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EXERCICES D'ANALYSE
PHYSIQUE MATHÉMATIOliE.
Les Exercices d'Analyse et de Physique malhémalique paraissent par cahier de
î feuilles. La souscription se fait pour 12 numéros.
Prix : pour Paris 18 fr.
— pour les départements. . . 21
— pour l'étranger 24
Ou
A Paris, chez BACHELIER, éditeur, quaî des Augustins
DANS LES DÉPARTEMENTS.
A Bayonne , chez Jaymebon.
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Grenoble, — Vallot et comp.
Lille, — Vanackère.
Limoges, — Ardant.
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N" 55.
Marseille, — \
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A Montpellier, chez Sévalle.
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Perpignan , — Alzine.
Rennes, — Verdier.
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„ , 4 Treuttel et Wiirtz
Strasbourg,- ^ Levrault.
Toulouse, — Henri Lebon.
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Berlin, — Behr.
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La Haye, — Van (Jeof frères.
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\ 1. Issakoff, commission, of-
; ficielde toutesles bibliot. des
ie;c/-56oury^, -^régiments de la garde ira-
i périale, Gostinoï-Dvor , 2'2;
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Stockholm , — Bonier.
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Mémoire sur le rapport qui existe entre le Calcul
des Résidus et le Calcul des Limites; Turin,
27 novembre i83i, in-4°. — Épuisé.
Extrait du Mémoire présenté a l'Académie de
Turin le 1 1 octobre 18 >i; pet. in-4° de 20} pages.
— Épuisé. On peut avoir les pag. 67 à 204, 4 '>■•
Résumé d'un Mémoire sur la Mécanique céleste, lu à
Turin le i5 octobre i83i; petit in-4°. — Épuisé.
Mémoire sur la Théorie de la Lumière; i83o,
in-8'*, 75 c.
Mémoire sur la dispersion de la Lumière; i83o,
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Exercices de Mathématiques. iSif), 27, 28, 29;
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Prix de chaque numéro, i fr. 5o
EXERCICES D ANALYSE
PHYSIQUE MATHÉMATIQUE,
Par le Baroiv Augustin CAUCHY,
■e de lAcadémie des Sciences de Paris . de la Société Italienne , de la Société royale de l.ondre
des Académies de Berlin de Saint-Pétersbourg , de Praiiuc . de Stockholm
de Goettingue . de l'Académie Américaine . elt
TOME QUATRIÈME.
PARIS,
BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DE l'école polytechnique, DU BUREAU DES LONGITUDES, ETC.,
QUAI DES AUGUSTINS, N° 55.
1847
/. h : C-
\iU'
EXERCICES D'ANALYSE
PHYSIQUE MATHEMATIQUE.
MÉMOIRE
Résultantes que l'on peut former, soit avec les cosinus des angles
compris entre deux systèmes d'axes, soit avec les coordonnées de
deux ou trois points.
Les résultantes dont il s'agit se présentent d'elles-mêmes, comme on >ait ,
dans la solution d'un grand nombre de problèmes. D'ailleurs, celles qui sont
formées avec les coordonnées de deux ou trois points peuvent être imnie-
diatemerit déduites de celles qui renferment les cosinus des angles compris
entre deux systèmes d'axes. Ajoutons que l'on facilite la détermination de
ces deux espèces de résultantes, en introduisant dans le calcul des (juantité-
propres à indiquer le sens de certains mouvements de rotation, ainsi que j*
l'expliquerai tout à l'heure.
§ P*". — Des mouvements de rotation directs et rétrogrades.
Considérons d'abord, dans un plan donné, diverses longueurs
/•, s, r,. . .,
dont chacune sera mesurée dans une certaine direction , à partir d'une cer-
taine origine O, et supposons que cette origine soit la même pour toutes
403158
(6)
ces longueurs. Si un rayon mobile, compté encore à partir du point O,
tourne autour de ce point dans le plan donné, il offrira ce que nous appelle-
rons un mouvement de rotation de ren *, ou un mouvement de rotation de s
en r, selon qu'il passera, en décrivant l'angle (r^s), de la direction r à la
direction s ^ ou de la direction 5- à la direction r. Pour distinguer plus faci-
lement, dans le discours et dans les formules, ces deux mouvements l'un de
l'autre, nous tracerons, dans le plan de l'angle (/',•$"), deux axes coor-
donnés des jc et j- qui passeront par l'origine O; et, en nommant x, y
deux longueurs mesurées à partir de cette origine sur les demi-axes des x
et r positives , nous appellerons mouvement de rotation direct celui qui
s'effectuera dans le même sens que le mouvement de rotation de x en y, et
mouvement rétrograde , celui qui s'effectuera en sens contraire. Déplus, nous
représenterons, dans ce Mémoire, par la simple notation
une quantité qui, ayant pour valeur numérique l'unité, sera positive ou
négative, suivant que le mouvement de rotation de r eu s sera direct ou ré-
trograde; en sorte qu'on aura, dans le premier cas,
dans le second cas ,
Gela posé , les deux notations
(;-, s) = I,
(r, ^) =: -I.
représenteront, dans nos formules, deux quantités affectées de signes con-
traires, mais équivalentes, au signe près, à l'unité; en sorte quon aura
(i) {^■>r) = -ir^^)-
Ajoutons que, si Ton nomme
r', s\ t',. . .
des longueurs mesurées à partir de l'origine O, dans des directions opposées
à celles des longueurs
r, s , ^ , . . . ,
on aura évidemment
(2) {r',s):=- (r,s).
(7)
et , par suite ,
(3) (r, s) = - (r', s) = (/•', s') = - (r, s').
Si les axes coordonnés sont rectangulaires, alors, les deux directions x, y
étant perpendiculaires entre elles, une troisième direction r formera tou-
jours, avec les deux premières, deux angles
(^>x), (r,y),
dont chacun offrira un cosinus égal, abstraction faite du signe, au sinus de
l'autre; et, par suite,
cos (r, x), cos (r, y),
auront pour valeurs numériques les quantités positives
/s /\
sin (r,y), sin (/', x).
D'ailleurs, cos(r,x) sera positif ou négatif, suivant que l'angle (r,x) sera aigu
ou obtus. Or, dans le premier cas, r et x étant situés d'un même côté par
rapport à l'axe de j, le mouvement de rotation de r en y sera droit , comme
le mouvement de rotation de x en y; et, par conséquent, on aura
Dans le secoud cas, au contraire, r et y étant situés de deux côtés opposés
par rapport à Taxe des j, le mouvement de rotation de /• en y sera rétro-
grade, puisqu'il s'effectuera en sens inverse du mouvement de x et y; on aura
donc
(r,y) =z - I.
Donc, dans tous les cas, le signe de cos(r,x) sera précisément le signe de
(r, y). On prouvera, de même, l'identité du signe de cos (r,y) et du signe
de (x, r). Donc, pour obtenir des produits égaux aux cosinus
cos (r, x) , cos [s, y) ,
il suffira de multiplier leurs valeurs numériques
sm(r, y), sin(r, x).
(8)
par les facteurs
(r, y), (x,/'),
en so!t(? qu'on aura
•';4) cos (r, x) = (r, y) sin (r, y) , cos [r, y) = (x , r) sin (x?/-).
Supposons, maintenant, que les longueurs
/', .s , t ,. . .,
toujours mesurées à partir du point 0, soient dirigées d'une manière quel-
conque dans l'espace. Le mouvement de rotation d'un rayon mobile qui,
en décrivant l'angle (r, 6-), passera de r en s , pourra être de deux espèces
différentes, non-seulement en lui-même, mais encore par rapport à la di-
rection d'une longueur t mesurée à partir du point O en dehors du plan
r, s). En effet, ce mouvement pourra s'effectuer ou de gauche à droite, ou
de droite à gauche, par rapport à la direction ^, c'est-à-dire par rapport
à un spectateur qui, ayant les pieds posés sur le plan (r, s)^ st^i-ait appuyé
contre le demi-axe, sur lequel se mesure la longueur t. Mais il importe
d'observer que si le rayon mobile parcourt l'une après l'autre les trois
faces de l'angle solide qui a pour arêtes r, i- et /, en tournant toujours dans
le même sens autour du point O, de manière, par exemple , à décrire siic-
/\ /\ /\
5^essivement les trois angles plans (r. .ç), {s,t)^ [^i'')i '^-S trois mouvements
de rotation de /' eu s autour de Z , de i' en ^ autour de /\ et de l en r autour
de i, seront tous les trois de même espèce, c'est-à-dire qu'ils s'effect.ie-
ront tous les trois de gauche à droite, ou tous les trois de droite à gauciie,
autour des directions /', «y, t. Afin de pouvoir reconnaître plus aisémeui ,
dans le discours et dans le calcul, la nature des mouvements dont il s agit,
nous tracerons dans Tespace trois axes coordonnés des x , j. z qui passeront
par l'origine O; et en nommant
X, y, /
trois longueurs mesurées à partir de cette origine sur les demi-axes des oc ,
y et z positives , nous appellerons direct ou rétrograde le mouvement de
rotation de r en s autour de la direction t , suivant que ce mouvement sera
ou ne sera pas de l'espèce des trois mouvements de rotation de x et v au-
tour de z , de y en z autour de x, et de z en x autour de v. De plus, nous
représenterons, dans ce Mémoire, par la simple notation
[r,s,t),
K9 )
une quantité qui, ayant pour valeur numérique l'unité, sera positive ou né-
gative, suivant que le mouvement de rotation de r en s sera direct on rétro-
grade ; en sorte qu'on aura , dans le premier cas ,
(r, s, t) = i,
dans le second cas
(/•, 5, t) = — r .
Cela posé , les six notations
(r, s, t), [s^ t, r) , [t, r, s),
(r, t, s), [s, f\ t)^ (t, s, r)
représenteront toujours, dans nos calculs, des quantités équivalentes, an
signe près, à l'unité, et liées entre elles par la formule
(5) [r,s,f) =:(s,f. r) = (f,r,s)=-~ (r.t^s) ^ — (s , r,f) = - {t^ s, r).
Ajoutons que, si l'on nomme
/ ', s\ /',...
des longueurs mesurées à partir de l'origine O, dans des directions opposées
à celles des longueurs
r, s. /:,,...
on aura évidemment
et, par suite,
(7) {r,s,t) = ~ [r'.s, t) = 'r\s', t.) = - [r\s',r') = eU
Nous avons, dans ce qui précède , supposé que les diverses longueurs
i\ s, t,. . . , X, V, z,. . .
se mesuraient toutes à partir d'une même origine. Pour plus de généralité .
nous étendrons l'usage des notations ci-dessus indiquées, au cas même où les
diverses longueurs seraient comptées à partir d'origines diverses, et alors
nous attribuerons aux notations
Ex. d'An, et de i'i:. rnatk.. T. IV (57® livr.j 2
( ïo)
les valeui's qu'elles auraient, si les lonfjueurs
étaient transportées parallèlement à elles-mêmes , de manière à offrir, poni
origine commune, un point unique. Enfin, lorsqu'en supposant les lon-
{^ueurs i\ s ^ t mesurées à partir d'origines diverses, nous mentionnerons li
plan de l'angle (r, j^) , ou bien encore l'angle solide construit avec les arêtes
/, -î, ty on devra toujours, par ces paroles, entendre, dans le premier cas -
le plan de l'angle compris entre deux longueurs mesurées à partir d'une
même origine, dans des directions parallèles à celles de r et de s; et, dans
le second cas, l'angle solide qui aurait pour arêtes trois longueurs mesu-
rées à partir d'une même origine, dans des directions parallèles à celles de /-,
y et t.
On peut, avec la plus grande facilité, déduire des équations (4), jointes
au & théorème de la page 3i [ du 3^ volume, les formules connues qui ser-
vent à déterminer le cosinus on le sinus de la somme ou de la différence de
deux arcs. En effet, soient
/', s
deux longueurs mesurées dans un même plan , à partir d'une certaine ori-
gine O , et
'^^ y
deux autres longueurs mesurées, à partir de la même origine, sur deux axes
des j: Gi j perpendiculaires entre eux. Le Çf théorème de la page 3ri du
3^ volume donnera
(8) cos (/', s) = cos ir. x) cos (j-, x) + cos (r, y) cos \s,y).
Mais , eu égard à la seconde des formules (/|), on aura
cos(r,y) = (x, rjsin (r, x), cos(>y,y) = (x,^) ûn{s^ x).
Donc on tirera, de la formide (8),
(9) cos [r,s) ■= cos!>,x) cosfj',x) 4- (x,r)(x,5) siu (r, x) ^lOi'.v, \).
Concevons maintenant que l'on pose, pour abréger,
(/,x) =: a , [S, x) = h.
Si los longueurs a, s sont situées d'un même côté de Taxe des x, on aura évi-
demment
(/•,/) =z ±: {a — h, , cos (/•, s) = cos (rt — h) ,
{ X , /•) (x , J-) = I ,
et, par suite, la formule (9) donnera
(10) cos (a — ^y = cosa cos/^-l- sinasiu^.
Si, au contraire, les deux longueurs r, s sont situées de deux côtés diffé-
rents de Taxe des jc , on aura
{i^s) = a-^h ou {r, sj = In -- {a -^ b), cos{i\ s) = cos(a -^ b),
(x, /■) (x, i') =— V,
et, par suite, la formule (9) donnera
'II) cos [a -+- b) = cos a cos b — sin a sin b.
D'ailleurs, les formules (10), (11), ainsi établies pour le cas où chacun des
angles à, b est positif et inférieur à tt, continueront évidemment de subsister,
si Ton y fait croître ou décroître chacun de ces angles d'un multiple quel-
conque de tt. Elles subsisteront donc pour des valeurs quelconques, positives
ou négatives, de a et de b. Ajoutons que, si, dans les formules (lo), (11),
Ton remplace a par - — a^ on en tirera immédiatement
( 1 2) sin [a ->rb)=- sin a cos ^ -h sin b cos a ,
( 1 3) sin (a — b) = sin a cos b — sin b cos a .
Avant de terminer ce paragraphe, nous allons indiquer encore une nota-
tion qui sera employée dans le cours de ce Mémoire, conjointement avec
celles que nous venons d'établir, et qui d'ailleurs est, à peu près, celle dont
Lagrange a fait usage, dans le tome II de la Mécanique ancdjtique (art. 48,
page 6t). Afin de rendre les formules plus concises et plus faciles à retenir,
nous désignerons généralement par
la surface du parallélogramme que l'on peut construire sur les deux côtés /, s.
d'un angle plan (r, s)^ réduits l'un et l'autre à l'unité, et par
( I^ }
la surface du parallélipipèdc que 1 on peut construire sur les trois arêtes r, s, t,
d'un angle solide, réduites elles-mêmes à l'unité. D'ailleurs, on obtiendra
sans peine les valeurs de
[r,s], [r,s,t],
en opérant comme il suit:
Si, après avoir construit le parallélogramme dont les côtés sont r et ^ , on
})rt;nd /' pour base de ce parallélogramme , la hauteur sera représentée par le
produit
/\
s sin (r, s).
Donc laire du parallélogramme sera proportionnelle, pour une valeur dé-
?erminée de l'angle (r, ^), au produit r.y, et représentée par l'expression
rs sin (r, s).
Si , dans cette expression , l'on réduit chacune des longueurs r, s k lunilé ,
Taire dont il s'agit deviendra
(i4) f/', -îj = sin(r, ^).
Concevons maintenant qu'après avoir construit le parallélipipèdc dont les
arêtes r\s,t se coupent au point O, on élevé, par ce point, des perpendi-
culaires aux plans des trois angles
/\ /\ /\
(.?, ^), (^,r), {i\s),
et nommons
/?, S, T
trois longueurs mesurées sur ces trois perpendiculaires, la première du
même côté que l'arête r par rapport au plan de l'angle {s^t), la seconde du
même côté que l'arête s par rapport au plan de l'angle (j^, /), la troisième
du môme côté que l'arôte t par rapport au plan de l'angle {r,s). Si l'on prend
pour base de ce parallélipipèdc le parallélogramme qui a pour côtés r et s ,
et pour aire le produit
rs sin {r,s),
!a haiiteur correspondante à cette base sera évidemment
/cos(/^, 7').
( i3 )
Donc le volume du parallélipipède sera, pour des valeurs déterminées des
angles (r, s) , {t, T), proportionnel au produit rst, et ce volume sera exprimé
par le produit
j'st sin [j\ s) ces (^ , T).
Enfin, si l'on réduit chacune des longueurs rst à l'unité, le volume trouve
deviendra
(i5) [r, j,^] =:sin(r, ^)cosr^, 7^).
On obtiendra de même, en échangeant les arêtes i\s,t entre elles, deux au-
tres valeurs de [r, s, t] qui seront, avec la précédente, données par la for-
mule
(16) [r^s, t]=z sin (r, t) cos (r,i?) = sin (^, r) cos (5, iS) = sin (r, s) cos (/, 7""),
c'est-à-dire, en d'autres termes, par l'équation (6) de la page 3io du 3* vo-
lume.
Lorsqu'on introduit dans le calcul les deux expressions
l'aire du parallélogramme qui a pour côtés r et s, se trouve représentée par
le produit
(17) rs[r,s];
et pareillement le volume du parallélipipède qui a pour arêtes les longueurs
f\s,t, se trouve représenté par le produit
(18) rst[r\s,f.].
Ajoutons que les aires du triangle et du parallélogramme, qui ont pour
côtés r et s , étant entre elles dans le rapport de 1 à 2 , l'aire du triangle sera
représentée par le produit
(19) '^rs[r,s].
Pareillement les volumes du tétraèdre et du parallélipipède qui ont poiu^
arêtes r,sett^ étant entre eux dans le rapport de i à 6, le volume du té-
traèdre sera représenté par le produit
(20) ^rst[r,s,t].
( '4)
En finissant, nous indiquerons un moyen très-simple de résoudre une
question qu'il ne sera pas inutile de traiter ici, et nous rechercherons ce que
devient l'aire exprimée parla notation [r,i], quand cette aire est projelt'e
sur un nouveau plan par exemple, sur le plan de l'angle (^^ w).
Supposons que , les longueurs
étant toutes mesurées à partir de l'origine G, on nomme
les projections absolues et orthogonales des longueurs
r, s
sur le plan de l'angle (w ,v);eA soit i l'angle aigu compris entre les plans de^
deux angles (r, s), [u, v) , ou ce qu'on appelle Tinclinaison de l'un de ces plans
sur l'autre. Si l'on projette sur le plan de l'angle {n,i>) le parallélogrannin-
qui a pour côtés r et s ^ l'aire de la projection sera
pçsin(p,ç).
Mais, d'autre part, on aura évidemment
p=ir cos (r, (5) , ç = ^ cos [s , ç) ;
donc Taire de la projection pourra être représentée généralement par le
produit
/\ /\ /\
.21) rs cos (r, p) cos(^, ç) sin ((&, z).
En réduisant, dans ce produit, ret i^ à l'unité, on obtiendra la projection de
l'aire [r, s\ sur le plan de l'angle (m, v). Cette dernière piojection sera donc
exprimée par le produit
/\ /\ /^
(aa) cos (^r, p) cos {s, ç) sin (p, ç).
Ce n'est pas tout. L'aire du parallélogramme qui a pour côtés r et ç étant
leprésentée par le produit
/\
rs sin (/\ 5) ,
il suffira de diviser la projection de cette aire par cette aire même, ou, en
( i5 )
d'autres termes, par le produit (21), pour obtenir le rapport
(23) ^^^ ('"' ?) ^^^ (■^' ')sif^ (p j ')
. , ^, '
sm (r, S)
et l'ou obtiendra encore évidemment le même rapport si Ton réduit à moitié
l'aire dont il s'agit et sa projection, en leur substituant l'aire du triangle qui
a pour côtés r^ s, et la projection de l'aire de ce triangle. D'ailleurs, rien
n'empêche d'attribuer aux côtés r, 5 des longueurs telles, que le troisième
côté du triangle devienne parallèle au plan de l'angle (w, v) , par conséquent
à la droite suivant laquelle se coupent les plans des deux angles (/, s), [u, e);
et si, en supposant cette condition remplie, on prend pour base du triangle
ce troisième côté, il se projettera en toute grandeur sur le plan de l'angle (//, i-j,
pour y devenir la base du triangle projeté. Alors, le triangle et sa projection
offrant des bases égales, leurs aires seront entre elles dans le rapport des
hauteurs correspondantes, et comme ces hauteurs seront mesurées sur
des droites perpendiculaires aux deux bases, par conséquent à la droite
d'intersection des plans des deux angles (r, s), (w, i^), le rapport de la seconde
hauteur à la première sera précisément le cosinus de l'inclinaison des
deux plans, c'est-à-dire de l'angle t. Donc le rapport (23) sera précisément
égal à cos i , et l'on aura, par suite ,
/\ /\ /\ /s
(24) cos (/■, p) cos [s, ç) sin {p^ g) = sin (r, s) cos t.
En vertu de la formule (24), la projection de l'aire [i\s] sur le plan de
l'angle {u,v) pourra être représentée non-seulement par l'expression (>.y, .
mais encore par le produit
(2 5) sin(r, jjcos Î-.
ou, ce qui revient au même, par le produit
126) _ [/■, >î]C0S£.
Il y a plus : en substituant le produit (26) au produit (22) dans Texpres-
sion (21), on obtiendra la suivante :
(27) n[/-,^]cosr,
( ^^ )
qui devra , comme l'expression (21), représenter la projection de laiie
(;'est-à-dire de l'aire du triangle dont les côtés sont ret s. On se trouve ainsi
ramené par un calcul très-simple à cette proposition connue, que l'aire d'iut
triangle tracé dans un plan est à sa projection sur un autre plan, dans le
rapport de V unité au cosinus de l'angle aigu compris entre les deux plans.
lia formule (24) coïncide évidemment avec l'équation (8) de la Note in-
sérée à la page i3i du 3® volume. Mais on doit observer que, dans cette
Note, l'équation dont il s'agit, au lieu d'être démontrée directement, avait
été déduite delà proposition même que nous venons de rappeler.
§ II — Sur les résultantes formées avec les cosinus des angles compris entre deux systè/nrs
d'axes.
Considérons dans un plan ou dans l'espace deux systèmes d'axes rectan-
gulaires ou obliques, chaque système étant composé de deux ou trois axes
seulement. Supposons chacun de ces axes indéfiniment prolongé dans une
direction déterminée, qui sera celle d'une certaine longueur portée à partir
d'une certaine origine O, sur l'axe dont il s'agit. Enfin, nommons
les longueurs ainsi mesurées, à partir d'une même origine, ou à partir d ori-
gines diverses, sur les directions assignées aux deux ou trois axes qui compo-
sent le premier système , et
U, V ou U, V, IV
les longueurs mesurées, à partir d'une même origine, ou à partir d'origines
diverses, sur les directions assignées aux deux ou trois axes qui composent le
second système. Les angles compris entre les axes du premier système et les
axes du second système auront pour cosinus , si chaque système est composé
de deux axes seulement, les quatre quantités comprises dans ce tableau :
/ 1 cos (r, u), cos [T, if),
cos (.?,«), cos(s,v);
et, dans le cas contraire, c'est-à-dire dans le cas où chaque système serait
( 17 )
composé de tiois axes, les neuf quantités
Scos (r, m), ces (r, c) , ces (r, w) ,
/s • /\ ^ /\ ^
\-»; x COS{s,U), COS(^, Pj, COS [S, Wj,
l A\ /\ /\
V cos(^, w), cos(^, ç^), cos(^, w).
D'ailleurs, on pourra former une résultante à deux dimensions avec les
quatre termes du tableau (i), et une résultante à trois dimensions avec les
neuf termes du tableau (2). Pour abréger, nous désignerons ces deux résul-
tantes à laide des notations
dont cbacune offrira, comme ou le voit, deux systèmes de quantités sépa-
rées les unes des autres, non-seulement par des virgules, mais aussi par le
signe ; interposé entre les deux systèmes. Il est vrai qu'au premier abord
on peut être tenté de trouver ces notations trop semblables à celles que
nous avons adoptées dans le premier paragraphe; mais ou verra, dans \c
§ III, que cette similitude, loin d'être un inconvénient, est un avantage
très-réel , et que les expressions
se trouvent comprises, comme cas particuliers, dans les expressions plus
générales
[r, J';m,p], \r^ s^t; u,v,w\.
Les notations que nous venons de proposer étant admises, on aura géné-
ralement
(3) [r, j ; M , p] — cos (r, u) cos (s^ v) — cos (r, i^) cos (^, u) ,
et
cos (r, u) cos [s, v) cos {t, w) — cos (r, u) cos {s, w) cos [t, p)
- cos (r, i^) cos{s, w) cos{t , u) — cos(r, i>) cos [s, u) cos (t, w,
/s /\ /\ /N /^, /\
- cos(r,w)cos(j, u)cos{t, v) — cos(r,îv)cos(j, t')cos(^, u).
D'ailleurs, les deux résultantes
[r, s; u,v\, [r,s,t; u, i', fv],
Ex. d'An, et de Phfs. math.. T. IV.(57eUvr.) 3
( I^ )
définies par les équations (3) et (4), jouissent de propriétés qu'il est utile de
hien connaître, et que nous allons successivemeut énoncer.
Observons d'abord qu'en vertu des formules (S) et (4), chacune des ré-
sultantes
[f\s; M, m], [r\s,t; n^v^w]
ne sera pas altérée, si l'on échange entre eux les deux systèmes d'ajtes, par
conséquent les deux systèmes de longueurs
/', s et M, t',
ou
r, s, t et u, V, w.
Mais chacune de ces résultantes changera de signe, sans changer de valeut
numérique, si l'on échange entre elles deux longueurs mesurées sur deux
axes appartenant au même système. On aura, par exemple,
(5) [>^? ^; u,i>]=. — [/•, s; u, v],
et
(6) [s, r, t; w, t^, w] = — [r, s , t; u, v, w].
Observons encore que chacune des résultantes
[r, s ; u, \f], [r, s , t; z/ , i^, î v]
changera toujours de signe , sans changer de valeur numérique , (juand on v
remplacera Tune quelconque des directions
i\ s , t , u , i>, w
par la direction opposée. En effet, supposons que l'on substitue, par exem-
ple , à la longueur r une longueur r', mesurée, comme la longueur r, à partir
de l'origine O, mais dans une direction opposée à celle de r. Alors, dans les
seconds membres des formules (3) et (4), les angles
/s ^ /\
(r, u) , (r, v) , (r, w)
se trouveront remplacés par leurs suppléments
/\ /\ x\
{r\u)^ (r\i^), \i'\w);
et puisque deux angles, dont l'un est supplément de l'autre, offrent, avec le
même sinus, deux cosinus égaux, aux signes près, mais affectés de signe?
i 19
contraires, il est clair que la substitution de r' à r aura pour effet unique de
changer le signe de chaque terme dans les valeurs des résultantes
On aura donc, par suite,
(7) ['^-^J «, ^] = — [f'yS'^ «o^]j
et
(8) [r', s^ t; H, V, îv] = — [r, v,t; m , v, w].
Remarquons encore que les angles dont les cosinus entrent comme fac-
teurs dans la composition des divers termes des deux résultantes
ne varieront pas si l'on transporte parallèlement à lui-même chacun des axes
sur lesquels se mesurent les longueurs
Eu conséquence, on peut énoncer la proposition suivante
Théorème. Si les longueurs
r, i", f , 11^ v,w, . . .
sont mesurées, à partir d origines diverses, sur divers axes indéfiniment pro-
longés dans certaines directions, on n'altérera point les valeurs des résultantes
[r, j ; M , v] , [r, s. t., w , p, w\
en transportant les axes dont il s agit, parallèlement à eux-mêmes, sans
changer leurs directions, de manière à donner pour origine commune aux
diverses longueurs un point unique.
Eu égard à ce théorème, nous supposerons, dans les §§ III et IV, les di-
verses longueurs
T\ s, t , U, V, IV, . . .
toutes mesurées à partir d'une seule origine O, qui sera le sommet commun
des angles plans compris entre elles, et des angles solides dont les arêtes com-
cideront avec trois de ces mêmes longueurs.
Nous venons de rappeler quelques-unes des propriétés des deux résul-
tantes
[/•, s; u, v], [/', Sf t; u, c, iv\.
3.
( ^o )
Une autre propriété remarquable de ces mêmes résultantes, c'est que la
première ne sera point altérée si chacun des angles (r, j) , (w,p) vient à
tourner autour du point O, sans changer de valeur, dans le plan qui le
renferme, et que pareillement la seconde ne sera point altérée si chacun
des angles solides construits avec les arêtes r, s , t ou m, t^, iv, tourne au-
tour du point O, sans se déformer. Mais, pour établir plus aisément cette
propriété, il convient d'examiner successivemeni le cas particulier dans le-
quel un des deux systèmes d axes
r,s,t et u, t^, w,
se compose d'axes perpendiculaires entre eux; puis le cas général où les
axes de chaque système comprennent entre eux des angles quelconques. C'est
ce que nous ferons dans les deux paragraphes suivants.
§ III. — Déternii nation df. la résultante construite avec les cosinus des angles que des axes
(juelconr/ues forment avec d'autres axes perpendiculaires entre eux.
Considérons d'abord, dans un plan donné, deux axes indéfiniment pro-
longés à partir d'un certain point O dans deux directions déterminées.
Soient
deux longueurs mesurées dans ces deux directions à partir de l'origne O; et
supposons, dans le plan de l'angle (r, .y), la position d'un point quelconque
rapportée à deux axes rectangulaires des x,^, qui passent eux-mêmes par
l'origine O. Enfin nommons
deux longueurs mesurées, à partir de cette origine, sur les axes des x, jr,
indéfiniment prolongés dans le sens des coordonnées positives. Les cosinus
des quatre angles
/s /s
(5,x), (.y, y),
que formeront les deux côtés de l'angle (r, s) avec les deux côtés de l'angle
( '^^ )
clioit (x,y), et, par suite, la résultante
( i) [r, i'; X , y) — cos (r, x) cos [s , y) — cos [r, y) cos (^ , x)
construite avec ces cosinus, pourront être évidemment exprimés à l'aide des
sinus et cosinus des seuls angles
(r, x), (i-,y).
Si, pour plus de commodité, on commence par supposer les longueurs r, s,
situées lune et l'autre du côté des^ positives , c'est-à-dire , en d'autres termes,
du même côté que y, par rapport à l'axe des x^ alors chacun des angles
/N /N
{'\ y)' {^^ y)
étant aigu offrira un cosinus positif; et, comme la valeur numérique de ce
cosinus sera le sinus de Tangle formé par la longueur r ou ^ avec une direc-
tion perpendiculaire à y, on aura
/\ ^ r\ /\ /\
cos (r, y) = sin (r, x), cos (^, y) = sin {s , x).
Donc alors la formule (i) donnera
[r,s', X , y] = cos (r, x) sin (.s , x) — sin (r, x) cos (>y, x),
ou, ce qui revient au même , eu égard à la formule (i i) du § I",
/N /N
[r, 5 ; X , y] =r sin [{s, x; — (r, x)].
Mais alors aussi , la différence
(6-,x) - (r, X!,
égale, au signe près, à l'angle (r, s), sera positive ou négative, avec son si-
nus, suivant que le mouvement de rotation de r en ^ sera direct ou rétro-
grade. Donc la dernière des formules obtenues pourra s'écrire comme il
suit :
(a) [r, ^; x,y] = (r, ^■)sin(r, i-).
D'ailleurs l'équation (2), ainsi établie pour le cas où les longueurs r, s seraient
toutes deux situées du côté des j* positives , continuera de subsister, en vertu
de la formule (7) du § II, jointe à la formule (2) du § P% si l'on substitue a
Tune des directions r, s la direction opposée r' on s\ située du côté des j'
négatives, et, par suite encore, si l'on substitue en même temps r' à r et i^' à 5
( 22 )
Donc la formule (2) subsistera pour deux longueurs dont chacune pourra
être située, comme l'on voudra, ou du côté des j' positives, ou du côte
des^ négatives. D'autre part, la quantité positive siu (r, s) représente préci-
sément ce que devient la surface du parallélogramme construit sur les côtés
r, s de l'angle (r, s), dans le cas où ces côtés sont tous deux égaux à l'unité,
et l'expression
(r, s)
se réduit à -4- i ou à — i, suivant que le mouvement de rotation de r en s
est direct ou rétrograde, c'est-à-dire dirigé dans le sens du mouvement de
rotation de r en s, ou dans le sens opposé. Cela posé, la formule (2) entraî-
nera évidemment la proposition suivante :
1" Théorème. Étant donnés dans un plan, un angle droit (x, yj, et un angle
.lifju , droit ou obtus (r, s), qui ont pour sommet commun le point O; si
Ton détermine les quatre cosinus des autres angles
que formeront les côtés r, s de langle (r, s) avec les côtés x, y de 1 angle
droit (x,y), la résultante
construite avec ces quatre cosinus, sera positive ou négative, suivant que les
mouvements de rotation de ren 5-, et de x en y, s'effectueront dans le njéme
sens ou en sens contraire ; et cette résultante aura pour valeur numérique
le sinus de l'angle {r, s) , ou, ce qui revient au même, l'aire du parallélo-
gramme que Ton peut construire sur les côtés r, s réduits l'un et l'autre a
l'unité.
Corollaire. I^a valeur numérique de la résultante
étant indépendante non-seulement de la position qu'occupent, dans le piau
donné, les axes rectangulaires sur lesquels se mesurent les deux longueurs
X, y, mais encore du sens dans lequel s'effectue le mouvement de rotation
de x en y, il est naturel de représenter cette valeur numérique par la simple
notation
( ï^^ )
que l'on déduit de l'expression
en y effaçant les deux lettres x , y, employées pour indiquer deux directions
dont il n'est plus nécessaire de faire une mention expresse. Alors l'équation (2)
se trouve remplacée par les deux formules
(3) [/■,j;x,y] = (r,^)[r,^],
/s
(4) [^5*^1 = sin (r, s),
dont la seconde reproduit précisément l'une des notations admises dans
le§I".
Supposons maintenant que, le sommet O de l'angle (i\s) étant toujours
pris pour origine des coordonnées, on rapporte la position d'un point quel-
conque de l'espace à trois axes rectangulaires des cc^ j^ z, dont les deux
premiers pourront être situés en dehors du plan de l'angle (r, i-); et nom-
mons
X, y, /
trois longueurs mesurées , à partir de l'origine O, sur les trois axes des x, j^ z ,
indéfiniment prolongés dans le sens des coordonnées positives. Si l'on déter-
mine les cosinus des quatre angles
/s /\
Csx), (5, y),
que formeront les côtés de l'angle (r, s) avec les côtés de l'angle droit (x, y),
on pourra toujours construire avec ces cosinus une résultante
[r, s; x , y] = cos (r, x) cos {s, y) — cos (r, y) cos {s, x).
Si d'ailleurs, après avoir projeté les longueurs
r, s
sur le plan des x, ^, on nomme
deux longueurs nouvelles mesurées, à partir du point O, dans les direction^
mêmes des deux projections ou dans les directions opposées, on aura encore
/N /s /\ /S
[p^ Ç; ^^yj^ cos ((3, x) cos (ç, y) - cos(^, y)cos(ç,y).
( 24)
Mais , en vertu d'un théorème connu et relatif aux plans qui se coupent à
angles droits [voir le 7* théorème de la page 3i i du 3* volume], on pourra,
aux deux équations qui précèdent, joindre les formules
cos(r, x) cosfr, y) ,^. cos(^,x) cosfiî.y) / %
— ^ = -f^^ - cos (r, p) , _A^ = -i^ = cos (^ , ç ) ,
cos(p, x) cos(p, y) cos(ç,x) cos (ç , y)
puisque les plans projetants , c'est-à-dire les plans des deux angles
seront tous deux perpendiculaires au plan de l'angle (x, y). Donc les deux
équations dont il s'agit, combinées entre elles par voie de division, donne-
ront
r -\ — f^os K^-, 9) cos (^, ç) ,
[p,ç;x,y] ^ 'r; V 'V'
et Ton aura, en conséquence,
(5) [r, j ; X , y] = [ p , ç ; X , y] cos (/•, /-.) cos [s , ç).
Enfin, les directions p, ç étant comprises clans le plan de l'angle (x, y), on
tirera de la formule (2)
[p,ç;x,y]rr:(p'^ç)sin(prç),
et, par suite, la formule (5) donnera
(6) [r, .9; X , y] == (p, ç) sin (p, ç) cos (r,p) cos(.ç, ç).
Rien n'empêche de supposer que les deux lettres
représentent en grandeur et en direction les projections absolues des lon-
gueurs
r, s
sur le plan des oc^j. Si, pour plus de commodité, on adopte cette suppo-
sition , les deux cosinus
/\ /^
cos(r, p), cos[s,(;)
Seront tous deux positifs, et pour qu'ils représentent les projections ab-
solues p , ç des longueurs r, s sur le plan des x , j , il suffira que chacune de
ces longueurs se réduise à Tunité. Alors, le parallélogramme construit sur
(a5)
ces deux projections p,Q offrira une aire évidemment exprimée par le
produit
sin (/5, ç) cos (r, p) cos (r, g) ,
puisque ce parallélogramme aura pour côtés
cos(r, p), cos(j,ç),
et pour hauteur le produit
cos(i-,5)sin(/5,ç),
/s
quand ou prendra pour base le premier côté cos(r,p).
Quant au facteur (p , ç), il se réduira ou à -f- 1, ou à — i , suivant que le
mouvement de rotation de p en ç sera direct ou rétrograde, c'est-à-dire
dirigé dans le sens du mouvement de rotation de x ou y, ou dans le sens
opposé. D'ailleurs, p et ç étant, par hypothèse, les projections absolues de r
et de s sur le plan des x, j perpendiculaire à l'axe des z, il est clair cpn-
les mouvements de rotation de p en ç et de r en s s'effectueront dans le
même sens autour du demi-axe des z positives, c'est-à-dire autour de la di-
rection z. Donc, si Ion adopte les définitions et notations proposées dans
le § F, le mouv^ement de rotation de p en ç sera direct ou rétrograde dans le
plan des x^ j, suivant que le mouvement de rotation de r en s autour de la
direction z sera lui-même direct ou rétrograde dans Tespace, et l'on aura
(7) (p,ç) = (r,^,z);
donc l'équation (6) pourra être présentée sous la forme
/N /\ /N
(8) [r, ^; x,y] = (r,^,z)sin(p,ç)cos(r,p)cos(^,ç!),
et l'on pourra énoncer la proposition suivante:
a'^ Théorème. Étant donnés, dans l'espace, un angle droit i;\,y) et un
angle aigu, droit ou obtus {r,s), qui ont pour sommet commun le point O ,
si l'on détermine les cosinus des quatre angles
/\ /\
(^,x), (^,y)
que formeront les côtés de l'angle [i\s) avec les côtés de l'angle droit (x,y ),
Ex. d'An et de Phys. main., T V!. (57'= livr.) 4
( ^6)
la résultante
[r, s; X, y],
construite avec ces quatre cosinus, sera positive ou négative , suivant que les
mouvements de rotation de r en j" et de x en y autour d une direction z per-
pendiculaire au plan de l'angle (x , y) , s'effectueront dans le même sens ou
en sens contraire; et cette résultante aura pour valeur numérique l'aire du
parallélogramme que l'on peut construire, dans le plan de l'angle (x, y), sur
les projections des côtés r,s, réduits l'un et l'autre à l'unité. On peut re-
marquer d'ailleurs que ce paiallélogramme est la projection de celui que Ion
pourrait construire dans l'espace sur les côtés en question.
» Concevons maintenant que, le même point O étant tout à la fois le
commet de l'angle {r,s) et de l'angle droit (x,y), on nomme
/, m, Il
trois longueurs mesurées à partir du point O, la première sur la droite d in-
tersection des plans des deux angles (x,y),(r,j), et les deux dernières sur
des perpendiculaires menées à cette droite dans les deux plans dont il s'agit.
Supposons d'ailleurs , pour plus de commodité, chacune de ces perpendi-
culaires dirigée dans un sens tel , que les deux mouvements de rotation d{
X en y et de / en m soient de même espèce dans le plan de l'angle (x, y), ef
que les deux mouvements de rotation de r en ^ et de / en « soient de même
espèce dans le plan de l'angle (r, i). On pourra faire tourner l'angle droit (x, y
dans le plan qui le renferme, de manière à l'appliquer sur l'angle droit (/, m).
et à faire coïncider les deux directions
la première avec la direction Z, la seconde avec la direction m. Gela posé,
on conclura du 2^ théorème, que la valeur générale de l'expression
[r, i' ; x, y]
ne diffère pas de la valeur particulière qu'acquiert cette expression quand
on y remplace x par / , et y par m. On aura donc généralement
[r,s; x,y] =: [r,s; /,mj,
(27)
OU , ce qui revient au même,
[r, ^; X, y] =: cos (r, /)cos(.<', m) — cos(r, m) cosf.v,/).
Mais, d'autre part, le plan qui renfermera les deux directions m, n, dont
chacune est perpendiculaire à la direction l, sera lui-même perpendiculaire
à /, et, par suite, à tout plan qui contiendra /, par conséquent au plan de
l'angle (r, ^), ou, en d'autres termes, au plan des deux angles (r,n),(s, n).
Donc le théorème relatif aux plans qui se coupent à angles droits, le 7* théo-
rème de la page 3i i du 3^ volume , donnera
cos (r, m) = cos (r, n) cos (m , n) , cos (s , m) = cos {s, n) cos (m^n).
En substituant ces valeurs de cos(r, m), cos(/, n) dans l'équation précédent*'
[r\ * ; X, y] :=: cos (r, /) cos [s, m) ■— cos (r, m) cos(s, l) ,
et en ayant égard à la formule
[r, j; /, n] = cos (r, Z) cos (^ , fi) — cos (r, n) cos (^, /),
on trouvera
[r, s ; X ,y] =z [r, s ; l , n] cos (m , n).
Enfin, puisque l'angle droit (/, /z) sera renfermé dans le plan de l'angle (/', s) ,
et que, dans ce plan, les deux mouvements de rotation de r en 6" et de / en fi
auront, par hypothèse, la même direction, le i^"" théorème donneia sim-
plement
[r, s; l, n] =; sin (r, s) ;
et, par suite, la valeur générale de la résultante [r\s; x, y] pourra être ré-
duite à
(9) [r, j ; X , y] = sin (r, s) cos [m , n).
Donc, puisque sin (r, i') représente l'aire [r,s] du losange que Ton peut con-
struire sur les côtés /•, s réduits chacun à l'unité , on aura encore , dans
l'hypothèse admise ,
(10) [r, ^; x,y] = [r, 5-] cos(w, «).
Il est bon d'observer que l'angle (/az,«), compris entre des droites //z, n
4.
( 28 )
menées, dans les plans des deux angles
■ (-Cy), ir7s),
j)er|)endiculairenicnt à la commune intersection / de ces deux plans, est
égal ou à l'angle aigu qui mesure l'inclinaison du second plan sur le premier,
ou au supplément de cet angle aigu. Donc le cosinus de l'angle [m,n) doit
être égal, au signe près, au cosinus de l'inclinaison mutuelle des deux plans
dont il s'agitj et l'on peut énoncer encore la proposition suivante :
» 3^ Théntèmc. I^es mêmes choses étant posées que dans le 2® théorème,
la résultante
aura encore pour valeui- numérique le produit du sinus de l'angle {j\s) par
le cosinus de l'inclinaison mutuelle des plans des deux angles (r, s) et (x , y).
iJ'ailleurs, comme on l'a déjà remarqué, le premier facteur de ce produit
est précisément Taire du parallélogramme cjue l'on peut construire sur les
deux côtés \\s réduits l'un et l'autre à l'unité.
Corollaire. Si, en supposant que l'angle droit (x,y) et l'angle [r.s) ont
pour sommet le même point O, on nomme 7^ une longueur mesni'ée, à partir
(le ce point, sur une perpendiculaire au plan de l'angle (r, s) ^ l'angle (7^, zi,
compris entre deux droites T, z respectivement perpendiculaires aux plans
/N /N
des deux angles (x, y), [i\s), sera évidemment égal ou à l'inclinaison mu-
tuelle de ces deux plans, ou au supplément de cette inclinaison ; et, par suite,
les cosinus des deux angles
otfrii'ont la même valeur numérique. Si d'ailleurs on suppose les directions 7'
et z situées d'un même côté par rapport au plan de l'angle (r, j), les mouve-
ments de rotation de r en s autour de la direction z, et de r en s autour de
la direction 7^ s'effectueront dans le même sens; et l'on aura en conséquence
Donc alors la résultante
[^^;x,y],
qui est, eu vertu de la formule (8), une quantité affectée du signe de (r, ^, z) ,
sera aussi une quantité affectée du signe de {i\ .ç, T); et ce signe sera encore,
( 29 )
eu égard à Téquation (9), le signe de cos(mC«). On aura donc, dans Thypo-
thèse admise,
'i ,) cos (m%) = (r,s, T) co^{T,z).
Ajoutons que cette dernière formule conlinuera évidemment de subsister, si
à la direction Ton substitue la direction opposée , puisque alors l'angle ( 2", z
étant remplacé par son supplément, les deux facteurs du produit
{r,s, r)cos(r,'^z)
changeront de signe. La formule (11) se trouvant ainsi établie pour tous
les cas , l'équation (9) donnera généralement
,; 1 1) [/■, ^- ; X , yl = {r, s,T)sm M cos ( 7^z i .
ou , ce qui revient au même ,
; 1 3) [r, 6' ; X , y] = (r, s,T) [/', s] cos v '/; z).
Si maintenant on échange entre elles les trois diiections x, y, /, en observant
que les trois mouvements de rotation de x en y autour de z, de y en z au-
tour de X, et de z en X autour dey, sont tous trois de même espèce, on obtiendra,
au lieu de l'équation (12), deux équations du même genre, qui seront com-
prises, avec elle, dans la seule formule
,^^ [^liy^ _ [jliLI^ ^ Mijy] ^ (,, ,, T) sin [^y).
' ^ cos(rrx) ros(7',y) cos{T,z)
Considérons, à présent, outre les axes rectangulaires des JC,j, z, sur
lesquels on suppose portées à partir de l'origine O les trois longueurs x , y, z ,
trois autres axes rectangulaires ou obliques, indéfiniment prolongés à pnrtir
du point O, dans des directions déterminées; et nommons
r, s, t
trois longueurs qui , ayant le point O pour origine, se mesurent dans ces trois
directions. Les cosinus des neuf angles plans
/\ /N /^
(r,x), (r,y), (/^z),
/\ /\ /\
l^,x), (^,y), (^,z),
(Cx), (Cy), (^^^)
(3o)
que formeront les directions r, s, t avec les directions x, y, z , seront les élé-
ments de calcul qui entreront dans la composition des trois résultantes à deux
dimensions :
i \r^s\ y, z] = cos (/', y) cos \s^ z; — cos(r, z) ces [s^ y),
^ / \ L^î-^'î z, x] = cos(r, z)cos(j, x) — cos(r, x) cos (i', z),
\ [r, ■$•; x,yj = cos(r, x) cos(^,y) — cos(r, y) cos [s, x)^
et de la résultante à trois dimensions
[r,s,t; x,y,z] =
COS (r, x) cos (s, y) cos (^, z) — cos (r, x) cos {s, z) cos (^ , y) ,
cos (r, y) cos (s, z) cos (^, x) — cos (r, y) cos (j, x) cos (t,z),
/N /N /\ /S /\ /\
COS (r, z) cos (j-, x) cos (^, y) — cos (r, z) cos (s, y) cos (^, x^.
Or, en vertu des formules (i5) et (i6), on aura évidemment
[r, s, t; X , y, z] =
' ' ' [r,.ç; y,z] cos(^,x) 4-[/',.v; z,x]cos(^,y) 4- [r,5; X, y]cos(i,z).
D'ailleurs, si Ton nomme 7^ une longueur mesurée, à partir du point O.
sur une perpendiculaire au plan de l'angle {r, s) , les valeurs des expressions
[r,s; y,z], [r,s; z,x], [r,s; x,y]
pourront être déduites de la formule (i 4), et de cette formule combinée avec
l'équation (i 7) , on tirera la suivante :
\r,s,t; x,y, z] / n^\ • /^ \
— -X- -7n- ;7^- -pr— — 77^ 7n- = ('"' ^' ^) sin (r, ^).
cos(f,x)cos(T, x) -i-cosfr, y) cos (T, y) -\-cos(t, z)cos{T, z)
Donc, en observant que, dans cette dernière, le dénominateur du premier
membre est précisément égal à cos {t,T), on trouvera
cos{t, T)
et , par suite ,
(18) [r, 5, ^ ; x , y, z] = (r, s, T) sin {r%) cos {t "^T).
Si, pour plus de commodité, on suppose que la longueur 7^ soit située du
( 3. )
même côté que la lon^jueur t par rapport au plan de l'angle (r,.s), les deux
mouvements de rotation de r en j- autour de < , et de r en ^ autour de 7',
s'effectueront dans le même sens ; en sorte qu'on aura
Alors aussi, dans 1 équation (i8) réduite à la formule
(19) [r^s^ty X, y, z] = (/•, ^, t) sin (r, s) cos (/, T) ,
le facteur cos(^, T) sera positif, puisque l'angle (/, 7^) sera aigu; et, par
suite, le produit
ûu{r%)co?,{CT)
représentera la valeur du parallélipipède que Ton peut construire sur les
arêtes r, s, t, supposées toutes réduites à l'unité [vo/r le§ I"]. Quant au
facteur
il se réduira ou à -h i, ou à — i, suivant que le mouvement de rotation de /
en s autour de t, étant direct ou rétrograde , sera ou ne sera pas de l'espèce
du mouvement de rotation de x en y autour de z. Donc la formule ([9'
entraînera la proposition suivante :
4^ Théorème. Étant donné dans l'espace un angle solide dont les ai êtes x.
y, z , mesurées à partir du point fixe O , sont perpendiculaires entre elles , et
un autre angle solide dont les arêtes r, Sy t se coupent, au même point O, sou;
des angles quelconques, si l'on détermine les cosinus des neuf angles
/\ /\ /\
(r,x), (r,y), (/^z),
/\ /s /s
{•y,x), (.ç,y), (.ç,z),
(M), {t?Y), (-Cz),
que formeront les arêtes r, i', < avec les arêtes x, y, z, la résultante
[r, J , ^ ; X , y, z] ,
construite avec ces neuf cosinus, sera positive ou négative, suivant que les
mouvements de rotation de x en y autour de z, et de r en j autour de t, s'ef-
fectueront dans le même sens ou en sens contraire; et cette résultante aura
( 32)
pour valeur numérique le volume du parallélipipède, que Ton peut cou-
si mire sur les arêtes r, s, t réduites chacune à l'unité.
Corollaire. La valeur numérique de la résultante
[r,j, i; x,y, z]
étant indépendante non-seulement de la position qu'occupent, dans l'espace,
les axes rectangulaires sur lesquels se mesurent les trois longueurs
X , y, z ,
mais encorj du sens dans lequel s'effectue le mouvement de rotation de x
en y autour de z, il est naturel de représenter cette valeur numérique par la
simple notation
que l'on déduit de l'expression
[/•, s^ t; X , y, z],
eu y effaçant les trois lettres x , y, z , employées pour indiquer trois di-
rections dont il n'est plus nécessaire de faire une mention expresse. Alors
l'équation (19) se trouve remplacée par le système des deux formules
(ao) [r, s,t; x, y, z] = (/•, s, t) [r, s,t],
(21) [r, 6-, ^] = sin (r,^) cos(^, T),
dont la seconde reproduit précisément l'une des notations admises dans le
§ I^^ Ajoutons que, si l'on nomme
if, S, T
trois longueuis respectivement mesurées sur des perpendiculaires aux plans
des trois angles
/\ /N /N
(.S/), {t,r), (r,^),
à partir du point commun aux trois arêtes
r, s, t,
et situées, par rapport à ces plans, des mêmes côtés que ces trois arêtes, on
pourra joindre à l'équation (21) deux autres équations qui seront comprises,
avec elle, dans la seule formule
(22) [r,j,^] = sin(^,f) cos(r,/?) = sin(i,A-)cos(^,iS) = sin(r,f)cos(^, 7^)
[voir le § 1*'''].
(33)
En terminant ce paragraphe, nous remarquerons qu'en vertu des théo-
rèmes i , 2 et 3, la valeur de la résultante
h^; x,y]
dépend uniquement de l'angle (r, j), de Finclinaison du plan de cet angle sur
le plan de jc , j-, et du sens dans lequel s'effectue, dans chacun de ces plans,
le mouvement de rotation de r en j ou de x en y. Pareillement, il suit du théo-
rème 4, que la valeur de la résultante
[i\s,t; x,y, z]
dépend uniquement de la forme de l'angle solide qui a pour arêtes x, y, z,
et du sens suivant lequel s'effectue chacun des mouvements de rotation de r
en s autour de ^, et de x en y autour de z. En conséquence, on peut énoncer
la proposition suivante :
5*" Théorème. Les longueurs
r, s, t ; X , y, z
étant mesurées , à partir d'une même origine O , les trois premières dans des
directions quelconques, les trois dernières sur des axes perpendiculaires
entre eux, on n'altérera point la valeur de la résultante
['^■^; X, yj,
en faisant tourner autour du point O chacun des angles
V'^^"J^ vx,yy''
supposé d'ailleurs invariable , dans le plan qui le renferme , ni la valeur de
la résultante
[r,s, f, x,y, z],
en faisant tourner autour du point O, sans les déformer, les deux angles
solides qui ont pour arêtes, d'une part, les longueurs r, ^, ^; et, d'autre part,
les longueurs x , y, z.
Les résultats auxquels nous sommes parvenus dans ce paragraphe étaient
déjà connus. Mais les formules à l'aide desquelles on les exprimait, n'of-
fraient pas toute la précision que Ton pouvait désirer, puisqu'elles renfer-
maient des doubles signes dont la détermination dépendait de certaines
conditions qu'il était nécessaire de mentionner dans le discours, et dénoncer
Ex. d'An, et de Ph. math., T. IV. (37« livr.) 5
( 34 )
à part. L'adoption des signes
propres à indiquer le sens des mouvements de rotation, et l'introduction de
ces signes dans les formules font disparaître Tinconvénient que nous venons
de signaler. Nous allons voir maintenant avec quelle facilité l'usage de ces
mêmes signes permet d'établir des formules générales, qui déterminent com-
plètement les valeurs des résultantes analogues à celles dont nous venons de
nous occuper, mais relatives à deux systèmes quelconques d'axes rectangu-
laires ou obliques.
§ IV. — Détermination de la résultante construite avec les cosinus des angles que des axes
donnés forment avec, d'autres axes rectangulaires ou ohli({ues.
Considérons deux systèmes d'axes rectangulaires ou obliques, indéfini-
ment prolongés , à partir d'une même origine O , dans des directions déter-
minées sur lesquelles se mesurent, à partir du point O, pour le premier
système, les longueurs
r, s ou i\ 5-, t ,
et, pour le second système, les longueurs
u^v ou u^ if, w.
Si Ton suppose chaque système composé de deux axes seulement, les
longueurs
r, s ou w, i',
mesurées sur les directions de ces deux axes, comprendront entre elles un
an^de plan
(r, s) ou (m , V) ;
et les cosinus des quatre angles
(r,w), {r,if),
[s, u) , (^, v) ,
que formeront les directions r, s avec les directions m, i^, seront les facteurs
qui entreront dans la composition des divers termes de la résultante
( 1 ) [r^s \ u,v\ = cos (r, u) cos (r, t^) — cos (r, v) cos [s, u).
( 35)
Or la valeur de cette résultante pourra être présentée sous une forme très-
simple, si les denx an^jfles
/\ /\
étant renfermés dans un même plan, l'ime des directions r,s est perpendicu-
laire à l'une des directions «, (^, en sorte qu on ait, par exemple ,
Eli effet, supposons ces conditions remplies; alors on trouvera
/\
cos (r, y) = o ,
et, par suite, la formule (i) donnera
[/', s\ u, v\^=^ cos (r, II) cos {s^ v\
Or, la direction v étant perpendiculaire à la direction /-, on pourra, dans les
formules (4) du § P"^, remplacer non-seulement /■ par s ou par u , mais en-
core X et y par r et v\ et, par suite, en considérant comme direct le mouve-
ment de rotation de /' en p, on aura
cos (w , r) = (^^ , <^) sin [il , v) , cos (^, p) = (r, s) sin (r, .9).
Donc la valeur trouvée de [/■, s\ u^ p] pourra être réduite à
(2) [/•, s\ « , t^j = (a-, i) (m, V) sin (r, >y) sin {11 . v).
Observons d'ailleurs que la formule (2) continuera évidemment de subsister,
si l'on considère comme direct, non plus le mouvement de rotation de /■
en V, mais le mouvement de rotation de (> en r; car, pour passer d'un cas à
l'autre, il suffira de changer le signe de chacun des facteurs, ce qui n'al-
térera pas leur produit. Ajoutons qu'en vertu de la formule (5) du § II,
jointe à la formule (i) du § I*^% l'équation (2) subsistera encore, si l'on y
échange séparément ou simultanément r avec s qX. u avec v. Elle subsistera
donc , non-seulement quand r sera perpendiculaire à v , mais encore toutes
les fois que Tune des directions r, s sera perpendiculaire à l'une des direc-
tions M, (^. Il y a plus: on peut affirmer que la formule (2) subsiste géné-
ralement, quelles que soient dans le plan donné, c'est-à-dire dans le plan
5.
( 36)
des deux angles {r,s), {u, t'y, les directions des longueurs
A-, s, Il , t\
G est effectivement ce que l'on démontrera sans peine, en opérant comme il
suit.
Rapportons la position d'un point quelconque , dans le plan donné , a
deux axes rectangulaires des .r et j, qui passent par l'origine commune O
des quatre longueurs r, s, u, v; et nommons
X' y
deux autres longueurs mesurées, à partir du point O, sur ces deux axes in-
définiment prolongés du côté des coordonnées positives. Chacun des quatre
cosinus renfermés dans le tableau
cos(r, i^), cos (r, t») ,
eus (s, U)^ cos [s, v)
sera déterminé par une équation de la forme
(3) cos (/', U; — cos (/■, x) cos {il , x) + cos (r, y) cos (« , y) ;
et, en conséquence, pour obtenir chacun de ces quatre cosinus, il suffira
d'ajouter entre eux les deux termes renfermés dans une même ligne horizon-
tale du tableau
cos (/', x) , cos (/', y) ,
cos (.V, x) , cos {s. y) ,
après les avoir respectivement multipliés par les termes correspondants de
l'une des lignes horizontales du tableau
cos(«,x), cos(f^,y),
/\ /\
cos(ç^, x), cos((^, y).
Gela posé, en ayant égard au théorème général sur les produits des résul-
tantes [voir le 2^ volume, page 167], et en appliquant ce théorème aux
quatre équations semblables entre elles, qui seront de la forme de l'équa-
tion (3) , on trouvera
(4) [^\s\ u,v\= \i\s; x,yj[w,(^; x,yj.
(37 )
Or, à l'aide de l'équation (4), que l'on peut aussi présenter sous la forme
(5) ['■■^;^'y] = &-'^^î-
on étendra facilement la formule (2) à tous les cas possibles. En effet, on
pourra d'abord, en particularisant les directions «et (^, tirer de l'équation (5)
la valeur de[r,s;x, y]. Si , pour fixer les idées , on suppose p perpendiculaire
à r, et « à j*, on tirera de la formule (2), déjà démontrée dans le cas où r est
perpendiculaire à (',
[/■, S] M, i^J — (r, s) (w, i>) sin (/•, s) sin {u,i>\ ;
et, eu égard aux conditions
{^7y)=l'^ sin(x,y)=:i, (x,y) = i.
On trouvera de même, puisque u est supposé perpendiculaire à y,
[il, V, X , y ] = (/^ , v) sin (u , i>) ;
puis, en substituant les valeurs ici trouvées des deux résultantes
[ /■, s; // , i^J , [u, ^'; X , yj ,
dans le second nombre de la formule (4) , on obtiendra 1 équation
(6) [/', s; X , v] = (/'. s) sin (/■, s) ,
que l'on pourrait, au reste, comme on l'a vu dans le § III, établir directe-
ment. Enfin, si l'on substitue dans le second membre de Féquation (4), la
valeur précédente de [r, s; x, y], et la valeur semblable de |?^. i'; x, y], qui
seront encore données par la formule
[z/., i^; X, y] = (w,x) sin (?/ , i'),
quelle que soit la direction attribuée à «, on sera immédiatement ramené à
l'équation (2), qui sera ainsi démontrée, quelles que soient, dans le plan
donné , les directions des quatre longueurs
r, s^ II, i\
Il est bon d'observer que le produit
{r,s) {ii,v).
(38 )
renfermé dans le second membre de la formule (2) , se réduit simplement à
+ 1 ou à — T, selon que les mouvements de rotation de /• en s et de n en i>
s'effectuent dans le même sens ou en sens contraire. Quant aux facteurs
sin/r, j"), sin(M,t-'),
ils représentent précisément les aires de deux parallélogrammes que l'on peut
construire sur les côtés des deux angles plans {r, s) , {^^1^'), en supposant
chacun de ces côtés réduit à l'unité.
Cela posé, la formule (aS) entraînera évidemment la proposition suivante:
i" Théorème. Etant donnés, dans un plan, deux angles
si l'on détermine les quatre cosinus des autres angles
/\ /\
in II] , (/•, v) ,
/\ ^'\
que formeront entre eux les côtés des deux angles donnés , la résultante
construite avec ces quatre cosinus , sera positive ou négative , selon que les
mouvements de rotation de r en s et de u en v s'effectueront dans le même
sens ou en sens contraire; et cette résultante aura pour valeur numérique le
produit des sinus des deux angles donnés, ou, ce qui revient au même, le
produit des aires des deux parallélogrammes que l'on peut construire sur
les côtés de ces deux angles , en supposant ces côtés réduits à l'unité.
Corollaire. Si, comme nous l'avons déjà fait dans le § III, on désigne par
laire du parallélogramme qui a pour côtés les longueurs r, s réduites à
1 unité, on aura
/\ /\
[r, i- ] =z sin (/•, J-) , [«,(;] = sin [u^s^)^
et la formule (2) pourra s'écrire comme il suit :
(7) • V,s; u,v] = (r, s) (m, i>) [/', s] [u, v].
( 39 )
Supposons maintenant que les deux angles
/^ , /\
('V>). {",").
ayant pour sommet commun le point O, cessent d'être situés dans un même
plan; puis, en prenant le point O pour origine des coordonnées, rappoi-
tons la position d'un point quelconque de l'espace à trois axes rectangulaires
des x^j^Zy dont les deux premiers soient renfermés dans le plan de l'angle
(m, v); et nommons
x,y, z
trois longueurs mesurées à partir de Torigine O, sur ces trois axes indéfini-
ment prolongés dans le sens des coordonnées positives. Chacune des direc-
tions Uy V étant comprise dans le plan de l'angle droit (x,y), la formule (3)
et celles qu'on en déduit en remplaçant séparément ou simultanément rpar ^
et u par t', continueront encore de subsister \yoir !e théorème 6 de la page 3 1 1
du 3^ volume), et entraîneront encore avec elles l'équation (4), en sorte qu'on
aura
(4) h^; n.^] = [r,s- x,y][//,P; x , y].
De plus, l'angle (m, v) étant compris dans le plan de 1 angle droit (x,y), la
formule (6) donnera
/\
\ii.v; X, y] = (w, p) sin (m, t').
D'ailleurs, si l'on adopte les définitions et notations proposées dans le § l"',
le mouvement de rotation de u en v sera direct ou rétrograde dans le plan
des X ^ j-, suivant que le mouvement de rotation de m en t^ autour de la
direction z sera direct ou rétrograde dans l'espace. On aura donc
(«, v) r= (w, (.', z) ;
et, par suite, la valeur trouvée de la résultante [i^, ^; x , y] pourra être pré-
sentée sous la forme
(8) [u,v- \^ y] =: (ii,i>, 7.) sin {ic, v).
Enfin si, pour plus de commodité, on suppose la direction y, c'est-à-dire la
direction du demi-axe des j positives, fixée de telle sorte que le mouve-
ment de rotation de x en y s'effectue dans le sens du mouvement de rotation
de M en t', alors lexpression (w, i>) ou [u, p, z) étant réduite à l'unité, on aura
( 4o )
simplement
(9) [u,^; X , y] — sin (w , v).
Quant à la valeur de la résultante [r^s; x,y], elle pourra être déduite de
Tune quelconque des formules (8) et (9) du § III. En effet, soient
les projections absolues des longueurs r, s sur le plan des deux angles (w, i^),
(x, y). Soient encore
/, m, n
trois longueurs mesurées à partir du point O, la première sur la droite d'in-
tersection des deux angles (r, ^), (w,^'); la seconde sur une perpendicu-
laire menée à cette droite, dans le plan des deux angles iu^v)^ (x,y), et
dirigée dans un sens tel, que le mouvement de rotation de / en m soit de
l'espèce du mouvement de rotation de x en j^; la troisième sur une per-
])endiculaire menée à la droite /, dans le plan de l'angle (r, ^), et dirigée
dans un sens tel, que le mouvement de rotation de l en n soit de Fespèce du
mouvement de rotation de l en n. Enfin, soit T une longueur mesurée, à
partir du point O, sur une perpendiculaire au plan de l'angle {r,s). On aura,
en vertu de la formule (8) du § III,
/\ /s /N
(10) [/', i'-, X, y] = (V, ^, z)sin (,5, ç)cos(/', p)cos(6', ç);
puis, en supposant que, dans le plan des x, j^ les mouvements de rotation
de X en y et de w en (^ sont de même espèce , on aura encore, en vertu de la
formule (9) du paragraphe cité,
/\ /\
(11) [r, s\ X , y ] = sin (r, s) cos [in , n) .
Gela posé, si Ton substitue dans l'équation (4), avec la valeur de [z/, v\ x, y]
tirée de la formule (8), la valeur de [r, >$•; x,y] tirée de la formule (10),
ou, avec la valeur de [w, p; x, y] tirée de la formule (9), la valeur de
(r, s\ x, y) tirée de la formule (i i), on obtiendra l'une des équations
( 1 1] [/\ s\ u, v'] = (r, >9, z) iu , c^, z) sin (m , ^^ t ' ?) ^°^ (''' 9) ^^^^ (^^' ?) '
/\ /% /\
( 1 3) \r^ s\ ?/ , (^] = sin (/-, s'i sin [u , v) cos {in , n) .
( 4i )
Il est bon d'observer que, si l'on désigne, comme plus haut , par la nota-
tion [r, s] l'aire du parallélogramme que l'on peut construire sur les côtés r, s
réduits l'un et l'autre à l'unité, la formule (i3) donnera
/\
(i4) [r,^; u,\f\ = [rjS][u,u]cos{m,n),
Ajoutons que, dans la formule (12), le produit
/s /\ /N
sin (p, ç) cos(r, p) cos(^, ç)
représentera précisément la projection de la surface [r, s] sur le plan de la
surface [m, v]. Cela posé, les propositions qui se déduiront de la formule (12),
puis de la formule (i3) ou (i4) , et qui seront analogues aux théorèmes 2 et 3
du § m , pourront évidemment s'énoncer dans les termes suivants :
1^ Théorème. Étant donnés, dans l'espace, deux angles
si l'on détermine les quatre cosinus des autres angles
que formeront entre eux les côtés des deux angles donnés, la résultante
construite avec ces quatre cosinus, sera positive ou négative suivant que les
mouvements de rotation de r en j, et de u en ^, autour d'une droite perpendi-
culaire au plan de l'un des angles (r, s), (m,^'), s'effectueront dans le même
sens ou en sens contraires. De plus , si dans les plans des deux angles
(r,.y), {u,v),
on construit deux parallélogrammes qui aient pour côtés les longueurs r
et 5", ou M et Vy réduites chacune à l'unité, la résultante [r, s ; w, i^] aura pour
valeur numérique le produit de l'aire du premier parallélogramme par la
projection de l'aire du second sur le plan du premier.
3^ Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le 1^ théorème, la
résultante [r, s\ m, t'] aura encore pour valeur numérique le produit qu'on
Ex. d'An, et de Ph. math.. T. IV. dS' livr.) 6
(4^ )
obtient en multipliant les aires
[r,s], [u,u]
des deux parallélogrammes ci-dessus mentionnés , par le cosinus de Tangle
aigu que les plans de ces deux parallélogrammes forment entre eux.
Il ne sera pas inutile d'indiquer une forme digne de remarque, sous la-
quelle on peut présenter la formule (r4). Concevons que des deux angles
ayant pour sommet commun le point O, on élève, à partir de ce point, deux
perpendiculaires aux plans de ces deux angles, et nommons
deux longueurs mesurées sur les directions de ces perpendiculaires , dan^
des sens déterminés. En considérant comme direct le mouvement de rotation
de X en y autour de la direction z, on aura [voir la formule (8) du § III]
cos {m,n) = (r, Sy T) ces ( 7", z).
D'autre part, si les mouvements de rotation de x en y et de w en ^ autour de
la direction z sont dirigés dans le même sens, comme le suppose la for-
mule (i4), on aura encore
{u,v,z) = (x,y,z)= I,
et , par suite ,
cos (m , n) = (/", s^T){u^Vy z) cos ( T^ z).
Enfin, les directions z et /i?^ étant toutes deux, par hypothèse, perpendicu-
laires au plan de l'angle [u^v) ou (x,y), coïncideront ou seront opposées lune
à l'autre; et, par suite, le produit
(m , V, z) cos {T,z)
ne pourra être altéré par la substitution de W îi z, puisque cette substitu-
tion, si elle modifie les deux fonctions
{u,i>,z), cos(7', z),
(43)
aura pour effet unique de changer le signe de chacun d'eux. On aura donc
(u, V, z) cos ( T\z) = {u,v, JV) cos ( 7\fF ) ,
et la valeur trouvée de cos {m^n) pourra s'écrire comme il suit :
(i 5) cos (772%) = (r, s, T){u, i^, JV) cos ( T^PFl
Or, eu égard à cette dernière formule, réquation (i4) donnera
(i6) [r,s; u,i^] = {r,s,T){u,i>,^)[r,s][u,i>]cos{T^PF).
Ajoutons que chacune des formules (12), (i3), (i4) , (16) comprend évidem-
ment, comme cas particulier, la formule (7).
Si, à partir du sommet de l'angle (7^, 6-) on mesurait, dans une direction
quelconque, une longueur t, alors, en faisant coïncider u avec r, et v avec t ,
on tirerait de la formule (i3)
(17) [7', s; 7-, i] = sin (7^ s) sin (r, t) cos [m , n) ,
et comme on aurait
(r, r) =^ o^ cos (i\r)-= i ,
par conséquent,
[r, j; r,t\=i cos is^t) — cos (r, j) cos (r, ^ ) ,
la formule (i5) donnerait
/\ /\ /% /s ^ /\
(18) cos{s^t) — cos (r, .î) cos (7-, ^) = sin (r,*) sin (r,<) cos (7/2, 77).
Mais alors aussi, m^n étant deux longueurs mesurées perpendiculairement
à r, dans les plans des deux angles (r, t) , (r,^), la première du côté de t, la
seconde du côté de ^, l'angle plan (7',.v) serait la mesure de l'angle dièdre
adjacent à l'arête r, dans l'angle solide qui aurait pour arêtes j\ s^ t. Donc,
en nommant a, b,c les trois angles plans
{s^t), (Cr), M,
et a, ê, 7 les angles dièdres opposés à ces angles plans dans l'angle solide
6.
( 44 )
dont il s'agit, on verrait l'équation (i8) se réduire à la formule
cosa — cos b ces c = sin ^ sin c ces a,
que l'on peut considérer comme l'équation fondamentale de la trigonométrie
sphérique. Ainsi, cette équation fondamentale se trouve comprise, comme
cas particulier, dans la formule (i3).
.Considérons à présent, dans l'espace , deux systèmes d'axes dont chacun se
compose de trois axes indéfiniment prolongés, à partir d'un certain point O,
dans des directions déterminées. Les longueurs
r, s, t ou M, f, tv,
mesurées, à partir du point O, dans ces mêmes directions, pourront être
regardées comme les trois arêtes d'un apgle solide, et les cosinus des neuf
angles plans
/\ /\ /s
{r,u), (r,p), (r,w),
(C«), (C^), [Cw]
que formeront les directions r, ^, t avec les directions u,v^w, seront les fac-
teurs qui entreront dans la composition des divers termes de la résultante
[r, ^, t; M, i^, w] =
^ /N /N /S /\ /\
cos(/', u) cos (>?, i>) cos [t^w) — cos(/', u) cos(i',îv) cos(^,i^)
/s /\ /\ /\ /\ /\
- cos ( r, i^) cos, {■s^w) cos [t , a) — cos (r, v) cos {s, u) cos {t,w)
- cos(r,w) cos (.9, u) cos{t, v) — cos(r,w) cos (.ç, v) cos {t, u).
(^9)
Or cette résultante pourra être présentée sous une forme très-simple, si
l'une des directions Uy t^, w est perpendiculaire à deux des directions r, s, t,
en sorte qu'on ait, par exemple,
En effet, supposons ces conditions remplies; alors on aura
cos {r^w) = o, cos (j, (v) =z o ,
(45)
et, par suite, l'équation (19) donnera
(ao) [r, s,t; w, v, w\ = [r, s; m, v] cos {t,w):
puis, en désignant par
T, W
deux longueurs mesurées , à partir du point O, sur des perpendiculaires aiix
plans des deux angles
(r,j), {u,v),
on tirera de la formule (20), jointe à l'équation (16),
(21) \}\s^t; w,i^,w] = (r,^, T)(M,p,w)sin(r,^)sin(w,p)cos(^,w)cos( T,fV).
D'ailleurs, la direction w étant, par hypothèse, perpendiculaire, ainsi que T,
aux directions r et 5, se confondra ou avec la direction T^ ou avec la direc-
tion opposée à T.
Donc, si dans le produit
cos (^, w) cos {T,W)
on échange entre elles les deux lettres w et T', cet échange laissera intacte
la valeur de ce produit , dont les deux facteurs ne pourront subir d'autre
modification qu'un changement de signe opéré simultanément dans l'un ef
dans l'autre. On a donc
cos {t , w) cos [T,W)— cos [t , T) cos {w,W),
et, par suiie, la formule (21) pourra s'écrire comme il suit :
(22) [r, s^t\u,v^w\ — {r, s, T) {u, v, TVym{r,s)s\n[ii,v) cos(f , T) cos iv, PF ).
Supposons maintenant, pour plus de commodité, la longueur 7^ située,
par rapport au plan de l'angle (r,^), du même côté que la longueur /, et la
longueur TV située, par rapport au plan de l'angle (w, ^), du même côté
que la longueur w. Alors non-seulement on aura
mais de plus, en désignant, comme on l'a déjà fait, par [r, j, ^] la valeur du
( 46 )
parallélipipede qui aurait pour aréÉes les longueurs r, j, ^ réduites chacune à
l'unité, on aura, en vertu de la formule (21) du § III ,
[t\s, t] = sin {}\s) cos{t, T), [w, t^, w] = sin(M, ^) cos (t^, JV).
Donc la formule (22) donnera
(23) ['',s,t; u,iffW] = {r,s,t){u,v,w)[t\s,t][u,{f,w].
On doit observer qu'en vertu de la formule (5) du § P'^, jointe à la for-
mule (6) du § II, l'équation (28) ne sera point altérée, si l'on y échange sé-
parément ou simultanément, d'une part, r avec ^ ou ^, d'autre part, w avec u
OH «'. Donc réquation (23) se vérifiera, non-seulement quand w sera perpen-
diculaire àrets, mais encore quand l'une quelconque des trois directions
u, if, w
sera perpendiculaire à deux quelconques des trois directions
r, s, t.
U y a plus : on peut affirmer qu'elle subsistera généralement, quelles que
soient les directions
C'est, du moins, ce que Ton démontrera sans peine, en opérant comme il
suit.
Rapportons la position d'un point quelconque, dans l'espace, à trois axes
rectangulaires des jc, j^, z qui passent par l'origine commune O des six
longueurs
r, s, t; u,sf,w;
et nommons
X, y, z
trois autres longueurs mesurées, à partir du point O, sur ces trois axes
indéfiniment prolongés du côté des coordonnées positives. Chacun des neuf
cosinus renfermés dans le tableau
/\ /\ /\
cos (r, u) , cos (r, v) , cos (r, w),
/\ /\ , /\
co?>[s,u), cos(i', p), cos(i', tv),
/\ /\ /\
cos(<,w), cos(^,c'), cos(f,iv),
(47)
sera déterminé par une équation de la forme
(24) cos (r, u) = cos (r, x) cos (w , x) H- cos (r, y) cos (w , y) H- cos (r, z) cos (i-, z) ;
et, conséquemment, pour obtenir chacun de ces quatre cosinus, il suffira
d'ajouter entre eux les trois termes renfermés dans une même lifjne
horizontale du tableau
/s /N /\
cos(r,x), cos(r,y), cos(r,z),
/\ /\ ^
cos (.y, x) , cos {s, y) , cos [s-, z) ,
/\ /N /\
cos(^,x), cos(^,y), cos(^,z),
après les avoir respectivement multipliés par les termes correspondants de
l'une des lignes horizontales du tableau
/\ /\ /\
cos(m,x), cos (m, y), cos(w,z),
/\ /s /\
cos(i^, x), cos((^, y), cos(p, z),
/\ /\ /\
cos(w^,x), cos(w,y), cos(w, z).
Cela posé, en ayant égard au théorème général sur les produits des résul-
tantes [voirXe deuxième volume, page 167), et en appliquant ce théorème
aux neuf équations semblables entre elles qui seront de la forme de l'équa-
tion (24) 5 on trouvera
(aS) [i-jS^t; u^v,w\^=[ï\s,t\, x, y, z] [m, (^, w: x,y, z|.
Or, à l'aide de l'équation (aS), que l'on peut aussi présenter sous la forme
(26) V\s,t; x,y, zi — r^ ' ' ' \ ->
on étendra facilement la formule (aS) à tous les cas possibles. En effet, on
pourra d'abord, en particularisant les directions i^, t^, w, tirer de 1 équa-
tion (26) la valeur de [r,s, t-, x, y, z]. Si, pour fixer les idées, on suppose la
direction w perpendiculaire aux deux directions /•, .ç, et la direction v
perpendiculaire aux deux directions x, y, on tirera de la formule (23), déjà
(48)
démontrée dans le cas où iv est perpendiculaire kretks,
[/', s., t; Uy P, w] — (r, s, t) (m, v, w) [r, s, t\ [w, v, w];
et, eu égard aux conditions
(x,y,z) = I, [x,y, z]= i,
on trouvera de même , puisque v est supposé perpendiculaire à x et à y,
[m, (^, w; X, y, z] = (m, p, w) [m, t», w];
puis, en substituant les valeurs ici trouvées de
[r^s^t'y M,p, w^], [m,^», H^; x,y, z]^
dans le second membre de la formule (26), on obtiendra l'équation
(27) [r, s,t', X , y, z] == (r, s, t) [r, s, t] ,
que l'on pourrait, au reste, comme on l'a vu dans le § HT, établir directe-
ment. Enfin, si l'on substitue, dans le second membre de Féquation (aS), la
valeur précédente de [r,s,t', x , y, z] , et la valeur semblable de [w, t^, w; x, y, z],
qui sera encore donnée par la formule
[m, p, w, x, y, z] =(m, t^, w) [w,t^, ^]-,
quelle que soit la direction attribuée à p, on sera immédiatement ramené à
l'équation (aS), qui sera ainsi démontrée, quelles que soient les directions
r, j, t; u, V, w.
Il est bon d'observer que le produit
renfermé dans le second membre de la formule (aS), se réduit à H- i ou à — r,
selon que les mouvements de rotation de r en 5- autour de ^, et de u en t^
autour de w, s'effectuent dans le même sens ou en sens contraires. Quant aux
facteurs
ils représentent précisément les valeurs des deux parallélipipedes que l'on
(49)
peut construire, d'une part, sur les trois arêtes
r, j, t,
d'autre part, sur les trois arêtes
en supposant chacune de ces six arêtes réduites à l'unité.
Gela posé, la formule (aS) entraînera évidemment la proposition suivante :
4^ Théorème. Étant donnés dans l'espace deux angles solides qui offrent
le même sommet O, et qui ont pour arêtes, le premier les longueurs
r, s, t,
le second les longueurs
si l'on détermine les cosinus des neuf angles
(r,w), (r, i'), (r,w),
(^,m), {s,i>), {s,w),
{Cu), M, (^r^^).
que formeront les arêtes
r, s, t
avec les arêtes
li, p, w,
la résultante
[r,s, t; u, V, w],
construite avec ces neuf cosinus, sera positive ou négative, suivant que les
mouvements de rotation de r en ^ autour de t^ et de w en t* autour de tv,
s'effectueront dans le même sens ou en sens contraires ; et cette résultante
aura pour valeur numérique le produit des valeurs des deux parallélipipèdes
que l'on peut former, d'une part , sur les arêtes r, i", < ; d'autre part , sur les
arêtes m, t», w, en supposant chacune de ces six arêtes réduites à l'unité.
Si les arêtes
du second angle solide se réduisent à des longueurs
i?. S, T
Ex. d'An, et de Ph.math., T. IV. (38» livr.) 7
(5o)
mesurées sur des perpendiculaires aux trois faces du premier, c'est-à-dire ,
en d'autres termes, sur des perpendiculaires aux plans des trois angles
{s,t), {t,r), (r,s),
les cosinus des neuf angles formés par les arêtes du premier angle solide avec
les arêtes du second seront les divers termes du tableau
cos (r, /?) , o , o ,
o, cos(j, 5), G,
o, o, cos(^, T);
et , par suite , la résultante
[r,s,t; R,S,T]
sera réduite à son premier terme
cos (r, R) cos {Sy S) cos (^, T).
Donc alors la formule (23) donnera
(28) cos{/^R) cos(/^S), cos{Ct) = {r,s,t) (R,S, T) [r,s,t][R,S,r].
Si, pour plus de commodité, on suppose les trois longueurs
R, S, T
dirigées de manière à former, avec les longueurs correspondantes
r, s, t.
trois angles aigus
(r,"/?), {s^S), {t?T),
ou , en d'autres termes , si les longueurs
/?, S, T
se mesurent à partir de l'origine commune des longueurs
r, s, t,
la première du même côté que r par rapport au plan de l'angle {j, «), la
( 5. )
seconde du même côté que s par rapport au plan de l'angle (^,r), la troi-
sième du même côté que t par rapport au plan de l'angle {r,s), alors,
{r,s,t), (i?,5, T)
étant deux quantités de même signe, on aura
(r,s,t){R,S,T)= 1,
et l'équation (28), réduite à la forme
(ag ) cos (r?/?) cos [s^S ) cos (Ct ) = [r,s, t][R, S, T ]
coïncidera précisément avec la formule (1 7) de la page 3^3 du troisième volume.
En terminant ce paragraphe, nous remarquerons qu'en vertu des théo-
rèmes I, 2 et 3, la valeur de la résultante
[r, j ; M , if]
dépend uniquement des deux angles (r, ji, (m, t'), de l'inclinaisou mutuelle
de leurs plans, et du sens suivant lequel s'effectue, dans chacun de ces plans,
le mouvement de rotation de r en ^^ , ou de u en if. Pareillement , il suit du
4* théorème, que la valeur de la résultante
[r, s, t; u, if.w]
dépend uniquement des formes des deux angles sohdes qui ont pour arêtes,
d'une part, les trois longueurs r, s, t; d'autre part, les trois longueurs w, ç», îv,
et du sens suivant lequel s'effectue chacun des mouvements de rotation de r
en s autour de t, et de u en if autour de w. En conséqueuce, on peut énoncer
la proposition suivante :
5^ Théorème. Les longueurs
Ff s^ t; Uf V, w
étant mesurées à partir d'une même oiigine O , dans des directions quelcon-
ques, on n'altérera point la valeur de la résultante
[r, s; u, v]
en faisant tourner autour du point O chacun des angles
[r,j], [w, (^1,
( 5. )
supposé d'ailleurs invariable dans le plan qui le renferme, ni la valeur de la
résultante
en faisant tourner autour du point O, sans les déformer, les deux angles
solides qui ont pour arêtes, d'une part, les longueurs r ^, t, et, d'autre part,
les longueurs «, i>, xv.
^ V. — Sur les résultantes formées npec les coordonnées rectangulaires ou obliques de deux ou
trois points.
Supposons la position d'un point quelconque P rapportée dans Tespace à
trois axes coordonnés des oc j y, z; et nommons
trois longueurs mesurées, à partir de l'origine O des coordonnées , sur ces demi-
axes , indéfiniment prolongés dans le sens des coordonnées positives. Soit, d'ail-
leurs, r la distance de l'origine au point P, dont les coordonnées sont jc ,
j-, z. Si ces coordonnées se rapportent à des axes rectangulaires, elles se-
ront précisément les projections algébriques et orthogonales du rayon r sur
les directions x, y, z. Elles seront donc liées à r [voir le troisième volume,
page i44] p3i' les formules
/N /\ /\
JC =: r cos (/', x) , J = r cos (r, y) , z= r cos (r, z ).
Soient maintenant
r, s, t
trois rayons vecteurs menés d€ l'origine O à trois points divers P, P', P "; et,
pour mieux reconnaître les coordonnées de chacun de tes points, désignons-
les à l'aide de la lettre /•, ou .f, ou ^, placée comme indice au bas de la lettre x ^
j% ou 2, en sorte c\ue XriJ'r, -; désignent spécialement les trois coordonnées
de l'extrémité du rayon r. Les extrémités des trois rayons
/', s, t
auront pour coordonnées les neuf quantités
( X,, Jr, Zr,
(0 ■, ^s, Js, z.,
l 53 )
respectivement équivalentes aux neuf produits
r cos (r, x) , /• cos (r, y) , /' cos (r, z) ;
S COS (6", x) , s cos {s, y) , i cos (j, z) ;
/\ ^ -^
icos(^,x), ^cos(«,y), «cos(i,z).
D'ailleurs, ces produits se réduiront aux cosinus
cos(r,x), cos(r,y). cos(a-,z),
/\ /\ /\
cos (s, x) , cos {s, y) , cos (j, z) ,
/\ /\ /\
cos (t , x) , cos {t , y) , cos (^ , z) ^
si les longueurs
r, s, t
se réduisent toutes à lunité. Donc alors la résultante à deux dimensions
(4) ^rjs-^sjr
formée avec celles des coordonnées de P et de P', qui se mesurent sur les
axes des ac et j, et la résultante à trois dimensions
(5) X,.fs^c — Xr Jc^s -+- ^s Jt^r — ^sfr^C + ^cjr Z- s — X^Js^r,
formée avec les neuf coordonnées des trois points P, P', P", se réduiront
aux deux résultantes que, dans les paragraphes précédents, nous avons re-
présentées par les notations
[r,s; X, yj, [r, s, t ; x,y, z|.
Mais , si du cas particulier où Ton suppose les trois longueurs / , s, t réduites
à l'unité, on veut revenir au cas général où ces longueurs offrent des valeurs
quelconques, il suffira de substituer le tableau (3) au tableau (-2); il suffira
donc de faire varier chaque terme de la résultante (4) ou (5), et, par con-
séquent, cette résultante elle-même, dans un rapport équivalent au pro-
duit rs ou rst. On aura donc, dans le cas général,
(6) Xr Js — Xsfr^ rs [r, 5; x , y J ,
et
XrJsZt— X,J,Z,-\- X,J,Z, — XsJrZc-^ OC , J , Z ^ - X^J^Z,.
(7)
: rst [r,s^t; x, y, z].
( 54 )
Il ne reste plus qua substituer, dans ces dernières formules, les valeurs de
\r,s; x,y| et de [r^Syt; x,y, z] obtenues dans le § III.
Supposons d'abord les deux points P, P' situés dans le plan des oc^j.
Alors, de 1 équation (6), jointe à la formule (3) du § III, on tirera
(8; jCrjs-Xsjr = [r, s) rs [/', s].
D'ailleurs, comme on Ta vu (§ I), le produit
rs [r, s]
représente précisément l'aire du parallélogramme qui a pour côtés les rayons
vecteurs r, s. Donc la formule (8) entraînera le théorème suivant :
i^'" Théorème. Les positions des divet-s points d'un plan étant rapportées a
deux axes rectangulaires de x et j-, si Ton désigne par r, s les rayons vec-
teurs menés de l'origine O des coordonnées à deux points quelconques d'un
plan , et par
les quatre coordonnées de ces deux points, la résultante
formée avec ces quatre coordonnées, sera positive ou négative, suivant que
le mouvement de rotation de r en j- sera direct ou rétrograde, et cette ré-
sultante aura pour valeur numérique l'aire du parallélogramme construit sur
les rayons vecteurs /•, s.
Supposons maintenant les points P, P' situés hors du plan des x ., j\ Alors,
eu désignant par p, ç les projections absolues des longueurs r, s sur le plan
des x, j", on aura
p =z r cos (?^, p), ç = s cos (s, ç) ,
et l'on tirera de l'équation (6) , jointe à la formule (6) du § III,
/N /\ /\
Xr Js — ^s fr = '.f ^ Çj r^ <^0S (r, p) COS [s, ç) Sin ((5, ç) ;
par corséquenl ,
(9) ^rjs - ^5 Jr = (p,ç)/5ÇSin(|5,ç).
De plus, comme en désignant toujours par z une longueur mesurée à partii
V 3^ ;
de l'origine sur le demi-axe des c positives, supposé perpendiculaire au plan
des oc , y, on aura \yoir la formule (7) du § III]
(p,ç) = (r,^,z),
l'équation (9) pourra s'écrire comme il suit :
(10) ^^j, - jr.,jr^ = (r,j,z}^ç sin(p,ç).
D'ailleurs, en nommant
/, m, n
trois longueurs mesurées à partir de l'origine O, la première sur la droite
d'intersection du plan OPP' et du plan des x ^ j, les deux dernières sur
des perpendiculaires élevées à ces mêmes droites dans ces mêmes plans, et,
en supposant ces perpendiculaires dirigées chacune dans un sens tel que le
mouvement de rotation de / en m soit de l'espèce du mouvement de rota-
tion de X en y, et le mouvement de rotation de / en m de l'espèce du mou-
vement de rotation de / en «, on tirera de l'équation (6), jointe à la for-
mule (10) du § III,
( 1 1) jt r j's — Xg jr = f^^ [^j -y] cos {m,n).
Enfin, si l'on nomme
T
une longueur mesurée à partir de l'origine O sui' une perpendiculaire au
plan de l'angle (t\s), on aura, en vertu de l'équation (i i) du § III,
/\ /\
("OS (/«, n) = (/•, s, T ) cos ( TyZ) ;
et, par suite, la formule (1 1) pourra s'écrire comme il suit ;
(12) JCrjs — ■^sfr = (^, ^, T) rs [r, s] cos ( T, z).
Or les formules (10) et (12) entraîneront évidemment les propositions
suivantes :
2^ Théorème. La position d'un point dans l'espace étant rapportée à trois
axes rectangulaires des oc, j^, z, si l'on désigne par
r, s
les rayons vecteurs menés de l'origine O des coordonnées à deux points
(56)
quelconques P, P', et par
celles des coordonnées de ces deux points qui sont mesurées sur les axes des x
ctj^, la résultante
formée avec ces quatre coordonnées, seia positive ou négative suivant que
le mouvement de rotation de r en ^ autour du demi-axe des z positives sera
direct ou rétrograde; et cette résultante aura pour valeur numérique l'aire
du parallélogramme construit dans le plan des JO ,j^ sur les projections des
rayons vecteurs /• et s.
3^ Théorème. I^es mêmes choses étant posées que dans le 2* théorème , la
résultante
aura encore pour valeur numérique le produit que Ton obtient en multi-
pliant Taire du parallélogramme construit sur les rayons vecteurs r^s , par le
cosinus de l'angle aigu qui mesure Tinclinaison du plan de l'angle (r, s) sur le
plan des x, y.
JS'ota. Les valeurs numériques que les 1^ et 3^ théorèmes assignent à la
valeur numérique de la résultante Xrjs — ^sjr devant être égales entre
elles, il suit de ces théorèmes que Tinclinaison mutuelle du plan de
l'angle (r, j) et du plau des jc, jr, offre un cosinus équivalent au rapport qui
existe entre les aires des deux parallélogrammes, ou même des deux trian-
gles, dont les côtés sont, d'une part, les deux rayons vecteurs r, ^, et,
diantre part, les projections p , ç de ces rayons sur le plan des j:, j. On se
trouve ainsi ramené de nouveau à la proposition énoncée vers la fin du § I.
Passons maintenant à ré(juation (7). On tirera de cette équation, jointe à la
formule (20) du §111,
,3)
= (r, s, t) rst [r, j, t\
D'ailleurs, comme on Ta vu dans le § T, le produit
rst [/•, .y, t\
représente précisément le volume du parallélipipède qui a pour côtés r,^,/.
Donc la formule (i3) entraîne la proposition suivante :
( 57)
4' Théorème. La position d'un point dans l'espace étant rapportée à trois
axes rectangulaires des j^, j-, z, si l'on désigne par
r, s, t
les rayons vecteurs menés de l'origine des coordonnées à trois points quel-
conques P, P', P", et par
.^r, Jr-, Zr\
les neuf coordonnées de ces trois points , la résultante
XrJsZt — OCrJtZs^ CC s ft ^r - ^ s Jr ^t -\- .r, J, I, — JT^J^Z,,
formée avec ces coordonnées, sera positive ou négative suivant que le
mouvement de rotation de r en i- autour de t sera direct ou rétrograde, et
cette résultante aura pour valeur numérique l'aire du parallélipipède con-
struit sur les rayons vecteurs /•, s^ t.
Les divers résultats que nous venons d'obtenir étaient déjà connus. Mais
l'adoption de signes propres à indiquer le sens des mouvements de rotation,
et l'introduction de ces signes dans le calcul, ont donné aux formules une
clarté, une précision nouvelles, et fait disparaître les doubles signes dont la
détermination dépendait de certaines conditions que l'on était obligé de
mentionner dans le discours et d'énoncer à part.
Concevons, à présent, que les axes coordonnés des x, j, z, cessant d'être
rectaqgulaires , se coupent sous des angles quelconques, et nommons
X, Y, Z
trois longueurs mesurées à partir de l'origine O des coordonnées, sur trois
droites respectivement perpendiculaires aux trois plans des j, z, des z, x
et des Xy j. Alors les coordonnées j: , j-, z d'un point quelconque P se
trouveront liées au rayon vecteur r, mené de l'origine à ce point [voir le troi-
sième volume, page 143 j, par les formules
/N /S /N
/,/s cosfr, X) cos(r, Y) cos(r,Z)
cos(x,X) cos(y, Y) cos(z,Z)
Si d'ailleurs on représente, comme nous l'avons fait ci-dessus, par
r, j, t
Ex. ilAn. et de Ph. n.ath., T. IV. (58« livr.) 8
(58)
trois rayons vecteurs menés de l'origine O à trois points divers P, P', P"; et
si, pour mieux reconnaître les coordonnées de ces points, on les désigne
encore à l'aide de la lettre r, ou s, ou ^, placée comme indice au bas de la
lettre .r , ou j-, ou z, les extrémités des trois rayons
r, ^, t
auront toujours pour coordonnées les neuf quantités
Mais ces neuf quantités , au lieu d'être respectivement équivalentes aux
termes du tableau (2) , se trouveront représentées par les neuf produits
cos ( r, Y) cos (r,Z)
cos (y. Y) cos (z, Z)
/\ /\ /\
, ^. / cos (* , X ) cos (^ , Y ) cos isyZ)
(i5) ( s A ^ *— Hr-^' ' k [ ^
cos(x,X) cos{y,Y) cos(z, Z)
cos(/, X) cos(f, Y) ^ cos(f, Z)
cos(x, X) cos (y, Y) cos{z,Z)
Gela posé, cherchons d'abord la valeur de la résultante
composée avec les quatre quantités
(16) . .
OU, ce qui revient au même, avec les quatre termes du tableau
cosir, X) cos(r, X)
r' — ^-- — - ■ f - — i •
/ X / cos(x,X) cos(y,Y)
^ '' \ /\ /s
cos (.y, X) cos(^, Y)
^ 7s^ ' ^ 7\
cos(x,X) . cos(y, Y)
( 59)
Chacun des deux produits
que renferme cette résultante, proviendra de la multiplication de deux termes
pris à la fois dans les deux colonnes horizontales et dans les deux colonnes
verticales du tableau (16) ou (17). Mais, d'une part, deux termes situés dans
une même colonne horizontale du tableau (17) offrent un facteur commun,
savoir, le facteur r pour la première colonne horizontale, le facteur s pour la
seconde ; et, d'autre part , deux ternies situés dans une même colonne verticale
du tableau (17) offrent un diviseur commun, savoir, le diviseur cos(x,X)
pour la première colonne verticale, et le diviseur cos(y, Y) pour la se-
conde. Donc les valeurs qu'on obtiendra pour les deux produits
en substituant le tableau (i 7) au tableau (16 ) , auront pour facteur commun le
produit rj, pour diviseur commun le produit cos (x,X) cos (y, Y) ; et, pour
obtenir la valeur de la résultante
il suffira de multiplier la résultante formée avec les quatre termes du tableau
.g. ; cos(rrX), cos(/Cy),
[r,s; X,Y]
cos (f,X), cos (i", Y),
c'est-à-dire l'expression
par le rapport
on aura donc
~7\ ' "Tn ?
cos(x,X) cos (y, Y)
(19) a:rfs-^sjr=—~v^ ^^l^ys; X, Y].
cos(x,X) cos (y, Y)
Pareillement, pour obtenir la valeur de la résultante
^rJsZt — XrJTtZs H- X, J^Z^ — X,y,Zt + Xtjr^s — ^f J^-Zr,
( 6o )
il suffira de multiplier la résultante formée avec les divers termes du tableau
cos (/', X ) , cos (r, Y ) , cos (r, Z) ;
cos(i^X), cos(^7y), cos(6-^Z);
cos(^,X), cos(^,Y), cos(i,Z);
c'est-à-dire l'expression
[r,s,t; X,Y,Z]
par le rapport
rst
cos(x,X) cos (y, Y) cos(z,Z)
on aura donc encore
(^') = 7^ '^ -^\r.s.t', X,Y,Z].
\ cos(x,X)cos(y,Y)cos(z,Z)
Ce n'est pas tout. Comme X sera perpendiculaire à y et z, Y à z et x, Z à x
et y, les cosinus des neuf angles
(xCx), (x?Y), (zîZ),
(y?X), (y?Y), (yrZ),
(z7x), (z';Y), (z?Z)
s'évanouiront tous, à l'exception de
/\ /N ^
cos(x,X), cos(y,Y), cos(z,Z).
Donc, par suite, chacune des résultantes
[x,y;X,Y], [x,y,z; X,Y,Z]
se réduira simplement à son premier terme, en sorte qu'on aura
[x,y; X,Y]= cos(xrX) cos(y?Y),
[x,y,z; X,Y,Z] =. cos (x^X) cos(y?Y)cos (z^Z) ,
et les formules (19), (ai) pourront s'écrire comme il suit :
\r, s; X, Y]
[11) ^rJs-0Csjrr= ^^^^.^^^^ rs,
(6i )
(^^) ] _ [/-,.,f;X,Y,Z]
( "~[x,y,z; ^,X,Zy'^-
Il ne reste plus qu'à substituer, dans ces dernières formules, les valeurs des
résultantes comprises dans les seconds membres.
Or supposons, en premier lieu, les deux points P, P' situés dans le plan
desx, J-. Alors l'équation (7) du § IV, jointe à la formule (x, y; = i, donnera
[r,^; X,Y] = (r,^)(X,Y)[r,^][X,Y],
[x,y;X,Y]= (X, Y) [x,y] [X, YJ.
On aura donc
\. r,s-, X, Y] _ , . \r^
Donc alors l'équation (laa) donnera
(24) XrJTs- OC,Jr^i^r,sY~^^^,
et l'on pourra énoncer le théorème suivant :
5^ Théorème. Les positions des divers points d'un plan étant rapportées^
à deux axes rectangulaires ou obliques des x et j-, si l'on désigne par x et y
deux longueurs mesurées, à partir de l'origine O des coordonnées , sur ces
axes prolongés du côté des coordonnées positives, par
r, s
les rayons vecteurs menés de la même origine à deux points P, P' du plan
donné, et par
les quatre coordonnées de ces deux points, la résuUatite
formée avec ces quatre coordonnées, sera positive ou négative suivant que
le mouvement de rotation de r et s sera direct ou rétrograde ; et cette résul-
tante aura pour valeur numérique le rapport qui existe entre l'aire du
parallélogramme construit sur les côtés r, s, et l'aire du losange que Ton
peut construire sur les côtés x , y, réduits l'un et l'autre à l'unité.
( 62 )
Supposons, maintenant , les points P, P' situés hors des plans des x, y.
Alors, en nommant 7^ une longueur mesurée, à partir de l'origine O, sur
une perpendiculaire au plan de l'angle (r, s), et remplaçant m, p, /Fpar X, Y, z
dans l'équation (i6) du § IV, on tirera de cette équation
[r,s; X, Y] = (r, s, T) (X, Y, z) [r, s] [X, Y] cos ( T%) ;
puis, en remplaçant r, s, T par x, y, Z, on trouvera
[x, y; X, Y] = (x, y, Z) (X, Y, z) [x, y] [X, Y] cos(Z,"z).
On aura donc, par suite,
[r,s; X,Y] _ (r, s, T) [r, s] cos{T%)
et l'équation (22) donnera
(.5) x„r. ^,^_^__^____^.
Si, pour plus de commodité, on suppose la longueur Z mesurée du même
côté que la longueur z, c'est-à-dire du côté des jz positives, le cosinus de
1 angle (Z, z) offrira une valeur positive, égale au sinus de l'inclinaison de
Taxe des z sur le plan des JC , j-; et, comme on aura
(x,y, Z) = (x,y, z)=: I,
on trouvera simplement
/ à^\ / 'Ti\rs\r,s] cos ( T, z)
l-'^'y-l cos(Z,z)
Enfin , si la longueur T' est mesurée elle-même du côté des z positives ,
l'angle ( T, z) sera l'angle aigu qui mesurera l'inclinaison du plan de
l'angle (r, s) sur le plan des jc , j ; et , comme alors on aura
{r,s, T) = (r, s, z),
la formule (26) pourra être réduite à l'équation
(27) Xr Js - OC, j, = (r, s, z) j^ — ^H '
L^'y-i cos(z, z)
de laquelle on déduira immédiatement la proposition suivante :
(63)
6* Théorème. La position d'un point dans l'espace étant rapportée à trois
axes rectangulaires ou obliques des oc, j\ z, si l'on désigne par x, y, z trois
longueurs mesurées à partir de l'origine O des coordonnées , sur ces axes ,
indéfiniment prolongés du côté des coordonnées positives, puis par
r, s
lesrayons vecteurs menés delà même origine à deux points quelconques P, P',
et par
^r, Jr-,
celles des coordonnées de ces deux points qui sont mesurées sur les axes des a-
et j^, la résultante
formée avec ces quatre coordonnées, sera positive ou négative suivant que
le mouvement de rotation de r en * autour de la direction z sera direct ou
rétrograde; et cette résultante aura pour valeur numérique le produit de
deux facteurs respectivement égaux , le premier au rapport qui existe entre
l'aire du parallélogramme construit sur les côtés i\ s, et Taire du losange
que l'on peut construire sur les côtés x, y, réduits à l'unité; le second au rap-
port qui existe entre le cosinus de l'inclinaison du plan de l'angle [r^s] sur
le plan des ^ , J", et le sinus de l'inclinaison de l'axe des z sur le même
plan.
Considérons, enfin, trois points P, P', P" situés dans l'espace, aux extré-
mités des rayons vecteurs i\s, t, et supposons la position de chaque point
rapportée à trois axes rectangulaires ou obliques des oc, j, z. La résultante,
formée avec les neuf coordonnées des trois points P, P', P", sera déterminée
par la formule (aS). D'ailleurs, l'équation (aS) du § IV, jointe à la formule
(x, y, z)=rr I, donnera
[ryS.t- X,Y, Z]=r(A',i, i)(X,Y, Z) [r, s, i][X,Y, Zj
[x,y,z; X, Y, Z] = (X, Y, Z) [x,y,zl [X, Y, Z].
On aura donc
{r,s,t; X, Y,Z] _ , . [r, s, t]
[x,y,z; X,Y,Z]~" ^'^' "^' ^^ [x, y, z]'
Donc l'équation (2 3) donnera
f^Q\ , , rst\r,s,t\
[20) ^rXsZt — Xsy,z,-{-Xsy,Zr — Xsy,Zt-\-x,yrZ, — x,y,Zr =(/■, A-,/-) y-i Y^?
et l'on pourra énoncer le théorème suivant :
(64)
7* Théorème. La position d un point dans l'espace étant rapportée à trois
axes rectangulaires ou obliques des .r , ^, z , si Ton désigne par
X, y, z
trois longueurs mesurées, à partir de l'origine O des coordonnées, sur ces
trois axes indéfiniment prolongés du côté des x^j^z positives, puis par
r, s, t
les rayons vecteurs menés de l'origine à trois points quelconques, et par
^r, fr^ Zr,
•^., Js-, ^.,
les neuf coordonnées de ces trois points, la résultante
formée avec ces neuf coordonnées . sera positive ou négative suivant que le
mouvement de rotation de r et j autour de t sera direct ou rétrograde; et
cette résultante aura pour valeur numérique le rapport qui existe entre le
volume du paiallélipipède construit sur les arêtes r, 5^, ^, et le volume du
parallélipipède que l'on peut construire sur les arêtes x , y, z, réduites chacune
à l'unité.
Il est bon d'observer que les théorèmes 5, 6 et 7, relatifs à des coordon-
nées obliques, peuvent être immédiatement déduits des théorèmes 1, 2,
3, 4? relatifs à des coordonnées rectangulaires. En effet, les trois équations
qui servent à transformer des coordonnées obliques en coordonnées rectan-
gulaires, étant du premier degré, il suit du théorème sur les produits de
résultantes, déjà mentionné, que la résultante formée avec les coordonnées
de trois points choisis arbitrairement dans l'espace obtiendra successive-
ment deux valeurs qui seront entre elles dans un rapport constant, c'est-à-
dire indépendant des positions de ces mêmes points, si, l'origine des coor-
données restant immobile, on rapporte la position d'un point quelconque,
d'abord à des coordonnées recl angulaires, puis à des coordonnées obliques.
Ajoutons que ce principe ne cessera pas d'être exact, si, en faisant abstrac-
tion des coordonnées parallèles à l'un des axes, par exemple à l'axe des 2,
on considère la résultante formée , non plus avec les neuf coordonnées de trois
(65)
points choisis arbitrairement dans l'espace, mais avec les quatre coordon-
nées de deux points, pourvu qu'en passant des coordonnées obliques aux
coordonnées rectangulaires, on ne déplace pas l'axe des z. En effet, il suit
de la formule (i3), de la page i44 du troisième volume, que dans le cas où
l'on passe d'un premier système de coordonnées rectilignes à un second
système, sans déplacer l'un des axes, les coordonnées mesurées parallèlement
aux deux autres axes entrent seules dans deux des équations linéaires à Taide
desquelles la transformation s'effectue; et l'on peut appliquer séparément
aux quatre coordonnées que ces deux équations servent à transformer, le
théorème sur les produits de résultantes.
Gela posé, le rapport
(29)
{r,s)rs[r,s] '
qui, en vertu dp laibrmule (8), se réduit à l'unité, pour deux points situés
dans le plan des coordonnées x et j-, quand ces coordonnées sont rectan-
gulaires, pourra différer de l'unité, mais devra obtenir une valeur con-
stante, cest-à-dire une valeur indépendante des directions attribuées dans
le plan donné aux rayons vecteurs r et s, si les coordonnées deviennent
obliques. Or, si l'on fait coïncider en direction r et ^ avec des longueurs x
et y, mesurées à partir de l'origine sur les demi-axes des jc et j" positives, on
aura
OC s = O, Js = ^i
(r,s) = {x,y)= I, [r,s] = [x,y].
Donc alors le rapport (29) se trouvera réduit à
I
elle principe énoncé fournira, pour des coordonnées obliques, l'équation
générale
^ ' {r,s)rs[r,s\ [x,y]'
qui s'accorde, comme on devait s'y attendre, avec la formule (24).
Pareillement, si, les directions r, s n'étant plus renfermées dans le plan
des X , j-, on nomme
z, Z, T
Ex.aAn et de Phyi '7?^<ft.. T, VI. (38« livr.) 9
(66)
trois longueurs mesurées, à partir de l'origine, la première sur un axe desz,
perpendiculaire ou même oblique au plan des x^ j\ les deux dernières
sur des perpendiculaires au plan des oc , j et au plan de l'angle (r, i'), le
rapport
(3,) — ^,^:,:-^oi^,
[r,s, T)rs{r,s]cos{T,z)
qui, en vertu de la formule ([2), se réduisait à l'unité, quand les coordon-
nées étaient rectangulaires, pourra différer de Vunité, mais devra obtenir
une valeur constante , c'est-à-dire une valeur indépendante des directions
attribuées aux rayons vecteurs r et s. Or, si Ton fait coïncider, en direction ,
r et s avec les longueurs x, y mesurées, à partir de l'origine, sur les deux axes
des œ et j positives , on pourra supposer que T coïncide lui-même avec Z ,
et l'on aura
jc^ = r, ^^ = o,
'-^s = 0, fs = -y,
{r,s,T) = (r,s,Z), [r,.] = (x,y), {T?z) = {Z%).
Donc alors le rapport (ag) se trouvera réduit à
(/•*, Z)[x,y]cos(Z,z)
et le principe énoncé fournira, pour des coordonnées obliques, l'équation
générale
^rfs — ^sjr l
(32
{r, s, T) rs [r, s] cos ( T, z) [r, s, Z)[x , y] cos {Z, z)
qui s'accorde, comme on devait s'y attendre, avec la formule (i5). Ajoutons
que la formule (32) comprend évidemment, comme cas particulier, la for-
mule (3o).
Enfin , le rapport
\^^) {r,s,e)rse[r,s,t] '
qui, en vertu de la formule (i3) , se réduit à l'unité, quand les coordonnées
sont rectangulaires , pourra différer de l'unité , mais devra encore obtenir
une valeur constante, c'est-à-dire indépendante des directions r^ s, t, si
(67 )
les coordonnées deviennent obliques. Or, si l'on fait coïncider en direc-
tion r, j, t avec des longueurs x , y, z , mesurées à partir de l'origine , sur les
demi-axes des x ^ y^z positives, on aura
^r—r, Jr=o, z, = o,
J(^s = O, J, = s, Zs = G,
JCc =: O, jr^ = O, Zf = t,
X,J,Zt — XrJtZ, + X,yr-r " ^. Jr^, + X./.Z, — X^J^Zr == rSt ,
{r,s,t)z= (x,y, z) = I, [r,s,t]=: [x,y, z];
donc alors le rapport (33) se trouvera réduit à
[x.y>2]
et le principe énoncé fournira, pour des coordonnées obliques, l'équation
générale
{r,s,t)rst\r^s,t\ [x, y, z]'
qui coïncide, comme on devait s'y attendre, avec la formule (28).
§ VI. — Des conditions sous lesquelles les résultantes considérées dans les paragraphes
précédents s'évanouissent.
Les résultantes dont nous avons déterminé les valeurs dans les paragra-
phes précédents s'évanouissent sous certaines conditions, qu'il est bon de
connaître, et que nous allons un instant examiner.
Considérons d'abord la résultante
(i) [r,>y; m,p] = cos(r,a) cos(^, ^) — cos (r,p) cos(i',w),
dont les deux termes ont pour facteurs les cosinus de quatre angles, que les
directions r, .y forment avec les directions w, t». Si les deux angles
(r,^), (m,p)
sont renfermés dans le même plan , ou dans des plans parallèles ; alors , en
vertu de la formule (2) du § IV, jointe au théorème énoncé dans le § II, on
aura
(2) [r, j ; M , p] = (r, s) {u , v) sin (r, s) sin {u^v);
(68)
et, par suite, la résultante [r,s; m, v] aura pour valeur numérique le produit
(3) sin(r, i'), sin(M,p).
Si, au contraire, les plans des deux angles
cessent de coïncider ou d'être parallèles entre eux; alors, en nommant t
l'inclinaison mutuelle de ces deux plans, on conclura de la formule (i3) du
§ IV, jointe au théorème du § II, que la résultante |r, s; u,if] â pour valeur
numérique le produit
(4) sin (r, s) sin (m , i>) cos i .
En conséquence, pour faire évanouir la résultante [f\s; w,v^] et vérifier la
condition
(5) [r, s; u^ ii\ = o,
il sera nécessaire et il suffira de réduire à zéro Tun des deux facteurs
sin(r,.$'), sin(M,i'),
quand les deux angles (r, i") , {u,v) seront compris dans le même plan; et,
dans le cas contraire, l'un des trois facteurs
sin (r, s) , sin (u, i>) , cos i .
D'ailleurs, Téquation
(6) sin {r,s) = o ,
de laquelle on tire
(r, s) = o ou 71,
exprime que les directions r, s se mesurent sur une même droite, ou du
moins sur des droites parallèles; et l'équation
/«) cos £ = o,
de laquelle on tire
( 69 \
exprime que les plans des deux angles
/\ /^
sont perpendiculaires entre eux. Enfin, en vertu de Téquation (i), la condi-
tion (5) pourra être présentée sous l'une quelconque des deux formes
(8) ces (r, u) cos (s, if) — cos (r, v) cos {s, m) = o ,
(g) COS (r, u) _ cos(,9, «)_
cos(/-, (^) cos(V, c)
Cela posé, on pourra évidemment énoncer la proposition suivante:
i^*" Théorème. Les longueurs n, v étant mesurées sur des droites distinctes
et non parallèles, pour que deux autres longueurs r, s se mesurent, ou sur la
même droite, ou sur des droites parallèles, ou du moins forment entre elles
un angle (r,j') dont le plan soit perpendiculaire au plan de l'angle (i^, t;),
il est nécessaire et il suffit que les quatre cosinus
cos (r, u) , cos (r, t^), cos (^, u) , cos(^, i^)
représentent les ([uafre termes d'une proportion géométiique, de manière à
vérifier la formule (9).
Corollaire. Gomme on vient de le voir, la formule (9), remarquable par
son élégance et sa simplicité, se déduit immédiatement de l'étjuation (2),
dans le cas particulier où les directions r, s sont renfermées dans le plan
de l'angle (m, i^). Ajoutons que, de ce cas particulier on peut aisément passer
au cas général où les directions /', s sont situées hors de ce plan, à l'aide des
considérations suivantes.
Soient, dans le cas général,
les projections absolues de ;■ et de s sur le plan de Tangle (w, v). Pour que les
directions /', s se mesurent sur une même droite ou sur des droites paral-
lèles, ou du moins forment entre elles un angle (r, .y) dont le plan soit
perpendiculaire au plan de l'angle (m, i>) , il sera nécessaire et il suffira, évi-
demment , que les projections p , ç se mesurent sur la même droite et sur des
droites parallèles; par conséquent, il sera nécessaire et il suffira que l'on ait
/s. /\
/ ^ cos ( p, «) cos ( ç , m)
(10) -fy = — ^-
cos ( p , »») cos ( ? , p)
( 70 )
Mais , d'autre part, le plan qui renfermera les trois angles
étant perpendiculaire au plan de l'an^f^le (r, p) , le théorème 7 de la page 3 1 1
du troisième volume donnera
/\ /\ ,
cos (r, u) cos {r, V) , ^
r. = -TT = COSI r,/9),
cos(p,«) cos(p,c)
par conséquent ,
cos(r, u) cos(p, u)
cos ( r, v) cos ( p , v)
et l'on trouvera, pareillement,
cos [s,u) cos ( ç , «)
~~ ^^^ r^ '
cos(^, 0) cos (ç, 0)
Or il est clair qu'en vertu de ces dernières formules, l'équation (10) com-
cidera précisément avec l'équation (9).
Considérons maintenant la résultante
[r, s, t, M, i^, w]
/>> /\ /s /N /S /\
= cos (r, z^) cos (*, i^) cos (^, w) — cos (r, m) cos (i-, cv) cos {t , i*)
^ '- cos(r, p) cos(.f,M>)cos(^, w) — cos(r, p) cos(i, w)cos(f,w)
/\ /\ /N •^ /N /\
- cos (r, w) cos (^, w) cos (i, p) — cos (r, w) cos [s, v) cos (^, uj ,
dont les six termes ont pour facteurs les cosinus des neuf angles que les
directions r, s, t forment avec les directions w, v, w. En vertu de la for-
mule (aS) du § IV, jointe au théorème énoncé dans le § II , on aura
[r, s,t\ u. c, w\ = (r, s,t){u^v^ w) [r, s^ t] [w, v, w] ;
et, par suite, la résultante [r, i-, tj u, t», w] aura pour valeur numérique le
produit
[r\ J, t'\ [w, v^ w\
des volumes des deux parallélipipèdes, que l'on peut construire , d'une part,
sur les arêtes r,s,t, d'autre part, sur les arêtes u, v^w , en supposant ces
arêtes réduites chacune à Tunité, et mesurées, à partir d'une même origine,
dans des directions parallèles à celles qui leur étaient assignées. En con-
séquence, pour faire évanouir la résultante [t\Syt; u, v,w] et vérifier la
( 7» )
condition
(12) [r, s,t;u,v,w] = o,
il sera nécessaire et il suffira de réduire à zéro l'un des deux volumes
D'ailleurs, l'équation
(i3) [r,s,t] = G,
qu'on obtient en égalant à zéro le volume [r, 5, ^], est précisément la con-
dition nécessaire et suffisante pour que des longueurs, mesurées à partir
d'un même point dans des directions parallèles à celles de /*, ^, i, soient
renfermées dans un plan unique, ou, en d'autres termes, pour que les trois
directions r, s, t soient parallèles à un même plan. Gela posé , on pourra
évidemment énoncer la proposition suivante :
2* Théorème. I-.es longueurs u, v,w étant mesurées sur des droites non
parallèles à un même plan, pour que les directions de trois autres lon-
gueurs r, 5-, t soient, ou comprises dans un même plan , ou du moins paral-
lèles à un même plan, il est nécessaire et il suffit que la résultante des
cosinus des neuf angles que les directions i\ s, t forment avec les direc-
tions M, V, w, s'évanouisse, ou, en d'autres termes, que l'on ait
/ /N /\ /\ y\ /\ /s
L cos(r, u)cos[s, p) cos (t^w) — cos (r, u) cos{s,w) cos(^, w)
U4) \ -f- cos(r,v)cos(s, w) cos it^w) — cos (r, i>\ cos [s, u) cos [t^w]
V 4- cos(r, w) cos (5. u) cos{t, u) — cos(r, w) cos [s, v) cos [t , u) = o.
Corollaire. On pourrait, avec la plus gracde facilité, arriver encore à
la formule (i4) , en raisonnant comme il suit.
Rapportons les positions des divers points de l'espace à trois axes des jc ,
j, z menés par un point quelconque O, et , en attribuant aux demi-axes
des X, ^, positives des directions parallèles à celles de u , <», w, nommons
les coordonnées d'une longueur v finie, mais différente de zéro, et mesurée
sur une droite quelconque à partir du point O. La formule (i 3) de la page i43
du troisième volume donnera
/N /\ /\ ^ /\
V cos (r, »-) = « cos (r, u) •+■ 1^ cos (r, p; 4- * cos (r, u-).
( 7M
Donc, si Tangle (/^t-) se réduit à un droit, on aura simplement
/\ /s /s
X cos (r,M) -t- -^ cos (/•, if)-h^ cos (r, w) = o.
D'ailleurs, pour que les directions r, 6^, t soient parallèles à un plan unique y
il est nécessaire et il suffit qu'elles forment trois angles droits
, /N /\ /\
(r,.), (.,.), {t,.)
avec une direction -o perpendiculaire à ce plan; par conséquent , il est nécesr
saire et il suffit qu'elles vérifient trois équations de la forme
/N /s /s
c cos (/', u) H- -tf cos (r, v) -h z cos (/', xv) = o,
[i^) ( » cos {s,u) -t- .i( cos (.?, i^) H- ^ cos (S, w) = o,
c cos {t , u) 4- tj cos (^ , p) -f- i cos (^, w) = o.
Enfin , lorsque la longueur -o, comme nous le supposons ici , diffère de zéro,
les trois coordonnées
oc, ^^, z
de Textrémité de cette longueur, mesurées sur trois axes non parallèles à un
même plan, ne peuvent s'évanouir à la fois ; et alors les trois équations (i5)
ne peuvent subsister simultanément que dans le cas où les cosinus par les-
quels y sont représentés les coefficients de x , i^ , z, vérifient la formule (i4)-
Cherchons maintenant les conditions sous lesquelles s'évanouissent les
résultantes que l'on peut construire avec les coordonnées de deux ou trois
points, dont les positions sont rapportées à des axes rectangulaires ou obli-
ques des .r, j", z.
Représentons par les trois lettres
r, j, t
les rayons vecteurs menés de l'origine à trois points donnés, et désignons, à
Taide de ces mêmes lettres, placées comme indices au bas de ^, j* et z, les
coordonnées de ces trois points. Enfin, soient
trois longueurs, mesurées à partir de l'origine, sur les demi-axes des j:, j\ z
positives, et T une autre longueur mesurée sur une perpendiculaire au plan
( 73 )
de l'angle {r,s). Les formules (26) et (a8) du § V donneront
t-^'^J cos(Z,z)
et
Gela posé , l'équation de condition
(18) JCrJ's — ^sJ'r =
pourra être réduite à
(19) * r^ [r,^] 008(7", z) = o.
Donc, pour qu'elle soit vérifiée, il sera nécessaire et il suffira que l'un des
facteurs
r, s,- [r, i'], cos(Z',z)
s'évanouisse. D'ailleurs, réduire à zéro l'un des rayons vecteurs r, s, c'est
supposer que l'un des points donnés coïncide avec l'origine. Quant à la
condition
[r, ^] = o ,
que l'on peut encore écrire comme il suit ,
sin (r, ^) = o ,
elle exprime que les longueurs r, s se mesurent sur une même droite. Enfin ,
la condition
/s
008(7", z) = o
exprime que la direction 7", perpendiculaire au plan de l'angle (r^s), est
aussi perpendiculaire à l'axe des z, ou, en d'autres termes, que le plan de
l'angle (r, s) passe par l'axe des z.
Quant à l'équation de condition
(20) XrJsZt~JCrJcZs-\-a:,JtZr — JOsJ,.Z,+ OCtJr^s — ^ifs^r^O,
elle pourra être réduite, en vertu de la formule (17), à
(ai) . rst\r^s,t\ — o.
Ex, à. An. et de Phys. math,, T. IV, (59« livr.) lO
(74)
Donc, pour qu'elle soit vérifiée, il sera nécessaire et il suffira que l'un des
facteurs
r, ^, i , [r, j , i ]
se réduise à zéro; par conséquent , il sera nécessaire et il suffira que Tundes
points donnés coïncide avec l'origine, ou que le volume du parallélipi-
péde construit sur trois arêtes parallèles à r, s^ t s'évanouisse, c'est-à-dire,
en d'autres termes, que les trois arêtes r, s, t deviennent parallèles à un même
plan.
Eu égard aux remarques qu'on vient de faire, on pourra évidemment
énoncer les propositions suivantes :
3^ Théorème. F^a position d'un point étant rapportée à trois axes des x ,
j^z qui se coupent sous des angles quelconques, pour que deux points
séparés de l'origine, l'un par la distance r, l'autre par la distance .y, soient
renfermés dans un plan qui passe par l'origine, il est nécessaire et il suffit
que les coordonnées
^s: Js
de ces deux points, mesurées sur les axes des x et j^ vérifient la condition
{11) X,J, - XsJ, = O.
If Théorème. La position d'un point étant rapportée à trois axes des x ,j.,z
qui se coupent sous des angles quelconques, pour que trois points séparés de
l'origine par les distances
/■, s et t
soient renfermés dans un plan qui passe par i origine, il est nécessaire et il
suffit que les coordonnées
X,.^ Jri ^/■•)
de ces mêmes points vérifient la condition
(23) XrJsZi — X,.fiZs -+- X,J\Zr — X^Jr^c + ^t^'r^s — ^tjs^r — O-
On pourrait encore, avec la plus grande facilité, établir les théorèmes 3
et 4 , en raisonnant comme il suit.
(75)
Soient toujours
X, y, z
trois longueurs mesurées , à partir de Torigine , sur les demi-axes des coor-
données positives , et -o une autre longueur mesurée , à partir de la même
origine, dans une direction quelconque. Si l'on représente par .r, jr, ^ ^^^
coordonnées d'un point situé dans le plan mené par cette origine perpen-
diculairement à î> , la première des équations (i 5) subsistera , quand on y rem-
placera "i^, p, w par X, y, z; r par «-, etx, ^, * par .r, j^ z. On aura donc
/\ /\ /\
(•J»4) ^ cos (t., x) -I- ^ cos (ï' , y) + z cos (v, z) = o.
Ajoutons que la formule (24) , c'est-à-dire l'équation du plan mené par
Torigine perpendiculairement à «-, se réduira simplement à
(aS) j: cos(it,x) + jr cos (t.,y) = o,
si ce plan passe par l'axe des z, puisque alors, v étant perpendiculaire à z, on
aura
(SZ) = ^, C0S(Cz)=:O.
Gela posé , pour que les deux points séparés de l'origine par les distances r
et s soient renfermés dans un plan qui passe par l'axe des z, il sera néces-
saire et il suffira que leurs coordonnées
Xj, Zs ,
mesurées sur les axes des x et j-, vérifient deux équations semblables à
l'équation (26), c est-à-dire deux équations de la forme
/N /S
S ;r^ cos (v,x) H- y,, cos (t, y) = o ,
(26) / ^ ^ ^ ^ ^
{ jc^ cos(i-,x) -f- jr^ cos(ï',y) = O.
Pareillement, pour que les trois points séparés de l'origine par les dis-
tances r, s, t soient renfermés dans un même plan qui passe par l'origine ,
il sera nécessaire et il suffira que leurs coordonnées
^s. Js. Zs.
(76)
vérifient trois équations semblables à l'équation (24), c'est-à-dire trois équa-
tions de la forme
/\ /\ /\
Xy COS(x^, x) -t- J",.COS (t^,y) 4- Zr COS (t- , z) r= G,
K^l) < X^COS(t',x) + j-^cos(ï/,y) + ;3^ cosfit, z) =0,
I /\ /s /N
( ^^ cos (i,x) + j^f cos(^,y) -h Z; cos (<, z) = o.
Or les trois angles
M), (Cy), (Cz)
ne pouvant être droits tous les trois, lorsque les coordonnées x^ j^ z se
mesurent, comme on doit le supposer, sur trois axes non compris dans un
même plan , les cosinus de ces trois angles ne peuvent s'évanouir à la fois ;
et, par suite, le système des formules (27) entraîne la condition (20).
§ VII. — Sur les relations qui existent entre les coefficients des variables dans les deux espèces
d'équations à l'aide desquelles on passe d'un premier système de coordonnées rectilignes à
un second, et réciproquement.
Parmi les problèmes dont la solution introduit dans le calcul des résul-
tantes formées avec les coordonnées de deux ou trois points, on doit re-
marquer une question d'ailleurs facile à résoudre , celle dont l'objet est
d'établir les relations qui existent entre les coefficients renfermés dans les
deux espèces d'équations à l'aide desquelles on passe d'un premier système
de coordonnées rectilignes à un second , et réciproquement. Occupons-nous
un moment de cette question et des formules qui s'y rapportent.
D'après ce qui a été dit dans un précédent Mémoire [voir le S*" volume),
si l'on nomme
œ , j, z les coordonnées rectilignes dun point quelconque P, relatives à
trois axes rectangulaires ou obliques, menés j^ar une certaine
origine O ;
X, y, z trois longueurs mesurées, àpartirdecetteorigine, sur lesaxesdes,r,
j^ z indéfiniment prolongés du côté des coordonnées positives;
X, Y, Z trois longueurs mesurées, à partir de la même origine, sur les axes
conjugués, c'est-à-dire sur trois nouveaux axes respectivement
perpendiculaires aux plans des J^z, des z, 07 et des x, jk;
( 77 }
et si l'on représente par
ce que deviennent
X, j^ z. X, y, z, X, Y, Z,
quand au système des axes donnés on substitue un nouveau système daxes,
J'origine restant la même , on aura
( X ^ ■=: ax + hj + cz^
(i) < y ^ = a'x -\- b'jr -\- c'z,
( z = a"x-^- f>"j+ c"z,
les valeurs des coefficients
a, h, 6"; 'a', b\ c' ; a\ h", c"
étant fournies par les équations
^ /s /N
cos(x, X,) , cos(y, X,; cos(z,X/;
cos(x,, X,) cos(x,,X,) cos(x,,X,j
(o) ) n' — ^"'^(^'^^^ h'— ^"^(y^ ^/) ../ — ^^s(z, Y,) _
cos(y,,Y,'i cos(y, ,Y,} cosfy,,Y,^
/\ /\ ^
„ cos(x, z,) ,„ cos (y, Z,)
h" =
cos(z,, Z,) cos(z,, Z,) cos(z,, Z,i
et, réciproquement,
/ X = Jx^ + A'j^ H- ^"z ,
(3) I j= Bx, -^ i^'x + /^"2 ,
les valeurs des coefficients
A, A\ A\ B, B\ B\ C\ C\ C"
étant fournies par les équations
y^ /\ /\
( A _ cosJx^X) cos(x„Y) .„_cos(x,, Z'
i ^ — , /\ ' ' — 7\ — ' ^ — — — 7^->
l cos^x,X) cos(y, Y) cos(z, Z)
r4) ( /^ = îi^iil^, B' = ^2iiZ^), ^" =^ ^£!iZ^.
j cos(x,X) cos(y, Y) cos(z, Z)
■ '^ /\ /\
^, cos (Z;, Y) ^„ cos(z„-Z)
cos(x,X) cos (y, Y) cos(z, Z)
( 7» )
D'ailleurs , la nature de ces divers coefficients est facile à reconnaître ; et ,
d'abord, en vertu des formules (i), les coefficients renfermés dans une même
ligne verticale du tableau
( a^ b, c,
(5) < n', b', c\
\ a'\ b", c",
représentent évidemment ce que deviennent les coordonnées
^/> J,-> ^,
du point P. quand ou a réduit Tune des trois variables
X, j, z
à l'unité, et les deux autres à zéro, c'est-à-dire, en d'autres termes, quand on
fait comcider le point P avec l'extrémité de Tune des longueurs
réduites à l'unité. Pareillement, en vertu des formules (3), les termes ren-
fermés dans une même ligne verticale du tableau
/ ^, A\ A\
(6) ) B, B\ B\
{ c, c\ c\
représentent ce que deviennent les coordonnées
du point P, quand on fait coïncider ce point avec l'extrémité de lune des
longueurs
x,^ y,» ^,
réduites à lunité. Ainsi, les divers coefficients renfermés dans les équa-
tions (i) et (3} se réduisent aux projections algébriques que Ion obtient
quand on projette les longueurs x, y, z réduites à l'unité, sur les directions
X, , y, , z, , à l'aide de plans perpendiculaires aux directions X, Y, Z, ou les
longueurs x^, y,, z, réduites à l'unité, sur les directions x, y, z, à l'aide de
plans perpendiculaires aux directions X, Y, Z. Cette seule remarque fournit
un moyen simple de retrouver aisément et de reproduire à volonté l'une
( 79 ^
quelconque des formules (2) ou (4). En effet, si l'on désigne par
r, s , t
trois longueurs, dont chacune se mesure dans une direction déterminée, la
projection algébrique de rsur^, effectuée à laide de plans perpendiculaires
à ty sera {voir le 3^ volume , page i4o)
cos (/•, t)
/' i '..
cos {s , t)
Donc, si la longueur r se réduit à l'unité, sa projection algébrique sera
représentée par le rapport
cos (r, t)
cos(^, t)
Cela posé, le coefficient a, par exemple, n'étant autre chose que la projec-
tion algébrique de x sur x, , effectuée à l'aide de plans perpendiculaires à X, ,
et correspondante à la valeur 1 de x, on aura nécessairement
/\
cos('x,X,)
cos(x,,X,)
et Ton pouira, de la même manière, en s'appuyant sur la remarque ci-
dessus énoncée , reproduire isolément chacune des formules comprises dans
le système des équations (2) ou (4).
D'autre part, chacune des formules (3) doit nécessairement comcider
avec l'une de celles que l'on peut obtenir en éliminant deux des coordon-
nées .r, /, z entre les formules (i); et, réciproquement, chacune des
formules (i)doit coïncider avec l'une de celles que l'on obtient en éUmiuant
deux des coordonnées a-,, j, , z entre les formules (3). Il y a plus : cette
coïncidence doit avoir lieu, quelles que soient les valeurs attribuées aux
variables x , j, z ou jf, , j, , z, ; ce qui exige que les coefficients de .r , j-, z
soient les mêmes dans les valeurs de jc^, j^, z que donnent les formules ( i ; ,
et dans celles que l'on tirerait des formules (3). Donc les neuf coefficients
peuvent être exprimés en fonction des coefficients
J, B, C, J% B\ C, A\ B\ C";
et , réciproquement , chacun de ceux-ci peut être exprimé en fonction des
( 8o )
neuf autres. En effectuant le calcul , et posant, poiu^ abréger,
(n\ k c= ah'c" — ab"c' H- a'b"c — a'hc" -\- a"bc' — a"b'c ,
(8) K = AB'C"—AB"C'+ A'B'C - A'BC + A"BC' - A'B'C,
on trouve {yo\r le i^ volume, page 172)
/ j b'c" — b"c' ., b"c — bc" j,,
lj= — ^ — . ^' = — ^p-, j =
/ » ^^ — c a' „, c a — ca t>„ _
(.:
a'b" — a" h' ^, a"b — ab" ^„
B'C"-B"C'
a = ^ : a =
. _ C'A" — C'A' ,, _
'A'B"-A"B'
à
bc' -
■b'c
h
ca' —
- c' a
k
ab'^
■a'b
k
BC
— B'C
CA'
K
-CA
AB'
K
— A'B
K
Mais, en vertu des remarques précédemment faites, la valeur de k donnée
par la formule (7) est précisément la résultante des coordonnées des trois
points l, m, n qui coïncident avec les extrémités des longueurs x, y, z, dans
le cas où l'on suppose ces longueurs réduites à Tunité , et où l'on rapporte la
position d'un point quelconque aux axes coordonnés de x^, j^^ z-,. Pa-
reillement, la valeur de K donnée par la formule (8) est précisément la
résultante des coordonnées des trois points L, M, N qui coïncident avec les
extrémités des longueurs x, , y, , z, , dans le cas où l'on suppose ces longueurs
réduites à l'unité, et où l'on rapporte la position d'un point quelconque
aux axes coordonnés des x , j, z. Enfin , si dans chaque résultante on fait
entrer, non plus les neuf coordonnées de trois points mesurées sur trois axes
différents, mais les quatre coordonnées de deux de ces points mesurées sur
deux de ces axes, alors, à la place de chacune des résultantes
k et K,
on pourra obtenir neuf résultantes diverses, qui seront précisément les
numérateurs des fractions comprises dans les formules (9) ou (10). Donc
chacune des formules (9), (10), qui servent à exprimer les coefficients
A, B, C, A', B\ C A\ B" C"
( 8i )
en fonction des coefficients
<2, b, c ,^ a', b\ c\ a'\ h'\ c'\
et réciproquement, a pour second membre le rapport entre deux résul-
tantes à deux et à trois directions, construites avec les coordonnées de deux
ou trois points. Ajoutons que la valeur de chacune de ces résultantes pourra
être aisément déduite des formules établies dans le § V. Ainsi, par exemple,
en vertu de la formule (a 8) du § V, la résultante K des coordonnées des
points L, M, N , mesurées sur les axes des x , j,z, offrira une valeur nu-
mérique déterminée par l'équation
(il) A — (x . Y . z /■- '" !-* ,
\ / ^ " J'' '^ [x, y, z]
le mouvement de rotation de x en y autour de z étant considéré comnie
direct, en sorte qu'on ait
(x, y, z) = r.
Alors, aussi, en vertu de la formule (aS) du § V, la résultante
A'B" - A"B'
des coordonnées des points L , M , mesurées sur les axes des x et y^ offrira
une valeur déterminée par l'équation
(i ^) A'B" - A'B' = ^^-^y-^ V 1^ ^^i^-^.
Or les formules (i i), (12), et autres semblables, fourniront évidemment un
moyen facile de vérifier les équations (10). S'agit-il, par exemple, de véri-
fier la dernière de ces équations? On commencera par observer qu'en vertu
des formules (i/j) et (i5) du § i, on a, en supposant aigus les angles (z, Z) ,
[x,y> A = [x^ y] cos(z,Z),
[x,,y,rz] = [x,,y,]cos(z,Z);
et , par suite , dans tous les cas possibles ,
Ex. d'An, et de Phjs. math., T. IV. (59« livr.: 1 1
( 80
Donc la formule (i i) pourra s'écrire comme il suit :
Cela posé, il suffira évidemment de combiner entre elles, par voie de divi-
sion , les équations (12) et (i3), pour obtenir la formule
A'B"— A"B' _ cos(z,Z,)
K cos{z,,Z,)
ou , ce qui revient au même, eu égard à la dernière des équations (10), la
formule
A'B"~ A"B'
K— = ^ '
qui comcide précisément avec la dernière des équations (10). On pourrait, de
la même manière, à Taide des formules établies dans le § V, vérifier chacune
(ies équations (9) ou (10), Enfin, on pourrait encore vérifier ces mêmes
équations, après y avoir substitué les valeurs des divers coefficients tirées
(les formules (2) et (4) , à l'aide des formules générales que nous avons établies
dans le § IV.
Il est bon d'observer que le système des équations (9) peut être remplacé
par la seule formule
k h'c" — h"c' c'a" — c"a'
(.4) ' - ^' - "'
b"c — hc" c"a — ca"
A" B"
a'
'b"~
C
a"b'
a
"h —
C"
ah"
hc' — h'c ca' — c'a ab' — a'b
et le système des équations (10) par la seule formule
a b
(i5)
B'C"
—B'C
C'A"-
C'A'
A'B"
■A"B'
a'
=
b'
=
c'
B"C
— BC"
C"A-
- CA"
A"B
AB"
a"
b"
c"
BC —B'C CA' — CA AB' —A'B
Ajoutons que les formules (9) et (10), ou (i4) et (1 5), peuvent aussi être rem-
placées par un système de neuf équations qui soient linéaires par rapport
' 83 )
aux coefficients renfermés dans les formules (i), comme par rapport aux
coefficients renfermés clans les formules ( 3). Entrons , à ce sujet, dans quel-
ques explications.
Si l'on fait coïncider successivement le point P, dont les coordonnées
sont X, jr, z^ avec les extrémités 1 , m , n des trois longueurs
réduites à l'unité , on obtiendra trois systèmes de valeurs de x^ j^z, dont
chacune comprendra les trois coefficients renfermés dans une même colonne
verticale du tableau (5); et à ces trois systèmes de valeurs de x^j^ z , cor-
respondront trois systèmes de valeurs de x^, j^^ 2 , dont chacun offrira
deux valeurs nulles et une valeur égale à i. Cela posé, des équations (3),
appliquées aux coordonnées des trois points 1, m , n, on déduira évidemment
les neuf formules
/ A a -h J'a' + J"a" = i , Jb -^A'b'-\- A" h" = o , Ac -\- A'c' + A"c" = o ,
(i6) ' Ba^B'a'-\-B"a"T=o, Bb+B'b'+B"b"=:z i, Bc+B'c'-hB"c"=o,
[ Ca 4- C'a' -h C'a" = o , Cb-hC'b'+ C"b" = o , Ce + Ce' ■+- Ce" — i .
Si, au contraire, on fait coïncider successivement le point P avec les extré-
mités L , M , N des trois longueurs
réduites à l'unité, on déduira successivement des équations (i) les neuf
formules
(Aa -hBb -h Ce =i, A' a ■+-B'b -h Ce =o, A" a +B"b -\-C'c =o,
(17) \Aa'+Bb'^Cc'=o, J'a' +B'b' -hCe' = ï, A"a' -hB"b'-hCe'=o,
( Aa"-hBb"-h Cc"=o, A'a"-\-B'b"+ Ce"—o, A"a"-^ B"b"-\- Ce"= 1 .
On pourrait, avec la plus grande facilité, déduire des équations (16)
ou (17) les formules (9) et (10). Veut-on, par exemple, déduire des équa-
tions (17) les équations (9), ou, ce qui revient au même, la formule (i4)?
Il suffira de prendre pour inconnues les coefficients renfermés dans le ta-
bleau (6), et de déterminer simultanément les trois coefficients compris dans
une même colonne verticale de ce tableau. Ainsi, en particulier, les équa-
tions (17) donneront
Aa-h Bb -h Ce = \, Aa' -h Bb'-\- Ce' = o , Aa"-\- Bb"-\- Ce"— o ,
( 84 )
et Ion tirera de celle-ci, eu faisant d'abord abstraction de la première,
ABC
a'b"— a"b' '
puis, ensuite,
c'a" — c"a' a'b" — a"b'
Ja -\-JBb -{- Ce
~~ a{^'c"— b"c') + b[c'a"—c"a') + c{a'b"~a"b') ~ "k
On prouvera, de même, en partant des équations (17), que chacune de»;
fractions comprises dans la formule (i4) se réduit à -; et généralement on
pourra, du système des équations (16) ou (17), déduire à volonté, ou la
formule (i4)? ou ^^ formule (i5). Bailleurs, pour effectuer cette déduction,
il suffira de s'appuyer, comme ou vient de le faire, d'une part sur la foc-
mule à laquelle on parvient quand on élimine une seule inconnue entre
deux équations linéaires qui renferment trois variables, sans aucun terme
constant, et, d'autre part, sur ce principe, que la valeur commune de plu-
sieurs fractions égales ne diffère pas du résultat qu'on obtient, quand, après
avoir transformé chaque fraction en multipliant ses deux termes par un
même facteur, on divise la somme des numérateurs par la somme des
dénominateurs. Ce qu'on vient de dire prouve encore que le système des
équations (17) est équivalent au système des équations (16). Chacun de ces
systèmes peut certainement être remplacé par l'autre, puisqu'il est démontré
que chacun d'eux peut être remplacé à volonté ou par la formule (i4)»
ou par la formule (i5).
Si l'on voulait, non plus tirer des équations (16) ou (17) les formules (i4),
(i5), ou, ce qui revient au même, les équations (9) et (10), mais effectuer
Topération inverse, et revenir des équations (9), (10) aux équations (16)
et (17), il suffirait évidemment de combiner par voie d'addition les for-
mules (9) et (10), après avoir multiplié les deux membres de chacune d'elles
par un facteur convenablement choisi.
Observons encore que, si Ion applique le théorème sur les produits de
résultantes au système des équations (16), ou au système des équations (17),
on en tirera, eu égard aux formules (7), (8),
(18) kK = i.
On arriverait aussi à la même conclusion, en partant de l'équation (i i).
En effet , cette équation , qui suppose que l'on considère comme direct le
( 85 )
mouvement de rotation de x en y autour de z, et que Ton a en conséquence
( X, y, z) =: I, peut être, pour plus de généralité, présentée sous la forme
( I Q ) A = -7 ^ p r- 5
^ ^^ {x,y, z) [x,y, z]
et s'étend, sous cette dernière forme, au cas même où, la position d'un point
quelconque étant rapportée aux axes des a:, j-, z, on considérerait comme
direct, non plus le mouvement de x en y autour de z, mais le mouvement
de x^ en y, autour de z,. D'ailleurs , en échangeant entre eux les deux sys-
tèmes d'axes, on obtiendra évidemment, à la place de la formule (19), la
suivante :
(.0) A. = ;iiiyLîLIïi^i.
(x,, y,, z, ) [x, , y, , z,]
et il est clair que des formules (19) , (20) on peut immédiatement déduire
l'équation (18).
Si les deux systèmes d'axes coordonnés présentent chacun trois axes per-
pendiculaires l'un à l'autre , on aura
[x,y, z]=i, [x,, y,, z] =: 1,
et, par suite, les formules (19), (20) donneront
^ _ (x,; y,_iiJ i. _ (x,y>z) _
(x, y, z^ ' (x, , y, , z, )
ou, ce qui revient au même, ,
(21) ■ ^ = A-=:(x, y, z) (x,,y,,z,).
Donc, alors, chacune des résultantes A , K se réduira simplement à l'unité,
si les mouvements de rotation de x en y autour de z, et de x, en y^ autour
de z,, sont de même espèce , et à — i , dans le cas contraire. Alors aussi les
diverses formules établies dans ce paragraphe se confondront avec les for-
mules connues qui se rapportent à la transformation des coordonnées rec-
tangulaires, et qui ont été rappelées dans un précédent Mémoire [voir le
1*" volume, page 2'73].
Nous renverrons à un autre Mémoire la recherche des lois suivant
lesquelles les neuf coefficients renfermés dans les équations (i) et (3)
dépendent de la forme des deux angles solides qui ont pour arêtes , d'une
( 86 )
part X, y, z , d autre part x,, y,, z, , et de trois constantes propres à déter-
miner la position de Tun de ces angles solides par rapport à l'autre.
Observons, en finissant, que les formules (i6), (17), (18) peuvent être
étendues au cas général où, à la place des équations (i) et (3), on consi-
dérerait deux équations de la même forme, mais relatives à deux systèmes de
variables, dont le nombre serait le même dans les deux systèmes, et d'ailleurs
aussi grand que l'on voudrait. Effectivement, les formules (22) de la page 176
du 2^ volume , qui se rapportent à deux systèmes d'équations semblables
aux équations (i) et (3), se trouvent remplacées par d'autres formules du
même penre , quand on échange entre eux les coefficients qui occupent les
mêmes places dans les deux systèmes d'équations ; et , par conséquent , on
peut , dans le cas général , obtenir deux systèmes de formules analogues aux
formules (16) et (17). Ajoutons que la formule (18) se trouve comprise, comme
cas particulier, dans la formule {1/4) de la page citée.
( 87 )
MÉMOIRE
SUR LA
THÉORIE DES ÉQUIVALENCES ALGÉBRIQUES.
SUBSTITUÉE A LA THÉORIE DES IMAGINAIRES.
Les géomètres, surtout ceux qui s'efforcent de contribuer aux progre;-;
(les sciences mathématiques, ont été quelquefois accusés de parler une
langue qui n'a pas toujours Favautage de pouvoir être facilement comprise ,
et de fonder des théories sur des principes qui manquent de clarté. Si une
théorie pouvait encourir ce reproche, c'était assurément la théorie des ima-
ginaires, telle qu'elle était généralement enseignée dans les Traités d'al-
gèbre. C'est pour ce motif qu'elle avait spécialement fixé mon attention
dans l'ouvrage que j'ai publié, en 1821, sous le titre d'Jnaljse algébrique^
et qui avait précisément pour but de donner aux méthodes toute la rigueur
que l'on exige en géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raison.^
tirées de la généralité de l'Algèbre. Pour remédier à rinconvénient signalé ,
j'avais considéré les équations imaginaires comme des formules symboliques,
c'est-à-dire comme des formules qui, prises à la lettre et interprétées d'a-
près les conventions généralement étabUes , sont inexactes ou n'ont pas de
sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts en modifiant et
altérant, selon des règles fixes, ou ces formules, ou les symboles qu'elles
renferment. Cela posé, il n'y avait plus nulle nécessité de se mettre l'esprit
à la torture pour chercher à découvrir ce que pouvait représenter le signe
symbolique \J — i , auquel les géomètres allemands substituent la lettre/. Ce
signe ou cette lettre était, si je puis ainsi m'exprimer, un outil, un instru-
ment de calcul dont l'introduction dans les formules permettait d'arriver
( 88 )
plus rapidement à la solution très-réelle des questions que l'on avait posées.
Mais il est évident que les théories algébriques deviendraient beaucoup plus
claires encore, et beaucoup plus faciles à saisir, qu elles pourraient être mises
à la portée de toutes les intelligences, si l'on parvenait à se débarrasser
complètement des expressions imaginaires , en réduisant la lettre i à n'être
plus quune quantité réelle. Quoiqu'une telle réduction parût invraisemblable
et même impossible au premier abord, j'ai néanmoins essayé de résoudre ce
singulier problème, et, après quelques tentatives, j'ai été assez heureux
pour réussir. Le principe sur lequel je m'appuie semble d'autant plus digne
d'attention, qu'il peut être appliqué même à la théorie des nombres, dans
laquelle il conduit à des résultats qui méritent d'être remarqués. Entrons
maintenant dans quelques détails.
§ I*"". — Sur les équivalences arithmétiques et algébriques.
Lorsque deux nombres entiers /, m, étant divisés par un troisième w, four-
nissent le même reste, ils sont dits congrus ou équivalents y suivant le module
ou diviseur n. Pour indiquer cette circonstance , on peut écrire , avec
M. Gauss,
(i j l'ri^m (mod. n).
Pareillement, si <p(^), X (•3^) représentent deux polynômes en jc-, ou, en
d'autres termes, deux fonctions entières de x, qui, étant divisées algébri-
quement par une troisième w(x), fournissent le même reste, on peut dire
que ces polynômes sont équivalents entre eux, suivant le module ou diviseur
Z5 (x), et indiquer cette circonstance, comme l'a fait M. Kummer, en écrivant
(2) ? (3c) = X ix) [mod . 7z [x] J.
On doit donc distinguer deux espèces d'équivalences , qui pourront être ap-
pelées, les unes arithmétiques y les autres algébriques j une équivalence arith-
métique étant celle qui indiquera l'égalité des restes de deux divisions arith-
métiques; tandis qu'une équivalence algébrique indiquera l'égalité des restes
de deux divisions algébriques , le diviseur arithmétique ou algébrique de-
meurant le même dans les deux divisions successivement effectuées.
Pour introduire cette distinction dans les formules, et faire en sorte
que les équivalences algébriques ne puissent être confondues ni avec les
équivalences arithmétiques, ni avec les équations proprement dites, j'au-
rai recours à un nouveau signe; et quand il s'agira d'exprimer une équi-
(89)
valence algébrique , alors, dans le signe qui s'applique aux équations, c'est-
à-dire dans le signe = formé de deux traits rectilignes superposés, je rem-
placerai le trait supérieur, non plus par deux traits rectilignes distincts ,
comme on le fait dans le cas où Ton veut exprimer une équivalence, mais
par un crochet trapézoïdal , ou bien encore par un trait recourbé en arc de
cercle, en réservant toutefois ce dernier signe, ainsi que je l'expliquerai dans
le § II, pour le cas spécial où le polynôme ts [oc] se réduit à un binôme de la
forme x^-\-\. De plus, pour éviter toute méprise, et attendu que le mot
module a reçu dans la langue analytique un grand nombre d'acceptions
diverses, je donnerai la préférence au mot dwiseur, quand il s'agira de
nommer le polynôme par lequel on doit effectivement diviser les deux mem-
bres d'une équivalence algébrique. Par suite, quand j'écrirai le polynôme
entre parenthèses à la suite d'une équivalence, je le ferai précéder, non phis
des trois lettres initiales mod.^ mais des trois lettres initiales div. Cela posé ,
la formule
(3) (^(,x)^=^-i{^) [dïs.r;;[x)]
exprimera que les deux polynômes (p (x) , y^ [x] sont équivalents entre eux ,
suivant le diviseur ^{x)^ ou, en d'autres termes, que les deux polynômes,
divisés algébriquemennt par zs {x) , fournissent le même reste. Cette équiva-
lence pourra donc toujours être remplacée par une équation de la forme
(4) (p(x) = x{x)-^u7^{x),
u désignant une fonction entière de x.
Il est aisé de voir que des équivalences algébriques, quand elles sont
toutes relatives au même diviseur, peuvent être, aussi bien que des équiva-
lences arithmétiques, combinées entre elles par voie d'addition , de soustrac-
tion et de multiplication. Ainsi , par exemple , si , en prenant ts [oc) pour divi-
seur algébrique , on désigne par
9(x), 9,(x), <p2(^),..., x(^), /,(x), x^W, ..
diverses fonctions entières de .r, les formules
(5) ^\X)^=^y[x), o, [x) :=^ y, (x) , ya {x) :r=: Xa (^) , . . .
entraîneront les suivantes :
(7) ? W ?* l-^) ?2(^). . . :=r:x(^)x, (•^)/2(^). . . •
Ex. d'An, et de Pk math., T. IV. fôO^ livr.) I 2
( 90 ;
Effectivement, les formules (5), présentées sous la forme d'équations véri-
tables , deviendront
«5 «o "a > • • • étant des fonctions entières de x. Or des formules (8), com-
binées entre elles par voie d'addition et de multiplication , on tirera
(g) <p [jc] -h ©, {x) -+- 9, (jc) -+-... = ;^(.r) -4- X, (r) + ^^ C^") + • • • + U^?(.r) ,
et
(lo) 9(^)(p^(jc)œ2(.rj. . . = Xi»/,(.r)x2(.r) . . .+ Vz7(.r),
U, V étant des fonctions entières de .r déterminées par les formules
U =z U -h Uf + u^ -i- . . . ,
-f- etc. . .
+ "X^(-^')X2(^).- . + ?^4xu)x2W- • ■ + «2xWx«'v^) —
Or, la fonction entière zs{pc) étant prise pour module, les équations (9), (10)
peuvent être présentées sous les formes (6) et (7). Ajoutons que si, dans la
formule (7), on suppose les fonctions cp [jc), cp^ (.r), ^2('^) égales entre elles ,
on aura, en désignant par m le nombre de ces fonctions,
(..) [?W]''':^[x(x)r.
De la formule (1 1) comparée à la formule (3) , il résulte que, sans altérer
une équivalence algébrique , on peut élever ses deux membres à la m'^"'*' puis-
sance , quel que soit le nombre entier m.
Lorsqu'on a fait passer dans le premier membre d'une équivalence algé-
brique tous les termes que renfermait cette équation, elle se réduit à la forme
(12) f(.3:):^=^o [div. w(.r)],
f [x) étant une fonction entière de x. Supposons maintenant que , la fonc-
(9' )
tion w {x) étant du degré n , on nomme
le reste de la division algébrique de {(x) ^?iY7s{x). Fi équivalence (12) pourra
être présentée sous la lorme
(l 3 ) 6'o + t'< X H- . . . + 6-„_2 X"-^ H- Cn^i X"-* = G.
Or, comme l'équation (i3) devra subsister, quel que soit ^, on en tirera, en
posant X = o,
Co = O.
On aura donc encore
t< j: + . . . -f- c„_2X'''^ -+- c„_, x"-* = g;
puis, en divisant par x,
CfX -\- . . .-+■ 6-,i_2 .r"-^ -+- c,j_, x"-^ = o.
Cette dernière équation devant elle-même subsister, quel que soit x, on en
tirera
c, = g;
et, en continuant de la sorte, on finira par reconnaître que la formule (i3)
entraîne avec elle n équations distinctes, savoir,
(i4) Co = G, ^4 = 0,..., 6^„_2 = G , c„_, = o.
Donc, lorsque le diviseur zs[x) est une fonction entière du degré n, une
équivalence relative à ce diviseur entraîne avec elle n équations , qu on
obtient en divisant le premier membre par zs {x) , après avoir fait passer
tous les termes dans ce premier membre , et en égalant ensuite à zéro les
coefficients des diverses puissances de x comprises dans le reste de la divi-
sion effectuée.
Pour montrer une application très-simple des principes que nous venons
d'établir, considérons en particulier le cas où le diviseur zs (x) se réduit au
binôme x" — \. Comme ce binôme divisera la différence
X'"" — f,
quel que soit d'ailleurs le nombre entier m, on aura généralement
(i5) j:"*"— i^=:^o {div. X" — ï),
(90
OU , ce qui revient au même ,
(i6) ^/«« s_/ |.
puis, en multipliant les deux membres de la formule (i6) par x\ on en
tirera, pour des valeurs entières quelconques de / et de m ,
(17) jr"^"+^^^a"'.
Si, dans cette dernière formule, on attribue successivement à / les valeurs
1 , 2 , 3 , . . . , /z — I ,
on en tirera
(18)
le diviseur étant toujours le binôme x" — i. Soit maintenant
(19) i{pc)-=aQ-\- atJC + a2jc'^-\-...-hanJc"-\-an+iX"'^*-+- ... -f- ^2^0:.^"+...
une fonction entière quelconque de .r. Gomme, en vertu de la formule (17),
on aura f]fénéralement
iimn^l X '""^' :=: (l mn^l ^' ( div. x" ~ \) ;
l'équation (19) donnera
i{3c)^r^ao + an -\- a^n^ • • •
■+- {a, +a„^, +^2«+i + . ..)^
i
(20) : 4- («2 -^ an+2 H- a^n+i -f- . . .) ^'^ (div. x" — i)
V + (a«_4 + «2«-4 -t- . . . ) X"-*
Cette dernière formule fait connaître immédiatement la fonction entière de x
du degré « — :, qui représente le reste de la division algébrique de i(jc) par
le binôme œ" — i. On peut d'ailleurs étendre la formule [10) au cas où,
le second membre de l'équation (19) étant composé d'un nombre infini de
termes, la fonction f(^x) serait, en vertu de cette équation même, la somme
d'une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et ascen-
dantes de la variable x.
(9^ )
Considérons encore le cas où le diviseur se réduirait au binôme x/' -{- i.
Gomme ce binôme divisera la différence
x- -(-,)"■,
quel que soit d'ailleurs le nombre entier m, on aura généralement, pour des
valeurs impaires de ?n ,
(21) oc""' -4- I ^ — ' G (div. j:"+i),
ou , ce qui revient au même ,
(22) x""'^r=:L-i,
et, par suite,
(23) .t"'"-^':^^-^',
/ étant un nombre entier quelconque. On trouvera, au contraire, pour des
valeurs paires de m ,
(24) x""" — I ^ — -• G (div. ^^ -4- i) ,
ou , ce qui revient au même ,
(25) x"^''^rri ï,
et, par suite,
(26) x""'^^ ■:=:^ x' .
Gela posé, il est clair qu'en prenant pour diviseur le binôme x** -\-i^ on dé-
duira de l'équation (19), jointe aux équivalences (2 3) et (26) , non plus la for-
mule (20) , mais la suivante :
i[x)^:^^aQ — an 4- «a» "
H- («, — a„+, + ^2
(27) / H- [a^ — cin+'i - «a«+2 -...') ^' ) (div. x" + i).
/ i(x)^:^^.aQ — an-\- a^n — • ' ' \
\ H- («, - «•„+, + a^n^^ -, . :)x I
+ (««_, — «2«-< H- • • .) JO"-*
Cette dernière équivalence fait immédiatement connaître la fonction entière
de X du degré tz — i, qui représente le reste de la division algébrique de f (x)
par le binôme x" + 1.
(94)
§ II. — Substitution des équivalences algébriques aux équations imaginaires.
Dans la théorie des équivalences algébriques substituée à la théorie des
imaginaires, la lettre /cessera de représenter le signe symbolique \j — i, que
nous répudierons complètement , et que nous pouvons abandonner sans
regret , puisqu'on ne saurait dire ce que signifie ce prétendu signe , ni quel
sens on doit lui attribuer. Au contraire , nous représenterons par la lettre /
une quantité réelle, mais indéterminée; et, en substituant le signe ^- — ' au
signe = , nous transformerons ce qu'on appelait une équation imaginaire
en une équivalence algébrique, relative à la variable i et au diviseur /^ -i- i .
D'ailleurs, ce diviseur restant le même dans toutes les formules, on pourra
se dispenser de l'écrire. Il suffira d'admettre, comme nous le ferons effecti-
vement, que le signe '^ — •• indique toujours une équivalence algébrique rela-
tive au diviseur P -f- i. Gela posé, on passera sans peine des équations qui
renferment une variable réelle aux équivalences qui devront remplacer les
équations imaginaires. Et d'abord, comme le binôme
divisera généralement la différence
quel que soit le nombre entier m, on en conclura
(1) /2;n_(__ j)..^_.0^
ou, ce qui revient au même ,
(2) ■?'"::=^(- i)";
puis, en multipliant par / les deux nombres de la formule (16), on trouvera
encore
(3) /2'«+' v_^(_ j)"'/.
Par suite, si l'on remplace successivement le nombre entier m par le
nombre pair 2m, et par le nombre impair 2m -h i, on tirera des formules (2)
et (3), :
(4) i'"" ^=^ I, i""^' ^^li. i*'"^' ::=^ - I, f'""^' :=^ — ^■•
Eu égard à ces diverses formules, si Ion nomme f (/) une fonction entière
(95)
de i déterminée par l'équation
(5) i[i) = (io-h a^i -\- a^P -\- aii"^ -\-a„i' -+- a!,i^ -h. . .,
on aura encore
(6) f (/) 1::=:^ a^ — a^, -h a,^ — a^ -h , . . -\- {a ^ — a^ — a^ — aT -h ■ . .) i.
Observons, au reste, qu'on pouvait déduire immédiatement les équiva-
lences (4) et (6) des formules (aS), (26), (27) du premier paragraphe, en
remplaçant dans ces formules le nombre n par le nombre 2 , et la lettre x par
la lettre i. Observons, de plus, que la formule (6) peut être étendue au cas
où , le second membre de Téquation (6) étant composé d'un nombre infini
de termes, la fonction f (/) serait, en vertu de cette équation même, la
somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes
et entières de la variable /.
Si la fonction f (/) est le produit de deux facteurs linéaires
a -f- ê/, y -^ ai,
il sera facile de la développer suivant les puissances ascendantes de i. On aura .
en effet,
(7) (a + ê/)(v + cJ^/) = Oiy-^[aâ-h^y)i-h§âP;
et, de même que l'équation (5) entraîne l'équivalence (6) , de même l'équa-
tion (7) entraînera la formule
(8) (a 4- ê/) (7 -h ai) ::=^ ay - ^ù 4- [aâ + ^y)i.
Si, dans l'équivalence (7), on réduit le binôme y -+- ai à la forme a — €/,
elle donnera
(9) ^a -+- §0 (a - êi) .^^n:: a^ + g^
Ajoutons que, si dans la formule (8), on change le signe de la variable /, on
trouvera
(10) (a — S/) {y — à' i) ^rr. ay — êcJ^ -f- (ac? H- êy) /.
Enfin, si l'on combine entre elles, par voie de multiplication, les équiva-
lences (8) et (10), on en conclura, eu égard à la formule (^9),
(i i) (a» -h §'){y' -h â^) ^==r {ay - §â)' + [uâ -h ^y)'.
D'ailleurs, les deux membres de la formule (11) étant indépendants de i,
(96)
coïncident avec les restes qu'on obtient, en les divisant algébriquement
par P + I. Donc le signe "^ — ^ , employé pour indiquer l'égalité des restes,
pourra être remplacé, dans la formule (i ï) , par le signe =, et cette formule
pourra être réduite à l'équation
(12) {a^-i-§'){f + &') = (a7-gc?)'^ + (ac? + g7)^
qui, lorsqu'on attribue des valeurs entières aux quantités a, ê, 7, c?, fournit,
comme 1 on sait, la proposition suivante :
67 l'on multiplie l'un par l'autre deux nombres entiers dont chacun soit
la somme de deux carrés, le produit sera encore une somme de deux
carrés.
On vient de voir que, dans la formule (1 1) , on peut remplacer le signe ^ — "
par le signe =. En général, comme dans toute équivalence relative au divi-
seur /'* H- I, le signe '^- — ^ indique l'égalité des restes qu'on obtient en divi-
sant deux fonctions entières de /par P+ i, il est clair que si les deux
membres de l'équivalence se réduisent à des Jonctions linéaires de /, on
pourra remplacer encore le signe "■ — ^ par le signe = , et réduire ainsi l'é-
quivalence proposée à une équation véritable.
Considérons maintenant l'une quelconque des équivalences algébriques
qui se rapportent au diviseur i^ -\- i. Si, après avoir fait passer tous les
lermes dans le premier membre, et réduit ainsi l'équivalence proposée à la
forme
(i3) f(0::=ro,
on nomme Cq-{- Cfi le reste de la division algébrique de f (/) par i^H-i,
l'équivalence (i3), transformée en une équation véritable, pourra s'écrire
comme il suit :
(i4) Co-H Ct i = o.
D'ailleurs, l'équation (i4) devant subsister, quel que soit /', on en tirera d'a-
bord , en attribuant à i une valeur nulle ,
(i5) Co = I.
De plus, de la formule (i 4), jointe à la formule (i 5), on tire, quel que soit/,
Cf i = o ,
et, par conséquent ,
(16) c, = o.
( 97 )
L'équivalence (i 3), substituée à une équation imaginaire quelconque, en-
traînera donc toujours avec elle deux équations réelles (i 5) et (i6), que Ton
obtiendra en égalant à zéro la partie constante et le coefficient de /, dans
le reste de la division i{i) par /^ H- i. Les deux équations réelles dont il
s'agit sont précisément celles que l'on considérait comme pouvant être sym-
boliquement représentées par l'équation imaginaire à laquelle nous avons
substitué l'équivalence (i3).
^ III. — Usage des équivalences algébriques dans la trigonométrie et dans l'analyse des
sections angulaires.
Si, dans la formule (8) du paragraphe précédent, on remplace les binômes
par des binômes de la forme
cos X -\~ i sin oc , cos J -\- i sin j^,
elle donnera
(cosx H- isinj?) (cos j- + i^mj) ^— -^ cos^r cos r — sinjrsinjr
-+- i [smûc cos 7 H- sin^ cosx,
ou , ce qui revient au même ,
(i) (cosjc + ïsin^) (cosj"+ ? sin^) "— -^ cos(x -h j) -I- /sin(jr -f-jr)-
On peut donc énoncer la proposition suivante :
i"' Théorème. Pour obtenir une expression équivalente, suivant le divi-
seur P -h \, au produit d'un binôme de la forme
par le binôme semblable dans lequel celui-ci se transforme quand on rem-
place X par j-, il suffit de remplacer, dans le premier binôme , l'arc x par la
somme x -h j".
Corollaire. Si, après avoir obtenu la formule (lo), on multiplie les deux
membres de cette formule par un troisième binôme de la forme
cos z -+~ /sin z,
alors , en ayant égard au théorème énoncé, on trouvera
(cos X H- / sin jc) (cos J -h i sin j) (cos z -+- i sin z)
::r:rl cos (x -+- j + z) -h /sin {x + y + z).
Ex. d'An, et de Phys. math., T. IV. (?9« livr.) l3
( 98 )
Il y a plus ; en opérant plusieurs fois de semblables multiplications , on
déduira évidemment du i*^ théorème la proposition suivante :
2* Théorème. Pour obtenir une expression équivalente, suivant le divi-
seur P -\- I, au produit du binôme
cosx + / sin^
par les binômes semblables dans lesquels celui-ci se transforme quand on
remplace x par j ou parz, . . . , il suffit de remplacer dans le binôme pro-
posé l'arc X par la somme
X -\- j -+- z -+-... .
Corollaire. Si, dans le i^ théorème, on suppose les arcs ^ , J, z, - . tous
égaux entre eux , alors , en désignant par n le nombre de ces arcs , on verra leur
somme se réduire au produit nx ., et l'on obtiendra la proposition suivante :
3^ Théorème. Si l'on divise la n^"'^^ puissance du binôme cos x -+■ ?'sin x
par «^ H- I , le reste de la division sera cos nx + / sin nx.
Tel est, dans la théorie des équivalences algébriques, l'énoncé du théorème
de Moivre. Ajoutons qu'en vertu des conventions adoptées, ce théorème sera
exprimé analytiquement par la formule
(a) (cos X -I- i sin x )" " — " cos nx -h i sin nx.
Voyons maintenant quelle est l'équivalence algébrique qui doit être sub-
stituée à la relation découverte par Euler, entre les sinus et cosinus et les
exponentielles imaginaires.
On prouve aisément que l'exponentielle e-* peut toujours être développée
en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x ,
à l'aide de la formule
en vertu de laquelle e"^ peut être considérée comme une fonction entière
de X, composée d'un nombre infini de termes.
D'ailleurs, si, dans la formule (3) , on remplace x par ix\ on en tirera
(4) e'"" = i -h - i -h — P H ^„- P -\- . . . .
^^ I 1.2 1.2.3
Gela posé, la formule (6) du paragraphe précédent donnera
( 99 i
Mais , d'autre part , on établit aisément les équations
Sx- x''
COS JC = I \ 2-7 ■
I .2 I .2.3.4
(6) ,
i . XX
f sm JC = 5 + . . . .
' I 1.2.3
Donc la formule (5) donnera simplement
(7) f''^ :::==:: cosx + /sin j?,
et l'on pourra énoncer la proposition suivante :
4* Théorème. Si l'exponentielle e'-^, développée suivant les puissances
ascendantes de /, et considérée, dès lors, comme une fonction entière de/,
est divisée algébriquement par le binôme /^ -4- i, le reste de la division sera
précisément le binôme
cos .r H- z sin x.
Tel est , dans la théorie des équivalences algébriques, l'énoncé du théorème
d'Euler, qui, d'ailleurs, se trouve implicitement renfermé dans la formule (7).
II importe d'observer que la transformation des formules de Moivre et
d'Euler en équivalences algébriques n'empêche point de tirer de ces for-
mules toutes celles qu'on en déduit ordinairement. Ainsi , par exemple ,
veut-on tirer de la formule (2) les valeurs de cos nx et de sin nx exprimées en
fonctions entières de sm x et de cosx? Il suffira d'observer qu'en vertu des
formules (5) , (6) du § II , l'équation
entraînera l'équivalence
(8) {
( -^-(^
et , qu'eu égard à cette dernière , dans laquelle on peut remplacer a et b
par cos j: et sin x, la formule (2) donnera
( cos nx 4- i sin nx " — ' cos" .r — ~ — - cos"~^ x sin^ x -h . . .
) •/ « , • n(n-i){n-2) „ ,
f ■+-i{n coS"~' JTsmo: ~ — ^cos"~^xsm^x + ...).
^ 1.2.3 ^
i3.
na'
bl-^
n[n-^
I .2
.2
1)«-
b^^.
.n-\
n[n-
■i){n~
2)
( lOO j
Or, les deux membres de l'équivalence (9) étant des facteurs linéaires de i,
coïncideront avec les restes de leur division par /'* + i. Donc le signe "■ — ^ .
employé pour indiquer l'égalité des deux restes, pourra être remplacé, dans
la formule (9) , par le signe = , et l'on aura encore
( cosnœ -h i sin njc = co&"jc 'cos"~^ jc s'm^ x -h . . ,
(■o)
f + i (ncos,"-*JC suix ^ ^-\ -'cos""^^sm^jr 4-. . .)•
• ^ 1.2.3
Ajoutons que, 1 équation (10) devant subsister pour une valeur quelconque
de /, et, par conséquent, pour i = o, les parties indépendantes de /dans les
deux membres devront être séparément égales entre elles. Donc l'équation (i o)
entraînera les deux équations distinctes
,.„*
i • « 4 • n(n — 1) (n —2)
f sm nx =^ n cos"~* xsmœ ^^ — _ , cos •* .x sm' jc ~h . .
1.2.3
§ IV. — Su?- les modules et les arguments des binômes de la forme a -|- §/.
On s'assure aisément que tout binôme de la forme
a H- ê/
peut encore être présenté sous cette autre forme
r(cos^ + isint),
r étant une quantité positive. En effet, pour que les deux expressions
a + ê?, r (cos t + i sin ^)
représentent une seule et même quantité, quelle que soit d ailleurs la va-
leur attribuée à i ; ou, en d'autres termes, pour que / restant indéterminé,
on ait toujours
(i) a -h ê/ = r(cos^+ isini),
il suffit que r et t satisfassent aux deux équations
(2) a = rcos^, ê = rsin^
Or on peut y satisfaire en posant
(3) r = (a^ + €^jS
( 101 )
et prenant ensuite pour t l'un quelconque des arcs dont le sinus et le cosinus
sont déterminés par les formules
(4) cos 1=^-1 sin^ = -j
qui peuvent être vérifiées simultanément, puisqu'on en tire, eu égard à la
formule (3),
(5) cos^ t -f- sin^ t = i.
La valeur positive de r, fournie par l'équation (3), est ce que nous appel-
lerons le module du binôme a + ^i. L'arc t, déterminé par les formules (4) ,
sera Vargument du même binôme. D'ailleurs le module r, correspondant à
des valeurs données de a, ê, offrira évidemment une valeur unique déter-
minée par l'équation (3), tandis que l'argument t, déterminé par le système
des équations (4) , offrira une infinité de valeurs représentées par les divers
termes d'une progression arithmétique dont la raison sera la circonférence arr
correspondante au rayon i .
Si le module du binôme ce -h £i se réduit à zéro , l'équation
(6) r=o,
que l'on pourra présenter sous la forme
a^ + §2 = G ,
entraînera nécessairement les deux suivantes :
('7) a = o, ê = o,
et l'on arriverait encore aux mêmes conclusions, en partant soit des équa-
tions (2), soit de la formule (i). Ainsi, pour que, dans un binôme de la
forme a H- §/, les deux parties s'évanouissent, ou, en d'autres termes, pour
que ce binôme s'évanouisse , quel que soit i , il suffit que le module r se réduise
à zéro.
Si, au lieu d'un seul binôme a-f-o/, on considère deux binômes de la
même forme , savoir :
a 4- êz* et -y + d^/,
et si l'on nomme r, r' les modules de ces deux binômes, en sorte qu'on ait
la somme des deux binômes , savoir :
a -f- 7 + (g -h d*)/.
( ïO'i )
aura pour module la quantité
[(a + By + (7 + ây]^ = [r' + r'2 -f- 2 (aê + yâ)]^,
tandis que leur différence
a-7 + (ê — c?)/
aura pour module la quantité
Mais, d'autre part, en remplaçant & par — â" dans la formule (11) du § II
on en tirera
(a=^ -4- è') (7=* + â^) = [ay + ^^Y 4- (ac? - §7)%
et l'on en conclura
(a7-4-ê(?)2 < (a^ + ê=')(72-i-c^^),
ou , ce qui revient au même ,
(a7-f-§c?)^ < r' r'\
Donc , par suite , la valeur numérique de la somme
«7-1- êo"
sera inférieure au produit rr', et les modules des deux binômes
a -+- 7 + (§ -h (?) / , a — 7 ^ (ê — c? ; /
seront tous deux compris entre la limite inférieure
[r^ — 1 rr' ^ r'^]'^ = ± {r — /■')
et la limite supérieure
[r^ -+- in' -h r'^] = r ■+■ r' .
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
i^*^ Théorème. La somme de deux binômes de la forme
est, ainsi que leur différence, un nouveau binôme de la même forme, qui
offre un module compris entre la somme et la différence de leurs modules.
Si l'on ajoute successivement les uns aux autres plusieurs binômes de la
( io3)
forme a -h ê/, alors on déduira immédiatement du i^' théorème la propo-
sition suivante :
2^ Théorème. La somme de plusieurs binômes de la forme a H- §/ offre
un module inférieur à la somme de leurs modules. Si d'ailleurs , parmi les
binômes donnés, il en existe un dont le module r soit supérieur à la somme 6
des modules de tous les autres, la somme de tons les binômes offrira un
module supérieur à la différence r — s.
Pour abréger, nous appellerons module et argument d'une fonction en-
tière de i le module et l'argument du reste que l'on obtient quand on divise
cette fonction par P -\- i. Gela posé, toute fonction entière de i offrira tou-
jours un module unique et une infinité d'arguments représentés par les
divers termes d'une progression arithmétique , dont la raison sera la circon-
férence iTz. D'ailleurs, les i^" et a® théorèmes entraîneront évidemment les
propositions suivantes :
3^ Théorème. La somme de deux fonctions entières de / offre, ainsi que
leur différence , un module compris entre la somme et la différence des
modules de ces deux fonctions.
4^ Théorème. La somme de plusieurs fonctions entières de / offre un
module inférieur à la somme de leurs modules. Si d'ailleurs, parmi les
fonctions données, il en existe une dont le module r soit supérieur à. la
somme s des modules de toutes les autres, la somme de toutes les fonctions
offrira un module supérieur à la difféi-ence r ~ s.
Si l'on multiplie l'un par l'autre deux binômes de la forme
a + ê /■ , . 7 -h c? / ,
on aura, comme on l'a vu dans le § II, non-seulement
(8) >a + S/) (y + d^O :^=:r aê - yd^ -h [aâ -f- gy) /,
mais encore
(9) (a^+ê»M7^ + <^^) = (a§-7c?)^-^(«c? + §v)'-
Si, d'ailleurs, on nomme , rr' les modules des deux binômes
a -+- §/, -y H- o\',
et t le module du produit de ces binômes, la formule (9) pourra s'écrire
comme il suit :
(10) rV'* = ^%
et l'on en tirera
(II)
Donc Le produit du module des deux binômes de la forme a + ê/ est égal au
module de leur produit.
Au reste, cette dernière proposition, et plusieurs autres qui s'en dédui-
sent, peuvent encore être facilement démontrées de la manière suivante :
En vertu de la formule (7) du paragraphe précédent, on aura
(12) cos ^ H- /sin i ^irrrr e'^;
et, en conséquence, l'équation (») entraînera toujours avec elle l'équivalence
(i3^ - a + êt^z^re",
dans laquelle r désigne le module et t l'argument du binôme a -h êz. Ce
binôme pouvant d'ailleurs être le reste qu'on obtient quand on divise par
/* -h I une fonction entière quelconque de i, la formule (i3) entraînera évi-
demment la proposition suivante :
5^ Théorème. Lorsqu'on prend pour diviseur algébrique le binôme i^-h i ,
une fonction entière quelconque de i est équivalente au produit de son mo-
dule r par l'exponentielle népérienne e'^, dans laquelle t désigne l'argument
de cette fonction.
Gomme, étant données plusieurs expressions de la forme
re'', r'e" . rV^", . . ,.
le produit de ces expressions sera
rr'r" . g '(^-'-''-*-^' -*-•••>,
tandis que la w/^'"^ puissance de la première sera
le 5^ théorème entraînera encore évidemment les propositions suivantes :
6^ Théorème. Le produit de plusieurs fonctions entières de l'indéter-
minée i a pour module le produit de leurs modules, et pour argument la
somme de leurs arguments.
7^ Théorème. La n^^"^^ puissance d'une fonction entière de /a pour module
la n'-^"^^ puissance du module de cette fonction , et pour argument le produit
du nombre n par l'argument de la même fonction.
( >o5)
Gomme le module d'une quantité a indépendante de la variable i se ré-
duit à la valeur numérique a de cette même quantité, le 5* théorème com-
prend évidemment la proposition suivante :
8* Théorème. Le produit d'une fonction entière de l'indéterminée / par
une quantité a indépendante de / a pour module le produit du module de la
fonction par la valeur numérique a de la quantité a.
Observons encore que de la formule (i3), on tire non seulement l'équiva-
lence
(14;) {a-^^iy^T^r^e"'',
qui s'accorde avec le 7^ théorème, mais encore, eu éyard à la formule (12),
l'équivalence
(i5) (a -h ê/)" ::=r^ r" [co?, nt 4- / sin nt),
à laquelle on parviendrait aussi en élevant à la «"''"'' puissance chaque
membre de la formule (i), et en ayant égard à la formule (2) du paragraphe
précédent.
Supposons maintenant que l'on pose, pour abréger,
tj6) X — a + êi.
Soient d'ailleurs, comme ci-dessus, r le module et t l'argument du binôme
r et t"
seront les modules respectifs des quantités
3C et jc",
qui vérifieront les formules
(17) X :^=:^re'^,
ii8) .-r" -- — ■^ r"p"".
Soit encore i{pc) une fonction entière de x, du degré ?i , en sorte qu on ait
(19) i{Jo) = UqX" -\- afX"-* -h . . .-h a„_tX -h a„.
Enfin, désignons par
a^ , a^ ,. . . , a„_, , a„
les valeurs numéri(jues des coefficients
flo » «1 , . . . , a„_, , Un-
Ex d'An, et de Phys. math., T. IV. (40« Hvr.) T 4 .
( ^o6 )
Les divers termes de la fonction f(^) déterminée par l'équation (i4) auront
pour modales respectifs les quantités positives
(20) aoT", a,r"-S..., a„_< r, a„,
qui sont respectivement égales aux produits du facteur r" par les divers
termes de la suite
D^autre part , la fonction
f(x) = f(a + g/),
étant divisée par le binôme i^ -\- i, fournira un reste de la forme
P + Qz,
que l'on pourra réduire à la forme
R(cosT + /sinT),
en nommant R le module de la fonction, déterminé par la formule
(22) R = v/P''+ Q%
et T l'argument de la même fonction, déterminé par le système des deux
formules
(23) cosT=:|, sinT = |.
Observons maintenant que, pour de très-grandes valeurs de r, les termes de
la suite (21) étant tous très-petits, à l'exception du premier, celui-ci surpas-
sera, si r est suffisamment grand, la somme de tous les autres. Alors aussi le
produit de ao par r", ou le premier terme de la suite (20)^ surpassera évidem-
ment la somme des autres termes de la même suite, puisque cette seconde
somme sera équivalente au produit de la première par r". Gela posé, on
conclura immédiatement du 4® théorème que le module R de la fonction
f(.x) = f(a + ê/)
est non-seulement inférieur à la somme
aoT" + a, r"-* + . . . + a„_, r + 3;, ,
( I07 )
mais encore supérieur, pour des valeurs de r suffisamment grandes, à la
différence
a^r" — (a< r"~* + . . . 4- a„_, r + a„) ;
en sorte qu'on a, pour de très-grandes valeurs de r,
Or, le second membre de la formule (24; étant le produit du facteur /" par
la différence
qui s'approche indéfiniment , pour des valeurs croissantes de n, de la limite a^,
on peut affirmer que, le module r venant à croître, le module R deviendra
infiniment grand , en même temps que r". On peut donc énoncer la propo-
sition suivante :
9® Théorème. Supposons que, pour abréger, on désigne par la seule
lettre a: le binôme a H- ê/, dans lequel / désigne une variable indéterminée.
Soit d'ailleurs f (^) une fonction entière de x composée d'un nombre fini de
• termes. Si Ton fait croître indéfiniment le module r de la variable x , le mo-
dule R de la fonction ifjc deviendra infiniment grand, pour des valeurs
infiniment grandes de r.
§ V. — Sur la substitution des racines des équivalences algébriques aux racines imaginaires
des équations.
Soit, comme dans le paragraphe précédent, f (^i une fonction entière du
degré n , en sorte qu'on ait
i[x) = a^x" -f- rt, x"-* -+-...-+■ «„__, X -h a„,
les coefficients a^, a^ ,. . ., a„ étîmt des quantités réelles. ïiCs valeurs réelles
de X qui satisferont à Téquation
1 1) Ux) = o,
sont ce qu'on appelle les racines réelles de cette équation. D'ailleurs le
nombre de ces racines sera quelquefois égal, souvent inférieur au degré n
de l'équation; et même, si ce degré est un nombre pair, toutes les racines
i4-
( ïo8 )
réelles pourront disparaître à la fois. Mais si , en posant
(2) jc = a + §/,
on remplace dans la formule (i) le signe =: par le signe "- — " , cette formule,
réduite à l'équivalence
(3) f(x):^o,
aura toujours des racines , c'est-à-dire qu'elle pourra toujours être vérifiée
par des valeurs de jc de la forme a + ^i. En d'autres ternies, on pourra
toujours trouver des systèmes de valeurs réelles des quantités a et g, pour
lesquels se vérifie la condition
(4) f (a 4- êi):^=n G.
Il y a plus; le nombre des racines de l'équivalence (3) sera toujours égal à n,
et l'on peut énoncer les propositions suivantes:
1" Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux coef-
ficients
«0 5 «1 , • • • , ««y
l'équivalence (3) a toujours n racines, et n'en saurait avoir un plus grand
nombre.
2® Théorème. Si Ton désigne par j?, , a^ai • • • 5 «^/i les tz racines de l'équi-
valence (3), le polynôme i [x) sera équivalent au produit des facteurs
linéaires
en sorte qu'on aura
(5) f (x) ^=^ {jc — Xi) {x — x^) .. .{x —x„).
3® Théorème. Lorsque, dans une équivalence du degré «, le coefficient <?«
du premier terme est réduit à Tunité, les coefficients rt, , <22, «,,..., cf„ du
deuxième , du troisième, du quatrième, . . . , du dernier terme, étant pris al-
ternativement avec le signe — et avec le signe -+- , sont respectivement égaux
■ à la somme des racines, ou aux sommes des produits qu'on obtient en mul-
tipliant ces racines deux à deux, trois à trois, etc., ou enfin au produit de
toutes les racines.
On pourra aisément démontrer ces diverses propositions, et même les
étendre au cas où chacun des coefficients compris dans la fonction entière
f (x) serait remplacé par un binôme de la forme a -+- êz, si l'on part des
\ 109 )
principes établis dans le paragraphe précédent, surtout dans le § IV, et si
l'on suit d'ailleurs la marche que j'ai adoptée, dans le IV*^ volume des Exer-
cices de Mathématiques , en démontrant les propositions correspondantes de
la théorie des équations. Pour que les démonstrations données alors de-
viennent applicables aux propositions nouvelles, il n'y a presque autre
eho^e à faire que de remplacer le signe = par le signe - — " , et les mois
équations, égal, etc., par les mots équivalence, équivalent, etc.
On voit maintenant quelle idée on doit se former de ce qu'on appelait les
racines imaginaires des équations. Dans la nouvelle théorie, elles deviennent
des racines réelles d'équivalences algébriques. Ainsi , par exemple , cette
proposition que Yéquatioji binôme
a pour racines les quatre expressions imaginaires comprises dans la
formule
/ étant une racine carrée de — ï, devra s'énoncer dans les termes suivants:
L'équivalence
ac"^ -h 1 -^ — - o
a pour racines réelles les quatre quantités comprises dans la formule
En d'autres termes, si l'on prend pour x l'une quelconque des quantités
comprises dans la formule
n/2
x'' H- I sera divisible algébriquement par / ^ h- 1 .
Lorsque, dans une racine j? = a + g/ de l'équivalence (3), le coefficient ê
se réduit à zéro, cette équivalence, réduite à la forme
f(a):-=lo,
entraîne évidemment l'équation
f(a) = o,
par conséquent l'équation
i{x) = o.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
( iio )
4* Théorème. Parmi les racines de l'équivalence (3), celles qui sont indé-
pendantes de / sont en même temps des racines réelles de l'équation (r).
Il est bon d'observer que le binôme i^ -h i ne variera pas si l'on change
/ en — i. Gela posé, si, les coefficients «o, rt, ,. . ., «„ étant indépendants
de i, on satisfait à l'équivalence (3) par une racine œ de la fornie
il est clair qu'on y satisfera encore par une racine x de la forme
a — êi,
puisque, pour déduire cette seconde racine de la première, il suffit de
changer i en — /. Donc, si en adoptant le langage généralement admis , on
appelle conjuguées deux expressions de la forme
a -h ê/, an- ^i .
on pourra énoncer la proposition suivante :
5^ Théorème. Lorsque dans la fonction î{x) les coefficients sont tres-
indépendants de /, celles des racines de lequi valence (3) qui ne deviennent
pas indépendantes de / sont en nombre pair, et ces mêmes racines, prises
deux à deux, sont conjuguées l'une à l'autre.
Du 5*^ théorème on peut immédiatement déduire la proposition connue,
qui s'énonce dans les termes suivants :
6*" Théorème. Si dans la fonction entière ï [œ) les coefficients sont tous
mdépendants de /, cette fonction sera décomposable en facteurs réels du
premier et du second degré.
ïiorsque la fonction i{x) cesse d'être algébrique et devient transcendante,
les racines de l'équivalence (3), c'est-à-dire les valeurs de ^, de la forme
ry ~i- §i^ qui vérifient celte équivalence, représentent encore ce quon appe-
lait les racines réelles ou imaginaires de l'équation (3), savoir : les lacines
réelles quand ces valeuis deviennent indépendantes de /, et les racines ima-
ginaires dans le cas contraire. Alors aussi les théorèmes qui se rapportaient
aux racines des équations transcendantes, se transforment en théorèmes re-
latifs aux racines des équivalences transcendantes, et les démonstrations que
Ton donne des premiers s'appliquent ordinairement aux autres, moyennant la
substitution du signe i-^^n aux signe = , et des mots équivalence, équiva-
lent, etc., aux mots équation, égal, etc.
{ • ' I )
MÉMOIRE
PROGRESSIONS DES DIVERS ORDRES.
I^es progressions sont les premières séries qui aient fixé Tattention des
géomètres. Il ne pouvait en être autrement. Diverses suites, dont la consi-
dération se présentait naturellement à leur esprit, telles que la suite des
nombres entiers, la suite des nombres pairs, la suite des nombres impairs,
offraient cela de commun, que les divers termes de chacune d'elles étaient
équidifférents entre eux ; et Ton se trouvait ainsi conduit à remarquer les
progressions par différence , autrement appelées progressions arithmétiques .
De plus, en divisant algébriquement deux binômes l'un par l'autre, ou même
en divisant un monôme par un binôme, on voyait naître \<i progression par
quotient, autrement appelée progression géométrique, qui offre le premiei'
exemple d'une série ordonnée suivant les puissances entières d'une même
quantité.
En réalité, une progression arithmétique n'est autre chose qu'une série
simple dont le terme général se réduit à une fonction linéaire du nombre qui
exprime le rang de ce terme.
Pareillement, une progression géométrique n'est autre chose qu'une série
simple, dans laquelle le terme général se trouve représenté par une expo-
nentielle dont l'exposant se réduit à une fonction linéaire du rang de ce
même terme.
Il en résulte qu'une progression géométrique est une série simple dont
le terme général a pour logarithme le terme général d'une progression
arithmétique.
Il y a plus ; de même qu'en géométrie on distingue des paraboles de
( IIO
divers ordres, de même il semble convenable de distinguer en analyse des
progressions de divers ordres. En adoptant cette idée, on devra naturelle-
ment appeler progression arithmétique de l'ordre m une série simple dont
le terme général sera une fonction du rang de ce terme , entière et du
degré m.
Pareillement, il paraît naturel d'appeler progression géométrique de
l'ordre m une série simple, dans laquelle le terme général se trouve re-
présenté par une exponentielle dont l'exposant est une fonction du rang
de ce terme, entière et du degré m.
Gela posé, le terme général d'une progression géométrique de l'ordre m
aura toujours pour logarithme le terme général d'une progression arithmé-
tique du même ordre.
liCS définitions précédentes étant admises, les progressions arithmétique
et géométrique du premier ordre seront précisément celles que l'on avait
déjà examinées d'une manière spéciale, celles-là même dont les diverses
propriétés, exposées dans tous les Traités d'Algèbre, sont parfaitement con-
nues de tous ceux qui cultivent les sciences mathématiques.
Ajoutons que les progressions arithmétiques des divers ordres , quand on
les suppose formées d'un nombie fini de termes , offrent des suites que les
géomètres ont souvent considérées, et que l'on apprend à sommer dans le
calcul aux différences finies. Telle est, en particuliei-, la suite des carrés des
nombres entiers; telle est encore la suite des cubes, ou, plus généralement,
la suite des puissances entières et semblables de ces mêmes nombres.
Mais, entre les diverses progressions, celles qui, en raison des propriétés
dont elles jouissent, méritent surtout d'être remarquées, sont les progressions
géométriques des ordres supérieurs au premier. Celles-ci paraissent tout à
fait propres à devenir l'objet d'une nouvelle branche d'analyse dont on peut
apprécier l'importance en songeant que la théorie des progressions géomé-
triques du second ordre fournit immédiatement les belles propriétés de;,
fonctions elliptiques, si bien développées par M. Jacobi.
§ F''. — Considérations générales.
Une progression arithmétique n'est autre chose qu'une série simple , dans
laquelle le terme général m«, correspondant à l'indice n, se réduit à une
fonction linéaire de cet indice, en sorte qu'on ait, pour toute valeur entière,
; ii3 ) ■
positive, nulle ou négative de n,
(i) Un = a -^ bn ,
a et h désignant deux constantes déterminées.
Pareillement, une progression géométrique n'est autre chose qu'une série
simple, dans laquelle le terme général u„, correspondant à l'indice n^ se
trouve représenté par une exponentielle dont l'exposant se réduit à une fonc-
tion linéaire de cet indice, en sorte qu'on ait, pour toute valeur entière,
positive, nulle ou négative de n,
(2) u„ = A«+*",
A, a, b désignant trois constantes déterminées. Il est d'ailleurs important
d'observer que, sans diminuer la généralité de la valeur de «„ fournie par
l'équation (2) , on peut toujours y supposer la constante A réduite à une quan-
tité positive, par exemple, à la base
e = 2,-7182818. . .
des logarithmes népériens.
En étendant et généralisant ces définitions, on devra généralement appeler
progression arithmétique de l ordre m une série simple dont le terme géné-
ral u„ sera une fonction du l'indice n , entière et du degré m.
Pareillement, il paraît naturel d'appeler progression géométrique de
Vordre m une série simple dans laquelle le terme général u^ se trouve
représenté par une exponentielle dont l'exposant se réduit à une fonction
de l'indice /2, entière et du degré m.
Ces définitions étant admises, le terme général m„ d'une progression
arithmétique de l'ordre m, exprimé en fonction de l'indice «, sera de la
forme
I 3) M„ = «0 -h fl, /Z -T- Cta'ï^ + • • • + ^nJi'",
r7o, rt,, ^2, . . . , rt,« étant des coefficients constants, c'est-à-dire indépendants
de n.
Au contraire, le terme général d'une progression géométrique de l'ordre m
sera de la forme
(4) ^^^^^a^-^a,n^a.y--^...^a.n'^.
et, par conséquent, il aura pour logarithme le terme général d'une progres-
sion arithmétique de l'ordre m.
Ex. d'An, et de Ph. math., T. IV. (W livr.) I 5
( 'ï4 )
Si, pour abréger, on pose
Xq =^ A"', JCf =^ A."',. . ., ûc:„— A"" ,
l'équation (4) donnera
(5) u„=i XqxIjcI ... jc'^^.
Donc le terme général d'une progression géométrique de Tordre m peut être
considéré comme équivalent au produit de in bases diverses
respectivement élevées à des puissances dont les exposants
1 , 7Z, /^^, .. ., n'"
forment une progression géométrique du premier ordre, dont la raison est
précisément le nombre ?i.
Si au coefficient j:^o on substitue la lettre â:, et aux bases .r,,.r2,X3,..., .r ,„_,,. r,„
les lettres jr,^,z,...,^',w, alors on obtiendra, pour le terme général u„ d'une
progression géométrique de l'ordre m, une expression de la forme
(6) Un = kx'^f^:^ . ..v'"' ' w"",
et le terme particulier correspondant à l'indice n = o sera
(7) «0 = k.
Donc, si Ton nomme k le terme spécial qui, dans une progression géomé-
trique, correspond à l'indice zéro, le terme général correspondant à lin-
dice n sera, dans une progression géométrique du premier ordre, de la
forme
kœ'':
dans une progression géométrique du deuxième ordre , de la forme
dans une progression géométrique du troisième ordre, de la forme
etc.
En terminant ce paragraphe, nous observerons que toute progression
arithmétique ou géométrique peut être prolongée indéfiniment ou dans un
( "5)
seul sens, ou en deux sens opposés. Si m„ représente le terme général d'une
telle progression, celle-ci, indéfiniment prolongée dans un seul sens, à partir
du terme ii^^ sera réduite à la série
Wq , M, , Mo 7 • • • ?
ou à la série
«0 5 "-1 > "-2 5 • • • •
La même progression, indéfiniment prolongée dans les deux sens, sera
. . . M_2 5 W-l ■) ^0 î "m «2 , . . . .
§ II. — Sur les modules et sur les conditions de convergence des progressions géométriques
des divers ordres.
Considérons d'abord une progression géométrique de l'ordre m, dans la-
quelle le terme général «„, correspondant à l'indice «, soit de la forme
Un = A""',
A désignant une quantité réelle et positive, et n une quantité entière posi-
tive, nulle ou négative. Si l'on suppose cette progression prolongée indéfi-
niment dans un seul sens, à partir du terme Uo= i, elle se trouvera réduite
ou à la série
(i) I, A, A=*"', A«",...,
ou à la série
'21 I, A*-'", A''-^)"', A'-^^"', ....
Dans le premier cas, le module de la progression sera la limite vers laquelle
convergera , pour des valeurs croissantes du nombre n , la quantité
Kr = A«'"-'.
Dans le second cas, au contraire, le module de la progression sera la limite
vers laquelle convergera, pour des valeurs croissantes du nombre n, la
quantité
Enfin , si l'on suppose la progression prolongée indéfiniment dans les deux
i5.
{ »i6 ;
sens , on obtiendra la série
(3) A(-«'", A(-=^)", A^-')™, I, A\ A^"', A3"*,...,
dont les deux modules se confondront, l'un avec le module de la série (i),
l'autre avec le module de la série (2). D ailleurs ces deux modules, c est-à-dire
les limites des deux expressions
A""'~', A<-*^'" """"',
se réduiront évidemment, 1° si l'on suppose m=zi, aux deux quantités
A et A-' ;
2*" si l'on suppose m impair, mais différent de l'unité , aux deux quantités
^co A""** ■
3^ si l'on suppose m pair, à la seule quantité
A°=.
Ajoutons que l'on aura encore, 1° en supposant A < i,
A*:=0, A-=«=cc;
7.^ en supposant A > i,
A^=:00, A-«=0.
Il est maintenant facile de reconnaître dans quels cas les séries (i), (2), (3)
seront convergentes. En effet, une série quelconque, indéfiniment pro-
longée dans un seul sens, est convergente ou divergente suivant que son mo-
dule est inférieur ou supérieur à l'unité. De plus, quand la série se prolonge
indéfiniment en deux sens opposés, il faut substituer au module dont il s agit
le plus grand des deux modules, et l'on peut affirmer que la série est alors
convergente ou divergente, suivant que le plus grand de ses deux modules
est inférieur ou supérieur à l'unité.
Gela posé, on déduira évidemment des remarques faites ci-dessus les
propositions suivantes :
1" Théorème. Soient A une quantité positive, et m un nombre impair
quelconque. La progression géométrique
I, A, A^'", A'",. ..,
dont le module est A ou A*, sera convergente ou divergente, suivant que
( II? )
la base A sera inférieure ou supérieure à l'unité. Au contraire, la progression
géométrique
I, A-\ A-=^^ A-^",...,
dont le module est A"' ou A""®, sera convergente ou divergente, suivant
que la base A sera supérieure ou inférieure à l'unité. Quant à la progres-
sion
...A-'", A-2", A-\ I, A, A^»", A^™,...,
qui comprend tous les termes renfermés dans les deux premières, et se con-
fond avec la série (3) , elle ne sera jamais convergente, attendu que ses deux
modules, étant inverses l'un de l'autre, ne pourront devenir simullanément
inférieurs à l'unité.
Si m désigne un nombre pair, on aura non plus
A^-^^'^A-"",
mais
A(-"^'"=A«".
Donc alors la série (2) ne sera plus distincte de la série (i), et la série (3),
réduite à la forme
...A'", A=^", A, I, A^"', A'",...,
offrira deux modules égaux entre eux. Cela posé , on pourra évidemment
énoncer la proposition suivante :
1^ Théorème. Soient A une quantité positive et m un nombre pair quel-
conque. La progression géométrique, qui offrira pour terme général A"'",
étant prolongée indéfiniment, ou dans un seul sens, ou en deux sens opposés,
sera toujours convergente si l'on a
A<i,
et toujours divergente si l'on a
A>i.
Considérons maintenant une progression géométrique, et de l'ordre m,
qui ait pour terme général la valeur de m„ déterminée par l'équation
(4) u„=k x^j^'z"' . . . i^""' w"" ,
le nombre des variables
( i,i8 )
étant j3récisément égal à m. Soient, d'ailleurs,
X, y, z, . . . , V, w
les modules de ces mêmes variables, et k le module du coefficient k. Si l'on
nomme u„ le module de m„, on trouvera
;5) u„ = kx" y"* z"" , . . v""' w"",
ou , ce qui revient au même ,
(6) u„ — N«"",
la valeur de N étant
\j) N r=: k""* X"'""' y"""' z""""' ... V» W.
D'autre part, la progression géométrique que l'on considère étant pro-
longée indéfiniment, ou dans un seul sens, ou en deux sens opposés, offrira
un ou deux modules représentés chacun par l'une des limites vers lesquelle-
convergeront, pour des valeurs croissantes de w, les deux expressions
I I
Mais, pour des valeurs croissantes de «, la valeur de N déterminée par la
formule 7), et celle qu'on déduirait de la même formule en y remplaçant
n par — «, convergent généralement vers la limite w. Donc, eu égard à la
formule (6) , les limites des expressions
I j
fu„)", (u_„V'
seront généralement les mêmes que celles des expressions
En partant de cette remarque , et raisonnant comme dans le cas où le terme
général de la progression géométrique se réduisait à
on établira immédiatement les deux propositions suivantes :
3^ Théorème. Soit m un nombre impair quelconque. La progression géo-
métrique et de l'ordre m , qui a pour terme général la valeur de w„ déter-
( ■■9)
minée par réquation
étant prolongée indéfiniment dans les deux sens, offrira généralement deux
modules inverses l'un de l'autre, et sera par conséquent divergente, à moins
que le module w de la variable w ne se réduise à l'unité. La même progres-
sion, prolongée indéfiniment dans un seul sens à partir du terme
^^o = ^,
et réduite ainsi à l'une des séries
!;8) k, kxyz. . .k>w, kx^y^z^ . . , i^*'"^'tv^'", kx^j^z^' . . . (^'"'"'w*",. . .
(9) k, kx~^jz~*...vw-\ A\r""^j^*z~^..p'*'"~'TV""^'", kx~^j^z~^''..A'^'"'~\v~^'",.,.,
sera convergente , si le module du dernier des facteurs qui renferme Je
second terme reste inférieur à l'unité. En conséquence, vv^ étant toujours le
module de la variable w, la série (8) sera convergente si l'on a
w < I,
et la série (9), si l'on a
w~' < I,
ou, ce qui revient au même,
w > I.
Au contraire, la série (8) sera divergente si l'on a
w > I,
et la série (9) , si l'on a
w < I.
4® Théorème. Soit m un nombre pair quelconque. Fia progression géomé-
trique et de l'ordre m, qui a pour terme général
Un = kx'^j-'^' s"' . . . (/*"""' w""",
étant prolongée indéfiniment dans les deux sens, offrira deux modules égaux
et sera convergente ou divergente, suivant que le module w de la variable w
sera inférieur ou supérieur à l'unité.
Les 3^ et 4^ théorèmes supposent que le module w de la variable w diffère
de l'unité. Si ce même module se réduisait précisément à l'unité, alors, pour
savoir si la série dont u„ représente le terme général est convergente ou
( '^^ )
diverpjCnte , il faudrait recourii' à la considération des modules
V,. .., z, y, X
des autres variables, ou plutôt à la considération du premier dentre ces mo-
dules qui ne se réduirait pas à l'unité. En suivant cette marche , on établirait
généralement la proposition suivante :
5*" Théorème. Soit m un nombre entier quelconque , et nommons
X, y, z, . . , , V, w
les modules des variables
Enfin, supposons que la progression géométrique, et de l'ordre w, qui a pour
terme général
soit prolongée indéfiniment dans les deux sens. Cette progression sera con-
vergente si , parmi les modules
le piemier de ceux qui ne se réduisent pas à Tunité reste inférieur à l'unité
et correspond à une variable dont Fexposant dans la formule (5) soit une
puissance paire de n. La même progression sera divergente si l'une de ces
deux conditions n'est pas remplie.
Le 5^ théorème entraîne immédiatement la proposition suivante :
6^ Théorème. Soit m un nombre impair et supérieur à l'unité. La pro-
gression géométrique et d'ordre impair, qui aura pour terme général
étant mdéfiniment prolongée dans les deux sens, sera convergente si la der-
nière des variables
X, y, z,. »., V. w
offre un module w = i, et Tavant-dernièré i' un module v inférieur à l'unité.
Il suit des 4* et 5^ théorèmes que , parmi les progressions géométriques ,
celle du premier ordre est la seule qui, prolongée indéfiniment dans les deux
sens, ne puisse jamais être convergente
( «21 )
§ III. — Propriétés remarquables des progressions géométriques des divers ordres.
Désignons par m un nombre entier quelconque , et considérons une pro-
gression géométrique de l'ordre m, dont le terme général u^ soit déterminé
par la formule
(' I ) '//î = kx" y"' z"' . . . t>""'~ ' iv""".
On aura
M„ = A'. «, = kxjz . . .vw\ etc.,
et par suite
(a) — = x"y"'z'^\ . .(/'"'"'w"'",
«I xyz. . .CW
puis on tirera de la dernière équation
(3) ^^' = X" r^' Z"' . . . F""'" TV"\
«I
les nouvelles variables X, F, Z,. . ., ^, tétant liées aux variables ^,^, z,.-
par les formules
(4)
dans lesquelles les variables jc,^, z, ..., p, w se trouvent élevées à des puis-
sances dont les exposants se confondent successivement avec les nombres
figurés des divers ordres. Cela posé , on conclura des équations (a) et (3) ,
qu'il suffit de remplacer les variables jc, j-, z, .. . , (^ tv par les variables
X. V, Z,.. ., /^, TV pour transformer le rapport
iÂn e, dt l'nri math..T IV .40Mivr.) '6
( >" )
en une fonction nouvelle équivalente au rapport
Considérons spécialement le cas où la progression géométrique est con-
vergente. Alors, de l'observation que nous venons de faire on déduira facir
lement les deux théorèmes dont je joins ici les énoncés.
i^*" Théorème. Supposons que la série, ou plutôt la progression géomé-
trique
(^) . • M-3. «-2, «-I, «0, «), «25 «35-«-,
dont le terme général u„ est déterminé par la formule (i), reste convergente,
tandis qu'on la prolonge indéfiniment dans les deux sens, et soit
(6) s = i(x, j, 2-, . . ., V, w)
la somme de cette mémo progression , en sorte qu'on ait
(7) i(x, y,z,. ,., V, w) = . . . M_3 + M_2 -+- "-4 4- «0 + «4 + "2 + «3 -^
Soient encore X, JT, Z, . . . , V^^PT àe nouvelles variables liées aux variables
^, j-, z, . . . , (>, w par les formules (4) La fonction f (x, j,z,..., p, w) se trou-
vera reproduite par la substitution des varial^les nouvelles X, F", Z,. .., V. TV
aux variables ^, ^, z,..., v, w et par radjonction du facteur
au résultat de cette substitution; et par conséquent la fonction f(jt', j,z,...,v^,w')
vérifiera l'équation linéaire
(8) f ix, j,z.,.. ,, ^, w) = xyz ...vw f (X, f', Z, . . . , F, W\
2" Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le i^*" théorème,
la factorielle P Q déterminée par 1 équation
(9) p=('+s)(-^)(-::;)-(-x)('-ë)('-ë)-
sera encore une fonction de ^, j-, z, . . . , f, w, qui se trouvera reproduite par
la substitution des variables X, F", Z,..., /^, /F^aux variables j:, 7, 2,..., ^^,iv,
(*) Je su|)jjos(; ici que, pour abréger, on désigne sous le nom de factorielles des produits '
composés d'un nombre fini ou infini de facteurs.
( l'-*3 )
et par l'adjonction du facteur
— =z XYZ . . . VW
Mo
au résultat de cette substitution. Donc, si, pour plus de commodité, on dé-
signe par
(lo) P = F (jc, j, z,. . ., i>^ w)
la valeur de P que fournit l'équation (3), la fonction F {jc^j, z,,.., v^ w) aura
la propriété de vérifier l'équation linéaire
(i i) F(jr,jr,z, ...,v,w)=: xjz. . ,vw¥[X, Y,Z,...,V, W).
§ IV. — Nouvelles formules relatives aux progressions géométriques des divers ordres, et aux
fonctions qui se reproduisent par substitution.
Aux formules générales établies dans le paragraphe précédent, on peut
enjoindre quelques autres, qui méritent encore d'être remarquées; celles-ci
se déduisent immédiatement de plusieurs nouveaux théorèmes relatifs aux
fonctions qui se reproduisent par substitution. Ces nouveaux théorèmes peu-
vent s'énoncer comme il suit :
i" Théorème. Concevons que l'indice n représente, au signe près, un
nombre entier. Soit, de plus,
une fonction de l indice n et des variables .r, /, z, . . . . Enfin , supposons que
les diverses valeurs de m„, savoir,
l) . . .M_3, M„2? "-0 "05 "o "29 "aj-.-i
forment une série convergente prolongée indéfiniment dans les deux sens.
Si, en substituant aux variables x^ /, z,.. . d'autres variables X, Y, Z,..., qui
soient des fonctions connues et déterminées des premières, on transforme
généralement u^ en Un+i, alors la somme
de la série (ï)sera une fonction de ,r, j^, jz, . . . (jui se trouvera reproduite
par la substitution dont il s'agit.
Démonstration. En effet, désignons, pour plus de commodité, par
i6.
( 1^4 )
f [x, y^ 2;, . . ,) la somme y de la série (i). On aura noii-seulemeot
f(.r, j, s,...)= -S«„,
la somme qu'indique le signe 2 s étendant à toutes les valeurs entières posi-
tives, nulle et négatives de «, mais encore, en vertu de l'hypothèse admise ,
et comme, évidemment, 2m„_^, ne diffère pas de 2w„, on trouvera définiti-
vement
(3) f(^,j,z,...) = f(^,J^,Z,...).
1^ Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précé-
dent, la factorielle P déterminée par Téquation
(4) p — . ..(l + M_a)(l -hM_,)(l +«o)(l +M,)(l-^"2)-- •
sera encore une fonction de x^ y^ z, . . . qui se trouvera reproduite par la
substitution des variables X, F, Z, . . . aux variables x^ y,z,....
Démonstration. En effet, représentons, pour plus de commodité, par
F (^, j, z, . . .) la factorielle P. L équation (4) donnera
F(^, J, Z-, . ..) = ...(! -4-M_2)(l + U-i)(y\ +Uq){\ +Z^,)(' -^ "a)- • '•
puis on en conclura, en remplaçant a?, j", z, . . . par X, F, Z, . . .,
F(x,r,z,...) = •••(! +«-,)(' -+-'^0) (! + «.)(• + "2) (i^ "3).- --
et, par suite,
(5) F(x,j,z,...) = F(^,F,Z,...).
Supposons maintenant que les deux modules de la série (i), prolongée
indéfiniment dans les deux sens, soient, Tun inférieur, l'autre supérieur à
lunité ; de sorte que, la série (i) étant divergente, les deux séries
«o> "n "2> "3)' • •■>
soient Tune et l'autre convergentes. Alors, à la place du 2" théorème, on ob-
tiendra évidemment la proposition suivante :
( ' 2 ^ )
y Théorème. Supposons que la série (i), qui a pour terme général «„ ,
étant prolongée indéfiniment dans les deux sens, les deux modules de cette
série qui correspondent, l'un à des valeurs positives, l'autre à des valeurs
négatives de l'indice «, soient, le premier inférieur, le second supérieur à
l'unité. Si, en substituant aux variables .r,^, z,... d'autres variables X, K, Z,...
qui soient des fonctions connues des premières, on transforme généralement
u,r, en e/„^,, alors lafactorielle P déterminée par l'équation
(6) P =-...( I + „ J {'■^^)^'-^ "o.H^ + "Oi ' + «2). ■ .
sera une fonction de x,j^z,.. . qui se trouvera reproduite par la substitu-
tion des variables X, K, Z, . . . aux variables x,j.,Zy... et par radjonction
du facteur Uq au résultat de cette substitution même.
Démonstration. En effet, représentons, pour plus de commodité, par
F(^, j, z, . . .) la factorielle P. L'équation (6) donnera
F(.r,jr,z, •■) = ■ ■■{^-^i:) (i+;^)(«H-"o)(i-^-w;)(i^M2)-..-
puis on en tirera, en remplaçant jc, ^, z, . . . par X, K, Z, . . . ,
F (X, r,z,... ) = ...(i+, 7^) (' + ^)(i + «,)(! + «.)(!-+- «3). ■■-
et par suite
(7) t^ 0^, ,r, z, ■■ •) = «oF (^, y, z, . . .).
Considérons maintenant une progression géométrique, et de l'ordre m,
dont le terme général ?^„, correspondant à l'indice n, soit déterminé par une
équation de la forme
(8) M„ = a: j" z«' . . . P^""' îv"".
On tirera de cette équation
(9) ^^„^, ^ Xr« Z«' . . . r""*-' W^"',
les valeurs des variables
X, r, z,..,, F, fr
étant liées à celles des variables
126 )
par les formules
/ X = xjz . . . i^w,
l F — xj^ z' . . . v""-* tv'",
1 (»'-i)(m-2) mjm-t)
(,o) / Z =xyH\..^ ' w - ,
\ etc.,
\ W= w.
Cela posé, on déduira évidemment des i^"", i^ et Z" théorèmes les pro-
positions suivantes :
4*^ Théorème. Supposons que la progression géométrique et de l'ordre m,
qui a pour terme général
reste convergente, dans le cas où elle est indéfiniment prolongée dans les
deux sens; et soit
la somme de cette progression géométrique. Alors, en nommant X^ K, Z,...
des variables nouvelles liées aux variables x,j,z,... par les formules (lo),
on aura
(il) f(^,j,z,...,i^,îv) = f(x,r,z,...,/^', ^).
5* Théorème, Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précé-
dent , si Ton représente par
F(X, jr, z,..., V, W)
la factorielle
. . .(l -h W-a) (l -h M_,) (l + Uq) (i -+- W,) (i 4- Wa). . .,
on aura encore
(i2) F (o:, j, Z, . . ., i', w) = F (X, F, Z, . . . , P\ W\
6® Théorème. Supposons que, la progression géométrique et de Tordre m,
qui a pour terme général
(. 1^7 )
étant prolongée indéfiniment dans les deux sens, les deux modules de cette
progression, qui correspondent, l'un à des valeurs positives, l'autre à des va-
leurs négatives de «, soient, le premier inférieur, le second supérieur à l'u-
nité. Alors, en nommant X, K, Z,... des variables nouvelles liées
aux variables JO,j-^ z,... par les formules (lo), et en désignant par
F (x, y^ z , . . . , (^, tv) la factorielle
i)(-
^ -j (l + «o) (l -t- "<) (l + Wa). . ..
on trouvera
F (a:, j, z, . . . , p, tv) == MoF {X, r, Z, . . ., /^, W).
Dans le cas particulier où les progressions que l'on considère sont du
second ordre, les divers théorèmes que nous venons d'énoncer, joints aux
propositions fondamentales du calcul des résidus, fournissent le moyen d'é-
tablir un grand nombre de formules dignes de remarque , et relatives aux
fonctions elliptiques. Si Ton suppose , au contraire , qu'il s'agisse de progres-
sions géométriques d'un ordre supérieur au second, alors, à la place des
formules qui se rapportent à la théorie des fonctions elliptiques, on obtien-
dra des formules plus générales que je développerai dans d'autres Mémoires.
128 )
MÉMOIRE
CHANGEMENT DES VARIABLES DANS LES INTÉGRALES.
§ I*'. — Considérations générales.
Considérons d'abord une intégrale simple ou de la forme
( i) è = I ùdac.
r étant une variable réelle et il une fonction réelle de jc, qui demeure con-
tinue entre les limites x = jc', x = x" . Supposons d'ailleurs que dans cette
intégrale on veuille substituer à la variable x une nouvelle variable x liée à
r par une certaine équation
(2) X^o,
et soient x', x" les deux valeurs de x correspondantes aux valeurs x' . x'
de X. On aura, en regardant x comme fonction de x,
dx = Di jcr/x;
puis on en conclura
(^3) f^ ilHx = f^ ilD^xdx,
pourvu que, eu vertu de lequation (2), chacune des variables x, x reste
fonction continue de l'autre , du moins entre les limites de l'mtégration ,
c'est-à-dire pourvu qu'entre ces limites les deux quantités jc, x varient simul-
tanément par degrés insensibles, et que, pour des valeurs croissantes de
l'une, Vautre soit toujours croissante ou décroissante. On aura donc, sous
( 129 )
cette condition ,
(4) §=Jj"ùB,
dx
xdx;
et alors, pour substituer, dans l'intégrale proposée S, la variable x à la va-
riable JC, il suffira, i** de remplacer dx par <:/x, en multipliant la fonction
sous le signe/ par le facteur T>^JC, i° de substituer aux limites données de
la variable jc les limites correspondantes de la nouvelle variable x.
Si la condition énoncée n'était pas remplie, il deviendrait nécessaire,
avant d'effectuer le changement de variable, de décomposer l'intégrale
donnée S en plusieurs parties, pour chacune desquelles cette condition se
vérifierait. Alors l'intégrale §, relative à la variable x, se trouverait rem-
placée, non plus par une seule, mais par plusieurs intégrales relatives à la
nouvelle variable x, et serait équivalente à la somme de ces dernières inté-
grales.
il importe d'observer que, dans le second membre de la formule (3) ou
(4), ^ est considérée comme une fonction de x complètement déterminée
en vertu de l'équation (a). Si, pour chaque valeur réelle de x, l'équation (2
fournissait plusieurs valeurs réelles de x, on devrait se borner à considérer
une seule de ces dernières.
i^a substitution de x à x ne pourrait plus avoir lieu si à une valeur de x
comprise entre les limites x\ x" ne correspondait pas toujours, en vertu de
l'équation (a), au moins une valeur réelle de x.
Observons encore que, si l'on suppose x' < x", le facteur ])x.x sera, dans
la formule (3) ou (4), une quantité affectée du même signe que la diffé-
rence x" — x'. Donc, si l'on désigne para la plus petite et par b la plus grande
des deux quantités x', x", si d'ailleurs on nomme la valeur numérique de
Dx.x", en sorte qu'on ait
(5) e = V(i^xar)%
on trouvera
r iW:,xdx = j'Qedx,
et l'équation (4) pourra être remplacée par celle-ci :
(6) §=riiedx.
Ex. d'An, et de Phj^s. math., T. IV. (40* livr.)
( '3o)
Considérons maintenant une intégrale multiple de la forme
\ \ ... / Q.dwdvdu. ..dzdjda-,
' Jr' Jz' Ju' 4/1'' Jw'
£2 étant une fonction réelle et continue des w variables réelles .r, ^,;z,..., m, w,w,
et les limites de chaque intégration pouvant dépendre des variables aux-
quelles se rapportent les intégrations suivantes. Alors, les limites x\ x" étant
des quantités constantes, les limites r' .^ j" pourront être fonctions de ^r, le^;
limites z', z" fonctions de x , y^... les limites w\ w" fonctions de x , j-, z,.-.,
u., V. D'ailleurs, l'intégrale S demeurant la même, au signe près, quand on
échange entre elles les deux limites assignées à une même variable , par
exemple x' et x'\ ou y' et j*",..., ou enfin w' et îv", on pourra se borner à
considérer le cas où x' serait inférieur à x'\ j-' à y", z' k z",..., w' à w"-,
et il est clair que, dans ce cas, S pourra être regardée comme une somme
d'éléments infiniment petits correspondants aux divers systèmes de valeurs
de X, j, "r--> <î"i vérifieront simultanément les conditions
i X > x', J > j'-, Z> Z',. . ., U> II', V > i^', w> > tv',
^ ' \ X < x\ J < j\ z < z", . • . , « < «", V < ^>\ IV < w" .
Si les variables .r, j', s,... se réduisent à une seule, ou à deux, ou à trois,...,
et représentent des coordonnées rectiligues, ou polaires, ou de toute autre
nature, alors les divers systèmes des valeurs de j:^, j-, z,..., pour lesquels les
conditions (8) seront vérifiées, correspondront à des points situés sur une
certaine ligne ou sur une certaine surface, ou renfermés dans un certain
volume, par conséquent à des points compris dans un certain lieu géomé-
trique; et l'intégrale S sera complètement déterminée quand on connaîtra ce
lieu géométrique avec la fonction û. Si le nombre des variables x, j^ z,...,
^^, K> . w devient supérieur à 3, les divers systèmes des valeurs de x, j, z,...,
u. y, w, pour lesquels se vérifieront les conditions (8), n'appartiendront plus
à un lieu géométrique, mais à ce que nous appellerons un lieu analytique, et
l'intégrale ^ sera encore une intégrale multiple complètement déterminée ,
quand on connaîtra ce lieu analytique avec la fonction ù. Gela posé , on re-
connaîtra sans peine qu'à l'intégrale ^ on peut substituer une intégrale ou
une somme d'intégrales de même forme, mais dans lesquelles l'ordre des
intégrations ne serait plus le même, pourvu que l'on remplace les condi-
tions (8) par d'autres conditions du même genre, mais de nature telle, que
les divers systèmes de valeurs x, y^ z,.,., m, ^, h^, correspondants aux divers
{ -s, )
éléments des intégrales nouvelles, se réduisent aux divers systèmes de valeurs
de x^ jTi 2,..-, w, t», tv, propres à vérifier les conditions (8), c'est-à-dire, en
d'autres termes, pourvu que les lieux analytiques correspondants aux nou-
velles intégrales, étant réunis les uns aux autres, reproduisent ensemble le
lieu analytique correspondant à l'intégrale S. En joignant à ce principe les
règles ci-dessus rappelées et relatives au changement de variable dans les
intégrales simples, on pourra changer aussi les variables que renferme une
intégrale multiple. On pourra, par exemple, dans l'intégrale .S, substituer aux
variables x^ y^ z,..., m, t^, \v des variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w, liées
aux premières par un système d'équations données
(g) X = o, Y = o, Z = o,..., U=:o, V=ro, W = o.
Entrons à ce sujet dans quelques détails.
J'observe d'abord que les valeurs de jr, j", £,..., m, w, w, tirées des équa-
tions (9) , devront être réduites à des fonctions réelles continues et détermi-
nées de X, y, z,..., u, v, w, du moins entre les limites indiquées par les lieux
analytiques correspondants aux intégrales nouvelles. Si, pour chaque système
de valeurs réelles de x, y, z,..., u, v, w^ les équations (9) fouinissaient plu-
sieurs systèmes de valeurs réelles de .r , y^ 2,..., u , t», h-, on devrait se borner
à considérer un seul de ces derniers systèmes.
La substitution des variables x, y, z,..., u , v, w aux variables .x , j-, s,...,
u^ v^ w ne pourrait plus avoir lieu si, à un système de valeurs de x^ j^ 2,...,
u^ i^, w, comprises entre les limites des intégrations, ne correspondait pas
toujours, en vertu des formules (9), au moins un système de valeurs réelles
de x, y, z,..., u, v, w^
D'ailleurs, la substitution des variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w aux
variables anciennes .r, j^ :?,..., u^ v^ w, sera une opération complexe, décom-
posable en plusieurs autres, dans chacune desquelles une seule des variables
nouvelles sera substituée à l'une des anciennes; et puisqu'on peut toujours,
sans altérer la fonction sous le signe /, intervertir l'ordre des intégrations
relatives à des variables données , on pourra supposer, dans chaque opéra-
tion particulière, que la variable ancienne à laquelle on substitue une variable
nouvelle est précisément celle à laquelle se rapporte la première intégra-
tion. Donc chaque opération particulière se réduira toujours à un change-
ment de variable dans une intégrale simple, c'est-à-dire à une opération en
vertu de laquelle la fonction sous le signe / se trouvera multipliée par un
certain facteur. Ajoutons que ce facteur sera tonjours positif si dans chaque
î7-
( -3^
intégrale nouvelle, aussi bien que dans l'intégrale S, l'intégration relative à
chaque variable s'effectue entre deux limites, dont la seconde surpasse la pre-
mière.
Gela posé, concevons qu'en opérant, comme on vient de le dire, sur l'in-
tégrale §, on substitue successivement la variable nouvelle w à la variable cv,
puis la variable nouvelle v à la variable p, puis la variable nouvelle u à la
variable u,..., puis enfin la variable nouvelle x à la variable x. Lorsque
dans l'intégrale S, relative aux variables œ, f, z,..., u^ i>, w, on substituera
w à w, on devra laisser invariables x, jr, z,.... D'ailleurs, considérant a:, j,
r,..., «, {^, TV comme des fonctions déterminées de x, y, z,..., u, v, w, on a
généralement
cfjc = Dx Jcdx -h hyjcd) -i- . , .-h Dyjcdv -+- D^ x dw ,
dj = D^rdx 4- Byjdy + . . . + Dyjdv -h Dy^jdw ,
dv = Dx i'dx -h Dy i^dy -4- . . . + Byvdv + D^^'^w,
dw = Dxwdx H- {^ywdy-h . . . + D^wdv + D^wdw.
Donc, si l'on se borne à faire varier w avec x, y, z,.,., u , v, w , en laissant
X , j-, z- ,...,;/, i' , TV invariables , on trouvera
o = Di X dx + Dy jc dy -h . . . -\- By xds + Dw oodw,
o = Tixjdx + Dy jr ^y + . . . H- Dyjdv + D„ jr/w ,
o^Dj^vdx + Dy i^dy -4- . . . + Dy vd\ + Dw ^d^^• ,
dw = Dx wdx 4- Dy wdy -h ...■+- T>v w dv -+- D^wdw,
et l on en conclura
lo) dw=: \.,^ ^1. ^r-V<iw.
Donc le facteur positif par lequel on devra multiplier la fonction sous le
signe /, quand on substituera v^^ à w et dw à dw^ ne sera autre chose que la
valeur numérique du rapport
S(±:DxxDyj...D,pD„tv)
D'autre part, lorsqu'après avoir substitué vv à w, on voudra substituer en-
core \ sn> et dv àdu^en considérant v comme la variable à laquelle se rap-
( 133)
porterait la première intégration, on devra se borner à faire varier p avec
X, y, z,..., u, v, en laissant invariables ^, j", Zy.., u et w. Donc alors le rap-
port de dv à d\ sera déterminé par les équations
o = \)y,xd\ 4- Dy x<iy 4- . . . + Dv ^^v ,
o = Dx j<^x + Dy jd^ + . . . + Dv jrd\ ,
o = Dx udx + Dy ud^ 4- . . . + Dv ««û?v ,
di> = Dx t^r/x + Dy i^^^y + . . . 4- Dy t>r/v ,
desquelles on tirera
, , , S(±D,^Dv r. ..D„mDvc) y
(") ''" = S(±D..D,,-...D„,.) ''"■
Donc le facteur positif par lequel on devra multiplier la fonction sous le
signe/, quand on substituera v à (^, ne sera autre chose que la valeur numé-
rique du rapport
S(±:Dxa:Dyj...Du«Dvr')
S(±:D„a:Dy7.. .D„m)
En continuant ainsi, et désignant par
e, 0',..., 0"'-'\ ©■"-'^
les valeurs numériques des résultantes
S(±:Dx^Dyj...Dvi^D,vw;), S(±:Dva7Dyj...Dvi^),..., S(±:Dx.rDy j), D^x,
on conclura définitivement que si, dans l'intégrale s, on substitue successi-
vement w à w, puis V à f,..,, puis y à j^, puis enfin x à jf , les facteurs positifs
par lesquels la fonction sous le signe / devra être successivement multipliée
se réduiront aux rapports
%, %,..., ^, e"'-".
0' 0" 0(''-')
Donc le facteur 6 équivalent au produit de tous ces rapports sera le facteur
positif par lequel la fonction sous le signe / se trouvera définitivement mul-
tipliée, quand on aura substitué aux anciennes variables x, j,z,...^u, v,w
les variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w; et Ion peut énoncer la proposi-
tion suivante :
( i34 )
i" Théorème. Concevons que, dans l'intégrale multiple
è =j" r" r. . . . r" r p' a dwdvdu. . .dzdjdœ-,
Ù désigne une fonction réelle de n variables réelles x, j-, Zj... , w, (->, w,
prises chacune entre deux limites dont la seconde surpasse la première; les
deux limites de chaque variable pouvant d'ailleurs dépendre des variables
auxquelles se rapportent les intégrations non encore effectuées. Si aux va-
riables ^, j, z,..., u^ r, w on veut substituer n variables nouvelles x, y,
z ,..., u, v, w, dont les premières soient des fonctions déterminées, on devra,
en remplaçant dans l'intégrale proposée r/x , dj , dz.,...^ du, dv , dw par
^x, <iy, û?z,...5 6?u, d\\, dw, multiplier la fonction sous le signe / par la va-
leur numérique de la résultante
(12) S(zt:Dx^DyjDz;z...Du«Dvt^DwTv),
formée avec les divers termes du tableau
D,r, Dyj, Dzj,... Dwjr,
fi3) ( DxT-, DyZ, Dz2, ... Dws,
Dxîv, DyW, Dztv, ... DwTv,
puis égaler l'intégrale proposée à une intégrale on à une somme d'intégrales
de la forme
(ï4) f f f" f f f^&dwd\di\... dzdydx,
en choisissant les limites des intégrations de telle sorte que chaque variable
croisse quand elie passe de la première limite à la seconde, et que les lieux
analytiques correspondants aux intégrales nouvelles reproduisent le lieu
analytique correspondant à l'intégrale donnée. On peut encore exprimer
cette dernière condition en disant que les divers systèmes de valeurs de
jc , J"^ Zy ., U, P, W correspondants aux divers éléments des nouvelles in-
tégrales, doivent se réduire précisément aux divers systèmes pour lesquels
se vérifient les conditions (8).
Le théorème précédent comprend les règles établies par les géomètres ,
spécialement par Lagrange et par M. Jacobi pour le changement des va-
riables dans les intégrales multiples.
( i35 •)
Lorsque les variabjes anciennes x ,j\z,...^ u^v.w s'expriment eu fonc-
tion des variables nouvelles x, y, z,..., u, v, w, de telle sorte que de celles-ci
la dernière seulement entre dans tv, les deux dernières seulement dans v^ le*
trois dernières seulement dans m, etc., alois les formules (lo), (i i) , etc. , se
réduisent évidemment aux suivantes:
dw = Dw iv dM' , dif=:Dvvdv,.,., dœ = Dj x d\ ,
^i , en conséquence, le facteur 0, par lequel on doit multiplier la fonction
sous le signe/, quand on substitue les nouvelles variables aux anciennes, se
réduit à la valeur numérique du produit
(i5) Dx^DyrD^2; . .Du^^Dvi'D.v^v.
On arriverait à la même conclusion en observant que, dans l'hypothèse ad-
mise, le tableau (i3) se réduit au suivant :
o, Oyjr, D,j,..., D^vj,
1 1^ \ o , o , Dz z , . . . , Dw r .
et la résultante
au seul ternie
o , o , o , . . . , Dw w ,
S(± DxxDyjD.2,. . .D.wDvcDwC.^)
I)x X Dy jr Dz z . . . D u « D V i^ Dw w .
x\)outons que la même résultante se réduirait encore à ce terme unique, si le
tableau (i3) se réduisait au suivant :
I BxX , o, o , . . . , o ,
>t7) \ DxZ, DyZ, Dyz, ..., G,
^ D^w, Dyvv, ]\w, . .., Dwtv;
c'est-à-dire, si des anciennes variables, exprimées en fonction des nouvelles,
la première cT renfermait x seulement, tandis que x et y seules entreraient
( «36 )
dans j^; X, y et z seules dans z, etc. On peut- donc énoncer encore la pro-
position suivante :
2® Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le i^" théorème , si
d'ailleurs les valeurs de oc ^j\ 2,... , «, t», w, exprimées en fonction des va-
riables nouvelles x, y, z,..., u, v, w, renferment seulement, la première, la
variable x; la deuxième, les deux variables x, y; la troisième, les trois va-
riables X, y, z; etc.; alors le facteur positif 0, par lequel on devra multiplier
la fonction sous le signe /, quand on substituera les nouvelles variables aux
anciennes, se réduira simplement à la valeur numérique du produit
D,^DjjrD,z...D„wDv(^DwW.
Remarquons encore que, dans le cas particulier où les variables oc,j-,
5,..., M, f , \v sont liées par des équations linéaires aux variables nouvelles
X, y, z,..., u, V, w, le facteur © se réduit évidemment à une quantité
constante.
Remarquons enfin que les principes ci-dessus exposés entraînent la propo-
sition suivante :
3^ Théorème. Si la fonction placée sous le signe /, dans une intégrale mul-
tiple relative aux variables x ^ j-, s,..., m, w, îv, doit être multipliée par le
facteur quand on substitue au système x, j\ 2,..., u, p, w un autre
système x, y, z,..., u, v, vv, et par 0' quand on substitue au second système
X, y, z ,..., u , V, w un troisième système ;ç, w, %,'■-, \\, v-, w, cette même
fonction devra être multipliée par le produit 00' quand on passera direc-
tement du premier système .r, j\ s,..., w, v, w au troisième système
.V, Ajî 2,--., u, V, \x>.
D'ailleurs ce théorème, ainsi que les précédents, continuerait évidemment
de subsister, si plusieurs variables appartenaient à la fois aux divers systèmes
que l'on considère.
§ II. — Applications diverses des principes exposés dans te premier paragraphe.
Pour montrer une application des principes établis dans le § 1*''^, suppo-
sons que, £i étant une fonction réelle de /z variables réelles .r, j-, z,...,?f,i^, tv,
et ;• une autre variable, réelle et positive, liée aux premières par la formule
(i) oc"^ + j'2 -h £2 -+- . , . + li^ -h t^- + w^ = r%
( >37 )
on étende l'intégrale
(2) S= f f C. .. f C fndwdi^du.. ffzcfy-dœ
à tous les systèmes des valeurs de x, j", z, . . ., u^ i^^ w pour lesquels r de-
meure compris entre les limites
(3) r=z /•', r = r".
Si Ton pose
(4) jc = a<.r, J^a^r, z = a^r, . . . ,u = a„_2^'-, ^ = ««-< '% w = a^r,
les nouvelles variables
a< , a-a , . . . , ccn
devront, eu égard à l'équation (i), vérifier la condition
(5) «2 _^a| + ... + a„2 = I,
à laquelle on satisfera eu prenant
|a,=cos9,, «2 =sin9<cos(p2v» a„_, =sinç),sin92''-cos9„_2cos9,,_,,
C6) ] ' ....
( a„ = smcp, sm©2 ••sin(p„_2 sin(p„_, .
Si d'ailleurs on assujettit les angles «p, , O2 v • • » 9n-2 à demeurer compris entre
les limites 0,7:, et l'angle (p„_, à demeurer compris entre les limites — n,
-hn: alors à tout système de valeurs de :r, ^, z,..., u, v, w, pour lequel
se vérifiera la condition (i), correspondra toujours un système unique de
valeurs de a^ , «2? • • • 5 ct^, pour lequel se vérifiera la condition (5); et, pai-
suite, si aux variables .x, j"^ 2, . . ., m, t^, w on substitue les variables r, 9, ,
92 5 • • • 1 ^n-i •> Oïl aura, en vertu du i" tbéorème du § P"",
(7) ^ ~ f r " ' r I' ^^^^'^^9* • • • ^^"-^ '^'?«-' '
désignant un facteur positif que l'on déterminera sans peine en opérant
comme il suit.
Comme en laissant invariables x, j", z,..., w, v, on tire de la formule (1),
wdw =^ rdt\
par conséquent,
, dr
dw = —5
il est clair que , si l'on substitue r à w et dr- à dw, on devra , dans l'inté-
Ex. d'An, et de Phys. math.. T. IV. {^i^ Jivr.) t8
( ,38 )
{^rale S , multiplier la fonction placée sous le signe / par la valeur numérique
du rapport — . Si l'on substitue ensuite a< à jr , aa à j, . . . , a„_, à t», on devra
évidemment, en vertu des formules (4), remplacer
dx , dj, . . ., dv
par
rdai , rda^ , . • • , rdo!.„^i ;
et, en conséquence, remplacer le produit
dx dj . . . dv
par le produit
r"~* d(x^ da^ . . . d(x.„_, .
Donc, si aux variables x, j^ ^,--, "? <^, ^^ oi> substitue les variables
r, a, , «2, . . ., a„_, , on devra, dans l'intégrale S, multiplier la fonction 12
par la valeur numérique du rapport
D'autre part, si, dans une intégrale multiple, relative aux variables
a< , «2, . . . , a„_, , on substitue à celles-ci les angles (p< , 92, • • -, ^n-\ liés
avec elles par les équations (6) , on devra , en vertu du 2* théorème du § 1",
multiplier la fonction sous le signe / par la valeur numérique du produit
Dp, a, Dy^ aa . . . D^„_, a„_, ,
qui peut être réduit à la forme
la valeur de ^ étant positive et déterminée par l'équation
(8) ô = siu"-'^ ^, sin"""^ ©2 • • • sin' <P«-3 sin(pfl_2-
Gela posé, on conclura du 3^ théorème [§I], qu'en substituant aux variables x,
j, z,..., M, t^, vv les variables r, 94 , «pa? • • • ^ <P«-i ? ^"^ doit, avec M. .lacobi ,
multiplier la fonction sous le signe / par le facteur
(9) e = ôr«-.
Donc la formule (2) pourra être réduite à
fio) ^ = I \ ' ' ' ] ] i^dr"-^ drd(pt . . . d(^„_^d(fn-i'
J —n Jo Jo Jr'
(-■39)
Concevons maintenant que les n variables x , jr^ z, ..., «, i^, tv, soient
liées à n autres variables x , y, z, . . . , u , v, vr par des équations linéaires de
la forme
/ X = rtx + ^, y H- «2 ^' -+- • • • + <^«-i w,
I 7^ = èx H- ^, y + ^2 z + • • • -t- ^n-\ w,
(il) ( z = ex H- C, y -4- ^aZ H- . . .-h c„_, w,
\ IV = i
h\ + A< y -h ^3 z -+- . . . -f- hn-i ^.
Pour que l'on ait identiquement
(12) ^=^+ j»+ z=^-f- ... + M=^+ <^*+ w=^ = x''^- y^'^- z=^ +... + u^'^ v^-+
il suffira que les coefficients
rt , 6, c, . . . h\ a,^b,^Ct^ . . . hfj ... a„_t, ^„_,, c„_,, . . . „_,,
vérifient les conditions
(i3)
[ â'4-è'H-...-|-A' = i, aa,-\-bbt -f-...+AA, =0, ...a a„_,+è è„_,-h...H-A A„_,=o
D'ailleurs, si aux conditions (i3) on joint la formule (24) du Mémoire sur
les sommes alternées connues sous le nom de résultantes [tome II, page 176],
on en conclura
0=^ = I ,
et , par suite ,
(l4) 0:^1,
© désignant la valeur numérique de la somme
S(±: abf C2 . ■ . h„_t);
et, eu égard aux formules (11), cette dernière somme ne différera pas de la
suivante :
S(lhD,XDyjr. . DyyW).
Enfin, la formule (12) , jointe à l'équation (i) , donnera
(i 5) X» + y=^ H- z=* H- . . . + u'' H- v' H- w' = r^
Gela posé, il résulte du tbéorème i^"^ du § I, que si les conditions (i3) sont
remplies, on pourra, dans la formule (2), substituer immédiatement aux
( i4o )
variables x , j-, z , . . . , m , f , tv les variables nouvelles x , y, z , . . . , u , v, w liées
auv premières par les formules (i i), en sorte qu'on aura
(16) Cf. . . f Cadwdi^...djdx= ce. . . Ç Cildwdv. ..dydx,
les intégrations étant étendues à tous les systèmes de valeurs de x^ J ■>•■■•, ^, ^
ou de X, y,. ., v, w pour lesquels la variable positive r, liée avec les premières
par la formule (i) ou (i5) , demeure comprise entre les limites r', r" .
Il importe d'observer que des formules (i i) jointes aux équations (i3), on
tire immédiatement
/ \ = ax -h hf -h cz -h ....... H- hw,
I y = a^œ -h bf y 4~ c, z + H- ^4 w,
(17) ^ z = «2^ + ^2 7 + 6-2 z + -^ h^w,
\ w = a„_^ X + A„_, y + c„_, z-^ , . .-\- h„^i w.
Remarquons encore que l'on peut satisfaire d'une infinité de matiièies aux
conditions (i3), par des valeurs réelles des coefficients
<2, ^, . . .,/«; a,, ^,, . . . , //<; a„_,, ^„_, , . . . , ^„_,.
En effet, après avoir choisi des valeurs réelles de a, b, c , . . . , h propres à
vérifier la formule
(18) a^ 4-^2 + c^ +...+ A' := I,
on pourra satisfaire, par des valeurs réelles de «, , è,, 6, , . . . , A< , aux deux
conditions
(19) aat -^- bbt-{-cCt-h. . .-h hh^ = o, a^^ -h b\ -h c^^ + . . . -i- h^ = i,
qui se réduiront simplement à
aa^ -h bbf = o, a^ + 6^ = 1,
si les coefficients <7i, ^o <^<j • • •: ^4 ^^^^ ^o"^ supposés nuls à l'exception des
deux premiers, et qui donneront alors
a, b, _|_ I
b ~~ — a ^a' H- b'
Il y a plus : à la première des équations (19) on pourra joindre n — i équa-
tions de même forme, c'est-à-dire n — i équations en vertu desquelles n — i
( i4i )
fonctions linéaires et homogènes de a^, è,, c<, . . ., arbitrairement choisies,
se réduiront à zéro ; et de ces /z — i équations nouvelles , réunies à la pre-
mière des équations (19), on en tirera une autre de la forme
, . a, è, c, Al
x\, B, G,. . ., H étant des quantités connues; puis dc; l'équation (20), jointe
à la seconde des formules (19), on conclura
^^ ^ A B C •■• H y/A'-^B^ + C^-f-...-hH^
ïics valeurs de n^^ è^, c,,. . . , h^ étant ainsi déterminées, on prouvera , par
des raisonnements semblables, que l'on peut encore satisfaire, par des
valeurs réelles àe a^^b^^c^, . . ., h.^, aux trois équations
aa^ H- bh^ + . . . h- hh.^ = o , ciia^ -\- b^b.i-\- . . . -\- h^h^=z o.
ai^ bl^ . .. -^ ni = \^
dont les deux premières peuvent être jointes k n ~ 1 équations de même
forme, arbitrairement choisies; et, en continuant de la sorte, on finira par
obtenir, pour les coefficients
des valeurs réelles qui seront propres à vérifier les formules (i3), quand
on les joindra aux valeurs réelles et arbitrairement choisies des coefficients
a,b, c, . . . ., h.
Concevons à présent qu en attribuant aux coefficients a^b^ c^. . .^h 1 un
quelconque des systèmes de valeurs réelles pour lesquels se vérifie la condi-
tion (18), on réduise Q, à une fonction réelle et continue du polynôme
ax -^ bj -\- cz -\- . . . -A- hw,
en sorte que cette fonction étant désignée à l'aide de la lettre caractéris-
tique f , on ait
= f [ax -\- bj -\- cz + . . . -^ hw ).
L'équation (16) donnera
(aS) / /... f{ajc-+-bj + ...-hhw)dw.,.djdx= j j ... 1 i{x)dw ...dy dx.
Si d'ailleurs, dans chaque membre de la formule (a3), on substitue aux
variables jr , j, z, . . . , w, ou x, y, z , . . . , w, la variable r liée avec elles
( i42 )
par l'équation (i) ou (i5), et des angles auxiliaires 9,, «pa,..., (p„_^ liés
encore à ces mêmes variables par des équations semblables aux formules (4)
et (6), chaque membre prendra la forme de l'intégrale multiple que présente
l'équation (10); et en posant, pour abréger,
(24) w — aat -h ba^ -h . . .-\- h(x„,
on trouvera
J — TT »/ Jo Jr '
= j j '•• I I 9r"~* î [oLtr) clrd(pt . . .d(p„^2ci(p„_f,
la valeur de étant toujours celle que détermine la formule (8); puis, en
différentiant les deux membres par rapport à r", et posant après la diffé-
rentiation r" = i, on aura simplement
!/ / ' ' ' \ I ^f(w) d^f d(p^ . . . ^9„_a d^„_^
^P P ... P P^flaO^^^^fPa-'-^/i-î'^'Pn-i-
D'ailleurs si, en désignant par m, n des nombres entiers quelconques, et
par çj un angle variable, on pose
a — ces 9 ,
on aura généralement
puis on en conclura
et, par suite, eu égard à la formule (8), on trouvera
( 143 )
Donc la formule (26 ) pourra être réduite à
!r f'' ,.. I r 6 f (w) dcp^dcp^... d(p„_^ d(p„_t
On ne doit pas oublier que, dans la formule {il\)^ a.b^c, . . .,h désignent
(les coefficienls arbitraires assujettis seulement à vérifier la condition
Si en nommant k une quantité réelle quelconque, on remplaçait a^b.c,... , ^
par -, -, -, et f(a) par f (A:a), alors, à la place de la formule (27) on obtien-
drait la suivante :
Xj . . . j j d i {oi)dcp, d(pz . . . d(p„_2 dcp„_f
-^ Jo t/o Jo
la valeur de w étant toujours déterminée par la formule (24), eta,^, c, ...,//
étant des coefficients arbitraires , mais liés au coefficient k par la formtile
(29) a' 4- b'^-h c^-l- . . . H- h' = k\
r.orsque, dans la formule (28), on pose n = i^, alors en écrivant 9, y^ au
lieu de 9,, 92^ ^'t a 7 ^> 7 ^u li^" de a,, §2,7.3, on trouve simplement
(30) I j "" sin (pi {au -h b^ -\- c y) d(pdx = 'i'n j i(ka)da,
J— 7T 1/0 J— I
les variables auxiliaires a, S, y étant liées aux angles ip, /par les formules
(3i) a = cos9, ê =r sin (p cos ;^ , y = sin <p sin / ,
et les coefficients arbitraires a, b, c étant liés au coefficient k par l'équation
La formule (3o) reproduit le théorème à l'aide duquel M. Poisson a intégré
l'équation du mouvement des fluides élastiques.
Si, dans la formule (28) on prend
f (a) = a"*,
(28) .
' '"" ' ' ' - a') ' ï{ka)da.
( i44)
m étant un nombre pair quelconque, l'intégrale que renferme le second
membre sera réduite au produit de k"^ par la suivante :
/ «'"(i - a') ' A= ^ "" ,' \° - ,
et la formule (28) donnera
(33) £J\,. £ £ B r^'^ d^,d^,..-don-.d^n-_^ = 27: -^ -S-^h'".
Mais, d'autre part, en supposant tz impair, on aura
/ m-+-n \ ^_^ ^^^^_
\ ' 2 / m + /z — 2 /w + 3 m-!-i _ vj'V' j '^ —
t devant être réduit à l'unité, après les différentiations indiquées par la
caractéristi(jue D,. Gela posé, on tirera de la formule (33)
(34) k"'=--^B?~ £ £ - £ £ '"^ ^^'^^~'^"'^''''^'^''" ■^^«-2'*^^"-'-
2 7r 2 ~"^
Cette dernière formule subsistant, quel que soit le nombre pair m. conti-
nuera de subsister, si l'on y remplace h"" par une fonction paire f (A^) déve-
loppable suivant les puissances ascendantes de A% pourvu que l'on remplace
en même temps, dans le second membre, (w vO'" P^*" ^ (" VO- C)n aura
donc encore, en supposant n impair, et f (A) développable suivant les puis-
sances ascendantes de A:^,
(35) f(A)= — !r=iD?" P ■'£._.. f^'f^'i'^ Ô^(f.)xi)d(p^d(p2...d(^n-2d(p-,,
2 71- =" ~~^
pourvu que , les valeurs de w, A étant déterminées par les formules
k^ =: a^ + b^ -^ c^ -h . . . + h^, ^ — ci a, -h ba^^ cc/.^ + . . .^- h a.n ,
et les variables a, , «3 , . . . , a„ étant liées aux angles 9, , Ç2 , . . . , 9„_^ par les
équations (6), on pose t = i, après les différentiations indiquées par la lettre
caractéristique D,.
( '45 )
MÉMOIRE
LES VVLEURS MOYENNES DES FONCTIONS
D'UNE OU DE PLUSIEURS VARIABLES.
Considérons d'abord une fonction O d'une seule variable oc, et supposons
que cette fonction reste continue entre deux valeurs données de la variable.
Si, après avoir interposé entre ces deux valeurs d'autres valeurs équidis-
tantes, dont le nombre représenté par 7i — i soit très-considérable, on
cherche les diverses valeurs de la fonction Q, correspondantes aux n — i
valeurs données de la variable x, la moyenne arithmétique entre ces valeurs
de 12 se transformera , quand le nombre « deviendra infini , en ce que nous
nommerons la valeur moyenne de la fonction û, et cette valeur moyenne
sera le rapport des deux intégrales définies relatives à x ^ dans lesquelles les
fonctions sous le signe /seront ù et l'unité. Pour plus de commodité, je dé-
signerai cette valeur moyenne de Q. à l'aide de la lettre caractéristique M,
et je placerai au-dessous et au-dessus du signe M , les limites de la variable .
suivant l'usage adopté pour les intégrales définies.
Concevons maintenant que û représente une fonction de plusieurs varia-
bles .r, J-,-'-y qui reste continue pour les systèmes de valeurs de:r,^,...
comprises entre certaines limites, f.e rapport entre les deux intégrales défi-
nies qui, étant relatives à x , j-, . , ., et prises entre les limites données,
renfermeront sous le signe /'la fonction Ù et l'unité, sera la limite vers
laquelle convergera la moyenne arithmétique entre les valeurs de Q. qui
correspondront à des éléments égaux de la seconde intégrale. Pour cette
raison, le rapport dont il s'agit sera nommé la valeur moyenne de la fonc-
tion ù , et je désignerai encore cette valeur moyenne à l'aide de la lettre
Ex. d'An, el de Phys. math., T. IV".(41« livr.) IQ
( i46 )
caractéristique M, en indiquant au-dessous et au-dessus du signe M les limites
des diverses intéf^^rations.
Concevons, maintenant, que les intégrations doivent être étendues à tous
les systèmes de valeurs des variables JC, j^, z, . . ., qui réduisent une certaine
fonction rde ces mêmes variables à une quantité comprise entre deux limites
données <7, h. On pourra recbercher ce que devient la valeur moyenne de
la fonction ù dans le cas particulier où les çlcux limites a, b se réduisent à
une seule. Dans ce cas, qui mérite d'être remarqué, nous pourrons nous
borner à indiquer au-dessus du signe M la limite a de la fonction r, en
ayant soin, d'ailleurs, d'écrire au-dessous du même signe les diverses varia-
bles œ , j", z, . . , auxquelles se rapportent les intégrations.
Gomme nous le montrerons plus tard , la considération des valeurs moyennes
des fonctions d'une ou de plusieurs variables peut être utilement employée
dans la solution de plusieurs problèmes d'analyse, spécialement dans l'iqté-
gration des équations linéaires aux dérivées partielles.
Supposons que l'on fasse varier jc , j^ z, . . . , entre les hmites
X = Xo, .r=:Xo f = Jf,^ j — J^; z= Zo, z = z,; . . .,
Jo > J"< pouvant être des fonctions de x , et jZq , z, des fonctions de x-^ j-, etc.
Soit d'ailleurs Çl une fonction de x, ou de .r , j^, etc. , qui reste continue entre
les limites dont il s'iigit. La valeur moyenne de il entre ces limites sera
M n =
j' D.dx
X\ ' Çidydx
/ ' / ' djdjc
Gela posé, on établira facilement la proposition suivante :
» i^" Théorème. Soit û une fonction réelle de n variables réelles jr , j^
s,. ... Si à celles-ci on substitue n autres variables réelles x, y, z,, . , qui
soient liées aux premières par n équations linéaires, £i considérée comme
( '47 )
fonction de jc, j-, 2, . . . ou de x , y, z, . , ., conservera dans les deux cas
la même valeur moyenne, pourvii que les limites assignées au second
système de variables correspondent aux limites assifjnées au premier
système.
Démonstration. En effet, quand on iransformera chaque intégrale rela-
tive aux variables .r, j*, z, . . . , en substituant à celles-ci les variables x,
J,z, . ., la fonction sur le signe /sera multipliée, comme l'on sait, parle
facteur
0=:S(±: D^xDyjlhz. ..)•
Si, d'ailleurs, les variables x, j, z,. . , sont liées par des équations linéaires
au\ variables x, y, z , . . . , le focteur se réduira simplement à une constante.
Donc alors ce facteur pourra être placé en dehors des signes d'intégration ,
puis effacé comme facteur commun des deux termes du rapport qui repré-
sentera la valeur de il.
.' Soit maintenant r= f (j? , j", z, . . . ) une nouvelle fonction, réelle aussi
bien que Û, et supposons que l'on cherche la moyenne entre les valeurs
de correspondantes à toutes les valeurs de x, j, z,. . pour lesquelles la
fonction r demeure comprise entre deux limites données «, h. l)(\signons
d'ailleurs à l'aide de la notation
' ïr il
x, y, z,...
ce que devient cette moyenne quand la difféience h — a s'évanouit. On
aura, en vertu du théorème précédent, et en supposant toujours :r, ^, z,. .
liées à X, y, z,. . . par des équations linéaires,
(i) 'm" Q= 'm" 12.
r, r, 2, . . ■ X, y, z,.
Supposons, pour fixer les idées, que la variable r, étant positive, soit
liée aux n variables x, j", r, . . . par une équation de la forme
['i) r'^ =^ x^ -h j'^ + z^ -+-... .
Si Ton nomme A la moyenne entre les diverses valeurs de [l correspondantes
aux divers systèmes de valeurs de x, j,z,. . . , pour les(]uels /• demeure com-
prise entre les limites positives «, è, on aura
- .^) '^- Sff...dzc{rd:c '
ï9-
( i48 )
les intégrations s'étendant à tous ces systèmes. Si d'ailleurs on pose, comme
dans le Mémoire précédent,
(4) X = a^r, j = «2 r, z = «3 /■,... ,
les variables a, , a^y «3 , . . . , a„ , liées aux n variables oc, j, z,. . . par les
formules (4), devront, eu égard à l'équation (2), vérifier la condition
(5) a? H-a^H- ... +a„2 = I.
D'ailleurs, pour satisfaire à cette condition, il suffit de prendre
a, n= cos«p,, ag = si!s ç, cos(p2v» ^n-\ = sinç», sin(p2'--sin!Pn-2Cos(p„_,,
I a„ = sinip, sm(p2... smçi/j_2smcp„_
Il y a plus: si l'on assujettit les angles 9,, (pa,- •> 9«-2 à demeurer compris
entre les limites 0,7:, et l'angle ©„_, à demeurer compris entre les limites
— 71, rr; alors, pour chaque système de valeurs de a, , a2 ,.-• , a„ propres à
vérifier la condition (5), on obtiendra toujours un système unique de valeurs
de <p4 , 92 V) '^n-i- Gela posé, si l'on fait, pour abréger,
("7) 6 = ii'm"~^(pf&m^~^(p2' • .sin^9„_3sin(p„_2,
et si, en opérant comme dans le Mémoire précédent, on substitue, dans les
deux intégrales (|ue renferme la formule (3), les variables ip, , (pgj.'r
<?«-2 7 9«-4 ■> '^ ^"x '^ variables oc, j^z,. . . , on trouvera
XI 'Il 9^ r"-' drd(f,. . . rf<p„_2 <^'f„_,
^ - TT t/o Jo Ja
I 1 • • • / / ^ r'^~^ drd(s^^. . .^(j)„_2 rf«p„_,
Concevons maintenant que, dans l'équation (8), on pose b — a, alors le
second membre de cette équation se présentera sous la lorme -\ et pour
obtenir sa véritable valeur, il suffira de remplacer le rapport des deux inté-
grales qu'il renferme par le rapport de leurs dérivées relatives à è, puis de
poser, dans ce dernier rapport, è = rt; et comme la valeur de A ainsi obtenue
sera précisément la valeur moyenne de H, désignée par la notation
x,y,t,...
( >49)
nous devons conclure que l'on aura
(9) "m û=^"^° ''"
D'autre part, comme en désignant par m un nombre entier quelconque, on
a généralement
(lo) 1 " sin"-' y rfy = .^ '
'^" '■(-7-)
on trouvera, eu égard à l'équation (7),
! I l) JJ Jo '^' Jo ^^^'' ''^^"~' ^^""^ "^ "7^ '
donc la formule (9) pourra être réduite à
(12) 'm" q = -~^ f' f" ■■■ f" eiid<f,...d<f„_^,d<f„_,.
x.x,e..,. - t/—7tJo Jo
Considérons maintenant, d'une manière spéciale, le cas où Ion a
rt = I.
Dans ce c;:s la fonction de oc^j^ z-,. .., désignée par i} . se réduit poui
r=:i, en vertu des formules (4), à une fonction des variables
a, , «2 , • • . . «n ;
et, en substituant cette dernière fonction à la première, on réduit la moyenne
'm û,
x,X,t,...
à la forme
Q étant une variable nouvelle liée aux variables cl^.o.^^. . „ a„ par l'équation
(i3) p« = a2 -ha^H- ,.a^
( '5o )
Donc, en considérant ù comme une fonction des n variables a,, «a,* . . , a„
et supposant p lié à celles-ci par l'équation (i3), on aura
pourvu que, dans le second membre de la formule (14)5 on regarde a,,
«aj- • ., a«, ^ comme des fonctions de (p<, Tav - •: 9«-i déterminées par les
formules (6) et (7).
Concevons, à présent, que w,, Mo- . • . , w« étant des coefficients léels, on
pose
(i 5) w = «, a, -\- u^a^^ . . . -h Un a„.
Soit, d'ailleurs, k une quantité positive liée aux coefficients m<, Wa,. . ., «„
par la formule
(16) A:^ = M"^-hM^-|-...-f-M^;
et nommons F (k) une fonction paire de A', développable suivant les puis-
sances ascendantes de k^. En vertu de la formule (35) du précédent Mémoire,
on aura, pour des valeurs impaires de n,
n — I n — 2
(17; F(/r) = —^D, ' r r -■- r ^«~^F («Vi) dcp, . . ,H<p„_,dcp,__,,
pourvu que Ton pose 1 = 1, après les différentiations inditpjées par ia ca-
ractéristiijue D,. Donc, eu égard à la formule ( i4)i on ^^^"^ encore
~> ^i «- 1 r » — 3 -j
(18) F(A-)=:r_^ M D~l t"^F(wvi)J.
Concevons maintenant que F(k) désigne une fonction de /. , paire ou im-
paire, mais développable suivant les puissances ascendantes de A. Alors
Texpression
"m" F(Aa) = - r F(ko:)da.
représentera une fonction paire de A, développable suivant les puissances
ascendantes de A-'; et à la formule (18) on devra substituer celle qu'on en
i5i i
déduit quand on remplace dans le premier membre F(k) par M ¥{ka),
et, dans le second membre, l'expression
par 1 expression
(19) D. ^ |^£ ^ Jl_F{^as/i)j,
ou, ce qui revient au même, par la suivante :
(20)
"-I r ::_ii2 1
dans laquelle on devra toujours réduire i à l'unité, après les ditférentiations
mdiquées par la caractéristique D^. D'ailleurs, si l'on remplace F (A) par Â:'",
m étant un nombre pair quelconque, l'expression (20), réduite à
^^' L' ' j^' ("aV^)"'^a I'
sera équivalente au produit
m— 1
22 22
ou, ce qui revient au même, à 1 expression
Ou aura donc, pour des valeurs paires de m ,
ou, ce qui revient au même,
Ivu é^ard à cette dernière formule , dans laquelle le facteur — se réduira
2t
simplement à - pour « =1, on tirera de l'équation (18), quand on y rempla-
i l52 )
cera F '^ A) par M F (A a), en supposant F (A:) développable suivant les
puissances ascendantes de A:,
(21^ "m ¥[ka)=: ""' \l D ' L^ ' F(wv/r)J-
En résumé, on peut énoncer les deux propositions suivantes :
2^ Théorème. .Soient a,, «a , . . • , a^, , « variables réelles; soit encore
w = u^ a. H- «2 «2 H- . • . + u^y-n
nue fonction linéaire de ces variables, les coefficients Ui^U2 ,...,«„ étant
réels , et posons
p = y a'jf -h al -h ... -h a^, k = yw? -i- uj -^ . . . -h w; •
Soit enfin F (A:) une fonction paire de k, développable suivant les puissance^
ascendantes de k^. On aura, pour des valeurs impaires de /z,
F('^) = -^ '*■' ^'
■>s~')r
pourvu qu'après avoir effectué les différcntiations indiquées par la carac-
téristique D, on réduise le paramètre i à 1 unité. On aura d'ailleurs, comme
l'on sait,
1.3.5. . . (« — 2) _
3" Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème
précédent, si l'on nomme F (A;) une fonction développable suivant les puis-
sances ascendantes de A:, on aura
"m" F(A:a^ = -^^ 'm D.' [l ' FfwyôJ,
pourvu qu'après l-s différentiations indiquées par la caractéristique D< on
réduise t à l'unité.
( '53 )
NOTE
L'EMPLOI DES THÉORÈMES
relatifs aux valeurs moyennes des fonctions dans V intégration
des équations différentielles et aux dérivées partielles.
Supposons d'abord l'inconnue zs déterminée en fonction du temps t par
une équation différentielle de la forme
k étant une quantité constante. Si l'on nomme zsq, zSi les valeurs de rs et
D, w correspondantes à une valeur nulle de ^, l'intégrale générale de l'équa-
tion (i) sera
ou , ce qui revient au même,
(2) ^ = D, M ^e*'='-!ro+ M te''
Si d'ailleurs la quantité k^ est la somme des carrés de plusieurs autres quan-
tités u^, ?<2,..., w„, en sorte qu'on ait
^3) k' = u1 + ul -h,..-f-M^
ou pourra, dans la formule (2), remplacer l'exponentielle e^'« par une autre
dans laquelle l'exposant soit réduit à une fonction linéaire de w<, u^,..., u„.
En effet, supposons d'abord que n soit un nombre impair. Alors, en dési-
gnant par
a,, aav, a«
Ex. dAn. et de Phys. math.. T. IV. (41* Hvr.) =iO
( '54 )
n variables auxiliaires, et posant
(4) (ù — u^a^ -\- U20L2~^...~\- UnOLn^ p^ = a^^ -{- al -h . . . -h (X.^ ,
on tirera de l'équation (2), combinée avec la formule (2 i)du précédent Mémoire,
(5) sy=-^D, 'm' ^D/ L« ^ e"'s/\Jt7o
M
j devant être réduit à l'unité, après les différentiations indiquées par la
caractéristique D^ . Si 71 était pair, ou, ce qui revient au même, si, n étant
impair, k^ était de la forme
ifi) k^ = ul -^ ul-^...+ «,?_,,
il suffirait, pour revenir au cas précédent, de joindre à la formule (3;
l'équation
(7) "« = 0,
en vertu de laquelle la valeur de w serait réduite à
(8) 0) = U^a^ H- Waa2 +...+ Un-idn-i-
Concevons maintenant que, oc, j^ z, . . . étant de nouvelles variables
indépendantes, k^ se transforme en une fonction de D^, D^, D^,... entière et
du second degré, représentée par F(D^, D^, D^,..). L'équation (i), ou, en
d'autres termes, la formule
(9) ' D?!;r = F(D^,D^,D„...)^,
sera une équation aux dérivées partielles, linéaire et du second ordre, qui
déterminera l'inconnue zs considérée comme fonction de oc,j^ z,..., t, quand
on connaîtra les valeurs initiales de zs et D^t?. Soient 7Sq{x^ j, z,...) ,
r7;^{oc,J^Zy.) ces valcurs initiales. L'intégrale générale de l'équation (i)
ou (9) sera représentée par la formule symbolique
(10) zs = Dt M te^'''rs^,[x,jr,z^...)-^ M te^"^ zs^{x,J, z,...),
analogue à l'équation [1). Soient d'ailleurs
( i55 )
On aura
(il) A:=^ = F(m,p, o^,...);
et, si « désigne le nombre des variables x, j^ z,. . ., la valeur de k^ déter-
minée par l'équation (i\) pourra être généralement réduite à la forme
(12) k^ ^-u^^ -h ul +...■+■ u^,
«^, «2,. M «« étant des fonctions linéaires de u, v, w^..., en sorte qu'on aura
; ii2 = CI2U -h b^v + c^w -\-..-h I2,
\ ii^ = a„U -h bnV -\- C„W -h...+ In,
«, , é,, c, , .., /, ; a^^ b^y c^,..., /g;..., /2„, ^„, c„,..., l„ étant des coefficients qui
seront tous réels si la fonction F(j?,jr, z,...) est du nombre de celles qui
restent positives pour des valeurs quelconques de JO, j, z,.... Admettons
cette dernière hypothèse. Alors, pour déduire de la formule (5) l'intégrale
générale de l'équation ( 1 ) , il suffira de remplacer dans cette formule ts^ et
v>, par zSoix,f.,z,...) et sy< (j?,j^-, z,...). D'autre part, en vertu des for-
mules (i3) jointes à la première des équations (4), on aura
(i4^ « = au ■+- ëv -h yw H-.. .-h ). ,
les valeurs de a, ê, y,.,., X étant
(5) ) ^ — ^«^-< + ^aaa +■■•+ ^«a«, S -- b^ a^ -^ b^a^ -h...~h b„
Enfin, en désignant par sy (x,j-, s,...) une fonction arbitraire de x, y, z,...
on aura, en vertu du théorème de Taylor, eu égard à la formule (i4),
(16) e"'N/'w(^,7, z,...) = e'WT5y(^^_ ats^'i, y + atsj't,..).
Donc l'intégrale générale de l'équation (9) sera
TT^ /= = ' '^-^{IJZJ: _ _ "1
( >56)
( devant être réduit à l'unité après les différentiations indiquées par la
caractéristique D^.
La formule (17) conduit aisément à la connaissance des lois des phéno-
mènes dont l'étude exige l'intégration d'équations semblables à la formule (9).
Supposons, pour fixer les idées, que a?, y^ z,... représentent des coordon-
nées d'une ou de plusieurs sortes. Supposons encore que l'équation (9) soit
homogène, et que, par suite, /,, /2>'--5 4? ^ s'évanouissent. Supposons enfin
que les valeurs de l'inconnue rs et de sa dérivée soient insensibles au pre-
mier instant pour des valeurs de x^y^ z,... sensiblement différentes de
zéro. Alors, en vertu de la formule (17), la valeur de rs ne sera sensible au
bout du temps t que pour des valeurs de or, y^ z,... qui vérifieront sensi-
blement les formules
(18) X H- a^ = G, j--t-ê^ = o, z -h 7^ = 0, . ...
Soient d'ailleurs
(19) a, = a,a+ b,ê + c,7 -}- ..., «2 = «^a^ + 1^2^ + ^37 +. . . ,
les valeurs de a,, aj,.-- tirées des formules (i5). L'équation
(ao) aj + a^ +...+ ai = I,
jointe aux formules (18), (19)? donnera
(21) (a^^^-b^J-^c^z...)2 4-(a2J?-+-b2Jr^-C2 3...)^-^-... + (a«JC+b„J+c„z•...)2=f=^,
et l'équation (ar) devra être vérifiée sensiblement, au bout du temps ^, par
tous les systèmes des valeurs x^y^ z,... pour lesquelles l'inconnue rs conser-
vera une valeur sensible.
Si X cessait de s'évanouir, les conclusions auxquelles nous venons de
parvenir ne subsisteraient, en général, que pour des valeurs peu considé-
rables de t.
Si la formule (9) se réduit à l'équation du mouvement des fluides élas^
tiques, la formule (17) reproduira l'intégrale connue de cette équation, et la
formule (21) sera l'équation de la surface sphérique mobile qui représentera
l'onde sonore.
( .57 i
MÉMOIRE
LES QUANTITÉS GÉOMÉTRIQUES.
T.a théorie des équivalences algébriques, à laquelle se rapporte un des
précédents Mémoires, n'est pas la seule qui puisse être utilement substituée
à la théorie des expressions imaginaires. Ou peut encore, avec avantage,
remplacer ces expressions par \ei quaîitités géométriques , dont l'emploi donne
à l'algèbre non-seulement une clarté, une précision nouvelle, mais encore
une plus grande généralité. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails.
La théorie des expressions imaginaires a été, à diverses époques, envi-
sagée sous divers points de vue. Dès l'année 1806, M. l'abbé Buée et M. Ar-
gand, en partant de cette idée que V— ï est un signe de perpendicularité,
avaient donné des expressions imaginaires une interprétation géométrique,
contre laquelle des objections spécieuses ont été proposées. Plus tard ,
M. Argand et d'autres auteurs, particulièrement MM, Français, Faure ,
Mourey, Vallès, etc., ont publié des recherches (*) qui avaient pour but
de développer ou de modifier l'interprétation dont il s'agit. Dans mon Ana-
lyse algébrique, publiée en 1821, je m'étais contenté de faire voir qu'on
peut rendre rigoureuse la théorie des expressions et des équations imagi-
naires, en considérant ces expressions et ces équations comme symboliques.
Mais, après de nouvelles et mûres réflexions, le meilleur parti à prendre
me paraît être d'abandonner entièrement l'usage du signe \j — i, et de rem-
(*) Une grande partiedes résultats de ces recherches avait été, à ce qu'il paraît, obtenue,
même avant le siècle présent et dès l'année 1786, par un savant modeste, M. Henri-Domi-
nique Truel, qui, après les avoir consignés dans divers manuscrits, lésa communiqués, vers
l'année 1810, à M. Augustin Normand, constructeur de vaisseaux au Havre.
( i58 )
placer la théorie des expressions itnaginaires par la théorie des quantités que
j'appellerai géométriques ^ en mettant à profit les idées émises et les nota-
tions proposées non-seulement par les auteurs déjà cités, mais aussi par
M. de Saint- Venant, dans un Mémoire di^jne de remarque, sur les sommes
géométriques. C'est ce que j'essayerai d'expliquer dans les paragraphes sui-
vants, qui offriront une sorte de résumé des travaux faits sur cette matière,
reproduits dans un ordre méthodique, avec des modifications utiles, sous une
forme simple ei nouvelle en quel lues points.
§ P"^. — Définitions , notations.
Menons, dans un plan fixe, et par un point fixe O pris pour origine ou
pôle, un axe polaire OX, Soient d'ailleurs r la distance de l'origine O à un
autre point A du plan fixe , et p l'angle polaire , positif ou négatif, décrit
par un rayon mobile, qui, en tournant autour de l'origine O dans un sens ou
dans un autre , passe de la position OX à la position OA.
Nous appellerons quantité géométrique, et nous désignerons par la nota-
tion Tp le rayon vecteur OA dirigé de O vers A. La longueur de ce rayon ,
représentée par la lettre r, sera nommée la valeur numérique ou le module
de la quantité géométrique r^; l'angle p, qui indique la direction du rayon
vecteur OA , sera Vargument ou ïazimut de cette même quantité. Deux
quantités géométriques seront égales entre elles, lorsqu'elles représenteront
\tt même rayon vecteur. Donc, puisqu'un tel rayon revient toujours à la
aiéme position, quand on le fait tourner autour de l'origine dans un sens ou
dans un autre, de manière que chacun de ses points décrive une ou plu-
sieurs circonférences du cercle, il esl clair que si l'on désigne par /f une
quantité entière quelconque, positive, nulle ou négative, et par Trie rapport
de la circonférence au diamètre, une équation de la forme
entraînera toujours les deux suivantes :
R = r, P — p + ikn,
et . par suite, les formules
cos P == cos p , sin P = sin p.
Enfin, nous conviendrons de mesurer les longueurs absolues sur l'axe
polaire OX, en sorte qu'on aura identiquement
( >59 )
Quant a la quantité géométrique r7r(*), elle se me.^arera aussi bien que Tq,
sur l'axe polaire OX , mais en sens inverse , et , par suite , la notation r^^ pourra
être censée représenter ce qu'on nomme, en algèbre, une quantité négative.
Cela posé, la notion de quantité géométrique comprendra, comme cas
particulier, la notion de quantité algébrique, positive ou négative, et, à plus
forte raison , la notion de quantité arithmétique ou de nombre, renfermée
elle-même, comme cas particulier, dans la notion de quantité algébrique.
Ajoutons que, pour plus de généralité, on pourra désigner encore, sous
le nom de quantité géométrique, et à l'aide de la notation /),, une longueur r
mesurée dans le plan fixe donné, à partir d'un point quelconque, mais dans
une direction qui forme avec l'axe fixe OX, ou avec un axe parallèle, Tangle
polaire/?. Alors le point à partir duquel se mesurera la longueur r, et le point
auquel elle aboutira, seront Xori^ine et \ extrémité àc. cette longueur.
§ II. — Sommes , produits et puissances entières des quantités géométriques.
Après avoir défini les quantités géométriques, il est encore nécessaire de
définir les diverses fonctions de ces quantités, spécialement leurs sommes,
leurs produits et leurs puissances entières, en choisissant des définitions qui
s'accordent avec celles que l'on admet dans le cas où il s'agit simplement de
quantités algébriques. Or, cette condition sera remplie, si l'on adopte les
conventions que nous allons indiquer.
Étant données plusieurs quantités géométriques,
r
/'
représentées en grandeur et en direction par les rayons vecteurs
OA, OA', OA% . . .
qui joignent le pôle O aux points A, A', A", . . ., concevons que l'on men
par l'extrémité A du rayon vecteur OA une droite AB égale et parallèle au
rayon vecteur OA', puis, par le point B une droite BC égale et parallèle au
rayon vecteur OA", . . .; et joignons le pôle O au dernier sommet K de la
portion de polygone OABG . . . HK construite comme on vient de le dire.
e au
(*) En général, lesnofations
représenteront deux longueurs mesurées sur la même droite, mais dans des directions
opposées.
( ï6o )
On obtiendra le dernier côté OK d'nn polygone fermé dont les premiers
côtés seront OA, AB, BG, . . ., HK. Or, ce dernier côté OK sera ce que
nous appellerons la somme des quantités géométriques données, et ce que
nous indiquerons par la juxtaposition de ces quantités, liées lune à l'autre
par le signe 4- , comme on a coutume de le faire pour une somme de quan-
tités algébriques. En conséquence, si l'on nomme R la valeur numérique du
rayon vecteur OK, etP l'angle polaire formé par ce rayon avec l'axe polaire,
on aura
(i) /?^ = r^ + r;, + r;„-h....
Observons d'ailleurs que les côtés OA, AB, BG, . . ., HK, du polygone
ABGD...HK, peuvent être censés représenter eux-mêmes les quantités
géométriques désignées par les notations r , r',, r"„ , Donc ^ pour obtenir
la somme de plusieurs quantités géométriques , il suffit de porter, l'une
après l'autre, les diverses longueurs quelles représentent, dans les direc-
tions indiquées par les divers arguments, en prenant pour origine de
chaque longueur nouvelle l'extrémité de la longueur précédente, puis de
joindre l'origine de la première longueur à l'extrémité de la dernière, par
une droite qui représentera en grandeur et en direction la somme cherchée.
Si l'on projette orthogonalement les divers côtés du polygone OABC.. . HK
sur l'axe polaire, la projection algébriqui; du dernier côté OK sera évidem-
ment la somme des projections algébriques de tous les autres, ou, ce qui
revient au même, la somme des projections algébriques des rayons vec-
teurs OA, OA', OA", .... Donc l'équation (i) entraînera la suivante :
(2) R cos P = r cos p -y- r' cos p' -h r" cos p" -\- ....
On trouvera de même , en projetant les divers côtés du polygone
OABC. . HK, non plus sur l'axe polaire, mais sur un axe fixe, perpen-
diculaire à celui-ci :
(3) R sin P = r sin p -h r' sin p' ■+- r" sin p" + • • • ■
r.es équations (2) et (3) fournissent le moyen de déterminer aisément le
module R et l'argument P de la somme de plusieurs quantités géométriques.
Si l'on considère seulement deux rayons vecteurs OA, OA', représentés en
grandeur et en direction par les quantités géométriques r*^ , r'^,, la somme
de ces dernières sera, en vertu de la définition admise, une troisième
quantité géométrique propre à représenter en grandeur et en direction la
diagonale OK du parallélogramme construit sur les rayons vecteurs donnés.
( i6i )
En d'autres termes, elle sera le troisième côté d'un triangle qui aura pour
premier côté le rayon vecteur OA, le second côté AK étant égal et parallèle
au rayon vecteur OA'. D'ailleurs, dans ce triangle, le côté OK, représenté
en grandeur par le module de la somme r + a',, sera compris entre la
somme et la différence des deux autres côtés, représentés en grandeur par
les modules r et r' . On peut donc énoncer la proposition suivante :
i" Théorème. Le module de la somme de deux quantités géométriques
est toujours compris entre la somme et la différence de leurs modules.
Il est bon d'observer que le module de la somme de deux quantités géo-
métriques f''„->r' , pourrait atteindre les limites qui lui sont assignées par le
théorème précédent, et se réduirait effectivement à la somme ou à la diffé-
rence des modules r, r', si les rayons vecteurs OA, OA' étaient dirigés sui-
vant une même droite, dans le même sens ou en sens opposés.
Le théorème i^*" entraîne évidemment le suivant :
1^ Théorème. Le module de la somme de plusieurs quantités géométriques
ne peut surpasser la somme de leurs modules.
On peut, au reste, déduire directement ce 2" théorème de cette seule
considération , que dans un polygone formé OABG . . . HK , le deinier
côté OK ne peut surpasser la somme de tous les autres.
Ce que nous nommerons \e produit de plusieurs quantités géouiétriques ,
ce sera une nouvelle quantité géométrique qui aura pour module le produit
de leurs modules, et pour argument la somme de leurs arguments. Nous
indiquerons le produit de plusieurs quantités géométriques,
à l'aide des notations que l'on emploie dans le cas où il s agit .le quantités
algébriques, par exemple, en plaçant ces quantités à la suite les unes des
autres, sans les faire précéder d'aucun signe. Cela posé, on aura, d'après la
définition énoncée,
^>^^ ''p''p'''p ^(^■^■''"•••).+.'-^."-....-
On sait que, pour multiplier par un facteur donné la somme de plu-
sieurs nombres ou de plusieurs quantités algébriques, il suffit de multiplier
chaque terme de la somme par le facteur dont il s'agit. La somme Rp de
plusieurs quantités géométriques r^,/y,... jouit de la même propriété.
Pour le prouver, il suffit de faire voir que l'équation (i) continuera de
Ex. d'An, et de Phyc, math., T IV. (41« livr.) 2 t
( i62 )
subsister, si 1 on multiplie les divers termes
^P? /' . r ,. r"„, . . .
p' p' p'^ p" ■>
par un facteur géométrique p^. Or, en premier lieu, si le module p se
réduit à l'unité, il suffira, pour effectuer la multiplication dont il s'agit,
d'ajouter l'argument sr à chacun des arguments/^,/;, p',p\.... Mais cette
opération revient à faire tourner autour de l'origine chacun des rayons
vecteurs
et, par suite, le polygone OABG . . . HK, dont la construction fournit la
valeur de /?p, en faisant décrire à chaque rayon vecteur l'angle sr; elle lais-
sera donc subsister l'équation (i), qui deviendra
(5) /?„ ^ — r , H- r', _j_ r"„ + . , . .
En secon(i lieu, on poiirra , sans altérer les directions des côtés du polygone
OABG... HK, le transformer en un polygone semblable, en faisant va-
rier ses côtés dans le rapport de i à p, et l'on pourra ainsi , de la formule (5),
déduire l'équation
qui peut être présentée sous la forme
(^) Pr.^P=-~Pr.'p-^Pr.''p-^ ••-
On peut donc énoncer la proposition suivante :
3^ 7''A6'b/'ème. Pour multiplier la somme
de plusieurs quantités géométriques r,, /y... par le facteur géométrique |&^^
il suffit de multiplier chacun des termes qui la composent par ce même fac-
teur.
Ce théorème une fois établi, on en déduit immédiatement la proposition
plus générale dont voici l'énoncé :
4^ Théorème. Le produit de plusieurs sommes de quantités géométriques
est la somme des produits partiels que l'on peut former avec les divers
termes de ces mêmes sommes, en prenant un facteur dans chacune
d'elles.
( "63)
Soit maintenant m un nombre entier quelconque. Le produit de m
facteurs égaux à la quantité géométrique r est ce que nous appellerons
la 772"^'"^ puissance de cette quantité , et ce que nous indiquerons , suivant
l'usage adopté pour les quantités algébriques , par la notation
r"\
p
Gela posé, l'équation (Zj) entraînera évidemment la formule
(7) '^; = (^"'W;
et l'on étendra sans peine aux puissances entières de quantités géométriques
les propositions connues et relatives aux puissances entières de quantités
algébriques. Ainsi, par exemple, en désignant par m, n deux nombres
entiers , on aura
(8) f.n n^^,n^.
\^' p p p ^
(9) iT;r=ç-
Ainsi encore, on conclura du 4^ théorème que la formule de Newton,
relative au développement de la puissance entière d'un binôme, subsiste
dans le cas même où ce binôme est la somme de deux quantités géo-
métriques.
Deux quantités géométriques seront dites opposées l'une à l'autre, lorsque
leur somme sera nulle, et inverses l'une de l'autre , lorsque leur produit sera
l'unité. D'après ces définitions, la quantité géométrique r^_^^ ou — r^ sera
l'opposée de r . De plus, si Ton étend les formules (7), (8) au cas même où
l'exposant m devient nul ou négatif, on aura identiquement
et la quantité géométrique r^ ' ne sera autre chose que l'inverse de r^
Pareillement, r~"' sera l'inverse de r"\ et l'on aura
(10) r--^[r'-")_^^.
Suivant fusage adopté pour les quantités algébriques, une quantité géo-
métrique pourra quelquefois être représentée par une seule lettre.
( '64 )
§ III. — Différences , quotients et racines de quantités géométriques.
Pour les quantités géométriques comme pour les quantités algébriques, la
soustraction, la division, Textractiori des racines ne seront autre chose que
les opérations inverses de l'addition , delà multiplication, de l'élévation aux
puissances. Par suite, les résultats de ces opérations inverses, désignés sous
les noms de différences, de quotients, de racines, se trouveront complètement
définis. Ainsi, en particulier,
La différence entre deux quantités géométriques sera ce qu'il faut ajou-
ter à la seconde pour obtenir la première ;
Le quotient, d'une quantité géométrique par une autre sera le facteur qui .
multiplié par la seconde, reproduit la première;
La racine n^"'"^^ d'une quantité géométrique, n étant un nombre entier
(pielconque, sera un facteur dont la n^^"^^ puissance reproduira la quantité
dont il s'agit.
De ces définitions, on déduira immédiatement les propositions suivantes :
1^*^ Théorème. Pour soustraire une quantité géométrique, il suffit d'ajouter
la quantité opposée.
-1 Théorème. Pour diviser par une quantité géométrique, il suffit de
multiplier par la quantité inverse.
fjcs différences et quotients de quantités géométriques s'indiqueront à
l'aide des notations usitées pour les quantités algébriques. Ainsi la différence
des deux quantités géométriques jRp, r , sera désignée parla notation
et le rapport ou quotient qu'on obtient en divisant la première par la se-
conde, sera exprimé par la notation
Lorsque, dans une somme ou différence de quantités géométriques,
quelques unes s évanouiront, on pourra se dispenser de les écrire. Donc, la
somme et la différence des quantités géométriques o e^ j. pourront être
représentées simplement par H- r et — / -, et l'on aura, eu égard au i^"" théo-
rème ,
+ r =r. — r = r„^.
( -65 )
Si, dans la dernière des deux formules précédentes, on pose p~o, elle
donnera
r =: —r^= — r.
Soit maintenant p^ la racine n'^""^ de r^ : l'équation
(0 Pl = 'p
donnera
et, par suite [voir le § l") ,
(2) p" = r, nzs =^ p -+- ikn,
k désignant une quantité entière, positive , nulle ou négative ; puis on en
conclura
(3) p-r", r,=L + --,
(4) 9r,=^V^)p_^'iJ^-
En vertu de la seconde des formules (3), l'angle polaire
n n
pourra être un terme quelconque de la progression arithmétique dont la
raisonserait — 5 l'un des termes étant ^- Il en résulte qu'une même quantité
géométrique r offrira n racines du degré tz, toutes comprises dans la for-
mule
(5) (r«V.^,
et représentées par des rayons vecteurs égaux, menés du pôle à n points qui
diviseront une même circonférence en parties égales, Ajoutons que, l'expres-
sion (5) reprenant exactement la même valeur, lorsqu'on fait croître ou d -
croître le rapport - d'une ou de plusieurs unités, par conséquent, lorsqu'on
fait croître ou décroître A" de n ou d'un multiple de /z, il suffira, pour ob-
tenir les diverses valeurs de cette expression, de prendre successivement
pour k les divers termes de la suite
(6) o, 1 , 2, ..., n — I.
( i66 )
Si p se réduit à zéro , et r à lunité , on aura simplement
^, = Io = ï-
Alors les diverses valeurs de l'expression (5), réduites à la forme
(7) i^,
ne seront autre chose que les racines n'^""^' de l'unité, représentées par les
divers termes de la suite
Il est bon d'observer que, parmi ces termes, deux au plus se réduiront à des
quantités algébriques, savoir ; le premier terme i^= i , et, quand n sera
pair, le terme i^ = — i, que Ton obtiendra en posant ^ = -- De plus.
comme on aura
2.{n — i)7r 27r 2 (« — 1)17 An
— ^ i_=:27r ? -^ '—z=Q.n — ^^—,
et, par conséquent.
il est clair que les diverses racines de l'unité pourront être représentées non-
seulement par les divers termes de la suite (8), mais encore, si nest impair,
par les termes de la suite
(9) i_(^^-05'-' '.il' '_!!:' '' i^^' Ï43'— ^ C"-.)^ '
et, si /z est pair , par les termes de la suite
Si, par exemple, on attribue successivement à n les valeurs
2, 3, 4? 5,...,
Qïi trouvera pour racines carrées de l'unité les deux quantités algébriques
— I , -)- I ;
( '6?)
pour racines cubiques de l unité, la seule quantité algébrique i, et les deux
quantités géométriques
3 3
pour racines quatrièmes de l'unité, les deux quantités algébriques i< — i .
et les deux quantités géométriques
1 2
liées entre elles par la formule
2 2
etc.
Si , dans l'expression (5) , on posait A: = o, cette expression , réduite à
représenterait une seule des racines «"^'"^Me r . Or, il suffira de multiplier
celle-ci par l'une des valeurs de i^/,^, c'est-à dire, par l'une quelconque
des racines /2'<^'"" de l'unité, pour reproduire l'expression (5 ), propre à re-
présenter l'une quelconque des racines /i"^'"^^ de r , attendu que l'on aura
généralement
V^V;^ ■2/t,T= U"//. 'aATT-
On peut donc énoncer la proposition suivante:
3^ Théorème. Pour obtenir les diverses racines ^^'^'"^^ d'une quantité géo-
métrique, il suffit de multiplier successivement l'une quelconque d'entre
elles par les diverses racines «'^'"^^de l'unité.
§ IV. — Fonctions entières. Équations algébriques.
Nous appelleronsyo/2C^zo« entière d'une quantité géométrique, une somme
de termes proportionnels à des puissances entières et positives de cette
quantité. Le degré de la puissance la plus élevée sera le degré de la fonc-
tion. Gela posé, si Ton désigne par z une quantité géométrique variable, et
par Z une fonction de z entière et du degrés, la forme générale de la fonc-
tion Z sera
(i) Z = fz H- ^z + cz^ -{-.,. + g-J'- * -I- hz'\
( '68 )
afb^c,...,g,k, désignant des coefficients constants, dont chacun pourra
être une quantité géométrique. Ajoutons que l'on pourra encore écrire l'é-
quation (i) comme il suit :
(2) Z == z"{h -+- gz~' + . . . + cz-"-^"" + bz-''-^*-\- az-").
Si n se réduisait à zéro , la fonction entière Z se réduirait à la constante a.
Dans toute autre hypothèse, la fonction Z sera variable avec z, et son
module deviendra infini avec le module de z. En effet , posons
z = r^, Z=Rp,
soit, de plus, h le module de la constante h, et concevons que le module r
de z vienne à croître indéfiniment; on verra décroître indéfiniment les mo-
dules de z~\ z~^, ... ,z~", et, par suite, le polynôme
h H- gz-' + .. . + az~''
s'approchera indéfiniment de la hmite h. Donc, pour de très-grandes valeurs
de r, le module de ce polynôme différera très-peu du module h de la con-
stante h, et le module R de Z , eu égard à la formule (2), différera très-peu
du module de /zz", c'est-à-dire du produit
h/-«.
Donc le module R de Z deviendra indéfiniment grand avec le module /■
de z; et à une valeur finie du module R de la fonction Z ne pourra jamais
correspondre qu'une valeur finie du module r de la variable Z.
Concevons maintenant que ion attribue à Ja variable z une valeur finie ,
puis à cette valeur finie un accroissement
dont le module p soit très-petit; et en désignant cet accroissement par Az,
nommons AZ raccroissement correspondant de la fonction Z. Pour obtenir
Z -I- AZ, il suffira de remplacer z par z -t- Ç dans le second membre de
l'équation (1), 011 chaque terme pourra étn; développé, à l'aide de la for-
mule du binôme, en une suite ordonnée selon les puissances entières et as-
cendantes de Ç. En opérant ainsi et réunissant les termes semblables, on
obtiendra le développement de Z + AZ en une suite de termes proportion-
nels aux puissances entières de Ç, d'un dej>ré inférieur ou égal à w. Si, de
cette suite, on retranche la fonction Z représentée par le terme indépendant
de Ç, on obtiendra un reste qui sera divisible algébriquement par Ç, et qui
( i69 )
représentera le développement de AZ. Nommons Ç'" la plus petite des
puissances de Ç, comprises dans ce développement. Le quotient que pro-
duira la division de AZ par Ç'", sera une fonction entière de Ç qui se ré-
duira , pour une valeur nulle de Ç, à une limite finie et différente de zéro.
Soient Un ce quotient, et tRçg> la limite dont il s'agit. On aura non-seule-
ment
mais encore
Az=«|,ç'"=(îir)|)-H™„
et pour des valeurs décroissantes de p , l'argument |J ■+■ mzs de AZ conver-
gera vers la limite ^ + mzs. Gela posé, nommons A et B les extrémités de
deux rayons vecteurs qui , partant du pôle O , soient représentés en gran-
deur et en direction par les deux quantités géométriques
Z, Z+AZ.
La longueur AB, représentée géométriquement par AZ, et numériquement
par le module Mp"", se mesurera dans une direction qui formera l'anple
1I + //2Î7 avec l'axe polaire. Si, d'ailleurs, on fait croître le module p à partir
de zéro , le point B , d'abord appliqué sur le point A , décrira un arc dont
la droite AB sera la corde; et la tangente menée à cet arc par le point A
formera, avec l'axe polaire, un angle égal non plus à la somme |!l -h m t? ,
mais à sa limite ^ + mzs. Or, évidemment, la distance OB sera plus petite
que la distance OA, si le point B est intérieur à la circonférence de cercle
décrite du pôle O comme centre avec le rayon OA; et l'on peut ajouter que
cette dernière condition sera certainement remplie, pour de très-petites
valeurs du module p , si la tangente menée par le point A à l'arc AB forme
un angle obtus avec le prolongement du rayon OA, ou, en d'autres termes,
si l'angle polaire II, déterminé par la formule
(3) n=:« + ?72Sy -P,
offre un cosinus négatif; ce qui aura lieu, par exemple, si l'on a 11 = tt.
Mais, après avoir choisi arbitrairement pour 17 un angle dont le cosinus soit
négatif, on pourra toujours satisfaire à l'équation (3) , en attribuant à zs une
valeur convenable, puisque, pour y parvenir, il suffira de prendre
(4) « = ÎI±I^.
Donc, en définitive, si le module R de Z, correspondant à une valeur finie de
Ex. d'An, et de Phys. math.. T. IV. r42« livr.) 22
( '70 )
ia variable z, n'est pas nul, on pourra modifier cette valeur de manière à
faire décroître le module R. En conséquence, la plus petite valeur que pourra
prendre le module R ne pourra différer de zéro. Mais quand R s'évanouira,
la valeur de z, d'après ce qui a été dit plus haut, devra rester finie, et,
puisqu'une telle valeur vérifiera l'équation
Z = o,
on pourra énoncer la proposition suivante :
i^"" Théorème. Soient z une quantité géométrique variable, et Z une fonc-
tion entière de z. On pourra toujours satisfaire, par une ou plusieurs valeurs
finies de z, à l'équation
(5) ' Z = o.
Une valeur finie de z, qui vérifie l'équation (5), est ce qu'on nomme une
racine de cette équation. Soit z' une telle racine, la fonction Z s'évanouira
avec la différence z — z'; et si le degré n de cette fonction surpasse l'unité ,
elle sera le produit de z — z' pour une autre fonction entière qui devra
s'évanouir à son tour pour une nouvelle valeur z" de z, et sera, en consé-
quence, divisible par z — z". En continuant ainsi, on finira par établir la
proposition suivante :
2^ Théorème. Soit z une quantité géométrique variable, et
Z = a -^ bz -^ cz"^ -^ . . . -y- gz"- * -\- hz"
une fonction entière de z du degré n. L'équation
Z=r:0
admettra n racines; et si l'on nomme
z', z",..., z^"^
ces mêmes racines , on aura identiquement, quel que soit z,
(6) ■ Z=h{z-z'){z- z")..,{z- z^''^),
en sorte que la fonction z sera le produit de la constante h par les facteurs
linéaires
z — z\ z — z", ..., z — z^^K
Il est bon d'observer que , dans le cas où l'équation (5) se vérifie, le terme
hz" de la fonction z équivaut à la somme de tous les autres, prise en signe
( ï?^ )
contraire. Donc alors le module hr" de ce terme doit être égal ou inférieur
à la somme des modules de tous les autres; et si l'on nomme b, c, ... , g, h
les modules des coefficients />, c , ..., g^, A, on doit avoir
(7) a -h br H- cr^ H- ... + gr""' — hr"= ou > o.
Or, cette dernière condition peut s'écrire comme il suit :
/n\ abc Cl
(8 -1; ^ T-T + ^ -<-••■+- — Il == O" > O-
D'ailleurs, le premier membre de la formule (8) varie, en décroissant, par
degrés insensibles, et passe de la limite 00 à la limite — h, tandis que ;
croît et varie par degrés insensibles en passant de zéro à l'infini. Donc ce
premier membre sévanouira pour une certaine valeur de r qui vérifiera
l'équation
(9) a H-brH- cr^H- ... -f- gr"-* — hr"= o;
et si l'on nomme 1 la racine positive unique de l'équation (9) , la condi-
tion (7) ou (8) donnera /"< 1. On peut donc énoncer la proposition sui-
vante :
3^ Théorème. Les mêmes choses étant admises que dans le théorème 2 ,
chacune des racines de l'équation proposée offrira un module inférieur à la
racine positive unique de l'équation auxiliaire qu'on obtient lorsqu'on rem-
place, dans la proposée, chaque terme par son module, en affectant du
signe — le terme qui renferme la plus haute puissance de l'inconnue, et
tous les autres du signe -h.
Lorsque, dans la fonction entière z, tous les termes s'évanouissent , à l'ex-
ception des termes extrêmes a et ^z", la formule (5), réduite à \ équation
binôme
(10) a -+- ^3"= o,
donne
I \ n o
(■■) ^"=-r
et ses diverses racines ne sont autres que les racines tz'^'"" du rapport — |.
§ V. — Sur la résolution des équations algébriques.
Considérons toujours une équation algébrique
(0 -Z-o,
( 1?=* )
dont le premier membre
(2) Z— a + bz+ cz^ -{-...+ gz"-* -^ hz"
soit une fonction entière de la variable
les coefficients rt, é, c,...,g, h pouvant être eux-mêmes des quantités géo-
métriques. Gomme on l'a prouvé dans le précédent paragraphe , cette équa-
tion admettra généralement n racines, c'est-à-dire que Ton pourra généra-
lement assigner à. z, n valeurs pour lesquelles la fonction Z s'évanouira.
Résoudre l'équation, c'est déterminer ces racines en commençant par l'une
quelconque d'entre elles ; et la condition à laquelle une méthode de réso-
lution devra satisfaire, sera de fournir chaque racine avec telle approxi-
mation que l'on voudra. Or le caractère d'une racine est de réduire à zéro
la fonction Z avec son module /? ; et si des valeurs successives de z corres-
pondent à des valeurs de /? qui décroissent sans cesse, en s'approchant in-
définiment de la limite zéro, ces valeurs de z formeront une série dont le
terme général convergera vers une racine de l'équation (r). Donc, pour
résoudre cette équation , il suffira de faire décroître indéfiniment le mo-
dule jR, et l'on pourra considérer comme appropriée à ce but toute méthode
qui permettra de substituer à une valeur finie quelconque de z une autre
valeur qui fournisse un module sensiblement plus petit de la fonction Z.
D'ailleurs, si, de ces deux valeurs de z, la première n'est pas nulle, on
pourra considérer la seconde comme composée de deux parties dont l'une
serait précisément la première valeur de z, à laquelle s'ajouterait une
valeur particulière d'une variable nouvelle qui aurait commencé par
être nulle. Donc on peut admettre comme méthode de résolution tout
procédé qui permet d'assigner à une variable z comprise dans une fonction
entière Z, une valeur à laquelle corresponde un module R de Z sensible-
ment inférieur au module du terme constant a, qu'on obtient en posant,,
dans cette fonction, z = o.
Cela posé, concevons que, la valeur générale de Z étant donnée par l'é-
quation (2) , on considère d'abord le cas où le coefficient b âe z diffère de
zéro. Si la variable z passe d'une valeur nulle à une valeur très-peu diffé-
rente de zéro, la fonction Z passera de la valeur a à une valeur peu diffé-
rente de a , et représentée approximativement par le binôme
a H- bz.
Si , d'ailleurs , le module de a est très-petit relativement au module de b ,
( '7^ )
l'équation (i) offrira, pour l'ordinaire, une racine très-rapprochée de zéro,
et cette racine se confondra sensiblement avec celle de l'équation binôme
(3) a -h bz =: o,
ou , ce qui revient au même, avec la quantité géométrique p déterminée
par la formule
(4) e. = -r
On pourra donc alors prendre ordinairement la quantité p^ pour valeur ap-
prochée de l'une des racines de I équation (i), et c'est en cela que consiste la
méthode d'approximation linéaire ou newtonienne. Toutefois, la valeur p
attribuée à la variable z ne pourra être admise comme valeur approchée d une
racine qu'autant qu'elle fournira un module R de Z inférieur au module de a.
Si , en posant
(5) ^ z = p^,
on obtient un module de Z supérieur au module de ^, on pourra substituer
à la valeur précédente de z une autre valeur de la forme
(6) z=r^,
r étant inférieur à p , et convenablement choisi. Effectivement , soient
a, b, c, ... , g, h
les modules des coefficients
a , b , c , ..., g , h.
Le module de
a-h bz,
(jui se réduisait à
a — bp = o
lorsqu'on prenait z = p , deviendra
(7) a — br>o,
lorsqu'on posera z = r^; alors aussi le module de la somme
cz^ -h ... -h gz"-* H- hz"
sera , en vertu du 2^ théorème du § II, égal ou inférieur à la quantité positive
cr^H- ...-|-gr«-< -hhr",
et par suite le module du polynôme
Z = a -\- bz -h cz"^ -h . . . -h gz"~* -h hz"
sera égal ou inférieur à la quantité positive
a — br 4- cr^ -h . . . + gr"- * -h hr",
( 174 )
ou, ce qui revient au même, à la différence
(8) a — r(b — cr-... — gr«-=^— hr«-').
Donc le module R de Z sera inférieur au module a de la constante a, s!
l'on détermine z à l'aide de l'équation (6), en assujettissant le module r à vé-
rifier non-seulement la condition (7), mais encore la suivante :
(9) b — cr — ... — gr"-^ — hr"~^ > o.
D'ailleurs, si l'on nomme ^ la racine positive unique de l'équation
(10) b — cr — . . . — gr"" ^ — hr"~ * = o,
il suffira, pour satisfaire simultanément aux conditions (7) et (9), que le
module r devienne inférieur au plus petit des deux nombres p et r. En con-
séquence, on peut énoncer la proposition suivante :
i^'' Théorème. Soient
Z = a -{- hz -i- cz^ -h . . . -+- ^z"- ' -+- hz"
une fonction entière de la variable z = r , et
a, b , c, . . ., g, h
les modules des coefficients
a, b, c,.. ., g, h.
Supposons, d'ailleurs, que, les coefficients a, h n'étant pas nuls, on nomme
/2 la racine de l'équation binôme
a -h hz=:: o,
et r la racine positive unique de l'équation
b — cr— . .. — gr"-^ — hr"~' = o.
Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier
terme <2, il suffira de poser p =: zs, et d'attribuer au module r de z une
valeur inférieure au plus petit des deux nombres p^t-
Nous avons ici supposé que , dans la fonction Z, le coefficient de z ne se
réduisait pas à zéro. Mais ce coefficient et d'autres encore pourraient s'é-
vanouir. Admettons cette hypothèse, ou, ce qui revient au même, suppo-
sons la fonction Z déterminée, non plus par l'équation (2), mais par une
équation de la forme
(11) Z = a + bz^ -h cz"" -^ .. . -hhz".
( >75 )
les nombres /, m,..., n formant une suite croissante. Alors, si le module
de a était très-petit relativement au module de Z», on pourrait, dans une
première approximation , réduire pour l'ordinaire l'équation algébrique
Z=:o
à l'équation binôme
(12) rt + hz^ — G.
De plus, en raisonnant comme ci-dessus, on établirait à la place du théo-
rème 1% la proposition suivante :
1^ Théorème. Soient
Z = fl -f-èz'4- ctP" -V- ... + hz"
une fonction entière de la variable z = r^ , et
a , b , c , . . . , h
les modules des coefficients
«, ^, c,..., h.
Supposons, d'ailleurs, que les nombres /, 7W, ..., n forment une suite croissante,
et que, les coefficients rt, h n'étant pas nuls , on nomme p^ l'une quelconque
des racines de l'équation binôme
(12) <2 -h èz' = 0,
et r la racine positive unique de l'équation
(i3) b — cr'"-'— ... — hr"-' = o.
Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son premier
terme <2, il suffira de poser /? == rrr, et d'attribuer au module /■ de z une va-
leur inférieure au plus petit des deux nombres p, t.
En s'appuyant sur les théorèmes i et 2 , on pourra , d'une valeur nulle dt
z, déduire une série d'autres valeurs auxquelles correspondront des valeurs
sans cesse décroissantes du module R de la fonction Z. Si ces valeurs dé-
croissantes de R s'approchent indéfiniment de zéro , les valeurs correspon-
dantes de z convergeronl vers une limite qui sera certainement une racine
de l'équation (i). Mais il peut arriver aussi que les valeurs de R successive-
ment obtenues décroissent sans s'approcher indéfiniment de zéro. C'est ce
que l'on reconnaîtra sans peine en essayant d'appliquer les théorèmes énon-
cés à la résolution d'équations très-simples, par exemple d'équations du
second degré.
( '76)
En effet, considérons le cas où, Z étant du second degré, l'on aurait
(i4j Z = a-^ bz -h cz^.
Supposons, d'ailleurs, que a, b, c étant les modules de «, è, c , on ait
ar=a, b = ~h^ c = c.
La valeur de Z deviendra
(i5) Zr=a- bz-f-cz^*;
et les racines p^, r des équations
a — bz=o, b~cr=o
seront
a b
P. = l^ r = e'
de sorte qu'on aura encore
a
" b ^
Si, d'ailleurs, p est supérieur à r , ou, ce qui revient au même, si l'on a
(i6) ac — b'*> o:
alors, pour obtenir un module de Z inférieur au module a, il suffira, en
vertu du théorème i^^, de poser
5 désignant un nombre entier inférieur à l'unité, mais qui pourra varier ar-
bitrairement entre les limites o . i ; et comme , en posant
(i8) z=6r-h^,
on trouvera
(19) Z = a'-b'Ç + cÇ%
les valeurs de a', b' étant
(20) a'= a — 5(1 — 5)br, b' = (i — 2Ô)b;
il est clair qu'à la valeur zéro de Ç, ou, ce qui revient au même, à la valeur
9t de z correspondra un module de Z, inférieur au module a, et représenté
par a'. Il y a plus : comme des formules (20), jointes à la condition (16),
on tirera
(21) a'c — b'^ > o,
( »77 )
il suffira d'appliquer le théorème i®'^ à la valeur générale de Z, que déter-
mine non plus Téquation (i5), mais lequation transformée (19), pour dé-
montrer que le module de Z décroîtra encore si la nouvelle variable Ç passe
de la valeur zéro à la valeur
c
étant déterminé par la formule
0=1 — 'iQ,
ou, ce qui revient au même, si la variable z passe de la valeur $V k \sl va-
leur Qt (i 4-0). En continuant ainsi , on reconnaîtra que, pour obtenir des
valeurs décroissantes du module de Z, il suffit de prendre pour valeurs suc-
cessives de z les divers termes de la suite
(22) o, Qt, ^r(i+0), ôr(i + + e'), etc....
Or le terme général de cette suite converge vers la limite
et comme, en supposant remplie la condition (16), on trouve, pour
— i — 1^
2 2 c '
Z = a — 7^— >7a,
4 c 4
il est clair que, dans cette hypothèse, la limite vers laquelle converge le terme
général de la série [11) ne peut être une racine de l'équation du second degré
(23) a — bz -h cz* — o.
On arriverait aux mêmes conclusions en formant la série des valeurs déciois-
santes du module R de Z, qui correspondraient aux valeurs successives de
la variable s, et l'on reconnaîtrait ainsi que le terme général de cette nou-
velle série , au lieu de s'approcher indéfiniment de zéro , converge vers la limite
a _ ( I — 5) rb (i + 0= -^ 0* -h . . . ) = a — -^^^4^ br =a — 7 br?
V ' '- 1 — 0' 4
par conséquent vers la limite a — -^ — , supérieure à -? a.
La limite vers laquelle converge le terme général de la série (22) n'étant
pas une racine de l'équation (21), on pourrait être tenté de regarder le cal-
cul de cette limite comme inutile à la résolution de cette équation. Mais
Ex. d'An, et de Phfs. math., T. lV.(42Mivr.) ^3
( ^78 )
cebtte opinion serait une eneui-; earsil'on déconapose la variable zen deux par-
ties dont la première soit la limite trouvée, ou , en d'antres termes, si l'on pos*'
il suffira de substituer à la variable z la nouvelle variable Ç, pour réduire
1 équation (^3) à lequation binôme
(24) a'-h cÇ2 _ Q^
la valeur a' étant
I b^
a' = a — 7 —
D'ailleurs, les deux racines de l'équation (24) ne sont autres que les deux
racines carrées du rapport
Généralement, si, au lieu d'une équation du second degré, on considère
une équation de degré quelconque, la série des valeurs de z, successivement
déduites des règles que nous avons énoncées, et correspondantes à des va-
leurs décroissantes du module i? de Z, pourra converger vers une limite
qui, n'étant pas une racine de l'équation donnée, ne fasse pas évanouir le -
module R. Mais alors il' suffira d'attribuer à cette limite un accroissement
représenté par une nouvelle variable Ç; puis de substituer Ç kz, pour ob-
tenir, à la place de l'équation donnée, une équation transformée, de la-
quelle on pourra déduire, par l'application des mêmes règles, une nouvelle
série de valeurs de Ç , et par conséquent une nouvelle série de valeurs de 2,
correspondantes à de nouvelles valeurs décroissantes du module i?.
En continuant de la sorte, c'est-à-dire en déduisant, s'il est nécessaire,
des règles énoncées plusieurs séries de valeurs de z, en déterminant d'ailleurs
avec une approximation suffisante les limites vers lesquelles convergent les
termes généraux de ces séries , et en transformant l'équation donnée par
l'introduction de variables nouvelles qui, ajoutées à ces limites, repro-
duisent la variables, on pourra non-seulement diminuer sans cesse, mais
encore rapprocher indéfiniment de zéro le module /?; par conséquent, on
finira par résoudre l'équation donnée avec une approximation aussi grande
que l'on voudra. Il y a plus : cette méthode de résolution peut encore servir
à démontrer l'existence des racines. Lorsqu'on veut l'employer à cet usage,
il n'est i)as absolument nécessaire de considérer les équations auxiliaires (3;
et (10), ou (12) et (i3); il suffit d'observer que l'on satisfait aux conditions
requises, par exemple aux conditions (7) et (9), en attribuant au module v
( '79)
de z une valeur infiniment petite: et l'on se trouve amsi ramené au tbéo-
iième i^^ du § IV, par une démonstration qui est précisément celle qu'en
a donnée M. Argand dans un article que renferme le IV^ volume des yàn-
nales de M. Gergonne, pages i3) et suivantes (*). C'est encore à cette dé-
monstration que se réduit celle que M. liCgendre a pro|>osée pour le iiaénie
théorème dans la seconde édition de la Théorie des nombres. D'ailleurs,
M. Legendre observe qu'en diminuant continuellement le module d'une fonc-
tion entière par des opérations semblables, répétées convenablement, on
parviendra, en définitive, à une valeur de ce module aussi petite que l'on
voudra; il présente, en conséquence, ce décroissement graduel comme mé-
thode de résolution pour les éi|uations al.fjébriques, et surtout comme propre
à fournir une première valeur appiocbée d'une racine d'une tell« équation.
Mais le moyen qu'il propose pour conduire le calculateur à ce but laisse
beaucoup à désirer, et consiste à faire décroître le module de la fonction
entière Z, en attribuant à la variable z une valeur égale au produit d'un coef-
ficient très-petit par la racine de l'équation (3), ou par une racine de l'équa-
tion (12). Du reste, il n'explique pas comment on doit s'y prendre pour ob-
tenir un coefficient d'une petitesse telle , que le module Z décroisse effec-
tivement, et ne parle pas de l'équation (10) ou(i3), qui permet de répoudre
à cette question. Ajoutons que, même en ayant égard à l'équation (10) ou
(i3), et ensuivant la méthode ci-dessus tracée, on peut être exposé à un
travail long et pénible, si l'on n'a pas soin de choisir convenablement les
quantités que la méthode laisse indéterminées; par exemple, le nombre dé-
signé par 9 dans la formule (18). Supposons, pour fixer les idées, que l'équa-
tion (^3) se réduise à la suivante :
a — z -h z^= o.
Alors, le rapport -ou tétant réduit à l'unité, le n'""^ terme delà série (22) sera
ô (i -f- + 0=^ -f- . . . 0"-=^) = e '~®"" = - - -e"-\
^ ' I —0 2 2 '
et convergera, pour des valeurs croissantes de «, vers la limite-- Mais il
s'approchera très-lentement de cette limite, si l'on attribue au nombre ô une
valeur peu différente de zéro , à laquelle correspondra une valeur de peu
différente de l'unité. Donc alors on devra prolonger fort loin la série (22),
(* 1 J'ai en ce moment sous les yeux un exemplaire de l'ouvrage dont cet article offre le
résumé. Cet ouvrage , qui a pour titre : Essai sur une manière de représenter les quantités
imaginaires dans les constructions géométriques , porte la date de 1806. Le nom de l'auteur,
Robert Argand, de Genève , est écrit à la main.
23..
( '8o )
avant d'obtenir un terme sensiblement égal à cette limite ; et Ton peut ajou-
ter que les valeurs de R, correspondantes aux valeurs successives de z, dé-
croîtront très-lentement. A la vérité, dans le cas présent, on peut déterminer
directement la limite eberchée. Mais il n'en sera plus de même quand l'équa-
tion donnée sera d'un degré supérieur au second ; et généralement le calcul
des valeurs successives de z deviendra pénible , si le module R décroît très-
lentement tandis que l'on passe d'une valeur de z à la suivante ; ce qui obli-
gera le calculateur d'effectuer une longue suite d'opérations avant que ce
module devienne sensiblement nul.
On évitera ces inconvénients, ou , du moins, on les atténuera notablement
si, en appliquant à une fonction entière Z le théorème i ou 2, on attribue
à la variable z un module r qui, sans dépasser la plus petite des limites in-
diquées p et f, fasse décroître, autant qu'il sera possible, le module de Z.
D'ailleurs, lorsque, le coefficient de z dans Z étant différent de zéro, on at-
tribue à la variable z, avec l'argument zs, un module égal et inférieur au plus
petit des nombres /5, f, le module de Z ne dépasse pas la somme (8), savoir :
(8) a — r(b — cr — . . . — gr"~^ — hr"~^),
dont la valeur minimum, inférieure à a, correspond à la valeur maximum
du produit
(35) rf b - cr- ... - ^r"-' - hr«-»).
Enfin, le produit (25). dont les deux facteurs s'évanouissent, le premier
quand on pose / = o, le second quand on pose r = r, aura pour maximum
une valeur positive correspondante à une valeur t de r, qui vérifiera la
condition
Cela posé, la quantité t, inférieure à t, sera la valeur de /■ à laquelle corres-
pondra la valeur minimum de la somme ( 8) , que le module de Z ne dépassera
point si l'on a r < (S. On se trouvera donc naturellement conduit à substituer,
dans le théorème i^"", *' à f ; on pourra même réduire le module r de z à
celle des deux quantités p, t- qui fournira le plus petit module de Z; et l'on
obtiendra ainsi, pour la résolution des équations algébriques, la méthode
nouvelle et très-simple qui fera l'objet de l'article suivant.
( i8i )
MÉTHODE NOUVELLE
LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.
Soit toujours
(i) Z ■= a -^ bz-^ cz^-^ ...-{- gz"-* ■+■ hz"
une fonction entière de la variable
Comme on l'a expliqué dans le Mémoire précédent, on pourra résoudre une
équation algébrique quelconque à l'aide de tout procédé qui fournira pour
la variable z une valeur à laquelle correspondra un module R de la fonction Z,
sensiblement inférieur au module a du premier terme a.
Gela posé, considérons d'abord le cas où, la valeur de Z étant donnée par
l'équation (i), le coefficient è de z diffère de zéro. Alors une méthode de
résolution très-simple pourra évidemment se déduire du théorème que nous
allons énoncer.
i*"" Théorème. Soient
(i ) . Z= a-h bz -h cz^ -h ...-\- gz"-* -h hz"
une fonction entière de la variable z := rp., et
a, b, c,..., g, h,
les modules des coefficients
«, b, c,..., g, h.
Supposons d'ailleurs que, les coefficients « , b n'étant pas nuls, on nomme p„
la racine de l'équation binôme
(2) a -\- bz = o.
( i80
et t la valeur de r pour laquelle le produit
(3) r (b — cr — . . . — g/'"-^ — hr"-* )
devient uu niaximuTn, ou, ce qui revient au même, la racine positive
unique de Téquation
(4) h — icr — .. . —{n — i) gr"~* — whr"~' = o.
Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son pre-
mier terme a , il suffira de réduire ce module /? à la plus petite des deux
valeurs qu'on obtient quand on pose successivement
Démonstration. Lorsque, l'argument de z étant égal à ??, le module de z
est égal ou inférieur à p, le module du binôme a + bz%e réduit à la diffé-
rence
a — br;
par conséquent, le module de Z ne surpasse pas la somme
5) a — br-t- cr=*-h...-^gr"-'-|-hr".
D'autre part, le produit (3), qui croîtra en passant d'une valeur nulle à sa
valeur maximum, tandis que r croîtra depuis zéro jusqu'à ï', sera toujours
positif dans cet intervalle. Donc, pour r = ou < t, on aura
^^6) cr^ + ... + gr"-'-+- hr"< br.
Or il résulte immédiatement de cette dernière formule que, si l'on réduit le
module r au plus petit des deux nombres p, t^, la somme (5), et à plusforte
raison le module /? de Z, offriront des valeurs inférieures au module a.
])oncle plus petit des modules de Z, correspondants aux valeurs p^jt- de
s, sera certainement inférieur au module a.
Corollaire. Il est bon d'observer que, si l'on considère le produit (3;
comme fonction de r, ce produit, qui croît toujours avec r quand on fait va-
rier r entre les limites o, t,, offrira dans cet intervalle une dérivée toujours
positive. Donc, pour / < t, on aura toujours
h — 1 cr — . .. — {n — ijgr""^ — /zhr"~' > o.
( >83)
OU , ce qui revient au même,
br — a or* — ...—(« — i) g/"""* — n hr" > o;
puis on en conclura
(7) br — cr^ — ... — gr""* — hr' > cr' + ... -h (/i— 2)gr''~'-^- (« — i)hr"-
Or, en vertu de cette dernière formule, qui entraîne évidemment avec elle
la condition (6), le module a surpassera la somme (5) d'une quantité supé-
rieure au nombre a déterminé par la formule
(8) a = cr2+. ..-{-(« — a) gr''-"« + (« — i)hr«.
Donc, par suite, le module R de Z deviendra inférieur à la différence a — a,
si l'on pose z = r^ en prenant pour r le plus petit des deux nombres p , ^;
et, à plus forte raison, si l'on réduit le module /? à la plus petite des deux
valeurs qu'il acquiert quand on pose successivement z = p^ , z =z .ç^.
Ajoutions que le nombre a ne s'évanouira jamais , si ce n'est dans le cas
particulier où, les coefficients c ,... , g, h s'évanouissant tous simultanément,
le polynôme Z se trouverait réduit au binôme a H- bz. D'ailleurs, dans ce
cas particulier, l'équation algébrique Z = o se réduirait précisément à Té-
quation binôme a -\- bz= o, dont la racine est z = /5 = — j.
Considérons maintenant le cas où, dans la fonction Z, le coefficient de z
s'évanouirait; ou, ce qui revient au même, supposons cette fonction détei-
minée, non plus par la formule (i) , mais par une équation de la forme
Z =: a -h bz^ -{- cz"" H- . . . -f- Az".
Alors, au théorème i^% on pourra substituer la proposition suivante :
2* Théorème. Soient
(9) Z — a -^ bz^ + cz"" + . . . + hz'\
une fonction entière de la variable z == r , et
p '
a, b, c,. . ., h,
les modules des coefficients
a^ b , c, . . . , h.
Supposons d'ailleurs que les nombres /, m, . ., n forujent une suite ciois-
santé, et que, les coefficients a , b n'étant pas nuls, on nomme p l'une quel-
( i84 )
conque des racines de l'équation binôme
(lo) a -+- bz'~ o.
Enfin , soit t. la valeur de r, pour laquelle le produit
(il) r^b —cr"*-^ — .. . — kr"~^)
devient un maximum j ou, ce qui revient au même, la racine positive unique
de l'équation
(12) Ih — mer'""' — ... — nhr"~^ = o.
Pour rendre le module de la fonction Z inférieur au module de son pre-
mier terme a, il suffira de réduire ce module à la plus petite des deux va-
leurs qu'il obtient quand on pose successivement
Démonstration. Lorsque, l'argument de z étant égal sr, le module de z
est égal ou inférieur à p, le module du binôme a -f- bz^ se réduit à la diffé-
rence
a — br';
par conséquent, le module de Z ne surpasse pas la somme
1 3) a — hr^ -h cr'" -+-... + hr".
fj'autre part, le produit (11), qui croîtra en passant d'une valeur nulle à sa
valeur maximum, tandis que /• croîtra depuis zéro jusqu'à t^, sera toujours
positif dans cet intervalle. Donc, pour r = ou < t,, on aura
(i4) c/'"4- ... H- h/"< br^
Or il résulte immédiatement de cette dernière formule que, si l'on réduit le
module /■ au plus petit des deux nombres p-, t-, la somme (i3), et à plus
forte raison le module de Z, offriront des valeurs inférieures au module a.
Donc le plus petit des modules de Z correspondants aux valeurs p^, t^ de z,
sera certainement inférieur au module a.
Corollaire. Il est bon d'observer que, si l'on considère le produit (11)
comme une fonction de r, ce produit, qui croît toujours avec r quand on
fait varier r entre les limites o, t^, offrira dans cet intervalle une dérivée
( -85 )
toujours positive. Donc, pour r < t, on aura toujours
(i5) /br'-* — mcr'"-^ — ... — /ihr"-^ >o,
ou , ce qui revient au même ,
/ br^ — m cr'" — ... — n hr" > o ;
puis on en conclura
. (i6) br' — cr'" — ... — hr" > (y — i ) cr'" + . ..+ (^ — i jhr".
Or, en vertu de celte dernière formule, qui entraîne évidemment avec elle
la condition (i4)j le module a surpassera la somme (i3) d'une quantité su-
périeure au nombre a déterminé par la formule
(.7) a=(^-. )«•'« + . .. + (Ç-,)l».«.
Donc, par suite, le module i? de Z deviendra inférieur à la quantité a — a,
si l'on pose z = r^, en prenant pour r le plus petit des deux nombres p, x.^
et à plus forte raison si l'on réduit le module /? à la plus petite des deux va-
leurs qu'il acquiert quand on pose successivement z=: p^, z = z.^. Ajoutons
que le nombre a ne s'évanouira jamais, si ce n'est dans le cas particulier où,
les coefficients c, ..., g, h s'évauouissant tous simultanément, le polynôme Z
se trourerait réduit au binôme a -+- bzK D'ailleurs, dansée cas particulier,
1 équation Z =r o se réduirait précisément à l'équation binôme a -\- bz^=^ o ,
dont les racines se confondent avec les racioes de degré / du rapport — ^5
l'une d'elles étant .
L'application du théorème 1 ou a aux fonctions entières, qui représentent
les premiers membres d'une équation algébrique et de ses transformées
successives, fournit, pour la résolution de cette équation, une méthode et
des formules précises qui ne renferment plus de quantités indéterminées et
arbitraires, analogues au nombre Q du Mémoire précédent. A la vérité,
pour déduire de cette méthode des principes exposés dans le Mémoire
précédent, il suffit d'attribuer aux indéterminées dont il s'agit des valeurs
spéciales, en prenant, par exemple, Q = -• xMais comme ces valeurs spé-
ciales sont précisément celles qui font décroître plus rapidement le module
de la fonction entière donnée, ou, du moins, certains nombres que ce mo-
Ex. d'An, et de Phys. math., T. IV, (42^ livr.l 1^
( i86)
dule ne dépasse point , elles seront aussi généralement celles qui rendront les
approximations plus rapides.
Supposons, pour fixer les idées, que l'on applique la nouvelle méthode
à la formule (23) de la page 177, c'est-à-dire à l'équation du second
degré
a — bz -h cz'- = o ,
(m supposant toujours
On trouvera
ac — h'^ > o.
I W 5 ÎT 2 C '
puis^ en prenant
et faisant, pour abréger, a' =; a — a , on obtiendra immédiatement la trans-
formée
a' -H cÇ^ =r o ,
dont les deux racines coïncident avec les racines carrées du rapport
On retrouveradonc ainsi l'équation (24) de la page 178; et, ce qu'il importe de
remarquer , on aura été conduit à cette équation , non plus par la recherche
de la limite vers laquelle converge le terme général d'une série formée avec
des valeurs successives de la variable z, mais par la détermination d'une
seule valeur de cette même variable.
S'il arrivait que la fonction Z offrît , à la suite de son premier terme a , un
ou plusieurs autres termes dont les coefficients fussent sensiblement nuls ,
on pourrait, en se servant du théorème i ou 2 pour déterminer un module
de Z inférieur à celui de a, faire abstraction de ces mêmes termes, sauf à
constater ensuite que le module trouvé de Z, quand on a égard aux termes
omis, reste inférieur au module de a. Cette remarque permet d'employer la
nouvelle méthode à la résolution d'une équation numérique donnée, dans le
cas même où l'application rigoureuse des théorèmes i et 2 aux premiers
membres des transformées de cette équation ferait décroître très-lentement,
après un certain nombre d'opérations, les modules de ces premiers
membres.
On sait que l'on peut toujours ramener la résolution d'une équation algé-
brique au cas où cette équation n'offre pas de racines égales. D'ailleurs, lors-
qu'à l'aide de la nouvelle méthode on sera parvenu à une valeur très-appro-
chée w d'une racine simple d'une équation algébricjue
Zr= o,
( '8? )
alors, en posant
(18) z = oi-hÇ,
on transformera Z en une fonction de Ç dans laquelle le terme constant sera
:^ensiblement nul, tandis que le coefficient de Ç différera sensiblement de
zéro. Quant au coefficient de Ç", il se réduira précisément au coefficient
de z" dans la fonction Z. Donc, dans l'hypothèse admise, on trouvera
(19) Z r= a + eÇ + cÇ2 -H . . . -H ^ Ç«-2 ^ fj ç«^
a, ij, c,..., désignant de nouveaux coefficients dont le premier a offrira
un module très-petit , tandis que le module de 6 différera sensiblement de
zéro. Donc alors, en vertu du théorème i^"", il faudra, pour rendre le mo-
dule de Z inférieur au module de <t, poser
(20) rt 4- Ç = o ,
ou, ce qui revient au même,
et, par suite, la nouvelle valeur approchée de la racine simple qui différait
peu de w, sera celle que détermine la formule
(22) z=(^-^-
Ainsi la nouvelle méthode , appliquée à la résolution d'une équation algé-
brique qui noffre pas de racines égales j finira par coïncider ^ après un
certain nombre d'opérations j, avec la méthode linéaire ou newtonienne.
24..
( '88)
ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT.
La méthode que nous avons appliquée dans le Mémoire précédent à la
réduction du module d'une fonction entière de la variable z, peut subii-
une modification qu'il est bon de connaître, et que nous allons indiquer.
Soient tou joints
Z = a -]- bz -h cz^ -h . . . -h gz"~^ -h hz" = Rp
une fonction entière de la variable z= ly , et
a, b, c, ..., g, h
les modules des coefficients
a, b, c, ..., g, h.
Soit encore
a . . ,
i'- == - 1
la racine unique de l'équation linéaire « ; '
a + bz = Oj -
en sorte qu
on
ait
a
et posons
Q=^c +
... -h gz"-'' + hz"-\
On aura
C = c +
... + g^"-^+hp«-^
(0
Z =
a-h bz-h Qz\
Cela posé, lorsqu'on prendra z = r^, le module r étant égal ou inférieui-
k p, on obtiendra évidemment un module de Q égal ou inférieur à C, et,
par suite, un module de Z égal ou inférieur à la somme
(a) a — br+ Cr^
Or, la valeur minimum de cette somme, savoir,
I b=
( '89 )
est inférieure, quand b ne s'évanouit pas, au module a, et correspond à un
module t de z déterminé par la formule
-^-
Donc, si l'on a ï- < p , ou, ce qui revient au même,
il suffira de poser Ç = ^c pour obtenir un module de Z inférieur à a. Si,
au contraire , on a t > p , ou , ce qui revient au même ,
^ 2 a
il suffira de poser z = p^ pour obtenir un module de Z inférieur à
et, par conséquent, à
Ainsi, en résumé, on peut énoncer la proposition suivante :
i^'" Théorème. Soit
Z = « + es -4- cz^ 4- . . . + gz""' + hz''
une fonction entière de la variable z. Soient encore a, b, c, ..., g, h les mo-
dules des coefficients «, h^ c, ..., g, h[aet b étant supposés distincts de
zéro] , et p^ la racine unique de l'équation linéaire
a -{- bz = o ',
enfin, prenons
C = c + . . . -f- g p"~^ + h p"~^
et
Il suffira de poser Ç = p^ si l'on a p < t, , et Ç = t-„ si l'on a p > t. , pour
abaisser le module R de Z au-dessous d'une limite inférieure au module a
de a; savoir, dans le premier cas, au-dessous de la limite - a , et , dans le
r 7 2 '
second cas, au-dessous de la limite a — -r-.
4C
Il pourrait arriver qu'un ou plusieurs des coefficients b, c, ... se ré-
duisissent à zéro. Alors, à l'aide de raisonnements semblables à ceux dont
( '90 )
nous avons fait usage, on obtiendrait, à la place du théorème i*% la pro-
position suivante :
2^ Théorème. Soit
Z =: a-{-bz^ ^ cz'"' + . . . -h Az"
une fonction entière de la variable z. Soient encore a, b, c,..., h les modules
des coefficients a, ^, c, ..., ^, et p^ l'une des racines de l'équation binôme
<2 + ^2' — o ;
enfin, prenons
C =r c + . . . + h
=a
il suffira de poser z=. p^ si l'on a |5 < '6 , et z = t^' si l'on a p > t , pour
abaisser le module /? de Z au-dessous d'une limite inférieure au module a
de a, savoir, dans le premier cas , au-dessous de la limite — a (*) , et , dans
le second cas, au-dessous de la limite a bt^
Les deux théorèmes que nous venons d'établir fournissent, pour li< ré-
duction du module d'une fonction entière quelconque, et, par suite, pour
la résolution des équations de tous les degrés, une méthode facilement ap-
plicable, puisqu'en la suivant , on a seulement à résoudre des équations
linéaires ou des équations binômes. Ajoutons qu'après un certain nombre
d'opérations, cette méthode nouvelle finit toujours par coïncider avec la
méthode linéaire ou newtonienne, quand on a réduit, comme on peut
toujours le faire, l'équation proposée à n'avoir que des racines inégales
entre elles.
(*) La limite dont il s'agit se présente d'abord sous la forme Cp"; mais l'équation
b/^/MCt"»-',
jointe à la condition <^ t , donne
b/>/wCp'"-',
et, comme on a d'ailleurs
a = bp^
on tire des deux dernières formules, combinées entre elles par voie de multiplication,
a/>ffiCp'";
par conséquent.
( ^9» )
Quelques définitions généralement adoptées en Arithmétique
et en Algèbre.
Comme je l'ai remarqué dans X Analyse algébrique, quelques définitions
généralement adoptées en arithmétique et en algèbre , spécialement la dé-
finition d'un produit et la définition d'une puissance, ne peuvent être bien
comprises qu'à l'aide de développements et d'explications qui font dispa-
raître ce que ces définitions offrent, au premier abord, de vague et d'in-
déterminé. En effet, dire que, pour obtenir un produit, il faut opérer sur
le multiplicande , comme on opère sur V unité pour obtenir le multiplicateur,
c'est donner de ce produit une définition qui , pour devenir claire et pré-
cise, exige que l'on explique quelles sont les opérations à effectuer.
D'autre part, comme Euler l'a montré, l'arithmétique et l'algèbre s'ap-
puient sur deux notions fondamentales, qui se présentent naturellement a
l'esprit, dès que l'on veut comparer deux grandeurs entre elles, savoir, les
notions de rapport arithmétique et de rapport géométrique.
En effet, deux grandeurs de même espèce peuvent être comparées entre
elles sous deux points de vue différents.
La mesure de la seconde grandeur comparée à la première, est un nombre
qui représente le rapport (*) géométrique de l'une à l'autre. Uinverse de ce
nombre ou de ce rapport est la mesure de la première grandeur comparée a
la seconde. Lorsque les deux grandeurs sont égales, leur rapport direct on
inverse se réduit à Y unité de nombre.
L'augmentation ou la diminution qu'il faut faire subir à la première
grandeur pour obtenir la seconde, est une quantité positive ou négative
qui représente le rapport arithmétique de la seconde à la première. Lii
(*) Lorsque le mot rapport est employé seul, il désigne généralement, comme l'on sait,
un rapport géométrique.
( 19^ )
quantité opposée est la diminution ou l'augmentation qu'il faut faire subir
à la seconde grandeur pour obtenir la première. Lorsque deux grandeurs
sont égales, leur rapport arithmétique est une grandeur nulle, dont la mesure
est le nombre zéro.
Ces notions de rapport arithmétique et de rapport géomélrique étant
une fois admises, les quatre opérations fondamentales de l'arithmétique el
de l'algèbre, savoir, l'addition, la soustraction, la multiplication, la divi-
sion, peuvent être aisément définies en termes clairs et précis. En effet, on
peut dire que la soustraction et la division se bornent à déterminer les rap-
ports arithmétique et géométrique de deux grandeurs, V addition et la multi-
plication, à déterminer l'une des grandeurs, quand on connaît l'autre avec
le rapport arithmétique ou géométrique de l'inie à l'autre.
On peut aussi, de la notion de rapport arithmétique ou géométrique,
passer immédiatement, comme l'on sait, à celle des proportions et des
progressions, puis à la notion des puissances des nombres et de leurs
degrés ou exposants. Les définitions et les théorèmes que l'on obtient alors
étant bien connus, je me bornerai à les rappeler en peu de mots.
Une proportion arithmétique ou géométrique n'est autre chose que l'e-
galité de deux rapports arithmétiques ou géométriques.
Une progression arithmétique ou géométrique est une suite dans laquelle
le rapport arithmétique ou géométrique de chaque terme au précédent ,
se réduit à un nombre ou à une quantité constante, que l'on nomme le
rapport ou la raison de \â progression dont il s'agit.
De la définition même des progressions arithmétiques et géométriques, on
déduit immédiatement les propositions suivantes :
i^' Théorème. Dans toute progression arithmétique dont un terme se
l'éduit à zéro, le terme suivant est la raison même de la progression. De
plus, le rapport arithmétique de deux termes est encore un terme de la
progression; et, pour obtenir le rapport arithmétique d'un terme quel-
conque à l'un des termes précédents, il suffit d'ajouter la raison à elle-même
autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre des termes intermédiaires.
a* Théorème. Dans toute progression géométrique dont un terme se ré-
duit à l'unité, le terme suivant est la raison même de la progression. De
plus, le rapport géométrique de deux termes est encore lui terme de la
progression ; et , pour obtenir le rapport géométrique d'un terme quel- .
conque à l'nn des termes précédents, il suffit de multiplier la raison par
elle-même autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre des termes inter-
médiaires.
( '9^ )
De ces deux théorèmes, on lire encore le suivant.
3^ Théorème. Étant données inie progression arithmétique dont un terme
se réduit à zéro, et une progression géométrique dont un terme se réduit
à l'unité, si l'on fait correspondre aux termes de l'une les termes de l'autre,
de telle sorte qu'au terme zéro de la progression arithmétique, corresponde
Je terme i de la progression géométrique, alors le rapport arithmétique
entre deux termes de la progression arithmétique et le rapport géomé-
trique entre les deux termes correspondants de la progression géométrique,
seront deux nouveaux termes qui appartiendront respectivement aux deux
progressions indéfiniment j^rolougées, et qui correspondront encore l'un à
l'autre.
Concevons, en particulier, que, la raison de la progression arithmétique
étant réduite à l'unité, la raison de la progression géométrique soit luie
quantité positive représentée par la lettre a. Les divers termes de la pro-
gression arithmétique se réduiront aux quantités entières
(0 •.., -3, - 2, - 1, o, I, 2, 3, ...,
et les termes correspondants de la progression géométrique seront
N l l l
\'i-) ..., —■> — r ~? 1, A, AA, AAA, ....
Mors aussi, n étant l'un quelconque des termes de la progression arithmé-
tique, le terme correspondant de la progression géométrique sera ce que
l'on nomme {^puissance entière de a, du <iegre marqué par VcœposnTit n,
et ce que l'on désigne parla notation a". Cela posé, on aura non-seulemeni
(3) A-=i,
mais encore
(4) •••, a' = A, a'^— AA, A^ = AAA, ....
et
Kn vertu des formules (4) et (5), si n est positif et représente en consé-
quence un nombre entier, la Ji'^'"^ puissance de a, représentée par la nota-
tion A", ne sera autre chose que le produit de n facteurs égaux à a, et l'on
aura, de plus.
Ajoutons que, si /«, n représentent deux quantités entières quelconques,
Ex. dAn. ei de Phys. math.. T. IV. ('i2« livr ) iS
on iuira, en vertu du troisième théorème,
Donc le rapport géométrique de deux puissances entières de a est encore
une puissance entière dont l'exposant se réduit au rapport arithmétique
des exposants des deux premières.
Supposons îiîaintenant que, n étant un nombre entier quelconque, on
choisisse le nombre a de manière à vérifier l'équation
(7) a" = A;
alors a sera ce que l'on nomme la racine n'""" de A, et ce que Fou repiV-
sente pai- la notation \f\. Posons d'ailleurs, pour abréger,
et concevons qu'aux progressions (i), (a) on substitue les suivantes :
(8, ..., —3a, —2a, —a, o, a, 2 a, 3a, ...,
(9) ..., .'r-% a-% a-', i, a, a% a% ....
T. es termes
(^,()| _ ^jurx, — ^not, — na, a, «a, in a, 3^1 a. ...
de la progression (8) se réduiront évidemment à ceux qui composent la
progression (1), et les termes correspondants de la progression (9) à ceux
qui composent la progression (2), c'est-à-dire aux puissances entières de a.
On a été conduit, par cette remarque, à généraliser la notion des puis-
sances des nombres, en l'étendant au cas où les degrés de ces puissances
cessent d'être des quantités entières ; et à dire qu'un terme quelconque de
la progression (9) est la puissance de a du degré marqué par le terme cor-
respondant de la progression (8). D'ailleurs, v étant un terme quelconque
de la progression (8), on est convenu d'indiquer encore, a l'aide de hi
notation A% la puissance de a du degré marqué par l'exposant v. Cela posé,
comme l'exposant de a dans un terme de la progression (9) est le produit
du terme correspondant de la progression (8), par le nombre entier « = -'
on aura toujours
( '95 )
Ou trouvera, par exemple, en posant v = -^
(la) A" = a = v/a '
j)uis, en désignant par ni un entier quelconque, distinct de n,
(.3) A^' = a- = (vi^r,
et
(l4) A " =a "^r=- =-^.
Ainsi, les puissances de A, des degrés marqués par les exposants -■>—■, — —
ne seront autre chose que la racine w"^'"^ de A, la m'^'"^ puissance de cette
racine, et le nombre inverse de cette puissance. De plus, a"* étant le pro-
<luit de n facteurs égaux à a, il est clair que a'"" représentera le produit
de mn facteurs égaux à a, par conséquent le produit de m facteurs égaux
à a" = A, ou bien encore le produit de n facteurs égaux à a'" = a". Donc,
pai; suite, on aura
l'S) ^ (.^T = .V":
donc, si l'on pose
(16) B ~ A" '
on aura encore
(17) v," = M",
en sorte que les équations (16), (17) fourniront toujours la même valeur
pour le nombre B. Enfin, en désignant par ^y,, y deux quelconques da^
termes de la progression (8), on aura, en vertu du troisième théorème
ou, ce qui revient au même,
(18) ^="^'""^-
Comme on peut, sans changer la valeur d'une fraction, multiplier ses
25..
f .96 )
deux termes par un même facteur, il eu résulte qu'un nombre fraction-
naire quelconque p. peut être présenté sous diverses formes. Mais on
démontre aisément qu'à ces diverses formes répond une seule valeur de a"-
En effet, soient m, n les nombres entiers dont le rapport géométrique —
repi'ésente le nombre fractionnaire [X réduit à sa plus simple expression.
T.es fractions équivalentes au rapport — seront de la forme —-, k pouvant
èlie un nombre entier quelconque. D'ailleurs, si l'on pose
m
It = A",
on en conclura, conune ci-dessus,
Iî« = A'",
puis, en élevant les deux membres à la puissance entière du degré k.
R*^" =r A-*'"
ou, ce qui revient au même,
On aura donc
('9) A.^= A^'
Ajoutons que tle l'équation (19) on tirera.
ou, ce qui revient au même,
_ km __ m
{10) -j;; ^ ^ n--
Or, il suit immédiatement des formules (19) et (20), qu'à un exposant'
fractionnaire fx, positif ou même négatif, correspond toujours une
seule valeur de a". Ajoutons qu'en vertu de la formule (18), le rapport
géninctrique de deux puissances fractionnaires de A est encore une puis-
sance fractionnaire dont l'exposant se réduit au rapport arithmétique des
exposants des deux premières.
Il suit évidemment de la formule (7), que la raison A de la progres-
sion (a), et la raison a de la progression (9), sont toutes deux supérieures
ou toutes deux inférieures à l'unité. Les deux progressions sont croissantes
( 197 )
dans le premier cas, décroissantes dans le second; par conséquent, les
puissances entières et fractionnaires d'un nombre donné a croissent ou
décroissent pour des valeurs croissantes de VeœposaTit, suivant que ce
nombre est supérieur ou inférieur à Vunité.
Concevons maintenant que, dans la formule (7), le nombre n devienne
de plus en plus grand. Il est aisé de voir que la valeur de a, déterminée
par cette formule, s'approchera indéfiniment de l'unité.
En effet, il suit de cette formule même, i** que les deux nombres a,. a
seront tous deux supérieurs ou tous deux inférieurs à l'unité; 2° que l'on
aura
(21) — — = --^ = I -f- a + a- + . . . + a"~^
De plus, ou tirera de la formule (21), i°en supposant a > i, et, par suite,
a> I,
(22) ^>";
})ar conséquent ,
et
(2^) a < I -\-tlZl,
^ ' n
2" en supposant a < i, et, par suite, a •< i,
(24) fE-a<"'
|)ar conséquent ,
, _ a > '~~^- ,
n
et
(25) a < I - l-r_^
Or, il résulte évidemment de la formule (23) ou (2 5), que le nombre a
s'approchera indéfiniment de l'unité, si , en attribuant au nombre a une
valeur constante, on fait croître indéfiniment le nombre entier n.
Soit maintenant b un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, ou
même irrationnel. Si ce nombre n'est pas un des termes de la piogres-
sion (9), il sera du moins compris entre deux termes consécutifs
( 198 )
que l'on pourra aussi présenter sous les formes
el qui pourront être censés exprimer deux valeurs approchées du nombre b.
D'ailleurs, n venant à croître indéfiniment, le rapport
et, a plus forte raison, le rapport
b _ b
se rapprocheront indéfiniment de l'unité. Donc alors a'"' convergera vers
une limite égale à b. Mais, si l'on appelle p. la limite vers laquelle conver-
«era, dans la même hypothèse, le produit Xa, on devra naturellement re-
présenter, par la notation a''', la limite vers laquelle convergera la puissance
fractionnaire a'". Donc, en adoptant cette dernière convention, on aura
b = a\
(3n pourra donc alors représenter un nombre quelconque b par une ex-
pression de la forme A*", ij. étant une quantité positive ou négative, en-
tière ou fractionnaire, ou même irrationnelle. Ajoutons que, si la valeur
luimérique de p. est irrationnelle, la progression (9) ne renfermera jamais
le nombre b ou a'', mais seulement des valeurs approchées de ce nombre.
Dans le même cas, a" sera ce qu'on nomme une puissance irrationnelle
de A. Le degré ou Y exposant de cette puissance sera la quantité irration-
nelle p..
Remarquons, enfin, que l'équation (18), qui subsiste pour des valeurs
fractionnaires quelconques des exposants |ul et v, continuera nécessairement
de subsister, si ces exposants, après s'être approchés indéfiniment de cer-
taines limites irratioimelles , atteignent ces mêmes limites. On peut donc
étendre la formule
(,6) 7 = *"""
au cas où les exposants m,, v deviennent irrationnels, et. en conséquence,
on peut énoncer la proposition suivante.
4^ Théorème. Le rapport géométrique entre deux puissances quelcon-
ques d'un nombre donné a est encore une puissance de a dont l'exposant se
réduit au rapport arithmétique des exposants des deux premières.
( '99 )
I /équation (26) peut encore être présentée sous une autre forme, qu'il
est bon de rappeler, et qu'on obtient en exprimant la différence 11 — v par
une seule lettre. En effet, si l'on pose
(x — V = ac,
et si d'ailleurs on substitue à la lettre v la lettre^, on aura p, = x + j^,
et l'équation (26) réduite à la formule
donnera
(27) A^-^^' = A^A>.
Alors aussi, à la place du quatrième théorème, ou en obtiendra un autie
qui, au fond, sera le même, et s'énoncera comme il suit.
5^ Théorème. Le produit de deux puissances quelconques d'un nombre
donné a est encore une puissance de a qui a pour exposant le produit des
deux premières.
Le théorème 4 ou 5 exprime la propriété la plus remarquable des puis-
sances d'un nombre, et même cette propriété suffit pour les caractériser, en
sorte qu'on peut énoncer la proposition suivante.
6^ Théorème. Supposons que, x étant une quantité quelconque posi-
tive ou négative, on se serve de la notation [oc] pour désigner une autre
quantité qui varie avec a: par degrés insensibles. Si l'on a. pour des valeurs
quelconques des quantités jc , j,
on aura aussi
^(29) M = bY-
Démonstration. On tirera successivement de la formule (5), en désignant
par^, j-, z,..., w, i', IV, des quantités quelconques
[•^1 [j] [^] = [^+7] [z] = [.r 4- j ^ z],
et, généralement.
^^] [ j] [2] •••["] H [h-] = [^ -+- r + z -4- ... + « -f- ^. + w..];
puis, en désignant par n le nombre des quantités x, j, z, .... u, v, w, et
supposant toutes ces quantités égales entre elles,
(3o) [^pz^j^^^j
( 200 )
D'ailleurs, on tirera de l'équation (3o), i^ en posani jc =: i ,
(30 [«] = [■]";
-2° en posant x = - :
et , par conséquent ,
(3^) [i] =[']";
3° en désignant par m un nombre entier distinct de n . et posant ^ = — ,
par conséquent , eu égard à la formule (Sa),
(33) [i]=[']"^
puis, en faisant varier la fraction ^ de manière à ce qu'elle s approche in-
définiment d'un nombre donné v, on tirera de la formule (33),
(34) i>] = [ir-
On trouvera, en particulier, en posant v = o, dans la formule (34),
(35) [o] = ,.
Knfin, en posant dans la formule (28)
X = y, y r=. — V,
on en tirera
[r] [-,■] = ,;
jiar conséquent,
(36) [-.] = ^^ = jij, = [,r-;
et il résulte évidemment des formules (34), (36), que si Ton attribue à oc
line valeur réelle quelconque rt v, on aura
\oc] = \iY.
( 20I )
Quelques Théorèmes concernant les moyennes arkhmétiques
et géométriques, les progressions, etc.
§ I. — Notions relatives aux moyennes arithmétiques et ^éom€tri<iues.
La moyenne arithmétique entre n quantités données est la «"''"'' partie de
leur somme.
La moyenne géométrique entre ti nombres donnés est la 7z'""<^ racine de
leur produit.
D'autre part, la somme de n quantités est évidemment comprise entre les
produits qu'on obtient quand on multiplie par n la plus petite et la plus
grande de ces quantités.
Pareillement, le produit de n nombres est compris entre les ji'^'"^^ puis-
sances du plus petit el du plus grand de ces nombres.
Donc, par suite, la moyenne arithmétique entre plusieurs quantités est
toujours renfermée entre la plus petite et la plus grande de ces quantités.
Pareillement, la moyenne géométrique entre plusieurs nombres est toujours
renfermée entre le plus petit et le plus grand de ces nombres.
En partant de ces principes, on établira divers théorèmes d'algèbre qui
seront successivement énoncés dans les paragraphes suivants.
§ II. — Sur les progressions géonictriqwi'i, et sur les moyennes arithmétiques entra
leurs termes.
Considérons d'abord mie progression géométrique dont le premier terme
soit l'unité, et dont la raison r soit une quantité positive quelconque. Les
divers termes, dont nous supposerons le nombre représenté par la lettre /^
seront respectivement
I, r, r%..., r"-*:
Ex. d'An, et de Ph, math., T. IV. (43e Uvr.) l6
( 20a )
«f, si l'on désigne pai- s„ la somme de ces termes, on aui'a
, = i -h r -h r-
D'aillenrs, le plus petit et le plus grand des termes dont il s'agit seront les
deux termes extrêmes
Donc, eiî vertu des principes exposés dans le § I^'", la sonnne S^ sera com-
prise entre les produits qu'on obtient, quand on multiplie ces deux termes
\rAvn, et l'on pourra énoncer la proposition suivante :
j^' Thcorcme. La somme
«les 7/ termes de la progression géométrique
i, r, r%..., /"-'
est com])rise entre les limites
Ji et nr"~\
iNoiJS avons ici supposé que le premier terme de la pjogression géomé-
trique donnée était l'unité. Supposons maintenant que ce premier terme
soit une quantité quelconque k, la raison étant toujours positive et repré-
sentée pai- r. Les divers termes de la progression deviendront
k, kr, kr',..., kr"-' ,
ei ienr sonu7ie (jue je représenterai par Sn sera évidemment égale à ks„.
E'Ûe Stra donc comprise entre les limites «A , nkr"~* , et à la place du i^* théo-
rème, on obtiendra la proposition suivante :
a'' Théorème, r étant un nomlire quelconque, et k uiw quantité quel-
conque {)ositive ou négative, la somme
I — r
des H termes de la progression géométrique
k, /-r, kr%..., At"-',
est comprise entre les limites
nk, rikr""* .
Si Ion divise la somme S„ des termes de la progression géométrique don-
( ^o3 )
née par leur nombre /i, on obtiendra la nio)('nne aritlnnétique entre ce?
îiiémes termes. En vertu du deuxième théorème, cette moyenne arithmé-
tique, que je désignerai par /?„, et que détermine la formule
sera comprise entre les deux termes extrêmes
de la progression géométrique. Si l'on suppose, en ])articidiei-, k = i , i
aura iS'^ = s,^ , par conséc[uent,
on, ce qui revient au même,
j> 1 + r + /■- H- . . . -f- r"-' I I — /■"
»
et la quantité /?„, c'est-à-dire la moyenne arithmétique entre les divers
termes de la progression géométrique
I, /•, r^,..., /■"-',
sera comprise entre les termes extrêmes
I, r'^-'.
La moyenne arithmétique/^,,, déterminée par la formule ^i> , possède
encore une propriété remarquable dont l'énoncé fournit le théorème siii-
\ant :
3^ Théorème. Si le nombre entier n vient à croiho, la moNcnne arith-
métique
entre les divers termes de la progression géométrique
croîtra ou décroîtra suivant que la raison /■ sera supéi-ieure ou inférieure it
l'unité.
Démonslration. Soit
m =z 71-+- l
un nombre entier supérieur à n, en sorte que / soif positif. On aur^t non-
seulement
mais encore
( '-^04 )
OU, ce qui revient au même,
li . —
•I +r-4-/-'+ .
.- + -
r"—
ri
1 -h r-^ r- -{-. .
. +/•
/.+/-!
par conséquent,
OU, ce qui revient au même,
!a valeur de d étant
(4"). A==-+^'"^---+^'~' -1-iir:!-
Or, .l'unité étant inférieure aux puissances positives et supérieure aux
puissances négatives de r, quand on a r > i, il est clair que, dans cette
liypothèse, les deux moyennes arithmétiques dont la [différence équivaut
à A en vertu de la formule (4), seront, la première supérieure, la seconde
inférieure à l'unité. On aura donc alors
A > o, et, par suite, R,,^^ > B„.
x\Iais le contraire aura lieu, si l'on suppose / < i, et, dans ce dernier cas.
les formules (4) et (3) donnent
A < o, par conséquent, R„+i < R„.
§lU.~Su/ les progressions orithmétiques, et sur les moyennes géométriques antre leurs termes.
Considérons maintenant une progression arithmétique dont tous les
lermes soient positifs. Si l'on nomme a le premier terme, b la raison, n le
nombre des termes, ceux-ci seront respectivement
a, a+b,..., a+{n-i)b, « + (« - 1) /;•
et, en nommant P„ le produit de tous ces termes, on aura
(i) P„ = a{a-h- b)...[a+(7t- 2)/;] [a -h (n - i)b].
( 205 )
D'ailleurs le plus petit et le plus grand des termes dont il s'agit seront les
deux termes extrêmes
<7, a -h (7/ — i)^.
Donc, en vertu des principes exposés dans le § P', le produit P,, sera com-
pris entre les 71'*'"^^ puissances de ces deux termes, et l'on pourra énoncer
la proposition suivante :
1" Théorème. Le produit P„ des n termes de la progression arithmétique
a, a -h h. ... ^ a -h {71 ~ ^) b, a -\- [n — \)h,
supposés tous positifs, est compris entre les limites
rt", [<2+ {n — i)^l".
Au reste, on peut obtenir deux limites plus rapprochées qui com|)rennent
entre elles le produit P„ en suivant la marche que je vais indiquer.
Je remarquerai d'abord que, si l'on désigne la somme de deux nombres
par k, et leur différence par / , ces deux nombres auront pour valeurs res-
pectives les deux expressions
X- + / /î _ /
1 1
et poui- produit l'expression
k' ~ r-
qui décroît sans cesse pour des valeurs croissantes de /. Ce produit sera
donc inférieur ou tout au plus égal à ( - | , c'est-à-dire au carré de la demi-
somme des deux nombres, et deviendra le plus petit possible, quand la
différence / sera la plus grande possible.
Cela posé, concevons que l'on multiplie le produit P„ par lui-même,
après avoir renversé l'ordre des facteurs. Le carré PI ainsi obtenu pourra
être considéré comme le produit de n facteurs, dont chacun serait fourni
par la multiplication de deux termes placés à égales distances des extrêmes
dans la progression
û, a-{-b,..., a-^r{n — i)b, a-h(ji~i)b,
c'est-à-dire par la multiplication de deux termes de la forme
a -h mb, a H- [?i — m — i) b,
m étant un nombre entier égal ou inférieur à n. D'ailleurs, d'après la re-
( 206 )
marque faite tout à l'heure, le produit de deux semblables termes sera tou-
jours inférieur au carré de leur demi-somme
et toujours égal ou supérieur au produit des termes extrêmes
«, ^ + [n — i)b.
Donc, par suite, PI sera compris entre les limites inférieure et supérieure
n" [a + (/z — r ) h]\ ia -v "-^^- h ] ■
et le produit P„ lui-même entre les racines carrées de ces limites. On |)ourra
donc énoncer encore la proposition suivante :
9.^ Théorème. Le produit P„ des termes de la progression aritlunétiqiie
supposés tous positifs, est compris entre les limites inférieure et supéiieiue
Corollaire i*"". Si l'on suppose a et /; réduits à l'unité, on concliua du
deuxième théorème que le produit
I . 2.3 . . .71
est compris entre les limites inférieure et supérieure
Corollaire i^. Si l'on suppose
« = I et /? = r
///
m étant lui nombre entier égal ou supérieui- à n , on concluia du deuxième
théorème que le produit
est compris entre les limites inférieure et svq)érie
( ^o? )
On aura donc
w ('-^)0-i^)-(-^)>('~~0'
D'autre part, si l'on pose
// — I
m
Il étant égal ou inférieur km, le nombre r sera inférieur à l'unité. On aura,
])ar suite, en vertu du théorème i^'' du § II,
^-^^ — = ou < n ,
I — r
ou même, si n est un nombre pair,
(3) —7= "" <5-
Il y a plus : si n est un nombre impair supérieiu' à l'unité, on aura néces-
sairement Aï > 2 , et le troisième théorème du § II donnera, poiu' r < i ,
par conséquent ,
; — r" n
±
puis, en remplaçant dans cette dernière formule r par r^, on trou\era
Donc, si n désigne l'un quelconque des nombres entiers supérieius à l'unité,
la formule (3), que l'on peut encore écrire comme il suit,
(4) * r^= ou >i— -(i — /•)
subsistera généralement pour r < i . Elle subsistera donc alors poui-
de sorte qu'on aura
n[it~\)
ou > I— -^ -•
( 208 )
Oi', des formules ( 2) et ( 5) réunies, on déduit immédiatement la proposition
suivante.
3* Théorème, m, n étant deux nombres entiers dont le second n sur-
passe l'unité, en demeurant inférieur à 772 + i , le produit
\ "i ) \ fnj \ m '
des n termes de la progression arithmétique
' m ni m
ne pourra s'abaisser au-dessous de la limite inférieure
n(n-i)
1 : -■;
2. m
qn'ii atteindra seulement dans le cas particulier ou l'on aura 11 = 1.
Si l'on extrait la racine «"^'"^ du produit P„ déterminé par la formide (1)
on obtiendra la moyenne géométrique entre les divers termes de la pro-
gression arithmétique
a a -h b, . . . , a-{-{n—i)b, a'^[n~\)b.
En nommant /^„ cette moyenne géométrique, on déduira inunédialemeiit
du théorème 2 la proposition suivante :
4^ Théorème. La moyenne géométrique
A^ ■= [a [a -r- b . . . [a + (fi — i ; b)]"
entre les termes de la progression arithmétique
a, a-hb,..., a-h{n — 2)b, a-+-[n—i)h,
supposés tous positifs, est comprise entre les limites inférieure et supérieure
X 1.
a- [a -h {n ~ 1) b]^ , a ~\ — b.
Si l'on suppose a et b réduits à l'unité, alors, à la place du quatiième
fhéorème, on obtiendra la proposition suivante :
5'' Théorème. La. moyenne géométrique
!i.2.3...?z]«
entre les nombres entiers
1 . 9. 3, . . . , «
( 209 )
est comprise entre les limites inférieure et supérieure
§ IV- — Conséquences diverses des principes établis dans les paragraphes précédents.
On peut, des principes établis dans les paragraphes précédents, déduire
diverses conséquences qui méritent d'être remarquées, \insi, en particuliej',
si, en désignant par r un nombre quelconque, tt par /z un noml)re entier,
l'on pose
n I — r
si, d'ailleurs, on nomme m un autre entier inférieur à n, alors, en verlu
du troisième théorème du § il, on aura, pour /" < i .
Bn < R,n .
OU, ce qui revient au même,
et, pour A' > I ,
Ru > B,rn
OU
ce qui revient au même.
K
i^>'-
Clomm
e on aura d'ailleurs, dans l'un ou l'autre cas,
R,„ n I -
on devra conclure que, si n surpasse m, on aura, pour / < i
(0 -~<-
1 — r'" ^ m
et, pour /" > r,
Si, maintenant, on remplace, dans les formules (i) et (2;, r par /'", ceslm-
nuiles seront réduites, la première à
(3) ~T<~-r
Fx, dAn a. di: Phjc. maih., T [V. (43« livr.)
( IlO ).
la seconde à
(4) '-r£T>^-
Enfin rien n'empêchera de concevoir que, dans la formule (3) on (4), la
fraction —, devenue variable, s'approche indéfiniment d'un certain nombr<'
V rationnel ou irrationnel, mais supérieur à l'unité, et alors, en remplaçant
~ par V, on trouvera encore, pour /' < i ,
(5) ^<v,
et, pour /' > T,
(6) L£_i>v.
\joutons ([ue, si l'on renipiace /' par -, on tirera, i" de la formule (5),
pour - < I, /' > I ,
(7) ^,'<'^'-'";
i"" de la fornude (6), pour - > i , / < i -
(8) "tEt >'^ '"'"'•
Or il suit évidemment des formules (5) et (8), ou (6) et 7). que le rap|)orl
sera toujours compris entre les limites
V et V /'•' - ' ,
si le nombre v est supérieur à l'unité.
Au reste, en raisonnant toujours de la même manière, on aniveraU
encore aux mêmes conclusions, si la fraction - et la limite v de cette frac-
lion étaient supposées non phis supérieures, mais inférieures a l'unité.
Seulement alors, le théorème 3 du § II donnerait, pour r<i,
Bn > B,„ .
pour /' > I ,
( 211 )
ef , par suite, dans les diverses formules obtenues, on devrait remplacer le
signe < par le signe >, et réciproquement.
Cela posé, on pourra énoncer la proposition suivante :
i*""" Théorème, r et v étant deux nombres quelconques, le rapport
sera compris entre les limites
V et vr---'.
("concevons maintenant que, cT, j" étant des nombres distincts, on pose
ou eu conclura
et Ton aura, par suite.
>• — jr = /' — i)x, j' — ar =: {n — \ }X\
Donc, eu égard au premier théorème, le rapport
sera compris entre les limites
dont la seconde coïncide avec le produit vf—^ ; et l'on pourra énoncer
la proposition suivante ;
2^ Théorème, x. j^ v étant trois nombres quelconques, le rapport
sera toujoius compris entre les limites
Si, en désignant par Ax un accroissement attribué à la variable x, et
par A(a7-') l'accroissement correspondant de x\ on pose
y =z X -^- Ax,
ou aiii'a
j' — X' H- A(jr,),
et , par suite,
y — x" a(x'-')
( aI-2 )
puis, en faisant conveiger A j: vers la limite zéro, on conclura du deuxième
théorème que la limite du ra})port aux différences -^^ est le produit vx"-'.
D'ailleurs cette limite est précisément ce qu'on nomme le rapport différen-
tiel de X'' à .r, ou la dérivée de X" différentié par rapport à ^, et ce que
l'on désigne par Ja notation
, ' OU V>j,{x' .
\insi l'oji peut, du deuxième théorème, déduire immédiatement la formula
(9) Sê^ — ^^-^^"^') ^ '^^''-'',
de laquelle oij tire
( I o ; d' X \) = 'jx'—' da\
liéciproquemeut, de la formule (10), supposée connue, on pourrait re\enir
au second théorème, en s'appuyant sur une proposition énoncée dans le
deuxième volume de cet ouvrage. En effet, si, en attribuant à x une valeui'
constante, on fait variei* j" a partir de j' = x, les diffei^ences
seront deux grandeurs coexistantes qui s'évanouiront simultanément ; et
leur rapport différentiel, représenté par la notation
dy
se confondra, en vertu de la formule (9), a^ec le j)roduit v j^'~'. Or ce pro-
duit, qui se réduira simplement à v.r^-^ ffuand on posera j -=1 x ,
croîti-a ou décroîtra sans cesse, tandis que Ton fei'a croître la valeur juuné-
rique de la différence r — x. Donc les valeurs extrêmes de ce produit,
représentées par
devront, en vertu d un théorème énoncé à la page 190 du deuxième volume,
comprendre entre elles le iMpport
(les deux grandeurs coexistantes
y - X, J'-
( 2»3 )
La quantité géométrique i = i;,, et sur la réduction d'une quantité
géométrique quelconque ci la forme a^-f-ri.
Soient /% /) les coordonnées polaires d'un point A renfermé dans itn
certain plan, r étant le rayon vecteur OA mesuré à partir du pôle O sui-
une droite qui forme avec Yaxe polaire OX Y angle polaire p. D'après ce
qui a été dit à la page i 58, le rayon \ ecteur OA sera représenté en grandeur
et en direction par la quantité géométrique r.,, dont /' sera le module, et p
V argument.
Cela posé, l'argument p pourra être l'un quelconque des angles décrits
par un rayon vecteur mobile qui , d'abord dirigé suivant l'axe polaire,
tournerait autour du pôle, de manière à prendre définitivement la direc-
tion OP. Or ces angles forment évidemment une progression arithmétique,
dont la raison équivaut à quatre angles droits mesurés par la circonférence
dont le rayon est l'unité, c'est-à-dire par le nombre ir.. Mais, parmi ces
mêmes angles, un seul est renfermé entre les limites — ;:, -h r.. les autres
se déduisant de celui-ci par l'addition ou la soustration des divers midtiples
de 2 7:. Ajoutons que, si l'argument p est considéré comme positif quand
le rayon vecteur mobile a tourné dans un certain sens avant de parvenir a
la position OP, le même argument deviendra négatif, quand le rayon vec-
teur mobile aura tourné en sens contraire. Le mouvement de rotation sera
direct dans la première hypothèse, et rétrograde dans la seconde. ^
Enfin , lorsque le signe + ou — , qui sert à indiquer l'addition ou la
soustraction, sera placé devant z^, Fexpression
ainsi obtenue représentera la longueur 7' mesurée à partir du pôle dans la
direction qui forme avec l'axe polaire l'angle p, ou dans la direction o|)-
( 2i4 )
posée, en sorte qu'on auia [page 164]
i) +/>=/>, -/>== />^-,. -/>_..
Dans le cas particulier où le module r se réduit à l'unité, la quantité
géométrique /),, réduite à la forme ip, représente la longueur 1 mesurée à
partH' du pôle dans la direction qui forme avec l'axe polaire l'angle p. Si
à cette direction on substituait la direction opposée, alors, à la place de
la quantité géométrique i^, on obtiendrait la quantité opposée
Si Ja direction donnée coïncide avec celle de 1 axe polaire, ou a\ec la
direction opposée, la quantité géométrique ï^ sera réduite à l'une des
(Quantités algébriques
î ,, := 1 , 1 _ =r: I _ ^ = -r- 1 .
Si, au contraire, la droite sur laquelle se mesure la longueur 1 devient
perpendiculaire à l'axe polaire, alors l'expressioti 1^, se trouvera réduite à
l'une des quantités géométriques
La première de ces quantités, c'est-a-dire la iongiieur i , mesurée dans la
direction que prend un rayon vecteur mobile doué d lui mouvement de
rotation direct, et primitivement dirigé suivant l'axe polaire, au moment
ou il devient pour la première fois perpendiculaire à cet axe, sera doréna-
vant désignée par la lettre i. Eu égard à cette convention, l'on aura
ou, ce qui revient au même,
(4; r~-j.
Donc les quantités géomélriques i et — i représenteroTit les racines carrées
(le — ! ; et, comme on tirera de la formule (4),
par conséquent
(5^ i' == î.
( ^i5 )
i! est clair que i et — i représenteront encore les deux racines quatrièmes
et non algébriques de l'unité. Cette conclusion ne diffère pas au fond de la
l'emarque faite à la page 167.
En résumé, i et — i sont les deux racines de l'équation binôme
(6) .^=-1,
à laquelle il est impossible de satisfaire tant que l'on prend pour z xm^^
quantité algébrique, puisque le carré de toute quantité positive ou négative
est nécessairement positif. Si l'équation (6) devient résoluble, dans le cas
où l'on prend pour z une quantité géométrique, cela tient à ce que la défi-
nition donnée en algèbre du produit de deux quantités se généralise quand
ces quantités cessent d'être algébriques, et permet au produit
ZZ =: z'
de deux facteurs égaux d'acquérir une valeur négative.
Concevons maintenant que l'on détermine la position du point A, non
plus à l'aide des coordonnées polaires 7' et p, mais à l'aide de deux coor-
données rectangulaires œ et j- mesurées à partir du pôle : i" sur l'axe
polaire; 2" sur une perpendiculaire à cet axe. Supposons, d'ailleuis ,
que l'on compte les JC positives dans la direction correspondante à une
valeur mille de l'angle polaire p, et les r positives dans la direction
correspondante à l'angle polaire -. Les coordonnées .r, j-, ou. ce (|ih re-
vient au même, les projections algébriques du rayon vecteur /' sur les axes
des JC et des j, se réduiront, pour r — i, à ce qu'on nomme le cosinus et
le sinus de l'angle polaire p ; et, comme, pour passer de ce cas particulier au
cas où r acquiert luie valeur quelconque, il suffit de faire varier x et r
dans le rapport de 1 à r, on am'a généralement
(7) œ = r cosp. r — '' sin^.
Il est facile d exprimer la quantité géojnétrique r^ en fonction des coor-
données rectangulaires x, j : et, d'abord, il est clair que, si l'une de ces
coordonnées s'évanouit, la valeur ninnérique de l'autre sera précisémenl
la valeur du rayon r. Dans la même hypothèse, l'expression i^, se réduira
évidemment à i ou à — i , si le rayon 7' se mesure dans le sens des œ po-
sitives ou des X négatives; à i ou à — i, si r se mesure dans le sens des r
positives ou desjr négatives. On en conclut aisément que la quantité géo-
métrique
i8l /■,. = ,..r.
( ^i6 )
exprimée en fonction des coordonnées jr, j, sera repiésentée en grandeu.
et en direction par l'abscisse ûc, si l'on a r = o, et par le produit r i , si
l'on a .r = o.
Si des deux coordonnées x, j aucune ne s'évanouit, alors
X et j i
représenteront évidemment, en grandeur et en direction, non plus la lon-
gueur r mesurée sur une droite correspondante à l'angle polaire p, mais
seulement les projections algébriques de cette longueur sur les axes des .r
et des j. Quant à la longueur elle-même, elle sera la diagonale du rec-
tangle construit sur les deux projections. Elle sera donc [ page i Ç>o\ la sonunç
(les denx quantités géométriques oc, j\, en sorte qu'on aura
Si le rayon /• se réduit à l'unité, on aura
Donc alors la formule (9) doiuiera
(,11) 1 f, = cos p -{- \ <>ii] p .
Si, au contraire, le rayon r diffère de l'unité, on tuera de la formule (9)
jointe aux équations (7), ou bien encore de la formule (8) jointe a la
formule (11).
V ' 2 ) f)> = r ( cos p -{- i s'uï p).
Concevons mainlenant que, /', p étant les coordonnées rectangulaires,
et a:, r les coordonnées polaires du point A, on pose, pour abréger,
(i3i
-Ji-
la quantité géométrique z sera ce que nous appellerons Vqffixe de ce j)Ojnt.
Si Ton désigne par i?, P les coordonnées polaires, par X, Fies coordon-
nées rectangulaires, et par Z l'affixe d'un second point B, ou aura encore
(i4) z=.R,=.x-^ri.
Si les deux points coïncident, on aura non-seulement
(i5) Z = z.
ou, ce qui revient au même.
( 1 6 ; X -i- Y\ = X -^- r i ,
( 217 )
mais encore
(17) x^x, r=.f.
Réciproquement, si i'équation (i5) se vérifie, les points A, B coïncideront,
et, par suite, la formule (i 5) ou (16) entraînera les équations (17). On peut
donc énoncer la proposition suivante :
i^^" Théorème. Lorsque deux quantités géométriques sont égales, l'équa-
tion qui exprime leur égalité peut être remplacée par deux équations entre
quantités algébriques, savoir : par les équations qu'on obtient, quand on
égale entre elles, dans les quantités géométriques données, les parties pure-
ment algébriques, puis les quantités algébriques qui représentent les coef-
ficients de i.
Observons encore que l'équation (i5), présentée sous la forme
(18; Rp^rp,
donnera [voir la page i58J
(19) R = r, (20) P = p -j- okn,
k étant une quantité quelconque, et , par suite,
(21) cosPr=cos^, sinP = sin/7.
(Jlomme on aura d'adleurs
(22) I ,, = cos P -h i sin P,
il est clair que des formules (ri) et (22), jointes aux équations (21), on
tirera
(23; i,.= ip.
On arriverait encore h la même conclusion , en divisant par R == r les
deux membres de l'équation (18) présentée sous la forme
i,,R= ip/-.
En résumé, la position d'un point dans un plan peut être complètement
déterminée, non-seulement par le système de deux coordonnées rectangu-
laires, mais aussi par i'affixe de ce même point ; en sorte que l'égalité de
deux affixes entraîne la coïncidence des points correspondants avec l'éga-
lité de leurs abscisses, de leurs ordonnées, et de leurs distances au pôle.
Nous appellerons points conjugués deux points placés symétriquement
par rapport à l'axe polaire, ou, ce qui revient :\'\ même, deux points situés
Ex. d'An, et d- Ph. math., T. \\ . f^5« livr.) ^8
(.,8)
à égales distances de cet axe sur une droite perpendiculaire à l'axe. Nous
appellerons encore quantités géométriques conjuguées celles qui représen-
teront les affixes de deux points conjugués. Cela posé, deux quantités géo-
métriques conjuguées offriront évidemment, avec des modules égaux, des
arguments égaux au signe près, mais affectés de signes contraires, et si
l'une est de la forme
(-^4) r^ = jr -+- ri = r(cos/? -h i sinp),
l'autre sera de la forme
^25) r_p r=: X — j\ = r[cosp — i sinp).
Comme on aura d'ailleurs
(26) r,,r_,, = r\
on pourra énoncer la proposition suivante :
2*^ lliéorème. Le produit de deux quantités géométriques conjuguées est
ie carré du module de chacune d'elles.
Remarquons encore que des formules (24), (aS), (26), on tire
(27) r''= [x ^ y\) (œ - ji),
puis, en ayant égard à la formule (4),
(28) r''^x'' + r'-
L'équation (ô) exprime simplement que \e carré du rayon vecteur r est
la somme des carrés de ses deux projections , et reproduit ainsi le théorème
de géométrie suivant lequel, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypo-
ténuse équivaut à la somme des carrés des autres côtés. Ajoutons que l'on
tire de la formide (27)
/ \ I ^ — ji -^ — y^
et que l'équation (29) réduit immédiatement à la forme JT-h Ki le rapport
de l'unité à la quantité géométrique x -hyi, ou, ce qui revient au même,
la quantité géométrique inverse de x -4-jri-
Si le module r des deux quantités géométriques z^, r_p se réduisait à
l'unité, elles deviendraient respectivement
ip z= cosp + i sinp, i_p = cosp — i sinp.
Les principes exposés dans le Mémoire sur les quantités géométriques
l 3ti9 ;
periuetteul d'effectuer aisément, sur ces quantités réduites a la forme /^.
les diverses opérations de l'algèbre; spécialement l'addition, la soustrac-
tion, la multiplication, la division, et l'élévation à des puissances entières.
Pour effectuer les mêmes opérations sur les quantités géométriques réduites
à la forme JC-hyi, il suffira évidemment d'appliquer les règles auxquelles
on aiH'ait recours, si les quantités données étaient algébriques, en ayant
égard aux formules (4) et {ig), et en se rappelant que, dwiser par une
quaîitité géométrique, c'est multiplier par la quantité inverse. [Voir l;i
page 164.] On trouvera, par exemple.
■ 30)
(.r-hji) -+- (x' -4- j'i)4- ... — jc -+■ x' ^ ... + {y -^ J
(3i)
x' -\- j' \ — [x -h ri) = x' — .V -f- (j-' — jr)i;
(3.)
{x -hji) {x' 4-j'i) = xx' — yj' + [xj' + x' j )\ :
'\'\ ;
.r' + r' i _ (•^- — j i ) ('^' + y' i ) _ ^^' ^- jy' -+- [-^y' — ^'y ,) i
puis, en désignant pai^ // un nombre entier quelconque, et appliquant au
développement de (x -hji)" la formule de Newton, on trouvera encore
(34) (x -hjï r=zx" — - ^" '~J> x"~'^ j'^ + ...
Eu égard à l'équation (34), on pourra aisément réduire à la forme X-t-l' 1
une Jonction entière Z de la quantité géométrique z=:x-hj'\, c'est-ij-
dire une expression de la forme
V 35 ) Z = a + bz + cz'^ + . . . 4- gz"-^ + hz",
les coefficients a, /;, c, . . . , g, h étant des quantités quelconques algé-
briques ou géométriques. Ajoutons que l'on poiun'a réduire encore a hi
forme A + Ki une Jonction rationnelle de z, c'est-à-dire le rapport de
deux fonctions entières de z- , en ayant égard nou-seulement à _ la for-
mule (34), mais aussi à l'équation (33).
28.
( aao )
Sur les avantages que présente l'emploi des quantités géométriques
dans la trigonométrie j^ectiligne.
Comme on l'a vu dans l'article précédent, les deux quantités géomé-
triques
sont liées au sinus et au cosinus de F angle p par les formules
1 ) ^p^^ ^^^ P "^ ^ ^^" P^ ^-p ^^ ^^^ P ~ ^ ^"^^ Py
dont la seconde est ce que devient la première quand on change p en — p.
D'ailleurs, de ces deux formules on tire immédiatement les suivantes :
(a) cos p = -''■, smp = -^ — ,^^,
qui servent à exprimer le cosinus et le sinus de l'angle p, à l'aide des seules
quantités géométriques i^. i_p', et l'on peut ajouter que les équations (i),
•2 ) fournissent le moyen le plus court d'établir un grand nombre de
formules de trigonométrie rectiligne. Entrons à ce sujet dans quelques
détails.
D'abord, il est clair que les propriétés des expressions de la forme i^
feront connaître, eu égard aux formules (i), des propriétés correspon-
dantes des sinus et cosinus. Ainsi, par exemple, l'équation
i 3) ipi-p= I
pourra s'écrire comme il suit,
(cos/? + ismp){cosp — i sin^) = i,
el se réduira définitivement à la formule
(4) cos'^ p H- sin* /? = I ,
qui exprime la relation existante entre le sinus et le cosinus d'un angle
( ^^I )
quelconque p. Pareillement, l'équation
(a) ^p+p' ^^ ^p ^p'
donnera
cos (p + p') -+- i sin [p -+- p') = (cos/7 -h i sin/>) (cos p' H- i sin p'),
ou, ce qui revient au même,
cos [p -h p') -+- i sin [p H- p') = cosp cos p' — sin p sin p'
+ i ( sin/? cos /j' + sin p' cosp).
et pourra être remplacée [page 217] par le système des deux formules
j cos (/?+/?') = cos /î cos/?' — sin p sin />',
I sin (p -\- p') =z sin p cos p' -+- sin/?' cosp,
(jui servent à exprimer le cosinus et le sinus de la somme de deux arcs
en fonction des cosinus et des sinus de ces mêmes arcs. Si l'on veut obtenir
les cosinus et sinus, non plus de la somme, mais de la différence des arcs
donnés, il suffira de remplacer p' par — p' dans les formules (6), des-
quelles on tirera
. ( cos ( y» — />') = cos/? cos/?' -h sin/? sin/?',
I sin (/?—/?')=: sin/? cos /)' — sin/?' cos/?.
Enfin , « étant un nombre entier quelconque, l'équation
sera l'expression la plus simple du théorème de Moivre, puisque, en vertu
de cette équation, l'on aura
(9) cos np •+- i sin np = (cos p -+- i sin /?)".
Si, après avoir développé le second membre de la formule (9) suivant
les puissances ascendantes de i, on égale entre elles, dans les deux membres,
les quantités purement algébriques, puis les quantités qui représenteront les
coefficients de i, on retrouvera les formules connues
i cos np = cos"/? — "^"~^> cos"~^p sin- p -h...
[ sm np = Y cos"-' p sm/? ^ — ^ cos"~^ p sm^p -+-...,
( 117. )
que l'on peut encore écrire comme il suit :
i cos Tip = cos"p I — " "~ tang^p -+- . . . 1 ,
( sin «/.-cosv[^tang/,-"i^ZL^p-^JtangV4-...].
D'ailleurs on tirera immédiatement des équations (i i)
[11) tang np = —
n(n~i)
I tan^-p -
Les formules (10) développent le cosinus et le sinus de l'arc np en fonc-
tions entières du sinus et du cosinus de l'arc p. Si l'on veut, au contraire,
développer les n'''"'' puissances de cos p et de sin p en séries de termes pro-
portionnels aux cosinus et aux sinus des multiples de p, il suffira de i-ecourir
aux formules (2), desquelles on tirera
(.3) cas" p = ('J^±^A'\
'=0^')-
En développant les seconds membres des équations (i3), et ayant égard ;
la formule (5), on trouvera
1 cas" p =
(■4)
) .„ ■..,-7-:.-.!,+ ■■■ + [■■■ -7. -.--> + '-.,](-')•
f SUl"/?— ■ !:: — J
\ 2" 1 "
De ces dernières équations, on peut immédiatement revenii- aux fornuiles
connues. On en tire, en effet, eu égard aux formules (i), poui- des valeurs
paires de n,
n [n — I ) . .
•inp -\ — cos (« — i)p + . . . H
COS" p =
(iM
1.2...-
sm" p = — — .^ ,
« n \n -
n - \
co%np cos(fl — 2)/j4-...h-( — i)'^
( 223 )
et, pour des valeurs impaires de /z,
u{n - i). .
cos fip H — cos (n — 2) /? -H . . -+- -
cos" p -
(16) ( . . /« + 1\
sin«/? sin[n — 2.)p-^ ...-+■ { — i) ^
n-^l n{N— l)...
Siu" n =
r^orsque, dans l'équation (5), on prend
on en tire
par conséquent,
17) '"""7"^""' > /
_ fL cos - — 1 sm -
Si, d'ailleurs, on pose
p 2
t = tanff - = 5
"2 p
cos -
sin - = t cos - ?
2 2
et, par suite, la formule (17) donnera
(■«) ' v = f^-
En vertu de cette dernière formule, toute fonction entière, ou même ra-
tionnelle de ip, pourra être transformée en une fonction rationnelle de
t = tang -•
il y a plus : comme, en vertu de l'équation (3), jointe à la fornude 1 18), on
( 2^4 )
aura
c^' ■-=^'
iJ est clair que toute fonction rationnelle de t^, et de F_p pourra encore
être transformée en une fonction rationnelle de t. On trouvera, pai^
exemple, en ayant égard aux équations (2),
s r — t- , 1 1
V-"^^} cosp =z -, sni n =
Etant données deux directions déterminées par deux angles polaires /?, />',
on peut demander la valeur de la quantité positive II propre à représente!-
l'angle aigu ou obtus, mais inférieur à deux droits, qui se trouve compris
entre ces mêmes directions. Or il est clair que cette quantité se réduira
toujours à l'un des quatre angles compris dans les deux formules
ikn ±: (p' — p)y
k ou ~ k étant uu nombre entier. Donc, par suite, on aura
il\) COSn =COS(p^— /?) = 'P'-P-^^P-P' ^
OU, ce qui revient au même,
[11) coii\ = lili±:ïlilzi.
■1
Telle est l'équation qui sert à exprimer la valeur de cos H à l'aide des quan-
tités géométriques ip, ip' et de leurs conjuguées i_p, i_p'.
Dans ce qui précède, nous nous sommes bornés à considérer des quan-
tités géométriques dont les modules étaient réduits à l'unité. La considéra-
tion de celles qui offrent des modules distincts de l'unité fournit aussi
des démonstrations très-simples de diverses formules de trigonométrie rec-
tiligne, comme nous allons le faire voir.
Soient d'abord a-, /-' deux rayons vecteurs mesurés à partir du pôle dans
les directions que déterminent les angles polaires p, p' ; et nommons A , B
les extrémités de ces rayons vecteurs. Si l'on multiplie le rayon vecteui- /•
j^ar le cosinus de la quantité positive II propre à représenter l'angle aigu
ou obtus compris entre les deux rayons , le produit ainsi obtenu r cos H
leprésentera la projection algébrique du rayon vecteur r sur le rayon vec-
teur r' . Pareillement, r' cos H représentera la projection algébrique du rayon
vecteui' r. Cela posé, le produit de l'un des rayons par la projection algé-
( 225 ) '
brique de l'autre sera
rr' cosH.
(Jr, eu multipliant par rr' les deux membres de la formule (22), on trouvera
(23) rr' cosIT :
et les quatre quantités géométriques
seront évidemment les affixes des deux points A, B et de ceux qui leur sont
tonjugés. En conséquence, on pourra énoncer la proposition suivante :
Théorème. Deux rayons vecteurs étant mesm^és à partir du pôle dans
deux directions données, le produit du premier rayon par la projection
algébrique du second rayon sur le premier, et le produit du second rayon
par la projection algébrique du premier sur le second, seront égaux à la
demi-somme des deux produits dont chacun a pour facteurs les affixes de
l'extrémité de l'un des rayons et du point conjugué à l'extrémité de
l'autre.
Corollaire. Souvent on désigne à l'aide de Ja notation (r, /') l'angle
aigu ou obtus compris entre les deux rayons vecteurs r, /' mesurés dans
deux directions données. Si l'on adopte cette notation, la formule (aS)
deviendra
(^4)
rr' cos(r.
^- r r -X- r r ,
' 2
et l'on en tirera
(.5)
n,r.p+'y
1„, = 2r7'' cos(r, /
Soit, maintenant, R^, la somme des deux quantités géométriques /• , / ' ,,
D'après ce qui a été dit à la page 160, la quantité géométrique /?^, représen-
tera, en grandeur et en direction, la diagonale OC du parallélogramme qui
aura pour côtés les rayons vecteurs OA, OB, ei pour sonnnets, d'une part
le point O, d'autre part, les trois points A, B, C dont ies affixes sont res-
pectivement
Dailleurs, si à ces trois derniers points '^^\ i.sijiu!^ ieurs conjugués,
V.X iVKn. et de Phys. math., T. IV. '43* liv.). 29
( 226 )
c'est-à-dire les trois points dont les affixes sont
on obtiendra un second parallélogramme égal au premier, ces deux paral-
lélogrammes étant deux figures symétriques par rapport à l'axe polaire.
Donc R_^, sera encore la somme des deux quantités géométriques r_^, /'„,, :
et l'équation
entraînera la suivante,
Or, des formules (26) et (27), combinées entre elles par voie de multipli-
cation, on tire, eu égard à l'équation (aS), la formule connue
(28) R^ = ,-2 + r'2 + 'i.rr' cos(r, r').
Soient, maintenant,
des quantités géométriques en nombre quelconque, et
A, A', A",...
les points dont elles i-eprésentent les affixes. Pour obtenir la somme R^, de
ces quantités géométriques, il suffira, d'après ce qui a été dit [page 160J5
de mener par l'extrémité A du rayon vecteur OA, une droite AB égale ef
parallèle au rayon vecteur OA', puis par le point B une droite BC égale et
parallèle au rayon vecteur OA'', etc.,..., puis enfin de joindre le pôle O a
l'extrémité K de la dernière des droites successivement tracées, et de fermei"
ainsi le polygone OABC... HK par un dernier côté OK qui représentera, en
grandeur et en direction, la somme cherchée. D'ailleurs, si aux sommets A, H.
C,..., lî, Ron substitue les points conjugués à ces mêmes sommets, alors, à
la place du polygone OABC. .HK, on obtiendra celui auquel on peut le
superposer en faisant subir au plan qui le renferme une demi-révolution
autour de l'axe polaire; et il est clair que, dans le nouveau polygone, le
dernier coté, représenté en grandeur et en direction par R^p^ sera la
^omme, non plus des quantités géométriques données
/«. rL, r''„,...,
( 2^7 )
mais de leurs conjuguées
Donc J 'équation
entraînera la suivante
( '^o) ^-P = r-p + 1%, + r%„ -h . . . .
Or, des équations (29) et (3o), combinées entre elles par voie de multipli-
cation, on déduira immédiatement, eu égard à l'équation (25), la formule
connue
( 3 1 ) W^^r^ -^ r'- + r""'* H- ... H- 2 n' cos ( r, r' ) H- 2 n" cos (/-, /■") + ...
-I- 2 r'/'"cos(r', /'") H- . . .
4- etc.
Parmi les formules auxquelles on parvient quand on considère des quan-
tités géométriques dont le module diffère de l'unité, on doit remarquer encoie
l'équation qui fournit la somme des ti premiers termes d'une progression
géométrique. Si, pour plus de simplicité, on suppose le premier terme
réduit à l'unité, et si l'on représente la raison par r^^j l'équation dont il
s'agit sera
(3^0 I -h A>-h r -^ . . . -f- /7' = ^-3^-
C'-ette équation subsistant, quelles que soient les valeurs du module r et
de l'argument p, on peut y remplacer p par — p. On trouvera ainsi
(33) I + r_^ + r; + ... + ri;^ = ^'
D'autre part, on a
(i — /p) (1 — /'_,,) — \ — 1 rcos p -h r^
Par conséquent on peut, dans les formules {'i?.'^ et (33), remplacer les
rapports
par les rapports
1 — 2 r cos p ~{- r^ I — 2 r cos p H- r-
Cela posé, les formules (Sa) et (33) donneront
(34)
(35)
I — 2rcosp -f- r'
rcosp -
(Chacune de ces dernières équations se partage en deux autres, lorsqu'on
égale entre elles, dans les deux membres, les parties purement algébriques
et celles qui constituent les coefficients de i. Alors, en ayant égard aux
formules
(36)
= 1 „p r" = r" (cos np ■+ i sin np) ,
! = i_„p r"= r"(cos np — i sin np),
il H- r cos p + r^ cos ip -h ... + r"~* cos {n — i) p
I — rcosp — r " cos np +/•"+' cos (n — i)p
I — 2 rcosp -h r'
et
irsinp -j- r^ sin 2p-^ ... -f- /■""' sin {n — i)p
r smp — r" sin np -f- r""*-' sin ( « — i) p
I — 2 r cosp + r •
Loisqu On suppose
le module r" de r'p décroît pour des valeurs croissantes de 7z, et devient in-
finiment petit, tandis que le nombre n devient infiniment grand. Donc,
alors, en vertu de la formule (3?.), la somme des n premiers termes de la
progression géométrique
(^9) I, />, ri, A-;, ...,
s'approche uidéfiniment, pour des valeurs croissantes de n, de la limite
C'est ce qu'on exprime en disant que la progression géométrique se réduit,
pour r < I, à une série convergente qui a pour somme la limite s. Alois
( ^*^9 )
aussi, les formules (Sa), (33) donnent
(40 • + /; + r- +...=-i-,
(4^) n-r_,+ 'l,+ ..- = —rr^
et les formules (37), (38) donnent
(43) iH- rcos » + r'^cos 2» -h ... = — ;,
(44 ) '' sm p -h r" sui 20+...— ^^ — ■ — :, •
H est bon d'observer qu'en vertu de l'équation (40? jointe à la première
des formules (36), i„p sera le coefficient de r" dans le développement du
rapport en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et
I— rp
entières du module /. Donc, par suite, r^^sera le coefficient de ? dans le
développement du rapport
U-^>)r
et, en adoptant les notations du calcul des résidus, on tirera de la for-
mule (40
(45) 'np-=L~j^ry
ou, ce qui revient au même,
(46) ',,-•''
■ (i— 2rcos/? + r'){/-"-^")
Si, dans les deux membres de cette dernière formule, on égale entre elles les
quantités purement algébriques et celles qui représentent les coefficients de i,
on trouvera
[ 47) cos np =: o ; - \, / ni;. ?
^^^' ^ (i— arcos/? + r = ) (r"+')
et
(48 ) sin np — O 7 rsinp
On pourrait d'ailleurs déduire immédiatement les formules (47) et (48) des
( 23o )
équations (43), (44)- Ajoutons que les équations (47) et (48) pourront
encore être présentées sous les formes
(4q) cos nu = C - ( i H ^—-^ J 7—^. 5
^ -^ ^ ^2\ I — 2rcos/^ H- /•'/ (r«+')
{5o) sin np = sin oi , ^ .
^ ' ' I — -2 rco%p -\- r' (/•"+']
Xous avons rappelé plus haut les deux équations qui se déduisent immé-
diatement du théorème de Moivre, et qui transforment le cosinus et le sinus
de l'arc np en fonctions entières du cosinus de l'arc p. Si, au théorème de
Moivre, on substitue l'équation (4^), ou, ce qui revient au même, les équa-
tions (49J 6t (5o)) oï^ pourra en déduire immédiatement celles qui trans-
forment cos np et -: — - en fonctions entières de cos p. Effectivement,
' sin /> '
comme on a
r — 2rcos/>H-r' w — o (' "^ ''' ■'""^'
ou conclura des formules (49) et ( 5o) que le coefficient de cos'" p se réduit,
dans le développement de cos np, à
1 .1/1 1 ^ sin «/?
et, dans le développement du rapport —. — ■> a
(53) 2'"i(i + ^)^-..(;ir)-
D'adleurs l'expression [Si) se réduit, pour m — n, ou, ce qui revient au
même, pour une valeur nulle de w — m, à 2"-*, pour une valeur impaire
de n — m k zéro, et pour une valeur paire, mais positive, de n — m, à
(54) (-0- T=^ 7n'' ■
Au contraire, l'expression (53) se réduit, pour n = m -^ i, ou, ce qui re-
vient au même, pour une valeur nulle de w — m — i à i"~ , pour une
valeur paire de n — m k zéro, et pour une valeur impaire de n — m plus
( »3' )
grande que l'unité, à
n — m—i
[m H- !)(/« + 2j. . . ^
(55) (-.)
« — m — I
I .2. . .
Cela posé, les équations (49) et (5o) reproduiront immédiatement les for-
mules connues
eos>-^cos'-> + ^ -^3- cos /.
(56) cos«/^ = 2 „„_5,_4
L -4-8- -rr-^^^-^--- J
I cos' '/> — ~y — cos ■* yy I
(57) sin«^=2"-'sin/7 „_.^„„3 l"
Si, dans l'équation (56), on pose» = 3, on retrouvera la foimule
(58) cos 3/? = 4 cos''/; — 3 cos yy,
qui fournil le moyen de ramener la résolution d'une équation du troi-
sième degré, quand les trois racines sont réelles, au problème de la tri-
section d'iui angle donné [voirVJnnlj'se algébrique].
( iZi )
Sur les fonctions entières d'un degré infini, et en particulier
sur les exponentielles .
§ I, — Considérations générales.
(^11 sait que les puissances à exposants variables, autrement appelées
eocponentielles , peuvent être considérées comme des fonctions entières
composées d'un nombre infmi de termes. Ainsi, par exemple, pour définir
l'exponentieUe e^, e étant la base des logarithmes népériens, et z une quan-
tité algébrique variable, il suffirait de dire que e^ est la somme de la série
toujours convergente
ou bien encore, la limite vers laquelle converge, pour des valeurs crois-
santes du nombre entier m, la fonction entière
Il y a plus : lorsqu on adopte une telle définition, il est naturel de l'étendre
au cas même où la variable z cesse d'être algébrique; et l'on se trouve
ainsi conduit, par la considération des fonctions entières de degré infini, a
la notion des exponentielles à exposants quelconques, il convient de
donner quelques développements à cette proposition, et de montrer com-
ment elle se lie aux principes établis dans les articles précédents. C'est ce
que je vais essayer de faire en peu de mots.
§ II. — Sur les fonctions entières d'un degré infini.
Soit z = rp une quantité géométrique variable dont r désigne le module
et p l'argument. Une fonction entière de z ne sera autre chose [page 167]
qu'une somme de termes proportionnels à des puissances entières et posi-
tives de z, le degré de la puissance la plus élevée étant ce qu'on nomme
( ï33 )
\e degré de la Jonction. Par suite, la forme générale d'une fonction de z,
entière et du degré n , sera
a -^r bz + cz^ -\- . . . -h gz"~* -+- hz'%
a, b, c,... , g, h désignant des coefficients constants dont chacun pourra
être une quantité géométrique.
Concevons maintenant que les divers termes dont se compose la fonction
entière appartiennent à la série
indéfiniment prolongée. Si l'on désigne par s„ la somme des n premiers
termes de cette série, on aura
{i) s„ = aQ -+- at z -h a^z^ -i- . . . -h «„_, z"~' ;
et s„ , s„+i seront deux fonctions entières de z , la première du degré « — i ,
la seconde du degré n. Si, d'ailleurs, n vient à croître indéfiniment, la
somme s„ pourra converger ou ne pas converger vers une limite fixe. Dans
le premier cas, la série sera dite convergente j, et la somme de la série,
c'est-à-dire la limite s de s^, déterminée par la formule
(3) s = cIq -\- af z -h a^z^ -]-... ,
sera ce qu'on peut appeler une Jhnction entière d'un degré infini. Dans le
second cas, la série sera divergente, et n'aura pas de somme.
D'autre part, si l'on nomme a„ le module de <^,„ et a la limite ou la plus
grande des limites vers lesquelles converge, pour des valeurs croissantes
de /2, l'expression
a sera le module de la série
^4) «^0 7 «<, <:/2,...
dont le terme général est a„ ; ar sera le module de la série (i) dont le terme
général esta„z'* [tome II, pages 388 et suivantes] ; et la série (i) sera conver-
gente ou divergente y suivant que le* module ar sera inférieur ou supérieur
à l'unité, ou, ce qui revient au même, suivant que le module r de z sera
inférieur ou supérieur à -• En conséquence, la série (i) sera toujours di-
Ex. d'An, et de Phys. math., T. IV (44* liv.). 3o
( 234 )
vergente si l'expression (a„)", croissant indéfiniment avec «, a pour limite
l'infini, puisqu'alors - deviendra
00
c'est ce qui arrivera, par exemple, si rt„ et, par suite, a„ se réduisent au
produit
I.2.3...W,
puisqu'alors on aura [voir la page 206]
(a„)" = (i.2...«)" > sjn;
et, par conséquent,
I
a= lim(a„)" z= oc .
Au contraire, la série (i) sera toujours convergente si l'expression (a^)",
décroissant indéfiniment pour des valeurs croissantes de «, a pour limite
zéro, puisqu'alors - deviendra
C'est ce qui arrivera, par exemple, si a^ et, par suite, a„ se réduisent au
rapport
puisqu'alors on aura
(l.2...«)» V''
et, par suite,
a = lim (a„)" = o.
Donc la série
z
' 1 ' I .2' 1.2.3 '
(5) ',' ' '
dont le terme général est
( 235 )
ne cesse jamais d'être convergente; et à une valeur finie quelconque, algé-
brique ou géométrique, de la variable z correspond toujours une fonction
entière j, d'un degré infini, propre à représenter la somme de cette série,
et déterminée 'par la formule
(6) J = I H h- h • . . .
^ ' 11.2
Si le module a de la série (4) offrait non plus une valeur nulle ou
infinie, mais une valeur finie différente de zéro, la somme s de la série (i),
ou, ce qui revient au même, la fonction entière de z^ représentée par le
second membre de l'équation (3), subsisterait pour r < -, et disparaîtrait
pour r > — Ainsi, par exemple, en sommant la progression géométrique
\i) I, 2, -%•■•
dont le terme général est z", on obtiendra la fonction entière
(8) I + 2+ Z2-+- ...
qui subsistera, et sera équivalente au rapport -, tant que le module r
de z sera inférieur à l'unité. Mais la fonction entière i -f- z + z^ h- . . .
cessera d'exister si la progression (7) est divergente, ou, ce qui revient au
même, si le module r de 2 est supérieur à l'unité.
§ III. — Sur la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de ni ,
r expression ( i H | •
V '")
Soient z une quantité géométrique variable, et m un nombre entier quel-
conque. On aura, en vertu de la formule de Newton ,
I \ I ^m mim — 1)0 mi m — i) .„ „
(i) {\-^zY = \ + mz^ ^ ^ ^ ^ 2=^+.. -H ^ ^2'"-=^ H- /HZ'"-' + 2'",
et, par suite,
' \ m] \ w/i.2^\ m}\ m] \.i.Z ^ W"
Dans le second membre de la formule (2), le terme général, ou propor-
tionnel à z", se réduit, pour /z> /w, à zéro, et pour /?. = ou < m^ à
-^)('
3o.,
( 236
c'est-à-dire au produit de la quantité
par le terme général
de la série
(5) >. T' ^' 7^
D'ailleurs, en vertu de la formule (5) de la page 207, la quantité (4), tou-
jours inférieure à l'unité, ne peut s'abaisser, quand m surpasse n, au-des-
sous de la différence
(6) ,_e(^i
^ ■' ini
Donc, si l'on fait croître m indéfiniment, en laissant n invariable, l'ex-
pression (3), c'est-à-dire le terme général du développement de la puissance
convergera vers une limite équivalente au terme général de la série (5). Il
est naturel d'en conclure que cette puissance elle-même sera équivalente à
la somme de la série (5), et que, si , pour abréger, on désigne cette somme
à l'aide de la notation [z], en posant
. « r T Z Z^ Z^
V// LJ II. 21. 2. 3 '
on aura, en faisant converger le nombre entier m vers la limite 00 ,
(8) lim(i4-^]'"=[z].
Il importe d'ailleurs d'établir cette conclusion d'une manière rigoureuse.
On y parvient aisément comme il suit :
Le coefficient numérique du rapport
dans le second membre de la formule (2), étant toujours compris entre
les limites
n{n-i)
( ^37 )
' pour nr= ou -</w, et toujours nul pour /i > m, il est clair que, si l'on
représente le coefficient dont il s'agit par \ — an, a„ sera un nombre qui
vérifiera , pour n=z ou < //î , la condition
(q) a„= ou < -^ ^,
et , pour n> m, la condition
a„ = I ,
de laquelle on tirera, en supposant m > i, et, par suite, /z > 2 ,
Cela posé, la formule (2) deviendra
(•+ 0'= ' + "+^' -«")-r^ + (' - «»)t:73 + • • ■
z z^ z^ z3
2 1.2 ■"■ ^1.2 ^ 1.2.3 ■ ' ■ '
ou , ce qui revient au même, eu égard à l'équation ( -7 ),
(,,) (, + !)" = [,]_,,
la valeur de â étant
(12) (? = as h ag 5" -h . . . = S a.
1.2.3 '" „ — 2 '*I.2.,.«
D'ailleurs le coefficient a„ ne pouvant, en vertu des formules (9) et (10),
surpasser ie rapport -^ ,
de z, le module du produit
surpasser le rapport — -, il est clair que, si l'on nomme r le module
sera, pour une valeur quelconque de n , toujours égal ou inférieur à la
quantité
n{n — i) /■" r^ r"-'
im 1.2. ..« 27W I.2...(« — 2)
Donc on tirera de la formule (12)
modc?.<;^(i + --I- -ll-(_ .. \,
(238)
ou, ce qui revient au même,
(i3) modc5*<— [ri.
Or, il suit évidemment de la formule (i3) que si, en attribuant à la va-
riable z et par conséquent à son module r une valeur finie quelconque,
on fait croître indéfiniment le nombre entier 772 , le module de à convergera
vers la limite zéro. Donc, dans la même hypothèse, la valeur de ( r + — V
déterminée par la formule (11) convergera vers la limite [z], et l'on se trou-
vera ainsi ramené à l'équation (8).
Si à la variable z, supposée indépendante du nombre m, on substitue
une variable
qui dépende de ce nombre, et qui; pour des valeurs croissantes de m,
converge, avec son module p, vers la limite zéro, alors, à la place de la
formule (11), on obtiendra la suivante
^.4) (i + !)'=[?]-.,
S étant une quantité géométrique dont le module vérifiera la condition
(i5) mod£<^[p].
D'ailleurs, tandis que p s'approchera indéfiniment de zéro, la quantité
toujours inférieure à
I -I- û + p* -f- . . . = -— — ,
s'approchera indéfiniment de l'unité, et le produit ^^[p] de zéro. Donc,
si Ç dépend de m, et si, en faisant croître indéfiniment le nombre /«,
on voit le module p de Ç converger vers la limite zéro, s et son module
convergeront vers la même limite en vertu de la formule (i5); et, comme
le module de
L - J 11,2
sera inférieur à [p], par conséquent à -—— , la Hmite de [Ç] sera l'unité.
( ^39 )
Donc la formule (i4) donnera
(i6) lim(i + i)'"==i.
§ IV. — Sur les exponentielles.
Soient z, z! deux quantités géométriques distinctes, et m un nombre
entier qui croisse indéfiniment. On trouvera
(l) I + -) I -h - = I + -^^^-h — •
^ I \ m] \ mj mm'
Par suite, en considérant — comme une quantité infiniment petite du pre-
mier ordre, et en négligeant, dans le second membre de la formule (i), le
terme infiniment petit du second ordre —, on aura sensiblement
On aura, au contraire, en toute rigueur
si l'on choisit Ç de manière à vérifier la condition
zz^ fl _i_ ^-±^\ A
m'^ \ m J m
ou, ce qui revient au même, si l'on pose
m
Or, en vertu de la formule ( 3 ), Ç sera une quantité géométrique qui dé-
pendra du nombre 772, et qui convergera vers la limite zéro, quand ce
nombre croîtra indéfiniment. Cela posé, on tirera évidemment de la for-
mule (2) : i** en élevant les deux membres à la m'^'"^ puissance,
2° en faisant croître indéfiniment le nombre m, et ayant égard aux for-
( 24o )
mules (8) et (16) du § III,
[z][z'] = [z^z'].
On peut donc énoncer la proposition suivante :
i""^ Théorème. Si l'on désigne par z, z' deux quantités géométriques
distinctes, et par [z] la somme de la série toujours convergente
(5) ,, i, ^, -il^,...,
11.21,2.3
dont le terme général est — , on aura
^ 1 .2. . .« '
,6) ■ \z][z'] = [z + z'].
Corollaire. En attribuant à z, s' des valeurs purement algébriques, et
raisonnant comme dans un précédent article [pages 199 et 200], on tirera
de la formule (5) l'équation
(7) [A = bY-
D'ailleurs la quantité ici désignée par le symbole [i], c'est-à-dire la somme
est précisément le nombre qui sert de base aux logarithmes népériens, et
que l'on représente ordinairement par la lettre e. Donc la formule fô»
donnera
[z] = e'.
On peut donc énoncer encore la proposition suivante :
2^ Théorème. Si l'on désigne par s une quantité purement algébrique ,
il suffira, pour obtenir la somme [z] de la série
1 ' I 1.2 1.2.3
d'élever le nombre
e=z 2,7182818...
à la puissance dont le degré est marqué par l'exposant z; de sorte qu'on
aura
(8) [z] = e'.
Corollaire. Si dans la formule (8) on remplace z par az, a étant une
( ^4i )
quantité algébrique positive ou négative, on trouvera
(9) [az]=.e^\
Si d'ailleurs on pose
(10) e« = A,
\ sera une quantité positive, supérieure ou inférieure à l'unité, suivant
que l'exposant a sera positif ou négatif; et comme, en élevant à la puis-
sance z les deux membres de l'équation (10), on trouvera
e^' = A^
la formule (10) entraînera la suivante,
(i I [az] = A^
Les puissances a exposants variables, renfermées dans les formules 18),
(il), et représentées par les notations
sont ce qu'on appelle des exponentielles . L'exposant z de chacune de ces
puissances est ce qu'on nomme le logarithme de l'exponentielle e' ou A'
dans le système dont la base est le nombre e ou \. Le logarithme qui
correspond à une valeur donnée de Texponentielle, dans un système de
logarithmes donnés, dépend évidemment de cette valeur même et de i;i
base du système. On sait que Néper, inventeur des logarithmes, en
publiant sa découverte dans l'ouvrage intitulé : Mirijici logarithmorum
canonis DescripliOj adopta d'abord le système correspondant à la base e.
C'est pour ce motif que l'on donne aux logarithmes calculés dans le s\
tème dont la base est e, le nom de logarithmes népériens , et à l'expoi
tielle e^ le nom (V exponentielle népérienne.
Cela posé, il suit du deuxième théorème, joint à la formule (8) du § lil
que, dans le cas où z désigne une quantité algébrique, l'exponentielh
népérienne e' coïncide non-seulement avec la somme de la série
' I 1.2 1.2.3
mais'encoie avec la limite vers laquelle converge, pour des valeurs ctois-
santes du nombre entier m, l'expression
ys-
leii-
l'
Ew. d'An, ei de Phrs. math., T. IV,
( 24^ )
Donc, pour des valeurs algébriques de z, l'exponentielle népérienne e"
pourrait être définie à l'aide de l'une quelconque des deux formules
(i3) é' = \im{i+ty.
Il y a plus; rien n'empéclie d'étendre ces deux formules au cas même où
l'exposant z est une quantité géométrique, et de considérer alors chacune
d'elles comme propre à fournir une définition de l'exponentielle népé-
rienne e^ .
Quant à l'exponentielle A^, dont la base A est un nombre quelconque, il
suffit, pour la définir généralement, quelle que soit la valeur algébrique oli
géométrique de l'exposant z, d'étendre la formule (ii), au cas même où
cet exposant cesse d'être une quantité algébrique. Cette extension étant ad-
mise, la définition générale de l'exponentielle A^ sera fournie par l'équation
(i4) A^ = e«%
ou , ce qui revient au même, par l'équation
(l5) A^=IH \ \ --1-..
"■ ' II. 21. 2. 3
a étant une quantité algébrique choisie de manière que l'on ait
i\6) A = e«.
En d'autres termes, a sera simplement le logarithme népérien du nombre A.
§ V. — Propriétés diverses des exponentielles .
L'exponentielle népérienne e^ n'étant autre chose que la somme [rj de
la série conversrente
il est clair que la formule
[z\[z'] = [z + z'].
établie dans le § lY, pourra s'écrire comme il suit :
(i) e/e'' = e'-^^'.
On trouvera de même, en désignant par a une quantité algébrique positive
( ^43 )
ou négative, et remplaçant z par az, t! par ai! ^
puis en posant
e« = A,
on réduira l'équation (2) à la formule
(3) A^\^'r= A^-^^'.
Il résulte des formules ( 2) et (3) que, pour opérer la multiplication de deux
exponentielles relatives à la même base e ou A , il suffit d'ajouter les expo-
sants. Lorsque z, z' se réduisent à des quantités algébriques, e% e^' ou A^
V représentent des nombres dont z, z' sont les logarithmes. Alors les for-
mules (i) et (3) mettent en évidence la propriété fondamentale des loga-
rithmes, savoir, que, pour obtenir le logarithme du produit de deux
nombres, il suffit d'ajouter entre eux les logarithmes de ces nombres.
Supposons maintenant que z soit une quantité géométrique, en sorte
qu'on ait
z = X -h j^i,
X, pétant les coordonnées rectangulaires du point dont l'affixe est z. La
formule (i) donnera
(4) e^ = e^e^\
D'ailleurs, en vertu de la formule (i3) du § V, on aura
(5) .--^hmi. +-^y",
puis en posant, pour abréger,
(6) » + ^ = P.= '.^
on tirera de l'équation (5)
(7) ^^' = limp„,^ = Hmp.limi„,^.
On satisfait à l'équation (6), ou, ce qui revient au même, aux deux suivantes
y
(^8'^ I = p COSST, — =pSU12y,
en prenant
(9) t. = arctang£, p-,-^:
3i .
( 244 )
et alors, pour des valeurs indéfiniment croissantes du nombre entier /w, on
voit l'argument zs converger vers la limite zéro, le module ^j vers la limite i ,
et le produit
mrs = Y
■^ tang CT
vers la limite j. Donc la formule (7) donnera généralement
(") e^''= V,
ou , ce qui revient au même ,
( ' 2) e* ' = cosj^ + i sin j.
L'équation (12), découverte par Euler, sert à exprimer en fonction des
lignes trigonométriques, cos j, sinj, V exponentielle trigonométrique e>'.
La formule (ri) est l'équation d'Eider, réduite à la forme la plus simple.
§ VI. — Sur les exponentielles trigonométriques.
Soient p un angle quelconque et m un nombre entier. Si l'on fait croître
ce nombre indéfiniment, ou, ce qui revient au même, si on le fait con-
verger vers la limite go , on aura, en vertu de la formule {i3) du § TV,
(i) e/-:-lim(i+£iV.
Si d'ailleurs on pose
(.2) rH i = p^ = p (coszrr + i sin w),
on en conclura
('^) 1 = (5 COSS7, — = psin^7;
et il est clair que si l'on attribue au nombre m une valeur tres-considé-
rable, de manière à rendre très-petite la valeur numérique de ^, on véri-
fiera les équations (3) en prenant
(4) p — i\-h^Y j zs = arc tang - •
Enfin, comme on tirera des formules (i) et (2)
e^^ = lim(pJ-=:lim(p-)„,^,
le module et l'argument de l'exponentielle e^' seront évidemment les li-
( 245 )
mites vers lesquelles convergeront, pour des valeurs croissantes de m, les
quantités
(5) r = (ï + ^)' ^^ '"^•
Mais, m venantà croître indéfiniment, le rapport — s'approchera indéfini-
ment de zéro -, par suite, la quantité
[.M
et sa racnie carrée
■-.)
s'approcheront indéfiniment de l'unité. Alors aussi, rz venant a sappro
cher indéfiniment de z
hmite i , et le produit
lier indéfiniment de zéro, on verra le rapport ; — — converger vers la
' * ' tang CT ^
mzs = p
' tang CI
vers la limite p. Donc, en résumé, l'exponentielle e^" a pour module
l'unité, et pour argument l'angle ^; et l'on a identiquement
[6) eP' := ip z= cosp + i s'mp.
Il suit de cette dernière formule que, dans l'exponentielle e'", la partie
purement algébrique et le coefficient de i se confondent avec les deux
lignes trigonométriques appelées le cosinus et le sinus de l'argument p.
C'est pour ce motif que nous donnons à eP' le nom d'exponentielle trigo-
nométrique.
Nous avons remarqué, dans le § IV, que l'on a pour toute valeur finie
de z
z z^ z'
e^ = I H 1 \ 5 -h
I 1.2 1.2.3
Si donc, dans l'équation précédente, on pose z = pi, et, par suite,
e"* = e^' = cos /? + i sin p,
on trouvera
(7) cos o H- / sin p = I H- - i ^-- 1 + ...
^ ^ ' ' ' I 1.2 1.2.3
( 246 )
et il suffira d'égaler entre elles, dans les deux membres de l'équation (7),
d'une part, les parties algébriques, d'autre part, les coefficients de 1, pour
retrouver les formules connues
(8) cosp=i~^ + —f~-.-..., sinp = ^--£l- + ...,
^ ' ^ 1.2 1 .2.3.4 I 1.2.3 ^ • • • '
qui servent à développer cos p et sin p suivant les puissances ascendantes
de l'angle p.
Remarquons en finissant que, si l'on représente par x, y, les coordon-
nées rectangulaires, et par z l'affixe d'un point situé dans un certain plan,
en sorte qu'on ait
z =z a: -^ yv,
l'équation (^4) du § IV, savoir :
(9) e'=ze^e^\
donnera, eu égard à la formule (6),
(10) e^ = e-^ ly..
Donc l'exponentielle
aura pour module le nombre e^ et pour argument la quantité j\
Si la quantité géq^nétrique z' était conjuguée à z, en sorte qu'on eût
z' = x -j\,
alors, a la place de l'équation (9), on obtiendrait la suivante :
(il) e^=e-^e->'
que l'on pourrait encore écrire comme il suit
(12 J 6""= e"^ i_^;
en vertu des formules (9) et (i i) jointes à l'équation (6), les exponen-
tielles e*, e^ seraient, ainsi que z et z' , deux quantités géométriques
conjuguées.
( 247
Sur les divers logarithmes d'une quantité géométrique.
Soit z une quantité géométrique. Les divers logarithmes de z, dans le
système qui aura pour hase un nombre donné A , seront les diverses va-
leurs d'une quantité géométrique A déterminée par l'équation
{., A^ = z.
Si , en réduisant le nombre A à la base
e = 2, 7182818 . . .
des logarithmes népérienSj on désigne par X l'un quelconque des loga-
rithmes népériens de z, on aura simplement
(2) e' = z.
Soient maintenant r le module et p l'argument de z. en sorte qu'on ait
z = rp=ipr=r cos p -h ir sin ;; ;
et posons
jc = r cosp, j = r sin p.
A chaque valeur de
z = .r -f- j^- i
correspondra un système unique de valeurs algébriques de œ, j, propres
à représenter les coordonnées rectangulaires du point dont z sera l'affixe.
Au contraire, à chaque valeur de z correspondra une infinité de valeurs de
l'argument p-, et, comme ces valeurs se réduiront aux divers termes d'vme
progression arithmétique dont la raison sera la circonférence in, l'une
d'elles sera généralement comprise entre les hmites — 7r, -f- tt. Si on la
représente par la lettre p , la valeur générale de p sera
(S') p = \> -h ikn,
k désignant une quantité entière quelconque, positive, nulle ou négative.
r 248 )
Concevons à présent que l'on pose
X r= a + §i ,
a, ê étant des quantités algébriques. On en conclura
Donc la quantité géométrique e aura pour module e"' , pour argument ê,
et, en vertu de ce qui a été dit précédemment [page a 17], l'équation (2 /,
que l'on pourra écrire comme il suit
ï.e^ = ipï.
donnera
(?=' = /', Ig =r 1^=^-Ip.
Donc, si l'on désigne, à l'aide de la lettre caractéristique 1, et par la nota-
tion 1 (r), le logarithme algébrique et népérien du nombre r, on aura
a = 1 (r), ê = p + 'ikn ,
I, désignant une quantité entière, et
(4) >- = Kf^) -4- (p + 2A'7r)i.
Kn d'autres feinies, on aura
(5) >. =:](r) + pi,
la valeur de l'argument p étant l'une quelconque de celles que détermine
la formule (3).
Tl est bon d'observer que l'arc désigné, dans les formules précédentes,
par la lettre p, est, de tous ceux qui ont pour cosmus '; et pour siiui.s
-, le plus petit, abstraction faite du signe, et, par conséquent, celui
(jui s'évanouit quand la c[uantité géométrique z se réduit au module /.
Par suite, si l'on pose p = p dans la formule (5), on obtiendra celui des
logarithmes népériens de z, qui se réduit à 1 (r) quand z se réduit à ;, et
qui, pour ce motif, sera généralement désigne par la notation ïiz . Cela
posé, on aura
(6~i Ifz) = 1 (r) -h pi,
et la formule (4) donnera
(7) À = Hz) -4- ] ,
( ^9)
la valeur de I étant
(8) l=2kni.
Si l'on réduit la quantité géométrique z à l'unité , on aura
l(z) = l(,) = o,
et les diverses valeurs de X se réduiront aux diverses valeurs de I fournies
par l'équation (8). Ces diverses valeurs de I ne seront donc autre chose
que les divers logarithmes népériens de l'unité, et il suffira d'ajouter ceux-ci
à 1( z) pour obtenir les divers logarithmes népériens de z.
Si la quantité géométrique z s'évanouit avec son module /■, le loga-
rithme népérien l(r) se réduira simplement à — oc , c'est-à-dire à l'in-
fini négatif; et la formule (6) donnera
(9) Uo)= ~=o H-pi,
l'angle p restant indéterminé, et pouvant être arbitrairement choisi entre
les limites — ;r, + tt. On peut remarquer que, dans la même hypothèse,
la dérivée de l{z), savoir, ~, acquiert un module infini, Targument res-
tant indéterminé.
Enfin, si la quantité géométrique 2 se réduit à la quantité algébrique
et négative — r, on aura
ip= ip= - I,
par conséquent
et pour satisfaire a cette dernière formule, sans attribuer à p une valeur
située hors des limites — -, -f- rr, il faudra supposer, ou p = â, ou
p = — 71. L'équation (6) donnera, dans la première supposition,
dans la seconde
('0 l(-r) = 1(/') - Tri;
et il est clair que l'on pourrait, dans la détermination du logarithme
népérien désigné par 1(- r) , hésiter entre les formules (10) et (i i). Pour
faire disparaître toute incertitude, j'ai proposé, dans le troisième volume
[page 38o], d'adopter de préférence la formule ((o). Mais on pourrait aussi,
Ez. d'An, et de Phrs. math., T. IV. (44^ livr.) 32
( 25o )
sans inconvénient grave, admettre que la fonction \[z), dans laquelle le
coefficient de i devient indéterminé, quand z s'évanouit, offre pour ce
même coefficient deux valeurs distinctes, quant au signe, et données par
les formules (lo) et (ii), dans le cas où, z étant réduit à — r, l'argu-
ment p cesse d'être renfermé entre les limites — tt, ■+- n , et où cet argu-
ment peut être censé atteindre l'une ou l'autre limite au gré du calculateur.
l\ y a plus, on sera naturellement conduit à la formule (lo), si la quantité
négative — r entre dans le calcul comme limite d'une variable dans la-
quelle le coefficient de i se réduit à une quantité positive infiniment petite.
On sera, au contraire, naturellement conduit à la formule (i i), si la quan-
tité — r est la limite d'une variable dans laquelle le coefficient de i se
réduit à une quantité négative infiniment petite. Ainsi, en définitive, il
paraît convenable de ne point s'arrêter à priori à l'une des formules (ïo),
II) plutôt qu'à l'autre, et de laisser le calculateur libre de se déterminer
dans le choix qu'il fera de l'une ou de l'autre, par des considérations pui-
sées dans la nature même de la question qu'il se proposera de résoudre.
L'opinion que je viens d'exprimer se trouve corroborée par la remarque
suivante :
Si, dans la formule (6), on pose r= i, et, par suite, z = !^„ on trouvera
(12) l(i^)=^i.
Cela posé, l'équation (6) donnera
(i3) l{^) = l(r„) = l(r) + i(,,).
D'ailleurs il est naturel d'étendre les formules (12) et (i 3) au cas même ou
l'on a j^ = — I, et, par suite, p = ±. n. En admettant cette extension .
on tirera de la formule (i3)
il 4) ]{- r) = [{r] + \(—i),
et de la formule (12 ;
. i5) I (— i) = ±: Tri.
Or de l'équation (i4) jointe à l'équation (i5) on déduira immédiatement
ou la formule (10) ou la formule (i 1), suivant que l'on réduira le double
signe renfermé dans l'équation (i5) au signe + ou au signe — . En d'au-
tres termes, si l'on pose s = — r, l'équation (6) sera remplacée par celle-ci
{16) l(-r)=r:l(r)dz7ri.
Remarquons encore que dans l'équation (i5) ou (16) le double signe
répond aux deux limites vers lesquelles converge l'argument /?, tandis que
dans l'expression
z = JC + ji,
on pose jc = — i , ou œ := — /•, en faisant converger la quantité positive
ou négative j vers la limite zéro, tout comme dans l'équation
- = ±: oD
[vo/r l'analyse algébrique, page 4^], le double signe répond aux deux
limites + oo , — ce vers lesquelles converge l'expression
tandis que la quantité positive ou négative x s appioclie indéfiniment de
zéro.
Remarquons enfin que, si l'on désigne par z' la quantité géométrique
conjuguée à z, en sorte qu'on ait non-seulement
z=jc-h-fi=rp,
mais encore
z' = ji- -Ji = r_p,
Jes deux fonctions de z désignées par les notations
dont la première est définie par la formule (6) de la page 248, seront deux
quantités géométriques conjuguées. Ainsi, en vertu des conventions adop-
tées, l(z') sera conjuguée à l(z), tout comme e^ à e'. Ajoutons que, si
l'on fait converger les quantités conjuguées
z = Fp et z' = r_p
vers la limite commune — r, en faisant converger p vers la limite r,,
1(^0, l{z')
convergeront vers les limites
1 (r) -+- ;ri, l(r) — 7:1,
qui sont précisément les deux quantités conjuguées dont chacune peut être
considérée comme une valeur de li — r).
32..
[ aSa )
Revenons maintenant au cas où A est un nombre quelconque, et nom-
mons a le logarithme algébrique et népérien de A, en sorte qu'on ait
et , par suite ,
(17) A = e'*.
On aura encore
A^r^e"^.
Donc l'équation (i) donnera
(18) e''''=z=e'^'l
En divisant par c ^^' le premier et le dernier membre de la formule (18).
on trouvera
(■9) e— '(^'=1.
Donc, la différence a A ■— l(z) sera l'un des logarithmes de l'unité, c'est-à-
dire l'une des valeurs de I , et la valeur générale de A sera déterminée par
l'équation
aA -\(z) = l,
de laquelle on tirera
(.0) A = M_ti,
ou, ce qui revient au même, eu égard à la formule (7),
(21) A=-.
On se trouve ainsi ramené au théorème connu dont voici l'énoncé :
Pour obtenir les divers logarithmes de z dans le système dont la base
est le nombre A , il suffit de diviser les divers logarithmes népériens de z
par le logarithme réel et népérien du nombre A.
Si l'on désigne à l'aide delà lettre caractéristique L, et par la notation
L(r), le logarithme du nombre r dans le système dont la base est le
nombre A, alors, en posant comme ci-dessus « = L(A), on aura
Il suffit d'étendre cette dernière formule au cas où le nombre r se trouve
( 253 )
remplacé par une quantité géométrique z-, pour obtenir l'équation
(.3) L(.) = '-^,
qui sert à définir généralement la fonction L(z).
Les définitions que j'ai ici données de l(z) et de L(z) différent de celles
qui ont été adoptées par M. Bjorling, dans le cas seulement ou l'argu-
ment représenté par la lettre p se trouve renfermé entre les limites — n .
— -. Suivant cet auteur, dont les intéressantes recherches ont été déjà
2
mentionnées dans le tome III [page 387], on devrait prendre pour valeur
de p dans la formule (6) un angle qui, toujours inférieur à la limite
- + 7T, ne s'abaissât jamais au-dessous de la limite - — ^r. Ajoutons que
M. Bjorling a donné à la fonction 1 (z) ou L(z,) le nom de logarithme
principal. Nous conserverons ce nom; mais nous substituerons aux défini-
tions données par M. Bjorling celles que fournissent les formules (6) et (10),
quand on attribue à l'argument p une valeur numérique inférieure ou
tout au plus égale à n. Il en résultera que les logarithmes principaux de
deux quantités géométriques conjuguées seront encore deux quantités
géométriques conjuguées.
Les deux fonctions de z, représentées par l(z) et L(z), jouissent, quand
z se réduit à un nombre, de propriétés connues. Ces propriétés ne sub-
sistent plus que sous certaines conditions, quand z est ou une quantité
négative ou une quantité géométrique.
Ainsi, par exemple, si dans les équations
(24) \[rr') = \{r)-\-\{r'),
{^5) L(rr')=L(r) + L(r'),
qui se vérifient généralement quand r, r sont deux nombres quelconques,
on remplace ces nombres par deux quantités géométriques z, z', on ob-
tiendra les deux formules
(26) \{zz') = l(z) + l(z'),
(27) L(zz')=L(z) +L(z').
qui ne seront pas toujours exactes. Si, pour fixer les idées, on suppose
( ^54 )
chacun des arguments p, p' étant compris entre les limites — n , -h tt ; les
formules (26), (27), dont la première jointe à l'équation (^3) entraîne la
seconde, subsisteront quand la somme />-+-/?' sera comprise elle-même
entre les limites — n, H- tt. Mais comme, pour réduire la somme p -h p' k
une quantité dont la valeur numérique ne surpasse pas le nombre n , on
se verra obligé de faire croître ou décroître cette somme du nombre in,
si elle est inférieure à ~ n , ou supérieure à tt , on devra , eu égard à
l'équation (6), remplacer l'équation (a6) par la formule
(28) \{zz') = i{z) -\-\{z') -h ini,
si la somme p -\- p' est comprise entre les limites — tt, —in, et par la
formule
^29) I (zz') = l(z-) + l(z') — 2 7ri,
si la somme p -+■ p' est comprise entre les limites n , in.
Dans le cas particulier ou z' se réduit à — i , on a simplement
zz' = — z.
Alors aussi, à la place de la formule (28) ou (29), on obtiendra J'équation
(3o; \{— z) —. [(z) — ni,
si l'argument p de z est compris entre les limites 0,71. et l'équation
■^i) l(-z)=:l(z) + 7ri,
si p est compris entre les limites o, — ;:.
Si z, z' sont deux quantités géométriques conjuguées, les arguments p,
p', réduits à des arcs renfermés entre les limites -— n , -+- n , seront né-
cessairement égaux au signe près, mais affectés de signes contraires. On
aura donc alors
P-+- p' = 0;
et , comme ou aura aussi
r' = r, zz' = Fp r_p — r^,
l'équation (26) donnera
(32) l(z)+l(z') = l(r^) = 2l(r).
[ 255 )
Sur les puissances ou exponentielles dont les exposants et les bases
sont des quantités géométriques.
Soient z et u deux quantités constantes ou variables. Si ces quantités
sont algébriques et positives, ou, en d'autres termes, si elles se réduisent a
des nombres, on aura identiquement
(i) z. = e'(-^;
et, en élevant les deux membres de l'équation (i) à la puissance du degré w,
on trouvera
(2) z" = e"^^'K
D'ailleurs, pour que l'équation (2) s'étende au cas ou z et m sont des
quantités géométriques, il suffit d'admettre que, dans ce dernier cas, on
se sert de cette équation même pour définir généralement la puissance ou
exponentielle z" dont la base est z, et l'exposant u. C'est ce que nous
ferons désormais. Nous obtiendrons ainsi une définition de z" qui com-
prendra évidemment comme cas particulier, non-seulement la définition
précédemment donnée [page 2421] d'une exponentielle dont la base A est
un nombre quelconque, mais aussi la définition donnée [page i63] d'une
puissance entière d'une quantité géométrique. Effectivement , si la quantité
géométrique u se réduit à un nombre entier n , et si d'ailleurs on pose
p étant compris entre les limites — tt , -h n , l'équation (2) réduite a la
suivante
z- = e"'^'\
et combinée avec la formule
l(z) = l(r)+pi,
donnera
(3) z" == e"'^'-^^''P\
( 256 )
D'ailleurs, eu égard à la formule (i) de la page 1^1 , on aura
Donc l'équation (3) donnera simplement
ou , ce qui revient au même ,
Or cette dernière formule coïncide avec l'équation (7; de la page i43,
c'est-à-dire avec la formule à laquelle on est conduit lorsqu'on étend la
définition généralement admise de la n^^'"^ puissance d'une quantité au cas
même où cette quantité cesse d'être algébrique, en considérant une telle
puissance comme le produit de n facteurs égaux entre eux.
Si, dans l'équation (2), la quantité géométrique z s'évanouit avec son
module r, alors, la partie algébrique I(a') de \{z) étant réduite à — ce ,
la valeur de z" sera nulle si la partie algébrique de u est positive , et ni-
tinie si la partie algébrique de u est négative.
Si la quantité géométrique z se réduit à la quantité algébrique et néga-
tive — r, alors, comme il a été dit à la page 260, oji pourra prendre pour
valeur de z l'une ou l'autre des deux expressions
l(r) + ni y l(r) — tti,
et réquation ( 1) fournira pour valeui- correspondante de
(- rY
l'un ou l'autre des produits
i:,u r", I _--„ r".
Il y a plus; on sera naturellement conduit à la formule
(5) (-/■)"=!,„,-,
si la quantité — r entre dans le calcul comme limite d'une variable dans
laquelle le coefficient de i se réduit à une quantité positive infiniment
petite. On sera , au contraire , naturellement conduit à la formule
(6) i-ry = i-^ur%
si la quantité — r est la limite d'une variable dans laquelle le coefficient
de i se réduit à une quantité négative infiniment petite. Ainsi, en défini-
( -57)
tive , il paraît convenable de ne point s'arrêter à priori à l'une des for-
mules (5), (6) plutôt qu'à l'autre, et de laisser le calculateur libre de se
déterminer dans le choix qu'il fera de l'une ou de l'autre par des consi-
dérations puisées dans la nature même de la question qu'il s'ag^ira de
résoudre.
En réunissant dans inie seule formule les équations (5) et (6), on aura
Si l'on pose en particulier r = i , la formule (7) donnera
(8) (-•)"= 'i,,,-
Par suite, la formule (7) entraînera la suivante ,
(9) (_r)" = (_,)«r".
qui peut être substituée à chacune des équations (5 ) et (6 ;.
Si l'on pose
I
u = -■>
9.
la formule (8) donnera
j_
(10) {~i)' = ±.i.
1
Ainsi, eu égard aux conventions admises, la notation ( — 1) ou y — i ne
doit pas être uniquement employée pour représenter la quantité géomé-
trique
2
On peut aussi se servir de cette notation poiu- ^représenter la limite — i
vers laquelle converge l'expression
quand s, étant positif , s'approche indéfiniment de zéro.
Observons maintenant que, si l'on pose comme ci-dessus
l'argument p étant compris entre les limites — 7:, H- tt , on tirera géné-
ralement de l'équation (2), combinée avec la formule
\{z) = \{r)+pi,
Ex. d'An, et d'.' Ph. math., T. IV. (44« livr.) 33
( 258 )
ef avec l'équation ( i) de la page 242,
par conséquent
(II) z" =z r" e"P'\
La formule (11) pourrait servir aussi bien que la formule (2) à détinir Ja
Fonction de z et u, représentée par la notation z".
T^a fonction de z et de //, représentée par z", jouit, quand z ou 11 se
réduit à un nombre, de propriétés connues. Parmi ces propriétés, quel-
ques-unes continuent de subsister généralement, d'autres ne subsistent
plus qne sous certaines conditions, quand z et w sont deux quantités
géométriques.
\insi , par exemple, eu égard à l'équation (2), la formule
12) z" z"' = Z"'^"'
subsistera généralement ])our des valeurs quelconques des quantités géo-
métriques M, w', non-seulement quand z sera un nombre, mais encore
quand z sera une quantité géométrique quelconque.
Au contraire, si dans l'équation
(F 3) (/T')"-r",-%
qui se vérifie généralement quand r, r' sont deux nombres quelconques ,
on i-emplace ces nombres par des quantités géométriques z, z\ on ob-
tiendra la formule
ff4) {zz'Y = z"z"'
qui ne sera pas toujours exacte. Effectivement, on aura, en vertu de
l'équation (2),
Par suite l'équation (i3) subsistera sous la même condition que la for-
mule (26) de l'article précédent, c'est-à-dire dans le cas où les arguments
p, p' de z et de z', supposés tous deux compris entre les limites — tt, -h tt,
fourniront une somme p + p' comprise entre les mêmes limites. Lorsque
cette condition ne sera pas remplie, alors, en vertu de la formule (28) ou
(29) de l'article précédent, jointe à l'équation
( 2% )
on aura
Ci 5) [Zz'Y = r„„ z"z"%
si la somme p + />' t'st comprise entre les limites — -, — 27:, et
16) {zz'Y^i-,^uZ"z"%
si la somme p -+- p' est comprise entre les limites 71 , -^tt.
Si l'on désigne par z' la quantité géométrique conjuguée à z, et par u' la
quantité géométrique conjuguée à m, alors, en vertu des notations admises,
aux trois quantités géométriques
l(z), u\{z), É?"' ^' =^ z"
correspondront les quantités géométriques conjuguées
l(z'), u'\(z'), e"'''-^'- = z'".
Donc
z", z'"'
seront deux quantités géométriques conjuguées.
L'équation (2) est précisément celle à l'aide de laquelle M. Bjorlmg et
défini la fonction z". Mais, en vertu des conventions adoptées par cel
auteur, p serait, dans l'équation (11), un angle (pii, toujours inférieur a
la limite - -h 7: , ne s'abaisserait jamais au-dessous de la limite ^ — "•
D'ailleurs, M. Bjorling a donné à l'expression z" le nom de puissance prin-
cipale du degré u. Nous conserverons ce nom, mais nous attribuerons h
l'argument p de z, mis en évidence dans l'équation (i 1), une valeur nu-
mérique inférieure ou tout au plus égale à tt. Il en résultera qu'en élevant
deux quantités géométriques conjuguées à des puissances indiquées par des
exposants conjugués, on obtiendra encore, pour puissances principales,
des quantités géométriques conjuguées.
33..
( aôo
Sur les arguments de deux quantités géométriques dont la
ou le produit est une quantité algébrique positive.
§ V . — Sur les arguments de deux quantités géométriques dont la somme est algébrique
et positive.
(considérons deux quantités géométriques dont la somme soit algéhri(jue
et positive. Soient d'ailleurs c M demi-somme, et
!a demi-différence de ces deux quantités géométriques. Elles seront repré-
sentées par les binômes
c + 2 , C — Z-.
et si l'on nomme p, p' leurs modules, sr, zs' leurs arguments, que nous
supposerons tous deux compris entre les limites — tt. ;r, on aura
( p'^: — C — Z = C — Tp,
par conséquent
j p cos î? =r c + r cosp, p s\n 7S = r sinp,
\ p' cos w' = c — r cos p, p' sin w' = r sin /;.
On aura donc, d'une part,
(3) p cosrs = c -h r cbsp, p' coszs' = c — r cos p;
et, d'autre part,
(4) p sïuzs = — p' sinsr' = r sin p.
Observons maintenant qu'en vertu des formules (3) costy, cos w' seront
positifs, si le module r de z est mférieur à la constante positive c. Donc
alors, chacun des arguments z^, zs' étant compris entre les limites — -' -'
N
( ^6i )
chacune des quantités
zs — trr', w -h st'
offrira une valeur numérique inférieure à n. J'ajoute que cette conclusion
subsistera encore si le module /• de z devient égal ou supériein- à l'unité.
C^'est en effet ce que l'on prouve aisément comme il suit.
D'abord il résulte de l'équation (^4) ^^^^ sin w , sin^y' sont des quan-
tités affectées de signes contraires. Par suite, il en sera de même des argu-
ments zs, zs', dont le plus grand offrira une valeur numérique égale à celle
delà somme zs H- zs'. Donc cette somme sera, comme chacun d'eux, ren-
fermée entre les limites — n, -i- n.
De plus, si le module /•, supposé d'abord inférieur à l'unité, vient a
croître indéfiniment, mais par degrés insensibles, les angles sr, r?', dont
les valeurs sont affectées de signes contraires, et la différence
^ — zs',
équivalente, au signe près, à la somme des valeurs numériques de zs et zô\
varieront évidemment par degrés insensibles, jusqu'au moment on l'on
aura , s'il est possible ,
^ ~ zs' = ±1. n,
par conséquent
zs = zs Z^ TC.
Mais, dans ce dei'uier cas, on trouverait
sin zs' = — sin zs , cos zs' = — cos zs ;
et la formule (4) donner.iit
fy = p.
Par suite, on tirerait des formules (^)
p cos zs — r cos p = a ^= — c.
Cette dernière équation ne pouvant se vérifier que dans le cas ou c serait
nul, nous devons conclure que, dans le cas où c est positif, les arguments
w, ot' et leur différence zs — zs' varieront pour des valeurs croissantes de /•.
par degrés insensibles, sans que jamais la valeur numérique de zs — zs'
puisse atteindre la limite ;:, qui surpasse cette valeur numérique quand
on a r < c. On peut donc énoncer la proposition suivante :
r^"" Théorème. Etant données deux quantités géométriques
( 202 )
doii{ la somme est une quantité algébrique et positive ic, concevons
que l'on réduise les arguments w, t?' de ces deux quantités géométriques
à des angles renfermés entre les limites — tt, +n. Les angles
seront eux-mêmes renfermés entre les limites — tt , -+-;:.
Il est bon d'observer qu'on peut encore arriver très-simplement au théo-
rème premier à l'aide de considérations géométriques. En effet, construi-
sons les trois points
A, B, C
dont les affixes sont respectivement
Le point C sera situé siu- l'axe polaire , et le pôle O sera le milieu de la
droite AB. D'ailleurs, on pourra supposer que des deux quantités géomé-
triques
z, — z,
la première est celle dans laquelle le coefficient de i est positif. Cette hypo-
thèse étant admise, les arguments zs , — zs' seront positifs et représen-
teront les angles formés par les droites BC , AC avec l'axe polaire OC , c'est-
à-dire, en d'autres termes, les angles BCO, ACO. Donc la somme zs — vs'
des deux arguments sr, — zs' représentera l'angle BGA du triangle qui a
pour sommets les trois points A, B, C. Donc cette somme sera lui angle
positif inférieur a 7r, et l'on pourra en dire autant , à fortiori , de la valeur
numérique de l'angle zs + -zs' , équivalent, au signe près, à la différence
des arguments Z5, — sr'.
Du théorème premier, joint auxtprincipes établis dans les deux articles
précédents, on déduit encore les propositions suivantes :
1^ Théorème. Étant données deux quantités géométriques
dont la somme est luie quantité algébrique et positive i c, l'addition ou la
soustraction de leurs logarithmes principaux, pris dans un système quel-
conque, donnera pour résultat le logarithme principal du produit ou du
quotient de ces deux quantités géométriques.
3^ Théorème. Étant données deux quantités géométriques
( 263 )
dont la somme est une quantité algébrique et positive 2 6% la multiplication
ou la division de leurs puissances principales d'un degré quelconque u don-
nera pour résultat les puissances principales et semblables du produit ou
du quotient de ces deux quantités géométriques.
En vertu du théorème 2, et en désignant à l'aide de la lettre caractéris-
tique I un logarithme népérien, on aura non -seulement
(5) \[c + z)^\[c - z) = \[c'' - z'),
mais encore
(6) HC-^Z)-\{C-Z):=^\'^^-
On trouvera, par exemple, en posant c = 1 ,
(7) 1(1 + z-) + Ui - 2)==U' -^')'
et
(8) l(I-^z)-l(I -z) = ii^^
En vertu du théorème 2, et en désignant par u une quantité géomérrique
quelconque, on aura non-seulement
(9) (c 4- zf (c - z)" = {c' - Z')%
mais encore
(^«) (737)-. - ( .— j •
On trouvera, par exemple, en posante = i,
(11) (n-^)«(i_z)"^(i-z^r
et
Si l'on pose, en particulier, u=: -^ les formules 9) et (10) donneront
± J. -î-
(i3) (c + z-fC-'-^^'^ic'-^-jy.
(■4) ^-{^-
[c — z)
( m )
§ II. —Sur les arguments de deux quantités géométriques dont le produit est
algébrique et positif .
Considérons deux quantités géométriques
z = Fp, z' = r'p>
dont le produit se réduise à une constante algébrique et positive c. On aura
rr' — ip+p'fT';
et, par suite, l'équation
rr' = c
doiuiera
(V rr'=c, (2) ip^p' = o.
Si d'ailleurs, comme on peut généralement le supposer, chacun des ar-
guments p, p' est renfermé entre les limites — ti, + tt, la somme p -^ p'
offrira une valeur numérique inférieure ou tout au plus égale à 27:; et
même cette valeur numérique ne pourra s'élever jusqu'à la limite 2 tt que
dans le cas où, z, z' étant réduits à des quantités négatives — r, — r', on
aurait
et, par suite,
/) = ±: ;t, p' ^ ±. n'.
Ce cas excepté, l'équation (2) entraînera généralement la suivante :
(3) p -+- p'=:: o ou p' = — p,
de sorte que/?, p' seront des angles égaux, au signe près.
Si l'une des quantités géométriques
offre pour partie algébrique une quantité positive, alors des arguments p,
//, l'iui sera compris entre les limites — -, -, et l'autre, en vertu de l'équa-
tion (3), devra jouir encore de la même propriété. Donc alors la différence
P-P'
sera comprise entre les limites — rr, -h tt. De cette remarque, jointe aux
principes établis dans les deux articles précédents, on déduit immédiate-
ment les propositions suivantes :
( '265 )
i" Théorème. Soient s, z' deux quantités géométriques dont le produit
se réduise à une quantité algébrique et positive c. Si l'une des quantités z,
z' offre une partie algébrique positive, la différence de leurs logarithmes
principaux , pris dans un système quelconque , sera le logarithme prin-
cipal du rapport de l'une à l'autre, en sorte qu'on aura
(4) l(z)-l(z/) = l(i)-
i"" Théorème. Soient z, z' deux quantités géométriques dont le produit
se réduise à une quantité algébrique et positive c. Si l'une des quantités z,
z' offre une partie algébrique positive, le rapport de leurs puissances prin-
cipales d'un degré quelconque n sera la puissance principale et semblable
du rapport de ces deux quantités géométriques, en sorte qu'on aura
f5^)
i^.
d'An, cl de Phfs. math.. T. lV.(4o« iirr.) 34
( 266 )
Sur l'argument principal d'une quantité géométrique. Formules
diverses servant a exprimer l'argument principal d'une quantité
géométrique en fonction de la partie algébrique et du coefficient
de j.
Soi!
(0 --'>
une quantité géoînétriqiie, qui ait pour module le nombre /', et pour ar-
gument l'angle p. Si cet angle est, comme on peut toujours le supposer,
renfermé entre les limites — n, n, il deviendra ce que nous apj)ellerons
Y argument principal de la quantité géométrique z. Si z se réduisait à une
quantité algébrique négative, en sorte qu'on eût
l'argument principal p pourrait être censé atteindre ou la limite inférieure
— 7T, ou la limite supérieure n, suivant que l'on considérerait — /• comme
la limite vers laquelle convergerait, pour des valeurs infiniment petites du
nombre s, ou la première ou la seconde des deux quantités géométriques
Concevons maintenant que, dans la quantité géométrique z, on désigne
la partie algébrique par œ et le coefficient de i par j\ On aura
(2) z = jc-hji,
et, en égalant l'une à l'autre les valeurs de z données par les fornuiles (i),
(a), on trouvera
jr + / i = 7> = ipi' = r(cos /; + i sin /;).
par conséquent ,
(3) jc =^ rcos p, j = rsin/?,
( ^67 )
Des équations (3) jointes
1 aux formules
cos-/? 4- s\u^ p— I,
sin p
tauiir p = — -^
^ ' cos/>
on tire, en premier
lieu,
j^a +j-a = /■%
et, par suite.
(4)
r= (^2 _^j2\T.
en second lieu ,
(5)
cos p = 7, ' sin /^ = j: '
la valeur de r étant
donnée par l'équation (4), et
(6)
t'^ng/'^^i'
Enfin, comme on a
•
cot p r= :
' tang/?
séc
p ==: ■ -? COséc P = ~-
" cosp ^ su
on trouvera encore
(7)
cot p —-^
(S)
r , r
sec p z= --, cosec p = -
Les équations (5), (6), (7), (8) subsistent pour toutes les valeurs que
peut acquérir l'argument p de la quantité géométrique
On peut d'ailleurs de ces mêmes équations déduire des t'ornudes diverses
dont chacune détermine non plus Tuîie quelconque de ces valeurs de p,
mais l'argument principal de z, en fonction des deux quantités algé-
briques JC, j.
En effet, conservons les notations adoptées dans mon yJ/uUjse algé-
brique ^ et admettons, en conséquence, que, x étant une quantité algé-
brique , Ton désigne par la notation
arc sin x, ou arc coséc x, ou arc tang x\, ou arc cot x^
34..
( a68 )
]'arc qui, ayant .x pour siinis, ou pour cosécante, ou pour tangente, ou
|)our cotaneente, est renfermé entre les limites — -, -, la valeur jiumé-
^ <^ ' 2 2
rique de x étant supposée inférieure à l'unité dans arc sin x, et supérieure
à l'unité dans arc coséc .r. Admettons, au contraiie, cjue l'on désigne j>ar
Ja notation
arc cos œ ou arc séc jc
1 arc (jiii, ayant x pour cosinus ou pour sécante, est renfermé entre les
limites o, rc. Puisque cos ^ et séc/) sont des fonctions ])aires de p, qu'on
n altère point en changeant le signe de p, il est claii- que, si /; représente
Targiunent piincipal de z compris entre les limites — -, -, on tirerr, de
la première des formules (5),
r
t) = -m arc cos -?
et de la ])remiè:'e des formules (8l
p = ± arc séc -•
Ajoutons (ju'en vertu de la seconde des fornuiles (5), j- sera positif ou
négatif avec sin p, suivant que p sera compiis entre les limites o, r. ou
o, — 7r, c'est-à-dii'e, en d'autres termes, suivant ([ue l'argiunent principal p
sera positif ou négatif. Donc, dans les deux équations que nous venons
d Obtenir, le flouble signe devra être i^éduit au signe de la c[uantité algé-
l)ri{jue 7'; et I argument principal p de la quantité géométrujue
pourra étie déterminé, dans tous les cas, pai' liuie (pielcoiujue des deux
formules
(9) /^ = -^'^»"^'^'f>s^'
f lo) p = -y-ir arc séc -,
la valeur de /' étant donnée en fonction de x et de j [Vdv léq nation (4).
]| est bon d'obseiver qu'en vertu de la formule '()) ou (lo), l'argument
|)rincipal p offrira mie videur numéiique inférieute ou supéi'ieure a -î sui-
v.uit que la valeur de x sera ])ositive ou négative. Par suite, on tirera de h
( 269 )
foiniule (6), si .r est positif,
et, si X est négatif,
p = arc tang ~:
p = arc tang - ± n,
le sioiie ±. devant être réduit au signe H- on au signe — , suivant que j seia
positif ou négatif. Ajoutons qu'un nombre qui se réduit à zéro pour x> o,
à l'unité pour x < o, peut être représenté par l'expression algébi-ique
et qu'en conséquence les équations (i i), (l'i) se trouvent toutes deux com-
prises dans la formule générale
(.3. P = '''''' ''^''ëi-^l-;p{'-i^)-
Enfin, comme les arcs ,
arc tang - , arc cot - , arc sin - - arc coséc - ,
seront égaux, aux signes près, les signes des deux premiers étant sem-
blables ou contraires aux signes des deux derniers, suivant que la valeur
de X sera positive ou négative, on aura identiquement
arc tans - = arc cot - = 4= '»'c sin - = -^ arc coséc - :
et, par suite, on pourra substituer à l'équation (i3) l'une quelconque des
formules
(.4) i'^^"-'"'''^ + l-t.('-77)'
(16 i p = -^ arc coséc \- --1=^ ( i p^ ) '
/ étant toujours déterminé, en fonction de x et de j, par l'équation (4).
Les formules (i3), (i4) et celles qu'on obtient en substituant, dans les
formules (9), (10), (i5) et (16), la valeur de r donnée par l'équation (4),
ne sont pas les seules qui servent à exprimer l'argument principal p de la
quantité géométrique z = x + j 1, en fonction des quantités algébriques x, 7
( ^7*^ )
On peut encore, après avoir réduit l'équation
(17) jc -hji= ipr= reP'
à la forme
en déduire immédiatement la valeur cherchée de/?, en prenant les loga-
rithmes principaux des deux membres. On trouve ainsi, en nommant p
l'argument principal de z,
et , par suite ,
(.9) ^ p=\ii^)'
ou , ce qui revient au même ,
/ . lf.r+ ri) — 1(V')
(9.0) p^ ,
la valeur de /' étant donnée, en fonction de jc et j, par l'équation (4).
D'ailleurs, si à la quantité géométrique jc-hji on substitue la quantité
conjuguée jc — ji, l'argument p changera de signe, et, à la place des équa-
tions (17), (18), (19), (20), on obtiendra les suivantes :
(21)
(.2)
(23)
Enfin, des formules (20), (24), combinées entre elles par voie d'addition,
l'on tirera
^ ]{x-hyi)~\(x—yi) _
^ i
et, par conséquent,
/ ^. l(\r-+- yi) — l(x — ri)
(2D) pr^ — ^-^ ^•
Si l'on égale entre elles les deux valeurs de l'argument principal p four-
-Ji
=
i-pr= re'
-'',
e-p\
=
x — y\
r
P =
-
1 ^x—ji
i r
P =
—
\(.T — ri)-
-\ir)
{
( 27» )
mes par les équations (i3) et (aS), on trouvera
(26,) arc tang^ = -^ ^-i— -^ :^ _ _^ i _ \.
Si, dans cette dernière équation, l'on remplace x par i et j' par j:. on
obtiendra la fornuile
(•27) arc tang x = ■ — ^- -:
(pie Ion pourra encore écrire connue il siiii :
(28) arc tang jc = -r 1
I , I + jci
Remarquons en outre que, si, dans Féquatioii
(29) l(z)=:=l(r) + ;)i
on substitue les valeurs de z, ret p données par les toriuules (i), (4) et (9),
on trouvera
( '^1^ )
Sur les "Valeurs générales des expressions
sinz, cosz, sécz, coséc z tangz, cot z.
J)'apres ce qui a été dit à la page ^45 , si l'on désigne par z nne quan-
tité algébrique positive ou négative, on aura
(i e^'':= cosz H- isinz-.
Si, dans la fonuule (i) on remplace z par — z, on trouvera
(•-2) e~"' = cosz — isin z;
et l'on tirera immédiatement des formules (1) et (2)
(O) COS Z = , SnîZ=: :
?. 2 1
On aura d'ailleurs
(4; séc z =r , coséc z = —. )
cos z sin z
et
(5^ tangz zrz-
sin z
cosz
Les formules (3), (4) et (5) fournissent un moyen très-simple de fixer le
sens qu'on doit attacher aux expressions
sinz, cosz, sécz, coséc r, tangz, cot z,
dans le cas où z cesse d'être une quantité algébrique. En effet , les valeurs
de ces expressions pourront toujours être facilement obtenues, si l'on
convient d'étendre les formules dont il s'agit au cas où z se transforme en
une quantité géométrique quelconque. Cette convention, que nous ado])-
terons désormais, permettra d'exprimer les valeurs cherchées en exponen-
tielles népériennes que l'on calculera sans peine à l'aide des formules (6
et (9) des pages 24^ et if\(^.
( ^73)
Il est bon d'observer qu'en vertu des formules (3), (4), (5),
cos z, séc z
seront des fonctions paires de z, c'est-à-dire des fonctions qui ne seront
pas altérées quand z sera remplacé par — z, et qu'au contraire
sin z, coséc z, tangs, cot z
seront des fonctions impaires de z, c'est-à-dire des fonctions de z qui
cliangeront de signe avec z; en sorte qu'on aura
;6) cos(— z) = COS z, séc(— z) = sécz,
/ sin( — z) = — sin 2, coséc( — z) = — cosécz,
' ' j tang(— z) = — tangz, cot(— z} = — cot z.
Si dans les équations (3) on pose
alors, en ayant égard aux formules
qZÏ __ g-ri-r — . Q-y ^(_^Qj^ jr. _|_ 1 j^[|, j,.-j^
e~^' = e"^^"^''=: e^ (cos X — isin x),
on trouvera •
(8)
Ces dernières formules mettent en évidence, dans cos z et sin z, ia partie
algébrique et le coefficient de i. Les formules qui joueront le même rôle
relativement aux fonctions
séc z, cosécz, tangz, cot z,
se déduiront immédiatement des équations (4) et (5) jointes aux for-
mules (8).
Soit maintenant z' la quantité géométrique conjuguée à z, en sorte qu on
ait
z' =.x — j\.
Pour obtenir les valeurs des expressions
sinz', cos z'.
Et dAn. et de Phys. math., T. IV. (-5S« livr.) 35
( 274 )
il suffira (le changer, dans les seconds membres des formules (8), le signe
de j, ou, ce qui revient au même, le signe de i. Donc les deux quantités
géométriques
sin z', cos z'
seront respectivement conjuguées aux deux quantités géométriques
sin £•, cosz;
ce qu'il était facile de prévoir, d'après la forme des équations (3), dont les
seconds membres ne sont pas altérés, quand on y remplace i par — i. Par
suite aussi, les quantités géométriques
séc jz', coséc 2', tangz', col 2'
seront, eu égard aux formules (4) et (5), respectivement conjuguées aux
quantités que représenteront les expressions
séc z, coséc z, tangz, cot 2.
Enjoignant aux équations (3), (4), (5) l'équation (i) de la page 242, on
étendra sans peine ini grand nombre de formules trigonométriques, re-
latives à un ou à plusieurs arcs, au cas où ces arcs deviennent des
quantités géométriques; et d'abord il est clair que, si, après avoir multi-
plié chaque membre par i dans la seconde des formules (3), on la combine
a^ec la première par voie d'addition' ou de soustraction, l'on retrouvera
précisément les formules (i) et (2). Celles-ci devront donc être étendues
au cas où z représente une quantité géométrique quelconque, et l'on pourra
en dire autant de l'équation
(9) cos^z -h sin'^z = r,
qui se déduit encore immédiatement des formules (3), ainsi que des for-
mules (1) et (2) combinées entre elles par voie de multiplication.
Ajoutons que, si l'on divise par cos^z ou par sin^z les deux membres
de la formule (9), on en tirera généralement, eu égard aux formules (4)
et (5),
(10) séc^z = I + tang'z
et
(11) coséc^z = I + cot^z.
Observons maintenant que, si l'on désigne par k une quantité entière
quelconque positive, nulle ou négative, les diverses valeurs du produit
( 273 )
•2^7:1 seront, en vertu de hi remarque faite à la page 249, les divers loga-
rithmes népériens de l'unité. On aura donc
En combinant cette dernière équation, que fournit aussi la formule (6) de
la page 245, avec la formule (i) de la page 242, on trouvera
(i3) e ' z= e ,
puis, en remplaçant z par — z, et k par — k^
(îela posé, les fornuiles (3) donneront
■' i5) cos(z H- o.kz) = cos z, sin (^z -^ ikr.) =z sinz;
et, par suite, on tirera encore des formules (4), (5),
■ r6) séc [z -h 2 A't:) = séc r-, coséc (z -h 2 A'-) = coséc z,
'17) tang(z+ 2 A-tt) = tangz, cotfzH- 2X7:) = cotz.
Donc luie des propriétés les plus remarquables des lignes trigonométriques
sin z, cos r. séc z, coséc z, tangz, cot z.
celle qui consiste en ce que chacune de ces lignes demeure invariable quand
on fait croître ou décroître l'arc z d'un multiple de la circonférence 2 r,
s'étend au cas où cet arc se transforme en une quantité géométrique quel-
conque.
Si à un multiple de la circonférence 2 7: ou substitue un multiple impair
de la demi-circonférence tt, l'arc représenté, au signe près, par un tel
multiple pourra être supposé de la forme
{ik 4- 1)7:,
A désigne toujours une quantité entière positive, nulle ou négative. D'ail-
leurs, en vertu de la formule (6) de la page 2^5, on aura
(18) ^(^A-H-Oui^ _ j^
et, par suite, eu égard à la formule (i) de la page a^a,
(19) e'^'->'^^-^')'^^'=. -£.'', ^-[^-^(a^-i-i)::]!^ - C"''.
35..
( ^76)
Cela posé, les formules (3) donneront
(20) cos[z 4- (2Â: + 1)7:] = cosz, sin[z -H (aA: -f- Ott] := — sinr,
et l'on tirera des formules (4), (5),
(21) sé.c[z -h {ik -h i)n] = — sécz, coséc[z H- (2 A + 1)7:] = — coséc z,
(22) taiig[z + (2Â-+ i)7rj= tangz, cot [z + (2Â: + i) 7:] = cot i-.
Il est bon d'observer qu'en vertu des équations ( i 5) et ( î6) jointes aux
équations (20) et (21), on aura généralement
(23) cos(z+ A';r) = (— i)*cosz, sin {z -\- kn) ={~ if sin z,
(24) coséc(z+ A'tt) = (— i)^ sécz, coséc(2v+ /itt) = (— i)'' sécz,
k désignant une quantité entière quelconque positive, nulle ou négative.
Au contraire, en vertu des formules (17) jointes aux formules (22 ), on aura
(25) tang(s + kn) = tang z, cot{z + kn) = cotz.
Vinsi les formules qui expriment que la tangente et la cotangente d'un arc
ne varient pas, quand on fait croître ou^décroître cet arc d'iui multiple de
la demi-circonférence ::, s'éteudent au cas où ce même arc se transforme
en inie quantité géométrique.
On peut généraliser de la même manière les relations qui existent entre
les lignes trigonométriques de deux arcs dont l'un est le complément ou le
supplément de l'autre.
On dit que de deux arcs z, z', l'un est le complément de l'autre, lorsque
ces arcs satisfont à la condition
(26^ z -h z' = -■
2
Kn supposant cette définition étendue au cas même où les arcs se transfor-
ment en quantités géométriques, on obtiendra toujours pour complément
de l'arc z l'arc z; et, comme la formule (6) de la page 245 donnera
(27) e' = i, e '^ =r — i,
on tirera de la formule (i) de la page 242
( 277 )
et des formules (3)
(29) cos(- — zj — sinz, sin (^ — z) =: cosz.
Par suite aussi, l'on tirera des formules (4)
(30) séc(- — zj = cosécz,
et des formules (5)
(3r) tang(~- z) = cotz.
En renversant la dernière des formules (29) et les formules (3o), (3i), on
obtient les suivantes :
( 32 ) cos z = sin ( - — z I , coséc z = sôc ( ^ — z ) , cot z = tang ( ^ — ^) '
Celles-ci pourraient être considérées comme un moyen de définir générale-
ment les trois lignes trigonométriques
cosz, coséc z, cotz.
Elles montrent que le cosinus ^ la cosécante et la cotangente de l'arc z sont
toujours le sinus j la sécante et la tangente du complément de cet arc.
On dit que de deux arcs z, z', l'un est le supplément de l'autre, lorsque
ces arcs satisfont à la condition
(33) ; z + z' = r..
En supposant cette définition étendue au cas même où les arcs se trans-
forment en quantités géométriques, on obtiendra toujours, pour supplé-
ment de l'arc z, l'arc n — z. D'ailleurs, si l'on pose A: = i , dans les for-
mules (23), (24), (26), et si, en même temps, on y remplace z par — z,
on tirera de ces formules jointes aux équations (6), (7),
; 34 ) cos (;: — '^) = ~ cos z, sin ( tt — z ) = sin z,
(35) séc(7: — z) = — sécz, coséc (7: — z) = coséc z,
(36) tang(7r — z) = — tangz, cot(;T — z) = cotz.
11 résulte en particulier de ces formules que le sinus et la cosécante ne va-
rient pas quand on remplace un arc par son supplément.
Supposons maintenant que z, z' soient deux quantités géométriques
quelconques. On tirera des équations (3), combinées avec la formule (1)
( ^78
de la page 242,
icos(z -f- z') —
sin [z -h z') =
et, par suite, eu égard aux équations (i) et (2
^,jQ. j cos (2 + z') = cos scosz' — sirizsiiijz',
2
^11 ^11 — ^_ii' _
[ sni (Z + z') = sin z cos z 4- sin z'cos z.
Si, dans ces dernières formules, on remplace z par — z, elles donneront
V, V ( cos (z — z') = cos z cos z' -+- sin z sin s',
f SRI [z — z ) := sm z cos z' — sm z' cosz.
Donc les formules (6) et (7) de la page 221 continuent de subsister datis le
cas où l'on remplace les arcs p et /?' par deux quantités géométriques z
et z'.
Ajoutons que des formules (38) et (39) on tire non-seulement
(4o)
/ ... tangs 4- tan^z'
tang(z + z-') =
I — tang z tang z
tang z — tang z'
tanîr z' '
mais aussi
f tane; (z — z') ■= -^—2 -
\ " ^ ^ I ^- tang z ta
s aussi
/ mu I
(4i)
(42)
puis, en remplaçant z et z' par tJll- et par
(43)
COS (z + z') -+- cos (z — z') =*2 COS z cos z',
cos (z — z') — cos (z + z') = 2 sin z sin z',
sin (z + z') + sin (z — 2') = 2 sin zcosz',
sin (z -h z') — sin [z — z') := 2 cos z sin z';
' cos 2 — COS ;
m)
( ^79 )
Remarquons encore que de la formule (i) de la page 242 on tire
et généralement
(45) e'e''c'"... = e- + -^^-"+..-.
quel que soit le nombres des quantités géométriques r, z' , r",.... Si, dans-
l'équation (45), on suppose z = s' — i." = ..., on trouvera
(46) {e^r^C-.
On aura, par suite,
ou, ce qui revient au même,
( ( cos z -4- i sin z )" z=i cos nz -+- i siu nz ,
( (cos z — 1 sm z)" = cos 7?z- — 1 sm nzi,
et de ces deux dernières formules, combinées par voi'e d'addition et de
soustraction, l'on conclura que les équations (10) delà page 221 peuvent
être étendues au cas où l'arc p se transforme en une quantité géomé-
trique z. La même remarque s'appliquera aux équations (11), (12) de la
page 222 et aux équations (56), (57) de la page 281 .
( a8o )
Sur les valeurs générales des expressions
arctangz, arccotz, arcsinz, arccosz, arcsécz, arc coséc z.
§ l'". — Formules qui déterminent ces valeurs et les font dépendre des logarithmes
principaux de certaines quantités géométriques.
D'après ce qui a été dit dans lavant-dernier article, si Ion design^
par z une quantité positive ou négative, on aura
ou, ce qui revient au même, eu égard à la formule (8) de la page 263,
2 ) arc tan g z r= -i ■ — ^ ! ■
\ I P 2 1
De plus, comme un arc, dont z serait la cotangente, aurait pour tan-
gente -? on trouvera encore généralement
(3) arc cot z = arc tang —
Ajoutons que si z, offrant une valeur numérique mférieure à l'uniré, re-
présente le sinus d'un arc compris entre les limites ? -? cet arc aura
pour cosinus la quantité positive \ i — z^, et pour tangente le rapport
V/i-z^
On aura donc encore
^/^^ arc sin z = arc tang " -
Enfin, on aura évidemment, pour une valeur numérique de z inférieure
à l'unité,
^5) arc cos z = - — arc sin z.
( ^«I )
et, pour une valeur numérique de z supérieure à l'unité,
(6) arc sec z = arc cos -,
(■7) arc coséc z = arc sin -•
Les formules (i) ou (2), (3), (4), (5), (6), (7) fournissent un moyen
très-simple de fixer le sens qu'on doit attacher aux expressions
arc tang z-, arc cot z, arc sin z, arc cos z, arc séc z, arc coséc z,
dans le cas où z cesse d'être une quantité algébrique. En effet, les valeurs
de ces expressions pourront toujours être facilement obtenues si Ton con-
vient d'étendre les formules dont il s'agit au cas où z se transforme en une
quantité géométrique quelconque. Cette convention, que nous adopterons
désormais, permettra, eu égard à la formule (i), de réduire la détermina-
tion des valeurs cherchées à la détermination des logarithmes principaux
de certaines quantités géométriques. Si l'on veut, en particulier, obtenir
la valeur générale de arc sin z exprimée à l'aide d'un ou de plusieurs
logarithmes principaux, il suffira de joindre à la formule (i)la formule (4)-
de laquelle on tirera
arc sin z = A 1
- 1
V
1 — z-
— %■
z
1^
H- si
ou, ce qui revient au même,
(8) arc sin z ■■
D'ailleurs, l'argument principal de i — z'* étant compris entre les limites
— ;:, + 7T, le radical v'i — z^ offrira un argument principal compris entre
les limites ? -, par conséquent, une partie algébrique positive; et,
comme des deux quantités opposées
l'une jouit nécessairement de la même propriété, on pourra encore en dire
autant de l'une des deux quantités géométriques
Vi — z^-i-zi, v^i — z^ — -zi,
Lx d.\n. et df, Phyi. math., T. IV. (4o« liv.). 36
( 282 )
dont le produit se réduit à la quantité positive i. Donc, en vertu du
I*'' théorème de la page 265, on aura
I gif; = 1 [VT^-H zi] _ 1 [vT^l^- z.J.
Ajoutons que de cette dernière formule, jointe à l'équation
1 fv'7="^+ z\] + 1 yv^^-zi] = o,
on tirera
V'i Z- 2
:1[VI-Z^ + 21] =-l[vi-£^-Z.i[.
Par conséquent, on pourra encore présenter l'équation (8) sous l'une ou
l'autre des deux formes
(9) arc sin z = ~\ [y 1 _ z^ -f- zi],
(10) arc sin z= —U [\li— z^ — zi].
Il est bon de rappeler que le coefficient de i dans un logarithme népé-
rien principal est toujours un argument compris entre les limites — 7:,
+ 7:. Cela posé, on conclura immédiatement des formules (i), (3), f4)
et (7) que, dans la valeur générale de chacune des expressions
arc tang z, arc cot z, arc sin z, arc coséc z,
la partie algébrique sera toujours un arc renfermé entre les limites — -, --
par conséquent, un arc dont le cosinus sera positif. On conclura, au con-
traire, des formules (5) et (6) que, dans la valeur générale de chacune des
expressions
arc cos z, arc séc z,
la partie algébrique sera toujours un arc renfermé entre les limites o, -,
par conséquent, un arc dont le sinus sera positif.
§ II. — Sur les quajitités gcoinêtnqucs
arc tang z, arc cot z , arc sin z , arc cos z, arc séc z, arc coséc z,
considérées comme fonctions inverses.
Les définitions admises dans le paragraphe précédent sasisfont à une
283
condition qu'il importait de remplir, et réduisent les quantités géométriques
arc tangz, arc cotz, arc sin z, arc cos z, arc séc z, arc coséc z
à des fonctions de z inverses de celles qui ont été désignées sous les noms
de tangente, cotangente, sinus, cosinus, sécante et cosécante. Ainsi, par
exemple, on prouvera sans peine que la fonction de z, représentée par la
notation arc tangz, est inverse de celle qui a été nommée tangentej ou,
en d'autres termes, que la fonction arc tang z a pour tangente la variable z.
On y parviendra en effet comme il suit :
Posons, pour abréger,
(i) Z = arc tang z.
On aura encore, eu égard à l'équation (i) du § P*,
par conséquent
et
9,1 I - 1
I I
Mais, d'autre part, on aura, en vertu des équations (3) de l'article précédent,
,Z=:'—±^ , sinZ = -
par conséquent
^ sinZ i e"^' — e~^''
tang Z = = -r -^. ^•
" cosZ 1 £,^1 _|_ ^— ■Zi
Donc la formule ( 2 ) donnera simplement
(3) z=tangZ.
Or, des formules (i) et (3), comparées l'une à l'autre, il résidte qu'en vertu
des définitions admises dans le § I", la notation arc tang z satisfait à la
condition qu'il convenait de remplir, et représente une fonction inverse
de la fonction tang z.
Si à l'équation (1) on substituait la suivante
(4) z = arc cot z,
36..
( 5t84 )
ajors, eu égard à la formule (3) du § P*", on aurait encore
Z = arc tang -,
par conséquent
1 ^ ^ sinZ I ^
-=tangZ=:^^==^^,
et
(5) z = cotZ.
On en conclurait qu'en vertu des définitions admises dans le § P*", arc cot ;
est une fonction inverse de cotz.
Supposons maintenant
[6) Z = arc sin z.
Alors, en vertu des équations (g) et (lo) du § P% on aura
i[y/7Tr? +2i] = Zi, {[sji - z^ - z.i] = -Zi,
par conséquent
y/i — s^ -h zi — e ', \j'i — z"^ — zi = e ';
puis de ces dernières formules, combinées entre elles par voie de sous-
traction, l'on tirera
par conséquent
z = ■
ou , ce qui revient au même,
(n) z== sinZ.
On en conclura qu'en vertu des définitions admises, arc sin z est une fonc-
tion inverse de sin z.
Si l'on supposait
(^8) Z = arc cosz,
alors, eu égard à l'équation (5) du § P% on trouverait
Z = - — arc sin z,
( ^85 )
par conséquent
arc sin z = Z,
. = sin(^-Z),
ou, ce qui revient au même, eu égard à la seconde des formules (29) de
l'article précédent,
(g) z — cosZ.
On en conclurait qu'en vertu des définitions admises, arc cos s est une
fonction inverse de cos z.
Enfin, si l'on supposait
(10) Z = arc sécz,
on aurait encore, eu égard à la formule (6) du § P%
Z = arc cos - •>
par conséquent
I rj I
- = COSZ = -r— ^î
z secZ
et
(11) z= sécZ;
et, après avoir ainsi reconnu que arc séc z est une fonction inverse de sécz,
on prouverait par un raisonnement semblable que arc coséc z est une fonc-
tion inverse de coséc z.
§ ni. — Sur les formules qui mettent en évidence la partie algébrique et le coefficient de i.
dans chacune des expressions
arctangz, arccotz, arcsinz,.,.
Si dans les expressions
arc tang z, arc cot z, arc sin z, arc cos z, arc séc z, arc coséc z,
on réduit z à la forme
(i) z = a:+ji,
jc et 7 étant deux quantités algébriques, chacune de ces expressions pourra
( 286 )
être réduite à une forme semblable, et, pour opérer une telle réduction,
il suffira de joindre aux formules établies dans le § P"- la formule (3o)
de la page 271. Entrons à ce sujet dans quelques détails.
Si à la formule (i) on joint l'équation (2) du premier paragraphe, on
trouvera
( ^ } arc tang z = 1 (»-r + ^i) - 1 (^ + r-^i)^
" 2i
D'ailleurs, en remplaçant, dans la formule (3o) de la page 271, j par jc
et jc par i —j, ou jr par — ^ et ^ par i-f- j, on aura
1 (i - jr + ^i) = ^ 1 [œ^ -h (, -jY] + i -^ arc cos — '^^
] r, ^j ~cci) = ~\ [œ' 4- (i 4-jr)=^] - i 4= arc cos —^■^^'
Par conséquent, la formule (2) donnera
[ arc tang z = '- -^ [arc cos ^ ''^^^ 4- arc cos -— =L=— 1
Si à l'équation (2) du § I" on substituait l'équation (i) [ibidem], alors,
en ayant égard à la formule
et a l'équation (3o) de la page 271, on trouverait d'abord
(4) arc tang z =z ~ \
I —y -\-x\
2i ' i -'r y — .ri
puis ,
(5) arc tang z = -~ arc cos i~x^-j^- _^\.^ fl±ii±z) =
^ Sjx'- sl^-' + {i-i-yY^x'^{i-ry- 4 x' + d-yy-
En comparant l'une à l'autre les valeurs de arc tang z, données par les
formules (3) et (5), on trouve
arc cos ■ • ""^ -^
.^^ , slx^-^{i+yy slx^-\-{i-yy
' I — x'' — r^
sjx'+{i -^yy sjx^+{i--yy
( ï87)
Au reste, pour établir directement la formule (6), il suffit d'observer que
les arcs i
-j ' — J
:: Qi»r> rrtc i
arc cos ■
ont pour sinus respectifs les deux rapports
deux rapports
s/Im=~(TT7?' yJx^ + ii — xY
qu'en conséquence la somme de ces arcs a pour cosinus le rapport
\'x'-\-{i -^fY \lx-+ (i — j)-
et que, d'ailleurs, les deux arcs dont il s'agit étant les arguments principaux
des binômes
1 — zi, I H- zi,
dont la somme est positive, doivent, en vertu du premier théorème de la
page 261 , offrir pour somme un argument compris entre les limites — r.^ n.
Supposons maintenant que l'on veuille mettre en évidence la partie réelle
et le coefficient de i, non plus dans arc tan g z, mais dans arc sin z. et
réduire ainsi l'expression arc sin z à la forme A -h JTi, X, Y étant deux
quantités algébriques. Il suffira de réduire à une forme semblable l'im des
binômes
\jl — Z^-\-Z\, \I — z^ — Zl,
ou le rapport de ces binômes; puis, de recourir aux formules (9), (to)
ou (8) du § P', en ayant d'ailleurs égard à l'équation (3o) de la page 271.
Ajoutons qu'on arrivera encore aux mêmes conclusions en opérant comme
il suit :
Si l'on pose
(7) arc sin z = Z = X+Ki,
Z, Y étant deux quantités algébriques, on aura, en vertu de la formule (7)
du § II,
z = sin Z,
ou, ce qui revient au même,
. y -y ï -Y
X + j 1 = sm ( z -f- Fi ) = sin X + 1 cos X :
( 288 )
puis on en conclura
Y —y ï —1
(8) œ = sin A, j- = cos A.
Si d'ailleurs on pose, pour abréger,
Y -Y y -y
(9) 5 ="' "- ^ ==^'
les équations (8) donneront
(10) sinX=:-5 COsX=r-^,
et de ces dernières, combinées avec la formule
cos^X^- sin'^Fr^r I,
on tirera
^ii) — + -^ — I.
Mais, d'autre part, on tirera des formules (9)
(12) u^ — v^ = J,
ou, ce qui revient au même,
i3) II-" = i>^ -h-i,
et l'équation (i i), jointe à la formule (f 3), donnera
par conséquent
Donc, t^^ ne pouvant être qu'une quantité positive, on aura
et' la formule (i3) donnera
.Enfin, comme, eu égard à la première des formules (9), w sera nécessaire-
( »89)
ment positif, on tirera de l'équation (i5)
(.6) Y = [e-pti-./(-:£lz^y^^=]^
Observons maintenant qu'en vertu d'une remarque faite à la fin du § P',
la partie algébkque X de Z = arc sin z sera toujours un angle compris
entre les limites — -, -. Donc la première des formules (lo) donnera
\\n') X = arc sin - -,
et la seconde devra fournir une valeur positive de cos X; en d'autres termes,
j et i> devront être des quantités de même signe. Donc la formule (i4
donnera
et, puisqu'on tirera des formules (9),
on aura encore
(19) r=i{u + ^).
Ajoutons que des formules (17) et (19), jointes à l'équation (7), on tirera
définitivement
( ao ) arc sin s = arc sin — h i\{u ■+■ i^),
les valeurs de m, f étant déterminées par les formules (16) et. (18).
Remarquons encore qu'en vertu de l'équation (12), présentée sous la
forme
(u — v) {u-^ v) =1,
u — ^,u-\-v seront deux quantités géométriques conjuguées, et, par suite,
cette équation donnera [^voir la formule (Sa) de la page 2 54]
\{u~v)-h\{u-{-v) = o,
ou, ce qui revient au même,
l(w + ç') = — \[u — v).
Ex. d'An, et de Phys. math.. T. IV.(45« Im.) ^1
( 290 )
Donc la formule (20) pourra s'écrire comme il suit .
)-
(21) arc sin z = arc sin i 1 (m — v).
De l'équation (20) ou (21), jointe à l'équation (5) du § P', on déduira >
immédiatement celle qui met en évidence, dans arc cos z, ^la partie algé-
brique et le coefficient de i. En opérant ainsi, on trouvera
( 22 ) arc cos z = arc cos i 1 ( w + p),
ou, ce qui revient au même,
(23) arc cos z =■ arc cos — \- i\(u — v).
Enfin, si l'on veut mettre en évidence la partie réelle et le coefficient de i^
non plus dans chacune des expressions
arc tang z, arc sin z, arc cos z,
mais dans chacune des suivantes,
arc cot z, arc coséc z, arc séc z,
il suffira d'avoir égard aux formules (3), (6), (7) du § P% par conséquent
il suffira de remplacer, dans les formules (3) ou (5), (20) ou (21), (22)
ou (23),
zr= X -\~ ri par - = ;; — 5
la valeur de r étant
en d'autres termes, il suffira de substituer, dans les valeurs trouvées de
arc tang z, arc sin z, arc cos z,
— a a? et — ^ a r.
Soit maintenant z' la quantité géométrique conjuguée à z, en sorte que
l'on ait
z' =^ X — ^i.
Pour passer de z à z' et de arc tang z à arc tang z', il suffira de remplacer
dans le second membre de la formule (3) ou (5), y par ~ J-, ou, ce qui
revient au même, i par — i. Donc
arc tang z et arc tang z'
( ^9' )
seront deux quantités géométriques conjuguées l'une à l'autre. De plus,
comme, en vt'îrtu de la remarque faite à la page aSg, les radicaux
seront encore deux quantités géométriques conjuguées , on pourra en dire
autant, non-seulement des rapports
mais aussi des expressions
arc tan g -, arc tan g -== ?
V I — z' V 1 — z''
ou, ce qui revient au même, des expressions
arc sin 2, arc sin z',
et, par suite, eu égard aux formules (3), (5), (6), (7) du § I", les quantités
géométriques
arc cot z', arc cos z', arc séc z', arc coséc z'
seront respectivement conjuguées aux quantités géométriques
arc cot z, arc cos z, arc séc z, arc coséc z.
En terminant ce paragraphe, j'observerai que les formules (20), {2-2)
et (3) coïncident avec les formules (107), (i3o) et (iSg) de la onzième
leçon de mon Calcul différentiel , ou plutôt avec celles dans lesquelles elles
se transforment quand on remplace le radical y — i par la lettre i. Seule-
ment, la formule (i 59) de cette onzième leçon était la formule (3) restreinte
au cas où la valeur numérique de jr ne surpasse pas l'unité.
§ IV. — Sur certaines valeurs singulières des expressions arc tang z , arc cot z , arc sin z
Le principe auquel il parlait convenable de recourir pour déterminer les
valeurs singulières des fonctions se trouve énoncé à la page 45 de moi.
Analyse algébrique, dans les termes suivants :
• « Lorsque, pour un système de valeurs attribuées aux variables qu'elle
)) renferme, une fonction d'une ou de plusieurs variables n'admet qu'une
)) seule valeur, cette valeur unique se déduit ordinairement de la définition
» même de la fonction. S'il se présente un cas particulier dans lequel la
3.7 •■
( ^^9^ )
» définition donnée ne puisse plus fournir immédiatement la valeur de la
» fonction que l'on considère, on cherche la limite ou les^ limites vers
» lesquelles cette fonction converge, tandis que les variablee s'approchent
M indéfiniment des valeurs particulières qui leur sont assgnées; et, s'il
» existe une ou plusieurs limites de cette espèce, elles sont re^rdées comme
» autant de valeurs de la fonction dans l'hypothèse admise. î^ous nommons
M valeurs singulières de la fonction proposée, celles qui se trouvent déter-
» minées, comme on vient de le dire : telles sont, par exemple, celles
^> qu'on obtient en attribuant aux variables des valeurs infinies, et souvent
» aussi celles qui correspondent à des solutions de continuité. »
Si, en partant de ce principe, on cherche la valeur singulière du rapport -
dans le cas où, la constante a étant réelle et distincte de zéro, la variable j:
supposée réelle s'évanouit, on reconnaîtra, comme je l'ai remarqué à la
page 46 de mon Analyse algébrique y que cette valeur singulière est double
et se réduit à dr oo . D'ailleurs le principe énoncé peut être appliqué à une
fonction quelconque de variables réelles x^ j, ou même de la quantité
géométrique
z=^ X -f- ji;
par exemple, aux fonctions
1 (z), arc tang z, arc cot z, arc sin z, etc.
Si l'on considère, en particulier, la fonction 1 (z), et si l'on cherche la
valeur singulière de cette fonction correspondante à une valeur néga-
tive — r de la variable z, le principe énoncé fournira l'équation (i6) de la
page 25o, c'est-à-dire la formule
l(-r)=:l(r)±:7ri,
dans laquelle le double signe devra être réduit au signe -f- ou au signe — ,
suivant que la quantité négative — r sera censée représenter la limite vers
laquelle convergera, pour des valeurs infiniment petites du nombre c, l'un
ou l'autre des deux binômes
Considérons maintenant la fonction arc tang z. Lorsqu'on y posera
(i) z = x-t-ji,
X, j étant réels, on pourra déduire généralement sa valeur de l'équa-
( =^9^ )
tion (3) du pj;écédent paragraphe, c'est-à-dire de la formule
I X r i+r i — JK 'I
arc tank z = - -7^- arc cos . , = -h arc cos =
(2)
1 [x^ + (1+ jD -l(x^^(l-jV)
en vertu de laquelle la valeur cherchée sera ordinairement unique et finie.»
Toutefois, cette valeur pourra ou devenir infinie, ou se présenter sous une ,
forme indéterminée, non-seulement pour des valeurs infinies de x ou j-,
mais encore pour des valeurs finies de ces deux variables, savoir, lorsque,
X étant nul, le premier au moins des trois rapports
se présentera sous la forme -• Dans cette dernière hypothèse, où l'on aura
simplement
2 = ji,
la formule (2) ne cessera pas de fournir pour arc tang z une valeur unique
et finie, si la valeur numérique de j est inférieure à l'unité, attendu qu'a-
lors les deux arcs compris dans la formule s'évanouiront, ce qui réduira la
valeur cherchée à
21—7
Mais, si l'on a simultanément
alors, l'un des rapports
I H-j I — y
étant réduit à l'unité, l'autre à — i, les arcs dont ces rapports sont les
cosinus se réduiront, l'un à o, l'autre kn', et, comme, pour des valeurs in-
finiment petites de x, le rapport
X
\l x^
convergera vers la limite i ou — i , suivaiit que ces valeurs seront positives
( 294 )
ou négatives, on tirera de la formule (2)
arc.ang(^.)=±^ + il(^)\ / •
OU, ce qui revient au même, 4
(3) arctang(^i) = ±î + il^;, )
le double signe it devant être réduit au signe -4- ou au signe — , suivant
que la quantité géométrique j-i sera considérée comme la limite vers
laquelle convergera, pour des valeurs infiniment petites du nombre £, l'un
ou l'autre des deux binômes
s -\- yi, — £ -}- j^i.
Enfin, si l'on avait, simultanément,
jc = o, j-^ =■ I ,
et, par suite,
j= ±1-,
alors, des deux rapports
l'un se réduirait à l'unité, tandis que l'autre se présenterait sous la forme
indéterminée
D'ailleurs, ces mêmes rapports étant respectivement égaux aux deux
produits
celui qui se présenterait sous la forme - pourrait être censé avoir pour valeur
l'une quelconque des quantités algébriques comprises entre les limites — i ,
-4- I, cette valeur dépendant des signes attribués aux quantités infiniment
petites
X, \±j,
et de la limite vers laquelle convergerait le rapport de ces quantités, tandis
que X convergerait vers la limite o, et^ vers la limite — i ou -h r . Cela posé,
( ^95 )
en désignant par
M(-i,
l'une quelconc^ue des quantités algébriques comprises entre les limites — i ,
+ 1 , et en supposant J =i ou j^ = — i ^ on devra remplacer la formule (3)
par l'une des lormules
(4). arc tangi = ^M (— I, i) 4- ce . i,
(5) arctang(-i) = ^M(-i, i) - ce . i.
Il est bon d'observer que, si, en supposant x nul, on attribue à j une
valeur infinie positive ou négative, on tirera de la formule (3)
(6) arc tang z = ± -,
la valeur de z étant z= zt ce . i. Ajoutons que, si, en supposant la valeur
de X distincte de zéro, on attribue à chacune des variables x, j ou à une
seule d'entre elles, une valeur infinie positive ou négative, on tirera de la
formule (a) : i° si ^ > o,
(7) arc tang 2=:: ^5
2*^ si ^ < G,
(8) arctangs=: - ^•
Les valeurs singulières que nous avons obtenues pour la fonction
arc tang z, et les valeurs correspondantes de la variable z, pourraient encore
se déduire avec la plus grande facilité, non-seulement de l'équation (5)'du
§ III, mais aussi de l'équation (2) du § P*^, c'est-à-dire de la formule
( 9) arc tang z = -^ '-jr-^ ■■
Veut-on trouver, par exemple, les valeurs finies de z, pour lesquelles la
fonction arc tang z, sans devenir infinie, cesse d'être complètement déter-
miinée. Ces valeurs ne pourront être que l'une de celles qui réduisent à une
quantité négative l'un des binômes
placés sous le signe I, dans le second membre de la formule (2). Or cette
dernière condition ne pourra être évidemment remplie que dans le cas
( 296 )
où le produit zi sera réduit à une quantité algébrique supérieure, abstrac-
tion faite du signe, à l'unité, c'est-à-dire dans le cas où l'on aura
et, de plus,
D'ailleurs, en adoptant la valeur précédente de z, on déduit immédiatement
l'équation (3) de l'équation (9) jointe à la formule
1 (_ r) = 1 (r) ±L ni.
Les valeurs singulières de la fonction arc tang z étant connues, on déduira
aisément de la formule
arc cot z = arc tang -
les valeurs singulières de la fonction arc cot z. Parmi ces dernières, ou
devra remarquer celle qui répond à une valeur singulière du rapport - ,
par conséquent, à une valeur nidle de z, et qui est donnée par la formule
arc cot z = zt. -■>
2
le double signe ±l devant être réduit au signe H-, si la valeur zéro de z est
considérée comme une quantité géométrique dont la partie algébrique
serait positive, et au signe —, dans le cas contraire.
Cherchons maintenant les valeurs singulières de la fonction arc sin z. On
les déduira sans peine de l'équation (20) du précédent paragraphe, c'est-à-
dire de la formule
(10) arc sin z = arc sin - -+- i\ {u -h v),
dans laquelle on a
En effet, il suit de la formule (10), jointe aux équations (11), (la), que,
pour des valeurs finies des variables œ, j-, la fonction arc sin z acquerra
généralement une valeur unique et finie, à moins que l'on n'ait
j = o.
( 297 )
Ajoutons que, dans ce cas-là même, la valeur de arc sin z ne cessera pas
d'être unique, et se réduira simplement à arc sin x^ si l'on a simulta-
nément
jr — o^ ^^ < I.
Mais si l'on a, simultanément,
^ r= o, .r^ > I,
les formules (i i), (12) donneront
u = sjx^ ■> V ^=. ±. sjx^ — r ,
et, par suite, l'équation (10) donnera
(i3) arc sin x = arc sin "t^ + i 1 {x^ ±. sjx"^ + i),
le double signe ±l devant être réduit au signe + ou au signe — , suivant
que la valeur x de la variable z sera considérée comme la limite vers laquelle
converge, pour des valeurs infiniment petites du nombre s, le premier ou
le second des deux binômes
X + ci, X — si.
On peut observer qu'en vertu de la formule identique
on aura
1 (\X' -4- SX"" -l) + 1 (v^ _ ^x^ — l) rr= O,
ou, ce qui revient au même,
1 (v'^^ - s^' ~ i) = - I [sx^ -h vx'-i),
et qu'en conséquence la formule (i 3) peut s'écrire comme il suit :
(ï4) arc sinj:=arcsin-t- -^ ±. i 1 (sjx"^ + \lx- — i)-
J avais déjà remarqué, dans la onzième leçon de mon Calcul différentiel
[page I5t6], qu'en supposant
X* > I, j^ = o,
on réduit, dans la valeur de
arc sin (x -^ j y — i) ,
Ex. d'An, et ds Ph. math.. T. IV. (46« livr.) 38
( ^9« )
ia partie réelle à
arc sin -^ ,
et le coefficient de \i ~ \ à la quantité
:lzl[^/:^-f- yx^-ij, \
qui, à cause du double signe, cesse d'être complètement déterminée. Cette
circonstance m'avait alors engagé à m'absteîiir d' employer la notation
arc sin x, dans le cas où, x étant réel, on a J?^ > i . M. Bjorling a eu raison
de croire qu'il ne fallait pas se laisser arrêter par cette considération. En
adoptant, sur ce point, l'opinion qu'il a émise, et qui d'ailleurs est conforme
au principe rappelé en tête de ce paragraphe, on obtient immédiatement
une équation qui se réduit à la formule (i4)) quand on y pose \/— i = i.
Si, en supposant j" = o, on attribuait à x une valeur infinie, on tirerait
de la formule (i4)^ pour .r = ce ,
■ (i5) arc sin ( Qo) = - ±: i 1 (go \
et pour j? = — ao ,
(i6 ) arc sin ( — co) = — -±:ii{oo).
Enfin, si, en supposant j distinct de zéro, on attribuait à chacune des
variables x, j o\ik une seule d'entre elles, une valeur infinie positive ou
négative, alors dans la formule (lo) on aurait encore 1 («+ i^) = ±:l(co ) ;
mais le rapport - conserverait une valeur finie qui coïnciderait avec celle
du rapport
et dépendrait, en conséquence, du rapport ^-, son signe étant le même
que le signe de x.
Les valeurs singulières de la fonction arc sin z étant connues, on
obtiendra celles de la fonction arc cos z à l'aide de la formule
arc cos z = - — arc sin z^
1
puis, celles de arc séc z et arc coséc z à l'aide des formules
I , • I
arc séc z = arc cos -, arc cosec z = arc sin -•
( ^99 )
Sur les divei^s arcs qui ont pour sinus ou cosinus, pour tangente
ou cotangente, pour sécante ou cosécante une quantité géométrique
donnée.
Soit z nue quantité géométrique liée aux quantités algébriques x, 7 pai
la formule
z. = x H- r 1 •
D'après ce qui a été dit dans l'article précédent, a une valeur donnée de z
correspondra généralement une valeur unique et finie Z de l'une quel-
conque des fonctions de z représentées par les notations
arc sm 2-, arc cos z, arc tang z, arc cot z, arc séc z, arc coséc z ;
et, de plus, ces fonctions pourront être considérées comme invei'ses de
celles que représentent les notations
sin z, cos z, tangz, cotz, séc z, coséc z,
en sorte que la valeur trouvée Z exprimera une racine de 1 une des
équations
sinZ=--z, cos Z = z, tang Z = z, cot Z = z, séc Z = z, coséc Z = z,
Mais, évidemment, chacune de ces dernières équations admettra, outre la
racine Z, une infinité d'autres racines parmi lesquelles on devra ranger
les divers termes de la progression arithmétique
... Z — 4^7 Z — in, Z, Z -h 2 7:, Z-h^n,...,
indéfiniment prolongée dans les deux sens. Nous nous proposons ici tle
rechercher toutes les racines de chacune des équations dont il s'agit. En
d'autres termes, nous nous proposons de trouver tous les arcs qui ont pouj-
smus ou cosinus, pour tangente ou cotangente, pour sécante ou cosécanîc
38..
( 3oo )
une valeur donnée de z. On y parvient sans peine en commençant, ainsi
qu'on va le faire, par la recherche des arcs dont le sinus s'évanouit.
§ I. — Sur les diverses racines des équations sin iÇ = o, cos i; = u.
En désignant par la lettre n le rapport de la circonférence au diamètre,
et par la lettre k une quantité entière, positive, nulle ou négative, on a
généralement
sin /:7r r= o ;
par conséquent l'équation
(i) sinÇ=o
a pour racine l'une quelconque des valeurs de Ç, comprises dans la founuJe
(2) Ç + A'TT,
c'est-à-dire l'un quelconque des divers termes de la progression géomé-
trique
... — 3;r, — 2 7r, — tt, o, tî, 277, 3;:,.,.,
indéfiniment prolongée dans les deux sens. J'ajoute que ces divers termes
sont les seules valeurs algébriques ou même géométriques de Ç, qui soient
propres à vérifier l'équation (i). Effectivement, comme on a
ci K\
■ ^ c — e
Sin C = : — -,
21
l'équation (1) donnera
ou, ce qui revient au même,
e ' ' = I .
Donc, en vertu de l'équation (1), le produit 2 Ci devra se réduire a lui»
quelconque des logarithmes népériens de l'unité. Mais on a vu (page 249)
ciue les divers logarithmes népériens de l'unité se réduisent aux diverses
valeurs du produit
2/^ Tri,
k étant une quantité entière. Donc l'équation (1) donnera
2 Ci = ikT:'\,
( 3oi )
k étant une quantité entière ; et, par suite,
Ç = kn.
Si à l'équation (i) on substituait la suivante,
(3) COS Ç r=: G,
il suffirait, pour résoudre cette dernière, d'observer que l'on a généralement
cos Ç = sin (^ - Ç ) .= - sin (?-;)•
En conséquence, les diverses valeurs de Ç, propres à vérifier l'équation (i ;,
seront encore celles qui vérifieront la formule
(4) sin(ç.-^) .= 0.
Or ces diverses valeurs de ^ seront données par la formule
C-- = k7:,
de laquelle on tire
(5) -ç^kn-^l.
k étant une quantité entière quelconque,
§ II. — Sur les diverses racines des équations sin ^i = 3, cos i; =: z.
Supposons maintenant que, s étant une quantité géométrique quelconque,
l'on demande les diverses racines de l'équation
(i) sin i = z.
L'une de ces racines sera précisément la fonction Z de z représentée par
arc sin z, de sorte qu'en posant
Z = arc sin z,
on aura
sin Z = z.
Donc l'équation (i) pourra être présentée sous la forme
sin % = sin Z,
( 302 )
ou, ce qui revient au même, sous la forme
sm & — sin Z = o.
D'ailleurs, en vertu de la seconde des formules (44) de la page 378, on aura
. rw ■ iô — Z S^ + Z
sin 5û — sin Z = a sin cos
Donc l'équation (i) donnera
-Z %-\-Z
— cos = o-,
et, pour la vérifier, il faudra supposer ou
(^)
ou
•> s %+Z
j) cos = o.
2
Maiïs, en vertu des principes établis dans le § P*", les diverses valeurs de i,
propres à vérifier les équations (2) et (3), seront données par les deux
formules
t — z _ ^ ^ 2 _ /.
a • 2 ^
ou. ce qui revient au même, par les deux formules
,4) - = Z + 2 kn.
rS) ir = (2y^-4-l)7T — Z,
A étant une quantité entière quelconque. Donc les diveises racines de
l'équation (i) seront précisément les valeurs de % fournies par les équa-
tions (4) ^t (5), que l'on peut encore écrire comme il suit :
16) o = aArr -h arc sin z,
(7) % ■=^ {1 kn -\- \) n ' — arc sin 2.
E,n raisonnant de la même manière, et en ayant égard à la seconde des
formules (43) de la page 278, on reconnaîtra que l'équation
( 8 ) cos & = z
X pour racine, non-seulement la quantité géométrique Z, déterminée par
( 3o3 )
la formule
Z = arc cos z,
mais encore les diverses valeurs de %, propres à vérifier les deux équations
(9) sm __- = o,
(10) sm = o,
c'est-à-dire les diverses valeurs de 2o comprises dans les deux formules
(11) ^ —.ikn-\- Z,
(12) ii = ikn — Z,
ou, ce qui revient au même, dans les deux formules
^i3) i. = 2^:7: -H arc cos z,
(i4) & = 2/f7: — arc cos z,
A- étant une quantité entière quelconque. On arriverait aussi à la même
conclusion en observant que pour résoudre l'équation (8) il suffit de
résoudre l'équation (1), après y avoir écrit ^ — ^ kh place de la lettre t-.
§, III. — Sur les diverses racines des équations tang ij = z, cot i = z
Supposons maintenant que, z étant une quantité géométrique quel-
conque, l'on demande les diverses racines de l'équation
(1) tang ï, = z.
L'une de ces racines sera précisément la fonction Z de z représentée par
arc tang z, de sorte qu'en posant
Z = arc tang z,
on aura
tang Z = z.
Donc l'équation (i) pourra être présentée sous la forme
tang i- = tang Z,
( 3o4 )
ou, ce qui revient au même, sous la forme
tang 5c — tang Z =o.
Mais on aura d'ailleurs
tang % - tang Z ^ '}ll ^ '^^ = ^n{i.~Z)
oos 5> cos Z cos % cos Z
par conséquent
tang ib — tang Z = sin (îi — Z) séc & séc Z.
Donc l'équation (i) donnera
sin [% — Z) séc & sec Z = o,
et, pour la vérifier, il faudra supposer ou
(2' sin(^ — Z) = o
ou
•^j séc i séc Z = o.
Mais, en vertu des principes établis dans le § P% les diverses valeurs de %,
propres à vérifier l'équation (2), seront données par la formule
.-Z = kn,
ou, ce qui revient au même, par la formule
i = Z -i- kn,
que 1 on pourra encore écrire comme il suit,
(4) "- = arc tang z -f- kr.,
k étant une quantité entière quelconque.
Quant à l'équation (3), elle ne pourra se vérifier que si l'on a
(5) sécZ = p
ou
(6) séc i = 0.
Mais d'autre part, en vertu de la formule (10) de l'avant-dernier article,
on aura
séc^'Zrrzi + tang^Z^i + z^
et
séc^ & = I + tang^ v. — , _u ^^
( 3o5 )
Donc l'équation (5) ou (6) ne pourra se vérifier que dans le cas où l'on aura
ou, ce qui revient au même,
et, par suite,
(7) z=±i.
D'ailleurs, dans ce dernier cas, l'équation (i), réduite à la forme
tang 2; = ±1 i,
donnera
tang^ ^o = — I ,
ou, ce qui revient au même,
séc^ tb = o ;
elle entraînera donc la formule (6), que l'on pourra écrire comme il suit :
(8) cosv.^1.
Il y a plus : comme on a
, /-'+«-^"'
COS Jo =
2
l'équation (8) donnera
(9)
e^'+ <,-&'_,
et, comme à une valeur finie de l'exposant Sbi correspond toujours une
valeur finie de chacune des exponentielles
il est clair qu'on ne pourra satisfaire à la formule (g) en attribuant a la
quantité géométrique Ss une valeur finie. Donc, dans le cas dont il s'agit,
les diverses racines de. l'équation (i) deviendront infinies, y compris celle
que nous avons désignée par arc tang z. Cette conclusion s'accorde avec
les résultats obtenus dans le dernier paragraphe de l'article précédent. On
doit même remarquer que, dans le cas où l'on a 2 = dz i, la valeur de
arc tang z, devenue tout à la fois indéfinie et indéterminée, est une valeur
singulière, déterminée par la formule (4) ou (5) de la page 296.
En définitive, si on laisse de côté le cas où l'on a z = rb i, et ou les
diverses racines de l'équation (i) deviennent infinies, les valeurs de ces
diverses racines seront toutes fournies par l'équation (4)-
Ex. d'An, et de Ph. math., T. IV. ( 46« livr.) Sq
( 3o6 )
Si l'équation (i) était remplacée par la suivante,
(lO) COt % =1 z,
on pourrait présenter cette dernière sous la forme
(il) tang& = ^-,
et de ce qui vient d'être dit, l'on conclurait immédiatement que les diveises
racines de l'équation (i i) sont, en général, les diverses valeurs de ^ données
par la formule
2> = arc tanËT - -{- krc,
ou, ce qui revient au même, par la formule
(12) i> = arc cotz + A:7T.
Toutefois, cette formule cesse d'être applicable dans le cas où l'on a
z = ±1 i, et où les diverses racines de l'équation (i t) deviennent infinies.
§ IV. — Sur les diverses racines des équations séc 5ô = z, coséc %■= z.
Après avoir obtenu, par la méthode exposée dans le § II, les diverses
racines des équations
sin Sa — z, cos % =1 z,
on obtiendra sans peine les diverses racines des équations
(ij "* coséc Ï3 = z,
(2) sécS> = 2,
en présentant ces dernières équations sous les formes
sin 5j = -? cos5b=--
z z
On reconnaîtra ainsi que les diverses racines de l'équation (i) sont données
par les deux formules
(3) Sb := 2A;t -f- arc coséc z,
(4) 2> = (2A^ 4- 1)77 — arc coséc z,
et les diverses racines de l'équation (2) par les deux formules
( 5 ) 3ô = 2 A;r + arc séc z,
(6) 2> = 2Â:7T — arc séc z.
( 3o7 )
» § V. — Résumé.
Soit % une quantité géométrique propre à vérifier, comme racine, l'une
. des équations
sin2b = z, cos S: = z, tang 5b = jz, cot% =z z., sécji — z, cosécSS^z;
et nommons Z celle des valeurs de % qui se trouve représentée par l'une des
notations
arc sin z, arc cos 2, arc tang z, arc cot z, arc séc z, arc coséc z.
Les diverses valeurs de X), ou, en d'autres termes, les diverses racines de
l'équation proposée, seront en nombre infini et de deux espèces. Les unes
seront toujours données par la formule
(1) ^^raA-TT + Z,
k désignant une quantité entière, positive, nulle ou négative : et, pour
déduire de celles-ci les autres racines, il suffira généralemeiit de remplacer,
dans le second membre de la formule (i), la quantité Z par la quantité — Z,
s'il s'agit de résoudre l'une des équations
(2) cos ï) = z, coséc 3ô=:z;
par la quantité 7: — Z, s'il s'agit de résoudre l'une des équations
(3) sin 5ô = z, coséc %> = z-,
enfin, par la quantité n + Z. s'il s'agit de vérifier l'une des équations
(4) tangjs = z, cot2> = z.
Cela posé, les racines cherchées, ou, en d'autres termes, les diverses valeurs
de 5ô seront fournies, dans le premier cas, par la formule
(5) ^^=:zikn+Z,
dans le second cas, par la formule
(6) ^=(.A-+i)«±(^-z),
et, dans le troisième cas, par la formule
(7) • % = kn + Z,
la quantité k étant ici substituée à l'une des quantités entières ik 2 k -h \
Ajoutons que, dans le cas particulier où l'on a z =: ± i, les diverses racines
deviennent infinies, ce qui rend illusoire la formule (7).
39..
( 3o8 )
Sur les fonctions des quantités géométriques .
Lorsqu'en adoptant les principes établis dans les articles précédents, on
substitue aux expressions imagiîiaires les quantités géométriques ^ les varia-
bles imaginaires ne sont autre chose que des quantités géométriques varia-
bles. Reste à savoir comment doivent être définies \qs, fonctions de variables
imaginaires. Cette dernière question a souvent embarrassé les géomètres;
mais toute difficulté disparaît, lorsqu'en se laissant guider par l'analogie,
on étend aux fonctions de quantités géométriques les définitions générale-
ment adoptées pour les fonctions de quantités algébriques. On arrive ainsi
à des conclusions singulières au premier abord, et néanmoins très-légi-
times, que j'indiquerai en peu de mots.
Deux variables réelles, ou, en d'autres termes, deux quantités algébri-
ques variables sont dites fonctions l'une de l'autre, quand elles varient
simultanément, de telle sorte que la valeur de l'une détermine la valeur de
l'autre. Si les deux variables sont censées représenter les abscisses de deux
points assujettis à se mouvoir sur une même droite, la position de l'un de
ces points déterminera la position de l'autre, et réciproquement.
Soit, maintenant, z une quantité géométrique qui représente \affixe d'un
point A assujetti à se mouvoir dans un certain plan (page 216). Nommons
rie module, ei n V argument de la quantité géométrique z, c'est-à-dire le
rayon vecteur mené, dans le plan dont il s'agit, d'une origine fixe O au
point mobile A, et l'angle polaire formé par ce rayon vecteur avec un axe
polaire OX. Soient, enfin, x, y les coordonnées rectangulaires du point A,
mesurées à partir de l'origine O sur l'axe polaire OX, et sur un axe perpen-
diculaire OY. Non-seulement on aura
x = /cos/?, j^'=/sin/?
et
(I) ^ = '.;
mais, de plus, en posant
C3o9)
on trouvera, (page 316)
(2) z = x-hfi.
Pareillement, si l'on nomme
Z l'affixe d'un point mobile B ;
/?, P le module et l'argument de Z, ou, ce qui revient au même, les
coordonnées polaires du point B ;
X, Y les coordonnées rectangulaires du même point, on aura non-seu-
lement
(3) Z^B,.
mais encore
;4) z = X4-ri.
Cela posé, si, comme on doit naturellement le fan^e, on étend aux fonctions
de quantités géométriques variables les définitions généralement adoptées
pour les fonctions de quantités algébriques, Z devra être censé fonction de r.
lorsque la valeur de z déterminera la valeur de Z. Or, il suffira pour cel;i
que X et F soient des fonctions déterminées de x et j. \lors aussi !;:
position du point mobile A déterminera toujours la position du poiii!
mobile B.
T.es propriétés que possède une fonction peuvent être de deux espece>
différentes. En effet, ces propriétés peuvent subsister pour des valeurs quel-
conques de la variable dont cette fonction dépend. Mais il peut arriver
aussi que certaines propriétés subsistent seulement poiu- certaines valeurs de
la variable, par exemple s'il s'agit d'une variable réelle jc, pour les
de X comprises entre deux limites données a, b, et, s'il s'agit dlme
ble imaginaire z, pour toutes les valeurs de z propres à représenter les
affixes de points renfermés dans une certaine aire plane S que limite uti
certain contour.
Les propriétés des fonctions étant généralement exprimées par des équa-
tions ou par des formules, il suit de ce qu'on vient de dire que certaines
équations ou formules subsistent seulement entre certaines limites. Cette
conclusion s'accorde avec une remarque sur laquelle j'ai insisté dans mon
Analyse algébrique (Introduction, page iij), savoir, que la plupart des
formules algébriques subsistent uniquement sous certaines conditions et pour
certaines valeurs des quantités quelles renferment. Ainsi, par exemple,
z = rp étant une quantité géométrique variable, ou, en d'autres termes, une
valeurs
varia -
3io )
variable imaginaire, l'équation ^
(5) __L_^i + 2 + z24-...
^ ' I — z
ne sera généralement vraie que pour un module r de z inférieur à l'unité,
c'est-à-dire pour des valeurs de z propres à représenter les affixes de points
situés à l'intérieur du cercle qui a l'origine pour centre et l'unité pour
rayon. Si l'on supposait précisément r = i , la série
dont la somme constitue le second membre de la formule (5), serait diver-
gente, à moins toutefois que l'on n'eût z= i. D'ailleurs, dans ce dernier
cas, les deux membres de la formule (5) devront être évidemment rem-
placés par les limites vers lesquelles ils convergent, tandis que z s'appro-
che indéfiniment de l'unité, et il est clair que ces limites se réduiront pour
le premier membre à l'infini positif ou négatif, ou même imaginaire, et pour
le second membre à l'infini positif seulement.
Dans ce qui précède, nous nous sommes borné à considérer des fonctions
d'une seule variable. Mais il est évident qu'une fonction peut dépendre de
plusieurs variables, chacune de ces variables étant, ou une quantité algé-
brique, ou une quantité géométrique. Ajoutons qu'une telle fonction peut
offrir des propriétés qui subsistent, ou pour toutes les valeurs, ou seu-
lement pour certaines valeurs des diverses variables qu'elle renferme.
Observons encore qu'une fonction d'une ou de plusieurs variables peut
être ou explicite ou implicite.
Lorsque des fonctions d'une ou de plusieurs variables se trouvent im-
médiatement exprimées au moyen de ces variables, elles sont nommées
fonctions explicites. Mais lorsqu'on donne seulement les relations entre les
fonctions et les variables, c'est-à-dire les équations auxquelles ces quantités
doivent satisfaire, tant que ces équations ne sont pas résolues, les fonctions,
n'étant pas immédiatement exprimées au moyen des variables, sont appelées
fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque
cela se peut, les équations qui les déterminent.
Souvent le résultat d'une opération effectuée sur une quantité peut avoir
plusieurs valeurs différentes les unes des autres. Lorsqu'on veut désigner
indistinctement une quelconque de ces valeurs, on peut, comme nous
l'avons fait dans VJnaljse algébrique^ recourir à des notations dans les-
quelles la quantité soit entourée de doubles traits , ou de doubles paren-
( 3ii )
thèses, en réservant la notation usuelle pour la valeur la plus simple, ou
pour celle qui paraît mériter davantage d'être remarquée. Ces conventions
étant admises, une fonction explicite, représentée par l'une des notations
usuelles, offrira généralement, pour chaque valeur de la variable dont elle
dépend, une valeur unique qui pourra toutefois devenir multiple dans
certains cas particuliers. Ainsi, par exemple, chacune des fonctions
ï -h z ■+• z^, (i + z)^, e^, sin z, cos z, etc.,
offrira généralement, pour chaque valeur de la variable z, une valeur
unique et finie; et l'on pourra encore en dire autant des fonctions
-) 1(2)? arctangz, arccotz, arc sin z . etc.
Toutefois, ces dernières fonctions offriront, pour certaines valeurs particu-
lières de z, des valeurs multiples. Telle sera la valeur infinie de -? positive ,
ou négative, ou même imaginaire, correspondante à une valeur nulle de z.
Telle sera encore la \a\eur singulière de arc cot z, correspondante à r — o,
et donnée par la formule
arc cot z = rb - 5
2
dans laquelle le double signe doit être réduit au signe -f- ou au signe —,
suivant que la partie algébrique de la variable imaginaire z passe par des
valeurs positives ou négatives avant d'atteindre la limite zéro (page 216 .
Quant aux fonctions implicites, elles pourront admettre des valeurs multi-
ples correspondantes, non-seulement à des valeurs particulières, mais
encore à des valeurs quelconques des variables. Ainsi, par exemple, la
fonction Z de z, déterminée par l'équation
(6) Z^ + Z.2 = I ,
admet deux valeurs distinctes, savoir :
(7) Z.= (i_z=f et Z=.-(i-z^r.
Il arrive souvent que les diverses valeurs d'une fonction implicite sont en
nombre infini. On peut citer comme exemple la fonction Z déterminée par
l'équation
H
cos z = z,
( 3i2 )
de laquelle on tire (page 3o3)
(9) Z = aA'TT =t arc cos z,
k étant une quantité entière quelconque.
Nous désignerons sous le nom de tjpe une expression analytique propre
à représenter généralement, ou la valeur unique d'une fonction explicite,
ou l'une des valeurs diverses d'une fonction implicite. Cette définition étant
admise, la fonction Z, déterminée par l'équation (6), admettra deux types
distincts, que présentent les formules (7); et la fonction Z, déterminée
par l'équation (8), offrira une infinité de types, tous compris dans la
formule (9).
Les intégrales définies prises entre des limites variables, et celles qui ren-
ferment des paramètres variables , doivent être rangées au nombre des
fonctions explicites. Très-souvent, les valeurs de ces intégrales sont détermi-
nées par des formules qui subsistent uniquement sous certaines conditions.
Ainsi, par exemple, x étant jme variable réelle, l'équation
('°^ X"
^ ' €17, --
subsiste uniquement pour des valeurs positiv.es de œ, et doit être remplacée,
quand a: est négatif, par la formule
('■) i -I-'^« = -5;
tandis que la moyenne arithmétique entre les deux quantités — -, -,
c'est-à-dire zéro , est précisément la valeur de l'intégrale
xx)
J^ sin (a.
~
'da
correspondante à une valeur nulle de x. Ainsi encore, z étant une quantité
géométrique variable, ou, en d'autres termes, une variable imaginaire ,
liée aux variables réelles jr,j- par l'équation (2), la formule
subsiste uniquement pour des valeurs positives de la partie réelle x de la
(3i3)
variable z. Enfin, si l'on nomme r le module et p l'argument de 2, en sorte
qu'on ait z — r^, la formule
dp
£
= 277
I — z
subsistera uniquement pour un module /■ de z inférieur à l'unité, c'est-à-
dire pour toute valeur de z propre à représenter l'affixe d'un point situé
dans l'intérieur du cercle qui a l'unité pour rayon. On aura pour r = i ,
c" est-à-dire pour toute valeur de z correspondante à un point situé sur la
circonférence du cercle dont il s'agit,
L
dp
et pour r > I, c'est-à-dire pour toute valeur de z correspondante à un point
situé hors du même cercle ,
z,-^--
Ex. d'An, ei de Ph. math., T. IV. (46* livr.) 4^
( 3i4 )
Sur les fonctions continues de quantités algébriques
ou géométriques.
§ I. — Considérations générales.
Parmi les caractères que les fonctions peuvent offrir, l'un de ceux qui,
en raison de leur importance, méritent une attention sérieuse, est bien cer-
tainement la continuité, telle que je l'ai définie dans mon Analyse algé-
brique. A la vérité, la définition des fonctions continues, donnée dans cet
ouvrage, et généralement adoptée aujourd'hui par les géomètres, s'y trou-
vait spécialement appliquée aux fonctions réelles ou imaginaires des va-
riables réelles, c'est-à-dire des quantités algébriques variables. Mais rien
n'empêche d'étendre la même définition au cas où les variables sont des
quantités géométriques, comme je l'expliquerai tout à l'heure.
§ II, — Sur les fonctions continues de quantités algébriques.
Commençons par rappeler les principes établis en 1821 dans mon
Analyse algébrique, et reproduits en 1829 ^^"^ ^^^ Leçons sur le Calcul
différentiel :
o On dit qu'une quantité (algébrique) variable devient infiniment petite ,
» lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment, de manière à con-
» verger vers la limite zéro. [Analyse algébrique j page 26.)
» Une quantité infiniment petite se nomme encore un infiniment petit.
» [P réliminaires du Calcul différentiel j page 4-)
» Les notions relatives à la continuité ou à la discontinuité des fonctions
» doivent être placées parmi les objets qui se rattachent à la considération
» des infiniment petits. (Analyse algébrique , page 34-)
» Soit f [x) une fonction (réelle) de la variable (réelle) x, et supposons
'' que, pour chaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données,
» cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en
» partant d'une valeur de x comprise entre ces limites, on attribue à la
(3.5)
» variable x yin accroissement infiniment petit a , la fonction elle-même
» recevra pour accroissement la différence
f'{x-^(f.)- j\x), ■
i) qui dépendra en même temps de la nouvelle variable a et de la valeur
» de X. Cela posé, la fonction y(jr) sera, entre les deux limites assignées
» à la variable x, fonction continue de cette variable, si, pour chaque
» valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la
» différence
f{x-hcc) - f{x)
» décroît indéfiniment avec celle de a. En d'autres termes, la fonction
» /{x) restera continue par rapporta x entre les limites données^ si,
» entre ces limites ^ un accroissement infiniment petit de la variable produit
» toujours un accroissement infiniment petit de la jonction elle-même.
» {^Analyse algébrique , pages 34 et 35.)
» On dit encore que la fonction f[x) est., dans le voisinage d'une valeur
» particulière , attribuée à la variable x , fonction continue de cette va-
» riablcy toutes les fois qu'elle est continue entre deux limites de x, même
» trés-rapprochées, qui renferment la valeur dont il s'agit. '^Analyse
» algébrique ., page 35.)
» Enfin, lorsqu'une fonction cesse d'être continue dans le voisinage
" d'une valeur particulière de la variable jr, on dit qu'elle est alors discon-
o tinuej et qu'il y a, pour cette valeur particidière , solution de continuité.
" { Analyse algébrique, page 35.) »
Les définitions précédentes sont reproduites en termes équivalents, ou
même identiques, dans les Préliminaires de mon Calcul différentiel
(page 6).
Ces définitions étant admises, il sera facile de reconnaître , non-seulement
si une fonction explicite et réelle de la variable réelle x est ou n'est pas
continue entre deux limites données, mais encore entre quelles limites une
telle fonction reste continue.
« Ainsi, par exemple, la fonction sin.;»:, admettant pour chaque valeur
« particulière de la variable x une valeur unique et finie, sera continue
» entre deux limites quelconques de cette variable, attendu que la valeur
» numérique de sin-? et, par suite, celle de la différence
sin [x + a) — sin x = i sin - cos ix-^ - J ,
4o..
( 3i6)
décroissent indéfiniment avec celle de a, quelle que sQJt d'ailleurs la
valeur finie qu'on attribue à œ. [Analyse algébrique , page 35.)
» Si (en désignant par a une constante réelle, par À un nombre con-
stant, et par Lx le logarithme réel de x pris dans le système dont la base
esty^), on envisage, sous le rapport de la continuité, les fonctions
simples
a ■+■ X , a~'X, ax, -^ x", J'^, hx,
X
sin;^, cos^', arcsin^:, arccos.r,
on trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux
limites finies de la variable x ^ toutes les fois qu'étant constamment réelle
entre ces deux limites, elle ne devient pas infinie dans l'intervalle.
[Analyse algébrique , pages 35 et 36.)
» Par suite , chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage
d'une valeur finie attribuée à la variable jc, si cette valeur se trouve
comprise, pour les fonctions
a — X
ax
A^
sin X
cos X
» pour la fonction
entre les limites x = — ce ,
1° entre les limites j: = — oo , x = o,
2° entre les limites x = o, x = <x> ;
» pour les fonctions
L(x)
» enfin pour les fonctions
[itre les limites x =^ o , x = ce ;
arc sm X , , ...
ntre les hmites x = — i , x = i.
[Analyse algébrique , page 36.)
Il est bon d'observer que , dans le cas où l'on suppose .
a = ± m
( 3i7 )
)> {m désignant un nombre entier), ia fon(;tion simple jc"" est toujours
» continue dans le voisinage d'une valeur finie de la variable x, à moins
" que cette valeur ne soit nulle, a étant égal à — m. {Analyse algébriqiid .
» page 37.) "
Lorsqu'une fonction devient infinie pour une valeur finie de la variable,
un accroissement infiniment petit attribué à cette valeur cesse évidemment
de produire un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même,
et, par suite, il y a solution de continuité. Ainsi, par exemple, chacune
des fonctions
- et œ"'"
X
(/«étant un nombre entier), devient discontinue en devenant infinie poui
jc = o.
Cela posé, pour qu'une fonction de la variable réelle oc reste coiituuie
dans le voisinage d'une valeur donnée de x, il est nécessaire qu'à cette
valeur de x corresponde une valeur ^Z/z/e de la fonction. Mais est-il pareil-
lement nécessaire que, pour la valeur donnée de x et pour chacune des
valeurs voisines, la fonction acquière une valeur w/z/<^?^^ ieprésentée par ai.
seul type /{oc) ? A la rigueur, cette question pourrait être résolue négati-
vement; et, dans le cas où il s'agit d'une fonction implicite qui offre diverses
valeurs représentées par divers tfpes, ou, en d'autres termes , d'une fonc-
tion liée à la variable x par une équation qui admet plusieurs racines, on
pourrait dire que cette fonction implicite est continue entie des limites
données de .r , lorsque entre ces limites, un accroissement infiniment petit
attribué à. X' produit toujours un accroissement infiniment petit de l'un quel-
conque des types. Mais il est plus simple de considérer chacun de ces types
comme une fonction déterminée dejc; et pour énoncer clairement l'hypo-
thèse admise, il suffit de dire que chacune des valeurs de la fonction impli-
cite est une fonction explicite de x, qui reste continue entre les limites
assignées à cette variable.
Ainsi, par exemple, si l'on nomme y une fonction implicite de .x\ d ter-
minée par l'équation
(i) x^ + j-^i,
les deux valeurs qu'admettra cette fonction implicite , pour une valeur réelle
de X ^ comprise entre les limites
a? = — I , jr- = r ,
( -^ï» )
seront deux fonctions explicites représentées par les deux types
V I — .r^ , — \/ 1 — o;^ ,
et dont chacune restera continue entre les limites données.
Ainsi encore, si l'on nomme j" une fonction implicite de x déterminée
par l'équation
(2) tang j- = Xf
les valeurs qu'admettra cette fonction implicite , pour une valeur réelle de x,
seront les fonctions explicites représentées par les divers termes de la pro-
gression arithmétique
. . . — 27: -f- arctangx, — ;: 4- arc tang ^ , arc tang .x,
n -h arc tang x, in -+- arc tang x , . . . ,
î^t chacune de ces fonctions explicites restera continue entre des limites
quelconques de la variable , par conséquent entre les limites
Il n'est pas sans intérêt de rapprocher l'une de l'autre les notions de
continuité dans les fonctions et de continuité dans les courbes. C'est ce que
nous allons essayer de faire en peu de mots.
Concevons que, dans un plan donné, on construise une courbe dont les
coordonnées rectilignes, rapportées à des axes rectangulaires ou obliques,
soient la variable réelle jc et une fonction réelle j' de cette variable. Si
l'ordonnée j^, considérée comme fonction de l'abscisse x, est explicite et
continue entre deux limites données
la courbe sera certainement continue entre deux points qui auront pour
abscisses x,, x^^. Il y a plus; elle offrira entre ces deux points une seule
branche correspondante à la valeur unique de la fonction j. Si, au con-
traire, la fonction j- demeurant explicite, devient discontinue entre les limites
données, pour certaines valeurs particulières Xt, x^, ■ ■ . de l'abscisse x,
la courbe deviendra elle-même discontinue et se décomposera en diverses
branches que limiteront des ordonnées correspondantes à ces valeurs par-
ticulières de X. Enfin, si l'ordonnée j, considérée comme fonction de x,
est implicite et déterminée par une équation qui admette plusieurs racines,
(3i9)
chacune dejces racines, quand l'équation sera résolue, deviendra une fonc-
tion explicite, continue ou discontinue, à laquelle répondra ou une seule
branche de courbe , ou le système de plusieurs branches que limiteront les
ordonnées correspondantes aux solutions de continuité. Donc alors des
branches distinctes pourront répondre , non-seulement à des valeurs
diverses, mais encore à une valeur unique de l'abscisse x. D'ailleurs, dans
le cas où, entre deux limites données de x^ chaque valeur de la fonction
implicite y est une fonction continue de a?, et représente en conséquenct
une seule branche de courbe, il peut arriver que les diverses branches
correspondantes aux diverses valeurs de y se joignent par leurs extrémi-
tés, de manière à former une courbe continue. C'est ce qui aura lieu, par
exemple, si l'ordonnée y est déterminée par l'équation (i). Alors, en effet,
les deux valeurs de jr, savoir
sji ~ Xy — \Jv— x^ ,
resteront, comme on l'a dit, fonctions continues de .r entre les limites
et les deux branches de courbe correspondantes à ces deux valeurs seront
deux demi-circonférences de cercle qui se joindront par leurs extrémités .
de manière à reproduire la circonférence entière. C'est ce qui aura lieu
encore si l'ordonnée j;^ est déterminée par l'équation
( 3 ) sin j- = X ;
car la courbe continue que représente l'équation (3) peut être considérée
comme composée de plusieurs branches qni se joignent par leurs extré-
mités, chaque branche ayant pour ordonnée, entre les limites
X = — 1, JC = i,
l'une des valeurs de j comprises dans les deux progressions
. . . — 47r -f- arcsin^, — 27r + arc sin ^ , arcsinj:-, 2-H-arcsin^,
4?: + arcsin x, . . . ,
... — 3;: — arcsin X, — ;: — arc sin jf , ;: — arcsinx, 3?: — arc sin.r,....
Comme on vient de le remarquer, quand on exprime , en fonction de
l'abscisse a? , l'ordonnée j^ d'une courbe continue, cette ordonnée admet
souvent diverses valeurs représentées par diverses fonctions explicites de x.
( 320 )
Mais alors on peut aussi représenter chacune des coordonnées ^r, j par une
fonction toujours continue d'une autre variable s. Il suffit pour cela que
la lettre s désigne ou l'arc de la courbe continue, mesuré dans un sens
déterminé à partir d'une origine fixe , ou une quantité qui croisse constam-
ment avec cet arc. Ainsi, par exemple, si l'on nomme s un arc mesuré sur
ia circonférence de cercle que représente l'équation (i), à partir du point où
cette circonférence coupe l'axe des x^ et dirigé dans le premier instant,
du côté des ordonnées positives, les coordonnées jc, / de cette même cir-
conférence pourront être représentées par des fonctions de l'arc s^ toujours
continues, et liées à cet arc par les équations
X = COS5, y = sin*.
Quand la courbe que l'on considère est, comme dans le cas précédent,
une courbe fermée et rentrante sur elle-même, les coordonnées oc^y^
exprimées en fonction de l'arc j, sont évidemment des fonctions pério-
diques qui reprennent les mêmes valeurs au moment où l'extrémité de
l'arc j, après avoir parcouru le périmètre entier de la courbe, retrouve la
jiosition qu'elle occupait d'abord.
§ III. — Sur les fonctions continues de qua^tilés géométriques.
Désignons par la lettre z une variable im;i^maire, ou, en d'autres ter-
mes, une quantité géométrique variable dont r soit le module, et p l'argu-
ment. Posons d'ailleurs
œ = rcosp, j-::=zrsmp.
La variable
[i) z=zrp=x -^ji
sera propre à représenter l'affixe d'un point mobile A, qui aura pour coor-
données polaires les variables réelles /? , r, et pour coordonnées rectan-
gulaires les variables réelles œ, j.
Soient maintenant
(2) z = R^^-=x+ri
une autre variable imaginaire, ou, en d'autres termes, une autre quantité
géométrique variable, propre à représenter l'affixe d'un autre point mobile
B qui a pour coordonnées polaires les variables réelles P, /?, et pour coor-
données rectangulaires les variables réelles X, Y. Comme on l'a dit, dans le
( 321 )
précédent artitle, Z sera fonction de 2, si le mouvement du point A entraîne
le mouveilient du point B , ou , ce qui revient au même , si les variables
réelles X, lisent fonctions des variables réelles x^ y. D'ailleurs, certaines
propriétés de Z considérée comme fonction de z pourront subsister uni-
quement pour certaines valeurs de z comprises entre certaines limites , par
exemple pour les valeurs de z propres à représenter les affixes de points
renfermés dans une certaine aire S. Ajoutons que les lignes droites ou
courbes qui limiteront l'aire S seront entièrement arbitraires. On pourra,
pour fixer les idées, supposer l'aire S limitée extérieurement par un certain
contour PQR composé de lignes droites ou courbes; et l'on pourra aussi la
supposer comprise entre deux contours de cette espèce KLM, PQR, qui lui
serviraient de limite intérieure et extérieure
Considérons maintenant d'une manière spéciale, parmi les propriétés que
les fonctions peuvent offrir, celle qui fait le sujet principal de cet article, et
que l'on nomme la continuité. Pour les fonctions des variables imaginaires,
comme pour les fonctions des variables réelles, cette propriété se rattache
à la considération des infiniment petits. Entrons à cet égard dans quelques
détails.
Une variable imaginaire est appelée infiniment petite , lorsqu'elle con-
verge vers la limite zéro [Analyse algébrique , page ^So). Cela posé, pour
que la variable imaginaire
z=rp^x^j\
soit infiniment petite, il suffira évidemment que les variables réelles x, y
soient infiniment petites, et, par suite, il suffira que le module
: V'X +j;^
soit infiniment petit. Réciproquement , si le module r est infiniment petit,
les variables x ^ y seront elles-mêmes infiniment petites, et, par suite, on
pourra en dire autant de la variable imaginaire z.
Soit maintenant
une fonction de la variable imaginaire z, et supposons que, pour chaque
valeur de z propre à représenter l'affixe d'un point renfermé dans l'aire S,
cette fonction admette constamment une valeur unique et finie. Si, en par-
tant d'une telle valeur de z, on attribue à la variable z un accroissement
infiniment petit Ç, la fonction elle-même recevra pour accroissement la dif-
£r. à' An. et d,^ Ph. malli.; T. IV (4Ge livr.) 4 f
férence <"
/(^ + ?)-/(»).
qui dépendra en même temps de la nouvelle variable Ç et de la valeur de
z. Cela posé, la fonction y (z) sera entre les limites assignées à la variable
s, c'est-à-dire, ponr toutes les valeurs de z renfermées dans l'aire S, fonc-
tion continue de £, si pour chacune de ces valeurs, le module de la diffé-
rence
f(z + <:)-f{z)
devient infiniment petit avec le module de Ç. En d'autres termes, Injonc-
tion f[z) de la variable imaginaire z restera continue par rapport à cette
variable entre les limites données, si, entre ces limites, un accroissement infi-
niment petit de la variable z produit toujours un accroissement infiniment
petit de la fonction elle-même.
De plus, étant donnée une valeur particulière de z propre à représenter
l'affixe d'un point déterminé A , la fonction^ (jz) sera à\\Q fonction conti-
nue de la variable imaginaire z , dans le voisinage de la valeur particulière
attribuée à z , si elle est continue pour toutes les valeurs de z propres à re-
présenter les affixes de points situés dans l'intérieur d'une aire même très-
j^etite qui renferme le point A.
Enfin, lorsqu'une fonctionj^(r) de la variable imaginaires cessera d'être
continue dans le voisinage d'une valeur particulière dez, on dira que, pour
cette valeur, elle est discontinue , et offre une solution de continuité.
Ces définitions étant admises, considérons d'abord une fonction explicite
de la variable z, cette fonction étant exprimée à l'aide des notations
usuelles. Comme je l'ai remarqué dans le précédent article , cette fonction
explicite offrira généralement, pour chaque valeur finie de z, une valeur
imique complètement déterminée , et dès lors il sera facile de reconnaître ,
non-seulement si elle est ou n'est pas continue entre des limites données,
mais encore entre quelles limites elle reste continue.
Ainsi, par exemple, la fonction
qui admet pour chaque valeur particulière de z une valeur unique et finie,
sera continue entre deux limites quelconques de la variable z, attendu que
le module de
( 3^3 ')
et, par suite, le module de la différence
sin (z H- Ç ) — sin z = 2 sin - cos ( z -+- - ) »
décroissent indéfiniment avec le module de Ç , quelle que soit d'ailleurs la
valeur finie que l'on attribue à z.
Si , en désignant par c une constante réelle ou imaginaire , et par A un
nombre constant, on envisage, sous le rapport de la continuité les six
fonctions simples
c H- z, C — Z, cz^ A^ ^ sini-, cosz,
on reconnaîtra que chacune d'elles reste continue par rapport à z entre des
limites quelconques. On pourra encore en dire autant de toute fonction
entière de la variable z.
Au contraire, une fonction rationnelle, mais non entière, de z deviendra
discontinue pour les valeurs dez qui la rendront infinie. Ainsi, par exemple,
la fonction
deviendra discontinue , en devenant infinie , pour z — o ; mais elle sera
continue dans le voisinage de toute valeur finie de z distincte de zéro.
Le nombre des valeurs dez, pour lesquelles une fonctiony(z) devient
discontinue en devenant infinie, peut être ou fini ou même infini. Ce
nombre est toujours fini, lorsque^ (z) se réduit à une fonction rationnelle
de z. Il deviendrait infini siy(z) était une fonction rationnelle de sinz et
cosz. Ainsi, par exemple, la fonction
sinz 16"=' — e~"''
tang z — — - -Y- — ^7-
'=' cos z 1 <?' * -4- e - '
devient discontinue, en devenant infinie, pour toutes les valeurs dez com-
prises dans la progression arithmétique
par conséquent, pour une infinité de valeurs de z, propres à représenter les
affixes de. points équidistants, séparés les unes des autres, et situés sur
Taxe polaire.
Il arrive souvent qu'une fonction explicite Z de la variable imaginaire z
devient discontinue , même sans cesser d'être finie, pour une infinité de va-
4i..
( 3a4 )..
leurs de z propres à représenter les affixes de tous les points situés sur cer-
taines lignes, ou certaines portions de lignes droites ou courbes, que nous
appellerons ligues d'arrêt.
Ainsi, par exemple, si l'on envisage, sous le rapport de la continuité, les
deux fonctions
z^ , \z,
la lettre caractéristique 1 indiquant un logarithme népérien, on reconnaî-
tra que ces deux fonctions deviennent discontinues, toutes les fois que les
variables réelles jt, j, liées à la variable imaginaire z par l'équation
Z = ÛC + jiy
vérifient les conditions * ^ «i^
(3) jc = ou <o, j = o.
Donc alors, il existe une seule ligne d'arrêt, qui n'est autre que Taxe
polaire , indéfiniment prolongée , à partir de l'origine du côté des abscisses
négatives.
Ainsi encore, si l'on envisage, sous le rapport de la continuité, la fonc-
tion
l(i-f-zi)— l(i— zi)
arc tanc z = -^ ^—i-^ ?
^ 21
on reconnaîtra qu'elle devient discontinue, toutes les fois que, dans la
variable imaginaire z = jc 4-^i, les variables .r , y vérifient les conditions
(4) x= o, j-'* = ou > 1.
Donc alors , il existe deux lignes d'arrêt qui se réduisent à deux parties
distinctes de l'axe des ordonnées , indéfiniment prolongé , dans le sens des
ordonnées positives, à partir du point dont l'ordonnée est i , et dans le sens
des ordonnées négatives , à partir du point dont l'ordonnée est — i .
Les extrémités des lignes d'arrêt seront nommées points d'arrêt : teis
sont, par exemple, le pôle, ou, en d'autres termes, l'origine, dans la ligne
d'arrêt correspondante à chacune des fonctions
z\ \z,
et les deux points situés sur l'axe des ordonnées à la distance i de l'origine,
dans les deux lignes d'arrêt correspondantes à la fonction arc tang z.
( 3-^5 )
Dans les c;is semblables à ceux que nous avons traités jusqu'ici, c'est-à-
dire quand une fonction de la variable imaginaire z est une fonction expli-
cite représentée par l'une des notations usuelles, il ne dépend pas du calcu-
lateur de faire disparaître les solutions de continuité que la fonction peut
offrir. Ces solutions de continuité sont, en effet, une conséquence immédiate
des conventions à l'aide desquelles on a fixé le sens des notations adoptées.
Il est donc certain, comme je l'ai dit ailleurs (tome II du Journal de
M. Liouville, page 323) , que la nature des conventions a une injluence mar-
quée sur le caractère des fonctions considérées comme continues ^ de sorte
qu'en passant d'un système de conventions à un autre , on peut rendre dis-
continues des fonctions qui étaient continues y et réciproquement.
Parmi les fonctions explicites, représentées à l'aide des notations usuelles,
on doit distinguer celles qui ne cessent d'être continues qu'en devenant
infinies. Nous les appellerons monodromes . Une fonction pourra d'ailleurs
être monodrome, seulement pour les valeurs de z correspondantes aux
points intérieurs d'une certaine aire S renfermée dans un certain contour
PQR, ou entre deux contours donnés KLM, PQR. Dans tous les cas, le mot
monodrome paraît exprimer assez bien la propriété de la fonction que l'on
considère, puisque celle-ci varie par degrés insensibles, en acquérant à cha-
que instsint une valeur unique y tandis que le point mobile A correspondant
à l'affixe z court çà et là , sans sortir de l'aire S, ou tourne autour des
points singuliers correspondants à des valeurs infinies de la fonction.
On peut citer, comme exemples de fonctions monodromes, non-seule-
ment les deux fonctions
mais encore les fonctions rationnelles de z, de e^, de sin z, de cos z, etc.
Ainsi qu'on vient de l'expliquer, pour mettre en évidence la nature et
les propriétés d'une fonction explicite Z de la variable imaginée z, il est
surtout nécessaire d'avoir égard aux diverses positions que peut prendre le
point mobile A qui a z pour affixe. Parlons maintenant des positions que
peut prendre le point mobile B dont l'affixe est Z. Tandis que le point A
parcourra en tous sens le plan des affixes, le point B pourra décrire ou
ce plan tout entier, ou seulement une portion de ce même plan. Dans le
dernier cas, la portion décrite sera ce que nous nommerons la régioTi
correspondante à la fonction explicite z, et les lignes droites ou courbes
qui serviront de limites à cette région, seront appelées ligues terminales.
Ces lignes terminales correspondront évidemment aux lignes d'arrêt ^ de telle
( 3^6 )
sorte qu'au moment où le point mobile A dont z est l'affixe atteindra
une ligne d'arrêt, le point mobile B dont Z est l'affixe atteindra une
ligne terminale.
Si l'on considère, par exemple, la fonction explicite
on reconnaîtra, non-seulement que cette fonction devient discontinue au
moment où le point mobile A atteint la ligne d'arrêt représentée par la
formule (3), c'est-à-dire l'axe des .r, indéfiniment prolongé à partir du
pôle du côté des x négatives, mais encore que les valeurs diverses de cette
fonction explicite sont les affixes de points situés du côté des x posi-
tives, et qu'en conséquence cette fonction représente l'affixe d'un point
mobile B compris dans une région spéciale , savoir, dans la partie du plan
des xj qui, s'étendant à l'infini du côté des œ positives, a pour ligne ter-
minale l'axe des ordonnées.
Si à la fonction z' on substituait la suivante :
Iz,
qui devient encore discontinue au moment où le point mobile A rencontre
l'axe des x, du côté des x négatives, la région parcourue par le point
mobile B, ou, en d'autres termes, la région correspondante à la fonction
1 z cesserait de s'étendre à l'infini du côté des x positives, et se réduirait à
la portion du plan des affixes, comprise entre deux lignes terminales
parallèles à l'axe des y et situées de part et d'autre de cet axe à la di-
stance 71.
Enfin , si l'on considérait la fonction
l(i+2i) — l(i — zi)
arc tang z = -^ — :— ^^ -^
qui devient discontinue au moment où le point mobile A rencontre l'axe
des j", à une distance du pôle égale ou supérieure à l'unité, la région
parcourue par. le point mobile B,, c'est-à-dire, en d'autres termes, la
région correspondante à la fonction arc tang z, se réduirait à la portion du
plan des affixes comprise entre deux lignes terminales parallèles à l'axe
des\7' et situées de part et d'autre de cet axe à la distance -•
Il arrive souvent que deux fonctions explicites d'une variable imaginaire z
sont égales entre elles pour certaines valeurs de cette variable, et inégales
l 327 )
pour d'autres valeuis. Ainsi, par exemple, si c représente une valeur
particulière de la variable z, les deux fonctions explicites
seront égales entre elles, quand les arguments principaux de c et de -
fourniront une somme comprise entre les limites — r., -^ n. On ne doit donc
pas s'étonner de voir correspondre à ces deux fonctions des lignes termi-
nales distinctes, et à ces lignes terminales des lignes d'arrêt distinctes.
Si, pour fixer les idées, on nomme zs l'argument principal de la constante c,
et si cet argument est positif, alors, pour obtenir la ligne terminale et la
ligne d'arrêt correspondantes à la fonction
il suffira de faire tourner autour du pôle la ligne terminale et la ligne
d'arrêt correspondantes à la fonction z % en imprimant à ces dernières
lignes un mouvement de rotation direct, de telle sorte que le rayon
vecteur mené de l'origine à un de leurs points décrive un angle égal à -~.
Supposons à présent que l'on considère non plus une fonction explicite ,
mais une fonction implicite Z de la variable imaginaire z. Cette fonction
pourra être déterminée ou isolément par une équation unique , ou avec
d'autres fonctions implicites, par un système d'équations dont le nombn
devra être égal à celui des fonctions elles-mêmes. Dans l'un et l'autre cas.
Z admettra, pour chaque valeur de z, une ou plusieurs valeurs qui pour-
ront devenir ou infinies, ou égales entre elles, pour certaines valeur^
particulières de la variable z. Les points dont ces valeurs particulières de "
seront les affixes, prendront le nom de points singuliers.
Soient maintenant
z, , z^^ , z^^^
diverses valeurs successivement attribuées à la variable imaginaire r, et
des valeurs correspondantes d'une fonction explicite ou implicite Z, en sorte
que Z, désigne une des valeurs de Z correspondantes à la valeur z de z; Z,
une des valeurs de Z correspondantes à la valeur z,^ de z; et ainsi de suite.
Soient d'ailleurs
A,, A,, A,^, ...
( 328 )
les points qui ont pour affixes les quantités géométriques
et soient encore -
^/ ? ^// 5 ^/// > • • •
les points qui ont pour affixes les quantités géométriques
z, z„, z,„,....
Enfin concevons que, le nombre des points A^, A^^ , A^^, ,..., devenant
infini, leur système se réduise à une courbe continue A, A,^ A,,, . . . , décrite
par un point mobile A correspondant à une affixe variable z. Le système
des points B, , B^^, B^^, ... , pourra, dans certains cas, c'est-à-dire, pour cer-
taines formes de la fonction Z, ou des équations qui la déterminent, et
pour certaines formes de la courbe continue A, A,^ A^^^ . . . , se réduire
lui-même à une courbe continue BB, B,^..., décrite par un point mo-
bile B correspondant à une affixe variable z. Alors la courbe continue
A,A,^ A^^, .. . sera ce que nous nommerons le chemin (*) du point A, et la
courbe continue B, B^^B^^^... sera le chemin correspondant du point B.
La nature d'une fonction implicite Z, c'est-à-dire, en d'autres termes, la
nature de l'équation ou des équations qui déterminent Z, peut être telle,
qu'à une courbe continue A, A,^ A^^^ . . . , considérée comme chemin du
point mobile A, corresponde toujours une autre courbe continue
B,B,^ B^,, . . . , propre à représenter le chemin du point mobile B, quelle que
soit d'ailleurs , parmi les valeurs de Z correspondantes à 2 = z^ , celle que
l'on prendra pour l'affixe Z du point B,. Il peut arriver aussi que cette con-
dition, étant généralement remplie , cesse de l'être dans le seul cas où les
affixes de quelques-uns des points B, , B^^ , B^^, , . . . deviennent infinies , et où,
par suite, la courbe B,B^^B^^^... se trouve remplacée par le système de
plusieurs courbes dont chacune reste continue, mais s'étend à l'infini. Dans
l'une et l'autre hypothèse, si le chemin A, A,^A^^, .. du point mobile A
ne renferme aucun point singulier, le chemin correspondant B^B^^B^^, . . .
du point mobile B, partant d'une position donnée B, , dans laquelle il avait
pour affixe la valeur Z^ de Z, sera toujours une courbe continue; et alors,
ce dernier chemin n'étant jamais interrompu, n'offrant aucune solution de
(*) Le nom de chemin ^ appliqué à la courbe que décrit le point A, a été, si je ne me
trompe, employé pour la première fois par M. Puiseux, dans un remarquable Mémoire qui
a pour titre : Recherches sur les fonctions algébriques. ( Voir le Journal de Mathématiques de
M. Liouville, page Sgô, tome XV.)
( 3^9 )
continuité, la fonction Z sera dite évodique (de zMoâorj^ pervius i zvoùia,
facilis via).
Ajoutons qu'une fonction implicite Z de la variable imaginaire z sera
évodique seulement entre certaines limites ^ c'est-à-dire pour les valeurs
de z propres à représenter les affixes de points situés dans l'intérieur d'une
certaine aire S, si la condition ci-dessus énoncée ne se vérifie que dans le
cas où le chemin A^A^^A^^,... du point mobile A est une courbe continue
renfermée tout entière dans l'intérieur de l'aire S.
Concevons à présent que l'on parvienne à résoudre l'équation ou les
équations qui servent à déterminer une fonction implicite Z de la variable
imaginaire z, et à exprimer les diverses valeurs de cette fonction à l'aide
des notations usuelles. Ces diverses valeurs deviendront des fonctions expli-
cites de z, et chacune des fonctions explicites ainsi obtenues admettra géné-
ralement, pour chaque valeur finie de z, une valeur unique complètement
déterminée. Mais ces mêmes fonctions pourront devenir discontinues pour
des valeurs particulières de z, qui les rendront infinies; comme aussi pour des
valeurs de z propres à représenter des affixes de points situés sur certaines
lignes que nous avons appelées lignes d'arrêt. D'ailleurs, à ces lignes d'arrêt
dont chacune limite la course du point mobile A, à l'instant où l'une des
fonctions explicites ci-dessus mentionnées cesse detre continue, corres-
pondront d'autres lignes que nous avons appelées lignes terminales ^ et qui
limiteront, dans les mêmes circonstances, la course du point mobile B.
Cela posé, considérons spécialement le cas où la fonction implicite Z est
du nombre de celles que nous avons nommées fonctions évodiques; et soit,
dans cette hypothèse, A, A,^A^,,... une courbe continue qui représente un
chemin attribué au point mobile A dont l'affixe est r; soit encore B^B^ B,^,...
le chemin correspondant que devra prendre le point mobile B, dont laffixe
est Z, en partant d'une position donnée B,, dont l'affixe est une valeur par-
ticulière de Z. Le chemin B,B^^B^,,... se réduira lui-même soit à une seule
courbe continue, soit au système de deux ou de plusieurs courbes conti-
nues qui pourront offrir des parties communes. Il se réduira effectivement
■A une seule courbe continue, si le chemin A,A,^A,,,... ne renferme aucun
point singulier. Mais cette courbe unique sera remplacée par le système de
deux ou plusieurs courbes qui s'étendront à l'infini, si le chemin A,A^^A^,,...
renferme des points singuliers dont les affixes fournissent des valeurs infi-
nies de Z, et la courbe ou les courbes dont il s'agit se ramifieront toujours
à partir de points singuliers qui correspondraient à des valeurs de z pour
lesquelles deux ou plusieurs des valeurs de la fonction implicite Z devien-
Ex d'An, et de Ph. math., T. IV. (47* livr. ) 4^
( 33o.)
ciraient égales entre elles. Ajoutons que, dans la premièie hypothèse, c'est-
à-dire quand le chemin A^A,^A^^,... ne renfermera aucun point singulier,
l'affixe Z du point mobile B, dont le chemin B B,B,,,... sera une seule
courbe continue, pourra être représentée tantôt par une fonction explicite
de Zy tantôt par une autre, attendu que chacune des fonctions explicites
qui exprimeront les diverses valeurs de Z devra être remplacée par une
autre fonction explicite à partir de l'instant où le point mobile B, après
avoir eu la première fonction pour affixe, atteindra une hgne terminale
correspondante à cette même fonction. On doit en conclure que, dans le
cas où une fonction évodique Z admet diverses valeurs, les diverses fonc-
tions explicites propres à les représenter correspondent, dans le plan des
affixes, à diverses régions séparées les unes des autres par certaines lignes
terminales. D'ailleurs, au moment où le point B, dont l'affixe est Z, attein-
dra une de ces lignes terminales, le point A, dont l'affixe est z, atteindra
une .ligne d'arrêt correspondante.
Vérifions ces remarques sur quelques exemples, et d'abord supposons la
fonction implicite
liée à la variable imaginaire
z = rp=x -hjï,
par l'équation
(5) Z'=z.
La résolution de cette équation fournira pour valeurs de Z deux fonctions
explicites de z, données par les formules
(6) Z = z^,
(7) Z=-z{.
Ces deux fonctions explicites deviendront égales entre elles, et s'évanoui-
ront toutes deux pour une valeur nulle de la variable z; par conséquent,
le point dont Taffixe est nulle, c'est-à-dire le pôle, sera un point singulier.
D'ailleurs, chacune des fonctions explicites
quoique généralement continue, deviendra discontinue pour toute valeur
réelle, mais négative dej^*, attendu que si, en attribuant à ûc une valeur
( 33. )
négative — r,'on fait couverger j vers la limite zéro, la fonction z^ conver-
gera elle-même vers la limite r^ i, quand ^ sera supposé positif, et vers la
limite — r^ i, quand j- sera supposé négatif. En d'autres termes, chacune
des fonctions explicites z^ , —z^, deviendra discontinue pour toute valeur
de z propre à représenter l'affixe d'un point situé sur l'axe des x, du côté
des ûc négatives, et par conséquent sur la ligne d'arrêt qui, représentée par
les formules (3), a pour extrémité l'origine. De plus, à cette ligne d'arrêt qui
limite la course du point mobile A à l'instant où Tune des fonctions z' ,
— z^ cesse d'être continue, correspondra une ligne terminale qui limitera
au même instant la course du point mobile B; et cette dernière ligne, qui
sera précisément l'axe des ordonnées, séparera l'une de l'autre, dans le plan
des affixes, les deux régions qui seront occupées l'une par les points dont
les affixes seront les diverses valeurs de la fonction explicite 2' , l'autre par
les points dont les affixes seront les diverses valeurs de la fonction expli-
cite — z^. Enfin la fonction implicite Z, liée à la variable imaginaire z par
l'équation (3), sera certainement évodique. Car, si l'on exprime Z non plus
en fonction de la variable z, mais en fonction du module r et de l'angle p,
liés à z par la formule
(8) z = rj,= reP\
on obtiendra l'équation
(9) Z = r^«K
dans laquelle il suffira de faire varier p entre les limites — 00 , H- oo , ou
même entre les limites — itc, -i- in, pour que le second membre devienne
propre à représenter une valeur quelconque de Z. Or, si, en partant d'une
certaine position correspondante à des valeurs déterminées de r et/?, le point
mobile A, dont l'affixe est z, décrit une courbe continue A, A ^^A^,,..., on
pourra satisfaire à la formule (8) par des valeurs de r et p qui varieront
avec z par degrés insensibles ; et à ces valeurs de /, p répondra évidemment,
en vertu de la formule (9), une valeur de la fonction implicite Z, qui
variera elle-même par degrés insensibles avec la variable z. Donc alors le
point mobile B, dont Z sera l'affixe, décrira, comme le point A, une courbe
continue B,B,^B^,,....
En résumé, la fonction implicite Z, liée à z par l'équation (5), est une
fonction évodique qui, pour chaque valeur de z, acquiert deux valeurs
42..
( 332 )
distinctes ; et ces deux valeurs peuvent être réduites aux deux fonctions
explicites
dont chacune devient discontinue, en devenant l'affixe d'un point situé sur
l'axe des ordonnées, au moment où la variable z devient elle-même l'affixe
d'un point situé sur l'axe des jc du côté des x négatives. En conséquence,
la partie de l'axe des abscisses, sur laquelle se comptent les abscisses néga-
tives, et l'axe des ordonnées, sont la ligne d'arrêt et la ligne terminale qui
servent à limiter simultanément la course du point A, dont l'affixe est la
variable z, et la course du point B, dont l'affixe est l'une des fonctions
explicites z^ , — z'^ . De ces deux lignes, la seconde, c'est-à-dire l'axe des
ordonnées, est précisément celle qui sépare l'une de l'autre les régions
occupées par les points dont les affixes sont de la forme z^ et de la forme
— z^ .
Si à l'équation (2) on substituait la suivante:
(10) Z'-^z'=i,
la fonction implicite Z serait encore une fonction évodique qui, pour chaque
valeur de z, offrirait généralement deux valeurs distinctes, ces deux valeurs
étant les fonctions explicites déterminées par les formules
(11) Z = (i-z^f,
(12) Z=-{i-z^f.
D'ailleurs, chacune de ces fonctions explicites devient discontinue au mo-
ment où z devient l'affixe d'un point situé sur l'axe des jc à une distance
de l'origine plus grande que l'unité, et, à ce moment, chacune des formules
(i i), (12) fournit deux valeurs de Z égales aux signes près, mais affectées
de signes contraires, qui représentent les affixes de deux points situés sur
l'axe des ordonnées. Donc, dans le cas présent, les deux valeurs de Z, déter-
minées par les formules (j i), (12), correspondent encore à deux régions sé-
parées l'une de l'autre par l'axe des ordonnées; et à cet axe, considéré
comme ligne terminale, correspondent deux lignes d'arrêt représentées par
les formules
(i3) jc^ = ou > I, j=:o.
Ajoutons que les extrémités de ces deux lignes d'arrêt sont précisément les
( 333 )
deux points d'«arrêt dont les coordonnées sont fournies par les équations
(l4) X2=:l, J- = 0,
c'est-à-dire les deux points situés sur l'axe des abscisses, à la distance i de
l'origine.
Si à l'équation (lo) on substituait la suivante:
(i5) Z'{i-z^)=i,
la fonction implicite Z serait encore une fonction évodique qui, pour chaque
valeur de z, offrirait deux valeurs distinctes, ces valeurs étant les fonctions
explicites déterminées par les formules
(16) Z = (i-z')~^,
(17) Z=.-(i-z^f".
Alors aussi à ces deux fonctions explicites correspondraient encore deux
régions, séparées l'une de l'autre par l'axe des ordonnées; mais ces deux
fonctions deviendraient discontinues au moment où z serait l'affixe d'un
point situé sur l'axe des x, à une distance de l'origine plus petite que l'unité.
Donc alors, à l'axe des ordonnées, considéré comme ligne terminale, cor-
respondrait une seule ligne d'arrêt, représentée par les formules
(18) ^^ = ou < 1, j- = o.
Ajoutons que les extrémités de cette ligne d'arrêt seraient encore les deux
points d'arrêt dont les coordonnées sont fournies par les équations (i4)-
Mais les valeurs de Z,. correspondantes à ces points d'arrêt, sont nulles
quand on part de l'équation (10), et infinies quand on part de l'équation (i 5).
Enfin, si l'on supposait la fonction implicite Z liée h la variable imagi-
naire z par l'équation
(19) e^=z,
Z offrirait, pour chaque valeur de z, une infinité de valeurs distinctes, re-
présentées par les fonctions explicites qui constituent les divers termes de
la progression arithmétique
(20) ..., — ^ni + \zy — 2ni + \z, \ z, 2 7ri 4- Iz, /4 7:\-i-\z, ....
D'ailleurs, en vertu de la formule (19), Z serait encore une fonction évodique
de z. Car si l'on exprime Z, non plus en fonction de z, mais en fonction du
module r et de l'angle p liés à z par la formule (8), on obtiendra l'équation
(21) Z = l(r)-+-;?i,
( 334)
dans laquelle il suffira de faire varier p entre les limites — oo,, + oo , pour
que le second membre devienne propre à représenter une valeur quel-
conque de Z. Or, si en partant d'une certaine position correspondante à des
valeurs déterminées de r et p, le point A, dont l'affixe est z, décrit une
courbe continue A, A, A^^^..., on pourra satisfaire à la formule (8) en attri-
buant k r et p des valeurs qui varient avec z par degrés insensibles; et à ces
valeurs de r, p répondra évidemment, en vertu de la formule (21), une va-
leur de la fonction implicite Z, qui variera elle-même, par degrés insen-
sibles, avec la variable z, si la courbe A, A^^x\^^... ne renferme pas le point
d'arrêt dont l'affixe se réduit à zéro, c'est-à-dire l'origine des coordonnées.
D'autre part, chacune des fonctions explicites qui constituent les divers
termes de la série (20) deviendra discontinue au moment où z deviendra
l'affixe d'un point situé sur la ligne d'arrêt que représentent les formules (3),
c'est-à-dire d'un point situé sur l'axe des oc, du côté des a: négatives; et à
ce moment, ces fonctions elles-mêmes deviendront les affixes de points
situés sur des lignes terminales qui se réduiront à des droites équidistantes
et parallèles à l'axe des ac^ la distance de deux droites voisines étant égale
•2 7r.
Donc, en définitive, la fonction Z, liée à z par l'équation (19), sera une
fonction évodique qui, pour chaque valeur de z, offrira une infinité de va-
leurs distinctes correspondantes à une infinité de régions dont chacune
sera comprise entre deux des droites parallèles que nous venons de men-
tionner.
Il importe d'observer que, dans le cas où à une même valeur de la va-
riable imaginaire z correspondent diverses valeurs de la fonction implicite Z,
ces diverses valeurs, exprimées à l'aide des notations usuelles, et ainsi con-
verties en fonctions explicites, peuvent généralement revêtir une infinité de
formes distinctes. D'ailleurs, si l'on compare l'un à l'autre deux systèmes de
fonctions explicites dont chacun est propre à représenter les diverses valeurs
de Z, on reconnaîtra que ces fonctions, prises deux à deux, peuvent coïn-
cider entre certaines limites, sans être généralement égales entre elles ; et qu'à
deux semblables systèmes de fonctions explicites correspondent, pour l'or-
dinaire, deux systèmes de lignes d'arrêt et deux systèmes de lignes termi-
nales.
Ainsi, par exemple, si la fonction implicite Z est liée à la variable imagi-
naire z par l'équation (5 ), les deux valeurs qu'admettra cette fonction pour-
ront être supposées déterminées non-seulement par les formules (6) et (7),
mais encore par une infinité d'autres formules, et en particulier par les
( 335 )
suivantes :
03) z = -c'(îy",
c désignant une constante quelconque réelle ou imaginaire.
D'ailleurs, d'après une remarque précédemment faite, si l'on nomme c?
l'argument principal de la constante c supposée imaginaire, il suffira, pour
obtenir la ligne d'arrêt et la ligne terminale correspondantes aux fonctions
explicites que déterminent les formules (22), (^3), de faire tourner autour
du pôle la ligne d'arrêt et la ligne terminale correspondantes aux fonctions
que déterminent les formules (6) et (7), en imprimant à ces dernières lignes
un mouvement de rotation direct si zs est positif, ou rétrograde si zs est né-
gatif, de telle sorte que le rayon vecteur, mené de l'origine à un de leurs
points, décrive un angle égal à zs.
Il est bon d'observer qu'à une fonction implicite Z, déterminée par une
équation unique ou par un système d'équations simultanées, correspond un
système unique de points singuliers, par conséquent un système unique
de points d'arrêt servant d'extrémités aux lignes d'arrêt, quelles que soient
d'ailleurs ces dernières lignes. Ainsi, par exemple, à la fonction implicite Z,
déterminée par l'équation (^5), correspond un seul point d'arrêt qui coïncide
avec l'origine, et dont l'affixe est la valeur o de 2, pour laquelle les deux
valeurs de Z, fournies par les formules (6) et (7), ou par les formules ( 22 )
et (23), deviennent égales entre elles.
( 336 )
Sur les différentielles de quantités algébriques ou géométrique
et sur les dérivées des fonctions de ces quantités.
Dans le Mémoire sur l'analyse infinitésimale ^ placé en tête du troisième
volume de cet ouvrage, sont exposés les principes qui me paraissent devoir
servir de base au calcul différentiel. Je vais indiquer aujourd'hui les con-
séquences qui se déduisent de ces principes, quand à la notion de variables
imaginaires on substitue celles de quantités géométriques variables.
§ I*''. — Sur les différentielles de quantités algébriques ou géométriques.
En substituant, dans le Mémoire sur l'Analyse infinitésimale, les mots
quantités géométriques aux mots expressions imaginaires, on obtient à la
place des définitions et formules données dans ce Mémoire, celles que je
vais transcrire :
Les dij[jfére?itielles de plusieurs quantités algébriques ou géométriques
variables sont d'autres quantités algébriques ou géométriques dont les
rapports sont rigoureusement égaux aux limites des rapports entre les
accroissements simultanés et iiîfmiment petits des variables proposées.
La définition précédente suppose évidemment qu'en vertu des équations
qui lient entre elles les quantités algébriques ou géométriques dont il
s'agit, ces quantités varient les unes avec les autres par degrés insensibles,
ou, en d'autres termes, que ces quantités, considérées comme fonctions
de quelques-unes d'entre elles, en sont des fonctions continues, du moins
dans le voisinage des valeurs attribuées aux variables considérées comme
indépendantes.
Nous indiquerons, suivant l'usage, les accroissements simultanés finis ou
infiniment petits des variables, à l'aide de la lettre caractéristique A, et
leurs différentielles à l'aide de la lettre caractéristique d.
Il importe d'observer que, dans le cas même où chacun des rapports
entre les accroissements infiniment petits des variables proposées converge
(337)
vers une limite unique et finie, la définition précédente ne détermine pas
complètement les différentielles de ces variables, mais seulement les rap-
ports qui existent entre ces différentielles. On pourra donc toujours dis-
poser arbitrairement, au moins de la différentielle d'une variable.
D'ailleurs, la différentielle ou les différentielles qui resteront arbitraires,
pourront être supposées ou constantes ou variables, et, dans le dernier
cas, il suffirait de les faire converger vers la limite zéro pour les trans-
former, avec les autres différentielles, en quantités infiniment peùtes. Mais
cette transformation n'offrirait aucun avantage, et tout au contraire, il peut
être souvent utile d'attribuer aux différentielles des valeurs finies. En con-
séquence, nous continuerons à regarder les différentielles comme des
quantités finies, ainsi que nous l'avons fait dans le Mémoire déjà cité.
De plus, nous attribuerons aux quantités diverses, comme il paraît con-
venable de le faire, des différentielles de même nature que leurs accroisse-
ments. En conséquence, les différentielles de quantités algébriques seront
des quantités algébriques, et les différentielles de quantités géométriques
seront des quantités géométriques.
Enfin, comme dans le Mémoire cité, nous appellerons v«nVz/>/e primitive
une quantité algébrique variable qui aura pour différentielle l'unité. Cette
variable primitive pourra d'ailleurs être ou l'une des variables indépen-
dantes proposées, ou une variable nouvelle avec laquelle on fera varier
toutes les autres.
La considération de la variable primitive simplifie l'énoncé de la défi-
nition que nous avons donnée des différentielles. En effet, soient t la va-
riable primitive, et A^ =: t un accroissement infiniment petit attribué à
cette variable. La diffëre?itielle as d'une variable quelconque s set a évi-
demment la limite du rapport entre les accroissements infiniment petits à. s
et i de cette variable et de la variable primitive.
En partant de cette définition, on établira sans peine, comme dans le
Mémoire cité, les règles relatives à la différentiatioiî des quantités soit
algébriques, soit géométriques.
Ainsi, par exemple, a, b, c désignant des quantités algébriques ou géo-
métriques constantes, et s, u,v,w, ... des quantités algébriques ou géomé-
triques variables, l'équation linéaire
( 1 ) s =z au -\- bv -\- cw H- . . .
entraînera la formule
(a) d^ = rtdw -H ^dy -h cdu',
Ex. d'An. H de Plrs. math.. T. IV. (47* livr.) 4^
( 338 )
En conséquence, l'équation linéaire
(3) z=2X -{- ji,
qui sert à exprimer l'affixe z d'un point mobile A en fonction des coor-
données rectangulaires x,j de ce même point, entraînera la formule
(4) [dz = dx-^-idj'.
Concevons maintenant que, ^, j, z, ... étant des variables dépendantes
ou indépendantes les unes des autres, on nomme s une fonction de ces
variables. Désignons d'ailleurs, à l'aide des notations
dj.^, dyS, dgS,...,
les différentielles partielles de s successivement considéré comme fonc-
tion de X, comme fonction de j-, comme fonction de z, Alors, en
raisonnant comme dans le troisième volume [pages 27 et 28], on ob-
tiendra la formule
(5) ds = d^s -{- dyS -h d~s -h ...,
en vertu de laquelle la différentielle totale ds sera la somme des différen-
tielles partielles d^^", dyS, d^s^ ....
§ II. — Sur les dérivées des /onctions de quantités algébriques.
Soient x une quantité algébrique variable^ ou, en d'autres termes, une
variable réelle, et
une fonction réelle ou imaginaire de cette variable. Soient encore A^ un
accroissement fini ou infiniment petit attribué à la variable x, et AX Tac-
croissement correspondant que prendra la fonction X. Si l'on assigne à x
une valeur telle que, dans le voisinage de cette valeur de x, la fonction X
demeure finie et continue, alors à une valeur infiniment petite de l'ac-
croissement Ax, correspondra une valeur infiniment petite de l'accroisse-
ment AX; mais tandis que les deux accroissements A.r, A X s'approcheront
indéfiniment l'un et l'autre de la limite zéro, leur rapport — s'approchera
lui-même , pour l'ordinaire , d'une limite finie et déterminée, qui pourra
être finie ou infinie. Cette limite est ce qu'on nomme la dérivée de la fonc-
( 339 )
tion X owf^x). On la représente à l'aide de la lettre caractéristique D, par
la notation (*)
DX ou D/(jr),
ou, mieux encore, par la notation
D^Z ou D;,/(x),
dans laquelle la lettre ^, placée au bas de la lettre caractéristique D, aver-
tit le lecteur qu'il s'agit d'une dérivée prise par rapport à la variable x. Ajou-
tons que la dérivée de X, relative à x^ se confond évidemment, d'après sa
définition même, avec le rapport différentiel, de X à .r, c'est-à-dire avec le
rapport -r- des différentielles dX, dx. On a donc identiquement
(■) lf=D.X,
et
(2) dZ = D^Xda7.
Concevons, pour fixer les idées, que la fonction réelle ou imaginaire X de
la variable réelle x soit Tune de celles qui peuvent être exprimées à l'aide
des notations usuelles. Sa dérivée sera, pour l'ordinaire, une quantité com-
plètement déterminée. Toutefois, elle pourra cesser d'être déterminée, et
acquérir deux ou plusieurs valeurs distinctes, ou même une infinité de va-
leurs diverses, pour certaines valeurs particulières assignées à la variable x.
Ainsi, par exemple, si l'on pose
X r= X sin - ?
X
la dérivée de X deviendra indéterminée pour a: = o, et acquerra, dans cette
hypothèse, une valeur égale à celle de la fonction sin -•> par conséquent,
représentée par une quantité réelle comprise entre les limites — i , -f- i .
En général, on peut dire que, parmi les fonctions d'une variable réelle,
les unes sont complètement déterminées, tandis que les autres cessent de
l'être, au moins pour certaines valeurs particulières de la variable.
Concevons maintenant que, .r, j', z,... étant des quantités algébriques
variables, dépendantes ou indépendantes les unes des autres, on nomme s
(*) Suivant la notation de Lagrange, la dérivée de la fonction X ou /(or) s'indique à
l'aide d'un trait par
X', ou /' (x).
43..
( 34o )
une fonction réelle ou imaginaire de ces variables. Désignons, d'ailleurs, à
l'aide des notations
les dérivées partielles de s successivement considérée comme fonction de x,
comme fonction de y, comme fonction dez,.... Alors, en raisonnant comme
dans le troisième volume [page 27, 28 et 29], on établira non-seulement
la formule ( 5 ) du § P*", savoir :
d^ = d^s H- dyS + d^i- -h...,
mais encore les équations
(3) d;r^ = D^c^d^, dyS ^DySdj, d^^ = D^^dz,... ;
et l'on en conclura
(4) ds = DxSdjc -hDySdj -hDzSdz -+-....
Il est généralement facile d'obtenir les dérivées, et par suite les différen-
tielles des fonctions réelles ou imaginaires de quantités algébriques, quand
ces fonctions sont exprimées à l'aide des notations usuelles.
Supposons, en particulier, que l'on demande la quantité géométrique i^,
considérée comme fonction de l'argument/?, et, pour abréger, désignons par
la lettre sy un accroissement infiniment petit Ap attribué à cet argument. La
dérivée cherchée sera la limite du rapport
(5) -^i±^ -=^p~ ;
elle sera donc égale au produit de ip par quantité géométrique qui repré-
sentera la limite du rapport
(6) " ^'-
D'ailleurs, dans le cercle décrit du pôle comme centre avec le rayon i,
zô sera la mesure de l'arc compris entre les deux rayons qui, partant du
pôle, seront représentés par les quantités géométriques i, i^, et la diffé-
rence Ict — 1 de ces deux quantités représentera, en grandeur comme en
direction, la corde de ce même arc. Par suite, l'expression (6) aura pour mo-
dule le rapport numérique de cette corde à l'arc, et pour argument l'angle
obtus formé par la même corde avec l'axe polaire. D'autre part, tandis que
l'arc s'approchera indéfiniment de zéro, le rapport numérique de la corde à
l'arc convergera vers la limite i , et l'angle obtus formé par la corde avec
( 34i )
l'axepolaire vers la limite-, qui représente un angle droit. Donc, l'expres-
sion (6) aura pour limite
et la limite de l'expression (5), ou la dérivée de ip, sera le produit de ip par
i^ =: i, ou, ce qui revient au même, i tt, en sorte qu'on aura
(7) ^p'p=%^r
Si, dans cette dernière équation, l'on substitue à l'expression ip, sa valeur
tirée de la formule (i i) de la page 216, savoir
ip = cos p -h isin p;
on trouvera
(8) Dpcos;? 4- iBpSin p = cos (p + l) + isin (p + ^j'
et, par suite,
(9) DpCosp = cos(^p-^-~y DpSinp=zsm(^p + iy
ou, ce qui revient au même,
(10) Dp cos/j = — sinp, DpSinp = cos/?.
Ainsi, en partant de la formule (7), on se trouve ramené aux équations
connues qui fournissent les dérivées du cosinus et du sinus d'un arc ; et
réciproquement on pourrait, de ces équations, ou , ce qui revient au même,
des formules (9), déduire immédiatement l'équation (8), par conséquent
la formule (7). Ajoutons que de l'équation (7), jointe aux formules
I =.,pi_,= ,pi,
■■ipidp.
Supposons maintenant que l'on demande non plus la dérivée ou la diffé-
rentielle de ip, mais les dérivées partielles et la différentielle de la quantité
géométrique Tp considérée comme fonction du module r et de l'argument p.
Comme on aura
di, = Dpi,clp,
on tirera
(>■)
a..
( 342 )
on en tirera, eu égard à la formule (7),
P-^-.
et de ces formules, jointes aux équations
dip=Bpipdp-i--Dripdr, i ^ = ir„,
on tirera
(i3) drp = ip{âr-h irdp).
Si, pour abréger, on désigne par la lettre z la quantité géométrique r^, et
si d'ailleurs on nomme ^, ^ les coordonnées rectangulaires du point dont
l'affixe est z, le pôle étant pris pour origine, et l'axe polaire pour axe des jc,
on aura
(i4) z = x+ji= Fp-,
et de cette dernière formule, jointe à l'équation (i3), et à l'équation ( i4)
du paragraphe précédent, on tirera
(ï5) djz = d^ + id^ =: i^(dr+ irdyo).
§ III. — Sur les dérivées des fonctions de quantités géométriques .
Soient
(0
-J^
et
[1) z = x^r\
deux quantités géométriques variables , propres à représenter les affixes de
deux points A et B qui , dans un certain plan , ont pour coordonnées rec-
tangulaires, le premier les variables réelles .r, j-, le second les variables
réelles X, Y. Comme je l'ai dit dans l'avant-dernier article , Z devra être
censé fonction de z, si, la valeur de z étant donnée, on peut en déduire celle
de Z, ou, en d'autres termes, si, la position du point A étant donnée, on
peut en déduire celle du point B; et il suffira pour cela que les variables
réelles X, J^soient des fonctions déterminées des variables réelles x, r.
Concevons maintenant que l'on désigne , à l'aide de la lettre caractéris-
tique A placée devant les variables
( 343 )
des accroissem'ents finis ou infiniment petits attribués à ces mêmes variables.
Supposons, d'ailleurs, que Z reste fonction continue de z, du moins
pour des valeurs de z comprises entre certaines limites. Pour de telles va-
leurs de z, à des accroissements infiniment petits Ax, Aj- de x^j^ corres-
pondront des accroissements infiniment petits Az, AZ de z, Z ; et la dérivée
de la variable Z considérée comme fonction de z ne sera autre chose que
la limite dont s'approchera indéfiniment le rapport
tandis que Ajc , à.j s'approcheront indéfiniment de zéro. Cette dérivée sera
désignée, comme dans le cas où z est réel , à l'aide de la lettre caractéris-
tique D, par la notation D^Z. D'autre part, les quatre différentielles
àx, dj-, dz, dZ
des quantités algébriques variables x, ^, et des quantités géométriques va-
riables z, Z, seront quatre quantités nouvelles, les deux premières algé-
briques, les deux dernières géométriques, dont les rapports seront préci-
sément égaux aux limites des rapports entre les accroissements infiniment
petits
Ajc, Aj, Az, AZ
de ces mêmes variables. Cela posé, la dérivée de Z, relative à z , se confon-
dra évidemment avec le rapport différentiel de Z à z, c'est-à-dire avec le
rapport
dZ
dz
des différentielles dZ, dz, en sorte qu'on aura
(3) D.Z = ^.
Si, dans la formule (3), on substitue à la différentielle dz, sa valeur
tirée de la formule (i), savoir
d z = d a: -h i àj,
et à la différentielle dZ, sa valeur fournie par une équation semblable à la
formule (4) du § II, savoir
dZ = D^Zdx-hD^Zdr,
on trouvera
( 344 )
Si, d'ailleurs, on pose
dx dj
coscj sincT
(5) a^ = *^"§^'
ou, ce qui revient au même,
(6)
l'équation (4) donnera
, V r>. ry D^Z COS CI + D^Z sin CT
(7) D2Zf = — 7-f ■-,
^ ' ' cos CI + 1 sm CT
puis, en ayant égard aux formules
I ^ z=z cos 5T + i sin w , i tj i — n = ' ,
on tirera de l'équation (7),
(8) D^Z = i_CT(D^Zcose7 H- D^.Zsinw).
Il est bon d'observer que, dans les formules (4), (7), (8), les dérivées
partielles D^Z, D^Z varient généralement avec la position du point mo-
bile A, et se réduisent à des fonctions des deux coordonnées rectangulaires
X, j- de ce même point, ou, ce qui revient au même, à des fonctions de
l'affixe z. D'autre part, tandis que les coordonnées x, j varieront par de-
grés insensibles , le point A décrira généralement une courbe continue ; et
si par ce point on mène une droite qui forme, avec l'axe polaire, un
angle zs propre à vérifier la formule (5), la direction de cette droite,
appelée tangente ^ sera ce qu'on peut nommer la direction de la courbe au
point dont il s'agit. Si la ligne décrite par le point A se réduit à une droite,
la tangente ne différera pas de cette même droite. Cela posé, il suit immé-
diatement de la formule (4), (7) ou (8) que la dérivée de Z, considérée
comme fonction de z, dépend en général, non-seulement de la position du
point A sur la ligne qu'il décrit, mais encore de la direction de cette ligne.
Si cette direction devient parallèle à l'axe des jc ou à l'axe des j^ on
aura
d^ = o ou da? = o,
et la dérivée de Z, prise par rapport à z, sera , dans la première hypothèse,
(9) i)--^;
dans la seconde hypothèse,
(10) M=_iD^Z;
( 345 ;
comme on pourrait aussi le conclure de la formule (7) ou (8), en posant
dans cette formule
57 = o ou ^y = - .
2
Concevons maintenant que la fonction Z, supposée explicite, ou rendue
explicite par la résolution de l'équation ou des équations qui la détermine-
raient, soit monodrome ^ du moins entre certaines limites de 2; c'est-à-dire
qu'entre ces limites elle conserve une valeur unique, en restant fonction
continue de z, par conséquent de x et de j, tant qu'elle ne devient pas
infinie. Concevons encore que les dérivées partielles du premier ordre
D.Z, D,.Z
satisfassent à la même condition ; c'est-à-dire qu'entre les limites données
de z, chacune de ces dérivées partielles soit monodrome. Alors la dérivée
D^Z
conservera entre les limites données de z, et tant qu'elle ne deviendra pas
infinie, une valeur unique en restant fonction continue de la variable ima-
ginaire z et de l'angle zs. Ajoutons qu'en vertu de la formule (7) ou (8),
cette dérivée deviendra indépendante de l'angle cr, si les deux valeurs par-
ticulières de cette dérivée, représentées par les expressions (9) et (10),
deviennent égales entre elles. Alors, en effet, on aura
(11) ^ = D.Z,
par conséquent
(12) D^Z = iD^Z,
et l'équation (7) ou (8) donnera
(i3) D,Z==D^Z,
quelle que soit d'ailleurs la valeur du rapport -p» ou, ce qui revient au
même, de l'angle zs. Donc alors la dérivée
D,Z
deviendra indépendante de la direction de la ligne que décrira le point
mobile A , et se réduira simplement à une fonction des variables réelles :c, j,
ou, ce qui revient au même, à une fonction de la variable imaginaire z.
D'ailleurs, pour que cette réduction s'effectue, il est évidemment nécessaire
Ex. d'An, et de Ph. math., T. IV. (47« livr. ) 44
( 346 )
que la dérivée
conserve la même valeur quand la direction de la ligne décrite par le point
A devient parallèle à l'axe des x , et quand elle devient parallèle à l'axe
des j', en conséquence, il est nécessaire que les dérivées partielles de Z,
relatives à x et à j-, savoir D^Z et D^Z, satisfassent à la condition exprimée
par la formule (ïa).
Dans le cas spécial que nous venons d'indiquer,- la dérivée D-Z sera,
aussi bien que Z , du moins entre des limites données de Z , une fonction
monodrome de cette variable.
Au reste, pour que la dérivée D^Z soit une fonction monodrome de la
variable imaginaire z, entre des limites données de z, il n'est pas nécessaire
qu'entre ces limites, la fonction Z soit elle-même monodrome : il suffit que
les deux dérivées partielles du premier ordie
D^Z, D^Z,
étant monodromes entre les limites dont il s'agit, satisfassent à l'équa-
tion (12).
Nous appellerons monogène une fonction dont la dérivée sera mono-
drome. En vertu de la remarque précédente, une fonction de la variable
imaginaire z pourra être monogène entre des limites données de z. sans
être constamment monodrome entre ces mêmes limites.
Ainsi, par exemple, si l'on pose
(l4) Z=:1Z,
ou , ce qui revient au même,
(,5) Z = \[œ+ji),
on aura encore , eu égard à la formule (3o) de la page 271 ,
(16) Z = - 1 (jc=^ + r=^) -h i ^ arc cos . "" ,
par conséquent,
(17) B^Z = — '—. = -, ByZ = — '—. = -■•
et, comme les valeurs précédentes de D^Z,D^Z seront, entre des limites
quelconques de la variable
Z = X 4- j'i,
des fonctions monodromes de cette variable qui vérifieront la condition (ii),
( 347)
la dérivée D^Z de Z =rlz, déterminée par la formule (7) ou (8), devra
être aussi constamment une fonction monodrome de 2, ce qu'il est aisé de
vérifier, puisque l'on aura
(18) D^Z = D^Z=:^.
Par suite, la fonction \z sera constamment monogène. Toutefois, cette
fonction \z, qui restera elle-même monodrome, tandis que l'on fera va-
rier œ entre les limites o, 00 , cessera d'être monodrome quand x deviendra
négatif, puisque alors, en -vertu de la formule (16), elle passera brusque-
ment de la valeur
-1(0:=^) -Tri,
a la valeur
il(x=)-f-Tri,
tandis que j passera, en décroissant, d'une valeur négative à une valeur
positive.
44..
( 348 )
Sur la différentiation des fonctions explicites ou implicites
dune ou de plusieurs quantités géométriques .
Les principes établis dans Tarticle précédent permettent d'obtenir facile-
ment les différentielles des fonctions d'une ou de plusieurs quantités géo-
métriques , quand ces fonctions se trouvent exprimées à l'aide des notations
usuelles. De plus, en partant de ces principes, on reconnaît aisément que
les formules et les propositions relatives à la différentiation des fonctions
de variables réelles continuent généralement de subsister quand ces varia-
bles deviennent imaginaires. Ainsi, par exemple, Z étant fonction d'une
variable imaginaire z, on aura, comme on l'a déjà remarqué dans l'article
précédent ,
(i) dZ = D,Zdz;
et Z étant une fonction de plusieurs variables imaginaires w, t^, îv,..., on
aura généralement
(2) dZ = D„ZdM + D,Zdv-hD,Zdw4- ....
Les formules (i) et (2) fournissent les règles connues pour la détermination
des fonctions de fonctions et des fonctions composées.
La différentiation des fonctions entières d'une variable imaginaire z s'ef-
fectue de la même manière et conduit aux mêmes formules que dans le cas
où cette variable est réelle. Ainsi, par exemple, x étant un nombre entier
quelconque, et a, è, c,..., des constantes imaginaires, on aura, pour des
valeurs imaginaires, comme pour des valeurs réelles de z ,
■n/(z" ')àz,
(8) D., {a + hz 4- 6-c.' 4- . . . + kz") z= b -^ 7. cz -h . . . -f- nkz"
(3)
d 2.« =
: nz"-* dz,
(4)
dz-"= -
- nz-"-'dz
(5)
d(a +
hz
+ cz:'
■ + .
,..-h A-z")
= {b-\- -ic
et , par
' suite ,
(6)
D,z«
= nz"~* ,
(7)
D^2-" =
: — nz'"-^ ,
( 349 )
La même remarque s'applique aux fonctions rationnelles d'une variable
imaginaire z. Leurs différentielles et leurs dérivées, exprimées en fonctions
de z , sont précisément celles qu'on obtiendrait si z était réel.
Considérons maintenant l'exponentielle e^, et posons
z = X 4- ji,
X, jr étant réels; on aura
ou , ce qui revient au même,
e' = e^ \y^
puis on en conclura, eu égard à la formule (a),
et de cette dernière équation , combinée avec les formules
de^r^e-^dj?, di^=i^.idj', djz =: d^r -f- id^,
ou tirera
( 9 ) d e^ = e"" d js,
par conséquent
(lo) D^e^ = d^
Donc la dérivée de V exponentielle é^ est cette exponentielle même, quelle
que soit la valeur réelle ou imaginaire de z.
En partant delà formule (9), on déterminera sans peine les différentielles
et les dérivées des exponentielles qui auraient pour base un nombre autre
que e, comme aussi des fonctions entières ou même rationnelles d'exponen-
tielles quelconques. Ainsi, par exemple, A étant un nombre quelconque,
et a étant le logarithme népérien de «, on déduira de l'équation (9), jointe
à la formule
A^ = e«%
les équations
II) dA^ = AMAdz,
(la) D,A^ = AMA.
Ue même , de l'équation (9), jointe aux formules
on déduira immédiatement les différentielles et les dérivées de cosz et sin r,
( 35o )
considérées comme fonctions entières de l'exponentielle e^', et l'on trouvera
ainsi
(i3) d cosz = — sinzdz, d sin 2 = cos zdz,
(i4) D^cos2 = — sin z, D^sin z = cosz.
Enfin, des formules qui précèdent, jointes à l'équation (2), on déduira
sans peine les différentielles et les dérivées d'une infinité de fonctions
explicites d'une ou de plusieurs variables imaginaires.
Concevons , pour fixer les idées , que
Z=r:X-4-ri
représente une fonction de la variable imaginaire
z = X 4-/i,
.r, j, X, Fêtant des variables réelles. Pour que l'on puisse déduire de la
formule (2), et de celles qui la suivent, les valeurs de la différentielle dZ,
et de la dérivée
az
il suffira que les variables imaginaires z, Z puissent être considérées comme
liées l'une à l'autre et à certaines variables auxiliaires
de telle sorte que les diverses variables étant rangées dans un certain ordre
indiqué par la suite
(i5) Z..., w, y, w,..., z,
l'une quelconque d'entre elles, u par exemple, soit équivalente à une certaine
fonction rationnelle des variables suivantes :
V, w,..., z,
et des exponentielles
6 , e ,. . ., e ,
ou de quelques-unes de ces variables et de ces exponentielles. Dans cette
hypothèse, la différentielle de m, considérée comme fonction de u, w,..., z,
sera fournie par une équation de la forme
(16) du—'D^,udv-{-I>^udw-h...-h'DzUdz;
la différentielle de Z, considérée comme fonction de . . . y u, v , w, . . ., z,
sera fournie par une équation analogue; et, si de cette dernière on élimine
( 35. )
ies valeurs des différentielles
..., du, dv, dw',...,
données par la formule (i6) et les formules de même espèce, l'équation ré-
sultante de l'élimination déterminera le rapport différentiel de Z à z, ou, en
d'autres termes, la dérivée de Z considérée comme fonction de la seule va-
riable z, par conséquent la valeur cherchée de D^ Z. D'ailleurs, cette valeur
de D^Z sera généralement, ainsi que Z, une fonction continue de la varia-
ble z, dans le voisinage d'une valeur finie attribuée à z; ou du moins les
seules valeurs finies de z, pour lesquelles cette condition ne sera pas remplie,
seront des valeurs singulières ^ propres à représenter les affixes de certains
points isolés et séparés les uns des autres. La circonstance particulière que
nous venons de signaler se présenterait , par exemple, si l'on supposait
17) Z = ! -H M, u = e'\ ^'' = 7 '
et, par suite.
(18) Z=i-4-el
Alors la fonction Z et sa dérivée
('9' D,Z = -^e".
resteraient finies et continues dans le voisinage de toute valeur finie de z
distincte de zéro; mais Z et D^Z deviendraient simultanément discontinues
pour une valeur nulle de z, et les limites dont s'approcheraient ces deux
fonctions, tandis que la Variable z =■ x -hji s'approcherait indéfiniment
de zéro, pourraient être ou finies ou infinies. Ces limites seraient effective
ment i et o, si l'on supposait j- = o, .r < o ; elles seraient oc et — co , si
l'on supposait j = o, jt > o.
Si à la première des équations ( 171 on substituait la suivante :
Z =
(21)
D,Z = --,
"u.^r
( 352 )
et les deux fonctions Z, D^Z deviendraient discontinues, non-seulement
pour une valeur nulle de z , mais encore pour les valeurs singulières de z
propres à vérifier la condition
(23) e^=-i,
c'est-à-dire pour toutes les valeurs de z données par la formule
(24) 2=^ .._„L_
^ ' {in H- i)7r
n étant un nombre entier quelconque.
Supposons maintenant que les termes de la suite (i 5), étant rangés dans un
(>rdre quelconque, soient liés entre eux par des équations dont les premiers
membres soient des fonctions rationnelles de ces mêmes termes et des expo-
nentielles
les seconds membres étant réduits à zéro. En vertu de ce5 équations, quel-
ques-unes des variables
Z,..., u, V, w,..., z
seront des fonctions implicites des antres; et si le nombre des équations est
égal au nombre des variables diminué de l'unité, Z sera une fonction impli-
cite de z. Gela posé, il suffira évidemment de différentier les diverses équa-
tions , puis d'éliminer
du, dt^, dw,...
des équations différentielles ainsi formées, pour obtenir une équation finale
que déterminera la différentielle dZ et la dérivée
D.Z:=^,
de Z considérée comme fonction de z. D'ailleurs, la valeur trouvée de D^Z
sera généralement, ainsi que Z, une fonction continue de z, dans le voi-
sinage d'une valeur finie attribuée à z, ou du moins les seules valeurs finies
de Z , pour lesquelles cette condition ne sera pas remplie , seront des va-
leurs singulières propres à représenter les affixes de certains points isolés
et séparés les uns des autres.
Si, pour fixer les idées, on suppose Z lié à z par une seule équation
(25) U=o,
dont le premier membre ?7soit une fonction rationnelle des variables z, Z
( 353 )
et des exponentielles c' , ,"^ , on trouvera, en différentiant cette équation,
(26) V>.^UàZ-\-'DjJ<\z = o,
et, par suite,
ou, ce qui revient au même,
(27) ^^^-^=-0777'
Supposons, par exemple, Z lié à z par l'équation
que l'on peut encore écrire comme il suit :
On trouvera, en différentiant cette équation,
eSlZ-dz. = 0,
et. par suite,
i\Z -z I
ou, ce qui revient au même ,
Il est bon d'observer que, dans le cas où le nombre des variables imagi-
naires représentées par
Z , ..., Il, V, IV, ..., z
surpasse d'une unité le nombre des équations auxquelles ces variables sont
assujetties, on peut obtenir la différentielle dZ, et, par suite, la dérivée D,-Z
de Z considéré comme fonction de z, ou en différentiant, comme on vient
de le dire, les équations données, ou en tirant d'abord de ces équations
supposées résolubles la valeur de Z, et en différentiant celte valeur présentée
sous la forme
z = x-+-ri.
Si, pour fixer les idées, on suppose Z lié à z par Téqnation (28), la fonc-
tion implicite Z admettra une infinité de valeurs distinctes qui seront
toutes comprises dans la formule
(3o) Z = c + lz,
Ex. dAn. Cl de Ph. nwt.T IV. (47* livr.) 45
( 354 )
Ja constante c désignant l'un quelconque des ternies de h prop^ression
arithmétique
~47ri, — 27ii, o, 2n\, linï ,
Par suite, la dérivée de Z considéré comme fonction de z se réduira tou-
jours à la dérivée de
(3i) U^il(x2+ r^) + i-^arccos— ^=.
V j' V -^ H- y'
D'ailleurs cette dernière dérivée sera, comme on l'a déjà remarqué dans
l'article précédent,
(32) DJz='-.
Donc, en supposant Z déterminé par l'équation (28), on aura, comme
l'indique la formule (29),
B,Z = ~.
z
Observons, toutefois, que le calcul est plus simple quand on déduit direc-
tement la formule (29) de l'équation (28), sans recourir aux équations (3o)
et (3i).
On voit, par cet exemple, que pour obtenir la dérivée d'une fonction
explicite Z de la variable z, dans le cas où cette fonction coïncide avec
Tune des valeurs d'une fonction implicite déterminée par une ou plusieurs
équations, il peut être avantageux de différentier directement l'équation ou
les équations données.
En partant de la formule (Sa), on obtient aisément les dérivées d'un
grand nombre de fonctions explicites qui peuvent être exprimées en loga-
rithmes népériens. Ainsi, par exemple, comme on a [page 280],
/QQ\ ^ l(i-l-zi) — 1 (i — zi)
( 33 ) arc tang z = -^^-— — ^ — r-^ ' ,
on en conclura
D^ arc tans; z = -l — ^ — r H — r ) -,
o 2\l-|-Zl I— ZI/'
par conséquent,
( 34 ) D, arc tanor z = — ~ ■
De même encore, comme, en désignant par a une constante arbitrairement
choisie, on a identiquement [3® vol., page 38 1]
(35) .» = e-%
( 355 )
on en conclur'ïi
ou, ce qui revient au même,
(36) T>,z'' = az--'.
On trouvera, en particulier,
(37) D,z^=^r%
puis on en conclura, en remplaçant s par i — s^,
(38) D,{i-z^f = --j=^^,^
Enfin, comme on aura [p^'ige 28.2]
(39) arcsm2 = -. \ [^ii^z' + zi\,
on tirera de cette dernière équation, jointe aux formules (32) et (38),
(40) D^ arc sin z = , .
Les fonctions explicites qui, comme arc tang z, z", arc sin z, ..., s'expri-
ment en logarithmes népériens, peuvent être aussi considérées connue
représentant certaines valeurs de fonctions implicites déterminées par des
équations dont les deux membres renferment uniquement des fractions
rationnelles et des exponentielles népériennes. Ainsi, par exemple, arc tang Z
est une des valeurs de Z propres à vérifier l'équation
(4.) • «"^' = 1^^
z" est une des valeurs de Z fournies par le système des deux équatioiîs
(42) Z = e«", e" = z-,
enfin, arc sin z est une des valeurs de Z fournies par le système des
équations
(43) e^' = wH-2.i, u- = i — z\
Gela posé, on ne doit pas être surpris de voir que les formules (34) et (36)
peuvent être déduites directement des équations (40 et (4^)-
45.
( 356 )
Mémoire sur les clefs algébriques.
Je nomme clefs algébriques des variables qui n'apparaisseiit que passage-
remeiit en des formules où leurs produits sont définitivement remplacés
par des quantités qui peuvent être arbitrairement choisies. Ces variables
méritent doublement le nom de clefs, puisque leur intervention permet,
non-seulement d'introduire avec facilité dans le calcid des quantités qui se
glissent à leur suite, et auxquelles elles ouvrent la porte pour ainsi dire,
mais encore de résoudre promplement un grand nombre île questions di-
verses.
On peut d'ailleurs employer, comme clefs algébriqnes, toutes sortes de
quantités variables, même celles que l'on nomme difj'crentiellcs et vnrin-
L'O/is.
§ P^ — Considératiojis générales. Notations.
CiOnsidérons, d'une part, m variables
a , ê , y, . . , r,\
d'autre part, Ji fonctions linéaires et homogènes de ces variables, repré-
sentées par
X, p., V,..., ç,
en sorte qu'on ait
/ = «, a 4- />, S -4- c, 7 H- . . -f- h^ c ,
i p. = 0-2 « -h A^ ê H- ^2 7 + . . . -r //a ri '.
(i) ' V = ^3a + èjê 4- C37 H- ... + ^sVy,
ç =: a,t a -f- />„ + c„ 7 + . . . + //,; Ti ,
a, , l\, <:•, ,..., /^ ; r/2, ^2? ^2 ?••■? b^; ^3 , />3 , C3,..,, b.^ ; a,,, b„, c„,..., //,,.
étant des coefficients constants. Le produit
(«2) Xfxv... ç
( 35-; )
(le ces fonctions multipliées Tune par l'autre dans un ordre déterminé
pourra être décomposé en produits partiels dont chacun renfermera un
coefficient constant avec n facteurs variables égaux ou inégaux; et l'on
pourra, dans chaque produit partiel, conserver la trace de l'ordre dans
lequel les multiplications sont effectuées, en écrivant le premier le facteur
variable qui appartient à la fonction >.; puis, à la suite de celui-ci, le fao-
teur variable qui appartient à la fonction p-,...; puis, à la dernière place,
le facteur variable qui appartient à la fonction ç. De plus, après avoir ainsi
décomposé le produit (2) en plusieurs termes, on pourra, dans chaque
terme, remplacer le produit des facteurs variables par une quantité arbi-
trairement choisie, et même substituer deux quantités distinctes à deux
produits qui ne différeront entre eux que par l'ordre des facteurs. En vertu
des substitutions de cette nature, le produit (2) se transformera en une
quantité nouvelle que nous appellerons piodiiit sjmboUqiie , et que nous
désignerons par la notation
(3) |Xav...ç|,
en renfermant le produit donné entre deux traits verticaux. Nous indique
rons les substitutions elles-mêmes sous le nom de transmutations ^ et cha-
cune des quantités substituées par le produit auquel on la substitue, ren-
fermé encore entre deux traits. Enfin, nous nommerons clejs algébn'cjaes
les variables a, ê, 7,..., y] qui, momentanément admises dans le calcul,
disparaissent quand on passe du produit {1) au produit (3), et nous dirons
que ce dernier produit a pour Jactenrs sjmboliqne.s les fonctions linéaires
À, /X, V,..., ç.
Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait jn =^ 2, n = 2, en sorte qiie
les formules (i) se réduisent aux deux équations
On aura, dans cette hypothèse,
(5) X,a = a, «2 a- + a^b.J,(A^ 4- b^ a. ca + b, b., 9 ;
par conséquent,
(6) \lix\=n,a,\oL-'\-h ^,b^\a^\ + b,a,\èc/i\ -h b,b, Ig^l;
et, si l'on assujettit les clefs a, ê aux transmutations
(7) \a'\ = h \7£\ = 2, lêa| = 3, |éM-4,
( 358 )
on trouvera
(8) |X/J. I = '^',^2 + 2<7,Z>2 + 3^,<72 + l\bj:>.,.
Ajoutons que la valeur du produit symbolique |X^a| sera modifiée si l'on
échange entre eux les deux facteurs X, [j,. En effet, en supposant toujours
les clefs a, ê assujetties aux transmutations (7), on trouvera
(9) I ul ! r=. a,a^ + 9. <72 />, + 3 /;2 ^i H- 4 ^2 '^i •
Comme on le voit, en multipliant l'une par l'autre des fonctions linéaires
de clefs algébriques, on construit en quelque sorte un moule dans lequel
des quantités arbitrairement choisies viennent prendre les places d'abord
occupées par les divers produits de ces mêmes clefs. Le produit symbo-
lique ainsi obtenu dépend tout à la fois et des coefficients des clefs dans les
fonctions linéaires données, et des quantités substituées, ou, en d'autres
termes, de la nature des transmutations. On conçoit, qu'en raison de cette
nature, un produit symbolicpie peut acquérir des propriétés qui facilitent
notablement la démonstration d'un théorème ou la solution d'un problème;
et l'habileté du calculateiu^ consiste à choisir les transmutations qui lui
permettent d'atteindre avec moins de travail le but qu'il s'est proposé.
Si , en adoptant les notations ci-dessus mentionnées, on nomme x un pro-
duit de clefs algébriques rangées dans un certain ordre, la substitution
d'une quantité déterminée k au produit / sera indiquée par la formule
(10) |)t| = k.
Si , dans cette formule on voulait supprimer les traits entre lesquels est
renfermé le produit x, on devrait en même temps, pour éviter toute mé-
prise, substituer au signe = un signe différent, par exemple le signe :r::
que j'ai déjà employé pour cet usage dans les Comptes rendus des séances
de VJcndémie des Sciences. Alors, à la place de la formule (10), on obtien-
drait celle-ci
(^^) X — K.
§ II. — Décompnsiiinn des sommes alternées, connues sous le nom de résultantes, en facteurs
symboliques.
Les sommes alternées que nous avons déjà considérées dans le second
volume de cet ouvrage (page 160), peuvent être facilement décomposées en
produits symboliques.
En effet, considérons d'abord la somme alternée ^, formée avec les quatre
( 359 )
termes du taWeau
et fournie par réquation
(2) 5 = S(±: «, Z^a) = «1 ^2 — ^2^1-
Si l'on donne pour coefficients à deux clefs algébriques a, ê dans deux
fonctions linéaires X, a, les termes que renferment la première et la seconde
ligne horizontale du tableau (1), on aura non-seulement
(3) n. = a,.^,,
mais encore
(4) I Xa \ = a,a,\a'\ + a,b,\ ag \ + b,n, \ ^a \-^bJy,\^'\;
et, pour que le produit symbolique |/a| se réduise à la résultante s , il suf-
fira évidemment de poser
(5) |aM = o^ |ag| = i, |gal = -i, \^'\ = o.
Sous cette condition, l'on aura
(6) s = \IijA',
et X, jU. seront les facteurs sjmboliqaes de la résultante s.
Si, aux formules (5) on substituait les suivantes :
(7) \y'\ = o, |êai = -|ag|, |êM==o,
alors, à la place de l'équation (6), on obtiendrait la fornnile
|Xa.| = j|ag|,
ou
(8)
dans laquelle il suffirait de poser | aê | = i pour retrouver l'équation (6).
Remarquons d'ailleurs que la seconde des formules (7) peut s écrire comme
il suit :
(9) !agl + |êa|=:o,
et que la formule (9) donne ] a' | r= o ou | ê^ | = o quand on y suppose
g = a. Donc, en définitive, les transmutations (7) sont toutes trois com-
prises dans la formule (9). Donc il suffit de recourir à cette formule et à
( 36o )
celles qui s'en {léduiseut, pour obtenir l'équation (8), et, pAr suite, pour
décomposer en facteurs symboliques la somme alternée s, c'est-à-dire la
résultante algébrique formée avec les quatre termes du tableau (i).
Considérons maintenant la somme altei'née s formée avec les divers termes
du tableau
(7, , b,, Cf ,..., //, ,
(lo) ' a,, ^3, C3,..., h,,
et fournie par l'équation
(i )) .V = S (±: rt, h^c^... h,t) = a^ b^Ci... hn — ••■,
le nombre des lettres a, b, c ,. . ., h étant égal à n. Représentons d'aii-
leiu's par
a , ê 5 7 , • • • j n
n clefs algébriques distinctes, et par
X , ,a , V .... , ç
/i fonctions linéaires de ces mêmes clefs. Si l'on donne à ces clefs pour
coefficients, dans les fonctions linéaires X, a, v,..,, ç, les termes que ren-
ferment la première, la deuxième, la troisième, etc., la dernière ligne hori-
zontale du tableau (5), c'est-à-dire si l'on pose
/ = /7, a -4- ^, § + 6', 7 4- . . - -f- /2, Yi ,
\ p, r= r/o a -h ^2 - "^' '^'2 7 + ■ • • "f" ^'-2 '^' '
: I :i : ' v = rt-i 7. -^ b^^ -+- c\y -+- . .. -h h^ y; ,
ç =: a„ y. + ^,i ê -f- c„ 7 -4- ... + //„ -^ ;
le produit symbolique
(i3:i |Xp.v... ;1 = a, b.,c^... h„ \a^y... y]\ + ...
sera évidemment une fonction linéaire du produit
«, h^c.^... b,i,
et de tous ceux qu'on peut obtenir en multipliant l'un par l'aulrc n facteurs
distincts ou non distincts, pris dans la suite
<7 , è , c , . . . , /? ,
( 36i )
et en plaçant, au bas de ces facteurs écrits à la suite les uns des autres, les
indices i, 2, 3,..., n. Ajoutons que, si l'on représente par k l'un quel-
conque de ces produits et par A: |x| le terme proportionnel à k dans le
second membre de la formule (i3), il suffira, pour obtenir le produit x,
d'effacer dans le produit A les indices placés au bas des lettres, et d'y substi-
tuer partout la lettre a à la lettre rt, la lettre ê à la lettre h, etc., la lettre yj
à la lettre h.
D'autre part, pour que le produit A- soit l'un de ceux que contient la
résultante i', il est nécessaire qu'il renferme une seule fois chacune des
lettres
et, lorsque cette condition sera remplie, le produit k pourra être, dans la
résultante s, affecté du signe + ou du signe — ■ H y sera, en effet, affecté
du signe H-, si, pour passer du produit
fit, ^2^3" • hn
au produit A:, il faut opérer entre les lettres a, b, c,..., h, prises deux à
deux, un nombre pair d'échanges, et du signe — dans le cas contraire.
Donc, pour réduire le produit symbolique |X|U.y...ç|, déterminé par la
formule (i3), à la résultante s, on devra poser
(i4) l>^|-o,
quand l'une quelconque des lettres
a, ê, 7,..., yj
entrera deux ou plusieurs fois comme facteur dans le produit h, et poser, au
contraire,
(.5) ]x|=.,
OU
(.6) |x|=-i,
quand le produit x renfermera une seule fois chacune des lettres
a, g, 7,..., Y],
la formule (i5) étant relative au cas où l'on sera obhgé d'opérer entre ces
lettres prises deux à deux un nombre pair d'échanges, pour passer du pro-
duit I aê7... Y] I au produit | x |. Sous ces conditions, la formule (i 3) donnera
(17) s = \lixv... ç\',
Kx. d'An, et de Phrs. math., T. IV. (48« livr.) 4^
( 362 )
et, par conséquent, X, ^i, v,..., ç seront les facteurs symboliques de la ré-
sultante s.
Si, en conservant la formule (i4), on remplaçait les formules (i5) et (i6)
par les suivantes :
(19) |>c|=-|ag7...yj|,
alors, à la place de l'équation (17), on obtiendrait la formule
\lllV... ç\ =:s\c/£y... Y)\,
ou
I aSv . . . >, I
dans laquelle il suffirait de poser
(21) |ag7...yî|=ri,
pour retrouver l'équation (17).
Au reste, pour déduire les formules (i4), (18) et (19) des transmutations
de la forme
(22) |ga|=:-|ag|,
il suffit d'admettre que les transmutations de cette forme continuent de sub-
sister quand on introduit une ou plusieurs fois de suite dans les deux
membres, entre les traits verticaux, de nouveaux facteurs auxquels on as-
signe les mêmes places, et qu'elles continuent encore de subsister quand les
divers facteurs ne sont pas tous distincts les uns des autres.
Ainsi, par exemple, si les clefs que l'on considère se réduisent à trois,
a, g, 7,
on pourra évidemment, avec ces trois clefs, former les six produits sym-
boliques
(^3N 1 l^^vl. \^y^\, ly^si, .
f \^y^\, lêayl, lyêal-
Alors aussi les transmutations de la forme (22) seront au nombre de trois,
savoir :
(24) \yi\=:-\^y\, |a7| = _|7a|, |êa| = -|aê|.
Or, si dans chacune de ces dernières transmutations on introduit la clef
qu'elle ne renferme pas entre les traits verticaux en lui assignant dans
( 363 )
chaque membre ou la première ou la dernière place, on trouvera, dans le
premier cas,
(25) laygl^-laêyl, j gayl = - iêya|, lyêal = - lyaSI;
dans le second cas,
(a6) I yga I — — | 07a [, | ayê | = — | yaS |, | Sayl = — | aêy | .
On aura donc
^ ^^ I =-|avS| = ~|Sa7|:==-|7aS|;
et, par suite, en nommant |>c| l'un quelconque des produits (23), on
trouvera
(28) |/|= |ag7|,
ou
(29) |x|=z:-|aê7|,
suivant que le produit | z | se déduira du produit | «§7 1 à l'aide d'un nombre
pair ou impair d'échanges opérés entre les trois clefs a, ê, 7 prises deux à
deux. Ajoutons que, si les formules (24) et celles qui s'en déduisent conti-
nuent de subsister quand ces formules renferment deux ou trois facteurs
égaux entre eux, elles entraîneront avec elles les transmutations
(30) \ol'\ = o, \S'\ = o, |/|=:o;
l iê^7l = o, |7V.|=o, \a^§\ = o,
^ ^ \ h/êM-o, |7a=^| = o, |gaM = o,
c'est-à-dire les transmutations de la forme
(32) 1x1 = o,
|x| étant le produit symbolique de trois facteurs dont deux au moins se
confondent l'un avec l'autre, et chacun de ces facteurs étant l'une des trois
clefs
a, g, 7.
On vient de voir avec quelle facilité s'opère la décomposition des sommes
alternées en facteurs symboliques. Cette décomposition une fois opérée, on
peut s'en servir avec avantage pour découvrir ou pour démontrer les prin-
cipales propriétés des sommes alternées. D'ailleurs, les transmutations aux-
quelles nous avons été conduits par le calcul, ont des formes spéciales
46..
( 364)
comprises elles-mêmes dans des formes plus générales qui méritent d'être
remarquées, et qui seront indiquées dans le paragraphe suivant.
§ III. — Transmutations géométriques et homogènes. Transmutations et clefs annstrophiques.
Étant données n clefs diverses
a, ê, 7,..., ri,
soient
|9|, V\, VA,-,
divers produits symboliques dont chacun ait pour facteurs quelques-unes
de ces clefs. Les transmutations auxquelles on assujettit les clefs a, ê,
7,..., ï7, pourront être de deux espèces différentes. En effet, chacune de
ces transmutations pourra ou fournir immédiatement la valeur k d'un pro-
duit symbolique | x | , et se réduire ainsi à la forme
(I) |x| = li,
ou établir une certaine relation entre divers produits symboliques | 5 j, | £ |,
|x| On doit surtout remarquer les transmutations qui fournissent les
rapports géométriques de ces produits, pris deux à deux, et qui seront
nommées, pour cette raison, transmutations géométriques. Considérons,
pour fixer les idées, une transmutation géométrique qui fournisse le rap-
port rde deux produits symboliques |/|, \i\. Cette transmutation pourra
s'écrire comme il suit :
et le rapport r prendra le nom de module. Cela posé, il est clair qu'à chaque
transmutation géométrique correspondront généralement deux modules
inverses l'un de l'autre. Car le module r étant le rapport géométrique de
|x| à |£|, le module inverse- ou r"' représentera le rapport inverse de
|£| à |>t|, et la transmutation (2) pourra encore être présentée sous sa
forme
(3) |£| = /-Mx|.
Cette même transmutation sera nommée réciproque ^ si la formule (2) con-
tinue de subsister quand on échange entre eux les produits symboliques | £ |,
|x|, c'est-à-dire si l'on a non-seulement
|x| = r|e|,
( 365 )
mais, réciproquement j
(4) hl-r|H|.
Dans cette dernière hypothèse, la formule (4) devant se confondre avec la
formule (3), les deux modules r, r"' deviendront égaux entre eux, et l'on
aura en conséquence
r=r-^,
ou, ce qui revient au même,
(5) r^ = ,,
puis on en conclura ou
(6) r=i,
ou
(7) '■=-■•
Les formules (a), (3), (4) seront réduites, dans le premier cas, à la
transmutation
(8) 1^1 = 10;
dans le second cas, à la transmutation
(9) \A = -\^l
que l'on pourra encore écrire comme il suit :
(10) |x|4-|£l=:0.
Si, dans une transmutation géométrique
lx| = r|.|,
les produits symboliques | h | , | £ |, que renferment les deux membres, se ré-
duisent à un seul et même produit symbolique |x|, le module r sera néces-
sairement l'unité , et la transformation réduite à la forme
(11) |>^| = l>^|,
sera ce que nous nommerons une transmutation identique.
Si les produits | x |, \i\ sont distincts, mais composés des mêmes facteurs,
chacun des facteurs étant l'une des clefs
a, ê, 7,..., yj,
et si ces deux produits ne diffèrent l'un de l'autre que par l'ordre dans le-
( 366 )
quel ces facteurs sont écrits, la transmutation
|x| = r|<|
sera dite homogène ^ quel que soit le module r. Elle sera homogène et réci-
proque si le module r se réduit à l'une des deux quantités — i , + i .
Le degré d'une transmutation homogène sera le degré même des pro-
duits dont elle détermine le rapport géométrique, c'est-à-dire le nombre m
des clefs employées comme facteurs dans chaque produit. La transmutation
sera dite binaire ^ lorsqu'on aura m = 2; ternaire, lorsqu'on aura m = 3;
quaternaire, lorsqu'on aura m = 4; etc.
Ainsi, par exemple, les clefs données étant a, §,7, etc., les transmuta-
tions homogènes
|êa|==|aê|, |ga|--|aê|
seront binaires ou du second degré; les suivantes
I yaê I = I aêy | , | aaê | = — | a.^(y. | , . . . ,
seront ternaires ou du troisième degré; etc.
Avant d'aller plus loin, il sera bon d'examifier attentivement les divers
produits symboliques
l«l, \A, l'I,
que l'on peut former avec m facteurs distincts arbitrairement choisis parmi
les clefs
a, g, 7,..., -/j,
et de comparer ces divers produits à l'un d'entre eux pris pour type, par
exemple au produit symbolique |»|, dans lequel les diverses lettres qui
représentent ces mêmes facteurs se trouveraient rangées dans l'ordre indiqué
par l'alphabet.
Soit I Q I l'un quelconque des produits en question. Lorsqu'une clef placée
avant une autre clef dans l'alphabet, ou, ce qui revient au même, dans le
produit |»| sera, au contraire, placée après elle dans le produit \Q\, nous
dirons que le produit | $ \ offre une inversion relative au système de ces deux
clefs. Le nombre total des inversions, dans le produit i Q |, sera évidemment
égal ou inférieur au nombre des combinaisons que l'on peut former avec
m lettres prises deux à deux, c'est-à-dire au rapport
m [m — I )
2
et pourra d'ailleurs être pair ou impair. En d'autres termes, le nombre des
( 367)
inversions, , divisé par 2, donnera pour reste o ou i . Ce reste sera ce que
nous nommerons V indice du produit \Q |. Cela posé, on pourra partager en
deux classes les divers produits symboliques formés avec m facteurs dis-
tincts, et ranger chacun de ces produits dans \a. première classe ou dans la
seconde, suivant qu'il aura pour indice zéro ou l'unité.
Soient maintenant
deux produits symboliques distincts formés avec les m facteurs donnés. On
pourra déduire le produit | /. \ du produit | « | , soit à Taide d'un seul échange
opéré entre deux clefs, soit à l'aide de plusieurs échanges de cette espèce,
et même supposer chaque échange opéré entre deux clefs juxtaposées, c'est-
à-dire entre deux clefs dont l'une suit immédiatement l'autre dans le pro-
duit symbolique [i\. En effet, à l'aide de semblables échanges successive-
ment opérés, on pourra toujours, dans le produit symbolique \i\, amener
îme clef quelconque à une place quelconque. On pourra, par exemple,
amener à la première place la clef qui occupe effectivement cette place dans
le produit | x | ; on pourra ensuite amener à la seconde place la clef qui,
dans |x|, occupe cette seconde place, etc.; et continuer ainsi jusqu'à ce que
du produit symbolique | x. | on ait déduit le produit symbolique 1 1 1. D'ail-
leurs, lorsque dans un produit de m clefs distinctes on échange entre elles
deux clefs juxtaposées, un tel échange fait évidemment naître ou dispa»
raître une seule inversion; par conséquent, il fait passer ce produit de la
première classe à la seconde, ou de la seconde classe à la première. Donc
les produits \i\, | x | appartiendront l'un à la première classe , l'autre à la
seconde , si on peut les déduire l'un de l'autre par un nombre impair d'é-
changes successivement opérés entre des clefs juxtaposées; ils seront de
même classe si le nombre des échanges de cette espèce, à l'aide desquels on
peut déduire | x | de | £ | , est un nombre pair.
Si l'on considérait , dans le produit | j | , deux clefs a, g, dont.la seconde c
occuperait, à la suite de a, non plus la première, mais la Z'^'"^ place, il suffi-
rait, pour échanger ces deux clefs entre elles, d'amener à l'aide de /
échanges successivement opérés entre des clefs juxtaposées, la clef a à la
place primitivement occupée par la clef ê, puis de ramener la clef § de la
place précédente à celle que la clef a occupait d'abord, à l'aide de / — i
autres échanges opérés encore entre des clefs juxtaposées. Le nombre total
des échanges effectués dans l'un et l'autre cas étant 2Z— 1, par consé-
quent, un nombre impair, nous devons conclure que les produits symbo-
liques \i\, |x| seront toujours de classes distinctes, s'ils se déduisent l'un de
( 368 )
l'autre à l'aide d'un seul échange opéré entre deus clefs, quelles que soient
d'ailleurs les places contiguës ou non contiguës occupées par les deux clefs
dans chacun des deux produits.
Par suite aussi, le nombre des échanges à l'aide desquels on pourra dé-
duire l'un de l'autre deux produits j j | , | x | de m facteurs distincts , sera
toujours, quelles que soient les clefs échangées entre elles, un nombre pair
si ces deux produits sont de même classe, ou, ce qui revient au même, si
la différence de leurs indices est zéro ; un nombre impair si les deux pro-
duits sont de classes différentes, ou, ce qui revient au même, si la diffé-
rence de leurs indices est l'unité.
Concevons maintenant qu'après avoir formé les divers produits symbo-
liques qui peuvent être construits avec m clefs distinctes, on égale entre
eux tous ces produits, pris les uns avec le signe H-, les autres avec le
signe — , suivant qu'ils appartiennent à la première classe ou à la seconde.
La formule ainsi obtenue déterminera les rapports géométriques de tous
ces produits; et, si l'on nomme |r|, |x| deux quelconques d'entre eux,
on aura
{■^) l>'l = (-0'l'|.
/ étant la différence entre les indices des deux produits \i\, | x |. En d'autres
termes, ces deux produits seront liés Tun à l'autre par une transmutation
homogène et réciproque, dont le module r sera
(■3) '•=(-1)'.
L'exposant /de — i dans ce module, c'est-à-dire la différence entre les in-
dices des deux produits, toujours équivalente à zéro ou à l'unité, sen
Vindice de la transmutation qui se réduira évidemment à la formule (8) s
l'on a / rr= o, à la formule (9) si l'on a / = i .
Parmi les transmutations comprises dans l'équation (12), on doit remar-
quer la transmutation qu'on obtient quand les deux produits |x|, \.i \ se dé-
duisent l'un de l'autre à l'aide d'un seul échange opéré entre deux clefs, et
qui est toujours de la forme
Telle sera, par exemple, la transmutation binaire
|êa|=-|ag|.
Telle sera encore la transmutation
( 369)
dans laquelle lés deux produits symboliques |aêyc?£|, \aù'^^c\ se déduisent
l'un de l'autre à l'aide d'un seul échange opéré entre les deux clefs ê, ^.
Une telle transmutation sera nommée anastrophique , son principal carac-
tère étant l'espèce d'inversion [avaaxpoYo , inversiOj seu conversio in contrn-
viam partem), qui résulte pour un produit symbolique 1 1 \ d'un échange
opéré entre deux clefs. Pour bien voir en quoi consiste cette inversion, il
suffit d'observer que la valeur d'un produit symbolique peut être repré-
sentée, comme toute autre quantité, par une longueur portée, à partir d'un
point fixe, sur une certaine droite, dans une certaine direction lorsque
cette valeur est positive, dans une direction inverse ou contraire lorsque
cette valeur est négative; et qu'une transmutation anastrophique fait cor-
respondre à un échange opéré entre deux clefs ou, ce qui revient au même,
à V inversion du système des deux lettres qui désignent ces clefs dans un
produit symbolique, une autre inversion^ savoir le changement de direc-
tion de la longueur qui représente le produit symbolique, et qui se trouve ,
après l'échange, dirigée en sens inverse.
Lorsqu'on ne peut, du produit symbolique | j |, déduire le produit | / |,
formé avec les mêmes clefs, à l'aide d'un seul échange opéré entre deux de
ces clefs, on peut du moins passer d'un produit à l'autre à l'aide de plu-
sieurs semblables échanges. Alors, pour que les produits | £ |, | x | vérifient
la formule (12), il suffit évidemment de les assujettir, avec les produits inter-
médiaires successivement obtenus, aux transmutations anastrophiques dont
chacune exprime que deux produits consécutifs offrent la même valeur nu-
mérique, l'un des deux étant égal à l'autre précédé du signe — .
Ainsi, par exemple, pour que les trois clefs
a, S, V
vérifient la transmutation
|aê7|=:|7ag|,
il suffit qu'elles vérifient les deux transmutations anastrophiques
\a§y\=-\ay€\, _ | ayg | =: j yag|
formées avec les deux produits | aoy \, \ yac | et le produit intermédiaire | ayc j.
De ce qu'on vient de dire, il résulte que, pour assujettir un système
de n clefs
a, g, Y,..,, Yi
à toutes les transmutations homogènes et réciproques de la forme indiquée
Er. d'An, et de Ph. math., T. lY. (48e livr.) l^'J
( 370 )
par réquation (ra), il suffit de les assujettir aux diverses' transmutations
anastrophiques que l'on peut former avec des facteurs distincts arbitraire-
ment choisis parmi ces mêmes clefs.
Jusqu'ici, nous avons supposé que, dans une transmutation anastro-
phique
|x| = -|'|,
les diverses clefs étaient distinctes l'une de l'autre. Supposons maintenant
qu'il en soit autrement, et que des deux clefs échangées entre elles, la se-
conde ne diffère pas de la première. Alors les produits symboliques | £ |,
|x| ne différeront pas l'un de l'autre, et la transmutation anastrophique
donnera
OU, ce qui revient au même,
2 I X I ::= O ,
et, par suite,
(•4) \-A\ = 0.
Donc, lorsque dans le produit |x| les diverses clefs employées comme fac-
teurs ne sont pas toutes distinctes les unes des autres, la transmutation (i4)
peut être envisagée comme une transmutation anastrophique dans laquelle
les deux facteurs échangés entre eux sont représentés par la même lettre.
Ainsi, par exemple, les deux transmutation*
I aac I = o, |aêa | = o,
se confondent avec les deux formules
|aag|r= - laagj, | aêa | = - |aga|,
c'est-à-dire avec deux transmutations anastrophiques dans lesquelles les
deux clefs échangées entre elles sont représentées l'une et l'autre par la
lettre a. Ajoutons que, dans les transmutations de cette espèce, on peut
sans inconvénient écrire sous la forme de puissance un produit de facteurs
consécutifs égaux entre eux. Ainsi, en particulier, la transmutation
I aaaêêy | = o
pourra être présentée sous la forme
ja^ê^Vl = 0.
Les notions précédentes étant admises, considérons un système de clefs
( 371 )
assujetties à vérifier les diverses transmutations anastrophiques que Ton
peut former avec des produits symboliques de facteurs distincts ou non dis-
tincts, arbitrairement choisis parmi ces mêmes clefs. Ce système et ces clefs
seront nommés anastrophiques. Cela posé, si le système des clefs
a, S, 7,..., ■/]
est anastrophique, tout produit symbolique dans lequel une même clef en-
trera une ou plusieurs fois comme facteur, offrira une valeur nulle. Quant
aux produits symboliques qu'on pourra former avec des clefs déterminées,
prises dans le système, mais distinctes les unes des autres, ils offriront tous
la même valeur numérique, leurs signes étant semblables ou contraires,
suivant qu'ils seront de même classe ou de classes différentes. On connaîtra
donc les rapports géométriques des divers piodnits syjiiboliques dans les-
quels entreront les mêmes clefs supposées distinctes les unes des autres.
Mais les transmutations anastrophiques, qui établiront ces rapports, per-
mettront de choisir arbitrairement l'un des produits symboliques construits
avec des facteurs donnés. Il convient d'ailleurs d'effectuer ce choix de ma-
nière à simplifier les formules. C'est ce que nous avons déjà fait dans !e
^ II, où les clefs
a, i, ■!,-.., ■,,
que renferment les facteurs symboliques d'une sonune alternée, peuvent
être considérées comme des clefs anastrophiques assujetties à vérifier, noîi-
seulement les transmutations anastrophiques dans lesquelles elles entrent
comme facteurs, mais aussi la condition
|acy... -^1 = 1.
En supposant que
représentent des produits symboliques de degrés égaux ou inégaux, on peut,
après avoir multiplié l'un par l'autre deux ou plusieurs de ces produits,
remplacer le résultat par le produit unique qu'on obtiendrait si l'on sup-
primait les traits verticaux qui séparent deux produits écrits à la suite l'un
de l'autre. La transmutation qu'on formera de cette manière sera nommée
transmutation conjonctive. Telles sont, par exemple, les transmutations
\rJ}\\^^\(;}^, |ag| lyc?! |sl|:^|aê7c^£|, \a^ c?£ i::^ | «gyc^a | , . . . ,
dans lesquelles |ê | ne diffère pas de ê, ni | £| de £.
47-
( 'iv- )
Cela posé, pour qu'un système donné de clefs
a, g, 7,..., Y)
soit anastrophique, il suffit évidemment que ces clefs vérifient d'une part
les transmutations anastrophiques binaires, c'est-à-dire les transmutations
qui se présentent sous l'une des deux formes
(i5) lêa| = -|a§|,
(i6) |aN=o;
d'autre part, les diverses transmutations conjonctives formées avec ces mêmes
clefs. En effet, pour que les clefs a, ê, 7vi '1 soient anastrophiques, il
suffit qu'elles vérifient les transmutations anastrophiques dans lesquelles
deux facteurs consécutifs sont échangés entre eux , et l'une quelconque de
ces transmutations anastrophiques pourra toujours être déduite d'une trans-
mutation anastrophique du second degré, jointe à deux transmutations
conjonctives. Ainsi, par exemple, pour établir l'équation
I aySc^s I = — I acyo^c | ,
il suffira de joindre à la transmutation anastrophique binaire
|7Si = -lêvl
les deux transmutations conjonctives
\a\\y^\âs\^\ay^âe\, \a\\ey\\o\\^\a§yâE\.
Concevons à présent qu'étant données ti clefs anastrophiques
a, ê, 7,..., •//,
on désigne, à l'aide des lettres
X, [X, V,..., ç,
71 fonctions linéaires de ces mêmes clefs. Soient d'ailleurs
1I|, |K|,
deux produits symboliques formés avec m facteurs arbitrairement choisis,
non plus parmi les clefs a, ê, 7,..., /?, mais parmi les termes de la suite 1,
a, Vf..., ç. Enfin, supposons que les produits |I|, |K|, dont les facteurs sont
les mêmes, se déduisent l'un de l'autre à l'aide d'un seul échange opéré
entre ces facteurs. On pourra décomposer 1 1| et | R| en produits partiels qui,
( 373 )
pris deux à, deux, se correspondront et revêtiront les formes
A désignant nn coefficient constant, et ] « |, | x| deux produits symboliques
formés tous deux avec les clefs a, ê, y,.--, 'f\ rangées dans un ordre tel,
que |x| se déduise de 1 1 ] à l'aide d'un seul échange opéré entre ces clefs. Or,
les clefs ce, ê, 7,..., yj étant supposées anastrophiques, on aura
|x|=-|<i;
par conséquent,
A\y,\ = -A\,\.
Donc les produits symboliques |I|, [K| se composeront de termes qui, pris
deux à deux, seront égaux, aux signes prés, mais affectés de signes con-
traires, et l'on aura encore
07) |K.1 = -|I|-
Ainsi, par exemple, dans l'hypothèse admise, les termes de la suite
vérifieront les transmutations anastrophiques
j^>.| = - iXf^l, iXv^l = - j/^vî,....
Il y a plus : la formule (17), qui subsistera quels que soient les facteuis
échangés entre eux dans les produits |I| et 1K|, s'étendra, dans l'hypothèse
admise, tout comme la transmutation anastrophique
au cas même où les deux facteurs échangés entre eux seront représentés
par la même lettre, et donnera dans ce cas
ou, ce qui revient au même,
K!=-|R|,
2|K| = o,
et, par suite,
(18) lK| = o.
On aura, par exemple,
ou
ou
(374)
ce qui revient au nîème,
|X=^|:=0, |X>|-0,....
Cela posé, la suite
X, p., V,..., ç
composée de termes qui vérifieront les transmutations de la forme (17)
)u (18), c'est-à-dire les transmutations anastrophiques formées avec des
produits symboliques de facteurs arbitrairement choisis parmi ces termes,
pourra être considérée comme représentant un nouveau système de clef.^
anastrophiques. En conséquence, on pourra énoncer la proposition sui-
vante :
Théorème. Si, avec n clefs anastrophiques
a, <c, 7,..., n
on construit n fonctions linéaires
X, p., V,..., c,
ces fonctions constitueront encore un système de clefs anastropliiques.
§ IV. — Sur les fonctions représentées par des produits symboliques de clefs anast7'o])}ii(fues.
Dans le § 11 de ce Mémoire, la recherche des facteurs symboliques des
sommes alternées nous a mis sur la trace des clefs anastrophiques. En siu-
vant une marche inverse, nous allons déduire de la considération de ces
mêmes clefs, non-seulement la notion des sommes alternées connues sous
le nom de rcsnltantes , mais encore leurs principales propriétés.
Soient
a, o, 7,..., T,
n clefs anastrophiques, et
X, |U. , V,..., ;
72 fonctions linéaires de ces clefs, déterminées par les équations (la) du
§ n, c'est-à-dire par les formules
X = rt, a -f- 6, g -i- c, 7 + ... -4- h^ '^t 1
p, = ^2 a ■-{- boo -h c^'j -\- .-. -^- hr,r, ,
( i) / V = <73 a + ^3 ê + C3 7 + . . . + //;, >7 ,
g = a„a -h b„§ -h c,-/ -+- ...-+- h„rj .
(3,5)
T>e produiNsynibolique
|>fxy... ç|,
décomposé en produits partiels, ne pourra offrir aucun terme dans lequel
entre deux ou plusieurs fois, comme facteur, l'une des clefs
a, $, y,..., yj,
parconséquent auc<3n terme dans lequel reparaisse deux ou plusieurs io'is
l'une des lettres
a, b, c,..., h;
mais il renfermera, outre le produit partiel
a, h^c^... hn\ aêy... yj |,
tous ceux qu'on peut en déduire, soit à l'aide d'un échange opéré d'une
part entre deux clefs, d'autre part entre celles des lettres
a, h, Cf... y h,
qui correspondent à ces deux clefs, soit à l'aide de plusieurs échanges de
cette espèce. D'ailleurs, comme un échange opéré entre deux clefs dans im
produit de la forme
lagy... -n]
a pour effet unique de changer le signe de ce produit, ou doit évidemment,
de ce qu'on vient de dire, conclure que l'on aura
(2) IX/J.V... ; = s\7,§y...-n .
s étant la sonune qu'on obtient quand au produit
^3) a.b.c^... h„
on ajoute ceux qu'on peut en déduire à l'aide d'un ou plusieurs échanges
opérés entre les lettres a, h., c,..., h., chacun de ces derniers produits étant
pris avec le signe 4- ou avec le signe —, suivant que le nombre des
échanges est pair ou impair. Or la somme ainsi formée est précisément la
somme alternée qu'on nomme la résultante du tableau
rt,, ^,, C^,...., hf,
(4) { (h-> bi, C3,..., /?3,
a„y bni c„f..., h„,
( 376 )
et, pour réduire le produit symbolique |/u.v... ç| à cette même somme, il
suffit de poser
(5) laSy... >7| = 1,
ce qui réduit l'équation (2) à la formule
6) s= |X/xv... ç|,
déjà obtenue dans le § IL
Le degré de la résultante s n'est autre chose que le degré du produit (3)
et des produits de même espèce, c'est-à-dire le nombre n des facteurs ren-
fermés dans chacun de ces produits.
Si la résultante s est du second degré, la formule (6) donnera
( 7 ) s =^ llij.] =z aib2 — a^bf
Si la résultante s est du troisième degré, on trouvera
(8) s = |Xp-v| =■- a^ b^Cç^ — rtf, b^c, 4- ajj^c^ — a.^b^ c^ + a-^b^ c^ — aj).^c^^
etc.
En général , si l'on désigne par la notation
^[±.a^ b^c^... hn)
la somme qu'on obtient en ajoutant au produit (3) ceux qui s'en déduisent
à l'aide d'échanges opérés entre les lettres a, b, c, etc., prises deux à
deux, chacun de ces produits étant pris avec le signe + ou avec le signe —,
suivant que le nombre des échanges est pair ou impair, la formule (6)
donnera
(9) s=z \).ij:j... g| — S(± rt.^.rg... h„).
Parmi les produits dont se compose la résultante .y, le produit (3), c'est-
à-dire le produit des termes rangés, dans le tableau (4), sur la diagonale qui
renferme le premier terme <2, , mérite d'être remarqué. Nous le nommerons
produit principal. Les diverses lettres qui entrent dans ce produit, et les
divers indices écrits au bas de ces lettres caractérisent, dans le tableau (4),
d'une part les termes situés dans les diverses lignes verticales, d'autre part
les termes situés dans les diverses lignes horizontales. Un échange opéré ,
dans le produit principal a^ b.^ c^... ^, entre deux lettres que renferment deux
lignes verticales données, a le même effet qu'un échange opéré entre les
indices qu'elles portent; et chacun des produits qui se déduisent du produit
principal, à l'aide de semblables échanges, renferme nécessairement un
1 377 )
seul terme pris dans chaque ligne verticale, du tableau (4), et un seul
terme pris dans chaque ligne horizontale. D'ailleurs, ces produits peuvent
être partagés en deux classes , chaque produit étant de première ou de se-
coTide classe, suivant qu'il se déduit du produit principal par im nombre
pair ou impair d'échanges; et la résultante s est simplement la somme qu'on
obtient quand, aux produits de première classe pris avec le signe +, on
ajoute les produits de seconde classe pris avec le signe — .
Lorsqu'on échange deux lettres entre elles ou deux indices entre eux,
non plus dans le produit principal, mais dans la résultante s, on voit
chaque produit partiel, et, par conséquent, la résultante elle-même,
changer de signe. Donc la résultante s change de signe lorsqu'on échange
entre elles deux lignes verticales ou deux lignes horizontales du ta-
bleau (4).
Lorsqu'en faisant tourner le tableau (4) aut(;4ur de la diagonale qui ren-
ferme le premier terme a^ , on échange entre elles les lignes verticales et
horizontales de ce tableau , chaque classe comprend toujours les mêmes
produits; et, par suite, l'échange opéré entre les deux espèces de lignes
n'altère ni le produit principal formé avec les termes situés sur la diagonale
autour de laquelle tourne le tableau (i4), ni la résultante s. Donc la résul-
tante s du tableau (4) est aussi la résultante du suivant :
a^, a^i-, a^j...y a„,
^^, b^, b^,..., bn,
(10) / C^, Co, C3,..., Cn,
h,, 7z2, ^3v> ^«;
et, dans l'équation
(6) s^ \\\vj... çl,
qui transforme cette résultante en un produit symbolique, on peut sup-
poser les facteurs X, ,a, v,..., ç liés aux clefs anastrophiques a, ê, 7,..., y?,
ou par les formules (i), ou par les suivantes :
X = <^^ a -t- ^2 S + ^3 V + • • • +• '^/î >5 1
p. = ^4 a + ^2 ^ + ^3 V + • • • + ^^/i ■'î 7
(11) \ V — 6-, a + Caê + C37 + ••• + CnTi^
L dr Ph. math., T. IV. (^S" livr. ) 4^
( 378 )
La formule (6) suppose les clefs a, §, y,.--? n assujetties à la condition (5).
Si l'on écartait cette condition, alors, comme on l'a déjà remarqué dans le
§ II, la formule [i) donnerait
I a57 . . . yj I
Cette dernière équation renferme un théorème qu'on peut énoncer comme
il suit :
i*'"' Théorème. Soient
a, g, y,..., yj,
et
>^> /^> V,..., ç,
deux systèmes de clefs anastrophiques liés entre eux par des équations qui
déterminent les clefs X, ju,,«v,..., ç en fonctions linéaires des clefs a, ê,
y,..., Yj. La résultante algébrique s du tableau formé avec les coefficients
de ces dernières clefs sera le rapport des produits symboliques | Xav... ç |,
|agy...yj|.
Soit maintenant
A, M, N,..., 1
un troisième système de clefs anastrophiques lié au second système par des
équations linéaires qui déterminent les clefs A, M, N,..., 1 en fonctions
linéaires des clefs X, /jl, v,..., ç; et nommons s la résultante du tableau formé
avec les coefficients de ces dernières clefs dans les fonctions dont il s'agit.
On aura encore
(.3) s = \^^^^,
Mais, d'autre part, si dans les équations qui déterminent A , M, N,..., 1
en fonctions linéaires des clefs X, /x, v,..., ç on substitue les valeurs de ces
dernières clefs exprimées en fonctions linéaires de a, ê, y,..., /j, on ob-
tiendra de nouvelles équations qui détermineront immédiatement A, M,
N,..., 2 en fonctions linéaires de a, ê, y,..., yj. Soit S la résultante du tableau
formé avec les coefficients de a, S, y,..., yj pris dans ces nouvelles équa-
tions. On aura encore
Or, des formules (12), (i3), (i4)) on tire
(l5) 86- = s,
( 379 )
et la formule (i5)Venferme évidemment un théorème qu'on peut énoncer
comme il suit : •
1^ Théorème. Soient
5, s
les résultantes algébriques de deux tableaux dont chacun renferme rî"
termes rangés sur n lignes verticales et sur n lignes horizontales. Soient encore
a, S, 7'---» "^j
X, fX, V,..., ç,
A, M, N,..., 2
trois systèmes de clefs anastrophiques liés entre eux par deux systèmes d'é-
quations qui déterminent : i'' les clefs X, p,, v,..., ç en fonctions linéaires
de a, g, 7,.--, yj; 2° les clefs A, M, N,..., 2 en fonctions linéaires de X,
,a, v,..., ç. Enfin, supposons que les termes du premier tableau soient les
coefficients de a, ê, v,.--? >? dans le premier système d'équations, et que,
pareillement, les termes du second tableau soient les coefficients de X. //,,
V,..., ç dans le second système d'équations. Le produit des deux résul-
tantes algébriques s^ s sera encore une résultante algébrique, savoir la ré-
sultante du tableau qui aura pour termes les coefficients des clefs a, ê,
y,...,/; dans A, M, N,..., E exprimés en fonctions linéaires de ces mêmes clefs.
Concevons, pour fixer les idées, que les résultantes », s se rapportent à
deux systèmes de quantités dont les unes, désignées par des lettres italiques,
soient celles que renferme le tableau (4) ou (fo), les autres étant désignées
par des lettres romaines et renfermées dans le tableau
, b^, c^,..., h,,
,, ba, Co,..., ho,
(16) • \ 83, bg, C3,..., ho,
a«, b„, c„,..., h«.
En prenant les termes du tableau (16) pour coefficients de X, p-, 1
dans les valeurs de A, M, N,..., 2, on aura
A = a, X + b, u, + c, V + . . . + h( y? ,
M = aa X + bo jU. + c, V + . . . -h ha y; ,
(17) I N = a, X + ba a H- C3 V + . . . + hg vî ,
2 = a„X + b„ a + CnV + ... + h^y?;
48..
( 38o )
puis, en substituant dans ces dernières équations les valeurs de h, a, )
tirées des formules (i i), et^n posant, pour abréger,
(«8) h.m = ^iClni + hlb,n + ^iC,,, + ... + h; //,„ ,
quels que soient d'ailleurs les nombres entiers /, m, on trouvera
A = A:^,, a + A-,,^, ê + A-<,37 + ... + A,,„-/j,
M = Ara, 1 a -1- A'a, 2 ê + A:2, 3 7 + . . . + A:^, „ v? ,
(19) / N = A-3,,a + A-g^ag -h A;3,37 + ■•• -i- ^^3,«-^»
\ 2 = A:„, 1 a + A:;,, 2 ê H- A-„, 3 7 + . . . + A:„^ „ v^ .
Donc, en vertu du 1" théorème, le produit .fs des deux résultantes algé-
briques s, s sera la résultante algébrique S des termes renfermés dans le
tableau
A^i.n "^^1,2 7 ^i,3V'7 A:^ „, .
"2,0 "2,2? "^2, 3>'*'? "2, «5
C^O) 1 ^"3,0 ^3.2? ^3,3V? ^'s./n
"^«,4 5 A:„^2> A:„ 3,..., Ar^^^;
et l'on aura généralement
(21) S(±: A:^,, A% 2-.. A:,,„) == S(ih a^b^... h„) S (=h «, /;2.-- /'«)•
On trouvera , en particulier, pour /z = 2 ,
(22) A, , ^2,2 — ^{,2^2,^ = (aiba ~ a2b,)(a, b.j — fiib^),
ou, ce qui revient au même,
(23) { ^^'^' + t),^,)(a2<^2 4-b2^2) — (ai^^^a + b, ^2)(aaai + bj^,)
( = (a<ba — .agb,) (ûr,^2 — «2^4)-
Concevons, à présent, que l'on veuille composer une résultante algé-
brique S., non plus avec tous les termes du tableau (20), mais seulement
avec quelques-uns d'entre eux, dont le nombre soit m% savoir avec ceux
que renferment m lignes verticales et m lignes horizontales déterminées. On
pourra encore exprimer cette résultante à l'aide d'une équation analogue
à la formule (i4), par le rapport entre deux produits symboliques du de-
( 38i )
gré m, formés le premier avec quelques-unes des clefs A, M, N,.-.5 ^? ie
second avec quelques-unes des clefs a, §,7,..., yj , les clefs dont il s'agit
étant celles qui, dans les formules (19), appartiennent aux mêmes lignes
verticales ou horizontales que les termes du tableau (20) renfermés dans la
résultante. S. Effectivement, pour déduire des équations (19) la résultante^
sous la forme indiquée, il suffira évidemment d'annuler celles des clefs-
anastrophiques a, ê, 7,..., n dont les coefficients seront tous distincts des
termes renfermés dans S. Ainsi, par exemple, si l'on veut réduire -S à la
résultante
<, 1 "•^ 2 — \ 2 2 i
formée avec les lettres que contiennent les deux premières lignes verticales
et les deux premières lignes horizontctles du tableau (20), il suffira d'an-
nuler les clefs
a, g, 7,..., -/y,
cl l'exception des deux premières, et alors les équations (19), réduites aux
formules
donneront
A = k^^^ a 4- A:,,;
M = A^2 ^ rj, -f- A-,, !
|AM|
I aS 1
Pareillement, si l'on veut réduire s à la résultante des termes compris
dans les trois premières lignes horizontales et dans les trois premières
lignes verticales du tableau (qo), il suffira d'annuler les clefs anastro-
phiques
a? ^, 7v, y?,
à l'exception des trois premières, et alors les équations (19), réduites aux
formules
I A = A<,, a + A,,2g-1- A<,3 7,
(26) I M = A-2, , a + A-2, 2 ê -H ^2, 2 7,
( N = ^3,.a-+- A-3,2§ + A-3.3 7,
donneront
Cela posé, on pourra généralement énoncer la proposition suivante:
( 382 )
3*^ Théorème. Supposons qu'après avoir effacé dans le tkbleau (^o) tous
les termes non compris dans m lignes verticales et m lignes horizontales
déterminées, on cherche la résultante § des termes conservés. Il suffira,
pour l'obtenir, d'effacer, dans les deux termes du rapport
|AMN...2|
I Ǥ7 . . . ri\
d'une part, quelques-unes des fonctions linéaires de a, ê, 7,..., yj représen-
tées par A, M, N,..., 2, savoir celles qui ne renferment aucun des termes
conservés; d'autre part, quelques unes des clefs a, ê, 7,..., >], savoir celles
qui, dans les formules (19), n'ont jamais pour coefficients ces mêmes
ternies, puis d'annuler, dans les valeurs de X, fx, v,..., ç données par les
formules (i 1) , les clefs effacées dans le produit symbolique | aêy... ri |.
En s' appuyant sur le théorème précédent, ou pourra facilement exprimer
la résultante S supposée du degré m, non plus par le produit unique sj
des résultantes construites avec les termes des tableaux (4) et (16), comme
dans le cas où l'on avait m = w , mais par une somme de produits de résul-
tantes du degré m , formées chacune avec les termes compris à la fois dans rr
lignes verticales et dans m lignes horizontales de l'un de ces tableaux.
A.insi, par exemple, si l'on suppose m =rr 3, ^i = x, les deux premières de:
équations (17), réduites aux formules
(.8) 1^ = ^
A = a< X + b< p< -t- c, V,
donneront
|AMi = s|p.v|-4-s'|vX| = s"|X/ji|,
les valeurs de s, s', s" étant
s = b, C2 — b2C<, s' = c< aa — Caa,, s" =^ diih^ — ^.^h^.
Mais, d'autre part, les équations (i i), réduites aux formules
/ X = «, a -h «^aê»
(29) j f«,= Z>,a + ^2^,
' V = Cl a + Caê,
par l'annulation de 7, donneront *
|p|=.|agi, |vX| = y|aê|, |X^| = y'|ag|,
( 383 )
les valeurs de s, s', s" étant
s = btCi — biCt, s' = Cfa^ — c^cii, s" = afb^ — a^bt.
Donc, en définitive, on aura
I AM I = [ss + s' s' -+- s" s") I ag I ,
et la formule (aS) donnera
(3o) è = ss -h s's' -\- s" s".
Donc, en substituant à chaque résultante sa valeur, on aura
(30
(a, fl, -\-htbf -\- Ci Cf) (aa^a 4- ba ^o + C2C2)
— (a< a2 H- bj ^2 + ^1 ^2) (aa^) + ^2^, + Co c^
= (b, C2 — b2C^)(^^C2 — ^2C.) + (c<a2 — C2a,)(c,rt2 — Cg^O
+ (a, bg — aab,) {a^ b^ — «o^,).
La valeur de s que fournit l'une quelconque des formules l^S), (27), etc. ,
pourra toujours être ainsi décomposée en produits partiels, par une équa-
tion de la forme
(Sa) è = »s -\- s' s' -4- s" s" + ...,
et l'on pourra ainsi déduire du 3® théorème celui que nous allons énoncer :
4^ Théorème. Concevons que, dans chacun des tableaux (4) et (16), on
efface tous les termes non compris dans m lignes horizontales, ces lignes
pouvant occuper des places différentes dans les deux tableaux, puis ajou-
tons entre eux les produits binaires qu'on obtiendra en multiphant respec-
tivement les divers termes d'une ligne horizontale conservée dans le ta-
bleau (4) par les termes correspondants d'une ligne horizontale conservée
dans le tableau (16). La somme ainsi formée et les sommes semblables se-
ront représentées dans le tableau (20) par divers termes compris dans ?n
lignes horizontales et m lignes verticales déterminées. Nommons S la résul-
tante de ces derniers termes. Soient d'ailleurs s la résultante du degré m
formée avec les termes qui occupent m places arbitrairement choisies dans
les lignes horizontales conservées du tableau (4), et s la résultante formée
avec les termes correspondants du tableau (16). Le produit s j-, ajouté à tous
les produits du même genre, donnera pour somme la résultante -S.
Parmi les propriétés que possèdent les résultantes algébriques, on doit
( 384 )
remarquer celles qu'expriment les a*' et [f théorèmes, ou, ce^qui revient au
même, les formules (i5) et (Sa). Ces formules, que j'ai données pour la
première fois dans le 17*^ cahier du Journal de l École Polytechnique
[voir aussi dans le même cahier un Mémoire de M, Binet], sont d'ailleurs
des conséquences immédiates des i*^'" et 1^ théorèmes compris dans la for-
mule (12), qui, dans le cas où l'on pose | aêy... yj | = i, se réduit à l'équa-
tion (6). Ils se rattachent donc intimement à la décomposition des résul-
tantes en facteurs symboliques représentés par des fonctions linéaires de
clefs anastrophiques.
En appliquant à des cas spéciaux les formules établies dans ce paragraphe,
on en obtient d'autres qu'il sera bon de mentionner et que nous allons rap-
peler en peu de mots.
Si le tableau (4) coïncide avec le tableau (16), les formules (i5) et (3o)
donneront, la première,
(33) S=s^;
la seconde,
(34) s==s=^ + s'^-Hs"^-f- ...,
et, en conséquence, la résultante algébrique S se trouvera réduite à un
carré parfait ou à la somme de plusieurs carrés. Alors aussi, on tirera en
particulier de la formule (23 )
(35) {a\ + h\)[a\ + hl) - {a,a^ -i- bji^f = {a,b,-a,b,)\
ou, ce qui revient au même,
(36) [al-i- bl){al -h b.f =: {a,a, ~h b,b,y -h {a, b^ - a,h,Y,
et, de la formule (3i),
(37)
{al + b1 + cl) {al + bl + cl) - {a, a, -h b,b, + c, c,)'
~ (^i<^2 + b.2Ci)^ -h {c,a2 — c^aïf + {a^ b^ — a^bi)^.
En réduisant «,, ^, ; a^, b^ à des nombres entiers, on tire de l'équation (20)
un théorème connu , savoir (\nune somme de deux carrés, multipliée par
une autre somme de deux carrés _, donne encore pour produit une somme
de deux carrés. Quant à la formule (37), elle est précisément celle qu'on
obtient lorsqu'on projette sur trois plans rectangulaires la surface d'un
triangle dont les trois sommets ont pour coordonnées respectives les
( 385 )
quantités ^
<7,, h^, C,, a^y ^2? <?25 ^Zt ^3> ^3J
et qu'on égale le carré de cette surface à la somme des carrés de ses trois
projections.
Si des trois systèmes de clefs anastrophiques
a, ê, y,..., n-, ' >, p-, V,--., ç; A, M, N,..., 2,
le troisième coïncide avec le premier, les équations (17), réduites à la
forme
: =: a, >. 4- b, fji 4- c, V 4- ... + h, y; ,
' = a2 X -h ba ,a H- Co V + . . . -h ha yj ,
(38) ( 7 = ag X + bg 1^- + C3 V + . . . + hg y-; ,
Ti = a„ X H- b„ p. -h c„ V -h ... 4- h„ r, ,
ne devront pas différer de celles qui se déduiraient des formules (i) ré-
solues par rapport à a, ê, y,--, n- Dans le même cas, la formule (f5)
donnera
(39) ^ s^^i,
et l'on pourra, en conséquence, énoncer la proposition suivante :
5^ Théorème. Soient
a, ê, y,..., n', X, p., V,..., ç
deux systèmes composés chacun de n variables, et supposons les variables
X, ju,, V,..., ç représentées par des fonctions linéaires et homogènes de a, o,
y,..., ■/]. On pourra, pour l'ordinaire, exprimer aussi a, §, y,..., yj en fonc-
tions linéaires et de X, [x, v,.-? Ç) et les deux tableaux formés i^ avec les
coefficients de a, ê, y,..., r, dans les valeurs de X, p., v,..., ç; 2^ avec les
coefficients de X, p, v,..., ç dans les valeurs de a, ê, y,.,., yj, auront pour
résultantes algébriques deux quantités dont le produit sera l'unité.
La résultante algébrique des termes que comprend un tableau donné peut
être présentée sous une forme remarquable, lorsque, dans ce tableau, cha-
cune des lignes horizontales ou verticales est composée de termes qui for-
ment une progression géom'étrique. Supposons, pour fixer les idées , que le
Ex. d'An, et de Ph. math.. T. IV. (48« livr. ) 49
( 386 )
tableau (4) se réduise au suivant :
J, B, C,..., H,
Aa, Bb, Ce,..., Elu
(4o) / Aa", Bh\ Cc\..., H¥,
A a"-', Bb''-\ Ce"-,..., H h"-',
dans lequel chaque hgne verticale est ccmposée de termes qui forment une
progression géométrique , le reste de cette progression étant a dans la pre-
mière ligne verticale, b dans la seconde. La résultante 6- des termes que
renferme le tableau (4o) sera, en vertu de la formule (9),
(4i) s= ABC .. HS{±a'b*e\..h"-').
Si chacune des quantités A, B, C,..., H se réduit à l'unité, ou, ce qui
revient au même, si le tableau (4o] se réduit au suivant :
, b, c,..., h,
(4^) \ a\ b\ e\..., h\
««-% ^"-% c""S..., ^i"~
on aura simplement
(43) s = ^[^±.a''b'c''... h"-'),
et cette dernière valeur de s, considérée comme fonction de l'une quel-
conque des quantités a, b, e,..., h sera une fonction entière du degré
n — i. D'ailleurs, un échange opéré entre deux de ces quantités, par
exemple entre a et b, changera ^ en —s. Donc s s'évanouira si l'on pose
h =z a; et si l'on pose
b =z a-{- r,
s s'évanouira pour une valeur'nulle de r. Donc, dans cette dernière suppo-
sition, la résultante s, réduite à une fonction entière des quantités a,
c,..., ^ et de la différence
r =1 b — a,
ne renfermera aucun terme indépendant de r, et sera de la forme
s = rR,
( 387)
R étant une fonction entière de a, c, . . . , h , r^ ou , ce qui revient au même,
de «, b, Cf...y h. Ainsi la résultante s, déterminée par la formule (4^)) a
pour facteurs algébriques la différence b — a. On prouvera de même qu'elle
a pour facteur chacune des différences
b — a, c — a,..., h — a,
(44) ' c-b,...,h-l>,
que l'on forme en retranchant l'une de l'autre les quantités
a^ b, c,..., h,
combinées deux à deux de toutes les manières possibles. Donc, si l'on
nomme k le produit des différences comprises dans le tableau (44) ^ la for-
mule (43) donnera
s = Kk,
^.étant ou un nombre constant ou une fonction entière de ^, b, c,..., h.
J'ajoute que, de ces deux hypothèses, la première est seule admissible. En
effet, comme, dans le tableau (44)? '^ — i termes, savoir ceux que contient
la première ligne, renferment la quantité a^ le produit A' considéré comme
fonction de a sera, ainsi que ^, du degré n — i . Donc le coefficient K devra
être indépendant de «; on prouvera de même qu'il est indépendant de è,,
de c, etc., de h. K sera donc un nombre. Pour obtenir ce nombre équiva-
lent au rapport -i il suffira d'observer que le produit principal
(45) an'c\..h!'-',
formé avec les termes situés dans le tableau (4^) sur la diagonale qui ren-
ferme le premier terme i , se présente une seule fois, pris avec le signe H- ,
non-seulement dans le développement de la résultante
s ■= S [pz. oP b^ c"^ . . . h" ,,
mais aussi dans le développement du produit A' des différences comprises
dans le tableau (44)? attendu que, dans ce dernier développement, le seul
produit partiel de la forme
bc''... h"-'
est évidemment celui que l'on trouve en réduisant chacune de ces diffé-
49-
( 388 )
rences à son premier terme. Donc le nombre K ne pourra différer de l'u-
nité, et la formule (43) donnera
ou, ce qui revient au même,
(46) s = {b ~-a)-x{c -d)[c — b)-x ... X {h-a){h-b)...{h-g).
Par suite aussi, la formule (4i) donnera
(47) ^ = ABC. ..H [h - «) X (c - a) [c-h) x ... x (A - «) (A - h).. .{h - g).
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
6*^ Théorème. Lorsque les termes avec lesquels se forme une résultante
du degré n sont, dans chaque ligne verticale du tableau qui la renferme,
en progression géométrique, il suffit, pour obtenir cette résultante, de mul-
tiplier le produit des termes
A, B, <?,..., H,
compris dans la première ligne horizontale de ce tableau, par le produit des
différences que fournissent les rapports
a, b, c,..., h
des progressions géométriques auxquelles appartiennent ces mêmes termes,
quand on retranche successivement chacun de ces rapports de tous ceux
qui le suivent.
§ V. — Méthodes diverses pour la détermination des résultantes algébriques.
Soit toujours s la résultante du tableau
a,, b^, c,,..., //,,
i «2? i>^.
b„, Cn,-.., h„,
en sorte qu'on ait
(2) s = S {± a^ b^c^... hf,).
Le calcul direct des produits partiels, dont la lettre S indique la somme et
( 389 )
dont le nombre F est déterminé par la formule
(3) /^= 1.2.3... Ai,
deviendra évidemment très-pénible pour de grandes valeurs de n. Mais
l'emploi des clefs anastrophiques offre divers moyens d'éviter ce calcul dans
la détermination de s.
En premier lieu , pour déduire s de la formule
I agy . . . », I '
(4)
dans laquelle on a
[j. ■=. a^cf. ■+- hz^ -+- 6^2 7 + . . . 4- /?2 JG j
(5) < V = a3a + ègê -f- C37 +...-4- /?3>7,
= a„a -4- b„ë -h 6'„ 7 -+-.,.+ h„ r/ ,
il suffira de multiplier successivement l'un par l'autre les facteurs X, ,a,
V,..., ç, en assujettissant les clefs a, ê, y,---, y] aux transmutations anastro-
phiques binaires et aux transmutations conjonctives des divers degrés. Si,
pour abréger, l'on désigne, à l'aide des notations
{a, b), (rt, b, c),..., [a, b, c, h),
les résultantes algébriques
S{ziiafb.2), S [± atb.iCs),...^ S ±. a^b^Co,... hn),
et à l'aide de notations semblables les résultantes semblables déduites des
précédentes par des échanges opérés entre les lettres a, b, c,..., h; si d'ail-
leurs on range les facteurs que renferme chaque produit symbolique dans
l'ordre indiqué par l'alphabet, on aura successivement
/ M = {a, b)\a^\-h(a, c)\ay\ -h ... -^ {b, c)\^y\-h...,
(6) ) \'^l^'^\ = {^^^^^)\'^^y\ + {a^b,d)\acâ\-^...-^{b,c,d)\Qyâ\-h...,
\ iXftv... ç\ = [a, b, c,..., h) |aê7... yj |,
et l'on reconnaîtra que, pour déterminer les coefficients
[a, b), [a, c),..., [b, c),..., {a, b, c),..,, [a, b, c,..., h),
( 390 )
dont le dernier est précisément la résultante s , il suffit de re.courir à des
équations de la forme
(<2, h) = a^b^ — bfa^,
{a, b, c) =z [a, b) c^ — {a, c) b^ + {b, c) a^,
(7) { (^' ^'1 ^S (i) = («> b, c) d„ - [a, b, ci) c„ -+- {a, c, d) b„ - {b, c, d) a,„
{a,b,c,...,g,h) = (a,b,c,...,g)h„~...~{-{-iy-*{b,c,...,g,h)a,.
Lorsqu'on opère ainsi, le calcul de la résultante s exige la formation de
produits composés chacun, non plus de n facteurs, mais de deux facteurs
seulement, et le nombre 3L de ces produits, déterminé par la formule
(«)
, = 4.
Il _L_ in-i){n-:i) (n~i){n-:i)
croît beaucoup moins rapidement que le nombre N= i . 2 . 3.. . n.
Lorsque les divers termes du tableau (1) sont connus et donnés en nom-
bres, on peut se dispenser d'écrire les équations (7) et autres semblables,
et se borner k déduire, de multiplications successives, la valeur du produit
I X|ULV... ç I qui, divisé par | aSy... yj |, donne pour quotient la résultante s.
Supposons, pour fixer les idées, qiie le tableau (1) se réduise au sui-
vant :
1, ^, 3,
3, I, 2,
2, 3, I,
on aura
X= a4-2ê+3Y,
/x— 3aH- € + 27,
t- = aa -f- 3ê H- 7;
et, par suite,
|Xfx|=:(i- 2.3)|ag| + (2 -3.3)|a7|-h(2.u - 3)|ê7|
= -/5|agl - 7|a7|-+-|g7|,
|Xp|==(-p + 7.3-h'2)|aS7|
= i8|ag7l.
( 39. )
Pour déduire la résultante s de la formule (4), il n'est pas nécessaire de
construire chacun des produits
|X/j.|, |Ap.v|, |>./xvp|,...;
il suffit de multiplier l'un par l'autre, dans l'ordre qu'indique l'alphabet,
d'abord les facteurs X, p., v,..., ç pris deux à deux ou trois à trois, etc., puis
les produits binaires ou ternaires, etc., ainsi formés, de manière à obtenir
facilement le produit {Ip^v... ç\. Ainsi, par exemple, si l'on a n = h, alors,
pour obtenir le produit final | Itxvp | , et, par suite, la résultante «y, il suffira
de former les deux produits binaires | Xp. |, | vp | , puis de les multiplier l'un
par l'autre. Quelquefois, cette méthode est préférable à celle qui consiste
dans la formation successive des trois produits j X/x], | Xjuiv |, [ liJ.\>p |. Conce-
vons, pour fixer les idées, que l'on demande la résultante s d'un tableau de
la forme
a, b, c, d,
d, a, h, c,
c. d, a, b.
b, c, d, a,
on aura
l=z aa -h b^ -\- cy -\~ dâ,
^ — doL -{- aè -\- by -h câ,
y ~ COL -\- d^ -\- ay -h b^,
p z=z ba -{- ce -\- dy -\- a^;
et, par suite,
l¥l =
K-
~bd)\(/M\ + [ab — cd) \ay\ -f-
=
: (A'-
-ac)\^y\-^ [bc — ad)\^d\ +
■ [ac -■ d'')\aè\
■{c' - hd)\yâ\.
De plus, comme pour déduire v de X, ou (O de /m., et, par suite, \vp\ de
|X/jl|, il suffira d'échanger entre elles, d'une part les clefs a, y, d'autre
part les clefs ê, â, la formule qui précède entraînera la suivante :
\vp\ = {a^ - bd)\yâ\ + {ah - cd) \ya\ H- {ac - d^)\y§\
+ {b^ - ac)\&a\-h{bc - ad)\â§\-h {c' ~ bd)\a§\.
Après avoir ainsi obtenu les valeurs des deux produits symboliques
|XfA|, |vp|, on pourra, de ces deux produits multipliés l'un par l'autre,
tirer immédiatement la valeur du produit symbolique | X^vp | , par consé-
( ^92 )
quent celle de
_ I >pp I
~ |ag7.î|'
et l'on trouvera définitivement
s = {a' - bdf + (c^ - bdy - {h^ - acf - {d^ - acf
+ 2 [ab — cd) (bc — ad).
Lorsque, dans la formule (4), le facteur X dépend uniquement de la
clef a, c'est-à-dire lorsque la première des équations (5) se réduit à
>. = «< a,
la formule (4) donne simplement
et l'on peut, dans les valeurs de jul, v,..., ç remplacer a par zéro. En s'ap-
puyant sur ces remarques, on démontre aisément les propositions sui-
vantes :
i*"' Théorème. Étant donnés deux systèmes anastrophiques
a, §, y,..., >7, et X, (x, v,..., ç,
composés chacun de n clefs, et liés l'un à l'autre par les équations (5),
concevons que l'on exprime a, g, y,..., y^ en fonctions linéaires de clefs
nouvelles
dont le nombre soit égal ou supérieur k n — \ , mais de manière à vérifier
l'équation de condition
(9) , ^-o-
La résultante s, déterminée par la formule (4), sera équivalente au produit
du coefficient de a dans X par le rapport géométrique des valeurs nouvelles
qu'acquerront les deux produits symboliques
Corollaire. Les nouvelles clefs 9, /, tp,..., v, dont le nombre doit être
égal ou supérieur k n— i, pourraient n'être pas distinctes des clefs g,
7,..., yj, et alors, à la place du premier théorème, on obtiendrait le sui-
vant :
( 393 )
2^ Théorème. La résultante .s, déterminée par la formule (4), est égale
au produit du coefficient de a dans X par la valeur qu'acquiert le rapport
I f^^ • • • g I ^
I §7 . . . >3 I '
lorsque, dans ce rapport, on exprime |ut,, v...., ç en fonction des n— i
clefs ê, y,. ••7 fil à l'aide des formules (5) jointes à l'équation (9).
Supposons, pour fixer les idées, « = 3. Alors la résultante
Is =z tti ^2 ^3 — ^« ^3 <^2 + ^2 ^3 ^1 — ^2 ^i ^3 "+" ^3 ^1 <^3 — '^s ^2 <-')
= [Ui b^ — a2bi) C^ — (<2,<?2 — rt2<^0 ^3 -t- (^1^2 — '^2<^l) ^3
pourra être, en vertu du second théorème, présentée sous la forme
(11) s = a, (^h,-^^aM c, -^«3 JTV^ "^""V '
on pourra donc la déterminer en calculant trois rapports géométriques,
savoir,
Cl
Oi C| «1
«,' «1' , ^.
cinq produits binaires et un seul produit ternaire. Généralement, à l'aide
du second théorème, on pourra déterminer une résultante du degré n, en
calculant des rapports géométriques dont le nombre sera
I -f- 2 H- ... -t- (/z - i) = -^— -S
des produits binaires dont le nombre sera
.. + ,^ +...+ („ -.)' = '""-■»"-■' .
et un seul produit composé de n facteurs.
Il est bon d'observer que de la formule (11) on tire immédiatement la
suivante :
. (fli b-, — a;6i)(aiC3 — a^Cx) — [axCi — ajC.) (fli^3 — «3 ^1)
(^I2j S_ -— ,
qui peut être facilement réduite à la formule (10).
Ex. d'An, et de Ph. math., T. VI. ( 48« livr.) 5o
( 394 )
Observons encore que la transmutation anastrophique
donnera
( ' 3) at(^-hb,X-hc,W -i- ...-{- k^l] = o,
si l'on pose
(i4) ^=|aX|, X=|êX|, W=\y\\,..., U=:|>7X|,
on, ce qui revient au même,
^ =zo -h b^ |ag| + c, layl + ... -f- h^ j ay? |,
X=r -«, |ag| + oH-c, lêyi H-...+ ^, |gï5|,
i^^) ^W= -a,\ay\-h, | gy | -^ o -h ... -f- ^, |yyj |,
U = ~ fl, I a>7 1 — ^, I g-/] I — c, I yyj I — . . . + o.
Or, si dans ces dernières formules on remplace les produits symboliques
lag|, layl,..., |ayî|, \§y\,..., \^y)\,...,
dont le nombre est — -, par autant de clefs nouvelles et anastro -
phiques
alors $, X, Y,..., U seront des fonctions linéaires de ces clefs qui, prises
pour valeurs de a, g, y,..., yj, vérifieront la formule (i3). Alors aussi, en
attribuant à a, g, y,..., >; ces mêmes valeurs dans les facteurs p., v,... , g,
on tirera du second théorème
K^^J ^ — "i |Yw_ TTI
On peut d'ailleurs annuler plusieurs des nouvelles clefs et réduire ainsi leur*
valeur à n—\. On doit surtout remarquer le cas où l'on n'attribue des
valeurs distiiK:tes de zéro qu'à celles qu'on substitue aux n — i produits
symboliques
|ag|, Igyl, lyd^i,..., |Çy,|.
Dans ce cas particulier, les formules (iS) donneront
(^1-7) 0=^^<p, X = c,/ — ii!<(p, W — di^ — b^1,..., V — — giV,
(395)
et l'on aura , par suite ,
(i8) \XW...U\ = {-^r-'a,b,...g,\(px••.v\.
Donc alors la formule fi6) donnera
pourvu que dans les fonctions de a, ê, 7,,.., yj, représentées par |ui, v,..., ç,
on pose
(20) o', = h^(p, S = Cty — a^cp, y = d^^ — bt/^^..., y) -=: — gfV.
Si, pour fixer les idées, on suppose « = 3, la formule (19) donnera
(ai) ^= -^ '
§ VI. — Usage des clefs anastrophiques dans l'élimination.
I^es clefs anastrophiques peuvent être employées avec avantage dans un
grand nombre de questions, et spécialement quand il s'agit d'éliminer plu-
sieurs inconnues entre des équations données.
Considérons d'abord n inconnues
liées entre elles par n équations linéaires; et soient
(i) Xz=o, r=o, Z = o,..., /r=o,
ces équations dans lesquelles X, Y, Z,..., /^représenteront des fonctions
linéaires de oc, j, z,--., w. Si ces fonctions sont homogènes, les équa-
tions (1) détermineront seulement les rapports des inconnues, dont l'une
quelconque pourra être choisie arbitrairement, et l'élimination des incon-
nues fournira entre leurs coefficients une équation de condition qu'on
obtiendra sans peine, en opérant comme on va le dire.
Observons, en premier lieu, que des équations (i) respectivement multi-
pliées par 71 facteurs variables ,
a, g, 7,..., Yi,
puis ajoutées l'une à l'autre^ on déduira immédiatement une équation
nouvelle,
(a) û = o,
5o..
( 396 )
dont le premier membre
sera encore une fonction linéaire de x^j^ z,..., w, et pourra, en consé-
quence, être présenté sous la forme
(4) Q. = 1jc -^ IJ.J -\- vz-h ... -^ gw,
X, IX, V,..., ç étant des fonctions linéaires de a, ê, 7,..., yj. Remarquons
dailleurs que la formule (2) peut être substituée au système des équations (i),
et que, pour déduire l'une quelconque des équations (i) de la formule (2),
il suffit d'y remplacer r un des facteurs variables a , ê, y,.-., r) par l'unité,
en annulant tous les autres.
Concevons maintenant que les n facteurs variables a, ê, 7,..., yj soient
des clefs anastrophiques. Les fonctions linéaires de a, ê^ 7,..., vj, représen-
tées par X, fx, v,..., g, seront encore des clefs anastrophiques ; et comme on
aura , par suite ,
IX^'I^O, |^=^|r=0,..., \Ç'\=0,
on pourra évidemment éliminer de l'équation (2), l'inconnue x, en multi-
pliant Q par X, l'inconnue _7^, en multipliant Q par p.,..., l'inconnue w, en
multipliant Ù par ç. Donc , pour éliminer toutes les inconnues, à l'exception
d'une seule, il suffira de multiplier la fonction Q par les coefficients des
autres inconnues dans cette même fonction. On éliminera, par exemple,
j, z,..., tv de la formule (2), en midtipliant ù par le produit |ulv... c.ou ce
produit par û. On obtiendra ainsi l'équation
(5) \ùlXV...p\= Oy
que la formule (4) réduira effectivement à
(6) X |X,av...ç| = o;
et, puisque la valeur de JC peut être arbitrairement choisie, la formule (6)
entraînera la suivante :
(7) |Xav...ç|=o,
qui sera précisément l'équation de condition à laquelle devront satisfaire les
coefficients des inconnues dans les valeurs données de A'', V, Z,..., W.
Si, pour fixer les idées, on suppose ces coefficients représentés par les
divers termes du tableau (i) du paragraphe précédent, en sorte que
{ 397)
l'on ait
X = afjc -h b^j -h CfZ-h ... -h h^w^
V = a^x 4- h^y -h C3Z + ... + ^2^1
les valeurs de X, fx, v,..., ç seront fournies par les équations (5) du même
paragraphe ; et comme on aura
1 équation (7) donnera
(9) ^[±.a,h^c,...hr,) = o.
D'ailleurs , pour obtenir cette dernière équation , il suffira évidemment de
poser
(10) XYZ...W=o, •
en considérant a:, 7, z,,.., w comme des clefs anastrophiques , puisque,
dans cette hypothèse, on aura
\XYZ...W\ = \xrz...xv\^{-^a,h.,c,...K).
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. Si n inconnues vérifient n équations linéaires et homogènes,
il suffira d'égaler à zéro le produit symbolique de leurs premiers membres,
en considérant ces inconnues comme des clefs anastrophiques, pour obtenir
l'équation de condition à laquelle devront satisfaire les coefficients de ces
inconnues dans les équations données.
Supposons maintenant que les équations linéaires données cessent d'être
homogènes. Chacune d'elles sera, non plus de la forme
nx -^ hj -^ cz^ ... -^ hw = o,
mais de la forme
ax -\- hj + cz + ... + hiv = k,
ou, ce qui revient au même, de la forme
ax + hj -^ cz +...-{- hw — k =^ o,
a, h, c',..., h, k étant des quantités constantes. Alors aussi la formule (4)
• ( 398 )
sera remplacée par la suivante :
(il) i.1 = 'kx -h ixj -h vz -h ... -\- çw — u^
w étant une nouvelle fonction linéaire de a, ê, 7,..-, yj; et 1 équation (5)
donnera
a: |Xftv... ç| — \wfxv... ç\ = o,
par conséquent,
(I.) ^^\jp^.
Si l'on désigne par kf, k^-,..., k„ les valeurs que prend successivement la
constante k dans la première, la seconde, etc., la dernière des équations
données, on aura
( • 3) &) = A< a + ^2 ê + ^3 y + • • • + ^n >5 ;
I wfxv... ç I = I aêy... Y}\S {±1 k^b^c^... hn),
et, en substituant dans la formule (12) les valeurs des produits symboliques
qu'elle renferme, on retrouvera l'équation connue
Lorsque les équations linéaires proposées sont numériques, l'emploi des
clefs anastrophiques permet de calculer directement les valeurs des incon-
nues, sans que l'on soit obligé de recourir aux formules générales, c'est-à-
dire à l'équation (i4) et aux équations analogues.
Concevons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de résoudre les équations
(i5) < 3^ -h j^ + 2z = 3,
[ lœ -+■ "ij- -+■ 2 = 5.
De ces équations respectivement multipliées par a, ê, y, puis ajoutées l'une
à l'autre, on tirera
(16) XX + fLf -h VZ =: M,
les valeurs de X. /jl, v, w étant
X=a+3ê+2y, fx = ia -h ^ ~h 3y-, v=:3a + Qiê + y,
oo = a-h3ê-h57,
( 399 )
et la valeur de x sera
(■7) ■ - = [^-
On trouvera d'ailleurs
|^v| = |ag|-7|a7|-5|gv|;
puis en posant, pour plus de commodité, | a^yj = i,
I wjULv 1 = — 5 + 3. 7-4-5 = -2 1,
|X^v| = _ 5+ 3.7 H- 2 = 18,
et, par suite,
21 7
•^ "~ 78 ~ 6'
La valeur de x étant ainsi déduite de la formule (17), on pourra tirer de
la formule (16), multipliée par v, la valeur de 7. En opérant de la sorte, et
posant, pour abréger, -y = o, | aêj = i, on trouvera
J =
puis
par conséquent ,
I ^V I = I , I >.v I rrr I WV I = - 7 ;
J = -l{^-^)=\
Enfin la dernière des formules (i5) donnera
z = 5 — 2;r — 3r=- — 7^-
D
On aura donc, en définitive,
. = V ^ 2. e^. =
5
Supposons maintenant que l'on veuille éliminer une ou plusieurs va-
riables entre des équations qui cessent d'être linéaires. Les clefs anastro-
phiques fourniront encore un moyen facile d'opérer l'élimination. Ainsi,
par exemple, pour éliminer x entre les équations
(18) a -^ hx -\- cx^ = 0, a' ■+- h' x + c' x'^ =■ o,
on ajoutera l'une à l'autre ces équations respectivement multipliées par
deux binômes de la forme
a + êjr, 7 H- ùx.
( 4oo )
On trouvera ainsi
(19) X + /uL.r -h vjc^ H- pjc' = o,
X, [x, V, p étant des fonctions linéaires et homogènes des variables a, ê, y, à;
puis, en considérant ces variables comme des clefs anastrophiques , on
tirera de la formule (19), multipliée par le produit /xvp,
(20) _ I X/XV/3 I = O.
Cette dernière formule sera précisément l'équation résultante de l'élimina-
tion de centre les équations (18).
En général, pour éliminer ,x entre deux équations algébriques dont l'une
serait du degré m, l'autre du degré ?i, il suffira d'ajouter entre elles ces
équations respectivement multipliées par deux polynômes dont le premier
serait du degré « — i , le second du degré m — i , puis d'égaler à zéro le
produit symbolique des coefficients des diverses puissances de jc dans l'é-
quation finale obtenue comme on vient de le dire, en considérant les coef-
ficients que renferment les polynômes multiplicateurs comme autant de
clefs anastrophiques.
On peut voir, dans les Comptes rendus des séances de l'académie des
Sciences pour l'année i853, d'autres applications de la théorie des clefs sur
laquelle nous reviendrons dans d'autres articles.
FIN DU TOME QUATRIEME.
( 4oi )
TABLE DES MATIÈRES,
TOME IV.
Pages.
Mémoire sur les résultantes que l'on peut former, soit avec les cosinus des angles com-
pris entre deux systèmes d'axes, soit avec les coordonnées de deux ou trois points. . . 5
§ P"". Des mouvements de rotation directs et rétrogrades ib.
§ II. Sur les résultantes formées avec les cosinus des angles compris entre deux
systèmes d'axes . 1 6
§ III. Détermination de la résultante construite avec les cosinus des angles que des
axes quelconques forment avec d'autres axes perpendiculaires entre eux 20
§ IV. Détermination de la résultante construite avec les cosinus des angles que des
axes donnés forment avec d'autres axes rectangulaires ou obliques 34
§ V. Sur les résultantes formées avec les coordonnées rectangulaires ou obliques
de deux ou trois points 52
§ VI. Des conditions sous lesquelles les résultantes considérées dans les paragra-
phes précédents s'évanouissent , 67
§ VII. Sur les relations qui existent entre les coefficients des variables dans les deux
espèces d'équations à l'aide desquelles on passe d'un premier système de coor-
données rectilignes à un second , et réciproquement 76
Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques , substituée à la théorie des ima-
ginaires : 87
Préliminaires ih.
§ F^ Sur les équivalences arithmétiques et algébriques 88
§ II. Substitution des équivalences algébriques aux équations imaginaires 94
§ III. Usage des équivalences algébriques dans la trigonométrie et dans l'analyse
des sections angulaires 97
§ IV. Sur les modules et les arguments des binômes de la forme y.-\-^i ..... 100
§ V. Sur la substitution des racines des équivalences algébriques aux racines ima-
ginaires des équations . 107
Mémoire sur les progressions des divers ordres .... 1 11
§ I*"". Considérations générales 1 12
§ II. Sur les modules et sur les conditions de convergence des progressions géo-
métriques des divers ordres ^ 1 15
§ III. Propriétés remarquables des progressions géométriques des divers ordres. . 121
Ex. d'An, et de Phjs. math. , T. lY. (48« livr.) 5 I
( 402 )
Pages.
Mémoire sur le changement des variables dans les intégrales 128
§ P"". Considérations générales , . ib.
§ II. Application diverses des principes exposés dans le premier paragraphe ... 1 36
Mémoire sur les valeurs moyennes des fonctions d'une ou de plusieurs variables i45
Note sur l'emploi des théorèmes relatifs aux valeurs moyennes des fonctions dans l'in-
tégration des équations différentielles et aux dérivées partielles i53
Mémoire sur les quantités géométriques . 157
§ F''. Définitions , notations 1 58
§ IL Sommes, produits et puissances entières des quantités géométriques. .... 159
§ III. Différences, quotients et racines des quantités géométriques 164
§ IV. Fonctions entières. Équations algébriques 167
§ V. Sur la résolution des équations algébriques 171
Méthode nouvelle pour la résolution des équations algébriques 181
Addition au Mémoire précédent , 188
Sur quelques définitions généralement adoptées en arithmétique et en algèbre iqf
Sur quelques théorèmes concernant les moyennes arithmétiques et géométriques, les
progressions, etc 20 1
§ P''. Notions relatives aux moyennes arithmétiques et géométriques ib.
§ II. Sur les progressions géométriques , et sur les moyennes arithmétiques entre
leurs termes ib.
§ III. Sur les progressions arithmétiques, et sur les moyennes géométriques entre
leurs termes 204
§ IV. Conséqviences diverses des principes établis dans les paragraphes précédents. 209
Sur la quantité géométrique i = i^, et sur la réduction d'une quantité géométrique
quelconque à la forme x -\- y\ 2 1 3
Sur les avantages que présente l'emploi des quantités géométriques dans la trigonomé-
trie rectiligne ....... 220
Svir les fonctions entières d'un degré infini, et en particulier sur les exponentielles. . . . 232
§ P''. Considérations générales ib.
§ II. Sur les fonctions entières d'un degré infini ib.
§ III. Sur la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes de m,
l'expression ( H j 235
§ IV. Sur les exponentielles. ... 239
§ V. Propriétés diverses des exponentielles 242
§ VI. Sur les exponentielles trigonométriques 244
Sur les divers logarithmes d'une quantité géométrique 247
Sur les puissances ou exponentielles dont les exposants et les bases sont des quantités
géométriques 255
( 4o3 )
Pages.
Sur les arguments de deux quantités géométriques dont la somme ou le produit est une
quantité algébrique positive . 260
§ P''. Sur les arguments de deux quantités géométriques dont la somme est algé-
brique et positive ih.
§ II. Sur les arguments de deux quantités géométriques dont le produit est algé-
brique et positif 264
Sur l'argument principal d'une quantité géométrique. Formules diverses servant à ex-
primer l'argument principal d'une quantité géométrique en fonction de la partie
algébrique et du coefficient de i . . . 266
Sur les valeurs générales des expressions sinz, cosz, sécz, coséc z , tangz^, cotz... l'^o.
Sur les valeurs générales des expressions arctangz, arc cotz, arc sinz, arc cosz,
arc séc z , arc coséc z 280
§ P"". Formules qui déterminent ces valeurs et les font dépendre des logarithmes
principaux de certaines quantités géométriques ib.
§ II. Sur les quantités géométriques arctangz, arc cotz, arc sin z , arc cosz,
arc sécz, arc coséc z, considérées comme fonctions inverses 282
§ III. Sur les formules qui mettent en évidence la partie algébrique et le coeffi-
cient de i, dans chacune des expressions arc tangz, arc cotz, arc sin z, etc. . s«85
§ IV. Sur certaines valeurs singulières des expressions arc tangz, arccoLz,
arc sin z , etc 2q 1
Sur les divers arcs qui ont pour sinus ou cosinus, pour tangente ou cotangente, pour
sécante ou cosécante, une quantité géométrique donnée 209
§ P''. Sur les diverses racines des équations sin Ç = o , cos Ç=o 3oo
§ II. Sur les diverses racines des équations sin S3 = z , cos & =z 3oi
§ III. Sur les diverses racines des équations tango = z, cotÎ3=z:z 3o3
§ IV. Sur les diverses racines des équations séc 5ô = z, coséc &=: z 3o6
§ V, Résumé Soij
Sur les fonctions des quantités géométriques .... 3o8
Sur les fonctions continues de quantités algébriques ou géométriques ^ 3i4
§ F''. Considérations générales ib.
§ II. Sur les fonctions continues de quantités algébriques ib.
§ III. Sur les fonctions continues de quantités géométriques 320
Sur les différentielles de quantités algébriques ou géométriques, et sur les dérivées des
fonctions de ces quantités 336
§ P"". Sur les différentielles de quantités algébriques ou géométriques. ........ ib.
§ II. Sur les dérivées des fonctions de quantités algébriques 338
§ III. Sur les dérivées des fonctions de quantités géométriques ... 342
Sur la différentiation des fonctions explicites ou implicites d'une ou de plusieurs quan-
tités géométriques , . . . . 348
( 4o4 )
Pages.
Mémoire sur les clefs algébriques. , ^ 356
§ I". Considérations générales. Notations ib.
§ II. Décomposition des sommes alternées, connues sous le nom de résultantes , en
facteurs symboliques 358
§ m. Transmutations géométriques et homogènes. Transmutations et clefs ana-
strophiques 364
§ IV. Sur les fonctions représentées par des produits symboliques de clefs ana-
strophiques 874
§ V. Méthodes diverses pour la détermination des résultantes algébriques 388
§ VI. Usage des clefs anastrophiques dans l'étmination 394
FIN DE LA TABLE DU QUATRIEME VOLUME,
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