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Full text of "Abhandlung über die Systeme von regelmässig auf einer Ebene oder Raum ..."

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QD 

91 i 



3^73 OSTWALD^S KLASSIKER 
ak ^ EXAKTEN WISSENSCHAFTEN. 



Nr. 90. 



ABHANDLUNG 



üb«» 



die Systeme von regelmässig auf einer Ebene 
oder im Raum vertheilten Punkten 



A. BRAVAIS, 



LlffttUaittt mt S«« und Profesiflr h» d&t tm\^ PoJjt^ehiit^iifl^ 




Ankündigung. 



LIBRARY 

OF THE 

UNIVERSITY OF CALIFORNIA. 
Class 



m aie w issensctiat't gleichzeitig belebt und vertieft. Dasselbe ist 
aber auch ein Forschungsmittel von grosser Bedeutung. Denn 
in jenen grundlegenden Schriften ruhten nicht nur die Keime, "weLche 
inzwischen sich entwickelt und Früchte getragen haben, sondern 
es ruhen in ihnen noch zahllose andere Keime, die noch der Ent- 
wicklung harren, und dem in der Wissenschaft Arbeitenden und 
Forschenden bilden jene Schriften eine unerschöpfliche Fundgrube 
von Anregungen und fördernden Gedanken. 

Die Klassiker der exakten Wissenschaften sollen 
ihrem Namen gemäss die rationellen Naturwissenschaften, von der 
Mathematik bis zur Physiologie' umfassen und werden Abhandlungen 
aus denGebietenderMathematik,Astronomie,Phy 8 ik, Chemie 
(einschliesslich Krystallkunde) und Physiologie enthalten. 

Die allgemeine Redaktion führt von jetzt ab Professor 
Dr. Arthur von Oe^.tinsen (Leipzig); die einzelnen Ausgaben 
werden durch hervorragende Vertreter der betreflFenden Wissen- 
schaften besorgt werden. Die Leitung der einzelnen Abtheilungen 
übernahmen: für Astronomie Prof. Dr. Bruns (Leipzig), für Mathe- 
matik Prof. Dr. Wange r in (Halle), für Krystallkunde Prof. Dr. 
Groth (München), für Pflanzenphysiologie Prof. Dr. W. Pfeffer 
(Leipzig), für Chemie Prof. Dr. W. Ostwald (Leipzig). 



Erschienen sind bis jetzt aus dem Gebiete der 

Mathematik: 

Nr. 5. C. F. Gauss, Flächentheorie. (1827.) Deutsch heransg. v. A. Wan.- 
gerln. (62 S.) UJf — .80. 

C. F. Gauss, Die 4 Beweise der Zerlegung ganzer algebr. Functio- 
nen etc. (1799—1849.) Herausg. v. E. Netto. Mit 1 Taf. (81 S.) 
UJf 1.50. ^ 

A. BrftYftis, Abhandinngen über symmetr. Polyeder. (1849.) Übers. 

und in Gemeinschaft mit P. Groth heransg. von C. u. E. Bl asins. 

Mit 1 Taf. (50 S.) ujf 1.—. 

Fortsetzuj 



X 



14. 



17. 




ABHANDLUNG 

über 

die Systeme von regelmässig auf einer Ebene 
oder im Bamn vertheilten Funkten 

von 

A. BRAVAIS, 

Lieutenant zur See nhd Professor an der Ecole Poljftechnique. 

(1848.) 



Uebersetzt und herausgegeben 



C. und E. Blasius. 



Mit 2 Tafeln. 



^ OK TAZ 



LEIPZIG 

VERLAG VON WILHELM ENGELMANN 
1897. 



/^\ b R Ä ^>^ 

A OrTHE ^ \ 

Abhandlung 

über 

die Systeme Yon regelmässig auf einer Ebene oder im 
Raum vertbeilten Punlten 



A. Bravais, 

Lieutenant zur See nnd Professor an der Ecole Polytochniqno. 

Der Acadcmie des Sciences vorgelegt am ll.December 1848.) 



§1. — Einleitende Definitionen. 

Um ein System von regelmässig im Raum vertheilten 
Punkten zu erhalten, nehmen wir zwei willkttrlich gewählte 
Punkte, und verbinden sie miteinander durch eine gerade Linie, 
welche wir nach beiden Richtungen ins Unendliche verlängern. 
Wir besetzen diese Gerade mit einer unbeschränkten Reihe 
anderer Punkte, die alle unter sieh äquidistant, und durch 
einen, dem Abstand der beiden Ausgangspunkte gleichen, con- 
stanten Zwischenraum getrennt sind. Das geradlinige System 
dieser äquidistanten Punkte soll im Laufe dieser Abhandlung 
den Namen »Pnnktreihe« erhalten. Der fundamentale Ab- 
stand zwischen zwei benachbarten Punkten soll mit dem Namen 
»Parameter der Punktreihe« bezeichnet werden. 

Wir nehmen eine zweite Punktreihe von demselben Para- 
meter, bringen sie, parallel zur ersten, in eine in Bezug auf die- 
selbe willkürlich gewählte Lage, und verbinden diese beiden 
Reihen miteinander durch eine geometrische Ebene, welche ihrer 
[2] Natur nach in jeder Richtung unbegrenzt ist. Wir besetzen 
diese Ebene mit einer Folge von eben solchen Punktreihen, die 
parallel und äqmdistant unter einander sind; wir lassen endlich, 

1* 



4 A. Bravais. 

lim die Lage dieser Pnnktreihen za bestimmen, jede dei'selben 
als Ganzes und in ihrer Längsrichtung gleiten, bis die Punkte, 
welche auf jeder Punktreihe als Ausgangspunkt gedient haben, 
sich auf einer und derselben Geraden befinden, die mehr oder 
weniger gegen die gemeinsame Richtung der Punktreihen ge- 
neigt ist. Wir werden ein solches auf der Ebene vertheiltes 
System von Punkten mit dem Gattungsnamen »Netz« bezeichnen. 

Wir nehmen ein zweites Netz von der gleichen Form 
und Grösse wie das vorige, bringen es auf eine parallele, von 
der ersten durch einen willkürlichen Zwischenraum getrennte 
Ebene, indem wir Sorge tragen, dass alle homologen Linien 
in den beiden Netzen gleich gerichtet sind, was durch eine 
gemeinsame Parallel -Verschiebung aller Theile des ursprüng- 
lichen Netzes bewirkt werden kann. Wir vertheilen eine un- 
endliche Anzalil von gleichen und gleich gerichteten Netzen auf 
einer unendlichen Anzahl von Ebenen, die den beiden ersten 
parallel und äquidistant unter einander sind, und tragen Sorge, 
jedes Netz auf seiner Ebene gleiten zu lassen, bis alle Punkte, 
die als Ausgang dienen, auf einer und derselben Geraden 
liegen, welche nothwendiger Weise ausserhalb der Ebene des 
ursprünglichen Netzes ist. Das so erhaltene Punktsystem soll 
in dieser Abhandlung mit dem Namen »Schaar« bezeichnet 
werden; es ist unbegrenzt nach seinen drei Dimensionen. 

Die Fignr 1 zeigt das Resultat der von uns vorgenommenen 
Operationen. OAA'Ä' ... ist die erste Punktreihe; die 
Folge der Pnnkte A, Ä, A'\ . . . muss man sich links über 
hinaus fortgesetzt denken. BPF" , . . bildet die zweite Punkt- 
reihe. Von den Punkten ff, B'\ . . . gehen andere gleiche und 
parallele Punktreihen aus. Die Ausgangspunkte 0, -B, ß , 
ß\ . . . der Reihen liegen nothwendiger Weise auf einer ge- 
raden Linie. Da alle diese Punktreihen äquidistant sind, so 
ist einleuchtend, dass man 

OB = BB' = B'B' • . . 

hat, so dass OBB!B" , . . auch eine Punkt reihe des Systems 
ist; aber sie unterscheidet sich von OAÄÄ' durch ihre Rich- 
tung, und auch im allgemeinen Fall durch die Grösse ihres 
Parameters, welcher augenscheinlich gleich OB ist. 

Ein zweites Netz, ähnlich dem Netz OAÄÄ\ . . BFP' 
... B! ... £''..., hat seinen Ausgangspunkt in Z>, und dehnt 
sich von D in einer Ebene aus, die parallel mit der Ebene 
OAB ist; seine erste Punktreihe ist BQQ[Q[' * . ., die andern 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 5 

gehen von R. R\ B!\ . . . aus. [3] Diese Punkte sind auf der 
neuen Ebene die Homologen von i?, B\ B'\ . . . Die anderen 
Netze des Systems gehen von den Punkten D\ U\ . . . ans. 
Alle die Punkte 0, Z>, D\ D'\ . . . liegen in einer geraden 
Linie, und wegen des gleichen Abstands der parallelen Ebenen, 
deren jede ein Netz enthält, hat man 

OD = DU = D'D" . . . , 

so dass ODD' D" , . . auch eine Punktreihe ist, welche sich aber 
von OÄÄÄ' . . . und OBB'B" . . . sowohl durch ihre Rich- 
tung, als auch durch die Grösse ihres Parameters unterscheidet. 

Die so erhaltene Schaar zeigt eine regelmässige Yerthei- 
lung, welche durch die folgenden Eigenschaften charakterisirt 
ist, die einleuchtend genug sind, nm keines Beweises zn be- 
dürfen. 

Keiner der integrirenden Punkte unterscheidet sich von 
den anderen durch irgend welche Eigenthttmlichkeit der rela- 
tiven Lage. 

Die Configuration einer als unbegrenzt gedachten Schaar 
um einen ihrer willkürlich gewählten Punkte ist die gleiche, 
welches auch der angenommene Punkt sein mag. Wenn zum 
Beispiel dieser Punkt zum Anfangspunkt irgendwelcher recht- 
winkeliger oder schief winkeliger Coordinaten genommen ist; 
so wird man um jeden nacheinander zum Ausgang gewählten 
Punkt ähnlich gelegene Punkte mit gleichen Coordinaten 
finden, vorausgesetzt dass bei dem Wechsel des Anfangs- 
punktes die nenen Ax«n ihre ursprüngliche Richtung bewahrt 
haben. 

Bevor ich weiter gehe, werde ich für die Punkte, welche 
ein Netz oder eine Schaar bilden, eine besondere Bezeichnung 
feststellen. Es ist in der That nothwendig, sie von den rein 
mathematischen Punkten zn unterscheiden, welche an irgend 
einem Orte des Raumes existiren. 

Ich werde sie also Gitterpnnkte nennen. Man kann 
ohne Nachtheil, um die Begriffe festzulegen, diesen Gitter- 
punkten sehr kleine Dimensionen geben, wirkliche Molecüle 
daraus machen und speciell den Mittelpunkten dieser Mole- 
cüle, deren polyedrische Form übrigens unbestimmt bleibt, 
den Namen Gitterpunkt ertheilen. 

Ich werde annehmen, diese Gitterpunkte seien unter sich 
durch solche Kräfte verbunden, dass die ganze Schaar eine 
unveränderliche Gestalt, mit constant bleibendem Abstand der 



6 A. BravaiB. 

Punkte unter sich habe, dass sie indessen fäbig sei, sich wie 
ein fester Körper im Raum zu bewegen, sowohl parallel mit 
sich selbst als um [4] eine gegebene Axe, sobald es nöthig 
wird, ihr derartige Bewegungen der Translation oder der 
Rotation zu geben. 

Wenn man das ganze System parallel mit sich selbst 
bewegt, so dass ein Gitterpunkt wie z. B. A, Fig. 1 , an den 
Ort kommt, welchen vorher ein anderer Gitterpunkt B inne 
hatte, so wird jeder der anderen Gitterpunkte gleichfalls einen 
Ort im Räume einnehmen, der bei dem Anfang der Be- 
wegung von einem Gitterpunkte des Systems verlassen wurde. 
Ich sage alsdann, dass durch die allgemeine Bewegung, welche 
der Schaar gegeben ist, der Ort der Gitterpunkte nicht 
verändert ist, oder einfacher dass eine Wiederherstellung 
der Orte der Gitterpunkte stattgefunden hat. 

Solange die Geraden OAA'^ BPJP^, . . . und die Ebenen, 
welche sie vereinigen, im Raum fixirt bleiben, behält die 
Schaar die Kennzeichen des Verfahrens, das angewandt wurde, 
um sie zu constrairen. Aber wir können in Gedanken alle 
diese Geraden und alle diese Ebenen unterdrücken, und ver- 
suchen eine umgekehrte Aufgabe von derjenigen zu lösen, 
welche uns soeben beschäftigt hat, eine Aufgabe, die wir im 
Folgenden zusammenfassen. 

Aufgabe I. — Zu einer gegebenen Schaar sollen 
diePunktreihen, Ebenen undNetze gefunden werden, 
welche sie hervorbringen können. 

Nehmen wir aufs Gerathewohl zwei Punkte oder Gitter- 
punkte, wie z. B. O und A (Fig. 1), welche der gegebenen 
Schaar angehören, und verbinden sie durch die Gerade OA, 
Wenn es auf dieser Verbindungsgeraden zwischen und A 
andere Gitterpunkte a, b^ c, . , , gäbe, die dem System ange- 
hörten, so würden wir den Gitterpunkt a, den nächsten an 
O, besonders ins Auge fassen und Oa wäre dann ein ein- 
facher Theil von OA, Also kann man immer annehmen, 
dass zwischen den beiden gewählten Gitterpunkten und A 
kein anderer dazwischen liegender Gitterpunkt existirt. 

Verlängern wir OA nach beiden Richtungen und nehmen 

AA' = OA, A'Ä* = AA\ . . .; 

so werden alle diese Punkte A\ Ä', . . gemäss dem allgemeinen 
Gesetze, welches die regelmässige Vertheilung charakterisirt, 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 7 

unserer Scbaar angehören. Dieses erste Verfahren bestimmt 
eine der Pnnktreihen des Systems. Es ist indessen nöthig 
zu bemerken, dass diese so gefundene Reihe nicht nothwendiger 
Weise eine von denen ist, welche ursprünglich dazu gedient 
haben die Schaar zu constrniren. 

Ausserhalb der Punktreihe OAAA\ . . nehmen wir aufs 
Gerathewohl einen Gitterpunkt B und verbinden mit B\ 
wenn andere Gitterpunkte zwischen und B existirten, 
würden wir nur [5] den nächsten an beibehalten. So 
können wir also immer voraussetzen, dass zwischen O und B 
kein anderer Punkt, der dem System der Schaar angehört, 
existirt. 

Nachdem dieses festgestelK, constrniren wir über OB 
und OA das Parallelogramm OAPB\ P wird dem Netz 
der Ebene OAB angehören. Nun könnte im Innern dieses 
Parallelogramms im Allgemeinen eine endliche Anzahl von 
Gitterpunkten wie m, ;?, . . . existiren, welche dem Netz der 
Ebene angehören. In diesem Fall muss man den Punkt B 
verwerfen und ihn durch denjenigen dieser Gitterpunkte er- 
setzen, dessen Entfernung von OA ein Minimum ist. Nennen 
wir ihn m; ziehen wir von m die Strecke mm! parallel und 
gleich OA und vollenden das Parallelogramm OAm'm. 
Dann wird m' nicht allein dem Netze angehören, sondern 
man kann behaupten, dass das Parallelogramm Om'mA 
weder in seinem Innern noch auf seinen Seiten irgend einen 
Punkt der allgemeinen Schaar zeigt, mit Ausnahme der vier 
Gitterpunkte O, A, m, m! . 

Um die Figur 1 nicht nutzlos zu compliciren, nehme ich 
das Parallelogramm OAPB wieder auf, und beschränke mich 
darauf anzunehmen, dass der Punkt B mit Rücksicht darauf 
gewählt ist, den beiden folgenden Bedingungen zu genügen: 

1. Dass zwischen und B kein Punkt der Schaar existirt; 

2. Dass ein solcher ebenso wenig im Innern des über 
OA und OB construirten Parallelogramms existirt. Wir 
haben eben gesehen, dass es immer wenigstens einen Gitter- 
punkt giebt, der diesen Bedingungen genügt. 

Alsdann können wir, da wir die Parameter O A und OB 
der beiden Punktreihen kennen, nicht nur alle Punkte finden, 
die zu diesen Pnnktreihen gehören , sondern wir können auch 
durch die Schnittpunkte der beiden durch AA' A" . . . und 
BB' B' . , , gelegten Systeme von Parallelen das Netz der 
Ebene OAB vollständig wiederherstellen. Wir bemerken, 



8 A. Bravaiß. 

dass dieses Netz nicht nothwendiger Weise dasselbe ist, welches 
im Anfang zar Construction der Schaar gedient hat. 

Nachdem wir nacheinander eine Panktreihe, dann ein 
Netz erhalten haben, wird es uns nicht schwerer werden, das 
ganze System wiederzufinden. 

Wir wollen ausserhalb der Ebene OAB einen Punkt D 
wählen, den wir der Bedingung unterwerfen, dass kein da- 
zwischen liegender Gitterpunkt weder auf der Verbindungs- 
linie zwischen O und D existire, noch auf der Oberfläche 
des Parallelogramms AODQ, noch auf derjenigen des Paral- 
lelogramms BODJRj noch im Innern des Parallelepipedes 
OAPSQDRB^ welches über den Parametern OA^ OB, 
OD als Kanten construirt ist. Man [6] muss sich verge- 
wissern, wie wir es für den Punkt B in dem Falle der 
Ebene gethan haben, dass diese Bedingungen thatsächlich 
erfüllt sind. 

Es giebt ein einfaches Mittel,, um direct den Punkt D 
zu erhalten. Es besteht darin, eine geometrische Ebene sich 
parallel mit sich selbst bewegen zu lassen, von einer Anfangs- 
stellung aji, in welcher sie mit der Ebene OAB zusammen- 
fällt. Sobald diese Ebene in ihrer Bewegung einen ersten 
Gitterpunkt der Schaar erreicht, nimmt man ihn als den 
gesuchten Punkt an und macht aus der Entfernung OD den 
Parameter der dritten Punktreihe ODD'D' , . , 

Die Lösung, welche wir eben gegeben haben, zeigt, dass 
man die Aufgabe I auf sehr viele verschiedene Arten lösen 
kann, und es ist sogar nicht schwierig einzusehen, dass die 
Zahl dieser Lösungen eine unendliche ist. In der That be- 
sitzt die Ebene DQSJR die Eigenschaft, in dem System aller 
ihrer Parallelen so nahe als möglich an der Ebene OAB zu 
sein. Wenn wir irgend einen Gitterpunkt betrachten, wie 
z. B. S, der dem Netz, das diese Ebene trägt, angehört, so 
ist klar, dass wir die Punktreihe OD durch die neue Punkt- 
reihe OS ersetzen können; wir erhalten alsdann alle Punkte 
der gegebenen Schaar, als Schnitte des Systems der zu OAB 
parallelen Ebenen, mit dem System der Geraden, die parallel 
mit OS durch alle Punkte des Netzes 0^^' ... J5-B' ge- 
legt sind. 

Ebenso könnte man, indem man OS und OA, oder OS 
und OB als anfängliche Punktreihen nimmt, die Schaar wieder- 
herstellen, indem man als Constrnctionsmittel das Netz der 
Ebene OAS oder dasjenige der Ebene OBS nimmt, was 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 9 

uns neue Lösungen der Aufgabe gftbe; und da die Zabl der 
Netzpunkte unendlich ist, so ist es die Zabl dieser Lösungen 
ebenfalls. 

Wenn in einem Netz zwei Punktreihen OA und OB 
so beschaffen sind, dass kein einziger Gitterpunkt in das 
Innere des Parallelogramms fällt, welches über den Para- 
metern OA, OB dieser Pnnktreiben construirt wird, so nenne 
ich diese Punktreihen conjugirt, und in dem Falle, wo sie 
zu Coordinaten-Axen gewählt würden, sollen sie den Namen 
conjugirte Axen erhalten. 

Das System der Pnnktreiben, welche parallel zu zwei 
conjugirten Punktreihen OAA' ..,, OBB' . . . liegen, schneidet 
das Netz in parallelogrammatische, unter einander gleiche 
Felder. Ich werde dieses Parallelogramm [OAPB Fig. 1) 
(OAmB Fig. 2) Grundparallelogramm oder parallelo- 
grammatische Masche des Netzes nennen. 

Der nicht allseitig begrenzte Baum, welcher zwischen einer 
Punktreihe wie OAAA!'.,. und ihrer [7] nächst benachbarten 
BPP' (Fig. 1) begriffen ist, soll den Namen Streifen er- 
halten. Der Streifen ist dadurch charakterisirt, dass niemals 
irgend ein Gitterpunkt in seinem Innern existirt, sondern nur 
auf den beiden Geraden, die ihn begrenzen. 

Die beiden parallelen Punktreihen, welche einen Streifen 
einschliessen , sollen angrenzende genannt werden. Jeder 
Punktreihe entsprechen zwei angrenzende Punktreihen, welche 
in Beziehung auf die gegebene Punktreihe auf entgegenge- 
setzten Seiten liegen. Die Ebene eines Streifens, oder von 
zwei parallelen Punktreihen, oder allgemeiner, die Ebene, 
welche drei Gitterpunkte enthält, die nicht auf gerader Linie 
liegen, soll Netz ebene genannt werden. Sie trägt auf ihrer 
Oberfläche ein vollständiges Netz von Gitterpunkten. 

Wenn die Parameter von drei Punktreihen OA, OB, 
OC (Fig. 1) im Räume als Kanten eines, sowohl in seinem 
Inneren wie auf seinen Seitenflächen von jedem Gitterpnnkt 
freien Parallelepipedes dienen können, werde ich diese drei 
Punktreihen mit dem Namen conjugirte Punktreihen be- 
zeichnen, und in dem Falle, wo man sie als Coordinatenaxen 
gebrauchen wollte, mit dem Namen conjugirte Axen. 

Die drei Ebenen, welche diese Punktreihen paarweise 
verbinden, sollen conjugirte Netzebenen oder conjugirte 
Ebenen genannt werden. 

Eine Punktreihe soll zu der Netzebene conjugirt 



10 A. Bravais. 

heissen, wenn zwei in Bezug anf das Netz dieser Ebene con- 
jugirte Punktreihen auch zu der gegebenen Punktreihe con- 
jugirt sind. Der nicht allseitig begrenzte Raum, welcher zwi- 
schen einer Netzebene und der nächsten unter den ihr parallelen 
Netzebenen enthalten ist, soll mit dem Namen Schicht be- 
zeichnet werden. Es kann keinen Gitterpunkt in dem Innern 
einer Schicht geben. Die beiden parallelen Netzebenen, welche 
die Schicht begrenzen, sollen angrenzende genannt werden. 
Zu jeder Netzebene gehören zwei angrenzende Ebenen, die ihr 
parallel und in Bezug auf die gegebene Ebene auf entgegen- 
gesetzten Seiten liegen. 

Die drei Systeme von Netzebenen, die parallel den drei 
conjugirten Ebenen AOB, AOD, BOB (Fig. 1) liegen, 
schneiden den Raum in parallelepipedische Zellen, welche alle 
inhaltlich uud zum Decken gleich sind. Ich werde das so 
erhaltene, über den drei conjugirten Parametern OA, OB, 
OD construirte Parallelepiped Grund-Parallelepiped oder 
Kern der Schaar nennen. 

Sämmtliche Punkte dieses Systems können durch das 
Aneinanderlegen solcher Parallelepipede, Seite an Seite , wieder 
erhalten werden. 

[8] Nach Feststellung unserer Terminologie können wir 
die grundlegenden Eigenschaften irgend einer Schaar folgender- 
maassen zusammenfassen : 

»Die Gitterpunkte einer ^chaar sind auf* einem System 
paralleler und äquidistanter Ebenen angeordnet und bilden 
auf jeder dieser Ebenen ein Netz, dessen Configuration auf 
jeder Ebene dieselbe ist.« 

»In jedem dieser Netze bilden die Punkte Systeme von 
parallelen, deckbar gleichen und äquidistanten Punktreihen.« 

»Auf jeder Punktreihe haben die Gitterpunkte gleichen 
Abstand unter einander. Man kann die gegebenen Gitter* 
punkte eines Netzes immer als Schnittpunkte je zweier Geraden 
erhalten, welche zwei verschiedenen Systemen von parallelen 
und äquidistanten Geraden angehören. Die ganze Ebene erscheint 
dann in paralielogrammatische , deckbar gleiche Felder zer- 
schnitten, welche keine Lücke zwischen sich lassen.« 

»Man kann die Gitterpunkte einer Schaar immer als die 
Schnittpunkte von drei Ebenen erhalten, die drei verschiedenen 
Systemen von parallelen und in jedem System gleich ent- 
fernten Ebenen angehören. Der Raum ist alsdann in parallel- 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 11 

epipedische Zellen zerschnitten, welche alle inhaltlich und zum 
Decken gleich sind und keine Lücke zwischen sich lassen.« 
»Die Theilung der Ebene oder des Ranmes in gleiche 
Parallelogramme oder Parallelepipede, deren Ecken mit den 
Gitterpnnkten der Schaar zusammenfallen, lässt sich auf un- 
endlich viele verschiedene Weisen durchführen.« 

§ II. — Von den Netzen im Allgemeinen. 

Bezeichnungen und Definitionen. — Wir wollen 
das Netz der Figur 2 untersuchen. Der Punkt soll zum 
Anfangspunkt der Coordinaten. gewählt werden. 

Seien OAA^ . . ., OBB' . . . die beiden Punktreihen, 
welche zur Construction des Netzes gedient haben, und be- 
zeichnen wir mit a und b die beiden Parameter, sodass wir 
haben 
(1) OA=a und OB = h. 

Seien |, ?; die linearen Coordinaten der auf die schrägen 
Axen OA^ OB bezogenen Punkte der Ebene. Für einen 

beliebigen Punkt P werden die Verhältnisse — und y [9] 

positive oder negative ganze Zahlen sein, die wir die Zahle n- 
coordinaten des Gitterpunktes P nennen wollen und welche 
durch die Buchstaben m und n bezeichnet werden sollen, 
wenn P ein bestimmter Gitterpunkt ist, und durch die Buch- 
staben X und y, wenn P ein unbestimmter Gitterpunkt des 
Netzes ist. Man erhält je nach dem Falle 

(2) 

(3) 

Die allgemeine Gleichung des Netzes, betrachtet als ebene Cnrve 
mit getrennten und in jedem Gitterpunkt des Netzes verschwinden- 
den Zweigen, lässt sich analytisch in folgender Form schreiben: 

sin* — TT + sin* -f tt = , 
a ' 

wobei 7t die Zahl 3,14159 ... ist. Diese Gleichung ist 
erfüllt für jeden Gitterpunkt des Netzes und ist es nicht für 
jeden anderen Punkt der Ebene. 



1=.. 


f=» 


I=- 


1=' 



12 A. Bravais. 

Aufgabe II. — Die Gleichung einer durch den 
Anfangspunkt und durch den Gitterpunkt P (Fig. 2) 
gehenden Punktreihe zu finden. 

Seien m und n die Zahlen-Coordinaten von P, so wird 
die Gleichung von OP in laufenden linearen Coordinaten sein. 

ma nh 

Seien x und y die Zahlen-Coordinaten irgend eines der Punkt- 
reihe OP zugehörigen Punktes, so wird man haben 

(4) f. = y. • 

m. n 

Dieses ist die Gleichung der Punktreihe OP in Zahlen-Co- 
ordinaten. 

Wenn m und n einen grössten gemeinschaftlichen Theiler 

D hätten, würde der Punkt -y^, -^ zu der Punktreihe OP 

gehören, und wäre von allen Gitterpunkten dieser Punktreihe 
der nächste an dem Punkt 0\ wenn aber m und n relative 
Primzahlen sind, so ist OP der Parameter der Punktreihe. 
Man kann die Gleichung (4) in der Form schreiben 

(5) nx — my = 0. 

[10] Wenn man dann 

(«) 5 = ^' D '* 

setzt, wobei g und h ganze und relative Primzahlen positiver 
oder negativer Art sind, so wird die Gleichung 

(7) gx + hy = (i. 

Satz I. — Wenn m und M (Fig. 3) zwei Gitter- 
punkte eines Netzes sind, und wenn man durch einen 
dritten Gitterpunkt O eine mit mi)[/ gleiche und par- 
allele Strecke On legt, so wird der Endpunkt dieser 
Strecke ein vierter Gitterpunkt des Netzes sein. 

Wir legen den Anfangspunkt der Coordinaten nach ein- 
ander auf m und O, ohne die Richtung der Axen zu ändern; 
wir nennen ^ und r] die Coordinaten von M in Bezug auf 
die durch m gelegten Axen. Es folgt aus den allgemeinen 
Eigenschaften der Netze und Schaaren (Seite 5), dass es in 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 13 

dem Netz einen Pnnkt von gleichen Coordinaten in dem System 
der durch O gelegten Axen geben wird. Sei n dieser Punkt. 
Die Strecke On wird gleich und parallel mM sein. 

Gorollarsatz. — Wenn man Mm um eine Strecke my. 
= mM (Fig. 3) verlängert, so wird ^ einer der Gitterpunkte 
des Netzes sein; also ist der Pnnkt m ein geometrischer Mittel- 
punkt des Netzes und dasselbe ist der Fall für alle anderen 
Gitterpunkte. 

Aufgabe III. — Die allgemeine Gleichung der zu 
der Punktreihe OP^ (Fig. 2) parallelen Punktreihen 
zu finden. 

Durch einen Gitterpunkt mit den Zahlen -Coordinaten 
m', n' lege man eine Parallele zu 0P\ ihre Gleichung in linearen 
Coordinaten wird sein 

^ — m'a Yj — n'b 
ma nö 

Schafft man a aus dem ersten und b aus dem zweiten Gliede 
weg, so hat man 

X — m! y — n' 

m w ' 

oder wenn man die Gleichungen (6) berücksichtigt, 

g(x — m') + Ä (y — n') = 0. 

Man hätte diese Gleichung direot aus der Gleichung (7) folgern 
können , indem man x und y in x — m' und y — n' ver- 
wandelte. Also 

ffx + hy ^ gni -f- hv! ^ 
[11] oder 
(8) gx-^hy=C, 

indem man das letzte Glied mit O bezeichnet; C ist noth- 
wendiger Weise eine ganze Zahl. Diese Gleichung, welche so 
allgemein wie möglich ist^ umfasst das ganze System der mit 
OP parallelen Punktreihen. 

Bezeichnungen und Definitionen. — Wir werden 
künftig die Bezeichnung [gh) gebrauchen, um das ganze 
System der Pnnktreihen darzustellen, welche der durch die 
Gleichung (7) dargestellten Geraden parallel sind. 

Die ganzen positiven oder negativen Zahlen g und h sollen 



14 A. BravaiB. 

die Charakteristiken für dieses 8ystem von Pnnktreihen in 
Bezog auf die Axen der x und der y sein. 

Aufgabe IV. — Den Parameter der Punktreihen 
mit der Bezeichnung [gh] zu finden. 

Sei 8 der Winkel AOB (Fig. 2); sei A der Parameter 
der Punktreihe OP^ welche vom Anfangspunkte nach dem 

Gitterpunkte geht, dessen Coordinaten -y^ und — sind. So 

wird man nach einer bekannten Formel erhalten: 

^■=(5)'-+(5)'**+^(5)(i)"'-^. 

und wenn man die Charakteristiken g^ h substitnirt 
(9) -4' = Ä*a* + /i* — 2ghah cos d. 

Aufgabe V. — Die Zahl der Gitterpunkte zu 
finden, welche in dem über den Parametern O^ und 
OP oder OB und OP (Fig. 2) construirten Parallelo- 
gramm enthalten sind. 

Nehmen wir an, dass die Zahlen-Coordinaten m und n 
des Punktes P positiv seien. Die Zahl der Punktreihen Bm . . ., 
B'rn , . ., B"p . . ., welche parallel der x-Axe liegen, und 
die das Parallelogramm OAPQ durchschneiden, ist gleich 
n — 1. Da jeder zwischen OP und AQ gelegene Abschnitt 
dieser Punktreihen dem Parameter OA gleich ist, so muss 
er einen Gitterpunkt enthalten, welcher im Innern des Parallelo- 
gramms OAPQ gelegen ist, weil er weder auf OP noch 
auf AQ fallen kann; folglich wird die Zahl der in diesem 
Parallelogramm enthaltenen Gitterpunkte n — 1 sein« Ebenso 
wird die Zahl der innerhalb des Parallelogramms OBPR 
gelegenen Gitterpunkte m — 1 sein. 

Wenn m und n negativ wären, würde man sie durch 
einen passenden Austausch der positiven mit den negativen 
Halbaxen positiv machen. 

Aufgabe VI. — Die Gleichung der an OP angren- 
zenden Punktreihen zu finden. 

Die allgemeine Gleichung der zu OP parallelen Punkt- 
reihen ist 

gx + 1iy = gm! + hv! \ 

[12] g und h sind gegebene relative Primzahlen; rn! und v! 
willkürlich gewählte Zahlen. 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 15 

Nun weiss man ans der Theorie der Kettenbrüche, dass 
man w! nnd ri immer so bestimmen kann, dass der Gleichung 

gm' + hn' = + 1 , 
oder der Gleichung 

gw! + hri = — 1. 
genügt ist. 

Die Gleichung (8) wird alsdann 

(10) gx + hy = ±i, 

und stellt die beiden an die Punktreihe OP angrenzenden 
Punktreihen pp' . . . und rr .,, dar. Es ist klar, dass man in 
dem Netze keine anderen, dem Anfangspunkte O näher ge- 
legenen Punktreihen haben kann. 

Anderer Beweis der Lösung. — Seien m, n, p, q 
(Fig. 2) die im Innern des Parallelogramms OAPQ gelegenen 
Punkte. Keine zwei von ihnen können in derselben Ent- 
fernung von OP liegen, denn wenn m und p in diesem Falle 
wären, so würde mp parallel OP sein, und auf einer mit OP 
parallelen Pnnktreihe hätte man einen geringeren Parameter 
als OP, was nicht sein kann. 

Also wenn man die Linien pp'^ mm\ qq' und nn' zieht, 
bilden sie den Anfang der Serie der mit OP parallelen Punkt- 
reihen, folglich müssen diese Linien äquidistant sein. 

Da die Zahl der zwischen OP und AQ enthaltenen 
Gitterpunkte gleich n — 1 ist (Aufgabe V), so wird diejenige 
der zwischen diesen beiden Geraden liegenden Streifen gleich 
n sein. Also wird OA in n gleiche Abschnitte getheilt und 
man hat 

(11) 0/ = ^=^. 

Wenn man jetzt die Punktreihe pp' bis p", dem Schnitte mit 
der Halbaxe der negativen y verlängert, so würde man ebenso 
mit Hülfe des über OP und OB construirten Parallelo- 
gramms beweisen, dass 

(12) - o/' = -i. 

Nun ist offenbar die Gleichung von pp' in linearen Co- 
ordinaten 

Op'^ Op" 



16 A. Brayais. 

[13] Wenn man für ^ und rj ihre ans den Gleichungen (2) 
hervorgehenden Werthe setzt, und statt Op' und Op" ihre 
aus den Gleichungen (11) und (12) hervorgehenden Werthe^ 
so bekommt man 

nx — my = + 1. 

Auf der anderen Seite von OP giebt es in dem Parallelogramm 
OBPR eine andere angrenzende Punktreihe, die Punktreihe 
rr'^ welche mit OP einen Streifen von derselben Breite bildet, 
als der zwischen pp* und OP eingeschlossene Streifen. 
Ihre Gleichung wird augenscheinlich 

nx — my ^= — 1 

sein, folglich sind die beiden angrenzenden Punktreihen in 
der gemeinschaftlichen Gleichung 

nx — my = =b 1 

einbegriffen, und wenn man statt m und n die Charakteristiken 
g und h der Punktreihe OP setzt, indem man beachtet, dass 
m und n relative Primzahlen sind, äsL OP ein Parameter ist, 
so wird diese 

ffx + hy = zt \. 

Aufgabe VII. — In einem System von Punktreihen 
deren symbolische Bezeichnung (ffh) ist, soll fest- 
gestellt werden, welche Anzahl von Streifen dieses 
Systems zwischen dem Gitterpunkte mit den Oo- 
ordinaten ilf und N und dem Gitterpunkte mit den 
Coordinaten M' und N' enthalten ist. 

Denken wir uns, dass die an O P angrenzende Punktreihe 
pp (Fig. 2) die Einheit als Ordnungszahl erhalte, die folgende 
Reihe mm' erhalte die Zahl 2, und so weiter; dann, dass 
man die Ordnungszahlen — 1, — 2, — 3, . . . den auf der 
entgegengesetzten Seite liegenden Pnnktreihen rr^, ss\ . . gebe. 

Die Punktreihe Nr. 1 wird die Gleichung haben 

gx + hy= 1. 

Die Gleichung der Punktreihe Nr. 2, die zweimal so weit vom 
Anfangspunkt entfernt ist als die vorige, wird sein 

gx + hy = 2. 

Die Punktreihe, deren Ordnungszahl C ist, wird als Gleichung 
haben 

ffX + hy= a 



Uebor die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 17 

[14] Woraus man ersieht, dass in der Gleichung (8) das letzte 
Glied gerade die Ordnungszahl der Punktreihe ist, welche 
man untersucht. 

Seien also (7 und O' die Ordnungszahlen der Pnnkt- 
reiheu, welche durch die Gitterpunkte [M^ iV) und [M\ N') 
gehen, so ist 

C = gM +hN, 

(13) C—a^g (3f — M') + h {N~ N'), 

So wird also die Zahl der zwischen den beiden gegebenen 
Gitterpunkten liegenden Streifen, bis auf das Zeichen, den 
W^rth haben 

g(M—M') + h{N~N'). 

Corollarsatz. — In dem über den Parametern OP 
und OP' (Fig. 2) construirten Parallelogramm wollen wir die 
Coordinaten der Gitterpunkte P und P' mit (m, n) und 
(m\ n') bezeichnen. Die Zahl der zwischen zwei gegenüber- 
liegenden Seiten dieses Parallelogramms gelegenen Streifen wird^ 
bis auf das Zeichen, gleich mn! — nm' sein. 

Aufgabe Vin. — Die Bedingung zu finden, unter 
der zwei Punktreihen conjugirt sind. 

Seien m und n die Zahlen-Coordinaten eines Gitterpunktes 
P (Fig. 2), seien m' und w' diejenigen eines anderen Gitter- 
punktes p. Man nimmt an, dass m und n relative Primzahlen 
seien, sowie, dass m' und n relative Primzahlen seien, und 
gesucht werde die Bedingung, unter welcher O P und Op con- 
jugirte Punktreihen sind. 

Der Gitterpunkt p muss der einen oder der anderen der 
beiden an OP angrenzenden Punktreihen angehören, sonst 
würden die zu OP parallelen Pnnktreihen mit denen, welche 
parallel Op sind, sich in Punkten schneiden, die nicht alle 
Gitterpunkte des Netzes wären, und die Punktreihen OP und 
Op wären nicht conjugirt. Also muss, wenn man 

x = m\ y =ssn 

in der Gleichung (10) setzt, dieser genügt sein, was die Be- 
dingung giebt 

(14) gm' + hn' = ± 1, 

und wenn man darin die Werthe von ^ und. ^ einsetzt, die 

Oitwald*8 Klassiker. 90. 2 



1$ A. Bravais. 

ans der Gleichung (6) gezogen sind, indem [15] man beachtet^ 
dass Z> ;= 1 ist, so verwandelt sich diese Bedingung in 

(15) nw! — mv! = =b 1 . 

Umgekehrt wird, wenn dieser Bedingung genügt ist, der Gitter« 
punkt ' (m', n') einer der an OP angrenzenden Punktreihen 
angehören, und seine Yerbindungslinie mit dem Anfangspunkt 
wird eine zu der Punktreihe OPconjugirte Punktreihe bilden. 
Wenn man statt «w, n die Charakteristiken g^ h der Punkt- 
reihe OF setzt und statt m', ri die Charakteristiken g\ V 
der Punktreihe 0/>, so hat man 

(16) hg' -gK=±\', 

dies wird die Bedingung dafür sein, dass die durch die 
Symbole {gh) und (g' h') bezeichneten Punktreihen conjugirt 
sind, und dass sie die Gitterpunkte des Netzes als ihre gegen- 
seitigen Durchschnittspunkte wiedererzeugen. 

Aufgabe IX. — Die Bedingung zu finden, unter 
welcher drei Gitterpunkte (w, w), [m\ n') und [wl\ n") 
angrenzenden Punktreihen angehören. 

Legen wir den Anfangspunkt nach {m!\ n") ; dann werden 
die Zahlen -Coordinaten der beiden anderen Gitterpunkte 
(m — m", n — n") , (m' — m", n' — n") sein. 

Damit die Punktreihen, welche von dem neuen Ausgangs- 
punkte nach diesen beiden Gitterpunkten gehen, conjugirte 
seien, muss man 

[n — n") (m' — m") — {m — m") [n' — n'') = ± 1 

haben, das heisst nach der Reduction 

nm' — nfm + ri'm — nni' -f- v! m" — tri ri' := ± \. 

Aufgabe X. — Die Coordinatenaxen zu ändern 
und die neuen Coordinaten als Functionen der alten 
auszudrücken und umgekehrt. 

Seien (w, n) und [m% n') die Zahlen-Coordinaten der beiden 
Gitterpunkte P und P (Fig. 3); m und n sind relative Prim- 
zahlen, und dasselbe gilt von m und n\ 

OP und OP' seien als neue Coordinatenaxen gewählt, 
und X und Y seien die Zahlen -i- Coordinaten eines Gitter- 
pnnktes M in diesem neuen System. 

Wenn man alsdann Mm parallel mit OP' bis zum 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 19 

Schnittpunkt m mit OP zieht, und Mn parallel mit OP bis 
zu dem Schnittpunkt mit 0P\ so hat man 

Om = Mn= X'OP, 

On=Mm= YOP\ 

[16] Die Zahlen-Coordinaten des Punktes m in dem alten 
System der conjugirten Axen 0-4, OB sind mX und nX\ 
diejenigen des Punktes n sind m' Y und n' Y, 

Um die Ooordinaten x und y des Punktes M im alten 
System zu erhalten, hat man zu beachten, dass in dem Ueber- 
gang von m zu M die Zahlen-Abscisse und -Ordinate dieselbe 
Vergrössemng erfahren, wie in dem üebergange von O nach 
n, weil On gleich und parallel mit Mm ist. Also 

mX + m'Y, 

{y= nX + n'Y. 

Man folgert daraus, durch Elimination, 



y=n. 



-X = -7— —r- ^ + 



nm — mn mn — nm 

Y= ; ; X H -. j- y . 

nm — n m mn — nm ^ 

Wenn die Punktreihen OP^ OP* conjugirt sind, so ver- 
ändern sich diese Gleichungen in 

± X = n'x — m'y , 

± y= — nx+my^ 



(19) 



Man lasse die Axen der X und der Y sich durch eine ge- 
meinsame Bewegung um drehen, bis die Halbaxe der posi- 
tiven X und die Halbaxe der positiven x zusammenfallen; 
wenn dann die Halbaxen der positiven Y und der positiven 
y sich auf derselben Seite in Bezug auf die zusammenfallenden 
Axen befinden, so sollte das obere Zeichen in den ersten 
Gliedern der Gleichungen (19) den Vorzug erhalten. Im ent- 
gegengesetzten Falle nehme man das untere Zeichen an. 

Corollarsatz. — Nehmen wir an, dass die Axe der y 
sich allein verändert, und durch die zu der unveränderlich 
bleibenden Axe der x conjugirte Punktreihe P ersetzt werde, 
und sei m^ die Zahlen-Abscisse des Punktes P. Man wird 
bei dieser Veränderung der Axen erhalten 

2* 



20 A. Brayais. 

m ==^ \ y /4 = 0, 
m' = Wq , /i' = 1 ; 
daraus schiiesst man 

[17] und umgekehrt, 

Y=y , X = x — m^y. 

Die mit der verschobenen Axe parallele Zahlen -Goordinate 
bleibt unveränderlich. 

Aufgabe XI. < — Man sucht das Symbol einer 
gegebenen Pnnktreihe [gh) in einem neuen Axen- 
system. 

Seien immer wieder (w, n) und (w', ?i) die Zahlen- 
Coordinaten der Endpunkte der neuen Axen. 

Wenn man in der Gleichung 

ffx + hy:=:C 

die aus den Gleichungen (17) gezogenen Werthe von x, y 
substituirt, so erhält man 

[gm + hn) X + (gm' + hn') Y= C, 

woraus man sieht, dass, wenn man das neue Symbol durch 
(GH) darstellt, man von (gh) auf (GH) gelangt vermittelst 
der Formeln 

G = gm -\- kn j 

^^^^ • II = gm' + hn\ 

Corollarsatz. — Wenn man sich darauf beschränkt, 
unter Beibehaltung der «-Axe die Axe der y zu verändern j 
und als neue Axe der positiven y die Punktreihe zu nehmen, 
die vom Anfangspunkte zum Gitterpunkte ( — 1, — 1) geht, 
welche Punktreihe die im umgekehrten Sinne genommene 
Verlängerung von der Diagonale des über a und h construirten 
Parallelogramms ist, so erhält man 

m = 1 , /4 = , 

m' = — 1, n' = — 1; 

wodurch das Symbol (^, h) in (^, — g — h) verändert wird. 

Wenn man dann die Charakteristik der Punktreihe [gh) 

in Bezug auf diese neue Axe i nennt, so hat man die Gleichung 

i = —g — h. 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 21 

Sei c der Parameter der neuen Axe; .dann wird der auf dieser 
Axe zwischen dem Anfangspunkte und der Punktreihe 

gx + hy = 1 , 

[18] die in dem neuen System 

gx + tY= 1, 

/» 

geworden, enthaltene Abschnitt ersichtlich als Werth t haben« 

Man sieht daraus, dass, »wenn die Parameter a, by c 
paarweise conjugirter Punktreihen auf eine Weise gewählt 
sind, dass sie drei Kräfte vorstellen, die einander auf der 
Ebene des Netzes das Gleichgewicht halten, jede Punktreihe, 
welche angrenzend an eine durch den Anfangspunkt gehende 
Punktreihe ist, auf den Parametern dieser Punktreihen die 

drei Abschnitte — , -7-, -^ bestimmen wird, wobei g, h. i 
g ^ h % *^ 

ganze positive oder negative Primzahlen sind, die der Beziehung 

(21) ^ + Ä + e==0 

genügen. Man kann alsdann ohne Unterschied das eine oder 
das andere der Symbole (gh)^ [gi), (ik) als Symbol der Pankt- 
reihe {gh) nehmen.« 

Bezeichnung mit drei Charakteristiken. — 
Wenn man die Lage der Punktreihen des Netzes auf drei 
Coordinatenaxen, welche den eben angegebenen Bedingungen 
genügen, bezieht, so kann man das Symbol (gh) durch ein 
Symbol mit drei Zeichen {ght) ersetzen. 

Die Formel (9) nimmt in diesem System der Charakte- 
ristiken eine bemerkenswerthe Form an. 

Seien (Fig. 5) 
0^ = a, OC=by OE=c, AOC=ö] 

so hat man 

c* = a* + i* + 2ab cos d . 

Indem man in der Gleichung (9) den aus dieser Formel ab- 
geleiteten Werth 2ai cos d substitnirt und beachtet, dass man 

h* + gh = — hij g^ + gh = — gt 

hat, erhält man für das Quadrat des Parameters der Punkt- 
reihe {ght} 

(22) A^ = — hta^ — gih^~ghc^ = —ghil'^+^+^y 



22 A. Bravais. 

Satz II. — Wenn eine Punktreihe OP (Fig. 3) in 
dem dnrch [19] zwei conjugirte Punktreihen OA 
und OB gebildeten Winkel AOB enthalten ist, 
so werden alle zu OP conjugirten Punktreihen in 
demselben Winkelraum AOB enthalten sein. 

Wählen wir 0^4 zur Halbaxe der positiven x^ OB zur 
Halbaxe der positiven y^ und seien m und n die Zahlen- 
Coordinaten des Gitterpunktes P, sie seien positiv und grösser 
als Null. 

Setzen wir voraus, dass Op eine zu OP conjugirte 
Punktreihe sei, und seien 

die Zahlen-Coordinaten des Gitterpunktes p] m^ und n^ sind 
ganze und positive Zahlen. Die allgemeine Bedingung, welche 
durch die Gleichung (15) vorgeschrieben ist, wird 

nm^ + mUf^ == dz 1. 

Nun ist es aber unmöglich, ihr mit solchen Werthen der 
Zahlen m, w, m^, n^, welche positiv und grösser als Null 
sind, zu genügen. Also kann die Punktreihe Op nicht zu 
OP conjugirt sein. 

Aus demselben Grunde kann eine Punktreihe wie Oq (die- 
selbe Figur) nicht zu OP conjugirt sein. Folglich u. s. w. 

Satz III. — Das Grund-Parallelogramm des 
Netzes hat einen constanten Flächeninhalt, auf 
welche Weise es auch construirt sei. 

Ich werde von jetzt an die Fläche des Grund-Parallelo- 
gramms eines Netzes mit w bezeichnen; OAmB (Fig. 2) 
sei ein solches Parallelogramm. 

Da die Punktreihen OP und Op conjugirt sind, wollen 
wir über OP und Op das Parallelogramm OPpxss constru- 
iren, welches die aus diesem Punktreihen-Systeme abgeleitete 
Masche unseres Netzes sein wird. Ich behaupte, dass der 

Flächeninhalt OPnsp = Flächeninhalt OAmB = oj 

sei. 

In der That hat das Parallelogramm OPtsp dieselbe 
Basis wie OAQP, aber die Höhe ist verschieden, und man 
hat [Gleichung (11)] 

OPmp: OAQP= Op' : 0A= i : n, 

wobei n die Zahlen-Ordinate des Gitterpunktes P ist. 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 23 

Aber andrerseits ist 

OAmB: OAQP= OB: OB^'^^ 1 : w; 
[20] also 

Flächeninhalt OPmp = Flächeninhalt OAmB = w. 

Zweiter Beweis. — Seien (w, n) die Zahlen-Coordi- 
naten von P und (m', n) diejenigen von p. In den Lehr- 
b&chern der analytischen Geometrie wird bewiesen, dass das 
Dreieck, welches den Anfangspunkt mit den beiden Pnnkten 
verbindet, deren lineare Coordinaten (^, r]) und (^', ri) sind, 
als Flächeninhalt, wenn die Coordinaten -Axen rechtwinklig 
sind, den absoluten Werth des Ausdrucks hat 

und wenn die Axen schiefwinklig sind und mit einander 
einen Winkel d bilden 

\[^^' — ^ri)Änö. 
Also wenn man setzt 

Winker ^0J5 = 5, 
hat man bis auf das Zeichen 

Flächeninhalt des /^OpP = | sin d[nhm* a — manb) 

= \ah sin d{nm — mrJ)^ 
also wegen der Gleichung (15) 

Flächeninhalt des /\,OpP=^ \ab mi 6 , 
Also 

Flächeninhalt 0Ptar/?=aS8in(J=Flächeninhalt OAmB = (a. 

Dritter Beweis. — Wir wollen übereinkommen, als 
Dichtigkeit des Netzes die Anzahl der Gitterpunkte zu 
bezeichnen, welche in der Einheit der Fläche enthalten sind, 
wobei die Dimensionen dieser Einheit der Fläche alle beide 
unendlich gross im Vergleich zu den Parametern der in Be- 
tracht gezogenen Punktreihen angenommen seien. 

Nachdem dies festgesetzt, seien (Fig. B) 

OP = a\ Op = h\ pOP=d\ Flächeninhalt OPüip = co' \ 
so hat man 

u) = a! V sin 8\ 

Nehmen wir auf der verlängerten Geraden OP, angefangen 



24 A. Brayais. 

bei 0, eine in Bezug auf d sehr grosse Länge x, und von 
auf der yerlän^erten Geraden Op eine in Bezug auf l! sehr 
grosse Länge t, in der Weise, dass das über diesen beiden 
Längen x und i construirte Parallelogramm der Einheit der 
Fläche gleich sei, und [81] dass man also habe 

xt sin 5' = 1 . 

Die Anzahl der in diesem Parallelogramm enthaltenen Gitter- 
punkte berechnet sich wie die Zahl der Kugeln in der Basis 
eines rechtwinkligen Haufens nach der Formel 

X i 

"X T- 
a 

Man wird also haben, wenn q diese immer sehr grosse Zahl ist, 

X£ ULL sin S __ 1 

^~76^""a'6'sin(r"c7*' 

nun muss aber die Zähl q , welche die Dichtigkeit des Netzes 
misst, constant bleiben, welches auch das System der conju- 
girten Axen sein mag, das man zu seiner Bestimmung ange- 
nommen hat. Man erhält also 

(23) w' = (X) z= ab sin ö. 

Satz IV. — Der mittlere Abstand der Gitterpunkte 
eines Netzes ist gleich der Quadratwurzel aus dem 
Flächeninhalt seines Grund-Parallelogramms. 

Poissön*] hat als »mittleren Abstand der Molecüle eines 
Körpers« die Seite eines Würfels bezeichnet, welcher gleich 
ist der Einheit des Volumens des Körpers, durch die Zahl 
der Molecttle getheilt, welche diese Volumen -Einheit enthält. 
Man kann diese Erklärang auf den Fall der Ebene anwenden, 
und den mittleren Abstand der Gitterpunkte eines 
Netzes die Seite eines Quadrats nennen, welches gleich 
ist der Einheit der Fläche, getheilt durch die Zahl der Gitter- 
punkte, welche sie enthält. 

Sei € dieser mittlere Abstand; wenn man fortfährt, die 
Zahl der in der Einheit des Flächeninhalts enthaltenen Gitter- 
punkte mit Q zu bezeichnen, so hat man 



*) Journal de rjficole Polytechnique, 20. Heft, p. 5. — M^moires 
de TAcad^mie des Sciences, Band XVIII, p. 7. 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 25 

folglich nach dem vorigen Satze 

(24) fi* = w , € = Vw 5 

wobei (0 der constante Flächeninhalt des Grund-Parallelo- 
gramms des Netzes ist. 

[22] Aufgabe XII. — In dem Punktreihen- 
System, dessen symbolische Bezeichnung {gh) ist, 
die Breite eines Streifens zu finden. 

Seien ^ die nnbekannte Breite dieses Streifens,. A der 
Parameter der beiden angrenzenden Punktreihen, welche ihn 
einschliessen. Der Flächeninhalt des Grund-Parallelogramms 
ist dann gleich ^^. Man hat also 

(25) - Ju4 = 0). 

Indem man die aus den Gleichungen (9) und (23) gezoge- 
nen Werthe für A nnd o) substituirt, erhält man 

. ab sin d 

~ Vh^a* + fb^ — 2ghah cosl ' 
oder einfacher 

sin 6 
d = 



Definition. — Ich bezeichne als elementares Drei- 
eck jedes Dreieck, das als Ecken drei Punkte des Netzes 
hat, welche zwei angrenzenden Pnnktreihen angehören. 

Ein solches Dreieck ist immer die Hälfte eines der Grund- 
Parallelogramme des Netzes. 

Man kann es als die dreieckige Masche des Netzes 
ansehen. 

Ich bezeichne mit dem Namen hanptelementares 
Dreieck oder kürzer unter dem Namen Haupt-Dreieck 
dasjenige, welches den kleinsten Parameter des Netzes zur 
Basis hal^ und dessen Winkel an der Basis spitz sind, einer 
von ihnen kann ausnahmsweise ein Rechter werden. 

Satz V. — Die elementaren Dreiecke haben einen 
constanten Flächeninhalt, der gleich der Hälfte des 
Flächeninhalts des Grund-Parallelogramms ist. Das 



26 A. Bravais. 

Dreieok, welches den Anfangspunkt zur Spitze 
und die Strecke, welche die Punkte (m, n] und (m\ n) 
verbindet, zur Basis hat, hat als Flächeninhalt das 
Product des Flächeninhalts des elementaren Dreiecks 
in den absoluten Werth des Factors mn — nm\ 

Der erste Theil des Satzes ist klar; die Flächeninhalte 
der elementaren Dreiecke haben als gemeinsamen Werth ^ oj. 

Seien nun P und P (Fig. 2) die Gitterpunkte mit den 
Zahlen-Coordinaten (m, n) und [m\ n), so wird man nach 
dem zweiten Beweise des [23] Satzes III haben: 

Flächeninhalt des A OPP = | aJ sin 5[nm — mri) . 

Nun ist 

«5 sin 5 = w ; 
folglich 

(27) Flächeninhalt des A OPP = \io[nm — mn). 

Wenn man m und n mit einem gemeinsamen Factor D 
multiplicirt, so werden das erste und das zweite Glied beide 
Z)mal grösser, so dass die Gleichung (27) nicht gestört wird; 
sie wird es ebenso wenig in dem Fall, wo man m! und n' mit 
einem Factor D' multiplicirte. Also findet diese Gleichung 
immer statt, selbst wenn m^ n oder m'^ n nicht relative 
Primzahlen sind. 

Aufgabiö XIII. — Das Haupt-Dreieck eine^Netzes 
zu finden. 

Man wähle willkürlich einen Gitterpunkt (Fig. 4) und suche 
unter allen anderen Gitterpunkten den zunächst liegenden. 

Sei A dieser Gitterpunkt, OA also der kleinste Para- 
meter des Netzes. In und A errichte man die Geraden 
Op und Am senkrecht auf 0-4, und suche in dem nicht 
allseitig begrenzten Räume pOAm den der Geraden OA zu- 
nächst gelegenen Gitterpunkt. Man wird ihn nothwendiger- 
weise in jß, auf der srn OA angrenzenden Punktreihe finden. 
Verbindet man OB und BAy so wird OAB das Haupt-Drei- 
eck des Netzes sein. 

Satz VI. — Das Haupt-Dreieck ist das einzige 
elementare Dreieck, dessen drei Winkel spitz sind. 

In der That, sei OAB (Fig. 5) das Haupt-Dreieck. 
Ziehen wir die Gerade COF parallel zu BA\ die drei 
Punktreihen AODj BOE, COF sind paarweise conjugirt. 
Also wird jedes Elementar-Dreieck, das seine Spitze in O hat^ 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 27 

in einem der sechs Winkelräume AOB, BOO, COD, 
DOJE, EOF, FOA enthalten sein (Satz II). Sei Oaß ein 
solches Dyeieck; die Punktreihe Oy, welche von parallel 
mit aß gezogen ist, mnss, da sie zu Oa und Oß conjugirt ist, 
in demselben Winkelranm AOB enthalten sein (Satz II). 
Wenn das Dreieck Oaß drei spitze Winkel hätte, so müsste 
der Winkelraum, welcher durch die drei Geraden Oa, Oß 
und Oy eingeschlossen wird, gleich 90 Grad oder mehr sein. 
Das ist aber im gegenwärtigen Fall unmöglich, weil, wie wir 
eben bewiesen haben, der Winkel ctOy nothwendigerweise 
kleiner als der spitze oder rechte Winkel AOB ist. 

[24] Um also ein spitzwinkliges Dreieck zu erhalten, 
muss man Oa mit OA und Oß mit OB zusammenfallen 
lassen, und man findet so das Haupt-Dreieck wieder. 

Anmerkung. — Die sechs Dreiecke, welche das Sechs- 
eck ABCDEF bilden, sind alle inhaltlich und deckbar 
gleich, sie bilden also nur eine einzige Lösung. Man wird 
bemerken, dass diese Dreiecke von zwei Arten sind: die 
Einen, nämlich OAB, DOC, EFO, drehen ihren klein- 
sten Parameter nach unten, und können durch eine einfache 
Translation, ohne Drehung zur Deckung gebracht werden; 
die drei anderen stehen in umgekehrter Lage, und man kann 
sie mit den ersten nur durch eine Drehung von ISO®, um 
eine auf der Ebene Senkrechte, zur Deckung bringen. 

Zum Beispiel wird DOC sich mit DOE durch eine 
halbe Umdrehung in seiner Ebene, um die Mitte O' der den 
beiden Dreiecken gemeinsamen Basis OD, zur Deckung 
bringen lassen. Eine halbe Umdrehung um würde DOC 
mit AOF zur Deckung bringen. 

Corollarsatz. — Da das Haupt-Dreieck keinen ein- 
zigen Winkel hat, der grösser ist als 90®, so schliesst man 
daraus : 

1. Dass sein kleinster Winkel zwischen Null und 60®, 
inclusive, enthalten ist; 

2. Dass sein mittlerer Winkel zwischen 45 und 90®, in- 
clusive, enthalten ist; 

3. Dass sein grösster Winkel zwischen 60 und 90®, in- 
clusive, enthalten ist. 

Satz VII. — Das Haupt-Dreieck gehört dem brei- 
testen Streifen an. 

Aus der Gleichung (25) folgert man nämlich 



28 A. Bravais. 



^=3- 



Da nun o) für das ganze Netz constant ist, so erreicht ^ 
sein Maximum, wenn der Parameter seinen Minimalwerth an- 
nimmt. Wenn man also den Minimal-Parameter zur Basis des 
Haupt-Dreiecks nimmt, und eine Parallele zu der Basis durch 
die Spitze dieses Dreiecks legt, so wird der zwischen diesen 
Parallelen eingeschlossene, das Haupt-Dreieck enthaltende 
Streifen der breiteste des ganzen Netzes sein. 

Anmerkung. — Dieser Maximalwerth von z/ kann 
nicht geringer sein als a V | ? [25] wenn man mit a den Mi- 
nimal-Parameter des Netzes bezeichnet. Man construire näm- 
lich um (Fig. 4) als Mittelpunkt den Viertelkreis ANPj 
und um A als Mittelpunkt den Viertelkreis ONM, Die Spitze 
B des Haupt-Dreiecks wird in dem nicht allseitig begrenzten 
Raum pPNMm liegen. Die Höhe J dieses Dreiecks wird 
die kleinstmögliche sein, wenn B mit N zusammenfällt. 
Wenn man also die Maximalbreite der Streifen des Netzes 
mit J^ bezeichnet, so hat man 

z/q > oder = aV\. 

Satz Vni. — Das Haupt-Dreieck enthält die drei 
kleinsten Parameter des ganzen Netzes. 

Seien OA (Fig. 5) der Minimal-Parameter und OB die 
kleinste der beiden andern Seiten des Haupt-Dreiecks; 
seien OAB und OBG die beiden über OB construirten 
Haupt-Dreiecke. Die zm OA normale Linie Oi wird zwischen 
den Gitterpunkten B und C durchgehen. Für irgend einen 
der verlängerten Punktreihe BC angehörigen Gitterpunkt a 
wird man augenscheinlich bekommen 

ia > iB , ia ^ iC\ 

also 

Oa > OB ^ Oa > OC, wofür auch AB stehen kann. 

Wenn der Punkt a der s^n B angrenzenden Punktreihe 
angehörte, derselben welche die Normale Ou in der Ent- 
fernung Oi' = 2 0{ schneidet, so hätte man 

Oa> Ot; 
nun hat man femer 

Oi' = 2 Oi = 2 AB X sin OAB. 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 29 

Und schliesslich noch , dem Corollarsatz zum Lehrsatz VI 
entsprechend, weil GAB der mittlere Winkel ist: 

OAB > oder = 45", 2 sin O^J? > oder = V2 ; 



Oa>ABV2. 

So wird also in allen Fällen der Parameter Oa den Para- 
meter A B übertreflfen, der, der Voraussetzung nach, die grösste 
Seite des Haupt-Dreiecks ist. 

Anmerkung. — Ausnahmsweise kann natürlich 

OB = OA, und selbst 0C= OB = OA 

sein. [26] Man kann auch ausnahmsweise Oa =^ OC haben, 
aber nur in dem Falle, wo das Dreieck BOA in O recht- 
winklig wäre. 

Corollarsatz. — Das Haupt-Dreieck ist unter allen 
Elementar-Dreiecken des Netzes das Dreieck von kleinstem 
Umfang. 

Satz IX. — Wenn irgend ein Punkt im Innern 
eines Haupt-Dreiecks genommen wird, so wird eine 
der drei Ecken dieses Dreiecks diesem Punkt immer 
näher liegen als jeder andere Gitterpunkt des Netzes. 

Man würde diesen Satz beweisen, indem man über OA, 
OB und BA (Fig. 5) als Durchmessern Halbkreise ausser- 
halb des Dreiecks BOA construirte und beachtete, dass 
diese drei Halbkreise keinen einzigen Gitterpunkt enthalten 
können. 



§ III. — Von den symmetrischen Netzen. 

Definitionen. — Jede Gerade, welche ein Netz in 
zwei symmetrische Hälften theilt, das heisst solche Hälften, von 
denen jede durch eine halbe Umdrehung um die Gerade, Gitter- 
punkt auf Gitterpunkt, mit der anderen zur Deckung gebracht 
werden kann, soll Symmetrie-Axe des Netzes heissen. Die 
Gitterpunkte, welche so zur Deckung gebracht werden, sollen 
homolog in Bezug auf die Symmetrie-Axe heissen. Wir 
werden bald sehen, dass diese Axen immer als Panktreihen 
angesehen werden können. Das Netz, welches eine oder 
mehrere Symmetrie-Axen besitzt, soll symmetrisches Netz 
heissen, und im entgegengesetzten Fall asymmetrisches. 



BO A. Bravais. 

Wenn das Netz mehrere Symmetrie-Axen besitzt, so 
können diese Axen gleichartig oder ungleichartig sein* 

Zwei Symmetrie- Axen sollen gleichartig genannt werden, 
wenn die Anordnung des Netzes um jede von ihnen die 
gleiche ist, was als erste Bedingung verlangt, dass sie den- 
selben Parameter haben. Wenn man dann in Gedanken die 
Gitterpunkte des Netzes mit jeder dieser Axen verbindet, 
zum Beispiel vermittelst auf diese Axen gefällter Senkrechten, 
so dass man zwei gleiche Netze bildet, deren Oitterpunkte 
sich decken, und wenn eins dieser Systeme als beweglich 
angenommen wird, so müssen, damit diese Axen von derselben 
Art sind, durch geeignete Bewegungen des beweglichen Netzes 
gleichzeitig die bewegliche Axe mit der festen und die be- 
weglichen mit den festen Gitterpunkten zur Deckung gebracht 
werden können. 

Zwei Symmetrie-Axen sind von verschiedener Art, wenn 
die Anordnung des Netzes um beide von ihnen nicht dieselbe ist 

[27] Satz X. — Jeder Symmetrie-Axe, welche 
keinen Gitterpunkt des Netzes enthält, entsprechen 
andere ihrparallele Axen, welche durch Gitterpunkte 
gehen; das Haupt-Dreieck ist alsdann rechtwinklig. 

Sei GH eine solche Symmetrie-Axe (Fig. 6); seien A 
ein Gitterpunkt und A^ der zu A homologe Gitterpunkt 
auf einer zu GH normalen Linie. Man verbinde A^ Ä^ und 
wähle auf der Punktreihe AA die beiden der Axe GH am 
nächsten liegenden Gitterpunkte, den einen auf einer Seite, 
den andern auf der andern. Nehmen wir an, dass die Gitter- 
punkte AA' dieser Bedingung genügen, und ziehen wir ^£ 
und A'B^ parallel mit GH. 

Sei jetzt BB die an die Punktreihe AA angrenzende 
Punktreihe; ihr Parameter wird nothwendigerweise gleich 
AA^ sein, ihre Durchschnittspunkte mit den Geraden AB 
und A' B' werden Gitterpunkte des Netzes sein; denn wenn 
ein Gitterpunkt zwischen B und B' fiele, so würde er in 
einer Entfernung von seinem homologen sein, die kleiner wäre 
als der Parameter AA\ was nicht möglich ist. Also werden 
AB und A' B' Punktreihen vom Parameter AB=^AB* 
und conjngirt zu AA\ BB' sein. Diese Punktreihen sind 
augenscheinlich Symmetrie-Axen. Das Haupt-Dreieck ist als- 
dann A ABy oder A'B'B; es ist rechtwinklig. 

CoroUarsatz. — Man kann die Axe GH durch die 
ihr parallelen Symmetrie-Axen AB und AB' ersetzen, oder 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 31 

durch irgend eine zu AB parallele Panktreihe, die, wie er- 
sichtlich, auch eine Symmetrie-*Axe sein wird. 

Man sagt dann, dass das Netz eine zu AB parallele 
3ymmetrie-Axe besitzt. Man muss darunter verstehen, 
dass alle zn AB parallelen Punktreihen solche Axen sind. 

Nachdem ein System von parallelen Symmetrie-Axen 
gefunden ist, welche durch Gitterpunkte gehen, kann man 
sich fragen, ob es nicht Axen gäbe, die mit den vorigen 
parallel wären und keinen Oitterpunkt enthielten. Ich be^ 
zeichne diese letzteren mit dem Namen Zwischenaxen; aber 
da diese Axen, wenn sie vorhanden sind, keinen neuen Be* 
gri£f in das Studium der Netze bringen, werde ich sie nicht 
beachten, und werde künftig annehmen, dass jede Symmetrie- 
Axe durch einen Gitterpunkt gehe. 

Satz XI. — Jede Symmetrie-Axe, welche durch 
einen Gitterpunkt geht, ist eine der Punktreihen 
des Netzes. 

Sei GOH (Flg. 7) die durch den Gitterpunkt O gehende 
Axe, und sei A ein anderer Gitterpunkt ausserhalb der Axc. 
Der Punkt A hat seinen homologen in A'j zufolge der [28] 
Symmetrie, welche die Axe GOH besitzt; aber andererseits 
hat, vermöge der allgemeinen Symmetrie jedes Netzes, A' 
einen correspondirenden Gitterpunkt A" auf der anderen Seite 
von in Bezug auf A\ Also ist die Gerade AA" eine 
Punktreihe; aber sie ist parallel mit GOH] folglich ist GOH 
auch eine Punktreihe des Netzes. 

Satz XII. — Jeder Symmetrie-Axe entspricht 
eine zweite Symmetrie-Axe, die senkrecht zu ihr 
steht und sie in einem Gitterpunkt schneidet. 

Wenn man die Gerade 10 K (Fig. 7) zieht, welche durch 
den Gitterpunkt geht und normal zu GOH ist, so wird 
sie Mittelsenkrechte von AA" sein; also entspricht jedem 
Gitterpunkt A ein anderer Gitterpunkt A", der sein homologer 
in Bezug SkuflOK ist; folglich ist /OjfiTauch eine Symmetrie- 
Axe des Netzes. 

Satz XIII. — Jeder Symmetrie-Axe entspricht 
eine unendliche Anzahl anderer Symmetrie-Axen, 
die ihr parallel sind und durch alle Gitterpunkte des 
Netzes gehen. 

Dies ist ein Resultat der allgemeinen Gesetze der regel- 
mässigen Vertheilung der Gitterpunkte in irgend einem Netze. 



32 *A. Bravais. 

Die Symmetrie eines Netzes nach einer bestimmten 
Richtung ist niemals durch eine einzige Aze charakterisirt, 
sondern durch ein System von parallelen Axen, welche ein 
completes System von unter sich parallelen Pnnktreihen bilden, 
die alle Gitterpunkte des Netzes umfassen. 

Satz XIV. — Jedes Netz, welches eine Symmetrie- 
Axe besitzt, hat als Haupt^Dreieck ein recht-* 
winkliges Dreieck oder ein gleichschenkliges 
Dreieck. 

Sei nämlich OMm (Fig. 8) die durch zwei benachbarte 
Gitterpunkte O und M gehende Symmetrie- Axe; sei O'M' 
die Gerade, auf der die an OM angrenzende Pnnktreihe 
gelegen ist. Die zwischen den Senkrechten 0' und MM' 
befindliche Strecke O'M' muss einen der Gitterpunkte des 
Netzes enthalten. 

Sei also N dieser Gitterpunkt, der seinen homologen in 
N' hat. Wenn man 

M'N"= aN^ a'N' 

macht, so wird die Strecke MN" gleich und parallel ON' 
sein, also wird N" einer der Gitterpunkte des Netzes sein 
(Satz I). Nun kann es aber keine zwei verschiedene Gitter- 
punkte N und N" zwischen 0' und M' geben. Es muss 
also einer von den beiden folgenden Fallen vorliegen: ent- 
weder erstens muss NN" = O' Jf ' sein, in welchem Falle iV^ 
auf 0' und N" auf M' fällt, [29] oder zweitens muss NN"= 
sein. In dem ersten Falle wird das Haupt-Dreieck O' OM 
oder OMM' sein, das heisst rechtwinklig. In dem zweiten 
Falle föllt N mit der Mitte P von GM' zusammen; das 
Dreieck OPM ist gleichschenklig und ist überdies, wenn 
POM'^ Ab Grad ist, das Haupt-Dreieck des Netzes; wenn 
aber POM<CAb Grad, so wird das Dreieck POP', wobei 
P' der homologe Gitterpunkt des Gitterpunktes P ist, das 
Haupt -Dreieck sein (Satz VI); es wird ebenfalls gleich- 
schenklig sein. 

Corollarsatz I. — Jedes Netz, dessen Haupt-Dreieck 
ungleichseitig ist, ist asymmetrisch. 

Corollarsatz II. — Jedes symmetrische Netz hat als 
Grund-Parallelogramm ein Rechteck oder einen Rhombus: das 
Rechteck OO'M^M (Fig. 8), wenn das Haupt-Dreieck 00' Jf 
ist; den Rhombus OPMP', wenn das Haupt-Dreieck OPP 
oder OPM ist 



IJet»er die Systeme von regelmässig verthelt en Punkten. 33 

Satz XV. — Umgekehrt besitzt dasNetz, wenn das 
Haupt-Dreieck rechtwinklig ist, zwei Symmetrie- 
Axen, die parallel mit den kleineren Seiten des 
Dreiecks sind, und wenn das Haupt-Dreieck gleich- 
schenklig ist, besitzt das Netz zwei gymmetrie-Axen, 
die eine parallel und die andere senkrecht zu der 
Basis. 

Das Netz mit rechtwinkliger Masche hat die Seiten des 
Rechtecks zu Axen; es giebt in diesem Falle Zwischenaxen 
der Symmetrie, die mit den vorigen parallel sind und durch 
die Mittelpunkte der Grund -Rechtecke gehen. Das Netz 
mit rhombischer Masche hat die Diagonalen des Rhombus 
zu Axen. 

Definition. — Ein Netz centriren , oder die Maschen 
eines Netzes centriren heisst, neue Gitterpunkte in dem 
Mittelpunkte von jedem der Grund-Parallelogramme hinzufügen. 

Satz XVI. — Wenn man alle Rechtecke eines 
Netzes mit rechtwinkligen Maschen centrirt, so bildet 
man ein Netz mit rhombischen Maschen; wenn man 
alle Rhomben eines Netzes mit rhombischen Maschen 
centrirt, so wird das Netz rechtwinklig. 

Dieser Satz ist evident, es ist wichtig zu bemerken, dass 
diese Veränderungen die Symmetrie-Axen des Systems nicht 
ändern. 

Satz XVU. — In dem Netz mit centrirten Rhomben 
und in dem Netz mit nicht centrirten Rhomben 
kommen dieselben Systeme von Punktreihen vor. 
[30] Dasselbe ist der Fall bei den Netzen mit recht- 
winkligen centrirten oder nicht centrirten Maschen. 

Sei abc . . ,y ABC , . . (Fig. 9) ein rhombisches Netz 
mit der Masche AaBa\ und betrachten wir das System der 
Punktreihen, welche parallel einer der Diagonalen des Rhombus, 
z. B. AB, liegen. Wenn man diese Diagonale zur Axe der 
X nimmt , so wird irgend eine der zu dieser Axe parallelen 
Punktreihen durch die Zahlengleichung 

y = n 

charakterisirt sein, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. 

Das rhombische Netz verwandelt sich in das rechtwinklige 
Netz mit der Masche ABA' B', wenn man alle durch die 
Gleichung 

Ostwald^s Klassiker. 90. 3 



34 A. Bravais. ^ 

dargestellten Punktreihen wegnimmt, wobei/ irgend eine ganze 
Zahl ist. Diese Verminderung lässt alle Gitterpunkte mit 
ungeraden Zahlen-Ordinaten verschwinden. 

Die Pnnktreihe, welche zwei Gitterpunkte mit den gerad- 
zahligen Ordinaten 2/ und 1j verbindet, kommt augenschein- 
lich sowohl in dem ursprünglichen Netz vor als in dem ge- 
hälfteten. Wenn man einen Gitterpunkt mit der geradzahligen 
Ordinate 2/ mit einem Gitterpunkt von der Ordinate 1j -(- 1 
verbindet, so wird die so erhaltene Pnnktreihe, wenn sie jen- 
seits dieses letzten Gitterpunktes um eine Strecke gleich dem 
Abstand der beiden gegebenen Gitterpunkte verlängert wird, 
in einem dritten Gitterpunkte enden, der eine Ordinate gleich 
\f-\-^ — 2y, also eine geradzahlige Ordinate besitzt. Diese 
Punktreihe wird also dem gehälfteten Netze angehören, aber 
ihr Parameter wird darin zwei Mal grösser sein als in dem 
ursprünglichen Netze. 

Wenn man endlich die beiden Gitterpunkte mit ungeraden 
Ordinaten 2/ + 1 und 1f -h 1 verbindet, so giebt es zwar die 
auf diese Weise erhaltene Punktreihe nicht in dem gehälfteten 
Netze; aber wenn man eine ihr Parallele durch den Gitter- 
punkt zieht, der als Anfangspunkt dient, so wird das äussere 
Ende des Parameters auf einen Punkt fallen, der als Ordinate 
± (2/' — 2y) hat, und der den Punktreihen des gehälfteten 
Netzes angehört. 

Die Halbirung des Netzes hat also kein einziges System 
der Punktreihen verschwinden lassen. 

Man kann ebenso beweisen, dass, wenn man in dem 
Netze mit rechteckiger Masche a AV A' (Fig. 10), alle Punkt- 
reihen von ungerader Ordnung wie ö Je, [31] d b' c* d\ ... in 
dem System der zu den Diagonalen a' b\ AB parallelen Punkt- 
reihen unterdrückte, das Netz mit rhombischer Masche ABÄ B\ 
welches aus dieser Weglassnng entsteht, die gleichen Systeme 
von Punktreihen zeigen wird wie das ursprüngliche Netz, 
abgesehen von den nothwendigen Aenderungen in den Para- 
metern dieser Punktreihen oder in den Zwischenräumen, 
welche sie trennen. 

Satz XVIII. — Wenn das Haupt-Dreieck eines 
Netzes zu gleicher Zeit rechtwinklig und gleich- 
schenklig ist, so wird das Netz vier Systeme von 
Axen haben: zwei Systeme, die unter sich recht- 
winklig und von derselben Art sind, werden die 
Seiten des Grund-Quadrats als Parameter haben; 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 35 

zwei andere Systeme, von einer anderen Art als die 
vorigen, werden gleichfalls rechtwinklig unter 
einander sein, sie werden die Diagonalen des Grnnd- 
Quadrats als Parameter haben und die vorigen Axen 
unter Winkeln von 45 Grad schneiden. 

Dieses ist eine evidente Folgerung aus dem Satze XV. 

SatzXIX. — Wenn das Haupt-Dreieck eines Netzes 
gleichseitig ist, so wird das Netz sechs Systeme von 
Axen besitzen: drei Systeme einer ersten Art werden 
wie die Seiten des Haupt-Dreiecks gerichtet sein; 
drei andere unter sich gleiche Systeme, aber von 
einer anderen Art als die vorigen, werden senk- 
recht auf den Seiten des Haupt-Dreiecks sein. 

Dieses ist wieder eine Folge des Satzes XV. Die Figur 
11 stellt die Vertheilung der Axen vor; die ausgezogenen 
Linien entsprechen den Axen der ersten Art, die punktirten 
Linien denen der zweiten. 

Eintheilung der symmetrischen Netze. 

Aus dem Gesichtspunkt ihrer Symmetrie kann man vier 
verschiedene Classen von Netzen unterscheiden: 

Erste Classe. — Netze mit sechs Symmetrie-Axen, 
drei von einer Art und drei von einer anderen Art. Diese 
Classe zeigt nur eine einzige Art; das Netz mit dreieckiger 
gleichseitiger Masche, welches als Grund-Parallelogramm einen 
Rhombus mit Winkeln von 60 und 120 Grad hat. (Siehe 
Satz XIX). 

Zweite Classe. — Netze mit vier Symmetrie-Axen, zwei 
von einer Art, zwei von einer anderen Art. Diese Classe 
zeigt nur eine einzige Art; das Netz mit quadratischen 
Maschen. (Siehe Satz XVHI). 

Dritte Classe. — Netze mit zwei Symmetrie-Axen. 
Diese Classe zeigt zwei verschiedene Arten: das Netz mit 
rhombischer Masche oder centrirtem Rechteck; das [32] Netz 
mit rechtwinkliger Masche oder centrirtem Rhombus (Sätze 
XV und XVI). Die beiden Axen sind unter sich rechtwinklig 
und von verschiedener Art. 

Vierte Classe. — Asymmetrische Netze, die Masche 
ist ein Parallelogramm mit ungleichen Seiten, dessen Winkel 
von 90 Grad verschieden sind. 

3* 



36 A. Bravais. 



Von den gleichartigen Funktreihen in den symmetriBchen 

Netzen. 

Definition. — Wir wollen wie auf Seite 30 voraus- 
setzen, dass in dem gegebenen Netze zwei gleiche Netze 
existiren, die, Gitterpunkt auf Gitterpunkt, übereinandergelegt 
sind, so dass sie nur ein einziges Netz vorstellen. Das eine 
der beiden Netze soll als unbeweglich angenommen werden, 
aber das andere soll sich als Ganzes bewegen können, sei 
es durch Translation oder durch Drehung. 

Nachdem dies festgestellt, sollen, wenn vor irgend einer 
Verschiebung eine gegebene Punktreihe des beweglichen 
Netzes mit der feststehenden Puuktreihe ahc .,, zusammenfällt 
und man durch passende Bewegungen des beweglichen Netzes 
diese Punktreihe mit der festen Pnnktreihe ABC . , . zur 
Deckung bringen kann, während gleichzeitig die beiden Netze 
Gitterpunkt auf Gitterpunkt zusammenfallen, die beiden Punkt- 
reihen abc . . . und ABC , . . gleichartig heissen. 

Satz XX. — Zwei parallele Punktreihen können 
immer als gleichartig betrachtet werden. 

Denn wenn man dem beweglichen Netze eine passende 
Bewegung der Translation, ohne Drehung, giebt, so wird man 
das gewünschte Zusammenfallen immer herbeiführen können. 

Satz XXI. — Zwei Punktreihen sind gleichartig, 
wenn sie denselben Parameter haben, und wenn man 
über diesen Parametern als Basis zwei, unter ein- 
ander gleiche, Elementar-Dreiecke construiren 
kann. 

Durch eine einfache Translation kann man stets einen 
Gitterpunkt der beweglichen Punktreihe mit einem Gitterpunkt 
der festen Punktreihe zusammenfallen lassen. Sei also O 
(Fig. 12) der gemeinsame Punkt; sei OA die bewegliche 
Punktreihe, über deren Parameter OA man das Elementar- 
Dreieck OAa cönstruirt hat. Sei OA' die feste Punktreihe, 
über deren Parameter OA' man das Elementar-Dreieck OAci 
cönstruirt hat. Man hat als Voraussetzung 0A= 0A\ Es 
ist erlaubt anzunehmen, dass man Oa = Oa! hat, denn wenn 
man Oa' = aA hätte, so würde eines dfer Elementar-Drei- 
ecke auf der entgegengesetzten Seite des Parameters, der ihm 
zur Basis dient, coustruirt werden können, und die Beziehung 
Oa = Oa' wäre dann erfüllt. 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 37 

[33] Wenn wir jetzt das bewegliche Netz um einen 
Winkel gleich AOA' um eine durch gehende und zur 
Ebene des Netzes normale Rotations- Axe drehen, so werden 
die beiden Elementar-Dreiecke zusammenfallen, und die Deck- 
ung der beiden Netze wird eine vollständige sein. 

In dem Falle, wo die beiden Elementar-Dreiecke invers 
gelegen wären, wie es OaA und Oa'" A*" sind, könnte man 
die Deckung nicht durch Drehung um die Normale der 
Ebene erreichen; aber dann würde man dazu gelangen, indem 
man das bewegliche Netz um 180° um die Gerade OO'j 
die den Winkel AOA'" haibirt, sich drehen lässt. Folglich 
sind auch in diesem Falle die beiden Punktreihen von der- 
selben Art. 

Anmerkung. — Die Halbirende des durch zwei Punkt- 
reihen mit gleichen aber invers gelegenen Elementar-Drei- 
ecken gebildeten Winkels ist eine 8ymmetrie-Axe des Netzes. 

Definition. — Die Punktreihen OA und OA' (Fig. 12), 
deren Elementar-Dreiecke durch Drehung um die durch O 
gehende Normale zur Deckung gebracht werden können, 
sollen direct ähnlich heissen. Die Punktreihen OA und 
OA"'j deren Elementar-Dreiecke invers sind, sollen invers 
ähnlich genannt werden. 

Wenn die beiden Elementar-Dreiecke, welche über den 
Parametern als Basis construirt sind, gleichschenklig sind, 
so sind die Punktreihen gleichzeitig direct ähnlich und in- 
vers ähnlich. 

Satz XiU, — Zwei, in Bezug auf eine der Sym- 
metrie-Axen des Netzes homologe Punktreihen 
sind gleichartig und invers ähnlich. 

Die inverse Ähnlichkeit ist hier das Resultat der Sym- 
metrie. 

Satz XXIII. — Wenn zwei oder mehrere gleich- 
artige und direot ähnlichePunktreihen vorhanden 
sind, die von demselben Punkte ausgehen, so theilt 
das vollständige System dieser Punktreihen den 
diesen Oitterpunkt umgebenden Raum in gleiche 
Theile. 

Unter den Punktreihen, welche 0-4 (Fig. 12) direct ähn- 
lich sind, können wir diejenige herausgreifen, die mit OA 
den kleinsten Winkel einschliesst. Sei OA' diese Punktreihe. 
Lassen wir das bewegliche Netz sich um die durch O gehende 
Normale drehen, bis die bewegliche Punktreihe OA mit der 



3S A. Bravais. 

festen Punktreihe OA' zusammenfällt. Bei dieser Bewegung 
wird die bewegliche Punktreihe OA! nach OA" kommen, 
welches [34] eine der Pnnktreihen des festen Netzes sein 
muss, und man findet so 

A'OA'' = AOÄ. 

Eine Drehung um denselben Winkel, und in demselben Sinne 
wie vorher, wird die bewegliche Punktreihe OA nach O A!' 
bringen, und wenn man so fortfährt, wird OA schliesslich 
auf Oa^ die Verlängerung von OA fallen, nach einer ge- 
sammten Drehung von 180 Grad. Alle die auf diese Weise 
erhaltenen Pnnktreihen OA^ OA', OA", , . . werden direet 
ähnlich sein, und wenn man die Gesammtzahl dieser Pnnkt- 
reihen mit q bezeichnet, hat man 

AOA'^'^. 
9 

Satz XXIV. — Die Gesammtzahl der gleicharti- 
gen und direet ähnlichen Punktreihen in einem Netze 
kann nicht grösser als drei sein. 

Sei q die Gesammtzahl der direet ähnlichen Pnnktreihen ; 

sei O (Fig. 13] ihr gemeinsamer Gitterpunkt, und OM der 

kleinste Parameter des Netzes. Man drehe OM um O um 

180® 
einen Winkel gleich : man weiss aus dem vorigen Satz, 

dass bei dieser Bewegung das bewegliche Netz mit dem fest- 
stehenden wieder zusammenfällt. 

180° 
Sei also MOM' == ; JJf wird einer der Gitter- 

9 ' 
punkte des Netzes sein. Man beschreibe einen Kreis mit dem 

Mittelpunkt O und dem Radius OM, und mache Bogen M" M' 
= Bogen M'M, Bogen M"'M" = M" M u. s. w. Die 
Punkte Jf, M* und M" werden alle dem Netze angehören, 
und die Sehnen MM' und M' M" werden die Seiten eines 
regelmässigen, eingeschriebenen Polygons sein, dessen Seiten- 
zahl gleich 2q ist. 

Dieses Polygon kann nur ein Quadrat oder ein Sechs- 
eck sein. Construiren wir nämlich die Raute MM' M"m, 
so wird augenscheinlich Winkel M' 3/m = Winkel M' OM 
sein; also werden die Dreiecke M'OM \m^ M' Mm gleich- 
schenklig und ähnlich sein, und man hat 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 39 



Mm = 



GM . 



Wenn folglich M' M<C 03/ ist, wird a fortiori M' m <i OM, 
und da m ein Gitterpunkt des Netzes ist, wäre OM nicht 
mehr der kleinste Parameter. Nun ist aber bei jedem regel- 
mässigen eingeschriebenen Polygon mit höherer Seitenzahl 
als sechs die Seite kleiner [35] als der Radius. Also muss 
das Polygon MM' M"' ... ein Quadrat oder ein Sechseck 
sein, und die Zahl q wird gleich 2 oder 3 sein. Wenn 
^ = 2 ist , so besitzt das Netz eine quadratische Masche ; wenn 
^ = 3 ist, besitzt das Netz eine dreieckige, gleichseitige Masche. 

Corollarsatz. — Der Winkel, welcher von zwei direct 
ähnlichen Pnnktreihen gebildet wird, kann nur gleich 60 oder 
90 Grad sein. 

Satz XXV. — Gleichartige und direct ähnliche 
Punktreihen könnennur inNetzen mit quadratischer 
oder dreieckig gleichseitiger Masche vorkommen. 

Dieser Satz ist eine Folgerung aus dem vorhergehenden 
Corollarsatz. Die beiden folgenden, welche keines Beweises 
mehr bedürfen, sind die Umkehrungen dieser Sätze. 

Satz XXVI. — In jedem Netz mit quadratischer 
Masche, welches in seiner Ebene um einen seiner 
Gitterpunkte gedreht wird, wird der Ort der Gitter- 
punkte nach jeder viertel Umdrehung wieder derselbe, 
und jedem Punktreihen-System entspricht ein an- 
deres System gleichartiger direct ähnlicher Punkt- 
reihen, welches senkrecht zu ihm steht. 

Satz XXVII. — In jedem Netz mit dreieckig gleich- 
seitiger Masche, welches sich um einen seiner 
Gitterpunkte dreht, wird der Ort der Gitterpunkte 
derselbe nach jedem Sechstel der Umdrehung, 
und jedem Punktreihen-System entsprechen zwei 
andere Systeme von gleichartigen und direct ähn- 
lichen Punktreihen, welche eine Neigung von 60 
Grad zu dem gegebenen Systeme haben. 

Definitionen. — Wenn ein Netz bei einer Drehung um 
eine Normale zu seiner Ebene die Stellung seiner Gitter- 
punkte bei jedem Viertel der Umdrehung wiedererhält, so 
soll diese Gerade eine quaternäre Symmetrie-Axe des 
Netzes genannt werden. Wenn der Ort der Gitterpunkte 
nach jedem Sechstel der Umdrehung derselbe wird, so ist 



40 A. Bravais. 

die Drehungs-Axe eine senäre 8ymmetrie-Axe. Wenn 
solche Axen vorhanden sind, so bilden sie ein System von 
parallelen, durch jeden Gitterpnnkt gehenden Geraden. 

Die qnaternäre Symmetrie charakterisirt das Netz mit 
quadratischer Masche, die senäre Symmetrie das Netz mit 
dreieckig gleichseitiger Masche. 

Die Figuren 14, 15 und 16 zeigen die Art der Anord- 
nung der gleichartigen Punktreihen, seien sie direct oder in- 
vers ähnlich, um einen und denselben Gitterpunkt O für 
diese verschiedenen Classen von Netzen. Die ausgezogenen 
Linien sind Symmetrie-Axen, die Striche von ungleicher Länge 
bezeichnen die Axen von verschiedenen Arten, die punktirten 
Linien sind die Punktreihen, deren Art [36] dieselbe ist als 
diejenige einer Pnnktreihe von gegebenem Parameter. Die 
Figur 14 bezieht sich auf die Netze der ersten Classe mit 
dreieckig gleichseitiger Masche; die Figur 15 auf die Netze 
der zweiten Classe, oder mit quadratischer Masche, die Figur 
16 auf die Netze der dritten Classe, mit rhombischer oder 
rechteckiger Masche. 

SatzXXVIIL — In einem asymmetrischen Netze 
kann es keine gleichartigen Punktreihen von ver- 
schiedener Richtung geben. 

Das ist klar für die invers ähnlichen Punktreihen (man 
sehe den CoroUarsatz zum Satz XXI). Für die direct ähn- 
lichen Punktreihen ist es nicht weniger klar, in Folge des 
Satzes XXV. 

Satz XXIX. — Zwei gleichartige Symmetrie- 
Axen sind gleichartige Punktreihen für das Netz. 

Diese Axen sind Punktreihen des Netzes (Sätze X und 
XI), und da, wenn zwei solche Axen zur Deckung gebracht 
werden, auch das feste mit dem beweglichen Netze zur Deckung 
kommt, sind diese Pnnktreihen von derselben Art. (Defini- 
tion S. 36). 

Definition. — Man kann als Winkel derselben Art 
in einem Netze solche definiren, die gleich und zwischen zwei 
paarweise gleichartigen Punktreihen gelegen sind. 

§ IV. — Von den Sohaaren im Allgemeinen. 

Wir wollen die Schaar der Figur 1 betrachten, deren 
Gitterpunkt O zum Anfangspunkt der Coordinaten genommen 
ist, und welche vermittelst der drei Punktreihen OAA'J!\,,^ 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 41 

OBB'B\ . ., ODD'D", . . oonstruirt ist. Wir werden die 
Parameter dieser Punktreihen mit a, h und e;? bezeichnen, nämlich 

(28) OA = a, OB=:by OD = d\ 

§ , ri und ^ sollen die linearen Coordinaten der auf die schief- 
winkligen Axen OA^ OB und OD bezogenen Punkte im 
Räume sein; m^ n und p sollen die Zahlen -Coordinaten 
der bestimmten Gitterpunkte vorstellen; Xy y und z die be- 
weglichen Zahlen-Coordinaten, welche unbestimmten Gitter- 
punkten angehören, so dass man, je nach dem Fall, hat 

(29) i = m, 1=., l=p, 

[37] Man wird bemerken, dass die ganze Schaar als eine 
Fläche mit getrennten und geschlossenen Schalen betrachtet 
werden kann, deren jede in einem Gitterpunkt der Schaar 
zum Verschwinden kommt. 

Die Gleichung dieser Fläche lässt sich in der Form 
schreiben 

sin* - TT + sin* t- tt + sin* ^ tt = . 
aha 

Aufgabe XIV. — Die Gleichung einer Punkt- 
reihe zu finden, welche durch den Anfangspunkt 
und durch einen gegebenen Gitterpunkt T (Fig. 20) 
geht. 

Seien m , n und p die Zahlen-Coordinaten von T\ dann 
wird die Gleichung von OT in laufenden linearen Coordi- 
naten sein 

ma nb pd^ 
in Zahlen-Coordinaten wird man haben 

(31) ■ . 



£ = ^ = i 



m n p 

Wenn m, n und p einen gi'össten gemeinsamen Theiler D 

yr , yr , yr j der Punktrcihc 



42 A. Bravais. 

OT angehören, und wäre unter allen Gitterpunkten der 
Reihe der dem Gitterpunkt zunächst liegende. Wenn m, 
n und p keinen anderen gemeinschaftlichen Divisor besitzen 
als die Einheit, so ist OT der Parameter der Punktreihe. 

Ich werde künftig annehmen, dass die Gitterpunkte, 
welche wir Gelegenheit haben werden mit dem Anfangspunkt 
durch eine Gerade zu verbinden, dieser Bedingung genügen, 
dass ihre drei Zahlen-Coordinaten keine anderen gemeinschaft- 
lichen Theiler haben als die Einheit. 

Bezeichnung. — Die Punktreihe, welche vom Anfangs- 
punkt nach dem Gitterpunkt (m, w, jö) geht, wobei w, n 
und p keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, soll künf- 
tig durch das Symbol mnp bezeichnet werden. 

Satz XXX. — Seien T und T zwei Gitterpunkte 
einer Schaar (Fig. 20); wenn man durch einen dritten 
Gitterpunkt die Strecke OA gleich und parallel 
mit TT zieht, so wird das äusserste Ende dieser 
Strecke ein vierter Gitterpunkt der Schaar sein. 

Dieser Satz lässt sich beweisen wie der Satz I. 

[38] Aufgabe XV, — Die allgemeine Gleichung 
der mit der Punktreihe OT (Fig. 20), deren Symbol 
mnp ist, parallelen Punktreihen zu finden. 

Seien m , n und p die Coordinaten eines zweiten Gitter- 
punktes, der willkürlich gewählt wurde : die Punktreihe, welche 
durch diesen Gitterpunkt parallel mit OT geführt ist, wird 
als Gleichung in Zahlen-Coordinaten haben 



(32) 



m y — n z — p 



mnp 



Aufgabe XVI. — D en Parameter der Punk treibe 
OTund ihrer Parallelen zu finden (Fig. 20). 

Seien a, ß und ö die Winkel, welche die drei Halbaxen 
der positiven Coordinaten miteinander in der y^j-Ebene, in 
der a:;?- Ebene und in der a:y-Ebene bilden. 

Kommen wir überein, durch Pmnp den Parameter der 
vom Anfangspunkte nach dem Gitterpunkte (m, w, p) gehenden 
Punktreihe OT zu bezeichnen. Man wird nach einer be- 
kannten Formel als Werth des Quadrats dieses Parameters 
haben 

[P'^mnp = m*a* + n^h'^ + p^d^ + "^mnab cos 6 
(33] \ • x- I 

( + mpad c,o^ ß -\- Inpbd Q,Q^ a. 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 43 

Man könnte in dieser Formel a durch P 100, b durch 
POlO und d durch POOl ersetzen. 

Aufgabe XVII. — Die Gleichung der Netzebene 
zu finden, welche durch den Anfangspunkt O und 
die beiden Gitterpunkte T und T (Fig. 20) geht. 

Die Formeln der analytischen Geometrie geben 

^{nbp'd — pdn'b) + ri(pdm' a — map' d) + L{man! b 

— w J w' a) = , 
und nach Division durch abd 

(34) x[np' — pn') +y{pm! — mp') + z{mn' — nm') = 0. 

Sei jetzt D der grösste gemeinsame Theiler der Binome 
np' — pn', pm' — mp' und mvl — nm' , Setzen wir 

/«.. w/>' — pw' pm' — mp' , mv! — nm! . 

(^^) D =^' Z> =^' — ö— =^' 

[39] so erhalten wir 
(36) gx-\-hy '\'kz=^, 

Bezeichnung, Definition. — Wir wollen die sym- 
bolische Bezeichnung [ghlc] annehmen, um die Gesammtheit 
der mit der Fläche OTT' parallelen Netzebenen darzustellen. 
Die ganzen positiven oder negativen Zahlen ^, h und k, 
sollen die Charakteristiken dieses Systems der Netzebenen 
in Beziehung auf die Axen der ar, der y und der z sein. In 
dem Falle wo dieses Symbol [ghk) ein Missverständniss zu- 
liesse, würde man es durch (</, ä, k] ersetzen. Wenn eine der 
drei Charakteristiken, k z. B., das Zeichen — bekäme, würde 
man es über diese Charakteristik setzen, was [ghk] in (ghk) 
verwandeln würde. 

Aus diesem Uebereinkommen folgt, dass das Symbol der 
a:y-Ebene (001) sein wird, dasjenige der a:2:-Ebene (010) und 
dasjenige der y^-Ebene (100). 

Satz XXXI. — Die Spur irgend einer durch den 
AnfangspunktgehendenNetzebene, wie O7'T'(Fig20), 
auf einer der drei Coordinaten-Ebenen ist eine den 
Netzen dieser beiden Ebenen gemeinsam zugehörige 
Punktreihe. 

Die Gleichungen dieser Spur in der Ebene der xy sind 

5J = , gx + hy = , 



44 A. Bravais. 

Der zweiten dieser GleichiiDgexi ist genügt durch x = /t^ 
y = — ff] also ist diese Spur eine Punktreihe. Wenn ff und 
h nicht relative Primzahlen sind, so giebt es andere Gitter- 
punkte zwischen dem Anfangspunkte und dem Punkte x = kj 
y = — ff. Sei im Allgemeinen D der grösste gemeinsame 
Theiler von ff und h; so wird die Spur der Ebene (ffhk) auf 

der Ebene der xy eine Punktreihe mit dem Symbol j-^-yrj sein. 

Gorollarsatzl. — Der Schnitt von zwei beliebigen 
Netzebenen wird eine den Netzen beider Ebenen gemeinsame 
Punktreihe sein, vorausgesetzt dass er einen Gitterpunkt ent- 
hält; denn man kann immer eine der beiden Ebenen als 
Ebene der xy wählen (Aufgabe I) und den gemeinsamen Gitter- 
punkt zum Anfangspunkt. 

CoroUarsatz IL — Wenn dieser Schnitt durch keinen 
Gitterpunkt der Schaar geht, so ist er wenigstens parallel mit 
einem gewissen Punktreihensystem. Um diese Punktreihen zu 
erhalten, führe man durch einen willkürlich gewählten Gitter- 
punkt zwei, zu den gegebenen Ebenen parallele Netzebenen; 
ihr Schnitt wird eine der Punktreihen dieses Systems geben. 

[40] Aufgabe XVIII. — Die allgemeine Gleichung 
der Netzebenen zu finden, welche parallel der 
Ebene OTT' (Fig. 20) sind, und deren Symbol (ffhk) ist. 

Durch den Gitterpunkt (m", ri\ p") wollen wir eine Ebene 
parallel zu OTT legen; ihre Gleichung wird sein 

ffx + hy + kz = fftn" + hri' + kp" 
oder 

(37) ffX + hy + kz=C, 

indem wir das letzte Glied durch C bezeichnen; C ist noth- 
wendiger Weise eine ganze Zahl. Diese Gleichung, welche 
so allgemein als möglich ist, umfasst das ganze System der 
zu OTT' parallelen Netzebenen. 

Aufgabe XIX. — Die Gleichung der an die Ebene 
OTT' (Fig. 20) angrenzenden Netzebenen zu finden. 

Man weiss aus der Theorie der Kettenbrüche, dass, wenn 
^, h und k keinen anderen gemeinsamen Theiler haben als 
die Einheit, es immer möglich sein wird, der Doppel-Gleichung 

(38) ffx -{-hy + kz = ±\ 

durch ganzzahlige Werthe der x^ y, z zu genügen. 

Die beiden durch diese Gleichung gegebenen Netzebenen 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 45 

sind die angrenzenden der Ebene O TT'\ denn für jede andere 
Ebene, deren Gleichung 

^a; + Äy + A;2 = C 

wäre, würden die Schnittpunkte mit den Axen der x^ der y 
und der z in grösseren Entfernungen vom Anfangspunkt liegen 
als für die Ebenen der Gleichung (38). 

Man könnte diesen Satz auch beweisen , ohne auf die 
Theorie der Kettenbrüche zurück zu greifen. 

Aufgabe XX, — Man fragt, welche Anzahl von 
Schichten in einem System von Netzebenen, dessen 
symbolische Bezeichnung [ghK] ist, zwischen dem 
Gitterpunkt mit den Coordinateni^f, N^ und P und dem 
Gitterpunkt mit den Coordinaten M.\ N' und P" ent- 
halten ist. 

Nehmen wir an, dass die Netzebene 

ffx + hy -]- kz= 1 

die Einheit als Ordnungszahl erhalte, dass die folgende Ebene 
die [41] Zahl 2 bekomme, u. s. w. Die Ebene 

ffx + hy,+ kz == C 

soll die Ordnungszahl O haben. 

Seien jetzt O und C die Ordnungszahlen der durch die 
Gitterpunkte [M, N, P) und (M\ iV', P') gehenden Netz- 
ebenen, so wird man haben 

C = gM+hN+kP, C =gM' + hN' + kP\ 

Es wird also die Zahl der zwischen den beiden gegebenen 
Gitterpunkten liegenden Schichten bis aufs Zeichen den Werth 
haben 

g[M— Jf') + h[N— N') + k{P - P'). 

Aufgabe XXI. — Die Bedingung zu finden, unter 
welcher eine durch den Anfangspunkt gehende 
Netzebene mit dem Symbol [ghk) einer Punktreihe 
conjugirt ist, welche vom Anfangspunkt zum Gitter- 
punkt [ni'ri'p") geht. 

Der Gitterpunkt (m", n!\ p*') muss augenscheinlich auf 
einer der beiden an die Ebene 

gx-\-hy -\' kz=^^ 

angrenzenden Netzebenen gelegen sein. 



46 A. Bravais. 

So wird also die gesuchte BedingUDg sein 

(39) gni' + Ä^^" + hf = ± \, 

Wenn die Ebene [gh1i\ die Gitterpunkte (m, w, p) und 
(m'j 7^', j»') enthält, wie das oben (Aufgabe XVII) angenommen 
ist, und wenn man in der Gleichung (39) g^ h und k durch 
ihre aus der Gleichung (35) gezogenen Werthe ersetzt, so 
wird die gesuchte Bedingung 

(40) m"{np'—pn') +n"(pm'—mp') +p"(mn' —nm!) = ±D. 

In dieser Formel ist D der grösste gemeinschaftliche Theiler 
der Binome np' — pn\ pm — mp^ und mv! — nw! , 

Satz XXXII. — Wenn drei von ein und demselben 
Gitterpunkt ausgehende Punktreihen im Raum con- 
jugirt sind, so sind sie paarweise auf ihrer Ver- 
bindungsebene conjugirt. 

Dieser Satz folgt offenbar aus der Definition der con- 
jugirten Punktreihen (Seite 9). 

[42] Das über den Parametern dieser drei Punktreihen 
construirte Parallelepiped ist eins der Grund -Parallelepipede 
der Schaar. Die drei Seiten, welche sieh am Anfangspunkte 
treffe^, bilden drei conjugirte Ebenen, die als angrenzende 
Ebenen die anderen drei Seiten haben. 

Satz XXXIII. — Wenn man das System der drei 
conjugirten Punktreihen OA^ OB und OD (Fig. 17) 
durch das System der drei conjugirten Punktreihen 
OA'^ O^und 0Z>er8etzt, sowirddas Volumen desParal- 
lelepipedes durch diesen Wechsel nicht verändert. 

Die Gerade AA' wird nämlich in einer zu der Ebene 
BOD parallelen Ebene gelegen sein, so werden also die 
Grund-Parallelepipede in den beiden Axen-Systemen dieselbe 
Basis OBB' D haben, und ihre Höhe wird dieselbe sein. 

Satz XXXIV. — Wenn man statt des Systems der 
drei conjugirten Punktreihen OA^ OB und OD 
(Fig. 17) das System OA, OJ?' und OD' setzt, bei dem 
die Punktreihen OB' und OD' einander in der 
Ebene BOD conjugirt sind, so wird das Volumen 
des Grund-Parallelepipeds nach diesem Wechsel 
dasselbe bleiben. 

Denn die parallelogrammatischen Grundflächen dieser 
Parallelepipede in der Ebene OBD haben gleichen Inhalt 
(Satz III); die Höhen sind dieselben; folglich sind die 
Volumen gleich. 



Ueber die Systeme von regelmäsBig vertheilten Punkten. 47 

Satz XXXV. — Das Grund-Parallelepiped einer 
Schaar hat immer dasselbe Volumen, welches auch 
das System der conjugirten Punktreihen sein mag/ 
das ihm zu Grunde liegt. 

Seien Ox^ Oy, Oz (Fig. 18) die drei Parameter, welche 
dazu gedient haben, die Gitterpunkte der Schaar zu construiren; 
sei ii das Volumen des über diesen drei Parametern construirten 
Parallelepipedes; seien OAy OB und OD die drei con- 
jugirten Punktreihen, welche uns gegeben sind, und ii' das 
Volumen des entsprechenden Grund-Parallelepipedes. 

Sei jetzt OA' die Spur der Ebene AOB auf der Ebene 
der xy\ diese Spur ist eine der Punktreihen des Netzes der 
Ebene AOB (Satz XXXI). Sei also OB' eine der ihr con- 
jugirten in derselben Ebene. Man könnte, gemäss dem 
Satz XXXIV, das System der Punktreihen [OA, OB, OD) 
durch das System [OA!, OB', OD) ersetzen, ohne das 
Volumen ß' des Grund-Parallelepipedes zu verändern. 

Sei ebenso OD^ die Punktreihe, welche die Spur der 
Ebene OB' D auf der Ebene der xy bildet, und sei OB' 
eine zu OD' conjugirte Punktreihe auf der Ebene OB' D. 
Man könnte [43] statt des Systems [OA, OB', OD) das 
System [OA', OD', OB') setzen, ohne das Volumen ü.' des 
Grund-Parallelepipedes zu verändern. 

Man kann schliesslich [OA', OD', OB") durch [Ox, 
Oy, OB") ersetzen, weil Ox und Oy zwei in der Ebene 
A' OD', welche mit der Ebene der xy zusammenfällt, liegende 
conjugirte Punktreihen sind. Das Volumen des Grund-Parallel- 
epipedes wird gleich il' bleiben. 

Wenn man dieses letzte Parallelepiped mit dem über Ox, 
Oy, Oz, construirten Parallelepiped vergleicht, so erhält 
man, gemäss dem Satz XXXIII 

ß' = ß. 

Zweiter Beweis. — Wir wollen übereinkommen, die 
Zahl der in der Einheit des Volumens enthaltenen Gitter- 
punkte Dichtigkeit der Schaar zu nennen, wobei die 
Dimensionen dieser Volumen-Einheit, alle drei, unendlich gross 
im Vergleich zu den Parametern der Punktreihen, welche man 
betrachtet, angenommen werden. 

Nachdem dies festgestellt, seien (Fig. 18) 

OA = a', OB = b', OD = d', 



48 A. BravaiB. 

Winkel AOB = ö', die Neigung von OB gegen die Ebene 
AOB = r. 

Man wird nach einer bekannten Formel erhalten 

ß' = a'6'rf' sind' sin r'. 

Nehmen wir auf den verlängerten Geraden OA^ OB und 
OB Längen x, l und a, welche sehr gross im Vergleich zu a', 
b\ d' sind, so dass das über x, i und a construirte Parallelepiped 
der Einheit des Volumens gleich sei, und dass man daher habe 

7t ta sin ä' sin r' = 1. 

Die Zahl der in diesem Parallelepiped enthaltenen Gitter- 
punkte berechnet sich wie die Zahl der Kugeln in einem 
Haufen mit rechtwinkligen Seiten, ist also 

Es wird also, wenn q diese stets sehr grosse Zahl ist, 

Kta Kia sin ö' sin r' 1 

^ ~ 76 ^rf' ~ a'Ä'rf'sincJ'sinr "" iT ' 

[44] Nun aber muss die Zahl ^, welche die Dichtigkeit der 
Schaar misst, constant bleiben, welches auch das System von 
conjugirten Axen sei, das man zu ihrer Bestimmung ange- 
nommen hat. 

Wenn man also setzt 

Ox = aj Oy = b, Oz = d, 

Winkel xOy=dj Neigung von Oz gegen xOy = T, so wird 

man haben 

(41) ß'== ß = abd Bin d sin r. 

Satz XXXVI. — Umgekehrt werden, wenn das über 
den Parametern der Punktreihen OA, OB und OD 
(Fig. 18) construirte Parallelepiped dem Grund- 
Parallelepiped der Schaar inhaltsgleich ist, die drei 
Punktreihen conjugirt sein. 

Nehmen wir an, dass im Innern des Parallelepipedes ein 
Gitterpunkt der Schaar liege, und nennen diesen Punkt P, 
der so nahe als möglich an der Ebene AOB gewählt sei; 
das über OP, OA und OB construirte Parallelepiped würde 
gleich ß sein (voriger Satz), also müsste das über OB, OA 
und OB construirte Parallelepiped, welches die gleiche Basis 



lieber die Systeme von regelmäseig yerthdilten Funkten. 49 

in der Ebene OAB und eine grössere Höhe hat, ein grösseres 
Volumen haben als ii ^ was der in der Formulirnng des 
Satzes enthaltenen Voraussetzung zuwider ist. Folglich u. s. w. 

Aufgabe XXII. — Die Bedingung zu finden^, unter 
der drei Punktreihen conjugirt sind. 

Seien (m, w, /?), (m', »', p') und (m", »", p") die Co- 
ordinaten von den drei Gitterpunkten T, T und T' (Fig. 20). 
Man setzt voraus, dass m^ n und p keinen anderen ge- 
meinsamen Theiler als die Einheit haben, und dass für 
in\ »', p' und m", »", p' das Gleiche gilt. Man sucht die 
Bedingung, unter welcher die Punktreihen OT, OT und OT", 
deren Symbole mnp^ m'n'p' und m"np" sind, conjugirte 
Punktreihen sind. 

Seien (^, ij, ?) (r, 1?', D und (f, 1?", D die linearen 
Coordinaten der Punkte T, T und T", in dem System der 
conjugirten Azen Ox^ Oy und 0«, welche a, b und c? als 
Parameter haben. 

Man beweist in den Lehrbüchern der analytischen Geo- 
metrie, dass das Volumen eines Tetraeders, das seine Spitze 
im Anfangspunkt hat, und die Ecken seiner dreieckigen Basis 
in den Punkten (?, rj, t), (?', i, D «nd [?", i?", T), [«] 
bis aufs Vorzeichen den Werth hat 

wenn das System der Axen rechtwinklig ist. 

Wenn aber die Axen schiefwinklig sind, und wenn man 

Winkel xOy = öj Neigung von Oz gegen x Oy = r 

hat, so muss dieses Volumen mit sin^ sinr multiplicirt werden. 
Wenn man also das Volumen des über den Parametern 
OTy OT und OT" construirten Parallelepipedes ß' nennt, 
und dasjenige des Grundparallelepipedes ii, so wird bis auf 
das Vorzeichen 

ß' = [mn'p" — mp'n" + pni'n" — nm'p" 
+np' m'^ — pn' m") ahd ^in d sin r, 
oder auch wegen der Gleichung (41) 
(42) ß' = [m rif — mp' n" +pmn" — n m'p'' 

^np'm" — pn'm") ß. 

Wenn die Punktreihen conjugirt sind, muss ß' = ß sein 
(Satz XXXV). Also wird die gesuchte Bedingung sein 

Ostwald'B Klassiker. 90. 4 



50 A. Bravais. 

(43) mnf — mp'ri'-\-p mn" — nm!p"+ np'rri' — p n'm= ± 1 . 

Umgekehrt wird man, wenn der Gleichung (43) genügt ist, 
daraus schliessen, dass il' = £1^ und die drei Pnnktreihen 
werden conjugirte sein (Satz XXXVI). 

AufgabeXXIII. — DieBedingung dafür zu finden, 
dass zwei Punktreihen, welche vom Anfangspunkt 
nach den Punkten T und T (Fig. 20) gehen, in der 
Netzebene, die diese beiden Punktreihen enthält, 
conjugirt sind. 

Seien (m, w, p) und (m', ;^', p') die Coordinaten von T und 
T. Die Gleichung der Ebene OTT wird durch die Formel 
(36) gegeben sein, in welcher g^ h und k Werthe haben, die aus 
den Formeln (35) hervorgehen. Die Gleichung der beiden an 
OTT angrenzenden Netzebenen ist (Aufgabe XIX) gegeben durch 

gx -^ hy + kz = ± 1 . 

Also könnte diese Gleichung geschrieben werden 

x[np' — pn') + yipm! — mp'] + z[mn' — nm') = dz Z>. 

[46] Seien jetzt [ni\ n\ p") die Coordinaten eines Gitter- 
punktes T", der einer dieser angrenzenden Ebenen angehört. 
^OT" wird eine zu der Ebene OTT' conjugirte Punktreihe 
sein, und man hat 

(44) m''{np'—pn') + n"{pm'—mp') +p"[mn'—nm'] =ihZ>. 

Wenn aber OT und OT' schon zwei zu einander in der 
Ebene OTT conjugirte Punktreihen sind, so werden OT^ 
OT und OT' drei conjugirte Punktreihen sein, und man wird 
gemäss der durch (43) ausgesprochenen Bedingung erhalten 

m" [np' — pn') + w" [pm' — mp') + p" [mn' — nm') = zfc 1 . 

Aus dieser Gleichung und der Gleichung (44) schliesst man, 
dass Z)= 1 ist. Umgekehrt wird, wenn Z>= 1 ist, der Bedingung 
(43) genügt sein, und die Punktreihen OT und OT' werden zu 
einander in ihrer Verbindungsebene conjugirt sein (Satz XXXII). 

Also wenn np' — pn\pm' — mp', und mn' — nm' keinen 
anderen gemeinsamen Theiler haben als die Einheit, so sind die 
Punktreihen O T und O T' conjugirte Punktreihen des Netzes 
der Ebene OTT'^ und die Umgekehrung dieses Satzes ist eben- 
falls richtig. 

Satz XXXVII. — Wenn [m, n, p) und [m', n', p') die 
Zahlen-Coordinaten der Gitterpunkte T und T' 



Ueber die Systeme von regelmäBsig^ertneil^^ Punkte^. 51 

(Fig. 20) sind, so wird die Zahl der zu OT oder 
OT' parallelen Streifen, welche zwischen zwei 
gegenüberliegenden Seiten des über 07und OT con- 
strnirten Parallelogramms enthalten sind, dem 
grössten gemeinsamen Theiler der drei Binome 
np' — pn\ pm' — mp' nnd mn! — nm' gleich sein. 

Seien nämlich ni\ ri* und p" die Goordinaten eines 
Gitterpunktes T", welcher einer an die Ebene OTT an- 
grenzenden Netzebene angehört. Man wird haben (Gleichung 44) 

m" \^p^ — pv!) + ri' [pm' — mp) + p" [mn' + »m') = ib Z>. 

Sei ß' das Volumen des über den drei Kanten OT, OT 
und OT' construirten Parallelepipedes; der Werth von ß' 
wird durch die Gleichung (42) gegeben, welche sich in dem 
gegenwärtigen Fall umwandelt in 

ß' = ßZ). 

Seien jetzt co der Flächeninhalt des Grund-Parallelogramms 
des Netzes der Ebene OTTj und w' der Flächeninhalt des 
über OT und OT, construirten Parallelogramms, sei end- 
lich J die Dicke der zwischen T" und der Ebene OTT ge- 
legenen Schicht, so wird man haben 

ß = ^01 , ß' = Jlü' y 

[47] folglich auch 

(45) Ol' = coD. 

Nun wird das Verhältniss lo' : o) offenbar gleich sein der Anzahl 
der zu OT oder zu OT' parallelen Streifen, welche durch 
das Dreieck OTT gehen: also wird Z> die Zahl dieser 
Streifen darstellen; folglich wird diese Zahl gleich dem grössten 
gemeinschaftlichen Theiler unserer drei Binome sein. 

Satz XXXVIII. — In einem S ystem von parallelen 
Netzebenen, die (ffhk) zum Symbol haben, und 
deren Grund-Parallelogramm als Inhalt co hat, ist 
der Flächeninhalt des, durch die Schnittpunkte 
der conjugirten Azen mit der Ebene 

gx + hy -h iz= \ 

bestimmten Dreiecks gleich dem Quotienten aus 
dem Flächeninhalt ^co durch das Product ffhk der 
Charakteristiken, und der Flächeninhalt des durch 
die Schnittpunkte derselben Axen mit der Ebene 

4* 



52 A. Bravais. 

ffx + hy -\- kz = ghk 

bestimmten Dreiecks hat als Werth das Prodnct 
von ^0) und ghk. 

Sei GHK (Fig. 19) die Ebene 

ffx + hy + kz= 1 , 

nnd G'H'K' die Ebene 

jra: + Ay 4- A« == ffhk , 

so dass man, da a, b, d die drei Parameter von Oxj Oy, Oz 
sind, erhalte 

0& = hka, 0G = -, 
9 



(46) 



OH'^gkb, OH=j, 

OK' = ghd, OK=j\ 
Flächeninhalt G' H' K' : 



Flächeninhalt GHK= 0&^:0G^= g'h^k^ : 1 . 

Bringen wir den Anfangspunkt der Coordinaten nach G\ 
während die Axen ihre Richtung behalten. Die Zahlen-Coor- 
dinaten (m, w, p) und (w, «', p') [48] der Qitterpunkte S' 
und K' werden für diese Stellung der Axen sein 

m = — hk^ n = gky jo = , 
m' = — hk, w' = 0, pz=gh', 
man folgert daraus 

np' — pn' = g^hkj 
pm* — mp* = gh^k^ 
mn! — nw! = ghk"^ ^ 

und, wenn D der grösste gemeinsame Theiler der drei Bi- 
nome ist, 

B =3 ghk^ 

da ja ^, Ä, k relative Primzahlen sind. 

Sei also co der Flächeninhalt der Omnd-Masche der 
Netze auf den Ebenen öÄ-STund G' W K' \ so wird man 
in Folge des Satzes XXXVII und der Gleichung (45) haben 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Funkten. 53 



(47) 2 Flächeninhalt des J^G'H' K = iaD = ghhta, 

was den zweiten Theil des Lehrsatzes beweist. Und da man 
andererseits 

T=.,H i. • 1. ,. ^ K r^rrrr Flächeninhalt des A ö'-S'ÜT' 
Flächeninhalt des A GS^if = tzt7.8 — 

hat, so folgt daraus 

CO 



(48) 2 Flächeninhalt des A GHJT = 



ghk 



Aufgabe XXIV. -r Den Flächeninhalt des Grund- 
Parallelogramms in dem System der Netzebenen, 
die durch das Symbol [ghk] bezeichnet werden, zu 
finden. 

Ich werde die Seiten zOy^ zOx »nd yOx der körper- 
lichen Ecke O (Fig. 19) a, ß und 6 nennen; fi, v und xs 
die Flächenwinkel derselben körperlichen Ecke, wobei ii der 
Flächenwinkel ist, dessen Kante Ox ist, i/, lar die Flächen- 
winkel, deren Kanten Oy und Oz sind. Ich werde S (ghk) 
den unbekannten Flächeninhalt des Grund-Parallelogramms 
der Netze auf den Ebenen (ghk) nennen. Nachdem dies 
festgesetzt, erhält man durch eine bekannte Formel, die ich 
der analytischen Geometrie des Raumes entnehme, 



r GHK = GHO +GKO +HKO 
(49) I _ 2 GHO . GKO co% fi — 2 GHO • HKO cos v 
l — GKO . HKO cos er. 

[49] Ist die Ebene GHK die Netzebene, welche als Glei- 
chung 

gx -^ hy -^ kz= 1 

hat, so bekommt man 

Flächeninhalt des A GHO = i OG • OiJ sin (J = 1 - t- sin (J , 
^ 2 . ^ gh ' 

Flächeninhalt des A GKO^^OG- OK^mß = l-|sin ß , 
Flächeninhalt des A HKO = ^ OH- OKüna = ^t-t-s^^ « • 



54 A. Bravais. 

Wir wollen jetzt 

bd Bin a mit q> , ' 

ad sin ß mit % ) 
ab sin d mit xp 
bezeichnen ; 

cp wird der Flächeninhalt der Masche des Netzes anf der 

Ebene der yz, also aS'(IOO), sein, 
X wird der analoge Flächeninhalt für die Ebene der xz^ 

also Ä'(OIO), sein , 
xp wird der analoge Flächeninhalt für die Ebene der xt/, 

also /SfOOl), sein. 

Man wird alsdann haben 

Flächeninhalt des A öHO = f -^, 

Flächeninhalt des A ^ JTO = | -^ , 

Flächeninhalt des A SKO = ^^] 

aber andererseits, in Folge des Satzes XXXVIII, 

Flächeninhalt des A GHK= \ §Jff^ 

Also, wenn man diese Werthe in der Gleichung (49) 
einsetzt, erhält man 

2ffkq>xp cos V — 2hkx^ ^^^ i^ i 

nnd diese Gleichung ergiebt den Flächeninhalt des Grund- 
Parallelogramms der Netzebene {ffhk), sobald man die analogen 
Flächeninhalte in den Netzen der drei conjugirten Goordinaten- 
Ebenen kennt. 

Aufgabe XXV. — Die Dicke der Schichten zu 
finden, welche parallel zu den Netzebenen mit 
dem Symbol {ffhk) sind. 

Sei wieder S {ffhk) der Flächeninhalt des Grund-Paral- 
lelogramms des Netzes von [50] dem System {ffhk). Seien 
^ die Dicke der entsprechenden Schichten und £i das 






Ueber die Systeme von regelmässig yertheilten Punkten. 55 

Volumen des Grnnd-Parallelepipedes, so wird man haben 

(51) ^ = JS(ghk). 

Behalten die Winkel a, /!/, (J, ^w, v, xs ihre frühere 
Bedeutung bei, so können wir die Gleichung (41) in die Form 
bringen 

(52) ß = a5c?Vl — cos*a — cos*/!/ — cos*d-f-2cosaco8/^co8(if. 

Entnehmen wir aus der Gleichung (50) den Werth von 
S^iffhk), um ihn in die zum Quadrat erhobene Gleichung (51) 
einzusetzen, so erhalten wir 

a^b^d^ll — cos^a — 008^ ß — 008^ (f + 2 cos Qg cos ß cos &) 



J^ = 



g-(p^ ^k^j^^^k^ip^ — 2gh(p X cosw — 2 gk q> tp cOBy — 2hk x^ COB f* 



Wenn wir schliesslich q>, Xi ^ durch ihre Werthe in a, 
bj d, a, ß und d ersetzen, so wird diese Gleichung 

(53) z/* = 

1 — 008^ Cg — 008^^ — C0B^(y-h2C08CgC08/gC08(y 

ff^sin*« , h^Bm^ß , Ä^sin^cf ^öÄsinasin/J ^öA^sinasintf ^Msin/Ssincf 

Man hätte auch direct auf diese Formel kommen kdnnen, 
wenn man den analytischen Ausdruck für die Senkrechte gesucht 
hätte, die von dem Anfangspunkt auf diejenige Ebene gefällt 
ist, deren Gleichung in linearen Coordinaten die folgende ist 

Satz XXXIX. — Der mittlere Abstand der Gitter- 
punkte einer Schaar ist gleich der Cubikwurzel 
aus dem Volumen ihres Grund-Parallelepipedes. 

In üebereinstimmung mit der von Poisson gegebenen 
Definition des mittleren Abstandes (siehe Seite 24) 
wollen wir den mittleren Abstand der Gitterpunkte 
einer Schaar die Seite eines Würfels nennen, die gleich 
der Einheit des Volumens ist, getheilt durch die Zahl der 
Gitterpunkte, welche diese Einheit des Volumens enthält. 

Sei E dieser mittlere Abstand; indem wir die als sehr 
gross vorausgesetzte Zahl der Gitterpunkte, welche die Einheit 
des Volumens enthält, wieder q nennen, erhalten wir 



(56) 



56 A. Bravais. 

[öl] woraus wir wegen q = — schliessen (siehe den zweiten 

Beweis des Satzes XXXV) 

(54) E' = Q, E=}/n, 

wobei ß das constante Volnmen des Grund-Parallelepipedes der 
Scfaaar ist. 

Aufgabe XXVI. — Die Coordinaten-Axen zu ver- 
ändern und die neuen Coordinaten als Functionen 
der alten auszudrücken und umgekehrt. 

Seien (m, w, jo), (m', n\ p')und {m", n'\ p") die Zahlen- 
Coordinaten der äusseren Enden T, T und T" (Fig. 20) von 
den Parametern der drei Punktreihen, welche als neue Axen 
dienen sollen. Seien X, Y und Z die Zahlen-Coordinaten 
irgend eines Gitterpunktes in dem neuen Axen-System. Auf 
eine analoge Weise wie diejenige, welche zu den Gleichnngen 
(17) führt, erhält man 

y^nX+n'Y-^ n' Z , 
z = pX+ p'Y+fZ. 

Es wird angenommen, dass die Punktreihe OT, welche 
vom Anfangspunkt nach dem Punkt (m, n^ p] geht, als Axe 
der X dient. Die Punktreihe OF dient als Axe der Y, 
und die Punktreihe OT" als Axe der Z. 

Ich setze jetzt, um abzukürzen, 

mn'p" — mpri'+pm'fi' — nm'p'+np'm!' — pn!m'=^(mnp] 
mn — nm' =(mn')^ nw!' — mfi'=^ [nm")^fn!ri!' — r(!ni''=^{mii 
pnt! — mp'^pm!\mp" — pni!'=^(mp'%p'm" — fn!p"=^{p'rrl"h 
^n p' — pn' = [np')^pn" — np''=(pn")j n'p" — pn"=^{np"). 

Wenn man, vermittelst des bekannten Verfahrens der Elimi- 
nation, aus den Gleichungen (55) die Werthe von X, Y^ Z 
berechnet, so erhält man 

v_ (n'p") , , i/^') „ , _K^ 
"" [mn'p") [mn'p'Y ">" [mn'p") ' 

•^ — {mn'p") ^ [mn'p'Y (»"»>"") " ' 

~~ [mn'p") ^ {mn'p") ^ ^ {mn'p") ' 






lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 57 

[52] woraus man sieht, dass, wenn X, Y, Z immer ganze 
Wahlen sein sollen, es nothwendig ist, dass die drei gegebenen 
Panktreihen conjugirt sind. 

Indem man diese Voraussetzung macht, wird 

(m»y) = =fc 1 , 

was die vorhergehenden Gleichungen in die folgenden ver- 
wandelt 

I ± X = {ny)x + {p'm'')y + {m'n") z, 
(57) \zt Y=(pn'')x+ (mp") y + (nm") z , 

\± Z = (np') X + [pm') y + [mn') z . 

Man führe durch eine passende Drehung des Systems O T, 
0T\ OT" um O, OT auf Ox, führe OT' in die Ebene 
xOy^ indem Sorge getragen wird, dass OT' und Oy auf 
derselben Seite liegen in Bezug auf die nach beiden Rich- 
tungen unendlich verlängerte Gerade Ox: wenn dann OT" 
und Oz in Bezug auf die Ebene der xy auf dieselbe Seite 
fallen, so muss den ersten Gliedern der Gleichung (57) das 
Zeichen + gegeben werden; im umgekehrten Falle muss das 
Zeichen — vorgezogen werden. 

OoroUarsatz. — Nehmen wir an, dass die Axe der z 
allein verändert, und durch OT" ersetzt werde, und nennen 
wir m^ , 72^ die den Axen der x und der y parallelen Zahlen- 
Coordinaten von T". 

In diesem Fall wird sein 

m = 1, n = 0, p = 0, 
w' = 0, w' = 1, y = 0, 

und die Gleichungen (55j werden geben 
x= X + m,Z, 
y= Y+n, Z, 
5 =Z. 

Die umgekehrten Formeln werden dann sein 
X = a: — m^Zj 
Y=y — n,z, 
Z = z. 

Die der veränderten Axe parallele Zahlen-Coordinate bleibt 
unverändert. 



58 A. Bravais. 

[53] Aufgabe XXVII. — Man fragt, was ans dem 
Symbol einer Netzebene (ghk) in einem neuen Axen- 
System wird. 

Seien wieder (m, », j»), (m', n\ p') und (w", n", p") 
die Zahlen-Coordinaten der äusseren Enden T, T', T" (Fig. 20) 
der Parameter von den drei Pnnktreihen, welche als neue 
Azen dienen sollen. Wenn man in der allgemeinen Gleichang 

gx -^ hy '\' kz =^ C 

die ans den Gleichungen (55) entnommenen Werthe von x^ y^ z 
substituirty so wird 

[gm + hn + kp) X + [gm + hn + kp) Y 

+ [gm" + hn" + kp") Z==C, 

woraus man sieht, dass in diesem neuen Axen- System das 
Symbol der Ebenen {ghk) sich in (gm + Aw + kp, gm' 
-f- hn + kp\ gm" + hn" + kp") verwandelt, das heisst, 
dass, wenn das neue Symbol [GHK) ist, man hat 

IG = gm + hn + kp, 

(58) )h = gm' + hn + kp, 

\K=gm"+hn"+kp", 

CoroUarsatz. — Wenn man die Axen der x und y bei- 
behält und sich darauf beschränkt, die Axe der z zu ersetzen 
und zur neuen Axe der z die Punktreihe TTT zu wählen, welche 
die in umgekehrtem Sinne genommene Verlängerung der Diago- 
nale von dem über a, b, d construirten Parallelepiped ist, 
so erhält man 

m = \, w=o, ^=0, 

7^' = , n = \, p z= 0, 

m"== — 1 , n"= — i, p=—l, 

was das Symbol (ghk) in [g, h, — g — h — k) verwandelt. 
Wenn man alsdann die Charakteristik der Netzebene 
[ghk] in Bezug auf diese neue Axe / nennt, so wird man die 
Gleichung haben 

l = — g — h — k. 

Wenn e der Parameter der neuen Axe ist, so wird der auf 
dieser Axe zwischen dem Anfangspunkt und der Ebene 

gx + hg + kz= 1, 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 59 
[54] welche in dem neuen System 

geworden ist^ gelegene Abschnitt angenscheinlich den Werth 

-T haben. 

Man sieht darans, dass, »wenn die Parameter a, h^ d^ e 
von vier Panktreihen, die paarweise conjugirt sind, so gewählt 
sind, dass sie vier einander im Raum das Gleichgewicht hal- 
tende Kräfte vorstellen, jede an eine durch den Anfangspunkt 
gehende Netzebene angrenzende Ebene auf den Parametern 

dieser Punktreihen die Abschnitte — j j» T' T l>estimmen wird, 

wobei g^ h^ k^ l positive oder negative ganze Zahlen sind. Man 
kann alsdann die Bezeichnungen [ghk]^ [ff^^i {ff^^)i (^^^) 
ohne Unterschied als Symbol der Netzebene nehmen, und zwi- 
schen den vier Charakteristiken g, A, kj l wird die Beziehung 
bestehen 
(59) g + h + k-\'l=^,^ 

Bezeichnung mit vier Charakteristiken. — 
Wenn man, um die Stellung der Netzebenen der Schaar zu 
bestimmen, vier Axen anwendet, welche den eben dargelegten 
Bedingungen gentigen, so ist es zweckmässig, das Symbol 
[ghk) durch das Symbol mit vier Charakteristiken [ghkl) zu 
ersetzen. 

Definitionen. — Ich bezeichne mit dem Namen Ele- 
mentar- Tetraeder jedes Tetraeder, welches als Ecken vier 
Gitterpunkte der Schaar hat, die in solcher Weise gewählt 
sind, dass jeder von ihnen auf einer an die Netzebene, welche 
die drei anderen Gitterpunkte enthält, angrenzenden Ebene 
gelegen ist, oder auch »jedes Tetraeder, welches über drei 
conjugirten Parametern, die von demselben Gitterpunkt aus- 
gehen, construirt ist.« 

Ein solches Tetraeder bildet immer den sechsten Theil 
von einem der Grund-Parallelepipede der Schaar, also ist das 
Volumen aller dieser Tetraeder dasselbe und gleich ^ß. 

Ich nenne Haupt-Tetraeder dasjenige, dessen Basis 
das spitzwinklige Dreieck ist, welches von den beiden kleinsten 
Parametern der ganzen Schaar umfasst wird, und dessen drei 
an der Basis liegende Plächenwinkel spitz sind, zwei von diesen 
drei Winkeln können ausnahmsweise Rechte werden. 



60 A. Bravais. 

[55] Satz XL. — Jedes Tetraeder, welches als 
Ecken den Anfangspunkt und die drei Pnnkte 
(m, fij p)y {m\ v! p*] und (m", n\ p") hat, hat als Volumen 
das Product des Volumens des Elementar-Tetra- 
eders mit dem Factor 

mn'p" — mp'ri* •■\- pm'n**—- nm!p" '\-' npw!' — prim" , 

Dieser Satz ist eine Folge der Formel (42). 
Sei OTT'T' (Fig. 20) das gegebene Tetraeder, dann 
wird man haben 

(60) Volumen des Tetraeders OTTT = ^-ß [rnnp"). 

Diese Formel bleibt richtig, wenn m, n^p oder m', n\p oder 
rn!\ ri\ p" andere gemeinsame Theiler haben als die Einheit. 

Aufgabe XXVIII. — Das Haupt-Tetraeder einer 
Schaar zu finden. 

Wählen wir willkürlich einen Gitterpunkt (Fig. 21), 
und suchen die beiden kleinsten Parameter OA^ OB] ent- 
werfen wir sie in einem solchen Sinne, dass der Winkel AOB 
spitz sei, oder höchstens gleich 90 Grad, was immer möglich sein 
wird. Vollenden wir das Dreieck AOBj welches* eins der 
Hauptdreiecke der Netzebene AOB sein wird, und construiren 
über irgend einer seiner drei Seiten, z. B. über AB^ das zweite 
Hauptdreieck BAO\ welches, mit dem vorigen vereint, das 
Grundparallelogramm OAO'B vollendet, lieber dem Umriss 
dieses Parallelogramms errichten wir senkrecht die Seiten eines 
nach beiden Richtungen unbegrenzten Prismas. Die Netzebene, 
welche angrenzend an die Ebene OAO'B und über dieser 
gelegen ist, wird von dem Umriss des Prismas nach einem, 
der Basis OJl 0'£ gleichen, Parallelogramm geschnitten, wel- 
ches in seinem Innern einen Gitterpunkt der Schaar enthalten 
muss, wenn es nicht zwei oder vier davon auf seinem Umriss 
enthält. Sei D dieser Gitterpunkt; die Punktreihen OA, 
OB und OD werden conjngirt und die Pyramide OABD 
wird das Haupt-Tetraeder sein. 

Wenn der so erhaltene Gitterpunkt in d gelegen wäre, 
und sich orthogonal auf das Innere des zweiten Dreiecks 
BAO' projicirte, so würden die Pnnktreihen O' A^ O'B und 
O'd conjugirt sein, und die Pyramide O'ABd wäre das Haupt- 
Tetraeder. 

Anmerkung. — Sei 0JtJff2> das Haupt-Tetraeder, wel- 
ches aus der vorhergehenden Construction hervorgeht und noth- 



üeber die Systeme von regelmässig verthoilten Punkten. 61 

wendiger Weise über der Ebene OAO'B gelegen ist. Wenn 
wir dieselbe Constrnction auf der an die Ebene OAO'B an- 
grenzenden Ebene wiederholen, die unter derselben gelegen 
ist, so erhalten wir einen anderen [56] Gitterpunkt D\ dessen 
Lage in Bezug auf D so sein wird, dass -4, 1>, B und D' 
ein Parallelogramm bilden. Das Tetraeder O ABD* wird 
auch ein HauptrTetraeder sein, aber es wird unter der Ebene 
OAOB gelegen sein. Es ist leicht zu sehen, dass OABD 
und O'ABD' zwei inverse*) Polyeder sind, deren Sym- 
metriepol in o;, dem Mittelpunkt des Parallelogramms OAO'B 
liegt, woraus man ersieht, dass »in jeder Schaar zwei Haupt- 
Tetraeder existiren, die invers zu einander sind«. 

Satz XLL — Alle Kantenwinkel des Haupt-Tetra- 
eders sind spitz; einige von ihnen (vier höchstens) 
können ausnahmsweise Rechte sein. 

Seien 0-4, OB (Fig. 21) die beiden kleinsten Parameter 
der Schaar und OABD ihr Haupt -Tetraeder. 

Die ausgesprochene Behauptung ist evident fttr die drei Winkel 
der Basis OAB. Man lege durch eine Ebene normal zu 0^; 
schon nach der Construction des Tetraeders können OD und 
CA nicht auf verschiedenen Seiten in Bezug auf diese Ebene 
gelegen sein, also A OD < 90 Grad. Man kann auf dieselbe Art 
beweisen, dass eine ähnliche Ungleichung für die Winkel 
DOB, DAO, DABj DBO, DBA stattfindet. 

Jetzt schliesst man aus OB < OD auf ODB < OBD 
<; 90 Grad; aus OA < OD schliesst man, dass ODA < OAD 
< 90 Grad; endlich aus BD:>B0, DA^ OA folgert man 

jBi)* + DA^ > BO^ + OAK 

Nun hat man, da der Winkel BOA ein spitzer oder ein rechter 
ist, jBO* + OA^ > oder = BA^\ also auch 

BD^ + DA^:>BA^\ 

folglich kann der Winkel J5Z)-4 90 Grad nicht übersteigen. 

Die Zahl der rechten Winkel des Tetraeders kann ausser- 
dem vier nicht übersteigen, da das Tetraeder nicht mehr als 
vier Seiten hat. 

Anmerkung. — Die Eigenschaften des Haupt-Tetraeders 
sind eingeschränkter als diejenigen, welche das Haupt-Dreieck 



*) Wegen der Definition dieser Ausdrücke sehe man die An- 
merkung *) auf Seite 68. 



62 A. Bravais. 

in den Netzen besitzt. Seine Fiächenwinkel sind nieht alle 
nothwendiger Weise spitz. Es besitzt nicht nothwendiger 
Weise alle die kleinsten Parameter des Systems, und endlich 
ist es nicht nöthig, dass das Haupt-Dreieck vom kleinsten 
Flächeninhalt eine seiner vier Seitenflächen bildet. 

[57] Es folgt ohne Beweis eine Zusammenstellung ver- 
schiedener Eigenschaften des Haupt-Tetraeders. 

Satz XLU. — Wenn h der grössere der beiden 
Minimal-Parameter der Schaar ist, und wenn B der 
Winkel ist, welcher der Seite b in dem mit diesen 
Parametern construirten Dreieck gegenüber liegt, so 
ist die Höhe des Haupt-Tetraeders wenigstens gleich 
&yi — |^cosec*J5. 

OoroUarsatz. — Dieselbe Höhe wird wenigstens gleich 
b V^ sein. 

SatzXLHI. — Der kleinste unter den Parametern 
der Schaar ausserhalb der Ebene, welcher die bei- 
den Minimal-Parameter enthält, ist nothwendiger 
Weise die eine der drei Kanten, welche die Spitze 
des Haupt-Tetraeders mit den drei Ecken seiner 
Basis verbinden. 

Satz XLIV. — Wenn OB, OA (Fig. 21) die beiden 
Minimal-Kanten des Haupt-Tetraeders OABD sind, 
wobei OA die kleinere von beiden ist, und wenn man 
durch B die Strecke jBO' gleich und parallel mit OA 
legt, so wird eines der vier Dreiecke AOBy AOD, 
BODj BO'D das elementare Dreieck mit kleinstem 
Flächeninhalt der ganzen Schaar sein. 

OoroUarsatz. — Die Netzebene mit kleinstem Flächen- 
inhalt enthält immer wenigstens einen der beiden Minimal- 
Parameter der Schaar. 



§ V. — Von den symmetrischen Schaaren, 

Definitionen. — Ich nenne Symmetrie-Axe einer 
Schaar eine Gerade, wenn bei einer Drehung der Schaar als 
Ganzes um dieselbe durch einen gewissen Winkel dieselben 
Punkte des Raumes vor und nach der Drehung mit Punkten 
der Schaar besetzt sind. Ich sage alsdann, dass der schein- 
bare Ort der Gitterpunkte der Schaar nach dieser Drehung 
wiederhergestellt ist. 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 63 

Um die folgenden Anseinandersetznngen deutlicher zu 
gestalten, werde ich voraussetzen, dass zwei gleiche Schaaren 
vorhanden sind, die, Gitterpunkt mit Gitterpunkt, zusammen- 
fallen, so dass sie nur eine einzige Schaar vorstellen. Die 
Lage einer dieser Schaaren wird als unveränderlich angenom- 
men, die andere mdge sich ganz in einem Stücke und wie ein 
fester Edrper bewegen kOnnen, sowohl durch Translation wie 
durch Rotation. 

[58] Wenn die bewegliche Schaar, indem sie sich um die 
Axe dreht, nach einer halben Umdrehung, oder einer Drehung 
von 1$0 Grad, wieder mit der feststehenden Schaar zusammenfällt, 
wird die Axe mit dem Namen binäre Symmetrie-Axe oder 
kürzer binäre Axe bezeichnet. Irgend ein beliebiger Gitter- 
punkt der Schaar hat seinen homologen Punkt auf der anderen 
Seite der Axe. Die Gerade, welche diese beiden Punkte ver- 
bindet, ist zur Axe normal und wird durch sie halbirt. 

Wenn das Zusammenfallen nach einer Drittel-, einer 
Viertel- oder einer Sechstel- Umdrehung erfolgt, so soll die 
Diehungsaxe den Namen ternäre, quaternäre oder senäre 
Symmetrie-Axe erhalten. In den Schaaren mit ternärer 
Symmetrie-Axe sind die Gitterpunkte je zu dreien um die Axe 
geordnet, und jeder Gitterpunkt hat zwei homologe. Die An- 
ordnung ist eine solche zu vieren um die quaternären Axen, 
und zu Sechsen um die senären Axen. 

Die Symmetrie einer Axe soll als Ordnungszahl 2,3,4 
oder 6 haben, je nachdem dieselbe binär, ternär, quatemär 
oder senär ist. Diese Ordnungszahl soll bei den Rechnungen 
durch den Buchstaben q bezeichnet werden. 

Zwei Symmetrie-Axen derselben Ordnung sollen Axen 
derselben Art heissen, wenn die Anordnung der Gitter- 
punkte um die eine von ihnen dieselbe ist wie um die andere. 
Um diese Aehnlichkeit der Anordnung zu constatiren, ver- 
bindet man in Gedanken die Gitterpunkte der Schaar mit 
jeder der beiden Axen, und eins der beiden Systeme wird als 
beweglich vorausgesetzt. Wenn man dann zu gleicher Zeit 
die bewegliche Axe mit der festen, und die beweglichen Gitter- 
punkte mit den festen zur Deckung bringen kann, so sollen 
die Axen von derselben Art heissen. 

Es ist nothwendig, dass die Axen von derselben Ordnung 
sind, und dass ihre Parameter gleich sind, wenn sie von der- 
selben Art sein sollen. Im Allgemeinen sind diese Bedingungen 
hinreichend. Es giebt indessen einen besonderen Fall, wo 



64 A. Bravais. 

zwei binäre Axen denselben Parameter haben können, ohne 
von derselben Art zn sein. 

Zwei Axen, welche den vorhergehenden Bedingungen nicht 
genügen, sollen Ax&n von verschiedener Art heissen. 

Jede Schaar, welche eine oder mehrere Symmetrie-Axen 
besitzt, soll symmetrische Schaar heissen, und im entgegen- 
gesetzten Fall soll sie asymmetrisch genannt werden. 

Jede Ebene, welche eine Schaar in zwei geometrisch 
symmetrische Hälften theilt, soll Symmetrie-Ebene der 
Schaar heissen. Jeder Gitterpnnkt besitzt alsdann seinen 
homologen auf der entgegengesetzten Seite der Ebene. 

[59] Satz XLV. — Der kleinste Winkel, welcher 
die Orte der Gitterpnnkte einer symmetrischen Schaar 
während ihrer Drehung um eine Symmetrie-Axe wie- 
derherstellt, ist ein Theiler von 360 Grad. 

Sei M (Fig. 1 3) einer der Gitterpunkte der Schaar, und 

MO die von M auf die Axe gefällte Senkrechte. Lassen wir 

die bewegliche Schaar eine Drehung JtfOJIf' um die Axe machen, 

wodurch der Ort der Gitterpunkte nicht verändert wird, und sei 

MOM' = Q. 

Während der bewegliche Gitterpunkt M sich über den 
festen Gitterpunkt M' stellt, wird der bewegliche Gitterpunkt 
M' auf M" kommen, und wir erhalten 

OM" = OM' = OM, M"OM' = Q. 

Wir beschreiben einen Kreis um den Mittelpunkt mit dem 

Radius OM und machen 

Bogen M"M' = Bogen M'M, Bogen M'^'M" = Bogen M"]lf. 

Es ist klar, dass M, M\ M", . . . ebenso viele Gitterpunkte 
der festen Schaar sein werden, und dass die Sehnen der Bogen 
ein regelmässiges eingeschriebenes Polygon bilden werden, 
welches nach einer oder mehreren Umdrehungen sich in sich 
selbst am Ausgangspunkt bei M schliessen wird ; sonst gäbe 
es eine unendliche Zahl von Gitterpunkten der Schaar auf 
dem Umfang des Kreises, was unmöglich ist. Ausserdem kann 
man immer annehmen, dass 3/, M' zwei benachbarte Punkte 
sind, und dann wird MOM' der kleinste Drehungswinkel 
sein, der die Orte der Gitterpunkte wiederherstellt. Man er- 
hält also, wenn man diesen kleinsten Winkel Q nennt, 

(61) Q = 5^°. 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Pankten. 65 

Satz XLVI. — Eine Schaar kann nur binäre^ 
ternäre, quaternäre oder senäre Symmetrie-Axen 
besitzen. 

Vollenden wir über MM', MM" (Fig. 13) die Raute 
MM M*'m. Der Punkt m wird ein Gitterpunkt der Schaar 
sein, und wir werden leicht finden, dass 

Gm = OJtf'(l— 4 sin* -^Q). 
Für ^ = 2, Q = 180°, haben wir Om = — ^ 0M\ 
Fttr q'= 3, Q =t 120°, Om = — 2 0M'\ 

Für y = 4, Q = 90°, Om = — 0M\ 

Für 2 = 5, Q = 72°, Om = — ^ ~ ^^ OM 

= — 0,382 0M\ 
Für 2 = 6, Q = 60°, Om == ; 

Für 2 > 6, Q = < 60°, Om<^OM\ 

[60] Die Lösungen g^ = 5 und g^ > 6 sind offenbar nicht zu- 
lässig; denn man kann immer annehmen, dass Jf in der 
kleinsten Entfernung von der Drehungsaxe genommen ist, und 
folglich ist die Ungleichung Om < OM unmöglich, ausser 
in dem Falle, wo man Om = hätte, weil dann ein Gitter- 
punkt der Schaar sein würde. 

Also wenn die Schaar eine Symmetrie-Axe besitzt, hat 
man nothwendiger Weise 

2 =2, 3, 4 oder 6, 

wobei q die Ordnungszahl der Symmetrie ist, welche der 
Axe, die man untersucht, eigen ist. 

Corollarsatz.— Drehungen von 60, 90, 120, 180,240, 270 
und 300 Grad sind die einzigen, welche in gewissen Fällen 
die Orte der Gitterpunkte einer Schaar wiederherstellen können. 

Satz XLVII. — Wenn in einer Schaar eine Sym- 
metrie-Axe vorhandenist, welchedurchkeinenGitter- 
punkt geht, so sind die parallelen Geraden, welche 
durch Gitterpunkte geführt sind, Axen, welche die- 
selbe Symmetrie besitzen. 

Sei q die Ordnungszahl der Symmetrie der untersuchten 

Axe MM (Fig. 22) und sei m ein beliebiger Gitterpunkt, 

360° 
welcher nach einer Drehung der beweglichen Schaar um 

Ostwald^s Klassiker. 90. 5 



66 A. Bravais. 

den Ort des Gitterpunktes w! einnimmt. Wenn man die be- 
wegliche Schaar, nachdem sie erst diese Drehung erlitten hat, 
parallel mit ihr selbst von m' nach m bringt, so wird sie 
sich in denselben Verhältnissen befinden, als wenn sie von 
Anfang an um eine Gerade nmv! gedreht wäre, welche durch 
m parallel zu MM* gelegt wäre; und da der Ort der Gitter- 
punkte nicht verändert ist, so ist diese Gerade nmr^ auch 
eine Symmetrie- Axe der Schaar. Die Ordnung der Symmetrie 
dieser Axe wird im Allgemeinen gleich q sein. Immerbin 
kann es, da eine Axe der Ordnung /$-, wobei/ irgend eine 
ganze Zahl ist, erst recht die Eigenschaften der Axen von der 
Ordnung q besitzt, vorkommen, dass die neue Axe von einer 
höheren Ordnung wäre, aber diese muss immer ein Vielfaches 
der Ordnung der Symmetrie der gegebenen Axe sein*). 

Definition. — Wir werden mit dem Namen Zwischen- 
Axen die Axen bezeichnen, [61] welche keinen einzigen 
Gitter punkt der Schaar enthalten. Nach dem vorhergehenden 
Lehrsatz sind die Zwischen-Axen immer von Axen der gleichen 
Symmetrie begleitet, welche durch die Gitterpunkte gelegt 
sind , woraus folgt, dass man sich ganz ordnungsmässig darauf 
beschränken kann, nur die letzteren zu beachten bei allen Unter- 
suchungen, welche nicht den Zweck haben, in besonderer Weise 
die Eigenschaften der Zwischen-Axen zu bestimmen. 

Satz XLVIII. — Jede Symmetrie-Axe, welche einen 
Gitterpunkt enthält, ist eine der Punktreihen der 
Schaar. 

Sei MM' (Fig. 22) die gegebene Axe, welche durch den 
Gitterpunkt M geht; seien m ein anderer, ausserhalb der Axe 
gelegener Gitterpunkt und w', rd\ . . . seine Homologen in 
Bezug auf diese Axe. Verbinden wir M mit m, m', ni\ . . . 
Wenn wir jetzt die Diagonale M^i des über Mm und Mw! 
construirten Parallelogramms ziehen, so wird diese Diagonale, 
sowohl nach Grösse wie Richtung, einer der Parameter der 
Schaar sein, i^ Folge des Satzes XXX. Ebenso wird, wenn 
wir M\i mit Mni* combiniren, die neue Diagonale M^i' die- 
selben Eigenschaften haben. Das so erhaltene Endresultat 
wird, nachdem die ganze Serie der Homologen von m erschöpft 



*) Diesen Beweis verdanken wir Herrn Cauchu ; da er einfacher 
ist, als der Beweis, den ich sejbst von diesem Lehrsatz gegeben 
hatte, so habe leb diesen letzteren durch ihn ersetzt. (Siehe die 
Comptes rendus de VAcadiinie des Sciences^ Band XXIX, pag. 135.) 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 67 

ist, dasselbe sein, als wenn man mechanisch Kräfte zusammen- 
gesetzt hätte, welche nach Grösse und Richtung gleich Mm^ 
Mm ^ Mrti\., wären, um deren Resultante zu construiren. 
Wenn man aber jede dieser Kräfte in Componenten nach der 
Richtung MM' und senkrecht hierzu zerlegt, so ist ersichtlich, 
dass die zu MM' normalen Componenten sich in Folge der Sym- 
metrie gegenseitig aufheben, und dass die verticalen Compo- 
nenten allein übrig bleiben werden. Wenn also O der Schnitt- 
punkt von MM! mit der Ebene des i^olygons mm'm" , . . ist, 
so wird jede dieser v.erticalen Componenten gleich MO sein; 
wenn man also MM^ = qMO nimmt, so wird M' auch ein 
Gitterpunkt sein'^ also ist MM' eine Punktreihe der Schaar. 

Satz XLIX. — Jede Ebene, welche normal zu 
einer Symmetrie-Axe durch einen Gitterpunkt ge- 
legt wird, ist eine Netzebene der Schaar. 

Seien M der gegebene Gitterpunkt (Fig. 22) und MM' 
die gegebene Axe, die man immer als durch M gehend vor- 
aussetzen kann. Seien m irgend ein anderer Gitterpunkt, 
m' und m" seine Homologen. Die Linien, welche parallel zu 
mm\ w! rri'^ ni'm^ . . . durch M gelegt werden, sind augen- 
scheinlich Punktreihen der Schaar, also wird die Ebene, welche 
normal z\ MM liegt und alle diese Geraden enthält, eine 
der Netzebenen der Schaar sein. 

[62] Wenn die Axe MM* eine binäre Axe wäre, so würde 
man einen zweiten Gitterpunkt ^, der ausserhalb der Ebene 
mMM' gelegen, zu Hülfe nehmen. Derselbe Beweis würde 
auch dann noch anwendbar sein. 

Satz L. — Wenn in einer Schaar eine Symmetrie- 
Ebene existirt, welche keinen einzigen Gitterpunkt 
enthält, so ist jede parallele Ebene, welche durch 
einen Gitterpunkt geht, auch eine Symmetrie-Ebene 
des Systems. 

Seien m (Fig. 23) ein beliebiger Gitterpunkt und m' sein 
Homologer auf der anderen Seite der gegebenen Ebene GH^ 
die der Voraussetzung nach eine Symmetrie-Ebene der Schaar 
sein soll. Wenn man die bewegliche Schaar, parallel mit ihr 
selbst, von m! nach m führt, das heisst in einer zur Ebene nor- 
malen Richtung, so weiss man, dass sie zu der festen Schaar 
. symmetrisch bleibt bezüglich einer Ebene, welche in der Mitte 
der den beweglichen Punkt m! mit dem festen Punkt m ver- 
bindenden Strecke normal ist. Im Grenzfall, wenn m mit m 
zusammentrifft, wird die Symmetrie-Ebene, immer parallel mit 



68 A. Bravais. 

sich selbst, schliesslich durch m gehen; aber dann fallen die 
beiden Schaaren, die bewegliehe und die feststehende, zu- 
sammen; folglich wird die durch m parallel zu GH gelegte 
Ebene eine Symmetrie-Ebene des Systems sein. 

Anmerkung. — Man kann von den Zwischen-Ebenen 
der Symmetrie absehen und nur diejenigen beachten, welche 
durch Gitterpunkte gehen. 

Satz LI. — Jede Symmetrie-Ebene, welche einen 
Gitterpunkt enthält, ist eine Netzebene. 

Sei 3f (Fig. 23) der in der Symmetrie-Ebene GJ? ge- 
legene Gitterpunkt; seien m, in zwei in Bezug auf diese 
Ebene homologe Gitterpunkte. Die Diagonale der über Mm 
und Mm' construirten Raute wird, nach Grösse und Richtung, 
der Parameter einer der Punktreihen des Systems sein. Es 
ist nun aber klar, dass sie in der Symmetrie-Ebene enthalten 
ist. Man kann ebenso beweisen, dass andere Punktreihen 
existiren , welche durch M gehen und der Symmetrie-Ebene 
angehören, aber nicht in der Ebene mMm' gelegen sind; 
woraus man sieht, dass die Symmetrie-Ebene nothwendiger 
Weise eine Netzebene ist. 

Satz LH. — Wenn eine Schaar eine Symmetrie- 
Axe von gerader Ordnung besitzt, so besitzt sie auch 
ein System von Symmetrie-Ebenen, welche alle zu 
dieser Axe normal sind, und umgekehrt zieht das 
Vorhandensein einer Symmetrie-Ebene dasjenige 
eines Systems von Axen von gerader Ordnung, die 
zu ihr normal sind, nach sich. 

Ich habe in einer Notiz über die symmetrischen Polyeder 
der Geometrie [63] bewiesen*), dass, wenn man das inverse 
Polyeder eines gegebenen Polyeders P um 180 Grad um eine 
Gerade A dreht, die durch den Symmetrie-Pol gelegt ist, 
man das symmetrische Polyeder zu P bezüglich der normal zu 
der Geraden A durch den Pol gelegten Symmetrie -Ebene erhält. 

Nehmen wir einen beliebigen Gitterpunkt (Fig. 23) 
zum Symmetrie-Pol und construiren wir die inverse Schaar, 
welche Gitterpunkt auf Gitterpnnkt mit der ursprünglichen 
zusammenfällt; dann, nachdem wir durch O eine Gerade mOni 

*) Journal de Math^matiqties de M.Liouville, Band XIV, p. 138. 
Das inverse Polyeder von Perhält man, indem man die Ecken von 
F mit einem festen Punkte verbindet, welcher den Namen Sym- 
metrie-Pol erhält, und indem man diese Geraden jenseits des 
Poles um eine ihnen gleiche Strecke verlängert. 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 69 

parallel zu der Axe von gerader Ordnung gelegt haben, lassen 
wir die inverse Scbaar sich um 180° um diese Gerade drehen, 
so wild sie in Folge der Symmetrie der Axe Punkt für Punkt 
wieder mit sich selbst zusammenfallen. Also wird, in Ueber- 
einstimmnng mit der oben erwähnten allgemeinen Eigenschaft, 
die durch normal zu der Axe gelegte Ebene eine Sym- 
metrie-Ebene für die beiden zusammenfallenden Schaaren sein 
und folglich für die zwei Hälften der gegebenen Schaar.*) 

•Der umgekehrte Satz wird in der folgenden Weise bewiesen : 

Sei O (Fig. 23) ein Gitterpunkt, welcher auf der der festen 
und der beweglichen Schaar gemeinsamen Symmetrie -Ebene 
gelegen ist. Man weiss aus der allgemeinen Theorie der in- 
versen Polyeder (siehe die angeführte Notiz), dass, wenn man 
das symmetrische Polyeder eines Polyeders Pum 180°, um die 
in diesem Gitterpunkt errichtete Normale zu der Symmetrie- 
Ebene dreht, man das inverse Polyeder wiederfinden muss. 
Im gegenwärtigen Fall wird man, wenn man die bewegliche 
Schaar diese halbe Umdrehung machen lässt, sie mit der in- 
versen Schaar wieder zusammentreffen lassen, die augenschein- 
lich nicht verschieden von der gegebenen Schaar ist. Also 
ist die Normale eine binäre Axe des Systems. Man sieht, 
dass sie im Allgemeinen eine Axe von einer beliebigen geraden 
Ordnung sein kann.**) 

Definition. — Wenn man fortfährt, die Gesammtheit 
aller Punktreihen in einer Schaar, die unter sich parallel sind, 
als Punktreihen-System zu bezeichnen, so hat man in einem 
solchen System die Richtung, die Grösse des Parameters 
[64] und endlich die Dichtigkeit des Systems zu be- 
trachten, welche gleich der Anzahl der Punktreihen ist, die 
in einem prismatischen Raum von dem senkrechten Querschnitt 
gleich 1 und mit Kanten, die parallel der gemeinsamen Rich- 
tung der Pnnktreihen laufen, enthalten sind. 

Es folgt aus der Constanz der Volumen der Grund-Par- 
allelepipede, dass beim Uebergang aus einem Punktreihen- 
System in ein anderes der Quotient des Parameters durch die 



*) Man kann diesen Satz auch als unmittelbare Folge des 
Satzes XXI meiner Abhandlung »Ueber die Polyeder von symme- 
trischer Form« ansehen, Journal de Mathematiques de M. Liouville, 
Band XIV. 

**) Dieser reciproke Satz ist eine unmittelbare Folgerung aus 
dem Satze IV meiner Abhandlung »Ueber die Polyeder von symme- 
trischer Form«. 



70 A. Bravais. 

Dichtigkeit sich nicht verändert und dem Volnmen ß des 
Grund-Parallelepipedes gleich bleibt. 

Wenn man ein Punktreihen-System durch das Dazwischen- 
schieben von neuen äquidistanten Gitterpunkten zwischen zwei 
benachbarten Gitterpunkten auf jeder Punktreihe verändert, 
so modificirt man die Schaar, und je nachdem die Zahl der 
eingeschobenen Gitterpunkte 1, 2, 3, . . . auf jedem Parameter 
ist, wird die neue Schaar verdoppelt, verdreifacht oder ver- 
vierfacht sein bezüglich der Anzahl ihrer Gitterpunkte. Alsdann 
verkleinert sich das Grund-Parallelepiped in dem Verhält- 
niss der Einheit zu den Zahlen 2, 3, 4, . . . Nachdem dies 
festgestellt, kann man den folgenden Satz beweisen. 

Satz LIII. — Dieselben Punktreihen-Systeme fin- 
den sich in der ursprünglich gegebenen Schaar und 
in der Schaar wieder, die daraus durch die Zwischen- 
schaltung von neuen Gitterpunkten auf einem ihrer 
Punktreihen-Systeme abgeleitet ist. 

Es seien drei conjugirte Axen als Coordinaten-Axen ge- 
nommen, wobei die Axe der z eine der Punktreihen des durch 
die Zwischenschaltung von neuen Gitterpunkten modificirten 
Systems ist; dann werden, wenn o, i, d die drei Parameter 

dieser Axen sind, a, &, -^ die drei Parameter in der neuen 

Schaar sein, wobei 6 — 1 die Zahl der auf jedem Parameter 
hinzugefügten Gitterpunkte ist. Um auf die ursprüngliche 
Schaar zurückzukommen, unterdrücke man in jener alle Netz- 
ebenen von der Form 

^=yö+i, =yö-i-2, ..., =yö-}-ö— 1, 

wobei j eine beliebige ganze Zahl ist, und behalte nur die 
Ebenen 2:=0, z = 0^ z = 2ß, , , ,j z =J0 bei. 

Betrachten wir jetzt die Pnnktreihe, welche von dem 
Anfangspunkt O (Fig. 20) nach dem Gitterpunkte t mit den 
Coordinaten {m, w, p) von der Schaar mit zwischengeschalteten 
Gitterpunkten geführt ist. Alsdann wird, wenn die Ordinate 
p ein Vielfaches von ist, der Gitterpunkt t der ursprüng- 
lichen Schaar angehören, und das System der Punktreihen 
Ot wird sich mit derselben Grösse des Parameters in der 
ursprünglichen Schaar wiederfinden. Wenn die Ordinate p 
[65] kein Vielfaches von ß ist, so verlängere man 0^ um 
tf' = (ö — 1)0^; da die Zahlen- Ordinate von dem Gitter- 
punkt t"j die parallel zu den z liegt, dann ein Vielfaches von 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 71 

6 geworden ist, so wird der Punkt t" dann der ursprünglichen 
Scfaaar angehören; so wird also das System der Punktreihen 
Ot \VL der Schaar noch bestehen, nachdem die Netzebenen 

unterdrückt sind. 

Demnach bestehen alle Pnnktreihen- Systeme, ohne dass 
ihre Richtung verändert wäre, nach Unterdrückung der 
zwischengeschalteten Gitterpunkte. Diese Systeme sind nur 
in Bezug auf ihre Dichtigkeit oder die Grösse ihres Parameters 
verändert, für jedes von ihnen lässt die Unterdrückung der 
Gitterpunkte das Verhältniss des Parameters zu der Dichtig- 
keit im Verhältniss : 1 wachsen. 

Corollarsatz. . — Dieselben Punktreihen-Systeme finden 
sich in den beiden Schaaren wieder mit Modificationen, welche 
nur die Grösse des Parameters oder die Dichtigkeit des Systems 
betreffen; es folgt daraus, dass dieselben Systeme der Netz- 
ebenen auch in beiden Schaaren vorhanden sind; immerhin 
wird die Dicke der Schichten oder der Flächeninhalt der 
Grund-Masche in der Weise von der einen zur anderen vari- 
iren, dass ihr Product im Verhältniss : 1 durch die Unter- 
drückung der zwischengeschalteten Punkte wächst. 

Nach diesen allgemeinen Sätzen wollen wir nach einander 
die Eigenschaften durchnehmen, welche jede besondere Art 
der Symmetrie charakterisiren. 

' Binäre Symmetrie. 

Satz LIV. — In jeder Schaar mit binärer Sym- 
metrie-Axe wird, wenn man die beiden angrenzenden 
Netzebenen einer zur binären Axe normalen Netz- 
ebene betrachtet, das Netz einer dieser beiden Ebe- 
nen mit der orthogonalen Projection des Netzes der 
anderen zusammenfallen. 

Denn seien P eine zur Axe normale Netzebene und P', 
P" ihre beiden angrenzenden ; die Netze von P' und P" sind 
homolog in Beziehung auf die Ebene P, welche eine Sym- 
metrie-Ebene der Schaar ist (Lehrsatz LIl); also ist das Netz 
einer der Ebenen P', P" die orthogonale Projection des 
Netzes der anderen. 

Corollarsatz. — Wenn man allen diesen auf einander 
folgenden Netzebenen, die alle normal zu der Axe sind, Ord- 



72 A. Bravais. 

nungszahlen giebt, so sieht man, dass in der Reihe der Ebenen 
mit geraden Zahlen dasselbe Netz sich durch orthogonale 
Projection wieder herstellen wird, [66] nnd das Gleiche gilt 
von der Reibe der Ebenen mit ungeraden Ordnungszahlen. 

Satz LV. — Jede Schaar mit binärer Symmetrie- 
Axe kann angesehen werden, als wäre sie ans einem 
geraden Prisma mit parallelogrammatischer Basis 
abgeleitet, welches in gewissen Fällen in dem Oen- 
trum seiner Form einen der Gitterpunkte der Schaar 
aufweisen kann. 

Sei ABC DE (Fig. 24) das Netz, welches auf der zur 
binären Axe normalen und durch einen Gitterpunkt A gehen- 
den Ebene entworfen ist. Nehmen wir diese Ebene zur Ebene 
der xy*y ihre Gleichung in Zahlen-Coordinaten wird 2; = sein. 

Alle Netze, welche auf den Ebenen z = ±2^ 2; = ±4, 
2J = dt 6, ... entworfen sind, werden sich orthogonal auf 
das Netz AB CD . . . projiciren (Satz LIV). 

Die Netze der Ebenen 2: = ±1, ^^ = ±3, ... können 
auch möglicher Weise orthogonal auf ABCD . . . projicirt 
werden; in diesem Fall wird das Grand -Parallelepiped ein 
gerades Prisma mit parallelogrammatischer Basis sein. 

Aber das Gegen theil kann auch stattfinden. Nehmen wir dann 
an, dass einer der Gitterpunkte A! des Netzes 2; s= 1 sich nach a 
auf die Ebene 2j = projicire. Wenn man A mit Ä verbindet, 
und AÄ um eine ihr selbst gleiche Grösse bis D" verlängert, 
so wird D" offenbar ein Gitterpunkt des Netzes z = 2 sein, und 
wenn man die Senkrechten Äa^ D"D fällt, so wird D einer 
der Gitterpunkte des Netzes «=0 sein (Satz LIV), und a 
wird auf der Mitte der Strecke AD liegen. Da der Gitter- 
punkt A willkfirlich gewählt wurde, so sieht man, dass a ein 
geometrischer Mittelpunkt von dem Netz AB CD . . . ist, und 
auf der Mitte eines der Parameter AD dieses Netzes liegt. 
Construiren wir jetzt über AD als Basis zwei gleiche und 
entgegengesetzt liegende Elementar-Dreiecke wie ACD, AED\ 
der Punkt a wird der Mittelpunkt des Grundparallelogramms 
ACDE sein, und Ä wird das Centrum der Form des ge- 
raden Prismas sein, das als untere Basis ACDE hat, und 
dessen obere Basis sich auf der Ebene 2; == 2 befindet. Die 
Schaar könnte also als aus einer unendlichen Zahl solcher 
Prismen zusammengesetzt angesehen werden, welche von glei- 
cher Höhe wie der Abstand der Ebenen 2; = 0, 2 = 2 wären, 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 73 

und von denen jedes ausserdem in dem Centrnm seiner Form 
einen der Gitterpunkte der Schaar trüge. 

Anmerkung I. — Es ist immer erlaubt vorauszusetzen, 
dass A so gewählt wurde, dass er unter allen Gitterpunkten 
des Netzes 2; = der näehste an dem Punkte a ist; wenn 
dann AD nicht der kleinste Parameter des Netzes 2; = ist, 
sei AB dieser kleinste Parameter der in einem solchen Sinne 
aufgetragen sei, dass man [67] BAD<^^^ Grad habe. Weil 
man aB ^ aA hat, liegt der Gitterpunkt B ausserhalb des 
Kreises, der über AD als Durchmesser beschrieben ist, und 
daher ist es sicher, dass man ABD <C 90 Grad hat. Aber 
andererseits hat man, wegen AB <C BD auch ADB <C. 
BAD <C^^ Grad; also sind die drei Winkel des Dreiecks 
BAD spitz; so wird also BAD das Hanptdreieck des Netzes 
5: = sein (Satz VI). Demnach wird die Projection von A' 
immer auf die Mitte von einer der drei Seiten des Haupt- 
dreiecks fallen, was beweist, dass das Alterniren der Netze mit 
abwechselnd gerader und ungerader Ordnungszahl sich nar auf 
drei verschiedene Weisen machen kann, je nachdem die Pro- 
jection der Gitterpunkte des Netzes z = \ auf die Mitte der 
kleinen, der mittleren oder der grossen Seite des Haupt- Drei- 
ecks des Netzes 2; = fällt. 

Man sieht daraus ebenfalls, dass die Schaar als aus 
Prismen zusammengesetzt angesehen werden kann, die ein 
Parallelogramm wie AB CD zur Basis, als Höhe den Abstand 
der Ebenen 2; == und 2; = 2 haben, und Gitterpunkte auf 
den Mittelpunkten von zweien ihrer rechteckigen verticalen 
Seitenflächen tragen. Man kann sich dann immer die Basis 
einer jeden der beiden centrirten Seitenflächen als von einer 
der drei Seiten des Haupt -Dreiecks gebildet denken. 

Anmerkung IL — Im Fall des Alternirens der Netze 
kann man auch statt des geraden, centrirten Prismas das 
Oktaeder der Figur 28 nehmen, dessen Axe A'A' die par- 
allelogrammatische Basis ACDE normal und in der Mitte 
durchschneidet. 

Es mnss bemerkt werden, dass dieses Oktaeder deshalb 
doch noch kein Grundkörper ist, welcher fähig wäre, durch 
unmittelbares Aneinanderfügen alle Gitterpunkte der Schaar 
zu reproduciren. 



74 A. Bravais. 



Terbinäre Symmetrie. 

Satz LVI. — Wenn der Grnndkörper der Schaar ein 
centrirtes oder nicht centrirtes gerades Prisma mit 
rhombischer Basis ist, so besitzt die Schaar drei binäre 
Symmetrie*Axen, die rechtwinklig zu einander sind. 

Nehmen wir an, dass der Rhombus ACDE (Fig. 24) die 
Basis des geraden Grund -Prismas sei; wenn wir alsdann die 
Augen auf die Figur 25 werfen, welche auf der Ebene 5; = 
erstens das Netz 2; = zeigt, dessen Punktreihen durch ausge- 
zogene Linien dargestellt sind, und als Projection auf dieses 
Netz die Netze z = 2/, sowie die Netze « = 2/ + 1 , aber 
diese letzteren nur in dem Falle, dass sich [68] alle Projec- 
tionen decken ; zweitens, aber nur für den Fall des Alternirens, 
die Netze ;? = 2/ + 1 , dargestellt durch die punktirten Linien 
ac, cd^ öfa, ae etc., so wird es klar, dass jede normal zu der 
Ebene der Zeichnung liegende Ebene, welche mit einer der 
Diagonalen des Rhombus, z. B. der Linie aa gleich gerichtet 
ist, eine Symmetrie-Ebene für die Schaar sein wird, weil alles 
zur Rechten und zur Linken dieser Ebene gleich ist. Also 
wird die zu dieser Ebene normale Diagonale AD eine binäre 
Axe des Systems sein (Satz LII). Man würde ebenso beweisen, 
dass die zweite Diagonale EC auch eine binäre Axe ist. 

Anmerkung I. — In dem Falle, dass a (Fig. 25) auf 
die Mitte von AÄ fiele, c auf die Mitte von AC, d auf die 
Mitte von ED, etc., würde der vorige Satz nicht mehr an- 
wendbar sein, selbst wenn das Grund-Prisma noch ein gerades 
Prisma mit rhombischer Basis wäre. 

Anmerkung II. — Wenn das Haupt-Dreieck gleichseitig 
wird, und wenn ausserdem die Netze übereinander liegen, so 
wird die Symmetrie senär, und die Schaar gehört einer be- 
sonderen Classe an, von der später die Rede sein wird; wenn 
dagegen, in diesem Fall, die aufeinanderfolgenden Netze alter- 
nirend sind, so wird die allgemeine Symmetrie der Schaar 
durch diesen Umstand nicht beeinflusst. 

Satz LVIL — ^Wenn das zur binären Axe normale 
Netz rechteckige Maschen hat, so besitzt die Schaar 
drei zu einander rechtwinklige, binäre Symmetrie- 
Axen. 

In dem Fall, wo die Netze nicht- alternirend über einan- 
der liegen, ist der Grundkörper ein rechtwinkliges, nicht cen- 
trirtes Parallelepiped und der Satz ist einleuchtend. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 75 

Wenn die JSetze alternirend sind, so können zwei ver- 
schiedene Fftlle eintreten: entweder fUllt der Pnnkt a der 
Fignr 24 auf die Mitte der Hypotenuse des Haupt-Dreiecks, 
welches dann rechtwinklig ist, oder auf die Mitte einer der 
beiden kleinen Seiten. 

Im ersten Fall zeigt die Figur 26 die Projection der 
alternirenden Netze auf die Ebene 2; = 0. In diesem Falle 
sind die normal zur Ebene 2; = 0, durch die Geraden AC^ 
ac, ED, . . . gehenden Ebenen, sowie die Ebenen, welche 
durch AE, ae, CD, . . . gehen, augenscheinlich Symmetrie- 
Ebenen der Schaar; also sind dann die Seiten der Rechtecke 
binäre Axen (Satz LII). 

In dem zweiten Fall wird die Projection durch die Fi- 
gur 27 dargestellt, wo ACDE [69] die Masche des Netzes 
2j = ist und acde diejenige des Netzes 2j = 1. In diesem 
Fall sind offenbar auch wieder die durch die Seiten des Recht- 
ecks gelegten Ebenen Symmetrie-Ebenen der Schaar. Man 
wird bemerken, dass man in diesem letzten Fall als Grund- 
körper ein gerades Prisma mit rhombischer Basis annehmen 
kann; es genügt in der That, die rhombische Netzmasche, 
welche in der zu z = normalen Ebene liegt und die Gerade 
AaEe als Spur hat, zur Basis zu nehmen. 

Anmerkung. — Wenn das Rechteck sich in ein Quadrat 
verwandelte, so wttrde die S}'mmetrie eine quaternäre und 
die Schaar würde in eine besondere Classe gehören, über die 
wir bald sprechen werden; indessen bleibt die Symmetrie die 
gleiche, wenn das Alterniren der Figur 27 entspräche. 

Definition. — Wir wollen mit dem Namen terbinäre 
Symmetrie diejenige bezeichnen, welche durch drei binäre, 
zu einander normale Axen charakterisirt ist. Diese drei 
Axen sind, obgleich von derselben Ordnung, von verschiedenen 
Arten. 

Satz LVIII. — In jeder Schaar mit terbinärer 
Symmetrie, haben die zu den binären Axen normalen 
Netzebenen entweder rhombische oder rechteckige 
Maschen. 

Es seien die drei binären Axen zu Axen der x, der y 
und der z genommen. Wenn man die Schaar um 180 Grad um 
die Axe der x dreht, so muss das Netz 2; = wieder mit 
sich selbst zusammenfallen; deshalb muss die Axe der x eine 
Axe von binärer Symmetrie für das Netz der Ebene der xy 
sein, was verlangt, dass seine Masche rhombisch oder recht- 



76 A. Bravais. 

eckig sei (Satz XIV^ CoroUarsatz II). Es würde dasselbe für die 
Netze gelteo, welche in den Ebenen der xz und yz liegen. 
Corel larsatz. — Es folgt aus den vorhergehenden 
Sätzen, dass jede terbinäre Schaar in eine der vier folgenden 
Kategorien gehört: 

1 . Nicht contrirtes, gerades Prisma mit rhombischer Basis, 
oder gerades rechteckiges Prisma, das zwei seiner Selten- 
flächen centrirt hat; 

2. Centrirtes, gerades Prisma mit rhombischer Basis; 

3. Nicht centrirtes, gerades rechteckiges Prisma; 

4. Centrirtes, gerades rechteckiges Prisma. 

In den Fällen 2 und 4 kann man, um die Schaar abzuleiten, 
das Prisma durch ein Oktaeder ACDEA' J!' (Fig. 28) mit 
rhombischer Basis (zweiter Fall) oder mit rechteckiger Basis 
(vierter Fall) ersetzen. 

Anmerkung. — Ich habe in meiner »Abhandlung über die 
Polyeder von symmetrischer [70] Form« mehrere Lehrsätze über 
die binäre Symmetrie bewiesen. Man kann dieselben auf die 
Schaaren anwenden, indem man nicht aus den Augen verliert, 
dass irgend ein Gitterpunkt als das Symmetrie -Centrum der 
Schaar angesehen werden kann, und als der Ort, an dem sich ihre 
Axen und Symmetrie-Ebenen kreuzen. Ich werde mich darauf 
beschränken, hier den Inhalt des folgenden Satzes (Corollar des 
Satzes XIII meiner Abhandlung) zu wiederholen, dessen directer 
Beweis im Uebrigen keine Schwierigkeit bieten würde. 

»Wenn zwei binäre Axen existiren, die zu einander nor- 
mal sind, so ist immer eine dritte vorhanden, welche normal 
zu ihrer Ebene ist«. 

Satz LIX. — Dieselben Systeme von Punkt- 
reihen und von Netz ebenen finden sich in der Schaar, 
welche von dem centrirten geraden Prisma abge- 
leitetwird, und in der Schaar, welche von demselben 
nicht centrirten geraden Prisma abgeleitet wird. 

Die Centrirung des Prismas ist nichts anderes als die 
Einschaltung eines Gitterpunktes auf die Mitte einer seiner 
vier Diagonalen. Wenn man dieselbe Einschaltung bei allen 
Prismen der Schaar durchführt, indem man immer die Diago- 
nale wählt, welche der ursprünglich genommenen parallel ist, 
so ist klar, dass man eine verdoppelte Schaar hat, in welcher 
man gemäss dem Satze LIU dieselben Systeme von Punkt- 
reihen und von Netzebenen wiederfinden muss, wie in der ur- 
sprünglichen Schaar. Folglich, etc. 



Ueber die Systeme yon regelmässig vertheilten Punkten. 77 

Ternäre Symmetrie. 

Satz LX. — In jeder Schaar, welche eine ter- 
näre Axe besitzt, hat das Netz der znr Axe nor- 
malen Netzebene dreieckige, gleichseitige Maschen. 

Sei M (Fig. 11 und Fig. 29) einer der Gitterpunkte der 
Schaar, der so gewählt ist, dass er so nahe als möglich bei 
der Axe der ternftren Symmetrie liegt, ohne indessen auf 
dieser Axe zu sein. Wir legen durch M die zur Axe nor- 
male Ebene, welche sie in O schneidet, und construiren end- 
lich das gleichseitige Dreieck MNP um O als Mittelpunkt. 

Wenn O ein Gitterpunkt der Schaar ist, so wird das 
Netz die Anordnung, welche in der Figur 11 dargestellt ist, 
zeigen; ikf', iV', P' werden auch Gitterpunkte sein, und die 
Symmetrie- Axe wird nicht nur eine ternäre, sondern, was mehr 
ist, eine senftre Axe sein. Wählen wir nämlich die Ebene 
der Figur (Fig. 11) als Ebene der xy\ es ist klar, dass das 
Netz der Ebenen 2 == 1 , 2; = 2 , . . . sich orthogonal auf [71] 
dasjenige der Ebene 2; = projiciren wird; denn indem 
man das Netz z = nach der Ebene z :=: l parallel mit ihm 
selbst bewegt, darf keiner der Gitterpunkte des Sechsecks 
MM'NN'PP sich der Axe nähern. Unter diesen Umständen 
wird die Gerade, welche duTch normal zu der Ebene der 
Figur gelegt ist, augenscheinlich eine senäre Axe sein. 

Indem wir uns diesen Fall vorbehalten, wollen wir in 
diesem und den folgenden, sich auf die einfach ternäre 
Symmetrie beziehenden Sätzen annehmen, dass der Mittelpunkt 
O (Fig. 29) des Dreiecks MNP kein Gitterpunkt der Schaar 
ist, was indessen nicht besagt, dass die durch diesen Punkt 
geführte Axe keinen einzigen Gitterpunkt enthalte. 

Das Dreieck MNP (Fig. 29), das Resultat der angegebe- 
nen Construction, wird offenbar das Haupt-Dreieck des Netzes 
sein; folglich hat das Netz dreieckige, gleichseitige Maschen. 

Satz LXI. — In jeder Schaar mit einfach ter- 
närer Symmetrie haben zwei zur ternären Axe nor- 
male Netzebenen, welche durch zwei dazwischen- 
liegende Netzebenen getrennt sind, Netze, welche sich 
orthogonal aufeinander projiciren. 

Nehmen wir die unterste dieser vier Ebenen zur Ebene 
der xy, so dass ihre Gleichung z == sei. Ich behaupte, 
dass das Netz der Ebene z :== 3 sich rechtwinklig auf das 
Netz 25 = projiciren wird. 



78 A. Bravais. 

Sei ABCDEF (Fig. 29) ein regelmässiges Sechseck, 
dessen Ecken dem Netze 2; = angehören, und errichten 
wir anf seiner Ebene, durch den Mittelpunkt O, welcher 
auch ein Gitterpunkt des Netzes ist, eine Normale, die eine 
ternäre Axe des Systems sein wird (Satz XLVII). Dann 
bringen wir parallel mit sich selbst das Netz 2; = auf die 
Ebene z = 1. Sei MNP das Haupt-Dreieck des Netzes 
z^=l, ein Dreieck, dessen Fläche durch die in O er- 
richtete Normale durchstochen wird. Die Figur zeigt 
die rechtwinklige Projection dieses Dreiecks auf die Ebene 

5f= 0. 

Wenn O mit der Projection eines der Gitterpunkte 
M, N, P zusammenfiele, so würden die Netze in den Ebenen 
2r = 0, 2; = 1 tlbereinander liegen, und die Symmetrie wäre 
senär. 

Da dieser Fall ausgeschlossen ist, so verlangt die ter- 
näre Symmetrie der in O errichteten Normale, dass mit 
dem Mittelpunkte des Dreiecks MNP zusammenfalle; und da 
letzteres Dreieck seine Seiten parallel zu AB^ AO und BO 
haben muss, so kann es nur zwei Stellungen haben, die invers 
zu einander sind, MNP und MNP'. Das Dreieck MNP, 
dessen Eckpunkte augenscheinlich mit den Centren der Form 
der Dreiecke [72] AOF, BOC, DOE zusammenfallen, 
kann angesehen werden, als entstände es aus einer Trans- 
lation, ohne Drehung, von AOB oder COD oder EOF. 
Das Dreieck M'N'P' dessen Ecken die Centren der Form 
von DOC, EOF und AOB sind, würde aus der Trans- 
lation von einem der Dreiecke BOC, DOE, FOA her- 
vorgehen. 

Nehmen wir an, dass das Netz 2; = 1 in der Projection 
das Netz mit unterbrochenen Linien MNP , . . der Figur 
sei. Dann muss, in der Raute ^OjPG, die grosse Diagonale 
O G durch M gehen , und man erhält vermöge der bekannten 
Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks OM := ^OG. 
Wenn man also den Gitterpunkt O mit dem auf der Ebene 
2; = 1 gelegenen Gitterpunkt verbindet, welcher M als Pro- 
jection hat, und den ich M^ nennen werde (der aber nicht 
in der Figur angegeben ist), so wird die schräge Gerade 0M^ 
Träger einer Punktreihe vom Parameter OM^, Indem man 
auf dieser Punktreihe eine Strecke OG^ = dOM^ abträgt, 
muss der Gitterpunkt 6, (der nicht auf der Figur markirt 
ist) offenbar seine Projection in G haben, und ausserdem 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 79 

wird er der Ebene 2; £= 3 angehören. Woraus man sieht, 
dass das Netz z = 3 sich anf das Netz z = projicirt. 

Zweiter Beweis. — Sei 0^0"' {Fig. 30) die ter- 
näre Axe, welche durch den Oitterpnnkt O geht, der als der 
Ebene 2; =3 angehörig betrachtet wird ; diese Axe wird in 
O' und O" von den Ebenen 2; = 1 , 2 = 2 geschnitten, nnd 
im Punkte O"' von der Ebene 2; = 3. Das gleichseitige 
Dreieck MNP der Figur ist die dreieckige Masche des 
Netzes der Ebene 2; = 1 , nnd es hat seinen Mittelpunkt in 
O' auf der temären Axe. 

Durch die Axe OG** und durch einen der drei Gitter- 
pnnkte Jf, iV', P', zum Beispiel durch JRf , fOhren wir die 
Ebene 3/' O 0'm\ weiche N' P in deren Mitte m! schneiden 
nnd senkrecht auf dieser Linie sein wird, üeber OP', OiV\ 
als Seiten, construiren wir den Rhombus ON'PM"^ dessen 
vierte Ecke M" der Schaar angehören wird, in der* Ebene 
2; = 2 gelegen, nnd ausserdem in der Ebene M'OO'rn! ent- 
halten sein wird. 

Man wird dann haben 

a^a' == 00' , 

OaW = 90° = 0'"0"M\ 

Also die Dreiecke OO'M' nnd O"' 0" M" sind congruent: 
folglich ist M" 0'" gleich und parallel zu 0M'\ so ist also 
O'" auch ein Qitterpunkt der Schaar (Satz XXX). Demnach 
projiciren sich die Gitterpunkte des Netzes 2; = 3 ortho- 
gonal auf diejenigen des Netzes 2; = 0. 

[73] Anmerkung. — Es ist leicht zu sehen, dass das 
punktirte Netz M' N' P , , . (Fig. 29) die orthogonale Pro- 
jection des Netzes der Ebene 2; = 2 sein wird. 

Wenn hingegen das Netz M'N'P',,. die orthogonale 
Projection des Netzes 2; = 1 gewesen wäre, dann würde MNP 
diejenige des Netzes 2; = 2 gewesen sein. 

GoroUarsatz. — Wenn man auf der Pnnktreihe OG^ 
den Gitterpunkt M^ unterdrückt, ebenso wie den anf M^ 
folgenden derselben Punktreihe, nnd wenn man dieselbe Ope- 
ration anf dem ganzen System der zu 6r, parallelen Punkt- 
reihen, welche von den Gitterpnnkten des Netzes 2; = aus- 
gehen, wiederholt, wird man die temäre Schaar in eine senäre 
Schaar verwandeln, die als Kern ein gerades Prisma mit 



gO A. Bravaifl. 

rhombischer Basis von 60 und 120 Grad haben wird. Umgekehrt 
geht man von der senären Schaar auf die entsprechende 
temäre Schaar über, die dreimal reicher an Gitterpnnkten 
ist, indem man zwei nene Gitterpankte anf jedem Parameter 
eines Ponktreihen-Systems einschaltet, welches zn einer der 
beiden grossen Diagonalen des Gmnd-Prismas von rhombischer 
Basis parallel ist. 

Aber es ist wichtig zu bemerken, dass man anf diese 
Weise zwei verschiedene Schaaren erhält, je nachdem man die 
eine oder die andere der beiden Diagonalen gewählt hat ; diese 
Schaaren haben die Eigenschaft zusammenzufallen, wenn man 
eine von ihnen um 180 Grad um die temäre Axe dreht. Also 
können aus einer und derselben senären Schaar zwei ternäre 
Schaaren entstehen, welche durch ihre Lage, im Räume ver- 
schieden sind, eine directe ternäre Schaar und eine inverse 
temäre Schaar. 

Satz LXII. — Jede Schaar mit einfach ternärer 
Symmetrie hat als Kern ein Bhomboeder. 

Nehmen wir die Figur 30 und den zweiten Beweis des 
vorigen Satzes wieder auf. Drehen wir das Parallelogramm 
OMa^'M" durch 120 Grad um 00"'] dann wird der Gitter- 
punkt Jf ' nacheinander an die Stelle von N' und P' treten, 
und der Gitterpnnkt M" wird an die Stelle von N" und P" 
treten. Nun werden, ebenso wie die vier Gitterpnnkte 
O, -ZV', P', M" einen ebenen Rhombus bilden, auch OM'N'P" 
und OM' P'N" den vorigen gleiche ebene Rhomben sein, 
und es ist klar, dass dasselbe von den drei oberen Flächen gilt. 

Der so erhaltene Körper wird also ein Rhomboeder sein, 
und da er weder in seinem Innern, noch auf seinen [74] 
Seiten oder Kanten irgend einen Gitterpunkt der Schaar ent- 
hält, so kann er als das Grundparallelepiped oder der Kern 
der Schaar angesehen werden. 

CoroUarsatz. — Man kann die Schaar auch aus einem 
der elementaren Tetraeder OM'N'P', 0'"il/"iV"P" (Fig. 30) 
ableiten; die vier Ecken genfigen, um das ganze System der 
Schaar vollständig zu bestimmen; aber dieses Tetraeder ist 
genau genommen kein Gmndkörper. 

Satz LXIII. — Jede Schaar mit ternärer Sym- 
metrie besitzt drei Symmetrie-Ebenen, welche durch 
die Axe gehen und senkrecht auf den drei Richtungen 
der Seiten des Hauptdreiecks des Netzes der zur Axe 
normalen Ebenen sind. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten, gl 

Die Figur 29 zeigt in orthogonaler Projection die drei 
Netze der Ebenen z = 0, z = 1, z = 2; alle anderen Netze 
der Ebenen z ^= p projiciren sich auf die vorigen; die Netze 
der Form z = 3/ auf das Netz z = 0^ diejenigen der Form 
z = 3j + 1 auf das Netz « = 1 , diejenigen der Form 
z = 3j J^ 2 auf das Netz z = 2. Es sei durch O die Gerade 
OMG normal zu der Seite AF gelegt, und durch diese 
Gerade eine zur Ebene der Zeichnung normale Ebene. Diese 
Ebene wird offenbar eine Symmetrie-Ebene für jedes der drei 
Netze sein; folglich wird sie auch eine Symmetrie-Ebene fär 
die Schaar sein. 

Ebenso würden die durch O normal zu den Seiten AB 
nnd BO gelegten Ebenen Symmetrie-Ebenen sein; überdies 
verlangt die ternftre Symmetrie, dass es drei Ebenen giebt. 
Folglich n. s. w. 

Die normal zu der Ebene der Zeichnung und parallel zu 
den Seiten durch O gelegten Ebenen sind keine Symmetrie- 
Ebenen der Schaar. 

Anmerkung. — Die Erystallographen bezeichnen mit 
dem Namen Hauptschnitt des Rhomboeders jede Ebene 
wie OM'm"0"'M"m! (Fig. 30), welche durch die geo- 
metrische Axe des Rhomboeders nnd durch zwei seiner sechs 
seitlichen Ecken wie M' und 3/" geht. 00'" wird die Axe 
des Rhomboeders genannt. 

Man sieht darnach, dass die drei Hauptschnitte des Rhom- 
boeders, welches einer ternären Schaar als Kern dient, Sym- 
metrie-Ebenen für diese Schaar sind. 

Satz LXIV. — In den Schaaren mit ternärer Sym- 
metrie ist jede Seite der dreieckig gleichseitigen 
Masche eines zur ternären Axe normalen Netzes eine 
binäre Axe der Schaar. 

Dies ist eine offenbare Folge aus den Sätzen LU nnd 
LXIII. Man \76] sieht es überdies deutlich auf der Fig. 29, 
indem man das Netz MNP als zur Ebene 2; = 1 gehörig 
ansieht nnd das Netz M'N'P' als zur Ebene z = — 1 ge- 
hörig. Alsdann kommt, nach einer Drehung von 180 Grad 
um die Gerade AOD, M mi P' nnd P auf 3/', u. s. w.; so 
dass das Netz 2; = 1 die Stelle des Netzes z s= — 1 einnimmt 
nnd umgekehrt. Ebenso würden sich die Netze z =p und 
z = — p für einander substituiren; folglich ist AOD eine 
binäre Axe. 

Ostwald's Elasiiker. 90. 6 



82 A. Bravais. 



Quaternäre Symmetrie. » 

Satz LXV. — In jeder Schaar mit quaternärer 
Symmetrie-Axe hat das Netz der zur qnaternären 
Axe normalen Netzebenen quadratische Maschen. 

Sei M (Fig. 31) ein Gitterpankt der Schaar, welcher in 
der kleinsten Entfernung von der qnaternären Axe, aber 
ausserhalb dieser Axe liegt. Durch M legen wir eine zur 
Axe normale Ebene, die sie in dem Punkte O schneidet; dann 
zeichnen wir in den Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem 
Radius OM ein Quadrat MM' WM"', dessen eine Ecke M 
sei; die vier Punkte M, M', M" und M'" werden dem Netz 
dieser Ebene angehören. Dann wird, wenn der Punkt O 
einer der Oitterpunkte der Schaar ist, das Netz als Grund- 
Parallelogramm das Quadrat OMmM' haben, und im ent- 
gegengesetzten Falle das Quadrat MM'M"M"', 

Satz LXVI. — Jede Schaar mit quaternärer Sym- 
metrie-Axe leitet sich aus dem geraden Prisma mit 
quadratischer Basis ab, das sowohl centrirt wie nicht 
centrirt sein kann. 

Da die quaternäre Axe offenbar alle Eigenschaften einer 
binären Axe besitzt, so wird der Kern der Schaar ein gerades 
centrirtes oder nicht centrirtes Prisma mit parallelogram- 
matischer Basis sein (Satz LV). 

Wenn das Prisma nicht centrirt ist, so werden sich alle 
Netze der Ebenen 2; = jt> auf dasjenige der zur quaternärea 
Axe normalen Ebene js == projiciren und es wird daraus 
in orthogonaler Projection die in der Figur 32 angegebene 
Anordnung folgen. 

Wenn das Prisma centrirt ist, so werden sich die Netze 
der Ebenen z = 2j auch auf das Netz mit quadratischer 
Masche z=0 projiciren; aber die Projection der Gitter- 
punkte der Ebenen 2; == 2/ + l (Fig. 32) wird auf die Mitte 
einer der drei Seiten des Haupt-Dreiecks ABCfBllen (Satz LV, 
Anmerkung I). Nun kann sie aber weder auf O' noch auf 
0" fallen; denn das über dem Quadrat AB CD, als Basis, 
errichtete gerade Prisma würde zwei seiner Seitenflächen 
centrirt haben, und die beiden [76] anderen nicht centrirt, 
ein Resultat, das augenscheinlich unvereinbar mit der Sym- 
metrie der vier durch die Gitterpunkte -dt, S, C, J) ge- 
führten qnaternären Axen sein würde. Also wird die Pro- 
jection des Netzes z = \ auf O, das heisst auf die Mittel- 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 83 

punkte der Quadrate des Netzes z = fallen , wie die 
Figur 33 es angiebt. 

GoroUarsatz I. — Der Satz LIII kann auf die quater- 
nären Schaaren angewandt werden. Dieselben Systeme von 
Punktreihen und von Netzebenen finden sich in der von dem 
geraden centrirten Prisma abgeleiteten Schaar wieder und in 
der gehälfteten Schaar, die man erhält, indem man die in die 
Gentren der Prismen gesetzten Oitterpnnkte unterdrückt. 

GoroUarsatz IL — Man kann statt des geraden cen- 
trirten Prismas mit quadratischer Basis das Oktaeder mit 
quadratischer Basis der Figur 28 nehmen; immerhin ist dieser 
Körper kein Orundkörper der Schaar. 

Satz LXVII. — In dem Falle des geraden, nicht 
centrirten Prismas mit quadratischer Basis sind die 
vier Seitenkanten quaternäre Symmetrie-Axen; die 
zu diesen parallelen Axen, welche durch die Mittel- 
punkte der quadratischen Basen geführt sind, sind 
jbenfalls quaternäre Axen, aber von der Art der- 
eenigen, die wir mit dem Namen Zwischenaxen be- 
zeichnet haben; sie enthalten keinen Gitterpunkt 
der Schaar. 

Satz LXyill. — In dem Falle des geraden, cen- 
trirten Prismas mit quadratischer Basis sind alle 
quaternären Symmetrie-Axen Punktreihen, deren 
Parameter die Höhe des Prismas ist. 

Satz LXIX. — In jeder quaternären Schaar giebt 
es Symmetrie-Ebenen, welche durch die Axe gehen, 
und von denen die einen wie die Seiten und die anderen 
wie die Diagonalen des Grund-Quadrats des Netzes 
gerichtet sind, das normal zur quaternären Axe ist. 

GoroUarsatz. — Jede Seite und jede Diagonale des 
Grund -Quadrats des zur quaternären Axe normalen Netzes 
ist eine binäre Axe der Schaar (Satz LII). g 

Definitionen. — Die zu den Seiten derQuadrate parallelen 
Axen sollen binäre Axen der ersten Art heissen, und die 
Axen, welche den Diagonalen dieser Quadrate parallel sind, 
sollen binäre Axen der zweiten Art genannt werden. Die 
ersteren haben die Seite des Quadrats und die anderen die 
Diagonale desselben als Parameter. 

[77] Diese vier Systeme von Axen schneiden sich unter 
Winkeln von 45 und 90 Grad. 

Diese verschiedenen Angaben bedürfen keines Beweises. 

6* 



g4 ^' Brayais. 



Senäre Symmetrie. 

Satz LXX. — In jeder Schaar mit senärer Axe 
hat das Netz der zar Axe normalen Ebenen dreieckig 
gleichseitige Maschen, und die verschiedenen Netze 
dieser Ebenen projiciren sich orthogonal aufeinander. 

Sei M (Fig. 11) ein ausserhalb der Axe in der kleinsten 
Entfernung genommener Gitterpunkt. Legen wir durch M 
eine zur Axe normale Ebene, die sie im Punkt O schneidet. 
Construiren wir nun das regelmässige Sechseck MM' NN' PP\ 
das seinen Mittelpunkt in O hat. Jede seiner Ecken wird 
ein Gitterpunkt der Schaar sein, und dasselbe gilt von dem 
Mittelpunkt 0. Diese Ebene wird als Ebene der zy genom- 
men ;? = als Gleichung haben. 

Auf die Netzebenen z=\j z=2^ ... ist derselbe Beweis 
anwendbar; der Schnittpunkt jeder dieser Ebenen mit der Axe 
wird auch ein Gitterpunkt sein. Also decken sich die Netze 
dieser Ebenen in orthogonaler Projection mit dem Netze der 
Ebene z = 0. Ueberdies ist es klar, dass diese Netze drei- 
eckig gleichseitige Maschen haben. 

CoroUarsatz. — Die senäre Axe ist eine der Punkt- 
reihen der Schaar, und diese Punktreihe ist zu ihrer normalen 
Ebene conjngirt. 

Satz LXXI. — Jede Schaar mit senärer Sym- 
metrie-Axe leitet sich ab aus einem geraden Prisma 
mit dreieckig gleichseitiger Basis. 

Dies ist eine Folge des vorhergehenden CoroUarsatzes. 
Wenn man auf dem Rhombus OMMN (Fig. 11) ein gerades 
Prisma errichtet, das als Höhe das Intervall hat, welches die 
Ebene z = o von der Ebene ;? = 1 trennt, so wird dieser 
Körper das Qrundparallelepiped der Schaar sein, weil OM 
und ON zwei conjugirte Punktreihen des Netzes der Ebene 
OMM'N^mä. 

Das gerade Prisma von gleicher Höhe und mit drei- 
eckiger Basis OMM' kann auch als Grundkörper der Schaar 
genommen werden. 

Corel larsätze. — Alle zur senären Axe parallelen Pankt- 
reihen sind aach senäre Axen. 

[78] Jede zur senären Axe Parallele, welche durch den 
Mittelpunkt eines der gleichseitigen Dreiecke des zur Axe 



lieber die Systeme von regelmässig yertheilten Punkten. 85 

normalen Netzes gelegt ist^ ist eine Zwischenaxe, deren Sym- 
metrie temär ist. 

Jede zur senären Axe Parallele, welche durch die Mitte 
einer der Seiten der gleichseitigen Dreiecke des Netzes z=Q 
gelegt ist, ist ebenfalls eine Zwischenaxe, aber von binärer 
Symmetrie. 

Alle zur senären Axe normalen Netzebenen sind Sym- 
metrie-Ebenen. 

Alle Netzebenen, welche dnrch die senäre Axe gehen 
nnd den Seiten der Dreiecke des Netzes ;? = parallel liegen, 
sind Symmetrie- Ebenen. Es giebt drei verschiedene Systeme 
solcher Ebenen. 

Alle Netzebenen, welche dnrch die senäre Axe gehen nnd 
senkrecht auf den Seiten der Dreiecke des Netzes z = 
stehen, sind auch Symmetrie-Ebenen. Es giebt drei ver- 
schiedene Systeme solcher Ebenen. 

In jedem der gleichseitigen Dreiecke des Netzes z = 
ist jede Seite eine binäre Symmetrie-Axe der Schaar. Es 
giebt drei Systeme solcher Axen und die Axen sind von der- 
selben Art. 

In den nämlichen Dreiecken ist jede auf eine Seite ge- 
fällte Senkrechte, welche dnrch die entgegengesetzte Ecke 
gelegt ist, auch eine binäre Symmetrieaxe. Es giebt drei 
Systeme solcher Axen; diese Axen sind von gleicher Art 
unter einander, aber von verschiedener Art als die vorher- 
gehenden. 

Definitionen. — Die zu den Seiten parallelen Axen 
sollen binäre Axen der ersten Art heissen; die auf den 
Seiten senkrechten Axen, deren Parameter die grosse Diagonale 
des Grund-Rhombus des Netzes z = ist, sollen binäre Axen 
der zweiten Art genannt werden. 

Diese sechs Axen-Systeme schneiden sich unter einander 
nnter Winkeln von 30, 60 nnd 90 Grad. 

Satz LXXU. — Wenn man in einer Schaar von 
einfach ternärer Symnietrie nnter den Netzen der 
zur Axe normalen Netzebenen diejenigen wegnimmt, 
welche eine nicht durch drei theilbare Ordnungszahl 
haben, so erhält man eine Schaar von senärer Sym- 
metrie; alle Punktreihen nnd Netzebenen der ur- 
sprtinglichen Schaar finden sich in der neuen Schaar 
wieder. 



g6 A. Bravais. 

Der erste Theil des ausgesprochenen Lehrsatzes ist be- 
reits bewiesen (Satz LXI, Gorollarsatz). Die angegebene Weg- 
nahme kommt darauf hinaus , [79] zwei Gitterpnnkte von je 
dreien anf jeder der grossen Diagonalen der geraden Grnnd- 
Prismen mit rhombischer Basis zn beseitigen. Nun haben 
wir aber gesehen (Satz LIII), dass die Einschaltang. von neuen 
Gitterpunkten oder die Beseitigung der eingeschobenen Gitter- 
punkte in einem System von parallelen Pnnktreihen die ver- 
schiedenen Systeme der Pnnktreihen oder, der Netzebenen 
nicht ändert, wenigstens was die Richtung dieser Systeme 
anbetrifft. 

Die Beseitigung der Ebenen mit Indices, die nicht Viel- 
fache von 3 sind, modificirt die Systeme der Pnnktreihen, 
sei es indem es ihre Dichtigkeit dreimal geringer macht, sei 
es indem es ihren Parameter dreimal grösser macht. Sie 
modificirt die Systeme der Netzebenen, sei es indem sie 
die Dicke der Schichten verdreifacht, sei es indem sie den 
Flächeninhalt der Grundmasche der Netze dieser Ebenen 
verdreifacht. 



Terquatemäre Symmetrie. 

Der Inhalt der folgenden Lehrsätze und die Definition 
auf Seite 94 werden zeigen, was man unter terquaternärer 
Symmetrie zu verstehen hat. 

Satz LXXin. — Wenn eine Schaar zwei Axenvon 
ternärer Symmetrie besitzt, die nicht parallel sind, 
so besitzt sie deren vier, welche wie die vier grossen 
Diagonalen eines Würfels angeordnet sind, das heisst 
sich unter dem Winkel 70° 31' 44" schneiden, dessen 
Cosinus gleich 4^. ist, und sie kann keine grössere 
Zahl von diesen Axen besitzen. 

Seien OA und OB (Fig. 34) die beiden gegebenen Sym- 
metrieaxen, welche von demselben Gitterpunkte ausgehen, 
und verlängern wir sie, bis sie die Kugel mit dem Centrum 
und dem Radius gleich 1 treff'en. Schlagen wir den Bogen 
des grössten Kreises AB, und lassen wir das System OAB 
sich durch 120 Grad um OB drehen, bis es nach OCB 
kommt, dann durch 120 Grad um OC, etc. Auf diesem Wege 
werden wir leicht beweisen, dass die ternären Axen entweder 
wie die vier Diagonalen eines Würfels oder wie die zehn 
Diagonalen eines regelmässigen Dodekaeders angeordnet sind; 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 87 

aber wenn man den Mittelpunkt des so erhaltenen regel- 
mässigen sphärischen Polygons ABCD ..,u) nennt (Fig. 34)^ 
so mnss Oo) auch eine Symmetrieaxe der Art sein, dass die 
Wiederherstellung der Oitterpunkte sich nach einer Drehung 
dnrch den Winkel AwC um Ooj vollzieht. Nun würde man 
in dem Falle des regelmässigen Dodekaeders haben 

AwC= 144°, 

[80] ein Winkel, der niemals die Orte der Oitterpunkte wieder- 
herstellen kann (siehe den Corollarsatz zum Satze XL VI). Also 
muss der Fall der zehn ternären Axen, die wie die Diagonalen 
eines regelmässigen Dodekaeders liegen, ausgeschlossen werden; 
folglich etc. 

Diejenigen unserer Leser, welche einen ausführlicheren 
Beweis dieses Satzes wünschen sollten, finden ihn in meiner 
»Abhandlung über die Polyeder von symmetrischer Form«. 
Ich beschränke mich darauf, an das, was ich in dieser Ab- 
handlung bewiesen habe, zu erinnern: 

1. Wenn in einem Polyeder zwei Axen von höherer 
Ordnung als der zweiten vorkommen, so ist das Polyeder 
sphäroedrisch (Satz XL der angeführten Abhandlung); 

2. Dass zwei Gruppen von sphäroedrischen Polyedern 
existiren, die quaterternären mit vier ternären Axen, die so 
zu einander liegen wie die vier Diagonalen eines Würfels, und 
die deceinternären mit zehn ternären Axen, die zu einander 
liegen wie die zehn Diagonalen eines regelmässigen Dode- 
kaeders. (Corollarsatz zu Satz XLIII derselben Abhandlung) ; 

3. Dass die decemternären Polyeder zugleich zehn 
quinäre Axen haben (Satz LH derselben Abhandlung). 

Da die Schaaren niemals quinäre Axen besitzen können, 
so können sie folglich nicht zehn ternäre Axen haben. 

Daraus folgt offenbar, dass eine jede Schaar, welche zwei 
ternäre Axen hat, in die Kategorie der quaterternären 
Polyeder gehört, und sogar in die specielle Art der quater- 
ternären Polyeder mit Symmetrie-Centrum, weil jeder Gitter-^ 
Punkt einer Schaar als ihr Symmetrie-Centrum genommen 
werden kann. So ist also der vorliegende Satz vollständig 
bewiesen. 

Satz LXXIV. — Die Yerbindungs-Ebene von zwei 
ternären, nicht parallelen Axen ist eine Symmetrie- 
Ebene der Schaar. 



88 A. Bravais. 

Seien OA (Fig. 35) die eine dieser Axen, und OB die 
zweite. Um den Oitterpunkt O beschreibe man mit dem Radius 
OA gleich 1 eine Engel, ziehe den Bogen grössten Kreises 
AB und die Bögen grösster Kreise ACund ADj so dass man 

BAC= 120°, BAD= 120°, AC=AD = AB 

hat. Durch OA gehen drei Symmetrie-Ebenen, welche die 
Kugel nach drei grössten Kreisen schneiden werden (SatzLXIII). 
Wenn diese Ebenen nicht [81] wie AB, AC und AD ge- 
richtet wären, würden sie es wie Ab, Ac und Ad sein; 
jB, C, D würden Homologe in JB', C", D' haben; so würden 
also nicht nur OB, 00 und OB ternäre Axen sein, sondern 
dasselbe würde der Fall sein für OJB', 0C\ OD', was dem 
vorhergehenden Satze zuwider wäre. Folglich sind GAB, 
OAC, OAD Symmetrie-Ebenen; es sind überdies die drei 
Hauptschnitte des Orund-Bhomboeders, dessen Axe wie OA 
gerichtet ist. 

Satz LXXV. — Die Halbirenden der Winkel 
70° 31' 44" und 109° 28' 16", welche zwei ternäre Axen 
miteinander bilden, sind Symmetrieaxen für das Netz 
der Netzebene, welche diese beiden Axen verbindet. 

Der Beweis dieses Satzes wird leicht aus den Principien 
gefolgert, welche ich in meiner »Abhandlung über die Poly- 
eder von symmetrischer Form« niedergelegt habe. Denn es 
folgt daraus, dass die Halbirende des stumpfen Winkels 
(109° 28' 16") von zwei ternären Axen eines quaterternären 
Polyeders immer eine binäre oder qaaternäre Symmetrie- 
Axe des Polyeders ist (Satz XLIV jener Abhandlung); also 
ist diese Winkelhalbirende eine Symmetrieaxe für die Netze 
aller Netzebenen, welche durch diese Gerade gehen. Die 
Halbirende des spitzen Winkels der beiden ternären Axen 
wird also auch eine Symmetrieaxe des Netzes ihrer Ebene 
sein (Satz XII). 

Aufgabe XXIX. — Die Schaaren zu finden, welche 
vier Axen von ternärer Symmetrie besitzen. 

In irgend einer Schaar mit rhomboedrischem Kerne sei 
00' (Fig. 36) die ternäre Axe mit 00' als Parameter; 
und O' sind zwei 6itterpunkte und einer der drei Hauptschnitte 
ist zur Ebene der Zeichnung genommen. Sei ^O^' O' dieser 
Hauptschnitt. Wenn man sich durch die Gitterpunkte O, A, A' 
und O' zur Axe normale Ebenen GOH, AmB, A'm'B' 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 89 

und G' O' H' gelegt denkt, so können diese Ebenen angesehen 
werden, als hätten sie als Gleichungen 

;2;=:0, Z=lj Z=2j ^=3; 

sie theilen also den Parameter der Axe 0' in drei gleiche 
Theile. 

Nennen wir jetzt 

fi den Winkel des Rhomboeders, das heisst den Winkel, 
den zwei Seitenflächen dieses Rhomboeders miteinander bilden, 
welche alle beide durch O oder alle beide durch O' gehen; 
[82] a den Parameter der binären Axen der Schaar, das 
heisst die Länge der Seiten des gleichseitigen Dreiecks, das 
die Masche des Netzes der Ebenen 2 = 0, z = 1, ... bildet; 

d den Parameter der ternären Axe, das heisst die 
Länge 00\ 

Es ist leicht zu sehen, dass man, welches auch der 
Winkel fi des Rhomboeders sein mag. 

Am = A'm! = Y\a , 
Om == mm' =?= O'm' = \d 

haben wird; der Winkel ii hängt von dem Verhältniss ab, 
das zwischen den Parametern a und d besteht, und man findet 
ebenso leicht, dass diese Abhängigkeit durch die Formel 

(62) tang*i^=J + i 

ausgedrückt wird. 

Nach dieser Einleitung, die sich auf alle ternären Schaaren 
anwenden lässt, suchen wir die Bedingung, unter der die 
Schaar vier ternäre Axen besitzt. 

Nehmen wir zur Ebene der Zeichnung die Verbindungs- 
ebene von 0* mit der zweiten ternären Axe, welche OA 
sein wird. Man weiss, 1. dass diese Ebene einer der drei 
Hauptschnitte des Rhomboeders mit der Axe 00* sein wird 
(Satz LXXIV); 2. dass man haben mnss 

cos mOA=\ (Satz LXXUI), 

woraus folgt, dass 

OA = ^Om= Off 

ist; 3. dass die Halbirende OM des Winkels AOO' eine 
Symmetrieaxe des Netzes der Ebene der Figur ist (Satz LXXV). 



90 A. firavais. 

Man sieht hierauB, dass, wenn man AM parallel mit 
Oa zieht und O'M parallel mit OA, die Figur OAMO' 
ein Rhombus sein wird, dessen vier Ecken Gitterpunkte sein 
werden, die dem Netz der Zeichnungs-Ebene angehören, und 
dessen Diagonalen OM, AC/ Symmetrieaxen des Netzes sein 
werden (Satz LXXV). Wenn man jetzt 0^4 in drei gleiche 
Theile On, nvl und ri A theilt, werden die zu OA normalen 
Ebenen, welche durch O, n^ ri und A gehen, die Halbirende 
OMvdl (7, B* und N schneiden. Da die Oitterpunkte unseres 
Netzes sich nur befinden können einerseits auf dem System 
der Punktreihen G' O' H\ A'm'B\ BmA, andererseits [83] 
auf dem System der Punktreihen APN, n' RB' Q, nCO\ 
so dürfen diese Oitterpunkte nur auf den Durchschnittspunkten 
dieser Geraden gesucht werden. Aber zuvörderst ist es klar, 
dass die vier Punkte Hj P, Qy D' der Schaar. nicht ange- 
hören können; denn wenn das für den Punkt D' der Fall 
wäre, so würde er, wenn man ihn um 120 Grad um OO' 
drehte, an einen solchen Ort des Raumes kommen, dass er u 
als Projection auf der Ebene der Figur haben würde, und in 
dem Innern der Schicht gelegen wäre, die zwischen den beiden 
durch O und n normal zu OA gelegten Ebenen einge-. 
schlössen ist, was augenscheinlich unmöglich ist. Also können 
nur die Punkte 0, B', N Gitterpunkte in dem Innern des 
Rhombus OAMO' sein. Folglich beschränkt sich die Zahl der 
Lösungen auf drei, wobei der Parameter der Punktreihe O CB'M 
noth wendiger Weise gleich 03f oder gleich OB'=^^OM 
oder gleich OC=\OM ist. 

Erste Lösung. — Der Parameter der Punktreihe 
auf der Halbirenden ist gleich OM. Das Parallelo- 
gramm AOA'O' ist alsdann der Hauptschnitt des Rhom«- 
boeders mit 00* als Axe. 

Dieses Rhomboeder ist vollständig bestimmt durch die 
Gleichung 

Am = OA — Om = f e?, 
woraus man findet 

a* = 3 Am = | dP, 
tang* | ^ = 3 , ju = 120° . 

Die aus dem Rhomboeder von 120° sich ableitende Schaar, 
auf welche wir so geführt sind, kann erhalten werden, indem 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 9 t 

alle Würfel einer Schaar mit cnbischem Kern centrirt werden. 
In der That kann der Pnnkt O als der niedrigste Oitterpnnkt 
eines Würfels angesehen werden, dessen Mittelpunkt in (X und 
dessen höchster Gitterpunkt in & wäre. Das Parallelogramm 
OA' O' M wäre dessen Hanptschnitt, der durch die Diagonale 
00" gelegt ist; der Gitterpunkt A wäre der Mittelpunkt 
eines der sechs Würfel, welche sich an die Seiten des Würfels 
OA'O'M anschmiegen. 

Zweite Lösung. — Der Parameter der Punkt- 
reihe auf der Halbirenden ist gleich Off. Das Recht- 
eck OB'O'B ist alsdann der Hauptschnitt des Rhomboeders, 
das 00* als Axe hat. Da die Kante O'B' des Rhomboeders 
normal zu der Seitenfläche ist, die O' B als Spur hat, so sieht 
man, dass das entsprechende Rhomboeder ein [84] Würfel 
ist. Man würde dieses Resultat anch aus den Formeln ableiten 

a« = 3 'Bm = | 'Am = f es?* , 
tangHA^ = i4-i=l, A^ = 90°. 

Dritte Lösung. — Der Parameter der Punktreihe 
auf der Halbirenden ist gleich 00. In diesem Falle 
sind O, C, jB', iVund iüf Gitterpunkte der Schaar. Der Haupt- 
schnitt ist OCO'C. Man hat alsdann 

a} = 3 'Cm = IBm* = ^ rf' , 
tanff^ i^ = ^ + | = ^, ^= 70°3r 44". 

Aus dem Werthe 70° 31' 44" des Flächen winkeis des 
Grund-Rhomboeders erkennt man, dass seine beiden End- 
iabschnitte oben und unten zwei regelmässige Tetraeder sind. 
Man hat überdies 

OC* = Om* 4- 'Cm* = 1 d* + \ rf* = trf« = a*, 

was hinlänglich beweist, dass die drei Seitenflächen dieses 
Tetraeders gleichseitige Dreiecke sind. 

Die Gitterpunkte 0, C liegen in den Mittelpunkten von 
zwei der Seiten des Würfels, dessen Hauptschnitt OBO'B' 
ist; die vier Gitterpunkte, welche sich rechtwinklig nach Z> 
und D' auf die Ebene der Zeichnung pröjiciren, befinden 
sich in den Centren der vier anderen Seiten desselben Würfels. 
So kann man sich also die vorliegende Schaar als aus einem 



92 A. Bravais. 

Würfel abgeleitet denken, dessen sechs Seitenflächen centrirt 
sind. 

Znsammengefasst lautet unser Ergebniss: Der Würfel, 
das Rhomboeder von 120° (das Rhomboeder, das Kanten des 
Würfels gerade abstumpft, nach der Ausdrucksweise derErystallo* 
graphen) und das Rhomboeder von 70° 31' 44" (von dem der 
Würfel Kanten gerade abstumpft) sind die einzigen Rhomboeder, 
welche als Kern einer Schaar dienen können, die vier ternäre 
Axen besitzt. 

SatzLXXVI. — Die Schaaren, welche vier ternäre 
Axen besitzen, besitzen auch drei quaternäre Axen. 

Man kann an die Stelle der drei Rhomboeder, die wir 
eben erhalten haben, den centrirten Würfel, den nicht cen- 
trirten Würfel und den Würfel mit sechs centrirten Seiten 
setzen. Nun besitzt jeder dieser Körper augenscheinlich drei 
quaternäre Axen; dies sind die Linien [85], welche Mitten 
der einander gegenüber liegenden Seiten dieser Würfel paar- 
weise verbinden. Diese quaternären Axen sind zu einander 
rechtwinklig. 

Satz LXXVII. — Wenn zwei Axen von quater- 
närer Symmetrie vorhanden sind, so giebt es deren 
drei, welche rechtwinklig zusammenstossen, und es 
kann keine grössere Anzahl geben. 

Dieser Satz Hesse sich beweisen wie der Satz LXXIII. 
Die Schnittpunkte der Axen mit der Kugel vom Radius 1 
bilden ein System von sechs Punkten, die so vertheilt sind, 
dass sie die Ecken eines regelmässigen eingeschriebenen Okta- 
eders vorstellen; folglich u. s. w. 

Der Satz ist überdies eine unmittelbare Folgerung aus dem 
Satze XLI meiner > Abhandlung über die Polyeder von sym- 
metrischer Form«. 

Aufgabe XXX. — Die Schaaren zu finden, welche 
drei quaternäre Axen besitzen. 

Der Grund-Körper jeder Schaar mit einer quaternären 
Axe ist ein gerades Prisma mit quadratischer Basis, das 
cenlrirt oder nicht centrirt ist (Satz LXVI). Sei nun OA CB 
(Fig. 37) die Basis dieses Prismas, wobei O, A^ C, B Qitter- 
punkte der Schaar sind. 

Sei a der Parameter der Punktreihen, welche den Seiten 
dieses Quadrats gleich gerichtet sind, 

d der Parameter der normal zu seiner Ebene gerichteten 
Punktreihen. 



Ueber die Systeme von regelmässig vcrtbeilten Punkten. 93 

Die beiden quaternären Axen, über die noch zu verfügen 
ist, liegen nothwendiger Weise in der Ebene OACB (Satz 
LXXVII); sie sind folglich entweder wie OA and OB^ oder 
wie und OOE gerichtet; sonst würde die binäre Sym- 
metrie, welche die letzteren Linien besitzen (Satz LXIX, 
Coroüarsatz), die Zahl der quaternären Axen verdoppeln, was 
dem Satz LXXVII widersprechen würde. Hieraus ergeben sich 
die drei folgenden Lösungen: 

Erste Lösung. — Wenn das Prisma nicht centrirt 
ist, so können die in der Ebene der Zeichnung liegenden 
Axen nicht OG und GOE sein; denn eine Drehung von 90° 
um OC würde A in das Innere des prismatischen Raumes 
führen, welcher OACB zur Basis hat, und der frei von jedem 
Oitterpunkt in seinem Innern bleiben muss. Aber man kann 
OA und OB als quaternäre Axen nehmen, und indem man 
OAOB um 90 Grad um OA dreht, erhält man, wie man sieht, 

d = a. 

Also ist in diesem Fall der Grund-Körper ein nicht cen- 
trirter Würfel. 

[86] Zweite Lösung. — Wenn das Prisma centrirt 
ist, sei D sein Mittelpunkt (der nicht auf der Zeichnung 
markirt ist), welcher sich orthogonal auf d, das Centrum des 
Quadrats OACB projicirt. 

Wenn die quaternären Axen, über die zu verfügen ist, 
alsdann wie OA und OB gerichtet sind, so wird eine Drehung 
der Figur OACB durch 90 Grad um O^ wie vorhin ergeben 

a = d. 

Der Punkt D wird den Mittelpunkt des Würfels, der OA CB 
als Basis hat, einnehmen; der Grund-Eörper ist alsdann ein 
centrirter Würfel. 

Dritte Lösung. — Wenn endlich die verfügbaren 
quaternären Axen OC und GOE sind, wird nach einer 
Drehung von 90 Grad um OC ^ nach Z> kommen; woraus 
man folgert 

Dd=Ad = ayi, 

und indem man diese Höhe verdoppelt, erhält man die Höhe 
des Grund-Prismas, nämlich 



94 A. Bravais. 

Aber wenn man dann das Quadrat OCFE als Basis nimmt, 
verwandelt « sich das Prisma angenscheinlich in einen auf 
seinen sechs Flächen centrirten Würfel. 

Corollarsatz. — Die drei Arten von Schaaren, welche 
die Lösung der Aufgabe XXX liefert, stimmen ttberein mit 
den drei Arten von Schaaren, welche die Lösung der Auf- 
gabe XXDC liefert. 

Es folgt daraus, dass die Schaaren, welche drei quater- 
näre Symmetrie- Axen besitzen, vier ternäre Symmetrie-Axen 
besitzen und umgekehrt. 

Satz LXXVIIL — JedeSchaar, welche zu gleicher 
Zeit eine ternäre Axe und eine quaternäre Axe be- 
sitzt, hat drei quaternäre und vier ternäre Axen. 

Die drei quaternären Axen sind eine Folge der Symmetrie, 
welche der gegebenen ternären Axe eigen ist; die Schaar be- 
sitzt also auch vier ternäre Axen (vorhergehender Corollarsatz). 

Definition. — Wir werden künftig die drei Arten von 
Schaaren, deren Existenz wir festgestellt haben, und die zu 
gleicher Zeit drei quaternäre und vier ternäre Axen besitzen, 
terquaternäre Schaaren nennen [87]. Die Symmetrie, 
welche diese Schaaren charakterisirt, soll terquaternäre 
Symmetrie heissen. Das gleichzeitige Vorhandensein von 
zwei dieser sieben Axen genügt, um die terquaternäre Sym- 
metrie festzustellen. 

Satz LXXIX. — Jede terquaternäre Schaar be- 
sitzt sechs binäre Axen, welche die rechten Winkel, 
die von den paarweise verbundenen quaternären 
Axen gebildet werden, halbiren. 

Seien x' Ox^ y' Oy und z' Oz (Fig. 42) drei quaternäre 
Axen, die sich im Gitterpunkt O schneiden. Die Symmetrie 
der quaternären Axe Oz verlangt, dass die beiden Halbirenden 
der Winkel xOy. x' Oy binäre Axen seien (Satz LXIX, 
Corollarsatz). Dasselbe würde für die vier anderen Winkel- 
halbirenden der Fall sein. 

Satz LXXX. — Jede terquaternäre Schaar besitzt 
drei Symmetrie-Ebenen, welche die quaternären 
Axen paarweise verbinden, und sechs andere Sym- 
metrie-Ebenen, welche die ternären Axen paarweise 
verbinden, aber von anderer Art als die drei vorigen 
sind. 

Das Vorhandensein der drei quaternären Axen fordert, 
dass die zu diesen Ajcen normalen Netzebenen Symmetrie- 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 95 

Ebenen der Schaar seien (Satz LU). Die sechs binären 
Axen verlangen ebenso sechs Symmetrie-Ebenen , welche zu 
ihnen normal sein müssen; übrigens hat man schon gesehen 
(Satz LXXIV), dass die Yerbindnngs-Ebene von zwei temären 
Axen eine Symmetrie-Ebene ist: eine solche Ebene ist offen- 
bar normal zu einer der sechs binären Axen des Systems. 

Anmerkung. — Um sich die gegenseitige Stellung 
dieser Axen und Ebenen vorzustellen, kann man einen Würfel 
betrachten, dessen Mittelpunkt der Punkt ist, in dem sie sich 
treffen. Die vier Diagonalen des Würfels sind die ternären Axen; 
die drei Geraden, welche die Mitten der einander gegenüber- 
liegenden Seiten paarweise verbinden, sind die quaternären Axen ; 
die sechs Geraden, welche die Mitten der einander gegenüber- 
liegenden Kanten paarweise verbinden, sind die binären Axen; 
die Ebenen, welche durch den Mittelpunkt parallel zu den 
Seitenflächen gelegt werden, sind die drei Symmetrie-Ebenen 
der ersten Art; und die Ebenen, welche durch zwei gegen- 
überliegende Kanten gelegt werden, sind die sechs Symmetrie- 
Ebenen der zweiten Art. 

Man kann auch die Oberfläche der Kugel mit Hülfe von 
drei grössten Kreisen in acht Dreiecke mit drei rechten 
Winkeln theilen: die Ecken Q, Q', Q", . . . dieser Dreiecke 
sind alsdann die äusseren Enden von quaternären Axen; 
die Mittelpunkte [88] T, T\ T'\ . . . dieser selben Dreiecke 
sind die äusseren Enden von ternären Axen, und die Mitten 
jB, B\ B"j . . . ihrer Seiten sind die äussersten Enden von 
binären Axen. 

Wenn man sich darauf beschränkt, nur die kleinsten der 
von diesen Axen gebildeten Winkel zu beachten, und indem 
man den Mittelpunkt der Kugel O nennt, erhält man die 
folgenden Beziehungen der Winkel: 

QOQ' = 90°, QOT= 54°44'8", 

TOT = 70°31'44", QOB = 45° , 

BOB' = 60°, TOB= 35° 15' 52". 

Satz LXXXI. — Wenn in einer Schaar eine senäre 
Symmetrie-Axe vorkommt, so kann es darin keine 
andere Axe geben als binäre, welche in der zu dieser 
Axe normalen Ebene gelegen sind. 

Zunächst können vor allem nicht gleichzeitig zwei senäre 
Axen existiren, weil es kein regelmässiges Polyeder giebt, 



96 A. Bravais. 

dessen EaDtenwinkel zn sechsen in jeder Ecke znsammenstossen 
(siehe die Beweise der Sätze LXXIII und LXXYII, oder 
besser noch den Satz XLI meiner »Abhandlung über die 
Polyeder von symmetrischer Form«), 

Wenn in der Schaar eine temäre oder qnatemäre, oder 
selbst eine zu der senären Axe schrägliegende binäre Axe 
vorkäme, so würde die dieser Axe eigene Symmetrie die senäre 
Axe zwingen ; sich zu wiederholen, und es würde in der Schaar 
wenigstens zwei senäre Axen geben, was nach der vorher- 
gehenden Bemerkung nicht möglich ist. 

Classification der symmetrischen Schaaren. 

In Bezog auf ihre Symmetrie kann man sieben Classen 
von Schaaren unterscheiden, die ich in folgender Weise bezeichne: 

Erste Classe. — Terquatemäre Schaaren. Drei quater- 
näre Axen, vier ternäre Axen und sechs binäre Axen, welche 
wie die Linien angeordnet sind, die in einem Würfel die 
Oentren der Gegenseiten, die Gegenecken und die Mitten der 
Gegenkanten paarweise verbinden. Drei zu den qaaternären 
Axen normale Symmeti'ie-Ebenen; sechs zu den binären Axen 
normale Symmetrie-Ebenen, 

Drei verschiedene Arten von Anordnungen: 
1. Der Würfel; ■ • 
[89] 2. Der centrirte Würfel, an dessen Stelle man das 
Rhomboeder von 120 Grad setzen kann; 

3. Der Würfel mit centrirten Flächen, statt dessen man 
das Rhomboeder von 70^31' 44", oder das centrirte Prisma 
mit quadratischer Basis setzen kann, dessen Höhe gleich ist 
der Seite der Basis multiplicirt mit Vi , Das regelmässige 
Tetraeder und das regelmässige Oktaeder können auch zur 
Ableitung dieser dritten Art dienen. 

Zweite Classe. — Senäre Schaaren. Eine senäre Axe, 
die normal zu einer Netzebene ist, deren Netz dreieckige, 
gleichseitige Maschen besitzt; drei binäre Axen einer ersten 
Art, den Seiten des Haupt-Dreiecks parallel; drei binäre Axen 
einer zweiten Art, den Höhen parallel. 

Eine Symmetrieebene, normal zu der senären Axe; drei 
Symmetrieebenen von einer Art, normal zu den binären Axen 
der ersten Art; drei Symmetrieebenen einer anderen Art, 
normal zu den binären Axen der zweiten Art. 



üeber die Systeme von regelmässig vertbeilten Punkten. 97 

Eine einzige Art der Anordnung , angegeben dnrcb die 
sechs Ecken eines geraden Prismas mit dreieckig gleichseitiger 
Basis. Das Grund -Parallelepiped ist ein gerades Prisma, 
dessen Basis ein Khombns von 60 nnd 120 Grad ist. 

Dritte Classe. — Qnatemäre Schaaren. Eine quaternäre 
Axe, die normal zu einer Netzebene ist, deren Netz quadra- 
tische Maschen besitzt; zwei binäre Axen einer ersten Art, 
parallel zu den Seiten dieses Quadrats; zwei binäre Axen 
einer zweiten Art, parallel zu den Diagonalen. 

Eine zu der quaternären Axe normale Symmetrieebene; 
zwei Symmetrieebenen von einer Art, normal zu den binären 
Axen der ersten Art; zwei Symmetrieebenen einer anderen Art, 
normal zu den binären Axen der zweiten Art. 

Zwei verschiedene Arten von Anordnungen: 

1. Das gerade Prisma mit quadratischer Basis; 

2. Das centrirte gerade Prisma mit quadratischer Basis; 
man kann statt dessen ein gerades Oktaeder mit quadratischer 
Basis nehmen. 

Vierte Classe. — Ternäre Schaaren. Eine ternäre Axe, 
normal zu einer Netzebene, deren Netz dreieckig gleichseitige 
Maschen besitzt; drei binäre Axen von einer Art, parallel zu 
den Seiten des Haupt-Dreiecks. 

Drei Symmetrieebenen, welche durch die ternäre Axe 
gehen und senkrecht auf den binären Axen sind. 

[90] Eine einzige Art der Anordnung , die durch die 
acht Ecken eines Rhomboeders angegeben ist. 

Fünfte Classe. — Terbinäre Schaaren. Drei binäre 
Symmetrieaxen, zu einander rechtwinklig und alle drei von 
verschiedener Art; drei Symmetrieebenen, welche diese Axen 
paarweise verbinden. 

Vier verschiedene Arten von Anordnungen: 

1. Das gerade Prisma mit rechteckiger Basis; 

2. Das centrirte gerade Prisma mit rechteckiger Basis; 
man kann statt dessen das gerade Oktaeder mit rechteckiger 
Basis nehmen; 

3. Das gerade Prisma mit rhombischer Basis; man kann 
dafflr ein gerades Prisma mit rechteckiger Basis nehmen, das 
auf seinen beiden Grundflächen, oder auf zwei seiner Seiten- 
flächen, die parallel und einander gegenüber liegend sind, 
centrirt ist; 

4. Das centrirte gerade Prisma mit rhombischer Basis; 

Ostwald'B Klassiker. 00. ^ . 7 



98 



A. Bravais. 



man kann statt seiner ein gerades Oktaeder mit rhombischer 
Basis nehiyen; dessen drei Hanptschnitte Rhomben sind. 

Sechste Classe. — Binäre Schaaren. Eine einzige bi- 
näre Symmetrieaxe; eine einzige Symmetrieebene, die zu der 
Axe normal ist, und deren Netz als Haupt-Dreieck irgend ein 
spitzwinkliges Dreieck hat. 

Zwei verschiedene Arten von Anordnungen: 

1. Das gerade, nicht centrirte Prisma mit parallelogram- 
matischer Basis; 

2. Das gerade centrirte Prisma mit parallelogrammati- 
scher Basis; man kann statt dessen das gerade Prisma mit 
parallelogrammatischer Basis nehmen, das zwei centrirte Seiten- 
flächen hat. 

Siebente Classe. — Asymmetrische Schaaren. Keine 
Axe, keine Symmetriebene. 

Eine einzige Art der Anordnung: 

Das schiefe Prisma mit parallelogrammatischer Basis. 

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Symmetrie- 
axen in den verschiedenen Classen der Schaaren: 

[91] 







Zahl der Axen 




Gesammt- 


Schaaren. 




A 




zahl der 












senäre. 


quaternäre. 


temäre. 


binäre. 


Axen. 


Terquatemäre 





3 


4 


6 


13 


Senäre 


1 








6 


7 


Quatemäre . . 





1 





4 


5 


Temäre .... 








1 


3 


4 


Terbinäre . . . 











3 


3 


Binäre 











1 


1 


Asymmetrische 


















Man sieht aus dieser Tabelle, dass die Gesammtzahl der 
Axen genügt, um jede dieser Classen vollständig zu definiren, 
da sie noth wendiger Weise eine der sieben Zahlen 13, 7, 
5, 4, 3, 1, sein muss; die erste dieser Zahlen drückt den 
höchsten Grad der Symmetrie aus, der in einer Schaar vor- 
kommen kann. 
i^'-j^ In Beziehung auf die Art der Axen wird man bemerken: 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 99 



1. Dass die quatemären Axen immer von derselben Art 
sind ; 

2. Dass dasselbe der Fall bei den temären Axen ist; 

3. Aber dass bei den binären Axen es nicht immer so ist. 
Wir wollen binäre Axen der ersten Art diejenigen mit 

dem kleinsten Parameter nennen; binäre Axen der zweiten 
Art diejenigen, deren Parameter grösser ist als der der Axen 
der ersten Art, aber kleiner als derjenige der Axen der dritten 
Art, wenn letztere Axen in der Sehaar vorhanden sind ; binäre 
Axen der dritten Art solche mit allergrösstem Parameter. 

Die folgende Tabelle zeigt die Vertheilnng der binären 
Axen nach den Arten fttr jede unserer ersten sechs Classen. 
Ich habe die Zahl der Symmetrieebenen, welche die Classe 
charakterisirt, hinzugefügt; jede von ihnen entspricht einer 
binären, quatemären oder senären Axe, die zu ihr normal ist. 

Bezüglich der Symmetrieebenen von gleicher Art oder von 
verschiedenen Arten wolle man sich nach folgender Regel richten: 
>Axen von gerader Ordnung und von gleicher Art entsprechen 
immer Symmetrieebenen von gleicher Art; umgekehrt sind, wenn 
die Axen von verschiedener Art sind, auch die Symmetrie- 
ebenen, die zu ihnen normal sind, von verschiedener Art.« 

Die Gesammtzahl der Symmetrieebenen ist immer der 
Gesammtzahl der in der Schaar vorhandenen Axen von ge- 
rader Ordnung gleich. 

[92] Die grösste Zahl dieser Symmetrieebenen ist also 
gleich 9. 



Schaaren. 


Binäre Axen von 


Gesammtzahl 

der 
Symmetrie- 
ebenen. 


erster Art. 


zweiter Art. 


dritter Art. 


Terquaternäre 

Senäre 

Quaternäre . . 
Ternäre .... 
Terbinäre . . . 
Binäre 


6 
3 
2 
3 

1 
1 



3 
2 



1 







1 



9 

7 
5 
3 
3 

1 



In der zweiten Classe (senäre: Schaaren) ist, wenn der 
Parameter der binären Axen der ersten Art 1 beträgt, der- 
jenige der Axen der zweiten Art immer gleich Vs. 

7* 



100 A. Bravais. 

In der dritten Classe (qnaternäre Schaaren) ist, wenn der 
Parameter der binären Axen der ersten Art 1 beträgt, der- 
jenige der Axen der zweiten Art immer gleich V2. 

In der fünften Classe (terbinäre Schaaren) sind die Ver- 
hältnisse unbestimmt. 



Symbolische Bezeichnungen der Symmetrie der Schaaren. 

Wenn man durch einen der Gitterpnnkte einer Schaar 
alle Axen und Symmetrieebenen legt, die ihr angehören, so 
kann man die Schaar als ein Polyeder betrachten, dessen 
Mittelpunkt in dem gewählten Gitterpunkt liegt. 

Man nennt Symmetriecentrnm in einem Polyeder einen 
so gelegenen, centralen Punkt, dass, wenn man ihn mit irgend 
einer Ecke des Polyeders verbindet, und die Verbindungsgerade 
über diesen Mittelpunkt hinaus um eine ihr selbst gleiche 
Grösse verlängert, der so erhaltene Punkt ebenfalls eine Ecke 
des Polyeders ist, welche die homologe der ursprünglichen 
Ecke in Bezug auf dieses Symmetriecentrum genannt wird. 

Nicht alle Polyeder besitzen ein solches Symmetriecentrum ; 
wenn es existirt, so führt seine Gegenwart ein besonderes 
Element der Symmetrie bei ihnen ein, das wichtig zu berück- 
sichtigen ist. 

In irgend einer Schaar sind sämmtliche Gitterpunkte 
offenbar [93] Centren der Symmetrie, diese Vielzähligkeit der 
Centren stimmt überein mit der Vielzähligkeit, die man in dem 
System der zu einer gegebenen Axe parallelen Symmetrie- 
axen bemerkt. 

Man kann dieselben symbolischen Bezeichnungen, welche 
mir gedient haben, um die Symmetrie der gewöhnlichen Poly- 
eder auszudrücken (Abhandlung über die Polyeder von sym- 
metrischer Form, Journal de Mathematiques, Band XIV), auch 
auf die Schaaren anwenden. 

In den Symbolen, welche ich angenommen habe, bedeutet 
der Buchstabe O ein Polyeder, das ein Symmetriecentrum be- 
sitzt; dieses Symbol muss sich augenscheinlich in allen Aus- 
drücken für die Symmetrie der Schaaren vorfinden. 

Die Buchstaben ^, Z, L' bezeichnen Symmetrieaxen; 
-^</*, Z*, JL'* binäre Axen ; ^^, Z', . . . ternäre Axen, und so 
weiter, wobei der obere Index die Ordnungszahl der Axe 
angiebt. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 101 

Der Buchstabe A wird immer für die Hauptaxe ange- 
wandt, welche die Einzige ihrer Art ist. 

Die Zahl der Axen von gleicher Art wird durch den Coeffi- 
cienten angezeigt, welcher dem symbolischen Bachstaben dieser 
Axen vorangeht; so bedeutet die Bezeichnung (^®, 3JL*, 3iy'*) 
eine senäre Hauptaxe verbunden mit drei binären Axen einer 
bestimmten Art und drei anderen binären Axen einer anderen Art. 

Die Symmetrieebenen werden durch die Buchstaben 77, P, P' 
bezeichnet; man wird den Buchstaben II fflr die Symmetrie- 
ebene wählen, welche zur Hauptaxe A normal ist; die Sym- 
bole P^, P'^, P9' für die zu den Axen Z9,Z'9, W normalen 
Symmetrieebenen. Die Anzahl dieser Ebenen wird in Form 
eines Coefficienten vor den Buchstaben P gesetzt: so wird 
also (JT, 3P*, 3P'*) eine zur Hauptaxe normale Symmetrie- 
ebene bedeuten, drei Symmetrieebenen von einer Art, normal 
zu den Axen 3L*, und drei Symmetrieebenen einer anderen 
Art, normal zu den Axen 3Z'*. 

Nachdem dies festgesetzt ist, werden die Symbole unserer 
sieben Classen von Schaaren die folgenden sein. 



Schaaren. 


Symbole ihrer Symmetrie. 


Terquaternäre .... 

Senäre 

Quaternäre 

Ternäre 

Terbinäre 

Binäre 

Asymmetrische .... 


3i*, \L\ 6Z*, (7, 3P*, 6P'. 
A\ 3Z*, 3r», 0, TT, 3P*, 3P''. 
A\ 2L\ 2r*, C, iT, 2P*, 2P\ 
A\ 3L% C, 3P*. 

A% L\ r«, c, n, P'-, p'\ 

A, (7, il. 

OZ, C, OP. 



[94] Es ist wichtig, zu bemerken, dass hier die Buchstaben 
C, A^ Lj n, P, . , . nicht einen einzigen Punkt, eine einzige 
Linie, oder eine einzige Ebene vorstellen, wie das bei den 
Polyedern mit begrenzter Zahl der Ecken stattfindet, sondern 
ein ganzes System von Punkten, oder ein System von Axen, 
die alle parallel sind, oder ein System von gleichfalls unter 
einander parallelen Ebenen. 

Es bleibt noch hinzuzufflgen , dass es in den Schaaren 
Centren der Symmetrie giebt, welche nicht mit den Gitter- 



102 A. Bravais. 

punkten der Bchaar zusammenfallen; diese Symmetriecentren 
sind die Analogen der Zwischenaxen und der Zwischenebenen, 
von denen wir pp. 65— 6ö und 67—68 gesprochen haben. 
So existiren in der asymmetrischen Classe acht verschie- 
dene Systeme von Symmetriecentren, nämlich: 1. die Gitter- 
punkte der Schaar; 2. die Centren der 6rund-Parallelepipede ; 
3. die Centren der Seiten dieser Parallelepipede , welche 
Centren sich in drei verschiedene Kategorien theilen; 4. die 
Mitten der Eanten, welche ebenfalls drei verschiedene Systeme 
von Centren bilden. Man kann hierüber die Abhandlung von 
Herrn Philippe Breton nachsehen [Journal de Matkematiqtces 
de M, Liouville, Band X, Seite 430). 

Es sei wohlverstanden, dass wir uns darauf beschränken, 
nur die Centren zu betrachten, welche mit den Gitterpunkten 
zusammenfallen, ebenso wie wir bei den Symmetrieaxen nur 
diejenigen berücksichtigt haben, welche durch die Gitterpunkte 
giengen. 

Von den verschiedenen Arten der Anordnung der Gitter- 
punkte in derselben Classe von Schaaren. 

Man hat bereits bemerken können, dass derselben Classe 
von Schaaren Schaaren angehören, die nach der Anordnung 
der Gitterpunkte sich vollkommen verschieden zeigen, obgleich 
bei allen die Axen und die Symmetrieebenen dieselben sind. 
Ich werde sie die verschiedenen Arten der Classe nennen. 
Herr Frankenheim , der in seinen schönen Untersuchungen 
über die Krystallographie *) zu einer ünterabtheilung derselben 
Art gekommen ist, hat diese Arten mit dem Namen Ordnungen 
bezeichnet, aber der Ausdruck >Arten« ist, scheint mir, hier 
vorzuziehen, da er den .geometrischen Thatbestand ausdrückt, 
dem sie entsprechen. Aus demselben Grunde verwerfe ich 
die Bezeichnung Typen, unter welcher ich sie anfangs in 
einer Mittheilung an die Soci^t6 Philomathique am 17. März 
1849 beschrieben habe. 

[95] Zwei Schaaren von derselben Classe gehören ver- 
schiedenen Arten der Symmetrie an, wenn man die eine der 
Schaaren, indem man in continuirlicher Weise die Zwischen- 
räume ihrer Gitterpunkte variirt, ohne dass sie einen ein- 
zigen Augenblick ihre Symmetrieaxen verliert, trotz- 



*) Acta Naturae curiosorum^ Band XIX, 2. Theil, pag. 483. 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 103 

dem nur theilweise mit der anderen Schaar zur Deckung 
bringen kann. Solches sind zum Beispiel die Schaar, welche 
vom Würfel abgeleitet wird, und diejenige, welche vom cen- 
trirten Würfel abgeleitet wird. Wenn man in dieser letzte- 
ren die Seite des Würfels sich verändern lässt, so kann man 
die Hälfte der Oitterpunkte mit denen der ersten Schaar zur 
Deckung bringen; aber die andere Hälfte, welche sich auf 
den Centren der Form der Würfel befinden, bleiben ausser 
Deckung. 

Zwei Schaaren gehören derselben Art an, wenn eine con- 
tinuirliche Variation ihrer Parameter sie deckbar machen kann. 

Wenn die drei Axen, deren Parameter man variiren lässt, 
conjugirte Punktreihen von jeder der beiden Schaaren sind, 
so gehören diese immer zu derselben Art der Anordnung; 
denn das Zusammenfallen der homologen conjugirten Punkt- 
reihen, Oitterpunkt auf Gitterpunkt, zieht dasjenige der Schaa- 
ren nach sich. 

Alle verschiedenen Arten einer und derselben Classe 
können imm^r aus einer der Arten der Classe abgeleitet wer- 
den durch das Hinzufügen von neuen Gitterpunkten, sei es 
im Centrum der Form des Grundkörpers, sei es auf den 
Centren seiner Seitenflächen; wir sagen alsdann, dass man 
diesen Körper im Centrum seiner Form oder auf seinen Seiten- 
flächen centrirt. 

Ich will einige neue Details zu dem hinzufügen, was schon 
über die Eintheilnng unserer Classen oder Systeme in Arten 
gesagt ist. 

Terquaternäres System. — Es umfasst drei verschie- 
dene Arten: 

1. Die hexaedrische Art: der Grundkörper ist ein Würfel, 
der ein Molecül auf jeder seiner Ecken trägt (siehe die Be- 
merkung auf Seite 5, Zeile 33); 

2. Die oktaedrische Art: der Körper, aus dem sie abge- 
leitet wird, ist ein regelmässiges Oktaeder, das auf jeder seiner 
Ecken ein Molecül. trägt; man kann es durch ein regelmässiges 
Tetraeder ersetzen, welches eine ihm äquivalente Form ist, 
oder auch durch das Khomboeder von 70° 31' 44". Diese Art 
wird vom Würfel durch Centrirung der sechs Seitenflächen 
dieses Körpers abgeleitet; alsdann trägt der neue Würfel 
(Würfel mit centrirten Seitenflächen) ausser denMolecülen seiner 
Ecken ein solches im Centrum von jeder seiner Seitenflächen. 
Die Symmetrie des so erhaltenen Körpers ist unmittelbarer ein- 



104 A. Brayais. 

leuchtend als diejenige von allen seinen anderen äquivalenten 
Formen; 

3. Die dodekaedrische Art: der Körper, ans dem sie ab- 
geleitet wird, ist ein Rhombendodekaeder, [86] welches ein 
Molecül auf jeder seiner vierzehn Ecken und ausserdem ein 
centrales Molecül trägt. 

Man kann sie aus dem Würfel ableiten, indem man ein 
Molecül in dem Centrum der Form des Körpers hinzufügt. 
Wenn man die acht Ecken eines solchen Würfels durch Ge- 
rade mit den sechs Centren der benachbarten Würfel ver- 
bindet, welche jeder seiner sechs Seitenflächen anliegen, so 
kommt man auf das centrirte Rhombendodekaeder zurück. 

Man kann auch als Orundkörper das Rhomboeder von 
120 Grad nehmen; aber die Symmetrie der Schaar ist als- 
dann weniger einleuchtend als in dem Fall, wo man den cen- 
trirten Würfel betrachtet. 

Senäres System. — Eine einzige Art (siehe Seite 96). 

Qnaternäres System. — Es umfasst zwei verschiedene 
Arten: * 

1. Die hexaedrische Art, deren Grundkörper ein gerades 
Prisma mit quadratischer Basis ist; 

2. Die oktaedrische Art, welche sich von einem geraden 
Oktaeder mit quadratischer Basis ableitet. Man erhält dieses 
Oktaeder, indem man das gerade Prisma mit quadratischer 
Basis centrirt und dieses Centrum mit den vier Ecken der 
Basis verbindet und diese wieder mit dem Centrum des unten 
anliegenden Prismas. 

Ternäres System. — Eine einzige Art (siehe Seite 97). 
Terbinäres System. — Vier verschiedene Arten: 

1. Die rechteckig hexaedrische Art: der Grundkörper ist 
ein gerades Prisma mit rechteckiger Basis, das auf jeder seiner 
acht Ecken Molecüle trägt; die Netze der drei Symmetrie- 
ebenen des Systems haben alsdann rechteckige Maschen; 

2. Die rhombisch hexaedrische Art: der Grundkörper ist 
ein gerades Prisma mit rhombischer Basis. Diese Art wird 
aus der vorigen abgeleitet vermittelst der Centrirung von 
zwei gegenüberliegenden Flächen, zum Beispiel der beiden 
Basen des Grund-Prismas. Man weiss in der That, dass, wenn 
man die Maschen eines rechteckigen Netzes centrirt, dieses 
sich in ein Netz mit rhombischer Masche verwandelt. In 
diesem Fall besitzen die Netze der beiden verticalen Symmetrie- 
ebenen rechteckige Maschen; aber in der dritten Ebene ist die 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Pankten. 105 

Masche rhombisch: die zu dieser letzten Ebene normale Axe 
kann je nach dem Fall von erster, zweiter oder dritter Art sein; 

3. Die rechteckig oktaedrische Art: der Körper, aus wel- 
chem sie abgeleitet wird, ist ein gerades Oktaeder mit recht- 
eckiger Basis. Man könnte ihn aus dem geraden Prisma mit 
gleicher Basis und gleicher Höhe ableiten, indem man dieses 
letztere in seinem Centrum der Form centrirte, und [87] diesen 
neuen Gitterpunkt mit den vier Gitterpunkten des Rechtecks 
der Basis verbände, und diese wieder mit dem Centrum des 
unten anliegenden Prismas. Die Netze der drei Symmetrie- 
ebenen haben alsdann rechteckige Maschen; 

4. Die rhombisch oktaedrische Art, durch das gerade 
Oktaeder mit rhombischer Basis gegeben. Man wird sie aus 
dem rechteckigen hexaedrischen Prisma ableiten, indem man 
die sechs Seitenflächen dieses letzteren Prismas centrirt. Diese 
sechs neuen Gitterpunkte geben, paarweise verbunden, das 
gerade Oktaeder mit rhombischer Base. Die Netze der drei 
Symmetrieebenen werden dann rhombische Maschen haben. 

Man sieht, dass diese vier Arten dem geraden, nicht cen- 
trirten Prisma, dem geraden, auf seinen beiden Basen centrirten 
Prisma, dem geraden Prisma, das in seinem Centrum der Form 
centrirt ist, und dem geraden, auf seinen sechs Seitenflächen 
centrirten Prisma entsprechen. 

Binäres System. — Dieses System zeigt nur zwei ver- 
schiedene Arten: 

1. Die hexaedrische Art, deren Grnndkörper ein gerades 
Prisma mit parallelogrammatischer Basis ist; 

2. Die oktaedrische Art, die sich aus der vorigen ableitet, 
indem man die Prismen dieser letzteren im Centrum der Form 
centrirt, oder auch indem man zwei von ihren vier verticalen 
Seitenflächen centrirt. Diese beiden Arten der Ableitung ent- 
sprechen einer und derselben Art von Schaaren"^) (Satz LV, 
Anmerkung I). 



♦) Herr Frankenheim (Acta Nat curiosorum, Band XIX, 2. Theil, 
pag. 570) giebt in den binären Scbaaren (System der schiefen Sänle 
von Haüy) drei verschiedene Arten: 

1. Das gerade Prisma mit parallelogrammatischer Basis; 

2. Das schiefe Prisma mit rhombischer Basis; 

3. Das gerade Oktaeder mit parallelogrammatischer Basis. 

Es ist leicht zu sehen, dass die Arten 2 und 3 doppelte An- 
wendung finden, und nur verschiedenen Stellangen der binären 
Axe entsprechen, welche horizontal und quer in der schiefen Säule 



106 A. Bravais. 

Wenn man nach der Centrirnng von zwei verticalen 
Seitenflächen das Prisma am 90 Grad dreht, indem man die 
Kanten vertical stellt, in weichen sich die vier nicht centrirten 
Seitenflächen schneiden, so erhält man als Grandkörper ein 
Prisma mit rhombischer, nicht horizontaler Basis, welches das 
schiefe rhomboidische Prisma der Mineralogen ist. 

Asymmetrisches System. — Dieses System zeigt nnr 
eine einzige Art. 

[98] Ausser durch die Uebereinstimmnng in den Stel- 
langen der Axen and Symmetrieebenen sind die verschiedenen 
Arten eines and desselben Systems unter einander durch die 
im folgenden Lehrsatze dargelegten Eigenschaften verknüpft. 

Satz LXXXII. — Alle Schaaren, welche den ver- 
schiedenen Arten einer und derselben Classe ange- 
hören, und sich eine aus der anderen durch geeig- 
nete Centrirnng ableiten, zeigen dieselben Systeme 
von Punktreihen und dieselben Systeme von Netz- 
ebenen. 

In der That, wenn man die Grund-Parallelepipede centrirt, 
so kommt das darauf hinaus, dass man einen Gitterpunkt auf 
die Mitte einer der im Uebrigen willkürlich gewählten Diago- 
nalen des Parallelepipeds hinzufügt. Diese Einschaltung wird 
gemäss dem Satze LIII die Systeme der Pnnktreihen und Netze 
der Schaar nicht ändern, wenigstens nicht was ihre absolute 
Richtung anbetrifft. 

Wenn man zwei gegenüberiiegende Flächen des Gmnd- 
Parallelepipedes centrirt, so kommt das darauf hinaus, dass 
man einen Gitterpunkt auf die Mitte einer der beiden Diago- 
nalen der Flächen hinzufügt, das heisst, man verdoppelt da- 
durch die Anzahl der Gitterpunkte des Systems der ent- 
sprechenden Punktreihen; die Systeme der Punktreihen und 
Netzebenen bleiben aber, was ihre Lage anbetrifft, noch 
dieselben. Folglich etc. 

Anmerkung. — Derselbe Satz lässt sich auch auf die 
senäre und die ternäre Schaar anwenden, welche dieselbe 



mit rhombischer Basis von Haüy ist, während sie vertical in dem 
geraden Oktaeder mit parallelogrammatischer Basis ist. 

Die rationellen Eintheilungen der oktaedriscfaen Art hängen 
von der Art ab, in welcher sich der Gitterpunkt, der das Centrum 
des Prismas ist, auf dessen Basis projicirt, in Beziehung auf die drei 
Seiten des Hauptdreiecks des Netzes. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 107 

Hanptaxe nnd dasselbe Netz auf der zn dieser Axe normalen 
Ebene haben. Man kann sogar bemerken , dass das überein- 
stimmende Vorkommen derselben Pnnktreihen, Systeme und 
Netzebenen sich auch auf die senäre Schaar und die beiden 
directen nnd inversen temären Schaaren bezieht, die daraus 
durch die Einschaltung von zwei neuen Oitterpunkten auf 
jedem Parameter der diagonalen Panktreihen des Grund-Prismas 
mit rhombischer Basis abgeleitet werden (Satz LXI, CoroUarsatz). 

Von den Netzebenen derselben Art und den Funktreihen 
derselben Art in den symmetrischen Schaaren. 

Definition. — Zwei Netzebenen sind von derselben 
Art in einer Schaar, wenn die Anordnung der Oitterpunkte 
in Beziehung auf eine dieser Ebenen dieselbe ist wie die An- 
ordnung der Oitterpunkte in Beziehung auf die andere. Um 
diese Aehnlichkeit der Anordnung festzustellen, verbindet man 
in Gedanken die Gitterpunkte der Schaar mit jeder der beiden 
Ebenen, und eins der beiden Systeme wird als beweglich an- 
genommen. Dann werden, wenn zu gleicher [99] Zeit die 
bewegliche Ebene nnd die feststehende Ebene, und die beweg- 
lichen Gitterpunkte mit den feststehenden Gitterpunkten zur 
Deckung gebracht werden können, die Netzebenen von der- 
selben Art sein. 

Damit zwei Netzebenen von derselben Art seien, ist es 
nöthig, dass ihre Netze zur Deckung gebracht werden können, 
aber diese Bedingung ist nicht immer ausreichend. Es ist 
ausserdem nöthig, dass die Deckung der Netze diejenige der 
ausserhalb der Ebenen gelegenen Gitterpunkte nach sich ziehe. 

Ich habe gezeigt (Journal de M. Liouville, Band XIV, 
pag. 137), 1. dass man das inverse Polyeder eines gegebenen 
Polyeders erhielt, indem man willkürlich einen Punkt nahm 
und diesen Punkt oder Symmetriepol mit den Ecken des ge- 
gebenen Polyeders vorband, und diese Geraden nach rück- 
wärts um ihnen selbst gleiche Grössen verlängerte; 2. dass 
man, vermittelst des inversen Polyeders, indem es eine 
Drehung von 180 Grad um irgend eine durch den Pol ge- 
legte Gerade erfuhr, ein symmetrisches Polyeder des ge- 
gebenen Polyeders (im geometrischen Sinne dieses Ausdrucks) 
erhielt in Bezug auf eine zu der Geraden normale Symmetrie- 
ebene. 

Die inverse Schaar einer gegebenen Schaar ist immer 



108 A. Bravais. 

fähig, mit der ursprünglichen Schaar zasammenznfallen ; es 
genügt als Symmetriepol einen der Gitterpunkte zu nehmen. 
£s folgt daraus, dass das Gleiche gilt von einer Schaar und 
einer zu ihr symmetrischen (im geometrischen Sinne des Wortes) 
oder anders ausgedrückt, dass zwei in Bezug auf irgend eine 
Symmetrieebene symmetrische Schaaren immer zur Deckung 
gebracht werden können. 

Satz LXXXIII. — Wenn dadurch, dass man das 
Netz der Netzebene M der beweglichen Schaar mit 
dem Netz der Netzebene F der feststehenden Schaar 
zur Deckung brächte, die beiden Schaaren anstatt 
zusammenzufallen, eine zu der andern in Bezug auf 
die Ebene der aufeinander gelegten Netze symme- 
trisch (im geometrischen Sinne) würden, so wären die 
beiden Netzebenen von derselben Art. 

In der That, wenn man dann die bewegliche Schaar um 
180 Grad um eine Gerade dreht, welche durch einen der Gitter- 
punkte der zusammenfallenden Netze geht, und normal zu der 
Ebene dieser Netze ist, so wird man die bewegliche Schaar 
mit der Inversen der festen Schaar zur Deckung bringen'*'), 
das heisst mit der feststehenden Schaar selbst. 

[100] Satz LXXXIV. — In jeder Schaar, die eine 
Symmetrieebene besitzt, sind zwei Netzebenen, die 
symmetrisch (im geometrischen Sinne) in Bezug auf 
diese Ebene sind, von derselben Art. 

Indem man die eine dieser beiden Ebenen, welche als 
zur beweglichen Schaar gehörig betrachtet wird, um die Ge- 
rade dreht, in der sich diese Ebenen schneiden, wird man 
ihre Netze zur Deckung bringen, und die bewegliche Schaar 
wird (im geometrischen Sinne) symmetrisch zur festen Schaar 
in Bezug auf die Ebene der aufeinander gelegten Netze wer- 
den. Also werden diese Ebenen, gemäss dem vorhergehenden 
Lehr Satze, von derselben Art sein. 

Man kann auch direct feststellen, dass die beiden gege- 
benen Ebenen von derselben Art sind, indem man sie beide 
durch einen willkürlich gewählten Gitterpunkt S gehen lässt, 
und durch S eine Normale zu der Symmetrie-Ebene legt. 
Diese Normale wird eine Axe von gerader Ordnung sein 
(Satz LII); wenn man also die bewegliche Schaar sich um einen 



♦) Notiz über die symmetrischen Polyeder der Geometrie, 
Satz IV [Journal de MathSmatiquea^ Band XIV, pag. 139). 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 109 

Winkel gleich jmal dem Winkel -— — drehen lässt, wobei 

2 q die Ordnungszahl der Symmetrie der Axe ist, so wird eine 
Wiederherstellung der Orte der Gitterpunkte stattfinden, und 
es ist leicht zu sehen, dass die beiden gegebenen Netzebenen 
Gitterpunkt auf Gitterpunkt zur Deckung kommen werden. 

Satz LXXXV. — Zwei parallele Netzebenen sind 
von derselben Art. 

Es gentigt, das bewegliche Netz parallel mit sich selbst 
fortzubewegen, um die Deckung der Gitterpunkte zu erhalten. 

Satz LXXXVI. — Wenn in einer Schaar zwei 
gleichartige, aber nicht parallele, Netzebenen vor- 
kommen, so besitzt diese Schaar wenigstens eine 
Symmetrieaxe. 

Man kann immer voraussetzen, dief beiden Netzebenen, 
die ich F und M nennen werde, hätten einen gemeinsamen 
Gitterpnnkt aS", der nicht an den Bewegungen der beweg- 
lichen Schaar theilnimmt. Nehmen wir an, dass geeignete 
Drehungen dieser Schaar das bewegliche Netz M schliesslich 
auf das feststehende Netz F geführt haben. Die Coincidenz 
kann immer (nach der bekannten Theorie der Zusammensetzung 
der Drehungen in der Mechanik) als durch eine einzige Drehung 
der beweglichen Schaar um eine durch den Gitterpunkt S 
gehende Rotationsaxe hervorgebracht angesehen werden. Es 
ist wichtig zu bemerken, dass diese Gerade, ebenso wie der 
einzige' Rotationswinkel, welcher M zur Deckung [101] mit 
F bringt, sich vollkommen bestimmen lässt, unter der Be- 
dingung allerdings, dass der Rotationswinkel 180 Grad nicht 
tibersteigt. Diese Gerade, welche so die Eigenschaft besitzt, 
nach einer geeigneten Drehung die Orte der Gitterpunkte 
wiederherzustellen, wird eine Symmetrieaxe der Schaar sein. 

Corollarsatz. — Es kann in den asymmetrischen Schaa- 
ren keine Netzebenen derselben Art, die nicht parallel sind, 
geben. 

Definition. — Zwei nicht parallele Netzebenen der- 
selben Art heissen homologe in Bezug auf eine Symmetrie- 
axe der Schaar, wenn die einzige Drehung, welche ihre 
Netze zur Deckung bringt, so dass die bewegliche Schaar sich 
auf die feststehende Schaar legt, um diese Axe stattfindet. 
Man folgert daraus nachstehenden Lehrsatz: 



110 A. Bravais. 

Satz LXXXVII. — Zwei nicht parallele Netzebenen 
derselben Art sind immer homolog in Bezug auf eine 
Symmetrieaxe. 

CoroUarsatz. — Man erhält alle Systeme der Netz- 
ebenen, welche von derselben Art sind wie eine gegebene 
Netzebene, wenn man die homologen dieser Ebene in Bezug 
auf alle Symmetrieaxen der Schaar aufsucht. 

Satz LXXXVm. — Die Zahl der Netzebenen von 

derselben Art, welche homolog in Bezug auf eine 

Symmetrieaxe von der Ordnung q sind, ist gleich ^, 

wenn diese Netzebenen keine besondere Beziehung 

der Lage hinsichtlich der Axe zeigen, das heisst, 

wenn diese Ebenen weder normal noch parallel zu 

dieser Axe sind. 

;i. T.U 360° ^360° , ,, 360^ 

Indem man die Ebene um , 2 , .... \q — 1) 

q ^ q ^ ' ** q 

sich drehen lässt, wird man ihre q — 1 homologen erhalten. 

Es ist klar, dass ihre Oesammtzahl gleich q ist: diese Ebenen 

sind alle von einander verschieden, das heisst sie können nicht 

parallel unter sich sein. 

Satz LXXXIX. — Die Zahl der Netzebenen der- 
selben Art, die homolog in Bezug auf eine Axe von 
der Ordnung q und dieser Axe parallel sind, ist 
gleich ^, wenn q ungerade ist, und gleich ^q^ wenn 
q gerade ist. 

Die Oesammtzahl der Ebenen ist auch hier noch gleich 
q\ aber in dem besonderen Falle, wo q eine gerade Zahl 
wäre, würden die Ebenen paarweise parallel werden; die An- 
zahl der Ebenen von verschiedener Richtung reducirt sich 
also dann auf \q, 

[102] Satz XC. — Die Zahl von Ebenen derselben 
Art, welche homolog in Bezug auf die Axe von der 
Ordnung q sind, reducirt sich auf die Einheit in dem 
Falle, wo die ursprünglich gegebene Ebene zu der 
Axe normal ist. • 

Dieser Satz ist einleuchtend. 

Vermittelst dieser Principien wird man die Frage nach 
der Bestimmung der Netzebenen derselben Art in Bezug auf 
ihre^Zahl und ihre relative Lage in einer gegebenen Schaar 
leicht lösen können, sei es in dem Falle, wo diese Ebenen 
keine Eigenthümlichkeit der Stellung bezüglich der Symmetrie* 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Pankten. 1 1 1 

axen zeigten, sei es in dem Fall, wo sie parallel oder normal 
zu einer bestimmten Zahl dieser Axen wären. Diese Frage 
ist von grosser Wichtigkeit in der Erystallographie. 

Man kann für die Punktreihen derselben Art ganz ähn- 
liche Sätze aufstellen als diejenigen, welche fflr die Netzebenen 
derselben Art gelten. 

Definitionen. — Die Definition der Punktreihen der- 
selben. Art ist dieselbe wie diejenige der Axen oder Netz- 
ebenen derselben Art; die der homologen Punktreihen ist 
derjenigen der homologen Netzebenen gleich. 

Satz XCI. — Wenn man den Parameter der Punkt- 
reihe M der beweglichen Schaar mit demjenigen der 
Punktreihe F der feststehenden Schaar zusammen- 
fallen Hesse, und dabei die beiden Schaaren statt zu- 
sammenzufallen zu einander symmetrisch würden (im 
geometrischen Sinne dieses Wortes) in Bezug auf 
eine durch die Punktreihe F gehende Ebene, so wür- 
den die beiden Punktreihen von derselben Art sein. 

Denn wenn man alsdann die bewegliche Schaar um 180 
Grad um eine Gerade dreht, welche durch einen der Gitter- 
punkte der Punktreihe F geht und normal zur Symmetrie- 
ebene ist, so wird man die bewegliche Schaar mit der inversen 
der feststehenden Schaar, das heisst mit der feststehenden 
Schaar selbst zur Deckung bringen. 

Satz XCII. — In jeder Schaar, welche eine Sym- 
metrieebene besitzt, sind zwei in Bezug auf diese 
Ebene (im geometrischen Sinne) symmetrische Punkt- 
reihen auch von derselben Art. 

Satz XCIII. — Zwei parallele Punktreihen sind 
von derselben Art. 

Satz XCIV. — Wenn es in einer Schaar zwei 
Punktreihen von derselben Art giebt, die aber nicht 
parallel sind, so besitzt diese Schaar wenigstens eine 
Symmetrieaxe. 

[103] Satz XCV. — Zwei nicht parallele Punkt- 
reihen derselben Art sind immer homolog in Bezug 
auf eine Symmetrieaxe. 

Corollarsatz. — Man erhält alle Systeme von Punkt- 
reihen von derselben Art wie eine gegebene Punktreihe, indem 
man die homologen der letzteren in Bezug auf alle Symme- 
trieaxen der Schaar aufsucht. 



112 A. Bravais. 

Satz XC VI. — Die Zahl der Punktreihen derselben 
Art, welche homolog in Bezug auf eine Axe der Ord- 
nung q sind, ist gleich q^ wenn diese Punktreihen 
weder parallel noch normal zu dieser Axe sind. 

Satz XCVII. — Die Zahl der Punktreihen dersel- 
ben Art, welche in Bezug auf eine Axe von der Ord- 
nung q homolog und normal zu ihr sind, ist gleich 
y, wenn q ungerade ist, und gleich \q^ wenn q ge- 
rade ist. 

Satz XCVIII. — Die Zahl der in Bezug auf die 
Axe von der Ordnung q homologen Punktreihen re- 
ducirt sich auf die Einheit im Fall der parallelen 
Lage der Punktreihe und der Axe. 

Diese Sätze würden sich genau ebenso beweisen lassen, 
wie die Sätze LXXXIV bis XC. Sie sind übrigens eine noth- 
wendige Folge der Reciprocität, die zwischen den Punktreihen 
und den Netzebenen in den Schaaren, welche »zu einander 
polare Schaaren« genannt werden, besteht. Von dieser Reci- 
procität wird im nächsten Paragraphen die Rede sein. 

Satz XCIX. — Symmetrieaxen derselben Art sind 
zu gleicher Zeit Punktreihen derselben Art. 

Dieser Satz folgt aus den Definitionen der Axen derselben 
Art (Seite 63) und der Punktreihen derselben Art (Seite 111). 



§ VI. — Von den polaren Schaaren. 

Definitionen und Bezeichnungen. — In einer ge- 
gebenen Schaar errichten wir in einem ihrer willkürlich als 
Anfangspunkt genommenen Oitterpunkte Normalen zu drei 
conjugirten Ebenen dieser Schaar, und auf jeder dieser Nor- 
malen tragen wir Längen ab, welche gleich sind den Flächen- 
inhalten der Elementar-Parallelogramme der Netze, die auf 
jeder dieser Ebenen liegen, dividirt durch den mittleren 
Abstand der Gitterpunkte. Wenn man mit diesen drei 
neuen Axen und diesen Längen als Parameter [104] eine 
Schaar construirt, so soll sie die polare Schaar der ur- 
sprünglichen genannt werden, und sie wird wichtige Eigen- 
schaften besitzen, die wir kennen lernen werden. 

Wie das Symbol ghk in der ursprünglichen Schaar eine 
Punktreihe bezeichnet, welche vom Anfangspunkt nach dem 
Qitterpunkt geht, dessen Zahlen -Coordinaten ^, Ä, k sind, so 



Ueber die Systeme von regelmässig yertheilten Punkten. 113 

soll in der polaren Schaar das Symbol [gfhk] eine Punktreihe 
bezeichnen, welche vom Anfangspunkt nach dem Punkt geht, 
dessen Zahlen-Coordinaten ff, h, k sind. 

Wie das Symbol [ghk] die Netzebene bezeichnete, deren 
Gleichung 

^a; + Äy + Ä2; = 

ist, so soll das Symbol [(^ä^)] eine Netzebene, deren Gleichung 
von derselben Form ist, in der polaren Schaar bezeichnen. 

Ich werde fortfahren, mit Pghk den Parameter einer 
Punktreihe zu bezeichnen, welche vom Anfangspunkt nach 
dem Gitterpnnkt geht, dessen Zahlen-Coordinaten ^, h^ k sind, 
das heisst den Parameter der Punktreihe ghk. 

Ich werde mit P\ghk] den Parameter einer Punktreihe 
bezeichnen, die vom Anfangspunkt nach dem Punkt geht, 
dessen Zahlen-Coordinaten g^ A, k in der polaren Schaar sind, 
das heisst den Parameter der polaren Punktreihe [ghk\ 

Der Flächeninhalt des Elementar-Parallelogramms des auf 
der Netzebene [ghk) entworfenen Netzes soll in der ursprüng- 
lichen Schaar auch weiter S(ghk) genannt werden. 

Ebenso soll S [[ghk)] der Flächeninhalt des Elementar- 
Parallelogramms des Netzes sein, welches auf der Netzebene 
gezeichnet ist, deren Bezeichnung [(ghk)] in der polaren 
Schaar ist. 

Der mittlere Abstand soll nach wie vor E genannt 
werden, und wenn wir bemerken, 1. dass 100, 010, 001 
die symbolischen Bezeichnungen der Axen der x^ der y und 
der z sind; 2. dass (100), (010), (001) die symbolischen 
Bezeichnungen der Ebenen der yz^ der xz und der xy sind, 
so wird man nach den vorhergehenden Festsetzungen haben 

(63)P(.««J=^,P[,..l=M, P[...)=M. 

Ich werde fortfahren, durch a, /?, <J die ebenen Winkel 
in den Ebenen der yz^ der xz und der xy zu bezeichnen, 
und durch ^, v, nf die Flächen winkel, welche als Kanten 
die Axen [105] der Xy der y und der z haben. Nachdem 
dies festgesetzt ist, wird man offenbar haben 

fÄ(lOO) = P010 . Pool • sin«, 

(64) <! aS'(010) = P 100 • Pool . sin /:?, 

[ Ä(OOl) = P 100 . P 010 . sin (J . 

08twald*s Klassiker. 90. 8 



It4 A. Bravais. 

In der polaren Schaar wollen wir zur Axe der [x] die 
Normale zu der Ebene der yz nehmen, zur Axe der [y] die 
Normale zu der Ebene der xz, und zur Axe der [z] die 
Normale zu der Ebene der xy. Die drei positiven Halbaxen 
sollen nach derselben Seite gerichtet sein wie die positive Halb- 
axe von gleicher Bezeichnung in der ursprünglichen Schaar, in 
Bezug auf die Ebene, zu welcher jede dieser neuen Axen normal 
ist. Die drei ebenen Winkel dieser Axen sollen durch [a], [ß], 
[d] dargestellt werden; ihre drei Flächen winkel durch [/t], [v], [er]. 

Satz C. — Da die Winkel a, /?, d die ebenen Winkel 
des Grund-Parallelepipedes der ursprünglichen 
Schaar sind, und f.i, r, tS seine Flächenwinkel, so 
werden die ebenen Winkel der polaren Schaar 180° 
— f£, 180® — ^, 180° — or sein, und die Flächenwinkel 
180° — a, 180° — i?, 180° — J. 

Dieses ist eine wohlbekannte Folge der Eigenschaften der 
sphärischen polaren Dreiecke. 

Man wird also haben 

(65) [a]=180° — ju, [/J] = 180° — y, [d] = 180° — tar. 
P66) [iit] = 180°— a, [r] = 180° — /?, [tsr] = 180° — (J. 

Satz CI. — Wenn man in der Spitze O eines 
Tetraeders OABD (Fig. 38) auf den drei Seiten- 
flächen OBD, OAD und OAB die Normalen Oa, 
Ob und Od errichtet, die in Bezug auf jede Fläche 
auf derselben Seite liegen wie die der Fläche gegen- 
überliegende Ecke, und die beziehungsweise den 
Flächeninhalten dieser drei dreieckigen Seiten gleich 
sind, so wird die Diagonale des über den Kanten 
Oa^ Ob, Od construirten Parallelepipedes normal 
zu der Basis ABD und gleich dem Flächeninhalt 
dieser Basis sein. 

Man hat nach der Construction. 

Oa = Flächeninhalt OBD, 
Ob = Flächeninhalt OAD, 
Od= Flächeninhalt OAB. 

Ebenso wie Oa, Ob und Od senkrecht zu den Ebenen 
OBDj OAD und [106] OAB sind, ebenso werden OAj 
OB und OD senkrecht zu den Ebenen Obd, Oad, und 
Oab sein. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Pankten. 1 1 5 

Fällen wir von O die Normale OP auf die Basis ABD, 
nnd legen wir durch a die Ebene aA'p parallel zu der 
Ebene bOd nnd folglich normal zu der Kante OA, Diese 
Ebene mag OA in A' und OP in p schneiden. Projiciren 
wir die Dreiecke OBD und ABB auf die Ebene aA'p. 
O und A werden die gleiche Projection in A' haben; also 
werden die beiden Dreiecksprojectionen zusammenfallen. Die 
erste der beiden Dreiecksprojectionen hat als Werth 

Flächeninhalt OBD cos (Ebene O Z)i? ^Ebene aA'p) , 

undy indem man die Ebenen durch ihre Normalen ersetzt, 

Flächeninhalt OBD cos (Oa^OA) 

OA' 
.= Flächeninhalt O^Z) ^=0A\ 

Oa 

Die andere Dreiecksprojection wird in gleicher Weise sein 
„ .^^ _--^. _; ^^OA' 



£ laoueuiDuiJ 


iw^jDjj COS \ \jp^ ij^)=r laom 


minnaii» 


j$.j> 


"^ Op: 


Indem man 


beide Ausdrücke gleich setzt, 
OA' = Flächeninhalt ABD 


erhält 

OA' 

Op ' 


man 


also 


demnach 








(67) 


Op = Flächeninhalt ABD. 







Legen wir jetzt durch b eine zu aOe^ parallele Ebene; 
dann wird man ebenso beweisen, dass diese Ebene OP in 
einer Entfernung von O schneidet, die genau dem Flächen- 
inhalt ABD gleich ist, das heisst in dem schon erhaltenen 
Punkt p. 

Dasselbe wird der Fall sein, wenn wir durch d eine zu 
aOb parallele Ebene legen. Diese drei Ebenen mit ihren 
parallelen Ebenen JOrf, aOd^ aOb bilden ein Parallel- 
epiped, dessen Kanten Oa^ Ob, Od sind, und wovon Op 
die Diagonale ist. Diese Diagonale ist also gleich mit und 
normal zu dem Dreieck ABD. 

Corollarsatz. — Wenn die Kanten Oa, Ob, Od, ohne 
den Flächeninhalten der Seiten gleich zu sein, ihnen in dem 
Verhältniss \:B proportional wären, so würde die Diagonale 
Op auch 2u dem Flächeninhalt ABD in demselben Yer* 

8* 



116 A. Bravais. 

hältniss 1: umstehen; sie wUrde normal zu der Ebene ABB 
bleiben. 

[107] Satz CIL — Wenn [ghk] das Symbol einer 
zu einer gegebenen Schaar gehörenden Netzebene 
ist, und wenn man in ihrer polaren Schaar die Ge- 
rade zieht, welche von dem Anfangspunkte nach dem 
Punkte führt, dessen Zahlen-Coordinaten ^, ä, A sind, 
so wird diese Gerade mit dem Symbol [ghk] normal 
zu der Ebene (ghk) sein. 

Seien Ox^ Oy^ Oz (Fig. 39) die drei conjugirten Punkt- 
reihen, die als Coordinaten-Axen der ursprünglichen Schaar 
genommen sind, und seien a, 6, d die Parameter dieser Punkt- 
reihen. Machen wir 

QA=:^hka, OB = gkb, OB = ghd. 

Die Oleichung der Ebene ABB va. Zahlen-Coordinaten wird 
sein 

gx-\'hy •\' kz^=^ ghk. 

Man wird ausserdem haben: 

Flächeninhalt OBB = \g'^hkläA\ia=\g^hkS[\^^\ 
(68) Flächeninhalt OAB = \gh^kadÄ\i ß =yK^kS[^\^), 

Flächeninhalt OAB =\ghK'ab^m d =\ghk''S((^(^\), 

Die Symbole aS'(IOO), /^(OIO), S[^^\.) stellen nach unserem 
Uebereinkommen die Flächeninhalte der Orund-Parallelogramme 
auf der Ebene der yz, der Ebene der xz und der Ebene der 
xy vor. 

Construiren wir nun die drei Axen der polaren Schaar, 
und seien auf diesen Axen genommen 

wobei E der mittlere Abstand der Gitterpunkte ist. 

Sei Op die Diagonale des über Oa, Ob und Od con- 
struirten Parallelepipedes; die Zahlen-Coordinaten von p 



lieber die Systeme von regelmässig vertheitten Punkten. 117 

werden g^ h und k in der polaren Schaar sein, und die Be- 
zeichnung der Punktreihe Op wird \ghJc\ sein. 

Wenn man die Werthe von Oa, Ob und Od mit den 
Ausdrückeü der Flächeninhalte OBD^ [108] OADmü^OÄB 
(Oleichungen 68) vergleicht, so sieht man, dass sie ihnen pro- 
portional sind in dem Yerhältniss 

^\yhk= li^ffhkE. 

Also wird nach dem CoroUarsatz zu dem Satze CI die 
Diagonale Op normal zu der Basis AB D sein, das heisst 
zu dem System der Netzebenen, dessen Symbol [ghk] ist. 

Zweiter Beweis. — Wenn man den Satz CII durch 
die analytische Geometrie des Raumes beweisen will, so nennt 
man r die Neigung der Axe Oz gegen die Ebene der xy 
(Fig. 39); §0, tj^j C^ die linearen Coordinaten des Punktes a; 
^4, rj^J ^^ diejenigen des Punktes b] ^,, ij,, C, diejenigen des 
Punktes d, und man setzt 

(69) 1 — cos* a — cos* ß — cos* d + 2 cos a cos ß coBd = /', 

Man hat alsdann 

^ Od Od sin d kab sin* d , 

-*~sin~i^~ J ~ 7S ' 

woraus man leicht die Werthe von ^„ ij, durch die bekannten 
Gleichungen der Normale zu der Ebene der xy in dem System 
der schiefwinkligen Axen folgern kann. 

Man würde ebenso §4, ?j^, t^, ^q, iJq, ^^ bestimmen. 

Die Coordinaten |, 1?, ? des Punktes p werden dann 
durch die Formeln gegeben 

= ff bd sin* a — had sin a sin /? cos er — kab sin a sin <J cos v, 

= — ^5rfsinasin/?costar + Äarfsin*/? — Äa J sin/? sind cos ft; 

= — ^icf sin /^ sin d cos ^ — had sin a sin d cos ^ + Aa J sin* d. 
Wenn man also um abzukürzen setzt 



118 A. Bravais. 

~ sin* a — y- Bin a sin /? cos tiT r sin a sin tf cos ^ = r , 

a b ^ d ' 

(70)| — ~ sin a sin/? cos ^ + ~r sin* i^ — -j sin /? sin d cos ^.i = s, 

ff * n * 9 A. .^ .^.a* 

- — sma sin ocosu — 7- sm a sm o cos i^ + -T-sin*o = ^, 
[109] so werden Sie Gleichungen der Geraden Op sein 

r s t ' , 

Nun ist aber bekannt, dass diese Gleichungen, nach der 
Substitution der Werthe von r, s und t, die Normale zu der 
Ebene darstellen, deren Gleichung 

und deren symbolische Bezeichnung {ghk) ist. 

Satz ein. — Wenn [ghk) das Symbol einer Netz- 
ebene in einer Schaar ist, so wird ihre Normale eine 
Punktreihe der polaren Schaar sein, und wird darin 
[ffhk] als Symbol haben. 

Dies lässt sich aus der Umformung des vorhergehenden 
Satzes entnehmen. 

Satz CIV. — Der Parameter der Punktreihe 
[ffhk] ist gleich dem Flächeninhalt des Grund-Paral- 
lelogramms, das auf der Ebene {ffhk) entworfen ist, 
dividirt durch den mittleren Abstand der Gitter- 
punkte. 

Die Bezeichnungen bleiben die gleichen wie in den vor- 
hergehenden Sätzen. Sei Op (Fig. 39) der Parameter der 
Punktreihe [ffhk]^ wobei g, h und A keinen anderen gemein- 
schaftlichen Theiler als die Einheit haben. Nach dem Corollar- 
satz zu Satz CI wird man haben 

Op : Flächeninhalt ABB = Oa : Flächeninhalt OBD\ 
nun ist aber dieses Verhältniss 1 \\ghkE\ folglich 
2 Flächeninhalt ABB 
^^ = JhkE 

Aber es ist bewiesen worden (Satz XXXVIII, Gleichung 47), 
dass man 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 119 

Flächeninhalt ABD = l^ffhkw 

hat, wobei u) der Flächeninhalt des Grund-Parallelogramms 
des Netzes auf der Ebene ABD ist. Folglich wird man 
haben, indem man oi durch S[ghk) ersetzt, 

2 Flächeninhalt ABD = ghkS{ghk), 

S[ghk) 

[110] woraus man die allgemeine Formel ableitet 

(71) P[,AA] = ^, 

welches der algebraische Ausdruck des Satzes ist, den wir 
zu beweisen hatten. 

Anmerkung. — Demnach sind die Formeln (63j nur 
besondere Fälle der Formel (71). 

CoroUarsatz I. — Eine gegebene Schaar hat nur eine 
einzige polare Schaar, welche bestimmt ist, sobald man den 
Qitterpunkt feststellt, der beiden Schaaren gemeinsam sein 
soll. Denn die polare Schaar, welche aus drei beliebig ge- 
nommenen conjugirten Punktreihen construirt ist, muss nach 
dem vorhergehenden Satz mit der aus jedem anderen Punkt- 
reihen-System construirten polaren Schaar zusammenfallen. 

CoroUarsatz II. — Wenn drei Ebenen in einer Schaar 
conjugirt sind, so sind ihre Normalen conjugirte Punktreihen 
der Polaren. 

Das über diesen drei Punktreihen construirte Parallel- 
epiped, soll das Polar-Parallelepiped desjenigen sein, 
welches sich in der ursprünglichen Schaar aus den drei con- 
jugirten Ebenen und ihren angrenzenden construiren lässt. 

CoroUarsatz III. — Umgekehrt sind, wenn drei Punkt- 
reihen in einer Schaar conjugirt sind, ihre normalen Ebenen 
conjugirte Ebenen in der polaren Schaar. 

CoroUarsatz IV. — Die Bedingung dafür, dass drei Netz- 
ebenen [ghk\ (g h'k') und {g"h"Jc') conjugirt sind, erhält man, 
indem man die Bedingung sucht, unter der [ghk]^ [g'f^'k'] 
und [^'Ä"A"] drei conjugirte Punktreihen sind. Sie wird also 
sein (Gleichung 43) 

gh'lc' — gKK' -|- kg'K' — hg*¥ -|- ÄA'/ - kh!g"= ± 1. 



120 A. Bravais 

Aufgabe XXXI. — Man berechne S{ghk) oder den 
Flächeninhalt der Masche des Netzes der Netz- 
ebene [ghk\ 

Man hat allgemein in der ursprünglichen Schaar (Auf- 
gabe XVI) 



(72) 



{ P^ffhk = ff^P*iOO +Ä«P*010 +Ä«P«00l 
+ 2^ÄP100 .POlO -cosd 
+ 2^ÄPi00 .POOl .cos/? 
+ 2ÄÄ;P010 .POOl . cosa. 



Wenn man ausdrückt, dass die gleiche Beziehung in der 
polaren [111] Schaar stattfindet, und indem man dann 

P[ffhk] durch ^S{ffhk), 
Jb 

P[iOO] durch Iä'(IOO), 
P[010] durch 4'S'(010), 

P[00l] durch ~aS'(001), 

[a] durch 180° — |u, 

[ß] durch 180° — r, 

[d] durch 180° — ^ 
ersetzt, erhält man 

(S^ighk) = ff^S^lOO) + h^S''{010)'hfc^S^00i) 

— 2^ä5(100).aS'(010) cos Tff 

— 2ffkSll00)'S{001) GOBv 

— 2MaS'(010).ä'(001) cos fi. 

Dies ist die Formel, welche wir schon erhielten (Gleichung 50); 
aber es war zweckmässig, sie der Formel (72) gegenüber zu 
stellen, um das merkwürdige Oesetz der Reciprocität zu zeigen, 
welches sie verbindet. 

Bemerkung bezüglich der Formeln (72) und (73). 
— Wenn man in der Gleichung (72) setzt 



(73) 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 121 

PIOO = y^, POlO = Yd, Pool = yd', Pghk = v7, 
b ^ V . b" 

Yaa' Vau Vaa 

so wird diese Qleichiing 
f=ag^ + a'h* + a"k* + 2b"ffh+ 2Vgk + 2bhk. 

Die Grösse/ hat von Herrn Gatcss den Namen ternäre 
Form bekommen (GaiLss^ Disqnisitiones Arithmeticae, p. 426), 
nnd der berühmte Mathematiker bezeichnet sie durch das Symbol 






Die Grösse 

öi« + a'V^ + a"i"* — aa'd' — 2bVb" = D 

wurde von Herrn Gat^s die Determinante der Form ge- 
nannt. Indem man [112] a, a'j ä' und b, b', V durch ihre 
Werthe ersetzt, und die Gleichungen (52) und (54) berück- 
sichtigt, findet man 

Z) = PM00.P«010.P«00i 
( — 1 + cos' a + cos* z^+cos* d — 2 cos a cos/? cos <J)= — jB^, 

wobei der Buchstabe E wieder den mittleren Abstand der 
Gitterpunkte darstellt. 

Man sieht hieraus, dass jede ternäre Form einer Schaar 
von reellen oder imaginären Punkten entspricht; dass jeder 
besondere Werth von f für bestimmte und ganzzahlige Werthe 
von g, h und k das Quadrat der Entfernung zweier Punkte 
oder Gitterpunkte der Schaar ausdrückt; dass die Determi^ 
nante der Form mit dem Zeichen — genommen gleich ist 
dem Quadrat des Volumens des Grund -Parallelepipedes, 
oder der sechsten Potenz des mittleren Abstandes der Gitter- 
punkte, etc. 

Analoge Resultate ergeben sich für die binären Formen 

«^« 4- 2bgh + a'h}, 

deren Determinante b'^ — aa\ mit entgegengesetztem Zeichen 
genommen, das Quadrat des Flächeninhaltes des Grund-Parallelo- 
gramms darstellt, oder die vierte Potenz des mittleren Ab- 



122 A. Bravais. 

Standes der Gitterpnnkte desjenigen Netzes, welches ans dieser 
binären Form abgeleitet wird. 
Die temäre Form 

/ J« _. cid\ J'* — a cl\ J"« — aa!\ 

\ah — Vl\ a'V — bb", aH"—hv) 

ist von Herrn GatASS die adjnngirte Form der Form 






genannt worden; sie ist in den Disquisitiones durch den 
Buchstaben F bezeichnet. 

Es folgt aus der Entstehungsweise von 0, «', 0", J, V 
und V\ dass man hat 

h'^ — a'd'= — P2010.P«001 .sin* a = — /^«(lOO), 

V^ — ad' = — /^«(OIO), 

h"^ — ad =—^"(001), 

ab — VV'= P* 100 . POlO . Pool (cos a — cos /? cos 8) 
= Ä'(001).AS'(010).cosiu, 
dV — bV' = aS(OOI). 5(100). cos v, 
d'b" — bV =5(100).AS'(010).co8t!r; 

[113] Man wird also nach der Substitution dieser Werthe in 
die Form F haben 

— p= <7«aS'«(ioo) + ä'aS'(oio) + A**yMooi) 

— 2<7ÄAS(100).Ä'(010).costiT 

— 25^^^(100). aS(OOI). cos y 

— 2äAaS'(010) .5'(001) -cos nt ; 
also auch 

P= — S^ighk) = — jB'P* [ghk] . 

So stellt also die adjungirte ternäre Form das Quadrat des 
Elementar-Parallelogramms der Ebene [ghk] mit dem Zeichen 
— dar. Man sieht auch, dass, wenn die Form/ sich geometrisch 
durch eine Schaar darstellen lässt, ihre adjungirte Form F in 
gleicher Weise durch die polare Schaar dargestellt werden wird, 
nachdem jedoch die Parameter der polaren Schaar alle mit 
dem mittleren Abstand E multiplicirt worden sind, das heisst 
mit der mit negativem Zeichen genommenen sechsten Wurzel 
aus der Determinante 2>. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 123 

Auf die merkwürdige Analogie, welche zwischen den 
Eigenschaften der binären nnd temären Formen und den 
geometrischen Eigenschaften besteht, welche die Netze nnd 
Schaaren besitzen, hat Herr Seeber in seinen »Untersuchungen 
über die temären Formen« aufmerksam gemacht (siehe Cr eile* s 
Journal, Band XX, p. 318). 

Satz CV. — Das Volumen des Elementar-Parallel- 
epipedes ist das gleiche in der ursprünglichen Schaar 
und in ihrer polaren. 

Seien £i das Volumen des Grund-Parallelepipedes der 
gegebenen Schaar und [£i\ dasjenige ihrer polaren Schaar. 
Man hat offenbar 

r^T absind admiß hd ^\VL a . . . « 
[ß] = — ^ ^-^ ^ sm II sin V sm d, 

wobei a, 5, d die Parameter der ursprünglichen Schaar sind. 
Man hat andererseits 



(74) 



' ( sin /5 sin (J sin ju = J , 
sin a sin (J sin ^ = J", 
wenn / wieder durch die Oleichung (69) gegeben ist. Also 

[114] und da überdies 

abdJ= ü. (Gleichung 41), 
E^ = Ü (Gleichung 54) , 
so wird endlich 

(75) [ß] = ß. 

Anmerkung. — Die polare Schaar hat dieselbe Dichtig- 
keit, das heisst denselben Reichthum an Gitterpunkten wie die 
ursprüngliche Schaar; der mittlere Abstand E behält den- 
selben Werth in den beiden Schaaren. Also 

(76) [JF|=£. 

Satz CVI. — Wenn man die polare Schaar einer 
polaren Schaar construirt, so kommt man auf die 
ursprüngliche Schaar zurück. 

Bestimmen wir den elementaren Flächeninhalt des Netzes 



124 A. Bravais. 

der Ebene der [yz] in der polaren Schaar. Seiten des Grund- 
Parallelogramms sind die beiden Parameter 

ad sin/? ab sin S 

der eingeschlossene Winkel [a] ist gleich 180° — fi {Satz C)* 
Also wird man haben 

or/. /./.n ^*^^ sin ß sin d sin fi Ea^bd sin ß sin 8 sin/w 
^[(100)] = ^^ = ^2 

Nun hat man andererseits 

abd sin ß sin <J sin ^ = abdJ = Sl ; 
also 

Ä[(100)] = Ea = EP 100 . 

Man wttrde ebenso beweisen, dass man hat 

S[{OiO)] = Eb = EPOiO, 
S[[00i)]= Ed = EPOOl. 

Wenn man, der Richtung nach, die Axen der Schaar 
construirt, welche die polare der über Oa, Ob, Od (Fig. 39) 
construirten Schaar ist, so trifft man wieder auf OA, OB, OD. 
Wenn man, der Grösse nach, die Parameter dieser Axen, den 
festgesetzten Formeln (Gleichungen 63) 

iS[(iOO)] S[(010)] S [(001)] 
[E] .' [E] ' [E\ 

[115] gemäss, construirt, so kommt man wegen [E\ =^ wieder 
auf die Parameter a, b, d, oder PlOO, POlO, POOl zurück. Die 
so erhaltene Schaar fällt also mit der ursprünglichen Schaar 
zusammen. 

Satz CVII. — Wenn ghk das Symbol einer Punkt- 
reihe in einer Schaar ist, so wird die zu ihr normale 
Ebene eine Netzebene der polaren Schaar sein und 
sie wird [[ghk]'\ als Symbol haben. 

Denn man kann, zufolge des vorhergehenden Satzes, die 
polare Schaar als die ursprüngliche ansehen, und die ur- 
sprüngliche als die polare Schaar der anderen. Alsdann muss 
(Satz Cni) das Symbol der Normale der Ebene [ghk)\ghk] 
sein. Um auf unsere erste Auffassung zurückzukommen, ge- 
nügt es, die Klammern [] von einem Symbol auf das andere 
zu* übertragen, und man sieht, dass das Symbol der zu der 



lieber die Systeme von. regelmässig vertheilten Punkten. 125 

Ebene [{ffhk)] Normalen ghk sein wird; also ist die Punkt- 
reibe ffhk normal zu der Netzebene [{sfhk)\ 

CoroUarsatz. — Wenn [ffhk] das Symbol einer Punkt- 
reihe der polaren Schaar ist, so wird [ffhk) dasjenige der zu 
ihr normalen Ebene sein, welche eine Netzebene der ur- 
sprünglichen Schaar sein wird. 

Definition. — Die Eigenschaften der polaren Schaaren 
im Raum haben ihre analogen auf der Ebene. Jedem Netze 
entspricht ein polares Netz, welches man in der folgenden 
Weise erhält: 

Seien Oa = a, Ob ssi b die beiden Parameter auf den 
Axen Oxj Oy (Fig. 40); sei ö der Winkel xOy\ sei e der 
mittlere Abstand, der durch die Formel 

£* = ab sin 6 

gegeben ist. lieber diesem Netz, und mit dem zu der Ebene 
xOy normalen Parameter e als Axe der z construire man 
eine Schaar, welche das Netz der Ebene x Oy als Basis hat. 
Man wird haben 

ß = eab sin <J = b^\ 

so wird also b der mittlere Abstand der Oitterpunkte dieser 
Httlfsschaar sein. 

Indem man ihre polare Schaar construirt, sieht man, dass 
die Axe der \x] die Normale 0[x] zu der Axe Oy sein wird, 
und dass die Axe der [y] die Normale 0[y] zu der Axe der 
bx sein wird. Seien also 0[d\ = [ä\, 0[b] = [b] die auf 
diese Axe bezüglichen Parameter, so wird man haben 

[116] Wenn man über diesen Parameteiii ein Netz construirt, 
wird man das Polare des gegebenen Netzes erhalten. Wenn 
man alsdann auf der Verlängerung der Geraden 0{y] die 
Strecke 0[b'] = 0[b] abträgt, so wird der Gitterpunkt [b'] 
auch dem polaren Netz angehören, und da man 

0[a] = 0b, 0[V]=Oa 

hat, werden die Dreiecke bOa und [a]0[5'] congruent sein. 
Daraus folgt der nächste Satz. 

Satz GVIII. — Ein polares Netz wird aus dem 
ursprünglichen Netz abgeleitet durch eine Drehung 



126 A. Bravaifl# 

von 90 Grad des letzteren um einen der Gitter- 
pnnkte, welchen man als Anfangspunkt wählt. 

Anmerkung. — Wenn nach dieser Drehung die Axe 
der positiven y zu der Axe der positiven [x] des polaren 
Netzes wird, so wird die Axe der positiven x die Axe der 
negativen [y] werden. Das Umgekehrte wird stattfinden, wenn 
die Drehung im entgegengesetzten Sinne gemacht wird. 

Satz CIX. — Jede polare Schaar besitzt dieselben 
Symmetrieaxen wie die ursprüngliche Schaar. 

Sei O (Fig. 41), der den beiden Schaaren gemeinsame 
Qitterpunkt, der Anfangspunkt der Coordinaten; seien 00' 
eine Symmetrieaxe der ursprünglichen Schaar, und OP 
eine der Punktreihen der polaren Schaar, wobei und P 
zwei benachbarte Gitterpunkte auf dieser Punktreihe sein 
mögen. Legen wir durch normal zu OP die. Ebene RR\ 
welche eine Netzebene der ursprünglichen Schaar sein muss 
(Satz CVII, CoroUarsatz). 

Sei jetzt q die Ordnungszahl der Symmetrie der Axe 

3gQ0 

00'\ lassen wir RR sich um 00^ drehen um ^^ , um 

2-360° 3-360° . ^ ^ . .^ ^r x 
, , u. s. w. : so wird man ebenso viele Netz- 

ebenen der gleichen Art erhalten (Satz LXXXVIII], deren 
Noimalen ebenfalls Punktreihen der polaren Schaar sein 
werden (Satz Olli). Diese Normalen erhält man, indem man 

OP um 00' dreht durch Winkel von , , u. s. w.: 

q ' q ' 

bei dieser Bewegung wird der Punkt P nach einander auf 
P', auf P", u. s. w. kommen; woraus man sieht, dass er y — 1 
homologe Gitterpunkte in Bezug auf die Axe 0' haben 
wird, und da P irgend ein Gitterpunkt der polaren Schaar 
ist, so wird die Axe 00' eine Symmetrieaxe der Ordnung 
q in dieser letzteren Schaar sein. 

CoroUarsatz. — Wenn in der ursprünglichen Schaar 
Symmetrieebenen vorkommen, [117] so werden diese Ebenen auch 
Symmetrieebenen der polaren Scbüeuir sein; denn jeder Sym- 
metrieebene entspricht eine Symmetrieaxe von gerader Ord- 
nung, und diese Axe muss sich in der polaren Schaar wieder- 
finden. Nun aber entspricht jeder Symmetrieaxe von gerader 
Ordnung umgekehrt auch eine Symmetriebene, welche zu ihr 
normal ist; deshalb wird sieh auch diese Symmetrieebene in 
der polaren Schaar wiederfinden. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 127 

Satz CX. — Wenn man alle Parallelepipede ceu- 
trirt, deren Vereinigung eine gegebene Schaar A 
bildet, deren polare [A\ bekannt ist, and wenn man 
so eine neue Schaar A! hervorbringt, so wird die 
Schaar, die man erhält, indem man die sechs Seiten 
der polaren Parallelepipede centrirt, welche die 
Schaar [^] bilden, und darauf alle ihre Dimensionen 

3 ._ 

in dem Verh&ltniss l : ]/ 2 vergrössert, die polare 
Schaar von A' sein. 

Sei Sa der Kern der Schaar A'\ das Volumen dieses 
Kernes wird augenscheinlich gleich der Hälfte des Volumens 
des alten Kerns sein, so dass man haben wird 

Seien E und E' die mittleren Abstände in den Schaaren 
A und A', so wird man haben 

E^ = \E\ E^E'^2. 

Andererseits hat man in der Polaren von A'j indem man 
die Grössen, welche sich auf die Schaar A' und ihre polare 
[A] beziehen, durch Accente kenntlich macht. 

Da aber die Netze auf den Ebenen der yz, der xz und der 
xy nicht durch die Centrirung verändert werden, erhält man 

;S"(100) = 5'(100) = jE;p[ioo], 
Ä'(oio) = s(oio) = £P[dio], 

Ä'(OOl) = Ä{001) = i5P[00l]. 
Also durch Substitution 



(77) 



'P'[ioo] =xy2'-P[ioo], 

P'[010] =|/2.P[010], 
P'[001] =1^2 .P[001]. 



[118] P[100], P[010] und P[001] stellen nach Grösse und 
Richtung die Kanten der drei aneinanderstossenden Seiten des 
Grund-Parallelepipeds der polaren Schaar [A] vor. Wenn 
man dagegen die Diagonal-Ebenen (HO), (101) und (011) 



128 A. BravaiB. 

betrachtet, und speciell diejenigen, welche als Gleichung in 
der ursprünglichen Schaar 

haben, so sieht man leicht, dass diese Ebenen durch das 
Centrum des Grund-Parallelepipedes gehen: demnach werden 
die Parallelogramme der Netze dieser Ebenen alle centrirt, 
und der Flächeninhalt ihrer Masche wird um die Hälfte 
kleiner. Man hat also 

Ä"(llO)=|5'(ilO), 

;S"(lOl)=i*S(10l), 

Also 



(78) 



und ebenso 

P'[101] =V2.iP[l01], 

l P'[01l] = |/2"4P[01l]. 



P[iiO], P[101] und P[011] stellen nach Grösse und 
Richtung die Diagonalen der drei aneinanderstossenden Seiten 
des Grund-Parallelepipedes der polaren Schaar [A] dar. 

Aus den Gleichungen (77] und (78) schliesst man, dass 
man, um die Schaar [A'] zu erhalten, die Dimensionen des 

3 . — 

Grund-Parallelepipedes der Polaren [A] mit y2 multipliciren, 
und dann die Parameter der Diagonalen ihrer sechs Seiten 
um die Hälfte verkleinern muss, was erreicht wird indem 
man ihre Seitenflächen centrirt. 

Die erste dieser beiden Operationen verwandelt den Kern 

i2 der Polaren [A] in ß ()/2) = 2ß. Durch die zweite 
Operation bekommt das Grund-Parallelepiped zwei Mal kleinere 
Basen und Höhen, sein Kern 2ß wird also gleich 

. |2ß = |ß = ß', 

das heisst gleich dem Kern der Schaar A'. Die Centrirung 
der so erhaltenen Schaar [A'] ist demnach vollständig; eine 
weitere Centrirung würde, wenn sie stattfinden [119] könnte, 
die Dichtigkeit von [A^] grösser machen als diejenige von 



Ueber die Systeme von regelmässig yertheilten Punkten. 129 

A\ was nicht möglich ist (Satz CV, Anmerkung). Also ist 
[A] die Polare von der centrirten Schaar A\ 

Satz CXI. — Wenn man die Flächen der Grnnd- 
Parallelepipede centrirt, welche eine gegebene 
Schaar A bilden, deren Polare [Ai\ bekannt ist, um 
durch diese Centrirung eine nene Schaar Ä zu er- 
zeugen,, so wird man die Polare [A'] der Schaar A' 
erhalten, indem man die polaren Parallelepipede, 
welche die Schaar [A] bilden, centrirt und alle ihre 

3.— 

Dimensionen in dem Yerhältniss y2 : 1 verkleinert. 

Seien ganz allgemein M und N zwei Schaaren, wovon 
jede die Polare der anderen ist; sei M^, das was aus der 
Schaar M wird, wenn man alle ihre Parallelepipede centrirt; 
sei Nf das was aus iVwird, wenn man die Flächen ihrer 
Parallelepipede, der Polaren derjenigen von M centrirt. Es 
folgt aus dem vorhergehenden Satz, dass sowohl M^ wie Nf 
die Bedingungen in Bezug auf ihre Dimensionen- Verhältnisse 
erfüllen, um Polaren von einander zu sein; nur anstatt 

Kern M^ = Kern Nf 
hat man 
(79) Kern M^ = 2 Kern Nf. 

Wenn man dann die Dimensionen von Nf in dem Yer- 
hältniss y 2 zur Einheit vergrössert, werden die Kerne gleich 
und die Schaaren sind gegenseitig polar (voriger Satz). 

Man kann dasselbe Resultat erhalten, indem man die 

Dimensionen von Mc in dem Verhältniss y 2 : 1 verkleinert; 
die Kerne werden gleich, und die Schaaren gegenseitig polare. 
Im gegenwärtigen Falle setzen wir N= Aj M = [A\ 
undiVy==-4'; hier wird M^ die Schaar [A] sein, deren 
Parallelepipede man centrirt hat, und M^, mit Dimensionen, 

die in dem Verhältniss ]/2 : 1 verkleinert sind, wird die 
Polare von A' sein. 

Satz CXn. — Wenn man in den Ebenen ^ = 
und j? = 1 die Basen der Grund-Parallelepipede 
centrirt, welche eine Schaar^ bilden, deren Polare 
[A] bekannt ist, so wird man die Polare der Schaar 
mit centrirten Basen [120] A' erhalten, indem man 
auf den Ebenen [^j] = 0, [z] = 1 die Basen von [A\ 

Ostwald'g Klassiker. 9Ü. 9 



130 



A. Bravais. 



centrirt, die Parameter auf den Axen der [x] und 

3 

der [y] mit dem Verhältniss y2:l multiplicirt, und 

3 _ 

denjenigen der Axe der [z] mit dem Verhältniss y'! : 2. 

Wenn man die Methode anwendet, welche bei dem Be- 
weis des Satzes CX gedient hat, findet man 

Ä"(100) = S{iOO) = EP[100], 
S'(01Q) = ^(010) = £P[010], 
Ä'(OOI) = I Ä(OOl) = ^EP[00i] , 

' P'[100] = |/2-P[l00], 

(80) . P'[010] = |/2"-^[010], 

P'[001]=^|/2.P[001], 

Ä'(iio) = 4^(110), 

y(101) = 6'{101), 
Ä'(0ll) = Ä(0U), 

P'[110] = -^V2.P[110], 

(81) I P'[101] = V2.P[101], 

P'[011] = V'2.P[011]. 

Aus den Gleichungen (80) und (81) schliesst man, dass 

alle Dimensionen der Schaar [A] mit y2 multiplicirt werden 
müssen, und dass dann der auf die Axe der [z] bezügliche 
Parameter ebenso wie der Parameter der Diagonale [HO] um 
die Hälfte verkleinert werden muss. Diese letzte Operation 
ist äquivalent dem Centriren der Parallelogramme in der 
Ebene der [xy]. 

Die erste Operation verändert den Kern ii der Schaar 
[A] in 2i2; die zweite halbirt ihn und führt ihn auf den 
Werth i2 zurück ; die dritte halbirt und macht ihn gleich 
^ß; dieses ist nun auch der Werth des Kernes der Schaar 
A\ Also wird die so erhaltene Schaar die Polare von A' sein. 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 13t 

AufgabeXXXII. — Die polare Schaar einer Schaar 
mit binärer Symmetrie zu finden. 

Seien Oz die binäre Axe (Fig. 42) und d ihr Para- 
meter. Seien Ox = a, Oy = b und xOy = ö, 

[121] Nehmen wir zuerst das nicht centrirte Prisma an, 
und setzen 

(82) abd sin d = R^] 

wenn E der mittlere Abstand ist, werden wir haben 

Die Axe der [z] wird mit Oz zusammenfallen, die Axen der 
[x] und der [y] werden in der Ebene der xy gelegen sein, 
und man wird haben 



w = 


E* 


1 
a sin ö 




[*] = 


E* 


1 
iaind 


d 



Da die Axen der x, y und z conjugirt sind, weil das gerade 
Prisma nicht centrirt isit, werden die Axen der [x], der [y] 
und der [z] es gleichfalls sein, und die Grundform der polaren 
Schaar wird ein gerades Prisma mit parallelogrammatischer 
Basis sein. Das Netz der Ebene der [x] [y] wird das in dem 
Verhältniss d : E vergrösserte oder verkleinerte polare Netz 
des Netzes der xy sein. 

Wenn das Grundprisma centrirt wäre (siehe den Satz 
LV), so mQsste man die Flächen des polaren Prismas, das 
man erhält, ohne zuvörderst die Centrirung in Betracht zu 
ziehen, centriren (Satz CX), und darauf seine Dimensionen 

in dem Verhältniss 1 : ]/2 vergrössern. Man erhielte auf diese 
Weise als Grundform ein gerades Oktaeder mit parallelo- 
grammatischer Basis oder, was auf dasselbe hinauskommt, 
ein gerades centrirtes Prisma mit parallelogrammatischer Basis. 
Man findet dann für die Kanten dieses letzteren Prismas 

9* 



132 A. Bravais. 

s^Vo« + b^-]-2abcosd 



^a' /- >^«* + ^* — 2ö6 COS d 
•- -^ ^ 2ab sin o ' 

und für den von [ä] und [6] eingeschlossenen Winkel 

2 ab sin d^ 



(2aÄ sin ö\ 



[122] Aufgabe XXXIII. — Die polare Sohaar einer 
Schaar von terbinärer Symmetrie zu finden. 

Nehmen wir als Coordinaten-Axen die drei Axen von 
binärer Symmetrie. Seien a, b und d die Parameter der 
Axen der x, der y und der z] [«], [b] und [d] diejenigen 
der Axen der [x], der [y] und der [z]. Die Axe der [x] wird 
mit der Axe der x zusammenfallen, die Axe der [y] mit der- 
jenigen der y und die Axe der [z] mit derjenigen der z. 

Nachdem dies festgestellt, können vier verschiedene Fälle 
vorkommen. 

Wenn das gerade Prisma mit den Kanten a, b und d 
nicht centrirt ist, so wird die polare Schaar als Grundform 
ein gerades Prisma mit rechteckiger Basis haben. 

Setzen wir, um abzukürzen, 

(83) abd = R\ 
so werden wir offenbar haben 

(84) E^ = R' , 

Wenn das gerade Prisma im Mittelpunkt seines Volumens 
centrirt ist (der Fall, in dem die Schaar als aus dem geraden 
Oktaeder mit rechteckiger Basis abgeleitet angesehen werden 
kann] , so ist das Polare ein gerades Prisma , das auf seinen 
sechs Flächen centrirt ist, und man findet leicht (Satz CX) 



Ueber die Systeme von. regelmKssig yertheilten Punkten. 133 

(85) ^» = JÄ», 

[a] =Ä«i^- =2E*-, 
'■ ■' ' a a 

M = Ä'|/2^ = 2^«^; 

das über [a], [b] und [d] constrnirte Prisma muss darauf auf 
seinen sechs Flächen centrirt werden, und dann wird es gleich- 
bedeutend einem geraden Oktaeder mit rhombischer Basis sein. 
Wenn das gerade Prisma auf seinen sechs Flächen cen- 
trirt ist (der Fall, wo die Schaar als von einem geraden 
Oktaeder mit rhombischer Basis abgeleitet betrachtet werden 
kann], so kommt man gemäss dem Satze CXI auf das' gerade, 
centrirte Prisma zurück, welches dem geraden Oktaeder mit 
rechteckiger Basis gleichbedeutend ist. Seien wieder a, b 
und d die Kanten [123] des geraden Prismas mit centrirten 
Flächen. Man wird nach dem Satz CXI haben 

(86) E^ = \R\ ' 



m=-ß'Vir = 2^^ 



b 

[a], [b] und [d] werden die Kanten des geraden rechteckigen 
Prismas sein, welches, indem es centrirt wird, die Grundform 
der gesuchten Polaren werden wird. 

Endlich, wenn das Prisma auf zweien seiner Flächen 
centrirt wäre, z. B. auf seinen beiden Basen (der Fall, wo 
die Schaar als von einem geraden Prisma mit rhombischer 
Basis abgeleitet angesehen werden kann), fände man, indem 
man sich an die Vorschriften des Satzes CXII hielte, und 
durch den vorhergehenden analoge Berechnungen 



134 A. BravaiB. 

dann würde man das über [a] nnd [b] constrnirte Rechteck 
centriren. Man hätte auf diese Weise ein nenes gerades 
Prisma mit rhombischer Basis. 

Man kann sich für diesen letzten Fall auch anf die Lösnng 
der Aufgabe XXXII stützen. Man mache in den auf diese 
Anfgabe bezüglichen Rechnungen 

a == a' , b = a' j E = E j 

was darauf hinausläuft, die beiden Diagonalen der rechteckigen 
centrirten Basis als Axen der x und der y zu nehmen. 
Dann ist 

(87) E''==a'^dsmd, 



a' 


sin 


d 




E' 


U 




1 




= 


d 

E 


a' 


a' 


sin 


d 



[b'] = E* 

1 jB'* 

und der Winkel des Rhombus in der Basis des Polaren wird 
180° — 5. 

CoroUarsatz I. — Das Polare des geraden Prismas 
mit rechteckiger Basis ist ein gerades Prisma mit rechteckiger 
Basis; dasjenige des geraden Prismas mit rhombischer Basis 
ist [124] ein gerades Prisma mit rhombischer Basis: die beiden 
Rechtecke oder die beiden Rhomben sind ähnlich. 

CoroUarsatz II. — Das gerade Oktaeder mit recht- 
eckiger Basis und das gerade Oktaeder mit rhombischer Basis 
sind zu einander polar. 

Aufgabe XXXIV. — Die polare Schaar einer 
ternären oder rhomboedrischen Schaar zu finden. 

Die Polare einer Schaar, welche mit einem Rhomboeder 
construirt ist, dessen Kantenwinkel gleich a, und dessen 
Flächenwinkel gleich f.i ist, ist ein anderes Rhomboeder, dessen 
Kantenwinkel [a] (Satz C) gleich 180° — f^i, und dessen Flächen- 
winkel [}i] gleich 180° — « ist*). 



*) Dieses Rhomboeder hat Professor Weiss >Invertirungs- 
Rhomboeder« genannt (Abhandlungen der Berliner Akademie^ Band 
XV, p. 93). 



Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkteo. 135 

Das ursprüngliche Rhomboeder wird vollständig bestimmt 
sein^ wenn man den Parameter a des zur ternären Axe normalen 
Netzes mit dreieckig gleichseitiger Masche und den Para- 
meter d dieser ternären Axe giebt. Man findet alsdann durch 
die bekannten Eigenschaften des Rhomboeders 

r 1 (P 



(88) ^ . 1 



2(1 — cos a) 9ar 



>i ^i "1" 3 • 



2(1+ cos /t) 4fl?* 

Seien [a] und [d] die Parameter von gleicher Bedeutung im 
polaren Rhomboeder. Man wird haben 





2(1 


+ 


C08M)-"4[rf]' ' =•• 


Nun ist 










1 


4- 


cos [ft] = l — cos a ; 


also 






(P [af 
9«* ~ 4[d]* ' 


also endlich 








(89) 






a[a] d[d] 
2 "~ 3 • 



eine Beziehung, welche die Bedingung ausdrückt, unter welcher 
zwei Rhomboeder jedes dem polaren des anderen ähnlich sind. 
Wegen der Gleichheit der beiden Volumen hat man ferner 
die Bedingung 

(90) E' = ^y 3a* d = ^ y 3 [a]* [d] . 

[125] Man wird daraus die Werthe von [a] und [d] berechnen, 
und zwar 

3 






Aufgabe XXXV. — Die polare Schaar einer 
Schaar mit quaternärer Symmetrie zu finden. 

Seien a und a die beiden Parameter der Seiten der 



136 A. Bravais. 

quadratischen Basis; sei d der Parameter der Axe der z, der 
Axe der qnaternären Symmetrie. 

Wenn es sich um ein Prisma mit quadratischer Basis 
handelt, das nicht centrirt ist, wird man haben 

(91) a^d=R\ E' = R\ 

das Polare wird auch ein Prisma mit quadratischer Basis sein. 
Wenn es sich um ein centrirtes Prisma mit quadratischer 
Basis handelt, so wird das Polare ein centrirtes Prisma 
mit quadratischer Basis sein, dessen Elemente sich aus der 
Lösung des zweiten Falles der Aufgabe XXXIII ableiten, lassen. 
In den auf diesen Fall bezüglichen Formeln mache man 
b = a\ man wird ein gerades centrirtes Prisma mit qua- 
dratischer Basis finden, das sich durch die Formeln bestimmt 

(92) E^==:^E\ 

Aufgabe XXXVI. — Die polare Schaar einer 
Schaar mit senärer Symmetrie zu finden. 

Die Grundform der Schaar ist ein gerades Prisma von der 
Höhe d mit rhombischer Basis, deren Seiten a und <7, mit dem 
eingeschlossenen Winkel d gleich 120 Grad, sind. 

Man findet alsdann (siehe die Lösung der Aufgabe XXXUI, 
vierter Fall), dass die Grundform der Polaren ein gerades 
Prisma mit rhombischer Basis ist, wobei der Winkel des 
Rhombus 180° — d oder 60 Grad ist, das heisst ein Prisma 
mit senärer Symmetrie, wie man es erwarten musste (Satz CIX). 

Seien [a] und [a] die Seiten des Rhombus in dem polaren 
Prisma, und [d] die [126] Höhe; so wird man haben, indem 
man die Formein (87) anwendet, 

(93) ^» = ^l/3a*rf, 

[a]=y|£«l, 

[rf] = ^*l. 



lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 1 37 
Man hat zwischen a, d, [ä] und [d] die Beziehnngen 

(95) d'd=[a]*[d], 

welches die Analogen von (89) und (90) sind. 

Das Netz der zur senären Axe normalen Ebene dreht 
sich um 90 Orad in seiner Ebene und modificirt sich in Be- 
zog auf seinen kleinsten Parameter. 

Aufgabe XXXVII. — Die polare Schaar einer 
Schaar mit terqnaternärer Symmetrie zu finden. 

Wenn die Grundform der Schaar ein Würfel ist, so wird 
ihre Polare als Grundform denselben Würfel haben. 

Wenn die Grundform der Schaar ein centrirter Würfel mit 
der Seite a ist, so wird ihre Polare ein Würfel mit centrirten 
Flächen sein (Satz CX), dessen Seite [d] durch die Formel 

[d\ = aV2 

gegeben sein wird. 

Wenn umgekehrt die Grundform ein Würfel mit centrir- 
ten Flächen mit der Seite a wäre (oder ein reguläres Oktaeder 
mit der Seite dy^)j so würde die Polare ein centrirter Würfel 
mit der durch die Gleichung 

[a] = a|/i 

gegebenen Seite [d] sein (Satz CXI). 

So sind also die beiden letzten Arten gegenseitig polar 
zu einander. 

Man könnte diese letzteren Resultate auch beweisen, indem 
man die Grund -Rhomboeder in Betracht zöge. Das Rhom- 
boeder von 90 Grad hat einen Eantenwinkel von 90 Grad; 
es wird also als Polares ein Rhomboeder von 90 Grad haben 
(Lösung der Aufgabe XXXIV). 

[127] Das Rhomboeder von 70° 31' 44" hat einen Kanten- 
winkel von 60 Grad; es wird also das Rhomboeder von 
120 Grad als Polares haben. 

Das Rhomboeder von 120 Grad hat einen Kantenwinkel 
von 109° 28' 16"; es wird also das Rhomboeder von 70° 31' 
44" als Polares haben. 



138 A. BravaiB. 

Obwohl man die vorstehende Abhandlnng als eine rein 
geometrische Specnlation betrachten kann, und obwohl die 
darin nachgewiesenen Beziehungen unabhängig sind von den 
physikalischen Eigenschaften der Körper, so hat doch der 
Verfasser diese Arbeit ausgeführt in der Absicht, sich der- 
selben später zur Erklärung der Fnndamentalerscheinnngen 
der Erystallographie zu bedienen, und behielt bei Abfassung 
der Arbeit dieses Ziel besonders im Auge. 

Seit Haüy hat man stets ausdrücklich oder stillschweigend 
angenommen, dass in den krystallisirten Körpern die Mittei- 
punkte der Molekel in gleichen Abständen, in geradlinigen 
Reihen, parallel den Schnittgeraden der Spaltungsflächen, an- 
geordnet sind. Das aus diesen Mittelpunkten bestehende 
geometrische System ist demnach nichts anderes als was wir 
eine »Schaar von Punkten« genannt haben, und alle in dieser 
Abhandlung ausgeführten Ueberlegnngen lassen sich darauf 
anwenden. 

Wenn man nun annimmt, dass irgend eine im Moment 
der Krystallisation eingreifende Ursache bewirkt, dass die 
sich bildende Schaar eher einer symmetrischen als einer un- 
symmetrischen Structnr zuneigt, so wird offenbar die schliess- 
lich gebildete Schaar einer der sieben Classen (Seite 96) und 
vorzugsweise einer der ersten sechs, die allein Symmetrie- 
Axen oder -Ebenen besitzen, angehören. Die Betrachtung der 
krystallisirten Körper, künstlicher sowohl wie natürlicher, 
beweist a posteriori ^ dass es sich so verhält; und die geo- 
metrische Eintheilung der Schaaren entspricht aufs getreueste 
derjenigen, die man auf Grund langwieriger und sorgfältiger 
Untersuchung für die Krystallsysteme hat aufstellen müssen. 

Aber welche Ursache bewirkt diese Neigung der von den 
Mittelpunkten der Krystallmolekel gebildeten Schaaren zur 
symmetrischen Regelmässigkeit? Diese Frage werde ich in 
einer anderen Abhandlung zu beantworten versuchen, deren 
Abfassung eben abgeschlossen ist und die hoffentlich dem- 
nächst gedruckt werden kann. Die wesentlichsten Ergebnisse 
dieser neuen Arbeit sind [128] der Soci^tö Philomathique in 
den Sitzungen vom 17. und vom 24. März, vom 19. Mai, 
vom 7. Juli und vom 17. November 1849 mitgetheilt worden 
(siehe die Zeitschrift V Institut^ Jahrgang 1849, in den Be- 
richten über diese Sitzungen). Die Abhandlung, die der Leser 
eben beendigt hat, ebenso wie diejenige »Ueber die Polyeder 
von symmetrischer Form«, abgedruckt in Band XIV vom 



üeber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 139 

Journal de Mathemaiiques des Herrn LiouviUe^ bilden in 
gewisser Beziehung die Prolegomena der krystallographischen 
Theorie, welche dort entwickelt ist. 

Ich beschränke mich hier darauf, die polyedrische oder 
wenn man will die polyatomige Form der Molekel des krystal- 
lisirten Körpers als das zu bezeichnen, was die Art der 
Symmetrie der entsprechenden krystallinischen Schaar be- 
stimmt; dieselbe Ursache, in ihre weiteren Consequenzen ver- 
folgt, erklärt in einfacher Weise die Gesammtheit der Er- 
scheinungen der Hemiedrie, der Zwillingsbildung und des 
Dimorphismus. Wenn sie auch nicht völlig das noch so 
schwierige Problem des Dimorphismus löst, so deutet sie doch 
wenigstens an, auf welche Weise man suchen muss den 
Dimorphismus von der Isomerie zu unterscheiden, und sie lässt 
erkennen, dass, in gewissen Fällen, der eigentliche Dimorphis- 
mus, d. h. die Erystallisation identischer Molekel in zwei 
verschiedenen Erystallsystemen, je nach dem Zustand des um- 
gebenden Mittels, wohl zulässig ist, wenn er auch den augen- 
blicklich in der Mineralogie am meisten anerkannten Auf- 
fassungen widerspricht. 

Ein Bericht tlber die vorliegende Abhandlung wurde 
von Herrn Cauchy in der Acad^mie des Sciences am 
6. August 1849*) verlesen (siehe Comptes rendus. Band XXIX, 
Seite 133). 

Es sei mir am Schlüsse gestattet, dem berühmten Bericht- 
erstatter zu danken für das Wohlwollen, mit dem er meine 
Arbeit gewürdigt hat. 



*) Mitglieder der Commission: die Herren Biot, JBteudantj Du- 
frenoy^ Regnault^ Lam4, Berichterstatter Cauchy. 



Anmerkimgen. 



Die vorliegende Bravais^sche Arbeit ist im Journal de 
rficole Polytechniqne (T. 19, XXXin* cahier, p. 1—128) er- 
schienen. In den Oesammelten krystallographischen Abhand- 
inngen, welche nnter dem Titel £tndes cristallographiqnes im 
Jahre 1866 herausgegeben wurden, bildet sie den zweiten 
Abschnitt. Es gingen ihr die kurze »Notiz über die sym- 
metrischen Polyeder der Geometrie« und die »Abhandlung 
über die Polyeder von symmetrischer Form« (Ltouville*^ Journ. 
de math. 14. p. 137—140 bezw. 141—180, 1849) voraus, 
deren Uebersetzung im 17. Heft der »Klassiker« veröffentlicht 
ist. Auch der neuen Uebersetzung liegt der Abdruck von 
1866 zu Grunde. 

Die Bedeutung der £rat?at«'schen krystallographischen 
Abhandlungen und speciell der jetzt vorliegenden ist nicht 
eine rein historische. Denn sie haben nicht nur mittelbar 
oder unmittelbar die Anregung zu der weiteren Entwickelung 
auf dem Gebiete der Theorien von der Krystallstructur ge- 
gebeu, sondern sie müssen auch heute noch als ein sehr 
wesentlicher Bestandtheil dieser Theorien aufgefasst werden. 

Bravais selbst hat nicht vergessen, seines Vorgängers 
Frankenheim Erwähnung zu thun, der thatsächlich die 14 Arten 
von Schaaren schon früher gefunden. 

Was die Bezeichnungen anlangt, haben wir uns möglichst 
eng an das Original gehalten, daher auch die Ausdrücke binär, 
ternär, u. s. w. beibehalten. Nur in einem Falle erlaubten 
wir uns eine stärkere Abweichung, nämlich in Bezug auf die 
Punkte, welche bei Bravais »Sommets« heissen. Dem Vor- 
gange von Sohncke folgend, haben wir diese Punkte als Gitter- 
punkte bezeichnet, obwohl wir das aus ihnen zusammengesetzte 
Gebilde (Assemblage) nicht Raumgitter, sondern, sowohl der 
geringeren Abweichung wie der Kürze wegen, »Schaar« nannten. 



Anmerkungen. 141 

Im Einzelnen bedarf die Abhandlung kanm weiterer Er- 
läuterungen, wenn es uns nur gelungen ist, den Sinn des Ver- 
fassers tiberall richtig wiederzugeben. Es giebt wohl wenige 
Arbeiten, die nach nahezu einem halben Jahrhundert die Frische 
und innere Abgeschlossenheit besitzen, welche die Bravais^^ehe 
Arbeit auszeichnen, die wenigsten können auch wie diese, 
trotz der an Umfang und Ergebnissen reichen späteren For- 
schung, mit so grossem Nutzen für das Verständniss des gegen- 
wärtigen Standes unserer Kenntnisse gelesen werden*). 

Herrn Dr. M. JRadakoviö danken wir auch hier für seine 
freundliche Durchsicht des Manuscriptes. 

Seite 7, Z. 23 v. o. steht im Original m statt m\ 
Seite 15, Z. 6 v, u. steht im Original OR statt OB, 
Seite 25, Z, 14 v. o. steht im Original (20) statt (23). 
Seite 25, Z, 16 u, 18 v, u, steht im Original 

. ab sind 

~" VA'o* + ^«5« + 2ghab cos ö 
sin ö 



n^u'ii-' 



statt 

ab sind 



J = 



yh*a^ + ^«6« _ 2^hab cos d 
sind 



^ 0^ a* ab 
Seite 43, Z. 7 v. o, steht im Original 
§(nbpd' — pdnb) -h iy (. 
statt ^[nbpd — pdnb) + ij (. 



*) In Bezug auf die späteren Untersuchungen verweisen wir 
auf L. Sohncke, Entwickelung einer Theorie der Krystallstructur 
(Leipzig 1879), Aufsätze von Sohncke und X. Wulff in der Zeit- 
schnft für Krystallographie (z. B. X. Sohncke, Erweiterung der 
Theorie der Krystallstructur, Ztschr. f. Kryst. 14, 426, 1888), Arbeiten 
von E. V. Fedorow (Ztschr. f. Kryst.) und das Buch von A. Schoenßies, 
Krystallsysteme und Krystallstructur, Leipzig 1891. 



142 Anmerkungen . 

Seite 44j Z, 1 u. 2 v, o, steht im Original 

^ = 5^) y = — Ä 
statt ^ = Ä, y = — g , 

Seite 47, Z. 15 v. u, steht im Original AO' statt ÄO, 
Seite 49 j Z. 3 v, u, steht im Original p'nm" statt pnm'\ 
Seite 57 j Z. 10 v, o. steht im Original 

Z= +{mn")z, 

statt Z= + {mn')z. 

Seite 72 j Z. 13 t?. u, steht im Original aD statt AD, 
Seite 114, Z. 19 v, o, steht im Original a statt er. 
Seite 120, Z. 12 v, u, steht im Original 180 — (x statt 
180 — tJjr. --r . : 



Druck von Breitkopf & Hartel in Leipzig. 



Taf. I. 



p 






m 




Kg 


4. 




t 


T^ 


xT^ 


M 




f 


\ 




f 


\ 




< 


> 


A 



FicT.ö. 




.--'• 



Fie.6. 



?^^^^ F 



Ficr.tt. 




W.l8. 





» 46. 

>> 47. 
» 60. 

» 64. 
« 65. 

» 67. 
» 71. 

« 73. 



u o. a. Anzienung nomogener Ji^iiipsoiae. ADüanaiungen von liapiace 
(1782), Ivopy (1809), Oanss (1813), Chasles (1838) und Dirichlet 
(1839). Herausg. von A.Wan gerin. (118 S.) UJT 2.— . 
Abhandlungen über Yariations - Rechnung. I, Theil: Abhand- 
lungen von Joh. Bernoulli (1696), Jac. Bernonlli (1697) und 
Leonhard Enler (1744), Herausgegeben von P. St ä ekel. Mit 
19 Textflguren. (144 S.) UJf 2.—. 

II. Theil: Abhandlungen von Lagrange (1762, 

1770), Legendre (1786) und Jaco1)i (1837), Herausgegeben von 
P. Stäckel. Mit 12 Textflguren. (HOS.) UJf 1.60. 
Jacob Steiner, Die geometr. Constructionen, ausgeführt mittelst der 
geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf 
höheren Unterrichts - Anstalten und zur praktischen Benutzung. 
(1833.) Herausgegeben von A. J. v. Oettingen. Mit 25 Text- 
flguren. (85 S.) M 1.20. 

C. G. J. JacoM, über die vierfach periodischen Functionen zweier 
Variabein, auf die sich die Theorie der AberscV Transcenden- 
teu stützt. (1834.) Herausgegeben von H. ^ 
Lateinischen übersetzt von A. Witting. (4'^ 
Georg Rosenliain, Abhandlung über 
Variabler mit vier Perioden, welche dif 
elliptischen Integrale erster Klasse. / 
H. "W^eber. Aus dem Französisch 
(94 S.) Jl 1.60. 
A. Göpel, Entwurf einer Theorie 
erster Ordnung. (1847.J Herausj 
Lateinischen übersetzt von A, 
N. H. A1)el, üntersuchungeX 

^■^T^+ 1 . 2y 



373 



Aus dem 
H -.70. 
onen zweier 
ad der ultra- 
»gegeben von 
iA, Witting. 

an scen deuten 
er. Aus dem 

i 1.—. 



(1826.) Herausgep^ 

Leonhard Enle^ 

metrie. Grui 




I 2040 i 



M 1.-. 

jche Trigono- 

. \ind allgemeine 

jem Französischen 

Uj^^^r.