Die Theorie von Lorentz und das Prinzip der Reaktion

Die Theorie von Lorentz
und das Prinzip der Reaktion

Henri Poincare
1 1. Dezember 1900* 1 "

Inhaltsverzeichnis

1. 2

2. 9

3. 16
Anmerkungen 23

Man wird es ohne Zweifel seltsam finden, dass ich in einer zu Ehren von Lorentz
angefertigten Festschrift die Betrachtungen zusammenfasse, welche ich vorher als Ein-
wände gegen seine Theorie vorgestellt habe.

Jedoch verzichte ich auf diese Entschuldigung, weil ich eine besitze welche 100
mal besser ist: Gute Theorien sind flexibel. Diese, welche eine starre Form haben und
welche diese Form nicht verändern können ohne zusammenzubrechen, haben in der Tat
zu wenig Vitalität. Aber wenn die Theorie uns einige wahre Zusammenhänge enthüllt,
dann kann sie in unterschiedliche Formen gebracht werden, sie wird allen Angriffen
widerstehen, und ihre grundlegende Aussage bleibt unbeeinträchtigt. Das ist es was ich
beim letzten Kongress für Physik diskutiert habe.

Gute Theorien können auf alle Einwände eine Antwort geben. Äußerliche Argu-
ment haben keine Wirkung auf sie, und sie triumphieren auch über alle ernsthaften
Einwände. Jedoch während des Triumphs können sie umgestaltet werden.

Weit davon entfernt sie zu zerstören, helfen ihnen deswegen diese Einwände in
Wirklichkeit, da sie es diese Theorien erlauben, alle in ihnen vorhandenen Vorzüge

*© dieser deutschen Übersetzung: Dietmar Hainz, (Mail: dihainz@yahoo.de), 06. 12. 2008, letzte Än-
derung 10. 12. 2008; Kopieren, Zitieren, Nachdruck unter Quellenangabe erlaubt. (Für Lizenzdetails siehe
http://creativeconraions .org/licenses/by-nc-nd/3.0/at/)

^Französisches Original: La theorie de Lorentz et le principe de la reaction. In Recueil de tra-
vaux offerts par les auteurs ä H. A. Lorentz ä l'occasion du 25eme anniversaire de son doctorat le
11 decembre 1900, Archives neerlandaises, 5 (1900), 252-278. http://uuu.archive.org/details/
recueildetravauOOloregoog

hervorzubringen. Die Theorie von Lorentz ist eine von diesen, und das ist die einzige
Entschuldigung, welche ich anführen werde.

Das ist es also nicht, wofür ich die Entschuldigung des Lesers erbeten werde, son-
dern vielmehr dafür, dass ich für eine so lange Zeit so wenige neue Ideen vorgebracht
habe.

1.

Überblicken wir zu Beginn schnell die Rechnung, durch welche man zeigen kann, dass
in der Theorie von Lorentz das Prinzip der Gleichheit von Aktion und Reaktion nicht
richtig ist, zumindest wenn man es ausschließlich auf materielle Objekte anzuwenden
wünscht.

Lasst uns die Summe aller ponderablen Kräfte finden, welche auf alle Elektronen
wirken die sich im Innern eines bestimmten Volumens befinden. Das Ergebnis, oder
eher dessen Projektion auf die x- Achse, wird durch den Integral repräsentiert:

X = Jpdx

17-^ + -/-
A-o _

wo die Integration über alle Elemente dx des betrachteten Volumens ausgeführt worden
ist, und wo £, X], und C, die Geschwindigkeitskomponenten des Elektrons darstellen.
Aufgrund der Gleichungen:

dg 1 f da dy\ dh 1 f dß da\ ^-, df

dt An\dz dx)' dt An\dx dy ) ' *" dx'

a da

und durch addieren und subtrahieren des Ausdrucks , kann ich schreiben,

An dz

X=X X +X 2 +X 3 +X A ,

Xi =

-'«(i>" -4)-

x 2 =

dx ( da da da\
An \ dx dy dz J'

x 3 =

-dx f da dß dy\
An \ dx dx dxj'

x 4 =

Kq J dx

Partielle Integration ergibt:

x 2 =

= f — a(la + mß + ny)- / — a
J An ' J An

(da
\ dx

x 2 =

-/£/<«» + l>* + r»).

dß dy

dy dz

wo die doppelten Integrale über alle Elemente dö) der Oberfläche ausgeführt wurden,
welche den betreffenden Raum umschließt, und wo /, m, n den Kosinus der Winkel
bezeichnen, welche eine Richtung senkrecht zu diesem Element haben.
Wenn wir beobachten, dass

da dß dy

h — + — =0,

dx dy dz

so sehen wir dass man schreiben kann:

(1) X 2 +X 3 = J -^ [l (a 2 - ß 2 - y 2 ) + 2maß + 2nay] .

Wir transformieren nun A4.
Partielle Integration ergibt:

X 4 = f 4 -^(lf 2 + m f g + nfh)- [™l(f*f + *f +h df

Kq J Ko \ dx dy dz

Ich bezeichne die beiden Integrale auf der zweiten Seite X 4 und X 4 , so dass

A4 = A^ — A4 .

Wenn wir nun die Gleichungen benutzen:

df

dy

dg Ko dy
dx An dt '

df

dz

dh Ko dß
dx An dt '

können

wir schreiben:

<-

-Y + Z,

wo

y= „ Andr f df | dg_ +h ^
Ko \ dx dx dx

z = !dJ g d -l-hf

J V dt dt

Man findet dann:

Y = S—jT- (f+g 2 + h 2 )
Ko

X 1 -Z=jJdT(ßh-yg).

Deswegen haben wir letztendlich:

(2) X = j t jdx{ßh - 7) + (X 2 +X 3 ) + (x' 4 - y) ,
wo X2 +X3 durch Formel (1) gebeben ist, wobei wir erhalten:
x i 4 _ Y = j2nda [l{f 2_ g 2_ h 2 )+2mfg + 2nfh]

Der Ausdruck {Xi +X3 ) stellt die Projektion der Kraft auf die x-Achse dar, welche
auf die verschiedenen Elemente dö) der den betreffenden Raum umschließenden Ober-
fläche ausgeübt wurde. Man bemerkt sofort, dass diese Kraft keine andere ist als der
magnetische Druck von Maxwell, der von diesem Gelehrten in seiner wohlbekannten
Theorie eingeführt wurde.

Auf die selbe Weise stellt der Ausdruck ( X 4 — Y ] die Auswirkung des elektrosta-
tischen Drucks von Maxwell dar.

Ohne Vorhandensein des ersten Ausdrucks ergibt sich:

jjdz(ßh-yg),

die ponderable Kraft würde keine andere sein als die, welche sich aus den Drücken
von Maxwell ergibt.

Wenn unsere Integrale über den gesamten Raum ausgedehnt werden, verschwinden
die Doppelintegrale von X2, Xj,, X 4 und Y , alles was verbleibt ist:

X=j t jdT{ßh-yg).

Wenn wir deswegen eine der betreffenden materiellen Massen M nennen, und die
Komponenten ihrer Geschwindigkeit V x , V y , und V z , und wenn das Prinzip der Reakti-
on anwendbar wäre, dann sollte sich ergeben:

£ MV X = kernst., £ MV y = kernst., £ MV Z = konst .

Im Gegensatz dazu ergibt sich:

Y,MV x + JdT(yg-ßh) = konst.,

Y.MV y + J di(ah - yf) = konst.,

Y,MV x + fdT(ßf-ag) =const.

Beachte, dass

yg-ßh, ah-yf, ßf-ag

die drei Komponenten des Radiusvektors von Poynting sind.
Wenn gesetzt wird:

J =

1

a

2%

I/ 2

87T L" K

ergibt die Poyntinggleichung tatsächlich,

„ dj

dm

l
a

f

m
ß

An

pdr^ft;.

Wie wir wissen, stellt der erste Integral auf der zweiten Seite das Ausmaß der elek-
tromagnetischen Energie dar, welche in das betreffenden Volumen als die Oberfläche
durchquerende Strahlung eintritt, und der zweite Ausdruck stellt die Menge der elek-
tromagnetischen Energie dar, welche innerhalb des Abschnitts durch Transformation
anderer Energieformen erzeugt wird.

Wir können die elektromagnetische Energie als ein fiktives Fluid mit der Dichte
KqJ betrachten, welches sich in Übereinstimmung mit Poyntings Gesetz durch den
Raum bewegt. Wir müssen nur erkennen, dass diese Fluid nicht unzerstörbar ist, und

47T
dass - während einer Zeiteinheit - im Volumenelement dx die Menge — pdz^\ft,

Ko
zerstört wird (oder wenn das Vorzeichen negativ ist, eine gleich große Menge mit einem

jedoch umgekehrten Vorzeichen erzeugt wird). Das ist es, was uns davon abhält unser
fiktives Fluid als eine Art "reales" Fluid zu betrachten.

Die Menge des Fluids welches die Fläche (gesetzt gleich 1) durchquert, und senk-
recht zur x-Achse oder zur y-Achse oder zur z-Achse orientiert ist, ist während einer
Zeiteinheit gleich

K JU X , K JU y , K JU Z ,

wobei U x , Uy, U z die Geschwindigkeitskomponenten des Fluids sind. Indem man dies
mit Poyntings Formel vergleicht, ergibt sich:

K JU x = yg-ßh,

K JU y = ah- yf,

K JU x = ßf-ag,

und folglich ergeben unsere Formeln:

' I MV X + J K JU x dT = konst . ,

(4) { ^MVy + jK JU y dT = konst.,

T,MV Z + J K JU z di: = konst.

Diese zeigen die Tatsache, dass der Impuls der normalen Materie und unseres fik-
tiven Fluids durch einen konstanten Vektor dargestellt wird.

Wenn der Impuls in der gewöhnlichen Mechanik konstant ist, dann kann man
schließen, dass die Bewegung des Schwerpunkts geradlinig und gleichförmig ist.

Hier haben wir aber nicht die Berechtigung zu schließen, dass sich der Schwerpunkt
des Systems, welches von der Materie und unserem fiktiven Fluid geformt wird, gerad-
linig und gleichförmig bewegt; und zwar deswegen weil das Fluid nicht unzerstörbar
ist.

Der Ort des Schwerpunkts des fiktiven Fluids ist gegeben durch den Integral

/ xJ dx ,

ausgedehnt über den gesamten Raum. Die Ableitung aus diesem Integral ist:
, dJ , f , fdJU x dJU y dJU z \ An f , ^ ,,

Aber der erste Integral auf der zweiten Seite wird durch partielle Integration

JJU x dT oder ^(C-TMV X ),

wo C die Konstante des zweiten Ausdrucks der ersten Gleichung (4) darstellt.

Weiters soll Mo die gesamte Masse der Materie darstellen, Xo,Yo,Zo die Koordi-
naten ihres Schwerpunkts, M\ die gesamte Masse des fiktiven Fluids, X\,X 2 ,X^ die
Koordinaten ihres Schwerpunkts, Mi die gesamte Masse des Systems (Materie und
fiktives Fluid), X 2 ,Y 2l Z 2 ihren Schwerpunkt, und dann ergibt sich:

M 2 = Mo + Mi , M 2 X 2 = M Xo +MiX u
d

(M X ) = Y,MV X , K xJdx = M1X1

dt

Daraus ergibt sich:

(3) j f (M 2 X 2 ) = C-47ijpx dr^tt-

Jetzt wird gezeigt wie man Gleichung (3) in der gewöhnlichen Sprache ausdrücken
kann.

Wenn elektromagnetische Energie weder irgendwo erzeugt noch zerstört wird, dann
verschwindet der letzte Ausdruck; dann besitzt der Schwerpunkt des Systems, welches
aus Materie und Energie (im Sinne eines fiktiven Fluids) besteht, eine geradlinige und
gleichförmige Bewegung.

Es wird nun vorausgesetzt, dass an bestimmten Orten elektromagnetische Energie
zerstört und in nicht-elektrische Energie transformiert wird. Dann müssen wir nicht
nur das aus Materie und elektromagnetischer Energie bestehende System berücksich-
tigen, sondern auch die nicht-elektrische Energie, welche aus der Transformation der

elektromagnetischen Energie resultiert.

Jedoch müssen wir annehmen, dass die nicht-elektrische Energie an dem Ort ver-
bleibt wo die Transformation stattfindet, und sie wird nachher auch nicht von der an
diesem Ort befindlichen Materie mitgeführt. Es ist nichts an dieser Konvention was
uns erstaunen müsste, da wir ja nur über mathematische Fiktionen sprechen. Wenn
man diese Konventionen annimmt, dann wird die Bewegung des Schwerpunktsystems
geradlinig und gleichförmig verbleiben.

Um diese Erklärung auf Fälle zu erweitern, wo nicht nur Zerstörung sondern auch
Erzeugung von Energie stattfindet, reicht es aus anzunehmen, dass an jedem Punkt eine
bestimmte Menge von nicht-elektrischer Energie vorhanden ist, aus welcher die elek-
tromagnetische Energie entsteht. Dann folgt man der vorhergehenden Konvention, d.
h. anstatt anzunehmen, dass die nicht-elektrische Energie mit der gewöhnlichen Ma-
terie mitbewegt wird, behandeln wir sie als unbewegt. Unter diesen Voraussetzungen
bewegt sich der Schwerpunkt weiterhin in einer geraden Linie.

Man betrachte wieder Gleichung (2), und man nehme an dass die Integrale über
einen infinitesimales Volumen ausgedehnt werden. Dann bedeutet das, dass das Ergeb-
nis des auf das betreffende Volumen wirkenden Drucks von Maxwell im Gleichgewicht
sein muss:

1 . mit den nicht-elektrischen Kräften, welche auf die innerhalb des Volumens be-
findliche Materie wirken;

2. mit den Trägheitskräften der Materie;

3. mit den Trägheitskräften des in diesem Volumen befindlichen fiktiven Fluids .

Um die Trägheit des fiktiven Fluids zu definieren, müssen wir annehmen, dass das
an irgendeinem Punkt durch Transformation aus nicht-elektrischer Energie entstande-
ne Fluid ohne Geschwindigkeit erzeugt wird, und dass es seine Geschwindigkeit von
dem bereits existierenden Fluid erhält. Wenn deshalb die Menge an Fluid vergrößert
wird, jedoch die Geschwindigkeit konstant bleibt, müssen wir eine bestimmte Trägheit
überwinden, da das neue Fluid seine Geschwindigkeit von dem alten Fluid "entlehnt".
Die Geschwindigkeit des Systems würde sich verringern, wenn keine andere Ursache
einwirkt um sie konstant zu halten. Analog dazu, wenn elektromagnetische Energie
zerstört wird, muss das zerstörte Fluid seine vor der Zerstörung besessene Geschwin-
digkeit verlieren, indem es diese an das verbliebene Fluid abgibt.

Wenn das Gleichgewicht für ein infinitesimales Volumen aufrecht erhalten bleibt,
so muss es auch für ein endliches Volumen aufrecht erhalten bleiben. Tatsächlich, wenn
wir es in infinitesimale Volumina aufteilen, wird das Gleichgewicht für alle aufrecht er-
halten bleiben. Um zu einem endliche Volumen zu gelangen, müssen wir die Gesamt-
heit der Kräfte berücksichtigen, welche auf die verschiedenen infinitesimalen Volumi-
na wirken; und von den verschiedenen Druckarten von Maxwell berücksichtigen wir
nur diese, welche auf die endliche gesamte Oberfläche des Volumens wirken, jedoch
wir übergehen diese, welche auf die Flächenelemente wirken, die zwei angrenzende
infinitesimale Volumina trennen. Das beeinfiusst nicht das Gleichgewicht, da die über-
gangenen Druckarten jeweils paarweise gleich und entgegengesetzt sind.

Das Gleichgewicht bleibt deshalb für endliche Volumina aufrecht.

Es bleibt deswegen für alle Räume aufrecht. Jedoch berücksichtigen wir in diesem
Fall weder die Druckarten von Maxwell, welche bei unendlichen Werten gleich Null
sind, noch die nicht-elektrischen Kräfte, welche im Gleichgewicht sind aufgrund des
Prinzips der Reaktion der Kräfte der gewöhnlichen Mechanik.

Die zwei Arten der Trägheitskräfte sind folglich im Gleichgewicht, woraus sich
eine zweifache Konsequenz ergibt:

1. Das Prinzip der Erhaltung der Projektionen des Impulses trifft auf das System
der Materie und des fiktiven Fluids zu. Wir können auch die Gleichungen (4)
wieder herleiten.

2. Das Prinzip der Erhaltung des Drehimpulses, oder anders ausgedrückt, der Flä-
chensatz gilt für das System aus Materie und fiktivem Fluid. Dies ist eine neue
Konsequenz, welche die aus Gleichung (4) entnommene Information vervoll-
ständigt.

Da die elektromagnetische Energie sich wie ein mit Trägheit ausgestattetes Fluid ver-
hält, müssen wir deswegen aus unserer Sicht schließen, dass wenn irgendein Gerät
elektromagnetische Energie erzeugt und in eine bestimmte Richtung abstrahlt, dieses
Gerät einen Rückstoß erfährt, wie beim Rückstoß einer Kanone wenn es ein Geschoss
abfeuert.

Natürlich wird dieser Rückstoß nicht stattfinden wenn das Gerät die Energie gleich-
mäßig in alle Richtung aussendet; er wird nur stattfinden, wenn die Emission asymme-
trisch ist, und wenn die elektromagnetische Energie in eine einzige Richtung gesendet
wird, wie es zum Beispiel geschieht, wenn das Gerät ein am Fokus eines Parabolspie-
gels befindlicher Hertzscher Erreger ist.

Es ist leicht, diesen Rückstoß quantitativ zu bestimmten. Wenn das Gerät eine Mas-
se von 1kg besitzt, und wenn es drei Millionen Joule in eine Richtung mit Lichtge-
schwindigkeit emittiert, so ist die Geschwindigkeit des Rückstoßes 1 cm/sec. Anders
ausgedrückt, wenn die von einer 3,000 Watt-Maschine produzierte Energie in eine ein-
zige Richtung gesendet wird, dann wird eine Kraft von einem Dyn benötigt, um die
Maschine trotz des Rückstoßes am selben Ort zu halten.

Es ist offensichtlich, dass eine solch schwache Kraft nicht experimentell gemessen
werden kann. Aber wir können uns vorstellen - unmöglicherweise - dass wir so feine
Messinstrumente besitzen um solche Kräfte messen können. Wir können dann zeigen,
dass das Prinzip der Reaktion nicht für die Materie alleine gilt; und das würde eine Be-
stätigung der Theorie von Lorentz sein, und der Niedergang einiger anderer Theorien.

Aber damit ist es nichts - die Theorie von Hertz und allgemein alle anderen Theo-
rien sagen den selben Rückstoß wie bei der Theorie von Lorentz voraus.

Ich habe bereits das Beispiel des Hertzschen Erregers betrachtet, von welchem die
Strahlung parallel abgegeben wird durch Benutzung eines Parabolspiegels. Ich werde
nun ein einfacheres aus der Optik entlehntes Beispiel betrachten: ein paralleles Licht-
strahlenbündel trifft senkrecht auf einen Spiegel, und kehrt seine Richtung nach der
Reflektion um. Beispielsweise wird die sich ursprünglich von links nach rechts bewe-
gende Energie vom Spiegel folglich von rechts nach links zurückgesendet.

Der Spiegel muss folglich zurückweichen, und der Rückstoß ist durch Benutzung
unserer früheren Betrachtungen leicht zu berechnen.

Aber es ist leicht das Problem zu erkennen, welches bereits Maxwell in den Para-
graphen 792 und 793 seines Werks behandelt hatte. Er sagt ebenfalls den exakt gleichen
Rückstoß des Spiegels voraus, den wir aus der Theorie von Lorentz abgeleitet haben.

Tatsächlich, wenn wir tiefer in das Studium der Mechanik des Rückstoßes eindrin-
gen, werden wir folgendes finden. Betrachte irgendein Volumen und wende Gleichung
(2) an; diese Gleichung sagt uns, dass die auf die Elektronen, d. h. auf die in dem
Volumen befindliche Materie, ausgeübte elektromagnetische Kraft gleich ist mit dem
Ergebnis der Druckarten von Maxwell - abgeändert durch einen Korrekturausdruck,
welcher die Ableitung des Integrals ist

fdz(ßh- 7 g).

Wenn diese Situation nun etabliert ist, dann ist der Integral konstant und der Kor-
rekturausdruck ist Null.

Der von der Theorie von Lorentz vorausgesagte Rückstoß ist derjenige, welcher
durch die Druckarten von Maxwell verursacht wird. Aber alle Theorien sagen die
Druckarten von Maxwell voraus; deshalb sagen alle diese Theorien den selben Rück-
stoß voraus.

2.

Aber dann drängt sich eine Frage auf. Wir haben den Rückstoß durch Anwendung
der Theorie von Lorentz vorausgesagt, weil diese Theorie dem Prinzip der Reaktion
widerspricht. Aber unter den anderen Theorie sind diejenigen, wie jene von Hertz,
welche diesem Prinzip entsprechen. Wie können die allesamt zum selben Rückstoß
führen?

Ich beeile mich die Lösung für dieses Paradoxon zu geben, was ich später rechtfer-
tigen werde. In der Theorie von Lorentz und der von Hertz weicht das Gerät zurück,
welches die Energie produziert und in eine Richtung emittiert - aber die auf diese Weise
abgestrahlte Energie breitet sich in einem bestimmten Medium aus, wie beispielsweise
in der Luft.

In der Theorie von Lorentz ergibt sich keine mechanische Aktion, wenn die Luft
die auf diese Weise abgestrahlte Energie empfängt; sie ist auch unbeeinfiusst wenn
die Energie sie nach der Durchquerung wieder verlässt. Nach der Theorie von Hertz
wird im Gegensatz dazu die Luft nach vor gestoßen wenn sie die Energie empfängt,
und zurückgestoßen wenn sie von der Energie verlassen wird. Aus Sicht des Prinzips
der Reaktion kompensiert die Bewegung der von der Energie durchdrungenen Luft die
Bewegung des Geräts, welches die Energie produzierte. In der Theorie von Lorentz
findet diese Kompensation nicht statt.

Lasst uns wieder auf die Theorie von Lorentz blicken und auf unsere Gleichung
(2), und wenden wir sie auf ein homogenes Dielektrikum an. Wir wissen, wie Lor-
entz ein dielektrisches Material darstellt; dieses Medium beinhaltet einige Elektronen,
welche für kleine Verschiebungen empfänglich sind, und jene Verschiebungen erzeu-
gen die dielektrische Polarisation, wobei dieser Effekt, aus verschiedenen Perspektiven
betrachtet, dann zu der eigentlichen elektrischen Verschiebung hinzugefügt wird.

Es seien X, Y, Z die Komponenten der Polarisation. Wir würden dann haben:

dX

(5) — d%

dt

dY

dZ

£p£, ~j-dT = Y,pri, -T7 d ^ = HpC

dt

dt

Die Summationen auf der zweiten Seite der Gleichung (5) erstrecken sich über
alle Elektronen, welche sich im Innern des Volumenelements dx befinden, und diese
Gleichungen können als die Definition der dielektrischen Polarisation selbst betrachtet
werden.

Für den Ausdruck der Resultante der ponderablen Kräfte (welche ich nicht länger
"X" nennen werde, um Verwirrung mit der Polarisation zu vermeiden), haben wir den
Integral gefunden:

JpdT

nr-Cß

ATCf

K

oder

An

JprrydT - JpCß d% + ^- j pf dx.

Die beiden ersten Integrale können ersetzt werden durch

/7 f rfT ' I ßd dJ dT

durch Verwendung der Gleichungen (5). In Betreff des dritten Integrals: Dieser ist Null
da die effektive Ladung eines Elements des Dielektrikums, welches eine bestimmte An-
zahl von Elektronen enthält, Null ist. Deshalb reduziert sich unsere ponderable Kraft

/ dY R dZ\

J Vä- ß ä) dT -

Wenn ich dann die durch die verschiedenen Druckarten von Maxwell verursachten
Kräfte mit "//" bezeichne, so dass

n=(x 2 +x 3 ) + (x' 4 -Y),

dann wird aus unserer Gleichung (2):

, / dY n dZ\ dt,

(2 bis) // = / (j— -ß—jdT+-J(rg- ßh)dr.

Wie haben auch eine Beziehung wie diese

(A ) a d ^ +b X = f,

wo a und b zwei charakteristische Konstanten für dieses Medium sind; davon aus-
gehend können wir leicht ableiten:

10

(B) X = (« 2 - 1) /
und auf die selbe Weise,

Y={n 2 -l)g, Z=(n 2 -[)h,

wobei n der Brechungsindex der betreffenden Farbe ist.

Wir könnten versucht sein die Beziehung (A) mit anderen zu ersetzen, welche kom-
plizierter sind; beispielsweise wenn wir komplexe Ionen in Betracht ziehen müssen. Es
würde nur einen kleinen Unterschied machen, da wir weiterhin zu Gleichung (B) ge-
langen würden.

Um dies weiter zu führen, werden wir beispielsweise annehmen, dass sich eine ebe-
ne Welle entlang der x-Achse in positiver Richtung ausbreitet. Wenn die Welle in der
xz-Ebene polarisiert ist, ergibt sich,

X=f=g=a=Z=h=ß=0

und

\%
Y=ng-f=.

Unter Berücksichtigung aller dieser Beziehungen wird (2 bis) vorerst zu
, dY [de f dy

wo der erste Integral die ponderablen Kräfte darstellt. Aber wenn wir die Verhältnisse
in Betracht ziehen

wird aus unserer Gleichung

(6)^°// = n(n>-l)/ ,£* + »/ g %dr + nJ g §äT.

Aber wir werden etwas aus dieser Formel machen, denn es ist nützlich zu sehen
wie sich die Energie in einem dielektrischen Material aufteilt und ausbreitet. Die Ener-
gie teilt sich in drei Teile: 1° die elektrische Energie; 2° die magnetische Energie; 3°
die mechanische Energie welche durch die Bewegung der Ionen verursacht wird. Die
Ausdrücke für diese drei Teile sind der Reihe nach:

— V f 2 —Ya 2 —YfX
und im Falle einer ebenen Welle verhalten sie sich wie

11

1, « 2 , n 2 -l.

In der vorhergehenden Analyse haben wir den Impuls der elektromagnetischen
Energie eine Bedeutung gegeben. Es ist klar, dass die Dichte unseres fiktiven Fluids
proportional zu der Summe der ersten beiden Teile (elektrisch und magnetisch) der
vollständigen Energie ist, und dass der dritte Teil, welcher rein mechanisch ist, beiseite
gelassen werden muss. Aber welche Geschwindigkeit sollen wir dem Fluid zuschrei-
ben? Zuerst wird man denken, dass es die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sein

1
soll, welche gegeben ist mit — 1= . Jedoch ist es nicht so einfach. An jedem Punkt be-

nvKo
steht eine Proportionalität zwischen der elektromagnetischen und mechanischen Ener-
gie; wenn deswegen die elektromagnetische Energie an einem Punkte abnehmen wür-
de, würde auch die mechanische Energie gleichermaßen abnehmen, das heißt ein Teil
von ihr wird in elektromagnetische Energie transformiert; es würde daher zur Entste-
hung von fiktivem Fluid kommen.

Lasst uns für den Augenblick die Dichte des fiktiven Fluids mit p bezeichnen, und
seine Geschwindigkeit mit <fj, welche ich parallel zur x- Achse annehme. Ich werde an-
nehmen, dass alle unsere Funktionen nur von x und t abhängen, und die Wellenebene
ist senkrecht zur x- Achse. Die Kontinuitätsgleichung wird dann so geschrieben:

dp dpi; 8 p
dt dx dt '

wo5p die Größe des fiktiven Fluids ist, welches während des Zeitraums dt erzeugt
wird. Aber diese Größe ist gleich der Menge von zerstörter mechanischer Energie,
welche der Menge an zerstörter elektromagnetischer Energie entspricht, das heißt— dp,
wie n — lzu n + 1; daraus folgt

8p dp

dp 2n 2 dp£, _ Q

dt « 2 + 1 dx

Wenn l; eine Konstante ist, dann zeigt uns diese Gleichung, dass die Ausbreitungs-
geschwindigkeit gleich ist zu

» n 2 +l
5 2« 2 '

Wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit — ^=wäre, würden wir folglich haben

2n

(« 2 + l)^ZÖ

Wenn J' die komplette Energie ist, ergibt sich die elektromagnetische Energie mit

n 2 +l ,

J = =— / , und der Impuls des fiktiven Fluides ergibt sich mit:

2« z

12

(7) K Jt; = K^—^-]% = -?-?■

da die Dichte des fiktiven Fluids gleich der Energie multipliziert mit Kq ist.

Aber in der Gleichung (6) stellt der erste Ausdruck auf der zweiten Seite die pon-
derable Kraft dar, das heißt die Ableitung des Impulses des dielektrischen Materials,
während die beiden letzteren Ausdrücke die Ableitung des Impulses aus dem fiktiven
Fluid darstellen. Diese beiden Impulse sind deshalb im Verhältnis n — 1 zu 2.

Es sei A die Dichte des dielektrischen Materials, uns seine Geschwindigkeitskom-
ponenten seien W x , W y , und W z . Man erinnere sich an die Gleichungen (4). Der erste
Ausdruck £MV A - stellt die Bewegung der gesamten wirklichen Materie dar; wir wer-
den sie in zwei Teile aufteilen. Den ersten Teil, den wir weiterhin als £MVt bezeichnen
werden, stellt den Impuls des Energie produzierenden Gerätes dar. Der zweite Teil wird
den Impuls des Dielektrikums darstellen. Es wird gleich sein mit

jA.W x dT

wodurch Gleichung (4) die Form erhält

(4 bis) ZMV X + 1 ( A .W x + K JU X ) dx = konst .

Aus dem was wir gerade gesehen haben, ergibt sich
A.W X K JU X

n l -\ 2

Weiters werden wir die gesamte Energie wie oben mit J' bezeichnen. Wir werden
auch unterscheiden zwischen der wirklichen Geschwindigkeit des fiktiven Fluids, wel-
che sich aus Poyntings Gesetz ergibt und welche wir U x , U y , U z genannt haben, und der
scheinbaren Geschwindigkeit der Energie, welche wir von der Ausbreitungsgeschwin-
digkeit der Wellen abgeleitet und mit U x , U y , U z bezeichnet haben. Aus Gleichung (2)
erhält man:

ju x = fu' x .

Wir können deswegen die Gleichung (4 bis) in der Form schreiben:
Z,MV X + J (a.W x + K Su' x ) dx = konst.

Gleichung (4 bis) zeigt folgendes: Wenn ein Gerät im Vakuum Energie in eine Rich-
tung abstrahlt, erfährt es einen Rückstoß, welcher aus Sicht des Prinzips der Reaktion
einzig durch die Bewegung des fiktiven Fluids kompensiert wird.

Aber wenn die Strahlung stattdessen in einem Dielektrikum stattfindet, wird der
Rückstoß teilweise durch die Bewegung des fiktiven Fluids und teilweise durch die
Bewegung des dielektrischen Materials kompensiert, und der Anteil am Rückstoß des
Geräts, welcher folglich durch die Bewegung des Dielektrikums kompensiert wird, d.

13

h. durch die Bewegung realer Materie, wird sein:

„2 ,

n

« 2 + l

Das war das Ergebnis aus der Theorie von Lorentz. Wir werden nun zur Theorie
von Hertz übergehen.

Wir wissen, wie die Konstitution eines Dielektrikums gemäß den Ideen von Mos-
sotti aussieht.

Andere Dielektrika als das Vakuum würden aus kleinen leitenden Sphären beste-
hen (oder allgemeiner, aus kleinen leitenden Körpern), welche voneinander durch ein
isolierendes und nicht-polarisierbares Medium getrennt sind, welches analog zum Va-
kuum ist. Wie können wir von hier zu den Ideen von Maxwell fortschreiten? Wir stellen
uns vor, dass das Vakuum selbst eine solche Struktur hat; es ist nicht unpolarisierbar,
aber aus leitenden Zellen aufgebaut, welche getrennt sind durch Begrenzungen aus ei-
nem idealen Material (wie in dem ursprünglichen Konzept von Mossotti ist aus den
selben Gründen die Induktanz eines Dielektrikums größer als die des Vakuums). Und
die Induktanz des Vakuums würde gesteigert werden in Bezug zu dem idealen Materi-
al, da der von den leitenden Zellen eingenommene Raum vergrößert wird in Bezug zu
dem von den isolierenden Begrenzungen eingenommenen Raum.

Beim Grenzübergang betrachten wir die Induktanz des isolierenden Materials als
unendlich klein, und zur gleichen Zeit die isolierenden Begrenzungen als unendlich
dünn, und zwar auf eine Weise, damit der von den Begrenzungen eingenommene Raum
unendlich klein ist, und die Induktanz des Vakuums endlich verbleibt. Dieser Grenz-
übergang bringt uns zu der Theorie von Maxwell.

Das ist alles wohlbekannt und ich beschränke mich darauf einen kurzen Überblick
zu geben. Beachte, dass hier der selbe Zusammenhang zwischen der Theorie von Lor-
entz und der von Hertz besteht, wie er auch zwischen der von Mossotti und der von
Maxwell besteht.

Es sei tatsächlich angenommen, dass wir dem Vakuum die selbe Konstitution zu-
schreiben, wie sie Lorentz den gewöhnlichen Dielektrika zuschreibt; d. h. dass wir es
als ein nicht-polarisierbares Medium betrachten, worin einige Elektronen kleine Ver-
schiebungen erfahren.

Die Formeln von Lorentz werden weiterhin anwendbar bleiben, jedoch Kq stellt
nicht mehr länger die Induktanz des Vakuums dar, sondern die Induktanz unseres nicht-
polarisierbaren Mediums. Beim Grenzübergang nehmen wir Kq als unendlich klein an;
es sei betont dass wir, um einen Ausgleich für diese Hypothese zu schaffen, die An-
zahl der Elektronen vervielfachen sodass die Induktanz des Vakuums und der anderen
Dielektrika endlich bleibt.

Die Theorie zu der wir beim Grenzübergang gelangen ist keine andere als die von
Hertz.

Es sei V die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. In der ursprünglichen Theorie von

Lorentz ist sie gleich , ; aber sie ist nicht mehr gleich in der modifizierten Theorie,

wo sie gleich ist zu

14

1

noVKö

wo «o der Brechungsindex des Vakuums in Bezug zu einem idealen nicht-polarisierbaren
Mediums ist. Wenn n der Brechungsindex eines Dielektrikums in Bezug zum gewöhn-
lichen Vakuum ist, dann wird sein Index in Bezug zu dem idealen Medium w«o sein
und die Lichtgeschwindigkeit ist

V 1

n nnoyKo

In dem Formeln von Lorentz müssen wir n mit nno ersetzen.

Beispielsweise wird die Mitführung des Wellen in der Theorie von Lorentz durch
Fresnels Formel dargestellt

In der modifizierten Theorie würde sich ergeben

.11 '

? 2

Wenn man den Grenzübergang ausführt, muss Kq = gesetzt werden, woraus «o =
oo folgt; in der Theorie von Hertz wird deswegen die Mitführungsgeschwindigkeit v,
d. h. die Mitführung wird vollständig sein. Diese Konsequenz steht im Widerspruch
zum Ergebnis von Fizeau, und ist folglich ausreichend um die Theorie von Hertz zu
verwerfen, sodass sie als kaum mehr als eine Kuriosität zu betrachten ist.

Es sei wieder unsere Gleichung (4 bis) gegeben. Sie sagt uns dass der Teil des
Rückstoßes, welcher von der Bewegung des dielektrische Materials kompensiert wird,
gleich ist zu

n 2 -l

« 2 + r

In der modifizierten Theorie von Lorentz wird dieser Teil zu:

n 2 n.Q — 1
n 2 n\ + 1 '

Wenn man den Grenzübergang durch Setzen von «o = °° ausführt, wird dieser Teil
gleich 1, und folglich wird der Rückstoß vollständig durch die Bewegung des dielektri-
schen Materials kompensiert. Anders gesagt wird in der Theorie von Hertz des Prinzip
der Reaktion nicht verletzt, und ist vollständig auf die Materie anwendbar.

Wir können das auch als Folge von Gleichung (4 bis) sehen; wenn beim Grenzwert
Kq Null ist, wird der Ausdruck / Kt)J'U x , welcher die Bewegung des fiktiven Fluides
darstellt, ebenfalls gegen Null gehen; folglich reicht es aus die Bewegung der realen
Materie zu berücksichtigen.

Daraus ergibt sich folgende Konsequenz: Um die zeigen, dass das Prinzip der Re-
aktion tatsächlich (wie gemäß der Theorie von Lorentz) in der Realität verletzt ist,

15

reicht es nicht aus zu zeigen, dass das Energie produzierende Gerät zurückweicht, was
für sich alleine bereits sehr schwierig wäre; sondern es ist auch notwendig zu zeigen,
dass der Rückstoß nicht durch die Bewegung des Dielektrikums und besonders nicht
durch die Bewegung der von den elektromagnetischen Wellen durchdrungenen Luft
kompensiert wird. Das würde klarerweise noch weit schwieriger sein.

Eine letzte Bemerkung zu diesem Thema. Man nehme an, dass das von den Wellen
durchdrungene Medium magnetisch ist. Ein Teil der Energie der Welle wird weiterhin
die Form der mechanischen Energie haben. Wenn jl die magnetische Permeabilität des
Mediums ist, dann ist die vollständige magnetische Energie:

^- [Va 2 dT,

jedoch nur ein Teil davon:
1

^Gt 2 <fT

87T.
kann berechtigterweise magnetische Energie genannt werden; der andere Teil

8tt

52 a dx

wird die mechanische Energie sein, welche benötigt wird um die betreffenden Strö-
me in eine gemeinsame Ausrichtung senkrecht zum Feld zu bringen, und zwar gegen
die elastische Kraft, welche versucht die Ströme in die Gleichgewichsausrichtung zu
bringen, welche sie bei Abwesenheit eines magnetischen Feldes einnehmen würden.

Wir könnten deswegen eine Analyse bei diesem Medium durführen, welche voll-
kommen parallel zu der vorhergehende Analyse verläuft, und wo die mechanische

I I 1 P O TT /*

Energie l51 a dt die selbe Rolle spielt, wie die mechanische Energie — / VX/ dx

bei einem Dielektrikums. Folglich können wir sehen, dass wenn magnetische Medien
existieren welche nicht dielektrisch sind (ich meine, worin die dielektrische Eigen-
schaft die selbe wäre wie in einem Vakuum), dann müsste das Material dieser Medien
einer mechanischen Wirkung aufgrund des Durchtritts der Wellen unterworfen sein, so-
dass der Rückstoß des Gerätes teilweise durch die Bewegung der Medien kompensiert
wird, wie es bei den Dielektrika der Fall ist.

Um uns von diesem unrealistischen Fall zu entfernen, nehmen wir ein Medium an
das zugleich dielektrisch und magnetisch ist, dann ist der Teil des durch die Bewe-
gung des Mediums kompensierten Rückstoßes größer als für ein nicht-magnetisches
Medium mit der selben dielektrischen Eigenschaft.

3.

Warum betrifft uns das Prinzip der Reaktion? Diese Frage zu betrachten ist deshalb
wichtig, damit wir sehen ob die von uns diskutierten Paradoxien wirklich als ein Ein-
wand gegen die Theorie von Lorentz betrachtet werden können.

16

Wenn sich uns dieses Prinzip in den meisten Fällen aufdrängt, ist es weil seine
Verneinung uns zu einem Perpetuum Mobile führen würde. Ist das hier ebenso der
Fall?

Es seien A und B zwei Körper von irgendeiner Beschaffenheit, wo einer auf den
anderen wirkt, und welche von allen externen Kräften isoliert sind; wenn die Aktion
des einen nicht gleich der Reaktion des anderen wäre, könnten wir sie mit einem Stab
von gleichbleibender Länge verbinden, sodass sie sich wie ein einziger fester Körper
verhalten. Die auf diesen Festkörper ausgeübten Kräfte würden nicht im Gleichgewicht
sein, sondern das System würde sich selbst in Bewegung bringen und die Bewegung
würde kontinuierlich beschleunigt sein - für alle Zeiten, da die Wechselwirkung der
beiden Körper nur von ihren relativen Positionen und ihren relativen Geschwindigkei-
ten abhängt, jedoch unabhängig ist von ihren absoluten Positionen und ihren absoluten
Geschwindigkeiten.

Allgemeiner, wenn ein konservatives System von irgendeinem Art gegeben ist, wo
U seine potentielle Energie, m die Masse eines der Punkte des Systems, und x' , y', z 1
die Geschwindigkeitskomponenten sind, dann würden sich die Gleichungen der kine-
tischen Kräfte ergeben mit:

£ y (x' 2 +y' 2 + z' 2 )+U = konstant

Lasst uns nun in ein Koordinatensystem wechseln, welches sich mit der konstanten
Geschwindigkeit v parallel zur x-Achse bewegt. Es seien xf , y', z' die Geschwindig-
keitskomponenten relativ zu diesen Achsen, so ergibt sich:

y =y u z=z x

und folglich:

2

„ m

E 2

(*'i+ v ) +y'i+zi

U = konst .

Durch Gebrauch des Prinzips der relativen Bewegung hängt U nur von der relativen
Position der Punkte des Systems ab, sodass die Gesetze der relativen Bewegung nicht
unterschiedlich zu den Gesetzen der absoluten Bewegung sind, und die Gleichung der
kinetischen Kräfte kann geschrieben werden als:

m r / 2 '2 '2I
£ — \x l + +V] +Z\ \+U = konstant

Durch Aufteilung der beiden Gleichungen finden wir

(8) v£mX| H 2,m = konstant

order

(9) Y* mx \ = konstant

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was die analytische Formulierung des Prinzips der Reaktion ist.

Das Prinzip der Reaktion erscheint uns deshalb als eine Konsequenz des Prinzips
der Energie und des Prinzips der relativen Bewegung. Das letztere wiegt schwer in
unseren Vorstellungen, wenn wir ein isoliertes System betrachten.

Jedoch in dem Fall, den wir betrachten, beschäftigen wir uns nicht mit einem iso-
lierten System, sondern betrachten nur die gewöhnliche Materie, und zusätzlich exis-
tiert auch noch ein Äther. Wenn alle materiellen Objekte eine gemeinsame Translation
durchführen, wie beispielsweise bei der Bewegung der Erde, könnten die Phänomene
sich von denen unterscheiden, welche wir bei Abwesenheit dieser Bewegung beobach-
ten würden, da der Äther an dieser Translation nicht beteiligt ist. Es scheint dass das
Prinzip der relativen Bewegung nicht nur auf gewöhnliche Materie alleine anwendbar
ist; also wurden Experimente durchgeführt um die Bewegung der Erde zu messen. Es
ist wahr, dass diese Experimente negative Ergebnisse produziert haben, was aber für
uns recht erstaunlich ist.

Jedoch eine Frage verbleibt. Wie ich sagte haben diese Experimente ein negatives
Resultat erbracht, und die Theorie von Lorentz kann dieses negative Resultat erklären.
Es scheint dass das Prinzip der relativen Bewegung, welches sich nicht a priori als
wahr aufdrängt, a posteriori bestätigt wurde und das Prinzip der Reaktion nun folgen
müsste. Doch das Prinzip der Reaktion bleibt nicht erhalten - wie kann das sein?

In Wirklichkeit ist es jedoch so, dass das, was wir das Prinzip der relativen Bewe-
gung nennen, nur unvollständig bestätigt wurde, wie es von der Theorie von Lorentz
aufgezeigt wird. Das ist so aufgrund der Kompensation von verschiedenen Effekten,
aber:

1. Diese Kompensation findet nicht statt wenn wir Größen zu v nicht vernach-
lässigen - außer wenn man eine bestimmte komplementäre Hypothese einführt,
welche ich für den Augenblick nicht diskutieren werde.

Jedoch ist dies nicht wichtig für unsere Untersuchung, da wir Größen zu v ver-
nachlässigen - Gleichung (8) führt direkt zu Gleichung (9), das heißt zum Prinzip
der Reaktion.

2. Damit die Kompensation funktioniert, dürfen wir die Phänomene nicht auf die
wahre Zeit t , sondern auf eine bestimme Ortszeit t' beziehen, welche auf folgen-
de Weise definiert wird.

Lasst uns annehmen, dass sich einige Beobachter an verschiedenen Punkten be-
finden und ihre Uhren durch den Gebrauch von Lichtsignalen synchronisieren.
Sie versuchen die Signale unter Berücksichtigung der Übertragungszeiten zu
korrigieren, aber sie sind sich nicht ihrer gemeinsamen Bewegung bewusst, und
glauben folglich dass die Signale gleich schnell in beide Richtungen unterwegs
sind. Sie führen Untersuchungen mit sich kreuzenden Signalen durch, eines ist
unterwegs von A nach B, das andere folgt unmittelbar darauf von B nach A. Die
Ortszeit t' ist die Zeit, welche von auf diese Weise gerichteten Uhren angezeigt

wird.

1
Wenn V = . die Lichtgeschwindigkeit ist, und v die parallel zur x-Achse und

/K
in positiver Richtung angenommene Geschwindigkeit der Erde ist, haben wir:

, vx

t=t -^

3. Die Ausbreitung der scheinbaren Energie erfolgt bei relativer Bewegung nach
den selben Gesetzen, wie die der wirklichen Energie bei absoluter Bewegung,
jedoch ist die scheinbare Energie nicht genau gleich zu der korrespondierenden
wirklichen Energie.

4. In der relativen Bewegung sind die Körper, welche die elektromagnetische Ener-
gie produzieren, einer scheinbaren, komplementären Kraft unterworfen, welche
bei absoluter Bewegung nicht existiert.

Wir werden sehen wie diese verschiedenen Umstände den Widerspruch beseitigen,
welchen wir oben aufgezeigt haben.

Angenommen, ein Gerät produziert elektrische Energie, und zwar auf eine Weise,
bei der die produzierte Energie in eine einzige Richtung emittiert wird. Das könnte
beispielsweise ein mit einem Parabolspiegel ausgestatteter Hertzscher Erreger sein.

Aus einem anfängliche Ruhezustand heraus sendet der Erreger etwas Energie ent-
lang der x-Achse, und diese Energie ist genau gleich groß wie die im Erreger ver-
brauchte Energie. Wir wir gesehen haben, wird das Gerät einen Rückstoß erfahren und
eine bestimmte Geschwindigkeit annehmen.

Wenn wir alles auf bewegte, mit dem Erreger verbundene Achsen beziehen, dann
sollten mit Ausnahme der oben erwähnten Einschränkungen, die scheinbaren Phäno-
mene die selben sein wie als ob der Erreger ruhen würde; er wird deshalb eine Menge
an scheinbarer Energie abstrahlen, welche gleich der im Erreger verbrauchten Energie
ist.

Andererseits empfängt es einen Impuls durch den Rückstoß, und da es nicht an-
gehalten und überdies bereits eine von Null verschiedene Geschwindigkeit hat, wird
dieser Impuls auf das Gerät wirken und seine kinetische Energie vergrößern.

Wenn deshalb die wirkliche elektromagnetische Energie des Geräts gleich wäre
mit der scheinbaren elektromagnetischen Energie, welche wie gesagt der im Erreger
verbrauchten Energie entspricht, dann würde der Anstieg der kinetischen Energie des
Gerätes ohne entsprechenden Verbrauch erreicht werden. Das widerspricht dem Erhal-
tungssatz. Wen es also einen Rückstoß erfährt, darf die scheinbare Energie nicht gleich
der realen Energie sein, und die Phänomene bei relativer Bewegung werden nicht genau
gleich mit denen bei absoluter Bewegung sein.

Lasst uns das etwas genauer untersuchen. Angenommen dass v'die Geschwindig-
keit des Erregers ist, v die der bewegten Achsen welche wir nicht mehr als mit dem
Erreger verbunden annehmen, und V die Geschwindigkeit der Strahlung. Alle Ge-
schwindigkeit solle angenommenerweise parallel zur x-Achse und positiv sein. Zur
Vereinfachung lasst uns annehmen, dass die Strahlung die Form eine polarisierten ebe-
nen Welle habe, für welche wir die Gleichung haben:

f=h = a = ß =0,

An d ± = _ d l i_dy = dg y dy + dy = Q

dt dx' AnV 2 dt dx' dx dt

19

woraus sich ergibt:
y=AnVg.
Die wirkliche Energie in dem Volumen ist:

r 2

— + 2nV 2 g 2 = AnV 2 g 2 .

an

Lasst uns nun die scheinbare Bewegung relativ zu den bewegten Achsen ermitteln.
Für die scheinbaren elektrischen und magnetischen Felder haben wir:

7, / = y-Anvg.

AnV

Für die scheinbare Energie in dem betreffenden Volumen haben wir deshalb (unter
Vernachlässigung von v , jedoch nicht w'):

^ , o^t/2 '2 ( t J\ , ow 2 (2 VST \
h 2nv g = I vgy + 2nv I e I

8n s \8n S 'J \ s 2nV 2 J

oder

4nV 2 g 2 - 2vgy = 4nV 2 g 2 U~y

Zusätzlich können die scheinbaren Bewegungsgleichungen geschrieben werden,
di 1 di dg'

An

dt' dx' ' AnV 2 dt' dx'

was zeigt, dass die scheinbare Ausbreitungsgeschwindigkeit weiterhin V ist.

Angenommen T ist die Emissionsdauer; was wird die wirkliche Länge der Störung
im Raum sein?

Die Spitze der Störung verlässt das Gerät zur Zeit am Ort 0, und zur Zeit t wird
sie beim Punkt Vt sein. Das Ende verlässt das Gerät zur Zeit T, jedoch nicht am Punkt
0, sondern am Punkt v'T, da der Erreger von dem es sich ausbreitet, sich mit der Ge-
schwindigkeit v' während des Zeitabschnitts T bewegt. Zur Zeit t ist das Ende deswe-
gen am Ort v'T + V (t — T). Die wirkliche Länge der Störung ist deswegen

L = Vt-\v'T + v(t-T)\ = (V-v')T.

Was ist nun die scheinbare Länge? Die Spitze entsteht zur Ortszeit an der Ortsko-
ordinate 0; zur Ortszeit t' wird die Koordinate relativ zu den bewegten Achsen gleich
Vt' sein. Das Ende entsteht zur Zeit T am Punkt v'T, dessen Koordinaten relativ zu den
bewegten Achsen gleich (v' — v)T ist; die dazu entsprechende Ortszeit ist

20

Zur Ortszeit t' ist es der Punkt x, wo x gegeben ist durch die Gleichungen:

vx .

t' = t--^, x = v'T + V(t-T),

woraus unter Vernachlässigung von v folgt:

x=[VT-V{t'-T)](l+ V -

Die x-Koordinate dieses Punktes relativ zu den bewegten Achsen ist somit:

x-vt' = (v'T-VT)(l + -)+Vt'.

Die scheinbare Länge der Störung ist daher,

L' = W-( JC -w') = (v-v')r(i + l)=i,(i + l).

Die gesamte wirkliche Energie (per Volumeneinheit) ist deswegen:
— + 2nV 2 g 2 ) L = 4nV 2 g 2 L,

S7T J

und die scheinbare Energie ist

g + 2^V 2 )i' = 4^Vi(l-|)(l + ^)=4^Vi(l-^).

Wenn J dt die abgestrahlte wirkliche Energie während der Zeit dt darstellt, dann
wird J dt f 1 j die scheinbare Energie darstellen.

Angenommen, dass D dt die im Erreger verbrauchte Energie ist; dann ist sie die
selbe in der absoluten und der relativen Bewegung.

Wir müssen auch noch über den Rückstoß Rechenschaft geben. Die Kraft des Rück-
stoßes multipliziert mit dt, ist gleich dem Impulsanstieg des fiktiven Fluids, das heißt,

dtKoJV = —dt,

da der Menge an erzeugtem Fluid KqJ dt und seine Geschwindigkeit V ist. Die
Arbeit des Rückstoßes ist daher:

v'J dt

V

Im Falle der scheinbaren Bewegung müssen wir v' mit v' — v und / mit / ( 1 ] .

Die scheinbare Arbeit des Rückstoßes ist daher:

{v '- v)Jdt (l- V -\=Jdt

v V vJ " V V V V 2

21

Bei der scheinbaren Bewegung müssen wir schließlich auch noch für die schein-
bare komplementäre Kraft, von der ich oben (4) sprach, Rechenschaft geben. Diese

vJ

komplementäre Kraft ist gleich » un d die von ihr geleistete Arbeit ist unter Ver-

7 vv'
nachlässigung von v gleich ~J dt.

Vorausgesetzt die Gleichung für die kinetischen Kräfte bei wirklicher Bewegung
ist:

v'J
(10)7-0- — = 0.

Der erste Ausdruck stellt die abgestrahlte Energie, der zweite die verbrauchte Ener-
gie, und der dritte die Arbeit des Rückstoßes dar.

Die Gleichung für die kinetischen Kräfte bei scheinbarer Bewegung ist:

/ V \ f v' v vv'\ vv 1

W J { l -v)- D+J {-v + v + vi)-vi J = -

Der erste Ausdruck stellt die abgestrahlte scheinbare Energie, der zweite die ver-
brauchte Energie, der dritte die scheinbare Arbeit des Rückstoßes, und der vierte die
scheinbare komplementäre Kraft dar.

Der Zusammenhang zwischen den Gleichungen (10) und (11) beseitigt den schein-
baren Widerspruch, den ich oben erläutert habe.

Wenn daher in der Theorie von Lorentz der Rückstoß ohne Verletzung des Energie-
satzes stattfinden kann, dann deswegen, weil die scheinbare Energie, die der mit den
bewegten Achsen mitgeführte Beobachter misst, nicht gleich der wirklichen Energie
ist. Angenommen, dass unser Erreger einen Rückstoß erfährt und dass der Beobachter
an dieser Bewegung teilnimmt (v' = v < 0). Der Erreger würde für diesen Beobachter
unbeweglich sein, und es würde ihm erscheinen, dass die abgestrahlte Energie gleich
mit der abgestrahlten Energie eines ruhenden Erregers ist. Aber in Wirklichkeit strahlt
er weniger ab, und das kompensiert die Arbeit des Rückstoßes.

Ich hätte annehmen können, dass die bewegten Achsen dauerhaft mit dem Erre-
ger verbunden sind, also v = v', jedoch hätte dann meine Analyse nicht die Rollte der
scheinbaren komplementäre Kraft demonstrieren können. Um das zu tun muss ich an-
nehmen dass v' viel größer als v ist, so dass ich v vernachlässigen kann, nicht jedoch
vv'.

Ich hätte die Notwendigkeit der scheinbaren komplementären Kraft auch auf fol-
gende Weise zeigen können:

7 / v

Der wirkliche Rückstoß ist — ; bei scheinbarer Bewegung müssen wir 7 mit 7 1

V 5 5 V V

ersetzen, sodass sich der scheinbare Rückstoß ergibt mit

7 7v

y"y2'

Um den Ausdruck für den wirklichen Rückstoß zu vervollständigen, müssen wir zu

22

Jv

dem scheinbaren Rückstoß daher eine scheinbare komplementäre Kraft — » hinzufüh-

V z
ren (Ich habe das Vorzeichen - gemacht, weil der Rückstoß, wie schon der Name sagt,

in der negativen Richtung stattfindet).

Die Existenz einer scheinbaren komplementären Kraß ist daher eine notwendige
Konsequenz des Rückstoß-Phänomens.

Gemäß der Theorie von Lorentz darf das Prinzip der Reaktion folglich nicht auf die
Materie alleine angewendet werden; ebenso darf das Prinzip der relativen Bewegung
nicht auf die Materie alleine angewendet werden. Es ist wichtig zu beachten, dass hier
ein tiefer und notwendiger Zusammenhang zwischen diesen beiden Tatsachen besteht.

Es ist deshalb notwendig eine der beiden experimentell zu etablieren, wodurch die
andere ebenso etabliert wird, ipso facto. Es würde ohne Zweifel weniger schwierig
sein die zweite zu demonstrieren; aber selbst das ist nahezu unmöglich, da Lienard bei-
spielsweise berechnet hat, dass bei einer Maschine von 100 kW die scheinbare kom-
plementäre Kraft nicht mehr als Dyn betragen würde.

F 600 J 6

Durch Korrelation der beiden Tatsachen ergibt sich eine wichtige Konsequenz; und

zwar ist das Fizeau-Experiment selbst bereits im Widerspruch zum Prinzip der Reak-
tion. Wenn, wie durch das Experiment aufgezeigt, die Wellen tatsächlich nur teilweise
mitgeführt werden, dann kann die relative Ausbreitung der Wellen in einem bewegten
Medium nicht den selben Ausbreitungsgesetzen wie in einem stationären Medium fol-
gen, das heißt das Prinzip der relativen Bewegung kann nicht auf die Materie alleine
angewendet werden, und wir müssen zumindest eine zusätzliche Korrektur einführen,
von welcher ich oben (2.) sprach und welche darauf beruht, alles auf die "Ortszeit"
zu beziehen. Wenn diese Korrektur nicht durch andere kompensiert wird, müssen wir
schließen, dass das Prinzip der Reaktion für Materie alleine nicht wahr ist.

Also sind alle Theorien widerlegt welche diesem Prinzip gehorchen, zumindest
wenn wir nicht zustimmen alle unsere Ideen in Bezug zur Elektrodynamik zu modifi-
zieren. Das ist eine Überlegung welche ich in größerem Umfang in einem früheren
Artikel entwickelt habe (l'Eclairage Electrique, Band 5, No. 40) .

Anmerkungen

Für weitere Informationen siehe:

http : //de . wikipedia . org/wiki/Lorentzsche_Athertheorie.

http : //de . wikipedia . org/wiki/Geschichte_der_speziellen_Relativitätstheorie

Der selbe Band, S. 395

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