Esercizi di Analisi

Esercizi sulle Derivate*

prof. Enrico Centenaro

email: <enrico@centenaro.net>

web: www.centenaro.net

A.S. 2009/2010

Sommario

Questo documento contiene degli esercizi su argomenti relativi al
calcolo differenziale (problemi di massimo, studio di funzione, applica-
zione dei classici teoremi sulle derivate).

E stato pensato per un utilizzo autonomo neH'ambito della prepa-
razione della seconda prova dell'esame di stato di uno studente liceale.

E ovvio, ma e meglio ribadirlo, che gli esercizi che non sono risolti
sono assolutamente da fare!

Questo documento e stato prodotto utilizzando IM^X 1 un magni-
fico ambiente per la redazione di documenti scientifici e non.

Suggerimenti, critiche... saluti, sono i benvenuti, in bocca al lupo.

Dedicato a Massimo

*Quest'opera e stata rilasciata sotto la licenza Creative Commons
Attribuzione-Non commerciale-Non opere derivate 2.5 Italia. Visita il sito web
http://creativecommons.org/licenses/publicdomain/ per leggerne una copia o
spedisci una lettera a Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California
94305, USA.

cfr http://latexproject.org e http://linuxitalia.org

Esercizio 1 Esercizi sulle Derivate

Esercizio 1 Data la circonferenza di raggio R, fra tutti i triangoli isosceli
ABC circoscritti, di vertice C , determinare quello che:

1. ha area massima

2. e la base piu I'altezza massimi.

Preliminari

Scegliamo l'algolo a £ (0, 7r/2) come il parametro del problema, allora (3 =
it — a perche F = D = n/2, quindi FOC = a come mostrato in figura. Dato
che il triangolo FOC e rettangolo in F si ricava FO = OC cos a e quindi
OC = FO j cos a quindi

OC = R/ cos a (1)

Inoltre DC = DO + OC = R + R/ cos a = R + R/ cos a quindi:

DC = R(cos a + 1)/ cos a (2)

Inoltre, dato che AB = 2AD, si ottiene la prima funzione da massimizzare,
l'area Area = AB DC/2 quindi:

*/ n , „-?(cosa + l) 2

f(a) = Area = R 2 - -

cos a sin a

Inoltre la seconda funzione da considerare e la somma fra la base e I'altezza,
Base + Altezza = AB + DC quindi:

. . „ , , „ (cos a + 1) (2 cos a + sin a)

g(a) = Base + Altezza = R- —

sin a cos a

Ricerca estremi

Per determinare eventuali massimi e minimi si devono calcolare le derivate
prime di f(a) e g(a):

... . „ 9 1 — 2 cos 3 a — 3 cos 2 a

f (a) = R j ~2

cos z a sin a

enrico@centenaro.net 2 17 gennaio 2010

Esercizio 3

Esercizi sulle Derivate

g'(a) = R

sin 3 a + 2 sin 2 a(cos a + 1) — 2 cos a — 2

cos 2 a sin 2 a

Risolviamo la disequazione f'(a) > 0, che, tenendo conto dei fattori
positivi, si semplifica in:

2 cos 3 a + 3 cos 2 a - 1<

che diventa

(cos a + 1) (cos a — 1) >

Le soluzioni sono a £ (7r/3,7r/2) (tenendo conto del dominio), percio la
funzione decresce fino a 7r/3 e poi cresce successivamente: a = tt/3 e un
minimo.

Esercizio 2 La ricerca degli estremi di g(a) e lasciata alio studente volen-
teroso.

Esercizio 3 Fra tutti i coni circolari retti circoscritti a una sfera di raggio
R verificare che quelle- di minima area laterale ha il suo vertice che dista
R\[2 dalla superficie sferica.

x

Preliminari

II graiico rappresenta la sezione dell'oggetto con un piano passante per
l'asse del cono. Consideriamo la lunghezza x = CO, x £ (R, +oo) co-
me il parametro del problema. Si a t = \ perimetro di base apotema =
2 2tt AD AC = tt AD AC. E immediato vedere che i triangoli ADC e
OFC sono simili, inoltre FC

Vx 2 - r 2 . Percio CD : AC = FC : OC da

cui AC = (x + R)

yTr.

AC = x

x + R
x-R

e ancora, AD : FO = DC : FC, da cui AD = R { , R 9 +X l 9 ,

AD = R

x + R
x-R

enr ico@ cent enar o . net

17 gennaio 2010

Esercizio 4 Esercizi sulle Derivate

La funzione da studiare e f(x) = Si at :

f(x) = ttRx

x — K

con la restrizione che x > R (per evidenti considerazioni geometriche) .

Ricerca estremi

La derivata della funzione f{x) e

f'(x) = ttR-

(x - R) 2

Tenendo conto delle restrizioni geometriche e dei fattori che sono positivi,
gli estremi si calcolano risolvendo la disequazione:

x 2 - 2Rx - R 2 >

Che ha soluzioni per x < R(l — v2) Vi> R(l + v2), siccome x > R, la
derivata e positiva per x > R(l + -\/2 e negativa per R < x < R(l + V2).
Quindi x = R(l + v2) e un minimo.

La distanza dalla superficie della sfera e x — R che e V2R.

Esercizio 4 Data una sfera di raggio R, determinare:

1. il cono di volume minimo circoscritto alia sfera,

2. il cono di volume massimo inscritto alia sfera.

Soluzione del punto 1

Per il disegno e la scelta del parametro si veda l'esercizio 3.

Volume Cono = ^Areadibase altezza, CO = x, AD = Ry ^z^, CD =
x + R. La funzione volume e dunque

., , -kR{x + R) 2

f{ x ) = V7 ^T conx > r

6 (x — K)

la cui derivata e

.,. , ttR(x + R)(x-3R)
/(X) = 1" {x-RY C ° nX>r

La disuguaglianza f'{x) > si risolve facilmente colla regola dei segni
tenendo conto che il fattore (x — R) 2 > 0, cosi pure ^ > 0.

Dunque x = 3R e un minimo, e il cono di volume massimo e alto 4R e
ha raggio di base \[2R.

enrico@centenaro.net 4 17 gennaio 2010

Esercizio 5

Esercizi sulle Derivate

Soluzione del punto 2

Dato che a e (3 insistono sullo stesso arco e a e alia circonferenza, mentre
(3 e al centro si deduce subito che /? = 2ae7 = 7r — j3. Quindi OB = R,
DB = OB sin(7r - 2a) = R sin 2a, OD = DB cos(tt - 2a) = -i? cos 2a,
CD = R — Rcos 2a = i?(l — cos 2a). II volume e dunque:

Volume = —R sin 2a(l — cos 2a)

Prendendo come parametro x = CD con < x < 1R in modo simile
all'esercizio 3, si ottiene DB = y/R 2 — (x — R) 2 = y/x(2R — x), allora

V(x) = ^x 2 (2R-x)

La derivata prima e

V'(x) = ^(4Rx - 3x 2 )

Risolvendo la disuguaglianza e tenendo conto delle restrizioni su x si
deduce che x = AR/3 e un massimo. II cono cercato ha percio altezza AR/3
e raggio di base 2\^2R/3.

Esercizio 5 Fra tutti i cilindri di volume assegnato V = 25tt, determinare
quello di superficie totale minima. Determinare poi la superficie e il volume
della sfera a esso circoscritta.

LN-to

enr ico@ cent enar o . net

17 gennaio 2010

Esercizio 6 Esercizi sulle Derivate

Preliminari

Scegliamo come variabile x del problema il raggio del cerchio di base. Allora
V = irx 2 h, uguagliando al valore assegnato 25n = ixx 2 h otteniamo h =
25/x 2 . La funzione che rappresenta la superficie laterale diventa:

Siat(x) = 2-nxh =

x

La superficie totale allora e la somma fra quella laterale e il doppio

delParea di base, la funzione da minimizzare percio diventa:

^/ s 507T „ n

Six) = h 2nx 2

X

Con la ovvia restrizione che x > 0.

Ricerca estremi

Calcoliamo la derivata della funzione S(x) e ne studiamo il segno.

50tt a 2x 3 -25

S (X) = 7T + 47TX = 7,

Dato che x > la disuguaglianza S'(x) > equivale a:

2x 3 - 25 >

Che ha soluzione (l'esponente di x e dispari) x > y 2 ^-, percio x = y 2 ^
e un minimo.

L'altezza del cilindro si trova utilizzando la formula h = 25/x 2 , sempli-
ficando si ottiene h = 5-^/4/5 e il volume diventa V = n( -y/25/2) 2 5 y4/5 =
257T, ovviamente.

Per calcolare il raggio della circonferenza circoscritta basta notare che se
noi sezioniamo con un piano passante per l'asse del cilindro otteniamo un
rettangolo di dimensioni 2x e h, la diagonale del rettangolo e il diametro
della sfera. Percio basta applicare il teorema Pitagora:

R=Jx 2 +(^] 2 = ---=V2^¥

Con questo raggio calcoliamo il volume e la superficie cercati:

T , 4 - 40 3 /5

V = -irR 3 = ■■■ = — 7T1 '

3 3 V 4

5 = 4^i? 2 = • • • = 4^\/2 2 • 5 8

enrico@centenaro.net 6 17 gennaio 2010

Esercizio 7

Esercizi sulle Derivate

Esercizio 6 Fra tutti i coni di apotema fissato, determinare quello di volu-
me massimo.

Preliminari

Per calcolare il volume dobbiamo determinare l'altezza che, siccome il trian-
golo GHN e rettangolo, si ricava subito col teorema di Pitagora: h =
\/ R 2 + a 2 . II volume e percio V = ^irR 2 h = ^ttR 2 \ / R 2 + a 2 . Sceglia-
mo come parametro del problema x = R, le limitazioni si deducono dalla
rappresentazione grafica e sono < x < a. La funzione da studiare e:

2

v i x ) = -^-\/a 2 - x 2 (0 < x < a)

Ricerca estremi

Calcoliamo la derivata della funzione V{x) e valutiamo dove e positiva,
tenendo conto delle restrizioni su x.

V'(x)

tt / 4x(a 2
3

x 2 + x

2^/aT

-X-2x)

x

2x i

2vo' — x

7TX

2 J2

3Va 2 — x 2
irx(2a 2 - 3x 2 )

( 2 (a 2 - x 2 ) - x 2 )

3Va 2 — x 2
Dato che < x < a la disequazione V'(x) > equivale a

2a 2 - 3x 2 >

Le cui soluzioni nell'intervallo (0, a) sono (0, a-y/2/3) (dato che ay/2/3 <
a); percio nel punto x = ay/2/3 c'e un massimo.

enrico@centenaro.net

17 gennaio 2010

Esercizio 9 Esercizi sulle Derivate

Per vedere se e un massimo assoluto calcoliamo il valore della funzio-
ne V(x) negli estremi deH'intervallo (0,a). ^(0) = V(a) = dunque
V{ayj2/?>) = ^^/Sira 3 e il valore massimo assunto.

Esercizio 7 Fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto verificare
che quello che ha il volume massimo ha Valtezza pari a un terzo dell'altezza
del cono. [Sugg, prendere come parametro x Valtezza del cilindro.]

Esercizio 8 Dato un cilindro equilatero (altezza e diametro di base uguali),
determinare il cono di volume minimo con base complanare al cilindro, cir-
coscritto al cilindro. Sia a il raggio di base. [Sugg, se x e Valtezza del cono
allora x = 6a, cioe il triplo dell'altezza del cilindro.]

Esercizio 9 Due navi si muovono su traiettorie rettilinee perpendicolari fra
loro con velocita fisse e costanti. Trovare la distanza minima. Supporre
x > e y > 0.

y=yO+wt

x=xO+vt

* — ' > '

Preliminari

Le leggi del moto forniscono le coordinate della posizione delle navi al variare
del tempo. La distanza fra le due navi si ottiene con il teorema di Pitagora:

d(t) = \Jx 2 + y 2 = yj(y + wt) 2 + (x + vt) 2
con la restrizione che t > 0.

Ricerca estremi

Come al solito calcoliamo la derivata e ne studiamo il segno.

d , _ 2{y + wt) + 2Qcq + vt)
yj{y + wt) 2 + (x + vt) 2

?/o + Xp + (v + w)t
^{y + wt) 2 + (x + vt) 2

(3)

X

X

enrico@centenaro.net 8 17 gennaio 2010

Esercizio 11 Esercizi sulle Derivate

Risolviamo la disuguaglianza che si ottiene ponendo la derivata (3) po-
sitiva:

yo + x + (v + w)t >

t(v + w) > -(xo + yo)

1. Se v + w = allora, dato che xq + yo > la funzione e strettamente
crescente e si ha un minimo per t = 0;

2. se v + w > allora per £ = — x ° , - si ha un minimo;

1 v+w '

3. mentre se v + w < per t = — ^jff si ha un massimo, quindi un
minimo lo si ha per t = 0.

Sostituendo £ = — x °t x ° nella espressione della distanza si ottiene d

v+w

V2

y v-x w
v+w

Esercizio 10 Fra tutti i triangoli aventi la stessa ipotenusa quello isoscele
ha Varea massima.

Preliminari

L'altezza del triangolo si ottiene utilizzando il teorema di Pitagora: \/a 2 — x 2 ,
le restrizioni sulla base sono evidentemente < x < a.
La funzione da studiare e allora:

A(x) = -xy a 2 — x 2 < x < a
Ricerca estremi

A'( X ) = 1 -(Va 2 -x 2 + j!L^ (-2x)
£ \ 2va z — x A

' a 2 — x 2

2 V V-

1 / x 2

a* — x A

2 \Va 2 -2x 2

(4)

enrico@centenaro.net 9 17 gennaio 2010

Esercizio 12

Esercizi sulle Derivate

Tenendo conto delle restrizioni di x la (4) e positiva se

a 2 - 2x 2 >

La soluzione nell'intervallo (0, a) e < x < ^— percio ^— e un minimo
e per tale valore h = ^— quindi x = h e il triangolo e isoscele.

Esercizio 11 Fra tutti i quadrati inscritti in un quadrato assegnato, trovare
quello di area minima.

a-x

Preliminari

II triangolo che ha lati l,a — x,x e un triangolo rettangolo, percio I =
y/x 2 — (a — x) 2 con < x < a. La funzione da studiare e l'area del quadrato
di lato I, cioe:

A(x) = l 2 + {a-x) 2

Ricerca estremi

Calcoliamo la derivata e ne studiamo il segno:

A\x) = 2x + 2(a-x)(-l) >

4x > 2a
x > a/2

Tenendo conto della restrizione su x (0 < x < a), la soluzione e a/2 <
x < a, percio a/2 e un minimo. Percio il quadrato cercato e il rombo che ha
vertici nei punti medi del quadrato esterno e ha lato a\/2/2 e area a 2 /2.

Esercizio 12 Ai quattro angoli di un foglio metallico quadrato vengono ri-
tagliati quattro quadrati, poi si piegano i lembi in modo da da realizzare
una scatola aperta. Quale dimensione devono avere questi quadrati affinche
l'area della scatola sia massima?

enr ico@ cent enar o . net

10

17 gennaio 2010

Esercizio 13

Esercizi sulle Derivate

i o -o 1

> 1 • 1

1 T T '

i 6 o 1

y=l-2x

Preliminari

Evidentemente 2x + y = I quindi y = I — 2x con la restrizione < x < 1/2
che deriva dal fatto che x > e che I — 2x > 0. La funzione da studiare e
allora:

V(x)

y 2 x

(7 - 2xfx

Ricerca estremi

Calcoliamo la derivata e studiamo il segno:

V'(x) = {I - 2xf + x2{l - 2x){-2) >

(I - 2x)(l - 2x - Ax) > dato che (I - 2x) >

l-6x >

x < 1/6

Percio x = 1/6 e un massimo, in corrispondenza del quale y = 21/3 e il
volume e V = 2l 3 /27.

Esercizio 13 Data la famiglia di funzioni f a (x) = x 3 — 3ax 2 + a 2 con a >
si determini quella che nel punto di minimo locale assume il valore massimo.

Soluzione

II minimo della funzione f a si ottiene studiando il segno della sua derivata:

f' a {x) = 3x 2 - 6ax (5)

Studiando il segno della (5) si ottiene che c'e un minimo locale in x = 2a
il cui valore e f a {2a) = —4a 3 + a 2 . Affinche questo valore sia massimo a
deve essere uno zero della derivata di f a (2a) rispetto al parametro a.

dfg(2a)
da

-12a 2 + 2a >0
2o(l - 6a) >

(6)

enr ico@ cent enar o . net

11

17 gennaio 2010

Esercizio 15 Esercizi sulle Derivate

Utilizzando la regola dei segni nella (6) si ottiene che per a = 1/6 si ha
un massimo che vale —4(1/6)2 + (1/6) 2 .

Esercizio 14 Tra le cubiche di equazione y = ax 3 + bx 2 + ex + d con
a,b,c,d €. 1R determinare quella che ha un minimo locale in x = — 1 che
vale e un massimo locale in x = 1 che vale 8.

Soluzione

I massimi e i minimi sono estremi percio annullano la derivata, inoltre questi
punti appartengono alia curva cioe verificano la sua equazione. Calcoliamo
la derivata y' = 3ax 2 + 2bx + c e scriviamo il sistema che traduce le richieste:

3a(-l) 2 + 26(— 1) + c = -le minimo

a(-l) 3 + 6(-l 2 ) + c(-l) + d = passa per (-1, 0)

3a(l) 2 + 2b(l) + c = le massimo

a(l) 3 + 6(1) 2 + c(l) + d = 8 passa per (1, 8)

Risolvendo il sistema si ottiene a— —2, 6 = 0, c = 6ed = 4.

Esercizio 15 Una aeromobile percorre n chilometri alia velocita w (in chi-
lometri orari); sia c il costo di un quintale di combustibile e q la spesa
oraria per il personale di volo. Ammettendo che il consumo C del carburante
in quintali per chilometro sua proporzionale al quadrato della velocita w,
determinare il valore della velocita che corrisponde alia spesa minima per
personale e per il combustibile.

Soluzione

II costo totale e la somma fra il costo del personale e il costo del carburante,
inoltre la supposizione sul consumo C si traduce nella formula C = kw 2
con k la costante di proporzionalita. Allora il costo del carburante per n
chilometri e:

Ccarb = n kw 2 c

mentre il costo del personale si ottiene moltiplicando il tempo di percorrenza
del volo n/w per il costo orario del personale q:

r - 1

^pers — q

W

La funzione da studiare e percio:

Ctot = f(w) = nkw 2 c + q— (7)

enrico@centenaro.net 12 17 gennaio 2010

Esercizio 16 Esercizi sulle Derivate

Per determinare gli estremi (7) si deve studiare il segno della derivata
prima.

f'(w) = 2nkcw - ^ >
w z

2nckw s — an

- >

w 2

w > —— (essendo elevato alia terza)

ZtCK

» * ffjlb (8)

Dunque in corrispondenza della velocita w = y A si na un niinimo del
costo totale.

Esercizio 16 Determinare i punti di massimo e minimo relativi e assoluti
delle seguenti funzioni:

1. f(x) = \/x 3 + 3x 2 in [-5/2,2];

2. f(x) = x 3 - 3x in [-y/3, +V3};

3. f(x) = Vx - Ax 2 in [0,4];

4- f(x) = |sinx| in [— 37r/4, 27r/3] .

Soluzione del punto 1

Dato che f(x) e continua nell'intervallo di definizione (in realta su tutto M),
per il teorema di Weirestrass ammette massimi e minimi assoluti. Cerchiamo
i relativi analizzando la sua derivata:

t \ x ) — — /

</x(x + 2) 2

che ha dominio x ^ 0, —3. Dato che £ [—5/2, 2], la funzione non e deriva-
bile in 0, dovremo percio studiare il segno della derivata nei due intervalli

[-5/2,0) e (0,2].

/ + 2 >0 (9)

^/x{x + 2) 2 ~

dato che la radice e cubica il segno viene mantenuto anche se togliamo la
radice, percio la (9) equivale a:

x + 2

> dato che -3 [-5/2,0), (x + 3) 2 >0

x{x + 2) 2

x + 2

>

enrico@centenaro.net 13 17 gennaio 2010

Esercizio 19

Esercizi sulle Derivate

Le soluzioni si deducono dalla regola dei segni e sono (x < —2) V (x > 0),
dunque, dato che —2 £ [—5/2,0), x = —2 e un massimo relative Inoltre,
pur non essendo derivabile in 0, notiamo che la funzione decresce prima di
e cresce dopo, percio x = e un minimo relative Per determinare i massimi
e minimi assoluti valutiamo la funzione in —2 e 0:

/(-2)= ^-8 + 12= ^4; /(0) = 0.

(10)

Siccome dobbiamo trovare i massimi e minimi assoluti e questi possono essere
assunti anche agli estremi, calcoliamo:

(11)

/(-5/2) = V25/2 /(2) = V20
Mettendo in ordine i valori delle (10) e (11) otteniamo:
< ^25/2 < v 7 ! < ^20

Percio x = e il minimo assoluto e x = 2 e il massimo assoluto.

Riportiamo il grafico della funzione studiata (tratto rosso piu spesso) e
della sua derivata (tratto verde). Si notera che in zero la funzione ha una
cuspide a tangente verticale, la funzione e percio non derivabile, infatti in
quel punto la derivata ha un asintoto verticale.

y

■^

\

f0.34^

\

\

^-1.56

+0.622

+ 1

56 ">:

\

\,

l -'\

\

Esercizio 17 Lasciamo alio studente volenteroso I'onore e I'onere di com-
pletare I 'esercizio precedente.

Esercizio 18 A quali condizioni devono soddisfare i coefficienti a e b del-
la funzione f(x) = asin 2 x + bs'mx affinche essa abbia un massimo o un
minimo in x = tt/4. [a = 1]

*

*

enr ico@ cent enar o . net

14

17 gennaio 2010

Esercizio 20 Esercizi sulle Derivate

Esercizio 19 Sia AB un segmento di lunghezza 1, disegnare una circon-
ferenza con centro sull'asse di AB passante per i punti A e B. Indicata
con P la proiezione ortogonale di AB sulla retta AC, esprimere la differen-
za AC 2 — BP 2 in funzione delVangolo BAC = x e determinare il valore
minimo assunto da tale differenza.

Soluzione

1/2

Dato die AMC e ABP sono triangoli rettangoli AC = — — e BP = 1 • sin x.

° ° COS X

Percio la funzione da studiare e:

f(x) = AC 2 - BP 2 = -= sin 2 x

4 cos z x

Con la restrizione < x < tt/2.

Studiamo il segno della derivata:

_2

f'(x) = 5 — (— sinx) — 2 sin x cos x >

v ' 4cos 3 x v '

2 sin x , . , A .

=— (1/4 -cos 4 x) >

COS 3 X

( it K sin x \

dato che x € (0, — ) e 5 — > qumai

V 2 ! cos 3 x H J

cos 4 x < 1/4 (12)

La soluzione della (12) e (tt/4, 7r/2), quindi x = tt/4 e un minimo.

Esercizio 20 In un giuoco d'azzardo che consiste in tre prove ripetute, si
vince se il successo si verifica una e una sola volta. Supponendo che un
giocatore possa truccare il giuoco, qual e la probabilita p da assegnare al
successo che renda il giuoco a lui piu conveniente?

Soluzione

Se p e la probabilita con < p < 1 allora la probabilita di avere successo la
prima volta e insuccesso le altre due ep(l—p)(l—p), infattipe la probabilita

enrico@centenaro.net 15 17 gennaio 2010

Esercizio 22 Esercizi sulle Derivate

di avere successo e (1 — p) quella opposta. Ora le situazioni favorevoli sono
tre (successo la prima volta, o successo la seconda volta, o successo la terza),
dunque la probabilita totale di vittoria e data dalla funzione:

f(p) = 3p(l - V?

Dobbiamo trovare il valore da assegnare a p affinche sia massima f(p), in
altre parole dobbiamo trovare il possibile massimo 2 di f(p) nell'intervallo
(0, 1). Studiamo il segno della derivata di f(p):

f'(p) = 3(l-p) 2 + 3p-2(l-p)(-l) >
3(l-p)(l-p-2p) >

3(l-p)(l-3p) > (13)

Siccome < p < 1 vale che 1 — p > dunque la disuguaglianza (13)
si riduce nella disequazione 1 — 3p > che ha soluzione p < 1/3. Quindi
per p = 1/3 si ha un massimo e la probabilita di vittoria e /(1/3) = 4/9,
siccome /(0) = /(l) = e anche il massimo assoluto.

Esercizio 21 Data la funzione f(x) = \ arcsin ^f 2 , trovare i punti di
massimo e minimo e gli intervalli in cui e invertibile.

Esercizio 22 Studiare la funzione

x(l — x z )
Soluzione

*

C.E.

x 7^ 0, x 7^ ±1, quindi il dominio e l'insieme D = ( — oo, — 1) U ( — 1,0) U

(0,1) U (1,+oc). Int. assi

E inoltre evidente che f{x) non interseca mai l'asse delle ascisse e, visto
il dominio, neanche quello delle ordinate. Limiti

lim fix) = 0; lim fix) = +oo; lim fix) = — oo; lim fix) = — oo;

:c^±oo x—f—1- i->-1+ x^0~

lim f(x) = +oo; lim f(x) = — oo; lim f(x) = +oo

x^0+ x^l+ x^l~

Verificare questi limiti con molta attenzione! Derivata

f (x)

x 2 (l — x 2 ) 2
Dato che x 2 > e (1 - x 2 ) 2 > Vx g D. Sgn. /'

3

f'( x ) > 0^3x 2 -l >0^ (x < -3^) V(x > #)• Max &

il massimo assoluto non e garantito che ci sia perche, pur essendo / continua il dominio
cono e chiuso e limitato

enrico@centenaro.net 16 17 gennaio 2010

mm

Esercizio 23

Esercizi sulle Derivate

Riassumiamo il segno della derivata nello schema seguente, evidenziando
il dominio, i tratti di monotonia della funzione e gli estremi.

asintoto asintoto asintoto

pi pi

Dai limiti si deduce che x — yei= — ^- sono rispettivamente massimo
e minimo relativi, massimi e minimi assoluti non sono presenti. Graiico

Mettendo insieme le informazioni ottenute si deduce che il graiico della
funzione, si notera che il grafico e simmetrico rispetto all'origine, questo
fatto era deducibile dalla disparita della funzione.

y J

j

\

/

V ,

/

-1.

28

+ 0.

513

+ 1

>:

/

/■

\

/

\

V

1

1

1

1

Esercizio 23 Studiare la funzione:

f(x) = x cos x — sin x

Soluzione _, . „

Parita

Dato che /(— x) = —xcos(—x) — sin(— x) = — xcosx + sins = —f(x) la

funzione e percio dispari. C.E.

D = Ee per la disparita bastera studiare la funzione in [0, +oo). Int. assi

enr ico@ cent enar o . net

17

17 gennaio 2010

Esercizio 24

Esercizi sulle Derivate

/(0) =

x cos x — sin a; =

tana; = x

Questa equazione non e risolvibile per via elementare, pero possiamo con-
frontare i grafici e renderci conto di come la retta y = x interseca la curva
y = tans, il grafico seguente dovrebbe chiarire.

y'

I

-

,

/

/

/

~~-

•

/

y

y

■

/

■5

28

V

■*

2Jrt

<b

78

X

p°

/

/

^

Evidentemente vi sono infinite soluzioni che si avvicinano via via a multi-
pli dispari di tt/2 restando piu piccole nell'asse delle ascisse positive, essendo
invece piu grandi per valori negativi. Segn. /'

f'(x) = — xsinx >
x sin x <
sin x < dato che x >

Quindi cresce quando cos x e negativo, cioe per (2n+l)n < x < (2n+2)n
quindi i minimi locali sono i multipli pari di ir cioe x = 2mr.

Le informazioni raccolte fino ad ora vengono utilizzate per costruire il
grafico della funzione, abbiamo sovrapposto anche i grafici dello studio del
segno per evidenziare la correlazione con la funzione.

grafico

enr ico@ cent enar o . net

18

17 gennaio 2010

Esercizio 25

Esercizi sulle Derivate

/

;

/

A *

/

-8.

kjru

l&^Y +'

& f

f

i /

^C

Esercizio 24 Studiare le seguenti funzioni:

f(x) = \/x 3 + 3x 2 (PiV/1994) /(x) = 1 + yV - 2x + 5 (P7V/1994)

f( x ) = 1 + lnX (PiV/2002) /(x) = (x 2 - lle"^ (1992)
x

f( x ) = e ~ x cos x (1992); /(x) = -x 2 (3 - 21nx) + 1 (2005)

Esercizio 25 (2004) ^ n un piano, riferito a un sistema monometrico di
assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

V

1 + a sin x

cos x

aelR.

1. Dimostrare che sono curve periodiche di periodo 2tt, che hanno in
comune infiniti punti dei quali si richiedono le coordinate;

2. tra le curve assegnate determinare quelle che hanno come tangente
orizzontale la retta di equazione y = ^ ;

3. controllato che due curve soddisfano la condizione precedente, dimo-
strare che sono Vuna simmetrica dell'altra rispetto all'asse y e dise-
gnarle nelV inter v alio —n < x < n dopo aver spiegato, in particolare,
perche nessuna di esse presenta punti di flesso.

*

Soluzione del punto 1

Le curve sono periodiche di periodo 2tt se /(x + 2ir) = f(x) Vx, infatti:

, l + asin(x + 27r) . 1 + asinx
j{x + 27T) = — — — = (sin, cos, periodiche) = = j{x)

cos(x + 2-k)

cosx

enr ico@ cent enar o . net

19

17 gennaio 2010

Esercizio 25 Esercizi sulle Derivate

Due curve distinte sono determinate da parametri a, b distinti, se hanno
punti in comune devono soddisfare l'equazione:

1 + a sin x 1 + 6 sin x

COS X COS X

a sin x = b sin x
(a — b) sin x = (essendo a / b)

sin a; = => x = kir, k £ /Z

Per determinare le ordinate basta calcolare y{hir) = l/cos(fc7r) = ( — 1) ,
quindi i punti in comune hanno coordinate (/c7T, (— 1) .

Soluzione del punto 2

Dato che la retta e orizzontale i punti di eventuale tangenza devono essere
estremi, cioe annullano la derivata e devono avere ordinata v3/2:

, a + sinx .

y = 7f = => sm x = U

COS^ X

1 + a sin x \/3 . ,

y = = -it 14

cosx 2

Siccoma sinx = —a, sostituendo nella( 14), otteniamo:

1 + a(-a) \/3 r \/3

. = — => ±V 1 - a 2 = —

±Vl-a 2 2 V 2

La radice non puo essere negativa quindi

1 - a 2 = 3/4 => a = ±1/2

Soluzione del punto 3

1 + 1/2 sin x 1 — 1/2 sin x

Vi = ; 2/2 =

cos x cos x

infatti yi(— x) = y2(%), quindi sono simmetriche rispetto all'asse y.

Dominio: cos a: ^ in [— n, n] quindi x / ±7r/2. Quindi il dominio e:
[-7T , -tt/2) U (—■ 7T/2, tt/2) U (tt/2, tt]

Intersezione assi: y(0) = 1, y(x) = => sinx = 2 => mai

Segno: yi > cioe — e ^ s ^, ma: , dato che 1 — 1/2 sin x > Vx equivale a
cosx > => x £ (-7r/2,7r/2).

Limiti:

lim t/2 = +cx>; lim y 2 = — oo

5

7T +

2

lim y 2 = -oo; hm y 2 = +oo.

2 X 2

enrico@centenaro.net 20 17 gennaio 2010

Esercizio 26

Esercizi sulle Derivate

Massimi e minimi:

y' 2

-1/2 + sinx
cos 2 x

sinx > 1/2 ^> -n/2 < x < n
Percio la funzione e crescente nel tratto in cui la derivata prima e positiva.

-2

34

+0.

935

+2

34

X

II grafico di y\ si ottiene applicando una simmetria assiale di asse y.

Esercizio 26 Attraverso lo studio di una opportuna funzione dimostrare
che il perimetro dei poligoni regolari inscritti in un cerchio cresce col crescere
del numero dei lati.

Soluzione

2~

Se il poligono ha n lati allora a = — , I
perimetro e p(n) = nl = 2Rnsm(n/n).
Ci interessa calcolare il limite:

2i?sin(a/2) = 2R sin(ir/n) , il

x=tt/ti SIM

lim2itnsin(7r/n) = lim 2Rtt = 2Rtt

n x->0+ X

enr ico@ cent enar o . net

21

17 gennaio 2010

Esercizio 28

Esercizi sulle Derivate

Quindi la funzione perimetro p{n) tende alia lunghezza della circonferenza.
Verifichiamo ora che lo fa crescendo. Bastera studiare la crescenza della
funzione reale f(x) = 2Rx sin(7r/x) con x > perche la funzione p(n) e una
sua restrizione ai numeri naturali.

f'(x) = 2Rsm(n/x) + 2Rxcos(tt/x)(-tt/x 2 ) >
2i?(sin(7r/x) — 7r/xcos(7r/x)) >

(15)

Ora, R > e siccome x tende a infinito si puo supporre che x > 3 quindi
tt/x < 7r/2, percio sin(7r/x) > e cos("7t/:e) > 0, quindi nella disequazione
(15) si puo dividere per cos(7r/x) per ottenere:

tan(7r/x) > tt/x con x > 3; posto y = 7r/a;
tan y > y con < y < tt/3

Riportiamo il grafico di y = tans e di y = x.

(16)

/

/

1 /

//

jy

jT

903 /

+ 0.361 +0.903

~s'

Evidentemente tanx > x per < x < tt/2, quindi la (16) e certamente
verificata e quindi la derivata e sempre positiva quindi la funzione f(x) e
crescente.

Esercizio 27 Studiare le seguenti funzioni periodiche:

X

a) f{x)
c) f(x)

cos x — sin x

; b)fix)

2 sin x — 1

cos x + sin x

1 . _ _, A ,/ x cosx — a
-sm2x + l; d) f(x) = ■ — ;

2 sin x + a

5
e) f(x) = 2 sin x + 4sinx— -; f) fix)

sin x — cosx.

Esercizio 28 // disegno seguente riporta i grafici di una funzione e delle
sue derivate (prima e seconda). Individua il grafico di ciascuna. Sapresti
scrivere la legge di una funzione che si rispecchia neW esercizio?

X

enr ico@ cent enar o . net

22

17 gennaio 2010

Esercizio 31

Esercizi sulle Derivate

__n

*

Esercizio 29 Calcola la derivata delle seguenti funzioni:

y = arcsm

VTT

x z

arctanx; y = 2arcsinx — arccos(l — 2x ); x > 0.

-Dai risultato quali conseguenze puoi trarre?
Esercizio 30 Per quali valori di a la funzione

f(x) = ax

x

l + x 1

risulta crescente per ogni iel?

Soluzione

Bisogna che la sua derivata prima sia positiva per oni x reale. Calcoliamo
la derivata:

3x

2 (l + x 2 ) - X

3 -2x

t
X

[ (a-

(l + x 2 ) 2
l) + x 2 (2a-

3) +

a-

ft*) :

1+ T

_ x 4 (a - 1) + x 2

(TT"x 2 ) 2

Date- che (l + x 2 ) 2 > basta che

x 4 (a - 1) + x 2 (2a - 3) + a > VieE

enr ico@ cent enar o . net

23

17 gennaio 2010

Esercizio 32 Esercizi sulle Derivate

Ovvero che la funzione g(x) = x 4 (a — 1) + x 2 (2a — 3) + a abbia un minimo
assoluto maggiore o uguale a zero.

Ponendo t = x 2 la funzione diventa una parabola e scrivendo l'ordinata
del vertice positiva si ottiene 3 a > 9/8.

Esercizio 31 Applicando il teorema di Lagrange agli intervalli di estremi 1
e x, provare che 1 — ^ < In x < x — 1 e dare del risultato una interpretazione
grafica. (PNI 2002)

Soluzione

Gli intervalli da analizzare sono di due tipi [x, 1] e [1, x] , a seconda che x > 1
o < x < 1 (x > perche e argomento del logaritmo).

Intervallo [x, 1] e f{x) = lnx

Posto f{x) = lnx le ipotesi del teorema sono verificate (controllare!), percio
esiste c £ (x, 1) tale che

m_m =m

b — a

In 1 — In x 1 / 1

> 1 siccome c < 1 => - > 1

1 — x c \ c

— lnx

>1=>— mx>l — x=Mnx<x— 1

1 — x

Intervallo [l,x] e f{x) = lnx
f(x) come prima, c £ [l,x]:

f(b) ~ f(a)

b — a

In x — In 1 1 / 1

< 1 siccome c > 1

f'(c)

x — 1 c

lnx

I siccome c > 1 => - < 1 J

<l=>lnx<x— 1

x — 1

Concludendo lnx < x — 1, Vx>0 l'uguaglianza vale solo se x = 1.

Per provare la disuguaglianza 1 — \ < lnx, basta ricalcare quanto fatto
con la funzione g{x) = xlnx.

II grafico seguente riporta chiaramente che la funzione di mezzo lnx e
"compresa" fra la retta y = x — 1 e il ramo di iperbole y = 1 — 1/x.

e vero sono stato sbrigativo, ma Monica mi sta chiamando perche e pronta la cena.

enrico@centenaro.net 24 17 gennaio 2010

Esercizio 34

Esercizi sulle Derivate

/

i

/

/

Esercizio 32 Si pud applicare il teorema di Lagrange alia funzione:

-x 3 + x + 1 per x >

m

per x <

nell'intervallo [—2,2] ? Se si trova c.

Soluzione

Le due componenti della funzione sono continue e derivabile \/x, si tratta
di vedere se lo e anche / in 0. Se verifichiamo la derivabilita in abbiamo
automaticamente la continuita (cfr D =$■ C).

ft*)

-3x + 1 per x >
x per x <

/1(0) = lim f(x) = lim -3x 2 + 1 = 1

x^0~ x->0-

/i(0) = lim fix) = lim e x = 1

x^0+ x^0+

Sono uguali percio la funzione e derivabile in tutti l'intervallo; troviamo

c:

-3c 2 + 1 = => c = ±^3/3e c = mai

ma solo c = v3/3 > quindi e l'unico valido.

Esercizio 33 Determinare a,b,c affinche valga il teorema di Rolle nell'in-
tervallo [—1,4] per la funzione:

-ax + 3x + c per x < 2
\ per x > 2

X

f\x) -
[sol. a = 15/8, b = 18, c = 6]

enr ico@ cent enar o . net

25

17 gennaio 2010

Esercizio 41 Esercizi sulle Derivate

Esercizio 34 Verificare che la funzione e continua e derivabile in x = 0:

, . _ J x 2 + x + 1 per x <
I (2a; + l)e x per x >

Esercizio 35 idem per:

/(*) =" i ■* ..:'

ln(— a: 2 + x + 1) per x <
— 3x 2 — 3x per x >

Esercizio 36 Dimostrare che se p{x) e un polinomio allora fra due radici
distinte reali di p(x) c'e sempre una radice dip'(x).

Soluzione

Siano x\ e X2 tali radici (supponiamo senza perdere di generalita che x\ <
X2, altrimenti basterebbe invertire i nomi), allora per il teorema di Rolle
applicato 4 aH'intervallo [xi,X2] esiste c con x\ < c < X2 tale che p'(c) = 0,
cio prova l'asserto.

Esercizio 37 Dimostrare che \ sin b — sin a\ < \b — a\ con a, b £ IR.

Soluzione

Se a = b la disuguaglianza e ovvia. Supponiamo percio b > a, allora
applicando Lagrange alia funzione sinx nell'intervallo [a,b] si ottiene che:

sin b — sin a r ,, .,,_.

= cosc conc^[a,b\, (17)

b — a

ma —1 < cosx < 1 Vx £ IR, quindi, essendo b > a, la (17) implica:

— (6 — a) < (sin 6 — sin a) < (b — a) =>• sin b — sin a < \b — a\. (18)
Se invece b < a, con la stessa argomentazione, si giunge a:

— (o — b) < (sin a — sin b) < (a — b) =$■ sin a — sin 6 < \b — a\. (19)

Le due disuguaglianze (18) e (19) provano la consegna.

Esercizio 38 Si vuole che x 3 — bx — 7 = abbia tre radici reali. Quale e
un possibile valore di b? (PNI 2003)

[sol. b< --3{/f « -6,91/

*

4

*
2"

Esercizio 39 Dimostrare senza risolverla che I'equazione x 3 +|x 2 +3x+6
ammette una soluzione reale.

enrico@centenaro.net 26 17 gennaio 2010

Esercizio 42 Esercizi sulle Derivate

Esercizio 40 Verificare che f(x) = e~ x + x~ l e invertibile per x > e,
detta g la sua inversa, calcolare g'(l + e _1 ). (2002)

Esercizio 41 Verificare che f{x) = 3x + lnx, definita per x > 0, e stretta-
mente crescente. Detta g la sua inversa, calcolare </(3). fPM" 2002)

Esercizio 42 In quante parti uguali si deve dividere un numero reale posi-
tive) a in modo che il loro prodotto sia massimo?

4 ovviamente valgono le ipotesi, provatelo!
enrico@centenaro.net 27 17 gennaio 2010