VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE. WETENSCHAPPEN EERSTE SECTIE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenipurswetenschappén). ) ae a ie Alinde aa EN UE ST ee ne Pal PP ee re “+ k TER à PEER SG eee ye ik ; 5 8 ee. Seas # ii DEE MLI ME TT 19° PE A DE IN AMSTERDAM — JOHANNES MULLER April 1901 vs BK Sh 4 His California Academy of Sciences Presented by Koninklijke Akademie _ van Wetenschappen, Amsterdam. KET an AEO OUT gt al {wie F d'u, SEE POC En RAT NAN QE à VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE MOBEEN SCHAAP P EN BERSTE SECTIE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen) DEB MIE MET 19 P LA T E N AMSTERDAM — JOHANNES MULLER April 1901 jen Gedrukt bij Jon. Exscm HE Ne 4 i à 1 # 4 Le % L+ = a À | à d- we F Zet a ER 1 ‘ a ï 8 je 4 « © + ie = ah à k + + L 7 E : EE | i , x ‘ aN | A l a ‘1 1 vate PES to Le fi he A. pe. rd ah es, oy Oe TV Pet DÉ EN ZONEN. — Haarlem. INSEE ONDD S. L. van Oss. Das regelmässige Sechshundert-Zell und seine Selbst- deckenden Bewegungen. (Mit 14 Tafeln). E. Murper. Over peroxy-zwavelzuur zilver en peroxy-azijnzuur zilver. (6° Verhandeling). Arrcra Bootn Srorr. On certain series of sections of the regular four- dimensional Hypersolids. (With 5 plates). P. H. Scrourr. Les hyperquadriques dans l'espace à quatre dimensions (Etude de géométrie énumérative). R. SissiNGn. Propriétés générales des images formées par des rayons centraux traversant une série de surfaces sphériques centrées. B. Murper. Over peroxy-azijnzuur zilver en, als vervolg, over peroxy- zwavelzuur zilver. (7° Verhandeling). J. M. van BeumereN. Bijdrage tot de wetenschappelijke biographie van G. J. Murper. Historisch-kritische beschouwing van zijn werk: „De scheikunde der bouwbare aarde.” Digitized by the Internet Archive hi é LD in 2012 with funding from ce 4 California Academy of Sciences Libra ix É 6 a ce ZA a Zn http://www.archive.org/details/verhandelingende 71901 koni eat 2 à x fr ° LD > ‘ +1 _ Selbstdeckenden | Ban - S. L. VAN OSS. | na _ Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 1 (Mit I@OTafeln.) AMSTERDAM , | = : JOHANNES MÜLLER. | ea “December 1899. | 4 D zel w j dut FA % ooh 1 pee. Das regelmassige Sechshundertzell und seine Selbsideckenden Bewegungen S. L. VAN OSS. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 1. (Mit 14 Tafeln.) AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. December 1899. inh pte = Das regelmässige Sechshundertzell und seine selbsdeckenden Bewegungen VON S. L. VAN OSS. Wesentliche Grundlage dieser Arbeit sind die hierbei vorgelegten Projectionen der Tafeln HIT bis VII. Die Projectionen der Tafeln T und IT wurden schon in meiner Inaugural-Dissertation © publicirt und untersucht. Ich reproducire sie hier in der Meinung, dass ein Uberblick über die sämtlichen regelmässigen Gebilde von vier Dimensionen wohl erwünscht sei, zumehr weil die Punktgruppen der regelmässigen Z600 und ZO diejenigen der emfacheren Zelle enthalten. Das zu vergleichende Material liegt also sämtlich vor. Auch die beiden Tafeln IX und X, welche Projectionen des Z120 enthalten, lasse ich ausser Betracht. Sie sind nur der Vollständig- keit wegen hinzugefügt worden. Ihre Leistungsfähigkeit bei irgend welcher geometrischen Untersuchung, dieses Gebilde betreffend, ist wohl nicht fraglich. Ohne Weiteres liefern sie die von Herrn P. H. Schoute *) behandelten räumlichen Projectionen nach den Richtun- gen der ersten, zweiten und dritten Querlinien, während sie mittels sehr einfacher Constructionen die räumlichen Schnitte senkrecht zu diesen Querlinien zu bestimmen gestatten. Sie sind aus den 7600 Projectionen der Tafeln IV und V abgeleitet worden. Ich habe es unterlassen alle den Tafeln IT bis VIII entsprechenden Z120-Pro- "| Die Bewegungsgruppen der reg. Gebilde von vier Dimensionen 1894. *) Reg. Schnitte und Projectionen des Z'*° und Z°°° Verhandelingen Im N°. 7.1894. An 1 4 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND jectionen zu construiren, weil die beiden an dieser Stelle vorgeleg- ten allerdings hinreichend sind, eine klare Vorstellung des 7120 zu vermitteln. Die Projectionen des 7°°° wurden mit ausschliesslicher Rücksicht auf die Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen dieses Ge- bildes angefertigt. Idem sie aber, so zu sagen ungefragt, sich dar- boten zu Bemerkungen allerlei Art, so habe ich im ersten Abschnitte dieser arbeit eenige Ergebnisse, welche ohne jede Construction aus denselben hervorgehen, zusammengestellt. 1. Die Lage eines Gebildes 1m Raume von vier Dimensionen ist bestimmt durch seine Projectionen auf die Ebenen eines recht- winkeligen Coordinatensystems. Von diesen Projectionen sind irgend zwei auf ein Paar normaler Ebenen schon genügend, die Lage anzu- geben. Bs. seien nun die Ebenen X OA, X,O0X%,, X,OX,, AG OAN mit den positiven Halbachsen auf die Ebene des Papiers umge- klappt: OX, nach unten, OX, nach rechts, OX, nach oben, OX, nach links, es seien weiter 4,, 45, die Projectionen eines Punktes A auf X,OX, und X,OX,, so lassen sich die Projectionen 4,, und d,, sofort angeben. Beachtet man nun, dass je zwei nebeneinanderliegende der um- geklappten Ebenen einen Coordinatenraum von drei Dimensionen bestimmen, und dass die Projection emes Punktes auf diesen Raum, durch die Projectionen auf die beiden Ebenen bestimmt wird, so lässt sich das obige System von vier Projectionen nach Belieben auch als die Projectionen auf die vier Coordinatenräume betrachten. Nach diesem Prinzip habe ich nach den Angaben Puchta’s 4) die Projectionen der ‘Tafel, HI gezeichnet, und durch Drehung und Doppeldrehung um A,OX, und X,OX, die übrigen Z600-Projec- tionen hergeleitet. (Ich bin der Puchta’schen Bezeichnung nicht gefolgt, weil es mir zweckmässiger erschien, je zwei diametral gegenitbereinanderlegende Eeken durch gleiche positive und negative Zahlen zu bezeichnen). ') Wiener Sitzungsberichte. Bd. 95. 1887. SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 5 2. Aus irgend welchem dieser Projectionensysteme lässt. sich die die folgende Ubersicht über das 760 herleiten. Die Eeken des Zelles legen, regelmässige Punktgruppen um irgend eine Hauptdiagonale bildend, in sieben zu dieser Diagonale normalen Räumen. So liegen z. B. um die Diagonale 1-1 herum: 2 — 13 in einer Ikosaedergruppe J, IAR A3 ee Dodekaeder … “2D SARA DE ars Ikosaeder. . 5, 7, AO AG oO Uke Dod: MCD) -45 — -84 „ „ Ikosaeder ,, J, old 64 Dodekaeders D rn de ui eelikosaeder: 1, ~ 44 Diese Punktgruppen liegen alle ähnlich, bezw. reciprok zu einander. Diese Ecken sind auf folgende Weise durch Kanten verbunden: Von 1 aus gehen 12 Kanten nach den Eecken des i= die ahnlich legenden Beken von, 7 25, Aon Zi | sind nach der Reihe mit einander verbunden, und die 60 Ecken des J,’ mit —1. Die Beken je einer Seitenfläche des D (2°) sind 2 120 | verbunden mit den zu dieser Fläche reciprok legen- den) Bcken des 7 umd, 75> (2 und 959). : Die Ecken je einer /-Fliche des (/D) sind verbun- 2 X 60 {den mit der zu dieser Fläche reciproken Ecke des D und des 2. | Die Ecken je einer D-Fläche des (/D) sind ver- 60 | bunden mit der zu dieser Fläche reciproken Ecke des Hunde des 7 x Die 600 Seitentetraeder liegen wie folgt: 2 X 20 Tetraeder von 1 und— 1 nach den Seitenflächen des 7, und des 1’. AEX 20 ; „ den Ecken des D und des D’ nach den Sfl. des 7, und des J,’. 2 X 20 ” ” ” ” n D ” n D 1 ” LF. ” (LD). 2 X 30 Le SN TO Rent EE ancl: GIS: 1 e by Sly} = mms Verbindungen £ J, He à "D; R NS, ç À id IJ ZZ 12 1 n 1 ” I, I ” 1 7 ” (1D). Tr NNS ‘ 1 , 5 9 X 12 ” ” ” ” PR ” ” ” ” D”. 2X 120 5 ne lon QE umd ad esse Flächen welche (1D) mit D und mit D’ verbinden. 6 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND 3. Betrachten wir die vorliegenden Projectionensysteme aus dem Gesichtspunkte, dass je zwei nebeneinanderliegende Projectio- nen die Projection auf einen Coordinatenraum bestimmen, so fällt es auf, dass die Tafeln HI, IV und V gerade die von Prof. Schoute behandelten regelmässigen Projectionen lefern : Die linke, wie die untere Hälfte der Tafel IV und der Tafel V liefern die Projection des Ze in der Richtung einer Hauptdia- gonale D. Die rechte, wie die obere Hälfte der Tafel V liefern die Projec- tion in der Richtung emer ersten Querlinie Q,. Die rechte, wie die obere Hälfte der Tafel IV hefern die Pro- jection in der Richtung emer zweiten Querlinie Qs. Irgend welche Hälfte der Tafel III hefert die Projection in der Richtung einer dritten Querlinie Q. Bezeichnen wir mit d,g,, gg die Hauptdiagonalen und Querlinien des Gebildes /, und mit s den Schnitt zweier Seitenflächen des- selben, die in einer Eeke, doch nicht in einer Kante zusammen- stossen, so ist leicht zu sehen, dass : De OO parallel ist zu g, (4 12) (7 9) Q, + (84 —45) ORTE JPS Q, + (58 59 -51) oen Ya O76 8) (CELUI Qore (84 48 49 Ab) PS pen 8 (8 1 10) @ AT Die Projection des Z6% in den Richtungen der D bzw. der Q,, Qo, @, gehen also aus dem Zelle hervor, wenn man die um eine Diagonale herumliegenden Gebilde /,, D, Z,, UD), 1’, D',L’ ersetzt durch ihre Projectionen in den Richtungen der g,, bzw. derd 5, 8. 4. Kin anderes Problem, das zu den Projectionen der Tafel III in naher Beziehung steht, ist die Construction eines Schlegelschen Modelles. Bekanntlich beansprucht das Modell des Brill’schen Verlags nicht, ein treues Abbild eines regelmnüssigen Z8° yu sein. Schon aus der Projection in der Richtung einer @, Fall des Schlegelschen Modelles betracht werden kann, geht hervor, welche als ein besonderer dass die inneren „Drahtkörper”, wie das äussere, eine tetraedrische Symmetrie zeigen sollten. Um dies deutlich zu machen, habe ich, aus der Tafel IIL die den inneren Drahtkôrpern entsprechenden Gebilde herausgenommen und in der Tafel III" besonders gezeich- net. Wenn auch diese nicht den Drahtkörpern emmer centralen Pro- SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. fl jection ähnlich sind, so kommen sie doch, was ihre Symmetrie betrift mit denselben uberein, und setzen genügend in ’s Licht, wie sehr das jetzige Modell von emer centralen Projection eines regel- müssigen Z° abweicht. Es wäre eine geringe Mühe aus den Projectionen der Tafel III eine centrale Projection abzuleiten. Hs wiirde sich dann empfehlen das Projectionscentrum in der umgeschriebenen Hypersphär zu nehmen. Es werden dann die Projectionen aller in Kreisen lie- genden Ecken wieder in Kreise fallen. Normale Kreispaare werden in einer solchen Projection zu conjugirten Kreispaaren 4) u. s. w. Das Modell würde ein Gerüste von 36 conjugirten Paaren von Zehnecken zeigen, welche sich zu je sechs in den 120 Ecken schnei- den. (Man vergleiche IT 4). Vielleicht wäre es am zweckmiissigsten das Projectionscentrum in emer Eeke zu wählen. Das Modell würde alsdann eine ikosae- drische Symmetrie erhalten. Die Eeken der oben erwähnten Gebilde LD, 1,, (D), A, D, 1 würden sich in concentrische Schichten Lagern, und zugleich mit dem Erlangen der Vortheile einer stere- ographischen Projection, würde der Übelstand des jetzigen Modelles, dass die Drahtkörper Abbildungen von in gebrochenen Räumen liegenden Gebilden sind, vermieden. *) Zwei Kreise welche beziiglich einander so liegen, dass jeder Kugel durch einen derselben von den andern normal geschnitten wird, heissen conjugirt. Über die Bedeu- tung solcher Kreispaare für die Abbildung der Bewegungen im vierdimensionalen Räume auf den dreidimensionalen, sieh HE, Goursat: Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace. Annales de l'École normale superieure ¢.6 1889. In dieser Arbeit werden alle endlichen Gruppen der orthogonalen Substitutionen von vier Variabeln aufgezählt. Uber Drehungen und Doppeldrehungen um ein Paar conjugirter Kreise sieh des Ver- fassers Aufsatz in Nieuw Archief IV 1898. [© ©) DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND i 1. Zu der Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen des Z schicken wir die folgenden Prinzipien voraus: Eine einfache Drehung um eine Ebene lässt die Projection auf diese Ebene ungeändert, während sie in der Projection auf die normale Ebene eine Drehung hervorbringt. Eine Doppeldrehung um ein Paar normaler Ebenen erzeugt in den beiden Projectionen auf dieselben eine Drehung um den ge- meinsamen Punkt. Wenn die Substitution der Eeken, welche einer selbstdeckenden Drehung der einen Projection entspricht, die andere, zu dieser normale, gänzlich ungeändert lässt, so entspricht dieser Substitution eine selbstdeckende einfache Rotation des projicirten Gebildes. Bringt die erwähnte Substitution auch eine Drehung in der normalen Projection hervor, so ist die erzeugende Bewegung eine selbstdeckende Doppeldrehung. Ist aber die Substitution, welche einer selbstdeekenden Drehung in der einen Projection entspricht, in der andern weder identisch noch einer Drehung aequivalent, so entspricht derselben keine selbst- deckende Bewegung des projicirten Gebildes. Zu jeder selbstdeckenden Bewegung eines Gebildes gehört eine oder gehören ein Paar regelmässiger Projectionen. Umgekehrt wird die Kenntnis aller regelmässigen Projectionen zu der Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen führen. Es ist hierbei zu bemerken, dass eine Doppeldrehung, deren beide Componente einander gleich sind, oder, wie diese von Herrn W. A. Woythoff ') genannt wurde, eine gleichschenkliche Doppel- drehung, zu einer unendlichen Anzahl normaler Ebenenpaare, und desshalb auch zu einer unendlichen Anzahl regelmässiger Projec- tionen gehört. Wir werden aber im Folgenden sehen, dass die vorliegenden Projectionen gerade diejenige sind, welche zu der Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen des Z60 und des 70 nötig sind. *) W. A. Wythoff. De Biquatonion als Bewerking in de ruimte van vier afmetin- gen. Diss. Amsterdam 1898. SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 9 Ana Latel PT Die Projectionsebenen +) enthalten, je nach dem Schema DQ Q, Q, Q, Q D Q Q, Q, Q, @, zwei Hauptdiagonalen, vier erste, vier zweite, und zwei dritte Querlinien, zu normalen Paaren angeordnet. Sie schneiden acht Seitenflächen und vier Seitente- traeder. Die Ebene X,0X,, zum Beispiel, geht durch die Beke 1, durch den Mittelpunkt der Seitenfläche 1412, durch die Mitte der Kante 412, durch den Mittelpunkt des Tetraeders 4 12 23 25, U.S. Ww. Indem also jede Ebene, zu welcher eine Projection wie die vor- legende gehört, zugleich S Seitenflächen normal in zwei symme- trische Teile zerlegt, oder vier Tetraeder normal in einer ersten Querlinie desselben schneidet, ergibt sich für die Anzahl solcher benen: =< 3 oder BX 3 ==. 450: Diese Bberten smd zu + 225 normalen Paaren angeordnet. Wenn man das System dieser Projectionen mit den quadratischen Projectionen des Z™* (‘Tafel Il) vergleicht, so sieht man unmittel- bar, dass die Z%%-Ecken. + (1 56 46 51:15 17 21 33 18 22 26 30) eine Z*-Punktgruppe bilden. Indem es nun 9 Ebenenpaare gibt, auf welche das 77 sich so projicirt, so ergibt sich für die Anzahl solcher Punktgruppen im 7: 2° == 25. Selbstredend gibt es dann 75 Z*- und Z’°-Punktgruppen (vel. Tafel D. Die Projectionen der Eeken sind in neun Kreisen quadratisch angeordnet, der nte Kreis, von aussen ab gezählt, irgend einer Projection, entspricht dem nten von innen ab gezählten der zu dieser normalen Projection. Die Projectionen der Ikosaeder, in deren Beken die von den Zellecken ausgehenden Kanten enden, zeigen sich daher in neun verschiedenen Formen. Die Eeken, deren Projectionen auf eine Ebene zu zweien zusam- menfallen, haben ihre Projectionen auf der normalen Ebene in bezüglich dem Mittelpunkt gegenüberemanderliegenden Punkten. Die Ecken, deren Projectionen auf eine Ebene zu vieren zusammen- fallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Ecken eines Quadrats. Kine Substitution der Ecken, die emer Drehung !/, irgend einer der vier Projectionen entspricht, lässt entweder die normale Pro- ') Hier wie in der Folge wird der Coordinatenursprung im Zellmittelpunkt gedacht. 10 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND jection ungeändert, oder sie bringt auch in letzterer die Drehung "ly hervor. Hieraus folgt dass die einfache Drehung !/, und die Doppeldrehung 1/, '/, zu der Bewegungsgruppe des 4” gehören. Eine Substitution der Weken, welche emer Drehung 1/, irgend einer Projection entspricht, kann nur dann eine Operation der 2° Gruppe sein, wenn sie auch eine Drehung is in der normalen Projection erzeugt: Erteilen wir z. B. der Projection auf A} OX, die Drehung (1/,).4. Dieser Drehung entsprechen sehr viele Substitionen der Eeken; aber nur zwei derselben sind selbstdeckenden Bewegungen aequi- valent, nämlich: (1 56 —1 —56) (51 46 —51 —46) (2 60 —2 —60)... und (1 56 —1 —56) (51 —46 —51 46) (2 -57 -2 57)... Die erste entspricht der Doppeldrehung (1/,)34 (1/4), die zweite der Doppel- drehtune (Ue (02) Zu jedem der 225 Ebenenpaare gehören also die folgenden Operationen der 7° Gruppe: 2 einfache Drehungen 1/, 4 Doppeldrehungen 1/, 1/, 1 Doppeldrehung kroes 1 identische Operation. Zu der Aufzählung der sämtlichen zu diesen Ebenenpaaren ge- hörigen Operationen ist zu bemerken, dass die Doppeldrehungen 1/, 1/, und 1/, 1/, solche sind, zu welchen eine unendliche Anzahl von Tragern gehôrt. Es erhebt sich also die Frage, ob diese wohl alle von elmander verschieden seien, und, wenn nicht, wie viele der 225 Ebenenpaare zugleich als Trager einer einzigen Doppeldre- hung auftreten? Nun leuchtet ein, dass eine Substitution der Eeken, welche einer Droppeldrehung 1/, 1/, aequivalent ist, aus 30 Cykeln, je von vier Elementen, besteht. Jeder Cykel entspricht einer Dre- hung 1/, einer der 450 Ebenen in sich selbst; es bewegen sich also jedesmal 15 Paare in sichselbst, und es gibt, also nur =” X° 4 = 60 unter einander verschiedene Doppeldrehungen 1/, 1/,. Die Doppeldrehung 1/, 1/, vertauscht je zwei diametral-gegenüber- liegende Ecken; es ist also ganz gleichgiiltig, welches Ebenenpaar man als ‘Trager betrachtet. Diese Operation kommt, wie die iden- tische, nur einmal in der Gruppe vor. Die zu den sämtlichen 225 Ebenenpaaren gehörigen Operationen der Z°% Gruppe sind also: nn de nn dn ddie — EN a dt n à Le SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 1] 450 emfache Drehungen 1/, 3 5 Wie ui 60 Doppeldr. ae i Uli il LE] [9 2 1 identische Operation. D. Latel IV: Durch geeignete Doppeldrehung um À, O X, und À, O À, lässt sich das ZP® der vorigen Tafel in eine solche Lage bringen, dass die Seitenfläche 34 46 —54 zu der Ebene X, O X, parallel wird; zugleich werden dann auch die Seitenflächen 39 52 —44, 41 —36 —55, u. s. w. parellel, und 5 6 8, 3 10 11, 51 58 59 u. s. w. normal zu dieser Ebene. Die Projectionen auf X, O X, und XA, O À, werden dann, wie es die Figur zeigt, regelmässig-sechseckig. Die letztgenannten Projectionsebenen enthalten je abwechselnd 3 Hauptdiagonalen und 3 zweite Querlinien; sie sind zu sechs Seiten- flächen parallel und schneiden eine gleiche Anzahl derselben nor- mal in ihren Mittelpunkten. Es gibt also ©’ — 200 Ebenen, zu 100 normalen Paaren auf welche das Z®® sich regelmässig-sechs- eckig projicirt. Die Eeken, deren Projectionen auf die eine Ebene zu dreien zu- sammenfallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Ecken eines regelmässigen Dreiecks. Die Eeken, deren Projec- tionen auf die eine Ebene zu sechsen zusammenfallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Eeken eines regel- miissigen Sechsecks. Es gibt eine Substitution der Eeken, welche eine Drehung !/, in der einen sechseckigen Projection erzeugt, während sie in der zu dieser normalen Projection keine Anderung hervorruft. Hieraus folgt, dass die entsprechende eimfache Drehung Le eine selbst- deckende Zellbewegung ist. Weil die Bewegungen um zwei nor- male Ebenen von einander unabhängig sind, so ist auch die Dop- peldrehung 1/, 1/, eine Operation der Z°° Gruppe. Stellt man diese Bewegungen mit der Operation Ze de zusammen, so erfolgen noch dies Doppeldrehungen. ts .1/, und Wee. Die zu einem Paare 6-eckiger Projectionen gehörige Untergruppe der Z”’-Gruppe besteht also aus den folgenden Operationen : aus 4 einfachen Drehungen !/, 4 Doppeldrehungen blake the Hd 4 > EE a) DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND 4 Doppeldrehungen Tule | ” 2 i 2 | identischer Operation. Die Doppeldrehungen 1/, 1/, und 1/, 1/, sind aber nur zum Teil unter einander verschieden. Bei jeder dieser Bewegungen bewegen sich 10 der 100 Ebenenpaare in sich selbst; es ist desshalb nur der zehnte Teil unteremander verschieden. Die sämtlichen zu den 100 Ebenenpaaren gehörigen Operationen der Z°” Gruppe sind also: 400 einfache Drehungen 1/, 400 Doppeldrehungen 1/, 1} 40 22 le ‘ls 40 ae ‘le le ausser der schon oben bestimmten Operation 1/, 1/, und der iden- tischen Operation. Anr Datel Vi Aus der vorigen Lage wird das Z°® durch eine einfache Dre- hung um XA, O X, mit der Kante 1 2 in die Ebene X, O X; ge- bracht. Die Projectionen auf diese Ebene und auf X, O X, gestal- ten sich dann, wie es die Figur zeigt, regelmässig-zehneckig. Man sicht unmittelbar, dass diese Projectionsebenen je zehn Kanten enthalten, welche ein regelmässiges Zehneck bilden. Zugleich ergibt sich für, die Kantenlänge a; der Wert LR \/10—2V 5. Die Anzahl solcher Projectionsebenen ist © = 72, zu 36 nor- malen Paaren. Hieraus folgt, das eine Hypersphär regelmässig umsponnen wird von 72 Kreisen zu 46 normalen Paaren, welche sich zu je sechs in den Beken regelmässiger Zehnecke schneiden. Die Beken, deren Projectionen auf die eine Ebene zu je fünf zusammentallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Ecken regelmässiger Funfecke, während die zehn äusseren Beken der einen Projection den im Mittelpunkte der anderen zu- sammenliegenden entsprechen. Die Drehung der Periode 5 irgend einer der zehneckigen Pro- jectionen ergibt sich als einer selbstdeckenden einfachen Drehung des ZP entsprechend. ne lt 5 SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 13 Die Combination dieser einfachen Drehungen unteremander und 1/, erzeugt die zu jedem der 36 Ebenenpaare welche aus den folgenden Operationen besteht: mit der Operation 1/, gehörige Untergruppe, æ DOD oo à & & à —_ — einf. Drehungen LE] 22 Doppeldrehungen identischer Operation. Es lässt sich nun aus der Figur leicht nachweisen, dass bei jeder der gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 5 und . 10 sechs gleichberechtigte normale Ebenenpaare sich in sich selbst bewegen. Bei der Aufzählung der siimtlichen zu den 86 Ebenen- paaren gehörigen Operationen sind diese also nur mit dem sechsten Teil in Rechnung zu bringen. Man erhält also: 144 144 144 144 288 258 24 24 24 24 einf. Drehungen LE] 22 Doppeldrehungen Di 2 [5.15 Ausser der Operation 1/, '/, und der identischen. 5. Es ist leicht zu sehen, dass wir zu der Construction der bisher betrachteten regelmässigen Projectionen des 7° geführt wur- den durch die Erkenntnis, dass in der Gruppe des 7°” Ikosaeder- gruppen enthalten sind. Dass es noch mehr regelmässige ebene 14 DAS REGELMÁSSIGE SECHSHUNDERTZELL UND Projectionen geben muss, zeigt sich schon daraus, dass die durch jene bestimmten Operationen die Gruppe, welche offenbar von der Ordnung 7200 ist, noch nicht erschöpfen. Die Anwendung der folgenden Sätze, deren Beweis ich unter- driicke, wird uns die Construction der übrigen regelmässigen Pro- jectionen ermôglichen. I. Es gibt zwei Systeme, je von oo? Ebenen, deren beide Win- kel, welche sie mit jeder einzelnen der Ebenen eines normalen Paares @ bilden, gleich sind. II. Eine gleichschenkliche Doppeldrehung um @ herum erzeugt in allen Ebenen ees dieser Systeme eine Bewegung in sich selbst. Wenn man den Drehungssin einer der Componenten umkehrt, so bewegen sich die Ebenen des andern Systems in sich selbst. HI Wenn die Ebenen eines normalen Paares « mit den Ebenen eines normalen Paares 6 wagleiche Winkel bilden, so gibt es zwei normale Ebenenpaare y und d, deren Ebenen mit denen der erst- genannten Paare zwei g/eiche Winkel bilden. Es seien a, a, B, By, 1 y» % d die Ebenen der Paare a B y 2. Der Doppelwinkel (a, 6,) sei 9, U; so ist: CON Ce Sea : OO A va) ay) EEE LEEN (Bj) EE Ce ED, IV. Wenn zu den obigen Ebenenpaaren # und (3 die beiden (rechts- und links-) gleichschenkligen Doppeldrehungen der Periode p, baw. der Periode 7 gehören, so ist jedes der Paare y und à Tra- ger einer wngleichschenklige Doppeldrehung, deren Periode das kleinste Multiplum von p und g ist. Aus diesen Sätzen folgt unmittelbar, dass es noch regelmässige 12, 20-— und 30- seitige Projectionen geben muss; und zwar: 2 X 15 X 10 normale Paare 12-seitiger, Dre 10 4 MAO 2 5 OO, Be TUE NT 7 HOUR SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 15 Denn bezüglich der Doppeldrehungen 1/, 1/, sind von den 225 Ebenenpaaren, zu welchen sie gehören, nur 15 als untereinander nicht identisch zu rechnen; ebenso reducirt sich die Anzahl der regelmässig-sechsseitigen Projectionen beziighch der Doppeldrehungen 1/,1/, auf 10, und die regelmässig-zehnseitigen bezüglich der Dop- peldrehungen 1/,, 1/,, auf 6. 6. Nach diesen Prinzipien habe ich die Tafeln VI, VIT und VII so construit, dass alle von diesen abzulesenden gleichschenklichen Doppeldrehungen gerade diejenigen sind, welche die Tafeln FE, IV und V schon zeigten. Der Complicirtheit der neuen Projectionen wegen, sind in diesen Tafeln nur die Weken des 7° angegeben worden; von den Kan- ten sind nur solche gezeichnet, welche nötig waren zur Angabe der verschiedenen Projectionsformen der Ikosaeder, auf welche die in emer Eeke zusammenstossenden Seitentetraeder sich stützen. Die Tafeln VI* VIF und VIII zeigen die neuen Projectionen in pleno. ieee Datel VL. Die Beken der 12-seitigen Projectionen sind in sieben Kreisen angeordnet. Der Mittlere und die zweiten Punktkreise, von innen wie von aussen her gerechnet, sind doppelt. Die 48 Eeken welche sich auf diesen zweiten Punktkreis projiciren, bilden zwei Z%- Punktgruppen. (Man vergleiche die 7-12-seitigen 7%-Projectionen der Tafel ID). Imdem nun die 7° Eecken 25 solcher Punktgrup- pen enthalten, und ein Z* sich auf 24 normale Ebenenpaare regel- mässig-1 2-seitig projicirt '), so folgt auch hieraus, dass es 224 — 300 normale Hbenenpaare gibt, zu welchen regelmiissig-12-seitige Z7- Projectionen gehören. Diese 300 Ebenenpaare bestimmen ausser den schon früher auf- gezählten gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 2, 3, 4 und 6: 300 X 4 = 1200 Doppeldrehungen 4/,, ?/,5- Soe Latel MIE Die 180 Paare 7-20-seitiger Projectionen bestimmen ausser den schon aufgezählten gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 5 und 10 ") S. des Verfassers. Dissertation. 16 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND 180) >< 4 —" 720) Doppeldrehungen 1/5, 755 adt ARNE Die 120 Paare 7-30-seitiger Projectionen bestimmen ausser den schon aufgezählten gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden DS: Oo: 6 und 10 120 4 Doppeldrehungen US etl ay 120 X 4 : is “las 120 X 4 » Elis 5 120 X 4 ” Dear Hiermit sind die 7200 Operationen der Z°%%-Gruppe alle auf- gezählt. 10. Recapitulation. Es gibt 225 normale Paare reg —4-seitiger Projectionen P, aie ae ULC) 5 4 er) À 7 Taps eek Mn 00 À 5 rd 2 sn Pin PE 0) el nn ed ele 5 5 Pio are LOU 7 x 5 LU sn À Dn Mat d ee BAN) à OURS ÿ Pp. Diese bestimmen die 7200 Operationen der Z®®/…,. Gruppe wie folgt : Pi 450 Operationen Ph Pe 400 j 1), 400 ” io Pio 144 3 Is 144 5 2. 144 : “ho ‘2 144 8 “ho Je 288 7 Js ahs IRR RE 205 » Ho “ho TR SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. ile Pi 1200 Operationen ie aloes Py 720 ” 1/20 ° /20 720 » 3/20 ‘/20 Po 2 Uy ial 480 a: /s0 / 30 480 ») as “hs 480 >» hs hs 480 ” 1/30 ne P, Pio Po 60 5 clang Ps Pio Pa (AN 40 > le le 40 de Po Po Pao ¢ 1 24 ») ho /10 2 id, ¢ 3) 3 24 ») lio “ho 24 xi eeen P, Pe Pio Pio Po Pao 1 A ee 1 identische ,, Le 11. ÆZrzeuqung der Gruppe. Wir bezeichnen mit / die Ikosaedergruppe, welche den Punkt 1, mit /° die welche den Punkt 56 in sich sellbst überführt, und behaupten: Die Z%-Gruppe wird durch die Combination der Gruppen Lund 7° erzeugt. Denn man kaun immer die Operationen I, 1, J, derart wählen dass ihre Combination J, 1, J, einer beliebigen Operation der 7°’-Gruppe acquivalent ist. (Sieh Tafel TID. Bezeichnen wir weiter mit / eine der beiden Doppeldrehungen, welche 1 in 56 überführen, so ist J’ == V-'7V; und es sei i =. Ve Dies Operationen der Z7°°-Gruppe smd also enthaltén in der Formel J, V~ 1, VI, Vsrhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (2° Sectie). Dl, VII. A 2 LS DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL, U.S. W. Bemerken wir schliesslich, dass die [kosaederoperationen enthalten sind in der Formel: (Sieh Klein’s Vorlesungen ü. d. Ikosaeder) Se TE Sr ay = P= (SIP U ial 0, 15 2,58, 4 D RENI ae U = 878318? 7, so finden wir, dass die Formel SEP Sve WE Se TEST DSE TE Sane die 7200 Operationen der 7°°-Gruppe enthält. Zalt-Bommel, Januar 1899. (4 December 1899). Tafel I. S. L. van Oss. — Das regelmissige Sechshundertzell. =5-6| 4-0 12 GS a IN 5 S bel ! x S N DEN RS rs S 5 LL \ Ne ' EN > N ~ NS Ge 70 37 15 |0 Nt 4 a 23 Verh. Kon. Akad. v. Wetensch. 1e Sectie. Dl. VII. =< 6 = 4 £ , | = é Ps de = À k, ee gn F ioe = s 2 7 ai ea = - er!” 1 < y 1 , 2 2 / p i = ) : nz = ; ré yore 2 = A EC > - ay A" EM Le @ M, > ee LE D BU EE dues “2 Tafel II. Tafel IIT. 5e B a NA V 7 [> S. L. van Oss. — Das regelmässige Sechshundertzell. Sean 7 600 Verh. Kon. Akad. v. Wetensch. 4e Sectie. Dl. VII. Tafel IIIa. 1 d 4 5 Sosy os st “9 - 24 , le € > = ro hal s ; ris j à pr ies Sx 3 ha pel ap A qe neen — — ooo LS S.L.VAN OSS. Das regelmassige Sechshundertzell und seine selbstdeckenden Bewegungen. | Se oil Vi A) — Ÿ Yds KR HI Sei. ANN ZN TS SEN i AN Ce ae SOS Be ey he Se T 4 Va SA PISE EAN a oT LOR fin N INN Se. Ze ZO SS NO AN AS SC à co 4 2 4 XS we! AL à it AE 7 h NE AN A Poe Wee oa 2e SZ RR i = ian X ZF A AE CON fj A Le VE LZ S& Wa MOSER NY 4) SPS A AS Sa AN | XX EK by A ja) Va \ RA PIR INS PsA SX a Al bene Py a LS \\ ZZ =a Ai TA A col « < 7 SX LE À < 2 NT AIN N {/ Sa = x NY vS DA Vi 22 (Si [> N NO x ‘ Ze Sy) tA DD ot VA TK VA KK a Se Dis AAA | ee eee ZIS V4 Rm | I AA SS AIEN Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) DI. VII. } | ' q | q en ee at nennen 5 3 in TES 0 se ge N i @ ey . y = eS f = } = Wi | x Le] Hy \ N FT à à IN | ZE Le EF i Z | NE : if Is 2 : / / N : 5 — (ee ISN TT “= ‘ 7 Pie Wie N / HT FIN JE dé 27 SE Ze 4 8 # i ™ < Vs AN N X < Se BS 4 < SS ~ EX VE Ss À y 5 N : de — A a >. we | L > se \ / / NZ IGN / 7 N SN ij St ZA —\ ZZ Vs, N > | PA \ ce 7 Ÿ \ se Sa \ N ES \ À Ù P< AGO \ AOS Sey \ N cs 5 / (et SY) LS Ll Ee > = Je \ SS AO, ) C2 6 S CT \ S EN LV = Ee ; Vérhand Kon. Akad. 1: Wetensch. (1° Sectie) DI VII. JBjel, ith PI Mulder meer Sn Verh. S. L VAN Oss. pie Das regelmässige Sechshundertzell. Kon. Akad. v. Wetensch. 4e Sectie. Dl. VII. Tatel VIT. Yh 600 51 412 ES 23 48 58 16-31 475 19-00 750-53 55,57 IE -52-60 “98-42 6,21 A32 2733 38,42 FO, 53 49. 507 17-54 - 48-59 "3743 -40-45 0-22 ZI -26-30 756 Tafel VII. “46 … Tafel VIII. j Tafel VIIIa. 7 600 “43 2 29 45 “49 33 8 2-61 GA 40 “4 2 . NS SRT CE ee 1) \ \ 9 WX LMA SRE ay YL NBT N NES ee DNS A LR NERO 4 A NS NRE Ke TK NATERS I SQN SOOT OSE CAN LEPTIN aS OPA SNR AN URSS NR di NSQ [ANU OIE real HH NK XT WSS LARSEN Ares à ” die be \ 7 XN NHI So i) ja ES Ae es ES 7 oS. = = Ses A \ S4 IN À A BE ee De 51 ANA
1 = 28\\| 24 7/15 ANJ —26|-71 > 7 — = 20h 436 [243 2 _287|-295 6 ~128 Ÿ135
=239\.266 AN -2 9 128/30 —2Ner -237/ 266 91 172 _ 242 271 INES 174/970-9485 2444) .269 126\127 _23G 2237
ôf _J67- 7 FF AR 145 30
5 Xp | -7
-t 4188 /225 95117 -19) 2 187 6 186/369 IN HPI 82420 19N fis 10X £219
54 \_25 = = ne
~254\ 259“ 953\258 256260 _190|_ 298 = C261 248257 [216 =8I]-16 A -24/-256 -251/) 262 sl ze0 _2s0)-263-24p 265 2 ED
=do|-112 10 7 _87|-/Áis
— 20%. 209-13A_205 203 -158 ~89|-U3___—1S7\ /.161 -9\-25 -6|-21 9/24 1. 162 38-114 -200 |/ 213 =144/.193 _199/ 214
159208 -160 | 210 S20RS2 137 207 sour 1971906 u2 -2p4-212 1697 |-165 -194-215
158-141 -22 -25 143) 145
=32|-0 > 2 39 63 > 3 8 B ~93| 4107
-149
HS ~93|> AT = A46 52 108 155 ziet
| > u | 5 4-58 RLS 0
=> [105 Cr: RÉ DE 109) 02
£
zièsgo =11)-16 157
-47-55 -48-54 18-19 -46-51 14-18 4953 50-51
2,
176 177
280
|- 285
Terhand Kar. AladrWétensch (1° Sectie) DIVII
TBytel ith PJ MalderirgaLeden
AURA ee
dens Salli sicle
enregungen.
53 Gr EXT
{
44/58 41156 60
59 | Dl
62 un
4 eel >” 449
7 10 90) 112
BD 4 Glan 983 cr HS 158__ T3905 20209
G2 197206 mM 79607 137 NA zu 160 N210 159208
25 133) ko
& | 67
SA 194219 195218 192 |/221 syer se 31166 187 3468 191 \] 222 8517 188 225 189224 \ a
En 2 2, 3 2; 262 > 217 ET &7 2% if 1903 235X60 2: 8 .
83)! 84) 118
=
29 7. 8 74 168
5 245/13 443 23 7 re ST Sede Pealtos rabo ‘238 29a) 292
241269 U 174) Pe. 1 2 sag ÿ? 28 N30 ave 239] 264
y 12 1671 140 HS
= a <4 ip 7
Ed QE 7 >
Saeed 281[296 283/299 i 00)
\
2291277. 179/228 170 #30 * 181/231 27 ANT 1276 firs 2/226 _yeA|P32_— 153279 18} fa 154\255 zeden
234 [280 1843235 185/33 we? -2/r26 3176 _1 L276 —4\477 -5\227 181/|-231 zisol27s 173/30 7225 729-277
-76|-121 79123
„252300 LA ; 5 L207
NI 7 > _2Â =
=290|.292 > 2 rs RRS ~ 7 Nr Du ras à _287|-295
=739K.266 2 279K 69-128 50 ier 237 7266 1667172 24g)" 271 179770 345 -24f|-269
Lipo _J67- 26 T82
a
je Slk
Ni 187 Is 269 1 221 =82//120 ANNIS IN L219 gg),
= 254 \-259 216 =21À -24f-256 PSI, pred —193|-220 -250/.263 _% LE
= mi
= -112 10/ if
OI_ISA-205 -208N -158. -89/-13 -157\/-161 _9\.23 -6]-21 = SL 24 1S L162 85-114 = 144/193 _199/ 214
1595208 = OEI 1377 K{_196-207 cpl TOA HEL 2
ey. ZE =2
Ze
= MX VE zag = 4 x
-9{% HIT |= 146 Ne
42) ts use 4 ù
- 04 —96) 101 =
=
NZ] |G 15/17 Al
=47-55 -68-54 18.19 46-51 -14-I8 49-53 50-52
193
-192
191
-261 \260
\
-159
-161/-160
— 282)
DE
7 217
209199
189 -219
2 202
192) 222
237 -267
—276
297-286
281 296
Verhand Kon Akad v. Wetensch. (1° Sectie). DL VIL.
JBijtel Uith. PJ Mulder, impr Leiden
1)
Over peroxy-zwavelzuur zilver
en
peroxy-azijnzuur zilver
(Zesde Verhandeling).
DOOR
EE. MULDER.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).
DI. VII. N°. 2.
> Hp _—
AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
Augustus 1899.
Over peroxy-zwavelzuur zilver
en
peroxy-azijnzuur zilver
(Zesde Verhandeling).
DOOR
E. MULDER.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE).
DI. VII. N°. 2.
ED
AMSTERDAM ,
JOHANNES MULLER.
1899.
Over peroxy-zwavelzuur en peroxy-azijnzuur zilver
KE. MULDER.
(Zesde Verhandeling).
In deze Verhandeling zullen in de eerste plaats nieuwe gegevens
worden medegedeeld met betrekking tot de samenstelling van peroay-
zwavelzuur zilver, steunende op een betrekkelijk beteren grondslag,
dank zij de meer of min methodische wijzigingen in de bereiding
aangebracht. Genoemde gegevens zullen worden gevolgd door voor-
loopige uitkomsten betreffende de electrolyse van azijnzuur zilver,
al dadelijk hierom van gewicht, daar hiermede het onderhavige onder-
werp (te weten, de verbindingen van zilverbioxyde, 47, O,, met
oæy-zuren van zilver) van nu af aan, is gebracht op het gebied der
koolstofverbindingen, en als gevolg daarvan, meer beteekenis heeft
verkregen. ‘rouwens was deze uitbreiding van het onderwerp niet
onverwacht, en reeds in de vorige Verhandeling als waarschijnlijk
aangekondigd.
Over de omstandigheden, die van invloed kunnen zijn op de hoe-
veelheid en hoedanigheid van het peroay-zwavelzuur zilver, en overeen-
komstige verbindingen. Al is de opbrengst als zoodanig van onder-
geschikte beteekenis, toch is vroeger gebleken bij de electrolyse
van zwavelzuur zilver, en zal later in sterkere mate blijken bij de
electrolyse van azijnzuur zilver, dat de Aoeveelheid van het product
van aanbelang kan zijn, en wel vooral, wanneer het bezwaar zich
voordoet, om zich de hoeveelheid stof te verschaffen, gevorderd
B 1*
4 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
voor een nauwgezette analyse. En men vangt bijgevolg aan met de
vraag naar de
Opbrengst. De hoeveelheid aan product, afgezet op de anode,
hangt af (onder overigens gelijke omstandigheden) van:
1°. de intensiteit van den electrischen stroom;
2°. de concentratie (of de hoeveelheid zout, in de eenheid van
volumen der oplossing voorhanden, onderworpen aan electrolyse).
Maar genoemde hoeveelheid is tevens afhankelijk:
3°. van de oppervlakte der anode (de kathode is geacht een
buitengemeen groote oppervlakte te hebben);
4°. van de ontledings-snelheid der zwarte stof van electrolyse als
zoodanig (verondersteld, dat deze niet in contact is met de oplos-
sing) ;
5°. van de ontledings-snelheid dezer zwarte stof, te weten ge-
plaatst zijnde onder omstandigheden, zooals zich die voordoen bij
de electrolyse, dus in de eerste plaats in aanraking zijnde met de
oplossing, dat van betrekkelijk grooten invloed zal zijn op deze
snelheid.
6°. van den tijd voor de bereiding genomen; in dien zin op
te vatten, dat de grootte der kristallen enz. invloed kan hebben
op den tijd, die wordt gevorderd, en wederkeerig, zij dit voor de
eenheid in gew, namelijk voor 1 gr. De invloed van den tijd is
dus niet te nemen in de gewone beteekenis, wanneer de tijd op
eenvoudige wijze afhangt van de hoeveelheid aan productie. In ’t
algemeen zal de ontledings-snelheid (zie onder 5°) in een omge-
keerde reden staan tot de grootte der kristallen, en derhalve de
opbrengst in een rechte reden met deze grootte; onder anderen,
omdat het lichaam, waarvan sprake is, de functie vervult van anode,
en de oplossing als zoodanig in dat geval in mindere mate een
storenden invloed zal uitoefenen.
7°. van de snelheid van zewfrafisatie van het zuur door elec-
trolyse vrij gekomen, en bij gevolg van de daarbij gevolgde methode,
bv. of de neutralisatie plaats heeft met koolzuur zilver of op een
andere wijze (zie later).
8°. van de temperatuur, waarbij de electrolyse plaats heeft; en
daarenboven nog van vele andere invloeden.
Hoedanigheid (te nemen in den zin van zuiverheid). Deze is af-
hankelijk (onder overigens dezelfde omstandigheden):
1°. in de eerste plaats van de verhouding tusschen de /oeveel-
heid van het electrolytische product in de eenheid van tijd, en de
hoeveelheid zwurstof, vrijgemaakt bij electrolyse in dien tijd.
2°. bij gevolg (zie hierboven, opbrengst) is de hoedanigheid (zui-
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. )
verheid, samenstelling) van het product van electrolyse in ’t alge-
meen afhankelijk van dezelfde factoren, waarvan de hoeveelheid
afhangt aan product van electrolyse (of de opbrengst zoo genoemd).
Dit zoo zijnde, moet daartoe ook de grootte der kristallen wor-
den gebracht en vele andere invloeden (zie hierboven bij ,,opbrengst’’).
Het is overigens duidelijk, dat het geheel (hetzij opbrengst of hoe-
danigheid van het product van electrolyse) afhankelijk is van de
verhouding tusschen de snelheid van ontleding, wel te verstaan onder
de omstandigheden bij de electrolyse, en de snelheid van vorming
(opbrengst); terwijl de grootte der kristallen nog een rol heeft te
vervullen bij het wasschen, en de analyse van het product. De
grootte nu der kristallen, reeds eenige malen genoemd, hangt af
van invloeden, als intensiteit van den stroom, concentratie, vorm en
oppervlakte der anode, snelheid van ontleding gedurende de elec-
trolyse, enz..
Bijkans al deze grootheden (factoren) „als de intensiteit van den
stroom, de concentratie, de drie gemelde snelheden hierboven, de
tijd, de grootte der kristallen, de temperatuur (te vermeerderen
met den druk) enz, hangen da ’{ algemeen van elkander af,
zóódanig, dat ieder dezer afhangt van de som der anderen.
Maar dit neemt niet weg, dat, als factoren der eerste orde
zouden kunnen worden aangemerkt (werkende bij gewone tempe-
ratuur):
1°. de @teusiteit van den electrischen stroom;
2°. de concentratie der oplossing;
3°. de suelheid van neutralisatie der oplossing gedurende de
electrolyse ; en eindelijk
4. de tjd te weten in den zin boven gegeven (vie pag. 4);
en deze factoren vooral wenschte men in ’t kort te bespreken met
‘toog op opbrengst en samenstelling van het product van electrolyse.
Intensiteit. Voor ’t oogenblik zal men hierbij niet blijven stilstaan,
aangezien de thermo-electrische batterij © in gebruik, zeer wel schijnt
te beantwoorden aan het voorgestelde doel in de onderhavige ge-
vallen, terwijl de intensiteit van dien aard is, dat wordt verkregen :
a. het ontstaan van kristallen eener voldoende afmeting;
b. bijgevolg een voldoende samenhang der moleculen van de
gevormde verbinding;
1) Zie Verhand. d. Koninkl. Akad. v. W. t. A. (Eerste Sectie), Deel III, N°. 8,
pag. 5 (1896).
6 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER,
c. en in ‘+ algemeen cen gunstige verhouding met betrekking tot
vorming der zwarte stof, en ontledingssnelheid (gedurende de elec-
trolyse), lettende op het zuur, dat vrij komt, hetzij als gevolg der
electrolyse als zoodanig, hetzij als gevolg der vorming van het
gwarte lichaam aan de anode.
Neutralisatie. In geval van electrolyse van zwavelzuur zilver, en
zooals later nog duidelijker zal blijken bij electrolyse van azijnzuur
zilver, moet de oplossing volstrekt worden gezeutraliseerd, welke oplos-
sing voortdurend zuur wordt gemaakt bij electrolyse (zie boven), zoodat
het neutraliseeren evenzoo zonder af breking moet geschieden. Maar dit
slut niet buiten, de aanname van het bestaan van een systeem van
evenwicht, daarin tevens opgenomen zijnde de aanwezigheid van een
zekere hoeveelheid aan vrij zuur, aangezien als gevolg der hoofd-
reactie zuur wordt vrijgemaakt in betrekkelijk groote hoeveelheid.
Men zal later op deze zaak terugkomen en dan zien, dat gezegd
systeem van evenwicht, onder anderen, afhankelijk is van den aard
van het zout, dat aan de electrolyse wordt onderworpen.
Concentratie. Ken zeer belangrijke factor, zooals zich laat begrij-
pen; en men moet trachten, als altijd binnen zekere grenzen,
een maximum van zout te geven aan de electrolytische zuurstof, in de
eenheid van tijd. Toch huiverde men in den aanvang bij de electrolyse
van zwavelzuur zilver, om zich te bedienen van een verzadigde op-
lossing van dit zout, en wel uit vrees, van een weinig er van afge-
zet te zien worden; evenwel bestond het voornemen, dit punt later
experimenteel te vervolgen. En dan zal blijken, dat de analy-
tische gegevens spreken voor het gebruiken eener verzadigde oplos-
sing van het zout, aan electrolyse onderworpen, en in de eerste
plaats van zwavelzuur zilver. En toen de eerste stap in deze rich-
ting was gedaan, kon men zich een tweeden veroorloven, en dat,
met te maken, dat de oplossing verzadigd bleef, door deze, gaande
van de azode naar de cathode, twee filtra te laten passeeren, zijnde
het eerste voorzien van koolzuur zilver ter neutralisatie, en het
tweede van zwavelzuur zilver, met het doel, de oplossing meer
of min verzadigd te houden (zie over dit punt later meer uitvoerig,
met ’t oog op analysen van producten naar deze nieuwe methode
verricht).
Tijd. Toen in den aanvang bij de studie van het lichaam, waar-
van sprake is, werd uitgegaan van een Malf verzadigde oplossing,
was men vrijwel beperkt met betrekking tot den tijd, voor de elec-
trolyse te nemen, lettende op de hoeveelheid zwavelzuur zilver, dat
deel uitmaakt van het zwarte lichaam, aangezien de concentratie
bij voortduring afneemt. Daarentegen laat een verzadigde oplossing
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. {
een langeren duur toe; maar door de oplossing verzadigd te houden
tijdens de electrolyse, is de tijd geen factor meer van beteekenis,
maar veeleer een factor in de gewone beteekenis te nemen (zie
vroeger).
Vergelijking der electrolyse van zilvernitraat met die van zwar
velzuur zilver. Duidelijkshalve vergelijken we deze twee zouten,
aan electrolyse onderworpen, een waarvan, namelijk het zilver-
nitraat, zich daartoe bij uitstek leent, daar de kleme kristallen zich
ophoopen tot naalden, die zich vertakken, en betrekkelijk nog al
groot zijn, en in een waarlijk verbazende hoeveelheid ontstaan;
terwijl men de naalden ziet gevormd worden en vallen nabij de
anode op den bodem van het kleine (glazen) vat, waar de kristal-
len, de rol vervullende van axgode, in massa toenemen. Men heeft
dan ook in even zooveel uren ongeveer, als zwavelzuur zilver dagen
vordert, een hoeveelheid peroxy-salpeterzuur zilver, in teder opzicht
het product der electrolyse van zwavelzuur zilver overtreffende. En
welke is de eerste oorzaak van dit verschil, terwijl men uitgaat
an een electrischen stroom met dezelfde intensiteit (genoegzaam ;
en wel bij gewone temperatuur, en eenzelfde inrichting van den
toestel, uitgezonderd het neutraliseeren, ingeval men arbeidt met
zwavelzuur zilver)? Deze is in de eerste plaats te zoeken in het
verschil in concentratie, die bij zitvernitraat bijkans onbegrensd is,
daarentegen zeer beperkt bij zwavelzuur zilver. Van daar waar-
schijnlijk een zeer groot geleidingsvermogen voor den electrischen
stroom bij zilvernitraat en een geringe geleidbaarheid bij zwavel-
zuur zilver. De proef toch is in de eerste plaats gebaseerd op de
geleidbaarheid der oplossing voor den galvanischen stroom; hoe groo-
ter het geleidingsvermogen is, hoe minder weêrstand valt te over-
winnen voor den stroom. Het groote verschil in concentratie maakt
het daarenboven zeer duidelijk, waarom geen sprake behoeft te
zijn van neutraliseeren bij electrolyse van zilvernitraat, en dit
daarentegen een volstrekt vereischte is in geval van electrolyse van
zwavelzuur zilver. Dit is een gevolg daarvan, dat het systeem van
evenwicht (gedurende de eleetrolyse) de aanwezigheid toelaat van
betrekkelijk meer zuur als gevolg der aanwezigheid van eeu grootere
hoeveelheid salpeterzuur zilver, terwijl integendeel betrekkelijk wer-
nig zwavelzuur zilver voorhanden is, en wel ongeveer honderdmaal ')
minder, dat, om zoo te zeggen, alles verklaart, met ’t oog op onze
kennis van het scheikundig evenwicht.
*) Zie deze Verhand. D. VI, n°. 5, pag. 48.
5 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
Nogmaals over hoeveelheid en hoedanigheid van het electrolytisch
product. Terugkomende op het onderwerp, dat ons bezig houdt,
200 zij opgemerkt, dat het mamimum in opbrengst ich zal vertoo-
nen ingeval van een maximum van concentratie, verondersteld ge-
noegzaam constant gehouden; zoodat men niet bepaald gebonden
is aan lengte van tijd (zie vroeger en later). Ook zal men alsdan
(onder overigens gelijke omstandigheden) het maximum verkrijgen
in intensiteit van den electrischen stroom. En wat betreft de
zwiverheid van het product, zij dit: 5 Ag, 0,, 2 (SO, Ags, 3 O),
dat alzoo wordt ontleed:
a. 5 Ag, Oy. 2 (80, Ago, 8 O) = 5 Ay Oy + 2 SO, Ag, +300;
b. 2 Ag, O, + 2 SO, H, = 2 SO, Ag, + 00 + 2 H, 0,
de ontledings-snelheid als zoodanig der stof zal niet veel invloed
hebben op de zuiverheid van het product, veeleer die der ontleding
in bijzijn der oplossing (verondersteld meer of min neutraal te zijn
gehouden).
De grootte der kristallen (en der naalden door deze gevormd)
kan ook wel ongeveer haar maximum hebben, in aanmerking ge-
nomen, dat de oplosbaarheid is beperkt, en daarin tot nog toe niet
is te gemoet gekomen.
Over een nieuw beginsel, te brengen in den toestel. Zooals de
toestel thans is ingericht, met de schroef van Archimedes, worden
ongeveer S liters opgevoerd in 24 uur, of één dag (dag en nacht).
Men dient evenwel te letten op de omstandigheden, die zich voor-
doen. In de eerste plaats wordt de oplossing nabij de anode op-
gepompt (de anode bestaat in een dunnen platinadraad), terwijl
deze met het eene witemde drukt tegen den bodem van het kleine
glazen schaaltje, dit laatste geplaatst zijnde in de groote platina-
schaal. Het kleine glazen vat is in gemeenschap met het groote
vat door middel van de oplossing zelve, die hooger reikt dan eerst-
genoemd vat. Men zal evenwel gedurende de electrolyse in ’t
algemeen betrekkelijk meer vrij zuur aantreffen bij de anode in het
schaaltje dan daar buiten nabij de kathode. En, wanneer wordt
gezegd, dat in 24 uur 8 liters aan oplossing worden opgevoerd
(die terugkeeren naar de kathode, na filtratie door koolzuur zilver
ter neutralisatie, en bv. daarna komen op een tweede filtrum met
zwavelzuur zilver), moet dit wel in aanmerking worden genomen.
Wat men wenschte op te merken, met betrekking tot het aan-
brengen van een ander beginsel, is het volgende, namelijk, dat men
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, 9
zuur zilver, aangezien men het gebruik van een pomp kan ontgaan
gedurende de electrolyse, dat in den grond op hetzelfde neerkomt
niet gebonden is bepaald aan een xeutraliseeren, z dit door kool-
(die werd aangewend met ’t oog op een neutraliseeren). Het is
toch duidelijk , dat men een verzadigde oplossing zou kunnen
laten toevloeien, en dat by voortduring en in dezelfde mate, om
deze te zelfdertijd evenwel te doen afvloeien; de eerste bewerking
geschiedt dan bij de anode, en de tweede nabij de kathode (of
omgekeerd, dat wel geen noemenswaardig verschil zal uitmaken).
Maar dit alles vordert een speciale inrichting, en een groote hoe-
veelheid oplossing (na de proef dan te neutraliseeren voor een vol-
gende bereiding der zwarte stof).
Men zou evenwel ook een anderen weg kunnen inslaan, en de
eleetrolyse doen plaats hebben in een veel grooter bad der oplos-
sing, reeds vroeger !) is een proef verricht, en wel aldus, dat het
groote platina-vat (waarin het kleine glazen vat is geplaatst) werd gezet
in genoemd groot bad; vertrouwende, zooals men zal begrijpen, op
de diffusie van dat deel der oplossing, hetwelk vrij zeur bevat (als
gevolg der electrolyse) en het andere deel van het bad.
Men heeft zich afgevraagd, of de eerste wijziging boven gegeven,
niet een vrij belangrijk punt aanroert, betrekking hebbende op het
onderwerp, dat ons bezig houdt (zij dit b.v. de electrolyse van
zwavelzuur zilver), te weten de concentratie, of eigentlijk gezegd,
de snelheid van electrolyse. De vraag deed zich voor, of men een
dusdanige inrichting zou kunnen treffen, dat de electrolyse gemak-
kelijker plaats heeft, en dat door invoering van een nieuw beginsel,
zij dit, om aan de oplossing, aan electrolyse onderworpen, een
groote suelheid te geven (in welke richting nader na te gaan);
terwijl overigens een versche oplossing (of een oplossing steeds
gefiltreerd ter neutralisatie) bij voortduring wordt ingebracht en
afgevoerd in eenzelfde mate. Op dit oogenblik zal hierop niet
worden ingegaan, ook, omdat de aan te nemen sfroom der oplos-
sing ten deele afhankelijk is van de snelheid der ionen, den hoofd-
factor der electrolyse.
Vervolg der proef betreffende Bereiding N°. 14. *)
19%} maal; ongeveer
20 | 5 weken. 0,0101 gr. 0,6068
21
Bi
gr.
*) Zie deze Verhandeling d. Kon. Akad. v. W. t. A. Dl. VI. n°. 5, pag. 7.
‘) Zie de voorgaande Verhandeling. Er werd telkens behandeld met 10 c. c. water.
19 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
stel maal; ongeveer
5 weken.
42 w to w
oS)
9 ww
I
|
ra
|
|
:
|
|
|
40 ongev. 10 weken.
Vervolg der proef betreffende Bereiding N°.
0.0017
0.0018
0.0029
0.0054
0.0017
0.0026
0.0019
19% maal 0.0035 gr.
20 0.0029
21 0.0014
22 0.0027
23 0.0023
Deze hoeveelheid van 0.7616 gr.
behandeld met water; de oplossing daarna gefiltreerd door een
klein filtrum (vooraf gewogen),
haling dezer bewerkingen:
en het filtraat vervolgens geplaatst
onder een vacuum-exsiccator. Achtereenvolgens bleef terug, bij her-
1° maal 0.4697 gr.
Dn 0.2402
3 0.0182
A 0.0037
5 0.0029
6 0.0014.
*) Zie de vorige Verhandeling.
on
gr.
0.6085
0.61038
0.61382
0.6166
0.6183
0.6209
0.6225
Totaal.
0.7523
01552
0.7566
0.7593
O.7 O16,
Totaal.
0.4697
0.7099
Ons
OF aks
0.7347
0.7566.
15.1)
gr.
or
gr.
OS
werd bij gewone temperatuur
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 1 |
Terug bleef 0.0155 gr. en op het filtrum 0.0096 gr., zijnde
alles te zamen 0.7617 gr. (zie boven 0.7616 gr.).
Het product van Bereiding N°. 15 was niet voldoende zuiver
(bevattende 4.8 proc. aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof), en de
D
7
gevonden hoeveelheid aan zwavelzuur zilver is te hoog (gevonden
39.16 pe. op 0.7366 gr.)
Proef. met bereiding N°. 19. Men volgde denzelfden weg als
met bereiding N°. 17 (en N°. 18). Het doel beoogd by de vol-
gende proef is, den invloed te leeren kennen van water op het
peroxy-zwavelzuur zilver, en dat wel bij gewone temperatuur; en
de wijze van werken daarbij gevolgd was deze. Het versch bereide
product (bijgevolg nog vochtig, want het was gewasschen met water
op de gewone manier, tot zich geen reactie meer vertoonde in het
waschwater met verdund zoutzuur) in gewicht onbekend, werd met
water gebracht in een schaaltje (vooraf gewogen), het vocht afge-
schonken daarna ongeveer 25 e. c. water toegevoegd, om het geheel
eenige dagen te laten staan; en dit herhaald. De uitkomsten zijn
hieronder gegeven:
Tijd in dagen. Zwavelzuur zilver. Totaal.
1 maal 5 0.1474 gr. 0.1474 gr.
2° 5 0.1443 0.2917
3 il 0.1038 0.3055
4 7 0.064 0.4595
5 fl 0.0219 0.4514
6 7 0.0119 0.4933
7 6 0.0051 0.4954.
S 59 0.0251 0.5215
9 7 0.0028 0.5243
10 27 0.0037 0.528
11 14 0.0047 0.5327
12 LG 0.0022 0.5349
13 19 0.0018 0.5367
14. 19 0.0024 0.539]
15 61 0.004) 0.5432
16 90 0.0064 0.5496.
Het terugblijvende in het glazen schaaltje bedroeg 0.
1394 gr.
5
en op het filtrum 0.1328 gr., dus te zamen 0.8722 gr.
Het geneutraliseerd houden der oplossing
makkelijker bij bereiding N°.
19 dan dit het
ging betrekkelijk ge-
geval was bij vroegere
12 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER.
bereidingen. De aanleiding hiertoe was wel deze, dat het koolzuur-
zilver na verloop van eenigen tijd meer korrelig wordt, of wellicht
kristallijn D, als gevolg waarvan de oplossing minder weêrstand
ontmoet bij het filtreeren. Ook werden niet zooveel spleten waar-
genomen in de geheele massa van koolzuur zilver, gelijk vroeger
het geval was, wel te verstaan, nadat eenigen tijd was gewerkt.
De uitkomst van alles is dus wel, een beter contact tusschen oplos-
sing en koolzuur zilver, en als gevolg daarvan een betere neutralisatie.
Om terug te keeren tot de proef, zoo zij gezegd, dat men hier-
mede ook op ’t oog fad, het gehalte der zwarte stof aan vrij
zwavelzuur zilver te leeren kennen; altijd verondersteld, dat het
water wief merkbaar invloed uitoefent op de zelfontleding der zwarte
stof (zooals dat het geval is bij peroxy-salpeterzuur zilver). Maar
de proef leert ons integendeel dezen ontledenden invloed van het
water kennen als betrekkelijk zeer aanmerkelijk.
Analyse van Bereiding N°. 22 (zie later over N°. 20 en N°. 21).
Wijziging van den toestel”). De toestel onderging nog een wijzi-
ging, en wel met het doel, om eenige merkbare verandering in
den verticalen stand der as van den cylinder te voorkomen (deel
uitmakende van het uurwerk). De opmerking werd namelijk ge-
maakt, dat de beweegbare hefboom, bestemd voor den cylinder bij
het opwinden, te lang was (als gevolg der wijze van inrichting van
den geheelen toestel), en die fout had zich zeker vroeger doen ge-
voelen. Er werd nu in voorzien, door den hefboom te laten gaan
door een ijzeren plaat (stevig bevestigd) als steunpunt. Sints dien
tijd (de toestel was vooraf opnieuw uit- en in elkander gezet, en
de cylinder verticaal geplaatst) werkt de toestel op een meer ge-
lijkmatige wijze.
Bereiding van N°. 22. Deze geschiedde met een verzadigde oplos-
sing. Nu de permanente neutralisatie weinig te wenschen overlaat,
was het van betrekkelijk belang, te weten, of de concentratie
merkbaren invloed heeft op de samenstelling van het product, en
bijgevolg op de formule, terwijl de concentraties zijn terug te
brengen tot de verhouding (zie vroeger) van 1:2. Aangezien de
concentratie grooter was, vermeerderde de hoeveelheid der zwarte
stof bij electrolyse (in de tijdseenheid), en bij electrolyse gedurende
*) Dict. Wurtz. Supplém. IT, p. 364 (1892).
*) Zie de voorgaande Verhandeling.
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 13
twee dagen (dag en nacht) kon men beschikken over 2.4588 gr.
(en dat na overbrengen in de groote buis, dat miet geschiedt zonder
eenig merkbaar verlies; zie b.v. vroeger Bereiding N°. 15, enz.).
Men wilde nog doen opmerken, dat eenige oogenblikken vóór het
einde der proef, de toestel in gebreke bleef, door een onbekende
oorzaak (mogelijk is b.v, dat het ver uitstekende filtrum in aan-
raking kwam met de schoef van Archimedes).
De gemakkelijk vrijkomende zuurstof van oxy-zwavelzuur zilver
y (S Oz O. Ag) werd bepaald. Nadat de hoeveelheid van 2.4588
gr. stof was behandeld met water onder verwarming, werd na ver-
dampen van het water, het terugblijvende gewogen, en gevonden
2.3442 gr. dus een verschil gevende van 0.1146 gr. of 4.66 proc.
aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof.
Bereiding N°. 23. Geschiedde op dezelfde wijze, maar ditmaal
zonder eenige afwijking. Er werd uitgegaan van 3.3163 gr. stof
(overgebracht zijnde in de groote buis). De opbrengst was derhalve
betrekkelijk grooter (er ging ongeveer evenveel verloren), wel het
gevolg daarvan, dat de oplossing meer geheel was verzadigd bij
den aanvang der electrolyse, terwijl de oplossing gedurende de
zomermaanden met een overmaat aan zwavelzuur zilver had gestaan.
Voor de gemakkelijk vrijkomende zuurstof werd gevonden 0.1493
gr. (namelijk 3.3163 gr. — 3.167 gr), of 4.5 pe. Er werd dus
geen stap vooruitgegaan; wellicht als gevolg der grootere hoeveel-
heid stof aan de anode afgezet, zoodat de hoeveelheid aan electro-
lytische zuurstof niet toereikend was, om meer of min het even-
wicht te handhaven (met betrekking tot vorming en ontleding).
Bereiding N°. 24. De omstandigheden waren dezelfde, met
uitzondering van den duur der proef, die thans bedroeg drie dagen
(dag en nacht), in plaats van twee dagen, zooals bij N°. 23. De hoe-
veelheid stof in de groote reageerbuis, bedroeg 3.2699 gr, bij de
behandeling met water, onder verwarming enz., verliezende 0,124
gr., beantwoordende aan 3.79 proc. aan gemakkelijk vrijkomende
zuurstof (zooals bekend van oxy-swavelzuur zilver). De duur der
proef was dus bepaald te lang, dat ten gevolge heeft een betrek-
kelijk te groote vermindering in concentratie, enz., en men sloeg
bij gevolg veeleer den omgekeerden weg in.
Bereiding N°. 25. De electrolyse werd slechts één dag aange-
houden (dag en nacht), ten einde wellicht onder meer gunstige
omstandigheden te mogen werken, wat betreft de zuiverheid van
14 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
het product. De hoeveelheid was die van 1.3835 gr. (met mede-
gerekend de kleine hoeveelheid, die bij het wasschen verloren ging).
Na behandeling met water onder verwarming (dat 5 dagen in be-
slag nam) werd ingedampt in een vacuum-exsiccator (eischende 19
dagen). In de groote buis bleef toen terug 1.3165 gr., bij gevolg
een verschil gevende van 0.067 gr., of een verlies van 4.84 p.c.
aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof (zijnde die van oxy-zwavelzuur
zilver, y (S'O,. 20. Ag). Dat is het maximum tot nog toe verkregen
(de grootste waarde was die van 4.73 pe.; zie Bereiding N°. 18),
en het is dus mogelijk, dat men een stap heeft gedaan in de goede
richting, want een maximum aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof
komt blijkbaar overeen met een maximum aan zuiverheid.
Nadat de zuurstof was verwijderd, werd bij het terugblijvende
(zijnde dit 1.3165 gr. stof) water gedaan, en daarna eenig salpeter-
zuur, onder verwarming, tot dat het zilverbioxyde was omgezet in
zilvernitraat, waarna de oplossing (alles geschiedt in dezelfde buis)
werd geplaatst onder een vacuum-exsiccator (bevattende tevens on-
gebluschte kalk). Er bleef terug 1.6459 gr. aan stof (zijnde een
mengsel van zwavelzuur en salpeterzuur zilver), dat een verschil in
gewicht geeft van 0.3294 gr. (voor de eerste behandeling werden
2 dagen vereischt, en voor het verdampen 23 dagen, dus alles
te zamen 48 dagen).
Dezelfde methode van berekening volgende als vroeger D:
verschil zilverbioxyde
91.8 : 0.8294 — 947.24 : >,
dus gevende voor de waarde van 2 = 0.8865 gr., wel te verstaan
zilverbioryde (Ag, Oy), bevat in 1.38885 gr. van het oorspronkelijke
zwarte product, of 64.07 proc. Het gehalte van zwavelzuur zilver
blijkt uit het verschil van 1.3165 gr. — 0.8865 gr. = 0.48 gr.
Bijgevolg is de samenstelling :
gemakkelijk vrijkomende zuurstof -
vang (90,20 Agde 10.001 ver.
zilverbioxyde 0.8865
zwavelzuur zilver 0.43
Som 1.3835 gr., zijnde de hoeveelheid
*) Zie Verhand. d. K. Akad. v. W. (Eerste Sectie), Dl. VI. N°. 5 p. 23 (1898).
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 15
stof, waarvan werd uitgegaan. Berekend op 100 gew. - d. der zwarte
stof geeft dit: 5 Ag, O,. 2 (SO,. 3 O. Ag) eischt:
gemakkelijk vrijkomende zuurstof van
y (SO,. 20. Ag) 4.84 4.90
zilverbioxyde 64.07 63.26
zwavelzuur zilver 31.09 31.84
100. 100.
Van alle analysen tot nog toe gedaan, komt deze het best over-
een met de voorgestelde formule (zie de voorgaande Verhandeling).
En, daar de gemakkelijk vrijkomende zuurstof betrekkelijk het
maximum bereikt, is het product dezer Bereiding te beschouwen
als zijnde betrekkelijk het zuiverst van de producten tot nog toe
gemaakt; zoodat deze numerique uitkomsten kunnen geacht worden
te pleiten voor de gestelde formule (zie boven).
Het zou wellicht eenigszins kunnen bevreemden, dat, terwijl
wordt uitgegaan van een verzadigde oplossing, het gehalte aan
zilverbioxyde (dg, O,) wat hooger is dan door de formule wordt
gevorderd, en bijgevolg het gehalte aan zwavelzuur zilver (SO,
Ag,), op indirecte wijze bepaald, wat te laag. Juist het tegenover-
gestelde neemt men waar bij de analysen!) van producten met een
half verzadigde oplossing. Voor ’t oogenblik kan daaromtrent
alleen worden opgemerkt, dat gezegd verschil betrekkelijk klein is,
en de gevolgde methode ter analyse fouten met zich brengt, die
niet voldoende bekend zijn.
Over een verandering, die werd aangebracht. Bereiding N°. 26.
Er werd uitgegaan van een verzadigde oplossing, evenals in de
laatste bereidingen; maar, om de oplossing verzadigd te houden,
liet men de oplossing, na te zijn geneutraliseerd (gegaan zijnde
door een filtrum met koolzuur zilver), gaan door een ander filtrum
met zwavelzuur zilver. De proef werd één dag aangehouden
(dag en zacht) De hoeveelheid stof in de groote buis bedroeg
0.7831 er., dus betrekkelijk weinig, en dit wel als gevolg van
een betrekkelijk groot verlies bij het wasschen, door een te groote
verdeeling der stof. Deze hoeveelheid werd geacht te gering te
zijn voor een nauwkeurige analyse, reden waarom deze proef op
gelijke wijze werd herhaald.
!) Verhand. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie), Dl. VI. N°. 5. p. 43 (1898).
16 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
Bereiding N°. 27. Alleen werd wat meer koolzuur zilver ge-
daan op het eerste filtram (en zwavelzuur zilver op het tweede
filtrum; zie boven). De proef duurde overigens evenzoo één dag
(dag en nacht). De hoeveelheid stof, wel te verstaan na te zijn
overgebracht in de groote buis, bedroeg 1.5432 gr. (er ging
betrekkelijk veel minder verloren bij het wasschen, daar de kris-
tallen betrekkelijk beter waren gevormd). Na verhitten met water
en plaatsing in een vacuum-exsiccator, werd het gewicht herleid
tot 1.4695 gr., zoodat het verlies bedroeg 0.0737 gr., zijnde dit
de gemakkelijk vrijkomende zuurstof van -het oxy-zwavelzuur zilver,
deel uitmakende van het peroxy-zwavelzuur zilver, dus bedragende
A.77 proc.; dat een betrekkelijk gunstig resultaat is te noemen,
al is het gehalte iets lager dan dat van Bereiding N°. 25 (zie
pag. 22). Er werd met water verhit 5 dagen, terwijl het ver-
dampen onder den exsiccator 18 dagen vereischte.
Bereiding N°. 28. Terwijl zoo goed als zeker een stap is ge-
daan in de goede richting, zoowel met betrekking tot de zuiver-
heid van het product als tot de hoeveelheid, voor een nauwkeurige
analyse ruimschoots voldoende, wilde men het thans ook wagen,
den tijd te verlengen, dat na de aangebrachte wijziging kan gedaan
worden, omdat de concentratie genoegzaam dezelfde blijft.
Met eenzelfde oplossing werkende, en met inachtneming der
medegedeelde wijze van neutralisatie en verzadiging (zie Bereiding
N°. 26 en 27), en dat gedurende twee dagen (dag en nacht),
werd in de groote buis aan stof verkregen 2,3352 gr.; herleid, na
verhitten met water enz., tot 2.2265 gr., dat een verlies beteekent
van 0.1087 gr. of 4.65 proc. (er werd 6 dagen verhit, terwijl
het verdampen onder den vacuum-exsiccator 14 dagen vorderde).
Bereiding N°. 29. De hoeveelheid stof, na overgebracht te zijn
in de groote buis, was die van 2.9552 gr., bij verhitten met water
verliezende 0.1167 gr. of 3.94 proc., een vrij ongunstige uitkomst.
Dit is waarschijnlijk het gevolg van den langen duur der proef,
zijnde die van drie dagen (dag en nacht), en dat wel met een ver-
zadigde oplossing, die tevens meer of min verzadigd werd gehou-
den door een filtrum met zwavelzuur zilver. Daaruit zou kunnen
volgen, dat de hoeveelheid eleetrolytische zuurstof niet toereikende
was, om het verlies in zuurstof te herstellen van het zwarte product;
te weten onder de omstandigheden, die zich voordoen, wat aangaat
graad van concentratie, galvanischen stroom, enz..
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. LP
Bereiding N°. 30. Geschiedde op dezelfde wijze. De hoeveel-
heid zwarte stof in de groote reageerbuis bedroeg 1.1138 gr. ter-
wijl de electrolyse slechts {wee dagen was aangehouden (dag en
nacht), en gebruik werd gemaakt (als het geval was bij de Berei-
dingen N°. 26 en volgende) niet alleen van een filtrum met #%00/-
zuur zilver, maar ook van een tweede filtrum met zwavelzuur zilver.
Na verhitten met water, en verdampen van het water in een va-
cuum-exsiccator bleef terug 1.0605 gr. dus een verschil aanbiedende
van 0,0533 gr. of 4.78 proc.
Analytische uitkomsten (zie vroeger pag. 12—17). Men wilde
de gevonden waarden gezamentlyk opgeven (zie in deze Verhande-
ling, vroeger), ten einde een overzicht te hebben, ook ter betere
vergelijking met uitkomsten vroeger ') medegedeeld; zij zijn de
volgende, betrekking hebbende op de Bereidingen:
NE oN SEN ee or Nees No. 28 AN°:50
„Gemakkelijk — vrijko-
mende zuurstof” van
¥(SO,.20.A9,) 4.66 4.5 4.84 4.77 4.65 4.78
zilverbioxyde ~~ 64.07 -
zwavelzuur zilver = 31.09
100.
De theorie vereischt voor de formule 5 47, 0,.2 SO, Ag:
gemakkelijk vrijkomende zuurstof 4.90
zilverbioxyde 63.26
zwavelzuur zilver 31.84
100.
Al deze analysen zijn van producten gemaakt met een verzadigde
: : D 5
oplossing. In Bereiding N°. 27 en 28 was daarenboven een tweede
filtrum genomen, bevattende zwavelzuur zilver, met het doel, om
te)
de oplossing te houden in een toestand van genoegzame verzadiging.
De Bereidingen N°. 19, N°. 20 en N°. 21 hadden tot andere
1) Zie de vorige Verhandeling: Verhand, Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie) Dl. VI,
N°. 5, p. 43 (1898).
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VII. B 2
18 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
doeleinden verstrekt (zie vroeger en later). Van Bereiding N°. 24
werd geen melding gemaakt, daar de duur der proef zonder twij-
fel te lang was (namelijk ongeveer drie etmalen), en bij gevolg de
concentratie te veel was gewijzigd (er werd toen namelijk nog geen
gebruik gemaakt van een filtrum met zwavelzuur zilver tijdens de
electrolyse). En wat betreft Bereiding N°. 26, daarvan werd de
opbrengst geacht niet voldoende te zijn voor een behoorlijke analyse.
Over eenige eigenschappen van perory-zwavelzuur zilver. Er is
groote overeenkomst tusschen peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-
zwavelzuur zilver, zooals men reeds deed opmerken in de vorige
Verhandeling. Deze overeenkomst vertoont zich bij vele eigen-
schappen, en met betrekking tot de aan te nemen structuurfor-
mule. In de eerste plaats is de kleur zoo ongeveer dezelfde,
alhoewel die van het peroxy-zwavelzuur zilver minder donker is, en
veeleer doet denken aan die van graphiet. Dan treedt ook peroxy-
zwavelzuur op in den vorm meer of min van naalden, opgebouwd
uit meer microscopische kristallen (die zich voordoen naar ’t schijnt
als zijnde octaëders). De kristallijne massa bezit evenzoo glans,
alhoewel in mindere mate dan het geval is met peroxy-salpeterzuur
zilver, met zijn veel schooner gevormde kristallen. De scheikundige
eigenschappen bieden evenzoo de grootste overeenkomst aan, b.v.
in de eerste plaats de reacties, die zich voordoen bij verhitten met
water +), in de volgende vergelijkingen voor beide stoffen voorgesteld.
3 Ag, Où NO; dg = 3 Ag. O, + NO; dg + 2 0;
0 Ag ORR SOr Ag, — Ai 0, SOA
zie vroeger betreffende de structuurformule van het oxy-zwavelzuur.
Verdund salpeterzuur en zwavelzuur doen de volgende. reacties
plaats vinden: 4)
349,10 NGO Ag Sl OEM Or 7 WV OeAg OSR
en deze:
Dag, 0e LO Ales OS Og SO AE
ITO nor
*) Zie Verhand. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam. (Eerste Sectie). Deel III. N°. 8,
pag. 37,
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 19
De twee peroxy-zilverzouten (namelijk 3 dy, O,. NO, Ag en
5 Ag, O. 2 SO, Ag) zijn oplosbaar in salpeterzuur en zwavelzuur
met bruine kleur (evenals dit het geval is met zilverbioxyde Ay, O,),
welke oplossingen vooral sneller ontleed worden in bijzijn van
water. Deze verkleuring doet zich niet voor met rood rookend sal-
peterzuur (het stikstof-peroxyde MN, O, wordt hierbij zeker geoxy-
deerd; het zilverbioxyde verhoudt zich evenzoo tegenover dit sal-
peterzuur).
Over de vorming van perovy-zwavelzuur zilver: 5 Ay, Oy. 2 SO,
Ag, De ontleding heeft in tegengestelden zin plaats van de vorming,
bijgevolg aldus terug te geven:
1 NO, Ag +5 O + 3H, O — 3 Ag, O,. NO, 4g + 6 NO, H;
en |
7 SO, Ag, + 11 O + 5H, O=5 Ag, Os. 2 SO, Ag, +
5 SO, Hy.
Wat zou kunnen opvallen in deze vergelijkingen, is wel
dit, dat ter vorming van de zwarte verbindingen berekend op één
molecuul, zever (zegge 7) moleculen vereischt worden van het zilver-
zout (hetzij van salpeterzuur of van zwavelzuur zilver).
In bijzijn van deze hoeveelheden zuur (zie de twee vergelijkin-
gen) kunnen de verbindingen, waarvan sprake is, bestaan, namelijk
onder de omstandigheden, die bij de electrolyse voorkomen (wat
betreft concentratie; hoeveelheid van de zwarte stof in de eenheid
van tijd gevormd; electrischen stroom ; temperatuur, enz.). Maar de
hoeveelheid aan vrij zuur hoopt zich bij voortduring op (tenzij deze
meerendeels wordt geëlimineerd door neutraliseeren, b. v. door
middel van koolzuur zilver), en na eenigen tijd is de “met bereikt,
en begint de reactie in fegengestelden zin (in welk geval de ont-
leding van het product het wint op de vorming er van). Deze
limiet vertoont zich eerder bij electrolyse van zwavelzuur zilver,
dan van salpeterzuur zilver, om de eenvoudige reden, dat de hoe-
veelheid aan zout in de eenheid van volumen ongeveer 100-maa/
grooter is bij salpeterzuur zilver, en nog meer.
Over de wijze van ontleding van peroxy-zwavelzuur zilver. Men
zou kunnen aannemen, zooals dit geschiedde voor het peroxy-salpe-
terzuur zilver, dat de ontleding (ingeval eener szelverloopende ont-
leding bij wijze van ontploffing, en tevens bij een dangzame zelf-
B 2%
20 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
ontleding) een aanvang neemt met het oxy-zwavelzuur zilver (SO,. 3 O.
Ag), zieh voortplantende op het zilverbioxyde (47, O,). Dit laatste
lichaam behoort in eigenlijken zin niet tot de onplofbare stoffen,
tevens een betrekkelijk hooge ontledingstemperatuur bezittende (maar
toch is het endothermisch). Trouwens dergelijke feiten zijn niet
zeldzaam bij ontplofbare mengsels. Im het geval, dat ons bezighoudt,
is de zelfontledingstemperatuur van het product van electrolyse,
met name van peroxy-zwavelzuur zilver, lager dan die van zilver-
bioxyde (zie de vorige Verhandeling 5), dat wel zal beteekenen,
dat die van SO, 8 O. 47, betrekkelijk geringer is (meer of min
tevens inhoudende, dat SO,. 3 0. Ag, rijker is aan potentiéele
energie dan Ag, O,).
Over de vraag, of zilverbioryde, of oxy-zwavelzuur zilver het eerst
ontstaat. Im den grond: is de vraag, welke zich hier voordoet
dezelfde, als het geval was met het peroxy-salpeterzuur zilver (zie
de vierde Verhandeling). Nemen we eenvoudigheidshalve S'O, Ag,
in plaats van A, 0,4 47, = (2 S0, Ag). Ook hier schijnt aanleiding
te bestaan aan te nemen, dat in de eerste plaats oxy-zwavelzuur
zilver wordt gevormd (door middel der electrolytische zuurstof):
SO, Ag, + 30 — SO, Aga,
welke verbinding dan kan worden geacht zuurstof af te staan, en
wel 10:
SOA RO
welk atoom zuurstof zich zou werpen op het oorspronkelijke zout
(zooals aanvankelijk het geval was met de electrolytische zuurstof):
O— Ay
SO,.204g + O0 = 80, + |
O— Ag
(welke reactie wordt gevolgd door deze: #0, + H, O = SO, H,).
Evenzoo zou men het bestaan kunnen aannemen eener reeks van
verbindingen, als bij de electrolyse van salpeterzuur zilver werd ge-
daan, van de type: #4g,0,.y(SO,.z20.Ag,). Maar liever zal
daarop thans miet worden ingegaan, als behoorende tot het domein
van bespiegeling.
!) Zie Verh. d. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam, (Eerste Sectie), Deel VI. N°. 5,
pag. 3.
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 21
Over het oxy-zwavelzuur: y(SO,.2O0.H,) in verband met het over-
zwavelzuur. Reeds was bekend sedert gerutmen tijd, dat bij
electrolyse eener waterige oplossing b.v. van zwavelzuur, de ver-
houding in maat van waterstof en zuurstof merkbaar kan afwijken
van die uitgedrukt door 2:1. Berthelot!) nu verrijkte de schei-
kunde met het gewichtige feit, dat zich vormt, als altijd onder
bepaalde omstandigheden (zie daaromtrent de litteratuur opgave),
van een bijzonder zuur, hetwelk tot nog toe onbekend was, en
waaraan de naam is gegeven van overzwavelzuur; en ontstaande
zoowel door eigentlijke electrolyse, als bij effluve van een mengsel
van zwavelbioxyde en zuurstof. Bij het volgen van dezen laatsten
weg, constateerde Berthelot de vorming van een anhydrid der
formule S,O,. In plaats van bij electrolyse te nemen water, zuur
gemaakt met zwavelzuur (zie hierover iets later meer uitvoerig),
ging Marshall ?) uit van een waterige oplossing van het welbe-
kende zout S'O,KH, en slaagde er in, een kristallijn product
af te zonderen, naar hem van de mol. formule SO, K, volgens
analysen en andere gegevens hem verschaft door James Walker,
deze laatste gegevens betrekking hebbende op het geleidingsvermo-
gen voor electriciteit van een waterige oplossing van dit zout.
Löwenherz %) stelde een formule voor, die het dubbele is van SO, K,
dus 2 SO,K = S,O,K,, en wel steunende op gegevens met be-
trekking tot geleidbaarheid en daarenboven van cryoscopischen aard,
van dit zout, namelijk van het overzwavelzuur kalium. Ook Bredig 4)
nam deze formule aan, door zich eveneens te baseeren op electrisch
geleidingsvermogen; en zoo ook Guido Moeller ®, die den cryos-
copischen weg insloeg. ‘levens voor het ammoniumzout, waaraan
Marshall ©) de formule S'O,.NV ZZ, gaf, werd door Guido Moeller
aangenomen de formule #8, O,(V/Z/,),, met ’t oog op overeenkom-
stige gegevens.
Overzwavelzuur kalium #, 0, À, zou beschouwd kunnen worden
emer zijn: 9S, OX — SO, SO; K, (men: heeft: 2 SO, K 7 =
SO,H, + SO,K,). En het anhydride S, O,, zijnde 8 O, = SO, . SO,
zou kunnen beschouwd worden als te wezen een gemengd anhy-
dride (zie vroeger VO, — +(N,0,.N,0,).
) Ann. Ch. Chim. et de Phys., Sér. V, T. 14, p. 345, 354, 363 (1878); 1. c. T. 21,
p. 181, 190 enz. (1880).
*) Journ. of the Chem. Soc. 1891, p. 761, 771.
Z. f. Phys. Chem I, S. 85.
Z. f. Phys. Chem. XII. S. 230.
Z. f. Phys. Chem. XII. S. 555.
ll
a
SoS Ss
22 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
Overzwavelzuur tegenover geoxydeerd water. Naar Berthelot ont-
staat een verbinding tusschen overzwavelzuur en geoxydeerd water
(UL, O,) of een lichaam daarvan afgeleid. Neemt men in aanmer-
king, dat het overzwavelzuur waarschijnlijk in verband staat met
het oxy-zwavelzuur (zie vroeger), dan is dit een punt ter behande-
ling waardig, zooals dan ook later zal geschieden. Berthelot ging
bij electrolyse uit van zwavelzuur verdund met water (in een be-
paalde verhouding), en dit werd aan electrolyse onderworpen onder
afkoeling” (ae de oorspronkelijke Verhandeling over nadere bijzon-
derheden). Onder zekere omstandigheden (vooral betrekking hebbende
op concentratie) is het alleen de gemakkelijk vrijkomende zuur-
stofoxy (namelijk de zuurstof, die meer bedraagt dan de hoeveelheid
daarvan in zwavelzuur aanwezig), welke wief reageert op kaliumper-
manganaat. Maar onder andere omstandigheden werkende, namelijk
van concentratie (in den zin van een sterkere oplossing), kunnen
{wee vormen van „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” worden onder-
scheiden, namelijk de bovenvermelde vorm, en dan de vorm,
die integendeel wel reageert op kaliumpermanganaat (verondersteld
van in oplossing te verkeeren, met vrij zwavelzuur). Deze laatste
zuurstof zou afkomstig zijn van geowydeerd water (H, Oy), hetzij op
een meer directe of indirecte manier, en de eerste vorm van zuur-
stof (niet reageerende op kaliumpermanganaat) zou afstammen van
overzwavelzuur. Verondersteld, dat de samenstelling van het anhy-
dride van overzwavelzuur bekend is (afgeleid van de formule, deze
laatste afgeleid zijnde van de samenstelling van het zuur, terwijl deze
op hare beurt steunt op analytische gegevens betreffende zouten), dan
kan worden berekend door de hoeveelheid zuurstof (gemakkelijk
vrijkomende) gevonden in dezen laatsten vorm, de hoeveelheid
gevormd overzwavelzuur, zij dit genomen als anhydride (en der
formule 8, 0). De hoeveelheid van den anderen vorm van zuur-
stof (gemakkelijk vrijkomende) geeft aan, de hoeveelheid geoxydeerd
water (//, O,), waarmede het overzwavelzuur zou kunnen geacht
worden te zijn verbonden, zij dit genomen onder den vorm van
anhydride, op een directe of indirecte wijze. Naar Berthelot 4) laat
zich in de eerste plaats bepalen de totale gew. hoev. gemakkelijk
vrijkomende zuurstof, van een deel der oplossing na electrolyse,
waaraan dan aanvankelijk is toegevoegd toodfalium, en later van
een oplossing van zwavelbioxyde (stijfsel behoeft met te worden
*) J. c. Am. Ch. et de Phys. Sér. v. T. 21, pag. 182, 184, 190, enz
*) Le. p. 184-—187.
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 23
toegevoegd, daar de kleur van iodium toereikende is); en in een
andere hoeveelheid der oplossing, bepaalt men de (gemakkelijk
vrijkomende) zuurstof van het geoxydeerde water /H, O,) met
kaliumpermanganaal (in zure oplossing). Het verschil dezer twee
bepalingen doet de (gemakkelijk vrijkomende) zuurstof kennen van
het overzwavelzuur. Berthelot 5) laat zich aldus uit, in de gevolg-
trekkingen zijner proeven: „zoo gaat de vorming van geoxydeerd
water door een maximum, wat de hoeveelheid betreft, die schijnt
te beantwoorden aan een bepaalde verbinding van overzwavelzuur
en geoæydeerd water: S, O,.2 HO, (oude vorm), die analoog is
met de verbinding van baryumbioxyde en geoxydeerd water:
Ba O,. HO, (oude vorm), ontdekt door Schöne; tenzij, dat men
er de voorkeur aan geeft, om het te beschouwen in geconcentreerde
oplossingen (als het gehalte van water een zekere grens is over-
schreden, dan ontstaat alleen overzwavelzuur) als uitmakende een
speciaal zuur:
5 Oo. 2 OH (= S O,. 2 HO,, oude vorm), meer zuurstof be-
vattende dan het geval is met overzwavelzuur. De formule #,
O,.2 OH wordt in den thans in gebruik zijnde vorm: 8, O,.
2 OH, = S, O,, H,, zij dit: S, O,. 4 OH. Maar zooals Berthelot
opmerkt (zie boven), kan men dit lichaam beschouwen als een ver-
binding van overzwavelzuur en geoaydeerd water: S, O,. 2 HO,
(oude vorm), zijnde S, O,.2 HO, in den gebruikelijken vorm:
S, Or. 2 H, O, (nieuwe vorm). En in plaats van het anhydride
50 nemende het zuur S, O, H, (= SO, + &, O° nieuwe
vorm), zou men in dit geval hebben de formule 4, O, HG.
2H, O,, uit den aard te beschouwen als een moleculaire ver-
binding. Deze is in hoofdzaak zeer wel te vergelijken met de
moleculaire verbinding van oay-zwavelzuur zilver met zilverbioryde,
zij deze: 5 Ag, O,. 2 SO, Ag. Neemt men in de plaats van zilver
(Ay) waterstof (47), dan wordt het geheel S, O,, 1, voor de ver-
binding, waarvan sprake is; en boven werd gevonden #, O,, H,,
dat derhalve een verschil geeft van 13 O en 10 77, op het mole-
cuul. Neemt men slechts oxy-zwavelzuur zilver, dan heeft men
S, O,, H, tegen S, O,, H,, dus een verschil van 3 O, dat heel
wat meer toenadering vertoont.
Over een andere structuurformule voor oay-zwavelzuur (zie de
voorgaande Verhandeling). Kenvoudigheidshalve zal voor zwavelzuur
Cp: Loo:
24 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
worden genomen een symimetrische formule, en wel deze:
O—0
NA
HO—S—OHL,
en dan zou voor oxy-zwavelzuur kunnen geschreven worden :
| … Maar in plaats van |
HO— S— 0H
O EXO
S020
te schrijven: 5 dg, Os. 2 (SO,. 3 O. dg), zou kunnen worden ge-
nomen; 5 4g, O,. SO, Ago. 2 0. SO, 47, of dat hetzelfde is:
5 Ag, Os. SO,. 2 O Ag. 2 0. SO,.2 O Ag
of ook:
5 Ag, Op Ag, 0. SO,. O Ag. 2 0. SO,. O Ag
en daarenboven:
6 Ay, Oz. SO, O Ag. 2 O. SO,. O Ag
of
6 Ag, Os. S Oo Age,
en bij gevolg zou dan oxy-zwavelzuur zijn: 8, O,, Hy = SO,. OH.
20. SO,. OH (ze overzwavelzuur: #, 0, Hy), cas van
O O
O—S—0
DO
O
| . Maar verondersteld, dat aan het molecuul
0 een zoodanige structuur-formule werd toege-
| “OH kend, dan zou de hoeveelheid „gemakkelijk
DES 0 vrijkomende zuurstof”” desniettegenstaande de-
AE) zelfde blijven (namelijk de zuurstof, die vrij
ODO komt bij verhitten der zwarte stof met water).
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 25
Want uitgaande van deze twee formules voor het peroxy-uwavelzuur
zilver (S, Oo, 4914) :
5 Ag Oa. Sy Ors Ag, of
6 Ag, Os. S, Og Ag, (dus: 3 Ag, Oy. SO, Ag),
zou men hebben voor de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (bij
verhitten met water):
9 Ags Où. Sy Ors Aya
6 Ag, Oz. So Ora 495
|
A0 SONAR 0 0
AGO OE ie 0.0;
|
de verhouding tusschen ,,gemakkelijk vrijkomende zuurstof” en
zilverbioxyde is namelijk gegeven door de proef. De laatste for-
mule zou dus een reactie veronderstellen van hypothetischen aard;
en wel niet te aanvaarden door gebrek aan argumenten. Ook zou
de tweede formule moeten doen veronderstellen, een uiteenvallen
der kristallen tot fijne stof, ten minste als zijnde tamelijk waar-
schijnlijk (en wel bij het vrijkomen dezer zuurstof), dat zich niet
voordoet. Het bestaan van een zuur der formule Sj 0, 1, (over-
zwavelzuur is 5, 0, H,) is problematisch.
Over zilverbioxyde, peroxy-salpeterzuur zilver en perovy-zwavelzuur
zilver als ovydatie-middelen, en over de afscheiding der zuren van
oay-salpeterzuur zilver of van ory-zwavelzuur zilver. Al deze
peroxyden zijn zeer krachtige oxydatie-middelen, hetzij door den
rest „zilverbioxyde”, hetzij door den rest ,,oxy-salpeterzuur of oxy-
zwavelzuur zilver”. Zilverbioxyde als zoodanig is een vrij sterk oxy-
datiemiddel, maar oxy-salpeterzuur zilver en oxy-zwavelzuur zilver
(miet te verwarren met peroxy-salpeterzuur en peroxy-zwavelzuur
zilver), overtreffen in dit opzicht blijkbaar het bioxyde, daar zij
minder stabiel zijn van natuur. Dit aangenomen zijnde, zal een
oplossing van peroxy-salpeterzuur en peroxy-zwavelzuur zilver in
salpeterzuur en zwavelzuur, een betrekkelijk sterker oxydatie-middel
zijn (hierbij wordt verondersteld, dat het salpeterzuur vrij is van
stikstof-peroxyde). Ook zouden oplossingen van zilverbioxyde in
zwavelzuur of salpeterzuur voordeelen kunnen aanbieden als oxy-
datie-middelen.
Het zou van belang kunnen zijn, om deze voorlaatste oplossingen
te onderwerpen aan dialyse (b.v. in een poreus vat) bij gewone
temperatuur of onder afkoeling, aangezien oxy-salpeterzuur en oxy-
zwavelzuur zich wel-in vrijen staat in oplossin
g zullen bevinden.
26 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
De volgende Tabellen bevatten eenige gegevens, betrekking heb-
bende op de snelheid der spontane ontledmg van peroxy-zwavelzuur
| 8 À
zilver. De letters geven hetzelfde aan als dit het geval is in de
vorige Verhandelingen 3).
Peroxy-zwavelzuur zilver.
N° 20. | half ver- | 14—18 | 20 Juni. |1.2791 gr. — — —
zadigd. |Juni1898. 21 , — |—0.0002¢r. = =
DOES — 0 — —
22 wl 2098% = — —
in buisje.
22 Sept. |1.1996 gr. — 0.0102gr./ 0.00065 gr.
22 Dec. |(1-1965, ,, — 0.0031 , | 0.00019 „
22 Maart1.1957 „ = — 0.0008 ,, |— 0.00005 „
1899.
N° 21. | half ver-}1—4 Juli} 6 Juli. |1.2983 gr. = —
zadigd. 1898. (RE: 0.0002 gr. — —
8 ” 0 LE =
SL 1.2674 , — = —
in buisje.
8 Oct. [1.256 gr. — 0.0114 gr. | 0.00069 gr.
9 Jan. {1.2548 , — 0.0012 „ |0.00007 ,
1899.
10 April.1.2537 „ == 0.0011 „ | 0.00006 „
benige opmerkingen met betrekking tot Bereiding N°. 20 en N°. 21.
Dezelfde weg werd gevolgd (zie Bereiding N°. 17, N°. 18 en N°. 19).
Bij Bereiding N°. 20 was de beweging der schroef minder snel en
bij Bereiding N°. 21 minder regelmatig, reden waarom de toestel
uit elkander werd genomen, en de cylinder beter loodrecht op het
uurwerk werd geplaatst (zie Bereiding N°. 22 pag. 12).
Besluit betreffende de snelheid van zelfontleding. Deze is zoo
ongeveer, naar gemelde opgaven, achtmaal grooter dan zij bedraagt
voor oxy-salpeterzuur zilver ?) (voor eenzelfde temperatuur):
Contrôle der quantitatieve bepaling van salpeterzuur zilver. Meer-
malen werd gebruik gemaakt van alcohol (abs.) als middel ter
scheiding van salpeterzuur zilver en zwavelzuur zilver. Ter con-
trôle nu werd uitgegaan van een bepaalde hoeveelheid salpeterzuur
1) Zie Verhand. d. K. Akad. v. W. te Amsterdam (Eerste Serie) Deel VI, N°. 1, pag. 31.
*) Zie de Verhandelingen vroeger, en deze Verhand. later.
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 27
zilver, dit opgelost in abs. alcohol bij gewone temperatuur, de
oplossing geplaatst onder een exsiccator (met zwavelzuur), en ge-
wogen. Er werd witgegaan van salpeterzuur zilver uit den han-
del, aanvankelijk fijn gemaakt, en daarna onder een exsiccator
geplaatst, zij dit 0.3014 gr.; na geplaatst te zijn geweest im het
luchtwaterbad bij ongeveer 95°, bleef het gewicht onveranderd.
Vervolgens behandeld met abs. aleohol, op de wijze boven mede-
gedeeld (alleen met dit verschil, dat het zout eenige malen achter-
eenvolgens met alcohol werd behandeld en de opeenvolgende
oplossingen in een en hetzelfde schaaltje werden gedaan), bleef er
terug 0.3015 gr.
Men verwarre niet het zooeven medegedeelde met hetgeen
vroeger ') werd opgemerkt met betrekking tot het gebruik van
alcohol (abs.) als middel ter scheiding; want toen was aanwezig
zilveroxyde (dg, QO), en als gevolg daarvan is alcohol te ontgaan.
De vorming van een zilverzout van een oxy-zuur, in verbinding
met zilverbioxyde, beschouwd wit een meer algemeen oogpunt. Nolgens
de gegevens, waarover thans kan worden beschikt, is het waar-
schijnlijk, dat vele zilverzouten (die genoegzaam oplosbaar zijn in
water, en waarvan het zuur verzadigd is met zuurstof) aanleiding
zullen geven (onder gewone omstandigheden van e/ectrolytische
oæydatie) tot de vorming van een zi/verzout van een oxy-zuur met
zilverbioryde (langs electrolytischen weg), bij ’t volgen van den weg
vroeger ingeslagen; met inachtname van zekere wijzigingen aan-
gebracht in de hoofdagentia (concentratie, electrischen stroom, enz.).
Men ziet dadelijk in, dat deze reactie, uit een meer algemeen
oogpunt beschouwd, aanleiding zou kunnen geven tot een menigte
overeenkomstige verbindingen, hetzij van axorganische natuur of
organische, zoogenaamd. Als dit werkelijk aldus is, zou deze
reactie b.v. van veel waarde kunnen zijn met ’t oog op de clas-
sieke proef van Kolbe (met betrekking tot de electrolyse van een
waterige oplossing van een zout met een organisch zuur, b.v.
van een kaliumzout van azijnzuur), en men heeft een aanvang
gemaakt met de electrolyse van azijnzuur zilver, met de bedoe-
lmg, de reeks van proeven uit te strekken tot zilverzouten van
andere organische zuren, dus ook van aromatische zuren. ‘Tevens
heeft men op ’t oog verbindingen, hetzij anorganische of organische
dusgenaamd, met verschillende resten als CO, VO,, SO, (b.v. als
SO,. OH) enz., welke resten waarschijnlijk e/ectrolytische zuurstof
*) Verhand. d. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie) Dl. V. N°. 1, p. 29.
28 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
kunnen vastleggen, en dientengevolge aanleiding geven tot een
verbazende ophooping van zuurstof, wanneer meerdere van denzelfden
rest of verschillende resten aanwezig zijn, terwijl deze worden om-
gezet in VO,, SO,, enz. (men steunt hier op de structuurformules
gegeven voor peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-zwavelzuur zilver).
Zooals de zaken thans staan, wordt aangenomen, dat het zilver-
bioxyde Ag, O, de waarschijnlijke aanleiding is tot het doen ont-
staan eener meer stabiele verbinding van dit oxyde met oxy-
zuren als zilverzouten (en wellicht ook van andere zouten), terwijl
de zilverzouten dezer oxy-zuren wellicht in vrijen staat niet kunnen
bestaan.
Men zou dergelijke onderzoekingen ook kunnen doen met
overeenkomstige zouten van andere metalen, b.v. van natrium
(waarschijnlijk isomorph met zilver), tenzij de oplosbare toestand
van het product der electrolyse te veel bezwaar veroorzaakt. Maar
alvorens uitkomsten te vermelden van proeven in deze richting
genomen (en wel in de eerste plaats betreffende de electrolyse van
azijnzuur zilver), wilde men nog eenige bijzonderheden geven aan-
gaande peroxy-salpelerzuur zilver.
Zelfontleding van peroay-salpeterzuur _ zilver (vervolg). Het
volgende heeft betrekking op Bereiding N°. 25, en is een vervolg
op gegevens van vroeger. Na reeds eea jaar te hebben gestaan,
werd opnieuw gewogen, dus na een /weede jaar, en vervolgens na
een derde jaar, en dat onder ongeveer dezelfde omstandigheden, de
uitkomsten waarvan in de volgende Fabel zijn opgenomen (zijnde
een vervolg van de ‘Label in de voorgaande Verhandeling 1) voor-
komende):
c d e Ve g h a J
N° 25. | 200 gr. | 25 Nov. — = == == —
1895 28 Nov. 1895 |5.7658 gr. — — —
15 Dec. 1896 [57492 „| — |—0.0166¢r.|~ 0.000052 gr.
16 Dec. 1897 |5.7348 „| — |—0.0144 , |— 0.000047 „
116 Dec. 1898 |5.7158 „| — |—0.019 ,, |—0.000063 „
De ontledingssnelheid zou bijgevolg aanvankelijk kleiner worden,
om daarna wat grooter te zijn (zie onder 7 de twee laatste waarden); alles
*) Zie Verhand. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie). Deel VI. N°. 1, p. 31 (1897).
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 29
berekend zijnde op 1 gr. der stof en per week. Veronderstellende,
dat 2 O worden geëlimineerd van den rest V O, Ag (deel uitmakende
van hef molecuul 3 4y, O,. N O,. 2 O. dy = N Ag, O,,), maakt
dit voor 1 gr. stof 0.03384 gr. „gemakkelijk vrijkomende zuur-
stof” (van den rest MO, dy). Aangezien nu in den tijd van drie
jaren ongeveer, op een hoeveelheid van 5.7658 gr. stof is geélimi-
neerd 0.05 gr. zuurstof, geeft dit voor | gr. stof aan zuurstof
0.0086 gr. Derhalve zouden ongeveer 12 jaar worden vereischt
tot het elimineeren dezer 2 O uit het molecuul (vroeger was ge-
vonden 13 jaren, uitgaande overigens alleen van de eerste gegevens),
verondersteld altijd, dat de gemiddelde snelheid miet verandert,
hetgeen evenwel alzoo niet zal zijn.
Opbrengst van peroxy-salpelerzuur zilver als funtie van den tijd.
Er werd uitgegaan van een oplossing ter sterkte van 200 gr.
zilvernitraat in één liter; overigens werd wief geneutraliseerd (de
electrolyse van zilvernitraat vereischt dit miet). De volgende ‘Tabel
zal wel geen nadere verklaring behoeven:
Nummer der
Bereiding. Tijd. Opbrengst.
INES 22 3 uur 5.69 gr. ongeveer (er gaat
24 3 5.98 altijd wat ver-
25 3 5.78 loren).
26 3 6.01
27 2 4.26
28 4 9.03
29 5 988
Klectrolyse eener waterige oplossing van azijnzuur zilver.
Nieuwe reeks van proeven.
Een der factoren, die den grootsten invloed uitoefenen, is de
oplosbaarheid van het lichaam, waarvan sprake is, in geval van
eleetrolyse. Het azijnzuur zilver nu is bij gewone temperatuur
betrekkelijk weinig oplosbaar, en wel ongeveer in gewicht 1 p. c.
(aangegeven in volumen der oplossing). Ter contrôle hiervan,
werd een hoeveelheid van 10 c. ce. eener verzadigde oplossing van
azijnzuur zilver (bij de temperatuur der omgeving) geplaatst in
een vacuum-exsiccator; er bleef terug 0.1028 gr., dus is de
D
oplosbaarheid ongeveer die van 10 gr. azijnzuur zilver in 1000 ©. c.
30 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
of in één liter der oplossing *). De oplosbaarheid van azijnzuur
zilver overtreft trouwens die van zwavelzuur zilver (zie de vorige
Verhandeling); maar daaruit trekke men nog niet het besluit, dat
de electrolyse gemakkelijker zal gaan in den vroeger aangeduiden zin,
want behalve de oplosbaarheid zijn er nog andere invloeden, die
een rol te vervullen hebben in de electrolytische reactie, en die men
hier op ’t oog heeft (zie vooral later).
Bij wijze van een voorloopige proef werd uitgegaan van een
verzadigde oplossing van azijnzuur zilver, en de oplossing met
geneutraliseerd gedurende de electrolyse, die men twee uur aan-
hield achtereenvolgens. Er had zich op de anode (zijnde. een
betrekkelijk dunne platinadraad) hier en daar een zeer dunne laag
afgezet van een zwarte stof. Men vond het wel aantrekkelijk, om
met zulk een geringe hoeveelheid te werken, maar het kwam niet
dadelijk op in de gedachte, draad met afzetsel te wegen. De
draad werd, na te zijn gewasschen, in een (gewone) reageerbuis
gedaan, water bijgevoegd en verhit. Niettegenstaande de hoeveel-
heid zeer gering was, vertoonden zich kleine gasbellen en dat wel
vrij duidelijk. De platinadraad behield overigens de zwarte kleur,
en deze boven een reageerbuisje houdende, terwijl men er eenige
druppels salpeterzuur langs liet vloeien, kon worden waargenomen,
dat zich vormde een ruine oplossing. Dat alles laat zich ver-
klaren in twee woorden, om het zoo uit te drukken, de Arwine
kleur is namelijk afkomstig van zitwerbioryde, dat terugblift na
behandeling met water onder verhitten, terwijl daarbij van een gas
vrijkomt _ (zoogoed als zeker zuurstof), afkomstig: van het oay-
azijnzuur zilver, en het azijnzuur zilver wordt opgelost; evenwel
is dit alles nog te bewijzen.
Berste Bereiding. Aldus zal worden aangegeven de eerste proef,
die meer of min quantitatief werd vervolgd. Bij de electrolyse
werd de oplossing geneutraliseerd (dag en nacht). De platinadraad
was vooraf gewogen, en opnieuw gewogen na electrolyse, met de
zwarte stof afgezet op dezen draad (deze laatste was aanvankelijk
gewasschen met water, en daarna geplaatst onder een vacuum-
exsiccator), in gewicht slechts bedragende 0.0035 gr... Draad met
afzetsel werd gebracht in een (gewone) reageerbuis, daarna als ge-
woonlijk geplaatst onder een vacuum-exsiccator, en andermaal
gewogen, waarbij het gewicht bleek hetzelfde te zijn, dus 0.0035
gr. Met deze zeer geringe hoeveelheid werd gewerkt, ten einde
") Zie Dict. Wurtz, Supplém. II, p. 11.
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 3]
de omstandigheden te leeren kennen, waaronder het lichaam, waar-
over wordt gehandeld, zich ontleedt, en zoo mogelijk nog andere
eigenschappen. Er werd eenig water aan toegevoegd, en op een
waterbad verhit. De ontleding, te weten de gasontwikkeling (zoo
goed als zeker zuurstof) ving reeds aan bij 26°, maar in meerdere
mate bij 37°—42°. Er werd vervolgens verhit bij 60°—70° en
daarna bij 70°—80°, voorzichtigheidshalve (zie vroeger de proeven
met het product der electrolyse van zwavelzuur zilver). Het geheel
werd toen geplaatst onder een vacuum-exsiccator, en het gewicht
herleid tot 0.0034 gr. Men meende overigens met de loupe
eenige kristalletjes (van azijnzuur zilver) te kunnen onderscheiden.
Kenge voorloopige theoretische beschouwingen. Algemeene formule.
Zelfs op dit oogenblik, met de weinige gegevens waarover kan
worden beschikt, schijnt er geen aanleiding te zijn, om er aan te
twijfelen, dat het product van electrolyse, waarvan sprake is, meer
dan waarschijnlijk een structuur bezit overeenkomstig met die van
het product van electrolyse van zilvernitraat en _ zilversulfaat
(3 Ag, O,. NO; Ag en 5 Ag, Oo. 2 SO, Ay), en bij gevolg zal hebben
tot formule:
z Aga 0 .y[(CH,. CO. OAg) 20).
De waarden van a, y en z zijn noodwendig nog te bepalen, dat
overigens lang niet gemakkelijk zal wezen, en betrekkelijk veel
zwaarder dan het overeenkomstige op te lossen vraagstuk aangaande
het peroxy-zwavelzuur zilver, als product der eleetrolyse van zwavel-
zuur zilver.
Betrekking, aan te nemen tusschen de vorming van perovy-azijnzuur
zilver en de welbekende reactie van Kolbe ) We loopen een weinig
vooruit, met reeds een naam toe te kennen aan dit electrolytische
lichaam, waarvan de studie nauwelijks is aangevangen, maar dit is
niet wel te ontgaan, en de verbinding is genoemd peroay-azijnzuur
zilver. Er wordt dus verondersteld, dat men heeft te doen met
een verbinding van 47, 0, en CH. CO. O Ag .z 0, zooals reeds boven
gezegd is. Zal men langzamerhand de opbrengst van een Berei-
ding kunnen doen vermeerderen, dan is het volstrekt noodig, om
meer of min te dringen in het mechanisme der reactie, want langs
*) Zie b.v. Handb. Org. Chem. v. Beilst. Bd. I, S. 399 (1893); en tevens: J. Ch.
Soc. Vol. 72 en 74, p. 352 (1898).
32 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
cen zuiver empirischen weg is dit zeer bezwaarlijk te bereiken. Nu
kan naar Kolbe, de electrolytische zuurstof, onder zekere omstandig-
heden, zich werpen op het zout van azijnzuur en de volgende reactie
te voorschijn roepen:
2 (CH,.CO.OH) + 0 = OH, CH 2 C0, + HO
het vrije zuur nemende in plaats van het zout, waarvoor Kolbe in
zijn classieke reactie nam een waterige oplossing van keliwmacetaat;
overigens slechts te beschouwen als een voorbeeld van geheel een
categorie van reacties, die meer of min overeenkomst aanbieden
(tevens het geval met zouten van tweebasische koolstof houdende
zuren, enz.). Men vraagt zich af, welk is het verschil tusschen
de reactie van Kolbe en diegene, welke ons hier bezig houdt. De
reden hiervan zal niet zijn gelegen in het verschil in metaal, te
weten zilver in plaats van kalium (of natrium, enz.), maar zal wel
deze zijn, dat het oxy-azijnzuur zilver zich kan werbinden met het
zilverbioxyde Ag, Oj, zoodat de gemakkelijk vrijkomende zuurstof
verbonden kan blijven. Zonder dit zilverbioxyde, aldus kan men
tenminste voor ’t oogenblik aannemen, zou deze zuurstof zich even-
zoo werpen op het zout, om het te ontleden in den zin als boven
Is aangegeven voor het zuur, dat in hoofdzaak op hetzelfde neêr-
komt met betrekking tot het zout. Maar dit neemt niet weg, dat
bij electrolyse van kaliumacetaat ontstaan kan van een verbinding : 4)
x K, 0,.y[(CH,. CO. OK). 20)
of alleen CH,.CO.OK.20, maar ontleed wordende onder de
bestaande omstandigheden, en zuurstof gevende (afkomstig veron-
dersteld van CH,.CO.OK.z0), zich werpende op het kalium-
acetaat, zoodat er wordt gevormd:
2(CH,.CO. OK) + 0 + H,0 = CH,.CH, +200, +2 KOH.
De reactie van Kolbe (zie de volgende Verhandeling) schijnt te
moeten beschouwd worden als een parallelle of secondaire reactie.
Maar, vraagt men, waarom is de opbrengst zoo beperkt. Dit
is een punt voor nader onderzoek. In ieder geval volgt er uit
met eenige waarschijnlijkheid, dat de mate van zuur zijn der op-
lossing veel meer is beperkt, dan het geval is voor de oplossing
') Zie over K, 0, b.v. Dict. de Wurtz, art. potassium p. 1120.
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 33
bij electrolyse van zwavelzuur zilver (en deze vorderde reeds een
neutraliseeren der oplossing gedurende de electrolyse, miet het
geval met zilvernitraat). Hetgeen gezegd is, heeft betrekking op
het systeem van evenwicht onder omstandigheden, waarin de elec-
trolyse plaats heeft. Maar mogelijk is, en ook dit moet nog
worden nagegaan, dat de grootste hoeveelheid electrolytische zuur-
stof wel voor een oneindig klein tijdstip, om zich zoo uit te
drukken, aanvankelijk vormt oeg-azijnzuur zilver (als primaire reactie
was vroeger aangenomen de vorming van ovy-salpeterzuur zilver en
van oavy-zwavelzuur zilver; en zulks vóór het ontstaan van zilver-
bioxyde, Ag, O,), maar dat dit lichaam wordt ontleed onder vor-
ming van aethan CH/,. CH, en kooldioxyde CO,, benevens 4g OH
of liever Ay, O (zie hierboven de vergelijking met A), hetwelk dan
azijnzuur moet vinden ter omzetting in een zout. Terecht zou
men echter de vraag kunnen stellen, waarvan dit zuur afkomstig
is, en duidelijker wordt alles, als de volgende reactie als grondslag
wordt aangenomen:
+- =
a. CH,. CO. O 4j = CH,. CO. O + 4
bi 2: CR CO. Os CH, CH, ==, CO
Alvorens evenwel deze quaesties te behandelen, wenschte men
eerst wat meer ervaring op te doen met betrekking tot de elec-
trolyse als zoodanig, en de opbrengst aan zwarte stof.
Jweede Bereiding. Deze had plaats onder dezelfde omstandig-
heden als de eerste Bereiding, alleen werd de electrolyse twee
dagen aangehouden (dag en nacht), zonder echter een noemens-
waardigen invloed uit te oefenen op de opbrengst, die zijnde
van 0.0034 gr
Over een verandering gebracht in de bereiding, betrekking hebbende
op de wijze van neutraliseeren. Andermaal werd de vraag gesteld,
welke toch wel de oorzaak zou kunnen zijn van zulk een vreemde
uitkomst, en als eerste aanleiding daartoe aannemende, dat het
neutraliseeren wellicht nog niet in voldoende mate geschiedt, zoo
werd een wijziging in dezen zin aangebracht. Lettende op het
beginsel der reactie, zou men kunnen beweren, dat de reactie
moet kunnen geschieden in een oplossing die meer of min zuur is,
als gevolg van een weinig vrij azijnzuur; de zwarte verbinding
toch vormt zich, al is het dan ook in zeer geringe hoeveelheid,
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VII. B3
34 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
onder de bekende gewone omstandigheden. De oplossing wordt
wel gefiltreerd bij voortduring door een filtrum met koolzuur
zilver, maar dit vereischt 4d, en als gevolg daarvan moet dus
altijd eenig vrij zuur in oplossing wezen, waarvan men zich trouwens
kan overtuigen. Daarbij komt, en hier dient op gelet te worden,
dat een voldoende neutralisatie zich waarschijnlijk xze¢ voordoet
met koolzuur zilver, namelijk bij gewone temperatuur, maar alleen
bij verwarming. By gewone temperatuur schijnt namelijk een
systeem te bestaan van evenwicht, bij aanwezigheid van koolzuur
zilver, dat de aanwezigheid toelaat van een niet te veronachtzamen
hoeveelheid aan vri azijnzuur. Nu spreekt de reeds beperkte
opbrengst betrekkelijk, voor een storenden invloed van de zijde van
het vrije zuur, maar die als gevolg van owydatie (zie boven) is
door deze veronderstelling miet buiten gesloten. Deze laatste is in
ieder geval geoorloofd, en derhalve is tevens geoorloofd, in die
richting te werken. En wt het boven gezegde volgt, dat men
gebruik heeft te maken van gewoon zilveroryde Ag, O in plaats van
koolzuur zilver CO, 4g,, want onder die omstandigheden verandert
het systeem van evenwicht met betrekking tot vrij azijnzuur in een
systeem van evenwicht, dat van zelf de aanwezigheid van een
geringere hoeveelheid van vrij azijnzuur toelaat, aangezien er geen
koolzuur is (dat evenzoo de rol vervult van een zuur, al is het
dan ook in een minder sterke mate). Zelfs uitgaande van een
mengsel van koolzuur zilver en zilveroxyde, maar voor het grootste
gedeelte bestaande uit zilveroxyde (4g, O), zal dit laatste verreweg
de hoofdrol vervullen, en zal vrij azijnzuur slechts in geringe
hoeveelheid optreden. De eigenschap van zilveroxyde (4g, O), om
een weinig oplosbaar te zijn in water, al is dit dan ook in zeer
beperkte mate, maakt, dat vrij azijnzuur genoegzaam afwezig is, of
men zou dit ten minste daarheen kunnen richten; en dit te meer,
omdat dit oxyde een betrekkelijk sterke basis is, roodlakmoes
blauw kleurende. Ook is deze basis sterk genoeg, om zich te
kunnen verbinden met kooldioxyde (C 0), dat meer of min een
bevestiging insluit van hetgeen boven is gezegd, te weten, dat
zilveroxyde (dg, O) het systeem van evenwicht in dien zin zou
kunnen doen veranderen, dat er geen vrij azijnzuur meer aanwezig
is, of beter gezegd, zoo niet volkomen afwezig, ten minste bijkans
geheel niet voorhanden. Men moet namelijk ook in aanmerking
nemen, dat er (theoretisch gesproken) dissociatie plaats heeft in de
oplossing van azijnzuur zilver, zoodat de oplossing te gelijkertijd
zeer weinig zuur en alkalisch zou kunnen zijn (ook in geval wordt
verondersteld, dat zeer weinig zilveroxyde dg, O in overmaat aan-
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 3
wezig is). Tevens dient in ’t oog te worden gehouden, dat er
sprake zou kunnen zijn van een georydeerd worden van azijnzuur zilver
(het zij, dat hiervan een deel wordt geoxydeerd, en dat de oxydatie
slechts ten deele plaats heeft), en zulks xze/ in den zin reeds boven
aangegeven (namelijk ef met vorming van CH. CH, en CO),
maar in dier voege, dat er een zilverzout ontstaat van een andere
verbinding, afgeleid van azijnzuur, en wel door oxydatie. Aan
complicatie kan dus wel geen gebrek zijn, en daarop dient te
worden gelet, en in de eerste plaats moet men de verschillende
ontledingsproducten der stof analyseeren, waarvan sprake is, wil
men geen wellicht valsche gevolgtrekkingen maken, door de ver-
schillende gevallen, die zich kunnen voordoen.
Bereiding van gewoon zilveroryde (Ag, O). De wijze van be-
reiding scheen niet onverschillig te zijn. Het oxyde nu werd ge-
maakt door verhitten van koolzuur zilver (CO, Ag,), ten einde het
zoo zuiver mogelijk te hebben, namelijk vrij van eenige andere
basis, en vooral vrij van eenig ander zuur dan dat van kooldioxyde,
ten einde zooveel mogelijk complicatie te ontgaan. Kooldioxyde
kan als koolzuur zilver zonder bezwaar aanwezig zijn, tenzij in over-
wegende hoeveelheid (overigens alleen door ondervinding te leeren
kennen).
Voor de bereiding van zilveroxyde (49, O) werd gebruik gemaakt
van denzelfden toestel 1) als vroeger aangewend bij de proeven over de
ontledings-snelheid en wijze van ontleding van het zwarte product van
electrolyse van salpeterzuur en van zwavelzuur zilver. Evenzoo werd
verhit in een langzamen stroom van droge lucht; maar de verschillende
buizen waren niet gevuld met calciumchloride enz., behalve de eerste
V-buis, die zwavelzuur bevatte. Bij de eerste bereidingen werd gebruik
gemaakt van barytwater, en dat wel, om het begin en tevens het einde
der reactie te leeren kennen (het barytwater bevond zich in een
klein V-buisje, op zijne beurt verbonden met een dusdanig buisje
met water, om het kooldioxyde der lucht te weren). Later behoefde
men geen gebruik meer te maken van barytwater, wijl toen de
omstandigheden, waaronder moet worden gewerkt, genoegzaam be-
kend waren. De bereiding gaf aanleiding tot eenige opmerkingen
betreffende de ontleding van koolzuur zilver. In de eerste plaats
verdient vermelding, dat de dissociatie reeds begint bij een veel
lagere temperatuur dan overeenkomt met hetgeen daaromtrent staat
*) Zie de voorgaande Verhandelingen in de Verhand. d. K. Akad. v. W.
36 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
opgeteekend, zijnde deze ongeveer 130°, en wellicht nog een weinig
lager. Bij een der bereidingen let men de temperatuur langzaam
stijgen en wel tot ongeveer 200°, steunende op eenige gegevens in
de litteratuur; en, toen de ontleding verre was van volkomen,
zag men er geen bezwaar in, tot 210° te gaan als maximum
(altijd, als gezegd, in een langzamen stroom van droge lucht).
Men was niet weinig verbaasd, van ongeveer het derde gedeelte
van het zilveroxyde (47, 0) herleid te zien tot zi/ver. Het is
waar, de ontleding had vele dagen aangehouden, toch was zulk
een uitkomst geheel onverwacht, vooral met het oog op het zilver-
oxyde (dg, O), afgeleid van het bioxyde (47, 0), in vroegere
Verhandelingen medegedeeld. Het is duidelijk, dat voortaan de
temperatuur zoo ongeveer werd gehouden op die van 180°—190°,
onder welke omstandigheden de ontleding, zij dit van ongeveer
10 gr. aan koolzuur zilver, vele dagen eischt; en dan nog bevat
het product koolzuur zilver, en wel in noemenswaardige hoe-
veelheid.
Bereiding N°. 3. Na deze uitwijking keert men terug tot het
onderwerp, dat in de eerste plaats aan de orde is, te weten de
bereiding der zwarte stof door electrolyse van azijnzuur zilver;
voortaan met gebruik van ziwerooyde (49,0) in plaats van kool-
zuur zilver, zooals bij de vorige proeven het geval was (trouwens
daarvan toch nog een deel uitmakende; zie de bereiding van zil-
veroxyde). Voordat de electrolyse werd aangevangen der oplossing
van azijnzuur zilver, gaf deze een duidelijk alcalische reactie met
roodlakmoespapier (daar de toestel reeds vele uren in werking
was geweest vóór de electrolyse) En na electrolyse, vertoonde
de oplossing te gelijkertijd een zwak zure en alcalische reactie, zoowel
nabij de anode als bij de kathode. Het zwarte afzetsel, alhoewel
dit bijzonder weinig was, werd gewasschen, zoomede de platina-
draad met het daaraan hangende afzetsel, toen gedroogd, als naar
gewoonte in een vacuum-exsiccator, en gewogen. De opbrengst
was die van 0.0092 gr. (bij het wasschen was natuurlijk iets ver-
loren gegaan), zoodat de verandering in de bereiding is te be-
schouwen als te zijn betrekkelijk een vooruitgang.
Verandering gebracht in de wijze van bereiding. Aangezien een
gedeelte van de zwarte stof, afgezet, verloren gaat door gebrek aan
‘) Zie b.v. Dict. de Wurtz, art. urgent p. 372, Supplém. I, 201, Supplém. II, 364.
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 31
contact met de anode (slechts dat gedeelte der zwarte stof, dat
hetzij indirect hetzij direct met den platinadraad in contact is,
fungeert als anode), als gevolg van een ontleed worden langzamer-
hand onder den invloed van vrij zuur, ontstaan door de electrolyse,
trachtte men daarin verbetering te brengen. En wel aldus, dat,
in contact met den platinadraad (zijnde de anode) werd geplaatst
een klein platinaplaatje, om van de zwarte stof op te nemen, die
door dit platina op directe wijze verbonden kan wezen met de
anode. De opbrengst viel evenwel niet mede, daar deze was
0.0045 gr. Bij gevolg moest men terugkeeren tot een platina-
draad als zoodanig voor anode, maar b.v. deze wijziging aanbrengen,
van de proef langer aan te houden dan wee dagen, zooals trouwens
het geval was met Bereiding N°. 4, waarvan boven sprake is.
Bereiding N°. 5. De proef werd thans drie dagen voortgezet
(namelijk als vroeger, dag en nacht). ‘Tevens werd de hoeveelheid
zilveroxyde (49,0) langzamerhand meer, daar de nieuwe hoeveelheid
toegevoegd, blijkbaar die te boven ging bij de vorige Bereiding
ontleed. De opbrengst bedroeg thans 0.011 gr., namelijk de hoe-
veelheid, die zich bevond op het horologeglas (na wasschen daarop
gedaan); en overgebracht in een (gewoon) reageerbuisje (na vooraf
te zijn gedroogd), was de hoeveelheid zwarte stof herleid tot 0.008
gr. By ’t wasschen gaat noodwendig ook wat verloren.
Over een verandering in de Bereiding. De weg gevolgd tot dusverre
werd alzoo gewijzigd, dat de oplossing na filtratie (door zilveroxvde,
vermengd met eenig koolzuur zilver) werd geleid nabij de anode,
waar een kleine inrichting was geplaatst, bestaande uit {wee kleine
trechters in de vlam aaneengesmolten, en gezet in het kleine
glazen reservoir (waarin de anode uitkomt, zie vroegere Verhande-
lingen); het doel hiervan was, om van de geneutraliseerde oplossing
te doen komen zoo dicht mogelijk bij de anode, teneinde den
invloed van het zuur, dat vrij is geworden als gevolg der electrolyse
(en de vorming der zwarte stof) beter op te heffen. De uitkomst
was evenwel van negatieven aard, daar de opbrengst in Bereiding
N°. 6 de hoeveelheid van 0.005 gr. niet te boven ging, en wat
erger is, bij de anode bevond zich azijnzuur zilver in kristallen,
daarin zijn verklaring vindende, dat de oplossing aanvankelijk
verzadigd was, en de diffusie meer beperkt (overigens is duidelijk,
dat het trechtertje, het dichst geplaatst bij den bodem van het
glazen reservoir, een zekere ruimte overliet). De zwarte stof onder
deze omstandigheden gemaakt, werd als verloren beschouwd.
38 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
Bereidingen. N°. 7, N°. 8 en N°. 9. Men volgde denzelfden
weg als in Bereiding N°. 5, wat aangaat de inrichting der proef,
alleen liet men den tijd veranderen, maar bediende zich overigens
evenzoo van een meer of min verzadigde oplossing (vóór de proef
was een geringe overmaat aan azijnzuur zilver in kristallen in de
oplossing aanwezig).
Ten einde zich eenig denkbeeld te vormen van de betrekkelijke
hoeveelheid aan afzetsel op den platinadraad en het glazen reservoir,
nemen we Bereiding N°. 7, waar van de 0.013 gr. zwarte stof zich
bevond 0.007 gr. op den draad en 0.0043 gr. in het glazen
schaaltje, of liever horologeglas (na wasschen); overgebracht in een
reageerbuisje, werd de hoeveelheid herleid tot 0.0094 gr. (zie, een
weinig verder, de Tabel).
In Bereiding N°. S was de platinadraad (die als anode dienst
doet) gedeeltelijk gebroken, vandaar waarschijnlijk de geringe
opbrengst.
Over een nieuwe wijziging in de bereiding. Alhoewel schijnbaar
van weinig beteekenis, is deze toch van eenig belang, zooals kan
blijken uit de cijfers (zie een weing later). Er werd alleen maar
genomen een glazen schaaltje van geringere afmeting, dat aanleiding
8
zou kunnen geven tot meer diffusie, met betrekking tot het vrije zuur,
waarop het wel vooral aankomt. Ook vermeerderde langzamerhand
de hoeveelheid zilveroxyde (47, 0), waarop reeds werd gewezen.
Er is hier sprake van de Bereidingen N°. 10, N°. 11 en N°. 12.
Voorloopige en gedeeltelijke analyse. Aangezien het onmogelijk
is, om zich een voldoende hoeveelheid der verbinding te verschaffen
met een en dezelfde Bereiding, was men wel genoodzaakt, de
methode te volgen van de hoeveelheden stof van verschillende
Bereidingen bij elkander te doen, en dus in een en hetzelfde
reageerbuisje. Bijgevolg werd telkenmale gewogen vóór en na het
inbrengen eener nieuwe hoeveelheid der verbinding, ook met ’t oog
op een mogelijk gedeeltelijke ontleding (gepaard gaande met ver-
lies aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxy-azijnzuur
zilver, dat geacht wordt te ontstaan). De volgende Tabel geeft
daarvan een overzicht, terwijl is opgegeven onder:
a. het nummer der Bereiding;
6. het aantal dagen (dag en nacht) der electrolyse ;
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 39
c. de opbrengst aan zwarte stof op het horologeglas (de stof,
daarop komende, was dan gewasschen, ten minste gedeeltelijk). De
platinadraad met afzetsel wordt mede gewogen (het gewicht van den
draad is namelijk bekend).
d. het totale gewicht vóór het inbrengen eener nieuwe hoeveel-
heid stof in het buisje;
e. de vermeerdering in gewicht telken male za het inbrengen
eener nieuwe hoeveelheid in het buisje;
f. het totale gewicht van zwarte stof (zonder inbegrip der vrij-
gekomen zuurstof), dus op ’t oogenblik za het inbrengen eener
nieuwe hoeveelheid in het reageerbuisje ;
g. het verlies in gewicht bij het staan, als gevolg der vrij-
gekomen zuurstof (zie verschil tusschen d. en /.).
Nog zij medegedeeld, dat de buis, en deze met de stof, vóór
iedere weging was geplaatst in een vacuum-exsiccator (met zwavel-
zuur zonder of met natrium); en dat de noodige tijd werd gelaten
aan de buis, om in evenwicht te komen met de vochtige atmosteer,
vóór de eigentlijke weging. Alle bereidingen geschiedden overigens
met zilveroxyde (4g, 0), in plaats van koolzuur zilver (gelijk
vroeger plaats had met de electrolyse van zwavelzuur zilver).
Tabel, betreffende de hoeveelheid aan product achtereenvolgens
gevormd in de volgende bereidingen, enz.
| |
| | | |
a b | c | d | e | yi ml
| |
N35) 3° \OO0Tlgr | — 0.008 gr. 0.008 gr.
RS, (0.013 0.008 gr.|0.0094 |0.0174 |
MRI 0.008 |0,0k73 10.0022 0.0195 2) 0.0001 er.
mo) 62 10.0111 - 10.0195" 10.0083 -10:0278
MON | O.0941 1020218 0.027 0.0488
mi 3) 10.0383 90.0487 + 10-0343" 10.088 0.0001
BO 3 10,0327 ' 10.088 0.0298 |0.1128
40 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
Bij gevolg had men ter beschikking een hoeveelheid van 0.1128
gr., waarbij dan nog is te voegen 2 X 0.0001 gr., zal men de
oorspronkelijke hoeveelheid hebben, dus met inbegrip van de zuur-
stof die geëlimineerd is (zijnde de vrucht van een arbeid van onge-
veer 43 dagen, dag en nacht, alles mede gerekend). De reageer-
buis, die dus werd geacht 0.1128 gr. + 0.0002 gr. aan zwarte
stof te bevatten, waarbij water gevoegd, werd geplaatst in een
bekerglas met water, (de reageerbuis voorzien van een glazen dop;
het geheel van boven voor stof gevrijwaard door een papieren kapje)
en langzamerhand verhit bij een hoogere temperatuur. Reeds bij
32° (en al lager) vertoonden zich gasbellen. Den eersten dag
werd verhit tot 60°—70°, terwijl nog gas vrij kwam, en verwarmd
werd tot zich geen gas meer voordeed en nog langer; zekerheids-
halve werd den volgenden dag daarenboven verhit bij 70°—80°.
De buis werd daarna geplaatst in een vacuum-exsiccator (dezelfde
weg werd gevolgd als bij analyse van het product der electrolyse
van zwavelzuur zilver). Er bleef terug 0.108 gr., derhalve van
0.113 gr. der oorspronkelijke stof (zie boven); en bijgevolg heeft
men een verschil van 0.005 gr. (zij dit van 4.4 proc.), zijnde
dit het verlies in gewicht, hoogstwaarschijnlijk door eliminatie van
zuurstof van het owg-azijnzuur zilver.
Bij het terugblijvende werd 3 ec. c. water gedaan, en dit achter-
eenvolgens telken male, met het doel, het oplosbare zilverzout er uit
te trekken; later decanteerende, en teruglatende in de reageerbuis
het zilverbioxyde (Ag, O,). De gedecanteerde oplossing werd telken-
male gedaan in een glazen schaaltje, dit geplaatst onder een
vacuum-exsiccator en gewogen, achtereenvolgens gevende:
aantal dagen gewicht
voor het uittrekken telkenmale totaal gewicht.
2 0.0176 gr. 00608
2 0.0051 0.0227
2 0.0006 0.0233
6 0.0008 0.0236
7 0.0008 0.0239.
Na ten slotte geplaatst geweest te zijn onder een vacuum-exsic-
cator met zwavelzuur en atrium, werd dit herleid tot 0.0236 gr
In het reageerbuisje (geplaatst onder een exsiccator met zwavelzuur
en natrium) bleef 0.0851 gr. zilverbioxyde, dat maakt met de uit-
getrokken hoeveelheid: 0.0851 gr. + 0.0236 gr. = 0.1087 gr,
zijnde in den aanvang 0.108 gr. (op gelijke wijze behandeld); zie
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. Al
vroeger. Er werd een weinig zilverbioxyde medegevoerd, maar de
hoeveelheid stof liet miet toe, om te filtreeren. Ook werd de analyse
alleen verricht, ten einde zich eemig denkbeeld te vormen met be-
trekking tot de samenstelling. En in de eerste plaats blijft nog te
doen over, het zilverzout te identifiéeren, en aan te toonen, of er geen
gedeeltelijke of geheele (gedeeltelijke) oxydatie intreedt van azijnzuur
zilver, en omzetting dientengevolge in een ander zilverzout; de beperkte
hoeveelheid toch let een verder strekkende studie niet toe. De
oplossing, die aan electrolyse was onderworpen, gaf, bij verdam-
pen van een deel, kristallen van azijnzuur zilver, die vrij schijnen
te zijn van een ander zout; zoodat, indien er oxydatie plaats heeft,
dit waarschijnlijk intreedt tijdens de analyse. Maar voor ’t oogen-
blik komt het niet waarschijnlijk voor, dat oxydatie optreedt in
noemenswaardige mate (tevens met ’t oog op de oplosbaarheid van
het zilverzout; zie boven).
Over eenige eigenschappen van perory-azijnzuur zilver (aangenomen,
dat het lichaam waarvan sprake is, zulks is). Im ’t algemeen zijn
de eigenschappen dezelfde als die van peroxy-sa/peterzuur en peroxy-
zwavelzuur zilver; al dadelijk, wat de kleur betreft, die trouwens
meer is naar de zwarte tint, terwijl zich geen glans vertoont. Het is
nog niet mogelijk, zich uit te laten over den al of miet amorphen
of kristallijnen toestand (onder den microscoop). De wijze, waarop
dit lichaam zich verhoudt tegenover water, is in hoofdzaak dezelfde,
en het hoofdfeit is ook hier, dat er zilverbioryde (Ag, 0, ) onopgelost
terugblijft, terwijl er een zilverzout in oplossing treedt, met vrij-
komen van een gas, dat verondersteld wordt zuurstof te zijn (trouwens
nog te bewijzen). Bij verhitten in de open vlam op platinablik,
heeft de ontleding tevens eensklaps plaats.
Samenstelling en structuur. Im ieder geval is het lichaam, waar-
van sprake is, te beschouwen als een verbinding van zi/verbioegde
CA 03) met een zilverzout van een /oo/stofhoudend ocay-zuur, en
zeer waarschijnlijk van oay-azijnzuur. Men heeft overigens de waarde
te bepalen der coëfficienten +, y en z in de formule:
w Ag, Or. y( (CH. CO. OAg). 201,
dat niet weinig bezwaar zal ondervinden, lettende op de geringe
hoeveelheid stof, waarover vooralsnog is te beschikken, en niet te
vergeten den graad van zuiverheid; maar er bestaat kans, er in te
slagen, de opbrengst langzamerhand te zien vermeerderen, noo-
4.2 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER
dig voor een genoegzaam nauwkeurige analyse. De zuiverheid is
ook daarvan ten deele afhankelijk, als in ’t algemeen de stof
minder verdeeld is, wanneer de opbrengst (in de eenheid van tijd)
grooter 1s.
OVERZICHT.
De uitkomsten der electrolyse van zwavelzuur zilver geven een
vervolg op de voorgaande Verhandeling; daarentegen is de elec-
trolyse van azijnzuur zilver geheel nieuw, en is dus de eersteling
eener reeks van proeven met koolstofhoudende zuren in dezen zin.
In ’t kort zijn de uitkomsten van beiden in het volgende terug-
gegeven, ten einde deze des te beter te leeren kennen.
1°. Im den aanvang zijn de omstandigheden nagegaan, die
invloed zouden kunnen hebben op de opbrengst, en, wat betrek-
kelijk van meer beteekenis is, op de hoedanigheid (zuiverheid) van
het zwarte product bij electrolyse van zwavelzuur zilver. Ook is
er sprake van veranderingen, die zijn aangebracht (zie onder 3.), en
mogelijk ook aan te brengen zijn in de wijze van bereiding, en
tevens sprake van een nieuw beginsel 2).
2°. Een vervolg is gegeven der uitkomsten van eenige vroegere
bereidingen 3). En dan volgen uitkomsten van quantitatieve ana-
lysen 4), terwijl eenige wijzigingen zijn medegedeeld, die werden
aangebracht; en tevens de uitkomst van eenige proeven in verband
met de analyse °) (b.v. de behandeling van het zwarte lichaam
met water bij gewone temperatuur).
3. De verandering ®) ingevoerd bij de bereiding der zwarte stof
door electrolyse, bestaat vooral in het toevoegen van een tweede
filtrum, ditmaal met zwavelzuur zilver, met het doel, om de con-
centratie der oplossing meer of min constant te houden (het eerste
filtrum bevat koolzuur zilver, zie de vorige Verhandeling, ten einde
het zuur te neutraliseeren dat vrij is gekomen, als gevolg der
electrolyse, nabij de anode, vanwaar de oplossing wordt opgevoerd
door een schroef van Archimedes, om nabij te kathode terug te
vloeien, na dus thans {wee filtra te zijn doorgegaan). Deze wijziging
zou den tijd voor de bereiding in zeker opzicht onbepaald kunnen
doen zijn, namelijk, ingeval de zelfontleding (overigens in bijzijn
*) Zie deze Verhandeling pag. 3—9; 2) 1. c. pag. 8: ) J. c. pag-9; *) loc.
pas 2 “ENC par selle) AC Spas els
EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 43
van een weinig vrij zuur) zich daar niet tegen verzet, indien
namelijk de hoeveelheid electrolytische zuurstof de zwarte stof (der
electrolyse) in voldoende mate kan te gemoet komen in het verlies
aan zuurstof ') (de zwarte stof fungeert namelijk als azode, als gevolg
der geleidbaarheid voor electriciteit); altijd wel te verstaan bij een
werken onder de gegeven omstandigheden.
4. Kenige eigenschappen zijn medegedeeld van peroxy-zwavel-
zuur zilver ?), van de wijze van ontstaan *), en die van te worden
ontleed #. De vraag is opgeworpen, welke der twee resten waar-
schijnlijk het eerst ontstaat, het zilverbioxyde of het oxy-zwavelzuur
zilver ©).
5°. Er werd een vergelijking gemaakt tusschen het ovy-zwavel-
zuur 2 SO, H, = S, O,, H, (beschouwd deel uit te maken van
het peroxy-zwavelzuur zilver als zilverzout, zij dit is 5 Ag, Og.
2 SO, Ag.) en het overzwavelzuur ®) S, 0, H,. Daarbij is tevens
opgenomen het product van reactie van overzwavelzuur en geoxy-
deerd water 5).
6°. Ter sprake werd gebracht een andere structuurformule
voor het oxy-zwavelzuur °), die overigens niet aanbevelenswaardig
schijnt te wezen.
7°. Hen enkel woord is gezegd over zilverbioxyde, peroxy-
salpeterzuur zilver, en peroxy-zwavelzuur zilver als oxydatie-
middelen %, en over de afscheiding der zuren van oxy-salpeterzuur
en oxy-zwavelzuur zilver 10).
8°. HPenige gegevens zijn vermeld betrekking hebbende op de
zelfontledings-snelheid van peroxy-zwavelzuur zilver 12),
9°. Daarenboven zijn hier bijgevoegd eenige gegevens betreffende
de snelheid der zelfontleding van peroay-salpeterzuur zilver ™),
wijl men thans kan beschikken over een periode van drie jaar;
tevens ter vergelijking met peroxy-zwavelzuur zilver. En zoo mede
eenige gegevens met betrekking tot de opbrengst van dit lichaam 1).
10°. Er wordt mededeeling gedaan van een contrôle-proef met
't oog op de quantitatieve bepaling van z7/vernitraat ),
11°. Uit een meer algemeen oogpunt werd behandeld de vor-
ming van een zilverzout van een oxy-zuur, namelijk in verbinding
met zilverbioxyde 15).
12°. Er werd een begin gemaakt met de studie der electrolyse
5) Zie b.v. Bereiding N°. 29, pag. 16; *)
Mage log. ) lca pags 205 °) Iser pag. 21:02) |
feos") lc pag. 255 le. pag. 26 PM. ¢: pag. 28: Wil. co pag. 295%) lke
pag. 26; ~) 1. c pag. 27.
44 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER ENZ.
van azynzuur zilver !) (CH. CO. O Ag). Evenzoo zet zich aan
de anode af van een zwart gekleurd lichaam, maar in zeer
geringe hoeveelheid, vooral, wanneer wordt gewerkt onder gewone
omstandigheden. Door gebruik te maken van zi/veroryde (Ags 0)
in plaats van koolzuur zilver, is de opbrengst betrekkelijk beter.
De eigenschappen schijnen vrijwel overeen te komen met die van
peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-zwavelzuur zilver, en alhoewel
de vereischte analytische gegevens van quantitatieven aard nog niet
voorhanden zijn (azijnzuur zilver zou, ook ten deele, kunnen omgezet
worden in een zout van een andere verbinding, afgeleid van
azijnzuur) ©), zoo stelt men zich toch voor, dat hier een lichaam
optreedt terug te brengen tot de formule:
x Ago Ooy (CH. CO. O Ag). 2 O1,
welk lichaam niet onwaarschijnlijk ten deele den sleutel vormt tot de
classieke reactie van Kolbe, betreffende de electrolyse b.v. van
een waterige oplossing van kaliumace/aat, en andere meer of min
overeenkomstige verbindingen; en ook dit geeft aan deze studie
een hoogere beteekenis.
13°. De ontleding van koolzuur zilver, als bron voor zilver-
oxyde, gaf aanleiding tot eenige opmerkingen dienaangaande °).
In de volgende Verhandeling zal in hoofdzaak de studie der
electrolyse van azijnzuur zilver meer in bijzonderheden worden
nagegaan. Men ontveinst zich evenwel niet de bezwaren, welke nog
zijn te overwinnen, en die verre overtreffen de bezwaren verbonden
aan de studie der verbinding electrolytisch verkregen met zwavel-
zuur zilver, en reeds deze zijn niet gering te achten.
Utrecht, 24 Jum 1899.
(1 September 1899).
) Lier pre 29) MN pags Ale pas, wo.
(In certain Series of Sections
of the Regular four-dimensional Hypersolids,
BY
ALICIA BOOLE STOTT.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SEC TIE.)
DEEL VII. N°. 3.
(With 22 figures and 14 diagrams.)
AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
Februari 1900.
(In certain Series of Sections
of the Regular lour-dimensional Hypersolids,
BY
ALICIA BOOLE STOLL.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SEC TIE.)
DEEL VII. N°. 3.
(With 22 figures and 14 diagrams.)
AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
1900.
On Aie Olhos: ue
L
À
> TONE OME ATT À
+
ad st biede #37 ben Hinte a ohh fs
(ot Howey ak PERM) NC 4
f ae
f’: tee Sinica ee UT
a. ders fl he ar) Pes EL
+ kk KENAN Eide
7)
Lier Site oe HO,
On certain Series of Sections
of the Regular Four-dimensional Hypersolids ,
BY
ALICIA BOOLE STOTT.
1. In making series of sections of the regular four-dimensional
figures by the method given in this paper it is only necessary to
know the number of solids meeting at each vertex. The total number
in each figure can be found by counting the number of solids cut
in the sections.
Taking the figures bounded by tetrahedra it is evident that a
section by a space cutting the edges meeting in a vertex at equal
distances from that vertex will give an equilateral triangular section
of each tetrahedron. Hence the complete section will be a three-
dimensional regular figure bounded by equilateral triangles.
There are only three such figures, the tetrahedron, the octahedron
and the icosahedron; so there will be no other four-dimensional
figure bounded by tetrahedra except those which have 4, 8 or 20
at each vertex.
If groups of tetrahedra arranged so that there are 4, 8 or 20
round a point be cut by parallel spaces close enough together to
pass at least once through each edge, then the number of tetra-
hedra cut im the three groups respectively will be 5, 16 or 600.
Next taking cubes. The section of a cube by a space cutting the
edges meeting at a vertex at equal distances from that vertex is
an equilateral triangle. So there will be no other figure bounded
by cubes except those having 4, 8 or 20 at each vertex. But 8
4 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE
cubes exactly fill three-dimensional space and cannot therefore form
a four-dimensional angle. Hence there cannot be a figure whose
angles are formed by eight cubes. Still less can there be one
whose angles are made by 20. Similar reasoning applies to the
dodecahedron; as with the cubes, there is only room round a
point for four. Now the figure corresponding to the first case is
the S-cell, that corresponding to the second is the 120-cell.
Taking an octahedron. A section by a space cutting the edges
meeting at a vertex equally, is a square, and, as a cube is the
only regular three-dimensional figure bounded by squares, there
will only be one regular figure bounded by octahedra and that
will have six at each vertex. This is the 24-cell.
In this manner we meet successively all the regular cells of
four-dimensional space.
2. In making a series of sections of a regular four-dimensional
: : 3 3 :
figure by three-dimensional spaces 5°, S', ete. parallel to a bounding
solid Z, that solid itself may be considered the first element
of the series. If Z be in a space S’, it is the only part of the
figure in that space, but its faces are the surfaces of contact of it
with other bounding solids. So that in building up the solids of the
figure about Z in their position in four-dimensional space, if such
a thing were possible, there would be one on each face. In some
cases there are also one or more on each edge and one or more
on each vertex. Whether this be so or not, can be determined
by means of the number of cells meeting at each vertex in the
particular figure under consideration. The solids on the faces of
Z may be supposed to turn about those faces until they lie wholly
in S and if there be any on the edges and vertices they may be
supposed to turn about those edges and vertices until they too he
in S. We represent in fig. 1 the result of such an operation
on the S-cell. The cube H À is the solid originally in the space
S’: NA has been turned about its surface of contact with PRA:
namely the square C 4, into S. The cubes PA and SA have
been turned about the squares G 4 and #4 respectively into the
same space #.
The result of this is that the square Z 4, which is common to
the two cubes V 4 and P A, has assumed two positions in st
is e. g. horizontal in P 4 and vertical in NV 4.
Similarly M 4 and O 4 each appear in two positions in s.
REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. )
If the S-cell were cut by a space Ss parallel to S” and passing
through some point of the edge 4 A, each of the cubes W 4, P 4,
S A would be cut by a plane parallel to its surface of contact
with H 4. The positions of these planes in the cubes could easily
be determined after they have been brought into the space S°. For
instance, if 5, bisects À X, the sections of V 4, P À and S 4 will
be squares parallel to CA, G A and Z À through the midpoint of
AK. Similarly there will be square sections of the three cubes at H
and the complete section is a cube. Thus there will be three
Cubes in this series: 1° the cube H A, 2° a cube bounded by
the sectional planes parallel to the faces of 7 À and 3° a cube
bounded by the squares PK, NK, SK and the corresponding
faces of the cubes about 7/7. This last cube is itself a solid of the
8-cell namely that opposite to MA 5.
3. Definition 1. — Let a point at a distance ~ times 4 B from
mous the line A.B be the point 4, B or B,_, A.
Definition 2. — Let y be the projection, by a line parallel to
the base on to the perpendicular of an equilateral triangle, of a
length on the side equal to 7 times the side (p — + ]/ 3).
The 16-cell.
4 Let ABCD, a tetrahedron in Ss’, be one of the bounding
solids of a 16-cell.
In this figure there are 8 solids at each vertex, a condition
that will be satisfied if a tetrahedron be put on to each face of
ABCD; one to each edge and one to each vertex.. Let the
wenmeess of those on ABO, BCD, CDA, DBA be. D', A,
B,C respectively (fig. 2). Then those on the edges will be
OND BOD A CDA B, DAB 0, ACB D, i aren
Four of the an tetrahedra at 4 are represented in fig.
ww
IE „the. L6=cell .be cut by a space Ss parallel to 8
and passing through the point 4, 0D’, the tetrahedron 4 B C D' will
4
*) This way of dealing with the 8-cell is given in the ,Scientifie Romances”, No. 1,
»What is the fourth Dimension?” by C. H. Hinton, published by Swan, Sonnenschein & Co,
London, 1884, and the subsequent book of the same author: „The New Era of Thought”’
London, 1888. Also in considering the 600-cell I received some valuable suggestions
from Mr. H. W. Curjel.
————— ……— << —
o> een ee TE
6 ON CERTALN SERIES OF SECTIONS OF THE
be cut by a plane passing through that point and parallel to 4 BC;
hence its section will be an equilateral triangle with a side equal
to 2 4D. In fig. 2 its vertices Ay D, À) Ds qu Dare indi-
cated as a, 6, c. Similarly the eras 5 B. CD 4, CD AB
DABC are equilateral triangles with a side Se to ! “4 Deken:
vertices. are the points (BSA OA DANE: DB, Arban
L 4 4 4 4 GE
4
eC, AgO RC
4 4 4
It has been shewn by means of the tetrahedron ABCD" that s
passes through the points 4 DIR GD: and by the tetrahedron
ACDB" that it passes iheoiveh the sei by B, on B. But the edges
AD, CD' are common to ABCD’ and ACB D! A the edges AB’,
CB’ are common to ACDB' and AOR Hence we have four
points on ACB D' through which 5 passes, giving as section a
rectangle with sides + and + of 4 1 sntdsbated in fig. 2 by acde.
There are also rectangular sections of the tetrahedra on the
D
other edges of 4 B CD.
Again AD, AB, AC are edges of the tetrahedron 4B’ C' D'
4 ob . 3
and it has been shewn that 5, cuts them in the points 4,2,
4
AB HO, giving as section of this tetrahedron an equilateral
4 4
triangle with side equal to 1 4 D’. Similarly the section (fig. 3
o 4 e D
of each of the tetrahedra on the vertices B, C, and D will be
an equilateral triangle with sides equal to + 4D’.
In figure 2 are also indicated the sections of the 16-cell b
te)
3 3 3 5 5 .
spaces #, S parallel #° and cutting 4D" in the points 4,2",
5 2
A.D’. The shapes are shewn in the figures 4 and 5.
3 3 .
A space S’ parallel to #° and passing through 2° would also
4 LE
pass through 4 B’ and C’, giving as the last shape of the series
a tetrahedron equal to 4 B CD oppositely placed, this being the
bounding tetrahedron of the 16-cell opposite to 4 B CD.
The 24-cell,
6. Let 4B CDE F (fig. 6), an octahedron in a space 8, be one
of the bounding solids of a 24-cell. In this figure there are 6
solids at each vertex, a conditon that will be satisfied if one be
REGULAR FOUR DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. 7
put on to each face and one to each vertex of 4 BCD MH. By
an inspection of figure 6 it is clear that
on the face 4 BC is the octahedron 4 BC (4 B) (BC) (C 4),
MR AO 4 ACH AO (CE) (EA),
PENN AEP, A AEF (AB) (EF) (FA),
es AEB .. . AFB (AF) (FB) (BA,
DBE DBC (DB) (BC) (CD),
eee DOH, 6 DOE (DC) (CE) (BD),
CDF, , A DEF (DE) (BF) (FD),
. a À DFB (DF) (FB) (BD).
In the same manner the octahedron
on Ais A AB) AC (AL) AP z
RD aE: (ASB) DC) DB) (BL) B
wy Oe C G 1 C) ve (CD) (CE) AC,
De DEED (DESDE), DE
)
(B D)
1 (AB) EE NE
(A B) BF) (DF) (EP) F’.
~
7. If the 24-cell be cut by a space s parallel to S” and pas-
sing through the point of bisection of 4 (4 C) the octahedron 4 (CZ)
will be cut in a plane parallel to 4 CM, and passing through the
points of bisection of C(4A C), C(C#), H(A), ACA LF), E(CEL);
the section will be a regular hexagon (abc de f).
Similarly the sections by Ss. of the remaining seven octahedra
on the faces of 4 BCD FF are regular hexagons.
Now in the octahedron 4 (CM) we see that 5 passes through
the points 4, (4 C), 4, (4 #) and in the octahedron 4 (4 B) we
- >
see that it passes through A, (4 B) and 4, (4 F). But the lines
D] »
A(AC), A(4 P) and 4(4 FP), A(A B) are also edges of the octa-
hedron 4 4’, whence we find that the section by S, of this octa-
hedron is a square with side equal to half the edge of the 24-cell.
There will be similar square sections of the octahedra on B, C, D, E, F.
The shape is shewn in flg. 7; it is a combination of octahedron
and cube, in the crystallographic sense, the octahedron predominating.
3 ao 7 .
Let S be a space parallel to S and passing through (4 ©, it
2 Le
will also pass through (CZ), (4 #). So that it coincides with that
face of the octahedron 4 (CZ).
8 ON CERTAIN SERLES OF SECTIONS OF. THE
It. also coincides with the face (4 B) (A F) (B F) of the octa-
hedron A(BF). The points (4 B), (AF), (4 F), (4 C) are the
vertices of a square section of the octahedron 4 4. This section
of the 24-cell, then, is bounded by 8 equilateral triangles, and
6 squares, the sides bemg equal to the edges of the 24-cell. The
shape (fig. 8) is that of the combination of octahedron and cube
in equilibrium.
The octahedra already grouped about the octahedron A D give
A solids at (4C), namely AA, A(CH), CC’, A(B OC); of these
the first two only are shewn in figure 6.
Putting one on the face (4C) (CH) (4 #) and one on the
face (4 B) (AC) (BC) we have the required number 6 at (4 C).
There will be similarly placed octahedra at (4 B), (4 F), etc.
Another parallel space 8, passing through the middle point of
(AC) A will give a square section of 4 4’ and square sections of
the octahedra CC’ and # #’. These three squares determine the
section of (4 C) #; it is a regular hexagon. This shape then
is like the section by be À space Ss. parallel to S” and passing
through 4’ will coincide with the octahedron A/B CD EE.
The 120-cell,
8. The sections of this cell can be deduced in a similar man-
ner to that in which those of the 16-cell and 24-cell were obtained.
The plans are given in the diagrams VITI—XIV.
The 600-cell,
9. Let 4 BCD, a tetrahedron in S’, be one of the bounding
solids of a 600-cell. In this figure there are 20 solids at each
vertex and this condition is satisfied at the vertices of 4 BCD if
a tetrahedron be put on to each of its faces, two to each edge
and 10 to each vertex. The bases of the tetrahedra in each of
these groups of 20 are the faces of an icosahedron 5). Let 7 4
be that one which is bounded by the bases of the tetrahedra meet-
ing at 4. The vertex of the tetrahedron on 4 B C as base is D
and the vertex of the one on 4C D' is (4 C); the tetrahedron on
AD (AC) is AD (AC) A), likewise that on 4 (A C) A) is:
A (A C) (4) (4) and that on 4 (4) (4,) is 4 (4) (4,) A4).
*) The sections of such icosahedra appear as zones on the sections of the 600-cell.
REGULAR FOUR-DIMENS'ONAL HYPERSOLIDS. 9
Thus A) 4) 4) is the face opposite to BCD on 1A
(fig. 9 and 10), etc.
D
The five tetrahedra just given are all differently related to 4 B CD
and, if they be taken as types, the vertices of the remaining tetra-
hedra about 4 B C D may at once be written down and can then
easily be placed in space. For instance there are four of the form
ABCD. The form 4CB (AC) gives two tetrahedra on. 4 C
namely 4CB (AC) and 4 CD (AC) and also two on each of
the other edges as BCD (BC) and BCA (BC) on BC, and
so on. The form 4 D' (4 C) es) gives six tetrahedra touching 4
arranged in pairs:
AD (AC) (4,) and AD (4B)(4,),
AOA B) CAN, Ne AAD Ae),
ABO a ABAD) A)
and also those about B, C, and D. So 4 (4 C) (4) (74) gives
three tetrahedra about 4 namely 4 (4 C) (4 ) em) A (AB) A) (4)
D
and 4 (4 D) (4) as about B are B (BC) B) B) and so on.
There are also four of the form 4 A) A) (4). ‘The remaining
vertices of the 600-cell are named as follows: A is the vertex of
the tetrahedron on (4) (4,) (4), (4 B) is the vertex of the tetra-
hedron on (4 B) (4,) (4,) and A’ A) (45) (ae) is related to
BCD as A (4,)(4,)(4,) is to 4 BCD (see list of vertices).
The tetrahedron on the side of the 600-cell opposite to 4 B CD
1s apy d, the lines drawn from 4 to z, from B to @ and so on
being diameters of the figure.
The arrangement of tetrahedra about 3 By à is similar to that
about 4 B CD, so that the vertices opposite to those already given
may be written down by simply changing 4 into g, B into @, C
into yy, D into d.
10. Let the 600-cell be cut by a space s passing through the
points 4 BC’ D’. It will be parallel to 8°. Now Ss and / A
intersect in a plane passing through the points B’, 0’, D", nier
To find where this plane cuts the lines B(4 B), C(A ©, D(A D),
let / A be projected on a plane passing through ©”, (4_), (4 C), C.
C
10 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE
This projection is shewn in fig. 18, where B, M, O; P are the
points (7, (iy (4 C); C, and W is the middle point of (A) A4),
RV is drawn parallel to 47 N and V O is the distance from 4 C
at which the plane cuts C(4C). Let / O be a times P Oand we
have the points (4 B) B, (A 0). C, (4 D) D; for the remaining ver-
tices of this form see list of vertices and diagram I.
Again s and / D" intersect in a plane passing through the
points (CA) C, (CA) A, (A B) A, (AB) B, (BC) B, (B C) €, of
hg. 12,
Let ZMOP, fig. 18, be a projection of 7 D' on a plane
through (4 5) DJ) (©) C. Then Ra = pa and gv is parallel
to MN. It will be found that WP = a times OP, whence
we have the points C (C), 4 4), B B) of fig. 12.
From this it will be seen that the tetrahedron 4 (4) (4) (4,)
is cut in the points Ae (49; A (A), À (4,) (fig. 13, p gr); likewise
A (4 C) (4) (4) is cut in the points A (A), A (A5): (A 0), A
(fig. 13, prs) and 4D (AC) (4) is cut in the points (4 6), A,
ANA); DE 13e):
The tetrahedron 4 C D’ (AC) is cut in the points (4 6) A
(A C) 6, DL 13/2),
Here we have a section of a tetrahedron of each type given in
Fig. 10 except 4 BCD which is not cut by he and as the tetra-
hedra of each type are all similarly related to 4 B CD their sec-
tions will be equal.
In constructing the model of this section of the 600-cell there
will be four equilateral triangles (pgr) related to each other as
the vertices of a tetrahedron.
The sides of the equilateral triangles are the bases of isosceles
triangles (prs, fig. 13) and the sides of these isosceles triangles
are the bases of other isosceles triangles (s 7D’). The last isosceles
triangles are arranged in pairs with a common side, and the other
sides are the sides of isosceles triangles (s 4 D").
One of the four similar regions of this model is given in diagram
I (W, M, L'); these regions are connected by triangles (47).
11. Let the 600-cell be cut by a space 5° passing through
(A B), (4 C), (A D), (B C), (B D), (CD). This is parallel to 5. Here
REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. Wal
1(4,) and 5 intersect in a plane passing through the points D
mA B), A (A).
A projection of this on a plane through 4 D’ (4d) A, is given
Mouse 19. There, Dr is the projection of the plane of inter-
section of / 4, and 5: Ar is made equal to pa and the line D'r
divides (4 B) À in the ratio a: 1—a; Zr is drawn through (4 B)
and is parallel to Dr. Then we have r (4) = pa.
Also let the length of which D’ / is the projection be equal to c
times the edge, from which we see that S passes through the points
C4): ANA) A, DD ,),D (D): In diagram IL these points are
2, 1, 14, 11; 6 and 5 are (4 B) and (4 C). A plane through 7 4
>
parallel to 8 CD and passing through the points (4 B), (4 C), (A D)
gives the points D GR) B (A), Cc A), the first of these being
point 8 of diagram II, fig. 11, (see list of vertices).
This model is constructed in the same way as the first. The
points where the sectional space cuts the edges of the 600-cell are
determined by means of the icosahedra ') and are then found on
the individual tetrahedra.
12. Let the 600-cell be cut by a space S through (4, ), (4), A),
B), B) B) (CO). (€), (0) DD) (D,,)s this is parallel to 8°
and its intersection with /(4_) is given in projection by the line
FA) parallel to ok (fig. 19). Now En bisects DD and let
(4 B) S be equal to f times the edge. Again r (4 ) divides (4 BD)
in the ratio a: 1—4. We have then the points (4 B), (4 D);
AO), (4 C),(AB) (D'), (4 ©) >) Dh Dg CD); see on
diagram [IT the. points 6, 5, 13, 14, LS, 8; 1 and 2 are (4) and
(4) (consult list of vertices).
13. Let the 600-cell be cut by a space s through (4°), (4),
(4); Ee), (a): CB), (OSCAR DD) D's this is paral-
3 7 : RUES : ; : sepa
lel to S . The intersection of S and 7 (4 ,) is Shewn in projection
4 :
by the line Co) r parallel to V (4). figs 19)
*) See fcot note on page 8.
12 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE
Here : T (4 B) = f times the edge; r, bisects (4.)4, and (2°) fe
divides (42B) (A a in the ratio a: 1—a.
This gives the points A) A, A4) A, (AB), (4), (4 0), (A),
(AB), (4 B), 40, (AC). See on diagram IV the points (5, 4, 6, 3,
2); 8 and 1 are the points (2); is
Again J 4 and s intersect in a plane through the point
(#0) (4,) and parallel to (4, ), (4 > (A). This is shewn in pro-
jection in fig. 22. It gives the points (4 i B), (4) (4,),
A), (42), ABA).
14. Let the 600-cell be cut by a space #5 im points (4 B), (A B),
AO, (4 0) (4D), (4 D), (BO), (BC), (CD), (CD),(B D), (BD);
it will be parallel to S". The line 7 , 7 parallel to (2°) rand passing
through (AB), (fig. 19), is the projection of the intersection of J (4,)
and Ss. Comparing this with the line # r, we have A r—=pe and
D') ET C7
This gives the points (4) (4), (A) (4), (D”.) (4 d), (D',) (4 d)
(on plate V the points 4, 3,6, 1; 5 and 2 are (4 B) and (4 OC), ete.).
The solid 7 4 and s intersect in a plane ae through (4 B),
(40), (AD) and this plane passes through (4 a) (AB) (4),
(Ay) A), fig. 22.
The space S and / d intersect in a plane through (De an (AJ) that is
parallel to D) (D° DD ). This plane is projected in the nee v, fig. 20.
Let V (D n be AE h times the edge and we have the points
DO), (D), (PB), (D), PD.
Again Ss and /(4 d) intersect in a plane through DJ), DL
A4 ay fig. 21. Here (D’,,)V anda parallel plane through (4 B) (4 C)
is projected in the line 7 D, giving À, ee — ec times the edge and
(D )r= pf. Whence we ie the points(4 eas); CD zj d EET =): d
see list.
In diagram V the zone on LA is 20, DL abe Sand
that on 1d ie Oe die eee ee Oral Ce le
REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLLDS. 1.3
15. Let the 600-cell be cut by a space Ss through 4 BC D
parallel to Ss, NA) intersects Ss. in a plane through A, parallel
to its intersection with Ss.
In fig. 19 this plane Siprojected in the line 4 / and comparing
this with D'r we have the points (49) (2°), (49) (1°), (A B) . (4),
(40), (Ad) (diagram VI points 1, 3, 4, 2, 5). Here 7 d and Ss
intersect in a plane parallel to (D) (D°) (D”.) through (Ad) Do.
This plane is projected in the line r, +, fig. 20, where > (Ad) = pa.
Then (D' ) end times the edge, whence we have the points
ED) (8 a), CHENE (à R), (Dr (d'y) (diagram VI points AE M RTE
Now 8 and 7 A intersect in a plane parallel to (4) (4) (4,) and
passing through the points (4 B) (4d).
In fig. 22 the line (4 B) (Ad) is divided in the ratio a: 1—a
and through the pomt of division a line r / is drawn parallel to
CICR
Let (4 B)r = m times the edge, and it will be found that (4d) (4,)
is divided in the ratio 4: 1 — A, (AC) (4d) is divided in the ratio
a: l — a, (4 C) (æ.) is divided in the ratio m: 1 — m, Oh C) (A B)
is divided in the ratio a: 1 — a and finally / (42) = , times the
edge; whence we have the points
AB),@) (B, 49, AB, (4y), (49), (4),
AP, (4), (40) (49), AD, Ap, 4 DA)
(40), @), (40), AP, (4D), AE) ABD,A)
Here Ss and /(4 d) intersect in a a us À, parallel to
the intersection of Ss with / (4d); Ar, fig. 21, is a projection
of this plane, Let (D) r= pn. It will be found that (4 C) (2)
is cut in the ratio m: 1—», (4 C) (d B) is cut in the ratio e:
(D nj) (à B) is cut in the ratio a: J]—a, whence we have
the points (4 C), @) mein (2), (40) CP). 4° B) dy,
De) CNE) ey à y), (D En d, (De d These are, diagram
BiPAthe points 15, 22, 24, 238: 11, 138, 26, 25, see list.
14 ON CERTAIN SERLES OF SECTIONS OF THE
16. Let the 600 cell be cut by a space s through (4 (2), (4),
(Ad), (Ba), (By), (Bd), (Ca), (CB), (C3), (Da), (DB), (Dy). Then IA
and s. intersect in a plane through (48), (Ay), (Ad), fig. 22, (AB) &
It also passes through the points (AB), (æ), (AC) (4) AD), CA
(diagram VIT points 3, land 2). And s and Ld, intersect in a pee
through (4 d), (Bd), (Cd), shewn in projection ee the line (4 0) V
fig. 20. This gives the points (8 a) (D) (3B) (D' i) (5 De (D' N
1. e. the points 6, 5 and 4 of diagram V HR Likewiee À and / (4 d) im-
tersect in a plane through (4 C) (a) and parallel to the in-
tersection of / (49) and S". This ‘plane is shewn in projection by
the line Pr, fig 21; 4 and d, rare equal top f(A C) (0 B)
Is bisected, so that we me He ee 1), (&.), (4), @), (0), D'),
), oye AO, &,) AB, @) CP, Dr, OY), De),
(0), (A Bj 7 (dy). In diagram VII these points correspond to
8, ee is i, 3 5 5, 4, 10, 9. The symmetry shews that this is the
ee ee the other sections are now repeated in reverse order.
In practically constructing the sections I have found that their
symmetry is made more obvious by colouring the faces. The letters
on the faces of diagrams I—XIV denote colours, the plane and
accented letters denote corresponding colours and the remaining
sections are the same as those given with the plane and accented
letters interchanged.
Be
(à
(4
a
17. Numbers of tetrahedra of each colour in the 600-cell as
shewn by the sections.
DA aid ee LS sereen Blend AS
Ma! MOO: each erm 120
IM Me Ae ise Mare ae 144
Pp PS
ile ZY Meee ge ae Baie 6 Ol
BAER
S’ S" | \
4 i gee ae a ob ns 48
fi TER
X ASE ante. os eye 48
2 OO Gia: LAL ake: 96
Z ore PE En Bd 6
Total. . 600
REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. KD
List of the 120 vertices of the 600-cell,
AMD, OD:
Ace bie OLD
(AB), (AC), (AD), (BC), (BD), (CD),
D 4) Ge) B CON OON D) @) WD,
C B D A
ect), (A): Go tere Cee) (Cm Cm (Cn), De: (DR
(A B), (AB), (A C), (AC), (A D), (AD), (BC), (BC), (BD, (BD), (C a (CD),
A,B, C, D,
Gp), (4y), (42), (Ba), (By), (Bd), (Ca), (CB), (CD, (Da), (DB), Dy,
di b; Yo Dp
(a), (B), (ay), (wy), (ad, (ad), (By), (ey), (29), (29), (72), (yd);
(a), (#’,), Ge, B) B) (Bs), VW, eh (sh (CL Cp) (8);
(a), (a), (a), (B), (6) (Bs) (Ye Ch (5h A) Cd) A)
(zB), (zy), (ad), (By), (Bd), (72),
Ar ad
2, 2,
List of vertical points of sections. ')
Diagram I.
AE Dites Oe nd
(9)? (7) (8)
A Aen Bs, a, DE
we NCB ds Ce C 3)? DAD
LAD) B (B), C 0, en
(AB) AAO) A, (AD) A (BOB, (BD) B, (CD) C,
(AB) B (40) C ue on fi (BO). C, (BD) D, (CD) D.
Diagram I.
(AB), (40)... (AD) (BO), (BD), (CD),
1) The small numbers between brackets refer to the numbered points in the
diagrams.
16
ABC yr AOB us ADE)
AB) Dy (40) (D',) (4D) eC) ED) BOD), (BD) (C
AA), BB), 240, js DD re
ANA), Bi 7a(c, 40 4 DD ce
AYA’) BB). Ce oe Di uD ale
ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE
(4, ) A B, ) B, (0, Je C, (D, ), D,
(4, or ‚B, 2 PB, (CC, DD,
(4,) Bs, )),2 : (C), C, DD,
A en B vd 0 AC Pe (7 a DA)
A Cp) B €) C on D B)
A WP): B „Lp © gly )s D abl Ol
A (A), BB), eS 4 4 D rey:
LA), BB aay CC mani + wary
AA), B B) CNC ae yD G cure
Diagram IT.
do) (B,), (C,), (D),
DA B), (0) D),
oe (BAC ICD à,
(4B) (AB), (AB), AB);
(40) (AC), (AC) AO)
(AD) (4D),, (AD) (AD)
(BC) (BC), (BC), (BC),
(BD), (BD), (BD) (BD),
( cD) (CD), (CD) (CD),
CG (10)
Diagram IV.
A De CA)
A (24)
(4 ch (B ae (C ey ce ea 1)
\ (4 p} B Daar (C pie’ (D De
BOA) BDA) (CDA),
CDE).
REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. 17
(4,14
(BB, (CC; DD,
14)?
AA, x (B, IB, ( 010, (D, iD
(4,
MAar B DR, (0, MC, (DD,
1(27)
(46)... (B,) (Ba), (COD, (D,), (De),
ee BBN (ONB, WD) (DE)
AND os BBD sr (C,) (C9) os (D), BY
(A B) AB), ABAD)
LOAD (AC) (40);
(4D) | (AD) py (AD VAD) us
(BC) (BO), (BC) (BO),
(BD) (BD), (BD) (BD),
(CD) (CD), (CD) (CD),
ADA ys AD) 4,
ADA) (4B) (A) 3
(4B) (4,) 4 0,C £3
BOB). BDB),
BDB), BAB),
(BA) (B), BOB),
(CB) OIO DOD,
(ODO). CAO),
(CDC (CBO),
(DB) (D,), DOD).
DOD) (DA) (D, ),
DAD), OBD)
Diagram V,
AB), (40),, AD op (BC), (BD), (CD),
(AB) >
(22)
(AON ary, (AD Jan (BO LBD (CD),
18 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE
AAD) BNB) (0). (0,), (DD),
(4).(4,),: BEN C) (C,), DD),
(4) (4), B) B) (C),(C,), DD),
(4B),(4,), Be)(B ) (Ge) (C,), (Dee) (D)
UPDA BDB) (DCH DOD),
(43) (4)... (88) (B.), (OC) (Dy), D.)
(4) (@P), Boe). (C') er), (D), ed)
AIEN (BY), ED or Cd PY ig Dy), (P28)
6)’ Bh FRE (41)
AED), BED (C',) OY) DAD
(27)’
(13)° (21)
(4',) (Ca), (4',) (Da),
(4) (Da), (4) (Ba),
(4) (Ba), +
B') (C2), B) (DB),
B) (DB), e AD
BAB (BY (CB),
(C',) (By), (€",), (Dy);
(OO), CA
(CAD gg (C",) (BY),
4 IB) ag DCH,
) (C8), Dj) Saan
5 i (2), NNT)
(29)”
A4) zo eg B, ) 6, (C's (D iad ares
(4 ee B 2, 0 (C B INA (D oe 140)’
A4) nt B) B, (CY if » D oe 1 (9)
Diagram VI.
Be C.D.
1 1
Ba À
(AB) (4d), , (AB) AN
40) Aar (4) (49).
ADA) Á D) AB)
(A9) (18)?
REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS.
(AB) (By),
(BC) (Bd),
(BD) (Ba),
40) (CB),
(BC), (Cd),
(C°D) (Ca),
1D) (DB),
(BD) (Dy),
(OD) (Da),
GB.) 4B We Der
(40) (@, ie LE OB),
(4D) @& ate (B ‘Db ah
(48), A) (Ba), B),
ay) (A) ra B),
(48) A) BD, B),
ABD
CARO
AD), EN AD) ED
(B C) (ad, (BO) (a 3),
(BD) (ay), (BD) ey),
(CD) (@f), (CD), @P),
(4) CD BO, es
(4) @y, B), EP
(AB) (72),
(AC) BD
(39)
ee
CMER B) ED.
EEE a JON
Car hac ED) BC oe ne
CA cut, ‘ea?
(AB) (Bd),
(BO) (Ba),
(BD) (By),
40) (C3),
BO) (Ca),
(CD) (CP),
(AD) (Dy),
(BD) (De),
(CD) (DP),
(AON By, AD) SD:
BO) (BDE)
(CD) (V5 (CD), @',)
(Cy), (C D (Da), (D ),
(CB). CC) (DB), D)
(C3), (CO) (Dy), D,
(AB) yd) AB) (79),
(23)
(4 C) KE (AC) (83)...
(AD) (By), (AD) (Br
(BO) (ad), (BC) (ad),
BD (ay), (BD) (ay).
(CD) (a8), (CD) (ee),
ae? D), (@d),
(By) ,), (Bd)
EE, D). (78)
ee ed
1(27)’
n ra 26)’
n 1(2 5)’
>]
(48)
>]
(38)
2)
,
(A4)
(13)?
20
. ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE
(Ca) (4',),
(Da), (A),
(Ba) (A),
(CP), (B ),
(DP) B),
(AP) (B’)
D (33)’
(By) (€),
(Dy ij: (C° e
(dy) (C’,)
D°(43)
(BS) (D),
(Cd) D's
(43),D,),:
, (By) (C,)
(Du) (4),
(Bu) A)
(Ca) A),
(DE) B)
(AP) B C Je;
(CPB)
(Dy) (C" ),
(AY) (Oyo)?
12)
(Cd DE
(AÌ ye OS ‘
(Bd) (D’,).
Diagram VII.
ne
)(B",)
0), ),
ONZ
ABe, ij:
(AB) (@, 05
(AC) (Y )
a (16)
(AD ) ( d a lop
(a) A’).
(a2) (B’ ),
(ay) (C’ ),
(ad) (D'
es)
(4) (2)
B) B),
(Co)
DE)
(2) (4),
7)
(B) B)
CARE “ 7) (C',)
6) D’,)
AO)
BOR >
2)
„ec )Cy )
(BD) (d',),
VA)
BVE)
(Py ).(C",)
CURE
(24)
(A) (5)
(37)
B B),
(C) (yg):
(2,),0",),
2) (4)
(B)
B),
dy
DD
ADE)
(BD) (BR),
(CD) (y,),
(CD) (9 ),
el) (45)
DB)
D (18)
(78) (C )
D’(26)’
( 7 ) DP dE ;
REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS.
AB) os ADs AD, (Ba), (By), BO
(Ce), (CB), (C),,, (De), (DB), Dy)
The following lines are all bisected
(4B) (79), LORD AD (BD
(BO)(ad), (BD)(ay), (CD(ap),
BO (ad), (BD)(ay), (CD (ap),
(AB) Cae (40) (Ba). (AD) (BD.
(AB) CLR (40) (25), (AD) (227
BD. (BD) (en, (CD) (ER),
(BC) (ad), (BD)(æy), (CD) (ap):
(6 February 1900).
(31)’
(4 B) (y). (AC) (fo) 10)’ (4D) (riz.
A. BOOLE STOTT, Sections of regular four-dimensional hypersohds.
Ee
Fig. 8.
(on half the scale of Fig’ 6 and 7)
AE
Térhand Hon Ald Wetensch. (I! Sectie) D1. VIL
er oren Leiden
3 , EN à
A BOOLE STOTT, Sections of. regular four-dimensional hypersolids.
PLII.
Fig 14 (IA, )
Fig 15 (IA,)
A°D
Fig.17 (15,)
Fig 20 (16, )
Fig 21 (L15)
Fig. 6 (140)
Fig 19 (IA, )
Verhand. Kon. Akad. v.Wetensch. (1° Sectie). DI. VIL
A.BOOLE STOTT, Sections of regular four-dimensional hypersolids. PL IL
Diag I
20
21
10 12 5
23
8 Ee
PER ie | |
Vérhand Kon. Akad. v: Wetensch. (1° Sectie). DL VII. JBytel, ath. PJ Mulder, urge Leiden
ed EE
ABOOLE STOTT. Sections of regular four -dimensional lypersolids. P Pl IV:
Diag. VI.
Diag: VIL ful \
43
=)
Verhand. Kon. Akad. v: Wetensch. (1*Sectie). DI. VII. JBijtel th PJ Mulder, mer Leiden
ABOOLE STOTT, Sections of regular four-dimensional hypersolids.
eee:
Dia 1g: VIIL
A
PIV:
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie).D1.VI.
JBitel th, PJ Mulder opr Leden.
Les hyperquadriques dans l'espace
a Quatre dimensions
(Étude de géométrie énumérative)
P. H. SCHOUTE.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)
Deel VII. N°. 4.
AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
Juni 1900.
Les hyperquadriques dans | espace
à quatre dimensions.
(Etude de géométrie énumérative)
PAR
PP. H. SCHOUTE.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)
Deel VII. N°. 4.
AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
L900.
(See. sa
rene À
sein,
Zn
oe
<
a
ie ns
x t ik
EY por w
3
H
r ze
_ 7 = .
ey
‘
#3
ns |
tete
: 4
ed
asen Ate wb
Ks
qv
4
+}
PALM
Us
ft
Les hyperquadriques dans l'espace à quatre dimensions.
(ÉTUDE DE GÉOMÉTRIE ÉNUMÉRATIVE) :
PAR
P. IH. SCHOUTE.
Dans un travail paru en 1894 dans le tome 45 des Mathema-
tische Annalen M. H. Scuvserr a développé dans toute généralité
les formules qui font connaître en un espace 4, à x dimensions
les nombres des espaces courbes du second ordre à p dimensions
satisfaisant à 2 (y + 2) — 1 p(p + 1) conditions simples. En parcou-
rant ce travail on ne sait pas ce qu'il faut y admirer le plus, ou
bien la conception ingénieuse de la théorie ou bien l’assiduité dé-
montrée dans l'application de cette théorie au cas » = 4, p — 8.
En effet, le mémoire se termine par un tableau de plusieurs pages
contenant les 344 nombres des hyperquadriques en Z, satisfaisant
à quatorze conditions simples, tandis que lévaluation du nombre
pris pour exemple donnée in extenso (pp. 197 et 198) exige à
elle seule environ une heure.
Par rapport à la géométrie énumérative des hyperquadriques en
FE, le mémoire cité du géomètre éminent de Hambourg forme le
couronnement de [édifice dont Cnasres, M. H. G. Zeurnen et
M. ScuuBerT lui-même ont posé les fondements. Dans son œuvre
trop peu connu ,,Kalkiil der abzählenden Geometrie” (Leipzig,
Teubner, 1879) le ‘dernier a déjà codifié les lois générales de cette
nouvelle géométrie et en. développé Papplication la plus complète,
celle aux nombres de quadriques satisfaisant à neuf conditions sim-
ples (comparez aussi le mémoire de 1870 dans le tome 71 du
Journal de Crelle). Mais il y a encore une grande distance entre
cette œuvre magistrale de 1879 et le. mémoire de 1894, parce
1%
4 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
que dans le dernier le nombre indéfini z des dimensions de l’espace
F, qui porte les figures étudiées, et le nombre indéfini » des dimen-
sions de ces figures entrent dans les résultats. On saisira la por-
tée considérable de ce progrès par l’exemple suivant donné par
ScHuBERT Fui-même. On sait que dans un plan donné (# = 2) il y
a une conique qui touche cinq droites données, que dans un espace
tridimensional donné (7 — 3) il y a quatre coniques qui touchent
huit plans donnés, que dans un espace quadridimensional donné
(n= 4) il y a vingt coniques qui touchent onze espaces donnés et
que le terme suivant de cette série de coniques est cent douze.
Mais la loi générale, d’après laquelle un Z, donné contient un
me er, 3)! .
nombre 0 aI de coniques qui touchent 3 2 — 1 espaces
nl (a — 2)!
f,_, donnés en cet #,, ne peut pas encore être devinée même,
si Pon ne sait que les nombres 1, 4, 20, 112 de coniques cor-
respondant aux valeurs successives 2, 3, 4, 5 de w. Et en ce cas
il n'y a qu'une inconnue # en jeu, tandis que les formules de
SCHUBERT en contiennent deux, z et p.
Quoique la géométrie énumérative des êtres du second ordre
en #,, est donc depuis six années une théorie tant soit peu ache-
vée, nous nous proposons de déduire dans les pages suivantes d’une
manière directe les nombres en rapport avec les hyperquadriques à
eux seuls. Si l’on désire se borner au cas z= 4, cette déduction
a bien des avantages sur celle basée sur les considérations beau-
coup plus difficiles du cas général d'un x” quelconque. Notam-
ment elle est plus simple pour deux raisons. Seulement une de
ces raisons est manifeste dans l'exemple cité: la peine de la déduc-
tion du nombre 20 des coniques en M, disparait en comparaison
de celle qui mène à la formule générale du nombre de coniques
correspondant à un # quelconque. Mais dans le cas des formules
de M. ScxuBerT une seconde raison s’y joint: la peine de l’éva-
luation ‚du nombre correspondant à des valeurs données de x et p
après la substitution de ces valeurs dans les formules. En vérité,
ces formules donnent les nombres en question en forme d’une
somme d’un grand nombre de produits, ce qui emporte deux désa-
vantages quand il s’agit d’un cas particulier # = 4. D'abord la
réduction de la somme au nombre cherché est un travail assez
ennuyeux; mais ce qui est plus grave, c’est qu'on obtient les nom-
bres cherchés sans indice d’une relation mutuelle, ce qui implique
que chacun de ces nombres exige une évaluation. Au contraire,
en suivant en 4, le chemin correspondant à celui que M. Scau-
BERT a frayé en Z, dans son œuvre de 1879, on obtient les nom
A QUATRE DIMENSIONS. )
bres cherchés dans leur dépendance mutuelle, ce qui abrège consi-
dérablement le travail.
Les instruments dont nous nous servirons dans ce qui suit, se
réduisent à deux principes fondamentaux, le principe de corres-
pondance de Crasums dans sa forme la pius simple et le principe
de la conservation du nombre. Pour faciliter la lecture de notre
étude nous donnons ici lPénoncé de ces deux principes qui forment,
en effet, la base de toute la géométrie énumérative.
Le principe de correspondance de Cuasies dit: „S'il existe une
Correspondance (%, 2) entre deux éléments a et 6 faisant partie d’une
„même série simplement infinie d'éléments, de manière que dans
„cette série il correspond un nombre m d'éléments déterminés a à un
„élément 4 donné et un nombre « d'éléments déterminés 6 à un
élément «a donné, il arrive m+ fois que deux éléments corres-
„pondants a et 4 coïncident”” Dans la forme algébrique suivante on
en intervoit immédiatement la démonstration: ,,Si les variables z et y
dépendent l’une de l’autre à laide d'une équation / (a, y) — 0, où
„fw, y) est un polynôme de lordre » en w et de l’ordre x en y, il
»Y a mt couples de valeurs correspondantes +, y, où & =.”
Le principe de la conservation du nombre peut être formulé de
la manière suivante: „St un nombre infini d'ordre de multiplicité
,p (p = 0, 1, 2, etc.) dépendant de quelques figures données conserve
„son ordre d’infinité p, quand on varie d’une manière déterminée
„les rapports mutuels de position de ces figures, ce nombre ne
„change pas du tout.” Ordinairement on en fait ressortir la signi-
fication par l’exemple très connu des deux transversales communes
de quatre droites en #, qui se croisent, où p—0; si Pon rem-
place ces quatres droites par deux couples de droites qui se cou-
pent, on trouve encore deux transversales communes, la jonction
des deux points d'intersection de ces couples et [intersection de
leurs plans. En dernière analyse la démonstration de ce principe
extrêmement fertile repose sur la possibilité de passer de la posi-
tion originale des figures données à toute autre position par une
succession de déplacements et de déformations infiniments petits.
La rédaction de ce travail nous a servi nous-méme comme sujet
d’étude de la géométrie énumérative; nous le publions dans l'espoir
d’éveiller Venvie de se familiariser avec les belles recherches de
M. Scuvsert, sans lesquelles — nous lavouons volontiers — il
nous aurait été impossible d'atteindre le but proposé !).
*) I est singulier qu'une traduction française du travail principal de M. ScHuBERT
ou bien la publication d'un travail analogue français se fait encore attendre.
6 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
1, Notations de la symbolique.
Par préférence nous représentons par 4 un point, par 4 une
droite, par ¢ un plan, par d un espace. De plus nous nous ima-
ginons que ces symboles indiquent en même temps une condition
simple imposée à la figure correspondante et le nombre de ces
figures satisfaisant à cette condition. Ainsi, s'il s'agit des points
d’une droite donnée, « indique que le point considéré se trouve en
un espace donné et léquation @=1 exprime qu'il y a toujours
un point qui satisfait à cette condition. De la même manière
b,c, d indiquent successivement qu’une droite considérée coupe un
plan donné, qu'un plan considéré coupe une droite donnée et qu’un
espace considéré passe par un point donné. Ces quatre conditions
sont en /; les seules conditions simples de position qu’on peut
imposer aux quatre figures élémentaires: point, droite, plan et espace.
Les conditions multiples de position relative s'expriment à l’aide
des lettres a, 4, c, d munies d’un indice. Ainsi le symbole a, 1m-
pose au point considéré la condition double de se trouver dans un
plan donné; l'identité a =a, exprime que tous les points qui se
trouvent à la fois en deux espaces donnés, sont situés en même
temps dans un plan donné, le plan d’intersection de ces deux
espaces. à
Par des majuscules nous désignons des éléments donnés; ainsi
A désigne un point donné, etc.
Voici le système complet des symboles avec les conditions qu’ils
représentent:
a | point d'un D),
6 | droite s'appuyant sur un C,
b, 4 par uns A;
5 , Sappuyant sur un Bb,
> 1
Ne MOET
b
b
Ds Ki ea. LD
ek > OC pat, Un) Aen,
bn A ATOS 2 PAP cae rs TE em PE
b, th , D, Sappuyant sur un B de D.
ce | plan s’appuyant sur un B,
Cy Par an,
Cy Ten LE
Col» situé dans un même espace avec un €,
~
A QUATRE DIMENSIONS.
c | plan d’un D,
c‚ | „ par un B, contenu dans un D par B,
Cn »2 2 9 À, LE) EE) EE) D 59 À,
A 1
en rens Aaike A ws » » même espace avec un C par À.
2. Relations entre les symboles.
Le tableau suivant classifie les symboles indiqués d’après le
nombre des conditions simples qu’ils représentent :
jee Gere Id
2. ENOR Cos Ge Ce
One: Ge 107, Oner (Cx, de
A. A DD
5 OSC
6. Droles
Entre ces symboles, leurs produits et leurs puissances il existe
un grand nombre de relations. Pour le point et l’espace ces rela-
tions ne sont que des identités bien simples; en effet nous avons:
Pour le point
Ine fie
DAE A,=a’,
Sake ie Wa
A. ASU
Pour Zespace
eee d,
2. d,=d",
Or d= dd, =a,
Agens ==. dd =d.
Dans les cas de la droite et du plan nous avons à distinguer
entre identité et cgahté. La relation 4} —=b, est une identité;
car chaque droite qui se trouve a la fois en deux espaces donnés,
se trouve de même dans un plan donné, le plan d’intersection
de ces deux espaces. Au contraire les trois relations 4° = 4, + bj,
bb, = b, + b., bj =6.+ 6, sont des égalités qui exigent une démon-
stration; on les obtient en appliquant d’une manière convenable le
5 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
principe de la conservation du nombre. En supposant que les deux
plans de la condition double 6° se trouvent dans un même espace,
le nombre quadruplement infini des droites satisfaisant à cette con-
dition se divise en deux classes distinctes de la même multiplicité
d'infimté, celle des droites qui s'appuient sur intersection des deux
plans sans qu’il soit nécessaire qu'elles se trouvent dans l’espace de
ces plans, et celle des droites qui se trouvent dans l’espace de ces
plans sans qu'il soit nécessaire qu’elles eu coupent lV intersection.
Encore, en supposant que Je plan et la droite de la condition
triple 64, fassent partie d’un même espace, le nombre triplement
infini des droites qui satisfont à cette condition, se décompose en
deux catégories distinctes d’infinité triple, celle des droites qui pas-
sent par le point d’intersection des deux éléments donnés sans qu’il
soit nécessaire qu'elles se trouvent dans l’espace de ces éléments, et
celle des droites qui coupent la droite donnée et le plan donné en
deux points différents. Et enfin, en supposant que les deux droites
de la condition quadruple 4%, se coupent, on trouve de la même
manière la dernière des équations mentionnées.
A l’aide des trois égalités fondamentales que nous venons de
démontrer, et de plusieurs identités évidentes on dresse sans peine
le tableau des relations entre les conditions à imposer à une droite.
Pour faciliter ce procès nous énumérons d’abord les différents sym-
boles 4 et leurs combinaisons, classifiés d’après le nombre des con-
ditions simples auxquelles ils équivalent.
w
oa
>
5
a
=
>
51 Obs G0; 10b 2 6°:
Be. Bibs, Be (00 ND NEED Ob ED
5 b | bby baba bb. babes bb. bb, bb”, bbb, bb? : bb, bb;
BB, 80,; U.
bo
6 B | bb bb, bb, bb Do ORDE he by, 020 bb, Dis bbs,
bbb, bbb bb,b. 00a0.: 0°0,, bh 00; ob Db
166,88; 5%, Og; B.
a?
A QUATRE DIMENSIONS 5)
On aperçoit que nous avons distingué les symboles en symboles
primaires b, b,,b,, etc. et symboles composés D, bb, ete. Comme le
er 02) 09) Up U
montre le tableau suivant les symboles composés sont des combi-
naisons linéaires des symboles primaires de même portée; nous les
classifions d’après la puissance de 4.
Droite
b.
b = b, dE by.
bb, == b, né b., bb, =e: b = b (b, “is ba) = b, + 2 Do.
bp = 6, + by, bb; = Ors by = bs bb, =0,, bb, = by =d, + 6,;
PSN ONO, Ore 0 Orb (Opt On) Oy — On Ors Oe
Gp 6,) =2 6, + 8 b,,.
bb, = 4, ae = 0, bib. =d 6,6;=6,; 66,=6,, 66, — bs 66, =
b(b.+ nae » 0d, a NEA ARE RN
BG bn = (b, i Daemen wor (Oste bk or DMO uO y=
DN ENEN
bb. — 0, bb = B, bb, = B, bib, = 0, 6,2=B, 4,6, = 0, 62 = B,
bi =B, 676,=8, 6,67=0,67=B; 66,=B, bb,6,=B, 6b,b,
bbs BOB; bbb Opb Bb 6, = ©, + 6,6,=8,
DUC CENT ND EN ESP AOC = bk Ob = Br bt
DUN NOEM (Oc 2000
NEN NS 1 IED NCPN DIE
(6, 4) =5 B.
A l’aide des considérations corrélatives on trouve d’abord le
tableau suivant des relations entre les conditions à imposer à
un
plan.
C |
|
a2
GRON
|
à à à C2 23
GERE CORNE Oe
10 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
2 2 2 i
Aseria | cite cave, 8 COYCES; sent ee KON Ge
EN One à 2 4 ? a, 2 2 2
9) Cs CaCa © jag les Clas Celo; Clps CC, Clq, CCates CC co CC C Ce;
5)
WN Od
Se BS 3
es Cas Ca Cos € Cor Cos WOERDEN
9 2 5 ‘
CC 05, COs; CEO VOC ROG. CCS, CCL A CON CN
5
dome et
IJ Y à
GE CAGE GLORIEREN Oe Calor €
Ensuite on obtient le tableau suivant indiquant comment les
symboles composés s'expriment à l’aide des symboles primaires.
Plan
DW via AE A, tin ae 3 erf. à = à Dp
ONGC, == Co by =Car Ces MC Oe. FC) =a Le Ce
2— h rf =e in à vj à VE en
4 Cy = Ch» Calc Cn» Ce = Cp + Cy; Clg = Em Ce = Ce = Cp de Cn 5
D aft 76 à
= (ca + Ce) Ca = % ag Cn C Ce = (Ca ste Ce) Ce = Co ie 2 Cn; ES =
2
(y + €) = 8 & + 3 Cn
— = 2
D|c Ca— 0, Cale = Css Cola = Cg, Cele = Cy; Cl — Css CC — Cs, Clg = CCS Cy,
à = == ye TEN 2p —(p DN a CRUE
ie met CCy Fi Css CC, = te En) ES 2 Cs; ( CT (Fon €) Ca Css C CE
= . Ba — (@ MN Ok eG IM
(ce; + 28) Ce Ti 2 Cs; C Co = (Cy Tee Ce) Cos 2 Cs C.= (C4 +e Ce) Ce re
Dies: Ce & ts ¢
6\¢ eo C6; oe 0, ee. = 0, ¢¢,=C¢7=C,¢,¢.=0,¢/=C, 4
¢7¢,= 0, ¢,c7=C, ¢F=C; ee,= C, ce,¢a= 0, coe, = C, ceta= CG,
COC.=C; eC Sts +6,) %=C, Ce, = (6, Heden, C62 =(C, Hed) Cg
=0,:c'e,6, =e) +¢,) ¢,0¢ = Crea? Se) + cof = 2; ec, =
(a+ Bede =C, Oe, = (C2 +26.) 20 de, = (2 Oy + B Oy) Oy
sath et, (ore Ne OA OG
A la plume courante nous insistons encore sur quelques uns des
résultats que nous venons de déduire.
On a 4,b,—=0 et 5,b,=0. Car en général le point donné 4
de la condition 4, ne se trouve pas dans l’espace donné D de la
condition 4, ou b,.
A QUATRE DIMENSIONS. II
On a bb =6,6.—0. Car en général la droite donnée B de la
condition 4, ne se trouve pas dans le plan donné C de la condi-
tion ‘4,
On a 6,6,=0. Car en général l’espace donné D de la ‘con:
dition 4, ne passe pas par le point donné 4 commun aux droites
qui satisfont à la condition 4,
Enfin on a 4 — B. Car la droite qui rencontre trois droites don-
nées, est en même temps l'intersection des trois espaces déterminés
par ces droites prises deux à deux.
Il va sans dire qu'on déduit les résultats corrélatifs c‚c,— 0,
ee, =0, ¢7¢,=6,¢.=0, ¢¢.=0 et c°=C d'une manière complète-
ment analogue.
3. Lieux géométriques en rapport avec les résultats trouvés.
L'énumération de tous les lieux géométriques en rapport avec
les relations déduites équivaut à peu près à Pextension complète
de la géométrie de position, comme M. ‘Tu. Ruyn l’a perfectionnée,
à l’espace à quatre dimensions et tombe donc hors du cadre de
ce travail. Tout ce que nous nous proposons ici c'est d’effleurer
légèrement les lieux géométriques les plus simples en rapport avec
lespequations 02 —2B, 0bj=2B, 0b, =2 8,64, =3B, = 5B
et les équations corrélatives, lieux géométriques que lon obtient en
omettant une ou plusieurs des conditions qui entrent dans le pre-
mier membre de ces équations. Mais avant d'y procéder il faut
que nous intercalions une couple de remarques.
D'abord dans l’espace ZZ a trois dimensions une courbe du
second ordre est plane, à moins quelle ne dégénère en deux droites
qui se croisent; car le plan mené par trois points pris au hasard
sur cette courbe la coupe en un nombre de points surpassant l’ordre
de la courbe, ce qui implique que ce plan contient la courbe en-
tière, si elle est simple. Un raisonnement tout à fait analogue
démontre qu’en M, toute courbe simple du second ordre est plane,
toute courbe simple du troisième ordre se trouve en un Zj et —
ce qui nous intéresse ici — qu'en Z, toute surface du second
ordre se trouve dans un Z,, à moins qu'elle ne consiste de deux
plans à un seul point commun. En effet, si 44, A, 43, À, sont
quatre points quelconques non complanaires d’une surface du se-
cond ordre, le plan © par 4,, 4,, 4, coupe cette surface en un
nombre de points non collinéaires surpassant l’ordre de la surface
et en contient done une infinité située sur une conique par 4,
Ay, As; ce qui implique que l’espace #3 par A,, 4, A3, À, coupe
3
12 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
la surface suivant cette conique et un point, et en contient done
une infinité double de points, etc. Ainsi l’ordre des surfaces qui
ne se trouvent pas en un Z,, disons l’ordre des surfaces tordues,
surpasse deux.
Ensuite, le coefficient de B dans le second membre de l’équation
dont on déduit les lieux en question, représente toujours l’ordre
du lieu, s’il s’agit d’une infinité de droites formant une surface.
Mais, en général cela n’est plus le cas, si le lieu est un espace
courbe. Ce point s’éclaircira suffisamment par les exemples que
nous rencontrerons tout à lheure. Qu'il suffise ici d'observer que
l’espace courbe qui est le lieu des droites satisfaisant à l’ensemble des
conditions #4, que l’on déduit de Véquation 6°4; = 2B en omet-
tant une des conditions 4, et de l’équation 0", — 3B en omet-
tant deux des conditions 6, ne saurait être à la fois de l’ordre
deux et trois.
Si le lieu des droites satisfaisant à l’ensemble de conditions p
admet g dimensions comme lieu de points, nous le représentons
par le symbole (p),. Seulement pour g < 4 ce lieu sera un lieu
proprement dit. Pour g=4 il passe un nombre fini des droites
du lieu par un point quelconque, pour 7 =5 ou g = 6 les droites
par un point quelconque forment une surface ou un espace courbe.
Ici nous nous bornons aux cas g < 4.
Orne:
En omettant successivement une des conditions 6, les deux con-
ditions 6 ou une des conditions 4,, nous formons les lieux (44°) »,
(6°,);, (6°0)z; nous les examinons l’un après l’autre.
L’équation 6°6%,=2B nous apprend que le lieu (44,7), rencon-
tre un plan quelconque en deux points. Done (64,7), est une sur-
face du second ordre; d’après la première des deux remarques
précédentes elle doit se trouver en un Z, Et, en effet, chaque
droite qui s'appuie sur les deux droites données B,, B, des deux
conditions 4,, se trouve dans l’espace D déterminé par B,, B; elle
s’appuie donc en même temps sur l'intersection B, de cet espace
et du plan C de la condition 6; de manière que le lieu (64,7), en
D est le système réglé (B,, Bo, B;) dont B, B, B; sont trois
directrices.
Le lieu (4); forme dans l’espace D déterminé par les deux
droites B, B, des deux conditions 4, la congruence la plus simple,
c'est-à-dire la congruence (1,1) aux axes B, Bs, et n’est donc plus
un lieu proprement dit.
A QUATRE DIMENSIONS. 13
Enfin le lieu (64); est en vérité un espace courbe du second
ordre. Car, si C, C,, B, A, représentent respectivement les deux
plans des conditions 4, la droite de la condition 4, et un point
variable de cette droite, le plan d’intersection des espaces (4, C)),
(4, C) porte un faisceau de rayons au sommet 4, dont tous les
éléments satisfont aux conditions posées; ainsi le lieu de ces droites
est en même temps le lieu du plan d’intersection des espaces cor-
respondants (4, C;), (4, U) de deux faisceaux d’espaces qui sont
en rapport projectif l’un avec l’autre, parce qu'ils sont en rapport
perspectif avec la ponctuelle (4,) des points 4, de B. Cet espace
courbe (4*4,); possède donc la propriété particulière de contenir une
infinité simple de plans.
B) ....06,—2B.
On obtient les deux lieux (4%), et (46,), en omettant suecessi-
vement une ou deux des trois conditions 4.
e lieu (4%), est le système réglé (B, B, B) aux directrices
L | b e/2 6 o 1 2 3
B,, By, B, quand ici B, est la droite de la condition 6,, tandis
B, et B; sont les intersections de l’espace D de 6, avec les
ue 6, et Bs sont | t t le | D de 6, |
plans C des deux conditions #4.
Le lieu (64,),; est en D la congruence (1,1) aux axes B,, B, et
done pas un lieu proprement dit.
OENE LEIEN
Ici nous avons à nous occuper des lieux (44), (bb,)3, (Os.
Le lieu (b°b) est le système réglé (B, B, B;) en D, où B,,
B, B, sont les droites d’intersection de l’espace D de 4, avec les
plans ©, C,, C des trois conditions 4.
Le lieu (6*5,), est en D la congruence (1,1) aux axes B,, B.
Enfin le lieu (64), est un espace courbe du troisième ordre. Car,
si U, CG, C, C, sont les plans des quatre conditions 4, un espace
quelconque D, mené par C, qui rencontre C,, C, C, suivant les
droites B, B, B, en contient une surface cubique, composée du
système réglé (B,, B, Bs) et du plan C,. En effet, un point quel-
conque A4, de C, détermine une droite unique faisant partie dw
heu (65), l'intersection des trois espaces (4,0), (4,0), (4,0);
done C, appartient une fois à l'intersection considérée.
C’est à ce dernier lieu que s'applique la seconde des deux
remarques précédentes. L’équation 4%, = 2B fait voir qu'un
espace D quelconque contient deux des droites qui satisfont à l’en-
semble des conditions 4‘; cela est en règle, car les quatre droites
d'interseetion de D avec les plans ©, CG, O5, C, admettent deux
14 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
transversales communes. Mais cela n'implique nullement que le
lieu (64), lui-même doit être du second ordre. Car l’espace D en
contient, à côté de ces deux transversales qui s'y trouvent en
entier, une infinité double de points d’intersection avec les droites
satisfaisant à 4%, non situées en 2. Un espace quelconque D coupe
le heu (4%), suivant une surface simple du troisième ordre qui con-
tient les deux transversales, voilà tout.
Il est intéressant à étudier la correspondance des points d’inter-
section 4,, 4,, A3, 4, d'une même droite variable .B, du lieu (6°),
avec les plans (,, C,, C3, C;. Les points 4, et 4, se correspon-
dent un à un; done la correspondance entre ces points est une
transformation de Cremona. Si B, et B, sont deux droites quel-
conques, la première de C, et la seconde de C,, on trouve que
deux des droites B, qui s'appuient sur B,, rencontrent B, eu égard
à l'équation, 80 —2B;;,donc, s1,4, décrit en .C, la. droite#;,
A, parcourt en C, une conique, en d’autres termes: la transfor-
mation de CREMONA est une transformation quadratique. Nous
cherchons les trois points fondamentaux du plan C, par rapport au
plan . C. Évidemment les points d’intersection 4,, et 4,, de C,
avec Cs et C, sont deux de ces points; car, par chacun de ces
points il passe une infinité de droites B, situées dans un même
plan, celles par A, dans le plan d intersection des deux espaces
(A3 Cy), (4y3 G), celles par A,, dans le plan d’intersection des
deux espaces (4,, C,), (4,3 OC). Et le troisième point fondamen-
tal est le point d’intersection 4,3, de CO, avec le plan GQ,
déterminé par les points d’intersection 4,,, 4,,, 4,3 des trois
plans CG, C,, C, pris deux a deux, chaque droite par 4,3; en
Cas coupant a la fois la droite 4,, 4,3 de C, la droite 43, A33
de C, et la droite 4, 4, de: Q,.
TL
dress BR:
Ici il s’agit des lieux (6%), (44); (643; dont nous n'avons à
étudier que le premier, le second figurant sous a) et le dernier
sous ”).
Si C,, C, O3 et B sont les plans des trois conditions 6 et la
droite de la condition 4,, il est évident que le lieu (4%), est en
même temps le lieu de la droite d’intersection B,, des espaces cor-
respondants (4,0), (4,C), (4,0) de trois faisceaux d'espaces
projectifs, où 4, est un point variable de 2, ces faisceaux d’es-
paces étant en rapport projectif Pun avec l’autre, parce qu'ils sont
en rapport perspectif avec la ponctuelle (4,) des points 4, de B;
ad
A QUATRE DIMENSIONS. 13)
ce lieu est donc effectivement une surface cubique tordue. Car un
espace D coupe les trois faisceaux d'espaces projectifs suivant trois
faisceaux de plans projectifs, et ces trois faisceaux de plans engen-
drent une cubique gauche.
D'après l’équation 4%, —2B une droite quelconque du plan
C, rencontre deux droites B, du lieu (0%); donc chacun des
trois plans ©, C,, C; contient une conique faisant partie du lieu.
La conique en C, passe par les points d’intersection 4,,, 4,, de-
ee, plan, avec C, et C,, etc.
Oe AN
Ici l’on trouve (4°), et (4), dont seulement le premier lieu reste
à étudier. D’après léquation 6°=5B la surface (6°), est du
cinquième ordre, d’après Véquation 6%%, = 3B chacun des plans
des cinq conditions 4 la coupe suivant une cubique. La cubique
en C, passe par les points d’intersection 4,;(4= 2, 3,4, 5) de ce
plan avec les quatre autres.
Les cubiques que nous venons de trouver, sont-elles des courbes
rationnelles ou des courbes dont le genre est Punité? Dans le
premier cas il faut que le lieu (4°, étudié sous y) admette un
plan double, afin que ce lieu soit coupé par un plan quelconque
C, suivant une cubique a point double. Mais il est évident que
le lieu (64); n'admet pas de plan double. Car la supposition qu'il
en fit autant, implique que chaque espace couperait ce leu suivant
une surface cubique, tandis que nous avons déjà remarqué que
chaque espace 2 mené par le plan C, en contient le plan ©, et
un système réglé tout à fait indépendant de ce plan. Donc les
eubiques dont il s’agit, sont des courbes du genre |.
Résumé. Les lieux nouveaux qui se sont présentés, sont (6°b,)3”,
(0.7, (44), (6%, où les petites chiffres en haut indiquent l’ordre.
Nous y ajoutons tout de suite les enveloppes corrélatives (¢°¢,),”,
(c je (Pe)? 4 Gy :
1. Combinaisons simples des éléments.
Nous considérons maintenant quelques figures assez simples qu’on
obtient en combinant deux, trois ou quatre éléments différents
d’une telle manière que tous ces éléments se portent l’un l’autre.
La figure la plus simple de cette catégorie est composée d’une
16 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ ESPACE
droite portant un point; nous la représentons par le symbole (a, 4),,
en indiquant par Vindice 7 qu'elle peut satisfaire à sept conditions
simples. En rapport avec cette notation nous disons qu’une combi-
naison est à indice p, quand elle peut satisfaire à p conditions
simples au plus. Ainsi Pon a trois combinaisons binaires à indice 7,
trois combinaisons binaires à indice 8, quatre combinaisons ternaires
à indice 9 et une seule combinaison quaternaire à indice 10; ce sont
(ab), (ad), (cd),
(ae), OC OA)
(abe), (abd), (aed)o, (bcd)s,
(abcd).
Nous les examinons l’une apres l’autre, d’abord pour nous
exercer dans l'usage des relations trouvées au numéro 2 et ensuite
comme introduction aux combinaisons à répétition qui suivent dans
le numéro 5.
).... Les combinaisons binaires.
a. La figure (ab), admet la formule de réduction ab = a + 6,.
En effet, si l'on suppose que le plan C de la condition 4 se trouve
dans l’espace D de la condition a, on trouve que le système
quintuplement infini des figures (ad), qui satisfont à la condition
double 44, se divise en deux classes différentes. Une de ces classes
consiste des droites 4 qui coupent D en un point quelconque de
C, ce point y figurant comme point a; ces figures satisfont à la
condition 4,—4. L'autre classe comprend les droites en 2, le
point d’intersection avec le plan C faisant emploi de point a; ces
figures satisfont à la condition 4, En écrivant l'équation démontrée
dans la forme @— 4h —4, on voit tout de suite qu’elle nous
permet d'exprimer les conditions 4°, a’, a‘ par un ensemble de
conditions ne contenant qu'au premier degré la condition a. Ainsi
l’on obtient:
Dab
a, =a’ =a (ab—b,) =b (ab—b,)—ab,, = a (6°—b,)—6 6, = ab,—4, ,
A =a‘ =a(ab,—4,) = b,(ab—b,,)— ab, = a(bb,—b,)—6,b, = ab, —6,,.
Done on trouve pour les combinaisons completes des symboles
primaires :
~
A QUATRE DIMENSIONS. 1
OB
Pb, = (ab — b,) b,=1,
ab, = (ab, —6,) 6, = 0,
db, = (ab, — 6,) b,, = 1,
ANNA
Ab, = (ab, —_ 6) 6, = 0:
Ces résultats très simples nous suggèrent une remarque qui nous
sera utile. Tous les symboles se réduisent à deux termes dont le
premier contient « au premier degré, tandis que le second ne con-
tient que des conditions se rapportant à la droite 6. Eh bien,
aussitôt qu'il s'agit de la détermination d’un nombre fini de figu-
res le second terme s’annule, parce qu'il impose une condition sep-
tuple à la droite 4 qui est de l'indice six. Ainsi dans le cas de
ab, le terme 6,4, disparait, etc.
Il est inutile de faire connaître tous les autres nombres. Donc
nous ne mentionnons que les combinaisons pures de puissances
al = 5 aB = 5, db =5
Ch =o (205 +30) — 3,
Go AND
a. La figure (ad), wobéit pas à une formule de réduction.
On n’y rencontre que les deux ensembles complets «°D, dd’, cha-
cun desquels est égal à unité.
ds En #, la figure (cd), est la figure corrélative de (ab); On
a donc:
dd ed er d, =d =cd—e¢,, D == td — on,
OE NORA = or Die) — 0),
od =), ed? = 5) cd? = 8, edt = 1.
a La figure (ac) donne lieu aux combinaisons complètes
a,C, ac, Ac, Ac, de symboles primaires. Elle n’admet pas de for-
mule de réduction, ce qui n’empèche pas qu'on trouve immédi-
atement
DRONG — 1 746) 10
et donc aussi
3,0 5 4,4 9
> A F
° GSD CCE Se
DOES
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (2e Sectie). Dl. VII. Dez
18 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
Nous y ajoutons
OO Cpl atC Oy CC),
!
dec, Omen eol
. Q \ 2
ce qui nous sera utile tout-à-l’heure.
as. La figure (4c), admet les combinaisons complètes de sym-
boles primaires
Y 1 à a 5 À
b,€, baC > Osea bibs ? bv, Ole. DAC be, ’ bea b.Ce > Beg Be,.
On trouve sans peine les deux tableaux
(OS Bee EC She?
De OSE bic = = he.
be = 0, be, =l= bps ben = 0
et
Ce =o (brb Webe
Ge O96, E26) EMOQ = Te
be =(2 6, + 2 6,) ce, + 3 ¢,) = 12
I
qui s'accordent avec la loi de la dualité.
En supposant que le plan C de la condition 4 passe par la droite
B de la condition ¢ on trouve la relation dc = 4, + c.. Elle mène
aussi aux nombres 4”, etc. que nous venons de déduire. Ainsi
l’on a:
hick Es by. + 4 by Ce Ti 6 On oe + 4 b, Be at Ce
ce qui fait retrouver la valeur 12. En effet, d’abord on a 6,4= 0
et c*—0, les figures 6 et c Windice six ne pouvant pas satisfaire
à un ensemble de huit conditions simples. Ensuite on a 6,2 ¢,=
Be, = 0 et b,c? = 6,C = 0, parce que la droite B de Be, ne recontre
pas le plan C de la condition ¢,, ete. Et enfin
bo? TE (b, ae b,,) (c, + Cy) SE 2.
a. La figure (4d), est en MW, la figure corrélative de (ac)s. On
a done:
Bd, 215) ile Denen
d*=2, WAB, Wd? =5.
A QUATRE DIMENSIONS. 19
f)....Les combinaisons ternaires.
BR, La figure (abc), est soumise aux deux relations
be = b, + Co
des trois éléments a, 4,c. En les combinant on
à Véquation 6’ = 4, + bj, la formule
ab =a? + ba,
contenant deux
trouve, eu égard
DV (a + ce) (ae Fe),
qui permet de transformer tout ensemble 474% (p + g + r < 10)
à une forme linéaire en 4. Seulement nous supprimons ici les ex-
pressions qu'on obtient pour 4°, 6%, 4°, 6° à l’aide de cette formule,
d'autant plus que ces expressions vont paraître ailleurs (voir le
numéro suivant). À leur place nous donnons ici les deux tableaux
suivants qu'on dresse sans peine:
Bb = 1 ape — | dhl GB C0
Abc, =0 dhl aba] OG — 0)
Zoic, = 0 abio =1 #06, = 1 OS ON
cn aber 0 AMOR TAC,
Hoc, 0 deer = 0 an = 0) Cb Cul
Bibi — 0 Cig =d D EN RER EN)
ADC. == ab — 0 aan G06) A
Abc, = 9 út =" abies" “ben El
Ap.c, = 0 20,6, = 0 aba 1 ab, 6, A0
Abie, = 0 ale =) aba 0 aber 0
Pipe. —0 dh ed abo Über
Abc 0 be) =d PAROI abc, =
Pit. alien = 0 dhe = 0 aBe, =0
Abc —2 Ce EU Coe = 10 Woe = 0 0)
Abc = 2 PRE =6 | act= 12 abc — 5
oc — 1 dhg = 3 ioe — 10) abe — 12
Abe =0 GONG =o) Gg — 10 omst)
abe — 5 he D PM |) ONS
Nous remarquons que la quatrième partie du premier tableau
s obtient
B “Pour
la figure (abd),
à l’aide des douze nombres donnés sous a.
on trouve les deux tableaux:
| 46D =0 Abd? =1 Abd =0 abd? = 1
Ab, d° — I, Abd’ = () ab, D = | Ode pee 1
Mid = 0 \ Abd 0 |. ah, 0 ABO
LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
Ghat aM Goel) Sad abide | ab,D =0
aha — 0 abd Bd =) | abd
240, 0 | a0, Did adsl
AD =0 | 4D =1 go Dd ab D =2
ze aod’? =3 abd.= D abd? = 5
Abd Sal Coat = 3 abd? = 5 abd? = 5
Abd =0 abd =0 ahd = 0
Nous remarquons qu'ici toutes les combinaisons où d figure a la
première puissance disparaissent, l’espace d exigeant encore la con-
naissance de deux de ses points quand la droite 6 a été déter-
minée.
parer 5.
Ps et
Pour la dernière partie du premier tableau on peut com-
2, Les figures (acd), et (bed), sont en M, les figures cor-
rélatives de (abd)o et (abc), etc.
y)....La combinaison quaternaire.
Pour la figure (acd), on trouve sans peine, même en s’abste-
nant de
suivants :
Ab,c,d’=0=a"b,c,D
Abed =O be P
Abic;d =0=40,6)
Abed = V—=ab,c)
Abjcd =V=—abic,D
Abzesd =0=ab,t,0
| A0j;ed* = Va" bc, D
ea
dbe,d. =l=ab,ed?
acd la bed.
abad =d hed
abe =Qs=abed
dojo =) 4 berde
db ed =) =a behe
6b 0,0 =O =atb ed?
l'emploi de toute formule de réduction, les deux tableaux
AbcD =0=AbcD | Ab,cd*? =0=a'be,D_ abe. d=l a bee
Abe d° =V=@6b, cD. \Ab,c.d =1=ab,0,D | a°b,¢,¢ — 12600080
Ate,@ =l=ab,eDd | Ab,c,d =0=ab,c,D | a°b,c,¢d =1 aby
Abed =0=0@b,cD | Abed =0=ab,6,D. a bied =1 abe
Abe, =\=a@b,cD \Ab.c.d =V=ab,¢,)..\.a°b,¢,d.= 1—ab ae
Abed =\=ab.cD Abed =O=abe,D |a bed == = 476700
Abed =0=ab,cD \Abscd =O0=abe,D . \ad'be.d=\—a bren
Abjed® =Ve@ic,D \a@ bed =l=—abed ja bed — VSa oie
Ab ed =0=a'be,D | a bed =l=@b ce a boord — 40700)
Ab,c.d’=0=@b,¢,D \a°be,d° —V=a'b cd Va bied —0 aoe
Ab,¢,@=1=a'b,¢,D|\ @be,d =l\—a*t,ed’_\a°b.¢.d Sl abe n
abcd =0=abiew
ab.c,d = | abies
@b,cd? =0=a' bard
abcd AE a bend
ab ed Oak ed
db e.d OS aber.
| a bac, = | Sdbje d?
na un
es
A QUATRE DIMENSIONS.
med =) ab oden ta bred Aanb ord” \a"b,¢,d = 0'=ab,¢,d"
BEN —O—ahe,d vrabed Va he da Bed =0=abCd*
Belde bc | be, dE ab; ed ab 0d =0 =aBe,d
bede 1 SaBede vabrerd Vat erd \ab,0d =l—dBed
RN —@ 0.0.0 bed abe de \ab,c,d =—O0=ab,c,d |
Bla bc d'a berd =\=ab,¢,4 \ab,¢,@ =\—ab,c,d
“bee, = 1 —a bed” | BC od? obd Oale d
Meede ET T0 | bic dab dat. 000.04
PPT abe dea ed 0 abc, d | es ill) Zn
Dal abz0, dab ad —ab.c,d°
sa
BOND bed abe d —\l—ab,c.d°
sa
AS
AbeD =0=AbeD |\abd: = 5— bed? | bd = 5—afcd?
Abe d° =1=00R¢D \@bed = b=ab ed? \a be d?= 10 =d bed?
Abed” =2=a@6' cD eed Oad a bed = lab ed
Abe'd =2=alteD | bPd= 1=a Pelle BPP =12=CR Ea
Abecd? — la be’ D a bed =\0=ab'e'd? \a cd —12—=ab ed?
Ab ed=l=a be DBE = 6=0CV ECR Cbd =10=ab ed?
Abed =2=aP 2D Pod = Oa Pd? Ed = 5=ab ed?
Ab ed? =1l=a be? D bed? = 38=Cb6 Ada be d= O—abed?
Abed —=1=ab D \Cbied = Zabel d? |ab Pd =
Abted =O—abD \d ed = 0O=ab dd \aPed = 5=abed
abd? =3—a bed? | bd = 5=C0 cd \abtc'd = 0=abicid
De ces deux tableaux le premier contient 163 et le second 62
nombres en rapport avec la figure (abcd).
Nous rappelons que les nombres 474%"d, (p + q +7r=9) se dé-
duisent de £,, etc.
5. Combinaisons a répétition d'éléments,
L’étude des figures (aabe),), (abRc),), (awhed),,, (abRBcd),,, (aabeyd)ss,
ou 2, 2, y indiquent respectivement un second point, une seconde
droite et un second plan, nous fera connaitre des nombres qui nous
seront utiles prochainement.
CAE CL TAN
Considérons d’abord la figure plus simple (aal), qui consiste
d’une droite 4 portant deux points a, z. Pour elle on a, eu égard
aux formules de 4a,:
22 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
a= ab—b,, | ata — aab,—ab,, ;
ig ee
a a = aalb, er b,) ad ab, LE a(b,+6,) +4,,
3
a — ab, Fo b > € .
da — ab a da = aah, — ab,
= aab—ab,, sey re ee B
an —aalb. +6) — (at 4) b, + B,
lik
{== ab, ra bn ? d'où — anh. — ab,
at = axb,—«b,,
aa =aab,+6,)—(4+2)6,+6,, arab,
Ici s'applique encore la remarque de 4w,: Dans tous les cas,
où il s’agit de la détermination d’un nombre fini de figures, c'est
toujours le terme en aa du second membre qui donne à lui seul
le résultat entier. Dans ces cas on ne garde done que
D} h | € :
d'au = 086 le, d'a jh, = ae bij, | ap, = au(b, + 06,4),
€ . ) | A 4
aa ja, = aa by fey, (aam; = ach, + 6) | dap, = aadje,
9.6 | 4.2 hk
dap, = aah, + bi), |A Uk) = aab,, ae = ab,
où #; représente un ensemble de conditions imposé à 6 équivalant
à 7 conditions simples. Et alors le nombre des figures est égal à
celui des droites satisfaisant aux conditions bj’, b,4',...B impo-
sées à 4, les facteurs 4,4 déterminant les points 4,2 apres que la
droite 4 a été trouvée.
A Vaide de ces formules on évalue sans peine tous les nombres
en rapport avec les figures (aab). En deux petits tableaux nous
en réunissons deux catégories distinctes. La première catégorie
se compose des nombres a””b?, où pi + Ps +g—8; nous les
donnons sans coefficient binômial, c’est-à-dire dans la supposition
que les p, espaces par a, les y, espaces par a et les 7 plans de
la condition 4% ont été indiqués séparément. La seconde catégorie
contient les nombres 4/47, où p + —8; on les obtient par Pad-
dition des nombres constituants a”5!, chacun de ces derniers
étant multiplié d’avance par le coefficient binômial convenable. Pour
en faciliter la composition typographique nous y remplaçons les
symboles a?:a”b4 et a’b" par (pipag) et (pg), en ayant soin d’intercaler
le zéro aussitôt qu’une quelconque des quantités p,, p,, p, g S’annule.
Nombres a@”\2!*47 — (p;p2q).
(440)=1, (422)=1, (332)—2, (814)=8, (215)=5,
(431)=1, (418)=1,. (323)=3, (224)=5, (116)=5.
Nombres a” "#0! = (pq).
(80) = 35, (71)=35, (62)=85, (53)=35, (44)=27,
(GB) lb:
A QUATRE DIMENSIONS. 23
L'exemple suivant montre comment s’obtiennent les nombres du
second de ces deux petits tableaux. En désignant par 4, et 4, le
premier et le second coefficient binomial de puissance 4, on a:
(44) == 4 (314) + 44 2 284)
=(4,@a+14 4,0°a")\h' = | 4b, + 36, + b,)| 0° = 27 B.
Done (44) = 27
Passons maintenant a la figure (aabc).
combinant les résultats que nous venons de déduire a ceux de
ELC
Pour elle on trouve, en
Aa, les deux tableaux suivants:
Nombres a”*b!c" = (pypoq’).
402) 1 (A123) = 253214) = 7 | Goa lO elon)
Gai) — 1) (A114) = 2 (8205) =5 (2224) = 12,2116) = 5.
(4303) = 2 | (8322) = 2 | (3142) — 3 | Gee Ly == Os CLG TR)
(4222) = 1 | (33138) = 4 | (8133) = 6 | 2206)= 5) (1153)=10
(4213) = 2 | (3304) = 5 | (8124)=7 | Q152)= 5/|(1144)=12 |
mes) — 2} (6232)— 3 | (8115) — 5 | 2143) — 10 (1135) = 10
Gitar) 1 | (3223) — 6 | Q242)=5 | (PAPE EN EAA PO ES
Nombres a: 24% (pgr).
(802) = 35 | (604) = 80 | (442) = 27 | (52) = Lorn(262)— 5
ee i— 35 | (od2)= a0 (4388) 54 | (34 2) 9801 (293) = 10
Gila) — 70'| (5238) ='70 | (424) = 64 | (334) = 36 | (244) =12
(oe2) = 35 | (514)= 80 (415) = 50.) (3825) =30 | (2385) — 10
Oren) 170) (505) — 50 (406) = De (816) = 151.2216) — 5
Nous remarquons que tous les nombres (pgr) où p <2 our<2
disparaissent, et que les nombres (pg2) et (2gr) se déduisent de
ceux des figures plus simples (az), et (dc)s.
Éd
D’après le numéro 42, nous avons ici:
. (abc) io.
Ba + c)— (a + 0).
P—b(8ac+c)—(a+c)(& He),
PB —bB(a+c)—B(a@ +e).
=b(a+e)[2c,—(a—c)?|—(@ +e) (Lac + c),
PR =bO(Zae +e) — Pla +0) (a +e),
\
24 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
PO =bp (a+) — (0 +) (a +0) (a° He) + (a +e).
b=b ((at [2e —(a—c)] — (@ +e) (Lac + c,) } —
(a Hc) (a +¢,)[2¢,—(a—o)”],
DR =bB(a+0[2c¢,—(a—o) |--B(€ +e) (Zac + c,),
BR? —bB (a +) (Lac He) — 6(a + ¢,) (Bac + ¢,) — BR (a+ (a? + e) +
(a+ c)(& + c,).
b°=b(a te) (Zac +e)[Lac + ¢, — 2 (a + c)] —
(a°+ c,) [(2ac + ce) a +0)" (a + c.)],
PR =bB (a+) [2c,—(a—c)]— (a + c,) (Lac + e)} —
Plat) (a He) [2¢,—(a—e)’],
BR = 08 (a +) [2c,—(a—c)]—6(a +0) (ad +e)[ 2e, (a —0) | —
B(a+c)(a +e) (Lac + ¢,) + (a? He) (Lac +e),
DR — GR (2ac + c,) —(b + BP) (a + c)(a° +e) (Lac + ¢,) + (a+ (ate).
Par multiplication on se forme sans peine les expressions analo-
gues pour
BR, DE, bg . jd Cee ges bip : Op, bis: bp, bp; Hp : GE
Et quand il s’agit d’un nombre fini de figures (abc), on en
déduit, y, représentant encore un ensemble de conditions équivalant
à 2 conditions simples:
PR pr =P (a +) pr,
DR mo AB (ac + ¢,) fai»
PR = bp (a+ c) fae,
DR mba + [2e — (a — | us,
Op, = OR (a + 0) (Lac + e) fas,
PR a, =0B{(a + 0) [2c, — (a — 0] — (a + c) (Lac + ec) bas
Bi, = 58 (a + 0) (2, (ad Tu,
Du, = (Zac + Ca)” Ja,
BR u, bla + ©) (Zac + ¢,)[2ac + ¢,— 2 (@ +e) | paz,
DB p= be (a + e) {Ca + OP [Le,—(a— | (a? +) (Lac + cg} paz,
DO p= bla +) (Zac + e)[ 2e, —(a—c)] bs,
DP — 08 (a + (Zac + e) [Zac + e, — 2(@ He) | peo,
De ny. = be (Zac +¢,) a + [Le (a— | (A + €,) (Lac +e)} Hos
Ou, = O68 (a + [2e —(a— Two,
OR, =b (a+ (Lac +e) [Lac + ¢,—2 (a +e) by,
bp, = bela +) [2¢,—(a—0”] {la + OP [2e — (a — 7 |—
(a? He) (Pac +e)} ba,
Ri =bR (ato (2ac He) Le, —(a— of |[Lac He, — 2 (@ + c)],
OR? =b2 {(a+c)[2c,—(a—c)]- (a +e) (Bac +. ¢,)}?.
A QUATRE DIMENSIONS.
es
(SL
Ainsi l’on trouve les deux tableaux suivants :
Nombres ab SEE == (por).
(4330) = 1 | (3223)= 9 | (2314) = 12 |( 25 | (0541) = 25
(4821) = 1) (3214)= 7 | (2224) = 17 | (1423) = 22 | (0532) = 20
(4312) =11(3115)= 5 | (2215)= 10 |( 12 | (0523) = 10
(4222) = 2 |(2530)— 5 | (2116) = .5 | (1333) = 28 | (0442) = 29
)
5
)
|
|
|
Gel) — 2: (2521) = (1630) De LILA — 22) (04338) ZA
CA 2 | 2512) — MODS 5 10315) = 100424) — 12
(8430) = 3 | (2440) = (61.2) 5 (i225) = 15 0334) 20
Peer ay (243) — LS 40) 5) (1216) — 5 | 325)=— 10
Pe ed) | 2A29)— 13 0531) = Lbr (0640) = 15 ).0226)=— 5
( Abs) — 10) 522) == 15") O63) — T0
ee |) (2332) — V7 | (ols) = 10 1(0622)— 5
EDEN 18 | C44 y= 91 | (0550) = 15
|
—
—
Ÿ
©
Or
Ww
|
Nombres gp € — (pgr).
(460)= 10|(352)= 85|(253)= 230| (163)= 670|(073)= 1050!
451)= 10((343)= 511(244)-— 99) (154)= 280/(064)= 380
(449)= 10/(334)= 21/(235)= 30| (145)= 85/(055)= 100
BBD 6/825)= 51226 5 (136)— 151(046)= 15
(424)= 2]|(280)= 595 |(190)= 2310 |(0,10,0)= 6300
(370)= 105 |(271)= 490/(181)=1715| (091)= 3990
(B6D= 95 | (262)= 395 (172)— 1225] (082)= 2275
WS On a
Dans le premier de ces deux tableaux on a supposé 4 > @»-
Alors les nombres (pg;gsr) qui s'annulent ne satisfont pas au com-
plexe de conditions:
p < 4, LO <0;
Da RS ptr<8, atr<8.
Et dans le second nous avons été obligé d’écrire (0,10,0) avec
des virgules.
OGEND
Les nombres (ata'-b!c"d*) se déduisent de ceux de la figure plus
simple (aac) à l’aide des relations générales
(aambie'd ij = (aardt ho, Pi + Pa + Q + r = 10,
Ghana bie gy. PDE ie gr 9,
Barve d= (Cahbec i, pepe tg ETES,
(abcd), (abe ND + Pat gtr 7
26 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
Ainsi, dans les cas s=1 et s=2 on n’a plus rien à calculer,
tandis que pour s=3 et s=4 les derniers deux tableaux de 5a
ont besoin d’être complétés.
Bouts
d’abord pour 7 — 0 la figure (aes), comprise en (aabed) est déter-
minée, et en général la droite B de cette figure plus simple ne
rencontre pas le plan donné C de la condition c,; donc les nom-
bres en rapport avec la supposition 7 = 0 disparaissent. Et ensuite,
pour 7=3 et r —4 les relations identiques
3 nous nous occupons des cas r=1, r=2. Car,
ROG MAC, ren MRE tio aie.
ramenent à l’avant-dernier tableau de 5a.
A l’aide des neuf formules de réduction de 5%, des relations
entre les symboles 6, des relations entre les symboles ¢ et des
nombres de 4x, on trouve sans peine
ADD =D rc = bc Tr ¢,) =a
a folate. sal ve, (eos ve tej ats Katie ie Pela) kern nine) fai) eux
etc., ce qui donne
(4801) ¢,=1 (8302) ¢, =: (2222) e, = 7
ASIN EMEA (3221) ce, — (2141) 6, = 5
(4202) ¢,=1 (8212) ce, = A (2132) ce, = 7
CSD) Gielw = (1151)¢,=5
(4112)¢,=1 (3122) ce, = 4 (1142) e, = 7
(8311) e, — 2 (2231) c, = 5
Pour s=4 nous pouvons emprunter les nombres en question
aux résultats connus de Vespace tridimensional; car on a
(aPraP:be dj = (aab"e"),
où les indices à gauche indiquent le nombre des dimensions de
l’espace support. Seulement nous préférons à en insérer la déduc-
tion. Pour 7=0 les nombres disparaissent comme tout-à-l’heure,
et pour r—2 et r=3 on a
DOL == Ge =a i a So"
done nous nous occupons du cas > — 1. Nous trouvons que la con-
dition c, est incompatible avec a‘. Donc les nombres qui ne s’an-
nulent pas, sont
A QUATRE DIMENSIONS.
(BBO Ml,
B De, = 1,
En combinant tous les résultats nous trouvons le tableau
où e représente la fraction
ED
2221) « =?
Cy == delig
18
(21381) c, = 2,
He, 2.
Nombres a! a! 0! C° d° = (py pa 475).
(44021) = (44012) =
(43121) = (48112) =
nen
(42221) — (42212) =
(42131) = (42122) =
(42041) — (42032) =
(41321) — (41312) =
(41231) — (41222) =
Gal) = (4132) =
(33221) — (33212) =
(33131) — (33122) —
(33041) — (33032) =
(32321) — (32312) =
(32231) — (32222) —
(32141) = (32132) =
(32051) = (32042) =
(i421) = 3141/9) =
BIES) — (31322) =
(31241) = (31232) =
Gill) — 31142) =
(22421) = (22412) —
(22331) = (22322) —
(22241) = (22232) —
(22151) = (22142) —
(22061) = (22052) =
(21521) = (21512) =
(21431) = (21422) =
(21341) = (21332) =
(21251) = (21242) =
(21161) = (21152) =
(11621) = (11612) =
(11531) = (11522) =
MAA (11432) =
(11351) = (11342) —
(11261) = (11252) =
(48013) = (4301)¢,—
(42113) =(421l)¢= 1
al (42023) =
| (41213) =
2 (41123) =
| (83113) =
2 (33023) —
2 (32213) =
| (32123) =
2 (31313) =
2 (12920)
2 (22313) —
| (22223) —
5 is
3 (21323) =
6 (11513) =
et) Cl AR
D | (32033) =
oy il ES
6 (22133) =
it (ONE
5 (11333) — 3
5 22048) = "5
10 CAS)
12 (11243) =
10 (33014) =
|
5 | (82114)=
5 (31214) =
10) A2
120 (21314) —
10 | 1414) =
ROULE
5 (31124) =
10 (22124) =
12 (21224) =
10 (11324) =
5 (22034) =
1 (21134) =
(11234) =
(4202) ¢7— 1
(AD Test
(41 12e, —1
(Belly ea
(3302) ¢,=3
(S221)¢,— 3
(G22 ie, — A
(Sai erie
(8122) ce = 4
(231) c=)
(2222) cei
CAE ND
(ALS)
Ge
QU PA
3e(3205 1) = 3
seo bol) =3
= 3¢(22151) = 6
ee
ACS) 26
e(22061) = 3
3e(21161)=3
311267) — 3
($301).¢,= 1
CE
(onto) Gel
CPE
CED Ah Ps
CMP ER
e(32051) —1
ACIIEASESS |
de
e(21251) = 2
(11351) = 2
e(22061) = 1
e(21161) = 1
e(11261)=1
suivant,
28 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
A Vaide de ce tableau on trouve les
Nombres a” °c" ds = (pqrs).
| (8021) = (8012) =.35 (5213) = 35
| (7121) =(7112) = 35 (5123) = 45
(7031) = (7022) = 70 (5033) = 30 |
(6221) = (6212) = 35 (4313) = 27
(6131) = (6322) = 70 (4223) = 37
(6041) = (6032) = 80 (4133) = 30
(5321) = (5312) = 35 (4043) = 9
(5231) = (5222) = 40 (8418) = 15
(5141) = (5132) = 80 (8928) — 24 |
| (5051) = (5042) = 50 (233) — 18 |
| (44.21) = (4412) = 27 (3148)= 9 |
| (4331) = (4322) = 54 (2513) |
(4241) = (4232) = 64 OLENE |
(4151) = (4142) = 50 CABANE |
| (4061) = (4052) = 15 (2243) = 3 |
(3521) = (3512) = 15 (6014) = 10
(3431) = (3422) = 30 Bld A=
(3341) = (3332) = 36 (5024) = 10
(3251) = (3242) = 30 (4214) = 10
(3161) = (3152) = 15 (112,4) = 1,0 |
(2621) =(2612)= 5 (4034) = 3 |
(2531) = (2522) = 10 (BS14) 6 |
(2441) = (2432) = 12 (3224) = 6
| (2351) = (2342) = 10 (Glen 3
(2261) =(2252)= 5 CAE A
(7013) = 35 (2324). — 2
(6113) = 35 (2234)= 1
(6023) = 45
0... .(abBcd),,
Les nombres (a’b"B"c'd*),, se déduisent de ceux de (abe) au
moyen des formules générales
(abu Reed yy, = (AP bUBtC)y,...-.. pO tg+7=10,
(abc dj = (bb, .::.p+ + g+rT= Y,
(abu Bred), = (a BH cc"), --.. PEUNAEG+tr= 6,
(aPbUR cd"), = (a be," , --.. PF +ET—= 4.
Done les nombres (abf@cd),, sont connus pour s = 1,s— 2. Nous
avons encore à étudier pour s = 3 les cas r —0,7r=— 1, r=2 et pour
A QUATRE DIMENSIONS. 29
g=4 les cas r=0, r — 1. Car, comme en dy) les cass — 3, r = 3
et s=3, r — 4 et les cas s=4, r=2 et s=4,7r = 3 se ramènent
a des nombres (abc), à l’aide des relations
DEN TC, Dee — DC,
Dec ce 5e = «€.
Nous dressons donc, à l’aide des dix-huit formules de 52) et
des résultats
ac’, | , acre, =. 3 : ddie, = 2 3
4. 3 9 CRE
Ge Cn =a, GCC Mle DOC
de 4z,, les deux tableaux complétants suivants:
| (4220)¢,=1 (2330)¢,= 8 (1831) ¢, — 16
| (4211)¢,=1 (2321)ce —10 | (1322)c, = 13
(4112)c,= 1 (2319) ce. — 7 (0530) c, = 10
| (8320) c, = 8 (2222) e, = 10 (052l)¢,= 5
| (8811) c, = 3 (1520)¢,= 5 (0440) ¢, = 16
(3221)e=5 | A5lDe= 5 (0431) c, = 14
(3212) ¢, = 4 (1430) ce, = 12 (0422)c = 7
| (2420) ¢, — 5 (1421) ¢, = 12 (0332) ¢, = 12
| (2411)¢,=5 (1412)¢e.= 7
(3220) c= 1 Q22%l\ye,= 8 | A32De,— 4
(8211) c= 1 (1420) e,= 2 | (0430) ¢,= A
(2320) ¢,=2 | (AMD ete | (0421)e,— 2
(2311) ¢,=2 (1830)c,= 4 (0331)c,= 4
A Vaide de ces travaux préparatoires nous trouvons enfin le
tableau des
Nombres 44106" = (pqiqurs).
(43301)= 11(25211)— 5/(25121)= 5/|(32231)— 9|(22241)—17
(34301)— 3) (24311)=11 | (24221)=13 | (24181)—10 |(14141)=12
Ba 5) (16211)= 2 DER SLB 18 (AES
@C4401)— 9 (15311) — 151 (16121) 51(15131)=10 | (04241) =1
(16301)= 5 | (14411)=21 | (15221)=15 | (14231) =22 | (03341) — 2
| (15401)= 15 | (06311)=10 (14321) = -25 | (13881)—28|(81151)= 5
(06401) = 15 | (05411) = Zan OLM Hi (OS2 3) UO 22 toy 10
(05501) =25 | (43121)= 1 | (05321)=20 | (04331) 24 | (13151) =10
(48211)= 1|(42221)= 2) (04421) =29 |(41141)= 2] (12251)=15
KORN 3 (84121)— 3) (42131)=— 21 (82141)= 7) (038251)= 10
(83311)— 5 |(83221)= 71(33131)— 6/(23141)—12/(21161)= 5
DW WO
30
(12161)= 5
(02261)— 5
(43202)— 1
(84202)— 3
(33302)— 5
(25202)— 5
(24302)— 11
(16202)= 5
(15302)—15
(14402) = 21
(06302) = 10
(05402) = 25
(48112) = 1
(42212) = 2
(34112)= 3
(83212)="7
(25112)= 5
(24212)= 13
(25802) = 17
(16112)= 5
(15212)=15 |
Nous remarquons que les 49 nombres de (43211) jusqu’a (02261)
se répètent de (43202) jusqu'à (02252). Cela est d'accord, d’après
LES HYPERQUADRIQUES DANS I’ESPACE
(14312) =
(06212)— 5
(05312) — 20
(04412) 29
(42122)— 2
(33122)— 6
(32222)— 9
(24122) — 10
(23222)=18
(15122)—10
(14222) = 2 29
~ d
(32132) —
(23132)— 12
(22232)— 17
(14132) — 12
(13232) — 22
(04232) — 12
(03332) = 20
(31142)= 5
(22142)—10
(13142)= 10
(12242) — 15
(03242) — 10
LSL 1D
(2152)=—. 9
(02252)= 5
(42203)= 1
(83203)= 3
(24203)= 5
(23303)— 8
24.1 (15203)= 5 |
(14308)= 12
(05303) = 10
(04403) = 16
Agi ys]
Baur
(32213) = 5
eas) = On
| (23213)—10
(15113)= 5
(14213)=12
| (13313) = 16
(05213)= 5
| (043.18) = 14 |
Ane)
| (82123)= 4
(23123)= 7
(2 2223)—10
AIDE yar
| (13223) =
(04223) = 7
(03323) = 12
(31153)= -3
(22133)= 6
1(13133)— 6
(12233)= 9
| (03233)= 6
(21143)= 3
(ho dB) ee
(02243) =
(32204) =
(23204) —
(14204) —
| (13304) =
| (04304) =
(321 14) =
osn
(22214) =
(14114) =
(13214) =
13 | (04.214) =
(03314) =
(31124) =
(22124) =
(13124) =
(12224) =
(03224) =
(21134) =
(12134) =
(02234) =
la seconde des quatre formules générales données plus haut.
| 8
Au moyen de ce tableau on trouve les
(4601) =
(3701) =
(2801) =
(1901) = 2310
(0,10,0,1) =9450
(4511)= 10
(3611)=
(2711)— 490
(1811) 715
(0911)— 3990
(4421)= 10
(3521) =
(2621)= 395
(1721) =1225
(0821)=
(4331)= 6
Nombres a” 0% 1%" = (pqrs).
10 1(8481)— 511(4502)— 10 (8832) =27
105 1(2531)— 230 |1(3602)— 95 |(2482)— 99
595 |(1631)= 670] (2702)= 490 (1532)— 280
(0731)=— 1050 | (1802)=1715 | (0632)= 380
(4241)= 2/(0902)—3990|(8242)— 5
(3341)= 21/(4412)= 10/(2342)= 80
95 |(2441)= 99/(3512)=— 85 (1442) 0485
(1541)= 280|1(2612)— 395 |(0542)—= 100
(0641) — 380 (1712) = 1225 (2252)= 5
(3251)— 5 | (0812)=2275) (1852)=) pale
(2351)= 180 (4822) = 161/452) HA
85 |(1451)= 85) (8422)—= (511 (4403)—) nme
(0551)— 100} (2522)= 2380)(8503)= 30
(2261)= | 5 /(1622)= 6702603) =) hoe
2275 (1861)— 1510722) = 10501703) Tb
(0461)= 15 | (4232)= 2 | (0803)= 1120
0D © UID D B © B © UW IW fF B WD © +
A QUATRE DIMENSIONS
31
(4313) = 3 (1523) = 165 (0443) =" "9110614)= 70
(8413)— 271(0623)—225 |(3404)— 31(8224)— 1
@513)— 125/(8233)— 8/(2504)— 20 (2324)— 6
(1613)= 370 (2333)— 18|(1604)— 70 (1424)— 17
(0713>— 595 |(1433)— 51 |(0704)—140 | (0524)— 20
(4223)= 11(0533)— 60|(3314)— 31(2234— 1
2) 121(0243)—=, 3 (Ml) 17 |1(1334)= 3
(2423)— 581(1343)= 9/(1514)= 50 (0434)— 3
Ici les 27 nombres de (4511) jusqu’à (0461) se répètent de
(4502) jusqu'à (0452).
é).... @abeyd),p.
Les nombres (a?'a0%c"y"d*),. se réduisent aux nombres (44), à
l’aide de deux opérations différentes. En premier lieu on remplace
aia’ par aad), .»,-2 OU (6), :»,-2 représente un ensemble déter-
miné de conditions pour 4 équivalant a p, + py — 2 conditions sim-
ples. En second lieu on transforme cy" en cy(bd), 4-2 OÙ
(Od), .»,-9 désigne un ensemble déterminé de conditions pour la
figure (bd) équivalant à 7, +7, — 2 conditions simptes. Et enfin, en
se débarrassant des points a, & sur 4 et des plans c, y par 6, on
réduit (a”a!b!e"%"d*),. au nombre des figures (44) représenté par
[()p, + m—2 OO) rn 61d" |. La première transformation s'effectue à
Vaide des identités bien simples
7 hs Dene 2 € 2 5
da —aaB, a'e’—aab,o, dé—aab), da —=aab, da—=aab,
b 5 4 3 2 2,2 2 ;
d'a —aub,b,, d'a —aub de—aab,b, da —aab, aa—ag.
a?
L ù
Et pour la seconde on a recours aux formules
cy V7 = cy(b 4p dv,
ey vg = cy (2bd + bve
Cy u cy (b + dn
DNS ole ied Iain entel ay iki) leiden ce ra
qui sont les corrélatives de celles de 5 @. A titre d'exemple nous
caleulons
LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
(aa by
dio = [0,00 + dX26d + bd}
= 20,0" + APE + b,6,0'd + bbb d?
= 0 + 6 + 0 + 1 — 13.
Ainsi l’on trouve les 267 nombres du tableau suivant:
Nombres (a'"a':0!chtr/'-d*) = (pipoqrires)
(440220) =1
(440211)=1
(440112)=1
(431220)=1
(431211)=1
(431112)=1
(430320) =2
(430311) =2
(430221) =3
(430212) =2
(430113)=1
(422220)=1
(422211)=1
(422112)— 1
(421320) — 2
(421311)=2
(421221)= 3
(421212) =2
(421113)=1
(420420) — 2
(420411)=2
(420330) =4
(420321)=4
(420312)=2
(420222)=38
(420213)=1
(413220)=1
(413211)—
(413112)=—1
(412320) = 2
(412311)— 2
(412221) = 3
(412212)— 2
(412113)—1
(411420) = 2
(411411)=2
(411330)=4
(411321)=4
(411312)=2
(411222)=8
EN
(410430) =4
(410421) =
(410331) —4
(410322) — 2
(410223) = 1
(332220) —2
(832211) — 2
(332112)— 2
(331320) — 4
(331311) =4
(331221) —6
(331212) —4
(331113) —
(330420) — 5
(330411) —
(330330) — 8
(330321)—9
(330312) =5
(330222) =7
(330213) = 3
(330114)=1
(323220) — 8
(32321 1)— 3
(323112) = 3
(322320) — 6
ce ep
(321420)=7 |
(821411) =7
AGRA ES
(320520)= 5
CN 75
| (320430) = 14
| (820421)=12
(820412)— 5
| (313113) =
(321330) — 12
(321321)—13
(321312)— 7
(321222)—10
|(821213)= 4
(321114)— 1
(320331)= 16
(320322)= 10
(320313)= 3
(320223)= 5
(320214) = 1
(314220)= 3
2 | (314211)= 3
(814112)= 3
(313320)= 6
| (813311)= 6
| (813221)= 9
(313212)= 6
(312420)—
(312411)=
(312330)
(312321)
(312312)
(312222)=1
(312213)=
(312114) =
I
1 I
D BAC EO II
(811511) =
(311430) =
(311421) =
fl
(311412)=
(311331)=16
(311322) =10
(311313) ee
(311223)= 5
(31121400
(310530)—10
| (310521) 5
(310440)=16
(310431)— 12
(310422)= 5
(310332)= 8
| (810828)
(810224) = 1
(224220) = 5
(22421
(224113) =a
AEN EES
(223320) =10
(223311)=10
(223221)=15
(223212)=10
(223113)= 5
2420) = 12
(222411)=12
(222330) = 20
(222321) = 22
(222312)=12
(222029) Sd
(222213)= 7
(222114)= §
221520)— 10
221511)—10
221430) = 24
2921421) —29
221412)—10
221331) — 28
(221322) — 18
(221313)— 6
| (221223) §
~~
(221214)= 2
(220620) — 5
(220611) 5
(220530) = 20
(220521)=15
(220440) — 29
(220431)— 25
(220422) — 13
(220413) — 3
(220332) = 17
M220328)—
(220314) —
(220224) —
(215220) —
KAR) -5
pagal 2) — 5
(214320) — 10
(214212)
(214113) = 5
(218411) —12
(213330) = 20
(213321) — 2:
(213312)— 1:
(213222)— 17
L'emploi des
de plus en plus laborieux à mesure que 7, et 7, augmentent. Nous
(220512)— 5,
UT © — =)
(214311)—10 |
(214221)— 15 |
(213420) = 12 |
A QUATRE DIMENSIONS.
(218213)2 7
OLST 2
(212520)— 10
(212511)—10
(212430) — 94
(212421)—22
(212412) —10
(212331) —28
(212322) —
(212313) — >
(212223)— 9
(212214)— 2
(211620)— 5
(211611)= 5
(211530) —20
(211521) — 15
(211512)= 5
(211440) — 29
(211431)-—25
(211422)— 13
(211413)= 3
(211332) — 17
(211323) 7
CARE) ER
(211224)— 9
(210630) — 10
(210621)— 5
(210540) — 25
(210531)—15
(210522)— 5
(210441) — 21
formules pour la transformation de «7: devient
(210432)=1
(210423) =
(210333) —
(210324) =
(116220)=
RO) 65
GEL Os ENS
(115320) =10
(115311)=10
(115
(115212)=10
(115113)= 5
oe Qt ©
2 Le bo.
OLNE ES
(112530) = 20
(112521)=15
RN 2) 5
(112440) = 29
(112431)=25
(112422)=13 |
(112413)=— 3 |
(112332)=17
NSZ 4
POTS), 1
(112224) = 2
(114420) =12 |
(114411)=12
(114330) =20
(114321)=2
(114312)=15
(114222) =]
ORS
7
(114213)= 7 |
2
(114114) =
(113520) — 10
ea ak
(113430) = 24 |
10631) =
| (113421) =22
118412) = 10
113331) =28 |
(
(
(113322) — 18
(113313)= 6
(
113223) = 9 |
(113214) = 2 |
(112620)= 5
29 |
| (111621) —
(111540) = 2
Mae De
ess
(111441)= 2
athe ae 1
Rn
Gass) =
(111324)—
(110640)=1
(111630)= 1
(110550)— 25
(110541) = 15
(110532) = 5
(110442)— §
(110433)= #
(110334) =- 1
5
5
5
5
il
]
3
5
;
5
)
)
)
Dl
)
3
remarquons done qu'on peut éviter ces formules dans les cas (7, = 6),
bis 2), (r—4,s—3}(r, — 3,8 — 4) et en un grand nombre
d’autres cas.
espace tridimensional ordinaire.
vail découle de Vobservation très simple que d’après la réduction
desMiacteurs a”, aP: les nombres (2; 2, 9,74, 72,9), [2,1,9+1,r,,72, 9],
[2,1,9+2,7;,7,8] sont égaux.
de
A l’aide
tableau suivant :
Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie).
ce premier
:)
36
tableau
on trouve
DI, VII.
immédiatement le
D'ailleurs pour s — 4 on peut recourir avec sucees a
Et enfin un épargnement de tra-
34 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
Nombres a” "PbIC" Weds = (pqrs).
(8040)= 105/(5151)= 1900|(4044)= *42| (2622)= 5
(8031)= 105/(5142)= 665|(3540)= 451 (2550) 100
(8022)— 35/(5183)= 135/(3531)= 45 (2541) 0185
(7140)= 105/(5124)= _ 10/(3522)= 15| (25382) 80
(7131)= 105/(5070)= 6650|(3450)= 300) (2523)= 5
(7122)= 35/(5061)= 4050/(3441)= 255) (2460)= 380
(7050)= 7001(5052)— 1350/(3482)= 90] .@451)= 280
1(7041)= 595|(5043)= 285/(3423)= 15] (2442) 99
(7032)= 210/(5034)— 30)(8360)= 1140) (2483)= 21
(7023)= 35/(4440)— 81|(3351)= 840) (2424)= 9
(6240)= 105/(4431)= 81|(8342)= 297! (2370)—1050
(6231)= 105 (4422)= 21(3333)— 63 (2361) = 670
(6222)= $35/(4350)= 540/(3324)— 6] (2352)= 230
(6150)= 700|(4841)= 4591(8270)— 3150} (2343)= 51
|(6141)= 595|(4332)= 162(3261)= 2010] (2334)= 6
(6132)— 210|(4323)= 271(3252)—: 690! (2280)=2975
(6123)— 35|(4260)= 2040/(3248)— 153) (2271)=1225
(6060) = 2600 (4251) = 1500 (3 234)— 18] (2262)= 395
(6051) =1900|(4242)= 5929) (3180) = 6825] (2253)= 85
| (6042) = 665) (4233) = 111 (3171) — 3675| (2244)= 10
(6033)= 185|(4224)= 10/(3162)— 1185) (2190) =8990
(6024)— 10/(4170)= 5530(3153)— 255) (2181)=1715
(5340)= 105|(4161)= 3490(3144)— 30! (2172)= 490
(5331)= 105/(4152)= 1190(3090)—11970) (2163)= 95
(5822)= 35/(4143)= 261/(3081)= 6145] (2154) "M0
(5250)= 700 (4134)= 80 (3072)= 14701(2,0,10,0) = 6300
(5241)= 595|(4080)= 11305 (3063) = 285) (2091) =2310
(5232)= 210/(4071)= 5775|(3054)— 30) (2082)= 5965
(5223)= 35|(4062)= oS 15] (2073)= 105
(5160)=2600|(4053)= 375 (263D= 15) (2064)= 10
6. Les nombres des dégénérations £ et 7 d’un système simplement
infini de coniques.
Dans Vespace Z% la conique peut satisfaire à onze conditions
simples, en d’autres termes en Z, la conique est une figure à onze
dimensions. En effet, en 4, le plan de la conique peut satisfaire à
six conditions simples, tandis qu'en son plan la conique elle-même
est déterminée par cinq conditions simples. On obtient done un
système simplement infini de coniques en imposant à cette figure à
onze dimensions un système de conditions équivalant à dix condi-
tions simples.
A QUATRE DIMENSIONS. 39
Chez les coniques il faut distinguer trois conditions simples;
nous les représentons par as, 4,, c, la première étant en rapport
avec un espace donné D comme a, la seconde avec un plan donné
C comme 4 et la troisième ne différant guère de la condition
ordinaire c. Par a, nous indiquons que les deux points d’intersec-
tion de la conique avec un espace donné 2 coincident, de manière
que cet espace est espace tangent de la conique, tandis que 4, et c
expriment respectivement que le plan donné C contient un point
de la conique et la droite donnée B un point du plan de la
conique. Donc le suffixe 2 de a, et 4, rappelle que le sujet de la
condition, ici la conique, est quadratique au lieu de linéaire. A
présent il s’agit donc des systèmes de coniques que nous désignons
par le symbole (4,”4,?c),, ou en forme plus condensée par „(p, g, r)10.
Un système simplement infini de coniques admet un nombre fini
de chacune des deux dégénérations, la dégénération £ de l'équation
ponctuelle dont les points forment deux droites 4, 2 qui se coupent,
et les tangentes un faisceau de rayons compté deux fois (le faisceau
des droites par le point d'intersection a de #, @ dans le plan c par
b, B), et la dégénération y de l'équation tangentielle dont les tan-
gentes forment deux faisceaux de rayons situés dans un même plan
e et les points une droite comptée deux fois (le rayon commun
des deux faisceaux qui en réunit les sommets a, x). Car chacune
de ces deux dégénérations est une figure à dix dimensions.
Pour les dégénérations £ et y l’ensemble de conditions (4,/4,%€")0
se transforme respectivement en (@/4"R%c"), et (gæ:b1e"),, dont
nous avons évalué les nombres en 58 et 5a. Cependant il y a
une différence à signaler entre les nombres (pg‚g,r) et (p,p.gr)
déduits plus haut, et les nombres (&pgr) et (gr) des dégénérations
£ et comprises dans le système (4,/4,/c"), de coniques. S'il s’agit
des figures (abf2c)0, (aabc),, dégagées de toute connexion avec un
système de coniques dont elles peuvent faire partie, il va sans dire
que chaque figure satisfaisant à l’ensemble de conditions (a’6%c'),
ue compte qu'une fois parmi les solutions du problème qu'on s’est
proposé à résoudre. Au contraire, s'il s’agit de figures &, y faisant
partie d’un système simplement infini de coniques, il faut qu’on
se place à deux points de vue différents, à mesure qu'on cherche
les nombres £.,y. des coniques satisfaisant à un des ensembles
(Engr), (upgr), ou bien les nombres £,,y, des dégénérations &, y
satisfaisant à l’ensemble (pgr). En effet on a &, = 278, et y, = ya.
Car chaque solution £, du second cas représente 2” coniques coïn-
cidées satisfaisant à (Épgr), parce que chacun des p espaces donnés
figure pour deux espaces tangents coincidés, de manière que la
ox
o*
36 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
figure £, remplit 2” fois la condition (pgr). Et de même chaque
solution y, du second cas représente 2% coniques coïncidées satis-
faisant a (ypgr), chacun des g plans donnés passant par deux points
coincidés de y, de manière que la figure y, remplit 2? fois la con-
dition (ypgr). La déduction du nombre des coniques (@,'6,%c"),, à
l’aide des nombres ¢ et y exige que nous nous placons au premier
point de vue; done pour préparer cette déduction qui nous occu-
pera tout-à-l’heure, nous répétons ici les résultats des numéros 5 6
et Da, eu égard aux facteurs 2? et 21.
Nombres Sa’b%c" = (& pgr).
(460) — 160/(352) — 680(253)— 920] (163)=1340\073)=1050
(451) =160(343)= 408(244)= 396) (154)= 560(064)= 380
(442) = 160/(334)= 168(235)= 120; (145)= 170(055)— 100
(433) = 96(325)— 40(226)= 20] (136)= 30)(046)= 15
(424) — 32|(280) = 2380 (190)=— 4620'(0, 10,0) = 6300 |
(870) = 840(271)=1960(181)— 3480) (091)— 3990
(861) =760(262)=1580(172)=2450| (082)—2275
Nombres ya’'"c" = (y pgr).
(802)= 35] (604)= 80 | (442) =432 | (852)—480 | (262) =320 |
(712)= 70 | (582)=280 | (488) = 482 | (843) = 480 | (253) =320
(103)= 70 | (523) = 280 | (424) = 256 | (834) = 288 | (244) =192
| (622)= 140 (514) = 160 | (415) =100 | (825) = 120 | (285)= 80
/(613)= 70) (505)= 50 | (406) ="15 | (816)=. 15 | (226) SRAM
7. Les nombres des coniques (7,!’,c’),,.
Pour un système simplement infini de coniques en Z, on a les
deux relations générales
+@+2C,
On les démontre de la manière suivante:
Considérons d’abord dans un espace donné 2 un faisceau de
plans dont une droite quelconque donnée B de D soit l'axe, et
faisons correspondre lun à l’autre deux plans C,, C, de ce faisceau
qui passent par les deux points d'interseetion de D avec une même
conique du système donné. Cette correspondance est caractérisée
par la propriété qu'on trouve 4, plans C, correspondant à un plan
A QUATRE DIMENSIONS. 91
OC, donné et réciproquement 4, plans C correspondant à un plan
C, donné, 4, représentant le nombre des coniques du système dont
un plan donné contient un point. D'après le principe de corres-
pondance de Cnasres le nombre des coincidences de cette corres-
pondance est done 24, Mais d’un autre côté, en parcourant la
courbe gauche de l'ordre 4, qui forme l'intersection de D avec le
lieu des coniques du système, on y trouve trois catégories de points
qui caractérisent une coincidence, d’abord les y points d’intersection
de D avec les dégénérations y du système, ensuite les 4, points de
contact de D avec des coniques du système, et enfin les 2e points
d'intersection de 2 avec les ¢ coniques du système dont les plans
s'appuient sur axe B du faisceau de plans. Donc on trouve
C€bh=yntatZe.
Considérons ensuite le faisceau d'espaces dont un plan donné C
est le plan de base, et faisons correspondre lun à l’autre deux
espaces D,, D, de ce faiscean qui touchent une même conique du
système donné. Dans cette correspondance on trouve a espaces 2,
correspondant à un espace 2, donné et réciproquement; donc le
principe de correspondance exige qu'il y ait un nombre 24, de
coincidences. Et il est évident que ces coincidences dérivent des
dégénérations £ du système et des 4, coniques dont un point se
trouve dans le plan de base C. Done on a 2a,=£€& + 4, 4).
Les relations que nous venons de trouver, nous donnent les for-
mules de récurrence
8a=2E+ pee,
20—= E+2yt+4e.
qgr=l
En les multipliant par 44e", où p + 9 +r= ll, on obtient
des équations qui expriment les nombres (a, ? 714 1%e" ~*), (a?! 15)
en (a,b,'c") et les quantités connues £ a’b%c"—", y abc’. Done elles
nous permettent de trouver tous les nombres (4,/4,%"), où l’on a
p+g+r=11. Aisi l’on a pour (4,%6,'c):
3 (@,7b,'c') = 2 (& 244) + (y 244) + 2 (276,40?) = 792 + 192 + 2 (abc),
3 (Gy b,c’) =2 (& 145) + (4145) + 2 (a,b,'c%) =340 + 04+2(a,6,'c°),
Babe”) =2 (E046) + (4046) +2(6,4c) = 304 O+ 0,
d’où l’on dérive ”)
*) Ici le lieu des points de contact des coniques du système donné avec les espaces du
faisceau est une courbe tordue de l’ordre a, + b,; car un espace D quelconque par le
plan de base C en contient a, points en dehors de C et b, points en €.
*) On peut aussi terminer par (&b,*c°), tous les nombres (aaPb,1c®), où p + q —5,
étant connus.
38 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
(ab) = 10, (426,16), =120,.40(a,7b3 4) = 408
Nous donnons les résultats dans une forme qui permet de con-
trôler les calculs en faisant suivre au symbole (a,?b,?c") ou (pgr)
sous les entêtes «a, bj, €, &, les nombres des coniques du système
simplement infini (4Pb,?c”) qui satisfont à une condition as, 5, ¢ de
plus ou qui en forment les dégénérations £, 4, c’est-à-dire les nom-
bres (a? +60"), (abt + Te), (a Pate Da (6 pgr), (y pgr).
Nombres des coniques satisfaisant à onze conditions simples.
pgr) a | & |C 5 | a APG) || a, | 6, | © | Shy
(10,0,0) 20) 40} 30} 0) 0 (37 )) 2400 3960/2760) 840} 0
(910) 40) 80] 60} Of 0 (86 1)1760/2760/1880/ 760) 0
(901) 30] 60| 45) 0! 0 (352) 1280|1880/1000! 680/480
(820) 80} 160) 120; 0] 0 (343)| 70411000! 408} 4081480
(811) 60! 120] 90) 0) 0] | (334)| 288| 408| 120] 168/288
(802) 45! 90! 50! 0) 35 (825)! 80} 120/ 20) 40/120
(730)| 160} 820) 240) 0! 0 (316) 10) 20 SOF
(721)} 120} 240) 180) 0! 0 (280) 3960/5540/35602380| 0
(712)} 90) 180] 100) 0} 70 (271) 2760 356021801960! 0
(703) 50) 100) 40) 0} 70 (262) 1880/2180/1080/1580/320
(640)| 320) 640) 480) Of Of | (253)1000/1080| 420} 920/820
(631) 240} 480) 360) 0) Of | (244) 408) 420] 120) 896/192
(622), 180) 360) 200) 01140 (235)| 120} 120] 20) 120/880
(613)| 100) 200] 80) 0| 70 (226) 20) 20) 0) 20} 20
(604)| 40} 80; 20) 0} 80 (190) 55.40 6460/3690 4620 0
(550), 64011280! 960! 0) 0 (181)3560,36901910,3480) 0
(541)) 480! 960} 720) 0) 0 (172)21801910) 8202450) 0
(532), 360) 720) 400) 0,280 (163)1080| 820} 28011340! 0
(523) 200! 400) 160} 0,280 (154) 420) 280) 70! 560} 0
(514)| 80] 160) 40) 0/160 (145); 120) 70) 10) 170) “0
(505)| 20) 40} 5} 0) 50 (136) 20) 10) 0} 380) 0
(460) 1280 24.00)1760/160, 0) (0,10,0) 6460 6620/3390 6300 0
(451)) 960/1760]1280160) 0 (091) 3690 3390/1545 3990 0
(442)| 72011280) 704|160/432 (082) LE 1910/1545] 59012275). 0
(433)| 400} 704) 288) 96/432 (073) 820) 590, 1801050) 0
(424)| 160} 288] 80) 32/256 (064) 280] 180) 40] 380) 0
(415) 40} 80) 10} 0100 (055), 70! 40) 5 100} 0
(406) - 5| 10) D} O} 15 (046). 10)..5). = Olp 251008
A QUATRE DIMENSIONS. 39
8. Les nombres des dégénérations ®, |, x d'un système simplement
infini de quadriques.
Dans Vespace Z, la quadrique est une figure à treize dimen-
sions. Car l’espace 2 de la quadrique peut satisfaire à quatre
conditions simples, et dans son espace D la quadrique elle-même
se détermine par neuf conditions simples. On obtient done un
système simplement infini en imposant à la quadrique un ensemble
de conditions équivalant à douze conditions simples.
Chez les quadriques nous distinguons quatre conditions simples
4, bs, c, d. Par a, et 6, nous indiquons respectivement qu’un
espace donné et un plan donné sont espace tangent et plan tan-
gent de la quadrique, ce qui implique que la quadrique est coupée
par l’espace donné suivant une conique dégénérée en deux droites
et par le plan donné en deux points infiniments voisins l’un de
l’autre. Et c, et d expriment respectivement qu'une droite donné
contient un point de la quadrique et qu'un point donné appartient
à l'espace de la quadrique. Nous nous occupons donc du système
de quadriques représenté par le symbole (4/4, d*),, ou en forme
accourcie par o(p, g, 7, 8).
Un système simplement infini de quadriques admet un nombre
fini de chacune des trois dégénérations ®, d, x% déterminées par
douze conditions simples dont la première admet un point double,
la seconde une droite double et la troisième un plan double 4).
La dégénération P est un cône quadratique; ce cône est déterminé,
si l’on connait le sommet, trois autres points de l’espace du cône
et cing génératrices, ce qui démontre qu'il admet 4 +3 + 5 = 12
dimensions. La dégénération ~ se compose d’une droite double
portant à la fois deux plans et deux points; donc elle est déter-
minée par 6 + 2.2 + 2.1 = 12 conditions simples. La dégénération
x consiste d’une quadrique infiniment aplatie réduite à un plan
double situé dans un espace déterminé et portant une conique;
done % est déterminée par 6 + 1 + 5 = 12 conditions simples. Nous
cherchons successivement les nombres des dégénérations ©, U, x com-
PRESEN (Pp, 9, r, Nia.
æ).... Nombres (Ppgrs)a.
Pour évaluer le nombre des cônes (Pyqrs),. nous répétons pour
*) Dans son „Kalkül der abzählenden Geometrie” Scauserr indique les surfaces à
point, à droite et à plan double par x, Ÿ, ¢ en ordre renversé.
40 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
les cônes les raisonnements des numéros 6) et 7) par rapport aux
coniques.
Un système simplement infini de cônes représenté par (pgrs)u
admet un nombre fini de chacune des deux dégénérations, la dégé-
nération æ = (a"blc"t":4%), et la dégénération y = (a/6%*%c"d"). Tan-
dis que le cône (pgs), est sa propre figure corrélative, ces deux
dégénérations a et y dont la seconde a été étudiée en 5d, sont
les figures corrélatives l’une de l’autre. Donc les nombres des dégé-
nérations a et y sont connus.
Pour le système simplement. infini (DP pgrsuy on a les deux
relations générales:
LC, =y + 6, + 2d,
202 = & + Co + 2a.
Pour démontrer la première nous considérons un faisceau de
rayons dont un point donné 4 et un plan C passant par ce point
sont le sommet et le support, et nous faisons correspondre Pun à
l'autre deux rayons de ce faisceau qui passent par les deux points
d’intersection du plan C avec un mème cône du système. Ainsi
nous faisons naître entre les rayons de ce faisceau une correspon-
dance (cs, &) qui admet done 2e, coincidences. Mais d’un autre
côté, en parcourant la courbe de l’ordre c, en C, qui est le lieu
des points d’intersection de C avec les cônes ® du système consi-
déré, on trouve trois groupes de points qui caractérisent une coïn-
cidence, d’abord les y points d’intersection avec des droites doubles
de dégénérations y, ensuite les 4, points de contact de « avec des
cônes @ du système et enfin les 4 couples de points d’intersection
de C avec des cônes P dont l’espace passe par 4, couples de points
en ligne droite avec 4. Donc on trouve 26, = y + bo + 2d. Et la
seconde relation se déduit de la première à l’aide des raisonnements
corrélatifs.
Des deux relations que nous venons de prouver, on déduit
30 = 2a + y + 4a + 2d,
DC = & + 2y + Za Ad.
En multipliant ces équations par 4/4, d%, où p+g+r+s=11,
on voit qu'elles font connaître les deux nombres ,(p, 9 + 1,7, 5),
AP, 4, r + 1,8), aussitôt que les deux autres p+ 1, 9,7, 8),
2(P, 4, r,8 + 1) sont connus. En remarquant :
1° que les nombres „(pgrs) disparaissent pour p > 4 ou s > 4,
sn RE
A QUATRE DIMENSIONS. 41
2° que les nombres {pgrs), où p=s=4, s'annulent tout de
même, parce qu'en général le point 4 déterminé par a‘ ne se trouve
pas dans l’espace D déterminé par d*,
3 queu égard a la corrélation on a {pgrs) = {sr gp),
il est évident qu'on peut dériver successivement
les nombres (4..3) et (8..4) des nombres (5..8) et (4. .4) ,
5 5 (AE) RCE TR 5 CD We eel LE
1 dr At om) | OC De ED
} WEER as iy LOL À ee RS OD AD.
4 N (Bind) RS B Ae Ones,
PR à Gane) Cin@ 72) x (Aloe) CS eet)
£ 3 (Bres). À 5 (AEN MIEN ED eO
4s à GeO aria 4 (Aen AS eut
- 2 (2:22) ‘3 > Bee MC PO)
3 4 (27a), et Grane) 32 > (Bles WR,
a be Co Ore Obed A HO Deme
¥ i (TEE À à CAD RAGE),
3 DE (0) et (aa à RTC 0) EEA DE
é 4 (0. .0) 4 Cle 0) ORE)
Toutefois, en suivant ce procédé, il faut qu’on v fasse attention
|
que dans les formules de réduction, d’après la remarque générale
faite dans le cas des coniques (numéro 6, alinéa 4), chaque dégé-
nération #, compte pour 2% quadriques #,, chaque dégénération y,
compte pour 2” quadriques ,, tandis que dans ce même ordre
d'idées chaque cône (Pygrs),, d'après sa nature particulière compte
PITS I
pour 2” quadriques du système satisfaisant aux conditions posées.
En d’autres termes la quadrique forme VPunité dans laquelle sont
exprimés les nombres a, 4, c5, d, , y des deux formules de réduction.
Ainsi Von trouve le tableau suivant qui permet de controler les
relations de récurrence qui y ont mené:
Nombres des cones satisfaisant a douze conditions simples.
(Dpaqrs)y a Oe RM CRUE (de Er | 7
(4601) 0 6 12 A 0 10
(4511) 0 12S sh, 424 8 0 20
(4502) 0 4 Bedr 0 10
(4421) 0 24 48 | 16 0 40
(4412) 0 8 16 2 0 20
(44.03) Ore Bpel T QF el 0 0 3
42
LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
Opgrsu a b, C2 d CA Y
(4331) () AS 12 24 24 48
(4822) 0 16 24 4 8 24
(4313) 0 2 4 0 0 6
(4241) 0 12 16 24 68 32
(4232) 0 24 24 4 24 16
(4223) 0 4 4 0 À 4
(3701) 6 19 134 45 0 105
(3611) 12 134 244 82 0 190
(3602) 4 | 45 82 12: 0 95
(3521) 24 244 440 148 0 340
(3512) 8 82 148 22 0 170
(3503) 1 12 22 I 0 30
(3431) 48 440 640 216 144 4.08
(3422) 16 148 216 40 48 204
(3413) 2 22 40 2 0 54
(3404) 0 I 2 0 0 3
(3341) 72 640 728 240 408 336
(3332) 24 216 240 AS 144 168
(3323) 4 40 48 4 24 48
(3314) 0 2 A 0 0 6
(3251) 16 128 644 200 660 160
(3242) 24 240 200 40 232 80
(2801) 19 477 S08 272 0 595
(rly) 134 808 | 1348 454, 0 980
(2702) 45 212 454 19 0 490
(2621) 244 | 1348 | 2208 144 0 1580
(2612) 82 454 144 122 0 790
(2603) 12 1e 128 8 0 Jon
(2531) 440 | 2208 | 3056 | 1032 480 1840
(2522) 148 744 | 1032 200 160 920
(2513) 22 122 200 14 0 250
2504) it 8 14 0 0 20
(2441) 640 | 3056 | 3472 | 1152 | 1360 1584
(2432) 216 KOS Poe. 240 480 792
(2414) 2 14 24 0 0 34
(2351) 728 | 3472 | 3248 | 10382 | 2240 960
(2261) 644 | 8248 | 2528 744 | 2680 320
(1901) AT] | 2160-3366 MSA 0 2310
(1811) 272%) lode ils 295 0 115
(1721) 1348516 15302528 0 4900
A1?) 454 | 1718 | 2528 444 0 2450
A QUATRE DIMENSIONS.
(pars) | 2 C2 d x Y
|
(1703) 13 295 444, 34 | 0 525
(1631) 2208 |: 7536 | 9696 | 3248 960 5360
(1613) 122 AAA, 644 52 0 740
(1604) 8 34 52 0 0 70
(1541) 3056), 9696 | 10560) 3472 | 2720 4480
(1514) 14 52 76 0 0 100
(0,10,0,1) 2160) 7240) 10160) 3390 0 6300
(0911) 3366 | 10160 | 13588 | 4518 0 7980
(0902) Soo OASIS DRE 0 3990
(0821) 5116 | 13588 | 16944 | 5600 0 9100
(0812) 1718} 4518} 5600! 1066 0 4550
(0803) 295 828 | 1066 92 0 1120
(0731) 7536 | 16944 | 18816) 6144 0 5400
(0722) 2528| 5600! 6144) 1244 0 4200
(0713) 444| 1066) 1244) 116 0 1190
(0704) 34 92 116 0 0 140
(0641) 9696 | 18816 | 18240 | 5792 0 6080
(0652 3248 | 6144) 5792) 1200 0 3040
(0623) 644) 1244) 1200, 128 0 900
(0614) | 52 116 128 0 0 140
(0551) | 10560 | 18240 | 15360 | 4640 0 3200
(0542) 8412 | 5792) 4640) 944 0 1600
(0533) | 728) 1200 944) 104 0 480
(0524) 76 128 104 0 0 80
(0461) 9696 | 15360 | 11328 | 3168 0 960
(0452) 8056 | 4640) 38168) 608 0 480
(0443) 640 944 608 64 0 144
(0434) 12 104 64 0 0 24
Les nombres (® a°bfe"d*) ont été trouvés par Scnuserr. Et la
relation générale
@Opgrs) = (bsrqp)
qui découle de la remarque qu’en Z, le cône P est sa propre
figure corrélative, peut servir à contrôler les autres résultats.
CEA
Nombres (dygrs).
Les nombres (dpgrs), figurent dans le dernier tableau de 5),
A 7 Fe . . 7 \ a
la dégénération (bps). ne différant guère de la figure (aabeyd)p
étudiée en 5e.
44 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
y).... Nombres (#ypgrs)s.
Les nombres (y pgrs), se déduisent des nombres (pgr) de 7) à
l'aide des formules générales
(ra DENDE ED eee Pager PR
(ec) (afro AE. pig + r= 10;
(Xe 0310" de = (ad bal" ein + + +. - PET AS
(arb sca Vis (GOVE Cy ye ee ptoatr= 8.
Aisi dans les cas s=1 et s=2 les nombres (xpgrs) ont été
trouvés. Et en vertu des relations
~ 3 5 ~ 3
SCE TNG ee
F2 5 Ad ;
DEO, ee nn
dont nous nous sommes déja servis en 5y et en 5d, les cas
GSI A=), (8: PE AE
se ramènent aussi à des nombres (pgr). Parce qu’ évidemment
les nombres (%pgrs) disparaissent dans les deux couples de suppo-
sitions
GS Oy PMR LS ro)
il nous reste a étudier les cinq cas
(= 7 9) he
Nous avons done a chercher les nombres de coniques
(GP OO!) ns ken RS EE pig =9;
(a 02 06e Nay Oe Ca ee oe 0
(abc cu, (aber, .- ptg=
Si les nombres des dégénérations £, # des systèmes simplement
infinis
CBU CS EN ER SR ae ve p+q=8,
(ASOR) es (CALAIS su {6 DP + q = Fe
(CAUSTAAITS (a3? b,%cc") 49, 15 Pr Q— j
ont été trouvés, les relations récurrentes
A QUATRE DIMENSIONS. 45
dek y EC,
Sb= EAN HAC
de 7)nous permettent de déduire les nombres (a,"6,%c7¢,), (aPb!ce) 14
des nombres connus (@,”6,!¢°¢,),,,. (@)"6,4c"c,)\;, les nombres (a,"6,%¢¢,) 44,
(abc), des nombres (a/6,%e°c,),,, (a,"b,4ce) 4, ete. Seulement nous
pouvons nous épargner la peine de compléter les tableaux des
nombres & et # de 6) en appliquant directement les équations que
nous venons de citer aux systèmes simplement infinis (% pg7s),, des
dégénérations x. Car tous les nombres (&pgrs), et (ypgrs) sont
connus. En effet, on a
(Epgrs) Se Ld)» (4 pqrs) = ee bic)
de manière que les nombres (£ygrs), figurent dans le dernier
tableau de 5d et les nombres (ypgrs), dans le dernier tableau de
Dy. Donc, au moyen des relations récurrentes que nous venons
d'indiquer, on déduit successivement
les nombres (4 44,14”), des nombres (y 424,70 do,
+ OA LNE is (rate)
4 + ORV) amet 3 (% a2b cd?) 15
et de même
les nombres (x @,"6,'cd'),. des nombres (x @,"6,!cd"),5
ét 5, 5 Gabe = (ra rbicd?);:
Nous donnons les nombres (%pgrs)j, en deux tableaux qui im-
piètent l’un sur lautre; le premier contient tous les nombres
(Xpgrs)s qu'on déduit immédiatement des nombres (pgr) de 7),
l’autre permet de contrôler les relations de réeurrence qui y ont mené.
Nombres (%247S);.
(1,0,0,1)= 20/(8121)= 90|(6411)= 480|(5831)= 400
(10,1,0,1)= 40/(8081)= 50/(6821)= 360 (5241)= 160
/10,0,1,1)= 30/(7401)= 320 (6231)= 200)(5151)= 40
(9201)= 80/(7811)= 240/(6141)= 80/(5061)= — 5)
(9111)— 60)(7221)= 180/(6051)— 20/(4701)=2400
(9021)= 45/(7131)= 100|(5601)=1280|(4611)=1760
| (301)= 160)(7041)= 40/(5511)— 960 | (4521) = 1280
GLI) 120)(6501)= 640|(5421)= 720|(4431)= 704
46 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
(4341)= 288| (0O831)= 590] (4422)— 704](0552)= 5
(4251)= 80| (0741)= 180| (4332)— 2881(6033)= 12
(4161)= 10} (0651)= 40| (4242)= 80|(5133)= QA
(3801)=3960| (0561)=. 5]. (4152)—. 10|(4233)= 48
(8711) =2760)|(10,0,0,2)= 30| (8702)—2760|(3333)= 72
(3621)=1880| (9102)= 60] (3612)—1880/(2433)— 72
(3531)=1000| (9012)= 45] (3522)—1000/(1533)= 42
(3441)= 408] (8202)= 120] | (3432)— 408/(0633)= 24
(8351)— 120 |. (8112;— 9013349) — 120 (6045
(8261) = 20) (8022)— 50! (3259 20(4143= “6
(2901)=5540| (7302)= 240| (2802)—3560|(3243)— 12
(2811)=3560| (7212)= 180] (2712)—2180|(2343)= 12
(2721) =2180| (7122)= 100] (2622)—1080|(1443)= 6
(2631)=1080| (7032)= 40] (2532)= 420/(0543)— 3
(2541)= 420] (6402)— 480} (2442)— 120/(6024)= 4
(2451)= 120] (6312)= 360) (2352)— 20/(5124= 8
(2361)= 20| (6222)— 200) (1902)—3690/(4224)— 16
(1,10,0,1)=6460| (6132)= 80) (1812)=1910/(3324)= 24
(1911)=3690| (6042)= 20) (1722)= 820/(2424)= 24
(1821) =1910| (5502)— 960] (1632)— 280/(1524)= 14
(1731)= 820| (5412)= 720| (1542)— 70/(0624)= 8
- (1641)= 280] (5322)— 400] (1452)= 10/(5084)= 1
(1551)= 70) (5232)— 160/(0,10,0,2)=3390/(4134— 2
(1461)= 10) (5142)= 40) (0912)=1545|(8234)= 4
(0,11,0,1)=6620} (5052 5} (0822)= 590/(2334)— 4
(0,10,1,1)=3390| (4602)—1760| (0732)— 180|(1434)= 2
(0921)=1545) (4512)—1280| (0642)— 40|(0534)— 1
SRR
(KP UTS) a, b, c £ ñ
ned
(8003) 18 | 5600 27 0 0
(7108) 30 | ees 54 0 0
(7013) | Di 54 | 23 0 35
(6203) 12 La eae eens 0 0
(6113) BAS it SOS 46 0 70
(6023) 23 AG 12 0 45
(5303) 144 288 216 0 0
(5218) 108 216 92 0 140
(5128) 46 92 24 0 90
(5033) 12 24 3 0 30
(44.03) 288 528 384. 48 0
(4313) 216 384 168 | 48 216
(4223) 92 ir GEN, 48 | 16 148
A QUATRE DIMENSIONS.
47
(KPIS) a, b € g
(4133) 24 AS 0
(4043) 3 6 0
(3503) 528 816 552 24.0
(3413) 384 552 240 216
(3323) 168 240 1 96
(3233) AS 72 12 24
(3143) 6 12 0 0
(2603) 816 1012 604 620
(2513) 552 604 248 500
(2423) 240 248 he 357
(2333) 12 ie 12 i2
(2243) 12 12 0 ie
(1703) 1012 974 468 1050
(1613) 604 AGS 166 740
(1523) 248 166 42 330
(1433) qe 42 6 102
(1343) 12 6 0 18
(0803) 974 828 341 1120
(0713) 468 841 107 595
(0623) 166 107 24 225
(0533) 42 24 3 60
(0443) 6 3 0 9
(7004) 4 8 6 0
(6104) 8 16 12 0
(6014) 6 12 A 0
(5204) 16 32 24 0
(5114) 12 24 8 0
(5024) A 8 i 0
(4304) 32 64 48 0
(4214) 24 48 16 0
(4124) 8 16 2 0
(4034) 1 2 0 0
(3404) 64 104 72 24
(3314) AS 7 24 24
(3224) 16 24 4 8
(3134) 2 4 0 0
(2504) 104 128 76 80
(2414) Ae 76 24 68
(2324) 24 24 4 24
(2234) Ay 4 0 4
(1604) IS NG 52 140
48 LES HYPERQUADRIQUES DANS LESPACE
(YPITS)u a b, (a ë ál
(1514) 76 52 14 0 100
(1424) 24 14 2 94 0
(1334) 4 2 0 6 0
(0704) 116 92 34 140 0
(0614) 52 34 8 70 0
(0524) | 14 8 I 20 0
(0434) 2 | 0 € 0
Les nombres (74,0, d*), des coniques en /; ont été trouvés
par SCHUBERT.
9. Les nombres des quadriques (@,’0,!c,'d"),9.
Pour un système simplement infini de quadriques en Z, on a
les trois relations
Cy == FACE 2d, + Dj,
2bj= L ar Co ae A,
on les démontre de la manière suivante:
Considérons d’abord dans un plan donné C un faisceau de rayons
à sommet 4 et faisons correspondre l’un à l’autre deux rayons B,, B, de
ce faisceau qui passent par les deux points d’intersection de C avec
une même quadrique du système donné. Ainsi nous engendrons
entre les rayons de ce faisceau une correspondance (cs, ¢,), chaque
rayon de ce faisceau rencontrant c‚ quadriques du système donné;
donc il y a Ze, coincidences. Sur la courbe de l’ordre €, qui est
en C le lieu des points d'intersection avec les quadriques du
système, nous trouvons trois groupes de points caractérisant une
coincidence, les % points d’intersection de C avec les plans doubles
des dégénérations x, les 4, points de contact avec les quadriques qui tou-
chent le plan Cet les 2d, points d’intersection de C avec les qua-
driques dont les espaces contiennent le sommet A du faisceau.
Done 26, = y + 4, + 2d,
Considérons ensuite dans un espace donné J un faisceau de plans
dont une droite B de DP soit axe et faisons correspondre l’un à
l’autre deux plans C, C, de ce faisceau qui touchent une même
quadrique du système donné. Cela revient à dire qu'entre les plans
sb. .
A QUATRE DIMENSIONS. 49
1, C, il existe une correspondance (4,, 4). Sur la courbe gauche
qui forme en PD le lieu des points d’intersection avec les quadri-
ques du système, on retrouve les 24, coïncidences de cette corres-
pondance dans les d intersections avec les droites doubles des dégé-
nérations W, les a, points de contact de D avec des quadriques du
système et les c, points d’intersection de B avec des quadriques
du système. Donc 24, = + a + ca.
Considérons enfin le faisceau d’espaces dont un plan donné C
est le plan de base, et faisons correspondre Fun à l’autre deux
espaces 2,, D, qui touchent une même quadrique du système
donné. Alors les 2a, coincidences de cette correspondance (a, 4)
dérivent des cônes @ du système et des 4, quadriques qui touchent
le plan C. Donc 2a, = ® + 6,’).
Les relations que nous venons de démontrer, nous donnent
az = 3 ® + 2 À + x + 2d,
43, =29+44+2% +4,
40 = D+èd+S y + 6%,
où nous conservons le facteur 2 dans la seconde équation pour
faire ressortir à quel titre ces trois équations peuvent être regar-
dées comme une extension naturelle des deux équations
34,=2E+ yt Ze,
3b, E +2 n + 4e,
|
du numéro 7). En les multipliant par @,"’,!c'd°", où pgr ts
= 13, on voit qu'elles expriment les trois nombres (a? “Ute fd" 1),
eee cya), (aber (d'en (aPbslcd*) et les quantités
connues P «bte, dd", à abled", x abc". Done elles nous
permettent de trouver tous les nombres @,"6,'c)'d,°, où p +g +r +8
= 13. Seulement, parce que les nombres db, y, de ces équati-
ons sont exprimées en quadriques comme unité et que les valeurs
trouvées pour (Dpgrs)y, (Lpgrs)u, (xPgrs)u se rapportent aux
dégénérations 4.3 comme unités, il faut qu'on y fasse atten-
—— Oh
tion qu'on a D, = 2" da, dy = 2 Ww %q = 2 Ker
1) Tei la courbe gauche qui figure dans la déduction de la deuxième formule de
réduction, est de l’ordre b,, tandis que dans la figure qui mène à la troisième formule
de réduction, le lieu des points de contact des espaces D par C avec les quadriques du
système est une courbe tordue de l'ordre «, + b,, chaque espace D par C en contenant
a, points hors de C et b, points en C.
Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl. VIT. D 4
50 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
Pour Vévaluation du nombre de quadriques représenté par (4621)
on trouve ainsi, en employant quatre fois de suite la seconde des
trois formules, avec une notation transparente
2 (4621) =(6 + 2 + yx) (4521) + 2 (4522),
2 (4522) = (9 + 2P + y) (4422) + 2 (4423),
2 (4423) = (0 + 2 à + y) (4323) + 2 (4324),
2 (4324) = (9 + 2 d + y) (4224);
car (4225
ed
disparait 5. Cela donne immédiatement
2 (4621) — (D + 2 d + x)[(4521) + (4422) + (4323) + (4224)],
ou
2 (4621) = 2424 + 16 + 4 + 0) + 2 (0 + 2% 27 + 2% 27 +97 10)
+92 (12S0 + 704 + 168 + 16) = 10752.
Ainsi l’on peut construire le tableau des nombres (pgrs)3. Pour
épargner de l’espace nous avons divisé ce tableau en deux parties.
La première partie, se rapportant aux cas s=0, s=1, s=2, ne
donne que les résultats, la seconde partie s— 3, s = 4 permet den
contrôler les relations mutuelles.
Nombres des quadriques satisfaisant à treize conditions simples,
1(13,0,0,0)= 5l(9220)— 180(7330)— 1080(5800)= 1280
1(12,1,0,0)= -10(9130)=- 270(7240)=, 1620(5710)= ADEN
(12,0,1,0)= 15(9040)— 405(7150)= 2220(5620)— 2880
(11,2,0,0)= 20(8500)— 160\(7060)= 2630(5530)= 4320
(11,1,1,0)= © 30(8410)= 240(6700)— 640/(5440)= 6480
1(11,0,2,0)= 45(8320)= 360(6610)= 960(5350)— 8880
(10,3,0,0)= 40(8230)= 540(6520)— 1440(5260)= 10520
(10,2,1,0)= 60/(8140)= 810(6430)= 2160(5170)=10580
(10,1,2,0)= 90(8050)— 1110(6340)= 3240(5080)— 9220
(10,0,3,0)= 135(7600)= 320(6250)= 4440/(4900)= 2496
(9400)= 80\(7510)= 480(6160)= 5260(4810)= 3712
(9310)= 120(7420)— 720(6070)— 5290\(4720)= 5504
*) On peut diminuer le travail en supprimant la dernière des quatre équations. Car
les nombres (pqr4), où p+q+r—19, sont les nombres des quadriques satisfaisant
dans l’espace ordinaire à neuf conditions simples. Seulement nous préférons de faire res-
sortir que ces nombres qu'on pourrait déduire d'une étude antérieure (voir SCHUBERT
»Kalkiil” pp. 104—105), s’obtiennent ici à l’aide des formules générales.
A
(4630)— 8128
(4540) = 11936
(4450) = 16096
(4360) = 18992
(4270) = 19304
(4180) = 16968
(4090) =13411
(3,10,0,0)= 4560
(3910)= 6624
(3820)— 9536
(3730) = 13568
(3640) = 19008
(3550) = 24640
(3460) = 28384
(3370) = 28656
(3280) = 25408
(3190) 20198
(3,0,10,0)=15015
(2,11,0,0)= 7560
(2,10,1,0) = 10560
(2920) = 14496
(2830) = 19456
(2740) = 25344
(2650) = 30720
(2560) — 33600
(2470) — 32736
(2380) = 28416
(2290) = 22324
(2,1,10,0) — 16470
2,0,11,0) = 11625
(1,12,0,0) = 11200
(1,11,1,0) = 14840
(1,10,2,0) — 19120
(1930) = 23744
(1840) = 28032
(1750) = 30720
(1660) 30720
(1570) = 27840
(1480) — 22944
(1390) = 17472
(1,2,10,0) = 12620
Mb 11,0) —=- 8770
(1,0,12,0)— 5915
(0,13,0,0)— 14960
(0,12,1,0)—18714
QUATRE DIMENSIONS,
(0,11,2,0) = 22600
(0,10,3,0) — 26080
(0940) = 28416
(0850) = 28800
(0760) = 26880
(0670) = 2304.0
(0580) = 18240
(0490) = 13536
(0,3,10,0)— 9600
(0,2,11,0)= 6580
(0,1,12,0)= 4390
(0,0,13,0)= 2865
(12,050, = 10
(ITO 20
(11,0,1,1)= 30
(0 ORS 40
(LOS A) — 60
(10,0,2,1)= 90
(9301)= 80
@211)= 120
(9121)= . 180
(9031)=" 270
(8401)= 160
(8311)= 240
(8221)— 360
(SISI. 540
(8041)= 705
(7501)= * 320
CA i= GAs 0
isis 20
(Rabi L080
(7141)= 1410
(7051) = 1520
(6601)= 640
(Gol == +7960
(6421)= 1440
(638D— 2160
(6241)— 2820
(6151)= 3040
(6061)= 2660
GOD" 1280!
(HOND > F920
(5521)= 2580
(5431)=— 4320
(5341)=
5640 | (1,0,11,1)= 1530
(5251)= 6080
(5161;— 5320)
(5071)= 3930
(4801)— 2464
(4711)— 8648
(4621)— 5376
(4531)— 7872
(4441)— 10128
(4351)— 10944
(4261)= 9808
(4171)= 7316
(4081)= 4927
(3901)— 4344. |
(3811)— 6224
(3721)= 8800
(3631) = 12224
(3541) =15136
(3451) = 16064
(3361) = 14464
(3271) = 11080
(3181)= 7494
(3091)— 4916
(2100 6780
(2911)— 9216
(2821) = 12208
(2731) = 15616
(2641) = 18048
(2551) = 18240
(2461) = 15936
(2371) = 12048
(2281)— 8116
(2191)= 5308
(2,0,10,1)= 3390
(1,11,0,1)= 9240
MOD 11700
(1921)=14184
(1831) =16160
(1741)=16704
(1651) =15360
(1561) = 12480
(1471)= 9024
(1381)= 6000
(1291)= 3884
(1,1,10,1)= 2460
LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
(0,12,0,1)=11240 | (6282)=- 940 (2542) = 5856
(OL, 1,4) 3240 (6142) =. 4, 990 (2452) = 4896
(0;10;2,1)=14780 | (6052) —=: 820 (2362) = 3440
(0931) =15376 | (5602)= 640 (2272) = 2092
(OSAI) 14592 4 (6512) 27-960 (2182)= : 1250
(0751) =12480 | (5422)= 1440 (2092)= 736
(0661) =):9600 11(5332) == 1880 | (1,10;0,.2)= 78850
(0571)= 6720 4 (6242)=: 1980 (1912)= 4644
(0481)= 4416 | (5152)— 1640 (1822)= 5248
(0391)= 2832 | (5062)— 1110 (17382)= 5344
(02 10,1 1780. Hey 02) = S216 (1642)= 4768
(OL, 12,1) = 42100: 114612) = 21792 (1552)= 8680
(0,0,12,1)= 670 | (4522)— 2624 (1462)= 2464
|1(11:0,0,27 = 10 | (4432)— 3376 (1372)= 1488
(1002 20 | (4342) = 3576 (1282) = 884
(TOUTE 30 | (4252)— 3056 ALOE DE
(9202) — 40 | (4162)= 2092 | (1,0,10,2)= +300
(4112) = 60 | (4072)= 1269 | (0,11,0,2)= 4310
(9022) = 90 1:(8802)—=1:2072 | (0,10,1,2)\= 477
(8302) = 80 | (8712)=1 2928 (0922) = 4896
(S212)= 120 | (8622)= 4064 (08382)= 4544
(8122)= +) 180 1: (35382) =) 9024 (0742)= 3744
(8082)— 235 | (3442)— 52382 (0652)= 2720
(7402)= 160.) (3352)= 4512 (0562)= 1760
(7312)= 240 | (8262)— 3208 (0472)= 1056
(1222) = 360 403172) =" 1054 (0382)= 624
(HSE ATO: BOSS) ce G9 (0292)— 364
(7042)= © 495 | (2902)— 3056 | (0,1;10,2)= 7200
(6502)= 320 | (2812)— 4040 | (0,0,11,2)= 120
(64:12) =" 480 (2722) EN S152
(6322) =) 120 |) 42632) =" 5920
(pqrs) 1 is Gh d P uy x
(9008) 5 10 15 ] 0 0 18
(8103) 10 20 30 2 0 0 36
(S013) 15 30 45 5 0 0 54
(1203) 20 40 60 4 0 0 Tia
(7113) 30 60 90 6 () 0 108
(7023) | 45 90 | 100 9 0 35 92
(6303) 40 80 120 8 0 0 144
(6213) 60 120 180 12 0 0 216
A QUATRE DIMENSIONS.
Wgrs) ay b Cz d ? Ÿ X
(6123) 90 180 200 18 0 10 184
(6033) 100 200 165 ied 0 135 96
(54.03) 80 160 240 16 0 0 288
(5313) 120 240 360 24 0 0 432
(5223) 180 360 LOO 36 0 140 368
(5133) 200 400 330 34 0 270 192
(5043) 165 330 210 21 0 285 45
(4503) 160 304 448 32 16 0 528
(44.13) 240 AAS 656 48 32 0 768
(4323) 360 656 736 12 64 216 672
(4233) 400 736 628 GS 64 AAA 384
(4143) 330 628 404 12 32 522 96
(4053) 210 404 223 16 16 oH) 0
(3603) 304 D? 120 56 96 0 816
(3513) 448 120 992 SO 176 0 | 1104
(3423) 656 992° OSS 112 320 240 960
(3333) 136 | 1088 936 104 384 DOA 516
(3243) 628 936 632 6S 320 612 192
(3153) AOA 632 350 34 176 510 0
(3063) 223 350 192 Li 96 285 0
(2703) DL? 732 952 SO 292 Of OS
(2613) 120 952 | 1184 104 488 0 | 1208
(2523) 992.) 1184 | 1216 128 SOO 160 992
(2433) | 1088 | 1216 | 1008 tS POGOe 8860 5 e576
(2343) 936 | 1008 672 12 864 408 192
2253) 632 672 312 36 592 340 0
(2163) 350 312 204 18 328 190 0
(2073) 192 204 [etal 9 180 105 0
(1803) 132 874 | 1016 92 590 0 974
(1713) 952 TOG TOS 104 888 0 936
(1623) | 1184 | 1080 976 104 | 1288 0 664
Mb) | 1216 976 736 80 | 1456 0 336
(1443) | 1008 736 AGA 48 | 1280 0 96
(1353) 672 LG4 256 24 880 0 0
(1263) 372 256 140 2 488 0 0
(el 7 3) 204 140 76 6 268 0 0)
(1083) all 76 41 3 146 0 0
(0903) 874 920 966 92 828 0 828
(0813) | 1016 966 916 92 | 1066 0 682
(0723) | 1080 916 152 80 | 1244 0 428
(0533) 976 152 528 56: } 1200 0 192
54 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
(pars) a, b, Cy d ® LU x
(0543) 736 528 320 32 944 0 48
(0453) | 464 | 320 | 176 16 |. 608 0 0
(0363) 256 176 96 8 336 0 0
(0273) 140 96 52 4 184 0 0
(0183) 76 52 28 2 100 0 0
(0093) Ad 28 15 I DA () ()
10, Les nombres des dégénérations z, A,,v d’un système simplement
infini d’hyperquadriques.
Dans son espace Z, Phyperquadrique est une figure à quatorze
dimensions 1). On obtient donc un système simplement infini d’hy-
perquadriques en imposant à cette figure un ensemble de conditions
équivalant à treize conditions simples.
Chez les hyperquadriques il faut distinguer quatre conditions
simples «>, Da, Co, dy. Par a, 63, cg nous indiquons respectivement
qu'un espace donné JD, un plan donné C, une droite donnée B
touchent Vhyperquadrique, ce qui implique que lhyperquadrique
est coupée par l’espace D suivant un cône, par le plan C suivant
deux droites (réelles ou imaginaires), par la droite 2 en deux points
coïncidés; tandis que 4, exprime qu’un point donné A fasse partie
de Vhyperquadrique. Ainsi nous nous occuperons des systèmes d’hy-
perquadriques représentés par le symbole (,”/,?c,"d,”)‚, ou, en forme
plus condensée, par (pgr).
Un système simplement infini d'hyperquadriques admet un nombre
fini de chacune des dégénérations x, A, 4, caractérisées respective-
ment par la possession d’un point, d’une droite, d’un plan, d’un
*) On démontre qu’une hyperquadrique est déterminée par 14 points en faisant voir
qu'il y a une hyperquadrique (et une seule) qui passe par un point quelconque et par
deux quadriques situées en deux espaces différents et coupant le plan d’intersection de
ces espaces suivant la même conique.
Comme le démontre le nombre des coefficients de l’équation correspondante les nombres
5, 9, 14, ete... de points qui déterminent une conique, une quadrique, une hyperqua-
drique, etc, représentent en même temps les nombres de dimensions d’une conique, d’une
cubique plane, d’une quartique plane, etc. En désignant la série de ces nombres par
Uz, Us U,, ete. on a, en général, comme le prouve la déduction géométrique indiquée
plus haut, la relation récurrente u 41 = 2u, — Uri + 1.
JL
Le
A QUATRE DIMENSIONS.
ed
espace doubles. La dégénération x est un hypercône quadrique ;
cet hypercône est déterminé, si lon connaît le sommet et neuf
points, ce qui fait voir qu'il admet 4 + 9 — 13 dimensions. La
dégénération A se compose des droites qui s'appuient sur une droite
et une conique données, la droite croisant le plan de la conique.
Elle a pour espaces tangents les espaces qui contiennent un de deux
points déterminés de la droite donnée qui en forme la droite double;
de manière qu'elle est déterminée, si lon connaît la droite double,
cinq points et les deux points singuliers sur la droite double, ce
qui démontre qu’elle est une figure de 6 + 5 + 2 — 13 dimensions.
La dégénération j est en MW, la figure corrélative de A; ses points
sont distribués en deux espaces qui se coupent suivant un plan
portant une conique touchée par tous ses espaces tangents. Et la
dégénération y est de la même manière la figure corrélative de x
et done une quadrique dont l’espace support forme l’espace double
de la dégénération.
A cause de la corrélation les nombres (zpgrs); et (Apgrs),, sont
respectivement égaux à (sp et (wsrgp). Cette remarque facilite
la détermination des nombres des dégénérations.
æ).... Les nombres x et v.
Les nombres (vpyrs),, ont été donnés dans le tableau précédent.
É) "Nés nombres et u
Les nombres (upgrs); ne different de zéro que pour 1 oS
re to
i os
=>
=)
OT
Or Ot Ot St Sd
wwe LOUW À
NE NI
I
DO CC
D D LI D WO D D © D D WS OD WO D UO D WO © D WO © www UO
co
COWS SEE o
Eee,
to
Aen
(CUISMIG Ne
BSOD
Res
(1723) =
(1714) =
ODE
(1642) =
57
60 (1683) 115
108 | (1624)= 1505
140) (1615)= 1920
AO 006920
140; (1552)= 70
140| (1543)= 210
5540 (1534)— 378
8560! (1525)= 490
— 10680, (1516)= 490
2180) (1507)= 490
6540) (1462)= 10
=10908| (1453)= 30
1080} (1444)= 54
BO SAAB MNT (0)
5656 (AD 70
6680 | (1417)= 70
ADO (AOS 0
1260 (0,11,0,2)— 6620
2252 (0,10, 162) 3390
2860 (0,10,0,3)= 10170
2860) (0922)= 1545
120! (0913)= 485
360! (0904)= 7947
648) (0832)— 590
840} (0823) 1770
840} (0S14)= 2634
840 | (0805)— 3770 |
BOW... 0742) 180
GON (OTS) 540
108 | (0724)= 1218
140} (0715)— 1240
140} (0706)= 1240
140) (0652)= 40
140} (0643)= 120
6460} (0634)= 216
3690 | (0625)= 280
= 11070) (0616)= 280
1910! (0607)= 280
5230] (0562)= 5
9626 | (0553)= 5
8203) (OBAAN ee "7
OON (053 5 35
43324) 5(0526)—= 35
5260, (OSL) „35
280) (©508)= 85
58 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
11. Les nombres des hyperquadriques (a,’4,'c,'d,°),,.
Pour un système simplement infini d’hyperquadriques en Z, on
a les quatre relations
29 TC:
20; = pe + 0, + d,,
26, =A +a +06,
SURD + de.
Parce qu'en Z, Vhyperquadrique est sa propre figure corrélative,
il faut que cet ensemble de relations se comporte de la même manière.
En effet la premiere et la seconde de ces équations ont respective-
ment pour corrélative la quatrième et la troisième. Il s'en suit
que l’ensemble de ces quatre relations est démontré, aussitôt qu'on
ait prouvé le premier couple de ces équations.
Sur une droite quelconque donnée B nous faisons correspondre
Pun à l’autre deux points d’intersection avec une même hyper-
quadrique du système. Évidemment les 2d, points de coïncidence
de Ja correspondance (d,, d,), engendrée de cette manière, se retrou-
vent dans les y intersections de £ avec les dégénérations y à espace
double, et dans les ¢, points de contact de B avec des hyperqua-
driques du système. Done 2d=y +3.
Le point 4 et le plan C par 4 étant le sommet et le support
d’un faisceau donné de rayons, faisons correspondre l’un à l’autre
deux rayons de ce faisceau qui touchent une même hyperquadrique
du système. Ainsi nous faisons naître entre les rayons du faisceau
une correspondance (c, €) dont on retrouve facilement les 2 €, rayons
de coincidence à l’aide de la courbe de l’ordre €, + d, qui forme
en C le lieu des points de contact des hyperquadriques du système
avec les rayons du faisceau. Sur cette courbe il y a trois grou-
pes de points caractérisant une coïncidence: les points d’inter-
section de C avec les plans doubles des dégénérations y, les 4,
points de contact de C avec des hyperquadriques du système et le
point 4 compté d, fois. Done 2 c = y + 4, + da.
Les relations que nous venons de démontrer, nous donnent
DM =4%4+8A4t+2 e+ y,
56,=82%+6A+4u4+2y,
5 —=8x+4+6u+S8 y,
Dd—= *+2A4+8 M4 4y.
En les multipliant par a 20,'c,'d°, où p + 9 +7 +5 = 13, on voit
qu'elles” “expriment (azo bte NAE) vr (ab, nc PAB tee a
(aÿ bc)" d5 T7) dans les quantités connues x, À, 4, v. Chacune de ces
A QUATRE DIMENSIONS. 59
quatre équations nous permet donc de trouver tous les nombres
(pgrs),, de manière qu'on peut évaluer comme vérification chacun
de ces nombres de quatre manières différentes }).
Le tableau des nombres „(pgrs)u représentant le but final de
nos recherches, nous le donnons dans une forme qui permet de
controler les relations de dépendance. Pour la dernière fois nous
rappelons ici que les nombres x, A, 4, qui y entrent, se déduisent
des valeurs trouvées en les multipliant respectivement par 2”, 27, 2’, 2°.
A cause de la corrélation chaque ligne de ce tableau donne deux
groupes différents de résultats, à mesure qu’on se sert de l’en-tête
supérieur ou inférieur. Ainsi la première ligne fait trouver
0140/0100, (DO AD 1,
(USE: 02,10 NE (O01. 19) 2,
SOA), (ORTON
Ce O10: Wa FONG, 19) 224
Nombres des hyperquadriques satisfaisant a quatorze conditions simples.
| |
(pqrs) | A, b, Cy d, | % | A [a y |
| | | |
M0 00): L | 2 3| 4 0" |! Ger NO 5(0,0,0,13)
EDO ‘2 4 CIRE D Wel ON MNT O OO EN 2)
Mo 01,0) 3 | 6 orda oee ot 1510,1,0,12)
00/01) 4) 8 He ROW OPTIO SS Oe “QOL C012)
(12,00) 4 | 8 | 12) 16 0 | o | o| 20(00210
0)" 6 | 12 18} 24) 0 Oise 30(0,1,1,11)
feed) "8 "16 | 24) 39 0 | 0 0 | 40K(1,0,1,11)
MEO) 9. | 18 oT! 307 O | 0 0 | 45)(0,2,0,11)
MND 12) 920) 36) AB oF oF 0 | 60,10)
(17,0,0,2)) 16 | 32 | 48] 44) 0 | 0 | 20 | 40(2,0,0,11)
oe) 8 | Te | 24) 39 0 | 0 | 0 | 40(0:0,310)
(10;2,1,0)) 12 | 24 | 86 48] 0°] 0 0 | 60/(0,1,2,10)
(020,1) 16 | 32 | 48) 64) 0 | 0 | 0 | 80(1,0,2,10)
BOMS O) 19, | 36 AT NON ONE POE SOE 10)
HUB) 24.) 48 Honen OF OTP ONE 0 GERT)
M0 2) 32 64 | 96! ssi 0 | 0 40 | 80(Q,0,1,10)
(10,0,3,0) 27 | 54 | 81) 108) o | o | o | 135(0.3,0,10)
mere) 36) 72° | 108! 144! 0 0 0 | 180(1,2,0,10)
(10,0,1,2) 48 | 96 | 144 132) 0 | 0 | 60 | 120\2,1,0,10)
|
ind, Cp Ba.) Gy y je Al IEI | (prs)
1 El ' ' .
) Comme nous l'avons remarqué au début de ce travail ces nombres figurent chez
SCHUBERT (Math. Ann., t. 45).
60 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
(pgrs) Ay bs ire; d, % A le y
0| 90) 40(3,0,0,10)
Oele, 0%, 80! 210049)
Ol 01.120 0
0} 0] 160) (1039)
0} Of 180} (0229)
O1 0. 240; (HOE)
0] 80) 160} (2029)
0! 0) 970) = Gem
Ol’ | 0 |. 360) AA)
0; 120} 240} (2119)
0/180] 80) (3019)
0| 0| 405} (0409)
0| 0} 540). (1309)
0/180} 360) (2209)
0|270|-120) (3109)
01207) 16} (4009)
0} 0] 160) (0058)
O| 0} 240; (ONES)
0| 0| 820) (OMS
(0238)
O1 <0} 480). "Gitar.
0| 160) 320) (2038)
0). 0} 540) (08881
On 91720 Gas
01240 | 480} (2128)
01360! 160/ (3028)
0}. 0} .810). (0418)
Ol 0:/1080).) ieee
0| 360] 720] (2218)
0|540} 240) (3118)
0|414| 32) (4018)
35| 0/1110) (0508)
70| 011410) (1408)
140 | 400 | 940} (2308)
140 | 600 | 360) (8208)
70|516| 48] (4108)
35 | 290 0) (5008)
0} 0} 820) (0067)
Oe OF ASO WOUD
(10,0,0,3) 44 | 88 |-132 . 86
(9400) Go), SIaraTtAel 08
(9310) 24+, AS 1 72]. 96
(9801) 32 |
(0290) 864.) 72.) LOS LAA
(9211) 48-| 96 | 144] 192
(9202) 64 | 128 | 192) 176
(9130) 54 | 108 | 162) 216
(9121) 72 | 144 | 216) 288
(9112) 96 | 192 | 288| 264
(9103) 88 | 176 | 264) 172
(9040) SL | 162 | 243| 324
(9031) 108 | 216 | 324) 432
(9022) 144 | 288 | 432) 396
(9013) 132 | 264 | 396) 258
(9004) 86 | 172 | 258] 137
(8500): 32 | 64 | 96 128
(8410) AS. 96 | 144192
(8401). 64 | 128 | 192] 256
(S820), 72 |.144 214) 988
($311)--96 1192 | 288, 384
(S302)| 128 | 256 | 384) 352
(8230) 108 | 216 | 324) 432
(8221) 144 | 288 | 432] 576
(8212) 192 | 384 | 576] 528
(S203)| 176 | 352 | 528] 344
(8140) 162 | 324 | 486] 648
(8131)| 216 | 432 | 648] S64
(8122) 288 | 576 | 864] 792
(8113) 264 | 528 | 792] 516
(8104), 172 | 344 | 516) 274
(S050) 243 | 486 | 694) 902
(8041) 324 | 648 | 90211156
(8032) 432 | 864 [1156/1048
(8023) 396 | 792 |1048} 704
(8014) 258 | 516 | 704) 376
(8005) 137 | 274 | 376; 188
(7600) 64 | 128 | 192] 256
(7510) 96 | 192 | 288] 384
©
S
Co
er)
SS
(pgrs)
S
>
=
8
J
ES
be
x
A QUATRE DIMENSIONS. 61
(pqrs) Ay b, € d, XL À [a y
(7501)| 128) 256) 384) 512 0 Ol = OF GAO A057)
(7420)| 144) 288) 432) 576) 0 Of : 0) 720) > (0247)
@411)| 192) 3884) 576) 768| 0 OÙ O60) GAT)
Gao) 256) 5121, 768] 7041 0 0| 320} 640} (2047)
(7330)| 216)” 432) 648) 864) 0 0! 0/1080} (0337)
(1321) | 288! 576) 8641152| 0 Of 0/1440) (1287)
(1312) | 384) 768115211056) 0 0| 480} 960} (2187)
(7303)| 352} 7041056) 688| 0 Of 720) 320) (3087)
(7240)| 324| 648] 9721296! 0 0| 011620) (0427)
(1231)| 432) 864/1296|1728| 0 Ge 0460 061827)
(1222) 576) 115217281584) 0 0! 72011440) (2227)
(7213)| 528) 105615841032] 0 011080) 480) (3127)
(7204)| 344) 6881032) 548) 0 0! 828) 64) (4027)
(7150)| 486) 972/1388/1804| 0 | 70] 0/222 (0517)
(7141)| 648) 1296]1804/2312| O | 140) 0/2820) (1417)
(7132)| 864) 172823122096) 0 | 280] 8001880, (2317)
(7123)| 792) 1584/2096)1408} 0 | 280/1200| 720) (8217)
(7114)| 516) 1032/1408) 752) O | 1401032 96) (4117)
Cis) 274) 2 548) 752) 376! - 0 | 70) 580) Of (5017)
(7060) | 694) 1388/1802/2216) 0 | 280} 0/2630) (0607)
(7051); 902) 180422162628) 0 | 490) 0/3040) (1507)
(7042) | 1156) 231226282304 O | 840} 6401980) (2407)
(7033) | 1048) 2096/2304/1552) 0 | 840] 960! 800} (3307)
(7024)| 704| 1408/1552| 848} 0 | 560} 848] 144) (4207)
(015)! 376) 752) 848) 424) 0!| 280} 520) 0) (5107)
(7006)| 188] 376) 424) 212) O | 140) 260| O0] (6007)
(6700)| 128) 256} 384| 512) 0 0! 0! 640} (0076)
(6610)| 192) 384) 576} 768) 0 0! 0! 960! (0166)
(6601)| 256) 512| 7681024 0 0| 0/1280; (1066)
(6520)| 288) 576] 8641152} 0 0! 0/1440) (0256)
(6511) | 384) 716811521536) 0 0| 011920) (1156)
(6502)| 512) 102415361408) 0 0! 6401280} (2056)
(6430)| 432! 864112961728) 0 | 0} 0/2160) (0346)
(6421). 576) 115217282304 0 0| 02880! (1246)
(6412)| 768} 153623042112) 0 0} 9601920) (2146)
(6403) 704) 140S21121376) 0 0/1440} 640} (3046)
(6340)| 648) 1296119442592| 0 0| 0/8240) (0436)
(6331)| 864] 1728|2592/3456| 0 0] 014320) (1336)
(6322) | 1152) 2304/3456/3168] 0 | : 0/1440/2880| (2236)
d, a b, | ziee 72 À x (pqrs)
62 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE
(pgrs) dy b, Co d, x À L y
OD
mp)
=~
SI
2160) 960) (3136)
0/1656] 128) (4036)
0| 44.4.0] (0526)
2801 0} 5640] (1426)
(6813)| 1056, 2112381682064
(6304) | 688] 1376/2064/1096
(6250) | 972) 1944277618608
(6241)! 1296) 2592136084624
NSD)
—
[is
CZ
(6232) | 1728] 345646244192 0 | 5601600! 3760] (2326)
(6223) | 1584] 3168/4192/2816] 0 | 5602440) 1440] (3226)
(6214) | 1032] 206428161504) 0 | 280/2064| 192] (4126)
(6205)| 548] 1096/1504) 752] 0 | 140/1160 0} (5026)
(6160)| 1388] 2776/3604/4432| 0 | 560) 0) 5260] (0616)
(6151)| 1804] 3608/4432/5256} 0 | 980! 0] 6080) (1516)
(6142) | 2312} 4624525614608 1680/1280! 3960] (2416)
(6133) | 2096! 4192/4608/3104] 0 |1680/1920] 1600] (3316)
(6124)| 1408} 281631041696} 0 [1120/1696| 288] (4216)
(6115)| 752] 1504/1696] 848] 0 | 560/1040 0| (5116)
(6106)| 376] 752) 848} 424] 0 | 280} 520 0) (6016)
(6070) | 1802} 360441664728] 0 | 240] 0] 5290) (0706)
(6061)| 2216) 4432/4728/5024) 0 [1920| 0! 5320) (1606)
(6052) | 2628} 5256/5024/4152] 0 [2860] 640) 3280] (2506)
(6043) | 2304) 4608415212736) 0 2760] 960! 1320] (3406)
(6034) | 1552} 3104/2736/1504) 0 |1920) 864} 272] (4306)
(6025)| 848] 1696/1504! 752) 0 {1040} 560 0] (5206)
(5800)| 256} 512 7681024] 0 0! 0! 1280) (0085)
iS
(5710)| 384] 768/1152/1536] 0 0! 0} 1920) (0175)
(5701)| 512] 1024/1536/2048] 0 0] 0} 2560] (1075)
(5620)| 576} 1152/1728/2304| 0 0} 0! 2880] (0265)
(5611) | 768] 1536/2304/3072| 0 0! 0] 3840] (1165)
(5602)| 1024! 204830722816] 0 01280! 2560) (2065)
(5530)| 864! 1728/2592/3456) 0 OÙ 0} 4320] (0355)
(5521)| 1152] 2304/3456/4608| 0 OÙ 0] 5760] (1255)
(5512)| 1536] 3072/4608/4224] 0 0/1920] 3840] (2155)
(5503) | 1408] 281642242752) 0 0.2880] 1280] (3055)
(5440)! 1296] 2592/3888/5184] 0 OÙ 0] 6480] (0445)
(5431) | 1728] 3456/5184/6912] 0 OÙ 0] 8640] (1345)
(5422) | 2304] 4608/6912/6336] 0 02880! 5760} (2245)
(5413)| 2112} 4224/6336/4128] 0 0/4320] 1920] (3145)
(5404) | 1376] 275241282192) 0 0/3312] 256] (4045)
(5350)| 19441 3888/5552/7216] 0 | 280] 0] 8880) (0535)
(5341) | 2592] 518472169248] 0 | 560] 0/11280) (1435)
(5332) | 3456] 6912/9248/8384] 0 |1120/3200) 7520) (2335)
d, es Wil Bs Ay y Je À x (pgrs)
A QUATRE DIMENSIONS. 65
(pgrs) | a b, COR Bale cae Abe Le y
(5323)13168) 6336) 8384) 5632| 0111204800) 2880) (3235)
(5314) |2064| 4128] 5632| 3008 0) 5604128) 384! (4135)
(5305) 1096) 2192) 3008] 1504) 0] 280/2320 0! (5035)
(8260) |2776| 5552) 7208) 8864) 0/1120} : 0110520! (0625)
(5251) 3608] 7216) 8864/10512| 0/1960; 0/12160) (1525)
(5242) |4624| 9248/10512| 9216] —0/3360/2560} 7920] (2 ee
(5233) 4192) 8384) 9216) 6208] 013360/3840| 3200] (3325
(5224) 2816! 5632) 6208] 3392) 0/2240/3392 he
(5215) 11504! 3008} 3392) 1696) 0111202080 0| (5125)
(5170) |8604| 7208] 8332] 9456) 0/2480} 0/10580} (0715)
(5161) 4432| 8864] 9456110048] 0/8840) 0/10640) (1615)
(5152)15256110512110048| 8304) 0/5720/1280| 6560] (2515)
(5143) |4608} 9216] 8804) 5472) 0/5520/1920| 2640} (3415)
(5184) |3104) 6208] 5472) 3008) 0/38840/1728| 544] (4315)
(5080) 4166| 8332) 8628) 8924) 0/3770] 0} 9220) (0805)
(5071) 4728| 9456) 8924) S392 0/5260) 0} 7860) (1705)
(5062) |5024|10048) 8392) 6416) 0/6680} 320} 4440) (2605)
(5053) 4152) 8304) 6416] 4048} 0/6040} 480] 1680) (3505)
(5044) |2736] 5472} 4048] 2192 0/4160) 432) 336) (4405)
(4900)| 512) 1008} 1504 2000! 16) 0! 0} 2496] (0094)
(4810)| 768) 1504) 2240) 2976) 32 0} Of 3712) (0184)
(4801) |1024| 2000! 2976) 3952) 48; 0} 0) 4928/(1084)
(4720) {1152} 2240) 3328] 4416) 64! 0} 0} 5504} (0274)
(4711) |1536] 2976) 4416) 5856) 96) 0} 0} 7296/(1174)
(4702) |2048| 3952) 5856] 5360} 144) 0/2400] 4864] (2074)
(4630) |1728] 3328) 4928] 6528] 128) 0] 0) 8128] (0364)
(4621) |2304| 4416] 6528] 8640! 192 0} 0/10752) (1264)
(4612) 3072| 5856) 8640] 7904 288| 0/3520) 7168) (2164)
(4603) |2816| 5360) 7904! 5168) 272 0/5280) 2432) (3064)
(4540) 12592] 4928] 7264) 9600! 256) 0] 0/11936) (0454)
(4531) 8456] 6528) 9600/12672/ 384; 0) 0115744] (1354)
(4522) |4608} 8640112672111584) 576} 0/5120/10496) (2254)
(4513) |4224) 7904111584) 7584) 544) 0/7680) 3584) (3154)
(4504) |2752| 5168) 7584! 4048] 336) 0/5952) 512) (4054)
(4450) |3888) 7264)10208/13152| 512) 432 0116096! (0544)
(4441) |5184| 9600/13152/16704) 768) 864 0|20256| (1444)
(4432) 169121126721167041510411152117285632113504 (2344)
(4423) 63361115841151041017611088/1728/8448| 5248] (3244)
(4414) 14128| 7584110176) 5472) 672) 8647296) 768) (4144)
d, 65 b, 4 y 72 À x (pqrs)
64 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE
(pqrs) Ay ba 63 d, % A fea y
(4360) 5552/10208/13136/16064) 896) 1728 0118992! (0634)
(4351) 721611315211606418976/1280| 3024 0[21888| (1534)
(4842), 9248/16704/18976166401792) 5184) 4608/14304! (2434)
(4333) 8384/15104116640 1126411664) 5184) 6912) 5888] (3334)
(4324) 5632/10176/11264| 62081088) 3456} 6144) 1152) (4234)
(4270) 7208/138136)15192/17248)1280| 4872 0119304) (0724)
(4261) 8864/1606417248 18432 1664) 6020 019616! (1624)
(4252) 10512/18976 18432 15328|2048] 9008! 2560)12224) (2524)
(4243) 9216/16640/15328/10176/1792[ 8736) 3840] 5024] (3424)
(4180) 8332/15192/15784/16376|1472) 5268 016968) (0814)
(4171) 9456/17248/1637615504/1664| 8664 014632) (1714)
(4162) 10048/1$432/1550411936/1664/11312) 640) 8368] (2614)
(4153) 83041532811936 7584/1280/10416| 960! 3232) (3514)
(4090) 8628/15784/14993 14202/1472) 7947 013411] (0904)
(4081) 8924/16376)14202 120281472] 9626 0 9854) (1804)
(4072) 8392/15504.12028] 8552) 960 10908 0 5076. (2704)
ie ) 6416111936! 8552) 5168) 896) 8904 Ol 1784) (3604)
(3,10,0,0) 1008] 1896] 2784) 3672] 120 0 0! 4560(0,0,10,3)
(3910) 1504) 2784) 4064! 5344) 224 0 0! 6624! (0193)
(3901) 2000! 3672) 5344] 7016! 328 0 0 8688} (1093)
(3820) 2240) 4064! 5888] 7712} 416 0 0! 9536] (0283)
(3811) 2976] 5844) 7712110080} 608 0 012448} (1183)
(3802) 3952] 7016/10080/ 9184! 88s 0! 3960! 8288] (2083)
(3730) 3328| 5888| 8448/11008] 768 0 0.13568) (0373)
(3721) 4416] 7712/11008/14304]1120 0 017600! (1273)
(3712) 5856/1008014304|13008/1632 0! 552011712) (2173)
(3703) 5360} 9184113008! 8552/1536 0! $280) 4096] (3073)
(3640) 4928] SAASI11968/154SS/1408 0 019008} (0463)
(3631) 6528'11008/15488/19968 2048 0 0/24448] (1363)
(3622) 8640 14304/19968]/18112|2976 0! 752016256} (2268)
(3613)| 790413008 18112/11936 2800 0! 8280) 5760} (3163)
(3550) 72641196816192204162560| 480 0.24640) (0553)
(3541) 96001548820416253443712| 960 0 30272] (1453)
(3532)1267219968 2534422720 5376) 1920] S000 20096! (2353)
(3523)11584118112 22720 5056! 192012000] 7936] (3253)
(3.460) 10208/16192.20256: 4224) 1920 0128384) (0643)
~
~~
re
wwe
TO & or
OC O9
to ©
So OO
(3451))13152 20416/24320 282445888) 3360) 082128| (1543)
(8442) 16704 25344'28224)24576/8064) 5760) 6528/20928| (2443)
(3433)15104227202457616640/7488) 5760) 9792) 8704) (3343)
d, CS b,
y je À x (pgrs)
S
A QUATRE DIMENSIONS. 65
(pgrs) ae b, Co d, x A jz y
2305625856 6016
(3370) 13136120256 4320 0128656) (0733)
(3361)16064/2432025856/27392) 7808 5720 028928) (1633)
(3352) 18976|28224 27392/22720) 972810080) 384018048) (2533)
(3280) 15192/23056 23840/24624) 7328) 7080} 025408) (0S23)
(3271) 1724825856 24624/23392) 8640 840 022160 (1723)
(3262) 18432/27392 23392/18112) 9472112960, 128012832] (2623)
(3190) 15784/2384.0 22626121412! 7728 970 020198 (0913)
(3181) 16376),24624.21412/18200 812810460 014988} (1813)
(3172)1550423392 1820013008, 761613080 0] 7816} (2713)
*(3,0,10,0) 14.993/22626 20089117552) 736010170 0/15015(0,10,0,3)
(3091) 14202/21412 17552/13692 699211070 0 9832) (1903)
(3082) 1202818200 13692) 9184 5856 10680 0| 4676) (2803)
(2,11,0,0) 1896] 3312) 4728] 6144] 480 0 018480 (0,0,11,2)
(2,10,1,0) 2784) 4728) 6672] 8616) 840 0 010560 (0,1,10,2)
(2,10,0,1) 3672| 6144) 8616/11088| 1200 0 013560 (1,0,10,2
(2920) 4064) 6672) 9280111888) 1456 0 014496 (0292)
(2911) 5344) 8616/11888/15160 2072 0 0118432 (1192)
(2902) 7016/1108815160)13692, 2944. 0! 554012224 (2092)
(2830) 5888 928012672/16064 2496 0 019456. (0382)
(2821) 7712111888 .16064/20240! 3536) 0 024416 (1282)
(2812) 10080 15160 20240/18200 5000 0) 7120116160 (2182)
(2740) 8448/1267216896/21120 4224 0 025344| (0472)
(2731) 11008 16064)21120/26176) 5952 0 0131232 (1372)
(2722) 1430420240 26176123392 8368 0) 8720120608) (2272)
(2650) 11968 16896 21504)26112 7040 320 0130720 (0562)
(2641) 15488 21120 26112131104) 9856 640 0136096) (1462)
|
(2632) 19968 26176 31104)27392)13760 1280! 864023680. (2362)
(2560) 1619221504. 25536/29568 10880 1280 033600) (0652)
(2551)204162611229568/3302414720| 2240 0136480! (1552)
(2542)2534413110413302412822419584| 3840] 6720123424 (2452)
(2470)2025625536279363033614976| 2880 0132736, (0742)
(2461)/24320/29568/30336/31104/19072/ 4480 0131872) (1642)
(2380)23056279362809628256 18176) 4720 028416] (0832)
(2371)2585630336282562617621376| 6560 0124096! (1732)
(2290)23840/2809626172/24248195S4| 6180 022324] (0922)
(2281)24624/2825624248/20240,20992| 7640 0116232) (1822)
(2,1,10,0)2262626172/22938 1970419080! 6780 0116470 (0,10,1,2)
(2191)21412/242481970415160/18576) 7380 010616) (1912)
(2,0,11,0) 20089/22938 1916715396 17240 6620 011625 (0,11,0,2)
| d, | red ne: d y Je A 2 | (pqrs)
66 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE A QUATRE DIMENSIONS.
(pqrs) Ay b, | Gh d, x A 4 y
(2,0,10,1)1755219704153961108815400! 6460 0| 6780(1,10,0,2)
(1,12,0,0) 3312) 5284) 7256) 9228] 1340 0 0111200 (0,0,12, 1)
(1,11,1,0) 4728] 7256] 978412312) 2200 0 0114840 (0,1,11,1)
(1,11,0,1) 6144] 9228[12312/15396| 3060 0 0|18480(1,0,11,1)
(1,10,2,0) 6672) 9784)12896 16008) 3560 0 0/19120.(0,2,10,1)
(1,10,1,1) 8616112312/16008 19704! 4920 0 023400(1,1,10,1)
(1930) 9280/12896/16512.20128) 5664 0 023744) (0391)
(1921) 11888|16008/20128 24248] 7768 0 028368. (1291)
(1840) 12672/16512/20352 24192-8832 0 0128032) (0481)
(1831)|16064/20128 24192 28256 12000 0 0/32320| (1381)
(1750)'16896/20352 23808 27264 13440 0 030720) (0571)
(1741) 21120 24192 27264'30336 18048 0 0/33408| (1471)
(1660) 2150423808 26112 2841619200 0 030720! (0661)
(165 126112127264 28416 29568 24960 0 0130720) (1561)
(1570) 2553626112 26688 27264 24.960 0 027840! (0751)
(1480)27936/26688 25440 2419229184 0 022944! (0841)
(1390) 28096|25440 22784 20128130752 0 0117472} (0931)
(1,2,10,0) 26172/22784 1939616008 29560 0 012620 (0,10,2,1)
(1,1,11,0)22938193961585412312 26480 0 0| 8770(0,11,1,1)
(1,0,12,0)191671585412541| 9228/22480 0 0! 5915\(0,12,0,1)
(0,13,0,0) 5284) 7703/10122/12541| 2865 0 0 14960 (0,0,13,0)
(0,12,1,0) 7256 10122/12988/15854, 4390 0 0 18714.(0,1,12,0)
(0,11,2,0) 978412988 16192/19396, 6580 0 022600 (0,2,11,0)
(0,10,3,0)1289616192 1948822784) 9600 0 0 26080/(0,3,10,0)
(094.0) 16512/19488 22464/2544.0 13536 0 028416) (0490)
(0850) 20352 22464 24576/26688 18240 0 0.28800) (0580)
(0760) 23808 24576 2534426112 23040 0 0.26880) (0670)
d, C2 by As y | | [4 A x (pgrs)
12. Conclusion.
D'après les résultats que nous venons de déduire, on a toujours
x =0 pour p>4 etx #0 pour p <5,
A=0 pour p<2 ou p+qg>8 eta#0 pour p>1 et p+g<9.
De méme
f= 0: pour s<2 où 7+ e> Set p70 pour s> i) et 7 +39)
y=0 pour s> 4 et y #0 pour s< 5.
Et pour les hyperquadriques elles-mêmes tous les nombres
( pgrs),, diffèrent de zéro.
Groningue, Décembre, 1899. (30 Juni 1900).
af
ENE À
er ;
Dép: es
Gil ie na
pe
rk générales f Images formées par des
- rayons centraux traversant
. une série de surfaces sphériques centrées
PAR
R. SISSINGH.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.
(EERSTE SECTIE.)
Deel VII. N°. 5.
AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
Augustus 1900.
hog
2 AA
Propriétés générales des Images formées par des
rayons centraux traversant
une série de surfaces sphériques centrées
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,
(EERSTE SECTIE.)
Deel VII. N°. 5.
AMSTERDAM,
JOHANNES MULLER.
1900.
‘ih | Ls ry 5
> = : | on
& 7 i ® = 7 De >
| AV Fo de A
= ;
3 *
‘ L x 4 2
LE
En AA
' 4
5 ;
ity hy p°4
Li |
x x + as € = ; L& 7 vh
- 4
«
Fa
ihre ke !
zE
etat el gende EN ‘ve: tates?
ew
ie,
oa
ee
pe
Be
5
mre te et gn
' .
. +
À
- '
- 3 :
ONE 1 ; |
cs 4
a“ = rt
PREFACE.
Le but de l’auteur a été de simplifier la démonstration des
propriétés optiques d’un système formé de surfaces sphériques
centrées et d'en donner la théorie essentiellement physique. Il ne
considère toutefois que des rayons centraux. Cette théorie traite
aussi bien des propriétés géométriques que des propriétés physiques
des images. Ces dernières propriétés dépendent de la délimitation
des faisceaux lumineux par des diaphragmes convenables. La théo-
rie est appliquée au système optique de l'oeil. La seule aberration
dont il est question dans cette théorie provient de l’inégale réfran-
gibilité des rayons de longueur d’onde différente.
Je considère comme un agréable devoir de présenter ict mes
sincères remerciments à M. le professeur H. A. Lorentz, pour le
concours qu'il m'a prêté en me signalant plusieurs parties dont
l'exposition laissait à désirer.
Amsterdam, Mars 1900.
Limes, 8 v> Ja 7
ie ij hd É s 7, 4
> Fr =. oF © L
LA en IR hees
$ A Ek
oat yA 4 a CEE
IT PATTES)
\linisiuubels a Wane,
thé au! Perret! of stmt i
‘ { {
i HIK ig Î TALL tet x
mt PRAAT. alee! "OAN i Thad e
AAT hey VI Ort Pi wal al LOIR
‘PLAT p's | EE. TOT tnt RTL:
Th r vis LEANN Lt Aart Bren TEE
p {
dies CA } in À
CRE ‘
tid
poh BRR, 7? 4 at
. '
‘
4
i ¢ in w. bi KEA
le = . =
} res
4 it dia à i ‘ -
.
j
|
Û
x
d
Propriétés Générales des Images formées
par des rayons centraux
traversant une série de surfaces sphériques centrées.
PNO WIC TE TOINE
§ L. On dit qu’un espace est reproduit optiquement point pour
point par des rayons rectilignes, lorsqu’a chaque faisceau par-
tant d'un point du premier espace correspond un faisceau passant
par un point du deuxième. Ces deux points sont appelés conju-
gués. D’après cette définition il ne correspond à chaque point du
premier espace qu'un seul point dans le deuxième; et les points
conjugués de tous les points d’une même droite sont eux-mêmes
placés sur une même droite dans le second espace. Ces deux
droites aussi sont appelées conjuguées. Cette réciprocité de points
et de droites est le caractère essentiel de la reproduction optique.
Pour plus de facilité nous parlons de deux espaces dont lun
est la reproduction de Vautre. Bien que les rayons incidents ne
soient situés que dun seul côté du système formant les images,
cependant les figures formées par les rayons incidents et leurs
prolongements remplissent tout l’espace. La même remarque s’ap-
plique aux rayons émergents, situés de l’autre côté du système.
Les deux espaces coincident donc, ce qui ne nous empêche pour-
tant point de considérer l’un des deux comme objet, et l’autre
comme image.
Nous allons commencer par prouver qu'une pareille reproduction
optique s’obtient par la réfraction de ravons centraux à travers
une série de milieux homogènes, séparés par des surfaces sphéri-
ques centrées. Nous entendons par rayons centraux des rayons
formant de petits angles avec [axe reliant tous les centres des
surfaces, et peu distants de cet axe pour que lon puisse confondre
les angles soit avec leur sinus, soit avec leur tangente. Les deux espaces
objet et image sont ainsi réduits à un mince cylindre autour de Paxe.
Dans un premier chapitre nous traiterons les propriétés géomé-
triques des images, c. à. d. les relations déterminant leur situation
et leur grandeur, et la simplification qu'y apporte la considération
6 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES
de points remarquables. Viennent ensuite une étude du change-
ment que subit la divergence des rayons dans le système optique,
et la déduction des propriétés des systèmes télescopiques. Le
second chapitre traite des propriétés physiques des images optiques,
pour autant qu’elles dépendent de la délimitation des faisceaux
lumineux. Nous y verrons comment on détermine le grossissement,
l'intensité lumineuse de l’image et la profondeur du champ. Le
troisième chapitre s'occupe des constantes optiques de l’oeil et des
conditions d’achromatisme des systèmes optiques.
Pour arriver à ces propriétés, nous avons suivi la
méthode employée par M. Bosscra © pour la détermination
de la marche des rayons lumineux dans une série de
surfaces sphériques centrées. Chaque rayon est déterminé par les
mêmes grandeurs que Lagrange a introduites dans l'étude de la
formation des images par un système de lentilles très minces.
Aussi les deux équations fondamentales qui contiennent à propre-
ment parler toute la théorie de la formation des images, out elles
la forme que Lagrange ?) leur a données. La méthode de M.
Bosscha a ce grand avantage qu’ il est facile de donner la signi-
fication physique des quatre constantes qui entrent dans les
équations; ce qui nous permet d’écourter d’une façon pratique les
raisonnements, et de donner une interprétation physique des résul-
tats obtenus. Ce que lon peut encore considérer comme un avan-
tage de la méthode, c’est qu'elle détermine la situation de Vobjet
et celle de l’image par leurs distances respectives à la première
et à la dernière surface réfringente, et non aux plans principaux
et nodaux dont Pemploi est beaucoup moins aisé pour l'observation °).
Aussi La théorie détermine-t-elle le système optique par quatre
grandeurs que l’on peut déduire plus directement des observations 4).
Il n’est pas sans intérèt de faire remarquer que Biot ?) dans sa
théorie des instruments d'optique s’est déjà servi, pour définir un
système optique, des éléments, qu'on va retrouver dans la théorie,
*) J. Bosscna, Processen-verbaal van de Gewone Vergaderingen der Koninklijke
Akademie van Wetenschappen, 27 Décembre 1879, voir aussi 27 Avril 1877; Bei-
blätter, IV, 1880, p. 457; Annales de l'Ecole polytechnique de Delft, II, 89; 1886.
*) Lacrancr, Sur la théorie des lunettes, Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1788 et
1803. Voir aussi Bosscua, Ann. de Ec. Polyt. de Delft, II, 91.
*) Bosscna, loc. cit., 98.
“) M. Cornu a donné une forme trés précise au procédé le plus simple pour la déter-
mination des éléments principaux d'un système optique (Journal de physique, VI,
276 et 308; 1877). Or dans ce procédé on détermine d'une manière directe les quatre gran-
deurs qui sont introduites dans la méthode indiquée ci-dessus.
*) Traité élémentaire d’Astronomie physique, Paris, 1844—49.
FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. il
dont Vexposé va suivre. Ces éléments sont les distances focales
principales, définies de la même manière qu'au § 9, le point oculaire
et le grossissement angulaire dans Vanneau oculaire. Martin ') met
en relief quelques avantages pratiques de cette théorie ?).
I. Propriétés géométriques des images formées par
des rayons centraux.
$ 2. Æquations fondamentales. — Afin de trouver dans l’espace
de l’image le conjugué d'un point lumineux, il suffit comme nous
le démontrerons après (§ 8) de considérer parmi tous les rayons
émis par le point lumineux, ceux qui sont situés dans le plan
mené par ce point et l’axe optique. Supposons que cet axe soit
horizontal et que le plan mené par [axe soit vertical. Deux
grandeurs suffisent pour déterminer un rayon dans ce plan. Pour
ces grandeurs nous choisirons langle que le rayon forme avec l'axe
et la distance à l’axe du point où ce rayon rencontre une des sur-
faces réfringentes. Pour le rayon incident on considère le point
d’intersection avec Ja première surface, pour le rayon émergent le
point (intersection avec la dernière. Cet angle sera appelé dver-
gence et représenté par DD; la distance du point d'intersection à
l'axe sera nommée (amplitude du rayon et représentée par A.
L'amplitude est positive lorsque le point d’intersection est situé au-
dessus de Vaxe; la divergence est positive lorsque l’amplitude va
en augmentant dans le sens du mouvement lumineux. %)
Considérons d’abord la réfraction par une seule surface sphérique.
Distinguons les milieux de part et d'autre de la surface à laide
des indices 1 et 2, de même que les divergences des rayons incident
(1) et réfracté (2). Nous représenterons par 4, l'amplitude dans
la première surface réfringente. Soient done 2, et A, la di-
vergence et l’amplitude du rayon incident. La divergence d'un
ayon de même amplitude mais passant par le centre est Fi R,
LA
4 » 4 \ \ oO
étant le rayon de courbure. Conformément à la règle des signes
1) Martin, Ann. de Chim. et de phys., (4), 1X, 440; 1867.
*) Voir à ce sujet Verdet, Conférences de physique, T IT, 942.
*) Il n'est pas inutile de faire remarquer que dans la détermination du signe de la
divergence l'axe doit être considéré comme une direction, et dans la détermination du
signe de l'amplitude comme une droite dont la position par rapport au système optique
est déterminée,
8 PROPRIETES GENERALES DES [MAGES
pour l’amplitude et la divergence, # sera positif pour une surface
tournant sa concavité vers le point lumineux, négatif dans le cas
contraire. Nous représenterons par Dy, la ‘divergence du rayon
normal de méme amplitude que le rayon incident. Pour des
rayons centraux la loi de la réfraction peut s’écrire 7 = ar, 7 et r
étant les angles d’incidence et de réfraction. L’angle d’incidence
est égal à Dy — D, en valeur absolue; langle de réfraction r
à Dy — D,. Si Von fait attention aux signes des divergences il
est facile de voir que l’on a toujours Dy — D, = #1. (Dy, — Do). 5
A EE à
Puisque Dy = = cette équation peut être mise sous la forme
1
EE D, Bo À,
LE dy n B
1 12 1
Supposons maintenant que le rayon émergent soit réfracté une
seconde fois par une seconde surface dont le sommet soit à la dis-
tance d, du sommet de la première. Donnons aux milieux séparés
par cette surface les indices 2 et 3, nous aurons, en désignant par
A, l'amplitude dans la seconde surface réfringente
me RE
>
aes Nos Lo
On voit que si l’on a une série de surfaces réfringentes, il existe
une relation linéaire entre chaque divergence, ou chaque amplitude,
et celles qui précèdent. La divergence et amplitude finales 2, et
A, du rayon réfracté se déduisent done de la divergence 2, et de
l'amplitude. 4, du rayon incident par une série de transformations
linéaires. Toutes les relations dont il est fait usage étant homogènes
par rapport aux amplitudes et divergences, il n’y aura pas de ter-
mes indépendants de ces grandeurs. Les relations entre 2, et A,
d'une part, D, et A, d'autre part, étant donc linéaires et homoge-
nes, on peut écrire
DD eed beng (D
$ 3 Signification des constantes optiques *). On arrive à la sig-
nification des quatre constantes optiques c, p, 7 et s des équations
fondamentales (I), en posant successivement D, et 4, égaux à zéro.
On considère ainsi soit des rayons incidents parallèles à l’axe, soit
‘) On reconnaît aisément que cette équation est applicable à tout rayon incident
5 À à . a
aussi bien pour une surface convexe que pour une surface concave si n,., = 1.
*) Voir Bosscua, Annales de l'Ecole Polytechnique de Delft, IT, 90, 91.
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 9
des rayons incidents passant par le point (intersection de la pre-
mitre surface réfringente avec l’axe. Ce point (intersection est le
sommet de la première surface réfringente.
Considérons d’abord un rayon incident passant par le sommet
de la première surface réfringente; 4, — 0. Le rayon émergent
coupe l’axe au point conjugué de ce sommet. A ce point conjugué
nous donnerons plus tard le nom de deuxième point oculaire ($ 9).
Posant 4, — 0, nous obtenons pour la première équation fonda-
mentale, — =. Ce rapport des divergences de deux rayons con-
1
jugués est appelé grossissement angulaire. Nous verrons plus tard
($ 10) que ce rapport est le même pour toutes les paires de rayons
passant par un système de deux points conjugués, ainsi que pour
toutes les images situées dans un même plan perpendiculaire à
axe. Le plan normal à l'axe mené par le deuxième point
oculaire, s’appelle deuxième plan oculaire. La constante est done
le grossissement angulaire dans le deuxième plan oculaire ( 9).
Si le rayon incident est parallèle à Vaxe, D, = 0. La première
équation fondamentale devient alors p — ni Dans ce cas D, est
el
proportionnel à 4,. Comme 2, donne le changement de direction
que subit par réfraction un rayon incident parallèle à Vaxe, p est
la déviation d'un rayon lumineux incident parallèle à l'axe avec
une amplitude égale à l’unité. C’est cette déviation qu'on appelle
le pouvoir principal 5 ou pouvoir focal du système. Ce pouvoir
doit être pris positivement si le rayon qui émerge du système
converge vers l'axe. Le pouvoir principal doit donc être repré-
senté par — p.
Pour les systèmes optiques où A, = A,, comme une surface ré-
12
fringente unique ou une lentille infiniment mince, lexpression
1
— = + e la distance à laquelle le rayon émergent va c
L donne la distance à laquelle | mergent va couper
p D D E
l’axe en avant la dernière surface réfringente. Ce point d’intersec-
tion est le deuxième foyer principal du système ($ 9). Lorsque
A, et 2, sont positifs tous les deux, ce point d’intersection est situé
en avant de la dernière surface réfringente. Mais comme plus
tard nous conviendrons de considérer comme négatives des distances
1 = ; Dl fi A 0 5 3 < s/s
) Voir Ad. Martin, Méthode directe pour la détermination des courbures des objectifs
de photographie, Extrait du Bulletin de la Société francaise de Photographie, 2° Serie,
IX, 1893.
10 PROPRIETES GÉNÉRALES DES IMAGES
prises en avant de cette surface, la deuxième distance focale prin-
AE | N
cipale sera représentée par — pour un ‚systeme optique où
ig
Alle
Revenons maintenant au rayon incident parallèle à Vaxe, done
au cas où D, —0; la deuxième équation fondamentale devient
Le M à k ee
DE Or supposons qu'un faisceau cylindrique de rayons pa-
1
rallèles à l'axe tombe sur la première surface réfrmgente, et soit
A, le rayon du cercle ainsi éclairé sur cette surface; 4, est
alors le rayon du cercle éclairé sur la dernière surface réfrin-
gente. La constante s est done ce que l'on pourrait appeler le
pouvoir dilatant du système.
Quant à la constante 7, nous la définirons d’une façon un peu
différente de celle dont M. Bosscra l’a définie. Considérons un
rayon .incident passant par le sommet de la première surface,
de sorte que 4, = 0. La deuxième équation fondamentale
i panel AIR Lee
devient — — oh Si Pon suit le rayon incident dans son parcours
7 A ‘
é
à travers le système optique, on remarque que D, est langle sous
lequel on observe une dimension 4,, placée dans la dernière surface
réfringente, quand Voeil est situé au sommet de la première. Et
comme pour 4, — 0, 4
"D
4 1
est proportionnel à 2, on voit que — est
=
Pangle sous lequel lunité de longueur placée dans la dernière
surface réfringente est observée par un oeil placé au sommet de la
première. Nous donnerons plus tard le nom de puissance 1) du
système à langle sous lequel on voit l'unité de longueur de
l’objet. La constante “es done la puissance dans les conditions
considérées, €. à. d. au sommet de la première surface, pour un
objet placé dans la dernière surface réfringente.
§ 4. Combinaison de deux systèmes. *) Soient Cy, Drs Ty SRE
Cy, Pas To, Sy les constantes des deux systèmes, et d la distance de
la dernière surface réfringente du premier système à la première
surface du deuxième. L’amplitude et la divergence d’un rayon
émergent du premier système sont respectivement c, D, + p, 4, et
r, D, Js, 4,. Le même rayon, considéré comme incident par rap-
1) Voir Verdet, Conférences de physique, II, 945, 946.
*) Bosscua, loc. cit., 95.
ae thé ne Sd nn a den
FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. Jl
port au deuxième système a pour divergence c, D, + p, A, et pour
amplinde (rs Diss Ader pj 4): A aide des con-
stantes optiques ¢, ff», 7», Sg du deuxième système, nous pou-
vons calculer la divergence et amplitude du rayon sortant du
deuxième système, en fonction de la divergence D, et de Pampli-
tude 4, du rayon tombant sur le premier système. Ce calcul
nous apprend que les constantes c, p, 7 et s du système résultant
de la combinaison, sont données par les relations :
02 ONG, == fb D D AG A A 5
PP (a + Po @) Ep» SSP Pa + % A) HS 52
a
(I)
$ 5. Menversement du système t. Si Von suit les rayons dans
leur parcours a travers le système à constantes c, p, 7, s, en
allant du dernier milieu vers le premier, de telle sorte que le rayon
émergent devienne rayon incident et réciproquement, l’ordre de
succession des surfaces est renversé, et l’on obtient un système que
l'on peut appeler l'inverse du premier. Dans ce système inverse la
divergence du rayon incident est — D, et son amplitude 4,; la
divergence et amplitude du rayon sortant sont respectivement
— D, et 4,. Si done, dans les équations fondamentales du système
Maal nous remplagons D, par —2D,, D, par —D,, A, par A
et 4, par d,, nous obtenons les relations entre les divergences et
7
amplitudes du rayon incident et sortant pour le système inverse.
Wes relations sont: — D) — 69, A-pd4;et A, = —r D, +
pea) lirant de là les valeurs de , et 4, en fonction de D, et
A,, nous obtenons les équations fondamentales du système inverse :
Or D SD pA. es pr) A, — 7D, Fe
Si nous représentons par €, p’, 7”, s les constantes optiques du
système inverse, ces équations nous donnent:
, Ss ! P ! 110 , C :
hen à II
A LT eN os
ou WV = cs — pr.
§ 6. Constantes optigues d'une surface réfringente unique et
d'une lentille infiniment mince. Si le système optique ne se com-
pose que d'une seule surface réfringente, les valeurs des constantes
optiques se déduisent immédiatement de leur signification. Comme
dans ce cas le sommet de la surface réfringente coincide avec son
*) Bosscwa, loc. cit. 93.
1 4
12 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES
image, c nest autre chose que le grossissement angulaire en ce
point, soit le rapport entre les angles de réfraction et d’incidence.
Si nous distinguons par les indices 1 et 2 les deux milieux sépa-
rés par la surface réfringente, le rapport des sinus des angles
d'incidence et de réfraction est répresenté par #,.,. Et comme pour
des rayons centraux le rapport des sinus peut être remplacé par
1
celui des angles, onva e= ==.
Oe
1°2
. . . 4 SS
La constante — p, le pouvoir principal ou focal, est égale a
l'inverse de la distance focale (voir $ 3). Soit & le rayon de courbure
de la surface réfringente ; ainsi que nous l’avons fait remarquer au § 2,
la valeur de Z doit être prise négativement pour une surface tour-
PE
#0 R
Cette valeur peut encore être déduite immédiatement de la forme,
que prend la première équation fondamentale quand on l’applique
à une surface réfringente unique ($ 2). Dans le cas d’une surface
nant sa convexité vers la lumière; on a done p =
convexe p est négatif pour #,, > 1.
On reconnaît immédiatement que le pouvoir dilatant s = 1.
af D] hd 1 nm
Quant à la puissance — au sommet de la surface réfringente, pour
A
un objet placé dans cette surface, elle est infiniment grande, soit
7 == 02)
Pour une lentille infiniment mince la constante c est le produit
des grossissements angulaires dans les deux réfractions, de sorte que
DAT unie
c= —-— =1; p=, F étant la distance focale prin-
STE I
cipale de. la lentille; r — 0 et s=1. Si la lentille est conver-
gente p est négatif, il est positif, si la lentille est divergente.
Pour une lentille infiniment mince, les équations fondamentales
sont donc:
A,
en
§ 7. Relation générale entre les constantes optiques d'un système.
D, = D,
r
Soit un système optique à constantes c, p, 7, s, formé par la com-
binaison de deux systèmes à constantes ¢,, 2,, 71, 8, et Co, Do»
ry, Sy, dont les surfaces terminales opposeés sont à une distance d
l’une de l’autre; d’après les équations (II) ($ 4), on a
CS— pr = (% 8 — Py %) Ca 82 — Pa 73):
*) voir Bosscua, loc. cit., 93, 94.
Sales ht
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 13
Sil n'y a qu’une seule surface réfringente les valeurs trouvées
au § 6 pour les constantes optiques nous donnent: ¢, s, — y, r, =
1
—=-——.. Pour une seconde surface réfringente séparée par des
ls
milieux à indices 2 et 3, © 8, — pa i SLOT I Rate
Mo 3
formé de a—1 surfaces réfringentes, nous aurons donc
TN Rnd ANN (Cp 89 Pa To). - (Cu Su — Pa Tad
1 1 1
en .,.......... SS ) (LV)
Si les milieux extrêmes sont les mêmes, on a es — pr — 1. Dans
ce cas il n’y a donc que trois constantes optiques indépendantes.
§ 8. Relations entre les situations d'un point lumineux et de son
mage. Grossissement linéaire. ?) Les situations de l’objet et de
l’image sont déterminées par leurs distances @ aux surfaces termina-
les, et leurs distances y à l’axe. Pour Vobjet ces distances seront
représentées par v,, 7, et pour l’image par #9, 7,. Les distances
æ, et #, sont positives si les points correspondants sont réels, c.
à. d. si l’objet est placé en avant de la première, l’image en ar-
rière de la dernière surface réfringente. Le signe de la distance y
est déterminé de la même facon que celui de l'amplitude.
Considérons un point lumineux #,, 7,. Pour chaque rayon
incident il existe entre l'amplitude et la divergence initiales la
relation linéaire 4, — y, + x, D,. Et comme, d’après les équa-
tions fondamentales, D, et 4. sont des fonctions linéaires de
D, et A,, il doit exister une relation linéaire 4, — # J- # D, entre
amplitude finale 4, et la divergence finale D,. Cette relation
linéaire signifie que tous les rayons émergents conjugués des
rayons incidents, émis par le point z,, y,, passent par le point
Lo = — hk, yy =, si Von tient compte de la façon, dont le signe de
@ a ete déterminé. Ce point est l’image du premier. Or, si
A, =y, + wv, D,, les équations fondamentales nous donnent
CT) DA sy | Par SADE d'où il
suit que
*) voir Bosscna, loc. cit., 94.
ola 95
14 PROPRIETES GÉNÉRALES DES IMAGES
Ontrouve ainsi pour coordonnées de l’image:
Lb SH. ey
+ a Yo = “1 Y.. (V)
On voit que x, ne dépend que de a,; cela veut dire que les
images de tous les points lumineux situés dans un même plan
normal à l’axe, sont elles mêmes situées dans un même plan nor-
mal. C'est là toutefois une conséquence de notre hypothèse de
rayons centraux, c. à. d. de faisceaux lumineux limités à un mince
cylindre autour de Vaxe.
Nous n'avons considéré jusqu'ici que les rayons qui se trou-
vent dans un même plan passant par l’axe. Si le point lumineux
est situé sur l’axe, tous les rayons émanant de ce point, rencontre-
ront après la réfraction l’axe dans le même point à cause de la
symmétrie autour de Vaxe. Les rayons qui ne sont pas situés
dans un plan passant par l'axe peuvent être considérés comme des
rayons émanant de points lumineux situés à côté de l’axe. Il est
évident que l’image d’un tel point lumineux se trouve sur l’axe
secondaire, mené par le point lumineux et le centre de courbure de la
surface réfringente, sil n’y a qu’une seule surface réfringente. Cela
résulte immédiatement de ja symmétrie autour de cet axe. Les
relations qui lient les positions du point lumineux et de son image
sur cet axe secondaire sont les mêmes que dans le premier cas.
Seulement il faut remplacer les plans menés par l’axe principal par
d’autres menés par laxe secondaire et mesurer les distances à la
surface réfringente le long de cet axe. On en déduit immédiate-
ment que tous les points lumineux situés sur une sphère concen-
trique avec la surface réfringente donnent des images qui se trou-
vent sur une autre sphère, dont le centre coïncide aussi avec celui
de la surface réfringente. On peut dire que tout faisceau conique
se transforme après la réfraction par une seule surface réfringente
en un autre faisceau conique et il en est de même s’il y a une série de
surfaces réfringentes. Cette proposition, une fois démontrée, nous
autorise à employer des constructions planes sans tenir compte des
rayons situés hors de ce plan.
La valeur de 7, nous apprend que si y, = 0, on a aussi y, = 0,
\
c. à. d. que tout point lumineux situé sur l’axe a son image sur
» an Yo | \ , anaes
cet axe. L’expression “= apprend dans quel rapport une dimension
fi
perpendiculaire à l'axe est agrandie par la reproduction optique.
Ce rapport est appelé grossissement linéaire et représenté par #7;
vtt daad
POS
Se a taf DR en eae ee
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 15
on a donc, d’après les relations (V), V = ou bien encore
aA
e+ pr
V=s3 + pay. (ME)
Le grossissement linéaire ne dépend que de z,, de sorte que
les distances à l’axe de tous les points situés dans un même plan
normal à axe sont agrandies dans le même rapport. Et si l’on tient
compte de ce que l’angle de deux droites situées dans un même
plan normal n’est pas modifié par la reproduction optique, on voit
que l’image d’une figure située dans un plan normal à l’axe est
une figure semblable. Le rapport dans lequel les dimensions sont
augmentées, c. à. d. le grossissement linéaire, est ainsi défini de
la façon la plus générale possible. C'est le grossissement linéaire
dans un plan perpendiculaire à l’axe. Ce grossissement ne peut
devenir infiniment grand, que dans le cas où l’image est placée à
une distance infiniment grande.
$ 9. Points remarquables. Anneaux oculaires. Les deux foyers
principaux sont conjugués de deux points situés à Vinfini. Le
premier foyer principal est conjugué d’un point situé à distance
infinie en arrière du système optique, le second d’un point à distance
infinie en avant du systême. Les distances de ces deux foyers respec-
tivement à la première et à la dernière surface réfringente sont les
distances focales principales, que nous représenterons par /, et /.
Leurs valeurs sont données immédiatement par les équations (V)
(§ 8), qui donnent 7, = — a (5 2S Z
P 2
Les valeurs de /, et /, peuvent aussi être déduites de la sig-
nification des constantes optiques. D'après la signification des con-
stantes optiques un rayon incident parallèle à axe, et dont l'amplitude
est égale à 1, aura pour amplitude finale 4, = s, et pour divergence
finale D, — y»; le rayon émergent coupe done l'axe à une distance
A s ae
—— = — — de la dernière surface réfrmgente. De la même
D p :
façon on prouve que f, = + a jour D. — 0. Si la divergence
EE = | Zo GUE, PTS 1) | AN 2 ee esto eh
ri
finale 2,— 0, il résulte de la première équation fondamentale
À c 8 c Nec :
TL — — —, de sorte que f, —=——. D'ailleurs les valeurs de /, et
D, p p
fo peuvent être transformées Pune dans l’autre au moyen des re-
lations (III) (§ 5) entre les constantes optiques d’un système et
celles du système inverse.
On donne le nom de points oculaires aux points conjugués des
16 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES
sommets des surfaces réfringentes terminales. Un point lumineux
placé au premier point oculaire a son image au sommet de la
dernière surface réfringente; au deuxième point oculaire se forme
l’image d’un point lumineux placé au sommet de la première sur-
face. Si nous représentons par o, la distance du premier point
oculaire à la première surface réfringente, et par o, la distance du
deuxième point oculaire à la dernière surface, nous pouvons écrire
A à 8
er = pour 4,— 0, donc d’après la deuxième équation fonda-
1
r
mentale 0, — —-,
s
Dj D: pour 4, — 0, done d’après les équations fondamen-
à
,
tales 0, = — —
3 C
Ces deux valeurs peuvent être transformées l’une dans l’autre
au moyen des relations (III) ($ 5).
On peut aussi déterminer la situation de deux points conjugués
par leurs distances £ et & aux foyers principaux; &, =, +
ie 8 ey ; 3
—, Eg = dg + — et les relations (V) et (VI) (§ 8) déterminant la posi-
P td
tion de l’image et le grossissement linéaire deviennent
NA j a VA 1
Ei (MID V=— pis (VIED
p
Nous voyons par ces relations que £, et £ sont toujours affec-
tés du même signe. L’objet et l’image sont done toujours placés
de côtés différents des foyers principaux. Le grossissement est
positif, c. à. d. que l’image est droite, si les distances £ et £, ont
le même signe que p; dans le cas contraire le grossissement est
, thre) > , je 4 , . ,
négatif et l’image est renversée. Le signe de » est déterminé par
la règle suivante: on considère des rayons incidents parallèles à
l'axe; si après réfraction le faisceau diverge, p est positif, et si le
faisceau converge p est négatif ($ 3).
Nous pouvons aussi déterminer les situations que doivent occu-
per un objet et son image pour que le grossissement aît une va-
leur donnée. Car, si / est le grossissement donné, on a d’après les
| V dr
relations (VIII), & — —, £ = =. de sorte que
p Vp
*) voir Bossca, loc. cit., 98, 99
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 1
5 | V
Uki — e+ =)
LP Hia
if ae (—s + V/V).
Il est facile d'attribuer une signification au second membre de
l'équation (VID): — p est le pouvoir principal du système, — À Je pou-
Nan
voir principal du système inverse (§§ 3 et 5), de sorte que &, &
est égal au produit des valeurs inverses des pouvoirs principaux
des deux systèmes direct et inverse Ì).
Des valeurs trouvées pour les distances focales principales /, ct
J, et pour les distances 0, et 0, des points oculaires, il suit que
4 =S ‘1 =" Des quatre points remarquables: foyers principaux
J2 DR
et points oculaires, trois seulement sont indépendants des autres;
ces quatre points ne suffisent donc pas à déterminer les propriétés
d’un système dont on donne les surfaces réfringentes extrêmes. On
a done encore besoin d’un quatrième élément, par exemple x,,, ou bien
le grossissement dans un plan déterminé de l’espace image. *)
Les plans normaux à axe, contenant le premier et le deuxième
point oculaire, sont appelés respectivement premier et deuxième
plan oculaire. Ils sont respectivement conjugués du dernier et du
premier plan réfringent du système. Les cercles conjugués des bords
des surfaces réfringentes extrêmes sont appelés anneaux oculaires; le
premier anneau oculaire correspondant au bord de la dernière surface.
Il va de soi que ces anneaux sont contenus dans les plans correspon-
dants. Si le faisceau de rayons lumineux traversant le système optique
est limité latéralement par les bords des surfaces réfringentes ter-
minales, le faisceau incident forme un cône dont le sommet est
au point lumineux et qui a pour directrice le bord de la pre-
mière surface réfringente. Le faisceau émergent aussi est un cône;
son sommet est l’image du point lumineux, et sa directrice le
deuxième anneau oculaire. De même le premier anneau oculaire
est la directrice du cône de rayons incidents, qui sont réfractés
suivant un cone dont le sommet est l’image du point lumineux,
et la directrice le bord de la dernière surface réfringente.
§ 10. Grossissements angulaire et axial. Le grossissement angu-
laire WV, est le rapport dans lequel langle, formé par deux droites
a
: 4 A 2 = = A 5
situées dans un même plan passant par laxe, est augmenté par la
*) Voir Bosscua, loc. cit., 99.
2) Voir Boury, Nombre des éléments nécessaires pour déterminer leffet extérieur d’un
système optique, Journal de physique, VIII, 331, 1878.
Verh. Kon. Akad. vy. Wetensch. (1e Sectie). Dl. VII. E 2
18 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES
réfraction. Considérons deux rayons incidents, dont les divergences
sont D, et D,’, émis par un point lumineux z,,4,. Les amplitu-
see 7 . , > \
des initiales sont À ht oD, A, 7) ep De
la première équation fondamentale on a
D, =D, = ¢ Di == Di)? (Ar — A) =(e + pa) D, DE
Le grossissement angulaire est donc
He Cuir (IX
ou bien, exprimant z, en fonction de la distance de l’image à la
dernière surface réfringente,
Mar
S+ pit,
On peut encore exprimer le grossissement angulaire en fonction
des distances de l’objet et de l’image aux foyers principaux:
Ve =
a
Na
po
Supposons que le point lumineux soit situé sur l’axe, et que
axe soit lui-même un des rayons incidents, alors on a pour gros-
ES
sissement angulaire /,=— —. La valeur de cette expression peut
D,
être immédiatement déduite de la première équation fondamentale
et l’on arrive ainsi à l'équation (LX).
Entre les grossissements linéaire et angulaire existe la relation
PR zen, Si les milieux extrémes sont identiques, le produit de
ces deux grossissements est égal à 1.
Le grossissement angulaire est indépendant de la divergence des
rayons incidents; il est donc le même pour toute paire de rayons
du faisceau émis par le point lumineux. Il ne dépend que de la
distance a,, et est donc, tout comme le grossissement linéaire, le
même pour tous les points lumineux situés dans un même plan
normal à l’axe.
Le grossissement angulaire devient infiniment grand si z, = oo,
c. à. d. si le point lumineux est placé à l'infini. Dans ce cas
D, — 0, tandis que 2, a une valeur finie. Dans les systèmes
optiques, traités au $ 12, on a pour x, = œ,ou D, = 0; D, = 0
et 7, a une valeur finie.
Outre les grossissements linéaire et angulaire nous considérons
aussi le grossissement axial, donnant le rapport dans lequel
les dimensions paralèlles à l’axe sont augmentées par la reproduc-
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 19
tion ppugue: Soient LE et 7,,4, deux points lumineux
et 2,49, Lo, Yo les images correspondantes. Le grossissement
1
Lig dh
lest 7. = — 7 ole on, etenmplacesa,, et He par leurs
“L,—@ 2
1 1
valeurs en fonction de a2, et a, (V) on obtient:
Na A :
Vr = ——— — ou bien, nous rappelant l’équation
(¢ + pa,) (c Apr)
VV’
ve 7
I ee (X).
HA
V représente ici le grossissement dans le plan de l’image B
e.à.d. un plan mené par cette image normalement à axe. / est
le grossissement dans le plan +,. Si les deux paires de points
conjugués sont très rapprochées l’une de l’autre, on a V = 7" et
Vix— ———: La valeur négative de V,, montre qu'à tout
ñ
a.1 3e
déplacement du point lumineux correspond un déplacement de
l’image dans le même sens. !)
LA
0 e Vo a a.
Les grandeurs qui entrent dans Vexpression 7, = — a
TUE,
1 al
du grossissement axial, peuvent être immédiatement reliées au grossis-
sements linéaire et angulaire de la façon suivante. Considérons
un point lumineux 2,7, placé done dans le plan 2, normal à
l'axe, et soit 4,7, son image. Parmi tous les rayons émis par
le point 2,, y,, considérons celui qui coupe l’axe à une distance
a, de la première surface réfringente. Le rayon conjugué sortant
passe par le point a, 7,, et coupe l’axe à une distance a’, de la
dernière surface réfringente. Si D, et D, sont les divergences de
LA { D €
Ny / Ja 9
ces rayons, on a 2, — A = D° Ly Bo = — D: “Nees Oil a
1 r
J Yo D Yo 5 nek
aoe 7 — 22 Or, T2 est le grossissement linéaire V dans
Yi D, I
r 7 Ç a] € - € = Ve) Et € a] = € / ay i)
le plan a,, D. le grossissement angulaire 7, dans le plan a’. Et
1
1 d 7 in yy RIE a £ Xi |: re V À à f +t] | OT
si l’on exprime le grossissement angulaire //, en fonction du gros-
sissement linéaire 7” dans le plan +,, on obtient de nouveau
*) voir Bosscua, loc. cit., 96.
De, —a, et æ,—x, ont des signes différents parce que le point lumineux et son
image se déplacent dans le méme sens.
20 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES
> NA 5 nd: 5
La relation 7, = —~ entre les grossissements linéaire et angu-
V
laire peut être mise sous une autre forme. Comme VY — 2
Ni
c. à. d. égal au rapport des distances de l'image et du point lu-
< D n :
mineux à l’axe, V, ==, etn, — —, la relation entre les deux
D, Na
grossissements peut encore s'écrire D, 2, y, = Dn, Yo: (XD
Mise sous cette forme, elle est l'expression du théorème de
Lacranen-Hermuoirz. LAGRANGE !) l’a démontré dans le cas d’une
surface réfringente unique et pour des lentilles infiniment minces;
Hecmnorrz ?) l’a étendu à un système de surfaces réfringentes.
Prenons un rayon incident dirigé vers un point du bord de la
première surface réfringente; D, est la demi-ouverture du cône de
rayons incidents. N'oublions pas toutefois que les images sont
toujours formées par des rayons centraux, et que le point lumi-
neux est donc toujours situé dans le voisinage immédiat de axe.
D, est la demi-ouverture du cône émergent. De la relation (XD
il résulte que, pour ~, = »,, ouverture du cone de rayons dimi-
nue par réfraction dans un rapport exprimé par le grossissement
linéaire. Cette proposition trouve une application étendue dans la
théorie des instruments d’optique.
Faisons remarquer ici que la valeur que nous venons de trouver
pour le grossissement axial, nous donne la démonstration immédiate
d’une propriété générale des systèmes optiques, communiquée en
1669 par Christiaan Huygens au secrétaire Oldenburg de la Royal
Society, et publiée plus tard dans ses Dioptrica sous la forme de
Propositio X Z %) Cette proposition est la suivante; si l’on in-
tervertit les positions de objet et de l'oeil, tandis que le système
de lentilles interposées, quelque nombreuses qu’elles soient, n’est
pas modifié, dans les deux cas l’image est vue sous le même angle
et dans la mème position, c’est-à-dire droite ou renversée.
Soient a, la distance de l’objet à la première surface réfringente,
et v la distance de l’image à la dernière, 2’, la distance de l’oeil
à la dernière et a’, la distance à laquelle le système optique forme une
image de l'oeil en avant de la première surface réfringente. Donnons
*) LAGRANGE, Sur une loi générale d'optique, Mémoires de l'Académie de Berlin, 1803.
*) Hetmnoirz, Physiologische Optik, 1ste Aufl, 1866, 58; 2e Aufl, 1896, 71.
‘) Voir Bosscua; Christiaan Huygens, Rede am 200sten Gediichtnisstages seines
Lebensendes, übersetzt von Th. W. Engelmann, 50 et 52—55; Huygens, Oeuvres com-
plètes, Tome VI.
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 21
à l’objet l'unité de longueur et représentons par V et / les gros-
_sissements linéaires dans les plans a, et a’,. L'objet est placé dans
le plan z,, l’image se forme dans le plan z, et a pour dimension
a
V; de l'oeil placé en >, elle est vue sous un angle ————,
+ v OL Lo
puisque l’image est formée par des rayons centraux, de sorte que
tous les angles formés avec l’axe sont très petits. Si l’objet est
placé en 2’,, l’image se forme en +, et alors elle a pour dimension
il : : ] 1 x
— > de sorte que l'oeil la voit alors sous l’angle — —-_—_-. D’après
V V' a, B
4 A V I 1 Z
le théorème de Huygens —,— == ———, et cette équa-
Lo Do Vs
: 4 i UB eae x Jay
Hom est identique avec cette autre Zi, — —= a —-,
v rh CAT Wa
\
dans le cas où %,1— l, c. a. d. où les milieux extrêmes sont
identiques. On voit en outre de quelle facon on peut donner une
extension au théoreme de Huygens dans le cas où les milieux
extrémes sont différents.
$ 11. Construction de l'image. Nous avons vu ($ 9) que les
quatre points remarquables déterminent avec une autre grandeur
encore les propriétés optiques du système. Prenons pour cette
autre grandeur le grossissement linéaire 7, dans le deuxième plan
oculaire. Ce grossissement est étroitement lié à la constante op-
8 2 hedde Wry, See
tique ¢ du système. On a en effet 7, — —“*, ainsi qu'on le
à 7
déduit immédiatement de la définition de « (§ 3), et de la rela-
tion entre les grossissements angulaire et linéaire ($ 10). A l’aide
de ces données il est possible de construire pour trois rayons in-
cidents les rayons émergents du système, et trouver l’image du
point lumineux par la combinaison de deux de ces rayons. Ces
trois rayons incidents sont:
1° le rayon parallèle à Vaxe,
2° le rayon passant par le premier foyer principal,
3 le rayon passant par le premier point oculaire.
Les trois rayons conjugués passent successivement par le deuxième
foyer principal, par un point à l'infini, et par le sommet
de la dernière surface réfringente. On connaît d’ailleurs les points
où ils coupent le deuxième plan oculaire. Si Pon représente par
A l'amplitude du rayon incident, la distance à l'axe du point
d’intersection du rayon émergent avec le deuxième plan oculaire
est AW La construction devient beaucoup plus simple, si an
22 PROPRIETES GÉNÉRALES DES IMAGES
lieu de considérer la première surface réfringente et le deuxième
plan oculaire, on choisit deux plans conjugués tels que le grossisse-
ment soit égal a 1. Ce sont les plans* principaux, auxquels
Gauss a été conduit par d’autres considérations. Comme dans le
deuxième plan principal le grossissement angulaire est égal a 1,
si du moins les milieux extrémes sont identiques, il est avantageux
de remplacer le troisième rayon auxiliaire par un rayon passant
par le premier point principal, c. à. d, le point d’intersection du
premier plan principal avec Vaxe. Le rayon émerge alors dans
la même direction en passant par le deuxième point principal. En
dehors de cette simplification de la construction, introduction des
plans principaux est sans avantage marqué pour la résolution des
problemes de dioptrique, ou bien ces plans n’ont aucune signification
dans ces problèmes 4).
Les plans principaux ne se prétent pas aussi facilement a une
détermination expérimentale que les plans oculaires, et encore n’y
arrive-t-on que par voie indirecte; nous ne les introduirons done
pas dans nos raisonnements.
§ 12. Conslantes optiques dune lentille et de la combinaison de
deux lentilles. Pour une seule surface réfringente nous avons,
d'apres $ 6, ¢ = = p= sia En 0, ref SEN
négatif si la surface tourne sa convexité vers la lumière. Pour
une deuxième surface, formant avec la première une lentille
seh 1 ]
d’épaisseur d, on a ¢ = ——, Po == — (m9 — 1) =
x Hi ae Li,
Appliquant maintenant les relations (II) a la combinaison des deux
systèmes optiques, nous trouvons pour constantes optiques de la lentille,
n — 1 d il 1 (2 ER
ez pe Dre
; ee ere) Ge 7) 2. EER
/ —ld
ae Eee B à d
7 ne B ;
To —
Pour une lentille biconvexe k, est
*) Les rayons menés du point lumineux et de son image vers les points principaux,
ne sont point les axes de symmétrie des faisceaux incident et émergent, et ne peuvent
done servir, en les remplaçant, à représenter la marche du faisceau qui forme l'image.
Les points principaux sont aussi sans importance quand il s'agit de déterminer l'inten-
sité lumineuse en divers points de l’image, ou l'éclairement de l’espace image. De même,
les plans principaux sont sans aucune utilité quand il s’agit de déterminer la finesse
avec laquelle diverses parties de l’espace chjet sont reproduites dans un plan déterminé
de l’image, ou bien quand on veut déterminer le point d'où il faut regarder l’image, afin
que Veffet de perspective soit le même que celui produit par l'objet, toutes questions que
nous allons traiter dans la suite.
FOMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 23
négatif, A, est positif; pour une lentille biconcave Li, est positif,
R, négatif.
Nous déduisons de là les distances focales principales et les dis-
tances des points oculaires:
1 ef nwt ad s
F, a G eae ; mn a - _ JA mee ese Es
: A: AGE D er 2 ,
P Ge DG R, n RB Le
n—1 d = d
1 Si n R eee Gi En mn
FN RL ee GEL 1e Re acy AU
GS a AA 3 See
x d
05 == 4 oS ae Oe ai
eS n=- ad ~
6 brun
Si x > 1, ces expressions prouvent que, pour une lentille biconcave,
les points oculaires sont toujours situés à l’intérieur de la lentille.
Il en est du reste de même pour une lentille biconvexe peu
épaisse. Si l'épaisseur est faible en comparaison des rayons de
‘ d wee
courbure, on a pour toute lentille 0, = 0, — — — ; ainsi pour
. n
une lentille en crown, dont 7 = 3, les points oculaires sont placés
à une distance égale aux 2 de l’épaisseur en arrière de la première
surface réfringente et en avant de la deuxième. Le premier point
oculaire est done placé en avant du deuxième. Un point oculaire n’est
placé en dehors de la lentille (x > 1)que dans le cas où la surface corres-
pondante est convexe, et quand l'épaisseur est plus grande que la
deuxième distance focale principale de cette surface. L’exactitude
de cette dernière remarque peut être prouvée immédiatement en par-
tant de la définition du deuxième foyer principal. Les foyers
principaux sont placés à des distances inégales des surfaces de la
lentille. Si l'épaisseur est faible en comparaison des rayons de
courbure, la différence est proportionnelle à l’épaisseur et à la
différence des rayons de courbure.
Faisons encore remarquer que les points oculaires sont toujours
accessibles à l'observation. même dans le cas où ils sont situés à
Vintérieur de la lentille ou d’un système otptique. Il est toujours
possible d'examiner à la loupe ou avec un microscope à long foyer
l’image d’une des surfaces terminales formée par le système optique 4).
*) La détermination expérimentale de la situation des plans principaux peut se faire
en faisant usage de la propriété: que pour cette paire de plans conjugués le grossissement
linéaire est égal à 1. M. H. Sentis, (Journal de Physique, (2), VIII, 283, 1889) a indiqué
sommairement Vappareil à employer. La recherche expérimentale des plan principaux
24 PROPRIETÉS GÉNÉRALES DES IMAGES
Pour une lentille dont l’épaisseur est faible par rapport aux
1 1 I
rayons de courbure, on ac—=l, p= (n— 1) e sr -) = es
p VON, te, Ve
r — 0, s=1. Ces valeurs ont déjà été déduites au § 6 de la
signification des constantes optiques.
Si deux lentilles infiniment minces sont placées à une distance
d l'une de l’autre, nous avons, d’après l’équation (ID) ($ 4),
OUEN te d
ON ED En
Ja hi te Stake > fi
L'expression 4 représente ce que l’on appelle la distance optique
des deux lentilles; c’est l’écartement entre le deuxième foyer princi-
pal de la première lentille et le premier foyer principal de la deuxième.
Les distances focales principales sont
F =— fi ie ere fd + +o
2
À EEN anr CS Joa
fy = fy si AG
Il suit de la que le premier foyer principal du système est placé
2
à une distance ~ en avant du premier foyer de la premicére len-
2
tille, et que le deuxième est situé à une distance fe en arrière du
deuxième foyer principal de la deuxième lentille. Cette propriété
trouve une application étendue, e. a. dans Vétude des propriétés
optiques des microscopes et des objectifs photographiques.
§ 13. Modification de la divergence des rayons par un système
optique. Nous appellerons divergence de deux rayons lumineux inci-
dents la différence entre les divergences de ces deux rayons. Afin
de déterminer cette différence sans ambignité, nous retrancherons
la divergence du rayon ayant la plus petite amplitude de la diver-
gence du rayon ayant la plus grande amplitude. La détermination
du signe de la divergence des deux rayons incidents se fait
done à laide d'une des surfaces réfringentes, notamment de la
ne peut être toutefois très pratique (Bouty, Journal de Physique, VII, 332, 1878).
Quant à la deuxième propiété des plans principaux, d'après laquelle le grossissement
angulaire Vu =1, (nui =1) Secretan s'en est servi dans sa „détermination de la distance
focale des systèmes convergentes. Paris, 1855” (A. Martin, Ann. de Chim. et de Physi-
que, (4), X, 344, 1867). Il ne m'a été pas possible de consulter cet ouvrage.
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 25
première. La divergence est ainsi positive lorsque le point d’inter-
section des rayons, c.-à.-d. le point lumineux, est placé en avant de
la première surface réfringente, elle est négative si le point lumi-
neux est virtuel. La divergence des rayons émergents conjugués se
détermine d’une façon analogue a l’aide de la dernière surface
réfringente. Nous retranchons la divergence du rayon ayant la plus
petite amplitude finale de la divergence de l’autre rayon. Tout
comme pour les rayons incidents, la divergence des rayons émer-
gents est positive, si l’image se forme du côté de la surface réfrin-
gente terminale d’ou vient la lumière, done positive pour une
image virtuelle, négative pour une image réelle. Nons dirons main-
tenant qu’un système est convergent si la divergence de deux rayons
quelconques, indépendamment de la situation du point lumineux,
diminue par le passage des rayons à travers le système optique.
Or, voyons si de tels systèmes existent.
Distinguons les deux cas où les amplitudes initiale et finale 4,
et 4, sont de même signe ou de signe contraire. Soient D, et
D, les divergences des deux rayons incidents; 4, et 4,’ leurs
amplitudes. Si 4, > 4,’, la divergence des deux rayons est D, — D,
Al. D
EN tes
A, 7 |
La deuxième équation fondamentale donne
ii 5 | he iy eee ,
——-s. Pour tous les rayons émis par un même point lumineux,
1
ou par des points lumineux situés dans un mème plan normal à
l’axe, le rapport entre les amplitudes finale et initiale est donc le
même. Représentons par 2
„et D les divergences des rayons
Y= LL
émergents, et par A, et 4, leurs amplitudes. Si —" >> 0, nous
avons 4, > À, , puisque nous avons supposé A, > A, lar diver
/ - - en A » !
gence des rayons émergents est done D, — D’.. Si 7 < Olona da, CA,
Pa il
Ba divergence est 2 — Dn «Dans le cas où << 0,
A
nous prenons les rayons incidents et émergents dans l’ordre in-
verse, pour chercher la différence entre leurs divergences et trouver
ainsi la divergence des deux rayons.
Soit d’abord Wi > 0. La condition de convergence des rayons
1
x 4 oe ND eas
est D.— D, < D, — D,’, Comme 7, = = “~ nous aurons
à 1 1 a D, — D,”
donc, pour un système convergent
26 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES
8
et oo
< Vy e+ pay oly si Dj Dredd. alee
>, = 6 pe > l,i Dy SDA enen
\
Les valeurs de 7, sont négatives si à l'émergence les rayons
a
vont aboutir à un foyer réel. V, a des valeurs positives si
le foyer des rayons émergents est virtuel. La condition de con-
vergence peut donc s’écrire:
Cre 1; DV spourse > 05
et Cee Oee Sa eee U
Prenons maintenant le cas ou Se < 0. La condition de conver-
1
/ ; D,— D. .
gence est D, — D, < D, — D,, Comme V, = —*,,, il sera
D, -— D,
satisfait à cette condition, si
+ 2 Vt pe, A pour DD
et ao je pr, 1, pour DD SONOR
CS de 0 pour me 10
et mr SRN nee Rese M QUE
Il résulte de là que les conditions de convergence sont contra-
dictoires si lon peut avoir a, = 0, c.à.-d. si le point lumineux peut
être aussi bien réel que virtuel. Il en est de même si l’on peut
ae Ue
avoir —"= 0. Comme —" —— +s,, on a
Aj À, vy
2 20 peur Le a, str > De, EEN
1
pour a, < 0,sir < 0,s > 0, tandis que
ee 0 pour 2, > Oper M0 Oper
|
pour. 0, si7 > 0,5 <0
Les dernières conditions prouvent que ce n’est que dans le cas
8 Ae A EE
où 7 = 0 que le rapport Fe conserve le même signe, aussi bien
1
pour des valeurs positives de 2, que pour des valeurs négatives ;
c.-a.-d. aussi bien pour des points lumineux réels que pour des points
lumineux virtuels. C’est ce qui arrive dans le cas d’une surface
réfringente unique ou d’une lentille infiniment mince }).
*) Un système composé de deux lentilles infiniment minces, placées à une dis-
tance supérieure à la somme de leurs distances focales principales, nous donne l’exemple
d'un système où, pour x, >0, A, et Ar n'ont pas toujours le même signe, tandis que
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 27
Afin que la contradiction entre les conditions de convergence
pour des points lumineux réels et virtuels disparaisse, il faut que
on ait ¢ — l pour fe Der | pour sa al)
Ay Ay
Le premier cas se présente dans les lentilles infiniment minces;
quant au deuxième il ne répond a aucun système optique existant,
et n’a certainement aucune signification pratique si l’on doit avoir
en même temps 7 —0.
Parmi tous les systèmes optiques il n'y a done que les lentilles
infiniment minces qui puissent être convergentes ou divergentes
dans le sens que nous venons d’attribuer à ces mots, aussi bien
pour des points lumineux réels que pour des points lumineux vir-
tuels. Nous retrouvons ainsi pour les lentilles infiniment minces les
conditions déjà connues de convergence p < o, et de divergence
p > 0. Parmi les autres systèmes optiques les uns ne sont conver-
gents que pour des points lumineux réels, les autres pour des
points virtuels.
Nous considérerons encore les systèmes optiques formés par une
seule surface réfringente. Dans ce Aye > 0; or on reconnait
at
facilement à la condition de convergence, qu’une surface réfringente
tournant sa convexité vers le premier milieu qui est le moins dense,
west convergent que pour des points lumineux réels; et qu’une
surface concave du coté du premier milieu, qui est le plus dense,
nest convergente que pour des points lumineux virtuels. Dans le
deuxième cas le système n’est pas convergent pour tout point lumi-
neux réel, mais uniquement pour ceux qui sont plus éloignés de
la surface réfringente que le centre de courbure, ainsi qu il est
aisé de le reconnaître sur une simple figure.
Ajoutons encore que parmi les cas d’une surface réfringente
unique sont divergents: une surface tournant sa convexité vers le
premier milieu qui est le plus dense, pour un faisceau divergent,
et une surface concave du côté du premier milieu, qui est le moins
dense, pour tous les faisceaux convergents.
§ 14. Situation des foyers principaue. Si la situation des foyers
principaux est connue, il n’est pas encore possible de trouver pour tout
point lumineux le changement de divergence, ainsi qu'il a été dé-
pour x, <0 les signes sont toujours différents. Si la distance des lentilles est plus petite
que la distance focale principale de la première lentille, on a pour x, > 0, >;
ES
mais si &, <0, Ar et A, n'ont pas toujours le même signe.
28 PROPRIÉTÉS GENERALES DES IMAGES
terminé au § 13, mais il est possible de déterminer pour quels
points lumineux réels l'image est réelle. Nous distinguerons
trois cas.
Si le premier foyer principal /, est situé en avant, le deuxième
FF, en arrière du système, tout point lumineux, placé en avant du
foyer /’, donne une image réelle. Cela résulte immédiatement du
fait que le point lumineux et son image se déplacent dans le
même sens ($ 10). Tel est le cas pour un système de deux len-
tilles convergentes, dont la distance est plus grande que la somme
des distances focales principales, ou moindre que la plus petite
d’entre elles.
Comme second cas nous considérerons celui où #, est placé en
avant de la première surface réfringente, /, en avant de la dernière.
Dans ce cas tout point lumineux placé entre le premier point
oculaire et le premier foyer principal donne un faisceau réfracté
convergent. Le premier point oculaire est situé en avant du pre-
mier foyer principal. En effet, les images de ces deux points sont respec-
tivement placées au sommet de la dernière surface réfringente et a
l'infini en arrière du système; et comme la première image est
située devant la deuxième, on voit que le premier point oculaire
est placé devant le premier foyer principal. Toutefois, comme on
le reconnaît facilement, ceci n’est vrai que pour autant que le
deuxième foyer principal ne soit pas situé derrière le système. On
ASE c
y arrive aussi en partant des relations o, —— — F, = — — &t
A § p
cs—pr=n,,. Il résulte de là queo, > &, sip ets ont le même
signe, C.-à.-d. si F, = ma <0, le deuxième foyer principal se
trouvant en avant de la dernière surface réfringente. Un exemple
nous est fourni par un système formé de deux lentilles, lune con-
vergente, Vautre divergente, dont la distance est supérieure a la
distance focale principale de la lentille convergente.
Le troisième cas est celui où Æ est placé derrière la première sur-
face, J, devant la dernière. Dans ce cas, les points lumineux
donnant des images réelles, sont placés entre le premier point
oculaire et la première surface réfringente. Si le premier point
oculaire est placé en arrière de la première surface réfringente, il
n'y a pas de point lumineux réel donnant une image réelle. Ce
troisième cas est fourni par un système de deux lentilles conver-
gentes, dont la distance est plus petite que la somme des distances
focales principales, mais plus grande que la plus grande d’entr’elles.
Les autres cas possibles, comme /, derrière la première surface
na
FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 29
et # derrière la dernière, peuvent être ramenés aux trois cas
précédents par renversement du système. Les situations des foyers
principaux et des points oculaires nous apprennent done dans
quels cas un point lumineux réel fournit une image réelle. Pour
un système composé de deux lentilles infiniment minces nous allons
discuter les situations de ces quatre points remarquables. Nous
représenterons par 7, et jf, les distances focales principales des
deux lentilles, et par d leur distance. D’après le § 12:
EE ee Cre M he Cty)
1 A » Fe A Bern!
A
où A — d—f —f,; cette dernière expression est ce qu'on nomme
la distance optique des deux lentilles. Nous. considérerons deux cas:
celuvou 7, > 0 et 7, < 0; etveelui où > 0 et fp =< 0.
ie eae Ar ret 0:
On aura # > 0 et #, > 0 pour toutes les valeurs positives
de A, et mème pour toutes les valeurs négatives, si du moins la
valeur absolue de A est supérieure à la plus grande des distances
Sie = é ARE
focales principales f, et fj. Si done nous admettons f, > 7, il
faut @ > f, + fo À d € Ji |
On a fF, > 0,4 <0, si A est négatif, avec une valeur absolue
plus grande que 7, et plus petite que /,, de sorte que 7, > d > ji.
Si l’on admettait 7, << f, ce cas ne peut se présenter. Il en est
de même si A > 0.
On aura A < 0,7, < 0, si A est négatif avec une valeur
absolue inférieure à la plus petite des deux grandeurs / et /. Si
jf, est la plus petite distance focale, on a alors fy