultant (39) de ces équations est nul, on peut prendre 4 = /+m+nu—3=—1, d'où Von trouve les valeurs: CENTER) a, —= en TD = EE = \| = (A — m+ 1) (kh — m + 2) ay, a = =— | 5 And) &—a2- 2) oo 5 AE G—m—n+<1]) (A—m—an- 2) B, == = 5 = ==) > (&— 1 — n + WR Fen 2) B, = L 9 a= pl ; klm 1) (4—1—; 2 pret De a din ne rd fo (56), hk + 1) (4 + 2 v PU ois ss anes =3,| D= & + & + a Ae 0 = Bit Bi + Ps = 0, Bieb; d = on ? X —= 5; , Y — 0, F = bp + Xx, et l’assemblant ES in nn (57), de sorte que le système de racines des équations (28) s'écrit 86 THÉORIE GÉNÉRALE DE L7 ELIMINATION, She en A dr. (58), ay dy dr ve db; a3 bs as b, Qs Ws comme il était facile à prévoir. ÉVALUATION DE DEUX SOLUTIONS COMMUNES. $ 112. Il est aisé de déterminer la: condition qui doit être remplie, pour qu'il y ait deux systèmes de racines pour les équa- tions (1). Deux relations linéaires indépendantes entre elles existent dans ce cas entre les équations §, et la plus petite valeur qu’on puisse prendre pour le degré de la fontion # est 4 =/+-m + n — 3. Pour cette valeur de # les équations § sont liées entre elles par une relation linéaire, sans que les coefficients soient soumis à une condition. Pour qu'il y ait une deuxième relation entre les équa- tions 6, indépendante de la première, il est nécessaire ($ 48) que le plus grand commun diviseur des déterminants contenus dans v_—l lignes quelconques de l’assemblant de la fonction #, soit nul. On peut appliquer cette théorie à exemple du $ 107. Pour qu'il existe deux solutions communes pour les équations (40), il faut et il suffit que le plus grand commun diviseur des détermi- nants contenus dans toutes les lignes à une près de l’assemblant (52) soit nul. Il en résulte que les valeurs (54) s’annulent. $ 113. Si la condition du paragraphe précédent est remplie, on peut évaluer les deux systèmes de racines des équations (1). Pour cela, il est impossible de diminuer le degré de la fonction #, car pour £ = / + m—+n—4 on trouve v, = 3; il existerait donc pour cette valeur de # trois relations linéaires entre les fonctions §, sans que les coefficients soient soumis à une condition. De v—2 équations £, indépendantes entre elles, on peut déduire deux systèmes de racines y’, dont un des deux premiers éléments est nul. THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 87 Pour fixer les idées, supposons que ces deux systèmes de racines soient contenus dans les lignes de Vassemblant: yy Po Ps Pi ps De A D, LA OS Pos —P13 Pis — Pass Daos BE Pav et, Yay Pie OO > Paz — Dan Pas» Poe + « À Pa où les indices ont la même signification qu'au $ 2. Afin d’évaluer un système de racines p’, conforme au système (16), multiplions les lignes de l’assemblant (59) respectivement par 4, et g, et ajoutons les résultats. En confrontant le système de acines p° ainsi obtenu, avec le système de valeurs (16), on obtient l'égalité : a" anh y al > hs Br — Pr: Pr Qi Fy — Das Ji + Pas Yo Pum Pun k—2 Ji ae CN EES. (60). — Dis Vi Pos 92 Pw A Pw fz Des deux premiers membres de cette égalité on déduit: al ek a nies EN (61), et par la substitution de ces valeurs dans légalité (60) on trouve: get a2 ay Da ye Pe PY Pat PUY Pat PY Pot aie , PEER EE Du cu (62 PI + Pat Des trois premiers membres de l'égalité (62) on déduit les deux équations : Pat + PisY HP = 0, | (63) Pat + Puy Poy = 0, | qui suffisent précisément pour déterminer les deux solutions com- munes des équations (1). 88 THÉORIE GÉNÉRALE DE LÉLIMINATION. Les coefficients des équations (63) sont du degré v—2, mais on peut choisir en plusieurs cas les v—2 colonnes de l’assemblant telles que: ces coefficients soient divisibles par un même facteur. Souvent il y a un facteur du degré v,; les coefficients des équa- tions (63) se réduisent alors aux formes du degré / m +- lan + mn— A. Remarque. En prenant de légalité (62) trois autres membres, on trouve pour les équations (63) d'autres formes. De cette manière on peut trouver, comme dans la remarque du § 83, des propriétés particulières de Vassemblant de la fonction /. $ 114. Appliquons ce qui précède aux équations (40) du § 107. Quand on supprime la sixième et la quinzième colonne de l’assem- blant (52), les déterminants contenus dans les colonnes restantes sont tous divisibles par dg. Cette division faite, on trouve pour les coefficients po, 213, Pog> Pia et Poy des valeurs sous la forme de déterminants du degré 12. EVALUATION DE FROIS, QUATRE, ETC. SOLUTIONS COMMUNES. § 115. Pour qu'il existe trois solutions communes pour les équations (1), il est nécessaire que les équations 9 soient liées entre elles par trois relations linéaires indépendantes entre elles, dont aucun coefficient ne soit nul. Pour cela, il faut et il suffit que le plus grand commun diviseur des déterminants contenus dans v—2 colonnes quelconques de l’assemblant de la fonction 47, soit nul. La plus petite valeur qu'on puisse prendre pour le degré de la fonction # est dans ce cas £ = 7 Hm + 3. Pour cette valeur de # les équations 4 sont liées entre elles par une relation linéaire, sans qu'aucune relation soit exigée entre les coefficients. Afin qu'il y ait deux autres relations linéaires entre les équations 4, indépendantes de la première, il faut que le plus grand commun diviseur des déterminants contenus dans v—2 lignes (ou colonnes) quelconques de l’assemblant de la fonction #, soit nul. En appliquant cette théorie à l'exemple du $ 107, nous trou- vons, pour que les équations (40) aient trois solutions communes, que les déterminants contenus dans toutes les colonnes à deux co- THÉORIE GENERALE DE L’BLIMINATION. 89 lonnes quelconques près de l’assemblant (52) sont nuls. Par-la les coefficients des équations (63) s’annulent. Si la condition pour l’existence de trois solutions communes est remplie, on peut les déterminer. Les équations 9 doivent être liées entre elles dans ce cas par trois relations linéaires indépendantes entre elles. La plus petite valeur pour le degré de la fonction / est en ce cas 4 == ! + m + x — 4, car pour cette valeur on trouve v, — 3, indiquant que les équations 9 sont en général liées entre elles par trois relations linéaires indépendantes entre elles. Afin Wobtenir les coefficients de ces trois relations, égalons à zéro deux des trois premières quantités arbitraires p, les autres éléments des trois systèmes de valeurs p’ indépendants entre eux, s’obtiennent en résolvant les équations ¢. Supposons que ces systèmes de valeurs yp’ soient contenus dans les lignes de lassemblant: Pi Po ps pa Ps Rises ut Pe Gian. OD Minis Dis tors 2 > 2. Te Dany (64) . Es 2 |9 > 123 9 » Pis Pass» Pages ---- + Psy Nt De Nn Pazo où les indices ont la même signification qu'au $ 2. Afin @obtenu les coefficients d’une relation linéaire qui est con- forme à (16), nous multiplions les lignes de Vassemblant (64) respec- tivement par 941, 4, 3 et nous ajoutons les résultats. En confrontant le système de coefficients ainsi obtenu, avec le système (16), on obtient l'égalité: a - Te ony ad" 2 ay? 73 Pis — Ya Pis fi P23 — 1 Pass ae Yo Piz — 73 Pos ez + zh rea Se =.= + —__——_..,..(65). Jr Paes — 72 P35 —- 73, P235 Jr Pion — Yo Piso ss 73 Pozo Des trois premiers membres de cette égalité on déduit: te æ 7 z a LS A ATS (66), 90 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 1 et par la substitution de ces valeurs dans légalité (65) on trouve git : gr? y pe? ye Pis — Pia — Pas Ÿ — Pon À Pi. 2 + Piss Y + Pass av = zi Pra 2 + Paso Y À Posy 2 Des trois premiers membres de légalité (67) on déduit les deux équations : Pat + Pan ®Y À Piute HPI = Fs 4 (68) Dot Pass 2Y ++ Pros LE —Pyyy2 0, | | qui suflisent précisément pour déterminer les trois solutions com- munes des équations (1). Par l'élimination de z entre les équations (68) on obtient (— Piau Poss À Pass Pass) a — (Pron Pass — Pass Pasa + Pis Posy) wy in 123 (Pass — P31) LY — 433 y EES NERO AA er LE (6 9) A Cette équation se réduit par les relations P23 Pons — Pin Pos + Pis Daan = 0, | Pis Pins — Pros Pass == Piss Piss — 0, | empruntées au $ 33, après division par — 3, à la suivante: Pays © + (Pras À Poss) Uy + (Pts, — Piss) ay” + Pips VA = 0... (71). On tire de cette équation trois valeurs pour le rapport de æ par y, et la première équation (68) donne les valeurs correspondantes du rapport de z par y, de sorte que lon a trois systèmes de racines pour les équations (1). Remarque. En choisissant dans l’égalité (67) trois autres mem- bres on trouve pour les équations (68) d’autres formes. De cette manière on peut trouver, comme dans la remarque du $ 83, des propriétés particulières de l’assemblant de la fonction 4. THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 91 $ 116. Pour appliquer ce qui est traité dans le paragraphe précédent, nous prenons # = / Hm + x — 4, ce qui donne les valeurs : (4—1+1)(4—7+2) ({u+n—3)(m+n—2) “ B à ru, (k—m+1)(k—m + 2) (2+ — 3)(l+nu—2) Ag = 2 mi — 2 - (En + 1)(k—u + 2) (LH m — 3) (2 + m — 2) Bree 2 3 Panag hem —n + 1)(k—im—n + 2) (Z— 3) (¢—2) Pi == De — -- == —- 2 — A | CS EE Peen) tree) 3 net Le è Las EE ; (T2) (4 —l—m-+ 1)(k—l—m + 2) (un — 3)(n — 2) hs = à RE LE 2 _ (++) _ (C+mtn—3)(+mt+n—2) ET Ca ec RS 4 Hi = iy sp th Gene 2 vg = À + Pa + 63 ‘ (4: — 1 —m—n +1)(4—l—m—un + 2) (-— 3)(— 2) we A Ras ont Comme &£ <— - ———_— — — 2 — ts à et les fonctions D = LH sy + sz, X = 82 + sy + 82, | Y = 8, , | fF = bp + Xy + y, Ainsi on obtient l’assemblant : Si, 8 B S& 8 8S 87 Dre | Gy b, C a LY | Oe de D, 00, C5 By == S|. di T0 Gis Gs Pi = 27" | ay ay 6, 2, Ch TE mk ee Og der ~ De Oe On Cp) ee T= wee | a Ci ag Sa Ds , Pr = Y d, b, Cy Ps = ye a, ds bs by cs | Py = yr a as bs bs © | Po = À Ma ” be C0 | 93 Os / 04 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. d'où l’on peut déduire les valeurs des coefficients p», Din, ete. des équations (68) qui fournissent les trois systèmes de racines com- munes. Pour le degré de ces coefficients on trouve = v3 ier Vo == Y ees 20 —— (a EE + 20) + 30) <= 303 = Im + ln 4 mn Ore es in oe Chia: donnant 7 pour le cas spécial susdit, ce qui s’accorde avec la théorie. § 118. Après ce qui précède, il n’est pas nécessaire de montrer quelles conditions doivent être remplies pour qu'il existe pour les équations (1) plus de trois systèmes de racines indépendants entre eux, ni de montrer comment se fait le calcul de ces solutions com- munes. Pour éclaircir plus amplement ce qui a été dit, il suffira de résoudre le problème de l'élimination entre trois équations homo- gènes du second degré à trois variables. Les équations proposées sont dans ce cas: Par + ag ay + Og wz + ayy? + a; yz + ag 22 = 0, | CB pb ty ibs de EME ye Fb =O re ek ANS (78). wer? de wy + eg ve + AY? + ce ye + 2270, | Pour obtenir le résultant, on prendra d’après Bezout 4 — / + m + n— 2 = 4, ce qui donne les valeurs: en F1) 2) BA, u == by = Az == 5) 9 0 (A—2n-+ 1) (A—2n+2) 1.2 fi Pa = Gs E 2 HN © =1 > eae ICE) RE ; v rs 9 : 2 15 Pe aD vn AEN ok SEEN NAF (7 9), DE 185 ry = 36,—= 3, (k—3n + 1)(4—3n + 2) 10 ls p 9 9, | et les fonctions Pb = #2? + say + saz + ayy? dye + 5527 , | X 87e? + sary + 8922 + 8107° + 91192 + 02° in 81307 + Hat + 522 + 869? + 51792 + 8132", KF = Op + XX + Pp, | THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 95 De ces fonctions on déduit l’assemblant: | 8 So 83 54 $ % 87 8 % Ho Sm Sia M13 14 15 S16 17 18 | n= Gt by a Pa SY FORTE by by art Da == 892 as, ay bs by Cs Cy Bi —— 29" . y dg ay by by by C4 Co C Pe =2yz| ag dg dg A bb ba by Be en C5 € Vn del CN a, be bg br GG C3 € De a, dz by by Cy Co PR Wz ds Uy dg Ag bs by bg bz Gs Ge CoCo (81), Py uy Fo 5% ag da gs bs bo % 65 HT Po = 22° % as bg bg CG % Pu =y* dy by C4 | Pig =H Ws % bs ba % C4 Pis = yz? Mg as Gy b, 4, ba Cy Cy C4 Puy? dg % be bs G % Ps = 2 ds bg Cs et l’assemblant des systèmes de racines s': of ee de ES No, Sai 419 Gent He is 47 219) t ; (82), 2 “Cy “ly C3 C4 CG CG Aj ly la Oy, as Ug ts | by by bs by bs be -ay lo “lg -Uy Us Ug d’où l’on peut déduire aisément le résultant des équations (78). Le calcul de la solution commune, si le résultant est nul, se fait par les valeurs suivantes : k=l+m+u—3=3, en HIA +2) 2.3 ==, — = = ee GES 2 2 kh—2n + 1) (h—2n + 2 (DL gesn! Ee JAL =o, i ie € Se SUS SG) EE Soe Te (83), 2 2 y= Sey — 9 : n= —0, (h—Bu + 1) (k—83n + 2) (—2)(—1) vg == == ERR — Sci 0 == } 96 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. et les fonctions DS SE or Bee KE on Sin (84) ee ereen 4), Feet Xx + V4, d'où l’on déduit l’assemblant : Sy D Sm anr ABk LE SB 99 eee b Pio AMEN" i Ër 9 Pos, FY a mi b, bi Co Ci 9 Dae oes ik <05 bree B 2 Pa EN WA LG b, Oy Ch, Cy hen, eet SD Rr Ee Ag D TES ROME Cr (85) Pe oy a IC as bs bs C6 C3 3 Pi == Y A), b, Cr a, Mee AE On be v0; Cz Gy 9 Po == ye ds d- bs b. CG C5 NS Hap <2 MG be CG La solution commune est donc exprimée par lPéquation v y z ER Re RR ie Le (86), A, — A, As où les symboles 4,, 4, A, (voir $ 2) désignent des déterminants de l’assemblant (85). Si les déterminants de l’assemblant (85) sont tous nuls, il existe deux solutions communes pour les équations (78). Quand on supprime dans ce cas la neuvième colonne de l’assem- blant (85), on déduit des colonnes restantes de la manière connue les valeurs des coefficients pio, Dis, Pas, Pus Po, des équations (63). Si les déterminants contenus dans S colonnes quelconques de l’assemblant (85) sont tous nuls, il existe trois solutions communes pour les équations (78). Pour déterminer les coefficients des équations (68), par lesquelles on obtient les trois solutions communes, on se servira des valeurs: CAR THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 97 k=l +m +n—4—2, _ (An + 1) (kn + 2) 2: L 2 Oy = My == hy = 2 9 zl k—2n + 1) (A—2n + 2 — 1.0 en, je + Le 2 =0, Do Eee Se eta Mer arte (87), 2 2 U —= da be Va = 36, se (Bu HDA Bn + 2) __ (—3)(—2)__ a 2 REE et les fonctions ONE (88) F=o+Xy+¥ A Gl d’où l’on déduit l’assemblant | 8 Be) By | = a | ay b, Ci Pa = ayia, bs & Pa = #2 | az b, A ER RO PEER (89) nn = YI |a, bc Bi Ye) A bs 65 De = 2 A be CG On tire aisément de cet assemblant les valeurs des coefficients des équations (68). Si les déterminants de l’assemblant (89) sont tous nuls, les équa- tions (78) ont quatre solutions communes. Pour les déterminer, nous avons conformément à (68) les équations: E Pasas 2° + Pisas W + Pinus 22 + Pross Y + Pros 42 — 0 , | 2 a : Laine | Pasig © + Pasag *Y + Prgag 22 + Pizzo Y* — Pigs, 2 = 0 , | dont les coefficients sont des déterminants empruntés à deux colon- nes quelconques de l’assemblant (89): | P\234 = kK % „1235 — ts P1345 = 73 de) 134 ‘a Ca Popes =| ñ i: 7 > 24: | D £98 [46 bs > ae 4 É ag 4g | ae % 5 Lag bg | a, 6 aa bi lg ba | a, ba | ==, | a “4 int at) À fr Ee ( = Diar == Hour == | » Pas ND TES CE sd, UE ee de 9 | P1236 x | » P1946 i NET Pad Passe =| b (91) Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (t° Sectie) Dl. VI. rdf 98 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. En introduisant ces valeurs dans les équations (90), on trouve, comme on pouvait sy attendre, deux équations que l’on peut aussi obtenir par l'élimination de z2 et de y2 entre les équations y et EEN Quand on développe les déterminants (91), les équations (90) se réduisent aux suivantes: Bg (ay 2° Hag ay Hag az Hag? + as y2)— ag (bj 2? + dg wy + bg wz + 6, y? + b5y2) =0, bs (ay 2° Hag wy + dg wz ary? + dg 27) — as (bj 2° + bg wy + bg wz +b, y + bg 2?) =0, d'où l’on peut retrouver facilement les fonctions p et % mêmes. [V. Elimination entre n équations homogènes à n variables. LE RESULTANT $ 119. Il est aisé d'étendre la théorie d’élimination, comme elle a été traitée au chapitre précédent, à » équations homogènes à x variables : pu = 0 , PRES 0 > Dae, es AO a a ARR Se RE ee (1). Pn o> 0 2 En représentant les degrés des fonctions homogènes p,, gs, pa, . - - «Py, DAE WG os Det RE Gn et le degré de la fonction # par 7, on obtient les valeurs 1): *) La factorielle est notée, d'après Kramp: anir=ala-+r) (a Farm) annen (a + [n—1] 7). THEORLE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 99 Rae ye etl! A Nn (7 — 9, + 15 4 Let > | oper. 6/7 mr Al, a br ET : pe! ps be een (2) Den dae Nan geit Fr, rn ee Guiese reduiseut dans le ‘cas ou Von a g,—9, — 9, = .....-. — 9, — 9, aux suivantes: LD yo" ñ aro 0 vj = ( l ) : yon ; n ESA) EE rn (3). Vo = ( 2 ) : yo" as me) (j — ng + IT! yn § 120. Les valeurs v sont liées par la relation : D — 0, HDD ...... ER de he don se (4), ce qui se démontre facilement, quand les fonctions » sont du même degré g. En développant la fonction (7 — ly + 1)"~“" suivant les puis- sances ascendantes de g par le théorème de Maclaurin, il nous faut évaluer les valeurs des quotients différentiels successifs par rapport à g, pour g =o. On peut exprimer ces valeurs par les quotients différentiels successifs de la fonction (7 + 1)"~"' par rapport à 7, de sorte que l’on a la formule: dP (j—lg + Dr! | dj De A11 à | à dg? | = ee Ier {Pr zl L)p le DP (j +1)" 1/1,(9). G 7# 100 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. Or, en développant, on re Gl 41S + DE Dj Itt Hat PGD VA TE DEG In EDE Sgt DGI EH ay matin. (6) car on a p=! (7 = i it = pelt, Substituant les valeurs (3) dans le premier membre de l’équa- tion (4) et développant les termes divers d’après la formule (6), on trouve v—v, +, — 03 + ...... + (—D) "on — (sne er (edt IAS Ir 1 2-1/1 1 2-4/1 Me Ee jy ee pie TE. ES oe Se SOA 4 B (Ee OEE CR. mn Ge ( ie) ee ba 12 i Dk ye eer 1 n—/1 HEE Dr tere) EL sas «ennn na we] es leriene) > = Dirdps nienke le lelie dehieie ve Isis (Wie a Pa ie els 91e est ve ele dette je alerte ava vern tells oi +) +2" (2) — 3) Der EEDE n—1/1 ee eerenn date: mets) elioleletele ters het al Dien NAR wlan dee pique als serie, + afeoletel etais dns cie len ide ae ete HEN Ott) 2) em id= Tjd" Les expressions comprises entre les accolades sont toutes nulles, comme il sera démontré dans la note | à la fin de ce chapitre; done, pour le cas en question l’équation (4) se trouve démontrée. § 121. Pour démontrer en général la formule (4), nous écrirons les valeurs (2) sous la forme de coefficients binominaux. Posant j—n+1l1=s, on a: Hasta CORRE sgr ‘ Cass es à \a— 1 ; BEEN Cao lou he Q n= E( 7 ) LA ENEN dE CE ar (8). D, — CPR LE Re end “ee 4 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 101 En substituant ces valeurs dans le premier membre de l’équation (4), nous trouvons la confirmation de cette formule, d’après la note 3 à la fin de ce chapitre. $ 122. Afin de simplifier la notation, on écrira le résultant des équations (1) en employant des logarithmes : log R = log 3D, do De ut on IM tr log Dy, — 4... cou — log Dy, — … + care, Be EE EEEN (9). Ainsi on trouve pour le degré du résultant v—m HUB... + (—])""! Ay) DE = nm —?2u +30 — 40, + ..... Fey ut eo et Bice. (10). Si les fonctions p sont du même degré, on peut réduire le second membre de la formule (10) de la manière suivante: D — 20 + 30 — Av + ..... + (—1)""" av, = 1 RS EU à Ge al an Red De Gees ee a Tet (3) Gee ne 11/1 It 5 je aoe 1 1/1 y be ay byt yen NE +)» G)—8 G)een Oe \ 8 2 : ) DG Wi 1/1 —_() ( 5 coe ver nae (1) een i 1 Del In 1/1 ln Jr) (5) =. del 1)" 18 Cy t= ne rT Se Ree Renee AR er Se dels sim) 6) es) elle) ae aie) le le iseeho) (any plate) ae e sin = eas eus ne en) pisisls ce es tale ne ein pire, nes hl (7 + 1)n—1/1 ziee WE — ORE: 27 qe 3h G)- EN + (— 1)" "DS nijl bear En Oer) ter CS gr = (— 1)r TEM eg ir a dl. à har EE |” 102 THÉORIE GENERALE DE L’ELIMINATION. puisque, d’après la note 1 à la fin de ce chapitre, les expressions entre les accolades sont toutes nulles, excepté la dernière qui est Ao. > n/A égale à (—1)'1"/!. Par rapport aux coefficients d’une des fonctions » le résultant est évidemment du degré g"7* $ 123. Dans le cas général on trouve pour le degré du résul- tant, d’après la note 3 à la fin de ce mémoire: n — il v, — 2v, + Bo, — Aw, HH (IDT aw, = E23 In (12). 1 Pour déterminer dans ce cas is degré du résultant par rapport aux coefficients de la fonction g,, posons 1): am ele ea aA Qo en =UT At 2 Q"—1 Ee de Gn SE 1—9x Jet S— il 2 11/1 o \ n—1 > mi == 3 (Gn + 19, Ik) MA > Mn 2 “5 12—1/1 gis Chae en an oe Gee Te ; ae Va pf Æ 1 | (13), Pour le degré du résultant par rapport aux coefficients de la fonction @,, on a conformément au $ 100 expression: Grrr ee lt en (15), qui est, d’après la note 3, égale à Dedel Û EEEN ea LU en (16). De la même manière on obtient pour le degré du résultant par rapport aux coefficients de la fonction , : US Tir ar Da LN EENDEN SOAS RTE ee ICE Cie), etc. 1 en : : : : ) Dans le symbole Q7 il n’est pas nécessaire de considérer l'indice m comme un exposant. THEOR(E GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 103 § 124. Quand on veut évaluer le résultant, on ne pourra sup- poser le degré de la fonction # inférieur à Ae Marat vie at pe Migs ar nt cha torco ere k (18), ou inférieur à ARE à de rn Ene dune de (19), au cas où les fonctions g sont du même degré g. Dans ce cas particulier on a les valeurs suivantes: 5 x ge ie ] ‘ = Gays Que Oe an Cn) Ons ; i a MED: GE), ; v == : n D Ae cE han li à (20). Pour la valeur (19) de 7, v, est nul. Il en sera de même de U1, Slg .4 2 U, = sae 80, NE Fe a CO ROSEY Soe RCS oo (2 1). e= mn, — 104 THÉORIE GÉNÉRALE DE L’ELIMINATION. Le résultant, étant le quotient de deux déterminants du degré 56 et 24, est du degré 32, ce qui s’accorde avec la valeur ADB == AR Si l’on veut déterminer le résultant de cinq équations homogènes du second degré à cinq variables, on obtient les valeurs suivantes: j =y—@—)=6 , v=(,) =210, = (7). — 350, vv (5.0) =150, }....@2), %»=(3).() ED à Le résultant est dans ce cas égal a un déterminant du degré 210, divisé par le quotient de deux déterminants, dont l’un est du degré 140 et l’autre du degré 10. Le degré du résultant est v1, — 2 v, + 3 v, = 80, ce qui s’ac- corde avec la. valeur de nytt — 5 X 2* = 80. LES SOLUTIONS COMMUNES. § 125. Si le résultant est nul, il existe une solution commune pour les équations proposées. Pour la déterminer, la plus petite valeur du degré de la fonction / qu’on puisse prendre, est la valeur (18) fixée par Bezout pour l'évaluation du résultant, diminuée d’une unité. Pour cette valeur de 7 on a et on aura finalement pour le degré de ces racines communes 01 — Wa + 33 — ........ + (—1) #2 (n—1) on = {v, — 209 + 30, —. + (—1)"—2 (wl) ons + (—1) "1 non }—(—1) nl puy — n EAI AA Se he AE REENER ern aS ren Wat ag EE (24). 1 Ce degré est égal au degré du résultant diminué de x unités. $ 126. Après ce qui précède nous ne nous arrêterons pas à indiquer les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de plusieurs solutions communes et à l'évaluation de ces racines communes. THÉORIE GENERALE DE L’ ELIMINATION. 105 Pour terminer, nous appliquerons encore la théorie de l’élimina- tion aux quatre Équations homogénes à quatre variables: PHyet+aytaztau=0 , LHhethytbyz+bu=0 , wat + Cy ty Heg wz Cy wu + 0; y? + Cg ge Her yu + Cy 2* = NN Cia ts (25). o = d, 2° + d, wy + dy wz + dy au 4-dsy* + dé yz + dy yu + d, 2? dy zu + dio u? = 0, Prenons pour le degré de la fonction # la valeur fixée par Bezout y= 4+ /+m+nu—3=3; on en déduit les valeurs suivantes : 3. 4. 5 un? DOTE STE 0 pg A? | 3. 4. 5 bars Ke KT a — sg = 10, = 5 Se a= 5 —0, 2. 8. 4 108 ee OE ideen Bp 4, B gl, Eg =0, 2. 3. 4 IDE ALTER eeh 4, Bag —=1, Py ; = ee é, =——__= 1, ge (26), 2.3, | Le ee 4.5.6 v= a=, eene, Da = By + Pa + Bs + Ba + 6 HS, %—=nAtntistini=?, (3) = 10) enk | et les fonctions + rgu re +ryzu Hr , X = pie + ry ay + ras az Hr ou + ny? H Tac 92 ra Yt rg? Tt ry 20 + ro , (27). rat Hay Hist Trad , D = ne + nay raz +rau Ary + re 42 | l { OF se st T2 rats | 106 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. Nous en obtiendrons deux assemblants, en premier lieu l’assem- blant suivant: | M 0 78 74.75 76777379710 711 712 18 714 715 716 717 718 719 720 721 799 793 794 l'os 796 797 728 n= ja Pa = 2Y |M A ps =z |ag a p= DU la, a Ps =| ay a Pe = TYZ| Ag Ay ay Py —=TYU| a, dg ay Pe =e as, ay fo — dU 14,43 ay Pro — au? ay ayy Bil My Pig = "2 2325 Pig = y*u U, ag Pu = 2” Ene Pig #70 ds Wo Pig = yu? 77 ay Par = 28 a3 Pig = Zu Ones Pig = 20? lg as Pao — 03 a, Oy dy à bs 4, bs S4 la b, bs: by 2 © Cy Cy Cs 5 CG C7 . . ~~ . 1 et en second lieu celui des systèmes de racines 7 : d dy dà ay (28), 717 78 7475 Te 77 le Po 710 711 "12 Pas 714 Pas "16 17 718 719 720 721 “oa l'os 724 Vos Pao "27 log GE th tty da sy ty ds dy hy 89 x =O, Cp “Cg ~Cy “O5 “CG “C7 “Cg “Cg “C10 ‚lj ba bs 83 -A-de-de- dy-d;-de-dy-da-do Go: EP Mt CE A Mer De Ra Cig 3 i 85 -b,-by -be, “Vs @ Ag Ag Ay 5 -by Lo -bg by ch My Ag Uy 8 -b hy -bg-by ay Ag dg Uy su | -l -by “hs by, on lo “y (14, (29). PE TO NET — Se THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. 107 Par la formule (9) on déduit de ces deux assemblants le résul- tant, qui est du degré 12. Si le résultant est nul, on prendra pour l’évaluation du système de racines communes le degré de la fonction # égal à la valeur fixée par Bezout pour déterminer le résultant, diminuée d’une unité. On trouve ainsi les valeurs: jf =hk+tltm+nu—4=—=2, a ——— ——— na, Re ne. | SEE a Ca ait GEE | CEE a neh BO ee (30) ea Lier sa eS) v = OE A u en et les fonctions SR Yee ru, XS 7,4 +79 drie TU, D DER ee ne US CN ON OR PR neee (31), OL 160) £ f= op + xx + wy + Ow , ) d'où l’on déduira Vassemblant: 108 THÉORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. Fg NT he RE ed lm EC 0 ET O DT) a by ei dy Py LY | Ga a, ae TE | Ds de ds ay b, b, Ge) 1s Di au | a, a Ds bod, DT Ay b, CSN ENS PIRE UE (32), Pe —Y2 As Ay bs 65 Ge Og Pi = YU di ay by be & d Ps = 2 a; bs Ca ds py = 24 Gi). Ge Di deine 05 Ad Pro = À ay by Co do et le système de racines 7’: Pe HEN Bus Lia Pa een An Po Fag on —b, -b, —03 —b, ay ay As Ur, 0 0 bise te Qt ee (33). De ces deux assemblants on trouve pour la solution commune: æ 7 2 u Pa : dy —pr 5 Ay, #3 H an Ds 5 Qs, OÙ Py, Pos Pas Py Sont des déterminants de l’assemblant que l’on obtient en supprimant dans l’assemblant (32) la huitième colonne. Si les valeurs (34) s’annulent, il existe deux solutions commu- 2 pis . Ti veto . 7 2 nes. On peut les évaluer comme il a été indiqué dans le chapitre précédent, et on trouve ainsi les équations : Pat Psy HPO, | Dos © À Du Y Do UNE NELE Oh Soe et à (35), Pst + Pis ty + Po y= 0 , | dans lesquelles les coefficients sont des déterminants de l’assemblant que l’on obtient en supprimant dans Vassemblant (32) la huitième et la dixième colonne. — manen an nt il me i ee fe dm 6 D Sd à THÉORIE GENERALE DE L’ELIMINATION. 109 Les valeurs de pys, Ps, Pas, Pu et py sont toutes divisibles par le déterminant du sixième degré: 43 a b; by C6 EE nr en (36), 43 Ais” “Gp a, 3 by Cy ay C10 et les valeurs de 5, p45 en po; sont encore divisibles par a,. Cette division faite, les équations (35) se réduisent aux suivantes : Zig iy 0 aan Os æ at TA sey a EA ab US az 0 \ 7 L ee es 3 En Nia A aos re ere (37), dee das a, 5, dont les deux premières peuvent se réduire facilement aux fonc- tions p et x mêmes, et réciproquement. Remarque. Pour obtenir les deux premières équations (37), on aurait pu diminuer le degré j de la fonction # d’une unité. Ainsi on aurait : j=htitmta—5=1, | ii de ==, Dd 0, Bi = Br = = = B = Bs = 0, (38), a LN) Hi), v0 == D, Uit 0 BN + Yo = -25 v, == -A, | et Vassemblant : 110 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. aan n=æ|a b Dm U elan VO gel dr ER LR eo Py ula, b, d'où Von peut obtenir immédiatement les coefficients des deux premières équations (37). Note 1. Théorème. Quand m et n sont des nombres entiers positifs, la forme Orr OO terr) aura la valeur zéro pour m < 2, et la valeur (— 1)"1"' pour » — x. Démonstration. Pour abréger la notation, posons : OO EO Eaton)... Pour 2 >o, on a Oet. d’où ARR | 4 eee RES A ET (2). 0 On trouve ensuite por > 1; eten Os Dl OO Ei €, tre) *) Comparer: Wiskundige Opgaven met de Oplossingen door leden van het wiskundig genootschap, ter spreuke voerende: „Ken onvermoeide arbeid komt alles te boven.” Amsterdam, 1899. Tome VII, nes 183 et 184; tome VIII, n° 2. 112 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. pour 2 > 2, RO Or Ore Oer) pa) Cp} re) DE … er CN SE ENT Per RE Re en (4), pour # >> 3, Vi ee CE 0 TE Dr De D+. eres) =D) rar ar Ie HE + ge | Cs) JDE Je etek + [CTD +8 CQ CD ete} =—nfe ys a Veo ae Re. MRC eae EUR (5), etc. Appliquant la même réduction à Ÿ%, on obtient: m Vr DD Der eaf D Gra) ae Gard en) =} hee ( 1 du ya") 43 aay") — a a") Cie ae nefe ml nl (—1)n—1 {1 +(n—D} om | =d [1 HOT DSL Pet i-1( N— fap) je Gene [ ab tc La Ga es GAD) Deel ties THEORIE GENERALE DE L'ÉLIMINATION. ER DIN CD me Ga) DE Le PED nn Dd sE Rnd, (6), ou Ne Lage ee ae) + —] "ce ei) vie mb EN Van PARA Res: Ce UD: Cette formule est évidemment vraie, si lon a x > 1. Par Papplication réitérée de la formule (7) à chacun des /* qui entrent dans le second membre de cette formule, on trouve finale- ment pour m < 2: | | n--1 =" zb Zl kij tnt Vy +en—2 - ten— 3Vi +... He m+i Vy Zan (8), où les coefficients ¢ sont des fonctions de m et x, lesquelles ne peuvent devenir infinies. Comme on a m< 2, et par conséquent # — m + 1 > I, les symboles VY qui entrent dans le second membre de cette équation sont tous nuls, d'après la formule (3), de sorte que Pon a pour Wi Ws. Pour déterminer la valeur de 7”! On trouve ainsi: y= ae TA + edt Gap a +("5 — >) Vus Kaon | NAS ED Vest Ce Veo) 00 Les symboles / gn le second membre de cette équation sont Ainsi on obtient: nr 2 on peut partir de l'équation (7). tous nuls, excepté A et EN eretekens (11). Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (1e Sectie). DI. VI. Gs 114 THÉORIE GÉNÉRALE DE L’ELIMINATION. En appliquant cette formule réitérativement, on trouve à —1 \2 n—2 3 nd 4) hed Vs, —(—1)" a(n—l) Vies —(—]1) n(fn—1) (n —2) Ve == ele se eae A oe EE TRE (12), n—k d'où l’on obtient, en prenant 4 ==» —1, VEN : SR (Voy Note 2. Théorème. Si les n nombres g; sont arbitraires et le nombre » entier, et que l'on pose Si == UT ne si 93" + _ oe ln SN (ga == 92)" (9 93)” - andrea + (In Ne Sy" — (gi + Jo + 93)" ae (ga Es ek zE ts ea eS rd zie Gale la forme mila Sir + Se LEA Se + PRE + (— 1)" Sn aura la valeur zéro pour m 1, de sorte que l’on a dans ce cas — ST +2 ST —3 SP In f(T) ST OMS (23). Pour m—=2—1 ou »—m=1, toutes ces expressions s évanouissent, à Vexception de la dernière, qui est égale a — 1, de sorte que Von a ee gO oh) RUES + (ln Bit = (SIN ANNEE: On RONA TO THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 119 Note 3. Théorème. Si les » nombres g, et le nombre s sont arbitraires, et que l’on pose Bb — ge ee er te OE ar CHACHA Ho HOHE, me (ST Gaza TN à ST Ja Je Ja SIn—2 In In TT m ) Ê m de a ae m , Q PONS DE C fi — {2 — 73 sr ere ve) TS. ? la forme Qi aS qr + Q,” en Ae. + (— 1)" 0,” aura la valeur zéro pour m ) gm/-1 Ju S! Ds 5 oo S2 Ds ie 1 “RUE 1} gm-1 Dg | 3 } / \ ST 5 TS sie is ae Gn yu | à „ml 2 in/—1 Qn — wie 4) grt 3! Ds" Le Ds re let Si ae al ROUE \ (26) D's"/-1 Ds 3 | / — SS 123 + deo | Ss a ] , m/—i 2 ,m/—1 Qe mt Be. | ñ sl S! Ds | S Ds Cap oe MNS 2 Il PPS a m1 es D"s nl | Fa Se soa ae ey hel eae DS AT | ? où les coefficients 4% ont la même signification que dans la note 2. En substituant les valeurs (26) dans la forme ae ie + où EE PO ET AE a (— D” QF ; / ae on trouve: “A El Qe + am EEN -: = (—1)" Oe | a en (1) ) + 3) — Be se + | sti Ds"! We CY2 > 9 HES „nl IIB sl pe — |— 81 - Sr a nee ; | Ds m/—1 ¥ EG [Sr PET ones en, Pour w Zu, les expressions entre les accolades s’évanouissent ; donc, on a dans ce cas: QQ LO LE daf ONE ot (28). THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION. 121 Pour mw — x, les expressions entre les accolades s’évanouissent, à exception de la dernière, qui est égale à (—1)" 1"" gy 9593... In de sorte que l'on a: ee a Or + Q,” En RN velt. + (—1}" € À = nfl Bard (— 1)” arn Oe as en Tr A A ie ENE (29), car Dg — pu Pour l’autre forme on trouve immédiatement Q," — 2 Qs" + 3 Q"—.......... + (—1)"""2Qm — ze i nm Ind Cn an ne) | s n/t a ae 9 Ma a LT el De Si + 2 8,—383-+-..+ (—1)"28, | HOLE BE HIA ees Ds mj ER U | - (30). Pour m < x—1, les expressions entre les accolades s’évanouis- sent, d’où l’on déduit dans ce cas - yy oe SO EC 1) ir QT — 0... : (31). Pour m = 2 — 1, les expressions entre les accolades s’évanouissent, excepté la dernière, qui est égale à (—1)" 1"! Dy go gs. . . «Inr On trouve donc : Dm = 9 ida +. 3 (A LT SES a (lj n Ge Tr A1 ED ZN 9293 Ina EAI IJs Juris... (32). I | ives | » a à s . Au i. ' Li 6 Hide ne p ie 7 Pal L | Al = ee im rte our al ‘ine zal ALTER wre. 8 à Ph wey 4 t i - ML Ale gett : id x lek ted u) x IA ede baie EL ety | ET EN GEDRUKT BIJ —o JOH. ENSCHEDE EN ZONEN o— HAARLEM ze