VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE. WETENSCHAPPEN EERSTE SECTIE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenipurswetenschappén). ) ae a ie Alinde aa EN UE ST ee ne Pal PP ee re “+ k TER à PEER SG eee ye ik ; 5 8 ee. Seas # ii DEE MLI ME TT 19° PE A DE IN AMSTERDAM — JOHANNES MULLER April 1901 vs BK Sh 4 His California Academy of Sciences Presented by Koninklijke Akademie _ van Wetenschappen, Amsterdam. KET an AEO OUT gt al {wie F d'u, SEE POC En RAT NAN QE à VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE MOBEEN SCHAAP P EN BERSTE SECTIE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen) DEB MIE MET 19 P LA T E N AMSTERDAM — JOHANNES MULLER April 1901 jen Gedrukt bij Jon. Exscm HE Ne 4 i à 1 # 4 Le % L+ = a À | à d- we F Zet a ER 1 ‘ a ï 8 je 4 « © + ie = ah à k + + L 7 E : EE | i , x ‘ aN | A l a ‘1 1 vate PES to Le fi he A. pe. rd ah es, oy Oe TV Pet DÉ EN ZONEN. — Haarlem. INSEE ONDD S. L. van Oss. Das regelmässige Sechshundert-Zell und seine Selbst- deckenden Bewegungen. (Mit 14 Tafeln). E. Murper. Over peroxy-zwavelzuur zilver en peroxy-azijnzuur zilver. (6° Verhandeling). Arrcra Bootn Srorr. On certain series of sections of the regular four- dimensional Hypersolids. (With 5 plates). P. H. Scrourr. Les hyperquadriques dans l'espace à quatre dimensions (Etude de géométrie énumérative). R. SissiNGn. Propriétés générales des images formées par des rayons centraux traversant une série de surfaces sphériques centrées. B. Murper. Over peroxy-azijnzuur zilver en, als vervolg, over peroxy- zwavelzuur zilver. (7° Verhandeling). J. M. van BeumereN. Bijdrage tot de wetenschappelijke biographie van G. J. Murper. Historisch-kritische beschouwing van zijn werk: „De scheikunde der bouwbare aarde.” Digitized by the Internet Archive hi é LD in 2012 with funding from ce 4 California Academy of Sciences Libra ix É 6 a ce ZA a Zn http://www.archive.org/details/verhandelingende 71901 koni eat 2 à x fr ° LD > ‘ +1 _ Selbstdeckenden | Ban - S. L. VAN OSS. | na _ Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 1 (Mit I@OTafeln.) AMSTERDAM , | = : JOHANNES MÜLLER. | ea “December 1899. | 4 D zel w j dut FA % ooh 1 pee. Das regelmassige Sechshundertzell und seine Selbsideckenden Bewegungen S. L. VAN OSS. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 1. (Mit 14 Tafeln.) AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. December 1899. inh pte = Das regelmässige Sechshundertzell und seine selbsdeckenden Bewegungen VON S. L. VAN OSS. Wesentliche Grundlage dieser Arbeit sind die hierbei vorgelegten Projectionen der Tafeln HIT bis VII. Die Projectionen der Tafeln T und IT wurden schon in meiner Inaugural-Dissertation © publicirt und untersucht. Ich reproducire sie hier in der Meinung, dass ein Uberblick über die sämtlichen regelmässigen Gebilde von vier Dimensionen wohl erwünscht sei, zumehr weil die Punktgruppen der regelmässigen Z600 und ZO diejenigen der emfacheren Zelle enthalten. Das zu vergleichende Material liegt also sämtlich vor. Auch die beiden Tafeln IX und X, welche Projectionen des Z120 enthalten, lasse ich ausser Betracht. Sie sind nur der Vollständig- keit wegen hinzugefügt worden. Ihre Leistungsfähigkeit bei irgend welcher geometrischen Untersuchung, dieses Gebilde betreffend, ist wohl nicht fraglich. Ohne Weiteres liefern sie die von Herrn P. H. Schoute *) behandelten räumlichen Projectionen nach den Richtun- gen der ersten, zweiten und dritten Querlinien, während sie mittels sehr einfacher Constructionen die räumlichen Schnitte senkrecht zu diesen Querlinien zu bestimmen gestatten. Sie sind aus den 7600 Projectionen der Tafeln IV und V abgeleitet worden. Ich habe es unterlassen alle den Tafeln IT bis VIII entsprechenden Z120-Pro- "| Die Bewegungsgruppen der reg. Gebilde von vier Dimensionen 1894. *) Reg. Schnitte und Projectionen des Z'*° und Z°°° Verhandelingen Im N°. 7.1894. An 1 4 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND jectionen zu construiren, weil die beiden an dieser Stelle vorgeleg- ten allerdings hinreichend sind, eine klare Vorstellung des 7120 zu vermitteln. Die Projectionen des 7°°° wurden mit ausschliesslicher Rücksicht auf die Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen dieses Ge- bildes angefertigt. Idem sie aber, so zu sagen ungefragt, sich dar- boten zu Bemerkungen allerlei Art, so habe ich im ersten Abschnitte dieser arbeit eenige Ergebnisse, welche ohne jede Construction aus denselben hervorgehen, zusammengestellt. 1. Die Lage eines Gebildes 1m Raume von vier Dimensionen ist bestimmt durch seine Projectionen auf die Ebenen eines recht- winkeligen Coordinatensystems. Von diesen Projectionen sind irgend zwei auf ein Paar normaler Ebenen schon genügend, die Lage anzu- geben. Bs. seien nun die Ebenen X OA, X,O0X%,, X,OX,, AG OAN mit den positiven Halbachsen auf die Ebene des Papiers umge- klappt: OX, nach unten, OX, nach rechts, OX, nach oben, OX, nach links, es seien weiter 4,, 45, die Projectionen eines Punktes A auf X,OX, und X,OX,, so lassen sich die Projectionen 4,, und d,, sofort angeben. Beachtet man nun, dass je zwei nebeneinanderliegende der um- geklappten Ebenen einen Coordinatenraum von drei Dimensionen bestimmen, und dass die Projection emes Punktes auf diesen Raum, durch die Projectionen auf die beiden Ebenen bestimmt wird, so lässt sich das obige System von vier Projectionen nach Belieben auch als die Projectionen auf die vier Coordinatenräume betrachten. Nach diesem Prinzip habe ich nach den Angaben Puchta’s 4) die Projectionen der ‘Tafel, HI gezeichnet, und durch Drehung und Doppeldrehung um A,OX, und X,OX, die übrigen Z600-Projec- tionen hergeleitet. (Ich bin der Puchta’schen Bezeichnung nicht gefolgt, weil es mir zweckmässiger erschien, je zwei diametral gegenitbereinanderlegende Eeken durch gleiche positive und negative Zahlen zu bezeichnen). ') Wiener Sitzungsberichte. Bd. 95. 1887. SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 5 2. Aus irgend welchem dieser Projectionensysteme lässt. sich die die folgende Ubersicht über das 760 herleiten. Die Eeken des Zelles legen, regelmässige Punktgruppen um irgend eine Hauptdiagonale bildend, in sieben zu dieser Diagonale normalen Räumen. So liegen z. B. um die Diagonale 1-1 herum: 2 — 13 in einer Ikosaedergruppe J, IAR A3 ee Dodekaeder … “2D SARA DE ars Ikosaeder. . 5, 7, AO AG oO Uke Dod: MCD) -45 — -84 „ „ Ikosaeder ,, J, old 64 Dodekaeders D rn de ui eelikosaeder: 1, ~ 44 Diese Punktgruppen liegen alle ähnlich, bezw. reciprok zu einander. Diese Ecken sind auf folgende Weise durch Kanten verbunden: Von 1 aus gehen 12 Kanten nach den Eecken des i= die ahnlich legenden Beken von, 7 25, Aon Zi | sind nach der Reihe mit einander verbunden, und die 60 Ecken des J,’ mit —1. Die Beken je einer Seitenfläche des D (2°) sind 2 120 | verbunden mit den zu dieser Fläche reciprok legen- den) Bcken des 7 umd, 75> (2 und 959). : Die Ecken je einer /-Fliche des (/D) sind verbun- 2 X 60 {den mit der zu dieser Fläche reciproken Ecke des D und des 2. | Die Ecken je einer D-Fläche des (/D) sind ver- 60 | bunden mit der zu dieser Fläche reciproken Ecke des Hunde des 7 x Die 600 Seitentetraeder liegen wie folgt: 2 X 20 Tetraeder von 1 und— 1 nach den Seitenflächen des 7, und des 1’. AEX 20 ; „ den Ecken des D und des D’ nach den Sfl. des 7, und des J,’. 2 X 20 ” ” ” ” n D ” n D 1 ” LF. ” (LD). 2 X 30 Le SN TO Rent EE ancl: GIS: 1 e by Sly} = mms Verbindungen £ J, He à "D; R NS, ç À id IJ ZZ 12 1 n 1 ” I, I ” 1 7 ” (1D). Tr NNS ‘ 1 , 5 9 X 12 ” ” ” ” PR ” ” ” ” D”. 2X 120 5 ne lon QE umd ad esse Flächen welche (1D) mit D und mit D’ verbinden. 6 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND 3. Betrachten wir die vorliegenden Projectionensysteme aus dem Gesichtspunkte, dass je zwei nebeneinanderliegende Projectio- nen die Projection auf einen Coordinatenraum bestimmen, so fällt es auf, dass die Tafeln HI, IV und V gerade die von Prof. Schoute behandelten regelmässigen Projectionen lefern : Die linke, wie die untere Hälfte der Tafel IV und der Tafel V liefern die Projection des Ze in der Richtung einer Hauptdia- gonale D. Die rechte, wie die obere Hälfte der Tafel V liefern die Projec- tion in der Richtung emer ersten Querlinie Q,. Die rechte, wie die obere Hälfte der Tafel IV hefern die Pro- jection in der Richtung emer zweiten Querlinie Qs. Irgend welche Hälfte der Tafel III hefert die Projection in der Richtung einer dritten Querlinie Q. Bezeichnen wir mit d,g,, gg die Hauptdiagonalen und Querlinien des Gebildes /, und mit s den Schnitt zweier Seitenflächen des- selben, die in einer Eeke, doch nicht in einer Kante zusammen- stossen, so ist leicht zu sehen, dass : De OO parallel ist zu g, (4 12) (7 9) Q, + (84 —45) ORTE JPS Q, + (58 59 -51) oen Ya O76 8) (CELUI Qore (84 48 49 Ab) PS pen 8 (8 1 10) @ AT Die Projection des Z6% in den Richtungen der D bzw. der Q,, Qo, @, gehen also aus dem Zelle hervor, wenn man die um eine Diagonale herumliegenden Gebilde /,, D, Z,, UD), 1’, D',L’ ersetzt durch ihre Projectionen in den Richtungen der g,, bzw. derd 5, 8. 4. Kin anderes Problem, das zu den Projectionen der Tafel III in naher Beziehung steht, ist die Construction eines Schlegelschen Modelles. Bekanntlich beansprucht das Modell des Brill’schen Verlags nicht, ein treues Abbild eines regelmnüssigen Z8° yu sein. Schon aus der Projection in der Richtung einer @, Fall des Schlegelschen Modelles betracht werden kann, geht hervor, welche als ein besonderer dass die inneren „Drahtkörper”, wie das äussere, eine tetraedrische Symmetrie zeigen sollten. Um dies deutlich zu machen, habe ich, aus der Tafel IIL die den inneren Drahtkôrpern entsprechenden Gebilde herausgenommen und in der Tafel III" besonders gezeich- net. Wenn auch diese nicht den Drahtkörpern emmer centralen Pro- SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. fl jection ähnlich sind, so kommen sie doch, was ihre Symmetrie betrift mit denselben uberein, und setzen genügend in ’s Licht, wie sehr das jetzige Modell von emer centralen Projection eines regel- müssigen Z° abweicht. Es wäre eine geringe Mühe aus den Projectionen der Tafel III eine centrale Projection abzuleiten. Hs wiirde sich dann empfehlen das Projectionscentrum in der umgeschriebenen Hypersphär zu nehmen. Es werden dann die Projectionen aller in Kreisen lie- genden Ecken wieder in Kreise fallen. Normale Kreispaare werden in einer solchen Projection zu conjugirten Kreispaaren 4) u. s. w. Das Modell würde ein Gerüste von 36 conjugirten Paaren von Zehnecken zeigen, welche sich zu je sechs in den 120 Ecken schnei- den. (Man vergleiche IT 4). Vielleicht wäre es am zweckmiissigsten das Projectionscentrum in emer Eeke zu wählen. Das Modell würde alsdann eine ikosae- drische Symmetrie erhalten. Die Eeken der oben erwähnten Gebilde LD, 1,, (D), A, D, 1 würden sich in concentrische Schichten Lagern, und zugleich mit dem Erlangen der Vortheile einer stere- ographischen Projection, würde der Übelstand des jetzigen Modelles, dass die Drahtkörper Abbildungen von in gebrochenen Räumen liegenden Gebilden sind, vermieden. *) Zwei Kreise welche beziiglich einander so liegen, dass jeder Kugel durch einen derselben von den andern normal geschnitten wird, heissen conjugirt. Über die Bedeu- tung solcher Kreispaare für die Abbildung der Bewegungen im vierdimensionalen Räume auf den dreidimensionalen, sieh HE, Goursat: Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace. Annales de l'École normale superieure ¢.6 1889. In dieser Arbeit werden alle endlichen Gruppen der orthogonalen Substitutionen von vier Variabeln aufgezählt. Uber Drehungen und Doppeldrehungen um ein Paar conjugirter Kreise sieh des Ver- fassers Aufsatz in Nieuw Archief IV 1898. [© ©) DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND i 1. Zu der Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen des Z schicken wir die folgenden Prinzipien voraus: Eine einfache Drehung um eine Ebene lässt die Projection auf diese Ebene ungeändert, während sie in der Projection auf die normale Ebene eine Drehung hervorbringt. Eine Doppeldrehung um ein Paar normaler Ebenen erzeugt in den beiden Projectionen auf dieselben eine Drehung um den ge- meinsamen Punkt. Wenn die Substitution der Eeken, welche einer selbstdeckenden Drehung der einen Projection entspricht, die andere, zu dieser normale, gänzlich ungeändert lässt, so entspricht dieser Substitution eine selbstdeckende einfache Rotation des projicirten Gebildes. Bringt die erwähnte Substitution auch eine Drehung in der normalen Projection hervor, so ist die erzeugende Bewegung eine selbstdeckende Doppeldrehung. Ist aber die Substitution, welche einer selbstdeekenden Drehung in der einen Projection entspricht, in der andern weder identisch noch einer Drehung aequivalent, so entspricht derselben keine selbst- deckende Bewegung des projicirten Gebildes. Zu jeder selbstdeckenden Bewegung eines Gebildes gehört eine oder gehören ein Paar regelmässiger Projectionen. Umgekehrt wird die Kenntnis aller regelmässigen Projectionen zu der Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen führen. Es ist hierbei zu bemerken, dass eine Doppeldrehung, deren beide Componente einander gleich sind, oder, wie diese von Herrn W. A. Woythoff ') genannt wurde, eine gleichschenkliche Doppel- drehung, zu einer unendlichen Anzahl normaler Ebenenpaare, und desshalb auch zu einer unendlichen Anzahl regelmässiger Projec- tionen gehört. Wir werden aber im Folgenden sehen, dass die vorliegenden Projectionen gerade diejenige sind, welche zu der Bestimmung der selbstdeckenden Bewegungen des Z60 und des 70 nötig sind. *) W. A. Wythoff. De Biquatonion als Bewerking in de ruimte van vier afmetin- gen. Diss. Amsterdam 1898. SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 9 Ana Latel PT Die Projectionsebenen +) enthalten, je nach dem Schema DQ Q, Q, Q, Q D Q Q, Q, Q, @, zwei Hauptdiagonalen, vier erste, vier zweite, und zwei dritte Querlinien, zu normalen Paaren angeordnet. Sie schneiden acht Seitenflächen und vier Seitente- traeder. Die Ebene X,0X,, zum Beispiel, geht durch die Beke 1, durch den Mittelpunkt der Seitenfläche 1412, durch die Mitte der Kante 412, durch den Mittelpunkt des Tetraeders 4 12 23 25, U.S. Ww. Indem also jede Ebene, zu welcher eine Projection wie die vor- legende gehört, zugleich S Seitenflächen normal in zwei symme- trische Teile zerlegt, oder vier Tetraeder normal in einer ersten Querlinie desselben schneidet, ergibt sich für die Anzahl solcher benen: =< 3 oder BX 3 ==. 450: Diese Bberten smd zu + 225 normalen Paaren angeordnet. Wenn man das System dieser Projectionen mit den quadratischen Projectionen des Z™* (‘Tafel Il) vergleicht, so sieht man unmittel- bar, dass die Z%%-Ecken. + (1 56 46 51:15 17 21 33 18 22 26 30) eine Z*-Punktgruppe bilden. Indem es nun 9 Ebenenpaare gibt, auf welche das 77 sich so projicirt, so ergibt sich für die Anzahl solcher Punktgruppen im 7: 2° == 25. Selbstredend gibt es dann 75 Z*- und Z’°-Punktgruppen (vel. Tafel D. Die Projectionen der Eeken sind in neun Kreisen quadratisch angeordnet, der nte Kreis, von aussen ab gezählt, irgend einer Projection, entspricht dem nten von innen ab gezählten der zu dieser normalen Projection. Die Projectionen der Ikosaeder, in deren Beken die von den Zellecken ausgehenden Kanten enden, zeigen sich daher in neun verschiedenen Formen. Die Eeken, deren Projectionen auf eine Ebene zu zweien zusam- menfallen, haben ihre Projectionen auf der normalen Ebene in bezüglich dem Mittelpunkt gegenüberemanderliegenden Punkten. Die Ecken, deren Projectionen auf eine Ebene zu vieren zusammen- fallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Ecken eines Quadrats. Kine Substitution der Ecken, die emer Drehung !/, irgend einer der vier Projectionen entspricht, lässt entweder die normale Pro- ') Hier wie in der Folge wird der Coordinatenursprung im Zellmittelpunkt gedacht. 10 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND jection ungeändert, oder sie bringt auch in letzterer die Drehung "ly hervor. Hieraus folgt dass die einfache Drehung !/, und die Doppeldrehung 1/, '/, zu der Bewegungsgruppe des 4” gehören. Eine Substitution der Weken, welche emer Drehung 1/, irgend einer Projection entspricht, kann nur dann eine Operation der 2° Gruppe sein, wenn sie auch eine Drehung is in der normalen Projection erzeugt: Erteilen wir z. B. der Projection auf A} OX, die Drehung (1/,).4. Dieser Drehung entsprechen sehr viele Substitionen der Eeken; aber nur zwei derselben sind selbstdeckenden Bewegungen aequi- valent, nämlich: (1 56 —1 —56) (51 46 —51 —46) (2 60 —2 —60)... und (1 56 —1 —56) (51 —46 —51 46) (2 -57 -2 57)... Die erste entspricht der Doppeldrehung (1/,)34 (1/4), die zweite der Doppel- drehtune (Ue (02) Zu jedem der 225 Ebenenpaare gehören also die folgenden Operationen der 7° Gruppe: 2 einfache Drehungen 1/, 4 Doppeldrehungen 1/, 1/, 1 Doppeldrehung kroes 1 identische Operation. Zu der Aufzählung der sämtlichen zu diesen Ebenenpaaren ge- hörigen Operationen ist zu bemerken, dass die Doppeldrehungen 1/, 1/, und 1/, 1/, solche sind, zu welchen eine unendliche Anzahl von Tragern gehôrt. Es erhebt sich also die Frage, ob diese wohl alle von elmander verschieden seien, und, wenn nicht, wie viele der 225 Ebenenpaare zugleich als Trager einer einzigen Doppeldre- hung auftreten? Nun leuchtet ein, dass eine Substitution der Eeken, welche einer Droppeldrehung 1/, 1/, aequivalent ist, aus 30 Cykeln, je von vier Elementen, besteht. Jeder Cykel entspricht einer Dre- hung 1/, einer der 450 Ebenen in sich selbst; es bewegen sich also jedesmal 15 Paare in sichselbst, und es gibt, also nur =” X° 4 = 60 unter einander verschiedene Doppeldrehungen 1/, 1/,. Die Doppeldrehung 1/, 1/, vertauscht je zwei diametral-gegenüber- liegende Ecken; es ist also ganz gleichgiiltig, welches Ebenenpaar man als ‘Trager betrachtet. Diese Operation kommt, wie die iden- tische, nur einmal in der Gruppe vor. Die zu den sämtlichen 225 Ebenenpaaren gehörigen Operationen der Z°% Gruppe sind also: nn de nn dn ddie — EN a dt n à Le SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 1] 450 emfache Drehungen 1/, 3 5 Wie ui 60 Doppeldr. ae i Uli il LE] [9 2 1 identische Operation. D. Latel IV: Durch geeignete Doppeldrehung um À, O X, und À, O À, lässt sich das ZP® der vorigen Tafel in eine solche Lage bringen, dass die Seitenfläche 34 46 —54 zu der Ebene X, O X, parallel wird; zugleich werden dann auch die Seitenflächen 39 52 —44, 41 —36 —55, u. s. w. parellel, und 5 6 8, 3 10 11, 51 58 59 u. s. w. normal zu dieser Ebene. Die Projectionen auf X, O X, und XA, O À, werden dann, wie es die Figur zeigt, regelmässig-sechseckig. Die letztgenannten Projectionsebenen enthalten je abwechselnd 3 Hauptdiagonalen und 3 zweite Querlinien; sie sind zu sechs Seiten- flächen parallel und schneiden eine gleiche Anzahl derselben nor- mal in ihren Mittelpunkten. Es gibt also ©’ — 200 Ebenen, zu 100 normalen Paaren auf welche das Z®® sich regelmässig-sechs- eckig projicirt. Die Eeken, deren Projectionen auf die eine Ebene zu dreien zu- sammenfallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Ecken eines regelmässigen Dreiecks. Die Eeken, deren Projec- tionen auf die eine Ebene zu sechsen zusammenfallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Eeken eines regel- miissigen Sechsecks. Es gibt eine Substitution der Eeken, welche eine Drehung !/, in der einen sechseckigen Projection erzeugt, während sie in der zu dieser normalen Projection keine Anderung hervorruft. Hieraus folgt, dass die entsprechende eimfache Drehung Le eine selbst- deckende Zellbewegung ist. Weil die Bewegungen um zwei nor- male Ebenen von einander unabhängig sind, so ist auch die Dop- peldrehung 1/, 1/, eine Operation der Z°° Gruppe. Stellt man diese Bewegungen mit der Operation Ze de zusammen, so erfolgen noch dies Doppeldrehungen. ts .1/, und Wee. Die zu einem Paare 6-eckiger Projectionen gehörige Untergruppe der Z”’-Gruppe besteht also aus den folgenden Operationen : aus 4 einfachen Drehungen !/, 4 Doppeldrehungen blake the Hd 4 > EE a) DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND 4 Doppeldrehungen Tule | ” 2 i 2 | identischer Operation. Die Doppeldrehungen 1/, 1/, und 1/, 1/, sind aber nur zum Teil unter einander verschieden. Bei jeder dieser Bewegungen bewegen sich 10 der 100 Ebenenpaare in sich selbst; es ist desshalb nur der zehnte Teil unteremander verschieden. Die sämtlichen zu den 100 Ebenenpaaren gehörigen Operationen der Z°” Gruppe sind also: 400 einfache Drehungen 1/, 400 Doppeldrehungen 1/, 1} 40 22 le ‘ls 40 ae ‘le le ausser der schon oben bestimmten Operation 1/, 1/, und der iden- tischen Operation. Anr Datel Vi Aus der vorigen Lage wird das Z°® durch eine einfache Dre- hung um XA, O X, mit der Kante 1 2 in die Ebene X, O X; ge- bracht. Die Projectionen auf diese Ebene und auf X, O X, gestal- ten sich dann, wie es die Figur zeigt, regelmässig-zehneckig. Man sicht unmittelbar, dass diese Projectionsebenen je zehn Kanten enthalten, welche ein regelmässiges Zehneck bilden. Zugleich ergibt sich für, die Kantenlänge a; der Wert LR \/10—2V 5. Die Anzahl solcher Projectionsebenen ist © = 72, zu 36 nor- malen Paaren. Hieraus folgt, das eine Hypersphär regelmässig umsponnen wird von 72 Kreisen zu 46 normalen Paaren, welche sich zu je sechs in den Beken regelmässiger Zehnecke schneiden. Die Beken, deren Projectionen auf die eine Ebene zu je fünf zusammentallen, haben ihre Projectionen auf die normale Ebene in den Ecken regelmässiger Funfecke, während die zehn äusseren Beken der einen Projection den im Mittelpunkte der anderen zu- sammenliegenden entsprechen. Die Drehung der Periode 5 irgend einer der zehneckigen Pro- jectionen ergibt sich als einer selbstdeckenden einfachen Drehung des ZP entsprechend. ne lt 5 SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 13 Die Combination dieser einfachen Drehungen unteremander und 1/, erzeugt die zu jedem der 36 Ebenenpaare welche aus den folgenden Operationen besteht: mit der Operation 1/, gehörige Untergruppe, æ DOD oo à & & à —_ — einf. Drehungen LE] 22 Doppeldrehungen identischer Operation. Es lässt sich nun aus der Figur leicht nachweisen, dass bei jeder der gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 5 und . 10 sechs gleichberechtigte normale Ebenenpaare sich in sich selbst bewegen. Bei der Aufzählung der siimtlichen zu den 86 Ebenen- paaren gehörigen Operationen sind diese also nur mit dem sechsten Teil in Rechnung zu bringen. Man erhält also: 144 144 144 144 288 258 24 24 24 24 einf. Drehungen LE] 22 Doppeldrehungen Di 2 [5.15 Ausser der Operation 1/, '/, und der identischen. 5. Es ist leicht zu sehen, dass wir zu der Construction der bisher betrachteten regelmässigen Projectionen des 7° geführt wur- den durch die Erkenntnis, dass in der Gruppe des 7°” Ikosaeder- gruppen enthalten sind. Dass es noch mehr regelmässige ebene 14 DAS REGELMÁSSIGE SECHSHUNDERTZELL UND Projectionen geben muss, zeigt sich schon daraus, dass die durch jene bestimmten Operationen die Gruppe, welche offenbar von der Ordnung 7200 ist, noch nicht erschöpfen. Die Anwendung der folgenden Sätze, deren Beweis ich unter- driicke, wird uns die Construction der übrigen regelmässigen Pro- jectionen ermôglichen. I. Es gibt zwei Systeme, je von oo? Ebenen, deren beide Win- kel, welche sie mit jeder einzelnen der Ebenen eines normalen Paares @ bilden, gleich sind. II. Eine gleichschenkliche Doppeldrehung um @ herum erzeugt in allen Ebenen ees dieser Systeme eine Bewegung in sich selbst. Wenn man den Drehungssin einer der Componenten umkehrt, so bewegen sich die Ebenen des andern Systems in sich selbst. HI Wenn die Ebenen eines normalen Paares « mit den Ebenen eines normalen Paares 6 wagleiche Winkel bilden, so gibt es zwei normale Ebenenpaare y und d, deren Ebenen mit denen der erst- genannten Paare zwei g/eiche Winkel bilden. Es seien a, a, B, By, 1 y» % d die Ebenen der Paare a B y 2. Der Doppelwinkel (a, 6,) sei 9, U; so ist: CON Ce Sea : OO A va) ay) EEE LEEN (Bj) EE Ce ED, IV. Wenn zu den obigen Ebenenpaaren # und (3 die beiden (rechts- und links-) gleichschenkligen Doppeldrehungen der Periode p, baw. der Periode 7 gehören, so ist jedes der Paare y und à Tra- ger einer wngleichschenklige Doppeldrehung, deren Periode das kleinste Multiplum von p und g ist. Aus diesen Sätzen folgt unmittelbar, dass es noch regelmässige 12, 20-— und 30- seitige Projectionen geben muss; und zwar: 2 X 15 X 10 normale Paare 12-seitiger, Dre 10 4 MAO 2 5 OO, Be TUE NT 7 HOUR SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. 15 Denn bezüglich der Doppeldrehungen 1/, 1/, sind von den 225 Ebenenpaaren, zu welchen sie gehören, nur 15 als untereinander nicht identisch zu rechnen; ebenso reducirt sich die Anzahl der regelmässig-sechsseitigen Projectionen beziighch der Doppeldrehungen 1/,1/, auf 10, und die regelmässig-zehnseitigen bezüglich der Dop- peldrehungen 1/,, 1/,, auf 6. 6. Nach diesen Prinzipien habe ich die Tafeln VI, VIT und VII so construit, dass alle von diesen abzulesenden gleichschenklichen Doppeldrehungen gerade diejenigen sind, welche die Tafeln FE, IV und V schon zeigten. Der Complicirtheit der neuen Projectionen wegen, sind in diesen Tafeln nur die Weken des 7° angegeben worden; von den Kan- ten sind nur solche gezeichnet, welche nötig waren zur Angabe der verschiedenen Projectionsformen der Ikosaeder, auf welche die in emer Eeke zusammenstossenden Seitentetraeder sich stützen. Die Tafeln VI* VIF und VIII zeigen die neuen Projectionen in pleno. ieee Datel VL. Die Beken der 12-seitigen Projectionen sind in sieben Kreisen angeordnet. Der Mittlere und die zweiten Punktkreise, von innen wie von aussen her gerechnet, sind doppelt. Die 48 Eeken welche sich auf diesen zweiten Punktkreis projiciren, bilden zwei Z%- Punktgruppen. (Man vergleiche die 7-12-seitigen 7%-Projectionen der Tafel ID). Imdem nun die 7° Eecken 25 solcher Punktgrup- pen enthalten, und ein Z* sich auf 24 normale Ebenenpaare regel- mässig-1 2-seitig projicirt '), so folgt auch hieraus, dass es 224 — 300 normale Hbenenpaare gibt, zu welchen regelmiissig-12-seitige Z7- Projectionen gehören. Diese 300 Ebenenpaare bestimmen ausser den schon früher auf- gezählten gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 2, 3, 4 und 6: 300 X 4 = 1200 Doppeldrehungen 4/,, ?/,5- Soe Latel MIE Die 180 Paare 7-20-seitiger Projectionen bestimmen ausser den schon aufgezählten gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden 5 und 10 ") S. des Verfassers. Dissertation. 16 DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL UND 180) >< 4 —" 720) Doppeldrehungen 1/5, 755 adt ARNE Die 120 Paare 7-30-seitiger Projectionen bestimmen ausser den schon aufgezählten gleichschenklichen Doppeldrehungen der Perioden DS: Oo: 6 und 10 120 4 Doppeldrehungen US etl ay 120 X 4 : is “las 120 X 4 » Elis 5 120 X 4 ” Dear Hiermit sind die 7200 Operationen der Z°%%-Gruppe alle auf- gezählt. 10. Recapitulation. Es gibt 225 normale Paare reg —4-seitiger Projectionen P, aie ae ULC) 5 4 er) À 7 Taps eek Mn 00 À 5 rd 2 sn Pin PE 0) el nn ed ele 5 5 Pio are LOU 7 x 5 LU sn À Dn Mat d ee BAN) à OURS ÿ Pp. Diese bestimmen die 7200 Operationen der Z®®/…,. Gruppe wie folgt : Pi 450 Operationen Ph Pe 400 j 1), 400 ” io Pio 144 3 Is 144 5 2. 144 : “ho ‘2 144 8 “ho Je 288 7 Js ahs IRR RE 205 » Ho “ho TR SEINE SELBSTDECKENDEN BEWEGUNGEN. ile Pi 1200 Operationen ie aloes Py 720 ” 1/20 ° /20 720 » 3/20 ‘/20 Po 2 Uy ial 480 a: /s0 / 30 480 ») as “hs 480 >» hs hs 480 ” 1/30 ne P, Pio Po 60 5 clang Ps Pio Pa (AN 40 > le le 40 de Po Po Pao ¢ 1 24 ») ho /10 2 id, ¢ 3) 3 24 ») lio “ho 24 xi eeen P, Pe Pio Pio Po Pao 1 A ee 1 identische ,, Le 11. ÆZrzeuqung der Gruppe. Wir bezeichnen mit / die Ikosaedergruppe, welche den Punkt 1, mit /° die welche den Punkt 56 in sich sellbst überführt, und behaupten: Die Z%-Gruppe wird durch die Combination der Gruppen Lund 7° erzeugt. Denn man kaun immer die Operationen I, 1, J, derart wählen dass ihre Combination J, 1, J, einer beliebigen Operation der 7°’-Gruppe acquivalent ist. (Sieh Tafel TID. Bezeichnen wir weiter mit / eine der beiden Doppeldrehungen, welche 1 in 56 überführen, so ist J’ == V-'7V; und es sei i =. Ve Dies Operationen der Z7°°-Gruppe smd also enthaltén in der Formel J, V~ 1, VI, Vsrhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (2° Sectie). Dl, VII. A 2 LS DAS REGELMASSIGE SECHSHUNDERTZELL, U.S. W. Bemerken wir schliesslich, dass die [kosaederoperationen enthalten sind in der Formel: (Sieh Klein’s Vorlesungen ü. d. Ikosaeder) Se TE Sr ay = P= (SIP U ial 0, 15 2,58, 4 D RENI ae U = 878318? 7, so finden wir, dass die Formel SEP Sve WE Se TEST DSE TE Sane die 7200 Operationen der 7°°-Gruppe enthält. Zalt-Bommel, Januar 1899. (4 December 1899). Tafel I. S. L. van Oss. — Das regelmissige Sechshundertzell. =5-6| 4-0 12 GS a IN 5 S bel ! x S N DEN RS rs S 5 LL \ Ne ' EN > N ~ NS Ge 70 37 15 |0 Nt 4 a 23 Verh. Kon. Akad. v. Wetensch. 1e Sectie. Dl. VII. =< 6 = 4 £ , | = é Ps de = À k, ee gn F ioe = s 2 7 ai ea = - er!” 1 < y 1 , 2 2 / p i = ) : nz = ; ré yore 2 = A EC > - ay A" EM Le @ M, > ee LE D BU EE dues “2 Tafel II. Tafel IIT. 5e B a NA V 7 [> S. L. van Oss. — Das regelmässige Sechshundertzell. Sean 7 600 Verh. Kon. Akad. v. Wetensch. 4e Sectie. Dl. VII. Tafel IIIa. 1 d 4 5 Sosy os st “9 - 24 , le € > = ro hal s ; ris j à pr ies Sx 3 ha pel ap A qe neen — — ooo LS S.L.VAN OSS. Das regelmassige Sechshundertzell und seine selbstdeckenden Bewegungen. | Se oil Vi A) — Ÿ Yds KR HI Sei. ANN ZN TS SEN i AN Ce ae SOS Be ey he Se T 4 Va SA PISE EAN a oT LOR fin N INN Se. Ze ZO SS NO AN AS SC à co 4 2 4 XS we! AL à it AE 7 h NE AN A Poe Wee oa 2e SZ RR i = ian X ZF A AE CON fj A Le VE LZ S& Wa MOSER NY 4) SPS A AS Sa AN | XX EK by A ja) Va \ RA PIR INS PsA SX a Al bene Py a LS \\ ZZ =a Ai TA A col « < 7 SX LE À < 2 NT AIN N {/ Sa = x NY vS DA Vi 22 (Si [> N NO x ‘ Ze Sy) tA DD ot VA TK VA KK a Se Dis AAA | ee eee ZIS V4 Rm | I AA SS AIEN Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) DI. VII. } | ' q | q en ee at nennen 5 3 in TES 0 se ge N i @ ey . y = eS f = } = Wi | x Le] Hy \ N FT à à IN | ZE Le EF i Z | NE : if Is 2 : / / N : 5 — (ee ISN TT “= ‘ 7 Pie Wie N / HT FIN JE dé 27 SE Ze 4 8 # i ™ < Vs AN N X < Se BS 4 < SS ~ EX VE Ss À y 5 N : de — A a >. we | L > se \ / / NZ IGN / 7 N SN ij St ZA —\ ZZ Vs, N > | PA \ ce 7 Ÿ \ se Sa \ N ES \ À Ù P< AGO \ AOS Sey \ N cs 5 / (et SY) LS Ll Ee > = Je \ SS AO, ) C2 6 S CT \ S EN LV = Ee ; Vérhand Kon. Akad. 1: Wetensch. (1° Sectie) DI VII. JBjel, ith PI Mulder meer Sn Verh. S. L VAN Oss. pie Das regelmässige Sechshundertzell. Kon. Akad. v. Wetensch. 4e Sectie. Dl. VII. Tatel VIT. Yh 600 51 412 ES 23 48 58 16-31 475 19-00 750-53 55,57 IE -52-60 “98-42 6,21 A32 2733 38,42 FO, 53 49. 507 17-54 - 48-59 "3743 -40-45 0-22 ZI -26-30 756 Tafel VII. “46 … Tafel VIII. j Tafel VIIIa. 7 600 “43 2 29 45 “49 33 8 2-61 GA 40 “4 2 . NS SRT CE ee 1) \ \ 9 WX LMA SRE ay YL NBT N NES ee DNS A LR NERO 4 A NS NRE Ke TK NATERS I SQN SOOT OSE CAN LEPTIN aS OPA SNR AN URSS NR di NSQ [ANU OIE real HH NK XT WSS LARSEN Ares à ” die be \ 7 XN NHI So i) ja ES Ae es ES 7 oS. = = Ses A \ S4 IN À A BE ee De 51 ANA

1 = 28\\| 24 7/15 ANJ —26|-71 > 7 — = 20h 436 [243 2 _287|-295 6 ~128 Ÿ135 =239\.266 AN -2 9 128/30 —2Ner -237/ 266 91 172 _ 242 271 INES 174/970-9485 2444) .269 126\127 _23G 2237 ôf _J67- 7 FF AR 145 30 5 Xp | -7 -t 4188 /225 95117 -19) 2 187 6 186/369 IN HPI 82420 19N fis 10X £219 54 \_25 = = ne ~254\ 259“ 953\258 256260 _190|_ 298 = C261 248257 [216 =8I]-16 A -24/-256 -251/) 262 sl ze0 _2s0)-263-24p 265 2 ED =do|-112 10 7 _87|-/Áis — 20%. 209-13A_205 203 -158 ~89|-U3___—1S7\ /.161 -9\-25 -6|-21 9/24 1. 162 38-114 -200 |/ 213 =144/.193 _199/ 214 159208 -160 | 210 S20RS2 137 207 sour 1971906 u2 -2p4-212 1697 |-165 -194-215 158-141 -22 -25 143) 145 =32|-0 > 2 39 63 > 3 8 B ~93| 4107 -149 HS ~93|> AT = A46 52 108 155 ziet | > u | 5 4-58 RLS 0 => [105 Cr: RÉ DE 109) 02 £ zièsgo =11)-16 157 -47-55 -48-54 18-19 -46-51 14-18 4953 50-51 2, 176 177 280 |- 285 Terhand Kar. AladrWétensch (1° Sectie) DIVII TBytel ith PJ MalderirgaLeden AURA ee dens Salli sicle enregungen. 53 Gr EXT { 44/58 41156 60 59 | Dl 62 un 4 eel >” 449 7 10 90) 112 BD 4 Glan 983 cr HS 158__ T3905 20209 G2 197206 mM 79607 137 NA zu 160 N210 159208 25 133) ko & | 67 SA 194219 195218 192 |/221 syer se 31166 187 3468 191 \] 222 8517 188 225 189224 \ a En 2 2, 3 2; 262 > 217 ET &7 2% if 1903 235X60 2: 8 . 83)! 84) 118 = 29 7. 8 74 168 5 245/13 443 23 7 re ST Sede Pealtos rabo ‘238 29a) 292 241269 U 174) Pe. 1 2 sag ÿ? 28 N30 ave 239] 264 y 12 1671 140 HS = a <4 ip 7 Ed QE 7 > Saeed 281[296 283/299 i 00) \ 2291277. 179/228 170 #30 * 181/231 27 ANT 1276 firs 2/226 _yeA|P32_— 153279 18} fa 154\255 zeden 234 [280 1843235 185/33 we? -2/r26 3176 _1 L276 —4\477 -5\227 181/|-231 zisol27s 173/30 7225 729-277 -76|-121 79123 „252300 LA ; 5 L207 NI 7 > _2 = =290|.292 > 2 rs RRS ~ 7 Nr Du ras à _287|-295 =739K.266 2 279K 69-128 50 ier 237 7266 1667172 24g)" 271 179770 345 -24f|-269 Lipo _J67- 26 T82 a je Slk Ni 187 Is 269 1 221 =82//120 ANNIS IN L219 gg), = 254 \-259 216 =21À -24f-256 PSI, pred —193|-220 -250/.263 _% LE = mi = -112 10/ if OI_ISA-205 -208N -158. -89/-13 -157\/-161 _9\.23 -6]-21 = SL 24 1S L162 85-114 = 144/193 _199/ 214 1595208 = OEI 1377 K{_196-207 cpl TOA HEL 2 ey. ZE =2 Ze = MX VE zag = 4 x -9{% HIT |= 146 Ne 42) ts use 4 ù - 04 —96) 101 = = NZ] |G 15/17 Al =47-55 -68-54 18.19 46-51 -14-I8 49-53 50-52 193 -192 191 -261 \260 \ -159 -161/-160 — 282) DE 7 217 209199 189 -219 2 202 192) 222 237 -267 —276 297-286 281 296 Verhand Kon Akad v. Wetensch. (1° Sectie). DL VIL. JBijtel Uith. PJ Mulder, impr Leiden 1) Over peroxy-zwavelzuur zilver en peroxy-azijnzuur zilver (Zesde Verhandeling). DOOR EE. MULDER. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DI. VII. N°. 2. > Hp _— AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. Augustus 1899. Over peroxy-zwavelzuur zilver en peroxy-azijnzuur zilver (Zesde Verhandeling). DOOR E. MULDER. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DI. VII. N°. 2. ED AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. 1899. Over peroxy-zwavelzuur en peroxy-azijnzuur zilver KE. MULDER. (Zesde Verhandeling). In deze Verhandeling zullen in de eerste plaats nieuwe gegevens worden medegedeeld met betrekking tot de samenstelling van peroay- zwavelzuur zilver, steunende op een betrekkelijk beteren grondslag, dank zij de meer of min methodische wijzigingen in de bereiding aangebracht. Genoemde gegevens zullen worden gevolgd door voor- loopige uitkomsten betreffende de electrolyse van azijnzuur zilver, al dadelijk hierom van gewicht, daar hiermede het onderhavige onder- werp (te weten, de verbindingen van zilverbioxyde, 47, O,, met oæy-zuren van zilver) van nu af aan, is gebracht op het gebied der koolstofverbindingen, en als gevolg daarvan, meer beteekenis heeft verkregen. ‘rouwens was deze uitbreiding van het onderwerp niet onverwacht, en reeds in de vorige Verhandeling als waarschijnlijk aangekondigd. Over de omstandigheden, die van invloed kunnen zijn op de hoe- veelheid en hoedanigheid van het peroay-zwavelzuur zilver, en overeen- komstige verbindingen. Al is de opbrengst als zoodanig van onder- geschikte beteekenis, toch is vroeger gebleken bij de electrolyse van zwavelzuur zilver, en zal later in sterkere mate blijken bij de electrolyse van azijnzuur zilver, dat de Aoeveelheid van het product van aanbelang kan zijn, en wel vooral, wanneer het bezwaar zich voordoet, om zich de hoeveelheid stof te verschaffen, gevorderd B 1* 4 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER voor een nauwgezette analyse. En men vangt bijgevolg aan met de vraag naar de Opbrengst. De hoeveelheid aan product, afgezet op de anode, hangt af (onder overigens gelijke omstandigheden) van: 1°. de intensiteit van den electrischen stroom; 2°. de concentratie (of de hoeveelheid zout, in de eenheid van volumen der oplossing voorhanden, onderworpen aan electrolyse). Maar genoemde hoeveelheid is tevens afhankelijk: 3°. van de oppervlakte der anode (de kathode is geacht een buitengemeen groote oppervlakte te hebben); 4°. van de ontledings-snelheid der zwarte stof van electrolyse als zoodanig (verondersteld, dat deze niet in contact is met de oplos- sing) ; 5°. van de ontledings-snelheid dezer zwarte stof, te weten ge- plaatst zijnde onder omstandigheden, zooals zich die voordoen bij de electrolyse, dus in de eerste plaats in aanraking zijnde met de oplossing, dat van betrekkelijk grooten invloed zal zijn op deze snelheid. 6°. van den tijd voor de bereiding genomen; in dien zin op te vatten, dat de grootte der kristallen enz. invloed kan hebben op den tijd, die wordt gevorderd, en wederkeerig, zij dit voor de eenheid in gew, namelijk voor 1 gr. De invloed van den tijd is dus niet te nemen in de gewone beteekenis, wanneer de tijd op eenvoudige wijze afhangt van de hoeveelheid aan productie. In ’t algemeen zal de ontledings-snelheid (zie onder 5°) in een omge- keerde reden staan tot de grootte der kristallen, en derhalve de opbrengst in een rechte reden met deze grootte; onder anderen, omdat het lichaam, waarvan sprake is, de functie vervult van anode, en de oplossing als zoodanig in dat geval in mindere mate een storenden invloed zal uitoefenen. 7°. van de snelheid van zewfrafisatie van het zuur door elec- trolyse vrij gekomen, en bij gevolg van de daarbij gevolgde methode, bv. of de neutralisatie plaats heeft met koolzuur zilver of op een andere wijze (zie later). 8°. van de temperatuur, waarbij de electrolyse plaats heeft; en daarenboven nog van vele andere invloeden. Hoedanigheid (te nemen in den zin van zuiverheid). Deze is af- hankelijk (onder overigens dezelfde omstandigheden): 1°. in de eerste plaats van de verhouding tusschen de /oeveel- heid van het electrolytische product in de eenheid van tijd, en de hoeveelheid zwurstof, vrijgemaakt bij electrolyse in dien tijd. 2°. bij gevolg (zie hierboven, opbrengst) is de hoedanigheid (zui- EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. ) verheid, samenstelling) van het product van electrolyse in ’t alge- meen afhankelijk van dezelfde factoren, waarvan de hoeveelheid afhangt aan product van electrolyse (of de opbrengst zoo genoemd). Dit zoo zijnde, moet daartoe ook de grootte der kristallen wor- den gebracht en vele andere invloeden (zie hierboven bij ,,opbrengst’’). Het is overigens duidelijk, dat het geheel (hetzij opbrengst of hoe- danigheid van het product van electrolyse) afhankelijk is van de verhouding tusschen de snelheid van ontleding, wel te verstaan onder de omstandigheden bij de electrolyse, en de snelheid van vorming (opbrengst); terwijl de grootte der kristallen nog een rol heeft te vervullen bij het wasschen, en de analyse van het product. De grootte nu der kristallen, reeds eenige malen genoemd, hangt af van invloeden, als intensiteit van den stroom, concentratie, vorm en oppervlakte der anode, snelheid van ontleding gedurende de elec- trolyse, enz.. Bijkans al deze grootheden (factoren) „als de intensiteit van den stroom, de concentratie, de drie gemelde snelheden hierboven, de tijd, de grootte der kristallen, de temperatuur (te vermeerderen met den druk) enz, hangen da ’{ algemeen van elkander af, zóódanig, dat ieder dezer afhangt van de som der anderen. Maar dit neemt niet weg, dat, als factoren der eerste orde zouden kunnen worden aangemerkt (werkende bij gewone tempe- ratuur): 1°. de @teusiteit van den electrischen stroom; 2°. de concentratie der oplossing; 3°. de suelheid van neutralisatie der oplossing gedurende de electrolyse ; en eindelijk 4. de tjd te weten in den zin boven gegeven (vie pag. 4); en deze factoren vooral wenschte men in ’t kort te bespreken met ‘toog op opbrengst en samenstelling van het product van electrolyse. Intensiteit. Voor ’t oogenblik zal men hierbij niet blijven stilstaan, aangezien de thermo-electrische batterij © in gebruik, zeer wel schijnt te beantwoorden aan het voorgestelde doel in de onderhavige ge- vallen, terwijl de intensiteit van dien aard is, dat wordt verkregen : a. het ontstaan van kristallen eener voldoende afmeting; b. bijgevolg een voldoende samenhang der moleculen van de gevormde verbinding; 1) Zie Verhand. d. Koninkl. Akad. v. W. t. A. (Eerste Sectie), Deel III, N°. 8, pag. 5 (1896). 6 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER, c. en in ‘+ algemeen cen gunstige verhouding met betrekking tot vorming der zwarte stof, en ontledingssnelheid (gedurende de elec- trolyse), lettende op het zuur, dat vrij komt, hetzij als gevolg der electrolyse als zoodanig, hetzij als gevolg der vorming van het gwarte lichaam aan de anode. Neutralisatie. In geval van electrolyse van zwavelzuur zilver, en zooals later nog duidelijker zal blijken bij electrolyse van azijnzuur zilver, moet de oplossing volstrekt worden gezeutraliseerd, welke oplos- sing voortdurend zuur wordt gemaakt bij electrolyse (zie boven), zoodat het neutraliseeren evenzoo zonder af breking moet geschieden. Maar dit slut niet buiten, de aanname van het bestaan van een systeem van evenwicht, daarin tevens opgenomen zijnde de aanwezigheid van een zekere hoeveelheid aan vrij zuur, aangezien als gevolg der hoofd- reactie zuur wordt vrijgemaakt in betrekkelijk groote hoeveelheid. Men zal later op deze zaak terugkomen en dan zien, dat gezegd systeem van evenwicht, onder anderen, afhankelijk is van den aard van het zout, dat aan de electrolyse wordt onderworpen. Concentratie. Ken zeer belangrijke factor, zooals zich laat begrij- pen; en men moet trachten, als altijd binnen zekere grenzen, een maximum van zout te geven aan de electrolytische zuurstof, in de eenheid van tijd. Toch huiverde men in den aanvang bij de electrolyse van zwavelzuur zilver, om zich te bedienen van een verzadigde op- lossing van dit zout, en wel uit vrees, van een weinig er van afge- zet te zien worden; evenwel bestond het voornemen, dit punt later experimenteel te vervolgen. En dan zal blijken, dat de analy- tische gegevens spreken voor het gebruiken eener verzadigde oplos- sing van het zout, aan electrolyse onderworpen, en in de eerste plaats van zwavelzuur zilver. En toen de eerste stap in deze rich- ting was gedaan, kon men zich een tweeden veroorloven, en dat, met te maken, dat de oplossing verzadigd bleef, door deze, gaande van de azode naar de cathode, twee filtra te laten passeeren, zijnde het eerste voorzien van koolzuur zilver ter neutralisatie, en het tweede van zwavelzuur zilver, met het doel, de oplossing meer of min verzadigd te houden (zie over dit punt later meer uitvoerig, met ’t oog op analysen van producten naar deze nieuwe methode verricht). Tijd. Toen in den aanvang bij de studie van het lichaam, waar- van sprake is, werd uitgegaan van een Malf verzadigde oplossing, was men vrijwel beperkt met betrekking tot den tijd, voor de elec- trolyse te nemen, lettende op de hoeveelheid zwavelzuur zilver, dat deel uitmaakt van het zwarte lichaam, aangezien de concentratie bij voortduring afneemt. Daarentegen laat een verzadigde oplossing EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. { een langeren duur toe; maar door de oplossing verzadigd te houden tijdens de electrolyse, is de tijd geen factor meer van beteekenis, maar veeleer een factor in de gewone beteekenis te nemen (zie vroeger). Vergelijking der electrolyse van zilvernitraat met die van zwar velzuur zilver. Duidelijkshalve vergelijken we deze twee zouten, aan electrolyse onderworpen, een waarvan, namelijk het zilver- nitraat, zich daartoe bij uitstek leent, daar de kleme kristallen zich ophoopen tot naalden, die zich vertakken, en betrekkelijk nog al groot zijn, en in een waarlijk verbazende hoeveelheid ontstaan; terwijl men de naalden ziet gevormd worden en vallen nabij de anode op den bodem van het kleine (glazen) vat, waar de kristal- len, de rol vervullende van axgode, in massa toenemen. Men heeft dan ook in even zooveel uren ongeveer, als zwavelzuur zilver dagen vordert, een hoeveelheid peroxy-salpeterzuur zilver, in teder opzicht het product der electrolyse van zwavelzuur zilver overtreffende. En welke is de eerste oorzaak van dit verschil, terwijl men uitgaat an een electrischen stroom met dezelfde intensiteit (genoegzaam ; en wel bij gewone temperatuur, en eenzelfde inrichting van den toestel, uitgezonderd het neutraliseeren, ingeval men arbeidt met zwavelzuur zilver)? Deze is in de eerste plaats te zoeken in het verschil in concentratie, die bij zitvernitraat bijkans onbegrensd is, daarentegen zeer beperkt bij zwavelzuur zilver. Van daar waar- schijnlijk een zeer groot geleidingsvermogen voor den electrischen stroom bij zilvernitraat en een geringe geleidbaarheid bij zwavel- zuur zilver. De proef toch is in de eerste plaats gebaseerd op de geleidbaarheid der oplossing voor den galvanischen stroom; hoe groo- ter het geleidingsvermogen is, hoe minder weêrstand valt te over- winnen voor den stroom. Het groote verschil in concentratie maakt het daarenboven zeer duidelijk, waarom geen sprake behoeft te zijn van neutraliseeren bij electrolyse van zilvernitraat, en dit daarentegen een volstrekt vereischte is in geval van electrolyse van zwavelzuur zilver. Dit is een gevolg daarvan, dat het systeem van evenwicht (gedurende de eleetrolyse) de aanwezigheid toelaat van betrekkelijk meer zuur als gevolg der aanwezigheid van eeu grootere hoeveelheid salpeterzuur zilver, terwijl integendeel betrekkelijk wer- nig zwavelzuur zilver voorhanden is, en wel ongeveer honderdmaal ') minder, dat, om zoo te zeggen, alles verklaart, met ’t oog op onze kennis van het scheikundig evenwicht. *) Zie deze Verhand. D. VI, n°. 5, pag. 48. 5 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER Nogmaals over hoeveelheid en hoedanigheid van het electrolytisch product. Terugkomende op het onderwerp, dat ons bezig houdt, 200 zij opgemerkt, dat het mamimum in opbrengst ich zal vertoo- nen ingeval van een maximum van concentratie, verondersteld ge- noegzaam constant gehouden; zoodat men niet bepaald gebonden is aan lengte van tijd (zie vroeger en later). Ook zal men alsdan (onder overigens gelijke omstandigheden) het maximum verkrijgen in intensiteit van den electrischen stroom. En wat betreft de zwiverheid van het product, zij dit: 5 Ag, 0,, 2 (SO, Ags, 3 O), dat alzoo wordt ontleed: a. 5 Ag, Oy. 2 (80, Ago, 8 O) = 5 Ay Oy + 2 SO, Ag, +300; b. 2 Ag, O, + 2 SO, H, = 2 SO, Ag, + 00 + 2 H, 0, de ontledings-snelheid als zoodanig der stof zal niet veel invloed hebben op de zuiverheid van het product, veeleer die der ontleding in bijzijn der oplossing (verondersteld meer of min neutraal te zijn gehouden). De grootte der kristallen (en der naalden door deze gevormd) kan ook wel ongeveer haar maximum hebben, in aanmerking ge- nomen, dat de oplosbaarheid is beperkt, en daarin tot nog toe niet is te gemoet gekomen. Over een nieuw beginsel, te brengen in den toestel. Zooals de toestel thans is ingericht, met de schroef van Archimedes, worden ongeveer S liters opgevoerd in 24 uur, of één dag (dag en nacht). Men dient evenwel te letten op de omstandigheden, die zich voor- doen. In de eerste plaats wordt de oplossing nabij de anode op- gepompt (de anode bestaat in een dunnen platinadraad), terwijl deze met het eene witemde drukt tegen den bodem van het kleine glazen schaaltje, dit laatste geplaatst zijnde in de groote platina- schaal. Het kleine glazen vat is in gemeenschap met het groote vat door middel van de oplossing zelve, die hooger reikt dan eerst- genoemd vat. Men zal evenwel gedurende de electrolyse in ’t algemeen betrekkelijk meer vrij zuur aantreffen bij de anode in het schaaltje dan daar buiten nabij de kathode. En, wanneer wordt gezegd, dat in 24 uur 8 liters aan oplossing worden opgevoerd (die terugkeeren naar de kathode, na filtratie door koolzuur zilver ter neutralisatie, en bv. daarna komen op een tweede filtrum met zwavelzuur zilver), moet dit wel in aanmerking worden genomen. Wat men wenschte op te merken, met betrekking tot het aan- brengen van een ander beginsel, is het volgende, namelijk, dat men EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, 9 zuur zilver, aangezien men het gebruik van een pomp kan ontgaan gedurende de electrolyse, dat in den grond op hetzelfde neerkomt niet gebonden is bepaald aan een xeutraliseeren, z dit door kool- (die werd aangewend met ’t oog op een neutraliseeren). Het is toch duidelijk , dat men een verzadigde oplossing zou kunnen laten toevloeien, en dat by voortduring en in dezelfde mate, om deze te zelfdertijd evenwel te doen afvloeien; de eerste bewerking geschiedt dan bij de anode, en de tweede nabij de kathode (of omgekeerd, dat wel geen noemenswaardig verschil zal uitmaken). Maar dit alles vordert een speciale inrichting, en een groote hoe- veelheid oplossing (na de proef dan te neutraliseeren voor een vol- gende bereiding der zwarte stof). Men zou evenwel ook een anderen weg kunnen inslaan, en de eleetrolyse doen plaats hebben in een veel grooter bad der oplos- sing, reeds vroeger !) is een proef verricht, en wel aldus, dat het groote platina-vat (waarin het kleine glazen vat is geplaatst) werd gezet in genoemd groot bad; vertrouwende, zooals men zal begrijpen, op de diffusie van dat deel der oplossing, hetwelk vrij zeur bevat (als gevolg der electrolyse) en het andere deel van het bad. Men heeft zich afgevraagd, of de eerste wijziging boven gegeven, niet een vrij belangrijk punt aanroert, betrekking hebbende op het onderwerp, dat ons bezig houdt (zij dit b.v. de electrolyse van zwavelzuur zilver), te weten de concentratie, of eigentlijk gezegd, de snelheid van electrolyse. De vraag deed zich voor, of men een dusdanige inrichting zou kunnen treffen, dat de electrolyse gemak- kelijker plaats heeft, en dat door invoering van een nieuw beginsel, zij dit, om aan de oplossing, aan electrolyse onderworpen, een groote suelheid te geven (in welke richting nader na te gaan); terwijl overigens een versche oplossing (of een oplossing steeds gefiltreerd ter neutralisatie) bij voortduring wordt ingebracht en afgevoerd in eenzelfde mate. Op dit oogenblik zal hierop niet worden ingegaan, ook, omdat de aan te nemen sfroom der oplos- sing ten deele afhankelijk is van de snelheid der ionen, den hoofd- factor der electrolyse. Vervolg der proef betreffende Bereiding N°. 14. *) 19%} maal; ongeveer 20 | 5 weken. 0,0101 gr. 0,6068 21 Bi gr. *) Zie deze Verhandeling d. Kon. Akad. v. W. t. A. Dl. VI. n°. 5, pag. 7. ‘) Zie de voorgaande Verhandeling. Er werd telkens behandeld met 10 c. c. water. 19 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER stel maal; ongeveer 5 weken. 42 w to w oS) 9 ww I | ra | | : | | | 40 ongev. 10 weken. Vervolg der proef betreffende Bereiding N°. 0.0017 0.0018 0.0029 0.0054 0.0017 0.0026 0.0019 19% maal 0.0035 gr. 20 0.0029 21 0.0014 22 0.0027 23 0.0023 Deze hoeveelheid van 0.7616 gr. behandeld met water; de oplossing daarna gefiltreerd door een klein filtrum (vooraf gewogen), haling dezer bewerkingen: en het filtraat vervolgens geplaatst onder een vacuum-exsiccator. Achtereenvolgens bleef terug, bij her- 1° maal 0.4697 gr. Dn 0.2402 3 0.0182 A 0.0037 5 0.0029 6 0.0014. *) Zie de vorige Verhandeling. on gr. 0.6085 0.61038 0.61382 0.6166 0.6183 0.6209 0.6225 Totaal. 0.7523 01552 0.7566 0.7593 O.7 O16, Totaal. 0.4697 0.7099 Ons OF aks 0.7347 0.7566. 15.1) gr. or gr. OS werd bij gewone temperatuur EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 1 | Terug bleef 0.0155 gr. en op het filtrum 0.0096 gr., zijnde alles te zamen 0.7617 gr. (zie boven 0.7616 gr.). Het product van Bereiding N°. 15 was niet voldoende zuiver (bevattende 4.8 proc. aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof), en de D 7 gevonden hoeveelheid aan zwavelzuur zilver is te hoog (gevonden 39.16 pe. op 0.7366 gr.) Proef. met bereiding N°. 19. Men volgde denzelfden weg als met bereiding N°. 17 (en N°. 18). Het doel beoogd by de vol- gende proef is, den invloed te leeren kennen van water op het peroxy-zwavelzuur zilver, en dat wel bij gewone temperatuur; en de wijze van werken daarbij gevolgd was deze. Het versch bereide product (bijgevolg nog vochtig, want het was gewasschen met water op de gewone manier, tot zich geen reactie meer vertoonde in het waschwater met verdund zoutzuur) in gewicht onbekend, werd met water gebracht in een schaaltje (vooraf gewogen), het vocht afge- schonken daarna ongeveer 25 e. c. water toegevoegd, om het geheel eenige dagen te laten staan; en dit herhaald. De uitkomsten zijn hieronder gegeven: Tijd in dagen. Zwavelzuur zilver. Totaal. 1 maal 5 0.1474 gr. 0.1474 gr. 2° 5 0.1443 0.2917 3 il 0.1038 0.3055 4 7 0.064 0.4595 5 fl 0.0219 0.4514 6 7 0.0119 0.4933 7 6 0.0051 0.4954. S 59 0.0251 0.5215 9 7 0.0028 0.5243 10 27 0.0037 0.528 11 14 0.0047 0.5327 12 LG 0.0022 0.5349 13 19 0.0018 0.5367 14. 19 0.0024 0.539] 15 61 0.004) 0.5432 16 90 0.0064 0.5496. Het terugblijvende in het glazen schaaltje bedroeg 0. 1394 gr. 5 en op het filtrum 0.1328 gr., dus te zamen 0.8722 gr. Het geneutraliseerd houden der oplossing makkelijker bij bereiding N°. 19 dan dit het ging betrekkelijk ge- geval was bij vroegere 12 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. bereidingen. De aanleiding hiertoe was wel deze, dat het koolzuur- zilver na verloop van eenigen tijd meer korrelig wordt, of wellicht kristallijn D, als gevolg waarvan de oplossing minder weêrstand ontmoet bij het filtreeren. Ook werden niet zooveel spleten waar- genomen in de geheele massa van koolzuur zilver, gelijk vroeger het geval was, wel te verstaan, nadat eenigen tijd was gewerkt. De uitkomst van alles is dus wel, een beter contact tusschen oplos- sing en koolzuur zilver, en als gevolg daarvan een betere neutralisatie. Om terug te keeren tot de proef, zoo zij gezegd, dat men hier- mede ook op ’t oog fad, het gehalte der zwarte stof aan vrij zwavelzuur zilver te leeren kennen; altijd verondersteld, dat het water wief merkbaar invloed uitoefent op de zelfontleding der zwarte stof (zooals dat het geval is bij peroxy-salpeterzuur zilver). Maar de proef leert ons integendeel dezen ontledenden invloed van het water kennen als betrekkelijk zeer aanmerkelijk. Analyse van Bereiding N°. 22 (zie later over N°. 20 en N°. 21). Wijziging van den toestel”). De toestel onderging nog een wijzi- ging, en wel met het doel, om eenige merkbare verandering in den verticalen stand der as van den cylinder te voorkomen (deel uitmakende van het uurwerk). De opmerking werd namelijk ge- maakt, dat de beweegbare hefboom, bestemd voor den cylinder bij het opwinden, te lang was (als gevolg der wijze van inrichting van den geheelen toestel), en die fout had zich zeker vroeger doen ge- voelen. Er werd nu in voorzien, door den hefboom te laten gaan door een ijzeren plaat (stevig bevestigd) als steunpunt. Sints dien tijd (de toestel was vooraf opnieuw uit- en in elkander gezet, en de cylinder verticaal geplaatst) werkt de toestel op een meer ge- lijkmatige wijze. Bereiding van N°. 22. Deze geschiedde met een verzadigde oplos- sing. Nu de permanente neutralisatie weinig te wenschen overlaat, was het van betrekkelijk belang, te weten, of de concentratie merkbaren invloed heeft op de samenstelling van het product, en bijgevolg op de formule, terwijl de concentraties zijn terug te brengen tot de verhouding (zie vroeger) van 1:2. Aangezien de concentratie grooter was, vermeerderde de hoeveelheid der zwarte stof bij electrolyse (in de tijdseenheid), en bij electrolyse gedurende *) Dict. Wurtz. Supplém. IT, p. 364 (1892). *) Zie de voorgaande Verhandeling. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 13 twee dagen (dag en nacht) kon men beschikken over 2.4588 gr. (en dat na overbrengen in de groote buis, dat miet geschiedt zonder eenig merkbaar verlies; zie b.v. vroeger Bereiding N°. 15, enz.). Men wilde nog doen opmerken, dat eenige oogenblikken vóór het einde der proef, de toestel in gebreke bleef, door een onbekende oorzaak (mogelijk is b.v, dat het ver uitstekende filtrum in aan- raking kwam met de schoef van Archimedes). De gemakkelijk vrijkomende zuurstof van oxy-zwavelzuur zilver y (S Oz O. Ag) werd bepaald. Nadat de hoeveelheid van 2.4588 gr. stof was behandeld met water onder verwarming, werd na ver- dampen van het water, het terugblijvende gewogen, en gevonden 2.3442 gr. dus een verschil gevende van 0.1146 gr. of 4.66 proc. aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof. Bereiding N°. 23. Geschiedde op dezelfde wijze, maar ditmaal zonder eenige afwijking. Er werd uitgegaan van 3.3163 gr. stof (overgebracht zijnde in de groote buis). De opbrengst was derhalve betrekkelijk grooter (er ging ongeveer evenveel verloren), wel het gevolg daarvan, dat de oplossing meer geheel was verzadigd bij den aanvang der electrolyse, terwijl de oplossing gedurende de zomermaanden met een overmaat aan zwavelzuur zilver had gestaan. Voor de gemakkelijk vrijkomende zuurstof werd gevonden 0.1493 gr. (namelijk 3.3163 gr. — 3.167 gr), of 4.5 pe. Er werd dus geen stap vooruitgegaan; wellicht als gevolg der grootere hoeveel- heid stof aan de anode afgezet, zoodat de hoeveelheid aan electro- lytische zuurstof niet toereikend was, om meer of min het even- wicht te handhaven (met betrekking tot vorming en ontleding). Bereiding N°. 24. De omstandigheden waren dezelfde, met uitzondering van den duur der proef, die thans bedroeg drie dagen (dag en nacht), in plaats van twee dagen, zooals bij N°. 23. De hoe- veelheid stof in de groote reageerbuis, bedroeg 3.2699 gr, bij de behandeling met water, onder verwarming enz., verliezende 0,124 gr., beantwoordende aan 3.79 proc. aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof (zooals bekend van oxy-swavelzuur zilver). De duur der proef was dus bepaald te lang, dat ten gevolge heeft een betrek- kelijk te groote vermindering in concentratie, enz., en men sloeg bij gevolg veeleer den omgekeerden weg in. Bereiding N°. 25. De electrolyse werd slechts één dag aange- houden (dag en nacht), ten einde wellicht onder meer gunstige omstandigheden te mogen werken, wat betreft de zuiverheid van 14 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER het product. De hoeveelheid was die van 1.3835 gr. (met mede- gerekend de kleine hoeveelheid, die bij het wasschen verloren ging). Na behandeling met water onder verwarming (dat 5 dagen in be- slag nam) werd ingedampt in een vacuum-exsiccator (eischende 19 dagen). In de groote buis bleef toen terug 1.3165 gr., bij gevolg een verschil gevende van 0.067 gr., of een verlies van 4.84 p.c. aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof (zijnde die van oxy-zwavelzuur zilver, y (S'O,. 20. Ag). Dat is het maximum tot nog toe verkregen (de grootste waarde was die van 4.73 pe.; zie Bereiding N°. 18), en het is dus mogelijk, dat men een stap heeft gedaan in de goede richting, want een maximum aan gemakkelijk vrijkomende zuurstof komt blijkbaar overeen met een maximum aan zuiverheid. Nadat de zuurstof was verwijderd, werd bij het terugblijvende (zijnde dit 1.3165 gr. stof) water gedaan, en daarna eenig salpeter- zuur, onder verwarming, tot dat het zilverbioxyde was omgezet in zilvernitraat, waarna de oplossing (alles geschiedt in dezelfde buis) werd geplaatst onder een vacuum-exsiccator (bevattende tevens on- gebluschte kalk). Er bleef terug 1.6459 gr. aan stof (zijnde een mengsel van zwavelzuur en salpeterzuur zilver), dat een verschil in gewicht geeft van 0.3294 gr. (voor de eerste behandeling werden 2 dagen vereischt, en voor het verdampen 23 dagen, dus alles te zamen 48 dagen). Dezelfde methode van berekening volgende als vroeger D: verschil zilverbioxyde 91.8 : 0.8294 — 947.24 : >, dus gevende voor de waarde van 2 = 0.8865 gr., wel te verstaan zilverbioryde (Ag, Oy), bevat in 1.38885 gr. van het oorspronkelijke zwarte product, of 64.07 proc. Het gehalte van zwavelzuur zilver blijkt uit het verschil van 1.3165 gr. — 0.8865 gr. = 0.48 gr. Bijgevolg is de samenstelling : gemakkelijk vrijkomende zuurstof - vang (90,20 Agde 10.001 ver. zilverbioxyde 0.8865 zwavelzuur zilver 0.43 Som 1.3835 gr., zijnde de hoeveelheid *) Zie Verhand. d. K. Akad. v. W. (Eerste Sectie), Dl. VI. N°. 5 p. 23 (1898). EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 15 stof, waarvan werd uitgegaan. Berekend op 100 gew. - d. der zwarte stof geeft dit: 5 Ag, O,. 2 (SO,. 3 O. Ag) eischt: gemakkelijk vrijkomende zuurstof van y (SO,. 20. Ag) 4.84 4.90 zilverbioxyde 64.07 63.26 zwavelzuur zilver 31.09 31.84 100. 100. Van alle analysen tot nog toe gedaan, komt deze het best over- een met de voorgestelde formule (zie de voorgaande Verhandeling). En, daar de gemakkelijk vrijkomende zuurstof betrekkelijk het maximum bereikt, is het product dezer Bereiding te beschouwen als zijnde betrekkelijk het zuiverst van de producten tot nog toe gemaakt; zoodat deze numerique uitkomsten kunnen geacht worden te pleiten voor de gestelde formule (zie boven). Het zou wellicht eenigszins kunnen bevreemden, dat, terwijl wordt uitgegaan van een verzadigde oplossing, het gehalte aan zilverbioxyde (dg, O,) wat hooger is dan door de formule wordt gevorderd, en bijgevolg het gehalte aan zwavelzuur zilver (SO, Ag,), op indirecte wijze bepaald, wat te laag. Juist het tegenover- gestelde neemt men waar bij de analysen!) van producten met een half verzadigde oplossing. Voor ’t oogenblik kan daaromtrent alleen worden opgemerkt, dat gezegd verschil betrekkelijk klein is, en de gevolgde methode ter analyse fouten met zich brengt, die niet voldoende bekend zijn. Over een verandering, die werd aangebracht. Bereiding N°. 26. Er werd uitgegaan van een verzadigde oplossing, evenals in de laatste bereidingen; maar, om de oplossing verzadigd te houden, liet men de oplossing, na te zijn geneutraliseerd (gegaan zijnde door een filtrum met koolzuur zilver), gaan door een ander filtrum met zwavelzuur zilver. De proef werd één dag aangehouden (dag en zacht) De hoeveelheid stof in de groote buis bedroeg 0.7831 er., dus betrekkelijk weinig, en dit wel als gevolg van een betrekkelijk groot verlies bij het wasschen, door een te groote verdeeling der stof. Deze hoeveelheid werd geacht te gering te zijn voor een nauwkeurige analyse, reden waarom deze proef op gelijke wijze werd herhaald. !) Verhand. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie), Dl. VI. N°. 5. p. 43 (1898). 16 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER Bereiding N°. 27. Alleen werd wat meer koolzuur zilver ge- daan op het eerste filtram (en zwavelzuur zilver op het tweede filtrum; zie boven). De proef duurde overigens evenzoo één dag (dag en nacht). De hoeveelheid stof, wel te verstaan na te zijn overgebracht in de groote buis, bedroeg 1.5432 gr. (er ging betrekkelijk veel minder verloren bij het wasschen, daar de kris- tallen betrekkelijk beter waren gevormd). Na verhitten met water en plaatsing in een vacuum-exsiccator, werd het gewicht herleid tot 1.4695 gr., zoodat het verlies bedroeg 0.0737 gr., zijnde dit de gemakkelijk vrijkomende zuurstof van -het oxy-zwavelzuur zilver, deel uitmakende van het peroxy-zwavelzuur zilver, dus bedragende A.77 proc.; dat een betrekkelijk gunstig resultaat is te noemen, al is het gehalte iets lager dan dat van Bereiding N°. 25 (zie pag. 22). Er werd met water verhit 5 dagen, terwijl het ver- dampen onder den exsiccator 18 dagen vereischte. Bereiding N°. 28. Terwijl zoo goed als zeker een stap is ge- daan in de goede richting, zoowel met betrekking tot de zuiver- heid van het product als tot de hoeveelheid, voor een nauwkeurige analyse ruimschoots voldoende, wilde men het thans ook wagen, den tijd te verlengen, dat na de aangebrachte wijziging kan gedaan worden, omdat de concentratie genoegzaam dezelfde blijft. Met eenzelfde oplossing werkende, en met inachtneming der medegedeelde wijze van neutralisatie en verzadiging (zie Bereiding N°. 26 en 27), en dat gedurende twee dagen (dag en nacht), werd in de groote buis aan stof verkregen 2,3352 gr.; herleid, na verhitten met water enz., tot 2.2265 gr., dat een verlies beteekent van 0.1087 gr. of 4.65 proc. (er werd 6 dagen verhit, terwijl het verdampen onder den vacuum-exsiccator 14 dagen vorderde). Bereiding N°. 29. De hoeveelheid stof, na overgebracht te zijn in de groote buis, was die van 2.9552 gr., bij verhitten met water verliezende 0.1167 gr. of 3.94 proc., een vrij ongunstige uitkomst. Dit is waarschijnlijk het gevolg van den langen duur der proef, zijnde die van drie dagen (dag en nacht), en dat wel met een ver- zadigde oplossing, die tevens meer of min verzadigd werd gehou- den door een filtrum met zwavelzuur zilver. Daaruit zou kunnen volgen, dat de hoeveelheid eleetrolytische zuurstof niet toereikende was, om het verlies in zuurstof te herstellen van het zwarte product; te weten onder de omstandigheden, die zich voordoen, wat aangaat graad van concentratie, galvanischen stroom, enz.. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. LP Bereiding N°. 30. Geschiedde op dezelfde wijze. De hoeveel- heid zwarte stof in de groote reageerbuis bedroeg 1.1138 gr. ter- wijl de electrolyse slechts {wee dagen was aangehouden (dag en nacht), en gebruik werd gemaakt (als het geval was bij de Berei- dingen N°. 26 en volgende) niet alleen van een filtrum met #%00/- zuur zilver, maar ook van een tweede filtrum met zwavelzuur zilver. Na verhitten met water, en verdampen van het water in een va- cuum-exsiccator bleef terug 1.0605 gr. dus een verschil aanbiedende van 0,0533 gr. of 4.78 proc. Analytische uitkomsten (zie vroeger pag. 12—17). Men wilde de gevonden waarden gezamentlyk opgeven (zie in deze Verhande- ling, vroeger), ten einde een overzicht te hebben, ook ter betere vergelijking met uitkomsten vroeger ') medegedeeld; zij zijn de volgende, betrekking hebbende op de Bereidingen: NE oN SEN ee or Nees No. 28 AN°:50 „Gemakkelijk — vrijko- mende zuurstof” van ¥(SO,.20.A9,) 4.66 4.5 4.84 4.77 4.65 4.78 zilverbioxyde ~~ 64.07 - zwavelzuur zilver = 31.09 100. De theorie vereischt voor de formule 5 47, 0,.2 SO, Ag: gemakkelijk vrijkomende zuurstof 4.90 zilverbioxyde 63.26 zwavelzuur zilver 31.84 100. Al deze analysen zijn van producten gemaakt met een verzadigde : : D 5 oplossing. In Bereiding N°. 27 en 28 was daarenboven een tweede filtrum genomen, bevattende zwavelzuur zilver, met het doel, om te) de oplossing te houden in een toestand van genoegzame verzadiging. De Bereidingen N°. 19, N°. 20 en N°. 21 hadden tot andere 1) Zie de vorige Verhandeling: Verhand, Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie) Dl. VI, N°. 5, p. 43 (1898). Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VII. B 2 18 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER doeleinden verstrekt (zie vroeger en later). Van Bereiding N°. 24 werd geen melding gemaakt, daar de duur der proef zonder twij- fel te lang was (namelijk ongeveer drie etmalen), en bij gevolg de concentratie te veel was gewijzigd (er werd toen namelijk nog geen gebruik gemaakt van een filtrum met zwavelzuur zilver tijdens de electrolyse). En wat betreft Bereiding N°. 26, daarvan werd de opbrengst geacht niet voldoende te zijn voor een behoorlijke analyse. Over eenige eigenschappen van perory-zwavelzuur zilver. Er is groote overeenkomst tusschen peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy- zwavelzuur zilver, zooals men reeds deed opmerken in de vorige Verhandeling. Deze overeenkomst vertoont zich bij vele eigen- schappen, en met betrekking tot de aan te nemen structuurfor- mule. In de eerste plaats is de kleur zoo ongeveer dezelfde, alhoewel die van het peroxy-zwavelzuur zilver minder donker is, en veeleer doet denken aan die van graphiet. Dan treedt ook peroxy- zwavelzuur op in den vorm meer of min van naalden, opgebouwd uit meer microscopische kristallen (die zich voordoen naar ’t schijnt als zijnde octaëders). De kristallijne massa bezit evenzoo glans, alhoewel in mindere mate dan het geval is met peroxy-salpeterzuur zilver, met zijn veel schooner gevormde kristallen. De scheikundige eigenschappen bieden evenzoo de grootste overeenkomst aan, b.v. in de eerste plaats de reacties, die zich voordoen bij verhitten met water +), in de volgende vergelijkingen voor beide stoffen voorgesteld. 3 Ag, Où NO; dg = 3 Ag. O, + NO; dg + 2 0; 0 Ag ORR SOr Ag, — Ai 0, SOA zie vroeger betreffende de structuurformule van het oxy-zwavelzuur. Verdund salpeterzuur en zwavelzuur doen de volgende. reacties plaats vinden: 4) 349,10 NGO Ag Sl OEM Or 7 WV OeAg OSR en deze: Dag, 0e LO Ales OS Og SO AE ITO nor *) Zie Verhand. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam. (Eerste Sectie). Deel III. N°. 8, pag. 37, EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 19 De twee peroxy-zilverzouten (namelijk 3 dy, O,. NO, Ag en 5 Ag, O. 2 SO, Ag) zijn oplosbaar in salpeterzuur en zwavelzuur met bruine kleur (evenals dit het geval is met zilverbioxyde Ay, O,), welke oplossingen vooral sneller ontleed worden in bijzijn van water. Deze verkleuring doet zich niet voor met rood rookend sal- peterzuur (het stikstof-peroxyde MN, O, wordt hierbij zeker geoxy- deerd; het zilverbioxyde verhoudt zich evenzoo tegenover dit sal- peterzuur). Over de vorming van perovy-zwavelzuur zilver: 5 Ay, Oy. 2 SO, Ag, De ontleding heeft in tegengestelden zin plaats van de vorming, bijgevolg aldus terug te geven: 1 NO, Ag +5 O + 3H, O — 3 Ag, O,. NO, 4g + 6 NO, H; en | 7 SO, Ag, + 11 O + 5H, O=5 Ag, Os. 2 SO, Ag, + 5 SO, Hy. Wat zou kunnen opvallen in deze vergelijkingen, is wel dit, dat ter vorming van de zwarte verbindingen berekend op één molecuul, zever (zegge 7) moleculen vereischt worden van het zilver- zout (hetzij van salpeterzuur of van zwavelzuur zilver). In bijzijn van deze hoeveelheden zuur (zie de twee vergelijkin- gen) kunnen de verbindingen, waarvan sprake is, bestaan, namelijk onder de omstandigheden, die bij de electrolyse voorkomen (wat betreft concentratie; hoeveelheid van de zwarte stof in de eenheid van tijd gevormd; electrischen stroom ; temperatuur, enz.). Maar de hoeveelheid aan vrij zuur hoopt zich bij voortduring op (tenzij deze meerendeels wordt geëlimineerd door neutraliseeren, b. v. door middel van koolzuur zilver), en na eenigen tijd is de “met bereikt, en begint de reactie in fegengestelden zin (in welk geval de ont- leding van het product het wint op de vorming er van). Deze limiet vertoont zich eerder bij electrolyse van zwavelzuur zilver, dan van salpeterzuur zilver, om de eenvoudige reden, dat de hoe- veelheid aan zout in de eenheid van volumen ongeveer 100-maa/ grooter is bij salpeterzuur zilver, en nog meer. Over de wijze van ontleding van peroxy-zwavelzuur zilver. Men zou kunnen aannemen, zooals dit geschiedde voor het peroxy-salpe- terzuur zilver, dat de ontleding (ingeval eener szelverloopende ont- leding bij wijze van ontploffing, en tevens bij een dangzame zelf- B 2% 20 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER ontleding) een aanvang neemt met het oxy-zwavelzuur zilver (SO,. 3 O. Ag), zieh voortplantende op het zilverbioxyde (47, O,). Dit laatste lichaam behoort in eigenlijken zin niet tot de onplofbare stoffen, tevens een betrekkelijk hooge ontledingstemperatuur bezittende (maar toch is het endothermisch). Trouwens dergelijke feiten zijn niet zeldzaam bij ontplofbare mengsels. Im het geval, dat ons bezighoudt, is de zelfontledingstemperatuur van het product van electrolyse, met name van peroxy-zwavelzuur zilver, lager dan die van zilver- bioxyde (zie de vorige Verhandeling 5), dat wel zal beteekenen, dat die van SO, 8 O. 47, betrekkelijk geringer is (meer of min tevens inhoudende, dat SO,. 3 0. Ag, rijker is aan potentiéele energie dan Ag, O,). Over de vraag, of zilverbioryde, of oxy-zwavelzuur zilver het eerst ontstaat. Im den grond: is de vraag, welke zich hier voordoet dezelfde, als het geval was met het peroxy-salpeterzuur zilver (zie de vierde Verhandeling). Nemen we eenvoudigheidshalve S'O, Ag, in plaats van A, 0,4 47, = (2 S0, Ag). Ook hier schijnt aanleiding te bestaan aan te nemen, dat in de eerste plaats oxy-zwavelzuur zilver wordt gevormd (door middel der electrolytische zuurstof): SO, Ag, + 30 — SO, Aga, welke verbinding dan kan worden geacht zuurstof af te staan, en wel 10: SOA RO welk atoom zuurstof zich zou werpen op het oorspronkelijke zout (zooals aanvankelijk het geval was met de electrolytische zuurstof): O— Ay SO,.204g + O0 = 80, + | O— Ag (welke reactie wordt gevolgd door deze: #0, + H, O = SO, H,). Evenzoo zou men het bestaan kunnen aannemen eener reeks van verbindingen, als bij de electrolyse van salpeterzuur zilver werd ge- daan, van de type: #4g,0,.y(SO,.z20.Ag,). Maar liever zal daarop thans miet worden ingegaan, als behoorende tot het domein van bespiegeling. !) Zie Verh. d. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam, (Eerste Sectie), Deel VI. N°. 5, pag. 3. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 21 Over het oxy-zwavelzuur: y(SO,.2O0.H,) in verband met het over- zwavelzuur. Reeds was bekend sedert gerutmen tijd, dat bij electrolyse eener waterige oplossing b.v. van zwavelzuur, de ver- houding in maat van waterstof en zuurstof merkbaar kan afwijken van die uitgedrukt door 2:1. Berthelot!) nu verrijkte de schei- kunde met het gewichtige feit, dat zich vormt, als altijd onder bepaalde omstandigheden (zie daaromtrent de litteratuur opgave), van een bijzonder zuur, hetwelk tot nog toe onbekend was, en waaraan de naam is gegeven van overzwavelzuur; en ontstaande zoowel door eigentlijke electrolyse, als bij effluve van een mengsel van zwavelbioxyde en zuurstof. Bij het volgen van dezen laatsten weg, constateerde Berthelot de vorming van een anhydrid der formule S,O,. In plaats van bij electrolyse te nemen water, zuur gemaakt met zwavelzuur (zie hierover iets later meer uitvoerig), ging Marshall ?) uit van een waterige oplossing van het welbe- kende zout S'O,KH, en slaagde er in, een kristallijn product af te zonderen, naar hem van de mol. formule SO, K, volgens analysen en andere gegevens hem verschaft door James Walker, deze laatste gegevens betrekking hebbende op het geleidingsvermo- gen voor electriciteit van een waterige oplossing van dit zout. Löwenherz %) stelde een formule voor, die het dubbele is van SO, K, dus 2 SO,K = S,O,K,, en wel steunende op gegevens met be- trekking tot geleidbaarheid en daarenboven van cryoscopischen aard, van dit zout, namelijk van het overzwavelzuur kalium. Ook Bredig 4) nam deze formule aan, door zich eveneens te baseeren op electrisch geleidingsvermogen; en zoo ook Guido Moeller ®, die den cryos- copischen weg insloeg. ‘levens voor het ammoniumzout, waaraan Marshall ©) de formule S'O,.NV ZZ, gaf, werd door Guido Moeller aangenomen de formule #8, O,(V/Z/,),, met ’t oog op overeenkom- stige gegevens. Overzwavelzuur kalium #, 0, À, zou beschouwd kunnen worden emer zijn: 9S, OX — SO, SO; K, (men: heeft: 2 SO, K 7 = SO,H, + SO,K,). En het anhydride S, O,, zijnde 8 O, = SO, . SO, zou kunnen beschouwd worden als te wezen een gemengd anhy- dride (zie vroeger VO, — +(N,0,.N,0,). ) Ann. Ch. Chim. et de Phys., Sér. V, T. 14, p. 345, 354, 363 (1878); 1. c. T. 21, p. 181, 190 enz. (1880). *) Journ. of the Chem. Soc. 1891, p. 761, 771. Z. f. Phys. Chem I, S. 85. Z. f. Phys. Chem. XII. S. 230. Z. f. Phys. Chem. XII. S. 555. ll a SoS Ss 22 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER Overzwavelzuur tegenover geoxydeerd water. Naar Berthelot ont- staat een verbinding tusschen overzwavelzuur en geoxydeerd water (UL, O,) of een lichaam daarvan afgeleid. Neemt men in aanmer- king, dat het overzwavelzuur waarschijnlijk in verband staat met het oxy-zwavelzuur (zie vroeger), dan is dit een punt ter behande- ling waardig, zooals dan ook later zal geschieden. Berthelot ging bij electrolyse uit van zwavelzuur verdund met water (in een be- paalde verhouding), en dit werd aan electrolyse onderworpen onder afkoeling” (ae de oorspronkelijke Verhandeling over nadere bijzon- derheden). Onder zekere omstandigheden (vooral betrekking hebbende op concentratie) is het alleen de gemakkelijk vrijkomende zuur- stofoxy (namelijk de zuurstof, die meer bedraagt dan de hoeveelheid daarvan in zwavelzuur aanwezig), welke wief reageert op kaliumper- manganaat. Maar onder andere omstandigheden werkende, namelijk van concentratie (in den zin van een sterkere oplossing), kunnen {wee vormen van „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” worden onder- scheiden, namelijk de bovenvermelde vorm, en dan de vorm, die integendeel wel reageert op kaliumpermanganaat (verondersteld van in oplossing te verkeeren, met vrij zwavelzuur). Deze laatste zuurstof zou afkomstig zijn van geowydeerd water (H, Oy), hetzij op een meer directe of indirecte manier, en de eerste vorm van zuur- stof (niet reageerende op kaliumpermanganaat) zou afstammen van overzwavelzuur. Verondersteld, dat de samenstelling van het anhy- dride van overzwavelzuur bekend is (afgeleid van de formule, deze laatste afgeleid zijnde van de samenstelling van het zuur, terwijl deze op hare beurt steunt op analytische gegevens betreffende zouten), dan kan worden berekend door de hoeveelheid zuurstof (gemakkelijk vrijkomende) gevonden in dezen laatsten vorm, de hoeveelheid gevormd overzwavelzuur, zij dit genomen als anhydride (en der formule 8, 0). De hoeveelheid van den anderen vorm van zuur- stof (gemakkelijk vrijkomende) geeft aan, de hoeveelheid geoxydeerd water (//, O,), waarmede het overzwavelzuur zou kunnen geacht worden te zijn verbonden, zij dit genomen onder den vorm van anhydride, op een directe of indirecte wijze. Naar Berthelot 4) laat zich in de eerste plaats bepalen de totale gew. hoev. gemakkelijk vrijkomende zuurstof, van een deel der oplossing na electrolyse, waaraan dan aanvankelijk is toegevoegd toodfalium, en later van een oplossing van zwavelbioxyde (stijfsel behoeft met te worden *) J. c. Am. Ch. et de Phys. Sér. v. T. 21, pag. 182, 184, 190, enz *) Le. p. 184-—187. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 23 toegevoegd, daar de kleur van iodium toereikende is); en in een andere hoeveelheid der oplossing, bepaalt men de (gemakkelijk vrijkomende) zuurstof van het geoxydeerde water /H, O,) met kaliumpermanganaal (in zure oplossing). Het verschil dezer twee bepalingen doet de (gemakkelijk vrijkomende) zuurstof kennen van het overzwavelzuur. Berthelot 5) laat zich aldus uit, in de gevolg- trekkingen zijner proeven: „zoo gaat de vorming van geoxydeerd water door een maximum, wat de hoeveelheid betreft, die schijnt te beantwoorden aan een bepaalde verbinding van overzwavelzuur en geoæydeerd water: S, O,.2 HO, (oude vorm), die analoog is met de verbinding van baryumbioxyde en geoxydeerd water: Ba O,. HO, (oude vorm), ontdekt door Schöne; tenzij, dat men er de voorkeur aan geeft, om het te beschouwen in geconcentreerde oplossingen (als het gehalte van water een zekere grens is over- schreden, dan ontstaat alleen overzwavelzuur) als uitmakende een speciaal zuur: 5 Oo. 2 OH (= S O,. 2 HO,, oude vorm), meer zuurstof be- vattende dan het geval is met overzwavelzuur. De formule #, O,.2 OH wordt in den thans in gebruik zijnde vorm: 8, O,. 2 OH, = S, O,, H,, zij dit: S, O,. 4 OH. Maar zooals Berthelot opmerkt (zie boven), kan men dit lichaam beschouwen als een ver- binding van overzwavelzuur en geoaydeerd water: S, O,. 2 HO, (oude vorm), zijnde S, O,.2 HO, in den gebruikelijken vorm: S, Or. 2 H, O, (nieuwe vorm). En in plaats van het anhydride 50 nemende het zuur S, O, H, (= SO, + &, O° nieuwe vorm), zou men in dit geval hebben de formule 4, O, HG. 2H, O,, uit den aard te beschouwen als een moleculaire ver- binding. Deze is in hoofdzaak zeer wel te vergelijken met de moleculaire verbinding van oay-zwavelzuur zilver met zilverbioryde, zij deze: 5 Ag, O,. 2 SO, Ag. Neemt men in de plaats van zilver (Ay) waterstof (47), dan wordt het geheel S, O,, 1, voor de ver- binding, waarvan sprake is; en boven werd gevonden #, O,, H,, dat derhalve een verschil geeft van 13 O en 10 77, op het mole- cuul. Neemt men slechts oxy-zwavelzuur zilver, dan heeft men S, O,, H, tegen S, O,, H,, dus een verschil van 3 O, dat heel wat meer toenadering vertoont. Over een andere structuurformule voor oay-zwavelzuur (zie de voorgaande Verhandeling). Kenvoudigheidshalve zal voor zwavelzuur Cp: Loo: 24 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER worden genomen een symimetrische formule, en wel deze: O—0 NA HO—S—OHL, en dan zou voor oxy-zwavelzuur kunnen geschreven worden : | … Maar in plaats van | HO— S— 0H O EXO S020 te schrijven: 5 dg, Os. 2 (SO,. 3 O. dg), zou kunnen worden ge- nomen; 5 4g, O,. SO, Ago. 2 0. SO, 47, of dat hetzelfde is: 5 Ag, Os. SO,. 2 O Ag. 2 0. SO,.2 O Ag of ook: 5 Ag, Op Ag, 0. SO,. O Ag. 2 0. SO,. O Ag en daarenboven: 6 Ay, Oz. SO, O Ag. 2 O. SO,. O Ag of 6 Ag, Os. S Oo Age, en bij gevolg zou dan oxy-zwavelzuur zijn: 8, O,, Hy = SO,. OH. 20. SO,. OH (ze overzwavelzuur: #, 0, Hy), cas van O O O—S—0 DO O | . Maar verondersteld, dat aan het molecuul 0 een zoodanige structuur-formule werd toege- | “OH kend, dan zou de hoeveelheid „gemakkelijk DES 0 vrijkomende zuurstof”” desniettegenstaande de- AE) zelfde blijven (namelijk de zuurstof, die vrij ODO komt bij verhitten der zwarte stof met water). EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 25 Want uitgaande van deze twee formules voor het peroxy-uwavelzuur zilver (S, Oo, 4914) : 5 Ag Oa. Sy Ors Ag, of 6 Ag, Os. S, Og Ag, (dus: 3 Ag, Oy. SO, Ag), zou men hebben voor de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (bij verhitten met water): 9 Ags Où. Sy Ors Aya 6 Ag, Oz. So Ora 495 | A0 SONAR 0 0 AGO OE ie 0.0; | de verhouding tusschen ,,gemakkelijk vrijkomende zuurstof” en zilverbioxyde is namelijk gegeven door de proef. De laatste for- mule zou dus een reactie veronderstellen van hypothetischen aard; en wel niet te aanvaarden door gebrek aan argumenten. Ook zou de tweede formule moeten doen veronderstellen, een uiteenvallen der kristallen tot fijne stof, ten minste als zijnde tamelijk waar- schijnlijk (en wel bij het vrijkomen dezer zuurstof), dat zich niet voordoet. Het bestaan van een zuur der formule Sj 0, 1, (over- zwavelzuur is 5, 0, H,) is problematisch. Over zilverbioxyde, peroxy-salpeterzuur zilver en perovy-zwavelzuur zilver als ovydatie-middelen, en over de afscheiding der zuren van oay-salpeterzuur zilver of van ory-zwavelzuur zilver. Al deze peroxyden zijn zeer krachtige oxydatie-middelen, hetzij door den rest „zilverbioxyde”, hetzij door den rest ,,oxy-salpeterzuur of oxy- zwavelzuur zilver”. Zilverbioxyde als zoodanig is een vrij sterk oxy- datiemiddel, maar oxy-salpeterzuur zilver en oxy-zwavelzuur zilver (miet te verwarren met peroxy-salpeterzuur en peroxy-zwavelzuur zilver), overtreffen in dit opzicht blijkbaar het bioxyde, daar zij minder stabiel zijn van natuur. Dit aangenomen zijnde, zal een oplossing van peroxy-salpeterzuur en peroxy-zwavelzuur zilver in salpeterzuur en zwavelzuur, een betrekkelijk sterker oxydatie-middel zijn (hierbij wordt verondersteld, dat het salpeterzuur vrij is van stikstof-peroxyde). Ook zouden oplossingen van zilverbioxyde in zwavelzuur of salpeterzuur voordeelen kunnen aanbieden als oxy- datie-middelen. Het zou van belang kunnen zijn, om deze voorlaatste oplossingen te onderwerpen aan dialyse (b.v. in een poreus vat) bij gewone temperatuur of onder afkoeling, aangezien oxy-salpeterzuur en oxy- zwavelzuur zich wel-in vrijen staat in oplossin g zullen bevinden. 26 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER De volgende Tabellen bevatten eenige gegevens, betrekking heb- bende op de snelheid der spontane ontledmg van peroxy-zwavelzuur | 8 À zilver. De letters geven hetzelfde aan als dit het geval is in de vorige Verhandelingen 3). Peroxy-zwavelzuur zilver. N° 20. | half ver- | 14—18 | 20 Juni. |1.2791 gr. — — — zadigd. |Juni1898. 21 , — |—0.0002¢r. = = DOES — 0 — — 22 wl 2098% = — — in buisje. 22 Sept. |1.1996 gr. — 0.0102gr./ 0.00065 gr. 22 Dec. |(1-1965, ,, — 0.0031 , | 0.00019 „ 22 Maart1.1957 „ = — 0.0008 ,, |— 0.00005 „ 1899. N° 21. | half ver-}1—4 Juli} 6 Juli. |1.2983 gr. = — zadigd. 1898. (RE: 0.0002 gr. — — 8 ” 0 LE = SL 1.2674 , — = — in buisje. 8 Oct. [1.256 gr. — 0.0114 gr. | 0.00069 gr. 9 Jan. {1.2548 , — 0.0012 „ |0.00007 , 1899. 10 April.1.2537 „ == 0.0011 „ | 0.00006 „ benige opmerkingen met betrekking tot Bereiding N°. 20 en N°. 21. Dezelfde weg werd gevolgd (zie Bereiding N°. 17, N°. 18 en N°. 19). Bij Bereiding N°. 20 was de beweging der schroef minder snel en bij Bereiding N°. 21 minder regelmatig, reden waarom de toestel uit elkander werd genomen, en de cylinder beter loodrecht op het uurwerk werd geplaatst (zie Bereiding N°. 22 pag. 12). Besluit betreffende de snelheid van zelfontleding. Deze is zoo ongeveer, naar gemelde opgaven, achtmaal grooter dan zij bedraagt voor oxy-salpeterzuur zilver ?) (voor eenzelfde temperatuur): Contrôle der quantitatieve bepaling van salpeterzuur zilver. Meer- malen werd gebruik gemaakt van alcohol (abs.) als middel ter scheiding van salpeterzuur zilver en zwavelzuur zilver. Ter con- trôle nu werd uitgegaan van een bepaalde hoeveelheid salpeterzuur 1) Zie Verhand. d. K. Akad. v. W. te Amsterdam (Eerste Serie) Deel VI, N°. 1, pag. 31. *) Zie de Verhandelingen vroeger, en deze Verhand. later. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 27 zilver, dit opgelost in abs. alcohol bij gewone temperatuur, de oplossing geplaatst onder een exsiccator (met zwavelzuur), en ge- wogen. Er werd witgegaan van salpeterzuur zilver uit den han- del, aanvankelijk fijn gemaakt, en daarna onder een exsiccator geplaatst, zij dit 0.3014 gr.; na geplaatst te zijn geweest im het luchtwaterbad bij ongeveer 95°, bleef het gewicht onveranderd. Vervolgens behandeld met abs. aleohol, op de wijze boven mede- gedeeld (alleen met dit verschil, dat het zout eenige malen achter- eenvolgens met alcohol werd behandeld en de opeenvolgende oplossingen in een en hetzelfde schaaltje werden gedaan), bleef er terug 0.3015 gr. Men verwarre niet het zooeven medegedeelde met hetgeen vroeger ') werd opgemerkt met betrekking tot het gebruik van alcohol (abs.) als middel ter scheiding; want toen was aanwezig zilveroxyde (dg, QO), en als gevolg daarvan is alcohol te ontgaan. De vorming van een zilverzout van een oxy-zuur, in verbinding met zilverbioxyde, beschouwd wit een meer algemeen oogpunt. Nolgens de gegevens, waarover thans kan worden beschikt, is het waar- schijnlijk, dat vele zilverzouten (die genoegzaam oplosbaar zijn in water, en waarvan het zuur verzadigd is met zuurstof) aanleiding zullen geven (onder gewone omstandigheden van e/ectrolytische oæydatie) tot de vorming van een zi/verzout van een oxy-zuur met zilverbioryde (langs electrolytischen weg), bij ’t volgen van den weg vroeger ingeslagen; met inachtname van zekere wijzigingen aan- gebracht in de hoofdagentia (concentratie, electrischen stroom, enz.). Men ziet dadelijk in, dat deze reactie, uit een meer algemeen oogpunt beschouwd, aanleiding zou kunnen geven tot een menigte overeenkomstige verbindingen, hetzij van axorganische natuur of organische, zoogenaamd. Als dit werkelijk aldus is, zou deze reactie b.v. van veel waarde kunnen zijn met ’t oog op de clas- sieke proef van Kolbe (met betrekking tot de electrolyse van een waterige oplossing van een zout met een organisch zuur, b.v. van een kaliumzout van azijnzuur), en men heeft een aanvang gemaakt met de electrolyse van azijnzuur zilver, met de bedoe- lmg, de reeks van proeven uit te strekken tot zilverzouten van andere organische zuren, dus ook van aromatische zuren. ‘Tevens heeft men op ’t oog verbindingen, hetzij anorganische of organische dusgenaamd, met verschillende resten als CO, VO,, SO, (b.v. als SO,. OH) enz., welke resten waarschijnlijk e/ectrolytische zuurstof *) Verhand. d. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie) Dl. V. N°. 1, p. 29. 28 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER kunnen vastleggen, en dientengevolge aanleiding geven tot een verbazende ophooping van zuurstof, wanneer meerdere van denzelfden rest of verschillende resten aanwezig zijn, terwijl deze worden om- gezet in VO,, SO,, enz. (men steunt hier op de structuurformules gegeven voor peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-zwavelzuur zilver). Zooals de zaken thans staan, wordt aangenomen, dat het zilver- bioxyde Ag, O, de waarschijnlijke aanleiding is tot het doen ont- staan eener meer stabiele verbinding van dit oxyde met oxy- zuren als zilverzouten (en wellicht ook van andere zouten), terwijl de zilverzouten dezer oxy-zuren wellicht in vrijen staat niet kunnen bestaan. Men zou dergelijke onderzoekingen ook kunnen doen met overeenkomstige zouten van andere metalen, b.v. van natrium (waarschijnlijk isomorph met zilver), tenzij de oplosbare toestand van het product der electrolyse te veel bezwaar veroorzaakt. Maar alvorens uitkomsten te vermelden van proeven in deze richting genomen (en wel in de eerste plaats betreffende de electrolyse van azijnzuur zilver), wilde men nog eenige bijzonderheden geven aan- gaande peroxy-salpelerzuur zilver. Zelfontleding van peroay-salpeterzuur _ zilver (vervolg). Het volgende heeft betrekking op Bereiding N°. 25, en is een vervolg op gegevens van vroeger. Na reeds eea jaar te hebben gestaan, werd opnieuw gewogen, dus na een /weede jaar, en vervolgens na een derde jaar, en dat onder ongeveer dezelfde omstandigheden, de uitkomsten waarvan in de volgende Fabel zijn opgenomen (zijnde een vervolg van de ‘Label in de voorgaande Verhandeling 1) voor- komende): c d e Ve g h a J N° 25. | 200 gr. | 25 Nov. — = == == — 1895 28 Nov. 1895 |5.7658 gr. — — — 15 Dec. 1896 [57492 „| — |—0.0166¢r.|~ 0.000052 gr. 16 Dec. 1897 |5.7348 „| — |—0.0144 , |— 0.000047 „ 116 Dec. 1898 |5.7158 „| — |—0.019 ,, |—0.000063 „ De ontledingssnelheid zou bijgevolg aanvankelijk kleiner worden, om daarna wat grooter te zijn (zie onder 7 de twee laatste waarden); alles *) Zie Verhand. Kon. Akad. v. W. (Eerste Sectie). Deel VI. N°. 1, p. 31 (1897). EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 29 berekend zijnde op 1 gr. der stof en per week. Veronderstellende, dat 2 O worden geëlimineerd van den rest V O, Ag (deel uitmakende van hef molecuul 3 4y, O,. N O,. 2 O. dy = N Ag, O,,), maakt dit voor 1 gr. stof 0.03384 gr. „gemakkelijk vrijkomende zuur- stof” (van den rest MO, dy). Aangezien nu in den tijd van drie jaren ongeveer, op een hoeveelheid van 5.7658 gr. stof is geélimi- neerd 0.05 gr. zuurstof, geeft dit voor | gr. stof aan zuurstof 0.0086 gr. Derhalve zouden ongeveer 12 jaar worden vereischt tot het elimineeren dezer 2 O uit het molecuul (vroeger was ge- vonden 13 jaren, uitgaande overigens alleen van de eerste gegevens), verondersteld altijd, dat de gemiddelde snelheid miet verandert, hetgeen evenwel alzoo niet zal zijn. Opbrengst van peroxy-salpelerzuur zilver als funtie van den tijd. Er werd uitgegaan van een oplossing ter sterkte van 200 gr. zilvernitraat in één liter; overigens werd wief geneutraliseerd (de electrolyse van zilvernitraat vereischt dit miet). De volgende ‘Tabel zal wel geen nadere verklaring behoeven: Nummer der Bereiding. Tijd. Opbrengst. INES 22 3 uur 5.69 gr. ongeveer (er gaat 24 3 5.98 altijd wat ver- 25 3 5.78 loren). 26 3 6.01 27 2 4.26 28 4 9.03 29 5 988 Klectrolyse eener waterige oplossing van azijnzuur zilver. Nieuwe reeks van proeven. Een der factoren, die den grootsten invloed uitoefenen, is de oplosbaarheid van het lichaam, waarvan sprake is, in geval van eleetrolyse. Het azijnzuur zilver nu is bij gewone temperatuur betrekkelijk weinig oplosbaar, en wel ongeveer in gewicht 1 p. c. (aangegeven in volumen der oplossing). Ter contrôle hiervan, werd een hoeveelheid van 10 c. ce. eener verzadigde oplossing van azijnzuur zilver (bij de temperatuur der omgeving) geplaatst in een vacuum-exsiccator; er bleef terug 0.1028 gr., dus is de D oplosbaarheid ongeveer die van 10 gr. azijnzuur zilver in 1000 ©. c. 30 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER of in één liter der oplossing *). De oplosbaarheid van azijnzuur zilver overtreft trouwens die van zwavelzuur zilver (zie de vorige Verhandeling); maar daaruit trekke men nog niet het besluit, dat de electrolyse gemakkelijker zal gaan in den vroeger aangeduiden zin, want behalve de oplosbaarheid zijn er nog andere invloeden, die een rol te vervullen hebben in de electrolytische reactie, en die men hier op ’t oog heeft (zie vooral later). Bij wijze van een voorloopige proef werd uitgegaan van een verzadigde oplossing van azijnzuur zilver, en de oplossing met geneutraliseerd gedurende de electrolyse, die men twee uur aan- hield achtereenvolgens. Er had zich op de anode (zijnde. een betrekkelijk dunne platinadraad) hier en daar een zeer dunne laag afgezet van een zwarte stof. Men vond het wel aantrekkelijk, om met zulk een geringe hoeveelheid te werken, maar het kwam niet dadelijk op in de gedachte, draad met afzetsel te wegen. De draad werd, na te zijn gewasschen, in een (gewone) reageerbuis gedaan, water bijgevoegd en verhit. Niettegenstaande de hoeveel- heid zeer gering was, vertoonden zich kleine gasbellen en dat wel vrij duidelijk. De platinadraad behield overigens de zwarte kleur, en deze boven een reageerbuisje houdende, terwijl men er eenige druppels salpeterzuur langs liet vloeien, kon worden waargenomen, dat zich vormde een ruine oplossing. Dat alles laat zich ver- klaren in twee woorden, om het zoo uit te drukken, de Arwine kleur is namelijk afkomstig van zitwerbioryde, dat terugblift na behandeling met water onder verhitten, terwijl daarbij van een gas vrijkomt _ (zoogoed als zeker zuurstof), afkomstig: van het oay- azijnzuur zilver, en het azijnzuur zilver wordt opgelost; evenwel is dit alles nog te bewijzen. Berste Bereiding. Aldus zal worden aangegeven de eerste proef, die meer of min quantitatief werd vervolgd. Bij de electrolyse werd de oplossing geneutraliseerd (dag en nacht). De platinadraad was vooraf gewogen, en opnieuw gewogen na electrolyse, met de zwarte stof afgezet op dezen draad (deze laatste was aanvankelijk gewasschen met water, en daarna geplaatst onder een vacuum- exsiccator), in gewicht slechts bedragende 0.0035 gr... Draad met afzetsel werd gebracht in een (gewone) reageerbuis, daarna als ge- woonlijk geplaatst onder een vacuum-exsiccator, en andermaal gewogen, waarbij het gewicht bleek hetzelfde te zijn, dus 0.0035 gr. Met deze zeer geringe hoeveelheid werd gewerkt, ten einde ") Zie Dict. Wurtz, Supplém. II, p. 11. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 3] de omstandigheden te leeren kennen, waaronder het lichaam, waar- over wordt gehandeld, zich ontleedt, en zoo mogelijk nog andere eigenschappen. Er werd eenig water aan toegevoegd, en op een waterbad verhit. De ontleding, te weten de gasontwikkeling (zoo goed als zeker zuurstof) ving reeds aan bij 26°, maar in meerdere mate bij 37°—42°. Er werd vervolgens verhit bij 60°—70° en daarna bij 70°—80°, voorzichtigheidshalve (zie vroeger de proeven met het product der electrolyse van zwavelzuur zilver). Het geheel werd toen geplaatst onder een vacuum-exsiccator, en het gewicht herleid tot 0.0034 gr. Men meende overigens met de loupe eenige kristalletjes (van azijnzuur zilver) te kunnen onderscheiden. Kenge voorloopige theoretische beschouwingen. Algemeene formule. Zelfs op dit oogenblik, met de weinige gegevens waarover kan worden beschikt, schijnt er geen aanleiding te zijn, om er aan te twijfelen, dat het product van electrolyse, waarvan sprake is, meer dan waarschijnlijk een structuur bezit overeenkomstig met die van het product van electrolyse van zilvernitraat en _ zilversulfaat (3 Ag, O,. NO; Ag en 5 Ag, Oo. 2 SO, Ay), en bij gevolg zal hebben tot formule: z Aga 0 .y[(CH,. CO. OAg) 20). De waarden van a, y en z zijn noodwendig nog te bepalen, dat overigens lang niet gemakkelijk zal wezen, en betrekkelijk veel zwaarder dan het overeenkomstige op te lossen vraagstuk aangaande het peroxy-zwavelzuur zilver, als product der eleetrolyse van zwavel- zuur zilver. Betrekking, aan te nemen tusschen de vorming van perovy-azijnzuur zilver en de welbekende reactie van Kolbe ) We loopen een weinig vooruit, met reeds een naam toe te kennen aan dit electrolytische lichaam, waarvan de studie nauwelijks is aangevangen, maar dit is niet wel te ontgaan, en de verbinding is genoemd peroay-azijnzuur zilver. Er wordt dus verondersteld, dat men heeft te doen met een verbinding van 47, 0, en CH. CO. O Ag .z 0, zooals reeds boven gezegd is. Zal men langzamerhand de opbrengst van een Berei- ding kunnen doen vermeerderen, dan is het volstrekt noodig, om meer of min te dringen in het mechanisme der reactie, want langs *) Zie b.v. Handb. Org. Chem. v. Beilst. Bd. I, S. 399 (1893); en tevens: J. Ch. Soc. Vol. 72 en 74, p. 352 (1898). 32 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER cen zuiver empirischen weg is dit zeer bezwaarlijk te bereiken. Nu kan naar Kolbe, de electrolytische zuurstof, onder zekere omstandig- heden, zich werpen op het zout van azijnzuur en de volgende reactie te voorschijn roepen: 2 (CH,.CO.OH) + 0 = OH, CH 2 C0, + HO het vrije zuur nemende in plaats van het zout, waarvoor Kolbe in zijn classieke reactie nam een waterige oplossing van keliwmacetaat; overigens slechts te beschouwen als een voorbeeld van geheel een categorie van reacties, die meer of min overeenkomst aanbieden (tevens het geval met zouten van tweebasische koolstof houdende zuren, enz.). Men vraagt zich af, welk is het verschil tusschen de reactie van Kolbe en diegene, welke ons hier bezig houdt. De reden hiervan zal niet zijn gelegen in het verschil in metaal, te weten zilver in plaats van kalium (of natrium, enz.), maar zal wel deze zijn, dat het oxy-azijnzuur zilver zich kan werbinden met het zilverbioxyde Ag, Oj, zoodat de gemakkelijk vrijkomende zuurstof verbonden kan blijven. Zonder dit zilverbioxyde, aldus kan men tenminste voor ’t oogenblik aannemen, zou deze zuurstof zich even- zoo werpen op het zout, om het te ontleden in den zin als boven Is aangegeven voor het zuur, dat in hoofdzaak op hetzelfde neêr- komt met betrekking tot het zout. Maar dit neemt niet weg, dat bij electrolyse van kaliumacetaat ontstaan kan van een verbinding : 4) x K, 0,.y[(CH,. CO. OK). 20) of alleen CH,.CO.OK.20, maar ontleed wordende onder de bestaande omstandigheden, en zuurstof gevende (afkomstig veron- dersteld van CH,.CO.OK.z0), zich werpende op het kalium- acetaat, zoodat er wordt gevormd: 2(CH,.CO. OK) + 0 + H,0 = CH,.CH, +200, +2 KOH. De reactie van Kolbe (zie de volgende Verhandeling) schijnt te moeten beschouwd worden als een parallelle of secondaire reactie. Maar, vraagt men, waarom is de opbrengst zoo beperkt. Dit is een punt voor nader onderzoek. In ieder geval volgt er uit met eenige waarschijnlijkheid, dat de mate van zuur zijn der op- lossing veel meer is beperkt, dan het geval is voor de oplossing ') Zie over K, 0, b.v. Dict. de Wurtz, art. potassium p. 1120. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 33 bij electrolyse van zwavelzuur zilver (en deze vorderde reeds een neutraliseeren der oplossing gedurende de electrolyse, miet het geval met zilvernitraat). Hetgeen gezegd is, heeft betrekking op het systeem van evenwicht onder omstandigheden, waarin de elec- trolyse plaats heeft. Maar mogelijk is, en ook dit moet nog worden nagegaan, dat de grootste hoeveelheid electrolytische zuur- stof wel voor een oneindig klein tijdstip, om zich zoo uit te drukken, aanvankelijk vormt oeg-azijnzuur zilver (als primaire reactie was vroeger aangenomen de vorming van ovy-salpeterzuur zilver en van oavy-zwavelzuur zilver; en zulks vóór het ontstaan van zilver- bioxyde, Ag, O,), maar dat dit lichaam wordt ontleed onder vor- ming van aethan CH/,. CH, en kooldioxyde CO,, benevens 4g OH of liever Ay, O (zie hierboven de vergelijking met A), hetwelk dan azijnzuur moet vinden ter omzetting in een zout. Terecht zou men echter de vraag kunnen stellen, waarvan dit zuur afkomstig is, en duidelijker wordt alles, als de volgende reactie als grondslag wordt aangenomen: +- = a. CH,. CO. O 4j = CH,. CO. O + 4 bi 2: CR CO. Os CH, CH, ==, CO Alvorens evenwel deze quaesties te behandelen, wenschte men eerst wat meer ervaring op te doen met betrekking tot de elec- trolyse als zoodanig, en de opbrengst aan zwarte stof. Jweede Bereiding. Deze had plaats onder dezelfde omstandig- heden als de eerste Bereiding, alleen werd de electrolyse twee dagen aangehouden (dag en nacht), zonder echter een noemens- waardigen invloed uit te oefenen op de opbrengst, die zijnde van 0.0034 gr Over een verandering gebracht in de bereiding, betrekking hebbende op de wijze van neutraliseeren. Andermaal werd de vraag gesteld, welke toch wel de oorzaak zou kunnen zijn van zulk een vreemde uitkomst, en als eerste aanleiding daartoe aannemende, dat het neutraliseeren wellicht nog niet in voldoende mate geschiedt, zoo werd een wijziging in dezen zin aangebracht. Lettende op het beginsel der reactie, zou men kunnen beweren, dat de reactie moet kunnen geschieden in een oplossing die meer of min zuur is, als gevolg van een weinig vrij azijnzuur; de zwarte verbinding toch vormt zich, al is het dan ook in zeer geringe hoeveelheid, Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie). Dl. VII. B3 34 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER onder de bekende gewone omstandigheden. De oplossing wordt wel gefiltreerd bij voortduring door een filtrum met koolzuur zilver, maar dit vereischt 4d, en als gevolg daarvan moet dus altijd eenig vrij zuur in oplossing wezen, waarvan men zich trouwens kan overtuigen. Daarbij komt, en hier dient op gelet te worden, dat een voldoende neutralisatie zich waarschijnlijk xze¢ voordoet met koolzuur zilver, namelijk bij gewone temperatuur, maar alleen bij verwarming. By gewone temperatuur schijnt namelijk een systeem te bestaan van evenwicht, bij aanwezigheid van koolzuur zilver, dat de aanwezigheid toelaat van een niet te veronachtzamen hoeveelheid aan vri azijnzuur. Nu spreekt de reeds beperkte opbrengst betrekkelijk, voor een storenden invloed van de zijde van het vrije zuur, maar die als gevolg van owydatie (zie boven) is door deze veronderstelling miet buiten gesloten. Deze laatste is in ieder geval geoorloofd, en derhalve is tevens geoorloofd, in die richting te werken. En wt het boven gezegde volgt, dat men gebruik heeft te maken van gewoon zilveroryde Ag, O in plaats van koolzuur zilver CO, 4g,, want onder die omstandigheden verandert het systeem van evenwicht met betrekking tot vrij azijnzuur in een systeem van evenwicht, dat van zelf de aanwezigheid van een geringere hoeveelheid van vrij azijnzuur toelaat, aangezien er geen koolzuur is (dat evenzoo de rol vervult van een zuur, al is het dan ook in een minder sterke mate). Zelfs uitgaande van een mengsel van koolzuur zilver en zilveroxyde, maar voor het grootste gedeelte bestaande uit zilveroxyde (4g, O), zal dit laatste verreweg de hoofdrol vervullen, en zal vrij azijnzuur slechts in geringe hoeveelheid optreden. De eigenschap van zilveroxyde (4g, O), om een weinig oplosbaar te zijn in water, al is dit dan ook in zeer beperkte mate, maakt, dat vrij azijnzuur genoegzaam afwezig is, of men zou dit ten minste daarheen kunnen richten; en dit te meer, omdat dit oxyde een betrekkelijk sterke basis is, roodlakmoes blauw kleurende. Ook is deze basis sterk genoeg, om zich te kunnen verbinden met kooldioxyde (C 0), dat meer of min een bevestiging insluit van hetgeen boven is gezegd, te weten, dat zilveroxyde (dg, O) het systeem van evenwicht in dien zin zou kunnen doen veranderen, dat er geen vrij azijnzuur meer aanwezig is, of beter gezegd, zoo niet volkomen afwezig, ten minste bijkans geheel niet voorhanden. Men moet namelijk ook in aanmerking nemen, dat er (theoretisch gesproken) dissociatie plaats heeft in de oplossing van azijnzuur zilver, zoodat de oplossing te gelijkertijd zeer weinig zuur en alkalisch zou kunnen zijn (ook in geval wordt verondersteld, dat zeer weinig zilveroxyde dg, O in overmaat aan- EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 3 wezig is). Tevens dient in ’t oog te worden gehouden, dat er sprake zou kunnen zijn van een georydeerd worden van azijnzuur zilver (het zij, dat hiervan een deel wordt geoxydeerd, en dat de oxydatie slechts ten deele plaats heeft), en zulks xze/ in den zin reeds boven aangegeven (namelijk ef met vorming van CH. CH, en CO), maar in dier voege, dat er een zilverzout ontstaat van een andere verbinding, afgeleid van azijnzuur, en wel door oxydatie. Aan complicatie kan dus wel geen gebrek zijn, en daarop dient te worden gelet, en in de eerste plaats moet men de verschillende ontledingsproducten der stof analyseeren, waarvan sprake is, wil men geen wellicht valsche gevolgtrekkingen maken, door de ver- schillende gevallen, die zich kunnen voordoen. Bereiding van gewoon zilveroryde (Ag, O). De wijze van be- reiding scheen niet onverschillig te zijn. Het oxyde nu werd ge- maakt door verhitten van koolzuur zilver (CO, Ag,), ten einde het zoo zuiver mogelijk te hebben, namelijk vrij van eenige andere basis, en vooral vrij van eenig ander zuur dan dat van kooldioxyde, ten einde zooveel mogelijk complicatie te ontgaan. Kooldioxyde kan als koolzuur zilver zonder bezwaar aanwezig zijn, tenzij in over- wegende hoeveelheid (overigens alleen door ondervinding te leeren kennen). Voor de bereiding van zilveroxyde (49, O) werd gebruik gemaakt van denzelfden toestel 1) als vroeger aangewend bij de proeven over de ontledings-snelheid en wijze van ontleding van het zwarte product van electrolyse van salpeterzuur en van zwavelzuur zilver. Evenzoo werd verhit in een langzamen stroom van droge lucht; maar de verschillende buizen waren niet gevuld met calciumchloride enz., behalve de eerste V-buis, die zwavelzuur bevatte. Bij de eerste bereidingen werd gebruik gemaakt van barytwater, en dat wel, om het begin en tevens het einde der reactie te leeren kennen (het barytwater bevond zich in een klein V-buisje, op zijne beurt verbonden met een dusdanig buisje met water, om het kooldioxyde der lucht te weren). Later behoefde men geen gebruik meer te maken van barytwater, wijl toen de omstandigheden, waaronder moet worden gewerkt, genoegzaam be- kend waren. De bereiding gaf aanleiding tot eenige opmerkingen betreffende de ontleding van koolzuur zilver. In de eerste plaats verdient vermelding, dat de dissociatie reeds begint bij een veel lagere temperatuur dan overeenkomt met hetgeen daaromtrent staat *) Zie de voorgaande Verhandelingen in de Verhand. d. K. Akad. v. W. 36 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER opgeteekend, zijnde deze ongeveer 130°, en wellicht nog een weinig lager. Bij een der bereidingen let men de temperatuur langzaam stijgen en wel tot ongeveer 200°, steunende op eenige gegevens in de litteratuur; en, toen de ontleding verre was van volkomen, zag men er geen bezwaar in, tot 210° te gaan als maximum (altijd, als gezegd, in een langzamen stroom van droge lucht). Men was niet weinig verbaasd, van ongeveer het derde gedeelte van het zilveroxyde (47, 0) herleid te zien tot zi/ver. Het is waar, de ontleding had vele dagen aangehouden, toch was zulk een uitkomst geheel onverwacht, vooral met het oog op het zilver- oxyde (dg, O), afgeleid van het bioxyde (47, 0), in vroegere Verhandelingen medegedeeld. Het is duidelijk, dat voortaan de temperatuur zoo ongeveer werd gehouden op die van 180°—190°, onder welke omstandigheden de ontleding, zij dit van ongeveer 10 gr. aan koolzuur zilver, vele dagen eischt; en dan nog bevat het product koolzuur zilver, en wel in noemenswaardige hoe- veelheid. Bereiding N°. 3. Na deze uitwijking keert men terug tot het onderwerp, dat in de eerste plaats aan de orde is, te weten de bereiding der zwarte stof door electrolyse van azijnzuur zilver; voortaan met gebruik van ziwerooyde (49,0) in plaats van kool- zuur zilver, zooals bij de vorige proeven het geval was (trouwens daarvan toch nog een deel uitmakende; zie de bereiding van zil- veroxyde). Voordat de electrolyse werd aangevangen der oplossing van azijnzuur zilver, gaf deze een duidelijk alcalische reactie met roodlakmoespapier (daar de toestel reeds vele uren in werking was geweest vóór de electrolyse) En na electrolyse, vertoonde de oplossing te gelijkertijd een zwak zure en alcalische reactie, zoowel nabij de anode als bij de kathode. Het zwarte afzetsel, alhoewel dit bijzonder weinig was, werd gewasschen, zoomede de platina- draad met het daaraan hangende afzetsel, toen gedroogd, als naar gewoonte in een vacuum-exsiccator, en gewogen. De opbrengst was die van 0.0092 gr. (bij het wasschen was natuurlijk iets ver- loren gegaan), zoodat de verandering in de bereiding is te be- schouwen als te zijn betrekkelijk een vooruitgang. Verandering gebracht in de wijze van bereiding. Aangezien een gedeelte van de zwarte stof, afgezet, verloren gaat door gebrek aan ‘) Zie b.v. Dict. de Wurtz, art. urgent p. 372, Supplém. I, 201, Supplém. II, 364. EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 31 contact met de anode (slechts dat gedeelte der zwarte stof, dat hetzij indirect hetzij direct met den platinadraad in contact is, fungeert als anode), als gevolg van een ontleed worden langzamer- hand onder den invloed van vrij zuur, ontstaan door de electrolyse, trachtte men daarin verbetering te brengen. En wel aldus, dat, in contact met den platinadraad (zijnde de anode) werd geplaatst een klein platinaplaatje, om van de zwarte stof op te nemen, die door dit platina op directe wijze verbonden kan wezen met de anode. De opbrengst viel evenwel niet mede, daar deze was 0.0045 gr. Bij gevolg moest men terugkeeren tot een platina- draad als zoodanig voor anode, maar b.v. deze wijziging aanbrengen, van de proef langer aan te houden dan wee dagen, zooals trouwens het geval was met Bereiding N°. 4, waarvan boven sprake is. Bereiding N°. 5. De proef werd thans drie dagen voortgezet (namelijk als vroeger, dag en nacht). ‘Tevens werd de hoeveelheid zilveroxyde (49,0) langzamerhand meer, daar de nieuwe hoeveelheid toegevoegd, blijkbaar die te boven ging bij de vorige Bereiding ontleed. De opbrengst bedroeg thans 0.011 gr., namelijk de hoe- veelheid, die zich bevond op het horologeglas (na wasschen daarop gedaan); en overgebracht in een (gewoon) reageerbuisje (na vooraf te zijn gedroogd), was de hoeveelheid zwarte stof herleid tot 0.008 gr. By ’t wasschen gaat noodwendig ook wat verloren. Over een verandering in de Bereiding. De weg gevolgd tot dusverre werd alzoo gewijzigd, dat de oplossing na filtratie (door zilveroxvde, vermengd met eenig koolzuur zilver) werd geleid nabij de anode, waar een kleine inrichting was geplaatst, bestaande uit {wee kleine trechters in de vlam aaneengesmolten, en gezet in het kleine glazen reservoir (waarin de anode uitkomt, zie vroegere Verhande- lingen); het doel hiervan was, om van de geneutraliseerde oplossing te doen komen zoo dicht mogelijk bij de anode, teneinde den invloed van het zuur, dat vrij is geworden als gevolg der electrolyse (en de vorming der zwarte stof) beter op te heffen. De uitkomst was evenwel van negatieven aard, daar de opbrengst in Bereiding N°. 6 de hoeveelheid van 0.005 gr. niet te boven ging, en wat erger is, bij de anode bevond zich azijnzuur zilver in kristallen, daarin zijn verklaring vindende, dat de oplossing aanvankelijk verzadigd was, en de diffusie meer beperkt (overigens is duidelijk, dat het trechtertje, het dichst geplaatst bij den bodem van het glazen reservoir, een zekere ruimte overliet). De zwarte stof onder deze omstandigheden gemaakt, werd als verloren beschouwd. 38 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER Bereidingen. N°. 7, N°. 8 en N°. 9. Men volgde denzelfden weg als in Bereiding N°. 5, wat aangaat de inrichting der proef, alleen liet men den tijd veranderen, maar bediende zich overigens evenzoo van een meer of min verzadigde oplossing (vóór de proef was een geringe overmaat aan azijnzuur zilver in kristallen in de oplossing aanwezig). Ten einde zich eenig denkbeeld te vormen van de betrekkelijke hoeveelheid aan afzetsel op den platinadraad en het glazen reservoir, nemen we Bereiding N°. 7, waar van de 0.013 gr. zwarte stof zich bevond 0.007 gr. op den draad en 0.0043 gr. in het glazen schaaltje, of liever horologeglas (na wasschen); overgebracht in een reageerbuisje, werd de hoeveelheid herleid tot 0.0094 gr. (zie, een weinig verder, de Tabel). In Bereiding N°. S was de platinadraad (die als anode dienst doet) gedeeltelijk gebroken, vandaar waarschijnlijk de geringe opbrengst. Over een nieuwe wijziging in de bereiding. Alhoewel schijnbaar van weinig beteekenis, is deze toch van eenig belang, zooals kan blijken uit de cijfers (zie een weing later). Er werd alleen maar genomen een glazen schaaltje van geringere afmeting, dat aanleiding 8 zou kunnen geven tot meer diffusie, met betrekking tot het vrije zuur, waarop het wel vooral aankomt. Ook vermeerderde langzamerhand de hoeveelheid zilveroxyde (47, 0), waarop reeds werd gewezen. Er is hier sprake van de Bereidingen N°. 10, N°. 11 en N°. 12. Voorloopige en gedeeltelijke analyse. Aangezien het onmogelijk is, om zich een voldoende hoeveelheid der verbinding te verschaffen met een en dezelfde Bereiding, was men wel genoodzaakt, de methode te volgen van de hoeveelheden stof van verschillende Bereidingen bij elkander te doen, en dus in een en hetzelfde reageerbuisje. Bijgevolg werd telkenmale gewogen vóór en na het inbrengen eener nieuwe hoeveelheid der verbinding, ook met ’t oog op een mogelijk gedeeltelijke ontleding (gepaard gaande met ver- lies aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxy-azijnzuur zilver, dat geacht wordt te ontstaan). De volgende Tabel geeft daarvan een overzicht, terwijl is opgegeven onder: a. het nummer der Bereiding; 6. het aantal dagen (dag en nacht) der electrolyse ; EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 39 c. de opbrengst aan zwarte stof op het horologeglas (de stof, daarop komende, was dan gewasschen, ten minste gedeeltelijk). De platinadraad met afzetsel wordt mede gewogen (het gewicht van den draad is namelijk bekend). d. het totale gewicht vóór het inbrengen eener nieuwe hoeveel- heid stof in het buisje; e. de vermeerdering in gewicht telken male za het inbrengen eener nieuwe hoeveelheid in het buisje; f. het totale gewicht van zwarte stof (zonder inbegrip der vrij- gekomen zuurstof), dus op ’t oogenblik za het inbrengen eener nieuwe hoeveelheid in het reageerbuisje ; g. het verlies in gewicht bij het staan, als gevolg der vrij- gekomen zuurstof (zie verschil tusschen d. en /.). Nog zij medegedeeld, dat de buis, en deze met de stof, vóór iedere weging was geplaatst in een vacuum-exsiccator (met zwavel- zuur zonder of met natrium); en dat de noodige tijd werd gelaten aan de buis, om in evenwicht te komen met de vochtige atmosteer, vóór de eigentlijke weging. Alle bereidingen geschiedden overigens met zilveroxyde (4g, 0), in plaats van koolzuur zilver (gelijk vroeger plaats had met de electrolyse van zwavelzuur zilver). Tabel, betreffende de hoeveelheid aan product achtereenvolgens gevormd in de volgende bereidingen, enz. | | | | | | a b | c | d | e | yi ml | | N35) 3° \OO0Tlgr | — 0.008 gr. 0.008 gr. RS, (0.013 0.008 gr.|0.0094 |0.0174 | MRI 0.008 |0,0k73 10.0022 0.0195 2) 0.0001 er. mo) 62 10.0111 - 10.0195" 10.0083 -10:0278 MON | O.0941 1020218 0.027 0.0488 mi 3) 10.0383 90.0487 + 10-0343" 10.088 0.0001 BO 3 10,0327 ' 10.088 0.0298 |0.1128 40 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER Bij gevolg had men ter beschikking een hoeveelheid van 0.1128 gr., waarbij dan nog is te voegen 2 X 0.0001 gr., zal men de oorspronkelijke hoeveelheid hebben, dus met inbegrip van de zuur- stof die geëlimineerd is (zijnde de vrucht van een arbeid van onge- veer 43 dagen, dag en nacht, alles mede gerekend). De reageer- buis, die dus werd geacht 0.1128 gr. + 0.0002 gr. aan zwarte stof te bevatten, waarbij water gevoegd, werd geplaatst in een bekerglas met water, (de reageerbuis voorzien van een glazen dop; het geheel van boven voor stof gevrijwaard door een papieren kapje) en langzamerhand verhit bij een hoogere temperatuur. Reeds bij 32° (en al lager) vertoonden zich gasbellen. Den eersten dag werd verhit tot 60°—70°, terwijl nog gas vrij kwam, en verwarmd werd tot zich geen gas meer voordeed en nog langer; zekerheids- halve werd den volgenden dag daarenboven verhit bij 70°—80°. De buis werd daarna geplaatst in een vacuum-exsiccator (dezelfde weg werd gevolgd als bij analyse van het product der electrolyse van zwavelzuur zilver). Er bleef terug 0.108 gr., derhalve van 0.113 gr. der oorspronkelijke stof (zie boven); en bijgevolg heeft men een verschil van 0.005 gr. (zij dit van 4.4 proc.), zijnde dit het verlies in gewicht, hoogstwaarschijnlijk door eliminatie van zuurstof van het owg-azijnzuur zilver. Bij het terugblijvende werd 3 ec. c. water gedaan, en dit achter- eenvolgens telken male, met het doel, het oplosbare zilverzout er uit te trekken; later decanteerende, en teruglatende in de reageerbuis het zilverbioxyde (Ag, O,). De gedecanteerde oplossing werd telken- male gedaan in een glazen schaaltje, dit geplaatst onder een vacuum-exsiccator en gewogen, achtereenvolgens gevende: aantal dagen gewicht voor het uittrekken telkenmale totaal gewicht. 2 0.0176 gr. 00608 2 0.0051 0.0227 2 0.0006 0.0233 6 0.0008 0.0236 7 0.0008 0.0239. Na ten slotte geplaatst geweest te zijn onder een vacuum-exsic- cator met zwavelzuur en atrium, werd dit herleid tot 0.0236 gr In het reageerbuisje (geplaatst onder een exsiccator met zwavelzuur en natrium) bleef 0.0851 gr. zilverbioxyde, dat maakt met de uit- getrokken hoeveelheid: 0.0851 gr. + 0.0236 gr. = 0.1087 gr, zijnde in den aanvang 0.108 gr. (op gelijke wijze behandeld); zie EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. Al vroeger. Er werd een weinig zilverbioxyde medegevoerd, maar de hoeveelheid stof liet miet toe, om te filtreeren. Ook werd de analyse alleen verricht, ten einde zich eemig denkbeeld te vormen met be- trekking tot de samenstelling. En in de eerste plaats blijft nog te doen over, het zilverzout te identifiéeren, en aan te toonen, of er geen gedeeltelijke of geheele (gedeeltelijke) oxydatie intreedt van azijnzuur zilver, en omzetting dientengevolge in een ander zilverzout; de beperkte hoeveelheid toch let een verder strekkende studie niet toe. De oplossing, die aan electrolyse was onderworpen, gaf, bij verdam- pen van een deel, kristallen van azijnzuur zilver, die vrij schijnen te zijn van een ander zout; zoodat, indien er oxydatie plaats heeft, dit waarschijnlijk intreedt tijdens de analyse. Maar voor ’t oogen- blik komt het niet waarschijnlijk voor, dat oxydatie optreedt in noemenswaardige mate (tevens met ’t oog op de oplosbaarheid van het zilverzout; zie boven). Over eenige eigenschappen van perory-azijnzuur zilver (aangenomen, dat het lichaam waarvan sprake is, zulks is). Im ’t algemeen zijn de eigenschappen dezelfde als die van peroxy-sa/peterzuur en peroxy- zwavelzuur zilver; al dadelijk, wat de kleur betreft, die trouwens meer is naar de zwarte tint, terwijl zich geen glans vertoont. Het is nog niet mogelijk, zich uit te laten over den al of miet amorphen of kristallijnen toestand (onder den microscoop). De wijze, waarop dit lichaam zich verhoudt tegenover water, is in hoofdzaak dezelfde, en het hoofdfeit is ook hier, dat er zilverbioryde (Ag, 0, ) onopgelost terugblijft, terwijl er een zilverzout in oplossing treedt, met vrij- komen van een gas, dat verondersteld wordt zuurstof te zijn (trouwens nog te bewijzen). Bij verhitten in de open vlam op platinablik, heeft de ontleding tevens eensklaps plaats. Samenstelling en structuur. Im ieder geval is het lichaam, waar- van sprake is, te beschouwen als een verbinding van zi/verbioegde CA 03) met een zilverzout van een /oo/stofhoudend ocay-zuur, en zeer waarschijnlijk van oay-azijnzuur. Men heeft overigens de waarde te bepalen der coëfficienten +, y en z in de formule: w Ag, Or. y( (CH. CO. OAg). 201, dat niet weinig bezwaar zal ondervinden, lettende op de geringe hoeveelheid stof, waarover vooralsnog is te beschikken, en niet te vergeten den graad van zuiverheid; maar er bestaat kans, er in te slagen, de opbrengst langzamerhand te zien vermeerderen, noo- 4.2 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER dig voor een genoegzaam nauwkeurige analyse. De zuiverheid is ook daarvan ten deele afhankelijk, als in ’t algemeen de stof minder verdeeld is, wanneer de opbrengst (in de eenheid van tijd) grooter 1s. OVERZICHT. De uitkomsten der electrolyse van zwavelzuur zilver geven een vervolg op de voorgaande Verhandeling; daarentegen is de elec- trolyse van azijnzuur zilver geheel nieuw, en is dus de eersteling eener reeks van proeven met koolstofhoudende zuren in dezen zin. In ’t kort zijn de uitkomsten van beiden in het volgende terug- gegeven, ten einde deze des te beter te leeren kennen. 1°. Im den aanvang zijn de omstandigheden nagegaan, die invloed zouden kunnen hebben op de opbrengst, en, wat betrek- kelijk van meer beteekenis is, op de hoedanigheid (zuiverheid) van het zwarte product bij electrolyse van zwavelzuur zilver. Ook is er sprake van veranderingen, die zijn aangebracht (zie onder 3.), en mogelijk ook aan te brengen zijn in de wijze van bereiding, en tevens sprake van een nieuw beginsel 2). 2°. Een vervolg is gegeven der uitkomsten van eenige vroegere bereidingen 3). En dan volgen uitkomsten van quantitatieve ana- lysen 4), terwijl eenige wijzigingen zijn medegedeeld, die werden aangebracht; en tevens de uitkomst van eenige proeven in verband met de analyse °) (b.v. de behandeling van het zwarte lichaam met water bij gewone temperatuur). 3. De verandering ®) ingevoerd bij de bereiding der zwarte stof door electrolyse, bestaat vooral in het toevoegen van een tweede filtrum, ditmaal met zwavelzuur zilver, met het doel, om de con- centratie der oplossing meer of min constant te houden (het eerste filtrum bevat koolzuur zilver, zie de vorige Verhandeling, ten einde het zuur te neutraliseeren dat vrij is gekomen, als gevolg der electrolyse, nabij de anode, vanwaar de oplossing wordt opgevoerd door een schroef van Archimedes, om nabij te kathode terug te vloeien, na dus thans {wee filtra te zijn doorgegaan). Deze wijziging zou den tijd voor de bereiding in zeker opzicht onbepaald kunnen doen zijn, namelijk, ingeval de zelfontleding (overigens in bijzijn *) Zie deze Verhandeling pag. 3—9; 2) 1. c. pag. 8: ) J. c. pag-9; *) loc. pas 2 “ENC par selle) AC Spas els EN PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. 43 van een weinig vrij zuur) zich daar niet tegen verzet, indien namelijk de hoeveelheid electrolytische zuurstof de zwarte stof (der electrolyse) in voldoende mate kan te gemoet komen in het verlies aan zuurstof ') (de zwarte stof fungeert namelijk als azode, als gevolg der geleidbaarheid voor electriciteit); altijd wel te verstaan bij een werken onder de gegeven omstandigheden. 4. Kenige eigenschappen zijn medegedeeld van peroxy-zwavel- zuur zilver ?), van de wijze van ontstaan *), en die van te worden ontleed #. De vraag is opgeworpen, welke der twee resten waar- schijnlijk het eerst ontstaat, het zilverbioxyde of het oxy-zwavelzuur zilver ©). 5°. Er werd een vergelijking gemaakt tusschen het ovy-zwavel- zuur 2 SO, H, = S, O,, H, (beschouwd deel uit te maken van het peroxy-zwavelzuur zilver als zilverzout, zij dit is 5 Ag, Og. 2 SO, Ag.) en het overzwavelzuur ®) S, 0, H,. Daarbij is tevens opgenomen het product van reactie van overzwavelzuur en geoxy- deerd water 5). 6°. Ter sprake werd gebracht een andere structuurformule voor het oxy-zwavelzuur °), die overigens niet aanbevelenswaardig schijnt te wezen. 7°. Hen enkel woord is gezegd over zilverbioxyde, peroxy- salpeterzuur zilver, en peroxy-zwavelzuur zilver als oxydatie- middelen %, en over de afscheiding der zuren van oxy-salpeterzuur en oxy-zwavelzuur zilver 10). 8°. HPenige gegevens zijn vermeld betrekking hebbende op de zelfontledings-snelheid van peroxy-zwavelzuur zilver 12), 9°. Daarenboven zijn hier bijgevoegd eenige gegevens betreffende de snelheid der zelfontleding van peroay-salpeterzuur zilver ™), wijl men thans kan beschikken over een periode van drie jaar; tevens ter vergelijking met peroxy-zwavelzuur zilver. En zoo mede eenige gegevens met betrekking tot de opbrengst van dit lichaam 1). 10°. Er wordt mededeeling gedaan van een contrôle-proef met 't oog op de quantitatieve bepaling van z7/vernitraat ), 11°. Uit een meer algemeen oogpunt werd behandeld de vor- ming van een zilverzout van een oxy-zuur, namelijk in verbinding met zilverbioxyde 15). 12°. Er werd een begin gemaakt met de studie der electrolyse 5) Zie b.v. Bereiding N°. 29, pag. 16; *) Mage log. ) lca pags 205 °) Iser pag. 21:02) | feos") lc pag. 255 le. pag. 26 PM. ¢: pag. 28: Wil. co pag. 295%) lke pag. 26; ~) 1. c pag. 27. 44 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER ENZ. van azynzuur zilver !) (CH. CO. O Ag). Evenzoo zet zich aan de anode af van een zwart gekleurd lichaam, maar in zeer geringe hoeveelheid, vooral, wanneer wordt gewerkt onder gewone omstandigheden. Door gebruik te maken van zi/veroryde (Ags 0) in plaats van koolzuur zilver, is de opbrengst betrekkelijk beter. De eigenschappen schijnen vrijwel overeen te komen met die van peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-zwavelzuur zilver, en alhoewel de vereischte analytische gegevens van quantitatieven aard nog niet voorhanden zijn (azijnzuur zilver zou, ook ten deele, kunnen omgezet worden in een zout van een andere verbinding, afgeleid van azijnzuur) ©), zoo stelt men zich toch voor, dat hier een lichaam optreedt terug te brengen tot de formule: x Ago Ooy (CH. CO. O Ag). 2 O1, welk lichaam niet onwaarschijnlijk ten deele den sleutel vormt tot de classieke reactie van Kolbe, betreffende de electrolyse b.v. van een waterige oplossing van kaliumace/aat, en andere meer of min overeenkomstige verbindingen; en ook dit geeft aan deze studie een hoogere beteekenis. 13°. De ontleding van koolzuur zilver, als bron voor zilver- oxyde, gaf aanleiding tot eenige opmerkingen dienaangaande °). In de volgende Verhandeling zal in hoofdzaak de studie der electrolyse van azijnzuur zilver meer in bijzonderheden worden nagegaan. Men ontveinst zich evenwel niet de bezwaren, welke nog zijn te overwinnen, en die verre overtreffen de bezwaren verbonden aan de studie der verbinding electrolytisch verkregen met zwavel- zuur zilver, en reeds deze zijn niet gering te achten. Utrecht, 24 Jum 1899. (1 September 1899). ) Lier pre 29) MN pags Ale pas, wo. (In certain Series of Sections of the Regular four-dimensional Hypersolids, BY ALICIA BOOLE STOTT. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SEC TIE.) DEEL VII. N°. 3. (With 22 figures and 14 diagrams.) AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. Februari 1900. (In certain Series of Sections of the Regular lour-dimensional Hypersolids, BY ALICIA BOOLE STOLL. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SEC TIE.) DEEL VII. N°. 3. (With 22 figures and 14 diagrams.) AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1900. On Aie Olhos: ue L À > TONE OME ATT À + ad st biede #37 ben Hinte a ohh fs (ot Howey ak PERM) NC 4 f ae f’: tee Sinica ee UT a. ders fl he ar) Pes EL + kk KENAN Eide 7) Lier Site oe HO, On certain Series of Sections of the Regular Four-dimensional Hypersolids , BY ALICIA BOOLE STOTT. 1. In making series of sections of the regular four-dimensional figures by the method given in this paper it is only necessary to know the number of solids meeting at each vertex. The total number in each figure can be found by counting the number of solids cut in the sections. Taking the figures bounded by tetrahedra it is evident that a section by a space cutting the edges meeting in a vertex at equal distances from that vertex will give an equilateral triangular section of each tetrahedron. Hence the complete section will be a three- dimensional regular figure bounded by equilateral triangles. There are only three such figures, the tetrahedron, the octahedron and the icosahedron; so there will be no other four-dimensional figure bounded by tetrahedra except those which have 4, 8 or 20 at each vertex. If groups of tetrahedra arranged so that there are 4, 8 or 20 round a point be cut by parallel spaces close enough together to pass at least once through each edge, then the number of tetra- hedra cut im the three groups respectively will be 5, 16 or 600. Next taking cubes. The section of a cube by a space cutting the edges meeting at a vertex at equal distances from that vertex is an equilateral triangle. So there will be no other figure bounded by cubes except those having 4, 8 or 20 at each vertex. But 8 4 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE cubes exactly fill three-dimensional space and cannot therefore form a four-dimensional angle. Hence there cannot be a figure whose angles are formed by eight cubes. Still less can there be one whose angles are made by 20. Similar reasoning applies to the dodecahedron; as with the cubes, there is only room round a point for four. Now the figure corresponding to the first case is the S-cell, that corresponding to the second is the 120-cell. Taking an octahedron. A section by a space cutting the edges meeting at a vertex equally, is a square, and, as a cube is the only regular three-dimensional figure bounded by squares, there will only be one regular figure bounded by octahedra and that will have six at each vertex. This is the 24-cell. In this manner we meet successively all the regular cells of four-dimensional space. 2. In making a series of sections of a regular four-dimensional : : 3 3 : figure by three-dimensional spaces 5°, S', ete. parallel to a bounding solid Z, that solid itself may be considered the first element of the series. If Z be in a space S’, it is the only part of the figure in that space, but its faces are the surfaces of contact of it with other bounding solids. So that in building up the solids of the figure about Z in their position in four-dimensional space, if such a thing were possible, there would be one on each face. In some cases there are also one or more on each edge and one or more on each vertex. Whether this be so or not, can be determined by means of the number of cells meeting at each vertex in the particular figure under consideration. The solids on the faces of Z may be supposed to turn about those faces until they lie wholly in S and if there be any on the edges and vertices they may be supposed to turn about those edges and vertices until they too he in S. We represent in fig. 1 the result of such an operation on the S-cell. The cube H À is the solid originally in the space S’: NA has been turned about its surface of contact with PRA: namely the square C 4, into S. The cubes PA and SA have been turned about the squares G 4 and #4 respectively into the same space #. The result of this is that the square Z 4, which is common to the two cubes V 4 and P A, has assumed two positions in st is e. g. horizontal in P 4 and vertical in NV 4. Similarly M 4 and O 4 each appear in two positions in s. REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. ) If the S-cell were cut by a space Ss parallel to S” and passing through some point of the edge 4 A, each of the cubes W 4, P 4, S A would be cut by a plane parallel to its surface of contact with H 4. The positions of these planes in the cubes could easily be determined after they have been brought into the space S°. For instance, if 5, bisects À X, the sections of V 4, P À and S 4 will be squares parallel to CA, G A and Z À through the midpoint of AK. Similarly there will be square sections of the three cubes at H and the complete section is a cube. Thus there will be three Cubes in this series: 1° the cube H A, 2° a cube bounded by the sectional planes parallel to the faces of 7 À and 3° a cube bounded by the squares PK, NK, SK and the corresponding faces of the cubes about 7/7. This last cube is itself a solid of the 8-cell namely that opposite to MA 5. 3. Definition 1. — Let a point at a distance ~ times 4 B from mous the line A.B be the point 4, B or B,_, A. Definition 2. — Let y be the projection, by a line parallel to the base on to the perpendicular of an equilateral triangle, of a length on the side equal to 7 times the side (p — + ]/ 3). The 16-cell. 4 Let ABCD, a tetrahedron in Ss’, be one of the bounding solids of a 16-cell. In this figure there are 8 solids at each vertex, a condition that will be satisfied if a tetrahedron be put on to each face of ABCD; one to each edge and one to each vertex.. Let the wenmeess of those on ABO, BCD, CDA, DBA be. D', A, B,C respectively (fig. 2). Then those on the edges will be OND BOD A CDA B, DAB 0, ACB D, i aren Four of the an tetrahedra at 4 are represented in fig. ww IE „the. L6=cell .be cut by a space Ss parallel to 8 and passing through the point 4, 0D’, the tetrahedron 4 B C D' will 4 *) This way of dealing with the 8-cell is given in the ,Scientifie Romances”, No. 1, »What is the fourth Dimension?” by C. H. Hinton, published by Swan, Sonnenschein & Co, London, 1884, and the subsequent book of the same author: „The New Era of Thought”’ London, 1888. Also in considering the 600-cell I received some valuable suggestions from Mr. H. W. Curjel. ————— ……— << — o> een ee TE 6 ON CERTALN SERIES OF SECTIONS OF THE be cut by a plane passing through that point and parallel to 4 BC; hence its section will be an equilateral triangle with a side equal to 2 4D. In fig. 2 its vertices Ay D, À) Ds qu Dare indi- cated as a, 6, c. Similarly the eras 5 B. CD 4, CD AB DABC are equilateral triangles with a side Se to ! “4 Deken: vertices. are the points (BSA OA DANE: DB, Arban L 4 4 4 4 GE 4 eC, AgO RC 4 4 4 It has been shewn by means of the tetrahedron ABCD" that s passes through the points 4 DIR GD: and by the tetrahedron ACDB" that it passes iheoiveh the sei by B, on B. But the edges AD, CD' are common to ABCD’ and ACB D! A the edges AB’, CB’ are common to ACDB' and AOR Hence we have four points on ACB D' through which 5 passes, giving as section a rectangle with sides + and + of 4 1 sntdsbated in fig. 2 by acde. There are also rectangular sections of the tetrahedra on the D other edges of 4 B CD. Again AD, AB, AC are edges of the tetrahedron 4B’ C' D' 4 ob . 3 and it has been shewn that 5, cuts them in the points 4,2, 4 AB HO, giving as section of this tetrahedron an equilateral 4 4 triangle with side equal to 1 4 D’. Similarly the section (fig. 3 o 4 e D of each of the tetrahedra on the vertices B, C, and D will be an equilateral triangle with sides equal to + 4D’. In figure 2 are also indicated the sections of the 16-cell b te) 3 3 3 5 5 . spaces #, S parallel #° and cutting 4D" in the points 4,2", 5 2 A.D’. The shapes are shewn in the figures 4 and 5. 3 3 . A space S’ parallel to #° and passing through 2° would also 4 LE pass through 4 B’ and C’, giving as the last shape of the series a tetrahedron equal to 4 B CD oppositely placed, this being the bounding tetrahedron of the 16-cell opposite to 4 B CD. The 24-cell, 6. Let 4B CDE F (fig. 6), an octahedron in a space 8, be one of the bounding solids of a 24-cell. In this figure there are 6 solids at each vertex, a conditon that will be satisfied if one be REGULAR FOUR DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. 7 put on to each face and one to each vertex of 4 BCD MH. By an inspection of figure 6 it is clear that on the face 4 BC is the octahedron 4 BC (4 B) (BC) (C 4), MR AO 4 ACH AO (CE) (EA), PENN AEP, A AEF (AB) (EF) (FA), es AEB .. . AFB (AF) (FB) (BA, DBE DBC (DB) (BC) (CD), eee DOH, 6 DOE (DC) (CE) (BD), CDF, , A DEF (DE) (BF) (FD), . a À DFB (DF) (FB) (BD). In the same manner the octahedron on Ais A AB) AC (AL) AP z RD aE: (ASB) DC) DB) (BL) B wy Oe C G 1 C) ve (CD) (CE) AC, De DEED (DESDE), DE ) (B D) 1 (AB) EE NE (A B) BF) (DF) (EP) F’. ~ 7. If the 24-cell be cut by a space s parallel to S” and pas- sing through the point of bisection of 4 (4 C) the octahedron 4 (CZ) will be cut in a plane parallel to 4 CM, and passing through the points of bisection of C(4A C), C(C#), H(A), ACA LF), E(CEL); the section will be a regular hexagon (abc de f). Similarly the sections by Ss. of the remaining seven octahedra on the faces of 4 BCD FF are regular hexagons. Now in the octahedron 4 (CM) we see that 5 passes through the points 4, (4 C), 4, (4 #) and in the octahedron 4 (4 B) we - > see that it passes through A, (4 B) and 4, (4 F). But the lines D] » A(AC), A(4 P) and 4(4 FP), A(A B) are also edges of the octa- hedron 4 4’, whence we find that the section by S, of this octa- hedron is a square with side equal to half the edge of the 24-cell. There will be similar square sections of the octahedra on B, C, D, E, F. The shape is shewn in flg. 7; it is a combination of octahedron and cube, in the crystallographic sense, the octahedron predominating. 3 ao 7 . Let S be a space parallel to S and passing through (4 ©, it 2 Le will also pass through (CZ), (4 #). So that it coincides with that face of the octahedron 4 (CZ). 8 ON CERTAIN SERLES OF SECTIONS OF. THE It. also coincides with the face (4 B) (A F) (B F) of the octa- hedron A(BF). The points (4 B), (AF), (4 F), (4 C) are the vertices of a square section of the octahedron 4 4. This section of the 24-cell, then, is bounded by 8 equilateral triangles, and 6 squares, the sides bemg equal to the edges of the 24-cell. The shape (fig. 8) is that of the combination of octahedron and cube in equilibrium. The octahedra already grouped about the octahedron A D give A solids at (4C), namely AA, A(CH), CC’, A(B OC); of these the first two only are shewn in figure 6. Putting one on the face (4C) (CH) (4 #) and one on the face (4 B) (AC) (BC) we have the required number 6 at (4 C). There will be similarly placed octahedra at (4 B), (4 F), etc. Another parallel space 8, passing through the middle point of (AC) A will give a square section of 4 4’ and square sections of the octahedra CC’ and # #’. These three squares determine the section of (4 C) #; it is a regular hexagon. This shape then is like the section by be À space Ss. parallel to S” and passing through 4’ will coincide with the octahedron A/B CD EE. The 120-cell, 8. The sections of this cell can be deduced in a similar man- ner to that in which those of the 16-cell and 24-cell were obtained. The plans are given in the diagrams VITI—XIV. The 600-cell, 9. Let 4 BCD, a tetrahedron in S’, be one of the bounding solids of a 600-cell. In this figure there are 20 solids at each vertex and this condition is satisfied at the vertices of 4 BCD if a tetrahedron be put on to each of its faces, two to each edge and 10 to each vertex. The bases of the tetrahedra in each of these groups of 20 are the faces of an icosahedron 5). Let 7 4 be that one which is bounded by the bases of the tetrahedra meet- ing at 4. The vertex of the tetrahedron on 4 B C as base is D and the vertex of the one on 4C D' is (4 C); the tetrahedron on AD (AC) is AD (AC) A), likewise that on 4 (A C) A) is: A (A C) (4) (4) and that on 4 (4) (4,) is 4 (4) (4,) A4). *) The sections of such icosahedra appear as zones on the sections of the 600-cell. REGULAR FOUR-DIMENS'ONAL HYPERSOLIDS. 9 Thus A) 4) 4) is the face opposite to BCD on 1A (fig. 9 and 10), etc. D The five tetrahedra just given are all differently related to 4 B CD and, if they be taken as types, the vertices of the remaining tetra- hedra about 4 B C D may at once be written down and can then easily be placed in space. For instance there are four of the form ABCD. The form 4CB (AC) gives two tetrahedra on. 4 C namely 4CB (AC) and 4 CD (AC) and also two on each of the other edges as BCD (BC) and BCA (BC) on BC, and so on. The form 4 D' (4 C) es) gives six tetrahedra touching 4 arranged in pairs: AD (AC) (4,) and AD (4B)(4,), AOA B) CAN, Ne AAD Ae), ABO a ABAD) A) and also those about B, C, and D. So 4 (4 C) (4) (74) gives three tetrahedra about 4 namely 4 (4 C) (4 ) em) A (AB) A) (4) D and 4 (4 D) (4) as about B are B (BC) B) B) and so on. There are also four of the form 4 A) A) (4). ‘The remaining vertices of the 600-cell are named as follows: A is the vertex of the tetrahedron on (4) (4,) (4), (4 B) is the vertex of the tetra- hedron on (4 B) (4,) (4,) and A’ A) (45) (ae) is related to BCD as A (4,)(4,)(4,) is to 4 BCD (see list of vertices). The tetrahedron on the side of the 600-cell opposite to 4 B CD 1s apy d, the lines drawn from 4 to z, from B to @ and so on being diameters of the figure. The arrangement of tetrahedra about 3 By à is similar to that about 4 B CD, so that the vertices opposite to those already given may be written down by simply changing 4 into g, B into @, C into yy, D into d. 10. Let the 600-cell be cut by a space s passing through the points 4 BC’ D’. It will be parallel to 8°. Now Ss and / A intersect in a plane passing through the points B’, 0’, D", nier To find where this plane cuts the lines B(4 B), C(A ©, D(A D), let / A be projected on a plane passing through ©”, (4_), (4 C), C. C 10 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE This projection is shewn in fig. 18, where B, M, O; P are the points (7, (iy (4 C); C, and W is the middle point of (A) A4), RV is drawn parallel to 47 N and V O is the distance from 4 C at which the plane cuts C(4C). Let / O be a times P Oand we have the points (4 B) B, (A 0). C, (4 D) D; for the remaining ver- tices of this form see list of vertices and diagram I. Again s and / D" intersect in a plane passing through the points (CA) C, (CA) A, (A B) A, (AB) B, (BC) B, (B C) €, of hg. 12, Let ZMOP, fig. 18, be a projection of 7 D' on a plane through (4 5) DJ) (©) C. Then Ra = pa and gv is parallel to MN. It will be found that WP = a times OP, whence we have the points C (C), 4 4), B B) of fig. 12. From this it will be seen that the tetrahedron 4 (4) (4) (4,) is cut in the points Ae (49; A (A), À (4,) (fig. 13, p gr); likewise A (4 C) (4) (4) is cut in the points A (A), A (A5): (A 0), A (fig. 13, prs) and 4D (AC) (4) is cut in the points (4 6), A, ANA); DE 13e): The tetrahedron 4 C D’ (AC) is cut in the points (4 6) A (A C) 6, DL 13/2), Here we have a section of a tetrahedron of each type given in Fig. 10 except 4 BCD which is not cut by he and as the tetra- hedra of each type are all similarly related to 4 B CD their sec- tions will be equal. In constructing the model of this section of the 600-cell there will be four equilateral triangles (pgr) related to each other as the vertices of a tetrahedron. The sides of the equilateral triangles are the bases of isosceles triangles (prs, fig. 13) and the sides of these isosceles triangles are the bases of other isosceles triangles (s 7D’). The last isosceles triangles are arranged in pairs with a common side, and the other sides are the sides of isosceles triangles (s 4 D"). One of the four similar regions of this model is given in diagram I (W, M, L'); these regions are connected by triangles (47). 11. Let the 600-cell be cut by a space 5° passing through (A B), (4 C), (A D), (B C), (B D), (CD). This is parallel to 5. Here REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. Wal 1(4,) and 5 intersect in a plane passing through the points D mA B), A (A). A projection of this on a plane through 4 D’ (4d) A, is given Mouse 19. There, Dr is the projection of the plane of inter- section of / 4, and 5: Ar is made equal to pa and the line D'r divides (4 B) À in the ratio a: 1—a; Zr is drawn through (4 B) and is parallel to Dr. Then we have r (4) = pa. Also let the length of which D’ / is the projection be equal to c times the edge, from which we see that S passes through the points C4): ANA) A, DD ,),D (D): In diagram IL these points are 2, 1, 14, 11; 6 and 5 are (4 B) and (4 C). A plane through 7 4 > parallel to 8 CD and passing through the points (4 B), (4 C), (A D) gives the points D GR) B (A), Cc A), the first of these being point 8 of diagram II, fig. 11, (see list of vertices). This model is constructed in the same way as the first. The points where the sectional space cuts the edges of the 600-cell are determined by means of the icosahedra ') and are then found on the individual tetrahedra. 12. Let the 600-cell be cut by a space S through (4, ), (4), A), B), B) B) (CO). (€), (0) DD) (D,,)s this is parallel to 8° and its intersection with /(4_) is given in projection by the line FA) parallel to ok (fig. 19). Now En bisects DD and let (4 B) S be equal to f times the edge. Again r (4 ) divides (4 BD) in the ratio a: 1—4. We have then the points (4 B), (4 D); AO), (4 C),(AB) (D'), (4 ©) >) Dh Dg CD); see on diagram [IT the. points 6, 5, 13, 14, LS, 8; 1 and 2 are (4) and (4) (consult list of vertices). 13. Let the 600-cell be cut by a space s through (4°), (4), (4); Ee), (a): CB), (OSCAR DD) D's this is paral- 3 7 : RUES : ; : sepa lel to S . The intersection of S and 7 (4 ,) is Shewn in projection 4 : by the line Co) r parallel to V (4). figs 19) *) See fcot note on page 8. 12 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE Here : T (4 B) = f times the edge; r, bisects (4.)4, and (2°) fe divides (42B) (A a in the ratio a: 1—a. This gives the points A) A, A4) A, (AB), (4), (4 0), (A), (AB), (4 B), 40, (AC). See on diagram IV the points (5, 4, 6, 3, 2); 8 and 1 are the points (2); is Again J 4 and s intersect in a plane through the point (#0) (4,) and parallel to (4, ), (4 > (A). This is shewn in pro- jection in fig. 22. It gives the points (4 i B), (4) (4,), A), (42), ABA). 14. Let the 600-cell be cut by a space #5 im points (4 B), (A B), AO, (4 0) (4D), (4 D), (BO), (BC), (CD), (CD),(B D), (BD); it will be parallel to S". The line 7 , 7 parallel to (2°) rand passing through (AB), (fig. 19), is the projection of the intersection of J (4,) and Ss. Comparing this with the line # r, we have A r—=pe and D') ET C7 This gives the points (4) (4), (A) (4), (D”.) (4 d), (D',) (4 d) (on plate V the points 4, 3,6, 1; 5 and 2 are (4 B) and (4 OC), ete.). The solid 7 4 and s intersect in a plane ae through (4 B), (40), (AD) and this plane passes through (4 a) (AB) (4), (Ay) A), fig. 22. The space S and / d intersect in a plane through (De an (AJ) that is parallel to D) (D° DD ). This plane is projected in the nee v, fig. 20. Let V (D n be AE h times the edge and we have the points DO), (D), (PB), (D), PD. Again Ss and /(4 d) intersect in a plane through DJ), DL A4 ay fig. 21. Here (D’,,)V anda parallel plane through (4 B) (4 C) is projected in the line 7 D, giving À, ee — ec times the edge and (D )r= pf. Whence we ie the points(4 eas); CD zj d EET =): d see list. In diagram V the zone on LA is 20, DL abe Sand that on 1d ie Oe die eee ee Oral Ce le REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLLDS. 1.3 15. Let the 600-cell be cut by a space Ss through 4 BC D parallel to Ss, NA) intersects Ss. in a plane through A, parallel to its intersection with Ss. In fig. 19 this plane Siprojected in the line 4 / and comparing this with D'r we have the points (49) (2°), (49) (1°), (A B) . (4), (40), (Ad) (diagram VI points 1, 3, 4, 2, 5). Here 7 d and Ss intersect in a plane parallel to (D) (D°) (D”.) through (Ad) Do. This plane is projected in the line r, +, fig. 20, where > (Ad) = pa. Then (D' ) end times the edge, whence we have the points ED) (8 a), CHENE (à R), (Dr (d'y) (diagram VI points AE M RTE Now 8 and 7 A intersect in a plane parallel to (4) (4) (4,) and passing through the points (4 B) (4d). In fig. 22 the line (4 B) (Ad) is divided in the ratio a: 1—a and through the pomt of division a line r / is drawn parallel to CICR Let (4 B)r = m times the edge, and it will be found that (4d) (4,) is divided in the ratio 4: 1 — A, (AC) (4d) is divided in the ratio a: l — a, (4 C) (æ.) is divided in the ratio m: 1 — m, Oh C) (A B) is divided in the ratio a: 1 — a and finally / (42) = , times the edge; whence we have the points AB),@) (B, 49, AB, (4y), (49), (4), AP, (4), (40) (49), AD, Ap, 4 DA) (40), @), (40), AP, (4D), AE) ABD,A) Here Ss and /(4 d) intersect in a a us À, parallel to the intersection of Ss with / (4d); Ar, fig. 21, is a projection of this plane, Let (D) r= pn. It will be found that (4 C) (2) is cut in the ratio m: 1—», (4 C) (d B) is cut in the ratio e: (D nj) (à B) is cut in the ratio a: J]—a, whence we have the points (4 C), @) mein (2), (40) CP). 4° B) dy, De) CNE) ey à y), (D En d, (De d These are, diagram BiPAthe points 15, 22, 24, 238: 11, 138, 26, 25, see list. 14 ON CERTAIN SERLES OF SECTIONS OF THE 16. Let the 600 cell be cut by a space s through (4 (2), (4), (Ad), (Ba), (By), (Bd), (Ca), (CB), (C3), (Da), (DB), (Dy). Then IA and s. intersect in a plane through (48), (Ay), (Ad), fig. 22, (AB) & It also passes through the points (AB), (æ), (AC) (4) AD), CA (diagram VIT points 3, land 2). And s and Ld, intersect in a pee through (4 d), (Bd), (Cd), shewn in projection ee the line (4 0) V fig. 20. This gives the points (8 a) (D) (3B) (D' i) (5 De (D' N 1. e. the points 6, 5 and 4 of diagram V HR Likewiee À and / (4 d) im- tersect in a plane through (4 C) (a) and parallel to the in- tersection of / (49) and S". This ‘plane is shewn in projection by the line Pr, fig 21; 4 and d, rare equal top f(A C) (0 B) Is bisected, so that we me He ee 1), (&.), (4), @), (0), D'), ), oye AO, &,) AB, @) CP, Dr, OY), De), (0), (A Bj 7 (dy). In diagram VII these points correspond to 8, ee is i, 3 5 5, 4, 10, 9. The symmetry shews that this is the ee ee the other sections are now repeated in reverse order. In practically constructing the sections I have found that their symmetry is made more obvious by colouring the faces. The letters on the faces of diagrams I—XIV denote colours, the plane and accented letters denote corresponding colours and the remaining sections are the same as those given with the plane and accented letters interchanged. Be (à (4 a 17. Numbers of tetrahedra of each colour in the 600-cell as shewn by the sections. DA aid ee LS sereen Blend AS Ma! MOO: each erm 120 IM Me Ae ise Mare ae 144 Pp PS ile ZY Meee ge ae Baie 6 Ol BAER S’ S" | \ 4 i gee ae a ob ns 48 fi TER X ASE ante. os eye 48 2 OO Gia: LAL ake: 96 Z ore PE En Bd 6 Total. . 600 REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. KD List of the 120 vertices of the 600-cell, AMD, OD: Ace bie OLD (AB), (AC), (AD), (BC), (BD), (CD), D 4) Ge) B CON OON D) @) WD, C B D A ect), (A): Go tere Cee) (Cm Cm (Cn), De: (DR (A B), (AB), (A C), (AC), (A D), (AD), (BC), (BC), (BD, (BD), (C a (CD), A,B, C, D, Gp), (4y), (42), (Ba), (By), (Bd), (Ca), (CB), (CD, (Da), (DB), Dy, di b; Yo Dp (a), (B), (ay), (wy), (ad, (ad), (By), (ey), (29), (29), (72), (yd); (a), (#’,), Ge, B) B) (Bs), VW, eh (sh (CL Cp) (8); (a), (a), (a), (B), (6) (Bs) (Ye Ch (5h A) Cd) A) (zB), (zy), (ad), (By), (Bd), (72), Ar ad 2, 2, List of vertical points of sections. ') Diagram I. AE Dites Oe nd (9)? (7) (8) A Aen Bs, a, DE we NCB ds Ce C 3)? DAD LAD) B (B), C 0, en (AB) AAO) A, (AD) A (BOB, (BD) B, (CD) C, (AB) B (40) C ue on fi (BO). C, (BD) D, (CD) D. Diagram I. (AB), (40)... (AD) (BO), (BD), (CD), 1) The small numbers between brackets refer to the numbered points in the diagrams. 16 ABC yr AOB us ADE) AB) Dy (40) (D',) (4D) eC) ED) BOD), (BD) (C AA), BB), 240, js DD re ANA), Bi 7a(c, 40 4 DD ce AYA’) BB). Ce oe Di uD ale ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE (4, ) A B, ) B, (0, Je C, (D, ), D, (4, or ‚B, 2 PB, (CC, DD, (4,) Bs, )),2 : (C), C, DD, A en B vd 0 AC Pe (7 a DA) A Cp) B €) C on D B) A WP): B „Lp © gly )s D abl Ol A (A), BB), eS 4 4 D rey: LA), BB aay CC mani + wary AA), B B) CNC ae yD G cure Diagram IT. do) (B,), (C,), (D), DA B), (0) D), oe (BAC ICD à, (4B) (AB), (AB), AB); (40) (AC), (AC) AO) (AD) (4D),, (AD) (AD) (BC) (BC), (BC), (BC), (BD), (BD), (BD) (BD), ( cD) (CD), (CD) (CD), CG (10) Diagram IV. A De CA) A (24) (4 ch (B ae (C ey ce ea 1) \ (4 p} B Daar (C pie’ (D De BOA) BDA) (CDA), CDE). REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. 17 (4,14 (BB, (CC; DD, 14)? AA, x (B, IB, ( 010, (D, iD (4, MAar B DR, (0, MC, (DD, 1(27) (46)... (B,) (Ba), (COD, (D,), (De), ee BBN (ONB, WD) (DE) AND os BBD sr (C,) (C9) os (D), BY (A B) AB), ABAD) LOAD (AC) (40); (4D) | (AD) py (AD VAD) us (BC) (BO), (BC) (BO), (BD) (BD), (BD) (BD), (CD) (CD), (CD) (CD), ADA ys AD) 4, ADA) (4B) (A) 3 (4B) (4,) 4 0,C £3 BOB). BDB), BDB), BAB), (BA) (B), BOB), (CB) OIO DOD, (ODO). CAO), (CDC (CBO), (DB) (D,), DOD). DOD) (DA) (D, ), DAD), OBD) Diagram V, AB), (40),, AD op (BC), (BD), (CD), (AB) > (22) (AON ary, (AD Jan (BO LBD (CD), 18 ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE AAD) BNB) (0). (0,), (DD), (4).(4,),: BEN C) (C,), DD), (4) (4), B) B) (C),(C,), DD), (4B),(4,), Be)(B ) (Ge) (C,), (Dee) (D) UPDA BDB) (DCH DOD), (43) (4)... (88) (B.), (OC) (Dy), D.) (4) (@P), Boe). (C') er), (D), ed) AIEN (BY), ED or Cd PY ig Dy), (P28) 6)’ Bh FRE (41) AED), BED (C',) OY) DAD (27)’ (13)° (21) (4',) (Ca), (4',) (Da), (4) (Da), (4) (Ba), (4) (Ba), + B') (C2), B) (DB), B) (DB), e AD BAB (BY (CB), (C',) (By), (€",), (Dy); (OO), CA (CAD gg (C",) (BY), 4 IB) ag DCH, ) (C8), Dj) Saan 5 i (2), NNT) (29)” A4) zo eg B, ) 6, (C's (D iad ares (4 ee B 2, 0 (C B INA (D oe 140)’ A4) nt B) B, (CY if » D oe 1 (9) Diagram VI. Be C.D. 1 1 Ba À (AB) (4d), , (AB) AN 40) Aar (4) (49). ADA) Á D) AB) (A9) (18)? REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. (AB) (By), (BC) (Bd), (BD) (Ba), 40) (CB), (BC), (Cd), (C°D) (Ca), 1D) (DB), (BD) (Dy), (OD) (Da), GB.) 4B We Der (40) (@, ie LE OB), (4D) @& ate (B ‘Db ah (48), A) (Ba), B), ay) (A) ra B), (48) A) BD, B), ABD CARO AD), EN AD) ED (B C) (ad, (BO) (a 3), (BD) (ay), (BD) ey), (CD) (@f), (CD), @P), (4) CD BO, es (4) @y, B), EP (AB) (72), (AC) BD (39) ee CMER B) ED. EEE a JON Car hac ED) BC oe ne CA cut, ‘ea? (AB) (Bd), (BO) (Ba), (BD) (By), 40) (C3), BO) (Ca), (CD) (CP), (AD) (Dy), (BD) (De), (CD) (DP), (AON By, AD) SD: BO) (BDE) (CD) (V5 (CD), @',) (Cy), (C D (Da), (D ), (CB). CC) (DB), D) (C3), (CO) (Dy), D, (AB) yd) AB) (79), (23) (4 C) KE (AC) (83)... (AD) (By), (AD) (Br (BO) (ad), (BC) (ad), BD (ay), (BD) (ay). (CD) (a8), (CD) (ee), ae? D), (@d), (By) ,), (Bd) EE, D). (78) ee ed 1(27)’ n ra 26)’ n 1(2 5)’ >] (48) >] (38) 2) , (A4) (13)? 20 . ON CERTAIN SERIES OF SECTIONS OF THE (Ca) (4',), (Da), (A), (Ba) (A), (CP), (B ), (DP) B), (AP) (B’) D (33)’ (By) (€), (Dy ij: (C° e (dy) (C’,) D°(43) (BS) (D), (Cd) D's (43),D,),: , (By) (C,) (Du) (4), (Bu) A) (Ca) A), (DE) B) (AP) B C Je; (CPB) (Dy) (C" ), (AY) (Oyo)? 12) (Cd DE (AÌ ye OS ‘ (Bd) (D’,). Diagram VII. ne )(B",) 0), ), ONZ ABe, ij: (AB) (@, 05 (AC) (Y ) a (16) (AD ) ( d a lop (a) A’). (a2) (B’ ), (ay) (C’ ), (ad) (D' es) (4) (2) B) B), (Co) DE) (2) (4), 7) (B) B) CARE “ 7) (C',) 6) D’,) AO) BOR > 2) „ec )Cy ) (BD) (d',), VA) BVE) (Py ).(C",) CURE (24) (A) (5) (37) B B), (C) (yg): (2,),0",), 2) (4) (B) B), dy DD ADE) (BD) (BR), (CD) (y,), (CD) (9 ), el) (45) DB) D (18) (78) (C ) D’(26)’ ( 7 ) DP dE ; REGULAR FOUR-DIMENSIONAL HYPERSOLIDS. AB) os ADs AD, (Ba), (By), BO (Ce), (CB), (C),,, (De), (DB), Dy) The following lines are all bisected (4B) (79), LORD AD (BD (BO)(ad), (BD)(ay), (CD(ap), BO (ad), (BD)(ay), (CD (ap), (AB) Cae (40) (Ba). (AD) (BD. (AB) CLR (40) (25), (AD) (227 BD. (BD) (en, (CD) (ER), (BC) (ad), (BD)(æy), (CD) (ap): (6 February 1900). (31)’ (4 B) (y). (AC) (fo) 10)’ (4D) (riz. A. BOOLE STOTT, Sections of regular four-dimensional hypersohds. Ee Fig. 8. (on half the scale of Fig’ 6 and 7) AE Térhand Hon Ald Wetensch. (I! Sectie) D1. VIL er oren Leiden 3 , EN à A BOOLE STOTT, Sections of. regular four-dimensional hypersolids. PLII. Fig 14 (IA, ) Fig 15 (IA,) A°D Fig.17 (15,) Fig 20 (16, ) Fig 21 (L15) Fig. 6 (140) Fig 19 (IA, ) Verhand. Kon. Akad. v.Wetensch. (1° Sectie). DI. VIL A.BOOLE STOTT, Sections of regular four-dimensional hypersolids. PL IL Diag I 20 21 10 12 5 23 8 Ee PER ie | | Vérhand Kon. Akad. v: Wetensch. (1° Sectie). DL VII. JBytel, ath. PJ Mulder, urge Leiden ed EE ABOOLE STOTT. Sections of regular four -dimensional lypersolids. P Pl IV: Diag. VI. Diag: VIL ful \ 43 =) Verhand. Kon. Akad. v: Wetensch. (1*Sectie). DI. VII. JBijtel th PJ Mulder, mer Leiden ABOOLE STOTT, Sections of regular four-dimensional hypersolids. eee: Dia 1g: VIIL A PIV: Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie).D1.VI. JBitel th, PJ Mulder opr Leden. Les hyperquadriques dans l'espace a Quatre dimensions (Étude de géométrie énumérative) P. H. SCHOUTE. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 4. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. Juni 1900. Les hyperquadriques dans | espace à quatre dimensions. (Etude de géométrie énumérative) PAR PP. H. SCHOUTE. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 4. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. L900. (See. sa rene À sein, Zn oe < a ie ns x t ik EY por w 3 H r ze _ 7 = . ey ‘ #3 ns | tete : 4 ed asen Ate wb Ks qv 4 +} PALM Us ft Les hyperquadriques dans l'espace à quatre dimensions. (ÉTUDE DE GÉOMÉTRIE ÉNUMÉRATIVE) : PAR P. IH. SCHOUTE. Dans un travail paru en 1894 dans le tome 45 des Mathema- tische Annalen M. H. Scuvserr a développé dans toute généralité les formules qui font connaître en un espace 4, à x dimensions les nombres des espaces courbes du second ordre à p dimensions satisfaisant à 2 (y + 2) — 1 p(p + 1) conditions simples. En parcou- rant ce travail on ne sait pas ce qu'il faut y admirer le plus, ou bien la conception ingénieuse de la théorie ou bien l’assiduité dé- montrée dans l'application de cette théorie au cas » = 4, p — 8. En effet, le mémoire se termine par un tableau de plusieurs pages contenant les 344 nombres des hyperquadriques en Z, satisfaisant à quatorze conditions simples, tandis que lévaluation du nombre pris pour exemple donnée in extenso (pp. 197 et 198) exige à elle seule environ une heure. Par rapport à la géométrie énumérative des hyperquadriques en FE, le mémoire cité du géomètre éminent de Hambourg forme le couronnement de [édifice dont Cnasres, M. H. G. Zeurnen et M. ScuuBerT lui-même ont posé les fondements. Dans son œuvre trop peu connu ,,Kalkiil der abzählenden Geometrie” (Leipzig, Teubner, 1879) le ‘dernier a déjà codifié les lois générales de cette nouvelle géométrie et en. développé Papplication la plus complète, celle aux nombres de quadriques satisfaisant à neuf conditions sim- ples (comparez aussi le mémoire de 1870 dans le tome 71 du Journal de Crelle). Mais il y a encore une grande distance entre cette œuvre magistrale de 1879 et le. mémoire de 1894, parce 1% 4 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE que dans le dernier le nombre indéfini z des dimensions de l’espace F, qui porte les figures étudiées, et le nombre indéfini » des dimen- sions de ces figures entrent dans les résultats. On saisira la por- tée considérable de ce progrès par l’exemple suivant donné par ScHuBERT Fui-même. On sait que dans un plan donné (# = 2) il y a une conique qui touche cinq droites données, que dans un espace tridimensional donné (7 — 3) il y a quatre coniques qui touchent huit plans donnés, que dans un espace quadridimensional donné (n= 4) il y a vingt coniques qui touchent onze espaces donnés et que le terme suivant de cette série de coniques est cent douze. Mais la loi générale, d’après laquelle un Z, donné contient un me er, 3)! . nombre 0 aI de coniques qui touchent 3 2 — 1 espaces nl (a — 2)! f,_, donnés en cet #,, ne peut pas encore être devinée même, si Pon ne sait que les nombres 1, 4, 20, 112 de coniques cor- respondant aux valeurs successives 2, 3, 4, 5 de w. Et en ce cas il n'y a qu'une inconnue # en jeu, tandis que les formules de SCHUBERT en contiennent deux, z et p. Quoique la géométrie énumérative des êtres du second ordre en #,, est donc depuis six années une théorie tant soit peu ache- vée, nous nous proposons de déduire dans les pages suivantes d’une manière directe les nombres en rapport avec les hyperquadriques à eux seuls. Si l’on désire se borner au cas z= 4, cette déduction a bien des avantages sur celle basée sur les considérations beau- coup plus difficiles du cas général d'un x” quelconque. Notam- ment elle est plus simple pour deux raisons. Seulement une de ces raisons est manifeste dans l'exemple cité: la peine de la déduc- tion du nombre 20 des coniques en M, disparait en comparaison de celle qui mène à la formule générale du nombre de coniques correspondant à un # quelconque. Mais dans le cas des formules de M. ScxuBerT une seconde raison s’y joint: la peine de l’éva- luation ‚du nombre correspondant à des valeurs données de x et p après la substitution de ces valeurs dans les formules. En vérité, ces formules donnent les nombres en question en forme d’une somme d’un grand nombre de produits, ce qui emporte deux désa- vantages quand il s’agit d’un cas particulier # = 4. D'abord la réduction de la somme au nombre cherché est un travail assez ennuyeux; mais ce qui est plus grave, c’est qu'on obtient les nom- bres cherchés sans indice d’une relation mutuelle, ce qui implique que chacun de ces nombres exige une évaluation. Au contraire, en suivant en 4, le chemin correspondant à celui que M. Scau- BERT a frayé en Z, dans son œuvre de 1879, on obtient les nom A QUATRE DIMENSIONS. ) bres cherchés dans leur dépendance mutuelle, ce qui abrège consi- dérablement le travail. Les instruments dont nous nous servirons dans ce qui suit, se réduisent à deux principes fondamentaux, le principe de corres- pondance de Crasums dans sa forme la pius simple et le principe de la conservation du nombre. Pour faciliter la lecture de notre étude nous donnons ici lPénoncé de ces deux principes qui forment, en effet, la base de toute la géométrie énumérative. Le principe de correspondance de Cuasies dit: „S'il existe une Correspondance (%, 2) entre deux éléments a et 6 faisant partie d’une „même série simplement infinie d'éléments, de manière que dans „cette série il correspond un nombre m d'éléments déterminés a à un „élément 4 donné et un nombre « d'éléments déterminés 6 à un élément «a donné, il arrive m+ fois que deux éléments corres- „pondants a et 4 coïncident”” Dans la forme algébrique suivante on en intervoit immédiatement la démonstration: ,,Si les variables z et y dépendent l’une de l’autre à laide d'une équation / (a, y) — 0, où „fw, y) est un polynôme de lordre » en w et de l’ordre x en y, il »Y a mt couples de valeurs correspondantes +, y, où & =.” Le principe de la conservation du nombre peut être formulé de la manière suivante: „St un nombre infini d'ordre de multiplicité ,p (p = 0, 1, 2, etc.) dépendant de quelques figures données conserve „son ordre d’infinité p, quand on varie d’une manière déterminée „les rapports mutuels de position de ces figures, ce nombre ne „change pas du tout.” Ordinairement on en fait ressortir la signi- fication par l’exemple très connu des deux transversales communes de quatre droites en #, qui se croisent, où p—0; si Pon rem- place ces quatres droites par deux couples de droites qui se cou- pent, on trouve encore deux transversales communes, la jonction des deux points d'intersection de ces couples et [intersection de leurs plans. En dernière analyse la démonstration de ce principe extrêmement fertile repose sur la possibilité de passer de la posi- tion originale des figures données à toute autre position par une succession de déplacements et de déformations infiniments petits. La rédaction de ce travail nous a servi nous-méme comme sujet d’étude de la géométrie énumérative; nous le publions dans l'espoir d’éveiller Venvie de se familiariser avec les belles recherches de M. Scuvsert, sans lesquelles — nous lavouons volontiers — il nous aurait été impossible d'atteindre le but proposé !). *) I est singulier qu'une traduction française du travail principal de M. ScHuBERT ou bien la publication d'un travail analogue français se fait encore attendre. 6 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE 1, Notations de la symbolique. Par préférence nous représentons par 4 un point, par 4 une droite, par ¢ un plan, par d un espace. De plus nous nous ima- ginons que ces symboles indiquent en même temps une condition simple imposée à la figure correspondante et le nombre de ces figures satisfaisant à cette condition. Ainsi, s'il s'agit des points d’une droite donnée, « indique que le point considéré se trouve en un espace donné et léquation @=1 exprime qu'il y a toujours un point qui satisfait à cette condition. De la même manière b,c, d indiquent successivement qu’une droite considérée coupe un plan donné, qu'un plan considéré coupe une droite donnée et qu’un espace considéré passe par un point donné. Ces quatre conditions sont en /; les seules conditions simples de position qu’on peut imposer aux quatre figures élémentaires: point, droite, plan et espace. Les conditions multiples de position relative s'expriment à l’aide des lettres a, 4, c, d munies d’un indice. Ainsi le symbole a, 1m- pose au point considéré la condition double de se trouver dans un plan donné; l'identité a =a, exprime que tous les points qui se trouvent à la fois en deux espaces donnés, sont situés en même temps dans un plan donné, le plan d’intersection de ces deux espaces. à Par des majuscules nous désignons des éléments donnés; ainsi A désigne un point donné, etc. Voici le système complet des symboles avec les conditions qu’ils représentent: a | point d'un D), 6 | droite s'appuyant sur un C, b, 4 par uns A; 5 , Sappuyant sur un Bb, > 1 Ne MOET b b Ds Ki ea. LD ek > OC pat, Un) Aen, bn A ATOS 2 PAP cae rs TE em PE b, th , D, Sappuyant sur un B de D. ce | plan s’appuyant sur un B, Cy Par an, Cy Ten LE Col» situé dans un même espace avec un €, ~ A QUATRE DIMENSIONS. c | plan d’un D, c‚ | „ par un B, contenu dans un D par B, Cn »2 2 9 À, LE) EE) EE) D 59 À, A 1 en rens Aaike A ws » » même espace avec un C par À. 2. Relations entre les symboles. Le tableau suivant classifie les symboles indiqués d’après le nombre des conditions simples qu’ils représentent : jee Gere Id 2. ENOR Cos Ge Ce One: Ge 107, Oner (Cx, de A. A DD 5 OSC 6. Droles Entre ces symboles, leurs produits et leurs puissances il existe un grand nombre de relations. Pour le point et l’espace ces rela- tions ne sont que des identités bien simples; en effet nous avons: Pour le point Ine fie DAE A,=a’, Sake ie Wa A. ASU Pour Zespace eee d, 2. d,=d", Or d= dd, =a, Agens ==. dd =d. Dans les cas de la droite et du plan nous avons à distinguer entre identité et cgahté. La relation 4} —=b, est une identité; car chaque droite qui se trouve a la fois en deux espaces donnés, se trouve de même dans un plan donné, le plan d’intersection de ces deux espaces. Au contraire les trois relations 4° = 4, + bj, bb, = b, + b., bj =6.+ 6, sont des égalités qui exigent une démon- stration; on les obtient en appliquant d’une manière convenable le 5 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE principe de la conservation du nombre. En supposant que les deux plans de la condition double 6° se trouvent dans un même espace, le nombre quadruplement infini des droites satisfaisant à cette con- dition se divise en deux classes distinctes de la même multiplicité d'infimté, celle des droites qui s'appuient sur intersection des deux plans sans qu’il soit nécessaire qu'elles se trouvent dans l’espace de ces plans, et celle des droites qui se trouvent dans l’espace de ces plans sans qu'il soit nécessaire qu’elles eu coupent lV intersection. Encore, en supposant que Je plan et la droite de la condition triple 64, fassent partie d’un même espace, le nombre triplement infini des droites qui satisfont à cette condition, se décompose en deux catégories distinctes d’infinité triple, celle des droites qui pas- sent par le point d’intersection des deux éléments donnés sans qu’il soit nécessaire qu'elles se trouvent dans l’espace de ces éléments, et celle des droites qui coupent la droite donnée et le plan donné en deux points différents. Et enfin, en supposant que les deux droites de la condition quadruple 4%, se coupent, on trouve de la même manière la dernière des équations mentionnées. A l’aide des trois égalités fondamentales que nous venons de démontrer, et de plusieurs identités évidentes on dresse sans peine le tableau des relations entre les conditions à imposer à une droite. Pour faciliter ce procès nous énumérons d’abord les différents sym- boles 4 et leurs combinaisons, classifiés d’après le nombre des con- ditions simples auxquelles ils équivalent. w oa > 5 a = > 51 Obs G0; 10b 2 6°: Be. Bibs, Be (00 ND NEED Ob ED 5 b | bby baba bb. babes bb. bb, bb”, bbb, bb? : bb, bb; BB, 80,; U. bo 6 B | bb bb, bb, bb Do ORDE he by, 020 bb, Dis bbs, bbb, bbb bb,b. 00a0.: 0°0,, bh 00; ob Db 166,88; 5%, Og; B. a? A QUATRE DIMENSIONS 5) On aperçoit que nous avons distingué les symboles en symboles primaires b, b,,b,, etc. et symboles composés D, bb, ete. Comme le er 02) 09) Up U montre le tableau suivant les symboles composés sont des combi- naisons linéaires des symboles primaires de même portée; nous les classifions d’après la puissance de 4. Droite b. b = b, dE by. bb, == b, né b., bb, =e: b = b (b, “is ba) = b, + 2 Do. bp = 6, + by, bb; = Ors by = bs bb, =0,, bb, = by =d, + 6,; PSN ONO, Ore 0 Orb (Opt On) Oy — On Ors Oe Gp 6,) =2 6, + 8 b,,. bb, = 4, ae = 0, bib. =d 6,6;=6,; 66,=6,, 66, — bs 66, = b(b.+ nae » 0d, a NEA ARE RN BG bn = (b, i Daemen wor (Oste bk or DMO uO y= DN ENEN bb. — 0, bb = B, bb, = B, bib, = 0, 6,2=B, 4,6, = 0, 62 = B, bi =B, 676,=8, 6,67=0,67=B; 66,=B, bb,6,=B, 6b,b, bbs BOB; bbb Opb Bb 6, = ©, + 6,6,=8, DUC CENT ND EN ESP AOC = bk Ob = Br bt DUN NOEM (Oc 2000 NEN NS 1 IED NCPN DIE (6, 4) =5 B. A l’aide des considérations corrélatives on trouve d’abord le tableau suivant des relations entre les conditions à imposer à un plan. C | | a2 GRON | à à à C2 23 GERE CORNE Oe 10 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE 2 2 2 i Aseria | cite cave, 8 COYCES; sent ee KON Ge EN One à 2 4 ? a, 2 2 2 9) Cs CaCa © jag les Clas Celo; Clps CC, Clq, CCates CC co CC C Ce; 5) WN Od Se BS 3 es Cas Ca Cos € Cor Cos WOERDEN 9 2 5 ‘ CC 05, COs; CEO VOC ROG. CCS, CCL A CON CN 5 dome et IJ Y à GE CAGE GLORIEREN Oe Calor € Ensuite on obtient le tableau suivant indiquant comment les symboles composés s'expriment à l’aide des symboles primaires. Plan DW via AE A, tin ae 3 erf. à = à Dp ONGC, == Co by =Car Ces MC Oe. FC) =a Le Ce 2— h rf =e in à vj à VE en 4 Cy = Ch» Calc Cn» Ce = Cp + Cy; Clg = Em Ce = Ce = Cp de Cn 5 D aft 76 à = (ca + Ce) Ca = % ag Cn C Ce = (Ca ste Ce) Ce = Co ie 2 Cn; ES = 2 (y + €) = 8 & + 3 Cn — = 2 D|c Ca— 0, Cale = Css Cola = Cg, Cele = Cy; Cl — Css CC — Cs, Clg = CCS Cy, à = == ye TEN 2p —(p DN a CRUE ie met CCy Fi Css CC, = te En) ES 2 Cs; ( CT (Fon €) Ca Css C CE = . Ba — (@ MN Ok eG IM (ce; + 28) Ce Ti 2 Cs; C Co = (Cy Tee Ce) Cos 2 Cs C.= (C4 +e Ce) Ce re Dies: Ce & ts ¢ 6\¢ eo C6; oe 0, ee. = 0, ¢¢,=C¢7=C,¢,¢.=0,¢/=C, 4 ¢7¢,= 0, ¢,c7=C, ¢F=C; ee,= C, ce,¢a= 0, coe, = C, ceta= CG, COC.=C; eC Sts +6,) %=C, Ce, = (6, Heden, C62 =(C, Hed) Cg =0,:c'e,6, =e) +¢,) ¢,0¢ = Crea? Se) + cof = 2; ec, = (a+ Bede =C, Oe, = (C2 +26.) 20 de, = (2 Oy + B Oy) Oy sath et, (ore Ne OA OG A la plume courante nous insistons encore sur quelques uns des résultats que nous venons de déduire. On a 4,b,—=0 et 5,b,=0. Car en général le point donné 4 de la condition 4, ne se trouve pas dans l’espace donné D de la condition 4, ou b,. A QUATRE DIMENSIONS. II On a bb =6,6.—0. Car en général la droite donnée B de la condition 4, ne se trouve pas dans le plan donné C de la condi- tion ‘4, On a 6,6,=0. Car en général l’espace donné D de la ‘con: dition 4, ne passe pas par le point donné 4 commun aux droites qui satisfont à la condition 4, Enfin on a 4 — B. Car la droite qui rencontre trois droites don- nées, est en même temps l'intersection des trois espaces déterminés par ces droites prises deux à deux. Il va sans dire qu'on déduit les résultats corrélatifs c‚c,— 0, ee, =0, ¢7¢,=6,¢.=0, ¢¢.=0 et c°=C d'une manière complète- ment analogue. 3. Lieux géométriques en rapport avec les résultats trouvés. L'énumération de tous les lieux géométriques en rapport avec les relations déduites équivaut à peu près à Pextension complète de la géométrie de position, comme M. ‘Tu. Ruyn l’a perfectionnée, à l’espace à quatre dimensions et tombe donc hors du cadre de ce travail. Tout ce que nous nous proposons ici c'est d’effleurer légèrement les lieux géométriques les plus simples en rapport avec lespequations 02 —2B, 0bj=2B, 0b, =2 8,64, =3B, = 5B et les équations corrélatives, lieux géométriques que lon obtient en omettant une ou plusieurs des conditions qui entrent dans le pre- mier membre de ces équations. Mais avant d'y procéder il faut que nous intercalions une couple de remarques. D'abord dans l’espace ZZ a trois dimensions une courbe du second ordre est plane, à moins quelle ne dégénère en deux droites qui se croisent; car le plan mené par trois points pris au hasard sur cette courbe la coupe en un nombre de points surpassant l’ordre de la courbe, ce qui implique que ce plan contient la courbe en- tière, si elle est simple. Un raisonnement tout à fait analogue démontre qu’en M, toute courbe simple du second ordre est plane, toute courbe simple du troisième ordre se trouve en un Zj et — ce qui nous intéresse ici — qu'en Z, toute surface du second ordre se trouve dans un Z,, à moins qu'elle ne consiste de deux plans à un seul point commun. En effet, si 44, A, 43, À, sont quatre points quelconques non complanaires d’une surface du se- cond ordre, le plan © par 4,, 4,, 4, coupe cette surface en un nombre de points non collinéaires surpassant l’ordre de la surface et en contient done une infinité située sur une conique par 4, Ay, As; ce qui implique que l’espace #3 par A,, 4, A3, À, coupe 3 12 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE la surface suivant cette conique et un point, et en contient done une infinité double de points, etc. Ainsi l’ordre des surfaces qui ne se trouvent pas en un Z,, disons l’ordre des surfaces tordues, surpasse deux. Ensuite, le coefficient de B dans le second membre de l’équation dont on déduit les lieux en question, représente toujours l’ordre du lieu, s’il s’agit d’une infinité de droites formant une surface. Mais, en général cela n’est plus le cas, si le lieu est un espace courbe. Ce point s’éclaircira suffisamment par les exemples que nous rencontrerons tout à lheure. Qu'il suffise ici d'observer que l’espace courbe qui est le lieu des droites satisfaisant à l’ensemble des conditions #4, que l’on déduit de Véquation 6°4; = 2B en omet- tant une des conditions 4, et de l’équation 0", — 3B en omet- tant deux des conditions 6, ne saurait être à la fois de l’ordre deux et trois. Si le lieu des droites satisfaisant à l’ensemble de conditions p admet g dimensions comme lieu de points, nous le représentons par le symbole (p),. Seulement pour g < 4 ce lieu sera un lieu proprement dit. Pour g=4 il passe un nombre fini des droites du lieu par un point quelconque, pour 7 =5 ou g = 6 les droites par un point quelconque forment une surface ou un espace courbe. Ici nous nous bornons aux cas g < 4. Orne: En omettant successivement une des conditions 6, les deux con- ditions 6 ou une des conditions 4,, nous formons les lieux (44°) », (6°,);, (6°0)z; nous les examinons l’un après l’autre. L’équation 6°6%,=2B nous apprend que le lieu (44,7), rencon- tre un plan quelconque en deux points. Done (64,7), est une sur- face du second ordre; d’après la première des deux remarques précédentes elle doit se trouver en un Z, Et, en effet, chaque droite qui s'appuie sur les deux droites données B,, B, des deux conditions 4,, se trouve dans l’espace D déterminé par B,, B; elle s’appuie donc en même temps sur l'intersection B, de cet espace et du plan C de la condition 6; de manière que le lieu (64,7), en D est le système réglé (B,, Bo, B;) dont B, B, B; sont trois directrices. Le lieu (4); forme dans l’espace D déterminé par les deux droites B, B, des deux conditions 4, la congruence la plus simple, c'est-à-dire la congruence (1,1) aux axes B, Bs, et n’est donc plus un lieu proprement dit. A QUATRE DIMENSIONS. 13 Enfin le lieu (64); est en vérité un espace courbe du second ordre. Car, si C, C,, B, A, représentent respectivement les deux plans des conditions 4, la droite de la condition 4, et un point variable de cette droite, le plan d’intersection des espaces (4, C)), (4, C) porte un faisceau de rayons au sommet 4, dont tous les éléments satisfont aux conditions posées; ainsi le lieu de ces droites est en même temps le lieu du plan d’intersection des espaces cor- respondants (4, C;), (4, U) de deux faisceaux d’espaces qui sont en rapport projectif l’un avec l’autre, parce qu'ils sont en rapport perspectif avec la ponctuelle (4,) des points 4, de B. Cet espace courbe (4*4,); possède donc la propriété particulière de contenir une infinité simple de plans. B) ....06,—2B. On obtient les deux lieux (4%), et (46,), en omettant suecessi- vement une ou deux des trois conditions 4. e lieu (4%), est le système réglé (B, B, B) aux directrices L | b e/2 6 o 1 2 3 B,, By, B, quand ici B, est la droite de la condition 6,, tandis B, et B; sont les intersections de l’espace D de 6, avec les ue 6, et Bs sont | t t le | D de 6, | plans C des deux conditions #4. Le lieu (64,),; est en D la congruence (1,1) aux axes B,, B, et done pas un lieu proprement dit. OENE LEIEN Ici nous avons à nous occuper des lieux (44), (bb,)3, (Os. Le lieu (b°b) est le système réglé (B, B, B;) en D, où B,, B, B, sont les droites d’intersection de l’espace D de 4, avec les plans ©, C,, C des trois conditions 4. Le lieu (6*5,), est en D la congruence (1,1) aux axes B,, B. Enfin le lieu (64), est un espace courbe du troisième ordre. Car, si U, CG, C, C, sont les plans des quatre conditions 4, un espace quelconque D, mené par C, qui rencontre C,, C, C, suivant les droites B, B, B, en contient une surface cubique, composée du système réglé (B,, B, Bs) et du plan C,. En effet, un point quel- conque A4, de C, détermine une droite unique faisant partie dw heu (65), l'intersection des trois espaces (4,0), (4,0), (4,0); done C, appartient une fois à l'intersection considérée. C’est à ce dernier lieu que s'applique la seconde des deux remarques précédentes. L’équation 4%, = 2B fait voir qu'un espace D quelconque contient deux des droites qui satisfont à l’en- semble des conditions 4‘; cela est en règle, car les quatre droites d'interseetion de D avec les plans ©, CG, O5, C, admettent deux 14 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE transversales communes. Mais cela n'implique nullement que le lieu (64), lui-même doit être du second ordre. Car l’espace D en contient, à côté de ces deux transversales qui s'y trouvent en entier, une infinité double de points d’intersection avec les droites satisfaisant à 4%, non situées en 2. Un espace quelconque D coupe le heu (4%), suivant une surface simple du troisième ordre qui con- tient les deux transversales, voilà tout. Il est intéressant à étudier la correspondance des points d’inter- section 4,, 4,, A3, 4, d'une même droite variable .B, du lieu (6°), avec les plans (,, C,, C3, C;. Les points 4, et 4, se correspon- dent un à un; done la correspondance entre ces points est une transformation de Cremona. Si B, et B, sont deux droites quel- conques, la première de C, et la seconde de C,, on trouve que deux des droites B, qui s'appuient sur B,, rencontrent B, eu égard à l'équation, 80 —2B;;,donc, s1,4, décrit en .C, la. droite#;, A, parcourt en C, une conique, en d’autres termes: la transfor- mation de CREMONA est une transformation quadratique. Nous cherchons les trois points fondamentaux du plan C, par rapport au plan . C. Évidemment les points d’intersection 4,, et 4,, de C, avec Cs et C, sont deux de ces points; car, par chacun de ces points il passe une infinité de droites B, situées dans un même plan, celles par A, dans le plan d intersection des deux espaces (A3 Cy), (4y3 G), celles par A,, dans le plan d’intersection des deux espaces (4,, C,), (4,3 OC). Et le troisième point fondamen- tal est le point d’intersection 4,3, de CO, avec le plan GQ, déterminé par les points d’intersection 4,,, 4,,, 4,3 des trois plans CG, C,, C, pris deux a deux, chaque droite par 4,3; en Cas coupant a la fois la droite 4,, 4,3 de C, la droite 43, A33 de C, et la droite 4, 4, de: Q,. TL dress BR: Ici il s’agit des lieux (6%), (44); (643; dont nous n'avons à étudier que le premier, le second figurant sous a) et le dernier sous ”). Si C,, C, O3 et B sont les plans des trois conditions 6 et la droite de la condition 4,, il est évident que le lieu (4%), est en même temps le lieu de la droite d’intersection B,, des espaces cor- respondants (4,0), (4,C), (4,0) de trois faisceaux d'espaces projectifs, où 4, est un point variable de 2, ces faisceaux d’es- paces étant en rapport projectif Pun avec l’autre, parce qu'ils sont en rapport perspectif avec la ponctuelle (4,) des points 4, de B; ad A QUATRE DIMENSIONS. 13) ce lieu est donc effectivement une surface cubique tordue. Car un espace D coupe les trois faisceaux d'espaces projectifs suivant trois faisceaux de plans projectifs, et ces trois faisceaux de plans engen- drent une cubique gauche. D'après l’équation 4%, —2B une droite quelconque du plan C, rencontre deux droites B, du lieu (0%); donc chacun des trois plans ©, C,, C; contient une conique faisant partie du lieu. La conique en C, passe par les points d’intersection 4,,, 4,, de- ee, plan, avec C, et C,, etc. Oe AN Ici l’on trouve (4°), et (4), dont seulement le premier lieu reste à étudier. D’après léquation 6°=5B la surface (6°), est du cinquième ordre, d’après Véquation 6%%, = 3B chacun des plans des cinq conditions 4 la coupe suivant une cubique. La cubique en C, passe par les points d’intersection 4,;(4= 2, 3,4, 5) de ce plan avec les quatre autres. Les cubiques que nous venons de trouver, sont-elles des courbes rationnelles ou des courbes dont le genre est Punité? Dans le premier cas il faut que le lieu (4°, étudié sous y) admette un plan double, afin que ce lieu soit coupé par un plan quelconque C, suivant une cubique a point double. Mais il est évident que le lieu (64); n'admet pas de plan double. Car la supposition qu'il en fit autant, implique que chaque espace couperait ce leu suivant une surface cubique, tandis que nous avons déjà remarqué que chaque espace 2 mené par le plan C, en contient le plan ©, et un système réglé tout à fait indépendant de ce plan. Donc les eubiques dont il s’agit, sont des courbes du genre |. Résumé. Les lieux nouveaux qui se sont présentés, sont (6°b,)3”, (0.7, (44), (6%, où les petites chiffres en haut indiquent l’ordre. Nous y ajoutons tout de suite les enveloppes corrélatives (¢°¢,),”, (c je (Pe)? 4 Gy : 1. Combinaisons simples des éléments. Nous considérons maintenant quelques figures assez simples qu’on obtient en combinant deux, trois ou quatre éléments différents d’une telle manière que tous ces éléments se portent l’un l’autre. La figure la plus simple de cette catégorie est composée d’une 16 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ ESPACE droite portant un point; nous la représentons par le symbole (a, 4),, en indiquant par Vindice 7 qu'elle peut satisfaire à sept conditions simples. En rapport avec cette notation nous disons qu’une combi- naison est à indice p, quand elle peut satisfaire à p conditions simples au plus. Ainsi Pon a trois combinaisons binaires à indice 7, trois combinaisons binaires à indice 8, quatre combinaisons ternaires à indice 9 et une seule combinaison quaternaire à indice 10; ce sont (ab), (ad), (cd), (ae), OC OA) (abe), (abd), (aed)o, (bcd)s, (abcd). Nous les examinons l’une apres l’autre, d’abord pour nous exercer dans l'usage des relations trouvées au numéro 2 et ensuite comme introduction aux combinaisons à répétition qui suivent dans le numéro 5. ).... Les combinaisons binaires. a. La figure (ab), admet la formule de réduction ab = a + 6,. En effet, si l'on suppose que le plan C de la condition 4 se trouve dans l’espace D de la condition a, on trouve que le système quintuplement infini des figures (ad), qui satisfont à la condition double 44, se divise en deux classes différentes. Une de ces classes consiste des droites 4 qui coupent D en un point quelconque de C, ce point y figurant comme point a; ces figures satisfont à la condition 4,—4. L'autre classe comprend les droites en 2, le point d’intersection avec le plan C faisant emploi de point a; ces figures satisfont à la condition 4, En écrivant l'équation démontrée dans la forme @— 4h —4, on voit tout de suite qu’elle nous permet d'exprimer les conditions 4°, a’, a‘ par un ensemble de conditions ne contenant qu'au premier degré la condition a. Ainsi l’on obtient: Dab a, =a’ =a (ab—b,) =b (ab—b,)—ab,, = a (6°—b,)—6 6, = ab,—4, , A =a‘ =a(ab,—4,) = b,(ab—b,,)— ab, = a(bb,—b,)—6,b, = ab, —6,,. Done on trouve pour les combinaisons completes des symboles primaires : ~ A QUATRE DIMENSIONS. 1 OB Pb, = (ab — b,) b,=1, ab, = (ab, —6,) 6, = 0, db, = (ab, — 6,) b,, = 1, ANNA Ab, = (ab, —_ 6) 6, = 0: Ces résultats très simples nous suggèrent une remarque qui nous sera utile. Tous les symboles se réduisent à deux termes dont le premier contient « au premier degré, tandis que le second ne con- tient que des conditions se rapportant à la droite 6. Eh bien, aussitôt qu'il s'agit de la détermination d’un nombre fini de figu- res le second terme s’annule, parce qu'il impose une condition sep- tuple à la droite 4 qui est de l'indice six. Ainsi dans le cas de ab, le terme 6,4, disparait, etc. Il est inutile de faire connaître tous les autres nombres. Donc nous ne mentionnons que les combinaisons pures de puissances al = 5 aB = 5, db =5 Ch =o (205 +30) — 3, Go AND a. La figure (ad), wobéit pas à une formule de réduction. On n’y rencontre que les deux ensembles complets «°D, dd’, cha- cun desquels est égal à unité. ds En #, la figure (cd), est la figure corrélative de (ab); On a donc: dd ed er d, =d =cd—e¢,, D == td — on, OE NORA = or Die) — 0), od =), ed? = 5) cd? = 8, edt = 1. a La figure (ac) donne lieu aux combinaisons complètes a,C, ac, Ac, Ac, de symboles primaires. Elle n’admet pas de for- mule de réduction, ce qui n’empèche pas qu'on trouve immédi- atement DRONG — 1 746) 10 et donc aussi 3,0 5 4,4 9 > A F ° GSD CCE Se DOES Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (2e Sectie). Dl. VII. Dez 18 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE Nous y ajoutons OO Cpl atC Oy CC), ! dec, Omen eol . Q \ 2 ce qui nous sera utile tout-à-l’heure. as. La figure (4c), admet les combinaisons complètes de sym- boles primaires Y 1 à a 5 À b,€, baC > Osea bibs ? bv, Ole. DAC be, ’ bea b.Ce > Beg Be,. On trouve sans peine les deux tableaux (OS Bee EC She? De OSE bic = = he. be = 0, be, =l= bps ben = 0 et Ce =o (brb Webe Ge O96, E26) EMOQ = Te be =(2 6, + 2 6,) ce, + 3 ¢,) = 12 I qui s'accordent avec la loi de la dualité. En supposant que le plan C de la condition 4 passe par la droite B de la condition ¢ on trouve la relation dc = 4, + c.. Elle mène aussi aux nombres 4”, etc. que nous venons de déduire. Ainsi l’on a: hick Es by. + 4 by Ce Ti 6 On oe + 4 b, Be at Ce ce qui fait retrouver la valeur 12. En effet, d’abord on a 6,4= 0 et c*—0, les figures 6 et c Windice six ne pouvant pas satisfaire à un ensemble de huit conditions simples. Ensuite on a 6,2 ¢,= Be, = 0 et b,c? = 6,C = 0, parce que la droite B de Be, ne recontre pas le plan C de la condition ¢,, ete. Et enfin bo? TE (b, ae b,,) (c, + Cy) SE 2. a. La figure (4d), est en MW, la figure corrélative de (ac)s. On a done: Bd, 215) ile Denen d*=2, WAB, Wd? =5. A QUATRE DIMENSIONS. 19 f)....Les combinaisons ternaires. BR, La figure (abc), est soumise aux deux relations be = b, + Co des trois éléments a, 4,c. En les combinant on à Véquation 6’ = 4, + bj, la formule ab =a? + ba, contenant deux trouve, eu égard DV (a + ce) (ae Fe), qui permet de transformer tout ensemble 474% (p + g + r < 10) à une forme linéaire en 4. Seulement nous supprimons ici les ex- pressions qu'on obtient pour 4°, 6%, 4°, 6° à l’aide de cette formule, d'autant plus que ces expressions vont paraître ailleurs (voir le numéro suivant). À leur place nous donnons ici les deux tableaux suivants qu'on dresse sans peine: Bb = 1 ape — | dhl GB C0 Abc, =0 dhl aba] OG — 0) Zoic, = 0 abio =1 #06, = 1 OS ON cn aber 0 AMOR TAC, Hoc, 0 deer = 0 an = 0) Cb Cul Bibi — 0 Cig =d D EN RER EN) ADC. == ab — 0 aan G06) A Abc, = 9 út =" abies" “ben El Ap.c, = 0 20,6, = 0 aba 1 ab, 6, A0 Abie, = 0 ale =) aba 0 aber 0 Pipe. —0 dh ed abo Über Abc 0 be) =d PAROI abc, = Pit. alien = 0 dhe = 0 aBe, =0 Abc —2 Ce EU Coe = 10 Woe = 0 0) Abc = 2 PRE =6 | act= 12 abc — 5 oc — 1 dhg = 3 ioe — 10) abe — 12 Abe =0 GONG =o) Gg — 10 omst) abe — 5 he D PM |) ONS Nous remarquons que la quatrième partie du premier tableau s obtient B “Pour la figure (abd), à l’aide des douze nombres donnés sous a. on trouve les deux tableaux: | 46D =0 Abd? =1 Abd =0 abd? = 1 Ab, d° — I, Abd’ = () ab, D = | Ode pee 1 Mid = 0 \ Abd 0 |. ah, 0 ABO LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE Ghat aM Goel) Sad abide | ab,D =0 aha — 0 abd Bd =) | abd 240, 0 | a0, Did adsl AD =0 | 4D =1 go Dd ab D =2 ze aod’? =3 abd.= D abd? = 5 Abd Sal Coat = 3 abd? = 5 abd? = 5 Abd =0 abd =0 ahd = 0 Nous remarquons qu'ici toutes les combinaisons où d figure a la première puissance disparaissent, l’espace d exigeant encore la con- naissance de deux de ses points quand la droite 6 a été déter- minée. parer 5. Ps et Pour la dernière partie du premier tableau on peut com- 2, Les figures (acd), et (bed), sont en M, les figures cor- rélatives de (abd)o et (abc), etc. y)....La combinaison quaternaire. Pour la figure (acd), on trouve sans peine, même en s’abste- nant de suivants : Ab,c,d’=0=a"b,c,D Abed =O be P Abic;d =0=40,6) Abed = V—=ab,c) Abjcd =V=—abic,D Abzesd =0=ab,t,0 | A0j;ed* = Va" bc, D ea dbe,d. =l=ab,ed? acd la bed. abad =d hed abe =Qs=abed dojo =) 4 berde db ed =) =a behe 6b 0,0 =O =atb ed? l'emploi de toute formule de réduction, les deux tableaux AbcD =0=AbcD | Ab,cd*? =0=a'be,D_ abe. d=l a bee Abe d° =V=@6b, cD. \Ab,c.d =1=ab,0,D | a°b,¢,¢ — 12600080 Ate,@ =l=ab,eDd | Ab,c,d =0=ab,c,D | a°b,c,¢d =1 aby Abed =0=0@b,cD | Abed =0=ab,6,D. a bied =1 abe Abe, =\=a@b,cD \Ab.c.d =V=ab,¢,)..\.a°b,¢,d.= 1—ab ae Abed =\=ab.cD Abed =O=abe,D |a bed == = 476700 Abed =0=ab,cD \Abscd =O0=abe,D . \ad'be.d=\—a bren Abjed® =Ve@ic,D \a@ bed =l=—abed ja bed — VSa oie Ab ed =0=a'be,D | a bed =l=@b ce a boord — 40700) Ab,c.d’=0=@b,¢,D \a°be,d° —V=a'b cd Va bied —0 aoe Ab,¢,@=1=a'b,¢,D|\ @be,d =l\—a*t,ed’_\a°b.¢.d Sl abe n abcd =0=abiew ab.c,d = | abies @b,cd? =0=a' bard abcd AE a bend ab ed Oak ed db e.d OS aber. | a bac, = | Sdbje d? na un es A QUATRE DIMENSIONS. med =) ab oden ta bred Aanb ord” \a"b,¢,d = 0'=ab,¢,d" BEN —O—ahe,d vrabed Va he da Bed =0=abCd* Belde bc | be, dE ab; ed ab 0d =0 =aBe,d bede 1 SaBede vabrerd Vat erd \ab,0d =l—dBed RN —@ 0.0.0 bed abe de \ab,c,d =—O0=ab,c,d | Bla bc d'a berd =\=ab,¢,4 \ab,¢,@ =\—ab,c,d “bee, = 1 —a bed” | BC od? obd Oale d Meede ET T0 | bic dab dat. 000.04 PPT abe dea ed 0 abc, d | es ill) Zn Dal abz0, dab ad —ab.c,d° sa BOND bed abe d —\l—ab,c.d° sa AS AbeD =0=AbeD |\abd: = 5— bed? | bd = 5—afcd? Abe d° =1=00R¢D \@bed = b=ab ed? \a be d?= 10 =d bed? Abed” =2=a@6' cD eed Oad a bed = lab ed Abe'd =2=alteD | bPd= 1=a Pelle BPP =12=CR Ea Abecd? — la be’ D a bed =\0=ab'e'd? \a cd —12—=ab ed? Ab ed=l=a be DBE = 6=0CV ECR Cbd =10=ab ed? Abed =2=aP 2D Pod = Oa Pd? Ed = 5=ab ed? Ab ed? =1l=a be? D bed? = 38=Cb6 Ada be d= O—abed? Abed —=1=ab D \Cbied = Zabel d? |ab Pd = Abted =O—abD \d ed = 0O=ab dd \aPed = 5=abed abd? =3—a bed? | bd = 5=C0 cd \abtc'd = 0=abicid De ces deux tableaux le premier contient 163 et le second 62 nombres en rapport avec la figure (abcd). Nous rappelons que les nombres 474%"d, (p + q +7r=9) se dé- duisent de £,, etc. 5. Combinaisons a répétition d'éléments, L’étude des figures (aabe),), (abRc),), (awhed),,, (abRBcd),,, (aabeyd)ss, ou 2, 2, y indiquent respectivement un second point, une seconde droite et un second plan, nous fera connaitre des nombres qui nous seront utiles prochainement. CAE CL TAN Considérons d’abord la figure plus simple (aal), qui consiste d’une droite 4 portant deux points a, z. Pour elle on a, eu égard aux formules de 4a,: 22 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE a= ab—b,, | ata — aab,—ab,, ; ig ee a a = aalb, er b,) ad ab, LE a(b,+6,) +4,, 3 a — ab, Fo b > € . da — ab a da = aah, — ab, = aab—ab,, sey re ee B an —aalb. +6) — (at 4) b, + B, lik {== ab, ra bn ? d'où — anh. — ab, at = axb,—«b,, aa =aab,+6,)—(4+2)6,+6,, arab, Ici s'applique encore la remarque de 4w,: Dans tous les cas, où il s’agit de la détermination d’un nombre fini de figures, c'est toujours le terme en aa du second membre qui donne à lui seul le résultat entier. Dans ces cas on ne garde done que D} h | € : d'au = 086 le, d'a jh, = ae bij, | ap, = au(b, + 06,4), € . ) | A 4 aa ja, = aa by fey, (aam; = ach, + 6) | dap, = aadje, 9.6 | 4.2 hk dap, = aah, + bi), |A Uk) = aab,, ae = ab, où #; représente un ensemble de conditions imposé à 6 équivalant à 7 conditions simples. Et alors le nombre des figures est égal à celui des droites satisfaisant aux conditions bj’, b,4',...B impo- sées à 4, les facteurs 4,4 déterminant les points 4,2 apres que la droite 4 a été trouvée. A Vaide de ces formules on évalue sans peine tous les nombres en rapport avec les figures (aab). En deux petits tableaux nous en réunissons deux catégories distinctes. La première catégorie se compose des nombres a””b?, où pi + Ps +g—8; nous les donnons sans coefficient binômial, c’est-à-dire dans la supposition que les p, espaces par a, les y, espaces par a et les 7 plans de la condition 4% ont été indiqués séparément. La seconde catégorie contient les nombres 4/47, où p + —8; on les obtient par Pad- dition des nombres constituants a”5!, chacun de ces derniers étant multiplié d’avance par le coefficient binômial convenable. Pour en faciliter la composition typographique nous y remplaçons les symboles a?:a”b4 et a’b" par (pipag) et (pg), en ayant soin d’intercaler le zéro aussitôt qu’une quelconque des quantités p,, p,, p, g S’annule. Nombres a@”\2!*47 — (p;p2q). (440)=1, (422)=1, (332)—2, (814)=8, (215)=5, (431)=1, (418)=1,. (323)=3, (224)=5, (116)=5. Nombres a” "#0! = (pq). (80) = 35, (71)=35, (62)=85, (53)=35, (44)=27, (GB) lb: A QUATRE DIMENSIONS. 23 L'exemple suivant montre comment s’obtiennent les nombres du second de ces deux petits tableaux. En désignant par 4, et 4, le premier et le second coefficient binomial de puissance 4, on a: (44) == 4 (314) + 44 2 284) =(4,@a+14 4,0°a")\h' = | 4b, + 36, + b,)| 0° = 27 B. Done (44) = 27 Passons maintenant a la figure (aabc). combinant les résultats que nous venons de déduire a ceux de ELC Pour elle on trouve, en Aa, les deux tableaux suivants: Nombres a”*b!c" = (pypoq’). 402) 1 (A123) = 253214) = 7 | Goa lO elon) Gai) — 1) (A114) = 2 (8205) =5 (2224) = 12,2116) = 5. (4303) = 2 | (8322) = 2 | (3142) — 3 | Gee Ly == Os CLG TR) (4222) = 1 | (33138) = 4 | (8133) = 6 | 2206)= 5) (1153)=10 (4213) = 2 | (3304) = 5 | (8124)=7 | Q152)= 5/|(1144)=12 | mes) — 2} (6232)— 3 | (8115) — 5 | 2143) — 10 (1135) = 10 Gitar) 1 | (3223) — 6 | Q242)=5 | (PAPE EN EAA PO ES Nombres a: 24% (pgr). (802) = 35 | (604) = 80 | (442) = 27 | (52) = Lorn(262)— 5 ee i— 35 | (od2)= a0 (4388) 54 | (34 2) 9801 (293) = 10 Gila) — 70'| (5238) ='70 | (424) = 64 | (334) = 36 | (244) =12 (oe2) = 35 | (514)= 80 (415) = 50.) (3825) =30 | (2385) — 10 Oren) 170) (505) — 50 (406) = De (816) = 151.2216) — 5 Nous remarquons que tous les nombres (pgr) où p <2 our<2 disparaissent, et que les nombres (pg2) et (2gr) se déduisent de ceux des figures plus simples (az), et (dc)s. Éd D’après le numéro 42, nous avons ici: . (abc) io. Ba + c)— (a + 0). P—b(8ac+c)—(a+c)(& He), PB —bB(a+c)—B(a@ +e). =b(a+e)[2c,—(a—c)?|—(@ +e) (Lac + c), PR =bO(Zae +e) — Pla +0) (a +e), \ 24 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE PO =bp (a+) — (0 +) (a +0) (a° He) + (a +e). b=b ((at [2e —(a—c)] — (@ +e) (Lac + c,) } — (a Hc) (a +¢,)[2¢,—(a—o)”], DR =bB(a+0[2c¢,—(a—o) |--B(€ +e) (Zac + c,), BR? —bB (a +) (Lac He) — 6(a + ¢,) (Bac + ¢,) — BR (a+ (a? + e) + (a+ c)(& + c,). b°=b(a te) (Zac +e)[Lac + ¢, — 2 (a + c)] — (a°+ c,) [(2ac + ce) a +0)" (a + c.)], PR =bB (a+) [2c,—(a—c)]— (a + c,) (Lac + e)} — Plat) (a He) [2¢,—(a—e)’], BR = 08 (a +) [2c,—(a—c)]—6(a +0) (ad +e)[ 2e, (a —0) | — B(a+c)(a +e) (Lac + ¢,) + (a? He) (Lac +e), DR — GR (2ac + c,) —(b + BP) (a + c)(a° +e) (Lac + ¢,) + (a+ (ate). Par multiplication on se forme sans peine les expressions analo- gues pour BR, DE, bg . jd Cee ges bip : Op, bis: bp, bp; Hp : GE Et quand il s’agit d’un nombre fini de figures (abc), on en déduit, y, représentant encore un ensemble de conditions équivalant à 2 conditions simples: PR pr =P (a +) pr, DR mo AB (ac + ¢,) fai» PR = bp (a+ c) fae, DR mba + [2e — (a — | us, Op, = OR (a + 0) (Lac + e) fas, PR a, =0B{(a + 0) [2c, — (a — 0] — (a + c) (Lac + ec) bas Bi, = 58 (a + 0) (2, (ad Tu, Du, = (Zac + Ca)” Ja, BR u, bla + ©) (Zac + ¢,)[2ac + ¢,— 2 (@ +e) | paz, DB p= be (a + e) {Ca + OP [Le,—(a— | (a? +) (Lac + cg} paz, DO p= bla +) (Zac + e)[ 2e, —(a—c)] bs, DP — 08 (a + (Zac + e) [Zac + e, — 2(@ He) | peo, De ny. = be (Zac +¢,) a + [Le (a— | (A + €,) (Lac +e)} Hos Ou, = O68 (a + [2e —(a— Two, OR, =b (a+ (Lac +e) [Lac + ¢,—2 (a +e) by, bp, = bela +) [2¢,—(a—0”] {la + OP [2e — (a — 7 |— (a? He) (Pac +e)} ba, Ri =bR (ato (2ac He) Le, —(a— of |[Lac He, — 2 (@ + c)], OR? =b2 {(a+c)[2c,—(a—c)]- (a +e) (Bac +. ¢,)}?. A QUATRE DIMENSIONS. es (SL Ainsi l’on trouve les deux tableaux suivants : Nombres ab SEE == (por). (4330) = 1 | (3223)= 9 | (2314) = 12 |( 25 | (0541) = 25 (4821) = 1) (3214)= 7 | (2224) = 17 | (1423) = 22 | (0532) = 20 (4312) =11(3115)= 5 | (2215)= 10 |( 12 | (0523) = 10 (4222) = 2 |(2530)— 5 | (2116) = .5 | (1333) = 28 | (0442) = 29 ) 5 ) | | | Gel) — 2: (2521) = (1630) De LILA — 22) (04338) ZA CA 2 | 2512) — MODS 5 10315) = 100424) — 12 (8430) = 3 | (2440) = (61.2) 5 (i225) = 15 0334) 20 Peer ay (243) — LS 40) 5) (1216) — 5 | 325)=— 10 Pe ed) | 2A29)— 13 0531) = Lbr (0640) = 15 ).0226)=— 5 ( Abs) — 10) 522) == 15") O63) — T0 ee |) (2332) — V7 | (ols) = 10 1(0622)— 5 EDEN 18 | C44 y= 91 | (0550) = 15 | — — Ÿ © Or Ww | Nombres gp € — (pgr). (460)= 10|(352)= 85|(253)= 230| (163)= 670|(073)= 1050! 451)= 10((343)= 511(244)-— 99) (154)= 280/(064)= 380 (449)= 10/(334)= 21/(235)= 30| (145)= 85/(055)= 100 BBD 6/825)= 51226 5 (136)— 151(046)= 15 (424)= 2]|(280)= 595 |(190)= 2310 |(0,10,0)= 6300 (370)= 105 |(271)= 490/(181)=1715| (091)= 3990 (B6D= 95 | (262)= 395 (172)— 1225] (082)= 2275 WS On a Dans le premier de ces deux tableaux on a supposé 4 > @»- Alors les nombres (pg;gsr) qui s'annulent ne satisfont pas au com- plexe de conditions: p < 4, LO <0; Da RS ptr<8, atr<8. Et dans le second nous avons été obligé d’écrire (0,10,0) avec des virgules. OGEND Les nombres (ata'-b!c"d*) se déduisent de ceux de la figure plus simple (aac) à l’aide des relations générales (aambie'd ij = (aardt ho, Pi + Pa + Q + r = 10, Ghana bie gy. PDE ie gr 9, Barve d= (Cahbec i, pepe tg ETES, (abcd), (abe ND + Pat gtr 7 26 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE Ainsi, dans les cas s=1 et s=2 on n’a plus rien à calculer, tandis que pour s=3 et s=4 les derniers deux tableaux de 5a ont besoin d’être complétés. Bouts d’abord pour 7 — 0 la figure (aes), comprise en (aabed) est déter- minée, et en général la droite B de cette figure plus simple ne rencontre pas le plan donné C de la condition c,; donc les nom- bres en rapport avec la supposition 7 = 0 disparaissent. Et ensuite, pour 7=3 et r —4 les relations identiques 3 nous nous occupons des cas r=1, r=2. Car, ROG MAC, ren MRE tio aie. ramenent à l’avant-dernier tableau de 5a. A l’aide des neuf formules de réduction de 5%, des relations entre les symboles 6, des relations entre les symboles ¢ et des nombres de 4x, on trouve sans peine ADD =D rc = bc Tr ¢,) =a a folate. sal ve, (eos ve tej ats Katie ie Pela) kern nine) fai) eux etc., ce qui donne (4801) ¢,=1 (8302) ¢, =: (2222) e, = 7 ASIN EMEA (3221) ce, — (2141) 6, = 5 (4202) ¢,=1 (8212) ce, = A (2132) ce, = 7 CSD) Gielw = (1151)¢,=5 (4112)¢,=1 (3122) ce, = 4 (1142) e, = 7 (8311) e, — 2 (2231) c, = 5 Pour s=4 nous pouvons emprunter les nombres en question aux résultats connus de Vespace tridimensional; car on a (aPraP:be dj = (aab"e"), où les indices à gauche indiquent le nombre des dimensions de l’espace support. Seulement nous préférons à en insérer la déduc- tion. Pour 7=0 les nombres disparaissent comme tout-à-l’heure, et pour r—2 et r=3 on a DOL == Ge =a i a So" done nous nous occupons du cas > — 1. Nous trouvons que la con- dition c, est incompatible avec a‘. Donc les nombres qui ne s’an- nulent pas, sont A QUATRE DIMENSIONS. (BBO Ml, B De, = 1, En combinant tous les résultats nous trouvons le tableau où e représente la fraction ED 2221) « =? Cy == delig 18 (21381) c, = 2, He, 2. Nombres a! a! 0! C° d° = (py pa 475). (44021) = (44012) = (43121) = (48112) = nen (42221) — (42212) = (42131) = (42122) = (42041) — (42032) = (41321) — (41312) = (41231) — (41222) = Gal) = (4132) = (33221) — (33212) = (33131) — (33122) — (33041) — (33032) = (32321) — (32312) = (32231) — (32222) — (32141) = (32132) = (32051) = (32042) = (i421) = 3141/9) = BIES) — (31322) = (31241) = (31232) = Gill) — 31142) = (22421) = (22412) — (22331) = (22322) — (22241) = (22232) — (22151) = (22142) — (22061) = (22052) = (21521) = (21512) = (21431) = (21422) = (21341) = (21332) = (21251) = (21242) = (21161) = (21152) = (11621) = (11612) = (11531) = (11522) = MAA (11432) = (11351) = (11342) — (11261) = (11252) = (48013) = (4301)¢,— (42113) =(421l)¢= 1 al (42023) = | (41213) = 2 (41123) = | (83113) = 2 (33023) — 2 (32213) = | (32123) = 2 (31313) = 2 (12920) 2 (22313) — | (22223) — 5 is 3 (21323) = 6 (11513) = et) Cl AR D | (32033) = oy il ES 6 (22133) = it (ONE 5 (11333) — 3 5 22048) = "5 10 CAS) 12 (11243) = 10 (33014) = | 5 | (82114)= 5 (31214) = 10) A2 120 (21314) — 10 | 1414) = ROULE 5 (31124) = 10 (22124) = 12 (21224) = 10 (11324) = 5 (22034) = 1 (21134) = (11234) = (4202) ¢7— 1 (AD Test (41 12e, —1 (Belly ea (3302) ¢,=3 (S221)¢,— 3 (G22 ie, — A (Sai erie (8122) ce = 4 (231) c=) (2222) cei CAE ND (ALS) Ge QU PA 3e(3205 1) = 3 seo bol) =3 = 3¢(22151) = 6 ee ACS) 26 e(22061) = 3 3e(21161)=3 311267) — 3 ($301).¢,= 1 CE (onto) Gel CPE CED Ah Ps CMP ER e(32051) —1 ACIIEASESS | de e(21251) = 2 (11351) = 2 e(22061) = 1 e(21161) = 1 e(11261)=1 suivant, 28 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE A Vaide de ce tableau on trouve les Nombres a” °c" ds = (pqrs). | (8021) = (8012) =.35 (5213) = 35 | (7121) =(7112) = 35 (5123) = 45 (7031) = (7022) = 70 (5033) = 30 | (6221) = (6212) = 35 (4313) = 27 (6131) = (6322) = 70 (4223) = 37 (6041) = (6032) = 80 (4133) = 30 (5321) = (5312) = 35 (4043) = 9 (5231) = (5222) = 40 (8418) = 15 (5141) = (5132) = 80 (8928) — 24 | | (5051) = (5042) = 50 (233) — 18 | | (44.21) = (4412) = 27 (3148)= 9 | | (4331) = (4322) = 54 (2513) | (4241) = (4232) = 64 OLENE | (4151) = (4142) = 50 CABANE | | (4061) = (4052) = 15 (2243) = 3 | (3521) = (3512) = 15 (6014) = 10 (3431) = (3422) = 30 Bld A= (3341) = (3332) = 36 (5024) = 10 (3251) = (3242) = 30 (4214) = 10 (3161) = (3152) = 15 (112,4) = 1,0 | (2621) =(2612)= 5 (4034) = 3 | (2531) = (2522) = 10 (BS14) 6 | (2441) = (2432) = 12 (3224) = 6 | (2351) = (2342) = 10 (Glen 3 (2261) =(2252)= 5 CAE A (7013) = 35 (2324). — 2 (6113) = 35 (2234)= 1 (6023) = 45 0... .(abBcd),, Les nombres (a’b"B"c'd*),, se déduisent de ceux de (abe) au moyen des formules générales (abu Reed yy, = (AP bUBtC)y,...-.. pO tg+7=10, (abc dj = (bb, .::.p+ + g+rT= Y, (abu Bred), = (a BH cc"), --.. PEUNAEG+tr= 6, (aPbUR cd"), = (a be," , --.. PF +ET—= 4. Done les nombres (abf@cd),, sont connus pour s = 1,s— 2. Nous avons encore à étudier pour s = 3 les cas r —0,7r=— 1, r=2 et pour A QUATRE DIMENSIONS. 29 g=4 les cas r=0, r — 1. Car, comme en dy) les cass — 3, r = 3 et s=3, r — 4 et les cas s=4, r=2 et s=4,7r = 3 se ramènent a des nombres (abc), à l’aide des relations DEN TC, Dee — DC, Dec ce 5e = «€. Nous dressons donc, à l’aide des dix-huit formules de 52) et des résultats ac’, | , acre, =. 3 : ddie, = 2 3 4. 3 9 CRE Ge Cn =a, GCC Mle DOC de 4z,, les deux tableaux complétants suivants: | (4220)¢,=1 (2330)¢,= 8 (1831) ¢, — 16 | (4211)¢,=1 (2321)ce —10 | (1322)c, = 13 (4112)c,= 1 (2319) ce. — 7 (0530) c, = 10 | (8320) c, = 8 (2222) e, = 10 (052l)¢,= 5 | (8811) c, = 3 (1520)¢,= 5 (0440) ¢, = 16 (3221)e=5 | A5lDe= 5 (0431) c, = 14 (3212) ¢, = 4 (1430) ce, = 12 (0422)c = 7 | (2420) ¢, — 5 (1421) ¢, = 12 (0332) ¢, = 12 | (2411)¢,=5 (1412)¢e.= 7 (3220) c= 1 Q22%l\ye,= 8 | A32De,— 4 (8211) c= 1 (1420) e,= 2 | (0430) ¢,= A (2320) ¢,=2 | (AMD ete | (0421)e,— 2 (2311) ¢,=2 (1830)c,= 4 (0331)c,= 4 A Vaide de ces travaux préparatoires nous trouvons enfin le tableau des Nombres 44106" = (pqiqurs). (43301)= 11(25211)— 5/(25121)= 5/|(32231)— 9|(22241)—17 (34301)— 3) (24311)=11 | (24221)=13 | (24181)—10 |(14141)=12 Ba 5) (16211)= 2 DER SLB 18 (AES @C4401)— 9 (15311) — 151 (16121) 51(15131)=10 | (04241) =1 (16301)= 5 | (14411)=21 | (15221)=15 | (14231) =22 | (03341) — 2 | (15401)= 15 | (06311)=10 (14321) = -25 | (13881)—28|(81151)= 5 (06401) = 15 | (05411) = Zan OLM Hi (OS2 3) UO 22 toy 10 (05501) =25 | (43121)= 1 | (05321)=20 | (04331) 24 | (13151) =10 (48211)= 1|(42221)= 2) (04421) =29 |(41141)= 2] (12251)=15 KORN 3 (84121)— 3) (42131)=— 21 (82141)= 7) (038251)= 10 (83311)— 5 |(83221)= 71(33131)— 6/(23141)—12/(21161)= 5 DW WO 30 (12161)= 5 (02261)— 5 (43202)— 1 (84202)— 3 (33302)— 5 (25202)— 5 (24302)— 11 (16202)= 5 (15302)—15 (14402) = 21 (06302) = 10 (05402) = 25 (48112) = 1 (42212) = 2 (34112)= 3 (83212)="7 (25112)= 5 (24212)= 13 (25802) = 17 (16112)= 5 (15212)=15 | Nous remarquons que les 49 nombres de (43211) jusqu’a (02261) se répètent de (43202) jusqu'à (02252). Cela est d'accord, d’après LES HYPERQUADRIQUES DANS I’ESPACE (14312) = (06212)— 5 (05312) — 20 (04412) 29 (42122)— 2 (33122)— 6 (32222)— 9 (24122) — 10 (23222)=18 (15122)—10 (14222) = 2 29 ~ d (32132) — (23132)— 12 (22232)— 17 (14132) — 12 (13232) — 22 (04232) — 12 (03332) = 20 (31142)= 5 (22142)—10 (13142)= 10 (12242) — 15 (03242) — 10 LSL 1D (2152)=—. 9 (02252)= 5 (42203)= 1 (83203)= 3 (24203)= 5 (23303)— 8 24.1 (15203)= 5 | (14308)= 12 (05303) = 10 (04403) = 16 Agi ys] Baur (32213) = 5 eas) = On | (23213)—10 (15113)= 5 (14213)=12 | (13313) = 16 (05213)= 5 | (043.18) = 14 | Ane) | (82123)= 4 (23123)= 7 (2 2223)—10 AIDE yar | (13223) = (04223) = 7 (03323) = 12 (31153)= -3 (22133)= 6 1(13133)— 6 (12233)= 9 | (03233)= 6 (21143)= 3 (ho dB) ee (02243) = (32204) = (23204) — (14204) — | (13304) = | (04304) = (321 14) = osn (22214) = (14114) = (13214) = 13 | (04.214) = (03314) = (31124) = (22124) = (13124) = (12224) = (03224) = (21134) = (12134) = (02234) = la seconde des quatre formules générales données plus haut. | 8 Au moyen de ce tableau on trouve les (4601) = (3701) = (2801) = (1901) = 2310 (0,10,0,1) =9450 (4511)= 10 (3611)= (2711)— 490 (1811) 715 (0911)— 3990 (4421)= 10 (3521) = (2621)= 395 (1721) =1225 (0821)= (4331)= 6 Nombres a” 0% 1%" = (pqrs). 10 1(8481)— 511(4502)— 10 (8832) =27 105 1(2531)— 230 |1(3602)— 95 |(2482)— 99 595 |(1631)= 670] (2702)= 490 (1532)— 280 (0731)=— 1050 | (1802)=1715 | (0632)= 380 (4241)= 2/(0902)—3990|(8242)— 5 (3341)= 21/(4412)= 10/(2342)= 80 95 |(2441)= 99/(3512)=— 85 (1442) 0485 (1541)= 280|1(2612)— 395 |(0542)—= 100 (0641) — 380 (1712) = 1225 (2252)= 5 (3251)— 5 | (0812)=2275) (1852)=) pale (2351)= 180 (4822) = 161/452) HA 85 |(1451)= 85) (8422)—= (511 (4403)—) nme (0551)— 100} (2522)= 2380)(8503)= 30 (2261)= | 5 /(1622)= 6702603) =) hoe 2275 (1861)— 1510722) = 10501703) Tb (0461)= 15 | (4232)= 2 | (0803)= 1120 0D © UID D B © B © UW IW fF B WD © + A QUATRE DIMENSIONS 31 (4313) = 3 (1523) = 165 (0443) =" "9110614)= 70 (8413)— 271(0623)—225 |(3404)— 31(8224)— 1 @513)— 125/(8233)— 8/(2504)— 20 (2324)— 6 (1613)= 370 (2333)— 18|(1604)— 70 (1424)— 17 (0713>— 595 |(1433)— 51 |(0704)—140 | (0524)— 20 (4223)= 11(0533)— 60|(3314)— 31(2234— 1 2) 121(0243)—=, 3 (Ml) 17 |1(1334)= 3 (2423)— 581(1343)= 9/(1514)= 50 (0434)— 3 Ici les 27 nombres de (4511) jusqu’à (0461) se répètent de (4502) jusqu'à (0452). é).... @abeyd),p. Les nombres (a?'a0%c"y"d*),. se réduisent aux nombres (44), à l’aide de deux opérations différentes. En premier lieu on remplace aia’ par aad), .»,-2 OU (6), :»,-2 représente un ensemble déter- miné de conditions pour 4 équivalant a p, + py — 2 conditions sim- ples. En second lieu on transforme cy" en cy(bd), 4-2 OÙ (Od), .»,-9 désigne un ensemble déterminé de conditions pour la figure (bd) équivalant à 7, +7, — 2 conditions simptes. Et enfin, en se débarrassant des points a, & sur 4 et des plans c, y par 6, on réduit (a”a!b!e"%"d*),. au nombre des figures (44) représenté par [()p, + m—2 OO) rn 61d" |. La première transformation s'effectue à Vaide des identités bien simples 7 hs Dene 2 € 2 5 da —aaB, a'e’—aab,o, dé—aab), da —=aab, da—=aab, b 5 4 3 2 2,2 2 ; d'a —aub,b,, d'a —aub de—aab,b, da —aab, aa—ag. a? L ù Et pour la seconde on a recours aux formules cy V7 = cy(b 4p dv, ey vg = cy (2bd + bve Cy u cy (b + dn DNS ole ied Iain entel ay iki) leiden ce ra qui sont les corrélatives de celles de 5 @. A titre d'exemple nous caleulons LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE (aa by dio = [0,00 + dX26d + bd} = 20,0" + APE + b,6,0'd + bbb d? = 0 + 6 + 0 + 1 — 13. Ainsi l’on trouve les 267 nombres du tableau suivant: Nombres (a'"a':0!chtr/'-d*) = (pipoqrires) (440220) =1 (440211)=1 (440112)=1 (431220)=1 (431211)=1 (431112)=1 (430320) =2 (430311) =2 (430221) =3 (430212) =2 (430113)=1 (422220)=1 (422211)=1 (422112)— 1 (421320) — 2 (421311)=2 (421221)= 3 (421212) =2 (421113)=1 (420420) — 2 (420411)=2 (420330) =4 (420321)=4 (420312)=2 (420222)=38 (420213)=1 (413220)=1 (413211)— (413112)=—1 (412320) = 2 (412311)— 2 (412221) = 3 (412212)— 2 (412113)—1 (411420) = 2 (411411)=2 (411330)=4 (411321)=4 (411312)=2 (411222)=8 EN (410430) =4 (410421) = (410331) —4 (410322) — 2 (410223) = 1 (332220) —2 (832211) — 2 (332112)— 2 (331320) — 4 (331311) =4 (331221) —6 (331212) —4 (331113) — (330420) — 5 (330411) — (330330) — 8 (330321)—9 (330312) =5 (330222) =7 (330213) = 3 (330114)=1 (323220) — 8 (32321 1)— 3 (323112) = 3 (322320) — 6 ce ep (321420)=7 | (821411) =7 AGRA ES (320520)= 5 CN 75 | (320430) = 14 | (820421)=12 (820412)— 5 | (313113) = (321330) — 12 (321321)—13 (321312)— 7 (321222)—10 |(821213)= 4 (321114)— 1 (320331)= 16 (320322)= 10 (320313)= 3 (320223)= 5 (320214) = 1 (314220)= 3 2 | (314211)= 3 (814112)= 3 (313320)= 6 | (813311)= 6 | (813221)= 9 (313212)= 6 (312420)— (312411)= (312330) (312321) (312312) (312222)=1 (312213)= (312114) = I 1 I D BAC EO II (811511) = (311430) = (311421) = fl (311412)= (311331)=16 (311322) =10 (311313) ee (311223)= 5 (31121400 (310530)—10 | (310521) 5 (310440)=16 (310431)— 12 (310422)= 5 (310332)= 8 | (810828) (810224) = 1 (224220) = 5 (22421 (224113) =a AEN EES (223320) =10 (223311)=10 (223221)=15 (223212)=10 (223113)= 5 2420) = 12 (222411)=12 (222330) = 20 (222321) = 22 (222312)=12 (222029) Sd (222213)= 7 (222114)= § 221520)— 10 221511)—10 221430) = 24 2921421) —29 221412)—10 221331) — 28 (221322) — 18 (221313)— 6 | (221223) § ~~ (221214)= 2 (220620) — 5 (220611) 5 (220530) = 20 (220521)=15 (220440) — 29 (220431)— 25 (220422) — 13 (220413) — 3 (220332) = 17 M220328)— (220314) — (220224) — (215220) — KAR) -5 pagal 2) — 5 (214320) — 10 (214212) (214113) = 5 (218411) —12 (213330) = 20 (213321) — 2: (213312)— 1: (213222)— 17 L'emploi des de plus en plus laborieux à mesure que 7, et 7, augmentent. Nous (220512)— 5, UT © — =) (214311)—10 | (214221)— 15 | (213420) = 12 | A QUATRE DIMENSIONS. (218213)2 7 OLST 2 (212520)— 10 (212511)—10 (212430) — 94 (212421)—22 (212412) —10 (212331) —28 (212322) — (212313) — > (212223)— 9 (212214)— 2 (211620)— 5 (211611)= 5 (211530) —20 (211521) — 15 (211512)= 5 (211440) — 29 (211431)-—25 (211422)— 13 (211413)= 3 (211332) — 17 (211323) 7 CARE) ER (211224)— 9 (210630) — 10 (210621)— 5 (210540) — 25 (210531)—15 (210522)— 5 (210441) — 21 formules pour la transformation de «7: devient (210432)=1 (210423) = (210333) — (210324) = (116220)= RO) 65 GEL Os ENS (115320) =10 (115311)=10 (115 (115212)=10 (115113)= 5 oe Qt © 2 Le bo. OLNE ES (112530) = 20 (112521)=15 RN 2) 5 (112440) = 29 (112431)=25 (112422)=13 | (112413)=— 3 | (112332)=17 NSZ 4 POTS), 1 (112224) = 2 (114420) =12 | (114411)=12 (114330) =20 (114321)=2 (114312)=15 (114222) =] ORS 7 (114213)= 7 | 2 (114114) = (113520) — 10 ea ak (113430) = 24 | 10631) = | (113421) =22 118412) = 10 113331) =28 | ( ( (113322) — 18 (113313)= 6 ( 113223) = 9 | (113214) = 2 | (112620)= 5 29 | | (111621) — (111540) = 2 Mae De ess (111441)= 2 athe ae 1 Rn Gass) = (111324)— (110640)=1 (111630)= 1 (110550)— 25 (110541) = 15 (110532) = 5 (110442)— § (110433)= # (110334) =- 1 5 5 5 5 il ] 3 5 ; 5 ) ) ) Dl ) 3 remarquons done qu'on peut éviter ces formules dans les cas (7, = 6), bis 2), (r—4,s—3}(r, — 3,8 — 4) et en un grand nombre d’autres cas. espace tridimensional ordinaire. vail découle de Vobservation très simple que d’après la réduction desMiacteurs a”, aP: les nombres (2; 2, 9,74, 72,9), [2,1,9+1,r,,72, 9], [2,1,9+2,7;,7,8] sont égaux. de A l’aide tableau suivant : Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie). ce premier :) 36 tableau on trouve DI, VII. immédiatement le D'ailleurs pour s — 4 on peut recourir avec sucees a Et enfin un épargnement de tra- 34 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE Nombres a” "PbIC" Weds = (pqrs). (8040)= 105/(5151)= 1900|(4044)= *42| (2622)= 5 (8031)= 105/(5142)= 665|(3540)= 451 (2550) 100 (8022)— 35/(5183)= 135/(3531)= 45 (2541) 0185 (7140)= 105/(5124)= _ 10/(3522)= 15| (25382) 80 (7131)= 105/(5070)= 6650|(3450)= 300) (2523)= 5 (7122)= 35/(5061)= 4050/(3441)= 255) (2460)= 380 (7050)= 7001(5052)— 1350/(3482)= 90] .@451)= 280 1(7041)= 595|(5043)= 285/(3423)= 15] (2442) 99 (7032)= 210/(5034)— 30)(8360)= 1140) (2483)= 21 (7023)= 35/(4440)— 81|(3351)= 840) (2424)= 9 (6240)= 105/(4431)= 81|(8342)= 297! (2370)—1050 (6231)= 105 (4422)= 21(3333)— 63 (2361) = 670 (6222)= $35/(4350)= 540/(3324)— 6] (2352)= 230 (6150)= 700|(4841)= 4591(8270)— 3150} (2343)= 51 |(6141)= 595|(4332)= 162(3261)= 2010] (2334)= 6 (6132)— 210|(4323)= 271(3252)—: 690! (2280)=2975 (6123)— 35|(4260)= 2040/(3248)— 153) (2271)=1225 (6060) = 2600 (4251) = 1500 (3 234)— 18] (2262)= 395 (6051) =1900|(4242)= 5929) (3180) = 6825] (2253)= 85 | (6042) = 665) (4233) = 111 (3171) — 3675| (2244)= 10 (6033)= 185|(4224)= 10/(3162)— 1185) (2190) =8990 (6024)— 10/(4170)= 5530(3153)— 255) (2181)=1715 (5340)= 105|(4161)= 3490(3144)— 30! (2172)= 490 (5331)= 105/(4152)= 1190(3090)—11970) (2163)= 95 (5822)= 35/(4143)= 261/(3081)= 6145] (2154) "M0 (5250)= 700 (4134)= 80 (3072)= 14701(2,0,10,0) = 6300 (5241)= 595|(4080)= 11305 (3063) = 285) (2091) =2310 (5232)= 210/(4071)= 5775|(3054)— 30) (2082)= 5965 (5223)= 35|(4062)= oS 15] (2073)= 105 (5160)=2600|(4053)= 375 (263D= 15) (2064)= 10 6. Les nombres des dégénérations £ et 7 d’un système simplement infini de coniques. Dans Vespace Z% la conique peut satisfaire à onze conditions simples, en d’autres termes en Z, la conique est une figure à onze dimensions. En effet, en 4, le plan de la conique peut satisfaire à six conditions simples, tandis qu'en son plan la conique elle-même est déterminée par cinq conditions simples. On obtient done un système simplement infini de coniques en imposant à cette figure à onze dimensions un système de conditions équivalant à dix condi- tions simples. A QUATRE DIMENSIONS. 39 Chez les coniques il faut distinguer trois conditions simples; nous les représentons par as, 4,, c, la première étant en rapport avec un espace donné D comme a, la seconde avec un plan donné C comme 4 et la troisième ne différant guère de la condition ordinaire c. Par a, nous indiquons que les deux points d’intersec- tion de la conique avec un espace donné 2 coincident, de manière que cet espace est espace tangent de la conique, tandis que 4, et c expriment respectivement que le plan donné C contient un point de la conique et la droite donnée B un point du plan de la conique. Donc le suffixe 2 de a, et 4, rappelle que le sujet de la condition, ici la conique, est quadratique au lieu de linéaire. A présent il s’agit donc des systèmes de coniques que nous désignons par le symbole (4,”4,?c),, ou en forme plus condensée par „(p, g, r)10. Un système simplement infini de coniques admet un nombre fini de chacune des deux dégénérations, la dégénération £ de l'équation ponctuelle dont les points forment deux droites 4, 2 qui se coupent, et les tangentes un faisceau de rayons compté deux fois (le faisceau des droites par le point d'intersection a de #, @ dans le plan c par b, B), et la dégénération y de l'équation tangentielle dont les tan- gentes forment deux faisceaux de rayons situés dans un même plan e et les points une droite comptée deux fois (le rayon commun des deux faisceaux qui en réunit les sommets a, x). Car chacune de ces deux dégénérations est une figure à dix dimensions. Pour les dégénérations £ et y l’ensemble de conditions (4,/4,%€")0 se transforme respectivement en (@/4"R%c"), et (gæ:b1e"),, dont nous avons évalué les nombres en 58 et 5a. Cependant il y a une différence à signaler entre les nombres (pg‚g,r) et (p,p.gr) déduits plus haut, et les nombres (&pgr) et (gr) des dégénérations £ et comprises dans le système (4,/4,/c"), de coniques. S'il s’agit des figures (abf2c)0, (aabc),, dégagées de toute connexion avec un système de coniques dont elles peuvent faire partie, il va sans dire que chaque figure satisfaisant à l’ensemble de conditions (a’6%c'), ue compte qu'une fois parmi les solutions du problème qu'on s’est proposé à résoudre. Au contraire, s'il s’agit de figures &, y faisant partie d’un système simplement infini de coniques, il faut qu’on se place à deux points de vue différents, à mesure qu'on cherche les nombres £.,y. des coniques satisfaisant à un des ensembles (Engr), (upgr), ou bien les nombres £,,y, des dégénérations &, y satisfaisant à l’ensemble (pgr). En effet on a &, = 278, et y, = ya. Car chaque solution £, du second cas représente 2” coniques coïn- cidées satisfaisant à (Épgr), parce que chacun des p espaces donnés figure pour deux espaces tangents coincidés, de manière que la ox o* 36 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE figure £, remplit 2” fois la condition (pgr). Et de même chaque solution y, du second cas représente 2% coniques coïncidées satis- faisant a (ypgr), chacun des g plans donnés passant par deux points coincidés de y, de manière que la figure y, remplit 2? fois la con- dition (ypgr). La déduction du nombre des coniques (@,'6,%c"),, à l’aide des nombres ¢ et y exige que nous nous placons au premier point de vue; done pour préparer cette déduction qui nous occu- pera tout-à-l’heure, nous répétons ici les résultats des numéros 5 6 et Da, eu égard aux facteurs 2? et 21. Nombres Sa’b%c" = (& pgr). (460) — 160/(352) — 680(253)— 920] (163)=1340\073)=1050 (451) =160(343)= 408(244)= 396) (154)= 560(064)= 380 (442) = 160/(334)= 168(235)= 120; (145)= 170(055)— 100 (433) = 96(325)— 40(226)= 20] (136)= 30)(046)= 15 (424) — 32|(280) = 2380 (190)=— 4620'(0, 10,0) = 6300 | (870) = 840(271)=1960(181)— 3480) (091)— 3990 (861) =760(262)=1580(172)=2450| (082)—2275 Nombres ya’'"c" = (y pgr). (802)= 35] (604)= 80 | (442) =432 | (852)—480 | (262) =320 | (712)= 70 | (582)=280 | (488) = 482 | (843) = 480 | (253) =320 (103)= 70 | (523) = 280 | (424) = 256 | (834) = 288 | (244) =192 | (622)= 140 (514) = 160 | (415) =100 | (825) = 120 | (285)= 80 /(613)= 70) (505)= 50 | (406) ="15 | (816)=. 15 | (226) SRAM 7. Les nombres des coniques (7,!’,c’),,. Pour un système simplement infini de coniques en Z, on a les deux relations générales +@+2C, On les démontre de la manière suivante: Considérons d’abord dans un espace donné 2 un faisceau de plans dont une droite quelconque donnée B de D soit l'axe, et faisons correspondre lun à l’autre deux plans C,, C, de ce faisceau qui passent par les deux points d'interseetion de D avec une même conique du système donné. Cette correspondance est caractérisée par la propriété qu'on trouve 4, plans C, correspondant à un plan A QUATRE DIMENSIONS. 91 OC, donné et réciproquement 4, plans C correspondant à un plan C, donné, 4, représentant le nombre des coniques du système dont un plan donné contient un point. D'après le principe de corres- pondance de Cnasres le nombre des coincidences de cette corres- pondance est done 24, Mais d’un autre côté, en parcourant la courbe gauche de l'ordre 4, qui forme l'intersection de D avec le lieu des coniques du système, on y trouve trois catégories de points qui caractérisent une coincidence, d’abord les y points d’intersection de D avec les dégénérations y du système, ensuite les 4, points de contact de D avec des coniques du système, et enfin les 2e points d'intersection de 2 avec les ¢ coniques du système dont les plans s'appuient sur axe B du faisceau de plans. Donc on trouve C€bh=yntatZe. Considérons ensuite le faisceau d'espaces dont un plan donné C est le plan de base, et faisons correspondre lun à l’autre deux espaces D,, D, de ce faiscean qui touchent une même conique du système donné. Dans cette correspondance on trouve a espaces 2, correspondant à un espace 2, donné et réciproquement; donc le principe de correspondance exige qu'il y ait un nombre 24, de coincidences. Et il est évident que ces coincidences dérivent des dégénérations £ du système et des 4, coniques dont un point se trouve dans le plan de base C. Done on a 2a,=£€& + 4, 4). Les relations que nous venons de trouver, nous donnent les for- mules de récurrence 8a=2E+ pee, 20—= E+2yt+4e. qgr=l En les multipliant par 44e", où p + 9 +r= ll, on obtient des équations qui expriment les nombres (a, ? 714 1%e" ~*), (a?! 15) en (a,b,'c") et les quantités connues £ a’b%c"—", y abc’. Done elles nous permettent de trouver tous les nombres (4,/4,%"), où l’on a p+g+r=11. Aisi l’on a pour (4,%6,'c): 3 (@,7b,'c') = 2 (& 244) + (y 244) + 2 (276,40?) = 792 + 192 + 2 (abc), 3 (Gy b,c’) =2 (& 145) + (4145) + 2 (a,b,'c%) =340 + 04+2(a,6,'c°), Babe”) =2 (E046) + (4046) +2(6,4c) = 304 O+ 0, d’où l’on dérive ”) *) Ici le lieu des points de contact des coniques du système donné avec les espaces du faisceau est une courbe tordue de l’ordre a, + b,; car un espace D quelconque par le plan de base C en contient a, points en dehors de C et b, points en €. *) On peut aussi terminer par (&b,*c°), tous les nombres (aaPb,1c®), où p + q —5, étant connus. 38 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE (ab) = 10, (426,16), =120,.40(a,7b3 4) = 408 Nous donnons les résultats dans une forme qui permet de con- trôler les calculs en faisant suivre au symbole (a,?b,?c") ou (pgr) sous les entêtes «a, bj, €, &, les nombres des coniques du système simplement infini (4Pb,?c”) qui satisfont à une condition as, 5, ¢ de plus ou qui en forment les dégénérations £, 4, c’est-à-dire les nom- bres (a? +60"), (abt + Te), (a Pate Da (6 pgr), (y pgr). Nombres des coniques satisfaisant à onze conditions simples. pgr) a | & |C 5 | a APG) || a, | 6, | © | Shy (10,0,0) 20) 40} 30} 0) 0 (37 )) 2400 3960/2760) 840} 0 (910) 40) 80] 60} Of 0 (86 1)1760/2760/1880/ 760) 0 (901) 30] 60| 45) 0! 0 (352) 1280|1880/1000! 680/480 (820) 80} 160) 120; 0] 0 (343)| 70411000! 408} 4081480 (811) 60! 120] 90) 0) 0] | (334)| 288| 408| 120] 168/288 (802) 45! 90! 50! 0) 35 (825)! 80} 120/ 20) 40/120 (730)| 160} 820) 240) 0! 0 (316) 10) 20 SOF (721)} 120} 240) 180) 0! 0 (280) 3960/5540/35602380| 0 (712)} 90) 180] 100) 0} 70 (271) 2760 356021801960! 0 (703) 50) 100) 40) 0} 70 (262) 1880/2180/1080/1580/320 (640)| 320) 640) 480) Of Of | (253)1000/1080| 420} 920/820 (631) 240} 480) 360) 0) Of | (244) 408) 420] 120) 896/192 (622), 180) 360) 200) 01140 (235)| 120} 120] 20) 120/880 (613)| 100) 200] 80) 0| 70 (226) 20) 20) 0) 20} 20 (604)| 40} 80; 20) 0} 80 (190) 55.40 6460/3690 4620 0 (550), 64011280! 960! 0) 0 (181)3560,36901910,3480) 0 (541)) 480! 960} 720) 0) 0 (172)21801910) 8202450) 0 (532), 360) 720) 400) 0,280 (163)1080| 820} 28011340! 0 (523) 200! 400) 160} 0,280 (154) 420) 280) 70! 560} 0 (514)| 80] 160) 40) 0/160 (145); 120) 70) 10) 170) “0 (505)| 20) 40} 5} 0) 50 (136) 20) 10) 0} 380) 0 (460) 1280 24.00)1760/160, 0) (0,10,0) 6460 6620/3390 6300 0 (451)) 960/1760]1280160) 0 (091) 3690 3390/1545 3990 0 (442)| 72011280) 704|160/432 (082) LE 1910/1545] 59012275). 0 (433)| 400} 704) 288) 96/432 (073) 820) 590, 1801050) 0 (424)| 160} 288] 80) 32/256 (064) 280] 180) 40] 380) 0 (415) 40} 80) 10} 0100 (055), 70! 40) 5 100} 0 (406) - 5| 10) D} O} 15 (046). 10)..5). = Olp 251008 A QUATRE DIMENSIONS. 39 8. Les nombres des dégénérations ®, |, x d'un système simplement infini de quadriques. Dans Vespace Z, la quadrique est une figure à treize dimen- sions. Car l’espace 2 de la quadrique peut satisfaire à quatre conditions simples, et dans son espace D la quadrique elle-même se détermine par neuf conditions simples. On obtient done un système simplement infini en imposant à la quadrique un ensemble de conditions équivalant à douze conditions simples. Chez les quadriques nous distinguons quatre conditions simples 4, bs, c, d. Par a, et 6, nous indiquons respectivement qu’un espace donné et un plan donné sont espace tangent et plan tan- gent de la quadrique, ce qui implique que la quadrique est coupée par l’espace donné suivant une conique dégénérée en deux droites et par le plan donné en deux points infiniments voisins l’un de l’autre. Et c, et d expriment respectivement qu'une droite donné contient un point de la quadrique et qu'un point donné appartient à l'espace de la quadrique. Nous nous occupons donc du système de quadriques représenté par le symbole (4/4, d*),, ou en forme accourcie par o(p, g, 7, 8). Un système simplement infini de quadriques admet un nombre fini de chacune des trois dégénérations ®, d, x% déterminées par douze conditions simples dont la première admet un point double, la seconde une droite double et la troisième un plan double 4). La dégénération P est un cône quadratique; ce cône est déterminé, si l’on connait le sommet, trois autres points de l’espace du cône et cing génératrices, ce qui démontre qu'il admet 4 +3 + 5 = 12 dimensions. La dégénération ~ se compose d’une droite double portant à la fois deux plans et deux points; donc elle est déter- minée par 6 + 2.2 + 2.1 = 12 conditions simples. La dégénération x consiste d’une quadrique infiniment aplatie réduite à un plan double situé dans un espace déterminé et portant une conique; done % est déterminée par 6 + 1 + 5 = 12 conditions simples. Nous cherchons successivement les nombres des dégénérations ©, U, x com- PRESEN (Pp, 9, r, Nia. æ).... Nombres (Ppgrs)a. Pour évaluer le nombre des cônes (Pyqrs),. nous répétons pour *) Dans son „Kalkül der abzählenden Geometrie” Scauserr indique les surfaces à point, à droite et à plan double par x, Ÿ, ¢ en ordre renversé. 40 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE les cônes les raisonnements des numéros 6) et 7) par rapport aux coniques. Un système simplement infini de cônes représenté par (pgrs)u admet un nombre fini de chacune des deux dégénérations, la dégé- nération æ = (a"blc"t":4%), et la dégénération y = (a/6%*%c"d"). Tan- dis que le cône (pgs), est sa propre figure corrélative, ces deux dégénérations a et y dont la seconde a été étudiée en 5d, sont les figures corrélatives l’une de l’autre. Donc les nombres des dégé- nérations a et y sont connus. Pour le système simplement. infini (DP pgrsuy on a les deux relations générales: LC, =y + 6, + 2d, 202 = & + Co + 2a. Pour démontrer la première nous considérons un faisceau de rayons dont un point donné 4 et un plan C passant par ce point sont le sommet et le support, et nous faisons correspondre Pun à l'autre deux rayons de ce faisceau qui passent par les deux points d’intersection du plan C avec un mème cône du système. Ainsi nous faisons naître entre les rayons de ce faisceau une correspon- dance (cs, &) qui admet done 2e, coincidences. Mais d’un autre côté, en parcourant la courbe de l’ordre c, en C, qui est le lieu des points d’intersection de C avec les cônes ® du système consi- déré, on trouve trois groupes de points qui caractérisent une coïn- cidence, d’abord les y points d’intersection avec des droites doubles de dégénérations y, ensuite les 4, points de contact de « avec des cônes @ du système et enfin les 4 couples de points d’intersection de C avec des cônes P dont l’espace passe par 4, couples de points en ligne droite avec 4. Donc on trouve 26, = y + bo + 2d. Et la seconde relation se déduit de la première à l’aide des raisonnements corrélatifs. Des deux relations que nous venons de prouver, on déduit 30 = 2a + y + 4a + 2d, DC = & + 2y + Za Ad. En multipliant ces équations par 4/4, d%, où p+g+r+s=11, on voit qu'elles font connaître les deux nombres ,(p, 9 + 1,7, 5), AP, 4, r + 1,8), aussitôt que les deux autres p+ 1, 9,7, 8), 2(P, 4, r,8 + 1) sont connus. En remarquant : 1° que les nombres „(pgrs) disparaissent pour p > 4 ou s > 4, sn RE A QUATRE DIMENSIONS. 41 2° que les nombres {pgrs), où p=s=4, s'annulent tout de même, parce qu'en général le point 4 déterminé par a‘ ne se trouve pas dans l’espace D déterminé par d*, 3 queu égard a la corrélation on a {pgrs) = {sr gp), il est évident qu'on peut dériver successivement les nombres (4..3) et (8..4) des nombres (5..8) et (4. .4) , 5 5 (AE) RCE TR 5 CD We eel LE 1 dr At om) | OC De ED } WEER as iy LOL À ee RS OD AD. 4 N (Bind) RS B Ae Ones, PR à Gane) Cin@ 72) x (Aloe) CS eet) £ 3 (Bres). À 5 (AEN MIEN ED eO 4s à GeO aria 4 (Aen AS eut - 2 (2:22) ‘3 > Bee MC PO) 3 4 (27a), et Grane) 32 > (Bles WR, a be Co Ore Obed A HO Deme ¥ i (TEE À à CAD RAGE), 3 DE (0) et (aa à RTC 0) EEA DE é 4 (0. .0) 4 Cle 0) ORE) Toutefois, en suivant ce procédé, il faut qu’on v fasse attention | que dans les formules de réduction, d’après la remarque générale faite dans le cas des coniques (numéro 6, alinéa 4), chaque dégé- nération #, compte pour 2% quadriques #,, chaque dégénération y, compte pour 2” quadriques ,, tandis que dans ce même ordre d'idées chaque cône (Pygrs),, d'après sa nature particulière compte PITS I pour 2” quadriques du système satisfaisant aux conditions posées. En d’autres termes la quadrique forme VPunité dans laquelle sont exprimés les nombres a, 4, c5, d, , y des deux formules de réduction. Ainsi Von trouve le tableau suivant qui permet de controler les relations de récurrence qui y ont mené: Nombres des cones satisfaisant a douze conditions simples. (Dpaqrs)y a Oe RM CRUE (de Er | 7 (4601) 0 6 12 A 0 10 (4511) 0 12S sh, 424 8 0 20 (4502) 0 4 Bedr 0 10 (4421) 0 24 48 | 16 0 40 (4412) 0 8 16 2 0 20 (44.03) Ore Bpel T QF el 0 0 3 42 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE Opgrsu a b, C2 d CA Y (4331) () AS 12 24 24 48 (4822) 0 16 24 4 8 24 (4313) 0 2 4 0 0 6 (4241) 0 12 16 24 68 32 (4232) 0 24 24 4 24 16 (4223) 0 4 4 0 À 4 (3701) 6 19 134 45 0 105 (3611) 12 134 244 82 0 190 (3602) 4 | 45 82 12: 0 95 (3521) 24 244 440 148 0 340 (3512) 8 82 148 22 0 170 (3503) 1 12 22 I 0 30 (3431) 48 440 640 216 144 4.08 (3422) 16 148 216 40 48 204 (3413) 2 22 40 2 0 54 (3404) 0 I 2 0 0 3 (3341) 72 640 728 240 408 336 (3332) 24 216 240 AS 144 168 (3323) 4 40 48 4 24 48 (3314) 0 2 A 0 0 6 (3251) 16 128 644 200 660 160 (3242) 24 240 200 40 232 80 (2801) 19 477 S08 272 0 595 (rly) 134 808 | 1348 454, 0 980 (2702) 45 212 454 19 0 490 (2621) 244 | 1348 | 2208 144 0 1580 (2612) 82 454 144 122 0 790 (2603) 12 1e 128 8 0 Jon (2531) 440 | 2208 | 3056 | 1032 480 1840 (2522) 148 744 | 1032 200 160 920 (2513) 22 122 200 14 0 250 2504) it 8 14 0 0 20 (2441) 640 | 3056 | 3472 | 1152 | 1360 1584 (2432) 216 KOS Poe. 240 480 792 (2414) 2 14 24 0 0 34 (2351) 728 | 3472 | 3248 | 10382 | 2240 960 (2261) 644 | 8248 | 2528 744 | 2680 320 (1901) AT] | 2160-3366 MSA 0 2310 (1811) 272%) lode ils 295 0 115 (1721) 1348516 15302528 0 4900 A1?) 454 | 1718 | 2528 444 0 2450 A QUATRE DIMENSIONS. (pars) | 2 C2 d x Y | (1703) 13 295 444, 34 | 0 525 (1631) 2208 |: 7536 | 9696 | 3248 960 5360 (1613) 122 AAA, 644 52 0 740 (1604) 8 34 52 0 0 70 (1541) 3056), 9696 | 10560) 3472 | 2720 4480 (1514) 14 52 76 0 0 100 (0,10,0,1) 2160) 7240) 10160) 3390 0 6300 (0911) 3366 | 10160 | 13588 | 4518 0 7980 (0902) Soo OASIS DRE 0 3990 (0821) 5116 | 13588 | 16944 | 5600 0 9100 (0812) 1718} 4518} 5600! 1066 0 4550 (0803) 295 828 | 1066 92 0 1120 (0731) 7536 | 16944 | 18816) 6144 0 5400 (0722) 2528| 5600! 6144) 1244 0 4200 (0713) 444| 1066) 1244) 116 0 1190 (0704) 34 92 116 0 0 140 (0641) 9696 | 18816 | 18240 | 5792 0 6080 (0652 3248 | 6144) 5792) 1200 0 3040 (0623) 644) 1244) 1200, 128 0 900 (0614) | 52 116 128 0 0 140 (0551) | 10560 | 18240 | 15360 | 4640 0 3200 (0542) 8412 | 5792) 4640) 944 0 1600 (0533) | 728) 1200 944) 104 0 480 (0524) 76 128 104 0 0 80 (0461) 9696 | 15360 | 11328 | 3168 0 960 (0452) 8056 | 4640) 38168) 608 0 480 (0443) 640 944 608 64 0 144 (0434) 12 104 64 0 0 24 Les nombres (® a°bfe"d*) ont été trouvés par Scnuserr. Et la relation générale @Opgrs) = (bsrqp) qui découle de la remarque qu’en Z, le cône P est sa propre figure corrélative, peut servir à contrôler les autres résultats. CEA Nombres (dygrs). Les nombres (dpgrs), figurent dans le dernier tableau de 5), A 7 Fe . . 7 \ a la dégénération (bps). ne différant guère de la figure (aabeyd)p étudiée en 5e. 44 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE y).... Nombres (#ypgrs)s. Les nombres (y pgrs), se déduisent des nombres (pgr) de 7) à l'aide des formules générales (ra DENDE ED eee Pager PR (ec) (afro AE. pig + r= 10; (Xe 0310" de = (ad bal" ein + + +. - PET AS (arb sca Vis (GOVE Cy ye ee ptoatr= 8. Aisi dans les cas s=1 et s=2 les nombres (xpgrs) ont été trouvés. Et en vertu des relations ~ 3 5 ~ 3 SCE TNG ee F2 5 Ad ; DEO, ee nn dont nous nous sommes déja servis en 5y et en 5d, les cas GSI A=), (8: PE AE se ramènent aussi à des nombres (pgr). Parce qu’ évidemment les nombres (%pgrs) disparaissent dans les deux couples de suppo- sitions GS Oy PMR LS ro) il nous reste a étudier les cinq cas (= 7 9) he Nous avons done a chercher les nombres de coniques (GP OO!) ns ken RS EE pig =9; (a 02 06e Nay Oe Ca ee oe 0 (abc cu, (aber, .- ptg= Si les nombres des dégénérations £, # des systèmes simplement infinis CBU CS EN ER SR ae ve p+q=8, (ASOR) es (CALAIS su {6 DP + q = Fe (CAUSTAAITS (a3? b,%cc") 49, 15 Pr Q— j ont été trouvés, les relations récurrentes A QUATRE DIMENSIONS. 45 dek y EC, Sb= EAN HAC de 7)nous permettent de déduire les nombres (a,"6,%c7¢,), (aPb!ce) 14 des nombres connus (@,”6,!¢°¢,),,,. (@)"6,4c"c,)\;, les nombres (a,"6,%¢¢,) 44, (abc), des nombres (a/6,%e°c,),,, (a,"b,4ce) 4, ete. Seulement nous pouvons nous épargner la peine de compléter les tableaux des nombres & et # de 6) en appliquant directement les équations que nous venons de citer aux systèmes simplement infinis (% pg7s),, des dégénérations x. Car tous les nombres (&pgrs), et (ypgrs) sont connus. En effet, on a (Epgrs) Se Ld)» (4 pqrs) = ee bic) de manière que les nombres (£ygrs), figurent dans le dernier tableau de 5d et les nombres (ypgrs), dans le dernier tableau de Dy. Donc, au moyen des relations récurrentes que nous venons d'indiquer, on déduit successivement les nombres (4 44,14”), des nombres (y 424,70 do, + OA LNE is (rate) 4 + ORV) amet 3 (% a2b cd?) 15 et de même les nombres (x @,"6,'cd'),. des nombres (x @,"6,!cd"),5 ét 5, 5 Gabe = (ra rbicd?);: Nous donnons les nombres (%pgrs)j, en deux tableaux qui im- piètent l’un sur lautre; le premier contient tous les nombres (Xpgrs)s qu'on déduit immédiatement des nombres (pgr) de 7), l’autre permet de contrôler les relations de réeurrence qui y ont mené. Nombres (%247S);. (1,0,0,1)= 20/(8121)= 90|(6411)= 480|(5831)= 400 (10,1,0,1)= 40/(8081)= 50/(6821)= 360 (5241)= 160 /10,0,1,1)= 30/(7401)= 320 (6231)= 200)(5151)= 40 (9201)= 80/(7811)= 240/(6141)= 80/(5061)= — 5) (9111)— 60)(7221)= 180/(6051)— 20/(4701)=2400 (9021)= 45/(7131)= 100|(5601)=1280|(4611)=1760 | (301)= 160)(7041)= 40/(5511)— 960 | (4521) = 1280 GLI) 120)(6501)= 640|(5421)= 720|(4431)= 704 46 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE (4341)= 288| (0O831)= 590] (4422)— 704](0552)= 5 (4251)= 80| (0741)= 180| (4332)— 2881(6033)= 12 (4161)= 10} (0651)= 40| (4242)= 80|(5133)= QA (3801)=3960| (0561)=. 5]. (4152)—. 10|(4233)= 48 (8711) =2760)|(10,0,0,2)= 30| (8702)—2760|(3333)= 72 (3621)=1880| (9102)= 60] (3612)—1880/(2433)— 72 (3531)=1000| (9012)= 45] (3522)—1000/(1533)= 42 (3441)= 408] (8202)= 120] | (3432)— 408/(0633)= 24 (8351)— 120 |. (8112;— 9013349) — 120 (6045 (8261) = 20) (8022)— 50! (3259 20(4143= “6 (2901)=5540| (7302)= 240| (2802)—3560|(3243)— 12 (2811)=3560| (7212)= 180] (2712)—2180|(2343)= 12 (2721) =2180| (7122)= 100] (2622)—1080|(1443)= 6 (2631)=1080| (7032)= 40] (2532)= 420/(0543)— 3 (2541)= 420] (6402)— 480} (2442)— 120/(6024)= 4 (2451)= 120] (6312)= 360) (2352)— 20/(5124= 8 (2361)= 20| (6222)— 200) (1902)—3690/(4224)— 16 (1,10,0,1)=6460| (6132)= 80) (1812)=1910/(3324)= 24 (1911)=3690| (6042)= 20) (1722)= 820/(2424)= 24 (1821) =1910| (5502)— 960] (1632)— 280/(1524)= 14 (1731)= 820| (5412)= 720| (1542)— 70/(0624)= 8 - (1641)= 280] (5322)— 400] (1452)= 10/(5084)= 1 (1551)= 70) (5232)— 160/(0,10,0,2)=3390/(4134— 2 (1461)= 10) (5142)= 40) (0912)=1545|(8234)= 4 (0,11,0,1)=6620} (5052 5} (0822)= 590/(2334)— 4 (0,10,1,1)=3390| (4602)—1760| (0732)— 180|(1434)= 2 (0921)=1545) (4512)—1280| (0642)— 40|(0534)— 1 SRR (KP UTS) a, b, c £ ñ ned (8003) 18 | 5600 27 0 0 (7108) 30 | ees 54 0 0 (7013) | Di 54 | 23 0 35 (6203) 12 La eae eens 0 0 (6113) BAS it SOS 46 0 70 (6023) 23 AG 12 0 45 (5303) 144 288 216 0 0 (5218) 108 216 92 0 140 (5128) 46 92 24 0 90 (5033) 12 24 3 0 30 (44.03) 288 528 384. 48 0 (4313) 216 384 168 | 48 216 (4223) 92 ir GEN, 48 | 16 148 A QUATRE DIMENSIONS. 47 (KPIS) a, b € g (4133) 24 AS 0 (4043) 3 6 0 (3503) 528 816 552 24.0 (3413) 384 552 240 216 (3323) 168 240 1 96 (3233) AS 72 12 24 (3143) 6 12 0 0 (2603) 816 1012 604 620 (2513) 552 604 248 500 (2423) 240 248 he 357 (2333) 12 ie 12 i2 (2243) 12 12 0 ie (1703) 1012 974 468 1050 (1613) 604 AGS 166 740 (1523) 248 166 42 330 (1433) qe 42 6 102 (1343) 12 6 0 18 (0803) 974 828 341 1120 (0713) 468 841 107 595 (0623) 166 107 24 225 (0533) 42 24 3 60 (0443) 6 3 0 9 (7004) 4 8 6 0 (6104) 8 16 12 0 (6014) 6 12 A 0 (5204) 16 32 24 0 (5114) 12 24 8 0 (5024) A 8 i 0 (4304) 32 64 48 0 (4214) 24 48 16 0 (4124) 8 16 2 0 (4034) 1 2 0 0 (3404) 64 104 72 24 (3314) AS 7 24 24 (3224) 16 24 4 8 (3134) 2 4 0 0 (2504) 104 128 76 80 (2414) Ae 76 24 68 (2324) 24 24 4 24 (2234) Ay 4 0 4 (1604) IS NG 52 140 48 LES HYPERQUADRIQUES DANS LESPACE (YPITS)u a b, (a ë ál (1514) 76 52 14 0 100 (1424) 24 14 2 94 0 (1334) 4 2 0 6 0 (0704) 116 92 34 140 0 (0614) 52 34 8 70 0 (0524) | 14 8 I 20 0 (0434) 2 | 0 € 0 Les nombres (74,0, d*), des coniques en /; ont été trouvés par SCHUBERT. 9. Les nombres des quadriques (@,’0,!c,'d"),9. Pour un système simplement infini de quadriques en Z, on a les trois relations Cy == FACE 2d, + Dj, 2bj= L ar Co ae A, on les démontre de la manière suivante: Considérons d’abord dans un plan donné C un faisceau de rayons à sommet 4 et faisons correspondre l’un à l’autre deux rayons B,, B, de ce faisceau qui passent par les deux points d’intersection de C avec une même quadrique du système donné. Ainsi nous engendrons entre les rayons de ce faisceau une correspondance (cs, ¢,), chaque rayon de ce faisceau rencontrant c‚ quadriques du système donné; donc il y a Ze, coincidences. Sur la courbe de l’ordre €, qui est en C le lieu des points d'intersection avec les quadriques du système, nous trouvons trois groupes de points caractérisant une coincidence, les % points d’intersection de C avec les plans doubles des dégénérations x, les 4, points de contact avec les quadriques qui tou- chent le plan Cet les 2d, points d’intersection de C avec les qua- driques dont les espaces contiennent le sommet A du faisceau. Done 26, = y + 4, + 2d, Considérons ensuite dans un espace donné J un faisceau de plans dont une droite B de DP soit axe et faisons correspondre l’un à l’autre deux plans C, C, de ce faisceau qui touchent une même quadrique du système donné. Cela revient à dire qu'entre les plans sb. . A QUATRE DIMENSIONS. 49 1, C, il existe une correspondance (4,, 4). Sur la courbe gauche qui forme en PD le lieu des points d’intersection avec les quadri- ques du système, on retrouve les 24, coïncidences de cette corres- pondance dans les d intersections avec les droites doubles des dégé- nérations W, les a, points de contact de D avec des quadriques du système et les c, points d’intersection de B avec des quadriques du système. Donc 24, = + a + ca. Considérons enfin le faisceau d’espaces dont un plan donné C est le plan de base, et faisons correspondre Fun à l’autre deux espaces 2,, D, qui touchent une même quadrique du système donné. Alors les 2a, coincidences de cette correspondance (a, 4) dérivent des cônes @ du système et des 4, quadriques qui touchent le plan C. Donc 2a, = ® + 6,’). Les relations que nous venons de démontrer, nous donnent az = 3 ® + 2 À + x + 2d, 43, =29+44+2% +4, 40 = D+èd+S y + 6%, où nous conservons le facteur 2 dans la seconde équation pour faire ressortir à quel titre ces trois équations peuvent être regar- dées comme une extension naturelle des deux équations 34,=2E+ yt Ze, 3b, E +2 n + 4e, | du numéro 7). En les multipliant par @,"’,!c'd°", où pgr ts = 13, on voit qu'elles expriment les trois nombres (a? “Ute fd" 1), eee cya), (aber (d'en (aPbslcd*) et les quantités connues P «bte, dd", à abled", x abc". Done elles nous permettent de trouver tous les nombres @,"6,'c)'d,°, où p +g +r +8 = 13. Seulement, parce que les nombres db, y, de ces équati- ons sont exprimées en quadriques comme unité et que les valeurs trouvées pour (Dpgrs)y, (Lpgrs)u, (xPgrs)u se rapportent aux dégénérations 4.3 comme unités, il faut qu'on y fasse atten- —— Oh tion qu'on a D, = 2" da, dy = 2 Ww %q = 2 Ker 1) Tei la courbe gauche qui figure dans la déduction de la deuxième formule de réduction, est de l’ordre b,, tandis que dans la figure qui mène à la troisième formule de réduction, le lieu des points de contact des espaces D par C avec les quadriques du système est une courbe tordue de l'ordre «, + b,, chaque espace D par C en contenant a, points hors de C et b, points en C. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie) Dl. VIT. D 4 50 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE Pour Vévaluation du nombre de quadriques représenté par (4621) on trouve ainsi, en employant quatre fois de suite la seconde des trois formules, avec une notation transparente 2 (4621) =(6 + 2 + yx) (4521) + 2 (4522), 2 (4522) = (9 + 2P + y) (4422) + 2 (4423), 2 (4423) = (0 + 2 à + y) (4323) + 2 (4324), 2 (4324) = (9 + 2 d + y) (4224); car (4225 ed disparait 5. Cela donne immédiatement 2 (4621) — (D + 2 d + x)[(4521) + (4422) + (4323) + (4224)], ou 2 (4621) = 2424 + 16 + 4 + 0) + 2 (0 + 2% 27 + 2% 27 +97 10) +92 (12S0 + 704 + 168 + 16) = 10752. Ainsi l’on peut construire le tableau des nombres (pgrs)3. Pour épargner de l’espace nous avons divisé ce tableau en deux parties. La première partie, se rapportant aux cas s=0, s=1, s=2, ne donne que les résultats, la seconde partie s— 3, s = 4 permet den contrôler les relations mutuelles. Nombres des quadriques satisfaisant à treize conditions simples, 1(13,0,0,0)= 5l(9220)— 180(7330)— 1080(5800)= 1280 1(12,1,0,0)= -10(9130)=- 270(7240)=, 1620(5710)= ADEN (12,0,1,0)= 15(9040)— 405(7150)= 2220(5620)— 2880 (11,2,0,0)= 20(8500)— 160\(7060)= 2630(5530)= 4320 (11,1,1,0)= © 30(8410)= 240(6700)— 640/(5440)= 6480 1(11,0,2,0)= 45(8320)= 360(6610)= 960(5350)— 8880 (10,3,0,0)= 40(8230)= 540(6520)— 1440(5260)= 10520 (10,2,1,0)= 60/(8140)= 810(6430)= 2160(5170)=10580 (10,1,2,0)= 90(8050)— 1110(6340)= 3240(5080)— 9220 (10,0,3,0)= 135(7600)= 320(6250)= 4440/(4900)= 2496 (9400)= 80\(7510)= 480(6160)= 5260(4810)= 3712 (9310)= 120(7420)— 720(6070)— 5290\(4720)= 5504 *) On peut diminuer le travail en supprimant la dernière des quatre équations. Car les nombres (pqr4), où p+q+r—19, sont les nombres des quadriques satisfaisant dans l’espace ordinaire à neuf conditions simples. Seulement nous préférons de faire res- sortir que ces nombres qu'on pourrait déduire d'une étude antérieure (voir SCHUBERT »Kalkiil” pp. 104—105), s’obtiennent ici à l’aide des formules générales. A (4630)— 8128 (4540) = 11936 (4450) = 16096 (4360) = 18992 (4270) = 19304 (4180) = 16968 (4090) =13411 (3,10,0,0)= 4560 (3910)= 6624 (3820)— 9536 (3730) = 13568 (3640) = 19008 (3550) = 24640 (3460) = 28384 (3370) = 28656 (3280) = 25408 (3190) 20198 (3,0,10,0)=15015 (2,11,0,0)= 7560 (2,10,1,0) = 10560 (2920) = 14496 (2830) = 19456 (2740) = 25344 (2650) = 30720 (2560) — 33600 (2470) — 32736 (2380) = 28416 (2290) = 22324 (2,1,10,0) — 16470 2,0,11,0) = 11625 (1,12,0,0) = 11200 (1,11,1,0) = 14840 (1,10,2,0) — 19120 (1930) = 23744 (1840) = 28032 (1750) = 30720 (1660) 30720 (1570) = 27840 (1480) — 22944 (1390) = 17472 (1,2,10,0) = 12620 Mb 11,0) —=- 8770 (1,0,12,0)— 5915 (0,13,0,0)— 14960 (0,12,1,0)—18714 QUATRE DIMENSIONS, (0,11,2,0) = 22600 (0,10,3,0) — 26080 (0940) = 28416 (0850) = 28800 (0760) = 26880 (0670) = 2304.0 (0580) = 18240 (0490) = 13536 (0,3,10,0)— 9600 (0,2,11,0)= 6580 (0,1,12,0)= 4390 (0,0,13,0)= 2865 (12,050, = 10 (ITO 20 (11,0,1,1)= 30 (0 ORS 40 (LOS A) — 60 (10,0,2,1)= 90 (9301)= 80 @211)= 120 (9121)= . 180 (9031)=" 270 (8401)= 160 (8311)= 240 (8221)— 360 (SISI. 540 (8041)= 705 (7501)= * 320 CA i= GAs 0 isis 20 (Rabi L080 (7141)= 1410 (7051) = 1520 (6601)= 640 (Gol == +7960 (6421)= 1440 (638D— 2160 (6241)— 2820 (6151)= 3040 (6061)= 2660 GOD" 1280! (HOND > F920 (5521)= 2580 (5431)=— 4320 (5341)= 5640 | (1,0,11,1)= 1530 (5251)= 6080 (5161;— 5320) (5071)= 3930 (4801)— 2464 (4711)— 8648 (4621)— 5376 (4531)— 7872 (4441)— 10128 (4351)— 10944 (4261)= 9808 (4171)= 7316 (4081)= 4927 (3901)— 4344. | (3811)— 6224 (3721)= 8800 (3631) = 12224 (3541) =15136 (3451) = 16064 (3361) = 14464 (3271) = 11080 (3181)= 7494 (3091)— 4916 (2100 6780 (2911)— 9216 (2821) = 12208 (2731) = 15616 (2641) = 18048 (2551) = 18240 (2461) = 15936 (2371) = 12048 (2281)— 8116 (2191)= 5308 (2,0,10,1)= 3390 (1,11,0,1)= 9240 MOD 11700 (1921)=14184 (1831) =16160 (1741)=16704 (1651) =15360 (1561) = 12480 (1471)= 9024 (1381)= 6000 (1291)= 3884 (1,1,10,1)= 2460 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE (0,12,0,1)=11240 | (6282)=- 940 (2542) = 5856 (OL, 1,4) 3240 (6142) =. 4, 990 (2452) = 4896 (0;10;2,1)=14780 | (6052) —=: 820 (2362) = 3440 (0931) =15376 | (5602)= 640 (2272) = 2092 (OSAI) 14592 4 (6512) 27-960 (2182)= : 1250 (0751) =12480 | (5422)= 1440 (2092)= 736 (0661) =):9600 11(5332) == 1880 | (1,10;0,.2)= 78850 (0571)= 6720 4 (6242)=: 1980 (1912)= 4644 (0481)= 4416 | (5152)— 1640 (1822)= 5248 (0391)= 2832 | (5062)— 1110 (17382)= 5344 (02 10,1 1780. Hey 02) = S216 (1642)= 4768 (OL, 12,1) = 42100: 114612) = 21792 (1552)= 8680 (0,0,12,1)= 670 | (4522)— 2624 (1462)= 2464 |1(11:0,0,27 = 10 | (4432)— 3376 (1372)= 1488 (1002 20 | (4342) = 3576 (1282) = 884 (TOUTE 30 | (4252)— 3056 ALOE DE (9202) — 40 | (4162)= 2092 | (1,0,10,2)= +300 (4112) = 60 | (4072)= 1269 | (0,11,0,2)= 4310 (9022) = 90 1:(8802)—=1:2072 | (0,10,1,2)\= 477 (8302) = 80 | (8712)=1 2928 (0922) = 4896 (S212)= 120 | (8622)= 4064 (08382)= 4544 (8122)= +) 180 1: (35382) =) 9024 (0742)= 3744 (8082)— 235 | (3442)— 52382 (0652)= 2720 (7402)= 160.) (3352)= 4512 (0562)= 1760 (7312)= 240 | (8262)— 3208 (0472)= 1056 (1222) = 360 403172) =" 1054 (0382)= 624 (HSE ATO: BOSS) ce G9 (0292)— 364 (7042)= © 495 | (2902)— 3056 | (0,1;10,2)= 7200 (6502)= 320 | (2812)— 4040 | (0,0,11,2)= 120 (64:12) =" 480 (2722) EN S152 (6322) =) 120 |) 42632) =" 5920 (pqrs) 1 is Gh d P uy x (9008) 5 10 15 ] 0 0 18 (8103) 10 20 30 2 0 0 36 (S013) 15 30 45 5 0 0 54 (1203) 20 40 60 4 0 0 Tia (7113) 30 60 90 6 () 0 108 (7023) | 45 90 | 100 9 0 35 92 (6303) 40 80 120 8 0 0 144 (6213) 60 120 180 12 0 0 216 A QUATRE DIMENSIONS. Wgrs) ay b Cz d ? Ÿ X (6123) 90 180 200 18 0 10 184 (6033) 100 200 165 ied 0 135 96 (54.03) 80 160 240 16 0 0 288 (5313) 120 240 360 24 0 0 432 (5223) 180 360 LOO 36 0 140 368 (5133) 200 400 330 34 0 270 192 (5043) 165 330 210 21 0 285 45 (4503) 160 304 448 32 16 0 528 (44.13) 240 AAS 656 48 32 0 768 (4323) 360 656 736 12 64 216 672 (4233) 400 736 628 GS 64 AAA 384 (4143) 330 628 404 12 32 522 96 (4053) 210 404 223 16 16 oH) 0 (3603) 304 D? 120 56 96 0 816 (3513) 448 120 992 SO 176 0 | 1104 (3423) 656 992° OSS 112 320 240 960 (3333) 136 | 1088 936 104 384 DOA 516 (3243) 628 936 632 6S 320 612 192 (3153) AOA 632 350 34 176 510 0 (3063) 223 350 192 Li 96 285 0 (2703) DL? 732 952 SO 292 Of OS (2613) 120 952 | 1184 104 488 0 | 1208 (2523) 992.) 1184 | 1216 128 SOO 160 992 (2433) | 1088 | 1216 | 1008 tS POGOe 8860 5 e576 (2343) 936 | 1008 672 12 864 408 192 2253) 632 672 312 36 592 340 0 (2163) 350 312 204 18 328 190 0 (2073) 192 204 [etal 9 180 105 0 (1803) 132 874 | 1016 92 590 0 974 (1713) 952 TOG TOS 104 888 0 936 (1623) | 1184 | 1080 976 104 | 1288 0 664 Mb) | 1216 976 736 80 | 1456 0 336 (1443) | 1008 736 AGA 48 | 1280 0 96 (1353) 672 LG4 256 24 880 0 0 (1263) 372 256 140 2 488 0 0 (el 7 3) 204 140 76 6 268 0 0) (1083) all 76 41 3 146 0 0 (0903) 874 920 966 92 828 0 828 (0813) | 1016 966 916 92 | 1066 0 682 (0723) | 1080 916 152 80 | 1244 0 428 (0533) 976 152 528 56: } 1200 0 192 54 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE (pars) a, b, Cy d ® LU x (0543) 736 528 320 32 944 0 48 (0453) | 464 | 320 | 176 16 |. 608 0 0 (0363) 256 176 96 8 336 0 0 (0273) 140 96 52 4 184 0 0 (0183) 76 52 28 2 100 0 0 (0093) Ad 28 15 I DA () () 10, Les nombres des dégénérations z, A,,v d’un système simplement infini d’hyperquadriques. Dans son espace Z, Phyperquadrique est une figure à quatorze dimensions 1). On obtient donc un système simplement infini d’hy- perquadriques en imposant à cette figure un ensemble de conditions équivalant à treize conditions simples. Chez les hyperquadriques il faut distinguer quatre conditions simples «>, Da, Co, dy. Par a, 63, cg nous indiquons respectivement qu'un espace donné JD, un plan donné C, une droite donnée B touchent Vhyperquadrique, ce qui implique que lhyperquadrique est coupée par l’espace D suivant un cône, par le plan C suivant deux droites (réelles ou imaginaires), par la droite 2 en deux points coïncidés; tandis que 4, exprime qu’un point donné A fasse partie de Vhyperquadrique. Ainsi nous nous occuperons des systèmes d’hy- perquadriques représentés par le symbole (,”/,?c,"d,”)‚, ou, en forme plus condensée, par (pgr). Un système simplement infini d'hyperquadriques admet un nombre fini de chacune des dégénérations x, A, 4, caractérisées respective- ment par la possession d’un point, d’une droite, d’un plan, d’un *) On démontre qu’une hyperquadrique est déterminée par 14 points en faisant voir qu'il y a une hyperquadrique (et une seule) qui passe par un point quelconque et par deux quadriques situées en deux espaces différents et coupant le plan d’intersection de ces espaces suivant la même conique. Comme le démontre le nombre des coefficients de l’équation correspondante les nombres 5, 9, 14, ete... de points qui déterminent une conique, une quadrique, une hyperqua- drique, etc, représentent en même temps les nombres de dimensions d’une conique, d’une cubique plane, d’une quartique plane, etc. En désignant la série de ces nombres par Uz, Us U,, ete. on a, en général, comme le prouve la déduction géométrique indiquée plus haut, la relation récurrente u 41 = 2u, — Uri + 1. JL Le A QUATRE DIMENSIONS. ed espace doubles. La dégénération x est un hypercône quadrique ; cet hypercône est déterminé, si lon connaît le sommet et neuf points, ce qui fait voir qu'il admet 4 + 9 — 13 dimensions. La dégénération A se compose des droites qui s'appuient sur une droite et une conique données, la droite croisant le plan de la conique. Elle a pour espaces tangents les espaces qui contiennent un de deux points déterminés de la droite donnée qui en forme la droite double; de manière qu'elle est déterminée, si lon connaît la droite double, cinq points et les deux points singuliers sur la droite double, ce qui démontre qu’elle est une figure de 6 + 5 + 2 — 13 dimensions. La dégénération j est en MW, la figure corrélative de A; ses points sont distribués en deux espaces qui se coupent suivant un plan portant une conique touchée par tous ses espaces tangents. Et la dégénération y est de la même manière la figure corrélative de x et done une quadrique dont l’espace support forme l’espace double de la dégénération. A cause de la corrélation les nombres (zpgrs); et (Apgrs),, sont respectivement égaux à (sp et (wsrgp). Cette remarque facilite la détermination des nombres des dégénérations. æ).... Les nombres x et v. Les nombres (vpyrs),, ont été donnés dans le tableau précédent. É) "Nés nombres et u Les nombres (upgrs); ne different de zéro que pour 1 oS re to i os => =) OT Or Ot Ot St Sd wwe LOUW À NE NI I DO CC D D LI D WO D D © D D WS OD WO D UO D WO © D WO © www UO co COWS SEE o Eee, to Aen (CUISMIG Ne BSOD Res (1723) = (1714) = ODE (1642) = 57 60 (1683) 115 108 | (1624)= 1505 140) (1615)= 1920 AO 006920 140; (1552)= 70 140| (1543)= 210 5540 (1534)— 378 8560! (1525)= 490 — 10680, (1516)= 490 2180) (1507)= 490 6540) (1462)= 10 =10908| (1453)= 30 1080} (1444)= 54 BO SAAB MNT (0) 5656 (AD 70 6680 | (1417)= 70 ADO (AOS 0 1260 (0,11,0,2)— 6620 2252 (0,10, 162) 3390 2860 (0,10,0,3)= 10170 2860) (0922)= 1545 120! (0913)= 485 360! (0904)= 7947 648) (0832)— 590 840} (0823) 1770 840} (0S14)= 2634 840 | (0805)— 3770 | BOW... 0742) 180 GON (OTS) 540 108 | (0724)= 1218 140} (0715)— 1240 140} (0706)= 1240 140) (0652)= 40 140} (0643)= 120 6460} (0634)= 216 3690 | (0625)= 280 = 11070) (0616)= 280 1910! (0607)= 280 5230] (0562)= 5 9626 | (0553)= 5 8203) (OBAAN ee "7 OON (053 5 35 43324) 5(0526)—= 35 5260, (OSL) „35 280) (©508)= 85 58 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE 11. Les nombres des hyperquadriques (a,’4,'c,'d,°),,. Pour un système simplement infini d’hyperquadriques en Z, on a les quatre relations 29 TC: 20; = pe + 0, + d,, 26, =A +a +06, SURD + de. Parce qu'en Z, Vhyperquadrique est sa propre figure corrélative, il faut que cet ensemble de relations se comporte de la même manière. En effet la premiere et la seconde de ces équations ont respective- ment pour corrélative la quatrième et la troisième. Il s'en suit que l’ensemble de ces quatre relations est démontré, aussitôt qu'on ait prouvé le premier couple de ces équations. Sur une droite quelconque donnée B nous faisons correspondre Pun à l’autre deux points d’intersection avec une même hyper- quadrique du système. Évidemment les 2d, points de coïncidence de Ja correspondance (d,, d,), engendrée de cette manière, se retrou- vent dans les y intersections de £ avec les dégénérations y à espace double, et dans les ¢, points de contact de B avec des hyperqua- driques du système. Done 2d=y +3. Le point 4 et le plan C par 4 étant le sommet et le support d’un faisceau donné de rayons, faisons correspondre l’un à l’autre deux rayons de ce faisceau qui touchent une même hyperquadrique du système. Ainsi nous faisons naître entre les rayons du faisceau une correspondance (c, €) dont on retrouve facilement les 2 €, rayons de coincidence à l’aide de la courbe de l’ordre €, + d, qui forme en C le lieu des points de contact des hyperquadriques du système avec les rayons du faisceau. Sur cette courbe il y a trois grou- pes de points caractérisant une coïncidence: les points d’inter- section de C avec les plans doubles des dégénérations y, les 4, points de contact de C avec des hyperquadriques du système et le point 4 compté d, fois. Done 2 c = y + 4, + da. Les relations que nous venons de démontrer, nous donnent DM =4%4+8A4t+2 e+ y, 56,=82%+6A+4u4+2y, 5 —=8x+4+6u+S8 y, Dd—= *+2A4+8 M4 4y. En les multipliant par a 20,'c,'d°, où p + 9 +7 +5 = 13, on voit qu'elles” “expriment (azo bte NAE) vr (ab, nc PAB tee a (aÿ bc)" d5 T7) dans les quantités connues x, À, 4, v. Chacune de ces A QUATRE DIMENSIONS. 59 quatre équations nous permet donc de trouver tous les nombres (pgrs),, de manière qu'on peut évaluer comme vérification chacun de ces nombres de quatre manières différentes }). Le tableau des nombres „(pgrs)u représentant le but final de nos recherches, nous le donnons dans une forme qui permet de controler les relations de dépendance. Pour la dernière fois nous rappelons ici que les nombres x, A, 4, qui y entrent, se déduisent des valeurs trouvées en les multipliant respectivement par 2”, 27, 2’, 2°. A cause de la corrélation chaque ligne de ce tableau donne deux groupes différents de résultats, à mesure qu’on se sert de l’en-tête supérieur ou inférieur. Ainsi la première ligne fait trouver 0140/0100, (DO AD 1, (USE: 02,10 NE (O01. 19) 2, SOA), (ORTON Ce O10: Wa FONG, 19) 224 Nombres des hyperquadriques satisfaisant a quatorze conditions simples. | | (pqrs) | A, b, Cy d, | % | A [a y | | | | | M0 00): L | 2 3| 4 0" |! Ger NO 5(0,0,0,13) EDO ‘2 4 CIRE D Wel ON MNT O OO EN 2) Mo 01,0) 3 | 6 orda oee ot 1510,1,0,12) 00/01) 4) 8 He ROW OPTIO SS Oe “QOL C012) (12,00) 4 | 8 | 12) 16 0 | o | o| 20(00210 0)" 6 | 12 18} 24) 0 Oise 30(0,1,1,11) feed) "8 "16 | 24) 39 0 | 0 0 | 40K(1,0,1,11) MEO) 9. | 18 oT! 307 O | 0 0 | 45)(0,2,0,11) MND 12) 920) 36) AB oF oF 0 | 60,10) (17,0,0,2)) 16 | 32 | 48] 44) 0 | 0 | 20 | 40(2,0,0,11) oe) 8 | Te | 24) 39 0 | 0 | 0 | 40(0:0,310) (10;2,1,0)) 12 | 24 | 86 48] 0°] 0 0 | 60/(0,1,2,10) (020,1) 16 | 32 | 48) 64) 0 | 0 | 0 | 80(1,0,2,10) BOMS O) 19, | 36 AT NON ONE POE SOE 10) HUB) 24.) 48 Honen OF OTP ONE 0 GERT) M0 2) 32 64 | 96! ssi 0 | 0 40 | 80(Q,0,1,10) (10,0,3,0) 27 | 54 | 81) 108) o | o | o | 135(0.3,0,10) mere) 36) 72° | 108! 144! 0 0 0 | 180(1,2,0,10) (10,0,1,2) 48 | 96 | 144 132) 0 | 0 | 60 | 120\2,1,0,10) | ind, Cp Ba.) Gy y je Al IEI | (prs) 1 El ' ' . ) Comme nous l'avons remarqué au début de ce travail ces nombres figurent chez SCHUBERT (Math. Ann., t. 45). 60 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE (pgrs) Ay bs ire; d, % A le y 0| 90) 40(3,0,0,10) Oele, 0%, 80! 210049) Ol 01.120 0 0} 0] 160) (1039) 0} Of 180} (0229) O1 0. 240; (HOE) 0] 80) 160} (2029) 0! 0) 970) = Gem Ol’ | 0 |. 360) AA) 0; 120} 240} (2119) 0/180] 80) (3019) 0| 0| 405} (0409) 0| 0} 540). (1309) 0/180} 360) (2209) 0|270|-120) (3109) 01207) 16} (4009) 0} 0] 160) (0058) O| 0} 240; (ONES) 0| 0| 820) (OMS (0238) O1 <0} 480). "Gitar. 0| 160) 320) (2038) 0). 0} 540) (08881 On 91720 Gas 01240 | 480} (2128) 01360! 160/ (3028) 0}. 0} .810). (0418) Ol 0:/1080).) ieee 0| 360] 720] (2218) 0|540} 240) (3118) 0|414| 32) (4018) 35| 0/1110) (0508) 70| 011410) (1408) 140 | 400 | 940} (2308) 140 | 600 | 360) (8208) 70|516| 48] (4108) 35 | 290 0) (5008) 0} 0} 820) (0067) Oe OF ASO WOUD (10,0,0,3) 44 | 88 |-132 . 86 (9400) Go), SIaraTtAel 08 (9310) 24+, AS 1 72]. 96 (9801) 32 | (0290) 864.) 72.) LOS LAA (9211) 48-| 96 | 144] 192 (9202) 64 | 128 | 192) 176 (9130) 54 | 108 | 162) 216 (9121) 72 | 144 | 216) 288 (9112) 96 | 192 | 288| 264 (9103) 88 | 176 | 264) 172 (9040) SL | 162 | 243| 324 (9031) 108 | 216 | 324) 432 (9022) 144 | 288 | 432) 396 (9013) 132 | 264 | 396) 258 (9004) 86 | 172 | 258] 137 (8500): 32 | 64 | 96 128 (8410) AS. 96 | 144192 (8401). 64 | 128 | 192] 256 (S820), 72 |.144 214) 988 ($311)--96 1192 | 288, 384 (S302)| 128 | 256 | 384) 352 (8230) 108 | 216 | 324) 432 (8221) 144 | 288 | 432] 576 (8212) 192 | 384 | 576] 528 (S203)| 176 | 352 | 528] 344 (8140) 162 | 324 | 486] 648 (8131)| 216 | 432 | 648] S64 (8122) 288 | 576 | 864] 792 (8113) 264 | 528 | 792] 516 (8104), 172 | 344 | 516) 274 (S050) 243 | 486 | 694) 902 (8041) 324 | 648 | 90211156 (8032) 432 | 864 [1156/1048 (8023) 396 | 792 |1048} 704 (8014) 258 | 516 | 704) 376 (8005) 137 | 274 | 376; 188 (7600) 64 | 128 | 192] 256 (7510) 96 | 192 | 288] 384 © S Co er) SS (pgrs) S > = 8 J ES be x A QUATRE DIMENSIONS. 61 (pqrs) Ay b, € d, XL À [a y (7501)| 128) 256) 384) 512 0 Ol = OF GAO A057) (7420)| 144) 288) 432) 576) 0 Of : 0) 720) > (0247) @411)| 192) 3884) 576) 768| 0 OÙ O60) GAT) Gao) 256) 5121, 768] 7041 0 0| 320} 640} (2047) (7330)| 216)” 432) 648) 864) 0 0! 0/1080} (0337) (1321) | 288! 576) 8641152| 0 Of 0/1440) (1287) (1312) | 384) 768115211056) 0 0| 480} 960} (2187) (7303)| 352} 7041056) 688| 0 Of 720) 320) (3087) (7240)| 324| 648] 9721296! 0 0| 011620) (0427) (1231)| 432) 864/1296|1728| 0 Ge 0460 061827) (1222) 576) 115217281584) 0 0! 72011440) (2227) (7213)| 528) 105615841032] 0 011080) 480) (3127) (7204)| 344) 6881032) 548) 0 0! 828) 64) (4027) (7150)| 486) 972/1388/1804| 0 | 70] 0/222 (0517) (7141)| 648) 1296]1804/2312| O | 140) 0/2820) (1417) (7132)| 864) 172823122096) 0 | 280] 8001880, (2317) (7123)| 792) 1584/2096)1408} 0 | 280/1200| 720) (8217) (7114)| 516) 1032/1408) 752) O | 1401032 96) (4117) Cis) 274) 2 548) 752) 376! - 0 | 70) 580) Of (5017) (7060) | 694) 1388/1802/2216) 0 | 280} 0/2630) (0607) (7051); 902) 180422162628) 0 | 490) 0/3040) (1507) (7042) | 1156) 231226282304 O | 840} 6401980) (2407) (7033) | 1048) 2096/2304/1552) 0 | 840] 960! 800} (3307) (7024)| 704| 1408/1552| 848} 0 | 560} 848] 144) (4207) (015)! 376) 752) 848) 424) 0!| 280} 520) 0) (5107) (7006)| 188] 376) 424) 212) O | 140) 260| O0] (6007) (6700)| 128) 256} 384| 512) 0 0! 0! 640} (0076) (6610)| 192) 384) 576} 768) 0 0! 0! 960! (0166) (6601)| 256) 512| 7681024 0 0| 0/1280; (1066) (6520)| 288) 576] 8641152} 0 0! 0/1440) (0256) (6511) | 384) 716811521536) 0 0| 011920) (1156) (6502)| 512) 102415361408) 0 0! 6401280} (2056) (6430)| 432! 864112961728) 0 | 0} 0/2160) (0346) (6421). 576) 115217282304 0 0| 02880! (1246) (6412)| 768} 153623042112) 0 0} 9601920) (2146) (6403) 704) 140S21121376) 0 0/1440} 640} (3046) (6340)| 648) 1296119442592| 0 0| 0/8240) (0436) (6331)| 864] 1728|2592/3456| 0 0] 014320) (1336) (6322) | 1152) 2304/3456/3168] 0 | : 0/1440/2880| (2236) d, a b, | ziee 72 À x (pqrs) 62 LES HYPERQUADRIQUES DANS L’ESPACE (pgrs) dy b, Co d, x À L y OD mp) =~ SI 2160) 960) (3136) 0/1656] 128) (4036) 0| 44.4.0] (0526) 2801 0} 5640] (1426) (6813)| 1056, 2112381682064 (6304) | 688] 1376/2064/1096 (6250) | 972) 1944277618608 (6241)! 1296) 2592136084624 NSD) — [is CZ (6232) | 1728] 345646244192 0 | 5601600! 3760] (2326) (6223) | 1584] 3168/4192/2816] 0 | 5602440) 1440] (3226) (6214) | 1032] 206428161504) 0 | 280/2064| 192] (4126) (6205)| 548] 1096/1504) 752] 0 | 140/1160 0} (5026) (6160)| 1388] 2776/3604/4432| 0 | 560) 0) 5260] (0616) (6151)| 1804] 3608/4432/5256} 0 | 980! 0] 6080) (1516) (6142) | 2312} 4624525614608 1680/1280! 3960] (2416) (6133) | 2096! 4192/4608/3104] 0 |1680/1920] 1600] (3316) (6124)| 1408} 281631041696} 0 [1120/1696| 288] (4216) (6115)| 752] 1504/1696] 848] 0 | 560/1040 0| (5116) (6106)| 376] 752) 848} 424] 0 | 280} 520 0) (6016) (6070) | 1802} 360441664728] 0 | 240] 0] 5290) (0706) (6061)| 2216) 4432/4728/5024) 0 [1920| 0! 5320) (1606) (6052) | 2628} 5256/5024/4152] 0 [2860] 640) 3280] (2506) (6043) | 2304) 4608415212736) 0 2760] 960! 1320] (3406) (6034) | 1552} 3104/2736/1504) 0 |1920) 864} 272] (4306) (6025)| 848] 1696/1504! 752) 0 {1040} 560 0] (5206) (5800)| 256} 512 7681024] 0 0! 0! 1280) (0085) iS (5710)| 384] 768/1152/1536] 0 0! 0} 1920) (0175) (5701)| 512] 1024/1536/2048] 0 0] 0} 2560] (1075) (5620)| 576} 1152/1728/2304| 0 0} 0! 2880] (0265) (5611) | 768] 1536/2304/3072| 0 0! 0] 3840] (1165) (5602)| 1024! 204830722816] 0 01280! 2560) (2065) (5530)| 864! 1728/2592/3456) 0 OÙ 0} 4320] (0355) (5521)| 1152] 2304/3456/4608| 0 OÙ 0] 5760] (1255) (5512)| 1536] 3072/4608/4224] 0 0/1920] 3840] (2155) (5503) | 1408] 281642242752) 0 0.2880] 1280] (3055) (5440)! 1296] 2592/3888/5184] 0 OÙ 0] 6480] (0445) (5431) | 1728] 3456/5184/6912] 0 OÙ 0] 8640] (1345) (5422) | 2304] 4608/6912/6336] 0 02880! 5760} (2245) (5413)| 2112} 4224/6336/4128] 0 0/4320] 1920] (3145) (5404) | 1376] 275241282192) 0 0/3312] 256] (4045) (5350)| 19441 3888/5552/7216] 0 | 280] 0] 8880) (0535) (5341) | 2592] 518472169248] 0 | 560] 0/11280) (1435) (5332) | 3456] 6912/9248/8384] 0 |1120/3200) 7520) (2335) d, es Wil Bs Ay y Je À x (pgrs) A QUATRE DIMENSIONS. 65 (pgrs) | a b, COR Bale cae Abe Le y (5323)13168) 6336) 8384) 5632| 0111204800) 2880) (3235) (5314) |2064| 4128] 5632| 3008 0) 5604128) 384! (4135) (5305) 1096) 2192) 3008] 1504) 0] 280/2320 0! (5035) (8260) |2776| 5552) 7208) 8864) 0/1120} : 0110520! (0625) (5251) 3608] 7216) 8864/10512| 0/1960; 0/12160) (1525) (5242) |4624| 9248/10512| 9216] —0/3360/2560} 7920] (2 ee (5233) 4192) 8384) 9216) 6208] 013360/3840| 3200] (3325 (5224) 2816! 5632) 6208] 3392) 0/2240/3392 he (5215) 11504! 3008} 3392) 1696) 0111202080 0| (5125) (5170) |8604| 7208] 8332] 9456) 0/2480} 0/10580} (0715) (5161) 4432| 8864] 9456110048] 0/8840) 0/10640) (1615) (5152)15256110512110048| 8304) 0/5720/1280| 6560] (2515) (5143) |4608} 9216] 8804) 5472) 0/5520/1920| 2640} (3415) (5184) |3104) 6208] 5472) 3008) 0/38840/1728| 544] (4315) (5080) 4166| 8332) 8628) 8924) 0/3770] 0} 9220) (0805) (5071) 4728| 9456) 8924) S392 0/5260) 0} 7860) (1705) (5062) |5024|10048) 8392) 6416) 0/6680} 320} 4440) (2605) (5053) 4152) 8304) 6416] 4048} 0/6040} 480] 1680) (3505) (5044) |2736] 5472} 4048] 2192 0/4160) 432) 336) (4405) (4900)| 512) 1008} 1504 2000! 16) 0! 0} 2496] (0094) (4810)| 768) 1504) 2240) 2976) 32 0} Of 3712) (0184) (4801) |1024| 2000! 2976) 3952) 48; 0} 0) 4928/(1084) (4720) {1152} 2240) 3328] 4416) 64! 0} 0} 5504} (0274) (4711) |1536] 2976) 4416) 5856) 96) 0} 0} 7296/(1174) (4702) |2048| 3952) 5856] 5360} 144) 0/2400] 4864] (2074) (4630) |1728] 3328) 4928] 6528] 128) 0] 0) 8128] (0364) (4621) |2304| 4416] 6528] 8640! 192 0} 0/10752) (1264) (4612) 3072| 5856) 8640] 7904 288| 0/3520) 7168) (2164) (4603) |2816| 5360) 7904! 5168) 272 0/5280) 2432) (3064) (4540) 12592] 4928] 7264) 9600! 256) 0] 0/11936) (0454) (4531) 8456] 6528) 9600/12672/ 384; 0) 0115744] (1354) (4522) |4608} 8640112672111584) 576} 0/5120/10496) (2254) (4513) |4224) 7904111584) 7584) 544) 0/7680) 3584) (3154) (4504) |2752| 5168) 7584! 4048] 336) 0/5952) 512) (4054) (4450) |3888) 7264)10208/13152| 512) 432 0116096! (0544) (4441) |5184| 9600/13152/16704) 768) 864 0|20256| (1444) (4432) 169121126721167041510411152117285632113504 (2344) (4423) 63361115841151041017611088/1728/8448| 5248] (3244) (4414) 14128| 7584110176) 5472) 672) 8647296) 768) (4144) d, 65 b, 4 y 72 À x (pqrs) 64 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE (pqrs) Ay ba 63 d, % A fea y (4360) 5552/10208/13136/16064) 896) 1728 0118992! (0634) (4351) 721611315211606418976/1280| 3024 0[21888| (1534) (4842), 9248/16704/18976166401792) 5184) 4608/14304! (2434) (4333) 8384/15104116640 1126411664) 5184) 6912) 5888] (3334) (4324) 5632/10176/11264| 62081088) 3456} 6144) 1152) (4234) (4270) 7208/138136)15192/17248)1280| 4872 0119304) (0724) (4261) 8864/1606417248 18432 1664) 6020 019616! (1624) (4252) 10512/18976 18432 15328|2048] 9008! 2560)12224) (2524) (4243) 9216/16640/15328/10176/1792[ 8736) 3840] 5024] (3424) (4180) 8332/15192/15784/16376|1472) 5268 016968) (0814) (4171) 9456/17248/1637615504/1664| 8664 014632) (1714) (4162) 10048/1$432/1550411936/1664/11312) 640) 8368] (2614) (4153) 83041532811936 7584/1280/10416| 960! 3232) (3514) (4090) 8628/15784/14993 14202/1472) 7947 013411] (0904) (4081) 8924/16376)14202 120281472] 9626 0 9854) (1804) (4072) 8392/15504.12028] 8552) 960 10908 0 5076. (2704) ie ) 6416111936! 8552) 5168) 896) 8904 Ol 1784) (3604) (3,10,0,0) 1008] 1896] 2784) 3672] 120 0 0! 4560(0,0,10,3) (3910) 1504) 2784) 4064! 5344) 224 0 0! 6624! (0193) (3901) 2000! 3672) 5344] 7016! 328 0 0 8688} (1093) (3820) 2240) 4064! 5888] 7712} 416 0 0! 9536] (0283) (3811) 2976] 5844) 7712110080} 608 0 012448} (1183) (3802) 3952] 7016/10080/ 9184! 88s 0! 3960! 8288] (2083) (3730) 3328| 5888| 8448/11008] 768 0 0.13568) (0373) (3721) 4416] 7712/11008/14304]1120 0 017600! (1273) (3712) 5856/1008014304|13008/1632 0! 552011712) (2173) (3703) 5360} 9184113008! 8552/1536 0! $280) 4096] (3073) (3640) 4928] SAASI11968/154SS/1408 0 019008} (0463) (3631) 6528'11008/15488/19968 2048 0 0/24448] (1363) (3622) 8640 14304/19968]/18112|2976 0! 752016256} (2268) (3613)| 790413008 18112/11936 2800 0! 8280) 5760} (3163) (3550) 72641196816192204162560| 480 0.24640) (0553) (3541) 96001548820416253443712| 960 0 30272] (1453) (3532)1267219968 2534422720 5376) 1920] S000 20096! (2353) (3523)11584118112 22720 5056! 192012000] 7936] (3253) (3.460) 10208/16192.20256: 4224) 1920 0128384) (0643) ~ ~~ re wwe TO & or OC O9 to © So OO (3451))13152 20416/24320 282445888) 3360) 082128| (1543) (8442) 16704 25344'28224)24576/8064) 5760) 6528/20928| (2443) (3433)15104227202457616640/7488) 5760) 9792) 8704) (3343) d, CS b, y je À x (pgrs) S A QUATRE DIMENSIONS. 65 (pgrs) ae b, Co d, x A jz y 2305625856 6016 (3370) 13136120256 4320 0128656) (0733) (3361)16064/2432025856/27392) 7808 5720 028928) (1633) (3352) 18976|28224 27392/22720) 972810080) 384018048) (2533) (3280) 15192/23056 23840/24624) 7328) 7080} 025408) (0S23) (3271) 1724825856 24624/23392) 8640 840 022160 (1723) (3262) 18432/27392 23392/18112) 9472112960, 128012832] (2623) (3190) 15784/2384.0 22626121412! 7728 970 020198 (0913) (3181) 16376),24624.21412/18200 812810460 014988} (1813) (3172)1550423392 1820013008, 761613080 0] 7816} (2713) *(3,0,10,0) 14.993/22626 20089117552) 736010170 0/15015(0,10,0,3) (3091) 14202/21412 17552/13692 699211070 0 9832) (1903) (3082) 1202818200 13692) 9184 5856 10680 0| 4676) (2803) (2,11,0,0) 1896] 3312) 4728] 6144] 480 0 018480 (0,0,11,2) (2,10,1,0) 2784) 4728) 6672] 8616) 840 0 010560 (0,1,10,2) (2,10,0,1) 3672| 6144) 8616/11088| 1200 0 013560 (1,0,10,2 (2920) 4064) 6672) 9280111888) 1456 0 014496 (0292) (2911) 5344) 8616/11888/15160 2072 0 0118432 (1192) (2902) 7016/1108815160)13692, 2944. 0! 554012224 (2092) (2830) 5888 928012672/16064 2496 0 019456. (0382) (2821) 7712111888 .16064/20240! 3536) 0 024416 (1282) (2812) 10080 15160 20240/18200 5000 0) 7120116160 (2182) (2740) 8448/1267216896/21120 4224 0 025344| (0472) (2731) 11008 16064)21120/26176) 5952 0 0131232 (1372) (2722) 1430420240 26176123392 8368 0) 8720120608) (2272) (2650) 11968 16896 21504)26112 7040 320 0130720 (0562) (2641) 15488 21120 26112131104) 9856 640 0136096) (1462) | (2632) 19968 26176 31104)27392)13760 1280! 864023680. (2362) (2560) 1619221504. 25536/29568 10880 1280 033600) (0652) (2551)204162611229568/3302414720| 2240 0136480! (1552) (2542)2534413110413302412822419584| 3840] 6720123424 (2452) (2470)2025625536279363033614976| 2880 0132736, (0742) (2461)/24320/29568/30336/31104/19072/ 4480 0131872) (1642) (2380)23056279362809628256 18176) 4720 028416] (0832) (2371)2585630336282562617621376| 6560 0124096! (1732) (2290)23840/2809626172/24248195S4| 6180 022324] (0922) (2281)24624/2825624248/20240,20992| 7640 0116232) (1822) (2,1,10,0)2262626172/22938 1970419080! 6780 0116470 (0,10,1,2) (2191)21412/242481970415160/18576) 7380 010616) (1912) (2,0,11,0) 20089/22938 1916715396 17240 6620 011625 (0,11,0,2) | d, | red ne: d y Je A 2 | (pqrs) 66 LES HYPERQUADRIQUES DANS L'ESPACE A QUATRE DIMENSIONS. (pqrs) Ay b, | Gh d, x A 4 y (2,0,10,1)1755219704153961108815400! 6460 0| 6780(1,10,0,2) (1,12,0,0) 3312) 5284) 7256) 9228] 1340 0 0111200 (0,0,12, 1) (1,11,1,0) 4728] 7256] 978412312) 2200 0 0114840 (0,1,11,1) (1,11,0,1) 6144] 9228[12312/15396| 3060 0 0|18480(1,0,11,1) (1,10,2,0) 6672) 9784)12896 16008) 3560 0 0/19120.(0,2,10,1) (1,10,1,1) 8616112312/16008 19704! 4920 0 023400(1,1,10,1) (1930) 9280/12896/16512.20128) 5664 0 023744) (0391) (1921) 11888|16008/20128 24248] 7768 0 028368. (1291) (1840) 12672/16512/20352 24192-8832 0 0128032) (0481) (1831)|16064/20128 24192 28256 12000 0 0/32320| (1381) (1750)'16896/20352 23808 27264 13440 0 030720) (0571) (1741) 21120 24192 27264'30336 18048 0 0/33408| (1471) (1660) 2150423808 26112 2841619200 0 030720! (0661) (165 126112127264 28416 29568 24960 0 0130720) (1561) (1570) 2553626112 26688 27264 24.960 0 027840! (0751) (1480)27936/26688 25440 2419229184 0 022944! (0841) (1390) 28096|25440 22784 20128130752 0 0117472} (0931) (1,2,10,0) 26172/22784 1939616008 29560 0 012620 (0,10,2,1) (1,1,11,0)22938193961585412312 26480 0 0| 8770(0,11,1,1) (1,0,12,0)191671585412541| 9228/22480 0 0! 5915\(0,12,0,1) (0,13,0,0) 5284) 7703/10122/12541| 2865 0 0 14960 (0,0,13,0) (0,12,1,0) 7256 10122/12988/15854, 4390 0 0 18714.(0,1,12,0) (0,11,2,0) 978412988 16192/19396, 6580 0 022600 (0,2,11,0) (0,10,3,0)1289616192 1948822784) 9600 0 0 26080/(0,3,10,0) (094.0) 16512/19488 22464/2544.0 13536 0 028416) (0490) (0850) 20352 22464 24576/26688 18240 0 0.28800) (0580) (0760) 23808 24576 2534426112 23040 0 0.26880) (0670) d, C2 by As y | | [4 A x (pgrs) 12. Conclusion. D'après les résultats que nous venons de déduire, on a toujours x =0 pour p>4 etx #0 pour p <5, A=0 pour p<2 ou p+qg>8 eta#0 pour p>1 et p+g<9. De méme f= 0: pour s<2 où 7+ e> Set p70 pour s> i) et 7 +39) y=0 pour s> 4 et y #0 pour s< 5. Et pour les hyperquadriques elles-mêmes tous les nombres ( pgrs),, diffèrent de zéro. Groningue, Décembre, 1899. (30 Juni 1900). af ENE À er ; Dép: es Gil ie na pe rk générales f Images formées par des - rayons centraux traversant . une série de surfaces sphériques centrées PAR R. SISSINGH. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 5. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. Augustus 1900. hog 2 AA Propriétés générales des Images formées par des rayons centraux traversant une série de surfaces sphériques centrées Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 5. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1900. ‘ih | Ls ry 5 > = : | on & 7 i ® = 7 De > | AV Fo de A = ; 3 * ‘ L x 4 2 LE En AA ' 4 5 ; ity hy p°4 Li | x x + as € = ; L& 7 vh - 4 « Fa ihre ke ! zE etat el gende EN ‘ve: tates? ew ie, oa ee pe Be 5 mre te et gn ' . . + À - ' - 3 : ONE 1 ; | cs 4 a“ = rt PREFACE. Le but de l’auteur a été de simplifier la démonstration des propriétés optiques d’un système formé de surfaces sphériques centrées et d'en donner la théorie essentiellement physique. Il ne considère toutefois que des rayons centraux. Cette théorie traite aussi bien des propriétés géométriques que des propriétés physiques des images. Ces dernières propriétés dépendent de la délimitation des faisceaux lumineux par des diaphragmes convenables. La théo- rie est appliquée au système optique de l'oeil. La seule aberration dont il est question dans cette théorie provient de l’inégale réfran- gibilité des rayons de longueur d’onde différente. Je considère comme un agréable devoir de présenter ict mes sincères remerciments à M. le professeur H. A. Lorentz, pour le concours qu'il m'a prêté en me signalant plusieurs parties dont l'exposition laissait à désirer. Amsterdam, Mars 1900. Limes, 8 v> Ja 7 ie ij hd É s 7, 4 > Fr =. oF © L LA en IR hees $ A Ek oat yA 4 a CEE IT PATTES) \linisiuubels a Wane, thé au! Perret! of stmt i ‘ { { i HIK ig Î TALL tet x mt PRAAT. alee! "OAN i Thad e AAT hey VI Ort Pi wal al LOIR ‘PLAT p's | EE. TOT tnt RTL: Th r vis LEANN Lt Aart Bren TEE p { dies CA } in À CRE ‘ tid poh BRR, 7? 4 at . ' ‘ 4 i ¢ in w. bi KEA le = . = } res 4 it dia à i ‘ - . j | Û x d Propriétés Générales des Images formées par des rayons centraux traversant une série de surfaces sphériques centrées. PNO WIC TE TOINE § L. On dit qu’un espace est reproduit optiquement point pour point par des rayons rectilignes, lorsqu’a chaque faisceau par- tant d'un point du premier espace correspond un faisceau passant par un point du deuxième. Ces deux points sont appelés conju- gués. D’après cette définition il ne correspond à chaque point du premier espace qu'un seul point dans le deuxième; et les points conjugués de tous les points d’une même droite sont eux-mêmes placés sur une même droite dans le second espace. Ces deux droites aussi sont appelées conjuguées. Cette réciprocité de points et de droites est le caractère essentiel de la reproduction optique. Pour plus de facilité nous parlons de deux espaces dont lun est la reproduction de Vautre. Bien que les rayons incidents ne soient situés que dun seul côté du système formant les images, cependant les figures formées par les rayons incidents et leurs prolongements remplissent tout l’espace. La même remarque s’ap- plique aux rayons émergents, situés de l’autre côté du système. Les deux espaces coincident donc, ce qui ne nous empêche pour- tant point de considérer l’un des deux comme objet, et l’autre comme image. Nous allons commencer par prouver qu'une pareille reproduction optique s’obtient par la réfraction de ravons centraux à travers une série de milieux homogènes, séparés par des surfaces sphéri- ques centrées. Nous entendons par rayons centraux des rayons formant de petits angles avec [axe reliant tous les centres des surfaces, et peu distants de cet axe pour que lon puisse confondre les angles soit avec leur sinus, soit avec leur tangente. Les deux espaces objet et image sont ainsi réduits à un mince cylindre autour de Paxe. Dans un premier chapitre nous traiterons les propriétés géomé- triques des images, c. à. d. les relations déterminant leur situation et leur grandeur, et la simplification qu'y apporte la considération 6 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES de points remarquables. Viennent ensuite une étude du change- ment que subit la divergence des rayons dans le système optique, et la déduction des propriétés des systèmes télescopiques. Le second chapitre traite des propriétés physiques des images optiques, pour autant qu’elles dépendent de la délimitation des faisceaux lumineux. Nous y verrons comment on détermine le grossissement, l'intensité lumineuse de l’image et la profondeur du champ. Le troisième chapitre s'occupe des constantes optiques de l’oeil et des conditions d’achromatisme des systèmes optiques. Pour arriver à ces propriétés, nous avons suivi la méthode employée par M. Bosscra © pour la détermination de la marche des rayons lumineux dans une série de surfaces sphériques centrées. Chaque rayon est déterminé par les mêmes grandeurs que Lagrange a introduites dans l'étude de la formation des images par un système de lentilles très minces. Aussi les deux équations fondamentales qui contiennent à propre- ment parler toute la théorie de la formation des images, out elles la forme que Lagrange ?) leur a données. La méthode de M. Bosscha a ce grand avantage qu’ il est facile de donner la signi- fication physique des quatre constantes qui entrent dans les équations; ce qui nous permet d’écourter d’une façon pratique les raisonnements, et de donner une interprétation physique des résul- tats obtenus. Ce que lon peut encore considérer comme un avan- tage de la méthode, c’est qu'elle détermine la situation de Vobjet et celle de l’image par leurs distances respectives à la première et à la dernière surface réfringente, et non aux plans principaux et nodaux dont Pemploi est beaucoup moins aisé pour l'observation °). Aussi La théorie détermine-t-elle le système optique par quatre grandeurs que l’on peut déduire plus directement des observations 4). Il n’est pas sans intérèt de faire remarquer que Biot ?) dans sa théorie des instruments d'optique s’est déjà servi, pour définir un système optique, des éléments, qu'on va retrouver dans la théorie, *) J. Bosscna, Processen-verbaal van de Gewone Vergaderingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, 27 Décembre 1879, voir aussi 27 Avril 1877; Bei- blätter, IV, 1880, p. 457; Annales de l'Ecole polytechnique de Delft, II, 89; 1886. *) Lacrancr, Sur la théorie des lunettes, Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1788 et 1803. Voir aussi Bosscua, Ann. de Ec. Polyt. de Delft, II, 91. *) Bosscna, loc. cit., 98. “) M. Cornu a donné une forme trés précise au procédé le plus simple pour la déter- mination des éléments principaux d'un système optique (Journal de physique, VI, 276 et 308; 1877). Or dans ce procédé on détermine d'une manière directe les quatre gran- deurs qui sont introduites dans la méthode indiquée ci-dessus. *) Traité élémentaire d’Astronomie physique, Paris, 1844—49. FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. il dont Vexposé va suivre. Ces éléments sont les distances focales principales, définies de la même manière qu'au § 9, le point oculaire et le grossissement angulaire dans Vanneau oculaire. Martin ') met en relief quelques avantages pratiques de cette théorie ?). I. Propriétés géométriques des images formées par des rayons centraux. $ 2. Æquations fondamentales. — Afin de trouver dans l’espace de l’image le conjugué d'un point lumineux, il suffit comme nous le démontrerons après (§ 8) de considérer parmi tous les rayons émis par le point lumineux, ceux qui sont situés dans le plan mené par ce point et l’axe optique. Supposons que cet axe soit horizontal et que le plan mené par [axe soit vertical. Deux grandeurs suffisent pour déterminer un rayon dans ce plan. Pour ces grandeurs nous choisirons langle que le rayon forme avec l'axe et la distance à l’axe du point où ce rayon rencontre une des sur- faces réfringentes. Pour le rayon incident on considère le point d’intersection avec Ja première surface, pour le rayon émergent le point (intersection avec la dernière. Cet angle sera appelé dver- gence et représenté par DD; la distance du point d'intersection à l'axe sera nommée (amplitude du rayon et représentée par A. L'amplitude est positive lorsque le point d’intersection est situé au- dessus de Vaxe; la divergence est positive lorsque l’amplitude va en augmentant dans le sens du mouvement lumineux. %) Considérons d’abord la réfraction par une seule surface sphérique. Distinguons les milieux de part et d'autre de la surface à laide des indices 1 et 2, de même que les divergences des rayons incident (1) et réfracté (2). Nous représenterons par 4, l'amplitude dans la première surface réfringente. Soient done 2, et A, la di- vergence et l’amplitude du rayon incident. La divergence d'un ayon de même amplitude mais passant par le centre est Fi R, LA 4 » 4 \ \ oO étant le rayon de courbure. Conformément à la règle des signes 1) Martin, Ann. de Chim. et de phys., (4), 1X, 440; 1867. *) Voir à ce sujet Verdet, Conférences de physique, T IT, 942. *) Il n'est pas inutile de faire remarquer que dans la détermination du signe de la divergence l'axe doit être considéré comme une direction, et dans la détermination du signe de l'amplitude comme une droite dont la position par rapport au système optique est déterminée, 8 PROPRIETES GENERALES DES [MAGES pour l’amplitude et la divergence, # sera positif pour une surface tournant sa concavité vers le point lumineux, négatif dans le cas contraire. Nous représenterons par Dy, la ‘divergence du rayon normal de méme amplitude que le rayon incident. Pour des rayons centraux la loi de la réfraction peut s’écrire 7 = ar, 7 et r étant les angles d’incidence et de réfraction. L’angle d’incidence est égal à Dy — D, en valeur absolue; langle de réfraction r à Dy — D,. Si Von fait attention aux signes des divergences il est facile de voir que l’on a toujours Dy — D, = #1. (Dy, — Do). 5 A EE à Puisque Dy = = cette équation peut être mise sous la forme 1 EE D, Bo À, LE dy n B 1 12 1 Supposons maintenant que le rayon émergent soit réfracté une seconde fois par une seconde surface dont le sommet soit à la dis- tance d, du sommet de la première. Donnons aux milieux séparés par cette surface les indices 2 et 3, nous aurons, en désignant par A, l'amplitude dans la seconde surface réfringente me RE > aes Nos Lo On voit que si l’on a une série de surfaces réfringentes, il existe une relation linéaire entre chaque divergence, ou chaque amplitude, et celles qui précèdent. La divergence et amplitude finales 2, et A, du rayon réfracté se déduisent done de la divergence 2, et de l'amplitude. 4, du rayon incident par une série de transformations linéaires. Toutes les relations dont il est fait usage étant homogènes par rapport aux amplitudes et divergences, il n’y aura pas de ter- mes indépendants de ces grandeurs. Les relations entre 2, et A, d'une part, D, et A, d'autre part, étant donc linéaires et homoge- nes, on peut écrire DD eed beng (D $ 3 Signification des constantes optiques *). On arrive à la sig- nification des quatre constantes optiques c, p, 7 et s des équations fondamentales (I), en posant successivement D, et 4, égaux à zéro. On considère ainsi soit des rayons incidents parallèles à l’axe, soit ‘) On reconnaît aisément que cette équation est applicable à tout rayon incident 5 À à . a aussi bien pour une surface convexe que pour une surface concave si n,., = 1. *) Voir Bosscua, Annales de l'Ecole Polytechnique de Delft, IT, 90, 91. FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 9 des rayons incidents passant par le point (intersection de la pre- mitre surface réfringente avec l’axe. Ce point (intersection est le sommet de la première surface réfringente. Considérons d’abord un rayon incident passant par le sommet de la première surface réfringente; 4, — 0. Le rayon émergent coupe l’axe au point conjugué de ce sommet. A ce point conjugué nous donnerons plus tard le nom de deuxième point oculaire ($ 9). Posant 4, — 0, nous obtenons pour la première équation fonda- mentale, — =. Ce rapport des divergences de deux rayons con- 1 jugués est appelé grossissement angulaire. Nous verrons plus tard ($ 10) que ce rapport est le même pour toutes les paires de rayons passant par un système de deux points conjugués, ainsi que pour toutes les images situées dans un même plan perpendiculaire à axe. Le plan normal à l'axe mené par le deuxième point oculaire, s’appelle deuxième plan oculaire. La constante est done le grossissement angulaire dans le deuxième plan oculaire ( 9). Si le rayon incident est parallèle à Vaxe, D, = 0. La première équation fondamentale devient alors p — ni Dans ce cas D, est el proportionnel à 4,. Comme 2, donne le changement de direction que subit par réfraction un rayon incident parallèle à Vaxe, p est la déviation d'un rayon lumineux incident parallèle à l'axe avec une amplitude égale à l’unité. C’est cette déviation qu'on appelle le pouvoir principal 5 ou pouvoir focal du système. Ce pouvoir doit être pris positivement si le rayon qui émerge du système converge vers l'axe. Le pouvoir principal doit donc être repré- senté par — p. Pour les systèmes optiques où A, = A,, comme une surface ré- 12 fringente unique ou une lentille infiniment mince, lexpression 1 — = + e la distance à laquelle le rayon émergent va c L donne la distance à laquelle | mergent va couper p D D E l’axe en avant la dernière surface réfringente. Ce point d’intersec- tion est le deuxième foyer principal du système ($ 9). Lorsque A, et 2, sont positifs tous les deux, ce point d’intersection est situé en avant de la dernière surface réfringente. Mais comme plus tard nous conviendrons de considérer comme négatives des distances 1 = ; Dl fi A 0 5 3 < s/s ) Voir Ad. Martin, Méthode directe pour la détermination des courbures des objectifs de photographie, Extrait du Bulletin de la Société francaise de Photographie, 2° Serie, IX, 1893. 10 PROPRIETES GÉNÉRALES DES IMAGES prises en avant de cette surface, la deuxième distance focale prin- AE | N cipale sera représentée par — pour un ‚systeme optique où ig Alle Revenons maintenant au rayon incident parallèle à Vaxe, done au cas où D, —0; la deuxième équation fondamentale devient Le M à k ee DE Or supposons qu'un faisceau cylindrique de rayons pa- 1 rallèles à l'axe tombe sur la première surface réfrmgente, et soit A, le rayon du cercle ainsi éclairé sur cette surface; 4, est alors le rayon du cercle éclairé sur la dernière surface réfrin- gente. La constante s est done ce que l'on pourrait appeler le pouvoir dilatant du système. Quant à la constante 7, nous la définirons d’une façon un peu différente de celle dont M. Bosscra l’a définie. Considérons un rayon .incident passant par le sommet de la première surface, de sorte que 4, = 0. La deuxième équation fondamentale i panel AIR Lee devient — — oh Si Pon suit le rayon incident dans son parcours 7 A ‘ é à travers le système optique, on remarque que D, est langle sous lequel on observe une dimension 4,, placée dans la dernière surface réfringente, quand Voeil est situé au sommet de la première. Et comme pour 4, — 0, 4 "D 4 1 est proportionnel à 2, on voit que — est = Pangle sous lequel lunité de longueur placée dans la dernière surface réfringente est observée par un oeil placé au sommet de la première. Nous donnerons plus tard le nom de puissance 1) du système à langle sous lequel on voit l'unité de longueur de l’objet. La constante “es done la puissance dans les conditions considérées, €. à. d. au sommet de la première surface, pour un objet placé dans la dernière surface réfringente. § 4. Combinaison de deux systèmes. *) Soient Cy, Drs Ty SRE Cy, Pas To, Sy les constantes des deux systèmes, et d la distance de la dernière surface réfringente du premier système à la première surface du deuxième. L’amplitude et la divergence d’un rayon émergent du premier système sont respectivement c, D, + p, 4, et r, D, Js, 4,. Le même rayon, considéré comme incident par rap- 1) Voir Verdet, Conférences de physique, II, 945, 946. *) Bosscua, loc. cit., 95. ae thé ne Sd nn a den FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. Jl port au deuxième système a pour divergence c, D, + p, A, et pour amplinde (rs Diss Ader pj 4): A aide des con- stantes optiques ¢, ff», 7», Sg du deuxième système, nous pou- vons calculer la divergence et amplitude du rayon sortant du deuxième système, en fonction de la divergence D, et de Pampli- tude 4, du rayon tombant sur le premier système. Ce calcul nous apprend que les constantes c, p, 7 et s du système résultant de la combinaison, sont données par les relations : 02 ONG, == fb D D AG A A 5 PP (a + Po @) Ep» SSP Pa + % A) HS 52 a (I) $ 5. Menversement du système t. Si Von suit les rayons dans leur parcours a travers le système à constantes c, p, 7, s, en allant du dernier milieu vers le premier, de telle sorte que le rayon émergent devienne rayon incident et réciproquement, l’ordre de succession des surfaces est renversé, et l’on obtient un système que l'on peut appeler l'inverse du premier. Dans ce système inverse la divergence du rayon incident est — D, et son amplitude 4,; la divergence et amplitude du rayon sortant sont respectivement — D, et 4,. Si done, dans les équations fondamentales du système Maal nous remplagons D, par —2D,, D, par —D,, A, par A et 4, par d,, nous obtenons les relations entre les divergences et 7 amplitudes du rayon incident et sortant pour le système inverse. Wes relations sont: — D) — 69, A-pd4;et A, = —r D, + pea) lirant de là les valeurs de , et 4, en fonction de D, et A,, nous obtenons les équations fondamentales du système inverse : Or D SD pA. es pr) A, — 7D, Fe Si nous représentons par €, p’, 7”, s les constantes optiques du système inverse, ces équations nous donnent: , Ss ! P ! 110 , C : hen à II A LT eN os ou WV = cs — pr. § 6. Constantes optigues d'une surface réfringente unique et d'une lentille infiniment mince. Si le système optique ne se com- pose que d'une seule surface réfringente, les valeurs des constantes optiques se déduisent immédiatement de leur signification. Comme dans ce cas le sommet de la surface réfringente coincide avec son *) Bosscwa, loc. cit. 93. 1 4 12 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES image, c nest autre chose que le grossissement angulaire en ce point, soit le rapport entre les angles de réfraction et d’incidence. Si nous distinguons par les indices 1 et 2 les deux milieux sépa- rés par la surface réfringente, le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction est répresenté par #,.,. Et comme pour des rayons centraux le rapport des sinus peut être remplacé par 1 celui des angles, onva e= ==. Oe 1°2 . . . 4 SS La constante — p, le pouvoir principal ou focal, est égale a l'inverse de la distance focale (voir $ 3). Soit & le rayon de courbure de la surface réfringente ; ainsi que nous l’avons fait remarquer au § 2, la valeur de Z doit être prise négativement pour une surface tour- PE #0 R Cette valeur peut encore être déduite immédiatement de la forme, que prend la première équation fondamentale quand on l’applique à une surface réfringente unique ($ 2). Dans le cas d’une surface nant sa convexité vers la lumière; on a done p = convexe p est négatif pour #,, > 1. On reconnaît immédiatement que le pouvoir dilatant s = 1. af D] hd 1 nm Quant à la puissance — au sommet de la surface réfringente, pour A un objet placé dans cette surface, elle est infiniment grande, soit 7 == 02) Pour une lentille infiniment mince la constante c est le produit des grossissements angulaires dans les deux réfractions, de sorte que DAT unie c= —-— =1; p=, F étant la distance focale prin- STE I cipale de. la lentille; r — 0 et s=1. Si la lentille est conver- gente p est négatif, il est positif, si la lentille est divergente. Pour une lentille infiniment mince, les équations fondamentales sont donc: A, en § 7. Relation générale entre les constantes optiques d'un système. D, = D, r Soit un système optique à constantes c, p, 7, s, formé par la com- binaison de deux systèmes à constantes ¢,, 2,, 71, 8, et Co, Do» ry, Sy, dont les surfaces terminales opposeés sont à une distance d l’une de l’autre; d’après les équations (II) ($ 4), on a CS— pr = (% 8 — Py %) Ca 82 — Pa 73): *) voir Bosscua, loc. cit., 93, 94. Sales ht FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 13 Sil n'y a qu’une seule surface réfringente les valeurs trouvées au § 6 pour les constantes optiques nous donnent: ¢, s, — y, r, = 1 —=-——.. Pour une seconde surface réfringente séparée par des ls milieux à indices 2 et 3, © 8, — pa i SLOT I Rate Mo 3 formé de a—1 surfaces réfringentes, nous aurons donc TN Rnd ANN (Cp 89 Pa To). - (Cu Su — Pa Tad 1 1 1 en .,.......... SS ) (LV) Si les milieux extrêmes sont les mêmes, on a es — pr — 1. Dans ce cas il n’y a donc que trois constantes optiques indépendantes. § 8. Relations entre les situations d'un point lumineux et de son mage. Grossissement linéaire. ?) Les situations de l’objet et de l’image sont déterminées par leurs distances @ aux surfaces termina- les, et leurs distances y à l’axe. Pour Vobjet ces distances seront représentées par v,, 7, et pour l’image par #9, 7,. Les distances æ, et #, sont positives si les points correspondants sont réels, c. à. d. si l’objet est placé en avant de la première, l’image en ar- rière de la dernière surface réfringente. Le signe de la distance y est déterminé de la même facon que celui de l'amplitude. Considérons un point lumineux #,, 7,. Pour chaque rayon incident il existe entre l'amplitude et la divergence initiales la relation linéaire 4, — y, + x, D,. Et comme, d’après les équa- tions fondamentales, D, et 4. sont des fonctions linéaires de D, et A,, il doit exister une relation linéaire 4, — # J- # D, entre amplitude finale 4, et la divergence finale D,. Cette relation linéaire signifie que tous les rayons émergents conjugués des rayons incidents, émis par le point z,, y,, passent par le point Lo = — hk, yy =, si Von tient compte de la façon, dont le signe de @ a ete déterminé. Ce point est l’image du premier. Or, si A, =y, + wv, D,, les équations fondamentales nous donnent CT) DA sy | Par SADE d'où il suit que *) voir Bosscna, loc. cit., 94. ola 95 14 PROPRIETES GÉNÉRALES DES IMAGES Ontrouve ainsi pour coordonnées de l’image: Lb SH. ey + a Yo = “1 Y.. (V) On voit que x, ne dépend que de a,; cela veut dire que les images de tous les points lumineux situés dans un même plan normal à l’axe, sont elles mêmes situées dans un même plan nor- mal. C'est là toutefois une conséquence de notre hypothèse de rayons centraux, c. à. d. de faisceaux lumineux limités à un mince cylindre autour de Vaxe. Nous n'avons considéré jusqu'ici que les rayons qui se trou- vent dans un même plan passant par l’axe. Si le point lumineux est situé sur l’axe, tous les rayons émanant de ce point, rencontre- ront après la réfraction l’axe dans le même point à cause de la symmétrie autour de Vaxe. Les rayons qui ne sont pas situés dans un plan passant par l'axe peuvent être considérés comme des rayons émanant de points lumineux situés à côté de l’axe. Il est évident que l’image d’un tel point lumineux se trouve sur l’axe secondaire, mené par le point lumineux et le centre de courbure de la surface réfringente, sil n’y a qu’une seule surface réfringente. Cela résulte immédiatement de ja symmétrie autour de cet axe. Les relations qui lient les positions du point lumineux et de son image sur cet axe secondaire sont les mêmes que dans le premier cas. Seulement il faut remplacer les plans menés par l’axe principal par d’autres menés par laxe secondaire et mesurer les distances à la surface réfringente le long de cet axe. On en déduit immédiate- ment que tous les points lumineux situés sur une sphère concen- trique avec la surface réfringente donnent des images qui se trou- vent sur une autre sphère, dont le centre coïncide aussi avec celui de la surface réfringente. On peut dire que tout faisceau conique se transforme après la réfraction par une seule surface réfringente en un autre faisceau conique et il en est de même s’il y a une série de surfaces réfringentes. Cette proposition, une fois démontrée, nous autorise à employer des constructions planes sans tenir compte des rayons situés hors de ce plan. La valeur de 7, nous apprend que si y, = 0, on a aussi y, = 0, \ c. à. d. que tout point lumineux situé sur l’axe a son image sur » an Yo | \ , anaes cet axe. L’expression “= apprend dans quel rapport une dimension fi perpendiculaire à l'axe est agrandie par la reproduction optique. Ce rapport est appelé grossissement linéaire et représenté par #7; vtt daad POS Se a taf DR en eae ee FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 15 on a donc, d’après les relations (V), V = ou bien encore aA e+ pr V=s3 + pay. (ME) Le grossissement linéaire ne dépend que de z,, de sorte que les distances à l’axe de tous les points situés dans un même plan normal à axe sont agrandies dans le même rapport. Et si l’on tient compte de ce que l’angle de deux droites situées dans un même plan normal n’est pas modifié par la reproduction optique, on voit que l’image d’une figure située dans un plan normal à l’axe est une figure semblable. Le rapport dans lequel les dimensions sont augmentées, c. à. d. le grossissement linéaire, est ainsi défini de la façon la plus générale possible. C'est le grossissement linéaire dans un plan perpendiculaire à l’axe. Ce grossissement ne peut devenir infiniment grand, que dans le cas où l’image est placée à une distance infiniment grande. $ 9. Points remarquables. Anneaux oculaires. Les deux foyers principaux sont conjugués de deux points situés à Vinfini. Le premier foyer principal est conjugué d’un point situé à distance infinie en arrière du système optique, le second d’un point à distance infinie en avant du systême. Les distances de ces deux foyers respec- tivement à la première et à la dernière surface réfringente sont les distances focales principales, que nous représenterons par /, et /. Leurs valeurs sont données immédiatement par les équations (V) (§ 8), qui donnent 7, = — a (5 2S Z P 2 Les valeurs de /, et /, peuvent aussi être déduites de la sig- nification des constantes optiques. D'après la signification des con- stantes optiques un rayon incident parallèle à axe, et dont l'amplitude est égale à 1, aura pour amplitude finale 4, = s, et pour divergence finale D, — y»; le rayon émergent coupe done l'axe à une distance A s ae —— = — — de la dernière surface réfrmgente. De la même D p : façon on prouve que f, = + a jour D. — 0. Si la divergence EE = | Zo GUE, PTS 1) | AN 2 ee esto eh ri finale 2,— 0, il résulte de la première équation fondamentale À c 8 c Nec : TL — — —, de sorte que f, —=——. D'ailleurs les valeurs de /, et D, p p fo peuvent être transformées Pune dans l’autre au moyen des re- lations (III) (§ 5) entre les constantes optiques d’un système et celles du système inverse. On donne le nom de points oculaires aux points conjugués des 16 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES sommets des surfaces réfringentes terminales. Un point lumineux placé au premier point oculaire a son image au sommet de la dernière surface réfringente; au deuxième point oculaire se forme l’image d’un point lumineux placé au sommet de la première sur- face. Si nous représentons par o, la distance du premier point oculaire à la première surface réfringente, et par o, la distance du deuxième point oculaire à la dernière surface, nous pouvons écrire A à 8 er = pour 4,— 0, donc d’après la deuxième équation fonda- 1 r mentale 0, — —-, s Dj D: pour 4, — 0, done d’après les équations fondamen- à , tales 0, = — — 3 C Ces deux valeurs peuvent être transformées l’une dans l’autre au moyen des relations (III) ($ 5). On peut aussi déterminer la situation de deux points conjugués par leurs distances £ et & aux foyers principaux; &, =, + ie 8 ey ; 3 —, Eg = dg + — et les relations (V) et (VI) (§ 8) déterminant la posi- P td tion de l’image et le grossissement linéaire deviennent NA j a VA 1 Ei (MID V=— pis (VIED p Nous voyons par ces relations que £, et £ sont toujours affec- tés du même signe. L’objet et l’image sont done toujours placés de côtés différents des foyers principaux. Le grossissement est positif, c. à. d. que l’image est droite, si les distances £ et £, ont le même signe que p; dans le cas contraire le grossissement est , thre) > , je 4 , . , négatif et l’image est renversée. Le signe de » est déterminé par la règle suivante: on considère des rayons incidents parallèles à l'axe; si après réfraction le faisceau diverge, p est positif, et si le faisceau converge p est négatif ($ 3). Nous pouvons aussi déterminer les situations que doivent occu- per un objet et son image pour que le grossissement aît une va- leur donnée. Car, si / est le grossissement donné, on a d’après les | V dr relations (VIII), & — —, £ = =. de sorte que p Vp *) voir Bossca, loc. cit., 98, 99 FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 1 5 | V Uki — e+ =) LP Hia if ae (—s + V/V). Il est facile d'attribuer une signification au second membre de l'équation (VID): — p est le pouvoir principal du système, — À Je pou- Nan voir principal du système inverse (§§ 3 et 5), de sorte que &, & est égal au produit des valeurs inverses des pouvoirs principaux des deux systèmes direct et inverse Ì). Des valeurs trouvées pour les distances focales principales /, ct J, et pour les distances 0, et 0, des points oculaires, il suit que 4 =S ‘1 =" Des quatre points remarquables: foyers principaux J2 DR et points oculaires, trois seulement sont indépendants des autres; ces quatre points ne suffisent donc pas à déterminer les propriétés d’un système dont on donne les surfaces réfringentes extrêmes. On a done encore besoin d’un quatrième élément, par exemple x,,, ou bien le grossissement dans un plan déterminé de l’espace image. *) Les plans normaux à axe, contenant le premier et le deuxième point oculaire, sont appelés respectivement premier et deuxième plan oculaire. Ils sont respectivement conjugués du dernier et du premier plan réfringent du système. Les cercles conjugués des bords des surfaces réfringentes extrêmes sont appelés anneaux oculaires; le premier anneau oculaire correspondant au bord de la dernière surface. Il va de soi que ces anneaux sont contenus dans les plans correspon- dants. Si le faisceau de rayons lumineux traversant le système optique est limité latéralement par les bords des surfaces réfringentes ter- minales, le faisceau incident forme un cône dont le sommet est au point lumineux et qui a pour directrice le bord de la pre- mière surface réfringente. Le faisceau émergent aussi est un cône; son sommet est l’image du point lumineux, et sa directrice le deuxième anneau oculaire. De même le premier anneau oculaire est la directrice du cône de rayons incidents, qui sont réfractés suivant un cone dont le sommet est l’image du point lumineux, et la directrice le bord de la dernière surface réfringente. § 10. Grossissements angulaire et axial. Le grossissement angu- laire WV, est le rapport dans lequel langle, formé par deux droites a : 4 A 2 = = A 5 situées dans un même plan passant par laxe, est augmenté par la *) Voir Bosscua, loc. cit., 99. 2) Voir Boury, Nombre des éléments nécessaires pour déterminer leffet extérieur d’un système optique, Journal de physique, VIII, 331, 1878. Verh. Kon. Akad. vy. Wetensch. (1e Sectie). Dl. VII. E 2 18 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES réfraction. Considérons deux rayons incidents, dont les divergences sont D, et D,’, émis par un point lumineux z,,4,. Les amplitu- see 7 . , > \ des initiales sont À ht oD, A, 7) ep De la première équation fondamentale on a D, =D, = ¢ Di == Di)? (Ar — A) =(e + pa) D, DE Le grossissement angulaire est donc He Cuir (IX ou bien, exprimant z, en fonction de la distance de l’image à la dernière surface réfringente, Mar S+ pit, On peut encore exprimer le grossissement angulaire en fonction des distances de l’objet et de l’image aux foyers principaux: Ve = a Na po Supposons que le point lumineux soit situé sur l’axe, et que axe soit lui-même un des rayons incidents, alors on a pour gros- ES sissement angulaire /,=— —. La valeur de cette expression peut D, être immédiatement déduite de la première équation fondamentale et l’on arrive ainsi à l'équation (LX). Entre les grossissements linéaire et angulaire existe la relation PR zen, Si les milieux extrémes sont identiques, le produit de ces deux grossissements est égal à 1. Le grossissement angulaire est indépendant de la divergence des rayons incidents; il est donc le même pour toute paire de rayons du faisceau émis par le point lumineux. Il ne dépend que de la distance a,, et est donc, tout comme le grossissement linéaire, le même pour tous les points lumineux situés dans un même plan normal à l’axe. Le grossissement angulaire devient infiniment grand si z, = oo, c. à. d. si le point lumineux est placé à l'infini. Dans ce cas D, — 0, tandis que 2, a une valeur finie. Dans les systèmes optiques, traités au $ 12, on a pour x, = œ,ou D, = 0; D, = 0 et 7, a une valeur finie. Outre les grossissements linéaire et angulaire nous considérons aussi le grossissement axial, donnant le rapport dans lequel les dimensions paralèlles à l’axe sont augmentées par la reproduc- FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 19 tion ppugue: Soient LE et 7,,4, deux points lumineux et 2,49, Lo, Yo les images correspondantes. Le grossissement 1 Lig dh lest 7. = — 7 ole on, etenmplacesa,, et He par leurs “L,—@ 2 1 1 valeurs en fonction de a2, et a, (V) on obtient: Na A : Vr = ——— — ou bien, nous rappelant l’équation (¢ + pa,) (c Apr) VV’ ve 7 I ee (X). HA V représente ici le grossissement dans le plan de l’image B e.à.d. un plan mené par cette image normalement à axe. / est le grossissement dans le plan +,. Si les deux paires de points conjugués sont très rapprochées l’une de l’autre, on a V = 7" et Vix— ———: La valeur négative de V,, montre qu'à tout ñ a.1 3e déplacement du point lumineux correspond un déplacement de l’image dans le même sens. !) LA 0 e Vo a a. Les grandeurs qui entrent dans Vexpression 7, = — a TUE, 1 al du grossissement axial, peuvent être immédiatement reliées au grossis- sements linéaire et angulaire de la façon suivante. Considérons un point lumineux 2,7, placé done dans le plan 2, normal à l'axe, et soit 4,7, son image. Parmi tous les rayons émis par le point 2,, y,, considérons celui qui coupe l’axe à une distance a, de la première surface réfringente. Le rayon conjugué sortant passe par le point a, 7,, et coupe l’axe à une distance a’, de la dernière surface réfringente. Si D, et D, sont les divergences de LA { D € Ny / Ja 9 ces rayons, on a 2, — A = D° Ly Bo = — D: “Nees Oil a 1 r J Yo D Yo 5 nek aoe 7 — 22 Or, T2 est le grossissement linéaire V dans Yi D, I r 7 Ç a] € - € = Ve) Et € a] = € / ay i) le plan a,, D. le grossissement angulaire 7, dans le plan a’. Et 1 1 d 7 in yy RIE a £ Xi |: re V À à f +t] | OT si l’on exprime le grossissement angulaire //, en fonction du gros- sissement linéaire 7” dans le plan +,, on obtient de nouveau *) voir Bosscua, loc. cit., 96. De, —a, et æ,—x, ont des signes différents parce que le point lumineux et son image se déplacent dans le méme sens. 20 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES > NA 5 nd: 5 La relation 7, = —~ entre les grossissements linéaire et angu- V laire peut être mise sous une autre forme. Comme VY — 2 Ni c. à. d. égal au rapport des distances de l'image et du point lu- < D n : mineux à l’axe, V, ==, etn, — —, la relation entre les deux D, Na grossissements peut encore s'écrire D, 2, y, = Dn, Yo: (XD Mise sous cette forme, elle est l'expression du théorème de Lacranen-Hermuoirz. LAGRANGE !) l’a démontré dans le cas d’une surface réfringente unique et pour des lentilles infiniment minces; Hecmnorrz ?) l’a étendu à un système de surfaces réfringentes. Prenons un rayon incident dirigé vers un point du bord de la première surface réfringente; D, est la demi-ouverture du cône de rayons incidents. N'oublions pas toutefois que les images sont toujours formées par des rayons centraux, et que le point lumi- neux est donc toujours situé dans le voisinage immédiat de axe. D, est la demi-ouverture du cône émergent. De la relation (XD il résulte que, pour ~, = »,, ouverture du cone de rayons dimi- nue par réfraction dans un rapport exprimé par le grossissement linéaire. Cette proposition trouve une application étendue dans la théorie des instruments d’optique. Faisons remarquer ici que la valeur que nous venons de trouver pour le grossissement axial, nous donne la démonstration immédiate d’une propriété générale des systèmes optiques, communiquée en 1669 par Christiaan Huygens au secrétaire Oldenburg de la Royal Society, et publiée plus tard dans ses Dioptrica sous la forme de Propositio X Z %) Cette proposition est la suivante; si l’on in- tervertit les positions de objet et de l'oeil, tandis que le système de lentilles interposées, quelque nombreuses qu’elles soient, n’est pas modifié, dans les deux cas l’image est vue sous le même angle et dans la mème position, c’est-à-dire droite ou renversée. Soient a, la distance de l’objet à la première surface réfringente, et v la distance de l’image à la dernière, 2’, la distance de l’oeil à la dernière et a’, la distance à laquelle le système optique forme une image de l'oeil en avant de la première surface réfringente. Donnons *) LAGRANGE, Sur une loi générale d'optique, Mémoires de l'Académie de Berlin, 1803. *) Hetmnoirz, Physiologische Optik, 1ste Aufl, 1866, 58; 2e Aufl, 1896, 71. ‘) Voir Bosscua; Christiaan Huygens, Rede am 200sten Gediichtnisstages seines Lebensendes, übersetzt von Th. W. Engelmann, 50 et 52—55; Huygens, Oeuvres com- plètes, Tome VI. FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 21 à l’objet l'unité de longueur et représentons par V et / les gros- _sissements linéaires dans les plans a, et a’,. L'objet est placé dans le plan z,, l’image se forme dans le plan z, et a pour dimension a V; de l'oeil placé en >, elle est vue sous un angle ————, + v OL Lo puisque l’image est formée par des rayons centraux, de sorte que tous les angles formés avec l’axe sont très petits. Si l’objet est placé en 2’,, l’image se forme en +, et alors elle a pour dimension il : : ] 1 x — > de sorte que l'oeil la voit alors sous l’angle — —-_—_-. D’après V V' a, B 4 A V I 1 Z le théorème de Huygens —,— == ———, et cette équa- Lo Do Vs : 4 i UB eae x Jay Hom est identique avec cette autre Zi, — —= a —-, v rh CAT Wa \ dans le cas où %,1— l, c. a. d. où les milieux extrêmes sont identiques. On voit en outre de quelle facon on peut donner une extension au théoreme de Huygens dans le cas où les milieux extrémes sont différents. $ 11. Construction de l'image. Nous avons vu ($ 9) que les quatre points remarquables déterminent avec une autre grandeur encore les propriétés optiques du système. Prenons pour cette autre grandeur le grossissement linéaire 7, dans le deuxième plan oculaire. Ce grossissement est étroitement lié à la constante op- 8 2 hedde Wry, See tique ¢ du système. On a en effet 7, — —“*, ainsi qu'on le à 7 déduit immédiatement de la définition de « (§ 3), et de la rela- tion entre les grossissements angulaire et linéaire ($ 10). A l’aide de ces données il est possible de construire pour trois rayons in- cidents les rayons émergents du système, et trouver l’image du point lumineux par la combinaison de deux de ces rayons. Ces trois rayons incidents sont: 1° le rayon parallèle à Vaxe, 2° le rayon passant par le premier foyer principal, 3 le rayon passant par le premier point oculaire. Les trois rayons conjugués passent successivement par le deuxième foyer principal, par un point à l'infini, et par le sommet de la dernière surface réfringente. On connaît d’ailleurs les points où ils coupent le deuxième plan oculaire. Si Pon représente par A l'amplitude du rayon incident, la distance à l'axe du point d’intersection du rayon émergent avec le deuxième plan oculaire est AW La construction devient beaucoup plus simple, si an 22 PROPRIETES GÉNÉRALES DES IMAGES lieu de considérer la première surface réfringente et le deuxième plan oculaire, on choisit deux plans conjugués tels que le grossisse- ment soit égal a 1. Ce sont les plans* principaux, auxquels Gauss a été conduit par d’autres considérations. Comme dans le deuxième plan principal le grossissement angulaire est égal a 1, si du moins les milieux extrémes sont identiques, il est avantageux de remplacer le troisième rayon auxiliaire par un rayon passant par le premier point principal, c. à. d, le point d’intersection du premier plan principal avec Vaxe. Le rayon émerge alors dans la même direction en passant par le deuxième point principal. En dehors de cette simplification de la construction, introduction des plans principaux est sans avantage marqué pour la résolution des problemes de dioptrique, ou bien ces plans n’ont aucune signification dans ces problèmes 4). Les plans principaux ne se prétent pas aussi facilement a une détermination expérimentale que les plans oculaires, et encore n’y arrive-t-on que par voie indirecte; nous ne les introduirons done pas dans nos raisonnements. § 12. Conslantes optiques dune lentille et de la combinaison de deux lentilles. Pour une seule surface réfringente nous avons, d'apres $ 6, ¢ = = p= sia En 0, ref SEN négatif si la surface tourne sa convexité vers la lumière. Pour une deuxième surface, formant avec la première une lentille seh 1 ] d’épaisseur d, on a ¢ = ——, Po == — (m9 — 1) = x Hi ae Li, Appliquant maintenant les relations (II) a la combinaison des deux systèmes optiques, nous trouvons pour constantes optiques de la lentille, n — 1 d il 1 (2 ER ez pe Dre ; ee ere) Ge 7) 2. EER / —ld ae Eee B à d 7 ne B ; To — Pour une lentille biconvexe k, est *) Les rayons menés du point lumineux et de son image vers les points principaux, ne sont point les axes de symmétrie des faisceaux incident et émergent, et ne peuvent done servir, en les remplaçant, à représenter la marche du faisceau qui forme l'image. Les points principaux sont aussi sans importance quand il s'agit de déterminer l'inten- sité lumineuse en divers points de l’image, ou l'éclairement de l’espace image. De même, les plans principaux sont sans aucune utilité quand il s’agit de déterminer la finesse avec laquelle diverses parties de l’espace chjet sont reproduites dans un plan déterminé de l’image, ou bien quand on veut déterminer le point d'où il faut regarder l’image, afin que Veffet de perspective soit le même que celui produit par l'objet, toutes questions que nous allons traiter dans la suite. FOMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 23 négatif, A, est positif; pour une lentille biconcave Li, est positif, R, négatif. Nous déduisons de là les distances focales principales et les dis- tances des points oculaires: 1 ef nwt ad s F, a G eae ; mn a - _ JA mee ese Es : A: AGE D er 2 , P Ge DG R, n RB Le n—1 d = d 1 Si n R eee Gi En mn FN RL ee GEL 1e Re acy AU GS a AA 3 See x d 05 == 4 oS ae Oe ai eS n=- ad ~ 6 brun Si x > 1, ces expressions prouvent que, pour une lentille biconcave, les points oculaires sont toujours situés à l’intérieur de la lentille. Il en est du reste de même pour une lentille biconvexe peu épaisse. Si l'épaisseur est faible en comparaison des rayons de ‘ d wee courbure, on a pour toute lentille 0, = 0, — — — ; ainsi pour . n une lentille en crown, dont 7 = 3, les points oculaires sont placés à une distance égale aux 2 de l’épaisseur en arrière de la première surface réfringente et en avant de la deuxième. Le premier point oculaire est done placé en avant du deuxième. Un point oculaire n’est placé en dehors de la lentille (x > 1)que dans le cas où la surface corres- pondante est convexe, et quand l'épaisseur est plus grande que la deuxième distance focale principale de cette surface. L’exactitude de cette dernière remarque peut être prouvée immédiatement en par- tant de la définition du deuxième foyer principal. Les foyers principaux sont placés à des distances inégales des surfaces de la lentille. Si l'épaisseur est faible en comparaison des rayons de courbure, la différence est proportionnelle à l’épaisseur et à la différence des rayons de courbure. Faisons encore remarquer que les points oculaires sont toujours accessibles à l'observation. même dans le cas où ils sont situés à Vintérieur de la lentille ou d’un système otptique. Il est toujours possible d'examiner à la loupe ou avec un microscope à long foyer l’image d’une des surfaces terminales formée par le système optique 4). *) La détermination expérimentale de la situation des plans principaux peut se faire en faisant usage de la propriété: que pour cette paire de plans conjugués le grossissement linéaire est égal à 1. M. H. Sentis, (Journal de Physique, (2), VIII, 283, 1889) a indiqué sommairement Vappareil à employer. La recherche expérimentale des plan principaux 24 PROPRIETÉS GÉNÉRALES DES IMAGES Pour une lentille dont l’épaisseur est faible par rapport aux 1 1 I rayons de courbure, on ac—=l, p= (n— 1) e sr -) = es p VON, te, Ve r — 0, s=1. Ces valeurs ont déjà été déduites au § 6 de la signification des constantes optiques. Si deux lentilles infiniment minces sont placées à une distance d l'une de l’autre, nous avons, d’après l’équation (ID) ($ 4), OUEN te d ON ED En Ja hi te Stake > fi L'expression 4 représente ce que l’on appelle la distance optique des deux lentilles; c’est l’écartement entre le deuxième foyer princi- pal de la première lentille et le premier foyer principal de la deuxième. Les distances focales principales sont F =— fi ie ere fd + +o 2 À EEN anr CS Joa fy = fy si AG Il suit de la que le premier foyer principal du système est placé 2 à une distance ~ en avant du premier foyer de la premicére len- 2 tille, et que le deuxième est situé à une distance fe en arrière du deuxième foyer principal de la deuxième lentille. Cette propriété trouve une application étendue, e. a. dans Vétude des propriétés optiques des microscopes et des objectifs photographiques. § 13. Modification de la divergence des rayons par un système optique. Nous appellerons divergence de deux rayons lumineux inci- dents la différence entre les divergences de ces deux rayons. Afin de déterminer cette différence sans ambignité, nous retrancherons la divergence du rayon ayant la plus petite amplitude de la diver- gence du rayon ayant la plus grande amplitude. La détermination du signe de la divergence des deux rayons incidents se fait done à laide d'une des surfaces réfringentes, notamment de la ne peut être toutefois très pratique (Bouty, Journal de Physique, VII, 332, 1878). Quant à la deuxième propiété des plans principaux, d'après laquelle le grossissement angulaire Vu =1, (nui =1) Secretan s'en est servi dans sa „détermination de la distance focale des systèmes convergentes. Paris, 1855” (A. Martin, Ann. de Chim. et de Physi- que, (4), X, 344, 1867). Il ne m'a été pas possible de consulter cet ouvrage. FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 25 première. La divergence est ainsi positive lorsque le point d’inter- section des rayons, c.-à.-d. le point lumineux, est placé en avant de la première surface réfringente, elle est négative si le point lumi- neux est virtuel. La divergence des rayons émergents conjugués se détermine d’une façon analogue a l’aide de la dernière surface réfringente. Nous retranchons la divergence du rayon ayant la plus petite amplitude finale de la divergence de l’autre rayon. Tout comme pour les rayons incidents, la divergence des rayons émer- gents est positive, si l’image se forme du côté de la surface réfrin- gente terminale d’ou vient la lumière, done positive pour une image virtuelle, négative pour une image réelle. Nons dirons main- tenant qu’un système est convergent si la divergence de deux rayons quelconques, indépendamment de la situation du point lumineux, diminue par le passage des rayons à travers le système optique. Or, voyons si de tels systèmes existent. Distinguons les deux cas où les amplitudes initiale et finale 4, et 4, sont de même signe ou de signe contraire. Soient D, et D, les divergences des deux rayons incidents; 4, et 4,’ leurs amplitudes. Si 4, > 4,’, la divergence des deux rayons est D, — D, Al. D EN tes A, 7 | La deuxième équation fondamentale donne ii 5 | he iy eee , ——-s. Pour tous les rayons émis par un même point lumineux, 1 ou par des points lumineux situés dans un mème plan normal à l’axe, le rapport entre les amplitudes finale et initiale est donc le même. Représentons par 2 „et D les divergences des rayons Y= LL émergents, et par A, et 4, leurs amplitudes. Si —" >> 0, nous avons 4, > À, , puisque nous avons supposé A, > A, lar diver / - - en A » ! gence des rayons émergents est done D, — D’.. Si 7 < Olona da, CA, Pa il Ba divergence est 2 — Dn «Dans le cas où << 0, A nous prenons les rayons incidents et émergents dans l’ordre in- verse, pour chercher la différence entre leurs divergences et trouver ainsi la divergence des deux rayons. Soit d’abord Wi > 0. La condition de convergence des rayons 1 x 4 oe ND eas est D.— D, < D, — D,’, Comme 7, = = “~ nous aurons à 1 1 a D, — D,” donc, pour un système convergent 26 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES 8 et oo < Vy e+ pay oly si Dj Dredd. alee >, = 6 pe > l,i Dy SDA enen \ Les valeurs de 7, sont négatives si à l'émergence les rayons a vont aboutir à un foyer réel. V, a des valeurs positives si le foyer des rayons émergents est virtuel. La condition de con- vergence peut donc s’écrire: Cre 1; DV spourse > 05 et Cee Oee Sa eee U Prenons maintenant le cas ou Se < 0. La condition de conver- 1 / ; D,— D. . gence est D, — D, < D, — D,, Comme V, = —*,,, il sera D, -— D, satisfait à cette condition, si + 2 Vt pe, A pour DD et ao je pr, 1, pour DD SONOR CS de 0 pour me 10 et mr SRN nee Rese M QUE Il résulte de là que les conditions de convergence sont contra- dictoires si lon peut avoir a, = 0, c.à.-d. si le point lumineux peut être aussi bien réel que virtuel. Il en est de même si l’on peut ae Ue avoir —"= 0. Comme —" —— +s,, on a Aj À, vy 2 20 peur Le a, str > De, EEN 1 pour a, < 0,sir < 0,s > 0, tandis que ee 0 pour 2, > Oper M0 Oper | pour. 0, si7 > 0,5 <0 Les dernières conditions prouvent que ce n’est que dans le cas 8 Ae A EE où 7 = 0 que le rapport Fe conserve le même signe, aussi bien 1 pour des valeurs positives de 2, que pour des valeurs négatives ; c.-a.-d. aussi bien pour des points lumineux réels que pour des points lumineux virtuels. C’est ce qui arrive dans le cas d’une surface réfringente unique ou d’une lentille infiniment mince }). *) Un système composé de deux lentilles infiniment minces, placées à une dis- tance supérieure à la somme de leurs distances focales principales, nous donne l’exemple d'un système où, pour x, >0, A, et Ar n'ont pas toujours le même signe, tandis que FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 27 Afin que la contradiction entre les conditions de convergence pour des points lumineux réels et virtuels disparaisse, il faut que on ait ¢ — l pour fe Der | pour sa al) Ay Ay Le premier cas se présente dans les lentilles infiniment minces; quant au deuxième il ne répond a aucun système optique existant, et n’a certainement aucune signification pratique si l’on doit avoir en même temps 7 —0. Parmi tous les systèmes optiques il n'y a done que les lentilles infiniment minces qui puissent être convergentes ou divergentes dans le sens que nous venons d’attribuer à ces mots, aussi bien pour des points lumineux réels que pour des points lumineux vir- tuels. Nous retrouvons ainsi pour les lentilles infiniment minces les conditions déjà connues de convergence p < o, et de divergence p > 0. Parmi les autres systèmes optiques les uns ne sont conver- gents que pour des points lumineux réels, les autres pour des points virtuels. Nous considérerons encore les systèmes optiques formés par une seule surface réfringente. Dans ce Aye > 0; or on reconnait at facilement à la condition de convergence, qu’une surface réfringente tournant sa convexité vers le premier milieu qui est le moins dense, west convergent que pour des points lumineux réels; et qu’une surface concave du coté du premier milieu, qui est le plus dense, nest convergente que pour des points lumineux virtuels. Dans le deuxième cas le système n’est pas convergent pour tout point lumi- neux réel, mais uniquement pour ceux qui sont plus éloignés de la surface réfringente que le centre de courbure, ainsi qu il est aisé de le reconnaître sur une simple figure. Ajoutons encore que parmi les cas d’une surface réfringente unique sont divergents: une surface tournant sa convexité vers le premier milieu qui est le plus dense, pour un faisceau divergent, et une surface concave du côté du premier milieu, qui est le moins dense, pour tous les faisceaux convergents. § 14. Situation des foyers principaue. Si la situation des foyers principaux est connue, il n’est pas encore possible de trouver pour tout point lumineux le changement de divergence, ainsi qu'il a été dé- pour x, <0 les signes sont toujours différents. Si la distance des lentilles est plus petite que la distance focale principale de la première lentille, on a pour x, > 0, >; ES mais si &, <0, Ar et A, n'ont pas toujours le même signe. 28 PROPRIÉTÉS GENERALES DES IMAGES terminé au § 13, mais il est possible de déterminer pour quels points lumineux réels l'image est réelle. Nous distinguerons trois cas. Si le premier foyer principal /, est situé en avant, le deuxième FF, en arrière du système, tout point lumineux, placé en avant du foyer /’, donne une image réelle. Cela résulte immédiatement du fait que le point lumineux et son image se déplacent dans le même sens ($ 10). Tel est le cas pour un système de deux len- tilles convergentes, dont la distance est plus grande que la somme des distances focales principales, ou moindre que la plus petite d’entre elles. Comme second cas nous considérerons celui où #, est placé en avant de la première surface réfringente, /, en avant de la dernière. Dans ce cas tout point lumineux placé entre le premier point oculaire et le premier foyer principal donne un faisceau réfracté convergent. Le premier point oculaire est situé en avant du pre- mier foyer principal. En effet, les images de ces deux points sont respec- tivement placées au sommet de la dernière surface réfringente et a l'infini en arrière du système; et comme la première image est située devant la deuxième, on voit que le premier point oculaire est placé devant le premier foyer principal. Toutefois, comme on le reconnaît facilement, ceci n’est vrai que pour autant que le deuxième foyer principal ne soit pas situé derrière le système. On ASE c y arrive aussi en partant des relations o, —— — F, = — — &t A § p cs—pr=n,,. Il résulte de là queo, > &, sip ets ont le même signe, C.-à.-d. si F, = ma <0, le deuxième foyer principal se trouvant en avant de la dernière surface réfringente. Un exemple nous est fourni par un système formé de deux lentilles, lune con- vergente, Vautre divergente, dont la distance est supérieure a la distance focale principale de la lentille convergente. Le troisième cas est celui où Æ est placé derrière la première sur- face, J, devant la dernière. Dans ce cas, les points lumineux donnant des images réelles, sont placés entre le premier point oculaire et la première surface réfringente. Si le premier point oculaire est placé en arrière de la première surface réfringente, il n'y a pas de point lumineux réel donnant une image réelle. Ce troisième cas est fourni par un système de deux lentilles conver- gentes, dont la distance est plus petite que la somme des distances focales principales, mais plus grande que la plus grande d’entr’elles. Les autres cas possibles, comme /, derrière la première surface na FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 29 et # derrière la dernière, peuvent être ramenés aux trois cas précédents par renversement du système. Les situations des foyers principaux et des points oculaires nous apprennent done dans quels cas un point lumineux réel fournit une image réelle. Pour un système composé de deux lentilles infiniment minces nous allons discuter les situations de ces quatre points remarquables. Nous représenterons par 7, et jf, les distances focales principales des deux lentilles, et par d leur distance. D’après le § 12: EE ee Cre M he Cty) 1 A » Fe A Bern! A où A — d—f —f,; cette dernière expression est ce qu'on nomme la distance optique des deux lentilles. Nous. considérerons deux cas: celuvou 7, > 0 et 7, < 0; etveelui où > 0 et fp =< 0. ie eae Ar ret 0: On aura # > 0 et #, > 0 pour toutes les valeurs positives de A, et mème pour toutes les valeurs négatives, si du moins la valeur absolue de A est supérieure à la plus grande des distances Sie = é ARE focales principales f, et fj. Si done nous admettons f, > 7, il faut @ > f, + fo À d € Ji | On a fF, > 0,4 <0, si A est négatif, avec une valeur absolue plus grande que 7, et plus petite que /,, de sorte que 7, > d > ji. Si l’on admettait 7, << f, ce cas ne peut se présenter. Il en est de même si A > 0. On aura A < 0,7, < 0, si A est négatif avec une valeur absolue inférieure à la plus petite des deux grandeurs / et /. Si jf, est la plus petite distance focale, on a alors fy 9 et fo< 0. &: gee F > Oet & > 0 pour toute valeur positive de A inférieure à — f,, done pour f, > d > f, + fo. A << 0 ne correspond a aucune valeur positive de #, ou de Æ,. Comme d west jamais négatif, la deuxième lentille étant toujours située derrière la première, ce cas MANO) te peut ser présenter si 7, <= >. RS > UP OL Ar fr von biens ds fj Ces circonstances ne sont guère réalisables pour des valeur négati- ves de A. Enfin F< 0 et Æ, << 0 west possible que si A est négatif, doner d < f, + fo, si en même temps, > — fy. ART. 7 F 2 . Comme on a en général o, = — — et 0, = — — on peut écrire s C pour un système composé de deux lentilles infiniment minces d d PE (§ 12)0, = — en nil Cr Ces relations, aussi bien fh ha 30 PROPRIÉTÉS GENERALES DES IMAGES que la définition des points oculaires, nous permettent de trouver facilement la situation de ces points dans les différents cas possibles. Pour la détermination des points lumineux réels dont l’image est réelle, les points oculaires n’ont d’importance que dans les cas où B > 0; Beet <0, F< 0. Sif, > Det, > Opn F, >0 et F, << 0 que dans le cas où f, >d>f,. Dans ce cas le premier point oculaire est placé en avant du système, comme on peut le déduire de la valeur de o,, aussi bien que de la définition de ce point oculaire; nous l’avons prouvé d’ailleurs plus haut d’une autre façon. La valeur de o, nous apprend en outre que le premier point oculaire est placé en avant du premier foyer principal. Sif > 0,95 > 0; ona =< 0, F0, pour jf, << dy aa et A, < fy. Le premier point oculaire est placé en avant de la lentille, de sorte qu'il y a des points lumineux réels ayant une image réelle. Soit maintenant ÿ, => 0, fo <0. On a F > 0,4, < 0, pour d > fi. Dans ce cas le premier point oculaire est placé en avant du système. Ce point se trouve en arrière du système si #, < 0, 4, < 0, done pour 0 , ® étant le flux lumineux émis normalement par [unité de surface de l’objet lumineux dans un cône d'ouverture w. Comme la production des images est limitée à des rayons centraux, les ouvertures des cônes de rayons que nous avons à considérer sont si petites, que tous les rayons peuvent être considérés comme normaux aux éléments des surfaces qui émettent et reçoivent la lumière. Dans ce cas Pexpres- sion de P ne contient pas d’autres grandeurs géométriques que w,e est le facteur physique dans Vexpression du flux lumineux. Représentons par & la distance de l’objet à la pupille d'entrée, et par & la distance de l’image à la pupille de sortie; par e, l'éclat de l'objet, par e, l'éclat de l’image. Le flux lumineux émis par un élément circulaire O, de l'objet à travers un élément quelconque #, de 2 , IS" 217 la pupille d'entrée est e, O0, gr L’élément correspondant O, de 1 Vimage émet par l'élément conjugué S, de la pupille de sortie le - S . / flux e, O, > Et comme ces deux flux lumineux sont égaux, on a 2 S joy à SIDE O, O0, = = % Og os où bien e, = eol LL - est Pou- ER rk GP en S, Os : bas Ei verture du cone ayant le centre de la pupille d'entrée pour som- met et élément O, pour base. Cette ouverture est proportionelle au carré de langle au sommet du cone. Cet angle au sommet, formé par deux rayons situés dans un même plan passant par ’ Paxe est égal à la différence des divergences de ces deux rayons. ) Le flux lumineux est constant le long d’un faisceau se propageant dans un milieu non absorbant. 11 peut être défiai comme l’energie ondulatoire, transmise par une sec- tion quelconque du faisceau par unité de temps. FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 43 2 So © a ar ue PA arity: Ove O,: 6," a une signification semblable, de sorte que a = Pp D ; me REA] , carré du grossissement angulaire au centre de la pupille de sortie. 4 A ‚5, 2 . . Apis’ . De même 5 est le carré du grossissement linéaire au même point. Comme d’après $ 10, le produit de ces grossissements est égal à EEA an Gj CD One) Sem =d, OÙ Are ec. à. que les éléments correspondants de l’objet et de l’image ont le mème éclat 2). La relation que nous venons de trouver entre les éclats de l’ob- jet et de l’image, subsiste encore si la production des images ne se fait pas seulement par des rayons centraux *). Elle sert de base à la détermination des relations entre l'intensité de points lumineux et la clarté des objets lumineux, qu’on observe avec ou sans instrument d'optique, et à la détermination de léclairement de l’espace image. Ces déductions ne subissent aucune modification par la façon dont nous avons développé la production des images par rayons centraux. Il suffira done de renvoyer à des mémoires connus 4). $ 20. Profondeur du champ. Dans un plan déterminé de l’espace image, que nous nous figurons normal à l’axe, et que nous appel- lerons plan de l’image, un système optique ne forme une imag que d'un seul plan de l'espace objet, également normal à l’axe. Ce dernier plan nous Vappellerons plan de visée. Les points placés en avant ou en arrière du plan de visée émettent des faisceaux lumineux qui, après réfraction, sont coupés par le plan de l’image, non en un point, mais suivant un cercle que nous appellerons cercle de diffusion. Ces cercles forment une image diffuse des parties de l’espace objet, situées de part et d'autre du plan de visée; à moins que leur diamètre ne soit moindre que la plus petite distance de deux points que loeil peut encore distinguer Pun de l’autre. Jusqu'ici on a admis avec Helmholtz que [angle sous lequel on observe deux pareils points est d'environ 1’; de nouvelles observations sem- oe nette ) Ce théorème a été démontré pour la première fois par Kirchhoff pour toute espèce de radiations. *) Voir aussi Violle, Cours de physique, II, 602. 5) Kircunorr, Ueber den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme, Monatsber. der Akad. der Wiss., Berlin, 1859. Ciausius, Pogg. Ann. Bd. 21, 1864; Mechanische Wärmetheorie, 2e Aufl., I, p. 314. Hermnourz, Die theore- tische Grenze für die Leistungsfähigheit der Mikroskope; Pogg. Ann. Jubelband, 1874. Anne, Ueber die Bestimmung der Lichtstärke optischer Instrumente. Jenaische Zeit- schrift für Medicin und Naturwissenschaft, Bd. VI, 1871. “) Abbe, loc. cit.; Helmholtz, loc. cit; Mascart, Traité d'optique, Tome I, p. 122, 181; Violle, loc. cit., Chap. V (II). AA PROPRIETES GENERALES DES IMAGES blent toutefois prouver que cet angle est égal à & à À’ environ }). Si la valeur angulaire du diamètre de ce cercle de diffusion res- te inférieure à cette quantité, que nous représenterons par ¢, la vision sera encore distincte. On observe done encore nettement des portions de l’espace objet situées de part et d'autre du plan de visée. Afin de déterminer cette partie de l'espace objet, c. a. d. la profondeur du champ, nous allons calculer le diamétre du cercle de diffusion pour un point Z situé à une distance 4 du plan de visée. Soit ¢, la distance du plan de visée à la pupille d'entrée, et d le diamètre de cette pupille. Remarquons en premier lieu que le cercle de diffusion doit être l’image nette dans le plan de l’image d’un élément conjugué du plan de visée. Cet élément peut être trouvé directement. Le cercle de diffusion est l’inter- section du plan de l'image avec le faisceau conique émergent. Du faisceau incident correspondant Z est le sommet et la pupille d'entrée la directrice. Des plans conjugués, comme le plan de l’image et le plan de visée coupent ces cônes suivant des éléments correspondants. Le cercle de diffusion dans le plan de l’image est done conjugué du cercle suivant lequel le plan de visée coupe le faisceau émanant de Z. Le diamètre de ce cercle, dans le plan Res bd REC ; aen de visée est ————. Si V est le grossissement linéaire dans le REE plan de l’image, le diamètre du cercle de diffusion est TE Ha Soit &, la distance du plan de l’image à la pupille de sortie, où Pon suppose que Voeil soit placé; le diamètre du cercle de diffusion b V nen Il suit de là que la plus nT grande distance au plan de visée des points, encore nettement observables, placés en avant de ce plan, est déterminée par NAE es, S, Se) RO 7 ae: La distance correspondante dV — eb) i s’observe sous un angle remplaçant ¢, + 6 par ¢,— 6. Représentons cette distance là par ; 66; és , ona: D= d I + € Co : Comme &, est la distance à laquelle Poeil vise, ¢¢, est la dis- tance de deux points que Voeil peut encore distinguer. En général cette distance sera tres petite par rapport à dV, c. à. d. au pro- A ‘) Pulfrich, Physikalische Zeitschrift I, p. 98. Voir aussi Mascart, Traité d'optique, eps: FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 45 duit du diamètre de la pupille d'entrée du système optique et du grossissement linéaire. On a done d’une façon très approchée el, On bi A de sorte que la profondeur du champ est Ye Ci Co 1 . A S 20 —— Cette expression peut être encore tant soit peu mo- adv difiée. Soit a langle sous lequel on voit la pupille d'entrée du plan de visée; c’est donc l’ouverture des faisceaux incidents, et dé x, puisque pour des rayons centraux tous les angles sont Ze So An Cette expression est parfois appelée profondeur focale ou profon- deur de visée. Si l’image formée par le système optique n’est pas recueilli sur un écran, mais est observée à l’oeil nu, la pro- fondeur du champ est encore augmentée par la faculté d’accom- modation de oeil. Par suite de cette accommodation, il n’est pas seulement possible d’observer nettement ce qui est reproduit dans le plan de l’image, mais encore tout ce qui est placé de part et d'autre de ce plan entre certaines limites. Cette partie là encore très petits. La profondeur du champ devient ainsi 24 = de l’espace image est conjuguée d’une portion de l'espace objet. La profondeur totale du champ est la somme des profondeurs focale et d’accommodation, en les supposant toutes les deux petites. La pro- fondeur d’accommodation peut être déterminée de la façon suivante. Pour caractériser la faculté d’accommodation de loeil on dis- tingue un „punctum renotum” et un „punctum proximum’’. Le premier point est conjugué de la rétine par rapport au système optique formé par loeil en repos, c. à. d. en l'absence de toute accommodation. Le deuxième point est conjugué de la rétine pour un oeil au maximum d’accommodation, Représentons par STE ll Il ety P les distances de ces deux points a l'oeil, 4= — — R est l’amplitude d’accommodation. 4 est ainsi exprimé en fonction du pouvoir focal d’une lentille, qui, placée devant Poeil, produirait tout Peffet optique qu’il soit possible d’obtenir à l’aide de l’accommo- puq D dation. On a donc 4 — See Pour déterminer la profondeur Vaccommodation il faut maintenant chercher quelle distance dans l’espace objet est conjuguée de &— P dans l’espace image. Or cette distance est (2 — P): V,,; ou bien encore, comme | V.V. | Per ($10), où 77 et 7, sont les grossissements War 46 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES linéaires dans les plans de l’espace image, menés aux dis- tances P et ZR normalement à laxe du système optique, BB dE Nia pe 7, dire que les points bonen des espaces objet et Image se succèdent dans le même ordre ($ 10). expression ainsi obs donne la largeur de la zone que la faculté d’accommodation ajoute à la profondeur focale, partie d'un côté, partie de l’autre du foyer. Nous modifierons encore quelque peu l’expression. Nous avons représenté par £ la distance pour laquelle l'oeil est adapté, £ sera done une moyenne entre Z et P. On pourra done écrire à un degré suffisant d’exactitude PR — ¢,*. Pour Ja mème raison on peut remplacer 7, Vs par F2, V étant le grossissement dans le plan de [image que l'oeil, s’accommodant pour la distance ox observe nettement. Nous obtenons ainsi pour profondeur d’accommo- Ce BEG ss et t rofondeur t "72 j SE at gry et pour profondeur totale ia +2 An, pe Le signe négatif veut dation 2 4» r Comme ze est l’angle sous lequel on voit l’umité de longueur de 2 = de l’objet, akan Viet Ton nt écrire expression de la profon- 1 Wee Evaluons maintenant i: ye focale dans une couple de cas; d’abord pour des observations à l'oeil nu 1). Dans ce cas la pupille de l'oeil est la pupille d'entrée, et le plan de l’image coïn- cide avec le plan de visée. L’oeil, que nous supposions placé à une distance ¢, du plan de l’image, est maintenant placé a la même distance du plan de visée. Des points placés de part et d'autre du plan de visée s’observent encore nettement si la section du faisceau incident, déterminé dans ce cas par la pupille de Voeil, coupe le plan de visée suivant un cercle, dont le diamêtre est plus petit que e&. On pourra donc appliquer l'expression trouvée, si l’on pose / — 1. La profondeur de part et d'autre du plan de visée bo deur totale sous la ON ig a Fain: An, ——h > 2; d est maintenant le diamètre de la pupille de Pe ae el l'oeil. Cette expression peut d’ailleurs être déduite directement de la manière indiquée précèdemment. Supposons ¢ = 1’, et que oeil vise à une distance de 350 mm., et soit d — 4 mm.; alors *) Voir Czapski, Zeitschrift für Instrumentenkunde, 1892, Bd. VII, p. 185. ~ FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. | ie 390 X 00002918 390 de poe mm. 8.7 LSE OOO SE fondeur focale est 17,8 mM. Comme deuxième cas nous considérons celui où l’on se sert d’un de sorte que la pro- oculaire à grossissement / pour examiner l’image formée par le système optique. Nous avons trouvé plus haut pour profondeur focale Qe : 5 Le) Soient VY —-5, &— 350 mM. :Louverture des cônes av 5 a NET ; 4 i) lumineux sortant de l’oculaire est 350’ s'ils remplissent toute la oOo) pupille de Voel; celle des cônes incidents —— X 5, puisque le 350 7 grossissement angulaire est inverse du grossissement linéaire, dans \ te J A , k Es z 5 le cas où les milieux extrémes de l’oculaire sont identiques. On a 2 2 0,000291 X 350 NEE AK 291 X 35 we a ainsi f= - == 0.7 mm. Si les faisceaux qui av 4 5 5 550 X : X sortent de Voculaire ne remplissent pas complètement l'oeil, la valeur de a est plus petite et la profondeur est plus grande. Si le plan de visée est placé à une distance infiniment grande, a — 0 et V — 0, de sorte que la profondeur focale est infiniment grande. Cela veut dire que la région nettement observée de l’espace objet s'étend Jusqu'à une distance finie du système optique. Nous obtenons une détermination plus exacte de cette région en cherchant le point lumineux pour lequel le cercle de diffusion est égal a el. Ici encore la portion nettement observée de l’espace objet se compose de deux portions, situées de part et d'autre du plan de visée. Laissons le point lumineux se déplacer du plan de visée vers la pupille d'entrée, tout en restant devant le système optique. Comme le plan de visée est situé a linfini, le plan de l’image passe par le deuxième foyer principal. La pupille de sortie doit donc être située en arrière de ce plan, pour que l'oeil de l’observateur y puisse être placé. La pupille d'entrée est donc située en avant du premier foyer principal, Soient £, et £, les distances du point lumineux et de la pupille d'entrée au premier foyer principal, & et £ les distances du plan de l'image et de la pupille de sortie au deuxième foyer principal. Dans le cas consi- déré &, > &, et & < &. Les rayons émis par le point lumineux forment après réfraction un cône ayant pour sommet l’image cor- respondante, et la pupille de sortie comme directrice. Ce cône coupe le plan de l’image, conjugué du plan de visée, suivant un 48 PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES IMAGES cercle dont le diamètre est égal à dV "2. L’image du point ES lk 2 F2 52 . 2 r ay, e © celal lumineux est encore nette, si dV ——*-, ee Comme EEn En 52 Sg 5 cor 59 Er on a — TE zi Eg — So mea De plus V est le grossissement dans le plan de la pupille de ; A + sortie, donc /—= =. De sorte que pour u, == 1, la condition d trouvée devient &, eA Ex + PA La partie de l’espace objet, placée ep devant le plan de viseé, F encore nettement observée, s'étend done jusqu’à une distance de la pupille d’entrée. ae Si le point lumineux se Teas vers l’autre côté du plan de visée, cela veut dire qu'il devient virtuel, et que les rayons incidents devien- nent convergents. Le point lumineux virtuel se déplace ainsi d’un plan à Vinfini en arrière du système vers la pupille d'entrée. Dans ce cas £,< &, et £, <0 de sorte que le diamètre du cercle de 5 } 2 dl diffusion est égal, en valeur absolue, à d / Sp = — ——— bai £a Pe ore 5 dad Dans ce cas la condition cherchée est ce — - ee Se GMD ren : TE d > ; ; bien &, — £ — — >. Elle exprime que la portion nettement ep C observée de l’espace objet, située derrière le plan de visée, s'étend a beet ee r : d à 3 depuis linfini Jusqu'à une distance ae de la pupille d'entrée. EP Co Les expressions trouvées pour les profondeurs focale et d’accommo- dation nous apprennent que, si la valeur de a reste constante, _e. à. d. Pangle sous lequel on voit la pupille d'entrée d’un point du plan de visée, la profondeur focale diminue proportionnellement à la puissance, donc aussi au grossissement, tandis que la profon- deur d’accommodation diminue proportionnellement aux carrés de ces grandeurs. Dans les cas où le grossissement est considérable la faculté d’accommodation contribuera done peu à la profondeur du champ. C’est ce qu'on reconnait d’ailleurs plus clairement encore, si l’on calcule le rapport de la profondeur de l’espace objet à la largeur observée. Si du centre de la pupille de sortie on observe sous langle @ le rayon du champ visuel dans l’espace de l’image, le diamètre de ce champ est 2@&,, et la dimension conjuguée FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 49 TEN: dans l’espace de l’objet est Sr Le rapport de la pro- fondeur à la largeur de l’espace objet accessible à Vobservation, DER 0 £ est égal, si l’on considère la profondeur focale, à FC aam, a a (2 e. à. d. constante pour des valeurs données de a et 2. Si l’on considère la profondeur d'accommodation, ce rapport est égal a nel iPad: ce. à NN 6 NE que pour la profondeur focale, inversement proportionnelle à la ean, - d. dans la même hypothèse puissance, done aussi au grossissement. Pour de petites valeurs de A NA Re lus erande Le a sera bien plus grande que - B V afd’ est considérable, la faculté d’accommodation contribuera encore V, l'expression mais si V à peine à la profondeur, qui sera presque entièrement déterminée par la valeur constante de la pronfondeur focale. A cause de la forte diminution de la profondeur, tout sytème optique dont on augmente le grossissement, se rapproche d’un ,,microtome optique” +), qui ne permet de voir que des sections planes de l’objet. Avec un système optique quelconque il est possible d'obtenir des effets stéréoscopiques, si lon a soin de recevoir dans chaque oeil les rayons situés d’un côté seulement d’un plan mené par l'axe du faisceau lumineux. C’est ce qu’on réalise dans un microscope binoculaire, et dans le microscope à oculaire stéréos- copique d’ABBe. D’après ce que lon vient de voir ces effets stéréoscopiques ne sont de quelque importance que si le grossis- sement est faible ?). $ 21. Znfluence de la position des pupilles sur les mesures fai- tes a l’aide d'images optiques. Dans divers cas on se sert d’instru- ments d'optique pour déduire des dimensions de l’image les dimen- sions apparentes ou linéaires de Pobjet: c'est ce que Von fait par exemple dans les microscopes micrométriques et les lunettes munies *) Appe, Beschreibung eines neuen stereoscopischen Oculars nebst allgemeinen Bemerkungen über die Bedingungen mikroskopischer Beobachtung, Carl’s Repert. f. Exp. Physik, Bd. XVII, 1881, p. 224. Verdet, Conférences de physique, T. II, p. 947. *) Voir Appr, loc. cit. Voir aussi Zeitschr. für Mikroskopie, IT, 1880, p. 207, et Journal Royal Microscopical Society, Ser. IT, Vol. 1, 1881, p. 203. Voir encore Bosscua, Les équations des nouvelles copies du Métre des Archives, Arch. Néerl T. XXV, p. 198 et suiv. Verhand. Kon. Akad. vy. Wetensch. (fe Sectie) Dl. VIT. HA 50 PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES IMAGES d'un micromètre a fils. Pour ces mesures il est nécessaire de con- naître le facteur de réduction, c. à. d. le rapport des dimensions correspondantes de l’objet et de l’image; or ce rapport peut être déduit des propriétés du système optique. Ce facteur de réduction peut done varier par un changement dans les constantes optiques du système, changements qui peuvent provenir par exemple d’une variation de température. Un autre changement possible du facteur du réduction a été signalé par ABBE; ce changement dépend à un haut degré de la délimitation du faisceau reproducteur, c. à. d. de la position des pupilles 5). Pour le bien faire voir, nous remarquerons que malgré tout le soin que nous mettons à faire coïncider le plan dans lequel s’effec- tuent les mesures avec le plan de l’image, la coïncidence absolue nest en général pas atteinte. D'ailleurs, en supposant mème que cette coïncidence ait été momentanément obtenue, des changements dans les situations relatives de l’objet et du système optique, des influences de température ou des variations dans l’accommodation de l'oeil, pourront la rendre de nouveau imparfaite. Donnons au plan, sur lequel l’oculaire du microscope micrométrique est pointé, le nom de plan de mesure. En général ce plan est déterminé par des fils d’araignée ou d’une autre façon; et si tel n’est pas le cas il a néanmoins une position déterminée par la distance, pour laquelle l'oeil s’est accommodé. Le plan de l’image ne coincide donc pas d'ordinaire avec le plan de mesure; ce qui n’empéche pas pourtant que l’image imparfaitement nette, produite dans le plan de mesure, puisse être observée comme une image nette par suite de la pro- fondeur du champ. Nous avons vu que tel est le cas si le cercle de diffusion n’excède pas certaines limites. Les centres des cercles de diffusion, c.a.d. des sections des faisceaux émergents par le plan de mesure, sont situés sur les rayons principaux de ces faisceaux, lesquels rayons passent par le centre de la pupille de sortie. L'image que l’on mesure est produite par ces cercles de diffusion, et l’on peut admettre que l’on vise les centres de ces cercles Il résulte déja de là, que la direction des rayons prin- cipaux, menés par les centres des pupilles, doit avoir une grande influence sur les dimensions de l’image que l’on mesure. Considérons deux points dans l’objet et soient D, et 2, les divergences des rayons principaux venant de ces points, donc pas- 1 ) Agge, Ueber mikrometrische Messung mittelst optischer Bilder. Sitzungsber. Je- naïscher Gesellschaft, 1878, FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. ol sant par le centre de la pupille d'entrée; nous représenterons par D, et D, les divergences des rayons réfractés correspondants, pas- sant par le centre de la pupille de sortie. Soient encore £, la dis- tance de l’objet à la pupille d'entrée, &, celle de l'image à la pupille de sortie; la distance des deux points considérés dans Vob- jet est donc VR saat cit Dr D") ¢,, et celle des points corres- pondants dans l’image: y, — #3 — (D, — Dy) Ez. Il résulte de la que le facteur de réduction est ile A a Lo si = L En Vo D, — Dy Ss Va So si J”, est le grossissement augulaire dans le plan de la pupille de a sortie. On voit clairement d'après cette relation quelle est l'influence de ¢, et &, sur le rapport entre les dimensions: de l’image et de l'objet. Appr a fait voir que l’on peut rendre ce facteur de réduction indépendant aussi bien de ¢, que de &,. Supposons que £ soit con- stant. Tel est le cas pour Vobjectif d’un microscope micrométrique. Pour faire des mesures à laide de ce microscope, dès qu'il a été pointé, on ne change plus rien à la position, par rap- port à objectif, du plan de mesure déterminé par les fils du réti- cule. En général le bord de la première lentille d’un microscope sert de pupille d’entrée, la position de la pupille de sortie par rapport à l'objectif reste done invariable. De petits déplacements de Voculaire, effectués pour corriger de petites variations dans la distance pour laquelle l'oeil s'accommode, ne modifient évidemment en rien la position du plan de mesure. £, est done constant. Si on néglige l'influence de la température sur les constantes opti- ques du microscope, le facteur de réduction ne peut être modifié que par un changement dans la distance de objet au microscope. Ces variations dans le facteur de réduction disparaissent du moment que les rayons principaux incidents sont parallèles à l’axe optique du système. Quelle que soit alors la position de l’objet, deux mèmes rayons principaux incidents coupent l’objet toujours aux deux mèmes points, et en font de même à l'égard du plan de mesure. Les centres des cercles de diffusion, correspondant à deux points de l’objet, conservent donc toujours la mème distance, indépendamment de la position de l’objet; de sorte que le facteur de réduction est con- stant. Cette marche des rayons lumineux est nommée par Abbe télécentrique du côté de l’objet. On Vobtient en plaçant un dia- phragme au deuxième foyer principal du système, donc dans le cas de mesures faites à l’aide du microscope micrométrique, au deuxième foyer principal de l'objectif. On pourrait d’ailleurs placer le dia- phragme en un point conjugué de ce deuxième foyer principal par rapport au système de lentilles, situé entre ce point et le dia- E 4% 52 PROPRIETES GÉNÉRALES DES IMAGES phragme lui-même. De cette façon la pupille d'entrée est placée a Vinfini,, de sorte que À == o,7). Le facteur de réduction est indépendant de ¢,, e. à. d. de la position du plan de mesure, si les rayons principaux émergents sont parallèles à l’axe du système optique. Suivant la dénomination employée par AgBBE, cette marche des rayons est télécentrique du côté de Pimage. Dans ce cas des changements dans la position de l’ocu- laire ou des modifications dans le tirage dûs à des variations de température n’ont aucune influence sur le facteur de réduction. Il est d’ailleurs possible de rendre la marche des rayons télé- centrique du côté de image aussi bien que du côté de l’objet, comme cela peut être le cas dans les objectifs des microscopes micrométriques. Il faut alors que l'objectif soit un système téles- copique, et que le diaphragme soit placé au point qui est respec- tivement deuxième et premier foyer principal du premier et du deuxième système de lentilles dont le système télescopique est composé. Dans ces trois cas la valeur du facteur de réduction s’obtient directement. a) La marche des rayons principaux est télécentrique du côté de l’objet. Considérons le rayon principal incident d’un point lumineux à la distance a de Vaxe. La divergence du rayon principal émer- gent correspondant est p.a, d'après la signification de la constante optique p ($ 3). Ce rayon principal passe par le deuxième foyer prin- cipal, et coupe le plan de mesure en un point situé à la distance p.a.& de Vaxe. Comme la pupille de sortie est placée au deuxième foyer principal, & est la distance du plan de mesure au deuxième foyer principal, distance que nous avons représentée précédemment , . ] par £. Le facteur de réduction est done —-. On peut du reste Pig Pad Les à log ; à d partir de Pexpression — 2!, trouvée pour le facteur de réduction a 52 dans le cas général, et y poser &, = &. & est la distance du point lumineux au centre de la pupille d'entrée; cette distance est infi- niment grande. On a d’ailleurs à LNG: , (OÙ @ Sei fap Fa 6 + pr, porte au centre de pupille d'entrée, de sorte que pour 2, = ©, Cy Il - prend la valeur - Fa p ") On peut encore faire remarquer que par la marche télécentrique des ravons du côté de l'objet, les dimensions linéaires du champ visuel deviennent égales à celles de la pupille d'entrée. FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 53 b) La marche des rayons principaux est télécentrique du côté de l'image. La divergence d’un rayon incident principal venant d’un point À a À lumineux à la distance a de l'axe est = D'après les valeurs des g 51 constantes optiques du système inverse (équ. IE § 5), un rayon incident passant par le premier foyer principal et de divergence a U UA >» à une amplitude finale de — —, de sorte que le facteur de + Al ? 4 = = ELP Go © ’ Q réduction est . On y arrive aussi en partant de [expression Na ne À oi Nei generale —— où 6, 0, Syb V,=— Or comme a Co P $2 ; : I p f= oo, il Suit que = Vig So Rs e) Marche des rayons principaux télécentrique du coté de l'image el de lobjet. Comme un système télescopique présente un gros- sissement constant s, s est aussi le facteur de réduction ($ 15). Il faut remarquer que les avantages présentés par une marche télécentri- que des rayons ne s’obtiennent qu’ aux dépens de l'intensité lumineuse. L'ouverture des faisceaux coniques émis par les divers points lumi- neux est considérablement réduite par l'ouverture du diaphragme. Or cette ouverture ne peut pas ètre trop grande, sans quoi les cercles de diffusion dans le plan de mesure seraient trop grands, ce qui nuirait à la netteté de l’image et rendrait ainsi les mesures micrométriques impossibles. A mesure que les plans de mesure et de l’image s’écartent davantage, il faut, toutes conditions égales d’ailleurs, diminuer l'ouverture du diaphragme. $ 22. Perspective de l'image optique. Au $ 20 nous avons fait voir que la profondeur du champ ne dépend que de l'ouverture des faisceaux lumineux et du grossissement du système optique. Elle est d'autant plus grande que louverture et le grossissement sont plus faibles et peut donc prendre des valeurs considérables dans les objectifs photographiques, où l'ouverture des faisceaux lumineux est faible et où le grossissement est généralement inférieur à 1. Comme l'image produite par le système optique, pour autant qu'elle soit nettement observée, est une reproduction non seulement du plan de visée, mais encore de plans, situés à peu de distance de part et d'autre du plan de visée, on est tout naturellement conduit à la question de savoir de quel point un observateur doit considérer l’image pour recevoir la même impression que par observation de lobjet. La 54 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES portion de l’objet encore nettement observée par le système opti- que, est la projection centrale de l’espace objet sur le plan de visée du centre de la pupille d'entrée. L’image est semblable à cette reproduction en perspective. Le facteur de similitude est le grossis- sement du système optique. On recevra done l'impression voulue de perspective, en plaçant l’oeil à une distance telle de l’image que les dimensions de l’image soient observées sous le même angle que les dimensions correspondantes de l’objet vu du centre de la pupille d'entrée. Dans cette observation l'oeil ne doit pas être placé au centre de la pupille de sortie, puisque l’image et l’objet seraient alors vus de points correspondants, donc sous des angles dont le rapport serait égal à 77,, #7, étant le grossissement angu- laire dans le plan de la pupille de sortie. Du centre de la pupille de sortie, done à une distance & de Vimage, on voit done les dimensions de l’image sous un angle /, fois plus grand que celui sous lequel sont observées les dimen- sions correspondantes de l’objet. Il en résulte immédiatement que la distance cherchée doit être égale à Vé, ou bien 7, (&’ — &), si E et & sont les distances de la pupille de sortie et de l’image au deuxième foyer principal. Si le système optique est une lentille infiniment mince, et sil wy a pas de diaphragmes particuliers, de sorte que les bords de la lentille délimitent les faisceaux incidents, où bien encore si le diaphragme est placé immédiatement en avant de la lentille, les pupilles coincident avec le plan de celle-ci. Comme dans ce cas Vc ($ 3); et pour une lentille infiniment mince ¢ = 1, la dis- tance à laquelle il faut observer l’image est done &,, e. à. d. la distance de l’image à la lentille. La pupille de sortie est en effet placée dans le plan de la lentille elle même. AIRE dre tee 5 n Si l’objet est infiniment éloigné, on a & = 8, V,= + 2 CMR / P &o : Na sel > (§ 10), et la distance cherchée est —*; soit — pour x,, — 1. Pour L P une lentille infiniment mince, est la valeur absolue de la distance p focale principale. Dans ce cas le point de vue est à une distance de l’image égale à la distance focale principale. Cette règle trouve une application étendue en photographie. Si la distance cherchée est inférieure à celle pour laquelle l'oeil peut s’accommoder, l’observation de l’image doit se faire à l’aide d’une lentille convergente. Si l’on regarde l’image à une distance trop faible, donc sous un angle trop grand, l’image FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 29 paraît plus plate que lobjet; c'est là une propriété générale en perspective; si au contraire la distance à laquelle on observe l’image est trop grande, l’image semble avoir plus de profondeur que l’objet. IL Constantes optiques de Voeil et conditions d'achromatisme. $ 23. Constantes optiques de l'oeil emmétrope. A l’aide des in- dices de réfraction, rayons de courbure et épaisseurs des milieux qui constituent le système optique de loeil, on peut calculer les constantes optiques de l'oeil, considéré comme un système de surfaces sphériques centrées. M. Bosscua 1) à effectué ces calculs, en se servant des valeurs de „oeil réduit” de Lisrinc, dont les éléments géométriques et optiques sont les moyennes des observa- tions connues jusque vers 1850. Hermuorrz *) a donné des valeurs moyennes déduites de plusieurs mesures ophtalmométriques faites jusque dans les derniers temps. Ces valeurs moyennes sont: DOD He eri Saat 1 OR ON Sohne ocean — KOMM B tee race pese — OM. Distance du centre de la cornée a la face antérieure du cristal- lin = 3,6 mM.; épaisseur du cristallin — 3,6 mM. Vu la faible épaisseur de la cornée, nous pouvons négliger la faible différence entre les indices de réfraction de la cornée (ns, — 1,840) et de l'humeur aqueuse : de sorte que nous trouvons pour constantes op- NM itumeur aqueuse N Hrumeur vitrée tiques du système formé par la cornée et l'humeur aqueuse ($ 4): TA nn 0 0920080. Les indices de réfraction de l'humeur aqueuse et de l'humeur vitrée étant égaux, l'indice du eristallin par rapport au milieu qui e437 | re El l'entoure, est — 1.0753. Les constantes optiques du cristal- 125509 lin, dont Vindice relatif au milieu environnant est 1.0753, sont ($ 12) aU JOU, — OOTY LOR = 3 51818 "0, 0743" Pour le système optique formée par la cornée et le eristallin nous trou- vons, à l’aide des relations IT ($ 4), et tenant compte de d = 3,6 mM. : *) Bosscua, loc. cit., p. 99 et suiv. *) Hetmnonrz, Physiol. Optik, 2e Aufl, p. 140. 56 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES 06685 op == — 004898 i= 5.1806) ¢ = 07am (0.639) (—- 0.04.98) (5.644) (0.739) Les nombres placés entre parentheses sont ceux calculés par M. Bosscua, au moyen des données de ,,Poeil réduit” de Listine Nous avons déjà supposé que les rayons sortant du cristallin entrent dans humeur vitrée dont l'indice de réfraction est 1,3365. Or l’on se propose surtout de chercher le point où les faisceaux lumineux frappent la rétine. Nous allons donc encore ajouter au système la région de l'humeur vitrée comprise entre la cornée et la face postérieure du cristallin. Soit d son épaisseur, c. à. d. la distance de la face postérieure du cristallin à la rétine. Dans l’hu- meur vitrée il n’y a plus de nouvelle réfraction. Seule l’amplitude varie de d.D,; et la deuxième équation fondamentale devient A, = TD, + 84, + dD,. Il en résulte en substituant D, — eD,--pd, ; Ar ie de) D, + (s + dp) 4. On voit done que 7 devient r + de, s devient s + dp. Des données de Helmholtz il résulte que le deuxième foyer principal de Voeil est placé à une distance de 15,619 mM. en arrière du cristallin. Posant donc d= 15,619 on trouve : c= 0.6635 p— 0.048928 r=15.494 5 = 0.0002 (0.639) (— 0.04.98) (15.00) (0.00) Les nombres placés entre parenthèses sont encore une fois ceux calculés par M. Bosscra au moyen des données de ,,Voeil réduit” de Lasrixé; pour lequel le deuxième foyer principal est placé à 14,65 mM. en arrière du cristallin. | Un faisceau de rayons incidents parallèles à l’axe coupe le deuxième foyer principal au point d'intersection avec axe, de sorte que 4, = 0. Comme pour D, 0e 4 les calculs doivent done donner s — 0. La faible différence s = 0,0002 doit provenir d’une petite erreur dans le calcul ou dans la valeur de la deuxième distance focale principale. La condition s — 0 nous apprend que le deuxième foyer principal est placé dans le plan de la dernière surface du système optique, ©. à. d. que l'oeil pour lequel la distance du cris- tallin à la rétine est de 15,619 mM. est emmétrope. Pour un tel oeil les deux équations fondamentales sont D, = cD, + p4,, A,=rD, M. Bosscra 1) à fait remarquer que les perceptions 1) BosscrA, loc. cit. p. 100. FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 57 visuelles sont indépendantes de la direction des rayons qui rencon- trent la rétine en un même point. L’oeil emmétrope est done suffisamment caractérisé par une seule constante optique. La deu- xième équation fondamentale conserve la même forme pour tout système que l’on prolonge dans le dernier milieu jusqu'au deuxième foyer principal, c.a.d. si Von mène la surface terminale par ce point. De A4, —rD, il résulte que l'amplitude finale ne dépend que de la divergence du rayon incident. Si un point lumineux est placé à une distance quelconque en avant de l'oeil, les rayons Émis par ce point qui entrent dans Voeil, coupent la rétine sui- vant le cercle de diffusion. Le centre de ce cercle est placé sur le rayon principal réfracté. Le rayon principal meident passe par le centre de la pupille d'entrée, dont l’image, formée par la cornée et l’humeur aqueuse, coincide avec la pupille de Voeil. Les distances des centres des cercles de diffusion ne dépendent que des différences de divergence des rayons incidents principaux et sont 7 fois plus grandes. Ces distances sont indépendantes de celles aux- quelles les points lumineux sont placés en avant de loeil. Par leur ensemble ces cercles de diffusion forment l’image rétinienne diffuse. Si les points lumineux sont à l'infini, les cereles de diffusion se réduisent à leurs centres, et forment une image parfaitement nette. La grandeur des images rétiniennes est done proportionelle à la difference des rayons principaux incidents. Pour des points lumineux à une distance infime de Voeil chaque rayon du faisceau incident peut être considéré comme principal, puisqu'ils sont tous parallèles. De A,=rD, il résulte, comme nous l'avons déjà fait remar- quer, que le diamètre du cercle de diffusion est 7 fois plus grand que l’ouverture du faisceau incident. Cette ouverture est angle au sommet du faisceau conique incident. Soient A la distance du point lumineux à l'oeil et p le rayon de la pupille d'entrée, alors on a pour le rayon du cercle de diffusion #£- Cette valeur de p peut être aisément déterminée à l’aide des constantes précédem- ment données du système optique composé de la cornée et lhu- meur aqueuse. Pour ce système on a 4 = 23,265, F, = 31.095 et N, 1 ADE RIC 5 . 5 . 5 En = 2 — 723.41. Si maintenant on admet que la pupille de l'oeil soit appliquée contre le cristallin, on a &, — — (31.095—3.6)— — 27.495, et &, = — 26.311. Le centre dé la pupille d'entrée est done placé à 26.311—23.265 — 3.046 mM. en arrière de la cor- DS PROPRIETES GENERALES DES IMAGES née, soit à 0.554 mM. en avant de la pupille de Poeil. Le grossis- sement dans le plan de cette pupille est ¢, — 0,85842, ce qui veut dire que le diamètre de la pupille de Voeil est 0,8842 fois plus grand ou 1,131 fois plus petit que celui de la pupille d'entrée. Si le diamètre de la pupille de lPoeil est 4 mM., on a p= 2.262 mM. 5 Quand on regarde un objet, l'oeil est placé de telle façon que l’image rétinienne se forme sur la tache jaune. Soit 4, la dis- tance du milieu de cette tache au point où axe coupe la rétine. DE Ei est angle constant que font entre eux l’axe de Voeil et la direction dans laquelle se trouve objet, par rapport au centre de la pupille d'entrée. La ligne menée par ce point et l’objet est la ligne de visée. Comme # = — la première distance focale principale de Poeil / ie 0.6635 7 PU RE en es ite 0.04898 — 13.74. La position de Vimage peut être . 7 ’ 5 Ny 4 4 \ déterminée au moyen de Pex pression & == Ep” (équ. VII, $ Bison 1 311.5 ae ee epg ry OG OS de sorte EE Bie 13365 et p 0,04828, de sorte que & a, eee £, est la distance de [image au deuxième foyer principal qui, pour un oeil emmétrope, est placé dans la rétine; a, est la distance 301 za exactitude de la valeur calculée pour 7 peut être contrôlée de Pobjet à l'oeil. Les valeurs de Listine donnent & — de la facon suivante. Jusque dans ces derniers temps on admettait généralement que les images de deux points voisins peuvent se distinguer l’une de Vautre si leur distance est au moins de 60°. La distance des images rétiniennes de ces points comporte A, =r D, et comme r = 15,494 et que la longueur d'un arc de 60° en fonction du rayon est égal à 1 : 3438, il vient 4, — 0,0045 mM. Des mesures ont donné pour l'épaisseur des cones dans la tache jaune 0,003 mM.; dans d’autres régions de la rétine cette epais- seur atteint 0,0045 et 0,0067 mM., tandis que l’épaisseur des bâtonnets est de 0,002 mM. Or Poeil peut distinguer deux points lumineux si les images rétiniennes tombent sur deux éléments différents de la rétine. Si les images rétiniennes sont amenées ') Voir Hermnorrz, Physiol. Optik, 2e Aufl, p. 126, où la pupille d'entrée est cal- culée à l’aide des données fournies par LisrinG. FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 59 dans la tache jaune, on devrait done pouvoir distinguer deux points lumineux dont la distance angulaire n’est que de 45”. Ce résultat est d'accord avec les recherches les plus récentes, qui ont appris que dans tous les cas cette valeur est inférieure à 1’. !) A l’aide des constantes optiques de l'oeil emmétrope on peut déterminer sa profondeur focale, c. à. d. la portion de Vespace objet que l'oeil emmétrope peut nettement observer sans se servir de la faculté d’accommodation. Supposons que l’on puisse distinguer nettement encore tous les points dont le cercle de diffusion sur la rétine soit plus petit qu'un élément sensitif de la tache Jaune. Le rayon du cercle peut alors tout au plus atteindre 0,0015 mM. A mesure que le point lumineux, venant de l'infini, s'approche de l'oeil, le cercle de diffusion sur la rétine augmente. Représentons par / la plus petite distance à laquelle le point lumineux puisse s'approcher sans que le rayon maximum soit dépassé. La demi- ouverture du faisceau lumineux envoyé du point vers la pupille 2.26 d'entrée est SE puisque nous venons de voir que 2.26 est le rayon de la pupille d'entrée. Le rayon du cercle de diffusion est ; 4 2.26 Peas) 5 r fois plus grand, soit 7 = On a done ene 0,0015, ou bien, comme 7 — 15,494, /— 23,4 M. En Vabsence de toute accommodation, l'oeil voit done nettement les objets depuis les points à une distance infinie jusqu'à ceux qui ne sont distants que de 23.4 M. Nous donnerons enfin la grandeur et la position de la pupille de sortie. Cette pupille est située dans le deuxième point oculaire, à 0,1 mM. en arrière de la face antérieure de la lentille, et elle est 1,044 fois plus grande que la pupille de loeil, c. à. d. que pour un diamètre de la pupille de 4 mM., la pupille de sortie a un diamètre de 4.176 mM. Nous supposons évidemment que la pupille de Voeil soit appliquée contre la face antérieure du cristallin. $ 24. Marathons des constantes optigues de l'oeil par l'accommo- dation; oeil anétrope. Mermnorrz n'a pas seulement donné les valeurs des éléments géométriques et optiques qui déterminent les propriétés optiques d’un oeil emmétrope, mais aussi les valeurs que > ) Voir Purrricn, Physik. Zeitschr., I, p. 98. Voir aussi note 1, § 20. Mascarr en adoptant la valeur donnée par Foucault pour la pénétration d’un objectif de 13 eM. de diamètre, donne pour l’acuité visuelle la valeur de 50”. Cette limite toutefois ne serait jamais atteinte. Mascarr déduit le pouvoir résolvant du diamètre apparent de la tache lumineuse formant le centre de l’image que donne un point. Traité d'optique, I, p. 130, 41. 60 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES prennent ces éléments lorsque l'oeil est accommodé pour un point aussi rapproché que possible 1), e. à. d. lorsque accommodation est aussi grande que possible. Par l’accommodation c’est surtout la courbure de la face antérieure du cristallin qui est modifiée; elle augmente en même temps que l’épaisseur du cristallin, tandis que la distance du cristallin à la cornée diminue. Les valeurs des rayons de courbure de la face antérieure et de la face postérieure du cristallin sont pour l’état d’accommodation maxima: respecti- vement 6 mM. et 5,5 mM, l'épaisseur du cristallin 4,6 mM., la distance du cristallin à la cornée 3,2 mM. Les constantes optiques du cristallin, placé dans un milieu dont l'indice de réfraction est celui des humeurs aqueuse et vitrée, sont donc: c= 0.9491, 9 = 002060, SS 3.120 us On | Si Pon combine le cristallin avee le système non modifié cornée- humeur aqueuse, on trouve: c— 0.6488, p=—0.05349 r=—5.066 s— 0.7356 (0.6635) (— 0.04828) (5.1306) (0.7548). Les nombres entre parenthèses se rapportent à l’oeil emmétrope en repos, c'est-à-dire en absence de toute accommodation. Si l'on ajoute de nouveau Vhumeur vitrée avee une épaisseur d= 15.619 mm. ®) au système optique, on trouve: c==0.6488 p——0.05349 r— 15.200 s— — 0.09986 (0.6635) (—0.04828) (15.494) (0.0002) où les nombres entre parenthèses se rapportent encore une fois à Poeil / IN > > . . A , emmétrope à l’état de repos. Les foyers principaux sont placés respectivement à 12,13 nim. en avant de la cornée et à 13.752 mm. %) en arrière du cristallin, soit 15.619 — 13.752 — 1.867 mm. en avant de la rétine. La distance de l’image au deuxième foyer 261.5 principal s'obtient au moyen de la formule § = ED où x, représente de nouveau la distance de Vobjet à l'oeil. Si Pon cherche maintenant où se trouve le point conjugué du point (intersection de l’axe avec la rétine, on trouve 2, = 152.21 mM en ") Hermnourz, Physiol. Optik, 2e Aufl, p. 140. *) Cette distance du cristallin à la rétine ne change pas par accommodation. ) Hermmorrz, loc. cit, donne pour ces valeurs 12.13 et 13.799. ) Hermnourz, loc. cit., donne 152.46. —— — a FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. GI Telle est done la distance du point le plus rapproché, nettement observé par l'oeil au maximum d’accommodation. Le rayon du cercle de diffusion, formé sur la rétine par un point lumineux placé en avant ou en arrière de ce „punctum proximum”, s'obtient, si le point est situé sur Vaxe, en consi- dérant un rayon passant par le bord de la pupille d'entrée. Pour ce rayon incident D, et 4, sont connus. La deuxième équation fondamentale 4, = 15.200 2, — 0,09986 4, donne alors lampli- tude finale, soit le rayon cherché du cercle de diffusion. Si le point considéré nest pas situé sur l’axe, la section du faisceau émergent par la rétine est néanmoins un cercle, et ce cercle est également grand pour tous les points lumineux situés dans un même plan normal à laxe. C’est ce que l’on reconnaît immédiatement en observant que le cercle de diffusion est toujours semblable à la pupille de sortie, et que le rapport de similitude est le même pour tous les points lumineux dans un même plan normal à Paxe. On considère toujours la rétine comme un plan de cette espèce; or dans la région où la reproduction optique peut tre considérée comme obtenue par des rayons centraux, cette hypothèse est suffi- samment exacte. Pour un oeil amétrope on peut avoir s > 0 (hypermétropie), ou s <0 (myopie). Il est aisé de calculer la position du ,,punetum remotum’’ et le degré d’amétropie, connaissant les constantes optiques c, p, r, 8, d'un oeil amétrope. Ce point le plus éloigné est con- jugué du point d’intersection de l'axe optique avec la rétine, sl Poeil est en repos. C'est donc le premier point oculaire et il est N . jin : À placé à une distance 0, = — — en avant de l’oeil. Pour un oeil s myope ce point considéré comme point lumineux est réel, pour un oeil hypermétrope il est virtuel. Pour un oeil emmétrope s = 0 et le point est placé à l’infini, comme nous Vavons vu précédem- ment. Le point le plus rapproché (punctum proximum) est con- jugué du point d’intersection de Vaxe et de la rétine, si l'oeil est au maximum d’accommodation. Le degré d'amétropie est donné par le pouvoir focal de la lentille infiniment mince que Von doit placer devant l'oeil pour le rendre emmétrope, ce. a. d. pour déplacer à Vinfini le pre- mier point oculaire. Considérons un point lumineux sur laxe. L'image correspondante est située dans Ja rétine, ce. à. d. que 4.=0, si d'après la deuxième équation fondamentale D —=— A. On v arrive immédiatement en remarquant que 1 . À] À 62 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES ce point lumineux est le premier point oculaire, de sorte que A r indd oo US ed 3 ile vile eae Il faut done que la lentille mfiniment mince, dont 1 on. cherche le pouvoir focal p (§ 3) donne cette divergence D, à des rayons incidents parallèles à l’axe. Comme p est la divergence finale d’un rayon incident parallèle à l'axe à amplitude 1, on a gls Diena A, r Pratiquement il ne sera jamais possible de rendre nulle la distance de la lentille à Voeil. Supposons qu'elle soit à une distance 4 en avant de l'oeil. Représentons par c, p, 7, s les constantes optiques de Voeil, par 1, p', 0, 1 celles de la lentille infiniment mince. Le système résultant de la combinaison doit être tel que s = 0. Soient c’, py’, r’, s les constantes de ce sys- tème, on a (§ 4), s =p (r + sd) + s — 0, d'où p = s pen d étant petit, et r étant grand par rapport à s, on aura # > 0 si s< 0; e. à d. que pour un oeil myope, la lentille devra être divergente. Elle devra être convergente pour un oeil hypermétrope. _ Nous ferons encore voir que le pouvoir focal du système lentille et oeil prend une forme très simple. Lid LA . , Ss In a p =p (e+ pd)+p, ou bien, comme p = — > O / yd) Hp, ou bien, Z red es — pr nn p —= — Pr Comme 0, = —-, — + destla RICE 48 LES LLC SM r + sd Ie +d) fs 7 distance de la lentille au premier point oculaire. Cette distance doit être prise négativement si la lentille est placée en arrière du premier point oculaire. Les résultats que nous venons d’obtenir sont applicables à fout système dont la surface terminale passe par le deuxième foyer principal. $ 25. Achromatisation des systèmes optiques. a). Conditions d'achromatisme absolu. Un système optique sera en général achromatique, si les quatre constantes c,p,r,s sont les mêmes pour des rayons de réfrangibilité différente. Les quatre équations de condition que l’on obtient ainsi sont suffisantes pour garantir un achromatisme absolu. On peut toutefois chercher si elles sont toutes nécessaires. Remarquons d’abord que les quatre constantes ne sont pas indépendantes les unes des autres, puisque entre elles existe la relation cs — pr — 2,4. On voit donc qu’elles ne pourront être indépendantes de la réfrangibilité des rayons que dans le cas où »,1 = 1, ¢. à. d. où les milieux extrêmes sont identiques. FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 65 On peut établir qu’un système optique est absolument achromatique, si pour toute distance de l’objet, les images sont formées dans un même plan normal à l'axe, et à la même distance de l’axe, quelle que soit la réfrangibilité des rayons. Cela revient à dire que la couleur ne peut avoir aucune influence ni sur la position du plan de l’image, ni sur le grossissement linéaire. Prenons à volonté sur un rayon incident deux points lumineux. Les images conjuguées doivent être indépendantes de la couleur. La droite passant par ces deux ima- ges est le rayon émergent conjugué du rayon incident. Il résulte de là que le rayon émergent conjugué d’un rayon incident donné doit être le même pour toutes les couleurs. Comme ce rayon émer- gent est déterminé par les divergence et amplitude finales, il faut done, d’après les deux équations fondamentales, que €, p, r et s soient indépendants de la réfrangibilité des rayons. Les quatre équations de condition sont done nécessaires 4). L’achromatisme absolu, ainsi défini, est done impossible si les milieux extrêmes sont différents, puisque entre les quatre constantes existe la relation cs — pr — u, Des systèmes optiques comme l'oeil ou un microscope avec objectif à immersion ne sauraient done être absolument achromatiques. On sait que si les images optiques sont formées non seulement par des rayons centraux, mais encore par des rayons marginaux, il se peut que pour une même distance de lobjet les plans de l’image pour les diverses couleurs coincident, tandis qu’alors les images diversement colorées ne sont pas également grandes. Dans la reproduction optique par rayons centraux, ce cas n’est possible que si les milieux extrêmes sont différents. Si dans ce cas les plans de l’image sont les mêmes pour les diverses couleurs, le grossissement axial est indépendant de la couleur. Or, si l’on considère une portion infiniment petite, et normale à Vaxe, de lespace objet, on 2 a Var = — ZEN NA doit être indépendant de la couleur et les images coincident Si done 2, , — 1, le grossissement linéaire aussi a c ’ N 4 : > entièrement; il n'en est pas de même si 2,4 — 1. b). Conditions @achromatisme dans les systèmes d’oculaires. Dans ") Dans des cas particuliers, où quelques unes des constantes optiques prennent des valeurs constantes, le nombre des conditions est plus petit. Ainsi, pour une lentille infi- niment mince, on a c—1, » —0, s—1, et pour un système formé par la juxtaposition de pareilles lentilles c=1, r=0, s=1, p=p, + ps +...., Pi) D2,... étant les pou- voirs réfringents des diverses lentilles. On voit done que dans ce cas p seul doit être indépendant de la couleur. 64 PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES IMAGES les oculaires des lunettes et microscopes, l’achromatisme peut être obtenu, quoique moins parfaitement, d’une autre façon. Remar- quons d’abord que les faisceaux de rayons qui tombent sur loculaire, ont une faible ouverture. Dans les lunettes c’est une conséquence de la faible ouverture de l'objectif. Dans les micros- copes au contraire l'ouverture des faisceaux incidents est très grande, ce qui, comme on sait, est nécessaire pour augmenter Péclairement des images et le pouvoir résolvant du microscope. Mais, par suite du grossissement considérable obtenu par lobjectif même, l'ouverture des faisceaux de rayons qui viennent frapper Poculaire, est faible ($ 10). D'autre part les rayons principaux de ces minces faisceaux forment, dans les lunettes et microscopes, de petits angles avec lPaxe optique. Dans les lunettes cela résulte de ce que la divergence des rayons principaux incidents est petite, à cause de la grande distance de lobjet à la pupille d'entrée, formée par le bord même de objectif. Dans les microscopes aussi la divergence des rayons principaux incidents est faible, puisque, comme on le démontre dans la théorie générale des systèmes optiques, il west possible de reproduire nettement avec des fais- ceaux de rayons à très grande ouverture qu'un élément plan. La dimension de cet élément doit être petite par rapport à la distance focale principale de l'objectif du microscope. Si Vobjectif est achromatique, les rayons principaux, diversement colorés, émis vers l’oculaire par un même point de l’image réelle, que forme lob- jectif, coincident. Après réfraction, chaque rayon principal, d'une couleur déterminée, passe par le centre de la pupille de sortie correspondante. En général les pupilles pour les diverses couleurs ne coincident pas. On peut toutefois faire voir qu'un achroma- tisme suffisant s'obtient, si les rayons principaux réfractés de diverses couleurs, provenant d’un même rayon incident, sortent parallèles de Voculaire. Au $ 23 nous avons déjà fait remarquer que le point d’inter- section avec la rétine du rayon réfracté dans un oeil emmétrope, ne dépend que de la divergence du rayon incident. Nous consi- dérions alors loeil comme achromatique. L'image du point lumineux est toujours située sur le rayon principal réfracté, et il en est de même du centre de gravité de toute section du faisceau réfracté. Pour des pupilles circulaires, dont les plans sont nor- maux à Vaxe, et dont les centres sont situés sur l’axe, les rayons sont en effet toujours distribués symétriquement autour du rayon principal. Considèrons done les rayons principaux, diversement colorés, conjugués du rayon principal émis par un point de l’image FORMÉES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 65 objective. Supposons qu'ils sortent de l’oculaire dans la même direction; alors ils coupent la rétine au mème point; et cela indépendamment de la position de l’oeil. Si donc les images diversement colorées sont placées en ce point, il y a achromatisme absolu. Si tel n’est pas le cas, tout faisceau réfracté de couleur déterminée coupe la rétine suivant le cercle de diffusion. Les centres de gravité de ces cercles sont tous placés au point d’intersection commun des rayons principaux avec la rétine. L’impression lumineuse sera donc la plus forte en ce point et dans son-voisinage immédiat. Si donc les cercles de diffusion ne sont pas trop grands, c. à. d. si les images diverse- ment colorées ne sont pas trop distantes les unes des autres et du point d’intersection commun des rayons principaux, il n’y a pas d’achromatisme absolu, il est vrai, mais au moins, satisfaisant. La condition en question est toujours satisfaite. Il faut qu'il y ait une couleur pour laquelle l’image se forme dans la rétine elle mème, pour que, sans l’aberration chromatique, une image nette puisse ètre observée. Les images produites par les autres couleurs se forment alors dans le voisinage de la rétine, puisque la dispersion dans Pocu- laire ne peut pas être très grande pour les minces faisceaux incidents. Nous venons de voir que, dans une lunette et un microscope, les rayons principaux qui tombent sur l’oculaire peuvent être considérés comme parallèles; on a done 2, = 0, et, d’après la deuxième équation fondamentale, D, — pd. Nous supposons que l'objectif soit achro- matique, de sorte que pour tout point de l’image objective les rayons principaux de diverses couleurs coincident. 4, est donc indépendant de la couleur, et il en est de même de D,, c. à. d. que les rayons principaux émergents sont parallèles, si p est indé- pendant de la réfrangibilité. Comme p donne très approximative- ment la puissance du système optique, on peut donner à cette façon de rendre achromatique les systèmes oculaires le nom d’achromatisation de la puissance. Il résulte clairement de ce qui précède, qu'on ne peut l’appliquer qu'au cas où l’image formée par le système optique s’observe à l’oeil nu, et non par l’intermé- diaire d’un autre système optique; donc seulement à des oculaires et non à des objectifs Si l'objectif était achromatisé pour la puissance, l’image objective ne serait déjà plus achromatique. Dans ce cas il ne serait pas satisfait a la condition que les rayons principaux de diverses couleurs coincident pour tout point de l’image objective. Si l’oeil de Vobservateur est amétrope, les points où les rayons principaux coupent la rétine après réfraction dans l’oeil, ne dépendent pas seulement de la divergence des rayons principaux Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie.) Dl. VIT, E 5 y 66 PROPRIETES GENERALES DES IMAGES incidents, mais aussi de leur amplitude. Afin que les rayons principaux diversement colorés, provenant d’un même rayon principal pénétrant dans l’oculaire, puissent frapper la rétine en un mème point, il faut que ces rayons principaux émergents coincident. Si l’on suppose de nouveau que chaque rayon principal entre dans l’oculaire parallèlement à laxe, les rayons principaux réfractés correspondants sont parallèles, si p est indépendant de la couleur, et ils coincident si pour toutes les couleurs s a la même valeur. De la signification de s comme pouvoir étalant, il résulte que alors les rayons principaux émergents parallèles passent par un même point de la dernière surface réfringente de l’oculaire, et coincident. Si l’on fait abstraction de la dispersion, on tachera de rendre l’image aussi nette que possible, done de mettre au point Yoculaire de telle façon, que, pour une couleur déterminée les rayons des faisceaux émergents semblent venir de points situés dans le premier plan oculaire de Voeil. Pour les faisceaux d’autres couleurs ces points sont alors situés dans le voisinage de ce plan, puisque les faisceaux qui pénètrent dans l’oculaire sont minces, et que la dispersion ne saurait être considérable. Si p seul est indépendant de la couleur, les rayons principaux sont parallèles, mais les amplitudes finales dans loculaire diffèrent, pour deux couleurs déterminées, de As.4,, 4, étant l’amplitude initiale d’un rayon principal parallèle à Paxe et As la différence entre les valeurs de s relatives aux deux couleurs. La divergence finale des rayons principaux est p4,, leur amplitude finale s4). Ces deux rayons principaux coupent donc le premier plan oculaire de Voeil (à une distance o, en avant de l'oeil) en deux points distants de As. 4,, tandis que l’un d’eux coupe le plan oculaire en un point p4,0,. Nous admettons ici que l’oeil soit placé en un point où pour une couleur déterminée, les rayons principaux coupent laxe, donc dans la pupille de sortie correspondante de l’oculaire. Représentons de nouveau par ¢ la distance angulaire maxi- ma des deux points que l'oeil distingue encore l’un de l’autre; alors Pachromatisme est d'autant plus parfait que Às.4, est plus rapproché de £.0,. Si AsA, Seo, les rayons principaux réfractés dans l'oeil coupent la rétine en un même élément sensitif et les points (intersection ne sont pas observés séparément. Plus grande est cette distance du point oculaire, plus parfait aussi est l’achromatisme, toutes autres conditions égales d’ailleurs. Pour une distance ocu- laire plus grande, l'oeil se rapproche de l’état emmétrope, qu'il atteint pour 0, = ©. Dans ce cas il est toujours satisfait à liné- galité quelle que soit la valeur de s. FORMEES PAR DES RAYONS CENTRAUX. 67 Appliquons les résultats obtenus à deux espèces d’oculaires. Pour un oculaire de Huygens ou de Ramsden, formé de deux lentilles très minces à Mii SRE - : dustamtes. de d, on a p —— De a (Gele OU et. 7, Sout sl AYA les distances focales principales des lentilles elles-mêmes. Afin que pour les rayons correspondant aux raies C et 4 de Fraunhofer, p l d hic | Joc Mae « Si l’on exprime les diverses distances foca- bla meme valeur, soit 2e = pp, 1l faut | a d le Jar = ir Sor les principales en fonction de /,, et /,, au moyen des relations I Lippe : ; 1 ] d a. = etc, la Telamon devient = Nic Jip Yr Jap fon Jiv Joo 9) A Ao + Up — 2 se de zn 1 ek Comme on a approximativement #4 ap — 2 up, Up — cette relation peut encore s’écrire fn + fon = 2d. A cette relation on satisfait en prenant un oculaire de Huygens où /i,,:d: frp = 4:3:2. Au lieu de cette relation on donne parfois cette autre Fin? 4: fon = 3:2: 1, qui satifait aussi a la condition d’achro- matisme de la puissance. Pour Voculaire de Ramsden on pose age fo — bl: 1, de sorte gu'ier aussi la condition est rem- plie. On prend toutefois /,, un peu plus grand, afin que le pre- mier foyer principal ne soit pas placé dans la première lentille, mais en avant de celle-ci. ee ; d Pour une combinaison de deux lentilles minces $ — | - F (§ 12). De la même manière que précédemment on trouve As — Ob Waele be ; Te “ Le deuxième facteur de As est le pou- Jap np — | voir dispersif de la première lentille, un nombre abstrait dont la ; KS | d valeur n’est que de centièmes. Dans l’oculaire de Ramsden —— = 1, 1D d 2 ) Gatineceul de,-Eluysens, ou Apt fop 3: 2: — On voit Il : == Jip 3 done que pour des yeux amétropes, Vachromatisme est un peu moins parfait avec ces oculaires. (30 Août 1900). E 5* erde ee Plak Orga Tals Adda Li TL rb iere COR isk + ee Ben en 1 ee Pr = “o> She a 1 n of af A , ® Oe be de 5 À } ns z = rire) ; ooh iz b> Lid es: té r k ee ere Ft ? à , 4: re ' : [A ea 1) mrs + ii t À à 2 x L d À | . a f t se BE ai Tire LA eee PCT ‘ mined (Fie h fat, worst velit: hf artist } Le f a ol - | a bs d à ; | 7 35 4, A ‘a À 5 L + | ‘hy LL ae het ry ll } ‘ Ned 5 ; ' = EY bb eo REN Me RS RP EE A Te ae 2 dias A: ' ET ad 1 RCE TERS ul A habs ria f af? a : 1 "AE à ax % 4% ” h à + ; NE en sri ches 42" a Hi se: HONTE vis IT LA CAPT : 19 tbe ett x it 37 es Ai fi > p ry n kig vx il 8 re sal lint a) da ss SOE I A Pr Ru be HOND rat A: D à eht La at apa rte er ceren fips Fey shite ini iis Mader PONT ETES ERP CID DAS NI CINE: inks * 0 ern ° ; L A ane uiteen AIA whe PRE NAE! | wies Us HOT radis nrd ie tat ja mi ESC ALT Le OPEN Br ist D. AM viera (PUS ERE) 1 Na Kabah € ara elébiaisi : oc ve a eri eg Cae hert“ a NAT 7 A LOS EURE NT Route lee à wee de rvi » a x : perte Tr ET ' | : ‘ ss LM | ks BO fu NÉ NERD THÈSE KA * à : aye . ; a Lac Au eik did, nid erase satan “a ! ! Æ i 7 aka Ee AN ry ay: ) LR 54) ie EREN 41 ~ I mi ce, ter" 2) (iets ANT ih? pth A rh +i ‘ is ij ir. rj = ‘ 5 - De, 2% » é 6 } b k i (-f i 11154 ' 3 ji EN En 4 : : ~ d 4 e [ ‘ A 4 LPGA | ur PEN 14 JL | \ & re L i fn 4 PET ETV it ra: Vs re CL Ar s ze nes Ne” ~ Seale LA » a U Ne gal $ 5 2 § 4 § 5 $ S 7 § 8 6 16. er) TABLE DES MATIERES. TUE U 0 MN I. Propriétés géométriques des images formées par des rayons centraux. Pauatons fondamentales. . 4.2. <1 Fee. . 5 Combimaison. de deux systèmes ande. tet enversement Un ysteme Meen eend en: Constantes optiques d’une surface réfrmgente unique ebdune Jentille: infiniment mince..." Relation générale entre les constantes optiques d’un SSD ARE OR EE EN TS ee Relations entre les situations d’un point lumineux et de son image. Grossissement linéaire. ......... Points remarquables. Anneaux oculaires... ........ Grossissements angulaire et-axiale … son Construction: dev image se iin ass. heh ek wees Constantes optiques d’une lentille et de la combinaison den deux INTERNE PERS RE Modification de la divergence des rayons dans un EU EM UE ME RO ER EE oe Situation des foyers: principaux eu. nd IT. Propriétés physiques des images. Délimitation des faisceaux lumineux. Eclairement des images et profondeur de l’espace objet. Influence des diaphragmes sur la délimitation des faisceaux lumineux. Champ visuel............ 34. TABLE DES MATIÈRES, Grossiste ee Re Bi es RE eeeee Puissance d’un Systeme ODIIQUE UP MEN Belairement. de l'image. ete denten 3 oe Protondeur Au champs Ass en Ee EN Influence de la situation des pupilles sur les mesures Perspective de l'image Open LU PRESS IL. Constantes optiques de l'oeil et conditions d’achromatisme. Constantes optiques de l'oeil emmétrope . ......... Variations des constantes optiques de l’oeil par l’ac- commodation,- (ilameétrope tene Achromatisation des systèmes optiques. ........... a). Conditions d’achromatisme absolu. 6). Conditions d’achromatisme dans les systèmes d’oculaires. 63. _Signifieation des grandeurs et principales relations ma vo a or Tub employées dans cet ouvrage. D, et 4,: divergence et amplitude du rayon incident Det A: 5 5 fe x , réfracté. Equations fondamentales D, = cD, + p4,, 4, =7rD, +s4, U). c = rapport des divergences ou grossissement angulaire dans le deuxième plan oculaire. — p = pouvoir focal. il . . . . Q / — — puissance au premier point oculaire pour un objet placé y . 2 dans la dernière surface réfringente. s == pouvoir dilatant. Combinaison de deux systèmes avec Tes constantes optiques Cy» Pis Ms Sy» Cb Cy, Pos Pos 93: C= 6; (Cp 1 Pp @) + 7 Py ra (rg trad) 1 8 P= Py Co + Po@) + & Po 8 =P, (To + % d) + (ID. Constantes optiques du système inverse. ! S ! / ) , 4j ' C vm WW’ p= 3 ==. Nes pr. (ID: ve N Nol 1 C— ——,, p — WES: —— Q 5 ME i DNS Myon. ode Constantes optiques d’une lentille infiniment mince =] — 1 Di C — > ? AT F’ == , S$ — . C8 — pr = (6, 8, —P, 11) (Co Sn — Polo) + + - (Ca8a— Dafa) = Nas AV). 12 SIGNIFICATION DES GRANDEURS ET PRINCIPALES § 8. xv, = distance d’un point lumineux à la première surface réfringente. @ — distance de l’image a la dernière surface réfringente. | r + $v CA . RTL en Die V = grossissement linéaire = ——““— —= 8 + pag (VI) EF pe, 9. Distances focales principales: 7, = —° a § 9. Distances focales principales: 7, = —-, jf, = ——. ] p x 7 Distances des points oculaires O = ——, 0,——-. s c Ái-0 = So-9 - £, et &: distances du point lumineux et de son image aux foyers principaux : ? Ad (VID. "psy Distances de l’objet et de l’image correspondant à un gros- sissement linéaire déterminé 7: ] Ne. l de mi Oa ae Aups mre Vv). § 10. Grossissement angulaire 7, = € + pa, = ET = Na = 4 = na (IX) Grossissement axial /,,. = — Ze (X). al Théorème de Lagrange 2, 7, D, = 2,93 D, (XT). § 12. Constantes optiques d’une lentille: a nya l d Era 1 1 1 ae Dee URS ie Ge R,) Ma Rh, i: d Ro — 1 d RELATIONS EMPLOYEES DANS CET OUVRAGE. 73 Constantes optiques d’un système de deux lentilles infini- ment minces à une distance d l’une de l’autre: d d— f, — f, d Ce a NT pe De. ye EL ie Foyers principaux et points oculaires d’un système de deux lentilles distantes de /: 7 joe T7 2 on : ; la ice aan a ne A 2 § 14 OF nn d Eed O, DEN d R ‘epee d £ as: d Ji ie § 15. Systemes télescopiques iP — O, V =s A Vg zt WA 2 re prey eres S— 8 7 où 1 et a, a et a sont les milieux extrêmes des deux systèmes. $ 18. Puissance: V — y 52 -; & et &,: distances de l’image et de la pupille de sortie au deuxieme foyer principal. $ 20. € — valeur angulaire de la plus petite distance appréciable. a — angle sous lequel la pupille d'entrée est vue du plan de visée. à € Profondeur focale ~ . a d 2 2 Ce ) ll Profondeur @accommodation 2 4», , vz A = l'amplitude d’accommodation. Rapport de la profondeur focale au diamètre du champ ic a. 2 B = diamètre du champ visuel dans l’espace de l’image. Rapport de la profondeur (accommodation au diamètre du An 1 champ: —77 . 14 SIGNIFICATION DES GRANDEURS ET PRINCIPALES ETC. § 21. Facteur de réduction dans les mesures à l’aide d'images optiques : ae? V,— grossissement angulaire dans la pupille de sortie. £,et&, distances de l’objet et de l’image à la pupille d'entrée. Facteur de réduction dans le cas; a). d'un faisceau télécentrique du cdté de l'objet : —— PSs DEA b). EN < l’image : 5 aA c). È + l'objet et de l’image: s. $ 22. Distance à laquelle on doit observer des images optiques afin d'obtenir l’impression exacte de perspective 4 = & V,; V, = grossissement angulaire dans la pupille de sortie. ) $ 23" Gal emmétrope DD pA, oA, =o. c= 0,6635, p= — 0,04828, ¢ — 15494," ae 311,5 far RTS TA Rayon du cercle de diffusion + A= distance de l’ob- jet, p = diamètre de la pupille d'entrée = 2,26 mM. § 24. (Hil accommodé pour la distance 152,2 mM., £, = — RIS ES 1 c = 0.6488, p = — 0.05349, r= 15.200, s = — 0.09986. Amétropie: s > 0 hypermétropie, s << 0, myopie. Pouvoir réfringent de la lentille infiniment mince placée immé- diatement en avant de Poeil, et rendant emmétrope un oeil amé- trope: y= — —; pour une lentille placée à une distance 4 en 2 avant de l'oeil p = — i Rohe AS Page 14, lignes 13 et 19, lisez symétrie au lieu de symmétrie. . 3 2, ‘ V 17, ligne 1, lisez.—**-au lieu de —: V Mar 39, ligne 26, lisez réfringente au lieu de réfringante. men ie er ed nn pePoxy-azijnzuur zilver D card _ Over peroxy-zwavelzuur zilver (Zevende Verhandeling) 5 E. MULDER. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL VU. N°. & AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. zn September 1900. ; ‘ ae Ne eee Feet) OR ae ah NEE &ù SUCER, Over peroxy-azijnzuur zilver en, als vervolg, aver peroxy-Zwavelzuur Zilver (Zevende Verhandeling) DOOR EE. MULDER. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL VII. N°. b. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1900. =. = en. 2 nl FA i * ‘ 12 = # i 4 > Over peroxy-azijnzuur zilver en, als vervolg, over peroxy-zwavelzuur zilver DOOR B MOEDER: (Zevende Verhandeling). Een voortgezette studie der electrolyse van azijnzuur zilver maakt het grootste gedeelte wit dezer Verhandeling. Als eerste voorbeeld der electrolyse van een zilverzout met een organisch zuur, op de wijze als die van salpeterzuur zilver en zwavelzuur zilver, is de electrolyse van azijnzuur zilver wel waard, om met zorg te wor- den nagegaan; ook met toog op de classieke reactie van Kolbe (zie de voorgaande Verhandeling), die daarvan wellicht een paral- lelle of secondaire reactie uitmaakt. Want men heeft hier waar- schijnlijk te maken met een moleculaire verbinding van zi/werbi- oxyde met een zilverzout van een organisch oxy-zuur, en mogelijk: van azijnzuur. Het zou toch altijd kunnen wezen, en zoo ook in overeenkomstige gevallen, dat het zuur van het oorspronkelijke zilverzout wordt omgezet in een ander zuur, als gevolg eener oxydatie. En het is wel goed, daaraan onmiddellijk toe te voegen, dat een studie in dien zin groote bezwaren oplevert, en veel tijd zal vereischen, alvorens men in staat zal wezen, feiten te doen kennen, die genoegzaam vaststaan, voor zooverre de samenstelling betreft, en bijgevolg de formule, waarbij men vooral ’t oog heeft op de structuurformule van het zwarte product van electrolyse. Zoo moet men kunnen beschikken over een uitgewerkte analyse van het zilverzout, dat in oplossing treedt, wanneer het lichaam, 15 4 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER EN, ALS VERVOLG, waarvan sprake is, met water wordt behandeld (maar zulk een analyse vordert een hoeveelheid stof, die vooreerst niet zou te bereiken zijn dan ten koste van een groot aantal Bereidingen, bij elkander te voegen). Want, zooals reeds werd opgemerkt, zou het zilverzout een afgeleide kunnen zijn van het azijnzuur zilver, door oxydatie gevormd. Er werd evenwel aangetoond, dat dit zout oplosbaar is (zie de vorige Ver- handeling), en zonder er een analyse van te hebben gedaan, weet men bij gevolg reeds, dat het geen koolzuur zilver is, enz.. Overi- gens is het duidelijk, dat gezegde omzetting niets wijzigt met be- trekking tot de hoofdzaak, die ons bezighoudt, te weten het bestaan van een peroxy-zuur zilver van anorganische en organische zuren („zuur”’ in de plaats tredende van zwavelzuur, salpeterzuur, azijnzuur, enz.). Behalve het zooeven genoemde, zùllen in ‘t volgende eenige ge- gevens worden medegedeeld met betrekking tot de voortgezette studie van peroay-zwavelzuur zilver, waarvan rece de bereidingswijze nog vatbaar is voor een noemenswaardige verbetering. In de eerste plaats evenwel zal men handelen over de electrolyse van azijnzuur zilver, en vooral over het zwarte product daarbij gevormd. Vervolg der voorloopige analyse van de Bereidingen N°. 5, 7, 8, 9, 10, 11 ex 12, fe zamen genomen. Het terugblijvende van het eerste uittrekken met water (bij gewone temperatuur), werd andermaal met water behandeld (onder overigens gelijke omstandig- heden), aangezien wat zilverbioxyde was méegevoerd, met het doel een uitkomst te hebben, die meer correct is (en toch zonder te filtreeren; met ’t oog op de beperkte hoeveelheid stof), in de eerste plaats met betrekking tot de quantitatieve bepalmg van het op/os- bare zilverzout (als ontledingsproduct van het peroxy-azijnzuur zil- ver). Achtereenvolgens werd gevonden : te zamen : 1s” maal 0.022 gr. 0.022 gr. 2 0.0014 0.0234 3 0.0008 0.0237 of 20.98 proc. aan de zilverzout. Er bleef onopgelost 0. 0004 gr., dat maakt: 0.02 . + 0.0004 gr. = 0.0241 gr. (zijnde in den aanvang Mice Be ee een verschil gevende van 0.0241 gr. — 0.0239 gr. = 0.0002 gr.) Bereiding eener meuwe hoeveelheid der zwarte verbinding, als product *) Zie de vorige Verhandeling. di sidi ds en vp OVER PEROXY ZWAVELZUUR ZILVER. 9) der electrolyse van azijnzuur zilver; en wel ter analyse. Er werd uitgegaan van dezelfde oplossing van azijnzuur zilver, welke reeds vroeger had dienst gedaan bij de bereidingen. Deze oplossing was niet meer in contact met een overmaat van vast azijnzuur zilver, zooals dat in ’t begin het geval was, terwijl de concentratie was verminderd als gevolg der electrolyse, en deze vele malen plaats vond ; ook was het met opzet, dat thans met een def verzadigde oplossing werd gewerkt (zie later). Met iedere nieuwe bereiding werd dik- werf bij het gebruikte zilveroxyde wat versch oxyde gedaan (van den aanvang der bereidingen af, wat koolzuur zilver bevattende), en wel zóólang, het filtrum (zijnde genoegzaam van eenzelfde grootte). Nog werd tot de hoeveelheid te groot zou geworden zijn voor steeds gebruik gemaakt van het Æ/eixe glazen schaaltje (waarmede be- ronnen was bij Bereiding N° 10; zie de voorgaande Verhandeling). © ' (=) o te) Over. de Bereidingen N° 13, N° 14, N° 15 en N° 16, De volgende opgave geeft terug de opbrengst van genoemde vier Be- reidingen, maar tevens eenige andere gegevens, geplaatst onder letters, waarvan de beteekenis elders werd medegedeeld (zie de voorgaande Verhandeling): a b c d | 4 J i N° 14 | 3 0.0381 0.0248 er..0.0352 (0.06 0.0001 er. N°15 3 0.0804 0.0599 10.0275 0.0874 0.0001 N° 16 | 3 |0.0653 (0.0874 |0.0597 (0.1471 Een vergelijking van deze reeks met de eerste 1) toont een ver- betering aan voor zooverre betreft de opbrengst, die betrekkelijk nog al goed is. Het is evenwel nog uiterst moeilijk, daarvan de reden te leeren kennen, zooals trouwens duidelijk is, in aanmerking ge- nomen, dat men zieh nog oefent, om de bereiding meer en meer meester te worden, en wel door vele reeksen van Bereidingen te maken. Zelfs, zonder het te willen, brengt men aldus kleme wijzi- gingen aan, die vaak meer of minder verbeteringen zijn. ‘Toch is het een feit, dat de concentratie in den aanvang bedroeg 10.28 gr. 1) Zie verh. der K. A. v. Wetenschappen te Amsterdam, le sectie, Dl. VII. No. 2, § OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, actie is mogelijk, hetzij dat zij geheel geschiedt, hetzij ten deele; en als gevolg dezer oxydatie, zal een ander zilverzout optreden (na- melijk het zout van een ander zuur, afgeleid van azijnzuur). Ook vond men het tamelijk waarschijnlijk, dat het gedeelte der stof, het- welk nog niet was ontleed, dit wel zou worden als gevolg der ver- schillende behandelingen later met water (tevens bij gewone tempe- ratuur), al zou daaronder de quantitatieve bepaling der „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” in juistheid lijden. Maar zelfs aldus werkende, zou men wellicht toch eenige oxydatie niet kunnen voorkomen in ge- melden zin, daar de zwarte stof is van endothermischen aard, wat betreft het ontstaan. En de energie, die vrij komt, zou van een betrekkelijk groote spanning kunnen zijn, en als gevolg daarvan ge- makkelijk een oxydeeren kunnen teweeg brengen van het azijnzure zout, namelijk bij aanwezigheid van water. De analyse alléén zou in staat zijn, om ons daarvan op de hoogte te brengen. Zooals bij het verrichten der eerste analyse, werd een weinig zwarte stof medegevoerd bij decanteeren, en bijgevolg zal de hoeveelheid van 0.0292 gr. waarschijnlijk fe hoog zijn (al werd de stof omgekristal- liseerd, evenwel zonder te filtreeren). Dit maakt, berekend op 100 gew. d. der zwarte verbinding, 19.89 p. €. aan azijnzuur zilver (daarlatende, of het oorspronkelijke zout werd omgezet, hetzij ten deele, hetzij geheel). De hoeveelheid „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van oxy-azijnzuur zilver, verondersteld deel uit te maken der zwarte electrolytische stof, namelijk van peroxy-azijnzuur zil- ver) is 0.0056 gr., overeenkomende met 3.8 p.c.. De som dezer twee samenstellende bestanddeelen is bijgevolg: 19.89 + 3.8 = 23.69 p.c., zoodat er over blijft voor het zilverbioxyde 76.31 p. c. (zijnde 100 — 23,69 = 76.31). Bijgevolg is de samenstelling der zwarte stof dan: zilverbioxyde 16.31 azijnzuur zilver (voorloopig aangenomen) 19.89 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van oxy- azijnzuur zilver), en mogelijk water, enz. D. 3.8 100. Zooals reeds boven gezegd, 19.89 p. c. is wellicht iets te hoog, en bijgevolg 76.31 p.c. te laag. Er deed zich eenige abnormaliteit voor, daarin bestaande, dat het terugblijvende, bedragende 0.1017 gr., vermeerderd met 0.0313 gr. ‘) Zie deze Verhandeling, pag. 26, 28. Pr OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 9 an het zout (vóór omkristallisatie) = 0.133 gr. een „te groot ver- schil aanbood met 0.1417 gr. (zie vroeger), namelijk van 0.0087 gr, waarvan op ‘t oogenblik geen verklaring zou kunnen gegeven wor- den, aangezien nog maar alleen de eerste stap werd gedaan op dit onbekende gebied, namelijk wat betreft de noodige kennis, om vol- doende te kunnen dringen in de structuur van het zwarte lichaam. En het zou niet minder dan voorbarig wezen, thans te trach- ten, daarvan de oplossing te geven, aangezien de vereischte gege- vens bijkans geheel ontbreken. Men begrijpt overigens, dat zich water vou kunnen vormen, en kooldioryde, als gevolg van oxydatie (aj dit ook ten koste van zilverbioxyde), zonder te spreken van de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van het oxv-azijnzuur zilver, dat misschien og niet geheel was ontleed. Ook is miet buitenge- sloten eenige bron van fouten, die alleen door nieuwe analysen zou te vinden zijn. Zonder zich nog veel in te laten met de formule van peroxy-azijn- zuur zilver, is het genoegzaam onmogelijk niet te trachten, zich eenig denkbeeld te vormen van de structuur dezer verbinding. En, daarin aannemende de aanwezigheid van azijnzuur zilver (nog te bewijzen), zou voorloopig voor de samen stelling kunnen genomen worden: 3 Ag, O,. CH. CO. O Ag. 2 O: zilverbioxyde 18.89 azijnzuur zilver Ze „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van oxy- azijnzuur zilver). 3.4 100. Vergelijking tusschen het peroay-azijnzuur zilver en het peroæy- salpeterzuur zilver. Al dadelijk is azijnzuur een éénbasisch zuur als salpeterzuur. Maar daarenboven is het mol. gew. van azijnzuur zilver (CH, CO. O Ag) ongeveer hetzelfde als dat van salpeterzuur zilver (W O,, OAg), want men heeft: CH. CO. OAg = 166.5 NO. OAg = 169.55. ip 2 . Voor de formule van peroxy-salpeterzuur zilver was gegeven: 3 Ag, O,. NO, Ag. 20, dus veel analogie bezittende met de for- mule, zeer voorloopig gegeven, voor peroxy-azijnzuur zilver, zijnde 10 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, deze: 3 Ag, O,. CH. CO. O Ag. 20. En wat de samenstelling be- treft, zoo heeft men: 3 Ag, 0, NO. OAg. 3 O: 3 Ag, Oy. CH. CO. OAg. 20: zilverbioxyde 78.64 78.89 zilverzout 17.98 er: „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van het oxy-zilverzout) 3.35 3.4 100. 100. Zooals reeds werd opgemerkt, is het gehalte aan zilverzout van het peroxv-azijnzuur zilver blijkbaar fe 4007 bevonden, in de eerste plaats daarop lettende, dat de zeer beperkte hoeveelheid aan stof een filtreeren niet wel toeliet '), en bijgevolg het zilverbioxyde fe Zaag aan- gegeven. Evenwel zou een ernstige bespreking nog voorbarig zijn, ook met ’t oog op het miet verklaard verschil, waarvan vroeger sprake was, zie pag. 9. Men zou nog verscheiden aanmerkingen kunnen maken, wat betreft het gehalte der zwarte stof aan „gemakkelijk »> vrijkomende zuurstof” (van oxy-azijnzuur zilver), die b.v. de theoretische hoeveelheid zou te boven gaan. Dit nu zou niet normaal wezen, en in tegenspraak met hetgeen vroeger is gezegd (toen werd ge- handeld over peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-zwavelzuur zilver), maar het geldt hier een ander geval. Im de eerste plaats is de hoeveelheid beschikbare stof betrekkelijk te klein, om numerique uitkomsten te verwachten, die tamelijk nauwkeurig zouden zijn; en, dat van miet minder belang is, de zwarte stof kan ten deele ontleed zijn, vooral bij het werken met zulke kleine hoeveelheden. Ook mag niet worden vergeten, dat het handelt in het onderhavige geval, over een zout met een organisch zuur; en, vooral op dit oogenblik, ontbreken nog de gegevens, om te weten te kunnen komen, wat er plaats heeft, wanneer de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” los komt. Zoo weet men nog niet, of het zilverzout (met water uitgetrokken) wel is azijnzuur zilver (de oplosbaarheid maakt dit overigens niet onwaarschijnlijk). Maar gelukkig wil het voor- komen, dat het gewenschte doel meer en meer wordt benaderd; en het is reeds iets, van zich eenig denkbeeld te kunnen maken omtrent de samenstelling en de structuurformule van een lichaam, !) Zie: Verhand. d. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam (Eerste Sectie), Deel VI. N°1. pag. 18, OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 1] dat in den aanvang optrad in een hoeveelheid zóódanig gering, dat teder onderzoek onmogelijk scheen te zijn. Bereiding N° 11, N° 18, N° 19-en N° 20. Bereiding N° 17. Bij het zilveroxyde, dat reeds had gediend, werd gedaan een hoe- veelheid van ongeveer 20 gr. (bevattende {rouwens eenig koolzuur zilver). Bereiding N° 18. Er werd geen nieuwe hoeveelheid zilver- oxyde toegevoegd (namelijk bij het reeds gebruikte). Fen deel der zwarte stof was afgezet buiten het glazen schaaltje bij de electrolyse, dat beteekent, dat dit verloren is voor de analyse, en hetzelfde greep vroeger plaats bij de andere Bereidingen. Om die reden werd de anode wat meer geplaatst 7 Mel midden van het glazen reservoir, en meer nabij de schroef van Archimedes. Ook ge- schiedde het wasschen op een andere wijze, in zooverre als dit plaats had in eeu bekerglas (terwijl dit tot dusverre geschiedde in een glazen schaaltje), met het doel, zoo weinig mogelijk stof te verliezen. Alhoewel de opbrengst deze laatste wijziging schijnt te rechtvaardigen (de concentratie kan tevens een der factoren uit- maken), de analyse daarentegen schijnt deze wijziging in het rasschen niet te wettigen; en het is duidelijk, dat eerder de hoedanighaid dan de hoeveelheid van overwegend belang is. Be- reiding N° 19 en N° 20. Er werd geen nieuwe hoeveelheid zii- veroxyde toegevoegd, omdat de hoeveelheid, die reeds dienst had gedaan, toereikende was. Er bevond zich na de bereiding, betrek- kelijk weinig zwarte stof buiten het glazen schaaltje (terwijl overt- gens werd te werk gegaan als het geval was bij Bereiding N° IS). De volgende opgave (gie pag. 5) bevat een overzicht der vier laatste Bereidingen, waarvan een analyse is gedaan, te weten van deze vier zamen genomen, dus bijgevolg gedaan in hetzelfde reageerbuisje : Oneens D | c d | e | Je 4 mn Now? 3 (0.0519 gr) — « |0.0468 gr.0-0468 gr. N°18| 3 0.0843 |0.0468 gr.|0.0774 |0.1242 N°19) 3 0.1102 0.1242 0.1031 (0.2273 N°20| 3 0.0843 (0.2272 (0.075 [0.8022 |0.0001er. De opbrengst is dus vermeerderende, en dat wel, zonder het aanbrengen van noemenswaardige veranderingen in de wijze van bereiding, maar alleen van kleine wijzigingen. 11597 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, Het is in ’t belang der analyse, wanneer de zelfontleding lang- zaam plaats heeft (noodwendig bij afwezigheid van water). Daarvan kan men zich overtuigen door de waarde, die zich bevindt onder g (vie overigens later, voor zooverre het geval betreft, dat ons be- zighoudt). Ook in verband met het verschil in tijd tusschen de weging onder f, zy dit van 0.0468 gr. en 0.2273 onder f, welke 14 dagen bedraagt, en die onder f van 0.2273 gr. en onder d van 0.2272 gr., die zijnde van 11 dagen, dus een verlies vertegenwoordigende van 0.0001 gr. in 25 dagen op 0.2273 gr. zwarte stof (Bereiding N° 20 is daarbij per se niet begrepen). De hoeveelheid stof in de reageerbuis bedroeg bij gevolg 0.3022 gr. + 0.0001 gr. = 0.3028 gr. Er werden 2 c. c. water bij gedaan, terwijl men het geheel liet staan (bij gewone temperatuur), tot zich geen gasbellen meer vertoonden. De buis werd toen geplaatst onder een vacuum-exsiccateur; er bleef terug 0.2988 gr., dus een verschil gevende van 0.3023 gr. — 0.02988 gr. = 0.0035 gr. of „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van oxy-azijnzuur) was waarschijnlijk grootendeels reeds vrijgekomen, alvorens de stof ledoproc: de aan een analyse werd onderworpen. ‘Thans werd een dubbele hoeveelheid water toegevoegd, dus 4 c.e. (met ’t oog op de be- perkte oplosbaarheid van het zilverzout) bij het terugblijvende, dat azijnzuur zilver kan wezen, terwijl men andermaal het geheel het staan (bij gewone temperatuur); er kwamen nog eenige gasbellen vrij. De massa had de eerste maal reeds 26 dagen gestaan, en ditmaal 28 dagen, terwijl het verlies niet meer bedroeg dan 0.002 gr. De som is derhalve die van 0.0037 gr., dat slechts bedraagt 1.22 proc. Het besluit blijft dus hetzelfde (zie boven). Bij de massa werden overigens 4c. c. water gedaan en te werk gegaan als naar gewoonte, namelijk vanvankelijk verhit tot en bij 60°—70°, en daarna tot en bij 70°—S80°. Er had een toename plaats in gewicht van slechts 0.0001 er, anders gezegd, er had geen noemenswaardig verschil plaats gevonden. Alles te zamen genomen, bedraagt het verlies dus 0.0036 gr. (zijnde 0.00387 gr. — 0.0001 gr.) of 1.19 proc. Dit resultaat is verre van gunstig, en zooals reeds zooeven gezegd, moet voor ’t oogenblik worden aangenomen, dat de grootste hoeveelheid „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (van het oxy-azijnzuur zilver) reeds was ontweken, alvo- rens tot de analyse werd overgegaan. Er is reden te veronderstel- len, dat de hoeveelheid waschwater, die veel meer bedroeg dan tot dusverre, te groot was in verhouding tot de zeer geringe hoe- veelheid aan zwarte stof. Ken hoeveelheid van 2e.e. der zilveroplossing, nadat Bereiding OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. ies N° 20 was afgeloopen, gaf 0.01 gr. aan zilverzout of 5 gr. op één liter (terwijl de concentratie in den aanvang was ongeveer 10 gr, zijnde toen de oplossing verzadigd). Met water behandeld bij gewone temperatuur, werd achtereen- volgens gevonden : te zamen: 1° maal 0.0238 er. 0.0238 er 2 0.0124 0.0562 D) 0.0024 0.0386 4 0.0012 0.0398 D 0.0006 0.04.04 6 0.0009 0.0413 ch 0.0008 0.0416. Het terugblijvende bedroeg 0.2595 gr., namelijk aan zilverbi- oxyde. De som van 0.0416 gr. en 0.2595 gr. is 0.3011 gr.; er werd gevonden (0.2983 gr. (zie vroeger), dat een verschil geeft van 0.0028 gr. Na te worden omgekristalliseerd, werd gevonden: te zamen: 1° maal 0.0242 gr. 0.0242 gr. 2 OON 0.0353 B) 0.0012 0.0365 | 0.0002 0.0367 5 0.0001 0.0368. Ditmaal bedroeg het terugblijvende 0.0059 gr. (er werd niet ge- filtreerd); dat geeft: 0.0368 gr. + 0.0059 gr. = 0.0427 er., en WOL gr. — 0.0416 gr. = 0.0011 gr. Berekend voor 0.0368 gr., geeft dit op 0.3023 gr. stof aan zilver- zout 12.17 p.c., zijnde de samenstelling op 100 gew. d.: Il zilverbioxyde 86.61 zilverzout Dee „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”, enz. 1.22 14 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, Deze analyse is veeleer als mislukt te beschouwen. Nieuwe reeks van Bereidingen. Bereiding N°. 21. Er werd een nieuwe hoeveelheid zilveroxyde gedaan bij die, waarvan men zich bediende in voorgaande proeven (welk laatste een noemenswaardige hoeveelheid koolzuur zilver bevatte). ‘Ten einde een oplossing te hebben, die betrekkelijk sterk alkalisch is en homogeen, let men den toestel (te weten de schroef van Archimedes) twee dagen (dag en nacht) werken, vóór dat electrolyse plaats had. De anode was zeer digt geplaatst bij de schroef; en, zooals bekend, in het kleine schaaltje (waarvan reeds vroeger bij eenige bereidingen werd ge- bruik gemaakt). Ook geschiedde het wasschen opnieuw in dit kleine schaaltje, en verliet men bijgevolg de laatstelijk aangebrachte wij- ziging (zie de Bereidingen N°. 18, 19 en 20). Men wilde namelijk liever betrekkelijk veel verliezen aan zwarte stof, dan kans hebben, dat de stof ten deele werd ontleed onder den invloed eener te groote hoeveelheid waschwater. Door te wasschen in het kleine schaaltje, gaat de zeer fijn verdeelde stof grootendeels verloren, en is er meer kans, een zuiverder product in handen te hebben, dat bijgevolg ook minder aanrakingspunten zal bieden aan het rater, aangezien de stof digter is. De opbrengst was die van 0.146 gr. (na te zijn overgebracht in een reageerbuis van veel grooter afme- ting dan die vroeger gebruikt). Overigens verliest men aan zwarte stof, zoowel bij het overbrengen, als in ’t begin bij het wasschen. Bereiding N°. 22. De opbrengst bedroeg 0.0927 gr., terwijl dezelfde weg werd gevolgd. Bereiding N°. 23. De opbrengst strekte zich uit tot 0.1137 gr. Ken overzicht betreffende deze drie Bereidingen vindt men in de volgende opgave (gie vroeger, overeenkomstige gegevens) : a bo! c d e & 4 NA IMMO Lo re — |0.146 er.|0.146 er.) — N°99 | 3 10.104 0.1458 [0.0927 |0.2385 |0.0002 gr. N°23| 3 !0.1137 | 0.2381 10.1012 |0.3893 {0.0004 De stof (bijgevolg bedragende in het buisje 0.38393 gr.) werd met water behandeld (zijnde 4 €. ¢.), en aanvankelijk verhit bij 60°— 70°, OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 15 vervolgens bij 70°—-80°. Daarna werd de buis geplaatst onder een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur alleen); het terugblijvende was 0.3247 gr. De hoeveelheid stof bedroeg: 0.3393 gr. + 0.0006 gr. = 0.3399 gr, en bijgevolg vindt men voor het verschil in gewicht, als gevolg der behandeling met water, 0.3399 gr. — 0.3247 gr. = 0.0152 gr. of 4.47 proc., voorloopig toe te schrijven aan vrijgekomen zuurstof. Met een enkel woord zij vermeld, dat de gasbelletjes zich vereenigen tot groote bellen, die van tijd tot tijd aan de oppervlakte der vloeistof ontsnappen; zoo ongeveer, als men dat waarneemt, alhoewel in mindere mate, bij de eerste phase der ontleding van het peroxy-zwavelzuur zilver en peroxy-salpeterzuur zilver. Na gestaan te hebben onder een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur; en natrium, dat aanvankelijk aan de lucht was bloot- gesteld onder een gewonen exsiccator), bleef het gewicht onveran- derd. Er werd 3e.e. water bij gedaan, met het doel, het zilver- zout uit te trekken, waarvan het gewicht achtereenvolgens was: alles te zamen: 1°® maal 0.0385 gr. 0.0385 gr. 2 0.0078 0.046: D) 0.0023 0.0486 | 0.00138 0.0499 5 0.0006 0.0505 6 0.0004 0.0509 a 0.9004. 0. 05k3. Toen de massa met water was uitgetrokken, bleef het z7/ver- hnoayde (Ag, O,) terug, zij dit 0.2739 gr., dat met 0.0513 gr. de som uitmaakt van 0.2739 gr. + 0.0513 gr. = 0.3252 er; terwijl hetgeen terug bleef, na wittreden der „gemakkelijk vrijko- mende zuurstof,” bedroeg 0.3247 gr., dus een verschil aanwijzende van 0.3252 gr. — 0.3247 gr. = 0.0005 gr. De hoeveelheid vrijgekomen us bedraagt 0.0152 gr. en men zou de som Ein nemen van 0.3252 gr. (zie boven) e 0.0152 er., zijnde: 0.3252 gr. + 0. ee 52 gr. = 0.3404 er. De som nu get gelijk wezen aan de hoeveelheid zwarte stof, die ter analyse werd genomen, dus aan 0,3399 gr; zoodat zich het ver- schil voordoet van 0.3404 gr. — 0.38399 = 0.0005 gr., zooals dat, boven gegeven. In den grond is het namelijk volkomen het- zelfde, want de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” werd indirect bepaald (dat wil zeggen, door het verschil in gewicht te nemen vóór en na behandeling met water). 16 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, Omgekristalliseerd, werd achtereenvolgens gevonden: te zamen: 1 maal 0.0404 gr. 0.0404 gr. 2 0.0069 0.0473 3 0.0012 0.0485 0.0008 0.0493 5 0.0005 0.0498 6 0.0003 0.0501 7 0.0002 0.0503. Er bleef terug 0.0014 gr., terwijl men heeft: 0.0503 gr. + 0.0014 gr. = 0.0517 gr. en 0.0517 gr. — 0.0513 gr. = 0, 0004 gr. (zie een weinig vroeger met betrekking tot de waarde van 0.0513 gr.) De waarde van 0.0503 gr. geeft 14.79 proc. voor het zilverzout. Daar de som is van 14.79 + 4.47 = 19.26, blijft er over voor het zilverbioxyde: 100 — 19.26 = 80.74 proc., en de geheele samenstelling van het product van electrolyse is bijge- volg op 100 gew. d. HI zilverbioxyde 80.74 zilverzout 1419 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” (en mogelijk ook water, enz. !) 4.47 100 Een nieuwe reeks van Bereidingen. Bereiding N°. 24. Er werd een nieuwe hoeveelheid zilveroxyde gevoegd bij diegene, welke reeds dienst had gedaan. Men was daarenboven genoodzaakt, om 100 € c. water te doen bij de oplossing, ten einde de vereischte hoeveelheid te hebben. Bereiding N°. 25. Ook thans werd versch zilveroxyde bijgedaan, en 50 e.c. water bij de oplossing. Bereiding N°. 26. Er werd noch zilveroxyde noch water toegevoegd. Bereiding N°. 27. dr werd versch zilveroxyde bijgedaan, en 50 c.c. water. Bereiding N°. 28. Geen zilveroxyde werd toegevoegd, maar wel 50 c. c. water. 1) Zie deze verhandeling, pag. 26, 28. . OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 7 ‚ De volgende Tabel bevat de gegevens, zooals dit vroeger werd gedaan: a b C d e hi g N24) 3 |0.0942er.) — |0.0851 gr./0.0851 gr.) — N20 | 4 D 083600 |0.0851 er.10.0771 101622 —- N°26 | 3 {0.0868 O622" W078 I 0.2403 — Meee?) 8 1000743 - 10-24 0.0658 0.3058 0.0008 gr. N°28 | 3 10.053 0.3054 |0.0468 15592 0.0004 De concentratie was op den duur zeer gering geworden, en, be- paald na bereiding N°. 28, werd gevonden in 4 ec. c. der oplos- sing van azijnzuur zilver, 0.01 gr. aan dit zout, dus 2.5 gr. in één bevat ongeveer 10 beantwoordde nog steeds aan dit lichaam, dat bij gevolg niet is veranderd onder den liter (een bij ongeveer 20° verzadigde oplossing gr. van dit zout in één liter). De kristalvorm invloed der electrolyse in die lange periode van vele weken, zijnde dag en nacht, alles te zamen genomen. Er werd thans verhit met water. Het waterbad en de reageer- buis waren omgeven (en voortaan altijd) met een cylinder van plaat- ijzer, daartoe speciaal ingericht, namelijk met het doel, om alles zooveel mogelijk af fe sluiten van het licht, voor zooverre dit op doelmatige wijze is te bereiken. Daarna geplaatst onder een vacuum- exsiccator bleef terug 0.3356 gr. Aangezien de hoeveelheid aan zwarte stof bedroeg 0,3522 gr. + 0.0007 gr. = 0.3529 gr. is dus het ver- lies: 0.3529 gr. — 0.3356 gr. = 0.0173 gr. of 4.9 proc. (zie de voorloopige analyse in de voorgaande Verhandeling, zoomede de andere vroegere analysen). Het terugblijvende, in hoeveelheid 0.3356 gr., werd achtereenvolgens wtgetrokken met 3 c.c. water bij gewone temperatuur, gevende: te zamen: 15e maal 0.0393 er. 0.0393 or gr. 2 0.0104 0.0497 3 0.0016 0:05:13 A 0.001 0.0523 D 0.0007 0.053 6 0.0004 0.0534 ih 0.0008 00597 Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4° Sectie.) Dl. VII. E 2 18 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, Het terugblijvende bioxyde bedroeg 0.2823 gr. Voor het bioxyde -+- zilverzout werd gevonden 0.3356 gr, en 0.0537 gr. voor het zout, zijnde de som 0.2823 gr. + 0.0537 gr. = 0.336 er., dus een verschil gevende van 0.336 gr. — 0.3356 gr. = 0.0004 er. Bij omkristallisatie der hoeveelheid 0.0537 gr. werd gevonden: te zamen: 15° maal 0.0442 gr. 0.0442 gr. 2 0.0067 0.0509 5) 0.0013 0.0522 4 0.0002 0.0524 5 0.0001 0.0525. Er bleef terug 0.0015 gr., dus heeft men 0.0525 gr. + 0.0015 gr. = 0.054 gr. en 0.054 gr. — 0.0537 gr. = 0.0003 gr. De hoe- veelheid 0.0525 gr. komt overeen met 14.87 proc. aan zilverzout ; en bij gevolg is de samenstelling van IV: IV zilverbioxyde 80.23 (indirect) zilverzout 14.87 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” enz. ') 4.9 100 Concentratie en opbrengst. Tot nog toe werd gewerkt met de- zelfde oplossing, waarvan het gehalte al kleiner en kleiner werd. 'Thans wilde men werken met een versche oplossing van een bekende con- centratie. Bereiding N°. 29. De oplossing had lang gestaan met azijnzuur zilver in overmaat; dit geschiedde overigens in den winter. Alvorens de eleetrolyse plaats had, liet men den toestel twee dagen (dag en nacht) werken (slechts kon de electrische stroom niet door- gaan). De eleetrolyse hield drie dagen aan (dag en nacht). Men volgde den gewonen weg, en het product werd gewasschen in het kleine schaaltje enz. De opbrengst bedroeg slechts 0.0186 gr., dus al zeer weinig, maar in overeenstemming met de uitkomsten der eerste Bereidingen (zie de voorgaande Verhandeling). Het zilver- oxyde was meer samenhangend (wel als gevolg van azijnzuur zilver in de massa afgezet); en na de electrolyse was de oplossing iets meer zuur van reactie dan vroeger. Een hoeveelheid van 2 c.c. na de electrolyse gaf na verdampen 0.015 gr. aan azijnzuur zilver, zij dit 7.55 gr. in een liter (zie boven). * Zie deze Verhandeling pag. 26, 28. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 19 Concentratie en ontleding der oplossing. De vermindering in con- centratie als gevolg der electrolyse (zie vroeger), schijnt vreemd en niet vatbaar voor een verklaring. Het azijnzuur toch, door electrolyse vrijgekomen, is bijkans onmiddellijk geneutraliseerd door zilveroxyde (dat trouwens wat koolzuur zilver bevat); men zou zeggen, en met recht, dat de concentratie slechts (genoegzaam) on- merkbaar zou moeten veranderen, aangezien alleen het afzetsel aan de anode daartoe aanleiding zou kunnen geven, en dit bedraagt zeer weinig. Neemt men evenwel aan, dat te gelijkertijd een tweede reactie intreedt, b. v. bij wijze van een parallelle reactie (zie later), onder destructie van azijnzuur (te weten, azijnzuur zilver), dan is er een ver- klaring van gegeven, wanneer namelijk tevens wordt aangenomen, dat deze tweede reactie het wint van de eerste, wat betreft de hoeveelheid, die wordt ontleed. Door deze tweede reactie is waar- schijnlijk de vorming van afzetsel herleid tot een zóódanige hoe- veelheid, dat de studie er van, meer of min wordt bemoeilijkt, zoo niet meer. Bereiding N°. 30. Dezelfde weg werd gevolgd, alleen was de oplosssing minder sterk, want er waren 250 e.c. water gedaan bij 150 c.c. der oplossing (zijnde deze laatste verzadigd). De opbrengst beantwoordde niet aan hetgeen wellicht zou kunnen verondersteld worden met ’t oog op de uitkomsten vroeger verkregen, daar deze 0.0131 gr. niet te boven ging (dus nog minder bedroeg dan die van Bereiding N°. 29), dus zoo ongeveer het minimum vertegen- woordigt van al de Bereidingen tot nog toe. En toch waren de Volts en Ampère’s ongeveer hetzelfde gebleven (zooals trouwens in den regel het geval is met een thermo-electrische batterij); ook was er niets te bemerken van eenige wijziging in toestel, enz. . Dus is de gevolgtrekking, dat er waarschijnlijk nog een andere factor is (die de opbrengst regelt), dan die der concentratie, en dat deze andere factor niet onwaarschijnlijk is te zoeken #7 deze of geene wijziging der electrolytische oplossing van het azijnzwur zilver; en dat er tijd wordt vereischt, om die verandering te volbrengen. IND: 20 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, Overzicht. 5 | Gewicht Gewicht Maten A enb de Lo za horloge-| puise, ij- oncentratie. baden: Aanmerkingen. Maand. Al glas. 1 gedaan = 310.011 | 0.008 ! 22 gr. van 89%! (koolz. zilver |Febr.1899. bevat 84 % Ag, O). 3 [0.013 | 0.0094 2 | 0.0033 | 0.0022 Maart 6 | 0.0111 | 0.0082 3 | 0.0241 | 0.021 10 klein schaaltje. | April 3 | 0.0383 | 0.0348 10 3 | 0.0327 | 0.0298 11 3 | 0.0294 | 0.0249 10 Mei 3 | 0.0381 | 0.0352 10 3 | 0.0304 | 0.0275 7.15 gr. in 1 L. 10 3 | 0.0653 | 0.0597 10 3 | 0.0519 | 0.0468 22 van 84% Juli ongeveer. 3 | 0.0843 | 0.0774 3 | 0.1102 | 0.1031 | 20 ce. 3 | 0.0843 | 0.075 20 3 | (0.155 | 0.146 — 5 11 gr. van 84% Oct. ongeveer. 3 | 0.104 | 0.0927 | 40 8 Nov. 9 | OF 1137 | 0. 1012) | 90 3 | 0.0942 | 0.0851 |100 8 Dec. 4 | 0.0886 | 0.0771 | 50 3 | 0.0868 | 0.0781 5 3 | 0.0743 | 0.0658 | 50 3) Jan. 1900. 3 | 0.053 | 0.0468 | 50 Naar aanleiding der vraag, betreffende de aanwezigheid of afwe- zigheid van kristalwater (of conshtutiewater, of OH). Ten einde dit vraagstuk te kunnen oplossen, zou een dusdanige hoeveelheid aan zwarte stof worden vereischt, als voor ’t oogenblik niet zou te bereiken zijn, of ten koste van een zeer langdurigen en te opofferenden arbeid. En dan zou het nog kunnen wezen, dat eenige onzuiverheid de uitkomst minstens twijfelachtig maakt. In aanmerking genomen, dat de kans gering is voor de aanwezigheid an water, namelijk onder den vorm van Aristalwater, en dat, met ‘toog op de analysen van peroxy-salpeterzuur zilver en per- oxy-zwavelzuur zilver, die er toe leiden aan te nemen, dat geen water voorkomt in deze verbindingen. Maar in het geval, dat ons bezighoudt, zou water de rol kunnen vervullen van constitutie- water; of er zou hydroxyl (O H) kunnen ingebracht zijn bij wijze van oxydatie. In het laatste geval zou men te doen hebben met de vorming van een zuur, namelijk afgeleid van azijnzuur (te weten, van azijnzuur zilver.) Het is onmogelijk, thans op die quaesties OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 2] in te gaan, in de eerste plaats met ‘toog op de geringe hoeveel- heid stof, die ter beschikking is. Gekristalliseerd of anorph. Het lichaam, voorloopig aangegeven met den naam van peroxy-azijnzuur zilver, doet zich onder den microscoop voor als amorph. Maar toch verkrijgt men den indruk, dat hier en daar in de massa meer of min scherpe kanten zijn, en ziet men bij eenige Bereidingen tevens sommige glinsterende punten. In aanmerking genomen de structuur, die de zwarte stof schijnt te hebben, en dat wel vooral in verband met onze kennis betreffende peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy-zwavelzuur zilver, is de kans zeer groot, dat het lichaam is gekristalliseerd, en wel op genoegzaam duidelijke wijze, verondersteld, dat de verbinding voldoende zuiver is. De opbrengst is tot nog toe, zooals bekend, betrekkelijk zeer beperkt, en dat na een electrolyse van eenige dagen; zoodat de omstandigheden niet gunstig zijn voor de vorming van kristallen, die voor ’toog waarneembaar zijn (zij dit onder den mieroseoop). _ Wellicht hermnert men zich, dat bij electrolyse van zwavelzuur zilver eerst een doffe zwarte stof werd verkregen, die er ook uitzag als te zijn amorph, en dat zelfs onder den microscoop; maar later, toen de opbrengst grooter was geworden, en de om- standigheden ter vorming der zwarte stof blijkbaar beter, deed het lichaam zich weldra voor als gekristalliseerd en glanzend. Analyse van zilverbioeyde, als ontledingsproduct van peroxy-azijn- zuur zilver. Er werd uitgegaan van het: bioxyde, dat was ver- kregen als overblijfsel (na behandeling met water onder verwar- ming) van de som der Bereidingen N°. 24, 25, 26, 27 en 28 (als IV aangegeven), en men ontleedde dit met verdund sa/peterzuur ; en van het terugblijvende van de som der Bereidingen N°. 21, 22 en 23 (zij dit III, zie later), dit ontledende met verdund azijnzuur. Analyse van residu IV, met verdund salpeterzuur. Dit werd gedaan in een reageerbuisje, en wel in hetzelfde buisje, waarin de oor- spronkelijke stof was behandeld met water (onder verwarming), bevattende 0.2523 gr. aan residu (zie vroeger). Hierbij werden 3 c. c. water gedaan, en in een waterbad verhit bij 60° — 70°, terwijl er nu en dan een weinig verdund salpeterzuur werd toegevoegd, tot alles was opgelost, onder vrijkomen van gas. De buis werd ver- volgens geplaatst onder een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur en ongebluschte kalk). Er werd verkregen 0.3862 gr. salpeterzuur zilver of 0.2634 gr. zilveroxyde (4g, O). Dit geeft aan zuurstof: 92 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, 0.2823 gr. — 0.2634 gr. = 0.0189 gr. of 6.69 proc., en bijgevolg heeft men: Ag, 0, = Ag, 0 O vordert: gevonden : „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 6.69 6.46 zilveroxyde 93.31 93.54 100. 100. bow a ter À ar EEN Analyse van residu ILI (van Bereid. N°. 21, 22 en 23) met verdund azijnzuur. Het doel hiervan was, den invloed der zuurstof in statu nascendi te kennen op azijnzuur zilver (zie over dit onderwerp later). Er werd uitgegaan van 0.2739 gr. residu, zich bevindende in een reageerbuisje (zie vroeger over de analyse van III). Er werd nu en dan water bij gedaan tot dit bedroeg 18 c.c. en bijkans tegelijkertijd verdund azijnzuur (van een sterkte van 1 e.e. zuur op 10 c.c. water), zijnde 12 c.c.. Eerst werd verhit in een waterbad bij 60° — 70°, vervolgens bij 70° — 80°, om te eindigen bij 80° — 90°, tot ieder spoor van zwarte stof was verdwenen (de bewerking geschiedde buiten den invloed van licht, zooveel mogelijk). Dit alles vorderde heel wat tijd (namelijk eenige dagen), vooral als gevolg der beperkte oplosbaarheid van azijnzuur zilver. Ten slotte geplaatst onder een vacuum-exsiccator (met zwavelzuur en onge- bluschte kalk), bleef terug 0.3802 gr. van het zilver-zout, dat te veel zilveroxyde (47, 0) geeft, en te weinig „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”, namelijk 3.61 p.c.. Het gebruik van salpeterzuur schijnt de voorkeur te hebben. Deze uitkomst zou een verklaring vinden in de vorming van een zilverzout, als afgeleide van dat van azijn- zuur (als gevolg van oxydatie) met een grooter mol. gew.. Maar dit is nader te vervolgen. Methode gevolgd ter analyse van het product van electrolyse. Im hoofdzaak werd dezelfde weg gevolgd, als bij analyse van peroxy- zwavelzuur zilver. Ook liet de hoeveelheid stof, waarover was te beschikken, en die zeer gering was, geen keuze dan die eener methode, welke betrekkelijk weinig stof vordert. Zoo werd de te onderzoeken stof behandeld met water onder verwarming in een waterbad (terwijl de stof zich bevond in een reageerbuisje (geheel op de wijze, zooals dit vroeger uitvoerig werd beschreven). Het buisje werd later geplaatst onder een vacuum-exsiccator. Het ver- schil in gewicht kan doen kennen de som van zuurstof + water enz., die zijn vrijgekomen. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 23 De geringe hoeveelheid stof laat niet toe tot heden, het water te bepalen op directe wijze, dat namelijk fan voorhanden zijn. Het terugblijvende met water uitgetrokken bij gewone tempera- tuur, wordt afgeschonken (dus niet gefiltreerd), enz., terwijl de op- lossing bij indamping ef zilverzout geeft, dat het aanvankelijke zout zou kunnen zijn (CM. CO. O Ag), of een afgeleide van dit zout, b. v. glucolzuur zilver (CH. OH. CO. O Ay), enz, dat nog is na te gaan. Samenstelling van het product van electrolyse van azijnzuur zilver, naar de verschillende analysen daarvan gedaan. Kr komen gevallen voor, waarin het met wel mogelijk is, de samenstelling van een verbinding op eenmaal te leeren kennen, maar slechts geleidelijk, en zulk een geval doet zich thans voor. Want, door gebrek aan een voldoende hoeveelheid stof, was men genoodzaakt, zich aan- vankelijk te houden aan hetgeen bepaald vereischt werd met ’t oog op de eerste gegevens voor zooverre betreft meer de globale samen- stelling, om het zoo uit te drukken, van het electrolytische product. Zooals men reeds vroeger deed opmerken, was men genoodzaakt, eenige Bereidingen samen te nemen, teneinde een hoeveelheid stof te hebben zoo ongeveer vereischt voor een tamelijk goede analyse. En zoo is de analyse gedaan van de som der Bereidingen: DENS: 13, 14, 15 en 16, gevende 0.1473 gr. stof. Il?) N°. 17, 18, 19 en 20, opleverende 0.3023 gr. aan stof. MES) N°. 21, 22, en 23, zijnde 0.3399 gr. stof. Ive) N°. 24, 25; 26, 27 en 28, bedragende 0.3529 er. der verbinding. ledere bereiding vordert alles zamen genomen, zoo ongeveer één week, dat dus voor iedere reeks van Bereidingen, namelijk van I, It, MI en IV, achtereenvolgens geeft 4, 4, 3 en 5 weken. De analytische uitkomsten van eenige beteekenis zijn hieronder mede- gedeeld : Zie deze Verhandeling pag. 5; 5 Os jo Mule 24 OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, 1! HI IV zilverbioxyde 76.31 80.74 80.23 (indirect) zilverzout 19.86 14.79 14.87 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”, (mogelijk te- vens water enz. 4) 3.8 447 4.9 100 dod > 100s Het bioxyde werd bepaald langs indirecten weg. Er is voldoende aanleiding, om te veronderstellen, dat bij II (zie vroeger) te veel water werd gebruikt tot wasschen; en met betrekking tot I zou, onder anderen, kunnen worden opgemerkt, dat de hoeveelheid stof te beperkt was (zie boven en vroeger). Naar de theorie eischt: 34g, O,. CH. CO. OAg. 20 en 3 Ag, O,. CH. CO. O Ag. 3 O: zilverbioxyde 78.89 77.59 zilverzout Le al 17.49 „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” 3.4 5.00 100. 100. In verband met het boven opgemerkte, kan men IIT en IV be- schouwen als betrekkelijk de meeste waarde te bezitten. Wat als „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” is gegeven, zou ten deele ,, water” kunnen wezen, zoo kristalwater, het verdampen toch (na de be- handeling met water) geschiedde bij gewone temperatuur, en con- stitutie-water is bijgevolg zoo goed als buitengesloten. De naam san zilverzout werd gegeven aan het in water opgeloste, bij be- handeling van het residu met water en indampen der oplossing. Dit wil zeggen, dat het zout nog niet op voldoende wijze is ge- determineerd, daar men geen genoegzame hoeveelheid stof ter be- schikking had tot het doen der vereischte analysen. Het zout is oplosbaar in water, en derhalve is zuringzuur zilver enz. buitengesloten. maar het zou kunnen zijn CH,. OH. CO. O Ag of CH. 2 OH. CO. O Ag, om niet te gewagen van andere afgeleiden van azijnzuur zilver (CH. CO. OAg), die volgens de theorie zouden kunnen ont- staan, zoo by de electrolyse. Die laatste zouten zouden sristalwater kunnen bevatten, niet het geval zooals bekend met azijnzuur zilver. *) Zie pag. 26, 28. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 25 Stel eens, dat men had te doen met glucolzuur zilver CH. OH. CO. OAg, dan zou de oorspronkelijke verbinding kunnen wezen: 3 4950 CH,. OH. CO. OAg. 2 O Hy ag, en (na gedeeltelijke ontleding) het zilverzout met water uitgetrokken: CH. OH. CO. OAg + zag. Dit laatste is aanvankelijk vermengd met zilverbioxyde, zoodat men na behandeling met water onder verwarming, enz., heeft te maken met: EO Cl pO COMO Ag. — es 0! namelijk in het geval, dat werd verondersteld. Het verschil in gewicht van de zwarte stof vóór ontleding, onder den invloed van water (bij verwarming), en later, laat zich bijgevolg uitdrukken op deze wijze: voors Ans Obe CH. OH. COO Ag. 2.0 7 fH, O DO 470 pa COC ONO mi 2 0 verschil : Ingeval is: y =z, dan heeft men als verschil alleen zuurstof, dus æ O. Is: y = z = 0, dan is het nog aldus. Maar is alleen z — 0, dan heeft men als verschil: + O + y H, O. Met ’toog op de analysen van het product van electrolyse, zou men geneigd kunnen zijn te schrijven b. v: 3 Ag, O3. H, . CO. O Ag. 3 O, mplaats van 3 Ag, O,. H, . CO. O Ag. 20 + MH, O (altijd verondersteld, dat azijnzuur zilver blijft, en dus niet wordt omgezet). Dit is na te gaan door een directe bepaling van water, en een elementair-analyse van het oorspronkelijke product, zoomede door een directe bepaling van zuurstof. 1) Daarenboven moet een uitgewerkte analyse worden gedaan van het zilverzout (met water uitgetrokken). Ten einde (voor zooverre thans betreft) de verschillende gevallen, die zich kunnen voordoen, tot één geheel te maken, moet daaraan *) Zie pag. 26, 28. 26 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, nog worden toegevoegd, dat de oorspronkelijke stof wel eens niet zou kunnen beantwoorden aan het zout met water uitgetrokken. De oorspronkelijke stof wou b.v. kunnen zijn: 3 Ag, O,. CH. CO. O Ag.x O, en na (gedeeltelijke ontleding en) uittrekken met water een ander zout geven, b.v. CH. OH. CO, OA, als gevolg van oxydatie. Vele complicaties kunnen bijgevolg optreden. Wat aangaat het zilverzout, dat in oplossing blijft, na zeer vele electrolysen met een en dezelfde oplossing, schijnt dit wel azijnzuur zilver te zijn, te oordeelen op ’toog naar den kristalvorm; ook wordt de oplos- © sing niet zwart bij lang koken. Uit een algemeen oogpunt beschouwd, bedraagt het aantal mo- gelijke gevallen een drietal, en wel, het azijnzuur zilver der electro- lytische oplossing ondergaat een verandering: 1° alvorens het zwarte lichaam optreedt, waarvan sprake is; 2° gedurende het ontstaan dezer verbinding; of 3° tijdens het elimineeren der „gemakkelijk vrijkomende zuur- stof”, dus dan betrekking hebbende op een ontleding der zwarte stof na haar ontstaan, en op de samenstelling van het zilverzout, door water uitgetrokken. En bijgevolg is het mogelijk, dat in deze phase niet alleen water wordt gevormd, maar ook kooldioxyde (CO) en koolmonoxyde (CO). Het verschil in gewicht (voor en na behandeling met water): zou in dat geval een andere beteekenis hebben. 4° Hen zamentreffen van geval 1°, 2° en 3° is niet buitenge- sloten, en bijgevolg met buitengesloten een verwikkeling, die vrij bezwaarlijk zou te ontwarren zijn, en wel vooral met een betrek- kelijk geringe hoeveelheid stof. Azijnzuur zilver en HO. Deze lichamen schijnen niet te rea- geeren in waterige oplossing, dat tevens geldt met betrekking tot zwavelzuur zilver. Structuurformule nader beschouwd. De gegevens, waarover men thans beschikt, gedoogen nog niet, om zich wit te laten over de structuur van de electrolytische verbinding, waarvan sprake is (zie vroeger). Met ‘toog op eenige beschouwingen van theoretischen aard, zal voor *t oogenblik worden aangenomen, dat dit lichaam is beschouwen alszijnde: 3 47, O,. CH. CO. Odg. 2 O, er overigens bijvoegende, dat nog niet bekend is, of wet inet water afgescheiden zout is een omzettingsproduct of met; en evenmin, of kristalwater aanwezig is of met (of constitutiewater); en wat betreft het gehalte aan gemak- kelijk vrijkomende zuurstof, dat dit 3 O zou kunnen zijn en zelfs 1 O OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 12 ~ (inplaats van 2 0). Anders gezegd, men is nog niet genoegzaam op de hoogte van het lichaam, dat in behandeling is; zelfs niet van den coëfficient van dg, O,. Maar dit neemt niet weg, dat in den grond de geaardheid der verbinding betrekkelijk vaststaat. En met ’t oog op eenige theoretische beschouwingen, zal voorloopig worden aange- nomen, zooals gezegd, de formule: 8 Ag O,. CH, . CO, OAg. 2 0, die bijgevolg analogie zou aanbieden met de formule van peroxy- salpeterzuur zilver, zijnde deze: 9 49, Ops NORA. 2-0, terwijl beiden moleculaire verbindingen zijn van zilverbioxyde met een oay-zout van zilver. Volgt men in hoofdzaak dezelfde wijze van redeneeren als die, vroeger in acht genomen (zie de Verhande- lingen loopende over peroxy-salpeterzuur en peroxy-zwavelzuur zilver met betrekking tot die gedeelten), dan wordt men geleid tot de affiniteitsformule (nogmaals zij herhaald, dat het azijnzuur een ander zuur zou kunnen wezen, maar dan waarschijnlijk wel zoo ongeveer overeenkomstig geconstitueerd; hier is meer ‘toog gevestigd op den rest CO): O | SONO NC VOA) O0 , terwijl die van peroxy-salpeterzuur zilver is: 0—0O Sed Ors Ni OA: OG Het atoom koolstof zou zich dan onder een eenigzins nieuwen vorm voor doen, namelijk als: heravalent: CY Trouwens zou men kunnen veronderstellen, dat koolstof tetrava- lent is, door als formule aan te nemen: 3. Ag, O,. CH, — Ce O Ay O— O—O 28 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, maar de stabiliteit van een dergelijke verbinding is zeker gerin- ger dan die der twee andere overeenkomstige verbindingen, waarvan de stabiliteit ongeveer eenzelfde is. En daarvan (namelijk, van een mindere stabiliteit) is niets gebleken (zie vroeger, hoe geringe hoe- veelheden stof werden opgehoopt, dat vrij wat tijd vorderde, eenige weken, zonder eenig bezwaar op te leveren). Ingeval mocht worden verondersteld, dat de formule is: 3 4g, O,. CH. CO. OAg. 3 O, zou men genoodzaakt kunnen worden, de volgende formule aan te nemen: O O—O | \, 3 Ag, O,. CH, — C — OAg of eerder: 3 4g, O,. CH, — C OG , 020.0 0:0 maar dan is de kans tamelijk groot, dat 1 O onder een anderen vorm aanwezig is, b.v. onder dien van //, O, of MO. De ,,gemak- kelijk vrijkomende zuurstof” is blijkbaar gebonden aan den rest CO, en niet aan den rest CH, (te weten dàt deel der zuurstof, hetgeen vrijkomt als gas), want in dit geval zouden resten O// gevormd wor- den. Zooals men reeds deed opmerken (zie pag. 26 en 28), verkrijgt het verschil in gewicht vóór en na behandeling met water een andere beteekenis, in geval er b.v. CO, of CO ontstaat; en bijgevolg heeft dit invloed op de aan te nemen formule. B.y., in geval der vorming van kooldioxyde, zou 3 O te hoog kunnen zijn, daar CO, slechts O, bevat. Over het mechanisme der electrolyse eener waterige oplossing van azijnzuur zilver.) Het is vrij waarschijnlijk, dat bij deze electro- lyse ook plaats heeft de reactie van Kolbe, namelijk een gedeelte- lijke oxydatie van azijnzuur zilver, of ter meer eenvoudige voor- stelling, van azijnzuur (ter vorming van aethan en kooldioxyde, zooals dit geschiedt bij electrolyse eener waterige oplossing van ka- liumacetaat). Dit volgt (alhoewel meer of min op indirecte wijze) uit de betrekkelijk groote verandering in concentratie der oplos- sing, aan eleetrolyse onderworpen, en dat, niettegenstaande het zuur, dat vrij komt (als gevolg der eleetrolyse), bij voortduring wordt geneutraliseerd; terwijl de invloed van de zeer geringe hoeveelheid aan zwarte stof bij electrolyse, nauwelijks een merkbaren invloed *) Zie over de electrolyse van azijnzuur, een opgave van litteratuur: Z. f. Phys. Ch. Bd. 32. S. 108 (1900). OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 29 kan uitoefenen, en de toestand der oplossing nagenoeg die is bij de grens, van te worden gevormd of met (mamelijk onder deze om- standigheden van electrolyse). Het voornemen bestaat wel, om later een studie te maken van gemelde reactie, die tegelijkertijd intreedt; maar, daar deze een speciale inrichting vordert, scheen het beter, in ieder geval voorloopig, het hoofddoel te vervolgen, alvorens een andere richting van het onderwerp in te slaan. Men over- tuigde er zich overigens van, dat de oplossing, aan electrolyse onder- worpen, en die reeds lang had gediend (en waarbij de concentratie ongeveer was verminderd tot de helft) alleen azijnzuur zilver be- vatte (trouwens werd hierbij vooral afgegaan op de wijze van kris- talliseeren, op ’t oog, door een deel der oplossing te laten ver- dampen). Men zou hiermit het besluit kunnen trekken, dat er bij gevolg hoegenaamd geen oxydatie intreedt van azijnzuur zilver onder vorming van een ander zuur (namelijk van het zilverzout er van), maar zulk een besluit zou voorbarig zijn. Wat betreft een geoxy- deerd worden in den zin der reactie van Kolbe, met vorming van aethan (CH. CH) en kooldioxyde (CO,), dit zou een verklaring geven van het feit, dat bij electrolyse eener waterige oplossing van zilver- acetaat 266 weinig ontstaat van het zwarte product van electrolyse, dat dit eerder schijnt te naderen tot nul; want een opbrengst van 0.1 gr. (en dit is betrekkelijk nog veel), en dat in 3 X 24 uur, zou de moeite wel miet loonen, indien het lichaam, waarvan sprake is, met zooveel belangstelling vorderde. Men begrijpt, dat de betrek- kelijk nog al beperkte oplosbaarheid van azijnzuur zilver (zoo onge- veer 10 gr. per liter) daarbij niet nalaat haren invloed te doen gelden; het overigens daar latende, in welken zin de graad van concentratie zou werken. Wat aangaat den invloed, dien de aan- wezigheid van vrij azijnzuur zou kunnen hebben, zoo voegen we, aan het vroeger medegedeelde, nog toe, dat de electrolytische oplossing op een dusdanige wijze werd geneutraliseerd (in de laatste bereidingen), dat vrij azijnzuur daarbij wel geen rol vervult van eenige beteekenis, want de oplossing is tegelijkertijd (zeer zwak) zuur en alkalisch. Voor zooverre onze kennis thans reikt, is er reden, om aan te nemen, het zamengaan van twee, meer of min, parallelle reacties (die bij gevolg genoegzaam te gelijk plaats hebben), door de vol- gende vergelijkingen terug te geven: A. 2 (CH. CO. O 4) = CH,. CH, 4-2 CO, + 2 Ag B. 7 (CH,. CO. O Ap) + 5 O + 3 H,0 = 3 Ag, O,- (CH, CO. O Ag. 2 0) + 6 (CH, CO. OH). 30 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, Voor alle duidelijkheid zeggen we nogmaals, dat de coëfficienten (namelijk die van: a, y en +) hoegenaamd niet vaststaan in de formule @ Ag, Os, y (CH, CO. O Ag. z O), dat evenwel niet buiten- sluit, dat men zich een betrekkelijk goed denkbeeld kan maken van de structuur van het zwarte lichaam door electrolyse verkregen, en der reacties, die met de vorming er van gepaard gaan (mogelijk is b. v., dat in plaats van oxy-azijnzuur zilver, aanwezig is een zilver- zout van een ander oxy-zuur, als afgeleide van het azijnzuur). De vergelijkingen A en B zijn overigens sommaire vergelijkingen, en wat betreft A, deze laat zich aldus splitsen : de Ere a... CH. CO. O 4g = CH, — CO—O-+ Ag (welke twee resten zich uitscheiden bij anode en kathode). Men kan deze reactie beschouwen als zijnde de eerste, namelijk onder den invloed van den electrischen stroom en der ionen (reeds ten deele aanwezig in de oplossing vóór electrolyse), die de hoofdrol te vervullen hebben. Deze vergelijking «. kan geacht worden vooraf te gaan aan de volgende: GH = CORO TEM CO, AY = A3 1 6 4 ie oe zonder zich overigens uitvoerig in te laten over andere reacties, als overgangsreacties (zie overigens later). Zoo kan, om een voor- beeld te nemen, reactie 4. worden voorafgegaan door de vorming van een molecuul der structuur: CH: 000 | UH, C0 0: Aan een peroxyde van acetyl!) is gegeven de formule: Cayo ; 9 : CH. 007 0—=0, in welk geval het atoom koolstof is aange- 3 nomen als C'Y. Wat reactie B betreft, zou men evenzoo als pri- maire reteactie kunnen beschouwen: + _ CH, — CO — O 4g = CH, — CO — O + Ag, en de summaire reacties À en B zouden dan deze gedeeltelijke reactie gemeen heb- ben. Men heeft achtereenvolgens voor B, zijnde een sommaire reactie: *) Zie: J. Chem. Soc. Vol. 75 en 76, pag. 715, July 1899. OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. Bi + (an.) — (kath.) 2 CH, COO 4; = CH, OOP 0" Ag (zie boven) BR OH, COSO CH, — CO | 3 En "A 3 = 4 mee coo Sp ee ee Mogelijk is, dat eerst ontstaat: CH, — CO — O | (zie vroeger), aldus te ontleden: CH, — CO — 0 OHNE OO ON OH CO b= > 0+ 0. CO—=0 CH, = Go CH, Reactie 6. wordt opgevolgd door deze: vervolg | CH, — CO van | ¢. = Okt Mr (Ci, COS OF) Re | Ci — CO , dus van nature zeer eenvoudig, niet het geval met de volgende reactie: CH, — CO — O Ag Ag — O CH, (00) d. + O0 — | + > 0: CH, — CO — O Ag Ag — 0 CH, — CO (zie reactie 4.) Men heeft daarenboven: | O | | | WECO Od NO CH, CE O Ag, O0) en als laatste reactie: O vervolg van | 05 49,0, CE — C— 0 4 O | Be OCH = 0 | 0-0 | 0-20 aL OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, een moleculaire verbinding voorstellende. Er is aanleiding te ver- onderstellen (argumenten in dezen zin zijn elders ') behandeld, name- lijk met betrekking tot de zwarte producten van electrolyse van salpeterzuur en zwavelzuur zilver), dat de reactie onder e. vooraf- gaat aan die onder d. Met andere woorden, wordt het voor waar- schijnlijk gehouden, dat er aanvankelijk ontstaat oug-azijnzuur zilver en eerst dan ziwerbioayde. De reactie onder e. sluit meer of min in zich, het bestaan van een verbinding der formule: 0 Be | CH, — C — OAg (wellicht: | 0 O— O À / ; CHEN Ga en dat wel vooral, ingeval men het zilverbioxyde laat ontstaan ten koste van een gedeelte der „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” der verbinding gevormd onder e. (zooals dat vroeger werd gedaan in overeenkomstige gevallen, boven vermeld). Het zuur, dat naar B vrijkomt, wordt geneutraliseerd met zilver- oxyde (dg, O), zooals werd medegedeeld. Het doel hiervan is, te voorkomen, dat het vrije zuur, hetgeen meer en meer toeneemt gedurende de electrolyse, de grens bereikt, waarbuiten de reactie zich eerder in tegengestelden zin zou doen gelden. Anders gezegd, het zwarte lichaam zou ontleed worden onder den invloed van het vrije zuur (en dat tijdens de electrolyse), onder vorming van de- zelfde verbindingen, die aanleiding geven tot het ontstaan er van, aldus voor te stellen: 8/47, 0;.(CH,. CO. O 47,2 0) 226 (CH, COOH) = 7 (CH,. CO. O Ag) +5 O0 4-3 H, O. De coëfficienten 2 en 3 zijn betrekkelijk willekeurig genomen, en verre verwijderd van analytisch vast te staan; ook zou een ander organisch zuur kunnen aanwezig zijn (namelijk als zilverzout 1) Zie Verhand.d. K. A. v. W. te Amsterdam (Eerste Sectie) Dl. V. N°. 5 pag. 28(1897), 2) ” ” n 1 ” ” ” ” ” ” IN 1 ” 33 ” # OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 33 en als oxy-zuur); niet echter b.v. een oxy-koolzuur. Maar dit is alles meer van ondergeschikte beteekenis. Laten we liever duidelijkheids- halve de vergelijking doen volgen van het ontstaan +) der zwarte stof, die trouwens, zooals gezegd, en gemakkelijk is te begrijpen, de- zelfde is als boven gegeven, en slechts in omgekeerden zin te schrijven: a. 1 (CH, CO: O Ag) --5 O 4-3 H, O = 8 Ag, O,. (CH,. CO. O Ag. 2 0) + 6 (CH,. CO. OH); waaruit blijkt, dat één molecuul der zwarte stof zou vereischen, (te weten in het geval verondersteld) niet minder dan 6 moleculen zuur, om te ontstaan. Het is goed, te doen uitkomen, dat, om 5 O te hebben aan de anode, een ontleding wordt gevorderd van 10 (CH. CO. O Ag), of van 10 moleculen azijnzuur zilver, met een gelijktijdig afzetten van 10 47 (aan de kathode), zooals kan blijken uit de volgende vergelijking: NEE: CO. O47) 5E O5 OE TOCH. CO. OH) + 10 4, gevende met vergelijking «. (zie boven): peel] (CH, CO. OA) B HL O3 Ag, O,. (CH,. CO. O Ag. PO) 16 (CH,. CO. OH) + 10 Ay. Om vergelijking ec. te hebben, behoeft men noodwendig alleen de waarde van 5 O af te zonderen uit vergelijking 4, en deze in vergelijking « te substitueeren. Alle „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” kan geacht worden afkomstig te zijn van azijnzuur zilver (CH. CO. OAg), namelijk van den rest OAg der electrolytische oplossing, zooals dit volgt uit vergelijking 4, en meer nog uit B.d. en b.a.. Het beslut is bijgevolg, dat ter vorming van 1 mol. peroxy- azijnzuur zilver, zij dit: 3 4g, O,. CH. CO. OAg. 2 O, niet minder dan 16 mol. vrij zuur ontstaan, dus een betrekkelijk zeer groote hoe- veelheid. Het is duidelijk, dat zich een overeenkomstig geval voor- doet met het zwarte product der electrolyse van salpeterzuur zilver en zwavelzuur zilver. Kn hetzelfde geldt tevens van het evenwicht, *) Zie Verhand. d. K. A. v. W. te Amsterdam (Eerste Sectie) Deel III N°8. pag. 37. Verhand. Kon. Akad v. Wetensch. (Afd. Letterk.) Dl. III. E 3 34 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, dat bestaat (tenminste onder de omstandigheden der electrolyse, daaronder bijgevolg ook begrepen de stroom) tusschen 16 (CH. CO. OH) en I mol. van het 3 4g, O,. CH: CO. OAg. 2 O (wat deze voorloopig aangenomen formule aangaat; zie boven). Men zou kunnen veronderstellen, dat deze hoeveelheid van 16 mol. vrij zuur nog geenszins de grens, eigentlijk gezegd, aangeeft, en, dat deze nog overschreden kan worden. Maar, hoe dit ook zij, buiten deze, zal de grens-hoeveelheid voor vrij zuur wel niet ver verwijderd zijn, of ontleding heeft plaats (hetwelk beteekent, dat de reactie den weg volgt, omgekeerd aan dien der vorming), terwijl dezelfde lichamen worden gevormd, die bij den aanvang juist aanleiding gaven tot het ontstaan van het zwarte lichaam bij electrolyse (zie boven, wat aangaat de Vergelijkingen dienaangaande). Het is dui- delijk, dat in de soort van proeven, die ons thans bezighoudt, de hoeveelheid aan vrij zuur (b.v. genomen in gr. mol. in 1 liter der oplossing) betrekkelijk geringer is dan bij de electrolyse van zwa- velzuur zilver, waar gebruikt werd gemaakt ter neutralisatie van koolzuur zilver, thans van zilverooyde (Ag, O), en dat wel gedurende de electrolyse. Maar er heeft hier waarschijnlijk een complicatie plaats (zie pag. 30), als gevolg eener reactie, die tegelijkertijd schijnt in te treden, wellicht minder als secondaire reactie, maar meer als parallelle, en dat met de reactie, die het hoofddoel vormt onzer studie. Men heeft hier op ‘toog de reactie van Korsr, en tot grondslag bedient men zich van de uitgebreide electrolytische stu- diën van het kaliumzout van azijnzuur, en andere overeenkomstige zuren. Maar, voor zooverre ons bekend, heeft men zich hoegenaamd miet ingelaten met zi/ver-zouten van organische zuren, en dat met reden; en de studie in deze Verhandeling schijnt de eerste stap te zijn in die richting. Daarenboven zou men zich meer of min kun- nen verhalen op de betrekkelijk groote hoeveelheid gas, die vrij komt gedurende de electrolyse, en de geringe opbrengst aan zwarte stof. Uitgaande van de reacties 4 en B, zou de vraag kunnen gesteld worden, of deze twee van elkander afhangen, zij dit meer op indi- recte wijze, zooals de uitdrukking parallel” wel schijnt aan te duiden; en dit aangenomen zijnde, doet zich de vraag voor, in wel- ken zin en graad, reactie A dan afhangt van B en omgekeerd. Maar het gezegde sluit niet buiten, dat reactie À veeleer is een secon- duire reactie (betrekking hebbende op de aethan-vorming), wellicht als gevolg der ontleding van een deel van peroxy-azijnzuur zilver. Dit alles vereischt studiën van een ernstigen aard, en de studie thans aangeboden, is, om het zoo uit te drukken, slechts een inleiding OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 35 tot meer. De sommaire reactie 4 en B hebben gemeen a. (zoowel a. van A als van B; zie pag. 30 en 31), en dan zouden volgen (namelijk volgens de reacties, in vergelijkingen gegeven) 4. 4 et B.b, zijnde deze (zie vroeger): CH, G0 —-0 A. b. Se Nile Bak GOE Ci 00 0 Ci. CO 0) — Hrs Bb. | = Stee) CH CO — 0 CH, =- CO De reactie, die 4. en B. gemeen hebben (namelijk 4. a en B. a), Is (zie vroeger): + — Ci CO— OAg OH CO OA Crrijko- mende aan de anode, zij dit +, en aan de kathode, zij dit —). En alvorens de reacties 4.6. en B. 6. intreden, zou zich een intermediaire reactie kunnen voordoen (zie evenzoo vroeger): CH, —CO—O— CH, —CO—0 CH, — CO—O— CH, — CO — 0 , dat zoo goed als zeker een zeer weinig stabiel lichaam is. En in geval van ontleding, geschiedt deze waarschijnlijk aldus (zie vroeger): OME 000 Ab en Ren CH, — CO — O C= Ota CHE CO Be Oe | = > O+0 OE OND Mogelijk vordert het systeem van evenwicht, het samengaan dezer twee reacties, of, dat in hoofdzaak hetzelfde is, dat der reacties Ab en Bb (vie pag. 30 en 31), wier quantitatieve verhouding zou kunnen veranderen met de concentratie, temperatuur, enz. Op den eersten indruk, zou men geneigd kunnen zijn, aan reactie B. 5 (of B.) meer kans te geven, dan aan die van 4.6 (of 4.6), daar de laatste reactie betrekkelijk samengestelder is. Toch schijnt ye vo 36 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, de ervaring te leeren, namelijk voor zooverre dit tot dusverre het geval vermag te zijn (nader onderzoek is noodwendig noodig), dat reactie B:5 (B. 4) in geringere mate intreedt, en wel, te oordeelen naar de proef, naarmate de concentrate der oplossing grooter is, te weten gedurende de electrolyse. ‘rouwens is de oplosbaarheid zeer begrensd (zie vroeger), en sterk sprekende uitkomsten zijn niet te verwachten. Im ieder geval is het op te lossen vraagstuk betrekkelijk samengesteld, namelijk het systeem in zijn geheel geno- men, met inbegrip van den electrischen stroom. En slechts na her- haalde proeven en verschillende wijzigingen in de wijze van berei- ding, bestaat er kans, om het noodige licht op dit vraagstuk te doen vallen. Overgangsreacties. De gegeven vergelijkingen b. v. die, geplaatst onder B (zie pag. 31), vertegenwoordigen blijkbaar slechts een deel der bestaande reacties; en hetzelfde kan gezegd worden van de overeenkomstige vergelijkingen vroeger medegedeeld, toen er sprake was van de vorming van peroxy-salpeterzuur zilver en peroxy- zwavelzuur zilver. Veeleer zou men zich kunnen voorstellen, dat zich overgangsreacties voordoen, b. v. die hier beneden opgegeven, iu geval der vorming van oeg-azijnzuur zilver (zijnde C, CY en C"): a. CH, — CO— 0 Ag= CH, — CO—0— + 4g; CH COO 47 CE CO O0 CE. Ce ae | GEO COH OO Ag CH, —CO—OAg + CH, — C0 —0—— | CH GO CH, — CO— OO—CO— CHE LCI ve — © Ag CH COO Agt CH. -C@ \ | ER | >0; Cie 00 _00— C0 Caz, O Cif, GO e CHO 04g CH,—CO— O4g | CH GOO Js O O O—CO—CH,, of veeleer CY (in plaats van CY, als minimum in dit geval, zij dan de formule: 2 C—O Ay Deir OEE “ ED ANT | OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 37 gevoled door: O CH,—CO—OAg CH, 00 BREE OOM CH 00000 + > 0 / CH,— CO O (zie pag. 27 en 28, over koolstof als hexavalent). Vorming van zilverbioayde, gebruik makende van overgangsreac- hes. Dit zou aldus kunnen geschieden, beginnende met: OOH 00 0 dy = CH, COOL 47; 00 On, PC OOP OO welke reacties bijgevolg dezelfde zijn, als die betreffende het ont- staan van oxy-azijnzuur zilver (zie boven). Volgt: ROCO OAN OH OO 04g, Ag ON CH, CO | NS Stag EE oer 00-0... CH= 00 ask D CO Volgt thans de vorming van peroxy-azijnzuur zilver: 3 dg, Oy. CH, — CO — O Ag A (zie hierover vroeger). O—O Ontstaan van aethan met behulp van overgangsreacties. De reactie (ter vorming van 4g, O, en CH. CO. O Ag. 20) blijft dezelfde, maar wordt gevolgd door deze reactie: CH. wns in -OAg + CH, — CO-- 0— = CH, +3 C0, + | CH. oa =CO—0 : CH, — CO — 0 Ag. Vervolg der studie van het zwarte product der electrolyse van zwavelzuur zilver. Bereiding N°. 31. De gevolgde weg was in ’talgemeen dezelfde als vroeger, dat wil zeggen, dat werd uitge- gaan van een verzadigde ne van het zout, waarvan sprake is, namelijk van zwavelzuur zilver, terwijl de oplossing gedurende de electrolyse werd geneutraliseerd met zilvercarbonaat, en gehouden op het punt van verzadiging (door de geneutraliseerde oplossing te 38 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, doen gaan door een /weede filtrum, bijgevolg bevattende zwavelzuur zilver). De eenige wijziging, die werd aangebracht, bestond daarin, om zich te bedienen van een glazen el van ongeveer 25 c. ¢. inhoud, inplaats van 140 c.c. als vroeger. Dit had tengevolge, dat betrekkelijk veel aan zwarte stof buiten het reservoir werd af- gezet; hetgeen beteekent, dat dit verloren is, b.v. ter analyse. De hoeveelheid stof, overigens op de gewone wijze behandeld, bedroeg 1.1631 gr. Na behandeling met water bleef terug 1.1126 gr., het verlies bedraagt bijgevolg 0.0505 gr. of 4.34 p. c., name- lijk betrekking hebbende op de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” van oxy-zwavelzuur zilver, deel witmakende der zwarte stof van elextrolyse (zie de voorgaande Verhandeling). Gezegde wijziging is dus niet te beschouwen als een verb:tering. Alvorens de wijze van bereiding nader meer of min te wijzigen, wilde men toch nog eenmaal den vorigen weg volgen (zie b.v. Bereiding N°. 30 enz., in de vorige Verhandeling). Bereiding N°. 32. Men begon met den toestel twee dagen te laten werken (dag en nacht), dus vóór de electrolyse, waarvan het doel was, -om later een oplossing te hebben, die goed geneutral- seerd, verzadigd en homogeen is. De electrolyse werd gedaan met een betrekkelijk groo glazen schaaltje (zie Bereiding N°. 31), zoo- als trouwens vroeger werd verricht, terwijl het eenige verschil slechts bestond in een temperatuurs verschil van den dampkring, deze lager zijnde (het was in October), als gevolg waarvan de concentratie meer beperkt was. De opbrengst was die van 1.4605 gr. Deze was wel de tot nog toe best geslaagde bereiding, zoowel wat be- treft de grootte der kristallen (overigens van een deel der massa), als den glans der massa (overigens niet op gelijke lijn te plaatsen met het zwarte product der electrolyse van salpeterzuur zilver). Na behandeling met water onder verwarming, en daarna indampen, bedroeg het gewicht 1.391 gr., en was het verlies bijgevolg 0.0695 gr. of 4.75 p.c.; de buis was geplaatst geweest onder een vacuum- exsiccator (met zwavelzuur). Een stuk xa/rium werd geplaatst in den vacuum-exsiccator naast het reservoir met zwavelzuur, namelijk niet in gemelde bewerking, zijnde de eerste, maar te beginnen met de tweede bewerking, en volgende bewerkingen met den vacuum-exsicca- tor (tot het gewicht niet meer verandert). Het natrium (zie boven) werd vroeger minstens één dag te voren geplaatst onder een gewonen exsiccator, als gevolg waarvan het bedekt was met een laag oxyde. Maar ditmaal was, meer bij vergissing, deze laag verwijderd, zoodat dientengevolge het metaal als zoodanig dienst deed en niet vooral het OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 39 oxyde, namelijk als wateronttrekkend middel. Hoe dit ook zij, er werd een aanmerkelijk verschil gevonden in gewicht, terwijl de regel Is, dat dit hoogstens eenige tienduizendsten van een gram bedraagt. De bewerking werd thans herhaald met natrium, dat aan de lucht had gestaan (onder een exsiccator, enz). Merkwaardig is, dat dit achtmaal moest herhaald worden, alvorens het gewicht constant was, dat in hooge mate vreemd is te noemen. Aanleiding is er, om te veronderstellen, dat een weinig vluchtig petroleum zich be- vond op het natrium, en gemeld abnormaal verschijnsel veroorzaakte. Bereiding N°. 33. Er werd dezelfde weg gevolgd als bij Be- reiding N°. 32, slechts werd alleen gebruik gemaakt van zwavel- zuur, zonder natrium (onder den vacuum-exsiccator). De opbrengst bedroeg 1.3926 gr. (na te zijn gedaan in een groote reageerbuis). Na behandeling met water, als naar gewoonte, eerst bij 60°— 70°, vervolgens bij 70°—80° (dit laatste meer zekerheidshalve, daar de zuurstof dan is uitgedreven), werd de buis geplaatst, tevens vol- gens gewoonte, in een vacuum-exsiccator (alleen met zwavelzuur), waarbij terugbleef 1.3263 gr. Derhalve is het verschil 1.3926 gr.— 1.3263 gr. = 0.0663 gr., of 4.76 p.c.. Voegen we er aan toe, dat het gewicht miet veranderde, toen de stof voor een tweede maal was geplaatst geweest onder een vacuum-exsiccator (alleen met zwa- velzuur), en dit in verband met hetgeen werd gezegd onder Berei- ding N°. 32 (zie vroeger pag. 38), die 4.75 p.c. gaf aan ,,gemak- kelijk vrijkomende zuurstof” (afkomstig van oxy-zwavelzuur zilver, geacht deel te maken van peroxy-zwavelzuur zilver). Bereiding N°. 34. Alles geschiedde als bij Bereiding N°. 33, behalve dat koolzuur zilver werd verplaatst door z/veroryde Ag, O (trouwens nog eenig koolzuur zilver bevattende). In de groote reageer- buis bevond zich 1.0019 gr. aan zwarte stof, die, na met water te zijn verhit enz., terugliet 0.9542 er., bijgevolg een verschil ople- verende van 1.0016 er. 0.9542 gr. = 0.0477 gr. of 4.76 proe. Het gebruik van zilveroxyde, in plaats van koolzuur zilver, schijnt derhalve geen voordeel aan te bieden, dat overigens vrij duidelijk is. Overzicht der verschillende Bereidingen door electrolyse van zwavel- zuur zilver (SO, Agy), allen gedaan met neutralisatie. Im de vol- gende Tabel bevinden zich eenige gegevens met betrekking tot de Bereidingen N° 11 en volgenden, waarbij gebruik werd gemaakt van de schroef van Archimedes, met ’t oog op een neutraliseeren der oplossing (zuur geworden als gevolg der electrolyse). Er is in | 40 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, opgegeven de opbrengst, in verband met tijd en concentratie; en, wat van meer beteekenis is, het gehalte aan „gemakkelijk vrij- komende zuurstof” (van het oxy-zwavelzuur zilver, verondersteld deel wit te maken van peroxy-zwavelzuur zilver). Het maximum met betrekking tot deze zuurstof, dat is bereikt, bedraagt 4.84 p. c., dus zeer digt gelegen bij hetgeen vereischt de formule: AGS O22 (SO, ‘Ag, 230) = beg, 0; ANO die verlangt ') 4.9 p.c.. In ’t algemeen zal de kans des te grooter zijn, dat de stof genoegzaam zuiver is, naarmate de hoeveelheid dezer zuurstof nadert tot dit maximum; altijd verondersteld, dat er geen bronnen van fouten in deze richting optreden. CU À eo = Datum. |Tijd.| Concentratie. | Opbrengst. | Zuurstof. Aanmerkingen. A N°.11 (17 Jan. 1898 | 2 |halfverzadigd| 0.8398 gr. | 4.67 p.c.| Zie vorige Verhandeling. 12 | 28 3 0.97 4.67 13 [10 Febr. 5 1.2087 3.91 mislukt (zie de vorige Verhandeling). 14 | 18 5 1.7048 4.55 15 | 26 6 1.8807 4.3 16 | 2 April | 4 1.3153 4.52 din at} 4 1.4302 zuurstof werd bepaald in V-buis. 18 | 23 Mei 4 1.2748 4.73 19°) 3 Jum 4 het gewicht werd niet bepaald (zie vorige Verhandeling. 20 | 14 4 1.2098 PAL) al dati 1 1.2674 (zie evenzoo de vorige Verhand.) 22) 28 2 | verzadigd | 2.4588 4.66 23 |17 Sept. 2 3.3165 4.5 24 |22 Oct. 3 3.2699 jt) de bereiding had blijkbaar te lang geduurd. 25 |19 Nov. 1 1.3835 4.84 26 | 23 Dec. 1 0.7831 van nu af aan, werd een tweede fil- trum aangebracht met zwavelzuur zilver. Werd niet geanalyseerd (na- melijk Bereiding N° 26). 27 | 31 1 1.5432 477 28 |25 Jan. 1899 |: 2 2.3352 4.65 29 |10 Maart 3 2.9552 3.94 de bereiding had blijkbaar te lang geduurd. 30 | 10 April 1 1.1138 4.78 91 | 6 Juni 1 1.1631 4.34 er werd gebruik gemaakt van een klein glazen schaaltje, zonder goed gevolg. 82 |10 Oct. 1 1.4605 4.7 (minimum). 33 |28 Nov. 1 1.3296 4.76 3 8 Jan. 1900! 1 1.0019 4.76 zilveroxyde, inplaats van koolzuur zilver. ') Zie Verhand. d. K. A. v. W. te Amsterdam (Eerste Sectie) D]. VIT. No. 17 (1899). OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. de Vervolg op de gegevens betreffende de ontledings-snelheid bij ge- wone temperatuur van peroey-zwavelzuur zilver. Bereidingen N°. 20 en 21. Reeds komen gegevens in-dien zin voor, in de vroegere Verhandeling (zie deze, pag. 26). Dergelijke waarnemingen hebben wel eenige waarde als zoodanig, maar toch vooral in verband met overeenkomstige gegevens, zoo met betrekking tot peroxy-salpeterzuur zilver. Uit de cijfers blijkt dan genoegzaam, dat deze twee snel- heden miet zonder eenige analogie zijn (zie tevens de vorige Ver- handeling en andere, wat betreft peroxy-salpeterzuur zilver). Peroxy-zwavelzuur zilver (vervolg: zie de vorige Verhandeling). c d e Ja I h 1 ] N° 20. 22 Juni 1899.| 1.1945 er. 0.0012 gr. 0.00007 gr. 22 Sept. , 1.1914 ,, 0.0031 „ 0.0002 , 29 Dec: © 55 1.1902 , 0.0012 , 000007 „ 22Maart1900.| 1.1896 , 0.0006 „ 0.00004 , Rim. 1.1889 , 0.0007 , 0.00004. „ c d e ofa g h i j NO 10 Juli 1899. 12519 or 0.0018 gr. 0.0001 gr. 10 Oet ne 12490 0.0029 ,, 0.00017 „ 10 Jan. 1900, 1.248 , OOO 0.00006. , April ,, |. 1.2474 , 0.0006 „ 0.00004 „ Ontleding bij gewone temperatuur van perovy-salpeterzuur zilver (vervolg Dj. Nadat Bereiding N°. 25 andermaal een jaar had ge- staan, heeft men thans tot zijn beschikkmg vier perioden. Zooals kan blijken uit de cijfers der bijgaande ‘label schijnt de ontledings- snelheid wat grooter te worden, maar zich overigens op merkwaar- dige wijze genoegzaam te handhaven. Tevens blijkt, dat de hoe- veelheid „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” welke is vrijgekomen, tot dusverre nog zeer verwijderd is van de theoretische hoeveelheid, zij deze 2 O op het molecuul der zwarte stof. Peroxy-salpeterzuur zilver: 3 4g, O,. N O, Ag. 2 O. Cc d e it g / À 3 200 gr. ahh : l25Nov.1895.| 28 Nov. 1895. | 15 Dec. 1896. IN@25; 5.7658 gr. | 0.1492 ,, 0.0166 gr. | 0.000052 gr. 16 Dec. 1897. | 5.7348 „ 0.0144 , 0.000047 … 16 Dec. 1898. | 5.7158 , OO Om 0.000063 ,, 0.0205 | 18 Dec-1899/N56955, 0.000067 „ *) Zie Verhand. d. Kon. Akad. v. W. te Amsterdam. (Eerste Sectie). DJ. VII. N.2 pag. 28 (1899). 42 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, Over de bereiding van zilveroæyde (Ag, O), door verhitten van kool- zuur zilver (CO, Ag). Er wordt veel tijd vereischt, alvorens deze ontleding voor het grootste gedeelte heeft plaats gehad, en dat, in een langzamen stroom van droge lucht, en bij de temperatuur, waar de dissociatie aanvangt van het zilveroxyde (47, 0), zijnde zoo onge- veer 190°—200° (zie de voorgaande Verhandeling), in welk geval het product veelal nog eenig koolzuur zilver bevat. Daarom heeft men het geheel zóó ingericht (met ’t oog op het belang voor de electrolyse van azijnzuur zilver), dat de bereiding onafgebroken door- gaat tot het emde toe (namelijk dag en nacht). De tijd daartoe ver- eischt, is afhankelijk van verschillende omstandigheden, onder anderen an de wijze van plaatsing der V-buis in het kopervijlzel (zie de vorige Verhandeling), enz., dat grooten invloed kan uitoefenen op de tempe- ratuur, aangegeven door den thermometer, waarvan het kwik-reservoir zich ongeveer bevindt op de hoogte van het benedenste deel der buis, met de stof; ook is de tijd ter ontleding afhankelijk van de snel- heid van den luchtstroom, enz. Kenige malen had de ontleding op voldoende wijze plaats (met het doel voor oogen) in vier dagen (dag en nacht), maar soms zijn daartoe noodig 6 dagen en meer, in welk geval het terugblijvende zoo ongeveer 84—85 p.c. bevat aan zilveroxyde, berekend op 100 gew. d. koolzuur zilver (de buis werd gewogen vóór en na de bereiding), terwijl de theorie vordert S4 p.c. zilveroxyde. De capaciteit van den gashouder (omkeerbaar) is ongeveer die van zeven liter, en doet dienst gedurende 24 uur (een snellere luchtstroom zou mogelijkerwijze de ontledingssnelheid een weinig kunnen bevorderen, en bijgevolg den tijd meer of min herleiden tot een minimum). ; OVER ZTCAEE Men laat hieronder volgen een overzicht der uitkomsten van de studie met betrekking tot het perorg-azijnzuur zilver in de eerste plaats; waarna nog volgen eenige gegevens over perory-zwavelzuur zilver en peroay-salpeterzuur zilver. In overeenstemming met het product der electrolyse van salpeterzuur zilver, heeft men met de twee anderen, drie vertegenwoordigers, om het zoo uit te drukken, van een zeker belangrijke reeks van verbindingen, vrij waarschijnlijk samengesteld (overigens ten deele uit een theoretisch oogpunt) uit zilverbioryde (Ag, Oy), en een zilverzout van een owy-cuur, zijnde in deze gevallen, van azijnzuur, zwavelzuur en salpeterzuur. In deze OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 45 verbindingen schijnt het maximum van verzadiging door zuurstof te zijn bereikt, en dat wel, dank zij het z/verbioayde, dat het zil- verzout dezer oxy-zuren een voldoende mate van stabiliteit geeft, ten einde te kunnen bestaan onder gewone omstandigheden (ten minste lang genoeg; altijd heeft wat ontleding plaats), om er een grondige analyse van te kunnen doen. 1°. De proeven betreffende de electrolyse van een waterige op- lossing van azijnzuur zilver zijn aanvankelijk gedaan met een en dezelfde oplossing, namelijk wat de eerste reeksen betreft; en dat met het doel, om te weten te komen, 1° welke de invloed is van de concentratie op de opbrengst, en de zuiverheid van de zwarte stof D; en 2° of een deel van het zout in oplossing ook is ge- oxydeerd in den zin der wel bekende reactie van Kolbe ?) (meer op indirecte wijze nagegaan). 2°. De methode, gevolgd ter analyse, komt in hoofdzaak neder op die bij peroxy-zwavelzuur zilver toegepast. Wel werd een poging gewaagd, om de zwarte stof bij gewone temperatuur met water te behandelen met het doel, een omzetting zooveel mo- gelijk te voorkomen van azijnzuur zilver in een ander zilverzout (die bij verwarming gemakkelijker zou intreden); maar men was genoodzaakt, daarvan voorloopig ten minste af te zien, in aanmerking genomen de buitengewoon lange tijd, die dan werd gevorderd voor de bepaling der zuurstof van het oxv-azijnzuur zilver (verondersteld deel uit te maken van het peroxy-azijnzuur zilver). Er zijn overigens nog vele analysen te doen, ook im een anderen zin, zal men kunnen be- schikken over de noodige gegevens, en de vereischte contrôle heb- ben; het onderwerp let namelijk niet toe, afdoende uitkomsten te verzamelen, vanwege de zeer beperkte hoeveelheid stof, waarover kon beschikt worden. 3°. Er werden analysen gedaan van het product *) van electro- lyse; en tevens van het zilverbioxyde °), dat terugblijft bij behan- deling met water (onder verwarming). Steunende op de gegevens, waarover thans valt te beschikken, is de verbinding (waarvan sprake is) te beschouwen als te bevatten de resten van zitverbioryde (Ag, O,), en van een oay-zout van zilver van een zuur, dat kan zijn azijnzuur, maar ook wel zou kunnen wezen een afgeleide er van, ") Zie deze Verhandeling pag. 18, 19. DC" paps 29! Nw TE G5. fone, ZZE ) 1. ec. pag. 4—21. ) Ie gone, Zil 44 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, zij dit b.v. glucolzuur, gluoxylzuur, enz. (in den vorm van oxy- azijnzuur, oxy-glucolzuur, oxy-gluoxylzuur, enz). Door gebrek aan de noodige hoeveelheid stof, is het ook nu onmogelijk, te zeg- gen, of de oorspronkelijke zwarte stof kristalwater bevat of miet; en hetzelfde geldt met betrekking tot het zilverzout, dat door water is uitgetrokken (nadat de „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” was uitgedreven). De oplosbaarheid ') van dit zout schijnt overigens meer of min overeen te komen met die van azijnzuur zilver, en zoo ook de kristalvorm (ten minste van een deel der massa). De analysen, die wel het meeste vertrouwen verdienen, zouden kunnen spreken voor 3 © aan „gemakkelijk vrijkomende zuurstof” ?); uit een theoretisch oogpunt echter zou men meer geneigd kunnen zijn, de aanwezigheid van 2 0 (en zelfs 1 O) als waarschijnlijk aan te nemen, en in dat geval b.v. 1 O in den vorm van Mo O, enz.%); zoodat de formule der oorspronkelijke zwarte stof (daarin de aan- wezigheid veronderstellende van azijnzuur zilver) zou zijn terug te geven b.v. door de volgende: | # Ags Og. Cis: GOO Ag. y sn? AO; nader (volgens de beschikbare gegevens): 3 Ags Op. CH, GO.O Ag. BO of heey: 3 Ag, Op. CH. CO. O 49.2 0. A, O. Talrijke analysen zijn trouwens nog te verrichten, zoo mede een directe bepaling van water en tevens van „gemakkelijk vrijkomende zuurstof”, (met analyse ©), en elementair-analyse der zwarte stof en van het zi/verzout, enz., alvorens samenstelling en structuur genoeg- zaam zijn vastgesteld. Maar dit neemt niet weg, dat er in hoofdzaak weinig zal te veranderen zijn, indien men als voorloopige formule aanneemt b. v. 3 4g, Os. CH,. CO. O Ag. 2 O (de coëfficient van Ags O, zou ook wel eens gewijzigd moeten worden, maar dit is toch vrij onwaarschijnlijk). Om zich eenig denkbeeld te vormen van de verwikkelingen, die zich zouden kunnen voordoen, verwijst men naar hetgeen in dien zin is gezegd (zie deze Verhandeling pags. 26, 28), te weten, dat ') Zie de analysen pag. 4, 21. *) Zie overigens pag. 23. *) Zie pag. 27, 28. Sy Src. pap tees: ik, OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 45 zich drie verschillende gevallen kunnen voordoen met betrekking tot de omzetting van azijnzuur zilver tot de zwarte stof, en meer bedenkelijk, een samengaan dezer gevallen, als gevolg waarvan toe- standen zouden intreden, die alleen met een betrekkelijk groote hoeveelheid stof zouden te ontwarren zijn. Im ieder geval staat de hoofdzaak genoegzaam vast, dat er namelijk verbindingen bestaan van zilwerbioeyde en een zilverzout van een oxy-zuur van organischen aard (gelijk dit is aangetoond voor salpeterzuur en zwavelzuur), in den bekenden zin; terwijl dit zuur is azijnzuur, of een afgeleide, in dit geval waarschijnlijk een zeer eenvoudig afgeleide. 4. Zij voor ’t oogenblik als formule aangenomen 3 Ag, Os. CH. CO. O Ag. 20 (die wel weinig zal afwijken van de waar- heid), dus een moleculair-formule; en dg, O, voorstellende door Ag — O, dan zou het oxy-zout kunnen zijn: | Ag — 0 0 | CH, — C—O Ag, dat dan veel overeen- O— 0 komst bezit met het oxy-salpeterzuur zilver: O— O N — O Ag. Daarmede zou dus ook het / O— 0 peroxy-azijnzuur zilver veel overeenkomst hebben (zie boven) met 3 Ags O,. NO, Ag. 2 O (vie overigens boven, over de aanwezigheid wellicht van 3 O in het dus geheeten peroxy-azijnzuur zilver). Het atoom koolstof zou dan bijgevolg optreden als hexavalent ') (en zoo ook ?) bij aanname van 3 O, zie hierboven). Dit wil noodwendig niet zeggen, dat de koolstof als zoodanig optreedt. Ter vorming van één molecuul peroxy-azijnzuur zilver (zij dit met 2 0), komen miet minder dan 17 moleculen van het oorspron- kelijke zilverzout der eleetrolytische oplossing in werking (en het- zelfde kan worden gezegd van zilvernitraat tegenover peroxy-salpe- \ terzuur zilver )°). ) 1. c. pag. Nile =) lle Cc. pag. 28. Deke Ge pape 33: 46 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER, EN ALS VERVOLG, 17 (CH. CO. O Ag) + 8 Hy O = 3 Ag, Oy. CH. CO. OAg. 2 O + 16 (CH. CO. OH) + 10 Ay. 5°. Zeer waarschijnlijk, moet in de electrolyse van azijnzuur zilver het bestaan worden aangenomen van twee, meer of min, parallelle reacties 4) (niet te verwarren met secondaire reacties), te weten, 1° de vor- ming van het peroxy-azijnzuur zilver, en 2° de reactie, genoemd die van Kolbe (het directe bewijs is nog te leveren). Argumenten voor deze opvatting vindt men in de betrekkelijk snelle verminde- ring van concentratie, in verband met het vrijkomen van gas (dat trouwens zuurstof zou kunnen zijn). Maar ook niet te vergeten, in de electrolyse van andere zouten van azijnzuur; en het is meer te beschouwen als een feit dan een veronderstelling, dat de reactie van Kolbe als tweede reactie optreedt (overigens wellicht minder van secondairen aard). In dien zin heeft men twee reacties, welke bij gevolg genoegzaam te gelijkertijd plaats hebben, zijnde deze (voor 4): [cn SCH, CO A CH, OO AIDE GOH, 00 SOR CEE CO SRO EED terwijl mogelijkerwijze aanvankelijk optreedt de verbinding ?): OO |. En de andere reactie (B.a. en 5.6.) CH, — CO — O is bij gevolg die, betreffende de vorming b.v. van oxy-azijnzuur zilver, teruggegeven in de volgende vergelijkingen *) : bd 2 CO Cay = On ORT OO Rae. Gis CD Ot se ON 00 sane GRO BEL | Tee rt RO d. CH, —CO—0 4g +2 0— CH, — CO— 0 49.20 ee tn es, 6. Een overzicht is gegeven van alle Bereidingen, ook nieuwe ), betreffende het peroay-zwavelzuur zilver [zij dit: 5 47, O,. 2 (SO, 3 0. Ag) |, nadat neutralisatie (door koolzuur zilver) was ingevoerd, waar- door alleen een meer ernstige studie mogelijk werd ®). Tevens zijn er 8 . pag. 28. 3 . pag. 30. . pag. dl. . pag. 37. . pag. 40. 5 3 4 5 | — ee OO OMO IG OVER PEROXY-ZWAVELZUUR ZILVER. 47 eenige gegevens opgenomen aangaande de zelfontleding van het peroay-salpeterzuur zilver*), aangezien thans kan beschikt worden over een periode van vier jaar; en mede overeenkomstige gegevens van peroxy-zwavelzuur zilver ?). 7. Het bestaan van perory-azijnzuur zilver (of een ander orga- nisch zuur, zie hierboven), maakt het, met dat van peroæy-sulpeter- zuur zilver en perory-zwavelzuur zilver, vrij waarschijnlijk, dat men hier te doen heeft met geheel een reeks van verbindingen, waarvan de algemeene formule, hieronder gegeven, kan geacht worden het karakter uit te drukken, zij deze: DAO HBr OrAg ON In geval van het peroxy-salpeterzuur zilver is dan 2 — 3,y — 1, LS NV O,,7r = 1, z= 2, want men heeft: 3 Age 0 MO O Ag: 20. Deze verbindingen schijnen dit merkwaardigs te hebben, dat de verzadiging door zoogenaamde electrolytische zuurstof streeft naar een maximum in hoeveelheid, en bij gevolg, wat quantivalentie be- treft. Ook sommige andere metalen zullen waarschijnlijk overeenkom- stige verbindingen kunnen vormen, maar hiervan is nog niets bekend. 8. Hen waterige oplossing van azijnzuur zilver, en zoo ook van zwa- velzuur zilver, schijnen niet te worden aangedaan door een dergelijke oplossing van waterstof-bioxyde *) (//, O,), in den zin als electrolyti- sche zuurstof dit vermag te doen (men ging uit van een zoutop- lossing, die gediend had voor electrolyse, ten einde zooveel moge- lijk onder gelijke omstandigheden te werken). Genoemde reeks van verbindingen (zie onder 7.) bevat bijgevolg zilverzouten, hetzij anorganisch of organisch, die aanvankelijk, om het zoo uit te drukken, waren verzadigd geworden met zuurstof langs gewonen weg, en daarna zijn oververzadigd langs electrolyti- schen weg. Als eerste voorbeeld van een organisch zilverzout, biedt de electrolyse van azijnzuur zilver buitengemeen belang aan, en dat in den zin vooral in de Verhandeling aangeduid, maar toch bovenal met ’t oog op de guantivalentie van het atoom koolstof, ingeval de structuurformule overeenkomt met die der twee andere „warte verbindingen electrolytisch erlangd (overigens nog te bewijzen). 48 OVER PEROXY-AZIJNZUUR ZILVER. Maar een meer uitvoerige en dieper ingrijpende studie wordt vereischt, en in de eerste plaats van het product ontstaan bij electrolyse van azijn- zuur zilver, dat den meer intiemen aard der koolstof schijnt te kunnen gelden; en alles, wat de eigenlijke natuur dezer grondstof betreft, kan niet anders dan van groote waarde zijn. Deze studie biedt, meer alge- meen opgevat, ook hare technische zijde aan, in zooverre als kennis met betrekking tot de ophooping van zuurstof in eenig molecuul, al hgt hare toepassing vindt, en wel vooral, indien dit bereikbaar is langs electrolytischen weg, waardoor de tijd als bezwarende factor, als ’t ware genoegzaam is buitengesloten. ‘loch wint de weten- schappelijke zijde het in beteekenis, en een meer grondige studie betreffende de electrolyse van azijnzuur zilver enz., in de richting die Is aangegeven, zal niet anders dan moeten bijdragen, als gezegd, tot de kennis van den aard van de koolstof, wat aangaat het maxi- mum van valentie. En de hoop wordt gekoesterd, dat de hoeveel- heid stof geen hinderpaal zal opleveren tot een voortzetten der ingeleide studie. Utrecht, 30 Juni 1900. (20 September 1900). Bid DRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE VAN G. J. MULDER. HISTORISCH KRITISCHE BESCHOUWING VAN ZIJN WERK: De Scheikunde der bouwbare Aarde DOOR J. M. VAN BEMMELEN. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (EERSTE SECTIE.) Deel VIL. N°. 7. AMSTERDAM, KORAN NES MULLER. Maart 1901. BIJDRAGE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE VAN G. J. MULDER. HISTORISCH KRITISCHE BESCHOUWING VAN ZIJN WERK: De Scheikunde der bouwbare Aarde DOOR J. M. VAN BEMMELEN. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) Deel VII. N°. 7. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1901. Bijdrage tot de wetenschappelijke Biographie van G. J. MULDER. HISTORISCH KRITISCHE BESCHOUWING VAN ZIJN WERK: SCHEIKUNDE DER BOUWBARE AARDE DOOR J. M, VAN BEMMELEN, INLEIDING. In 1859 ondernam Murprr de taak om zich geheel op de hoogte te stellen van alles wat over de bouwbare aarde in verband met den plantengroei onderzocht en beschreven was, en om dit alles aan een kritisch onderzoek te onderwerpen. Zijn werk omvatte dus de Chemie van den bouwgrond. Hij las daarover oudere en jongere schrijvers, bracht de gausche litteratuur te zamen, en legde de uitkomsten nauwkeurig geordend in 4 deelen neder (1900 bladzijden groot). Dit reuzenwerk volbracht hij in één jaar (ver- schenen in 1860). Tweeérle: doel heeft hij daarmede willen bereiken. Vooreerst om zich nauwkeurig rekenschap te geven van hetgeen na al dat onder- zoek en na al die gegeven beschouwingen en theorieën als ware wetenschappelijke winst is verkregen, dus wat verklaard en wat niet verklaard is — ten tweede om de dwalingen en verkeerde richtingen te bestrijden, die zich naar zijne meening van de toe- passing van de wetenschap op den landbouw hadden meester ge- maakt, en om deze door betere inzichten te vervangen. En aangezien nu niemand meer dan LreBie daarvoor aansprakelijk was, zoo is in 1% A BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE zijn boek ook een voortdurende bestrijding van Linpia’s leeringen geworden. Niet medegesleept (zooals hij zegt) door een waan van den dag — eene humuspassie, eene mineraalpassie — heeft Murprer ernstig getracht zoo onpartijdig mogelijk te zijn, ook zichzelven niet spa- rende, door van alle proefnemingen het wezenlijke mede te deelen, ze kritisch te toetsen en te benuttigen, en aan iederen waarnemer zijn rechtmatig deel te geven. Hij heeft de denkbeelden der oudere schrijvers 1) INaeNHousz, DE Savssurn, SENNEBIER, Davy, THAER, DrcaxpozLe enz. over plantenvoedsel en plantenvoeding, vruchtbaar- heid, stalbemesting, den zuivelbouw, het ploegen enz. niet verworpen, maar ze vastgeknoopt aan het nieuwere en daardoor de historische ontwikkeling der wetenschap, door Linsic miskend en verstoord, weder op den goeden weg trachten te brengen. Hij heeft recht trachten te doen aan Way, SröckuHarptr, E. Worrr, Lawes en GILBERT, KürnrmanN, Vörcker en vele anderen, door LreBre op de heftigste wijze bestreden, ja verguisd en op zijde gezet. Hij heeft de ervaring der landbouwers, zooals die zich in de oude met goeden uitslag en sinds eeuwen gevolgde praktijken openbaart, niet verworpen, maar getracht om de waarheid uit te vinden, die er aan ten grondslag ligt ?). Hij geeft geene afgeronde theorieën, ' *) Zie bijv.: II. 288—291. Dr Saussure’s Hoofdbeginselen, waarop de plantenvoeding steunt, zijn nog geldig. 365—367. De trage omzetting der humusstoffen door Dr Saussure erkend, 414. Het voedingsvocht in den bodem, naar Dre Saussure. IT, 474. SenxeBrer, Incennousz, De Saussure, Decannoiie: Koolzuur der lucht is hoofdvoedsel der planten. III. 188 en 218. De Saussure, Drcanpozre en anderen: De beteekenis der anorgani- sche bestanddeelen der planten. 212. Dr Saussure: Beteekenis der phosphaten. III. 2. Worrr en Sréckuarnt: Nuttigheid der stikstofbemesting. 12—14. De Saussurr: Ammonia der lucht en oplosbare stikstofverbindingen zijn het stikstofvoedsel der planten. 15. Davy: Salpetervorming in den bodem. Til. 219—225. Verdediging van Dre Saussure, Scuwerz, Tuarer, BERZELIUS, Gay Lussac, BoussiNGauLr, Payen tegen Liepic’s bewering, dat deze mannen vóór 1840, dus vóór Lirnia’s uitspraken, de vruchtbaarheid uitsluitend aan humus en organische stoffen hadden toegeschreven. Enz., enz., enz. *) Zie bijv.: III. 407. Afneming van de vruchtbaarheid eens bodems voor tarwe door gebrek aan stikstofhoudenden mest. IV. 118—119 en 152—156. Verklaring van den ouden regel: Dierlijke bemesting is de beste. Wederlegging van LregiG’s: Emancipation des Stalldüngers. VAN G.J. MULDER. 5) die den waan wekken, alsof de groote vraagstukken reeds opgelost zijn, maar stelt gedurig in het licht waar onze kennis nog armoedig en ontoereikend is 1). ù Het boek héeft daardoor twee groote verdiensten. Vooreerst is het eene vraagbaak voor elk, die het standpunt der wetenschap in 1860 wil leeren kennen en het toen voorhanden materiaal wil raadplegen. Ten tweede wijst het schier op elke bladzijde aan, wat nog onder- zocht moet worden, welke vragen tot nieuw onderzoek uitlokken en in welke richtingen zich dat moet bewegen. De uitkomst heeft dan ook geleerd, dat de vorderingen die sinds gemaakt zijn zich voor een groot deel aan de vragen vastknoopen, die in dit werk zijn gesteld en behandeld. De groote vraagstukken, die toen aan de orde waren, laten zich kortelijk aldus samenvatten: Kigenen zich de planten ook vrije stik- stof toe of zijn alleen nitraten en ammoniakzouten stikstofvoedsel? Kunnen alleen anorganische stoffen de plant voeden of zijn ook organi- sche stoffen (de humus) daartoe in staat? Im welken vorm bevat de bodem eigenlijk de plantenvoedende bestanddeelen en wat beteekent het (toen kort geleden ontdekte) vastleggingsvermogen des bodems voor kali en andere bases, voor phosphorzuur en voor kiezelzuur? Nemen de planten de stoffen wit den bodem alleen in opgelosten toestand door hunne wortels op, of werken zij mede om de in den bodem vastgelegde kali, het vastgelegde phosphorzuur enz. los te maken en op te nemen? Is het waar, dat de anorganische stoffen in den bodem ten slotte alleen de vruchtbaarheid bepalen, in zooverre IV. 187. De deugdelijkheid van den ouden tuinbouwregel: bemesten vroeg in het voorjaar, later gieren als de jeugdige plantjes ontluiken. 204—257. De praktische regels in den wisselbouw, enz. enz. 258. Goede graanoogsten op onvruchtbaar grasland na scheuring (Serrurrer: Boeren- goudmijn 1807). 243. Zomerploegen. (SERRURIER). Enz., enz., enz. *) Zie bijv. over de organische stoffen in den bodem 1 367. Zoo ook omtrent de vraag of planten organische stoffen opnemen II 407. — Of de luchtstikstof wel werkeloos is I 315 vgg. — Hoe de stikstof in den humus aanwezig is I 435, III 45—55. — Dat de werking van de zuurstof, van de organische stoffen, van de vochtigheid, van de temperatuur, in den bodem nog zoo weinig bekend is IL 292—308. — Welk het nut is van het draineeren, een verschijnsel waarbij te veel factoren medewerken wier werking wij nog niet kennen IV. — Waarom leguminosen een goede vooryrucht voor granen zijn, en of zij dan soms de luchtstikstof assimileeren. Enz., enz., enz. 6 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE koolzuur en ammonia altijd genoeg door den dampkring worden aangevoerd? Is de uitputting van den bodem voor een bepaald gewas alleen aan gebrek aan de voor eene bepaalde kultuurplant noodige minerale bestanddeelen toe te schrijven? Kan de vrucht- baarheid van den bodem reeds enkel door aanvoer van minerale meststoffen hersteld worden? HOOPDSTU KI De theoretische vraagstukken. § 1. Samenstelling van den bouwgrond en stofwisseling daarin. De samenstelling van den bouwgrond is het uitgangspunt van Murper’s werk. Het inzicht, dat hij daarover uit al de voorhanden waarnemingen meent te mogen afleiden ligt aan al zijne beschou- wingen over de werkingen in den bouwgrond, over deszelfs vrucht- baarheid en onvruchtbaarheid, over de voedselopname der planten, ten grondslag en doorloopt als een leidende draad het gansche boek. Die samenstelling werd toen nog uiterst gebrekkig voorgesteld. Murper nu stelt voor het eerst op den voorgrond dat als belang- rijkste bestanddeel der bouwaarde de geleiachtige stoffen te beschou- wen zijn, die wel onderscheiden moeten worden, 1° van de onver- weerde deeltjes (kwarts en silicaten), 2° van losse stoffen, die sommige bodems wel eens in overmaat bevatten, zooals kalk en mag- nesia als koolzure kalk en koolzure magnesia, phosphorzuur als phosphorzure kalk, vrij ijzeroxyde (waarbij nooit vrije alumaarde), 3° van de kleine hoeveelheid sulfaten, chloruren, nitraten, zouten met organische zuren, ammoniakzouten, welke tijdelijk in het bodem- vocht in oplossing zich bevinden. Die geleiachtige stoffen zijn hem het essentieele van de.vruchtbaarheid; zij zijn in geringe hoeveelheid in schrale zandgronden, in groote hoeveelheden in vette kleigronden aanwezig. Zij bestaan uit de humusstoffen en uit komplexe’ aluin- aarde — ijzeroxydule en oxyd — silicaten in geleiachtigen toestand, die de vier bases (kali, magnesia, kali, natron) en tevens phosphor- zuur en humuszuren in hun komplex kunnen opnemen. In zuren zijn zij oplosbaar, zoodat zij de stoffen zijn die de aluinaarde en verder het grootste deel van het ijzeroxyd (oxydule), de kalk, VAN G.J. MULDER. i magnesia, natron, kali, het phosphorzuur, de humuszuren leveren, welke door uittrekking der aarde met zoutzuur in oplossing worden verkregen, onder vrijwording van kiezelzuur. Dit laatste kan door alkaliën geheel opgelost worden. Hij geeft ze den naam van zeoli- thische silicaten, welke benaming minder juist is, waarom ik ze in het vervolg geleiachtige silikaten zal noemen. Uit dit alles blijkt, dat Murper in de beroemde proeven van Way over deze door hem kunstmatig uit waterglas en kalk-magnesia- ijzeroxyd enz. bereide zouten den sleutel heeft gezocht om in de samenstelling der bouwaarde en hare vruchtbaarheid voor de plan- tenvoeding door te dringen. De uitkomst heeft bewezen, dat hij daarin grootendeels juist heeft gezien en dat hij de belangrijkheid van Ways proeven, zoozeer door LrrBia miskend 5, in het ware licht heeft gesteld. Het chemisme, dat in de aarde plaats heeft en aan de plantenvoeding ten goede komt, wordt door Murper voor- namelijk in dit bestanddeel gezocht. Ofschoon nog miet de onbepaalde (miet chemische) verbindingen of absorbtie-verbindingen aannemende — hetgeen eerst na twintig en meer jaren zou opkomen en ook thans nog door velen niet ingezien wordt — zoo onthoudt Murper zich wel om aan deze stoffen chemische formulen volgens bepaalde verhoudingen toe te kennen. Hij schrijft aan dezelve een zeer komplex karakter toe en spreekt slechts van binding van bases en ammoniak aan geleiachtige kiezelzure aluinaarde. Hij spreekt van de binding van phosphorzuur door het gelatineuse ijzeroxyde en de gelatineuse aluinaarde, en van de vermindering van dat bindend vermogen door de koude en den tijd, waarbij het ijzeroxyd minder oplosbaar in zuren: wordt. Hij wijst evenzoo op eene verbinding van ijzeroxyde met kalk ®. Hij is als het ware na daaraan toe, om de absorbtie-verbindingen aan Ce te nemen. Voor het phosphorzuur gebruikt hij de uitdrukking: „op onbekende wijze geïncorporeerd”. Hij onderscheidt die binding van de chemische welke bij zouten voorkomt, want deze beschouwt hij als zuren met bases tot zouten chemisch vereenigd. ‘Foch neemt hij ook voor deze aan dat zij gebonden kunnen worden in het gelei- *) Liesig noemt Way’s ontdekking: eine Theaterdecoration. IV. 111. Das ganze Gebiiude der Theorien der Herren Way und E. Worrr zerfällt in Staub und Schutt. Alles ist Selbsttäuschung, Theaterdekoration. Es ist aber zu allen Zeiten so gewesen; immer hat die alte Liige an der Thür gestanden, wenn das noch junge Kind der Wahrheit Einlass begehrte.” (Lies in 1855). In 1858 noemt hij weder Ways proefnemingen belangrijk voor den praktischen en theoretischen landbouw. IT. 164—167. 2) TT. 93—95. 8 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE achtige komplex, „deze doordringende op physische wijze’ !). Dat dekt dus hetgeen wij thans noemen: geabsorbeerd. Aan de gelatineuse bestanddeelen, humus en geleiachtige silikaten, kent hij dan ook inzonderheid het absorbtie-vermogen toe, inzonder- heid van eene groote hoeveelheid water en van gassen, van bases, van ammoniak, zouten enz. Gebruikt hij daarbij het woord „physi- sche aankleving dan bewijst dit alleen dat hij die absorbtie niet van adsorbtie onderscheidt. Wel onderscheidt hij deze gevallen van absorbtie van het geval, waarbij chemische uitwisseling van bases tevens plaats heeft — eene onderscheiding welke door zoovelen zijner tijdgenooten verzuimd wordt. Het belangrijkste van Murper’s arbeid is voorzeker de wijze, waarop hij het chemisme toelicht dat in deze stoffen plaats heeft. Hij voert daarbij alles aan uit de litteratuur *) wat dienen kan om te bewijzen, dat de chemische werkingen zoo dikwijls zief afloopen (wij spreken tegenwoordig van omkeerbare reaktiën), zoodat (in den zin van Brrruor.ert) zich een toestand van evenwicht vormt tusschen de verschillende zouten in oplossing, of tusschen opgeloste zouten en onopgeloste zouten waarvan de bases kunnen wisselen. Hij brengt zulks in verband met den invloed dien twee en meer zouten op elkanders oplosbaarheid hebben, waardoor ook onoplosbare eenigszins oplosbaar worden; zooals bijv. phosphorzure kalk in zout- oplossingen. Murprr noemt dit: de verdeeling van het chemisme en beschouwt die terecht als het snoer om den weg te vinden in de warreling der toestanden ®). Hoogst merkwaardig voor dien tijd zijn M. volgende woorden 4) : „Besliste toestanden kunnen tusschen twee stoffen, die op elkander „chemisch inwerken, optreden; zooals bij het ontstaan van neer- „slagen — bij het doorvoeren van eene elektrieke vonk door een „gasmengsel — bij kristallisatie of op andere wijzen, als wanneer „eene konstante verbinding uittreedt. In die gevallen treden de „vaste verhoudingen op in al hare kracht. Doch in andere toestan- „den ontsnappen die vaste verhoudingen; overal is wankelbaarheid „van chemisme waar vele stoffen onderling zijn gemengd.” )) ME Oe IJ. 112—128. Hierbij worden eenige proeven zijner leerlingen vermeld. *) Zoo de proefnemingen van Depus, Marcurérire, GLApsTone, Reynoso, Mour, Rose, Maracurr en zijne eigene over Ag Cl met eene oplossing van Ag NO* of van Na Cl (AT) Zoo behandelt hij ook uitvoerig het evenwicht tusschen geleiachtig Si O,, koolzuur en alkali (kali of ammoniak). I. 171—175. *) II. 4, 39, 65—67, 129—132. eG VAN G. J. MULDER. 9 In een mengsel van zouten in oplossing moet men dus naar Murper aannemen, dat van de mogelijke onderlinge verbindingen zekere. hoeveelheden aanwezig zijn D. Hij komt er dus reeds toe om in een welwater niet een sulfaat, een chloruur, een nitraat enz. aan te nemen, maar zooveel sulfaten, chloruren, nitraten als er bases zijn of liever één zout; zoo stelt hij dan reeds voor (in 1860) om te schrijven SO Na ne Ca i a | Jy > | K d.i. de zuurradikalen ter eener en de basische radicalen ter anderer zijde *). Slechts een enkele chemicus heeft bij zijne analysen van aarden, van natuurlijke waters, van moederloogen enz. MuLprr’s voorbeeld sinds jaren nagevolgd, en nog keden wordt die noodzake- lijkheid nog door weinigen ingezien, zoodat Osrwarp (vóór korten tijd) het noodig vond, daarop aan te dringen. Bij die niet afloopende reaktiën tusschen verschillende stoffen in wat wij thans een homogeen en een heterogeen stelsel noemen, stelt Muuprr de zoogenoemde massawerking bij deze omkeerbare reaktiën reeds in het juiste licht. Hij erkent dus 1° dat het evenwicht afhangt van de koncentratie der oplossing van elk zout, zoowel in de oplossing als in het geleiachtig silikaat of humaat, 2° dat de reaktiën alleen tot het einde kunnen gevoerd worden, als men eene oplossing telkens vernieuwt; 3° dat de gelatineuse stof een eigen bindingsvermogen heeft voor elke basis, en dat dit vermogen sterker is voor de kali dan voor de kalk enz. Hij kan dus de absorbtieproeven op juiste wijze toelichten: Eerstens de absorbtie van bases door de gelatineuse stoffen (de geleiachtige silikaten, humusstoffen) wit hare oplossingen tot een zeker evenwichtsbedrag en buiten aequivalent ver- houding, en ten tweede eene aeguivalente uitwisseling der bases fof een zeker evenwichtsbedrag (dus niet afloopend) *), wanneer eene bouwaarde t ) Men vindt evenwel bij Murper nog niet de nauwkeurige onderscheiding van 1e de niet afloopende reaktieën (tusschen zuren en bases, bases en zouten, zouten en zouten), 2e gedissocieerde chemische verbindingen, 3e de (niet chemische) verbindingen in onbe- paalde verhouding tusschen twee of meer amorphe stoffen — ofschoon hij op alle doelt. Dit moet bij de lezing wel in het oog gehouden worden. De dissociatie-proefnemingen en theorie van Sr. Cramre-Devirte en Desray dagteekenen van 1857—1864. In 1864 kwam eerst de beroemde verhandeling van den eersten uit; Lecon sur la dissociation. ?) II. 4—6. )) ME BS) ea. 10 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE met oplossingen van een kalizout of van een kalkzout enz. of een mengsel daarvan, wordt behandeld. Hij kan Linsie en zijn navolgers (Z6LLuR, HÉNNEBERG, STOHMANN, BRUSTLRIN) weerleggen, die deze verschijnselen door hunne theoriën verduisterden '!) maar daarentegen aan VörcKer recht doen weder- varen. _ Bovendien stelt de boven ontwikkelde beschouwing Murper in staat om de eenzijdigheid, die nog aan War’s theorie aankleefde, op te heffen ? Way had voor die geleiachtige silikaten een verwantschapstabel opgemaakt, volgens welke de kalk in de oplos- sing de natron uit het silikaat verdrong (zoodat kalk en natron uitwisselden d. 1. elkander substitueerden terwijl het zuur op zijne plaats bleef), vervolgens de kali de natron, en de ammoniak wederom de kali verdrong. Murper toont aan, dat dit te ver gaat, want de verdringing is noch volledig noch eenzijdig. Zij is afhankelijk van de initiale koncentratie aan silikaat en oplossing beiden, zoodat elke basis ten deele de anderen verdringen kan. De kali en de ammo- niak worden wel het meest onder uitwisseling geabsorbeerd, omdat zij het sterkst gebonden worden, maar eene kalkoplossing of eene natronoplossing kan eenige kalk of natron tegen de drie andere bases uitwisselen. Steeds stelt zich een evenwicht in tusschen het geabsorbeerde en het opgeloste. De overeenkomst tusschen de ver- schijnselen, welke toen omtrent de zoogenaamde metamophose der gesteenten bekend waren, en de absorbtieverschijnselen in bouwaarde wordt door Murper uitvoerig aangetoond. Ook de humuskomplexen in de bouwaarde bezitten dezelfde eigenschappen. Zij kunnen zelfs bases aan opgeloste zouten met zwakke zuren onttrekken zooals aan karbonaten en silikaten ®). De gelatineuse silikaat- en humuskomplexen zijn alzoo naar Murper „de opbergers en bewaarders der plantenvoedingsstof- fen’, — de assimileerende en konserveerende elementen. Zeer merkwaardig schetst Murprr een zekeren initiaaltoestand van rust, waarin men zieh den normalen, dus met eene zekere vochtigheid voorzienen bodem kan voorstellen. „Verbleef dus hetgeen in den *) Lrrepic kende aan de uitwisseling der bases bij de absorbtieverschijnselen nu eens waarde toe, dan weder niet (zooals Murper aanwijst). Way's beschouwingen ver- werpende, dat de basas elkander verdringen naarmate zij sterker geabsorbeerd worden, zoo wil Lrepia hierin „eene eigene Polizei des Bodens” erkennen, hetgeen natuurlijk door Murpenr bestreden wordt. Ap. Maver getuigt van die uitspraak van Liere: „das war eine teleologische Anschau- ung, die sich der echten Naturforschung immer als feindlich erwiesen hat. Lehrb, Agr. Chena 99k *) I 49 sqq. JAM? VAN G. J. MULDER. Jl „bodem voorhanden is alles te samen gemengd, dan zou er na „uitwisseling een evenwichtstoestand ontstaan tusschen alles wat „aanwezig is en scheikundig op elkander werken kan, oplosbaar en „onoplosbaar. Dan zouden er twee zelfstandig scheikundige, zeer „komplexe, groepen gevormd zijn, onderling gemengd; eene oplos- „baar, eene onoplosbaar; een soort van gesteente, door water in „tweeën deelbaar. Beide zijn zoo komplex als er bases en zuren „In den bodem zijn 5)”. In dien toestand van rust brengen nu allerlei agentien beweging aan. Door het chemisme in den bodem worden uit de gelatineuse komplexen de bases, het phosphorzuur, de ammoniak losgemaakt. Water reeds vermag daaruit van al die bestanddeelen iets op te lossen *), nog meer vermogen dat koolzuur, ammonia, zoutoplossingen, organische zuren, waarbij zich altijd de boven beschrevene even- wichten instellen tusschen oplossing en binding — zooals deze even- wichten ter eener zijde van de koncentratie der oplossing en der gelatineuse stof aan oplosbare of uitwisselbare bestanddeelen, en ter anderer zijde van de bindingskracht afhankelijk zijn. De dienst der organische stoffen in ontbinding, waarbij koolzuur, organische zuren en ammoniak ontstaan, en reduktiën plaats vinden, wordt daarom door Murper zeer groot geacht, en uitvoerig nagegaan Ÿ). Hij weerlegt hen, die de beteekenis der organische stoffen ont- kennen of verkleinen. Zij wekken een chemisme op dat van geene anorganische stoffen kan uitgaan. De verschijnselen, die de op- en neergaande beweging van het bodemwater in den bodem voortbrengt, de verplaatsing der bestanddeelen in de komplexen, de vorming van oerbanken, de vorming van eene reduktie- en oxydatielaag in den bodem, zij zijn alle toegelicht met behulp der geschetste evenwichtswetten +). Munprr kon eene juiste kritiek uitoefenen op de Lysimeterproeven van Fraas °) en de meeningen weerspreken, die Lresic, Fraas en ZôLLER daaraan vastgeknoopt hebben; namelijk : dat deze oplossingen een beeld zouden geven van de koncentratie der oplossingen in de omgeving der plantenwortels. Als in de Lyskneters (bakken die op eene zekere diepte in den grond geplaatst IT 19. Vörerers proefnemingen worden inzonderheid aangehaald. If 195—203. *) If 343—392. “) Een voorbeeld: Als het regenwater op den bodem valt, zal het in de bovenste laag uit de zeolitische- en humus-komplexen bestanddeelen oplossen, maar in eene volgende Jaag zal het water anders inwerken, omdat het reeds zouten enz, bevat. Het zal oplossen of afgeven, al naarmate de laag te rijk of te arm is aan eenig bestanddeel om met het gehalte der oplossing aan dat zelfde bestanddeel evenwicht te maken, IJ. 253. 5 Il. 230—246. 12 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE worden) of in de drains water vloeit, dan is dit tengevolge van de regens, die snel door de aardlagen gedrongen zijn, en geen tijd hebben gehad zich met de gelatineuse silikáat- en humus-kom- plexen geheel in evenwicht te stellen. De samenstelling van dat water geeft dus niet aan wat in het bodemwater in den regel in oplossing is en den planten wordt aangeboden, noch wat wit den bodem in den regel wordt weggevoerd. Daarbij is bovendien voorbijgezien, dat het water zich kapillair in den bodem op en neer beweegt, afhankelijk van den verschillenden vochtigheids-toestand der bodemlagen. Op dezelfde gronden als door Murper werden weldra daarna de meeningen van Larie, Fraas en ZOLLER door SCHUHMACHER Ì) in 1862 wederlegd. NUL Tere mo edig “der mplemten: a. Opname in opgelosten of in nietopgelosten toestand. Dat Murper de meening van LirBie verwerpt, dat de planten de nuttigste bestanddeelen (phosphorzuur en bases) niet in opgelosten toestand uit den bodem zouden bekomen, op grond van het bindend vermogen der aarde (de absorbtie), laat zich begrijpen. Hij heeft toeh aangetoond dat van die gebonden stoffen altijd een deel in oplossing moet zijn, en gedurig vernieuwd wordt naarmate de planten ze in zich opnemen en verwerken. Hij grondt zich verder, zooals thans allen doen, op de waterplanten, en op het kweeken van planten in waterige oplossingen. Maar proefnemingen over eene oplossende kracht, die van de wortelcellen zelve op de gebonden bases en het gebonden phosphorzuur uitgaat, zijn Murper nog niet bekend. Hij kan dus deze niet aanvoeren. Hij ontkent die werkingen wel niet, maar houdt ze niet voor waarschijnlijk. Het onderzoek leerde evenwel weldra het tegendeel. In hetzelfde jaar dat Murper's boek verscheen, publiceerde Sacus *) de welbe- kende proeven van de aanvreting van plaatjes marmer, dolomiet, osteoliet door de wortels van ontkiemende zaden. Hij bevond dat de uiterst dunne huid der wortelharen met eene zure vloeistof door- trokken is, die oplossend werkt op de omgeving *). In zijne proeven nam hij waar, hoe de worteltjes, na door eene daarboven liggende *) Ap. Mater vermeldt zulks in zijn leerboek en voegt er bij: De meeningen van L., Fr, en Z. worden krachteloos door dit feit: Drainwaters en Lysimeterwaters ver- zamelen zich alleen in de buizen of bakken en vloeien ingeval het regent. Dan heeft de bodemoplossing geen tijd, om zich met de absorbtieve krachten in evenwicht te stellen. *) Botan. Zeit. 1860 S. 118. *) Dyer meent dat dit zuur citroenzuur zoude zijn. VAN G. J. MULDER. 15 laag zand loodrecht te zijn doorgedrongen, zich in horizontale richting tegen het plaatje aanlegden en nevenwortels vormden, welke het plaatje op alle plaatsen van aanraking aantastten. Voorts toonde Sacus aan, hoe de wortelharen zich in de szwigste aanraking met den bodem bevinden. De welbekende afbeelding van Sacus 1) is in alle handboeken en leerboeken overgenomen. Zij toont aan hoe ont- zaggelijk groot het opzuigende oppervlak eens wortels is. Elk wortelhaar kan wel weinig opnemen en kort functionneeren (slechts weinige dagen), maar hun aantal bedraagt millioenen, die door nieuwe millioenen worden vervangen. Door het zure vocht in den wand der cellen werken zij dus oplossend op de onoplosbare zouten en op de geabsorbeerde bases en phosphorzuur. Sacus heeft dit meenen te bewijzen door zijne turfproef. Hij heeft turf phosphorzuur en kali doen absorbeeren, en zoo lang met water uitgewasschen, tot dat water miets merkbaars meer oploste. Slechts het allersterkst gebondene deel van de geabsorbeerde kali en phosphorzuur was nog in de turf aanwezig ‘Toen nu in deze turf, na verbrokkeling, zaden van mais, tarwe, tabak, boonen enz. werden gezaaid, konden deze tot ontkieming en volkomene ontwikkeling, met overvloeeige zaad vor- ming, gebracht worden, terwijl het voedingsvocht slechts chloruur, sulfaat en nitraat van kalk en magnesia maar geen kali en geen phosphorzuur bevatte. Sacus leidt daaruit af, dat de zure vloeistof in den wand der opzuigende cellen de sterkst geabsorbeerde kali en phos- phorzuur tot oplossing heeft gebracht en heeft moeten brengen, zoude de plant kali en phosphorzuur ontvangen. 7) De vereischte hoeveelheid voedsel en de gang der stofwisseling in de plant vielen buiten het bestek van Muupurs werk. Hij behandelt alleen de opname van voedsel in het algemeen *) door de opzuiging van het water en de daarin opgeloste bestanddeelen, zooals deze toen verklaard werd door de osmose en door de chemische werking in de plant zelve 4), waardoor minerale bestanddeelen worden vastge- legd qn de organen, en opslurping van nieuwe hoeveelheden wordt bevorderd. Maar van de osmotische verschijnselen met betrekking tot de opgeloste stoffen, die uit het water door de vliezen heen- *) Sacns. Vorles ii. Pflanzenphysiol. S. 239 2te Aufl. 1887. *) Ik wil die bewering niet tegenspreken, maar ik moet toch opmerken dat Sacns hier de wisselwerking van opgeloste bestanddeelen op geabsorbeerde bestanddeelen, door Murper zoo sterk op den voorgrond gebracht, geheel voorbijziet. De bodem werd gedrenkt met eene zoutoplossing, die door uitwisseling de geabsorbeerde kali en phosphorzuur in oplossing kan brengen — zij het dan in geringe mate — als zuiver water zulks niet vermag. Is het geheel zeker dat het bedrag daarvan niets te beteekenen heeft? *) HI. 131—188. el, AB 14 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE dringen, waren toen nog alleen de proeven over dialyse door GRAHAM (van 1855) bekend 5). Hij kon nog niet weten dat de oplossing in de wortelcellen zich veel meer verrijkt uit de bodemoplossing dan aan den regel van De Saussure 2) beantwoordt, en dat vooral kali, ammoniak, salpeterzuur zoo sterk osmotisch inwerken. b. Kunnen orgamsche stoffen tot voedsel dienen. Of ook organische bestanddeelen van den bodem (zouten van humusachtige zuren enz.) in de planten worden opgenomen, was toen nog een brandend vraagstuk, omdat men de humus als eene onmisbare voedingsbron voor de planten had beschouwd. Lmsre beweerde steeds, dat hij aan deze dwaling een einde had gemaakt; hij en zijne aanhangers ontzegden alle beteekenis aan de organische stoffen als voedsel voor de koolstof in de planten en namen alleen mineraal voedsel aan. Murper wikt zorgvuldig alle proefnemingen ter bevestiging en ter bestrijdmg. Hij toont geschiedkundig aan, dat ook de voorgangers het nut en de beteekenis van mineraal voedsel erkend hebben, al schreven zij ook aan de humus eene voedende kracht toe. Trouwens Lireia zelf deelt mede, dat acidum uricum uit eene oplossing door de planten wordt opgenomen ®). Toch acht Muuper onze kennis nog veel te armoedig om den dienst der organische stoffen van den bodem ook im dit opzicht voldoende toe te lichten, zoodat het mogelijk blijft dat oplosbare humusver- bindingen (humaten, krenaten, apokrenaten) in de wortels opgenomen worden en tot voedsel kunnen dienen. ‘hans wordt dit niet meer betwijfeld 4), al is niet streng bewezen, dat de wortels der planten, door het vocht der celwanden, bij die opname en toeeigening (Assimilatio) geeze gistende of oxydeerende werking op de humus- *) Murper bepaalt zich tot deze zinsnede: Naar Granam (Ann. de chimie et de Phys. [3] XLV, 5) is de osmose voor een aanzienlijk deel het product van reaktie tusschen de poreuse wanden of vliezen en de osmoseerende stoffen, IIT. 143. *, De Saussure leidde (1804) uit zijne proefnemingen af, dat de wortels uit eene zoutoplossing meer water dan zout opslurpten, zoodat de oplossing sterker werd. *) IL. 439. *) Ofschoon sommige oplosbare humusstoffen niet door organische vliezen diffundeeren (Dermer 1871), zijn er andere die wel diffusiebel zijn (Pererman 1882). De zeer gun- stige werking van humuszure kalk in waterige oplossing bij waterkulturen is nog on- langs door Bran (1894) waargenomen. Voorts wordt thans erkend dat chlorophyll- vrije plantenparasieten (sommigen zelfs die chlorophyll bevatten zooals Viscum album Melampyrum) organisch voedsel verbruiken. Sommige groene planten behoeven eenen aan organische stoffen rijken bodem. Hoogstwaarschijnlijk kunnen vele planten zich met enkel organische, zoowel als met beide voeden. Kiemplanten kunnen volgens v. Frrouem’s proeven zich met organische stoffen, die hun aangeboden worden, voeden. Ook de opname en toeëigening van stikstofhoudende organische stoffen (amidachtige verbindingen) door sommige planten is bewezen. (Zie Marsrr’s Lehrbuch der Agricultur Chemie. I. 79—82). Ji VAN G.J. MULDER. 15 stoffen uitoefenen. Is die opname van humusstoffen voor onze kultuurplanten van geringe beteekenis (Ap. Mater), voor woudboomen beteekent zij des te meer. Hoogst belangrijk is de ontdekking van B. Frank (1885, 1894), dat bij Cupuliferen en Coniferen de boschhumus tot voedsel dient, ten gevolge eener symbiose van zwam- men met de wortels dier boomen. 3). c. Bronnen der stikstofvoeding. Een tweede brandend vraagstuk betrof toen de bronnen voor de stikstofvoeding der planten. Linsia kende zich de eer toe, dat hij de ammonia in den dampkring als de eenige oorspronkelijke bron ?) voor de stikstof in de planten had aangewezen ®. De stikstof der lucht kon dus geen plantenvoedsel zijn. De beroemde proeven van Boussincauur, toen reeds bekend, schenen het vermogen daartoe aan de luchtstikstof geheel te ontzeggen. Vice was de eenige die het tegendeel vol hield. Murper erkent dat zijne eigen proeven (van 1845) welke eene opname van vrije stikstof aantoonden, te onnauwkeurig waren om die uitkomst te bewijzen, doch acht het evenzeer onbewezen dat de luchtstikstof op geenerlei wijze aan de plantenvoeding kan deelnemen. Hij hecht gewicht aan de proef- nemingen van Vinnie, al acht hij ze vooralsnog onvoldoende. Hij wijst vooral daarop, dat naar Lawns en Grrgert *) de Leguminosen de beste vóórvrachten voor de tarwe zijn, ofschoon zij zelve weinig behoefte aan eene stikstof-bemesting hebben, en dat Virrr ®) den bodem, na een gewas van Erwten of Boonen, rijker aan stikstof gevonden heeft. Hij vraagt zich daarom af, of ook soms de Le- giminosen een bodem achterlaten, waarin de stikstof houdende humus *) De zwammen zijn organisch vergroeid met de wortels, met name de jongste zuig- wortels, zoodat deze met een zwammantel omgeven zijn (eene Mikrorhiza)en wortelharen missen. De zwammen behooren waarschijnlijk tot de Tuberaceae (truffels) of Hymeno- gastre® Zij voeren voedsel toe en zijn humuseters. Op een normalen goeden pijnboomen- grond behoeven deze boomen de wortelzwammen ter vorming van deze mikrorhizae en voor hunne goede ontwikkeling. Dit verschijnsel is waargenomen bij pijnboomen (sparren, dennen), haagbeuk, hazelnoot, beuk, eik, kastanje, wilg, popel. Het komt voor, mits in boschhumusgrond, in alle gronden, streken, leeftijden en aan alle wortels. Daar in die wortels salpeter ontbreekt, die anders wel in de zuigwortels aanwezig is, zoo is het hoogst waarschijnlijk — zoo niet zeker — dat de zwammen vooral stikstofhoudend voedsel aanvoeren. *) Sekundair zou de stikstof dus voorhanden zijn in de ammonia door rotting van stikstofhoudende organische stoffen ontstaan, of in het salpeterzuur uit de ammonia door oxydatie gevormd. *) Murper toont aan, dat Dr Saussure reeds in 1804 op de beteekenis van die ammo- niak gewezen heeft. EDO: *) TH. 106 sqq. 16 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE. zoo gewijzigd is, dat de stikstof toegankelijker voor de tarwe ge- worden is, — en bovendien ontkent hij de mogelijkheid niet dal de luchtstikstof onder bepaalde omstandigheden aktief kan gemaakt worden en aan de voeding deelneemt. Hij kan daarvoor wel niets anders bedenken dan eene oxydatie derzelve door Ozon, of door op andere wijze aktief geworden zuurstof 4), maar het vraagstuk laat hij open. Hoe wijs hij daarin gezien heeft, is nu gebleken. HeLLRIEGEL heeft het vraagstuk opgelost. In Symbiose met eene bakterie schuilt in de wortelknolletjes der Leguminosen en in andere planten het ver- mogen om de luchtstikstof te assimileeren. Daarom hebben de Leguminosen geene bemesting met ammonia of salpeterzuur noodig ; daarom laten zij den bodem met stikstofverbindingen verrijkt achter. HOOEDPDS PUK JIE De praktische vraagstukken. Zich grondende op de door hem ontwikkelde inzichten omtrent de samenstelling en het chemisme des bodems, en deze kritisch verbindende met de praktische ervaringen en gedane kultuurproeven heeft Murper de vraagstukken toegelicht, die voor den praktischen landbouw van belang zijn — zooals: ‚Waarin bestaat de vrucht- baarheid van den grond? Wat leeren de grondanalysen? Waar- door wordt een bodem onvruchtbaar voor een bepaald gewas (de uitputting)? Waardoor wordt de vruchtbaarheid hersteld, en welke is de werking der meststoffen? Welke waarde hebben bemestings- proeven? Welke is de beteekenis van de braak, van ploegen en omwoelen, van den wisselbouw? Waarin bestaat het ontginnen van een nieuwen bodem ? A. De vruchtbaarheid. Uit het boven aangevoerde is het duidelijk, dat Murper de vruchtbaarheid im de eerste plaats toeschrijft aan eene ruime hoe- veelheid van de gelatineuse komplexen der silikaten en humus- stoffen, en aan het gehalte derzelve aan gebonden (geabsorbeerde) kali, ammonia, kalk, magnesia, matron, phosphorzuur. Zijn zij rijk daaraan, dan kunnen zij reeds aan water veel afstaan — nog meer door chemische agentien, als koolzuur, humuszuren, orga- *) IIL. 126. Wij zouden thans zeggen door geaktiveerde zuurstof, VAN G. J. MULDER. Il + nische zuren — en door uitwisseling met zoutoplossingen aan deze bases afstaan. Voorts, alles wat de genoegzame verspreiding van oplosbare stoffen, de noodige oxydatien, het im chemische beweging stellen, de goede rotting of gisting in humusstoffen en in organi- schen afval bevordert, draagt tot de vruchtbaarheid eens bodems bij. Ten slotte, de physische toestand van den grond, hare losheid, hare poreusheid, hare kapillariteit, dus het vermogen om gassen op te slurpen, water vast te houden en door te laten — dit alles bepaalt evenzeer de vruchtbaarheid. De humus, als een groote faktor der chemische beweging, wordt door Murper in hare oude eer hersteld, nadat zij, zooals hij zegt, door LreBre was doodgemaakt. Niet alleen omdat zij koolzuur bij hare rotting voortbrengt, maar ook omdat zij ammoniak en bases in hare ge- latineus komplex opneemt, omdat zij organische zuren vormt, die weder oplossend op de geleiachtige silikaten werken, en om nog zooveel meer hetgeen wij nog niet voldoende weten, maar moeten vermoeden. De praktijk niet alleen, maar ook het wetenschappelijk onderzoek heeft Murper’s meeningen bijgevallen, ofschoon dit zelden of niet erkend wordt. Thans wordt de humus als een integreerend en onmisbaar bestanddeel van den bodem beschouwd, die alle bodem- deeltjes doordringt en bekleedt. L’ humus est le quatrième élément constitutif de la terre arable schrijft Dénéraix (1895). Die Mrhal- tung und Vermehrung des Humusgehaltes muss in der Mehrzahl der Hille als eine der wichtigsten Aufgaben der Bodenkultur betrachtet werden, met die woorden besluit Worry zijne uitvoerige be- schouwingen over het voorkomen, de samenstelling, de werkin- gen van de humus. Haar nut betoogt hij op dezelfde gronden als Murper, en voegt er meuwe by D. De vruchtbaarheid des bodems staat in rechtstreeks verband met de humusvorming, zegt .!) Wourny voert aan: 1° Voor de chemische werkingen: Humusstoffen (zooals bijv. éoogenaamde kumuszure ammonia) kunnen minerale stoffen (zelfs phosphorzuur) vast- leggen, bases aan zouten ontnemen en op die wijze nuttige bestanddeelen tegen de oplossende kracht van het regenwater in den bodem bewaren. Anderzijds gaan van humuszuren weder oplossende werkingen uit op silikaten en phosphaten; zooals ook van de ontbindingsprodukten van den humus, het koolzuur, de ammoniak. Hierbij worden aangehaald de onderzoekingen van GRANDEAU, Simon, E:scunorn, Dierricn, Sener (1872, 1875, 1877). Zie ook het onderzoek en de beschouwingen van H. Snyper. C. Bl. Agr. Ch. (1898) 27. 654. 2° Voor de physische werkingen: De humus vermindert de te sterke aankleving der deeltjes en alzoo den scheidingsweerstand, die bij ploegen, eggen enz. te overwinnen is. (Pucuxer, ScuacuBAsraN 1889, 1890). Zij maakt zware bodems doorlatender, ligte bodems waterhoudender. Zij verbindt zand en klei tot gekruimelde aarde en vormt dus lossere aggregaten (Scurorsine). Zij vereffent de temperatuurswisselingen in den bodem, omdat zij de verwarming zoowel als de afkoeling tempert. Zij bevordert wat men noemt de Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch. (1¢ Sectie.) Dl. VIT, 2 18 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELUKE BIOGRAPHIE de Amerikaan Harry Snyper (1897). En toen de werking der regenwurmen ') was in het licht gesteld, door wier ingewand als het ware de aarde der gansche bouwlaag doorgaat, erkende men hoezeer die wurmen bijdragen, om de overblijfselen der planten- blaadjes, -stengels, -wortels tot gezonde humus te maken en de aarddeeltjes daarmede te bekleeden 7). Welke belangrijke faktor het leven der mikro-organismen voor de vruchtbaarheid des bodems is, was in 1859 nog onbekend. Herst in 1860, na de voltooiing van Murper’s werk, kwam Pasrnur’s beroemde verhandeling in het licht *), waarin hij de kiemen van lagere organismen, welke overal in de lucht aanwezig zijn, als de oorzaken van gisting en rotting (door de Anaerobien) en van vertering (door de Acrobien) aanwees. En het duurdé tot 1877 eer Scurésine en Münrz en later WARING- ton de salpetervorming door de werking eener bakterie verklaarde, die de luchtzuurstof op de ammoniak overdroeg. Wel allerminst dacht men toen aan de mogelijkheid, dat vele der laagste plantaar- dige organismen en bakteriën, in symbiose met plantencellen, de luchtstikstof in chemische verbinding zouden kunnen brengen. Maar daarom kan men thans te meer waardeeren, dat Murprr steeds aandrong om bij alle vraagstukken der Agrikultuurchemie eZ onder- zoek physiologisch op te vatten en zelf daarin trachtte voor te gaan. „bene gezonde Agrologie is Physiologie’ *). Bij deze beschouwingen wordt Murper niet moede om de uit- spraak gedurig te herhalen: „Niet het guantwm maar het quale geldt”. Het is niet genoeg dat er kali, phosphorzuur, ammonia enz. in den bodem zijn, maar zij moeten in de gelatineuse kom- „Gahre” des bodems, d. i. een zekeren graad van losheid met daaraan gepaard vochtig- heidsgehalte en gehalte aan organische bestanddeelen, welke toestand voor het chemisme (dus ook voor de gisting in de organische deelen) het gunstigste is. *) Door de proeven van Darwin en anderen is het toch gebleken dat de aarde, die door de regenwurmen als voedsel wordt gebruikt en weder uitgeworpen, met het vocht hunner spijsverteringswerktuigen (dus met fermenten) wordt doortrokken. De organische deelen worden daardoor tot een humus, die meer gistingsproducten en meer minerale stoffen in oplossing geeft dan de aarde, welke niet door de wurmen is heengegaan. Ook de mieren en andere dieren dragen tot de humusvorming bij. Zie Woriny’s werk: Die Zersetzung der organischen Stoffe und die Humusbildung mit Rücksicht auf Bodenkultur (1897). S. 33—43. *) Ik kan niet nalaten hier te vermelden, dat in December 1868 de bekende Dr. Broers te Utrecht mij in een gesprek opmerkzaam maakte van hoeveel belang het zou zijn om in plaats van chemische analysen te doen, eerst eens nauwkeurig het dierenleven in den bodem te bestudeeren. Hij had vele waarnemingen gedaan, die hem van het gewicht van dat dierenleven overtuigd hadden. Ik vermoedde toen niet, hoe juist Dr. Broers gezien had en dat een twaalftal jaren later eene reeks van de belangrijkste ontdekkingen op dat gebied zou aanvangen. *) ©, R. 50, 303, 849. *) III. 434. VAN G. J. MULDER. 19 ‚plexen (silikaten en humus) gebonden zijn: in gunstige hoeveel- heid, im gunstige verhouding, in gunstigen toestand, teneinde zoowel genoegzaam gebonden te zijn om niet door de regens uit- gespoeld te worden, als genoegzaam toegankelijk om de planten in eene groeiperiode voldoende te verzorgen. De vereischte hoeveelheid bases, phosphorzuur enz. moet in de vereischte koncentratie aan de planten aangeboden worden, en daarvoor moet de chemische be- weging krachtig genoeg zijn. Voortdurend verzet Murper zich dus tegen de plompe quantiteitsleer, die toen de Agrikultuurchemie beheerschte. Deze gaf slechts acht op de geheele hoeveelheid kali, phosphorzuur, stikstof enz, en liet het quale buiten beschou- wing. De humus kan in een vruchtbaren toestand zijn, als zij in een zekere chemische beweging is, maar evenzoo onwerkzaam of zelfs schadelijk. De stikstof, in de humus bevat, kan voor een grooter of slechts voor een kleiner deel toegankelijk zijn, voor zooverre zij in ammoniak of andere oplosbare verbindingen overgaat, die de plant kan opnemen 5. Ook dit wordt thans algemeen erkend ?). Omdat wij nu van die gunstige samenstelling van de gelatineuse stoffen, en van het chemisme in dezelve (de niet afloopende reaktiën, de oplossingen, de uitwisselingen, de gistingen enz.) nog zoo weinig af weten, acht Murper de grondanalysen, waarin op zoo gebrekkige wijze alleen het quantum bepaald wordt, van weinig waarde. Hij acht ze nog op het standpunt van 1814 (bodemanalysen van Davis) te staan, en geheel onvoldoende; in het bijzonder om de vrucht- baarheid van een bodem voor een bepaald gewas, zooals kina, koffie- suikerriet te bepalen. Al kunnen wij eenigszins bepalen hoe- veel losse zouten (sulfaten, chloruren, nitraten, koolzure kalk) voor- handen zijn, en met zoutzuur de hoeveelheid gelatineus silikaat en de daarin gebonden bases trachten te benaderen, wij kunnen niet bepalen, hoeveel in het gelatineuse deel beschikbaar is voor een % ") Zie: Over den aard der stikstofverbindingen. III. 28. *) Zoo zeide nog onlangs (1898) Dénéran: „Ten onrechte heeft Lrenia den stikstof- houdenden mest willen verbannen, omdat de bouwaarde zooveel stikstof bevat.” Hij haalt daarvoor een sprekend voorbeeld aan. In een akker te Limagne in Auvergne bevat de bodem in 1 M. dikte + 30000 kilo gebonden stikstof op den bunder. Bene beetwortelen- oogst behoeft slechts 100 kilo. Toch moesten op dit veld 300—350 kilo Chilisalpeter aangebracht worden om eene hooge opbrengst te verkrijgen. Daarvoor was dus niet genoeg beschikbare stikstof in den bodem voorhanden. (Revue des deux mondes 1898, 640—673). Het is merkwaardig, dat nog in 1898 een Fransch landbouwkundige het noodig vindt om in eene populaire verhandeling tegen Lirpic’s theorieën op te komen. Zulk een lang leven hebben de wetenschappelijke dwalingen, die tot de dogmata eener School behooren. 20 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE volgend gewas. En daarop komt het toch aan! Voorloopig acht Murper het beste om de korrelige deelen (die losheid geven) en de fijne deelen (die vastheid geven en water binden, de eigenlijke klei), te onderscheiden van het geleiachtige silikaat dat in verdunde zuren oplosbaar is. Voor dit laatste zou dan eene herhaalde uittrekking met slap, vervolgens met toenemend sterk zoutzuur aan te bevelen zijn. De toekomst heeft Murprr gelijk gegeven. Ofschoon nog lang vele analysen op het oude standpunt bleven staan, werden toch allengs de verschillende bestanddeelen beter onderscheiden, en werden de zooeven beschreven benaderingen toegepast (uittrekking eerst met water, dan azijnzuur, dan slap zoutzuur of salpeterzuur, sterk zout- zuur, zwavelzuur, enz. Ì). Doch nog heden moet men erkennen dat men nog niet in staat is het dadelijk beschikbare te bepalen, noch op deze wijze, noch door zoo- genaamde absorbtieproeven ?). Wat deze laatste betreft, terecht komt Murpir — en op juiste gronden — reeds op tegen Linpias voor- schrift hetgeen hij eenzijdig en onjuist acht, om uit de absorbtie- proef *) met een kalizout de vruchtbaarheid van een bodem af te leiden, op grond daarvan dat elke bouwgrond een zeker, door een getal uitdrukbaar, vermogen zou bezitten om kali te binden 4). Wat echter de samenstelling des bodems in het algemeen betreft, zoo wordt thans erkend, dat zij bestaat uit deeltjes, waarvan elk een aggregaat is van 1° zand (quarts en onverweerde silikaten), 2° klei, 3° een komplex van in zuren oplosbaar gelatineus silikaat en van humus en (zoo deze aanwezig is) koolzure kalk in innige menging °). De quantitatieve verhouding waarin deze tot elkander staan ®), l) Zie: mijne Bodenuntersuchungen in den Niederlanden (1866) Landw. Vers. Stat. VIII. 235—306. Unters. von Thonboden in neuen Alluvien in den Niederl. und von vulkanischen Biden in Deli u.s.w. L. V. St. 1890. 8. 239—278. Die Zusammensetzung der Ackererde nach Anleitung der in den vorigen Abhandlungen mitgetheilten Analysen. S. 347—373. *) Ap. Mayer verklaart in zijn Lebrb. der Agrik. Chemie 4te Auflage (1895) S. 110/111: „Wir besitzen noch immer kein zuverlässiges Mittel die für das Pflanzenwachs- thum in einer Vegelationsperiode verfügbare Stoffe voraus zu bestimmen.’ Wat de waarde van eene Absorbtieproef betreft, maakt hij opmerkzaam, dat vele nuttige, niet rechtstreeksche meststoffen juist eene verzwakking van het Absorbtievermogen des bodems bewerken. *) d. i. Te bepalen: hoeveel kali een bepaald gewicht van een bouwgrond uit een bepaald volumen van een kali-oplossing van bepaalde sterkte opneemt. Lirnia kende bi zulke proeven geene waarde toe aan de basesuitwisseling. IUU loek *) Scntorsinc noemt: ameublir, het bekleeden der zanddeeltjes met klei, humus- silikaten-komplex, koolzure kalk. *) Zij moeten elkander als het ware in evenwicht houden. De ganstigste verhouding der hoeveelheden zand, klei, geleiachtig silikaat en humus vormt den vruchtbaarsten bodem. 4 i ‘ L VAN G.J. MULDER. 21 en de samenstelling van gelatineus silikaat en humus, bepalen grootendeels de vruchtbaarheid, zoowel chemisch als physisch. Zoo hangen daarvan af: de korreligheid, de losheid, het vermogen om water zoowel te absorbeeren als door te laten, het vermogen om de voedingsbestanddeelen zoowel te absorbeeren en vast te houden, als om ze den planteu af te staan. Mag men niet in deze inzichten de natuurlijke ontwikkeling van Murper’s denkbeelden erkennen? B. Het verlies aan vruchtbaarheid — de witputting. De quantiteitsleer, door Legia gevolgd, kan ook hier het aller- minst baten ter verklaring, al is het natuurlijk geheel in het alge- meen waar, „dat daar, waar steeds afgaat en niets bijkomt, de rijk- „dom vermindert 5. Maar dat eene vermindering van vruchtbaar- heid (eene uitputting) alleen evenredig zoude zijn aan eene ver- mindering van kali, phosphorzuur enz., dus aan de anorganische stoffen, die de planten uit den bodem opnemen en terughouden, dat bestrijdt Murprr, De oorzaken moeten vele zijn. Wat de chemische oorzaak betreft, die moet miet alleen in een tekort aan kali, phosphorzuur enz. maar vooral in hunne te geringe beschik- baarheid bestaan. De gelatineuse verbindingen hebben plaatselijk aan gemakkelijk oplosbare bestanddeelen verloren. Het silikaat moet hersteld worden. Er kan kali, phosphorzuur genoeg zijn, maar zij kunnen te moeilijk in chemische beweging te brengen zijn. Dat er kali-, kalk-, kieselzuur-planten zouden zijn (Laere), dat één basisch bestanddeel zulk eene beteekenis voor de ontwikkeling der plant zoude hebben, dat de anorganische bestanddeelen zulk een overwegenden rol zouden spelen, — dat acht Murper ongerijmd ?). Hij neemt dus ook niet aan, dan in zeer beperkte mate, dat de grond minder vruchtbaar wordt voor een gewas, omdat zij voor eene plant, die men eene kalkplant gelieft te noemen, te weinig kalk bevat — voor eene andere kaliplant, die men eene kaliplant acht te zijn, te weinig kali. Nog veel meer verwerpt hij, dat de plant schadelijke uitwerpselen zoude afscheiden, die op den duur den bodem voor haar zouden bederven, zooals Lresia dat wel eens beweerd heeft. Het is geheel onjuist, dat men uit de berekening van hetgeen een gewas aan anorganische bestanddeelen uit den bodem wegvoert — of wel uit eene analyse des bodems vóór en na een gewas — zou kunnen afleiden hoeveel die bodem in vruchtbaarheid is afge- 1) TI. 494. 2) III. 329. 22 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE nomen (Proefnemingen van Maarus). Gronden immers die voor verschillende gewassen waren uitgeput, werden alle door een en denzelfden stalmest in vruchtbaarheid hersteld 4. Een voortdurende bouw van hetzelfde gewas, gedurende eene reeks van jaren op denzelfden bodem, acht hij dus zeer goed mogelijk, indien de goede physische toestand en de chemische be- weging daarin onderhouden worden, zooals niet alleen de proefne- mingen van Ginpert en LAWES, maar ook de ervaringen in zoovele oorden bewijzen ?). Er moeten dus nog andere oorzaken zijn voor het zoogenaamde uitbouwen der akkers 3) voor een bepaald gewas, dan enkel cen te kort aan nuttige minerale bestanddeelen # door een vroeger gewas ontstaan. De chemie staat hierbij verlegen. Linsia’s uitspraak: ,,die Dauer „der Fruchtbarkeit eines Feldes steht im Verhältniss zu der Quan- „tität der Bodenbestandtheile; die Erschöpfung steht im geraden „Verhältniss zu dem ‘Theil dieser Quantitit, welche der Boden „jährlich zu einer Ernte abgegeben hat”; deze uitspraak, die weder alleen het quantum betreft, leidt op een dwaalspoor. Muuper wijst op de onkruiden en parasieten die vernietigd moeten worden. Deze kunnen oorzaak zijn dat een veld een bepaald gewas moede wordt. Lucerne wordt soms aangetast door een parasiet, die de wortels ver- nielt, en zich overplant op een spoedig opvolgend gewas van lucerne. Tabak en andere planten zijn vergezeld door hare eigene onkruiden, en hare voortgezette kultuur wordt daardoor gekweld, Bovendien planten zich bepaalde insekten in den bodem bij voorkeur voort bij de aanwezigheid van bepaalde gewassen. Andere planten groeien regelmatig jaarlijks op hetzelfde veld voort, zooals aardappelen, beetwortelen, kool, boonen. ‘Tarwe kan bij voortgezette kultuur slecht gedijen, maar zij kan ook 20—40 jaar achter elkander volgen. Zoo men het onkruid in den zomer verstoren kan, is aan den tarwebouw een betere uitslag verzekerd °). Hoe just Murprr in dit alles gezien heeft, is later gebleken. Meer en meer hebben de waarnemingen geleerd, dat onkruiden en parasieten oorzaken zijn van onvruchtbaarheid en van het moede worden van den bodem voor een bepaald gewas. Ik behoef slechts te wijzen op het klassieke onderzoek van den op dit gebied het *) HI. 384—405. *) IV. 244. Tarwebouw gedurende 20—40 jaren (De GASPARIN). *) ILI. 400. | Oil, °) IV. 248—246. VAN G.J MULDER. 23 meest beroemden Kitty, die de oorzaak der ,,Riibenmiidigkeit” van een veld gevonden heeft in de voortplanting eener Nematode, en die in het kweeken van ,,vangplanten” het geneesmiddel heeft ontdekt 5. OC. Herstelling der vruchtbaarheid. Bemesting. De herstelling en onderhouding der vruchtbaarheid is op het standpunt van Murper niet alleen door bemesting te verkrijgen, maar door het onderhouden van al de gunstige physische en che- mische toestanden die boven geschetst zijn. De bemesting kan miet alleen tot doel hebben, om het verlies van anorganische stoffen te dekken, en bovendien wat meer gebon- den stikstof aan te voeren dan de bodem zelf (als ammoniak) wit de lucht trekt gedurende den duur der groeiperiode. Men moet haar uit een ruimer oogpunt beschouwen. Het bemesten van een land dat in kultuur moet gebracht worden is: het vormen van een veleiachtig silikaat-humeusdeel. Het bemesten van een kultuurbodem is het onderhouden daarvan. De mest dient niet alleen om het quantum aan te vullen maar ook het quale te verbeteren. Absorbtie, inzonderheid die met uit- wisseling der bases, is de hoofdzaak. De mest moet niet alleen het gelatineuse deel verrijken, maar ook zulk eene metamorphose in het- zelve bewerken, dat de nuttigste bestanddeelen (kali, phosphorzuur enz.) daaruit loskomen. De mest bemest den grond, met de planten. Men moet dus met met LreBia het woord mest door het woord voedingsmiddelen vervangen. De toestand in den bodem, niet alleen de voorraad, moet uitgangspunt zijn ®). De schrale quanti- teitsleer kan hier met helpen en voert tot dwalingen. «Door Lirsic en zijne navolgers is voorzeker erkend dat de orga- nische mest koolzuur en ammonia voortbrengt, die oplossend en daardoor nuttig werken; ook is door hem aan eene bemesting met g gips de beteekenis toegekend om ammoniak te binden; en aan keukenzout en ammoniakzouten om oplossend op de phosphaten in den bodem te werken *); doch Murper acht al deze verklaringen eenzijdig en gebrekkig. Want de metamorphose van het geleiachtig silikaat- en humeuse bestanddeel des bodems moet hier in de eerste 1) Zie C.blatt. f. Agric. Ch. (1880) IX 859 en (1883) XII, 67. Als Brassica Oleracea op zulk een veld in April wordt gezaaid dan kruipen de larven in hare wortels. Worden 4—5 weken later deze planten uitgehaald en op een hoop te rotten gezet, dan worden de aldus gevangen Nematoden vernietigd. *) III. 426—428. *) IV. 119—135. 24 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE plaats in het oog gehouden worden, en de organische zuren van den bodem en den mest zijn evenzoo oplosmiddelen. Zouten in den mest, zooals ammoniakzouten, gips enz. brengen substitutiën voort, waardoor kali, magnesia enz. in het bodemvocht treden. Als men mest met ammonia, kalkzouten enz., kan de nuttige werking in een vrijworden van kali bestaan. Voor elke meststof, minerale en organische, gaat dus Murper de mogelijke werkingen na, zooals die toen waren na te speuren 1); vooreerst wat zij waard zijn door haar gehalte aan nuttige bestand- deelen — ten tweede voor de opbouwing van het geleiachtige silikaat-humus-komplex — ten derde voor het onderhoud der che- mische beweging ?). Hij trekt daaruit het gevolg dat eene algemeene aanprijzing van eene meststof niet mogelijk is. Immers bovengenoemde werkingen hangen af en van den toestand van elken bodem en van het te verbouwen gewas. Wat voor één gewas of éénen akker nuttig is, kan minder nuttig zijn of nutteloos voor een anderen grond of een ander gewas. Ook hebbe men in het oog te houden den tijd wan- neer en gedurende welken de nuttige werking van den mest (aan- voer en losmaking) voor het gewas moet uitgeoefend worden. Daarom hebben tot nog toe de bemestingsproeven zoo weinig licht gegeven, en bezitten zij zoo weinig waarde. Zij golden slechts voor de toe- standen, onder welken zij genomen werden, en die toestanden zijn nog weinig of niet bekend. Het valt Murper dus gemakkelijk aan te wijzen, waarom Lamsre’s welbekende minerale kunstmest *) volkomen mislukt is; die mest *) IV. 2—96. *) Een voorbeeld: Eene bewerking met ammonia of ammoniakzout (door LiemiG in 1846 en 1856 meestal onnoodig verklaard, omdat de lucht genoeg ammoniak levert) acht Murper niet alleen nuttig omdat zij veel chemische beweging veroorzaakt, door substi- tutie in het komplex, en kali enz. losmaakt, maar ook om de ammonia zelve. De bewering van LirmiG daarentegen, dat een acre die 10 000 pond stikstof, op 10 duim dikte, bevat, niet door 20—60 pond ammoniak tweemalen zoo vruchtbaar kan gemaakt worden, is ongegrond. Waarom zou dit niet mogelijk zijn, vraagt Murper, wanneer deze ammonia substitueerend en oplossend werkt. IV. 103. Een quantitatieve analyse van organischen mest ter bepaling van C, I en N gehalte, zooals dit toen wel gedaan werd, verwerpt hij natuurlijk, omdat deze niets leeren kan betreffende hetgeen daaruit door chemische beweging (rotting, gisting enz.) als oplos- middelen en als voedsel kan vrij worden. (IV. 151). *) Lresic had 16 morgen slechten grond met zijnen mineralen kunstmest bemest. Vier jaren bleven de goede vruchten uit. Eerst stalmest kon de vruchtbaarheid herstellen en toen hadden de kosten f 8000 bedragen (1855). De oude landbouw, zegt Murper, zou dit voor veel minder gedaan hebben. IV. 313. Alle landbouwers die dezen kunstmest aanwendden, bevonden dien onwerkzaam. Litpic heeft dit later moeten erkennen, maar hij schreef het aan verkeerde oorzaken toe. VAN G.J. MULDER. 25 berustte op het beginsel, dat slechts de verarming aan minerale voedingstoffen te vergoeden is; de chemische beweging in den bodem bleef daarbij buiten beschouwing. Evenzoo kon Murper op grond zijner beschouwingen betoogen, dat men van de ervaring van alle tijden niet behoeft af te wijken: dat stalmest de beste is; en dat eeu kunstmest eerst dan daarmede gelijk staat, als zij al dezelfde werkingen uitoefent, en zoowel in het quantum als in het quale de vruchtbaarheid onderhoudt 5. Die uitspraak van, Murper wijkt niet af van de meeningen, die thans in de wetenschap gehuldigd worden. Op alle gronden die niet sterk humeus zijn, zegt Worrny (1897) wordt de hoogste opbrengst slechts dan verkregen als men mest aanwendt, die rijk is aan organische stoffen. Zelfs kan door te rijke bemesting met mi- neraalmest de toestand des bodems verslechterd worden. Eene wa- terige oplossing van chloruren, sulfaten, nitraten doet de klei wel koaguleeren (kruimelen), maar als zij uitgespoeld zijn slibt zich de aarde juist dichter ineen (Ap. Mayer, Himearp) ®). Daarom kan eene eenzijdige salpeterbemesting schadelijk zijn en wordt dat nadeel door meerdere humusvorming hersteld. Murper’s beschouwingen over vruchtbaarheid en over meststoffen waren toen van. veel beteekenis. Zij zijn het ten deele nog. Nog lange jaren heeft de plompe quantiteitsleer in de hoofden der zoo- genaamde wetenschappelijke landbouwers en der landbouwonderwijzers gespookt, nadat zij zich tusschen 1840 en 1860 een weg had gebaand in de wetenschap en in de landbouwkringen dieper en dieper was doorgedrongen. De leer van kali-kalk-kiezelzuur-planten heeft zich nog lang doen gevoelen. Veel langer echter de leer, dat eene vermindermg van vruchtbaarheid rechtstreeks aan het verlies van minerale bestanddeelen is toe te schrijven en dat eene chemi- sche analyse kan aanwijzen wat in de bemesting moet aangevoerd :) Zij meet: 1°. Bene voldoende hoeveelheid minerale bestanddeelen bevatten. 2°. Bij ontbinding ammoniak ontwikkelen, die zorgt, dat de aangevoerde minerale bestanddeelen geen dood in den bodem vastgelegd kapitaal blijven, maar door de uit- wisseling der bases in beweging blijven. 3°. De trage humusstoffen in beweging brengen. 4°. De salpetervorming bevorderen. 5°. Organische zuren en koolzuur voortbrengen. Murper uit daarbij de meening, dat de bij rotting of gisting vrij wordende ammoniak werkzamer is dan de ammoniak die reeds in den bodem is vastgelegd. IV. 118 en 146, *) Dit is het verschijnsel der „zucht’, bekend in de Dollardpoïders, vooral na over- strooming met zeewater. Deze klei verliest dan tijdelijk hare groote vruchtbaarheid. 26 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE worden. Zoo heeft men nog lang gemeend, ingeval de analyse betrekkelijk weinig kalk of phosphorzuur in den bodem aantoonde, dat een aanvoer van kalk, van kali, van phosphorzuur dadelijk aangewezen was en heil zou aanbrengen. Of die weinige kali mis- schien niet in een gunstigen toestand in het gelatineuse silikaat- humaat aanwezig was en eene vermindering van vruchtbaarheid misschien niet aan andere oorzaken was toe te schrijven — b.v. achteruitgang in losheid, vochtigheidstoestand, humusgehalte — daarop werd niet gelet, ja zelfs daarom werd niet gedacht 3). D. De mechanische bewerking van den bodem. De beteekenis van de braak en van de mechanische bewerking van den grond, door ploegen, eggen, omwoelen 7), mag niet eenzijdig opgevat worden als enkel bevordering van verweering der silikaten, waardoor mineraal voedsel in oplossing komt, zooals zulks wel, inzonderheid door Liere, werd voorgesteld %), in die mate zelfs dat hij beweert, dat de landbouwer door eenige zouten (als NaC/, KNO, H,N zouten) de braak en het omwoelen vervangen kan. Deze zouden dan mineraal voedsel in oplossing brengen. Terecht vraagt Munprr: wat is er nog verweerbaars, althans in korten tijd, in de reeds eeuwen bebouwde gronden. De eigenlijke kleideeltjes en de geleiachtige silikaten zijn reeds produkten van verweering; die verweering zou dus alleen gelden voor de nog onverweerde brokstukjes der rotsgesteenten, veldspaat, glimmer, horn- blende, augiet enz. De tand des tijds knaagt voorzeker daaraan, maar hoe langzaam? De nuttige werkingen van braken, ploegen en omwoelen moeten dus anders verklaard worden. *) Ik heb daarvan voor eenige jaren (1890) voorbeelden uit Deli en Java medegedeeld. Deze betroffen niet raadgevingen van mesthandelaars (waarvan velen altijd met een universeelen of een specifieken mest, welke onfeilbaar is, gereed staan) maar van weten- schappelijke proefstations in Duitschland. Gaf de analyse van den bodem waarop tabak wordt geteeld, wat minder kali of kalk of phosphorzuur, fluks werd voorgeschreven kali-kalk-phosphorzuur-mest te geven. Nu is de gerooide boschgrond, die in Deli zoo uitnemenden tabak voortbrengt, van vulkanischen oorsprong en bevat betrekkelijk weinig kali. Het is bewezen dat hare groote vruchtbaarheid, om in den korten groeitijd veel en voortreffelijk tabaksblad voort te brengen, van hare losheid, humusrijkheid en voch- tigheidstoestand afhangt (zie mijne onderzoekingen daaromtrent in Landw. Vers. Stat. (1890) 37. S. 375—418. Ueber die Ursachen der Fruchtbarkeit des Urwaldbodens in Deli und Java für die Tabakskultur und der Abnahme dieser Fruchtbarkeit. *) IV. 192—203. 257— 265. “) LieriG beweert bovendien, dat de braak voornamelijk geldt voor de graangewassen en dat een voorraad oplosbaar kiezelzuur nevens de alkaliën eene hoofdvoorwaarde is voor hunnen wasdom. Aardappelen en beetwortelen voeren geen kiezelzuur weg en hebben dus geene behoefte aan braak. Murper bestrijdt die meening natuurlijk. pce Ten =e VAN G.J. MULDER. 27 Verrijkt zich de bodem daarbij uit de atmospheer, zonder dat iets weggevoerd wordt, tevens treedt de werking der zuurstof op; die gedesoxydeerde bestanddeelen weder oxydeert en die de orga- nische overblijfselen van een vroeger gewas tot ontleding en tot sterkere chemische beweging brengt. Hij acht het niet onwaarschijn- lijk, dat de minerale bestanddeelen houdende humus [hij noemt deze: dubbelhumaten van potasch, kalk, magnesia, soda | die moeilijk ontleedbaar zijn, door de orgamische beweging, d. 1. door de rot- ting en oxydatie bij het braken en het keeren van den grond, ontleed worden. Zoodoende stellen zij bases beschikbaar voor het geleiachtige silikaat, dat ze opneemt (absorbeert) en daarmede haar vroeger geleden verlies weder aanvult 1. Het is dus geen afbreken, maar een opbouwen van het gelei- achtige silikaat, dat door braken en keeren bewerkt wordt. Wordt er tevens gemest, dan worden meststoffen en bodem tot een geheel verbonden. Doch het chemische deel der nuttige uitwerking staat niet op den voorgrond 7). Er is veel meer. Gedaalde bestanddeelen van vroegere bemestingen en in het algemeen wat wt den bovengrond opgelost en in den ondergrond vastgelegd is, wordt naar boven gebracht. De kapillaire opzuiging van het water uit den ondergrond naar boven wordt bevorderd. Bovenal wijst Murprer daarop, dat de physische toestand verbeterd wordt en dat insekten en onkruiden vernietigd worden. Lh. Wisselbouw. Betreffende den wisselbouw, die het braken vervangen kan, ver- klaart Murper zich alweer tegen eene verklaring, die slechts voor het quantum der minerale bestanddeelen en hunne verhouding oog heeft, dus tegen Lirpie’s dogma °): „Auf der ungleichen Menge und Beschaffenheit der mineralischen Nahrmittel und dem ungleichen Verhältnisse, in dem sie zur Ent- wicklung der verschiedenen Pflanzengattungen dienen, beruht die Wechselwirthschaft.”” Die leer kan slechts in beperkte mate gelden. ?) Murper ging zeker te ver, als hij hier, zoowel als op andere plaatsen in zijn boek, nog allerlei mogelijkheden stelde, om daaruit verklaringen af te leiden. Zoo b.v. deze: kreen- en apokreen-zuur vormen innige verbindingen met aluinaarde; als nu zulk eene verbinding gedurende het braken en ploegen ontleed wordt, dan komt de vrije aluinaarde, onder den invloed van nieuw gevormd gelatineus kiezelzuur; zij vormt dan eene gelei- achtige kiezelzure aluinaarde, die bases opneemt en dus dit deel des bodems vergroot. Evenwel, Murper stelt slechts de mogelijkheid. =) IY, TEE NI ES) 28 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE „Ik ga de quantiteitsleer niet geheel voorbij,” zegt Murver, „maar ik begrijp in haar niet alles” +). Bovendien geldt zij miet den gan- schen voorraad, maar slechts het in het geleiachtige silikaat beschik- bare. Merper geeft zelfs chemische verklaringen in dien zin ten beste *), die naar het mij voorkomt ook toen wel wat ver gingen *). Maar buiten de zoo ingewikkelde chemische werkingen, in verband met de verschillende behoeften der planten en den verschillenden groei- tijd, wortelontwikkeling enz., bestaan er nog vele andere redenen die voor het nut van den wisselbouw pleiten. Zoo wijst MuLper daarop, dat het eene gewas veel meer overblijfselen nalaat dan het andere en dat eene ontleding daarvan, en vooral eene snellere ont- leding, aan een volgend gewas ten goede kan komen. Ook de diep- gang der wortels bepaalt den wisselbouw, omdat planten met dieper gaande wortels uit diepere lagen voedsel kunnen trekken en de overblijvende wortels bovendien in hunne ondergeploegde overblijf- selen den bovengrond bemesten met hetgeen zij uit den ondergrond geput hebben. In een wisselstelsel moeten gewassen opgenomen zijn die veel bewerking en ook zomerploegen behoeven *). Want vooral op de onkruiden en parasieten vestigt Murper het oog. Hij weet dat de eene plant de onkruiden eener andere kan verdelgen. Hij haalt pr CaNpoLre’s voorschrift aan: In een wissel- stelsel moet een gewas voorkomen, dat door hare schaduw onkruiden schaadt en doet sterven. Merper schrijft dus geheel terecht aan den wisselbouw een groote beteekenis toe, wegens den invloed die dezelve heeft op de verdel- ging van onkruiden en parasieten, zooals ik reeds op blz. 22 heb uiteengezet. Ten slotte: Murper is zeer getroffen door BoussINGAULT'S en Vrrre’s proeven, die de groote beteekenis bewijzen van de Legumi- >) LV. 250; 2D *) Zij luiden aldus: De grootere verarming van het gelatineuse deel aan eene basis, door een voorgaand gewas voortgebracht, kan maken, dat eene tweede basis voor een ander gewas, hetwelk van die tweede basis meer behoeft, weer beschikbaar wordt, omdat deze in het silikaat betrekkelijk overvloediger wordt. Eene plant, die veel kiezelzuur uit dit silikaat opneemt, geeft daardoor aanleiding, dat daaruit ook meer bases vrijkomen, die door vlakte-aantrekking teruggehouden voor een volgend gewas beschikbaar zijn. “) Merkwaardig is het, dat Murprer hierbij in het licht brengt waarnemingen als deze: tarwe geeft na aardappelen of beetwortelen geene goede opbrengst, omdat zij dan te laat wordt gezaaid, zoodat de grond in het vochtig najaar niet goed bearbeid kan worden, zooals de tarwe voor zijne wortels zulks verlangt. VAN G.J. MULDER. 29 mosen in den wisselbouw, in zooverre zij een veel vruchtbaarder bodem voor de granen achterlaten 4). Ook dit punt besprak ik reeds op blz. 15—16 als een bewijs van ’s mans justen blik. HF. Ontginning. Het ontginnen ?) is dus bij Muuper niet het toevoeren van mest, maar het in een geschikten toestand brengen van het gelatineuse bestanddeel, door dit met bases, ammoniak, phosphorzuur te ver- zadigen en met organische stoffen te verrijken; alles tot opwekking van scheikundig leven. Bevat nu een grond geen in verdunde zuren oplosbaar silikaat en geen goede humus, dan kunnen ook de mest- stoffen miet helpen, zooals de ervaring leert omtrent schrale nieuwe zandgronden. De regens spoelen de meststoffen weg *). Men moet silikaat aanbrengen zooals portland-cement, zacht met kalk gebrande klei, of klei met kalk. Vervolgens, als genoeg geletachtig silikaat aanwezig is, zoo kan dit door een 2000 kilo phosphorzuur, 400 kilo kali, 6—10 duizend kilo kalk, benevens eene hoeveelheid sul- faten (van magnesia en natron) met phosphorzuur en bases verza- digd worden, zoodat een vruchtbare grond gevormd is. SBO: Het boek is kunsteloos uit de pen gevloeid, zonder aanspraak op eer schoonen letterkundigen vorm. Het vormt, met uitzondering van sommige gedeelten, geene onderhoudende lektuur, al is het gekruid met die kernachtige en krachtige beelden, waarvan Munprr zich in zijn schrijven pleegt te bedienen — beelden, die hem als man des volks, maar vooral als een krachtigen geest kenschetsen *). NI 6E ©) HS SOE *) Dit wordt thans algemeen erkend. Zoo zegt An. Maver:, Als de bodem absorbee- rende bestanddeelen mist (dus gelatineuse silikaten en humus) dan helpt de mest weinig en kan zelfs de bodem weinig mest verdragen. Dan moet dikwijls, maar zwak bemest worden. In den natten wintertijd aangebrachte mest wordt door de regens uitgespoeld. Zware bodems kunnen veel mest verdragen (Lehrb. Agr. Ch. II. 1. S. 77— 94). *) Enkele voorbeelden: „Bijaldien het menschelijk geslacht gevoed wordt, zooals Larric het van planten in de toekomst voorspelt”, namelijk met bepaalde voedselrecepten voor elk gewas, „zoo is het in zes jaar op zijn langst uitgestorven en onderwijl ligt elk op zijn bed zijn dood af te wachten”. IT. 485. 30 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE Het is een studieboek, waarin zeer dikwijls herhalingen voor- komen, niet alleen om op het verband met vorige beschouwingen te wijzen, maar vooral om het gewicht derzelve te versterken. Het bevat eene doorloopende bestrijding van Largre’s leeringen en even- zoo eene aanwijzing van Larpre’s inkonsequentiën, leeringen die toen oppermachtig de Agrikultuurchemie, ja, de gansche landbouw- wetenschap beheerschten. Uit het bovenbeschrevene kan men, zoo ik hoop, eenigszins opmaken in hoeverre Murper tot die bestrijding recht had. Lmpre gaf zijn stelsel in afgeronde leerstukken (dogmata), die volgens zijne overtuiging de landbouw-wetenschap hadden herschapen en haar verder geheel moesten leiden. Voor de verschijnselen gaf hij chemische verklaringen, die den schijn wekten alsof zij nu afdoende verklaard waren, en die dus het verder onderzoek afsloten of althans aan zijne (Liesia’s) kluisters vastlegden. Murper beijvert zich daarentegen de samengesteldheid der vraag- stukken in het licht te stellen en haar geenen dogmatischen band aan te leggen. Telkens doet hij de armoede der wetenschap uit- komen. Hij tracht voorzeker veel te verklaren, inzonderheid uit de leer der gelatineuse silikaten — ja soms te veel — maar toch altijd op eene wijze die de vraagstukken miet afsluit, maar open- stelt. Op bijna elke bladzijde van zijn boek dringen zijne uiteen- zettingen en verklaringen tot nader onderzoek. Wijst Lrepra steeds de oude landbouw-praktijk terug, Murper maakt ze zich ten nutte. Niet Murper, maar Lirgre heeft in Duitschland en elders de richting van het onderzoek beheerscht en eerst langzaam heeft men zich daaraan ontworsteld. Men blijft het echter een groote verdienste van Lrepia’s bemoeiingen achten, dat hij zulk een krachtigen stoot aan de Agrikultuurchemie gegeven en juist door zijne orakel- spreuken belangstelling en leven gewekt heeft — een leven, dat het aanzijn gegeven heeft aan die talrijke proefstations, die thans „Humuszuur is een konservatief beginsel in den bouwgrond; daarom niet passende in dezen liberalen tijd”. II. 442. Die niet gelooven wil, dat bij het vraagstuk der uitputting des bodems het quantum te sterk wordt uitgesproken en het quale op den achtergrond gedrongen, ,,hij ete eenige dagen paardenhaar”. III. 408. „De bodem is geen entrepôt, maar een trafiek”. III. 430. „Lregie’s minerale kunstmest is eene eenzijdigheid die ten slotte voor de koele ervaring nedervalt, als een hollend paard voor een muur’. I. Inleiding blz. 8. Opmerkende, dat het treurig zou gesteld zijn met de verstoring van het onkruid, als men naar Lrerre braken en ploegen naliet, roept M. uit: „Rheum kan geen surrogaat zijn van lichaamsbeweging”, IV. 269. enz. enz. enz. VAN G.J. MULDER. 31 Duitschland en de andere Germaansche Staten overdekken en ook in Engeland, België en Frankrijk nagevolgd zijn. Apotr Mayer?) zegt: Die moralische Bedeutung von Lregre’s Auftreten wird nicht geleugnet werden können, wenn es auch der scharfprüfenden Kritik immer mehr und mehr gelingen sollte, das eigentliche Greifbare seiner Leistungen auf dem Gebiete der Agri- kulturchemie, das in einem in sich abgeschlossenem Satz fertig dargestellt werden könnte, iz ein Nichts auf zu lösen ?). Het komt mij echter voor, dat het veel gelukkiger voor de ontwikkeling der Agrikultuurchemie zoude geweest zijn, als niet Liepie’s maar Murper’s denkbeelden school gemaakt hadden. De dwalingen van LreBra zijn alle moeten wederlegd worden en nog heden ten dage worden zij wederlegd. Zij hebben dus in ’t eerst geene gelukkige richting aan het onderzoek gegeven, al heeft, zoo- als van zelf spreekt, het onderzoek steeds meer licht gebracht en den goeden weg terug doen vinden. lets dergelijks komt in alle tijdvakken der wetenschap voor. Zoo klaagt Dunem nog dezer dagen, dat Berrueror, die gedurende eene reeks van jaren de chemie en de chemici in Frankrijk beheerscht, door zijne Thermochemische dogma’s de studie in verkeerde banen gevoerd heeft. In plaats van aan BerrHouLer en St. Crarre Devinn aan te knoopen en de Thermodynamick van Mourrer te erkennen, heeft hij in Frankrijk door zijne eenzijdige en apodiktische wetten de ontwikkeling der chemie in physische richting tegengehouden ®), die sinds in Duitschland, Nederland, Zweden op grootsche wijze is verkregen 4}. De denkbeelden van Muuperr, ofschoon zijn werk in het Hoog- duitsch is vertaald ®, hebben geringen invloed uitgeoefend. Toch waren zij de betere, zooals uit het boven aangevoerde gebleken is en zooals de lezing van de nieuwste handboeken van Agricultuur chemie ons leeren kan ®). Men kan thans beweren, dat de vooruit- gang der Agrikultuur-chemie en -Physiek, al is zij betrekkelijk nog 1) Lehrb. IL 1. S. 84. *) Ik kursiveer. *) Thermochimie à propos d'un livre récent de M. M. Brerrurror Paris 1897. Une science nouvelle: la Chimie Physique. Bordeaux 1899. “) Wij mogen hierbij voegen, dat Frankrijk sinds de laatste jaren in H. Le Cuarenier en in Dunem zelven hoogst verdienstelijke vertegenwoordigers en medewerkers der nieuwe richting gevonden heeft. 5) In 1861 door I. Murren. *) B. v. dat van Ap. Mayer 1896 en het werk van EK. Worzxy: Die Zersetzung der Organischen Stoffe und die Humusbildungen mit Rücksicht auf die Bodenkultur. 1897, Verder de werken van SoncôsiNG, DÉHERAIN en anderen. 32 BIJDRAGE TOT DE WETENSCHAPPELIJKE BIOGRAPHIE niet groot, in Merper’s niet in Lirgra’s richting heeft plaats gehad. Van een voortgezet onderzoek der gelatineuse deelen des bodems (humus en silikaten) en van het chemisme dat daarin plaats heeft ter eener zijde, en van de meerdere aandacht aan de erva- ringen en de regelen der landbouwpraktijk ter anderer zijde, heeft een groot deel van den vooruitgang der landbouwwetenschap afge- hangen. Men erkent thans ten volle de waarde van War’s proef- nemingen en _ verklaringen, op welke (zooals Ap. Mayer zegt) de latere onderzoekingen na lange dwaalwegen weder teruggevoerd hebben 1), omdat zij de grondslag zijn onzer kennis aangaande het chemisme in den bodem. De studie der vruchtbaarheid en onvruchtbaarheid des bodems beweegt zich op den door Murper aangewezen weg. Aan de erva- ringen van de landbouwpraktijk wordt recht gedaan. Het onderzoek is weder physiologisch geworden, zooals Murper het altijd verlangd heeft. De beteekenis van het leven der parasitische dieren en planten, de rol der mikro-organismen voor den groet der bouwgewassen wordt nagespoord. Murper's werk zal in de geschiedenis der wetenschap een boek 1) De absorbtieproeven, die na 1859 verricht zijn, van Perers (1860), Knop (1863 en 1864) enz., zelfs die van Kénic (1882), zouden meer licht gebracht hebben, als zij niet onder den invloed van de Lrrpic’sche leeringen hadden gestaan; ook het voortreffelijk onderzoek (1862) van RaurenBera, die de gelatineuse silikaten op den voorgrond heeft gesteld, ware meer gewaardeerd geworden (zie v. BemmereN Landw. Versuchsstat. 1877. 21. S. 135—150). Mijne onderzoekingen hebben mij tot de uitkomst geleid, dat de gela- tineuse humus-komplexen en dat de gelatineuse silikaten (van aluinaarde, ijzeroxyde, enz.) geene chemische verbindingen zijn in bepaalde verhoudingen, maar kolloïdale absorbtieverbindingen in onbepaalde verhoudingen. Zij kunnen in hun kolloidaal water- houdend komplex allerlei stoffen absorbeeren, zoowel phosphorzuur en bases als geheele zouten (de laatste in de zwakste hoeveelheid). Zij kunnen tevens met zoutoplossingen bases uitwisselen. De absorbtie is van dien aard, dat het evenwicht, hetwelk zich instelt tusschen de absorbeerende stof en de oplossing, eene functie is 1° van de natuur en van den (voor wijziging zeer vatbaren) molairen bouw van het kolloïd, 2° van het specifiek absorbtievermogen voor elke stof (KX,0, P,O, enz.), 3° van de koncentratie zelve en 4° van de temperatuur. De vorm dier functie is natuurlijk nog geheel onbekend. Al de waargenomen verschijnselen, ook het ontnemen en het weder teruggeven van het absorbtievermogen aan den bouwgrond, laten zich in overeenstemming brengen met deze voorstelling. Indien het schrijver dezes is mogen gelukken om analysen van bouwgronden te geven, die eenige theoretische en praktische waarde hebben en indien hij over het absorbtie- vermogen des bodems eenig nieuw licht heeft mogen verspreiden, dan erkent hij dat de lezing van Munper’s boek in den aanvang zijner onderzoekingen hem geleid en de richting aan zijn onderzoek heeft gegeven. Zie Das Absorptionsvermögen der Ackererde. L. V. St. (1877). XXI. 135 —191. L. V. St. (1878). XXTIT. 265—303. L. V. St. (1888). XXXV 69—136, inzonderheid blz. 136. Zeitschr. Anorgan. Chem. (1900). XXIII. 356—370. Die Absorption von Stoffen aus Lésungen, VAN G.J. MULDER. ae van groote waarde blijven en aan het nageslacht bewijzen dat in den tijd, toen de Agrikultuurchemie door den machtigen geest van Large als het ware in zijne eenzijdige leeringen was vastge- legd, Murper door eene onpartijdige studie van al wat tot 1860 was onderzocht en waargenomen heeft getracht: haar weder vrij te maken en voor het meest veelzijdige onderzoek open te stellen, en voorts die leeringen te met te doen en betere daarvoor in de plaats te stellen. Toen Munprr op den leeftijd van 57 jaren het boek had ge- schreven, begon het einde van zijne wetenschappelijke loopbaan te naderen. Hij is op het onderwerp niet meer teruggekomen. Hij had geene school van jongere chemici meer om zich heen, om de uitgebreide chemische en physische onderzoekingen in te stellen, waarvan de onderwerpen op schier elke bladzijde van zijn boek voor het grijpen lagen. Andere hoofdstukken der chemie, vooral de organische, die welhaast door Kekuré tot ongekenden bloei zou gevoerd worden, trokken de aandacht, ook van Nederlandsche scheikundigen, tot zich. Murper zelf heeft nog in 1863 eene hoogst belangrijke verhandeling over het „Scherundig gebonden Water” geschreven, verschenen in 1864. Hij publiceerde daarin niet alleen een uitgebreid proefondervindelijk materiaal (oplosbaar- heidslijnen van een aantal zouten, dubbelzouten enz.), maar gaf ook vele mieuwe denkbeelden ten beste; zoodat deze verhandeling als een voorloopster mag beschouwd worden van de nieuwe beschou- wingen over den toestand der zouten in oplossing en van het even- wicht van ebn of meer zouten met een oplosmiddel — welke be- schouwingen een vijfentwintigtal jaren later opkwamen. In 1865 verscheen ten laatste van zijne hand eene monographie over Opdroogende olieën, nevens enkele kleinere onderzoekingen. In 1867 legde hij zijn Professoraat neder, en verliet voor goed Utrecht, waar hij 27 jaren gearbeid had. Deze verhandeling is geschreven in de lente van 1898 naar aanleiding van een ver- zoek van Prof. J. W. GuNNING om eene kritisch-historische schets van Murper's Schei- kunde der Bouwbare aarde op te stellen. Gunning had zich voorgesteld om na het ver- krijgen van zijn emeritaat (in 1898) eene wetenschappelijke biografie van Murprr te bewerken, maar de ziekte, waaraan hij bezweken is, heeft hem daarvoor de kracht benomen. (14 Maart 1901.) INHOUD. Bladz. Di Ae EAT GARE SEN ES 8 Hoorpsrur I. De theoretische vraagstukken. $ 1. Samenstelling van den bodem en het chemisme daarin. — 6 $ 2. De voeding der planten. a. Opname van het voedsel uit den bodem in opge- losten of onopgelosten toestand toe. sme os Sen 12 6. Kunnen organische stoffen tot voedsel dienen?.... 14 ge bronnen «der sstikstofpoedineg: >. sets on ene 15 Hoorpsruk Il. De praktische vraagstukken. a. De vruchtbaarheid des akkerbodems............ 16 4. Het verlies aan vruchtbaarheid; de uitputting .... 21 „. Herstelling der vruchtbaarheid. Bemesting .… 23 d. De mechanische bewerkingen van den bodem .... 26 GD ASD OUA Ne Patna €. 27 al DEONET ee Mu «laste RN 29 , wy fr _ Lan TU ELA PA je al RN, i it Lew Fe eee ani EN] an hs = x Le : ba » ni rl fi a te il Pedy as ik ‘ i — » ' c } \ 1 = L 4 | ] I wv » ‘ à A UPS MR re va Past be Ee 1] x 1 {ie “LS OR taj ’ sii OV 7, 4 “= El fatale Pip vrt aol Heks sr EN A 4 at eae tes ib Pee Hite Nir ye re ray ips rie fr iT tin AGE ‘ee at a ai ? J a 4 ë | nl à + fit - RE Taat LE TD etn EMS ART ET ie 1k Vias bite Blas || bre bpd + Aa eet MAL 2e ; rs x loa iy > bot Éd ss fi a tes Wire fas tyre Se 190, LEE De = re L if . he a” Kal { i ‘ er Ar, à if * a ng avlenl (fe alt Mya STUDEER oe | » tat) OL Un 5 whehe eae TR Ne h x mert À À ts TR Ay | NL: y week CO le Ralf : u ; ’ 2 re : Les 1 } | à d a th Ni 2 : , Ee s 4 { Cale mad ré + 8 5 LA re 78 > be » 7 er a à z : _ * EST ee 5 TEV CE SNS ES) GEDRUKT BIJ x —o JOH. ENSCHEDE EN ZONEN o— HAARLEM he “x statuer Wezen CN Eva MEA Ct ET à ) FA ÿ dee ne rt ttid + à ; # NE de, er