VERHANDELINGEN KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN Pees ee Shore (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen). DEEL IX MET 32 PLA TEN AMSTERDAM — JOHANNES MÜLLER April 1908 California Academy of Sciences Presented by Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Amsterdam. SRT TUS à ENEN 0 7 VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE WETENSCHAPPEN BEENS EE SBCTEE {Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde - Weerkunde en Ingenieurswetenschappen). DEEL IDE MET 32 PLA TT EN AMSTERDAM — JOHANNES MÜLLER April 1908 . | t | LS / ; je . + . , \ > 1 Ee . ss . i 3 4 ‘ He Be { by! if "ow me "LE ‘ dee ty $ 3 re PR A = ' a fi 0 ‘ t . oe . # + L tad: à EUR RARE hy \ MS 7 2 2 en 7 . Te 5 et 5 4 Le - L Ps wk … _ 0 . : ¢ a rs EEN a € Fret = hm DE - ij Jon. ENSCHRDÉ EN ZONEN. pa ge — Haarlem. ENELO UD. A. Toxorrus. De aantallen kwadratische hyperruimten in de ruimte van vijf afmetingen. C. Horrsema. Liquatie (ongelijkslachtigheid) van binaire metaallegeeringen (met medewerking van J. W. A. HAAGEN Smit). J. W. Grrray. Experimental-Untersuchung über die Möglichkeit einer Doppeltelephonie mittels unterbrochener Klänge. (Mit 4 Tafel). P. H. Scrourr. Regelmässige Schnitte und Projektionen des Hundert- zwanzigzelles und des Sechshundertzelles im vierdimensionalen Raume (2% Abhandlung). (Mit 18 Tafeln). Frep. Scuun. Over de meetkundige plaats der punten in het platte vlak, waarvoor de som der afstanden tot gegeyen rechten stand- vastig is, en analoge vragen in de ruimten van drie en meer afme- tingen. (Met 8 platen). A. Bresrer Jr. Essai d'une explication du mécanisme de la periodicité dans le soleil et les étoiles rouges variables. Mrs. A. Boots Srorr and P. H. Sonoure. On the sections of a block + . of eight cells by a space rotating about a plane. (With 2 plates). by ve Inter hij Mid DE AANTALLEN KWADRATISCHE = UINTEN IN DE RUNE VAN JP ARMETINGEN DOOR RTE Dr. A. TOXOPEUS. : 3 ech i 3 MERE . 4 | ehddinge der Koi Akadenie van Wetenschappen te Anser. @ERSTE SECTIE. NE i x % peel PN : = i ae iy a zt 4 AE AMSTERDAM, js |JOHANNE S MULLER. 1905. | { ii re , ‘ : < ; + ‘ “ { k A À ° 7 1 ' 4 LES i . . a HA =f € DER “hi : ik Mar | yo DE AANTALLEN KWADRATISGHE HYPERRUIMTEN IN DE ROME VAN VUE APMLTINGEN Dr. A. TOXOPEUS. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1905. + ¢ Li ’ ’ r - ’ wijf > : 4 \ \ * - . a bi aft 4 B oh RATE 4 ¥ ? 7 à 24 Ent ‘ “Kee, > a + CR { et id - ' "350 a 1 q D 4 a 17 ~ DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN DOOR Dr. A. TOXOPEUS. Combinaties met herhaling van elementen. In mijne dissertatie behandelde ik de combinaties van de ele- menten. Nu ga ik de combinaties met herhaling van een element, d. z. de figuren: (azbcd),, (abBcd),,, (aabcde),, (abBcde)s, (abcryde),,, (abcdde),,, (abe deeg geven, waar a, 8,7, 0,€ achtereenvolgens een tweede punt, een tweede lijn, een tweede vlak, een tweede ruimte en een tweede hyperruimte aanwijzen. a) (a@æb),, Met behulp van de formules van B) a,) verkrijgt men: a? = ab — 4b, ; a® = ab, — b, , a* a = a ab — —ob, ; a*=ab,—b,,@a=aab,—ab, , a®e*=aa(b,-+ 6,)— —(a+a)b,+ 6b, ; enz. Daar wij een eindig aantal figuren beschouwen, geeft de term met «a aan, wat wij moeten hebben, want de andere termen zou- den aan 6 meer dan 8 voorwaarden opleggen. Noemen wij 4; het aantal voorwaarden, waaraan 4 moet voldoen, dan verkrijgen wij: a? a My — ab Hz ’ a> a le — au b. Me > aa == aah, + b) [g> ap = ab, bry , au, —aa(b, db) u, dap, = 0d, ts dau, =a0(b, + 6,) py , arm, = aa, + 01 + 4) Ha > a? a? og = aad, eg da fg = (5, + B,) fag » ap = a, kas rey BTN R a* ut NAC Sen nl ZON EK ap, aah, pb, , ao =e B. PAGE 4 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN Nu kan men de figuren a” a’ 6" berekenen waar p, Jp + g = 10, bv. ata? 6° — a à (Or bb daden 4 A) = ORD En. evenzoo a? 0’, waar p= ie pose v. 6? — EG ES (at 4° 6?) — 21 lr Evenzoo vindt men de figuren a” g?: 67¢", waarp, +-p,+ g +r=18, met behulp van deze uitkomsten en die van B)a,). En daarna de aantallen a? 64c", waar p + g + r= 18; de aantallen a” a”: bc’ a’, waar 2, Ep, +g Er Pie =D de aantallen 20de d wean ptg¢tr+ts = 15; dé aantallen a” a de, waar p, Ep + + r + s + ¢=16 en de aantallen a” bc" de, waar p + ¢ + drs t= 16. De aantallen (aa bede); zijn ook uit (aabed), af te leiden met behulp van de formules: (a? ar bre deg = (ar a B10 de, waarp gr s=15; (aPvaPsb1 0" d° 0), == (a a DCE Warp 7 eee (atom bte Pe”), = (at ao D ND GET ES UE (Go 610" Pel) = (an a” bc" dede waarp gres (at htc" Fes), = (abt Bd, Waal ps lle Ik laat deze hulpaantallen hier weg, maar geef de formules die mij tot controle dienden: (550) — (541) = (532) = (523) = (514) = B (540) = (531) = (522) = (513) = 4, (530) = (521) = (512) = 4,, ~ 7 Di Ua ZO 3 £ waar de figuur (4° a! 6%), of (2, Py V9 beschouwd is. En evenzoo: _ 650) — 1 (442) = 1 (433) = 1 (424) = 1 (415) = 4 ¢ (884) = 1 (325) = 1 (316) = 14 (22 6) = 7, 216) = 74 (118) = B Ce — 4 (441) = 4 (432) = 1 (428) — 1 (414) = 2 1 (333) — = Ea (315) == A, (225) = a, (216) LD (431) = (440 + (521) ; 431 = 1(332) = 4 (823) — 4 (314); (430) = 4 (331) = 4 (322) = 1813); (521) + (431) = (422) + (413) ; (520) + (430) = (421) = (412); (420) = (411) ; (821) = (312) ; (820) = (311); 5 (431) — (521) = (224) = (215) = (116); 5 (430) — (520) — (223) — (214) = (115); 2 (821) — (411) = (222) — (213) = (114); 2 (320) — (410) — (221) — (212) = (113); (220) = (211) = (112) ; (210) = (111). IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. B) 2) (a bg €), Na deze aantallen geven wij aan, hoe men de aantallen (4 4 «8 d), kan vinden met behulp van de tabel voor (ae d),3. Hiervoor abet men eerst de reductieformules voor 4% (2% afleiden. Wij hebben vroeger gevonden: BE — ba + c) — (a? He); dus 2 B—6R(a+e) —R(a He) Als wy nu in 4" 8% 6? en evenzoo (2* gaan vervangen door hare waarden, vindt men: AN (a oe b + £) (a+ €) (a? nn OW) aia (a? aie Ca)”; HN DE ¥ + ©) re 2¢,— (a— D] —(@ He) 2 ac + Cy) X < (a+ 6? 2 ac He) [2 ac He, — 2 (a? + ©,)|— — (a? Hc) (a + 6)? [2 ¢,— (a — OP] — (a? He) (Zac + o> — —b(a* He) a + + OP [2 e, — (a— 0}? | We is 4) (2 ac + ci) K xX < (a+ 0? (2 ae He) [2 ac Hv, — 2 (a? + e)| — — (a? Hc) (a Lo [Ze, —(a—c}]— (a? x en) (2 ae + o> — — B (a + 0 (ae? He) (2 ac He) [2 ae + % — 2 (a? +c)] X ee [2 CG — (a — co)? — (a? He) (2 ac DE + + (a + ¢)(@ + e)° (2 ac He) [2 ac He, — 2 (a? +) |X <1 (@4- 0? [2 eo, — (a — oP] — (@ Ho) (2 ae + 0) À. Daar wij later een eindig aantal figuren beschouwen, hebben wij slechts den term met 66 te nemen. Als 4; een aantal voor- waarden aanduidt, waaraan het punt « en het vlak « moeten vol- doen, dan verkrijgen wij na herleiding met behulp van de formules voor het vlak c: BR Bo = SR (a + €) Bo: Ge Les: OPP, =P + 2ac+ y+ ch; opis Pa ec Bae acte, Ce) Mg; Pps te a) (3 a? c+iau +? aC, +e, + 6, Te PR pg, =P a*— 2arc-+ Bato, Hate, + bac, — —= 2 @¢, 2 AC» — 2 Cy) faa Pe =D a Aare, + 2a ce, 4 ac, + Aaen + =e) Ps Bp? pr — AP Aaa ate de 4ac, + Haen + Gi) My: BB u, OP Aate— Lao + 6 ac, + 6ac, —2ac;— —3ac,+ 3a¢,— ac,—¢,— 30) Mg; Bp BA — Bared ae, 7a? co a Es + 5ac,— 3ac,4 a¢, — 2 ¢,— Ze) Ke; 6 DE A ANTA ALLEN $ IN KWADR ADRATISCHE HY TYPERRU IMTEN bt RS Gia b 2 7 ack a* sel 4 P (LR a5 9 a? C els a Ci => Diss BP a b B m = QC» 2 x as EE) Gare 4 eG à + Ta | 9 gq? aie 9 4 „a à Ca a à) à PAL TR (ES il a Ca 5 4 LC, ac ~ ac. ne be 22 tO 20 Rap LL ee atc, +4 ‘ot Ch pia Ms Sb et „ba ac Ces b B(— 4 2 ac, + ag 5 . + 4a 6 > = AC Ot Cu 26 à Cn + A ac atc, — 4 n) Be ; SG [es BE 7, a Ch Le" 6 Cj, — 4 9 d 4 a c h B (— 9 ac,—cC a e+ à + 4 a Dal en CEA A ae Cn + Ae te) 3 9 a* LC) 4 B c¢, — 6 LC le FS C, — 4 5? aC de ETR We 2 (— 2 A dy Aa 6, —— Ava? a + 4 4 ¢ + Sac 6 = Vie CG — 2 ¢,) + 6 af En 8 GC Cn 9 OA en at 6 té Mss Came OB u Zac amb Cy + 4 3 M4 IE ni 0410 ce 9 a? a°c (—9 1 Gp 1“ cn H- dte 3 Ac aen Lac “3 ac ac, de Hee 7 0 a? At Ge Sac 13 42 Ce + 8 03 d 15 ate a) LL: Ey — 27 aoj 12 ¢, + 3 a3 Ca Bat kij ien 2 ie eee 1944 (44 El BC Ma; G aC; ta 0 asc Gr: Cy ee gies v 2 Fe TL Le SN J 16% ate, + NT e+ Be, + 19 a + 10a? À Ont pe ME pe A PAR DIN 2 Cc) CONC ns = : 6 we atc 42 b B\ Q q 4; 0 aC; + 5 »—4 ae m ue ID ine SUR Sao 18 ie + 10 ate, + - Ac, —8 ee D k a. 4 n b EL QUES Ra 12 & c “38 Z C, — 8 4 4 — fb 4! 10 u A 9 0 B= one ac ela? 8 n à Co Si ) PAN Je +12 i Bel Bay ae i Ae ana Cr es 2 4° c Aes q) Pas ha CT By —=Ù aen À ¢, + 34° at dat B genk v 5 a? C a é = Co ae 5 4 ee 94 Ac Me 12 a3c, + ate, + € and a , € Den Ann EAN 2 ae, + ae Oe bate, —2a 28 Ac, 2 c,) : br @3 246 à be 2 at ane: 43 p 16 ae e, + 2 a? HN ac, + § e; + 14 2. 12 a atc EEE 1 RAN dc. —2 Deel 3 | eds 9 20 A : 233 J 94 a? c a C, + 9 af = Cris 10 PCT 12 i + 2 GS Ac add | D oa eee are pes She be pt Sh pda atc, + On| ae la == bet ZA Me 9 À C; + 16 2 S abc, + 3 a Cf — LE Le fi (C4 € O 32 k 20 Ac Re 35 j 18 a? 8 @e, + 8 atc 5 AA CA ae PE y — 4 a? i+ Gate e— 24 Ae Cp 7 or 1“ c; + 16 » + 20 3 +, + 6ate B(— 2 Gate Sn er— dat + 20 Ae ae >. AA are a x + 14 af Coe aa 9 OET n+ 82 3 i 1 ©, + 6 24 A n Sac RN a5 20 a2 afc (les = 6 at q +- €) t ANG ao + 20 ac a” Cr " Ma; ac, — 8 1 T AA, Zen 9 at cu ae ce, + 4e) „3343 s Ms 5 Pace IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. i B® O° us = b6B(— 31 4c,— 39 de, + 6 Ac, — 31 Ac i+ 30 ate, 4 + 19 ac, + 47 a4 6, — 10 ade; + 41 abc i+ 20 a%e, — 26 ate, — 29 a? Gs Rey ENT 6° B+ uw, = b6B(— 22 AG; BIJ eu de 22 Ac, + 33 ac, + + € 22 atc, + 53 at ae 43.a3¢, + 42 a3c, — — 23 a? c, — 29 a? ¢ ete PE A Ln Se à 94e . a Ac, + + 45 atc, + 28 ate, + 59 ate, + 5 ac, bas e+ + 50 ac, — 11 ac, — 17a? gela +. 2 oor 6° Btn, =bP(— 26 Ae, RE GE ra Ae + 24ate, + + 50 ate, + 152 a Coane op SOE Wi; D Pn, =bB(4 16 Ac, — 80 Ac, + 30ate, + 50 at 6 + + 164 ac, — Bato, + 24a3c, — 24a%e, + 640) 2,3 A ALO Ac, 80 4e, + 40 afc, + 60a! c, + 184atc, — — Sac, + 24 ate, — Date, + ba C) py ; BR po — 66 (51 Ac, — 50 Ac, + 128 Ac, + 98 ate, + do aie 0 lane, 94 Oes BT Bou, —6B(61 4c, — 40 Ac, + 168 Av, + 128a4c, + elec, — 52.a%.c, +6 a C) Kp. Met behulp van deze formules zijn nu de aantallen (ad 6 ©); berekend, terwijl daarbij de tabel voor (ac),, en de formules voor ¢ gebruikt zijn, b. v.: (a? 6° (39 c5) = (2533) = a*c? .6 B[— 2 Ac — 5 atc, —4ate, + + Aare, + Ac, + Bac, + 6a%¢, + lla? Aaa Tie cd + 6a?e, — Zac, +Gac,—Aac,—2c,] = 6B[0 + 0 + 0 + AG oep de Loc) BABE LIG + 6e) + ape (B Gy 2 oo) Labo, + 64, dep ADE) = a 0a (Jop 4 3¢,) — Za: 6a.8c, — 4a>.2c, — Pee eC) ADO Dt A + 0) 4 40+ 0) + eG Ls 2 oy 4 BOD + 110+ 6)— 40 4 5) + ND be ypc} Et als 96. Uit de aantallen (pg, g 7),3 vindt men de aantallen (y g r),, met behulp van de binominaalcöefficiënten. Evenzoo bepaalt men de aantallen (pg, g rs), met behulp van de tabel voor (ac d),; en hieruit (pgrs),. En overeenkomstig de aantallen (2 7, ga 78 Og met de tabel voor (acde),, en hieruit de aantallen (pgrs 55 Men kan de aantallen (p 4, rs Dre berekenen met behulp van de reductieformules: 8 DE AANTALLEN KWADRATISCHE AFMETINGEN BREN orden OUD dr a dg an ee ide" — a bt BE TD qu Fo see Ab Br des == a bi Bec Ed, ...p + drsn Bb de =a BE a dy py gs RES CO" Bea dH = a) bY Pie’ d? d,. oo ph sage Ik laat de hulpaantallen hier weg. 7) (abe yd. Voor de aantallen (a? 67 coy” d) = (wg rj ns) (AP bl Arp Fey — (pgr, 728%) heeft men edn voor ey noodig. Daartoe gebruiken wij de betrekkingen: RN A ey edere d,. Met behulp hiervan vinden wij: = ab tae CE Oita en y=cy (6+ d) —7y(8. ee ey=yb+d—cyb,+d)= By sere ans Oer Odd) = 07 bd + 4, + d,) y @ + d)(G, + à I); y? —= c(b + d)[(6 + d)y— — (6, + d)]— (6 Hd) [U Hd) y — U. + d)], enz. cSy4—ey(2 B+ 46,d—46,d, — Abd, ALD d, — 36 bd, + ec? ce nO + 20 6, d; + 28 bd; — 48 ie gs be + 86,d,+ 146,d, + + 60 6,d, — bd, + 556,d, + 55 6, d, + 146, d, + 726, d, + + 20 6, d,, + 28 6, d,,— 48 5 d, — A 6,d,— 360,d, — 46, d, — — 426,d, + 46d, +2D)—c(—12Bd— bd, — 250, d, + + 114,d, + 236,d,+ 106,d, + 4146, d, + 436,,d,—126,,d,+ +. 296,,d, + Abd Iden 28 0,d,, + 488,2 1278, d,+296,d, + 366,d,+ 114d, + 104d, + - 236,d, + 4146,d,— 25 6,d,— 27 b,d,— 126 D)— y(—9 Bd — 27 6,d,—9b,d, + 15 6, d,+- 276, d, + 186,d, + 5346, d, + ee + 414,,d, + 396, de + 46,d,— 166,d, + + 55 bd + 396,d, + 416,d, + 46,d,+ 156,d,+ 185, d, + 27 bd, + 586,d, — 9 6,d, — 276, d,—_96D)+ 6 Bd, + + Bd, + 44, a ee 60 8, d, + 210,4, — 5b,d, + 96,d, + + 39 6, d, — 96, d, oh d, 4+ 96 ba d,, + SA 5d, | 848 doe 72 6, d,,— 5b, d,— 96, dn + 21 bd, + 396,d,+96,d, + 276d, + 46,d, + 606,d,-+ 6, D + 66, D), enz. Ik geef terstond de formules, zooals die bruikbaar zijn en na een lange herleiding te verkrijgen zijn met de formules voor 4 en d; d. %.: i zs ++ CT A Ui ONLINE IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. 9 y mo = 07 Oe + 20d + dy) Hho: c° 9 Te (CZ an b, ae 26d = d, sh d) 10; PR Ghee ded D BO dt bd, de) tho; ie bed dd he Oda obd Ids Brera dd A Bld Bd, He OO TR PO D Od Ld) ho: yn, =cy(—b,— 6, +46, d + 46,d, +2 0,4, +66,d,+ A + 40, d, + 46d—d,— d,) Bg; eeb db Ad, 60,4, 40; ds + Add); ee nn SA Obd bd +8 6,d,+ 66,d, + 65, d, — 26,d,+ 8 6, d, — SE en OO Re Vh =ey —26,—36,— 36, d+ 2 6,d—2b6,d+ b,d,+ el deb ENT, d, EE bd, + 11 6,d, + nb OUT 200, — 2,3, 0,) he: [ CY Rr ey bi 20,d bid db dt bd, Id 96; d, EE 2 bd; + 9 6, d, Hb, dy + Se SSSR SR TY, em IES cy we =cy (6,—66,,d—126,d—96,d,—5b,d,+ 66,4, + + 56,d¢d,—96,d,—36,d,+ 46d, + 46,d,+ + 46, d, + 246,d,+ 5 6, d, — 5 6, d,—36,d, + + 6 6,d,—9 6, d,— 9 6, d,— 6 6d,,—126d,-+- d,) Kg; yn =cy (— 4, — 3 6, — 6 6, d — 12 6, d — 6 b, d, — —46,d,+ 9 b,d, + 7b, d, + 46, d, + 46,4, + 28-6, d, + 7 6, d,— 46, d, + 9 6,d, —6 6, d, — — 600d, le 6d, — dG, — Sd) be; Oye, =cy(—2 6, — 2 b,d—8b,d—5b,d,—46,d, + Siege | hades bids ER D, di 46, d, + 4-8 6,d,+ 8 6, d, + 82 6, d, + 7 0, d, — 4 6, d, +- + 26,d, + 106,d,— 5 6,d, + 6,d,— 2 6d,,— 8 6d, — A ay) tes ayn, =cy 6, + 6,—26,d—8b6,d— 56,d,—6,d, + + 10 8, d, + 10 6, d, + bd, + 56, d, + 46, dy + + 8 8, d, + 8 6, d, + 32 0, d, + 10 5, d, —b, d, + + 56,d,+106,d,—56,d,-+ 6,.d,—26d,,— 8bd,-+- 4d + dy) Us: Sy ps = cy (46, + 6, d—96,d— 156,4, —96,d,—368,d, — DEO Gd QU lS Bod, 1 8.04 d, ALS Ed, + 10 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN + 1346, di + 86,d,;4-86,d, + 36,d,-+ 13 6,d, + +- 28 6, d, — 12 bd, + 8 6d, — 9 bd, — U bd, — db dn SO dE, AG ier. ely? ls =e y (6, —= 50, d 18 6,d— 96, d, — 46, d, — — 30 6, d, — 20 6, d, — 6, dy — 10 6, d, + 96,d, + + 85 0, d; + 5 6,d, + 16 6, d, + 9 6, d, — 6, d, + + 5 6, d,, + 85 6; dy, — 10 6; d, + 166, d, — 4 6, d, — - — 20 6.d,— 96, d,, — 80 6,d,, — 5 6d,— 18 6d, + zin dal M > Ph =cy (— b,—b,d—126,d— 36, d,— Abd — 24 6, d,— 20 6, d,—86b, d, + 10 6, dy + 37 6, d, + + 12 6, d, + 24 6, d, + 106,d, + 126,d, + 37 bd — — 86d, + 246,d,—46,d, — 20 6, d, — 3 6, d,, — — 24 6,d, 6d, == He Yi = cy (3b, — 96,d— 86,4, + 26,,d, — 246, d, — — 146, d, + 36,d,— 56, d, + 13 4, d, + 40 bd, + + 15 6, d, + 276, d,+ 13 6, d, + 36,¢,+ 156,d, + + 40 6; d, — 5 6, d, + 276, d, + 2 6, d,,— 14 6, d, — bed — 246, 0, OO SIS By fy oy (AB, TAB SN OR A — 39 6, d, + 10 6, d,—1046,,d,— 46, d,— 804, d, — — 4 4, d, + 16 6, d, + 21 6, d, + 46 6, d, — 46,4, — + 364, d, + 366, d, + 21 6, d, + 666, d, + 10 6,4, — — 46,d,— 10 6, d, — 80 6, d, — 6 8, d, — 39 6, d, — — 9 0, d, — 48 6, d, + 146d, + 4 D) pes; rr ty (AB — Abd ID 60 6, d, — — 42 6, d + 12 6,,d,+126,,d,— 8b, d,— 646, d,— — 40,4, + 66,d, + 46,d, + 56 6,4, — 4 bd, + + A4 6, d, + A45, d, HA bd, + 426,d,+ 12 bd, — — 8 0, d, + 12 6, d, — 64 6, d, — 8 6, d;— 42 8, d, — — 146, d,— 60 6, d, —46d,+- 4 D) 4; ely, =cy(B—46,d=56,d,-— 16, a AB SO + 80, dy + 165, d,— 12 6, d,— 60 6, d, — 6, d, + + 846,d, + 116,d, + 60 6,d, — bad, + 52 bj d, + + 526,d,+116,¢,+ 666,d,+ 86,d,—126,d,+ + 16 6; d,, — 60 6, d, — 7 6, d, — 39 6, d, —5 6b, d,— — 490, dbdg Dips YU = ov BT Abad AN AIR = hg — 36 0, d, + 205, d, + 28 6,, d, — 48 6, d, — b,d, + + 86,d, + 146,d, + 60 6, d, — bid, + 55 bj d, + + 056,4, + 146,d,+726,d, +20 8, dy + 28 6,d,, — DA Coy? Ma 9 4,2 CV bs BP Pa au ry He ea 6° ye al ‚6 OY? fog IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. 1] — 48 6, d, — 4 b, dy; — 36 6, d, — 4 6, d, — 42 6, d, +- L tt SARI Ds: —ylbB — 46d — Abid; — AZB, d,— 24 6, d, + + 206,,d, + 286,,d, — 48 6, d, + 56,d,+ 146,d, + | 20 8 di 666,4, + 56,d, + 616,4, + 615, d, + + 20 6, d, + 78 b,d, + 20 6, ¢ di 28 beds, 48.5 d, — — 240,4, — A6,d;— 42 6,d, + 46d, +5 D)u,; =cy(8 Bd — 396,d, — 316,d, + 46,d, — 21 bd, — — 394,4, — 1776, d, + 726, dj + 276, d, + + 102 PURE A dh + 336,d,-+ 36, d, + 276, ¢ ge + 336, d, 4-12 b6,d,, —48 6,4, + 102 6,d,, + 36,¢, + + 46,d¢, — 33 b,d, — 216,¢,— 177 6,d, ae en eau. Loo) as; = cy (9 Bd— 276, d, — 256,d, — 106,4, — 194, d, — Dd Bd 42 303.0, 2 + 1134,,d, — 364,d, + 35 6, d, + 1346, d, + —- + 806,4, + 35 0, d, + 85 bd, — 36 6, d, + 11346,d, + 1386, d, — 10 4, d, — 53 4, 5 — 19 6; d, — 169 6,d, — 25 6,d,— 276,d,4- 96D) p,; 9 —¢y (1s Bad— 15 b,d,— 27 6, d, + 6, dj — 7 by d, — 386,d, — 15146,d, + 884, d + 33 0, de + Pe Um Ur à + = 390,4. + 38 5, d, + 886,4, — 33 0, ms + + 1346, d, + 346, d, + b, d, — 38-6, d, — 76,4, — — 151 6d, — 276,d,— 15 6, yb Dy a: =cy (18 Bd— 15 6,4, — 11 6, d, + 5 bd — 3b, d, — — 266, dy — 139 6, d, + 1006, d, + 386,4, + + 1466, d, — 216,d, + 50 6, d, + 46 4, d, + + 336,d, + 508, d, + 1005,d,, — 216,4, + + 146 6, d,, + 46 6, d, + 5 8,d, — 26 b,d, — 36,d, — — 1390; d, — 11 6,d,— 15 b,d, + 18 6 D); t n =cyQ7 Bd, + 22 Bd, — 80 6, d, — 192 6, d,— — 216,d, + 16 6, d, + 306, d, — 192 6, d, + + 33 ee — 1416, d, + 348 6,, d, + 168 Agia + + 1686, d, + 240 Cn. = Od, OSD CEE =— 214,¢d, — 19264; d,; + 30 Bed Mid Dd — 80 6, d, — 192 6, d, + 22 6, D + 27 b, D); =cy (42 Bd, + 22 Bd, — 886; d, — 184 6, d;, + + 306,d, + 246, d, + 646,d, — 17446, d, + + 48 6, d, — 848, d, + 348 4,,d, + 168 6, d, + + 168 DE nT 108 8,4, + 246, d, + 486, d, + 12 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN | +. 3046,d, — 174 6,d, + 64 6, d, — 846, d, — — 88 4, d, — 184 b; d, + 22 6, D + 42 6, D) pro; cy ps = cy 45 Bd, - 26: Bd SO WO + 86 6, d, + 30 4, d, + A bd; — 168 6, d, + + 546, d, — 666, d, + 396 4,,d,, + 204 6, d, + + 2046, d, + 96 6,d, + 28 orde 12 bed He + 464,d, — 138 0, d, + 846,d, — 36 6, d, — — 56 6, d, — 152 6, d, € 265: D 4-456, D) po: you, =cy (45 Bd, + 41 Bd, — 56 6,d, — 152 d, d, + + 46 6, d, + 28 bd, + 84 6,d,— 138 6, d, + 72 6,,d,— — 36 5, d, + 396 6,, d, + 204 6,, d, + 204 6, d,, + + 96 6,d, + 28 6, d, +72 6,4, + 466, d,,— 138 bd, + + $44, d,,— 36 6, d, — 56 b,d, — 1526,d,4+- 416, D + + 456, D) fy; yiu =cy(— 48 Bd, + 16 Bd, — 356 5, d, — 60 6, d, — — 418 6, d, + 3144, d,, + 228 6, d, + 192 6, d,, + + 582 6, d, + 314 6,, d, + 192 6,, d, + 228 6, dj + + 582 6, d, — 60 6, d, — 356 6, d, — 418 6, d, — — 43 5, D+ 166; Dj; Vu =cy (— 22 Bd, + 40 Bd, — 352 6, d, — 56 6, d, — 366 6,d, + 358 6, d, + 272 6, d, + 252 6, d, + 582 6,d, + 582 6, d, + 358 6, d, + 2524, d, + 2726, d, + 450 6, d, — 56 6, d, — 352 6, d, — 366 4, d,.— 22 6, D 40 6, D); Cu =cy(—TBd,+ 55 Bd, — 312 6,d, — 168 6, d, — 826 8, d, + 378 4, d,, + 292 6,d, + 31236, d, + 642 6, d, + 378 6, d, + 312 6,, d, + 292 6, d, + 642 6, d, — 16 6, d, — 312 6, d, — 326 6, d, oh Og De 0G, DIN OY po =cy(— 180 Bd, —158 Bd, — 353 Bd,— 5)00,d, À + 136 4, d, + 1024 6, d; + 824 6, d, + 8246, d, + + 1365 4, d, — 510 4,, d, + 136 6, d, — 158 4, D — ++] age ae =— 1606, D — 353.6, Diz; Syb —=cy(—160 Bd, — 80 Bd, — 328 Bd, — 3526.4, À + 296 6, d, + 588 6, d, + 848 6, d, + 848 6, d, + + 1956 4, d, — 352 6, d,, + 296 6, d, — 806, D — — 160 6, DSSS DDI ely® uy =e y(—115 Bd,— 1038 Pl AB = se Oe + 296 4, d, + 608 6, d, + 908 6, d, + 908 6, d, + + 2268 4, d, — 352 bd, + 296 6, d, — 103 6, D — — 115 6, D — 487 6, D) fp. IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. | 5 met behulp van deze formules en de tabel voor (4 7), berekent men de aantallen 67¢c" yd’ en hieruit de aantallen 61 ¢" +": 45, Evenzoo vindt men de aantallen «” 47 «y: 4 met deze formules en de tabel voor (ab d),z; hieruit de aantallen a” #76" T4. En op dezelfde wijze worden de aantallen a’ 47 c"* y= de met deze for- mules en de tabel voor (ab de), gevonden, en hieruit de aantallen BOLT RE Het is duidelijk, dat voor de combinatie met herhaling van de d de formules voor de 4 en voor de combinaties met herhaling van de e de formules voor de a de weerkeeringen zijn, daar in de ruimte van vijf afmetingen de a en de e, de 4 en d tegenover elkaar staan, terwijl het vlak tegenover zichzelf staat. De aantallen kegelsneden. Een kegelsnede kan in #° aan 14 enkelvoudige voorwaarden voldoen. Inderdaad; het vlak is door 9 bepaald en de kegelsnede in dat vlak door 5. Men beschouwt stelsels kegelsneden (a,” 4,1 C°) 3, waar a, aanduidt, dat de gegeven hyperruimte Z de kegelsnede aanraakt; 4, dat de gegeven ruimte D een punt der kegelsnede bevat; c dat het gegeven vlak C het vlak der kegelsnede in een punt snijdt. Met behulp van de ontaardingen (48h46), —# en (an +”: $7¢"),, = y vindt men dan de aantallen kegelsneden (a,” 657"), 4. Daar ieder hyperruimte dubbel telt, moet £ met 2” en daar teder ruimte door twee samengevallen punten van y gaat, moet y met 2’ vermenigvuldigd worden. Men heeft de twee formules: 25, = y + a, 4-2¢;2a,=£& + bg; waaruit de recurrente betrekkingen 3 a, = 2&+- y+ 2e; 8b,= — £+?2y+4c volgen. Evenzoo vindt men de aantallen kegelsneden (a, 4, c d),4 met de ontaardingen (a? 54 m6") = en (ant Hd), = y. En de aantallen kegelsneden (a, by cde), vindt men met behulp van ERE ee Gi de) ey (Zie: „Les hyper quadiques dans l’espace de quatre dimensions” van den heer Dr. P. H. Schoute, in de verh. v. d. Kon. Ak. v. Wet. te Amsterdam, deel VII, stuk 4.) De aantallen oppervlakken van den tweeden graad. Een oppervlak van den tweeden graad O? is door 17 enkel- voudige voorwaarden bepaald. Men beschouwt een ! aantal O°, die een eindig aantal ontaardingen bevatten, met name de kwadra- 14 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN tische kegels ®, de Ÿ d. i. een dubbellijn, die twee vlakken en twee punter draagt en de %, d. 1. een oneindig dunne O?, m. a. w. een dubbelvlak, waarin een kegelsnede ligt. De aantallen kegels. Nu is de @ door de ruimte, den top en 5 beschrijvende lijnen, d. i. door 8 + 3 + 5 = 16 voorwaarden bepaald. De aantallen ® vindt men met behulp van de formules: dl == 20 NT een 3.0 — ne waar C= (OO CT a eee (QP OU PCa. CAR Ge Om deze formules te bewijzen, beschouwen wij een vlakken- bundel en laten die twee vlakken overeenkomen, die door de twee snijpunten van de draagruimte met eenzelfden kegel van het stelsel gaan. De 2c, coincidenties van deze overeenkomst (cy , &) vindt men terug in de y keer, dat de draagruimte het dubbelvlak van een y snijdt, in de 4, keer, dat de draagruimte aan den kegel raakt en de d keer, dat de ruimte van den kegel de as van den bundel snijdt, tweemaal geteld; dus: 2 Co — Hop Ve Beschouwt men evenzoo een ruimtenbundel, waarbij overeenkom- stige ruimten aan eenzelfden kegel raken, dan verkrijgt men 2 4, coincidenties in de overeenkomst (4% , bj), die uit drie groepen pun- ten bestaan; eerstens de + punten, waarin de dubbellijn van de ont- aarding z de draaghyperruimte snijdt, tweedens de c, punten die het vlak, waardoor de ruimten van den bundel gaan, door y ge- sneden wordt en de « punten, waarbij de top van den kegel in de draaghyperruimte ligt, tweemaal geteld, zoodat: A ip de De 4 kan men vinden met behulp van de formules voor a” a!* en cy" en de tabel voor (8 de),,; want eerst vindt men de aan- tallen (a? a? 64 €” y” d'e') en daarna de aantallen (a! +#:51 cit" d* e))—= wv. De aantallen y@,” 6,7 6," de. Voor een enkelvoudig oneindig stelsel van O”’s in , heeft men de drie betrekkingen: IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. 3 welke men aldus bewijst: Beschouwt men eerst in een gegeven ruimte een vlakkenbundel en laat men twee vlakkon met elkaar overeenstemmen, die door de snijpunten van de draagruimte met eenzelfde y van het gegeven stelsel gaan. Aldus verkrijgt men een correspondentie (c, , c) met 2 c, coïncidenties. Op de kromme van den graad e,, die in de draag- ruimte de meetkundige plaats der snijpunten met de y van het stelsel is, vinden wij drie groepen van punten, die een coïncidentie ken- merken, de y-snijpunten van de draagruimte met de dubhelvlakken der ontaardingen +, de 4,-punten van aanraking met de y, die de draagruimte aanraken en de 2 d,-snijpunten van de draagruimte der y, waarvan de ruimte de as van den bundel snijdt. Dus: Ce, lo de: Tweedens beschouwt men in een gegeven hyperruimte een ruim- tenbundel, en laat die twee ruimten overeenkomen, die eenzelfde y aanraken. De 24, coincidenties van deze overeenkomst (4% , 42) vindt men terug in de -snijpunten van de draaghyperruimten met de dubbellijnen van d, in de c, keer, dat het basisvlak door een y ge- sneden wordt en de a, keer, dat een y de draagruimte raakt, zoodat: be dc in. Ten derde beschouwt men een hyperruimtebundel, waarvan een gegeven ruimte de basisruimte is en laat men de twee hyperruimten overeenkomen, die eenzelfde y van het stelsel aanraken. Dus bestaan de 2 a, coïncidenties van de overeenkomst (a, , 4) in de kegels @ van het stelsel en in de 4, y, die de basisruimte aanraken; waaruit: AUDE ND. De aantallen O?’s zijn nu te berekenen met de formules: 4 a = 3D+2d+y +204, 4, —=2d+4d+2yx+Ad, 4 —=D+2%+3% 6d, waar ® met 2”, d met 2! en x met 2” vermenigvuldigd moet worden. De aantallen x, A, », y van een enkelvoudig oneindig stelsel (a, 6 co do eg. In een Z is de kwadratische ruimte een figuur van 19 afmetingen. Men verkrijgt dus een enkelvoudig oneindig stelsel kwadratische 16 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPE!: RUIMTEN ruimten door deze figuren 18 enkelvoudige voorwaarden op te leggen. By de kwadratische ruimten moet men vier enkelvoudige voor- waarden a, bo, Co, da onderscheiden. Door &, by, € wijzen wij achtereenvolgens aan, dat een gegeven hyperruimte /’, een gegeven ruimte D, een gegeven vlak C de kwadratische ruimte aanraken, hetgeen insluit, dat de kwadratische ruimte door de hyperruimte volgens een kegel, door de ruimte D volgens twee lijnen (reëel of imaginair), door het vlak C in twee samengevallen punten gesneden wordt. Verder drukt d, uit, dat een gegeven lijn de kwadratische ruimte snijdt. Wij zullen dus stelsels kwadratische ruimten beschou- wen, welke wij door de symbolen (a,” 69? co” do)g of (P97 So zullen voorstellen. Een enkelvoudig oneindig stelsel kwadratische ruimten laat een eindig aantal van ieder der ontaardingen x, A, x, vy toe, welke achtereenvolgens gekenmerkt zijn door het bezit van een dubbelpunt, een dubbellijn, een dubbelvlak en een dubbelruimte. De ontaarding x. De ontaarding x is een kwadratische hyperkegel; deze hyperkegel is bepaald, als men den top en negen beschrijvende lijnen kent en de hyperruimte, waarin de kegel ligt; zoodat x van 54-4-+9=18 afmetingen is. Beschouwt men in een gegeven vlak een stralenbundel, dan wordt ieder lijn door 4, hyperkegels ontmoet, zoodat er 2d, coinciden- ties zijn. Aan den anderen kant snijdt het beschouwde vlak de dubbelvlakken van z,, die de weerkeerige van z, is (zie beneden); verder de €, raakpunten van het draagvlak en de 2e coincidenties, welke ontstaan, doordat het centrum van den stralenbundel in de e van den hyperkegel komt. Dus: 2g le ne Ten tweede beschouwt men in een gegeven ruimte een vlakken- bundel en laat die vlakken overeenkomen, welke aan eenzelfde hyperkegel raken; dat geeft 2c, coïncidenties. Aan den anderen kant verkrijgt men een coincidentie door dé snijding van de dubbel- lijnen van z, = a? bt tte" de *%e' met de draagruimte; verder nog bg, doordat de draagruimte een hyperkegel raakt; eindelijk nog da, doordat de as van den vlakkenbundel een hyperkegel snijdt; zoodat: 2 Cy dat Un nd Beschouwt men ten derde een ruimtebundel in een gegeven hyperruimte, dan raken aan iedere ruimte 4, hyperkegels; dat geeft Cat TR IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. 17 24, coincidenties. Deze coincidenties zijn ook, als het volet te verkrijgen; eerstens raken er cy hyperkegels aan het draagvlak van den ruimtebundel; tweedens gebeurt het a keer, dat de top van een hyperkegel in de gegeven hyperruimte komt te liggen; derdens liggen in de hyperruimte z, dubbelkegels; zoodat: Hie Mete De hyperkegels x zijn door de formules pbo Val Se SE D / / D » we D) » LS En OA CT |e lg SR > wise reen te bepalen, waarbij z, (pgrst)=—z23z(tsrgp) en z, een dubbel- Fuimte, is, die een kegel. draagt;. waarbij. 7, — a? bt ttect dts; er qd y r 22 ys tevens neme men z, X 217,2, X 2", % X 2°. De ontaarding a. Verder is À de weerkeerige van Gs zooals blijkt, als men van de ontaarding A, die bestaat uit de lijnen, die op een gegeven lijn en een gegeven kegelsnede rusten, terwijl de lijn het vlak kruist, de kegelsnede op twee wijzen laat ontaarden. De ontaarding p. De y is een dubbelruimte, welke een kegelsnede draagt, en is te berekenen met de formules: 8a = 2G +64 26,84 +2& Ae, Waar & ==! (a? AL + qa ed} + 8, e!) OP. a = (ath bt do el) 21 De ontaarding v. En de y stelt een dubbelhyperruimte voor die een O? draagt. De aantallen kwadratische ruimten (a? 4,70." d° €49. Voor een enkelvoudig oneindig aantal kwadratische ruimten heeft men de vier betrekkingen: Mr LE Oe diein by, DNA ly oh Co dant) Oo Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie), Dl. IX. A 2 18 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN Op een willekeurig vlak beschouwen wij een stralenbundel en laten wij met elkaar de twee stralen overeenkomen, die eenzelfde kwadratische ruimte snijden. Men vindt dus 2d, coincidenties van de overeenkomst (d,, d,) terug in de y snijpunten van het draagvlak © met de dubbelruimten van de ontaarding y, dec, pun- ten van aanraking van C met kwadratische ruimten van het stelsel en 2e coïncidenties, welke ontstaan, doordat het centrum van den stralenbundel in de e van de hyperruimte komt. Dus: ROSE Tweedens laten wij in een willekeurige ruimte de vlakken van een vlakkenbundel overeenstemmen, die eenzelfde kwadratische ruimte van het stelsel aanraken. Aldus doen wij tusschen de vlakken van den bundel een correspondentie (co, cy) ontstaan, waarvan men de 2c, eoïneidentievlakken terugvindt met behulp van de kromme van den graad c, + d,, die in D de meetkundige plaats der punten van aanraking met kwadratische ruimten van het stelsel met de vlakken van den bundel vormt. Op deze kromme zijn drie groepen van punten, die een coïncidentie kenmerken: de ja snijpunten van D met de dubbelvlakken van de ontaardingen x, de 4, punten van aanraking van JD met kwadratische ruimten van het stelsel en de lijn B d, keer geteld; dus: 2 6 = p + bo + dy. Derdens beschouwen wij in een willekeurige hyperruimte de ruimten van een ruimtenbundel en laten twee ruimten overeenkomen, die eenzelfde kwadratische ruimte aanraken. De 2 4, coincidenties van deze overeenkomst (4, , 4) vindt men terug in de A keer, dat het gebeurt, dat de dubbellijn van À de draaghyperruimte snijdt, in de a, keer, dat de kwadratische ruimte de draaghyperruimte raakt en de cy keer, dat de kwadratische ruimte het vlak raakt, waardoer de ruimten van den bundel gaan, zoodat: PAR Gy oe Vierdens beschouwen wi in de vijfdimensionale ruimte een hyper- ruimtenbundel, waarbij twee hyperruimten met elkaar overeenkomen, die eenzelfde kwadratische ruimte raken. De 2 a, coincidenties van deze correspondentie (a, , a) vindt men terug in de x keer, dat het dubbelpunt in de A, komt, en de 4, keer, dat de ruimte, waardoor alle hyperruimten van den bundel gaan, door de kwadratische ruimte wordt aangeraakt, zoodat: ONO el bg: IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. LY De formules, die de aantallen kwadratische hyperruimten helpen berekenen, zijn: aie À y + 3 À — 2 p + y, oy Ave BO A du = Oy, ep Oe a ON NE Wi ee ae da Ay, ‘waarbij x met 2”, À met 27, we met 2”, y met 2° vermenigvuldigd is. De aantallen kwadratisehe hyperruimten p At CRAEN (aa? 027 Cy" dy” Cap: Voor een enkelvoudig oneindig aantal kwadratische hyperruimten heeft men de vijf betrekkingen: DT a U 2 dy = Ty + C3 + Co, 26 = Fz + bg À de, 2 by = Ty À dy À Co, Dr Omdat in Zl, de kwadratische hyperruimten haar eigen weer- keerige is, moeten deze betrekkingen zich evenzoo gedragen. Inder- daad; de eerste en de tweede hebben de vijfde en de vierde tot weerkeerige, terwijl de derde weerkeerig tegenover zichzelf staat. In de formules bezitten 7,, zr, 7, 7, en 7; achtereenvolgens een dubbelpunt, een dubbellijn, een dubbelvlak, een dubbelruimte en een dubbelhyperruimte. | De aantallen THE UT. De 7. zijn byperruimten, die een kwadratische ruimte dragen, en 5 AT À , 8 m, is de weerkeerige van 7;; dus deze zijn bekend. De aantallen > ED, De 7, zijn dubbelruimten die een y dragen, waarbij de formules: 4 ss (4 pars 2) = (v pars) , (Tr, pars 3) = (y p, q, r, 8 + 1), (7, pars 4) = A (y pqrs 3) + 3 (vp,4q,r,s + 2), (7, pars 5) = 5 (vy pars 4) + 10 (Gp, g,r,s + 1,3), (Tr, pgrs 6) = 16 (ypgrs 5) + 5p, q,r,s8 + 1,4) +- 10 (vpgrs + 2, 8), (m, pars 1) = 35 (vp, 9, 7,8 + 2, 4) — 14 vp, q,r,s8 + 1, 5), (7, pgrs 8) = 35 (vp,4,r,s8 + 8, 4) — 14 (vp, q, r, 8 4 2, 5), fr, pars 9) = 126 vp, ¢,7,s + 8,5), (7, p,9,7,810) = 12609,9,7,8 + 4, 5) A 2* 20 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN de aantallen 7, helpen berekenen; en 7, is de weerkeerige van zr. De aantallen zr. En de ontaarding 7, bestaat uit de vlakken, die rusten op een vlak, waarin een kegelsnede ligt, en een punt gemeen heeft met een tweede kegelsnede, terwijl de vlakken der kegelsneden elkaar kruisen. De raakhyperruimten gaan door de tweede kegelsnede en raken aan de eerste kegelsnede. Om de aantailen 7, uit de ontaardingen y, en vj, waarbij y, een dubbelruimte is, welke cen kegelsnede draagt, terwijl de ruimte zelve de doorsnede van twee hyperruimten is, en waarbij 4, een dubbelhyperruimte is, die een y draagt, te bepalen, beschouwt men op een lijn # een punteninvolutie, waarbij een puntenpaar de doorsnijding met eenzelfde 7, is. Het is duidelijk, dat men 2 e coincidenties verkrijgt, welke aan den anderen kant ontstaan uit de d, keer, dat het gebeurt, dat de drager een 7, aanraakt, en uit de y, keer, dat de drager de dubbelhyperruimten van y, snijdt; dus: DEN, Co Beschouwt men nu nog een stralenbundel in een vlak, dan ver- krijgt men een overeenkomst (4, 4,). De 2 4, coincidenties ontstaan aan den anderen kant uit de y, keer tengevolge van het snijden van het draagvlak en de dubbelruimte van y,, uit de e, keer van het gaan der hyperruimte door het centrum van den stralenbundel en de 2c keer, dat het draagvlak het dubbelvlak van zr, ontmoet, zoodat: 20, =e, = hy oi IC: Tevens staat 7, in Zi, weerkeerig tegenover zichzelf. De aan- tallen +, worden bepaald door de formules: 3 dy=Ae+ 2m Em, 36 = ded + 2%: Hierbij is y, met 2° en # met 2’ te vermenigvuldigen. Om de bovenstaande formules voor de aantallen kwadratische hyperruimten te bewijzen, beschouwen wij op een lijn een punten- involutie, waarbij die twee punten met elkaar overeenkomen, welke eenzelfde kwadratische ruimte snijden; dit geeft 2 e, coincidenties, welke teruggevonden worden in de snijpunten van de lijn (drager) met de dubbele hyperruimte van de ontaarding 7;; en de raak- punten der lijn met kwadratische hyperruimten; hieruit volgt, dat: Ze, = T5 À My. 9 IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN, Beschouw nu op een vlak een stralenbundel met een bepaalden top; we laten de raaklijnen aan eenzelfde kwadratische one overeenkomen, hetgeen 2d, coincidenties geeft. Deze 2 4, coinci- denties vindt men terug in de Co Eese hy perruimten, welke het draagvlak raken, in de 7, keer, dat het vlak een dubbelruimte van de ontaarding 7, snijdt, en in ie e, malen, dat een kwadra- tische hyperruimte door den top van den Se aaa gaat. Dus: Ti lo mes Beschouw ten. derde een vlakkenbundel in een gegeven ruimte. Laat die twee vlakken overeenstemmen, welke eenzelfde kwadratische hyperruimte aanraken. Hierdoor verkrijgt men 2 c, coincidenties, welke ook ontstaan door de 7, snijpunten van de draagruimte met de dubbelvlakken der ontaarding Ta door de 4, kwadratische hyper- ruimten, welke de lijn (as) aanraken en door de 4, kwadratische hyperruimten, welke de draagruimten raken, zoodat: 2e = T3 À dy + bo. De vierde en vijfde zijn de weerkeerigen van de tweede en de eerste; d. Mr KE 2 tds Hieruit vindt men: DE OT CT en ee DRONTEN RT je Olt Tinie ige OR ee in a OT Éd == 2m, + 47,4 57,- 87,7 47;, NE D ON Sat UT BR GES waarbij 7, met 2’, 7, met 2%, 7, met 2", 7, met 2°, 7, met 2’ vermenigvuldigd moet worden. Tengevolge van de symmetrie heeft men (y grst) = (¢srq/p), zoodat de aantalen (pgrst) worden: (0,0,20,0,0) = 61.520.094 | (0,4,14,2,0) = 62.779.392 | (0,6,11,3,0) = 60.604.416 (0,1,19,0,0) = 61.520.094 | (0,4,13,3,0) = 66.100.992 | (0,6,10,4,0) = 65.882.112 (0,1,18,1,0) = 62.920.560 | (0,4,12,4,0) = 67.933.184 | (06 950) = 69.973.504 (0,2,18,0,0) — 60.119.628 | (0,5,15,0,0) — 48.111.264 | (06 860) — 72.235.008 (0,2,17,1,0), — 62.920.560 | (0,5,14,1,0) — 53.943.936 | (0,7,13,0,0) — 36.127.104 (0,2,16,2,0) = 64.440.192 | (0,5,13,2,0) = 59.457.792 | (0,7,12,1,0) = 42.213.376 (0,3,17,0,0) = 57.318.696 | (0,5,14,3,0) = 62.268.800 | (0,7,11,2,0) — 48.689.152 (0,3,16,1,0) = 61.400.998 | (0,5,11,4,0) = 67.933.184 | (0,7,10,3,0) — 55.326.720 (0,3,15,2,0) = 64.440.192 | (0,5.10,5,0) = 69.984.256 | (07 940) = 61.790.720 (0,3,14,3,0) = 66.100.992 | (0,6,14,0,0) = 42.278.592 | (07 850) = 67.625.984 (0,4,16,0,0) — — 48.430.080 | (07 760) = 72.062.976 53.236.464 | (0,6,13,1,0) (041510) = 58.361.664 | (061220) — 54.646.784 | (07 670) — 74.180.352 22 (0,8,12,0,0) (0,8,11,1,0) (0,8,10,2,0) (08 930) 840) 750) 66 0) 570) = 480) (0,9,11,0,0) = (0,9,10,1,0) (09 920) (09 830) 740) = 650) 560) — 470) 380) — (09 290) — (0,10,10,0,0) = (0,10,9,1,0) (0,10,8,2,0) = (0,10,7,3,0) (0,10,6,4,0) (0,10,5,5,0) (0,10,4,6,0) (0,10,3,7,0) (0,10,2,8,0) (0,10,1,9,0) (0,10,0,10,0) = (0,11,9,0,0) (0,11,8,1,0) (0,11,7,2,0) (0,11,6,3,0) (0,11,5,4,0) (0,11,4,5,0) (0,11,3,6,0) cae ceria ht} (0,11,0,9,0) (0,12,8,0,0) (0,12,7,1,0) (0,12,6,2,0) (0,12,5,3,0) (0,12,4,4,0) (0,12,3,5,0) (0,12,2,6,0) (0,12,1,7,0) (013700) ‚Le Tbh] (0,13,6,1,0) (0,13,5,2,0) (0,13,4,3,0) (0,13,3,4,0) (0,13,2,5,0) (0,13,1,6,0) (0,13,0,7,0) (0,14,6,0,0) (0,14,5,1,0) (0,14,4,2,0) tell A TIPU A ETE STM Teles OS 30.040. - 137.6 „O5: 3.862.720 „955. 200 59. 160. „285. „304. 44, 9.423.616 7.948. 864 10.078.976 (0,14,3,3,0) (0,142.40) (6.14.1.5.0) 0,14.0.6,0 ers (0,15,4,1,0) (0,15,3,2.0) (0,15,2,3,0) (0,15,1,4,0) (0,15,0.5,0) (0,16,4,0,0) (0,16,3,1,0) (0,16.2,2.0) ns ,16, ? ) (0.17,3.0.0) (0,17,21.0) (0,17,1,2.0) (0,17,0,3,0) (0,18,2,0,0) (0,18,1,1,0) (0,18,0,2,0) (0,19,1,0,0) (0,19,0,1,0) (0,20,0.0,0) (1,0,19,0,0) (1,0,18,1,0) (1,0,17,2.0) (1.0,16.3.0) (1,0,15.4.0) (1,0,14,5.0) (1013,6,0) LAT) 1,0,11,8,0 oad ik ,9,10; cats 1,12; (1,0,6,13,0) 0 215 0 30,#,19;, (1,0,3,16,0) (1,0,2,17,0) oo I ) ,19, (1,0,18,0,1) (1,1,18,0,0) (1117.10) (111620) (115,30) (1,1,14,4,0) (1,1,13,5,0) (1,1,12,6.0) (11270) (1,1,10,8,0) 8 19 90) 1,1,8,10,0) (L1,7,11,0) (1.1,6,12,0) PLN PIE Eee OT TS LL SA 12, 16. 129 005. „104 472 20.027.114 24. 486. „548. „818. „428. 9.452. „983. € 5.131. 268.6 208.6 404.6 1210 (1,1,5,13,0) = 16.93: 032 680 152 848 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN (1,1,4,14,0) (1,1,3,15,0) (1,1,2,16,0) (1,1,1,17,0) (1,1,0,18,0) (1,1,17,0,1) (1,1,16,1,1) (1,2,17,0,0) (1,2,16,1,0) (1,2,15,2,0) (1,2,14,3,0) (1,2,13,4,0) (1,2,12,5,0) (1,2,H,6,0) (1,2,10,7,0) (12 980) (12 890) (1,2,7,10,0) (1,2,6,11,0) (1,2,5,12,0) (1,2,4,13,0) (1,2,3,14,0) (1,2,2,15,0) (1,2,1,16,0) (1,2,0,17,0) (1,2,16,0,1) (1,2,15,1,1) (1,2,14,2,1) (1,3,16,0,0) (1,3,15,1,0) (1,3,6,10,0) (1,3,5,11,0) (1,3,4,12,0) (1,3,3,13,0) (1,3,2,14,0) (1,3,1,15,0) (1,3,0,16,0) (1,3,15,0,1) (1,3,14,1,1) (1,3,13,2,1) (1,3,12,3,1) (1,4,15,0,0) (1,4,14,1,0) (1,4,13,2,0) (1,4,12,3,0) (1,4,11,4,0) = (1,4,10,5,0) = (14 960) = (14 870) = (14 780) = (14 690) = (1,4,5,10,0) = Mee SL SS SOS TS NS EL nl .392 .232 .992 „316 „568 „808 4.720 „192 „304 „920 „304 . 144 >. 480 „840 „924 „334 „568 „184 „392 „760 5.064 .208 5.192 >. 608 .184 .328 .896 13.461.248 10.030.080 64.066.688 56.289.536 (1,4,4,11,0) (1,4,3,12,0) (1,4,2,13,0) (1,4,1,14,0) (1,4,0,15,0) (1,4,14,0,1) (1,4,13,1,1) (1,4,12,2,1) (1,4,11,3,1) (1,4,10,4,1) (1,5,14,0,0) (1,5,13,1,0) (1,5,12,2,0) (1,5,11,3,0) (1,5,10,4,0) 15 950 860) 770) 680) 590) (1,5,4,10,0) (1,5,3,11,0) (1,4,2,12,0) (1,5,1,13,0) (1,5,0,14,0) (1,5,13,0,1) (1,5,12,1,1) (1,5,11,2,1) (1,5,10,3,1) (15 941) (15 851) (1,6,13,0,0) (1,6,12,1,0) (1,6,11,2,0) (1,6,10,3,0) (16 9,40) (16 850) (16 760) (16 670) (16 580) (16 490) (1,6,3,10,0) (1,6,2,11,0) (1,6,1,12,0) (1,6,0,13,0) (1,6,12,0,1) (1,6,11,1,1) (1,6,10 2,1) (16 931) (16 841) (16 751) (16 661) (1,7,12,0,0) (1,7,11,1,0) (1,7,10,2,0) 17 930) (17 (17 840) 750) 660) 570) SN StS STITT OT Lo ON Deo TT TT TS IN DE RUIMTE VAN VIJF AFMETINGEN. 66.258. 72, 390.2 .628. 915. D. 991. „OLS. „278. 56.066. „746. „024 29. 760 „412 445.920 „224 „716 „032 „040 DD, DD, „968 3.640 lp) „440 864 OOS 120 156 514 352 176 1 al 1 =] er ~ ni (17 (1,8,11,0,0) (1,8,10,1,0) (18 920) (18 830) (18 740 (18 650) (18 560 (18 470 (18 380 (18 290) (1,8,1,10,0 (1,8,0,11,0 (1,8,10,0,1) 18 911 ie 821) 731) 641) 551) 461) 371) 281) (1,9,10,0,0) (19 910) (19 820) (19 730) (19 640) (19 550) (19 460) (19 370) (19 280) (19 190) (1,9,0,10,0) (19 901) (19 811) (19 721) (19 631) (19 541) (19 451) (19 361) (19 271) (19 181) (19 091) (1,10,9,0,0) (1,10,8,1,0) (1,10,7,2,0) (1,10,6,3,0) (1,10,5,4,0) D ek ES te TCT TE NN TT AAI SSE EO TS AT TS STE eat Core „065. ANA yeu re „666. 4.367. Rn „474. 0: „519,8 „398.52 >. 889. „179: 26.398.2 3.488 3.464 3.160 „156 219.318 569.088 >. 208 3.424 „664 „912 ol . 984 256.768 7.296 9.632 9.312 .248 . 832 992.064 „224 5.120 9.280 „240 „196 „010 (1,10,4,5,0) = (1,10,3,6,0) (1,10,2,7,0) (1,10,1,8,0) (1,10,0,9,0) (1,10,8,0,1) (Gort) (1,10,6,2,1) (1,10,5,3,1) (1,10,4,4,1) (1,10,3,5,1) (1,10,2,6,1) (1,10,1,7,1) (1,10,0,8,1) (1,11,8,0,0) (Gla GE real) (1,11,6,2,0) (1,11,5,3,0) (1,11,4,4,0) (1,11,3,5,0) (1,11,2,6,0) (1,11,1,7,0) (1,11,0,8,0) (1,11,7,0,1) (1,11,6,1,1) (bible ib) (1,11,4,3,1) (1,11,3,4,1) (A2 5) (1,11,1,6,1) (1,11,0,7,1) (1,12,7,0,0) (1,12,6,1,0) (1.12,5,2,0) (1,12,4,3,0) (1,12,3,4,0) (1,12,2,5,0) (ZErG:0) (1,12,0,7,0) (1,12,6,0,1) (olles) (1,12,4,2,1) (19199 301) (1,12,2,4,1) (bn) (1,12,0,6,1) (1,13,6,0,0) (1,13,5,1,0) (1,13,4,2,0) (1,13,3,3,0) (1,13,2,4,0) (1,13,1,5,0) (1,13,0,6,0) (1,13,5,0,1) (1,13,4,1,1) (1,13,3,2,1) (1,13,2,3)1) (1,13,1,4,1) (1,13,0,5,1) (1,14,5,0,0) OL LOO 32.683. yy ea Are .690. 47.689. 50.514. ee Roon 5.466. 618. .968 JDE RoDor „687 „840. „161 9.907 „600. ROD Alley, ZDM ‚818. „061 „DO 2.054: DATE 9,314. 209! 053218 DE „244. 2.940. 5.614. (orale. 9248: .801. „009. 008, „502. 27700: 8.816. PAE „358. AU .007. 9 ‚828. 4.014. 5.187. 6.686. 8.593. .010. .058. 5187 6.360. 8.184. 10.500. 3.427. „106. 0.979: 2,841. 42 200 616 720 036 930 088 648 368 688 .192 032 824 „952 824 „408 „968 448 248 216 184 112 „284 122 528 928 048 184 152 040 456 880 848 488 648 280 248 240 876 870 128 808 912 216 232 512 864 208 328 016 312 256 324 762 448 704 608 200 392 200 O88 24 (1,14,4,1,0) (1,14,3,2,0) (1,14,2,3,0) (1,14,1,4,0) (1,14,0,5.0) (1,14,4,0,1) (1,14,3,1,1) (1,14,2,2,1) (1,14,1,3,1) (1,14,0,4,1) (1,15,4,0,0) (1,15,3,1.0) (1,15,2,2,0) (1,15,1,3,0) (1,15,0,4,0) (1,15,3,0,1) (1,15,2,1,1) (1,15,1,2,1) (1,15,0,3,1) (1.16,3,0,0) (1,16,2,1,0) (1,16,1,2,0) (1,16,0,3,0) (1,16,2,0,1) (1,16,1,1,1) (1,16,0,2,1) (1,17,2,0,0) (1,17,1,1,0) (1,17,0,2,0) (1,17,1,0,1) (1,17,0,1,1) (1,18,1,0,0) (1,18,0,1,0) (1,18,0,0,1) (1,19,0,0,0) (2,0,18,0,0) (2,0,17,1,0) (2,0,16,2,0) (2,0,15,3,0) (2,0,14,4,0) (2,0,13,5,0) (2,0,12,6,0) (2,0,11,7,0) (2,0,10,8,0) (20 990) (2,0,8,10,0) (2,0,7,11,0) (2,0,6,12,0) (2,0,5,13,0) (2,0,4,14,0) (2,0,3,15,0) (2,0,2,16,0) 200180) hef bet) 1 (2,0,17,0,1) (2,0,16,1,1) (2,0,15,2,1) (2,0,14,3,1) (2,0,13,4,1) (2,0,12,5,1) DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN LL, 688. . 118. 116 962. 235. 536. . 868. 800 574.016 „748.008 „508.272 „993.536 „598.560 381.072 . 390.5 689. „243. 203.5 400. 987.744 388. 640 720 368 188 230 192 = [en VION O9 NO Hi Hi Où ON UND O1 = C0 NO Hi 9 © =] O1 2 © =1 HE Co RAT Hi EE bi a € or jee bo > © tué me .000 69.426.000 64.124.128 (2,0,11,6,1) (2,0,10,7,1) (20 981) (20 891) (2,0,7,10,1) (2,0,6,11,1) (2,0,5,12,1) (2,0,4,13,1) (2,0,3,14,1 (2,0,2,15,1) (2,0,1,16,1 (2,0,0,17,1 (2,0,16,0,2) (2,1,17,0,0) (2,1,16,1,0) (2,1,15,2,0 (2,1,14,3,0) (3,1,13,4,0) (2,1,12,5,0) ‘2,1,11,6,0) (2,1,10,7,0 (21 980) 21 890) (2,1,7,10,0) (2,1,6,11,0) (2,1,5,12,0) (2,1,4,13,0) 2,1,3,14,0) (2,1,2,15,0) (2,1,1,16,0) 2,1,0,17,0) 2,1,16,0,1) 2115 1h) (2,1,14,2,1) (24113781 (2,1,12,4,1) 2,1,11,5,1) (2,1,10,6,1 ir Eyal (21 881) (ale 7 Sh) (2,1,6,10,1) (2,1,5,11,1) (2,1,4,12,1) (2,1,3,13,1) (2,1,2,14,1 (2,1,1,15,1) (2,1,0,16,1) (2215 10) (2,2,14,2,0 (2,2,13,3,0) (2,2,12,4,0) (alsa) ER ) (22 970 (22 880) (22 790) TL 56. 48. 915 563 39.926 . 120 542. 8.531. Bo (eat .008 .£ 201: 129: .610. 7 .630. PUGS „842. 2920; 58.044. „648. Sn .260.6 1109. 2.982. „DAI. „250. „901. ALS, . 282. "DA OL AVE .486. „367.6 BOOR .167.6 ene. 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Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). 24. 28. 21 de 13. we 1 (RUSSES USE MN SSSR SS NS US SISNIE NS LC .459. .061 952: .439. 1002? neue >. 155.616 „217 „381. „608. „652. „090. MB: „842. „927 „936. „529 ‚588. UT „2157 „651 „533. „803. „135. „938 DO 5.728. „546. „804. „635. „326. „821. 611.968 969.088 328 115-442 627.392 950.464 . 888 256 116 424 184 .408 648 576 032 152 312 624 „296 540 . 808 116 760 968 „536 248 116 360 „048 136 768 „565.648 „670.048 ,2,0,11,2) (5,2,10,0,3) 913) (5 (ay (SM (52 DID: — or ENG ot bo DO DO bw 193) 5,2,0,10,3) 529 0 (528 (527 (526 (525 (524: (523 (522 7 (521 520 § a 28 05) (527 (526 25) (5,3,12,0,0) (5,3,11,1,0) (5,3,10,2,0) (53 930) (53 840) (53 750) (53 660) (53 570) (53 480) (53 390) (5,3,2,10,0) (5,3,1,11,0) (5,3,0,12,0) (5,3,11,0,1) (5,3,10,1,1) (53 921) (53 831) (53 741) (53 651) (53 561) (53 471) (53 381) (53 291) CSN) 372) 282) (573, 11:92) IN NU A UN UE NU Wee Tee ee „580.352 A 3 34. 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OTE 810.6 660. 612. tot 647. . 549. 942. 762.6 726. 22 010. 523. 802.8 638. 116.6 519. 238.6 Solo ooE „310. „059 159 „944 | „256 | „344 | „496 „168 „680 | 2592 360 728 800 368 464 .608 160 888 592 424 168 „072 „808 (659 (658 (657 (656 (655 (654 (653 (652 (651 (650 (658 (657 (Gora? (655 € (654 4 (653 (652 QUI == 10) 20) 3 0) 40) 5 0) 60 70 80) 90 01) 11) rn IE ee TSE OL nn bo BRE REDO Oo UI O0 DO Hi WEEP He O9 NO NO ROOF GO DO mi OÙ OÙ ie OO NO Hi HP ER He O9 I M ma at „856 . 808 8.744 .992 „656 „208 2.176 202.496 „120 5.088 9,760 9.680 16. 240 „320 „760 „144 92.816 1. 944. 5.456 9.600 2.800 .400 .200 2.528 .488 .072 .468 9.520 9.360 2.480 „568 8,208 „936 „104 >. 240 „320 „224 ‚488 „584 wr 8.576 .000 >. 928 ). 996 2.576 53.160 9.760 >. 000 .280 9.904 „812 146.496 5.328 „104 „912 „184 „664 ».480 99.840 3.120 38 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERRUIMTEN E (665 20) = 13244160 (664 31) = 1.658.880 (663 41) — 2.211.840 (662 51) = 2.820.096 (661 61) = 3.308.544 (660 71) — Ihsa (666 02) = 1.166.400 (665 12) = 1.555.200 (664 22) = 2.073.600 (663 32) = 2.764.800 (662 42) = 3.428.352 (COOP) oe 1962992 (660 62) = 3.714.048 (665 03) = 1.399.680 (664 13) — 1.866.240 (663 23) — 2.488.320 (662 33) = 3.059.712 (661 43) = 3.305.472 (660 53) = 3.098.624 (664 04) — 1.244.160 (663 14) = 1.658.880 (662 24) = 2.082.816 (661 34) = 2.260.992 (660 44) = 2.093.056 aes Wer SS 912.334 (662 15) = 1.152.000 (OON SZ M2 7952 (660855) MENOS (662 06) = 573.184 (661 16) = 687.696 (660 26) = 601.344 (CHAUD) 219.936 (676 10) = 373.248 (675 20) = 497.664 (CHASSE 663.552 (673 40) — — 884.736 (672 50) — 1.179.648 (GA 0) ==" 1652097856 (670 70) = 444.640 (67601) = 466660 (675 11) — 722.080 (674 21) — 829.440 (673 31) — 1.105.920 (672 41) = 1.474.560 (OMR) SSOROGE (70061) =. “wens (675°02) = 771.600 (OEM) 10365300 (673 22) = 1.382.400 (672 32) = 1.843.200 Tengevolge Delft, Januari 1905, 27 STREEK EE IS ESS © © Go O9 Go O9 OP NO NO mw IO M 9 ft mt ni ni Ji He van de formules heeft (g+1,9¢,7,6,0= =4(p,¢7-+ 1.7.8, 0) voor pes. „285 962 427 186 448 331 311 414 921 „568 „880 959: . 244. „658. „039. „018. CHR 2105! . 388 „2507 GOS. 168. „544. 384. 120 160 880 808 368 440 920 544 560 256 000 192 128 „392 „624 „832 „116 442, 589. 186. .019. 368 824 432 904 „040 „120 552! Tele 983. 20: 518. 691. .600 „228. DZD 622. 829. „105% „oo DOD 809.2 925.6 405. pla 256. 124. 165 + 291 960 280 040 316 400 200 800 112 080 440 920 872 294.91: 391.2 524.2 men verder: A. Toxopeus. NZ. (694 01) = 207.360 | (693 11) = 276.480 (692 21) — 368.640 | (691 31) — 491.590 (690 41) = 655.360 (693 02) — 345.600 (692 12) = 460.800 (691 22) — 614.400 (690 32) — 819.200 (692 03) = 414.720 (691 13) = 552.960 (690 23) = 737.280 (691 04) — 368.640 (690 14) — 491.520 (690 05) = 270.336 (6,10,4,0,0) = +2.94 (ina) — 147.456 610,220) = 6 (6,101.30) = 196.608 (6,10,0,4,0) = 262.14 (6,10,3,0,1) = 138.468 (610,211) = 184.320 (6,10,1,2,1) = 245.760 (6.10031) = 307.200 (6,10,2,0,2) = 230.400 (6,10,1,1,2) = 307.200 6,10,0,2,2) = 409.600 (6,10,1,0,3) = 276.480 (510018 — 368.640 6100.04) — 245.160 611,300) =- 55.296 611210) = 13.728 (6,11,1,2,0) = 98.304 (6,11,0,3,0) = 131.072 (611201) = 92.160 (61111) = 122.780 (611,021) = 163.840 (G11102) = 158.600 (6,11,0,1,2) = 204.80 (6,11,0,0,3) = 184.320 (6,12,2,0,0) = 36.864 (6,121.10) = 49.152 iron — ven 6, 4, Dir lee, = 5 (612011) = 81.920 (6,12,0,0,2) — 102.400 (6,13,1,0,0) = 24.576 (6,13,0,1,0) — 32.768 (613001) = 40.960 (6,14,0,0,0) = 16.384 Liquatie (ongelijkslachtigheid) van binaire metaallegeeringen DOOR Dr. C. HOITSEMA. Met medewerking van J. W. A. HAAGEN SMIT. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). Deel IX. N° 2. (Met 50 figuren in den tekst.) AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. October 1905. Liquatie (ongelijkslachtigheid) van binaire metaallegeeringen DOOR Dr. C. HOITSEMA. Met medewerking van J. W. A. HAAGEN SMIT. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). Deel IX. N° 2, (Met 50 figuren in den tekst.) . AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1905. x 1 | \ Fi " wd p\ N rs à | i; 5 +. & PNR 6 ie) Pies : < c À | i jn i — ‘ | i i : x je - 4 ; 1 jd ‘ kid Heer ig 4 my ; st ALL dee 4a aa hi MER IER \ + WA MENE (ii kudt. hb 44 “ f > i = | ; ! gi LE der tide 2 + ie a ee See Coe TAN: Ni 3 Î | ‘ "a 4 À d walk k : : % x : x it + 1461 7 1% he, 7 # ca - a L | L : ; * 4 e f et ar + ‘ wy Y Nn ne 1 nl À RE ANC ‘ r = ry 7 j . b ; à RAS . | k ze Yad ih ar a 4 Ie à : Tr : af 7 ‘ { rf ‘cd a x 4 Pal ù y hed : i i i iy 7 t . x 7 € 4 À 4 en MEAT 5 à | Liquatie (ongelijkslachtigheid) van binaire metaallegeeringen DOOR C. HOITSEM A. MET MEDEWERKING VAN JON AU EI A AIG ENS MIT: (Met 50 figuren.) 1. Inleiding. . Liquatie bij zilver-koper-legeeringen. § § 2 § 3. Zwaartekrachts-liquatie. § 4. Liquatie en stolfiguur. § 5. Liquatie bij binaire legeeringen in de praktijk. $ 1. Inleiding. Legeeringen worden in de praktijk (bijna zonder uitzondering) verkregen als een gevolg van het stollen van gemengde smelten. Zulk eene stolling is een samengesteld proces, aangezien: 1°. in het algemeen!) vastwording van elk gedeelte der massa plaats grijpt, niet bij een enkele temperatuur, maar langs een min of meer uitgebreid temperatuurstraject; 2°. hetzij voortdurend, hetzij nu en dan gedurende het vast- worden wijzigingen optreden in de chemische natuur van hetgeen in den vasten toestand overgaat, en *) Er zijn gevallen mogelijk, en ook in de praktijk komen zij enkele malen voor, dat eene legeeringssmelt bij één bepaalde temperatuur stolt, terwijl tevens noodzakelijker- wijze elk gestold fragment chemisch dezelfde samenstelling heeft als de smelt. Dit is te verwachten: a. wanneer de smelt geheel en al bestaat uit ééne enkele gesmolten (onge- dissocieerde) chemische verbinding; b. wanneer zich van den aanvang af eene vaste oplossing afzet, van precies dezelfde samenstelling als de smelt. De daarbij ontstane vaste legeeringen zijn even homogeen als de gesmoltene. Een gesmolten eutektikum stolt wel bij éénzelfde temperatuur, en ook blijft gedu- rende de stolling de samenstelling der vloeistof en der vaste phase dezelfde, maar ge- lijkslachtig is de laatste toch niet. B 1* 4 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) 3°. niet in alle onderdeelen der metaalmassa tezelfdertijd dezelfde verschijnselen optreden, daar de warmteafgifte, die de stolling inleidt en vergezelt, samenhangt met aard, vorm, afmetingen van het materiaal en met de omgeving, Eene legeering is dus bijna steeds een magma van meerdere soorten kristallijne !) deeltjes (elementen, verbindingen, vaste oplos- singen) in eene zekere volgorde na elkander, maar in verschillende deelen van het gietstuk niet steeds onder gelijke omstandigheden, ontstaan. Te verwachten is het derhalve dat zeer dikwijls ongelijkslachtig- heid in de overtalrijke soorten van legeeringen, die in de praktijk van het dagelijksch leven gebruikt worden, zal voorkomen. Nu behoort weliswaar ongelijkslachtigheid van sommige zeer be- paalde legeeringen reeds langen tijd tot de bekende feiten, maar toch is de meening zeer verspreid dat bedoelde legeeringen als uitzonde- ringen op den regel zijn te beschouwen. Dit ligt wel voor een deel hier- aan dat de graad van ongelijkslachtigheid in vele gevallen gering is, zoodat deze in onderscheidene deelen van het vaste metaal, 2% hun geheel beschouwd, niet in het oog valt, hoewel onmiddellijk aan elkaar grenzende kleine deeltjes in tamelijk hooge mate ongelijk- soortig kunnen zijn. Door de gebruikelijke wijze van analyseeren van legeeringen voor technisch gebruik, waarbij men van grootere hoeveelheden materiaal uitgaat en daarvan gemiddelde monsters neemt, wordt die opvatting nog in de hand gewerkt. Al is toe te geven dat het voor de praktische kennis van vele legeeringen vaak reeds voldoende is wanneer de chemische samenstelling op een dergelijke wijze wordt bepaald, is het toch als zeker te beschouwen dat in vele gevallen eene ongelijkslachtigheid als gevolg van het stollingsproces, ook zelfs als zij slechts plaatselijk voorkomt, op sommige mechanische eigenschappen van de vaste legeeringen in haar geheel een belangrijken invloed heeft. Daarom zal het dik- wijls aanbeveling verdienen meer aandacht te schenken aan de chemische geaardheid van het materiaal in verschillende onderdeelen, in plaats van zich tevreden te stellen met zgn. „Bauschanalysen”’ ?). Terwijl langzamerhand het aantal gevallen, waarin het optreden eener ongelijkslachtigheid in legeeringen werd geconstateerd, toenam *) Voor zoover tot nu toe bekend. *) Naar mijne meening is deze wenschelijkheid sterk sprekend in de ijzer- en staal- chemie waar langzamerhand eene wanverhouding is ontstaan tusschen den voornitgang der kennis der mechanische eigenschappen en wijzigingen, daarin aan te brengen, aan de ééne zijde en de kennis van den samenhang tusschen chemische constitutie en de hoedanigheden van het materiaal (eens als zooveel belovend beschouwd) aan den anderen kant. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 5 en het ook bleek dat bepaalde verschijnselen constant voorkwamen, is eene redelijke poging tot verklaring daarvan (als men afziet van enkele phantastische besprekingen van specifieke afstootingen der metaaldeeltjes door de wanden van gietvormen van andere tempe- ratuur) nimmer gedaan. De vooruitgang onzer kennis op het gebied der heterogene even- wichten 5), hier bepaaldelijk die, welke optreden bij het stollen van smelten, maakt het xz mogelijk van algemeene gezichtspunten uit het optreden der bedoelde ongelijkslachtigheid , vooral die bij bizaire metaallegeeringen nader te onderzoeken, haar ontstaan in kwalita- tieven zin na te gaan en de uitkomsten der studie te toetsen aan de ervaring. Daartoe is bij legeeringen van bepaalde metalen slechts noodig, maar dit is dan ook voldoende, de stollingskrommen van alle smelten dier metalen (er wordt hier van nu af een beperking tot binaire legeeringen ingevoerd), de „sto/figuur”’ te kennen. ?) Zoodra verband gezocht wordt met de uitkomsten van experimen- ten (of met de bestaande ervaringen) treedt een andere factor sterk op den voorgrond, die tevens van grooten invloed is op den om- vang der bestudeerde verschijnselen, de #4, waarin de overgang van den vloeibaren in den vasten toestand plaats heeft. Die samenhang tusschen liquatiegraad en stollingsduur geeft reeds aanstonds eenige toelichting tot de bovengemaakte opmerking, dat zoo dikwijls het voorkomen van ongelijkslachtigheid bij legeeringen onopgemerkt blijft tengevolge van haren geringen omvang. Immers, bijna alle in de praktijk voorkomende legeeringen smelten en stollen bij ,hooge” temperaturen, die medewerken tot een buitengewoon snel verloop van het stollingsproces. Het zal nog nader blijken dat die omstandigheid het optreden van ongelijkmatigheid zeer sterk kan tegengaan. Het komt mij wenschelijk voor de meer in bijzonderheden tre- dende behandeling. van dit onderwerp aan te vangen met eene uit- voerige bespreking van de ongelijkslachtigheid der zi/ver-koper-legee- ringen. De betrekking tusschen dit verschijnsel en de stolfiguur dier legeeringen, alsmede de experimenteele bevestiging der mede te dee- len beschouwingen zullen dan onmiddellijk conclusies toelaten voor alle andere binaire legeeringen met gelijke stolfiguur. Analoge 2) Bakhuis Roozeboom. Die heterogenen Gleichgewichte. 2tes Heft. 1904. 2) „Erstarrungsbild” (Heyn). Slechts het voorkomen van onderkoelingen zoude aan de conclusies eenigszins afbreuk kunnen doen; hoewel bij metalen niet onbekend, schijnen zij toch slechts een meer ondergeschikte rol te spelen. Zij zullen voorloopig buiten beschouwing kunnen blijven. 6 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) afleidingen voor weder andere binaire legeeringen zullen daarop volgen. Hindelijk zijn deze dan nog te toetsen aan het zeer ver- spreide materiaal, dat daarvoor reeds beschikbaar is. Deze vooropzetting der zilver-koperlegeeringen moge voldoende grond vinden in de volgende omstandigheden: Vooreerst hebben zij van oudsher tot de belangrijkste legee- ringen behoord, o. a. door hare toepassing als muntmateriaal; en is just het optreden van ongelijkslachtigheid vooral aan deze groep van legeeringen het langst met eenige zekerheid bekend geweest. Daarvoor zijn als oorzaken te noemen de relatief hooge nauwkeurig- heid waarmede de analytische bepaling van zilver reeds lang heeft kunnen geschieden, gepaard aan het geldelijk belang dat bestond om goed op de hoogte te zijn van de innerlijke hoedanigheid van materiaal uit deze legeeringen vervaardigd (munten, baren). Verder is een bekende, zeer eigenaardige, richtingsverandering der liquatie bij deze legeeringen, indien de samenstelling daarvan zich regel- matig wijzigt, het uitgangspunt voor mij geweest van deze studie en eindelijk hebben zij voor de laatste het materiaal geleverd dat aan experimenteel onderzoek is onderworpen. — $ 2, Liquatie bij zilver-koper-legeeringen, Zoolang zilver en koper te zamen geallieerd, gegoten en als zeer waardevol materiaal verhandeld en vermunt werd, zal wel de kennis bestaan hebben van de ongelijkheid van het zilvergehalte in verschillende deelen van grootere geldstukken dezer legeeringen. De nauwkeurigheid toch van de oude gehaltebepalingsmethode van het zilver (cupellatie) liet zeer gemakkelijk de herkenning daarvan toe. Zoo wordt reeds in de 16° eeuw !) en ook later ?) van deze heterogeniteit gewag gemaakt. Door Jars ®) is, tijdens een verblijf in de Saksische mijnstreken de ongelijkslachtigheid van koperhou- dende zilverbaren nader bestudeerd. Hij maakte attent op de tamelijk groote gehalteverschillen die daarin kunnen voorkomen, trachtte na te gaan in hoeverre de temperatuur van den gietvorm vóór het smelten, van invloed was en nam het bijzondere verschijnsel waar dat in baren van betrekkelijk laag zilvergehalte (slecht pasmuntzil- ver dier dagen) het centrum het armst, de buitenzijden daaren- tegen het rijkst aan zilver waren. Deze laatste, inderdaad juiste *) L.Ercker. Allerfurnem. Mineral. Erzt und Bergw. arten. Frankfort 1580 p. 20 en 26. *) Cramerus. Ars docim. Duitsche vertaling v. Gellert. 1746, pag. 384. *) Voyages métallurgiques IIT, 270 (1781). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. A waarneming wordt in uitgebreiden vorm nog door P. J. Kasteleyn in zijne Beschr. en werkz. Chemie, 1794, TIE deel pag. 113 in eene aanhaling van Knorre, es te Ha bee medegedeeld, waar hij zegt dat bij het gieten van zilver en koper ,,het grootste deel (dus het meest aanwezige) van het mengsel, hetzij zilver, hetzij koper, het kleinste deel naar de buitenzijde drift”. Men heeft haar daarna geheel uit het oog verloren; — en zoo kon het ge- beuren, dat toen omstreeks 1823 in groote hoeveelheden zilver in den vorm van baren van laag gehalte, afkomstig van oude Duit- sche muntspeciën in Frankrijk werden ingevoerd, waarvan de ge- halten bepaald waren door analyse van kapsels genomen van een of meer der hoekpunten (dus van de buitenzijde) men na omsmel- ting stuitte op zeer groote verschillen (en wel nadeelige) tusschen de smelt-gehalten en die, waarop de overname was gebaseerd. Bij een onderzoek dezer zaak, aan d’Arcet !) opgedragen werd met groote bevreemding geconstateerd dat inderdaad de samenstelling der baren zeer ongelijk was en dat vermoedelijk bedrog in het spel was geweest. De gietvormen zouden nl. vóór het gieten met poeder van fijn zilver rondom zijn bedeeld om een aan de buitenzijde (waarvan de proeven genomen werden) hooger gehalte te verkrij- gen. Toen echter bleek dat dit vermoeden, dat reeds als zeker was bekend gemaakt, onjuist was, werden de proeven herhaald om na te gaan of werkelijk ongelijkheid in gehalte optrad en dit vermoeden bevestigd gevonden. Baren van laag zilvergehalte waren steeds in het centrum lager, en niet onbelangrijk dikwijls dan aan de buiten- zijden; bij hoog zilvergehalte was dit andersom. Zeer fraai waren deze proeven niet; men had de baren waarop de bepalingen ge- schiedden verkregen door gieten in van boven open ijzeren vormen (,à ciel ouvert” zooals de baren voor den handel worden gegoten) waardoor de regelmaat der uitkomsten geschaad werd. Meer systematische, beter ingerichte proefnemingen over dit onder- werp zijn daarna door Levol 2) verricht. Om de ware betrekking tusschen gemiddeld gehalte en de mate van ongelijkslachtigheid experimenteel op te sporen, begreep hij afstand te moeten doen van de ook in de proeven van d’Arcet gevolgde wijze van gieten der zilver-koperlegeeringen. Daar, naar zijne meening de samen- stelling der vaste legeering afhankelijk was van de wijze waarop de warmteafgifte bij het stollen plaats had, was men aangewezen op het toepassen van gesloten ijzeren gietvormen. Hij gebruikte zulke van [ | of © gedaante, uit twee helften samengevoegd en slechts van *) Recherches de M. d’Arcet sur la liquation. M. S. Bibliotheek van ’s Rijks Munt. *) Ann. Chim. Phys. [3] 31 193 (1852). 8 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHELD) een gietgat aan de bovenzijde voorzien. Door smelten van zeer uiteenloopende samenstelling te nemen, vond hij 1° dat regelmatig bij legeeringen met laag zilvergehalte het centrum zilver-armer dan de buitenlagen was, en dat bij hoog zilvergehalte omgekeerde ver- houdingen optraden (dit was reeds bekend) 2° dat er eene ver- houding der beide componenten bestond waarbij de ongelijkslachtig- heid ophield, welk gehalte tevens de scheiding aangaf tusschen de legeeringen der beide groepen, zoo juist bedoeld. Hoe verdienstelijk dit experimenteel onderzoek ') ook was, tot een juist inzicht van de oorzaken dier opmerkelijke ervaringen, heeft Levol het niet ge- bracht, gelijk nog nader zal blijken. De volgende tabel geeft een overzicht der voornaamste proef- nemingen. Het gehalte van elke smelt werd door middel van een geschepte proef vóór de gieting bepaald. De ronde vorm had een diameter van 50 mM., de kubusvormige eene zijde van 42 mM. | Zilvergehalte Zilverge- | gestolde legeering Grootste halte der enen Gietvorm FAR Buiten- ses gevonden a—b in °/,, zijde 2) or um | afwijking | a Bol 631.9 633.2 619 15.0 14.2 à 672.9 673 071258 403 Le 4 693.7 693.8 693.7 OE 0.1 à 694.1 694.3 693.8 6.5(?) 0.5 5 118.8 Taam 118% 0.6 0.0 a 720.9 721.4 721.6 Ohe —().2 Kubus Tio dil deo 183.2 3| Leet —12.0 Bol 774.2 172.9 18549 Sad ——13.0 ‘s 873.0 872.5 881.2 Gl —8 .7 ; 901.3 898.7 907.3 8.9 —8 .6 Kubus 903.1 900.1 909.5 9.9 —9 .4 5 947.0 947.1 950.0 3.5 —2.9 a 948 .4 947.7 950 dl —2.93 *) Het is niet van algemeene bekendheid, dat onmiddellijk na en op grond van Levol’s proeven hier te lande op initiatief van den toenmaligen President van het Muntcollege, later Minister, Dr. A. Vrolik, werd bewerkt dat de Indische zilveren pasmunt (ingesteld bij de wet van 1 Mei 1854 Stbld. n°. 75) zou worden geslagen op „het gehalte van Levol” van 720 duizendsten. Deze rationeele handelwijze heeft opmerkelijkerwijze nimmer navolging gevonden. *) Onder weglating van het gehaltecijfer bij de ingietopening gevonden. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 9 Deze Levolsche proeven, terecht zeer bekend geworden, zijn onder gelijke omstandigheden genomen; de uitkomsten derhalve vergelijkbaar. De cijfers der laatste kolom hebben slechts relatieve waarde; wij weten nu dat de gehalteverschillen tusschen centrum en buitenlagen geene constante waarden geven maar dat zij samen- hangen met de wijze van stolling, in ’t bijzonder met de snelheid. Niet juist is later de slotsom gebleken door Levol uit zijne waar- pemingen getrokken, dat de groote mate van gelijkslachtigheid, welke het vastgeworden alliage van omstreeks 720 duizendsten zilver vertoont, zijn oorsprong hieraan dankt, dat de vloeibare, zoowel als de vaste legeering van dat gehalte uit de chemische verbinding Ag,Cwg (in tegenwoordige schrijfwijze) bestaat, terwijl alle andere legeeringen zouden zijn opgebouwd uit deze verbinding benevens uit vrij zilver — of koper. Imtusschen werd deze mee- ning vrij algemeen aangenomen en werd het uit atoomgewichten berekende gehalte van 718.98 duizendsten, met zijn grooten schijn van nauwkeurigheid (bij de nu geldende atoomgewichten zoude het 718.0 zijn) tot op den huidigen dag in de metallurgische literatuur overgenomen, als zijnde dat der zilver-koperlegeering welke tot een homogene vaste legeering stolt. Dit alliage van Levol” bleek later te zijn: het eutektikum van ailver-koper, geene verbinding dus. In 1874 heeft Roberts Austen!) bij een onderzoek naar de stollingskurven van zilver-koper-legeeringen (het eerste, maar ook niet zeer juiste, van dien aard) als zijne meening uitgesproken — evenwel niet afgeleid uit de gevonden stolkurven — dat er verband moest bestaan tusschen de liquatie dier legeeringen en hunne stollings- snelheid. Hij heeft getracht door eenige proefnemingen daarvan bevestiging te vinden, en goot daartoe zijn materiaal van verschil lend gehalte in een [ ] chamottevorm, geplaatst in een dikke zand- laag in een vuurvasten kroes; door mindere of meerdere verhitting van den kroes kon de vorm vóór het gieten vershillende tempera- turen aannemen; de warmteafgifte, en dus de stollingsduur, lieten zieh zoodoende wijzigen. De uitkomsten in vereenvoudigden vorm, waren de volgende (op elk der gietstukken werd een groot aantal proeven genomen): *) Journ. Chem. Soc. 27 197 (1874). Proc. Roy. Soc. 23 492 (1875). 10 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) | Gehalte der gestolde Zilvergehalte pe Bs egeering Wijze van der smelt Verschil ; MA ren af koeling i a a maximum | minimum 925.1 935.5 922.7 12.8 snel 924.9 925.7 928.9 ees) langzaam 900.4 899.6 898.3 1.3 5 Zake AD fie) 1.3 à 630.2 636.0 614.9 211 ¥ 333.4 342 .8 330.0 12.3 5 Het valt niet te ontkennen dat deze waarnemingen slechts op zeer beperkte wijze konden toelichten wat de bedoeling van den onderzoeker was; immers slechts bij één enkel gehalte (het eerste in de tabel) werd een vergelijking tusschen eene snellere en eene langzamere afkoeling gemaakt. Des te meer treft dit als men be- denkt, dat uit dit enkel stel waarnemingen de conclusie werd ge- trokken (zij was daarom niet onjuist) dat eene langzamere bekoeling dezer zilver-koperlegeeringen het verkrijgen van minder ongelijk- slachtig metaal in de hand werkte. Want het kon gezegd worden dat dit een zeer opmerkelijk feit zoude zijn, daar eene eenvoudige redeneering leert dat eene gesmolten en homogene legeering in on- eindig korten tijd stollende geheel homogeen zal moeten zijn, zoodat by afname van den stollingstijd slechts een toenemen der ongelijk- slachtigheid mogelijk is (vanaf het niet te verwezenlijken geval dat zij — 0 is). Daarmede was dan toch de medegedeelde gevolg- trekking in strijd. Terwijl ik beneden duidelijk zal maken hoe deze schijnbare tegenstrijdigheid hare gereede verklaring kan vinden, moge de praktische zijde van de door Roberts Austen gestelde vraag hier nog vermeld worden. Het was namelijk van zeer hoog gewicht de voorwaarden te kennen, waaronder een zoo gelijkslachtig mogelijke samenstelling der zilverlegeering van 925 duizendsten kon worden verkregen. De gehaltebepalingen van het Engelsche muntzilver moeten toch reeds sinds onheugelijke tijden betrokken worden op standaard-monsters van de aangegeven samenstelling „the old standard of England” in plaats van onmiddellijk op zuiver zilver. Met vol- VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN, 1] ledige zekerheid is het gestelde doel niet te bereiken; onderlinge gehalte-afwijkingen ook van het best geslaagde praeparaat zullen steeds blijven bestaan; de vraag doet zich steeds voor of deze groo- ter of kleiner dan de onvermijdelijke fout der gehaltebepaling zelve kunnen worden. Hoezeer gebrek bestond aan het juiste inzicht, zelfs nog in het verband tusschen de ongelijkslachtigheid en den duur der stolling, kan wel blijken uit de empirische proeven, die Matthey‘) aan dit voor den zilverhandel bij uitstek belangrijke onderwerp wijdde. Daaruit toch kwam men tot een tegengesteld resultaat. Matthey regelde de snelheid van stolling van zijne proeflegeering (wederom die van 925 duizendsten) door in ijzeren vormen platen daarvan te gieten, die steeds dunner werden gemaakt — en derhalve, ceteris paribus, telkens sneller konden stollen. Zoo vond hij dan bij het onderzoek van porties uit die platen, van zoodanige grootte als hij voor zijne gehaltebepalingen noodig had, dat het grootste verschil was bij platen van 6 mM. dik 0,7 duizendsten, maar LE] 22 22 4 22 22 Ovl 29 De snelst vastgeworden legeering gaf dus de grootste gelijkslach- tigheid. Later (Proc. Roy. Soc. 73 124, (1904) herhaalde hij nog dergelyke waarnemingen en vervaardigde dunne platen der zelfde legeering door gieten in vormen door ijswater gekoeld of van afwijkenden vorm, die een zeer plotseling bekoelen in de hand werkten. Daarbij was de liquatie praktisch — 0 geworden. Er is dus, zegt hij, tegenspraak met de bewering van R. Austen dat „molecular rearrangement is comparatively slight if the mass of metal is slowly and uniformly solidified.”” Maar het zal later blijken dat deze tegenspraak niet bestaat; beide opvattingen hebben recht van bestaan. Eigen onderzoekingen, Boven werd reeds de ervaring der techniek der zilver-koper- legeeringen medegedeeld, dat gietstukken van laag zilvergehalte in centrale deelen armer aan zilver zijn dan de peripherische en dat bij hoog zilvergehalte het omgekeerde verschijnsel optreedt. De over- gang tusschen beide groepen kan worden geacht te liggen bij het opmerkelijke gehalte van 720 duizendsten (Levol). Ik heb mij de vraag gesteld hoe deze ervaring te rijmen viel *) Proc. Roy. Soc. 55 265 (1894). 12 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) met de bekende stolfiguur van zilver-koper. De laatste bestaat uit twee krommen, afdalende van de smeltpunten van zilver en van koper, totdat zij elkaar bij eene temperatuur van 777° en bij eene samenstelling van 60 at. °/, dg en 40 at. °/, Cw — volgens Heycock en Neville ®) (zie fig. 1.) — in een eutektisch punt snijden. Als een stolling Stolfiguur van Zilver-Koper volgens Heycock & Neville Temperatuur. 100% Ag 90 80 70 60 50 40 30 20 10 100 % Cu (atomistische procenten). Fig. 1. plaats heeft op een punt van de linker kromme, dan zet zich zilver, op een punt der rechter kromme koper uit de smelt af, waarbij hier wordt afgezien van de nog te bestudeeren mogelijkheid dat in plaats van de zuivere metalen, mengkristallen tot op zekere hoogte, zich kunnen formeeren. De volgende beschouwingen worden slechts qualitatief aangedaan door eventueel later bewijs dat niet de zuivere metalen uit de smelten kristalliseren; vereenvoudiging der beschrij- ving moge het rechtvaardigen dat hier wordt aangenomen dat dit wel het geval is. Bene oppervlakkige beschouwing voert tot eene lijnrechte tegen- spraak tusschen de ervaring over de gehalte-ongelijkheid en de stollings-figuur. Immers, wanneer eene legeering met hoog zilver- gehalte (dus links van het eutektikum in fig. 1) stolt en zich dus zilver begint af te zetten, terwijl in normale gevallen de warmte- afgifte plaats heeft van binnen naar buiten, zoodat aan den omtrek 0 *) Phil. Trans. 189, 32, 1897. De samenstelling van het eutektikum zal misschien bij nader onderzoek nog een kleine wiziging kunnen ondergaan. > VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 13 van de stollende massa steeds de temperatuur, zij het ook uiterst weinig, lager is dan in de opvolgende lagen, dan zal men geneigd zijn te verwachten dat juist daardoor aan de buitenzijde van de vaste legeering eene betrekkelijke rijkdom aan zilver zal optreden en dientengevolge verlaging van het gehalte in de meer centrale deelen een gevolg moet zijn. Bij zilverarmere legeeringen kan men tot de omgekeerde gevolgtrekking komen. Beide uitkomsten zijn tegenovergesteld aan de werkelijkheid; zij berusten op eene valsche redeneering. Evenmin kan dienen de verklaring, die Behrens ') van het eigen- aardige verschijnsel trachtte te geven, waar hij meende, dat bij zilverrijkere legeeringen de eerst zich vormende zilverkristallieten van de wanden van den vorm af naar binnen toe aangroeiende, zich daarbij steeds meer en meer zouden vertakken en dientengevolge zilverarmere smelt gedwongen zou zijn zich naar de buitenzijde te verplaatsen. Terwijl het op geen enkelen grond berust waarom niet wordt aangenomen dat de vertakkingen evengoed aan de eerst ge- vormde kristalgroepen zich zouden ontwikkelen, zal ook door mi- kroskopische onderzoekingen worden duidelijk gemaakt, dat de door Behrens gegeven voorstelling niet juist is. Allereerst was noodig een zeer nauwkeurige en in details afda- lende bestudeering van de eigenaardige verdeeling van zilver en koper in legeeringen van hoog en laag gehalte. Reeds vroeger?) had ik nagegaan of deze zich op overeenkom- stige wijze voordeed bij den anderen vorm (dan zilverbaren) waarin de grootste hoeveelheid zilver-koper legeeringen gegoten wordt, nl. in dien van de zn. munttinnen ®). Deze geven een voorbeeld van tamelijk snelle stolling, een gevolg van hunne afmetingen en van de omstandigheid dat algemeen zeer zware ijzeren gietvormen wor- den gebezigd. Ik had onderzocht een munttin met een smelt- gehalte van + 945 duizendsten en eene van + 634 duizendsten. Afmetingen der eerste waren 400 & 60 12 mM., die der tweede 375 X 44 X 8 mM. By beide werden op regelmatige afstanden over het midden der lange zijde gaten met een vlakke boor van 22 mM. diameter geboord zoodanig, dat afzonderlijk werd verza- meld het boorsel verkregen nadat telkens !/, deel van de dikte der tin was ingeboord. Het was toen slechts om een grove vergelijking *) Das mikrosk. Gefüge der Metalle und Legierungen. pag. 44. *) Verslag van het Muntcollege over 1899. Bijlage pag. 37. *) Munttinnen zijn platte langwerpige staven, de vorm waarin alle muntmateriaal wordt gegoten en die geplet worden tot de dikte van muntplaten, welke uit de ver- kregen repen worden uitgeponst. 14 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) tusschen het centrale deel en de buitenzijden te doen. Gevonden werd het volgende: Tin van + 0.945 Tin van + 0.634 a eel Midden. |?° aN pee le Ee Midden |?° brie ae a b Cc a b c 0.9456 | 0.9466 | 0.9457 | 0.0009° 0.6380 | 0.6240 | 0.6282 |-0.0091 bd 69 61 Wil 86 302 554 18 69 81 76 8° 82 321° 55 47 58 70 65 8° 78 265 60 101° 73 290 59 76 96° 333 72 Di 404 114 70 60 390 24 24 34 88 40 59 33° De verschillen hadden bij de beide tinnen (één van hoog”, een van „laag” gehalte), verschillend teeken. Maar bij elke tin afzon- derlijk was over de geheele lengte de buitenlaag in eenzelfde rich- ting afwijkend van gehalte vergeleken met de centrale deelen der legeering die op overeenkomstige hoogte zich bevonden. De oude waarnemingen aan zilver-koper in baarvorm werden ook hier beves- tigd gevonden. Hierop is nu een zeer zorgvuldig onderzoek gevolgd van de wijze waarop het gehalte van materiaal gelijk aan het zoo juist genoemde zich in dunne lagen, ongeveer loodrecht genomen op de richting waarin de afkoeling en dus de stolling heeft plaats gehad, wijzigt. Wederom zijn gebezigd gedeelten van tinnen, dienende voor de ver- vaardiging van Nederlandsche muntspeciën, eene voor grove zilveren munt, de andere voor zilveren pasmunt. Van de eerste, waarvan het gemiddeld zilvergehalte bleek te zijn 0.9447 gegoten in een gietblok van de afmetingen 400 X 60 X 12 mM. werd ongeveer uit het midden (lengterichting) der tin een stuk genomen van 8 X 6 X 12 cM., hetwelk machinaal rondom in lagen van + 1mM. dik (snede in de lengterichting der tin) werd afgeschaafd, zoodanig dat van elk breedtevlak telkens 3 porties (elk ongeveer 1/, der breedte beslaande) en van de dikte eene enkele portie werd weggenomen. Fig. 2 laat een doorsnede zien door het onderzochte stuk der tin genomen loodrecht op haar lengterichting en op die van de schaafstreek; de afscheidende lijnen maken zicht- VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 19 baar op welke wijze de verschillende monsters zijn genomen. De gehaltebepalingen werden met zeer groote nauwgezetheid verricht; de uitkomsten zijn ter vereenvoudiging in de laatstbedoelde figuur zelve ingevoegd. EE MOUS OU St RE Ne ES, EJ Ae ee SST LU | Fig. 2. De regelmatigheid der gehalte-verandering is stellig verrassend; over de geheele buitenste laag (1 mM. dik) is het gehalte lager dan in de daaropvolgende; tot aan het midden plant zich de ver- hooging voort. Zij is in hoofdzaak eene geleidelijke; alleen meer nabij de buitenwanden wordt zij sterker veranderlijk. Aan de smalle zijden is de wijziging eenigszins anders dan aan de lange zijden; hier is de stijging in de tweede laag bv. merkbaar grooter dan ginds. Dan is bi de naar buiten gelegen gedeelten aan de lange zijden de middenportie steeds van eenigszins hooger gehalte dan de beide die aan weerszijden daarvan lagen. Dergelijke goed vergelijkbare resultaten gaf een even uitvoerig onderzoek naar de liquatie in de richting der stolling van een stuk gesneden uit een tin van veel lager gehalte, blijkens de totaal- analyse 0.6367, gegoten in een gietblok met de afmetingen 375 X 44 XX 8 mM. Van dit metaalstuk groot 8 X 44 X 0.84 cM. werden op de zooeven beschreven wijze weder dunne lagen afge- schaafd, op welk materiaal de gehalteproeven verricht zijn, die de uitkomsten gaven, vermeld in fig. 3. Deze figuur stelt weder een doorsnede loodrecht op de lengterichting der tin voor, met aan- 630,9 (aE NE eene ol i Fig. 3. duiding der grenzen tusschen de afzonderlijk onderzochte porties. Aan de buitenzijde de hoogste gehalten; steeds afdaling in de meer naar binnen gelegen lagen. Zeer laag in ’t centrum. Weinig verschil aan de lange buitenzijde. 16 LIQUATIE (ONG ELUKSLACHTIGH EID) Wanneer ook deze resultaten!), evenals bij de vorige tin van hoog zilvergehalte, verrassend van regelmatigheid worden genoemd, dan slaat dit vooral op de omstandigheid dat dit geheele kristalli- satieproces in een willekeurig stuk eener tin afloopt in een tijd die stellig dikwijls niet meer dan een enkele sekonde duurt, en dat deze geleidelijke gehaltewijzigingen op zulke geringe afstanden (die van de buitenzijde tot aan het midden, over de kortste afmeting genomen, bedragen toch slechts 6.0 resp. 3.6 mM.) zoo duidelijk sprekend zijn gebleken. Dit geheele gebrek aan wisselvalligheid is voldoende aanwijzing dat enkel uit het feit dat op elk deel van het gietstuk snelle warmteafgifte plaats heeft naar de dichtst daarbij gelegen ijzermassa’s van den gietvorm zonder verdere complicaties op aannemelijke wijze moet zijn te verklaren, hoe het verloop van de vastwording zal zijn waarbij deze liquatieverschijnselen optre- den, wanneer men slechts de opvolgende fasen van het stollings- proces kent. Dit zal ik in de volgende beschouwingen trachten te doen. Als voorbeeld kies ik een middenstuk van een tin (als boven) *) Een verificatie op groote schaal van de betrouwbaarheid der waarden, welke ge- vonden werden voor de liquatie in de verschillende gedeelten der beide soorten zilverlegeering, die in ’s Rijks Munt worden verwerkt gaven de volgende fabricage- proeven : a. Wanneer tinnen van het gehalte van + 0.945 worden verwerkt op muntplaten voor halve guldens dan worden na walsing de verkregen metaalreepen in de lengte gesneden in 3 even breede reepen waaruit de platen worden geponst. De doorboorde overblijvende reepen, het ,schroot”, zal niet gelijk van samenstelling zijn met de platen en evenmin zal het gehalte van het schroot der beide buitenste reepen gelijk zijn aan dat der mid- denreep. Dit volgt reeds uit Fig. 2. Met behulp der bekende afmetingen van de munt- platen en de breedte der schrootreepen is uit dezelfde figuur te berekenen hoe groot (bij een gegeven gemiddeld gehalte) het gehalte van platen en dat van ,middenschroot” en »buitenschroot”’ zal zijn. In het gegeven geval zal het gehalte van het voorlaatste worden 0.945**, dat van het laatste 0.944**: verschil 1.2 duizendsten. Bij een proef in het groot werd daarop gevonden, dat bij een zeker gehalte der smelten waaruit de tinnen waren gegoten (2400 KG.), het daarvan verkregen „buitenschroot”, omstreeks 700 KG. een gehalte had van 0.944°", terwijl het „middenschroot”, omstreeks 370 KG. na omsmelting werd bevonden op 0.946°°. Het verschil 1.*7 duizendsten is opvallend gelijk aan de berekende waarde. b. Voor de andere legeering, die der Nederlandsche zilveren pasmunt, werd uit Fig. 3 afgeleid, dat wanneer, zooals bij de 25 centstukken het geval is, twee reepen worden gesneden uit de lengte van elke gewalste tin het verschil tusschen het gemiddeld gehalte der tin en het daaruit verkregen schroot zal bedragen 0.5 duizendsten (het eerste is het hoogst). Een opzettelijk onderzoek in ’t groot gaf bij tinnen vervaardigd van twee smelten à 100 KG. met een gemiddeld gehalte van 0.6367° een hoeveelheid schroot van + 70 KG. hetwelk bij samensmelten een gehalte aanwees van 0.636* dus 0.5° duizendste lager. Een herhaling gaf bij overeenkomstige hoeveelheden: speciesmelten, gehalte 0,636*° en voor het afkomende schroot 0.6357° dus 0.4 duiz. lager. Deze beide verschillen wijken dus slechts weinig af van het uit de uitvoerige gehalte-analyse der tin berekende verschil. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 17 van een gehalte + 0,945. Uit de reeds medegedeelde stollings- figuur valt af te leiden dat bij temperatuursdaling van een smelt yan dat gehalte tweemaal een plotselinge onderbreking van gelei- delijke toestandsverandering optreedt. Bij + 940° begint nl. vor- ming van zilverkristallen; op elke plaats waar dit geschiedt wordt voortdurend de vloeistof rondom een aangroeiend kristal zilverarmer, totdat op die plaats de smelt gedaald is tot een gehalte van + 0.718 en de temperatuur tot 777°. Dan is 80 °/ der legeering als zilver- kristallen afgescheiden, en 20 °/, is nog vloeibaar. Onder tijdelijken temperatuursstilstand en bij hoeveelheden per tijdseenheid, die even- redig zijn aan de warmteafgifte, wordt nu zonder verandering van samenstelling, alles wat nog vloeibaar was, vast. Wat in de vaste massa nog veranderen kan, blijft hier buiten beschouwing, als zijnde bij relatief snelle bekoeling, gelijk steeds in de prak- tijk, voor ons onderwerp zonder veel belang. Verder wordt ook nu geen acht geslagen op de mogelijkheid van onderkoeling, die alsdan kleine variaties aanbrengen kan, maar de hoofdzaken on- aangetast laat. Een tin als bovenbedoeld wordt zoodanig gegoten dat hare lengterichting den vertikalen stand heeft; in dezelfde richting zullen dus opeenvolgende gedeelten van beneden naar boven achtereen- volgens onder gelijke omstandigheden verkeeren. Een belangrijke rol spelen nu bij die stollmgen de volume-veranderingen, welke uit tweeërlei oorzaken optreden; er kristalliseert zilver uit eene gemengde smelt, welke laatste eerst 5.5°/, koper en ten slotte 28°/ koper bevat, en verder wordt het eutektikum vast. Ik laat daarom eerst een opgave der dichtheidsveranderingen volgen, die bij zilver-koper legeeringen in het spel zijn en waarover gelukkig reeds voldoende waarnemingen bestaan. Door Roberts Austen !) zijn op bijzondere pyknometrische wijze de dichtheden bepaald van gesmolten zilver, koper en van hun eutektikum; uit de bekende dichtheidswaarden dierzelfde stoffen bij gewone temperatuur laten zich die, welke gelden voor hoogere temperaturen, afleiden met behulp van de uitzettingscoefficienten volgens le Chatelier ?). Men verkrijgt dan voor de dichtheden bij gelijke temperaturen (bij over- gang vast-vloeibaar ongeveer): *) Proc. Roy. Soc. 28, 495, (1875). *) Contributions à l'étude des alliages. Pag. 396. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie). Dl. IX. B 2 18 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) Dichtheid. Soort. volumina. Vast Vloeibaar Vast Vloeibaar PANTON 0 02508 ET de 10.2 . 0 0.098 0.105 Eutektikum......... 9.6 9.05 | 0.104 0.110 (Zilver-koper) Koper. AR se ee eee 8.5 bre 0.118 0.122 In elk der drie gevallen is er contractie bij het vastworden. Met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid is nu ook nog te betoogen, dat wanneer zilver of koper zelf uit gemengde smelten zich uitscheidt, daarbij volume-vermindering optreedt. Immers van een legeering als het eutektikum is het waar dat de vorming der smelt wit de beide gesmolten komponenten zonder belangrijke volume- wijziging plaats heeft, daar toch het soort. volumen van gesmolten eutektikum berekend uit de cijfers der komponenten tot een waarde van 0.110 voert, overeenkomende met het gemeten cijfer. Bij andere verhoudingen van zilver en koper bestaat nergens aanleiding om aan plotselinge afwijkingen in de volume-verhouding der vaste of vloeibare phasen te denken. Daarom zal de verandering van volume bij het stollen van elk der beide metalen, ten minste wat haar teeken betreft ook blijven bestaan, al heeft de kristallisatie plaats wit een gemengde smelt. Beschouwen wij thans practisch het kristallisatie-proces van een munttin van 0.945, wier smelt in den van boven open ijzeren giet- vorm wordt gegoten en kiezen wij daartoe een gedeelte op wille- keurige hoogte, mits niet van het beneden- of boveneinde. Afgifte van warmte heeft zeer snel plaats aan het gedeelte van den dikken ijzeren gietvorm waarmede het beschouwde deel van de smelt in aanraking is. Er moet dientengevolge een temperatuurval zijn, in een horizontaal vlak van het midden der smelt naar den wand. Bovendien moet de temperatuur van iedere fractie der smelt toe- nemen als men overgaat naar een onmiddellijk daarboven gelegen deeltje. Uit de beschouwde horizontale laag begint op een gegeven oogenblik het eerst zilver uit te kristalliseeren onmiddelijk aan den wand, onder voortzetting zoowel naar binnen toe als naar boven, naarmate de warmteafgifte voortgaat. Er wordt geen kristalfragment gevormd of op hetzelfde oogenblik heeft de overal aanwezige smelt, die onder den druk van de hoogere lagen staat de samentrekking VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 19 op die plaats gevolgd. Dit proces gaat op elke plek door totdat daar 80 °/, der smelt als zilverkristallen is afgescheiden op het oogen- blik dat de temperatuur ter plaatse tot 777° is gedaald en de om- spoelende smelt daar de eutektische samenstelling heeft verkregen. Dat oogenblik wordt achtereenvolgens bereikt in de verschillende gedeelten der massa, in de richting van buiten naar binnen en tevens, maar met geringere tijdsverschillen, van beneden naar boven. Het eerste steeds aan den wand. Maar nu gebeurt er iets anders. Wanneer in een stuk van de buitenste laag, de daar aanwezige zilverkristallen beginnen samengekit te worden door het daartusschen zich bevindende eutektikum dan moet door de wolumevermindering van het stollende eutektikum in elk vertikaal laagje een onmiddellijke aanvulling door het nog vloeibare deel van het daarnaast gelegen laagje geschieden, hetwelk bestaat uit smelt, ook reeds van de eutek- tische samenstelling of misschien nog zilverrijker. In ieder geval ontvangt elk stollend vertikaal laagje niet ver van den buitenwand daardoor een, zij het kleine, toevoer van vloeistof komende van de aangrenzende laag waar de temperatuur nog iets hooger is. Wat toegevoerd wordt in een bepaald volumedeeltje is daarbij steeds van lager gehalte dan de gemiddelde samenstelling van dat deeltje; het zal wel niet ver van de waarheid afwijken als wij zeggen dat het ongeveer de samenstelling van het eutektikum heeft. De buiten- lagen ondervinden dus een invloed, die plaatselijk het gehalte ver- laagt (steeds in het geval eener smelt van „hoog” zilvergehalte.) In maxima zou deze verlaging zooveel kun- ee voeg nen bedragen als veroorzaakt wordt door door een kristalliseerende tin. eene toestrooming van zooveel eutektikum op een bepaald gedeelte als noodig is om de inkrimping van het op die plaats zelve vastgeworden eutektikum weder aan te vul- len. Daarover nog beneden. In Fig. 4, eene schematische voorstel- ling van den toestand op het oogenblik gedurende de stolling, waarop de buiten- ste laag geheel vast geworden is, stellen : alien. de horizontale pijltjes de verschuivings- Fig. 4. richting van het eutektikum voor. In de centrale gedeelten van de smelt moet noodzakelijkerwijze het complement van de veranderingen (in ge- halte) aan de buitenzijde optreden. Dat laat zich cok niet moeielijk beredeneeren. De totale opschuiving van eutektikum in de richting der horizontale pijltjes gaat gepaard met gelijktijdige vloeistofverplaat- B 2* CENTRUM 20 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIG HEID) sing van boven naar beneden in de in het midden gelegen gedeelten, en in min of meer schuine richting in daartusschen gelegen lagen. Die richtingen zullen moeten samenhangen met de viscositeit der nog niet gestolde massa’s, die geleidelijk verandert naar het midden toe en tevens naar boven, waar de temperatuur voortdurend iets hooger blijft. Hoe de stand der kristallisatie in het midden is, wanneer de buitenkorst begint in haar geheel vast te worden, laat zich niet zeggen, maar wel moet het voorkomen dat er vloeistofverschuivingen (van boven naar beneden met kleinere of grootere afwijkingen) daar ter plaatse geschieden zoolang er stollingen van eutektikum elders plaats hebben, dus tot aan het laatst der stolling. Dan echter heeft ook in het middelste gedeelte reeds zilverkristallisatie plaats gehad; de daarbijbehoorende vloeistof echter wordt gedwongen te verschui- ven naar beneden!) of naar ter zijde. Daarbij wordt zij vervangen door vloeistof die minder zilver heeft afgescheiden en het einde kan niet anders zijn dan dat hier bij het eindpunt der stolling zilver- kristallisatie optreedt (natuurlijk weder te midden van eutektikum) met relatief meer zilver in haar geheel genomen dan overeenstemt met de samenstelling der oorspronkelijke smelt. Tusschen buitenlaag met verlaagd, en middenlagen met verhoogd gemiddeld zilvergehalte liggen de gedeelten die daartusschen den overgang vormen. De hier gevolgde redeneeringen, die van toepassing waren op zilver-koperlegeeringen met zilvergehalte hooger dan die van het eutektikum, + 0,720, blijven geheel van kracht voor het geval van dergelijke legeeringen met lager zilvergehalte dan 0,720, mits in plaats van een aanvankelijk uitkristalliseeren van zilver, gesproken worde van een vastwording van koperkristallen, geheel in overeen- stemming met hetgeen de stolfiguur (Fig. 1) omtrent de stolling van dergelijke legeeringen toelaat te besluiten. Hen analoge betoog- trant leidt dan tot de slotsom dat bij de laatst bedoelde legeerin- gen het zilvergehalte der buitenlagen /ooger, dat der centrale lagen lager dan dat der smelt moet zijn, geheel in overeenstemming met de steeds, ook weder bij dit onderzoek, verkregen ervaringen (zie boven, Fig. 3.) De hierboven gegeven schets van het verloop der snelle stolling van zilver-koperlegeeringen, tracht voor de eerste maal een inzicht te geven in de oorzaken der daarbij optredende en zoo opmerkelijke *) Deze verschuiving van gedeeltelijk gesmolten massa in het midden van boven naar beneden geeft het aanzijn aan de zoo veelvuldig in gietstukken voorkomende ,,zuiggaten”, (Lunker) die dikwijls het bovengedeelte van gietsel moeten doen verwerpen. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 21 liquatieverschijnselen; zij zal onmiddellijk van toepassing moeten zijn op elke andere binaire legeering met overeenkomstige stolfiguur (gelijk beneden uitvoerig zal worden aangetoond). Aan haar zal des te meer gewicht kunnen worden toegekend indien het blijkt dat nieuwe deducties daaruit, getoetst aan waarnemingen, blijken in overeenstemming te zijn met de laatste. Wanneer ik er toe overga daarvoor bewijzen aan te voeren, mogen een drietal punten vooropgezet worden, die alvast met de gegeven wijze van voorstelling niet in strijd zijn: 1°. Ik deelde boven de uitvoerige analytische onderzoekingen van 1 mM. dikke lagen van gedeelten van munttinnen van tweeërlei gehalte mede. Elke laag had (zie fig. 2 en 3) nog een behoorlijke breedte en men zou kunnen wenschen dat nog verder gegaan was en bijv. van elke laag nog gedeelten van 1 mM. breedte afge- scheiden en daarop afzonderlijke gehaltebepalingen waren gedaan. Ik achtte echter de verkregen resultaten voor het begrip der liquatie in deze gevallen voldoende; zij zijn toch reeds in staat om het verband zichtbaar te maken tusschen de wijze van afkoeling, zooals die uit de afmetingen der gietvorm volgt, en de liquatie, welke de gevonden gehaltecijfers aangeven. Uit den langgerekten vorm der horizontale doorsnede eener tin volgt onmiddellijk dat opper- vlakken van gelijke temperatuur tijdens de afkoeling op doorsnede zich ongeveer zullen vertoonen als in Fig. 5. C2? Fig. 5. Warmteafvoer heeft aan de smalle zijden sneller plaats dan aan de lange zijden; een isothermisch oppervlak nadert de laatste der- halve meer dan de eerste. Bij de gehaltebepalingen aan het zilver van 0.945 vonden wij in overeenstemming hiermede, dat de gehalte- veranderingen in de buitenlagen aan de lange zijvlakken sterker dan aan de smalle voortschrijden. Dat verder van de drie deelen waarin telkens een laag langs de lange zijvlakken verdeeld werd, het mid- delste steeds een iets geringere gehalteverlaging vertoont dan de beide buren, behoeft niet te verwonderen, aangezien de laatste, in de nabijheid der hoekpunten, iets vlugger in temperatuur zullen dalen. 2°. Wanneer de stolling op de aangegeven wijze plaats heeft, zoodat zij het eerst aangrijpt op de plaatsen in aanraking met de wanden maar het sterkst bij de hoekpunten, dan komt er een 22 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGH EID) oogenblik dat aan de lange zijkanten, bij de stolling van het eerste eutektikum een dun massief laagje is ontstaan, terwijl aan de korte zijkanten dit reeds zwaarder is. Vanaf dat oogenblik komt de inkrimping van dit geheel vastgeworden metaal in aanmerking, waarbij het dan zeer goed begrijpelijk is (omdat de smalle zijkanten steviger zijn dan de lange) dat een flauwe naarbinnen-buiging van de beide zijvlakken vooral in ’t midden zal optreden. Dit verschijn- sel vindt nu vrij regelmatig bij de tinnen plaats, bij de pasmunt- tinnen (die het dunst zijn) zeer zwak, iets sterker bij die van een gehalte 0.945. Zoo gaven diktemetingen aan een tin der laatste soort, genomen op afstanden van telkens 5 mM., van ééne zijde tot de andere, de waarden: 12.21, 127 12e 3,12 Ter Ae OF ad Boe IS Or SDN 12,01 5.12.06, 902.05; 12, LOST, aM Dus een duidelijke inzinking van 0.4 mM. in ’t midden. Deze bewerkt eene geringe vermindering van de vloeistofbeweging in het centrale gedeelte van boven naar beneden. 3°. In gegoten legeeringen, zooals de hier besprokene, gelijk trouwens veel algemeener, komen in mindere of meerdere mate poriën voor, van mikroskopische afmetingen tot dezulke die met het bloote oog duidelijk zichtbaar zijn. In vergelijkbare gietstuk- ken blijkt de talrykheid van dit optreden (ook de grootte der poriën) afhankelijk te zijn van een aantal omstandigheden, als snelheid van afkoeling, samenstelling der legeering e. a. zonder dat het nog voldoende zeker bekend is, hoe de juiste vorm dezer afhan- kelijkheid is. Bij het hier onderzochte materiaal was opvallend de afwezigheid van poriën in de buitenste lagen, terwijl zij dikwijls in de meer naar het midden gelegen gedeelten veel voorkwamen. Ook was hun optreden talrijker bij de legeering met het gehalte 0.636 dan by dat van 0.945. Maar hoe het zij, bevreemdend is dit voorkomen geenszins waar het geheele stolproces, vanaf het oogenblik dat een vaste buitenlaag is geformeerd, begeleid wordt door samentrekking van het daarbinnen liggende materiaal, die vol- ledig en snel slechts wordt geneutraliseerd door toevoer van hoogere lagen zoolang de dunvloeibaarheid van de toestroomende legeering dat mogelijk maakt. Gebeurt dit onvolkomen dan moeten er lucht- ledige kleinere of grootere holten het gevolg daarvan zijn. Als voorbeeld moge Fig. 6 dienen, een photo van een vertikale doorsnede over het midden van een deel van een munttin (gehalte 0.636), welk vlak eenigszins gepolijst en met fijne houtskool ingewreven werd. Overgaande tot de meer directe gevolgtrekkingen uit de boven gegeven voorstelling van het mechanisme der stolling als oorzaak C. Horrsema. Liquatie van binaire metaallegeeringen. biz Jos Fig. 9. Fig. 10. Verhand. Kon. Akad. v. Wetenschappen (1° Sectie). Dl. IX. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. Ze ww van de liquatieverschijnselen bij zilver-koperlegeeringen, zijn het wederom drie punten die vooral de aandacht trekken. Dit zijn 4 het mikroskopisch onderzoek; B de samenhang tusschen liquatie en snelheid van stolling; C een schematische berekening der maximale liquatie. g; Zij worden achtereenvolgens besproken. A. Mikroskopisch onderzoek van slijpvlakken der bestudeerde legeeringen, genomen loodrecht op de lengterichting der munttinnen heeft bij veelvuldige herhaling en verwisseling van materiaal nim- mer eenige bevestiging gegeven van de meening door Behrens uit- gesproken over den bijzonderen aard der kristallisatie die de liquatie- verschijnselen tengevolge zoude hebben (waarover reeds boven werd gehandeld). Er is noch bij de zilver- noch bij de koperrijkere legee- ring sprake van een overheerschende richting van mikroskopische kristalgroepeeringen loodrecht op de wandrichting met een toene- mende vertakking naar het midden. Ik voeg ter verduidelijking eenige mikrophotografiën bij van slijpvlakken, gelegen zooals zoo just werd aangegeven. De vlakken werden gepolijst D), door aan- loopen geëtst en daarna gephotografeerd. De pijl bij de repro- ductie geeft de richting aan loodrecht op de meest nabijgelegen zijkant van het onderzochte monster. 1. Randgedeelte van een slijpvlak. Gehalte legeering 0.945. Witte zilverkristallieten, waartusschen onregelmatige afscheidingen, uit eutektikum bestaande (Fig. 7). 2. Zelfde slypvlak als 1, maar een gedeelte verder van den rand gelegen (de streping is evenals in Fig. 7 een gevolg van on- volledige polijsting. (Fig. 8.) 3. Gehalte der legeering 0.636. Slijpvlak onmiddelijk naast de zijkant genomen. Koperkristallen + eutektikum. (Fig. 9.) 4. Slijpvlak als 3; gedeelte meer uit het midden van de doorsnede genomen. (Fig. 10.) Alle vergrootingen zijn 240 >< lineair. B. Aansluitende aan de gegeven voorstelling van het oorzakelijk verband tusschen liquatie en het stollingsproces zooals dit uit de bekende stolfiguur moet worden afgeleid, kan men, verder gaande, een eenigszins quantitatieve betrekking tusschen den omvang der liquatie en de snelheid waarmede stolling in vergelijkbaar materiaal plaats heeft, vaststellen. Daaraan moet de opmerking voorafgaan dat de eigenlijke liquatie (voorloopig steeds van zilver-koperlegeeringen sprekende) zooals men die begrijpt als het gehalteverschil tusschen de gedeelten met de meest uiteenloopende gehalten, i. c. het midden *) Het polijsten der zilverrijkere legeeringen is door de zachtheid van dit materiaal nogal bezwaarlijk. 24 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) en de buitenzijde van de gietstukken, dient te worden gesplitst in twee gedeelten en wel het gehalteverschil 1°. tusschen buitenzijden en het totale gemiddeld (smelt-)gehalte en 2°. tusschen het laatste en het gehalte van de centrale deelen. Beide zullen den invloed der stollingssnelheid ondervinden. Bi oneindig snelle vastwording van eene homogene binaire smelt zou de gestolde legeering volkomen gelijkslachtig moeten zijn. Te verwezenlijken is dit natuurlijk niet 1); steeds is, zij het een uiterst gering, tijdsverloop noodig om de kristalvorming, gepaard met warmteafgifte aan de omgeving, te bewerkstelligen. Eene liquatie- graad — 0 is dus een grensgeval. Hoe gering ook, een zekere waarde moet zij hebben, en dit geldt voor elk der beide helften waarin wij de liquatie zooeven splitsten. De liquatie in de buiten- lagen, veroorzaakt door een naar buiten gerichte verschuiving van eutektikum, zooals wij die boven beschreven, stelt voorop dat, hoe snel de stolling ook moge geschieden, er nog voldoende tijd is, dat in een horizontale laag van het gietstuk de verschillende stadia der kristallisatie elkaar op zoo’n wijze opvolgen dat de be- doelde stofverschuiving ongeveer horizontaal gericht kan plaats vinden. Hoe sneller nu de stolling in zoo’n laag hoe geringer de temperatuur- verschillen (en die der kristallisatie dus) daarin tusschen peripheri- sche en centrale gedeelten. Maar dan tevens des te grooter het verschil op elk punt eener horizontale laag met elk deeltje daar- boven dat later in den gietvorm is gegoten. Bij zeer sterke toe- neming der stollingssnelheid zal de ,,aanvullende”’ stroom van vloei- bare legeering van andere samenstelling steeds minder horizontaal, maar steeds meer van boven naar beneden gericht zijn, zoowel aan den omtrek als in het midden. Maar ook des te minder reden voor verschil tusschen de buitenste lagen en de daaropvolgende. Dergelijke redeneering is ook toe te passen op het optreden van de liquatie in de middelste lagen (vergeleken met de smelt). Terwijl nu bij verminderde stolsnelheid de omstandigheden zich kunnen voordoen dat zoo goed mogelijk het vroeger beschreven geval (waarvan Fig. 4 een schematisch beeld trachtte te geven) wordt verwezenlijkt, zal bij verdere voortzetting in dezelfde richting, dus bij toenemenden duur van het proces, ten slotte weer een over- eenkomstige toestand als bij zeer plotseling vastworden in het leven worden geroepen. Men denke zich slechts zeer dicht bij het grens- geval (waartoe men zoo ver als de experimenteerkunst gedoogt zal kunnen naderen) waarbij dus de stolling bij uitstek langzaam plaats *) Noodzakelijk zou zijn stolling zonder warmte-effect tot één amorphe of kristallijne vaste fase, VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 20 heeft. Dan is in elke horizontale laag de kristallisatie-toestand op het. oogenblik zoo goed als dezelfde; terzelfdertijd wordt dus de eutektische temperatuur bereikt en, daar toch steeds tengevolge van de wijze van gieten iedere hoogere laag iets ten achteren is bij een lagere, wordt samenkrimping door het stollen van eutektikum op elk plekje gevolgd door aanvulling van een gelijksamengestelde smelt er boven gelegen. Er is dus ook dax nauwelijks reden voor ongelijkheid van gehalte tusschen centrum en peripherie. In Fig. 11 mogen «, 6 en ce een schematisch beeld geven van de toestroo- mingen van smelt tengevolge van stolling in een horizontale laag. a stelt daarbij dan een Ô Cc uiterst snelle, zoo goed als momentane stolling voor, ¢ een uiterst lang- zame en 6 een tusschen- geval. a@ en ¢ stemmen overeen; 4 verbeeldt een ideaal geval van zuiver horizontale en vertikale verplaatsingen. Tusschen «a en 4 evenals tusschen 4 en ¢ zijn dan weer over- gangstoestanden, die ook waarden geven voor de liquatie (zoowel de peripherische als de centrale) welke theo- retisch = 0 is by a en ¢ en maximaal bij 4. M. a. w: wil dit zeggen dat elk der beide onderdeelen der c liquatie bij afnemende snelheid der vastwor- CG 5 ding van een gietsel, Tijdsduur der stolling (toenemend — ). a . . Fig. 12. ceteris paribus, in om- vang stijgt om over een maximum gaande later weer te dalen. Fig. 12 stelt dit in beeld voor; de eindtoestanden (liquatie — 0) zijn natuurlijk nooit geheel te bereiken. Tot bevestiging van de hoofdzaak van het voorafgaande, een stijgende en later weder dalende liquatie bij toenemenden duur der stolling, al het overige gelijk gebleven, worden de volgende proef- Waarde der liquatie. © nemingen vermeld: Wij hebben materiaal vervaardigd, weder in den vorm van munt- 26 . LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) tinnen, zoowel van de legeermg met een gehalte van + 0.945 als dat van + 0.636, maar zoodanig dat met zekerheid de volgorde bekend was van den tijd waarin de stolling van telkens 4 soorten overigens gelijk materiaal, had plaats gevonden. Die volgorde toch was af te leiden wit de omstandigheden van het gieten. Bij de eerste reeks proeven was het gemiddeld gehalte van het materiaal 944.74 duizendsten, bij de tweede reeks 635.6 duizendste. In elke reeks 4 variaties: I. Gegoten in een kouden ijzeren gietvorm. Van de verkregen tin werd het onderste gedeelte genomen dat wel zoo snel gestold is als praktisch uitvoerbaar is. II. Van dezelfde tin als sub I werd materiaal genomen ongeveer ter halver hoogte van de tin; de stolling kan niet dezelfde snel- heid gehad hebben. III. In denzelfden gietvorm werd gegoten nadat deze eenigszins was voorgewarmd. Er werd weder een deel der legeering genomen ter halver hoogte van de tin. Stollingsduur noodzakelijk lager dan sub 11. IV. Hen tin van dezelfde afmetingen, gegoten niet in ijzeren vorm, maar in zand. Nog langzamer bekoeling. De gietvorm was bij de 1° en bij de 2° serie dezelfde. Bij elke proef werd nu bepaald het gehalte van proefmetaal, 1° genomen uit het midden van het voorhanden stuk der tin; 2° ge- nomen in een laag van 1 mM. dik, rondom van hetzelfde stuk. Het laatste gehalte noem ik a, het eerste c. De bovengenoemde gehalten der smelt s. Dan geeft de volgende tabel van beide seriën en elk der 4 proe- ven de waarden a, c, de onderlinge gehalteverschillen en die met s. Gemiddeld gehalte | Gehalte Proef (der buiten-| in het s—a es oen zijde centrum 1° Serie I [9439 /945.0 | 084,03 [om Gehalte der Sake 11 | 942.56) 947.5 2.2 2.8 5.0 pou | ML 942.04 0479 |Z SES ee Xie ; IV !)| 944.97) 946.0 | —0.2 rs 1.0 SRE I | 635.53] 635.0 | 0.05] —0.6| —0.55 2° Serie. : ; Gehalte der smelt: II | 636.18) 634.9 | —0.6 | — 0.7 | SiS es 0.6358 "| TIT | 638.6 | 623.8 | 3.0 =IT:8 T4 CHE 3 TV’ 637202 63 EL SAR *) Nog op een ander geval van nog veel langzamer stollen van deze smelt dan bij IV kom ik nader terug. Niet hier omdat door geheel andere omstandigheden der proef de vergelijking onjuist zou zijn. Daarbij komt intusschen een nog veel geringere liquatie voor. ad: Lens VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 21 Ik acht deze uitkomsten bij uitstek gunstig wegens hunne vol- ledige regelmatigheid. In elk der 2 seriën opklimmende van proef | tot IV, dus tevens in duur van den stollingstijd, gaat de totale liquatie (c—a), zijnde het verschil van centrum en buitenlaag, zoo- wel als elk harer componenten, dat zijn de gehalteverschillen aan buitenzijde of in het centrum met het oorspronkelijk gehalte, eerst geregeld en zonder eenige uitzondering toenemen en later weer afne- men. Ook zijn weder de teekens dier verschillen bij het hooge zilver- gehalte en bij het lage tegengesteld. En omdat de proefnemingen vergelijkbaar zijn zoude men het haast wagen uit deze cijfers nog de conclusie te trekken dat de maximale liquatie in de 1° serie merkbaar kleiner zal zijn dan in de tweede, hetwelk niets bevreem- dends heeft, zooals nog zal blijken. Deze eigenaardige betrekking, nu wel vastgesteld tusschen liquatie en stollingsduur, zoodanig dat de eerste een maximumwaarde moet hebben, leidde onmiddelijk tot een, naar mijne meening, interessant resultaat. Zij geeft toch direct de verklaring voor het opmerkelijke feit, boven vermeld, dat Roberts Austen een sterk verminderde liquatie had gevonden bij zilver-koper met sterk verlengde stollings- duur, hetgeen met de meer primitieve opvattingen omtrent het stollingsproces evenzeer in strijd was als met de later door Matthey gevonden resultaten. De oplossing is nu zeer eenvoudig; beide onderzoekers hebben juist geëxperimenteerd; alleen Roberts Austen heeft liquaties gemeten welke lagen, in Fig. 12 rechts van het maximum, zooals bijv. 4 en c, terwijl Matthey met veel grooter snelheid van stolling experimenteerende, een liquatie als bijv. van het punt a Æxks van het maximum heeft bepaald. Op gevaar af van te vergaande gevolgtrekkingen af te leiden uit de verkregen resultaten waag ik het voor de overigens alleen qua- litatief besprokene liquatie een numerieke betrekking af te leiden die haar verbinden moet (bij de zilver-koperlegeeringen en analoga) met de variaties in zilvergehalte der legeeringen. Dit kan dan slechts hoogstens gelden voor de liquatie opgevat als gehalteverschil van de buitenste lagen der legeering en het oorspronkelijk smelt-gehalte. Deze is immers afhankelijk, zooals betoogd werd, van de verschui- ving van eutektikum naar de buitenlagen; de mate waarop dit ge- schiedt hangt samen met den stollingstijd, maar één waarde ervan zal berekend kunnen worden en wel de maximumwaarde die deze liquatie zal kunnen bereiken. Geen grooter wijziging in gehalte is toch in de buitenste laag der legeering te veroorzaken dan die, 28 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) welke geldt voor het geval, dat de totale volumevermindering, ontstaan door het vastworden van het eutektikum tusschen de eerstafgescheiden zilver (of koper) kristallieten wordt aangevuld door smelt met ’t laagst mogelijk, dat is eutektisch gehalte. Nu zagen wij reeds dat het soortelijk volumen van zilver-koper-eutektikum bij ’t vastworden af- neemt van 0.110° tot 0.104, eene contractie derhalve van + 6 °/.. Dan is de maximale gehalteverlaging bij eene zilverrijke legeering leverende a-deelen zilver en 1000—a deelen eutektikum licht te be- rekenen. (Zilvergehalte dier legeering is 0.28 a + 720, het eutek- tikum tegen 720 duizendsten gerekend). Na stolling waarbij het . ontbrekende door eutektikum is aangevuld, is behalve a deelen zilver (1000—a) 1.06 eutektikum aanwezig. Het zilvergehalte ter plaatse 1000 a + 720 (1060 — 1.06 a) 1060 — 0.06 a aftrekking van het oorspronkelijk gehalte de vermindering daarvan 16.8 a — 0.0168 a? 1060 —- 0.06 a dF (a) da een waarde a= 507 duizendsten, waarmede een zilvergehalte- 0.862 en een maximumwaarde der „peripherische” liquatie van 4.1 duizendsten overeenstemt. Op eenvoudige wijze is die liquatie ook voor elk ander gehalte te berekenen. Voor het gehalte 0.720 wordt z 0 en negatief voor lagere waarden (d.i. het gehalte der buitenlaag is hooger dan dat der smelt). Een maximale negatieve waarde wordt dan weder bereikt bij een gehalte dat door berekening op 0.395 wordt ge- vonden, waar dan de liquatie aan de buitenzijde 10.° duizendsten zou bedragen. Voor verschillende gevallen wordt de zoo berekende liquatie der buitenste lagen (maximaalwaarden voor teder gehalte) de volgende: is daardoor geworden hetwelk door aangeeft. Dit verschil = F(a) zal een maximum- waarde verkrijgen wanneer = O hetgeen bij berekening geeft Gehalte Me nd Gehalte Liq 1000 0 636 A423 945 Dah 600 — D 900 3.8 500 +8 6 862 4.1 395 —10.3 800 3.3 300 —10.2 720 0 200 oe 700 == rl 100 —5.1 50 ==2 98 VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 29 In Fig. 13 wordt deze samenbang tusschen gehalte en grootst bereikbare liquatie in de buitenste lagen voorgesteld. 300 +400 Zilvergehalte. 500 900 1000 Maximale liquatie *) *) In de buitenlagen. Het is nu wel eenigszins opmerkelijk dat de waarden der hier- bedoelde liquatie, zooals zij bij de verschillende proeven opgenomen, in de tabel op pag. 28 experimenteel werd bepaald, nimmer de op de juist aangegeven wijze berekende hoogste waarden overschrijden. De berekening toch leerde dat die hoogste waarde kan zijn voor Gehalte 0.945 Gehalte 0,636 ee 4.1 terwijl de hoogst gevonden waarden waren voor sehalte 0.945 Gehalte 0.636 elk 50 Geen overschrijding derhalve. Ten overvloede zij nogmaals opgemerkt, dat deze berekeningen alleen van toepassing kunnen zijn op de liquatie in de buitenlagen van het gietstuk. De liquatie daarentegen in de centrale gedeelten berust op een anderen grond; daarvoor is een analoge berekening van het maximum niet goed uitvoerbaar. Omdat in de boven gegeven wijze van voorstelling de centrale liquatie wordt veroorzaakt doordat rondom reeds afgezette kristalaggregaten, van zilver of koper de smelt wegvloeit en wordt vervangen door eene van iets hooger zilver (of koper) gehalte, maar niet te bepalen in welke mate, is geene grenswaarde van de verandering op te geven. Wel is het aan te nemen dat bij gelijke verschuiving het gehalte der smelt des te sterker daar ter plaatse verandert door reeds gevormd zilver of koper, naarmate het gehalte der smelt verder afwijkt van 1000 zilver (bij de zilverrijkere), of van 0 zilver, bij de koperrijkere legeeringen. De „centrale” liquatie zal dus waarschijnlijk toenemen 30 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) by hoog zilvergehalte, naar gelang dit laatste tot zeer dicht bi de eutektische samenstelling daalt, om dan snel tot 0 af te nemen, een evensnel weer toenemende negatieve waarde daarop aanne- mende tot spoedig een maximumwaarde (maar aanmerkelijk grooter dan bij het hoogere zilver) bereikt is, die dan geleidelijk kan dalen naarmate het gehalte lager wordt. Dit deel der liquatie zou daarnaar wel op andere wijze met het gehalte in betrekking staan dan het deel dat aan de buitenzijde haar hoogste waarde vertoont. Met de boven in de tabel op pag. 26 vermelde cijfers stemt deze op- merking wel overeen. De som, d. 1. de totale liquatie, kan echter moeilijk in betrekking worden gebracht met het gehalte van een bepaald soort legeeringen. Zeer in het ruwe kan men hoogstens zeggen dat bij de zilver-koperlegeeringen (en andere binaire met analoge stolfiguur) de liquatie (totale) — 0 is by de gehalte 0 en 1000 voor het eene metaal en bij de eutektische legeering; dat zij echter van de laatste uitgaande spoedig stijgt en wel het hoogst bij ver- plaatsing naar de zijde van datgene der twee metalen, dat op den grootsten afstand van het eutektikum let. Eindelijk zij hier nog een eigenaardige proef vermeld, welke een voorbeeld geeft van een buitengewoon langzame bekoeling bij een zilver-koperlegeering van + 0.945 gehalte en die dus, in overeen- stemming met fig. 12 een zeer geringe liquatie moest vertoonen. Zij doet dit inderdaad maar geeft tevens nog een ander feit waar te nemen, dat wel vermelding verdient, nl. in een zeer dun laagje aan de buitenzijde van het metaal een optreden van zeer merkbare gehalte-verandering, maar in een richting tegengesteld aan die welke normaal optreedt; en wel in dit geval een gehalte-verhooging. Schijn- baar dus een uitzondering op de gewone en algemeen geldende regel. Vooreerst de beschrijving der proef: Er werd gesmolten zilver-koperlegeering van bovengenoemd gehalte in een dikwandige (2 cM. wand) magnesietkroes, en wel in een vertikalen, cylindrischen kryptoloven, die zelve ook reeds dikwandig, in dit geval het voordeel aanbood een uiterst langzame afkoeling van het daarin geplaatste toe te laten, aangezien snellere afkoeling door de aanwezigheid van de dikke laag wit gloeiend kryptol sterk werd tegengegaan. De legeering werd niet gegoten maar onder kool in den gesloten oven gelaten. De verkregen metaalcylinder werd na bekoeling rondom over het middengedeelte in zeer dunne lagen, in den beginne van 1/,, en 1/,) mM., daarna Î/, en 1 mM., VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN, 91 mechanisch afgedraaid en van iedere portie het gehalte bepaald. De uitkomsten (van buiten naar binnen gaande) waren de volgende: 120 mM. aoe WU 1}, mM. 951.4 (buitenzijde) 945.0 944.3 951.5 4,9 Ae 952.5 À, . 4 À, . 4 948. AT] D He 1 mM. 946.5 4.2 4.6 WAG mM. ye es 3 946.0 4.6 49 É Ar Middengedeelte 4.4 44 in ’t geheel 944.5 A 8 4.5 5 ge Een zeer dun laagje aan de buitenzijde, nog geen halve mM. dik vertoont dus een zeer opmerkelijke gehalteverhooging; vandaar af naar het midden was overigens de ongelijkslachtigheid opvallend gering. Dit laatste stemt geheel overeen met de boven voorziene verwachting bij een zoo uiterst langzaam gestolde smelt. Maar ook het verschijnsel aan de buitenzijde vindt gemakkelijk hare verklaring. Wanneer toch de liquatie in dit geval zoo zeer gering is, dan zoude dit zoo zijn omdat bijna tezelfder tijd de geheele massa op de temperatuur van het eutektikum gedaald zijnde, al dat eutek- tikum dat als water in een spons tusschen het samenhangende net- werk der zilverkristallisatie is opgenomen bijna gelijkmatig stollen kan, waardoor geen reden voor ongelijkheid bestaat. Maar is het dan te verwonderen dat dit bijna in haar geheel gelijktijdig stollen van het eutektikum, onder inkrimping geschiedende, tengevolge kan hebben een zwakke terugtrekking van die stollende massa ook in de richting van buiten naar binnen (in hoofdzaak stellig nog van boven naar beneden) zoodat de reeds vaste zilverkristallieten aan de buitenzijde, die op haar plaats blijven, tot op zeer geringe diepte een deel van het eutektikum dat hen omgaf heeft verloren, waar- door het gehalte ter plaatse iets wordt verhoogd? De bovenstaande proef geeft het antwoord alsmede de te voren gedane waarneming dat een duidelijk netwerk van kristalaggregaten op de buitenkant, bij het uitnemen uit de kroes, zichtbaar was. 32 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) $ 3. .ZWaartekrachtsliquatie”, Wanneer zooals hier, sprake is van ongelijkslachtigheid van zilver- koperlegeeringen tengevolge van de processen die de stolling bege- leiden, dan dient nog melding te worden gemaakt van een nog niet besproken andere oorzaak voor ongelijke verdeeling der samen- stellende metalen. Bij het onderhavige onderzoek deden zich enkele malen gevallen daarvan voor en wel in het bijzonder bij zeer langzame bekoelingen. Bedoeld wordt eene ontmenging der twee metalen tengevolge van de werking der zwaartekracht op half ge- stolde smelten. Als bij eene stolling een metaal zich begint af te zetten, b.v. zilver zooals hier, dat soortelijk zwaarder is dan de vloeistof waarin het zich heeft gevormd en op zoodanige wijze dat eene verplaatsing uit eigen beweging niet geheel wordt verhinderd, dan zal een neiging bestaan voor dat zilver om in de onderste lagen van het metaalstuk in relatief grooter proportie dan in de bovenste voor te komen. Een lichter metaal zal omgekeerd trachten zich in opwaartsche richting te bewegen. Slechts bij uitzondering zal deze vorm van liquatie, die men de „zwaartekrachtsliquatie”” zou kunnen noemen, haren invloed in de techniek doen gelden !. Er is toch voor noodig een rustig en zeer langzaam stollen. Im de praktijk worden smelten bijna steeds uit- gegoten in vormen waarin zij bijna altijd zeer snel bekoelen. Bij gemakkelijk smeltende legeeringen, gegoten in ruime hoeveelheden en met groot verschil in soortelijk gewicht der komponenten, zou een optreden zijn te verwachten. Een goed voorbeeld daarvan levert de stolling van hardlood, eene legeering van lood met een zeker percentage (tot + 20) aan antimonium. Daarbij hebben de antimontum-kristallen, welke zich het eerst afzetten, wanneer hun gehalte grooter dan 12 °/ is, gelegenheid in de soortelijk zeer zware smelt voor een deel op te stijgen en zich te verza- melen onder de door afkoeling aan de lucht spoedig ontstane vaste bovenkorst. 2) Enkele voorbeelden die zich bij opzettelijk zeer langzaam uitge- voerde stollingen van zilver-koper hebben voorgedaan, mogen ter verduidelijking worden aangehaald. Het materiaal, zilvergehalte + 0.945, waarvan in de beide vorige bladzijden sprake was, is *) Niet te verwarren met een scheiding, die aanleiding geeft tot de vorming van twee vloeistoflagen. *) Het is hier niet de plaats uitvoeriger hierop in te gaan. Beschrijving en illustraties zijn te vinden o.a. in Heyn. Die Metallographie im Dienste der Hüttenkunde, 1903, pag. 22, VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 39 in deze richting onderzocht, doordat de langzaam bekoelde metaal- cylinder vanaf de boven- en de onderzijde in dunne, eenigszins schuin toeloopende lagen, is afgedraaid, en elk dier monsters werd geanaly- seerd. De gehaltecijfers waaraan even voor en even na het middel- gedeelte (gehalte 944.5 duiz.) enkele ontbreken, waren van boven naar beneden de volgende (in duizendsten): 941.7 Midden. 943.7 945.3 944.3 945.2 944.5 944.9 (De tweede reeks 944.8. GRO adele diet oy acct 945.1 944.6 945.2 945.4 944.7 947.0 944.4 950.1 Afziende van enkele onregelmatigheden blijft toch het positieve resultaat, dat het gehalte aan het bovenoppervlak het laagst en dat aan de onderzijde het hoogst was. Veel sterkere verschillen treden op bij een dergelijken metaal- cylinder van een gehalte van + 0.640, die op overeenkomstige wijze is verkregen. Hierbij scheiden zich eerst koperkristallen af, die, als lichter dan de vloeistof zullen trachten te gaan drijven, daardoor het gehalte in de bovenste lagen te doen verlagen, zoo- dat een gehalteverhooging beneden is te verwachten. Deze laatste gehalteverhooging moet natuurlijk een bovenste grens hebben en wel de waarde van het gehalte van het eutektikum, omdat bij zoo volledig mogelijke opstijging van het koper alleen eutektikum aan de onderzijde overblijft; hooger gehalte is uitgesloten. Inder- daad laten de volgende cijfers zien dat bijna zuiver eutektikum in de benedenste lagen voorkwam. De gehalten waren , weder van boven naar beneden (in duizendsten): 280 (boven) 624 702° 419 (hiaat) 706 467 656 (midden) 712 4975 (hiaat) 709 529 6685 709 562 676 710 585 682 709 613 689 709 601 694 711 (onder). Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (fe Sectie) DI, IX. 34 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) Dit is wel een ontmenging (van 280 tot 711 duiz.) op zeer groote schaal. Het is niet bevreemdend dat de zwaartekrachtsliquatie bij dit laatste gehalte zooveel aanzienlijker blijkt dan in het vooraf- gaande voorbeeld. Van veel gewicht zullen toch de relatieve hoeveelheden van het eerst stollende metaal en die van het eutek- tikum zijn. Bij het gehalte 0.945 heeft men 80 °/ zilver + 20 °/, eutektikum; bij 0.640 echter 11 °/, koper + 89 °/, eutektikum. Weinig kristallen in een overmaat vloeistof zullen meer gelegenheid hebben aan de werking der zwaartekracht gehoor te geven dan bij tegengestelde omstandigheden waar, zooals in ons geval van zilver- overmaat, de samenhang van die dichte kristalaggregaten veel hechter en inniger is dan wanneer deze laatste tot een gering bedrag voor- komen. In het zoo juist vermelde geval van groote ongelijkheid bij een gehalte van 0.640 was ook nog de liquatie in horizontalen zin onderzocht. De uitkomsten daarvan waren in een zelfde horizontale schijf, afgedraaid van den cylinder, uitermate grillig; wit den aard der zaak, waar zulke omvangrijke dislocaties hadden plaats gehad als boven is gebleken. De verdere mededeeling kan daarom achter- wege blijven. . Eindelijk kon verwacht worden dat bij bekoeling van smelten met gehalten, aanzienlijk lager dan 0.945 maar hooger dan de eutektische legeermg, b.v. van + 750 duizendsten, eene zwaarte- kracht-liquatie zou zijn te verkrijgen, waarbij grooter verschillen konden optreden; wellicht zoozeer dat bij zinken der eerst gevormde zilverkristallen de bovenlagen min of meer tot het gehalte van het eutektikum konden zijn genaderd. Dit bleek waar te zijn. Ge- halte der smelt was 0.749 (dus ruim 10°/, zilver, en bijna 90 °/, eutektikum). Analyse der lagen van boven naar beneden gaf in duizendsten : 717.3 (boven) 749 (midden) AWG sd 1815 724 S06 740 S19 1355 821 140.5 832 (onder) De interessante vraag die zich hierbij aansluit, in hoeverre of eene dergelijke zwaartekrachts-liquatie bij het eutektikum zelve mogelijk is, wordt hier slechts aangestipt. Zij is in onderzoek. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 35 $ 4. Liquatie en stolfiguur. De in het voorgaande gegeven beschouwingen over de oorzaken en het ontstaan van liquatie bij zilver-koper-legeeringen !) bevestigd wordende door alle daaraan verrichte onderzoekingen, zijn van wijdere strekking. Daar toch het verschijnsel, zooals het zich hier voordeed in direct verband bleek te staan met de gedaante der stolfiguur en slechts gebruik gemaakt is van. het feit dat de stolling der aggregaten, die zich uit de smelt afzetten onder volumenver- mindering plaats heeft, zullen analoge conclusién kunnen worden getrokken voor de liquatie van andere binaire legeeringen, die aan dezelfde voorwaarden voor stolfiguur en contractie voldoen. Maar het is bovendien zeer eenvoudig om af te leiden òf en zoo ja in welke richting liquatie mogelijk kan zijn bij binaire legeeringen welke niet op dezelfde wijze zich bij hun vastworden verhouden. Daarom moge hier nog voor eenige voorbeelden van de verschil- lende stollingswijzen kort worden aangegeven, hoe men in die ge- vallen ongelijkslachtigheid der vaste legeeringen kan voorspellen. Er zal daaraan worden toegevoegd eene opsomming van de voornamere en experimenteel onderzochte gevallen van liquatie bij binaire legeeringen, die het tot dusverre hebben moeten stellen zonder eenige verklaring, en waarvan sommige ook nu nog verdere toelichting noodig hebben. Legeeringen van twee metalen (of een metaal + een metalloide) die tot eene enkele homogene vloeistof gesmolten op regelmatige wijze door warmteafgifte aan de omgevende wanden tot stolling worden gebracht, kunnen dit op meermalen beschrevene wijzen doen, waarvan de eenvoudige typen voor ons doel zijn aan te halen. a. De beide metalen zetten zich onvermengd uit de smelten van verschillende gehalten af; slechts bij ééne concentratie (die van het eutektikum) kristalliseeren zij gelijktijdig in vaste verhouding. De stolfiguur bestaat uit twee krommen, afdalende van de smeltpunten der enkele metalen, totdat zij elkander in het eutektische punt snijden. Wanneer, wat bijna altijd het geval zal zijn, het eutektikum bij het vastworden inkrimpt, dan zal de vastgeworden legeering in de buitenste lagen min of meer armer en in het centrum min of meer rijker zijn aan datgene der twee metalen, dat in de smelt in *) Er wordt nu verder afgezien van de zwaartekrachtsliquatie die op andere gronden berust en van geringer beteekenis is, omdat zij bijna alleen onder abnormale omstandig- heden merkbaar gaat worden. B 3* 36 LIQUATIE (ONG ELIJKSLACHTIGH EID) hoogere mate aanwezig is, dan beantwoordt aan de eutektische samenstelling. Valt de verandering van dichtheid van het stollende eutektikum in andere richting, dan moet ongelijkslachtigheid ‘in tegengestelden zin optreden. By de zuivere metalen en het eutektikum is de liquatie — 0; welke waarde zij bij tusschengelegen gehalten kan aannemen, is op niet nauwkeurig te formuleeren wijze afhankelijk o. a. van de plaats die het eutektikum in de reeks der gehalteverhoudingen inneemt en van de snelheid der stolling. Maar des te grooter zal zij, in overigens gelijksoortige omstan- digheden verwacht kunnen worden te zijn (dus b.v. bij combina- ties van dezelfde twee metalen, die op gelijkvormige wijze worden be- handeld), naarmate het eutektikum meer éénzijdig ligt en het legeerings- gehalte zich verplaatst tot, ruwweg geschat, halverwege het eutektikum en het daarin in de geringste hoeveelheid voorkomend metaal. Wanneer bij stolling in plaats van de zuivere metalen, vaste oplossingen daarvan tot zekere concentratiegrenzen optreden, ver- andert dit de voorgaande conclusie slechts in zooverre, dat overal de liquatie zich in verminderden B omvang zal uiten. 6. De stolfiguur moge er ééne zijn als in nevenstaande figuur 14. By samenstellingen in de nabij- heid der componenten 4 en B zelve scheiden deze bij bekoeling zich eerst af; daartusschen ligt de mogelijkheid van het optreden van twee verbinden /, en Vs Samenstelline: wier samenstelling beantwoordt Fig. 14. aan de toppen der beide midden- kurven in de figuur. Er zijn drie eutektika e,, e, en e,; de beide uiterste uit een der componenten + eene verbinding bestaande, e, uit V, en V, samengesteld. Wanneer wij aannemen dat alle stollingen onder samentrekking geschieden, dan zijn de volgende qualitatieve conclusies omtrent liquatie te trekken uit beschouwingen, analoog aan de vroeger gegevene: Smelten met samenstellingen tusschen 4 en e, geven legeeringen by welke de buitenzijde armer is aan 4 dan het centrum. Hetzelfde is het geval met smelten, liggende tusschen V, en e, en tusschen V, en es. Daarentegen zal zich het tegengestelde yoordoen bij de V, Temperatuur. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. (Ju) = smelten tusschen e, en Bo tusschen € en V, en tusschen een cb: Geen liquatie bij de drie eutektika, de zuivere componenten en bij verhoudingen, die overeenstemmen met de verbindingen Vi en pe Zijn de verbindingen in gesmolten toestand gedissocieerd, dan zullen bij zoo snelle stolling, dat bij kristalliseeren eener verbin- ding niet spoedig genoeg nieuwe vorming uit de komponenten plaats heeft, eenige complicaties te dien aanzien optreden. c. Wanneer de beide metalen in alle verhoudingen gemengd kunnen kristalliseeren, terwijl in de kurve, die de beide metaal- smeltpunten verbindt, geen maximum of minimum voorkomt, zooals in fig. 15, dan zal bij eene zeer langzame vastwording niet alleen om de bovenvermelde reden geen merkbare liquatie optreden, maar ook omdat de mengkristallen a, die bij eerste stolling uit eene smelt S, zich afzetten gedu- rende het verdere stollen zich gelei- i delijk wijzigen langs de kurve dier vaste mengkristallen tot 4,, om zoo- a doende in evenwicht te blijven met 8 de in samenstelling ook intusschen É gewijzigde smelt, die op het laatste oogenblik tot S, zal zijn genaderd. 4 Dan zou ten slotte ééne homogene = ee — Stollingskromme --- Krommeder vasteopl. massa & zijn verkregen. Maar dit Samenstelling theoretisch verloop zal in werkelijk- En heid anders zijn. Bij zekere gemiddelde snelheden van afkoeling zal het volgende kunnen geschieden: ‘Terwijl eerst weder de kristal- lisatie inzet met a, (Smelt #) verandert de smelt voortdurend in de richting S, zonder dat de omzetting in de vaste fase daarmede ook maar eenigszins gelijken tred houdt. Voortdurend zetten zich dan andere mengkristallen, tusschen a, en a, gelegen af. Nu zal echter het stoltraject zich verder gaan uitstrekken dan S, en b.v. tot 4, kunnen genaderd zijn bij het einde der vastwording, terwijl zich tevens mengkristallen in grooter variatie van samenstelling (tus- schen a, en aj) hebben gevormd. Dit alles geschiedt weder eerst aan de buitenzijde van een gietstuk, en elk onderdeel van het proces iets later op verder naar het midden gelegen plaatsen. Bij eene contraheerende stolling is weer gemakkelijk te betoogen dat een vloeistofverschuiving naar buiten gericht zal voorkomen, die maakt dat het gehalte aan de buitenzijde iets hooger zal zijn, dan in het midden, aan datgene der twee bestanddeelen, dat het laagste smelt- punt bezit, en wel des te meer naarmate het traject #8, grooter is. Hoeveel, is weder afhankelijk van den loop der stollingskromme 452 38 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) (d. i. practisch het verschil in smeltpunt tusschen 4 en B) en van den al of niet grooten afstand van deze curve tot die der vaste oplossingen daB. De laatste omstandigheden schijnen echter meesttijds wel van dien aard te zijn dat een eenigszins belangrijke graad van liquatie in gevallen als deze gewoonlijk niet zal worden aangetroffen. De mogelijkheid daarvan is echter niet B’ uitgesloten. d. Heeft de stollingskromme bij onder- broken reeks van mengkristallen der beide metalen een maximum (of minimum) als in Fig. 16, dan kan in de buiten- lagen van het vaste metaal een iets grooter rijkdom verwacht worden aan Vn veiee metaal 4 dan in het centrum, wanneer de Pap eea samenstelling der smelt ligt tusschen Samenstelling het maximum en 4 (of minimum en Fig. 16. B), daarentegen aan metaal B, wanneer de samenstelling der smelt ligt tusschen het maximum en B (of minimum en 4). | Temperatuur $ 5. Liquatie bij binaire legeeringen in de practijk, Behalve de zilver-koperlegeermgen zijn er een aantal andere bi- naire alliages, waaraan bepalingen omtrent de mate van ongelijk- slachtigheid zijn verricht. Uit den aard der zaak spelen daarbij de meer kostbare metalen een groote rol. Bij gebrek aan leidend be- ginsel gaan echter deze bepalingen voor het meerendeel mank aan het euvel dat zij niet systematisch genoeg zijn opgezet, of het onderzoek niet volledig genoeg is geweest, om te kunnen zeggen dat men de beschouwde legeeringen, wat hunne liquatie betreft, in voldoende mate kent. Al blijft er in dit opzicht bij verschillende legeeringen, waaronder voor de techniek hoogst belangrijke (en juist hier is de liquatie een factor van zoo groot gewicht) veel te doen over, wat nu, naar ik vermeen, met meer succes dan te voren zal kunnen geschieden, toch acht ik het nuttig om samen te stellen welke resultaten reeds zijn bereikt en deze uitkomsten tevens, voor zoover dit mogelijk is, te vergelijken met de leidende begrippen, welke boven ontwikkeld werden. Het zal daarbij blijken dat voorzoover zekerheid bestaat in de uitkomsten van vroeger onderzoek, een voortdurend goede overeenstemming met de laatste aan het licht komt. VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 39 Achtereenvolgens zullen verschillende der onderzochte binaire legeeringen worden besproken, zonder dat op volledigheid aanspraak wordt gemaakt. Goud-koper. Het moge misschien eenige verwondering wekken, maar in de kennis van de al of niet volledige gelijkslachtigheid dezer legeeringen, van zoo buitengewoon groot gewicht voor den handel in dit kostbaar materiaal zijn nog duistere punten. Niet zoozeer heerscht onzekerheid omtrent de vraag of dergelijke liquaties als bij zilver-koper aangetroffen worden, hier mogelijk zijn; dit is stellig miet zoo en de liquatie goud-koper kan slechts van zeer lage orde zijn; anders had men niet tot op den huidigen dag, zelfs onder deskundigen die zich met onderzoek hebben bezigge- houden, algemeen van meening kunnen zijn dat er geene liquatie quantitatief waarneembaar is. Dit zou goed overeenstemmen met een vorm van de smeltkrommen bestaande uit een vrijwel rechte horizontale lijn tusschen de smeltpunten van goud (1065°) en koper (1083°), een geval dat aanleiding ertoe moet geven, dat een smelt van willekeurige samenstelling zoo goed als geheel bij één tempe- ratuur en gelijkslachtig, in den vorm van ternauwernood gevariëerde mengkristallen vast wordt. Door recente onderzoekingen is nu wel reden ontstaan om aan het een en het ander te twijfelen. Van de oudere waarnemingen vermeld ik die van Levol 4) die onvoldoende beschreven proeven meedeelt over een speciaal onder- zoek naar ongelijkheid in goud-koperlegeeringen van de gehalten (goud) 0.925, 0.903, 0.8167, 0.756, 0.608 en 0.2368 (de uit- voering zal ook wel geleden hebben onder het feit dat de smel- tingen zonder kooldek hebben plaats gehad). Liquatie kon hij niet ontdekken. Evenmin wist Péligot ?) in legeeringen van 0.900 goud een spoor daarvan aan te treffen, waaruit men heeft af te leiden dat de liqua- tie de grens van nauwkeurigheid zijner proeven niet zal overtreffen (deze was 0.2 duizendsten). Weder geen ander resultaat bij verschillende herhalingen door Robert Austen, hier niet uitvoeriger te vermelden omdat zij later weder zijn opgenomen, maar waarin hij tot de slotsom komt dat, als er liquatie plaats heeft in goud-koper-baren deze dan beneden een waarde 14/, 999 moet blijven. Wel vond hij gehalteverschillen maar niet grooter dan dit cijfer. *) Ann. Chim. Phys. [3] 39, 8, (1853). *) Bull. Soc. d’Enc. de l’Ind. nat. [4] 4, 481, (1889). 40 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) Het was eigenlijk wel duidelijk dat het noodig was, vóórdat met zekerheid zoo groote homogeniteit als bewezen werd aange- nomen, dat eerst de hand werd geslagen aan eene verbetering van de nauwkeurigheid der goudproef. Naar mijne meening is zelfs door overigens zeer betrouwbare onderzoekers de (toch al groote) nauwkeurigheid dezer analytische methode overschat. Intusschen is de zaak in een ander stadium gekomen nu door Roberts Austen en Rose !) weder ten deele bevestigd werd, zij het ook met belangrijke wijzigingen , hetgeen Riche en Charpy 7) gevonden hadden, dat nl. de stolfiguur goud-koper *) bestaat uit twee dalende kurven, elkaar snijdende in een eutektikum, hetwelk volgens laatst- genoemde onderzoekers zou liggen bij 940° en een gehalte van 55°/, goud. Zij maakten daarbij de opmerking dat hier vermoedelijk, te oor- deelen naar het mikroskopisch onderzoek, een geval van onderlinge oplosbaarheid der vaste metalen in hooge mate zou voorkomen. Intusschen gaven de waarnemingen van Roberts Austen en Rose een dergelijke stolfiguur, waarbij echter het eutektikum zou liggen bij 905°, bevattende niet 55 maar 82°/, goud. (Opmerkelijk: bijna 60 atoom °/, goud en 40 koper; eutektikum zilver-koper houdt eveneens 60 at. °/, zilver). Dit belangrijk punt van onzekerheid, niet alleen omtrent den vorm van de stolfiguur maar ook van hare beteekenis ten opzichte van het stollingsproces zelve ware allereerst tot klaarheid. te brengen. Omtrent de liquatie zelve in deze legeeringen is evenzeer nadere studie nog noodig, ook na hetgeen door R. Austen en Rose in laatstvermeld onderzoek daaromtrent wordt medegedeeld. Terecht zagen zij in dat bij eene stolfiguur zooals nu was bepaald de mogelijk- heid voor liquatie grooter was geworden. Zij hebben daarom opnieuw bepalingen gedaan aan de goudlegeering van een gehalte + 0.9166 en meenen, hoewel veel onregelmatigs zich voordeed, dat toch in ’talgemeen eene neiging zou bestaan voor een iets lager goudgehalte (hoogstens enkele tienduizendste deelen) in het midden van hun materiaal dan aan de zijden. Is inderdaad de laatstbekende stol- figuur juist dan zal dit niet zoo kunnen zijn. Ook om andere reden is dit liquatie-onderzoek te herhalen en wel omdat door R. A. en R. niet is gebruik gemaakt van gegoten materiaal zonder meer maar *) Proc. Roy. Soc. 67, 105, (1901). *) Administration des Monnaies et Médailles. Rapport au Ministre des Finances, 1899, p- XXXVIII. *) Een klein deel dezer stolfiguur, en wel aan de koperzijde, nog bij Heycock en Neville: Phil. Trans. 189, 46, (1897). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 41 eerst nadat het in twee richtingen was uitgeplet, hetgeen de ongelijk- slachtigheid stellig zal hebben gewijzigd. En bovendien dient de goud-cupellatie zelve, wat hare nauwkeurigheid betreft nog zoodanig gewijzigd te worden, dat bij dergelijk minutieus onderzoek grooter zekerheid wordt verkregen. Goud-zilver. Eene merkbare liquatie is niet met zekerheid gecon- stateerd. Levol') reeds onderzocht met dit doel in ijzeren kogel- vorm gegoten materiaal van de gehalten: 1° 645.1, 2° 480, 3° 312.5 en 4° 83.4 duiz. goud. Van verschillende gedeelten der vaste legeering analyses makende, vond hij de volgende grootste verschillen: 645. ==) WOE) or 1° Midden 645.25. Enkele plaatsen aan de buitenzijde or on 2 Oo =) 2 WW ex vag Ss 480.0 > sh bi 312.25 5 x or os Ww © Ow ol 4° Overal geheel gelijk. De gevonden verschillen, in verband met de onzekerheid der gehaltebepaling, laten geen behoorlijke conclusie toe. Tot afwezigheid van liquatie van grooter omvang dan de goud- proef toelaat waar te nemen, besloot later Roberts Austen”) bij de goud-zilverlegeering van 984.7 duiz., waarvan in een kubusvormige ijzeren vorm een hoeveelheid van 45 KG. gegoten werd. Dat daarbij het gehalte-onderzoek verricht werd op een vertikale schijf uit het midden gesneden, maar eerst nadat deze door walsen dun uitgeplet was, heeft de kans op opsporing van eventueele ongelijk- slachtigheid onnoodig verkleind. Nu viel de grootste afwijking onder 0.1 duiz. van het gehalte. Het blijft echter nog steeds wenschelijk, evenals bij de goud- ©?) Ann. Chim. Phys. [3] 39, 163, (1853). *) Introduction to the study of metallurgy, p. 82. 42 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) koperlegeeringen, inderdaad op afdoende wijze uit te maken in hoeverre of werkelijk de homogeniteit van deze legeeringen gaat. Niettegenstaande de verschillende onderzoekingen is dit nog niet met juistheid uitgemaakt. Ook hier dient verdere verbetering in de standvastigheid der uit- komsten van de goudcupel- ©1050 = latie vooraf te gaan. a= . à .. 5 In ieder geval blijkt het a. . ne 2 wel dat, als ook nog eenige F liquatie gevonden wordt, zij 950° uiterst gering zal zijn. Dit is 0 20 40 60 80 100 Atom 2 aves nan in overeenstemming met de Fig. 17. stolfiguur. De eerste bepa- ling daarvan is verricht door Gautier 1) die een rechte lijn, verbindende de beide smeltpunten als stollingskromme vond. Deze waarnemingen blijken niet geheel juist te zijn geweest. Nieuwe bepalingen zijn weder aan Roberts Austen en Rose?) te danken, wier grafische voorstelling in bovenstaande Fig. 17 is overgenomen. Daar ook deze gedaante wijst op het in hoofdzaak voorkomen van isomorf kristalliseerende mengsels der beide metalen, en daar de smeltpunten der afzonderlijke metalen niet zoo heel veel verschillen, is een liquatie, die maximaal toch nog slechts een klein bedrag bereikt, geheel verklaarbaar. Onderzoekingen omtrent de liquatie dezer goud-zilver- en eveneens die der goud-koperlegeermgen hadden voor de Engelsche munt om een eigenaardige reden hare nuttige zijde. Er is daar toch voor- geschreven dat de officieele goudgehalte-bepalingen, die overal elders rationeel worden betrokken op zuiver goud, moeten worden verricht in vergelijking met standaardmonsters van het bekende engelsche goudgehalte 9162, duiz.; een voorschrift, dat eeuwen reeds bestaat (iets dergelijks als bij het zilver, gelijk boven reeds vermeld) en dat niet is kunnen worden afgeschaft, al worden daarnaast in de praktijk, de analyses toch ook op zuiver goud betrokken. Dat noodzakelijke standaardmetaal diende nu natuurlijk volmaakt homo- geen en van het vastgestelde gehalte te zijn. Daartoe zijn vele pogin- gen aangewend die in absoluten zin echter hun doel niet kon- den bereiken, zoodat werd getracht de omstandigheden te vinden, waarbij zoo goed mogelijk het gewenschte was te verkrijgen. Voor goud is men ten slotte tot het besluit gekomen dat uit liquatie- oogpunt de legeering met zilver nog boven die met koper de *) Bull. Soc. d’Encour. Octobre 1896. 2) Proc. Roy. Soc. 71, 161, (1903). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 43 voorkeur verdient. Met grooter zekerheid zou men zich op dit terrein bewegen als beter opgezet systematisch liquatie-onderzoek dezer legeeringen werd ter hand genomen. Zilver-lood. Deze legeeringen zijn uit het oogpunt der liquatie weer zeer belangrijk, omdat deze kombinatie in de metailurgie zoo uiterst veelvuldig voorkomt. Men bedenke daartoe dat verreweg de grootste hoeveelheid van het zilver, hetwelk uit de ertsen wordt ver- kregen het stadium doormaakt, dat het met lood, in groote over- maat, is geallieerd. Wanneer men nu bij dit tusschenprodukt, het „werklood”’, alleen maar de ruwe kennis van het zilvergehalte noodig had, zooals inderdaad voldoende is voor een groot deel der tech- nische manipulaties, dan behoefde men zich om ongelijkslachtigheid niet te bekommeren. Maar geheel anders wordt dit wanneer zooals in 550° 520° 500° Zilver in lood 475° 450° 1009 375° 350° 300° 0 2 4 6 8 10 42 4 16 18 Gewichts %% zilver in lood. Fig. 17a. toenemende mate het geval is, het werklood niet ter plaatse waar het bereid is, voor verdere verwerking op zilver wordt gebezigd. Dienten- gevolge is dit materiaal op niet geringe schaal een handelsprodukt A4 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) geworden, waarvoor nauwkeurige analyses van veel waarde zijn 4). Het is dan ook niet vreemd dat er speciaal over liquatie van zilver- houdend lood een zeer groot aantal onderzoekingen zijn gepubli ceerd. Dat daarbij behalve de twee genoemde nog in geringere mate andere metalen voorkomen behoeft niet te verhinderen, en dit is hier inderdaad tenminste gedeeltelijk zoo, dat men de vraag welke liquatie er qualitatief zal optreden reeds zonder proefnemin- gen kan afleiden uit de kennis van de stolfiguur zilver-lood. Nu doet zich hier het voor onze bespreking minder aangename geval voor, dat van deze stolfiguur, die voor een groot deel be- kend is uit de onderzoekingen van Heycock en Neville ?) ongeluk- kigerwijze het deel liggende in de onmiddellijke nabijheid van het eutektikum slechts onvoldoende is kunnen worden onderzocht. Weliswaar heeft men (ook H. en N. hebben dat gedaan) het onbekende stuk hunner zilver-kromme dat juist door snyding met de loodkromme de plaats van het eutektikum moet aanwijzen, voorloopig ingevuld, maar vast staat dit nog met. Ik heb in Fig. 17a, hierbij gevoegd, dat gedeelte der stollingskrommen overgenomen dat goed bepaald is. Op de plaats van het hiaat missen de bepalingen, met de opmer- kelijke verklaring van H. en N. dat daar geen stolpunt kon worden gevonden [er werd niets van een stolling bemerkt, vóórdat later de eutekt. temperatuur (303°) bereikt was]. Dit wijst namelijk op een geval van onderkoeling, op het wegblijven van de kristallisatie van het zilver zoodra men in de buurt, rechts van het eut. punt komt. Dat zal vermoedelijk kunnen medehelpen tot het verklaren van enkele vragen bij de stolling van de legeeringen die, wat hunne samenstelling betreft juist in dit gebied behooren. Het is nu echter nog niet gerechtvaardigd om uit Fig. 17a af te leiden dat het eut. punt bij 4°/, zilver zoude liggen. Het zal evengoed merkbaar hooger of lager gevonden kunnen worden. Die twijfel maakt het echter onmogelijk om reeds op dit oogen- blik te bepalen hoe liquatie zich moet vertoonen, wanneer tenminste de gehalten niet buiten dit onbekende gebied liggen. Zeker is het dat bij gehalten van zilverhoudende loodbaren hooger dan het eutektikum de buitenzijden voorzoover die, door aanraking met ijzeren gietvormen het eerst gestold zijn, zilverarmer zullen zijn dan het centrum en *) Ook in de gewone analytische praktijk komt het zeer dikwijls voor (onderzoek van zilverertsen, lavuur, enz.) dat men te bepalen zilver verzamelt in een overmaat lood. Wanneer daarbij nu voor het afdrijven van dien regulus een deel daarvan wordt genomen, zooals wel gebeurt, dan is het op grond van liquatieverschijnselen niet onverschillig op welke wijze men zulk een deel neemt. *) Trans. Roy. Soc. 189, 25. (1897). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 45 de plaatsen die langer vloeibaar blijven. Het omgekeerde geldt voor lood met zeer weinig zilver. Daartusschen kan dan ook in de stolling een afwijkend beloop optreden wanneer er, zooals denkbaar schijnt, sprake is van onderkoeling aan de zijde van het zilver. Nu zijn er vele waarnemingen over liquatie van zilverhoudend lood en uit een enkele blijkt ook reeds dat er onbekende factoren in het spel zijn, die in de praktijk verschillende uitkomsten kunnen veroorzaken. Voor de hoogere gehalten zijn wij voornamelijk beperkt tot onderzoekingen van Levol. 5) Deze zijn verricht door gieten en af- koelen van verschillend samengestelde mengsels in een ijzeren kogel, op de wijze als reeds bij zilver-koperlegeeringen is ter sprake ge- komen. De uitkomsten vereenig ik in de volgende tabel, waarin miet alle bepalingen zijn opgenomen maar wel degene die het gehalte van het centrum en de buitenzijde van het metaal verschaffen. Deze waarden hebben slechts beteekenis bij onderlinge vergelijking, niet absoluut. Ook ware het gewenscht geweest dat in ’t bijzonder de proeven op de buitenzijde talrijker waren genomen, om minder vrij spel te laten aan toevallige ongelijkmatigheden, Voor ons doel zijn zij echter reeds zeer voldoende. Gemiddelde Zilver- halte der ps = Gehalte buitenzijde | proeven Midden smelt in ink ME ie buitenzijde Boven Onder a b b—a 914.0 921.5 908 .0 913.0 915795 252° 863.0 856.5 856 5 854.1 866.0 ESS 840.5 835.5 841.0 838.1 859,0 20.9 676.5 Ole OLD 676.1 720.0 43.9 516.6 212350 “bla 8 514 5 577 .5 63.0 347.5 340.5 340.0 345,3 349 .0 del 262.0 259.0, 268.0 259.2 267.0 8 206.0 AW aiid OV Ra) 203 3 207.0 3,1 Bie 6720 6625 66.0 18.5 1.5 46.0 46.0 46.0 45.0 46.5 1.5 ope 10.0 10.0 9495 9.75 | —0.2 1) Ann. Chim. Phys. [3] 39, 11, (1853). 46 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) Afgezien van enkele onregelmatigheden, m hun geheel zeer goede uitkomsten dus, geheel in overeenstemming met hetgeen wij kunnen verwachten. Het gehalte der buitenzijde is bij alle proeven (behalve de laatste zijn alle rijker aan zilver dan het eutektikum) voort- durend iets geringer dan dat der smelt; bij de laatste proef waarbij wij stellig aan de andere zijde van het eutektikum zijn, is het omgekeerde bet geval. Ook is alleen bij de laatste de waarde b—a negatief, by alle overige positief. Zeer duidelijk is verder de eerste toeneming van de liquatie bij vrij gelijke omstandigheden der proeven, van af zeer hoog zilver in de richting van grooter loodrijkdom en eene daling daarna weder, totdat zij bij het eutek- tikum door 0 heengaat. !) Zooals reeds werd gezegd zijn onderzoekingen over metaalver- deeling in zilver-loodlegeeringen van laag zilvergehalte (werklood) zeer talrijk. Het zou te ver voeren ze alle?) aan te halen. Dit is ook onnoodig omdat de hier genoemde onderling geheel over- eenstemmen wat betreft de wijze waarop het zilvergehalte in ééne richting toegenomen, in de andere afgenomen is. En tevens vol- doen zij weder geheel aan de eischen welke uit de stolfiguur werden afgeleid. Slechts de proeven van Rath mogen als voorbeeld vermelding vinden. Deze goot lood met een gemiddeld zilver- gehalte van + 0.5°/ in een van boven open ijzeren vorm. De metaalblokken werden na bekoeling vertikaal over de breedte op 4 plaatsen, even ver van elkaar gelegen, doorgezaagd. Daarna werd op elk snijvlak systematisch een groot aantal proeven verricht, wier uitkomsten opgenomen zijn in de afbeeldingen der snijvlakken in Fig. 18, 19, 20 en 21. De bovenste cijfers stellen het zilvergehalte voor in ounces (31.1 gram) per ton; de onderste cijfers geven de hoeveelheden goud, tevens aanwezig, aan, die hier buiten beschou- *) Levol beschrijft nog een proefneming, die als een voorbeeld eener sterk uitgesproken „zwaartekrachtsliquatie’ kan dienen. Hij hield eenigen tijd in een U-buis een legeering van lood met 6.5 % zilver gesmolten. Na zeer langzame stolling analyseerde hij de le- geering op verschillende hoogte. Daar nu bij dit gehalte eerst zilver en daarna eutek- tikum moet kristalliseeren en het eerste soortelijk lichter is dan de smelt, zal het trach- ten naar de bovenlagen te stijgen. Er werd gevonden, in overeenstemming hiermede, als samenstelling boven in het eene been 10.2 en 7.8°/,, in het andere 6.9 en 6.3 °/,, terwijl het beneden in de U-buis was gedaald tot 2.6°/.. *) Hofmann. Metallurgy of Lead 244 (1893). Piquet. Zie Roswag. Désargentation du plomb. 127 (1884). Kempf en Nenninger. Eng. and Min. Journal 34, 6 (1882). Torrey en Eaton. Eng. and Min. Journal 42, 453 (1886). Raht. Mineral Industry, 3, 414 (1894). Neumann. Chem. Zeit. 21, 1024 (1897), geeft een overzicht. Asbeck. Chem. Zeit. 29, 78 (1905). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 47 wing blijven, hoewel zij geheel analoge uitkomsten geven als het zilver. Daar het zilvergehalte niet weinig geringer is dan dat van het eutektikum moet op de koudere plaatsen eerst lood kristallisee- ren en daar ter plaatse door aanvoer van meer zilverhoudende 165,57 | 164.55 |[161,911160,621 162,31 | 164,65|165,17 168, i 423 | 415 | #09 | 3,68 | 409 | #15 | 423 |4 365 16700 |164,92 |161,34| 160,23] 161,54 |166,02| 167,60 5 171,83 430 | 4,18 | 406 | 3,92 | 405 | 418 | 430 = N “25 Le 168,59 [167,13 [16401 | 163,28| 164,17 (167,23 [169,09 Pala 74460 160.50 431 | 427 | 419 | ¥02| #19 | 427| #37 440 3,02 | 3704 3,02] 426 | 4,40 167,27 |163,72 |163,72|163,02 [160,17 168.95 | 16431 | 5266 | 163,87| 16955| 174, 433 | 410 | 405 | 418 | 433 : 435 | 409 | 3.6% | #09 | 435 , , 190,41 167,36 (165,92) 166,22 | 166,92 [166,06 [160}1 ige 10220) 166 07 EL 432 | 420 | 410 | 428 | 432 440 | 419 | 3,91 | #19 | 440 |457 167,39 | 166,12] 167,69} 166,02 | 166,69 170,35 | 164,66) 162,80| 763,86| 17075 41 | 428| 422) 428 | 437 445 | 424%| 410 | 424 | 445 166 58 |167,56| 169,69} 167,46 |767,08 170,09) 170,61 | 171,10 | 16951) 170,90 432 | 434 | 431 | 43% | 432 Aaa EC OMC ONE Fig. 18. Fig. 19. smelt het zilvergehalte boven het normale stijgen. Lager wordt het daarentegen op de plaatsen die het langst vloeibaar zijn gebleven; het sterkst zal het dus verminderd zijn in de nabijheid van het in Fig. 19 ook zeer duidelijke zuiggat. 440! 434 | 437 | 415 | 407 | 415 | 431 | 437 431 | 431 | 435 165,16 | 166,69 | 160,05 | 166,09 | 171,06 162,77 | 165,21 [166,96 167,84 | 169,06 16474 | 167,58| 168,76 | 169,03 2 Bl 165,92 167,95 | 16 sh 168,84| 168-43| 166,27 [16414 | 166,47 | 17003 76782 165,97 16559 | 166,07 ae a Cellar sale SCE AS Jaa 169,6 [se Fe [of 5 Apa 165,08 | 167,56 | 16 PET , 431 | 42 434 420 | 424 | 492 | 424 | 428 768,75 = 6 | 168,75 Bee 6,16 76g 57| 167,24 TT 768 5 769,34 765,51 760,42 ean 169 5 ee 11 tous fe Fig. 20. Fig. iy È Deze proeven laten, wat de uitkomsten betreft, niets te wen- schen over. In tegenstelling nu met de zeer gevarieerde waarnemingen van zoo talrijke onderzoekers, welke zich geheel aansluiten aan de nu bekende oorzaken voor de eigenaardige verdeeling van zilver in 48 LIQUATIE (ONGELIK SLACHTIGH EID) lood, staat eenigszins als uitzondering, eene mededeeling van Rosen- lecher 5, die echter bij nadere beschouwing veel van haar waarde verliest. R. onderzocht nl. drie blokken werklood van Mexikaanschen oorsprong en vond gedeeltelijk een duidelijk grooter zilvergehalte aan * de oppervlakte, vooral in het midden, dan beneden en aan de zijden. C — — : — ed. 2.65——-305—— 3.60 350——3i15——3, 05 350245 218 \ 325 <— 12:25 — > 208. 2:15 2:25 2:25 260265 I a) 2,50 2.60 2.50 a > «< 3b 2.40 2.21 210 2.12 2.55 Ci <— : —> dh 206243 ere 2.22.12 —2'15 212——2.21 ——2. 30 2:25 2:25 2.38——2. 332 30 ————3.32 a <— ' — 4, 2.40 Fig. 23. -~. ae 2.43 Taz 252 Fig. 24. Fig. 25. Fig. 22 geeft een vertikale doorsnede in de lengterichting, Fig. 23 in de breedterichting, terwijl Fig. 24 en 25 grond- en bovenvlak van baar I voorstellen. De ingeplaatste cijfers geven het zilver- gehalte aan, vermoedelijk in procenten; dit wordt echter niet aangegeven. Van baar II stellen Fig. 26 en 27 de beide vertikale doorsneden voor, gelijk Fig. 28 en 29 van baar III. Deze cijfers schijnen inderdaad af te wijken van hetgeen te verwachten was. Maar waar dit onderzoek het eenige van dien aard is, acht ik het niet *) Berg- und Hüttenm. Zeitung. 53, 331 (1894). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 19 onnut op verschillende leemten te wijzen. Vooreerst is de regelmaat van baar I minder groot in II, waar ook de onderlinge verschillen kleiner zijn en het gehalte boven slechts zeer weinig hooger is dan onder. Bij baar III is dit alles nog weer sterker. Maar daarenboven c— SS —da URL T 2102 1:85 | 1:95 EN nen nnn nel a— — : — <— 6 Fig. 26. zij opgemerkt dat van den oor- €, —> <— : sprong van deze baren niets be- 210 Are pe kend is, en dus ook niet hoe de 1.85 gieting en de afkoeling hebben {1.98 | eee 21 2.00 2.10 plaats gehad. Dan wijs ik er op a 5 dat deze schijnbaar abnormale uitkomsten weder geheel regel- el Ce —:— <—d I enn ee een Î 1:70 1:60 2:00 2100220218 a—> geen eis Fig. 28. matig worden, wanneer men €, — eus d, Ellin mocht aannemen dat de blokken 44° 1 ee oe bij hooge temperatuur (b.v. in 1:60 warme gietvormen) zijn gestold, a, | ; a se a de ee eo ins à b, an is eeft plaats gehad. Want dan 1 Fig. 29. er gelegenheid geweest voor eene ontmenging in de richting van de zwaartekracht, die resul- taten moet opleveren zooals zij hier worden aangegeven. Even- zeer zou dit zoo zijn ingeval zeer plotselinge sterke afkoeling aan de bovenzijde had plaats gehad, b.v. door opsprenkelen van water. Waar derhalve verschillende zoo voorname bijzonderheden omtrent dit materiaal geheel onbekend zijn, is er geen enkele reden om in deze cijfers een tegenspraak te zien met wat theoretisch en praktisch in alle andere gevallen is aan ’t licht gebracht. ‘Temeer Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (1° Sectie.) Dl. IX. B 4 50 LIQUATLE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) klemt dit nog, daar de mogelijkheid bestaat dat het gehalte van deze baren aan de andere zijde van het eutektikum ligt, wat niet goed is te beoordeelen, omdat de plaats van dit laatste nog onzeker is. En bovendien zal eindelijk aanwezigheid van andere verontrei- nigende stoffen in meer dan zeer geringe hoeveelheid eventueel een afwijking kunnen verklaren. Het is gewenscht dat aan de bepaling van het eutektische punt zilver-lood een nieuw onderzoek wordt gewijd, en dat vooral, aan de liquatie-verschijnselen bij ewivere metaalmengsels in de buurt van dat punt de noodige aandacht wordt geschonken. Zilver-bismuth. Gowland en Koga!) werden door de opvallende brosheid, welke het zilver dat van een deel der Japansche berg- werken afkomstig was en die aan bijmenging van bismuth werd toegeschreven, tot een onderzoek geleid naar de verdeeling van dit laatste metaal in zijne alliages met zilver. Slechts ééne legeering, van 984.37 duiz. zilver en 14.80 duiz. bismuth werd gebezigd. Onder kool gesmolten en homogeen gemaakt, werd de legeering in een van boven open ijzeren vorm gegoten. Aan het gietstuk (+ 32 KG), dat het langst boven en in het mid- den vloeibaar gebleven was, werden twee dunne platen, ABCF en HDB (fig. 30) ontnomen en deze op talrijke plaatsen geanalyseerd, waarvan de uitkomsten in bijgaande Fig. 31 en 32 zijn opgenomen. Bovendien werden de verschillende hoekpunten van de baar afzonderlijk onderzocht. 8.5 B= 9,5 71.1 Gehalte der hoeken: 4.9; 4.7; 4.9; 5.4 (boven) 5.1; 4.6; 4.3; 5.4 (onder) Fig. 31. Fig. 32. By de gehaltecijfers in fig. 31 en 32 zijn de beide eerste cijfers 98 weggelaten. *) Journ. Chem. Soc. 51. 410 (1887). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 5 | Het blijkt dat op de plaatsen van eerste stolling (grenzende aan de ijzeren vormwanden) het zilvergehalte het laagst, naar het midden en vooral naar de bovenzijde dit gehalte hooger werd gevonden. Het is jammer dat de stolfiguur van zilver-bismuth nog maar voor een gedeelte, en wel aan den ziiverkant, bekend is‘), waaruit blijkt dat bijvoeging van bismuth een verlaging van het zilvervriespunt ver- oorzaakt, die wat haar waarde betreft een sterke aanwijzing geeft dat bij verder onderzoek deze stolfiguur er eene zal zijn met twee tak- ken samenkomende in een eutektikum. In ieder geval loopt het bekende stuk der smeltlijn van zilver met bismuthbijvoeging onder sterke daling ver voorbij het hier op liquatie onderzochte gehalte. Zij moet ten slotte een eutektisch punt bereiken van zilver en bis- muth of van zilver en eene verbinding. De daaruit af te leiden loop der liquatie blijft van dezelfde natuur; de eerste stolling geeft zilver (of wellicht, maar niet waarschijnlijk, een vaste oplossing met zeer weinig Bi) en bij vastwording van de daarbuiten gelegen smelt zal een vloeistof toestroomen waarin relatief meer Bi voorkomt. Dit stemt met de resultaten van Gowland en Koga overeen. Het verdient opmerking dat hieruit tevens zal volgen dat de stol- ling van een tweede komponent uit de smelt, hetzij eutektikum, hetzij een verbinding, onder contractie geschiedt. Juist zou anders bij com- binaties waarbij bismuth optreedt, een tegengestelde werking kunnen worden verwacht bij zekere concentraties van het laatste metaal, dat voor zich onder uitzetting stolt. Over legeeringen van goud met een aantal andere metalen, in- zonderheid van de platinagroep, zijn door E. Matthey een aantal waarnemingen gedaan, om nadere kennis te verzamelen van de wijze waarop verdeeling der componenten in de vaste legeeringen voor- komt. Zijne onderzoekingen ?) zijn direct ontleend aan wenschen die zich in de praktijk der goudscheiding voordeden. Zoo is een belangrijke vraag, die naar de deugdelijke wijze van analyse van platinahoudende goudbaren, welke veelvuldig voorkomen doordat bij de gewoonlijk nog toegepaste fineering van goud met zwavelzuur, na samensmelting met zilver, het platina grootendeels bij het goud blijft. Wanneer, zooals gebruikelijk, het gehalte-onderzoek op Pf-houdende goudbaren geschiedt door de hoekpunten te analyseeren, kan men tot vreemde resultaten komen. Zoo werd gevonden bij 6 baren (wegende 14—22 KG. elk), nadat eerst het Aw en Pf-gehalte van kapsels der *) Heycock en Neville, Phil. Trans. 189 (1897). *) Proc. Roy. Soc. 47 180 (1890). 52 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) buitenzijde (a en 6) was bepaald en daarna het 4w-gehalte in de geheele baar (c) (in duizendsten): Pt-gehalte a b te 825 120 660 120 800 45 850 86 842 110 830 Au-gehalte Au-gehalte c b—e 812 13 630 30 780 20 845 5 830 12 821 9 Het oorspronkelijk genomen proefmetaal had dus zeer merkbaar verkeerde waarden gegeven (opgemerkt zij dat nog andere bestand- deelen, zooals zilver voorkwamen). Fig. 33. Behalve synthetische proeven over liquatie van goud en pla- tina in legeeringen, waarin bovendien nog in hoofdzaak zilver voorkwam en die dus niet tot de binaire zijn te reke- nen, deed Matthey nog waarne- mingen aan legeeringen uit zuiver goud en platina samen- gesteld 4). Deze en volgende proeven bestonden steeds in het gieten van goedgeroerde smelten in een ronden vorm (7.5 cM. diameter), doorzagen van de legeering in twee gelijke helf- ten, en analyse van een aan- tal gedeelten van het snijvlak. Drie verschillende 4w-Pt-le- geeringen werden onderzocht, met resp. 100, 700 en 900 duizendsten platina. De eerste legeering werd na de eerste proef omgesmolten, en daarna nog tweemaal onder telkens sterkere verhitting. De resultaten Pt 106 Pt 106 e e Au 874 Au 903 Au 903 Pt 125-5 Pt 97 Pt 96:5 Auss7 Augo00-6 Pt 103. PL 991% «0 JAu905°3 Au 904 t 93 Pt 95-8 Au 905-3 Pt 94-2 Fig. 34 der analyses zijn aangegeven in de figuren 33, 34, 35 en 36: 1) Phil. Trans. A 183 629 (1893). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 59 die der legeeringen met 750 en 900 d. platina in de figuren 37 en 38. By platinagehalten van 100 en 900 duiz. is het centrum duidelijk armer aan goud dan de buitenzijde; vooral is dit zeer sterk bij de eerste legeering. Bij die met 0.750 platina is daarentegen weinig van Augos.e liquatie te merken. Fene voldoende verklaring hiervan kan niet gegeven worden Au 895 Au895-3 Au 886-1 Auss6 Aug95:6 Fie. 35. omdat de stolfiguur goud-platina onbekend is. Omgekeerd ech- ter kan men het wagen eenige voorspelling omtrent de laatste op grond dezer liquatie-proeven te doen. Daar de liquatie bij 0.100 platina zeer belangrijk is, is niet aan te nemen een ononderbroken reeks mengkristallen tusschen goud en platina. Evenmin ligt de legee- ring met 0.100 Pé dicht bi een eutektikum, of bij de samen- stelling eener verbinding. Daar- entegen kan de samenstelling 0.900 Pf wel in de nabijheid van een eutektikum liggen, terwijl een verhouding 0.750 Pt tegen 250 Aw er eene is die, wanneer men voldoende op deze Fig. 36. proeven vertrouwen mag, niet ver òf van een eutektikum (en wel van Pf met eene verbin- Pt 742 ding) òf van eene verbinding Au 249-3 Pt 742 Au248-3 Au24á Pt 750 À je Kit Pt 746 \Auzste zal liggen. Men zal derhalve bezat re Aer ERE recht hebben te denken aan OENE ee het bestaan van eene verbin- u 248% ome 3 5 t 744 Ans ding tusschen Aw en Pé, en Pt 758 dus een maximum in de smelt- Fig. 37. lijn in dat deel der stolfiguur dat dichter bij de zijde van het platina dan bij die van het goud ligt. Het ware te wen- schen dat dit experimenteel werd onderzocht. In dezelfde verhandeling deelt Matthey verder nog ana- loge onderzoekingen mede omtrent binaire legeeringen van goud ‘ 54. LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) en andere platina-metalen, van welke evenmin iets bekend is omtrent de stoltemperaturen, zoodat de liquatie niet daarmede in verband kan worden gebracht. Ik deel de uitkomsten kort mede: Goud-palladium. 900 Au en 100 Pd. Gewicht circa 5 KG. Na de eerste gieting nog herhaald met verhitting tot hooger temperatuur vóór het gieten (Fig. 39): Fig. 38. Platina-palladium. 850 Pd en 150 Pt. Gewicht circa 4 KG. (Fig. 40.) Augot-2 Aug992 Auasz Augoo-3 Augoo Pd B42-5 Pd 830 Pd 8375 Pt 155 Pt 160 Pt 160 2 Pdiass s Pt 1525 [= -Pd-835 d 80 PE 155, 155 Pd 850 Pd 855 Pt 147:5 Pt 142:5 Pd 845 Pt 145 Fig. 40 In de figuur is een scheiding getrokken tusschen proeven uit het bovenste en uit het benedenste gedeelte van de legeering, om te doen uitkomen dat hier in het spel gekomen is wat boven , zwaartekrachts-liquatie’’ werd geheeten. Idem. 150 Pd en 850 Pt. Gewicht circa 5 KG. (Fig. 41.) Pt 848 Pt 864 Pd 150 ‘Pt 8 VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. DE Or Platina-Rhodium 900 Pt en 100 RA. Gewicht circa 11/, KG. (Fig. 42.) Het is wel te betreuren dat uit deze resultaten niet meer met zekerheid omtrent de liquatie dezer legeeringen is af te leiden; zij hadden daartoe met grooter volledigheid moeten zijn verricht, bij een grooter aantal proeven en eene gewijzigde afkoelings- methode. Dit treft te meer omdat slechts bij uitzondering proef- pemingen van dezen aard met zulk materiaal op zoo groote schaal kunnen worden uitgevoerd. Goud- Aluminium. Deze legeeringen zijn van de vorige in zooverre onderscheiden dat hier de volledige stolfiguur wel bekend is. De proeven van Matthey waren de volgende: I. 100 Aw en 900 47. Gewicht circa 1 KG. Samenstelling in at. 0/, + 1.5 Au, 98.5 Al. (Fig. 43). A cae Il. 900 4x en 100 Al. Ge- pegs Male wicht circa 41}, KG. Samenstel- aay ling in at °/, + 55 Au, 45 Al Aur (Fig. 44). Ill. 786 Aw en 214 Al. Ge- wicht(?) Samenstelling ongeveer als de verbinding du Al, (Fig. 45). Nadat elk der gegoten en be- koelde bollen vertikaal was doorgezaagd werden de zijvlakken be- schreven als volgt: bij I wit, smeedbaar, benedengedeelte purper- gespikkeld. IT. Wit, bros, de geheele massa purper-gevlekt; van de onderzijde tot aan het midden omhoog een pyramide-vormige massa van witte kristallisatie met een van ’t overige afwijkend uiterlijk. II. Geheel purper-kleurig en bros. Fie. 44. Trachten wij de liquatie-uitkom- sis sten nog in verbinding te bren- gen met de stolfiguur gegeven door Heycock en Neville D. Uit deze laatste (Fig. 46) volgt voor geval I (1.5 at. °/, Aw) dat de stolling bij 675° begon onder afscheiding van purper-gekleurd Awol Au ab? Au 116-5 RAR Cp LA 1 u à Aus6s6 Auss2:3 Au ga2-3 1) Phil. Trans. 194 201 (1900). 56 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) Au Al, tot aan 647°, waar eutektikum met 4/ optrad. Daar de stol- ling betrekkelijk langzaam plaats vond, heeft de zware verbinding gele- genheid gehad zich naar beneden te concentreeren. In een uiterst gunstig a geval zou boven slechts legeering van de samenstelling van genoemd eutektikum overblijven. Dit laatste bevat 75 °/,, Au en 925 0), Al. Au784:3 Inderdaad zijn in het centrum en een weinig daarboven goudgehalten van 72, 76 en 77 °/o9 gevonden. Voor Il, legeering van 55 0/, du en 45 AZ, zal tusschen 650° en 700° afscheiding van Av A/, beginnen op den linkertak HG van de kurve dier verbinding. Daarvan zal zich slechts weinig afscheiden, vervolgens een witte verbinding, waarschijnlijk dw Ad ge- vormd worden, tot eindelijk het eutektikum hiervan met de verbinding Aug Al wordt bereikt. In werkelijkheid zal de eerste (purperen) ver- hae welhaast nimmer gelegenheid hebben, zooals de theorie ver- langt, zich totaal om te zet- | ten, en dus nog aanwezig WEEET zijn, zooals ook hier ’t geval ai was. Die onvolledigheid echter in de omzettingen, die behoorden te geschie- den, veroorzaken licht verschillende onregelmatig- heden; zoo ook hier. De witte kristalmassa tus- schen bodem en centrum J is te beschouwen als de verbinding dw, Al of haar Au 783 Au 782-9 Au 781°5 Au 7815 Fig. 45. | EL er | abel be 6 WERELDEN er) Pole | | | | 1 eN A Nae at oa aaa eutektikum met Awd. EE es eee aa Wanneer deze proeven met 100 90 80 60 2 10 O4v grooter variatie in afkoe- Atom, procenten. lingssnelheid herhaald wer- Fig. 46. den, dan zal naar alle waar- schijnlijkheid fraaie overeenstemming tusschen de stolfiguur en de liquatie-bepalingen verkregen worden. III is een van de weinige gevallen waarin liquatie van eene legeering is onderzocht, welke juist de samenstelling heeft van eene werkelijk be- staande verbinding der beide componenten. Theoretisch moet vol- VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 5 ~ ledige gelijkslachtigheid optreden. De proef bewees, dat hiermede de praktijk zeer goed in overeenstemming is, want de gehalte-verschillen zijn slechts zeer gering. Goud en lood. Ongelijkslachtigheid van legeeringen dezer twee metalen (evenals van de volgende) is een factor van eenige betee- kenis voor de bepaling van de handelswaarde van goud, afkomstig uit Zuid-Afrika. Tengevolge van de behandelingen waaraan dit goud bij het eyanide-proces onderworpen wordt, kan het af en toe miet onbelangrijke hoeveelheden lood (en zink) bevatten. Daardoor zijn meer dan eens zeer ongewenschte resultaten verkregen bij de analytische bepaling van gedeelten van goudbaren, waarvan Matthey !) weder voorbeelden mededeelt. Genoemde onderzoeker voerde daarom onderzoekingen uit aan synthetische legeeringen, die dergelijke bijkomende metalen in afwis- selende hoeveelheden bevatten, waarvan ik hier slechts diegene mededeel welke op de meer eenvoudige legeeringen van twee metalen betrekking hebben. Hij gebruikte daarbij weder de methode, ook in andere proeven door hem gebezigd en bovenvermeld. Van goud-lood zonder andere metalen is slechts ééne bepaling gedaan. Gewicht der legeering 2 KG. Samenstelling 700 goud en 300 lood. Uitkomsten geeft Fig. 47. Het centrum is duidelijk goudrijker dan de omtrek. De smeltfiguur is nog zeer onvolledig bekend. Slechts hebben Heycock en Neville?) bepaald dat bij toevoeging van goud aan lood (tot 4 at. °/, goud) het stol- punt van lood daalt. Er is geen twijfel of die daling gaat tot een eutektisch punt, dat nog iets verder naar den goudkant kan liggen. Maar dit is, hoe weinig ook, reeds vol- doende om de gevonden liquatie met de stolfiguur te doen overeenstemmen. Bij de proef met een legeering met 70 °/) goud moet zich hetzij goud, hetzij eene goudrijke vaste oplossing of eene verbinding het eerst afzetten; het betrekkelijk meer lood- rijke eutektikum zal zich ten slotte naar den omtrek bewegen en daar het goudgehalte verlagen, in het midden verhoogen, onder dit eene voorbehoud dat bij afkoeling van de gesmolten legeering *) Proc. Roy. Soc. 60 21, (1897). *) Journ. Chem. Soc. 61 909, (1892), 58 LIQUATIE (ONGELIJKSLACHTIGHEID) niet een gedeelte der stolfiguur wordt getroffen, dat in de rich- ting naar het goud daalt. Uit de medegedeelde liquatie is omge- keerd af te leiden, dat dit niet het geval zal zijn geweest. Goud en zink. Voor deze proeven zijn drieërlei legeeringen ge- bruikt. 1° 95 °/, goud en 5 °/, zink. Gewicht 3.4 KG. (Fig. 48.) 943:2 9454 943-2 Fig. 48. 2° 90 °/, goud en 10°/, zink. Gewicht 4.2 KG. (Fig. 49.) 3° 85 °/) goud en 15 °/, zink. Ge- wicht (?) (Fig. 50.) Van de stolfiguur is evenals bij de vorige legeering nog slechts weinig be- kend. Tot 6 at. 0}, goud in zink is zij onderzocht door Heycock en Neville 4) met het resultaat dat het stolpunt van zink door bijvoeging van goud stijgen gaat, zonder dat van eene daling in het eerste oogenblik iets te bemerken is geweest. Het gedeelte ECG van de stollingskrommen, waarop het Fig. 50. hier aankomt kent men niet. Evenwel, uit deze liquatie-bepalingen mag men nu weder het besluit trekken dat de punten beantwoordende aan de samenstelling 5, 10 en 15 °/, zink niet liggen op gedeelte van de stollingskrommen, welke een dalend verloop in de richting van 100°/, goud hebben. Deze liquatie-proeven aan goudlegeeringen werden door Matthey *) Journ. Chem, Soc. 71 419, (1897). VAN BINAIRE METAALLEGEERINGEN. 59 uitgebreid over andere combinaties met de bijgemengde metalen zink en lood, waarbij scheidingen in twee lagen voorkwamen, welke niet tot dit onderwerp behooren. Het voorafgaande moge worden beschouwd als eene poging om het verschijnsel der liquatie bij binaire legeeringen door het aanbrengen van een verband met andere bijzonderheden dier alliages toe te lichten. Ten slotte vinde hier nog de opmerking een plaats dat dezelfde liquatie in hooge mate een praktische handelwijze beheerscht, die bij de legeeringen veelvuldig te pas komt nl. het nemen van proefmetaal voor de analyse van grootere hoeveelheden. Daarin kunnen juist bij het optreden van liquatie zeer belangrijke fouten gemaakt worden, hetzij door onkunde, hetzij door de onmogelijk- heid om onder bestaande omstandigheden aan de gevolgen van deze dan zoo hoogst ongewenschte eigenaardigheid te ontkomen. Ratio- neele behandeling der vragen, die zich hierbij voordoen, is slechts mogelijk na studie der liquatie in elk dier gevallen. Generale Contrôle van ’s Rijks Munt. Utrecht, Mei 1905. (9 October 1905). ixperimental-Untersuchung Über die Mécehkelt einer Doppeltelephonie mittels unterbrochener Klange, VON J. W. GILTAY. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). ‚ DEEL IX. N°. 3. MIT 4 TAFELN. AMSTERDAM , JOHANNES MULLER. Juli 1906. ixperimental-Uniersuehung ther die Moclichkelt einer Doppellelephonie mittels unterbrochener Klänge, VON J.W GTE TAM. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL IX. N°. 3. MIT 4 TAFELN. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1906. =S v= pee mn bons | 4 oe 4 MS ae See ae 4} r an” San res a} -. ec” "STE EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG über die Moglichkeit emer Doppeltelephonie mittels unterbrochener Klänge. Wenn man eine Selenzelle, welche sich mit einer Batterie und emem Telephon in einer Leitung befindet, einer intermittirenden Beleuchtung aussetzt, so wird man, falls der Wechsel von Hell und Dunkel schnell genug vor sich geht, im ‘Telephon einen Ton héren. Ein Apparat welcher dies Experiment bequem auszuführen gestattet, ist in Fig. 1 abgebildet. In einem eisernen Gehäuse dreht sich eme mit schwarzem Papier derart beklebte Glasscheibe s, dass 6 Fensterchen ausgespart bleiben. Die Selenzelle wird, mit der Selenoberfläche nach innen, in das Loch aé des Gehäuses geschoben und mit 2 Federn ff befestigt. Wird jetzt an der anderen Seite des Gehäuses, an welcher sich in der Wand ebenfalls ein mit ad korrespondirendes Loch befindet, eine Lichtquelle aufgestellt, und wird die Glasscheibe gedreht, so ist die Zelle einer intermittirenden Beleuchtung ausgesetzt. Beleuchtet man eine mit Batterie und Telephon verbundene Selenzelle mit einer vibrirenden Acetylenflamme, so wird man im Telephon mit den Schwingungen der Flamme übereinstimmende Klänge wahrnehmen. Man kann dazu den Apparat Fig. 2 ver- wenden. « ist die Selenzelle, 4 eine manometrische Kapsel, ce der Schalltrichter mit Gummirohr (das auf 4 geschoben wird) und 4 der Acetylenentwickler. Wird jetzt leise in den Trichter ¢ hinein gesprochen, so wird im Telephon Alles wiedergegeben. Als ich mich mit obengenannten Versuchen beschäftigte, kam mir der Gedanke: was wird man hören wenn man die Einrich- tungen von Fig. | und Fig. 2 zugleicherzeit gebraucht? Also wenn man die wibrirende Flamme vor der Oeffnung des Drehapparates Fig. 1 aufstellt? 4 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. Die Frage, die ich mir dabei stellte, war also eigentlich: was wird man hôren wenn man einen konstanten Ton periodisch unter- bricht? Ich dachte mir, eben so wie man durch eine sich drehende durchlécherte Scheibe sehen kann, eben so wird man auch durch eine solche Scheibe /dren können. Aus einem kombinirten Versuch mit der vibrirenden Flamme und der sich drehenden Scheibe kann man keine exakten Resultate erwarten, weil neben der durch die Vibration der Flamme erzeugten Tönen auch der konstante Ton wird wahrgenommen werden, der durch die Drehung der Scheibe ensteht. Dennoch waren die Resultate dieses Experiments nicht gänzlich unbefriedigend. Bei ungefähr 200 Unterbrechungen pro Sekunde wurden einige Laute wahrgenommen, als die ersten Zeilen unserer Nationalhymne in die manometrische Kapsel hineingesprochen wurden. Die Worter wurden dabei im Telephon zwar erkannt; ich muss aber dazu bemerken dass ich sie nicht wiirde verstanden haben wenn ich nicht gewusst hätte was dort gesprochen wurde. Die Vokale hatten ihren Charakter sehr geändert, was vielleicht durch den Nebenton der rotierenden Scheibe verursacht wurde. Singen vor dem Mikrophon ergab eine äusserst merkwürdige Musik, es waren keine falschen Töne, die man im Telephon hörte, aber es war ganz etwas Anderes als was auf der Absendestation gesungen wurde! Die Frage ob ein periodisch unterbrochener Klang konstanter Höhe und konstanter Intensität auch wieder als ein Klang der nämlichen Höhe und konstanter Intensität wahrgenommen wird, war durch das obengenannte Experiment freilich nicht beantwortet, aber es ergab sich daraus meines Erachtens doch die Wahrscheinlichkeit dass eine bejahende Antwort auf diese Frage würde gegeben werden müssen. Die Antwort interessirte mich nicht ausschliesslich vom wissenschaftlichen Standpunkt: ich hoffte in dieser Richtung die Lösung zu finden eines Problems, mit welchem ich mich schon seit vielen Jahren beschäftigte, nämlich einer Methode für Duplex- und vielleicht auch Multiplex-Telephonie. Da mir nicht bekannt war ob je Experimente mit unterbrochenen Klängen gemacht worden sind, habe ich mich danach bei Herrn Prof. G. Heymans in Groningen erkündigt, der die Giite hatte mich auf die Arbeiten von Arrrep M. Mayer zu verweisen, der sich vor verschiedenen Jahren schon mit diesem Studium beschäf- tigt hatte. Seine Publikationen finden sich in ,,the American Journal of Science und Arts”, third series, Vol. 8, 1874, Vol. 9, 1875 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. 9) und Vol. 47, 1894, unter dem Titel ,,Researches in Acoustics”. Mayer gebrauchte für seme Versuche anfangs den in Vol. 8, S. 242 abgebildeten Apparat. Nachher hat er ihn verbessert; die Beschreibung und Abbildung davon findet sich in Vol. 47, S. 8, Unsere Figur 3 zeigt diesen Apparat. Wie man sieht, besteht derselbe aus einer vor der Oeffnung eines Resonators aufgestellten Stimmgabel und einer durchlôcherten Scheibe, welche vor der engen Oeffnung des Resonators sich dreht. An der anderen Seite der Scheibe befindet sich die Röhre, die den unterbrochenen ‘l'on der Stimmgabel in das Ohr leitet. Der Durchmesser dieser Röhre und der in der Scheibe befindlichen Locher war !0 mm.; der Durchmesser der engen Resonatoröffung 5 mm. Die Distanz zwischen den Mittelpunkten der Scheibelöcher war gleich dem sechsfachen Durehmesser der engen Resonatoröffnung, also 30 mm. Die Periode absoluter Stille (abgesehen von dem schwachen Tone, der noch durch die volle Scheibe drang) war also eben so gross wie die Periode des Tönens, den crescirenden und decrescirenden ‘Theil damit einbegriffen. Es wird dies durch Figur 4 deutlich gemacht; der Einfachheit halber lassen wir die Resonatoröffnung 7 in der Richtung des Pfeiles sich verschieben; gg sind 2 Löcher der Scheibe, die Distanz zwischen deren Mittelpunkten ist gleich 6 ab. Der Ton fängt an hörbar zu werden so wie > die Linie 2 überschreitet und endet in dem Augenblicke in dem 7 die Linie 5 zu überschreiten anfängt. Die Dauer des Tônens ist -also gleich 3 mal derjenigen Zeit, in welcher eine Distanz ab zurück- gelegt wird. So bald 7 die Linie 8 zu schneiden anfingt, fängt der Ton wieder an; es ist also die Ruheperiode gleich der Zeit, die erfordert wird um die Distanz von Lime 5 bis Linie 8 zurück- zulegen, das heisst eine Distanz 3 ab, also ist die Dauer des Tônens gleich der Dauer der Ruhe. Mayer hat auf diese Weise bestimmt wie lange der Eindruck des Schalles derart nachwirkt dass man noch einen ruhigen Ton wahrzunehmen meint. Aus den Resultaten, die er mit Tônen ver- schiedener Hohe bekam, hat er die folgende Formel aufgestellt: | 33000 | N +- 30 D= 118! 0,0001. 5 Darin ist D die Zeit, während welcher der Schall genügend nachwirkt um die Empfindung eines ruhigen Klanges zu geben; *) Vol. 47. S. 15. 6 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. NV ist die Anzahl ganzer Schwingungen (vibrations doubles) desje- nigen Tones, womit experimentirt wird. Mayer fand auch ® dass diese Zeit D sich sehr wenig änderte mit der Intensität des vor dem Resonator hervorgebrachten Tones und weiter dass, wenn er einmal schnell genug drehte um einen ruhigen Klang zu erzielen, dieser Klang sich nicht änderte wenn er anfing schneller zu drehen. Wie weit er mit diesem schnelleren Drehen ging, wird jedoch nicht erwähnt; er sagt davon: „Extreme velocities, of course, produce such violent agitations at the mouth of the resonator as to render experimenting impossible.” Wir wissen jetzt also: 1. Wenn man einen constanten Ton periodisch unterbricht, und die Klangperiode der Ruheperiode gleich nimmt, so hôrt man, falls die Unterbrechungen schnell genug vor sich gehen, einen konstanten Ton derselben Hohe. 2. Dreht man rascher, so bleibt dennoch die Erschemung dieselbe. 3. Aenderung in der Intensität des Tones erfordert keine Aen- derung in der Geschwindigkeit mit welcher die Unterbrechungen sich folgen müssen um einen ruhigen Klang zu erzielen. Wenn das sub 2 genannte nicht nur in ziemlich engen Grenzen der Fall ist, so wird es — wenigstens theoretisch — möglich sein müssen auf diese 5 Thatsachen ein System von Duplex- und viel- leicht auch sogar von Multiplex-Telephonie zu bauen. Nach Helmholtz 2) ist der höchste Oberton des Vokals I das d”” von 2376 ganzen Schwingungen. Berechnen wir dafür das D aus 1 der Mayer’schen Formel, so bekommen wir D = 316 Sek. Das heisst 1 also, die Ruheperiode für den Vokal I dart höchstens 315 Sek. dauern. Wenn wir bei unseren Experimenten die Klangdauer von der selben Grosse wählen wie die Ruheperiode, wie das bei den Mayer’schen £ 315 Versuchen der Fall war, so müssen also wenigstens Ta tae wir 160, Unterbrechungen pro Sekunde auftreten um den Vokal I ruhig zu hôren. Der charakterisirende Oberton des Vokals U (Deutsche Aussprache) ist das / von 176 ganzen Schwingungen. Dafür ist D = EG Sek., es a 56 *) Vol. 8. S. 245. *) Die Lehre von den Tonempfindungen, 3e Ausg. S. 171. ~) EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U.S. W. würden also für das U 28 Unterbrechungen pro Sek. ausreichen. Um die menschliche Sprache mit unterbrochenem Schall ordentlich wahrnehmen zu können, ist es also nothwendig dass man den Vokal U, der nur 28 Unterbrechungen pro Sek. erfordert, auch noch gut ver- steht bei 160 Unterbrechungen. Wir kommen nachher hierauf zurück. Die nächtsliegende Methode auf die Mayer’schen Resultate ein System von Doppeltelephonie zu bauen, ist wohl die in Fig. 5 schematisch angegebene. S ist eine auf einer metailenen Achse mx befestigte und damit leitend verbundene Metallscheibe. An der Peripherie dieser Scheibe sind Segmente ausgeschnitten und die dadurch entstandenen Lücken mit Hartgummi ausgefüllt. Die schwarzen Streifen stellen Hart- gummisegmente vor, die weisse Streifen Metall. Die Hartgum- misegmente sind ein wenig grösser als die metallenen. Auf der Peripherie der Scheibe schleifen 2 Federn, 1 und 3. Diese befinden sich in einer solchen Lage, dass, wenn 1 auf der Mitte eines Me- tallsegments ruht, 3 auf der Mitte eines Hartgummisegments anliegt. Die Feder 2 druckt dauernd auf die Achse mx. An der anderen Station befindet sich ebenfalls eine Scheibe mit 3 Kontaktfedern, 4, 5 und 6, alles vollkommen gleich der in Station 1 befindlichen Anordnung. In Station I befinden sich die Telephone a 1 und 4 1, und in Station II die Telephone a 2 und # 2. Aus der Figur ist deutlich zu sehen, wie diese mit den Federn und den Leitungen verbunden sind. Wir nehmen an dass die Scheiben in Ruhe sind und dass 1 und 4 auf der Mitte eines Metallsegments aufliegen, 3 und 6 dagegen auf der Mitte eines Hartgummisegments. Wird jetzt in das Telephon al gesprochen, so gehen die darin induzirten Ströme nach 1, in die Metallscheibe, durch 2 in die obere der beiden Linien, durch Telephon a 2 nach 4, durch die Metallscheibe in Station IT, durch 5 zur unteren Linie und so zurück zu a I. Man wird also in a 2 hören, was in al gesprochen wird. Es werden aber weder 4 1 noch 6 2 etwas vom Gesprochenen hören, da die beiden sich in einer Leitung befinden, welche an 2 Stellen unterbrochen ist, nämlich bei 3 und bei 6. Was in 4 1 gesprochen wird, wird, aus dem- selben Grunde, in 2 4 nicht gehôrt werden. 4) *) Es genügt nicht, dass die Leitung nur an einer Stelle unterbrochen wird, da man noch ganz gut ein telephonisches Gespräch halten kann zwischen 2 Stationen, die nur durch eine einzige Linie verbunden sind und keine Erdverbindung haben. Die Klänge sind dann freilich schwach, aber mit einem guten Mikrophon und einer passenden Mi- krophonbatterie kann man Alles noch recht gut verstehen. OC EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U.S. W. Es befindet sich also a 1 in elektrischer Verbindung mit a 2, und die Telephone 41 und 62 sind todt, so lange die Federn 1 und 4 mit den Messingstreifen in Kontakt sind. Dreht man jetzt die Scheiben an den beiden Stationen mit derselben Geschwindig- keit, so werden in einem folgenden Augenblick a 1 und a2 todt, 61 und 42 degegen mit einander in Verbindung sein. Dreht man die Scheiben synchron und geniigend schnell, so kann man erwarten dass sowohl a 1 mit a2 als 41 mit 62 zugleicherzeit werden sprechen können, und dass 4 l und 4 2 nichts von a 1 und a2 werden hören können, eben so wenig als a l und a2 von 61 und 42. Der Apparat, den ich fiir diesen Versuch baute, bestand aus 2 Metallscheiben von 16,5 cM. Durchmesser, die beide auf einer selben Achse befestigt waren. Die Scheiben waren mit 36 mit Hartgummi aus- gefüllten Ausschnitten versehen. Für die Kontakte auf der Peripherie der Scheiben benützte ich sowohl Metallrollen als Metallfedern und Kohlebürsten. Eine Umdrehung der Scheibe pro Minute giebt — 0,6 Unterbrechungen pro Sek. Es wiirden also für den Vokal 160 Nn ; 2 I ol 266 Umdrehungen pro Minute genügen. Ich habe mit diesem Apparat jedoch nichts brauchbares bekom- © men. Von Verstehen war gar keine Rede, man könnte meistens sogar nicht hören dass gesprochen wurde. Auch das Ucbertragen des ‘Tones einer Stimmgabel und einer Stimmfléte misslang voll- kommen. Man hôrte im ‘Telephon nur einen fürchterlichen Larm, der mit artikulirten Lauten oder musikalischen Tônen gar nichts zu tun zu haben schien. Ich habe mit diesem Apparat nur ver- sucht, ob man in al die Klänge hôren kônnte die in der Nahe von «2 hervorgebracht wurden, ich less also die beiden Telephone 61 und 62 überhaupt fort. Statt eines Telephons als Sender, was ich in Fig. 5 nur einfachheitshalber skizzirte, diente ein Hunnings- Mikrophon, das verbunden war mit 2 Accumulatorelementen und dem Primärdraht eines klemmen Transformators, dessen Sekundardraht mit der Leitung in Verbindung war, also ganz wie in der telepho- nischen Praxis. Ich habe auch noch auf eine andere Weise versucht mit diesem Apparat meinen Zweck zu erreichen. Ich glaubte nämlich bemerkt zu haben dass der Klang im ‘Telephon ein wenig besser war, als ich eins meiner Kontaktrader benützte, nicht um die Linie zu un- terbrechen, sondern um einen Kurzschluss zwischen Linie und Rücklinie abwechslend zu schliessen und zu öffnen. Fig. 6 zeigt EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. 9 dies schematisch. Die Linie «4 ist mit einer Feder c und die Linie de mit der Scheibe f/ verbunden. Dreht sich die Scheibe, so wird jedesmal wenn ein Messingsegment mit der Feder in Berüh- rung ist, ein Kurzschluss gebildet zwischen den Linien a 4 und de; in diesem Augenblick wird also das Telephon 7’1 (praktisch) keinen Strom bekommen. Nun ist aber wahrend der Zeit, in welcher dieser Kurzschluss da ist, die Linie unbrauchbar /úr die beiden anderen Telephone, die über dieselbe Linie sprechen sollen. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, versuchte ich die in Fig. 7 skizzirte Einrichtung. Die Scheibe / macht, eben so wie es in Fig. 6 der Fall war, einen Kurzschluss während der Zeit in welcher sie mit der Feder ec in Berührung ist. Ausserdem ist aber noch eine zweite Scheibe g da, eben so beschaffen wie / und mit derselben Ge- schwindigkeit sich drehend als 7. Diese Scheibe dient dazu die Linie de periodisch zu unterbrechen: so lange die Feder 4 mit der Scheibe y in Kontakt ist, ist die Limie de geschlossen; so wie jedoch dieser Kontakt geöffnet wird, ist auch die Linie de unter- brochen. Die Lage der Scheiben und die Breite der Metallsegmente war derart gewählt, dass sich, wenn die Scheiben rotierten, der Vorgang folgendermassen abspielte: (Fig. 7 und 8) 1. f bildet einen Kurzschluss zwischen den beiden Linien. m. g unterbricht die Linie dc. x. der Kurzschluss bei / wird unterbrochen. jé x ns 9s Wieder hergestellt. g schliesst die Linie dc. der Kurzschluss bei / wird unterbrochen. 5 ged sa wieder hergestellt. die Linie ed wird unterbrochen. der Kurzschluss bei f wird unterbrochen. Wes wie ber /-u.s. w. Zwischen # und o, # und x, u. s. w. ist der Kurzschluss und ebenfalls die Verbindung bei 4 unterbrochen. Während dieser Zeit wire die Linie also disponibel für die beiden anderen Telephone, die im Duplex-System sprechen sollen. !) Wie man sieht, geschieht das Schliessen und Oeffnen der Linie bei dieser Einrichtung stets in einem Augenblick, in welchem in der Linienstrecke Kadi kein Strom fliesst. Ich erwartete desshalb, ES = *) Es würde nicht nur die Linie de sondern auch ab unterbrochen werden miissen um eine vollkommene Stille in T1 während der Perioden no, tu u. s. w. zu erzielen. Da es sich jedoch nur um einen vorläufigen Versuch handelte, habe ich mich mit einer Unter- brechungsstelle begniigt. 10 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 8. W. dass das Schliessen und Oeffnen keinen störenden Einfluss auf das Telephon 71 haben würde. Das Experiment ergab jedoch, dass die im Telephon Z'1 auf diese Weise erzeugten Klänge eben so un- brauchbar waren als diejenigen, welche ich mit der Einrichtung von Fig. 5 erhielt. Beim Suchen nach der Ursache dieses Misserfolges lag es nahe zuerst den principiellen Unterschied meiner und der Mayer’schen Versuche festzustellen. Der grosse Unterschied ist folgender: bei Mayer geschieht der Uebergang des Tonens zur Stille und umge- kehrt a//mdhlig, da der Ton, wenn das Loch > nur einen kleinen Teil des Loches g bedeckt (Fig. 4), sich nur sehr schwach in dem Hôrrohre fortpflanzt. Bei meiner Einrichtung dagegen dauert die Stille so lange als die Kontaktfeder auf dem Hartgummi ruht; so wie die Feder mit einem Metallsegment in Berührung kommt, kommt sofort der Telephonstrom in seiner vollen Stärke in die Linie und in das ‘Telephon, in welchem man hört. Ebenso hort der Strom im Telephon sofort auf, wenn die Feder das Metallsegment verlässt. Nun ist es klar dass eine Telephonmembran von ihrer Ruhelage aus nicht in einem Augenblick diejenige Abweichung bekommen kann, die zu der in dem Momente herrschenden Stromstärke gehort; beim Anfang der Schallperiode wird also während emer kurzen Zeit das Telephon nicht die richtigen Schwingungen wiedergeben. Desgleichen wird beim plotzlichen Aufhôren der 'Telephonstréme die Membran nicht sofort zur Ruhe kommen. Geschieht das Oeffnen der Leitung in einem Moment, in dem der Telephonstrom = 0 ist, so hat die Membran grade thre grésste Geschwindigkeit und eine Abweichung = 0; geschieht das Oeffnen in einem Augenblick, in dem der Telephonstrom seine Maximalintensität hat, so ist die Membran freilich in Ruhe, aber sie befindet sich dann nicht in derjenigen Lage, welche zu einem Telephon ohne Strom gehört. In beiden Fällen wird also die Membran nach dem Aufhören der Telephonströme noch etwas nachschwingen. Es existirt also sowohl beim Anfang als beim Schluss der Schall- dauer eine kurze Periode, in welcher die Schwingungen der Te- lephonmembran nicht mit den von der anderen Station kommenden Telephonströmen übereinstimmen. Wir wollen diese Schwingungen der Kürze halber Higenschwingungen nennen, obwohl sie eigentlich eine Summation von Higenschwingungen und erzwungenen Schwin- gungen sind. EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. I 1 Wenn wir das Obengesagte als die richtige Erklärung des Miss- lingens unserer Versuche annehmen, so werden wir versuchen müssen eine Einrichtung zu finden bei welcher der Uebergang von Klang zur Stille und umgekehrt a//mählig vor sich geht. Man kann diese sowohl auf elektrostatischem als auf elektromag- netischem Wege finden. Die elektrostatische Methode wird in Fig. 9— 11 schematisch dargestellt. 4 (Fig. 9— 10) ist eine Metallscheibe, fest und leitend mit der Achse py verbunden. Sie hat an jeder ihrer Seitenflächen zahnformige Erhohungen aa. B und C sind stillstehende Scheiben durch welche die Achse pp ohne sie zu berühren hindurchgeht. B und C sind ebenfalls mit zahnformigen Erhöhungen versehen , in Grösse und Anzahl gleich denen von 4. Aber während A an beiden Seiten Zähne hat, haben B und C sie nur an den beiden gegen À gerichteten Flächen. B und C sind derart einander ge- genüber gestellt, dass eine Horizontalprojektion der Zähne von 2 gerade in den Raum zwischen den Zähnen von C fallt. Befindet sich 4 nun in einer solchen Lage, dass ihre Zähne gerade gegen- über denjenigen von B liegen, so liegen die an der anderen Seiten- fläche auf 4 befindlichen Zähne (Fig. 9, rechts) gegenüber dem Raum, der sich zwischen den Zähnen von C befindet. A bildet nun mit B einen Luftkondensator, und ebenfalls mit C. Aber in der Lage der Fig. 9 ist die Kapacität des Kondensators AB viel grösser als diejenige des Kondensators 4 C, und durch eine passende Wahl der Verhältnisse kann man erreichen dass die Kapacität des Kondensators 4 © bei dieser Lage von 4 so gering ist, dass er keine hörbaren Telephonstrôme übermittelt. Fig. 11 zeigt schematisch wie man mit einem solchen Apparat Doppeltelephonie würde betreiben können. Die beiden Linien sind durch Schleifkontakte verbunden mit den Achsen pp, auf welchen die Scheiben 4 befestigt sind. Wenn die Scheiben sich in der in Fig. 11 gezeichneten Lage befinden, so kann 4 mit 4 1 sprechen. Dreht man die Scheiben 4, 41... so weit, bis die auf ihrer rechten Fläche befindlichen Zähne den Zähnen van C, Cl... ge- rade gegenüber liegen, so kann e mit cl sprechen. Geschieht die Drehung von 4, 41... rasch genug, so kann 4 mit 61 und zugleicherzeit e mit ¢ 1 sprechen, ohne dass 4 etwas von c, oder umgekehrt, hören kann. Durch eine kleine Aenderung an der Einrichtung von Fig. 11 kann man die Schleifkontakte (die vielleicht wohl dazu beigetragen haben das Experiment von Fig. 5 misslingen zu lassen) vermeiden. Man würde dazu die Scheiben 4, 41 42 43 von Fig. 11 in 12 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 8. W. bleibender Verbindung lassen mit den flachen Scheiben W V1 V2 N3 (Fig. 12), welche mit den 4-Scheiben auf derselben Achse befestigt sind. Diese N-Scheiben induziren dann wieder die still- stehenden mit der Leitung verbundenen M-Scheiben. Es zeigte sich jedoch schon bei einigen Vorversuchen, dass ein elektrostatischer Apparat, um praktisch brauchbare Klänge zu geben, sehr gross würde sein müssen. Da die Einrichtung von Fig. 12 noch 2 Translationen mehr erfordert als die in Fig. 11 skizzirte, so gilt dies Bedenken für die in Fig. 12 angegebene Einrichtung selbstverständlich in noch héherem Grade. Dennoch will ich ein Experiment beschreiben, das zeigt, wie man mit äusserst geringen Kapazitäten noch verständliche Klinge über- tragen kann. Das Telephon ¢ (Fig. 13) ist verbunden mit den linken Platten zweier Luftkondensatoren, a und 4. Die beiden anderen Platten sind mit dem Sekundärdraht eines Transformators I verbunden; der Primärdraht mit einem Hunnings-Mikrophon und 2 Accumu- latoren. Die Kondensatoren bestanden aus 2 Spiegelglasplatten von etwa 15 X° 15 cM.; auf jede Platte war ein Stanniolstreifen von 14 mM. Breite geklebt. Die Glasplatten wurden, durch 3 Glimmer- stückchen getrennt, derart aufeinder gelegt, dass sich die Stanniol- streifen über eine Lange von 60 mM. gerade deckten. Die Ver- tikaldistanz zwischen den Stanniolstreifen war 0,2 mM. Die Glim- merplättchen waren so weit von den Stanniolstreifen entfernt, als es die Grösse der Glasplatten erlaubte; die Kondensatoren befanden sich in einem stark geheizten Zimmer und hatten schon seit einigen Stunden darin gelegen bevor das Experiment gemacht wurde, so dass von Isolationsfehlern keine Rede sein könnte. Sicherheitshalber habe ich das Experiment auch noch gemacht mit Glasplatten ohne Stanniolbelegung; dabei war im ‘Telephon nichts zu hören. Es zeigte sich nun, dass man mit diesen Luftkondensatoren, die also eine wirksame Oberfläche von 14 X 60 mM. bei einer Plattendistanz von 0,2 mM. hatten, im Telephon noch sehr gut verstehen konnte, was vor dem Mikrophon gesprochen wurde. 4) Ich füge hinzu dass ich für diesen Versuch ein Telephon be- nützte mit mehr Drahtwindungen, als gewöhnlich in der Praxis gebraucht wird und einen ‘Transformator mit mehr sekundärem Draht als üblich. *) Um zu bestimmen durch welche Kapazität man noch telephoniren kann, muss man immer zwei Kondensatoren gebrauchen; den Grund dafiir habe ich schon in der Bemer- kung auf S. 7 unten angegeben. mm EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. Als ich bemerkte, dass die für diese Apparate erforderlichen sehr grossen Dimensionen es sehr unwahrscheinlich machten, mit der elektrostatischen Methode praktisch brauchbare Resultate zu erhalten, so versuchte ich, mein Ziel durch Anwendung der elektromagneti- schen Induktion zu erreichen. Fig. 14 deutet schematisch an, wie ich mir eine solche Vor- richtung dachte. Auf jeder Station befinden sich 2 auf einer Achse befestigte Hartgummischeiben. Jede Scheibe ist mit z. B. 12, der Drehungsachse parallelen, Löchern versehen; in jedem Loch befin- det sich ein mit isolirtem Draht bewickelter Eisenkern, dessen Achse ebenfalls der Drehungsachse parallel ist. Der Leitungsdraht einer jeden Spule bildet mit dem der ihr diametral gegenüber lie- genden Spule eine geschlossene Leitung. a 6 ¢ de f g und 4 sind Hufeisenelektromagnete, zwischen deren Polschuhen sich die Spu- len 77... drehen. Wie die Figur zeigt, befinden sich die beiden auf derselben Achse befestigten Scheiben in verschiedener Lage. In dem Augenblick in welchem sich nämlich 2 7-Spulen der Scheibe A in der Mitte der Felder von a und e befinden, befinden sich die Hufeisen 6 und 4 gerade in der Mitte zwischen 2 /-Spulen der Scheibe Z. Es ist ohne Weiteres klar, dass in der Lage von Fig. 14 7’ mit T'\ wird sprechen können und dass in dieser Lage die Telephone 72 und 7'3 todt sind. Dreht man nun an beiden Stationen die Achsen, auf denen sich die Scheiben befinden, mit gentigender und synchroner Geschwindigkeit, und war beim Anfang der Bewegung die Lage von 4 genau gleich derjenigen von ©, so kann man erwarten, dass 7’ und 71 und zugleicherzeit unabhängig davon 72 und 73 mit einander werden sprechen können. Da man das erdmagnetische Feld in dem kleinen von den drehenden Scheiben eingenommenen Raume als überall von der- selben Intensität annehmen kann, so wird vom Erdmagnetismus kein Strom in den bewegten Spulen induzirt werden, denn diese Spulen bewegen sich derart, dass die Achsen sich stets sich selbst parallel verschieben, so dass sie in jeder Lage von derselben Anzahl erdmagnetischer Kraftlinien durchschnitten werden. Der Apparat, mit welchem ich versuchte meinen Zweck auf elektromagnetischem Wege zu erreichnen, war wie folgt einge- richtet: 4 (Fig. 15) war eine Hartgummischeibe von 31 eM. Durchmesser, in welchem sich 12 mit isolirtem Draht bewickelte Eisenspulen befanden. Die Spulen sind in Fig. 16 in natürlicher Grösse dargestellt. Die Drahtdicke der Windungen war 0,1 mM.; der Widerstand 14 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. einer jeden Spule betrug etwa 50 Ohm. Die Feldmagnete B und C sind in Fig. 17 in wirklicher Grosse dargestellt; die Drahtdicke der Windungen war ebenfalls 0,1 mM., der Widerstand zweier zu emem Feldmagnete gehörigen Spulen zusammen betrug etwa 200 Ohm. C war mit dem empfangenden ‘Telephon 7, B mit dem Sekundar- draht eines Transformators verbunden, dessen Primärdraht in be- kannter Weise mit Mikrophon und Batterie verbunden war. Die rotierenden Spulen waren unter sich verbunden wie Fig. 15 zeigt. Da die Scheibe mit 12 Spulen versehen war, so ergab eine Umdrehung pro Minute 12 Unterbrechungen pro Min. oder 3 pro Sek. Als ich nun diese Scheibe, bevor die Mikrophonbatterie geschlos- sen war und das Telephon 7' also absolut stille sein sollte, drehte, so liess sich dennoch im Telephon ein ziemlich kräftiger Ton hören, welcher bei Vergrésserung der Umdrehungsgeschwindigkeit sowohl höher als kräftiger wurde. Dieser Ton, den ich freilich wohl er- wartet hatte, wurde selbstverständlich durch den remanenten Mag- netismus der Spulen verursacht. Ich hatte sehr weiches Eisen genommen und dafür Sorge getragen dass die Spulen môglichst von magnetisirenden Einflüssen entfernt gehalten wurden. Aber trotz dieser Vorsorge und trotz verschiedener Kunstgriffe ist es mir nicht gelungen diesen Fehler zu beseitigen. Die mit diesem Apparat erhaltenen Resultate waren folgende: 30 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen ist zu verstehen, aber äus- serst hässlich und unbrauchbar. — Was man eine ,,Grabstimme”’ nennt, vermuthlich durch das Fehlen der Oberténe. — Eine Orgel- pfeife von 170 ganzen Schwingungen, F 2., wurde vor dem Mi- krophon angeblasen, der im Telephon gehörte Ton war aber sehr verschieden von diesem #2. Mit einer Stimmflöte a! — 440 D.S. erhielt ich dasselbe Resultat wie mit der Orgelpfeife. 90 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen war zu verstehen, aber sehr hässlich und zu tief. 235 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen ist teilweise zu verstehen. Ein bekanntes Lied, das vor dem Mikrophon gesprochen wurde, war gut zu verstehen. Eine vor dem Mikrophon gesungene Melodie klang im Telephon sehr komisch, einige ‘Tone kamen in der rich- tigen Höhe heraus, andere dagegen hatten sich gänzlich geändert und wurden heiser und zu tief. Die Stimmfléte gab im Telephon einen hässlichen klappernden Ton, dessen Höhe ich auf ungefähr c = 264 D.S. schätzte. Ich konnte bei dieser Drehungsgeschwin- digkeit, als vor dem Mikrophon gesungen wurde, nicht horen ob EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 8. W. 15 mein Assistent, der eine tiefe Bassstimme hat, oder ob meine Frau sang! 273 Unterbrechungen pro Sek. Wie bei 235, aber noch etwas schlechter. Ich habe danach den Apparat derart umgeändert, dass die hufeisenformigen Stücken £ und C gar kein Eisen mehr enthielten. Die Resultate waren jedoch nach dieser Uminderung ungefähr die- selben geblieben. Bet 145 Unterbrechungen pro Sek. war Alles ziem- heh gut zu verstehen, obgleich der Klang heiser und sehr unschön war. Bei 200 war Alles noch viel hässlicher und schwieriger zu verstehen. Ich glaubte diese ungünstigen Resultate dem Ton zuschreiben zu müssen, der dem remanenten Magnetismus der Hisenkerne seine Existenz verdankte und der die artikulirten Klänge dermaassen übertönte, dass das Gesprochene unverständlich wurde. Mit dieser Erklärung in Uebereinstimmung war ja auch die Tatsache, dass die Klänge bei langsamer Umdrehung der Scheibe, wobei der schädliche Eigenton schwächer ist, viel besser verständlich waren als beim schnelleren Drehen, obgleich doch bei langsamer Bewegung die Obertône fortblieben. Das einzige Mittel, die Richtigkeit dieser Erklärung zu prüfen, besteht darin, dass man sowohl die bewegten als die stillstehenden Spulen ganz ohne Eisen nimmt. Da aber die gegenseitige Induktion der Spulen durch das Fort- lassen des Eisens sehr geschwächt wird, so habe ich für dies Ex- periment meinen Apparat etwas umgeändert und zwar in der Weise, dass nur exe Uebertragung (Translation) stattfand. Der Sekundärdraht des Transformators (Fig. 18) wurde mit den beiden hinter einander geschalteten Feldmagneten B und C verbunden. Die bewegten Spulen waren ebenfalls alle hinter einander geschaltet; der Anfang der ersten Spule war mit einem Metallring verbunden, der isolirt auf der Drehungs-Achse befestigt war; ebenso war das Ende der letzten Spule mit einem solchen Ring verbunden. Auf diesen Ringen machten 2 mit dem Telephon 7'verbundene Kohlebürsten Kontakt. Fig. 19 zeigt schematisch, wie man sich diese Einrichtung für das Erzielen einer Doppeltelephonie würde denken müssen. Wie zu erwarten war, gab die in Fig. 18 skizzirte Einrichtung keinen Eigenton: so lange das Mikrophon in Ruhe war, war im Telephon nichts zu hören. — Beim ersten mit diesem Apparate gemachten Versuch fanden 220 Unterbrechungen pro Sek. statt. Das Sprechen war im Telephon 16 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. sehr gut zu verstehen, aber es klang sehr hässlich. Dennoch war es bedeutend besser als ich es je mit dem Apparat mit Eisenkernen bekommen hatte; ich erinnere mich dass mein Assistent, als er die artikulirten Laute zum ersten Male aus diesem eisenfreien Apparat hörte, mir gratulirte zu dem guten Erfolg. Von einem in das Mikrophon gesungenen Lied kamen jedoch nur einige Tône in der richtigen Hohe im ‘Telephon heraus, die meisten kamen in ganz anderer Tonhôhe heraus. Mit anderen Geschwindigkeiten erhielt ich folgende Resultate: 67 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen sehr dumpf, wenig Neben- gerausch, verständlich. Es fehlen offenbar die Obertöne. 100 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen wie oben, aber etwas leichter zu verstehen. Singen sehr schlecht. 172 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen ziemlich gut, ungefähr so wie beim ersten Versuch mit 220 Unterbrechungen. Singen weniger gut als bei 220. Wie man sieht, finden wir denselben Fehler, den wir mit dem Apparat mit Eisen bekamen, ebenfalls wieder bei dem eisenfreien Instrument. Der Unterschied ist nur quantitativ. Ich glaube diese nicht von mir erwartete Erschemung auf fol- gende Weise erklären zu können: In Fig. 20 bedeuten aa die 2 festen Spulen und 4 eine der rotierenden Spulen. Es wird vor dem Mikrophon ein Ton von konstanter Intensität hervorgebracht; das Mikrophon ist in der üblichen Weise mittels des Transformators mit den aa Spulen ver- bunden. An einem mit 6 verbundenen ‘Telephon wird gehört. Beim Anfang des Versuchs liegt die Achse der Spule 4 in der Linie AA, und jetzt schieben wir, während das ‘Telephon an das Ohr gehalten wird, 4 von Z nach #, und zwar derart dass die Achse von 6 der Linie 44 stets parallel bleibt. Wir hören dann im ‘Telephon Folgendes : Von AA bis BB. Der Ton behält die selbe Intensität. , BB „ CC 5 pe wird. immer schwächer und" wenn die Achse von 6 ungefähr in der Linie CC liegt. „ CC „ DD „ „ wird kräftiger, ist aber auch bei DD immer noch bedeutend schwächer als auf der Strecke 44—BDB. Von DD aus weiter schiebend, wird der Ton stets schwacher bis er schliesslich nicht mehr wahrgenommen wird. Dies Experiment lehrt uns in Bezug auf die Komponente der Feldstärke in der Richtung des Pfeiles: EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. il ~ Von AA bis BB ist das Feld (wir wollen sagen) + und homogen. ENEN Cot OPENT „ -+ und wird stets schwächer. Auf der Linie CC ist die Feldstärke = 0. Von CC bis DD ist das Feld — und wird fortwährend stärker. Von DD weiter in der Richtung WF gehend, bleibt das Feld — und wird stetig schwächer. Wenn die Spule 4 in eine solche Lage kommt, dass ihre Achse der Lime CC sehr nahe liegt, so kann es vorkommen dass eben so viele + als — Kraftlimen durch 4 gehen; in dem Augenblick ist also die Induktion in 6 = 0. Wenn wir einen konstanten Strom in den Spulen aa anneh- men, so können wir uns die Feldstärke also ungefähr charakteri- siert denken durch die in Fig. 21 skizzirte Kurve. Nehmen wir jetzt an dass ein Avzusstrom in den Spulen aa fliesst, so wird die Feldstärke in jedem Punkte des zwischen den beiden Spulen aa liegenden Raumes durch eme Sinusfunktion dar- gestellt werden können und diese Feldstärke wird in jedem Punkte dieses Raumes in jedem willkiirlichen Augenblick denselben Wert haben. Es befinde sich nun die Spule 4 in einem gewissen Momente mit der Mitte ihrer Achse in einem Punkt py 1, der in dem Raum zwischen den beiden Spulen «a und auf der Linie MF liegt, und es werde 5 in dieser Lage von zl Kraftlinien durchschnitten. Jetzt verschieben wir 4 nach einem Punkt p 2, ebenfalls auf ZA und zwischen 44 und BB gelegen. In dem Augenblicke in dem 6 dort ankommt wird sie von z 2 Kraftlinien durchschnitten. Aber wenn 4 im Punkt py 1 geblieben wäre, so würde sie, im Augen- bliek, in welchem sie jetzt in y2 ankommt, ebenfalls von x 2 Kraftlinien durchschnitten werden. Es folgt daraus dass der von a in 6 induzirte Strom ganz derselbe ist, gleichgültig ob 4 auf der Linie MF, zwischen AA und BB, bewegt wird, oder ob 6 stillsteht. ; Es erhält daher das Telephon während der Bewegung 44—BB den gewiinschten Sinusstrom. Wenn sich aber die Spule 4 zwischen BB und CC bewegt, so haben wir einen ganz anderen Fall. Nehmen wir an 4, oder — genau genommen — der Mittelpunkt ihrer Achse, befinde sich in einem Punkte p 3 auf der Strecke BB—CC und umfasse in dem Augenblick 2 3 Kraftlinien. Ver- schieben wir dann 4 zu einem sehr nahen ebenfalls auf der Strecke BB—CC liegenden Punkt » 4, so wird 4 in dem Augenblick in Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4: Sectie). Dl. IX. C 2 18 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 8. W. welchem sie in p4 ankommt von einer Anzahl Kraftlinien 2 4 durchschnitten werden. Die Aenderung in der Anzahl der Kraft- linien in der kurzen Bewegungszeit ist also x 4—» 3 und damit ist der in 4 induzirte Strom proportional. Wiire 6 jedoch in p 3 geblieben, so würde sie in dem Moment, in dem sie jetzt in p 4 anlangte, zicht von #4 sondern von wir wollen sagen »5 Kraftlinien durchschnitten sein. Denn auf der Strecke BB—CC hat die Feldstärke in jedem Augenblick in simmt- lichen Punkten einen verschiedenen Werth. Der während der Bewegung von p 3 nach p 4 in a induzirte Strom ist also propor- tional mit » 4—» 3 und wicht mit » 5—n 3, was doch der Fall sein müsste um in © den gewiinschten Sinusstrom zu erhalten. Der Strecke BB—CC in Fig. 20 water den Spulen entspricht auch eine solche «ber denselben, (44—GG). Es entsteht also in den rotierenden Spulen jedesmal wenn sie sich den Feldmagneten nihern und wenn sie sich davon entfernen ein Strom, der nicht der gewünschte Sinusstrom ist, sondern eine zusammengesetzte Funktion 1. der Schwingungsdauer des vor dem Mikrophon her- vorgebrachten ones, 2. der in Fig. 21 skizzirten Kurve CB, und 3. der Umdrehungsgeschwindigkeit der Scheibe. Der Nebenton, der durch diese fehlerhaften Ströme entsteht, wird also, was seine Ton- hohe anbetrifft, mit der Umdrehungszeit der Scheibe zusammenhängen. Wir werden also #7 5—» 4 in gewissem Sinne als Maass be- trachten können für die Abweichung, die zwischen dem im ‘Telephon gehörten Tone (über die Strecke BB—CC) und dem gewiinschten einfachen Tone besteht. Diese schädliche Abweichung wächst mit der Intensität des vor dem Mikrophon hervorgebrachten Tones, wie sich aus dem Fol- genden ergiebt: Es sei abcd (Fig. 22) die Kurve, die in einer gewissen Phase des Sinusstromes die Feldstärke darstellt. Wenn wir jetzt den Ton vor dem Mikrophon derart verstärken, dass die Stromstärke sich verdoppelt, so wird die Feldstärke in derselben Phase durch die Kurve 44 CD dargestellt werden können, bei welcher sämmtliche Ordinaten zweimal so gross sind als bei a ded. Wir betrachten nun zuerst den in der sich bewegenden Spule induzirten Strom wihrend der schwächere ‘Ton, wozu die Kurve abcd gehört, vor dem Mikrophon hervorgebracht wird. Während die Spule 6 sich in p»3 befindet, wird sie von 23 Kraftlinien durchschnitten: der Wert #3 ist der Ordinate p 3 e proportional. Kinen Augenblick später kommt 6 nach py 4 und wird von #4 Kraftlinien durchschnitten. In diesem Augenblicke ist jedoch die EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 8. W. 19 Feldstärkekurve wieder anders; wir wollen sie durch die punktirte Kurve darstellen. 24 ist nun mit p4 f proportional. Wire die Spule 4 in p 3 geblieben, so würde sie in dem Momente, in dem sie jetzt in p 4 anlangt, von x» 5 Kraftlinien durchschnitten werden, wobei x 5 der Ordinate p 3 g proportional ist. Es ist also: n 5—n 4 = C(p3qg—p4f) Es ist klar, dass, wenn wir diese Ordinate für die Kurve 46 CD konstruiren, wir für 2 5—wn 4 einen zweimal so grossen Wert finden werden, woraus also folgt dass die schädliche Abweichung mit der Intensität des Tones wächst. Je rascher die Scheibe sich dreht, desto kürzer ist die Zeit, in welcher 4 die Entfernung zwischen p 3 und p 4 zurücklegt, und vn : ; da der induzirte Strom mit cae proportional ist, wobei 2 die Anzahl der Kraftlinien bedeutet, so wird beim schnelleren Drehen der stérende Einfluss sich auch stärker bemerkbar machen. Und da man für hôhere Tône schneller drehen mzvss, so ist es klar dass diese sich schlechter reproduziren lassen, was durch das Experiment vollkommen bestätigt wird. Ausserdem giebt es noch eine zweite Ursache, wesshalb bei rascher Drehung der störende Einfluss grösser sein wird. Wenn wir die Scheibe 7 mal schneller drehen, so wird die Dauer des in 6 induzirten gewiinschten Sinusstroms 2 mal kleiner werden. Aber die Dauer des fehlerhaften Stromes wird nicht # sondern (z—wm) mal kleiner werden, wobei m eine positive Grosse ist. Denn gerade durch die grössere Geschwindigkeit wird jetzt der fehlerhafte Ton hörbar sein wenn 4 sich in einem Theile des Feldes bewegt, in dem früher dieser Ton bei der langsameren Bewegung zu schwach war, um wahrgenommen zu werden. Hine dritte Ursache des Undeutlichwerdens bei rascher Drehung könnte schliesslich noch folgende sein. Bei sehr rascher Drehung ist es möglich, dass die während der Bewegung von GG—AA (Fig. 20) im Telephon erregten Schwingungen eine bedeutend grössere Amplitude haben als die auf der Strecke 44— BB erregten Sinusschwingungen. Es wird in dem Falle eine gewisse Zeit dauern bis die Telephonmembran nach dem Eintritt der Spule 4 in das homogene Feld (zwischen 44 und BB), die richtige Schwingungs- form erreicht hat. Ist die Drehung sehr rasch, dauert also die Bewegung über den Weg 44—BB nur sehr kurze Zeit, so kann Pd 20 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. es ja vorkommen dass die Membran die richtige Schwingungsform noch nicht erreicht hat, wenn 4 (Fig. 20) schon das homogene Feld verlassen hat und sich auf dem Weg zwischen BB und DD befindet. In dem Falle würde man also von den gewiinschten Sinusschwingungen gar nichts aus dem Telephon hôren; von einer Artikulation wäre in diesem Fall selbstverständlich gar keme Rede. Wir sahen S. 18 dass der fehlerhafte Strom jedesmal ensteht wenn die sich drehenden Spulen sich den Feldmagneten nähern und wenn sie sich davon entfernen. Wir zogen daraus den Schluss, dass der Nebenton, wodurch sowohl die Artikulation des gespro- chenen Wortes als die Melodie der vor dem Mikrophon gemachten Musik entstelt wurde, was die Tonhöhe betrifft mit der Umdre- hungszeit der Scheibe würde zusammenhängen müssen. 4) Diese Annahme wird durch die folgenden Experimente vollkommen bestätigt : Die in Fig. 18 skizzirte Einrichtung wurde insofern umgeändert, als man durch das Herunterdrücken zweier Morsetaster den Strom einer Batterie von 9 Akkumulatoren in den Sekundärdraht des Transformators und in die Feldmagnete B und C senden konnte. Die Scheibe machte beim Anfang des Experiments 492 Touren pro Min. und beim Ende 506, wir können also für das Mittel 500 annehmen. Es wurde nun die Tonleiter 4—a (110—220 DS) vor dem Mikrophon gesungen und zwar folgendermassen: es wurde einige Sekunden lang 4 gesungen, darauf hérte der Singer unge- fihr eine eben so lange Zeit mit singen auf. Während dieser Ruhe- periode drückte der Hôrer, der fortwährend ein Telephon am Ohr hatte, auf die beiden Morsetaster. Wenn der Singer, der auch ein Telephon am Ohr hielt, am klick” hôrte dass die Taster wieder losgelassen waren, sang er wieder einige Sekunden das 4 und so fort bis 4 Mal. Dasselbe geschah mit B, cis, u. s. w. bis a. Der Ton, der im Telephon gehört wurde wenn die Taster nie- dergedrückt waren (wir wollen ihn den Eigenton des Apparats nennen), wurde auf ungefähr a (220 D.S.) geschätzt. Es ergab sich nun, dass alle vor dem Mikrophon gesungenen Tône ungefähr wie dieser Eigenton des Apparats klangen. *) Schon lange bevor ich die Erklärung der mangelhaften mit diesem Apparate er- zielten Artikulation gefunden hatte, hatte Herr Dr. M. pe Haas, Professor an der hiesigen Technischen Hochschule, der die Freundlichkeit hatte einige Male meinen Ver- suchen beizuwohnen, schon die Bemerkung gemacht, dass er in Allem, was er aus mei- nem Apparate heraushörte, stets einem dominirenden Ton zu hören meinte, dessen Hohe sich mit der Drehungsgeschwindigkeit der Scheibe änderte. EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. 21 Als danach die Tonleiter 4— a im der gewohnlichen Weise ge- sungen wurde, also jeder Ton nur einmal und ohne Herunter- driicken der ‘Taster, da war das Resultat ein wenig abweichend. Das gis und « wurde verstärkt im Telephon gehört, 4, 6 und eis wurden auch gehört, das e nur sehr schwach. Von einem vor dem Mikrophon gesungenen Liede kamen nur einige Tône richtig an ; die meisten waren jedoch entstellt. Sprechen war gut zu verstehen, obgleich es zu tief und heiser aus dem ‘Telephon herauskam; das wurde offenbar dadurch verursacht dass für verschiedene Obertöne der Vokale zu langsam gedreht wurde, wie aus Folgendem erklär- hich wird: 500 Umdrehungen pro Minute entsprechen 100 Unter- brechungen pro Sekunde, was also eine Ruhepause von = Se- kunde ergiebt. Es folgt aber aus der Mayer’schen Formel, dass die Ruheperiode 2 für die verschiedenen Vokale nicht grösser sein darf als: A E 1 O U (Holländisch ausge- sprochen.) Bes} AG Dares beth iso EDO. 281 915 117 56 et Für die karakterisirenden Obertône der Vokale Z und 7 drehte sich also die Scheibe viel zu langsam; ausserdem ist es gar nicht unmôglich, dass für eine gute Artikulation noch höhere Obertöne erforderlich sind als der Oberton /”” = 2376 D.S. des Vokals I. Wir sehen also aus diesen Ergebnissen dass der Eigenton der Scheibe derart über die anderen Töne dominirt, dass diese ihren Charakter ganz verlieren, wodurch gesungene Melodien ganz enstellt übertragen werden. Das gesprochene Wort scheint von der Entstel- lung bei dieser geringen Drehgeschwindigkeit weniger beeinflusst zu werden, es geht wenigstens die Verständlichkeit nicht verloren. Da, wie wir früher schon sagten, ein Impuls ensteht wenn die rotierenden Spulen sich den Feldmagneten nähern und ebenfalls wenn sie sich von ihnen entfernen, so wird der Higenton unserer mit 12 Spulen versehenen Scheibe bei 500 Touren pro Minute 500 NX 12 X 2 . ESS 0 ae oder 200 D. S. pro Sekunde betragen müssen. Es stimmt dies ziemlich gut mit der Schätzung überein, da das ge- schätzte a 220 D. S. macht. Der kleine Unterschied in der Tonhéhe kann dadurch erklärt werden, dass die durch einen Gasmotor getrie- bene Scheibe sich nicht vollkommen regelmässig drehte. Es zeigte auch 22 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 58. W. der Kigenton ein regelmässiges Ansteigen und Fallen was mit der Viertaktbewegung des Motors übereinstimmte. Es ist ohne weiteres klar, dass derselbe Fehler, der die elektro- magnetische Methode für die Praxis der Doppeltelephonie un- brauchbar macht, sich auch bei der elektrostatischen Methode zeigen wird. Denn die Feldstärke in der Nahe der elektrostatisch geladenen Zähne des in Vig. 9—10 dargestellten Apparats wird ebenfalls durch eine Kurve, ungefähr wie Fig. 21 zeigt, abgebildet werden können. Nur wird bei Anwendung der elektrostatischen Induktion die Feldstirke nicht negativ werden, die Kurve also die Achse nicht schneiden. Bei der in Fig. 5 skizzirten Vorrichtung erklarte ich die Un- brauchbarheit des Klanges aus der Tatsache, dass beim Anfang und beim Ende der Klangperiode jedesmal eine kurze Zeit bestand, in welcher das ‘Telephon nicht die gewünschten Schwingungen aus- führte. (Seite 10.) Bei dem Apparat von Fig. 15 gab ich dieselbe Erklärung. Es kan mir jedoch nachher wahrscheinlich vor, dass die Abwei- chung von der richtigen Schwingungsform beim elektromagnetischen Apparat (Fig. 15) viel grösser sein miisste als beim Unterbrechungs- apparat, (Fig. 5). Beim elektromagnetischen Apparat ist es ja möglich, dass bei rascher Drehung die Amplitude des fehlerhaften Klanges, der im nichthomogenen Theile des Feldes entsteht, grdsser ist als die Amplitude des gewiinschten Klanges, der im homogenen Theile des Feldes, zwischen den Spulen aa (Fig. 20) ensteht. Beim Unterbrechungsapparat sind jedoch die ungewünschten Vor- und Nachschwingungen der Telephonmembran stets kleiner als die Sinus-Schwingungen, die das Telephon macht in der Zeit, in wel- cher die Federn Kontakt mit der Scheibe machen. Und da man dennoch mit dem elektromagnetischen Apparat wo4/, mit dem Unterbrechungsapparat dagegen gar keine verständlichen Laute bekommt, so kam mir nachher der Gedanke, dass meine Erklärung der schlechten Wirkung des Unterbrechers doch nicht ganz richtig sein könnte. Die Ursache des Fehlers könnte auch wohl teilweise in der Rei- bung der Kontaktfedern oder Rollen auf den Hartgummisegmenten liegen. In diesem Falle wäre es zu empfehlen, den Apparat derart umzuändern, dass die Kontaktfedern stets auf Metall liegen; die EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. 23 Hartgummisegmente waren dann durch fodte Metallsegmente zu ersetzen. Js schien mir aber besser einen Versuch mit dem bekannten Turbinenunterbrecher der Allgemeinen Elektricitäts-Gesellschaft zu machen. Man ist bei diesem Apparat von Reibung und Abnut- zung von Metall auf Metall oder Kohle auf Metall gänzlich frei, was nur ein grosser Vorteil sein kann. Bevor ich jedoch mit dem 'Turbinenunterbrecher zu experimen- tiren anfing, habe ich noch versucht ob es, wnabhdngig von elektri- schen Winflüssen, möglich wäre bei 160 Unterbrechungen pro Sek. (geniigend für dem Vokal IT) eine gute Artikulation zu erhalten. Ich schnitt dazu ein Sprachrohr entzwei und stellte in der Schnitt- öffnung eine durchlöcherte Scheibe auf, welche darin gedreht werden konnte. Um den „violent agitations” (S. 6) vorzubeugen, wurden die Locher in der Scheibe so wie die daran grenzenden Oeffnun- gen der Sprachrohre mittels Goldschlägerhaut abgeschlossen. Es war mir jedoch nicht möglich durch diese 4 hinter emander aufgestellten Membrane, die einen Durchmesser von 10 mM. hatten, einen Laut zu hören. Da bei grösserem Durchmesser der Membrane der Apparat zu gross werden wiirde, habe ich die Versuche in dieser Richtung nicht fortgestetzt. Auf Seite 8—9 habe ich eine Methode angegeben, nach welcher ich versuchte meinen Zweek dadurch zu erreichen, dass ich die Linie unterbrach und wieder schloss in den Augenblicken, in wel- chen sie stromlos war. Es giebt aber ein weit einfacheres Mittel, wobei man nur Kurz- schluss benützt und wobei Schliessen und Oeffnen der Linie ganz überflüssig ist, wie in Fig. 23 schematisch angedeutet ist. So lange ab und cd geschlossen sind, bekommt 4 Strom von 3. Sind dagegen Ge und ef geschlossen, so erhalten 1 und 2 Strom von einander. Man würde auf diese Weise schon mit nur einem Unterbrecher an jeder Station für Doppeltelephonie auskommen (vergl. Fig. 24). Dieser Unterbrecher muss dann aber 2 Quecksilberstrahlen geben, oder einen breiten Strahl, damit nicht 2 Strôme (z. B. a 4 und be, Fig. 23) zugleicherzeit unterbrochen seien. Mit einem schmalen Quecksilberstrahl würde das wof/ der Fall sein können, wenn nämlich der Strahl ein Segment verlassen und das andere noch nicht erreicht hat. Der wohlbekannte Turbinenunterbrecher, met welchem die unten beschriebenen Versuche gemacht wurden, ist zweifelsohne ein aus- 24 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 8S. W. gezeichnetes Instrument. Ich hatte mir bei diesem Apparat verschie- dene Kontaktringe angeschafft, und zwar solche mit 2 4 6 8 und 12 Ausschnitten, um weit aus einander liegenden Unterbrechungs- zahlen zu bekommen. Die Ausschnitte hatten bei sämtlichen Ringen denselben Winkelwerth wie die Kontakte. Dieser Unterbrecher wurde nun als Briicke zwischen 2 Telephonlinien aufgestellt, also etwa wie es mit dem Rade ÿ in Fig. 6 der Fall war. Es ergab sich jedoch sofort, dass der drehende Unterbrecher selber einen sehr storenden Ton in dem Telephon erzeugte. Es bildet offenbar die (vernickelte) rotierende Stahlscheibe mit dem (vernickelten) kupfernen Kontaktring und dem Alcohol, in welchem beide sich befanden, ein galvanisches Element. Dreht sich der Apparat, so ist dies Element in sich selbst geschlossen so lange der Quecksilber- strahl Kontakt macht zwischen der rotierenden Scheibe und dem Kupferrmg; und so lange sendet es also keinen Strom in das Telephon. So wie aber der Quecksilberstrahl durch einen Ausschnitt des Kupferringes spritzt, ist der innere Kurzschluss des Elements unterbrochen und das Telephon erhalt Strom. Dass diese Erklarung die richtige ist, zeigte folgender Versuch: es wurde der stillstehende Unterbrecher mit einem Telephon und einem Neef schen Hammer verbunden. So wie dieser letztere in Schwin- gungen gebracht wurde, war ein sehr deutlicher Ton im ‘Telephon zu hören. 5 Um davor sicher zu sein, dass dieser Ton seine Entstehung nicht der Induktion: durch den in der Nabe der Linie befindlichen Elektromagneten verdankte, wurden die beiden Klemmschrauben des Turbinenunterbrechers durch emmen Metalldraht mit einander verbunden: der Ton war damit sofort verschwunden. Der obengenannte Fehler des Unterbrechers liess sich dadurch leicht vermeiden dass ich denselben mit Petroleum statt mit Alkohol füllte, es herrschte danach in einem mit dem drehenden Unter- brecher verbundenen 'l'elephon vollkommene Stille. Auch erzeugte jetzt der mit einem “Telephon und dem schwingenden Neef’schen Hammer verbundene stillstehende Turbinenunterbrecher gar keinen Ton im Telephon. Bei den ersten Experimenten, die ich mit diesem Unterbrecher- machte, waren die Resultate sehr verschieden und desswegen unzu- *) Es wurde selbstverstiindlich zu diesem Versuch ein sogenannter Doppelunterbrecher gebraucht, d. h. ein solcher mit 2 von einander unabhängigen Unterbrechungsvorrich- tungen, wovon die eine nur dazu dient, den Stromkreis zu öffnen und zu schliessen in welchem sich der Elektromagnet und die ihn betätigende Batterie befindet. EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U.S. W. wo Or verlässig. Während ich das eine Mal bei einer gewissen Unter- brechungszahl sehr schöne Klänge in dem Telephon erhielt, ungefähr eben so gut wie bei der gewöhnlichen Telephonie, bekam ich ein anderes Mal bei derselben Unterbrechungszahl sehr hässliche und fast ganz unverständliche Laute. Ich konnte zur Erklärung dieser Erscheinung nur annehmen, dass der Unterbrecher gar nicht funk- tionirte, wenn das Telephon so sehr deutlich sprach! Um mich nun stets davon überzeugen zu können, dass bei meinen Experimenten der Unterbrecher wirklich einen periodischen Kurzschluss bildete, traf ich die in Fig. 25 skizzirte Eimrichtung: a und 4 sind die Klemmschrauben des Turbinenunterbrechers, welche also mit einander verbunden sind in den Augenblicken wo der Quecksilberstrahl den Kontaktring trifft. f ist der Anker emes Relais, welcher im Ruhe- zustande stets mit der Schraube c in Kontakt ist. Befindet sich das Relais in dieser Lage und wird in Station IL gesprochen, so gehen die Telephonstrome während der Periode, in welcher das Queck- silber auf den Kontaktring spritzt, von 4 nach a, durch den Anker f über ce, d und e, und so zurück nach Station IH. Da dieser Weg bafede einen äusserst geringen Widerstand hat, so erhält das in Station I befindliche Telephon während dieser Periode (praktisch) keinen Strom. In Station I befindet sich ausserdem noch ein Flammentelephon V © (vergl. auch Fig. 26) das mit einer Batterie 4 zwischen die Kontakt- klemme g und Punkt 7 der Telephonleitung geschaltet ist. Vor dem Flammentelephon ist ein von einem Elektromotor getriebener dre- hender Spiegel aufgestellt; ausserdem befindet sich in Station I noch ein Morsetaster, der mit einer Batterie und mit dem Elektromagnet K des Relais verbunden ist. Den drehenden Spiegel, den Morse- taster und die Batterie mit der Leitung nach A habe ich, um die Figur nicht undeutlich zu machen, nicht gezeichnet. Wenn jetzt der Beobachter in Station I seinen Morsetaster her- unterdriickt, so wird der Relaisanker angezogen und Kontakt mit g bilden. Falls nun der Unterbrecher richtig funktionirt, so wird die Batterie / emmen intermittirenden Strom in die Leitung 4g fabiV senden und der Beobachter wird sich am Flammenbild im rotieren- den Spiegel jeden Augenblick davon überzeugen kônnen. Die Umdrehungsgeschwindigkeit des Unterbrechers wurde auf folgende Weise bestimmt: Auf die Achse des Unterbrechers war ein kleines Uhrrad von 24 Zähnen aufgesteckt, gegen welches eine Visitenkarte leise angedriickt wurde. Aus der Hohe des so entstan- *) Phys. Zeitschrift, 2 Jahrgang, No. 47, S. 676. 26 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U.S. W. denen ‘Tones liess sich durch eine einfache Rechnung die Unter- brechungszahl finden. Die auf diese Weise erhaltenen Resultate waren folgende: 46 Unterbrechungen pro Sek. Grabstimme, aber Alles ziemlich gut zu verstehen. Von einer gesungenen Melodie kamen sämmtliche Tone ziemlich in eizer Tonhôhe herüber. Eine Stimmgabel #3 = 340 D. S. wurde vor dem Mikrophon aufgestellt. Nach Marrr’s Formel sollte diese mit 47 Wechsel pro Sek. einen ruhigen Ton geben. Man hörte jedoch vom Eigenton der Gabel ungefähr gar nichts, wohl aber einen sehr tiefen Ton, den ich auf ungefähr 6 = 124 D. S. schätzte. 77 Unterbrechungen pro Sek. Dasselbe wie bei 46; auch jetzt schien die Stimmgabel den Ton 4 zu geben. 82 Unterbrechungen pro Sek. Grabstimme, Alles ziemlich gut zu verstehen. Von einer gesungenen Melodie waren nur 3 Tone von einander zu unterscheiden, die jeder ungefähr einen Halbton aus einander lagen. Einen sehr merkwürdigen Eindruck machte es, wenn man unmittelbar nach einander die Klänge ohne Obertöne und danach die gewöhnlichen Telephonklänge abhörte. Es wurde dazu die Leitung vom Flammentelephon zur Batterie 4 (Fig. 25) während einer kurzen Zeit unterbrochen und danach der Morsetaster hinunter gedrückt, wodurch der Relaisanker den Kontakt mit c lôste. 110 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen sehr hässlich und schwer zu verstehen, schwieriger als bei 82. Nur mit Aufmerksamkeit ist der grösste Teil zu verstehen. Singen sehr hässlich. 165 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen grössenteils zu verstehen, jedoch so hässlich, dass es nicht brauchbar ist. Es schien mir etwas leichter zu verstehen als bei 110. 220 Unterbrechungen pro Sek. Sprechen sehr schlecht, nur wenige Wörter werden verstanden. Von einer gesungenen Melodie waren mehr Töne zu unterscheiden als bei 82, dennoch war es sehr schlecht. 330 Unterbrechungen pro Sek. Kein Wort zu verstehen. Ich habe hiernach noch folgende 2 Experimente gemacht, wobei die Telephonströme während der Kurzschlussperioden nicht auf 0 reduzirt waren, sondern zwar schwach, aber doch noch verständ- lich blieben. Ich brachte dazu in den Kurgschlusszweig cde (Fig. 25) einen Widerstand von 10 Ohm. Während der Unterbrecher nun in Ruhe war und seine beiden Klemmschrauben durch emen Kupferdraht mit einander verbunden waren, konnte man im Te- lephon Alles gut verstehen, wenn auch die Klänge sehr schwach waren. Der Kupferdraht wurde darauf entfernt und der Unterbrecher eo ~~ EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. in Bewegung gesetzt. Bei 140 Unterbrechungen war Alles jetzt viel besser verständhch als früher ohne diese 10 Ohm im Kurzschluss, aber schön war es immer noch nicht. Bei 100 statt 10 Ohm im Kurzschluss war Alles Gesprochene im Telephon beinahe eben so gut als bei der gewôhnlichen Telephonie, Singen war jedoch noch ziemlich schlecht. Da man sich schwerlich einen besseren Unterbrecher als den Turbine-Interruptor denken kann, so glaube ich aus dem obenge- nannten Resultate schliessen zu dürfen, dass eine Duplex-oder Mul- tiplex-Telephonie mit pldfziich unterbrochenen Strömen zu den Unmôglichkeiten gehört. Auch bei jenen Experimenten, wo Alles ziemlich gut zu verstehen war, waren die Klänge so unangenehm, dass von einer Einführung in die Praxis gar keine Rede sein kann. Die Erklärung der nach dieser Methode erzielten schlechten Re- sultate ist zweifelsohne die, welche ich Seite 10 schon gab, nämlich dass die Bewegung der Telephonmembran beim Anfang sowohl als am Ende der Klangdauer während einer kurzen Periode nicht mit den von der anderen Station kommenden Telephonstrômen übereinstimmt. Die Dauer dieser Vor- und Nachschwingungen, wie wir sie einfachheithalber nennen wollen, ist von der Unterbrechungs- zahl der Telephonstrôme unabhängig. Nehmen wir diese Zahl sehr gross, und wird also die Klangperiode sehr kurz, dann ist es denkbar, dass die Zeit, die die Membran braucht um beim Anfang der Klangperiode in die richtige Schwingungsform zu geraten, eben so gross oder grösser ist als die Klangperiode selbst. Auf diese Weise würden wir also aus dem Telephon nichts heraus bekommen als die Vor- und Nachschwingungen, während von denjenigen Schwingungen, um welche.es uns eigentlich zu tun ist, nichts zu hören sein würde. Diese Erklärung stimmt auch mit der Tatsache überein, dass z. B. bei 330 Unterbrechungen gar nichts zu verstehen ist, während bei z. B. 46 Unterbrechungen Alles ziemlich gut verstanden wird, obgleich bei dieser langsamen Bewegung des Unterbrechers die Obertöne gänzlich fehlen. Wenn das Telephon nur zu schwachen Tönen angeregt wird, so wird die Dauer der Vor- und Nachschwingungen kürzer sein. Wenn man also bei einer gewissen Unterbrechungszahl und unter Benüt- zung kräftiger Telephonströme das vom Telephone gesprochene nur mangelhaft versteht, so könnte man erwarten dass man mit schwä- cheren Telephonstromen bei derselben Unterbrechungszahl eine bessere Verständigung würde erreichen können. Um diesen Versuch 28 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. zu machen, schaltete ich einen Morse Taster und einen Bifilarwi- derstand von 50 Ohm zwischen Mikrophon und Primärdraht des Transformators. Wurde der ‘Taster heruntergedrückt, so befanden sich diese 50 Ohm in der Primärleitung, wodurch die in der Se- kondärleitung induzirten ‘Telephonstrome bedeutend geschwächt wurden. Herr Prof. pr Haas 4) hatte die Güte, diese Experimente mit- zumachen. Die auf diesem Wege yon uns erzielten Resultate waren folgende: 1. Bei 330 Unterbrechungen war kem einziges Wort zu ver- stehen, gleichgiltig ob der ‘Taster herunter gedrückt war oder nicht. 2. Bei 220 Unterbrechungen war dann und wann mal ein Wort zu verstehen; ob der Taster herunter gedrückt war oder nicht, machte gar keinen Unterschied. 3. Bei 165 Unterbrechungen meinte Herr Dr Haas, dass das Telephon merkbar deutlicher sprach als der Taster niedergedrückt war. Ich dagegen verstand das Gesprochene bequemer, wenn der Taster nicht medergedriickt war. Dieser Unterschied in der Beobach- tung ist auf zweierlei Weise zu erklären: 1. ist meine Gehörschärfe etwas unter der normalen und 2. bin ich durch meine vieljährigen Experimente mehr als Prof. Dre Haas daran gewohnt, qualitativ schlechte Laute noch zu analysieren. Einen endgiiltigen Beweis fiir die Annahme, dass schwächere Klänge bei 165 Unterbrechungen besser verständlich sind als stärkere kann man freilich nicht aus diesem einen Versuch herleiten, hôchstens ergiebt sich daraus die Wahrscheintichkeit für die Richtigkeit der Annahme. Wenn wir das Bell Telephon in Station I Fig. 25 ersetzen könnten durch irgend einen telephonischen Empfänger, dessen schwingender Teil passiver und weniger stcif als die Telephonmem- bran ist, so könnten wir erwarten, dass die Vor- und Nachschwin- gungen bei diesem Apparat kürzere Zeit dauern würden als es beim Telephon der Fall ist. Wir würden daher vielleicht bei einer Un- terbrechungszahl, die zu gross ist, um das Bell Telephon noch *) Herr pe Haas hatte auch die Güte, mit meinem Apparate die auf S. 26 be- schriebenen Experimente in Bezug auf die Verständlichkeit des gesprochenen Wortes mit Unterbrechungszahlen von 46—330 pro Sek. zu wiederholen. Er erhielt genau dieselben Resultate wie ich sie bekommen hatte, nur mit dem kleinen Unterschied, dass er das Sprechen bei 165 Unterbrechungen nicht deutlicher verstand als bei 110, während das bei mir wohl der Fall war. Dieser Unterschied ist jedoch von keiner prinzipiellen Be- deutung, da vielleicht in einem Fall etwäs deutlicher, vor dem Mikrophon gesprochen wurde als im anderen Fall. Ausserdem funktionirt das Mikrophon nicht immer gleich gut. nn dn EX PERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. 29 deutlich sprechen zu lassen, mit diesem passiveren Empfänger noch verstiindliche Resultate erhalten können. Eien solchen Empfänger besitzen wir im sprechenden Konden- sator; die Papierblätter und die Zinnfolie sind unzweifelhaft viel schlaffer und passiver als die Telephonmembran. Das mit einem solchen Apparat gemachte Experiment bestätigte vollkommen die Richtigkeit dieser Behauptung. Das ‘Telephon in Station I, Fig. 25, wurde durch einen Kondensator mit einer Ladungsbatterie von 21 Volt ersetzt. Da der Kondensator bei einer so geringen Ladespan- nung dem Bell ‘Telephon an Empfindlichkeit sehr nachsteht, so wurde sehr laut in das Mikrophon in Station IT gesprochen; die Mikrophonbatterie bestand aus 2 Akkumulatorelementen. Um die mit dem Telephon und mit dem Kondensator erhaltenen Resultate bequem vergleichen zu können, habe ich sie bierunten neben einander niedergeschrieben. Kondensator. Telephon. (vergl. S. 26.) Anzahl der Anzahl der Unter- Unter- brechungen. brechungen. 165. Alles gut zu verstehen. _ 165. Grôsstenteils zu verste- Hässlicher Klang. hen. Hässlicher Klang. 220. Grösstenteils zu verste- 220. Dann und wann mal ein hen. Hässlicher Klang. Wort zu verstehen. 330. Dann und wann ein Wort 330. Gar nichts zu verstehen. zu verstehen. Bei 49 und 73 Unterbrechungen war Alles mit grösster Leich- tigkeit im Kondensator zu verstehen, obgleich die Obertöne selbst- verständlich dabei fehlten. Der Kondensator gab bei diesen Experimenten auch einen Ton wenn gar keine Töne vor dem Mikrophon hervorgebracht wurden. Dieser mit der Unterbrechungszahl übereinstimmende Ton war jedoch nicht sehr stark und daher wenig störend. Auch das Telephon in Station IT gab denselben Ton, jedoch viel kräftiger. Die Ursache dieser Tône liegt offenbar darin, dass das Papier des Kondensators nicht genügend isolirte, wodurch fortwährend ein Strom der 21 Volt-Batterie durch den Kondensator ging. In den Perioden, in welchen der Kurzschluss geschlossen war, folgte dieser Strom dem Weg imbafcdeli. In der Zeit, in welcher der Kurzschluss ge- öffnet war, war der Stromweg: ma, Telephon in Station II, oe/. Im ersten Fall hatte dieser Strom (praktisch) nur den Widerstand des Kondensators zu überwinden, im zweiten Fall durchfloss er 30 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. 8. W. dagegen auch noch das in Station IT befindliche Telephon. Es war dadurch die Stromstärke bei offenem Kurzschluss grösser als bei geschlossenem Kurzschluss und diese periodische Aenderung der Stromstärke gab im ‘Telephon in Station IT einen Ton und ebenso im Kondensator, der periodischen Aenderung der Potentialdifferenz zwischen den beiden Belegungen zufolge. Kin Glimmerkondensator würde, seiner besseren Isolirung wegen, diesen Higenton vermutlich nicht geben. Um diesen fortwährend sprechen zu lassen, miisste man dann aber jedesmal die Ladungs- batterie unterbrechen oder umkehren. 1) Da jedoch das Experiment dadurch ziemlich komplizirt wird, habe ich mit einem solchen Kondensator nicht experimentirt. Wahrscheinlich würde ein Kreuz- Kondensator 7) mit Glimmerisolirung ohne Umkehrung oder Unter- brechung der Ladungsbatterie und ohne Higenton eine fortwährende Artikulation geben. Ich hatte jedoch einen solchen Apparat damals = Li r . Ta » 1 ¥ E nicht zur Verfügung. Wir haben das Nichtgelingen unserer Versuche, bei plötzlicher Unterbrechung eine gute Sprachübertragung zu erreichen, bisjetzt nur physikalischen Ursachen zugeschrieben. Es ist aber sehr wahr- scheinlich, dass auch noch physiologische Erschemungen darin eine Rolle spielen und somit zur Unbrauchbarkeit der unterbrochenen Klängen beitragen. Nach Konic °) hért man, wenn man eine Stimmgabel hinter einer durchlöcherten rotierenden Scheibe tônen lässt, ausser dem Eigenton der Gabel, noch 2 andere Tône („les sons de variation”) und unter gewissen Umstinden kommt sogar noch ein vierter Ton hinzu. (,,le son d’intermittence’’). Um nun zu untersuchen, in wie fern diese physiologische Erschei- nung auf die Verständlichkeit der unterbrochenen artikulirten Klänge von Einfluss ist, werden wir unsere Experimente derart einrichten müssen, dass die bisjetzt gefundenen physikalischen Stö- rungen ganz umgangen werden. Die einzige Methode, die ich mir als einigermaassen dazu geeignet denken kann, ist auf der Anwen- dung von Selenzellen basirt. Denkt man sich eine solche Zelle als Kurzschluss zwischen den beiden Linien und wird sie von einer *) Vergl. meinen Aufsatz „Het polariseeren van telefonische ontvangers”. Kon. Akade- mie van Wetenschappen, Amsterdam, Sitzung vom 27/3 1897. Auch „Archives Néer- landaises”, Serie IL, T. 1. *) Vergl. meinen Aufsatz „Het gebruik der ladingsbattery in de telefonie”, Maandblad voor Natuurwetenschappen, 1885 No. 1 & 2. Auch „Archives Néerlandaises”, T. XX. *) Dr. Ruporeu Kornic, ,,Quelques Expériences d’Acoustique”, p. 139. 11 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. 31 hinter einer sich drehenden Löcherscheibe befindlichen Lichtquelle periodisch beleuchtet, so wird der Schall im Empfänger periodisch schwächer und stärker werden und diese Abschwächung und Ver- stärkung wird hier nicht plötzlich sondern allmählich stattfinden. Verursacht die Selenzelle bei dieser intermittirenden Beleuchtung nicht auch einen Eigenton im ‘Telephon, so sind wohl alle Störun- gen physikalischer Art ausgeschlossen und spricht das Telephon dann noch undeutlich, so kann der Fehler nur durch physiologische Griinde verursacht sein. 4) : Ist das wirklich der Fall, ergiebt sich also aus dem Experiment dass diese physiologische Erscheinung im Stande ist die Sprachwie- dergabe des empfangenden Telephons unbrauchbar zu machen, so können wir mit Sicherheit behaupten, dass eine Duplex-oder Mul- tiplex-Telephonie sowohl mit plofzlich als mit allmahlig unter- brochenen Strömen zu den Unmôglichkeiten gehört. Wenn es möglich wäre, eine Selenzelle zu fertigen, die so emp- findlich und so schnell wirkend wäre, dass das empfangende 'Te- lephon wihrend der Beleuchtungsperiode der Zelle keinen hérbaren Strom erhielte, so hätten wir auf diese Weise einen periodisch und graduell unterbrochenen Strom. Zeigt sich nun durch das Experiment dass die obengenannte physiologische Komplizirung ein brauchbares Sprechen des Telephons nicht verhindert, so wäre eine Doppeltelephonie môglich mittels 4 Selenzellen, welche wie die Kurzschliisse der Fig. 23 mit der Leitung verbunden sind. Sind ab und cd beleuchtet, so seien be und df in dieser Zeit im Dunkeln und umgekehrt. Auf diese Weise wiirde man also für eine Doppeltelephonie nur 2 synchron laufende Löcherscheiben, an jedem Ende der Linie eine, benötigen. Ich hoffe bald Gelegenheit zu finden die Untersuchung in diesem Sinne fortzusetzen und zu erproben, was sich mit guten Selenzellen in dieser Richtung erreichen lässt. *) Ein kleiner Fehler physikalischer Art ist hierbei nicht ganz ausgeschlossen, es wird ja auf diese Weise noch eine geringe Entstellung des Klanges entstehen können. Nehmen wir an, dass ein einfacher (pendelartiger) Ton vor dem Mikrophon hervorgebracht wird, dann wird also die Membran des Empfängers eine Sinusbewegung machen müssen. Aber während der krescirenden und der dekrescirenden Periode wird die Bewegungs- kurve selbstverständlieh von einer Sinuskurve verschieden sein, es wird daher eine Aenderung der Klangfarbe entstehen können. Freilich ist das bei den Krescendo’s und Dekrescendo’s in unserer Musik auch der Fall, aber dort geschieht das Kresciren und Dekresciren sehr langsam. Bei unserer rotierenden Scheibe dagegen findet dies sehr rasch statt und daher ist es nicht unmöglich, dass diese starke Abweichung von der Sinusform eine merkbare Aenderung der Klangfarbe zur Folge haben wird, a2 EXPERIMEMTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. Mayer sagt in einer seiner Abhandlungen (Vol. 47, p. 5—6) er habe durch die vielen Versuche mit unterbrochenen Klängen einen per- manenten Fehler an einem seiner Ohren bekommen. Um diejenigen zu beruhigen, welche die Lust, auf diesem Gebiete zu arbeiten, in sich fühlen, teile ich hier mit, dass weder mein Assistent noch ich bei unseren vielen, sich über eine Periode von mehr als 3 Jahren erstreckenden, Versuchen, irgend einen schädlichen Einfluss auf die Gehôrorgane gespürt haben. Es ist mir eine angenehme Pflicht, hier Herrn D. ne Worrr meinen Dank auszusprechen für die freundschaftliche Hilfe, die er mir sowohl bei der Konstruktion und der Anfertigung der Ver- suchsapparate als bei dem Experimentiren selbst geleistet hat. Als die Idee bei mir entstand, Doppeltelephonie dadurch zu erreichen, dass die Stationen paarweise nach einander mit der Linie in Verbindung gebracht wiirden, glaubte ich, dass dies etwas ganz Neues sel. Wie ich S. 4 schon mitteilte, war es mir nicht bekannt, ob je Experimente mit unterbrochenen Klängen gemacht waren, sei es in Bezug auf Telephonie oder unabhängig davon. Ich habe jedoch nachher gesehen, — die Experimente mit dem Apparat der Figur 15 waren damals schon gemacht, — dass meme Idee nicht neu war. Zuerst fand ich 1m „Handbuch der Telephonie”? von Dr. Vicror WirriisBAcH, bearbeitet von Herrn Prof. RoBerr WeBer, auf Seite 310, dass schon eine grosse Anzahl von Patenten für dieselbe Idee angemeldet worden waren. Da jedoch keine Namen oder Quellen dabei angegeben waren, habe ich Herrn Prof. Wiper gebeten, mir Niheres darüber mitzuteilen; derselbe antwortete mir jedoch dazu leider nicht im Stande zu sein. Darauf habe ich weiter gesucht und in erster Stelle eine Erfin- dung in dieser Richtung von Tommasr gefunden und zweitens einen Vorschlag von LeBranc. Die Tommasi’sche Erfindung ist beschrieben in „Manuel pratique du téléphone”, von Scuwartze, G. Fournier und Tommast, 1° Partie S. 276—279. Seine Methode stimmt genau mit dem überein was ich mit dem Apparat der Fig. 5 beabsichtigte. Ob jedoch Tommast die Ausführbarkeit seiner Idee jemals durch Experimente probirt hat, kommt mir sehr unwahrscheinlich vor. Er schreibt ja ,,le son est perçu pendant 1/32° de seconde apres sa cessation’; wenn er experimentirt hätte, so würde er jedenfalls rasch bemerkt haben, dass diese Zeit kleiner wird, wenn der Ton höher wird. Die Mayer’schen Untersuchungen waren ihm jedenfalls unbekannt. EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. 09 In ,,la lumière électrique”, 1886 T. XX, S. 101—102, giebt LeBrare eine Methode fiir Vielfachtelephonie an, ebenfalls mit unterbrochenen Klängen. Es macht dieser Aufsatz auf mich jedoch den Eindruck dass er mit sehr wenig Ernst miedergeschrieben ist und dass gar nicht versucht worden ist, die Ausführbarkeit der Idee durch das Experiment zu prüfen. Ich verweise daher den Leser auf den Aufsatz selbst, da eine ausführliche Widerlegung uns zu weit führen würde. Ohne von anderen Bedenken zu reden, fallt es emem sofort auf, dass die Bewegung des Eisenstücks A (Fig. 7 der genannten Veröffentlichung) wahrscheinlich einen sehr storenden ‘l'on in sämmtlichen Telephonen geben wird. LeBLANC giebt in dieser Figur 7 einen Apparat an, der den Zweck hat 16 Stationen zugleicherzeit und paarweise mit einander sprechen zu lassen ! Ich will jetzt noch eine kurze Uebersicht geben über die ver- schiedenen Methoden, nach welchen man versucht hat, ofne Be- nitzung unterbrochener Klünge eine Duplex-oder Multiplex-Telephonie zu erreichen. 1: Methode von LeBranc und Hurrn. Nach der E. T. Z. 1893, N°. 24, S. 351, haben Lesnanc und Hurn ein Patent angemeldet für eine Art von Vielfachtelephonie, wobei Wechsel- ströme von 100,000 bis 160,000 Perioden pro Sek. benutzt werden sollen. Was dort mitgetheilt wird, ist jedoch zu unvollständig, um sich daraus ein Urteil über die Erfindung machen zu können. Meiner Ansicht nach soll man diese Idee unter die Phantasien und nicht unter die ernstlichen Erfindungen klassifiziren. 2. Methode von Læesranc. In der schon obengenannten Publikation in „la, lumière électrique” giebt LrBzanc S. 99— 100 noch eine Idee zur Vielfachtelephonie an, die auf der Anwendung abgestimmter Stimmgabeln beruht, ähnlich dem harmonischen 'Tele- graphen von Erisma Gray. Es fehlt, meiner Meinung nach, ein ernstlicher Gedanke darin, eben so wie im anderen oben gegebenen Vorschlage Lrpianc’s. Bei einem ersten Versuch, die Ausführbar- keit der Idee durch das Experiment zu priifen, wird man zweifel- sohne erfahren dass, wenn auch die Idee qualitativ sehr sinnreich genannt werden kann, quantitativ nichts brauchbares daran ist. 3. Differentialmethode von Ersasser. !) In Fig. 27 sind 4 und /1 Transformatoren. Die von a erregten Telephonströme ge- ORE TZ 1885, 8. 289. 34 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. langen durch Induktion über den Transformator ¢ in die Linie (Pfeile a) und auf dieselbe Weise über {1 in das Telephon a 1. Die von 4 und 41 kommenden Drähte sind ax die Mitte eines Transformatordrathes gekuppelt, wodurch 4 und 61 von den von a oder al erregten Strömen nichts hören werden. Die von 4 erregten Ströme (Pfeile 6) werden in den Stromkreisen, in welchen a und al sich befinden, keinen Strom induziren, da die 4-Ströme die beiden Hälften des Transformatordrahtes in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen. Es werden also a und a1 von # und 4 1 nichts hôren. Es scheint leider diese eben so schöne als einfache Lösung des Problems in der Praxis keine guten Resultate zu geben, da sie eine vollkommen gleiche Isolirung für die beiden Linien voraus- setzt, was praktisch nicht ausführbar ist. Auch sind die beiden Linien, wie sie für die Korrespondenz zwischen 4 und 4 1 gebraucht werden, einer dritten Linie gegenüber nicht induktionsfrei. 5) Von Doppeltelephonie nach dieser Methode kann man eigentlich nicht sprechen. Da man hier 3 Linien für 2 Gespräche braucht, würde man von Anderthalb-Telephonie sprechen müssen. 4. Vielfachtelephonie mittels des Poulsen’schen Tele- graphons. Für diese Methode verweise ich auf eine kurze Mittei- lung von meiner Hand in der „Physikalische Zeitschrift”, 1905, N° 18, S. 572 und auf meine Antwort auf eine Bemerkung des Herrn Ruumer dazu in derselben Zeitschrift, 1906, N°. 6, S. 185. Ich habe dort gezeigt dass eine Vielfachtelephonie mit diesem Apparate zu den Unmoglichkeiten gehört. 5. Methode von Wrirrram Marsuatu. 2) In Fig. 28 ist 4 em mit 2 Drähten in entgegengesetzter Richtung bewickeltes Telephon, k ein Widerstand, C ein Kondensator und 47 ein Mikrophon. B ist ein mit Mikrophon und Transformator versehener Telephonap- parat, wie in der Praxis gebräuchlich; statt eines Hörtelephons ist der Apparat jedoch mit einem ,,sprechenden’ Kondensator C versehen. Die korrespondirenden mit Strichen versehenen Buchstaben auf der anderen Station bedeuten die gleichen Apparate. Wird jetzt in das Mikrophon 47 1 von Station IT gesprochen, so fliesst also ein undulirender Strom durch die Linie. Er geht über den Widerstand # zum ‘Telephon 4 und wird dieses sprechen lassen. Durch die Aenderung der Stromstärke in der Linie wird *) Vergl. auch Schwensky, E. T. Z. 1898, S. 853 und Wietlisbach, Handb. der Telephonie, S. 310—312. *) ,Electrical Engineer” (New-York) XX, No. 376, 17/7 1895, S. 70. Daraus auch in DZ 8 9De) S000, EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U, S. W. 35 jedoch auch die Ladung des Kondensators C sich ändern, wodurch ein telephonischer Strom auch in der zweiten Wickelung von 4 hervorgerufen wird. Dieser Strom wird die Wirkung des Telephons A abschwächen. Um diese Abschwächung môglichst gering zu machen, würden sowohl die Kapacität von C wie der Widerstand von ZX klein sein miissen. Der von Station IT ausgehende undulirende Strom wird auf den sprechenden Kondensatoren der Apparate B und Z 1 eine geringe Aenderung der Ladung verursachen; nach Marsnarr wird diese Aenderung jedoch keinen wahrnembaren Klang in diesen Konden- satoren zu Folge haben, in welchem Falle also B und Z 1 von dem zwischen 4 und 4 1 gehaltenen Gespräch nichts hören werden. Wird in B gesprochen, so werden die dort erregten Wechselströme zunächst zum Apparat B gehen und dort den Kondensator-Emp- fanger sprechen lassen. Diese Ströme werden jedoch auch durch das Mikrophon 17 gehen, sich zwischen dem Widerstand 2 und dem Kondensator C verzweigen und danach die beiden Wickelungen des Telephons 4 in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen. (Es findet natürlich dasselbe statt in Station IL über M 1 Zl C1 und Al.) Sind nun diese Strome in den beiden Wickelungen des Telephons 4 von gleicher Intensität, so wird das ‘Telephon in Ruhe bleiben und es werden auf diese Weise also 4 und 4 1 nichts - von dem zwischen B und #1 gesprochenen hören. Zu diesem Zweck wird jedoch entweder ein Kondensator C von ziemlich grosser Kapacität oder ein grosser Widerstand Z erforder- lich sein. Im letzteren Falle wird man mit einem klemen Konden- sator auskommen können da die Aenderungen in der Potentialdif- ferenz zwischen den beiden Kondensatorbelegungen, und daher auch die Ladungsänderungen, mit & wachsen. Wir haben jedoch gesehen dass es für eine gute Korrespondenz zwischen A und 4 1 erwünscht ist, eine kleine Kapacität wd einen kleinen Widerstand zu gebrauchen. Wie nun MarsnarL den Widerstand und die Kapacität gewählt hat, wm beiden sehr von einander verschiedenen Anforderungen wenigstens einigermaassen entgegenzukommen, sagt die Beschrei- bung nicht. Ich vermuthe dass sich beim Experiment zeigen wird dass 4 und 41 ganz entschieden wohl etwas von B und B | mithôren werden und umgekehrt ebenfalls. Ob das Marshall’sche Svstem jemals geprüft worden ist, ist mir nicht bekannt. Die Stationen B und Bl würden nach meiner Ansicht mit Vorteil mit gewöhnlichen Hortelephonen anstatt mit sprechenden Kondensatoren ausgerüstet werden können, wenn man 36 EXPERIMENTAL-UNTERSUCHUNG, U. S. W. die Linien bei « und a1 unterbricht und dort kleine Kondensa- toren einschaltet. Da der sprechende Kondensator viel weniger empfindlich ist als das ‘Telephon, so würde die Korrespondenz zwischen B und £1 durch diese Abiinderung jedenfalls besser werden. Ich habe diesen Marshall’schen Vorschlag erwas ausfiihrlich be- handelt, weil ich vor vielen Jahren (etwa 1889 oder 1890) im derselben Richtung vergeblich versucht habe das Problem zu lôsen. Meier Meinung nach können wir also sagen, dass eine praktisch brauchbare Vielfachtelephonie bisjetzt noch nicht erfunden ist. Von den verschiedenen vorgeschlagenen Methoden gelingt nur die sehr schöne Elsasser’sche, aber leider nur als Laboratoriums-Experiment. Die von anderen Seiten vorgeschlagenen Methoden sind wohl meistens gar nicht probirt und die von mir ausprobirten Methoden sind zum Gebrauch ungeeignet. Es bleibt jedoch die Frage noch unbeantwortet, ob eine Viel- fachtelophonie mit a//mahhg unterbrochenen Klängen nicht möglich sel; in wie fern sich für die Praxis etwas daraus machen lässt, hoffe ich später aus dem Experiment kennen zu lernen. Delft, 22/2 1906. Ji. W.. GILTAY (21 Juli 1906). J. W. Grrrar. Experimental-Untersuchung über die Möglichkeit einer Doppeltelephonie mittels unterbrochener Klänge. Taf. T: ||| | ir Ll 5 Lo | | 27 Lln | i tt | =d) 190 Nea! CAE a A 116 a Aue 1 eid eugene 2 Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (1° Sectie). Dl. IX. T | | Linte ; Station ll, er 3 J. W. Guray. Experimental-Untersuchung über die Möglichkeit einer Doppeltelephonie mittels unterbrochener Klänge. Fig. 6. 7 OE: RS e Fig.8. Taf. IT. Linte. Kurz- Kurz- Kurz- Aurz- schluss. schluss. schluss. schluss. ala: > e= ro | «_ Strlle > | Schall Stille | lmn Bp q FAST u =. 2 Fig. Ld. Batterre a p=) ; I ‘ == 5 = fa NI Ar) > => mT Mikrophon Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie.) Dl. IX. Zinte. 72 J. W. Giveay, Experimental-Untersuchung über die Möglichkeit einer Doppeltelephonie mittels unterbrochener Klänge. Taf. IIT. Fig. /4. fig. 16. axe 4 a (de WP ES il Se) Se df i 2 CE Station J. pa es a I Station If. | | 7 | (yee —— ) Ü ni \ 1 / Wea By = { m6 \o~S af — a y f Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie.) Dl. IX. us J. W. Giveay, Ligaen Fig. RI. Experimental-Untersuchung über die Möglichkeit einer Doppeltelephonie mittels unterbrochener Klänge. eek = EE ay EA IR —{] : Lrde . (oder dritle Lime) (oder drille Linie) Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1° Sectie.) Dl. IX. Station L ti, HN ES _— C DyBatterre \ | | Erde Station]. A, Bal (©) |_| Erde Revelmassice Sehnitte und Projektionen des Hundertzwanzigzelles und des Sechshundertzelles im vierdimensionalen Kaume (2te ABHANDLUNG) VON PF. H. SCHOUTE. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL IX. N°. 4. MIT 18 TAFELN. _ AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. April 1907. Revelmassice Sehnitte und Projektionen des Hundertzwanzigzelles und des Sechshundertzelles im Vierdimensionalen Raume (2te ABHANDLUNG) VON P. H. SCHOUTE. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL IX. N°. 4. MIT 18 TAFELN. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1907. : = = 8 2 7 x Re RTS r en A _ > Ca « 8 ay ER res bia ot Fees is ; x ne £ { 4 cal tae a dt, + ra Regelmässige Schnitte und Projektionen des Hundertzwanzigzelles und Sechshundertzelles im vierdimensionalen Raume, VON P. H. SCHOUTE. (ZWEITE ABHANDLUNG.) 1. In der ersten Abhandlung, welche 1894 unter dem näm- lichen Titel in den Verhandelingen dieser Akademie erschien, entwickelte ich zunächst die vier regulären Koordinatenstellungen der beiden Zelle 7° und 7600 mit der Absicht aus diesem Mate- riale die regulären Schnitte und Projektionen dieser beiden Extra- polytope abzuleiten. Bei der Auswertung dieser Anwendung der genannten Vorarbeit beschränkte ich mich aber auf Zentralschnitte und senkrechte Parallelprojektionen; jetzt will ich, diesen engeren Standpunkt verlassend, mehr allgemein die regulären Parallelschnitte und Zentralprojektionen vorführen. Teilweise ist diese Ergänzung schon geliefert worden, zunächst von Frau A. Srorr, der dritten Tochter des berühmten englischen Mathematikers Boorr (“On cer- tain series of sections of the regular fourdimensional hypersolids’’, Verhandelingen dieser Akademie, 1900), welche die Giite hatte mir ihre Modellensammlung in Bild zuzuschicken, und nachher von mir selbst (Mehrdimensionale Geometrie, II, Leipzig, Göschen, 1905), Was hier gegeben wird soll aber eine mehr systematische Behand- lung des ganzen Materials bilden; in einer dritten Abhandlung will ich dann — sei es auch nur für einen Teil der erhaltenen Resul- tate — ganz leichte Konstruktionen von parallel-perspektivischen Bildern entwickeln. D 4 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES 2. Es handelt sich bei jedem der beiden Zelle Z120 und 7600 um nicht weniger als acht Reihen dreidimensionaler Kôrper, vier Reihen von Schnitten und vier Reihen von Scheinen. Versteht man unter O den Zellmittelpunkt und unter 4, K,, “4, R, der Reihe nach irgend einen Eckpunkt, eine Kantenmitte, einen Flächenmittel- punkt und einen Grenzraummittelpunkt, so stehen die Räume der Reihen paralleler Schnitte senkrecht auf den Geraden Of), OK, Of, OR,, welche Zelldiagonale, erste, zweite, dritte Querlinie und simtlich Hauptstrahlen heissen, während die Punkte P,, P,, P,, P, dieser Geraden die Zentra und Räume senkrecht auf OF, OK; OF OR, die Bildräume der Scheinenreihen bilden. Die Untersuchung der sechszehn Polyederreihen reduzirt sich aber sofort auf die Halfte. Denn es lässt sich beweisen, dass irgend eine Zentralprojektion des ZV (oder ZE) mit der Polfigur eines bestimmten Schnittes eines bestimmten 710 (oder 7120) in Bezug auf eine bestiminte Kugel identisch ist. Ist O der Mittelpunt und OH irgend ein Haupt- strahl eines der beiden Zelle, ist der Raum #2, in 47 senkrecht zu OH der Schnittraum und P der Schnittpunkt irgend einer Kante 42 dieses Zelles Z, ist der Kreis Æ der Schmitt irgend eines Kugel- raumes um © als Zentrum mit der Ebene durch O// und P, welche unsere Bildebene (Fig. 1) bildet, ist p die Polare von P in Bezug auf # und sind S und Q die Pole von PM und PS, so projiziert der in p zur Bildebene senkrechte Raum ZX, die Seitenfläche a (2 des in Bezug auf den Kugelraum zu Z reziproken Zelles Z, welche den Schmitt der zu 4 und B reziproken Grenzräume &, und 2, bildet, aus dem Punkte S auf dem Raum Z, als die in Q zur Bildebene senkrechte Ebene, und bildet dies Ebene ¢, die Polare des Punktes P in Bezug auf die Schnittkugel des Raumes ZX, mit dem angenommenen Kugelraume. Deshalb ist die Projektion von Z aus S auf Zl, reziprok verwandt mit dem von &, in Z bestimm- ten Schnitte in Bezug auf die letztgenannte Kugel und ist dic Scheinenreihe von Z mit Hinsicht auf jeden der Haupstrahlen OZ, OX, OF, OR, bekannt, sobald es die Reihen von Schnitten von Z mit Hinsicht auf jeden der Hauptstrahlen OR,, OF); OK,, OL dieses Zelles sind. Also kénnen wir uns, ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, zu den acht Reihen von Schnitten beschranken. 3. Die drei kennzeichnenden Zahlen e, 4, f der Eckpunkte, Kanten, Flächen eines Schnittes hangen immer mittels der bekaun- ten Eulerschen Formel zusammen; denn die sämtlichen Schnitte von Z120 und 8 sind überall konvex und deshalb Eulersche Körper. Beschränkt man sich auf den Fall, wo der Schnittraum HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. ) keinen Eckpunkt des Zelles enthält, d.h. schaltet man für einen Augenblick die sogenannten “Uebergangsformen” aus, so waltet sogar zwischen e,#,/f noch eine zweite Beziehung ob, welche sich jedoch bei ZO und 7° verschieden gestaltet. Man findet nämlich 3 5 e : € 5 8 Lie on — a bei ZERO und # = se bei 789, Denn die Seitenflachen ~ ~ der beiden Zelle enthalten reguläre Polygone, d. h. jedes vom Schnitt- raum geschnittene Polygon hefert exe Kante und zwei Eckpunkte des Schnittes. Ist jz die Zahl dieser Polygone, so hat man also nebst u — entweder 2u—3e oder 2u =De, je nachdem durch jede Kante drei oder fünf Grenzkôrper gehen, d. h. je nach- dem entweder 7120 oder 7° geschnitten wird. Bei den interme- diären, keinen Zelleckpunkt enthaltenden Schnitten genügt es also schon eine einzige der drei Zahlen e,‚ 4%, / zu kennen. Die hervorgehobene besondere Higenschaft der intermediären Schnitte wird auch hierdurch gekennzeichnet, dass ihre Eckpunkte bei 2120 sämtlich dreikantig, bei 750 simtlich fiinfhantiy sind. Diese Bemerkung wird uns später nützlich sein. 4. Wir weisen jetzt in allgemeinen Ziigen an, wie man jede der drei kennzeichnenden Zahlen e, #, f an und für sich bestim- men kann. Naturgemäss zerfällt die Arbeit dieser Bestimmung in zwei Teile. Zunächst ist den Tabellen der ersten Abhandlung zu entnehmen, wie die Eckpunkte der beiden Zelle sich auf jeden der Hauptstrahlen OL), OK), OF, OR, projizieren, und anzugeben, wie diese Eckpunkteprojektionen sich zu zweien zu Kantenprojek- tionen, zu fünf oder zu drei zu Seitenflächenprojektionen , zu zwan- mg oder zu vier zu Grenzkörperprojektionen vereinen. Ist diese Vorarbeit erledigt — und hierauf kommen wir später zuriick —, so findet man jede der drei Zahlen ec, #, f als Summe zweier Summanden, von welchen der letztere nur bei Uebergangsformen auftritt; man hat nämlich die Formel ek Sa Ao, wo die drei gestrichenen Grössen e’, 4, / im Schnittraum liegende Elemente des Zelles angeben und die überstrichenen Grössen #, /, r anweisen, wieviel Kanten, Flächen, Räume des Zelles geschnit- ten werden. Will man auch die Natur der / Seitenflächen des Schnittes ken- nen lernen, so hat man zu untersuchen, wie jede der 7 vom Schnitt- raume getroffenen Grenzkörper geschnitten wird; ist einmal bekannt , 6 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES wieviel Dreiecke, Vierecke, Fiinfecke, usw. sich unter den f aa : lichen vorfinden, so führt auch die Bemerkung, dass 24 die Summe der Seitenzahlen dieser Polygone bildet, zur Kentnis von k. Es hat sich gezeigt, dass diese Ableitung der Zahl # wirklich die bequemere ist; also ist die zweite der obigen Formel nicht verwendet worden. In der tabellarischen Uebersicht der Resultate, welche diese Abhandlung abschliesst, werden wir auch die Vielkantigkeit der Eckpunkte der Schnitte in Betracht ziehen. Auf diesen Punkt kom- men wir später zurück. Nach diesen einführenden Betrachtungen wenden wir uns zur Behandlung der verschiedenen Reihen von Parallelschnitten. [hes 2 a) Die Stellung OE, 5. Aus der vierten Kolonne (2, dritte Querlinie) der Tabelle I (Koordinatenstellung des 7°) der ersten Abhandlung leiteten wir die Schichtung (A, 6, 12 2 el 4 ee A Peele ke, ON der Eckpunkte des Z500 in Bezug auf OZ, ab, welche zur Kon- struktion des Schlegelschen Diagrammes des 7° (We/rdimensionale Geometrie, Il, Fig. 75) verwendet wurde. Mittels Polarisation in Bezug auf einen konzentrischen Kugelraum ergiebt sich, dass die 120 begrenzenden Dodekaeder des Z12® in Bezug auf einen OZ dieses Zelles gelagert sind in fünfzehn Gruppen mit der Eigenschaft, dass die Dodekaeder der nämlichen Gruppe in Projektion auf diesen OF, identisch sind und die Zahlen der Dodekaeder dieser Gruppen eben durch obige Eckpunkteschichtung angegeben werden. Hiermit ist nicht nur die erste Zahlenkolonne von Tafel [le gefunden sondern auch bewiesen, dass die verschiedenen Gruppen von Dodekaedern , welchen wir nach Frau Srorr bestimmte Farben zuweisen, bei Verlängerung der Schnittebenen des Schmittraums mit den die Dode- kaeder tragenden Räumen der Reihe nach ein rechtes 5) Tetraeder ein linkes Tetraeder, einen Wiirfel, ein rechtes Triakistetraeder , ein linkes Pyramidentetraeder, ein rechtes Pyramidentetraeder, ein ") Die hier gegebene Unterscheiding ,rechts” und ,links” hat nur relativen Wert. we" i = HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSUUNDERTZELLES, USW. 7 rechtes Tetraeder, ein Rhombendodekaeder, usw. einschliessen , wie dies auf der Tafel angegeben wird. Wir bemerken nun sogleich, dass diese Körper in der gefundenen Stellung zwei verschiedene Drehungsgruppen zulassen, die Drehungsgruppe der Wiirfeldiago- nalen mit der Periode drei und die Drehungsgruppe der Oktaeder- diagonalen mit der Periode zwei (Vierergruppe) und dies daher auch mit sämtlichen Parallelschnitten des 71° in Bezug auf OZ, der Fall sein muss. 6. Die Lage der 120 begrenzenden Dodekaeder des 7!?° mit Hinsicht auf den Hauptstrahl OZ, wird in Tafel IIa von den star- ken Strichen angedeutet. Dabei ist die horizontal angenommene Linie OF, in fünfzehn, den Gruppen von Dodekaedern entsprechenden Lagen wiederholt worden und geben die vertikalen Linien mit der Ueberschrift |, LA ! ! MODERNE CAO Des Dr Oso VE d die Stellen an, wo die Eckpunkte des ZÆ® sich auf OZ, proji- zieren. Die Abstände ag, bg, .., pg dieser Projektionen vom Zellmittelpunkte O sind der letzten Kolonne (#, Zelldiagonale) der Tabelle III (Koordinatenstellung des Z!?°)— oder, wenn man will, der Randschrift von Fig. 19 — der ersten Abhandlung entnommen. In dieser Weise giebt ‘Tafel Ile an, dass sich von den zwavzig Eckpunkten irgend eines der vier Dodekaeder der ersten Gruppe der Reihe nach 1, 3, 6, 6, 3, 1 Eckpunkte auf die Vertikal- linien a, 6, c, d, e, f lagern, was dem Symbole (a 6? c® dé €? f) entspricht, und dass dieses Symbol für die zweite Gruppe übergeht in (6c? d°.96 13%), für die dritte in (c? d* e? g4 4? it £7), usw. 7. Die fiinfzehn Lagen der begrenzenden Dodekaeder, welche in Tafel Ia bildlich vorgeführt werden, können ganz systematisch abge- leitet werden aus der Tabelle I] der ersten Abhandlung, welche für jeden Eckpunkt des Z60 die zwölf durch Kanten mit ihm verbundenen, oder — wie wir abkiirzend sagen wollen — ihm benachbarten Eckpunkte kennen tut. Denkt man sich nämlich bei jedem Eckpunkte 4 (Fig. 2) des Z600 das Ikosaeder der zwölf benachbarten Punkte B, und polarisiert dieses Ikosaeder in Bezug auf die konzentrische Kugel mit 47 als Mittelpunkt und AM. MO als Radius, wo 47 und O die Mittelpunkte des Ikosaeders und des Z600 sind, so erhält man die 120 begrenzenden Dodekaeder des Z120, in welchen unsrer 7600 übergeht mittels Polarisation in Bezug auf den Kugelraum mit O als Mittelpunkt und VAO.MO als 8 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES Radius, und nun ist aus der mit den Tabellen I und II der ersten Abhandlung gegebenen Schichtung der zwôlf Eckpunkte des Iko- saeders unmittelbar die Sehichtung der zwanzig Eckpunkte des entsprechenden Dodekaeders zu finden. Denn die Projektion der Eckpunkte des Ikosaeders bestimmt die Lage dieses Körpers in Bezug auf die Projektionsachse und also auch jene des entsprechen- den Dodekaeders, usw. 8. Zur Bestimmung der Lage der 120 den Eckpunkten des Z°0 benachbarten Ikosaeder greifen wir zur vierten Kolonne (D, dritte Querlinie) der Tabelle I zurück, wo die Koordinate w, der mit dem Hauptstrahle OZ, des 71° und dem Hauptstrahle OR, des ZE zusammenfallenden Projektionsachse der Schichtung ent- spricht. Es vergegenwartigen sodann die Eckpunkte Beeson ee eee Se es seg gl + mit den Abscissen !) B + (4, = Sree 0 die fünfzehn möglichen Falle, welche in Tafel [Ib niedergelegt sind. Dabei ist dann wieder das Ergebnis (4° 45 c? d®) des ersten Falles abgeleitet aus der Tatsache, dass die zwôlf Nachbarpunkte 29, —30, 31, 82, 41, —42, 43, 44, 53, 94, 55, 56 des Punktes | (siehe die Tabelle IT der ersten Abhandlung) sich nach ihren w,-Koordinaten im die vier Gruppen (29, 41, 53), (82, 43, 56), (81, 44, 55), (—30, —42, —54) mit den Koordinatenwerten 7+3e,5+3¢,6+2e¢, 4+ 2e zerlegen lassen, usw. 9. Die finizehn “Gruppen 1, 11, … Villy VIN, 45 i der Tafel [Ib bilden sämtlich nur sechs von einander verschiedene Ikosaederschichtungen. Denn die den Farben Rot, Orange, Violett ) Auch hier steht e wieder für VY 5. HUN DERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 9 entsprechenden Schichtungen (3, 3, 3, 3) sind insofern identisch , dass die Projektionen einander ähnlich sind und deshalb in den drei Gruppen I, Il, VIT und die mit ihnen symetrisch liegenden Gruppen I’, Il’, VIT die Projektion des Hauptstrahles OA, des 7500 auf den Raum des Ikosaeders in Bezug auf das Ikosaeder die nämliche ist, obgleich dieser Hauptstrahl mit jenen Räumen verschiedene Winkel bildet. Und diese sechs verschiedene Ikosaeder- lagen halten nun hierin mit einander wieder gleichen Tritt, dass die Projektion des Hauptstrahles OR, des 7°? immer auf einen Hauptstrahl OX, des Ikosaeders senkrecht steht und also in der Ebene der zwei parallelen Gegenkanten liegt, welche diesen Haupt- strahl OA, senkrecht kreuzen. Bei den Schichtungen (3, 3, 3, 3) au (2.2 42, 2) der. Gruppen J; Il, VU und IL (gelb) ist dies einleuchtend; denn bei (3, 3, 3, 3) sind die Schnittebenen zweien Seitenflächen des Ikosaeders parallel, und bei (2, 2, 4, 2, 2 enthält die Mittelebene des Parallelebenenbiischels vier Eckpunkte und also zwei Gegenkanten. Für die vier übrigen Valle betrachte man vun an der Hand der senkrechten Projektion der Ikosaeders auf eine Mittelebene durch vier Eckpunkte (Fig. 3) die von den fünf im Eckpunkte y zusammenstossenden Seitenflichen gebildete reguläre Pyramide mit der sich in die Gerade gsr projizierenden Grundebene, wo der Scheitel y der erste Eckpunkt der Schichtung ist und die zweite Punktenzahl der Schichtung nun notwendig von der Grundebene herrührt. Ist diese zweite Zahl 2, so muss die Verbindungslinie dieser zwei Punkte notwendig eine Ikosaeder- kante sein und kann für ihr die in g auf der Bildebene senk- rechte Kante angenommen werden, woraus dann hervorgeht, dass die Schnittebenen bei den Gruppen VI (indigo) und VIII (schwarz) auf der Bildebene senkrecht stehen. Ist diese zweite Zahl wieder 1, so ist dieser zweite Eckpunkt irgend em Eckpunkt der Grund- ebene, z. B. # und riihrt nun die dritte Punktenzahl der Schich- tung ebenfalls von der Grundebene her; weil diese Zahl in den übrigen Fallen IV (grün) und V (blau) zwei ist, muss die Verbin- dungslinie der entsprechenden Eckpunkte in s auf der Bildebene senkrecht stehen. Also ist hiermit der gesuchte Beweis geliefert. 10. Mittels Betrachtung der Abstandsverhältnisse der parallelen Spuren der ersten vier Schichtungsebenen auf der Grundebene der fünfseitigen Pyramide, deren Scheitel p in der ersten Schichtungs- ebene liegt, bestimmen wir jetzt die Spuren dieser Ebenen auf der Bildebene der Figur 3 fiir jeden der vier Fälle IV, V, VI, VIII. Es betragen nach Tafel Ib die ersten drei Abstände 10 REGELMASSIGE SCHNITTR UND PROJEKTIONEN DES mmnatalles le (orin)s sein A e ; 1 2 | pe ee VE (Colam Res ale Die ni rm NE indie). au Heil, 2 | » a) VERI (schwarz) e-—= 1, 2 e— 411 Hieraus ergiebt sich in Verbindung mit den Schichtungszahlen sofort, dass die erste Schichtungsebene für die vier verschiedenen Fälle der Reihe nach in ppl, py", pp", pp" senkrecht steht auf der Bildebene, wenn die Punkte p’, p”, p!", pl" in rsg mittels der Beziehungen pr = sq, pis=sq, gpl =rs, gp’ =rq bestimmt sind. Es geben also die Lote aus O auf pg, pr, pp', pp", pp", pp'" für die sechs verschiedenen Fälle die Projektion des Hauptstrahles OZ, des Z600 auf den Raum des Ikosaeders an. 11. Zur Bestimmung der seehs entsprechenden Dodekaeder- schichtungen polarisieren wir (Fig. 3) das betrachtete Ikosaeder mit Hinsicht auf die Kugel, welche O zum Zentrum und v Os. Of zum Radius hat, im Dodekaeder, welches in roter Farbe in die Figur eingetragen ist. Es entsprechen dann den zwanzig Hckpunkten 1, 2,..., 20 dieses Dodekaeders die zwanzig Seitenflächen I, IT. . ., XX des Ikosaeders. Dabei wird der auf der Seitenfläche X senk- recht stehende Hauptstrahl O/) des Ikosaeders zum mit (0,10) zusam- menfallenden Hauptstrahle O4, des Dodekaeders, während der auf pr senkrechte Hauptstrahl OK, des Ikosaeders für das Dodekaeder ein Hauptstrahl OX, bleibt. Weiter wird der Charakter der vier übrigen Dodekaederschichtungen durch die Bemerkung beherrscht, dass die Geraden pp', pp", pp", pp'Y der Reihe nach den Geraden (1,8), (10,3), (4,13), (3,6) parallel sind. Wir betrachten jetzt jeden der sechs möglichen Falle an sich. Fall 1 = Fail ll = Fall VII, Die Schichtung in Bezug aga die Kôrperdiagonale ist (1, 3, 6, 6, 3, 1); die fiinf Abstande der auffolgenden Schichten verhalten sich wie e—1,2, e+1, 2, e—l1. Fall UI. Die Schichtung in Bezug auf die erste Querlinie ist (2, 4, 2, 4, 2, 4, 2); die sechs Abstände der auffolgenden Schichten verhalten sich wie e+t1,2,e+1,e+1, 2,e+1. eee nn See HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. | | Fall IV. Die Dreiecke prp! und (1, 2, 8) sind anhlich und ähnlich legend. Denn aus der Schichtung (5, 5, 5, 5) folgt zunächst, dass die Punkte 6, 2, 8 in einer zu g sr parallelen Gerade liegen, d. h. es ist nicht nur (1, 2) zu pr sondern auch (2, 8) zu rp’ parallel, während ausserdem aus (8,2): pr —=2:3 He, (1,2): pr=—2:38+¢e die Proportionalität der um den gleichen Winkeln (pr, rp’) und (1,2), (2,8)! legenden Seiten folgt. Die der Spurrichtung (1,8) entsprechende Schichtung des Dode- kaeders (Fig. 4°) ist (2212332122); die neun Abstände der auf- folgenden Schichten verhalten sich wie 2,e—1, %,etl, 2,e+1, 2,e—l, 2 Fall V. Die Dreiecke p sp" und (8, 4, 10) sind ahnlich und entgegengesetzt ahnlich legend, wie die Beziehungen ps: sp'—2:e-+1, (3, 4):(4, 10) =2:e+ 1 beweisen. Die der Spurrichtung (3, 10) entsprechende Schichtung (Fig. 4”) ist (2231221322) mit den Abstandsverhältnissen etl, 2,et-l,2,e—l, 2, etl, 2, etl. Fall VI. Man hat | BROS 13) C2. 10) —="(10, 13)7(D, 6) see | eee TO CDO ge) rs SG ee ale ’ Deshalb sind die Geraden pp"! und (4, 13) parallel. Die der Spurrichtung (4, 13) entsprechende Schichtung (Fig. 4°) ist (1232222321) mit den Abstandsverhältnissen Pro ate a eo eed omeen re. Fall VIII. Hier ist OO pa = 4,6) 1 (8, 14) LB 6) 2 08, 14) oe A, RED 6,1) rg OS ACTE) reese). Also sind die Dreiecke (1, 3, 6) und g>p'’p ähnlich und 12 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES. entgegengesetzt alnlich hegend, und deshalb /p/* und (3, 6) parallel. Die der Spurrichtung (3, 6) entsprechende Schichtung (Fig. 4%) ist (12212421221) mit den Abständsverhältnissen e—1,2,e+1, 2,e+ 1, e+1, 2,¢4+1, 2,e-—4# In jeder der vier Figuren 4", 4”, 4°, 4¢ ist auf einer Parallele zur Projektionsachse die Seitenzahl der Polygone der intermediären Schnitte und Uebergangsformen angegeben worden; dies wird uns bei der Bestimmung der Kantenzahl der Seitenflachenpolygonen des Schnittpolyeders nützlich sein. 12. Ist einmal gefunden, wie die Dodekaedergruppen sich auf den gewählten Hauptstrahl OZ, des Z'° projizieren , so erhält man leicht ihre genaue Lage mittels der bekannten Abstandsverhältnisse. Dabei kann noch die Bemerkung niitzlich sein, dass die Schwer- punkte der Dodekaeder sich auf diesen Hauptstrahl in Punkte pro- jizieren, deren Mittelpunktsabstände sich wie 1 + 8e, 5 + 8e, 6 E 2e, 4 + 2,38 He, l eed verhalten, was hieraus hervorgeht, dass die 120 Dodekaederschwer- punkte die Eckpunkte eines 750 in Stellung OZ, bilden. Hat man z. B. gefunden, dass die Eckpunkte der Dodekaeder der ersten Gruppe sich in der Tafel [Ia in &4,4,c,d,e, f projizieren und die Projektion des Schwerpunktes also die Mitte der Strecke cd ist, een AT + 21e 11 ; d.h. von Mittelpunkt O die Entfernung 5 per + 3e) hat, so werden die Abstände der übrigen Schwerpunktsprojektionen l 1 20 + 9e, 18 + Be, 5 (29 + 13e), 9 + 4e, (ll + 56), (7 + 8e), 0 nt sein, d.h. diese Projektionen liegen in else UN = 105.00 = YE wenn ef die Mitte der Strecke ef andeutet, usw. Achtet man nun auf die bekannten Abstandsverhältnisse der Schichtungspunkte, so ist es schon nicht mehr möglich sich zu irren. HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 13 Ausserdem gibt es noch andere Kontrolehülfsmittel, deren wir zwei erwähnen, ein allgemeines und ein besonderes. 13. Das allgemeine Hülfsmittel besteht darin, dass man für jede Schicht untersucht, ob die Summe der Dodekaedereck punkte wirklich das vierfache der Anzahl der in der Schichte liegenden Zelleckpunkte bildet. welche letztere Anzahlen aus der Kolonne # der ‘Labelle III der ersten Abhandlung hervorgehen. So muss in der Schicht e A NEB eh ure) DYNO das vierfache von 12 bilden. Diese Bedingung wird für jede Schicht der Tafel Il? erfüllt. Das besondere Hülfsmittel stützt sich auf der Tatsache, dass die Projektion des Hauptstrahles OZ, auf irgend ein begrenzendes Dode- kaeder zu einem Hauptstrahle OK, dieses Körpers senkrecht ist. Hieraus geht nämlich hervor, dass man sich sämtliche Dodekaeder mittels Drehung um den Hauptstrahl, welche Projektionsachse der Schichtungen ist, auf irgend eine als Bildebene zu verwendende Ebene durch diesen Haupstrahl senkrecht gestellt denken kann. Ist nun (Pig. 5) der Masstab der Projektion a, 6,¢.... so ge- wählt, dass die Sehne 4, B, des über aa geschlagenen Kreises, welche sich in 4f projiziert, in Lange dem Körperdiagonale des Dode- kaeders der vier Figuren 4”, 4’, 4°, 4" gleich kommt, wird sodann um g als Zentrum mit dem aus g auf 4, B, gefällten Lote 747, als Radius den Schnittkreis des Inkugelraums des 7120 mit der Bildebene beschrieben , werden weiter auf diesem Kreise die Punkte 11, a) Sr M; bestimmt, welche sich in den Schwerpunkts- projektionen der Gruppen II, IT, ..., VE projizieren und in diesen Punkten an diesem Kreise die Tangente IT, HI, ..., VIII, gezogen, so sind die sich der Reihe nach auf 67, ch, du, gg, ho’, in’, Ul’ projizierenden Segmente 4,B,, 4,B,, ..., MgB, dieser Tan- genten die Projektionen der Dodekaeder der Gruppen IF, HI, ..., VIII auf die Bildebene. Und nun findet man, dass die Segmente A, B,, 4,B,, ..., 4gB, mit den von den vertikalen Linien auf sie eingeschnittenen Punktreihen genau die in den Figuren 3, 4“, 4’, 4°, 4 gefundenen Punktschichtungen liefern. 14. Aus Tafel Ile wird nun leicht die in Tafel [IT angegebene Kantenprojektion abgeleitet. Dabei sind die Kanten in zwei Grup- pen eingeteilt. Zunächst sind die Kanten eingetragen, welche in Projektion nur ein Segment ab, be, ... des Hauptstrahles über- 14 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES decken, sodann die Kanten dg, eh, ..., welche sich in Projek- tion tiber zwei oder mehrere Segmente erstrecken; nur die Kanten der zweiten Gruppe liefern Eckpunkte der sogenannten Uebergangs- formen. In Berechnungsweise der Anzahlen stimmen beide Gruppen mit eimander überein; deshalb können wir mit einem einzigen Beispiele vollstehen. Wir wählen die Kante Af. Die Kante Ak tritt scheinbar bei der dritten, vierten, fünften und sechsten Dodekaedergruppe auf; denn die beiden Punkte 4 und # des Hauptstrahles tragen in Tafel [la Eckpunktenprojektionen der Dodekaeder dieser vier Gruppen. Weil die sich in 4 und # projizierenden Eckpunkte bei der dritten und der fünften Gruppe aber nicht durch Kanten verbunden sind und 4%, wie die Figuren A“ und 4° zeigen, Projektion ist von zwei Kanten jedes der 12 Dode- kaeder der vierten und von eizer Kante jedes der 12 Dodekaeder der sechsten Gruppe, so ist die Zahl der Kanten A4 = = COEN 1 «1 2) = : | : wobei der Faktor 3 von der ‘Tatsache herrührt, dass jede Kante des Z120 in drei verschiedenen Dodekaedern liegt. 15. Ist die Lage der Kantenprojektionen in der angegebenen Weise tabellarisch dargestellt, SO können die drei kennzeichnenden Zahlen e, #, f von intermediären Schnitten und Uebergangsformen unmittelbar bestimmt werden. Wir zeigen dies mit zwei Beispie- len an. Der intermedidre Schnitt zwischen h und i. Der Schnittraum begegnet 88 Kanten, nämlich: 36 Mi, 4 fi, 24 gi, 12 hk, 12 Al; also ist e = 88. Es werden im ganzen 46 Dodekaeder geschnitten; denn eine vertikale Linie zwischen / und « trifft auf Tafel [Ia die Dodekaeder der Gruppen II, III, IV, V, VI, also 4 + 6 + 12 + 12+ 12 —46 Dodekaeder; deshalb ist f — 46. Es bestimmt der Schnittraum in den Dodekaedern der Gruppen IT, Ill, IV, V, VI der Reihe nach Dreiecke, Achtecke, abermals Achtecke, Sechsecke und Dreiecke. Also wird der Schnittkorper HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 15 von sechszehn Dreiecken, zwölf Sechsecken, achtzehn Achtecken eingeschlossen, und ist 5 (GX B+ IXO +18 X 8) = 182 die Kantenzahl, d. h. man findet k — 132. LE : 3 real Kontrole liefern die Beziehungen 4— ge, f= oe S12. Der Uebergangsform h. Der Schnittraum enthält 24 Zelleckpunkte und begegnet 4 Kanten 7? und 24 Kanten y; deshalb ist e = 52. Es werden nach Tafel [la die Dodekaeder der Gruppen I, III, IV, V geschnitten; also hat der Schnitt 4 + 6 + 12 + 12 Seiten- flachen, d. h. man findet f = 34. Der Schnittraum bestimmt in den Dodekaedern der Gruppen Il, III, IV, V der Reihe nach Dreiecke, Sechsecke, abermals Sechsecke und Vierecke; derhalb wird das Schnittpolyeder von vier Dreiecken, zwölf Vierecken, achtzehn Sechsecken eingeschlossen, und ist 1 6 ALBA SCA ATIE SK 6)" 84 oo | die Kantenzahl, also k = 84. Kontrole liefert nur die Eulersche Formel. 16. Die Bestimmung der Vielkantigkeitszahlen der Eckpunkte des Schnittpolyeders liefert keine Schwierigkeit. Einerseits fanden wir schon (vergleiche Nr. 3 am Schluss), dass sämtliche Eckpunkte der intermediären Schnitte dreikantig sind; derhalb können wir uns weiter auf die Uebergangsformen beschränken. Andererseits ergiebt sich aber sofort, dass die von den Zelleckpunkten herrüh- renden Eckpunkte des Schnittpolyeders entweder dreikantig oder vierkantig sind; denn einem Zelleckpunkte 4 des 7120 sind vier Eckpunkte B, benachbart und das reguläre Tetraeder dieser vier Eckpunkte B, wird von der Schnittebene des dieses Tetraeder tra- genden Raumes mit dem Schnittraume entweder in einem Dreieck oder in einem Viereck geschnitten. Werden die Zahlen der drei- kantigen und vierkantigen Eeken der Uebergangsform durch 2 und y angedeutet, so tut Lösung der beiden Gleichungen ety=f, de2+-4y7=—2k 16 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES nach # und y den Wert dieser Grössen kennen, d.h. man hat 2=22f—h), y=2k—3f. Die letztere Grösse, welche (vergleich meine We/rdimensionale Geometrie, Il, S. 56) als „Grad der Flächensingularität” des Po- lyeders gelten kann, kann verschwinden; in diesem Falle kommt der Uebergangsform das Charakter des intermediären Schnittes zu. Verschwindet y aber nicht — und diese sieben Fille sind auf Tafel Il] mit einem Sternchen bezeichnet —, so ist diese Zahl entweder der Zahl e der im Schnittraum-liegenden Zelleckpunkte gleich oder man hat y Le. Im Falle y =e’ sind sämtliche im Schnittraume liegende Zelleckpunkte gleicher Natur; für y < e’ teilt sich die Gruppe dieser € Punkte in Untergruppen, wie sich spater auch zeigen wird. Die Zahlen 2 und / sind nicht auf Tafel IIL angegeben; sie werden in die tabellarische Uebersicht der Resultate am Schluss dieser Abhandlung erscheinen. 17. Es führt Fig. 5 zu einer leichten Berechnung der Winkel &,,,...,æ welche von dem Haupstrahle abc... mit den Räu- men der Dodekaeder der Gruppen 1, IE ..., Vill gebildet werden. Man findet zunächst AME 664 Me (0 HBO HIB HO), Mg =28 + 122 — 6 +308 +0 — (14 + 6e)(47 + 21e). Also ist M, g—2(9 +4e V2. Deshalb hat man 1 £ | joues Cosa =" (3 +e) V 2, | Cosa — 7 2: Tp | il 43 cos tty = geva, | cos a — = (—1 +e) V2, = | 1 a COS ths ah Viert en Er) V 2, i = — 0. cos a = (1 + e)V 2, COS dg 0 HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 17 18. . Bei einer parallelen Verschiebung des Schnittraumes ändern die Zahlen e, 4, f des Schnittes sich selbstverstiindlich nicht, so lange nicht eine Zelleckpunkte aufnehmende Lage des Schnittraumes erreicht wird; eben deshalb heissen die den letzteren Lagen des Schnittraumes entsprechenden Schnittpolyeder ,, Vebergangsformen”’. Wir bemerken noch, dass eine parallele Verschiebung des Schnitt- raumes innerhalb der erwähnten Grenzen nicht nur die Zahlen e, hk, f sondern auch die Richtung der Kanten des Schnittes nicht ändert. Deshalb sind zwer parallele Schnitte, zwischen welchen kein Zelleckpunkt liegt, nicht nur isomorph nach der von V. EBERHARD eingefiihrten Bezeichnungsweise (J/ehrdimensionale Geometrie, I, S. 23) sondern isomorph mit parallelen einander entsprechenden Kanten. Die Frage, ob zwei solche Schnitte vielleicht ähnlich und ähnlich legend seien, ist nun leicht zu beantworten. Da die Dode- kaeder der verschiedenen Gruppen in Bezug auf die Projektions- achse verschiedene Neigung haben, sind zwei solche parallele Schnitte dann und nur dann ähnlich und ähnlich liegend, falls nur eine Gruppe von Dodekaedern geschnitten wird, d.h. für die interme- diëren Schnitte zwischen a@ und 6 (und zwischen 6° und 4). b) Die Stellung OK,. 19. Die Ergebnisse dieser Untersuchung sind niedergelegt in die Tafeln IVa, IVb, V welche der Reihe nach den Tafeln Ila, IIb, IT der vorhergehenden Betrachtungen entsprechen. Um Wiederho- lungen zu vermeiden beschränken wir uns bei der Besprechung dieser neuen Tafeln auf die Punkte, welche wesentlich abweichen von den bisher behandelten. Die Ueberschrift @,4,c, ... der Tafel [Va und die Mittelpunkts- abstände 33 + 15e, 32 + 14e, 30+ l4e, ... sind der Rand- schrift der Fig. 16 der ersten Abhandlung entnommen. Die erste Reihe der Anzahlen der Dodekaeder der verschiedenen Gruppen ist aus der dritten Kolonne (C, zweite Querlinie) der Tabelle I der ersten Abhandlung abgeleitet. Dabei tritt aber etwas ganz besonderes auf. Bei der in Tafel [Vb schematisierten Vorarbeit der Bestimmung der von den zwölf einem Eckpunkte des 7500 in Stellung OF, benachbarten Eckpunkten gelieferten Ikosaeder findet man, dass die einem Punkte mit verschwindender z,-Koordinate entsprechenden Ikosaeder in Bezug auf den angenommenen Hauptstrahl nicht sämtlich die nämliche Lage besitzen, sondern sich in zwei Untergruppen, eme von sechs Ikosaedern mit der Schichtung (11222211) und eine von zwei Verhandelingen Kon, Akad. v. Wetensch. (1¢ Sectie.) Dl. IX. D 2 18 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES Ikosaedern mit der Schichtung (3333), zerlegen; die erste dieser beiden Untergruppen rithrt von den Punkten + 3, + 58, + 59, die zweite rührt von den Punkten + 4 her. Die verschiedenen Ikosaederschichtungen der Tafel IVb sind teil- weise schon bekannt. Deutet man die neuen Gruppen mit BEREN . XL, XI, an und legt den alten Gruppen den Fussindex 1 bei, so ist der Schichtung nach be Vil, = HL (gelb), Ml, = Xd, — (rot), AV == Vala V, = VIII, (schwarz), während die Schichtungen von III, VI, VIII, 1 ea neu sind. Von diesen ist VIII, gekennzeichnet durch die Eigen- schaft, dass keine zwei Ikosaederpunkte die nämliche Projektion haben; während die Projektionsachse der Gruppen II, VI,, IX,, X,, XI, nach Nr. 9 in einer zwei Gegenkanten enthaltende Ebene angenommen werden kann, ist dies also bei der Gruppe VII, un- möglich. Es betragen die ersten drei Abstandsverhältnisse in Halle. Wy eme; 1+e; 1+e, et LEE En os l +e, nne Att Rte UES ES 2, ne Le Xi let lc; ne log ere Ale el, 2 In Verbindung mit den Schichtungssymbolen ergiebt sich hieraus, dass die Schichtungsebenen (Fig. 3) in diesen Fallen der Reihe nach in Parallelen zu pps’, py", uo", gpo', Op'Y auf der Bildebene senkrecht stehen, wo p,', py", po’, pg’ die Mittelpunkte der Seg- mente gs, rs, sv, ps sind. — Zur Deutung der Ikosaederschichtung des Ausnahmefalles der Gruppe VIII, betrachten wir die ersten fünf Abstandsverhältnisse (le ae Was Mere WE Sind nun in der Projektion auf die Mittelebene senkrecht zur Iko- saederdiagonale (1,12) (Fig. 6) die Eckpunkte 1 und 2 der erste und der zweite Schnittpunkt, so ergiebt sich aus dem zweiten, dritten, vierten und fiinften der fünf Abstände, dass die Ebene durch die Eckpunkte 2, 3, 4, 5, 6 von der zweiten, vierten, sechsten, fünf- ten und dritten Schichtungsebene in durch diese Punkte gelegte Parallelen 4,, 43,44, 45, ag zur Projektion der Kante (1,3) geschnit- ten wird. Weiter bestimmt dann das erste Schichtungssegment HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 19 1+ e die Lage der Spur a, der ersten Schichtungsebene durch den Eckpunkt 1 und findet man, in Verbindung mit dem bekann- ten Wert der Entfernung des Punktes 1 von der Ebene durch 2, 3, 4, 5, 6, für den Winkel @ zwischen dieser Ebene und den Schichtungsebenen 1 tang ® = = V 250 — 110 e fa: Meee AN 1) Das hinzugefügte Dodekaeder in polarreziproken Stellung wird uns bei der Bestimmung der entsprechenden Dodekaederschichtun- gen sogleich niitzlich sein. 20. Wir bestimmen jetzt die den Schichtungen der Ikosaeder gruppen IIL, VI,, VIIL, IX,, X,, XI, entsprechenden Dode- kaederschichtungen mittels der Bemerkung, dass die Geraden pp,’, PP», up, Do", Op!“ der Fig. 3, welche die Ikosaedergruppen- schichtungen kennzeichnen, der Reihe nach zusammenfallen oder parallel sind zu den Verbindungslinien des Eckpunktes 6 mit der Mitte des Segmentes (5, 10), + En ae re » » » (4, 5), Ber RAS 5 ij ie (MSR) 5 3 DERE OP Aha > (4, 8), der Eckpunkte 8 und 13. Hieraus sind die Dodekaederschichtungen abgeleitet und in die Figuren 74, 74, Te, 7d, Te niedergelegt; in diesen Figuren sind auch wieder die Seitenzahlen der Schnittpolygone angegeben. Die der Gruppe VIII, entsprechende Dodekaederschichtung ist in Fig. 8 gegeben; dabei ist die Ebene pg der Fig. 6 Bildebene. Wirklich ist die Neigung der Verbindungslinie (9, 18) durch die Gleichung 1) bestimmt. 21. Sind die Dodekaederschichtungen richtig in die Tafel IVa eingetragen — und diese Arbeit wird wieder erleichtert durch die Bemerkung, dass die doppelten Mittelpunktsabstände 58 + 26e, 54+24e, 47 + 21e¢, 40+ 18e, 86 + 16e, Po Loge —— lOve, A St tS aa UL Di ej mined 2, 0 sich verhalten wie die Koordinaten 6+2e, 3+3e, 4+2e, 5 He, 2+2e, 8 +e, 4, l+e, 2, e—1, 0 DRIE 20 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES der Eckpunkte des 7500 in Stellung OZ, (vergleiche die Randschrift der Figur 8 der ersten Abhandlung) und kontroliert mit Hilfe der Zahl der in den Schichten enthaltenen Eckpunkte des 4120 —, so kann man zur Tafel V der Kantenprojektionen aufsteigen und angeben wie die intermediären Schnitte und die Uebergangsformen gebildet sind, und welche die Vielkantigkeit der Eckpunkte der Ueber- gangsformen ist. Dabei ist nur zu bemerken, dass es Kanten giebt, welche sich als Punkte projizieren und also senkrecht stehen auf dem als Projektionsachse verwendeten Hauptstrahle OX, des 71°. Für die einzige sich in a projizierende Kante is dies aus der ange- nommenen Stellung des 717° einleuchtend. c) Die Stellung OF. 22. Diesem Falle entsprechen die Tafeln VIe, VIb, VII. Die in der Ueberschrift der Tafel Vla auftretenden Mittelpunkts- abstande stimmen mit der Randschrift der Figur 14 der ersten Abhandlung überein, die erste Reihe der Anzahlen der Dodekaeder der verschiedenen Gruppen IL, IIL,... ist der zweiten Kolonne (B, erste Querlinie) der Tabelle I der ersten Abhandlung entnom- men. Auch hier tritt die Besonderheit zweier Untergruppen von Dodekaedern mit einem sich im Nullpunkte projizierenden Schwer- punkt auf, wie dies sich bei der in Tafel VIb schematisierten Vor- arbeit der Bestimmung der benachbarten Ikosaeder ergibt. Von den 12 Ikosaedern der Mittelgruppe erhalten zehn das Schichtungssymbol (ef? HPM? fe), zwei das Schichtungssymbol (dg? 9° d’). 23. Die hier auftretenden Ikosaederschichtungen I,, IL,..., VIIL,, IX,, IX, sind fast alle bekannt; es ist nämlich I, = IV, = IX, die Körperdiagonalenschichtung des Ikosaeders und I], = V, = II, I, = VI, VI, =X, VU, = IL, VITE, = IV,. Nur die Schichtung der Gruppe IX, ist neu; ihr entspricht offen- bar das Biischel auf der Bildebene von Fig. 3 senkrecht stehender Ebenen, deren Spuren der Gerade Or parallel sind. Die entsprechenden Dodekaederschichtungen sind also für 1, IV,, IX, die Schichtung (5555) parallel zweier Seitenflachen, für Il,, Vs die Schichtung (2424242) parallel einer Mittelebene durch zwei parallele Kanten, für IL, VI,, VIL, VII, der Reihe nach die Schichtungen der Figuren 4e, 7d, Ta, 4¢ und für IN, die neue HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 21 Schichtung (121222222121), wobei (Fig. 9) die m der Ebene durch zwei parallele Kanten legende Mittelpunktsparallele zu (4,8) Projektionsachse ist. 24. Bei der Ableitung der in Tafel VIT medergelegten Kanten- projektionen ergeben sich wieder sich in Punkte projizierende Kan- ten; die Zahl dieser in den Punkt a auftretenden Kant ist selbst- verstiindlich fünf, da eine fünfkantige Seitenfliche in « auf der Projektionsache senkrecht steht. In Bezug auf die Ableitung der Zahl / der Uebergangsformen ist etwas besonderes zu erwähnen: es tritt hier zum ersten Male die Grôsse f der in Nr. 4 gegebenen Formel f = r + f auf. Bei den Uebergangsformen ereignet es sich hier nämlich, dass der Schnittraum bisweilen eine Seitenfläche eines Dodekaeders aufnimmt. In diesem Falle ist, weil jede Seitenfläche zwei Dodekaedern ange- hort, die Dodekaedernanzabl mit einer im Schnittraume hegenden Seitenfläche bei der Berechnung von / für die Hälfte in Rechnung zu bringen. So ist f= 1 bei a die Hälfte der Anzahl der Dode- kaeder der ersten Gruppe und man hat für 4 2 2 7 K 3 Ne Van usw. Wo dieser besondere Umstand auftritt, ist die Seitenzahl der entsprechenden Fläche überstrichen. d) Die Stellung OR,. 25. In ganz derselben Weise findet man hier die einfachen Resultate der Tafeln VIIa, VIII, IX. Dabei treten keine neue Schich- tungen und überhaupt keime neue Bemerkenswertigkeiten auf. Wahrend die Gruppe I, nur ein Dodekaeder enthalt, bilden die Schnittebenen des Schnittraumes senkrecht auf OA, mit den die Dodekaeder der Gruppen H,, Hl,, IV,, V, tragenden Räumen der Reihe nach bei IT, ein Dodekaeder, bei III, ein Ikosaeder , bei IV, ein Dodekaeder und bei V, das halbreguläre gleichflächige Polyeder (32, 60, 30), welches der Kombination (30, 60, 32) von Dodekaeder und Ikosaeder in Gleichgewicht (MeArdimensionale Geometrie, IL, S. 189 und 195) polarreziprok verwandt ist. Dies wird leicht abgeleitet aus der Schichtung der Eckpunkte des 7°? in Stellung OF, (vergleiche Tafel X). 22 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES Ih Das. a.) Die Stellung OE,. 26. Die in Tafel X angegebene Projektionen der 600 begren- zenden Tetraeder, auf den gewählten Hauptstrahl OZ, als Achse, kann, unabhängig von den vorhergehenden Entwickelungen, aus . den Tabellen der ersten Abhandlung abgeleitet werden. Es gibt die Tabelle I (Koordinatenstellung des 7600) in der ersten Kolonne (A, Zelldiagonale) die Entfernung 2, der 120 Eckpunkte vom Zellmittelpunkt, während aus der Tabelle I] (Kanten des Z600) zu entnehmen ist, wie die Eckpunkte sich zu vieren zu Tetraedereck- punkten verbinden. Mehr braucht man offenbar nicht. Nachdem das 7120 schon in der in Rede stehende Richtung untersucht worden ist, führen jedoch beim 750 einfache Rezipro- zitätsbetrachtungen schneller zum Ziele. Und gerade im Falle der Lageverhältnisse der 600 'Tetraeder des 7600 in Stellung OZ, ist diese Reziprozität am durchsichtlichsten. So ist wirklich Tafel X unmittelbar aus ‘l'afel VIIa abzulesen, wie wir zunächst betonen wol- len; dabei sprechen wir, mit Unterdrückung des Wortes „Tafel”, der Kürze wegen von VIII und X. Die neun Horizontalreihen und die fiinfzehn Vertikalreihen von VIlle gehen in die neun Vertikalreihen und die fünfzehn Horizontal- reihen von X über; dabei tauschen die Anzahlgruppen (1, 12, 20, 12, 30, 12, 20,-12, 1) und (20, 20, 30, 605 GUN 20, 60, 20, 60, 60:2:60,.80, 20; 20) ihre Rollen um merkt man noch, dass die Mittelpunktsabstände Zed Ber Bit ¢, Les 20 der Vertikalreihen von X proportional sind zu den Schwerpunkts- abständen 11 + 5e 7 + 3e 0 Ile 6. de, der Dodekaedergruppen von VIT vom Mittelpunkt des Z120, so ist man völlig imstande das tragende Gitter von X zu zeichnen. 27. Wie die 600 Tetraeder des 7° in das nun fertige Gitter einzutragen sind, wird vielleicht am leichtesten verstanden mittels Tafel XI, worin VIII: (schwarz) und X (rot) mit einander zur Dec- HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 23 kung gebracht sind. Ist zunächst VITTA wiederholt worden mit dieser besondern Anordnung der Horizontalreihen , dass die Zwischenräume nicht mehr einander gleich sondern den Zwischenräumen der Ver- tikalreihen von X proportional erschemen, so hat man weiter nur (in Rot) auf jeder Vertikalreihe die Punkte zu verbinden, welche schon Eckpunkte des 7!° tragen, und endlich bei jedem Punkte des Gitters, welcher schon eme schwarze Zahl trägt, eine bestimmte rote Zahl hinzuzuschreiben, welche folgendermassen gefunden wird. Multiplizirt man die schwarze Zahl (z. B. den 5 der vierten Reihe und sechsten Kolonne) mit der Zahl (12) der Reihe und dividiert die Zahl (60) der Kolonne in das erhaltene Produkt (60), so be- stimmt man das rote Ziffer (1), welches dem betrachteten Gatter- punkte beizulegen ist. 28. Ist Tafel X einmal gefunden, so leitet man aus ihr die Anordnung der Kanten und die Schnitte ab, wie dies beim 7120 geschah. Diese Arbeit ist leicht, weil das Tetraeder von einer Ebene nur in Dreiecken und Vierecken geschnitten werden kann; die Resultate gibt Tafel XIT. Wir bemerken noch, dass die genaue Form der Seitenflächen unmittelbar aus Tafel NX abzulesen ist. So wird (Mehrdimensionale Geometrie, 1, S. 225) der Schmitt (12, 30, 20) begrenzt von 20 roten gleichseitigen Dreiecken und ist dieser also ein rotes Ikosaeder ; so wird der Schmitt (72, 180, 110) eingeschlossen von 20 orangefarbigen gleichseitigen Dreiecken, 30 gelben Rechtecken und 60 grünen gleichschenkligen Dreiecken , der erste Schmitt (132, 330, 200) von 60 grünen gleichschenkligen Dreiecken, 60 blauen gleichschenkligen Trapezen , 60 indigo gleich- schenkligen Dreiecken und 20 violetten gleichseitigen Dreiecken , der zwelte Schmitt (132, 330, 200) von 60 blauen gleichschenkligen Dreiecken, 60 indigo gleichschenkligen Trapezen, 20 violetten gleichseitigen Dreiecken und 60 schwarzen gleichschenkligen Drei- ecken, usw. Auch hier kann wieder leicht angegeben werden, welches Polyeder die Schnittebenen des Schnittraumes senkrecht auf OZ, mit den die Tetraeder einer Gruppe tragenden Räumen bei Verlängerung zusammen einschliessen. Man findet, wieder mit Hilfe der Schich- tung der 600 Ecken des Z120 in Stellung OZ, (Tafel VIT) für die Gruppen I (rot), IT (orange), VII (violett) ein Ikosaeder, Gruppe III (gelb) das schon in Nr. 25 vorgeführte Polyeder (82, 60, 30), Gruppen IV (grün), V (blau) das halbreguläre gleichflächige Polyeder (32, 90, 60), 24 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES Gruppen VI (indigo), VL (schwarz) das helbreguläre gleichflachige Polyeder (62, 120, 60). Die neuen halbregulären gleichflächigen Polyeder (32, 90, 60) und (62, 120, 60) sind (Wehrdimensionale Geometrie, I, S. 189) dem sechsten und dem fiinfzehnten der Archimedischen Vielflache polarreziprok verwandt. 29. War die Bestimmung der Seitenzahl der den Schnittkörper des 7° begrenzenden Polygone leichter als bei ZO, bei der Be- stimmung der Vielkantigkeit der Eckpunkte der Schnitte, zu welcher wir uns jetzt wenden, tritt das umgekehrte Verhältnis ein. Aller- dings können wir uns auch hier wieder auf die Uebergangsformen beschränken, weil die Eckpunkte der intermediären Schnitte (ver- gleiche Nr. 3 am Schluss) sämmtlich /fvinfhantig sind. Aber die von den Zelleckpunkten herrührenden Eckpunte eines intermediären Schnittes können von fünf- bis zwölfkantig sein. Denn das einem Zelleckpunkte des 7600 benachbarte Ikosaeder wird vom diesen Punkt enthaltenden Schnittraum in einem Polygone geschnitten, welches von fünf bis zwölf Seiten und also auch von fünf bis zwölf Eckpunkte hat, und die Verbindingslinien dieser Eckpunkte mit dem angenommenen Zelleckpunkte bilden die durch diesen Punkt gehenden Kanten des Schnittes. Allein diese Formulierung der Frage der Vielkantigkeitszahlen enthält auch sogleich ihre Losung. Denn die oben erwähnten Polygone werden unmittelbar aus Tafel VITE abgeleitet als die Schnitte der dort auf a bc... projizierten Ikosae- der mit in bestimmten Punkten — und zwar für das zweite, dritte, vierte und fünfte Ikosaeder der Reihe nach in 4, €, d, e — auf dieser Gerade senkrecht stehenden Raumen. So findet man, in Verbin- dung mit den bekannten Ikosaederschichtungen, dass die in den vier Uebergangsformen hegenden Zelleckpunkte der Reihe nach fünfkantig, sechskantig , zehnkantig und sechskantig sind. Diese nicht in Tafel XII erwähnten Resultate werden in die tabellarische Uebersicht am Schluss dieser Abhandlung aufgenommen werden. Die oben erhaltenen sich auf die Vielkantigkeit der Eckpunkte des Schnittes beziehenden Resultate konnen wieder auf verschiedene Weisen kontroliert werden. Zunächst ist, wenn a2 und y die Zahlen der fünfkantigen und /-kantigen Eckpunkte des Schnittes angeben DEVIENT ye Und weiter ist die Zahl y im Allgemeinen entweder Null oder der Zahl e° der Zelleckpunckte des Schnittes gleich. Nur wenn die HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 25 Gruppe dieser e Zelleckpunkte sich zerlegt in Untergruppen ver- schiedenen Charakters, welcher Fall hier noch nicht auftritt, wird es notwendig sein fiir jede dieser Untergruppen, welche dann auch in die ‘Tafel der benachbarten Ikosaeder erscheinen wird, eine eigene Vielkantigkeitszahl zu suchen. 6) Die Stellung OK,. 30. Bei der Ableitung der in Tafel XIII angegebenen Projek- tionen der 600 Tetraeder des ZE auf einen Hauptstrahl OK, als Achse aus der Tafel VIa, welche für die 120 Dodekaeder des 712° in Stellung Of das nämliche leistet, begegnet uns cine Schwie- rigkeit. Multipliziert man die Zahlen (5, 4, 3, 5, 2) der vierten Kolonne der Reihe nach mit den Zahlen (2, 5, 10, 2, 5) der entsprechenden Horizontalreihen, so erhält man die Produkte (10, 20, 30, 10, 10), welche bei Teilung durch die Zahl 20 der Ko- lonne die Quotiente ( : 9? Oe al : IS liefern, deren Summe rich- Deed 2 tig vier ist. Hieraus ist zu entnehmen, dass die Gruppe der zwan- zig Tetraeder der vierten Reihe der Tafel XIII in zwei (= dem gemeinsamen Nenner der gebrochenen Quotiente) Untergruppen von zehn Tetraedern zerlegt werden muss, welche Untergruppen, ob- gleich sie die nämliche Schwerpunktsprojektion besitzen in der Projektion ihrer Eckpunkte von einander verschieden sind. Aus der 1 _ bekannten Mittelpunktsentfernung des Schwerpunktes, 4} + 5e) nach dem Masstabe der Ueberschrift der Tafel XIII, findet man dann weiter, dass man zwischen den beiden in Fig. 10 vorge- fiihrten Anordnungen zu wählen hat und von diesen ist dann, wie sich aus den Tabellen der ersten Abhandlung ergiebt, die zweite die wirkliche. Wie Tafel XIII anzeigt, wiederholt sich die Zerlegungs- notwendigkeit der Gruppen in Untergruppen mit gemeinschaftlicher Schwerpunktsprojektion sehr oft, ist aber jedesmal die Zahl der Untergruppen zwei. Bei der Ableitung von Tafel XIV aus Tafel XIII ist nur zu bemerken, dass die beiden Untergruppen von 10 und 2 Dodekae- dern, welche zusammen die Mittelgruppe von Tafel Vla bilden, sich zu einer Gruppe mit den auf (/, m, 2, 0,p, q) fallenden Produkte (10, 30, 10, 20, 20, 30) vereinen, während die bei der Vielkantigkeit der Zelleckpunkte zu betrachtende Mittelgruppe von zwölf Ikosaedern sich umgekehrt in zwei Untergruppen von zehn und zwei Ikosaedern 26 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES zerlegt, wie Tafel VIb zeigt, woraus hervorgeht, dass zehn der zwolf Zelleckpunkte achtkantig, die beiden übrigen zehnkantig sind. c) Die Stellung OF,. 31. Bei der Ableitung der Projektionen der 600 Tetraeder des Z°9 auf einen Hauptstrahl OF, als Achse aus Tafel TVa haben wir wieder die oben schon beschriebene Schwierigkeit der Zerlegung der Gruppen in Untergruppen zu bekämpfen. Wie Tafel XV zeigt, ereignet es sich hier sogar, dass eme Gruppe, die Mittel- gruppe, sich in dre, Untergruppen zerlègt. Die Konstruktion der Tafel XV gibt zu keiner Bemerkung Anlass. Ebenso wenig die Ableitung der ‘Tafel XVI, welche wieder die Kantenprojektionen und die Charaktere der Schnittpolyeder ken- nen thut, und die Berechnung der Vielkantigkeitzahlen. Nur mag noch betont werden, dass in Tafel XVI die überstrichenen Seiten- flächen wieder erscheinen und die Mittelgruppe der acht benachbarten Ikosaeder sich in zwei Untergruppen von sechs und zwei Ikosaedern zerlegt. : d) Die Stellung OR,. 32. Diesem letzten Falle entsprechen die Tafeln XVI und XVII, von welchen die erste aus Tafel IT? abgeleitet werden kann. Dabei ist es nicht nur die Mittelgruppe sondern sind es auch zwei in glei- cher Entfernung von der Mitte liegende Gruppen, welche in drei Teile zerfallen. In diesen der Reziprozitätsanwendung innewohnen- den Schwierigkeiten geben die Tabelle der ersten Abhandlung immer sichere und zuverlässige Auskunft. Auch hier mag wieder angewiesen werden, welche Polyeder die Schnittebenen der die Tetraeder einer Gruppe tragenden Räume mit dem Schnittraume senkrecht auf OZ, bilden. Man findet, wie- der mit Hilfe der Schichtung der Ecke des Z7'*° in Stellung OZ, (vergleiche Tafel la), der Reihe nach bei der Gruppe mit HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. GS —~ 4 Tetraedern . . (4,6,4) | ein Ll. Tetraeder, 12 2 … (8,18,12) | ,, 1. Pyramidentetraeder, 24 La .. (14, 86,24) | ,, Pyramidenhexaeder. 12 ie noue Ale 120) , 1. Pyramidentetraeder, 4 = we (4, 6, 4) , vr. Tetraeder, 24 = .. (14, 36, 24) , 1. Hexakistetraeder , 12 cs Mn (85-8; M) , r. Pyramidentetraeder , | 12 a: UAL TAN) , |. Triakistetraeder , 4 i a (4, 6, 4) » -L Tetraeder, 24 4 4014080724) , Pyramidenhexaeder, 4 5 at, (4, 6, 4) , 1. Tetraeder, 12 > ee sal Ho 12) , 1. Pyramidentetraeder, 12 5 ee (See, Le) , t. Pyramidentetraeder, £2 - .. (14, 24, 12) , 1, Triakistetraeder, 24 x + (1480024) , Pyramidenhexaeder, | 24 3 11480624) , 1. Hexakistetraeder, | 4 > ry (4, 6, 4) , |. Tetraeder, | 12 4 ANS MESSE) , LL Pyramidentetraeder, }12 & aon (er Ag. 12) , |. Triakistetraeder, 24 8 .. (14, 36, 24) … 1. Hexakistetraeder, 24 2, .. (14, 86, 24) , Ll. Hexakistetraeder, (= 6 2 ap, (Oe G) , Hexaeder, | 24 bs 4104930, 24) , r. Hexakistetraeder, usw Die Ableitung dieser Formen liefert keine Schwierigkeit, wenn die bei der Schichtung der Eckpunkte des Z#0 in Stellung OL, auftretenden polarreziproken Polyeder bekannt sind; weil diese Polyeder in der dritten Abhandlung in Bild erscheinen werden, erörtern wir diesen Punkt hier nicht weiter. III. Tabellarische Uebersicht der Resultate. 33. Wird ein Schnitt vom Symbole LUC OT KAD ein gekennzeichnet, so soll dies aussagen, dass das Schnittpolyeder von 6 Vielecken mit a Seiten, d Vielecken mit c Seiten, usw. be- grenzt wird, P Eckpunkte, Q Kanten, & Seitenflächen hat und dass durch £ von den Eckpunkten a Kanten, durch J von den 28 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES Eckpunkten Kanten gehen, usw. Diesem Schnitte irgend eines der beiden Zelle 712°, 7600 ist dann der Schein BED tu. elder Orsa eee. des andren polarreziprok verwandt, welcher von (2 Vielecken mit a Seiten, d Vielecken mit y Seiten, usw. eingeschlossen wird, R Eckpunkte, Q Kanten, P Seitenflächen zählt, während 4 der Eckpunkte a-kantig, d der Eckpunkte c-kantig sind, usw. Weil diese Scheine sich unmittelbar aus den Schnitten ablesen lassen beschränken wir die tabellarische Uebersicht der Resultate auf die Schnitte. Zur leichteren Orientirung der Schnittstelle lassen wir dem Sym- bole einer Uebergangsform die entsprechende Buchstabe des betref- fenden Hauptstrahles, dem Symbole eines intermediären Schmittes die Buchstaben der beiden benachbarten Uebergangsformen voran- gehen. 34. Die Schnitte des 2, a) Stellung 0E,. ee 34 (4, 6, 4) 34 i. .312 46 512 612(56, 96, 42) 332424 OR rhis 34(4, 6, 4) 34 ik .3446512 724(88, 132, 46) 388 Bert oul 3464(12, 18, 8)32 k .. 8452461264, 102, 40) 352412 eos 3464(12, 18 9) 312 #.....512628(76, 114, 40) 3% : ARR 46 68(24, 36, 14) 324 1.....51262%8(76, 114, 40)3% Ne 46 68(24, 36, 14) 324 Im .312628812(100, 150, 52) 3100 41268 86(48, 72, 26) 348 m . .312412628(76, 126, 52) 352 424 _.. .Bt412 610(36, 60, 26) 3744" | wn.412 52616812 (100, 150 5D nn... 34 622(48, 72,26)348 | » .....512628(76, 114, 40)3% .....512610(40,60,22)340 | zo 34512618 712(84, 126, 44) 384 ......512610(40, 60, 22) 340 o ...34524616(72, 114, 44) 860412 tis di 512610(40, 60, 22) 340 op . 312632812108, 162, 56) 3108 ..42610712(64,96,34)384 | p ..312412682(84, 138, 56) 360424 ..34412618(52, 84, 34) 340 412 | pg.412512620812(108, 162, 56) 3108 .816612818(88, 132, 46) 388 524 620(78, 120, 44) 37246 HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 29 b) Stellung OK). SIR ne BAG. 92 ND en MIRA BA 3249 (6, 9, 538 AE 36 62818,27,11) 318 J AME EU SARA) FT 4665(18,27,11)318 Re 46 65(18, 27,11) 318 CELA. . AG SOA 17 820 LS 45611(30, 45, 17) 330 ef .. .3°466289(42, 63, 23) 342 D: 304968(30/51,23)318402 ee 4356 614 (42, 63, 23) 342 g.... ..51268(36,54, 20) 3% Ghiaa AS 566876 (48, 72, 26) 328 82265 6612(42, 66, 26) 330 40 Ii... . 3243624(54, 81, 29) 354 FES B OORD: 2 ore ik 3124356 818(74, 111, 39) 37 ik. 435% 612 86(62, 99, 39) 350 412 Jl 415 612 76 86(74, 111, 39) 374 1 ....42161276(62,99, 39) 350 412 | lm 36485 1271289(86, 129,45) 386 m 335 12667659(80, 123,45) 37446 mn . 312618 78 89(86, 199, 45) 386 7 BP. 121697629 ONS) no. 3650 627 86(86, 129, 45) 3646512 G21(71, 114, 45) op ADG ENSOR 5) 388 De APCE (ion 0045) 5e Di tas 52 5 3 350 4,21 vj 46 5° ROOMS HTA 3°° gs DOS RSA EA) 31e JTE PE IGATTE (ADS 5/47) 390 ras AS 52 62072 dit, 47) 3% 2 PDP SE (ON ESE. Agee rar OCR 1 1 4103" 86 5162317 12 O0 35, AAD Be zoe Ad) BSA tu 3646512687 28102,153,53)3102 HIS ANGES (SMS RAUD) gee dite AGE SOM on AT ao AF 524 OR TBA IO 147) 878 48 Be. SP AFG! LS LLORIS NTI DO) SEE w3 12435 126208696(102,159,5 5 9) 3904 12 wa Ad? 54208 OMAN i 59) SE TAGS OC ALD ODE SEE UZ 18 — c) Stellung OF,. Ap a 4° 52(10, 15,7) 310 Oo 1520 15: io be....31085 102(30, 45, 17) 330 eben 310 5265 (20, 35, 17) 310 410 BAER -5125%(30,45 17) 3 °° MOEI. 512 65(30, 45, 17) 320 ets 7. 4552615 (40, 60, 22) 340 DANS. 4552615(40, 60, 22) 340 ef..3104552815(60, 90, 32) 360 hak „310410 52610(40, NO: 32) 320 420 fa. .4551261085(60, 90, 32) 3 or ee NONNEN Rr De roc: gh oO a GPS O2 005737) 370 1.310 510615 102 (60, 95, 37) 350 410 hi .419 625 102(70, 105, 37) 37 i... 419512 615 (60, 95, 37) 350 4.10 ik 419 5126 158 10790, 135,47) 390 fe. 310 4,10 52 625(70; 115, 47) 350 420 1.310 52625 81 (90, 135, 47) 390 heers ai 512 625 (70, 105, 37) 370 Im 310 512.6198 15/90, 135,47) 390 nis 0455 GACT Os delhi) 390 420 30 REGELMASSIGE mn 4° 512620 7(90, 185, 47)3% SCHNITTE UND PROJEKTIONEN DES p39 A20 5? 629805130; DNS oes nm 4° 522 610710(85, 130,47) 39945 | pg 320526197108 20/190, 180,62)3 120 no 45512620 710/90, 135, 47) 390 51269080, 120, 42) 380 ) op 4195 126208 10/1 00,150,52) 3100 d) 512(20, 30, 12) 320 ab.........512(20, 30, 12) 320 .512(20, 30, 12) 320 je AR 20 1012(60, 90, 32) 360 oe 320 512(30, 60, 32) 430 70 CORNE 512620(60, 90, 32) 360 11). STI 01262(60:9082)860 de ......512620(60, 90, 32) 360 85. Die Schnitte des Z°°. a) BM a. ik 320(12, 30, 20) 5 2 a 320(12, 30, 20) 512 be. 2820490079 ESO) TONE 5 NS 360(32, 90, 60) 512620 b) FORT. D 330 45(22, 55, 35) 522 BEE Pk 330 (17,45, 30) 512 65 Ae 360 420(52, 130, 80) 552 oes 2 CCR 360 (39, 90, 60) 522 710 cd ....3100440(09, 230, 40) 592 dee hoe? (82,210; 180) 520102 de ...3100440(92, 230, 140) 5% e....3110420(77,205, 130) 572105 | g. 319 52 6297 10/90, 140,52) 3680440 gr 4495 106207 10] 0%100,150,52)3100 r . 4295 126 10] 919/80, 130,52) 360 420 Stellung OR,. e......512620(60, 90, 32) 360 ef 480 6201012 (120, 180, 62) 3120 f.. .3?9 430 51260, 120, 62) 460 fg .320512830(120, 180, 62) 3120 g .....512630(80, 120, 42) 380 gh.....512630(80, 120, 42) 380 RU 512630(80, 120, 42) 380 Stellung OE,. cd . 3149 460 (132, 330, 200) 5132 i oe 314072, 210, 140) 560 1022 de . .3140 460/132, 330, 200) 5182 oF ree à 380 (4.2, 120, 80) 5 12 6 30 Stellung 0K,. ef . .3120 450/112, 280, 170) 5122 ff... .3}20 410 (72, 200, 130) 582 910 fg . 3330 455 (122, 305, 185) 5122 g. . 818042592, 245, 155) 532 810 gh . 310 465 (142, 355,215) 542 h.. .310 415 (92, 255, 165) 582.101 _ 8150 465 (142, 355, 215) 5142 i 3140 42092, 250, 160) 5898 102 OE OAD 40500 Pa 342 4326, 69, 45) 5% (ORNE SOA AOR Oo) DE EMR. HO 0 642,0) 5288! HUNDERTZWANZIGZELLES UND DES SECHSHUNDERTZELLES, ce) Stellung OF, ed... 380430(72, 180,110) 572 ME, 392 46(54, 150, 98) 548108 | . 3104 44296, 240, 146) 59% _ 8104 418/72, 199, 122) 566 96 3110 445 (1 02, ..810427(84, 219, 137) 57888 255, 155) 5102 d) Stellung OR,. | | ne Uae Se h dd (AP USW. 31 SAPs (ARAS Dee SNE 34105, 270, 167) 5°71 0" 34 pee: 315, 191) 5% 3 4® (138, 345, 209) 51% _ 3! 435(114, 300, 188) 5% 105 _ 8% 455 (14.4, 360, 218) 51 ..824%(114, 300, 188) 510° .312 465 (144, 360, 218) 51! h.2d PA (104, 289 180) HAIL0$ 122 aa 3° (4, 6, 4) 34 e ... 846 42 (72, 198, 128) 58” en 3 412(36, 90, 56) 5% ef ...8 4° (132, 330, 200) 51 RE 32(28,78,52)5%9 | f ....30412(84, 934, 159) 572 9% Eh. 38 424(60, 150, 92) 5°° fg .. 34 (144, 360, 218) 51% a 30(42, 120, 80) 5% 10° | y .. 34% (124, 324, 202) 512191 ed ....324%(84, 210, 128) 5% gh .. 8°45 (144, 360, 218) 51% a 3°(48,138,92)5%8" | A... 3152 46 ($4, 240, 158)52 10” de .. .3"64'8(108, 270, 164) 51% | 36. Schlussbemerkungen. Die tabellarische Uebersicht der Schnitt- resultate bleibt in einem Rücksicht bei den Tafeln zurück: aus den Tafeln liest man ab, wie die von den verschiedenen Gruppen be- grenzender Dodekaeder und Tetraeder herrührenden Seitenflächen bei paralleler Verschiebung des Schnittraumes in emander übergehen, was den Nrn. 34 und 35 nicht so leicht zu entnehmen ist. Im ganzen treten bei 7120 30 Ade 39 — Moi, 7500 8 L 16 + 20 L 15 — 59 Schnittpolyeder ‘auf. Bei ZO findet man nur ein einziges von Dreiecken eingeschlos- senes Schnittpolyeder, 34; bei 7600 Sa es deren neun, nämlich oon 320, 330, 352, 356, 360, 380 3 140 32 REGELMASSIGE SCHNITTE UND PROJEKTIONEN, USW. von welchen 36° in den beiden Stellungen OZ, und OK, von 7600 angetroffen wird. Von den 15 Scheinen von 7®° in Stellung OZ, werden 13 nur von Dreiecken, die beiden übrigen nur von Vierecken begrenzt. Will man zu den wirklichen Formen der Schnittfiguren aufste1- gen, so reichen die hier erhaltenen Resultate noch nicht aus, muss man vielmehr noch zweierlei bedenken. Zunächst muss man für jede der acht Schnittreihen tun, was hier nur geschah für die vier Reihen der extremen Stellungen OM, OF): die Polyeder bestim- men, welche eingeschlossenen werden von den Schnittebenen des Schnittraumes mit den die Grenzpolyeder einer jeglichen Gruppe tragenden Räumen. Sind diese Polyeder bestimmt, so miissen die Schnittpolygonen in ihren wirklichen Lagen in die Seitenflächen dieser Polyeder hineingezeichnet werden. Dieser Gedanken soll in der dritten Abhandlung fiir einzelne Schnittpolyederreihen verwirk- licht werden. Dort wird sich dann ergeben, ob zwei Schnitte mit dem nämlichen Symbole — wie z.B. die Schnitte (7120, OF, 0), (729, OR,, g) mit dem Symbole 512 6 v (Ue h20, 2412) 1520 nur allomorph (Mehrdimensionale Geometrie, II, S. 23) oder aber auch isomorph sind, usw. Auch wenn diese Arbeit für die sämtlichen acht Schnittreihen erbracht wäre, würde das Thema dieser Schnitte und Scheine noch nicht ganz erschöpft sein. Um nur noch einen Punkt zu streifen bemerken wir, dass es nur noch waArscheinlich ist aus den hier gegebenen Entwickelungen, dass das Polyeder (120, 180, 62) ftir Z 2 und das Polyeder (144, 360, 218) für 7° den Schnitt mit der grdssten Eckpunkten- und Seitenanzahl bildet; vielleicht würde die Entscheidung dieser Frage zu neuen Problemen Anlass geben. PE SCHOUTE Regelmassyye Schnitle und Projektionen des 120-zelles und GOO zelles 1 vierdimensronalen Raume Tafel I. Fig: 1. Y 1 = = TBytellich Pari dater Verhand Kon Akademie v. Wetensch. 1°Sectie DI. IX. ? a = a2 re rr ie" Rt Pe Gers 5 a a > 7 + * « a =? A oa PCT Fe - E Se 32 te ig s = * A * ‘ re 2 ie EN = \ “ Dt ~ . . PHSCHOUTE. Regelmassige Schnitte und Projektionen des 120-zelles und 600-zelles im vierdimensionalen Raume. Tafel 2 I 7 L Le ee Rp BENE BS PR ete A KI I EER PERE EE FREE ER D RE ERE TE rae at EEE EEN Ape 15 it [ Loe IC E FEL od PL Dy ts FY Ss Ta, FY * à be à e fg h pp ot Y ER Base Ne ete) | Dodekaeder der Grupyien lorange) 5:30 $ | 3 $ 3 ra Lael | tragenden Rae mut dene | GN er) 6 | | 42 int Schnittraume \senkrecht | 2e 1 2 12 Le | EN gee a OR halen ergs | -| lan. | se ie 2 | 2 2 2 ee ae 146 CE RE ea) 4 LE Ca cnet RE 2 Sac 5 | ES || 2 | 2 | PAS el a à 2 | | schuara_— 0 22 2 = 12 | | 4 + 6 | 2 | [2 1 (81822) ee rl dige’) —ase) 1 2 2 2 | Luz ap (81822) ee NES he | c blau’ | -(3+e) RME re nn) dr [12 trader | (42412) 1 3 |} Ww grin’ | a+ 20) | hi) 6 | Wirfel {8,12,6) 2 Zag ik \_gelb. | -(6:2e) 2 2 4 2 26 4 | Lr Tatragder | ba) ô (ie et [| orange) -(5:3e) En: 84 Zoi A OD REE EED 28 24 24 54 2% U 28 2412 U 32 U 24 412 24 ze 41 it __| =(73.32) Hate 72) ŸLage der begrenxenden Dodekaeder des Z'*in Stellung OL "age der Nachbarikosaeder des Z°° in Stellung OR,. Verhand Kon. Akademie v.Wetensch.1Sectie DI IX. TBijtel lith PI Meier vrije Leiden PH SCHOUTE. Regelmassige Schnitte und Projektionen des 120 -zelles und 600-zelles im vierdimensionalen Raume. Tatel IIT. 5 oh S = = | el 4 12 24 48 | 49 | zo | FLE ER EN EN 26 _| 100 | 100 [- a4 __| zoa _108 Re ery ne | 60 LEE En 132 lue lo | 150 126 162 162 | SE SEA AE 26 Iz Sg 34 26 46. 40 | 52 | 52 4 56 _ | 56 3 rot Ep Si gil JL jn = =| | | RS) | orange | 4 Zelk 6 Eee 6. 6 en À uell mr ei EEE 6 6 BRENT JE 2 PLL | 12 | Je tE ESE 5 6 4 Olea 12 EE zi Een & Zal Fo SEI Ie z ES 4 |undigo | 12 =) = = lS rise 5 EN, 6 2 6 full Gen | violett 4 me = “a =; 6 6 6 6 fi sduvarx | 1 se | ss = =3 5. ee B 187 Le Re al 6 Ur — = | = 3 a mn! 42° 4640 4o En D Ë Ps En de à _k | 18 60 60 a 96 2 4 ul D if 5 ae Ath = ap 40 40 La os Let 4 ri Ê ae ee LE SLorange | 4 | en =: 6. a | a gelb= 6 mnl ET = PUN 12 ee | 1e Sat L Sig t a i 8 | blau 12 Si Le ki 6 5 f my = = |tndigo 12 L | = va JS GE la ie 6 | miolett 4 Ja 6 = le 5 6 à Lschwarx | 12 IE = | 5 5 6 6 © piolett’ 4 = ze a = El Lindigo' | 12 | En =: 45 „lled: | | Zee 1 4 12 24 12 4 24 24 32 24 12 2 28 24 24 54 Lage der Kanten des Z*° in Stellung OF, und Schnitte. = J Verhand. Kon. Akad.v-Wetensch. 1° Sectie DL IX. LUN RUN ELANCE PHSCHOUTE. Regelmässige Schmtte und Projektonen des 120-zelles und 600-zelles im vierdimensionalen Raumie . = OOF GE ICH | 5 | ES ET ae poe DRE EER En ui © | EKERE RR REE IFRS ÉLÉFFÉREUURRE b à || po LU, dit... oo 3e 2 | J sil = eames = IL 2 42 4 24 T7, |-(6+2E) | sil ee LOE 6) 3) 42) 642) ABT 424k 12) 187 GTE 5 2 24 1842 18 2% 1812 24 1218 24 18 218 24 215 246 18 1214 42 (aD Wy Oey. = à a 2 a " Goo 1 | Lage der begrenxenden Dodekaeder des Z*°°in Stellung OK Lage der Nachbartkosaeder des Zur Stellung OF. Verhand Kon Akademie v Wetensch 1°Sectie DL LY. JBytel ith. PI Mal der impr Levien jm > CI wwe CL ars Cut lk fo È IN rib SCH OUTE. Regelnuissige Schritte und Projektianen des 120-zelles und 6 O-zelles im vierdimensionalen Raume. Tafel V. ] Ces © ONES IE | : el ST AD FE | | 1444471] | | | | - (EE) A | SE 8 ei Terai ER Wd dd gd ayo “rah feel eta ; Ë 7 ji (nn NE 4 1 à. sl Joe 1 ddd | D dS TAA ze | ; r hia TL se Tera à ÿ d 4 ssa NN L - ia ge ||) Se ee ne) tg ad dd ddtdqdaaa | | | | Aal | mma = { | + 1] es CI | 338 dadddddd SI + | ca ea | | + J res ag EEE a | a |S AS ET Eerd 9 | EE an MoN | l at | r | er tou NS Fe en Le LS | ass Van gag uy a | a y | Ih He a « s eN gg | JL dl Ii EEE SEEEEEE 7 ED | Al at | Li TW | Pag Hdd Gel 4 da Si ase ES AE LG | | eet | a ol qe dd « ay qidddda TSS | iS} | te aa | +833 dd dd tel à 4 SN ON ga 4g | Ie i | — =! Ju | FR — dd d'A 4 Kel 4 saa | |d44d 44 | | ot +4. : as ae a us || En: Ea | NI a dada | + 5 | RS qq «9 4 ES | 3 oP Seas aagady PE HH EHH HE, 5 dg dggd | | BEE EEE Lg da aa de oH 3 ÿ 3 3 J d g d'« | | | EE +e Ll L ‘Lala SUG S| a i to 5 J gd 4 dd dd a 5 Tae if Te | À DE ES Di me = T + | 4 3 NS ga ES JL tet | ‘le Zas st L EN = d dd dd © 5 ene en 4 eee ne, | : ÉÉÉÉERRE A dl LE LA | do de dt | ii © q d ol aw of | el, LI | as) | | i Far te Tr). e SIL + les! | ads SNES SIE EEEEFEEKEE Intermedtare Schnitte. rgangsformen À Hoi Zelleckp. 2 Lage der Kanten des Z*° in Stellig OK, und Schnitte . JBytel ith PIMalder imprlecden Verhand. Kon. Akademie v Wetensch 1°Sectie DIK a " = nen de aa - en | ] ST hd ro eee ; E He + Les ® fe sy ey PH SCHOUTE. Regelmässige Schnitte und Projektionen des 120-zelles und 600-zelles im vierdimensionalen Raume. Tafel VI. Le re el 1205 1010 20 1020 2010 30 2020 30 5 30 3020 20 2030 305 30 2020 30 10 20 © Lage der begrenxenden Dodekaeder des Z™ in Stellung OF,. 20 10 20 10 10 5 GE! | Romane b z 7) Lage der Nachbarikosaeder des Z°°°in Stellung OK. Verhand. Kon. Akademie v Wetensch. 1° Sectie DLIX. JBijtel ith PI Mulder impr Levien / ee MERDE mi + ed Sn EEE ane, he « annee A Tr Tafel VII. 4 =) 400 _ 150 52 GES 7 [en 10 5 20 20 +— Lan | 180 | 62 ailes 8 2 5 | 6 gi AEN, 90 | ve 6 ls =: 20 10 100 150 52 5 6 8 alt 20 10 Eel SH IE 6 Zj 6 | 5 6 6 6 15 o T t +8 4 "9 | A Sy | 545 SES EI) — EE Ee 8d pid td 1 qu | | | | | ee | [= A | lliaas -CEECE nl | TC Ne et SE | | | à | 105 — 135 95 31 6. 6 4 iden, TEÿteluth PI Mulder var: g OF, und Schrutte . ng = ta — 0. PH SCHOUTE. Regelmassige Schnitte und Projektanen des 120-zelles und 600-zelles im vierdimensionalen Raume. 3 | a: Ei =| ETS | : | | a m4 El dm | | |“) © g à 4 q 4 | A | Q | t hy 4 a 5 8 4 3 a od 4 | | | | | àl SS + 3 ++ sds re à S x | Woy | © Nu a Eed Bcn PE EGEELEEEFKEELEESEEEEEEEEBEEN Intermedrare Schritte. Ueberga ngsformen. = 20 20 32 4 6 MY 8 i SPO: __90_ Lage der Kanten des 4° in Stellu Verhand. Kon. Akademie v. Wetensch. 1° Sectie DI IX. “as tip pe mover DEL ESS i a IE de EN Tl mn M tors pie 2 RE ied up tke EL Te et gO a ae en £ SOE Regelmassige Schnitte und Proektionen des 20-zelles und 600-zelles im vierdimensionalen Raume. Tafel VII S Fr ia ~ ne fe i Gey de BR Ë ay ee MIE 77 F a le a El 5 ee | OFT AS 0 = (DFD IS ET Bt (AZ) +8 [ ee al | | 0 Dee, EH bo | i 30 LU SE | |30 | | | | 12 ee EE | WS NE B | i eae Ti . Eer | | eb El EE Lal IL 1 | (2420) | EE ZST zo20 2030 60 60 60 20 60 20 60 60 co om 20 “Lage der begrenxenden Dodekaeder des Z*° in Stellung OR,. VLage der Nachbarikosaeder des Z°°° 6 in Stellung CE, = “TDijtel tah PI Mulder omer. L Verhand. Kon. Akademie v. Wetensch 1°Sectie DLIX. ee ae ee 5 - - rame —— Sant. net Mg ge re Ean ved 2 ne pes medina . PHSCHOUTE. Regelmassige Schritte und Projektionen des 120-zelles und 600-zelles im vierdimenstonalen Raume. Tafel IX. a b € d e fe h i à i se EN A | 60 5) 60 L or 60 | GS | ; 120 = ~ | 5 S d -otenmediaren Schnitte k- Se, f-1e: ees S Algemene Formel der Se fates? GO = | al ene | en -n Te 20 0 GO EE 60 SEO 120 80. & & L_Æ 30 90 = 90 90 180 _| 780 120 > 3 JE 12 32 32 32 62 62 = 42 BS | 22 | A Lf 5 = eA RS: 8 (pent 6 6 3 = à eo 4 = 5 10 5 5 4 8 6 240 5 io oe 60 à _40 40 a SL 430 40 IC} = = | _f 42 ah DE a 62. 42 Je 2 ; 45 5 5 Z 8 À 2 la ic 6 8 "2 5 5 5 5 “| 30 | Ke 6 6 Lo £ Zelleck 40 20 30 da 40 do 20 Lage der Kanten des Zn Stellung OR, wid Schnitte. Verhand. Kon. Akademie v Wetensch. 1° Sectie DI IX. JBijtellith P]Mulderumqr Lerden ROE Gr gen PHSCHOUTE Regelmassige Schilte und Proyektionen des 120 elles und 600-elles im vierdimensionalen Raume, TafelX. sch LOP | 60 Leen | po Luidiga 60 2 3 | | | blau’ Lao | | | Rule) | grue +60 a | | gelb” 1 50.4 a = | Lorange | 20 Lot! ll É | ale ei 600 Zelleckn 1 5 Ak 30 aw 40 12 1 Lage der begrenxenden Tetraeder des Z °°’ in Stellung OE, Verhand Kon Akademie y: Wetensch. 1 “Sectie DL IX. 1 re 5 i PHSCHOUTE Regelméssige Schnitte und Bojektionen des 120zelles und 600-zelles imcvterdimenstonalen Faune. Tafel XI YO bumoyg ur os Z Sap doponaal uspuaruasboy dop obry .0. ld 8 8s 5 § @8 8 58 8 8 Lage der begrenzenden Dodekaeder des Z“° in Stellung OL, Verhand Kon Akademie v Wetensch. 1®Sectie DLIX. PHSCHOUTE Regelmassire Schnitte und Projektionen des120-zelles und600-zellesinviercimensjonalenfiaune, Tafel NII. a b c d e 60 ee + A 60 =] J à 60 lo ® IE {+80 __ = 12 ; {lg Formel\ der interm. Schnitte 60 IE | hese ES ED PET pee TE ze Soe 732 132 Jor kt 40 180 330 210 330 120 JÈ 204 UO JE 200 140 200 _0 rot. 2 ne Lorange | 2 3 _gelh 30 | 4 grunt | 60 a 3 3 blau fl gn | indigo _| 60 zit 4 piolett | 20 A Ba 3 Lschinar2. | 60 3 {3 | amolett’ | 20 3 Zelleckn 1 42 40 12 30 Lage der Kanten des Zin Stellung OB und Schritte. Bite it Pär Laan Verhand. Kon. Akaderme v-Wetensch.1£ Sectie DI, IX. ae See ee car ike #-ù re zeen ne Tes ln RC RASE - 7 Le ' >». + ~ L js | / … f - Î 7 p à ê A 1 Dn 1 . ; | À En B à ‘ 1 1 ¥ + ra a . 7 r 4 Pi F Then fe (ae erry pe = + 4 . = à rs i. té ayy tr nr oe ES a : = > : x s in pe PHSCHOUTE Regelmassige Schnitte und Froektionen des 120-zelles und 600-zelles 1m vierdamensionalenKaume. Tatel XII. 1 b of KR hk î EN i oo m7 L eI T à (Ent ral | | = Jt me =e bia eee el (au zele jaa i -10 i | LR Le = | 10 = = — = =| (10 4 SIE ijn Leo | | - L En | 10 I | = | [a Lu = (20 [= = sul | i EEEREEBEEESESELEE + | 5 fe | |_| RES rn pe ee ee ee hp VE Een i Pages EE, | AL Lage der begrenxenden Tetraeder des 4° in Stellung OK, Vérhand. Kon Akademie v-Wetensch. 12 Sectie DI IX. = Tel PM Aer ongr-heiden a ee Te p pare kn ae 7 heath wate + ngen dri Bene TPE TT es Edd rr PEEN ER ee sna + | : 2 PH SCHOUTE. Regelmassige Schnitte und Projektionen des 120-zelles und 600-zelles um vierdimensionalen Raume. Tafel XIV. re L 540 eN Gy and. Ede I ad Re 20 10 20 = 10 10 2 é 20 ne pee I EEE DA DM DW. 5 S 2 JI hh Allg. Form: 2 Sel, f= et HO 2 2 | nl | AR EUR NEN BR BES Es : ER PR ER ER BS Bie [fe 80 140 130 140 130 170 485 455 215 165 215 160 5 4 Ie 10 3 5 3 10 3 {3 4 À | | 10 3 a Fi JE F3 10 4 18 St 10 3 6 3 3 3 | 2a 83 3 4 le ok 3 a : 8 fu 3 k pn + 4 if et es ge "3 | | 40 L wo 4 U 4 3 ie + a iE fe NA 4 L 4 | 21 | 3 38 4 6 3 ia ai | | 20 | 3 jz |S ESS 4 | Saas 40 | =3 RES gees IE 3 3 AT | 10 | IL Eee vlg 3 ms \3 3 10 AN 3 3 a Gi SE 3 1-20 se 4 4 AX |} 5 4 4% A A | Eg A Bild 4 ead I 3 i 4 \3 A 5 = | L 3 A 3 4 3 | 4 ae ge 3 =} 3 BE? 4 ‘ 5 4 4 Ke 5 3 3 EE A kB { | N > SEREEREEEBEES ++ | 4 JE OS SR AO Bte EEE de Lage der Kanten des Z°°° in Stellung OK, und Schutte. Verhand. Kon. Akadenue v Wetensch. 1°Sectie DI IX. Biel th PTE Enr den PHSCHOUTE. Kiegelmassige Scimitte und Pryektionen des 120zelles und 600 zelles im vierdimensionalen Raume. TateLXV- | 5 IS | 1 B AGE LL ; > PERE E PETE BERR EERE gE Pe atl id WENEN | El | | sr a =f | (ESS | | L ab | HEERE meel I (Stewie ek | oo yee oe ee el ls me ese eines oe zal | bees | i ae CE me IL I i es eas ene jemen en meme I tA reel li Ce EE Lee C cs enn lk EE EE pere SEE fe meme B En sel Ee eeens | memmen sene te le [ | al = = 71 7 = | ; Eee 5 Ie | ie | te — th asl | ale a 8 aoe ee Lage der begrenxenden Tetraeder des Z°° tn Stellung OF. Verhand. Kon Akademie v-Wetensch. 1°Sectie DIK Ez Eller unir euten — = — = 5 > he mm en oe TalelAVI. PILSCHOUTE Regelmassige clnitte und Projektianen des 120-zelles und 600zelles im vierdimensionalenRaume. i Te Be GohGal GelGel hel Le Do | || Gs BCe ER De ELA EL EG minst | | oS“ | LEE) | | | ade ded ed | ad | ILS! mma mé ssp) ij Yas A oi a RTS dag 444 oke IS ge eed ed ed ed ed | gel ae aS sed of ee gy vas 4 Sable. ed I Sa > er) she ol CREER) S =I +04 Kanten. TERE age 5 Sie N Lage der Kanten des Z°°° in Stellung OF, und Schritte. Verhand. Kon. Akademie v- Wetensch. 1£ Sectie DL IX. 1e | | | ® it es = HS i PILSCHOUTE Fegelmissyge:Schnitte und Frojektionen des120-zelles und 600 elles 7m vaerdimenstonalen Raume, Tafel XVIL i Lage der begrenxenden Tetraeder des Z °° in Stellung OR Verhand Kon Akademie v Wetensch. (2Sectie DIX: TBytel tu. PTMnider opr Leiden e Tel XVI lenfiaume. JBytel tith PI Malder urge Derden Lage der Karten des Z*°° in Stellung OR, und Schritte. iC PHSCHOUTE Regemassige Schritte und Projektionen des 120-zelles und 600-zelles 1m merdimensionale 4 LC VS ko Er: SR Biss È Aaya dd b aan | E x ed ed se ssh IES Jen = 3 à sd VOOREN Lest | agg ed Ss) ils Gat arr | Lt eee fis} of of of A eq ei NN i | | g | M À | Le | On IIS ES AR TU Ji AN | DE | | ES el Nt on DE, 09 sq Ie eq L 4 A da die | ul 444 Fr q “4 |_| ay | ib 1 Vy 7 S | mi : | canis ita ial rl A S | | | | | Hag nf Me ed Lio EES EREFEECEEEER Verhand Kon Akademie v Wetensch. 1° Sectie DIA. RS pt Over de meetkundige plaats der punten in het = a3 platte vlak, waarvoor de som der oo afstanden tot » gegeven rechten standvastig is, — en analoge vragen inde = _ ruimten van drie en meer afmetingen DOOR LS ie Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam.” | (EERSTE SECTIE). DEEL IX. N°. 5. > =. Soe os (Met 8 platen.) 5 | AMSTERDAM, | EE | “a “JOHANNES MULLER 2 Sn Ney Januari 1908. Z Ar gine, Ne Over de meetkundige plaats der punten in het platte vlak, waarvoor de som der afstanden tot n gegeven rechten standvastig is, en analoge vragen in de ruimten van drie en meer afmetingen DOOR FRED. SC HUH. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL IX. N°. 5, (Met 8 platen.) AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1908. INHOUD. HO Or D SUIT. DE MEETKUNDIGE PLAATS DER PUNTEN IN pe WAARVOOR DE SOM 1. 2. 3. 4 Sens 11. 12. DER ABSOLUTE AFSTANDEN TOT Z GEGEVEN RUIMTEN JR STANDVASTIG IS. $ 1. Her vRAAGSTUK IN HET PLATTE VLAK. itileidende sbeschouwingen.,... zes veen rn Het verloop van S op een willekeurige lijn........…. De meetkundige plaats is één convexe veelhoek ....... Mamtalszijden, yan, densveelhoek. ws Ae este geerte ok $ 2. Her VRAAGSTUK IN DE RUIMTE. emeente, beschouwingenh. nm OO ANNE cle ae RS Bijzondere eigenschappen van het veelvlak............ $ 3. HET vRAAGSTUK IN À, De meetkundige plaats is een convex polytoop........ Aantal grenspolytopen voor kleine en groote waarden van C. Aantal grenspolytopen voor willekeurige C............ Strengere afleiding der formule voor het aantal grens- Poltopen sets Je AE DA TER TES EURE AMT LEN Betrekkingen tusschen de aantallen grenspolytopen.... . Verandering der aantallen grenspolytopen............. HOOnDS TUK AP DE MEETKUNDIGE PLAATS DER PUNTEN IN DE RUIMTE, WAARVAN DE 18. 14. 15. SOM DER AFSTANDEN TOT 2 GEGEVEN RECHTEN STANDVASTIG IS. § 4. ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN VAN HET OPPERVLAK. Samenhang der bladen van het oppervlak............ Het blad, waar de absolute som gelijk aan C is....... Graad en vergelijking van het oppervlak............. IVE 16; Re is. ESE 20. Ol 22. 23. 36. 37. 38. 39. 40. Al. 42. 43. 44. 45. INHOUD. Blz. § 5. DE SINGULIERE KROMMEN VAN HET OPPERVLAK. Dubbelkromme"in hethonemdise. = cso enten 20 Krome van aanrakdnensnn run sf wt ae ue oe 21 Kegelpunten. yan hetsopperdak 205 Ss. nn oe eta: 22 Dein het eindige gelegen dubbelkromme… tn 23 De dubbelkromme bestaat uit 2"—»—2 krommen.... 24 Nulligging der singuliere krommen... tn 26 Rang van het soppenvlakt terrier 26 Doorsneden met vlakken door gegeven lijnen.......... 27 Bijzonder geval: Ge MAIER rr Ae. ens SNR AANEEN 27 § 6. DE SNIJPUNTEN VAN DRIE SINGULIERE KROMMEN. Twee singuliere krommen snijden elkaar............. 28 Door de snijpunten van twee singuliere krommen gaat CCR RUE or. oat Arne de AE MINE SPA GN 29 Drevoudize pugtens- punten Putt GELEDEN 29 Viervoudieepuniten;)-pusten “Ps 7) AU AE SN eee 30 In het eindige gelegen uniplanaire tweebladige dubbel- punten: punten: are Sites ota tate zegt oY 31 In het oneindige gelegen uniplanaire tweebladige dubbel- punten; punten Py. ce ne Br eee 32 Uniplanaire eenbladige dubbelpunten; punten P,...... 32 Singulariteiten der dubbelkromme in het oneindige... 33 Singulariteiten der krommen van aanraking........... 34 Singulariteiten der dubbelkrommen in het eindige. .... 34 Aantal gemeenschappelijke punten van drie singuliere krom ment SERENADE CES NN ENTREE 85 Aantal singuliergipuntéroepen: ui. vols youd. Annes 37 Verschillende soorten van singuliere puntgroepen....... 38 Aantallen: unten PEUR Pi, Pyon: Peels a ee 39 Aantallen punten P gelegen op de singuliere krommen. 40 Wijziging der voorgaande resultaten voor C= 0...... . 42 § 7. GRAADVERLAGING VAN HET OPPERVLAK VOOR # GEGEVEN LIJNEN EN VAN DAT VOOR % GEGEVEN PUNTEN. Voorwaarde voor wraadverlaging. Sinn. a LOC 44 Bedrage der ‘graadverlaging "cose... ONE 46 Voorwaarde voor fverdere graadverlaging als C=O is... 46 D D D Het analoge oppervlak voor x gegeven punten......... > 141 Aan de z punten worden coëfficiënten toegekend ...... 48 jt Ot Or Ot Or or & ak D Om © EE 56. 57. 58. 59. 60. GI. 62. 63. OA. 65. 66. 67. 68. INHOUD. Graadverlaging als de coëfficiënten de eenheid zijn. .... Verdere, sraadyerlasine” voor C—O. ae serrate rte ke Bijzonder. geval = Aen Se eee § 8. GRAADVERLAGING DER VLAKKE DOORSNEDEN VAN HET OPPERVLAK VOOR % GEGEVEN LIJNEN. Voorwaarde voor afsplitsing van een plat vlak......... Voorwaarde voor graadverlaging eener vlakke doorsnede. Buzonder: ‘gevalku de ihe ade Bedrag der graadverlaging eener vlakke doorsnede... Woepassing op. de gevallen #3 en #4. nn Voorwaarde voor verdere graadverlaging der doorsnede. . We ER § 9. Her OPPERVLAK VOOR TWEE GEGEVEN LIJNEN. Plsemeene.beschowmsen cee sate MIE. à à Het oppervlak is een bijzonder Kummer’sch oppervlak... De 16 kegelsneeraakvlakken van het oppervlak........ De 6 kegelpunten: van het opperviak.. 5... ..... De configuratie der singuliere punten en vlakken...... Rechte. ljnemavan betsoppervlak: > son {2% sss et Pad cerelsnden keel mumten eee. ete s DImINuR Sch oppervlak voor O— 9 his. on sane Ae oen er. idy perbolisehesparaholoide- voor CS 0 pas noden ne: Mormevan Het opperviake rene ene Doorsneden evenwijdig aan het æ2-vlak..........,... Andere stelsels van kegelsneden op het oppervlak...... Doorsneden evenwijdig aan het vy-vlak.............. Ov Ot Orr Dark Www ; Over de meetkundige plaats der punten in het platte vlak, waarvoor de som der afstanden tot 2 gegeven rechten standvastig is, en analoge vragen in de ruimten van drie en meer afmetingen. HOOFDSTUK T. DE MEETKUNDIGE PIAATS DER PUNTEN IN Vi WAARVOOR DE SOM DER ABSOLUTE AFSTANDEN TOT 7 GEGEVEN RUIMTEN yes STANDVASTIG IS. § 1. HET VRAAGSTUK IN HET PLATTE VLAK. 1. Inleidende beschouwingen. In een vlak zijn gegeven n rechten Ly ty, ..., 4,. De meetkun- dige plaats der punten te bepalen, waarvoor de som S van de absolute waarden der afstanden tot die rechten een gegeven waarde C heeft). Bij de beantwoording dier vraag zullen we onderstellen, dat de gegeven lijnen met alle evenwijdig zijn, daar anders door het aan- brengen van een loodrechte snijlijn de vraag onmiddellijk tot de zeer eenvoudige overeenkomstige vraag in één dimensie is terug- gebracht. Ook kunnen we zonder aan de algemeenheid te kort te doen aannemen, dat de gegeven lijnen alle verschillen, daar uit het volgende duidelijk te zien is, dat de behandeling van het vraagstuk geheel dezelfde blijft als we aan de gegeven lijnen posifieve coëfji- ciënten toevoegen, waarmede de afstanden tot die lijnen moeten worden vermenigvuldigd; in dat geval komt natuurlijk het samen- vallen van 7 gegeven lijnen op vermenigvuldiging van den coëfficiënt met 7 neer. *) Dit vraagstuk komt o.a. voor in Brior et Bouquet, Lecons de géométrie analy- tique (Livre II, vraagstuk n°. 7). Zie ook de oplossingen dier vraagstukken door Korrewec (vermeerderd en herzien door Wyrnorr, ’s-Hertogenbosch, W.C. van Heuspen). Verhand. Kon, Akad. v. Wetensch. (Eerste Sectie Dl. IX). E 1 2 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS Is /; = 0 de normaalvergelijking van de lijn /,, dan heeft men voor ieder vak, waarin het platte vlak door de gegeven lijnen en de lijn in het oneindige verdeeld wordt, de verg. ELC neer te schrijven, waarbij de teekens zoo gekozen moeten worden, dat binnen het beschouwde vak alle termen positief uitvallen. De door deze verg. voorgestelde rechte lijn, die ook de lijn im het oneindige zijn kan‘), draagt alleen dan iets tot de mi. pl. bij als ze minstens één punt met dat vak (waartoe we ook steeds de begren- zing zullen rekenen) gemeen heeft. Van de gevonden rechte behoort dan tot de meetkundige plaats òf een punt, hoekpunt van het beschouwde vak, òf het binnen dat vak gelegen lijnsegment, dat ook een der zijden van het vak zijn kan. Onder een segment, hetzij van een willekeurige hetzij van een gegeven lijn, zullen we steeds verstaan een stuk van die lijn gelegen tusschen twee opvol- gende snijpunten met van die lijn verschillende gegeven lijnen; bij een willekeurige lijn wordt dit een binnen één enkel vak gelegen gedeelte, bij een gegeven lijn de afscheiding tusschen twee vakken. De bijzonderheid kan zich voordoen, dat de gevonden verg. een identiteit wordt, in welk geval ieder punt van het vak tot de m. pl. behoort !). In dat geval is voor ieder punt van het platte vlak de algebraische som der afstanden — C als we voor iedere gegeven lijn een teekenafspraak maken, die binnen het beschouwde vak de absolute waarde van den afstand oplevert. Overal buiten dit vak is dus S > U, zoodat dit vak de geheele m. pl. uitmaakt. Dit geval kan zich dus alleen voordoen als C haar minimale waarde M heeft, d. w. z. de kleinste waarde, waarbij er nog een punt is, dat aan de vraag voldoet; bovendien moet dan nog de som der eenheidsvectoren, die langs de loodlijnen vallen uit een punt van het beschouwde vak op de gegeven lijnen neergelaten, nul zijn ?). Is C > M en verschillend van de waarden, die # in de snij- punten van gegeven lijnen aanneemt, dan bestaat de m. pl. uit een eindig aantal lijnsegmenten, die zich in de gemaakte onderstelling (dat de gegeven lijnen niet alle evenwijdig zijn) niet naar het on- eindige kunnen uitstrekken. Men ziet onmiddellijk, dat zulk een lijnsegment in een snijpunt met een gegeven lijn een voortzetting (maar noodzakelijk in een andere richting) in het aangrenzende vak vinden zal. Op deze wijze zal een gesloten veelhoek ontstaan, *) Dit kan natuurlijk alleen als het beschouwde vak eindig is. *) Deze laatste voorwaarde beteekent voor drie gegeven lijnen, dat ze een gelijkzijdigen driehoek, voor vier gegeven lijnen, dat ze een parallelogram vormen. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 3 waarvan de hoekpunten op de gegeven lijnen liggen. Van dezen veelhoek kan men gemakkelijk aantoonen, dat hij geen inspringende hoeken vertoonen kan. Immers een lijn, die langs een zijde van den veelhoek valt, is de m. pl. der punten, waarvoor met bepaalde teekenafspraak de algebraische som der afstanden = C is, welke algebraische som alleen op de zijde van den veelhoek de som der absolute afstanden is; op het verlengde dier zijde is deze laatste som dus > C, waaruit volgt, dat dit verlengde de m. pl. niet snijden kan. 2. Het verloop van S op een willekeurige lin. We beschouwen het verloop der functie S (de som der absolute afstanden) op een willekeurige lijn /, die we suijlijn noemen. Zijn Bi; Be, -.., By de ‘hoeken, die / met de gegeven lijnen maakt, dan is met de vraag welke punten van / tot de m. pl. behooren de quaestie teruggebracht tot de overeenkomstige vraag in Één dimensie, waarbij dan echter aan de gegeven punten (snijpunten van / met de gegeven lijnen) de positieve coëfficiënten sin (3, sin By, ..., sin (3, moeten worden toebedeeld. Langs / laten we in een aan- genomen positieve richting een punt P loopen, waarvan we de plaats aanwijzen door den afstand z tot een vast punt O van / (positief gerekend als OP in de aangenomen pos. richting valt), zoodat we z laten aangroeien van — o tot + oo. Nu is dis rer + sin ;, waarbij het — teeken genomen moet worden voor de gegeven lijnen, die P nog niet gepasseerd is, het + teeken voor de lijnen, die ge- passeerd zijn; db begint dus met de negatieve waarde — & si ;, 18 In 2 een zelfde vak standvastig om telkens bij het passeeren van een gegeven lijn op een grootere waarde te springen en met de positieve waarde E sin B; te eindigen. Bij het passeeren van een der gegeven lijnen, b.v. Z, zal dus zj Van — op + verspringen, tenzij zich de bij- z zonderheid voordoet, dat gi bij het passeeren van /, op 0 springt dz om eerst bij het passeeren van de volgende gegeven lijn /, pos. te worden. Hieruit volgt, dat S op de lijn | met + © beginnend voortdurend afneemt, totdat in het snijpunt van l met een gegeven lijn of in alle punten van een segment van 1 een minimale waarde M' CM) bereikt wordt, waarna S voortdurend toeneemt tot + = ; Biet À OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS hierin is MZ’ de kleinste waarde, die S in een snijpunt van / met gegeven lijnen aanneemt; is S voor twee opvolgende snijpunten dezelfde, dan is in alle punten van het tusschengelegen segment S— WM’. Uit dit verloop der functie $ blijkt, dat 8 een waarde C > M' tweemaal (aan weerskanten van het minimum) aanneemt, zoodat een lijn, waarvoor M’ > C of M' < C is, de m. pl. miet, resp. in twee punten snijdt, terwijl een lijn, waarvoor M' = Cis, met de m. pl. één punt of een segment gemeen heeft. 3. De meetkundige plaats is één convexe veelhoek. Uit het voorgaande volgt, dat de minimum-meethundige plaats (m. pl. voor C= M) van dien aard is, dat een rechte er slechts een punt van een gegeven lijn of een lijnsegment mede gemeen kan hebben, waaruit weer volgt, dat die min.-m. pl. een snijpunt van gegeven lijnen, een segment van een gegeven lijn of een vak is; het eerste is natuurlijk het algemeene geval }). Verder blijkt, dat iedere lijn, die de min.- m. pl. snijdt met de m. pl. voor C > M twee punten gemeen heeft, zoodat de m. pl. voor C > M één enkele gesloten veelhoek is, die de min.-m. pl. omgeeft. Daar ook gebleken is, dat een rechte lijn niet meer dan twee geïsoleerd liggende punten met de m. pl. gemeen kan hebben, vindt men opnieuw, dat de veelheid conver is. Daar op een snijlijn de grootheid S niet in twee opvolgende segmenten standvastig kan zijn, wordt de veelhoek gevormd door lijnsegmenten (waaronder ook segmenten van gegeven lijnen kunnen voorkomen), waarvan geen twee opvolgende in elkaars verlengde kunnen liggen, zoodat ieder snijpunt van een zijde van den veelhoek met een daarvan verschil- lende gegeven lijn een hoekpunt van den veelhoek is. Daar binnen den veelhoek 8 < C en daarbuiten S > C is, zoo blijkt, dat de veelhoek zich bij grooter wordende C uitbreidt en de *) Het eerste geval doet zich voor als S voor een der snijpunten van gegeven lijnen een kleinere waarde heeft dan voor alle overige; het tweede geval als S voor twee snij- punten (die noodzakelijk uiteinden van een zelfde segment van een gegeven lijn moeten zijn) dezelfde waarde heeft, die kleiner is dan voor alle overige; het derde geval als S voor drie snijpunten (die hoekpunten van een zelfde vak moeten zijn) dezelfde waarde heeft en voor geen der overige snijpunten een kleinere waarde, Heeft men dit derde geval, dan krijgt men steeds het tweede geval door een lijn toe te voegen, die gedeeltelijk in het minimum-vak verloopt; de min.-m. pl. wordt dan het in dit vak gelegen segment der toegevoegde lijn. Omgekeerd zal natuurlijk het tweede geval door weglating van de lijn, waartoe het minimale segment behoort, in het alge- meen niet het nog meer bijzondere derde geval opleveren. Het tweede geval heeft men b.v. bij drie gegeven lijnen, die een gelijkbeenigen driehoek met tophoek < 60° vor- men; laat men de gegeven lijn, waarlangs de basis valt, weg dan krijgt men het eerste geval. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 5 vorige veelhoeken omgeeft. Hierbij verschuift tedere zijde evenwijdig aan zich zelf, om, als het vak waarin ze hiet eindig is, in het algemeen in een hoekpunt van dat vak te verdwijnen; in het bij- zonder kan het ook gebeuren, dat die zijde met een begrenzing van het vak komt samen te vallen, in welk geval die zijde bij grooter wordende C de begrenzing passeert en daarbij haar richting behoudt. 4. Aantal zijden van den veelhoek. Heeft C niet een zoodanige waarde, dat de veelhoek door een snijpunt van gegeven lijnen gaat, dan zal een gegeven lijn den veelhoek of met of in twee punten (hoekpunten van den veelhoek) snijden. Zijn er j gegeven lijnen, die gedeeltelijk: binnen den veel- hoek verloopen t), dan is die veelhoek een 2j-hoek, dus een veelhoek: met een even aantal zijden. Daar de veelhoek bij uitbreiding steeds nieuwe gegeven lijnen gaat snijden, zoo volgt, dat het aantal hoekpunten van den veelhoek bij grooter wordende C met af-, maar wel toenemen kan; alleen op het oogenblik dat de veelhoek: door een snijpunt van gegeven lijnen gaat neemt dit aantal af en kan oneven worden (doordat er dan verschillende gegeven lijnen zijn, die hetzelfde hoekpunt van den veelhoek opleveren). Is à het aantal gegeven lijnen, die met de min.-m. pl. minstens één punt gemeen hebben, dan is de veelhoek: onmiddellijk na zijn ontstaan een 2i-hoek*), om als C grooter geworden is dan het grootste bij een der gegeven lijnen behoorende minimum (maximum minimorum) als 2n-hoek te eindigen. Wordt C grooter, dan blijft de veelhoek dezelfde hoeken be- houden zoolang hij niet een snijpunt van gegeven lijnen passeert. Passeert echter de veelhoek een snijpunt Q van j gegeven lijnen, waaronder er # zijn, die niet gedeeltelijk binnen den veelhoek liggen, dan trekken zich 7 — # — 1 zijden van den veelhoek tot dat snijpunt samen, waaruit dan weer j + %— 1 anders gerichte *) Dus waarvan het minimum kleiner dan C is. *) Is de min.-m. pl. een snijpunt van i gegeven lijnen, dan ontstaat, als C> M wordt, een 2i-hoek, die zich (totdat een ander snijpunt van gegeven lijnen bereikt is) gelijkvormig vergroot met dat snijpunt als gelijkvormigheidspunt. Is de min.-m. pl. een segment van een gegeven lijn door welks eindpunten ! en hk andere gegeven lijnen gaan, dan ontstaat voor C iets grooter dan M een 2 (h +k + 1)-hoek met twee niet kleine zijden evenwijdig aan het genoemde segment, aan den eenen kant verbonden door 2h, aan den anderen kant door 2% kleine zijden. Is de min.-m. pl. een h-hoekig vak en gaan er door de hoekpunten var dat vak %,, k,, ..., kj, gegeven lijnen, die dat vak niet begrenzen, dan heeft de veelhoek onmiddellijk na zijn ontstaan h niet kleine zijden evenwijdig aan de begrenzingen van het vak, onderling verbonden door groepen van 2k, +1, 2%, +1, ..., 2k, +1 kleine zijden. 6 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS zijden ontstaan. Het aantal zijden is gelijk gebleven als #4 = 0 is, dus als de beide door Q gaande zijden van den veelhoek in twee overstaande der 27 om Q liggende vakken verloopen !). Is C zoo groot geworden, dat alle in het eindige liggende snijpunten van gegeven lijnen binnen den veelhoek vallen, dan liggen de zijden van dien veelhoek uitsluitend in zich naar het oneindige uitstrekkende vakken, waarvan het aantal steeds 2x be- draagt ®). Zijn er onder de gegeven lijnen geen evenwijdige, dan hangen die 2% vakken twee aan twee in het oneindige samen. Een punt van zulk een vak en een punt van het in het oneindige daarmede samenhangende vak liggen aan verschillenden kant van alle gegeven lijnen, zoodat men in de verg. © + /,— C voor het eene vak de teekens alle anders moet nemen dan voor het andere vak, waaruit volgt dat de zijden van den veelhoek in beide vakken evenwijdig zijn. Mebben dus alle gegeven lijnen verschillende rich- tingen en is C grooter dan de grootste waarde, die S in een snij- punt van gegeven lijnen aanneemt, dan is de veelhoek een 2 n-hoek, waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn en in m het on- eindige samenhangende vakken verloopen). $ 2. HET VRAAGSTUK IN DE RUIMTE. 5. Algemeene beschouwingen. Breidt men het in de vorige paragraaf behandelde vraagstuk tot de ruimte uit, dan behoudt men de grootste analogie a/s men de n , 5 D gegeven lijnen door gegeven vlakken vervangt. De behandelingswijze daarvan is nagenoeg dezelfde als van het vraagstuk in het platte vlak. *) In het algemeen is S op ieder der gegeven lijnen in één punt minimaal. De veel- hoek ontwikkelt zich dan als vierhoek uit het minimum minimorum, dat minimum voor twee gegeven lijnen is, terwijl de overige n — 2 minima slechts minimum vcor één gegeven lijn zijn. Bij het passeeren van ieder dier # — 2 minimumpunten neemt het aantal zijden van den veelhoek met 2 toe. Er zijn dus nog $n(n—1)—1— (n— 2) =4(n—1)(n—2) snijpunten van gegeven lijnen bij het passeeren waarvan het aantal hoekpunten van den veelhoek gelijk blijft. Dit aantal is gelijk aan dat der eindige vakken, waarin het vlak door de gegeven lijnen verdeeld wordt; ieder dier eindige vakken heeft een hoekpunt, waar de in dit vak gelegen zijde van den veelhoek bij grooter wordende C verdwijnt; passeert de veelhoek zulk een hoekpunt, dan blijft zijn aantal zijden gelijk. *) Het aantal zijden van den veelhoek is echter reeds eerder 2 geworden. *) Wordt C nog grooter, dan gaat de veelhoek steeds meer een bepaalden vorm aannemen, nl. den vorm, dien de veelhoek direct verkrijgt als men de gegeven lijnen evenwijdig aan zich zelf naar één punt verlegt. De veelhoek is dan een 2n-hoek, die de bijzonderheid vertoont, dat hij n diagonalen bezit, die door één punt gaan en elkaar middendoor deelen. a de x + ~ DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ, We kunnen onderstellen, dat de gegeven vlakken niet alle aan een zelfde lijn evenwijdig loopen, daar anders door het aanbrengen van een vlak loodrecht op die lijn de vraag onmiddellijk tot de overeenkomstige planimetrische teruggebracht is, zoodat men dan als m. pl. het zijdelingsch oppervlak van een naar beide kanten naar het oneindige loopend prisma vindt. Door de 2 gegeven vlakken V,, V,, ..., V, en het vlak in het oneindige wordt de ruimte in swimtevlakken verdeeld. Een willekeurig sajvlak, dat ook met een der gegeven vlakken kan samenvallen, wordt door die vlakken in v/akvakhken en een wille- keurige szijlijn, die ook in een of meer gegeven vlakken kan liggen, in segmenten verdeeld. Door het aanbrengen van een snijvlak / wordt de vraag tot de overeenkomstige planimetrische teruggebracht, waarbij echter aan de snijlijnen van het snijvlak met de gegeven vlakken de positieve coëfficiënten siz (2, sin By, ..., sin 2, moeten worden toegekend, waarin (3, de hoek is, dien / met V, maakt. Van de doorsnede der meetkundige plaats met een willekeurig vlak V zal dus alles gelden wat we in de vorige paragraaf van de m. pl. behoorend bij het planimetrische vraagstuk gevonden hebben. Ook kan men door het aanbrengen van een snijlijn / de vraag direct tot die in Één dimensie terugbrengen, waarbij de snijpunten met de gegeven vlakken weer van de coëfficiënten siz (2, moeten worden voorzien, waarin nu (2, den hoek voorstelt, dien / met V, maakt. Een lijn zal dus met de m. pl. twee punten gemeen hebben als € grooter is dan het by / beboorende minimum 17° en een punt van een gegeven vlak of een segment als C= M' is. Op deze wijze blijkt: Is C gelijk aan de kleinste waarde M, waarbij er nog een punt is, dat aan de vraag voldoet, dan is de meetkundige plaats der punten, waarvoor de som der absolute afstanden tot n gegeven vlakken = C is, een snijpunt van gegeven vlakken') (algemeene geval), een segment van een snijlijn van gegeven vlakken, een vak van een gegeven vlak of een ruimtevak*). Is C>> M, dan is de m. pl. een gesloten convex veelvlak, waarvan de zijvlakken vlakvakken zijn, zoodat de ribben in gegeven vlakken, de hoekpunten *) Onder een snijpunt van gegeven vlakken verstaan we een punt, waardoor minstens drie niet door één lijn gaande vlakken gaan. *) Dit laatste geval doet zich voor als de som nul is van eenheidsvectoren, die langs de loodlijnen vallen uit een punt binnen dit ruimtevak op de gegeven vlakken neerge- laten. Bij vier gegeven vlakken beteekent deze voorwaarde, dat de vlakken een gelijkzijdig viervlak vormen, dus een viervlak, waarvan de overstaande ribben ge- lijk zijn. 8 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS op snijlijnen van gegeven vlakken lagen. Gaat het veelvlak met door een snijpunt van gegeven vlakken en zijn er 1 snijlijnen van gegeven vlakken, die gedeeltelijk binnen het veelvlak verloopen !), dan heeft dit veelvlak Zi, dus een even aantal, hoekpunten. Wordt C grooter, dan breidt het veelvlak zich wit, waarbij (overgangs- gevallen witgezonderd) het aantal hoekpunten gelijk blijft of toeneemt. 6. Bijzondere eigenschappen van het veelvlak. Het veelvlak vertoont, in tegenstelling met een willekeurig veel- vlak, deze bijzonderheid, dat het diagonaalvlakken (dit zijn dan gegeven vlakken) bezif, die het oppervlak uitsluitend volgens ribben snijden, en dat door iedere ribbe zulk een diagonaalvlak gaat 2), Gaat het oppervlak niet door een ribbe van een ruimtevak, dan wordt het veelvlak door ieder vlak, dat niet door de hoekpunten gaat, volgens een veelhoek: met een even aantal zijden gesneden. De doorsnede met een gegeven vlak bezit een even aantal zijden als het veelvlak niet door een in het beschouwde gegeven vlak gelegen snij- punt van gegeven vlakken gaat. Zij Q een hoekpunt van het veelvlak, waardoor geen ribbe gaat, die snijlijn van gegeven vlakken is. Gaan er 7 gegeven vlak- ken door @Q%), dan heeft ieder dier vlakken met het veelvlak het punt Q of een veelhoek gemeen, daar door de gemaakte . onderstelling het geval is uitgesloten, dat het gegeven vlak met het veelvlak een ribbe of een zijvlak gemeen heeft. Zijn er nu onder de 7 door Q gaande gegeven vlakken j, die het veelvlak doorsnijden, dan heeft het veelvlak 27 door Q gaande ribben, zoodat in een hoekpunt van het veelvlak, waardoor geen ribbe gaat, die snijlijn van gegeven vlakken is, een even aantal ribben samenkomen *). Gaat het veelvlak: met door een snijpunt van gegeven vlakken, dan is het aantal ribben van het veelvlak even; Immers door ieder der in even aantal aanwezige hoekpunten gaat een even aantal ribben, waarbij we echter iedere ribbe tweemaal krijgen ®). Vol- *) Dus waarvoor het minimum kleiner dan C is. *) Door een ribbe gaan alleen dan twee of meer zulke diagonaalvlakken als die ribbe snijlijn van gegeven vlakken is. *) In het algemeen is natuurlijk i= 2. *) Is Q geen snijpunt van gegeven vlakken, maar een punt van een snijlijn van i gegeven vlakken, dan is j=i. De ribben van den 2i-vlakshoek Q kunnen dan twee aan twee door diagonaalvlakken worden verbonden, die alle door één lijn (de snijlijn der gegeven vlakken, waarop Q ligt) gaan. °) Dat het aantal ribben even is blijkt ook daaruit, dat in ieder gegeven vlak, dat het veelvlak snijdt, een door ribben van het veelvlak gevormde veelhoek met een even aantal zijden ligt, terwijl zoo geen der ribben tweemaal geteld wordt. 4 DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 9 gens de stelling van Euuer 7s dan ook het aantal zijvlakken even. Gaan geen drie gegeven vlakken door één lijn*) en gaat het veel- vlak: met door een snijpunt van gegeven vlakken, dan komen in veder hoekpunt van het veelvlak vier ribben samen. Liggen À snij- lijnen van gegeven vlakken gedeeltelijk binnen het veelvlak, dan heeft dit 21 hoekpunten, 41 ribben en dus 21 +-2 zijvlakken. Loopen bovendien geen twee gegeven vlakken evenwijdig, dan eindigt het veelvlak: met n(n — 1) hoekpunten, 2n(n — 1) ribben*) en a(n — 1) +2 zijvlakken ®). $ 3. HET VRAAGSTUK IN R,. 7. De meetkundige plaats is een convex polytoop. Bij de uilbreiding van het vraagstuk tot een ruimte R, van d dimensies worden de n gegeven vlakken door n gegeven ruimten Ry _, vervangen, waarvan we weer onderstellen kunnen, dat ze niet alle evenwijdig aan een zelfde lijn loopen, daar anders de vraag onmid- dellijk tot die in d—1 dimensies kan worden teruggebracht. Men heeft dus noodzakelijk # > d, daar anders een lijn evenwijdig aan alle gegeven ruimten ZR, , steeds te vinden is. De m. pl. is nu de uit stukken van lineaire ruimten X,_, be- staande begrenzing van een convex polytoop, dat de bijzonderheid vertoont diagonaalruimten R, (i = 2,3, ..., d— 1) — dit zijn dan snijruimten #, van gegeven ruimten *) — fe bezitten, die het polytoop uitsluitend volgens (i — 1)- dimensionale grenspolytopen snijden. Bij dergelijke uitbreidingen van vroeger gevonden eigenschappen, die zonder meer uit het voorgaande zijn af te leiden, zullen we hier “echter niet langer stil staan. 8. Aantal grenspolytopen voor kleine en groote waarden van C. In het volgende zullen we ons beperken tot het algemeene geval, dat geen d + 1 gegeven ruimten R,_, door een zelfde punt gaan, geen der snijpunten van d gegeven ruimten in het oneindige ligt en *) Voldoende is, dat geen der lijnen, waardoor drie of meer gegeven vlakken gaan, gedeeltelijk binnen het veelvlak verloopt. *) Dit aantal vindt men ook daaruit, dat ieder der n gegeven vlakken het veelvlak volgens een 2 (n —1)- hoek snijdt. *) Dit aantal vindt men ook als het dubbel van het aantal zich naar het oneindige uitstrekkende ruimtevakken. *) Onder een snijruimte R; van gegeven ruimten verstaan we een R,, waardoor min- stens d —i niet door één R; ‚4 gaande gegeven ruimten R‚_4 gaan. 10 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS de som S der absolute afstanden tot de gegeven ruimten voor geen twee witeinden van een zelfde segment eener snijlijn van d— 1 ge- geven ruimten dezelfde waarde aanneemt}. De m. pl. begint zich dan voor een zekere minimale waarde M van C uit een snijpunt van d gegeven ruimten &,_, te ont- wikkelen als een polytoop met 2'*' (dd), , grenspolytopen (simpleæen) van À afmetingen; dit polytoop verschilt alleen daarin van het regel- matige Ærwispolyloop (de reciproke figuur van het maatpolytoop), dat de 4 assen van het kruis geen rechte hoeken behoeven te vormen. Het polytoop blijft denzelfden vorm behouden totdat een tweede snijpunt van d gegeven ruimten Z,_, bereikt wordt. Is C zoo groot, dat alle snijpunten van d gegeven ruimten R,_, binnen het polytoop liggen en dus de begrenzende ruimten R,_, daarvan uitsluitend in oneindige d-dimensionale vakken ver- loopen, dan is het aantal 7-dimensionale grenspolytopen (7 = 0, 1, 2, ..., d— 1) der m. pl. gemakkelijk aan te geven. Zulk een grenspolytoop G, ligt nl. geheel in een snijruimte £,,4 van d — i— 1 gegeven ruimten #,_,. Nu is het aantal dier snijruimten R;,, gelijk aan (2),_;_,. leder dier snijruimten Z,,, wordt door de 2 — d J- 4 + ] gegeven ruimten X,_,, die er niet door gaan, gesneden volgens u — d + + 1 ruimten #,, waardoor de 2, ,, in (x —d 4-1); ‚ , eindige vakken en 2 |(n—d +0); Hud Hij + +,.....t+(—d-+1), +1} twee aan twee in het oneindige samenhangende vakken verdeeld wordt); in ieder dier oneindige vakken ligt een 7-dimensionaal grenspolytoop G, der m. pl., zoodat het aantal dier grenspolytopen G; *) Voor verschillende eigenschappen is echter een minder ver gaande beperking vol- . doende. *) Een ruimte R, wordt door n willekeurig in die ruimte gelegen ruimten R, _ 4 in (n— 1), eindige vakken verdeeld, zooals zich gemakkelijk door volledige inductie laat aantoonen. De formule is nl. juist voor n=—=d +1 en bij willekeurige x ook voor d—1. Neemt men nu de juistheid der formule aan als men n door n— 1 of d door d—1 vervangt, dan weet men, dat R, door n— 1 ruimten R, _4 in (n — 2)a eindige vakken verdeeld wordt. Brengt men nu de nde ruimte R, 4 aan, dan wordt deze Ry_, door de n—1 overige ruimten R,_, velgens n —1 ruimten À, _, gesneden en daardoor in (n—2),_4 eindige (d—1)-dimensionale vakken verdeeld. Door die laatste R, _ wordt dus van (n—2), _, eindige of oneindige vakken een eindig stuk afgesneden, zoodat het aantal eindige vakken (n — 2), + (n — 2), _ 4 —=(n —1), wordt. Het totale aantal vakken (twee in het oneindige samenhangende vakken voor één vak gerekend) bedraagt (n —1), +(n—1),_,+(n—Da-2+..... +(n—1), +1. Immers neemt men de juistheid dier formule (die geldt voor d=1) voor d—1 dimen- sies aan, dan wordt de oneindig verre ruimte R,_, der Ra in (n—1),_4+ +(n—I1)g_o+.--+» +(n—1), +1 vakken en dus de Ry in even zoovele het on- eindige snijdende vakken verdeeld. Gevoegd bij de (n—1), eindige vakken geeft dit voor het totale aantal vakken (n—1), + (n — 1), _ 4 + -.... de ht i DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. LI 2 (n)y_; -1|(w—d-+2), + w—d-+2),_,+..... Hud HL] bedraagt. Door toepassing der formule (4 — 1), + (4 — 1),_, = (4), vindt men voor het aantal grenspolytopen G;: Vaar (2 dt HUD); Fw dt + Dio + +(a—d+i+1),_,+..... = = 2 Wd — 1),(@)4_-1 + @— 3); 2 Wa 3 pen Aye ) waarbij de laatste term tusschen accoladen (4 — 7), (x) @oneven en (”), ; 4 voor 7 even. is voor d—i 9. Aantal grenspolytopen voor willekeurige C. In de boven gevonden witdrukking voor het aantal der grens- polytopen G;, die alleen voor voldoend groote waarde van C geldt, is (2), , het aantal snilijnen van d — 1 gegeven ruimten Zè,_,, (a), het aantal snijruimten À, van d — 3 gegeven ruimten, enz. Heeft daarentegen C een zoo kleine waarde, dat slechts één snij- punt van gegeven ruimten £, , binnen het polytoop (vervormd kruispolytoop) ligt, dan is het aantal grenspolytopen G, B Orri EH DH OH Ys+O+)5+...-. _ =2 {((d— 1); (d) 1 te 8); —2(d)a 3 + ACL) Ca ER ie Hierin is (d),_, het aantal gedeeltelijk binnen het kleine polytoop verloopende snijlijnen van gegeven ruimten 2, _1, (d),- 3 het aantal snijruimten 2,1), die dat polytoop snijden, enz. Door de uitdruk- king voor het aantal grenspolytopen G; voor groote waarde van C te vergelijken met die voor kleine waarde van ©, vindt men, dat bij toenemende waarde van C het aantal grenspolytopen G, met (d — 1), vermeerdert voor iedere snijlijn van gegeven ruimten, die gedeeltelijk binnen het polytoop komt, met (d— 3),_, voor iedere _ snijruimte 23, die door het polytoop bereikt wordt, enz. Ls dus q; het aantal gedeeltelijk binnen het polytoop verloopende snijruimten Rk, 1), dan is, als het polytoop niet door een snijpunt van gegeven ruimten f#,_, gaat, het aantal N, der grenspolytopen G;: N;= 2 {@— 1),9, + @— 3); -293 + @—5);_19-+----- Woe *) Onder een snijruimte R verstaan we de doorsnede van d—j gegeven ruimten Ra_1, *) Voor het aantal hoekpunten geeft dit N, = 2¢,, iets dat onmiddellijk is in te zien. Voor het aantal ribben vindt men N, = 2(d—1)q,=(d—1)N,, zooals ook direct daaruit volgt, dat door ieder hoekpunt 2(d—1) ribben gaan. 12 _ OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS Voor 7 = d—1 en d oneven is de laatste term tusschen acco- laden g,, welke grootheid, blijkens de afleiding der formule, als — 1 moet worden opgevat, hetgeen trouwens geheel met de betee- kenis van g, in overeenstemming is. Het blijkt dus, dat men voor de berekening der aantallen grens- polytopen slechts de g’s met oneven index behoeft te kennen. Men verifieert gemakkelijk, dat met de gevonden waarden voor NV, aan de meerdimensionale uitbreiding van het theorema van Eurer, nl.: NG Ne EO OG He) PE Ga a voldaan is. Dit levert dus een controle. 10. Strengere afleiding der formule voor het aantal grenspolytopen. In de formule voor N, is (4— j),,,_; het aantal snijruimten R,,,71), dat door een bepaalde snijruimte R, kan worden aangebracht. In de uitdrukking voor N, kan dus de term (4—ÿ),,,_;g, als een aantal snyruimten /?,,, worden opgevat (nl. de snijruimten R;,, door de gedeeltelijk binnen het polytoop verloopende snij- ruimten Z), waarbij ieder dier snijruimten zooveel maal geteld wordt als het aantal gedeeltelijk binnen het polytoop verloopende snijruimten , bedraagt, die in deze snijruimte #,,, gelegen zijn. Stellen we dit aantal voor een bepaalde snijruimte £,,, door 4, | i+4 J voor, dan komt deze #;,, in de geheele uitdrukking voor J; t 2 (EEE +.....) maal voor, zoodat voor het aantal der grenspolytopen G, ook kan geschreven worden NSR EE di Ne hierin moet de sommeering over alle snijruimten R,,, (of zoo men wil alleen over die snijruimten &,,,, die gedeeltelijk binnen het polytoop verloopen) worden uilgestrekt. Is ¢ == d— 2, dan zijn de snijruimten X,,,, waarover de som- meering moet worden uitgestrekt, de gegeven ruimten £,_,. Is ? = d— 1, dan levert de oorspronkelijke uitdrukking voor JV; t Nar a Fats), hetgeen met de laatst gevonden formule voor A; in overeenstem- ming is als we onder een snijruimte 2, de operatieruimte verstaan. *) Zie noot 1 van bldz, 11. —— Se aac mnt ne ee hws we DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 13 In den laatsten vorm kan men de formule voor JV; (waarvan we in het vorige nummer een minder strenge afleiding gegeven hebben door de uitdrukkingen bij kleine en groote waarde van C met elkaar te vergelijken) gemakkelijk door volledige inductie aantoonen. leder grenspolytoop G, ligt nl. (als volgens de onderstelling de m. pl. niet door een snijpunt van gegeven ruimten gaat) in één en slechts één snijruimte £, , 4. 1, dan kunnen we voor zulk een snijruimte Z2,,, (met minder dan d afmetingen) de formule, die klaarblijkelijk juist is voor d= 2, als bewezen beschouwen. Voor het aantal grenspolytopen G,, die in deze £,,, liggen, vindt men dan ore Ma p> le ce yi dus voor het totale aantal grenspolytopen 6 t 2E (4% + 43 + hte... À Is op deze wijze de juistheid der formule voor alle waarden van die kleiner dan d— 1 zijn, aangetoond, dan volgt de juistheid der formule voor 7 = d— 1 uit het meerdimensionale theorema van Evrer, daar reeds gebleken is dat de gevonden uitdrukkingen voor JV; met dit theorema in overeenstemming zijn. Hiermede is het volledige bewijs der volgende eigenschap geleverd: In R, is de meetk. pl. der punten, waarvan de som der absolute afstanden tot n willekeurig +) gegeven ruimten R;_, een willekeurig *) gegeven waarde C heeft, voor voldoend groote waarde van C de begrenzing van een convex polytoop, waarvan het aantal 1-dimensio- nale grenspolytopen G, voor à even gelijk is aan A Dirie B 8); - 2 93 + + (d— 5), _,95 +..... + (did Doi 1 + dira) en voor À oneven aan Wo A Dig @— 8), 29 + pn, G+ nae eye + (d—1 + 2)39;-2-+ (€d— 9} à Hierin is q; het aantal gedeeltelijk binnen het polytoop verloopende snijruimten R, van d — j gegeven ruimten Rk, _,, terwijl gj = \ is 5): *) Uit het voorgaande is voldoende duidelijk wat hier onder „ willekeurig” te verstaan is. *) Beide formules kan men samenvatten tot N;=2(d—1); 04 +- (d—3) i—293 a ere + (di +2); 4gdu—gt @—?)j_ ja Hib waarin i’ het kleinste oneven getal is, dat niet kleiner is dan i. 4) q; is dus het aantal Siren R;, waarvoor de minimumwaarde van S kleiner dan C is. Ook hieruit blijkt, dat q, ie 1 moet worden opgevat, daar er slechts één snijruimte R, is, nl. de operatieruimte, en daarvan het minimum volgens de onderstelling kleiner dan C is. 14 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 11. Betrekkingen tusschen de aantallen grenspolytopen. Uit de gevonden formule voor JV; blijkt, dat de aantallen J, , Na, Me, enz. uit de aantallen Mo, We, M enz. kunnen worden berekend, terwijl bovendien als d oneven is N,_; uit Mo, Mo, Nie, Nys kan worden gevonden. Uit de formules voor NO Wns Ni, es Noi Marsa Ge groobheden'g 72: Oise endo elimineerend, vindt men door de 7% ry (j = 1, 2, 3, ....,2 + ]) van den determinant met (d + 1 — 29)5; ‚3-5; te vermenigvuldigen en de 7 + 1** kolom door hetzelfde getal te deelen : M = (d — 1), M Oo hes = (d— 1, M ] ‘ (d— 8), N, 2 |’ dM 1 0| d—l),N 1 1 0 N= | (d—8)3 WV to » y | @—3)5M_ Me dM, 4 2| À (d—5)gN, (Ty Ge 1 ADN 162 74 2 (d— 1) M 1 0 0 0 (d— 3), N, (93 1 0 0 Ny= | (db MN, (94 (3 L 01, enz. (d—1), pee dE Wey Bey Ork Hieruit volgt: N, =(d—1), Mo, N,=(d—3), N,—A, (d—1)3™); N,=(d—5), N,—A, (d—8), No Aa (d— 15 Nos Nd Ne Ar (dE NV, A, (d—3),, N,— Ag (dT Ng, ene, waarin: ARS Pee ee HE pue 0. ul me ou A= |Our a 2, (9), 1 0 0 A00 ed amt (9), Do A 0) _ 7936 (11), (9), 1 0 0 4 MD ad COL A= (ADE (OL (Di le OSS HANDE Boa GAD (11), (9), (7), (6) 1 enz. 4). LOS CC Re ) Deze coëfficiënten kunnen gemakkelijk berekend worden door op te merken, dat men heeft: A, = (Th Avs (1), Agate 6, A,= (9), A, (9) A, + (9). Ay oar 8, A, =(11), A, — (11), 4, + (11), 4, — (11), 4, +10, enz, DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. a Is d oneven, dan kan W,_, in No, Nos ...., N,., worden uitgedrukt door uit de formules voor W,, My, ...., N,_., Nia de grootheid ? 7, op te lossen en den daarbij verkregen determinant gelijk aan 2 te stellen. Men vindt dan als b.v. d= 9 is: RE LA ST OW, | (Se TRE M= OO 1 0¥,| +2= (8), (6), (45 1 Ny Le A al 0 =2-+ N,—D, NV,+ D, N,— Dz Mo en algemeener: | Nf = 2-+ Ni pa om D Tina aes NG aol NE in Oa oy Mog waarin (4), 1 Gps 0 =) = pet dn Sf ks kend (8), 1 0 0 _ fine ON p, — (Ge 1 °| 1885 (10,,(8), 1 0 0 Pa (8), (6), (4), 1 = |(10), (8), (6), I 0| == 50521 LINGE cee EE Ii (10), (8), (6), 4), 1 enz. DAE LE 12. Verandering der aantallen grenspolytopen. Het aantal hoekpunten, ribben, enz. kan slechts een verandering ondergaan als het polytoop een der (#), snijpunten van gegeven ruimten #,_, passeert. De veranderingen, die deze aantallen ondergaan, zijn echter voor de verschillende snijpunten verschillend en afhankelijk van het aantal # (4 — 0,1,2,....d) der door het punt gaande snijlijnen (van d— 1 gegeven ruimten X,_;), waarvoor S in dat punt minimaal is. Dan is in dat punt, dat we Q, noemen, de som der afstanden minimaal voor (4), der (d), door Q, pane snijruimten #, (dit zijn de ruimten X; gebracht door 7 der & genoemde lijnen), zoodat met het punt Q, ook (#), oorspronkelijk geheel buiten het polytoop verloopende snijruimten R, bereikt worden, en dus 7, met (4), toeneemt. Ma het passeeren van Q, is dus het aantal grenspolytopen G, met 2 CA 1); (4), = (d — 3);_» (43 ar (d — 5); _, (4); 2e leden ede hese toegenomen : 16 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS Het aantal MZ, der punten Q, vindt men door op te merken, dat de punten Q, de minimumpunten der (~),_), snijruimten X, zijn, waarbij dan echter ook de punten Q,.,, Q,42, enz. worden medegeteld. Hen punt Q,,, is nl. minimumpunt van een snij- ruimte £#,,, en dus ook van # + 1 in die &,,4 gelegen snij- ruimten #,; een punt Q,,, is minimumpunt van een snijruimte R,,2 en dus van (4<+- 2), daarin gelegen snijruimten X,,, en van (4 +2), daarin gelegen snijruimten &,, enz. Daaruit leidt men gemakkelijk af: Mi Wien — ( Sin 1), ara =F (4 ze ADE NE oe 2= Ce Dee ale (ad—1)q_ 4-1 (2), = cS Dee Biraki D Het aantal snijpunten Q, van d gegeven ruimten R,_,, die voor k en niet meer dan k Snijlijnen van d — 1 gegeven ruimten minimumpunt zijn, bedraagt M, == (nm Sr hk TE = Dyes Men verifieert gemakkelijk, dat naar behooren voldaan is aan M, + M, _à + IRS + Piiente ft M, = (2). Voor het aantal punten Q vindt men (x— 1),, welk aantal ook verkregen wordt uit dat der eindige vakken, waarin ZX, door de gegeven ruimten #,_, verdeeld wordt. De binnen zulk een vak gelegen begrenzende #,_, van een polytoop verschuift nl. bij grooter wordende C evenwijdig aan zich zelf om in een hoekpunt van dat vak te verdwijnen; dat hoekpunt is dan een Q), d. w. z. na het passeeren er van blijft het aantal hoekpunten, ribben, enz. van het polytoop hetzelfde. Er zijn dus even veel punten Q) als eindige d-dimensionale vakken. *) Men heeft nl.: (n),, pat (Ph (nn — 1 + (p + 1) (nn — 2 TE. (p rg 23 (nn — 3 + pe Std ja BG (est ni Di =P zooals men onmiddellijk ziet door de coëfficiënten van x’ in de ontwikkeling van (1+ )"~? en in het product der ontwikkelingen van (1 + x)* en (1 + a) ” aan elkaar gelijk te stellen. HOOFDSTUK IL. DE MEETKUNDIGE PLAATS DER PUNTEN IN DE RUIMTE, WAARVAN DE SOM DER AFSTANDEN TOT #2 GEGEVEN RECHTEN STANDVASTIG IS. § 4. ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN VAN HET OPPERVLAK. 13. Samenhang der bladen van het oppervlak. Zijn in de ruimte x rechten in willekeurigen stand gegeven, dan is de m. pl. der punten, waarvan de som der afstanden tot die rechten een gegeven waarde C heeft, een gebogen oppervlak. De vergelijking van dit oppervlak luidt: Vatan slan waarin %, en w; (4— 1,2,...,n) lineare functies der coördinaten æ, y, 2 zijn, terwijl wv, — 0 en %,; — 0 de door de gegeven lijn 4, gaande isotrope vlakken (vlakken rakend aan den bolcirkel) voor- stellen. Bij het verdrijven der wortels geraakt men tot dezelfde rationale vergelijking, welke teekens men ook aan de wortels toekent. //eruit blijkt, dat de m. pl. der punten, waarvan de som der absolute afstanden — C is, een der bladen van een algebrarsch oppervlak: is. In het volgende zullen we het geheele oppervlak aan een onder- zoek onderwerpen en dus onder de som der afstanden de a/gebrai- sche som verstaan, waarbij allerlei teekencombinaties kunnen voor- komen. Het bestaanbare gedeelte van het oppervlak zal dus uit verschil- lende bladen bestaan, waarbij dan voor alle punten van een zelfde blad dezelfde teekens gelden. Zwee zulke bladen hunnen, als de gegeven lijnen elkaar met snijden, in het eindige alleen samenhangen als ze slechts in één teeken verschillen; dit samen- hangen moet dan plaats vinden op de gegeven lijn, waarop dat teekenverschil betrekking heeft. Twee bladen, die in alle teekens verschillen, kunnen in het oneindige samenhangen. ‘wee bladen Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (Eerste Sectie) DI. IX. E 2 18 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS echter, die in meer dan een, maar niet in alle teekens verschillen, kunnen niet samenhangen !'), maar elkaar wel doorsnijden. 14. Het blad, waar de absolute som gelijk aan C is. Het oppervlak heeft alleen dan een bestaanbaar blad, voor welks punten de som der absolute afstanden — C is, als C een zekere” minimale waarde overschrijdt. Van dit blad kan gemakkelijk worden aangetoond, dat het gesloten en convex is. Daartoe beschouwen we weer het verloop der functie S’ (de som der absolute afstanden a,, a, ..., a, tot de gegeven lijnen) op een willekeurige rechte /. Een punt P laten we de lijn / doorloopen en wijzen de plaats van P door OP =p aan, waarin O een vast punt van / is. Is nu # de kortste afstand en 8, de hoek der lijnen 7 en /,, dan heeft men: t waarbij men den negatieven wortel nemen moet voor de lijnen, waartoe P nadert, den positieven wortel voor lijnen, waarvan P zich verwijdert. Hieruit blijkt, dat > voortdurend toeneemt van —Zsin PB, tot + Usa, en dus S in Één punt van / minimaal is. Is die minimale waarde kleiner dan C, dan heeft / met het blad, waarvoor S’== C is, twee en niet meer dan twee punten gemeen. We vinden dus: De meetkundige plaats der punten in de ruimte, waarvan de som der absolute afstanden tot n gegeven rechten een gegeven waarde C heeft, is voor voldoend groote waarde van C een eindig gesloten conver blad van een algebraisch oppervlak. Binnen dit blad is de som der absolute afstanden kleiner, daar buiten grooter dan C. 15. Graad en vergelijking van het oppervlak. De graad van het oppervlak laat zich door toepassing van het beginsel van het behoud van het aantal gemakkelijk bepalen, nl. door de gegeven rechten alle in hetzelfde vlak te kiezen. De *) Tenminste in het algemeen niet. In het eindige kunnen ze samenhangen als de gegeven lijnen, waarop de verschillende teekens betrekking hebben, door één punt gaan en dit punt op het oppervlak ligt. In het oneindige is samenhang alleen mogelijk als de gegeven lijn of lijnen, waarop de overeenstemmende teekens betrekking hebben, alle door een zelfde punt in het oneindige van het oppervlak gaan. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 19 doorsnede van het oppervlak met dat vlak wordt dan gevormd door 2” rechten, die worden voorgesteld door de vergelijkingen Hid, Se dy se AE yen als /, —0, /, —0, enz. de normaalvergelijkingen der gegeven rechten zijn. Hieruit volgt, dat het oppervlak van den graad 2" is 1) ook als de gegeven lijnen niet alle in hetzelfde vlak gelegen zijn”). Ook uit de verg. van het oppervlak laat zich de graad gemak- kelijk bepalen. De vergelijking verkrijgt men in rationalen vorm door de 2" irrationale vergelijkingen ma Vga Et ua 00 met elkaar te vermenigvuldigen; ieder der irrationale factoren is van den graad 1, het rationale product dus van den graad 2”$). Stellen we het product 7,4; door v, voor, dan wordt de ratio- nale vergelijking: CE LCP ao) JOP Ao) der + in C? fons EN [fore w;) P Ur hierin is /,(v,) een van C onafhankelijke homogene functie van den je graad in v,, 03, ...., v,, dus een functie van den 277" graad in de coördinaten. Dat in de vergelijking alleen even machten van C voorkomen en dat de termen, die C niet bevatten, een zuiver vierkant vormen, blijkt door bij het vermenigvuldigen telkens twee factoren, die in alle teekens der wortelvormen verschillen, samen te nemen. Op geheel dezelfde wijze blijkt, dat in de verg. alleen even machten van Ev, voorkomen (dus dat de verg. werkelijk rationaal is) en dat de termen, die een der grootheden v, niet be- vatten, een zuiver vierkant vormen. *) Is een der 2” vergelijkingen +7, + ... + 1, — C een identiteit, dan behoort het geheele vlak der gegeven lijnen tot het oppervlak en wel tweemaal; de graad van het overige gedeelte der m. pl. wordt dan met twee verlaagd. Het kan echter ook gebeuren, dat de vergelijking voor verschillende teekencombinaties een identiteit wordt, in welk geval het vlak zich meerdere malen afsplitst. *) In bijzondere gevallen kan de graad door afsplitsing van het oneindig verre vlak lager worden. Zie hierover § 7. *) Men vergelijke: Cavey, On polyzomal curves, otherwise the curves VU + WV + + &e.=0, Trans. of the R. S. of Edinburgh Vol. 25 (1868), p. 1—110; Coll. Math. Papers Vol. 6, p. 470—576. Zijn U, V, enz. functies van den rden graad in de homo- gene coördinaten æ, y, z, en is v het aantal termen, dan stelt de verg. een kromme van den graad 2’ *r voor (art. 3 en 4). *) Voor n —1 is het oppervlak nog wel van den graad 2” =2, maar de termen, die C niet bevatten, vormen dan niet meer een zuiver vierkant, E 2% 20 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS § 5. DE SINGULIERE KROMMEN VAN HET OPPERVLAK. In alle volgende beschouwingen zullen we ons, tenzij het tegen- deel uitdrukkelijk gezegd wordt, beperken tot het algemeene geval, dat uit den aard der zaak moeilijk nader te omschrijven is. Alle resultaten zullen dus in bijzondere gevallen een wijziging kunnen ondergaan, waarmede we ons hier echter niet bezig zullen houden, Alleen zal steeds het bijzondere geval C = 0 aan een afzonderlijk onderzoek worden onderworpen. | 16. Dubbelkromme in het oneindige. Voor een punt in het oneindige is in het algemeen de algebrai- sche som der afstanden tot de gegeven lijnen, welke teekencombi- natie we ook kiezen, oneindig groot. Is die algebraische som eindig 4), dan zal de grootte dier eindige waarde afhangen van de wijze, waarop we een punt uit het eindige tot het oneindig verre punt laten naderen. Hieruit blijkt, dat de kromme in het oneindige van het oppervlak niet van de waarde van C afhangt, hetgeen ook on- middellijk uit de vergelijking van het oppervlak volgt. De kromme in het oneindige is dus dezelfde als die van het oppervlak voor C= 0, dus van het oppervlak Voda nan dit oppervlak is van den graad 2"~', daar men nu bij het herleiden van de verg. tot den rationalen vorm aan een der wortelvormen, b.v. yin steeds hetzelfde teeken kan toekennen, waardoor slechts 2"~! irrationale factoren ontstaan. De kromme in het oneindige van het oppervlak voor C > 0 is dus van den graad 2"~*, m. a. w. het vlak in het oneindige snijdt dit oppervlak volgens twee samenvallende krommen. Dat we met een dubbelkromme en niet met raking aan het vlak in het oneindige te doen hebben, blijkt uit de rationale vergelijking van het oppervlak, die we in n°. 15 hebben neergeschreven. Maakt men die verg. homogeen door invoering van een grootheid T en noemen we de zoo verkregen vergelijking /(a, 7, 2,7) = 0, dan vindt men voor een punt in het oneindige (7 = 0, fan—2(v,) = 0) ei EY es da dy dz dus: *) Dit is het geval als voldaan is aan SUM By a= SU), EE © oo) ae + sin 2, = 0, waarin @, de hoek is, dien de richting van het oneindig verre punt met de gegeven lijn 7; maakt. es Se ee ee ee eee ee ee *. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 21 De kromme in het oneindige van het oppervlak is een dubbelkromme van den graad 2"~*})%). Daar de kromme in het oneindige slechts van de termen van den hoogsten graad van fyn-2 (v;) afhangt, zoo blijkt direct, dat de dubbelkromme in het oneindige met verandert als men de gegeven lijnen evenwijdig verschuift, dus dat die kromme alleen van de richtingen der gegeven lijnen afhangt. 17. Krommen van aanraking. In ieder punt van een door een gegeven lijn /, gaand isotroop vlak uw; is de afstand tot /, gelijk aan nul, zoodat de doorsnede van uw; met het oppervlak dezelfde is als de doorsnede van #, met het bij de overige 7 — 1 gegeven lijnen behoorende oppervlak. Dit laatste oppervlak is echter van den graad 2’ *, zoodat de doorsnede van #, met het oorspronkelijke (bij de z lijnen behoorende) oppervlak van den graad 2" in twee samenvallende krommen van den graad 2-1 ontaardt. We hebben hier echter niet met een dubbelkromme te doen, maar met raking -aan het isotrope vlak. Dit blijkt door de ver- gelijking van het oppervlak in den volgenden rationalen vorm te schrijven: B (2y2) = (4, à aps + (u; DU + (w, A ae tn | ot as + + U; Us fon—1 4 ie [ fon-2)? =] ; waarin 7; een homogene functie van den graad 7 in w,, %, ...., Pt... uen C2 Ist Voorn 0, fr 2 > Orheeft men: dk du, di du, dF du; LA LA LA +. — = U Jon-1 tA =, —— — U. Jon-1 = i Ton i Jon — dz i Son —1 de’ dx de’ dy ‘dy’ waaruit volgt, dat het raakvlak in een punt der doorsnede met y, het vlak w, zelf is. We vinden dus: Het oppervlak raakt aan veder der 2 n isotrope vlakken door de gegeven lijnen volgens een kromme van den graad 2"~*4), *) Hiervoor moet echter x minstens 2 zijn. *) Gaat een punt langs een bestaanbaar blad door het vlak in het oneindige heen, dan keeren de teekens van alle afstanden om. Voor het andere door de dubbelkromme gaande blad zijn aan denzelfden kant van het oneindige alle teekens anders dan voor het eerste blad, zoodat men om dezelfde teekens te behouden bij het passeeren van het oneindige niet op de analytische voortzetting van het blad, maar juist op het andere blad moet overgaan. SP Hieriny 18 vAn DU ENZ: *) Dit geldt ook reeds voor n= 1. De kromme van aanraking is dan de lijn in het oneindige van het isotrope raakvlak. è2 ww OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS Deze isotrope vlakken zullen we de sixguliere raakvlakken noe- men, de krommen volgens welke ze het oppervlak aanraken de krommen van aanraking. Het zal dikwijls voorkomen, dat de krommen van aanraking met twee toegevoegde (door een zelfde gegeven lijn gaande) singuliere raakvlakken tegelijkertijd beschouwd worden. Beide krommen te zamen noemen we dan de volledige kromme van aanraking, terwijl we ter onderscheiding de krommen, waaruit deze bestaat, de afzonderlijke krommen van aanraking noemen }). 18. Kegelpunten van het oppervlak. leder der gegeven lijnen snijdt het oppervlak in 2”~' punten (die dus alle dubbel tellen), nl. in de snijpunten met het bij de overige gegeven lijnen behoorende oppervlak van den graad 271. Hieruit blijkt, dat een kromme van aanraking de in het singuliere raakvlak gelegen gegeven lijn in 2"~*' punten snijdt en dus niet aanraakt. In een snijpunt Q met een gegeven lijn /, wordt het oppervlak door de beide door /, gaande isotrope vlakken aangeraakt, waaruit volgt: Jeder der n gegeven lijnen snijdt het oppervlak in 2"~' kegel- punten®), waarvan de raakkegels aan de beide isotrope vlakken door de gegeven lijn raken; m.a.w. zulk een raakkegel wordt door een vlak: loodrecht op de gegeven lijn, waarop het kegelpunt ligt, ge- sneden volgens een kegelsnede ®), waarvan een der brandpunten op de gegeven lijn ligt*). In zulk een kegelpunt hangen, als het bestaanbaar is, twee bladen van het oppervlak samen behoorende bij teekencombinaties, die alleen in het teeken van den afstand tot de gegeven lijn, waarop het kegelpunt ligt, verschillen. Ju het geheel heeft het oppervlak n2"~' zulke geïsoleerd liggende kegelpunten, waarvan er 1) Carey (l.c. art. 13—19) toont aan, dat een „v-zomal curve” /U+VV+...=0 door ieder der krommen U—0, V=0, enz, die hij „zomal curves’ noemt, in 2” — 8 2 (dus in al hare snijpunten) wordt aangeraakt en wel door U— 0 in de snijpunten van de „zomal curve’ U =O met de „antizomal curve” UTR a = Os *) Dat een snijpunt met een gegeven lijn J; dubbelpunt is, blijkt ook uit de verge- lijking van het oppervlak in den vorm, dien we daaraan in n°. 17 gegeven hebben. Immers is behalve u, en f 92-2—0 ook nog u, —0, dan worden on en a *) Is het kegelpunt bestaanbaar, dan kan deze kegelsnede zoowel een ellips als een hyperbool zijn. Zie n°. 19. “) Al deze resultaten gelden ook nog voor n=1. Er is dan slechts één kegelpunt, dat in het punt in het oneindige der gegeven lijn ligt. alle nul. CERN" UC 0 ee ea DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 2e 2"! op iedere kromme van aanraking liggen, terwijl door ieder dier kegelpunten twee toegevoegde krommen van aanraking gaan. 19.-De in het eindige gelegen dubbelkromme. Keeren we nog eens terug tot het reeds in n°. 15 genoemde bijzondere geval, dat alle gegeven rechten in een zelfde vlak V ge- legen zijn. In dat geval bestaat de doorsnede van V met het oppervlak wit 2" rechten, die twee aan twee evenwijdig loopen; deze rechten zullen we de rechten der doorsnede noemen. Door ieder snijpunt van een gegeven lijn met een rechte der doorsnede gaat nog een andere rechte der doorsnede). Er zijn dus n2"—" snijpunten van. gegeven lijnen met rechten der doorsnede; deze snijpunten zijn de in n°. 18 genoemde kegelpunten van het oppervlak, waar bij verschillende teekencombinaties behoorende bladen samenhangen, welke kegelpunten nu dus alle bestaanbaar zijn. De 2"—" oneindig verre snijpunten van rechten der doorsnede zijn de snijpunten van V met de dubbelkromme in het oneindige. De 2” rechten der doorsnede kunnen we uit een zeker aantal gesloten even gebroken trekken (too genoemd omdat ze bij verplaat- sing der gegeven lijnen uit het vlak #7 in de gebogen trekken der doorsnede van / met het oppervlak overgaan ?)) opgebouwd denken, zoodanig dat op iederen trek de som der met bepaalde teekens voorziene afstanden tot de gegeven rechten de standvastige waarde C heeft en voor teder punt van een zelfden trek dezelfde teeken- combinatie geldt. Deze trekken zijn, als de figuur der gegeven lijnen en der rechten der doorsnede geteekend is, gemakkelijk aan te wijzen. Daartoe beginnen we met een willekeurig punt van een rechte der doorsnede, vervolgen die rechte om telkens bij het passeeren van een gegeven lijn op de andere rechte der doorsnede door het snijpunt en bij het passeeren van de lijn in het oneindige op de evenwijdige rechte der doorsnede over te gaan; de in het eindige gelegen hoekpunten dier gebroken trekken zijn dus de kegel- punten van het oppervlak. In fig. 1 zijn die gebroken trekken geteekend voor het geval van drie gegeven lijnen, die een driehoek met zijden 3, 4 en 5 1) De 2” rechten der doorsnede vormen dus te zamen met de (n +1) 2’ —* snij- punten dier rechten met de gegeven rechten en de lijn in het oneindige een |(m + 1) mdk |2"]n+1 configuratie; de punten dier configuratie kunnen bovendien worden ingedeeld in n +1 groepen ieder van 2” mi op één lijn (gegeven lijn of lijn in het oneindige) gelegen punten. *) Hierbij worden de in het eindige gelegen hoekpunten der trekken afgerond, terwijl de trekken in de punten in het oneindige twee verschillende asymptoten behouden. 24 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS .. Dh - . . vormen, terwijl C — 5 genomen is. Door een afronding van de rechten der doorsnede in de nabijheid van de hoekpunten is de samenhang der trekken aangeduid ?). Wanneer C een zekere minimale waarde overschrijdt is een der gebroken trekken de in $l beschouwde convexe veelhoek, waar- voor de som der absolute afstanden = C is. Deze trek kan door geen andere rechten der doorsnede worden gesneden, daar op de overige rechten der doorsnede de algebraische som der afstanden — C en dus de absolute som > C is. De overige trekken, die ook inspringende hoeken kunnen vertoonen en de lijn in het on- eindige een even aantal malen kunnen snijden, zullen elkaar door- snijden. Een gebroken trek vormt de doorsnede van een zelfde blad van het oppervlak met het vlak / der gegeven lijnen. Wanneer dus gebroken trekken elkaar doorsnijden, zullen ook de bijbehoorende bladen elkaar doorsnijden, m.a.w. de buiten de gegeven lijnen en de lijn in het oneindige gelegen snijpunten der 2" rechten der door- snede zijn de snijpunten van het vlak V met een dubbelkromme van het oppervlak. Deze dubbelkromme zal natuurlijk blijven bestaan als men de coplanaire ligging der gegeven lijnen verstoort, daar de elkaar doorsnijdende bladen bij verschillende teekencombinaties be- hooren en de doorsnijding dus niet in samenhang kan overgaan. Daar er van de 2"! (2”— 1) snijpunten der rechten der door- snede 72”~' op gegeven lijnen en 2"~' in het oneindige liggen, zijn er nog 2"—*(2"-—1)—22"—*-— 2"—* PPT" nn — 2) andere snijpunten, zoodat de dubbelkromme in het eindige van den graad 2"~*'(2"—n—2) is?); dit geldt ook nog als de gegeven lijnen niet in één vlak liggen. 20. De dubbelkromme bestaat uit 2”—zn—2 krommen. Ook zonder de gegeven lijnen alle in hetzelfde vlak te kiezen laat zich het bestaan der dubbelkromme gemakkelijk aantoonen. Een in het eindige gelegen punt is een punt van een dubbelkromme van het oppervlak als met twee verschillende teekencombinaties aan de vergelijking V ak Vt +)o,=C *) Uit de fig. ziet men, dat de doorsnede van den raakkegel in een kegelpunt met een vlak loodrecht op de door het kegelpunt gaande gegeven lijn zoowel een ellips als een hyperbool zijn kan. In de fig. leveren twee der op 1, gelegen kegelpunten een elliptische, de beide andere een hyperbolische doorsnede. *) Deze dubbelkromme treedt dus eerst op als n= 8 is. DeeS «7 CET ve DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 25 voldaan is en beide teekencombinaties in meer dan één teeken ver- schillen; immers dan is bij het passeeren van het punt op een zelfde blad geen overgang van de eene teekencombinatie tot de andere mogelijk, zoodat door het punt twee bij verschillende teekencom- binaties behoorende bladen moeten gaan. Zijn v,, va, ..., v; de radicalen der in teeken verschillende wortelvormen, terwijl de overige teekens overeenstemmen, dan vol- doet het punt der dubbelkromme aan de vergelijkingen Vo +, +. EE Vo, =0 (4—92,8,....,n—2of#— 1), GEE PR ae Wv, —= Ca waarvan de eerste een oppervlak van den graad 2'~', de tweede een oppervlak van den graad 2"~' voorstelt. De snijkromme dier oppervlakken, die dus van den graad 2"~' is, is een dubbelkromme van het oppervlak. De graad dier dubbelkromme is onafhankelijk van de wijze waarop men de som der wortelvormen in tweeën breekt. Voor het aantal der dubbelkrommen vindt men: De SOE SIO) Se EE + (2), 4 = 2" —n— 2, zoodat het resultaat is: De in het eindige gelegen dubbelkromme van het oppervlak: bestaat uit 2"—n—2 krommen van den graad 2"~")), *) Is „=—=8, dan heeft het oppervlak drie dubbelkrommen van den vierden graad. Jeder dier dubbelkrommen is de doorsnede van een omwentelingscylinder, die een der gegeven lijnen als as en een straal G heeft, met de hyperbolische paraboloïde, die de m. pl. is der punten, waarvan de afstanden tot de beide andere gegeven lijnen gelijk zijn. In het geval van fig. 1, waar de drie gegeven lijnen in één vlak V liggen, degene- reert de hyperbolische paraboloide der lijnen /, en /, in de beide vlakken door de deel- lijnen van den hoek (/,, /,) loodrecht op V aangebracht, zoodat ieder der krommen van den vierden graad in twee elkaar tweemaal snijdende ellipsen ontaardt, waarvan de vlakken loodrecht op elkaar staan; de snijpunten der ellipsen op den cylinder /, liggen op de loodlijn in het punt (J,, /,) op V opgericht. Men ziet onmiddellijk, dat een loodlijn in het middelpunt van een in- of aangeschreven cirkel van driehoek /, 1, 1, op V opgericht de drie cylinders in dezelfde twee punten snijdt, waaruit blijkt, dat op vier manieren drie op verschillende cylinders gelegen. dubbelellipsen zijn aan te wijzen, die twee gemeenschappelijke punten hebben. In het geheel zijn er dus acht punten waar drie dubbelkrommen door heen gaan, hetgeen (zooals in de volgende paragraaf blijken zal) ook nog het geval is als de drie gegeven lijnen niet in één vlak liggen. Deze eigenschappen kunnen met voordeel benut worden om de rechten der doorsnede alleen door constructie (dus zender de vergelijkingen dier rechten op te maken) te vin- den. Daartoe trekt men de 6 lijnen op een afstand C evenwijdig aan de gegeven lijnen en de 6 binnen- en buitenbissectricen van den driehoek /, /, /,. De snijpunten dier lijnen wijzen dan de 12 snijpuuten van het vlak V met de 6 dubbelellipsen aan. Deze snijpunten behooren tot een (12), (8), configuratie, waarvan de 8 lijnen de gezochte rechten der doorsnede zijn. 26 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 21. Nulligging der singuliere krommen. Een dubbelkromme van het oppervlak is daardoor gekenmerkt, dat voor ieder harer punten de som der met bepaalde teekens genomen afstanden tot 7 der gegeven lijnen (4 = 2, 3,...,2—1) nul is; we zeggen dan, dat die kromme zulligging ten opzichte van die 7 gegeven lijnen vertoont, en stellen de kromme voor door het symbool C(z). De vergelijkingen van een der (x); krommen C(i) zijn: Lo, + le, +. + —=0, Vn nen De eG Is hierin /—= 1, dan krijgt men geen dubbelkromme, maar het geheel der beide krommen van aanraking met twee toegevoegd onbestaanbare singuliere raakvlakken, dus een volledige kromme van aanraking. Voor =~ stellen de vergelijkingen weer een dubbelkromme voor, nl. de dubbelkromme in het oneindige. Ken kromme van het oppervlak, die nulligging ten opzichte van i gegeven lijnen vertoont (i—1,2,...,n), noemen we een singuliere kromme C(t). Ben singuliere kromme C(1) is een volledige kromme van aanraking en van den graad 2"; de overige singuliere hrommen zijn dubbelkrommen en van den graad 2"~*, voor i—n in het on- eindige, voor 1 kegelpunten, 2"—* op ieder der n gegeven lijnen. De doorsnede van het oppervlak met een willekeurig vlak is van den graad 2"~* met (2"~*—n—1)2"—? dubbelpunten (die alle in het eindige liggen) ex dus van het geslacht (n— 2)2"~? Ass en van de klasse n2"~', zoodat het oppervlak van den rang n2"~" is: De doorsnede met een vlak door een gegeven lijn degenereert in twee krommen van den graad 2”~*, waarvan de snijpunten zijn: 1°. 2"-? kegelpunten op ‘de gegeven lijn, 2°. (2”~?-—1)2"-* snijpunten met dubbelkrommen. leder der twee krommen heeft (2"~* —n)2"~% dubbelpunten (snijpunten met andere dubbel- krommen) en is dus van het geslacht (x — 3) 2" * 4-1 en van de klasse (x — 1) 27°. $ 6. DE SNIJPUNTEN VAN DRIE SINGULIERE KROMMEN. Twee singuliere krommen snijden elkaar. Men kan gemakkelijk aantoonen, dat ieder tweetal singuliere krommen elkaar eenige maten. snijden. Zijn de irrationale vergelijkingen der eene singuliere kromme sti Ae en van de andere singuliere kromme T+ S=C, QR, waarbij Q, &, S en 7' de som der met willekeurige teekens ge- nomen afstanden tot g, 7, s en / gegeven lijnen voorstellen g¢tr+s+tt=nx). Q, R, 8 en 7 zijn dus de sommen van resp. 4, r, s en ¢ wortels uit producten van twee toegevoegd onbestaan- bare lineaire functies der coördinaten. De getallen g, r, s en ¢ kunnen nul zijn, maar natuurlijk kunnen niet twee der drie getallen 4, r en s tegelijkertijd nul zijn. Beide singuliere krommen snijden elkaar in die punten, waar met dezelfde teekencombinaties in Q en #& voldaan is aan PRES CMOS DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 29 daar dan 7’+- S— C hiervan een gevolg is. Nu snijden de opper- vlakken 7+-R=C, Q—S en Q=R, die resp. van den graad Dey remedy Ron RE zijn, elkaan ig 2? 2" =) punten. |) De overeenstemming der teekencombinaties in Q en 2 zal echter slechts voor een deel van dit snijpuntensysteem bestaan. De punten van dit partieele systeem zullen dan ook aan 7'+- S= C voldoen, dus op beide singuliere krommen liggen. 26. Door de snijpunten van twee singuliere krom- men gaatseen derde: Uit de gelijkheid der teekencombinaties in Q, 2, S'en 7 blijkt, dat de punten van het bovengenoemde partieele snijpuntensysteem ook voldoen aan de vergelijkingen FOC RES en dus liggen op een derde singuliere kromme, die door deze vergelijkingen wordt voorgesteld. We vinden dus: De drie singuliere krommen Or ds): Rose C(s +9): PA ON =) Can: DATE UE hebben eenige gemeenschappelijke punten. leder der drie krommen gaat door alle snijpunten der beide andere. Twee der drie krommen kan men willekeurig wit de singuliere krommen mthkiezen, waarmt dan de derde volgt. Dit resultaat kan men ook als volgt formuleeren: Twee singuliere krommen hebben eemge gemeenschappelijke punten, die alle op een derde singuhere kromme Wiggen, nl. op die, welke nulligging vertoont ten opzichte van die gegeven lijnen, die in slechts één der groepen van gegeven lijnen voorkomen, ten opzichte waarvan de beide eerste singuliere krommen nulligging vertoonen. De snijpunten der drie singuliere krommen vertoonen nulligging ten opzichte van drie gedeeltelijk uit dezelfde lijnen bestaande groepen van rts, stg en gtr gegeven lijnen. Een dergelijk punt zullen we een singulier punt P(r+s, sg, gr) noemen. Hierbij kunnen we steeds gy1 is. In dat punt snijden drie bladen van het oppervlak elkaar, nl. de bladen behoorend bij de teekencombinates : gp SL. Op ssd res 0 Ogg ANS hierin moeten aan de wortelvormen van Q, &, S en 7 bepaalde teekens worden toegekend, die in de drie vergelijkingen dezelfde zijn. 28. Viervoudige punten; punten P,. Het singuliere punt is een bestaanbaar of onbestaanbaar snijpunt van twee in het eindige gelegen dubbelkrommen en de dubbelkromme in het oneindige als g=t—0 en r>1 1s; immers dan wordt rd-s—=nt. We vinden dus: Twee in het eindige gelegen dubbelkrommen, die nulligging ver- toonen ten opzichte van twee groepen van gegeven lijnen, waarvan de eene groep wit die gegeven lijnen bestaat, die niet voorkomen in de andere groep, hebben dezelfde punten in het oneindige. Twee dergelijke dubbelkrommen zullen we complementair noemen; ze hebben tot vergelijkingen C(s): i C, S = > ON RE SR. De derde dubbelkromme 1s: C(n): —— CP RS d.i. de dubbelkromme in het oneindige. Het singuliere punt in het oneindige is dubbelpunt der drie dubbel- krommen. Immers het is een punt van een dubbelkromme der oppervlakken R= C, S=C en R=S. Door dat punt gaan dus zes takken van dubbelkrommen?), die de doorsneden twee aan twee van vier door het punt gaande bladen van het oppervlak zijn, be- hoorend bij de teekencombinates : RARE: CIRE REEN. REE ‘) Dit geval kan eerst voorkomen als n >3 is *) De teekencombinaties behoorend bij deze zes takken zijn voor de takken EAO RE OIS ICS 0 ES G(r): (bii 0 SHG SRE À G(n): G=R—S=0, C=R+-S=0. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 31 De doorsnede van twee dier bladen en de doorsnede der beide andere bladen vormen telkens twee takken derzelfde dubbelkromme }). 29. In het eindige gelegen uniplanaire tweebladige dubbelpunten; punten Ps. Is g=0, r=1, dan is de singuliere kromme C(g Jr) een volledige kromme van aanraking (de beide krommen van aanraking met twee toegevoegd onbestaanbare singuliere raakvlakken). /s verder 1 3 zijn. *) De teekencombinaties zijn voor C(s +1): [—G=+ k +S=0, Beer Cs) Dede CS (a » de beide takken van C(1): T+S—C=R,=0, TF—S— Coe. — 0, Een teekenomkeering van slechts één wortelvorm wijst niet op twee takken, maar op twee samenhangende stukken van denzelfden tak. De beide teekens van R, hebben dus op de beide helften van een aan een der vlakken R, —0 rakenden tak betrekking. *) Zie het laatste gedeelte van de vorige noot. 32 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS krommen doorsnijden. Het singuhere punt is dus een uniplanair punt van het oppervlak. 30. In het oneindige gelegen uniplanaire tweebla- dige dubbelpunten; punten ?,. Is g=0, r=1, s=n—1, dus:t=0), dan gaat het voor- gaande onveranderd door, alleen met dit verschil, dat nu de singu- here kromme C(s+-1) de dubbelkromme in het oneindige ws 2) en dus ook het singuliere punt in het oneindige ligt; de in het voorgaande voorkomende grootheid 7’ is nu identisch nul. De in het eindige gelegen dubbelkromme C(n—1), die op den ee R, = C ligt, en de volledige kromme van aanraking zijn complementair ®). 31. Uniplanaire eenbladige dubbelpunten; punten P,. Is g=0, r=s=1, dan zijn twee der singuliere krommen vol- ledige krommen van aanraking, de derde een op een hyperbolische paraboloide liggende dubbelkromme C(2)*). De vergelijkingen der singuliere krommen zijn: CMe... AR Onde OD: LS Cn rn On CG). 7 =C, Rk =8 Het onbestaanbare singulere punt, dat op de snijlijn m van twee door verschillende gegeven lijnen gaande isotrope vlakken ligt, ws enkelvoudig punt der drie singuliere krommen, terwijl de beide krommen van aanraking de lijn m aanraken, de ne de lijn m snijdt. Daar de lijn m twee samenvallende punten met de kromme van aanraking, die in haar geheel als doorsnede van het oppervlak dubbel telt, gemeen heeft, zoo blijkt, dat een snijlijn m van twee niet-toegevoegd onbestaanbare singuliere raakvlakken het oppervlak telkens in vier samenvallende punten snijdt”). 1) Hiervoor behoeft slechts n > 2 ondersteld te worden. *) De dubbelkromme in het oneindige raakt in het singuliere punt aan de lijn in het oneindige van het singuliere raakvlak. 5) D. w.z. de eene singuliere kromme heeft nulligging ten opzichte van die gegeven lijnen, die niet voorkomen in de groep van gegeven lijnen ten opzichte waarvan de andere singuliere kromme nulligging vertoont. “) Is n=2, dus 1—=0, dan is de dubbelkromme C(2) de in twee rechten gedegene- reerde dubbelkromme in het oneindige. Overigens gelden de verkregen resultaten ook voor dat geval. *) Dit ziet men ook onmiddellijk daaruit, dat de snijpunten van m met het oppervlak dezelfde zijn als die met het bij de n —2 overige gegeven lijnen behoorende oppervlak van den graad 2" —?, De 27? snijpunten moeten dus alle 4-maal tellen om het aantal 2%. op te leveren. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 33 De doorsnede met een willekeurig vlak heeft in een snijpunt met de dubbelkromme een dubbelpunt. Neemt men voor dat vlak een der singuliere raakvlakken door m, dan vallen de beide takken door het dubbelpunt en dus ook de dubbelpuntsraaklijnen samen en wel langs m. Hieruit volgt, dat de dubbelkromme in het be- schouwde singuliere punt een uniplanair punt heeft, waarvan de beide samenvallende raakvlakken door m gaan. Het oppervlak heeft in het singuliere punt slechts één blad, dat aan de beide singuliere raakvlakken raakt en zich zelf doorsnijdt. Het blad vertoont dezelfde singulariteit, die men bij een bestaan- baar blad een Æ/empunt (pichpoint) noemt, een punt waar de dubbelkromme het oppervlak verlaat en geïsoleerd wordt 5). 32. Singulariteiten der dubbelkromme in het oneindige. Uit het voorgaande zijn onmiddellijk een aantal bijzonderheden der singuliere krommen af te leiden. Zoo volgt uit n°. 28 en 29: De dubbelkromme in het oneindige heeft de lijnen in het onein- dige der 2n singuliere raakvlakken (of de raaklijnen wit de punten in het oneindige der gegeven lijnen aan den bolcirkel getrokken) tot 2"—*-voudige raaklijnen (Veder snijpunt met zulk een raaklijn is een raakpunt). De n 2" raakpunten zijn uniplanaire tweebladige punten van de dubbelkromme ?). Ken punt in het oneindige van een in het eindige gelegen dubbelkromme, wier complementaire kromme eveneens dubbelkromme *) Afgezien van de onbestaanbaarheid vertoont het blad dezelfde singulariteit als die welke het oppervlak d—9 yz°+z—0 in den oorsprong vertoont. De dubbelkromme is hier de y-as, de singuliere raakvlakken, die volgens parabolen aanraken, zijn de vlakken y — x—0 en y+æx—0. De door- snede met het yz-vlak is de dubbele y-as en een aan de z-as rakende parabool. De doorsneden met vlakken loodrecht op de y-as zijn voor negatieve y onbestaanbaar met alleen een geïsoleerd punt in de y-as, voor positieve y S-vormig. Deze S wordt kleiner maar tevens gerekter als het snijvlak tot het xz-vlak nadert; is het snijvlak het æz- vlak, dan zijn beide dubbelpuntsraaklijnen in de z-as samengevallen, terwijl de door- snede zich tot een punt heeft samengetrokken. Opgemerkt zij nog, dat de doorsneden met vlakken evenwijdig aan het æy-vlak parabolen zijn en dat de doorsneden met vlakken evenwijdig aan de singuliere raakvlakken onbestaanbaar zijn, als ze de neg. y-as snijden, en in twee elkaar alleen op de y-as snijdende parabolen degenereeren, als de vlakken de pos. y-as snijden. *) Dit geldt alleen voor n>2. Is n=2, dan raakt de dubbelkromme in het onein- dige de lijnen in het oneindige der vier singuliere raakvlakken niet aan. Doordat nu echter de uit twee rechten bestaande dubbelkromme door de snijpunten van telkens twee dier lijnen in het oneindige gaat, is het aantal uniplanaire punten der dubbelkromme in overeenstemming met de formule gelijk aan vier; deze punten zijn evenwel éénbladig, dus klempunten. Verhand, Kon. Akad. v. Wetensch, (Eerste Sectie Dl. IX). E 3 34 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS is, (dus van een kromme C(:), waarin 1 Li<<#— 1 is) is een dubbelpunt van C(i), die dus 2"~” punten in het oneindige heeft. Deze punten zijn tevens dubbelpunten der dubbelkromme in het oneindige. Daar de complementaire dubbelkromme dezelfde punten in het oneindige oplevert, zoo vindt men voor het aantal dubbel- punten der dubbelkromme in het oneindige: mi Or Sl Ober pe (Oh ene em SKS ea), dus: De dubbelkromme in het oneindige heeft 2"~°(2"~'—u—1) dubbelpunten en is derhalve van het geslacht (n—2)2"~*+-1 en van de klasse n2"—* }), 33. Singulariteiten der krommen van aanraking. Uit n°. 29, 30 en 31 volgt: De kromme van aanraking met een 1sotroop vlak door een gegeven lijn heeft de 2(n—1) snijlijnen van dat vlak met de isotrope vlakken door de andere gegeven lijnen tot 2"~°-voudige raaklijnen). De snijpunten van het vlak / der kromme van aanraking met een dubbelkromme, die nulligging vertoont ten opzichte van eenige gegeven lijnen, waaronder de in / gelegen gegeven lijn niet voor- komt, zijn dubbelpunten der kromme van aanraking. Daar de dubbelkromme het vlak / in ieder snijpunt aanraakt, levert die dubbelkromme 2”~* dubbelpunten der kromme van aanraking. Het totale aantal dier dubbelpunten bedraagt dus: (a — 1), Fa 1); HDD 4} 2" 77 = 2" — (RT). Hiervan zijn er 2"~? in het oneindige gelegen; deze worden opgeleverd door voor de dubbelkromme de aan de kromme van aanraking complementaire dubbelkromme te nemen. Hen kromme van aanraking heeft 2"~°(2"~*—n) dubbelpunten, waarvan er 2"~" in het oneindige gelegen zijn. De kromme is dus van het geslacht (n —3)8"T* LT en van de klasse (n — 1)2"~*?). 34. Singulariteiten der dubbelkrommen in het eindige. Uit n°. 28, 29, 30 en 3] volgt: *) Hier wordt n >2 ondersteld. Is »=3, dan levert de formule naar behooren voor het aantal dubbelpunten nul op; voor n—3 zijn er nog geen complementaire dubbel- krommen. *) Dit geldt ook nog voor n=2; alleen ligt dan het raakpunt voor ieder der beide genoemde raaklijnen in het oneindige. *) Voor n==2 levert de formule voor het totale aantal dubbelpunten en dus ook die voor het geslacht en de klasse de juiste uitkomst. Alleen de formule voor het aantal dubbelpunten in het oneindige wordt onjuist. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 30 Een in het eindige gelegen dubbelkromme Ci) heeft voor à > 2 de 2n singuliere raakvlakken tot 2"—*-voudige raakvlakken; voor 1—n — 1 liggen de raakpunten met de berde singuliere raakvlakken der aan de dubbelkromme complementaire volledige kromme van aan- raking in het oneindige. De n2"~' raakpunten zijn uniplanaire tweebladige punten der dubbelkromme 5). Ken dubbelkromme C(2) heeft de 2(n— 2) singuliere raakvlakken, behalve die door de gegeven lijnen ten opzichte waarvan de C(2) nulligging vertoont, tot 2"—*-voudige raakvlakken. De (n—2)2" 7" raakpunten zijn uniplanaire tweebladige punten der dubbelkromme. De 2" snijpunten met de vier overige singuhere raakvlakken zijn uniplanaire eenbladige punten (klempunten) der dubbelkromme; van deze punten liggen er 2"~* op ieder der vier snijlijnen van telkens twee niet-toegevoegd onbestaanbare dier singuliere raakvlakken ?). Alle dubbelkrommen, zoowel die in het eindige als die in het oneindige, hebben dus n2"~' uniplanaire punten). Hen dubbelkromme, waarvan de complementaire kromme eveneens dubbelkromme is (dus een C(z) voor 1 Lin — 1, waarvoor natuur- lijk 2 > 3 zijn moet), heeft 2"~° dubbelpunten in het oneindige. 35. Aantal gemeenschappelike punten van drie sin- guliere krommen. We willen nu het aantal gemeenschappelijke punten P (r+s, sg, g-++r) van drie singuliere krommen C(r +5), C(s + 9) en C(q +r) bepalen. Deze gemeenschappelijke punten zijn die snij- punten der oppervlakken PEG Om NRSO TIEN 0, waarbij de wortelvormen van 7' in de drie vergelijkingen dezelfde teekens hebben, daar alleen dan uit deze vergelijkingen RSI, 5—= 0, Q=k volgt. De drie oppervlakken, die resp. van den graad 2f*9, 2°*” en 2°** zijn, hebben 2”** snijpunten, waarvan, als g > 0 is (en dus ook r>0, s > 0 wanneer we zooals steeds g<>3 ondersteld. *) Dit geldt ook nog voor n = 2; alleen is dan C(2) de dubbelkromme in het oneindige. *) Hier kan ook n —2 zijn. E 3* 36 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS wortelteeken identisch aan elkaar gelyk (hetgeen hierop neerkomt, dat men alle gegeven lijnen den bolcirkel laat snijden), dan vallen de drie vergelijkingen 7+Q—C, T+ R=C en T+S8=—Cin resp. 2°49, 2'+” en 2’+* lineaire vergelijkingen uiteen. Van deze mag men slechts, om snijpunten der drie dubbelkrommen te krijgen, die drietallen combineeren, die in de teekens van 7' overeenstem- men, aan welken eisch door 2°t?*+”™+s’ — 2” drietallen voldaan wordt; deze drietallen leveren even zoovele snijpunten der drie dubbelkrommen op. Is echter 9 —0, dus Q identisch nul, dan vermindert het aantal gemeenschappelijke punten der drie krommen tot 2"~7, daar men dan bij omkeering van alle teekens van ZX in de vergelijking 7'+ k= C hetzelfde snijpunt blijft behouden, evenals bij omkeering van alle teekens van 8 in 7+ 8=C. Ook zonder de lineaire functies w‚ , w‚ ‚ enz. gelijk te nemen kan men het aantal 2”~* voor 9 —0 gemakkelijk voor den dag brengen. De gezochte snijpunten zijn nl. de snijpunten der oppervlakten 7= C, S=), R==0, die vaarden: graad 2', 2°=Ven02 in alee gitr+s—2 — 9"? snijpunten dier oppervlakken voldoen, zooals onmiddellijk te zien is, ook aan R= S, 74+ R—= Cen T+ S=C. Is (behalve 7 = 0) r= 1, dan moet men, om voor & = 0 een opper- vlak van den graad 2"~' te krijgen, daaronder slechts een der beide singuliere raakvlakken verstaan. Neemt men echter, overeenkomstig de afspraak, voor de singuliere kromme 7 + S= C, R= 0 de vol- ledige kromme van aanraking, dan wordt het aantal gemeenschap- pelijke punten 2"~'; voor r—s— 1 wordt dit aantal 2”. We komen dus tot het volgende resultaat: Het aantal gemeenschappelijke punten P(r+s, s+-q, 7-7) (g0O ts, in welk geval de drie krommen in het eindige gelegen dubbelkrommen zijn. Het aantal gemeenschappelijke punten P(r +-8, s, r) van drie singuliere krommen C(r+s), C(s) en C(r) bedraagt 2"~* als r > 1 is, in welk geval de krommen eveneens dubbelkrommen zijn, waar- van er nu echter een de kromme in het oneindige zijn kan. Het aantal gemeenschappelijke punten P(s+-1, s, 1) van drie singuliere krommen O(s+-1), C(s) en C(1) bedraagt 2"~* als s>l is; twee der singuliere krommen zijn dan dubbelkrommen, waarvan er een die in het oneindige zijn kan; van de 2"~" snijpunten dier dubbelkrommen liggen er 2"? op de eene en 2"~* op de andere kromme van aanraking, waaruit de volledige kromme van aanraking C(1) bestaat. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 37 Het aantal gemeenschappelijke punten P(2,1,1) van drie singu- here krommen C(2), C(1) en C'(1) bedraagt 2"; ieder der deel- krommen van C(1) snijdt ieder der deelkrommen van C'(1) in 2"~? punten; deze 4 groepen van 2"~* punten liggen alle op de dubbel- kromme C(2)}). 36. Aantal singuliere puntgroepen. De punten P(i,7,%), die snijpunten zijn van een zelfde drietal singuliere krommen *), zullen we een singuliere puntgroep noemen. De vraag naar het aantal puntgroepen P(r+-s, sg, g-+7) is dezelfde als die naar het aantal manieren, waarop we uit 2 gegeven lijnen drie groepen van g, 7 en s lijnen kunnen aanwijzen. We vinden dus: Het aantal singuliere puntgroepen P(r 4+-s, s-+-9, q + r) bedraagt: n! OT ES alle verschillen, gir! st t 1 n! TE als twee der drie getallen q, r, s gelijk zijn en 2 gl!) § / n! 1 ARE + TT Merin is t—=n—g—r—s. Het totale aantal singuliere puntgroepen is dus n! Br glylslel waarbij men aan g, 7, s en ¢ alle mogelijke geheele, niet-negatieve waarden (ook die waarvoor g >>r is, enz.) moet toekennen, waar- voor g+7-+s-+ =n is, terwijl geen twee der drie getallen g, r, s nul mogen zijn. Nu is: nl CP oT rl sf ici vie DRE pe y era, dus: Het totale aantal singuliere puntgroepen bedraagt Re) (= Wy. *) Dit geldt ook voor n — 2; alleen is dan C(2) de dubbelkromme in het oneindige. *) De beide krommen van aanraking met twee toegevoegd onbestaanbare singuliere raakvlakken als één kromme beschouwd. 38 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 37. Verschillende soorten van singuliere puntgroepen. Puntgroepen, waardoor een volledige kromme van aanraking en twee dubbelkrommen gaan, krijgt men voor g=0,r—lens>1. Het aantal dier puntgroepen bedraagt dus s=n-—1 s=n—1 —————_=” > (#—1),—2(2"-1—~n»), sag S!n—s— 71! a waaronder z puntgroepen, waarvoor een der dubbelkrommen de dubbelkromme in het oneindige is. Het aantal puntgroepen, waardoor twee krommen van aanraking gaan (90, SA) ebedraagt tn(n—1); de derde singuliere kromme is een dubbelkromme, die voor u > 2 in het eindige ligt. Voor het aantal puntgroepen, waardoor drie dubbelkrommen gaan, blijft dus over 4(2”— DRT 1) —2(2"-*—a)— fa(a—1)= = 4(2°"-* EI) (a + 1)(2"— 7). Mieronder zijn etn puntgroepen, waarvoor een der dubbelkrommen in het oneindige ligt (g = ¢= 0), zoodat er EREN in het eindige gelegen puntgroepen, waardoor drie dubbelkrommen gaan, overblijven. Zulk een puntgroep bestaat uit 2” punten, be- halve als. g=0 is, in welk geval de puntgroep uit 2"”~* punten bestaat; voor het aantal groepen van 2”~* punten vindt men FES) de He 3)(2"—— 2), zoodat er voor het aantal groepen van 2” punten overblijft: 1 DD 1) —4(8" — 2). Het resultaat is dus: De wit 2" punten bestaande singuliere puntgroepen zijn: i (2°"— 1) — 4(8"— 2") in het eindige gelegen puntgroepen, waardoor drie dubbelkrommen gaan (g > 0) 5”); *) Als steeds is q Sr 1, s1, s=n—r)®). Soe antatkempwmten ery, Pa, Pien Pe. Uit het voorgaande volgt: Het oppervlak heeft de volgende snijpunten van drie singuliere krommen: Qn (ET — 1) —8" T1 An nh in het eindige buiten de singuhere raakvlakken gelegen drievoudige punten Pen. 27); 2° (2"— —n — 1) in het oneindige buiten de singuliere raak- vlakken gelegen viervoudige punten P, (zie n°. 28); nor (2" 1 —n— 1) in slechts één singulier raakvlak in het eindige gelegen uniplanaire tweebladige dubbelpunten P, (ue n°. 29); n2"—"' op de lijnen in het oneindige der singuliere raakvlakken gelegen uniplanaire tweebladige dubbelpunten P, (zie n°. 30); n(u—1)2"~* op de snijlijnen van niet-toegevoegde singuliere raak- vlakken gelegen uniplanaire eenbladige dubbelpunten P. (zie n°. 31)°); dus te zamen 2"—*{4(2°"— 1)— 8" +" (n+ 2)2"-+-n?— 38n+-1} snijpunten P van drie singuhere krommen. Hierin is 2 > 2 ondersteld. *) Voor n=? ligt de puntgroep in het oneindige. *) Voor n — 3 levert dit naar behooren nul. *) Hiervoor moet n > 2 zijn. : *) Voor n=3 of n=4 levert dit naar bekooren nul. 5) Op ieder der 2n(n—1) snijlijnen van door verschillende gegeven lijnen gaande isotrope vlakken liggen 2”? punten P,; in ieder singulier raakvlak liggen (n — 1) 2 —1 punten P,. 40 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 39. Aantallen punten P gelegen op de singuliere krommen. We willen nu nagaan hoeveel der 5 soorten van punten P op een singuliere kromme C(z) gelegen zijn. Het totale aantal op C(t) gelegen singuliere puntgroepen bedraagt 2"-*— 1. Immers er zijn 2” — 1 singuliere krommen; nu wordt C(7) door ieder der 2” — 2 andere singuliere krommen volgens een singuliere puntgroep gesneden, waarbij echter telkens twee singuliere krommen dezelfde puntgroep opleveren. Gaat men nu verder na hoe deze puntgroepen over de verschillende soorten van singuliere punten verdeeld zijn, dan komt men tot het volgende resultaat: Op een dubbelkromme Ci) Uggen als 2 3 ús: 2n(2? — 1) + 2" (27 — a) = 2" (5.2 * —n— 4) punten P, , oT" punten pe, (x — 2)2"~" punten P,, 2" punten P, en geen punten P,, dus te zamen 2"~°(5.2"—*-+-n— #3) punten P. Op een dubbelkromme C(n—1) liggen als n> 3 is: 2-25, 2"~* —_n—4) punten P,, (2 —1)2"7" punten P;, 2" punten P, en geen punten P, en Ps, dus te zamen 2"7°(5.2"*Ln—4) punten P. Op de dubbelkromme in het oneindige liggen: 2r—2(2"~1__»— 1) punten Ps, ne" punten P, en geen punten P,, P, en Po, dus te zamen 2"7?(2" + n — 1) punten P. Op een afzonderlijke kromme van aanraking hygen: PTR" TE nl) punten Ps, orn punten Bis (2 —1)2"—" punten P, en geen punten P, en Bo, dus te zamen 2"7*(2"7" + n— 2) punten P. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ, 41 Voor het geval, dat » — 3 is, worden de resultaten gewijzigd en aangegeven door het volgende diagram: DN ray) D D D Dare fas I cones ae rage. chs 8 0 0 | 12 | 24 | 44 Hierin staat uitgedrukt, dat er op ieder der 6 afzonderlijke krommen van aanraking 2 der 12 punten P,, 8 der 24 punten P, en geen punten P,, P, en P, liggen, dus te zamen 10 der 44 punten P, enz. Uit de algemeene resultaten vindt men voor z= 4 het diagram: Pa Pie Poa Pr LP AP 160| 12 | 96 | 32 | 96 | 396 COS SO 0) 12 | 4 | 24 | 40 C2) 6 48 | 4 16 | 0 | 16 | 84 Cod AS ED Lea | 8 | 0 | 80 CAN BONE, 0 | 32 | 0 | 44 en voor Z —= 5: GOO ede $0} S BA | 152 Gal MOAB 8 Aan eerd | 32 | 336 CB) SOS 28811 78. 1.480 0 0 | 376 C(4) 5 | 248] 0 | 64 | 16 0 | 328 AU er Os 38.0 0 SO 20s) 160 42 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 40. Wijziging der voorgaande resultaten voor C— 0. De voorgaande resultaten ondergaan een wijziging als C— 0 is. De singuliere krommen zijn in n°. 24 voor dat geval opgesomd. Drie singuliere krommen, die tot vergelijkingen hebben : RED PRD T+ S=0, Q=R, hebben een singuliere puntgroep gemeen. Hierbij kunnen we zonder beperking ¢<¢y Oram Voor gegeven waarden van gq, r, s en € bedraagt het aantal n! zijn 2, 3, 4 of 2 paar dier getallen gelijk, dan moet dit aantal door 2!, 3!, 4! of 2! 2! gedeeld worden. Is t>0, dan zijn de drie singuliere krommen dubbeltkrommen. Door een snijpunt dier drie krommen gaan drie bladen van het oppervlak behoorend bij de teekencombinaties : —Q+ 4+ S+T7T=—0, Q—k+S8S+7=—0, Q+ kR—S+ T=0. De drie dubbelkrommen leveren een uit 2"~"* punten bestaande singuliere puntgroep. Het aantal dier singuliere puntgroepen (voor alle van nul verschillende waarden van g, 7, s en ¢) bedraagt zr — 4.8" 6.2"—4). Dit geeft 4£(2°"-?— 3" + 3.2"-*—1)2"~? singuliere punten, waar zich dezelfde bijzonderheden voordoen als bij de in n°. 27 beschouwde punten en die we daarom ook nu punten P, zullen noemen. Is t—=0 en g>1 (dus ook r en s>1), dan zijn de singuliere krommen eveneens dubbelkrommen, maar deze hebben dubbelpunten in de snijpunten. Door zulk een snijpunt gaan vier bladen van het oppervlak, nl: singuliere puntyroepen als g, r, s en t alle verschillen; Q+Rk+8=0, QR 80, QR) ORS 0; De drie dubbelkrommen hebben nu 2"~° snijpunten. Het aantal van zulke singuliere puntgroepen bedraagt Ligt dwdd. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 43 Dit geeft \38"~*—(w+ 2)2” t+ nr? +n+1)2"-* singuliere punten P, (vergelijk n°. 28) 5). Is. t=0,.¢=1, 7>T (dus ook >) dames cen der“ sin- guliere krommen een volledige kromme van aanraking, de beide andere zijn dubbelkrommen. In de 2"~° snijpunten vertoonen zich dezelfde bijzonderheden als de in n°. 29 beschrevene. Het aantal van zulke singuliere puntgroepen bedraagt: n (2-7). Dit geeft n(2"~*—n)2"~* singuliere punten Ps. fs t=0, g=r=l, s>1, dan zijn twee der singuliere krom- men volledige krommen van aanraking, de derde is een op een hyper- bolische paraboloide gelegen dubbelkromme. In de 2"~* snijpunten vertoonen zich dezelfde bijzonderheden als in n°. 31. Het aantal dier singuliere puntgroepen bedraagt Fnln—l), te zamen bevattende nu—l)2"=* singuliere punten P, ?). Omtrent de singuliere krommen heeft men: Een afzonderlijke kromme van aanraking heeft de 2(n— 1) snijlijnen van haar vlak met de niet-toegevoegde singuliere raakvlakken tot 2"~*- voudige raaklijnen. De kromme heeft (2"~*—n)2"~* dubbelpunten (snijpunten met dubbelkrommen) ex is dus van het geslacht (n— 3) 21-31 1 en van de klasse (n—1)2”"-?. Een dubbelkromme C(t) heeft voor 20, dan kan die graadvermindering miet meer bedragen. 43. Voorwaarde voor verdere graadverlaging als DAS. Is echter C— 0, dan kan een nog verdere graadverlaging intreden doordat een der irrationale factoren door 7? deelbaar wordt. Hier- voor is noodig, dat voor ieder der m groepen van gegeven lijnen met bepaalde teekencombinatie, waarbij echter even veel positieve als negatieve teekens gekozen moeten worden, identisch voldaan is aan de vergelijking ZE + wie; + w; c)— 0, dus voldaan is aan | ete Ede; =—=0. Men moet dus b.v. hebben: ate Heert tt alt een ! ! LA LA ! oi horn Py, arta atten ee Cop+1 Ae Cx, 42 aE MAT ORG a5 C2p, pa ©2p,+p.+4 = Capo2 | S QU =a C2p,+2py enz. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 47 Deze voorwaarden drukken uit, dat de evenwijdige gegeven lijnen van een zelfde groep evenwichtsligging vertoonen, waarmede we bedoelen, dat het mogelijk is langs die evenwijdige Mijnen gelijke krachten (in de eene of de andere richting) zoo te leggen, dat ze evenwicht maken. Natuurlijk kan het ook voorkomen, dat een groep van gegeven lijnen op meer dan één wijze evenwichtsligging vertoont, waarvoor dan noodig is dat de groep in twee deelen te splitsen is, zoodanig dat zich bij ieder deel afzonderlijk evenwichts- ligging voordoet. Voor C=0 treedt dan en alleen dan een nog verder graad- verlaging dan de in n°. 42 opgegevene in, als ieder der m groepen van onderling evenwijdige lijnen evenwichtsligging vertoont. 44. Het analoge oppervlak voor x gegeven punten. Terwijl graadverlaging bij het oppervlak, dat we in dit hoofd- stuk bestudeerd hebben, een bijzonderheid is, is het voor # even regel bij het volgende vraagstuk: | De m. pl. le onderzoeken der punten, waarvan de som der afstan- den tot n gegeven punten een standvastige waarde C heeft. Voor dit oppervlak, waarmede we ons in het verdere gedeelte van deze paragraaf zullen bezighouden, krijgt men soortgelijke resul- taten, waarom we daarop niet verder ingaan. Alleen zij het vol- gende opgemerkt: Het oppervlak heeft eemge bij verschillende teekencombinaties behoorende bladen, die elkaar doorsnijden kunnen, maar die in het algemeen geen bestaanbare singulariteiten vertoonen. Gaat het opper- vlak door een gegeven punt, dan heeft het in dat punt een kegel- punt), waar bij verschillende teekencombinaties behoorende bladen samenhangen; de raakkegel in zulk een kegelpunt is van omwenteling ?). *) Dit blijkt o. a. uit de vergelijking van het oppervlak. Deze is in irrationalen vorm VASE Eek 1/2, — 0, waarin v, —0, v, —0, enz. bolkegels zijn. In rationalen vorm luidt de vergelijking DRA (Gps. ONT g Wy Van esl, Chi 0; waaruit men onmiddellijk ziet, dat, als de top van den bolkegel v, —0 op het opper- vlak ligt, dit punt dubbelpunt van het oppervlak is. *) Dit blijkt weer gemakkelÿk uit de vergelijking. Daaruit ziet men, dat de bol- kegel v, —0 het oppervlak volgens een kromme aanraakt, nl. de doorsnede van dien bolkegel met het oppervlak g(v, v,...v,, C) —0. Deze kromme van aanraking heeft in den top van den bolkegel een dubbelpunt, waaruit blijkt, dat de raakkegel in dien top den bolkegel volgens twee beschrijvende lijnen aanraakt en dus een omwentelingskegel is. Tot hetzelfde resultaat komt men meer meetkundig aldus. Zijn P,, P,, ..., P, de gegeven punten, Q een willekeurig punt en QP,=r We verplaatsen Q naar een 48 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS Voor voldoend groote waarde van C heeft het oppervlak een convex gesloten blad, waar de som der absolute afstanden gelijk aan Cis 5. Dit blad ontwikkelt zich voor een zekere waarde van C uit een punt, dat zoowel in een der gegeven punten als daarbuiten kan liggen*)®). Neemt C toe dan breidt dit blad zich wit om telkens bij het passeeren van een gegeven punt een kegelpunt te krijgen en weer te verliezen. 45. Aan de x punten worden coëfficiënten toegekend. Voor # oneven is het in het vorige nummer beschouwde opper- vlak, evenals dat voor z gegeven lijnen, van den graad 2". Is » even dan heeft er echter, ook in het algemeen, graadverlaging plaats. Voor # gegeven lijnen kan men zich van graadverlaging naburig punt Q’ en noemen de verplaatsing Al, hare componenten Ax, Ay, Az en de vermeerdering, die 7; daardoor ondergaat, Ar; Zijn x, y, z de coördinaten van Q, x;, Yip Zj die van P‚, dan is als Q van P, verschilt bij eerste benadering: _ Arle) + Ay (y—y;) + Az(z—z;) ee [Aw (r—x;)| ri Vi Ar i terwijl als Q met b.v. P, samenvalt Ar, = Al = V/(ax)* + (ay)* + (a2)? is. Liggen Q en Q’ beide op het oppervlak, dan is + An, ct An, seis mieteren SAP dus als Q in P, valt: (Ar)? + (Ay)? + CO —— eae le nd (i Tea 2 Dit stelt met Aw, Ay en Az als loopende coördinaten de vergelijking van den raak- kegel in P, voor. Die verg. is van den vorm (Ax)? + (Ay)? + (Ac)? = (L aw + M Ay + Naz)’, waaruit weer blijkt, dat de raakkegel den bolcirkel tweemaal aanraakt. Zijn L, Men N de componenten van een vector, die een grootte D heeft en een hoek + met de verplaat- sing Al maakt, dan gaat de vergelijking van den raakkegel over in D cosa =d. Hieruit blijkt, dat de raakkegel onbestaanbaar is voor D<<1. Is D>1, dan krijgt men een bestaanbaren kegel met den vector D als omwentelingsas en een halven tophoek 1 Bg cos —, g cos D *) Dit blijkt weer onmiddellijk door het verloop der functie S (som der absolute afstanden) op een willekeurige rechte lijn te beschouwen. :S is in één punt van die lijn minimaal. 5) Zie b.v. R. Sturm, Ueber den Punkt kleinster Entfernungssumme von gegebenen Punkten, Crelle’s Journal Bd. 97 (1884), S. 49— 61. *) Uit het verloop der functie S op een willekeurige rechte blijkt onmiddellijk, dat S in slechts één punt een minimale waarde heeft en daar alleen dan een stationaire waarde heeft als dit minimum-punt buiten de gegeven punten valt. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 49 steeds rekenschap geven door die lijnen van uit den algemeenen tot den bijzonderen stand te laten naderen, waarbij dan eenige bladen van het oppervlak naar het oneindige verschuiven. Voor x gegeven punten P,,..., P, kan men de graadverlaging niet op die wijze zichtbaar maken, maar daartoe moet men de vraag uitbreiden door aan de gegeven punten coëfficiënten #, toe te voegen om er de afstanden tot die punten mede te vermenig- vuldigen. Daardoor wordt afsplitsing van het oneindig verre vlak tot een bijzonderheid, die zich alleen voor doet als er tusschen de coëfficiënten een bepaalde betrekking bestaat. De irrationale vergelijking van het oppervlak luidt: A Elie. AN Daar de bolkegels wv, = 0, v, — 0, enz. alle dezelfde doorsnede met het vlak in het oneindige (r = 0) hebben, bestaat de moge- lijkheid, dat de coëfficiënten f, zoodanige waarden hebben, dat een der irrationale factoren der rationale vergelijking voor 7 = 0 een identiteit wordt. Om dit nader te onderzoeken ontwikkelen we Wv, naar op- klimmende machten van 7. Zijn à, y;, 2 de coördinaten van der is D = [0®] — 2 [any] Ho)? dus; — — |, Gal. (eg +20) gege) | = Tel lr ae End Eke Vv [ ij [z?] a 2 ap | Een der irrationale factoren wordt door 7 deelbaar, als voor de een of andere teekencombinatie voldaan is aan: aen Jee Is dit het geval, dan is aan die vergelijking nog voldaan als men alle teekens omkeert, waaruit blijkt dat het aantal ideaal door 7 deelbare irrationale factoren steeds even is. Voor den coëfficiënt van 7 in de ontwikkeling van een irratio- nalen factor vindt men: it eee ae Efe + YYs 1 22) — ©. Deze coëfficiënt kan als CAO is niet identisch verdwijnen, zoodat dan geen der irrationale factoren ideaal door een hoogere dan de eerste macht van 7 deelbaar zijn kan. Hieruit volgt: Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (Eerste Sectie DI. IX). E 4 50 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS De m. pl. der punten, waarvan de som der met f; vermenig- vuldigde afstanden tot n gegeven punten P, (i= 1, 2, ..., 2) een standvastige waarde C heeft, is voor C40 in het algemeen een oppervlak van den graad 2". Voor bijzondere waarden der coéffi- ciénten splitst zich het vlak in het oneindige een even aantal malen van het oppervlak af (m.a.w. wordt de graad van het oppervlak met een even bedrag verlaagd), en wel zooveel maal als het auntal teekencombinaties bedraagt, waarbij aan de vergelijking Se Sy naga ER AUS cee eee voldaan is. 46. Graadverlaging als de coëfficiënten de eenheid zijn. Is, zooals we in het volgende weer onderstellen, fi ==... al dan kan aan de vergelijking Ee atd SEA alleen voldaan worden als » even is en wel door evenveel + als — teekens te kiezen, dus op (7),, manieren. Hieruit volgt: De m. pl. der punten, waarvan de som der afstanden tot n ge- geven punten standvastig is, is voor n oneven een oppervlak van den graad 2" met dubbelkromme in het oneindige, voor n even een opper- vlak van den graad 2" — (u), „ zonder dubbelkromme in het onein- dige. Een nog verdere graadverlaging kan als CA 0 is met intreden. 47. Verdere graadverlaging voor C— 0. Is C—0, dan is het oppervlak voor z oneven van den graad 2"=t en voor » even in het algemeen van den graad 2"—* — (x)... Voor het intreden van nog verdere graadverlaging is noodig, dat oo minstens een der irrationale factoren door 7* deelbaar is, hetgeen het geval is als voor evenveel —- als — teekens identisch voldaan is aan = + (we, + yy, + 22) = 0. Uit deze vergelijking volgt: Bons al DM 2:20, waarbij de teekencombinaties in de drie vergelijkingen dezelfde zijn. Deze vergelijkingen drukken uit, dat de gegeven punten evenwichtsligging vertoonen, d. w.z. dat door die punten getrokken ee en ee eee —— : DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 51 evenwijdige lijnen voor iedere richting dier lijnen evenwichtshgging bezitten (mie n°. 43) of dat men die punten zoo in twee even tal- rijke groepen kan verdeelen, dat beide groepen hetzelfde zwaartepunt hebben. We vinden dus: De m. pl. der punten, waarvan de algebraische som der afstanden tot n gegeven punten (n even) nul is, is alleen dan van lageren dan van den graad LE 5 — (2), n als de gegeven punten evenwichtsligging vertoonen. Natuurlijk kan het ook voorkomen, dat de gegeven punten op meer dan een wijze evenwichtsligging bezitten. 48. Bijzonder geval x — 4. Zijn (zooals steeds ondersteld wordt) de gegeven punten alle verschillend, dan kan evenwichtsligging dier punten eerst optreden als # minstens 4 is. Voor x — 4 is daarvoor noodig, dat de vier gegeven punten de hoekpunten van een parallelogram vormen. Is C= 0, dan zijn er van de acht irrationale factoren twee door 7 en één door 7? deelbaar, zoodat het oppervlak van den graad Du 2 — 2 = 4 wordt). Het oppervlak kan van geen lageren dan den 4°" graad worden. Immers daartoe zou noodig zijn, dat de door 7? deelbare irratio- nale factor door 7° deelbaar wordt. Nu is de coëfficiënt van 7? in de ontwikkeling van dien factor ay de La? (yi? + oe 7 2 [y 23 zi] Pa Deze coëfficiënt is alleen dan identisch (d. w.z. voor alle waarden van æ, y en z) nul als men heeft Sa ena 272, — 05 enze; waarbij de teekens (twee +- en twee — teekens) dezelfde moeten zijn als in de vergelijkingen 2 + +, — 0, enz. Nu kan men het assenstelsel zoo kiezen, dat men heeft A = 2%, = 2, = 2,— 0, VA =4= 9, Lo —= — A, L4 = — V3, Ya = — 93 Dan is Pie Lo aa — #, OF ENZS *) Is het parallelogram een rechthoek, dan bestaat dit oppervlak uit de beide vlak- ken, die de zijden van den rechthoek loodrecht halveeren, ieder vlak tweemaal geteld. 4% 52 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS zoodat de vergelijkingen, die het nul zijn van den coéfficiént van Tr? uitdrukken, overgaan in: 2 zee gang we es RT 93 = 0, T3 Y3 — 9, waaraan als de vier gegeven punten verschillen niet kan worden voldaan. We vinden dus: Is n— 4 en C=O, dan is het oppervlak in het algemeen van den 5°" graad, echter van den 4%" graad als de vier gegeven punten de hoekpunten van een parallelogram zijn, terwijt het opper- vlak niet van nog lageren graad worden kan. § 8. GRAADVERLAGING DER VLAKKE DOORSNEDEN VAN HET OPPERVLAK VOOR % GEGEVEN LIJNEN. 49. Voorwaarde voor afsplitsing van een plat vlak. We keeren weer tot ons oppervlak voor 2 gegeven lijnen terug en onderstellen, dat de in de vorige paragraaf besproken bijzonder- heid van graadverlaging zich niet voordoet, dus dat de verschillend onderstelde gegeven lijnen met twee aan twee evenwijdig zijn. In n°. 22 hebben we voor de irrationale vergelijking van een vlakke doorsnede van het oppervlak geschreven Ws, HQE PACA UT + Wss, = C. Deze verg. kan alleen dan een identiteit worden als de rationale termen tegen elkaar wegvallen en de irrationale termen elkaar twee aan twee opheffen. De rationale termen worden, behalve door C, opgeleverd door de gegeven lijnen, die in het vlak VY der doorsnede liggen. Is het aantal dier lijnen 7 (waarin natuurlijk ook : — 0 zijn kan), dan wordt de vergelijking der doorsnede EE te ae ee geet + ,s,—=0, waarin s,,, en s;,, niet identiek gelijk zijn, evenmin s,,, en s’;,5, enz. Natuurlijk kan het ook voorkomen, dat de rationale termen elkaar met verschillende teekencombinaties der eerste 7 termen opheffen. De irrationale termen heffen elkaar twee aan twee op (b.v. de à + 1 en de i+ 2% term, de 7+ 3% en de 2 + 4% term, enz.) als de lijnen s,,, en s;,4 identisch zijn met de lijnen s,,, en Six, de lijnen, ss en „A .fadentischimet werner ens enr ns RTE LH: DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 53 iets dat alleen het geval is als de x — 2 (x — à even) met in V gelegen gegeven lijnen twee aan twee symmetrisch ten opzichte van V liggen. Het wegvallen der irrationale termen heeft dan voor 2?“ ~" verschillende teekencombinaties dier termen plaats. We vinden dus: Het oppervlak kan alleen dan een plat vlak bevatten als de gegeven lijnen, die met in dit vlak biggen, twee aan twee symme- trisch ten opzichte van dit vlak verloopen. Bovendien is dan echter noodig, dat voor veder punt van het vlak voor minstens één teeken- combinatie de algebraische som der afstanden tot de à in het vlak gelegen gegeven lijnen de waarde C heeft. 50. Voorwaarde voor graadverlaging eener vlakke doorsnede. Zonder onbepaald te worden kan de doorsnede met het vlak Y ook van lageren dan den 2” den graad worden. Dan zal bij teder aan V evenwijdig vlak graadverlaging voorkomen, zoodat we bij het opzoeken der voorwaarde voor die graadverlaging steeds het vlak / zoo kunnen aannemen, dat het niet door een gegeven lijn gaat en de vergelijking dus behalve C geen rationale termen bevat. Maken we nu weer de vergelijking der doorsnede door invoering van 7 homogeen, dan heeft er graadverlaging plaats als minstens een der 2” irrationale factoren voor 7 — 0 een identiteit wordt. Wanneer het vlak / aan 7 gegeven lijnen evenwijdig loopt, worden à wortelvormen voor 7 = 0 rationaal. Onderstel nu weer, dat die rationale termen elkaar bij een bepaalde teekencombinatie op- heffen. De overige termen heffen elkaar voor t — 0 op als de lijnen s,,, en s',,, evenwijdig zijn aan de lijnen s,,, en s;,2, enz. Hieruit leidt men gemakkelijk af: De doorsnede van het oppervlak: met een vlak V ondergaat een graadverlaging, m.a.w. bevat een of meer malen de lijn in het oneindige van dit vlak, als langs de aan V evenwijdig loopende gegeven lijnen eenheidsvectoren gelegd kunnen worden, waarvan de som nul is, en de overige gegeven lijnen twee aan twee parallel zijn of antiparallel ten opzichte van V. Met antiparallel ten opzichte van V is bedoeld, dat de eene lijn evenwijdig is aan het spiegelbeeld van de andere in V. ie bijzondernseval 2 — 2. to Aan de bovengevonden voorwaarde is, behalve voor «== o alleen bij bijzondere ligging der gegeven lijnen voldaan. 54 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS Is echter » — 2, dan zijn er steeds twee onderling loodrechte vlakstellingen (evenwijdig aan den kortsten afstand der gegeven lijnen) aan te wijzen, waarvoor de voorwaarde vervuld is, zoodat voor n==2 de dubbelkegelsnede in het oneindige in twee rechten ontaardt, waarvan de bijbehoorende vlakstellingen loodrecht op elkaar staan 5); deze dubbellijnen in het oneindige zijn diagonalen van de volledige vierzijde gevormd door de raaklijnen uit de punten in het oneindige der gegeven lijnen aan den bolcirkel getrokken. Voor tedere waarde van x, die > 2 is, kan de dubbelkromme in het oneindige een of meer rechten bevatten, waarvoor echter steeds een bijzondere ligging der gegeven lijnen noodig is. In n°. 53 komen we daarop voor de gevallen # — 3 en 2 = 4 terug. 52. Bedrag der graadverlaging eener vlakke doorsnede. We willen nu het bedrag der graadverlaging van de doorsnede met een vlak VY opzoeken. Hierbij zullen we alleen het oog hebben op die graadverlaging, die voor alle aan V evenwijdige vlakken bestaat, m.a.w. we bepalen de multipliciteit van de lijn in het oneindige van V als lijn van het oppervlak. We kunnen dus weer onderstellen, dat V niet door een gegeven lijn gaat, maar aan 7 gegeven lijnen evenwijdig loopt. De irratio- nale verg. der doorsnede wordt dan: Wss, -|- Wss, +....+ Vs, + Asie = + De ose Le APS ITS waarbij 8, evenwijdig aan s,, L So 2 22 So, 1 §; LE DE Si, / Si gy CS Ge 9) 2S; ee (ENS gulps Si 43 en § 543 ” ” Si44 en Sita, MOET cee Sey OURS . : Ge CTS 35 ay Shy en §,. Stellen we nu evenals in n°. 41 s,=w,+¢,7 en S= Wij + €,7 (waarin w, met w’, identisch is voor 4 — 1, 2,..., 4, terwijl wigs en w;4, identisch zijn met w,,, en w,,., enz), dan blijkt, *) Dit ziet men ook direct door op te merken, dat de kromme in het oneindige niet verandert als meo de gegeven lijnen evenwijdig verschuift totdat ze elkaar snijden en C=0 neemt. OO eo SION ET AT al bs mk ep ble EE =P DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 29 dat een der irrationale factoren alleen dan ideaal door 7 deelbaar is als met de een of andere teekencombinatie identisch voldaan is aan BEA Wy = OUR Stel dat dit voor 7 teekencombinaties het geval is (7 even). De n—z niet aan V evenwijdige gegeven lijnen zijn, als er graadverlaging intreedt, twee aan twee parallel of antiparallel ten opzichte van V, of algemeener die # — 7 lijnen vervallen in m groepen van 2p,, 2p,,...., 2p, lijnen, zoodanig dat de lijnen van een zelfde groep parallel of antiparallel zijn, de lijnen van verschillende groepen echter niet. In dat geval bestaat de deel- baarheid door 7 voor On a eee CPE irrationale factoren. Wanneer nu de gegeven lijnen geen andere bijzonderheden in ligging vertoonen dan die welke op de richting dier lijnen betrek- king hebben, dus geen bijzonderheden, waarbij de grootheden c, en c, betrokken zijn, is geen der irrationale factoren door een hoogere dan de eerste macht van 7 deelbaar, zoodat de rationale verg. door CP Ge D ACE en door geen hoogere macht van 7 deelbaar wordt. Ditzelfde geldt natuurlijk voor ieder vlak evenwijdig aan //, zoodat we vinden: Kan men op j manieren langs de i aan een vlak V evenwijdige gegeven lijnen eenheidsvectoren zoo leggen, dat hun som nul is'), en vervallen de n —i niet aan V evenwijdige gegeven lijnen in m groepen van 2p,, 2ps, ..., LP parallele of antiparallele lijnen, dan is de lijn in het oneindige van het vlak V een J (2p, De (2 Do)», COORONG ( Dre voudige lijn van het oppervlak. Hierbij is ondersteld, dat de ge- geven lijnen alleen wat hun richting aangaat een bijzondere ligging vertoonen. bd. Toepassing op de gevallen 7 —3 en #—4. Uit het voorgaande volgt: Voor n= 3 bevat de dubbelkromme in het oneindige een rechte als de gegeven lijnen evenwijdig aan een zelfde vlak loopen en zich *) Is i>0, dan is j steeds even. Is i=0O, dan moet men echter j — 1 stellen. 56 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS daarop als een gelijkzijdige driehoek projecteeren. De lijn in het oneindige van dit vlak is dan een dubbellijn van het oppervlak }). Verder vindt men : Voor n — 4 bevat de dubbelkromme in het oneindige alleen dan een rechte, als of twee der gegeven lijnen parallel zijn òf de ge- geven lijnen twee aan twee antiparallel zijn ten opzichte van een zelfde vlak”). In het eerste geval behooren tot de dubbelkromme in het on- eindige de lijnen in het oneindige der beide onderling loodrechte vlakken ten opzichte waarvan de twee niet evenwijdige gegeven lijnen antiparallel zijn. Deze lijnen in het oneindige zijn viervou- dige lijnen van het oppervlak. Een bijzonder geval van het voorgaande heeft men als drie ge- geven lijnen evenwijdig zijn. Er zijn dan twee vlakstellingen ten opzichte waarvan die lijnen antiparallel zijn aan de vierde gegeven lijn; de beide lijnen in het oneindige dier vlakstellingen zijn zes- voudige lijnen van het oppervlak. In. het tweede geval is de lijn in het oneindige van het vlak, ten opzichte waarvan de gegeven lijnen twee aan twee antiparallel zijn, een viervoudige lijn van het oppervlak. Maken de beide paren gegeven lijnen gelijke hoeken met dat vlak, dan vertoonen ze nog ten opzichte van een ander vlak (loodrecht op het eerste) antiparallele ligging en is ook de lijn in het oneindige van dat vlak een viervoudige lijn van het oppervlak. 54. Voorwaarde voor verdere graadverlaging der doorsnede. Het kan gebeuren, dat de gegeven lijnen in hunne onderlinge ligging nog andere bijzonderheden vertoonen, dan die welke alleen op de richtingen dier lijnen betrekking hebben, waardoor een of meer irrationale factoren door een hoogere dan de eerste macht van 7 deelbaar worden en dus de doorsnede een nog verdere graadverlaging ondergaat. Daarvoor is noodig, dat behalve aan *) Hieruit volgt echter niet, dat de lijn in het oneindige van het vlak V, waaraan de gegeven lijnen evenwijdig loopen, slechts éénmaal tot de dubbelkromme in het on- eindige behoort. Integendeel bestaat deze dubbelkromme uit den bolcirkel en de dubbel- tellende lijn in het oneindige van V (zooals zich gemakkelijk uit de rationale verg. van het oppervlak laat aantoonen); de beide bladen door de lijn in het oneindige van V raken het oneindig verre vlak aan. *) Een derde geval is nog dat de gegeven lijnen twee aan twee evenwijdig loopen. Dan wordt echter de graad van het geheele oppervlak verlaagd, iets dat we in deze § hebben uitgesloten. ah hes Foske 2 > sdi Akte oen ann prints heten me men a nd eee k ON ~ DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. Sr (WO He aie aes, EN ned voldaan is aan Ehle ey) EE 4 Cg) t-.-.-- +iG+e)= C%, 9 Gia € rin oot Cim Cain ir Gino 59.0 -—C j49p,=9°"), , LA , LA L / Gahan Cleary steem CA Cia, tom PC n= 07), enz. De eerste van deze vergelijkingen drukt im verband met Hw +....+w;=0 uit, dat de som der met bepaalde teekens genomen afstanden tot de projecties op het vlak VY der aan V evenwijdige gegeven lijnen voor ieder punt van VY de gegeven waarde C heeft; is deze voorwaarde voor een vlak / vervuld, dan is ze ook vervuld voor ieder vlak evenwijdig aan /. De beide laatste vergelijkingen drukken uit, dat de evenwijdige lijnen $44, S49, ...., 8,,, en evenzoo de evenwijdige lijnen ERS ek ‚Si rap, evenwichtsligging hebben (zie n°. 43), terwijl hetzelfde gelden moet voor iedere groep van parallele of antiparallele gegeven lijnen, wil er een ideaal door 7? deelbare irratio- nale factor zijn. We willen nu nagaan wanneer de deelbaarheid door 7? bij even- wijdige verschuiving van het vlak ” blijft bestaan, dus wanneer de multipliciteit der lijn in het oneindige van V als lijn van het oppervlak een verhooging ondergaat. Daartoe merken we op, dat de evenwijdige lijnen s,,;,, ...., 8:42», de doorsneden zijn van W met isotrope vlakken door een groep van parallele en antiparallele gegeven lijnen en dus in twee groepen 4 en B verdeeld kunnen worden, zoodanig dat de lijnen s van de groep 4 uit parallele gegeven lijnen ontstaan en evenzoo de lijnen s van de groep £, terwijl de gegeven lijnen van de groep 4 antiparallel zijn aan die van de groep B. By evenwijdige verschuiving van het vlak / blijft nu de onder- linge ligging van de lijnen s van de groep A dezelfde en evenzoo de onderlinge ligging van de lijnen s van de groep B, zoodat alleen de eene groep van lijnen s verschoven wordt ten opzichte van de andere groep. Bij die verschuiving blijft de evenwichtsligging BEREIDEN verden , Sitop, Alleen dan bestaan als de groepen A en B ieder afzonderlijk evenwichtsligging vertoonen. Daar ditzelfde *) De teekens moeten hier dezelfde genomen worden als in de vergelijking ER EEE tere = IE *) In deze vergelijkingen kunnen de + en — teekens cok anders verdeeld zijn, maar natuurlijk zoo, dat er evenveel + als — teekens voorkomen. 58 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS ook geldt voor de beide groepen, waarin de lijnen 8; 44, ...., 8:49 a vervallen, moeten de gegeven lijnen van de groep A evenwichts- ligging vertoonen en evenzoo die van de groep B. We vinden dus: Is aan de in n°. 52 genoemde voorwaarde voldaan, dan is de lijn in het oneindige van het vlak: V dan en alleen dan een meer dan RCH CED (2 Os voudige lijn van het oppervlak als voor minstens één teekencombinatie de algebraische som der afstanden tot de projecties op V der aan V even- wijdige gegeven lijnen voor ieder punt van V de waarde C heeft en ieder der m groepen, waarin de overige gegeven lijnen vervallen, uit twee stelsels van onderling everwijdige lijnen in evenwichtsligging bestaat 3). 55. Toepassingen. Wanneer we, zooals we in deze paragraaf steeds gedaan hebben, de gevallen uitsluiten, waarin de graad van het geheele oppervlak verlaagd wordt, kan de in het vorige nummer beschouwde bijzonder- heid zich niet voordoen als 2 = 2 1s. Is x — 3, dan doet zich die bijzonderheid voor als de drie gegeven lijnen evenwijdig aan een zelfde vlak 7 loopen en zich daarop als een gelijkzijdige driehoek met een hoogte C projec- teeren. Terwijl bij willekeurige hoogte van dien gelijkzijdigen drie- hoek de lijn in het oneindige van VY dubbellijn is, wordt ze voor een hoogte © een drievoudige hijn van het oppervlak. Daar voor evenwichtsligging minstens vier evenwijdige lijnen noodig zijn, kan zich de verdere graadverlaging der doorsnede van n°. 54 niet voordoen als » — 4 is. Voor grootere waarden van n doet die graadverlaging zich o.a. voor als alle gegeven lijnen evenwijdig aan een zelfde vlak VY loopen en de algebraische som der afstanden tot de projecties der gegeven lijnen op V voor ieder punt van V de waarde C heeft®). Voor x — 5, 6 of 8 is dit het eenige geval van verdere graadverlaging. Voor 2 — 7 heeft men verdere graadverlaging ook als drie gegeven lijnen evenwijdig aan een vlak / loopen en zich daarop als een gelijkzijdige driehoek met een hoogte C projecteeren en de vier andere gegeven lijnen de op- staande ribben van een parallelopipedum vormen; in dat geval is de lijn in het oneindige van V een 14-voudige hjn van het opper- vlak (voor willekeurige hoogte van den gelijkzijdigen driehoek een 2 (4), = 12-voudige lijn). *) Hier moet men natuurlijk ook het geval inbegrijpen, dat een groep slechts uit één stelsel van evenwijdige lijnen in evenwichtsligging bestaat. *) Voor n = 4 wordt dan de graad van het geheele oppervlak verlaagd. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 59 $ 9. Her OPPERVLAK VOOR TWEE GEGEVEN LIJNEN. 56. Algemeene beschouwingen. Bij het oppervlak, dat de m. pl. is der punten, waarvan de som der afstanden tot x gegeven lijnen standvastig is, vormt het geval x — 2 in sommige opzichten een uitzondering, waarom we dit geval nog eens afzonderlijk en wat uitvoeriger willen behandelen. Zij 2% de kortste afstand der niet evenwijdig onderstelde gegeven lijnen Z en Z en zijn A, en A, de eindpunten van den kortsten afstand. Dien kortsten afstand nemen we als z-as van een recht- hoekig assenstelsel, terwijl we de a- en y-as door het midden O van den kortsten afstand nemen gelijke hoeken makend met de gegeven lijnen. Is Za de hoek tusschen de gegeven lijnen, dan hebben die tot vergelijkingen NE à / 1 ly=alya, 2 De vergelijking van het oppervlak is dan V \asina— y cos a)? +- (2 — k)?| + JW \(wsina + y cos a)? + (2 + h)?|= 0, of in rationalen vorm A (ay sin 2 a + 2 zh)? — 4 C? (a? sin? a Hy cosa + 22 dh) C4=0. Het oppervlak is van den 4° graad met de lijnen in het on- eindige van yz- en æz2-vlak als dubbellijnen. Het heeft op ieder der gegeven lijnen twee kegelpunten, D, en D’, op 4, D, en Dy op /,. De coördinaten van D, zijn 2 = ‘ fees Qsinx 2 cosa VO@— 4k sina van À, resp. K, verwijderd. Zij zijn bestaanbaar als C> 24, onbestaanbaar als (<24 is. Dit alles is ook meetkundig gemak- kelijk in te zien. Door /, gaan twee isotrope kegelsneeraakvlakken ~, en w,, die het oppervlak volgens door D, en D', gaande kegelsneden aan- raken; evenzoo door /, de kegelsneeraakvlakken w, en wy. De aan den bolcirkel rakende lijnen in het oneindige dier vlakken noemen we #,, #1, Mg en my. De dubbellijnen in het oneindige van het oppervlak zijn de bestaanbare verbindingslijnen der onbe- enz. De kegelpunten op /, en /, zijn op afstanden 60 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS staanbare punten (m, m3) en (um, mg) en der punten (m, my) en (m', ma). Deze vier punten zijn klempunten der dubbellijnen. Door ieder dier klempunten, b.v. door (m, mw), gaan twee kegelsneden van aanraking, die in het klempunt dezelfde raaklijn hebben, nl. de snijlijn der vlakken w, en vs; in het klempunt zijn de twee raakvlakken tot het vlak door de lijn (7, wy) en de dubbellijn samengevallen. 57. Het oppervlak is een bijzonder Kvmmxr’sch oppervlak. De vergelijking van een oppervlak van Kummer met 16 kegel- punten en 16 kegelsneeraakvlakken kan in den volgenden vorm gebracht worden: AEH Ko HAS + A 2a( Xp 2, + KK) +204, XX, Li) He + 2¢(X, À, + X, Zi) |? = 16 (a? +- 6? Het 2abe— 1) X, X, X, À, 1; waarin X,, X,,X,en X, lineaire functies der coördinaten zijn. De vier vlakken X,—0, enz. vormen een Görrr’sch tetraeder van kegelsneeraakvlakken, d.w.z. een tetraeder, waarvan de hoek- punten geen kegelpunten zijn. Bij ons oppervlak vormen de kegelsneeraakvlakken w, , w',, vg en #, zulk een tetraeder van Görrr, zooals uit het volgende blijkt. De irrationale verg. van het oppervlak luidt Vui Va, =c, waarin : u, =28na—ycosa--i(z— kh), ld Q . U, =xsina—y cosa —i(z—h), Uy =a sina-+-ycosa-+-1(z-+ À), ! . . Vs — ax Sin & +- y cos &@—1(z +f). In rationalen vorm wordt die verg.: 2 gen (NO ’ all (0, Uy Huug) = 4, u, Uy Uo. Daar LA 14 . UU —Uy ue = Ath, dus C? ; , *) Zie b.v. Pascat-Scueppr, Repertorium der höh. Math. II, S. 300. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 61 is, kan voor de vergelijking van het oppervlak ook geschreven worden 92 4 Si Lau, HU Wo + IGE (y — 0", — ty Hu) = A, w', Uy tt'g, 9 of 2) DNS ato 2 2 Sh ay ' [ay So ey? ue 4 4-2 — (Pane Gt, Uy Hg) — ; y ; 6444 eu un) ty Ug Eu) | oO ça ART welke vergelijking den vorm heeft van die van een Kummer’sch oppervlak op een Görer’sch viervlak van kegelsneeraakvlakken. Men kan de rationale verg. van het oppervlak ook aldus schrijven: Zen? eed De DÉC Ra ' ’ (Ra sin a+ 2 y7 cos*a@ + 22% 2h CEA UI Un hos waaruit blijkt, dat de kegelsneden van aanraking met de vier isotrope kegelsneeraakvlakken op de ellipsoïde 2 a? sin? a + 2 y costa + Zat gelegen zijn. 58. De 16 kegelsneeraakvlakken van het oppervlak. Ons oppervlak is een Jdcjzonder geval van het oppervlak van Kummer, daar het in het bezit is van {wee snijdende dubbelrechten. Dientengevolge zijn de 16 kegelpunten en de 16 kegelsneeraak- vlakken niet alle verschillend. De 16 kegelsneeraakvlakken zijn gemakkelijk aan te wijzen. Vier daarvan zijn enkelvoudig, nl. de isotrope vlakken #,, w,, ws en ws door de gegeven lijnen. Vier andere kegelsneeraakvlakken zijn dubbel, nl. de vlakken evenwijdig aan de z-as (dus door het snijpunt Z der beide dubbel- lijnen in het oneindige) gaande door twee op verschillende gegeven lijnen gelegen kegelpunten. Door ieder der dubbellijnen gaan twee zulke vlakken. Zij D, D, Æ een vlak gaande door de kegel- punten D, en D, en de lijn in het oneindige van het yz-vlak. De doorsnede met dit vlak bestaat vooreerst uit de dubbeltellende lijn in het oneindige en verder uit een kegelsnede, die in D, en D, dubbelpunten moet hebben en dus niets anders zijn kan dan de dubbeltellende lijn 2, 2, 5. We vinden dus: *) Dit is gemakkelijk algebraisch te verifieeren met behulp van de in n°. 56 neerge- schreven rationale verg. van het oppervlak. De verg. van het vlak D, D, E is Hi ve Sis 2 sina _en die der doorsnede F wir (2 ky cosa—zV C?—4k’)*=0. 62 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS De vier verbindingslijnen van op verschillende gegeven lijnen ge- legen kegelpunten liggen op ons oppervlak, dat langs die lijnen door vlakken evenwijdig aan den kortsten afstand der gegeven lijnen wordt aangeraakt; de vier lijnen vormen een scheeven vierhoek, die zich op een vlak loodrecht op den kortsten afstand als een rechthoek projecteert, die voor C> 2h bestaanbaar, voor C< 2h onbestaanbaar is. De doorsnede met het vlak D, D, £ degenereert in twee samen- vallende kegelsneden, zoodat dit vlak kegelsneeraakvlak is. De kegelsnede van aanraking degenereert in D, D, en de lijn in het oneindige. Alleen langs eerstgenoemde lijn heeft eigenlijke aan- raking plaats, terwijl de tweede lijn dubbellijn is. Dientengevolge telt het vlak D, D, # voor twee kegelsneeraakvlakken 1). Ten slotte is nog het vlak in het oneindige een viermaal tellend kegelsneeraakvlak. Immers daar de kegelsnede van aanraking uit twee dubbellijnen bestaat en de aanraking dus overal oneigenlijk is telt het vlak 2. 2 — 4-maal ?). Op deze wijze vindt men naar behooren 4. 1 + 4.2 + 1.4— 16 kegelsneeraakvlakken. 59. De 16 kegelpunten van het oppervlak. Het oppervlak heeft vier gewone kegelpunten, nl. de punten D,, D’, D, en D', der gegeven lijnen. De overige kegelpunten zijn te zoeken op de dubbellijnen in het opeindige. Om een eindig aantal kegelpunten te verkrijgen moet men een kegelpunt niet definieeren als een punt, waarin iedere er door heen gaande lijn twee snijpunten werpt (aan welke definitie ieder punt van een dubbellijn voldoet), maar als reciprook staande tegenover een vlak, waarvan de doorsnede met het oppervlak in twee samen- vallende kegelsneden ontaardt), dus als een punt, waarvoor de omhullende van door dat punt gaande raakvlakken aan het opper- vlak (een kegel van de 4% klasse) in twee samenvallende kegels van de 2% klasse ontaardt. Een willekeurig punt van een dubbelrechte, als reciprook tegen- *) Immers iedere lijn van een kegelsneeraakvlak is een dubbelraaklijn van het opper- vlak. Bij een lijn van het vlak D, D, E wordt een der beide aanrakingen oneigenlijk uitgevoerd, waarom die lijn voor twee samenvallende dubbelraaklijnen telt. *) Iedere lijn van het vlak in het oneindige voert twee oneigenlijke aanrakingen aan het oppervlak uit en telt dus voor vier samenvallende dubbelraaklijnen. *) Zulke vlakken kunnen, als het oppervlak niet uit twee samenvallende gedeelten bestaat, slechts in eindig aantal aanwezig zijn. Ditzelfde geldt natuurlijk voor de punten, die er reciprook tegenover staan. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 63 over een willekeurig vlak door een dubbelrechte staande, voldoet aan die definitie niet. Wel echter een klempunt van een dubbel- lijn, als reciprook staande tegenover een kegelsneeraakvlak door een dubbellijn, waaruit tevens blijkt, dat ieder der vier klem- punten voor twee kegelpunten te tellen ist); de omhullende der raakvlakken door een klempunt van een dubbellijn degenereert in de dubbeltellende dubbellijn en de dubbeltellende snijlijn van niet- toegevoegde isotrope kegelsneeraakvlakken, die door het klempunt gaat. Laatstgenoemde snijlijn staat reciprook tegenover een op het oppervlak gelegen verbindingslijn van twee kegelpunten. Evenals die vier verbindingslijnen vormen ook de vier snijlijnen van niet- toegevoegde isotrope kegelsneeraakvlakken een scheeven vierhoek. Het snijpunt / der beide dubbellijnen is een uniplanair twee- bladig punt van het oppervlak. De beide bladen door dit punt raken aan het oneindig verre vlak en doorsnijden elkaar volgens de beide dubbellijnen. Het punt is dus zoowel voor de eene als voor de andere dubbellijn een uniplanair punt en dus als twee samenvallende klempunten en bijgevolg als ver samen- vallende kegelpunten te beschouwen; dit laatste is daarmede in overeenstemming, dat het snijpunt der dubbellijnen reciprook tegen- over het vlak door de twee dubbellijnen staat. De omhullende der raakvlakken door # degenereert in de beide dubbeltellende dubbellijnen. Naar behooren vinden we dus voor het aantal kegelpunten 4.114.2+1.4= 16. 60. De configuratie der singuliere punten en vlakken. Bj een algemeen Kummur’sch oppervlak vormen de 16 singu- liere punten en de 16 singuliere vlakken een 16, configuratie. Door ieder punt gaan 6 vlakken, in ieder vlak liggen 6 punten; de 6 singuliere punten in een singulier vlak liggen op de kegel- snede van aanraking; de 6 singuliere vlakken door een singulier punt raken aan den kwadratischen raakkegel in dat punt. Bij ons oppervlak is de configuratie blijkens het voorgaande aldus gewijzigd: Van de 16 kegelpunten liggen er 2 op ieder der gegeven Mijnen, terwijl er in ieder der 4 klempunten van de dubbellijnen 2 kegel- punten en in het snijpunt der dubbellijnen 4 kegelpunten samen- vallen. Van de 16 keyelsneeraakvlakken gaan er 2 door ieder *) In n°. 63 en 65 kan men zien hoe twee kegelpunten zich tot een klempunt ver- eenigen. 64 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS der gegeven lijnen, nl. de door die lijnen gaande isotrope vlakken, die de dubbellijnen in de klempunten snijden en wel zoo, dat door ieder hlempunt 2 van die vlakken gaan; door ieder der dubbellijnen gaan 2 dubbeltellende kegelsneeraakvlakken, die de gegeven lijnen in kegelpunten snijden en weer zoo, dat door ieder kegelpunt 2 van die vlakken gaan; de 4 overige kegelsneeraakvlakken vallen in het vlak in het oneindige samen. Hieruit blijkt, dat ons oppervlak een met zich zelf reciproke specialiseering van het oppervlak van KUMMER en dus van de vierde hlasse is. 61. Rechte lijnen van het oppervlak. In n°. 58 is gebleken, dat de vier verbindingslijnen van op ver- schillende gegeven lijnen gelegen kegelpunten geheel op het oppervlak liggen. Men bewijst gemakkelijk, dat als CAO is deze vier lijnen en de dubbellijnen in het oneindige de eenige rechte lijnen van het oppervlak zijn. Immers- op een willekeurige rechte lijn Z voldoen de op het oppervlak gelegen punten aan de vergelijking: pe enen waarin 8%, 84, S, en s, de met bepaalde coëfficiënten vermenig- vuldigde afstanden tot de snijpunten van 7 met de door Z en 7, gaande isotrope vlakken zijn. Wil Z op het oppervlak liggen, dan moet bovenstaande verg. op / een identiteit zijn, waarvoor noodig is dat de beide wortelvormen rationaal zijn. Nu is s, s, alleen dan een zuiver vierkant als de punten s, — 0 en s, — 0 samenvallen, dus als / de gegeven lijn Z snijdt. Evenzoo moet / de lijn 4 snijden. Maakt nu 7 met /, een hoek a, en met /, een hoek a, en zijn 6, en 4, de afstanden van een willekeurige punt van / tot de snij- punten van / met / en /,, dan moet, wil 7 geheel op het opper- vlak liggen, identisch voldaan zijn aan + 4b, sina, + 0, sin a = C. Hiervoor is in de eerste plaats noodig, dat a, =a, is, hetgeen alleen het geval is als het snijpunt van / met / even ver van A, verwijderd is als het snijpunt van / met J, van A,, waarin KA, en À, de uiteinden van den kortsten afstand van /, en /, voor- stellen. Bovendien moet het snijpunt van / met 4 (4) op een afstand C van /, (/) verwijderd zijn, dus in een kegelpunt van DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 65 Z, (4) vallen, waaruit blijkt dat / de verbindingslijn van twee kegelpunten zijn moet. 62. Raakkegels der kegelpunten. In n°. 18 is gebleken, dat de raakkegel in een op een gegeven lin liggend kegelpunt door een vlak loodrecht op die gegeven lijn gesneden wordt volgens een kegelsnede, die een harer brandpunten op de gegeven lijn heeft. Voor het oppervlak voor x == 2 bewijst men gemakkelijk, da? als de kegelpunten bestaanbaar zijn de doorsnede van den raakkegel met een vlak loodrecht op de gegeven lijn door het kegelpunt een ellips is. Immers is D, het beschouwde kegelpunt, dan liggen de lijnen 2, D, en D, D', geheel op het oppervlak, dus ook op den raakkegel. Langs de lijnen D, D, en D, LD’, heeft het opper- vlak en dus ook de raakkegel een raakvlak, dat loodrecht op het æy-vlak staat. Een vlak / loodrecht op de gegeven lijn D, 2, snijdt D, D, in een punt #, D, D', in een punt # en den raakkegel volgens een kegelsnede door / en #”, waarvan de raak- lijnen in # en F” loodrecht op het æy-vlak staan en dus even- wijdig loopen, m.a.w. £ #” is middellijn dier kegelspede. Nu ligt het snijpunt van V met 2), D, d.i. een der brandpunten van de kegelsnede, tusschen de beide evenwijdige raaklijnen in, hetgeen niet bij een hyperbool, maar alleen bij een ellips voorkomt '). 63. SterneRsSch oppervlak voor C= 24. Is C= 24, dan vallen op ieder der gegeven lijnen de beide kegelpunten in het voetpunt van den kortsten afstand samen. De *) Dat de doorsnede een ellips is laat zich ook gemakkelijk uit de verg. van het oppervlak aantoonen. Neemt men /, als x-as, den kortsten afstand van J, en /, als z-as, dan wordt de verg. van het oppervlak: | (a? — y”) sin*?2a—ay sin4 ax —4zk+Ak— C1 —4C(y +25) =0. De coördinaten van een der kegelpunten op !, zijn: VAE sin 2u y y=27=0 en de verg. van den raakkegel in het kegelpunt: | (aw sin 2 « — y cos2a)/C?—4k? —2 zk HA — C1 —C(y +2) =0. De doorsnede van dien kegel met een vlak door den top loodrecht op de æ-as heeft tot vergelijking welke verg. twee onbestaanbare rechten voorstelt. Hieruit volgt, dat voor C>2k de raakkegel door vlakken loodrecht op de x-as volgens ellipsen gesneden wordt. Verder volgt uit de verg. van den raakkegel, dat de raakkegel niet degenereert als C van 0 en 2 k verschilt. Verhand. der Kon. Akad. v. Wetensch. (Ee.ste Sectie) Dl. IX. E5 66 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS vier op het oppervlak gelegen lijnen D, D,, enz. zijn nu alle langs den kortsten afstand A, A, der gegeven lijnen samengevallen. Deze hortste afstand is een dubbellijn van het oppervlak geworden, die tusschen A, en A, geïsoleerd verloopt en daar buiten de door- snede van twee bestaanbare bladen is; de punten K, en K,, waarin 2 kegelpunten zijn samengevallen, zijn klempunten van de dubbel- lijn K, K,. 3 Het oppervlak heeft nu dus drie door één punt Z gaande dubbellijnen, ieder met twee klempunten. Door het punt / gaan drie bladen van het oppervlak, die elkaar volgens de dubbellijnen doorsnijden. We hebben nu dus een Srerer’sch oppervlak van den 4°°" graad en de 3" klasse!) voor ons, een niet met zich zelf reciproke specialiseering van het oppervlak van Kummer. De klasse- verlaging ontstaat doordat het snijpunt der drie dubbellijnen zich van de omhullende der raakvlakken heeft afgesplitst. Van de 16 kegelpunten vallen er 2 in ieder der 6 klempunten der dubbellijnen, 4 in het snijpunt der dubbellijnen. Van de 16 kegelsneeraakvlakken zijn er 4 enkelvoudig, de isotrope vlakken door de gegeven lijnen, terwijl er in ieder der drie vlakken door twee dubbellijnen 4 kegelsneeraakvlakken zijn samengevallen. 64. Hyperbolische paraboloïde voor C=0. Is C=0, dan degenereert de m. pl. in het dubbeltellende oppervlak vy sn2x®a+22z2k=0. Hieruit blijkt, dat de m. pl. der punten, waarvan de afstanden tot twee gegeven lijnen gelijk zijn, een gelijkzijdige hyperbolische paraboloide is, waarvan de as langs den kortsten afstand en de top in het midden van den kortsten afstand der gegeven lijnen valt. *) Dat we een oppervlak van Sremer hebben blijkt ook uit de vergelijking. Zijn X,=0, X,=0, X,=0 en X,—0 de vergelijkingen van de vier eigenlijke kegel- sneeraakvlakken van het Srerner’sche oppervlak, dan luidt haar verg. in irrationalen vorm VEN VE 0) De verg. van ons oppervlak is voor C=2k: dy" sin 24 + Aæxyzkh sin 2 æ — Ak" (x sin* a + y’ cos*«)=0, hetgeen in den volgenden irrationalen vorm gebracht kan worden: V | æ sin æ — y cos æ& + i(z —k) | HWV { — x sin & + y cos a + i(z—Kk) } + HWV | sina + y cosæ+i(z+k)| HV |—xsine—ycose +i(z+k)| =0. pe DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 67 Verder ziet men wit de verg., dat er nog oneindig vele andere paren van lijnen (echter met dezelfde lijn en hetzelfde midden van den kortsten afstand) zijn aan le wijzen, waarvoor de afstanden lot veder punt van de paraboloide gelijk zijn. 65. Vorm van het oppervlak. In hoofdzaak hangt de gedaante van het oppervlak daarvan af of C > U is, en dus de kegelpunten op de gegeven lijnen be- staanbaar zijn, dan wel C < 24% is, in welk geval die kegelpunten onbestaanbaar zijn. Zij eerst C> 2k. Het oppervlak heeft een convex gesloten blad, waarvoor de som der afstanden tot de gegeven lijnen = C is. Dit blad gelijkt eenigszins op den door de vier kegelpunten gevormden tetraeder, waarvan de hoekpunten niet, maar de ribben wel zijn afgerond en wel zoodanig dat twee overstaande ribben (de gegeven lijnen) binnen het blad komen en de vier andere daarop blijven. Het tetraedervormige blad zet zich door ieder der kegelpunten heen voort in een naar het oneindige verloopend blad. Voor de bladen, die in de kegelpunten D, en D’, met het tetraederblad samenhangen, is 4 — a, — C, voor de beide andere bladen a, — a, —= C, waarin a, en a, de absolute afstanden tot 4, en /, voorstellen. De beide bladen, waarvoor a, — a, = C is, snijden elkaar volgens de dubbellijnen in het oneindige, maar hangen daar analytisch niet samen. Wel bestaat die samenhang in het oneindige tusschen een blad a; == a, — C en een blad a, — a, = C De naar het oneindige verloopende bladen hebben aanvankelijk eenigszins de gedaante van de drievlakshoeken, die de voortzettin- gen van den tetraeder zijn. De ribben van zulk een drievlakshoek zijn afgerond, waarbij twee ribben op het blad blijven, maar de derde (een gegeven lijn) daarbinnen komt. Op grooten afstand gaan die bladen echter zeer aanzienlijk van de drievlakshoeken afwijken. Van de juiste gedaante dier bladen kan men zich door de in de volgende nummers te bespreken doorsneden en de daarop betrekking hebbende figuren gemakkelijk een duidelijke voorstelling vormen. Laat men C afnemen en tot 2h naderen, dan trekt zich het tetraedervormige blad tot den kortsten afstand der gegeven lijnen samen, waarbij zich de kegelpunten twee aan twee tot klem- punten vereenigen. De naar het oneindige verloopende bladen krijgen een scherpen kant en naderen daarmede tot den scherpen : E 5* OS OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS kant van het andere bij dezelfde teekencombinatie behoorende blad. Voor C—2# vereenigen zich beide bladen en hangen in de mieuw ontstane dubbellijn samen. Van deze dubbellijn is dus het gedeelte tusschen de eindpunten van den kortsten afstand geïsoleerd, terwijl door ieder der daar buiten gelegen gedeelten twee bij dezelfde teekencombinatie behoorende bladen gaan. Is C< 2k geworden, dan is het tetraedervormige blad geheel verdwenen. De samenhang der bladen, die voor C= 24 door de dubbellijn in het eindige gaan, is juist anders geworden dan ze was voor waarden van C >> 24%, waardoor nu bij tedere der beide nog mogelijke teekencombinaties (in tegenstelling met de beide vorige gevallen) slechts één naar het oneindige verloopend blad behoort. Beide bladen, die in het oneindige samenhangen , naderen tot elkaar als C kleiner wordt, om voor C= 0 tot een hyperbolische para- boloïde samen te vallen. 66. Doorsneden evenwijdig aan het æz-vlak. te] Vlakken evenwijdig aan het +2- of aan het yz-vlak zullen, daar ze door een dubbellijn gaan, het oppervlak volgens kegelsneden snijden. We willen de doorsneden evenwijdig aan het zz-vlak, die we daartoe op het æ2-vlak projecteeren, wat nader beschouwen; met een kleine wijziging gelden dezelfde resultaten dan natuurlijk ook voor doorsneden evenwijdig aan het y z-vlak. Op het zz-vlak projecteeren zich de gegeven lijnen als de twee evenwijdige lijnen z= # en z= — #, terwijl de scheeve vierhoek zich als twee overstaande zijden en de diagonalen van een recht- hoek projecteert. Blijkens de in n°. 56 gegeven verg. van het oppervlak is de projectie der doorsnede met een vlak y = y,: Aat sin? @(C?— A y,? cos” a) + FACE 44?) — 16227, sina CC AR Ay, ?cos?a)—= 0. De doorsneden zijn dus kegelsneden, die alle hun middelpunt op de g-as hebben. Im de snijpunten van zulk een kegelsnede met de evenwijdig aan het yz-vlak loopende lijnen D, D, en D, D', van het oppervlak loopt de raaklijn evenwijdig aan de z-as, daar de raakvlakken langs D, D, en D, D’, evenwijdig aan het 4 z-vlak loopen. Hieruit volgt, dat de projecties der kegelsneden alle aan de projecties van D, D, en D, D's raken en dat dus de projecties dier lijnen tot den schijnbaren omtrek van het oppervlak behooren. DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 69 De volledige omhullende van de projecties der kegelsneden heeft tot vergelijking (4 wx sin? a + 4k? — C?)(4 x? sin? a + 422 — C?)— 0, zoodat die omhullende behalve uit de projecties van D, D, en D, Dy, nog uit de ellips A x? sin? ad 427 — C? bestaat. De vorm dier ellips, die door de projecties der kegel- punten gaat, hangt alleen van den hoek der gegeven lijnen af; de kleine as der ellips is gelijk aan de contante C. Terwijl de rechten van den schijnbaren omtrek alleen bestaanbaar zijn voor C > 24, is de ellips steeds bestaanbaar. Is C> 2k, dan is de doorsnede met het vlak y — 0 een ellips, waarvan de assen langs de a- en de z-as vallen. Verschuift met het vlak der doorsnede, dan wordt de ellips gerekter, terwijl hare Vo ar 2 cos a is de ellips in de dubbele lijn D, D’, overgegaan om bij nog verdere verschuiving in een hyperbool te veranderen, waarvan de asymptoten meer en meer in verschillende richting uiteen gaan. Voor grooter wordende waarden van y, begint de projectie der ay oe 4 hyperbool meer en meer op de twee evenwijdige lijnen a = + ———_., wiz —— 2 sin & dit zijn de raaklijnen van den schijnbaren omtrek in de uiteinden van de groote as, te gelijken (zie fig. 2). Is C< 2h, dan zijn alle doorsneden hyperbolen. Voor y, = 0 raakt die hyperbool den schijnbaren omtrek in de uiteinden van de kleine as. Neemt y, toe, dan draaien de asymptoten in dezelfde richting, echter zoo dat de asymptotenhoek voortdurend grooter wordt (zie fig. 4). Is C= 2k, dan is steeds een der asymptoten van de hyperbool de z-as. De asymptotenhoek is nul voor y, = 0 en neemt toe als y, toeneemt (zie fig. 3). assen draaien. Is het vlak der doorsnede y — , dan 67. Andere stelsels van kegelsneden op het oppervlak. Behalve de doorsneden met vlakken evenwijdig aan het wz- of ye-vlak heeft het oppervlak nog andere stelsels van kegelsneden, nl. de doorsneden met vlakken door een gegeven lijn. Zulk een doorsnede, b.v. met een vlak door /,, heeft dubbelpunten in de beide kegelpunten van /, en in twee punten in het oneindige (de 70 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS snijpunten van het vlak der doorsnede met de dubbellijnen in het oneindige) en bestaat dus wit twee hyperbolen met evenwijdige asymptoten'). Is C > 2k en zijn dus de snijpunten in het ein- dige der hyperbolen bestaanbaar, dan zijn de stukken der hyper- bolen tusschen die snijpunten (welke stukken te zamen een lens- vormige figuur vormen) de doorsnede met het tetraedervormige blad. Gaat in het bijzonder het vlak door den kortsten afstand der gegeven lijnen, m.a.w. gaat het door het snijpunt der dubbel- lijnen in het oneindige, dan gaan de hyperbolen in parabolen over. Deze parabolen hebben den kortsten afstand der gegeven lijnen als gemeenschappelijke as. Voor C > 2% hebben ze bestaan- bare snijpunten en hunne openingen naar verschillenden kant ge- keerd, voor C << 2% onbestaanbare snijpunten en hunne openingen naar denzelfden kant gekeerd 2). 68. Doorsneden evenwijdig aan het #y-vlak. Om een nog duidelijker voorstelling van het oppervlak te vor- men hebben we ook eenige doorsneden met vlakken evenwijdig aan de gegeven lijnen geprojecteerd op het ay-vlak in teekening gebracht ®). De verg. van de projectie der doorsnede met het vlak 2 —1z, luidt: Aa? y? sin® 2 a — 4 C? (x? sin? à + y? cos? à) + + 1672, ksinZa (C?— 42,7)(C?— 4h) — 0. Alle doorsneden raken aan de vlakken evenwijdig aan de z-as en gaande door de zijden van den op het oppervlak gelegen scheeven vierhoek, zoodat de projecties dier doorsneden omhuld worden door de zijden van den rechthoek, die de projectie van dien scheeven vierhoek op het zg-vlak is; men vindt gemakkelijk, dat deze vier lijnen de volledige omhullende, dus den geheelen schijn- baren omtrek van het oppervlak vormen. Alleen als C > 24% is, is die schijnbare omtrek bestaanbaar (fig. 5); voor C < 24% vullen de projecties der doorsneden het geheele ay-vlak (fig. 7). De projecties hebben alle den oorsprong als middelpunt. Verder *) Is C=2k en dus de m. pl. een oppervlak van Steiner, dan bestaat ook de door- snede met een willekeurig raakvlak uit twee hyperbolen met evenwijdige asymptoten. *) De vergelijkingen van de projecties dier parabolen op het #z-vlak luiden: Aat sin* a +(2k + C)(2:— C)—=0, 4x* sin’ a + (2 k — C)(2 z + C)=0. *) Men kan van deze projecties zooveel punten construeeren als men wil door een stelsel van lijnen evenwijdig aan de eene gegeven lijn te snijden door een stelsel van lijnen evenwijdig aan de andere gegeven lijn. we DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. ra hebben ze dubbelpunten in de punten in het oneindige van a- en y-as met gemeenschappelijke asymptoten, wier vergelijkingen zijn C CG Ul == Se PEUT IZZ Oren: 2 cos a —_ Zana De doorsnede met een vlak door een der gegeven lijnen, b.v. Oo D ¢ /,, bestaat uit twee gelijkzijdige hyperbolen, waarvan de vergelij- kingen zijn (2esina—C)(2ycosa+ 0) HAA —=0, (2 æ sin a + C)(2ycosa—C) + 4h? = 0. Evenzoo is de doorsnede met een vlak door le {(2 æ sin a — C)(2 y cos & — C)—4k*} {(Qasine+ C)(R y cos a + C)—4h?} — 0. De beide hyperbolen van zulk een doorsnede snijden elkaar in het eindige alleen dan in twee bestaanbare punten als C > 24% is (fig. 5); voor C= 2% raken ze elkaar aan (fig. 6). Is C > U, dan bezit de doorsnede een eindigen gesloten trek (doorsnede met het tetraedervormige blad) als z, tusschen + À C en —2iC ligt. Is — A <2, <<, dan is die trek in den recht- hoek van den schijnbaren omtrek beschreven; is —} C <2, << —% of £< 2, <( 40, dan raakt die trek (die zich voor z = + 4 C tot een geïsoleerd punt heeft samengetrokken) den schijnbaren omtrek niet. Sneek, 17 Maart 1907. FRED. SCHUH. De meetkundi ge plaats der punten in het platte vlak,enz. ty I] Fig jl, iin Gegeven lijnen: ——0 10) » kotat+iy—V=o. Rechten der doorsnede: IT ~Gebroken trekken: 1. L+b+l;=C—?% of +=, I at+ata=C, 9. —]—h—-k=C yom) IL —a, +a,+a,=C, Het M aaa 0, 4 h—b—l3=0C wm tel, IV. m+am—a=C, 5 L—b+5=C ntm, V aa a=C, Gl Si) el a as —C. A Hebel ea ll 8.—]—k4+h=C ie ae = Kegelpunten. Doorgangen der dubbelellipsen : A, A,, A, A,’ der ellipsen op den cylinder a, = C B, Bi, B, B,C, in oy BA ” a, = C C Ci, C, C ” ” noo ” a, = C - Groote assen der dubbelellipsen. —————~— Beschrijvende lijnen der cylinders. © Projecties der snijpunten van twee dubbelellipsen. © ” Ep „ drie en (middelpunten der in- en aangeschreven cirkels). , Verhand. Kon. Akad.v-Wetensch (1£ Sectie). DLX. JBytel li PTMuUer try: Leider: Verhand. Kon. Akad.v- Wetensch. (1SSectie). DI IN. SBytel lith. PI Bilder impr Laden. DIX. (1£Sectie) _Alad.v-Wetensch. Verhand. Kon Lí JBijtel lith PI Mulder impr Leiden. ov ees Verhand Kon. Akad.v Wetensch. (1Sectie) DI. IX need 1 Lith PI Mulder v7 Verhand. Kon. Akad.v- Wetensch.(1£ Sectie). DLIX. 4 ee terete y Se © ais « Simi’ nn = a ee Em a ic ARTE Sho a a à a Oa ee nan MS éd ak 4 ‚48 7 3 à en éme Li uk. PIMald: Jel DLX. © Sectie). (1 letensch. VW F | Kon.Akad. 8 re) DLX. ASS, Verhand.Kon. Akad. v Wetensch VERKLARING DER FIGUREN 2—7. ._— Gegeven lijnen. Doorsneden der figuren 2, 3, 4, (C=k 1/5, 2k, k 13): yV3= 9. yV3= ',k, = 10, n = k, 11. NRA 12. n =2 &k, 12° nm ak, TL » =3 k, 10 10/10; in fig. 2: ba, yVi=—1k, Da, yV3= Uk, 104. * 3 Doorsneden der figuren 5, 6, 7(C= kV 5, 2k,k V3): Tl Z=—3 ky 6. zink, 2: SSP DS fi = k, By des ln 8. eV, [Pa 4. 2 Vik, gp ie BR 5. DS @ & bovendien in fig. 5: 2a. 2<=—I1,1k, Ta Geis in fig. 7: Ba. z=—',kV3, Ga, 2= 'Lkhiv3. eere Gemeenschappelijke asymptoten der doorsneden. Verhand. Kon Akad.v Wetensch. (1° Sectie) DI IN. * Titel Elder Laden afie » Éssai dune Explication du Mécanisme . de la Périodicité dans le Soleil et les Étoiles _rouges variables PAR - A. BRESTER Jz. (EERSTE SECTIE). LES Deel IX. N° 6. | AMSTERDAM, ait JOHANNES MULLER. ; Januari 1908. Essai dune Explication du Mécanisme de la Périodicité dans le Soleil et les Étoiles rouges variables. A. BRESTER Jz. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). Deel IX. N° 6. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1908. INTRODUCTION. § 1. Lranquillité intérieure du Soleil. En poursuivant mon étude du Soleil et des Etoiles rouges variables 4) je crois avoir découvert le mécanisme, qui cause dans le soleil la périodicité de ses taches et dans les étoiles rouges variables la pério- dicité de leur éclat. C'est la description de ce mécanisme qui sera l’objet principal de ce Mémoire. Ma théorie demande en premier lieu que le soleil soit à l’inté- rieur relativement tranquille, que du moins il ne soit pas conti- nuellement bouleversé par toutes ces éruptions, ces explosions et ces tempêtes, qui d’après l’interprétation courante du déplacement des raies spectrales y séviraient sans relâche. Outre tous les autres arguments, que J'ai déjà développés depuis 1888 et ceux que beaucoup plus tard M. Jurius a aussi allégués à propos de son explication du déplacement des raies par dispersion anomale 4), il y en a surtout trois, qui doivent nous convaincre de l’impossibilité de tous ces bouleversements solaires. a) Verklaring van de veranderlijkheid der roode sterren (Mei 1888). Essai d’une explication chimique des principaux phénomènes lumineux stellaires (Juillet 1888). Essai d'une Théorie du Soleil et des Etoiles variables (Dec. 1888). Théorie du Soleil, Verhan- delingen van de K. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (1892). Astronomy and Astroph. Dec. 1893, March 1894 and Dec. 1894. Aanteekeningen van het verhandelde in de Sectieverg. van het Prov. Utrechtsch Genootschap 1894. Knowledge Nov. and Dec. 1895, May 1896. Nature Jan. 16 1896. Maatschappij Diligentia, Natuurkundige voordrachten (1888, 1891, 1896, 1897, 1902, 1906) beschreven door P. A. Haaxman JR. De Hollandsche Revue, Juni 1906. b) W.H. Junius: Verslagen v.d. K. Ak. van Wetensch. te Amsterdam. Afd. Na- tuurkunde, 24 Febr. 1900 p. 520. 28 Juni 1902 p. 126. Astroph. Journ. XII p. 185. Beels 4 ESSAI D’UNE EXPLICATION DU MÉCANISME 1° nous avons le spectre des protubérances, où les raies de l'hydrogène et de l’hélium sont souvent fortement déplacées, mais où la raie du pseudo-coronium ne bouge jamais c). Et cependant dans ces protubérances l'hydrogène, l’hélium et le coronium sont uniformément répartis, comme il résulte de la ressemblance des trois images, qu'on obtient au moyen des rayons émis par ces trois gaz différents d). Or voila un cas, où le principe d’ailleurs si beau et si fertile de Dörrrrre) ne saurait être appliqué. Car son ap- plication nous mènerait ici à la conclusion absurde, que dans un mélange de 3 gaz il y en aurait 2, qui souffleraient avec violence tandis que le 3™° resterait en repos. La tranquillité du coronium serait ici tout aussi impossible que le serait la tranquillité de l’azote dans notre propre atmosphere si l’oxygène s’y mit à souffler. Mais si le principe de Dôrrzxr appliqué aux protubérances nous conduit inévitablement ainsi à une conclusion absurde, ce principe est donc un mauvais guide dans l'étude du Soleil. Le spectre considéré, bien loin de démontrer dans les protubérances un mouvement violent prouve sûrement au contraire qu'un tel mouvement y est impossible. Et ce n’est pas seulement dans les protubérances, que l'application du principe de Dörerer suscite des tempêtes impossibles, elle les fait naître aussi constamment en beaucoup d’autres régions du soleil et notamment dans les taches, où rien n’est plus fréquent, selon M'° Crerkn, qu'une tempête d'hydrogène dans un calme de cal- cium etc. etc. f) 2° nous avons la stratification du gaz solaire, qui serait impos- sible si ce gaz était continuellement bouleversé et si ces boulever- sements duraient déjà depuis des milliers de siècles. Cette strati- ficalion, d’après laquelle les vapeurs, indépendamment de leur vola- tilité, s'élèvent d'autant plus haut, qu’elles sont plus légères et d’après laquelle le titanium réfractaire mais léger se montre à de grandes hauteurs y) tandis que le mercure l’antimoine et le thallium c) OC. A. Younc: The Sun (1895) p. 259 „in the midst of the most violent distur- bances.... when the lines of 47, Mg and other metals are contorted and shattered by the swiftness of the rush of the contending elements, this line usually remains undis- turbed fine sharp and straight; a little brightened, but not otherwise affected. For the present it stands as au unexplained mystery”. CLerke: Problems in Astrophysics p. 117 „the line 1474 K is singularly exempt from displacement effects through motion. It remains erect and undeviated in the midst of solar storms’’. d) Fenvi: Astr. and Astroph. XI p. 430. Crerxe: Problems in Astrophysics p. 117. e) C. Dörprer: Abh. Kgl. Böhm. Ges. d. Wissensch. Bd. II. 1841—42 p. 467. Fizeau: Société philomatique de Paris 23 Dec. 1848. f) Crerke: Probl. p. 96 „Nothing is commoner than the raging of hydrogen storms amid profound calcium calms” (Voir aussi la fig. 2 de la PI. VI). g) Eversnep: the Indian eclipse p. 70. Jewett: Astroph. Journ. XI p. 243. THALEN: VEN eee Se a EE EE D DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 5 très volatils demeurent, comme tous les autres éléments pesants, invisibles dans la profondeur; cette stratification, d'après laquelle les métaux, qui sont visibles au dessus de la photosphère, n’ont qu’un poids atomique moyen de 72, tandis que ce poids moyen est de 159 pour les métaux, qui y sont invisibles; cette stratification, qu'on reconnait toujours aisément dans les couches superposées de Patmosphère solaire 4), et dans les protubérances elles mêmes 7) et que non seulement les „flash spectra” au moment des éclipses /) mais aussi les recherches de M. M. Jewezr, Monier et Humpurnys ont révélée dans les couches renversantes #); cette stratification est pour moi une preuve convaincante de la tranquillité intérieure du soleil et je ne comprend pas, qu’elle ne le soit pas pour tout le monde. Croit-on peut-être que dans les bouleversements, qu'on suppose, la gravitation puisse empêcher les éléments les plus lourds à être soulevés? Mais alors on oublie 1° que si dans le soleil la gravi- tation est 28 fois plus énergique que chez nous, ces éléments les plus lourds n’y sont pas, là où nous les observons, à l’état de corps solides vraiment lourds mais tous à l’état de vapeurs légères. Le fer par exemple donne dans le four électrique une vapeur qui est moins dense que le chlore ou la vapeur d’éther. Et les vapeurs du magnesium, de Valuminium, du silicium et du sodium sont dans nos laboratoires toutes plus légères que l’air que nous respi- rons. Alors on oublie 2° que si nos tempêtes terrestres ne sont qu'un jeu d'enfant en comparaison des tempêtes supposées solaires, elles sont néanmoins déjà si puissantes qu’elles transportent au loin des masses énormes d’eau, de sable et de cendre volcanique et qu’on les a vues soulever le fer lui-même, non pas à l’état solaire d’une vapeur légère, mais à l’état terrestre de rails et de canons. Nova Acta Upsalen 1868. Younc: Nature Vol. 3 p. 111. Frosr: Astroph. Journ. XII p. 307. Quant au nombre des raies que le Titane produit dans le spectre solaire, il n’y a que le fer et le nickel qui en produisent encore plus. Quant à l'intensité de ces raies le titane y occupe la dixième place. Dans les étoiles le titane est aussi un des éléments les plus importants. (Lockyer: Spectr. Comparison of Metals.... with special Reference to Vanadium and Titanium). Et sur notre terre le titane est parmi les dix éléments les plus abondants. Il y excède en quantité le souffre, le chlore et même le carbone. (A. F. Horreman: Lehrbuch der anorg. chemie 1903 p. 9). h) Locxyer: The Chemistry of the Sun p. 304. Seccni: le Soleil I p. 275—293 IT p. 292, 482. Eversnep: Phil. Trans. CXCVII A p. 402. Lockyer: Solar Physics Comm. Spectrosc. comparison of Metals 1907 p. 12. i) Srccur: le Soleil II p. 97, 148, 149. Youna: le Soleil p. 166. Feny1: Comptes Rendus 1889 p. 889. j) Mircuett: Astroph. Journ. XV p. 97. Humpureys: Astroph. Journ. XV p. 327. k) Astroph. Journ. III p. 138. 6 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Si l’on tient compte de ces vérités, et si l’on se rappelle en outre que dans notre propre atmosphère, nos tempêtes avec leur vitesse de 60 Mètres tout au plus suffisent cependant complètement à y empêcher la moindre trace de stratification, alors 1l devient tout à fait impossible de nous imaginer que dans le soleil une stratification durable pût subsister, si la dans un mélange gazeux tout à fait analogue, où la gravitation est, il est vrai, 28 fois plus énergique, il y avait constamment des tempêtes soufflant avec une vitesse, non pas de quelques Mètres mais de plusieurs centaines de Kilomètres par seconde. La stratification durable du gaz solaire nous prouve par conséquent que toutes ces tempêtes n'existent pas. 3° nous avons encore l’invariabilité du spectre solaire, qui nous démontre la grande tranquillité de l’intérieur du soleil. Si dans le niveau photosphérique et dans les couches renversantes des éruptions, — telles qu’on les y suppose, avaient lieu à tout moment, toutes les 20 000 raies du spectre solaire devraient nous les divulguer chaque fois par des déplacements soudains et simultanés. Alors les cas où l’on a vu une seule de ces raies distinctement déplacée ne seraient pas considérés comme des évènements remarquables dignes d’être enrégistrés /); alors un spectre anormal, tel que M. Hare l’a pho- tographié en 1894 (où d’ailleurs les raies étaient plutôt anormales en intensité qu'en longueur d’onde) m) ne serait pas encore toujours 1) Fenyr: Publ. d. Haynaldschen Obs. VI p. 15 (1892) fig. 14, 15, 16. Crenre: Problems p. 50. Les couches renversantes sont en effet si tranquilles, que M. H. F. Newarr, qui vient de les étudier expressément pour tâcher d'y découvrir quelque signe de mouvement, n’en a pu trouve. le moindre indice. (Newazz: Monthly Not. Jan. 1907 p. 171. Search for Evidence of Local Convection Currents on the Sun’s Surface). La conclusion de M. Newarz la voici (loc. cit. p. 172): „Belopolsky has called attention to this point in his note published in vol. i. of the Transactions of the Union for Solar Research. If this observation is further corroborated, it would tend to show that the violent convection currents, which we beleive are needed to keep up the supply of radiation from the Sun’s surface, and which are so well brought to mind bij Prof. Scuuster in his Glascow lecture on solar evolution (Astroph. Journ. 17 p. 173) must be confined to strata below the reversing layer. This is a result which it seems difficult to reconcile with other considerations.” Si ces recherches récentes, qui relèguent toutes ces éruptions fameuses dans le domaine de l’invisible, sont d’après M. Newari lui-même difficiles a concilier avec les idées courantes, elles n’en répondent que d’autant mieux a ma théorie du soleil tranquille. Je ne les ai apprises qu’ apres avoir achevé ce Mémoire. m) Hare: Astroph. Journ. XVI p. 220. Un autre unicum a été observé par M. W. MitcuetL, qui vit le 24 Février 1905 un déplacement simultané de toutes les raies spectrales présentes près d'une facule, qui se soulevait et qu’il vit le lendemain trans- formée en tache. (Astroph. Journ. XXII p. 38). Mais M. MircuELL ajoute expressément qu’ à l'exception des raies de l’hydrogène les raies dans les taches ne bougent que très rarement et le phénomène du 24 Février est considéré par lui comme un évènement unique „In only one instance has a distinct shifting been noticed, which could favour the spot theories (of up-rushes or down-rushes)’’. Dans leurs recherches actuelles sur le DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 7 un unicum embarrassant, mais serait au contraire un phénomène ordinaire toujours normalement à l’ordre du jour; alors ce ne seraient pas seulement quelques raies tres larges, comme les raies H et K du calcium, qu'on observe d’ailleurs aussi très haut dans l’atmosphère solaire, qui nous montreraient, lorsqu'on étudie leurs détails, comme lont fait Jewerz, Junius, DEesLANDRES et ADAMS, quelques déplacements très petits, que ces quatre observateurs ont d’ailleurs interprétés de quatre différentes manières »), mais toutes les raies devraient nous montrer des déplacements pareils. Or nous savons que l’immense majorité des raies solaires ne bougent jamais. Si l’on n’en était généralement convaincu on ne continuerait guère à se donner une peine infinie pour corriger les tables de Rownanp d'erreurs. Car tout ce travail ne serait alors que peine perdue. Mais si le spectre solaire est à ce point invariable, il démontre la tranquillité intérieure du soleil. Car il ne saurait être un ¢talon de longueurs d'onde invariables si les couches photosphériques et renversantes, qui l’engendrent, étaient éternellement bouleversées. Mais si la théorie du soleil tranquille s'appuie sur un grand nombre (arguments puissants, la théorie courante d’un soleil bou- leversé 0) ne repose au contraire que sur un seul argument tout à spectre des taches M. M. Hate et Apams sont arrivés, après mir examen de 80 clichés, à la conclusion que voici: The general conclusion, then, seems to be justified that the vapors forming the umbra of a well developed spot are normally nearly at rest, with perhaps some presumption of a slow downward drift’’(Astroph. Journ. March 1907 p. 87). n) Jewezr: Astroph. Journ. III p. 89 (1896), XI p. 234 (1900). Junius: Verslag v. d. gew. verg. v. d. K. Akad. v. W. te Amsterdam 11 Maart 1903. Desranpres: C. R. 141 7 p. 377 (1905). Wazrer S. Apams: Astroph. Journ. XXIII p. 45 (1906). o) Cette théorie est en effet encore bien courante. C’est ainsi par exemple, que dans le Compte Rendu de la séance du 3 Oct. 1905 de la Société astronomique de France nous trouvons la communication que voici: „M. Quenisser a observé et dessiné à l’aide d’un spectroscope à vision directe, un grand nombre de protuberances. L’une d'elles a présenté ce phénomène remarquable d’une disparition presque soudaine. Elle s'est affaissée sur elle-même si rapidement qu'il a été impossible de la dessiner. M. Casparr, le Président, remercie M. QUÉNISSET de nous avoir mis au courant de l’activité solaire de ces derniers mois. L’imagination reste confondue quand on songe aux vitesses formidables de ces jets d'hydrogène, vitesses dépassant des milliers de fois celles de nos trains les plus rapides”. (Bulletin de la Soc. Astr. de France Nov. 1906 p. 486). Voir aussi dans le même Bulletin d'Avril “907 un discours de M. Frammarion p. 155: , Imaginons des Alpes, des Pyrenées, des Himalayas sautant en l’air, des Atlantiques et des Pacifiques venant remplacer les nuages, la Terre entière éclatant comme une bombe: ce n’est rien encore. Les flammes du Soleil s’élangant à cinquante mille, cent mille, deux cent mille kilometres de hauteur et retombant en pluie de feu sur l'océan solaire qui toujours brûle”. Une telle image est assurément bien faite pour frapper vivement l'imagination. Mais si nous la comparons avec ce que M. M. Newarr et Hate nous ont raconté dans mes notes let m précédentes de la quiétude, qu’ après mûr examen ils ont dû constater dans les couches renversantes et les taches du soleil, nous ne verrons plus dans cette image frappante des bouleverse- ments solaires qu’ une fantasmagorie absolument trompeuse, 8 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME fait incertain. Ce seul argument tout à fait incertain est l’inter- prétation ordinaire, mais nullement’ necéssaire du déplacement des raies spectrales p) En affirmant que cette interprétation ordinaire est l’argument unique de la théorie courante, je ne fais que répéter ce que les défenseurs les plus illustres de cette théorie ont souvent affirmé. À première vue les mouvements rapides, qui sont souvent visibles dans les protubérances, les taches et la surface photosphé- rique, semblent eux aussi un argument prouvant l’agitation violente du soleil. Mais ce semblant est trompeur. Srcour, Laars, Fenyr et Youre ont affirmé maintes fois, que tous ces mouvements visibles sont quant à leur origine, leur direction, leur durée, leur vitesse, leur discontinuité et leur discontinuation tellement extravagants 9), que bien loin de susciter l’idée d’un transport réel de matière pondé- rable, ils suggèrent plutôt l’idée d’un déplacement de l’état lumi- neux. Si néanmoins tous ces observateurs éminents ont générale- ment persisté dans l’idée de mouvements réels, que leurs obser- vations et leur jugement avaient condammée, c'est leur interpré- tation ordinaire du déplacement des raies spectrales qui en a été la cause unique. Ils ont pris som d’ailleurs de le déclarer eux mêmes, comme on le verra dans les citations que voici: | Je citerai en premier lieu le P. FENYr, qui, a propos de deux grandes protubérances observées à Kalocsa durant le mois de Sep- tembre 1893 7), s’est exprimé ainsi: „En considérant ces phénomènes dans leur ensemble et en détail et en cherchant à nous les expliquer nous avons peine à n’y voir qu'un mouvement mécanique; nous opinerions plutôt pour un mouvement apparent, produit par la rapide propagation d’une opération de physique ou de chimie. La théorie de M. Brusrer, selon qui les protubérances ne sont autre chose qu'une inflammation de ces endroits où les éléments dissociés sont tellement refroidis qu'ils peuvent se réunir, cette théorie, dis-je, nous offre l’explication la plus simple de ces phénomènes. D'après p) C’est Mr. Lockyer, qui a le premier recommandé cette interprétation (Proc. Roy. Soc. Vol. XVII p. 415; Vol. XVIII p. 120). g) Rappelons nous l’observation de M. Youre, qui vit le 3 Août 1872 à des inter- valles de une ou deux minutes une tempête de 120 milles par seconde cesser chaque fois et puis recommencer de nouveau, et cela durant une heure entière. (Yonna: the Sun (1895) p. 167). Voir aussi par exemple les observations du P. Frnyt, citées dans la note s suivante. M. Fenyi m'a écrit aussi en 1894, que la moitié de toutes les protu- bérances, qu’ il a observées, n'avaient aucun liea avec la chromosphère éloignée: „dass aber etwa die Hälfte der Protuberanzen ganz oder theilweise an ihrem Fusse von der Chromosphaere getrennt zu sein pflegen, eine Erscheinung, die sehr eigenthümlich ist und sehr für ein Entflammen und gegen ein einfaches ausströmen spricht”. Il est bien difficile en effet d’attribuer toutes ces protubérances en ce cas à des éruptions quelconques! ») Fenyr: Mem. d. Soc. d. Spettrosc. Italiani Vol XXIII (1894). lana Oy yw = des M TR, dis DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 9 cette théorie point de difficultés non plus par rapport à la struc- ture en forme de bandelettes. . . .. Cette théorie a cependant elle aussi ses difficultés, que nous ne pouvons énumérer ici. Qu'il me soit toutefois permis de démontrer que les protubérances ne sauraient être expliquées par la propagation d’une opération de physique ou de chimie. Le déplacement des raies du spectre est une chose in- dubitable; or ce fait suppose des mouvements aussi considérables que ceux que l’ascension permet de mesurer immédiatement. À mon avis il est impossible qu'un déplacement des raies du spectre résulte du simple avancement d'une opération de physique ou de chimie. En adoptant cette explication nous quitterions le terrain ferme de l'expérience sans rencontrer dans la théorie aucun appui. .... 0) Le raisonnement de Sxcour {) le voici: Après s'être demandé si „en considérant les vitesses énormes des protubérances” tous ces changements de forme étaient bien dus à des mouvements méca- niques, „ne seraient ce pas de simples apparences, dit-il encore, dues à des changements d'état physiques. ... Les masses nébuleuses silluminent avec tant de rapidité, elles se dissolvent ensuite en si peu de temps que l’on est porté à voir la une transformation momen- tanée plutôt qu’un transport réel de matière pondérable.”” Mais, dit-il, quelques pages plus loin (p. 112) ,,cette question, savoir si les mouvements de la matière incandescente qui constitue les pro- tubérances sont réels ou apparents, sera singulièrement éclaircie, s) Le P. Fenyt mentionne aussi les protubérances tranquilles comme étant d’après lui très difficiles à expliquer au moyen de ma théorie. Pour qui veut étudier les protu- bérances les observations innombrables du Rev. Père sont riches en informations de toute sorte. Mais bien loin d’être toujours en. accord avec l'hypothèse de mouvements réels, elles en font ressortir souvent, d'après le P, Fenvyr lui-même la grande invraisem- blance. De telles observations sont mentionnées par exemple aux pages 19, 20, 23 des Publ. des Haynald Obs. Heft VI (1892) et aux pages 114 et 129 des Publ. VIII 1902. On les trouve aussi décrites dans les Mem. d. Soc. d. Spettrosc. Italiani Vol. XX (1891) (Protubérances extraordinaires observées à l’Observ. Haynald et Ascension rapide d’une Protubérance solaire) et dans l’Astroph. Journal du mois de Mars 1896 p. 194. Ces observations ont révélé des mouvements ascentionnels si capricieusement variables qu'il est impossible d’y voir l’effet d’une éruption, d'une explosion ou d’une répulsion électrique quelconques et elles ont démontré surtout que lorsqu'un mouvement déduit d’un déplace- ment spectral devait causer un déplacement matériel visible, ce déplacement cependant ne s'observa pas! Le P. Fenyi a fait remarquer surtout (Publ. d. Hayn. Obs. VIII p. 114) que si l’on attribue les déplacements spectraux chromosphériques à des mouvements énormes dans le rayon visuel, qui en ce cas est toujours dans la direction des parallèles du soleil, il est inconcevable que des mouvements pareils ne se manifestent jamais dans la direction méridienne. De tels mouvements de 7° en 6 minutes devraient étre directe- ment visibles, mais on ne les voit jamais. Or si les protubérances sont dues à des éruptions ou des explosions, on ne voit pas pourquoi leur gaz serait toujours lancé dans la direction des paralléles et jamais dans la direction des méridiens. t) Seccur: le Soleil II p. 108. 10 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME nous croyons même quelle sera résolue par les faits, que nous allons exposer dans les paragraphes suivants.” Or les faits, que Srccur expose dans ces paragraphes (p. 112—124) ont uniquement rapport au déplacement des raies spectrales. C’est en étudiant séri- eusement ce déplacement qu’on n’hésitera pas à conclure, dit-il, „que les éruptions solaires ne peuvent s’expliquer (comme il l'avait supposé un moment) par de simples illuminations dues à des dé- charges électriques; mais que ce sont de véritables mouvements mécaniques, des transports de matière pondérable lancée avec une vitesse dont nous n’avons d’ailleurs aucun exemple.” M. Youre a raisonné précisément comme les P. P. Ferry et Seccur. Dans son Traité du Soleil) j'ai trouvé les passages suivants: A la page 164 M. Youne s’exprime ainsi: „toute l’apparence des protubérances quiescentes indique qu’elles prennent naissance où nous les voyons.... (page 166) elles sont formées par un échauf- fement local ou par quelque agitation lumineuse de l’hydrogène déjà présent et non par un transport et une réunion de matières prises au loin.” A la page 241 nous lisons: „Dans bien des cas, peut-être dans la plupart, les formes et la manière d’être des pro- tubérances s'expliquent assez bien en supposant que l’hydrogène échauffé et les vapeurs qui s’y joignent sont simplement chassés dans des régions plus fraîches par la pression au dessous. ... Mais évidemment ce n’est pas là tout ce qui a lieu. Nous sommes forcés d’avoir recours à des idées d’un orde différent pour nous expliquer des cas assez rares, mais néanmoins bien prouvés où on a vu les sommets de protubérances monter en quelques minutes jusqu’à des élévations de 2 ou 300 000 milles, le mouvement ascentionnel étant presque visible aux yeux avec une vitesse de 100 milles ou davantage par seconde. Ce qui est aussi très embarrassant c’est le fait indubitable que des nuages de cette substance des protubérances s’assemblent quelquefois et se forment sans aucune liaison apparente avec la chromosphère située au dessous; apparemment juste comme des nuages se forment dans notre propre atmosphère par la con- densation de vapeurs auparavant invisibles. À tout prendre on dirait que nous devons regarder les protubérances comme différant du milieu qui les entoure, principalement, sinon entièrement, par leur luminosité, comme simplement des portions surchauffées d’une im- mense photosphére.’’ Ces observations que M. Youne a présentées longtemps avant moi, s'accordent complètement avec ma théorie du soleil tranquille. Et il n’est donc nullement étonnant qu’en citant u) C. A. Youne: le Soleil, trad. française (1883). pe Oe ee nn eS ee eee DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. Jat ma théorie dans une édition nouvelle de son Traité du Soleil il en parle en termes sympathiques. Ma théorie donnerait, selon lui, une explication parfaite des phénomènes, sil n'y avait le déplacement des raies spectrales, qui nous démontre d’une manière certaine que nous avons affaire à des mouvements réels et non à un simple changement de place de la forme lumineuse v). Ces trois citations, qui seront complétées plus loin par celles qui nous feront voir, comment Srccar et Liais ont cru pouveir inter- préter les mouvements rapides que la surface photosphérique nous montre sans cesse, auront démontré J'espère que j'avais bien raison tantôt en affirmant que d’après l’opinion des plus illustres défen- seurs des éruptions solaires, leur croyance à la réalité de ces érup- tions n’est fondée que sur un seul argument, c’est à dire sur leur interprétation ordinaire du déplacement des raies spectrales. Mais les arguments doivent être jugés d’après leur date w). Au temps que les P. P. Sxconr et Fenxr et M. Youne, qui avaient adopté l’idée de M. Lockynr, écrivaient les passages, que je viens de citer, on avait encore quelque raison de croire qu’un déplace- ment de raies ne pouvait ¢tre causé autrement que par un dépla- cement matériel et réel de la source lumineuse. Car toute autre cause était alors encore inconnue. Cette croyance toutefois n’avait v) C. A. Youne: the Sun (1895) p. 228 „But to Brester’s view the one conclusive objection, unless it can be evaded, is the fact that the lines in the spectrum testify to swift motions in the line of yision.... Brester maintains that the motion of a mere luminous form would produce the same effect.... There is however no evidence to support such a doctrine. No theoretical reason can be assigned, at least none has been so far as we know.... As for experimental evidence none exists as yet”. Voir aussi E. I. Wicezynski: Astroph. Journ. I p. 122, 1895; „The spectroscope says that these veloci- ties are actually present and no theory, however ingenious, can ignore this fact. For the same reison such theories as that of Brester are at present unjustified”. w) Le P. Fenyi par exemple ne croit plus maintenant que chaque déplacement spectral doive étre attribué à un mouvement de la source lamineuse. C'est surtout l’immobilité des protubérances dans leur meridien (voir la note s précédente) qui a causé ce change- ment d'opinion „Man wird daher gedrängt zu vermuthen, dass nicht jede Linienver- schiebung auf eine entsprechende Geschwindigkeit der Lichtquelle zurück zu führen ist (Publ. d. Haynald Observ. VIII Heft 1902, Notiz über besondere Bewegungen, p.114). Mais si même dans l'explication des protubérances le Principe de Doppler est évidemment trompeur, on ne voit guère à quel phénomène dans l’intérieur du soleil, il serait done bien applicable! — Le léger déplacement des raies de Fraunhofer vers le rouge, que M. J. Harm vient de découvrir dans le spectre du bord du soleil (Astron. Nachr. N°. 4146) est un autre exemple d'un déplacement, auquel le principe de Doppler n’est certainement pas applicable. M. Harm l’a démontré clairement (loc. cit. p. 281—283). Ce déplacement répond d'après lui, à l’épaisseur plus grande qu'ont pour nous au bord du disque les couches renversantes, qui causant d’ailleurs toujours un déplacement vers le rouge, que M. Jewett a découvert, causeront ce déplacement d'autant plus fortement que ces couches seront pour nous plus épaisses. 12 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME rien de bien convaincant. Car on avait bien la certitude qu’un mouvement matériel suffisant causait toujours un déplacement des raies, mais cette certitude ne pouvait pas prouver qu’inversement chaque déplacement de raies dût être causé par un mouvement matériel et ne püt être l'effet de quelque autre cause, telle que par exemple le déplacement de l’état lumineux dans la matière tranquille. Pour pouvoir nier la possibilité d’un tel effet, il fau- drait premièrement savoir avec précision, comment les atomes lu- mineux ou les électrons éventuels mettent en branle les ondes de ether. Or nous savons qu’en cette matière on n’a encore que des idées très vagues. Ces idées sont même tellement vagues que le déplacement lui-même des raies qu'on a indubitablement observé lorsque la source lumineuse se déplace n’a jamais été completément expliqué æ). Si, probablement moyennant quelque application du æ) W. Micuecson: Astroph. Journ, XIII p. 192. „It is very likely that these dis- placements are actually due to those motions by which they are usually explained in astrophysics, but, from a strictly logical point of view, it cannot be asserted as yet that no other explanation is possible. Nor do I mean to remove from Döpplers principle its hypothetical past, which probably belong to it by the very nature of the question.... A strictly scientific solution of the question is hardly poss:ble at present, since it involves the difficult problems of the connection between the ether and ponderable matter’. ScHEINER: Die Spectralanalyse der Gestirne p. 154. Une tentative d’expliquer, comment les électrons pourraient causer des ondes lumineuses, a été faite par M. I. Starx à propos de ses recherches expérimentales sur les rayons-canaux de Goldstein. I. Srark: Physik. Zeitschr. 6 p. 892 (1905) 7 p. 249, 251, 353, 355, 564, 567 (1906); Astroph. Journ. XXIV Dec. 1906 p. 362. Les recherches de M. Srark ont prouvé surtout que les rayons- canaux produisent hormis leurs raies ordinaires des raies déplacées qui seraient dues d’après lui aux ions positifs se mouvant à grande vitesse. Si dans les couches extérieures du soleil, l'électricité (de la matière radioactive par exemple) pouvait produire des déplacements ioniques analogues, de tels déplacements ne seraient pas incompatibles avec la tranquillité générale du soleil. C’est ainsi aussi que dans les expériences de M. Srark on voit, dans le même tube, à côté des raies déplacées de l'hydrogène, les raies normales de l’hydrogène en repos. Cette impuissance des ions à entraîner le gaz qu’ils traversent doit résulter de la petitesse de leur masse, qui est si petite en effet, qu'un gramme de Radium en peut perdre cent milliards par seconde (10°, Rurnerrorp: Radio-Activity p. 158) sans que de cette perte continuelle, même après plusieurs années, n'ait résulté jusqu à présent la moindre diminution de poids. La supposition que des ions positifs puissent traverser jamais quelque couche considérable d’un gaz quelconque n’a d'ailleurs rien de plausible. Car les rayons Alpha du Radium démontrent que ces ions positifs en vertu probablement de leur grandeur ont un pouvoir pénétrant excessi- vement petit. (Rurnerrorp: loc. cit. p. 133). Remarquons en outre que d’après les expé- riences de Mr. G. F. Hutt (Astroph. Journ. Janvier 1907 p. 14—17 et 21) ce sont surtout les raies de l'hydrogène que les rayons canaux déplacent, car les raies d’autres substances et de l’hélium par exemple ne montrent de cette manière aucun déplacement certain. (Voir cependant aussi Astroph. Journ. April 1907 p. 170—194 p. 230—235). Dans la séance du 6 Avril 1907 du Congrès physique et médical de Leiden M. Srark nous a fait voir d'ailleurs que dans les rayons canaux les raies du mercure se montrent aussi très distinctement déplacées. DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 13 principe de la résonnance, cette explication réussit un jour, cette explication suffira vraisemblablement aussi à expliquer le déplace- ment des raies lorsque c’est la propagation d’un procès chimique qui le produit. Car si les atomes, qui les premiers dans la matière tranquille deviennent lumineux, inpriment tout de suite aux atomes qui ne deviendront lumineux que plus tard un commencement de mouvement vibratoire, qui doit correspondre a la longueur d'onde norma.e, cette vibration sera nécessairement modifiée à mesure que le procès chimique se propagera. Car là, où les atomes se combi- nent, leur rapprochement ne dépendra pas surtout de celui qui y était dû déjà aux ondes de l’éther. Et dans l’onde primitive la phase du plus grand rapprochement des atomes se présentera main- tenant ou plus tôt ou plus tard, ce qui causera un changement dans la longueur de cette onde. S'il y a peut-être quelque vérité dans cette tentative d’une explication, il reste à savoir comment un tel déplacement des raies dépendra de la vitesse de la propa- gation du procès chimique. Cette dépendance ne sera apparemment pas aussi simple que celle qui, d’après Dörrrer, relie chaque dé- placement à une vitesse correspondante de la source lumineuse. Jabuserais de la patience du lecteur si je tachais de donner ici à l’idée, que je viens d’énoncer un plus long développement. Cette idée n’a peut-être pas la moindre valeur. Mais heureusement nous n'avons pas besoin d’hypothèses pour acquérir la certitude, que les avocats de Vinfaillibilité du principe de Döreuer se sont trompés autrefois, lorsqu'ils croyaient voir dans le déplacement des raies une preuve certaine du mouvement de la matière pondérable. Car dans les années, qui se sont écoulées depuis lors un grand nombre de recherches expérimentales et d’observations astronomiques ont renversé ce seul argument des éruptions solaires en démontrant avec évidence que très souvent il y aura un déplatement des raies sans le moindre déplacement de la source lumineuse. Un tel déplacement a été sûrement démontré dans les 10 cas suivants: Citons 1° les recherches de M. M. Humpnruys et MouLer, qui ont découvert que les raies se déplacent vers le rouge lorsque la pression du gaz lumineux augmente y). Citons 2° les recherches de Hurr, qui ont démontré que ce déplacement des raies par pression dépend aussi de la présence d’autres substances 2). Citons 3° les recherches de Hascurk et de Kerr, qui ont prouvé que beaucoup y) Astroph. Journ. III p. 114; IV p. 175, V p. 169. Voir l'application récente que M. Harm a faite de ces recherches dans la note w précédente et dans la deuxième note s du 10me paragraphe. Voir aussi la note de M. Hare: Astroph. Journ. IIL p.156—161. z) Astroph. Journ. XIV p. 48. 14 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME de raies se déplacent lorsqu'on remplace l'arc par l’étincelle et lorsque l’étincelle est différemment produite 4). Citons 4° les recher- ches de M. M. Winstne, Louse et HARTMAN, de M. M. Hatz et Kenr et de beaucoup d’autres, qui, en étudiant la vapeur d’élec- trodes métalliques dans une étincelle électrique au milieu d’un liquide où d’un gaz comprimé, ont vu des raies, qui se déplaçaient fortement vers le rouge et qui se dédoublaient (comme on le voit souvent dans le spectre des Novae) en une raie brillante fortement déplacée et une raie obscure déplacée beaucoup moins 4). Citons 5 les re- cherches de M. M. E. Wrepumann et G. C. Scumrpr, qui ont dé- couvert, que dans les corps luminescents les bandes brillantes d’émis- sion montrent toujours une réfrangibilité moins grande que les bandes correspondantes d’absorption c). Citons 6° les recherches de M. Junius, qui ont fait voir, comment par dispersion anomale les raies peuvent paraître déplacées d). Citons 7° les recherches théori- ques de M. W. MrcuersoN, qui ont fait ressortir, qu’un déplace- ment des raies aura lieu lorsque dans le rayon visuel une masse autrement réfractive soudainement s’interpose e). Citons 8° le phé- a) Astroph. Journ. XIV p. 181 (1901) XXII p. 182 (1905). b) Wirsine: Astroph. Journ. X p. 113. Hare: Astroph. Journ. XV p. 132. Hare and Kerr: Astroph. Journ. XVII p. 154. c) Wiedem. Ann. 37 p. 177, 56 p. 18. : d) Astroph. Journ. XIL p. 185. W. H. Jurivs: Astroph. Journ. XXV March 1907, Plate VIL p. 106. „We see from these photographs that the real absorption lines of the sodium vapor must have been excessively narrow; indeed it is dubious whether they can be distinguished at all and the distribution of the light seems to be wholly governed by anomalous dispersion”. e) W. Micnetson: Astroph. Journ. April 1901 p. 193. Si dans le spectre des protu- bérances et des taches il n’y avait jamais de raies ne bougeant jamais tandis que les autres raies se déplacent, les conclusions de M. Micnetson seraient directement applica- bles & mon explication des protubérances. Car si les protubérances résultent d’un proces chimique, les combinaisons nouvelles subitement ainsi produites pourraient fonctionner comme la masse autrement réfractive, que demande M. Mrcneuson dans le rayon visuel. Tl paraît cependant que ces combinaisons nouvelles ne se forment pas assez vite ou assez abondamment pour produire l'effet que M. Mronrrson a expliqué. Car si cet effet existait dans le soleil tranquille, il devrait se manifester dans toutes les raies spectrales, et un déplacement simultané de toutes les raies, que M. Mrrcnerr a observé une fois (voir la note m précédente) serait alors incessamment à l’ordre du jour. M. MicueLson est bien loin d’ailleurs de croire à la tranquillité intérieure du soleil; car donnant aux déplace- ments des raies l’interpretation qu’il critique, il admet que dans le soleil les gaz diffé- rents ne sont pas mélangés, mais isolément emportés par des mouvements disparates. Si ure telle constitution chaotique était aussi concevable qu'elle est généralement admise, on ne saurait nier la possibilité que quelquefois le hasard pit engendrer quelque raie immobile au milieu d’autres distinctement déplacées, mais ce chaos ne saurait jamais expliquer pourquoi c'est précisément le coronium, qui ne bouge jamais et pourquoi dans le spectre des taches ce sont précisément l'hydrogène et quelques autres gaz dont les raies se déplacent, tandis que l’immense majorité des autres raies ne bouge jamais. - DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 15 nomene de ZrrMAN lorsque la lumière est produite dans un champ magnétique f). Citons 9° les observations astronomiques du P. Fényr, qui ont convaincu cet observateur infatigable que dans l’explica- tion des protubérances le principe de DôPPLer, qu'il croyait autre- fois infaillible, est cependant souvent trompeur y). Citons 10° (last not least) les observations astronomiques du spectre des Novae, où des déplacements énormes de raies, premièrement attribués à des mouvements réels, ont été prouvés plus tard être dus à quelque cause encore inconnue tout autre. On s’apercut bien vite en effet, qu'en appliquant ici le principe de Dôprrer, il n’en résultait que des impossibilités et des incongruités, que M.M. Wrrsine et Vocez ont fait ressortir. Et c’est ainsi que d’un commun accord on a tout simplement décidé, qu'au déplacement des raies dans le spectre des Novae le principe de DôPpLer n’était pas applicable 4). Si c'est donc en vertu des impossibilités, qu’il engendre, que le principe de Dôrpcer a dû être abandonné dans l'étude des Novae, c’est précisément pour la même raison, qu'on devra l’abandonner aussi dans l'étude du soleil. Ce n’est que le premier pas qui coûte. Faisons donc résolument le second). Concédons, que toutes les f) P. Zeeman: Astroph. Journ. V May 1897, g) Voir les notes s et w précédentes. Quoique le P. Fenyi attache beaucoup d’impor- tance à l'explication de M. W. Michelson, il n’admet pas cependant que cette explication suffise pour rendre compte de tous les déplacements, qu'on observe et parmi lesquels il y en a plusieurs qui, d'après lui, demandent encore toujours l’explication de Doppler. (Fenyi: Astroph. Journ. Jan. 1904 p. 70; Micuersoxs theory of the displacement of spectral lines) Voir aussi Fenyr: Meteorol. Zeitschrift Aug. 1907 p. 359. h) Wirsine: Astroph. Journ. X p. 113. Vocec: Astron. Nachr. Bd. 155 N°. 3701. Wrirsine: Astron. Nachr. N°. 3603. CLerke: Probl. in Astroph. p. 375—398. Mlle Clarke arrive par exemple, à propos des Novae, à la page 397 de son livre si beau et si captivant, que je viens de citer, à la conclusion que voici: „Yet it is no small advan- tage to clear the ways of thought by abolishing untenable hypotheses. It may tl:en safely be stated that the remarkable spectral shiftings in temporary stars are not effects of translatory motion; they supply no argument for the duplicity of the light sources. Neither do they originate through pressure, which tends to damp down vibrations not to accelerate them”. N'est il pas remarquable de voir ici Mlle Crerxe sacrifier en toute sécurité le principe de Doppler, alors qu’ à la page 109 du même livre, elle s’en arme avec non moins de sécurité pour combattre ma théorie? ,These shiftings (dit-elle là) demand the strict application of Döpplers principle, real velocities must correspond to them”. Outre les Novae il y a d’ailleurs encore beaucoup d’autres étoiles, dont les dépla- cements spectraux bien qu’ inexpliqués encore, ne sont plus jamais interprétés d'après le Principe de Döppler. C’est ce que nous verrons aussi plus loin en étudiant le spectre de Mira. (Campsett: Astroph. Journ, IX p. 31—36) Voir ma note p, § 17. i) Ce second pas, que M. Junius a fait vers 1900 a été pour moi, le premier pasen 1888. C'était dans ma premiére Publication astronomique: Verklaring van de verander- lijkheid der Roode Sterren Delft 1888. Dans cet opuscule j'ai tâché de faire voir que ce n’est pas le hasard qui rend variables justement ces étoiles qui sont les plus refroidies. Entre ce refroidissement et la variabilité des étoiles il doit exister une relation de cause à effet. J'avais alors l’idée que voici: Les étoiles rouges variables sont couvertes d’une 16 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME recherches récentes, que je viens de citer, ont dépourvu l’argument unique des éruptions solaires du pouvoir persuasif, qu'il pouvait avoir autrefois et que ce n’est pas un argument aussi maltraité, qui nous convaincra jamais de la possibilité d'un globe solaire gazeux, qui en dépit d’un bouleversement éternel, ne perdrait jamais sa structure stratifiée, maintiendrait toujours une partie de ses gaz mélangés en repos et produirait là même où ce globe serait le plus violemment agité, un spectre étalon à longueurs d’onde invariables ! Or comme ces trois particularités capitales du soleil sont des faits indubitables nous prouvant sûrement l’impossibilité des bouleverse- ments solaires, il ne nous reste done plus qu'à admettre la tran- quillité du soleil et de reconnaître par conséquent, que dans le soleil, comme dans les Novae, l'application du Principe de DörPrer doit être abandonnée. En considérant désormais le soleil comme relativement tranquille, on cessera de n’y voir que des impossibilités et l’on sera ainsi sur la bonne voie pour arriver enfin a l’explication de tant de phéno- mènes, qui depuis les mémorables recherches de KircHHorr vers 1860 sont encore toujours inexpliqués = C’est ce qu'on verra démontré, j'espère, lorsque j'aurai abordé l’objet principal de ce Mémoire. nappe nuageuse obscurcissante, nous voilant plus ou moins l’intérieur toujours invaria- blement brillant de l’astre. Dans cette nappe il y a, mélangées aux molécules R de la vapeur nuageuse, des molécules À et B combinables, qui, lorsque la nappe refroïdit, y causeront, comme je l’expliquerai tantôt dans le texte, des éruptions de chaleur pério- diques. Or, chaque fois, qu’ une telle éruption de chaleur se produit par la combinaison d’une partie des molécules A et B, elle causera un maximum de l'étoile par l’évaporation des molécules R dans les nuages obscurcissants. Et le minimum reviendra chaque fois lorsque ces molécules évaporées se condenseront de nouveau en nuages. Si cette idée était aussi plausible que je le croyais alors, il en découlait implicitement Ja tranquillité des couches extérieures de l’astre, sans laquelle le mécanisme des molécules A + B + R n'aurait pu fonctionner. Je fis voir alors que dans les astres cette tranquillité, qui répondait à la théorie cinétique des gaz et à la stratification constatée dans l'atmosphère solaire n'avait rien d’inconcevable et ne saurait être jamais troublée comme celle de notre propre atmosphère. Car dans les astres le soleil ne luit pas unilatéralement et par conséquent inégalement comme chez nous, mais il luit là toujours invariablement au centre. C'est à propos de cette démonstration de la tranquillité des astres que j’ai ajouté dans une Note au bas de la page 9: Ici le lecteur verra probablement surgir les protu- bérances du soleil, comme autant d'arguments énormes contre la quiétude des couches stellaires extérieures. Mais on se fait de ces protubérances, en se laissant tromper par les apparences, une idée évidemment exagérée. Si c’étaient vraiment des flammes ou des cyclones gigantesques à vitesses prodigieuses etc. etc. Dans cette même Note Vinfaillibilité du principe, alors encore tout puissant de Düpprer fut déjà énergiquement combattue, DELA PÉRIODICITÉ.DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 17 $ 2. Les sources de la chaleur solaire. Pour comprendre la cause de la tranquillité du gaz solaire, nous commencerons par nous rappeler, que unique cause de nos cyclones terrestres réside dans l’action perturbatrice du soleil. Une cause perturbatrice pareille ne pouvant exister à l’extérieur du soleil lui- même, le gaz solaire sera donc sous ce rapport tout aussi calme que le serait notre atmosphère si le soleil n'existait pas. Mais, dira-t-on, c’est le refroidissement inégal, qui cause ces bouleverse- ments, qu'on suppose. J’y réponds que nous avons pas besoin d'admettre ce refroidissement inégal, parce qu'il est fort bien pos- sible que dans la masse entière du soleil il ne puisse jamais être question quelque part d’un refroidissement soudain quelconque. Car cette masse entière se trouve dans un état disgrégé, c’est a dire dans un état dilaté, évaporé et dissocié, qui y empêchera toute diminution de la température. Ses molécules disgrégées seront tou- jours prêtes à s’agréger dès que leur perte continuelle de chaleur par rayonnement leur en fournit l’occasion et à empêcher de la sorte par la chaleur produite dans leur agrégation que la tempé- rature baisse jamais d'une manière notable. Si d’ailleurs toutes ces molécules de la matière disgrégée ne suffisaient pas à cette tâche, il y en aurait encore beaucoup d’autres toujours prètes à les seconder. Car d’après M. M. Osrwarp et ARRHENIUS, se fondant sur les prin- cipes de la thermodynamique, le soleil doit être riche en combinai- sons endothermiques, qui en vertu du principe de l’équilibre mobile de Van ‘’r Horr combattront de même tout refroidissement par la chaleur, qui résultera de leur dissociation exothermique 7). Ces com- binaisons endothermiques se trouveront surtout dans les couches plus profondes où une haute température et une forte pression sont justement ce qui leur faut pour durer; et elles contiendront pro- bablement tous ces métalloïdes, qui comme lazote, le phosphore, le souffre, le sélénium etc., n’ont jamais été observés dans les couches extérieures du soleil. Tous les procès, que je viens d'indiquer, comme résultant né- cessairement de la perte de chaleur par rayonnement, tendront à j) W. Osrwarp: Grundriss der Allgemeinen Chemie p. 312. Sv. A. ARRHENIUS: Lehrbuch der kosmischen Physik p. 162—163. J. H. van rv Horr: Etudes de Dynamique chimique, Amsterdam (1884). Mais voir aussi J. J. van Laar: Zeitschrift für physik, Chemie LVII, 5, p. 633. Ueber endotherme und exotherme Dissociationsprozesse. D’apres les calculs de M. van Laar chaque dissociation exothermique doit devenir endothermique lorsque la température est très élevée et la dissociation par exemple du peroxyde d’azote (N O,) du protoxyde (N, O) et de l’ozone cesse d’être exothermique aux températures resp. de 4000, 9000 et 17000°. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. IX. n°. 6. F2 18 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME empêcher que quelque part dans le soleil un changement de tem- pérature se produise, capable d’y mettre la masse en mouvement. Ce seront donc ces procès, qui donneront à la tranquillité du soleil son explication. Mais cette explication ne pourra être complète, que lorsque la composition qualitative et surtout quantitative des couches solaires sera plus tard infiniment mieux connue qu'aujourd'hui; et elle devriendra en ce cas plus facile, si cette composition mieux connue nous aura révélé alors peut-être que, tout comme l’oxygène et le silicium forment à eux seuls les $ de notre croûte terrestre, il y aurait aussi dans les couches solaires un ou deux éléments tout aussi prépondérants. Comment Ja condensation d’un seul élément prépondérant peut rendre celle de tous les autres éléments impossible, se verra élucidé dans la note g de mon § 6. Mais quels que puissent être d’ailleurs les résultats de recherches chimiques et astro-chimiques futures, la tranquillité du soleil est déjà maintenant certaine; car elle n’a pas été déduite des données de notre chimie terrestre; mais elle a été clairement établie par tous les arguments que nous avons étudiés dans mon premier para- graphe, comme le résultat immédiat des observations #). La tranquillité du soleil ne sera troublée que lorsque les agré- gations et les disgrégations isothermiques, que j'ai indiquées plus haut, auront produit un changement notable de volume. A propos de toutes ces molécules disgrégées et agrégées s’oppo- sant à toute diminution soudaine de la température du soleil, je k) M. Junius, qui voit dans les déplacements spectraux dans l’atmosphère solaire un effet de dispersion anomale, a beaucoup contribué sans doute à faire ressortir l’invrai- semblance des éruptions terribles, que généralement encore on suppose. Mais sa théorie n’en demande pas moins, elle aussi, des courants et des tourbillons considérables, qui incompatibles selon moi avec la stratification du gaz solaire et attribués par lui à des changements de température que selon moi la masse refroidissante, mais disgrégée solaire ne doit pas nécessairement engendrer, me paraissent inadmissibles. Si HELMHOLTZ a démontré, comment de tels courants naissent dans notre propre atmosphère, qui en refroidissant doit bien nécessairement diminuer en température, et comment ces courants y forment alors des surfaces de discontinuité et des tourbillons; c’est à tort que M. M. EmpeN et Jurrus ont appliqué cette démonstration à l’étude de la masse solaire, qui. peut très bien refroidir, comme je viens de le supposer dans le texte et comme la vapeur d'eau à 100° le nous prouve sans qu’il en résulte la moindre diminution de température. (Voir la note q de mon 6me paragraphe). Il est vrai que ces tourbillons supposés solaires, avec leur densité diminuante vers leur axe, seraient éminemment propres à être vus comme des protubérances par dispersion anomale. Mais l'application qu’en fait M. Empen pour expliquer la formation des taches est beaucoup moins heureuse. Car cette application demande que les taches soient concaves, mais elles sont convexes le plus souvent (Voir la note + dans mon 6me paragraphe). H. v. Hecmnocrz: Gesamm. Abh. I p. 146, IIL p. 287—355. R. Eupen: Beiträge zur Sonnentheorie Ann. d. Phys. [4] 7 p.176—197. W. H. Junius: Versl. v. d. K. Ak. v. W. te Amsterdam, Verg. v. 28 Juni 1902. Een hypothese over den oorsprong der zonneprotuberanties. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 19 me permettra de rappeler ici l'idée principale de ma théorie de 1888 et d’anticiper un peu sur l’explication, que je tacherai de donner plus loin de la périodicité des taches, en expliquant déjà maintenant, quelles sont les 5 ou 6 sources de la chaleur solaire. Ces sources sont 1° une source abondante de chaleur actuelle et <° quatre sources de chaleur potentielle, qui ne fonctionnent qu'en vertu de la chaleur, que le soleil perd sans relâche et em- pêchent que de cette perte résulte jamais quelque diminution sou- daine de la température. Ces quatre sources sont les sources mé- canique, physique, chimique et endo-chimique, qui sont respective- ment alimentées par la contraction de la matière dilatée, par la condensation de la matière évaporée, par la combinaison chimique de la matière dissociée et par la décomposition de la matière en- dothermique associée. Outre ces cinq sources de la chaleur solaire, il y en a proba- blement encore une sixième: la source de chaleur radiochimique. Cette source demande la présence d’une substance radioactive. Si de telles substances n'avaient été trouvées sur notre terre que dans les quelques minerais assez rares, qui servent à les préparer, on n'aurait que peu de raison de leur attribuer un rôle important dans la production de la chaleur solaire. Mais M. M. Ersrer et Gurren, et après eux beaucoup d’autres observateurs, ont fait voir, que ces substances, bien loin d’être rares, manifestent ici tout par- tout leur présence dans le sol, dans l’eau et dans lair /). Il n’est donc nullement improbable, que des substances aussi généralement répandues sur notre terre se trouvent aussi dans le soleil. Si l’hélium, qui comme produit de leur désintégration les accompagne toujours dans leurs minerais #) et notamment aussi dans la cleveite, d’où M. Ramsay l’a séparé x), est un élément de l'atmosphère solaire 0) il est là peut-être aussi le produit de cette même désintégration. Il est vrai toutefois, qu’aucuns des rayons caractéristiques des sub- stances radioactives ne parviennent du soleil jusqu’à nous. Mais M. M. Srrurr et Jory ont démontré, comment ces rayons doivent pouvoir être complètement absorbés dans les couches extérieures de notre atmosphère p); et quant aux rayons ordinaires de leur vapeur 1) Rururerrorp: Radioactivity (1904) p. 345. Ersrer u. Geuren: Phys. Zeitschr. 3 p. 574 (1902), 4 p. 522 (1903). m) Rurnerrorp a. Sonny: Phil. Mag. 1902 p. 582. Ramsay a. Sonny: Proc. R. Soc. 72 p. 204 (1903). n) Ramsay: Chem. News 29 March 1895. Runce: Nature 6 June 1895. o) L’hélium a été découvert pendant Véclipse de 1868. M.M. Lockyer et FRANKIAND n'ayant pu lidentifier avec quelque élément terrestre, c’est FRANKLAND qui lui a donné son nom. p) Srrurr a. Jory: Nature Oct. 15 1903. Voir la note u suivante. F 2# 20 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME incandescente g) leur absence dans le spectre solaire ne saurait nous surprendre; car, les éléments radioactifs étant les plus lourds qu'on connaisse et la stratification du gaz solaire étant telle que les éléments à poids moléculaire moyen plus grand que 159 sont déjà trop lourds pour s'élever au dessus de la photosphère, il ne semble guère possible qu'un élément radioactif éventuel puisse jamais at- teindre la hauteur qu'il lui faudrait pour manifester sa présence. A ce propos je ferai remarquer ici en passant, que si en vertu de sa grande densité, la matière radioactive éventuelle n’est pas présente au dessus de la photosphère, mais seulement au dessous, elle sera empéchée par la matière condensée dans la photosphère de lancer ses rayons Beta et Gamma au dehors. Mais cet empéche- ment n’existera pas au même degré là, où la photosphère étant trouée, nous voyons des taches. De chaque tache échappera par conséquent, tout comme de la cuvette de plomb dans les expé- riences de M"° Courier) un faisceau vertical de rayons Beta et Gamma. Or lorsqu'un tel faisceau rencontre notre terre, il produira dans les couches extérieures de notre atmosphère tous ces phéno- mènes électriques, qui ont déjà été étudiés par M. ARRHENIUS s) et par M. M. BrirkeraAND et PAULSEN 7) comme dus, mais sans l'intervention directe des taches, à des rayons cathodiques solaires et comme la cause de nos aurores polaires et de nos perturbations magnétiques, et qui causeront par conséquent ces phénomènes ter- restres d'autant plus fortement que les taches seront plus grandes et plus nombreuses. Ne serait-ce pas là l’éclaircissement du rapport qui existe entre ces phénomènes terrestres et les taches du soleil q) Demarçay: C. R. 127 p. 1218 (1898); 129 p. 716; 131 p. 258. r) Mme Curre: Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris 1903. E. Rurner- rorD: Radio-activity p. 92. s) Sv. Arruenius: Lehrb. d. Kosm. Phys. p. 152. t) A. PaurseN: Bull. de la Soc. belge d'Astr. Oct. 1906 p. 381. Théorie nouvelle de l'aurore polaire. „On sait que certains phénomènes célestes ont, amené plusieurs astronomes et physiciens à admettre que le soleil émet des rayons cathodiques; c'est aussi sur cette supposition, que M. BirkeranD a fondé ses théories sur l'aurore polaire” M. PAULSEN fait la même supposition et „cherche la cause de l’aurore polaire dans une immense ionisation et électrisation négative des couches supérieures de l’atmosphère au dessus de la zone de maximum de l’aurore, de sorte que cette altération de lair ce renouvelle chaque jour en commençant aux limites de Vatmosphere.” Les recherches de Sir W. Huceins et de Lady Hucains (Astroph. Journ. X VIII Sept. 1903. On the spectrum of the Spontaneous luminous radiation of Radium at ordinary temperatures) ont prouvé d’ailleurs qu'une forte ionisation de l’azote par le radium, sans intervention de forces électriques extérieures, produit une luminescence, dont le spectre aux longueurs d’onde 3372, 3575, 3918 et 4285 est le même que celui des rayons cathodiques de l’azote, qui est aussi le spectre principal de Vaurore polaire (PAuLSEN: loc. cit. p. 887; ARRHENIUS: loc. cit. p. 910). Mais si la luminescence de nos aurores polaires peut étre attribuée de la sorte a des rayons cathodiques du soleil, il est fort bien possible, que la luminescence de la DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 2] et l'explication de l'égalité de leur périodicité undécennale 7)? La direction généralement verticale des faisceaux qui échappe- raient des taches répondrait immédiatement aussi à la découverte de M. Kunis (M. N. 64 p. 228) que les perturbations magnétiques et les aurores polaires ont chaque année deux maxima (un en Mars et un en Septembre) et deux minima (un en Juin et un en Décembre). Ces maxima et ces minima résulteraient en effet de l’inclinaison de l'axe solaire sur l’écliptique, inclinaison qui causera que la parallèle unique où se trouveront les taches qui, à normales justement dirigées vers nous, seront particulièrement perturbatrices, aura en Mars et en Septembre une latitude resp. australe ou boréale de 71/,°, tandis qu’en Juin et en Décembre cette parallèle unique coincidera avec l'équateur. Or comme à la latitude de 71/,° les taches ne sont généralement pas rares, tandis qu’elles diminuent vers l'équateur, où elles font le plus souvent complètement défaut, il est donc évident qu’en Mars et en Septembre il y aura toujours beaucoup plus de taches particulièrement perturbatrices et partant beaucoup plus de pertur- bations magnétiques et d’aurores polaires qu’en Juin et en Décembre, tout comme M. Enis l’a déduit des recherches de Greenwich et de celles de M.M. TrRomnorr, I. F. Scarorrer, Morsman et MoUREAUXx. matière coronale du soleil lui-même et celle des protubérances doivent être attribuées aussi à ces mémes rayons. En ce cas on comprerdrait facilement pourquoi, durant la période du max. des taches les rayons principaux de la couronne émanent surtout de la zone où les taches abondent et ont alors la forme caractéristique d’une étoile à quatre rayons. (Lockyer: Solar Physies p. 276. Youre: the Sun p. 238. ScrarBerLE: Publ. Astr. Soc. of the Pac. N°. 7). M. Scnarperte admet que la matière coronale elle-même est lancée hors des taches, tandis que d’après moi cette matière ne bougerait pas mais deviendrait visible là où les rayons, qui échappent des taches, la font luminescer. La répartition des protubérances sur la surface du soleil répondrait très bien aussi à cette explication nouvelle. C’est ce que je ferai voir à la fin de mon 10me §. u) Horresow: (1775). (Worr: Geschichte der Astronomie 518). Scuwage: Astr. Nachr. N°. 495 (1843). Kosmos v. A. v. Humrorpr: 3 Buch, 2e Abth. p. 401 (1851). Lamonr: Pogg. Anu. 84 p. 580 (1851). Sapine: Phil. Trans. 142 p. 103 (1852). R. Worr: Mitth. d. Naturf. Ges. p. 183 (1852). Gaurrer: Arch. d. Sciences 21 p. 194 (1852). R. Worr: Die Sonne u ihre Flecken p. 30 (1859). Hansreen: Brief im Mitth. d. Naturf. Ges. IX (1859). Fritz: Die Beziehungen d. Sonnenflecken zu d. magn. u. meteor. Ersch. d. Erde Haarlem (1878). W. Euus: Proc. R. Soc. 63 p. 64 (1899). Maunper: Kwowledge May 1892 Monthly Not. 64 p. 205; 65 (1904), Journ. Br. Ast. Ass. XVI p. 140 (1906). En admettant mon hypothèse de rayons, que la matière radioactive du soleil lancerait à travers les taches au dehors, on voit tout de suite qu'il y a trois luminescences distinctes, qui devront nous montrer la même périodicité que les taches. Or ces trois luminescences présentent la même périodicité en effet. Ce sont 1° la luminescence de nos aurores polaires, 2° la luminescence de la couronne solaire, dont, en vertu du déplacement des taches durant la période, la forme changera périodiquement aussi et 3° la luminescence des comètes, lorsqu’ au périhélie elles rencontrent les rayons électrisants, qui s’échappent des taches. C'est ainsi par exemple, que d’après les recherches de M. Bersericu, la comète p Encke se voit toujours plus lumineuse, lorsque le soleil est dans la période du max. de ses taches et que dans cette période la découverte de comètes trés petites réussit to 22 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Des cinq ou six sources de chaleur, dont le soleil dispose, la source mécanique, qui est alimentée par la contraction incessante de sa masse, est généralement considérée comme la plus puissante. C’est à elle surtout que, d’après la théorie de Hrzunorrz, est plus souvent (BerBerieu: Astron. Nachr. N°. 2836 et 2837). D'après M. Srgen, les orages du Danemark et de la Péninsule scandinave auraient eu aussi durant ces dernières 30 années la même périodicité que les taches du soleil. (Journ. of the Br. Astr. Ass, (1906) 17 p. 50). Comme les faisceaux que je suppose, doivent ioniser notre atmosphère et comme d’aprés les expériences de M. C. T. R. Wirson (Phil. Trans. 1897 p. 265, 1899 p. 403 et 1900 p. 289) les ions alors produits fonctionnent comme des noyaux de condensation aqueuse, il ne semble nullement surprenant que ceteris paribus avec les taches il y aurait aussi les cirrus, les halos, la pluie et la hauteur de l’eau dans les rivières, qui augmenteraient (MeLprum: On a supposed Periodicity of the Rainfall, read for the Meteor. Soc. of Mauritius in Oct. 1872. Lockyer: Nature Vol. VII. Frirz: Die Beziehungen der Sonvenflecken etc. Haarlem 1878 p. 109—160, 265—270. Scuwane: Astr. Nachr. N°. 638. v. Humporpr Kosmos: IV p. 145. H. Krein: Zeitschrift d. oestr. Ges. für Met. 1872, Astr. Nachr. 1915. Worr: Astr. Mitth. 30, 33. Tromnoupt: Heis Wochenschrift fiir Astr. 1874 N°. 43), Citons encore après toutes ces recherches déjà anciennes les résultats tout récents que M. M. Mac Dowarr et Bucnan ont obtenus à Rornesay et en Ecosse et qui ont fait voir de nouveau ce rapport qui pourrait exister entre la pluie et les taches du soleil. (Journ. of the Brit. Astr. Ass. March 1907 p. 291). Comme le P. Fenyr me l’a fait remarquer, mon hypothèse de rayons @ et y lancés hors des taches du soleil et absorbés dans les couches extérieures de notre atmosphère, pourrait répondre aussi au réchauffement, que ces couches à partir de la hauteur de 11000 Mètres montrent toujours. Les Publications de la commission internationale pour l’Aérostation scientifique, fondée en 1900 par M. M. L. Teisserenc pe Borr et H. HerGeseLL, ont fait clairement ressortir ce réchauffement remarquable, qui a été décou- vert par M. M. Tesserexc pe Borr et R. Assmann. C'est ainsi par exemple qu'un ballon-sonde lâché le 3 Août 1905 à Strasbourg accusait une température de — 62.7° à la hauteur de 14490 Mètres, mais une température de 22.7° plus élevée à la hauteur de 25800 Mètres, où le froid n’était plus que de — 40°. Dans les premiers trois volumes de ces Publications (1903—1904) j’ai compté au moins 50 cas analogues. Une des ascentions de ballon-sonde les mieux réussies fût celle du 9 Février 1905 à Strasbourg, où l’on vit le froid diminuer de — 68.5 à —57.8° alors qu'à partir de 11340 Mètres le ballon monta encore 3680 Metres plus haut. (HerGeserL: Beitrage zur Physik der freien Atmosphäre Bd. I p. 143). La cause de ce réchauffement des couches atmosphériques extérieures est encore inconnue. (HerGeseLL: loc. cit. p. 143). Ce réchauffement pourrait résulter peut- être de l'absorption des rayons ultraviolets du soleil (Fenyr: Meteorol. Zeitschrift, Aug. 1907 p. 355. V. Scuumann: Sitz. Ber. d. Wiener Akad. 102 p. 667. Lenarp: Drudes Ann. 1 p. 498; 3 p. 298 (1900)). Mais l’absorption de rayons @ et y pourrait y colla- Lorer aussi. En ce cas on verra le réchauffement augmenter avec les taches. S'il était possible de munir les ballons-sonde d'instruments capables de nous révéler là haut la présence de rayons £ et y éventuels, l'explication du réchauffement pourrait en profiter. Qu'on ne croie pas d’ailleurs que si ces rayons éventuels sont arrêtés bien vite dans les couches extérieures de notre atmosphère, il doive donc leur avoir été impossible aussi de traverser l'atmosphère du soleil. Car tout près de leur source ces rayons auront une concentration et une vitesse beaucoup plus grandes, que lorsque, exténués et plus ou moins dispersés, ils seront arrivés jusqu’ à nous. A leur source ils pourront avoir une puissance, dont nos expériences avec quelques milligrammes de Radium n’ont pu nous donner une juste idée. Si M. Rutuerrorn avait besoin de 30 milligrammes de bromure pour obtenir des rayons encore reconnaissables après avoir traversé 3 décimètres de fer, il est permis de douter qu’un milligramme eût déjà montré le même pouvoir pénétrant (Radio-activity p. 141). M. H. Becquerer a démontré d’ailleurs que les rayons £ du DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ELC. 24 conférée la tache immense d’entretenir la chaleur solaire v). Il est probable toutefois, que dans l’accomplissement de cette tâche immense, elle est énergiquement secondée par le fonctionnement de la source endo-chimique. "Telle est l'opinion d’ARRHENIUS, qui ne voit même aucune difficulté à admettre, que les procès chimiques, qui doivent résulter du refroidissement du soleil puissent lui conserver son pou- voir rayonnant non diminué, non seulement durant les millions d'années, qu’en dépit des exigences plus fortes des géologues w) et de M. G. H. Darwin a), les calculs de Hezmnozrz et de Lord Kezvin y) lui ont accordés tout au plus, mais durant des milliards de siècles z)! Radium sont excessivement complexes et composés de différents rayons, dont les uns ont une vitesse plusieurs fois plus grande que les autres (C. R. 130 p. 206, 372, 810, 979 Ruruerrorp: loc. cit. p. 99). Or comme parmi ces différents rayons ce ne seront que ceux dont la vitesse est exceptionnellement grande, qui détermineront en somme le pouvoir pénétrant, et comme ces rayons exceptionnels, qui seuls auront réussi à traverser un écran très épais, seront toujours nécessairement rares, cette rareté pourra les empêcher de manifester leur présence s'ils proviennent d’une petite quantité de matière, mais cet empêchement n’existera plus si la masse radioactive est suffisamment grande. Voilà pour- quoi les rayons £ du soleil pourront montrer un pouvoir pénétrant beaucoup plus grand que ceux qui proviennent des milligrammmes de bromure dans nos laboratoires. v) Heumnourz: Wechselwirknng der Naturkräfte. Ein populär-wissenschaftlicher Vortrag gehalten am 7 Febr. 1854 in Königsberg in Preussen. (Pop. Wiss. Vorträge 2tes Heft p. 99—136). „Aus denselben Formeln ist ab zu leiten, dass eine Verkleinerung des Sonnenhalbmessers um ‘49 noch eine Arbeit äquivalent 2861 Wärmegraden in einer der Sonne gleichen Wassermasse erzeugen würde. Und da sie nach Pounrrr jäbrlich eine Wärmemenge entsprechend 1’/, Grad in einer solchen Wassermasse verliert, so würde jede Verdichtung für 2289 Jahre den Verlust decken”. Voir aussi J. Homer Lane: Amer. Journ. of Se. 1870 p. 57. On the theoretical Temperature of the Sun under the hyp. of a gaseous Mass, maintaining its Volume by its internal Heat and depending on the Laws of Gases as known to terrestrial experiment. A. Rrvrer: An- wendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kosmologische Probleme 1882. On y voit exposé la loi, que dans une sphère gazeuse qui se contracte et rayonne dans l’espace, le produit du rayon et de la température au centre est constant. Sir W.Tuomson: Phil. Mag. XXIII 1887 p. 287. On the Equilibrium of a Gas under its own Gravitation only. Je ferai remarquer ici encore, que la contraction de 90 Mètres par an, que demande Vexplication de Hermnourz, est tellement petite qu’on devra attendre des milliers d'années avant de pouvoir la constater. Car il faudra à la photosphere 8000 ans pour perdre des 1924 secondes, qu’elle mesure maintenant rien qu’une seule seconde (Yours: General Astronomy 1900 p. 244). w) Muitrarp Reape: Roy. Soc. Jan. 23 (1879). Jory: An estimate of the geological Age of the Eart! Transact. of the Roy. Dubl. Soc. VIT Series III, 1902, p. 23—66. av) G. H. Darwin: Brit. Ass. Inaugural Address, Nature Aug. 31 1905 p. 444. y) Lord Kervin: Appendix E of Tomson and Tarrs Natural Philosophy. z) Arruentus: Lehrb. d. Kosm. Phys. p. 163. Voici comment Arruenius termine son Chapitre du Soleil: „Diese Ueberlegung zeigt, dass es nicht unméglich ist, an zu nehmen, dass die chemischen Processe, welche sich bei der Abkühlung der Sonne abspielen, ausreichen können, um die Ausstrahlung der Sonne während Hunderten von Milliarden Jahren auf ihre jetzigen Stärke zu erhalten. Daher ist es sehr wohl möglich und sogar wahrscheinlich, dass die chemische Energie der Sonne bei weitem die mechanische über- trifft und auch die bedeutendste Rolle zur Erhaltung der Sonnenstrahlung spielt, unge- fähr wie für uns auf der Erde die chemischen Wärmequellen ohne Vergleich die 24 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Il n’est pas impossible non plus, que la source radiochimique soit excessivement puissante. Si un gramme de Radium engendre, d’après Pévaluation de MM. Curmet LaBorpe, 100 calories par heure) et si le soleil, d’après les calculs de LANGrEY émet 8.28 « 10 calories par heure et par centimètre carré, il en résulte d’après M. W. E. Witson, qu'une quantité de Radium ne pesant qu’un quatre cent-nullième de la masse du soleil serait déjà suffisante pour rendre compte de toute la chaleur, que le soleil produit 4). § 3. Fonctionnement intermittent des sources de chaleur physique el chimique causant la plupart des phénomènes lumineux dans les couches extérieures du soleil. Si les sources mécanique et endo-chimique, peut-être secondées par la source radiochimique, sont les plus puissantes, dont le soleil dispose et suffisent complètement à l'entretien de sa chaleur, les sources moins cachées, physique et chimique sont bien faibles en comparaison. Elles n’en produisent pas moins les phénomènes lumi- neux les plus remarquables. Comme leur fonctionnement ne peut avoir lieu que dans les couches extérieures du soleil, où la tempé- rature et la pression ne sont pas trop excessives, et comme ces couches extérieures sont précisément celles que nous pouvons ob- server le mieux, il en résulte que pour comprendre les phénomènes, que la surface solaire nous fait voir, c'est surtout le fonctionnement des sources physique et chimique, qu'il faut étudier. Cette étude nous fera voir, que ces deux sources de chaleur s'efforcent bien constamment à aider à l’entretien de la chaleur solaire, mais elle fera voir aussi que ces deux sources s’épuisent toujours bien vite à cette tâche et demandent de temps en temps beaucoup de chaleur actuelle pour se restaurer. Et comme la chaleur qu'il leur faut alors chaque fois est à peu près égale à celle qu’elles peuvent produire, le rendement final de ces deux sources est insignifiant. Si par con- séquent ces deux sources ne peuvent efficacement collaborer à l’en- tretien de la chaleur solaire, elles n’en produisent pas moins un phénomène intermittent de premier ordre, selon qu’alternativement leur fonctionnement viendra en aide aux sources plus puissantes et toujours actives ou les contrariera. Dans le premier cas elles cause- wichtigsten sind.” Ces millards de siècles seraient bien rassurants, si les considérations de M. van Laar, dont j'ai parlé dans la note j précédente, ne les avaient pas rendus trop douteux. a) Corre et Lagorpe: C. R. 127 (1903). Runce u. Prrcur: Sitz. Ak. Wiss, Berlin N°. 38 (1903). : b) W. E. Witson: Nature July 9 1903, DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 25 ront le minimum des taches et dans le second le maximum. C’est ce que je tâcherai de démontrer dans la Première Partie de ce Mémoire. Si dans mes Mémojres précédents je me suis efforcé d’éclaireir la périodicité des taches d’une toute autre manière c), c'est parce qu'en commençant à élaborer ma théorie j'ai cru longtemps que les sources physique et chimique suffisaient pour expliquer tout ce qu'il y a d’intermittent dans tous les phénomènes que le soleil et les étoiles rouges variables nous présentent. Mais en continuant à développer ma théorie, j'ai vu qu'elle gagnait énormément à être adaptée a la belle théorie de Hrezunorrz et aux idées d’Osrwarp et d'ARRHENIUS, et que c'était surtout mon explication de la pério- dicité des taches et des étoiles rouges variables qui en profiterait. Il n’en reste pas moins vrai, qu’ainsi que je l’ai déja démontré en 1888 d), les sources de chaleur physique et chimique me sem- blent éminemment propres à expliquer dans les couches extérieures solaires maint phénomène intermittent. Lorsque par exemple dans un mélange gazeux 4+ B+ #, où A et B représentent des corps combinables, dont la combinaison est entravée, non par une température trop haute, mais par la présence abondante e) d’une vapeur condensable #, quelque perte de chaleur soudaine (comme elle doit résulter dans l’atmosphère solaire de apparition subite de taches ou de pores moins rayonnants dans le niveau photosphérique) fait rapidement condenser cette vapeur et active ainsi le fonction- nement de la source physique, un fonctionnement intermittent de cette source se conçoit aisément. Car si maintenant les molécules R doivent se condenser très vite, parce qu’il leur incombe alors la tôche immense d’empécher tout refroidissement local du soleil, leur retraite précipitée donnera à la fin aux molécules 4 et B la concentration, qu'elles demandent pour arriver, soit directement, soit après une courte période d'existence simultanée instable, à leur combinaison. Or dès que cette combinaison commence et que fonc- tionne par conséquent la source chimique, la source physique ra- lentira son action et elle la cessera même tout à fait si la chaleur que c) Théorie du Soleil (1892) p. 145—168. d) Verklaring van de veranderlijkheid der Roode Sterren p. 1. Essai d’une Théorie du Soleil et des Etoiles variables 1888 p. 8—12. e) Tandis que la vapeur d’eau dissociée A + B se recombine bien vite et complète- ment en eau lorsqu’on refroidit cette vapeur, cette recombinaison n’a plus lieu aussi complètement, lorsque cette vapeur est mélangée à une grande quantité d’un gaz inerte R. C'est ainsi par exemple qu'en refroidissant un mélange A + B + R d'eau dissociée A + B et d'acide carbonique R Deville put receuillir du gaz tonnant, c’est à dire des molécules A + B, qui se seraient sûrement recombinées si les molécules 7? d'acide car- bonique n’avaient pas été présentes. (Device: Leçons sur la dissociation. DrBrav: Dict. de Chimie par A. Wurrz, Art. Dissociation p. 1174). 26 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME la source chimique produit est suffisamment grande. Si cette chaleur est plus grande que celle qui suffit pour empêcher tout refroidissement, elle causera bien vite la réévaporation des molécules A, précédem- ment condensées et la source chimique travaillera alors à sa propre extinction. Car les molécules À réévaporées viendront obstruer cette source de nouveau et mettront ainsi un terme à son fonctionne- ment. À la source physique au contraire ces molécules rendront son activité première et le fonctionnement de cette source recommen- cera; et ainsi de suite. Quoique cette explication du fonctionnement intermittent des sources de chaleur physique et chimique me semble assez plausible, je ne Vaurais cependant pas imaginée peut-être, si l’observation des phénomènes lumineux dans l’atmosphère du soleil ne me l'avait sug- gérée. Ces phénomènes m'ont paru exiger instamment une explication pareille. C’est ce qui me reste à faire ressortir dans cette Introduction. A cet effet je ferai remarquer d’abord que, si de ce fonc- tionnement intermittent il ne doit pas résulter quelque chan- gement de température, il doit bien en résulter une production intermittente de deux sortes de lumière. Car tant que la source physique sera en action les molécules 2 condensées luiront d’une lumière blanche à spectre continu et tant que la source chimique sera à l'oeuvre les molécules 4 et B produiront en se combinant une luminescence chimique à raies brillantes et colorées /). Or, l’intermittence de ces deux sortes de lumière s’observe à l'extérieur du soleil très souvent. Si j'en excepte maintenant l’ap- parition intermittente des taches, qui sera mieux expliquée plus tard d’une tout autre manière, l’apparition intermittente d’une matière nuageuse Æ n’est pas rare du tout. On la voit souvent dans la photosphère, dans les banderolles coronales et surtout dans les protubérances et les taches. Dans les protubérances cette matière nuageuse ne peut être bien observée que durant les éclipses. On voit alors que beaucoup de protubérances sont tellement remplies de matière condensée &, qu'on les a désignées comme des protubé- rances blanches 4). Mais on voit alors aussi, que cette blancheur f) B. Wiepemann: Pogg. Ann. N. F. 37 p. 177 -248. W. Sremexs: Wiedem. Ann. 18 p. 311 (1883), Nature Jan. 28 (1892) p. 312. E. Princsuem: Wiedem. Ann. 45 (1892) p. 428 (1893) p. 347. , Wir kennen keinen einzigen Vorgang, bei dem gasformige Elemente durch blosse Temperaturerhöhung ohne electrische oder chemische Energie zum isuchten gebracht werden. Anderseits ist man durch die Betrachtung der Leucht- processe genöthigt an zu nehmen, dass Electricität und chemische Umsetzung für sich allein im Stande sind, ohne Rücksicht auf die Temperatur Leuchten von Gasen hervor- zubringen”. g) Taccurni: Rapp. d. eclisse del 1870 tav. V; Mem. d. Spettr. Ital.: Sul’ eclisse di Sole d, 19 Agosto 1887, Seccur: le Soleil II p. 78 fig. 174 et 175. Lockyer: Chem. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 21 n'est que passagère; car même durant les courts moments de la totalité on a vu les protubérances blanchir et rougir tour à tour! 4) Une vérification plus éclatante de mon idée ne saurait être imaginée. Tant que les protubérances sont blanches nous y voyons les molé- cules #, qui en se condensant font fonctionner la source de chaleur physique et lorsqu'elles sont devenues rouges, nous voyons, qu’alors les molécules 4 et B y sont à l’oeuvre pour faire fonctionner la source de chaleur chimique /). Dans les taches on a vu la matière condensée 2 produire 1° des éclairs intermittents, que Perers a décrits comme traversant quelque- fois l'ombre des taches avec des vitesses d'au moins 200 millions de mètres par seconde /); 2° une scintillation, que Trouvrror a remarquée au dessus de l’ombre des taches y faisant l'effet d'une neige tombant par rafales 4); 3° des plaques d’un éclat intense, que CARRINGTON et Hopeson ont vues exister quelques minutes sur le bord d’une tache se déplaçant avec des vitesses allant jusqu'à 33 lieues. par seconde /) et 4° les voiles roses, que Seccar a souvent observés à l’intérieur des taches et évidemment produits d’apres lui par la transformation d’une matière blanche préexistante m). Ici of the Sun p. 407. Ecoror: C. R. 109 p. 292. Hanprikor: Himmel u. Erde Oct. 1889 p. 35. Hate: Astron. Nachr. N°. 3053. Hare: Astroph. Journ. III p. 374—387. Araco: Annuaire 1846 p. 460. Krein: Das Sonnensystem p. 36: Jounstone Stoney: Phil. Mag. Dec. 1868 p. 450. L’opacité des protubérances semble indiquer de même qu'elles contien- nent souvent une matière poussiéreuse. Lorsque dans les protubérances, dit Seccur (le Soleil II p. 239) „deux jets d'hydrogène incandescent se croisent, ils n'ont pas un éclat plus vif au point d’intersection, ce qui arriverait cependant si les rayons émanés de celui, qui est en arrière pouvaient traverser l’autre; ils se cachent réellement l’un l’autre comme des corps opaques”. h) „Lrrrrow saw them change from white to red and from red to violet and then back again through the reverse order” (Lockyer: Solar Phys. p. 108). i) D’après le P. Fenyi ce sont les parties condensées des éruptions métalliques, qui produisent les lueurs blanches (Publ. d. Haynald Obs. VI 1892 p. 27). Voir aussi Frnyr: Mem. d. Soe. d. Spettr. Italiani XXI (1892). Phénomènes observés sur le grand groupe de taches en Février 1892. Il s'agit ici d’une protubérance blanche, que le P. Fexvyr a observé spectroscopiquement sur le bord du soleil non éclipsé „dans le milieu de Ja protubérance se trouvait une poussière de matière solide ou fluide, dont l’étendue en latitude et en hauteur atteignait 20 à 30 mille kilomètres. M. Hare voit dans la lueur quelquefois blanche des protubérances l'effet d’éruptions faculaires violentes faisant de temps en temps monter la poussière photosphérique à des hauteurs considérables (Astron. and Astroph. XIII p. 119). Après avoir cité cette explication de M. Hare, Mlle CiErkE ajoute: (Probl. p. 124). „The explanation may pass muster, since no better has been offered”. Mon explication me semble meilleure et mieux en harmonie avec tous les phénomènes, qui démontrent Ja tranquillité du soleil. j) Perers: Proc. of the Am. Ass. for the adv. of Sc. Vol. IX. Zöurner: Beobachtun- gen von Protub. der Sonne. Spectralanalyse von Roscor 1590 p. 273. k) Trouveror: Bulletin Astron. II. Lockyer: Chem. of the Sun p. 411. 1) CARRINGTON: Monthly Not. Nov. 1859. Youna: le soleil p. 93. m) Seccui: le soleil I p. 104 (fig. 53, 54, 55). 28 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME encore la vérification de mon idée me semble bien convaincante. Dans la matière blanche préexistante de Skccnr nous voyons briller les molécules condensées R et dans ses voiles roses nous observons la luminescence chimique des molécules 4 et B. On trouvera encore d’autres vérifications de mon idée dans le paragraphe suivant et dans une observation du P. Perry, qui vit aussi dans une tache une lueur rougeàtre intermittente 7). $ 4. Les protubérances considérées comme des luminescences. Mon explication des principaux phénomènes solaires et des pro- tubérances en particulier comme résultant du fonctionnement inter- mittent des deux sources de chaleur physique et chimique a été développée si longuement dans mes Mémoires précédents, que je n'ai pas besoin d’y revenir maintenant. Ce besoin est ici d'autant moins grand, que ma théorie des protubérances n’a aucun rapport direct avec l’objet principal de ce Mémoire. Si les protubérances n'étaient pas les luminescences chimiques, que je crois y voir, mais si elles étaient des phénomènes électriques, comme M. Des- LANDRES l’a déjà supposé o) et comme depuis la découverte des corps radioactifs cela est devenu plus plausible p), ou si elles n'étaient dans la mer gazeuse du soleil que les brisants qu'y voit M. Junius par dispersion anomale g), le mécanisme de la périodicité des taches, que je tacherai d'expliquer, n’en fonctionnerait pas moins bien. Si néanmoins quelques particularités de mon explication des protubé- rances 7) seront ici rappelées, ce n’est que pour faire voir, que mon explication ne présente aucune de ces difficultés insurmontables, qui nous ont démontré l'impossibilité d'interpréter le spectre des protubérances au moyen du Principe de Dôprcer s). Les protubérances sont d’après ma théorie des lumimescences chimiques passagères là où dans l’atmosphère tranquille du soleil un procès chimique est causé par le refroidissement. Ce procès chimique est probablement une combinaison exothermique d'éléments n) Perry: Royal Inst. of Gr. Brittain May 24 1889. Voir aussi les observations qu’ a faites Mr. B. S. Marvin le 17 Sept. 1893. (Popular Astron. Vol. I p. 91). 0) Desraxbres: Knowledge Dec. 1893 p. 231. p) Voir la note ¢ à la page 20 plus haut. g) W.H. Juuius: Sectie Verg. v. h. Utr. Gen. 9 Juni 1902 p. 12. Astron. Nach. 3672. Versl. d. Afd. Natuurkunde der K. Ak. v. W. te Amsterdam van 28 Juni 1902. La dispersion anomale n’a pas encore été constatée pour l'hydrogène, que je sache. r) Astronomy and Astroph. XIII p. 230—235, Théorie du soleil p. 54—60. s) Voir plus haut aux pages 4, 7 et les notes f, q, s, w, resp. au bas des pages LS netals DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 29 A et B combinables, mais il pourrait être aussi une décomposition d’une combinaison endothermique. Quoi qu'il en soit, les protu- bérances ne sont jamais plus chaudes, mais seulement plus lumi- neuses que Vatmosphere où on les voit. Bien loin de nous montrer des déplacements fabuleux, elles fonctionnent au contraire comme un frein automatique puissant, empêchant tout mouvement, qu’une diminution de la température pourrait causer. Leur luminescence chimique n’a d’ailleurs rien de surprenant, car la même lumines- cence a été découverte aussi dans toutes nos flammes terrestres où c'est elle précisément qui y cause des raies spectrales brillantes 2). Mais dans nos flammes, où c’est un gaz se réchauffant, qui la produit, la luminescence n'est Jamais aussi pure que dans les pro- tubérances, où c’est un gaz à température constante, qui la cause et où par conséquent cette luminescence est complètement exempte d’effets thermiques, qui dans nos flammes sont toujours nécessairement présents. Dans les astres on observe des luminescences chimiques tout par- tout où quelque cause de refroidissement doit être admise. On les voit par exemple dans les couches extérieures du soleil surtout au dessus des zones royales, où en vertu du moindre pouvoir émissif du contenu gazeux des taches il y a une prédisposition particulière t) Lorsqu’en 1888 l'idée me vint d'expliquer les protubérances comme n'étant pas plus chaudes mais seulement plus lumineuses que les parties environnantes de l’atmosphère tranquille du soleil, la luminescence chimique dans nos flammes terrestres n'était pas encore connue. Mais cela ne m'a pas empêché de postuler cette luminescence déjà alors comme l’unique moyen de comprendre les phénomènes lumineux dans l'atmosphère relativement tranquille du soleil. (Théorie du Soleil p. 60). Quatre ans plus tard cette luminescence a été expérimentalement constatée par M. Princsuei, qui démontra qu'un même gaz produira des raies spectrales ou ne les produira pas, selon qu’ à température égale il sera oui ou non le siège d’un procès chimique (voir la note f précédente). Si ma postulation avait été un peu osée en 1888, elle a donc été brillam- ment justifiée depuis lors. Voir aussi R. v. Hecmnorrz: Die Licht und Wärmestrahlung verbrennender Gase, Berlin 1890. W. H. Jurrus: Die Licht und Wärme strahlung verbrannter Gase, Berlin 1890. Lanciey and Very: Am. Journ. of Sc. 1890 p.97—113. M. M. Harrmann et Eperuarp ont démontré aussi que les raies caractéristiques, que produit une substance dans l’étincelle électrique, ne répondent nullement à une chaleur excessive, mais résultent d'une luminescence, qu’ à propos de la raie 4481 du Magnesium, qui est considérée par M. J. ScuxiNer comme un indice d’une température très haute, Liveing et Dewar avaient déjà clairement reconnue en 1888. (J. Hartmann: Astroph. Journ. XVII p. 277.1903. LivrinG a. Dewar: Proc. R. Soc. 44 p. 241—242. J. Scuriner: Sitz. Ber. Berlin Ak. d. Wiss. Miirz 1894). Nous savons d'ailleurs que dans les tubes de Geissler le gaz peut devenir lumineux à Ja température ordinaire et même au dessous. C'est ce qui a été calorimétriquement démontré e. a. par M. M. Wiepemann et Hasset- pera (H. Kayser: Lehrb. d. Physik p. 389). G. Wiepemann: Die Lehre von der Elec. trizität und dem Magnetismus IV p. 526. B. Weinstem: Himmel und Erde 1891 p. 506 „Koen sah die Luft in Geisslerschen Röhren noch leuchten, wenn diese Röhren bis auf 80° C. unter 0 abgekühlt waren”. W. Huccins: Inaug. Address (Nature Aug. 20 1891) p. 373. 30 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME au refroidissement; on voit ces luminescences aussi dans les taches elles-mêmes lorsqu’ en se refroidissant leurs éléments dissociés s’y réassocient; on les voit aussi peut-être comme des flammes facu- laires #) au dessus des facules, où c’est un rehaussement de niveau, qui pourrait causer le refroidissement requis; et on les voit aussi (last not least) surtout dans les atmosphères des étoiles rouges re- froidies, où elles causent des raies brillantes, qui permanentes justement dans les étoiles du type 4, qui sont les plus refroidies de toutes, nous prouvent par conséquent, non moins clairement que les bandes cannelées dans le spectre de ces étoiles, que la tempé- rature y a fortement baissé. Là, où les protubérances se déplacent, c’est un procès chimique, qui se propage dans la matière tranquille. Les vitesses énormes, qu'on observe souvent dans cette propagation n’ont rien de sur- prenant et ne fournissent aucun argument, comme M'"° CLerke le croit, contre la justesse de mon explication v). Dans les mélanges explosifs de nos laboratoires les procès chimiques se propagent avec une vitesse infiniment moins grande; car ici chaque portion du mélange doit attendre son tour avant d’être allumée par la chaleur produite dans les portions voisines déjà enflammées plus tôt. Dans le mélange incandescent gazeux solaire une pareille attente n’est Jamais nécessaire. Là toutes les portions du mélange peuvent avoir la température requise en même temps et ne demandent alors qu'un refroidissement infinitésimal pour y former leur combinaison chimique. Si la quelque refroidissement soudain, tel qu’il doit résulter de la formation d’une tache ou d’un pore ou d’un relèvement de niveau se produit (ou si là peut-être quelque autre cause, comme par exemple la propagation d’une pression, détermine les molécules 4 et B à s'unir) le procès chimique pourra se propager instantané- ment et dans cette propagation il n’y aura jamais de vitesse, qui, quelque énorme qu'elle puisse être, sera jamais incompréhensible. S'il est impossible en tout cas, comme je l’ai démontré plus haut, d'attribuer plus longtemps le déplacement des raies dans le spectre des protubérances à un déplacement matériel de la source lumineuse, il faudra donc Vattribuer à quelque procès moléculaire. Si ce procès est un procès chimique, l'immobilité de la raie du u) Desranpres: l’Astronomie Dec. 1894; Knowledge Dec. 1893. Hare: Astron. a. Astrophysics XIII p. 113 (1894). The Solar Faculae. v) Crerke: Probl. p. 109 „Chemical action does not spread instantaneously. Through the tenuous gases of the chromosphere a maximum rate of one mile a second might be assigned to its progress — a rate, that is to say, some hundreds of times slower than the velocities to be explained”. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 31 coronium dans le spectre tourmenté des protubérances n’aura plus rien d’énigmatique. Car si c’est un procès chimique, qui se propage dans un mélange gazeux, il n’y aura que les gaz, qui y partici- pent, qui nous montreront leurs raies déplacées. Et les gaz, qui n'y participent guère seront reconnus à l’immobilité de leurs raies. Telle est mon interprétation d’un spectre, que le principe de DörprLer ne saurait expliquer. Telle est aussi l’interprétation la plus plausible des cas nombreux où, surtout dans les taches, on ne voit que les raies d’un seul gaz déplacées, alors qu’en même temps les raies de tous les autres gaz, qui y sont mélangés, indiquent le repos. L'application du principe de Dörprpr nous force alors à nous imaginer des tempêtes locales, qui ne faisant souffler qu’un gaz du mélange avec une vitesse de centaines de Kilomètres par seconde et incapables néan- moins de causer dans les autres gaz qu’elles traverseraient le moindre dérangement, auraient souvent en outre, une durée éphémère, dont on ne saurait comprendre m le commencement ni la fin. C’est ainsi par exemple, que M. Youre, en observant la tache historique du 3 Août 1872, y a cru voir sévir durant une heure une tempéte terrible, qui avec une vitesse de 120 milles par seconde ne soufflait pas constamment, mais cessait et recommencait dans l’intervalle d’une ou de deux minutes w). De telles tempêtes n’ont rien de vraisem- blable. La courte période de l’intermittence du déplacement spec- tral répond très bien au contraire à mon explication. Car, si les éléments à raies déplacées doivent ce déplacement à la propagation d'un procès chimique, auquel ces éléments, à l'exclusion des autres gaz du mélange, seraient seuls à participer, ce procès chimique doit être intermittent, comme je l’ai expliqué plus haut et l’inter- mittence du déplacement que M. Youne a observée et que d’autres astronomes ont aussi souvent constatée æ) semble donner par consé- quent à ma théorie du fonctionnement intermittent des deux sour- ces de chaleur physique et chimique une belle vérification. w) Youne: the Sun p. 166—167. „This motion would die out and be renewed again at intervals of a minute or two’. æ) Seccar: le soleil IL p. 66 „les éruptions se renouvellent souvent à plusieurs reprises, chaque éruption durant plusieurs heures et étant séparée de la précédente par un intervalle plus ou moins long. C’est là ce qu’on remarque, surtout aux époques de grande activité, lorsqu’ une grande tache se présente sur le contour du disque solaire.” D'après M. Eversuep (Journ. of the Br. Astr. Ass. V N°. 7) les déplacements de raies dans le spectre des taches indiquent tout aussi souvent un mouvement ascendant qu’un mouvement descendant et ne durent ils tout au plus que 10 à 15 minutes. PREMIERE PARTIE. Le Mécanisme de la Périodicité dans le Soleil. § 5. Les deux parties du mécanisme: le gaz intérieur et les nuages photosphériques, qui l'entourent. La tranquillité relative de la masse solaire ayant été étudiée dans mon Introduction, l’objet principal de ce Mémoire sera de tâcher de faire voir, comment dans le soleil tranquille on peut aisément découvrir ce que les défenseurs des éruptions solaires y ont toujours cherché en vain, c’est à dire le mécanisme de la périodicité de ses taches. Dans ce mécanisme deux parties essentielles doivent être distinguées: la photosphère et le gaz, que la photosphère entoure. De ce gaz nous ne savons avec certitude que bien peu). Il y) Comment l'idée de l'état gazeux du soleil a résulté des recherches de CARRINGTON (1859) et de Sporrer (1861), a été énoncée d’abord par Seccut (1864) et Sir J. Her- SCHEL (1864), mais a été développée surtout par Faye (1865), et comment cette idée a été renforcée par les recherches antérieures de CAGNIARD be LA Tour (1822) et par les recherches postérieures p'ANprews (1869), tout cela a été clairement exposé par Mile Crerke dans son Histoire de l' Astronomie durant le 19me siècle (Trad. allemande 1889 p. 196—200). Si l’état gazeux de l’intérieur du soleil n’est nullement douteux, il est très difficile néanmoins de se faire du gaz solaire intérieur quelque idée précise. Quoique la compression doive y être énorme, tout ce que nous savons de la masse et du volume du soleil nous apprend cependant avec certitude que la densité n’y saurait être beaucoup plus grande que celle de l’eau. Cette résistance à la compression ne peut être attribuée qu’ à une température transcendante, qui produira aussi une grande viscosité. Le gaz central ressemblera donc bien plus à une masse de poix ou de mastic qu’ aux gaz que nous connaissons. (YouxG: the Sun p. 327—333). Le P. Braun admet près du centre du soleil une pression de 2 à 3000 millions d’atmosphères et une tempé- rature de 10 millions de degrès (Braun: Kosmogonie p. 165). D'après les théories de M. M. v. Opporzer, lord Keuvin et Exuotm cette température centrale serait resp. de 10 millions, de 200 millions ou de 5 millions de degrès (Arruenius: Lehrb. d. Kosm, Physik p. 132). ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME, ETC. 33 doit présenter cependant ces trois particularités capitales 1° qu'il est riche en éléments divers, 2° que la température y augmente vers le centre et 3° que dans ses couches extérieures, où la photo- sphère Fa limité par la condensation d’une vapeur, cette vapeur sera aussi toujours présente. Si ces trois particularités du gaz au dessous de la photosphère n’ont rien d’incertain, elles sont aussi les seules, que ma théorie demande. Commençons maintenant notre étude de la photosphère z). La photosphère est une nappe plus ou moins sphérique de nuages, que le refroidissement doit produire par condensation. Elle contient une poussière photosphérique solide ou liquide, toujours en contact avec la vapeur photosphérique, dont cette poussière a été condensée. La forme sphéroide de la photosphère ne répond pas à la forme de la masse solaire, qui nous montre au contraire durant les éclipses un renflement équatorial notable a), que les anneaux coronaux z) La photosphère a été ainsi nommée par Scurérer (CLerke: Gesch. d. Astron. 1889 p. 71). Sir Joux HerscueL et Seccur ont été les premiers à la considérer comme une nappe nuageuse (Les Mondes, Déc. 1864 p. 707). D’après M. Auc. Scumipr (Die Strahlenbrechung auf der Sonne, Stuttgart 1891) la photosphère ne serait qu’une illu- sion d'optique dans un globe gazeux transparent. Je veux bien admettre que si une photosphère réelle "n’existait pas, on en verrait une pareille à celle que M. Scumipr a imaginée. Mais la réalité de la photosphère condensée que le soleil nous fait voir n’est nullement douteuse. Lorsqu’ une masse gazeuse, riche en vapeurs de matiéres réfractaires et aussi peu remuée, que se montre la masse du soleil, est exposée au froid de l’espace, il est impossible qu’ à la longue quelque matière réfractaire n’y ait pas formé à l’extérieur une nappe condensée de nuages photosphériques. Telle doit être par conséquent l’origine de la photosphère, qu’on observe. Et cette photosphère démontre au surplus la réalité de son existence, parce qu'en tournant sur l'axe ses différentes parties, ses taches, ses granulations, ses pores et ses facules ne se comportent pas comme des effets de mirages lointains et disparates, mais comme autant d’objets réels, dont les déformations prévues et les déplacements simultanés démontrent qu’ils sont tous attachés à la surface d’une même sphère qui, là même où nous les voyons, les emporte dans sa rotation. L’hypothèse de M. Scamipr ‘suscite aussi un grand nombre de difficultés spectrales, que par exemple M. M. Frosr et Sreriger et Mlle Crerke ont fait ressortir. (Frost: Astroph. Journ. IV p. 196. Seeticer: Astr. Nachr. 3187. CLerke: Probl. p. 166). Il n’en est pas moins vrai, que les belles théories de M. M. Scamipr et Jurius ont clairement démontré, que la courbure des rayons lumineux par la réfraction et la dispersion anomale doivent pouvoir causer des illusions d'optique importantes. Mais il en est de ces illusions comme de la pression peut-être importante aussi dans les rayons lumineux; nous n’avons pas encore appris à déméler sûrement leurs effets et si par conséquent ma théorie jusqu’ à présent n’en a pu tenir aucun compte, il est fort bien possible qu’en maint détail elle devra être modifiée plus tard. a) Seccui: le Soleil I p. 340, 391 etc. Secur dit encore ailleurs, le Soleil IT p. 224, (conclusions générales). „Dans les zones polaires ne se trouvent jamais ces éruptions métalliques si remarquables, qui sont fréquentes dans les régions équatoriales.... La couche, qui renverse les raies métalliques du spectre est bien mince, quoiqu'elle soit plus épaisse à l'équateur qu’ aux pôles.” Et à la dernière page de son traité (II p. 482): cette atmosphère“du soleil a une forme comprimée, son élévation est moins grande aux Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie.) Dl. IX. N°. 6. F3 34 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME des „flits spectra’ ont aussi fait observer 4). Ce renflement, trop prononcé pour pouvoir être attribué à la rotation actuelle que nous montre le soleil, remonte probablement à quelque cause reculée cosmogonique. La figure, qu’on pourra trouver à la page 42 de ma Théorie du Soleil de 1892 et que j'avais déjà insérée en 1888 dans mon Essai d’une Théorie du Soleil et des Etoiles Variables, fait bien voir, comment indépendamment des couches stratifiées et aplaties du gaz solaire, la photosphère doit traverser ces couches pour arriver à la sphéricité c). Quoique cette indépendance de la forme sphérique de la photosphère par rapport à la forme ellipsoïde des couches stratifiées, qu’elle traverse, soit pour ma théorie du soleil comme nous le verrons dans mon 12™° paragraphe de la plus grande importance, elle n’a cependant pour mon explication de la périodicité des taches aucune importance directe et je n’en aurais pas parlé déjà maintenant si elle n’était éminemment propre à faire ressortir tout d’abord, qu'en voulant rendre compte de la propriété la plus caractéristique de la photosphère, on devra lui donner la définition que voici: La photosphère est le lieu géomé- trique des points, où en vertu de la température diminuant du centre vers l'extérieur, la condensation des nuages photosphériques commence à être possible. Comme dans toutes les considérations, qui vont suivre, c’est surtout des nuages photosphériques que je m’occuperai, il importe avant tout de bien préciser qu'elle est selon moi l’idée que nous devons nous faire de ces nuages. Je considère ces nuages comme des averses incessantes de pluie où comme des chutes continuelles de neige. Mais comme la neige ne se forme et ne se comporte pas autrement que la pluie, l’alternative n’a aucune importance et je puis donc, pour simplifier, ne parler que de pluie seulement. Si les nuages photosphériques consistent en une pluie torrentielle, qui tombe toujours avec une grande vitesse, ces nuages eux-mêmes poles qu’ à l’équateur”. Youna: le Soleil p. 173. Lockyer: Chem. of the Sun p. 424, 498. Joux Hersouez cité par Youna, le Soleil p. 134, 135 et Lockyer: Solar Physics p. 49. b) L’anneau coronal, que M. SxackLeroN a photographié le 16 Avril 1893 montre un aplatissement évident. Lockyer: On results obtained with the prismatic cameras. Phil. Transact. 185 (1894) A p. 711—717. c) Cette figure n’a été imaginée en 1888 que pour expliquer ma théorie des protu- bérances. Car si les protubérances ne sont que des lueurs passagères dans la matière tranquille ne faisant voir que ce qui était déja présent, j’avais besoin de cette figure pour expliquer la particularité capitale des protubérances qu’elles ne montrent les métaux plus lourds qu’ uniquement dans les zones de l’équateur. (Voir la note a précédente et Seccui: le Soleil II p. 147, 148, 151, 166, 174). L’occurence des protubérances les plus hautes et les plus métalliques dans les régions équatoriales est un fait, qu'un seul regard sur la figure fait prévoir et comprendre tout de suite. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 35 ne participent guère à cette chute rapide. Car ils restent toujours limités en haut par le renouvellement incessant de la pluie, que le refroidissement extérieur y fait condenser, et ils restent limités en bas par l’évaporation incessante de la pluie en vertu de l’échauffe- ment intérieur. Si la chaleur que le nuage perd en haut est plus grande que celle qu'il recouvre en bas, la pluie se formant en haut excèdera la pluie disparaissant en bas et causera par conséquent un agran- dissement du nuage, qui croitra dans la profondeur. De la la forme allongée et cylindrique de tant de nuages photosphériques et leur ressemblance avec des colonnes ou des brins de paille. Dans la fig. 45 de son Traité du Soleil, M. Youne a fait voir, qu’elle est d'apres lui cette structure photosphérique en colonnes. Ordinaire- ment ces colonnes, qui semblent minces, mais sont en réalité des mondes de matière condensée, sont verticales. On n’en voit alors que les bouts supérieurs comme autant de grains. Mais si quelque mouvement dans la vapeur photosphérique les pousse hors de la verticale, comme lors de la formation d’une tache, alors ces colonnes montrent bien leurs formes déliées. Et les averses, qui ne se for- maient primitivement qu'en fils au bout supérieur de la co- lonne, continueront maintenant à tomber en rideau sur toute leur longueur. Mais revenons maintenant à notre nuage dans sa position nor- male. Tant que la chaleur, que ce nuage perdra au dehors, con- tinuera à être plus grande que celle qu'il pourra recouvrer du dedans, sa matière condensée augmentera; mais cette augmentation de la matière condensée doit causer l'épuisement de la vapeur photosphérique dans la couche extérieure où jusqu'à présent les averses se formaient. Cette couche étant épuisée le nuage des- cendra dans une couche non pas épuisée encore, mais qui, épuisée plus tard, ne saura empêcher le nuage de descendre toujours plus bas. Si dans les couches épuisées, d’où les nuages descendent, la vapeur photosphérique ne peut continuer à produire de lourdes averses, cette vapeur cependant n'y aura pas complètement dis- paru. Le restant s'y condensera alors en un brouillard léger et relativement durable. Telle me paraît être l’origine probable du brouillard, qui d’après l'opinion généralement admise, rend bru- meuse une mince couche autour et tout près de la photosphère, brouillard, qu’on croit responsable 1° de la grande diminution d'éclat de la photosphére vers son bord, 2° de la lueur brillante des facules, qui étant relevées sont vues à travers une couche ex- F 3* 36 ESSAI DUNE EXPLICATION DU MÉCANISME ceptionnellement mince du voile brumeux et 3° de la teinte jaunätre de la lumière solaire d). Tandis que la limite extérieure des nuages photosphériques des- cend, comme nous l’avons vu, lentement, leur limite intérieure descendra plus vite et causera ainsi un agrandissement des nuages tant que le refroidissement au dehors sera plus grand que le re- chauffement du dedans et tant que par conséquent les nuages devront augmenter en bas aux dépens de la vapeur diminuant sans cesse en haut. La vapeur, que les averses produisent dans la profondeur, étant beaucoup. plus volumineuse que la pluie, qu’elle remplace, remon- tera toujours en partie à un niveau plus haut où incessamment elle servira de nouveau à collaborer aux averses; mais une autre partie de cette vapeur demeurera dans la profondeur où elle a été produite et y fonctionnera comme un sauf conduit, permettant aux averses futures de descendre toujours plus bas. Il est clair d’ail- leurs que les averses photosphériques ne continueront à descendre et à augmenter aux dépens de leur vapeur diminuant sans relache que tant qu’elles continueront aussi à perdre plus de chaleur au dehors qu’elles n’en recouvrent du dedans. Nous verrons bientôt que leur histoire sera une toute autre dès que cette condition ne sera plus remplie. Telle est d’après moi le mode d’existence des nuages photos- phériques, qui ressemble par conséquent beaucoup à celui des êtres vivants. Comme dans ces derniers la composition physico-chimique reste toujours la même; mais les molécules se renouvellent sans cesse. Comme dans ces derniers il y aussi des phénomènes de crois- sance. Et si après avoir existé un certain temps les êtres vivants périssent infailliblement, alors qu'il en naît toujours de nouveaux, il en est de même des nuages photosphériques; car, ainsi que nous le verrons bientôt, la photosphère ne dure tout au plus que 11 ans et l’ancienne photosphère ne sera pas encore complètement décomposée, lorsqu'on verra déjà en naître une nouvelle. Mais n’anticipons pas sur les explications, qui vont suivre. Si d) Le voile mince et brumeux, qui jaunit la photosphére en l’obscurcissant a fait l’objet d’un grand nombre de recherches, que Mlle CLERKE a mémorées dans ses Probl. i. Astr. The Photosphere and its dusky veil p. 70—71. — Vocer: Monatsber. Berlin 1877 p. 104. — E. v. Opporzer: Astroph. Journ. Vol. J p. 261. — Hastines: Am. Journ. of Science XXI p. 41 (1881). — Dr. J. Scuermner: Strahlung und Temp. d. Sonne p. 49. — Dr. J. Harm: Ann. of the R. Obs. Edinburgh I p. 74 (1902). — W. H. Junius: Ak. v. Wetensch. te Amsterdam 27 Januari 1906. Eene nieuwe methode ter bepaling van het verloop der stralingssterkte op de zonneschijf van het midden naar den rand .— Youre: the Sun p. 282 et 336—340, DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 37 dans ces explications les nuages photosphériques seront toujours considérés comme des averses de pluie, qui peuvent s’alourdir et se déplacer, je leur conserverai cependant pour plus de facilité le nom de nuages. Toutes les fois par conséquent que j'aurai à parler de nuages, qui montent ou qui descendent, on pourra bien penser à ces averses, mais, pour simplifier, je n’en parlerai plus jamais. Nous ne savons guère, quelle est la composition chimique de la poussière photosphérique. Généralement on admet que cette poussière est composée de gouttelettes de fer ou de silicium ou (comme M. M. Jornsrone Stoney (Prov. R. S. 1867, 16 p. 29), Sir Rosert Barr et Hasrines l'ont supposé) de poussière de carbone. Mais ces éléments sont tous trois trop volatils pour pouvoir exister à l’état condensé en des nuages d’une température de 7 à 8000° ©). Car à la température de 3500° à peu près du four électrique Moissan les vit tous trois se résoudre en vapeur. Les seules sub- e) La température effective du soleil n’est encore que très imparfaitement connue. Car elle est tellement plus élevée que les températures que nous pouvons mesurer, que les différentes lois, qui gouvernent le rayonnement à ces températures mesurées et le gouvernent d’ailleurs autrement lorsque la température augmente, ne lui sont plus nécessairement applicables. Chacune de ces lois conduit aussi à une autre évaluation de la température solaire. Tandis que par exemple la loi de Newron donna à WATERSTON (1860) 7 millions de degrés, à Seccnr (1861) dix millions et à Ericson (1871) 4 mil- lions; la loi de Dunone et Perir ne donna à Pouirrer que 1761°, à Vicaire 1398° (1872) et à Vrorre 3000° (1881). La loi de Roserri (avec le carré de la température) (1879) donna 200007, et celle de Sreran (avec la quatrième puissance de la tempéra- ture) (1879) donna d’abord 6000°, puis 8700 ä M.M. Wirson et Gray et 6590° à M. Wirson (1901). Les recherches thermodynamiques de Zoriner (1870) et de Hirn (1884) donnèrent des températures très élevées, resp. de 28000° et de 2 millions de degrés. Lanerey eut le premier l’idée de déduire la température de la longueur de l’onde où le spectre a son maximum d'énergie. D’après M. W. Micuersox et Rugens cette longueur varierait inversement avec la racine carrée de la température, tandis que d’après M. Wien et Pascuen c'est avec la température elle-même qu’ inversement cette longueur varierait. MrcnersoN et EBERT arrivèrent ainsi à une température solaire de 40000° et M. PascueN à une température de 5130° seulement. — On trouvera l’histoire de toutes ces recherches et de beaucoup d’autres encore dans les écrits suivants: CLERKE : Geschichte d. Astr. p. 274—285; Problems p 63—69. YouxG: the Sun p. 305—309. J. Soueiner: Strahlung und Temp. d. Soune. Wirson and Gray: Proc. R. 8. 58. H. F Wezer: Sitz. Ber. Berlin 1888 II p. 933. R. v. KüvesriGeray : Grundzüge einer theor. Spectralanalyse. Witson and Rampavut: Phil. Trans. 185 p. 396. Roserri: Phil. Mag. 8 p. 324, 550. Sreran: Sitzungsber. Wien 79, 2, p. 391. Ancsrrém: Wied. Ann. 39 p. 309. Wirson: Proc. R. S. 12 Dec. 1901. Le Cuarerier: C. R. 1892 V 114 p. 737: S. P. Lanerey: Researches on Solar Heat, Washington 1884. M. W. Micuerson: Journ. de physique II 6, 467 (1887). Rusexs: Wied. Ann. 53 p. 284 (1894). Lord Ray.eicu: Phil. Mag. 27 p. 460 (1889). H. Eserr: Astrophys. Journ. IL p. 57. Wien: Wiedem. Ann. 58 p. 662 (1896). Pascuen: Astroph. Journ. IT p. 211. F. W. Very: Ibid. p. 316 et IV p. 44. D’après les observations récentes de M. M. Mrrrocnau et Fery à Meudon à Chamounix, aux Grands Mulets et sur le sommet du Mt. Blanc la température effective du soleil serait de 6130°. (La Nature N°. 1770 p. 338 27 Avril 1907, Journ, of the Brit. Astr. Ass. XVII 8 p. 370). 38 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME stances, que dans son four il ne vit pas volatilisées, étaient des carbides, des silicides et des borides. Et ce seront donc peut-être des carbides de titanium ou de silicium, qui forment la poussière photosphérique. Si nous devons regretter de ne pas connaître au juste, quelle est la matière, dont la photosphère est composée, cette connaissance n’est heureusement nullement nécessaire pour en comprendre le fonctionnement. Il suffit de savoir que dans la photosphère il y a une poussière photosphérique condensée, qui, chauffée au blanc dans un gaz incandenscent, lance au dehors les rayons solaires. Or voilà un fonctionnement, qui rend la photosphère tout à fait comparable au manchon à oxydes de thorium et de cérium, qui, lui aussi chauffé au blanc dans un gaz moins lumineux, produit l’éclatante lumière du bec Avmr. Le manchon photosphérique a d’ailleurs avec le manchon AvER encore cette autre ressemblance, que tout comme lui, il est aisément troué et doit être souvent renouvelé. Ce renouvellement a lieu tous les 11 ans. Mais tandis que le manchon Aurr est d'autant plus entier qu'il est plus neuf et d'autant plus irréparablement troué, qu'il est plus usé, nous verrons tantôt que le manchon photosphéri- que doit nous montrer Justement le contraire. Nous ne le verrons criblé de trous que lorsqu'il est tout neuf, et tous ces trous, bien loin d’être irréparables, disparaîtront toujours avec le temps. Si les nuages photosphériques fonctionnent comme un manchon Auer, alors toute trouée dans ces nuages doit être un endroit relativement obscur, d’où les rayons solaires sont moins abondam- ment lancés au dehors qu'ailleurs. Ce sont ces trouées dans les nuages photosphériques, qui forment les taches. Dans les taches la matière photosphérique n’existe pas à l’état condensé, mais seulement à l’état de vapeur. Au travers des taches nous voyons luire l’intérieur incandescent du soleil. Mais comme cet intérieur n’émet des rayons blancs à spectre continu que dans la profondeur, ces rayons, pour arriver Jusqu'à nous, ont à traverser d’abord des couches vaporeuses puissantes, qui doivent les dépouiller de la majeure partie de leur éclat. De la un renforcement de la plupart des raies de FRAUNHOFER dans le spectre des taches, où à l’absorption normale des couches renversantes celle des couches plus profondes se verra ajoutée. On trouvera une explication de l’obscurité des taches comme uniquement due à l'absorption dans un Mémoire récent de MM. Harre et Apams f). Si les raies du silicium, bien loin d’être renforcées dans f) Astroph. Journ. XXIII (Jan. 1906) p. 35—44. L’obscurité des taches n’est d’ail- leurs que tout a fait relative, car méme dans leurs parties les plus sombres elles sont DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 39 le spectre des taches, s’y montrent affaiblies, comme M. Mrronxrr l'a découvert f) et comme MM. Harm et Apams viennent de le confirmer 4), c'est peut-être parce que cet élément léger étant présent surtout dans les couches renversantes et l’orifice des taches étant généralement bombée au dessus de la photosphère, le silicium moins abondant dans les couches plus profondes sera empêché de la sorte de pouvoir exercer toute son action absorbante. L’explication que je viens de donner de l’obscurité des taches ne parait guère s’accorder avec la loi de Krronnorr 4) à laquelle nous devons cependant presque toute notre connaissance de la con- stitution du soleil. Mais depuis que nous savons avec certitude que l'éclat lumineux de la matière ne dépend pas uniquement de la température 7), cette loi n’en est plus une sur laquelle on puisse toujours se fier. M. EversuEp a émis l’idée, que la lumière produite au fond des taches aurait généralement des longueurs d’onde plus courtes et serait par conséquent moins visible que la lumière photo- sphérique due à une température moins élevée 7). Si cette idée est juste elle s'adapte immédiatement à mon explication, mais si elle ne l’est pas #) Vobscurité des taches pourrait être expliquée aussi au moyen d’un raisonnement inverse. Car si l'obscurité des taches ne pouvait être attribuée à leur propre éclat, qui par rap- port à leur température serait trop petit, on pourrait toujours l’at- tribuer à un éclat plus brillant de la photosphère, qui par rapport encore beaucoup plus brillantes que la lumière de Drummond. Citons à cet égard une curieuse expérience de Cuacornac, dont LEVERRIER, qui en avait été témoin a donné la description que voici: „Une pénombre très intense se montrait sur le centre du disque du soleil et elle paraissait fort obscure comparée à la lumière des parties environnantes de l'astre. Or lorsqu'on cachait tout le soleil avec un écran à l'exception de la tache, que nous venons de mentionner et d’une partie du disque située dans les environs du bord on était étonné d’avoir à constater que la tache était plus lumineuse que le bord de Yastre” (Leverrier: Compt. Rend. 1869 8 Févr. p. 319). M. H. C. Vocer (Monatsber. Berlin 1877 p. 104) a fait une observation analogue. (Crrrke: Gesch. d. Astr. 1889 p. 282). g) Mirexerr: Astroph. Journ. XXII p. 34. Have and Apams: Astroph. Journ. XXIII p. 28—30. h) Kirounorr: Pogg. Ann. 109. Untersuchungen über das Sonnenspectrum und die Spectra der chem. Elemente Berlin 1866. E. Wrrveman: Pogg. Ann. (N. F.) 37 p. 177— 248. I. Eversuep: Astroph. Journ. V April 1897. On the cause of the Darkness of Sun- spots. Maunver: Journ. of the Brit. Astr. Assoc. XVII (1906) p. 128 „What was the cause of the darkness of the spot? It was generally held that it must be practically wholly due to absorption.... but it seemed to him they must regard a large proportion of the darkness of the spot as due to a lessened radiation, whatever may be the cause of such diminution. He knew that some serious objections had been made to that view but did not see his way to escape from the evidence of direct observation”, i). Voir les notes f et t aux pages 26 et 29. j) Eversnep: loc. cit. p. 252. k) Hare a. Avams: Astroph. Journ. XXIII p. 42. 40 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MECANISME à sa température serait trop grand. Car l’éclat lumineux d’une poussière suspendue dans un gaz incandescent ne dépend pas néces- sairement de la température seulement. En mettant dans les mêmes flammes des manchons à oxydes différents, on verra avec ces oxydes varier l’éclat. L’oxyde de thorium par exemple et l’oxyde de cérium purs ne produisent qu'un éclat médiocre et il faut mélanger ces oxydes dans la proportion de 99 à 1 pour obtenir l'éclat maximum qu’on demande. D’aprés les expériences de M. M. Krurine, Ware, Russes, et Travers cet éclat maximum, bien loin de répondre à une tem- pérature plus haute, se produirait à une température plus basse que celle qu'ils ont observée dans un manchon à oxyde de thorium pur et serait dû à une transformation spécifique de l'énergie ca- lorique en lumière. Quelle que soit d’ailleurs la cause de Véclat surprenant du manchon AUER, que ce soit une luminescence, un effet de catalyse ou une émission sélective /), l’hypothèse que dans le manchon photosphérique l'éclat de la poussière photosphérique , qui s’y renouvelle sans cesse, ne dépendrait pas uniquement de la température de la couche où elle plane, n’a rien d’exorbitant et Pon pourra done s’en servir au besoin pour expliquer l’obscurité des taches. Le changement que M. Lockyer a découvert dans le spectre des taches lorsqu’a Vapproche du minimum elles se rapprochent de l’équateur ») résulte de l'indépendance de la photosphère par rapport aux couches aplaties, qu’elle traverse, indépendance que nous étudierons dans le 12™° paragraphe et en vertu de laquelle toute vapeur, qui a l'équateur s’élevera jusqu’à tout près de la photosphere, restera plus loin au dessous delle tout partout ailleurs. En comparant le changement de spectre observé par M. LockyER 1) C. Kitrine: Journ. für Gasbeleuchtung etc. v. Scuirring u. Bunte 46 p. 445— 450. Wuire u. Travers: Ibid. 45 p. 670; 46 p. 787—790, p. 974—977. Dict. de Chimie de Wurtz, 2me Supp. Art. Gaz de l’éclairage p. 627. Dr. C. Rrcmarp Boum: Das Gasglühlicht Leipzig 1905 p. 211—231. Lummer: Die Ziele der Leuchttechnik 1903. Frank W. Very: Astroph. Journ. IV p. 44 Laws of radiation. Dr. H. W. Fiscuer: Sammlung Chem. u. chem. technischer Vorträge herausgegeben von Prof. Frrrx AHRENS: Der Auerstrumpf, où l’on voit exposé comment Drosspacu, Sr. Joux, LumMer, Wren, Bunte, Le Cuarerier, Nernst, Bose, Rues, Ferv et M. Fisouer lui-même ont taché d'expliquer le grand éclat du manchon Auer. m) Lockyer: Chem. of the Sun p. 313—325. M Lockyer est disposé aussi à admettre que des taches à Spectres semblables ne peuvent se trouver que dans une même parallèle (loc. cit. p. 318) ,and it really does look as if the sudden changes in the spectra noted from time to time may have been due to the fact that the spots compared were spots varying very considerably in latitude, and it would not surprise me to find that spots which are very like each other in their spectra will be found to be situated more or less in the same degree of latitude”. DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 41 avec le changement simultané en latitude observé par SPOERER #) on voit immédiatement que ces deux changements simultanés sont précisément tels que ma théorie les prévoit 0). Les taches et les pores ont la même température que la photos- phere qui les entoure. Car si cette température n’était pas égale des courants ascendents et descendants devraient se produire, boule- versant sans relâche l’atmosphère qu’ils traverseraient. Ce boulever- sement n'existant pas, comme je lat démontré plus haut, il est donc évident que ces courants n'existent pas non plus et que des différences de température dans un même niveau photosphérique n'existent pas davantage. S'il est prouvé qu’en général les taches émettent moins de chaleur que les autres parties de la photosphère, cela prouve tout simplement que leur pouvoir émissif est moindre. Et ce pouvoir émissif doit être moindre parce que la poussière photosphérique y fait défaut. C'est pour la même raison que la flamme du gaz d'éclairage diminue sensiblement en pouvoir émissif si en y introduisant de lair, ce qui la rend même plus chaude, on la débarrasse de sa poussière carbonique pour en faire une flamme de Bunsen. Le renversement lumineux nullement rare de plusieurs raies dans le spectre des taches ne sera donc jamais causé par quelque rehaus- sement de la température. Bien au contraire il résultera d’une perte de chaleur. Car cette perte de chaleur dans la vapeur pho- tosphérique 4-+-B+-R remplissant les taches, doit y causer Ie fonc- tionnement intermittent des sources de chaleur physique et chimique, que J'ai déjà décrit dans mon Introduction, et qui produira des luminescences chimiques chaque fois que la source chimique inter- viendra. Ce fonctionnement empêchera aussi tout refroidissement des taches et les maintiendra à une température plus haute que celle des couches renversantes. Si cette température n’était pas plus haute on verrait au dessus des taches toutes les raies de FRaux- HOFER brillamment renversées p). Ce renversement brillant n’existant n) SPoerer: Publ. d. Astroph. Obs. z. Potsdam Bd. IV 4, Sonnenfleckenbeobach- tungen p. 414 Secoui: le Soleil I p. 187. Tableau des latitudes moyennes et des fréquences de taches observées par M. Sporrer. o) Théorie du Soleil p. 149—151. p) OLerke: Probl. p. 96. „Still the coolest umbrae must be hotter than the reversing layer, for otherwise the Fraunnorer lines would show bright against them, and as we know, they cross them in dusky array. This circumstance is fundamental in solar thermal relations, yet has been generally overlooked. The ordering arigh of such relations is a prime desideratum in solar physics and should serve as an indispen- sable guide to the interpretation of spectral divisions.” M.M. Hare, Apams et Gate inclinent néanmoins à admettre que Je spectre des taches démontre leur refroidissement (Contributions from the Solar Obs, N°. 11; Astroph. Journ. Oct. 1906 p. 185—213). Un 42 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME pas, toute tache est donc, comme la photosphère elle-même, plus chaude que les couches renversantes qui les couvrent. De toutes les considérations précédentes il résulte, que les taches étant des trouées dans la nappe photosphérique, leur température est égale à celle de la nappe photosphérique elle-même. § 6. Fonctionnement du mécanisme. Les taches se formant el seffacant tour à tour dans la photosphere, qui alternativement monte et descend. Les deux parties essentielles du mécanisme de la périodicité des taches étant maintenant étudiées, il me reste à expliquer, comment ce mécanisme fonctionne. Pour arriver à cette explication nous commencerons notre examen du soleil lorsque la photosphère est dans la période du maximum de ses taches. La photosphère est alors une nappe relativement mince, criblée de trous et se trouvant à sa plus grande hauteur, aussi éloignée que possible du centre du soleil. Elle plane alors à cette hauteur exceptionnelle, parce que la matière photosphérique, dont le soleil dispose, est alors moins que jamais à l’état nuageux condensé et plus que jamais à l’état vaporeux, ce qui doit lui donner son maximum de volume et par conséquent aussi son maximum de hauteur. Quoique la multiplicité des taches doive contribuer à aug- menter la vapeur photosphérique, cete contribution n’est cependant qu’ insignifiante. La vraie cause du maximum de volume, que présente la vapeur photosphérique lorsque les taches sont au maxi- mum ne saurait être déjà expliquée maintenant. Mais nous la com- prendrons parfaitement tantôt, j'espère, lorsqu’ après avoir étudié, comment après le maximum des taches un minimum doit venir, j'aurai expliqué aussi, comment après ce minimum un nouveau maximum se restaure. Pour faciliter et consolider cette explication, j'ai representé dans la figure ci-contre, comment durant les années successives d’une période la photosphère et sa vapeur changent constamment de volume et de niveau. Dans la première année, que commence notre examen du soleil, nous voyons, comme je l’ai déjà remarqué, la vapeur photosphérique de leurs arguments est la ressemblance du spectre des taches avec celui des étoiles rouges. Mais cette ressemblance est due, selon moi, comme je l’expliquerai dans la 2me Partie de ce Mémoire, à une toute autre cause (voir aussi la deuxième note m de mon 10me paragraphe). DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 13 s'élevant jusqu’ à sa plus grande hauteur, où on la voit limitée par la photosphère nuageuse proprement dite, qui en vertu du refroidissement extérieur doit toujours la limiter au dehors. Si cette photosphère n’est alors que bien mince, ses nuages ayant M1112, Sl aM 3) La) sl 5 peu de profondeur et montrant de nombreuses trouées, elle ne tardera pas a s’épaissir bien vite. Car a la grande hauteur, où elle consécutifs). consécutives ); ®. dans la nappe obscurcissante de Mira (les trous dans les nuages sont alors lumineux ct les chiffres indiquent des mois 1°. dans la nappe photosphérique du soleil (les trous dans les nuages sont alors obscurs et les chiffres indiquent des années Changement réciproque des nuages (en noir) et de leur vapeur (en hachures) du maximum au minimum et au maximum suivant: 9 plane maintenant, elle perdra plus de chaleur par le rayonnement au dehors, qu’elle n’en peut recouvrer du dedans des cinq ou six 44 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME sources de chaleur solaire, que j'ai énumerées dans mon Intro- duction, et elle subira par conséquent une perte de chaleur, qui causera une condensation, qui fera augmenter ses nuages. Cette perte de chaleur ne produira d’ailleurs aucune diminution de la température; car cette diminution est automatiquement empéchée par la chaleur immédiatement produite par la condensation que toute perte de chaleur doit causer dans la vapeur saturée, qui est en contact avec les nuages. C’est pour la même raison, qu’en refroidissant de la vapeur d’eau on ne verra jamais la température de 100° diminuer, avant que toute cette vapeur n'ait été convertie en eau g). Lorsque par conséquent la photosphère se refroidit, ses nuages ne diminueront pas en température, mais ils augmenteront en poids, et ses taches et ses pores, qui y montraient les endroits, ou ces nuages étaient absents, y seront doublement effacés 1° par Vappari- tion soudaine de nuages nouveaux et 2° par l’arrivée résultante de nuages nullement nouveaux, qui existant déjà tout à l’entour de la tache sont entrainés maintenant vers le vide, que les nuages nouveaux ont produit par leur condensation. La matière lumineuse environnante, après avoir formé des voiles, des ponts et des ponts submergés, ,s’écroulera alors pêle mêle, comme dit Srccur, dans le gouffre qui disparait” 7). Si maintenant à la plus grande hauteur, que les nuages photo- sphériques peuvent atteindre leur vapeur épuisée cesse d’y pouvoir continuer sa condensation, ces nuages alourdis descendront dans la vapeur plas profonde, qui continuera à les alourdir toujours plus. Lorsque cette vapeur sera épuisée à son tour, ces nuages toujours q) Comme M. F. A. H. ScureINEMAKERS l’a fait remarquer dans ses recherches sur la tension de la vapeur de mélanges ternaires, un mélange de plusieurs vapeurs diffé- rentes doit généralement en se condensant diminuer en température. Mais lorsqu'il n’y a qu'une seule vapeur, qui se condense, la température demeurera constante. Or comme tout changement de température serait incompatible avec la tranquillité du soleil, il n’y aura donc dans les couches extérieures du soleil, tout comme dans celles de notre terre, qu'une seule vapeur saturée qui y formera des nuages. Les vapeurs innombrables, qui au dehors de ces nuages forment les couches renversantes, la chromosphere et l'atmos- phere entière du soleil ne sauraient s’y condenser d’ailleurs, même si elles étaient saturées; car la radiation invariable de la photosphère plus profonde les empêchera de refroidir, et lorsque près d'une tache ou d'un pore éventuels cette radiation diminue, elles allumeront aussitôt une protubérance pour rémédier tout de suite au refroidissement, qui sans cela serait près d'arriver. Ce ne sont que les nuages photosphériques, auxquels est dévolue la tâche immense d'émettre au dehors la chaleur recouvrée incessamment au dedans, qui puissent nous montrer une condensation variable à mesure que s’acquittant de cette tâche leur chaleur augmente ou diminue. r) Youne: the Sun p. 122. Srccui: le Soleil I p. 87. Lockyer: Sol. Phys. p. 70. Maw: Observatory XXI p. 402; XXIII p. 233. PE NN DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 45 plus épais descendront encore plus bas. Tant que la photosphère continuera a perdre plus de chaleur par son rayonnement au dehors, quelle n’en peut recouvrer du dedans, elle continuera à convertir sa vapeur volumineuse en nuages pesants et à descendre toujours plus bas. C’est ce que j’ai fait voir dans la figure pour les pre- mières sept années de la période. Mais cet alourdissement de la photosphère descendant toujours plus bas ne saurait durer toujours. Car dans les couches où la photosphère s'enfonce la température augmente avec la profondeur. Il est donc évident que la photosphère arrivera finalement à une profondeur où elle commencera à recevoir en bas plus de chaleur du dedans, qu’elle n’en peut perdre en haut par son rayonnement au dehors. Arrivée à cette profondeur, où cessant de se refroidir, elle com- mencera à être réchauffée désormais, la photosphère est dans la période du minimum de ses taches et du maximum de ses nuages. La matière photosphérique se trouve maintenant dans un état tout aussi exceptionnel que lors du maximum. Mais tandis qu’alors elle était moins que jamais à l’état nuageux condensé et plus que jamais à l’état vaporeux, maintenant c’est précisément le contraire. De la la différence des niveaux photosphériques au maximum et au minimum. Mas cette photosphère épaisse du minimum, chargée de tous les nuages, qui depuis le maximum s’y sont accumulés, continuera en vertu de son poids à descendre dans les couches plus profondes. Cette descente sera maintenant le commencement de sa fin. Car tandis que jusqu'à présent elle perdait en bas par évaporation moins de matiere condensée qu'elle n’en reçouvrait en haut par condensation, ce qui la fit croître en épaisseur, ce sera maintenant le contraire, qui aura lieu. En perdant désormais plus de matière condensée en bas qu’elle n’en recouvrera en haut elle deviendra de plus en plus mince et disparaîtra. Mais tandis que les nuages de l’ancienne photosphère disparais- sent à jamais en s’évaporant dans la profondeur, toute la vapeur, dont ces nuages s'étaient formés, apparaît de nouveau. Et comme cette vapeur ne peut se condenser aussi vite en haut qu'elle est produite en bas, elle remontera donc dans le soleil pour reprendre son volume primitif. Mais a la surface extérieure de cette vapeur qui monte, le refroi- dissement fera condenser aussitôt une photosphère nouvelle. Je lai représentée dans la figure telle qu'elle s’épaissit en montant durant les dernières quatre années de la période. 46 ESSAÏ D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Cette photosphère nouvelle, encore bien mince, bien loin d’être unie, sera bosselée de facules et criblée de taches. Ces irrégularités résulteront de l’augmentation incessante de la vapeur, qui pousse la photosphère en haut et qui aux endroits les plus minces y pro- duira par un relèvement plus grand des bulles bombées, qui s’élevant au dessus du niveau général de la photosphère seront vues comme des facules. Ces bulles bombées seront des facules précurseurs de taches, si leur paroi bombée est assez mince et si la poussée de bas en haut, qui les a produites, continue. Car alors ces bulles crèveront et produiront ces trous dans la nappe photosphérique, que nous ob- servons comme des taches. Là, où ces trous réussiront à s'ouvrir, ils nous montreront dans l'ombre des taches leur plus grande obscurité. Mais tout à l’entour du trou obscur l'ouverture restera toujours obstruée des débris éraillés de la paroi bombée crèvée, dont les filaments effilés, déliés cacheront en partie l’ouverture comme le font d’après Srccur et Youna s) „les buissons à l’entrée d’une caverne”. Ces filaments déliés formeront autour de l’ombre des taches leur pénombre, dont la surface bombée et convexe nous montrera son plus grand éclat près de son bord intérieur, parce qu’étant là le plus relevée dans la couche brumeuse, qui obscurcit la photosphère, elle n’y perdra tout comme les facules qu'un minimum d'éclat #). Si d’après Vexplication, que je viens de donner, la formation des taches est due à la rupture de bulles vaporeuses, cette forma- tion a déjà été reconnue tout de suite par celui, qui a été un des premiers à étudier les taches, a donné aux facules et aux zones royales le nom, qu’elles ont toujours porté, et a consacré la ma- jeure partie de sa vie et de ses facultés extraordinaires d’observateur à l’étude du soleil. J’ai nommé le R. P.:Cnrisr. SCHEINER, auteur de la Rosa Ursina w). Dans l’aperçu qu’un autre observateur infati- s) Seccui: le Soleil I p. 95. Youne: le Soleil p. 90. t) Les photographies que M. Curvarrer a obtenues à l'Observatoire Zô-sè en Chine (Astroph. Journ. Nov. 1906 Plate X) nous montrent indubitablement l’éclat souvent plus grand du bord intérieur de la pénombre. Les photographies encore plus récentes de M. Neate montrent clairement aussi cette même particularité (A. N. Neave: Journ. of the Brit. Astr. Assoc. July 1907 p. 398). u) Rosa Ursina sive Sol ex admirando Facularum et Macularum suarum Phaenomena varius nec non.... mobilis ostensus a Christophoro Scheiner Germano e Societate Jesu.... Bracciani apud Andream Phaeum Typographum Ducalem-Impressio coepta Anno 1626, finita vero 1630 p. 536. Les taches ont été découvertes presque simultané- ment vers la fin de l’année 1610 par J. Fapricius, GALILÉE, HARRIOT et SCHEINER. (H. Fritz: Die Beziehungen der Sonnenflecken Haarlem 1878 p. 2). C'est Fasricius qui a publié cette découverte le premier dans un écrit intitulé: De maculis in Sole observatis ak IE en DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 47 gable des taches, le P. Jon. ScnrriBer a Kaloesa, a donné en alle- mand de la Rosa URsINA, j'ai trouvé l’idée de taches se formant par l’expansion de bulles clairement exprimée v) et supportée par le P, ScurerBer lui-même, lorsqu'il remarque que cette même idée a été exprimée aussi par R. Wo tr, autre observateur infatigable des taches, qui lui aussi a cru observer souvent que c’étaient des bulles, qui par leur rupture causaient des taches w). Si la formation des taches, que mon explication du mécanisme de leur périodicité demande, n’a par conséquent rien d’inprévu, cette formation répond parfaitement aussi à toutes les observations récentes, qui ont prouvé, que les taches sont le plus souvent relevées au dessus de la photosphère, que ce sont, comme dit M. Mauxper, des domes démésurément remplis de vapeur +). De telles taches ne feront pas voir le phénomène Wilsonique y), ni la grande diminution, et earum cum Sole revolutione narratio (Witebergae 1611). Voir aussi J. A. C. Oupemaxs et J. Bosscua: Arch. Neerland. Ser. 2 Tome VIII. Garirée et Marius p, 167. En Chine les taches ont été découvertes beaucoup plus tôt. Le premier ouvrage où il en a été fait mention est celui de Ma Twax Lin publié en 1322 et renfermant un tableau remarquable de 45 observations exécutées entre 301 et 1205. (J. Wirriams: Monthl. Not. 33 (1873) p. 370. B. Mert: Bull. de la Soc. Belge d’Astr. 1907 p. 179). v) P. Jon. Seumeren S. J.: P. Curisropn. SCHEINER und seine Sonnenbeobachtungen (Sonderabdruck aus Natur und Offenbarung 48 Band) 1902 p. 39. w) R. Worr: Handbuch d. Astron. IT p. 407 „dass ich selbst mehrmals dem Bilden von Blasen in der Photosphäre und dem Sichtbar werden von Flecken infolge Zersprin- gens solcher Blasen zuzusehen glaubte.” M. YounG, qui, par une modification de la théorie de Srccur, s’efforee d’expliquer la formation des taches au moyen d’un enfon- cement local de la photosphère lorsque le gaz intérieur qu'elle comprimerait y trouverait une issue ailleurs, doit cependant reconnaître qu’en général ou voit toujours des facules, des pores et une surface troublée aux endroits où une tache va naître et que quelquefois leur apparition ressemble à celle d’une masse obscure, qu'on verrait sortir de la profondeur (Youne: the Sun p. 187). Si M. Youne se voit forcé d'ajouter que cette ressemblance est embarrassante (puzzling), moi je n’y vois qu'une confirmation de mon idée. x) Maunper: Journ. Br. Astr. Ass. VII p. 121. Ibid. XVII p. 128 (Dec. 1906). Tandis que ma théorie des taches trouve dans leur convexité un grand support, cette convexité affaiblit au contraire la plupart des autres théories, qui demandent plutôt leur concavité. Telles sont les théories de Sir Joux Herscuer, Seccurt, Faye, Lockyer, SCHAEBERLE, Younc et EB. v. Opporzer (Youre: the Sun. Sun spot theories p. 177—190). M. R. Empen voit, tout comme Faye, dans les taches l'effet de l'aspiration d’un tourbillon, qu'il explique d’ailleurs d’une toute autre manière. Cette théorie de M. Empen demande de même la concavité des taches, comme il résulte de la citation que voici: (R. Eupen: Astroph. Journ. XV p. 54) „every vertical whirl in a river asserts itself in a depression of the surface. If the whirl, which forms by the rolling of the surface of discontinuity is not too far from the Suns surface, it will show itself like the whirl upon the surface of water. If we grant the validity of Witsons theory of the consti- tution of Sun-spots as depressions in the Suns surface, then we need only to seek their cause in the Suns whirls in order to obtain a satisfactory explanation of most of the phenomena which we observe in the case of Sun-spots and their accompanying ma- nifestations”. y) Ar. Wirson: Phil. Trans. 1774. Observations of the Solar Spots. Avant Wirson 48 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MECANISME qu'a constatée Laneiny dans la chaleur, qui rayonne des taches, à mesure qu’elles se rapprochent du bord 2); mais elles feront bien voir le phénomène anti-Wilsonique, que M. Howzerr et le P. SIDGREAVES ont si souvent observé a) et le peu de diminution, qu'ont trouvé M. M. Frosr et W. G. Wirson dans la chaleur émise par les taches lorsqu'elles se rapprochent du bord 6). Ma théorie prévoit cependant, que la convexité des taches ne saurait persister. Car dès que la poussée de bas en haut, qui les a produites, aura trouvé un débouché nouveau et viendra à cesser ou à diminuer, la vapeur, qui les gonfle, sera toujours prête à se condenser de nouveau à leur surface en nuages moins volumineux et il n’est donc nullement surprenant qu’outre les taches convexes nombreuses, que M. Howzerr et le P. SIDGREAVES ont vues, il y en ait aussi beaucoup de concaves, qui probablement plus agées, ont été observées par A. Wirson, W. HersCHEL, DE LA Rue, Srewart, Lorwy, Faye, Srccut et Ricco c). Ces deux sortes de taches ont déjà été décrites par le P. Cur. SCHEINER, qui en découvrant les taches vit tout de suite, ce que M. Howzxrr et les Pères Srparnaves et Corrm n’ont observé que 270 années plus tard, que les taches sont le plus souvent convexes et relevées au dessus de la photosphère, mais qu’il y en a aussi, dont l'ombre surtout est concave d). on avait généralement admis que les taches s’élevaient au dessus de la photosphère, soit comme des nuages (GALILEI), soit comme des matières volcaniques (DerHam), soit comme des montagnes (Cassinr 1671 et Laranpe 1776). (Crerke: Gesch. d. Astr. w. d. 19ten Jahrh., p. 68. Youne: the Sun p. 178). z) Lanerey: Monthly Not. 37 p. 5. a) Howrerr: Monthly Not. of the R. A. 8. Dec. 1894 p. 73. P. Sipcreaves: Monthly Not. March 1895 p. 282. b) Frost: Astron. a. Astroph. Vol. II p. 734. Astroph. Journ. IV p. 201. Winson: Monthly Not. Vol. 55 p. 458. ce) W. Herscnen: Obs. tending to investigate the nature of the Sun. Phil. Trans. 1801. De La Roe, Barrour Srewarr {and Loewy: Phil. Trans. 1865 Researches on Solar Physics. Faye C. R. 1865 XII p. 18. Ricco: Astroph. Journ. VI Aug. 1897 p. 91. d) P. Jon. Scareiser: loc. cit. p. 31: „Ich versetze die Flecken nicht in eine solche Tiefe” dit Curisropu. SOHEINER, „dasz sie gleichsam ganz eingetaucht sind; denn es kann die eine Fleck mehr oder weniger als der andere hervorragen, sowie auch nicht alle Schiffe am Meere gleichen Tiefgang haben” p. 32: ,Aus den Erscheinungen selbst haben wir bisher gezeigt, dass die kugelige Oberfläche der Flecken gegen uns zu kaum so viel hervorragt als genug ist, dass wir sie über die kreisrunde Begrenzung der Sonne ein wenig emporheben” p. 34: „Dass die Flecke gegen uns convex sind, geht. aus ihrer Lage am Sonnenrande hervor” etc. (p. 30—37): „Bisweilen meint man, er denke an Vertiefungen, bisweilen verweist er die Flecken in höheres Niveau als ihre Umge- bung”. „Den Kern des Fleckes im Gegensatz zum Penumbra scheint er aber bisweilen tiefer zu legen als diese.... Er glaubt eben, die Penumbra wölbe sich etwas über das Niveau der Photosphäre und der Kern sei vielleicht nach auszen sogar etwas konvex”, v. BraumüxL (p. 35) s'est trompé en considérant SCHEINER comme un précurseur de TRE Bn DE LA PERIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 49 Si les taches résultent de la rupture de bulles photosphériques gonflées e), nous voyons dans tes facules, qui les entourent le restant encore relevé de ces bulles. Or comme ce restant relevé est néces- sairement peu épais, c'est là que la nappe photosphérique erèvera aisément de nouveau si la poussée de bas en haut continue. De la le phénomène habituel de l’apparition des taches en groupes. Et c’est ainsi aussi que s'explique, pourquoi au même endroit où une tache a disparu, il y a beaucoup de chance, qu’une nouvelle tache apparaisse /). Je ne m'étendrai pas plus longtemps ici sur ma théorie des taches, que je tacherai d’affermir plus loin et qui trouvera surtout au commencement de mon onzième paragraphe une très belle con- firmation. Le peu, que je viens d’en dire, aura suffi pour démontrer, que les taches se formeront surtout et produiront un maximum, Witson; car il paraît bien, qu’ après tout, les taches convexes aient fait plus d'impres- sion sur SCHEINER que les taches concaves. Corrie: Astroph. Journ. VII p. 248: „It would seem then, that while many spots are above the photospheric level and many below it, it is possible that individual spots are at different levels at different periods of their life history”. Voila précisément mon idée. D’après l'abbé Tu. Moreux „tout observateur sérieux du soleil ne peut croire à la théorie de Wrison.... j'ai même vu des taches, dit-il, paraissant en relief sur le bord solaire” (Bullet. de la Soc. Astron. de France, Janvier 1907 p. 29. Sur Je niveau des taches solaires). e) Mon explication répond aussi aux observations anciennes de ResriGur et de Younes, qui virent la chromosphère au dessus d'une tache diminuée en hauteur (Yours: the Sun p. 216) et aux observations plus récentes de M. Desnanpres, qui ne vit au dessus de l'ombre des taches que les couches supérieures de la chromosphere (C. R. 141 p. 377. Astron. Jahresber. Wisticenus 1905 p. 476). f) Cur. Scueixer: Rosa Ursina p. 516. YouxG: the Sun p. 119. P. Jou. Scuretper: loc. cit. p. 48, 49, 41: ,Ebenso wagt Cur. Scnemer auf Grund sehr vieler und un- zweifelhafter Beobachtungen zu behaupten (p. 230) dass oft an derselben Stelle auf Fackeln Flecke und wieder auf Flecke Fackeln folgen; auch entging ihm nicht der auch in neueren Werken betonte Umstand, dass bisweilen ein Fleck verschwindet, bald aber in derselben Stelle ein nener auftaucht. So bringt er als Beispiel einen Fleck, der verschwand nach zwei Tagen aber wieder sichtbar war, mit der Bemerkung, was auch bei anderen Flecken nicht selten vorkomt (p. 264)”. Voir aussi Maunper: Journ. of the Brit. Astr. Ass. XVII p. 130: Areas of special disturbance. Ibid XV (1906) p. 140: ,We know that the solar action reaches us along definite or restricted lines, not by any general radiation in all directions through space”. L’influence solaire dont il s'agit ici est celle qui cause nos perturbations magnétiques et nos aurores polaires. Ces phénomènes n'ont pas seulement la même périodicité undécennale que les taches, mais M. Maunper a constaté en cutre qu'ils répondent aussi aux 27 jours que dure la rotation synodique des zones royales du soleil. Quels pourraient être ces rayons définis, dont parle M. Maunoer, j'ai déjà expliqué aux pages 20 et 21 de mon Introduction. En étudiant toutes les taches, qu'en 1860 on avait observées depuis 1612, M. Frirz a déjà reconnu alors que les taches ont une période de 27 jours (Frirz: Die Beziehungen der Sonnenflecken etc., Haarlem 1878 p. 65). Voir aussi, quoiqu’ ici le rapport avec la rotation synodique du soleil soit excessivement douteux, J. P. van per Srox, Kon. Ak. v. Wetensch. te Amsterdam: „On a 26-day period in daily means of the barometric height” June 24 1904 p. 18. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1e Sectie) Dl. IX n°. 6, E 4 50 ESSAL D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME tant que la photosphère nouvelle continuera à être poussée en haut par la vapeur, qui dans la profondeur sera régénérée par les nuages accumulés durant le minimum précédent, et que cette formation de taches ne cessera, qu’au moment, que cette vapeur régénérée discontinuera d’excéder celle, qui à la surface ne cessera jamais de se condenser de nouveau. Mais comme ces nuages dans la profondeur ne sauraient échapper à leur destruction totale, ce moment ne peut tarder. Alors la photo- sphère nouvelle aura atteint sa plus grande hauteur. Car la matière photosphérique, dont le soleil dispose, est maintenant de nouveau moins que jamais à l’état condensé et plus que jamais à l’état vaporeux, ce qui lui aura rendu son maximum de volume et par conséquent aussi son maximum de hauteur. Or, comme cette photosphère nouvelle, criblée de trous et planant à sa plus grande hauteur est tout à fait semblable à celle qui au maximum précédent brillait aussi dans le soleil, lorsque nous commencames notre examen, la périodicité des taches est maintenant expliquée; car tous les phénomènes, que la photosphère ancienne a présentés et qui, après le maximum ont causé un minimum et puis encore un maximum nouveau, se repèteront à l’infini. Si telle est mon explication de la périodicité des taches, elle peut être résumée comme je lai fait dans l'alinéa suivant. La photosphère descend et monte tour à tour. Lorsqu’au maximum elle plane à sa plus grande hauteur, c’est son refroidissement, qui en l’alourdissant et en effacant ses taches la force à descendre, et lorsque le minimum étant atteint, elle est arrivée à sa plus grande profondeur, c’est son réchauffement qui la force à remonter et à restaurer un maximum nouveau. La photosphère exécute par conséquent un mouvement vibrant, qui lui est communiqué par la vapeur photosphérique, dont la surface extérieure refroidie, qui forme et façonne la photosphère, doit descendre et monter tour à tour, selon que la vapeur sy condensant sans cesse, excède bien ou n'excède pas la vapeur éventuellement produite dans les couches incandescentes profondes, où la matière condensée accumulée durant le minimum précédent et sollicitée par son poids à descendre toujours plus bas, finit toujours par s’évaporer. Pourquoi ce mouvement vibrant a une période moyenne de 11 ans environ et pourquoi la photosphère met généralement deux fois plus de temps à descendre qu'à monter; ce sont là des détails numériques qui ne deviendront explicables, que lorsque la température, la composition et la grandeur de la masse des couches photosphériques et la chaleur, que ces couches hek adh DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 51 perdent et recouvrent sans relâche, auront cessé d’être des particu- larités encore insuffisamment calculables. $ 7. Fonctionnement intermittent des sources de chaleur physique et chimique dans la nappe photosphérique, qui monte et descend tour a tour. L’essentiel du mécanisme de la périodicité des taches étant maintenant expliqué, je vais essayer de prouver, qu’outre les parti- cularités, que nous venons d'étudier, ce mécanisme en a encore beaucoup d’autres, qui ne répondent pas moins bien aux phénomènes que le soleil nous présente. Pour arriver à ces autres particularités je ferai remarquer d’abord que, si dans le mécanisme décrit, nous n'avons vu intervenir aucun procès chimique, de tels procès y jouent cependant un rôle très important. Si ce rôle n’est pas aussi prépondérant, que je le croyais encore en 1892, lorsque jeneniis y voir la cause principale de la périodicité des taches g), il mérite cependant que nous l’étudions. Il est clair en effet, que, puisque les couches extérieures de la photosphère rayonnent toujours plus de chaleur au dehors qu’elles n’en peuvent recouvrer du dedans, leur refroidissement résultant ne causera pas seulement constamment la condensation de leur vapeur condensable, mais tout aussi bien la combinaison chimique de leurs substances combinables /). Et il est donc évident qu’outre la source de chaleur physique, que pour simplifier, j'ai montrée seule à l'oeuvre comme empèchant toute diminution de la température, 1l y aura aussi une source chimique de chaleur réparatrice, qui coopérera au même résultat. J’ai expliqué plus haut dans mon Introduction, comment ces deux sources de chaleur, qui ne peuvent le plus souvent fonctionner en même temps et se relèvent alors à tour de rôle, doivent pouvoir produire ainsi des phénomènes intermittents. Car chaque fois que la source physi- que sera à l’oeuvre nous la verrons produire une matière condensée blanche Z à spectre continu et chaque fois que la source chimique sera en action la combinaison des molécules 4 et 4 nous fera voir une luminescence chimique à raies brillantes. Or une production intermittente de ces deux sortes de lumière s’observe dans toutes les couches extérieures du soleil. Si je l'ai déja expliquée dans g) Théorie du soleil, p. 145—I68. h) Si ce refroidissement cause aussi la décomposition de combinaisons endothermiques et fait fonctionner ainsi la source de chaleur endochimique d’Arruenius, ce fonctionne- ment ne sera pas nécessairement intermittent comme celui de la source chimique, que j'ai expliqué comme dû à l'intervention périodique de la source physique. F 4% 52 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME mon Introduction, c'est qu'elle m’y était déjà nécessaire pour rap- peler ma théorie des protubérances. Mais j'ai fait voir alors en même temps que beaucoup d’autres phénomènes lumineux intermittents, que nous présentent les taches et la photosphère doivent être attri- bués à la même cause. Je n’en rappellerai ici que les voiles roses, que Secenr a souvent observés à l’intérieur des taches et évidem- ment produits d’après lui par la transformation d’une matière blanche préexistante 2). Si ces phénomènes photosphériques, où l’on voit à tour de rôle une matière condensée # et un gaz lumineux 4B se produire, répondent parfaitement à ma théorie d’un fonctionnement inter- mittent des deux sources de chaleur physique et chimique, il y a aussi dans le spectre des taches quelques particularités, qui démon- trent, que d'accord avec cette théorie, les combinaisons chimiques résultantes n’y font pas défaut. Ces particularités sont 1° les bandes obscures découvertes par Corrm et Youne entre les raies C et D et qui d'après Corvin seraient dues à des combinaisons, que le refroidissement aurait produites 7) et 2° dans la diffusion, que montre l'élargissement de certaines raies métalliques du côté du violet #). Quoique des apparitions soudaines et temporaires de poussière photosphérique, telles que ma théorie les prévoit, soient plus facile- ment observables dans les taches qu'ailleurs, elles ne s’en produiront pas moins sur toute la surface photosphérique, dont les granulations sembleront montrer par conséquent une agitation continuelle, que Cur. Scuminur a déjà décrite /) et qui a été comparée par Liats i) Seccur: le Soleil I p. 104 (fig. 53, 54, 55) „Y a-t-il dans ces phénomènes (dit Srccur) une transformation réelle d’arcs brillants en voiles rouges, ou bien faut-il y voir une superposition purement accidentelle? Pour résoudre cette importante question nous avons avec beaucoup de soin surveillé et étudié les taches et nous avons pu nous assurer que les courants lumineux se transforment quelquefois en voiles roses. Le 23 Janvier 1866 nous examinions une tache en forme de oo; deux jets de langues brillantes s'élançaient de part et d'autre et paraissaient devoir la diviser par un pont. Cinquante minutes plus tard les langues de feu s'étaient effilées à leur extrémité. Au bout de dix minutes on les vit transformées en voiles. On ne saurait donc douter de la réalité de cette transformation”. j) Corrie: Astroph. Journ. VII p. 242 „Even the continuous dark spectral band of a Sun-spot has in the region Æ to J’ been resolved into fine lines by both Younc and Duner, and in the region C to D Youre and the writer have independently detected the presence of identical dark bands, of which the only satisfactory explanation seems to be the formation of compounds over a spot by a reduction of temperature”. Voir aussi A. Fowrer: The Origin of certain Bands in the Spectra of Sunspots. M. N. 1907, p. 534. i’) Frost-Scuetnen: Astr. Spectr. p.177. Ames: Astr. J. I p.89. Harter: Proc. R.S.56 p.192. !) Jou. Scuretper: loc. cit. 20—25. „Cun. Scmeiner schreibt 1° dasz die ganze Ober- fläche der sichtbaren Sonnenhemisphäre heterogen ist, aus Schatten und Lichtpunkten (luculae) zusammengesetzt; 2° dasz die Oberfläche einem gekrauselten See gleicht und sich dieses Aussehen fortwährend andert”’. ll pi à. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 53 à celle d'un liquide ou se fait une précipitation chimique ») et par le P. Braun au bouillonnement violent d’un liquide en ébullition »). Les changements rapides, que ces granulations font voir, lorsqu'on compare deux réseaux photosphériques de M. Jaxssex, photographiés dans l'intervalle de quelques minutes o) ou même de quelques se- condes seulement, comme vient de le faire M. Haxsky à Poul- kawa p), ne sont peut-être pas réels et rien qu'un effet de réfrac- tion dans les atmosphères de la terre ou du soleil 7); mais si ces changements sont bien réels, mon explication nous dispense d'en attribuer la cause a quelque vitesse fabuleuse d’un déplacement matériel véritable. „Il est facile au contraire de les concevoir par des effets de dissolution ou de condensation sur place de la matière des nuages lumineux, comme sur la terre on voit quelquefois le soleil se couvrir ou se découvrir presque instantanément par con- densation ou dissolution des vapeurs contenues dans lair,” Cette citation, qui rend parfaitement mon idée est de Lrais >). Seccnr n’a pas moins clairement exprimé mon idée (qui est une idée prin- cipale de ma théorie de la tranquillité du soleil) lorsqu'il dit: „Ainsi s'explique, sans qu'il soit nécessaire de recourir à des vitesses fabuleuses, la rapidité avec laquelle s'exécutent certains change- ments de forme dans les taches. Le déplacement apparent d’un nuage peut s'expliquer sans supposer que la matière qui la compose a réellement parcouru le même espace que le contour du nuage lui-même: il suffit pour cela d’un changement de température pro- duisant d'une part la condensation, d'autre part la dissclution de la vapeur sur une surface étendue, C'est ainsi que par un temps de calme nous voyons le ciel se couvrir de nuages presque instan- tanément, ou bien s’éclaircir avec la même rapidité, les courants d'air ayant une vitesse presque nulle et incomparablement plus faible que celle du mouvement apparent des nuages” s). Si je rapproche ces citations de Laars et de Srconr de celles du Père Fenyr, de Youre et de Srocur, que j'ai déjà données dans mon m) Lrars: Espace céleste p. 51. n) C. Braun S. J. Ueber Kosmogonie (1895) p, 175. o) Janssen: Ann. de l’Obs. d’Astr. Phys. de Paris. Janssen: Ann. du Bur. des Longit. 1878 p. 689. Youna: the Sun p. 110. p) A. Hansxy: Mitt. d. Nicolai Hauptsternw. zu Pulkovo. Bulletin de la Soc. belge d’Astr. Avril 1906 p. 157. q) Hare: Astroph. Journ. X p. 373. Dans l'aperçu, qu'il donne du Tome I des Ann. de VObs. d’Astr. Phys. de Paris, M. Hare émet des doutes quant à l’origine solaire des phénomènes du réseau. YouxG; the Sun p. 113, Ma Théorie du soleil p. 142—144, vr) Lrars: L'Espace céleste p. 51. s) Seccui; le Soleil I p. 119. 24 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Introduction 4) il en résulte, qu'en considérant les changements rapides dans les protubérances et dans les granulations photosphé- riques comme deux phénomènes entièrement analogues et corres- pondant tous deux à un déplacement lumineux dans la matière tranquille, ma théorie répond complètement à l'impression que tous ces changements rapides ont faite sur l'imagination des observateurs les plus compétents du soleil, lorsque cette imagination n’était pas encore déroutée par l'application trompeuse du Principe de DörPrer. Bien qu'il ne soit par conséquent jamais nécessaire, comme dit Srccur, „de recourir à des vitesses fabuleuses” je suis cependant loin de prétendre, que dans le niveau photosphérique il n’y aurait jamais des déplacements matériels réels. Car c’est justement de ces déplacements réels que ma théorie fait résulter les facules et les taches. Nous savons en effet que chaque nuage, soit qu'il monte ou qu'il descende, est toujours traversé par une vapeur ascendante (voir plus haut p. 36) et que c’est Justement cette vapeur ascen- dante, qui, toujours plus ou moins capable de former des facules et des taches, les formera surtout, lorsqu’elle sera plus abondante que jamais durant la période du maximum. I] y aura donc con- stamment dans les couches photosphériques des déplacements fort grands. Mais comme ces déplacements ne causent jamais ces érup- tions formidables, dont la non-existence au dessus de la photos- phère a été démontrée dans mon Introduction, leurs mouvements ascendants et descendants resteront donc nécessairement localisés dans les nappes tourmentées de la photosphère et de sa vapeur, où leur cause unique sera le grand changement que le volume de cette vapeur présentera lorsque, sans changement de température un même niveau, 1l diminuera toujours en haut par une con- densation incessante de vapeur légère et agrandira plus où moins t) Voir plus haut à la page 11. Les voiles photosphérique et faculaire, qui doivent glisser sur toute la surface de la photosphère et que nous étudierons dans mon 10me paragraphe, causeront surtout aussi des changements énormes dans l'apparence de cette surface; et cela non seulement, parce que ces voiles, nécessairement inégaux en épais- seur en différents endroits voisins et même troués par ci et par là, doivent nous faire voir ce qu'ils nous cachent successivement de différentes manières, mais encore et surtout parce que ces voiles eux-mêmes, en recouvrant successivement des objets aussi diffé- remment émissifs que doivent être les granules et les pores, doivent aussi s'amincir et s’épaissir continuellement. — Le „réseau photosphérique” de M. Janssen et les „taches voilées” de Trouvetor résulteront ainsi de la même cause; et il n’est donc nullement étonnant que des obscurcissements photosphériques passagers, tels que le P. Perry les a vus en 1889 a Stonyhurst, aient été identifiés par lui avec des taches voilées, tandis que Ranyarp y vit un réseau photosphérique changeant. (Observatory VII p. 154. A. M. Crerke: Gesch. d. Astr. w. d. 19ten Jahrh. 1889 p. 218). Les deux astronomes avaient raison tous deux. C’est ce que nous verrons dans mon 10me paragraphe, ot DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. en bas par Vapparition nouvelle de cette même vapeur dans un état lourd et comprimé. Si telle est la cause des mouvements pho- tosphériques réels et si nous nous rappelons en outre qu’à la vapeur photosphérique sont toujours mélangées des combinaisons chimiques, dont la plus ou moins grande dissociation, tout en causant aussi des changements de volume, tendra à empêcher que dans un même niveau des inégalités de température se produisent, ces considéra- tions aideront à nous faire comprendre, pourquoi le mouvement, qui résultera d’une expansion ou d’une contraction locales de la vapeur photosphérique, restera toujours localisé au possible près de l'endroit où ce mouvement aura été produit et n'ira jamais au delà des couches au travers desquelles la photosphère monte et descend. Au dehors de la photosphère ce mouvement aura cessé. Peut-être en verrons nous cependant un effet passager dans les flocules facu- laires de calcium et dans quelques protubérances. Il est fort bien possible en effet que ces phénomènes lumineux doivent leur lumi- nescence chimique passagère à un déplacement rapide et soudain des couches chromosphériques au moment que la photosphère, qui monte, les relève. Car ce relèvement soudain causera un change- ment de température et une compression, qui agiront peut-être ensemble pour engendrer un procès chimique »). Il résulte de toutes les considérations précédentes, que les Sources de chaleur physique et chimique font bien de leur mieux pour aider à entretenir la chaleur solaire, mais qu'au bout du compte elles n’y réussissent jamais. Car si elles produisent beaucoup de chaleur tant que la photosphère refroidie se contracte plus fortement que le reste du Soleil, elles s’épuisent bien vite à cette tâche, dont elles détruisent ensuite tout Veffet, parce qu’en se restaurant, lorsque la photosphère réchauffée remonte, elles consomment alors de nouveau la chaleur, qu’elles avaient produite, lorsque la photosphere refroidie descendait. Mais, si ces deux sources de chaleur ne peuvent effica- cement coopérer de la sorte à la conservation de la chaleur solaire, leur fonctionnement n’en cause pas moins des phénomènes grandioses. Car 1° ce sont elles qui forment la photosphère, dont la tâche immense est de convertir la chaleur qui lui arrive incessamment du dedans en rayons solaires qu'elle lance au dehors et 2° ce sont elles aussi qui, en venant alternativement en aide aux sources de chaleur plus puissantes ou en les contrariant, font marcher le mécanisme qui cause la périodicité des taches. , u) La propagation ondulatoire d’une telle compression pourra jouer aussi un rôle dans la formation des protubérances et d’autres phénomènes lumineux dans les atmospheres stellaires a6 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Tâchons maintenant d’appliquer notre hypothèse de la photos- phere vibrante, qui monte et descend tour à tour, à l'explication de quelques particularités de la périodicité des phénomènes solaires. $ 8. Lnégalité de la périodicité aux différentes latitudes. Parmi les particularités de la périodicité solaire une.des plus intéressantes est sans contredit, qu'à chaque latitude cette périodicité nous montre des phases différentes et que si l’on parle néanmoins d’une périodicité en général de l’activité solaire, cette périodicité n’a aucun rapport avec une activité quelconque de la masse totale du soleil, mais est uniquement causée par la collaboration de toutes ces périodicités locales à phases différentes, produisant dans le nombre total des taches et dans l’étendue de leur distribution un maximum lorsque leur latitude moyenne, du moins dans ces der- nières années, est de 16° environ. Cette particularité importante, qui a fait trouver, à CARRINGTON et à Spore leur loi du changement des taches en latitude v), est clairement démontrée dans les Tables où Spomrer a enregistré toutes les taches, qu’il a observées durant les années 1856 à 1884 et où il a mis en regard leur fréquence à chaque latitude durant les dix époques successives, qu'il a distinguées dans toute période undécen- nale w). Ces tables font voir que lorsque le maximum se montre à 16°, le maximum à 30° a déjà eu lieu 1 ou 2 ans plus tôt et que celui à 5° n'aura lieu que 2 à 3 ans plus tard. Les observa- tions de Spogrer me semblent démontrer aussi que les oscillations dans les différentes activités aux différentes latitudes ne diffèrent pas seulement en phase mais aussi en durée. En mesurant les courbes bien connues +), qui d’après SPoëRER représentent, comment en v) R.C. Carrincron: Obs. of the Spots on the Sun, made at Redhill 1863 p. 17. Spoerer: Publ. d. Astron. Geselsch. vol 13 (1874 et 1876); Publ. d. Astroph. Obs. zu Potsdam N°. 1 Vol. 1 Part I; N°. 5 vol. 2 Part I; Comptes Rendus 108 p. 486. La loi de CARRINGTON et Sporrer a fait en 1904 l'objet d'importantes recherches, qui suscitées par la critique du Dr. W. J. S. Lockyer, et par son interprétation des obser- vations du P. Braun à Kalocsa, ont été faites par M. Maunner et par le P. Corrie et ont fait voir, comment en somme, cette loi répond très bien aux observations. „On the whole (dit M. Maunper: loc. cit. p. 761) the results of the Greenwich record for the 29 years 1874 tot 1902 fully confirm and bear out Srorrers law of Spot-zones, whilst indicating some important additions to it”. Et en effet la loi se voit parfaitement vérifiée dans la fig. 8 convaincante de la page 760, où M. Maunper a résumé le résultat de ses observations. Dr. Lockyer: Monthly Not. 64 App. p. 5. Cart Braun: Berichte von dem Erzbischöflich Haynaldschen Obs. zu Kalocsa 1886. B. Warren Maunper: Monthly Not. 64 p. 747—761. A. L. Corrie S. J. Ibid. p. 762—767. w) Sporrer: Publ. d. Astroph. Obs. z. Potsdam Bd. IV, 4 p. 414. æ) Youre: the Sun p, 157. Mr. and Mrs, Maunper; Monthly Notices Vol, LXV gn a i on DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 57 chaque période les taches apparaissent successivement à des latitudes, qui, à partir de 30° environ, diminuent lentement pour resauter, lorsque commence une période nouvelle, à 30°, on voit facilement que la durée de la période diminue lorsque la latitude augmente. Car l'intervalle entre deux courbes consécutives diminue avec la latitude. C’est ainsi par exemple qu'aux latitudes de 10, 20 et 30° la durée de l'intervalle diminue respectivement de 12 ans à 11 ans et 10 ans et demi. Mais si à chaque latitude les périodes diffèrent en durée et consé- quemment aussi en phase la marche des phénomènes, que CARRING- TON et SPOERER ont découverte, et que Spowrer a représentée dans ses courbes, ne saurait persister. Si maintenant les taches réappa- raissent à chaque soit disant période nouvelle à leurs plus grandes latitudes, Sporrer a déjà démontré que cela n’a pas toujours été ainsi y) et il est certain que cela ne durera pas ainsi toujours. Les périodicités différentes à chaque latitude du soleil répondent aux prévisions de ma théorie de la photosphère vibrante. Car la photosphère, qui, comme on sait, ne tourne pas sur l’axe tout d’une pièce, ne saurait vibrer tout d’une pièce non plus. A chaque latitude elle vibrera avec une période différente. Or, comme à peu près les deux tiers de cette période répondent au temps, que la photosphère met à descendre, sa durée entière dépendra surtout de la vitesse avec laquelle la photosphère descend. Et comme cette vitesse sera d'autant plus petite que la pesanteur sera moins grande et le refroidissement moins fort, la période sera à l’équateur plus longue qu’ ailleurs. Car là les deux causes, qui font descendre la photosphère, sont aussi plus énergiquement combattues qu’ ailleurs: 1° la pesanteur, par le mouvement centrifuge et 2° le refroidisse- ment, par le renflement équatorial fonctionnant comme un écran protecteur. p. 814. ,The break between two cycles in any particular latitude generally lasts for something like three full years during which no spots whatsoever, not even the most minute, appear in that particular zone. The time, when this break takes place differs for different zones; but for any particular zone this entire cessation of activity is one of the most unmistakable characteristics of solar variation”. Voir cependant le Tableau VI dans mon 10me §, qui nous montrera que d'après les observations de SPOERER (loc. cit. p. 414) la durée moyenne de l’absence assidue de taches diminue vers l'équateur. C’est ce qu'on voit très bien aussi sur la belle figure que M. Maunper à insérée dans les Monthly Notices 64 à la page. 760 et dont j'ai déjà parlé dans la note v précédente. y) Sporrer: Vierteljahrschr. d. Astr. Ges. 22 Heft 4 (1887). Ueber die Periodicität der Sonnenflecken seit dem Jahre 1618, vornehmlich in Bezug auf die heliographische Breite derselben etc. p. 323—329, ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME ( §. 9. Les recherches de M. Poor sur la forme du soleil appuyant mon hypothèse de la photosphère vibrante. Mais ma théorie de la photosphère vibrante n’est pas seulement en accord avec les observations déjà anciennes de SpowrEr, que je viens de rappeler, elle est aussi en concordance parfaite avec les recherches récentes de CHarres LANm Poor sur la forme du soleil z). Ces recherches semblent prouver en effet, que durant la période du maximum des taches le diamètre équatorial du soleil est plus grand que le diamètre polaire et qu’il Pest même d’autant plus que le maximum est plus prononcé, tandisque durant la période du minimum cette différence n'existe pas ou change même de signe. La vibration, que M. Poor, sans connaître ma théorie, a constatée est donc précisément celle, que moi, sans connaître ses travaux, j'ai prédite et expliquée. Il est vrai toutefois, qu’en éla- borant durant le mois d’ Octobre 1905 ma théorie de la photos- phere vibrante, que j'ai fait connaître quatre mois plus tard en trois conférences populaires à Rotterdam, à la Haye et a Delft a), „les vibrations que je postulais me semblaient trop faibles pour être visibles et j'étais alors encore bien loin de savoir, qu’au moment que l'idée de ces vibrations me vint pour la première fois dans l'esprit, leur réalité, avec une amplitude de 0,2 sec., venait jus- tement d’être reconnue par un autre. Les recherches de M. Poor ayant donné ainsi à ma théorie un appui imprévu, il est regrettable sans doute, que, d’après M. An- BRONN, les mesures héliométriques qu'il a faites durant les années 1892 à 1902 avec M. Scuur, pour déterminer la forme du soleil, ne les aient pas confirmées comme M. Poor l'avait cru d’abord 4). z) Cu. L. Poor: Astroph. Journ. XXII Sept. 1905 p. 103 — Dec. 1905 p. 305. La forme du Soleil a été déduite par M. Poor 1° de 22 photographies obtenues par Lewis M. Ruruerrorn durant les années 1870—1874; 2° des mesures héliométriques, qu’ a faites, à propos des derniers passages de Vénus, l'expédition allemande durant les années 1873—75 et 1880—83; 3° de 5 photographies obtenues à Northfield par M. M. Payne et H. C. Wirsox et 4° des mesures héliométriques que M. M. Scuur et AmBRoNN ont faites à Gottingen durant les années 1890—1902. a) Des comptes rendus de ces conférences ont été donnés dans les journaux locaux. Ceux surtout de la „Nieuwe Courant’ du 24 Mars et du 7 Avril et de la Revue hol- landaise „Hollandsche Revue” du mois de Juin 1906 sont assez détaillés et corrects. Le cliché de la figure à la page 43 précédente est dû à l’obligeance de l'Editeur de la Revue hollandaise, qui a publié cette figure le premier. b) Ampronn: Astron. Mitth. d. K. Sternw. zu Göttingen. Theil 7 (1905) Die Mes- sungen des Sonnendurchmessers” — Astroph. Journ. XXIII May 1906. Remarks on Mr. C. L. Poor’s papers on the figure of the Sun p. 343. — Voir aussi ma deuxième Note s dans le paragraphe suivant, DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 59 Mais comme ces mesures n’ont révélé d’ailleurs aucune déformation contraire, ma théorie les accepte en tout cas comme une réfutation nouvelle et opportune de l’ancienne théorie de Srceur et de Rosa c), d’après laquelle le diamètre moyen du soleil augmenterait lorsque ses taches diminuent, théorie, qui combattue par Auwers d) a été soutenue par R. Worre). Les observations de M. Poor stimule- ront, J'espère, encore beaucoup d’autres observateurs à les con- trôler et à les continuer. Puissent ces observations futures répondre aux recherches de M. Poor et de moi et puissent elles vérifier notre idée de la photosphère vibrante /). $ 10. Aépartition des taches sur la surface du soleil. Le phénomène, que je tächerai d'expliquer en ce paragraphe, Lt est la répartition des taches en deux zones, que CHR. SCHEINER g) / EE) : 7 x Aj Z 7 a nommées „royales” et qui s’étendent à chaque côté de léquateur x entre les latitudes de 5 à 30° environ. Entre les latitudes de 10° et de 15° les taches se montrent en plus grand nombre 4). Sur Péquateur elles ne sont pas nombreuses 7) et seulement une tache a été signalée jusqu’ à présent à plus de 45° de l’équateur J). Si l’on ne voit de taches bien formées et bordées de facules que dans ces zones royales, tout le reste de la photosphère, bien loin d’être uniformément lumineuse, est comme parsemée de taches mal réussies, qu'on a nommées secondaires, rudimentaires ou voilées. „foute la surface du soleil est parsemée de taches secondaires” dit c) Paoro Rosa: Studii intorno ai diametri solari Roma 1874. d) Auwers: Sitz. d. Preus. Ac. d. Wiss. zu Berlin 1886 p. 1125; 1887 p. 109 — Astr. Nachr. N° 3068. e) R. Worr: Handb. d. Astr. Viertes Halbband p. 433—435. f) Cette idée de la photosphère vibrante répond très bien aussi à l'observation de SECCHI, „qu'on peut affirmer que la couleur un peu jaune de la zone superficielle du soleil, due à l'absorption de son atmosphère, semble plus prononcée aux époques où il y a peu de taches” (Seccur: les Etoiles I p. 155). M. J. Syxora à l'observatoire de Charkow a observé aussi que les taches produisent un renflement de la photosphère là où elles se forment (Nature 1896 p. 352; Journ. of the Brit. Astr Ass. VI p. 232). g) Car. Scuerner: Rosa ursina p. 568. P. Jon. Scureiper: loc. cit. p. 28. h) CarrixGron: Obs. of the Spots of the Sun from Nov. 1853 to Nov. 1861 made at Redhill. Spoerer: Sonnenfleckenbeobachtungen 1880—1884. E. W. Maunver: Monthl. Not. 64 (1904) p. 747. Note on the distribution of Sun-Spots in Heliographic Latitude. i) CARRINGTON et SPOERER n'y ont observé que 45 taches durant les années 1853—1867. j) Seccni: le Soleil I p. 131. „En 1846 M. Perrrs à Naples observa une tache à 50° de latitude nord. Cette tache est la plus éloignée de l’équateur, qu’on ait jamais observée d'une manière certaine, car on regarde comme douteuse celle dont parle Lahire et qui aurait eu pour latitude 70° nord”, 60 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Cur. ScHeINER #). Toute cette surface, dit Secoui /) „est quelquefois tellement recouverte d’un réseau sombre à points noirs, qu’on serait tenté de voir partout des pores et des rudiments de taches”. Même aux latitudes les plus élevées Car. Scurrnnr et Seccnt ont observé „des calottes polaires obscures et intermittentes, qui étaient bordées de granulations, qui tracaient quelquefois quelque chose d’analogue à des zones polaires” m). Les ,,taches voilées” sur toute la surface du soleil, si bien décrites déjà dans la Rosa ursina x) ont été découvertes de nouveau en 1875 par Trouveror 0). Il les considère comme analogues aux taches ordinaires, dont elles ne se distinguent que par leur perforation insuffisante de la photosphère y). Il y a d’ailleurs encore d’autres phénomènes, qui démontrent, que hors des zones royales ies taches essayent bien de se montrer, mais n’y parviennent Jamais. Très significatives sont sous ce rapport les facules, qui, compagnes fidèles des taches, ne s'en voient pas moms sur toute la surface du soleil et jusque dans le voisinage des pôles, qu’elles entourent quelquefois, mais nullement à l’époque du maxi- mum, d’une couronne très marquée g). Si dans les zones royales nous voyons toujours des facules tout à l’entour des taches et aux endroits où des taches vont naître ou auront disparu; et si par conséquent les facules et les taches sont dues à une même cause, que j'ai d’ailleurs expliquée plus haut, cette même cause fonction- nera vraisemblablement aussi hors de ces zones royales. Et si elle n’y parvient qu'à soulever des facules, c’est parce que les taches y avortent toujours. Ces facules seront d’ailleurs en. vertu de leur origine souvent tout aussi cratériformes que celles qui bordent les taches, et il n’est donc nullement étonnant que Srccur ait souvent observé ces ,,cratères sans tache” 7) et que les clichés spectrohélio- graphiques de M. M. Hare et DesLanDrrs les aient aussi révélés s). k) Cur. Scneiner: Rosa ursina p. 534. P. J. Scureier: loc. cit. p. 24—26. 1) Seccur: le Soleil I p. 58. Lockyer: Chem. of the Sun p. 408. m) Cur. Scuemer: Rosa ursina p. 344. P. J. ScureiBer: loc. cit. p. 25. Srccur: le Soleil I p. 114, 133 II p. 129, 145. n) Cur. Scuriner: Rosa ursina p. 344. P. J. ScureiBer: loc. cit. p. 24. o) Trouveror: Amer. Journ. of Science and Art, March 1876 3d Ser. Vol. XI. p) YouxG: the Sun p. 136—137. 4) Secour: le Soleil IT p. 154 Mascart: Astroph. Journ. VI p. 371 „The principal maximum of the faculae falls in the same zone with the maximum of groups of spots and pores, but there is no correspondance of the spots with the secondary polar maxima of faculae’’. Nous voyons encore là, que les mêmes phénomènes ont à différentes latitudes des périodicités différentes. r) Secoui: le Soleil I p. 113. s) Voir par exemple les belles photographies que M. Desianpres a obtenues le 10 et le 11 Avril 1894, On y voit sur toute la surface du soleil une multitude d’anneaux DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 61 Si c'est done sur toute la surface du soleil que, d'accord avec ma théorie, les taches essayent de se développer, je tacherai d’expli- quer maintenant, pourquoi ce n’est que dans les zones royales que ces essais réussissent. Nous chercherons cette-explication dans lanormalité de la rotation de la photosphère qui tourne tout autrement sur axe que l’atmos- phere du soleil 4. Examinons en premier lieu cette rotation anor- male de la photosphère. Elle ne ressemble en rien à celle d'aucun autre objet tournant. Car les taches, que la photosphère nous montre dans ses différentes zones, bien loin d'accomplir leur rotation dans le même temps, y mettent des temps très différents, dont les durées, ainsi que CARRINGTON l’a découvert #) augmentent avec la latitude. Si nous nous voyons donc forcés d'admettre que les diffé- rentes zones photosphériques, où ces taches se trouvent, tournent aussi avec des vitesses angulaires différentes, nous aurions tort cepen- dant de croire que les nuages photosphériques et les taches auraient précisément la même vitesse. Les taches marchent généralement plus vite. Tous les astronomes sont d'accord que tant qu'une tache existe il lui arrive de temps en temps d'avancer brusquement, beaucoup plus vite que ne le demande la loi de CARRINGTON et SPOERER. Voici par exemple ce que M. Youre nous apprend »): „Toutes les fois qu’une tache subit des changements soudains, elle s'avance ordinairement sur la surface solaire en faisant presque un saut”. Et Srccur s'exprime ainsi w): „Toutes les fois qu'une tache se divise ou qu’elle subit un changement considérable dans sa forme, on observe toujours un mouvement brusque, une espèce de saut, qui se fait invariablement vers la partie antérieure, c’est à dire de calcium faculaire. (Specimens de Photographie astronomique par H. DESLANDRES 1897) Ces petits anneaux de calcium faculaire se voient aussi en grand nombre sur l’image calcique du soleil, qu’ a insérée Mlle Crerke dans ses , Problems” (Plate IV fig. 1). Si ces anneaux ne sont pas les facules elles-mêmes, ils nous font voir en tout cas la position de leurs sommets. — De tels anneaux calcique et ferrique sans tache se voient aussi sur les spectro-héliographies, que M.M. Hare et ErrEerman ont déjà ob- tenues sur le Mont Wilson (Astroph. Journ. XXIII p. 62 Dec. 1905). t) Une telle explication a déjà été longuement décrite dans ma Théorie de 1892, p. 133—142; Astron. a. Astroph. XIII p. 854—856. Mais comme depuis lors de nouvelles recherches sur Ja rotation du soleil ont prouvé, comme M. J. C. Kapreyn me l’a fait remarquer, que les données accessibles en 1892 n'étaient pas correctes, mon explication d'alors a dû être profondément, modifiée pour pouvoir être mise d'accord avec les données meilleures d'aujourd'hui. u) Carrincton: Observ. of the Spots of the Sun made at Redhill (1853—1861). v) Youne: le Soleil p. 116. The Sun (1895) p. 119, w) Seccut: le Soleil I p. 141. 62 ESSAL D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME dans le sens où croissent les longitudes. Les grandes taches, même lorsqu'elles ont une longue durée ne sont pas exemptes de ces mouvements brusques et l’on remarque de temps en temps des recrudescences dans la force ou dans le mouvement qui les produit” Srogrer et déjà Cur. ScneiNEr ont fait des observations analogues 2). Ces accélérations accidentelles se rattachent d’ailleurs à un mouve- ment propre des taches et ne sont pas dues à une accélération temporaire dans la nappe photosphérique, qui les transporte. Car lorsque les taches forment des groupes, jamais elles ne montrent une accélération commune, mais gardent toujours leur individualité y). Si nous croyons pouvoir admettre que tant que les taches ne changent pas de forme, elles ont la même vitesse que les nuages photosphériques, alors toutes les fois qu’elles changent bien de forme elles tourneront plus vite. Et comme la loi de Carrineron et SPOERER n'a pu être déduite que du mouvement moyen des taches d’où, même avec la meilleure volonté, |’influence des accélérations décrites et d’ailleurs peut-être permanentes n’a pu être complètement éliminée, on comprendra donc aisément que la vitesse des taches telle quelle résulte de cette loi doit être plus grande que celle des nuages photosphériques. Dans mon 11™° § je tacherai d'expliquer, comment cette plus grande vitesse des taches résulte de la vitesse angulaire plus grande de la poussée d’en bas qui les forme et les fait durer. L’accélération des taches par rapport aux nuages photosphériques répond parfaitement aussi à plusieurs particularités remarquables que les vitesses des taches présentent et que les deux Tableaux suivants font ressortir clairement. Dans ces Tableaux les nombres entre crochets indiquent le nombre de taches observées. x) Spoerer: Publ. d. Astroph. Obs. zu Potsdam IV p. 422 (voir le Tableau I suivant). P. J. Scurerper: loc. cit. p. 44—47. y) Spoerer: loc. cit. „Die Beobachtungen haben ergeben, dass in östlichen Theile einer Gruppe niemals übergrosse Rotationswinkel vorkommen... Uebergrosse Rotations- winkel kommen vor bei neu entstandenen Flecken und an der Westgrenze der Gruppen”. Cur. SoneiNer: Rosa ursina p. 286. „Die vorhergehende Fleck hat eine grössere Rotations- geschwindigkeit als der nachfolgende und dies ist etwas ganz Ständiges bei diesem Phänomen’. 14 sm des à PL ee ee RO UE SE CR Eerd ie DE LA PERIODICITE DANS I Tat ‚E eau SOLEIL ET LES ÉTOILES, Angle de rotation diurne des taches. Groupes revenus sur 100 vus dans la 1re rotation | Observations de M. et Mme «| Maunber Obser- Opser- ata APE va- | Lati- | tions air ati- | à tions | Groupes tude 3 de ui du- | Groupes Car- a 7 P _,_| SPOE-| raient 6 | revenus RING | mer | jours ou | aprés leur EON plus long- |1re rotation temps I Gy Se TV Vi OP | 14.42 | 14.35 /14.60 (41) 114.43 (11) 2'|, 114.41 | 14.34 14,61 (133)|14.46 (40) 7’/, | 14.34 | 14.30 |14.55 (394) 14.39 (97) 12°/, | 14.23 (14.21 14.45 (585) 14.34 (156) 15 14.18 | 14.15 }14.41 (518) 14.31 (141) 177/, | 14.10 14.08 |14.37 (440) 14.28 (125) 227), | 13.92 | 13.90 14.19 (225) 14.13 (76) 277), |13.70 | 13 6914.00 (80)13.99 (28) 30 | 13.60 | 13.57)13.83 (35)13.88 (14) 327), | 13.51 | 13.43)13.75 (12)13.76 (2) 35 |1343113.29113.51 (5) (0) 40 1299 | 45 |12.92 112.66 | ETC. 63 Taches étudiées par Sporrer dans les Public. de Potsdam N° 32 (1885—1893) Ici chaque latitude indique le milieu d’une zone de 2°. Angle moyen VII 14.90 (9) | 14.56 (18) 14.47 (46) 14.39 (60) 14.42 (72) 14.19 (29) 14.12 (18) 14.24 Hs 113.62 (2) 13.59 (3) Tableau IT. Angle le plus grand et le plus petit VELT 15.87 et 14.33 15.96 — 14.12 15.40 — 13.91 15.50 — 13.70 16 30 — 13.50 15.40 — 13.81 15.23 — 13.59 15.90 — 13.49 Différences entre les angles anormaux VIII et les angles normaux IIT IX +1.52 et — 0.02 + 1 62 — 0.22 + 1.10 — 0.39 + 1.29 — 0.51 + 2.25 — 0.65 + 1.32 — 0.27 + 1.33 — 0.31 + 2.21 — 0.20 Diminution de la vitesse des taches avec leur durée, d’après M. et M" Maunper Durée 6 à 8 ll an à des taches 7 jours 10 jours 14 jours taches dans leur 2™° rotation. diurne Leur angle de rotation moven 14.50 (470) 14.47 (681) 14.31 (720) 14.29 (522) Dans le Tableau I on pourra comparer les mesures anciennes de CARRINGTON et de Srorrer avec les mesures récentes, qu'ont faites M. et M™ Maunper en étudiant les 4700 groupes de taches, qui 64 ESSAT D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME de 1879 à 1901 ont été photographiés à Greenwich 2). On verra ainsi que les taches réunies en groupes marchent plus vite que les taches en général. Si les taches en général marchent plus vite que les £ nuages qu'elles traversent, la vitesse plus grande des groupes s’explique facilement. Car, comme l’umion fait la force, les taches réunies en groupes auront moins de peine à vaincre la résistance des nuages plus lents. Cette résistance se manifeste non moins clairement dans le ralentissement que, d'après les colonnes IV et V du Tableau I et d’après le Tableau IL, nous montrent les taches à mesure qu'elles durent plus longtemps. C'est ainsi aussi que M. SrmpHani à Kassel a tout récemment observé, qu’une tache, qui avait ac- compli sa première rotation en 27 jours, en demandait 29 pour achever la seconde a). Les dernières trois colonnes du Tableau I se rapportent à 476 mesures, que Sroxrtr a faites durant les années de 1885 a 1893 4). La colonne VIII fait voir qu'en chaque latitude des différences de vitesse s’observent, qui sont, comme M. et M". Mauxper lont aussi observé, beaucoup plus grandes que ne produit jamais même la plus grande différence en latitude. C’est ainsi par exemple que parmi les 476 mesures de Spronrer j'en ai trouvé jusqu'à 49, qui accusaient un angle exorbitant de plus de 15°, dont it y en avait 5 qui s’élevaient même jusqu'à 16° à 16°.30. En comparant les vitesses les plus anormales de la colonne VIII avec les vitesses normales de Sporrer (colonne III) le mouvement généralement accéléré des taches ressort de nouveau. Car les vitesses les plus anormales le sont très fortement lorsqu'elles sont trop grandes mais tres faiblement lorsqu'elles sont trop petites (colonne IX). Il résulte des considérations précédentes que, si de la rotation des taches nous aurons à déduire celle des nuages photosphériques, ce ne seront pas les groupes accélérés de M. et de M™°. MAuNDER, qui devront nous guider, mais plutôt les taches plus lentes de \ z) E. W. Maunper and A. S. D. Maunper: The Solar Rotation Period from Green- wich Sun-spot Measures 1879—1901. Monthly Not. LXV (1905) p. 813—825. „Carring- tons period does not correspond to a latitude of between 10° and 15° as he supposed, but is given by the separate spot-groups of latitude 22°/,°; by the recurrent spots of latitude 20°. Carrincrons period is not that of the mean of all spots but is considerably longer than that mean.... The recurrent spots give a somewhat longer period in the mean and are more accordant inter se than are the groups treated separately.... The rotation periods given by different spots in the same zone of latitude differ more widely than do the mean rotation periods for different zones of latitude.... Spots of short duration tend to give a shorter rotation period than spots of long.” a) B. Srepuani: Mitt. d. V. v. Freunden d. Astr. Mai 1907 p. 41. „Diese Verlang- samung der Fleckenbewegung ist sehr interessant und wichtig zur Erkenntnis der Vorgänge auf der Sonne, und die Photographien sollen deshalb noch genauer nach- gemessen werden’’. À b) Spoerer: Publ. d. Astroph. Obs. zu Potsdam N°. 32 (1894) p. 7—140. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 65 CARRINGTON et de Sporrer. Mais même ces taches les plus lentes demeurant nécessairement sujettes à l’accélération de la poussée d'en bas qu'il leur faut pour durer, ne sauront jamais nous donner la certitude que les nuages photosphériques ne tournent pas toujours beaucoup plus lentement encore. Pour essayer de trancher cette question difficile, de tout autres considérations seront nécessaires, que je ticherai d’exposer tantôt (voir la note x suivante). Mais auparavant je continuerai maintenant mon étude de la rotation du soleil par celle de la rotation de son atmosphère gazeuse. De la rotation du gaz solaire au dessous et même au dessus de la photosphère nous ne savons malheureusement avec certitude que bien peu. La rotation des couches renversantes a été étudiée au moyen des déplacements opposés, que d’après Dorrrer les raies du spectre doivent montrer aux bords occidental et oriental du soleil. Z6LLNER, Vocer,, Hastines, LANGLEY et Youne c) fürent les premiers à faire cette étude; mais leurs résultats n’avaient qu’une valeur qualitative ou, comme ceux de M. Youre, n'avaient rapport qu'à la seule latitude moyenne de 7°. Plus tard (en 1888 et 89) M. H. Crew d) et en 1890 M. N. C. Doner e) ont continué cette étude en tachant de découvrir si la rotation des couches renversantes changeait avec la latitude. Mais malheureusement ils sont arrivés c) Younc: the Sun p. 100. Zöriner: Pogg. Ann. 114 (1871). Hastincs: Amer. Journ. of Se. (1873). Lancrey: Ibid. (1877). Youne: Ibid. 1876. d) H. Crew: American Journ. of Science 1888. On the period of the rotation of the sun as determined by the Spectroscope. Ibid. 1889. On the Period of the-Rotation of the Sun. M. Crew a fait deux séries d'observations dont la première avait des défauts, auxquels il s’est efforcé de remédier dans la seconde. La première fit trouver pour l'angle de rotation diurne de la couche renversante à la latitude y° la valeur 838’ (1 + 0.00335 x); la seconde donna à cet angle la valeur 802’ (1 — 0.00206 x). M. Crew a tâché d'expliquer la grande différence entre ces deux valeurs. A la page 209 il dit e. a.: „The value of the mean relative equatorial velocity thus obtained is V’— V" = 2.173 + 0.028 mi per sec., a velocity some 15 per cent less than in the first series. But this as Prof. Youre has pointed out, is just what one would expect, since all the settings of the first series were made with the grating ,right” and all those of the second with the grating left”. For the heating effect of the Sun on the slit-plate will in the first place introduce an error with a positive sign and in the second case with a negative sign: but these errors will not be equal in amount’. En combinant finalement toutes ses observations M. Crew a calculé pour l'angle de rotation, qu’il cherchait, la valeur 823’ (1 + 0.00065 x), qui implique une très petite accélération vers les pôles. (Voir mon Tableau V). e) N. C. Duner: Recherches sur la Rotation du Soleil (1891). On a cru d’abord que les vitesses, que M. Duxer a données, nous renseignaient sur la rotation sidérale du soleil. Mais M. Duner a fait remarquer plus tard (Astr. Nachr. N°. 3994) que c'est à la rotation synodique, qu’elles se rapportent. Elles ont donc besoin d'une correction les augmentant fortement pour pouvoir nous faire connaître la rotation réelle du soleil. Dans mon Tableau III cette correction a été faite. é Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) DI. IX. n°. 6. F5 66 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME ainsi à des résultats tout à fait discordants. M. Crew trouva que la rotation du gaz absorbant s’accomplit à toutes les latitudes a peu près dans le même temps de 26,23 jours. Mais M. Duner constata au contraire que cette rotation, pareille à celle des taches, aurait à chaque latitude une durée différente, qu’il vit augmenter de 25.46 jours a l’équateur jusqu'à 38.5 jours à la latitude de 75. Comme les mesures de M. Duxer étaient sans doute plus exactes, celles de M. Crew, qui étaient trop peu concordantes et trop peu convaincantes, ont été tout à fait méconnues et c'est ainsi qu'on a généralement accepté la conclusion de M. Doner. Mais cette conclusion n’est cependant nullement péremptoire, parce qu’elle est nécessairement fondée sur deux suppositions très douteuses. Cette conclusion demande en effet 1° que M. Crew ait observé si incorrectement que ses résultats doivent être considérés comme non avenus et 2° que M. Duner ait au contraire si bien choisi ses raies 6301.72 et 6302.72, qu'il n'existe aucun doute, que ces raies sont produites au dessus du niveau général de la photosphère et non pas au dessous f). Or voilà deux suppositions tout à fait incertaines. Occupons nous ici de la seconde. M. Duner suppose bien que les raies, qu'il a choisies, doivent être produites au dessus du niveau supérieur de la photosphère, mais cette sup- position n’a jamais été justifiée. Si ces raies étaient parmi les 11 ou 34 raies, qu'au dehors de la photosphère on voit toujours ou de temps en temps renversées g) ou du moins parmi les 273 raies chromosphériques, que M. Yocne a observées sur le M*. Sherman 4), ou si elles avaient jamais répondu à quelque arc d’un flash spec- trum plus récent, la supposition de M. Duxær eût été justifiée. Mais cette justification n’a jamais été donnée, que je sache. Et il est donc fort bien possible que ces raies ne nous aient rien appris de la rotation du gaz au dehors de la photosphère et n’aient révélé que la rotation du gaz plus profond dans les interstices entre les — nuages photosphériques 2). f) Crerke: Probl. p. 147 „At the same time it has to be borne in mind that Duners deductions rest upon a narrow basis. He measured only a single pair of lines and we lack the specific assurance that those individual lines occur in the facular and spot spectra. Presumably they do; no reason is apparent why they should behave exception- ally. They should also be looked for in the flash at the edge of the eclipsed sun. Their detection as brillant lines would confirm and settle their status”. g) Youre: the Sun p. 206—207. h) Youne: Amer. Journ. of Sc. (3) 4 p. 356—863. i) Le P. Braun regrette aussi que M. Duner n’ait pas choisi des raies sûrement pro- duites dans les plus hautes régions de l’atmosphère solaire, comme les raies de l’hydro- gène par exemple (Ueber Kosmogonie, nebst einer Theorie der Sonne p. 178—179). + ds. ut. cr han ee Pa ae > Tae Fre: DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 67 Hy a d’ailleurs quelques phénomènes bien connus, qui nous prouvent qu'un grand nombre de raies de FRAUNHorER doivent se produire au dessous du niveau général de la photosphère. M. Youne en parle dans les termes que voici: „Toutes les raies ne sont pas dues uniquement où même principalement à la couche de gaz situé au dessus du niveau supérieur de la photosphère. S'il en était ainsi les raies sombres devraient être beaucoup plus fortes dans le spectre qui vient du bord du disque que dans celui de la lumière du centre et cela n'a pas lieu; du moins la différence est très petite 7). La photosphère étant composée de masses nuageuses séparées flottant dans une atmosphère qui contient les vapeurs dont la condensation forme ces nuages, la principale absorption a donc probablement lieu dans les interstices entre les nuages et au dessous du niveau général de leur limite supérieure”. Telle était aussi l’idée de Faye #). Ces interstices entre les nuages, dont parle M. Youre, ne seront pas nécessairement étroits. [ls pourront être grands comme des royaumes terrestres. On les verra alors comme ces pores, dont est parsemée toute la surface du soleil 7). Et si en étendue ils ressem- blent a la Hollande, alors probablement on ne les verra plus du tout. Or il est évident que dans les interstices entre les nuages photos- phériques la rotation du gaz absorbant sera toujours influencée, comme celle des taches, par la rotation particulière de ces nuages et ce gaz absorbant produira donc nécessairement des raies accusant des vitesses angulaires diminuant avec la latitude. Il n’y a que les raies toujours produites au dessus du niveau le plus élevé de la photosphère, qui puissent nous faire connaître le mouvement réel de l'atmosphère du soleil. Il doit y avoir par conséquent dans le spectre solaire, outre les raies telluriques, que la rotation du soleil laisse immobiles, deux j) J'ajoute que s'il en était ainsi, les raies des facules devraient être aussi moins fortes et moins nombreuses que celles de la photosphère moins relevée, ce qui cependant ne s’observe jamais (CLerke: Probl. p.98). M. B. von Opporzer maintient aussi que la plus grande partie des raies d'absorption se forment au dessous de la surface photosphé- rique. Il se refère non seulement à ses calculs, mais aussi à une observation de Hastings, qui vit une raie, qui était fort distincte dans le spectre du centre du disque, disparaître près du bord. (Econ von Orporzer: Sitz. Ber, d. K. Ak. in Wien, April 1893; Ueber die Ursache der Sonnenflecken, p. 17 — Hasrinas: Nature VIII p. 77). k) Youne: the Sun p. 83. Faye: Ann. 1874 p. 419. — Janssen: Ann. 1869 p. 594. — Scuriner: Die Spectralanalyse der Gestirne p. 194.— C'est ainsi aussi, que le vanadium, qu’on voit dans le spectre solaire et qui abonde dans les taches, ne donne hors de la photo- sphère aucune preuve certaine de sa présence. (Norm. Lockyer: Spectroscopic compa- rison of metals present in certain Terr. and Celest. Light Sources 1907 p. 21). 1) Seccm: le Soleil I p. 58. — Lockyer: Chem, of the Sun p. 408 — Youna: the Sun p. 105 fig. 29 Granules and Pores of the Sun's surface (After Huccins). E 5% 68 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MECANISME catégories de raies solaires, que cette rotation déplace différemment. A la première catégorie appartiendront les raies que l’absorption produit au dessous du niveau le plus élevé de la photosphère. Elles montreront, si mon explication est juste, un déplacement plus ou moins pareil a celui qu’a observé M. Dunmr. A la seconde catégorie appartiendront les raies, que labsorption produit au dessus de la photosphère, à une hauteur que cette nappe n’atteint jamais. Elles montreront le déplacement qu’a observé M. Crew. En concordance avec cette explication nous trouvons en effet que des dix raies que M. Crew a mesurées, sept au moins se trouvent dans le Catalogue des 273 raies que sur le M'. Sherman M. Youre a vues renversées. Ce sont les raies 1474, 5166, 5172, D1, D?, #' et #?. Parmi les rates de M. Crew il y en a, qui tout comme celles de M. Dunrr appartiennent au fer. Mais cette parenté de raies se déplaçant différemment ne saurait nous surprendre; car, ainsi que M. LockYEer l’a fait vow le premier, les raies, qu’un même élément terrestre et notamment le fer produit, dépendent du niveau où dans le soleil cet élément se trouve m). Les taches, la photosphère et les protu- m) Lockyer: Chem. of the Sun p. 326—353. Les recherches actuelles de M.M. Hare et Apams sur le spectre des taches font bien voir aussi combien le spectre d'un même élément dépend du niveau et comment le titane par exemple produit des bandes dans la profondeur des taches et n'en produit pas dans les couches renversantes plus élevées. (Astroph. Journ. March 1907 p. 84). M. Lockyer vient d'arriver à la conclusion que voici: , With regard to the relation of the titanium spectrum to that of the chromos- phere, then, the result may be expressed thus: — the enhanced lines are, in the main, conspicuous in the chromospheric spectrum, the unenhanced lines (c'est à dire les raies de l’are, qu'on voit surtout dans le spectre de Fraunnorer) are chiefly incon- spicuous or absent”. (Solar Physics Committee 1907, Spectrosc. Comp. of Metals.... with special Reference to Vanadium and Titanium p. 19).— A propos des trois spectres différents du titane, dont j’ai parlé en cette note, je ferai remarquer ici en passant que si les idées courantes, d’après lesquelles la différence entre ces trois spectres ne saurait résulter que de la température seulement, étaient justes, le soleil accuserait un refroidissement d’autant plus grand qu’ a partir de la chromosphère on descendrait au travers de la photosphère jusqu’ au fond des taches. Or comme une telle diminution de la température avec la profondeur, incompatible d’ailleurs avec l’explication du spectre solaire par Kircuuorr (voir la note p de mon 5me paragraphe), me semble invrai- semblable, il m’est impossible de l’admettre. Outre la température il y aura donc encore uue ou plusieurs autres causes produisant des changements spectraux pareils. Ici encore M. Crew me vient en aide; car parmi ces causes prévues il en a déjà sûrement constaté une, d'une nature électrique. (Hare and Apams: loc. cit. p. 88. Crew: Science, January 4 1907) Dans la note ¢ de mon 4me par. j'ai déjà rappelé d’ailleurs, comment LiveInG et Dewar ont déjà entrevu en 1888 et comment M.M. HARTMANN et Evernarp ont démontré en 1903 que les raies produites dans l’étincelle ne répondent nullement à une tempéra- ture excessive. J. HARTMANN: Astroph. Journ. XVII p. 277 „All of my observations indicate that the spark lines do not correspond to a thermal radiation but rather to electro- luminescence”. M.M.Srark et Crew distinguent aussi, outre la température ordinaire due aux molécules, une température électrique due aux ions. Srark: Ann. d. Phys. 1904 p. 519. Crew: Astr. J. XX p. 274. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOLLES, ETC. ‘69 bérances nous montrent des spectres ferriques entièrement différents. Le phénomène, que ma théorie postule, de raies simultanées différemment déplacées par la rotation du soleil paraît déjà avoir été observé par M. Apams au moyen du „Snow telescope” à l'Observatoire du M* Wilson »). Ce qui est aussi très intéressant, c'est que les mêmes raies peuvent faire voir des déplacements différents, si on les observe à de longs intervalles. C’est ce qui résulte clairement des recherches récentes de M. J. Harm o). Ces recherches ont continué celles de M. Duxer et ont été même faites sur le déplacement des deux mêmes raies. Si M. Haim en avait choisi d’autres et des raies par exemple, qui d’après ses propres recherches et celles de M. Fowrer naissent sûrement, comme notamment la raie 6516.3, dans un niveau plus élevé») ses résultats auraient eu selon moi une valeur plus grande encore et auraient pu trancher la question, qui de ses deux devansiers a eu raison: M. Crew ou M. Dur. Il n’en est pas moins vrai qu’en continuant à mesurer les deux mèmes raies, les recherches nouvelles de Vastronome d’Edinbourg sont devenues mieux comparables avec les.observations anciennes de l’astronome d’Upsala 9). Or il résulte de cette comparaison que, quoique M. Harm ait toujours eu à constater aussi que les deux rales accusaient dans le gaz absorbant des vitesses angulaires diminuant avec la latitude, ces vitesses cependant étaient tout autres et changeaient avec la latitude tout autrement que ne Vavait observé M. Doner. Les vitesses constatées par M. Harm étaient plus petites dans le voisinage de l’équateur, mais surtout beaucoup plus grandes aux latitudes plus hautes que 33°. C'est ce que M. Harm a fait voir par des courbes 7) et ce qu'on pourra observer aussi dans le Tableau suivant. n) Report of the director 1907 p. 73. Spectrographic investigation of the solar rota- tion. „The measures so far made also suggest some interesting differences in the values given by the lines of different elements, but the work is as yet not sufficiently advanced to speak with certainty on this point”. Dans l'Atlas photographique de M. Hiccs on voit aussi aux bords Est et Ouest des raies différemment déplacées (Grorce Hiccs: A photographic Atlas of the Normal solar spectrum. Descriptive Supplement p. 8). o) J. Harm: Astron. Nachr. N°. 4146 et 4147 5 Janv. 1907. p) M. Harm (loc. cit. p. 281 et 282) fait ressortir expressément que les deux raies qu’ à exemple de M. Duner il a mesurées naissent à un niveau peu élevé. Voici ce qu'il dit: „Zu bemerken ist dass.... die beiden Eisenlinien meiner ausfürlichen Unter- suchung in Sonnenflecken stark verbreitert erscheinen und daher wahrscheinlich einem niedrigen Niveau der Sonnenatmosphäre angehören”. q) Pour servir à cette comparaison les recherches que M. Duner a continuées de 1899 à 1901 se prêtent surtout très bien (Duner: Astr. Nachr. 3994, Harm: Astr. Nachr. 4147 p. 294, 295). r) Harm: loc. cit. p. 290. 70 ESSAI D’UNE EXPLICATION DU MECANISME Tableau III. Angle de Rotation diurne de la vapeur absorbante | des taches 6301.72 — 6302.72 d’après Latitude : TE Eldee M. et M™° d’après d’après MAUNDER M. Doner. | M. Harm. | Col. IV du Tabl. I. 0° 15.13 14.54 14.60 15 14.65 14.41 - 14.41 30 14.05 13.83 13.83 45 12.98 13.27 60 6 12259 75 10.75 12.50 Dans ce Tableau les vitesses de M. Harm font encore mieux ressortir que les vitesses anciennes de M. Duxer, qu’en général la vapeur absorbante ferrique tourne sur l'axe avec la même vitesse que les taches. Or voilà justement ce qui doit arriver si mon explication du mécanisme de la périodicité est juste. Car, comme c'est toujours une mème vapeur venant d'être poussée en haut qui remplit et les interstices photosphériques et les taches, cette même vapeur doit y avoir aussi une même vitesse. Cette même vitesse, déjà étudiée plus haut dans les taches, étant d’ailleurs toujours plus grande que celle des nuages, ne sera donc jamais durable et c’est ainsi que la vapeur qui dans les interstices photosphériques produit des raies de Fraunhofer, présentera tous ces mêmes change- ments de vitesse qui caractérisent aussi les taches. Il n’est donc nullement surprenant qu’en mesurant à des moments différents les mêmes raies M. M. Duxer et Harm aient trouvé des vitesses diffé- rentes. Je ferai remarquer aussi que, si ma théorie est vraie, la vapeur absorbante ferrique marchera plus vite durant le maximum des taches que durant le minimum. Car durant le maximum cette vapeur est plus abondante et les nuages ralentissants sont plus rares, tandis que du- raut le minimum la vapeur est plus rare et les nuages sont plus abon- dants. Or ce ralentissement de la vapeur ferrique durant la période du minimum a été découvert en effet par M. Harm, qui y voit un résultat encore inexpliqué, mais fort remarquable de ses recherches s). s) Harm: loc. cit. p. 296. „Dieses Resultat ist dahin zu interpretieren, dass die Beobachtungen zur Zeit des Fleckenminimums (1901) für hohe Breiten bedeutend kleinere DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 7] En terminant ici mon étude de la Rotation du Soleil j'en con- clus qu'il n'est nullement certain qu’une rotation angulaire inégale aux différentes latitudes, telle que nous montre la photosphère, existe aussi au dehors dans l’atmosphère du soleil. La rotation an- gulaire inégale de la vapeur ferrique, que M.M. Duxer et Haim ont constatée ne saurait nous donner sur la rotation de l’atmos- phere solaire la moindre information. Car cette vapeur n’a jamais été vue dans cette atmosphère. Elle reste toujours plus bas dans les interstices entre les nuages photosphériques, qui lui donneront par conséquent le même mouvement inégal qu’ils donnent aussi aux taches ?). Comme il n’y a par conséquent aucune observation qui nous force à admettre que la rotation particulière de la photosphère existe aussi au dehors dans l'atmosphère du soleil; comme il y a au contraire les recherches de M. Crew qui semblent prouver que cette atmosphère tourne conformément au cours ordinaire de la nature et nous montre par conséquent à chaque latitude un angle Rotationswinkel ergeben als zur Zeit energischer Fleckentätigkeit (1905). Ein sicheres Urtheil über die Bedeutung dieses merkwürdigen Resultats ist zur Zeit wohl kaum möglich’. Déjà en 1874 Sporrer a exprimé l’idée que langle de rotation des taches changeait durant leur période undécennale. „Die Bedeutung der bezeichneten Aenderung würde sein, dass in einer bestimmten Breite die aus dem Innern des Sonnenkörpers aufsteigenden Strömungen nicht während der ganzen Periode mit gleicher Stärke wirken”. (Sonnenfleckenbeob. in den J. 1880 bis 1884 Publ. Potsdam IV 4 p. 426). Ici SPOERER a parfaitement rendu mon idée. Dans le cours de ses intéressantes recherches M. Harm a découvert aussi (loc. cit. p. 273 ete.) que durant les années de 1901 à 1906 les raies, qu’il a mesurées, ont montré un déplacement de 0,02 de l'unité d'Ancsrröm vers le rouge. Il attribue ce déplacement à un changement de pression, peut-être dû selon lui à un changement de niveau de la nappe photosphérique. Bien que M.M. Scnur et Ampron (voir ma Note b à la page 58) n'aient pu constater ce changement de niveau il n’en pourrait pas moins exister, dit M. Harm, s’il n'excédait pas 70 à 80 Kilometres et il suffirait alors à expliquer selon M. Harm le déplacement qu’il a découvert. Voilà donc M. Harm bien préparé à admettre avec M. Poor et moi l'idée de la photosphère vibrante, Tant que durant la période du maximum la photosphère monte, comme je l’ai expliqué, elle produira d'ailleurs, en vertu de augmentation de sa vapeur et de la compression que son ascension doit causer dans les couches qu’elle relève, une augmentation de pression dans les couches renversantes. Une autre particularité très intéressante que les recherches de M. Harm ont fait connaître a déjà été mentionnée dans la note w à la page 11 de mon Introduction. t) Si cette vapeur ferrique nous renseignait sur l’atmosphère solaire, son accélération durant le maximum serait bien étonnante. Un soleil, dont l’atmosphère tournerait aujour- d'hui autrement que Van passé et du temps des recherches de M. Duxer tout à fait autrement que du temps des recherches de M. Harm, ne me paraît guère vraisembable. Dans le niveau photosphérique au contraire ces changements de vitesse n’ont rien de surprenant. Ils m'y semblent même inévitables et en tout cas l'observation des taches nous y a accoutumés. 12 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME de rotation diurne sensiblement égal et comme en somme l’hypo- thèse la plus naturelle qu'on puisse faire quant à la rotation du soleil me semble Vhypothese d’un soleil gazeux aplati tournant sur l’axe tout d’une piece et ne nous montrant des angles de rotation anormaux qu’ uniquement dans le lieu géométrique sphérique où quelque matière qui a été condensée ailleurs, a dû nécessairement former ainsi une photosphère à zones différemment tournantes, c’est cette hypothèse la plus naturelle que ma théorie adopte. C’est elle aussi qui va nous guider maintenant dans notre étude de la répartition des taches. Cette répartition est représentée dans le Tableau suivant. Tableau IV. Répartition des taches sur la surface du soleil. _ | CARRINGTON | SPOERER SPOERER MAUNDER ne à 1853—61. | 1861— 67. | 1855—79. | 1879—1901. 0° 5 40 an 41 5 116 Bak DER 247 10 360 404 | eos 535 15 325 242 | Sr 518 20 | 351 A Mikel | 1303 355 25 Loa 35 | 740 135 30 | 126 1] 39 Bor en AL 5 | 4 5 40 0 1 | 45 2 | | Si mon idée d’un soleil gazeux tournant sur l’axe tout d’une pièce avec sa photosphère tournant tout autrement et n’égalant le gaz solaire en vitesse angulaire qu’ au milieu des zones royales est juste, la répartition des taches y pourra trouver son explication. C'est ce qui me reste à faire voir en ce paragraphe. Remarquons d’abord, que là où les vitesses de la photosphère et de DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 73 l'atmosphère sont plus ou moins égales, comme dans les zones royales, cette égalité ne saurait nuire à Papparition des taches, mais que là où ces vitesses sont au contraire excessivement inégales, comme hors de ces zones, cette inégalité pourra créer un obstacle empêchant les taches de se faire jour. C'est cet obstacle que nous allons étudier main- tenant. A cet effet je ferai observer que si les couches extérieures de la photosphère tournent tout autrement que l'atmosphère qui les recouvre, les moindres aspérités photosphériques qui tacheront de s'élever dans cette atmosphère seront immédiatement enlevées. C'est ainsi aussi que tout chapeau mal affermi s'envole, lorsque d’un train en marche on met la tête dehors. Toutes ces aspérités enlevées formeront à l'extérieur de la photosphère une couche photosphé- rique se mouvant tout autrement que les couches plus profondes, qui par conséquent pourraient ¢tre remplies de taches sans que nous en vissions rien. Comme j'aurai souvent à revenir sur cette couche photosphérique extérieure je la nommerai pour simplifier le voile photosphérique. Ce voile n’empêchera pas seulement les trous anciens d'être vus comme des taches en les transformant en „taches voilées”; il pourra empêcher aussi que de nouvelles taches apparaissent. Car il est impossible qu’une tache naisse là où le voile photosphérique avance plus vite que la tache ne saurait l'ouvrir: Mais outre le voile photosphérique il y a encore un autre voile résultant d’une autre différence en vitesse, qui lui aussi pourra nous cacher les taches. Car si les taches résultent de la rupture de bulles faculaires que la poussée d’en bas a relevées dans l’atmosphère du soleil, ces bulles, après avoir réussi à traverser le voile photos- phérique, ne s'en trouveront que plus exposées encore à l’action destruante et nivellante de l’atmosphère ne tournant pas comme elles. Et si maintenant elles crèvent lorsque la poussée d’en bas continue, il est fort bien possible que la tache, qu'elles essaient de former reste invisible sous un voile de nuages que l'atmosphère arrachera à la pénombre et au bourrelet faculaire relevés. Ce dernier voile, que je nommerai le voile faculaire, ressemblera beaucoup au voile photosphérique. Il aura le même effet effacant; mais comme il sera formé par les nuages faculaires qui, comme les taches tournent plus vite que les nuages photosphériques ordi- naires, sa vitesse sera une autre. Il existera même là où l'autre fera défaut et inversement, comme nous le verrons tantôt dans les colonnes V et VI du Tableau V. Il résulte de cet examen préliminaire de l’obstacle que les diffé- 14 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME rences en vitesse de la photosphère et de l’atmosphère du soleil doivent pouvoir faire à l’apparition des taches, que, si cet examen est juste, nous aurons à prévoir que l’on trouvera cette différence très grande là où hors des zones royales les taches font défaut, mais qu'on la trouvera aussi petite que possible la où dans les zones royales les taches abondent. Or voilà une prévision, qui répond en effet aux observations. Il suffit pour s’en convaincre de consulter le Tableau suivant. Tableau V. Explication de la Répartition des taches. | | | | | | | Oo u nn 1 o =| a = ie s A= le bk n 3 5 ES 9-5 3 = = |Jours requis pour = SIEN: x oa ae = RC B || voiler un trou re = zel ns NÉS a |e |e lee duo mane ES cer Fa az a 2, |sole une minute |ZS)x|2S\aj~ 2 BS | Be Zabel e= | £4 [eS |S| géocentrique IS QI EE SPAS NON EE Sn ee ll aaa a ZN NS SRE ee] a eho] BB WE SAP a EE IAR © 40 SIEN 5 | pe Se |= 0 2 > D RE Eter 5 2 PME MIS ay Ney Za EN See ee El Oa ES Ss © « |A ES RUES ENS A AISNE SE SER ES Me par le | parle | 5 5 VS DIRE ARE TE OMS NN 0 RE) i] LM a a ee ee ee eee le (a (eee eee a EE |. ore or 3 | 8. re © |photosp.| facul. |S & |£ & |, = SE lus les IgE see WL mie. ec | Bo” |S BE 24 | 3 E Vv VI 8E (SOENS a A as AE d = © | © © s à > Blas 8 Te a Jl IV Vv VE gh MES) MEE |I X XI (XI 0°} 18°.72'| 14°.42 | 14.01 |+0°.29/+0°.70) 3% 5 | 12 5 + 42) + 100) 41 127113821114 .23) 13.82 0. #0 41) 3.61 | co 9 Ol + 56| 585 15 113 .85 14 18) 18.77 |—0 .08/+0 .83| 3.63 | 45 dit — 11) + 46| 518 223/13 .91 13 .92| 13.51 |—0 .40| 0 5 55) 99 oo — 50 0| 225 25 |13 .93)13 .81| 13.40 |-0 53-012 4.01 ep 33.4 |— 67] — 16} 135 30 |13 .98|13. 60] 13.19 —0.79—0.38| 4 .04 5.1 10.6 |— 99} — 48) 35 45 |14.12 112 .92| 12.51 |—1 .61)/—1 20) 4.95 3 4.1 |— 168| — 123| 0 60 [14.25 (11.45), 11.04 |—3 .21/—2 .80| 7.03 22 2.5 | — 229 2020 u) L’angle de rotation diurne montre ici la très légère accélération vers les pôles que M. Crew (voir la note d précédente) croit avoir constatée et que j'ai tâché d’expli- quer dans ma Théorie du Soleil de 1892 p. 45. Si cet angle était à toutes les latitudes absolument le même, cela ne changerait que bien peu aux résultats du Tableau. Ce Tableau, quoique composé au moyen des meilleures données, que j'ai pu trouver, n’a d'ailleurs aucune prétention à ne contenir que des valeurs numériqurs exactes. Son unique but est de faire voir, comment ces différences en vitesse, qu'il fait ressortir, et qui probablement devront être remplacéees -plus tard par des différences plus exactes, semblent donner déjà maintenant une explication provisoire mais plausible de la répar- tition des taches. v) L'angle à 60° a été calculé au moyen de la formule 8°,548 + 5°,798. cos 60° de SPoERER. Publ, Potsdam N°. 32 (1894) p, 145. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 75 On voit clairement dans ce Tableau, que tant a l’équateur, où la photosphère tourne plus vite que latmosphere , que surtout aussi au delà de 45° de latitude, ot la photosphère tourne au contraire beaucoup plus lentement que cette atmosphère, il y a de grandes différences en vitesse entre les taches et l’atmosphère du soleil et que si ces différences en vitesse à partir d'un peu plus de 100 Métres par seconde peuvent empécher tout à fait Papparition des taches, un tel empéchement n'existe pas dans les zones royales, qui seront donc les seules zones qui puissent nous faire voir des taches. Dans ces zones royales il y a une zone privilégiée où les taches se montrent en plus grand nombre. Elle ne se trouve pas à la latitude de 224°, où d’après mon Tableau les taches tournent préci- sément comme l'atmosphère du soleil w) mais à une latitude plus petite entre les parallèles de 19 et de 15°. Cette latitude plus petite de la zone privilégiée n'est d’ailleurs nullement imprévue. Car l'obstacle a Vapparition des taches ne résulte pas en premier lieu de la vitesse différente de l’atmosphère par rapport aux taches mais plutôt de cette vitesse différente par rapport aux nuages pho- tosphériques, qui tournent plus lentement. Il est donc clair qu'à la latitude où ces nuages plus lents égaleront l'atmosphère en vitesse et où par conséquent les taches naïtront le plus abondam- ment, les taches auront encore par rapport à l’atimosphère une vitesse uotable, et se trouveront par conséquent entre la parallèle de 224° et l'équateur. Pour pouvoir expliquer aussi pourquoi ce n’est pas seulement entre la parallèle de 224° et l'équateur mais précisément vers la latitude de 124° que les nuages photosphériques et l'atmosphère tournent avec la même vitesse, la grandeur de l'accélération des taches par rapport aux nuages devrait être connue. Mais comme cette grandeur n’est pas connue, il me faut une hypothèse pour w) Qu'on ne confonde pas la latitude de 10 à 15° où les taches se montrent en plus grand nombre, avec la latitude moyenne des taches lorsqu'elles sont au maximum. Cette latitude est une tout autre et généralement plus grande. Elle changera d’ailleurs dans le cours des siècles (voir plus haut p. 57). D'après M. Youne (the Sun p. 214) la zone privilégiée aurait une latitude de 20° environ. Dans la fig. 53, où il représente la fréquence des taches d’après CARRINGTON, on voit, tout comme dans la 2me colonne de mon Tableau IV, que CARRINGTON a observé deux zones privéligiées, l’une à 10° et l’autre à 20°. Si ceux, qui après CARRINGTON ont continué ses recherches, avaient aussi trouvé ces deux zones, cela aurait prouvé, comme nous le verrons tantôt, que les voiles photosphériques et faculaires auraient un même pouvoir effaçant. La zone à 20° aurait pu être expliquée alors par l'absence du voile faculaire et la zone à 10° par l'absence du voile photosphérique (Voir les colonnes V et VI du Tableau V). Mais, comme Sporrer et M. et Mme Maunper n'ont pas retrouvé la zone à 20° il paraît donc qu'en comparaison de l’effet du voile photosphèrique l'effet du voile faculaire est généralement beaucoup moins important. 76 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME compléter mon explication. Cette hypothèse la voici: A la latitude de 121°, et problablement aussi aux autres latitudes, langle de rotation diurne, que CARRINGTON a trouvé pour les taches, est de 0.41° plus grand que celui des nuages photosphériques. Si moyen- nant cette hypothèse on calcule alors la vitesse de ces nuages, on leur trouve les angles de rotation diurne de la colonne IV, qui font voir maintenant que c'est à la latitude de 124° que les taches naîtront le plus abondamment parce qu'il n'y a que la que la vitesse des nuages et de l'atmosphère est la même +). Bien que cet accord parfait à la latitude de 124° entre les vitesses de mon Tableau et l'apparition du plus grand nombre de taches n'ait par conséquent rien d’intéressant, puisqu'il a été inventé pour le besoin de la cause, il n’en est que plus remarquable, qu’à toutes les autres latitudes, où je n’ai rien inventé, et où ma correction de 0.41° west plus qu’insignifiante, l’accord entre les vitesses du Tableau et l’apparition des taches est tout aussi satisfaisant. Car les différences en vitesse que mon Tableau présente paraissent avoir l’ordre de grandeur, qu’il leur faut pour donner à chaque latitude aux voiles photosphériques et faculaires dont la photosphère est entièrement recouverte Justement ces vitesses, que mon explication de la répartition des taches demande. Pour se faire une idée de ces vitesses on pourra consulter les colonnes VIIT et IX du Tableau, qui nous font voir le nombre de jours qu’à chaque latitude les voiles photosphérique et faculaire demandent pour voiler complètement un trou, qui mesurant une minute géocentrique, est assez grand pour former une tache visible à l’oeil nu. Or en comparant ce nombre de jours avec les 5 à 6 jours qu'il faut généralement à une tache aussi grande pour s’ou- vrir y) on voit facilement pourquoi la répartition des taches est pré- æ) Ma correction de 0,41° ne fait voir, que de combien l’angle de rotation diurne des taches à la latitude de 125° est d’après CARRINGTON plus grand que l’angle de rotation diurne de l'atmosphère solaire à cette même latitude d’après M. Crew. Il n’est guère probable par conséquent que cette correction ait quelque valeur réelle et représente exactement l'accélération des taches par rapport aux zones photosphériques qui les transpor- tent. Car ni la vitesse angulaire des taches, qu'on voit si différemment évaluée dans mon Tableau I, ni la vitesse angulaire de l’atmosphère solaire, qui n’a été étudiée jusqu” à présent que par M. Crew seulement, ne sont déjà suffisamment connues pour pouvoir nous conduire avec quelque certitude à un résultat aussi important. Si quelque recherche future ne viendrait pas confirmer les résultats encore trop douteux de M. Crew, il y aura plus tard dans la colonne II d'autres vitesses, accusant d’autres différences dans les colonnes V et VI et nécessitant aussi, au lieu de 0.41°, une autre correction, qui sera peut-être plus petite, pour arriver à la latitude de 123° à la vitesse des nuages photosphériques. Il est à espérer toutefois qu'on réussisse un jour à mesurer l'accélération des taches par rapport aux nuages d'une manière plus directe. y) Seccui: le Soleil I p. 60. Voici ce qu’un observateur aussi assidu du Soleil que DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOLLES, BIC, = 477 cisément celle qu’on observe et pourquoi par exemple il est im- possible que des taches apparaissent hors des zones royales. Commençons cet examen a la latitude de 60°: Si la 2,2 jours suffisent au voile photosphérique pour recouvrir entièrement un trou demandant 5 à 6 jours pour s'ouvrir, chaque trou y sera impos- sible; car il y sera voilé ou refermé tout de suite, avant qu'il n'ait eu le temps de s'ouvrir. Bien qu'à la latitude de 45° les voiles glissent déjà beaucoup plus lentement, de sorte que le même trou qui à 60° de latitude était déjà complètement voilé en 2 jours, ne l’est plus ici qu’en 3, on voit cependant qu'ici encore les voiles glissent plus vite que ne s'ouvrent généralement les taches et que par conséquent il est à peu près impossible qu'à cette latitude de 45° des taches appa- raissent. Si dans le cours des années on en a vu néanmoins quelques unes elles avaient une étendue très petite et une courte durée 2). Ce n’est que dans les zones royales que d’après les colonnes VIII et IX de notre Tableau les voiles photosphériques et faculaires marchent moins vite que ne s'ouvrent généralement les taches et que par conséquent des taches apparaissent. Au milieu de ces zones nous voyons marcher ces voiles avec une lenteur si grande qu’il n'y a pas de taches, même parmi les plus lentes à s'ouvrir, qu’elles puissent empêcher de naître. Les taches s’y montreront donc beau- coup plus nombreuses que vers les limites de ces zones, où notre Tableau nous signale des voiles déjà plus ou moins destructeurs. C'est ainsi par excemple qu'à l’équateur nous voyons un voile faculaire et à la latitude de 30° un voile photosphérique de même vitesse, qui d’après les considérations (des 5 jours), qui nous ont guidés jusqu'ici, effaceront la plupart des taches et n’épargneront que celles, qui dues aux poussées d’en bas les plus fortes s’ou- vriront le plus vite. Parmi les taches qu'au milieu des zones royales les voiles pho- tosphérique et facuiaire ne sauraient effacer, il y aura aussi au minimum ces taches les plus petites, qui pouvant résulter toujours de l’évaporation continuelle des nuages dans la profondeur, ne ces- seront jamais de tâcher d’apparaître même lorsque durant le mini- mum la photosphère descend. Aux autres latitudes, où les voiles ont un plus grand pouvoir effaçant, ces taches du minimum ne sauraient se montrer et l'apparition des taches y présentera par Perry nous apprend quant au temps, qu’il faut à une tache pour se développer: „a spot will often obtain its full size in five or six days, although exceptionally large ones occupy a longer time in their first development”. Lockyer: Chem. of the Sun p. 406. z) Nature, March 20, 1890. 78 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME conséquent une périodicité plus marquée. Cette périodicité plus marquée par des intervalles sans la moindre tache a été observée en effet, comme on le verra dans le Tableau suivant, que j’ai tiré des observations de SPOERER 4). Tableau VI. Durée moyenne de l’absence assidue de taches. Fraction de la durée de la Zones. | période undécennale entière. Q°— 5° 0,0 5 —10 0,0 10 —15 0,0 15 —20 0,1 20 —25 0,2 25 —30 0,3 30 —35 0,4 35 —40 | Ox Dès qu’une tache aura réussi à perforer ses voiles et à s’élever dans l'atmosphère elle pourra avoir là haut une longue durée. Car bien que les différences de vitesse de la colonne VI doivent lui enlever maintenant sa vapeur avec les nuages que le refroidisse- met extérieur y aura déjà condensés, cette vapeur lui sera rendue sans cesse d’en bas tant que la poussée, qui produit les taches continue. Or comme les nuages, dont chaque tache doit toujours incessamment se couvrir, doivent former comme un troisième voile effacant, il est clair que pour faire durer les taches, des différences de vitesse qui pourront enlever ce troisième voile seront plutôt utiles que nuisibles. Si par conséquent les colonnes IV, V et VI de mon Tableau I nous montrent, qu’ aux latitudes de 21/,° et de 30°, où il y a de grandes différences de vitesse, les taches sont généralement plus durables, qu’ aux latitudes intermédiaires, ou a) Sporrer: Publ. de Astroph. Obs. zu Potsdam IV, 4, p. 411—415. Sonnenflecken- beobachtungen in den Jahren 1880—1884 Voir aussi ma note x page 56. Comme moi DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 19 ces différences sont plus petites, cette particularité se conçoit 5). Il est vrai qu’ au delà de ces latitudes la durée des taches diminue de nouveau. Mais là les différences en vitesse sont si excessivement grandes que probablement elles n’y pourront débarrasser les taches de leur troisième voile sans les abimer fortement en même temps. L'apparition des taches dans les zones royales et leur absence hors de ces zones jusqu’ a la latitude de 60° étant maintenant étudiée, il nous reste à étudier aussi l’absence des taches dans les calottes polaires. Cette absence ne saurait être due entièrement à la même cause qui empêche la formation des taches aux latitudes moyennes. Car à partir de 82° jusqu’ aux pôles les voiles expli- cateurs de ma théorie glissent trop lentement. C'est ce qu’on verra dans Je tableau suivant, où moyennant l'hypothèse que les zones photosphériques immaculées présentent le même ralentissement avec la latitude, que CARRINGTON et Srourer ont découvert dans les zones à tâches, j'ai complété les colonnes VII] et X de mon Tableau V. je le suppose maintenant, Sporrer a déjà admis dès 1860, sans toutefois l'expliquer clairement (Faye: C. R. 60 p. 818), qu’au milieu des zones royales il y a une parallèle où les taches se meuvent comme le corps principal du soleil et que des deux côtés de cette parallèle y soufflent par conséquent des tempêtes de l’Est et de l'Ouest opposées. A ces tempêtes, que ses contemporains n’ont jamais prises au sérieux, SPOERER attacha une grande importance. Faye: Ann. 1873 p. 500. Crerke: Geschichte p. 198. SPOERER: Astr. Nachr. 1347, 1402, 1418, 1471 etc. Voir surtout le N. 1347 où Sporrer est déjà près de prévcir mon explication de Ja répartition des taches. b) Cette particularité a été constatée aussi par le P. J. Scnreimer à Kalocsa, comme le P. Fery: me l’a écrit en 1895 dans les termcs que voici: ,.... P. SCHREIBER unternahm eine ausgedehnte Untersuchung, zu welcher er auch die englischen Beobach- tungen beniitzte. Er fand nach sehr langwieriger Arbeit, dass die Flecken in ihrer Zone am längsten zu dauern pflegen gegen den Pol zu und ebenso gegen den Equator zu, aber abnehmend, von kiirzerer Dauer sind”. Le P. Scurermer a constaté aussi, : EAA hee 5 . durée de la croissance fod comme il me l’a écrit lui-même 1° que la proportion RP EN MT des taches est généralement égale à °/,, et 2° que dans les groupes les taches marchant au devant ont généralement une latitude plus petite que celles marchant à la suite, (ce qui semble résulter, ceteris paribus, de la vitesse angulaire plus grande à la latitude plus petite.) 80 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Tableau VIT. Vitesse du Voile photosphérique sur toute la surface du soleil. ‚Nombre de jours | requis pour Vitesse en Latitude. _ voiler un trou Mètres par | mesurant une | seconde. minute géoc. 0° | 12 42 121 op 0 15 45 di 25 155 67 30 5. _99 45 3 168 60 2.2 229 65 2.2 229 70 2.5 202 75 2.8 179 80 Dele) 132 85 6.9 30 89 32.3 15 sot 64 8 90 or 0 Ce ‘Tableau nous fait voir que si la répartition des taches ne dépendait que des différences de vitesse, expliquées dans le Tableau V, on verrait des taches aussi dans les calottes polaires. Sucour et déjà Car. Scurmer ont bien vu que ces calottes polaires étaient de temps en temps particulièrement obscures et bordées de granulations tracant comme des zones polaires ec); mais de véritables taches polaires n’ont jamais été observées. Il n’en est que plus remarquable que tous les phénomènes caractéristiques accompagnant toujours les taches dans les zones royales s’observent toujours aussi dans les calottes polaires beaucoup plus distinctement que dans toutes les autres zones sans taches. J'en prends premièrement à temoin les c) Voir la première Note m de ce paragr. page 60. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES BLOMES: HTC, Si facules, dont la distribution sur la surface du soleil est précisément celle, que mes Tableaux V et VIT font attendre. Cette distribution telle que Mascari l’a observée de 1894 à 1901 à Catane d) la voici: Tableau VIII. Répartition des facules sur la surface du soleil. Fréquence des Latitude. facules. CENT a 8851 10 —20 11020 00 1267 30 —40 4913 40 —50 3428 50 —60 3191 OO) 4317 70 —80 1262 80 —90 7011 Les facules présentent done 1° entre les latitudes de 30 et de 70°, la où les voiles photosphériques et faculaires ont leur plus grande vitesse et leur plus grand pouvoir nivelant, un minimum très pro- noncé et 2° la où ces voiles se meuvent plus lentement et nivellent très mal comme dans les zones royales (0—30°) et les zones polaires (70— 90°) deux maxima non moins évidents. Les facules, qui s’élèvent dans les zones polaires répondent done tout aussi bien que celles qui s'élèvent dans les zones royales aux prévisions de ma théorie. Mais comme il n’y a que ces dernières qui forment des taches, c’est donc comme si la poussée d’en bas, qui en bosse- lant tout partout la photosphère, doit surtout dans les zones royales et les zones polaires la couvrir de facules, n’aurait la force requise pour percer ces facules visiblement que dans les zones royales et d) Mascari: Bull. de la Soc. belge d’Astr. Février 1903 p. 41. La répartition des facules ressemble beaucoup à celle des protubérances, comme on le verra en comparant mes Tableaux VIII et'IX. Quoique la grande fréquence de ces deux classes de phéno- mènes dans les calottes polaires ne soit nullement douteuse, il est impossible toutefois que cette fréquence soit réellement aussi grande, que mes tableaux la font ressortir. (Voir les notes g et / suivantes). Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (te Sectie) Dl. IX n°. 6, F 6 CO to ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME serait impuissante à les perforer visiblement dans les zones polaires. Cette impuissance de la poussée d’en bas dans les zones polaires ne serait d’ailleurs nullement inexplicable; car, ainsi que je tâcherai de le démontrer dans mon 12™° paragraphe, la photosphère doit être aux pôles moins massive qu’à l’équateur. Lorsque par conséquent aux pôles la photosphère monte et descend tour à tour, les nuages qui chaque fois dans la profondeur s’y évaporent, seront toujours moins considérables, produiront moins de vapeur et causeront en somme une poussée moins forte que partout ailleurs. Les cratères e) et les trous, que cette poussée moins forte pourra produire seront done exceptionnellement petits. Lorsqu'ils seront nombreux, ils pourront bien produire cet obscurcissement des zones polaires, dont nous avons déjà parlé plus haut et que Cur. Scanner et Srconi ont observé, mais individuellement ce ne seront que des pores trop petits pour être vus comme des taches. N'oublions pas non plus qu'aux pôles, déjà mal situés d’ailleurs pour nous faire voir des taches très petites, la formation des taches sera contrariée en outre par la pesanteur et le refroidissement, qui probablement y seront plus grands que dans les zones royales mieux protégées contre le refroidissement par le renflement équatorial de l’atmosphère du soleil /). Il est donc fort bien possible que si quelque cratère faculaire s’ouvre dans les calottes polaires, il n'en résulte aucune tache. Car si la la vapeur dénudée, qui alors devrait former une tache, se refroidit si vite qu'elle se recouvre aussitôt d’un voile de nuages condensés, elle ne forme rien, que nous puissions observer. De ce voile de nuages condensés sur place j'ai déjà parlé plus haut (page 78) lorsque je Vai nommé „le troisième voile” et lorsque nous l’avons vu effacer des taches dans les zones royales. Mais nulle part il ne sera aussi puissant que dans les calottes polaires, où probablement un minimum de poussée et un maximum de refroidissement aideront à le mieux former et où en tout cas il aura en se formant l'avantage que les deux différences de vitesse des colonnes V et VI du Tableau V, qui séparément ou simultanément troublent tout partout ailleurs la tranquillité des taches ne sont qu'aux pôles impuissantes en mème temps. e) Voir la note s au commencement de ce paragraphe. f) Lockyer: Solar physics p. 49. „Sir Jon Herscuer’s beautiful theory, that the sun is actually colder at the poles by reason of the smaller thickness of the atmosphere in the polar regions allowing a greater radiation of heat is therefore next alluded to (by Faye) and it is remarked that this brillant conjecture has at once taken the sun- spot theory out of the domain of perspective and rendered it capable of dynamical treatment”. Voir aussi Youna: the Sun p. 179 et 180 et ce que j'ai aoe TDT ici plus haut du renflement équatorial de la masse solaire (pages 33 et 34). DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 83 Quoiqu'il soit donc très bien possible, qu’en vertu de Ja faible poussée d’en bas dans les calottes polaires, beaucoup de facules n’y erevent pas du tout, tandis que d’autres, qui y crèvent bien, ne réussissent. pas à y former des trous visibles, parce que ces trous en naissant sy couvrent aussitôt d’un voile, qui doit nous les cacher tout de suite; on aurait tort cependant d'admettre que la photos- phère polaire ne serait pas riche en trous véritables. Ces trous, dont la formation a déjà été expliquée dans mon avant dernier alinéa, sont trop petits pour être vus comme des taches, ils pour- aient être même trop petits pour être vus comme des pores, mais il ne paraît guère possible de douter qu’ils existent. Car tous les phénomènes caractéristiques, qui accompagnent toujours les trous dans les zones royales, caractérisent très distinctement aussi les zones polaires, De ces phénomènes caractéristiques dans les zones polaires nous n’en avons encore mentionné que deux: 1° la richesse exception- nelle des zones polaires en facules et 2° leur obscurité quelquefois exceptionnelle aussi. Mais d’autres phénomènes du même genre sont aussi 3° l’augmentation, qu’on voit de temps en temps dans la fréquence et la hauteur moyenne des protubérances dans les zones polaires 9) ; g) Voir par ex. les colonnes IT, III, IX, XI et XII de mon Tableau IX. Quoiqu'il y ait beaucoup de chance, qu’en vertu de la lenteur de la rotation près des pôles, les mêmes protubérances s’y observent plus d'une fois et tendent ainsi à nous y faire voir une fréquence exagérée (voir la note / suivante), il n’en est pas moins certain que ces protu- bérances polaires existent et que de temps en temps elles nous montrent des recrudes- cences, qui ne durent pas longtemps. Voici par exemple ce que Seccur nous apprend (le Soleil IL p. 145): „Les maxima secondaires des protubérances correspondent aux limites des granulations que l’on a vues autour des pôles aux époques de plus grande activité. Cette apparition n’est pas constante: elles disparurent en 1873 et avec elles les protuberances. C’est dans cette même région que la couronne est plus élevée, ainsi qu'on l’a constaté pendant les éclipses. Dans la IXe et la XIe rotation, nous voyons reparaitre les protubérances polaires, mais elles durent très peu: c’est une de ces fluc- tuations à courte période, qui nous sont familières, mais dont la cause est encore un mystère”. La courte durée de cette période répond d’ailleurs à la règle, que j'ai déjà expliquée plus haut (page 57) d'après laquelle, comme on le voit déjà dans les zones royales, la durée de la période diminue Jorsque la latitude augmente. Si les protubérances polaires ne sont pas comptées parmi les protubérances éruptives, ce n’est pas que leur forme s'y oppose, mais c'est plutôt parce que l'atmosphère polaire étant relativement basse et exempte de métaux (voir plus haut page 34) les protubérances y sont toujours relativement peu élevées et ne montrent jamais trace de métaux. „Toutes les protubéran- ces (dit Seccur II p. 294) ne sont donc pas de véritables éruptions: la différence consiste essentiellement dans la présence ou dans l’absence des vapeurs métalliques” (ibid. p.157): „Aux pôles les filets des panaches sont verticaux ou très légèrement inclinés; quelquefois ils ressemblent à une pluie, qui retombe verticalement” (ibid. p. 154): ,les facules polaires étaient précisément très développées... il y avait évidemment une relation entre ces couronnes polaires et les maxima Secondaires des protubérances observées à cette même époque dans cette même région”. F 6* 84. ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME 4° les pinceaux polaires de la couronne 4); l'éclat inaccoutumé que montre souvent la chromosphère polaire z) et 6° la ressemblance des zones polaires avec les zones royales quant à la fréquence des déplacements spectraux, qu’on y observe j). N'ayant pas à répéter ici comment tous ces phénomènes carac- téristiques peuvent être expliqués comme résultant de trous véri- tables, produisant, soit des rayons (2 et y, soit un refroidissement rendant l'atmosphère du soleil luminescente au dessus de ces trous 4), mon explication de la répartition des taches est maintenant terminée. Si néanmoins ce paragraphe déjà long ne finit pas encore, c'est parce que les Tableaux, qu’il contient, ef surtout aussi l’idée, que je viens d’émettre, de voir dans les protubérances polaires l'effet de trous photosphériques trop petits pour être vus comme des taches, m'ont semblé éminemment propres à expliquer ici en même temps la répartition des protubérances sur toute la surface du soleil. Cette répartition pourra être étudiée dans le Tableau suivant. h) Si dans ces pinceaux nous voyons peut-être une luminescence due à des rayons B et y, qui échappent des trous polaires, leur courbure pourrait résulter et de leur répulsion électrique réciproque et de leur attraction vers la masse à charge positive du soleil. i) Seccu: le Soleil II p. 144. — M. Fenvr parle „de la clarté intense de la chro- mosphére” au dessus d'un champ de taches dans les Mem. de Soc. d. Spettr. Italiani XX 1891. Protub. obs. sur le disque solaire le 24 Juillet. j) Fenvi: Publ. d. Haynald Obs. VI Heft 1892 p. 40. „Die kleine Verschiebungen kamen demnach am häufigsten auf der Fleckenzone vor. Ein zweites fast ebenso grosses Maximum lag über den Polarcalotten beiderseits bis 70°’ k) Voir dans mon Introduction les SS 3 et 4. DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 85 Tableau IX. Répartition des Protubérances sur la surface du soleil. Les nombres indiquent la fréquence moyenne dans les deux hémisphéres. Observ.de M.J.G. Leake ve Observations du P. Frny1, entre le maximum de 5 : NEWBEGIN depuis 1871, un an 1884 et le minimum de 1890. Les nombres À 7 le 11 Février Lati- ero sont les ordonnées des courbes. du P. FÉNyr. es EN o2Sine Hd | ; a : : SS ee Ass 1884 | 1885 | 1886 | 1887 | 1888 | 1889 | 1890 | 1894 23 |e 4 Alajos SES I IT UI IV VE VAL MOVE POVEL | IX X XI XII XIII Daden | 74 ||-60' | 250) 15 | 18 | de | 20,2% |, 7 4 15212 94 85 62 37 39 33 32 | 32 92 16 13 25 | 213 66 78 54 41 45 45 | 65 52 | 108 18 12 35 | 182 59 69 43 39 40 43 58 60 84 16 12 45 | 140 36 56 23 33 5d 43 | 68 85 48 8 5 BONE Oe 130) |) 20%) 15. 34 | 3b | 30 | 40 | 10 10 4 65 80 15 29 2 1 3 2 | 2 1 48 4,5 0.5 15 | 160 54 21 4 2 | 2 1 6 3121 8 0 85 | 129 24 21 2 1 1 1 3 2 41 215 ile) Ce Tableau nous fait voir, surtout si nous tenons compte du 4 iad = 4 XN A b rétrécissement considérable des parallèles vers les pôles /), que c'est toujours vers la latitude de 60 à 65° que les protubérances appa- 1) Les observations de Srccur sont celles que M. YouxG a représentées dans la fig. 53 de son Traité du Soleil, the Sun, p. 214. Les observations du P. Fenyr se trou- vent dans les Public. de l'Obs. Haynatp VI p. 34 et VIII p. 109. Celles de Mascarr dans l’Astroph. Journ. du mois d'Août 1895 et celles de M. NEwBEGIN dans le Journ. of the Britisch Astron. Assoc. XVII N°. 7 April 1907 p. 313. L'augmentation dans la fréquence des protubérances à partir de 60 à 65° vers les pôles est d'autant plus remar- quable qu'à mesure que les protubérances y augmentent, les parallèles qui les produisent, deviennent de plus en plus petites et diminuent par exemple dans la proportion de 5, 3 et 1 aux latitudes resp. de 65°, 75° et 85°. Si les protubérances étaient uniformément réparties sur la surface du soleil elles montreraient donc 1° une diminution vers les pôles beaucoup plus grande que celle que même la colonne VIII avec sa diminution la plus forte nous fait observer et elles auraient 2° à 85° par rapport à la fréquence à 65° une fréquence respectivement 8 fois, 8 fois, 4 fois, 5 fois, 5 fois, 1.7 fois, 2.5 fois, 7 fois, 2.5 fois, 4 fois, 3 fois et 15 fois moindre que celle qu’on voit dans les colonnes du 86 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME raissent le moins. C’est aussi ce que M. Eversuep vient de constater de nouveau (M. N. May 1907). Or voilà une particularité que ma théorie de la formation des protubérances et de la rotation solaire prévoit, comme je tâcherai de l’expliquer maintenant: Remarquons d’abord, que si ma théorie voit toujours dans les protubérances l’effet luminescent de trous photosphériques, ces trous n’ont pas besoin d’être assez grands pour être vus comme des taches. Ils pourront être aussi infiniment plus petits. On les verra alors comme ces pores dont est parsemée toute la surface du soleil, ou bien, si plus petits encore, ils sont par exemple moins grands que la Hollande, on ne les verra plus du tout. Or il n’est pas difficile de comprendre que si des trous photosphéri- ques considérables, comme ceux qui forment les taches, ne peuvent apparaître que dans les zones royales, des trous plus petits et entière- ment invisibles doivent pouvoir exister sur toute la surface du soleil. Je sais bien qu'ici on objectera tout de suite que le voile pho- tosphérique qui au dehors des zones royales nous cache même les plus grandes taches y cachera en même temps, et plus facilement encore, tous les trous plus petits. Mais cette objection éventuelle ne pourra résulter que d’un malentendu. Car le voile photosphé- rique, bien loin de devoir nous cacher des trous très petits, est justement Vinstrument qui les formera au contraire. Il les formera surtout clairement, lorsque très mince, il aura dans son tissu peu serré, tout comme les voilettes de nos dames, une multitude de mailles ouvertes. Ces mailles ouvertes pourront être grandes d’ail- leurs comme des royaumes terrestres et ètre invisibles néanmoins; mais elles pourront être aussi infiniment petites. A la rigueur elles pourraient être même complètement absentes, sans que pour cela, comme par exemple le pouvoir pénétrant des rayons du radium le nous prouve, le voile photosphérique, vu sa petite épaisseur, cessit de pouvoir être considéré comme un écran perforé impuis- sant à arrêter tous les rayons au passage. Or, lorsque le voile photosphérique, qui est donc toujours plus ou moins perforé et est excessivement mince en tout cas, viendra re- couvrir une tache, il pourra n’avoir aucune peine à la cacher; mais il ne pourra empêcher, qu’à travers les trous toujours invisibles Tableau. I] est vrai qu'en vertu de la lenteur de la rotation près des pôles une même protubérance y aura plus de chance d’être observable plusieurs jours de suite et d'être comptée alors pour plusieurs. Mais pour pouvoir être revues ainsi 8 jours de suite, les protubérances demanderaient une grandeur et une durée peu communes, qui prouveraient alors d’une autre manière que dans les calottes polaires existerait quelque cause particulière, qui y favoriserait le développement des protubérances (voir aussi la note g précédente), DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, HC) 4 187 dans le mince couvercle qu'il forme, la cavité de cette tache exerce encore au dehors son effet luminescent et y allume par conséquent sa protubérance #). Mais si les trous invisibles dans le voile qui nous cache la sur- face photosphérique éventuellement trouée du soleil peuvent engen- drer ainsi des protubérances hors des zones royales, il est évident que ces protubérances se formeront dautant moins que ces trous seront moins considérables et que le voile sera plus épais. Or, c'est à la latitude de 65° que ces trous auront nécessairement leur minimum de grandeur; car c'est là que d'après mon Tableau VII les vitesses de la photosphère et de latmosphère du soleil diffèrent le plus et que par conséquent le voile photosphérique sera plus épais, plus serré et moins perforé que partout ailleurs. La rareté continuelle des protubérances vers la latitude de 65° n’a done rien de surprenant; car à mon idée de la formation des protubérances au dehors du voile photosphérique perforé, la où ce voile cache des taches, elle répond directement. Mais à cette même idée répond très bien aussi une autre particularité capitale, que mon dernier Tableau fait clairement ressortir. C’est la parti- cularité, qu’ après le maximum de chaque période undécennale le maximum des protubérances se déplace des zones royales vers des zones à latitude beaucoup plus élevée. Dans les colonnes II, II, DV, VE XT, XIE et XIII du Tableau nous voyons en effet que durant la période du maximum des taches, le maximum des protubérances se présente dans les zones royales. Mais les colonnes VIT, VIII, IX et X nous démontrent qu'il n’en est plus de même lorsque, comme depuis 1887 jusqu’ à 1890 le minimum approche. Lorsqu’ alors les taches de plus en plus rares ne se forment plus que dans le voisinage de l’équateur pour réapparaitre soudainement à 30° de latitude, le maximum des protubérances se montre à une latitude plus grande encore, c'est à dire à 45°, tout à fait hors des zones royales. Ce changement dans la latitude où l’activité est la plus grande a déjà été expliqué dans le 8™° paragraphe. Nous avons vu alors que la photosphère ne saurait vibrer toute d’une pièce et qu’à chaque latitude elle doit vibrer autrement. Et c’est ainsi que, lorsqu’a m) Les trous très petits pourront former ces protubérances flammiformes relativement petites, qui limitent la chromosphére, où elles se montrent souvent serrées comme l'herbe dans nos prairies (Lockyer: Chem. of the Sun p. 117, fig. 49). Là où le voile sera impuissant à nous cacher des taches, il nous fera voir au travers de ses trous dans Vombre des taches ces endroits plus foncés que Dawes y a découverts et que beaucoup d’autres observateurs, comme M. M. pe Perera, Maw, A. J. S. Apams, Miss Brown et le Père Corrie (CLerke: Probl. p. 75 et 76) ont remarqués aussi. 88 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME l'équateur les taches diminuent, parce que la photosphère y continue encore toujours son mouvement descendant, on verra au même moment à 30° de latitude les taches augmenter de nouveau, parce que là la photosphère aura déjà repris son mouvement ascendant. Mais si à la latitude de 30° la photosphère reprend son mouvement ascendant plus tôt qu'à l'équateur; à 45° elle laura repris plus tôt encore, et si, lorsque les taches réapparaissent à 30°, le maximum des protubérances se montre à 45° de latitude, ce sera parce qu'à cette latitude de 45° la photosphère aura déjà atteint alors son maximum de hauteur, avec son maximum de trous. De tous ces trous hypothétiques nous n’en voyons jamais aucun, parce que le voile photo- sphérique les nous masque; mais ils n’en démontrent pas moins, tous les onze ans, la réalité de leur existence par le maximum de luminescence, qu’à travers les trous dans le mince voile, qui les masque, ils produisent alors dans l’atmosphère du soleil. L'accord qui existe entre les prévisions de ma théorie et la répartition des protubérances et surtout le minimum permanent des protubérances vers 65° de latitude, où le voile photosphérique de ma théorie doit être nécessairement plus serré et moins perforé que par- tout ailleurs, donnent, ce me semble, à toutes les considérations nouvelles, qui nous ont guidés dans ce paragraphe et qui au moyen de mes Tableaux V et VII nous ont conduits à l'explication de la répartition des taches, un nouvel appui fort opportun. $ 11. Mouvements propres des taches et des facules. Quoiqu'il résulte des considérations précédentes, que la répartition des taches et leur formation semblent grandement dépendre des différences en vitesse angulaire des différentes zones photosphériques et de l'atmosphère qui les recouvre, il n’en est pas moins vrai, que d’autres différences en vitesse angulaire doivent jouer aussi un rôle dans la formation des taches. Remarquons tout d’abord que les spirales qui d’après CARRING- ron et Srccutz) donnent à 2 ou 3°/, des taches une ‘apparence comme si elles avaient fortement tourné, me paraissent dues aux différences en vitesse angulaire des taches et des zones photosphé- riques qu'elles traversent. Elles ne sauraient être attribuées à une rotation réelle et cyclonique de la tache, car une telle rotation n’a été que très rarement observée 0). Ce mouvement n’est d’ailleurs n) Youne: the Sun p. 126. o) Sreccur: le Soleil I p. 89. YounG: the Sun p. 126. Dawes: Mem. R. A.S. XXI p. 160. W, H. Birr: Monthly Not. XXI p. 144. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETL. 89 ordinairement nullement indiqué; car dans les différentes parties d’une même tache les spirales nous montrent le plus souvent un mouvement en sens opposé p). Mais, si ma théorie des taches est vraie, elles pourront montrer des spirales sans jamais avoir tourné. Car le mouvement centrifuge dans une tache, que la poussée d’en bas fait enfler, tendra à dévier en spirales dès qu’il atteindra des zones à vitesses angulaires différentes , où la matière présente refusera de plus en plus de reculer à mesure que ce mouvement centrifuge sera plus près de cesser. Si cette explication est juste on verra souvent aux côtés boréal et austral d’une même tache ces spirales courbées en sens opposés, on observera ces spirales surtout dans les taches, qui formées très lentement, auront été peu troublées par des pressions latérales, dues à des taches voisines, et on les verra surtout dans les taches venant de s’agrandir ou étant sur le point de disparaître g). Car si les nuages dispersés par la vapeur qui s'élève au centre d’une tache naissante peuvent filer en spirales, ils pourront revenir en spirales aussi lorsqu’au centre de la tache la vapeur recondensée aura produit un vide, que la matière pho- tosphérique viendra combler de toutes parts. Mais tandisque les différences en vitesse angulaire, qui ne causent accidentellement que l'apparence cyclonique de 2 à 3 °/, des taches n’ont rien de bien important, il n'en est pas de même d’autres différences en vitesse angulaire, qu'il me reste à étudier et qui sont au contraire, comme je tächerai de le démontrer, pour la théorie du soleil en général et des taches en particulier du plus grand intérêt. Il est évident en effet, que si les nuages photos- phériques ont une rotation, qui diffère complètement de celle du corps principal et gazeux du soleil, cette différence ne se manifes- tera pas seulement, comme nous l'avons vu plus haut, à leur niveau le plus relevé où s’enflent les facules et où crèvent les taches, mais tout aussi bien à leur niveau le plus profond, où la vapeur, qui en haut soulève les facules et fait crever les taches, résulte de leur évaporation. Or il n’est nullement probable, comme je l’ai tacitement supposé Jusqu'ici 7), que la vitesse angulaire du corps principal et gazeux du soleil soit indépendante de la distance du centre. Car l'hypo- p) Youne: the Sun p. 125. „Very often, in spots of considerable extent, there are opposite spiral movements in different portions of the umbra; indeed, this is rather the rule than the exception”. a) Srccur: le Soleil I p. 88 „En réalité on n’observe ces tourbillons qu'à l'époque de la formation; ils se présentent souvent dans les moments de recrudescence et lorsqu'une tache est sur le point de disparaître”, ») Voir plus haut p. 72, 90 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME thèse est beaucoup plus probable que cette vitesse angulaire aug- mente avec la profondeur. Cette hypothèse nous est suggérée en effet par l'explication immédiate, qu’elle donne au mouvement accéléré des taches, que nous avons vu démontré dans le § précédent et elle ne répond pas mal non plus, comme nous le verrons plus loin, à des idées assez plausibles quant à la cosmogonie du soleil. C’est en tout cas cette hypothèse, que j’adopterai dans les consi- dérations, qui vont suivre. Il est clair d’abord que si dans la profondeur le gaz solaire tourne plus vite sur l’axe que les nuages, qui durant le minimum doivent s'y enfoncer, ce gaz donnera à ces nuages un surcroît de vitesse angulaire, qu’aura donc plus tard aussi la vapeur, que ces nuages produiront et qu’auront de même les facules et les taches, qui nous feront voir alors combien vite cette vapeur se meut encore à sa plus grande élévation. Les nuages photosphériques au dessus desquels ces facules et ces taches apparaissent auront une moindre vitesse 1° parce qu’ils auront toujours été produits à un niveau moins profond et 2° parce qu'une accélération éventuelle y aura tou- jours été enrayée plus longtemps par le mouvement plus lent de la masse principale et gazeuse du soleil. Telle me paraît être l’explication de l'accélération des taches par rapport aux nuages photosphériques. Cette accélération est due par conséquent à la vitesse angulaire plus grande dans la poussée d’en bas. Et comme cette poussée est nécessaire, non seulement pour former les taches, mais tout aussi bien pour les faire durer, toute tache marchera toujours plus vite que les nuages, qui l’environnent, et qui sans cesse tendront par conséquent à la ralentir. Cette accélération des taches (et des facules, qui les précèdent en temps et en lieu) sera donc surtout grande tant que les taches se forment ou s’agrandissent; elle diminuera généralement avec leur àge et dans les taches réunies en groupes elle sera nécessairement plus grande que dans les taches solitaires. Toutes ces prévisions évidentes de ma théorie ont déjà été longuement étudiées à propos de mes Tableaux I, II et V, où nous avons vu tous ces effets de la résistance des nuages plus lents clairement vérifiés. Mais il y a encore beaucoup d’autres phénomènes de premier ordre, que ma théorie de l'accélération de la poussée d’en bas explique directement. ‘lel est par exemple le phénomène, que Warren DE LA Run a déjà remarqué, que M. Corprr a observé de même en 1895 et que M"°. Maunper vient d'étudier minutieuse- ment de nouveau sur les taches, qui de 1889 à 1901 ont été photographiées à Greenwich, Ces trois observateurs ont constaté, DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 91 que dans la moitié orientale du disque solaire les taches sont généralement plus grandes et plus nombreuses, s’éteignent moins souvent et naissent davantage que dans la moitié occidentale s). Or ma théorie fait voir qu'il serait impossible qu’il en fût autre- ment. Car si les taches résultent de la rupture de bulles photo- sphériques lorsque la poussée de la vapeur, qui a formé ces bulles de nuages photosphériques plus lents, continue ?), cette vapeur à vitesse angulaire accélérée percera ces bulles relevées, non pas dans leur centre, mais du côté occidental marchant au devant, de sorte que chaque tache aura toujours par derrière un relèvement photosphérique non crevé, qui ne pourra nous intercepter la vue des taches que dans la moitié occidentale du disque solaire, où nous verrons done toujours les taches plus petites et moins nombreuses qu’elles ne sont en réalité. Dans la moitié orientale au contraire les taches se montreront toujours avec leur grandeur et leur fréquence réelles : car là le relèvement photosphérique, qui les suit par derrière, ne pourra jamais les nous éclipser «). Cette inégalité des deux moitiés solaires, bien loin d'être mysté- rieuse et de suggérer même quelque influence occulte de notre petite terre sur les phénomènes grandioses à la surface du soleil ») est par conséquent très facile à comprendre et elle donne donc à mon idée que les taches résultent de la rupture de bosses photo- sphériques une belle confirmation. Les photographies obtenues à Kew par MM. Warren DE LA RUE, s) Henry Corver: Journ. Brit. Astr. Assoc. VI 1895 p. 27. Growth and Decay of Sunspots: „L have just looked through Miss Brown’s reports for 1891—2 and can only find a very few isolated cases of increase near the west limb.... and also note the great many instances of rapid growth soon after coming into view on the eastern side”. Mrs. Maunper: Ibid. Report of Meeting of the Ass. held on May 29, 1907. Account of her paper on ,An apparent Influence of the Earth on the Number and Areas of Sun-spots in the Cycle 1889—1901” presented recently at a meeting of the R. A. S. ,947 spot- groups came into view from the invisible hemisphere at the east limb, and only 777 went at the west limb back into the invisible hemisphere. Similarly , when she investi- gated the birth rate on the visible hemisphere, she found it declined from the east to the west in a marked degree and the death rate rose just as distinctly. t) Voir plus haut page 46 et aussi la note i suivante. u) J'ai déjà proposé cette même explication dans ma Théorie de 1892, où a la page 119 je me suis exprimé ainsi: „Le fait découvert par Warren pe LA RUE qu’en général les taches, que nous montre le côté oriental du disque solaire semblent plus grandes que celles qui apparaissent du côté opposé, ne trouve-t-il pas dans le rehaussement du côté oriental du bord de la tache une explication bien simple?” Il est clair d’ailleurs que les protubérances qui surgissent dans le voisinage des taches présenteront plus ou moins le même phénomène, mais que les protubérances sans tache ne le présenteront pas. C'est ce qu'a constaté Mme, Maunper en effet en étudiant les protubérances, qui de 1892 a 1905 ont été observées à Catania (Mrs. Maunper: loc. cit. p. 333). v) Corver: loc. cit. p. 27. Mrs. MAuNper: loc. cit. p. 333, 92 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Bazrour Srmwart et Lonwy ont fait ressortir d’ailleurs ce déve- loppement plus grand des facules du côté postérieur de la tache où leur renflement relevé forme un bourrelet w). Ces mêmes obser- vateurs ont découvert aussi que la matière faculaire relevée et amassée à la suite des taches v forme quelquefois de véritables queues. Sur 1137 taches photographées, 584 présentaient une queue faculaire dans la partie postérieure et 45 seulement une espèce de queue dans la partie antérieure +). Mais revenons maintenant aux mouvements propres des taches. Si une tache est en train de se former au milieu d’un groupe de taches, l’augmentation de volume alors nécessairement produite dans ce milieu par Vintrusion de la vapeur, qui s’y élève, doit disperser les taches déjà existantes. Le groupe en tournant sur l’axe solaire doit nous montrer en ces moments les taches, qui vont au devant, plus accélérées et celles qui vont à l’arrière plus paresseuses que de coutume. Or voilà justement ce que SPOERER a souvent observé y). w) Batrour Stewart: Proc. of the R. Soc. Vol. XIII p. 168. Puruips: Proc. of the R.S. Vol. XIV p. 47: „In a recent communication M. Barrour Srewart remarks that in the photographs of the sun taken at Kew, it appears to be a nearly universal law that the faculae belonging to a spot appear on the left of the spot, the motion due to the suns motion of rotation being across the picture from left to right. I find that my sketches support this view to the extent that the faculae which follow a spot appear in several cases more prominent than in others. Seccur: le Soleil I p. 165:.... ,3° la disposition des facules, qui sont plus vives et plus étroites à la partie antérieure des taches, tandis qu'elles sont plus nombreuses, plus larges mais plus pales à la partie postérieure qui présente elle-même sur son contour un renflement que M. pe La Rug appelle un bourrelet”’. æ) De LA Rue, Barr. Srewarr and Loewy: Proc. of the R. Soc. XIV p. 39 Resear- ches on Solar physics. Le développement plus grand des facules du côté postérieur des taches a déjà été décrit par Cur. Scurmer dans Ja Rosa Ursina comme un fait impor- tant. Voici comment la description de ScuriNer est vendue par le P. ScurerBer (loc. cit. p. 47): ,Die Fackeln haben die Tendenz, sich mehr gegen den Ostrand als gegen den Westrand aus zu breiten. Weshalb auch jene Fackeln, welche in der Nähe der Flecken entstehen, diesen meistens nachfolgen (Rosa Urs. p. 192, 248, 260, 268, 292). Im Ganzen verbreitet sich überhaupt die Lichtmasse der Fackeln ‘mehr gegen Osten als gegen Westen (p. 192)”. Je ferai remarquer ici en passant que le développement plus grand des facules du côté postérieur des taches, où elles forment même souvent des queues faculaires, ne me paraît guère compatible avec l'idée généralement acceptée depuis les recherches de M. Srraronorr, que les facules marcheraient plus vite que les taches. (CLERKE: Probl. p. 146. Arruentus Lehrb. d. kosm. Phys. p. 124. STRATONOFF: Astr. Nachr. N°. 3275, 3344). Cette marche plus vite ne me semble possible que dans les facules qui vont au devant des taches. Elle est impossible dans les facules qui restent en arrière. y) Sporrer: loc. cit. p. 422 , Uebergrosse Rotationswinkel kommen vor an der West- grenze der Gruppen und bei neu entstandenen Flecken. In ostlichen Theile einer Gruppe kommen niemals übergrosse Rotationswinkel vor. Man findet daselbst Verkleinerung der Rotationswinkel, aber selten mit bedeutenden Betrage”. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, HIG, OB Mais ces vitesses angulaires ne peuvent durer qu'un temps bien court. Ils n'ont lieu que durant la formation des taches 2). Il est clair d’ailleurs, que la dispersion décrite des taches ne sera pas seulement remarquée dans la direction de leurs longitudes, mais tout aussi bien dans celle de leurs latitudes. De là probable- ment tous ces changements de direction soudains, que montre souvent, d’après M. Mauxper a), l'itinéraire des taches sur la surface du soleil. De là peut-être aussi la légère tendance des tachès à se rapprocher des pôles ou de l'équateur selon que leur latitude est ou plus grande ou plus petite que celle des zones entre 10 et 15°, où les taches se développent le plus fortement 5). Tandis que les phénomènes, que nous avons considérés dans les deux alinéas précédents, résultent d’après ma théorie du gonflement des bulles, qui produisent les taches, ce gonflement me semble expliquer aussi, pourquoi deux taches très rapprochées se repoussent si souvent c). Car si ces taches, qu’un mince rempart de matière condensée sépare, sont des bulles de vapeur en train de se gonfler, leur gonflement simultané doit être entravé sur la ligne, qui relie leurs centres et réussira surtout là où dans le prolongement de cette ligne la distance des parois des deux bulles est aussi grande que possible. Or, comme les deux bulles en grossissant doivent s'éloigner de la sorte, leurs orifices, que nous voyons comme des taches, doivent nous montrer le même éloignement. Cet éloignement n’aura lieu d’ailleurs que tant que les taches grossi- ront d). En cessant de s’agrandir, elles tendront plutôt à se réunir pour z) Sporrer: loc. cit. p. 424, 425. Astron. Nachr. N°. 2936 p. 122. a) MaAunper: Knowledge Sept 1, 1894. The wanderings of a sunspot. A la page 200 M. Maunper donne un dessin où tous ces changements soudains en longitude et en latitude sont représentés. 6) CARRINGrTON: Obs. of the Spots of the Sun, made at Redhill. Seconr: le Soleil I p. 121 etc. Cur. Scuemner: Rosa ursina, Cursus non paralleli p. 200, 330, 264 etc. Sporrer: Sonnenfleckenbeobachtungen loc. cit. p. 418. „Die Vereinigung beider Halb- kugeln bestätigt für 31 Jahre die bekannte Breiteänderung, nämlich in den Aequatorial- zonen bis 10° Breite, Annäherung an den Aequator, dann von 10° bis 15°-geringe Annäherung zum Pole, ueber 15° zunehmende Bewegung nach dem Pole. Dieses Resul- tat bezeichnet indessen nur den Ueberschuss, welchen eine der beiden Richtungen ueber die andere erlangt.... Beide Richtungen kommen in alle Zonen vor”. ce) Youna: the Sun p. 119. Cur. Scuerner: Rosa ursina p. 188, 252, 286. P. Scurerper loc. cit. p. 45. „Die Flecken sind bei ihrer Entstehung (Srnemer spricht eben von benachbarten Flecken) einander immer niiher und erst dann entfernen sie sich von ein- ander”. d) P. J. Senreier: loc. cit. p. 45. „Ja auch die später als neu entdeckte Thatsache, dass dieses Auseinander schieben zweier Flecke hauptsächlich bei Neubildung stattfinde, sowie dass der vorangehende der beiden Flecken gröszere Rotationsgeschwindigkeit zeigt als der Nachfolgende, war für SCHEINER nichts Neues”. 94 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME former ainsi des taches plus grandes e) et, lorsqu'elles seront dans leur déclin, le vide, qu'elles produiront, causera même une action aspirante sur les taches dans leur voisinage. „Ce qui prouve bien, dit Sroem f), ce pouvoir d'attraction exercé par les taches, c’est l'absorption des petites par les grandes. Elles se rapprochent peu à peu de la cavité principale dans laquelle on les voit bientôt disparaître y)” L'influence, que toute tache exerce sur quelque tache voisine peut done être diamétralement opposée. En tout cas cependant on verra les taches se déformer ou se déplacer lorsque dans leur voisinage une autre tache se produit ou change de contour 4). L'histoire des taches a encore quelques autres particularités, qui doi- vent résulter du mouvement accéléré de la vapeur dans la poussée d'en bas. Car ce mouvement accéléré fait prévoir, que toutes les fois qu'en montant, le sommet de cette vapeur produira successivement toute une série de taches, les taches nouvelles à mouvement accé- léré se formeront de préférence du côté antérieur de la série. Les taches à la suite et leurs facules ne participeront guère à ce mou- vement accéléré et on les verra même souvent rejetées en arrière, comme je l’ai déjà expliqué dans un alinéa précédent. Si par con- séquent dans un groupe de taches une série de taches bien petites forme quelquefois une espèce de queue, qu'on trouve ordinairement du côté postérieur d’une tache marchant au devant, et si en général les taches du côté postérieur d’un groupe sont plus lentes, plus anciennes et partant plus caduques que celles du côté antérieur, ces particularités, que Cur. ScHEINER a déjà remarquées 7) et que Seccut et Sporrer ont si bien décrites) répondent très bien aux prévisions de ma théorie. e) Cur. Scneiner: Rosa Ursina „Man stelle sich nur Wasserblasen vor, die sich zu einer grösseren vereinigen” (P. J. Scurerper loc. cit. p. 40). Combien cette idée de Scueiner répond elle bien ici à ma théorie des taches! f) Secour: le Soleil I p. 87. yg) Cwacornac: Bull. des Obs. faites à Ville Urbanne. Groupe des taches solaires 6 Mars 1865. Lockyer: Contrib. to Solar Physics p. 70. Maunper: Journ. of the Brit. Astr. Assoc. XVII (1906) p. 129: „The leader spot of an ordinary stream, during the early history of the group, would move forward from the rest of the group with a average speed of 8000 miles a day, swinging backwards again towards its original position as the group declined”. h) Srcour: le Soleil I p. 142. i) Cur. SoneiNer: Rosa ursina p. 516. J. Scurerper: loc. cit. p. 38. Cur. SCHEINER fait remarquer aussi que très souvent l'ombre des taches n'est pas centrale, parce qu'elle les devance dans la direction de l’ouest. „Der Kern strebte und drängte immer mehr gegen West, was bei grösseren Flecken vorzukommen pflegt” (Rosa ursina p. 260). j) Youne: the Sun p. 119. Seccut: le Soleil I p. 91. „Les taches possèdent souvent une espèce de queue composée de taches plus petites; ces appendices se trouvent ordi- pairement dans la partie postérieure de la tache” (fig. 45, p. 88). Sporrer: Sonnen- fleckenbeobachtungen loc. cit. p. 422 „der östliche Theil der Gruppe verschwindetleichter.” ii DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 95 Ayant fait voir en ce paragraphe combien Vhypothése de l’aug- mentation de la vitesse angulaire du soleil dans la profondeur est fertile en explications plausibles, il me reste à faire voir, que cette hypothèse n’a rien d'invraisemblable et qu'elle ne répond pas seu- lement aux faits nombreux et bien constatés, qu’elle sert à expliquer, mais aussi à des idées très plausibles quant à la cosmogonie du soleil. Tout le monde admet en effet que dans un passé lointain le soleil était beaucoup plus volumineux qu'aujourd'hui, qu'il conte- nait alors la matière, qui depuis a formé la terre et les planètes /) et qu'il tournait alors beaucoup plus lentement sur l’axe 7). Tout le monde admet aussi, que la contraction du soleil continue et que c'est à elle principalement qu'est due la conservation de la chaleur solaire 7). Or si le soleil étendu primitif a engendré la terre, les éléments les plus lourds de notre chimie terrestre faisaient donc autrefois partie des couches extérieures du soleil. Si ces couches à présent ne contiennent plus que des éléments légers, c’est parce que les éléments les plus lourds, qui y étaient mélangés autrefois, ont été attirés depuis plus fortement vers le centre. Les sphères égales, qui au commencement renfermaient chaque élément, se sont donc con- tractées d’autant plus, que ces éléments étaient plus lourds. Et c’est ainsi que de la contraction du soleil ont résulté 1° la strati- fication de ses éléments et 2° l’accélération de sa vitesse angulaire vers le centre. Car si la matière a l’intérieur du soleil contracté est venue de plus loin que celle a la surface, sa vitesse initiale lui aura donné une vitesse angulaire plus grande. Cette augmentation de la vitesse angulaire avec la profondeur me semble ainsi beaucoup mieux concevable que celle avec la hauteur que plus souvent on suppose et que l’on croit fondée sur les quatre arguments suivants: 1° sur la grande vitesse des facules x), 2° sur quelques observations de M. Jewerr, que je n'ai jamais vues publiées, mais qui, d’après une courte Note dans lAstro- physical Journal, citée très souvent, auraient prouvé, que les couches renversantes tourneraient d'autant plus vite qu'elles s’élèveraient davantage 0), 3° sur une hypothèse de M. Brrororsky, quant à la k) Inu. Kanr: Algem. Naturgesch. u. Theorie des Himmels, Zweites Theil, Erster Hauptst. (1755). Osrwarp’s Klassiker p. 15 etc. 1) Laprace: Expos. du Syst. du Monde T II p. 295 (1796). m) Hermnourz: Wechselwirkung d. Naturkräfte (1854). Homer Lane (1870). A. Rirrer (1882). Sir W. Tuomson (1887). Voir plus haut p. 22 et 25. n) Crerke: Probl. p. 146. Voir cependant la note « précédente. o) Astrophys. Journal IV p. 138. 96 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME nature de la couronne p) et 4° sur l'hypothèse de quelques savants, du Pere Braun par exemple, que la rotation du soleil aurait été causée par des collisions avec d’autres mondes stellaires g). Ces quatre arguments n’ont rien de bien convaincant et la vitesse ex- ceptionnellement grande des facules y figure même comme une anomalie inexplicable si lon y réfléchit que les couches renversantes, qui planent généralement encore plus haut que les facules tournent cependant plus lentement r). De telles anomalies ne se rencontrent pas, que je sache, dans mon explication de l'accélération des taches et des facules (voir la note æ précédente). Cette accélération donne au contraire à l’hypo- thèse de l’augmentation en vitesse angulaire avec la profondeur sa plus belle confirmation. Mais, si cette hypothèse est juste, elle aidera aussi peut-être à nous expliquer l’aplatissement des couches gazeuses solaires, qu’on a constaté maintes fois, et que la rotation trop lente des couches qu'on connaît, n'aurait jamais pu produire. Cet aplatissement, quelle qu'en ait été d’ailleurs la cause cosmogonique, n’est en tout cas nullement douteux. Car il a été souvent observé durant les éclipses s) et il répond parfaitement aussi à cette particularité, qui est capitale dans ma théorie du soleil ,,que dans les zones polaires ne se trou- vent jamais ces éruptions métalliques remarquables, qui sont fré- quentes dans les régions équatoriales’’ #). p) Beroporskv: Bull. de Acad. de St. Petersbourg VI N°. 3 p. 293. q) Braun: Ueber Kosmogonie p. 58—64 u. 176—-180. y) CrerKe: Probl. p. 147. s) Voir aux pages 33, 34 et 82 les notes a, b, cet f. Le renflement équatorial de l’atmos- phère solaire est accusé, d’après tous les observateurs, par le développement énorme que mon- trent souvent les rayons de la couronne au dessus de l'équateur (éclipses de 1867, 1878, 1889) et au dessus des zones royales, et que ces rayons ne montrent jamais aussi fort au dessus des zones polaires. Mais ces rayons variables n'étant que des accidents lumineux locaux (voir mes notes ¢ à la page 20 et h à la page 84), ne nous donnent pas l’image de l’atmosphère entière, que spectralement le coronium nous fait voir plus complètement la aussi, où entre les rayons brillants on ne voit à l'oeil nu rien du tout. (Youna: the Sun p. 258 et 262. Am. Journ. of Sc. Vol. 48 2d Series p. 377. ABNEY et SCHUSTER: Phil. Trans. 175 (1884). Harkness (1869) Washington Obs. App. II p. 60). On aurait donc tort de croire que lorsque la couronne nous montre la forme d’une étoile à quatre rayons l'atmosphère solaire elle-même aurait alors aussi une forme aussi bizarre. t) Srccur: le Soleil IL p. 220. Voir aussi la note g à la fin de mon 10me paragraphe. Ma théorie prévoit aussi que dans le renflement équatorial des couches renversantes il y aura aussi des vapeurs, qui moins abondantes aux pôles, donneront à l'équateur et aux pôles deux spectres un peu différents. En comparant ces deux spectres (que d’après les idées courantes les éruptions métalliques fréquentes dans les zones équatoriales devraient déjà rendre différents aussi) on leur trouvera peut-être quelques inégalités. Mais si ces inégalités ne sauraient être trouvées, cela ne devra pas trop nous surprendre. Car 1° il s’en faut de beaucoup que nous sachions suffisamment comment les raies d'absorption DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 97 Or si cet aplatissement des couches gazeuses existe et si par conséquent la profondeur où un même élément sera également représenté est aux pôles plus grande qu'à l'équateur, un tel apla- tissement aura dû jouer un rôle cosmogonique important dans la formation de la photosphère et il expliquera ainsi peut-être la loi de la rotation des zones photosphériques. C’est ce qu'avant de ter- miner ici ma théorie du soleil je tâcherai de démontrer dans le paragraphe suivant. $ 12. Le déplacement séculaire de la photosphère comme lieu géométrique expliquant la rotation particulière des zones photosphé- riques solaires et l'évolution des différents types spectraur stellaires. Dans ce paragraphe nous considèrerons la photosphère non seule- ment comme le manchon nuageux vibrant, que nous avons étudié jusqu'à présent, mais surtout aussi comme le lieu géométrique des points où en vertu de la température diminuant du centre vers la surface, la condensation des nuages photosphériques commence à être possible. Ce lieu géométrique n’est pas aplati comme les couches gazeuses qu’il traverse, mais il est plus ou moins sphérique, parce que dans les couches extérieures du soleil la température est déterminée surtout par la distance du centre excessivement réchauffé. Si c'est done d’une couche aplatie de la vapeur photosphérique, tournant sur l’axe du soleil, qu'une photosphère sphérique de nuages a été formée, ces nuages ne tourneront pas sur l’axe tout d’une pièce, mais avec des vitesses angulaires différentes qui augmenteront des pôles vers l'équateur. Il est clair en effet, qu’ après se forment et comment leur épaisseur dépend a. de l'intensité de la source lumineuse (voir la note æ suivante) et b. de l'épaisseur de la couche absorbante (Jurius: Astroph. Journ. March 1907 p. 95—115) et 2° nous savons bien avec certitude que les épaisseurs trés différentes des vapeurs chromosphériques, à travers lesquelles nous voyons la photosphere au centre du disque et à son bord, ne changent rien aux raies (Fornes, MATTHIESSEN, Janssen: C. R. 25 et 64. Brewster a. Grapstone: Phil. Tr. 1860. Deraunay: Ann. 1869), mais que les moindres différences dans l’état hygrométrique de notre propre atmosphèe causent aussitôt dans le spectre des rayons solaires affaiblis, tels qu'ils arrivent jusqu’à nous, un changement notable dans l'épaisseur des raies telluriques d'absorption (Brewster: Phil. Mag. 1838 (3-) 8 p. 384. Janssen: Compt. Rend, 1866. Piazzi Smyru: Roscoe, Spectr. analyse 1890 p. 170) et puis 3° nous avons encore les recherches récentes de M.M. Hare et Wartner Apams (Astroph. Journ. March 1907 p. 91) qui ont fait voir que la lumière solaire qui est réfléchie dans notre propre atmosphère et probablement aussi dans l'atmosphère solaire (ou qui en vertu de troubles atmosphériques arrive dans le spectroscope d’endroits photosphériques adjacents pas directement fixés) doit tendre aussi à amoindrir toute différence éventuelle de spectre en différents points du disque solaire. (Voir aussi sur ce sujet H. F. Newari: Monthly Not. Jan. 1907 p. 162; Observations on the Nature and Amount of Sky-glare). Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) DI. IX. n°. 6. Eri 98 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME être entré dans la couche aplatie de la vapeur photosphérique, notre lieu géometrique sphérique n’y rencontra aux pôles que peu de nuages condensés dans un voisinage relativement pauvre en vapeur, tandis qu'à son équateur au contraire il dit se charger des nuages puissants, que la vapeur abondante du renflement équatorial avait produits jusqu'au loin. Or, comme ces nuages puissants équatoriaux avaient dû descendre d’une hauteur beaucoup plus grande que les nuages clair-semés des régions polaires, ils devaient donc tourner sur l’axe beaucoup plus vite aussi w). Si tel me parait ètre le commencement d’une explication du pourquoi” de la loi de rotation des zones photosphériques, cette explication ne répond pas mal aux idées vaguement acceptées quant au ,comment’’ de la rotation du soleil. Elle y répond même beau- coup mieux qu'à ma propre idée, que j’ai exposée dans le Tableau V de la page 74. Car elle fait bien voir, que dans la photosphère les vitesses angulaires doivent diminuer lorsque la latitude augmente, mais elle ne donne aucune raison, pourquoi d’après mon idée, les zones photosphériques tourneraient plus lentement que le gaz solaire aux latitudes plus grandes que 123° et plus vite que ce gaz aux latitudes plus petites. Quoique cette dernière particularité, que j'ai postulée, soit bien loin d’être sûrement établie, comme je l'ai déjà fait remarquer dans mon 10™° paragraphe, elle me paraît cependant si bien expli- quer la répartition des taches, des facules et des protubérances, que je n’aimerais pas devoir m'en passer. Mais ce sacrifice n’est pour le moment nullement nécessaire. Car il n’est pas difficile de nous imaginer la cause, qui aura pu produire cette particularité. Cette cause réside dans une propriété de la photosphère, que nous n’avons pas encore considérée jusqu'ici et qui, indépendamment de l'explication hypothétique où nous la verrons ici maintenant pour la première fois à l'oeuvre, me paraît être en tout cas de la plus haute importance pour comprendre dans toutes les étoiles leurs types spectraux et leur évolution. La propriété de la photosphère, dont il s’agit ici, est son déplace- ment continu à travers les couches de l’astre. Nous savons déjà 4 4 que le lieu géométrique photosphérique est loin d’étre immobile, u) Le calcul prouve que pour pouvoir produire la diminution de vitesse angulaire que les zones photosphériques nous font observer, la couche de vapeur photosphérique originelle a dû avoir un aplatissement de */,. Cet aplatissement, à cause cosmogonique encore insuffisamment connue ne répond pas mal d’ailleurs à beaucoup d'observations du soleil éclipsé; et l'anneau coronal que M. Smackreron a photograpkié le 16 Avril 1893 au Brésil montre aussi un aplatissement pareil. (Lockyer: Phil. Trans. 185 A p. 716 fig. 1 1474 K. ring). DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 99 car c'est son mouvement vibrant, qui cause, comme je lai expliqué plus haut la périodicité des phénomènes solaires. Mais ce mouvement vibrant n'est qu’insignifiant si nous le comparons avec le déplace- ment, que la photosphère pourra montrer dans le cours des siècles. \ Car il n’est nullement nécessaire, qu'après avoir accompli sa vibration undécennale, la photosphère remonte chaque fois à la même couche, où elle planait au maximum précédent, Sa hauteur nouvelle pourra être aussi ou plus grande ou plus petite. Cela dépendra du change- XN ment éventuel de la chaleur à Vintérieur du soleil. Si le soleil en se contractant refroidit, son lieu géométrique photo- sphérique deviendra relativement plus petit; car en vertu de son poids la photosphère relativement lourde se contractera plus fortement que les couches gazeuses où elle plane et des couches, qu’à l’intérieur elle cachait autrefois, seront vues plus tard au dehors de sa sphère. C’est ainsi que les étoiles blanches du Type 1 de Srconr, où la température transcendante a produit des photosphères tellement élevées +), qu’elles ne font voir que surtout de l’hydrogène et de l’hélium au dehors, se changeront plus tard en des étoiles jaunes du Type 2. Car si ces étoiles blanches refroidissent leurs photosphères relevées immenses se contracteront plus fortement que leurs couches gazeuses stratifiées et les métaux, qu’elle couvrait autrefois et empêchait de manifester leurs raies spectrales, deviendront alors d'autant plus visibles que la photosphère descendra plus bas. v) L'étoile blanche Beta Centauri par ex., dont la masse est 85 fois plus grande que celle de notre soleil a une photosphère 342 fois plus grande (Crerke: Probl. p. 194). Les étoiles blanches ont généralement à masse égale une photosphère beaucoup plus lumineuse que les autres étoiles. C’est ainsi que Sirius par ex., 23 fvis plus massive que le soleil, a un éclat 21 fois plus grand. (Crerke: Probl. p. 199). Il est vrai qu'en vertu vraisemblablement de leur température transcendante Jes photosphères de ces étoiles ne sont pas voilées, comme celles de notre soleil et des étoiles jaunes et rouges par une nappe brumeuse obscurcissante. Mais cette absence d’un voile, qui dans notre soleil retient plus des deux tiers de sa lumière (Vocet: Monatsber. 1877 p. 104. Hasrinas: Amer. Journ. of Sc. XXI p. 41 1881) ne saurait expliquer à lui seul la supériorité de leur éclat. Cette supériorité pourra être attribuée aussi à une radiation plus forte à même étendue; mais il est en tout cas probable, que cette supériorité soit due surtout à la grandeur de leurs photosphères. L'étude des éclipses, que montrent les étoiles blanches a confirmé d’ailleurs, que leurs photosphères ont par rapport à leur masse des dimen- sions énormes. Algol par exemple a une masse plus de 2 fois moindre que celle de notre soleil, mais une photosphère 5 fois plus grande (Voeren u. SCHEINER: Sitz. Ber. Berlin 28 Nov. 1889). Pour 16 autres étoiles blanches du Type d’Algol, des photosphéres tout aussi volumineuses par rapport à leur masse ont été calculées par MM. H. N. Russerz et Arex. Roperts (Astroph. Journ. X p. 215 et 208). L’obscurité des compagnes obscures du type d’Algol n’est peut-être que tout à fait relative (Gore: Journ. of the Brit. Astr. Ass. XIV p. 203, 249). D'après moi, c'est surtout la simplicité du spectre du Type 1, qui démontre, que dans les étoiles blanches la photosphère est très grande par rapport au volume de leur corps gazeux. ENT 100 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Et c’est ainsi aussi que les étoiles jaunes du Type 2, comme ‘notre soleil par excemple, se changeront plus tard en étoiles du Type 3. La contraction de la photosphère continuera. Et on verra alors au dehors de la photosphère la matière, qu’elle cachait autre- fois au dedans et que conséquemment on ne pouvait voir alors que dans le spectre des taches. Il n’est donc nullement étonnant, que M.M. Harm et Apams aient trouvé que le spectre du Type 3 et celui des taches ont un grand nombre de raies en commun w). Mais si au contraire le Soleil en se contractant se réchauffe, comme Hezunorrz, LANE, Rirrer et Lord Kervin en ont fait voir la possibilité (voir ma note v à la page 23) et comme Sir RoBrerr Barr l’a populairement exposé aux pages 497—500 de son livre „the Story of the Heavens’’, la photosphère se contractera moins fortement que les couches gazeuses où elle plane. Car si ce réchauffe ment ne peut empêcher ces couches gazeuses de se rapprocher du centre, il doit bien en vertu de la volatilisation plus forte qu'il cause, empêcher la photosphère condensée de se rapprocher du centre tout autant. En ce cas le lieu géométrique photosphérique montera au travers des couches stratifiées et les couches renversantes deviendront invisibles à mesure que Ja photosphère montante les recouvrira. C’est ainsi que d’une étoile jaune du Type 2, solaire pourra résulter une étoile blanche du type 1. Tandis que par conséquent toutes les étoiles blanches doivent jaunir et rougir à la longue, il y aura probablement aussi des étoiles jaunes et rouges, qui à la longue blanchiront. Mais revenons maintenant à notre propre soleil. Nous ne savons pas avec quelque certitude si en ce moment il se refroidit ou se réchauffe; car nous ne savons pas si la matière comprimée à con- w) Hare and Apams: Contributions from the Solar Observatory N°. 8. Anams: Ibid. N°. 12. Hare, Apams and Gare: Astroph. Journ. XXIV Oct. 1906 p. 205. Harz and” Apams: Astroph. Journal March 1907. Voir aussi l'article „On the relation between stellar spectral types and the intensities of certain lines in the spectra” de M. SEBASTIAN ArgrecurT: Astroph. Journ. Dec. 1906 p. 333. , The principal result of the comparison is the very strong indication that the physical conditions in the stars as we pass from the F to the Mb type vary roughly in the same direction as from the sun to the sun- spots.” MM. Newarr, Cookson et Brrramy ont observé de même dans le spectre d’ z Orionis des bandes et des raies, qu’on retrouve aussi dans le spectre des taches (Monthly Not, 67 N°. 7). Si mon idée est juste, la grande simplicité du spectre des étoiles les plus chaudes n’est done pas due, comme M. Lockyer l’admet à la désintégration de leurs éléments ni, comme M. Vocer Vadmet, à l'impuissance des métaux à causer à la température de ces étoiles des raies d'absorption; mais bien au relèvement excessif de leur photosphère, qui cachera leurs éléments d'autant plus, qu’elle planera à une plus grande distance du centre (Lockyer: L'évolution inorganique étudiée par l'analyse spec- trale, Paris 1906 C. E. Guittaume: Revue générale des Sciences Oct. 1906. Vocet.: Astr. Nachr. N°. 2000. J. Scuriner: Spectralanalyse d. Gest. p. 260). DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 101 sistance de ,,poix ou de mastic’, qui forme son noyau, se com- porte, somme toute, comme un gaz. Mais dans le passé il doit y avoir eu un temps que le soleil en se contractant se réchauffait sans relache. Or si en ce temps reculé la matière photosphérique actuelle a été prise, comme je l’ai expliqué au commencement de ce paragraphe, à quelque couche aplatie de la masse gazeuse du soleil et a été transformée alors en une photosphère sphérique tournant sur l'axe à l'équateur beaucoup plus vite qu'aux pôles, cette photosphère a été déplacée depuis à travers les couches du soleil dans une direction centrifuge. Et comme ce déplacement centrifuge a dû causer un ralentissement de sa vitesse angulaire par rapport à celle des couches à contraction centripète qu’elle traversait, cette photosphère ne tourne plus maintenant, comme au commencement, tout partout plus vite que son enveloppe gazeuse. Si son ralentissement a été tel, qu’à la latitude de 121° elle tourne à présent avec la même vitesse angulaire que le gaz, qui la recouvre, elle tournera plus vite que ce gaz aux latitudes plus petites et plus lentement que ce gaz aux latitudes plus grandes et la photosphère tournera donc en somme comme le demandent les Tableaux V et VII de mon dixième paragraphe. DEUXIEME PARTIE. Le Mécanisme de la Périodicité dans les Etoiles rouges variables. $ 13. Périodicité des étoiles blanches et jaunes. En terminant ici pour le moment ma théorie du Soleil, je ferai remarquer tout d’abord que cette théorie doit être applicable aussi aux étoiles. De cette application, que j'ai déjà exposée en principe aux dernières pages, qui précèdent, j'espère faire l’objet d’un Mémoire spécial 2). Il y a cependant une classe d'étoiles, qui æ) Les colorations exceptionnelles bleues, vertes et violettes dans les étoiles doubles ont été étudiées dernièrement par l’auteur dans le Bulletin de la Soc. belge d’Astronomie du mois d'Octobre 1899, p. 373—380. Ces colorations ne s'observent pas seulement dans les couples physiques, mais tout aussi bien dans les couples optiques. Dans le beau „Catalogue des Etoiles doubles et multiples en mouvement relatif certain” qu'a publié M. FLawmarioN, on voit que sur chaque 100 compagnons certainement physiques il y en a 23 d’exceptionnellement colorés, tandis que sur 100 compagnons certainement optiques il y en a 19. Parmi ces compagnons optiques il y en a comme ceux de Cygne 2708 et de Pégase 2877, qui ont une couleur si magnifiquement bleue, qu'ils peuvent être classés parmi les compagnons les plus fortement colorés. Or comme ces compagnons optiques sont en réalité des étoiles isolées et, comme telles, tout aussi peu bleus que toutes les autres étoiles isolées de l’univers, leur coloration exceptionnelle ne peut naître que du hasard, qui les nous fait voir tout près d’une autre étoile, dont ils sont indépendants et peut-être infiniment éloignés. Cette autre étoile pourra bien Jes colorer plus ou moins par un effet de contraste, mais cependant ce n’est pas ainsi que leur coloration s'explique; car, tout comme dans les couples physiques, cette coloration est réelle et persiste par exemple lorsqu’avec un diaphragme placé dans la lunette nous cachons l’étoile principale. C’est ce dont M. Wrrr, quatre autres observateurs et l'auteur se sont assurés à l'Observatoire de la société ,Urania’” à Berlin en 1894 (loc. cit. p. 379). Mais si cette coloration des compagnons optiques est réelle, je ne vois qu’une explication, qui en soit possible. Cette explication la voici: L'étoile principale à couleur ordinaire sera plus rapprochée de nous et sera entourée jusqu'à une grande distance d'une matière absorbante capable de donner à toute étoile ordinaire, qu’on verra au travers d'elle une coloration exceptionnelle. Cette matière absorbante, dont la configuration, l'étendue et la puissance pourront différer ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME DE LA PÉRIODICITÉ, ETC. 108 répondent tellement bien à tout ce que ma théorie prévoit, qu'il serait dommage pour ma théorie du soleil de ne les pas étudier ici tout de suite. Ce sont les étoiles variables et notamment ces étoiles variables les plus nombreuses, qui sont rouges et ont des périodes longues et plus ou moins capricieuses comme Mira. Nous considèrerons brièvement en premier lieu la périodicité des étoiles blanches et jaunes. Cette périodicité est généralement d’une grandement d'une étoile à l'autre, sera peut-être comparable 1° à celle qui dans notre propre système cause la lumière zodiacale et forme aussi peut-être le fonds lumineux sur lequel on a vu quelquefois la partie non éclairée de Vénus et de Mercure se pro- jeter comme un disque noir (W. Norre: J. of the Brit. Astron. Ass. VI p. 77. R. Kivu: Ibid. p. 121. Leo Brenner: Ibid. p. 120 et 387); mais elle sera aussi concevable si nous songeons 2° à la vapeur qui résultera de chocs entre metéorites, 3° à des cométes nom- breuses, 4° à la masse interplanétaire demandée par LEVERRIER pour expliquer le mouve- ment de Mercure, 5° aux gaz légers qui doivent échapper des atmospheres planétaires (Jonnstone Sroney: Astroph. Journ. VII p. 25; XII p. 201), 6° aux électrons et aux particules qui, lancés par des corps radioactifs, par l'électricité et par les rayons lumineux, doivent remplir toujours plus ou moins l'entourage de chaque soleil et 7° à l’hypothèse du Newtonium de Menpereer, A. Scumipr, SCHAEBERLE et Courvorsier , qui considèrent l’éther comme un gaz matériel infiniment léger emplissant l’univers et formant tout à Yentour des astres des enveloppes interplanétaires condensées, dont le pouvoir réfractif expliquerait (a) la parallaxe quelquefois invraisemblablement petite ou même négative de plusieurs étoiles et (4) une certaine oscillation annuelle dans la hauteur du pôle, que les étoiles Tarcorr révèlent, et qui est indépendante de la longitude de l’observa- teur. (Mexpereer: Versuch einer chemischen Auffassung des Weltaethers, Deutsche Uebersetzung im Zeitschrift Prometheus XV 1904 p. 97, 121, 129, 145. A. Scawir: Beitrage zur Physik der freien Atmosphäre 2ter Band 1 Heft p. 18--29 (1906); Die Atmosphäre des Weltraums. ScnaEBERLE: Astron. Nachr. 3935. Courvorster: Astron. Nachr. N°. 3990 u. 3991) L’enveloppe réfractive que MM. Scumipr, SCHAEBERLE et Courvoisier postulent est celle aussi que mon explication demande. Lorsqu'en 1888 l'idée de cette enveloppe me vint pour la première fois, voici ce qu’à propos de son effet réfractif jen dis déjà alors à la page 25 de mon Essai d'une explication chimique des principaux phénomènes lumineux stellaires (Juillet 1888): „Dans l’étude du mouve- ment des deux astres, l'enveloppe de l’astre le vlus rapproché doit donner une nouvelle complication. Car cette enveloppe en altérant par absorption la couleur et la grandeur de l’astre plus éloigné, change aussi par réfraction sa position dans le ciel. Le déplace- ment ainsi causé changera avec les couches que la lumière traverse et dépendra par conséquent de Ja distance angulaire des deux étoiles”. Comme la matière peut avoir d’ailleurs une densité presque nulle (comme dans les comètes par exemple) et présenter néanmoins des effets lumineux grandioses, il n’est donc pas trop difficile de compendre que chaque soleil puisse être entouré d'une enveloppe étendue de matière absorbante, pouvant colorer les étoiles qu’on voit au travers d’elle. On objectera peut-être que cette enveloppe absorbante ne colorera pas seulement le compagnon mais tout aussi bien l'étoile principale elle-même, qui y rayonne au centre „Mais cette objection n'aurait que peu de valeur. Car la lumière du compagnon éloigné est en vertu de cet éloignement infini- - ment plus feible que celle de l'étoile principale rayonnante au centre de l'enveloppe elle-même. Et puisqu’une même matière doit produire une absorption d'autant plus notable que les rayons qui la traversent sont moins énergiques, il est donc évident que cette absorption affectera beaucoup plus le compagnon que l'étoile principale. C’est pour la même raison que dans sa classification bien connue des étoiles M. Vocer admet que . l'absorption métallique serait beaucoup plus forte dans les étoiles de ses classes II et 104 ESSAI DUNE EXPLICATION DU MÉCANISME régularité parfaite, parce que toutes les étoiles blanches et jaunes, qui sont périodiques, sont généralement aussi des couples spectroscopiques, qui font voir chaque fois un même phénomène lumineux lorsque leurs composantes après chaque révolution reviennent à un même point de leur orbite. Ce phénomène lumineux reproduit chaque fois avec la régularité d’une horloge est dû d’ailleurs à une des deux causes suivantes : Dans les étoiles blanches, comme Algol, U Cephei et Y Cygni III que dans les étoiles plus chaudes de sa classe I (Astron. Nachr. N°. 2000). Et c'est encore pour la même raison que dans le spectre solaire les raies d'absorption produites dans latmesphère solaire immense ne sont généralement pas plus fortes que les raies telluriques produites dans notre propre atmosphère minuscule (voir Ja note t précédente), ou même dans l'atmosphère encore infiniment plus petite, qui entoure chaque arc élec- trique dans nos laboratoires (Cierke: Probl. p. 50). N'oublions pas non plus que puisqu'il y a une enveloppe absorbante autour de chaque étoile, il y en aura donc toujours deux entre tout compagnon coloré et nous. Mon explication de la coloration exceptionelle des compagnons optiques étant maintenant terminée, elle expliquera aussi peut-être la cou- leur verdâtre et le spectre d’Uranus et de Neptune, qui nous font voir des rayons solaires ayant parcouru dans l’enveloppe interplanétaire de notre propre système un chemin beaucoup plus long que ceux qui nous arrivent des autres planètes. Mais en tout cas mon explication sera directement applicable aussi aux étoiles doubles physiques, où elle répond très bien aux observations spectrales. Car ces observations ont démontré, que ce qui rend bleu et petit en même temps, le compagnon de @ Cygni par exemple, ce n’est pas qu'il appartient au Type 1 à étoiles plus ou moins bleuâtres, mais c'est qu'il accuse une absorption exceptionnelle dans le jaune et l'orange. HuG&ins a. Minter: Phil. Trans. (1864) p. 431. Vocer: Bothkamp Beob. 1872 IT p. 28. Si ce compagnon était du Type 2 on le verrait bleu tout de même et c’est donc à tort qu'on suppose que tous les compagnons bleus ou verts seraient nécessairement du Type 1. Je sais bien que hormis le couple de @ Cygni, les couples de y Andromedae, de E Bootis, de z Herculis, d’Antares, de 95 Herculis et de y Delphini ont (ou ont eu) aussi des compagnons du Type 1; mais cela ne prouve aucunément que tous les 667 compagnons bleus ou verts par exemple que j'ai trouvés dans les „Mesures micrométriques d'étoiles doubles, faites à l'Observ. de Lund” publiées en 1876 par M. Duner, seraient tous aussi du Type 1 et cela ne prouve donc non plus, ce qu'on a cru en pouvoir conclure, que dans tout couple à couleur exceptionnelle l'étoile principale serait toujours plus refroidie que le compagnon plus petit (CLerke: Probl. p. 276). Cette conclusion m'a toujours semblée invraisemblable. Mais heureusement elle a perdu toute raison d’être, depuis que M. T. Lewis a prouvé que ces compagnons exceptionnellement colorés ne sont pas plus petits mais plus grands que l’étoile quasi principale (T. Lewis: Mem. R. Astr. Soc. 56 XXI 1906 Measures of Double Stars. Sir W. and Lady Huccins: Astroph. Journ. Jan. 1907 p. 66). Cet heureux résultat répond d'autant mieux à mon idée que l'absorption, qui d’après cette idée doit colorer l'étoile la plus éloignée doit aussi amoindrir son éclat en même temps. Les compagnons fortement colorés seront donc nécessairement très petits. Et c’est ainsi par exemple, que dans les 17 couples que M. Frammanion a distingués dans son Catalogue comme remarquables par Ja belle couleur du compagnon, celui-ci n’est en moyenne que de la 7.5me grandeur. Dans les couples spectroscopiques la coloration exceptionnelle fera défaut parce que dans ces couples serrés l’enveloppe absorbante de l'étoile rapprochée sera toujours tout près du compagnon incandescent plus éloigné et peu capable par conséquent, comme je l’ai expliqué plus haut, à produire une absorption notable. On pourra trouver nne ébauche de ma théorie des Novae et des Nébuleuses dans le Numéro de Décembre 1895 de , Knowledge” p. 278. sl DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 105 par exemple, cette cause est toujours une éclipse. Mais dans les étoiles jaunes, où, comme dans notre soleil, la photosphère est voilée par une mince nappe jaunissante et brumeuse, qui retient la plus grande partie de leur éclat y), il y a outre des éclipses éventuelles encore une autre cause tout aussi efficace, qui en cer- taines parties de leur orbite les fera changer d’éclat. Cette cause, que KzINKERFUES a déjà étudiée, est la déformation des photosphères de ces étoiles, lorsque dans une orbite très excentrique, leurs com- posantes, dont l’une est obscure peut-être, se rapprochent et s’éloig- nent du périastre. Si, comme dans le couple de Delta Cephei, les composantes sont au périastre même 3 fois plus proches qu’à Vapastre 2), ce rapprochement produira par un effet de marée a) un renflement photosphérique, qui en étirant et en déchirant le voile mince, mais très obscurcissant, qui entoure la photosphère complètement à l’apastre, brillera alors, comme une facule immense, avec un éclat plus grand que jamais. Mais cet éclat n’aura qu’une courte durée. Car à mesure qu'après le passage au périastre la distance des compa- santes augmentera de nouveau, le renflement lumineux diminuera de même et la photosphère, qui au périastre était partiellement débarrassée de son voile obscurcissant en sera complètement recou- verte de nouveau à l’apastre. Telle me paraît être l'explication du cas de Delta Cephei et de ses quarante congénères, qui toutes sont Jaunes et dont celles, qui y) „Prekerine finds that the intrinsic lustre of the sun exceeds its apparent lustre four and two third times, the disparity according to Vocrt is about two fold.... The darkening effect is produced in the immediate neighbourhood of the photosphere.... The assumption of a solar analogue to a London fog is certainly a daring expedient, yet none more satisfactory is at present available”. Crerke: Probl. p. 70—72. The Photos- phere and its dusky veil. Voir aussi plus haut la note d a la page 36. z) Beroporsky: Astron. Nachr. N°. 3257, 3338; Astroph. Journ. I p. 160, 263. a) Déjà en 1895 Mr. Eonie s’est demandé si le maximum de Delta Cephei ne serait pas un effet de marée. ,Might not tidal disturbances and bodily tides in the bright member excited upon its closes approach to the ruling dark body at and near periastron explain the stars rapid rise in brillancy and its periodic variability?” M. Eppre s’est borné à poser la question, mais il n'a fait aucune tentative d’expliquer comment la marée périastrique rehausserait l'éclat de l'étoile. (L. A. Eppie: Astroph. Journ. III p. 227). Cette tentative, pareille à la mienne, a été bien faite par KLINKERFUES et WicsinG. , WicsiNG bemerkt im Verfole seiner Untersuchungen über die Veränderlich- keit der Sterne unter der Krinkerrves’schen Annahme, dass die veränderlichen enge Doppelsterne sind, deren Atmosphären durch die gegenseitige Anziehung deformirt werden, dass die hierbei gewonnenen Resultate auch auf die neuen Sterne anwendbar sind... Es wird in diesem Falle zur Zeit des Periastrons die Oberfläche des mit einer stark absorbirenden Atmosphäre umgebenen Sternes zum Theil von letzterer freigelegt, so dass also zuniichst eine beträchtliche Aufhellung des continuirlichen Spectrums erfolgt”. (Wirsine: Astron. Nachr. Bd. 124 p. 121. Scnerner: Die Spectralanalyse der Gestirne p. 304). 106 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME ont été spectroscopiquement étudiées, ont révélé des orbites très allongées. L’amplitude du changement d’éclat ne sera pas néces- sairement constante. Car si la photosphère de ces étoiles vibre in- cessamment comme celle du soleil, cette vibration interférera avec la vibration périastrique, qu'elle pourra renforcer ou affaiblir. De la peut-être l’inconstance dans les changements d'éclat que R Trianguli, X Cygni, W Virginis et T Monocerotis par exemple ont fait ob- server. Il n’est pas surprenant d’ailleurs, que parmi les couples spectroscopiques il y en ait aussi un grand nombre, qui, quoique jaunes, comme Capella, Epsilon Librae , Chi Draconis et Eta Pegasi par exemple, ne sont pas variables. Car si ces couples ont des or- bites peu alongées ou très étendues, inclinées sur le rayon visuel, elles n’ont rien, qui puisse les faire changer d’éclat. L’explication, que je viens d’esquisser de la variabilité particulière des étoiles jaunes, avec leurs périodes courtes et régulières et avec leur changements continus, a le grand avantage de nous faire com- prendre tout de suite pourquoi une variabilité pareille n’a jamais été observée dans une étoile blanche. Car bien qu’au périastre les étoiles blanches ne se déformeront pas moins que les étoiles jaunes et produiront ainsi ces irrégularités, qu'on a souvent observées dans les éclipses du genre d’Algol 4), cette déformation, à défaut complet d'un voile à déchirer, ne changera jamais rien à léclat de l'étoile. Il est done clair, qu'à l'exception du cas de Beta Lyrae, où tout comme dans d’autres variables géminides, la grande proximité des composantes cause d'une manière continue des phénomènes exceptionnels, les étoiles blanches elles-mèmes ne sont jamais variables. Car s’il n'y a que des éclipses, qui les rendent périodiques, ces étoiles elles-mêmes ne changent jamais d'éclat. Mais il ne s'agit pas seulement de comprendre pourquoi les étoiles blanches ne montrent jamais la variabilité particulière des étoiles jaunes avec leur changement continu, nous voudrions savoir aussi pourquoi les étoiles jaunes ne montrent jamais les éclipses du genre d'Algol. Or voilà une particularité, qu’on a toujours con- sidérée comme incompréhensible (c), mais, qui me paraît cependant explicable de la manière suivante. Remarquons d’abord que les couples spectroscopiques jaunes ont généralement beaucoup moins de chance de nous faire voir des b) Ces irrégularités ont été observées par ex. dans les éclipses de S Cancri, Lambda Tauri, U Cephei, U Ophiuchi, R Arae, Y Bootis et W Delphini. (CLerke: Probl. 306—315). c) Algol variables, without any recognised exception, show first-type spectra. They are either Helium or Sirian stars. This specialty is unaccountable”.. CLerke: Probl. p. 316 DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 107 éclipses que les couples blancs. Car les couples jaunes, ayant géné- ralement des périodes de révolution beaucoup plus longues, sont beaucoup moins resserrés. C'est ainsi par exemple que les couples dont M"® Crerke a enregistré la période dans la Table IT à la fin de ses „Problems in Astrophysics” ont une période moyenne de 149 jours, s'ils sont jaunes, mais de 5 jours seulement s’ils sont blancs. Et c’est ainsi aussi que les couples jaunes du groupe de Delta Cephei ont une période moyenne de plus de 8 jours, tandis que dans les couples blancs du groupe d’Algol cette période moyenne est 2 fois plus courte. La couleur blanche des couples les plus ressérrés se conçoit d’ail- leurs plus ou moins. Car leur resserrement doit entraver leur refroi- dissement, ce qui les empéchera de jaunir. Or, comme des éclipses seront d'autant plus fréquentes que les couples seront plus resserrés, leur fréquence plus grande dans les couples blancs, qui générale- ment doivent être plus resserrés et ont des composantes plus volu- mineuses en outre, n'a rien de bien surprenant. (Voir la note v à la page 99). Si nous comprenons bien de la sorte qu’une étoile jaune ne saurait être que rarement éclipsée, cela ne prouve pas encore qu'une telle éclipse ne se présentera jamais. Mais une telle éclipse éven- tuelle ne ressemblera alors que bien peu au phénomène d’ Algol. Car ayaut lieu de préférence lorsque près du périastre d’une orbite allongée les composantes sont aussi rapprochées que possible, l’éclipse ne produira qu’un court obscurcissement secondaire en comparaison du grand changement d'éclat continu qu’alors la marée périastrique doit produire. Ne verrait-on pas l'effet de ces éclipses éventuelles dans les minima et maxima secondaires, que les courbes des étoiles jau- nes à courte période font observer quelquefois et qui ont parfois une durée tellement courte que dans W Gémeaux par exemple ils ont pu échapper aux observations de M. Lau, mais ont été clai- rement constatés par M. Lurzer (4)? Ce sont les mesures de la vitesse dans le rayon visuel, qui devront trancher cette question. Si ces mesures, contrairement à mon attente, viendraient con- firmer les résultats déjà obtenus par M.M. Bsrororsky et Wricutr quant au minimum secondaire d’Eta Aquilae (e) et si elles pou- vaient démontrer de même que les autres minima secondaires des d) H. E. Lau: Bull. de la Soc. Astr. de France Février 1906 p. 95. M. Lurzer: Ibid; Mai 1906 p. 227. e) Beroporsky: Astroph. Journ. I p. 160. VI p. 393. W. H. Wricnr: Astroph. Journ. IX p. 59. 108 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME étoiles jaunes périodiques ne répondent jamais à quelque éclipse possible, il faudrait en conclure que dans ces couples jaunes la grande distance des composantes est déjà une raison suffisante qui les empêche de nous faire voir des éclipses et leurs minima et maxima secondaires demanderaient alors une autre explication. Ces minima et maxima secondaires pourraient résulter peut-être de lébranlement de la photosphère, qui après son passage au périastre, où elle était déformée au plus haut degré, reprendrait sa forme normale non d’une manière continue, mais d’une manière vibrante après un premier retrait trop grand f). $ 14. Les éloiles rouges en général. La périodicité des étoiles jaunes a été mémorée ici en passant, parce qu'elle me semble donner à l'hypothèse déjà généralement adoptée d’ailleurs d’un mince voile brumeux obscurcissant et rs sant ces étoiles, une belle confirmation. Or si les étoiles blanches, qui sont les plus chaudes, n’ont pas un tel voile brumeux et si les étoiles jaunes, qui sont moins chaudes, en ont un qui très mince les obscurcit déjà et les colore, les étoiles rouges, qui sont moins chaudes encore, en auront un plus épais, qui les obscurcira et les colorera encore plus. C’est ce voile refroidi brumeux et épais qui rend les étoiles rouges variables. C’est ce qui me reste à expliquer dans ce Mémoire. Comme la variabilité des étoiles rouges, bien loin de présenter la régularité d’une horloge est généralement plus ou moins capri- cieuse, il est impossible de l’attribuer, comme celle des étoiles blanches et jaunes à une révolution orbitaire quelconque. Dans le cas de Mira la non-existence d’une telle révolution a été d’ailleurs f) La courbe onduleuse, qui d’après M. YENDELL représente le changement d'éclat de S Flèche, répondrait bien plus ou moins à cette idée de la photosphère défor- mée restaurant sa forme première en vibrant. (YENDperL: Pop. Astron. II p. 207. Cierke: Probl. p. 326 fig. 24. Col. B. E. Markwiok: Journ. of the Br. Astr. Ass. 1907 p. 210). Mais d’après M. H. E. Lau, dont la communication à la Soc. Astron. de France, à la page 92 du Bulletin de Février 1907, ne m'était pas encore connue lorsque jéerivis ce paragraphe, l'inflexion secondaire de la courbe de S Flèche (fig. 31) s'explique par le passage du satellite devant l'étoile principale. Les mesures spectro- graphique faites à l'Observatoire Lick montrent en effet, qu'à cette phase la vitesse radiale de l'étoile est nulle pour devenir ensuite négative” „la variation principale de S Flèche est due aux marées du satellite obscur”. La courbe de Jumière de l'étoile jaune S Flèche, si différente de celle d’Algol, nous fait donc voir tout de suite pourquoi, ainsi que je l’ai expliqué dans le Texte, il faut qu’une étoile éclipsée soit blanche pour pouvoir, nous montrer tout simplement le phénomène d’Algol. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 109 spectroscopiquement démontrée par M.M. CAmPBELL et STEBBINS g). Les étoiles rouges changent done d’éclat d’une manière spontanée. Et comme ce ne sont qu'elles qui présentent une variabilité pareille, cette variabilité doit résulter d’un mécanisme, qui dans toutes les autres étoiles fait défaut. C'est en cherchant à découvrir quel est ce mécanisme, que je suis arrivé à ma théorie du soleil (4) et à la conviction, que le même mécanisme, qui dans le soleil cause la périodicité des taches, cause aussi dans les étoiles rouges la péri- odicité de leur éclat. Or comme l’analogie de ces deux périodicités a déjà été très souvent démontrée 7) leur explication identique est cause que mes théories du soleil et des étoiles rouges variables se renforcent et se soutiennent mutuellement. Voilà pourquoi j'ai cru devoir terminer ce Mémoire par l'étude du phénomène de Mira. Pour faciliter cette étude nous considèrerons premièrement les étoiles rouges en général. Ce qui distingue surtout les étoiles rouges, c’est qu’en compa- raison des étoiles blanches et jaunes leur température est moins élevée. Cette température moins élevée se voit démontrée par quel- ques particularités de leur spectre: Citons 1° leurs bandes cannelées et leurs raies unilatéralement ombrées, qui indiquent que dans les atmosphères de ces étoiles la température a déja suffisamment baissé pour y rendre beaucoup plus évidente que dans les autres étoiles la présence de combinai- g) C’est à tort par conséquent que M. Paut Gurunick a tâché d'appliquer l'idée de KriNKkERFUES (voir la note a précédente) au phénomène de Mira (Nova acta. Abh. d. Kais. Leop. Carol. Deutschen Ak. d. Naturforscher Bd. 79: N°. 2 p. 258—261. 1901) Cawpperr: Astroph. Journ. IX Jan. 1899. J. Srespins: Astroph. Journ. XVIII Dec. 1903. The spectrum of Omicron Ceti p. 350—359. Dans un couple spectroscopique toute étoile rouge pourra fonctionner comme l'étoile jaune de Delta Cephei. Et c'est ainsi probablement que l'étoile U Sagittarii, bien que fortement orangée, change d'éclat avec la précision d'une horloge (CLerke: Probl. p. 325). Il n'est pas impossible d’ailleurs que quelques étoiles rouges soient éclipsées aussi à la manière d’Algol. C'est ainsi par exemple qu'à propos de l'étoile R Scuti, M. Markwicx nous informe, que M. Turner lui a écrit „that the irregularities in the light of this star might be due to two causes, combined: a) That which produces the ordinary variation observed in the so- called long period stars; and b) An eclipse of the Algol Type. This is, dit M. Marx- wick, the first occasion, so far as I am aware, when long period and Algol variation have been brought together (in theory), to account for certain apparently irregular fluctuations of light” (Col. B. E. Markwick: Journ. of the Brit. Astr. Ass. July 1907 Variable Star Section; Interim Report N°. 18 p. 386). h) Verklaring van de veranderlijkheid der roode sterren Mei 1888. Voir aussi la note à à la page 15 ici plus haut. i) Warcentin et Picorr ont déja pensé à cette analogie (R. Worr: Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur Bd. 4 p. 555). Worr: Neue Untersuchun- gen, Mitth. d. Naturf. Ges. 1852 p. 249. Gore; Proc. Royal Irish Ac. July 1884. Cierke: Probl. p. 362. Voir aussi les notes n, o et d aux pages 119 et 124. 110 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MECANISME sons chimiques, telles que par exemple des carbures d'hydrogène ou des oxydes métalliques, comme ceux du fer et du titane/). La forte absorption dans la raie bleue du calcium est aussi un indice d’un moindre réchauffement #). Citons 2° les raies spectrales brillantes, que ces étoiles nous font observer si souvent, qui sont même permanentes dans les étoiles du Type 4, et qui, bien loin d’être en désaccord avec une tem- pérature peu élevée, doivent en résulter au contraire, parce qu’on y voit la luminescence des procès chimiques que tout refroidisse- ment doit causer /). Il est fort bien possible d’ailleurs, que ce ne sont pas seulement des raies, mais tout aussi bien des bandes can- nelées que le spectre des étoiles rouges nous montre renversées et lumineuses dans les espaces, qui séparent les bandes obscures. Cette possibilité a été le point de départ de l'hypothèse météorique de M. Lockyer, qui vit dans le spectre des étoiles rouges du Type 3 de SrccHt les mêmes bandes lumineuses bleue et verte qu’on voit aussi dans le spectre des comètes m). KzeLer se vit aussi forcé d'admettre, que dans le spectre d’Alpha Herculis par exemple les intervalles, qui séparent les bandes obscures, sont toujours beaucoup plus lumineux que le reste du spectre continu et y indiquent réellement un surcroit d’¢mission 7). Dans sa classification bien connue des spectres stellaires M Maury parle toujours avec conviction des bandes lumineuses dans les spectres j) ZüLixer: Phot. Unters. p. 243. Axcsrrôm; Recherches sur le spectre solaire Upsala 1868. N. Locxyer: Phil. Trans. 1874 p. 492; the Meteoric Hypoth. 1890 p. 342—347. Vocer: Astr. Nachr. N°. 2000. Scuriner: die Spectralanal. d. Gestirne p. 306, 320. CLerke: Probl. p. 183, 210. Hate, Apams and Gare: Astroph. Journ. XXIV Oct. 1906 p. 205. k) Crew: Astroph. Journ. XXII 1905 p. 201. Hare, Apams and Gate: loc. cit. p. 205. 1) Voir plus haut p. 26—831. m) Lockyer: The meteoritic hypothesis p. 348 etc. „It suddenly flashed upon me (dit-il p. 349) that the 517 recorded by Duner in his observation of Alpha Orionis as the edge of a dark band, could be nothing but the edge of the brightest band of carbon, the bright cometary band par excellence; and therefore that these so called stars not only resemble comets in their absorption flutings, but in their radiation flu- tings as well (Dr. Copetanp arrived at the same conclusion in 1886 in the case of a new star in Orion (Monthly Not. 46 p. 112)”. „The dark band of Duner is a contrast band”. „In stars of Class III a carbon was first traced by the blue fluting and after- wards by the one at 517. In both cases these flutings, though recorded, were not recog- nised by previous observers. The difficulties of the stellar observations must always be borne in mind, It will also be abundantly clear that a bright fluting added to a conti- nuous spectrum may produce the idea of a bright line at the sharpest edge to one observer, while to another the same edge will appear to be preceded bij an absorption band”. n) Krerer: Astroph. Journ. VI p. 424. „It is impossible to avoid the conclusion that the edges of the zones bordering on the dark bands are bright — much brighter, that is, than the average continuous spectrum — and that they are due to a real predominance of emission at the regions of the spectrum in which they occur”. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 111 du type 30). Et M. Srpppins, qui a fait du spectre de Mira une étude approfondie, nous assure de même, qu'entre leurs bandes obscures les spectres de Mira et d’autres étoiles du type 3 de Seconi se montrent beaucoup plus lumineux que là où ces bandes font défaut p). Quant à l'identification de ces bandes lumineuses, qu'on a comparées, dit-il à celles du carbone dans l’are électrique, M. Srepsrys signale les deux coincidences suivantes: Si à la longueur d'onde 5165,9, où l’on voit commencer dans toutes les étoiles du Type 3 une bande obscure diminuant vers le rouge, c’est en réalité une bande lumineuse diminuant vers le violet, qui s'y fait observer, cette bande lumineuse est identique avec la 3° bande du carbone, qu'ont mesurée M. M. Kayser et Rune. Et c’est ainsi aussi que la 4™° bande du carbone à la longueur d'onde 4737,2 paraît cor- respondre avec une bande lumineuse dans le spectre d’Alpha Her- culis g). La superposition de bandes lumineuses pareilles expliquerait dans le spectre du type 3, pourquoi l'absorption s’y montre si sou- vent brusquement arrêtée du côté du violet 7). Quoique pour sim- plifier M. Sregixs ne parle généralement que de bandes obscures, il n’en pense pas moins toujours aux bandes lumineuses aussi; et c'est ainsi par exemple, qu'après avoir décrit, comment le spectre continu de Mira est affaibli durant le minimum surtout entre les longueurs d’onde 4300 et 5000, très prudemment il ajoute, que o) Axronia C. Maury: Annals of Harvard College Observatory. Spectra of bright stars, as a part of the Henry Draper Memorial (1897). Mile Maury parle de ces bandes lumineuses aux pages 38, 40, 42, 43 et 46 deson Mémoire. Voici par ex. ce qu’elle en „dit a propos de son groupe XV (Arcture). „The narrow bright bands 5436,8 to 5445,2 and 5156 to 5167, which in stars of the third type form the borders of absorption bands are clearly seen. These are faintly visible in the sun”. A propos de son groupe XVIII (Alpha Orionis) elle remarque: „The bright band 4556 to 4586 is stronger than the band 4470 tot 4525, but not so strong as the band 4614 to 4648.... They are all ‘bordered by distinct bright bands, having wave lengths 4750 to 4762, 4949 to 4954, 5156 to 5168 and 5437 to 5445 respectively”. p) Jorn “STEBBINS: Astroph. Journ. XVIII; The spectrum of o Ceri p. 357: „The prominent bands in the spectrum of Mira have been considered by some observers a a series of dark bands, with sharp edges towards the violet and shading off towards the red. Others think them to be bright flutings, like those of the arc spectrum of carbon. For convenience, they will be considered in this paper as dark absorption bands. On the plates of o Ceti and other third-type stars the bright portions of the banded spectrum are certainly brighter relative to the region above Hy, where there are no bands, than are the corresponding portions of the spectrum of a solar type star. However the dark portions are fainter than the same places in the solar type of spectrum”. q) Sregnins: loc. cit. p. 360. r) Lockyer: the Meteoritic Hypoth. p. 410. General Discussion of Duners Obser- vations. 1 112 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME ce changement d’intensité pourrait être attribué aussi à l’extinction de bandes lumineuses éventuelles s). Quant à moi je suis fermement convaincu, que M. LockYer a eu raison et que ces bandes lumineuses existent. Elles rattachent le Type 3 au Type 4 de Srcour. Si les bandes obscures du Type 4 résultent du renversement lumineux de bandes, qui sont plus ou moins lumineuses dans le Type 3, la parenté évidente de ces deux Types s'explique 7) et fait comprendre aussi, comment ces deux types se transformeront l’un dans l’autre. Car si dans les étoiles rouges du Type 3 des raies et des bandes hydrocarbonées chimique- ment luminescentes sont causées par la combinaison de leurs prin- cipes carboniques avec l'hydrogène toujours présent, il est clair que, lorsqu’à force de se combiner tout l'hydrogène libre aura été épuisé, ces luminescences devront cesser. Dans le spectre de ces étoiles on verra dès lors, que l’hydrogène libre y a complètement disparu et que l'absorption hydrocarbonée, qui y était masquée autrefois tant que la matière absorbante était luminescente en naissant, y produit distinctement maintenant ses bandes cannelées obscures. Or voilà justement ce que les étoiles du Type 4 nous font observer x). La transformation du Type 3 en Type 4 aura lieu d’ailleurs d’une manière soudaine et elle ne produira pas ces spectres intermédiaires s) SreBBiNs: loc. cit. p. 363. Dans les photographies 3 et 4 de la Planche XV nous voyons ces bandes lumineuses éventuelles ressortir clairement. On aurait tort d’ailleurs de s'attendre toujours à une coincidence parfaite des bandes d'émission stellaires avec celles de nos laboratoires ou avec celles des bandes d'absorption. Car dans les étoiles rouges les raies brillantes de l’hydrogène sont là pour nous convaincre, que dans ces étoiles il y a une cause pas encore reconnue, qui déplace souvent fortement les raies d'émission (SreBBins: loc. cit. p. 368). t) Le spectre de R Geminorum, étudié par Vocrr (Astron. Nachr. Bd. 84 p. 120) est très instructif sous ce rapport. ,VoGEL macht darauf aufmerksam, dass die Wasser- stoffinien und D, nicht hell erschienen, dass aber eine bemerkenswerthe Uebereinstim- mung der hellen Linien mit den dunklen der Classe III b herrsche. Eine solche Ueber- einstimmung ist auch thatsiichlich vorhanden und es würde aus derselben folgen, dass die Linien derjenigen Gase, also auch der Kohlenwasserstoffe, welche auf den Sternen des Typus IIIb die starke Absorption verursachen, hell auftreten, dass also eine Umkehr des Spectrums IIIb vorliegt”. (Scnriner: Die Spectralanalyse der Gestirne p. 329). Ce renversement bien constaté des raies et des bandes obscures du Type 4 ne paraît cependant guère probable à Mr. Scnriner. Car selon lui ce renversement deman- derait une température élevée, qui serait incompatible avec l'existence des carbures d'hydrogène. Mais cette incompatibilité n'existe pas du tout si nous admettons que ces carbures sont luminescents, comme ils le sont sans doute dans les comètes, où d’après M. Scnerer lui-même (loc. cit. p. 234 et 235) ces carbures sont lumineux à des tem- pératures très basses. . u) Srcent: Suggli spettri prismatici delle stelle fisse 1867 2me partie p. 9. VoGEL: Publ. d. Astroph. Obs. zu Potsdam IV 1er Theil. Duner: Sur les Etoiles à spectres de la troisième Classe 1884. Espin: Month]. Not. 58 p. 443 1898. Duxer: Astroph. Journ. IX p. 119. Have and Exrerman: Astroph. Journ. X p. 87. he LR DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 113 que Pechüle demandait v); car elle s’effectuera tout d’un coup lorsque l'hydrogène venant à manquer l’obscurité des bandes d’absorption cessera d'être masquée par leur luminescence w). L’absorption métallique est dans les types 3 et 4 tellement sem- blable que M. Scmeiner en a déduit que la différence des deux types est uniquement due aux combinaisons chimiques différentes que leurs atmospheres contiennent 2). La ressemblance spectrale des deux types est quelquefois frappante. En comparant par exemple les photographies, que M.M. Harre et ELLERMAN ont publiées des spectres de l'étoile 132 Schjellerup du type 4 et de Mu Geminorum du type 3, on voit tout de suite qu'en certaines parties de leurs spectres ces deux types sont quelquefois à peu près iden- tiques y). _Remarquons encore que, d’après les dernières recherches de M. Duxer et de MM. Hane et ELLERMAN, toutes les étoiles du Type 4 nous montrent toujours des raies spectrales brillantes 2). Tant il est vrai, qu'à mesure que dans les astres la température diminue, la luminescence y augmente Jusqu'à devenir un phéno- mène permanent. Mais les étoiles rouges ont encore d’autres parti- cularités spectrales, qui indiquent de même, que leur température est moindre que celle des étoiles blanches et jaunes. Citons 3° le grand nombre de raies, qu’elles ont en commun avec les taches solaires a). Or voila une particularité, qui d’après ma théorie démontre que les étoiles rouges sont moins chaudes que le soleil. Car si elles nous font voir au dessus de la photosphère la matière, qui dans le soleil y est encore cachée au dessous, cela prouve que leur lieu géométrique photosphérique s’est rapproché v) Pecniite: Expédition Danoise pour l’Observ. du Passage de Vénus 1882 p. 25 Lockyer: the Met. Hypothesis p. 346. w) Si les combinaisons, dont il s’agit ici, étaient endothermes, le rôle des types 3 et 4 dans leur transformation et leur parenté serait interverti. Cette interversion n’est cependant guère probable. Car apparemment les étoiles toujours peu lumineuses et très rouges du type 4 ne sont pas plus chaudes, mais plus froides que celles du type 3. x) J. Sonexer: Die Spectralanalyse der Gestirne p. 321. y) Harre: Astroph. Journ. IX p. 273. „These photographs (Plate V) serve to con- firm the common belief in the essential similarity of the two types of red stars. Lockyerr: Spectrosc. Compar. of Metals (1907) p. 22. Harre, ELLERMAN and Parknuurst: Decennial Public. of the Univ. of Chicago VIII p. 253 (1903). z) Duner: Astroph. Journ. IX p. 119. Hate and Errerman: Astroph. Journ. X p. 87. Seccur avait déjà entrevu ces raies brillantes dans le spectre des étoiles de son type 4. (Seccni: les Etoiles I p. 99). Ces raies brillantes ont été observées aussi par MM. Keerer et CawpBeLz (Astroph. Journ. X p. 110). a) Scuemer: Publ. d. Astroph. Obs. zu Potsdam 7 (1895) p. 332. HALE a. Apams: Astroph. Journ. XXIII (1906) p. 400. Apams: Astroph. Journ. XXIV p. 69. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (fe Sectie) Dl. IX. n°. 6, F8 114 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME du centre et que par conséquent, comme je Vai déjà expliqué plus haut, leur température a baissé 0). Quoique le refroidissement des étoiles, en vertu de la contrac- tion photosphérique qu’il cause, doive compliquer les spectres stel- laires lorsqu’à partir du type L le plus simple, les types 2, 3 et 4 s'en développent, ce même refroidissement produira aussi l’effet in- verse. Car en vertu de la condensation physique et chimique qu'il engendre il y aura aussi des substances, qui disparaitront. J’en prends à témoin l'hydrogène, qui avec ses raies fortement élargies abonde dans le type 1, a déjà beaucoup diminué dans le type 2, n’est plus que faiblement visible dans le type 3 c) et n'existe plus du tout dans le type 4. Les considérations, que je viens de développer quant à l’évolution des étoiles rouges, ne sont qu’ hypothétiques et erronées peut-être. Mais heureusement je n’en ai nullement besoin pour expliquer la périodicité de ces étoiles. Pour arriver à cette explication: Citons 4° l'extinction du violet et du bleu dans le spectre des étoiles rouges, extinction qui répond à leur couleur et à leur éclat généralement médiocre. Bien que cette extinction résulte de leur refroidissement, il est impossible cependant de lattribuer à un refroidissement tellement grand que leur photosphère n’en serait _ plus chauffée que jusqu’au rouge. L’abondance de la vapeur de fer et de titane dans leurs atmospheres nous empêche d’y admettre un refroidissement aussi grand. Ce qui rougit les étoiles rouges et les dépouille de la majeure partie de leur éclat; c'est ce qui, à un moindre degré, jaunit aussi le soleil et ses jaunes congénères, c’est une brume, qui, au dehors de la photosphère trouble l’atmosphère de ces étoiles. Cette brume est d'autant plus intense que la température est moins élevée. Dans les étoiles les plus chaudes du type Ll elle n'existe même pas, dans les étoiles moins chaudes du type 2 elle n’est encore que légère, mais dans les étoiles refroidies du type 3 et surtout dans celles plus refroidies encore du type 4, cette brume est un brouillard très épais d.) b) Voir plus haut p. 99 et 100. c) Il n'est même pas impossible, que dans le type 3 l'hydrogène ait déjà complè- tement disparu dans les couches très refroidies tout à fait extérieures. En ce cas on comprendrait facilement pourquoi, lorsque l'hydrogène, qui n’y existerait plus que dans les couches plus profondes, deviendrait lumineux, une de ses raies brillantes y serait toujours masquée, comme Mlle CLerke Vadmet, par l'absorption du calcium s’élevant plus haut. (CLerke: Probl. p. 226 et 350). Voir cependant l'objection de M. Srepsins (loc. cit. p. 315). d) Crerke: Probl. p. 215. „Their inconspicuousness probably arises, not from any DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 115 Or nous savons, que toute brume arréte les rayons bleus et violets, qui la traversent, et que par conséquent tout objet blanc, que nous voyons au travers d’elle, rougit et diminue d’éclat. C’est ce que nous fait voir aussi le soleil, chaque fois qu'à Vhorizon ses rayons ont à traverser une couche extraordinairement puissante de brume. Cette coloration en rouge ne dépend nullement d’ailleurs de la composition chimique de la brume, elle ne dépend que de la petitesse des particules condensées flottantes e). C’est ainsi par exemple que 1° la poussière volcanique de Krakatau nous a fait voir aussi une coloration rouge très forte et que 2° toute brume pourra perdre son effet rougissant lorsque ses particules deviennent trop grosses. En observant le soleil à travers un jet de vapeur s’échappant d’une soupape de sûreté ForBrs ne vit Je soleil tout rouge que tout près de la soupape, car plus loin, où les goutte- lettes d'eau condensée étaient plus grosses la coloration n’avait plus lieu f). En expérimentant avec le nuage bleu actinique du jodure d’allvle ‘TYNparrs a fait une observation analogue y). Nous savons aussi que c'est surtout la brume à l'horizon, qui rougit le soleil, car le plus souvent une brume plus haute ne le jaunit qu’à peine. J'ai rappelé ici ces observations, parce qu’elles semblent indiquer, comment il est possible, que capricieusement quelques étoiles rouges, comme S Herculis, T Ursae Majoris et Chi Cygni par exemple, se voient de temps en temps décolorées /). defi iency of intrinsic light-power, but from the overwhelming absorptive action of their atmospheric envelopes. Thus only a sn.all part of their original radiations attain to outer space; none of the shorter wave-lengths escape; the spectra are cut off short a little below the place of the blue calcium line. Intense visual redness is a consequence” Voir aussi loc. cit. p. 253. e) Cette coloration, expliquée mathématiquement par Crausius et Lord Rayteicu, a été étudiée expérimentalement par ABNEY, LANGLEY et Pertner (Arrnentus: Lehr- buch der Kosm. Physik, pag. 852—878) L’explication de Lord RayLeiGn est d'autant plus importante, qu’elle rend compte aussi de la cause principale de la couleur bleue du ciel. Les nuages bleus actiniques de TynpALL ont aussi beaucoup contribué à élucider ces colorations (TyNparr: Wärme als Art der Bewegung (1871) p. 647). f) Arruentus: loc. cit. p. 876. g) TyNparL: loc. cit. p. 664. h) Crerke: Probl. p. 253—255. Observations at Sir Curnpert Prex’s Observatory. A Vobservatoire de Harvard College on a photographié aussi le spectre de deux étoiles, qui, quoique blanches et non dépourvues de rayons bleus, appartenaient du reste au type 4. (CLerke: Probl. p. 221 et 258). La décoloration des étoiles rouges au maximum trouvera une autre explication plus loin. (p. 120.) F 8% 116 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME $ 15. Fonctionnement du mécanisme de la périodicité. Le voile rougissant eælérieur alternativement plus opaque et plus transparent, à mesure que, tout comme la photosphêre du soleil, il est tour a tour plus riche et plus pauvre en nuages. Si la couleur des étoiles rouges doit être attribuée à une nappe brumeuse, qui voile et obscurcit leur photosphère, la variabilité de ces étoiles s'explique aisément. Car si cette nappe est une masse considérable de vapeur saturée que la condensation n’a embrumée qu'à la surface, cette nappe relativement refroidie a absolument la même constitution physique que la nappe photosphérique incandes- cente du soleil et comme cette dernière, ainsi que je l’ai expliqué dans la Première Partie de ce Mémoire, est tantôt mince et riche en nuages et tantôt volumineuse et pauvre en nuages, il en sera de même de la nappe, qui nous occupe maintenant et sans que j'aie besoin de réitérer tous les détails de mon explication d’alors, nous pourrons donc admettre, que cette nappe sera elle aussi alternativement riche et pauvre en nuages. Mais comme ces nuages dans la nappe brumeuse, bien lom de fonctionner comme ceux qui dans la nappe photosphérique du soleil émettent la lumière de l’astre, fonctionnent au contraire comme un voile obscurcissant, leur changement intermittent en épaisseur aura un effet autrement grandiose. Car en donnant au voile qui obseurcit les étoiles une opacité intermittente, il causera périodi- quement le changement de leur éclati). Ce n’est par conséquent qu'un phénomène météorologique passager et insignifiant dans Vatmosphere des étoiles rouges variables, qui les fait changer souvent énormément en grandeur). La grande masse de l'étoile n’y prend i) CLerke: Probl. p. 253. „Long period variables are characteristically red, and redness in stars appears to be rarely a fixed or stable property. It might be compared to an external covering capable of alteration in opacity, or even of entire removal and connected in its effective action with complex more or less unse‘tled conditions’. Si j'en excepte ces ,unsettled conditions” mon explication jaraît très bien répondre à l'idée de Mile Crerke. Mais si cette explication est juste Mlle CLerke se trompe en raisonnant comme il suit (loc. cit. p. 151): ,,We learn that a spotted condition in the sun matches a phase of strong luminosity in the stars; and are hence led to infer that the sun radiates most powerfully when his dise is most maculated”. Ce raisonnement serait juste si la variabilité résultait d’un changement dans le rayonnement photosphérique; mais si elle résulte d’un changement dans l'opacité d’un voile extérieur, ce raisonne- ment manque d'à propos. Je ne crois pas d’ailleurs que les observations aient jamais fourni la moindre preuve que l'éclat du soleil serait au maximum plus grand qu’au minimum. Voir aussi ma note u à la page 129. j) Ce changement est énorme par exemple dans les étoiles Mira, Chi Cygni, U Orionis, R Hydrae, S Urs. Maj., T Urs. Maj., V Delphini, R Cygni, R Andromedae, R Coronae, | DE LA PERIODICITE. DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 117 pas la moindre part et sous son voile tour à tour plus opaque et plus transparent l'étoile brille invariablement comme toutes les étoiles fixes #). Appliquons maintenant cette idée à l'étude plus détaillée du phénomène de Mira/). Cette étude ressemblera complètement à celle, qui nous a déjà expliqué la périodicité des taches et pourra être élucidée par la même figure, qui, parce qu'on y voit les nuages en noir, s'adopte même encore mieux au cas de Mira. R Serpentis et R Cassiopeiae, qui varient toutes de plus de 7 grandeurs. Chi Cygni est au maximum 6500 fois plus lumineuse qu’au minimum. Elle varie de la 4me à Ja 14me grandeur. Le changement de V Delphini n’est certainement pas moins énorme. (Mrs. Freminc: Astron. Nachr. 3025. HarrwiG: Astron. Nachr. N°. 3211 et 3596). k) L'idée d’expliquer les changements d'éclat des étoiles rouges variables au moyen de nuages tour à tour plus épais et plus transparents et de comparer la couleur rouge de ces astres avec celle que prend notre soleil quand nous le voyons à l'horizon, est si plausible, qu'elle a déjà dû se présenter maintes fois. Elle a même si irrésistiblement séduit Birmincuam, cet observateur infatigable des étoiles rouges, que pour rendre compte du changement dans l'épaisseur des nuages il n’a pas reculé devant l'hypothèse exorbitante d’un anneau nuageux à renflement unilatéral, qui tournerait autour de l'étoile! (J. BirmiNncmAm: Trans. Roy. Irish Ac. XXVI 1876. The Red Stars, Observ. and Catalogue) Une hypothèse ressemblant beaucoup à celle avec laquelle ma théorie a débuté en 1888 (voir plus haut la note i à la page 15) a été proposée par M. Louse. Mais M. Louse ne fit aucune tentative pour appliquer son hypothèse à l'explication d’une périodicité quelconque. Il avait surtout en vue l'apparition soudaine des Novae. (Louse: Ber. d. Preuss. Acad. d. Wiss. Berlin Dec. 1877. Scurimer: Spectralanal. d. Gestirne p. 302). 1) C'est, Mira, qui nous a révélé le premier qu'il y a des étoiles variables. La pério- dicité de Mira a été découverte en 1596 par Davip Fapricius, le père de Jonannes Fagricius, qui en découvrant 14 ans plus tard les taches solaires a donc préparé ainsi l'explication de Ja découverte de son père. L'étoile merveilleuse fut insérée par Bayer en 1603 dans son Catalogue avec le nom de o Ceti; mais Hevelius en 1661 lui donna le nom de Mira. Une histoire complète des 7400 observations, qu'on a faites de l'éclat de Mira depuis 1596 jusqu'en l’an 1900, a été donnée par M. Paur Guranicx dans le Vol. 79 N°. 2 des Nova Acta Abh. d. Kais. Leop. Carol. Deutschen Akad. der Natur- forscher, Halle 1901 p. 71—261. De ces 7400 observations Jurius Scumipt en a fait près de 2400 et M. T. W. Backnouse près de 800. Après eux, Heis, SCHÖNFELD, FLanery et ARGELANDER en ont fait le plus. Mais Horwarpa, Furrenius, JunGius, Heverius, Bourvrau, la famille Kircu, Reyner, Warcentin, W. HERSCHEL, GOODRICKE, Wesrpuar et Wurm ont fait aussi des observations nombreuses. Très intéressantes sont les 73 différentes courbes où Mr. Gurnnicxk a représenté comment en différentes périodes la lumière de Mira changeait chaque fois. L'observation de Mira est encore toujours à l'ordre du jour, comme on le verra dans les notes 0, v et w suivantes. Le spectre de Mira a été étudié dernièrement par M.M. Voorn, SIDGREAVES, CAMPBELL, STEBBINS et Sripuer. Vocer: Sitz. ber. d. Berliner Ac. p. 143 (1896). Warrer Sipcreaves: Monthl. Not. 58 p. 344 (1898) The Spectrum of o Ceti as photographed at Stonyhurst College Observatory. W. W. Camppert: Astroph. Journ, IX (1899) p. 31. Joen Sveppins: Astroph. Journ. XVIII p. 341 (1903). Voir aussi: Seccur: les Etoiles I p. 148. Lockyer: The Meteoritic Hypoth. p. 388, 368, 505, 506 où des observations de Espin, Prcke- RING, FowLer et Coperanp sont aussi mémorées. Le 11 Janvier 1907 un beau spectre de Mira a été obtenu à l'Observatoire Lower (Sripuer: Astroph. Journ. April 1907, p. 235, Plate XIV). 118 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME Commençons notre examen au moment que l'étoile variable est au maximum de son éclat. La nappe brumeuse est alors plus transparente que jamais, parce qu'alors elle est aussi riche que possible en vapeur saturée trans- parente et aussi pauvre que possible en nuages condensés opaques. Cette transparence exceptionnelle n’aura qu’une tres courte durée. Car si la nappe brumeuse perd à sa surface extérieure plus de chaleur par le rayonnement au dehors qu’elle n'en peut recouvrer du dedans, sa vapeur saturée s’y condensera en nuages. Et comme ces nuages rendront la nappe plus opaque, nous verrons l'étoile diminuer en grandeur. Cette grandeur continuera à diminuer tant que le refroidissement de la surface extérieure de la nappe brumeuse continuera à y faire augmenter la condensation des nuages. Mais comme cette conden- sation incessante de vapeur en nuages doit causer la contraction de la nappe, les nuages, qui en forment la surface extérieure, descendront. Or nous savons qu’ avec la profondeur la température augmente et il est done clair qu'en continuant leur mouvement descendant les nuages arriveront enfin dans une couche tellement chaude, qu’ils cesseront de s’y refroidir et de devenir plus opaques et commence- ront au contraire à être réchauffés et à reprendre l’état vaporeux transparent. Au moment que les nuages arrivent dans cette couche la nappe brumeuse est plus opaque que jamais. Elle est alors aussi riche que possible en nuages et aussi pauvre que possible en vapeur saturée. L'étoile est alors au minimum de son éclat. Mais tout comme le maximum ce minimum n'aura qu'une courte durée. Car les nuages épais du minimum, sollicités par leur poids, doivent continuer leur mouvement descendant. Et comme, à partir de la couche considérée, ils ne peuvent, descendre sans s’évaporer et se détruire en partie, il est évident, qu'après le minimum à nappe nuageuse opaque, un nouveau maximum à nappe vaporeuse transparente va être restauré. Mais tandis que cette restauration du maximum progresse et que la vapeur restaurée dans la profondeur rend à la nappe brumeuse du minimum le volume plus grand et la transparence, qu’elle avait au maximum précédent, cette vapeur produira ici, tout comme nous l'avons étudié dans le soleil, une poussée de bas en haut, qui imprimera à la surface extérieure nuageuse de la nappe un mouvement ascendant. Ce mouvement ascendant ne cessera qu’au moment que la vapeur restaurée dans la profondeur discontinuera DE LA PÉRIODICITÉ DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 119 d'excéder celle qui à la surface incessamment se condense. En ce moment la nappe brumeuse sera de nouveau aussi volumineuse et aussi transparente que possible et l’étoile aura atteint de nouveau le maximum de son éclat. Si Vexplication que je viens d’esquisser est juste, ce n’est pas seulement la nappe photosphérique du soleil qui vibre, comme M. Poor et moi nous croyons avoir découvert, mais la nappe brumeuse à l'extérieur des étoiles rouges variables vibre elle aussi précisément de la mème manière. Elle aussi a une surface nuageuse, qui monte et descend tour à tour. Lorsqu’au maximum cette surface plane a sa plus grande hauteur, c’est son refroidissement qui en l’alour- dissant la force à descendre et lorsque le minimum étant atteint elle est arrivée à sa plus grande profondeur, c'est son réchauffement, qui la force à remonter et à restaurer un maximum nouveau. Mais cette vibration de la nappe brumeuse n’aura pas nécessaire- ment lieu tout d’une pièce et, tout comme dans la photosphère du soleil, les maxima et les minima, qu'elle produit, résulteront alors de la collaboration de périodicités locales #). 1 est donc fort bien possible que même au minimum l'étoile ait encore quelques zones transparentes qui relèvent son éclat. La périodicité des phénomènes solaires et celle des étoiles rouges variables résultent par conséquent d’un même mécanisme, dont il n’y a que l'installation qui diffère. Dans le soleil il est installé dans les nuages lumineux photosphériques et dans les étoiles rouges il est installé plus haut dans les nuages obscurcissants. Tout à fait en accord avec cette théorie est la grande ressem- blance de ces deux périodicités. Elles nous montrent toutes deux par exemple 1° le passage du ininimum au maximum généralement plus rapide que le passage inverse, 2° des maxima d’autant plus abruptes qu'ils sont plus élevés »), 3° des haltes et des accéléra- tions imprévues et d’autres accidents capricieux, qui influent mème sur la durée de la période 0). m) Voir plus haut p. 56. n) Crerke: Prob’. p. 358. ,The most brillant phases of Chi Cygui are brief while fainter maxima are sometimes prolonged for a couple of months”; loc. cit. p. 353: ,,In S Ursae Maj. as in the Sun, long maxima are low maxima”. Très abrupte est aussi le maximum de T Andromedae (Pickertnc: Astroph. Journ. I p. £05). Voir aussi ma note i dans le paragraphe précédent. o) La grande variabilité de la période des taches solaires se voit clairement démon- trée dans la table que Worr a publiée en 1877 dans les „Memoirs of the R. Astr. Soc.” (Younc: the Sun p. 155). La période de 11 ans y montre des écarts de 2 ans en plus et en moins. La période de 11 mois de Mira montre des écarts de deux mois. Ses der- niéres périodes jusqu’au maximum du 3 Janv. 1906 ont duré 316, 253, 331, 339 et 341 jours (Nuraxp: Astron. Nachr. N°. 4110). Il est impossible de prédire ses maxima 120 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME $ 16. Zxplication des particularités dans le changement de l'éclat. S'il résulte de toutes les considérations précédentes que le phé- nomène principal des étoiles rouges variables, c'est à dire le chan- gement de leur éclat, peut être expliqué au moyen de l'hypothèse d’une nappe brumeuse extérieure, tour à tour plus opaque et plus transparente et vibrante par conséquent tout comme la nappe pho- tosphérique du soleil, il me reste à expliquer maintenant, comment cette même hypothèse peut rendre compte aussi des autres phéno- mènes caractéristiques, que ces étoiles variables nous font observer. Pour arriver à cette explication, je ferai remarquer tout d’abord, que parmi les phénomènes que la nappe photosphérique du soleil fait voir en vibrant, il n’y en a pas de plus marquants, ni de plus constants, que la formation intermittente de trous, qui nous font l'effet de taches obscures. Or, si à l’exemple de la nappe photosphérique du soleil, la nappe brumeuse des étoiles rouges vibre précisément de la même manière, elle aussi aura au maximum ses trous. Ces trous seront produits lorsqu’ après le minimum, ainsi que je l’ai déja expliqué plus haut p), la surface nuageuse de la nappe brumeuse est poussée en haut par la vapeur rapidement régénérée en bas. Si cette poussée est forte, elle formera aux endroits les plus minces de la couche nuageuse, qu'elle relève, des bosses, qui, si la poussée continue, crèveront en formant des trous. Ces trous auront donc la mème origine que les taches solaires; mais leur effet sera inverse. Car n'étant pas des trous dans un manchon lumineux, mais dans un voile obscurcissant, ils ne seront pas obsenrs mais excessivement lumineux au contraire. Et si par hasard leurs orifices sont dirigés vers nous, nous y verrons luire à l’intérieur la photosphère brillante de Pastre. C'est ainsi que s'explique que certaines étoiles rouges variables, comme S et 7 Ursae Majoris par exemple, blanchissent sou- vent au maximum g) et qu'en général au maximum la rougeur avec quelque accuratesse même approximative. I] en est de même des maxima de ses congénères (CLERKE: loc. cit. Stars variable in long periods p. 347—5362). Quant aux accélérations imprévues et aux haltes ou „stand stills”, comme M. Maxwerr Reep les appelle, Mlle Crerke en a donné quelques exemples (loc. cit.) en décrivant les phèno- mènes de S Cephei, R Lyncis, U Orionis et de S et T Ursae Majoris. p) Voir page 118. q) Pickerinc: CLERkE Probl. p. 354. „Deep red and often hazy when faint S Ursae Maj. has been seen nearly white at maximum, a not uncommon kind of colour fluctua- tion”. — „In 46 days T Urs. Maj. acquired a 76 fold brillancy and the augmentation was accompanied by a blanching of its rays. Of their dull ruddy hue scarcely a tinge survived at full light”. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 121 diminue 7). Car si au maximum nous voyons les étoiles au travers des trous de leur voile, ce voile déchiré ne les rougira plus autant. Or comme ces trous éventuels dans la nappe brumeuse du maxi- mum doivent être tout aussi accidentels que les taches du soleil et comme ils rehausseront d'autant plus l'éclat de Pétoile qu'ils seront plus considérables et que leurs axes verticaux seront mieux dirigés vers nous, il est évident que si ces trous existent, leur développement et leurs positions fortuites donneront nécessairement aux maxima successifs d’une même étoile ces grandeurs entièrement différentes, qui ont toujours étonné tous les observateurs s). Pour que léclat au maximum soit aussi grand que possible un concours exceptionnel de circonstances fortuites est requis. I] faut qu’ alors, précisément au moment du maximum de l'étoile un trou plus grand que jamais se montre exactement au centre de l’hémis- phère stellaire tournée de notre côté. Car alors seulement nous ver- rons aussi peu voilée que possible la photosphère brillante de l’astre. Si le concours de ces circonstances fortuites est un autre, l’éclat au maximum sera moindre et il ne dépendra que du hasard quel sera l’éclat chaque fois. En observant Mira en 1779 Sir Wircram Herrscner a eu la chance de la voir, pareille à Aldebaran, comme une étoile de première grandeur 7). Mais cet effet du hasard n’a plus jamais été observé depuis lors. En 1568 l’étoile ne parvint pas même à la 5™° gran- deur #). Et présentement ses maxima ne dépassent que rarement la 3%). Cet hiver cependant son maximum a été de nouveau exceptionnellement élevé +). r) Crerke: Probl. p. 254. Voir aussi les notes v et w suivantes. s) Bourrrau: De Stella nova quae in collo Ceti ante aliquot annos visa est, etc. Parisiis 1667. OrBers: Berliner Jahrbuch 1841 p. 93. t) Hersouez: Phil. Trans. Vol. 70 p. 342. Le 8 Octobre 1839 ArGEraANDER vit Mira de 2.1me grandeur (Annals of H. C. O. Vol. XX XIII). u) Scumipr, cité par ScuônreLp: Mannheimer Jahresb. 40 p. 74. v) Cierke: Probl. p. 349. Le maximum du 3 Janvier 1906 n'a atteint que la 3.9me grandeur. Au minimum du 23 Sept. 1905 Mira était d’après les observations de M.M. Nicanp et vAN DER Birr de la 9.05 grandeur. Les minima précédents avaient été un peu moins prononcés, à grandeurs de 8.4, 8.75, 8.7, 8.9 et de 8.9 (Nusranp: Astron. Nachr. N°. 4110; Das Mira Maximum von Januar 1906). Durant 1906 Mira a été observée 244 fois par les membres de la Section des étoiles variables de l'association astronomique britannique. Le résultat de toutes ces observations se voit dans une courbe, que le Colonel E. E. Markwick a insérée dans le Journal de l'Association, Vol. XVII, 8 p. 346. On y voit le maximum de 2me grandeur. „The precise date of min. cannot be inferred owing to proximity of the star to the Sun. The colour was parti- cularly studied by the Director in an 84 in. reflector, and the change from red to orange, and even a paler tint as the star brightened, was distinctly noted”. w) Frammarion: Bull. de la Soc. Astr. de France, Séance du 5 Décembre 1906. „Mira est en ce moment d’un éclat exceptionnel qu’il a estimé à 2,0. Elle est moins 122 3SSAL DUNE EXPLICATION DU MÉCANISME Outre cette grande inconstance de Véclat au maximum, la pério- dicité des étoiles rouges a encore quelques autres particularités, où l’on voit aisément aussi l'effet de trous lumineux accidentels dans leur nappe brumeuse. Telles sont par exemple toutes ces haltes et ces accélérations imprévues que leurs changements d’éclat font observer si souvent a). Il est évident en effet, que, puisque les trous dans la nappe doivent nous envoyer d'autant plus de lumière qu'ils sont plus grands et mieux dirigés vers nous, leur croissance et leur décroissance et leur rotation sur l’axe devront produire, indépendamment du changement d'éclat principal de l'étoile, des changements d'éclat secondaires éminemment capricieux 7). Quoique l'éclat au minimum soit généralement moins variable que celui au maximum, il n’est toutefois nullement constant non plus v). Cette inconstance du minimum au fond de la nappe bru- meuse résultera en partie du mouvement vibrant de la photosphère stellaire plus profonde. Car si cette photosphère ressemble à celle du soleil, elle aussi montera et descendra tour à tour et elle pro- duira ainsi dans la nappe brumeuse, qui la recouvre, un réchauffe- ment et un refroidissement alternants, qui y agiront comme une seconde cause d’évaporation et de condensation intermittentes. Le mouvement de la nappe brumeuse doit donc répondre à deux vibrations différentes à la fois: la sienne propre et celle de la photosphère plus profonde. Or comme ces deux vibrations doivent interférer, la condensation qu’elles causent, sera, surtout au fond de la nappe, alternativement plus énergique ou plus faible, à mesure que leurs phases coincident ou differeront. Si cette inter- férence des deux vibrations, que je viens d’indiquer, peut aisément rendre compte de l’inconstance des minima, elle pourrait être en cause aussi en beaucoup d’autres inégalités, et non seulement en celles, que nous avons déjà étudiées plus haut, mais surtout aussi en celles, qui ont fait naître l’idée de périodes plus longues couvrant un grand nombre de périodes ordinaires 2). rouge que d'habitude, précisément parce qu’elle est plus brillante”. Dans la séance du 9 Janvier 1907 de la même société M.M. Macpnerson et TrAMBLAY ont communiqué que, d’après eux, Mira a atteint la grandeur 2 à 2,2 à son maximum. Le dernier maximum a présenté en outre, d’après M. Paur Branc, les 14, 15, 17 et 18 Janvier 1907 des variations d'éclat brusques et considérables, des changements par exemple le même jour de la 2.5me à la 3.4me grandeur. (Branc: Bull. de la Soc. Astr. de France Mars 1907 p. 144). x) Voir la note o précédente. y) Crerke: Probl. p. 369. , Periodic cannot be sharply distinguished from irregular variables”. z) ARGRLANDER: Bonner Beob. Bd. VII Th. II p. 332. Guranick, cité par Mlle Crerxe: Probl. p. 348. ,Gurunick’s long inequality, covering 200 cycles”. Gurunrck: Nova Acta DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 123 La période des étoiles rouges étant toujours beaucoup plus courte que celle des taches solaires, la vibration de la nappe brumeuse y sera probablement en premier lieu la sienne propre et elle ne sera influencée qu’en second lieu par celle de la photosphère plus profonde. Il n’est pas tout à fait impossible cependant que cette dernière influence prédomine. Mais cette prédominance éventuelle ne changerait rien dans toutes mes explications. Car en ce cas les nuages obscurcissants de la nappe brumeuse n’en continueraient pas moins à s'y former à la surface, à s’épaissir en descendant et à sévaporer de nouveau à mesure que dans la profondeur la tempé- rature augmente. Il n’y aurait alors que le moment, que cette évaporation commence, qui serait déterminé autrement. Car ce moment ne serait plus uniquement déterminé alors, comme je Vai expliqué plus haut 4), par la descente suffisante et toujours la même des nuages, mais plutôt par l'effet réchauffant de la photosphère vibrante venant à la rencontre des nuages descendants. Il est done évident qu’en ce cas aussi la nappe brumeuse deviendra tour à tour transparente et opaque et tous les phénomènes, que ce change- ment à trous périodiques engendre, seront les mêmes dans les deux cas. Quoique toutes les étoiles rouges soient entourées d’une nappe brumeuse, elles ne sont cependant pas toutes décidément variables. Elles ne le seront que si leur nappe est assez riche en vapeur condensable pour pouvoir rendre quelque zone considérable opaque et transparente tour à tour. Si cette condition n’est pas remplie, leurs nappes ressembleront plutôt à celles des étoiles jaunes 6) et dans ces nappes ne se formeront alors tout au plus que des nuages épars. Ces nuages épars, toujours passagers et déplacés sans cesse cit. p. 248. Si au dessous de la nappe photosphérique du soleil il y avait encore une autre nappe, que le changement de chaleur à l’intérieur fît vibrer, les vibrations de ces deux nappes pourraient interférer et expliquer alors peut-être comment aux périodes undécennales des taches est superposée une période plus longue de 60 ans environ, que R. Wo r a découverte et que H. Fritz a constatée plus distinctement encore dans la périodicité des aurores polaires. (Wolfsche Mittheilungen über die Sonnenflecken XV Mai 1863. Frurz: Die Beziehungen der Sonnenflecken zu den magn. und meteor. Erschei- nungen der Erde 1878 p. 9, 25, 59, 254). a) Voir plus haut p. 45 et 118. b) Bien que les nappes brumeuses des étoiles jaunes, comme de notre soleil, contiennent généralement trop peu de vapeur condensable pour pouvoir former un voile opaque, l'étoile jaune Epsilon Aurigae présente néanmoins des diminutions d'éclat, qui, d’après les observations de Hers en 1847 et de Scumivr en 1875, sont tellement capricieuses et considérables, qu’il me semble difficile de ne pas les attribuer à l'existence intermittente d'un voile pareil. (Scummpr: Astr. Nachtr. 2704. A. C. Maury: Harvard Annals 28 p. 31. CLerke: Probl. p. 372). 124 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME par leur rotation sur l’axe, causeront alors dans l'éclat de l’astre ces légères fluctuations auxquelles l'observation de presque toutes les étoiles rouges non périodiques nous a accoutumés ©). $ 17. Ærplication des particularités dans le changement spectral. Les changements d'éclat dans les étoiles rouges variables ayant été maintenant expliqués, il me reste à étudier leurs changements spectraux. Or comme ces changements spectraux répondent parfaite- ment à ceux que le soleil nous fait observer d), ils n’ont dans ma théorie rien d’énigmatique. Car si dans les étoiles rouges et le soleil le mécanisme de la périodicité est le même, ce même mécanisme produira aussi les mêmes changements spectraux. Et c’est ainsi que, lorsqu’au maximum la nappe nuageuse sera aussi dilatée que possible, on verra dans les étoiles rouges variables, tout aussi bien que dans le soleil, des raies brillantes plus lumineuses que jamais. Dans les deux cas, la même cause aura les mêmes effets. Or j'ai fait voir dans mon Introduction, que dans le cas du soleil cette cause des raies brillantes n’est jamais une élévation de la température locale, car les mouvements incessants, qui en devraient résulter, sont incompatibles avec les propriétés principales du soleil, qui indiquent au contraire une imposante tranquillité e). La cause des raies brillantes doit donc être une luminescence, qui augmente au maximum. Si cette luminescence du gaz solaire est chimique, elle sera au maximum plus forte que jamais, parce que les substances dissociées qu'alors la photosphère contient dans ses taches nombreuses sont ainsi mieux exposées que jamais au refroidissement extérieur, et particulièrement aptes par conséquent à former des combinaisons chimi- ques. Et dans les couches plus élevées de l’atmosphère solaire, cette formation de combinaisons sera alors favorisée de même 1° par le e) Srccur: les Etoiles I p. 156. „Toutes les étoiles rouges ou fortement colorées sont variables et vice versa”. CLerke: Probl. p. 183, 184, 215. „The circumstance that insta- bility of light accompanies redness of colour in stars is most curious and significant” loc. cit. p. 370: „Many, perhaps most red stars are unstable to the extent of half a magnitude”. d) OLerke: Probl. p. 362. „The analogy has been rounded out by the discovery that the sun at spot maximum is essentially a bright-line star. Its spectrum then shares, in a just perceptible degree, the blazing quality, that distinguishes the spectra of Mira variables. This is a further and an irrefragable proof of the correspondance of the epochs. Light-maxima in the stars match spot-maxima in the sun”. Les recherches spectrales auxquelles Mira a donné lieu ont été énumérées dans la note 7 de mon § 15. e) Voir plus haut p. 3—16. Voir aussi ma lettre: Nature, Jan. 16, 1896 p. 248 et 249. DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 125 moindre pouvoir émissif de taches éventuelles f) et 2° probable- ment aussi par la compression et le relèvement que la photosphère vibrante y produira en montant y). Si la luminescence des raies brillantes était une luminescence radio-électrique, comme j’en ai fait voir la possibilité à propos de la couronne, des protubérances et de l'influence des taches solaires sur nos phénomènes électriques terrestres /), sa recrudescence au maximum se comprendrait facilement encore; car les rayons élec- trisants Beta et Gamma seraient alors d'autant plus abondants, qu'ils jailliraient d’un plus grand nombre de taches. C’est donc en tout cas une luminescence chimique ou électrique, qui produit les raies brillantes du soleil au maximum. Or s’il en est ainsi des raies brillantes dans l’atmosphère tran- quille du soleil, il en sera de même des raies brillantes dans l’at- mosphère tranquille des étoiles rouges variables, où un même mécanisme est installé. Il n’est donc nullement surprenant (ce qui sans cette luminescence serait inconcevable) que ce soient précisément ces étoiles les plus refroidies, qui sont le plus riche en raies brillantes et que ces raies brillent surtout, lorsque ces étoiles sont au maximum. Car les mêmes causes, que je viens de rappeler et qui, lorsque le soleil est au maximum augmentent la luminosité de ses raies, agiront ici de mème 7). Et c'est par conséquent une luminescence au maximum plus forte, qui rehaussera alors l'éclat des raies brillantes de Mira. C’est surtout à l’hydrogène j). qu’ appartiennent les raies, qui sont si brillantes au maximum des étoiles variables du type 3 #). f) Voir plus haut, pages 29, 41 et 87. g) Page 55. Dans les flammes faculaires la luminescence pourrait être due aussi à un proces endothermique empêchant les facules d’y rehausser la température. h) Voir plus haut, pages 20, 21 et 84. i) Il n'y a que le moindre pouvoir émissif de taches éventuelles que nous devons retrancher de ces causes ic’. j) Quelquefois aussi à l’hélium, dont M. Espin vit briller la raie D, dans le spectre de Chi Cygni au maximum (Scuerner: Die Spectralan. d. Gest. p. 328). k) Ces raies, découvertes par M. Espin dans les étoiles R Leonis, R Hydrae et R Cygni (Scneiner: loc. cit. p. 328), ont été étudiées surtout dans le spectre de Mira. Cette étude a révélé bien vite la particularité remarquable, que les raies delta et gamma sont le plus souvent excessivement brillantes, alors que la raie alpha fait défaut et que les raies beta et epsilon ne se voient parfois que très difficilement. (Sregrins: Astroph. Journ. XVIII p. 364). Durant le maximum très prononcé de 1906 la raie alpha a été vue cependant à l'observatoire Lower. (V. M. Scipner: Astroph. Journ., Jan. et Avril 1907). Dans le soleil la raie alpha est toujours forte et dans les nébuleuses la raïe beta. La cause de cette distribution si différente de la lumière dans les raies de l'hydrogène ne nous est pas connue. Mais J. J. Tuomson a fait voir, que les circonstances n’ont pas besoin de différer beaucoup pour causer une distribution différente. Car dans un tube de Geissler il vit prédominer la raie alpha au pôle positif et la raie beta au pôle negatif. (J. J. Tuomson: Proc. Royal Soc. 58 p. 255 (1895)). 126 ESSAL D’UNE EXPLICATION DU MECANISME Mais a côté de ces raies alors si fortement brillantes d’autres raies très faiblement brillantes se voient déjà aussi. Elles paraissent dues au silicium, au fer et à une substance inconnue (4007). M. Sreggins a étudié, comment entre le maximum et le minimum suivant toutes ces raies changeaient, et il a découvert ainsi, que tandis que les raies de l’hydrogene, du silicium et de la substance inconnue 4007 et d’autres substances inconnues, 3939, 3968, 4216, 4234 et 4373 survenues plus tard, diminuaient et disparaissaient, quelques raies brillantes nouvelles du magnesium et du fer vinrent les remplacer. Les figures 8—13 et la table XVI du Mémoire de M. SrBBBins /) font voir qu'au maximum il y avait 9 raies brillantes et qu’un mois et demi plus tard ces raies avaient bien grandement diminué en éclat, mais avaient tellement augmenté en nombre, qu'il y en avait alors 22. De ces 22 raies brillantes il n’en restait plus que 3, dont deux appartenaient au fer et une au magnesium, lorsque six mois environ après le maximum le minimum arriva. Toutes ces observations intéressantes de M. Srrsmins sont en accord complet avec les prévisions de ma théorie. N’est-il pas clair en effet, que si à l'instar du soleil Mira nous montre ses raies lumi- nescentes dans une atmosphère stratifiée, à l’extérieur de la surface nuageuse et trouée d’une nappe vaporeuse, ces raies luminescentes .changeront lorsque cette surface, en vertu de la condensation de la nappe descendra? N’est-il pas évident de même, que, lorsque cette surface sera aussi élevée et aussi trouée que possible, ce sera l’hydrogène léger, ou éventuellement aussi l’hélium léger, qui luminescera fortement, et qu'à mesure que cette surface descendra, les éléments qu’elle fera luminescer augmenteront en nombre et en poids moléculaire, jusqu’à ce que les trous se comblant toujours davantage cette lumi- nescence diminuera de nouveau? Comme toutes ces raies brillantes se forment a l’extérieur de la nappe brumeuse elles orillent indépendamment de l’absorption géné- rale, que cause cette nappe au minimum. Il n’est donc nullement surprenant que parmi ces raies on en trouve qui aient la parti- cularité de devenir plus vives lorsque le minimum approche et M. Srxgmixs se trompe lorsqu'il voit dans cette particularité la preuve, qu’une absorption générale n’est pas la cause de la dimi- nution de l'éclat de Mira »). 1) SreBeins: Astroph. Journ. XVIII p. 363—377. m) SreBBiNs: loc. cit. p. 377. „The great variations of relative intensity in the hydrogen and other bright lines, and in the continuous spectrum, show that the star’s decrease in light is produced by other causes than general absorption. Considering all DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 127 Il est clair d’ailleurs. que si ces raies brillantes ne sont dues geres dans les couches extérieures les qu'à des luminescences passa plus raréfiées de l’astre, leur formation ne joue aucun rôle impor- tant dans le changement de l'éclat. Ces raies brillantes n'impor- tent que comme un réactif d’une variabilité certaine dans les étoiles du type 3. C'est en appliquant ce réactif que Mrs. FLEMING sur- tout a découvert un grand nombre d'étoiles variables ou moyen des raies brillantes de leurs spectres 7). Mais dans les couches extérieures des étoiles rouges variables des éléments, qui puissent luminescer au maximum font très souvent défaut. C'est ce qu’on observe dans toutes les étoiles variables du type 4, où l'hydrogène et l’hélium sont toujours absents. Si dans ces étoiles le mécanisme de la périodicité est le même que celui qui fonctionne dans le type 3, n'est-il pas compréhensible alors que leurs maxima ne sauraient jamais produire la moindre raie bril- lante 0)? Et n'est-il done pas clair en somme, que lorsque les maxima du type 3 nous montrent bien ces raies brillantes, ce phénomène brillant n’est après tout que tout à fait insignifiant ? Je n'ai encore parlé que d’une partie des observations spectrales de M. SreBins. Mais il en a fait bien d’autres, qui elles aussi me semblent donner à mon explication des changements d’éclat au moyen d'un voile tour à tour plus épais et plus transparent une éclatante confirmation. M. Srmpsrys ne s’est pas borné à étudier les raies brillantes p), il a essayé aussi de découvrir si les raies et the evidence, it seems reasonably certain that the star’s variation in brightness is due to the action of internal forces”. Cette conclusion de M. Sreppins est évidemment fondée sur 2 hypothèse que les raies brillantes seraient engendrées au dessous des nuages absor- bants. Mais si ces raies, à l'exemple de celles du soleil, ne sont pas engendrées au dessous des nuages, mais au dessus dans l'atmosphère extérieure stratifite de l’astre, cette conclusion manque de fondement. n) M. FremiwG: Astroph. Journ. II p. 198, VIII p. 233 etc. Crerke: Probl. p. 222—228. 352 etc. 0) Crerke: Probl. p. 219. p) M. Sreppins a constaté aussi, ce que M. CampBerrr avait déjà découvert en 1899 (Astroph. Journ. IX p. 31—36), que les raies brillantes de Mira se montrent toujours déplacées vers le violet par rapport aux raies d'absorption. Ce déplacement d'environ + de l'unité d’Ancstrrém est très grand sans doute. Mais comme les raies brillantes sont formées dans les couches tout à fait extérieures où la pression est excessivement petite et comme dans toute étoile rouge les raies d'absorption sont formées à une profondeur probablement beaucoup plus grande que dans le soleil et dans un gaz par conséquent fortement comprimé (voir plus haut aux pages 100 et 113) il n'est peut-être pas tout à fait impossible que ce déplacement réponde à une différence énorme en pression. Quoi qu'il en soit M.M. Campsett et Srepnrns sont d'accord qu'il ne saurait être question ici d’un mouvement matériel dans le rayon visuel et tous deux ils attribuent le déplace- ment à quelque cause physique encore inconnue. Voici par exemple comment M. CAmMPBELr. s'exprime (loc. cit. p. 36): „the displacement of the bright lines towards the violet with 128 ESSAI D'UNE EXPLICATION DU MÉCANISME les bandes d’absorption montraient quelque changement, lorsque l'éclat de l'étoile diminuait,de la 3° à la 9m grandeur. Il est clair, que si mon explication d’un changement d’éclat aussi énorme est Juste et si par conséquent sous son voile tour à tour plus opaque et plus transparent la grande masse de l'étoile n’y prend pas la moindre part, il n’y aura dans le spectre de Pétoile aux différents moments de la période que surtout l’éclat général qu'on verra changer 9) Et les raies d'absorption et les bandes obscures ne changeront alors que bien peu et changeront surtout en leurs intensités relatives à mesure que dans la nappe brumeuse les gaz absorbants seront plus ou moins condensés. Mais combien infiniment plus grands seraient les changements spectraux, auxquels nous devrions nous attendre, si l’idée de M. Sruppins était juste 7) et si, comme M'° Crerke l'explique s), les changements d'éclat n'étaient pas tout simplement produits par l’opacité variable d’un voile obscurcissant, mais par des recrudes- cences périodiques de la circulation verticale stellaire! M. Srmppins a recherché comment les deux spectres d’absorption de Mira au maximum et au minimum répondaient à cette attente. Si pour affaiblir cette attente, on voulait objecter, que notre reference to the dark line spectrum must not be considered as proving actual changes in the velocity of the matter emitting the bright line spectrum. It is quite conceivable that changes in the physical condition of the body are responsible for the apparent changes of velocity”. q) Ce changement dans le spectre continu, répondant à l'opacité intermittente de la nappe brumeuse, a été étudié par le P. Siperraves et M. Sreppins, qui ne le trouvèrent pas égal dans toutes les parties du spectre. Sreppins: loc. cit. p. 363: „SIDGREAVES plates showed that as the star declined in brightness, the intensity of the bright por- tions of the spectrum between 4300 and 5000 grew less relatively to that of the region near 5500. My plates show a decrease in intensity of the region from 4300—5000 relative to the continuous spectrum from 4000 to 4300. Fig. 3 and 5 show the changes well.... These changes.... may be simply the fading out of some bright bands”. Si cet affaiblissement plus grand entre les longueurs d’onde 4300 et 5000 était réellement dû à l'extinction des bandes lumineuses, dont parle M. Sreppins, cette extinction serait analogue à celle des raies brillantes, que j'ai expliquée pace 126. r) Voir la note m précédente. s) Crerke: Probl. p. 362. „Looking a little closer, we can discern the probability that the cyclical variations of all these bodies depend essentially upon a rise and fall of activity in the vertical circulation by which radiation is maintained. The rate of conveyance of heated matter from within outward must be a determining factor of photospheric brillancy, transcendent lustre implying unusual celerity of transport. This is the vital proces of suns, the checking of which must immediately become sensible in their diminished output of light. Here if anywhere will be found the secret of stellar variability”. Comme il y a peu d’auteurs que j’ai plus souvent cités ici que Mlle CLERKE, la nouvelle de sa mort, lorsque j'avais achevé ce Mémoire, m’a fort doulo 1eusement impressionné. Ses ,,Problems in Astrophysics” m’ont été de la plus grande ut lité en élaborant cet Essai, DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ETOILES, ETC. 129 soleil nous démontre, qu'on peut lui supposer des éruptions pério- diques fabuleuses, sans que jamais son spectre étalon nous en montre le moindre effet, cette objection n’aurait pas la moindre valeur. Car même en admettant qu’une telle idée de la constitution solaire ne fût pas absurde #), cette idée n’est en tous cas pas appli- cable aux étoiles rouges variables. Car toutes ces éruptions solaires, même les plus formidables, ne sont que jeu d’enfant si on les compare avec celles demandées par Mira. Tout le monde sait en effet que quelques fabuleuses que soient au maximum les éruptions solaires, notre soleil ne daigne jamais changer son éclat pour si peu w). Et il en est de même de toutes les étoiles blanches et jaunes, qui se comptant par millions, auront elles aussi, chacune, ses taches, ses facules, ses protubérances et ses périodes d’une activité plus grande, mais qui toutes nous démontrent de même, que ces périodes d’une activité plus grande ne produisent jamais le moindre changement d’éclat. Or si toutes ces éruptions fabuleuses, que l’astronomie d’aujour- Whui croit à l’oeuvre pour former périodiquement des maxima de taches, sont toujours impuissantes à causer même le moindre chan- gement d'éclat, combien de fois plus fabuleuses encore devront être alors les éruptions, qui dans les étoiles variables feraient changer l'éclat de jour en jour et donneraient à l'étoile Chi Cygni par exemple un éclat 6500 fois plus grand en six mois! Si de telles éruptions étaient concevables, il serait en tout cas tout à fait impossible, que le spectre d’une étoile aussi profondé- ment bouleversée n’en montrat jamais la moindre trace dans ses raies d'absorption. Et cependant Vinvariabilité des raies d'absorption est le phénomène que M. SrrBBINs a constaté dans Mira. Les raies d'absorption sont au maximum et au minimum les mêmes et le spectre de Mira n’en montre au maximum aucune qu’on ne voit pas aussi au minimum. Du 27 Juin (trois semaines après le maximum) jusqu’ au 5 Jan- t) Voir plus haut, page 16. u) Desranpres: Bull. de la Soc. Astr. de France, Juin 1907, p. 268 (Comm. ver- bale) ,,LANGLEY a consacré 30 années de sa vie à l’étude du rayonnement solaire. Dans un mémoire, il déclare que les recherches nombreuses qu'il a entreprises n’ont donné aucun résultat décisif au point de vue expérimental. Les instruments sont tellement organisés, qu’ils ne sont pas capables de déceler ces petites variations, si bien que nous ne pouvons pas affirmer qu'il y ait une variation du rayonnement en accord avec la variation des taches”. D'autres variations, que Lanarey et M. Apsorr ont reconnues dans le rayonnement solaire, et qui d’après ma théorie pourraient résulter du mouve- ment vibrant des zones photosphériques, causant un changement dans l’absorption de l’atmosphère solaire (voir par ex. la note f de mon 9me paragraphe), demandent, d’après M. Destanpres, qu’on continue à les étudier. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (4e Sectie) Dl. IX, n°, 6. 1 8) 130 ESSAI D’UNE EXPLICATION DU MÉCANISME vier 1903 M. Sressins a fait durer ses recherches, qui lui procu- rèrent 22 clichés du spectre à 16 dates différentes. Sur ces clichés il vit bien comment du maximum au minimum surtout le spectre continu et 23 raies brillantes changerent, mais parmi les 132 raies obscures qu’il y mesura, il n’en découvrit qu’une seule, dont il put affirmer avec certitude, qu’elle devint plus forte au minimum. Cette raie unique était la raie y du calcium, alors que 5 autres raies du même élément ne montraient pas ce changement certain. M. SrrBBiNs mentionne aussi 4 raies inconnues, qui encore invisibles le 27 Juin, étaient assez fortes le 16 Julliet ou le 4 Août, lorsque l'éclat avait diminué d’une grandeur v), On sera bien d’accord avec moi, qu’en fait de changement spectral, ce que M. Sreggins a pu constater est bien peu, et que cette invariabilité presque com- plète du spectre d'absorption répond bien mieux à mon hypothèse, qui laisse la grande masse de l'étoile en repos, qu’à l’hypothèse, qui demande au contraire des bouleversements phantastiques. En attendant qu’on réussisse un jour à donner à l’hypothèse de soleils devenant à force d’éruptions 6500 fois plus lumineux en six mois quelque ombre de vraisemblance et qu’on parvienne en outre à expliquer, comment un tel rehaussement d’éclat aussi prodi- gieux serait compatible avec une invariabilité presque complète des raies (absorption, je crois pouvoir déjà constater maintenant que tous les phénomènes caractéristiques de tous ces soleils variables ont déja trouvé dans ce Mémoire une très plausible explication. Car dans la nappe rougissante brumeuse, qu’on est toujours v) SreBBins: loc. cit. p. 356 „There is one dark line which showed changes of which the reality is certain. This is the g calcium line... A few lines not visible on the early plates became prominent later. Four such lines have the following positions 3990.64, 4045.16, 4093.55 and 4097.48.” L’invariabilité du spectre d'absorption, que nous mon- trent le Soleil et Mira, est probablement une propriété générale des astres. Déjà mainte- nant on décrit et on classifie tous les spectres stellaires comme si, avec de rares excep- tions, ils ne variaient jamais. Cette invariabilité indique que tous les soleils reposent comme le nôtre dans une même tranquillité. L'invariabilité presque complète du spectre d'absorption de Mira au maximum et au minimum est en contradiction évidente aussi avec l’hypothèse que le minimum serait dû à un développement excessif de taches; hypothèse qui en dépit de ce que les recherches minutieuses de LANGLEY nous ont appris (voir la note « précédente) et du peu d’obscurité que Vocer et Cuacornac ont trouvé dans les taches (note f p. 38) a encore toujours des adeptes. Voici par exemple une note que je viens de trouver dans le Journ. de l’Ass. Astron. Britann. du mois de Juillet 1907 à la page 414: „Prof. TurNER considers a suggestion of Mr. C. L. Brooks that since the two hemispheres of the Sun differ greatly in the amount of their distur- bance at different Sun-spot maxima, if the Sun were viewed poleward instead of equa- torially, the effect of this would be to still further increase the difference of intensity of the various maxima. If then the analogy between the Sun and the long-period variables holds in this particular, the maxima of variables viewed polewards should differ in intensity to a greater degree than those viewed equatorially. (M. N. 67, N°. 7). DE LA PERIODICITE DANS LE SOLEIL ET LES ÉTOILES, ETC. 131 certain d'observer à l'extérieur de ces soleils variables, des nuages tour à tour plus épais et plus transparents sont tout ce que ma théorie demande pour expliquer tous leurs changements d’éclat , même les plus extravagants. Il est vrai que cette explication demande en outre que cette nappe brumeuse soit relativement tranquille w). Mais si, comme je Yai démontré, notre soleil est relativement tranquille; pourquoi les autres soleils ne le seraient-ils pas? S'il n’y en a que peu, qui soient en état de nous en donner quelque preuve directe, les étoiles rouges variables sont du nombre: Elles nous donnent cette preuve dans le changement de leur éclat. Car si ce changement est dû, comme j’ai essayé de le démontrer, à un voile extérieur tour à tour plus opaque et plus transparent, la périodicité de ce chan- gement démontre, que dans les couches qui portent ce voile, doit régner quelque tranquillité. Mon explication donne donc en somme à ma théorie de la tran- quillité intérieure des astres une nouvelle confirmation 2). Tant il est vrai, comme je l’ai dit en commençant ce Mémoire, que pour comprendre le soleil et les astres il faut reconnaitre leur tranquillité. Delft, le 21 Décembre 1906. A. BRESTER Jz, Docteur és sciences. w) Scuemner: Die Spectralanalyse der Gestirne p. 303. „Die grosse Heftigkeit der Vorgänge auf einem Sterne bei seinem Aufleuchten deutet darauf hin, dass sie, wenn sie auch nur oberflächlich stattfinden, doch beträchtliche Massen betreffen.... Dies ist aber nur möglich, wenn die Temperatur innerhalb des grossen Gebietes eine durchaus gleiche ist, wenn ein Zustand absoluter Ruhe herrscht und keine Strémungen, seien es radiale, seien es seitliche, stattfinden. Das sind aber Voraussetzungen, die höchst unwahrscheinlich sind, und von denen die Sonne gerade das Gegentheil zeigt.” Telle est largumentation de M. Scuriner contre Vhypothese qu'a imaginée M. Louse pour expliquer l'apparition soudaine des Novae au moyen d’un procès chimique, que le refroi- dissement causerait dans les couches extérieures et obscures de ces étoiles (voir ma note k de la page 117). Cette argumentation serait fatale à cette hypothèse et elle le serait aussi à celle de mon voile tour à tour plus épais et plus transparent, si le soleil nous donnait en effet l’exemple d'un astre incessamment bouleversé. Mais comme je crois avoir démontré qu'il est impossible que ce bouleversement existe et comme depuis lors les recherches de M. Newarr ont confirmé que ce bouleversement ne s’observe jamais (voir plus haut à la page 6) l'argumentation de M. Scueiner n’a plus rien de concluant. æ) Après avoir terminé ce Mémoire vers la fin de 1906, j’ai rencontré plus tard un grand nombre d'observations, qui, faites ou publiées en 1907, ont été utilisées ici tout de même comme donnant à ma théorie mainte nouvelle confirmation. Parmi toutes ces confirmations nouvelles je ne rappellerai ici que les observations de M.M: Newarr, Hate, Harm et Eversnep et de Mme MauNper, mémorées aux pages 6, 7, 69, 86 et 91 de cet Essai. F 9% Soule § 2. Mies § 4 § 5 RAT Var ‘8 5 9 $ 10 TABLE DES MATIERES. IN ERO DU GC ETON Pranquullitê intérieure dus Soleil. 5 ur prs een Les sources. de la chaleur solawe..... orn. weet Fonctionnement intermittent des sources de chaleur physique et chimique causant la plupart des phéno- mènes lumineux dans les couches extérieures du Les protubérances considérées comme des luminescences PREMIÈRE PARTIE. Le Mécanisme de la Périodicité dans le Soleil. Les deux parties du mécanisme: le gaz intérieur et les nuages photosphériques, qui l’entourent . ..... Fonctionnement du mécanisme. Les taches se formant et s’effaçant tour à tour dans la photosphère, qui alternativement monte et descend.............. Fonctionnement intermittent des sources de chaleur physique et chimique dans la nappe photosphérique, qui ‘monte etrdescend tome ANTON |. oats eae Inégalité de la périodicité aux différentes latitudes... Les recherches de M. Poor sur la forme du soleil appuyant mon hypothèse de la photosphère vibrante . Répartition des taches sur la surface du soleil ee ener Men 4 24 28 32 42 TABLE DES MATIERES. 133 Page. $ 11. Mouvements propres des taches et des facules..... 88 $ 12. Le déplacement séculaire de la photosphere , comme lieu géométrique, expliquant la rotation particu- lière des zones photosphériques solaires et l’évolu- tion des différents types spectraux stellaires . . . .. of DEUXIÈME PARTIE. Le Mécanisme de la Périodicité dans les Etoiles rouges variables. $ 13. Périodicité des étoiles blanches et jaunes. ..... eat ele patie Les ELoilesmrougesven. général’. ©" 10 AU ee 108 $ 15. Fonctionnement du mécanisme de la périodicité. Le voile rougissant extérieur, alternativement plus opaque et plus transparent, à mesure que, tout comme la photosphère du soleil, il est tour a tour plus riche et plus pauvre en nuages....... 116 § 16. Explication des particularités dans le changement de eel at MERE PERTE NNM ER 120 $ 17. Explication des particularités dans le changement TOE EN kre eer ogc SES MENU PERS 124 INDEX ALPHABÉTIQUE DES NOMS CITES. Abbott 129. Bunte 40. Abney 96, 115. Cagniard de la Tour 32. Adams Ssi Campbell 15, 109, 113, 117, 127. Adams WEES 5, 385) 09, 4, 65; 697) Carmineton Ansen bo sd OMGING EN Ole OO, EIRE (eS eis Ti. (ist Albrecht 100. Caspari 7. Ambronn 58, 71. Cassini 48. Ames 52. Chacornac 39, 94, 130. Andrews 32. le Chatelier 37, 40. Angstrom 37, 110. Chevalier 46. Arago 27. Clausius 115. Argelander 117, 121, 122. | Clerke (Miss) 4, 15, 27, 30, 32, 36, Arrhenius 17, 20, 23, 32, 115. ST Aue 66, 96, 99. 104. 105. ATDEE Assmann 22. © 114,116,122, 194, 128: Auwers 59. Cookson 100. Backhouse 117. Copeland 110, 117. Balfour Stewart 48, 92. Corder 91. Robert Ball 37, 100. Cortie 49, 52, 56, 87. Bayer 117. Courvoisier 103. Becquerel 22. Crew 65, 66, 68, 71, 74, 76, LOE Bellamy 100. M. Curie 24. Belopolsky 6, 95, 105, 107. Mme Curie 20. Berberich 21. Darwin 23. We Glo Jeilhe TAL Dawes 87, 88. Birkeland 20. Debray 25. Birmingham 117. Delaunay 97. Birt 88. Demarcay 20. % Blanc 122. Derham 48. Bohm 40. Deslandres 7, 28, 30, 49, 60, 129. Bose 40. Deville 25. Bosscha 47. Dewar 29, 68. Boulliaur le We Doppler 4, 16, 31, 54, 65. Braun 32, 53, 56, 66, 96. Drossbach 40. v. Braumiihl 48. Duner 52, 65, 66, 69, 70, 104, 110, Brenner 103. Nil Brewster 97. Dulong 37. Brook’s 130. Eberhard 29, 68. Brown (Miss) 87. Ebert 37. Buehan 22. Eddie 105. INDEX Egorof 27. Ekholm 32. Kerman 61, 112, 113. Ellis 21. Elster 19. Emden 18, 47. Ericson 37. Espin 112, 117, 126. Evershed 4, 5, 31, 39, 86, Fabricius D. 117. Fabricius J. 46, Faye 32, 47, 48, 67, 79. Benyer non Os ion On lig Wb 229708 86e Férv 37, 40. Fischer 40. Fizeau 4. Flammarion 7, 102, 101, 121. Flanery 117. Fleming (Mrs.) 117, 127. Forbes 97, 115. Fowler 52, 69, 117. Frankland 19. Fritz 21, 22, 46, 49, 123. Brost 5, 33, 48, 52. Fullenius 117. Gale 41, 100, 110. Galilée 46, 48. Gautier 21. Geitel 19. Gladstone 97. Goodricke 117. Gore 99, 109. Gray 37. Guillaume 100. Guthnick 109, 117, 122. Malem On is LS SIP TE 0801385230; 41, 53, 60, 68, 97, 100, 110, 112, ISS Halm ll, 13, 36, 69,.70, 131. Handrikof 27. Hansky 53. Hansteen 21. Harkness 96. Harriot 46. Hartley 52. Hartmann 14, 29, 68. Hartwig 117. Haschek 13. Hasselberg 29. Hastings 36, 37, 65, 67, 99. Bers 117, 123. H. v. Helmholtz 18, 23, 95, 100. R. v. Helmholtz 29. Hergesell 22. J. Herschel 32, 33, 47, 82. isi, ALPHABETIQUE DES NOMS CITES. 135 W. Herschel 48, 117, 121. Hevelius 117. Higes 69. | debi Bij Hodeson 27. van ’t Hoff Holleman 5. Holwarda 117. Horrebow 21. Howlett 48. Huff 13. Ui | W. Huegins 29, 67, 104. Sir and Lady Huggins 20, 104. | Hull 12. v. Humboldt 21, 22. Humphreys 5, 13. | Janssen’ be. ba, 675 Oi Jewell 4, 5, 7, 11, 95. St. John 40. | Johnstone Stoney 27, 37, 108. Joly 19, 23. Julin Sn Wie Ich, Il MEL, PS, B BO, Elle | Jungius 117. Kant 95. Kayser 29, 111. Keeler 110, 113. Kelvin 23, 32, 95, 100. Kent 13, 14. Killing 40. | Killip 103. Kirch 117. Kirchhoff 39, 68. | Klein 22, 21. ‚ Klinkerfues 105, 109. | Koch 29. Kövesligethy 37. | van Laar 17, 24. Laborde 24. Lahire 59. Lalande 48. Lamont 21. Lane 23,.95, 100. | Langley 24, 29, 87, 48,.65, 115, 129, 130. Laplace 95. Lau 107, 108. Lenard 22. Leverrier 39, 103. | Lewis 104. Ibias 86 522 53: Littrow 27. Liveing 29, 68. Lockyer 5, 8, 19, 21, 22, 27, 34, 40, 44, 47, 67, 68, 77, 87, 100, LO, 119 Af 136 Dr. Lockyer 56. Loewy 48, 92. Pobse EME Luizet 107. Lummer 40. Ma Twan Lin 47. Mac Dowall 22. Macpherson 122. Martin 28. Markwick 108, 109, 121. Mascari 60, 81, 85. Matthiessen 97. 59, 98. 94. Mrs. Maunder 91, 131. Mr. and Mrs. Maunder 63, 64, 70 14, 75. Maury (Miss) 110, 123. Maw 44, 87. Meldrum 22. Mendeleef 103. Merlin 47. Michelson 12, 14, 15, 37. Miller 104. Millard Reade 23. Millochau 37. Mitchell 5, 6, 39. Mohler 5, 13. Moissan 37. Moreux 49. Morsman 21. Moureaux 21. Neate 46. Nernst 40. Newall 6, 7, 97, 100, 131. Newbegin 85. Newton 37. Noble 103. Nyland 119, 121. Olbers 121. v. Oppolzer 32, 36, 47, 67. Ostwald 17. Oudemans 47. Parkhurst 113. Paschen 37. Paulsen 20. Payne 58. Pechüle 113. Peek 115. Pereira 87. Perry 28, 54, 77. Pertner 115. Peters 27, 59. Petit 37. Phillips 92. B. W. Maunder 21, 39, 47, 49, 5 INDEX ALPHABETIQUE DES NOMS CITES. Piazzi Smyth 97. Pickering) W05. 117, 119. 20; Pigott 109. oor bs, 39. Wil, Ie). Pouillet 23, 37. Precht 24. Pringsheim 26, 29. Quénisset 7. Rambaut 37. Ramsay 19. Rayleigh 37, 115. Ranyard 54. Reed 120. Reyher 117. Respighi 49. Rieco 48. Ritter 23, 95, 100. Roberts 99. Rosa 59. Rosetti 37. Rowland 7. Rubens 57, 40. de la Rue 48, 90, 92. Runge 19, 24, 111. Russel 40. Russell 99. E. Rutherford 12, 19, 22. L, M. Rutherford 58. Sabine 21. Schaeberle 21, 47, 103. Chr. Scheiner 46, 48, 49, 52, 59, 60, 62, 80, 92, 93, 94. J. Scheiner 29, 36, 37, 67, 99, 10; WN, Aa, esl. A. Schmidt 33, 103. J. Schmidt 117, 121, 128. G C. Schmidt 14. Schonfeld 117, 121. Schreiber 47, 48, 49, 79. Schreinemakers 44. J. F. Schroeter 21. J. H. Schroeter 33. Schumann 22. Schur 58, 71. Schuster 6, 96. Schwabe 21, 22. Secchi 5, 9, 26, 27, 31, 32, 34, 37, 41, 44, 46, 47, 48, 53, 59, 60, 61, il. 76; 80, 83, 845 85, Samosa TU, ALB, eh Seeliger 33. Shackleton 34, 98. Sidereaves 48, 117, 128. Siemens 26. Slipher 117, 125. INDEX ALPHABETIQUE DES NOMS CITES. 137 Soddy 19. Wargentin 109, 117. Spoerer 32, 41, 56, 57, 59, 62, 63, | Waterston 37° 12s Toe 418, 19), 92, 93, 94; Weber 37. Stark 12, 68. | Weinstein 29. Stebbins 109, 111, 112, 114, 117, 125, | Westphal 117. NAG, WA MRE URE AKO | White 40. Steen 22. E. Wiedemann 14, 26, 39. Stefan 37. G. Wiedemann 29. Stephani 64. Wien 37, 40. van der Stok 49. | Wilczynski 11. Stratonoff 92. Williams 47. Strutt 19. Wilsing 14, 15, 105. Sykora 59. | A. Wilson 47, 48. Tacchini 26. C. T. R. Wilson 22. Teisserenc de Bord 22. | W. E Wilson 24, 37, 43. Thalen 4. | H. C. Wilson 58. Thomson 125. | Witt 102. Tramblay 122. Woe Pils Pi EI AO TOE) NPS), Travers 40. | Wright 107. Tromholdt 21, 22. | Wurm 117. Trouvelot 27, 54, 60. | Yendell 108. Turner 109, 130. Young 4, 5, 10, 11, 21, 23, 31, 32, Tyndall 115. 35, 37, 44, 46, 47, 49, 42, 60, Very 29, 37, 40. | Gl Oy GG, Os Weslo fie ME CO). Vicaire 37. 94, 96. Violle 37. | Zeeman 15. Vogel 15, 36, 39, 65, 99, 100, 104, | Zôllner 27, 37, 65, 110. OS Oeral TE AS 0! | 4 i > 5 L >, > ~ eS . 3 pou € = . 4 = = » Gate A à : NS = oF . © = cas f oon a ia N ae? ~ > hi RS Un the sections of a block of elghicells by a space rolaling about a plane. BY Mrs. A. BOOLE STOTT and Dr. P. H. SCHOUTE. (With 2 Plates). Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. EERSTE SECTIE.) DEEL IX. N°. 7. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. Maart 1908. Un the sections af a block of elehtcells by a space rolating about a plane. BY Mrs. A. BOOLE STOTT and Dr. P. H. SCHOUTE. (With 2 Plates). Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE.) DEEL IX. N°. 7. AMSTERDAM, JOHANNES MULLER. 1908. On the sections of a block of eightcells by a space rotating about a plane BY Mrs A BOOLE STOTT and Der PE SCHOUTE: INTRODUCTION. 1. If a space of three dimensions S, rotates in S, about a given fixed plane 7 the general case is that S, and 7 have only a line / in common. We will restrict ourselves here to the special case where S, passes through zr. If we start from a fourfold infinite block of eightcells and cut it by a space the polyhedra of intersection form a threedimensional space-filling. When the position of the intersecting space is an arbitrary one, the number of the polyhedra of different shape is infinite. Here we will restrict ourselves once more to the special cases where the number of the polyhedra of different shape is finite. These commensurable cases are characterized by the property that any space parallel to the considered position of the rotating space of intersection and passing through a vertex of one of the eightcells cuts the four edges through the opposite vertex in points the distances of which from that last vertex are commensurable with the length of the edge. Finally we restrict ourselves to the case of a finite block con- sisting of 34 = 81 eightcells, forming together an eightcell of three times the size, and we suppose that the fixed plane 7 passes through the centre of this block and is totally normal to a plane 7’ con- taining two opposite edges of it. 4 ON THE SECTIONS OF A BLOCK OF EIGHTCELLS I. SECTIONS OF A SINGLE EIGHTCELL BY ANY CENTRAL SPACE NORMAL TO THE PLANE CONTAINING TWO OPPOSITE EDGES. 2. Let O be the centre of the eightcell C, and PQ one of the two edges situated in zr’. Let & be the midpoint of PQ and G© the cube of intersection of © with the space through OZ normal to PQ. Then OR is a diagonal of C, and the plane of that space, bisecting that diagonal normally, is the fixed plane zr; it cuts G, in a regular hexagon. So this hexagon is situated in the boundary of the solid that forms the intersection of © by any space con- taining +, i.e. by any central space normal to the plane 7 through O and PQ. This hexagon will be indicated by 44. 3. We will try to smooth the way to an exact knowledge of the sections in question by considering the projection of C, on the plane zr’. It consists (fig. 1) of a rectangle with sides PQ = 1 and PP ={[/3 (where the length of the edge of C, is unity) divided by two parallels P,Q, and P,Q, to PQ into three equal rectangles. We indicate successively the projections of the 16 vertices, the 32 edges, the 24 faces and the 8 limiting cubes. The vertices are (P+3P,+3P,+ P)+(Q+3Q +3 & + Q). The edges are (83PP,+6P,P,1+3P,P)+(3 QQ, +602,+ 3,0) (POT SPO --32,0,4-P om The faces are (3 PPP, +3 P,P,P) + (3 QQ Q, +3 0,00 +(8PP,Q,Q0+6P,P,Q,Q, +3P,P'Q'Q.). The limiting bodies are PP, P,P’ + QQ, QQ +3PP,P,QQQ+3P,P,PQ@Q.. We call the cubes projecting themselves in the lines PP P,P° and QQ, QQ the upper and lower cubes, the six other limiting bodies the side-cubes. ; Any line 777,1" parallel to PP, P,P’ is the projection of a cube BY A SPACE ROTATING ABOUT A PLANE. 5 of intersection of Cg with a space parallel to these bearing the upper and lower cubes. So any point U within the rectangle PP, Q,Q (or PP QQ) is the projection of an equilateral triangle, which is the intersection of Cs with the plane, in U entirely normal to the plane of the diagram. Likewise any point / within the rectangle P,P,Q,Q, is the projection of an equiangular hexagon with alter- nately equal sides, which becomes a regular hexagon for the points V situated like O at equal distances from P,Q, and P,Q. Of these triangles and hexagons the projections U and V form the centres. An intersecting space ,(7) through mr projects itself on the plane of the diagram as a line / through O; therefore the section itself is represented in projection by the segment of / situated within the rectangle PP’Q’Q. According to the position of that lme-segment we distinguish three different cases of intersection; if ® designates the absolute value of the acute angle between 7 and its position /, in which it is parallel to PP’, which angle 7 we call the angle of rotation, the three cases are: 1% 0°< @< 30°, 27 30° 41 eightcells... | __ 6, ah Es ue ae LG. Tn Gee black are the G ie Ga G Et G es 1 40 eightcells . .. fi . 76 6 tr | 5 = Ga sae Gy Ta 8 Now the question arises: “from the fact that the eightcells of the same group correspond in shade and their sections are equal the possibility of 4/7 equal pieces corresponding in shade presents itself; in which of the cases I, II, ... VIL is this possibility realised?’ To answer it we have only to consult the general table *) We can give an analogue to the “rule of contact” for the projections on 7’ in the form: “Two eightcells the projections of which overlap for one third or are in point contact are alike, two eightcells the projection of which overlap for two thirds or are in line contact are different with regard to the shading.” 22 ON THE SECTIONS OF A BLOCK OF EIGHTCELLS of results. We find that the answer is alternately no, yes, no, etc. So in the cases II, IV, VI all equal pieces correspond in shade. And of the other cases the first behaves differently from III, V, VII, in this sense that in the cases III, V, VII all equal pieces will correspond in shade, when the shading of the eightcells of both the plus layer and the minus layer have been inverted, an alteration which does not affect the first case. 18. If in the solution of the problem of reconstruction of the section of the block by putting together the different pieces, we confine ourselves to the pieces belonging to the groups of the middle layer, the result is a part of the whole section, included between two planes. These planes are evidently the planes of inter- section of the intersecting space S,(7) with the two spaces sepa- rating the middle layer from the plus layer and the minus layer; as the two separating spaces are parallel to and equidistant from the space containing the centres of the eightcells of the middle layer, the two new planes, which we call + 7 and — 7, are parallel to and equidistant from 7. In the initial position I the intersecting space S, (7) coincides with the space bisecting the distance between the separating spaces; for this reason the planes + Tr and — 7 are at infinity in that case and cannot appear in fig. 6. For which value of the angle of rotation @, supposed to increase from 0° to 90° do these planes + 7, — 7 begin to inter- sect the section? A single glance at fig. 8 shows us that this angle P,04 is characterized by its tangent + [3 , so it amounts to 10° 58 36”; in the rhombohedrical section of the block corresponding to this angle the planes + 7, — 7 would make their appearance in the extremities 4, 4° of the axis of the rhombohedron. For any acute angle that surpasses this value the planes + 7 and — 7 divide the section into three parts, the extreme ones of which — equal to one another — are left uncoloured, while the middle slice is coloured yellow. On the side-faces of the sections the polygons of intersection with the planes + 7, —~ separate parts of the sur- face differing in shade. What appears in the planes +7, — themselves is shown in the case IT for both the planes, in the other cases for the plane + 7 only; in these sections can be seen how the polygons are built up of the d-faces and the d’ faces of the pieces of the middle layer. The other plane sections, added to the figure-groups 10;,, 10yy,... 10,n, refer to the endplane not visible in the principal figure. After what has been said it will not be necessary farther to explain the meaning of the numbers without sign or with one of BY A SPACE ROTATING ABOUT A PLANE. 23 the signs + on the side-faces of the sections of the block, on the endplanes of these sections and on the sections of these sections with the planes + 7, — 7. With regard to the letters 4, B, C, D, /, indicating the sections of the separate eightcells of different shape, inscribed also in the endplanes and the sections with the planes +27, —T it may suffice to remember that the forms 4 and B meet the invariable plane zr respectively in regular hexagons and equilateral triangles marked on them, whilst the other forms C, D, # have no point in common with that plane. 19> A’ mere: inspection of the groups of figures 105410," 10,7 can show how the section of the block composed of the sections 4, B, C,... of the separate eightcells changes, when the angle of rotation @ varies from 0° to 90°, from which ensues that the angle d of the side-faces of the section with the plane 7 increases from 54° 44’ 9” to 90°. If we now push the rotation still farther and suppose that ® varies from 90° to 180° we pass at the supplementary values of these considered above by stadia nee WV.) ol eclosely Seonnected «to the ‘sections VIE OV nemer For, if we consider the two positions @ and 180°—®@ of the inter- secting space 5, (7) as each other’s mirror-image with regard to the initial position @ — 0 of that space as a threedimensional looking-glass, and remark that the reflection of the block itself in that looking-glass interchanges only the signs + and — of the eightcells of the plus layer and the minus laver, then it is evident that the two sections corresponding to two supplementary values Dd, 180°—®@ of the angle of rotation are each other’s looking-glass image with regard to the plane zr, the interchange of the signs + included. We finish our considerations by a rapid survey of the different cases. Case II. The sections differ but slightly from the initial case (fig. 6). If we invert the shading of the pieces corresponding to the plus layer and the minus layer, and we glue together the corresponding pieces (1,-+-1), etc. of the groups Go, + G, and (3, — 3), etc. of the groups G,’,—G,, we hit upon a figure which can be derived from the solid (fig. 6) by stretching in the direction AA’. As we already remarked the shading of the equi- lateral triangles in +27, — 7 correspond to the d-faces and the d'-faces of the middle layer; if the shades were inverted they would refer to the d’-faces of the plus layer and the d-faces of the minus layer. As a glance at the figure shows, the section with the plane 4-7 24 ON THE SECTIONS OF A BLOCK OF EIGHTCELLS passes into that with the plane — 7 by a rotation through 180° about the centre of the figure, succeeded by the substitution of 28 — 4 for any number #; as this simple rule holds in general, we give in the groups 10m, 105, ..., 10yx the section with the plane + 7 only. If À represents a rhombohedrical section the solids 4, B, C satisfy the relations R= 4 — B + C; A and Care always white, B is always black. Case III. The small triangle marked e represents the endplane below, invisible im the principal figure, as seen from within the section, 1.e. from above; in the four following cases the polygons marked e must be interpreted in the same way. Here we have R=A+20—28; A and C are white in the middle layer and black elsewhere, while B is black in the middle layer and white elsewhere. Case IV. Here the relation holds R = O + 2 7’; the octahedra are white, the tetrahedra black. This case is by far the most remarkable one; it solves the question: “how to divide an octahedron O with edges equal to three units into octahedra O® and tetrahedra 7 with edges unity?” If we place the O® with one of its diagonals vertically, the solution can be given as follows. Divide the vertical diagonal into six equal parts. Cut the octahedron O by five horizontal planes passing through the points of division. Divide the square of the middle section into nine and the squares of the adjacent sections into four squares equal to the squares of the extreme sections. Then these 1+4+9+4-+1—19 equal squares *) In connexion with the space-filling properties of octahedra OD) and tetrahedra TO) in the two different positions it is evident that it must be possible to fill an octahedron O(”) and a tetrahedron T(?), both with edges p, by OW!) and T(). We only B (p*1) TW of each of the two positions are required; in the case of T(P) we want Ge mention the results here. In the case of O(p) 5 Cp’ + 1) 0@) and L Ge (p +1) (p +2) TW corresponding in position with TW) and =P (p—1) (p—2) T° in the opposite position. These results verifv the relations in volume 5 (20° + 1) OU) + x p—1) TO) = p* 0), ao OD + 5 + 2) TA) =p? TA) based on the fact that 4 T() correspond to one OÙ), as they ought to do. In threedimensional space divided into O4) and T() there is plane contact between two polyhedra of different kind. So an OM) and two 7(!) in plane contact with it on two opposite faces form a rhombohedron, an O() and the eight T() in plane contact with it form the well-known figure of the two equal but oppositely placed tetrahedra penetrating one another in an octahedron. BY A SPACE ROTATING ABOUT A PLANE. w Ci represent the horizontal middle sections of the 19 O™. Moreover the 4 + 12 + 24 + 12 + 4 line-segments equal to unity, forming together the sides of the 19 squares, represent the horizontal edges of the tetrahedra 7“. Any of these 56 segments belongs to two tetrahedra if there are two segments lying in two adjacent planes crossing it at right angles and having their centres in the vertical through the centre of the chosen segment. If there is only one such segment the chosen segment belongs to only one tetrahedron. So we find in the layers between the planes successively 4+-12+ 12+ 4= 327, 16 right-handed ones and 16 left- handed ones. Case V. Here we find R= 4+ 20+ 2B- 2 D. Of these different pieces 4 and B occur in the middle layer only, C and D in the extreme layers only. The forms 4 are all white, the forms B all black. The forms C and 2 show this particularity that not even the equal forms belonging to the same extreme layer corres- pond in shade. So the upper layer contains 13 ©, six white ones GS, 4) and seven black ones (+, ;5), etc. Case VI. Here R= 4-+-2C+ 2 H+ 2 B- 2D. Moreover all 4, #, D are white, all C, B black. Case VII. This case leads us back to the well-known plane- filling by regular hexagons and equialateral triangles. Liscard | : November, 1907. Groningen | 7 a ET x fi 11 15 ek df 1 | € Dit : - : J PA \ N é 8 Mrs. A.BOOLE STOTT and D? RH SCHOUTE: “On the sections of a block of eightcells by a space rotating about a plane." - PLL A À 4 lo | Verhand. Kon. Akad. v Wetensch. (lS Sectie) DI IX JBijtel itt. PJMulder apr Leiden Mrs. A.BOOLE STOTT and D? PH.SCHOUTE: “On the sections of a block of eightcells bya space rotating about a plane.” Bn EEN 5 reel lath. PI Mulder orp Leiden Verhand. Kon. Akad.v Wetensch. (1£ Sectie) DL IX. Biel tah. PID sider ri \y EN, Ur DANCE ET 10 GEDRUKT BIJ —o JOH. ENSCHEDE EN ZONEN o— HAARLEM