Abrégé de géometrie pratique : appliquée au dessin linéaire, au toisé et au lever des plans : suivi des principes de l'architecture et de la perspective

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ABREGE

DE
APPLIQUÉE

AV DESSIN LINÉAIRE,

âLu Coiôi> eu. au Xevev 7)ecu 9^(att5 ;

SUIVI

DES PRIiVCIPES DE L'ARCHITECTURE

ET DE LA PERSPECTIVE ;

Par F. P. ET L. C.

OUVRAGE OR\É DE 4oO FIGURES EX TAILLE-DOUC&.

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t^ha: : :2. /r. Su c.

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A PARIS,

CHEZ L'AUTEUR, RUE DU FAUB. S»-MARTIPr, N° l63;

Et chez Jh MORONVAL, Imprim.-Libr., rue Galande, n° 65 ,

prés la rue Saint- Jacques.

Tout Exemplaire qui ne sera pas revêtu de la
signature de l'un de i^ous . sera réputé contrefait.

L'enseignement de tout art et de toute science
exige nécessairement que le Professeur donne à son
Elève des notions fixes et invariables sur les choses
qu'il veutlui inculquer , pour l'empêcher d'en pren-
dre de fausses idées , assurer sa marche dans la pra-
tique des leçons qu'il doit lui donner, et obtenir
de prompts résultats. La Géométrie étant la base
fondamentale du Dessin linéaire , nous avons pensé
qu'il serait convenable de donner d'abord les prin-
cipes les plus essentiels de cette Science , afin que
l'Elève étant fixé sur les définitions , la nature et les
propriétés des ligue» , couiiabsaiit les instrumens
et les règles qui en indiquent l'usage, puisse exé-
cuter avec plus de justesse et de promptitude les
Dessins qui lui seront proposés , et se former non-
seulementla main en traçantdes lignes, mais encore
l'esprit en se rendant compte à lui-même de ses
opérations.

S'il est nécessaire qu'un Ouvrier puisse dessiner
promptement les différentes projections des meu-
bles et autres objets qu'il doit entreprendre, afin
de faire connaîlre à celui qui veut l'employer qu'il
a bien saisi sa pensée, il ne l'est pas moins qu'il
puisse \qs représenter d'après des principes invaria-
bles pour en coter les dimensions et pouvoir les
exécuter avec goût et sécurité : ce qu'il ne pourrait
faire s'il n'avait a ucune idée de Géométrie, de l'usage
des instrumens , de l'échelle de proportion, etc.

Nous ferons donc marcher de pair les principes

PRÉFACE.

et les exemples; l'Enfant apprendra les règles dans
la partie géométrique , et en fera de suite l'applica-
tion en dessinant, d'abord avec la règle et le com-
pos , les Modèles qui lui seront présentés , ensuite
il s'exercera à les copier sans le secours de ces ins-
trumens. Cette seconde opération lui sera facile,
ayant dans la pensée tous les caractères particuliers
des figures qu'il a dessinées d'après des règles sûres
et des principes démontrés. Cet Ouvrage , presque
unique en son genre ^ est tout-à-fait à la portée des
Enfans : le grand nombre d'exemples qu'il contient
les mettra en état de résoudre les problèmes ordi-
naires de Géométrie, de Dessin linéaire , d'Arpen-
tage , de Toisé , de lever des Plans , de Projections,
d'Architecture et de Perspective. Ils y trouveront
tout ce que contiennent d'essentiel des Ouvrages
très-volumineux et d'un prix au-dessus des facultés
de la Classe ouvrifeic. L'Èlcrc qui lo possédera par-
faitement pourra copier des façades de mouuuiens ,
des projections de meubles, et autres objets que
le Maître lui désignera : accoutumé à ces sortes
d'opérations , la nature entière parlera à ses yeux et
à son esprit, tout lui fournira de nouvelles idées , et
contribuera à former son goût et h développer ses
facultés.

Les demandes qui ont plus de rapport au Dessin
linéaire sont désignées par un astérisque.

BE GÉOMÉTRIE

APPLIQUÉE

AU DESSIN LINEAIRE ^

AU TOISÉ ET AU LEVER DES PLANS.

-==3@rg<^C=-

DÉFINITIONS PRÉLIMIXAIRES.

* I. Qu'est-ce que la Géométrie?

C'est une science qui a pour objet la mesure de l'ë-
tendue dans toutes ses propriétés.

* 2. Combien distingiie-l-on de sortes dt étendues?

Trois: l'étendue en longueur qu'on appelle ligne j
l'étendue en longueur et largeur qu'on appelle plan ,
surface, aire ou superficie ; et l'étendue en longueur,
largeur el épaisseur ou profondeur, qu'on appelle vo-
lume, corps ou solide.

■** 3. Qii est-ce que le dessin linéaire?
C'est l'art de représenter, par de simples traits , les
contours des surfaces et des corps.

* 4* Quel est le fondement du dessin linéaire?
C'est le tracé géométrique.

* 5. Qu est-ce que le tracé géométrique?

Cest la partie de la géométrie qui enseigne l'usage
du compas pour la détermination des lignes.

I

(2)

CHAPITRE I«^

DU POLNT ET DES LIGNES.

* 6. K^U^VST-CE qu'un point ?

C'est un espace qui a infiniment peu d'elendue : îe
point géométrique ne peut tomber sous les sens; ou
l'exprime par un point physique A ,^^. i*^^.

* ^. Qu est-ce qu'une ligne ?

C'est une trace indiquant le passage d'un point à nn
autre. On distingue de deux sortes de lignes ; la
droite et les courbes.

* 8. Quesl-ce que la ligne droite?

C'est celle dont tous les points qui la composent sont
dans la même direction, telle est AB , fîg. i. Oa la
définit encore : le plus court chemin pour allei d'un
point à un autre.

* q. Qu'est-ce que la ligne courbe ?

C'est celle dont les différens points qui la composent
ne sont pas dans la même direction, DE, fig. 3.

* lo. Combien j" a-t-il de sortes de lignes droites?
Il n'y en a que d'une sorte; car il ne peut y avoir

qu'un chemin direct pour se rendre d'un point à ua
autre.

■"il. Combien y a-t-il de sortes de lignes courbes ?

Il y en a une infinité; un point pouvant s'éloigner
plus ou moins de sa direction pour se rendre à v.n but
désigné. La principale de ces courbes est la circoufé-
rence du cercle.

* \i. Quoppelle-t-on circonférence?

C'est une ligne circulaire ABCD, fig. 4- dont
tous les points sont également éloignes d'un peini iu-
lérieur M, qu'on appelle centre.

(3)
î3. De auelles lignes la gcomélrie s'occupe-i-elle
parlicidicremenl ?

Des lignes droites et de la circonfe'rence du cercle.

* i4- Comment irnvc-l- on ime ligne droite!

En faisant glisser une pointe à tracer le long d'une
règle. Lorsque la dislance est plus grande que la
longueur de la règle , on se sert d'un cordeau ou ficelle
qu'on tend d'un point à l'aulre. Lors'jue les ])0ints
sont sur le terrain et fort éloignés l'un de l'autre, on.
se sert de jalons que l'on plantt3 de dislance en dislance
pour faciliter le tracé de la ligne.

* i5. Qiiaîid est-ce qu une droite est indéterminée?
C'est lorsqu'on ne connaît qu'un point par cii elle

«loitpasser^ parce qu'alors on peut placer la règ^cdans
un sens arbitraire , pourvu qu'elle arase le point connu.

* 16. Quand est-ce quune droite est déterminée?
C'est lorsqu'on connaît deux points par oii elle doit

passer- parce que, dans ce cas, il faut que la règle ,
le long de laquelle on la trace, soit ajustée aux deux
points, sans qu'on puisse la placer dans un antre sens :
ces deux points sont ce qu'on appelle les conditions de
sa détermination.

i* 17. Comment trace-l-on une circonférence de
cçrcle ?
Ayant ouvert le compas d'une grandeur arbitraiie,
, on fait tourner l'une de ses branches autour de l'autre
fixée en un point. Si la circonférence était très-graide ,
^ on se servirait, pour la tracer, d'une ficeLe fixée au
centre par une de ses extrémités.

"•^ 18. Qu'est-ce que mesurer une ligne?

C'est déterminer combien de fois elle en contient une
autre , prise pour terme de comparaison. Par exeujple ,
soit CD ,fig- P. , le terme de comparaison ou l'unité de
inesuie, la longueur de la droite AB sera dét( rmiiu'e

rsqu'on connaîtra combien de fois elle contient CD,

(4)

CHAPITRE II.

DU CERCLE.

SECTION PREMIERE.

Graduation du Cercle.

* 19- K^v^T.ST-CE qu on appelle cercle?

C'est la superficie renfermée par la circonférence.
Par extension, on donne quelquefois le nom de cercle
à la circonférence même.

* 20. En combien de parties dii^ise-t-on ordinai^
revient la circonjérence du cercle ?

En 3do parties qu'on appelle degrés. Le degré se
divise en 60 minutes , la minute eu 60 secondes , elc.

* 21. Toutes les circonférences sont-elles suscep-
tibles de celte dii'ision?

Oui : si elles sont petites les degrés sont plus petits ,
mais le nombre en est toujours le même. Ainsi , la
circonférence , fig. 4 ? a 36o degrés aussi bien que celle
/ig. 5 , qui est plus grande.

* 22. Quelle est Vutilité de la division du cercle?

La division du cercle est la base du calcul géomé-
trique et le fondement de toutes les démonstrations de
cette science.

* 23. ^ quoi sert-elle particulièrement ?

A mesurer les angles et à déterminer leur valeur.

SECTION" II.

Des Lignes considérées à l'ëgard du Cercle.

* 2^ Quelles sont les lignes considérées à l'égard
du cercle ?

Ce sont le diamètre, le rayon , les arcs ^ les cordes
ou sous-tendantes , la flèche , la sécante et la tangente*

* 25. Qu est-ce que le diamètre ?

C'est une droite AC , Jig' 5 , qui, passant par le cen-
tre , se termine de part et d'autre à la circonférence :
elle partage le cercle en deux parties égales*
. * 26. Qu appelle-t-on rayons?
. Ce sont des droites MD , ME •, fg. 5 , qui mesurent
la dislance du centre à la circonférence.

2 j. Que résulle-t-il de ces deux dernières défini^
lions ?

Que tout diamètre vaut deux rayons d'un même cer-
cle , et que tous les rayons d'un même cercle sontégaux»

* 28. Qu àppelle-i—on arcs ?

Ce sont des portions de circonférence considérées
séparément: telles sont AID , DNE, EOC,^^. 5.

^ 29. Quappelle-l-on cordes ou sous-tendantes?

Ce sont des droites qui, passant dans le cercle, scf
torminent aux extrémités des arcs: telles sont AD,
DE, EC,/"^. 5; elles sont toujours plus courtes quel
\v. diamètre du même cercle.

* 3o. Qu est-ce que lajleche?

• C'est une droite A E ,Jig. 4 , élevée perpendiculaire*
ment sur le milieu d'une corde , et qui mesure la plu^
grande dislance de cette corde à l'arc qu'ellesous-tend.

* 3i Qu'appelle-t^on sécante ?

C'est une ligne FG, /g. 5, qui, passant dans le
cercle , coupe la circonférence en deux endroits F et G.

* 32. Qu appelle-t-on tangente ?

C'est une ligne qui ne fait que toucher la circonfé-*
rence du cercle, telle est llLjfg. 5*

(6 )

CHAPITRE III.

DIFFERENTES ESPÈCES DE LIGNES DROITES, ET MANIERE
DE TRACER LES PERPENDICULAIRES.

* 33. Qv^ppELLE-T-oy perpendiculaire?

C'est une ligne droite qui, tombantsur une autre, ne
penche ni vers un côté , ni vers l'autre de cette même
ligne telle est ED à l'égard de AB ,Jîg'. 6, et récipro-
ijuement.

* 34. Qu appelle-t-oji ligne oblique?

C'est celle qui penche plus vers un côté d'une ligne
donnée que vers l'autre : telle est AB à l'égard de
CD, /%•. 10.

^ 35. (^u appelle- l-on verticale?

C'est celle qui suit la direction d'un fil aplomb.

* 36. Qu appelle-t-on ligne horizontale?
C'est celle qui suit le niveau de l'eau.

87. Combien y a-t-il de cas différens pour mener
une ligne perpendiculaire à une autre?

Quatre ; car l'un des points qui servent à la déter-
miner peut être donné au milieu de la ligne, ou en
un endroit quelconque de cette même ligue, ou à soa
exirémilé , ou enfin hors de la ligne.

* 38. Que faut-il faire pour élever une perpendi-
culaire sur le milieu d'une ligne donnée kV> ^ /ig. 6?

Il faut, de ses extrémités, et d'une ouverture de
compas plus grande que la moitié de la ligne, décrire
des arcs de même rayon qui se coupent en D et en C^
tirer la droite ED qui sera la perpendiculaire dé-
ni nndée.

(Jeci est évident ; car tous les points des arcs , comme
ceux des circonférences , sont à une égale distance des
centres d'oii ils ont été décrits (N° \i). Les centres
jont ici aux extrémités A et B de la droite; or, les arc»

cv.i les points d'intersection D et C de communs : donc
la droite DG qui les joint est perpendiculaire à AB
et passe au milieu de cette ligne , tous les points d'une
droite étant dans la même direction (N° 8).

Sur le terrain on se sert de la chaîne ou d'une ficelle,
pour décrire les arcs et mener les perpendiculaires.

* 39. Si le point où doit tomber la perpendicu-
h lire est indiqué en un endroit quelconque G de la
ligne donnée f fg. 7 , que faut~il faire 7

Il faut , du point donné G , décrire les arcs A et B
d'un même rayon ; et de ces points A et B décrire des
arcs en E : la droite tirée du point d'intersection E au
point G, sera la perpendiculaire demandée.

* 4^- Que f au L-il faire pour élever une perpendi-
culaire à r extrémité d'une ligne ?

Il faut d'abord la prolonger, comme on le voit,
fg. 85 du point A décrire les arcs B et G, et opérer
comme poiîr Xdifg. f.

On pourrait encore obtenir cette perpendiculaire
de la manière suivante : du point A décrire l'arc BG 5
du même rayon , à partir de B , couper cet arc en D j
du point D décrire l'arc E j mener la ligne BE : sa ren^
contre avec l'arc E désignera le passage de la perpendî«
culaire. Ou bien , après avoir porté le rayon deB en D et
de D en G , on décrirait de ces points les arcs en E : leur
intersection serait le point par oii la perpendiculaire
doit passer.
j On pourrait encore se servir de la méthode donnée
(Ko 76).

* 4' • ^' le point ail Von veut que la perpendiculaire
pnsse est donné hors de la ligne , que faut-il faire ?

Il faut , de ce point donné G ^fg- 9 , couper la ligne
A B par des arcs A et B de même rayon ♦ de ces points,
décrire àes arcs qui se coupent en I , et la ligne GD
sera la perpendiculaire demandée.

4?- Quel est le point d'une droite le plus près d'un
nuire point E , situé au-dessus ou au-dessous de celle
nié me ligne , fg, 7 ?

(8)
C'est un point C où tombe la perpendiculaire qu'on
mené de ce ])oint à la ligne ; car si du point E, et d'un
rayon égal à E C , on décrit un arc D F, tous ses rayons
seront égaux (N° i^) • or, le rayon pris sur la perpen-
diculaire est Je seul qui arrive à la droite sans qu*on
soit obligé de le prolonger, et les autres le sont d'au-
tant plus qu'ils s'éloignent davantage de celte der-
nière ligne : donc, le point d'une droite, le ])lus près
d'un point situé au-dessus ou au-dessous de celle
ligne, est celui ou tombe la perpendiculaire qu'on lui
juène du point donné.

* 4"^- ^^ quoi se sert-on pour mener des perpen'-
di cilla ire s lorsqu'on veut abréger?

On se sert de l'équerre.

* 44* Qu'est-ce que Vèquerre dont se servent ordi-
riniremenl les dessinateurs?

C'est une petite planchette terminée par trois côtés
^n ligne droite ,^^. II: deux de ces côtés sont perpen-
diculaires l'un à l'autre , et s'appellent côtés droits. Le
troisième, qui est le plus grand , est opposé à l'angle
droit et se nomme hypoténuse.

* 4^- Que faut-il faire pour mener des perpendi"
culaires à une ligne , au moyen de Vc'querre?

Placer une règle qui arase la ligne donnée, et faire
glisser l'un descôtés de l'angle droit de l'équerre contre
cette règle- toutes les lignes qu'on tirera le long de
l'autre côté, seront perpendiculaires à la ligne donnée.

4^- Comment s'assure-t-on de la perpendiculariic
d'une ligne ?

Du pied D de la perpendiculaire, fg. 9, et d'un
rayon arbitraire, on coupe la base en A et en B; de
ces points on décrit deux arcs qui se coupent en F j si
l'intersection se fait sur la droite FD , elle est perpen-
dicnliiire à l'autre , sinon elle est oblique par rapport à

celte ligne.

47. Que faut-il faire pour trom'cr un point qui soit
également distant d<^ deux autres points donnés?

(9)

Il faut, c!es cleiix points doiines A et B,X^. 1 1 , et
d'une onverlure de compas plus grande que la moitié
de la distance de l'un à l'autre, décrire, du même
rayon, âes arcs qui se coupent, et le point d'intersec-
tion C, sera celui qu'on demande. On pourrait par ce
moyen trouver une infinité de points qui satisferaient
à là demande et qui seraient tous dans la même di-
rection.

48. Que faut-il faire pour trouver deux points éga^
Icment éloignés de deux autres points donnés , A et
B,fig. 6?

Il faut, des deux points donnés, et d'une même 011-
vrrtnre de compas prise arbitrairement, décrire des
arcs qui se coupent , et les intersections C et D seront
les réponses. Ce problème a aussi une infinité de solu-
tions; car tous les points de la lii^ne CE, correspon-
dant à la partie ED , satisferaient à la question.

Exercices. — Dessiner un assemblage de charpen-
terie,/^-. I: (1)

Pour dessiner celle fisjure, il faut diviser la sablière
A B en parties égales; éleyer les perpendiculaires selon
l'épaisseur et la distance des poteaux. Les poteaux C C
des extrémités se nomment poteaux corniers; ceux ILE
qui forment la baie H de la porte, poteaux d'huisserie,

f/équerre ordinaire ,^^. II:

Pour dessiner cette figure, il faut tirer le côté A G;^
élever la perpendiculaire AB, et mener l'hypoténuse
B C.

Celle à angle de porte et de croisée , /îg, HT :

Les côtés AB, A G se dessinent coraine ceux de la
figure précédente ; ensuite on leur mène des parallèle^
«clon la largeur D qu'on veut donner au fer.
. Figurer l'alignement d'une route, y?^. IV:

On dessine cette figure en élevant sur une base AB
des verticales également espacées qu'on nomme jalons.

(1) Les figures de Dessia linéaire couiniencent à la plaiicL»
IrenLc-sixiî'Uie. — -

1.

10 ]

CHAPITRE IV.

DES PARALLÈLES ET DE LA MAMÈRE DE LES TRACER.

^ 49- Qu'appelle-t-on //^/ze^ p<7ra//è/e*?

Ce sont celles qui sont partout également éJorgnéos
<Vune autre ligne de même esjDëce: telles sont CD,
KF,/^. 12, à l'égard de AB^ et GII, IL, fig. i3, a
l'égard deMN.

* 5o. Que faut-il Jaîre pour mener une parallèle
à une liiine droite?

Il faut d'un point E,/ig'. i4, prissur la ligne donnée
AB, et d'une ouverture de compas arbitraire , décrire
une demi-circonférence ACDB; prendre une gran-
tleur quelconque AC sur la demi-circonférence, et la
]>orter de B en D : la droite qui passera par les points
C et D sera la parallèle demandée.

Ceci est clair : les arcs compris entre les deux droites
étant égaux, il s'ensuit nécessairement que les deux
droites AB, CD sont partout à une égale distance
l'une de l'autre.

■*' Ôi. Et si Vun des points D par oii il faut que
la parallèle passe est donné ?

Il faut faire passer la demi-circonférence par le
point donné D^ piendre la grandeur de l'arc inter-
cepté entre le point D et la ligue AB, la porter de A
en C: la droite qui passera par les points C et D, sera
la parallèle demandée.

* 32. Comment whie-t-on une parallèle à w/z arc
AB,^j|^. i5 , dont on connaît le centre?

lin décrivant du centre M un autre arc d'un rayon
plus grand ou plus petit que celui de l'arc donné.

53. Comment lyiène-t-on des parallèles à une ligne
par le moyen de Vcquerre?
^Qii place l'un des côtés droits de l'équerre le long

âc cptle ligne, et on fixe une règle qui s'ajuste k
l'autre côté : toutes les lignes qu'on tirera en faisant
glisser l'équerre le long de la règle, seront parallèles à
la ligne donnée.

Exercices. — Dessiner un pilastre avec son chapi-
teau et ses écharpes , soutenant une poutre , ^g. V :

Le dessin de cette figure consiste à mener des lignes
verticales, horizontales et obliques, selon l'épaisse». r
du pilastre A, de la poutre B , du chapiteau C , et dc-s
écharpes D.

Dessiner un chambranle , ^ff. YI :

Pour dessiner cette figure, il faut prendre une ba^e
A, de la largeur de la porte, lui élever des perpendi-
culaires BB d'une hauteur presque double de la lar-
geur de la porte, al les couronner par la traverse G
qui doit être assemblée à onglet D (i).

Dessiner les lames d'une jalousie , /ig. VU r

Celle figure est composée de parallèles cquidistantes,
disposées de deux en deux pour distinguer la largeur
des lames; les lignes A, B et G qui les coupent dési-
gnent les rubans ou tresses; la planche G qui couronne
la jalousie se nomme tête, el celle D, à laquelle sont
attachés les rubans, les cordons E et les tourillons H ,
se nomme mouvante.

Dessiner une estrade ,./%. YIII :

Cette figure se construit en menant des parallèles à
1a base AB, d'autant plus courtes qu'elles s'en éloi-
gnent davantage. La saillie G des marches est déter-
minée par des perpendiculaires qui se rapprochent à
jiicsnre qu'elles s'éloignent de la base.

(i) Dms le dessin linéaire , les ombres se désignent par des
trails plus fnrts. Le jour étant supposé vrnir de 45 degrés de
paiiclie à droife, on forceia les traits qui déterminent la
droite des parties saillanies lorsqu'elles forsiieronl a^ec rhcri"
2'^n des angles de plus de 45" J dans le cas contraire, oa forcera
les trait» à gauche.

( >2 )

CHAPITRE V.

DIVISION DES LIGNES.

* 54- k2.^?. faut-il faire pour partager une droite
en deux parties égales?

Décrire de ses extrémités EetF, fg. 16, des arcs de
niêirie rayon qui se coupent en A et en B; joindre les
points d'intersection par la ligne A.B : cette droite
partage la ligne donnée en deux parties égales, et lui
est perpendiculaire (N° 38).

55. Comment la divise-t-on en quatre parties
égales?

On opère sur chacune des parties El, IF comme
Eur la ligne totale.

66. Comment nomme-t-on les parties EH, HI,
IJ et JF de division d'une ligne?

On les nomme segmens , et les points H , J, etc., oli
la ligne est divisée , se nomment points de section.

* 57. Que faut-il faire pour diviser une droite en
autant de parties égales que Von veut, par exemple
yVi.yfg. 17, en cinq parties?

Tirer une droite indéfinie AB; marquer dessusautant
départies égales, prises arbitrairement, que la ques-
tion en exige; prendre leur longueur totale AB , et de
celte ouverture de compas et des points A etB , décrire
des arcs qui se coupent en D^ joindre par des droites le
point d'intersection D à tous les points de section de la
ligne AB* prendre ensuite la longueur de la ligne don-
née , et la porter de D en G , et de D en lî , et joindre
les points G et H: les segmens de cette dernière ligne
sont égaux au cinquième de la droite donnée.

On pourrait encore opérer de cette manière : porter
arbitrairement cinq parties sur une ligne A X, fig» 45»,
faire avec cette ligne et la ligne donnée un angle quel-

( >3 ) ^
conque XAZj joindre l'extrémité F à Ta cinquième
division L , et mener les parallèles EK , DJ , etc. : la
ligne A F sera divisée en cinq parties égales. On opé-
rerait de même pour toute autre division.

* 58. Comment partage-i-on la courbe en deux
parties égales?

En décrivant de ses extrémités A et "^ -, fg- i8, des
arcs qui se coupent en C et en D : la droite qui joint
les deux points d'intersection C et D, divise la courbe
en deux parties égales.

* 69. Que faut-il faire pour la partager en quatre
parties égales?

Opérer sur les parties AE , EB , comme sur la ligne
totale.

Exercices. — Dessiner les parties des planchers rac-
cordés,^^. IX et X:

Le premier représente un plancher à frise, le se-
cond est dit point de Hongrie. Pour les dessiner, il
faut prendre une base AB, élever des perpendicu-
laires à ses extrémités , les diviser en parties égales , et
mener les lignes parallèles qui représentent les joints
des planches; celles de la figure X sont coupées à on-
glet. Les pièces C G sur lesquelles portent les extrémité»
des planches, ^^. IX, se nomment lambourdes.

L'échelle, ;f^. XI:

Les m on fans AB doivent aller un peu en conver-
geant , et les échelons être placés à égales distances ,
être assemblés à mortaises et tenons chevillés.

La cheminée , fig. XII:

Les côlés ou jambages A doivent être tracés vertica-
lement; la traverse B ainsi que la tablette G sont re-
présentées par des lignes horizontales; les parties DD
>e nomment les socles ou plinthes; les côtés E et le de-
vant G sont évasés ; le fond H est vu de face.

La grille,/^. XIII:

On trace d'abord les encadremens ABCD, ensui'e
Dn joint par des lignes droites les angles opposés de

_ ( >4 )

rencaJrcment intérieur, ainsi que les points du milieu
ïîe chaque traverse. A l'intersection des barreaux se
trouvent des boutons, qui peuvent être en cuivre
doré. La barre d'appui A doit être couronnée par une
petite moulure.

Le cintre d'une croisée ,^^. XIV:

Cette figure est composée de neuf parties représen—
tantdcs pierres de taille : celle B du sommet se nomme
la clef de la voûte ; les joints sont déterminés par des
rayons menés du centre A, et les extrémités par les
cordes sous-tendant les arcs d'une circonférence pas-
sant par les angles G,

Le décimètre , fis;* XV:

Le côté AB de celte figure représente le décimètre
dans sa grandeur naturelle; les distances AE , etc., sont
les centimètres , et les petites les millimètres. La par-
lie CD contient 3 pouces divisés en lignes.

CHAPITRE VI.

DES ANGLES.

SECTION PREMIÈRE.

Des Angles, de leur mesure et île la manière de déterminer
leur valeur.

* 60, Qu'est-ce r/w'w/î an o-/e ?

C'est l'ouverture plus ou moins grande de deux li-
gnes AB, kQ^fg, 19, qui se rencontrent en un point
qu'on appelle sommet.

* 61. Comment nomme-t-on les angles par rny"
port à leurs côtés ?

( >5 )
On nornme angle rectiligne celui qui est formé psr
deux lignes droites,/^. 193 curviligne celui qui est
formé par deux lignes courbes, yz^. 20 et 21 ^ et mix-
tiligne celui qui estformépar uue droite et une courbe ,
fig. 22 et 23.

* 62. Comment désigne-t-on les angles?

Quand un angle est seul, on se contente de nommer
la lettre du sommet* ainsi, en disant Fangle A, je dé-
signe la^^. 19. Mais, si plusieurs angles ont leur som-
met au même point, il faut nommer les trois lettres
qui sont afï'ectées à chacun d'eux, ayant soin déplacer
celle du sommet la deuxième.

* 63. Quelle est la mesure d'un angle?

C'est le nombre de degrés et parties de degré de
l'arc compris entre ses côtés, et décrit de son sommet
comme centre : ainsi le nombre de degrés de l'arc DB ,
compris entre les côtés de l'angle TiCB^fg- 24 , est la
mesure de cet angle. En conséquence, l'angle ACD,
Jîg. 26, a 90 degrés pour mesure, parce qu'il embrasse
le quart de la circonférence j BCD en a 70; ECD ea
a 20 , etc.

* 64. Comment appelle^t-on les angles par rap-'
port à leur nombre de degrés?

On appelle angl« droit celui qui a 90 degrés ou le
quart (le la circonférence , tel est ACB,y%. 24^ obtus
celui qui a plus de C)0 degrés BCEj et aigu celui qui a
moins de 90 degrés BCD.

* 6^. De quoi se sert-on pour déterminer la vn-^
leur des angles ?

D'un demi-cercle partagé en i8o degrés, qu'on
n'anime rapporteur, ^^. 25.

* Ç)Ç>. Comment se sert-on du rapporteur pour di'-
terminer la valeur d'un angle?

On place son centre C sur le sommet del'angle qu'on
veut mesurer, et son diamètre sur l'un des côtés, et
la division à laquelle répond l'autre côté de l'angle
dé termine sa valeur.

(,6)

G'i. Qu^appeile-t-on complément d*un ûngle ?

C'est ce qui lui manque pour former un angle droite
ainsi l'angle ACD ^ fg. 24, est le complément de l'an-
gle DCB, et réciproquement.

68. Qn appelle-l—on supplément (Vun angle?

C'est ce qui lui manque pour e'galer deux angles
droits : ainsi l'angle DCB est supplément de l'angle
B(^Ej l'qngle ECH est aussi supplémeat du même
angle BCE.

6c). Quelle conséquence titez-vous de là?

C'estquedcux angles opposés au sommet sont égaux ;
caries angles DCB et ECH,;î^. 24, ne peuvent être
l'un et l'autre supplémens de l'angle ECE sans être
égaux entre eux; or ils sont opposés au sonamet ; donc
les angles opposés au sommet sont égaux.

•jo. Quelles sont les propriétés de deux lignes pa^
ralVeles coupées obliquement par une sécante?

Les angles A, B, C, D ^ fig. 26, sont égaux entre
eiix , ainsi que les angles E , F , G , H ; car A et B sont
opposés au somraetainsi que G et D , et les lignes étant
parallèles, la sécante qui les coupe doit être égale-
ment inclinée à l'égard de l'une et de l'autre : donc les
angles C et D sont égaux aux angles A et B. On prouve-
rait de la même manière l'égalité des angles E, F, G, H.

Exercices. — Tracer des angles , et en déterminer
ïa valeur avec le rapporteur.

SECTION II.

Manière de copier les Angles et de les diviser*

* y I. \2.VE fnul-il Jhire pour tracer, sur une ligne
donnée , un angle égal à un autn? , par exemple sur la
ligne A B , /ig. 27 , un angle égal à V^Jig. 2S?

Il faut, de son extrémité A, et d'une ouverture de
compas arbitraire, décrire un arc CD ^ de la mêiue

ouverture Je compas en de'crire un autre GE, a partir*
de l'angle P^ prendre sa grandeur E G et la porter de
C en T> ,/ig. 27, tirer la ligne AI, et on aura l'angle
demandé ; d'après ce principe , il est aisé de comparer
deux angles et de déterminer leur valeur respective
et leur différence.

* 72. Cojnment partage-t-on un angle en deux
parties égales?

On décrit de son sommet un arc quelconque DE y
Jig. 29- des points D et E , on décrit d'autres arcs
qui se coupent en F ; on tire ensuite la ligne AF, et
l'angle est divisé en deux parties égales.

* 73. El si l'on ne peut atteindre le sommet comme
celui de L'angle , Jig. 3o?

11 faut tirer une ligne quelconque EFj partager en
deux parties égales les quatre angles dont les sommets
sont en F et en E: la droite qui passe par les points
d'intersection G et H des lignes de division , partage
l'angle en deux parties égales.

Exercices. — Faire un angle de i35 degrés, uu
de 90 , un de 4^ et un de 22 degrés 3o minutes :

Le premier de ces angles est composé des trois hui-
tièmes de la circonférence, le second du quart, etc.

Dessiner un châssis à oeil- de- bœuf , ^^. XYI :

Pour dessiner cette figure , il faut diviser la circoT]-
fércnre A en siiL parties égales , en portant six fois une
ouverture de compas égale an rayon , autour de la
circonférence, à partir d'un point quelcon(jue A : en^
suite on dessine les petits bois B. Le cercle du milieu
doit avoir une circonférence suffisante pour recevoir
rasseaibiage des petits bois.

( i8)

SECTION III.

Mesure des Angles considf're's dans le cercle, lorsq'-ie
le sommet n'est pas au centre.

^"4- Q^FU.E est la mesure d'un angle qui a son
èortimel en un point quelconque A, Jig. 6\ , cTunc
circonférence ?

C'est la moitié de Tare BD compris entre ses côtes. Car
si l'on mène par le centre C, /ig'. 3i, la ligne FE paral-
lèle à AD, les angles BAD elBCF seront égaux : or,
l'angle BC F, ayant son sommet au centre, a pour me-
sure l'arc B Fj mais BF est égal à E à, puisque ces deux
arcs sont la mesure de deux angles égaux , et E A est
égal à FD, étant des arcs de même rayon compris entre
des parallèles: donc BF est égal à FD. On peut donc
dire que l'angle BCF a pour mesure la moitié de
l'arc BFD, ou BF: donc l'angleB AD, qui lui est égal,
a la même mesure. Pareillement l'angle BAD,^^^-. Sa,
a pour mesure la moitié de l'arc BFD; car si l'on mène
AF par le centre, on a deux angles BAF et FAD, le
premier a la moitié de BF pour mesure, et le second
la moitié de DF ainsi qu'on vient de le voir : donc
l'angle total BAD a pour mesure la moitié de BF,
plus la moitié de DF, c'est-à-dire, la moitié de BFD.

75. Quelle conséquence tirez-vous de celle dé-
monstration?

1° Que tous les angles A, B , Ç ^/ig. 33 , qui ont leur
sommet à la circonférence et embrassent le même arc
OP, sont égaux;

2° Qu'un angle quelconque qui a son sommet A
h la circonférence,^^. 34 , a ses côtés perpendiculaires
l'un à l'autre, lorsqu'ils passent aux extrémités CD (lu
diamètre du cercle, parce qu'alors l'angle a pour
mesure la moitié d'un arc de 180 degrés.

76. Quelle utilité peut-on tirer de cette connais"
tance?

( ^g)

ï» Que pour élever une perpendiculaire a Tcxtre'**
mile d'une droite quelconque k\^,Jîg. 35, qu'on ne
peut prolonger, il faut placer la pointe à tracer du
compas en B, et l'autre en un point quelconque D,
au-tlessus de la ligne donnée, et décrire une circon-
férence FBE^ du point F tirer le diamètre FE , et le
point E oii il aboutit à la circonférence indique le pas-
sage de la perpendiculaire BE;

2" Que pour trouver le diamètre d'un cercle dont
on ne connaît pas le centre, il faut poser l'équerre
sur ce cercle de manière que le sommet de l'angle droit
soit en un point quelconque de la circonférence, et
marquer les points de cette même circonférence, qui
répondent aux côtés de l'équerre : la droite qu'on ti-
rera de l'un à l'autre sera le diamètre demandé.

7^. Quelle est la mesure d'un ongle qui a son som-
met en un point quelconque k ^fig- 36 , entre le centre
du cercle et la circonjérence ?

C'est la moitié de l'arc BC compris entre ses côtés,
plus la moitié de l'arc D E , comyjris entre leurs prolon-
gemens. Car si, de l'extrémité D du prolongement,
on mène DI parallèle à AB, l'angle D, qui a pour
mesure la moitié de l'arc IBC, est égal à l'angle A :
donc l'angle A, a pour mesure la moitié de BC, plus
la moitié de BI; mais Bl est égal à DE, ces deux
arcs étant compris entre deux parallèles : donc BAC a
pour mesure la moitié de BC , plus la moitié de DE.

CHAPITRE VII.

DÉTKhMlNATION DES LIGNES COURBES.

** 78. (^UA\D est-ce que la courbr est indéterminée?

C'est quand on ne connaît qu'un ou deux points
paroù elle doit passer, parce qu'alors on peut décrire
de plusieurs centres des courbes qui passeul par le ou

( 20 )

les Jeux points connus: c'est ce qno nons éclaîrcirons
par un problème , après avoir démontré la proposition
suivante.

* 79. Quelle est la propriétc d'une perpendicu-
laire CD, fîg, i^y, élevée sur le milieu d'une corde A B
d'un cercle?

C'est que cette perpenclicnlaire passe par le centre
du cercle. Ceci est évident, les extrémités de la corde
étant deux points de la circonférence, sont nécessai-
rement à une égale distance du centre; or, tous les
points de la perpendiculaire , pris eu particulier, sont
à une égale distance des extrémités A et B de la corde:
donc la perpendiculaire passe dans le centre 5 mais il
n est pas déterminé.

* 80. Oue nous fournit cette démonstration?

Le moyen de faire passer plusieurs arcs de cercles
par deux points donnés, par exemple par les points
A et B , ^g". 3^. Pour cela il n'y a qu'à les joindre par
tine droite AB • la couper au milieu par une perpen-
diculaire CD' d'un point quelconque E pris sur là
perpendiculaire, et d'une ouverture de compas égale
à la distance de ce point à l'un des points donnés A ,
décrire l'arc FG j d'un autre point arbitraire H décrire
l'arc IJ, etc. On voit par-là, que de tous les autres
points de la perpendiculaire on pourrait décrire des
arcs qui satisferaient également à la demande : c'est
dans ce cas que la courbe est indétermmée.

* 8 I . Qufiîid est-ce qu une courbe est déterminée?
1° Lorsqu'on connaît trois points par oii elle doit

passer • ces trois points ne pouvant avoir qu'un centre
commun ;

2° Lors(ju'on connaît son rayon et deux points par
oîi elle doit passer;

3° Lors(| li'on connaît son centre , et un point par où
elle doit passer.

* 89.. Oii se fait l'intersection de deux perpendicu-^
taire s DI e/ El , élei>ées sur le milieu de deux cordes
AB, BC,/-^. 38?

( 21 )

Al] centre du cercle. Ceci est évident ; carlepointice
la pcrpendicLilaire IDest à une égale distance deB elde
C: et si nous le prenons sur la perpendiculaire l E, il e^t
aussi à une même distance de A comme de B (jN° 'jg ;
ainsi cestrois points A, B, C sont à une égale distance
de l'intersection I : donc il est leur centre, et par consé-
quent celui de la circonférence qui passera par ces trois
points.

* 83. Quelle conséquence tireZ'Vous de là?

Que pour faire passer une circonférence par trois
points donnés A, B, C,Jfg'. 38, pourvu qu'ils ne soient
pas en ligne droite, il faut joindre les trois points par
deux droites AB, BC, et élever une perpendiculaire
sur le milieu de chacune d'elles, elle point d'inter-
section I en sera le centre. S'il s'agissait de trouver le
centre d'un cercle ou d'une partie de circonférence, on
marquerait trois points dessus , et ayant tiré des cordes
de l'un it l'autre , on opérerait de la même manière.

Exercices. — Dessiner le croissant ,^^. XVII t
Cette figure est composée de deux arcs passant par
des points communs A et B , et décrits de deux centres
pris sur une ligne perpendiculaire à la droite qui join-
drait les points A et B.

Les poulies , fig. XVIII et XIX :

La première est représentée par un cercle; il doit
être assez pp^^is pour recevoir une gorge évasée. La
cliape D est composée de deux lignes droites terminées
par des arcs de différens rayons,* elle est portée par un
boulon ou essieu sur lequel tourne le rouet ABC.

La figure XIX représente une poulie vue sur champ,
emboîtée dans une chape en bois.

Les moufles ^J^g. XX :

On appelle moufles une suite de poulies portées sur
deux chapes diflérentcs ; l'une A est mobile, et l'autre
!3est immobile. Ces poulies doivent diminuer de rayou
j^ mesurequ'ellesapprochent du centre, afiu d'éyiter

( 22 )

la renronlre des cordes et le fiOltcment , ce qui aug-
menterait la résistance.

Le treillis, Z'^^. XXT:

Après avoir Jessiiié l'encnclreraent , on décrit les
arcs qui doivent être entrelacés, leurs centres sont
dans le prolongement des côtés; ensuite on tire les îr:«-
verses du milieu, destinées à assujétir les cintres des
iircs.

La grille à balcon, ^^. XXII: •

La largeur des parties destinées à recevoir les arcs
tangens doit être le tiers de la hauteur; on divisera le
reste de l'encadrement selon le modèle, et ayant décrit
la rosette du milieu, on décrira les arcs et on tirera
les droites de l'intérieur.

CMAPiTRE VIÏI.

CONTACT DES TANGENTES.

* 84- CiOMMENT nomme-t-on le point ou la tan-'
génie touche la circonjérence?

Pointde contact : ce point est à l'endroit de la droite,
cil tombe le rayon qu'on lui mène perpendiculaire-
ment. Ceci est clair, le contact ne pouvant avoir lieu
qu'en un seul point, il doit être nécessairement à
l'endroit de la droite le plus près du centre du cercle:
or, le point d'une droite le plus près d'une autre , pris
hors de celte ligne, est celui oîi tombe la perpendicu-
laire menée de ce point à la ligne (N° ^i).

* 85. Quelle est la méthode générale pour déter-
miner le point de contact d'une tangente?

C'est de joindre au centre du cercle , par une
droite k^^fig. 3f) , l'un quelconque A des poijits de
la tangente^ du inilieu de cette droite, et d'un myoïi

c'iraî â D A, décrire ur;c circonférence , cl reiidroi! î.
oîiellecoinDela tangente, est le point de contact : car lo
rayon qu'on mène à ce point est perpendiculaire à la
tangente, puisqu'il forme avec elle un angle dro't
ayant pour mesure la moitié de la demi-circonfé"
reacc ACB.

* S6. Comment détermine-t-on les points de con-
tact de deux tangentes qiii se rencontrent en un point ?

On joint au centre du cercle, par une droite,
le point G. ^^j-. /jo, où les tangentes se rencontrent;
on décrit du milieu D de cette ligne une circonférence
qui passe parle centre du cercle , eton a les points A et
B pour les contacts des tangentes ; car les rayons MA,
MB qu'on a menés à ces points , forment avec les tan-
gentes des angles droits, puisqu'ils embrassent le dia-
mètre CM : donc les rayons sont perpendiculaires aux
tangentes.

* 87. Que faul-'il faire pour décrire une cinonfi'^
rence, tangente à une droite en un point donné , et
qui passe por un autre point désigné , fig. L^\}

Il faut mener une perpendiculaire à la ligne
donnée AB , au point G oii l'on veut que touche la
circonférence; joindre le point C au point désigné Di
abaisser une perpendiculaire sur le milieu de la droite
CD , et le point E sera le centre de la circonférence :
car la ligne El étant perpendiculaire à la corde
et la coupant en deux parties égales, doit nécessaire-
ment passer par le centre- le rayon CE étant aussi
perpendiculaire à la tangente, doit aussi passer par le
centre , lequel ne peut être qu'au point de rencontre,

* 88. Oii se troui^e le point de contact de deux
cercles ?

Dans la direction de leurs centres.

* 89. Que concluez-vous de là?

Que si les cercles se touchent extérieurement,
comme dans la figure /j2 , le point A oit la droite qui
joint les deux centres coupe les circonféreucea, est Is

( 24 )
point (3e contaM; s'ils se touclienl inlérieuiTîiicnt,
comme dans la figure /jS, le pointB, oii le rayon va
al)oulir en passant par le centre du petit , est le point
demandé.

* 90. Comment trou\>e-l~on le centre d'une cir-
confcrence qui t/oi'l en toucher une autre en un point
désigné , et passer par un point donné?

Du centre M, de la circonférence donnée, y^if. 4^,
etdupoint A désigné pour le contact, on tire unedioite
indéfinie MI* on joint le point donné C au point A,
et on élève une perpendiculaire EF sur le milieu de
cette ligne : l'intersection D , que cette perpendiculaire
fait avec la droite MI, iadic£ue le centre de la circon-
férence.

* 91. Que faut-il faire pour déterminer le centre
d'une circonférence qui doit passer en un point
donné da?is un cercle , et être tangente à la circon-
férence de ce cercle en un point désigné, fig. l\M

Tirer un rayon au point B désigné pour le contact;
joindre par une droite le point donné C au point Bj
élever une perpendiculaire EF sur le milieu de CB,
et l'intersection D que cette perpendiculaire fait avec
le rayon AB , est le centre de la circonférence.

Exercices. — Dessiner les grilles à cercles langeas ,
fig. XXIII et XXIV :

Pour dessiner la première , il faut d'abord tracer les
encadremens de manière que la longueur soit double
de la hauteur, ensuite décrire les arcs et les cercles.
Les centres sont tous sur une droite horizontale qui
partagerait les côtés en deux parties égales.

Pour la seconde, on commence par décrire les pe-
tits cercles à distances égales, ensuite les grands qui
leur doivent être tangens, et enfin on forme l'enca-
drement selon la grandeur des cercles. Si les cercles
ne devaient pas être tout -à-fait langens, on les join»
drait par un boulon.

( 25 )

CHAPITRE IX.

DES PROPORTIONS.

'*' 92. \^[}*APPELhE-T-oy lig7ies proportionnelles?
Ce sont des lignes dont les longueurs comparées
între elles peuvent former une proportion.

* 93. Quand est-ce que quatre lignes forment une
oroportion?

C'est lorsque le rapport de la première à la seconde
îst le même que celui de la troisième à la quatrième :
par exemple , il existe un même rapport entre les li-
gnes A et B,/?^. 44? qu'entre Cet Dj c'est-à-dire, que
B est un tiers plus grand que A, comme D est un tiers
il us grand que C, ce qu'on peut voir par les divisions •
lies forment par conséquent une proportion que l'oa
peut exprimer ainsi , A : B :: C : D.

94* Donnez-en quelques autres exemples?
1° Si sur le côté AZ d'un angle quelconqueZAX,^^. 45,
DU marque des parties égales B ,C , D , E , F , et que de
a dernière division on mèneLFà volonté, et qu'enfin,
varies autres divisions, on mène EK, D J, etc. , paral-
èles àFL, toutes les divisions du côté AX seront aussi
îgales entre elles , ce qui donnera celte suite de propor-
ionsAB : AH :: BC : Hï ;: CD: IJ :: DE :JK, etc :
iB:BH::AC:CI::AD:DJ::AE:EK,etc.

2°Deux droites AB, QD^Jîg. 46, qui secoupentd'une
nanière quelconque dans un cercle, le font propor-
ionnellement, c'est-à-dire, que les petits segmens CI,
X AI sont entre eux dans la même proportion que les
;rands , en sorte qu'on peut dire CI : AI ;: IB : ID5
)u bien AI:IG::ID:IB,etc. Ceci est évident , car
i du point I comme centre et d'un rayon égal à I C ,
m décrit l'arc CE, et d'un rayon égala AI, l'arc AF,
)n aura I E égal à 1 C , et I F égal à I A , comme rayons

2

(2")

âe mêmes arcs; si l'on joint ensuite les points EF et
BD , on aura , à cause des parallèles E F , B I) , les pro-
portions suivantes ,IE:lF::IB:ID,ou bien , J F :
lE :: ID : IB, ctc, qui sont les mêmes que les pre'-
cédentes.

3^ Si du sommet d'un triangle équilatéral ABC,
^s^. 57 (N°* 124 et 126), construit sur le diamètre d'un
cercle, on mène une droite AD à l'arc concave BDC,
cet arc et le diamètre seront coupés en parties propor-
tionnelles , et on aura BC : BDC :: CE : CD; ou BE
: BD:: CE: CD, ou encore BE: EC:: BD: CD.

q5. A quoi sentent les proportions géométriques?

A découvrir la longueur d'une ligne inconnue par
la connaissance des autres qui forment la proportion.

^ 96. Que faui-il faire pour trouver une quatrième
proporlionnellç à trois lignes données P , Q , R ,

fis- ^»7? .

Tirer deux lignes AM, AN, qui forment un angle

quelconque; porter de A en B la longueur delà ligne P,
et la longueur de Q , de B en C ; porter également la
longueur de R , de A en D; joindre BD par une droite,
et par le point C mener CE parallèle à BD , qui déter-
mine DE pour la quatrième proportionnelle deman-
dée : en sorte qu'on peut dire, AB : BG ;: AD : DE.

G-j. Quel nom donner-t-on à la proportion , lorsque
les deux termes du milieu sont égaux?

Elle prend le nom de proportion continue , et le
quatrième terme se nomme troisième proportionnelle.

* 98. Que faul~il faire pour avoir une troisième
proportionnelle , à deux lignes données A et^.fig. 48 ?

Faire un angle arbitraire lED; porter la longueur A,
de E en F , et la longueur B , de E en D ; porter aussi
celte longueur B de E en G; joindre les points F et G;
enfin parle point D mener DI parallèle à FG, et on aura
El pour la troisième proportionnelle demandée. En
sorte qu'on peut dire , EF : ED :: EG ; El , et comme
ED=E G, on peut dire aussi, EF: ED:;ED : El,

* qçj. Que faut-il faire pour trouver une moyerine
propôrlionnelle entre deux lignes données , P e/ Q ,

Tracer une ligne inde'finie AC; prendre sur cette
ligne une longueur A B égale à P , et une partie BC
égale àQ- sur AG, comme diamètre, décrire une
demi-circonférence^ au point B élever une perpendi-
culaire BD, qui est la moyenne proportionnelle de-
mandée : en sorte qu'on peut dire, AB : BD ::BD : BC.

^ 100. Que faut-il faire pour couper une ligne AB,
fg. 5o , en mojenne et extrême raison?

Il faut, à l'une des extrémités de la ligne donnée,
élever une perpendiculaire AD, égale à la moitié de
laligne AB; joindre les pointsBetDpar une droite ; du
point D comme centre, et d'un rayon égal à AD , dé-
crire une circonférence qui coupe en E la ligne BD,
enfin on porle BE de B en C , et la ligne AB est
coupée en moyenne et extrême raison (ij.

101. Pourquoi dit-on que cette droite est coupée en
moyenne et extrême raison?

Parce qu'elle est coupée en deux parties AC , BC
de manière à ce que l'une d'elle B G est movenne
proportionnelle entre la ligne entière AB et la partie
A Ç : en sorte qu'on peut dire , AC ; BC ;: BC : AB
ou AB : BC :: BC : AG.

Exercices. — Dessiner une croisée de six carreaux
dont les côtés de la croisée soient dans les rapports de
AàB,;f^.XXV:

Il faut tirer une ligne double ou triple de A, lui
élever une perpendiculaire ayant les mêmes propor-
tions à l'égard de B , former le dormant ABGD et les
bâtis E; faire les trois divisions de la hauteur; les
deux de base, et figurer le reste de la croisée.

(i) Tontes ces opérations pourraient se faire par le moyen
dn compas de proportion , ainsi que la division de la ligne eu
pariics fractionnaires, pag. 161.

( 28 )

CHAPITRE X.

DIVISION DE LA CIRCO\FÉRE\CE DU CERCLE.

* 102. Comment ;?^r/o^e-f-on la circonférence en
deux parties égales ?

Oa la coupe par un diamètre AM ou BN <,fg. 5i.

^ io3. Comment la parlage-t~on en trois , ep. six
et en douze parties égales , fig. 5 i ?

En portant sur la circonférence une ouverture de
cornpas égale au rayon du cercle , on a le sixième j deux
de ces parties prises ensemble en sont le tiers , et cha-
cune des premières, partagée en deux , en est le dou-
zième. On aurait encore la douzième partie en portant
la longueur du rayon de A en D et de B en C , et ainsi
de suite pour les autres parties de la circonférence.

104. Sur quoi fondez-vous ce principe?

Sur régalilé du rayon d'un cercle quelconque, à
la longueur de la corde d'un arc de 60 degrés du
même cercle.

* io5. Comment parlage~t-on la circonférence en
iept , en quatorze et en quinze parties égales?

Après avoir tiré le rayon LF, fig. Sa , on porte sa
loiif^ueur de F en A et en E , on tire AE , et la moitié
A 1 de la corde AE sera celle de la division en sept par-
lies. Pour avoir quatorze divisions, prenez la moitié
de ces dernières. Pour la partager en quinze , il faut ,
de l'extrémilé F de l'un des diamètres, décrire l'arc
BG, et la partie CL du rayon sera la réponse.

Celte division en quinze donne des arcs de 24 de-
grés, ses subdivisions sont de 12, de 6 et de 3 degrés:
le tiers de ce dernier donne l'arc d'un degré.

* 106. Que faut-il faire pour partager la circonfé^

( 29 )
rence en cinq, huit, dix, onze et seize parues
égales ?

La couper d'abord en quatre parties égales par deux
diamètres AB , CD , fg. 53 , croisés perpendiculaire-
ment j du point B , et d'un rayon égal à celui du
cercle , couper la circonférence en I , et du point D la
couper en G ; du point I décrire l'arc GEF^ ensuite
tirer la droite ED, et l'on a ED pour la corde de la
cinquième partie de la circonférence, la distance LF
pour la corde de la huitième, EJ pour celle de la
dixième, EG pour celle de la onzième, et EA pour
celle de la seizième.

La division en cinq parties sert à faire une figure
étoilée ,fig- 56.

"** 107. Que faut-il faire pour la couper en neuf,
en treize, en dix-neuf et en vingt parties égales?

La couper en quatre parties égales par deux dia-
mètres AB, GJ) ,fg. 54, croisés perpendiculairement,
et dont l'un d'eux GD est prolongé ; de l'extrémité A
du diamètre AB , et d'un rayon égal à celui du cercle ,
couper la circonférence en E ; de l'autre extrémité B,
décrire l'arc EC qui vient couper le prolongement du
diamètre GD* du point G décrire les arcs EF, AH,
et on aura HD pour la corde de la neuvième partie de
la circonférence; et IH pour celle de la dix-neuvième.
Si du point D on décrit l'arc BL, et de L l'arc B J ,
on aura LI pour la corde de la treizième partie, et
.1 H pour celle de la vingtième.

* 108. Comment la partage-t-on en dix-sept par-
ties égales ?

On tire un diamètre AB prolongé, fig. 55; on lui
mène le rayon CD perpendiculairement j du point B, et
d'un rayon égal à celui du cercle, on coupe la cir-
conférence en E; du milieu I du rayon CD, on décrit
l'arc EL , et on a B L pour la corde de la dix-septième
partie de la circonférence.

* 109. Comment pourrait-on diviser la circonfé-
rence en un nombre quelconque de parties égales ,

( 3o )

par exemple la circonférence, /i g. 5 7, en sept parties
égales ?

Il faut diviser le diamètre en autant de parties
égales que la circonférence doit en avoir; des points
B et C, et d'une ouverture de compas égale au dia-
mètre BG, décrire des arcs qui <e coupent en A;
mener AD passant par la seconde division E du dia-
mètre, et on aura BD pour la septième partie de la
circonférence donnée (1^° 94 , 3°).

S'il s'agissait d'opérer sur un cercle fort petit, comme
serait le cercle H , fig. 68 , ou d'oblenir un grand nom-
Bre de divisions, neuf, par exemple; on tirerait une
ligne indéfinie BC. sur laquelle on porterait autant
de parties égales que la circonférence donnée doit en
avoir; de cette longueur totale on décrirait la circon-
férence BCD, et on opérerait dessus comme il vient
d'être dit pour la figure précédente; ayant obtenu la
partie CD, on tirerait le rayon DJ, et décrivant au
centre le cercle donné, la partie IL serait la réponse,
(/est ainsi qu'on diviserait la circonférence en tous ses
degrés.

■^^ 1 10. Comment peut-on diviser un arc quelconque
BCD ,Jig. 69 , en autant de parties égales que Von
veut , par exemple en neuj?

Il faut joindre le centre I à l'une des extrémités G
de l'arc donné par le rayon IG, le prolonger d'une
longueur égale afin d'avoir le diamètre; des extrémi-
tés G et G, et d'une ouverture de compas égale à la
longueur de ce diamètre G G, décrire des arcs qui se
coupent en A; ensuite tirer, par le point A et l'extré-
mité B de l'arc , la ligne AB ; diviser la partie C L d u
diamètre, interceptée entre la ligne A B et le point G,
en autant de parties égales que l'arc doit en avoir;
tirer AD passant par la première division E, la corde
CD donne la réponse. On pourrait aussi tirer les ligues
de divisions par les poirits déterminés sur le dianulre.

Si l'arc était plus long que la moitié de la circonfé-
rence , on le partagerait ea deux parties égales, et

( 3. ) _

ayant opéré sur l'une de ces parties, coinnie si elle
était donnée seule , deux de ces divisions donneraient
la réponse.

Exercices. — Dessiner un cadran d'horloge d'un
rayon donné , /ig. XXVI :

Après avoir décrit quatre circonférences concentri-
ques, on divise l'espace compris entre les deux infé-
rieures en douze parties pour les heures , et chaque di-
vision d'heure en deux pour les demies^ les minutes se
marquent entre les deux moyennes.

La rose des vents, j%. XXVII; ^

I Les quatre principales pointes désignent les rhumbs
principaux ou points cardinaux, sud, nord , est
et ouest; les quatre collatéraux, sud-est, nord-est,
sud-ouest et nord-ouest, sont désignés par les points
E, F, G, etc. Pour la construire, il faut décrire plu-
sieurs circonférences, et mener les lignes indiquées
par les points de divisions.

Une roue hydraulique , J^g". XXVIII :

Pour dessiner cette figure, on décrit plusieurs cir-
conférences concentriques; les auges A sont formées
par un plan brisé et par des planches de forme cir-
culaire appliquées sur les côtés de la roue.

Des engrenages , fig, XXIX:

Pour tracer les engrenages , il faut diviser les roues
m parties parfaitement égales, afin que les dents se
correspondent et s'entrelacent avec facilité ; elles doi-
vent avoir suffisamment de jeu pour ne pas gêner le
mouvement.

Un rapporteur d'un décimètre de rayon:

Pour la longueur du rayon , prenez AB ,^^. XV3 et
pour la division , voyez fig. 25.

(32)

CHAPITRE XI.

DE l'Échelle de proportion.

"^^ 1 1 1 . JJe cjuoi se sert-on pour établir un rapport
ettlre des lignes d'une grande dimension et d'autres
plus courtes?

De l'échelle Je proportion.

* 112. Qu'est-ce que V échelle de proportion?
C'est une ligne AJ), Jig. 60 , divisée en parties égales,

dont chacune représente telle longueur qu'on veut
lui attribuer; en sorte que la figure qui représente
l'objet est en même proportion avec cette échelle, que
l'objet lui-même l'est avec sa mesure réelle.

1 1 3. Donnez quelques exemples sur son usage ?

Pour prendre sur cette échelle tel nombre que l'on
voudra au-dessous de dix , il n'y a qu'à placer la pointe
du compassur le pointB , et l'ouvrir jusqu'à la division
(|ui exprime le nombre qu'on veut prendre. Si ce nom-
Ijre était au-dessus de dix, vingt-six par exemple, on
placerait une pointe de compas surD , qui représente la
seconde dizaine de l'échelle, et on ouvrirait l'autre jus
qu'à la sixième division de la partie AB; si l'on en vou
lait vingt-huit , on l'ouvrirait jusqu'à la huitième , etc.

* 114. iV^T* a-t-il pas une échelle plus exacte?
Celle que représente la figure 61 , qu'on nomme

échelle décimale , offre beaucoup plus de précision.
Son inspection seule faisant assez voir comment elle se
construit, nous nous contenterons de dire quelque
chose sur son usage. Chaque division des lignes AB et
CD , peut être considérée sous deux rapports, ou
comme une simple unité, soit mètre ou pied, ou
comme contenant dix de ces unités : dans le premier
cas, les petites parties i E , 2 G , 3 H , etc. , seront des
dixièmes de cette unité. Si l'on voulait prendre sur
celle échelle, par exemple 6 mètres, on porterait le

(33 )

compas de D vers C sur la sixième clivision , c'est- à-cTire,
sur 60, considéré alors comme 6 mètres. Si l'on voulait
6 mètres 5 décinièlres , on le porterait de J en I, l'écar-
temenl de ia transversale 60 ÏK , donnerait en I les
5 décimètres. S'il s'agissait de prendre 12 mètres, on
porterait le compas de M en 20. Si l'on voulait 16 mè-
tres 5o centimètres, on le porterait de P en I... Dans
le second cas, les petites parties lE, 2G, 3 H, etc.,
de l'échelle , marqueraient des unités principales , et la
première opération que l'on vient de faire donnerait
60 mètres, et la seconde 65. Si l'on avait i3o mètres
à prendre, on mettrait le compas de M en 3o; si l'on
voulait i65 , on le porterait de P en I. On conçoit que ,
dans le second cas, le plan représenterait l'objet cent
f-ois plus petit que dans le premier, les côtés étant
dix fois plus courts.

Exercices. — Dessiner une échelle décimale de
3 mètres :

La figure 61 doit servir de modèle à cet exercice;
mais il faut prendre le centimètre pour la longueur
des divisions CD, DM, etc. Les transversales seront
espacées d'un millimctre.

Dessiner une porte unie dont les côtés perpendicu-
laires, pris sur l'échelle ci-dessus, soient entre eux
comme 4 est à 'y :

. Pour construire cetle figure , il faut prendre autant
de fois sept parties de l'échelle pour la hauteur qu'on
a pris de fois quatre pour la base 5 ensuite il ne s'agit
plus que de former l'encadrement et de donner aux
emboîtures la largeur convenable.

Dessiner une croisée à un vantail dont les côtés soient
entre eux comme 5 est à 9 :

Les observations pour la construction de l'encadre-
nienl ou bâti de cette fi^nirc, sont analogues à celles
qui regardent la figure précédente; ensuite il ne s'a-
gira plus que de faire le* divisions pour représenter
les petits bois.

( 34 ) _

Dessiner un cîevant de bouliquc sur une échelle
donnée , fig. XXX :

La forme de cette devanture est trcs-éléganle ; sa
construction est facile; les croisées sont composées de
huit carreaux ; les châssis sont séparés par une colonne
demi-saillante qui sert d'appui aux arcs qui foruient
le cintre des carreaux supérieurs^ le soubassement G
est en panneaux taillés à pointe de diamant, et la frise
AB est destinée à recevoir l'enseigne.

Kemarques.

Les assemblages se font à tenon et à mortaise. Lors-
cjue le tenon est rond on le nomme tourillon; le res-
5aut que laisse le bois enlevé pour former le tenon se
nomme arasement. L'épaulement est l'épaisseur com-
prise entre les mortaises ou l'extrémité du bois. Dans
les assemblages carrés, les arasemens sont égaux; les
assemblages à enfourchement n*ont pas d'épaulemens,
ils sont à l'extrémité des pièces; les assemblages des
pièces à moulures doivent être d'onglet, au moins à
la largeur de l'ornemenl. Les assemblages à demi-bois
sont les plus faciles mais les moins solides. Lorsque le
tenon et l'entaille sont évasés, l'assemblage est dit à
queue d'aronde. Les assemblages droits se font à feuilles
«-impies ou rainures et à languettes. Pour rallonger
des pièces, on les entaille à demi-bois, en y réservant
des rainures et des languettes; on retient les pièces à
l'aide des chevilles et de la colle. La rallonge É à trait
et clef,/^. LXXII, est très-solide; clic se nomme trait
de Jupiter.

( 35 )

CHAPITRE XII.

DES SURFACES EN GÉNÉRAL.

* ii5. Qu'appelle-t-ox surfaces ou superficies ?
Ce sont des espaces renfermés par des lignes. On en

distingue de trois sortes : les planes, les concaves et
les convexes.

* 116. Quappeîle-t-on surfaces planes?

Ce sont celles sur lesquelles on peut appliquer en
tout sens une règle bien droite.

* 11^. Qu est-ce (jaune surface concave?

C'est celle d'un objet creux , comme l'intérieur d'un
timbre de pendule.

* Î18. Quappelle-'t-on surface convexe?

C'est la superficie extérieure d'un objet relevé en
bosse comme l'extérieur d'un timbre.

* 119. Comment jiomme-l-on les surfaces déter-
minées par des lignes droites ?

On les nomme polygones rectiîignes.

* 120. Et celles qui sont renfermées par des li-
gnes courbes?

Polygones curvilignes.

* 1 2 [ . Combien j a-t-il de sortes de polygones ?
De deux sortes, \es réguliers et les irréguliers.

* 122. Qu est-ce qu un polf^one régulier?

C'est celui qui a tous ses côtés et tous ses angles égaux.

* 123. Qu est-ce qu un poljgoue irrégulier?
C'est celui dont les côtés et les angles sont inégaux.

(36 )

CMAPITRE XIII.

DES TRIANGLES.

SECTION PREMIERE.

Les Triangles en général et Je la \aleur do leurs Angles.

^ 1 24. Qu'est-ce (jfu'un triangle ?
C'est un espace compris entre trois lignes formant
trois angles yjîff. 62 , 63 , etc.

* 126. Combien distingite-t-on de sortes de trian^
gles par rapport aux lignes dont ils sont formés?

De trois sortes : les rectilignes formes par des lignes
droites, y?^. 62 et 63; les curvilignes formés par des
lignes courbes, ^^. 64 et 65 ; et les mixlilignes qui
sont formés par des lignes , dont les unes sont droites
et les autres sont courbes, ^^. 66 et 67.

* 126. Combien distingue-l-on de sortes de trian»
gles rectilignes , par rapport à leurs côtés?

De trois sortes : le triangle équilatéral , (fui a les
trois côtés égaux, y?^. 62 ; l'isocèle, qui a deux côtés
égaux , /?^. 63 } et le scalëne , qui a les trois côtés iné-
gaux,/^. 68.

* 127. Quels noms donne-t-on encore aux trian-
gles par rapport à leurs angles ?

On nomme triangle rectangle celui qui a un angle
droit, ^g-. 6g j ambligone ou oblusangle , celui qui a
un angle obtus, ^^. 10 j et oxigone ou acutangle,
celui qui a tous ses angles aigus ,y7^. 62 et 63.

* 128. Comment appelle-t-on le grand côté du
triangle rectangle ?

Hypoténuse; il est toujours opposé au plus grand
angle ; et en général dans tout triangle , le plus grand

côté est toujours r^pposé au plus grand angle et réci-
proquement , et le plus petit côté au plus petit angle.
Ainsi , dans la figure 69, l'angle G est le plus grand ,
parce qu'il estopposé au côté DE qui est le plus grand ,
et l'angle E est le plus petit, parce qu'il est opposé
au plus petit côté GD.

* 1 2g. Combien les trois angles d*un triangle oni^
ils de desrrés?

Toujours 180 : car si l'on fait passer une circonfé-
rence de cercle par le sommet des trois angles A , B , C,
Jîg. 7 1 , elle sera toute comprise entre les côtés des trois
angles^ or, ces angles ayant le sommet à la circonfé-
rence, chacun d'eux a pour mesure la moitié de l'arc
qu'il intercepte entre ses côtés (N° ']^)'- donc ils ont
ensemble la moitié delà circonférence , ou 1 80 degrés.

* 1 3o. Que concluez-vous de là ?

x" Que lorsqu'on connaît deux angles d*nn trînn-
glc, on peut trouver le troisième, en retranchant la
sojnme des deux premiers de 180 degrés 3

2" Que lorsque deux angles d'un triangle sont égaux
à deux angles d'un autre triangle, le troisième du pre-
mier est nécessairement égal au troisième du second j

S*» Que les deux angles aigus d'un triangle rectan-
gle valent toujours ensemble 90 degrés , et sont com-
plémens l'un de l'autre 5

4" Qu'il ne peut y avoir qu'un seul angle droit
dans un triangle ; car il ne reste plus pour les autres
que 90 degrés ;

5° Qu'il ne peut non plus y avoir qu'un seul angle
obtus, ne restant plus pour les deux autres angles,
qu'un nombre de degrés moindre que 90.

* i3i. Quappelle-l-on hauteur d'un triangle?
C'est la perpendiculaire AD ,^i;". 111 et 1 12 , abaif-

sée de l'un des angles quelconques, sur le côté op-
posé BÇ ou sur son prolongement GD. L'angle d'oii
pnrtla perpendiculaire se nomme sommetdu triangle,
€t le côté sur lequel elle tomi>e se nomme base.

(38 )

Exercices. — Déterrainer la valeur de l'un des an-
gles afgus d'un triangle rectangle, par la connaissance
de l'autre.

Déterminer la valeur des angles d'un triangle iso-
cèle, connaissant celle de l'un des angles semblables
ou symétriques.

Ces exercices sont une conséquence des N" 12g et

SECTION II

Construclion des Triangles.

* i32. CiOMBiEN faut-il de conditions pour déter-
miner un triangle?

Trois, pourvu que dans les conditions connues il y
ait un côté ; ainsi un triangle est déterminé lorsqu'on
connaît ses trois côtés, ou deux côtés et l'angle com-
pris, ou deux angles et le côté compris.

* i33. Que faut-il faire pour tracer un triangle dont
on connaît la longueur des côtés A , B , C , fig. 72 ?

Tirer la ligne DE égale à A; de l'extrémité D de
cette ligne, et d'un rayon égal à B, décrire un petit
arc eu G; de l'autre extrémité E de cette même ligne,
et d'un rayon égal à C, décrire encore un arc qui
coupe le premier ) du point d'intersection , tirer
les deux lignes DG, EG, et on aura le triangle de-
mandé.

"* 1 34' Que faut-il faire pour construire un triangle
é.piilaléral dont on cannait la longueur de l'un des
c nés k.,Jîg. 73?

Tirer une droite BC égale à A ; de ses extrémités,
et d'un rayon égal à cette ligne , décrire des arcs qui
se coupent en D, et joindre par des droites le point
d'intersection D aux extrémités de la ligne BG.

* i35. Connaissant la longueur A eX B deg deux

(39)
côtés de r angle droit d'un triangle rectangle, fig. 74 ,
(^ lie faut-il faire pour le construire?

Tirer une ligne CD égale à A; élever à son extré-
mité C une perpendiculaire CE égale à B ; la droite
ED termine le triangle demandé.

"'' i36. Comment construit-on un triangle isocèle
dont les côtés égaux ont chacun la longueur de la
droite A, connaissant l'angle B quils forment,

fig' 75"? ^ ^ , , ,

- Après avoir tiré une droite CD égale au côté donne
A , on fait au point C un angle égal à B ; on porte sur la
droite CE une longueur égale à l'autre côté CD 5 oa
joint les points D et E , et le problème est résolu.

* 1 3'/. Comment trace-t-on un triangle dont on cojI'
naît deux côtés A , B e/ l'angle H qu'ils doivent for"
mer, fig. 'j61

On tire une droite I C égale à A; on fait au point I un
angle égal à H ; on porte la longueur de B , de I en J ;
ou joint ensuite par une droite les points C et J, et on
a !e triangle demandé.

* 1 38. Que faut-il fa ire pour construire un triangle
dont on donne un côté L et les deux angles A e/ B qui
doivent être à ses extrémités , fg. n'j ?

Tirer une ligne IJ égale au côté Lj à l'extrémité J,
faire un angle égal à A , et à l'autre extrémité un angle
égal à B , et tirer les lignes I G , J G , et on a le triangle
demandé.

* 189. Connaissant deux côtés A. et B d'un triangle
acutangle et l'angle L opposé au côté A , que faut-il

faire pour le construire , fg. 78?

Tirer une ligne IJ égale à B; à l'une de ses extré-
mités I faire un angle égal à L ,' de l'autre extré-
mité J, et d'un rayon égal au côté A , décrire l'arc H,
qui coupe le côté IH^ joindre par une droite les points
J et H , et on a le triangle demandé.

''' 140. Comment trace^t-on un triangle dont on

(4o)

ronnnît rleux angles k ct'è et le côté L opposé à Van-
^/eB,/ir. 79?

On lire une droite indéfinie DE ; on fait au point D
un angle égal à A, et ou en figure un autre égal à B
en un point quelconque I de la ligne DE; on prend
surDF une longueur égale à L, et de ce pointon mène
une parallèle FE à la ligne ponctuée , et on a le trian-
gle demandé.

* i4i- Que faudrait-il faire pour construire un
triangle dont la longueur de chaque côlé serait don-
née en nombre?

Prendre sur l'échelle les longueurs désignées , et en
former le triangle.

Exercices. — Construire un triangle dont les côtés
soient entre eux comme les nombres 9, 10 et 1 1 :

Construire un triangle dont la base soit de 10 mè-
tres, représentés par des centimètres, et la hauteur,
prise sur la quatrième division de la base, soit de
o mètres.

Faire un triangle dont un angle soit de 96 degrés,
un autre de 75 , et le côté compris de 10 mètres re-
présentés par des cenliniètres.

Pour résoudre ces problèmes, il faut prendre les
longueurs don nées sur AB , fig. XV, et se servir du rap-
porteur pour former les angles du dernier triangle.

('» )

CHAPITRE XIV.

DES QUADRILATÈRES.

SECTION PREMIERE.

Définifion des Quadrilatères.

* 142. Çjv' AVPLLLE-T-oy quadrilatère?
C'est une figure de quatre cotes.

* i/|3. Combien dislingve-t-on de sortes de qua-
drilatères aj ant un nom particulier?

De six sortes : !e carré , le rectangle , le rhombe ou
losange, le rhomboïde , le trapèze et le trapczoïde.

* i44- Qu'est-ce que le carré?

C'est une surface renfermée par quatre lignes droites
de même longueur, formant quatre angles droits,
fg. 80.

* 145. Qu'appelle-t-on rectangle ?
C'est un carré ]ong,^jO-. 81.

* 146. Qu appelle-t-on rhombe ou losange?
C'est une surface renfermée par quatre lignes égales,

formant quatre angles , dont deux opposés sont égaux
et aigus , et les deux autres sont aussi égaux et obtus,
fg. 82.

* 147. Qu'est-ce qu-e le rhomboïde?

C'est une figure qui a les côtés et les angles opposés
égaux et parallèles, mais les angles et les côtés con-
tigus inégaux ^^g. 83.

* 14B. Quel nom général donne-t-on aux quadri-
latères qui ont les lignes parallèles deux à deux?

Celui de parallélogramme.

* 149. Qu appel le-t-on trapèze?

( 42 )

C'est un quadrilalère cjuia deux côtés égaux, elles
deux autres parallèles et inégaux j/To^. 84.

i5o. Qu'est-ce que le irapézoide?

C'est une figure qui a toutes les lignes inégales,
mais dont deux sont parallèles, ^^. 85.

SECTION II.

Constructiou des Quadrilatères.

* i5i. K^vEfnut-il faire pour tracer un carré dont
on connaît un des dotés V ^Jîg. 8o?

Tracer une droite AB égaleaucôté donné P; au point
B élever une perpendiculaire BE, égale au côté P;
des points A et E , et d'une ouverture de compas égale
à la droite P, décrire des arcs qui se coupest en Gj
joindre les points G E et G A, et on a le carré demandé.

Ou peut encore résoudre ce problème de la ma-
nière suivante : Des extrémités A et B de la ligne don-
née ^fig. 86 , et d'un rayon égal à cette droite , il faut
décrire les arcs AI G, BID ; de la même ouverture,
à partir de l'intersection I, couper l'un des arcs A G en
Cj tirer la droite A G qui partage IB en deux parties
égales,* porter la longueur I J de T en D et en L , et les
quatre angles du carré seront déterminés. Il est clair
que l'angle A est droit , car il comprend entre ses côtés
un arc égal au quart d'une circonférence décrite de sou
sommet A , l'arc IB , étant déterminé par le rayon du
cercle, comprend 6o degrés (N° 104), et ID est égal à
la moitié de cet arc, et a par conséquent 3o degrés , ce
qui fait en tout 90 degrés, mesure d'un angle droit :
il en est de même de l'angle B.

* i52. Et si on ne connaît que la diagonale A ,
f§' ^7 » que faut-il faire ?

^1 faut croiser perpendiculairement deux licries
égales à A, de manière à ce que l'iatersectiou soil au

I (43)

niilieii de chacune tî'ellei, et joindre les extrémités
B , C , D et E de ces lignes par des droites.

* i53. Que faut- il faire pour construire un carré
lorsqu'on ne connaît que la dijjérence P de la dia-
i^unale au côté^fig. 87?

Elever une perpendiculaire BD sur une ligne
DE; partager l'angle D en deux parties égales par
une ligne indéfinie; porter la différence donnée P,
de D en H, de H en I et de I en E sur la ligne DE , et
on aura la longueur DE pour celle du côté du carré.

On peut aussi, sur un carré quelconque ABCD,
Jig. 88, mener- la diagonale; porter la longueur du
côté sur la diagonale de C en E j tirer ensuite la ligne
EDH, et porter la longueur donnée M sur le prolon-
gement de la diagonale de E en G ; enfin , mener GH
parallèle à AD, elle déterminera, par sa rencontre
avec le prolongement de ED , la longueur du côté du
carré demandé. En effet, à cause des parallèles AD
et GH, on a cette proportion , AE : AD :: EG : GH.

* 154. Connaissant les deux côtés adjacens A e/B,
Jig. 89 , d'un rectangle , que faut-il faire pour le conS'

Iruire?

Tirer une droite CD égale à A; élever en D une
perpendiculaire égale à B ; du point C, et d'une ou-
verture de compas égale à B, décrire un arc en E;
d'une ouverture égale à A, à partir du point F,
couper l'arc E; les lignes FE et CE qui passent par
l'intersection des deux arcs, achèvent le rectangle de-
mandé.

* 1 55. Si Von ne connait que les diagonales A e/ B
et r angle C qu elles forment ^fig. 90, que faut-il faire?

Il faut croiser les deux diagonales par le milieu , de
manière à ce qu'elles forment à leur intersection D un
angle égal à l'angle C ; joindre les extrémités des dia-
gonales par des droites , et on a le rectangle demandé.

* 1 56. Et si Von ne connaît que les diagonales
A ef B et un côté C , fig. 9 1 ?

( 4i )_

Tl fai't tirer une cîroile DE égale à C , et d'une ou-
verture de compas égale à la moitié de l'une des dia-
gonales , décrire des points D et E des arcs qui se cou-
pent en F; tirer les lignes GD, HE indéfinies^ porter
la longueur D F de F en H et en G, et joindre les poinls
DH, H G et GE, On pourrait encore le construire de
cette manière : après avoir tiré la ligne D E , lui élever
au point D une perpendiculaire d'une longueur indé-
finie, et du point E, et d'une longueur égale à la
diagonale , couper D H en H : on aurait deux côtés du
rectangle qu'on achèverait de construire.

* iSy. Que faul-il faire pour construire vn losange
dont on connàîl les deux diagonales A e/ B , fig. 92?

Croiser perpendiculairement deux lignes égales aux
diagonales, de manière à ce que l'intersection se
trouve au milieu de chacune d'elles, et joindre les
extrémités B, C, D et E par des droites.

* i58. Comment construit-on un irapczoïde dont on
connaît les quatre côtés A , B , C e/ D '^fig. 98, A étant
la base et C la parallèle ?

On tire une droite IJ égale à A; on porte sur cette
ligne une longueur JL égale à C ; de I , et d'un rayon
é:^alàD,on décrit un arc en N; deL, et d'un rayon égal
àB, on coupe cet arcen N; de l'intersection N , et d'un
rayon égal à C, on décrit un arc en V ; de J , et d'un
rayon égal àB, on coupe cet arc; enfin, on joint par des
droites les points NVJ, et on a la figure demandée.

* i5g. Connaissant les quatre côtés A , B , D p/ E ,
Jig, 94., d^un quadrilatère quelconque et la diago-
nale C qui joint le second angle au point de dé-
part (i), que faut-il faire pour le construire?

Tirer \\r,e droite FG égale à A5 du point F, et d'un
rayon égal à C, décrire un arc en H; de G, et d'un
rayon égal à B , couper l'arc H; de H , et d'un rayon

(i) On appelle point de deparl l'extrémité à gauche de U
ligue droite , qui csi ia base de la figure.

( 43 )

égal à D, décrire un arc en I ; de F , et d'un rayon égal
à E , couper ce dernier arc ; joindre par des droites les
points F , I , H , G , et on a le quadrilatère.

Exercices. — Dessiner la porte à deux panneaux,
fig. XXXI :

La hauteur d''une porte peut élre double de sa lar-
geur; les lignes G représentent les arêtes extérieures
du bâti ou encadrement; les panneaux sont égaux et
assemblés à rainures avec le bâti A , ainsi que la tra-
verse B, et sont ornés d'une moulure prise dans l'épais-
seur du bois.

La porte à petits cadres ,7%. XXXII:

La hauteur de la porte peut être double de sa lar-
geur; les lignes G représentent les arêtes extérieures
du bâti; AB les joints des baltans ou vantaux. Le bâti
D doit être assemblé à mortaises, ainsi que les traverses
E. Les panneaux G ne doivent élre qu'à la hauteur
de la cymaise ou d'appui.

On appelle petits cadres, ou profils à petits cadres,
les ornemens composés de plusieurs moulures qui en-
tourent un panneau , lorsque ces moulures sont prises
dans l'épaisseur du bois; et grands cadres ou cadres
ravalés ou embrevés lorsque la saillie excède le nu du
champ. Les profils qui ne contiennent qu'une espèce
de moulure se nomment simples, ou à plate-bande si
la moulure est plate.

La porte à grands cadres, y%. XXXIII:

Gette figure se construit à peu près comme la précé-
clente; les panneaux du bas sont un peu plus courts qu«
les autres et taillés à pointes de diamant. Les grands
panneaux de celte porte peuvent élre en hexagones
allongés et recevoir un ornement au milieu ; les autres
peuvent être diversement construits et ornés , pourvu
que la symétrie soit observée.

La grande grille, y%". XXXIV:

Pour construire cette grille, il faut d'abord tracer
l'encadrement, ensuite les grands barreaux qui ont

(46)
une direction verticale; ceux qui sont tangens aux
cercles et leurs parallèles , etc.

Le parquet , fig. XXXV :

Les traverses sont assemblées à arasement , c'est-à-
dire, coupées à mi-bois et enlrelacées; le bâti est as-
semblé à onglet; on dessine d'abord les traverses A A ,
ensuite celles B et C.

La barrière ^fig. XXXVI :

La construction de celte barrière est facile ; îes
grandes traverses sont assemblées à arasement sur la
rosette, et à fausses coupes aux angles du bâti; les
petites sont ajustées sur les grandes par un tenon et
une mortaise.

CHAPITRE XV.

DI-:S POLYGONES RÉGULIERS.

- ■, ' , ■ ,

SECTION PREMIÈRE.

Désignation des Polygones réguliers.

* 160 Comment désigne-t-on ordinairement les
polygones ?

En nommant le nombre de leurs côtés; cependant
il y en a qui ont un nom qui leur est propre.

* 161. Quels sont-ils ?

Le triangle ou îrilatère qui a trois côtés, fig. g^i;
le quadrilatère ou carré qui en a quatre, fig. 96; le
pentagone qui en a cinq,y7^. 9^; l'exagone qui en a
six y Jîg. 98; l'eptagone qui en a sept,^^. 99; l'oc-
togone qui en a huit,y5"«-. 100; l'ennéagone qui en a
neiil,^?^. loi; le décagone qui en a dix, fif^. 102;
l'ondécagonequiena onze^Jïg, io3; et le dodécagone

(4:)

qnî en a douze ,^^. to4 : quand ils sont irréguliers,
on ajoute aux noms qui les désignent le dénominatif
d'irrégulier.

* 162. Comment prouve~t-on la régularité de tous
ces polygones ?

En leur circonscrivant une circonférence; si le po-
lygone est régulier, la circonférence touchera le som-
met de tous ses angles ifig- 98, elc. On dit alors que le
polygone est inscrit dans la circonférence. On prouve
aussi la régularité des polygones en leur inscrivant
une circonférence; si la figure est régulière , tous ses
côtés seront tangens au cercle , au point milieu de cha-
cun d'eux , fig. io5 : on dit dans ce cas que le polygone
est circonscrit à la circonférence.

* i63. Que faut'il faire pour circonscrire une cir-
conférence à un polygone régulier?

Chercher le centre E ,fig. 98, du polygone donné,
et d'une ouverture de compas égale à la distance du
centre au sommet de l'un des angles B , décrire la cir-
conférence ABC, etc. , qui satisfait à la demaîide.

* i64' Que faut-il faire si on veut V inscrire dans
le pofygone ?

Prendre pour rayon la perpendiculaire IB ,fig. io5,
menée du centre au milieu de l'un des côtés du po-
lygone , et décrire la circonférence ABC , etc., qui est
celle qu'on demande.

* 16 5. Comment trouve^t-on le centre d*un polj'~
gone régulier ?

Si le polvgone donné a un nombre pair de côtés,
Jîg. 98, il faut joindre par une droite le sommet d'un
angle quelconque A av^ec celui de l'angle qui lui est
opposé B; joindre pareillement le sommet d'un autre
angle C avec l'angle opposé D; l'intersection E^ des
deux droites est le centre du polygone.

■'' 166. Et si le polygone donné a un nombre im-
pair de côtés ?

Il faut joindre par une droite le sommet d'un angle

( 48 )
quelconque A, fg. 99, avec le milieu D clu côté qui
lui est opposé; joindre pareillement le sommet d'un
autre angle B avec le milieu I du côté qui lui est aussi
opposé: l'intersection E des deux droites est le centre
du polygone.

167. Quel est le nombre des degrés de tous les
angles d un polygone quelconque ?

C'est le nombre 180 pris autant de fois moins
deux que le polygone a de côtés; car tout polygone
peut être changé en autant de triangles moins deux
qu'il y a de côtés, comme on le voit, 7?^. \^\\ or les
trois anglesde tout triangle valent i8odegrés(N° 129).

168. Comment peut-on déterminer le nombre des
degrés de chaque angle d'un polygone régulier?

En divisant la somme totale des degrés de ce poly-
gone par le nombre de ses angles.

SECTION II.

Construction des Polygones rtfgulierSê

* 169. y^u?. faut-il Jnire pour inscrire dans une
circonjérence donnée un poljgone régulier d'un nom-
bre quelconque de côtés , par exemple de six côtés ?

Diviser la circonférence en six parties égales, y/g-. 98 ,
c'est-à-dire , porter le rayon de A en C , de G en F, etc.,
et joindre ces points dedivisionsdeuxàdeux (N° io3).

* 170. Que faut-il faire pour circonscrire à une
circonférence un poljgone d'un nombre de côtés don-
nés , par exemple de sept côtés ?

Partager la circonférence donnée , fig. io5 , en srpt
parties égales; joindre par des droites le centre I, à
tous les points de divisions A , B , C , etc., et mener à
l'extrémité de ces rayons des perpendiculaires qui,
en se coupant, déterminent le polygone demandé.

* 171. Connaissant Vun des côtés M,^. loG, d'un

( 49 )
polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés,
par exemple d'un pentagone , que faut-il faire pour
le construire?

Décrire une circonférence quelconque* la diviser
en autant de parties qu'on veut donner de côtés au.
polygone; joindre deux points de divisions B et O par
une ligne indéfinie Bl; mener par les points B et O
les rayons DB et DO aussi indéfinis; porter la ligne
donnée M, de B en I , et de ce point I mener IK pa-
rallèle à DO; elle déterminera KB pour le rayon de
la circonférence demandée pour le polygone que l'on
veut construire. En effet, on voit que la division BO
du premier cercle : DB, son rayon, ;; la ligne Bl égale
à M : rayon KB du nouveau cercle.

■** 172. Comment construit-on un polygone étoile?

On décrit du même centre, niais d'un rayon diffé-
rent , deux circonférences ,7?g- 1 07 ; on partage la plus
grande en autant de parties égales que l'on veut
donner d'angles saillans au polygone , par exemple 7 ;
on joint les points de divisions A , B , C , etc., au centre
du cercle : par ces raj^ons la petite circonférence se
trouve partagée en autant de parties que la grande.
On divise chaque arc du petit cercle en deux parties
égales , et on joint les points milieux H , I , J , etc. , aux
points de divisions de la grande circonférence.

Exercices. — Dessiner les carrelages, ^g-. XXXVII,
XXXYIII , XXXIX et XL :

Il n'y a que trois sortes de polygones réguliers qui
puissent se raccorder sans laisser de vide entre leurs
joints : le triangulaire , le carré et l'hexagonal ,* par
conséquent on ne peut employer que trois sortes de
carreaux pour carreler une pièce, si l'on veut qu'ils
se joignent parfaitement. On se sert peu des triangu-
laires , parce que leurs angles étant trop aigus sont
plus sujets à se casser ; si l'on eniploiela figure octogo-
nale , il fautremplir les vides qui restent par des carrés
dont le eôté soit égal à celui de l'oetogoue; lorsqu'on

3

( 5o )

emploie le carré ou le losange , on varie ordinairement
les couleurs.

Pour construire la figure XXXVII , il faut diviser ses
quatre côte's en parties égales, et tirer les lignes par
les points de division.

Pour les losanges, /"g-. XXXVIII , on divise aussi les
côtés AB , CD en parties égales; on divise de même les
côtés E F, G H en parties égales , mais plus grandes.

Pour former les hexagones, fig. XXXIX , on divise
les lignes A G et BD en parties égales , on tire les lignes
par la première division , par la troisième et la qua-
trième , et ainsi de suite j on prend ensuite deux divi-
sions qu'on porte de I en J, de J en L , de L en N, etc.;
on en fait autant sur CD , sur FP, etc. Ajustant la
règle aux points J et M, on tire les droites qui se trou-
vent dans la direction de ces deux points , de deux en.
deux, entre les parallèles les plus distantes, etc.; on
joint enfin les extrémités des droites , ce qui donne le
carrelage.

Pour former les octogones, ^^. XL, on divise d'a-
bord au crayon la figure en carrés AB j on partage
chacun de leurs côtés en trois parties égales , et l'on
joint , par des obliques , les j^oints les plus proches des
angles.

(5i )
CHAPITRE XVI.

ÉVALUATION DES SURFACES.

g^

SECTION PREMIERE.

Evaluation des Figures rectilicrnes.

'&'

I

173. C^u'est-ce qu évaluer une surface?

C'est déterminer combien de fois elle contient une
autre surface prise pour l'unité de mesure. Par exem-
ple , soit l'unité de mesure représentée par le petit
carré k,^g. 108, la surface du grand carré CDEF,
sera exprimée par un nombre qui indiquera combien
de fois il contient le petit carré ou l'unité de mesure.
{f^oj-ez Arithm., pages 171 et 172).

m^. Comment obtient-on la surface du carré"?

En multipliant l'un de ses côtés par lui-même.
Car si l'on porte successivement sur les côtés du grand
carré des longueurs FI, IJ, etc., égales chacune
à l'un des côtés du petit carré , et qu'on joigne par
des droites les points de division correspondans des pa-
rallèles , on aura divisé le grand carré en un nombre de
petits, égal au produit du nombre de division de l'un
de ses côtés par lui-même; or ces petits carrés sont
égaux à l'unité de mesure : donc la surface du carré
est égale au produit de l'un de ses côtés par lui-même ;
ainsi si l'unité démesure représente un mètre, ia
figure aura seize mètres de surface.

175. Quelle est la surface du rectans;le ?

C'est le produit de l'un des grands côtés par son
adjacent. Qu'on divise le rectangle ABGD,^^. 109,

( 52 )

de la même manière que la figure précédente , et on
verra la preuve de cette règle.

176. Comment obtiejit-on celle du losange , ainsi
efue celle du romboïde ?

En multipliant la longueur de la perpendiculaire
BI, fîg. iio, qui joint deux parallèles, par la lon-
gueur de sa base AD. Ceci est fondé sur ce que ces
fi^^ures peuvent toujours être rappelées à un carré ou
à un rectangle égal en superficie: car, si de l'angle B
on abaisse une perpendiculaire Bl sur le côté Al3, et
que de l'angle G on en abaisse une autre sur le pro-
longement de AD, il est visible qu'on aura le paral-
lélogramme IBGJ , égal en superficie au romboïde, le
triangle DGJ dont on a augmenté cette dernière figure
pour former ce parallélogramme étant égal à celui
ABI , dont on l'a diminué, puisqu'ils ont les trois côtés
f gaux ; on le prouverait de même pour le lozange :
donc la surface de ces figures est égale au produit de
la perpendiculaire qui joint deux parallèles par la base.

i--. Quelle conséquence tirez-vous de ce qui
vient d'être démontré?

Que tous les parallélogrammes de mêmes bases et
d'égale hauteur sont égaux.

1^8. Que résulterait-il si l'on joignait les deux
anicles opposés d'un parallélogramme quelconque
A B GD , par une droite A D , /"i?-. 81?

Que cette droite , qu'on appelle diagonale , le divi-
serait en deux triangles égaux; ceci est trop sensible
pour exiger une démonstration.

1-9. Qu'en concluez-vous?

l"" Qu'un triangle quelconque est égal en superficie
à la moitié d'un parallélogramme, qui aurait pour
l'un de ses côtés une longueur égale à celle do la ba^c
du triangle cl une même hauteur.

Ainsi , pour avoir la superficie des triangles .yig. i 1 1
et 112, il faut prendre la longueur BG de la ba^e
et la porter sur l'échelle , pour savoir combien elie

( 53 )
contient d'unités , y porter pareillement la hauteur
AD; la moitié du produit de ces deux nombres sera
la superficie de chaque triangle.

2° Que tous les triangles dont les bases et les hau-
teurs sont égales , quelles qu'en soient les formes , ont
la même superficie.

Ainsi , tous les triangles ABC,DBC,EBC,FBC,
fi^. 1 i3 , sont égaux , parce qu'ils ont une base com-
mune B C , et que toutes les hauteurs AH , D I , E J ,
FK , sont égales, étant comprises en tre des parallèles ,
d'où il résulte qu'on peut faire prendre différentes
formes aux triangles sans que pour cela ils ne perdent
rien de leur superficie, comme nous le verrons au
chapitre XVII.

i8o. Que faut-il faire pour avoir la surface du
trapèze et celle du trapézoide , fig. 84 e-/ 85?

Multiplier la moitié de la somme de deux côtés pa-
rallèles AG et ED par la hauteur perpendiculaire AB
de la figure. Ceci est évident , car si de l'angle A du
trapézoïde ^fi^' i i4 » on abaisse une perpendiculaire
A F sur le côté DG, et que sur le milieu de DF on
élève une autre perpendiculaire El, on aura un rec-
tangle EIBG, égal en superficie au trapézoïde ABCD,
le triangle D JE dont on a diminué cette figure étant
égale à celui JI A dont on l'a augmentée pour former
le rectangle, puisqu'ils ont les trois côtés égaux : or
le côté EG du rectangle tient le milieu entre la droite
FG , qui est égale â AB , et la droite D G ; il est donc
égal à la moitié de la somme de ces deux droites; eu
conséquence le trapézoïde a pour surface le produit
de la moitié de la somme de ses côtés parallèles par
la hauteur perpendiculaire de la figure; on le prou-
verait de même pour le trapèze.

i8i. Quelle est la superficie des polygones régu-
liers ?

C'est le produit de la longueur totale de leur péri-
mètre, c'est-à-dire de leur contour, par la moitié de
la perpendiculaire abaissée du centre du polygone sur

(54)

l'un quelconque des côtés. Ainsi la superficie du ipo-
lygone , ^g. 97 , est le produit de la somme des côtés
AB, BC, CD, etc., par la moitié de la perpendicu-
laire F G.

Ceci résulte de ce que l'on peut partager le poly-
gone en autant de triangles égaux que cette figure a
de côtés, en menant de ses angles des droites AF,
BF , etc., à son centre; or la surface de chacun de ces
triangles est égale au produit de sa base par la moitié
de sa hauteur (N° 1 7g) : donc la surface d'un polygone
régulier quelconque , est égale au produit de son péri-
mètre, ou contour, par la moitié de la perpendiculaire
abaissée de son centre sur l'un quelconque de ses côtés.

182. Que faut-il faire pour a\foir la surface des
"polygones irréguliers y fig. i^il

Les partager en triangles par des diagonales AC,
AD; évaluer la surface de chacun de ces triangles en
particulier, et le total sera la surface du polygone.

i83. Comment partage-t-on un parallélogramme
quelconque en parties égales , par exemple le rhom"
boide , fig. 1 15 , en cinq parties?

Il faut diviser deux des lignes parallèles AB , CD en
autantdeparties égalesque la question en exige, et join-
dre les points de division correspondaus par des droites.

Exercices. — Evaluer la surface des fig. XXX ,
XXXI, XXXII et XXXIII , d'après l'échelle, /"-. 61.
[Vojez Arithm. , page 174» pour d'autres exercices).

SECTION II.

Evaluation de la Surface du Cercle et de ses parties.

184. ^LF. faut-il connaître pour trouver la super-
ficie du cercle?

Le rapport qui existe entre son diamètre et sa cir-
conférence, et réciproquement.

(55 )

i85. Quel est ce rapport?

Selon Archimède , le diamètre du cercle est à sa cir-
conférence comme 7 est à 22. Ainsi, selon cet auteur,
une circonférence qui a un diamètre de 7 pieds, en a
22 de circonférence. D'après cela , pour avoir la cir-
conférence du cerdefg. 5 , supposé que son diamètre
soit de 21 millimètres, il faut faire cette proportion,
n : 11 :-. 0.1 : X zzi R. && millimètres, pour la circonfé-
rence de ce cercle. On voit par là , que pour avoir le
diamètre, si l'on ne connaît que la circonférence, il
n'y a qu'à renverser la proportion , et dire , 22 : 7 ::
66 : X = R. 11.

186. N*a-t~on pas des rapports plus approchés?
Quelquesauteurs se servent du rajDport de 100 à 3 14.

Adrien Métius a donné celui de 1 ici à 355 : on croit
que c'est le plus exact* mais le premier (7 ; 22) , Test
assez pour en faire usage dans la pratique.

187. Que faut-il Ja ire pour avoir la longueur du
diamètre d^une circonférence dont on ne connaît que
les dimensions de la corde qui sous-tend l'un de ses
arcs et la longueur de la flèche ?

Diviser le carré de la moitié de la corde par la lon-
gueur de la flèche , ajouter au quotient la longueur de
cette flèche, et on a le diamètre cherché. Si l'on de-
mandait ensuite la circonférence, on multiplierait ce
diamètre par 3 |^, ou bien on ferait la proportion
(N« i85).

1 88. Lorsqii on connaît le diamètre ou le rayon
du cercle et sa circonférence , comment en trouve-
t-on la superficie?

En multipliant la circonférence par la moitié du
rayon , ou par le quart du diamètre , parce que le cercle
peut être considéré comme un polygone régulier dont
les côtés infiniment multipliés composent la circonfé-
rence (N'' 181).

1 89. Quelles parties considère-t-on dans le cercle ?
Ce sont le secteur, le segment et la couronne.

(56)

190. Qu oppelle-l-on secteur?

C'est une partie de cercle renfermée entre cleux
rayons EM, DM, et une portion de circonférence
END,/^. 5.

191. Qu'est-ce que le segment?

C'est une partie de cercle renfermée entre une
corde ED ^Jîg. 5 , et une portion de cercle END.

192. Quappelle-t-on couronne ?

C'est une figure formée de deux circonférences
concentriques, c'est-à-dire, qui ont un centre com-
mun ; tel serait l'espace compris entre les circonférences
AB , GD,y%-. i5, si elles étaient entièrement décrites.

193. Que faut-il faire pour avoir la surface du
secteur ?

Multiplier l'arc qui lui sert de base par la moitié
du rayon, parce qu'on peut le considérer comme
composé d'une infinité de triangles dont La-totalité des
bases compose l'arc qui sert de base au secteur.

Pour la surface de la lunule, voyez (N° 22'j).

194. Comment détermine-t-on la longueur d*un arc?
En faisant cette proportion : 36o est au nombre de

degrés de l'arc, comme la longueur de la circonférence,
est à la longueur de l'arc donné. Ainsi , si l'arc END,
fig. 5, du secteur EMDNE a 60 degrés, et que la
longueur de la circonférence soit de 66 millimètres,
pour avoir la longueur de cet arc , je dis , 36o : 60 ::
66 : X , eton a 1 1 millim. pour la longueur de cet arc,
ou bien (No 94), CB,/^. 67: 180 :: EÇ: CD.

195. Que faut-il faire pour avoir la surface du
segmejit?

Retrancher la surface du triangle EMD,/^^. 5 , de
celle du secteur, le reste sera la surface du segment.

196. Comment obtient-on la surface de la cou-
ronne ?

On évalue la surface des deux cercles, et on re-
tranche celle du petit de celle du grand-, le reste est
la surface de la couronne.

5?)

197- ^'^^ était donné en nombre la hase ou la
hauteur d'un triangle , d'un rectangle, d'un losange ,
que faudrait-il faire pour le s construire de manière à
ce que chaque figure eût une superficie déterminée
ou égale à celle que donnerait un poljgone dont les
dimensions seraient données ?

Diviser la surface donnée par la base ou par la hau-
teur du triangle , le quotient donnera la moitié de la
dimension cherchée. Pour le rectangle , diviser la sur-
face donnée parla longueur de la dimension détermi-
née , le quotient donnera l'autre. Il en est de même
pour le losange. S'il s'agissait du carré, la racine
carrée de la surface proposée donnerait la longueur
de son côté.

Exercice. — Evaluer la surface des ^g. XXXV et
XXXVII sur l'échelle, ^^. 6i prise dans son second
usage. {Foyez ApaxHiviÉTiQUE , page 174? Quest. io33
et suiv. pour d'autres exercices^

CHAPITRE XVII.

RÉDUCTION DES TRIANGLES EN d'aUTRES DE MÊME SUPERFICIE ,
ET DE LEUR DIVISION.

* 198. KjvE faut-il faire pour réduire au triangle
rectangle un autre triangle quelconque , en lui con-
servant la même base et la même superficie ?

Elever à l'une des extrémités de la base une per-
'pendiculaire AI,y?^. 116, égale à la hauteur du trian-
gle AEB, qu'on veut réduire; joindre par une droite
le sommeti de la perpendiculaire à l'autre extrémité B
de la base , et on a le triangle rectangle AI B , égal en
superficie au triangle AEB. Ceci est évident, d'après
ce qu'on a dit (]V° 179) , ces deux triangles avant une
base commune et la même hauteur.

3.

(58)

* igg. Comment peut-on rendre isocèle un autre
triangle quelconque , en lui conservant la même
superficie?

En élevant au milieu de la base AB j/"^. 117, du

aux deux points A et B , on a le triangle demandé.

■^ 200. Que résulte-l-il ^ si Von prolonge la base
d'un triangle d'une quantité qui lui soit égale , et qu'on
joigne l'extrémité C ., fig. 1 j8, du prolongement , au
sommet B du triangle ?

Il résulte de cette opération que le triangle BDC,
est égal en superficie au triangle BED- car les bases
ED et DC sont égales, el la hauteur BI est la même.

"^ 20 1 . Que faut-il faire pour tracer un cercle dans
un triangle quelconque ^ de manière que les côtés
du triangle soient tnngens à sa circonjérence ?

Partager en deux parties égales deux des angles du
triangle donné, y?^. 1 19, et le point d'intersection G
des biseclrices , est le centre du cercle demandé : sou
rayon est la perpendiculaire CD menée de ce point sur
l'un quelconque des côtés du triangle. Ceci est évident,
car on conçoit facilement que les points correspondans
des côtés de l'angle A sont à une égale distance de ceux
delà droite qui le divise ; ceux des côtés de l'angle B ont
conséquemment la même propriété. D'après cela , il y
a donc un point du côté AE à une distance du point G
cgale à CD; par la même raison il y en a aussi un dans
le côté BE , qui a la même propriété : l'intersection est
donc au centre de ces trois points, el des lignes qui
forment le triangle. Il est clair aussi que ces points
sont ceux que déterminent les droites qu'on mène du
point G perpendiculairement aux côtés du triangle,
le contact des tangentes étant déterminé par le rayon
qu'on leur mène perpendiculairement (]S° 86^.

202. Comment peut-on partager un triangle en

(59)
vn nombre quelconque de parties égales, par exemple
le triangle K'èCfig' 120 , e« quatre parties égales?

Après avoir divisé sa base AB en quatre parties
égales , on mène , du sommet G, des droites aux points
de division. Ceci est évident , puisque tous les petits
triangles ont une base et une hauteur égales.

2o3. Que faut'il faire pour partager un triangle
quelconque , en parties égales par des lignes paral-
lèles à sa hase, par exemple le triangle ABC,
Jîg. 121 , en trois parties?

Décrire sur l'un quelconque CB de ses côtés la demi-
circonférence CDEB; diviser le côtéCB en trois par-
ties égales • élever à chaque division G et H les per-
pendiculaires GD et HE; du point C comme centre
décrire les arcs D F et El, et enfin tirer les lignes IJ
et F L parallèles à A B, et le problème est résolu.

Exercices. — Construire des triangles de formes
différentes, mais de même superficie.

Il faut que ces triangles aient même base et même
hauteur, ou la base de moitié, tiers, etc., et la hauteur
double, triple, etc.

Diviser un triangle quelconque en plusieurs parties
égales.

CHAPITRE XVIII.

RÉDUCTION DES PARALLÉLOGRAMMES EN d'aUTRES ÉGALTi
EN SUPERFICIE.

204. \^\:t. faut-il faire pour réduire un parallélo-
gramme quelconque AB F D ,Jig. 12.1, à un carré qui
lui soit égal en superficie?

Chercher une moyenne proportionnelle entre sa
base et sa hauteur (N° 99)^ elle sera le côté demandé.
Si l'on prolonge le côté AB d'une quantité égale

(6o)

à BD, et qu'on décrive sur AC, comme diamèlre, la
demi-circonference AEC; BE, élevée perpendiculai-
rement au point B , sera moyenne proportionnelle
entre AB et BC , qui est égale à BD. Mais cette opé-
ration nous fournit la proportion suivante, AB : BE
;: BE : BC Or, le produit des moyens est égal au
produit des extrêmes ( Arith. , pag. 71): donc le carré
construit sur la rao3'enne proportionnelle sera égal eu
superficie au rectangle.

205. Comment réduit-on un carré en rectangle ,
dont on donne un côté , en lui conservant la même
superficie ?

On cherche une troisième proportionnelle (N" 98)
au côté donné et à l'un de ceux du carré qu'on veut
réduire, et cette troisième proportionnelle est le côté du
rectangle, adjacent au côté donné. C'est l'inverse du
problème 204 ; il se prouve d'une manière analogue.

206. Que faut-il faire pour construire un rectangle
dont on donne Vun des côtés F G , fig. 128 , égal en
superficie à un autre rectangle do?iné?

Prolonger les côtés AB, CD, AC etBD du rec-
tangle à réduire- porter de B en E la longueur du
côté donné FG ; du point E tirer la droite EH qui
passe au point D , jusqu'à ce qu'elle rencontre le pro-
longement de AC j mener El parallèle à B J ; HI pa-
rallèle à CL, et le rectangle D LU est celui qu'on
demande. Eu effet , la diagonale E H partage le grand
rectangle AEIH en deux triangles égaux AEH , EHI-
mais les triangles CD H et H JD sont égaux* il en est de
même des triangles BDEetDEL- si donc de chacun
des grands triangles on ôte ces parties égales , les restes
ABCD et d LlJseront égaux.

Cette opéralion nous fournit encore cette propor-
tion, DL qui est égale à BE : BD :: HJ qui est égale
à CD : JD. Ce qui fait voir que cette opération se ré-
duit à trouver une quatrième proportionnelle (N° 96)
à deux côtés adjacens du rectangle donné et au côté de

(6. )

l'inconnu, les deux côte's du rectangle donné étant
toujours les moyens.

207. Comment réduit-on un triangle à un carré
qui lui soit égal en superficie ?

On cherche une moyenne proportionnelle entre la
hauteur du triangle donné et la moitié de sa base;
elle sera le côté du carré cherché. S'il s'agissait de
réduire un carré en triangle de même superficie , on
donnerait à ce triangle une base double de celle du
.carré, et une hauteur égale à celle du même carré.

ao8. Que faut- il faire pour réduire le losange ou
rhomboïde à un rectangle qui lui soit égal en super--
jicie ?

Abaisser une perpendiculaire ÇA,fg. 124 de Tun
quelconque C de ses angles, sur le côté opposé DB;
porter la longueur A D de B en I , mener I E , et on a
le rectangle GAIE égal en superficie au losange. Ceci
est évident, car le triangle BIE , ajouté au losange
pour former le rectangle, est égal au triangle ADC
qu'on a retranché , ayant tous deux des bases et des
hauteurs égales.

209. Comment réduit-on un trapèze , ou un trapé-
zoïde y à un carré qui lui soit égal en superficie ?

On cherche une moyenne proportionnelle entre la
moitié de ses lignes parallèles et sa hauteur, elle sera
le côté du carré demandé.

Exercices. — Construiredesquadrilatères de formes
différentes, comme des carrés, des rectangles, des
trapèzes, des losanges, mais de même superficie. II
faut que les facteurs des produits soient combinés de
manière à produire le même résultat.

(62)

CHAPITRE XIX.

MANIÈRE DE DIMINUER LE NOMBRE DES COTÉS D*UN POLYGONE
QUELCONQUE OU DE l'aUGMENTER EN LUI CONSERVANT LA
MÊME SUPERFICIE.

2 1 o. \^Efaut~il faire pour réduire le pentagone ,
fig. 125, à un quadrilatère ^ en lui conservant la
même superficie ?

Prolonger un des côtés A B du pentagone j mener
DE parallèle à la diagonale B G , et du point de ren-*
contre Emaner EC qui détermine le quadrilatère AB
E G F, égal au pentagone donné. En effet, les trian-
gles B EG etBD G , ayant BG pour base commune et
étant entre parallèles , sontégaux; mais si, de chacun
de ces triangles on ôte la partie commune B I G, les res-
tes BEI et DGI seront aussi égaux : donc la figure ABI
CF sera autant augmenté par l'addition du triangle
BEI, qu'elle a été diminuée par la suppression du
triangle DIC : donc le quadrilatère A BEC F est égal
au pentagone donné.

211. Et si le polygone avait un angle rentrant,
fig. 126?

Il faudrait joindre les angles saillans A et B ; mener
par l'angle rentrant© la parallèle CD , et par le point
C la ligne G B qui détermine le quadrilatère B G EF)
égal au pentagone donné. Car les triangles A CD et
CBD, ayant une même base CD, et étant entre pa-
rallèles , sont égaux ; mais si de chacun on ôte la partie
CID qui est commune, les triangles restans AGI et
B I D seront aussi égaux , et le polygone B F E G D B sera
autant augmenté par le triangle BID que par AIG ;
donc le quadrilatère BFEGB est égal au pentagone
donné.

212. Que résulte~t-il de là?

1° Qu'on peut réduire un polygone quelconque

(63)
à un triangle , en lui faisant perdre successivement un
de ses côtés , jusqu'à ce qu'ilssoient réduits à trois : soit
le polygone A B G D E A , fig. 1 27 , à réduire. Pour lui
faire perdre le côté A E , joignez les points B et E , et
menez A F parallèle à cette diagonale ; enfin tirez E F
et vous aurez CDEF égal au premier polygone.
Pour supprimer le côté EF , prolongez d'abord le
côté DE indéfiniment et joignez les points G et E ,
menez ensuite F G parallèle à G E jusqu'à la rencontre
du prolongementD E, etenfin tirez GG, et vous aurez
le triangle GGD égal en superficie au polygone donné.
2° Qu'on peut augmenter le nombre des côtés d'un
polygone quelconque, en lui conservant la même su-
perficie. Par exemple , supposons qu'on veuille donner
un côté de plus à l'hexagone^g". 128 , pour cela , il n'y
a qu'à joindre par une diagonale l'angle A à un point B
pris sur le côté DG^ par le point D mener ED paral-
lèle à AB , et d'un point quelconque I , pris sur cette
parallèle , tirer les lignes AI et I B , le polygone A I B
G F G H sera égal au premier en superficie , et aura un
côté de plus. On pourrait , par des opérations analo-
gues , les augmenter ainsi successivement.

Exercices. — Réduire un polygone quelconque à
un triangle de même superficie :

x4.ugmenter le nombre des côtés d'un polygone quel-
conque, en lui conservant la même superficie.

CHAPITRE XX.

DE LA SIMILITUDE DES TRIANGLES ET DES ALTRES POLYGONES.

21 3. l^UAND est' ce que les triangles sont sem-
blables ?

G'est 1° lorsqu'ils ont les angles égaux cbacun à
chacun. Soit ADE,^g'. 129, un triangle inscrit dans
le triangle ABG, il est clair que ces deux triangles

( 64 )

Ont Tangle A semblable, puisqu'il leur est commun.
Les angles D et E du petit triangle sont aussi égaux
aux angles B et G du grand , D E étant parallèle à B G :
or, il est aussi évident que leurs côtés sont proportion-
nels; car à cause des parallèles DE, BG, on peut dire,
AG : AE :: AB : AD, ou BG : DE :: BA : DA,etc.:
donc ces deux triangles sont semblables, puisqu'ilsont
leurs angles égaux et leurs côtés proportionnels;

2° Lorsqu'ils ont les trois côtés proportionnels , parce
qu'alors leurs angles sont égaux. Ceci est clair par
ce qui vient d'être démontré;

3° Lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux
côtés proportionnels. Par exemple, soit l'angle A,
fig. i3o, égal à l'angle D, et qu'on ait, DE : AB :: D F,
: AC; si l'on porte DE de A en I et D F de A en J,
BG sera parallèle à la droile qui joint les deux points
I et J, et on aura le triangle AU, semblable au
triangle ABG, leurs angles étant égaux; on aura donc,
AI : AB :: AJ : AG, etc. Or, le triangle AU est
semblable au triangle DEF : donc les deux triangles
ABG, EFD sont semblables;

4° Lorsqu'ils ont les côtés homologues parallèles. Si
le côté ED du triangle EDI,^g^. i3i , est parallèle à
A G côté du triangle BAG, leurs bases étant sur une
même droite BE ont la même propriété que si elles
étaient parallèles , l'angle E est égal à l'angle G. Par la
même raison , DE étant parallèle à AG, l'angle I est
aussi égal à l'angle B; le troisième angle D est donc
aussi égal à l'angle A : donc ces deux figures sont sem-
blables , puisque leurs angles sont égaux entre eux ;

5°Lorsqu'ilsontdeux anj^lrsé^aux chacun à chacun.
Soit les triangles ABG , DEF,yf^. i32, sur une même
droite AF; si l'angle D est égal à l'angle A , le côté DE
sera parallèle à AB; si l'angle F est égal à l'angle G,
le côté EF sera aussi parallèle à BG. Or, ces deux trian-
gles étant sur une même droite , ont la même propriété
que si leurs côtés homologues AG, DF étaient paral-
lèles entre eux : ainsi, les trois côtés étant parallèles,

(63 )

les trois angles sont aussi égaux: donc deux trianglçg
sont semblables lorsqu'ils ont deux angles égaux cha-
cun à chacun.

2 ] 4" Quand est-ce que deuxpolfgones quelconques
sont semblables?

Dans les mêmes cas que les triangles. Ainsi les pen-
tagones ABGDE et FGHIJ, fg. i'33 , sont sembla-
bles , supposé que les angles correspondans du premier
soient égaux à ceux du second. Les côtés parallèles se-
ront aussi proportionnels: en sorte qu'on pourra dire,
AB : FG :: BG : GH , et BC : GH :: CD : HI , etc.

2 1 5. Que résulte -t-il de là?

1° Que les contours des figures semblables sont entre
eux comme leurs cotés homologues , eu sorte qu'on
peut dire AB : ABGDE :: FG : FGHIJ;

2° Que les surfaces semblables sont entre elles comme
le carré de leurs côtés correspondans ou de leurs lignes
homologues. Ainsi , on peut dire ',fig- i33, la surface
du pentagone ABGDE : la surface FGHI J :: le carré
de AB : carré de F G.

Les cercles étant des figures semblables, sont donc
entre eux comme le carré de leurs rayons ou de leurs
diamètres : ainsi si l'on connaît la valeur du rayon
MB ou du diamètre BD du cercle ^ fig. 4 ' ^^ ^a sur-
face , et qu'on connaisse aussi la valeur du rayon E M ,
ou du diamètre A G du cercle, Jîg. 5, on peut éta-
blir cette ])roportion pour avoir la surface de cette
dernière figure : le carré du rayon MB ou du diamètre
BD : la surface de ce cercle :: le carré du rayon MA
ou du diamètre AG : la surface de cette figure.

Exercices. — Déterminer les principaux points de
la figure 262 par le moyen des angles :

Il faut prendre une base , et de chacune de ses ex-
trémités, prendre la distance de tous les points deman-
dés , les porter sur le papier et figurer les objets.

(66)

CHAPITRE XXI.

PROPRIÉTÉ DU TRIANGLE RECTANGLE.

SECTION PREMIERE.

Déoionstration de celte Propriété.

2 T 6. Quelle est la -propriété du triangle rectangle?

C'est que le carré fait sur l'hypoténuse BC ^fig. i34,
est égal aux carrés construits sur les deux autres
côtés AB, A G.

ai"^. Démontrez-le'}

Soit le triangle rectangle isocèle ABC,^^. i34 :
qu'on construise un carré sur chacun de ses côtés et
qu'on mène ensuite les diagonales DA et AE j cha-
cun de ces carrés sera changé en deux triangles égaux
entre eux et au triangle ABC, puisqu'ils ont les côtés
égaux; qu'on mène aussi les diagonales GG et BF,
on aura aussi quatre triangles égaux entre eux et au
triangle A B G, car ils ont chacun un côté égal opposé
à l'angle droit et chacun des autres angles est la moitié
d'un angle droit : donc ils sont tous égaux au triangle
ABG, qui lui-même est égal aux triangles formés
dans les petits carrés comme on vient de le voir :
donc les quatre triangles provenant du grand côté du
triangle sont égaux aux quatre formés sur les deux
autres côtés, conséquemment le carré construit sur
l'hypoténuse est égal aux carrés construits sur les
deux autres côtés.

2 18. Si de Vaîigle droit A d*un triangle rectangle,
fig. i35, on menait une perpendiculaire sur Hrypoté"
nuse , quen résulterait-il?

Que cette perpendiculaire partagerait la figure en

(67)
cleux autres triangles ABD, ABC, semLlatles entre
eux et au premier. Ceci est évident , l'angle CB A est
égal à l'autre angle droit CAD 5 ces deux triangles ont
aussi l'angle C semblable , puisqu'il leur est commun :
donc ces deux triangles sont semblables (ÎS° 21 3).

On prouverait de même que le triangle BAD est
semblable à CAB.

219. Qu'en concluez-vous?

Que les côlës homologues de ces figures sont propor-
tionnels, en sorte qu'on peut dire, CB : AB :: AB ; BD,
On peut dire aussi, CB : CA ;: C A : CD, par où nous
voyons que AB est moyenne proportionnelle entre les
deux segmens CB et BD de l'hypote'nuse, et que AC
l'est entre le segment adjacent à ce côlé et l'hypote'-
nuse CD; il en serait de même de AD par rapport à
CBet CD.

220. Que nous fournissent ces proportions?

Le moyen de prouver d'une autre manière que le
carré fait sur le côté de l'hypoténuse est égal en super-
ficie à la somme de ceux qui sont faits sur les autres
côtés : car en égalant le produit des extrêmes et celui
des moyens, on a pour la première proportion CB X
BD = AB X AB, et pour la seconde CB X CD =
CA X G A; or, en faisant la somme des extrêmes et
celle des moyens, on aura CB X ^D -|- B C X CD
= AB X AB -f- CA X CA. Donc le carré fait sur
l'hypoténuse est égal à la somme de ceux qui sont
construits sur les deux autres côtés. On peut faire sur
les quantités proportionnelles affectées à chacun des
côtés de la figure les opérations ci-dessus, et on aura
le résultat indiqué par les lettres.

221. Que concluez-vous de toutes ces démonstra-
tions ?

Qu'une figure quelconque qui aura l'hypoténuse
pour un de ses côtés , sera toujours égale à la somme
des deux autres figures semblables construites sur les
côtés de l'angle droit. Les cercles étant des figures sem-
blables , celui qui aura l'hypoténuse pour diamètre

(G8 )

Ou pour rayon sera toujours égal en superficie auX
deux autres , qui auron t les côtés tîe l'angle droit pour
diamètre ou pour rayon.

SECTION II.

Usage de la propriété du Triangle rectangle.

222. A QUOI peut sentir la propriété du triangle
f'ectangle ?

1° A faire connaître l'un des côtés d'une figure
égale en superficie à la différence de deux autres
figures semblables^

2^ A trouver le côté d'une figure égale en super-
ficie à un certain nombre d'autres figures semblables;

3° A trouver la longueur proportionnelle du côté
homologue d'une figure qui doit avoir un rapport
quelconque avec une autre, et lui être semblable j

4" A élever une perpendiculaire à l'extrémité d'une
ligne.

223. Que faut-ii faire pour construire un triangle
èquilatéral égal en superficie à la différence de deux
triangles équilatéraux donnés A et B,Jig. i 36 ?

Tirer une ligne I M égale à la longueur de l'un des
côtés GD du triangle Aj du milieu L de la ligne ÎM
décrire la demi-circonférence; porter la longueur de
l'un des côtés du triangle B, de M au point qu'elle ren-
contre sur la circonférence, en N , par exemple , et
tirer NI : cette dernière ligne sera le côté du triangle
demandé, puisque le carré de MI vaut le carré de
N I , plus le carré de NM.

Si l'on demandait un carré égal à la différence de
deux autres , on opérerait de la même manière.

Si l'on demandait un cercle égal en surface à la diffé-
rence de deux cercles donnés, on opérerait sur les diamè-
tres comme on vient de le faire sur lescôtés des triangles.

1^

\

( 69 )

224- Etant donnés, les cotes homologues A, B,
C , D d'un certain nombre défigures semblables , que
faut-il faire pour déterminer une droite qui soit le
côté d'une autre figure semblable , et qui les égale
toutes en superficie7

Tirer deux lignes indéfinies I Q, IR ^fig- 137, for-
mant un angle droit j porter la ligne A de I en M, et
la ligne B de I en N ; mener l'hypoténuse MN, elle
sera le côté d'une figure semblable et égale en super-
ficie aux deux premières; porter M N, de I en 0, la
ligne C de I en P, et tirer PO, elle sera le côté d'une
figure semblable et égale en superficie aux trois pre-
mières; enfin porter PO , de I en Q , D de I en R , et
mener l'hypoténuse RQ, elle sera le côté cherché.

Si l'on avait un plus grand nombre de côtés donnés,
on continuerait la même opération.

S'il s'agissait de trouver le rayon d'un cercle, ou le
côté d'un polygone régulier, égal en superficie à d'au-
tres semblables , on opérerait de la même manière.

Cette opération et les précédentes sont prouvées par
ce qui a été démontré (N° 217).

226. Q^ue faut-il faire pour éle\^er une perpendi-
culaire à l'extrémité d'une ligne par la propriété
du triangle rectangle ?

Prendre sur la ligne AB ^fig. 1 38 , cinq parties éga-
les ; du point A , et d'une ouverture de compas égale
à trois divisions AE, décrire un arc en G ; du point
D et d'un rayon AB en décrire un autre qui coupe le
premier; mener AG, elle sera la perpendiculaire de-
mandée. En effet, AG ayant trois parties, son carré
est 9 , celui de AD est de 16 , ensemble 23 , mais le
carré de G D est aussi 25 : donc l'angle A est droit , et
la ligne A G est perpendiculaire.

226. Comment trouverait-on la longueur que de-
vrait avoir une échelle servant à monter à un mur
d'une hauteur connue et défendue par un fossé d'una
largeur aussi connue ?

(70)
Il faucirait ajouter le carre' de la hauteur du mu"
à celui de la largeur du fossé, et tirer la racine carrée
de la somme, elle serait la longueur de l'échelle.

227. Comment peut -on obtenir la surface du
segment BIDO et du croissant ou lunule BODE,
%. 139?

Pour avoir la surface du segment , il faut retran-
cher celle du triangle BIDG de celle de la moitié
BODCB du demi-cercle BODAB. La surface de la
lunule est égale à celle du triangle BID G : car l'angle
DBA étant droit, le demi cercle fait sur l'hypoté-
nuse D A est égal aux deux demi-cercles égaux faits sur
les deux autres côtés , ainsi le demi-cercle BODAB de
l'hypoténuse est double du demi-cercle fait sur BD:
donc la moitié du demi-cercle ABODA, est égal au
demi-cercle BEDIB; mais le segment BODÏB est
commun à ces deux dernières surfaces, par consé-
quent la lunule BODE est égale au triangle BIDG.

Pour avoir la surface de la lunule OVVlV ^Jig. 42,
il faut évaluer la surface du secteur AOVR, en re-
trancher celle des triangles AOM, AMR, et l'excès de
la surface du secteur MRPO sur le reste de celte opé-
ration sera la réponse.

Exercices. — Réduire plusieurs polygones sembla-
bles à un seul qui les égale tous en superficie, comme
seraient plusieurs triangles en un seul ; des trian-
gles, des carrés, etc., en un seul carré ou à un rec-
tangle, etc.

SECTION III.

Autres Applications de la propriété du Triangle rectangle.

228. A quoi peut encore servir celle propriété du
triangle rectangle?

A trouver la hauteur et par conséquent la superficie

(7' )
d'un triangle dont on connaît les trois côle's , le centre
étant inaccessible.

229. Que faut-il faire pour trouver la hauteur
d'un triangle dont on connaît les trois côtés , mais
dont le centre est inaccessible^ comme serait le trian*
gleGEM.fg.i^o?

Chercher un point N sur H M, de manière que le
rayon visuel , répondant au sommet, fasse avec cette
ligne un angle droit; retrancher le carré de MN de
celui de GM; et la racine carrée du reste déterminera
la hauteur de G N du triangle. {Voyez Arithmétique,
pag. 208, Quest. 208.)

230. Et si le point G vl était visible qiC aux exlré"
mités H ei M ?

On prendrait pour base le plus long coté^ et après
l'avoir mesuré, ainsi que les deux autres côtés, on
ferait cette proportion ; la base est à la somme des
deux autres côtés, comme leur différence est à ce qu'il
faut retrancher de la base , à partir de l'extrémité ad-
jacente au plus long côté , pour que le milieu du reste
soit le point où tombe la perpendiculaire. Pour avoir
sa longueur, on opérerait comme il a été dit ci-dessus.

Pour comprendre la raison de cette règle, décri-
vez la circonférence OMR d'un rayon égal à GM;
prolongez HG jusqu'en R, les sécantes HR et HM
seront coupées par les arcs concaves et convexes en
raisons réciproques, c'est-à-dire, qu'on aura HM:
RHouMGplusGH::OH : HP, c'est-à-dire, ce qu'il
faut retrancher de la base , à partir du point H , pour
que le milieu N du reste soit le point oii tombe la
perpendiculaire.

On pourrait aussi chercher sur la base ou sur son
prolongement deux points où les angles GMH et
GHM fussent égaux, le milieu entre les points de
repos serait celui de la perpendiculaire.

( 7» )

CHAPITRE XXII.

MANIÈRE DE CONSTRUIRE LES FIGURES SEMBLABLES DANS UNE
PROPORTION DÉSIGNÉE.

*23i. y^Y. faut-il faire pour construire un polygone
semblable et égal à un autre , par exemple au pen-
tagone ^fig. 1 4 I ?

De l'un quelconque A de ses angles , tirer des
diagonales AC, AD qui le partagent en triangles^
tirer ensuite F G ^fig. i/^i^ égale àCB , construire sur
cette droite un triangle FG H , égal à CBA ; sur F H
construire un antre triangle FIH, égal à CDA^
enfin sur I H en construire un autre IJH semblable à
DEA , qui termine le pentagone semblable à la figure
donnée.

* 232. Commeiit peut" on construire un poljgone
semblable à un autre , mais plus grand ou plus petit ,
dans une proportion quelconque. Par exemple , un
pentagone qui soit double d'un pentagone donné
VGHIY,/^. 143?

Les contours des figures semblables étant entre eux
comme les carrés de leurs côtés homologues, il est
visible qu'on ne doit pas donner à la figure demandée
des côtés doubles de la figure donnée, car alors on
aurait une surface quadruple de la première; le côté
de l'une étant l'unité, son carré est un 5 celui de la
seconde étant de deux parties , son carré serait quatre.
Soit par exemple le triangle ABG,^^. i45: si l'on
prolonge les côtés A G, BG d'une longueur égale à
celle qu'ils ont; qu'on joigne les points D et E; qu'on
mène AF parallèle à GD et BF paralKle à AG, on^
aura quatre triangles égaux. On le démontrerait de
même d'un carré, etc. Pour résoudre le problème 2 32,
il faut donc employer la méthode suivante;

C 73 )
Tîrcr une ligne indéfinie AB~, fig. i44; porter
Jossus trois parties égales , mais d'une longueur ar-
bitraire AG, CE, El; élever la perpendiculaire CK
à la première division j sur la longueur totale AI dé-
crire la demi-circonférence et tirer AK, IK; enfin,
p')rterla longueur V Y de l'un des côlésde la figure don-
née de K en L ; de ce point mener LM parallèle à AB,
elle déterminera KM pour la longueur ZY que doit
avoir le côté de la figure cherchée homologue à V Y.
Ceci est clair, car à cause des parallèles AI , LM on a
cette proportion KM : KL :: Kl : Kx\; mais dans le
triangle rectangle KAI le carré de Kl est au carre
de KA comme le segment IC est au segment Ad
donc KM X KM : KL X KL :: CI : AG; mais KL,
r= VYj donc le polygone ynstruit sur ZY, qui est
égale à KM : la figure semblable construite sur VY,
qui est égale à KL :: CI ; CA.

Pour construire la figure demandée , il ne s'agit plus
que de prolonger les diagonales YG et YH, et de me-
ner ZX paralèlle à V G^ XT parallèle à GH , et T L
parallèle à HI. Si la ligne donnée VY était descendue
au-dessous de A, en 0 , par exemple, on aurait mené
OP parallèle à AB , et la partie KP aurait été la Ion-»
gueur cherchée.

Si le pentagone cherché ne devait être que la moitié
de celui qui est donné , l'opération serait la même , mais
il faudrait porter le côté pris pour terme de comparai-
5on de K en M , et la partie K L serait le côté cherché.

* 233. S'il était question défaire une figure dont les
rapports fussent , par exemple , les quatre cinquièmes
d'une figure donnée , que faudrait-il faire?

On prendrait neuf parties sur la ligne AB, et on
élèverait la perpendiculaire à la quatrième division;
si elle devait en être les deux tiers, on porterait
cinq parties, et on élèverait la perpendiculaire à la
deuxième division ; le reste de l'opération comme ci-
dessus. En général, on prend autant de parties que
les deux termes de la fraction font d'unités , et la per-

4

( 74 )
pendi'culaire représente la ligne qui se'pare le nume?-
rateur d'avec le dénominateur. S'il s'agissait d'un
cercle, on se servirait des diamètres ou des rayons
pour faire l'opération indiquée.

*234. Que faut-il faire pour construire un polygone
abc de ^ fig. 1 46 , semblable à un autre A B G D E ,
mais dont la longueur du périmètre est donnée par
la longueur de la ligne VQ^fig, i^'j ?

Tirer une ligne indéfinie R S, fg. 14? , sur laquelle
il faut porter les longueurs A, B , C , D et E de la
figure donnée; faire pvec cette ligne et la ligne PQ
un angle quelconque ; joindre les deux extrémités par
la ligne ST, et mener les parallèles par les points de
divisions; les parties a, by c, <i et e, correspon-
dantes à A , B , G , D et K , seront les côlés homologues
de la figure demandée.

L'exactitude de cette opération se comprend faci-
lement , les figures semblables étant entre elles comme
le carré de leurs périmètres ou de leurs côtés homo-
logues fN° 2 1 4) ; or, à cause des parallèles on a ; R S :
RT :: ES : e Tj RS : RT :: DE : de, etc.

Exercices. — Construire un triangle , un cercle ou
un polygone quelconque d'une superficie double , tri-
ple, etc., d'un autre polygone semblable ;

Gonstruire un triangle, un carré , etc., qui n'ait en
superficie que les trois quarts, les deux tiers, etc.,
d'un autre semblable.

CHAPITRE XXIII.

^ DES PLANS.

235. Qu'appelle-t-on ;?/û/2.^

(j'esl une surface sur laquelle on peut appliquer, en
tout sens, une règle bien droite.

236. Quand est-ce quune droite AB est dans un
plan CD,/"^. 14b?

(75)
Cest lorsque tous ses points se confondent avec le
plan.

237. Que forme l'intersection de deux plans CD,
FG,/")^. i49, qui se coupent?

Une ligne droite. Cela est évident; car si l'on joint,'
par une droite deux points quelconques A et B , pris
sur leur intersection , cette ligne se trouve tout entière
dans l'intersection même : donc l'intersection de deux
plans forme une ligne droite.

238. Qu'en concluez-vous?

Qu'on peut faire passer par une même drotte une
infinité de plans , comme on le voit à la Figure i5o , où
les plans GH, EF , CD ont pour commune intersec-
tion la droite AB.

23g. Et si Von donnait un point I hors de la droite ^
par ou le plan dût aussi passer?

Alors on ne pourrait faire passer par la droite AB
qu'un seul plan, comme on le voit à la figure i5o,
parce que de tous les plans qui passent par A B , le plaa
CD est le seul qui passe par ce point I.

240. Que résulle-t-il de là ?

i*^ Qu'un plan est déterminé quand on connaît trois
points A, I, B par oii il doit passer ;

2° Qu'il est encore déterminé par deux droites A B ,
DC,^g'. i54î qui se coupent: car le plan qui passera
par l'une d'elle A B , et par un point D pris sur l'autre
DC, passera dans la ligne entière, ayant l'inter-
section C de commun avec la droite AB; or tous les
points d'une droite sont dans la même direction :
donc deux droites qui se coupent déterminent un plan^

241. Quand est-ce qu'une ligne AB,/%. i5i , est
perpendiculaire à un plan F G?

C'est lorsqu'elle ne penche ni vers un côté de ce
plan, ni vers l'autre.

Il suit de là i", que la droite AB est perpendiculaire
à toutes les lignes BE, BC, BO, etc., qu'où mène àxi
point B dans ce plan;

C 7G )

1^ Que toutes les lignes IJ, LN, perpendiculaires k
ce plan , sont parallèles entre elles et à la ligne AB ;

3° Qu'un plan C}i,^g. i52, qui passe par une ligne
ÀB perpendiculaire à un plan G E , est aussi lui-même
perpendiculaire à ce plan^

4° Que deux plans CD, FQ,^g. i49, perpendi-
culaires k un troisième HI, ont aussi leur commune
section AB perpendiculaire à ce troisième plan.

24^. Comment appeUc-t'On l'ouverture de deux
plans GH, GO.fig. i53?

Angle-plan : on l'appelle aussi incîinaisoa de Tua
de ces plans à l'égard de l'autre.

243. Quelle est la mesure d'un angle-plan?
C'est la même que la mesure de l'angle rectiligne

BAC formé par deux droites, prises l'une, AB dans
l'un des plans GH, et l'autre AC, prise dans l'autre,
et qui sont toutes deux perpendiculaires à la commune
section GI, et qui viennent aboutir en un m.ême
point A.

244. Qw^ concluez-vous de là?

i'-^ Qu'un plan CXI ,7%. 162, qui tombe sur un autre
plan GE, forme deux angles GGI , ICF qui, pris en-
semble, valent 180 degrés:

2° Que les angles formés par tant de plans qu'on
voudra GH, EF, GD,^^^. i5o, qui passent tous par
une même droite, valent 36o degrés j

3° Que deux plans CD, GF . Jig. 1 49 » qui se cou-
pent ont leurs angles opposés aux sommets égaux.

245. Qu appelle-t-on plans parallèles?

(ie sont ceux qui ne peuvent Jamais se rencontrer à
tjuelque dislance qu'on lc:> imagine prolongés F G,
HI,/^. 154.

246. Que résulterait -il si deux plans parallèles
étaient coupés par un troisième ?

Que les intersections AB, CD, fig. i55, que ce
troisième plan ferait avec les deux autres, seraient
deux droites parallèles.

247. Que résulterait-il si l'on faisait passer un
plan par deux droites AB, CD, fi^. i54, qui se
coupent et cjui sont parallèles à deux autres SE, H J,
çui se coupent également?

Que ce plan F G, déterminé par les deuxpremièreSj
serait parallèle à celui HI que déterminent les deux
autres.

248. Qu^ en concluez-vous?

Qu'on peut faire passer par deux droites AB, CD,
fig. i56, qui ne se coupent point et qui ne sont point
parallèles , deux plans parallèles entre eux : car on peut
couper AB par une droite EF parallèle à CD, et CD
par une autre droite GH parallèle à AB, et on a le cas
précédent.

CHAPITRE XXIV.

DES SOLIDES,* LEUR DÉFINITION.

■* 2/|(). C2u'appelle-t-o\ solides?

Ce sont des figures qui ont les trois dimensions : la
longueur, la largeur et l'épaisseur.

^ 2.5o. Quels sont les principaux solides?

Ce sont le cuLe, le parallélipipède , le prisme, le
cylindre, la pyramide, le cône et la sphère.

'*' 261. Qu'est-ce que le cube?

C'est une figure qui offre un carré égal sur ses six
faces ,^g. 167.

* 262. Qu^ est-ce que le parallélipipède?
C'est un cube allongé, ^«f. i58.

^ 253. Qu est-ce que le prisme?
C'est un solide dont les deux bases opposées sont
parallèles, et les côtés sont des parallélogrammes,

M' 159.

* 254. En distingue-i-on de plusieurs sortes?

( 78 ) _

On distingue le prisme triangulaire, quadrila*
tère, etc., selon le polygone qui sert de base.

"** 255. Qu appelle-t-on cylindre?

C'est un solide qu'on nomme vulgairement rouleau,
terminé par deux cercles égaux et parallèles, ^g** i6o.
Il est oblique lorsque le côté est incliné à l'égard de
la base , ^i^. i6i; il est tronqué lorsque le cercle su-
périeur n'est pas perpendiculaire au côté du cylindre,
}%. 162.

^ 256. Qu est-ce quune pyramide?

(/est un solide dont la base est un polygone recti-»
ligne quelconque, et le sommet un point, ^g'. i63. La
ligure 164 est une pyramide inclinée ou oblique.

* 257. Qu appelle-t-on cône?

C'est un solide dont la base est une circonférence, et
le sommet un point, y%. i65. Le cône est droit lorsque
la ligne I J qui descend du sommet sur le centre du
cercle de la base lui est perpendiculaire; il est oblique
ou incliné si cette même ligne est oblique à la base,

yig. 166.

258. En combien de manières peut-on couper le
cône droit?

En cinq : c'est ce qu'on appelle les sections coniques

259. Quelles sont ces manières?
1° Parallèlement à la base,^g'. 167, c*est le cône

tronqué ; la section donne le cercle A.

2° Obliquement à la base, Jig. 168, la seclior
donne l'ollipse A.

3° Perpendiculairement à la base , passant par le
sommet , j%. 1 69 ; la section présente le triangle B.

4° Perpendiculairement à la base, passant par \i
côté incliné du cône , fig. 167 , celte section présente
une hyperbole B.

5° Parallèlement au Qoiéyfig. 168, cette seclior
présente une parabole B.

* 260. Qu est-ce que la sphère quon appelle auss
boule ou globe ?

I

(:9)

C'est un solide ^fi^. 174 -> Jont tous les points de la
surface sont également éloignés d'un point A , situé
dans son intérieur qu'on nomme centre.

* 261 . Quels sont les noms quon donne aux diffé"
rentes lignes qui se trouvent dans la sphère?

On nomme axe le diamètre BAL ou lA J; pôles , les
extrémités des axes; grands cercles, ceux dont les plans
passent par le centre de la sphère , comme BCLD,
BILJj et petits, ceux EFGH , MONP, dontle plan
ne passe pas par le centre.

* 262. Quelles sont les parties principales de la
surface de la sphère?

Ce sont la zone, la calotte, et le fuseau sphérique^

* 263. Qu est-ce que la zone?

C'est une partie quelconque de la surface de la
sphère AB ^fig- 170 , comprise entre deux cercles on
plans parallèles.

* 264. Quest-^e que la calotte sphe'rique ? ^
C'est une partie C de la suriace de la sphère, coupée

par un petit cercle quelconque : le solide qu'elle enve»-
loppe se nomme segment extrême.

* 265. Quappelle-t- on fuseau sphe'rique?

C'est une partie de la surface de la sphère comprise
eniredeux demi-grands cercles DBE , DG E ,fg. J 76 ,
qui se terminent à un diamètre commun DFE.

^ "^ 266. Quelles sont les principales parties solides
considérées dans la sphère?

Ce sont le segmen t , le coin ou onglet sphérique , le
secteur et les cinq polyèdres.

"** •2.6'j. Quappelle~t-on segment sphérique?

C'est une partie solide quelconque A.B y ^g. 175,
de la sphère , comprise entre deux plans parallèles, ou
autrement le solide enveloppé par la zone.

* 268. Quelle est la hauteur de la zone et du seg-
ment sphérique ?

C'est la distance IJ des deux»plans qui les corn-
|)reQn€nt.

(8o)

^ 269. Qu appelle-t'On coin ou onglet sphérique ?

C'est une partie solide quelconque de la sphère
comprise entre deux demi-cercles DBE et DGE,
fig. lyS, qui se terminent à un diamètre commua
DFE : il a pour base le fuseau sphérique.

* 270. Quappelle-t'On secteur sphérique?

C'est une portion de la sphère semblable à un cône
AEFGII,^^.i^4 ) ^^i 3 son sommet A au centre de la
sphère , et dont la base E F G H est une calotte spbe-
rique.

* Q.'ji. Quels sont les cinq pol/yèdres considérés
dans la sphère ?

Ce sont : le tétraèdre, l'hexaèdre, l'octaèdre, le
dodécaèdre et l'icosaèdre.
i * l'jT., Qu est-ce que le tétraèdre ?

G^ést- un solide dont la surface présente quatre
triangles équilatéraux j^g'. 176.

* 2^3. Qu appelle-t-on hexaèdre ?

C'est un solide dont la surface présente six carrés
égaux, />. 177.

* 274* Qu est-ce que T octaèdre ?

C'est un solide dont la surface présente huit trian-
gles équilatéraux ^Jig. 178.

* 275. Qu appelle-t-on dodécaèdre ?

C'est un solide dont la surface présente douze pen-
tagones égaux et réguliers ^Jjg- 179.

* 276. Qu'est-ce que l'icosaèdre ?

(.'est un solide dont la surface présente vingt trian-
gles équilatéraux ,^g". 180.

Exercices. — Copier dans une autre dimension les
figures 157, i58, i59, 160, i6'3, i65 et 17/1 , sans
les ombrtr.

(Si )

CHAPITRE XXV.

SURFACE DES SOLIDES. [Voy. AriTH. , fa^, I7I.)

277. Comment iroiive-t-on la surface du cube,
/;?. 157 ?

Eu multijDliant la longueur de l'une de ses arêtes
AD par elle-même , et prenant le produit six fois; ce
solide ayant six faces égales, il est clair que pour en
avoir la surface il faut prendre six fois la superficie de
l'une d'elles, ÇS° 174).

278. Comment troui^e-t-on la surface du parallé-
li pipe de ?

Eu multipliant la longueur ABCD,^j. i58, du
contour, parla longueur BE de l'objet, on a la surface
du parallélipipède, non compris celle des bases qu'on
évalue comuie le carré ou le rectangle.

279. Comment obtient-on la surface du prisme ?
En multipliantla longueur d'une arête AB,yfg'. 169,

par le contour A CD du prisme, on en a la surface,
non compris celle des bases qu'on évalue par la mé-
thode des polygones.

280. Comment trouife-t-on la surface d'un cjUndre
droit ou oblique ?

Le cylindre pouvant être considéré comme \\n
prisme d'une infinité de côtés, on aura sa surface en
multipliant le contour de sa base ABCD , fii^, 160 et
161, par sa hauteur AE; les surfaces des bases, s'éva-
luent séparément,

281. Si le cjlindre était tronqué obliquement à sa
hase y fi§. 162, c'est-à-dire , si les bases n'étaient
pas parallèles , que faudrait- il faire?

On prendrait la hauteur moyenne qu'on multi-
plierait par le contour du cylindre ; quant aux bases ,
î'uiie serait une ellipse A et l'autre un cercle B.

4.

(82 )

282. Comment irouve-t-on la surface d'une pyra-
mide ?

Si elle est régulière, comrae la/zg. i63 , on multiplie
le contour ABGDEF de sa base par la moitié de la
hauteur I J de l'un des triangles que forment ses côtés.
Si elle est irréguliëre, comme \aL fig. 164, on évalue
séparément ses côlés comme des triangles.

283. Comment trouve— t- on la surface du cône ,
fii;. i65?

La surface du cône pouvant être considérée comme
composée d'une infinité de triangles dont les bases
coiuposent sa circonférence , et dont les sommets se
réuTiissent à celui de ce solide, on aura sa surface en
multipliant la longueur de sa circonférence ABCD
par la moitié de la longueur du côté AI ; s'il est tron-
(jué parallèleiiient à la base, fig- 167, il faut ajouter
ensemble la circonférence des deux cercles A etE, en
prendre la moitié et la multiplier par la longueur du.
côté de l'objet , et y ajouter les surfaces des cercles si
elles sont demandées.

284- Que faut~il faire pour auoir la surface de
la sphère?

Multiplier la longueur de Tun de ses grands cercles
BDLG,^i,'. 174^ P^'' l'axe ou le diamètre BL. D'après
cela-^-ûu voit qne la surface de la sphère est égale à
celle d'un cylindre dont la hauteur et le diamètre sont
égaux à l'axe de la sjdière.

•285. CoT7iri?ent obiienl-on la surface d'une zone
quelconque kh^ fig, 175?

En multipliant la circonférence d'un grand cercle
de la sphère, par la hauteur I J de la zone j celle de
la calotte s'obtient de la même manière.

28G. Et pour avoir celle du segment sphérique ,
^ue faut-il faire ?

Il faut ajouter la surface des cercles formés par les
plans de sections à celle de la zone ,' et pour le segment
extrême, il faut ajouter la surface du plan de section
à celle de la calotte.

( 83 ) _

287. Que faut Û faire pour avoir la surface du fu-
seau sphérique ?

Multiplier l'arc BG ,y%. 176, qui le partage en deux
triangles sphériques égaux , par le diamètre DE.

288. Comment trouve-t-on la surface du coin ou
onglet sphérique 7

En ajoutant à celle dii fuseau qui lui sert de base la
superficie d'un grand cercle de la sphère à laquelle il
appartient.

289. Que faut-il faire pour avoir la surface du
secteur sphérique ?

Multiplier la circonfe'rence EHGF, fig, 174^ qwi le
Je'pare de la sphère par la moitié du rayon A G qui est
la longueur de son côté, et y ajouter la surface de la
calotte.

200. Que faut-il faire pour avoir la surface d'un
polyèdre régulier quelconque?

Après avoir évalué la superficie de Tune de ses faces
par la méthode des polygones , on la prend autant de
fois qu'elle est comprise dans le polyèdre.

Exercices. — Déterminer la surface des solides,
^g. 167, i58, 169, 160, i63, i65et 174 , d'après l'é-
chelle,yzg'. 6 1 , prise dans son second usage. [F~. Arith.,
page 174 î pour d'autres exercices.)

CHAPITRE XXVI.

SOLIDITÉ DES CORPS, (/^o^-. Arith., pages 171 et l'ji,)

29 T . (Qu'est-ce que mesurer la solidité d'un corps 7
C'est déterminer combien de fois il contient un
autre corps pris pour unité de mesure; par exemple
la solidité du cube ^fig. 167 , sera déterminée , quand
on saura combien de fois il contient le petit cube Y,
supposé que celui-ci soit l'unité de mesure.

292. Comment obtient-on la solidité d'un cube?.

( 8/, )
En multipliant la surface de sa base ABED par sa
hauteur A F. Ceci est évident, car si l'on divise la
hase ABED en carrés égaux à la base de l'unité de
mesure V, ainsi que la surface supérieure, ou pourra
placer entre les divisions correspondantes quatre petits
cubes B, L, N, J égaux à l'unité V; or il est clair
qu'on pourra former autant de colonnes semblables
que la surface pourra contenir de fois la surface du
carré pris pour terme de comparaison , celle-ci en
contenant i6 , la solidité totale de ce corps contiendra
donc 64 fois le petit cube ou l'unité de mesure : donc
la solidité du cube est égale au produit de la surface
de sa base par sa bauteur.

293. Quelle est la solidité du parallélipipede?

Elle est égale a la superficie de sa base multipliée
par sa hauteur. La démonstration est la même que
pour le cube.

2g4' Quelle est la solidité du prisme ?

Le prisme triangulaire , ^g". iSg, peut être consi-
déré comme la moitié d'un parallélipipede coupé sui-
vant les arêtes DE, FC: or la solidité du paralléli-
pipede est égale au produit de la surface de sa base
par sa bauteur : donc la surface de la base du prisme,
multipliée par sa hauteur, donnera sa solidité. Si les
bases du prisme n'étaient pas parallèles comme la
yig. 170, on prendrait le tiers de la somme de ses
trois arêtes AB , CD , EF qu'on multiplierait par la
surface d'une section IJL faite perpendiculairement
aux arêtes : on obtient la surface de cette section en
évaluant celle d'un triangle qui aurait les côtés égaux
à ceux du prisme. On a par là une méthode bien
facile d'évaluer la solidité des prismes tronqués irré-
gulièrement et qui ont une base plus composée, en
les divisant en prismes triangulaires qu'on évalue à
part, et dont on réunit les produits.

2C)5. Que faut-il faire pour a\>oir la solidité d'un
cjrlindre droit ou oblique/

( 85 )

Multiplier la surface de sa base ABCD,/g". 160
et 161 , par la hauteur AE, c'est-à-dire, parlaperpen-
diculaire abaissée de la base supérieure sur le plan de
la base inférieure ; car le cylindre peut être considère
comme un prisme qui a un cercle pour base.

La capacité d'un tonneau est égale à la solidité d'un
cylindre de même longueur, et qui aurait pour dia-
mètre les deux tiers de celui du bouge du tonneau ,
plus le tiers de celui de l'un des fonds, pris l'un et
l'autre dans l'intérieur.

296. Comment obtient-on la solidité d'une pyra^
mi de?

En multipliant la surface de sa base ABCDEF par
le tiers de sa hauteur perpendiculaire IM, parce que la
pyramide est le tiers d'un prisme de même base et de
même hauteur. Soit le prisme triangulaire,^^. 171;
que de l'angle A on mène aux angles B et G des droites
AB, A G, et qu'on fasse passer un plan tranchant par
ces diagonales , on aura deux pyramides , l'une trian-
gulaire ABCDqui aura même base que le prisme, l'au-
tre quadrangulaire ABCEF. Gonsidérons ces deux
sections à part; la pyramide triangulaire , j^^. Ï72,
est égale à la section A B G , fig. 171, et la fig. 1 73
ABGEF est le restant du prisme. Si Ton coupe cette
dernière figure suivant AB, AF, on aura deux nou-
velles pyramides, ABFG, ABFE égales entre elles,
puisqu'elles ont une base égale BGF, FBE, la dia-
gonale FB partageant le rectangle BGEF en deux
triangles égaux , et qu'elles ont aussi une même hau-
teur; mais si nous plaçons en B le sommet de la py-
ramide A B EF , elle sera semblable à la première A B
CD, puisqu'elles ont une hauteur égale AD,BE, et
une base égale BGD, AEF; ces trois pyramides
\ont donc égales entre elles et contiennent chacune le

Î'ers du prisme. Donc la solidité d'une pyramide est
»ale au tiers d'un prisme de même base et de même
hauteur; mais la solidité du prisme est égale au pro-
duit de la surface de sa base par sa hauteur (^iN<* 294 }>

( 86 )

xionc celle <3e la p3'ramide est égale au produit de la
surface de sa base par le tiers de sa hauteur.

297. Et si elle était tronquée parallèlement à sa
base ?

Pour déterminer le segment retranché, on ferait
cette proportion BG: ML::èc.'LI, c'est-à-dire que
le côté BG du tronc de la pyramide est à sa hauteur,
comme le côté bc correspondant du segment retranché
esta la hauteur LI de ce segment : en réunissant celte
hauteur à celle du tronc , on a alors la hauteur totale
de la pyramide, dont on évalue la solidité, et on en
retranche celle de la petite pyratnide que forme le
segment be I, et on a la solidité de la pyramide
tronquée.

398. Que faut-il faire pour avoir la solidité du cône ,
/%. i65?

Mulfij^lier la surface de sa base ABCD par le tiers
de sa hauteur perpendiculaire JI; parce que le cône
peut être considéré comme une pyramide qui a un
cercle pour base.

Le cône tronqué, y%. 167 , s'évalue d'une manière
analogue à celle qu'on a donnée pour celle de la py-
ramide qui se trouve dans le même cas, en prenant
pour premier terme de la proportion le diamèlre de la
base inférieure du cône, et pour troisième celui de la
base supérieure.

299. Quelle est la solidité d'une sphère?

C'est le produit de sa surface par le tiers de son
rayon, parce qu'elle peut être considérée comme
composée d'une infinité de pyramides qui ont la sur-
face de la sphère pour base et tous les sommets réunis
au centre.

300. Comment obtient-on la solidité d'un secteur
sphérique AYjYGH , Ji^. 174^

En multipliant la surface de la calotte EGFH par
le tiers du rayon AI; car il peut être considéré comme
ua côue qui a la calotte sphérique pour base.

(87)

3oi. Que faut-il faire pour ai>oir la solidité (Vun
segment sphérique quelconque AB,^g". 176?

Il faut multiplier la moitié de la somme de ses bases
par sa hauteur, et y ajouter la solidité d'une sphère qui
aurait la hauteur IJ du segment pour axe.

302. Comment ohtient-on la solidité du coin ou on*
glet sphérique BDGE , j^g". 176?

En multipliant la surface du fuseau qui lui sert de
base par le tiers de son rayon FE: car on peut le
considérer comme composé d'une infinité de pyra-
mides qui ont leurs sommets réunis au centre de l'an-
gle tranchant du coin , et dont les bases composent le
fuseau sphérique.

303. Que fout-il faire pour avoir la solidité d'un
polyèdre régulier quelconque?

Multiplier sa surface par le tiers du rayon de ce
Tolume, considéré depuis son centre jusqu'au milieu
de l'une de ses faces. Ainsi, pour avoir la solidité du
dodécaèdre, ^g". 179, il faudrait multiplier sa surface
totale par le tiers du rayon AB.

Ceci est évident , tout polyèdre pouvant être consi-
déré comme composé d'autant de pyramides qu'il a
de faces , dont les sommets vont aboutir au centre du
solide. Or la solidité d'une pyramide est égale au pro-
duit de sa base par le tiers de sa hauteur: donc celle
d'un polyèdre quelconque est égale au produit de sa
surface par le tiers du rayon mené au centre de l'une
de ses faces, et qui détermine la hauteur perpendicu-
laire de chacune des pyramides dont le polyèdre est
composé.

304. Comment pourraiî-on obtenir la solidité de^
corps irréguliers, comme seraient une pierre, une
chaîne , etc.

En les plongeant dans un vase contenant assez d'eau
pour couvrir entièrement l'objet; la quantité d'eau
déplacée marquerait le cube dudit objet.

305. Quel est le rapport des solides semblables?

(88)

Les solides semblables sont entre eux comme le cube
cle leurs lignes homologues.

3 06. Quelle opération faudrait-il faire pour couper
Une pjramide ou un cône de manière à en avoir une
partie quelconque ^ comme la moitié ^ le tiers ^ etc.?

Soit un cône d'un pied de haut dont on veut avoir la
moitié, faites cette proportion, i : 7 :: le cube de
12 pouces : cube de la hauteur, à partir du sommet,
oii doit passer le plan tranchant-

So-j. Etant données , en nombre , la surface ou les

~dimensions de la base d'un prisme , d'un paralléli-

pipède j d'un cj-lindre , d'un cône^ d'une pyramide y

que faut-il faire pour les construire de manière à

leur donner une solidité déterminée?

Pour le prisme et le parallélipidëde, il faut diviser
la solidité déterminée par la surface de la base ou le
produit des dimensions données, le quotient donnera
l'autre.

Pour le cylindre, le cône et la pyramide, il faut
aussi diviser la solidité donnée par la surface de la
base, qu'il faut chercher si elle n'est pas donnée; le
quotient donnera la hauteur du cylindre et le tiers de
celle du cône et de celle de la pyramide.

S'il s'agissait du cube, la racine cubique de la soli-
dité donnée serait la longueur du côté demandé.

Exercices. — Déterminer la solidité des corps ,
fg. 167 , i58, 169, 160 , i63 , i65 et 1 74, d'après une
échelle donnée. [P'ojez Arith., pag. 181 , pour d'au-
tres exercices.)

(J92

CHAPITRE XXVII.

DES POLYÈDRES.

SECTION PREMIÈRE.

Construction des Polyèdres lëguliers.

3o8. \}\jEfaii-t-il faire pour construire un tétraèdre
régulier?

SupjDOsé qu'on ait donné le triangle e'qnilaléral A ,
■fig. 176 , pour l'une des faces du polyèdre demandé j
il faut au centre A de ce triangle élever une perpen-
diculaire et mener de l'un quelconque B de ses an-
gles, une droite égale à l'un des côtés du triangle , et
son intersection E avec la perpendiculaire indiquera
le point oii il faudra mener des droites à partir des
autres angles pour terminer le tétraèdre.

809. Comment conslruit-on V hexaèdre?

Supposé qu'on ait donné le carré A BGD , j%. 177,
pour l'un des côtés de ce solide , il faut sur chacun
de ses côtés AB, BC,CD, DA construire perpendi-
culairement un carré égal au proposé , et on a l'hexaè-
dre demandé.

3 ro. Que faut-il faire -pour construirc'Ain octaèdre
régulier ?

Soit donné le triangle B, ^g. 178, pour l'un des
côtés de ce polyèdre; il faut construire un carré A G
DE , dont la longueur des côtés soit égaie à celle de
ceux du triangle; au milieu I de ce carré , mener per-
pendiculairement au-dessus et au-dessous deux droites ,
chacune égale à la moitié de la diagonale de ce même
carré; de tous ces angles mener des droites AJ,GJ,
D J , E J à l'exirémilé J de la perpendiculaire I J j en

(90) -I

toiKÎuire aussi à rextrémité L cle la perpendiculaire
IL, et on a l'octaèdre demandé.

3ii. Que faut-il faire pour construire le dodé~
caedre ?

Supposé qu'on ait donné le pentagone régulier A ,
yîg. 1 79 , pour l'une des faces de la figure demandée ;
il faut à chacun de ses angles tirer des droites C , D , E,
F, G perpendiculaires aux côtés opposés à ces angles,
et chacune égale à la moitié de l'un de ces côtés ; aux
extrémités C , D , E , F , G de ces lignes élever des per-
pendiculaires au plan du pentagone donné; mener,
des angles de cette même figure , des droites égales à
ces côtés jusqu'à la rencontre des perpendiculaires ,
elles seront les arêtes des autres pentagones construits
sur les côtés du plan proposé et dans l'inclinaison néces-
saire. Cette construction donne la moitié du dodé-
caèdre. L'autre partie se construit de la même ma-
nière sur un pentagone égal au premier , après quoi
on les réunit , et leur ensemble ne forme qu'une seule
surface continue, remplissant les conditions de la de-
mande.

3 12. Comment construit-on Vicosaedre?

Supposé qu'on ait donné le triangle A ,y%. i8o,
pour l'une des faces de l'icosaèdre demandé, il faut
décrire un pentagone régulier B , G , D , E , F dont les'
côtés soient égaux aux côtés de ce triangle ; élever une
perpendiculaire AI au milieu A de ce pentagone, et
de chacun de ses angles mener à cette perpendiculaire
des droites BI, CI, DI, El, FI, chacune égale
aux côtés du triangledonné : celte construction donne
le quart du polyèdre demandé. Trois autres construc-
tions semblables fourniront les autres parties de l'ico-*
saèdre , qu'on assemble ensuite sans difficulté.

Exercices. — On pourrait faire construire, en
carton , les figures précédentes.

(9' )

r' =s

SECTION II.

Coupe des Polyèdres re'guliers.

3i3. y^iiY. faut-il obser\fer avant que de tailler un
polyèdre quelconque ?

Avant que de déterminer les plans de sa surface,
il faut faire une boule de l'objet à tailler.

3 14. Que faut-il faire pour déterminer les coupes
du tétraèdre?

Sur un diamètre AB^fg. 176, e'gal à l'axe de la
boule, décrire une circonférence et la partager en
quatre parties égales par deux diamètres croisés per-
pendiculairement ; de l'extrémité B du diamètre AB
et d'un rayon égal à BG décrire l'arc CE; mener par
le point E, FG parallèle à CD, et sur FG, comme
diamètre , décrire une circonférenee qu'il faut parta-
ger en trois parties égales.

Il faut porter ensuite sur la boule BDF, une ou-
verture de compas BE égale à l'une des cordes FJ
qui sous-lend l'arc F N J ; des deux points B et E , et
toujours de la même ouverture de compas , décrire des
arcs qui se coupent en F j des points E et F en décrire
d'autres qui se coupent en D : les points B , E , F déter-
mineront la première coupe, les points. E, F, D la
deuxième , les points B, E, D la troisième , et les points
B, F, D la dernière.

3i5. Comment détermine — t -on la coupe de
r hexaèdre?

On partage en quatre parties égales une circonfé-
rence, ^^. 177, décrite sur un diamètre AB égal à
l'axe de la boule à tailler; de l'extrémité B du dia-
mètre AB, et d'un rayon égal à BC , on décrit l'arc
CE ; on porte El de A en J , et on mène par le point
3 la corde LN perpendiculairement à AB j du point D
Où décrit l'arc jSOM, et ou lire la corde NM qui est

( gO

la longueur des arêtes de l'hexaèdre , et NL la diago-
nale.

Ensuite, pour déterminer la première coupe, on
porte sur la boule une ouverture de compas AD
égale à NM; de l'un de ces points A, et d'un même
rayon, on décrit un arc en R; du point D., et d'un
rayon égal à NL, on coupe l'arc R , et les trois points
A, D, R déterminent la première coupe de l'hexaè-
dre. Pour déterminer la deuxième coupe , à partir des
points A et R, on cherche un troisième point B de la
même manière que R; et les trois points A , B , R la
de'terminent. Toutes les autres coupes se trouvent de
la même manière.

3 16. Comment dé termine-t-on les coupes de VoC'
taedre ^fi§. i^Sl

Après avoir partagé une circonférence en quatre
parties égales AG, CD, DE, EA décrite sur un dia-'
mètre égal à l'axe de la boule donnée, on portera sur
cette boule une ouverture de compas égale à l'une de
ces divisions G Dj des points G et D, et de la même ouver-
ture de compas , on décrira des arcs qui se couperont en
J, et ces trois points G, D, J détermineront la première
coupe de l'octaèdre. Pour déterminer la deuxième
coupe, des points D et J, on décrira des arcs en E5
pour déterminer la troisième des points J et E , on en
décrira en A • les points J , A , G détermineront la qua-
trième. Pour déterminer les autres coupes des points
Cet D , on décrira des arcs en L, et les points G , D, L'
seront pour la cinquième cou))e; les points D, E, L
pour la sixième j les points E , A , L pour la septième ,
et A , G, L pour la dernière.

317. Que faut-il faire pour déterminer les coupes
du dodécaèdre ^ f g. 179?

Il faut décrire une circonférence H IJ d'un rayon
égal à la neuvième partie d'une circonférence décrite
sur un diamètre A B égal à l'axe de la boule don-
née; partager celte circonférence en cinq ])arlies éga-
les^ tirer la corde J II ; porter ensuite sur la boule une

_ f93)
ouverture de compas e'gale à IJ cle L en M; de ces points
etd'une ouverture égale à IH , on décrit des arcs en N^
ces trois points détermineront la première coupe du
dodécaèdre. Partager ensuite cette face en cinq parties
égaies. Des points M et 0 et d^une ouverture de compas
égale à IH, décrire des arcs qui se coupent en P^ des
points L et M en décrire d'autres qui se coupent en Qj
des points L et R d'autres qui se coupent en S, et ainsi
de suite sur tous les côtés : les points M, 0 , P déter-
mineront la deuxième coupe du polyèdre; les points
L, M, Q la troisième; L, R, S la quatrième, etc. Pour
déterminer les autres coupes, il faut partager ces der-
nières comme la première en cinq parties sur lesquelles
on opérera comme on vient de faire sur les première?
divisions , et ainsi de suite.

3i8. Comment détermine-i-on les coupes de ficO'
saèdre ,./%•. 180?

Après avoir décrit une circonférence sur un dia-
mètre MN égal à celui de la boule, et l'avoir partagée
en quatre parties égales; du point M on décrit l'arc
OR, du point R l'arc OP, et on tire la corde OP sur
laquelle, comme diamètre , on décrit un cercle qu'on
partage en trois parties égales.

Ensuite on portera sur la boule une ouverture de
compas égale à l'une OT de ces parties , par exemple
de B en F ; de ces points et d'une ouverture de compas
égale à la première , on décrira des arcs en I , et les
trois points B , F , I détermineront la première coupe
de l'icosaèdre; des points I , F on en décrira en E ; de
B et F on en décrira en G ; des points I et B on en dé-
crira d'autres en C : les points I , F, E détermineront
Ja seconde coupe ; les points B , F , G la troisième ; et
les points I , B, C la quatrième. Des points I , E on
déterminera les coupes lED, ICD; de E,F on dé-
terminera les coupes HE F, FHG; et de G, B les
au très coupes B G L , B L C. C'est en suivant ce procédé
qu'on obtiendra les autres coupes qui terniineroiiî
i icosaèdre.

~ (90
SECTION III.

Autre manière de déterminer la coupe des Polyèdres.

3 19. CiOMMENT peut-on encore déterminer la coupe
des polyèdres?

En décrivant sur la boule des cercles qui détermi-
nent les limites de chaque coupe.

320. Comment peut-on déterminer les coupes du
tétraèdre par des cercles?

Après avoir partagé en quatre parties égales une
circonférence d'un diamètre égal à celui de la boule
à tailler, ^g. 181, on décrit de l'extrémité B de Tua
des diamètres A B , et d'un rayon égal à B G, l'arc G E ;
par le point E on mène F G parallèle à G D , et ou tire
la corde A F.

Ensuite d'un point quelconque E , pris sur la boule ,
et d'un rayon égal à F A , on décrit le cercle B F D qui
détermine la première coupe du tétraèdre. Pour dé-
terminer les trois autres coupes, on partage le cercle
BFD en trois parties égales j des points B et F, et tour
jours d'un rayon égal à FA , on décrit des arcs qui se
coupent, et de leur intersection on décrit un autre cer-
cle qui détermine la deuxième coupe ; des points F etD'
on détermine la troisième coupe comme la précé-
dente, et la quatrième à partir des points B et D.

32 T. Que faut-il faire pour déterminer les couper
de V hexaèdre fig. 182?

Après avoir partagé en quatre parties égales une*
circonférence décrite sur un diamètre égal à l'axe de
la boule, il faut d'un rayon égal à BC décrire l'arc
G E et porter E I de A en J ; mener par le point J la
corde LN parallèle à GD , et tirer la corde A L.

Ensuite, à partir d'un point quelconque A de !a
boule, et d'un rayon égal à AL, il faut décrire un
cercle qui dclermine la première coupe de l'hexaèdre.

(95)

Partager le cercle qui détermine la première coupe
en quatre parties égales ; pour déterminer la deuxième,
à partir des points N et J et d'un rayon égal à celui
du premier cercle décrit, il faut tracer des arcs qui
se coupent en P, et de leur intersection, et toujours
de la même ouverture de compas , décrire le cercle
NJ,' la troisième se trouve de la même manière, en
cherchant le centre du cercle à partir des points Jet I ;
la quatrième , à partir des points T et 0 5 la cinquième ,
à partir des points 0 et N; et la dernière est détermi-
née par les précédentes.

322. Comment déterTnine-^t-on la coupe de VoC"
taedre ,Jîg. i83?

Après avoir partagé en quatre parties égales une
circonférence décrite sur un diamètre CD égal à
celui de la boule, on construit un triangle équi-
latéral sur la corde A D qui joint deux points de divi-
sion; on lui circonscrit une circonférence ABD5 on
porte son diamètre B I sur la première circonférence
décrite, par exemple de H en L, et on partage l'arc
qu'il sons-tend en deux parties égales, et on tire la
corde HN; ensuite , d'un point quelconque A pris sur
la boule , on décrit un cercle R S T U d'un rayon égal à
NH^ on le partage en quatre parties égales, et de
chaque point de division R, S, T, U et d'un rayon
égal à celui du premier cercle tracé, on en décrit
quatre autres qui déterminent les quatre premières
coupes de l'octaèdre. A partir des intersections des
I cercles V et X, et toujours d'un même rayon, on
décrit des arcs dont Tintersection donne le centre du
5 cercle qui détermine la cinquième coupe; des points
{ y et Z , on cherche de la même manière le centre
( du cercle qui en détermine la sixième: les centres des
a cercles qui déterminent les dernières coupes se trou-
vent de la même manière.
a 323. Que faut^il faire pour déterminer les coupes
^j du dodécaèdre j fig. 1 84 ?
{, j Pécrirç une circonférence A B CD . d'un rayon égal

(96)
à la corcle àc la neuvième partie d'une circonférence
décrite sur un diamètre M I égal à Taxe de la boule ;
])orler le diamètre A G de A en B ; partager l'arc qu'il
sous-tend en deux parties égales , et tirer la corde IB.

Ensuite, d'un point quelconque J de la boule,
et d'un rayon égal à IB, décrire un cercle, le par-
tager en cinq parties égales; à partir de deux point»
de divisions consécutifs L, V, et d'un rayon égal £
celui du premier cercle tracé, décrire des arcs qui S(
coupent en Oj de cette intersection, et toujours d<
la même ouverture de compas, décrire le cercle qu
passe par les points L et V; déterminer de la même ma
nière celui qui passe par les points Let N , ainsi que le
autres. Il faut opérer ensuite sur chacun des autre
cercles comme on a fait sur le premier, c'est-à-dire
les diviser en cinq parties , et chercher des centres pou
décrire d'autres cercles qui passent par les points de d:
vision de ceux-ci. Chaque cercle détermine une coupe

324* Comment délermine-t-on la coupe de lico
saedre , fïg. i85?

Ayant partagé en quatre parties égales une circon
férence décrite sur un diamètre AB égal à l'axe de I
boule ; à partir de l'extrémité A du diamètre A B , (
d'un ra^'^on égal à AC, on décrit l'arc CD ; du point I
et d'un rayon égal à D C , on décrit CE , et du point
l'arc EO ; on partage en deux parties égales l'arc sou
tendu par CO , et on tire 10.

Ensuite, à partir d'un point quelconque J de 1
boule, et d'un rayon égal à 10, on décrit une cii
conférence qu'on partage en trois parties égales; d<
deux points de division consécutifs N et R , on décrii
d'un rayon égal à celui du premier cercle tracé , di
arcs qui déterminent , par leur intersection , le centi
du cercle R N; à partir des deux points R et Y, o
cherche de la même manière le centre d*un troisicn
cercle, et de Vet N celui d'un quatrième; on divise ei
suite ces trois derniers cercles comme le premier, et c
^eurs points de division on cherche les centres des ai

très cercles, qu'on décrit toujours d'un même rayon
que les premiers, etc. Chaque cercle détermine une
coupe.

CHAPITRE XXTIII.

RACCORDEMENT DES LIGNES.

* 325. v2ij'est-ce que le raccordement des lianes?
C'est l'art d'unir plusieurs lignes de mêmes ou de

différentes espèces, sans qu'elles offrent de jarrets ni
de coudes aux points de jonction.

* 326. Que faut-il faire pour décrire une courbe à
Vextrémité d'une droite donnée et qui se raccorde
avec cette li^ne ?

Elever à l'extrémiîé A ,j%. 186 , de la droite don-
née , une perpendiculaire A G , et d'un rayon quel-
conque AE, pris sur la perpendiculaire , décrire l'arc
AB. On voit que ce problème est indéterminé; car
on pourrait d'un autre point pris sur la perpendicu-
laire , décrire une courbe qui se raccorderait égale-
ment avec la droite donnée.

* 327. Connaissant un point A^fg. 187^ par oli
doit passer une courbe qui doit se raccorder avec une
droite, que faut-il faire pour trouver le centre de la
courbe ?

Joindre par une droite le point donné A à l'extré-
mité B de la ligne donnée^ mener une perpendicu-
laire CD au milieu de AB5 en élever une autre à
l'extrémité B de la ligne EB , et l'intersection I de ces
deux perpendiculaires est le centre de la courbe BCA ,
qui se raccorde avec la droite donnée. Ce problèrne
est déterminé, le centre et le rayon étant donnés par
la rencontre des deux perpendiculaires.

,1(11' 3 2SQ ; faut-il f a ire pour raccorder deux droites

ap-i y ^^'0«/ en convergeant?

'if 5

(98)
figurer leur prolongement , fi^. 188 ; partager
l'angle A qu'elles forment eti deux parties égales ;
élever une perpendiculaire BC à l'extrémité B de
l'une des droites, et le point d'intersection I qu'elle
fait avec la bisectrice , est le centre de la courbe qui
raccorde les droites données.

'* 329. Comment raccordc-t-on une droite avec un
arc de cercle donné dont on connaît le centre ?

On joint le point A,j%. 189, de la courbe qu'on
veut raccorder, à son centre C; et la perpendicu-
laire A B , élevée au point A sur le rayon C A , est la
droite qui se raccorde av^ec l'arc.

* 33o. Que faut- il faire pour décrire une courbe
qui se raccorde avec les extrémités d'une droite
donnée , fig, i go ?

Elever des perpendiculaires AD, BC, sur les ex-
trémités de la droite donnée 5 tirer la parallèle I J;
des points D et G décrire les arcs A I, BJ; et du
point E , milieu entre I et J , décrire la demi-circon-
lérence ILJ , et le problème est résolu.

* 33i. Comment raccorde-t-on deux parallèles
d'égale longueur ?

On joint les extrémités A et B^fg. 191 , et du mi-
lieu C de la droite AB, on décrit l'arc ADB qui rac-
corde les parallèles.

3^1. Que faut-il faire pour trouver le centre dune
courbe qui doit se raccorder avec une autre courbe
donnée , et passer par un point désigné"?

De l'extrémité A de la courbe donnée A \^fif.. 192,
tirer une droite AC, qui passe par le centre C , qu'il
faudrait clierclier si on ne le connaissait pas, (N^ 83) j
joindre aussi le point donné B au point A ; couper la
droite AB par une perpendiculaire DE , et le point
d'intersection E qu'elle fait avec A C est le centre de
la courbe cherchée.

333. Fa si le point est placé au-dessus de la
courbe, fig. 193?

X 99 )

Il faut tirer une droite qui passe par le centre G,
clu cercle et rcxtre'niité A de la courbe que l'on veut
raccorder; joindre les points B et A,* mener une per-
pendiculaire au milieu de la droite AB, et l'intersec-
tion I qu'elle fait avec CD est le centre de la courbe
cherchée.

* 334- Que faut-il faire pour raccorder deux pa-
ralVcles ,fig. 194? placées de manière que la droite
qui joint leurs extrémités ne leur est pas perpendi-
culaire ?

Aux points A et B il faut élever les perpendiculaires
BE et AI d'une longueur indéfinie ; joindre les points
A et B 5 mener CD au milieu des lignes données, et
qui leur soit parallèle* porter la longueur A G de G
en D ; enfin par le point D mener DE perpendiculaire
à A B , le point I sera le centre de l'arc A D , et le point
E celui de l'arc BD.

Exercices. — Dessiner les grilles , ^^. XLI , XLII
etXLIII.

Après avoir dessiné le bâti de la première , on cher-
chera le centre du rectangle intérieur, en joignant les
angles opposés, puis on formera la rosette j on fera
ensuite le raccordement des arcs intérieurs qui abou-
tissent au milieu des côtés, enfin on décrira les arcs
tangens.

Ayant dessiné le bâti de la seconde, on tirera une
ligne AB à une dislance du bâti, égale à celle que
l'on veut donner aux barreaux; les ayant dessinés,
on décrira les demi-circonférences tangentes au bâti ,
et appuyées sur les barreaux.

La troisième se dessine d'une manière analogue: les
arcs ont leur centre sur le barreau contigu.

La Cuvette, /g-. XLIV :

Cette figure est composée de deux arcs raccordés
avec le filet qui en est la base, et terminés par des
congés, lesquels sont surmontés d'un filet et d'ua
quart de rond plat.

^ ( 100 )

i== — [

CHAPITRE XXIX.

FIGURES CURVILIGNES A PLUSIEURS CENTRES.

SECTION PREMIÈRE.

Définition des Figures curvilignes.

335. y^oMm'ES y a-t'il de figures curvilignes à plu'
sieurs centres ?

Il y en a une infinité ; les centres de ces figures pou-
vant être plus ou moins nombreux, et les lignes dont
elles sont formées pouvant être aussi plus ou moin§
courbes.

* 336. Quelles sont les principales figures curvi^
lignes?

Ce sont l'ellipse ordinaire, l'ellipse de jardinier,
l'anse de panier, l'ovale et la spirale.

^ 337. Ç)u appelle- t-on ellipse?

C'est une figure circulaire formée de quatre arcs de
cercles raccordés, et égaux deux à deux : c'est un
cercle oblong,j^ê^. 195.

^ 338. Qu est-ce que r ellipse de jardinier?

C'est une figure semblable à la précédente , mais
qui se trace autrement ^fig- 196.
* * 339. Quappelle-t'On anse de panier?

C'est une ligne courbe formée de trois arcs rac-
cordés, dont deux AN et B M sont égaux, Z"^. 197.

* 340. Qu est-ce que Vocale ?

C'est une figure circulaire formée de quatre courbes
raccordées, dont deux BG et AF seulement sont é^SL-
hs.fig. 198.

34 ï* Qii*€St"Ce que la spirale?

•( «I )

Cest une ligne , qui , en tournant, s'ëloigne àe son
centre ,7%. 19g.

SECTION II.

Conslruclion des Figures curvilignes.

* 342. yJzY. faïU'il faire pour tracer une ellipse
ordinaire ?

Tirer une droite K^^ fig. igS, de la longueur de
l'ellipse que l'on veut tracer; partager cette ligue eni
trois parties e'gales AK , H K , HB ; faire sur la partie
H K les triangles équilatéraux H E K , HDK ; ensuite ,
des points H et K comme centres , décrire les arcs
LAC, IBG, jusqu'aux cotés des triangles prolongés ;
et despoints E et D^ et d'un rayon égala EL, décrire
les arcs LG et CI.

* 343. Si le petit axe seulement était donné?

Il faudrait le prolonger d'un quart et on aurait le
grand axe sur lequel on opérerait , comme il vien4
d'éfre dit.

* 344- Que faut-il faire pour tracer V ellipse dé
jardinier ,fîg. 196, les deux diamètres ou axes étant
donnés ?

Croiser perpendiculairement et par le milieu les
deux diamètres AB , DG ; de l'extrémité D du petit
axe, et d'une ouverture de compas égale à la moitié AC
du grand axe , eu décrire l'arc EF qui coupe le grand
axe en E et en F; prendre ensuite un fil ou un cordeau
dont la longueur égale le grand axe , en fixer les bouts
l'un en E et l'autre en F ; faire glisser un instrument à
tracer dans le pli M du cordeau , et on décrit l'ellipse.

"* 345. Comment trace-t-on V anse de panier lorS"
<lu^on connaît sa base et sa hauteur?

On élève perpendiculairement D C ^fg. X97 , hau-
teur de l'anse , sur le milieu de A B qui est sa base -j ou

( 102 )
joint les extrémités AB de la base au sommet D êc la
perpendiculaire ; on porte la hauteur CD de l'anse de
C en F; on porte la différence A F des demi-axes de D
en 0 et en II j au milieu P et I de BO et AH, on élevé
les perpendiculaires PE, lE qui vont concourir en
iiu point E de l'axe CD prolongé j les points L et G
sont les centres des arcs BM, AN, et le point E est
celui de Tare MDN. Cette méthode peut aussi servir
pour faire une ellipse dont les axes sont donnés.

* 346. Que faut-il faire pour décrire dans un rec-
tangle quelconque ^ fig, 200 , une ellipse qui soit lan-
genLe à ses côtés?

Tirer les droites AB , CD qui partagent le rectangle
donné en quatre rectangles égaux : ces deux lignes
seront les axes de l'ellipse que l'on construira , par la
méthode précédente.

* 347. Comment délej^mine-t-on les centres d'une
ellipse décrite dans un losange et qui soit tangente
à ses côtés?

On joint les angles opposés du losange par des dia-
gonales A B , CD, //g. 20 1 , on cherche le milieu de ses
côtés E , F , G , H ,• on mène par ces points des perpen-
diculaires aux côtés qui détermineront , par leur
intersection avec la diagonale AB , les points I et M
pour les centres des arcs FG, EH, et par celle
qu'elles font avec CD, les centres des arcs EF, G H.

* 348. Que faut-il faire pour tracer im ovale?

Tirer une droite AB ,fg. 198 , égale au petit axe
de l'ovale ; élever une perpendiculaire CD sur le mi-
lieu de AB,' porter la longueur ACde C en D ; tirer
les droitesAD,BD prolongées au-delà du point D j
du point C et d'un rayon égal à AC, décrire l.i
demi-circonférence A E B j des extrémités A et B du
petit axe , décrire les arcs BG , AF ,* et de l'intersec-
tion D décrire l'arc F G, et on a l'ovale demandé.

* 3/,9. Si le grand axe seulement est donné , que
faut-il faire?

(.03) _

Le partager en moyenne et extrême raison , N° loo,
le petit segment sera !e rayon de la demi-circonfé-
rence de l'ovale; le reste est déterminé par la con-
naissance de celui-ci.

"* 35o. Comment iface-t-on la ligne spirale?

On tire les quatre lignes AB, CD , EF, GH formant
un carré à leur naissance, comme on le voit à la
/ig. igg , A sera le centre du premier arc QdjG celui
de l'arc de , E c'^clui de l'arc ef, et C celui de l'arcy^;
et si l'on fait une seconde révolution, A sera encore le
centre de l'arc gli , etc.

35 1. Comment obtient^on la longueur de la spî"
raie ?

En faisant cette proportion^ '^ : 22 :; la somme du
premier et du dernier rayon : x. La réponse, multi-
pliée par le nombre de tours et parties de tour de la
spirale, déterminera sa longueur.

352. Quelle est la surface de l'ellipse?

C'est celle d'un cercle qui a pour diamètre une li-
gne moyenne proportionnelle entre les deux axes.

On l'obtient encore par la proportion suivante ,
1000 : 785 :: le produit des deux axes ': la surface
de l'ellipse. L'ovale étant composé de la moitié d'un
cercle, plus la moitié d'une ellipse, il est aisé d'en
évaluer la surface.

Les voûtes à plein cintre ou à berceau , ayant la
moitié de la circonférence pour profil , ont pour sur-
face la moitié de celle d'un cylindre de même diamè-
tre et de même longueur. Si la voûte est surbaissée,
c'est-à-dire , ayant la forme de l'ellipse coupée sui-
vant son grand diamètre, on fera cette proportion ,
pour avoir le profil de la voûte, 49 : 180 :: la moitié
du diamètre, plus la montée : la longueur du pour-
tour de la voûte, qu'on multipliera par la longueur,
et on aura la surface. On opérera de même pour la
voûte surmontée, ou en forme de l'ellipse coupée
suivant son petit axe. Hors ces trois cas, c'est-à-dire,

( io4 )

lorsque les diamètres ne sont point dans le rapport
de 4 à 3 , la surface ne peut s'évaluer que par ap-
proximation , en multipliant la longueur de la voûte
par son pourtour.

Exercices. — Dessiner un Loi avec sa soucoupe,

Cette figure est composée d'une demi-circonférrnce
surmontée d'une baguette , et portée par un petit pie-
douche: les lignes ponctuées indiquent la partie du
bol cachée par la soucoupe.

Le tonneau, ^^. XLVI :

Les fonds sont représentés par deux ellipses, et les
côlés par des arcs pour former le renflement.

La soupière j^Tg". XLVII;

Celle figure est composée d'une partie d'ellipse
poriée sur un piédouche, et surmontée de quelques
jnoulures : les anses sont formées chacune de deux
cercles et de lignes raccordées.

La grille,/^. XLYIII:

Apres avoir formé le bâti, on décrit les arcs qui
forment la grande ellipse ; on tire ensuite par le
milieu des côtés les lignes qui forment le losange,
et l'ellipse tangente aux côtés dudit losange , ensuite
la rosette et les croisillons.

■( 'o5 )

CHAPITRE XXX.

SÉDUCTION DES POLYGONES EX d'àUTRES DE MÊME
SUPERFICIE.

SECTION PREMIERE.

Béduction des Polygones curvilignes en Polygones r.ectiligues,
et réciproquement.

353. \^[:'E faut-il faire pour réduire le cercle à un
c^rré qui lui soit égal en superficie?

Couper le cercle donné par un diamètre AB,
fg. 101 \ tirer le rayon D G perpendiculaire à A B; de
l'extrémité B du diamètre décrire Tare G E ; de l'extré-
mité A décrire l'arc E F ; et tirer la corde FG, qui
est le côté du carré G égal en superficie au cercle.

354. Que faut-il faire pour réduire le carré au
cercle ?

Décrire une circonférence BFGH, fg. 2o3 , d'un
rayon arbitraire ; opérer dessus comme nous venons de
dire , pour réduire le cercle au carré; porter sur la
cordeFG qu'on prolonge, s'il est nécessaire, la lon-
gueur MN égale à l'un des côtés du carré donné de
F en G ; couper F G au milieu par une perpendiculaire
JI, et le point d'intersection I qu'elle fait avec F H
détermine I F pour le rayon du cercle égal en super-
ficie au carré donné.

355. Que faut-il faire pour réduire le cercle ou
tj'iangle équilatéraî?

Couper le cercle donné par un diamètre AB ^fig.
204^ mener le rayon GD perpendiculaire au diamè-
tre; du point B et d'un rayon égal à celui du cercle,
couper la circonférence en Ej du point D décrire l'arc

5.

( 'oG )

EF qui détermine A F pour le côté d'un triangle équi-
jatéral G égal en superficie au cercle.

356. Counnenl réduil-on le triangle au cercle ?
Il faut premièrement le réduire à un carré qui lui

soit égal en superficie (1S° 207) , et réduire ce carré
au cercle par la méthode précédente.

357. Comment réduit-on V ellipse à un carré égal
en superficie?

On la réduit premièrement à un cercle qui lui soit
égal en superficie, en cherchant une moyenne pro-
portionnelle entre ses deux axes (N° 352); et on réduit
ensuite le cercle au carré (N° 353} , et le problème est
résolu.

Si Ton voulait réduire le carré à une ellipse, on
amènerait d'abord le carré au cercle , et ensuite le
cercle à l'ellipse.

Exercices. — Exécuter les problèmes ci-dessus d'a-
près des dimensions données.

SECTION II.

Réduction des Polygones curvilignes en d'autres de même
superficie.

358. v2uE faut-il faire pour réduire le cercle ii
luic ellipse qui lui soit égale en superficie (i)?

Tirer le diamètre C D du cercle donné , Jlg. 2o5 ;
du point G et d'une ouverture de compas égale au
rayon du cercle , couper la circonférence en L et en N ;
tirer la corde LN , elle sera le petit axe de l'ellipse de-

(i) Dans cette réduction, on considère l'ellipse dans le rap-
port de 4 à 3 , qui est celui qui existe entre ses deux axes lors-
qu'on la décrit par la méthode rs"° 341 ; car, si l'un des axes était
donné , on chercherait alors une troisième proportionnelle à cet
axe et au diamètre du cercle à réduire, et cette troisième se-
rait l'autre axe de Pellipse égale en superficie au cercle djnué.

( 107 ) ^
manclée : la troisième proportionnelle M, à celte
ligne et au diamblre du cercle, en est le grand axe

Pour construire l'ellipse on suit la méthode (N°34î).

359. Comment réduit-on V ellipse au cercle?

On cherche une niovenîie proportionnelle entre les
deux axes de l'ellipse donnée (]S° 99) ; cette ligne est
le diamètre d'un cercle égal en superficie à l'ellipse.

360. Que faut- il faire pour réduire le cercle à un
ovale qui lui soit égal en superficie ?

Couper le cercle donné , fg. 203, par deux diamè-
tres A B , G D qui se croisent perpendiculairement et
dont l'un d'eux CD soit prolongé; de l'extrémité D du
diamètre C D , et d'un ravon éj^al à celui du cercle,
couper la circonférence en E, du point G décrire
l'arc EG; du point D l'arc GH I , et on a GI pour le
grand axe de l'ovale égal en superficie au cercle donné.
Pour le construire , vojez n'^^ 349 et 348.

36 1. Comment réduit-on Vocale à un cercle qui
lui soit égal en superficie ?

Du milieu G du grand diamètre de l'ovale donné ,
fig. 2o5 , et d'un rayon égal à AG , on décrit l'arc ABD
qui rencontre le prolongetr.ent du petit axe; on lire la
droite AD sur laquelle on décrit une deuii-circonfé-
rence AED5 la corde AE , menée du point A au milieu
Ede cette demi-circonférence , est le rajon d'un cercle
égal en superficie à l'ovale donné.

* 362. Que faut-il faire pour tracer une moppe-
monde , fig. 206?

Après avoir décrit le premier méridien AEIM, il
faut le couper par deux diamètres perpendiculaires
entre eux; partager la circonférence en tous ses de-
grés (pour abréger nous ne la diviserons qu'en seize
parties)^ de l'une des extrémités du diamètre JA
tirer des droites aux points de division D, G,B,
P, 0 , N qui déterminent , par leur intersection a^b,
c, d, c ,f, avec le diaAièlre EM, les troisièmes points

( ro8 )

ou doivent passer les courbes A aï, A^I, A cl, Adl,
A<?I, A/I. De l'une des extréraitës M du diamètre
E et M tirer au point de division H , G, F, D, G , B qui
déterminent aussi par leurintersection i ,y, Z, m, 7i,o
avec le diamètre AI, les troisièmes points par oii
doivent passer les courbes IliJ, Gy'K, F/L, DmN,
C/iO, BoP, qui terminent la mappemonde.

Exercices. — Exécuter les problèmes ci-dessus d'a-
j^res des dimensions données:

Construire un cercle , un triangle, un rectangle et
v',\ carré de même superficie.

On décrira une circonférence sur un diamètre divisé
en sept parties.

Pour former le triangle , on abaissera perpendicu-
lairement un rayon et on lui mènera une perpendi-
culaire d'une longueur égale à trois fois le diamètre
et ^- ensuite on mènera l'hypoténuse par son extré-
jjiilé et le centre , et on aura le triangle demandé.

Pour le rectangle , on élèvera une perpendiculaire
b.T:r le grand côté de Faugle droit, égale et parallèle au
riyon du cercle; enfin on joindra son extrémité et le
centre du cercle par une droite.

A Pour le carré, on cherchera une moyenne propor-
tionnelle entre les deux cotés adjacens du rectangle.

CHAPITRE XXXI.

DES MOULURES.

^ 363. Qu'est-ce que les moulures?

Ce sont des parties saillantes qui servent d'ornement
à l'arcliitecturo.

"^ 064. Combien j a-t-il de sorLes de moulures?

De trois sortes ; des droites, des circulaires et des
composées.

*3Gj. Quelles sont lesprincipales moulurer droitei?

'( 109 )
Ce sont le filet ou listel , le larmier et la plate-Lande.

* 366. Qu est-ce que le filet?

C'est une moulure carre'e étroite, dont la saillie A et G
doit e'galer la hauteur , fig. 207 ; on Tappelle aussi
rëglet ou bandelette.

* 367. Qu'est-ce que le larmier?

C'est une moulure large et saillante, creusée sou-
vent en-dessous , que l'on place dans les corniches
pour pre'server l'édifice des eaux du ciel tfig. 208. Cette
moulure est toujours surmontée d'un filet.

^ 368. Qu est-ce que la plate-bande?

C'est une moulure large et plate et très-peu sail-
lante ,^g'* ^''9*

* 369. Quelles sont les principales moulures cir-
culaires ?

Ce sont le quart de rond, la Laguette , le tore ou
boudin, la gorge, le cavet , le congé, la scotie , le
talon et la doucine.

^ 870. Qu est-ce que le quart de rond?

C'est une moulure formée du quart du cercle ,
dont la saillie égale la hauteur, j^g". 210.

* 871. Que faut- il faire pour tracer un quart de
rond?

Prendre la hauteur perpendiculaire k'D ,fig. 210,
de la saillie de la moulure , et du point A décrire l'arc
CD. La^jij. 211 représente un quart de rond renversé,
et lay%". 212 un quart de rond plat.

"^ 872. Que faut-il faire pour tracer le quart de
rond plat?

Prendre la distance de A à B; de ces points décrire
deux arcs qui se coupent en C , et l'intersection sera
le centre de l'arc AB.

* 373. Qu est-ce que la baguette?

C'est une moulure saillante demi-ronde et fort
étroite, dont la saillie égale la moitié de la hauteur,

/%. 2l3.

^ 374. Comment trace-l-on la baguette?

En décrivant une demi-circonférence dont le centre

(no)

est au milieu de la perpendiculaire AB, qui repré-
sente la hauteur de la moulure.

* 375. Qu est-ce que le tore ou boudin?

C'est une moulure demi-ronde dont la saillie égale
la moitié de la hauteur, ^^. 214; elle se trouve au
bas de toutes les colonnes.

* 3^6. Comment trace-t-on le tore ou boudin?

En décrivant une demi-circonférence dont le cen-
tre A est au milieu de la perpendiculaire CD , qui re-
présente la hauteur du tore.

* 377. Qu'est-ce que la gorge?

C'est une moulure creuse et demi-ronde, dont la
profondeur égale la moitié de la hauteur, ^o-, 2i5.~

* 378. Comment trace-t on la s;orge?

En décrivant une demi-circonférence (jui a pour
centre le milieu A de la perpendiculaire CB, et pour
rayon la moitié G A de la hauteur de la moulure.

ha/ig. 216 représente une gorge dont la profon-
deur excède la moitié de la hauteur; G en est le centre.

* 879. Qu'est-ce que le cavet?

C'est un quart de rond dont le centre C^fig. 217 ,
est placé en dehors et aplomb de sa saillie. Le rayon du
demi-cercle qui le forme est égal à la hauteur de la
moulure. Laj^^g". 218 représente un cavet renversé.

* 38o. Qu'est-ce que le congé?

C'est une espèce de petit csivet, fig. 219; il se trace
comme lui. A représente un congé droit, et JB un congé
renversé.

* 38r. Qu^ est-ce que la scotie?

C'est une moulure creuse AB,^^. 220, formée de

Elusieurs cavels dont les centres sont placés à volonté.
ay%. 221 représente une scotie renversée. A et B
sont les centres des arcs qui la forment.

* 382. Qu'est-ce que le talon?

C'est une moulure composée d'un quart de rond et
d'un cavet, etdont la saillie égale la hauteur, ^^. 222.

* 383. Que faut'il faire pour le tracer?

Tirer la ligue AB^ partager la saillie de la moulure

( I" )

par la perpendiculaire CD, et prolonger la ligne B:
le point D sera le centre du quart de rond , et le point
C celui du cavet qui forme le talon.

Le talon plat est une moulure semblable à la pré-
cédente , mais aplatie ^fi^. 223. Pour le tracer, il faut ,
après avoir partagé la ligne AB en deux parties égales ,
faire un triangle équilatéral sur chacune des deux
portions de cette ligue ; les points GetD seront les cen-
tres des arcs qui formeront la moulure, l^difig. 224
représente un talon renversé.

* 384. Qu est-ce que la doucine?

C'est une moulure composée des mêmes parties que
le talon , mais disposées en sens contraire , j%". 225.

* 385. Comment trace-t~on la doucine?

Après avoir joint le point A au point B , on mène CD
par le milieu de cette droite parallèle aux filets A et B ,
et les intersections GetD qu'elle fait avec les perpendi-
culaires BG, AD, menées aux extrémités des filets,
sont les centres des courbes qui forment la moulure ;
mais lorsque la doucine est aplatie , ^^. 226, les cen-
tres de la courbe sont les sommets A et B des triangles
équilaléraux construits sur les parties de la droite CD.

hdifig. 227 représente une doucine renversée.

'^ 386. Comment trace-ton celle jnoulare quand
elle a plus de saillie que de hauteur?

Après avoir joint le point A au point B,y?^. 228, et
divisé cette droite AB en deux parties égales AG, BG ,
on mène I J perpendiculaire à GA, et au milieu de cette
ligne; on mène aussi L IS suivant les mêmes conditions
par rapport à BG, mais dans le sens contraire ; puis
on élève BN perpendiculaire au filet B, et son inîpr-
seclion IN' avec LN est le centre de l'arc BMC; ensuite
on tire la droite N J qui passe par le point C , et son
intersection J avec la perpendiculaire IJ est le centre
de l'arc GO A.

Souvent pour donner plus de grâce à cette moulure,
la partie BG de la droite AB qui joint les filets , est plus

( 112 )

courte que l'autre, comme on le voit à IdifLg. ii^\
mais le tracé en est toujours le même.

Exercices. — Dessiner une astragale, y?^. XLIX:

Cette figure est composée d'une baguette , d*un filet

et d'un congé; les parties unies A el B représentent

la colonne , le pilastre , etc., sur lequel est placée cette

moulure.

La corniche ou cymaise, jfig. L:

Cette figure est composée d'un filet , d'un quart de
rond, porté par deux autres filets, d'un larmier,
d'un filet et d'un talon. La partie A représente le nu
de l'objet orné par la corniche.

Lé piédouche,^g^. LI:

Pour construire cette figure il faut d'abord mener
l'horizontale A B , élever à cette ligne les perpendicu-
laires IJ au centre, et A G et BH à ses extrémités 5
porter sur ces dernières , à partir de l'horizontale A B,
la hauteur des moulures dont cette figure est com-
posée , par exemple celle du plinthe, de B en D et
de A en C; celle du filet de B en F et de A en E,
ainsi de suite pour les autres moulures. Gn joint en-
suite, par des droites, les points correspondans des
verticales AB, G H, après quoi on détermine la sail-
lie des moulures, à ])artir de la verticale IJ. C'est
ainsi que l'on profile les desiins ornés de moulures.
Les centres de la scotie se trouvent en M et en N, en
L et en 0.

Le vdise^fig. LU:

Ce vase est porté sur un piédouche B et un socle A ,
sa partie inférieure G est une demi-circonférence
surmontée d'un congé, son rayon pourrait être égal à
la hauteur du piédouche, à partir du haut du socle. La
partie rectiligne DetBest égale au rayon de celte demi-
circônférence , et le reste du vase est à peu près de
même hauteur ; les arcs E ont environ 60 degrés; la ver-
ticale AG sert à donner aux moulures une même saillie.

Le vase à anses , /ig. LUI :

Ce Vûsê , formé d'un ovale allongé , est porté sur
un piédoiiche; ses anses sont formées de deux cercles
concentriques et de lignes raccordées.

Le quinquet, ^g". LIV :

Deux branches paraissent plus courtes parce qu'elles
sont vues plus de face que les autres, les lignes qui
forment cette figure doivent être bien parallèles.

La table , fig. LV :

Cette figure représente une table ronde de jardin;
le dessus est ordinairement en marbre et la colonne
en pierre , la moulure est une doucine aplatie.

La carafe, ^^. LVI :

Cette figure est composée de deux parties d'ellipse,
le bas se perd dans la moulure qui sert de base , et le
haut est raccordé avec deux arcs qui forment la par-
lie supérieure de la carafe*

La figure LVII:

Ce candélabre se construit par le moyen de la ver-
ticale comme le piédoucbe^ le pied est formé d'un
plinthe, d'un filet et d'une doucine renversée, le bas
de la tige est formé d'une partie d'ellipse.

L'aiguière , Jïg. LVIII :

La contenance est un ovale , les autres parties sont
formées d'arcs raccordés.

La cuvette à anses ^fig. LIX; et la saucière ^jig. LX :

Ces figures se composent aussi d'arcs raccordés ,
leurs centres se trouvent par les principes ordinaires
du raccordement des lignes.

Les jambages d'un portail , fig, LXI et LXII :

En répétant chacun de ces jambages et les joignant
par la traverse A, on formera deux entrées de cour
ou de bâtiment.

La figure LXIIl représente aussi une entrée en pier-
res de taille :

L'inspection seule de ces figures suffit pour pouvoir
les construire, ayant soin de donner à la hauteur de
l'ouverture le double de la largeur.

( "4]
CHAPITRE XXXII.

DES PROJECTIONS.

SECTION PREMIERE.

Idée générale des Projections.

* 887. Qu'appelle-t-on /7royec//o/2.^

C'est le pied d'une perpendiculaire menée d'un point
quelconque sur une ligne ou sur un plan. Ainsi , dans
la fi^, 23o , B est la projection de A sur BG, et D
est sa projection sur CD. A l'égard des plans DAB,
CAB,y?o^. 23 I , qu'on suppose perpendiculaires l'un à
l'autre, E est la projection du point F, supposé dans
l'espace, sur le plan Dx4.B, et G sa projection sur le
plan CAB.

* 388. Comment dislingue-t-on ces différentes pro-
jections ?

Par des noms qui leur viennent des lignes ou des
plans sur lesquels elles sont situées. Ainsi on nomme
projection horizontale celle qui est sur la ligne ou le
plan horizontal , et projection verticale celle qui est
sur la ligne ou le plan vertical.

* 889. Que fait-' on pour représenter les parties
d'un édijice?

On imagine un plan situé horizontalement , sur le-
quel on trace un dessin semblable à celui que déter-
mineraient les pieds des perpendiculaires , qu'on mè-
nerait à ce plan des différentes parties de l'édifice.

* 3qo. Comment appelle-t-on ce dessin?

Plan géométral. La/?^. 258 représente le plan géo-
métral d'une maison obtenue d'une manière analogue
k la méthode précédente.

C liS )

^ 39 r. Quefail-on encoi^e pour achever de déter-
miner les parties remarquables de V édifice?

On conçoit un autre plan dans une situation per-
pendiculaire au premier , sur lequel on trace un
dessin semblable à celui que détermineraient les pieds
des perpendiculaires , qu'on m.enerait à ce plan des
parties remarquables de l'édifice. Ce dessin donne la
hauteur des objets au-dessus du plan géométral.

* Bg-î. Comment appelle-t'On la figure qui en re-
sulte ?

On l'appelle coupe ou profil si elle passe dans l'in-
térieur du bâtiment, et élévation si elle n'en fait voir
que les parties extérieures. La^g. LXXTX représente
l'élévation ou la projection verticale d'une maison,
obtenue d'une manière analogue, et la Jig. LXXX
celle de sa coupe.

* 893. Comment représente-t-on les diinensions
inclinées ?

On ne peut les représenter dans leur grandeur na-
turelle, et c'est à les déterminer que s'applique la
méthode des projections.

SECTION II.

Manière de de'terminer les Projections.

* 894. \-iO^ME^^ les figures se projettent-elles?

Si elles sont parallèles au plan sur lequel on les
projette, les projections leur sont égales et sembla-
bles; mais si elles sont dans une autre situation par
rapport au plan , les ressemblances ni la grandeur ne
sont plus les mêmes.

^ 895. Que faut-il faire pour ai^oir les projections
d'une droite IJ, située d'une manière quelconque
dans V espace ^ fig. 282?

Il faut de ses extrémités I et J abaisser des perpendi*

(n6)

culaires lE, JF au plan horizontal D AB: (3es mêmes
points I, J mener aussi IG, JH perpendiculaires au
plan vertical; joindre par des droites sur chacun des
plans les pieds des perpendiculaires, et on a EF pour
la projection horizontale de la ligne donnée, et G H
pour sa projection verticale.

* 896. Comment obtient-on la projection d'un cer»
de situé dans l'espace?

Si ce cercle est parallèle à Tun des plans , on pro-
jette sur ce plan son diamètre AB,^^. 233, sur le-
quel on de'crit une circonférence EGFH qui est la
projection du cercle donné : sur l'autre plan elle sera
une droite IJ égale au diamètre du cercle j mais s'il
est oblique par rapport aux plans, on projette deux
diamètres AB, CD, croisés perpendiculairement, ek
leurs projections E F , G H sont les axes de l'ellipse qui
en est la projection sur le plan horizontal : on opère
de même par rapport au plan vertical. C'est de cette
manière qu'on projetterait une ellipse , un ovale , etc.

* 397. Comment dispose-t-on les plans dans la pra-
tique d'une manière qui se prête aux constructions?

On imagine que le plan vertical ABC, fig. 23 r , a
tourné autour de sa commune section AB avec le plan
horizontal, jusqu'à ce qu'il se trouve dans le prolon-
gement de celui-ci. Dans cette rotation , toute ligne
G H perpendiculaire à la commune section AB des
deuxplans, décrit un plan qui lui est perpendiculaire ,
et par conséquent cette ligne G H se trouve dans la
même direction que celle EH qui lui correspond dans
Je plan horizontal?

* 398. Que résulte-t-il de là?

1° Que les deux- projections E et G , yig, a3i, d'un
même point F se trouvent sur une même ligne El per-
pendiculaire à la commune section des deux plans;

2° Que pour avoir la projection verticale d'un point
pris sur une droite et dont la projection horizontale
e5t Ff/iff. 234) ^^ "'y 21 qu'à mener de ce point F une

I"7)

)erpendlcuîaire FM à la commune section AB des
ieux pians , et son intersection M avec la droite LM
era la projection verticale cherchée.

'^ Sqq. DoTinez-jious un exemple de la manière de
projeter un objet quelconque , et qui nous prouve en
nênie tewps la nécessité de connaître au moins deux
Tofections dijjérentes de cet objet?

Supposons qu'on veuille avoir les projections de
objet repre'senté par la^;^. 286. Pour avoir sa pro-
îclion horizontale, j'imagine que de chacun de ses
oints principaux on a abaissé des perpendiculaires
jr un plan qui se trouve sous cet objet , les pieds de
3S perpendiculaires déterminent sur ce plan un dessin,
^présenté par \&fig. 287 : voilà sa projection hori-
3ntale ; mais on voit que cette figure ne suffit pas pour
onner une idée suffisante de l'objet. J'imagine donc
n autre plan vertical, fig. 286, placé devant l'objet
ans une position qui donne aux projections les formes
s plus simples : le plan qui résulte de la trace qu'ont
issée sur ce plan les perpendiculaires qu'on y a niè-
ces , achève de compléter l'idée qu'on doit se former
3 l'objet qu'on a voulu représenter; de sorle qu'à
iide de ses deux projections on pourrait l'exécuter,
projection horizontale déterminant la largeur de
)bjet, ce que ne fait pas la projection verticale,* et
■Ue dernière déterminant sa hauteur, ce que ne fait
is la projection horizontale, et qui prouve en même
mps la nécessité de connaître plusieurs projections
'S objets, pour en avoir une juste idée.

Exercices. — Dessiner le comble, yf^. LXIV:

Le tirant oii entrait A doit porter sur le mur P dans

i deux tiers de son épaisseur; la circonférence qui

termine la hauteur peut avoir la largeur du bâti-

ent pour diamètre. La pièce B se nomme arbalétrier,

faux entrait, D poinçon, E lien aisselier, F con-

fiche , G chevron, I panne , H chantignole, L

:ifage, M l'entablement ou corniche, appartenant

la maçonnerie.

(n8)

Le comble brisé , fig. LXV :

Les parties qui composent ce comble porîent les
mêmes noms que celles de la précédente j on y ajoute
cependant la jambe de force R»

La commode, ^g'. LXVI :

Cette commode , dont on voit l'élévation, y%. LXVI,
se construit en menant des horizontales et des verti-
cales,* la partie , fîg, LXVII, représente la coupe par
le côté et désigne la profondeur du meuble, les pa-
rallèles ombrées représentent les coupes des tiroirs.

Le lit à bateau , fig. LXYIII et LXIX :

La figure LXVIII représente la longueur du lit ;

les extrémités A des rouleaux sont vues de face ^ la

figure LXIX représente sa largeur.

La figure LXX:

Cette figure représente un bureau , la partie B re-
présente un tiroir 5 la figure LXXI représente sa pro-
jection vue sur le côtéj A est la saillie formant ta-
blette.

Le trait de Jupiter, ^^. LXXII:
C*est un assemblage de rallonge très-solide; la par-
tie ombrée représente la clef.

La figure LXXIII:

C'est une table à toilette, la partie A est une glac<
mobile qu'on place à volonté 5 la figure LXXIV repré
sente le côlé et la saillie de la table.

La presse , fig, LXXV et LXXYI :

A représente la largeur et la hauteur de l'objet vi
de face , et B son épaisseur vue par côté.

Les projections différentes d'une chaise,^^.LXXVIl
A est la vue du profil, B le dossier, C la cliais
eu saillie, et D les traverses.

La table LXXVIII :

La projection horizontale A fait connaître que I
table est circulaire, et prouve de nouveau la uéces
site de plusieurs projections.

( i'9)

La figure LXXIX :

Cette figure représente réiévation d'une maison,
la façade n'est vue qu'en partie.

La figure LXXX :

Elle représente la coupe de la même maison prise
parallèlement au pignon; A représente le dessous des
croisées, G l'ouverture des cintres et des fenêtres,
D ce qui reste de solide du mur dans toute sa lon-
gueur , la saillie représente le cordon d'ornement, E
les lucarnes, G la coupe de l'escalier; la projec-
tion horizontale se trace d'une manière analogue à la
figure 258.

La croisée , fg. LXXXI :

A représente la coupe verticale et B l'horizontale,
C et D représentent les mêmes coupes plus en grand ,
E représente la saillie du dormant sur laquelle frappe
le battant G de la croisée, I est le bas du dormant,
son cintre reçoit l'eau tombant du jet d'eau ou lar-
mier J du bas de la croisée; les deux vantaux se fer-
ment à gueule de loup H; le congé L reçoit les fiches
de ferrement, et la noix M sert à fermer plus exac-
tement.

La porte, ^g^. LXXXTI :

Elle est représentée d'une manière analogue à la
figure précédente : elle est à grands cadres, c'est-à-
dire , que les moulures qui lui servent d'ornemens sont
saillantes; A en représente le profil, et B le plan^
CD représente les assemblages plus en grand.

I SECTION III.

Manière de déterminer la longueur des lignes par la
connaissance de leurs projections..

* ^00. K^Mi. faut-il faire pour dé lenniner la longueur
d'une droite par la connaissance de ses projections?
Mener aux extrémités de la projection horizontale

■( 120 )

EFf^g. 234, clés perpendiculaires EG, FH égales à
IL, JM, et tirer la droite G H qui donne la longueur
demandée , ceci est évident; car si l'on imagine que
EFGH, LMGHj^i,''. ^35, soient des plans élevés per-
pendiculairement, le premier sur la projection ho-
rizontale EF, et l'autre sur la projection verticale
LM, leur commune intersection sera nécessairement
la droite cherchée. Supposons que le plan EFGH
tourne autour de sa commune section EF avec le
plan horizontal, et vienne se coucher sur ce dernier,
djans ce mouvement les lignes FH , E G ne varieront
ni pour la grandeur ni pour la situation à l'égard
de EF, et la droite G H se trouvera dans toute son
étendue sur le plaa horizontal : c'est ce que l'on voit
exécuté sur la figure 284. On pourrait aussi obtenir la
longueur de la droite située dans l'espace, en élevant
perpendiculairement, à l'une des extrémités E de la
projection horizontale, une droite égale à la difTérence
de l'élévation des extrémités de la projection verti-
cale , au-dessus du plan horizontal.

* 4^ I • Comment pent^on connaître les dimensions
d'un cercle par le moyen de ses projections ?

En opérant sur les projections de son diaracire ,
comme on vient de faire sur celles de la droite dans le
problème précédent.

"* l\oi» Que faudrait-il faire pour déterminer les
dimensions d'une ellipse et d'un ovale , par la con-
naissance de leurs projections^

Déterminer la longueur des axes comme on a
fait pour trouver celle de la droite (N*^ 4^^^^i après
quoi il est facile de déterminer les dimensions de l'el-
lipse ou de l'ovale.

Telle est, en abrégé, l'idée qu'on doit se former
des projections; mais il n'est pas toujours possible de
donner aux projections autant d'étendue qu'à l'objet
projeté , et ce cas est le plus ordinaire. On est obligé
alors de les prendre d'une manière réduite : c'est ce
tjue les géomètres appellent lever un plan.

( «»' )

CHAPITRE XXXIII.

USAGE DE LA SIMILITUDE DES TRIANGLES POUR LA ItfESUftl
DES DISTANCES.

SECTION PREMIERE,

Mesure des Distances.

403. CjOMMEnt peut-on détenniner la mesure des
distances par la similitude des triangles?

En comparant les côtés et les angles homologues du
triangle imaginé sur le terrain avec ceux de son sem-
blable , qu'on forme sur le papier.

404. Donnez-nous un exemple de l'usage de la
similitude des triangles pour la mesure des distances?

Soit à mesurer la distance de l'arbre k^fîg. 238 , au
moulin C ; il faut planter un jalon en B à une certaine
distance de l'arbre, un autre en D dans la directioa
de l'arbre et du moulin , un troisième en E dans la di-
rection du point B et du moulin , et un quatrième en
un endroit quelconque F sur la direction de A B; me-
surer la distance AB) tracer sur le papier, fig. 289,
une droite ab, d'autant de parties d'une échelle
adoptée qu'on a trouvé de mètres à AB; construire
sur cette ligne des triangles adf^ fbe proportion-
nels à ceux qu'on forme sur le terrain en imaginant les
droites qui joignent les jalons , ce qui se fait en don-
nant aux côtés de ces triangles autant de parties de
l'échelle que les côtés homologues de ceux qui sont
8ur le terrain ont de mètres.

Ensuite, prolonger les côtés «c? et é<? de ces trian*
gles jusqu'à c« qu'ils se rencontrent , et le nombre d«

( 122 )

parties cle l'écliclle que contient a c est égal au nomLre
de mètres qu'en contient la distance de A à C, car à
cause de la similitude des triangles , on a cette propor-
tion , a b '. kJj :: ac '. kOi,

On pourrait également avoir la distance du point
C à tout autre point ^ par exemple, à la maison X,
en opérant sur AB par rapport à ce point X comme
on a fait pour avoir la distance de A à C.

Cette seconde opération , en même temps qu'elle
donnerait la distance des deux points C et X , par la
distance des sommets des deux triangles, donnerait
^encore celles des points A et B au point X.

4o5. Donnez-en un autre exemple?

Supposons qu'on veuille mesurer la largeur d'une
rivière ^Jlg. 1^0. Il faut choisir une base BC ; détermi-
ner un point A de manière que l'angle ABC soit droit
ou presque droit; porter sur une ligne bc autant de
parties de l'échelle que la base a de pieds; mesurer
Jes angles B et C , (soit avec le graphoniètre , soit avec
■une demi-circonférence divisée en degrés en forme de
rapporteur, mais d'un rayon beaucoup plus grand , on
assujettit une règle au centre pour servir d'allidadc).
Ayant donc mesuré B et C , on forme de pareils angles
aux points ^ et c: la rencontre des lignes ab^ac,
détermine a b pour la largeur de la rivière : car à
cause de la similitude des triangles, on a, bc : BC :;
ba : BA.

Si le point B était éloigné du bord de la rivière, on
retrancherait cette distance du résultat de l'opération.

4o6. Que fmil'il faire pour mesurer la longueur
d'un marais , fig. i^\ ^ accessible seulement à ses
extrémités A e/ B?

Choisir un point C d'où l'on puisse voir les points
A etB, et imaginer les lignes BC et AC; prolonger CB
d'une longueur égale à AC et AC d'une longueur
égale à BC: on aura deux triangles éga^x, et la ligne
DE sera la réponse.

(123)

407. Comment mesurerait- on encore cette îon^
gueur ?

Après avoir delerrainé un point G d'oii l'on pût aper-
cevoir les extrémilés A et B du marais, on y plante-
rait un jalon ; on en planterait un autre en J dans la
direction de CB, et un troisième en I dans la direc-
tion de CA; ensuite on ferait sur le papier, d'après
une échelle, un triangle icj semblable au triangle
IG J que formeraient les jalons, en donnant aux côtes
du premier autant de parties de l'échelle qu'on aurait
trouvé de mètres ou de pieds aux côtés correspondans
de celui qui est sur le terrain; on prolongerait les
côtés ci et cj , leur donnant autant de parties de
l'échelle que les distances coiTespondantes CB, G A ont
de mètres ou de pieds, et la distance ab, portée sur
l'échelle, donnerait la largeur AB, puisque la simi-
litude des triangles donne ,c6:GB::^a:BA, etc^

408. Comment pourrait-on encore l'obtenir, mais
sans opérer sur le peipier?

Après avoir déterminé le point G oii l'on planterait
le premier jalon , on mesurerait la distance CB , après
quoi on planterait , dans la direction de ces deux points
B et G, un autre jalon en J, à un nombre d'unités de
mesure quelconque depuis le point G, égal à la quan-
tité de mètres que contient la distance CB,* on en plan-
terait un troisième en I , suivant les mêmes conditions
par rapport à CA : alors le nombre de mesures que
contiendrait IJ indiquerait la quantité de mètres que
contient AB.

On la trouverait encore en formant au point A
l'angle droit BAD, et imaginant la ligne BD3 après
avoir mesuré AD et BD on ôterait le carré de AD du
carré de BD ,1a racine carrée du reste serait la réponse.

409. Comment pourrait^on encore résoudre tous
ces problèmes?

De la manière suivante : Prenons pour exemple la
distance MN ,/i,'-. 240; tirez les lignes NQ et RI dans
la direction du point dont on veut avoir la distance,

( «24 )
faisant au point M un angle quelconque QMR j me-
nez PR parallèle à NQ et qui rencontre M R j enfin
tirez NP. Les triangles IPR et NMI ayant les angles
égaux chacun à chacun , auront les côtés proportion-
nels , en sorte qu'ayant mesuré les côtes IP, PR
et IN, on aura NM par cette proportion, IP : PR
:: IN : NM.

Ou pourrait aussi mesurer ces distances par le
moyen de la planchette dont on parlera au lever des
plans.

Exercices. — Déterminer la longueur et la largeur
d'une cour : ^

La distance de deux objets supposés inaccessibles, etc.

SECTION II.

De la mesure des Hauteurs.

4 10. CiOMMENT peut-on déterminer la hauteur de
V arbre , fig. il\il

Après avoir pris la base AB, on mesure l'an-
gle BAD, plaçant pour cela l'instrument au point A
de manière que son plan soit dans la direction AB , et
son diamètre bien horizontalement, ce qui est facile
en faisant correspondre un fil aplomb sur la quatre-
vingt-dixième division et le centre de l'instrument;
mener ensuite la ligne a h d'autant de parties de
l'échelle que AB contient de mètres ou de pieds j
faire l'angle da b égal à l'angle D AB j et enfin élever
au point 61a perpendiculaire bdy sa rencontre avec
rt<i déterminera la hauteur BD.

On pourrait encore la trouver par le calcul, de cette
manière : après avoir pris une base AB et l'avoir me-
surée, on ferait planter bien verticalement un jalon
eji un point quelconque E; on mesurerait sa hauteur

( 125 )

et les segmens AE, EB, ensuite on ferait cette pro-
portion , AE : EC :: AB : BD.

Si la base n*e'tait pas horizontale, fi^. 243, il
faudrait placer l'instrument au point A, pris à vo-
lonté, diriger son diamètre bien horizontalement 5
mesurer les angles CAD etDAB; tirer ensuite sur le
papier la ligne ah , d'autant de parties que la base
AB a de mètres ou de pieds 5 faire au point a avec le
rapporteur les angles ca d et d a h , égaux aux angles
C AD et D AB; du point b mener une perpendiculaire
bc à ad; la longueur comprise entre les points
è et c , portée sur l'échelle , donnera la hauteur BC.

On pourrait trouver l'inclinaison de AB par ce
moyen ou par le nivellement.

Exercices, — Déterminer la hauteur d'une maison,
d'une tour, d'un objet quelconque.

CHAPITRE XXXIV.

DU NIVELLEMENT.

Aiî. Qu'est-ce qu'on appelle niveler?

C'est déterminer de combien un objet est plus élevé
qu'un autre à l'égard du centre de la terre.

4i2. Quel procédé emploiet-on pour ni\>eler un
terrain ?

Si l'on a un niveau d'eau, j^^^. 244 > ^^ placelepied
B sur le point de départ et on dirige le niveau vers
l'objet C que l'on a en vue 5 on fait marquer sur la
terre le point D auquel se rapporte le rayon visuel ,
on y transporte l'instrument et on renouvelle la même
opération jusqu'à ce qu'on arrive à l'objet dont il
s'agit. La différence de niveau se trouve alors par la
hauteur de l'instrument prise autant de fois que l'on
a fait de stations , moins ce qui manquerait à la der-

( 126 )

ïtière» L'efenclac BDC s'appelle de'veloppement et la
profondeur BE , qu'aurait une maison bâtie sur ce ter-
rain , se nomme étendue de culteilation.

4i3. Comment pourrait-on encore niveler un ter^
rain?

"En se servant d'une grande équerre dont on place
l'un des côtés A B ,7%. ^45 , perpendiculairement sur
le point de départ , le prolongement horizontal BG dé-
termine un point sur le terrain où il faut faire une
opération semblable à la première, ainsi de suite: la
longueur AB de l'équerre , prise autant de fois qu'on
aura fait d'opérations donnera la hauteur de l'objet,
par rapport au point de départ.

4i4« '^'^ s'agissait de niveler une hauteur telle
que celle d'une montagne , dont le point central cor--
rcspondant nu sommet fût inaccessible^ que fau-
drait-il faire?

Prendre une base A B ,7%. 246 , mesurer les an gles
CAB et GBA, plaçant l'instrument de manière à ce
que son diamètre réponde à la ligne AB , et son plan
à la direction G A pour l'angle GA B , et à celle GB
pour l'angle GBx\; tirer ensuite sur le papier une ligne
ab, d'autant de parties de l'échelle que AB contient
de mètres ou de pieds , et faire les angles a et b égaux
aux angles A et B; la rencontre de ces lignes don-
nera ac et b c pour les longueurs des rayons visuels |
A G, B G. Replaçant l'instrument au point B, et
tenant le diamètre bien horizontalement et le plan
dans la direction B G , mesurer l'angle GBD ; faire au
point b un angle cbd égal à celui GBD qu'on vient
de trouver : la ligne cd abaissée perpendiculairement à
ad^ déterminera, par sa rencontre avec bd^ l'éléva-
tion GD de l'objet G à l'égard du niveau AB.

On trouverait encore la hauteur D I de ces mon-
tagnes par la méthode suivante : Soit à mesurer la
hauteur JM^fg. 245, on prendrait une base MN,
ou la mesurerait ainsi que les angles DjN'M et DMNj

( 1^7 )
tri ferait sur le papier un triangle semblable ; on pro-
longerait la base MNen I , et du point D on abaisserait
une perpendiculaire sur ce prolongement, la lon-
gueur DI, portée sur Techelle, donnera la hauteur
demande'e.

Tous ces problèmes seraient plus exactement et plus
promptement opérés par le moyen des logarithmes
sinus , mais nous ne pensons pas qu'il soit à propos d'en
parler dans cet abrégé uniquement destiné au bas âge.

Exercice. — Déterminer la hauteur d'un point
pris sur le terrain par rapport à un autre.

CHAPITRE XXXV.

MAxViÈRE DE PROLONGER LES LIGNES SUR LE TERRAIN,
lorsqu'il se RENCONTRE DES OBSTACXES.

4i5. yjyz faut-il faire pour prolonger une ligne
A B , fg. 247 ) au-delà d'une montagne ?

Il faut prendre sur la ligne AB une longueur quel-
conque et former au point C un triangle isocèle ABC,
prolonger les côtés d'une longueur égale à BG, AC^
mener DE , on aura deux triangles égaux , et le pro-
longement de la ligne DE sera parallèle à la ligne de-
mandée. Ensuite, prendre sur ce prolongement unt*
longueur FG égale à AB, et former le triangle FGL
semblable à DCE ; prolonger les côtés d'une longueur
égale à CA, CB, et on aura les points H et I dans la
direction demandée.

On pourrait aussi abaisser une perpendiculaire AD,
faire un angle droit en D et prolonger D en G; former au
point G un angle droit et prendre la longueur GI égaie
à AD, la ligne IH, élevée perpendiculairement au
point I, serait la ligne demandée^ \q5 angles doivent
€tre de la dernière précision.

( 128 ) l]

4t6. Mais si Von n avait quun point donné d^
chaque côté d'une montagne , soit en A et B,yig. 248?
11 faudrait choisir un point C qui fût visible de cha-
cun des points donnés, tirer les lignes A C, CB, et
par le milieu de chacune mener ED qui sera dans
une direction parallèle à la droite demandée; abais-
ser de chaque point A et B une perpendiculaire AE,
BD , et des points K et I élever aussi les pcrpendicu- 1
laires K M et I J ; prendre la longueur de BD ou de I
A E et la porter de K en M et de len J3 la ligne passant
par les points A J et MB serait la réponse.

Exercice. — Prolonger une ligne donnée, suppo-
sant des obstacles dans le cours de sa direction.

CHAPITRE XXXVI.

LEVER DES PLANS.

l'i ■ ■■■! I ' ,..■■■

SECTION PREMIÈRE.

Idée générale du lever des plans , et manière d'en représenter
les dififérentes parties.

* 4^7' Qu*EST-CE que lever un plan?

C'est construire sur le papier une figure semblable
à un objet qu'on veut représenter.

Par exemple , la^g- 260 est le plan de la Jzg. 249
qu'on suppose être un terrain.

* 4^ S' ^"^ quoi est fondée V exactitude du lever
des plans?

Sur la similitude des triangles. Ainsi, si le plan

fig. 25o est exact, les triangles ahc, acd et ade,

qu'on obtient en tirant les diagonales ac , ad, sont

semblables chacun à chacun aux triangles ABC, ACD

( 129 )

et ADE formés par les diagonales AG , AD. Il suit de
Ift que les côtés du plan sont proportionnels a ceux qui
leur correspondent sur le terrain 5 en sorte qu'on peut
dire, AB, fix. i249 - ^^ >fiZ' ^So , :: BG : bc, etc.,
et réciproquement (W° 2i3).

* 4^9' Comment élahlil-on le rapport qui existe
entre le plan et la figure représentée?

Par le moyen de l'échelle de proportion , ^g'. 60
ou 61.

* [^lo. Comment représente't-on sur un plan les
dijférentes parties d'un objet quelconque?

Quand il estreprésentéhorizontaIement,on conserve
la teinte du papier 5 quand il est incliné, on le fait
connaître par des traits dont on couvre le papier, et
ces traits doivent être plus ou moins rares selon que
la pente est plus ou moins forte. Ainsi A , y%. 262 ,
représente une pente plus inclinée que la partie B de
la même figure. Il suit de là que quand l'objet
varie par degrés insensibles, la distance des traits du
dessin qui le représente varie également- G repré-
sente de petits arbres; la masse D représente des jar-
dins et des habitations; E une haie; F un pré; G une
vigne ; H un bois ; I une rivière ; J un pont en pierres ;
K les piles des arches; L un pont en bois; M un ruis-
seau qui se jette dans la rivière : la flèche indique le
côté du courant de l'eau; N représente un étang, et
0 un marais. Les chemins et les fossés qui les bordent
se représentent par des lignes droites ou coudées,
suivant leurs directions : ainsi , P représente une route
de première classe , dont le milieu est pavé , et qui
a un fossé de chaque côté ; R une route de seconde
classe, qui est aussi bordée de fossés; S des chemins
de traverse que les voitures peuvent parcourir; et T
un sentier.

Pour représenter la masse d'une maison , on remplit
par des traits MN JL,/g. 25;, l'espace compris entre
ses murs.

6.

( i3o )

Exercices. — Dessiner la pente d'une montagne
inégalement inclinée; représenter une rivière, une
roule , un bois , etc.

SECTION II.

Manière de lever un Plaa à l'aide de la Chaîne seulement.

"^^ 4^1 • v^u'y a-t'il à observer touchant la manière
de mesurer, avec la chaîne , les dimensions du ter-
rain dont on veut lever le plan ?

I ° Que la chaîne soit bien tendue ;

2^ Qu*avant de mesurer les dimensions du terrain ,
lorsqu'elles sont longues, il faut planter, dans leur di-
rection , des jalons de distance eu distance pour indi-
quer le passage de la chaîne;

3^ Que lorsqu'on mesure un terrain incliné, il faut
toujours tendre la chaîne horizontalement.

* ^12.. Que faut-il Jaire pour lever le plan d'un
terrain , jfig 249 , quon peut parcourir?

II faut construire une échelle proportionnée à l'é-
tendue qu'on veut donner au plan; faire le croquis
du terrain , c'est-à-dire , former à vue d'œil une figure
représentant sa forme ,y%. 25 1 ; partager le terrain eu
triangles par des diagonales; mesurer ses côtés et ses
diagonales, en écrire la longueur près des lignes qui
les représentent sur le croquis. Par exemple , on voit ,
par cette figure, que le côté AB du terrain a été
trouvé de i5 mètres , le côté B C de 8 mètres , la dia-
gonale A G de igmbtres, etc. Cela fait, on construit la
figure l'So , de manière que chacune de ses lignes ait
autant de parties de l'échelle que celles qu'on a mesu-
rées sur le terrain ont de mètres.

^ ^'?'6. Comment peut-on encore lever le plan d'un
terrain ABGDEFG, Jig. 253, par le moyen de-
là chai ne?

( «3. )

11 faut choisir un point P d'oii Ton puisse apercevoir
tous les angles du terrain ; de ce point, et d'un rayon
quelconque, décrire une circonférence HIJ, etc., soit
avec la chaîne , soit avec une ficelle; fixer un jalon à
chaque point d'intersection des diagonales avec la cir-
conférence, et mesurer les cordes; décrire ensuite une
circonférence hîj klmn ,^g. 25^, d'un rayon conte-
nant autant de parties de l'échelle que le premier a de
mètres ; à partir d'un point quelconque /i, par exemple,
mener les cordes hi, ij , jk, etc., d'autant de parties
de l'échelle que leurs correspondantes sur le terrain
ont de mètres , et par les intersections mener des lignes
indéfinies; mesurer A P, et porter une longueur pro-
portionnelle de p en a; mesurer le côté AB, et d'une
ouverture de compas d'autant de parties de l'échelle
que AB contient de mètres , décrire du point a un arc
en b, et mener abj mesurer BC, et porter une lon-
gueur proportionnelle de b en c, etc.; on aura le plan,
demandé.

Dans les exemples suivans nous considérerons la
figure comme représentant tout à la fois le terrain ,
le croquis et le plan.

* 4^4* Comment peut-on leuer le plan d'un terrain
quelconque y dont quelques-uns des cotés forment d-es
sinuosités?

Soit à lever le plan de laj%. 255 , après avoir divisé
le terrain en triangles ABC , AGD , et en avoir coté
les dimensions sur les lignes correspondantes du cro-
quis , pour déterminer les points oii doivent passer k?s
courbes D J A , H I L , on élève des perpendiculaires de
distance en distance sur les droites AD, HL, dont on
porte également la longueur et la distance sur le cro-
quis. La construction du plan se fait ensuite facilement
d'après une échelle adoptée.

425. Que faut-il faire pour lever le plan d'un ter^
rain qu'on ne peut parcourir librement ^ comme un
bois , un massif de maison , un étang , etc. Par exeni'
pie le plan du bois représenté par la fg. 266?

( l32 )

Il faut le renfermer dans un rectangle AB CD 5 dé-
terminer sur le rectangle des lignes EF, GH, HI,
qui se rapprochent du bois; élever des perpendicu-
laires sur ces lignes pour déterminer les sinuosités de
son contour; i^orter la mesure de toutes ces lignes sur
Je croquis , après quoi il est facile d'en faire le plan.

* ^26. Comment lèi>erail-on le plan d'une maison
■e/ d'une cour adjacente , représentées par lafig. 267?

Après avoir divisé le terrain en triangles, on me-
surerait les lignes FL, L J , pour déterminer le plan
de la maison L J M N. On mesurerait de même le reste
du contour et les diagonales; ensuite on formerait
îe plan en donnant à chacune de ^es lignes autant de
parties de l'échelle que les côtés correspondans dans
le terrain ont de mètres.

* 427* '^^ ^'^'^ avait à mesurer un a?igle F A.CJormé
par deux plans FA, C A , que faudrait-il faire?

Mener OH et 0 I parallèles aux plans , et mesurer
Tangle H 0 I , en plaçant l'instrument en O.

* /\i'^. Que faut-il faire pour lever le plan de V in-
térieur d'une maison , avec ses différentes distribu-
tions ^ par exemple f celui de la maison leprésentée
par la Figure 268 ?

En lever d'abord la masse ABCD; pour avoir les
détails de l'intérieur , rriesurer les côtés des murs et
les diagonales , en coter les dimensions sur le croquis ;
marquer aussi la distance entre les portes et les croi-
sées avec leur largeur, la position des cheminées ,
leurs saillies , etc. ; après quoi , il est facile d'en faire
le plan. Cette Figure représente le rez-de-chaussée,
E E les portes , F F les fenêtres ou baies , 1 1 les che-
minées, H les escaliers.

Exercices. — Lever le plan d'une cour, d'un jar-
din , d'un terrain , etc., qu'on désignera aux élérei.

( >33 )

SECTIOX m.

Lever du Plan au moyen de la Planchette.

429. V^u'appelle-t-on planchette ?

C'est une petite planche carrée longue d'environ
0,40 centimètres , et portée sur un pied ,7%. 209. Elle
est accomjoagnée d'une alidade A, qui est une règle
garnie de deux pinnules pour observer les objets.

430. Comment peut-on lever un plan au moyen
de la planchette?

Soit à lever le plan du terrain représenté par la
fig. 260. Il faut placer la planchette à peu près au
milieu du terrain 5 d'un point h tracer des rayons dans
la direction de tous les angles A,B,G,D,E,F, G,
auxquels on aura placé des signes pour les mieux aper-
cevoir ; mesurer tous ces rayons , à partir d'un point
du terrain qui corresponde au point h; leur donner
sur la planchette autant de parties de l'échelle qu'on
leur a trouvé de mètres sur le terrain; joindre les
points a, b, c, d, ^fft § qui déterminent leur lon-
gueur proportionnelle par les droites ab, b c, cd, etc.,
et le plan est levé.

43 1 . Que faut-il faire pour avoir la distance et la
position respective de plusieurs objets , Jîg. 261, an
moyen de la planchette?

Il faut choisir deux points C et D suffisamment
éloignés l'un de l'autre , mais le plus près possible des
objets à Dciesurer , pour que les intersections des rayons
visuels ne se fassent pas hors de la planchette; me-
surer la distance de ces deux points ; tirer sur un pa-
pier fixé sur la planchette une ligne cd, d'autant
de parties de l'échelle qu'on aura trouvé de mètres en
CD 5 placer la planchette de manière que le point c
réponde perpendiculairement sur le point C du ter-
rain et la ligne c d dans la direction CD; ayant fixe
l'alidade au point c , on la dirige vers les principale»

( >34 )

parties Ë , B , F , G , H des objets que Ton veut mesu-
rer , et on tire les lignes ce j ch , cf, c^^, ch. En-
suite on transporte la planchette en D , faisant corres-
pondre le point dsnr le point D ; et dirigeant la ligne
cd selon CD, on fixe l'alidade sur <f , et on marque
les lignes de , db , df, dg ^ dh dans la direction des
points EBFGH; l'intersection de ces lignes sur le
papier marque la position des objets E , B, F, G, H ,
à cause de la proportion qui existe entre les triangles
tracés sur la planchette et ceux qui sont imaginés sur
le terrain parle moyen des rayons visuels.

432. Que faut-il faire pour partager le terrain
ABGDEG ,^^. 262 , en deux parties égales ?

Il faut mener une ligne A D qui le divise à peu
près en deux parties égales , mesurer la surface de
chacune d'elles, soit ABCDAde i54 mètres , et ADEGA
de i34; pour rendre ces surfaces égales, il faudrait
ajouter 10 mètres, moitié de la différence, à la der-
nière partie ; pour cela abaissez du pointD une perpen-
diculaire DH sur AB ou sur son prolongement , mesu-
rez-la sur l'échelle et divisez i o par la moitié de sa lon-
gueur, le quotient donnera AI pour la base du trian-
gle qu*il s'agit d'ajouter à la partie ADEGA pour
qu'elle ait la moitié de la surface totale, c'est-à-dire,
144 mètres , et vous aurez D I pour la ligne de division.

S'il s'agissait de le partager en un plus grand nom-
bre de parties égales, on suivrait la même analogie,
c'est-à-dire qu'après avoir évalué la surface on la par-
tagerait à peu près en parties égales, et, les ayant
évaluées séparément, on ajouterait ou l'on retranche-
rait, selon que les résultats l'exigeraient.

433. Si Von avait à diviser, par un point donné ,
un poljgone en autant de parties égales que Von vou-
drait j par exemple le polygone ^fig. a63 , en quatre
parties , que faudrait-il faire ?

Il faudrait, par le point donné A, tirer des diagonales
et évaluer la surface de la figure. Supposons qu'on ait
trouvé 376 mètres , le quart serait 94 pour la surface

( i35 )

5e cîiaque partie : prenez celui des triangles qui ap-
proche le plus de la surface demandée ; je suppose que
ce soit le triangle BAC, et qu'il ait 80 mètres de super-
ficie , il faudra prendre sur Tun des autres triangles ,
par exemple surD A G , une base telle qu'étant multi-
pliée par la moitié de la hauteur, elle donne les i4 ^<^'
très demandés; pour cela abaissez du point A une per-
pendiculaire AI sur DG et divisez les i4 mètres qui
manquent par la moitié de la longueur de la perpen-
diculaire , vous aurez la base GE dutriangleG ÂEqu'il
faut ajouter à ABG , pour la première partie.

Si le triangle ABH ne contenait que 55 mètres, il
faudrait , pour lui donner 3g mètres de plus , abaisser
]a perpendiculaire AK sur HG , et diviser les Sg mè-
tres par la moitié de sa longueur j le quotient donne-
rait la longueur HL de la base du triangle AHL qu'il
faut ajouter à la seconde partie.

On continuera la même opération pour les autres.

Exercices. — Lever avec la planchette la situation
réciproque de divers objets.

s

CHAPITRE XXXVII.

MANIÈRE DE COPIER LES FIGURES IRRÉGULIÈRES,

* l^Z/^. \^{jkvveu.e-t~o's figures îrrégulière S?

Ce sont celles dont les côtés et les angles sont
inégaux.

* 4^5. Que faut-il faire pour cojyier une figure ir-
régulière , par exemple la Fi gw^e 5264?

Construire autour de cette figure un rectangle A B
CD; diviser les côtés AB, CD en un nombre quel-
conque de parties égales , et joindre par des droites
les points de division correspondans ; partager aussi les
deux autres côtés en parties égales el joindre égale-
ment les points de division correspondans, et on aura

( i36 )

une suite de rectangles d'autant plus petits que les
points de division seront plus multipliés.

Faire ensuite sur la feuille sur laquelleon veut copier
le dessia un autre reclan gle,yf^. iGS, égal au premier,
etdivisé de la même manière ; après quoi il faudra tirer
dans ces derniers rectangles des lignes semblables à
celles qui passent dans les rectangles corresjDondans de
la figure proposée. Si l'on n'est pas assez sur dans
l'emploi de ce moyen, on pourra se servir de l'un des
suivans : prenons pour exemple le point E pris à vo-
lonté dans la Figure donnée; il faut mesurer la dis-
tance de l'angle F à ce point, et de cette ouverture de
compasdécrire dans la Figure 265 , à partir du pointy^
un arc en e, et d'une autre ouverture égale à GE, à
partir du point g , couper le premier arc décrit , et oa
a leur intersection pour le point chercbé. On pourrait
encore obtenir la position de ce même point en abais-
sant la perpendiculaire EH, portant ensuite la dis-
tance F H de y en h, élevant une perpendiculaire en
h , et portant sur cette ligne la longueur EH.

Cette opération pourrait encore s'exéculer facile-
ment par la méthode donnée (N° i32), pour la cons-
truction des triangles; mais il faudrait seulement
prendre la longueur des diagonales sans les tracer.

CHAPITRE XXXVIII.

MANlÈaE d'augmenter OU DE DIMINUER LES DIMENSIONS
d'un DESSIN DANS UN RAPPORT DONNÉ.

* 4-^6. Comment réduit'On les dimensions d'un des-
sin dans un rapport donné, par exemple la Jigure
îi66 à celle 268, dans les rapports ^e BC à DE?

Il faut tirer une droite indéfinie F G , fig- 1*67 ; de
l'extrémité F, et d'un rayon égal à BC décrire l'arc
GH; du point G, et d'un rayon égal à DE, couper
cet arc en H j tirer la droite F H , et l'angle GF H ser-

( .37 )
yîra à dëterminer les longueurs proportionnelles, de
cette manière :

On mènera l'horizontale // égale à DE, et pour
avoir la hauteur ij de la copie , on prendra celle I J
de l'objet à réduire , on la portera de F en 0 et en P ,
et la distance OP donnera ij ^ qu'on élèvera perpen-
diculairement sur le milieu de / / ; pour avoir j m on
portera JM de F enRet enV, la distance RVserala hau-
teur du plinthe^m. C'est ainsi qu'on obtiendra la hauteur
et la saillie des autres parties de la copie demandée.

Cette opération pourrait encore s'exécuter facile-
ment par la méthode donnée , N» 182 , pour la cons-
truction des triangles • mais il faudrait seulement
prendre la longueur des diagonales sans les tracer.

On pourrait de la même manière réduire la figure
249 à la copie 25o ou 25i , une carte géographique à
une autre dimension , etc.

Si la ligne BG,^^. 266, avait été plus longue ou
plus courte que la base LM de la figure donnée , on
aurait construit le triangle GFH de la même manière
avec les rapports donnés j ensuite pour trouver la base
Il yfig. 268 de la copie , on aurait porté LL sur les
côtés de l'angle F , fig, 267 , et la distance des deux
points correspond ans, aurait donné la base II , le reste
de l'opération comme ci-dessus.

Si la copie devait être plus grande que le modèle
donné, on suivrait la même marche , mais l'angle F
serait plus ouvert, les côtés G F et HF étant plus
courts que celui GH, qui dans ce cas joindrait les
extrémités.

Le triangle GFH doit être fait pour chaque copie
différente , ses côtés devant être proportionnels à ceux
des figures proposées.

On pourrait encore faire ces sortes de réductions
par le compas de proportion , mais la méthode pré-
cédente est plus facile et plus exacte.

niT DE l'abrégé de géométrie.

{ «38)

D'ARCHITECTURE.

CHAPITRE I^"-.

DE l'architecture EX GÉNÉRAL.

» ■ I I .. I-. ....... -^

SECTION PREMIÈRE,

Oeûnilions préliminaires.

* I. \Jv*EST-CE que 2* architecture?
C'est l'art de construire.

* 2. JSn combien de branches divise-^t-on Varchi"
teclure ?

En trois principales r i° L'arclvtecture civile qui
s'occupe de la construction des édifices publics et des
bâtimens propres aux usages habituels de la vie;

2° L'architecture navale qui s'occupe de la construc-
tion des vaisseaux, des ports, etc.;

3° L'architecture militaire qui s'occupe de la cons-
truction des fortifications et redoutes propres à la dé-
fense des places de guerre. Nous ne parlerons, dans
cet Abrégé , que de l'architecture civile.

* 3. Quel est V alphabet de l'architecture?

Ce sont les moulures. Nous en avons parle dans le
chapitre XXXI de l'Abrégé de Géométrie,

( «39)
SECTION IL

Des Ordres d'architecture , et de leurs principales parties.

* 4. CosiBiEiVj- a-t'il d'ordres dans r architecture?
Cinq : le toscan, le dorique, l'ionique, le corin-
thien et le composite.

'* 5. Que distingue-t-on dans les cinq ordres?

Trois parties ; le piédestal , la colonne et l'entable-
ment,

*6. Ces trois parties se trouvent-elles toujours dans
r exécution de chacun de ces ordres?

Non : car l'attribution d'un nom d'ordre à un e'difice
ne dépend pas toujours des colonnes, mais encore des
proportions observées dans sa construction; quelque-
fois même il n'a pas de colonnes , et souvent le piédes-»
tal est remplacé par un seul plinthe. Quand le pié-
destal règne autour du bâtiment on l'appelle stylobate,
et soubassement quand l'entablement n'a pas de frise
et que la corniche pose immédiatement sur l'archi-
trave j on dit alors qu'elle est architravée.

* ^. Comment distingue-ton les cinq ordres?

On distingue le toscan par la simplicité de ses mem-
bres, n'ayant aucun ornement, fig. I, planche 25 •
le dorique par les trigliphes A qui ornent sa frise ,
Jîg. II 5 l'ionique par la volute B de son chapiteau,
fig. III; le corinthien parles feuilles d'acanthe G qui or-
nent son chapiteau ,fig, IV; et le composite par le chapi-
teau corinthien réuni aux volutes de l'ionique , j%. "Vé

* 8. Comment divise-t~on le piédestal?

En trois parties : en corniche A , dé B et base C»
^ 9. Combienjr a-t-ilde parties dans la colonne?
Trois : la base D , le fut E et le chapiteau F.
^ 10. Quelles sont les parties de Ventahlem.enl?
L'architrave G, la frise H et la corniche A.

{ >4o )

* ir. Quelles relations étahlît-on entre les trots
parties principales des ordres de l'architecture?

Dans tous les ordres l'entablement a pour hauteur
le quart de la colonne , et le piédestal le tiers.

* 12. Quelles sont les proportions des colonnes?
La hauteur de la colonne toscane , base et chnpitrau

compris , est de sept fois son diamètre ^ fîg' XXIV; la
dorique de huit fois,* l'ionique de neuf fois; la corin-
thienne et la composite de dix fois.

* l3. Quappelle~t-on module?

C'est une longueur égale à la moitié du diamètre
inférieur de la colonne; il se divise en 12 minutes
pour les ordres toscan et dorique, et en 18 pour les
autres.

SECTION in.

Proportion des ordres et de leurs parties principales.

* 14. CRUELLE est la hauteur de V ordre toscan,

Elle est de 21 modules et 1 parties de module , dis-
tribués comme il suit pour les principales parties et
leurs subdivisions. Les saillies sont cotées à partir de
l'axe de la colonne.

Û E 1

Plinthe.. .
let oulis
tel. . . ,

Congé.
Socle..

<.- \ Talon,
y^ { Listel.

mo

d. 8

min.

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Colonne , i4 mod.

1(

Plinthe.
Tore. .
Listel.

Congé.

Fût . .

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i Filet. .
\^ Baguette

HAUT. 1

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^ [ Gorgcràin.
i Congé. . .
jLisiel. . .
'Qtderond.
] Larmier. ,
'Congé. .
Lisiel. .

Entablement j 3 mod.Qmin.

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ne, 1

un

iod.\

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SAILL.

mo mi

mo

mi

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1

1

1

. 0

I

I

3

( i4i )

Suite de l'Entablement.

HAUT.

mo

Frise H i

C^. / Plate-Bande., ol 8

.£|| Congé. . . G a
^ - (Listel. . . o| a

'Talon. .
Listel. .
Larmier.
Congé. .
Listel. .
Baguette.
Q* de rond, c

5i
I

3"
I

4

SAILL.

a

a
II
1 1

o

4

(La distance entre les colon.-
nes , qu'on nomme entreco-
lonnement , est de 4 modules
8 minutes).

* i5. Quelle est la hauteur totale de V ordre do^
rique,/îg. II?

Elle est de 25 modules 4 minutes , distribués de la
maaiëre suivante pour les principales parties de cet
ordre et leurs subdivisions.

Piédestal , 5 mod. 4 min.

mo

i«» Plinthe, o

a» Plinthe

Talon. .

Baguette.

Listel.. .
•iT o ( Congé. .
'^%\ Socle.. .

Talon. .

Larmier.

Listel. .

Q* de rond, o

Listel,

Colonne , i6 modules.

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I
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II

Suite de la Colonne.

<: I Plinthe.
J!| 1 Tore. . .
||)Baguetle.

'(Listel. .

HAUT. 1

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mo

mi

mo

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férieur, . 0

a

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0

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périeur. . o

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10

Filet. ... 0

I ï

2

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Baguette. . o

I

I

0*

Gorgcràin. o

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I

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3e Filet,. . 0

I

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Il -i

Q* de rond, o

2;

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Tailloir.. . o

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Talon.. . . o

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1

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.Listel.. , . o

I

n

( '42 )

Entablement , ^ modules. | Suite de l'Entablement.

> —

.TE

HAUT. 1

mo

11

/"ir* Plate-

y Bande . .

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4

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^ Bande. . .

0

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JGoutles. .

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I

2

/Ch.desG.

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I

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1

6

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o

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HAUT.

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ni

m

ni

Chapit. des

trvgliphes

0

a

0

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F.let. . . .

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2

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c

Q* de rond.

C

a

)

I

1 2

Gouttes de

la mutule.

c,

I

2

2

MiUule. . .

o

i

2

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Talon. . .

Cl

I

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Larmier. .

o

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falon. . .

Cl

I

2

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Filet. . . .

0

I
1

'J

7

Doucine, .

c

3

2

7

Filet. . . .

t

I

2

10

L'entre-colonnement de cet ordre est de 5 modules
6 minutes.

L'entablement est susceptible de de'coration. Sa
frise est divisée en triglyphes A et en métopes B. La
métope doit toujours être carrée , et avoir un module
ainsi que les trigljphes. La métope est la partie la
plus susceptible d'ornemens.

* i6. Que faut-il observer pour tracer V architrave
de cet ordre?

II faut diviser l'espace déterminé pour la recevoir
en trois parties égales , et la portion supérieure de cette
division en deux autres parties égales : celle du haut
sera le listel , et dans l'autre seront les gouttes C.

* 17. Quelle est la hauteur totale de l'ordre ioni-
qiie,/ig. III?

Elle est de 28 modules c) minutes, distribués de la
manière smvante pour les principales parties de cet
ordre et leurs subdivisions.

('43)

Piédestal ,

S / Plinthe. .

j I \Filet. . . .

S g \ Talon. . .

^(Baguette .

■g / Filet. . . .
8 1 Congé. . •
"Z 1 Socle. . •
^ (Congé. . .

.5 /-Filet. . . .
M Baguette. .
► / Q* de rond.
5 J Larmier. .
£ f Talon. . .
2 Filet. . . .

Colonne i il

Plinthe..
Tore. .
Filet. . .
Scoiie. .
Filet. . .
Tore. . .
Filet. . .

Congé. .
Fût. . .
Congé. .
Filet. . .
Baguetie.

modules.

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o

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o

Suite de la Colonne.

HADT. I SAllI.7

E /^Q* de rond.

E /-i^'uerona.
:: \ Canal de la
; ; vol. . . .
S i Listel.
'S. f Talon.
5 ^Filet. .

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1

1

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Entablement ^ 4 niodules
9 minutes.

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2^ face. .
3e face. .
Talon- .
Listel. .

Talon. , .
Filet. . . .

Denticules,
[Cordon. .
jFilet. . . .
'Baguette. .
^Q* de rond.

Larmier. .

Talon. . .

Filet. . . .

Doucine. .

Filet. . . .

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3

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10 4

il

41

5

81
10

L'entre-colonnement de cet ordre est de 4 niodules
) minutes.

* 18. Quelle est la hauteur totale de V ordre co»
•inlhien ^ Jig» IV ?

Elle est de 3i modules 12 minutes qui se divisent de
h& manière suivante , pour les principales parties d^
Tordre et leurs subdivisions.

Plinthe .
Tore. . .
Filet, . .
Doucine.
Baguette.

Filet. . .
iCongé. .
'Socle . .
iCongé. .
'Filet. . .

Baguette.

Frise.

ç /Filet. . . .
i i Baguette. .
£ JQ» de rond,
r 1 Larmier. .
1 (Talon. . .
îS ^Filet. . . .

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d. la min.

HAUT.

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o

1 ^

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'5^

( '44)

Suite de la Colonne.

Colonne, ao modules.

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* e

Plinthe.

Tore. . .
iFilet. . .
IScotie. .
IFilet. . .

Baguette,
jBaguetie.

Filet. . .

Scotie. .

Filet. . .

Tore. , ,

Filet.. .
Congé'. .
►Fût. . .
LCongé. .
'Filet. . .
'Baguette.

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o
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1" rang. .
3^ rang. .
Volute..,
Listel. .['.

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o

o

Larmier, .
Filet. . . .
Qt de rond.

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o
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0

o

0

o
o
o

Entablement , 5 modules.

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ire face. .

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Baguette. .

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1

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Talon. . .

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3^ face. . .

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Baguette. .

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Talon. . .

o

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Filet. . . .

o

I

I

a.

Pl.-bande.

1

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Congé. . .

o

a

o

i5

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Filet. . . .

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I

0

i6!l

Baguette .

o

I

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Talon. . .

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a

Filet. . . .

o

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Filet. . . .

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Baguette. .

o

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Talon. . .

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1 7

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Larmier. .

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0

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Filet. . . .

o

3

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B

Doucine, .

o

5

2

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Filet. . . .

0

I

a

17

L'catre-colonncment de cet ordre est de 4 niodulw
^ minute!.

( i45 )

* 19. Quelle est la hauteur de Vordre composite

Elle est la même que celle du précèdent , et les trois
parties principales ont les mêmes proportions , distri-
buées de la manière suivante pour les subdivisions.

Piédestal , 6 mod, la min.

Plinthe .
Tore. . .
Filei. . .
Talou. .
Baguette,
r Filet.

|^\ Congé.
»^E \ aocle. .
^Z^ï Congé.
O VFiiet. .

o
V

rBagnctte.
iFrise. . .
I Caret. .
'Filet. . .
iDoucine.

Larmier.

Talon. .
^Filet. . .

Suite de la Colonne.

Colonne^ ao modules

11

Plinthe.

Tore. .
iFilet. .
IScotie.
JFilet. .

Baguette
|Filct. .
ÏScotie.

Filet. .

Tore. ,

Filet. .

■Filet. .

Congé.

Fût.. .
1 ('ongé.
^F.let^ .
'Bagueltt.

5

3t

3,^
a

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P7

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,Q*derond.

Entablement f 5 mod»

HAUT. 1

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mo

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0

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ja^ face. . .
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Filet. . . .

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Congé. . .

iFilet. . . .

Baguette. .

■Q* de rond.

Filet. . . .

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[Filets des
dents. . .
jTalon. . .
/Filet. . . .
iDoucine. .
Il armier. .
iDaguette. .
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Filet. . . .

Doucine. .

Filel. . . .

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16^

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II

10

'4ï
i5
5

h

9-;
10

i5

( >46 )

^ 10. Q à appelle- 1- on pilas lres7

Ce sont des colonnes carrées en plan : on les distingue
aussi par les noms d'ordres attribués aux colonnes ar-
rondies ; les dimensions de leurs parties sont les mêmes
que celles de l'ordre auquel ils appartiennent.

Exercice. — Dessiner le piédestal et l'entablement
Je chaque ordre.

SECTION IV.

Manière de tracer le renflement ou la diminution de la colonne.

^11. C^UELLK est Informe de la colonne ?

Elle est ordinairement cylindrique jusqu'au tiers
de sa hauteur ; à partir de ce point , elle va en dimi-
nuant, de sorte que le diamètre de sa partie supérieure
se trouve un sixième moins fort que celui de sa partie
inférieure : les sentimeus sont cependant partagés sur
cet article, certains architectes la faisant diminuer
du bas.

* 22. Comjnent irace~l-on la diminution de la
colonne ?

Après avoir tiré l'axe A B , fig. VI , de la colonue ,
et les parallèles CD, EF, et porté de D eu G et de F
en H la diminution fixée , il faut tirer le diamètre IJ à
son tiers; décrire sur ce diamètre la demi-circonfé-
rence IMLNJ, mener ensuite G M parallèle à CD
jusqu'à la rencontre de la demi- circonférence ; parta-
ger l'arc IM en six parties égales, et par ces points
menerdes parallèles au diamètre I J: MN sera toujours
égale à G H ; on portera les autres parallèles suivantes
par ordre sur les divisions de la colonne PQ, RS, etc.,
et leurs extrémités seront les points par oii devront
passer les courbes qui détermineront la diminution de
la colonne. Si la diminution devait commencer au bas

('47)^
de la colonne, l'opération exëciilée en IJ se ferait
en CE.

* 23. Comment determine~t-on encore la diminu-
tion de la colonne?

Après avoir déterminé D G pour la diminution totale
de la colonne ^Jig- VII , il faut porter de D en E la lon-
gueur du dejui-diamètre AB de la partie inférieure de
la colonne; proionçer DE jusqu'à la rencontre de
riiorizontale BA ; a partir du point de rencontre, tirer
des droites qui traversent l'axe de la colonne de dis-
tance en distance; porter sur chacune d'elles, à partir
de l'intersection qu'elles font avec l'axe , des grandeurs
égales au demi-diamètie du bas de la colonne; ces
grandeurs donneront les points G, H, I, etc., par oïl
devront passer les courbes qui détermineront la dimi-
nution et le renflement de la colonne. Pour détermi-
ner l'autre côté de la colonne, on portera DE de E
en C, de L en M, de N en 0 , etc.

Si le renflement ne devait commencer qu'au tiers ,
on tirerait la ligne A E à cette partie de la colonne , et
l'on ferait la même opération.

Exercices. — Tracer le renflement des colonnes
suivant les différentes méthodes ci-dessus.

SECTION V.

Manière de tracer la Volute ionique et les corinthiennes.

* 24* Comment irace-t-on la volute ionique')
Soit donné AB ^fig' VIII, pour la hauteur de la vo-
lute, il faut la partager en seize parties égales d'une
minute chacune; de la neuvième division 0 et d'un
r^yon égal à une partie, décrire l'œil CDEF de la
volute (la figure IX représente le même œil en grand
pourplus d'intelligence) ; construire sur la droite c^ II ,
composée de la moitié des rayons OC, OE, le carré
IIJG9; mener, des angles J et G au centre 0, les

( i48 ) _
droites JO, GO; partager le côté H g en six parties
égales; construire un carré sur i,4iet unautresur 5, 8;
les angles HJG9 seront les centres du premier tour
commençant en A ; les angles i , 2 , 3 , 4 ceux du
second; et 5, 6, 7, 8 ceux du troisième qui doit
aboutir en G.

On détermine les centres de la seconde révolu-
tion de la manière suivante ; on tire une droite M L ,
fig. X, égale à HA, à l'extrémité M de laquelle on
élève la perpendiculaire MN, égale à OH; on porte
la largeur S A du listel de M en P, oii l'on élève la per-
pendiculaire PQ; on joint le point IV au point L; oa
porte PQ dans l'oeil de la volute de 0 en K et en T,
on partage T K en six parties égales , on renouvelle la
iiiêmeopérationquesur HQComm^eon le voit en points,
et les angles de ces trois carrés ponctués sont les cen-
tres de la seconde révolution de la volute qu'on décrit
dans le même ordre que la première , à partir de la
seconde division S.

* 25. Comment trace-t^on la grande volute corin-
thienne , Jig. XI?

Après avoir tiré la droite A B au niveau des feuilles
du deuxième rang , et lui avoir mené perpendiculai-
rement l'axe PL de la volute, on divise sa hauteur,
qui est égale à 8 minutes, en six parties égales; sur
la quatrième partie, comme diamètre, on décrit une
circonférence. (La figure XII représente cette partie
en grand pour plus d'intelligence.) On lire ensuite la j
sécante AB, formant, avec le diamètre du cercle, un i
angle de 4^ degrés, et on partage la partie intercep-
tée dans le cercle en quatre parties égales : le poini
A sera le centre de l'arc LB ; B celui de l'arc B G; G ce-
lui de l'arc GD; et D celui de l'arc DE.

Pour avoir les centres de la deuxième révolution
on partage la moitié AG du rayon en quatre partie;
égales, et ou en porte une de A en E , de G er
G, de D en H, et de B en F; et les points E, F, Get E
bôroal les centres de la seconde révolution. Pour avoij

( 49)

ies eenlres de la dernière, on partage la longueur EC
en huit parties égales,* on en porte une partie de E en
J, deG en M, de H en N, et de F en L; et les points
J, L, M et N seront les centres de la troisième révolu-
tion : le centre se trace à la main.

Pour tracer la naissance de cette volute, on tire la
verticale IJ parallèle à LP et passant par l'intersec-
tion E du cercle et de la sécante. Les centres des arcs
LA , etc., se trouvent sur le prolongement de cette li-
gne , aux points oii les perpendiculaires élevées sur
les cordes-île ces arcs la rencontrent.

* ?6. Que faut-il faire pour tracer la petite volute
corinthienne y f g. XIII?

Il faut tirer la droite A G au niveau du dessus des
feuilles du deuxième rang, et lui élever la perpendi-
culaire CD, axe de la volute; marquer sur cette per-
pendiculaire la hauteur de la volute qui est de six
parties de module , dont la quatrième sera l'œil de
la volute; il faut décrire ensuite la volute selon la
méthode précédente; pour en tracer la naissance, il
faut tirer la droite L M qui passe par l'intersection I ,
et qui soit tangente au deuxième tour de la volute:
Ju point M décrire l'arc DF, et du point L, éloigné
de Z, de trois fois la distance VX, l'arc F G ; ces deux
points seront aussi les centres des arcs qui détermi-
nent le petit listel. Le centre de l'arc OP sera en Z,
3t celui de PN sera sur une ligne VP qu'on fera
oasser par les points Z et P. Pour avoir celui de l'arc
SR, on joindra le sommet de l'œil de la volute au
^oint R , et la perpendiculaire élevée au milieu de cette
Iroite donnera, par son intersection A avec A G, le
:entre de cet arc.

Exercices. — Dessiner les différentes volutes.

' • ■ " " , ■ ■ -a

SECTÏO?^ VI.

Des Frontons, Impostes, Archivoltes el Soffites.
* 2^. (j^[;*APPELLE-T-ONyrO/2/072?

C'est un ornement d'architecture fait ordinairement
en triangle, /fo'. XIV. L'espace B compris, entre les
corniches qui Je forment, se nomme tympan : il est
susceptible de recevoir des sculptures, sujets allégo-
riques , etc., lorsqu'il a une certaine étendue.

Lsi/ig, XV représente un fronton circulaire.

^ 28. Quelles sont les proportions des frontons?

La hauteur des frontons varie : quand ils sont petits,
on leur donne ordinairement pour hauteur un ticr;
de la base; mais cette hauteur diminue à mesure qu€
Li base est plus longue : quelquefois, dans ce derniei
cas, le fronton n'a pour hauteur que le cinquième di
sa base. Ceci est abandonné au goût de l'archilectt
aussi bien que la composition de la corniche.

* 29. Qiiappelle-t-on imposte?

C'est la partie B,^^'. XVI, d'un pied droit, su:
lequel commence un arc.

* 3o. Qu est-ce qiion appelle arcliîvolles?

Ce sont des bandes larges C en forme d'arc ex
.«saillie sur le nu d'un mur. L'imposte et l'archivolti
loscanssont représentés par la figure XVI, les dorique
par la XVII'^S les ioniques par la XVI11"'% et les co-
rinthiens par la XIX™*^. La hauteur des moulures es
cotée dans la figure et la saillie à l'extérieur.

3 I . Qu appelle-l-on sofjiles ?

Ce sont diverses sculptures, fig. XX, XXI, XXII e
XXIII, qui scrv( nt à orner le plafond des entablcmcu
et des corniches.

( i5i )

-■ — '

SECTION YII.

Manière d'élever un Ordre,

* 32. QvE faut- il faire pour dessiner un ordre
dans une hauteur donnée ,y%. XXIV ?

Il faut diviser cette hauteur A B en dix-Tieiif parties
légales , en donner quatre au piédestal , douze à la co-
lonne , et trois à l'eutaLlement. Ce sont les proportions
que Yignole a données , d'après les observations qu'il
a faites scrupuleusement dans les plus beaux édifices
antiques. Cette opération étant faite , la hauteur de la
colonne se trouve fixée en LM; si c'est Tordre toscan
qu'on veut élever, on la divise en sept parties égales
CD; si c'est l'ordre dorique, en huit EF5 si c'est l'or-
dre ionique , en neuf G H 5 et enfin , si c'est l'ordre co-
rinthien ou le composite, en dix IJj chacune de ces
parties sera le diamètre inférieur de la colonne de l'or-
dre qu'on veut élever : le module de l'échelle sur la-
quelle on déterminera les autres parties de l'ordre ,
doit être , comme il a été dit, égal à la moitié de ce
diamètre.

* 33. De quelle autre manière peut-on encore é/e-
Ver un ordre lorsque la hauteur est donnée?

On peut déterminer le module de l'échelle en divi-
sant la hauteur donnée par le nombre de modules que
l'ordre doit avoir d'élévation. Supposons par exemple,
qu'on donne o,665 millimètres pour la hauteur de
l'ordre toscan ; je divise cette quantité par 22 modules
2 minutes qui est la hauteur de cet ordre , et j'ai pour
quotient o,o3 centimètres, qui sera la longueur du
module de l'échelle de construction.

* 34. Comment trace-t-on les parties d'uji ordre ^
-par exemple le piédestal toscan , fg. XXV, avec
une partie de la colonne ?

On commence d'abord par construire l'échelle; on

( l52 )

tire ensuite la base A B et la verticale CD. La hauteur
DE du piédestal étant déterminée, on la partage en
ses trois parties principales, en portant la hauteur de
la base de D en F et la hauteur de la corniche de E en
G ; par les points G et F on tire les horizontales IJ,
LN , après quoi on détermine la hauteur de chacune
des moulures dont on porte les dimensions sur la ver-
ticale CD. Par les points déterminés pour les hauteurs
on mène des horizontales, et on trace le profil des
moulures de la manière suivante : On commence par
déterminer le diamètre de la colonne en portant de 0
en P et en M une grandeur égale à un module, et on
tire M V et P Q parallèles àl'axe D G ; on ajoute ensuite
à ce module 4 minutes f pour déterminer la saillie du
tore et du plinthe, qui est aussi celle du dé du pié-
destal.,On prend ensuite une minute f pour la saillie
du filet qu'on ajoute au diamètre de la colonne 5 après
quoi on trace le congé, le tore, le plinthe, comme il
a été enseigné à l'article des moulures. On s*y prend de
la même manière pour tracer la corniche et la base du
piédestal. Ces profils doivent toujours être faits des
deux côtés en même temps, parce qu'une ouverture
de compas, portée partout oii elle est la même, est
toujours plus juste que si elle était prise à différentes
fois.

On pourrait encore profiler, comme il a été dit
page 112, pour la construction du piédouche.

S'il s'agissait d'élever ces différens ordres dans une
proportion double, triple, etc., des figures I, II,
III, etc. , on donnerait à chaque partie une dimension
double, triple, etc.

Exercices. — Elever les différens ordres , et dessiner
des colonnades.

L

( '53 )

CHAPITRE II.

DES PERSPECTIVES.

SECTION PREMIERE.

DéGoilion de la Perspective , et manière de niellre en
perspective les objets situés sur Thorizon.

* 35. Qu'est-ce que la perspective?

C'est l'art de repre'senter les objets tels que nous
les voyons , connaissant leurs positions relatives et
leurs dimensions.

"^ 3g. Quel est le fondement de la perspective?

Le voici : on suppose que l'objet J.^or. XXVI, est placé
sur un plan horizontal EFGH, et que, perpendicu-
lairement à ce plan , on en a élevé un autre transpa-
rent ABCD, qui est placé entre l'objet J et l'œil 0. Les
rayons visuels OR, OL , 0 M, ON, en suivant les con-
tours de l'objet , déterminent sur le plan transparent
un contour TVXY semblable à celui de l'objet observé.
Il est clair que si l'on donne à l'image déterminée par
ce contour des couleurs semblables à celles de l'objet ,
elle en tiendra lieu lors qu'il sera enlevé. C'est cette
ressemblance qu'on appelle perspective.
•. * 36. Que résulte-t'il de là?

Que tout objet parallèle au plan transparent ne
change ni de forme ni de direction dans l'image qu'y
déterminent les rayons visuels , mais que cette image
diminue de grandeur à proportion de son éloignement
de l'objet, le point de vue étant toujours le même.

♦ 37. Sous quelle dénomination désigne-t-on ces
plans et ces dijjérens points ?

On nomme le plan ABCD tableau , la droite BG

7-

( i54)
ligne (le terre , le plan E F G H , plan géometral. Cest
sur ce plan que se trouve la projection des objets
qu'on veut mettre en perspective. La ligne AI, pa-
rallèle à la ligne de terre BG, qu'on imagine passer
par la projection TS de l'œil , est appelée ligne d'ho-
rizon ; le point N , point principal ou point de vue ; et
le point I , qui est à une distance du point O , égale à
celle de l'œil A au tableau, est appelé point de distance.

"^^ 38. Comment dispose-l-on les lignes d'une ma-
Jiihî'e qui se prêle aux constructions ?

On suppose que le tableau ABCD,7%-.XXVII, estdans
une position verticale par rapport au plan géometral
qui se trouve au-dessous, et séparé du précédent par
la ligne de terre B G. La ligne d'horizon AD passe
par ie point 0, projection horizontale de l'œil du
dessinaleur censé derrière le tableau à une distance
égale à OP.

* 3f). Les pians étant ainsi disposes, que faut'
il faire pour avoir la perspective d'un point quel-
conque I pris sur l'horizon ^Jig» XXVII?

Il faut de ce point mener à la ligne de terre une
perpendiculaire I J; joindre par une droite ce point .1
à la projection horizontale 0 de l'œil ; du point J, et
d'un rayon égal à IJ, décrire l'arc IG, et mener
CP, qui détermine par Son intersection avec 3 0, le
point T pour la perspective du point donné. Ce re-
suliat est le même que celui qu'on obtiendrait par l'em-
preinte du passage R,^^. XXVllI, du rayon visuel SV,
dans le tableau supposé ici dans une position verticale
et vu sur le côté.

4o. Que faut-il faire pour avoirla perspective d'une
droite quelconque^ IF,y%. XXVII, située sur Vho-^
rizon?

Opérer comme pour le problème précédent pour
avoir la perspective des extrémités F, ï de la ligi^c
proposée , et les joindre par une droite TE,<iUi est la
réponse.

'* ^\ . Comment détermine-l-on la perspective d'un

( '55 )

rectangle A E C D, fg. XXIX , situé sur Vhorîzon pa-
rallèlenient au tableau?

On cherche la perspective de ses angles considére's
comme des points qu'on joint ensuite par des droites
JN , ]N 1 , 1 L , L J , et on a la perspective du rectangle.

"•* 42. Si le point de distance P ji était placé quà
V7ie distance égale à la moitié de celle de V œil au
tableau, par exemple en M,y?j^.XXIX, que faudrait-
il observer?

II faudrait alors diviser RX et ZPi en deux parties
égales, et àes points de division V et T on mènerait
les droites VM , TM qui détermineraient également ,
par leur intersection avec les droites menées au point
de vue , les points J et L de la perspective du rectangle.
On opérerait de même de l'autre côté pour détermi-
ner les points I , N. Si le point de distance n'était qu'au
quart de la distance de l'œil au tableau , on divise-
rait Pi X et ZR eji quatre parties égales, et on tirerait
les lignes déterminantes, à partir du premier point de
division.

On voit par la solution de ce problème que \es
lignes parallèles entre elles comme AG, BD , mais
dans une autre position par rapport au tableau j ten-
dent à se rencontrer.

Ceci est évident : car plus un objet s'éloigne, plus
l'angle que forme les rayons visuels diminue : obser-
vez par exemple une route bordée d'arbres également
espacés, la distance comprise entre chacun semble
diminuer à proportion que les raj^ons visuels s'éten-
dent plus loin, et les parallèles que forment les ar-
bres, ainsi que les bords des chemins paraissent se
rapprocher comme pour former un angle.

Dans la solution de ce problème le point de vue 0
se trouve à gauche pour faire voir qu'on peut le placer
irKlifïéremment, pourvu qu'on ait soin de décrire les
arcs du côté opposé au point de dislance , Ciir autre-
ment il n'y aurait point d'intersection pour détermi-
ner les perspectives.

(,56)

* 43. Co7nment dé termine- t-on la perspective d'un
poljgone quelconque , par exemple celle de V hexa-
gone ,fig. XXX , situé sur V horizon ?

On cherche la perspective de chacun des angles consi-
dérés comme des points qu'on joint ensuite deux à deux
par des droites, et on a la perspective du polygone.
44> Que faut-il faire pour m.ettre en perspective
un pavé en dalles carrées, placé parallèlement au
tableau, fig.^YJAl

Porter sur la ligne de terre une longueur AI , égale
à celle du pavé ; diviser cette ligne en autant de par-
ties que l'un des côtés du pavé contient de carreaux;
de ces points de division mener des droites A 0 , 10,
j 0 , etc., au point de vue; mener du point A la droite
AP au point de distance , et mener, par les intersec-
tions qu'elle fait avec celles qu'on a menées au point
de vue , des parallèles à la ligne de terre , et on a
ABCI pour la perspective du pavé.

45. Comment détermine-t-on la perspective d'un
cercle placé sur V horizon ,fig. XXXII?

On partage sa circonférence en un nombre quel-
conque de parties égales, par exemple en six^ on
cherche la perspective de chacun des points de divi-
sion qui détermine le passage de la courbe , qui est
une ellipse, formant la perspective du cercle. C'est
ainsi qu'on déterminerait la perspective de toute autre
iigure curviligne.

* 46» Comment divise-t-on une ligne fuyante
en parties égales perspectives ^ par exemple AB ,
fig. XXXIII, en cinq parties?

Après avoir tiré une droite AG, parallèle à la ligne
de terre , on porte dessus cinq fois une même ouver-
ture de compas, à partir du point k\ on tire ensuite la
droite GB, dont le prolongement détermine sur la
ligne d'horizon un point H d'oîi l'on mène des droites
à tous les points de division , et la droite AB est divisée
ca parties égales perspectives.

( -s, )

Exercices. — • Mettre en perspective différentes
îgures de planimétrie situe'e sur l'horizon, comme
les polygones réguliers et irréguliers , etc.

SECTION II.

Manière de mettre en Perspective les objets situés dans l'espace
et du point de Fuite.

* 47- y^v'£'ffiut'il faire pour trou\fer la perspective
i'un point situé dans l'espace , à une hauteur égale
T. la longueur de AB , Jig. XXXIV ?

Il faut d'abord chercher la perspective de laprojec-
ion horizontale I de ce point , et pour avoir la hauteur
le ce point sur le tableau , il faut élever en un endroit
juelconque J de la ligne de terre une perpendiculaire
f E , égale à la hauteur donnée A B , et des extrémités
f et E de cette droite , mener à un point quelconque G
le la ligne d'horizon les droites JG , EG ; mener par
e point F une parallèle FL à la ligne de terre , et la
perpendiculaire à NL élevée en L, oii celle-ci rencontre
j J, et qui est interceptée entre les côtés de l'angle G ,
lonne la hauteur cherchée : il n'y a donc plus qu'à
•lever en F une verticale F M égale à L N , et son ex-
rémité M est la perspective du point donné I.

* 4^* Ç"^ résulte-t-il de là ?

Que pour avoir la perspective d'un objet quelcon-
[ue élevé verticalement , comme un mur , une co-
onne, etc., il faut d'abord chercher la perspective
le sa projection horizontale , ensuite relie de son som-
net, et la ligne qui joint ces deux perspectives est
îUe-raême celle delà partie de l'objet interceptée entre
:es deux points. Ainsi dans la figure XXXIV, supposé
]ueF soit la perspective de la projection horizontale
le l'axe d'une colonne , et M celle de son sommet, la
îroite FM est la perspective de l'axe même. Il suit en-

ore de là que si l'on a une suite d'objets de mC-me

^ ( .58 )

hauteur et à une même distance du tableau, quan |
on a la perspective des bases, laquelle se trouve su
une parallèle à la ligne de terre , et qu'on a la perspec i
tivede la hauteur de l'un de ces objets, on a aussi cell i
des autres , comme on le voit dans la figure XXX\ [
Mais il faudrait une opération pour chacun des objets
s'ils étaient autrement place's.

"* 49* Que faut-il faire pour mettre en perspectif
une pyramide , dont la base est représentée par l
polygone A , fl'^. XXXVI , et qui a une hauteu
perpendiculaire , égale à la longueur de IJ?

Il faut mettre sa base en perspective (S° 4^) > ^^"■
que son centre A dont la perspective est celle de 1 -,
projection horizontale de la hauteur perpendiculair 1'
de la jDyramide ; placer ensuite la hauteur donné
IJ, en un point quelconque J de la ligne de terr
pour déterminer la perspective B du sommet delapy
ramide ; des angles de la perspective de sa base on tir
des droites à ce point , et on a celle de la pyramide.

* 5o. Que faut-il faire pour avoir celle du cube
dont l'un des côtés est représenté par le carré A
fig. XXXVII?

Il faut mettre en perspective ce carré; construire
un carré sur les droites EF, et un autre sur GH.
joindre par des droites les angles IJ , LN et on a \i
perspective demandée. On obtiendrait le niéjne résul-
tat , en opérant comme pour les problèmes précédeu:
pour avoir les hauteurs du cube.

*5i. Comment détermine-ton la perspective d'une
tour carrée , dont la projection horizontale est repré-
sentée par le carré k,Jîg, XXXVIII, et la hauteur
par la droite E?

Après avoir mis sa projection horizontale en per^
pective , on détermine celle de la hauteur en élevant
perpendiculairement à la ligne de terre, en un point
arbitraire, la droite FR égale à E ; de ses extrémités
F et R on mène à un point quelconque H de la ligne
d'horizon les droites FH, Rllj on mène ensuite IJ

_ ( >59 )
parallèlement a la ligne de terre , et la verticale JL,
élevée au point J , détermine la hauteur de la perspec-
tive de l'angle fuyant de la tour. La hauteur de la face
parallèle étant égale à la droite donnée, il n'y a donc
plus qu'à joindre les points U et S, et on a BU SI pour
la face fuyante de la tour, et BCDU pour la face
parallèle.

* 52. Que faut-il faire pour partager la face
fujmite en deux parties égales?

Joindre les angles opposés de cette face par des dia-
gonales, et la parallèle XZ aux côtés perpendiculaires^
et qui passe par l'intersection des diagonales, divise
perspectivement la face fuyante en deux parties égales.

Pour que la perspective produise tout son effet, il
faut que le spectateur soit placé en devant du tableau^
à rne distance égale à celle où il était supposé der-
rière le même tableau pendant l'opération.

* 53. Quappelle-t-oji point de fuite ?

C'est un point du tableau par où passe le prolon-
gement des perspectives de toutes les parallèles.

* 54. Où se trouve le point de fui te?

Dans l'endroit du tableau où passe la droite menée
de l'œil parallèlement aux lignes données.

* 55. Que faut-il faire pour trouver le poijit défaite
des perspectives des parallèles horizontales?

Soit à trouver le point de fuite des perspectives des
droites A,B, C, fig. XXXIX, il faut faire passer
par le point de vue 0 , une perpendiculaire L M à la
ligne de terre j à partir du point L, porter sur cette
droite une distance L M , égale à 0 P ; par le point M
mener une parallèle MN à l'une des proposées A , B ,
C; porter la distance LN de 0 en F, et F est le point
cherché.

* 56. Si les droites dont on veut avoir le point de
fuite des perspectives étaient obliques par rapport à

l'horizon , fig. XL, que faudrait-il faire?

On opérerait comme il suit : soit A la projection

( 'So )

horizontale de l'une des droites proposées, et B, la
projection verticale; il faudrait, après avoir porté sur
LO une distanne égale à celle de l'œil au tableau,
tirer 0 N parallèle à A , et par le point L mener la ver-
ticale indéfinie NF ; par le point 0 mener OF paral-
lèle àB, qui déterminera par son intersection F avec
la verticale NF, le point de fuite cherché.

Exercices. Dessiner la perspective de la table , fig,
LXXXIII , planche 58.

Le point de vue est en 0 , un peu, élevé , puisqu'il
aperçoit le dessus de la table ; le point de distance est
en P , à une distance du point 0 , égale à celle de
l'œil au tableau et dans une même direction hori-
zontale.

Celle de la commode , fig, LXXXIV :

Le point de vue en 0 est dans une position contraire
à celle de la figure précédente , ainsi que le point de
distance P , ce qui fait voir l'objet dans un sens diffé-
rent : l'œil de l'observateur est dans une position ho-
rizontale par rapport à 0 , et a une distance OP.

Celle du vase, /^. LXXXV :

Ce vase est d'une grande dimension, puisque le
point de vue placé vis-à-vis du milieu de la hau-
teur , permet d'apercevoir le dessus du pied et le des-
sous de la moulure supérieure.

Celle de la chaise , fig. LXXXVI :

Les points de vue et de fuite sont à l'endroit oii
les parallèles horizontales A,B, C,D,E,F, etc.,
vont se rencontrer par la convergence- ces lignes
sont supposées perpendiculaires à la ligne de terre
du tableau qui reçoit la perspective.

Celle de l'intérieur d'un vestibule , fig. LXXXVII :

A , B , C , etc. , sont les perspectives des poutres ,
elles sont au-dessus de l'observateur , placé dans la
direction du milieu du carrelage, à une hauteur 0
et à une distance 0 P j L représente une porte fermée ,
I une porte ouverte , J sa baie j la partie 0 repré-

( >Si )
sente le fond du vestibule ; R et T sont là perspective
des côte's vus de face j P et V , sont les faces fuyantes ,
c'est-à-dire les côtés du vestibule.

Celle des arcades , fig. LXXXVIII :

Après avoir tracé la perspective des piliers vus le
plus en face , on décrit les cintres qui forment la pre-
mière arcade, on joint le bas de ses arcs et on tire
la ligne A P au point de vue 0; sa rencontre avec
les parallèles qui joignent les extrémités des autres
piliers, désigne le centre des autres arcs.

Celle de la façade d'une maison, ^^. LXXXIX. :

Les parties A sont les vues de face des pignons j
Blés côtés fuyans , c'est-à-dire la façade des ailes,
et C la vue de face au loin. La grille paraît basse
étant vue par le haut.

DU COMPAS DE PROPORTION.

67. V^u'est-ce que le compas de proportion?

C'est un instrument assez semblable au pied de
roi. Sur chacune de ses faces sont tracées deux li-
gnes qui se réunissant au centre de la charnière,
forment un angle d'environ dix degrés. D'un côté
les lignes sont divisées en parties égales de la même
manière que l'échelle de proportion , ^g-. 605 c'est
ce qu'on appelle les parties égales.

De l'autre côté les lignes sont divisées en 180 par-
lies inégales , c'est ce qu'on appelle les cordes. Voici
de quelle manière elles se tracent. Sur la ligne de
l'une des branches, on décrit une demi-circonférence
d'un diamètre égal à la ligne à diviser,* on partage
cette demi-circonférence en 180 degrés 3 du centre
de la charnière , et de chaque degré, on décrit uu

( l62 )

arc qui vpnant aboutir à la ligne y détermine la
longueur des cordes correspondantes.

68. Quel est r usage du compas de proportion?

Les divisions de<ilignes elles ouvertures proportion-
nelles de cet instrument, servent à découvrir les rap-
ports réciproques qui existent entre les lignes, les
surfaces, les polygones, les solides semblables, les mé-
taux de calibres proportionnels et même entre les
quantités numériques. Nous nous bornerons à donner
quelques-uns de ses usages sur les cordes et les par-
ties égales.

5g. Comment peut-on connaître le nombre de de-
grés d'un angle ou d'un arc , par le moyen du compas
de proportion ?

Il faut prendre une ouverture du compas ordinaire,
égale au rayon de cet arc et la porter sur le compas
de proportion en l'ouvrant de manière que les pointes
du compas qui contient cette longueur s'appliquent ,
l'une et l'autre , sur les N°' 60 et Go des cordes de
chaque branche ; prendre ensuite une ouverture de
compas égale à la corde de l'arc donné , la porter sur
le compas de proportion, en suivant parallèlement
les lignes des cordes marquées sur les deux branches;
l'endroit sur lequel se fera la rencontre des mêmes
divisions , sera le nombre des degrés cherchés.

60. Que faut-il faire pour prendre , sur un cercle ,
un arc d'un nombre quelconque de degrés , de 25 par
exemple ?

Après avoir ouvert le compas de proportion de
manière que la distance du soixantième degré d'une
branche au soixantième de l'autre , soit .égale au
rayon du cercle , on prendra la distance des deux
vingt-cinquièmes divisions qu'on portera sur le cer-
cle; la quantité que le compas embrassera sera l'arc
demandé.

61. Comment peut-on faire un angle d'un nombre
de degrés demandés , par exemple de 5o ?

( '63)
îl faut tirer une ligne indéfinie , de l'une de ses
extrémite's et d'un rayon arbitraire, décrire un arc
indéfini ; porter la longueur du rayon sur le compas
de proportion de manière que les pointes du compas
qui contient cette longueur , portent l'une et l'autre
sur les ]N°^ 60 et 60^ conserver le compas de propor-
tion dans la même ouverture et prendre la longueur
de l'e'cartement des N"' 5o et 5o de ses branches, la
porter sur l'arc , à partir de la ligne donnée , et tirer
la ligne qui détermine l'angle.

62. Comment poiirrail-on prendre ^ sur ime ligne
donnée, im nombre quelconque de parties égales^
par exemple les ^ , par le mojen du compas de
proportion ?

Prendre , avec le compas ordinaire , la longueur de
la ligne donnée ; porter une des pointes du compas
sur la quatre-vingt-dix-septième division , puis ouvrir
le compas de proportion jusqu'à ce qu'on puisse ap-
pliquer l'autre pointe sur la quatre-vingt-dix-sep-
tième division de l'autre branche j laissant le compas
de proportion ainsi ouvert , on prendra la distance de
26 à 25 , et l'on aura les || de la ligne donnée.

63. Que faut-il J'aire pour trouver une quatrième
proportionnelle à trois lignes données , par le moj'en
du compas de proportion?

Porter la longueur de la première ligne, du cen-
tre du compas sur une de ses branches marquant les
parties égales , je suppose qu'elle tombe sur 3i ,• pren-
dre la longueur de la seconde ligne et ouvrir le com-
pas de proportion de manière que cette longueur soit
comprise entre les N"' 3i et 3 i de chaque branche •
laissant le compas dans cette position, on porte la
longueur de la troisième ligne, du centre sur les
mêmes parties égales , je suppose qu'elle tombe à la
vingt-unicme division, la distance de 21 à 21 sera la
quatrième proportionnelle.

64. Comment peut-on trouver une troisième pro-
portionnelle à deux lignes domiées?

( .64 )

tl faut porter la ligne qui forme le premier terme
Gé la proportion , du centre du compas , sur la ligne
des parties égales , en 45 par exemple ; ouvrir le com-
pas de proportion de manière que la longueur de la
seconde ligne soit comprise entre les N°* ^5 et 45 de
chaque branche; conservant la même ouverture de
compas, on portera cette même seconde ligne du
centre sur la branche , et du point oii elle tombe ,
on prendra la distance à la division correspondante,
elle sera la troisième proportionnelle demandée.

FIN.

tl^lBIL]^.

Uéfixitions préliminaires. ' I

CHAPITRE I". Du Point et des Lignes. a

CHAPITRE II. Du Cercle. 4

Section P®. Graduation du Cercle. id.
Section II. Des Lignes considérées à l'égard du

Cercle. 5

CHAP. III. Différentes espèces de Lignes droites ,

et manière de tracer les Perpendiculaires. 6

CHAPITRE IV, Des Parallèles et de la manière

DE les tracer. IO

CHAPITRE V. Division des Lignes. 12

CHAPITRE VI. Des Angles. 14
Section P®. De la mesure des Ang-Ies et de la

manière de déterminer Jeur valeur. id*
Section II. Manière de copier les Angles et die les

diviser. 16
Section III. Mesure des Angles considérés dans le

cercle , lorsque le sommet n'est pas au centre. 18

CHAP. VII. Détermination des Lignes COURBES. ig

CHAPITRE VIII. Contact des Tangentes. aa

CHAPITRE IX. Des Proportions. a5

CHAPITRE X. Division de la circonférence du

Cercle. 28

CHAPITRE XI. De l'Echelle de proportion. 3a
CHAPITRE XII. DES Surfaces en général. 35
CHAPITRE XIII. Des Triangles. 36
Section F®. Des Triangles en général et de la va-
leur de leuM Angles. 3§

1 66 TABLE.

Section II. Construction des Triangles. 33

CHAPITRE XIV. Des Quadrilatères. 4 1

-8ection r^. Définition des Quadrilatères. id.

Section II. Construction des Quadrilatères. . l\%

CHAPITRE XV. Des Polygones réguliers. 4^

Section V'^, Désignation des Polygones réguliers, id.

Section II. Construction des Polygones réguliers. 4^

CHAPITRE XVI. Evaluation des Surfaces. 5 1

Section P^. Evaluation des Figures reclilignes. id.
Section II. Evaluation de la Surface du Cercle

et de ses parties. 5.»

CHAPITRE XVII. Réduction des Triangles en

d'autres de même superficie , ET de leur division. 57

CHAP. XVIII. Réduction des Parallélogra3IMes

EN d'autres égaux EN SUPERFICIE. 5()

CHAP. XIX. Manière de diminuer le no»ibre des
côtés d'un Polygone quelconque ou de l'aug-
menter EN LUI conservant LA MÊME SUPERFICIE. 62

CHAP. XX. De la similitude des Triangles et

des autres Polygones. 63

CHAPITRE XXI. Propriété du Triangle rec-
tangle. 66

Section P®. Démonstration de cette Propriété, id.

Section II. Usage de la propriété du Triangle

rectangle. 68

Section III. Autres Applications de la propriété

du Triansfle rectangle. "O

CHAP. XXTI. Manière de construire les Figures

semblables dans une proportion désignée. "2

CHAPITRE XXIII. Des Plans. ^4

CHAPITRE XXIV. Des Solides ; leur Defimion. 77

CHAPITRE XXV. Surface des Solides. 81

CHAPITRE XXVI. Solidité des Corps. 83

TABLE. 167

CHAPITRE XXYÏI. Des Polyèdres. 89

Section P®. Coustruclion des Polyèdres réguliers, id.

Section II. Coupe des Polyèdres réguliers. gi
Section III. Autre manière de déterminer la

coupe des Polyèdres. g4

CHAPITRE XXVIII. Raccordement des lignes. 97

CHAP. XXIX. Figures curyilignes a plusieurs

centres. 100

Sect. P®. Définition des Figures curvilignes. id,

Sect. II. Construction des Figures curvilignes. ici

CHAPITRE XXX. Réduction des Polygones EiT

d'autres de même superficie. io5

Sect. P^. Réduction des Polygones curvilignes

en Polygones rectilignes, et récijîroquement. id.

Section II. Réduction des Polygones curvilignes

en d'autres de même superficie. 106

CHAPITRE XXXI. Des Moulures. 108

CHAPITRE XXXII. Des Projections. i 14

Sect. P^. Idée générale des Projections. id,

Sect. II. Manière de déterminer les Projections. 1 15
Sect. III. Manière de déterminer la longueur des

lignes par la connaissance de leurs projections, i ig

CHAPITRE XXXÏÏI. Usage de la similitude des

Triangles rouR la mesure des Distances. i 1 1

Section P^. Mesure des Distances. id.

Section II. De la mesure des Hauteurs. 124

CHAPITRE XXXIV. Du Nivellement. i25

CKAP. XXXV. Manière de prolonger les Lignes
sur le terrain , lorsqu'il se rencontre des obs-
tacles. 127
CHAPITRE XXXVI. Lever des Plans. iicS
Section P^. Idée générale du lever des Plans, et
manière d'en représenter les différentes partie?. zW,

ï68 TABLE.

Section II. lanière de lever un Plan à l'aide de
la Chaîne seulement. i3o

Section III. Lever du Plan au moyen de la Plan-
chette. i33

CHAP. XXXVII. Manière de copier les Figures

IRRÉGULIÈRES, l'35

CHAPITRE XXXVIIÏ. Manière d'augmenter ou

DE DIMINUER LES DIMENSIONS d'cn DeSSIN DANS UN
RAPPORT DONNÉ. l36

ABRÉGÉ D'ARCHITECTURE.

CHAPITRE P^. De l'Architecture en général. i38

Section V^. Définitions préliminaires. id.

Section II. Des Ordres d'architecture , et de leurs
principales parties. i3c)

Section III. Proportion des rdrei et de leurs
parties principales. i4o

Section IV. Manière de tracer le renflement ou
la diminution de la colonne. 146

Section V. Manière de tracer la Volute ionique
et les corinthiennes. 147

Section VI. Des Frontons, Impostes, Archivoltes
et Soffites. i5o

Section VII. Manière d'élever un Ordre, i5i

CHAPITRE II. Des Perspectives. i53

Section F^. Définition delà Perspective, et ma-
nière de mettre en perspective les objets situés
sur l'horizon. id.

Section II. Manière de mettre en Perspective les
objets situés dans l'espace , et du point de Fuite. 1 57

Dï Compas de proportion. 161

FIN DE LA TABLE.

De i'Iinprirotrit de Jh MORONYAL , rue Galande , n» d5.

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