Abhandlungen über den mathematischen Unterricht in Deutschland

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}

ABHANDLUNGEN
OBER DEN MATHEMATISCHEN UNTERRICHT IN DEUTSCHLAND

VERANLASST DURCH DIE
INTERNATIONALE MATHEMATISCHE UNTERRICHTSKOMMISSION

HERAUSGEGEBEN VON F. KLEIN

BAND III HEFT 6

DIE

GESCHICHTE DER MATHEMATIK

IM MATHEMATISCHEN UNTERRICHTE DER
HÖHEREN SCHULEN DEUTSCHLANDS

DARGESTELLT

VOR ALLEM AUF GRUND ALTER. UND NEUER LEHRBÜCHER

UND DER PROGRAMMABHANDLUNGEN

HÖHERER SCHULEN

VON

Dr. MARTIN j^BHARDT

PROFESSOR AM VITZTHUMSCHEN GYMNASIUM ZU DRESDEN

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LEIPZIG UND BERLIN
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

1912

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COPYRIGHT 1910 BY B. 0. TEÜBNER IN LEIPZIG.

Jliiitcu ix. b. ''any»

ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES OBERSETZUNQSRECHTS, VORBEHALTEN.

Inhaltsübersicht, VII

IV. Teil.

Methodisches. 3^2^^

1. Weckung^ des Interesses bei mathematisch wenige begabten Schülern . 105

2. Förderung' der Lebendigkeit und Anregung im Unterrichte 107

3. Keine OberbOrdung. Maghalten bei geschichtlichen Belehrungen, die

nicht Selbstzweck des mathematischen Unterrichts werden sollen. Aus-
wahl und keine Vollständigkeit. Weitere methodische Ideen und Winke HO

4. Wq findet der Lehrer für sich und den mathematischen Unterricht ge-

schichtliche Belehrung und Anregung? 117

5. Gedanken Qber ein ^mathematisches Lesebuch*" 128

V.Teil.

Literatorverzeicbnis 133

Alpliabetisclies Namensverzeicbnis 153

Lehrbücher mit geschichtL Fußnoten, Anmerkungen usw, 47

Zum Schlug sei, wenn auch die geschichtslosen Bücher sonst
nicht namhaft gemacht werden sollen, nur noch auf eine der bekann-
testen und verbreitetsten Aufgabensammlungen hingewiesen, die dem
historischen Elemente gänzlich abhold ist, das ist die Bardeysche,
deren nicht mehr recht modernes Gewand von Pietzker und Presler
zwar umgearbeitet, dabei aber 'nicht mit einigen leuchtenden Fäden
vom Webstuhle der Vergangenheit durchzogen wurde.^)

1) Eine gegenwärtig' im Druck befindliche, den neueren Bestrebungen im
mathematischen Unterrichte in verstärktem Mage Rechnung tragende „Reformaus-
gabe"* wird bei geeigneten Kapiteln, z. B. den eingekleideten Gleichungen, den
Reihen usf. „Aufgaben aus alter Zeit" einschalten.

104 • Bd. III Heft 6 Allgemeines über den Wert gesMchtL-maih. Unterrichts.

mittelnde Gesamtbildung/) Pietzker, Höfler und andere, zu denen
sich auch viele der in Teil I zitierten Verfasser von Lehrbfichem ge-
sellen, geben ähnlichen Ideen Raum, kurz es ist eine von vielen mag-
gebenden und führenden Mathematikern auf Universität und höherer
Schule anerkannte Forderung, dag uns eine weit innigere Verknüpfung
der verschiedenen Unterrichtsfächer heute mehr wie je not tut und dag
die Geschichte, insbesondere die Kulturgeschichte neben an-
deren Wissenschaften trefflich geeignet ist, eine Brücke mit
tragfähigen Jochen herüber und hinüber zu schlagen, eine
Brücke, die beim Oberschreiten Arbeitsfreudigkeit und Wan-
derlust steigert, die nach allen Seiten hin einen schönen,
erhebenden Blick in das groge Land der Wissenschaft ge-
währt und die uns von höherem Standpunkte aus erkennen
lägt, dag Berge und Täler, fruchtbare Auen und einförmige
Steppen in ihrem bunten Wechsel doch organisch zusammen-
gehören, nicht durch schroffe Grenzlinien voneinander ge-
trennt sind und alle nur gedeihen können unter den leben-
spendenden Strahlen derselben Sonne.

1) Ebenda. S. 28.

132 • Bd. III Heft 6 Methodisches.

in die projektive Geometrie; H. E. Timerding, Die Fallgesetze. Noch
im Laufe dieses Jahres soll ein weiteres Heft erscheinen, das im Sinne
meiner Vorschläge Beispiele zur Geschichte der Mathematik
enthält, und zwar in solchen deutschen Übersetzungen, die unmittelbar
auf die Originale zurückgehen. Dag auch „Quellenschriften'' fiber ge-
schlossene Gebiete, verteilt auf mehrere Hefte, vorbereitet sind, war
in anderem Zusammenhange schon erwähnt worden (S. 128). Es wäre
erireulich, wenn durch die „Mathematische Bibliothek'' der Geschichte
der Mathematik unter unseren Primanern neue Freunde gewonnen
würden, wenn vielleicht sogar hier und da eine Einffihrung des einen
oder anderen Heftes in den mathematischen Abteilungen der Prima
erfolgen würde, dort also, wo das Prinzip der Gabelung eine freiwillige
Auswahl mathematisch besonders interessierter Schüler zur Folge hat

Einen Königsweg zum Tempel der Mathematik wird es auch in
Zukunft nie geben. Selbst unsere Jungen, die wir ja nur bis zur
Schwelle seines Vorhofes geleiten, sollen das erfahren. Rüstig müssen
sie im Hochgefühl wachsender Kraft ausschreiten. Wir sollen und
wollen ihnen den mühsamen Aufstieg auf steiler Bahn nicht ersparen.
Dag sie aber ihr Ziel mit Freuden erreichen, und nicht mit Seufzen,
dafür sollen wir als gute Wandergenossen sorgen. Und darum wollen
wir sie nicht hindern, zuweilen auszuruhen, Umschau zu halten und
Blumen am Wegrand zu pflücken. Mögen dabei solche nicht unbe-
achtet bleiben, die im ewig fruchtbaren Lande der Geschichte wurzeln.

150 • Bd. III Heft 6 Uteraturverzeichnis,

Simon, M., Geschichte der Mathematik im Altertum, in Verbindunsf mit antiker
Kulturgeschichte. Berlin 1909.

OSonnenborg, Der goldene Schnitt Beitrag zur Geschichte der Mathematik und
ihrer Anwendung. Gymn. Bonn 1881.

'l'Spieker, Th^ Lehrbuch der ebenen Geometrie. Potsdam 1862.

'l'Spielnann, siehe Moönik.

Spieß, Oh Die Mathematik auf dem Gymnasium. Pestschrift der 49. Philologen-
Versammlung zu Basel 1907.

Spottiswoode, W», Die Mathematik in ihren Beziehungen zu den anderen Wissen-
schaften. Aus dem Englischen Obersetzt von H. Gretschel. Leipzig 1879.

Stflckel, P. und Engel, F., Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gang.
Leipzig 1895.

Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie. In

2 Bänden. I. Bd. N. S. Lobatschefskij , zwei geometrische Abhandlungen.
Obersetzt von P. Engel. Leipzig 1899. — II. Bd. W. und J. Bolyai, geometrische
Untersuchungen. Herausgegeben von P. Stäckel. Leipzig 1910.

OStalgmfiller, lt., Dürer als Mathematiker. Kgl. Realg. Stuttgart 1891.

OStarke, R., Die Geschichte des mathematischen Unterrichts in den höheren Lehr-
anstalten Sachsens von 1700 bis in den Anfang des 19. Jahrhunderts. Real-
schule Chemnitz 1898.

OSteptaan, C, Zur Geschichte der algebraischen Auflösung der quadratischen kubi-
schen Gleichungen, sowie der Lehre von den Logarithmen. Realschule Wies-
baden 1883.

O Programm der Städtischen Realschule zu Wiesbaden 1883.

"^ Stell, F. H., Anfangsgrtlnde der neueren Geometrie. Bensheim 1872.

ostarm, J., Die Infinitesimalgedanken in Leibnizens Metaphysik. Realprogymn.
Briesen Westpr. 1907.

Geschichte der Mathematik. Leipzig 1906. Sammlung Göschen Bd. 226.

Snter, H., Geschichte der mathematischen Wissenschaften. 2 Teile. ZOrich 1872.
1875.

4» van Swinden, J. H., Elemente der Geometrie. Obersetzt von C. P. A. Jacobi.
Amsterdam 1834.

T.

Tigert, F., siehe Klein, P.

«t» Tannery, J., Die Elemente der Mathematik. Obersetzt von P. Klaeg. Leipzig 1908.

*t» Tenner, Q. W., Sammlung von Aufgaben aus der Elementarmathematik. Leipzig 1833.

O Einige Bemerkungen Ober die Verbindung der Wissenschaften überhaupt,

mit besonderer Rücksicht auf die Schulen. Merseburg 1829.

Ttaaer, A., Der mathematische Unterricht in den Gymnasien und Realanstalten der
Hansestädte. IMUK- Abhandlungen 1,4. Leipzig und Berlin 1911.

♦ Siehe auch Kambly.

OThaoim, M., Bruchstücke einer alten Kellereirechnung nebst Paksimile. Kaiser-
Wilhelms-Gymn. in Montabaur 1908.

OThieme, H., Die Umgestaltung der Elementar-Geometrie. Berger-Gymn. und Ober-
realschule Posen 1900.

Alphabetisches Namenverzeichnis.

Ein L besagt, dag der betreffende Name nur im Literatur-
verzeichnis vorkommt Eine eingeklammerte Seitenzahl verweist auf
eine Fugnote.

Abel (114)

Achsel. L

Adler. L

Ahmes 33, 35, 36, 37, 111

Ahrens (100), 115

Alcuin 37

d*Alembert 6, 17

Alexandroff 46

ApoUonius 42, 52, 80

Archimedes 14, 42, 44, 52,

75, 76, (89), 92, H (114),

129, 131
Aristarch 52
Aristoteles 52, 76
Arneth 14
Aryabhatta 26

Bach. L

Bacon 6

Baldauf. L

Balsam. L

Baltzer 18, (21), 22, (26),

28, 65, 66, 97
Bardey 47
Bardey-Lengauer 46
Bardey-Lietzmann. L
Bardey-Hartenstein 46
Barrow (73)
Bartholomäis (13)
Becker. L
Beez. L
Beha-Eddin 26
Beier. L
Bernoulli 9
Bernward 53
Bertram. L
Bessel (84)

Bhaskara 26, 35, 36, 37
Biedermann (80)
Biel 62, 69, 103

Biernatzki 24

Bilfinger. L

Binder. L

Blasendorff. L

Böttcher 54

BOttgrer (123), (129)

Botticher 6

Bolyai 52

Boncompagni 24

Bork-Nath 46

Bossut 6, 14

Braasch. L

Bramagupta 26

V. Braunmühl 67, 120, 121,

124, 125
Bretschneider (13), 14
Brewer 10, (13)
Brianchon 80
Brocke 64
BrOckerhoff. L
Brounker 94
Brunner 3
Bunte. L
Burg 9
Bugler 46

Cantor 14, (14), 24, 25, 31,
39, 40, 41, 124, 125, 128
Carnot 6, 17
Cartesius 26
Cauer (129)
Ceva 80
Chasles 21, 24
Cicero 130
Clebsch (114)
Curtze 66

Demokrit 75
Descartes 53, 90, 94
Develey 7

Deyhle 7
Diekmann. L
Dielmann. L
Diokles 37, 52
Diophantus 21, 37, 44, 52,

76, 130
Drechsler. L
Dregler 46
V. Driebergr 87
Druxes 33
Druxes-Heis 38
Düker. L
DOrer 53, 94

Ebeling^. L
Elster. L

EnestrOm 52, (67), (71), 72,
119, (121), 124, (130), 131

Engrel (89), 131

Enoch 60

Enriques. L

Bratosthenes 52

Eudoxus 76

Euklid 11, 12, (12), 14,21,

32, 42, 44, 52, 56, 76, H

111, 129, 130
Euler 6, 9, 26, 32, 37, 53, 83,

(92), H (114), (115), 128
Eutokius 52

Färber 40
Fasbender. L
Paulhaber 53
Peddersen. L
Piedler. L
Pinger 57
Pink. L

Pischer^ R 45, (79)
Pischer, P. L

Alphabetisches Namenverzeldxnis.

r, Q.A. 10

Hartenstein. L

Jacobi 12 (tI4)

her-Benion. L

Hauber (13)

John. L

ler. L

Hecht 46

Junge. L

in^-^ t

Hegel 84

Heger 23

Kästner 3, (3). 6, 9, (13),

Tor?)

Heiberg. L

14, 17, 85

:b 2

Heilbronner 13

Kambly-Roeder 41

in 95

Kelber. L

l. t

35

Kepler 32. 53. 80. 94. 95,

:in 24

Meinen 61

96, 101. U7

X. Men?e 103

Heis 11, (12), 24, 25, 26,

Kern 58

i. L

32, 35, 65

Kiesel. L

1. L

Heller (32), 66

Klgling. L

Hellinger (127)

Klaeg 40

53, 94, 128

Heilmann. L

Klein, F. (23), 69, (81), (82),

10

Helmes 17, 22, 28, 57, 60,

86, 103, (103), 120, (120),

6, 17, 53, {84)

92,

65, 70

126, 127. (127)

114, 131

Helmholtz 96, (100)

Klein, Herni. 22

rdt, A. 23

Henri« (u. Treutlein) 43

Klein u. Rlecke. L

r(lt.M.64(120),(121)

Hermsdorf 9

KlQgel (13). 14, 66

L

Heron v. Alexandrien 23,

Klug. L

a Frisius (2)

44. 52, 129

Knoche. L

L

Heussl 57

Knochius u. Maerkenis. L

1 3

Hilberl 76

Knops 34

dt 14, 66

Hincke 57

Kober 27

nn. L

Hindenburg 6

KOhler 59

L

Hipparch 44

Koenitzer. L

IT. i

Hirsch, Meier 3

Konnemann 63

1. L

Hirsch, K. L

Kößier. L

heider, P. L

Hoche. L

Kommereil 41 (127)

heider, P. 63

Hochheim. L

Koppe 58

L

HoeünghoH 64

63, 66, 94. 101

ann 53

Honer 95, 96, (99), 104

hei 103

Holder (90)

0. L

i. L

HoHmann. J. C. V. 60, 70

S. 100

t 14, 17

Hoftmann, J. J. I. L

Kraua46

ir (14), 41, (66)

68,

Höh 6

Krause, C. Shr. Fr. 63

125

HohoH 57

Krause, Martin (83), (85).

ke 94

Holtzmann 15

(114)

Orandi 83

HolzmüUer 43, 65

Oven 37

Hoppe. L

Kries 6, 14

sr (77)

Horai 33

Krocher 10

Hudde 96

Kronecker (96)

. L

HDlsen. L

Kruse 26, 27

Z, (2), 65

HDniger. L

Kubicki. L

(17)

Hüpper. L

Kundl 46

L

Hultsch 23, 66, 67

Kunze (13). 15, 65

9

Hunger, R (IZ9)

Kysäus. L

18

Hunger, 0. L

on (114)

Hunralh. L

L.adomus 10

er. L

Huswirt. L

L

23, 24, 25, 69,

(73),

Huygens 37, 53, (88), 131

46

84, (84), (90),

(95).

(114), 124

llberg (u. Cauer) (129)

131

ch 9

Esenkrahe. L

Umpe 69, 70. 72, (114)

156 -Bd. III Heft 6

Langt 10

Lanner. L

Uplace 100

Laska 46

Lauber S

Ugendte (88), 131

Lehmann. L

Uibniz 63, 83, 90, 94, 95,

114, 128
Lengauer 46
Leonardo da Vinci 94
Leonardo von Pisa 37, 53,

94. 126
Leslie-OrQson 10
Lessing 86
Ley 17
Liemiann. L
Lietzmann 6, (12), (27), 28,

(39),40,(48),(72),92,(96),

(99), (113), 116, 128, 131
Lindemann 68, (66), 70, 75

81, (114)
Lobalschetsicij 52 (114)
Ulfler (72), 131
LOwisch 63
Lorenz 66
Lorey (75), (113), (114),

(116)
Lotz. L
Lübsen (13), 38
LQckenhof. L
LDders 4
LQIiniann. L
LDtUch. L

Maclaurin 9, 53

Maerker. L

Mahlen 40

Majer. L

Malfalti. L

Mangoldt (114)

Man he im. L

Manitius 67

Mannheimer 46

Marx. L

Mascheroni 53

Matern US 53

Matthias 7, 8, 14, 65, 93

Malthiegen 24, 25, 65, 70

Mauritius. L

Maximus, s. Plonudes

Menge, R. L

Menge, R. 33
Melh. L
MelTodorua 36
Meyer 68
Meyer, C. F. L
Meyer, P. A. L
Meyer, R. L

117
Mlething. L
Mo£nik 46
Moll weide 14
Monge 17
Montucia (3), 6, 14
Most 62
Mfiller, C. L
Mailer,CH.38,70,120,(121)
Mailer, F. (66), 67, 125
Maller, H. 38, 40, 66
MOlhOter. Z.
Muhammed ihn Muza 36,

91, 94, 126
Murhard 6

Nagel 57

Napoleon 73

Nath. L

Netto 40

Neumann 46 (114)

Newton 63, 80, 90, 94, (116)

Nicolaus V. Cusa 53

Niemeyer 98

Nikomachos 52, 130

Nix. L

Nizze. L

Nobbe. L

Nokk. L

Noodt 45

V. öttingen. L
Ofterdinger. L
Ohm. L
Ohrtmann. L
Oppel 26, 27
Oresme 53
Ostwald 128
Ott. L

Pahl (2)
Pampuch. L
Pappus 9, 23, 44
Pascal 17, 53, 80, 94
Pauly-Wissowa. L
Pelüer (94)
Peters (6), 8, 56, (89)

Petri 66

Peurbach 53
Pfleiderer (3), (13)
Pietzker 47, 60, 6S, 69, 70,

78, (94), 104
Planudes 34, 62
Plalo 76, 76, 80, 116
POhlmann 10
Poggendorfl 66
Polyblos (73)
Poschen. L
Poske (76)
Pothenot 18
Presler 47
Pringsheim (114)
Procius 52
Prowe. L
Pnides 9
Ptolemius 18, 44, 67, 94,

130
Puning. L
Pumer. L

Pythagoras 44, 75, 92
Pytheas 62

Quidde. L

Raab. L

Ratfael 117

Ram sauer 10

Ramus 6, 13

Raydt 45

Recorde 32

Regiomontanus 6, 21, 32,

63, (73), 94
Reldt 46
Reimer. L
Reinhardt 119
Reinhardtu. Mannheimer. £
Reusche 46
Reuschle. L
Richter 9
Riecke (103)

Riehl 69, 71, 74,77,78,96
Riehm 64
Riessen. L

Riese 34, 92, 111, (111)
Roeder. L
Rogg. L

Rosenbei^r 66, (86)
Rudio (66), (67), 88, (88),

131

Alphabetisches Namenverzeichnis,

157

i 131
. L
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oode 103, (114)

Stäckel 131
Staig^Oller. L
Starke. L
Steinschneider 24
Stephan 14
Stevin 32

Stifel 21, 32, 34, 94
Stoll 27
Sturm, J. L
Sturm, A. 126
Suter. L
van Swinden 12

Tägert L

Tannery 40

Tenner 11, (11), 56

Thaer 41, (123)

Thaies 9

Thamm. L

Thieme 40

Thilo 9, 14

Thucidides 36

Timerdingr (79), 132

Tischer 95, 102, (102)

Tobisch. L

Travniöek. L

V. Treitschke (19), (93)

Treutlein (15), 43, 68, 71,

80, 81, 101, (101), 102,

110, 111
Tropfke 31, (31), 39, 40,

41, 67, 91, 92, 122, 126,

128, 131
Tsin Kiu Tshaou 33

Uhlich. L
Ulbricht 78
Ullrich. L

Vega 6, 53
Vieta 21, 26, 95
Vieth, 0. U. A. L
Vieth 9
Villicus (14)

Vitruv 130
Vogrt. L
Voß 13, 72

Wallentin 36, 65, (81)

Wallis 131

Wappler 67

Weber. L

Weierstrag 114

Weinborn. L

Weiske 66

Wellmann. L

Wellstein. L

Wemeburg 33

Wernicke (8), 68, 71, 74,

75, 85, 91, 103
Wertheim 67
Wex. L
Weyl. L
Wicher (13)

Wiesrand 16, 17,58,65,97
Wieleitner 41, 67, (67), 92

(116), (123), 125, 131
V. Wilamowitz-Moellendorff

68, 129, 130
Wilberg. L
Wilde. L
Wildemuth. L
Willmann 103
Windelband (73)
Wissowa. L
Witting 23, 72, (91), 92,

(99), 128, 131
Wittstein 17, 19, 22, 41, 65
Wöckel 36, 57
Wöpcke 24
Worpitzky 27
Wretschho. L

Xylander, s. Holtzmann

Zacharias 131
Zeno 37, 52
Zeuthen 122, 124, 126
Zirkel. L

ABHANDLUNGEN
BER DEN MATHEMATISCHEN UNTERRICHT IN DEUTSCHLAND

VERANLASST DURCH DIB
INTERNATIONALE MATHEMATISCHE UNTERRICHTSKOMMISSION

HERAUSGEGEBEN VON F. KLEIN

= BAND III HEFT 7 =^^^^==^=

MATHEMATIK

UND

HILOSOPHISCHE PROPÄDEUTIK

VON e,^

SCHULRAT DR. ALEX^WERNICKE

DIREKTOR DER STADTISCHEN OBBRREALSCHULB UND

PROFESSOR AN DER HERZOGLICHEN TECHNISCHEN

HOCHSCHULE IN BKAUNSCHWEIG

MIT 5 FIGUREN IM TEXT

S

LEIPZIG UND BERLIN
DRUCK UND VERLAG VON B. G.TEUBNER

1912

ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES OBBRSETZUNÖSRECHTS. VORBEHALTEN.

INHALT

Sdte

Vorwort : . III

Inhalt VII

Erster Abschnitt
Die gegenwärtige Lage.

1. Geschichtlicher Rückblick .... 1

2. Die Au^be 13

A) Mathematik 13

B) Philosophische Propädeutik. . 17

C) DashöhereSchulwesenDeutsch-
lands 20

3. Schwierigkeiten der Losung ... 21

Zweiter Abschnitt
Grundlegende Betrachtungen.

1. Die Kantische Losung und ihre
MAngel 32

2. Ding und Beziehungen 41

3. Denken und Anschauen 47

4. Die Art)eitsart der Mathematiker. 56

5. Der Gegenstand der Mathematik . 64

6. Die Begriffsbildung der Mathematik
und ihr Charakter 69

Dritter Abschnitt

Seite

Folgerungen fflr die Schule.

1. Aligemeine Gesichtspunkte ... 80

2. Die Philosophie im Geschicht-
lichen der Mathematikstunde . . 35

3. Psychologisches und Formal-
Logisches im Unterrichte der
Mathematik 87

4. Die Systematik des mathema-
tischen Unterrichts 95

A) Allgemeines 95

B) Arithmetik 97

a) Grundlegende Betrachtungen 95
a) Die Arithmetik der Lajg^e 95
ß) Die Arithmetik des Maßes 101
t) Die Verbindung der bei-
den Arten der Arithmetik 104

b) Ausführung im Unterricht . 105

C) Geometrie 110

D) Phoronomie 114

E) Dynamik 117

5. Die Anwendungen 121

Vierter Abschnitt
Schlufibetrachtungen .

124

Fünfter Abschnitt
Obersicht über die Literatur. . 128

Schhißbetrachtungen. 127

Zu den Ideal-Wissenschaf ten« welche von der Mathematik mit
allen ihren Anwendungsgebieten gebildet werden, müssen auch dieReal-
Wissenschaften treten, welche dem Besonderen, im landläufigen Sinne
M^klichen zugewandt sind, vor allem dem Menschen und dessen viel-
gestaltigen sozialen Verbänden.

Aus beiden erwächst erst die Einheit des Wissens, die der Philo-
sophie stets als unerreichbares und doch fruchtbringendes Ideal vorge-
schwebt hat In seinem Dienste hat sie, gegenüber allem, infolge der
notwendigen Arbeitsteilung sich vielfach und stets mehr und mehr ver-
zweigenden Einzel -Wissen, immer und immer wieder auf dessen Zu-
sammenschluß hingewiesen, ihn künstlerisch durch eine Schluß-Dichtung
ausgestaltend, und diese wichtige Aufgabe wird ihr auch für alle Zukunft
verbleiben.

130 • Bd. III Heft 7. Übersicht über die Uteratur.

29. DuBois-Reymond, E., Ober die Grenzen des Naturerkennens. Die sieben Wdt-
rdtsel. Neue Aufl. Leipzig 1891. Auch in den Reden, 2 Bände. 2. Aufl. Leipzig
1912.

30. DuBois-ReymondfP., Die allgemeine Punktionentheorie. LTeiL Tübingen 1882.

31. Dflhring, E., Kritische Geschichte der allgemeinen Prinzipien der MechaniL
Berlin 1869, 2. Aufl. 1877.

32. Ehrenfels, C. v., Zur Philosophie der Mathematik. [Vierteljahrsschrift fflr wiss.
Philosophie. 1891.

33. Einstein, A., Zur Elektrodynamik bewegter Körper in den Annalen der Physik
Bd. 17 (1905).

34. Elsenhans, Th., Pries und Kant Gießen 1906.

35. Engel, P., siehe Stflckel Nr. 138a u. b und Graßmann Nr. 53.

36. Enriques, P.,

a) Vorlesungen über Projektive Geometrie, übersetzt von H.Pleischer. Leipzig 1903.

b) Probleme der Wisseqschaft, 2 Bde., übersetzt von H. Grelling. Leipzig 1910.

c) Prinzipien der Geometrie. Enzyklopädie-Artikel III, 1. Heft 1.

d) Prägen der Elementargeometrie. Leipzig. 1. Teil deutsch von H. Thieme 1909,
2. Teil deutsch von H. Pleischer 1907.

37. Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwen-
dungen. Leipzig 1898 u. f. (Die französische Ausgabe ist eine selbständige
Bearbeitung der deutschen Ausgabe.)

38. Erdmann, B.,

a) Die Axiome der Geometrie. Leipzig 1877.

b) Logik. Halle a. S. 1892 u. f. Neue Bearbeitung, 1907.

39. Pärber, C., Arithmetik (Grundlehren der Mathematik 1. 1). Leipzig u. Berlin 1911.

40. Pechner, G. Th.,

a) Ober die physikalische und philosophische Atomenlehre. 2. Aufl. Leipzig 186i

b) Kollektivmaßlehre, herausgegeben von G. P. Lipps. Leipzig 1897.

41. Pehr,H., Enquöte de l'enseignement mathömatique sur la möthode de travaildes
math6maticiens. Paris-Genf 1908. Vgl. auch Enseignement math^matique 1905
bis 1908.

42. Pick, A., Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeitslehre. Würzburg
1883.

43. Pischer, E. G., Untersuchung über den eigentlichen Sinn der höheren Analysis
usw. Bedin 1808.

44. Prege, G.,

a) Begriffsschrift Halle a. S. 1879.

b) Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch -mathematische Untersuchung
über den Begriff der Zahl. Breslau 1884.

c) Punktion und Begriff. Jena 1891.

d) Grundgesetze der Arithmetik. Bd. I, Jena 1893. Bd. II, Jena 1903.

45. Prerichs, H., Die Hypothesen der Physik. Bremen 1879.

46. Presenius, P. C., Die psychologischen Grundlagen der Raumwissenschaft
Wiesbaden 1868.

47. Preyer, P., Beispiele zur Logik aus der Mathematik und Physik. 2. Aufl. Berlin
1889.

48. Pries, L P.,

a) Mathematische Naturphilosophie. Heidelberg 1822.

b) Versuch einer Kritik der Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Braun-
schweig 1842.

49. Priessche Schule. Abhandlungen der. Neue Polge. Herausgegeben von Q. Hes-
senberg, K. Kaiser und L. Nelson. Göttingen 1904 u. f.

50. Prischeisen-Köhler, M., Wissenschaft und Wirklichkeit Leipzig u. Berlin
1912.

134 • Bd. III Heft 7. Übersicht über die Literatur.

99. Meyer, W. Fr., Zur Lehre vom Unendlichen. Tflbingen 1889.

100. Michaelis, Ober Kants Zahlenbegriff. Programm, Charlottenburg 1884.

101. Mill, J. St., System der deduktiven und induktiven Logik. Deutsch von Schiel
Braunschweig 1877.

102. Minkowski, Raum und Zeit; in dem Jahresberichte der Deutschen Mathema-
tiker-Vereinigung, Bd. 18 (1909).

103. M dl 1er, F. A., Das Problem der Kontinuit&t in Mathematik und Mechanik
Marburg 1886.

104. Nath, M., Bildungsaufgaben der Mathematik. Berlin 1904.

105. Natorp, P.,

a) Descartes Erkenntnistheorie usw. Marburg 1882.

b) Piatons Ideenlehre usw. Marburg 1903.

c) Philosophische Propädeutik. 3. Aufl. Marburg 1909.

d) Allgemeine Psychologie. 2. Aufl. Marburg 1910.

e) Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaft. Leipzig und Berlin 1910.

106. Nelson, L.,

a) Bemerkungen Aber die Nicht-Euklidische Geometrie und den Ursprung der
mathematischen Gewißheit Abhandlungen der Friesschen Schule. Neue
Folge. Bd. I. Heft 2 und 3.

b) Ober das sogenannte Erkenntnisproblem. Ebenda. Bd. II. Heft 4.

c) Im Verein mit K. Grell ing, Bemerkungen zu den Paradozien von Russell
und Burali -Forti. Ebenda. Bd. IL Heft 3.

d) Kant und die Nicht-Euklidische Geometrie, in der Zeitschrift „Das Weltall*' 1906.

107. Ostwald, W.,

a) Vorlesungen Qber Naturphilosophie. 3. Aufl. Leipzig 1905.

b) Grundriß der Naturphilosophie; in Reclams Universalbibliothek. Leipzig.

108. Pasch, M.,

a) Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Leipzig 1882.

b) Vorlesungen Qber neuere Geometrie. Leipzig 1882.

109. Paulsen, Das Problem der Empfindung. I. Die Empfindung und das Bewußtsein.
Philosophische Arbeiten. Herausgegeben von Cohen und Natorp. Bd. I, Heft 4.
Gießen 1907.

110. Peano, G.,

a) Calcolo geometrico, secondo 1* Ausdehnungslehre di H. Graßmann. Pre-
ceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Turin 1888.

b) Arithmetices principia nova methodo exposita. Turin 1889.

c) I principii di geometria logicamente esposti. Turin 1889.

d) Formulaire de Math^matiques. Turin 1897.

111. Petzoldt, J.,

a) Maxima und Minima der Ökonomie (Dissertation). Altenburg 1891.

b) EinfOhning in die Philosophie der reinen Eriahrung. 2 Bde. Leipzig und
Beriin 1900 und 1904.

c) Das Weltproblem vom positivistischen Standpunkt aus. 2. Aufl. Leipzig 1911-

112. Pietzker, Fr.,

a) Die Gestaltung des Raumes. Kritische Untersuchung über die Grundlage der
Geometrie. Braunschweig 1891.

b) Das humanistische Element im exakten wissenschaftlichen Unterricht Gym-
nasialprogramm. Nordhausen 1894.

c) Sprachunterricht und Sachunterricht vom naturwissenschaftlichen StandpankL
Bonn 1900.

113. Poincar6, H.,

a) Wissenschaft und Hypothese. Obersetzt von F. Lindemann. 2. Aufl. Leipii?
1904.

b) Der Wert der Wissenschaft. Obersetzt von E. Weber. Herausgeg. von H. Weber.
Leipzig und Beriin 1910.

136 - Bd. 111 Heft 7. Übersicht über die Uteratur.

c) Die Stellung der Definition in der Axiomatik. Jahresberichte der Deutschea
Mathematiker-Vereinigung. Bd. 20 (1911).

128. Schotten, H., Inhalt und Methode des planimetrischen Unterrichts. Bisher
2 Bde. Leipzig 1890 und 1893. (Vgl. auch Reidt)

129. Schriften des deutschen Ausschusses fflr den mathematischen und natur-
wissenschaftlichen Unterricht. Leipzig und Berlin 1908 u. i

130. Schröder, E.,

a) Vorlesungen Ober die Algebra der Logik. Leipzig 1890 u. f.

b) Ober das Zeichen. Karlsruhe 1890.

c) Der Operationsbeweis des Logikkalkuls. Leipzig 1877.

131. Schubert, H., Herausgegeben von. Sammlung mathematischer Lehrbflcher.
Leipzig 1899 u. f.

132. Schulte-Tigges, A., Philosophische Propädeutik auf naturwissenschaftlicher
Grundlage. 2. Aufl. Beriin 1904.

133. Schuppe, W.,

a) Das menschliche Denken. Berlin 1870.

b) Erkenntnistheoretische Logik. Bonn 1878.

c) Grundriß der Erkenntnistheorie und Logik. 2. Aufl. Berlin 1910.

134. Schur, F.,

a) Ober die Grundlagen der Geometrie. Math. Ann. Bd. 55.

b) Die Parallelen-Frage im Lichte der modernen Geometrie. Päd. Archiv Bd. 34.

c) Grundlagen der Geometrie. Leipzig und Berlin 1909.

135. Schwarz, H., Versuch einer Philosophie der Mathematik usw. Halle a S. 1853b

136. Sigwart, Gh., Logik. 2. Aufl. Freiburg L B. B. 1893.

137. Simon, Max,

a) Rechnen und Mathematik (Didaktik und Methodik). Baumeisters Handbuch
der Erziehungs- und Unterrichtslehre usw. IV, 1. München 1895. 2. Aufl. 190&

b) Die Elemente der Arithmetik als Vorbereitung auf die Funktionstheorie.
Straßburg 1884.

c) Die Elemente der Geometrie mit Rücksicht auf die absolute Geometrie.
Straßburg 1890.

d) Zu den Grundlagen der Nichteuklidischen Geometrie. Festschrift fflr E. E
Kummer und Straßburger Programm 1891.

e) Methodik der elementaren Arithmetik in Verbindung mit algebraischer Ana-
lysis. Leipzig und Berlin 1906.

f) Über Mathematik (Erweiterung der Einleitung in die Didaktik). Philosophi-
sche Arbeiten. Herausgegeben von H. Cohen und P. Natorp. Bd. 11, Heftl.
Gießen 1908.

138. Stäckel, P.,

a) und Fr. Engel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf GauB usw.
Leipzig 1895.

b) und Fr. Engel, Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie.
Bis jetzt 2 Bde. Leipzig und Berlin 1910.

c) Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper, Enzyklopädie
Artikel IV, 6.

d) Bearbeitung von Gauß* Nachlaß betr. die „Grundlagen der Geometrie" in
Bd. 8 von Gauß* gesammelten Werken.

139. Stadler, A., Ober die Aufgabe der Mittelschule. München 1887.

140. Steinhauser, A., Die Lehre von der Aufstellung empirischer Formeln. Leip2-
1889.

141. Stöhr, A., Algebra der Grammatik usw. Leipzig und Wien 1898.

142. Stolz, O.,

a) Größen und Zahlen (Rede). Leipzig 1891.

b) B. Bolzanos Bedeutung in der Geschichte der Mathematik. Mathem. Annalefl
Bd. 18.

138 • Bd. 111 Heft 7. Übersicht über die IMerahtr.

167. Wernicke, A.,

d) Die Qmndlage der Euklidischen Geometrie des Mafies^). Qymnasialprogr.
Braunschweig 1887.

e) Zur Propftdeutik-Prage. (Zeitschrift fflr Osterr. Gymnasien, 1888.)

f) Goniometrie und Grundzflge der Trigonometrie. Braunschweig 1888.

g) Beitrage zur Theorie der centro- dynamischen .Körper^. Qymnasiaiprogr.
Braunschweig 1892.

h) Aus dem Gebiete des mathematisch- naturwissenschaftlichen Oymnasialunter-

richts. Hallenser Lehrproben 1894/95.
i) Kultur und Schule. Osterwieck a. H. 1896. (Vgl. auch den entsprechendea

Artikel in Reins Enzyklopädischem Handbuche der Pädagogik.)
k) Die mathematisch -naturwissenschaftliche Forschung in ihrer Stellung zum

modernen Humanismus (Vortrag). Berlin 1898.
1) Weltwirtschaft und Nationalerziehung (Vortrag). Leipzig 1900.
m) Schulaufgaben aus der Mechanik unter besonderer Berücksichtigung der

Technik (Vortrag). Unterrichtsblätter fflr Mathematik und Naturwissenscbaft«k

1900. [Vgl. dazu femer den Bericht über die Vorträge der mathem.^nahinr.

Sektion der Philologen-Versammlung in Bremen von 1899.]
n) Lehrbuch der Mechanik. 4. Auflage. Braunschweig 1900 u. f.

0) Die kulturelle Bedeutung der mathematisch-naturwissenschaftlichen Forschung.
Pädag. Archiv 1903.

p) Die Oberrealschule und die Schulreformfragen der Gegenwart (Vortrag).

Leipzig und Beriin 1910.
q) Die Theorie des Gegenstands und die Lehre vom Ding-an-sich bei Immanatl

Kant Habilitationsschrift von 1881, mit Bemerkungen herausgegeben als

Oberrealschulprogramm. Braunschweig 1904.
r) Kant . . . und kein Ende? 2. Aufl. Braunschweig 1907.
s) Die Begrflndung des deutschen Idealismus durch Immanuel Kant. Ebenda 1910.
t) Kants kritischer Werdegang. Braunschweig 1911.

168. Witting, A., siehe ,,Mathem. Bibliothek".

169. Wundt, W.,

a) Grundzflge der physiologischen Psychologie. 3 Bde. 6. Aufl. Leipzig 1908 u.f.

b) Logik. 3 Bde. 3. Aufl. Stuttgart 1907 u. f.

170. Young, W. H., The Theory of Sets of Points. Cambridge (Univ. Press.) 1906.

171. Zeissig, E., Die Raumphantasie im Geometrieunterricht Abhandlungen aus dem
Gebiete der pädagogischen Psychologie und Physiologie; herausgegeben von
H. Schiller und Th. Ziehen. Beriin 1902.

172. Zermelo, E., Abhandlungen zur Mengenlehre, besonders in den mathematischen

Annalen Bd. 59 (1904) und Bd. 65 (1908).

173. Ziertmann, P., Die Philosophie im höheren Schulunterrichte usw. Oberreal-
schulprogramm. Steglitz 1906.

174. Zindler, K., Beiträge zur Theorie der mathematischen Erkenntnis. Berichte
der Wiener Akademie der Wissenschaften 1889.

175. Zöllner, J. C. F., Ober die Natur der Kometen. Beiträge zur Geschichte luid
Theorie der Erkenntnis. Leipzig 1872.

1) Soweit noch Exemplare vorhanden, stehen sie auf Anfordern zur Vertflgung.

ABHANDLUNGEN
OBER DEN MATHBMATISCHEN UNTERRICHT IN DEUTSCHLAND

VERANLASST DURCH DIB
INTERNATIONALE MATHEMATISCHE UNTBRRICHTSKOMMISSION

HERAUSGEGEBEN VON F. KLEIN

= BAND 111 HBFT 8 ==:

PSYCHOLOGIE UNO
MATHEMATISCHER UNTERRICHT

VON

Dr. DTJ^TZ

PiUVATDOZENT A. D. UNIVERSITTf UND ASSISTENT
A. D. PSYCHOLOGISCHEN ABTEILUNG D. PHILOSOPHISCHEN SEMINARS

IN GÖTTINOBN

MIT 12 ABBILDUNQBN

LEIPZIG UND BERLIN
DRUCK UND VERLAG VON B. G.TEUBNER

1913

ALLE RECHTE, BINSCHUBSSUCH DBS OBERSBTZUNOSRBCHTS, VORBEHALTEN.

ZVi

r

INHALTSVERZEICHNIS

Sei

Vorwort 1

Einleituns^. Ziele der Untersuchung

1. Kein pädagogischer Logizismus im mathematischen Unterricht

2. Die experimentelle Pädagogik. Einteilung der folgenden Darstellung . . .

3. Psychologie im mathematischen Unterricht

1. Teil.
Zur Psychologie der Mathematik und des mathematischen Unterrichts.

1. Die Entwicklung der Zahlvorstellung beim Kinde

Anhang. Zahl und Zählen bei primitiven Völkern

2. Die Entwicklung der Raumvorstellung beim Kinde

3. Die differentielle Psychologie in ihrer Bedeutung fOr den mathematischen
Unterricht

a) Die Bedeutung der Lehre von den Vorstellungstypen fflr den mathema-
tischen Unterricht

b) Wahmehmungstypen

c) Synopsien

d) Die mathematische Anlage und die Arbeitsweisen der Mathematiker . .

e) Die Begabungsdifferenzen für die Mathematik in sexueller Beziehung. .

f) Zur Psychologie der Zahlenvirtuosen und Rechenkflnstler

4. Die Mathematik in der Pädagogik der Mindersinnigen und Schwach-
sinnigen

a) Zur Psychologie und Pädagogik der Mindersinnigen

A) Die Blinden

B) Die Taubstummen

C) Die Taubstummblinden

b) Zur Psychologie und Pädagogik der Schwachsinnigen

5. Anhang. Die geistige Ermüdung und die Hygiene der geistigen Arbeit . ,

IL Teil.
Zur Psychologie des mathematisch-technischen und des künstlerischen Zeichnens *

111. Teil.
Zur Ausbildung der Lehrer in Psychologie und Pädagogik.

1. Die Ausbildung und Fortbildung der seminarisch gebildeten Lehrer .... 1^

a) Präparandenanstalt und Seminar 1^

b) Private Veranstaltungen H

c) Die Ausbildung der Seminarlehrer 11

2. Die Ausbildung der akademisch gebildeten Lehrer 11

1 2 • Bd. III Heft 8. Einleitung. Ziele der Untersuchung.

Es ist dabei gedacht an die Untersuchungen Aber die Entwicklung des
mathematischen Denkens beim Kinde und beim primitiven Menschen
Indessen käme hier wohl auch manches aus dem Abschnitt über die
differentielle Psychologie in Betracht.

und fflr das Prinzip ^Philosophie im Unterricht' eintritt, würde ich auch gegen einea
Unterricht in Psychologie sein und das Prinzip ^Psychologie im Unterricht' ver-
treten. Falls die Absicht besteht« auch in anderen Unterrichtsfächern als in der Ma-
th^ematik psychologische Betrachtungen einzuschalten, so wftren etwa folgende Hinweise
am Platze. Die Physik bietet mannigfache Gelegenheit, Tatsachen der Sinnespsycbo-
logie anzudeuten. Im Anschluß an Akustik ist Aber das Ohr und seine Empfin-
dungen, im Anschluß an Optik Aber die Funktionsweise des Auges und einige 0^
setze seiner Empfindungen zu sprechen. Besonders im Anschluß an die Optik USt
sich eine Reihe einfacher leichtverständlicher Versuche ausfAhren, die ganz sieber
das volle Interesse heranwachsender Knaben und Mädchen finden werden. Hier
spwie an anderen Stellen kann man A. Höflers und St Witaseks Hundert psychologiscbe
Schulversuche zu Rate ziehen (3. Aufl., Leipzig 1911). In der Botanik kann ein Hin-
weis auf das Sinnesleben der Pflanzen als Analogie zum Sinnesleben des Menschen
sehr willkommen sein. In der Zoologie lassen sich kaum Exkurse in die Tierpsycho-
logie umgehen, die Jugend scheint geradezu eine Vorliebe fAr Fragen der Tier-
psychologie zu besitzen (Ed. Clapardde, Pädagogik und Tierpsychologie. Zeitschr.
fAr pädagog. Psychol., Bd. 12, 1911). In der Geographie und Geschichte liegen ge-
legentliche AusflAge in die Volkerpsychologie nahe. Literatur, Geschichte und Reli-
gion bieten Raum fAr Betrachtungen der GefAhlspsychologie, die Sprachen schließ-
lich legen sprachpsychologische Untersuchungen nahe. Das Prinzip „Psychologie
im Unterricht" setzt natArlich eine gewisse Kenntnis der Psychologie bei dem Lehrer
voraus. Auf die Ausbildung des Lehrers in Psychologie kommen wir unten zn
sprechen. ^